Vektoranalysis: In ihren Grundzügen und wichtigsten physikalischen Anwendungen [Reprint 2021 ed.] 9783112392287, 9783112392270

Citation preview

VEKTOR AN ALYS IS IN I H R E N G R U N D Z Ü G E N UND W I C H T I G S T E N P H Y S I K A L I S C H E N ANWENDUNGEN

VON

ARTHUR HAAS DR. PHIL., A. o. PROFESSOR DER UNIVERSITÄT LEIPZIG

MIT 37 ABBILDUNGEN IM T E X T

BERLIN

UND LEIPZIG

1922

VEREINIGUNG WISSENSCHAFTLICHER

VERLEGER

WALTER DE GRUYTER & CO. VORMALS G. J . GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG • J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG - GEORG REIMER • KARL J. TRÜBNER • VEIT i COMP.

Copyright by Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter & Co. in Leipzig, 1922

Druck von Metzger A Wittig la Leipzig

Inhalt Seite

Einleitung

1

L Kapitel. Die Vektoren. § § § § § § | § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Vektoren und Skalare Vektoralgebra Die Dynamik des Massenpunktes Die Transformation der Vektorkomponenten Der Gradient eines skalaren Feldes Potential und Energie Das rotierende Koordinatensystem Die Relativbewegung Die Bewegung«Vorgänge auf der rotierenden Erde

2 5 13 IT 19 22 23 27 31

n . Kapitel. Die Tensoren. § § § §

10. 11. 12. 13.

Der Das Das Die

Begriff des Tensors Tensorellipsoid Trägheitsmoment Spannung

m . Kapitel § 14. § 15. § 16. § 17. § 18. § 19. § 20. § 21.

37 41 42 46

Die Vektorfelder.

Die vektoriellen Differentialoperationen Der Satz von GAUSS Die Voktorlinien Der Satz von STOKBS Tensorfeld und Vektordivergenz Die Dynamik des deformierbaren Körpers Die ideale Flüssigkeit Das elastische Medium

50 56 58 60 64 65 72 76

IV. Kapitel. Die Potentiale. § 22. § 23.

{24. § 25. § 26. { 27. § 28. § 29.

Quellpunkt und Feldstärke Die Gleichung von POISSON Die Quellenfläohen Quellenpaar und Doppelschichte Das vektorielle Potential Die COULOMB sehen Fernkräfte Elektrische Ladung und elektrischer Strom Der Magnetismus

80 83

85 87 89 93 94 97

vi

Inhalt.

§ 30.

Seite

Das §31. Das § 32. Das § 33. Die § 34. Der

Gesetz von B I O T und SAVAKT elektrodynamische Grundgesetz von Induktionsgesetz von NEUMANN M A X W E L L sehen Gleichungen Satz von POYNTING

§ 35. Die § 36. Die §37. Die § 38. Die

V. Kapitel. Die Vektorwellen. Vektorschwingung ; ebenen Vektorwellen elastischen Wellen ' elektromagnetischen Lichtwellen VI. Kapitel.

§ 39. § 40.

100

AMPERE

103 104

106 108

110 112 115 116

Die Weltvektoren.

Die MiNKOwsiu-Welt Die LoKBNTZ-Transformation

§41. Die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten § 42. Die relativistische Dynamik § 43. Die träge Masse der Energie

120 124

126 129 132

Anhang. Zusammenfassung des Inhalts Übersicht über die häufigsten Bezeichnungen

135 146

Namenverzeichnis Sachverzeichnis

147 148

Vorwort In den Vorlesungen, die ich im Wintersemester 1921/22 an der Wiener Universität hielt und die in diesem Buche wiedergegeben sind, sollte die Vektoranalysis nicht wie in anderen Büchern um ihrer selbst willen behandelt werden; es sollten vielmehr in diesen Vorlesungen die Grundlagen der Mechanik der Massenpunkte, der starren und deformierbaren Körper sowie die Grundlagen der M A X W E L L sehen Theorie und der Relativitätstheorie möglichst einfach mittels einer einheitlichen vektoriellen Methode entwickelt werden. Zu diesem Zwecke wurden in den Vorlesungen die Grundzüge der Vektor- und der Tensoranalysis dargestellt; doch wurde hierbei grundsätzlich niemals weiter gegangen, als es für die späteren physikalischen Anwendungen notwendig war. In dem Buche wechseln rein mathematische Abschnitte mit solchen ab, in denen die gewonnenen mathematischen Erkenntnisse physikalisch verwertet werden. Eine scharfe Scheidung erschien mir notwendig, damit sich der Leser deutlich dessen bewußt werde, welche Zusammenhänge zwischen physikalischen Theoremen rein mathematischer Natur sind und welche nur unter Zuhilfenahme physikalischer Erfahrungstatsachen hergestellt werden können. Von dem H A M I L T O N sehen Operator habe ich in diesem Buche nirgends Gebrauch gemacht, da ich glaube, daß seine Benutzung den Anfänger nur verwirrt; aus demselben Grunde erschien mir eine scharfe Betonung des Gegensatzes zwischen polaren und axialen Vektoren überflüssig. Auf eine Darstellung der verallgemeinerten, nichteuklidischen Tensoranalysis habe ich in diesem Buche verzichtet; ich glaubte dies um so eher tun zu sollen, als sich eine solche von mir verfaßte Darstellung ohnedies in meiner „Einführung in die theoretische Physik" (in dem Kapitel über allgemeine Relativitätstheorie) findet. Die Herren stud. math. F E L I X G E L B E R und F R A N Z U R B A C H in Wien und teilweise auch Herr Universitätsdozent Dr. H U G O S I R K in Wien waren so freundlich, die Korrekturbogen mit größter Aufmerksamkeit zu lesen, wofür ihnen herzlichst gedankt sei. Auch meinem Verlage möchte ich für sein stets bereitwilliges Entgegenkommen hier aufrichtig danken. Wien, im Juni 1922.

Arthur Haas.

Einleitung. Die Geschichte der Vektorrechnung beginnt eigentlich mit dein bekannten holländischen Physiker STEVIN, der um 1600 anläßlich seiner Entdeckung des Prinzips des Kräfteparallelogramms zuerst p h y s i k a lische G r ö ß e n durch g e r i c h t e t e S t r e c k e n d a r s t e l l t e . Etwa hundert Jahre nach STEVIN erhielt die Mechanik ihr eigentliches Fundament in dem bekannten zweiten N E W T O N s c h e n B e w e g u n g s a x i o m , das eine vektorielle Beziehung zum Inhalt hat. Denn es lehrt ja unter anderem, daß die B e s c h l e u n i g u n g und die K r a f t stets gleich ger i c h t e t sind. Da das zweite NEWTON sehe Bewegungsgesetz die eigentliche Grundlage der Mechanik bildet, haben natürlich die theoretischen Physiker, als sie im 17. und 18. Jahrhundert die Mechanik ausbauten, dabei auch viele wichtige Beziehungen der Vektortheorie aufgefunden. Sie sprachen allerdings nicht von Viktoren; aber sie wußten, wenn auch. auf komplizierte Art, mit ihnen zu operieren, namentlich seit durch E U L E R in der Mitte des 18. Jahrhunderts die Physik mit der a n a l y t i s c h e n Geom e t r i e des B a u m e s verknüpft worden war; und als im Beginne des 19. Jahrhunderts die Potentialtheorie aasgebildet wurde, da erkannten die Theoretiker auch die Bedeutung der wichtigen Differentialoperationen, durch die Vektorgrößen miteinander verknüpft werden können. Freilich rechneten damals die theoretischen Physiker nie mit den Vektoren selbst, sondern immer, indem sie alles auf ein Koordinatensystem bezogen, mit den V e k t o r k o m p o n e n t e n . Erst um das Jahr 1840 erkannten gleichzeitig, doch unabhängig voneinander G R A S S H A N N und H A M I L T O N , daß dieses ständige Bechnen mit den Vektorkomponenten statt mit den Vektoren selbst eine durch den Gegenstand gar nicht geforderte und ganz überflüssige Komplizierung bedeutet; und so bildeten sie in den Vierziger Jahren des 19. Jahrhunderts die eigentliche V e k t o r r e c h n u n g aus. In die theoretische Physik hat die Vektoranalysis indessen erst durch M A X W E L L S berühmtes, 1873 erschienenes Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus Eingang gefunden. Eine allgemeine Verbreitung wurde der Vektoranalysis freilich erst seit dem Beginne des 20. Jahrhunderts zuteil — infolge der ungeheuren Vereinfachimg, die durch sie die Darstellung der Mechanik und der Elektrizitätstheorie erfährt. Hui, Vektoraoalyiis.

1

L KapiteL

Die Vektoren. § 1. Vektoren and Skalare. Unter einem Vektor verstehen wir eine g e r i c h t e t e Strecke, unter einer Vektorgröße eine Größe, die erst durch Angabe einer S i c h t u n g bestimmt ist und daher symbolisch durch einen Vektor dargestellt werden kann. Beispiele für .Vektorgrößen sind die Kraft, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, das statische Moment, die elektrische Feldstärke. An jeder Vektorgröße müssen drei wesentliche Eigenschaften unterschieden werden: der Betrag, die R i c h t u n g und der Bichtungssinn. Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Zahl, die es angibt, wieviel Einheiten die betreffende Größe hat. Unter dem Betrag einer Kraft oder einer Geschwindigkeit versteht man .beispielsweise die Zahl, die es angibt, wieviel Krafteinheiten die betreffende Kraft oder wieviel Geschwindigkeitseinheiten die betreffende Geschwindigkeit mißt. Bei der Darstellung durch eine gerichtete Strecke ist natürlich der Betrag der Vektorgröße durch die Länge der Strecke repräsentiert. Dem allgemeinen Brauche gemäß sollen im folgenden Vektorgrößen immer mit deutschen Buchstaben bezeichnet werden. Der Betrag eines Vektors soll mit dem entsprechenden lateinischen Buchstaben bezeichnet werden, also der Betrag eines Vektors mit A. Daß zwei Vektoren 91 und SB im Betrage, in der Eichtling und im Bichtungssinn übereinstimmen, soll durch die symbolische Gleichung ausgedrückt werden (1) 91 = 93 . Zwei Vektoren werden also auch dann als identisch angesehen, wenn sie von verschiedenen Funkten aus gezogen werden, wofern nur Betrag, Richtung und Bichtungssinn übereinstimmen. Daß zwei Vektoren 91 und (£ zwar im Betrage und in der Richtung übereinstimmen, jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben, soll seinen Ausdruck in der symbolischen Gleichung finden (2) 91= - < S . Die Projektionen eines Vektors auf die Achsen eines Koordinatensystems werden als die Komponenten des Vektors in

§ 1. Vektoren und Skalare.

3

bezog auf dieses Koordinatensystem bezeichnet. Sind die Komponenten eines Vektors gleich1 Ax, Aw, Az, so ist nach dem pythagoreischen Lehrsatz (3) A* = Ax* + A,* + Az* . Das Quadrat des Betrages eines Vektors ist gleich der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Durch die Komponenten ist aber nicht nur der Betrag des Vektors bestimmt, sondern auch seine Sichtung und durch das Vorzeichen der Komponenten natürlich auch der Bichtungssinn. Es ist ja die Projektion auf die x-Achse gleich dem Betrage des Vektors, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, den die Vektorrichtung mit der Richtung der xAchse einschließt, also (4) AX = A cos x) oder nach Gl. 3 __ cos (91, x) = _ Ax (5) )/AJ + Äf + Zwei analoge Gleichungen gelten für die Winkel, die die Vektorrichtung mit der y- und der ¿-Achse bildet, f i\

~A*'

Fig. 1.

y

Fig. 2.

Eine kurze Zwischenbemerkung über r ä u m l i c h e K o o r d i n a t e n s y s t e m e muß indessen hier eingeschaltet. werden. Es sind zwei Arten von räumlichen Koordinatensystemen möglich, die miteinander nie zur Deckung gebracht werden können, weil die eine Art das Spiegelbild der anderen ist. Zeichnen wir nämlich in einer vertikalen Ebene die xund die ¿-Achse, so kann die positive y-Achse nach hinten oder nach vorn gerichtet sein. Im ersten Falle (Fig. 1) erscheint, von einem Punkte 1 Die Komponenten eines Vektors sollen in diesem Buch grundsätzlich immer mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.

1*

4

Die

Vektoren.

der positiven 2-Achse aus gesehen, die Drehung, die auf kürzestem Wege die positive z-Achse in die Richtung der positiven i/-Achse überführt 2 , e n t g e g e n g e s e t z t der D r e h u n g des U h r z e i g e r s . Im zweiten Fall (Fig. 2) erscheint diese Drehung im Sinne des Uhrzeigers. Im ersten Fall spricht man von einem e n g l i s c h e n , im zweiten .Fall von einem französischen Koordinatensystem.3 Man nennt auch das englische Koordinatensystem ein R e c h t s s y s t e m und das französische ein L i n k s s y s t e m . Stellt man nämlich die a> Achse durch den Daumen, die y-Achse durch den Zeigefinger und die ¿-Achse durch den Mittelfinger dar, so erhält man durch die Finger der rechten Hand ein englisches, durch die der linken Hand hingegen ein französisches Koordinatensystem. Da für die Untersuchung elektromagnetischer Vorgänge das e n g l i s c h e Koordinatensystem vorteilhafter ist, ist es heute in der theoretischen Physik allgemein gebräuchlich und soll darum auch im folgenden ausschließlich benutzt werden. Im Gegensatze zu den Vektoren nennt man Größen, die bereits durch Angabe einer Zahl vollkommen bestimmt sind, denen also eine Richtung nicht zukommt, S k a l a r e . Man nennt sie deshalb so, weil sie vollkommen bestimmt sind, sobald man ihre an einer bestimmten Skala gemessene Größe kennt. Skalare sind z. B. die Temperatur, die Zeit, die Masse, die elektrische Ladung, die Magnetismusmenge. Mit e i n e m S k a l a r wird ein V e k t o r offenbar so m u l t i p l i z i e r t , daß der Betrag des Vektors mit dem Skalar multipliziert wird, ohne daß an der Richtung des Vektors etwas geändert wird. Ebenso wird natürlich ein Vektor durch einen Skalar dividiert, indem man den Betrag dividiert, ohne etwas an der Richtung zu ändern. Diese Regel führt nun weiterhin zu dem wichtigen Begriff des E i n h e i t s v e k t o r s . Unter einem solchen versteht man einen Vektor, dessen Länge gleich der L ä n g e n e i n h e i t ist. Jede mögliche Richtimg kann also durch einen Einheitsvektor festgelegt werden. Jeder beliebige Vektor kann nun aufgefaßt werden als das Produkt aus einem in seine Richtung fallenden Einheitsvektor und einem Skalar, der gleich ist dem Betrage des Vektors. Nennen wir etwa einen Einheitsvektor, der in die Richtung eines Vektors 91 fällt, a, so ist (6) % ' = clA . Auch ein Koordinatensystem kann charakterisiert werden durch die drei Einheitsvektoren, die in die Richtungen der positiven Achsen fallen. Man bezeichnet diese Einheitsvektoren allgemein mit t, j, i und nennt sie die G r u n d v e k t o r e n des betreffenden Koordinatensystems. 2 Statt durch eine Drehung um 90° kann man ja die positive «-Achse in die Richtung der positiven y-Achse auch durch eine entgegengesetzte Drehung um 270° überführen. Darum wird von einer Überführung „auf kürzestem Wege" gesprochen. 3 Die Bezeichnungen erklären sich daraus, daß früher das durch Fig. 1 dargestellte System hauptsächlich von englischen, das durch Fig. 2 dargestellte aber vor allem von französischen Physikern benutzt wurde.

§ 2.

Vektoralgebra.

5

§ 2. Vektoralgebra. Ebenso wie Zahlengrößen können auch Vektorgrößen durch mannigfache Operationen miteinander verknüpft werden, die zweckmäßig so. definiert werden, daß sie in besonderen Fällen in die mit gleichem Namen benannten arithmetischen Operationen übergehen. Als S u m m e z w e i e r V e k t o r e n definiert man zunächst einen Vektor, der die D i a g o n a l e eines Parallelogramms darstellt, dessen Seiten den beiden Summanden nach Größe und Richtung gleich sind. Um die Summe zweier Vektoren 2t und 23 zu erhalten, trägt man also von dem Endpunkt des Vektors 2t den Vektor 93 auf und verbindet nun den Anfangspunkt des Vektors 21 mit dem Endpunkt des Vektors iß (Fig. 3). Die vektorielle oder, wie man auch sagt, die geometrische Summe der beiden Vektoren wird durch das Symbol ausgedrückt 91 + 23 Ohne weiteres zeigt die geometrische Anschauung, daß ebenso wie für die arithmetische so auch für die vektorielle Addition sowohl das k o m m u t a t i v e als auch das a s s o z i a t i v e G e s e t z gilt Es ist (1)

21 + » = » + 2 1 ,

und wenn ein beliebiger dritter Vektor mit (£ bezeichnet wird, ist (2)

(21 + 35) + d = (21 + £) + 93 = (23 + G) + 21

Sind zwei zu addierende Vektoren gleich gerichtet, so geht die geometrische Addition in die arithmetische über, indem der Betrag der Summe dann einfach gleich ist der Summe der Einzelbeträge. Unter der D i f f e r e n z z w e i e r V e k t o r e n , bezeichnet durch das Symbol 21-93, 'versteht man die Summe aus dem Vektor 21 und aus einem Vektor, der dem Vektor 23 e n t g e g e n g e s e t z t g l e i c h ist. Hat ein Vektor 21 die Komponenten Ax, Ay, Az, so können wir den Vektor auch auffassen als die. Summe dreier Vektoren, die in die Richtungen der Koordinatenachsen fallen und die Beträge Ax, Ay, Az haben. Indem wir die Symbole für die Grundvektoren des Koordinatensystems benutzen, können wir also die Formel aufstellen (3)

% = \AX

+ \AV +

UZ

Ist umgekehrt ein Vektor 21 in der Form darstellbar 21 = i S ' + j S " +

IS'",

6

Die Vektoren.

wobei S', S" und S'" drei skalare Ausdrücke bedeuten mögen, so können wir daraus sofort schließen, daß S' die a;-Komponente des Vektors ist, S" die y- und S'" die ¿-Komponente. Denken wir uns die Gl. 8 auch für einen zweiten Vektor 58 gebildet und zu der ursprünglichen Gl. 3 vektoriell hinzuaddiert, so finden wir (4)

21 + 23 = i (Ax + Bx) + j (Ay + By) + l(Az + Bz) .

Nach dem vorhin Gesagten bedeutet diese Formel, daß die K o m p o n e n t e n der S u m m e zweier Vektoren gleich sind den S u m m e n der K o m p o n e n t e n der einzelnen Vektoren. Bei der M u l t i p l i k a t i o n von V e k t o r e n unterscheidet man die sogenannte innere und die sogenannte äußere Multiplikation. Als i n n e r e s o d e r s k a l a r e s P r o d u k t zweier Vektoren definiert man einen Skalar, der sich ergibt, wenn man den B e t r a g des einen Vektors multipliziert mit der P r o j e k t i o n des a n d e r e n Vektors auf den e r s t e n V e k t o r . Das innere Produkt zweier Vektoren und 58 wird durch das Symbol bezeichnet 2ISB oder 21.2? oder (21©). Es ist also (5) 2123 = -B cos (21, 58). Das skalare Produkt ist p o s i t i v oder n e g a t i v , je nachdem ob die Vektoren miteinander einen s p i t z e n oder einen s t u m p f e n Winkel bilden. Aus der Definition des skalaren Produktes folgt zunächst, daß ebenso wie für die arithmetische Multiplikation das k o m m u t a t i v e Gesetz gilt; es ist (6) 2123 = 23 21. Wir wollen nun weiterhin das skalare Produkt aus einem Vektor 2t und einem zweiten Vektor 3} untersuchen, der seinerseits die Summe zweier Vektoren 58 + (£ sei. Indem wir die Richtung des Vektors 21 zu der a>Achse eines sonst beliebigen Koordinatensystems machen, erkennen wir aus der Gl. 4 sogleich, daß die Projektion des Vektors T> auf die Richtung des Vektors 21 gleich ist der Summe der Projektionen der Vektoren 58 und (£. Nach der Definition des skalaren Produktes ist also (7)

21(58 +0 als auch nach Gl. 1 auf i. Wir können also d i / d t gleich setzen dem vektoriellen Produkt aus to0 und i, noch multipliziert mit einem Skalar, der a genannt werde; da o sowohl positiv als auch negativ sein kann, kann die Frage des Richtungssinnes von ro0 zunächst noch offen bleiben. Indem wir analoge Ausdrücke wie für di/dt auch für d \/d t und dl/dt bilden, erhalten wir die Gleichungen

(10)

^«[»„t],

| f = 6[w.fl,

£

= c[ro 0 fl.

Setzen wir nun die Werte aus den Gl. 10 in die Gl. 8 ein, so finden wir ja[n) 0 i] + i b[ro0 j] = 0 .

25

§ 7. Das rotierende Koordinatensystem. Hierfür können wir aber (nach Gl. 23 des § 2) auch schreiben ««*>o fl +

oder

h ro

o [it]=0

(11)

(tt>0 f) (o — 6) = 0 . Daß ganz allgemein das innere Produkt tD0f verschwindet, ist nun nicht möglich. Denn da die «-Achse in keiner Weise vor der x- oder y-Achse bevorzugt erscheint, scr könnte das innere Produkt u>0 i nur dann ganz allgemein verschwinden, wenn ganz allgemein auch xn0 i und tö0 j gleich null wären. Das ist aber unmöglich; denn sollten alle drei inneren Produkte tD0t, tD 0 j und tD 0 i verschwinden, so müßte ja der Einheitsvektor do0 gleichzeitig auf allen drei Koordinatenachsen senkrecht stehen, was natürlich ausgeschlossen ist. Die Gl. 11 kann also nur dann allgemein erfüllt sein, wenn a gleich b ist. In analoger Weise findet man durch zyklische Vertauschung, daß auch b gleich c und c gleich a sein muß. Es müssen also die drei Vektoren dt/dt, d \jd t, dt/dt darstellbar sein als Vektorprodukte aus einem u n d d e m s e l b e n V e k t o r , der tD genannt werde, und aus den entsprechenden Grundvektoren. Es kann somit gesetzt werden

die F ü h r u n g s b e s c h l e u n i g u n g v e r n a c h l ä s s i g t werden n e b e n d e r C o m o L i s - B e s c h l e u n i g u n g , wofern nur die Belativgeschwindigkeit nicht allzu klein ist und die Bewegung nicht allzuweit weg von dem betrachteten Punkte der Erdfläche führt. Ist beispielsweise die Entfernung von dem Ursprung nicht größer als etwa 200 m, so wird die Führungsbeschleunigung nicht größer als etwa 10 - 4 cm sec - 8 . Hingegen ist, wofern die Geschwindigkeit etwa einen Meter in der Sekunde 1

Auf lateinisch heißt die Trägheit „inertia". Die Bewegung, die die Eide noch neben ihrer Rotation ausfahrt, kann ab geradlinig gleichförmig daneben unberücksichtigt bleiben. 1

32

Die Vektoren.

beträgt, der Betrag der CoRiOLis-Beschleunigung von der Größenordnung 10~* cm sec-*, also etwa hundertmal so groß. Da die Coiuous-Kraft dem Produkte aus der Masse und der CobiolisBeschleunigung entgegengesetzt gleich ist, andererseits aber ein Vektorprodukt bei Vertauschung der Faktoren das Vorzeichen ändert, so kann die CoiuoLi8-Kraft (nach 61.16 des § 8) gleich gesetzt werden (2)

Ä' = 2 m [or tn],

wenn m die Masse des bewegten Körpers bedeutet. Als erstes Beispiel einer Bewegung auf der rotierenden Erde möge nun der f r e i e F a l l betrachtet werden. Der Vektor o r ist dann vertikal nach abwärts gerichtet, der Vektor od weist schräge von Süd nach Nord. Nach der Definition des Vektorproduktes muß gemäß 61. 2 der Vektor &' einen solchen Richtungssinn haben, daß von seiner Spitze gesehen, die Drehung dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint, die den Vek tor o r in die Bidhtung des Vektors tD über-

Süd

Süd

Mord

ir Fig. 14.

T Fig. 15.

führt. Sowohl in Fig. 14, die sich auf die nördliche Erdhälfte, als auch in Fig. 15, die sich auf die südliche Erdhälfte bezieht, muß also der Vektor Ä' nach rückwärts gerichtet sein; die CoBioLis-Kraft bewirkt daher bei dem freien Fall stets eine östliche Ablenkung. Da der Vektor to mit der Vertikalen einen Winkel bildet, der der geographischen Breite y> komplementär ist, so ergibt sich für den Betrag der CoRious-Kraft nach 61. 2 der Wert (8)

K' — 2m vTw cos rp .

Nun ist aber die ßelativgeschwindigkeit gleich g t, wenn g die Beschleunigung der Erdschwere ist. Bezeichnen wir die östliche Ablenkung mit x, so ist also (4)

= 2g t w cos v •

Hieraus folgt durch zweimalige Integration (5)

x—

• cos y>

§ 9. Die Bewegungsvorgänge auf der rotierenden Erde. (Die Integrationskonstanten können weggelassen werden, weil ja zur Zeit t = 0 sowohl dxjdt als auch x verschwinden muß.) Da die Fallhöhe

ist, so kann die gesamte östliche Abweichung auch durch die Formel dargestellt werden (6)

x=

2Vi" kt ^ — w cos yj.

Am größten ist die Abweichung für den Äquator, während sie an den Polen ganz versphwinden mnß. Betrachten wir einen Ort von etwa 48° Breite, zum Beispiel Wien, so wird (7)

w cos yp = 4,866 .10"® sec-».

Da g gleich ist 981 cm sec -2 , so ergibt die 61. 6 bei einer Fallhöhe von 100 m in der geographischen Breite von Wien eine östliche Abweichung von etwa 1,46 cm. Als zweites Beispiel betrachten wir den vertikalen Wurf nach aufwärts. Da die Belativgeschwindigkeit bei der Aufwärtsbewegung entgegengesetzt gerichtet ist wie bei dem freien Fall, sq tritt während des Aufstieges eine westliche Abweichung ein. Die Anfangsgeschwindigkeit sei u; dann ist (8) vr = u - gt und somit (9)

-j^j- = '2 to cos y> (u — gt).

Daraus folgt durch zweimalige Integration (10)

x = w cos v (ut 2 -

•

Bei dem Erreichen der Steighöhe ist nun g t gleich u, und somit finden wir für die westliche Abweichung im Augenblick des Erreichens der Steighöhe (11)

x* = — w cos tp .

Wie ein Vergleich mit Gl. 5 zeigt, ist also die westliche Ablenkung während der Aufwärtsbewegung doppelt so groß wie die nachfolgende östliche Abweichung während der einen freien Fall darstellenden Abwärtsbewegung. Ein vertikal in die Höhe geworfener Körper fällt also infolge der Erdrotation westlich von dem Aufstiegsorte nieder, und zwar ist die resultierende Distanz ebenfalls durch die 61. 6 bestimmt, wenn unter h jetzt die Warfhöhe verstanden wird. Als drittes Beispiel einer Relativbewegung auf der rotierenden Erde werde eine Horizontalbewegung betrachtet. Die CoBious-Kraft B a u , VcktoranaljilB.

3

83

84

Die Vektoren.

muß dann eine solche Richtung haben, daß, von ihrer Spitze ans gesehen, die Drehung dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint, die die horizontale Bewegungsrichtnng in die Bichtang der gerichteten Strecke überfährt, die die Winkelgeschwindigkeit der Erde darstellt. Diese Strecke weist aber, wie schon erwähnt, auf der nördlichen Erdhälfte immer nach oben, auf 'der südlichen immer nach unten. Eine Aufwärtsbewegung aus einer horizontalen Richtung erscheint aber nun einem Zuschauer dann entgegengesetzt dem Uhrzeiger, wenn er sic}i rechts von der horizontalen Richtung befindet. Die CoMOLis-Kraft sucht also auf der nördlichen E r d h ä l f t e jede Horizontalbewegung nach rechts, auf der südlichen Erdhälfte aber nach links abzulenken. 2 Infolge dieser seitlichen Ablenkung sucht eine'Lokomotive die eine Schiene nach auswärts zu verschieben, auf der nördlichen Halbkugel also die rechte Schiene nach rechts. In ähnlicher Weise zeigen auch Flüsse ein Bestreben, auf der nördlichen Halbkugel ihr rechtes Ufer nach rechts zu verschieben. Aber auch Meeres- und Luftströmungen biegen auf der nördlichen Halbkugel nach rechts, auf der südlichen nach links ab. Auf der nördlichen Erdhälfte zeigt daher ein Nordwind die Tendenz, sich allmählich in einen Ostwind umzuwandeln. (Denn für einen von Nord nach Süd wandernden Menschen ist ja die Richtung von Ost nach West gleichbedeutend mit der Bichtung von links nach rechts.) Um von der Größe der seitlichen Ablenkung bei der Horizontalbewegung eine bestimmte Vorstellung zu gewinnen, betrachten wir den einfachen Fall, daß die Horizontalbewegung in der Meridianebene beginne. Der Vektor to schließt dann mit der Bichtung der Relativgeschwindigkeit einen Winkel ein, der gleich ist der geographischen Breite y>, und daher wird nach 61. 2 der zweite zeitliche Differentialquotient der seitlichen Abweichung (12)

/ff«

—- = 2vwsmtf>.

Durch zweimalige Integration folgt hieraus (18) x = v t* w sin tp . In einer geographischen Breite von etwa 48°, also in der Breite von Wien, wird w sin y> gleich 5,405 .10 - 5 sec -1 . Bei einer Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses von 500 m beträgt daher die seitliche Ablenkung nach 1 Durch diese Tatsache finden die Pagsatwinde ihre Erklärung. In den Tropen steigt nämlich die durch Erwärmung verdünnte Luft als ein gewaltiger Luftstrom vertikal nach aufwärts, um nach den beiden Polen abzufliefien. Den Kreislauf schließend, strömen infolgedessen in den unteren Regionen kältere Luftmassen von Nord und Sttd gegen den Äquator zu. Infolge der seitlichen Ablenkung tritt diese Strömung auf der nördlichen Erdhälfte als Nordostpassat, auf der südlichen als Südwestpassat auf. In den höheren Regionen weht die von dem Äquator zu den Polen strömende Luft als Antipassat. Dieser ist auf der nördlichen Halbkugel ein Südweatwind, auf der südlichen ein Noidostwind.

§ 9. Die Sewegungevorgänfe auf der rotierenden Erde. einer Sekunde 2,7 cm; bei einer Flugzeit von zwei Sekunden ist sie viermal so groß und so fort. Um nun noch ein viertes wichtiges Beispiel für einen Bewegungsvorgang auf der rotierenden Erde zu erhalten, betrachten wir endlich ein K o o r d i n a t e n s y s t e m , das nur. teilweise mit der E r d e v e r b u n d e n sei; seine z-Achse werde stets v e r t i k a l gehalten, während die x- und die y-Achse nur insofern zu einer Teilnahme an der Erdrotation gezwungen seien', als sie stets auf der vertikal festgehaltenen z-Achse senkrecht stehen müssen; im übrigen sind sie aber natürlich in einer Horizontalebene frei beweglich. Denken wir uns nun zunächst in irgendeinem Punkte der Erde zwei Koordinatensysteme, eines, das ein Inertialsystem darstelle, und eines, das mit der Erde völlig fest verbunden sei; so rotiert in bezog auf das erste das zweite mit der Winkelgeschwindigkeit u>; umgekehrt erscheint daher für einen irdischen Beobachter das Inertialsystem mit einer Winkelgeschwindigkeit — u> sich zu drehen. Wir können andererseits die Winkelgeschwindigkeit n> in drei Komponenten in bezug auf das mit der Erde völlig verbundene Koordinatensystem spalten. Legen wir dieses Koordinatensystem so, daß die ¿-Achse vertikal ist und die horizontale x-Achse die Eichtling des Meridians hat, so wird (14)

wx = w cos y>, w, = 0 , vot = w sin ip.

Hierbei bedeutet nach der Definition der Winkelgeschwindigkeit wx die Winkelgeschwindigkeit um die x-Achse, also in der «/-¿-Ebene, ww die. Winkelgeschwindigkeit um die «/-Achse und w, also die Winkelgeschwindigkeit um die Vertikale in einer Horizontalebene. Ein Koordinatensystem, bei dem nur die z-Achsä als stets vertikal mit der Erde fest verbunden ist, während die beiden anderen Achsen in der Horizontalebene drehbar sind, wird sich daher für einen irdischen Beobachter mit einer Winkelgeschwindigkeit drehen, die entgegengesetzt gleich ist w„ also gleich ist (15)

w' = — w sin y>.

Wir betrachten nun auf der rotierenden Erde eine Pendel bewegung, die ohne eine seitliche Anfangsgeschwindigkeit erfolge. Das Pendel werde aus seiner- Buhelage entfernt und dann ohne jeden Impuls losgelassen. Da die Buhelage infolge der Erdschwere immer vertikal unterhalb des Aufhängepunktes liegen muß, so behält ein Pendel seine Schwingungsrichtung in bezug auf ein Koordinatensystem bei, das mit der Erde teilweise in dem früher angegebenen Sinne verbunden ist; indem nämlich die eine Achse stets vertikal ist, während die beiden anderen sich in einer Horizontalebene drehen können. Nach dem früher Gesagten muß sich also die v e r t i k a l e Schwingungsebene des Pendels f ü r einen i r d i s c h e n B e o b a c h t e r d r e h e n , und zwar nach 61.15 in einem Tage um einen Winkel von 860° mal dem Sinus der geographischen Breite. s*

35.

Die Vektoren.

36

Wegen des negativen Vorzeichens in Gl. 15 erfolgt die Drehung so, daß sie auf der nördlichen Erdhälfte im Sinne des U h r z e i g e r s v o n o b e n gesehen erscheint. Derart vermochte im Jahre 1850 F O U C A U L T mittels seines berühmten Pendelversuches einen direkten e x p e r i m e n t e l l e n B e w e i s für die. E r d r o t a t i o n zu erbringen,3 3

Das wichtigste ist bei dem FOUCAULT sehen Pendelversuch die völlige Vermeidung einer seitlichen Anfangsgeschwindigkeit, weil auch eine solche eine Drehung der Schwingungsebene zur Folge hat. Bei dem FOUCAULT sehen Versuche wird darum das Pendel mittels einer Schleife aus der Rühelage entfernt und festgehalten, und dann erst wird die Schleife durchgebrannt.

n . Kapitel.

Die Tensoren. $ 10. Der Befrlff de* Teniora. Sind (£ and D zwei beliebige Vektoren, so können wir bei Benutzung eines bestimmten Koordinatensystems stets n e u n Größen ableiten, indem wir die K o m p o n e n t e n der beiden V e k t o r e n paarweise m i t e i n a n d e r m u l t i p l i z i e r e n , also setzen Exx = CXDX , Etx = CfDx\ EZX — C,DX.

(1) (2)

Da

Exy = CxDy, = CfDy , Ezt = C,Df,

EXZ = CXDz, Etz = CtDz, EZZ=CZD,.

Exx + E„ + E„ = ( C D ) ,

nämlich gleich dem inneren P r o d u k t der Vektoren (£ und X) ist, so muß die Summe auf der linken Seite der Gl. 2 einen von dem Koordinatensystem unabhängigen Skalar darstellen. Fassen wir hingegen das ä u ß e r e P r o d u k t der Vektoren (E und £ ins Auge, so ergeben sich aus den Gl. 1 die Beziehungen (8) E,z -Ezt

= [«©].;

Ezx-Exz

= [iD],;

EIy - Evx = [) usw. Da das innere Produkt der Vektoren 93 und D ein Skalar ist, so stellen also die linken Seiten der Gl. 4 und der beiden analogen wiederum die Komponenten eines Vektors dar. Bei einem Wechsel des Koordinatensystems t r a n s f o r m i e r e n sich im übrigen die Größen Exx usw. nach den Regeln, die für die Transformation von Vektorkomponenten gelten (Gl. 8 des § 4). Es ist (5)

Exr'= CX'DX'= (a1Cx + ßxCy + 7lCz) {axDt + ßxDy +

YlD,),

38

Die Tmaoren.

wenn a v ßlt y1 usw. die Kosinns der Winkel zwischen den alten und den neuen Koordinatenachsen (nach den Gl. 1 des § 4) sind. Die Gl. 5 kann nach den Gl. 1 auch in der Form geschrieben werden (6)

Exx'=

at*Exx + ß*E„ + ßi 7i

+ y*Etz

+ a, ß1 (Ezt + E„)

+ E„) +

7l

ar (E„ +

Ext).

Ebenso ist (7)

Ex;=

(QlCx + ß.C, + 7lCt) foZ), + ßtDy + y j ) t )

oder (8)

Ex„'= a, a2EIX + ßx ßtE„ + y, ytE,t + at ßtExw + a, + ßi + ßt YlEt, + yi t fc»* » » (9)

fc, „

fc»« »

kz1l 9

>

so definieren "wir -diese neun Größen als Komponenten eines Tensors, wenn sie sich bei einem Wechsel des Koordinatensystems ebenso transformieren wie die paarweise gebildeten P r o d u k t e der Komponenten zweier Vektoren. Die Größen, bei denen derselbe Index zweimal vorkommt, also Je«, kwp, ktt, nennt man die Tensorkomponenten erster Art; die übrigen sechs bezeichnet man ab Tensorkomponenten zweiter Art. Daß die Tensorkomponenten auch darstellbar seien als Produkte der Komponenten zweier Vektoren, ist nach der gegebenen' Definition keineswegs erforderlich; es genügt, wenn sie sich so wie die Produkte der Komponenten zweier Vektoren transformieren. Ist dies aber der Fall, so folgt aus der Gl. 2 sogleich, daß (10)

kxx'+ k„'+ k„'= kxx+

fc„+

k„

sein muß. Die Summe der Tensorkomponenten erster Art stellt einen von dem Koordinatensystem unabhängigen Skalar dar.1 Wie andererseits aus den Gl. 3 folgt, läßt sich aus jedem Tensor ein von dem Koordinatensystem unabhängiger Vektor ableiten, dessen Komponenten durch die drei Ausdrücke dargestellt sind (11) fc»i ktv, ktx kXI, kX¥ k f X . Endlich folgt aus der Gl. 4, daß man durch eine entsprechende Verknüpfung der Komponenten eines Tensors mit den Komponenten eines Vektors (2?) stets einen neuen Vektor (91) ableiten kann mittels der Beziehungen 1

Man kann die« natürlich auch derart beweisen, daß man die Gl. 6 auch für £ y v ' and E,,' bildet, die drei Gleichungen addiert und die Gl. 12 und 13 des } 4 berücksichtigt.

»9

§ 10. Der Begriff du Tensors. kxxBx + kx,B, + kxtB, = Ax , ktxBx + h„Bt + k„Bt = A,,

(12)

KzB* +

+ K*BM —

.

Der Vektor wird dann als eine lineare Vektorfnnktion des Vektors bezeichnet, weil seine Komponenten lineare Funktionen der Komponenten des Vektors 93 sind. Sind nun etwa fc„ usw. die Komponenten eines Tensors und pxm usw. die Komponenten eines zweiten Tensors und bildet man neun neue Größen, indem man die gleichartigen Komponenten der beiden Tensoren a d d i e r t , also = K, + Vx "I" Ps» usw., so erkennt man aus den Gl. 6 und 8 ohne weiteres, daß sich auch die Größen qxx, qxt usw. wiederum so transformieren wie die Größen Exx, Ext und so fort. Durch A d d i t i o n gleichartiger T e n s o r k o m p o n e n t e n erhält man also wiederum die K o m p o n e n t e n eines Tensors. Andererseits können wir aus den Komponenten eines gegebenen Tensors k xx usw. auch neue Größen ableiten, indem wir die Tensorkomponenten zweiter Art ungeändert lassen, biögegen die Komponenten erster Art um eine und dieselbe von dem Koordinatensystem unabhängige skalare Größe vermehren, die £> genannt werde. Die neuen Größen sind dann gegeben durch die Gleichungen (14)

txx=hx+S,

ltz = lZy — i (fe„ + fej») ?

^24) Es ist dann (25) fe«»+

hx = Kz — i (fej* +fear»)• fe,i—

hx >

und die Gl. 21 läßt sich somit in der Form schreiben (26)

lxx'= «!« lxx+ ...+alß1

(lx,+

l,x) + . ...

Bildet man andererseits die halbe Summe aus den Gl. 22 und 23, so kann nach den Gl. 24 dafür gesehrieben werden (27)

lx

Wie ein Vergleich der Gl. 26 und 27 mit den Gl. 21 und 22 zeigt, stellen also die durch die Gl. 24 eingeführten neuen Größen wiederum die Komponenten eines Tensors, und zwar eines symmetrischen, dar. Mittels der Beziehungen, die durch die Gl. 24 ausgedrückt sind, läßt eich also aus j e d e m b e l i e b i g e n T e n s o r s t e t s ein s y m m e t r i s c h e r T e n s o r a b l e i t e n . Ist bereits der ursprüngliche Tensor symmetrisch, so ist natürlich nach den Gl. 24 der abgeleitete Tensor mit dem ursprünglichen identisch.

§ 11.

Das

41

Tensorellipsoid.

§ 11. Das Tensorellipsoid. Wir wollen ein ganz bestimmtes Koordinatensystem betrachten, auf das bezogen die Komponenten eines Tensors kxx, kxy usw. seien, und wollen uns nun eine ganz beliebige, von dem Koordinatenursprung ausgehende Gerade denken, die mit den drei Achsen Winkel mit den Kosinus a, ß, y einschließe. Den Wert, den für diese Richtung als neue «-Achse die x-a:-Komponente des Tensors annimmt, bezeichnen wir wie bisher mit kxx'. Dann ist (nach Gl. 6 des § 10, in der wir nunmehr den Index 1 weglassen können) (1)

a2 kxx +

kxx'=

ß2kyy+

y2 kz2 +

+

ßy

a ß {kxy+

(Kz+

Kt)

kyx)

+ y «(kzx+

kxl).

Wir wollen nun auf der Geraden von dem Koordinatenursprung aus eine Strecke von einer L ä n g e auftragen, deren Q u a d r a t der Größe kxx' r e z i p r o k sei. Die Koordinaten des E n d p u n k t e s * d i e s e r S t r e c k e mögen mit f, rj, £ bezeichnet werden. Da die Strecke mit den drei Koordinatenachsen die Winkel mit den Kosinus a, ß, y einschließt, so ist, wenn die Länge der Strecke mit l bezeichnet wird, (2)

S =

al,

t } = ß l ,

£ —

y l .

2

Da andererseits wieder l reziprok ist zu kxx, so ist also (3)

a

2

=k

x x

'£

2

,

ß2 =

kxx'tj2,

y

2

=

kxx'C2

•

Die Gl. 1 kann somit nach Division durch kxx in der Form geschrieben werden (4)

1 = f 2 kxx

+

r,2 kvy +

£2

kzz +

Sv IT

n

'xzJ "

Wir denken uns nun d u r c h den K o o r d i n a t e n u r s p r u n g ein B ü n d e l von S t r a h l e n gelegt und auf jedem dieser Strahlen von dem Koordinatenursprung aus eine Strecke aufgetragen, deren Längenquadrat reziprok sei dem Werte, den für diese Gerade als a;'-Achse die Komponente kxx annimmt. Die F l ä c h e , die den g e o m e t r i s c h e n O r t der E n d p u n k t e der a u f g e t r a g e n e n S t r e c k e n darstellt, ist dann durch die Gl. 4 dargestellt. Diese Gleichung stellt eine F l ä c h e z w e i t e n G r a d e s dar. Ist im besonderen der Tensor so beschaffen, daß seine K o m p o n e n t e n e r s t e r Art n i e n e g a t i v werden können — und nur dieser Fall soll im folgenden betrachtet werden —, dann kann die Fläche zweiten Grades nur ein E l l i p s o i d 1 sein. Dieses ist völlig unabhängig von dem benutzten Koordinatensystem und s t e l l t eine T e n s o r g r ö ß e ebenso g r a p h i s c h d a r , wie ein Vektor durch eine gerichtete Strecke' 1 Sonst könnte die Fläche auch ein Hyperboloid sein. Der Leser, der mit der analytischen Geometrie des Raumes nicht vertraut ist, denke an die analogen Beziehungen in der analytischen Geometrie der Ebene.

42

DU Tensorm.

repräsentiert wird. Man bezeichnet darum die durch die Gl. 4 beschriebene Fläche als Tensorellipsoid. Durch die drei Achsen des Ellipsoids sind drei zueinander senkrechte Bichtungen festgelegt, die man die H a u p t a c h s e n des Tensors nennt; ist eine Tensorgröße, indem sie ein Tensorfeld bildet, von Stelle zu Stelle verschieden, so ändert sich im allgemeinen natürlich auch von Ort zu Ort in stetiger Weise die Orientierung der drei Hauptachsen. Ist im besonderen das Tensorellipsoid ein R o t a t i o n s e l l i p s o i d , so ist nur für eine Hauptachse die Richtung bestimmt, während sie für die beiden anderen unbestimmt ist. Denn jede Gerade, die zu der einen ßichtung senkrecht ist, kann dann als Hauptachse angesehen werden. Ist in einem speziellen Fall das Tensorellipsoid eine Kugel, so stellt überhaupt jede Gerade eine Hauptachse dar. Die Werte, die die drei Tensorkomponenten erster Art in bezug auf ein Koordinatensystem annehmen, das von den drei Hauptachsen gebildet wird, werden als die drei H a u p t w e r t e des Tensors bezeichnet. Sie mögen im folgenden einfach fe,, kt, k9 genannt werden. Bei Benutzung eines Koordinatensystems, das von den drei Hauptachsen gebildet wird, muß nun die Gleichung des Ellipsoids natürlich rein q u a d r a t i s c h werden, und dies ist, wenn der Tensor s y m m e t r i s c h ist, nach Gl. 4 nur dann möglich, wenn die Tensorkomponenten zweiter Art verschwinden. Die Komponenten eines symmetrischen Tensors lassen sich daher in einem beliebigen Koordinatensystem durch die Hauptwerte mittels der folgenden Beziehungen ausdrücken, die ohne weiteres aus den Gl. 6 und 8 des § 10 folgen: (5)

{

'XX = Kx a^k^ ß^kt+7ln3, K„= «xotj k1+ß1ßiki+ y2fc3

usw. Dabei sind (gemäß den Gl. 1 des § 4) alf ßlt yt die Kosinus der Winkel, die die x-Achse mit den drei Hauptachsen einschließt; ebenso sind dg, ßz, y2 die Kosinus der Winkel, die die y-Achse mit den drei Hauptachsen bildet und so fort. Ist ein Vektor 91 eine symmetrische V e k t o r f u n k t i o n eines anderen Vektors 93 und sind die Komponenten der beiden Vektoren in.bezug auf die Hauptachsen des zugehörigen Tensors gleich Alt A2, A3 lind Bv Bt, B3, so gelten nach den Gl. 12 des § 10 die einfachen Beziehungen (6)

Aj—k1B1,

At—k2B2,

A3—k3B3

.

§ 12. Da» Trägheitamoment Ein s t a r r e r Körper erscheint durch die Forderung definiert, daß in bezug auf ein Koordinatensystem, das durch drei Massenpunkte des

42

DU Tensorm.

repräsentiert wird. Man bezeichnet darum die durch die Gl. 4 beschriebene Fläche als Tensorellipsoid. Durch die drei Achsen des Ellipsoids sind drei zueinander senkrechte Bichtungen festgelegt, die man die H a u p t a c h s e n des Tensors nennt; ist eine Tensorgröße, indem sie ein Tensorfeld bildet, von Stelle zu Stelle verschieden, so ändert sich im allgemeinen natürlich auch von Ort zu Ort in stetiger Weise die Orientierung der drei Hauptachsen. Ist im besonderen das Tensorellipsoid ein R o t a t i o n s e l l i p s o i d , so ist nur für eine Hauptachse die Richtung bestimmt, während sie für die beiden anderen unbestimmt ist. Denn jede Gerade, die zu der einen ßichtung senkrecht ist, kann dann als Hauptachse angesehen werden. Ist in einem speziellen Fall das Tensorellipsoid eine Kugel, so stellt überhaupt jede Gerade eine Hauptachse dar. Die Werte, die die drei Tensorkomponenten erster Art in bezug auf ein Koordinatensystem annehmen, das von den drei Hauptachsen gebildet wird, werden als die drei H a u p t w e r t e des Tensors bezeichnet. Sie mögen im folgenden einfach fe,, kt, k9 genannt werden. Bei Benutzung eines Koordinatensystems, das von den drei Hauptachsen gebildet wird, muß nun die Gleichung des Ellipsoids natürlich rein q u a d r a t i s c h werden, und dies ist, wenn der Tensor s y m m e t r i s c h ist, nach Gl. 4 nur dann möglich, wenn die Tensorkomponenten zweiter Art verschwinden. Die Komponenten eines symmetrischen Tensors lassen sich daher in einem beliebigen Koordinatensystem durch die Hauptwerte mittels der folgenden Beziehungen ausdrücken, die ohne weiteres aus den Gl. 6 und 8 des § 10 folgen: (5)

{

'XX = Kx a^k^ ß^kt+7ln3, K„= «xotj k1+ß1ßiki+ y2fc3

usw. Dabei sind (gemäß den Gl. 1 des § 4) alf ßlt yt die Kosinus der Winkel, die die x-Achse mit den drei Hauptachsen einschließt; ebenso sind dg, ßz, y2 die Kosinus der Winkel, die die y-Achse mit den drei Hauptachsen bildet und so fort. Ist ein Vektor 91 eine symmetrische V e k t o r f u n k t i o n eines anderen Vektors 93 und sind die Komponenten der beiden Vektoren in.bezug auf die Hauptachsen des zugehörigen Tensors gleich Alt A2, A3 lind Bv Bt, B3, so gelten nach den Gl. 12 des § 10 die einfachen Beziehungen (6)

Aj—k1B1,

At—k2B2,

A3—k3B3

.

§ 12. Da» Trägheitamoment Ein s t a r r e r Körper erscheint durch die Forderung definiert, daß in bezug auf ein Koordinatensystem, das durch drei Massenpunkte des

§12.

43

Das Trägheitsmoment.

starren Körpers festgelegt ist 1 , sämtliche den Körper bildenden M a s s e n p u n k t e ihre K o o r d i n a t e n u n v e r ä n d e r l i c h b e i b e h a l t e n . Ein solches K o o r d i n a t e n s y s t e m bezeichnet man als mit dem Körper fest v e r b u n d e n . Denken wir uns den Ursprung dieses fest verbundenen Koordinatensystems im .Schwerpunkt des Körpers und diesen selbst ruhend, so wird daher (ipach Gl. 18 des § 8) die Geschwindigkeit eines einzelnen Massenpunktes (1) o«[wr], wenn t die gerichtete" Strecke ist, die von dem Schwerpunkte zu dem Massenpunkte gezogen wird,, und to die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das fest verbundene Koordinatensystem dreht. Der gesamte, auf den Schwerpunkt bezogene Drehimpuls wird dann (nach Gl. 18 des § 3) (2) U = Z m [r o] oder nach Gl. 1 (3) M=I«t[r[®r]]. Nach der schon öfter benutzten vektoralgebraischen' Formel (Gl. 24 des § 2) ist aber nun [tftu r]] = ro (r r) — r (r ro) oder nach der Formel für das innere Produkt zweier Vektoren, da die Kompo'nenten von C die Koordinaten x, y, z des Massenpunktes sind, (4) [r [ror]] = ror»-r (xw,+ ywt + zw,). Übertragen wir die Gl. 3 aus der vektoriellen in die analytische Schreibweise, so finden wir daher (5)

Ux = wxZm (r*— x*) — ictZmxy Uy =— wxZ myx + w,Zm (r* —

—

wtZmxz, — urx myz,

- f u ? t Z m (r 4 —z 1 ). Us=-^w±Zmzx — wtZmzy Man sieht nun leicht ein, da£ die neun Summenausdrücke, die in diesem Gleichungstripel auftreten, K o m p o n e n t e n eines Tensors sind. Bilden wir nämlich für einen Massenpunkt die neun Ausdrücke Mi 1 , mxy usw., so transformieren sich diese Ausdrücke natürlich wie die Produkte der Komponenten zweier Vektoren, weil ja x, y, z die Komponenten des Vektors r sind. Diese neun Ausdrücke stellen also jedenfalls die Komponenten eines Tensors, und zwar eines symmetrischen Tensors, dar. Addieren wir aber diese Tensorkomponenten über sämtliche 1 Man macht c. B. den ersten Maasenpunkt cum Ursprung des Koordinatensystems, die Verbindungslinie zwischen dem ersten und zweiten cur X-Achse und die durch die drei Massenpunkte bestimmte Ebene cur s-y-Ebene. Jeder geometrische Punkt, der in bezug auf dieses Koordinatensystem feste Koordinaten hat, kann aber nun wieder an die Stelle von einem der drei Massenpunkte treten und' mit den beiden anderen wiederum ein Koordinatensystem bestimmen, auf das.bezogen, alle Massenpunkte des starren Körpers ihre Koordinaten unveränderlich beibehalten.

44

Die Tmsoren.

Massenpunkte des Körpers, so müssen wir (nach 6 1 . 1 3 des § 10) wiederum die Komponenten eines Tensors erhalten, und daran ändert sich auch nichts, wenn wir das Vorzeichen umkehren. Schließlich erhalten wir aber wiederum die Komponenten eines Tensors, wenn wir (gemäß Gl. 14 des § 10), ohne an den Komponenten zweiter Art etwas zu ändern, zu den Tensorkomponenten erster Art noch den $kalar hinzuaddieren (6)

S =

Zmr*.

Auf diese Weise erhalten wir aber die neun in den Gl. 5 auft ret enden Summenausdrücke, die somit als Komponenten eines s y m m e t r i s c h e n T e n s o r s nachgewiesen sind. Diesen Tensor bezeichnet man als den Tensor des T r ä g h e i t s m o m e n t e s . Seine durch den Schwerpunkt gelegten Hauptachsen heißen die H a u p t t r ä g h e i t s a c h s e n des Körpers und die drei Hauptwerte die d r e i H a u p t t r ä g h e i t s m o m e n t e . Da (7) r»= *»+»•+*» ist, so können nach Gl. 5 die Tensorkomponenten erster Art nie Null oder negativ werden. Die Fläche zweiten Grades, die den Tensor darstellt, ist also ein EUipsoid, das als das T r ä g h e i t s e l l i p s o i d bezeichnet wird. Seine Konstruktion stammt von P o i N g o x (1884), der an diesem wichtigen Beispiel zuerst die Möglichkeit der graphischen Darstellung eines Tensors erkannte. Nach den Gl. 5 und 7 gelten für die auf ein beliebiges Koordinatensystem bezogenen Tensorkomponenten erster Art, die mit JXI usw. bezeichnet werden mögen, die Beziehungen (8) J „ = i m ( » • + * • ) ,

J,v=Zm(z*+x*),

J„=

I m (*» + ?/*) .

%

Nun ist aber y* + z das Quadrat des Abstandes, den ein Punkt von der «-Achse hat. Die drei Tensorkomponenten erster Art erhält man also, indem man die einzelnen Massenpunkte mit den Quadraten ihrer Abstände von den drei Koordinatenachsen multipliziert und dann über alle Massenpunkte addiert; man bezeichnet darum die drei Komponenten erster Art auch als die T r ä g h e i t s m o m e n t e u m d i e d r e i K o o r d i n a t e n a c h s e n . * Betrachten wir eine beliebige, durch den Schwerpunkt gehende Achse, die mit den Hauptachsen Winkel mit den Kosinus a, ß, y einschließe, so wird nach Gl. 5 des § 11 das Trägheitsmoment um diese Achse, das kurz mit J bezeichnet werde, (9)

J =

a*J1+ß*J2+y*Ji.

Der D r e h i m p u l s erweist sich als eine l i n e a r e V e k t o r f u n k t i o n d e r W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t , und daher wird, auf die Hauptträgheitsachsen bezogen, (10) U1 = wlJ i, r2 = ity/2, Ua = w3J3. * Die Tensorkomponenten zweiter Art werden als die D e r i a t i o n s m o m e n t e in bezug auf die drei Koordinatenebenen bezeichnet.

§12.

45

Das Trägktüsmoment.

Mittels des Begriffes des Trägheitsmomentes läßt sich nun auch die Drehung eines starren Körpers leicht beschreiben. Ebenso wie für einen einzelnen Massenpunkt der zeitliche Differentialquotient des Drehimpulses (nach 61. 28 des § 3) gleich ist dem statischen Moment der angreifenden Kraft, so gilt auch für einen starren Körper die Beziehung Ol)

*«=4r'

wenn jetzt unter 3J? die vektorieÜe Summe der auf den Schwerpunkt bezogenen statischen. Momente aller an dem Körper angreifenden Kräfte verstanden wird.* Es ist nun für viele Untersuchungen wichtig, die Bewegung eines stanren Körpers auf ein mit ihm fest verbundenes Koordinatensystem zu beziehen. Wird der zeitliche Differentialquotient des Drehimpulses in bezug auf ein solches Koordinatensystem mit bezeichnet, so 'ist (nach Gl. 17 des § 7) 2> 4r-TT+C-»lIn analoger Weise können wir in dieser Gleichung (nach Gl. 17 des § 7) statt des Vektors U auch den Vektor tu selbst einsetzen. Da das äußere Produkt eines Vektors mit sich selbst aber verschwindet, so wird einfach

Übertragen wir die Gl. 11 aus der vektoriellen in die analytische Schreibweise, so finden wir also, bei Berücksichtigung der Gl. 12, indem wir die Hauptträgheitsachsen zu Koordinatenachsen machen, (14)

Ml = ? g - + » t ü , - w a V t .

Andererseits ist aber nach Gl. 10 und 18 / • t d * * 7 » _ T du, (15

>

~~dt~ ~

1

~df '

Bei Berücksichtigung der Gl. 10 ergibt sich also aus der Gl. 14 das Gleichungstripel M

1 = h

(16)

M

* =

J

* ^

Ms - J3 d~

~

W W

* 3 (J2~-h) .

~ «'S«'! (J3~-h)

- Wj u>t (Ji-J2)

.

•

3 Daß die ,,inneren Kraft«", die den starren Körper zusammenhalten, für die Gl. 11 außer Betracht bleiben, erfordert allerdings einen genaueren Beweis. Doch soll dieser in diesem Buche um so eher -wegbleiben, als sich auf ihn nur die' weiteren Ausführungen des (12, nicht Aber sonstige spätere Untersuchungen gründen würden. — Mittels des Satzes von der Erhaltung des Schwerpunktes lpßt sich übrigens auch leicht zeigen, daß. der Drehimpuls eines starren Körpers bei ruhendem Schwerpunkt von dem Bezugspunkt unabhängig ist. — Vgl. des Verfassers „Einführung 'in die theoretische Physik".

46

Die Tensoren.

Diese wichtigen Bewegungsgleichungen des s t a r r e n K ö r p e r s wurden zuerst von E U L E B im Jahre 1763 aufgestellt. Mittels dieser Gleichungen (die übrigens auch die Grundlage der Kreiseltheorie darstellen) läßt sich nun auch leicht die Frage beantworten, ob und wann ein Körper um eine feste Achse ohne E i n w i r k u n g ä u ß e r e r K r ä f t e d a u e r n d gleichmäßig r o t i e r e n kann. Soll, dies derv Fall sein, so müssen wegen des Fehlens äußerer Kräfte die linken Seiten der drei Gl. 16 verschwinden, wegen der geforderten Konstanz des Vektors h> aber auch die ersten Glieder der rechten Seiten. Es müssen also auch die drei letzten Glieder der Gleichungen verschwinden, und dies ist für einen ganz beliebigen Körper, für den die drei Hauptträgheitsmomente voneinander verschieden angenommen werden müssen, nur dann möglich,, wenn (17)

w 3 =ic s w 1 ==ic 1 w i = 0

ist. Die GL 17 sind entweder dann erfüllt, wenn alle drei Komponenten Null sind, welcher Fall aber, da dann überhaupt keine ßotation stattfindet, hier nicht in Betracht kommt, oder aber, wenn von den drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit zwei verschwinden. Dies kann aber nur dann der Fall sein, wenn der Vektor to dauernd die Sichtung einer der drei Hauptträgheitsachsen hat. Die H a n p t t r ä g h e i t s a c h s e n stellen also zugleich die sogenannten f r e i e n Achsen des starren Körpers dar, die dadurch definiert sind, daß um sie der starre Körper ohne Einwirkung äußerer Kräfte gleichförmig rotieren kann. § 13. Die Spannung. Gehen wir von der Mechanik starrer Körper zu der Mechanik d e f o r m i e r b a r e r K ö r p e r über, die wir uns unter dem Bilde einer k o n t i n u i e r l i c h v e r b r e i t e t e n Masse denken, so müssen wir in die Betrachtung die i n n e r e n F l ä c h e n k r ä f t e einführen, die sich als Zug oder als Druck (also als negativer Zug) äußern. Für jede Stelle innerhalb der kontinuierlich verbreiteten Masse hat der Zug eine bestimmte Sichtung und einen bestimmten Betrag; er ist durch einen V e k t o r darstellbar, der $ genannt werde. Der Betrag des Vektors $ ist dann dadurch gegeben, daß an einem Flächenelement, das auf der Sichtung des Zuges senkrecht steht und das die Größe df hat, insgesamt eine Kraft von der Größe Pdf angreift. Man erhält also den Betrag des Zuges, wenn man die Kraft, die ein zu der Sichtung des Zuges senkrechtes Fläöhenelement erfährt, durch die Größe des Flächenelementes dividiert. Wir denken uns nun durch die Stelle, an des sich das Flächenelement befindet, eine Ebene gelegt, deren nach a u ß e n weisende Normale1 mit der Sichtung des Vektors einen Winkel a einschließe und 1

Man muß Bich das Flächenelement als Begrenzung eines Körpers denken.

46

Die Tensoren.

Diese wichtigen Bewegungsgleichungen des s t a r r e n K ö r p e r s wurden zuerst von E U L E B im Jahre 1763 aufgestellt. Mittels dieser Gleichungen (die übrigens auch die Grundlage der Kreiseltheorie darstellen) läßt sich nun auch leicht die Frage beantworten, ob und wann ein Körper um eine feste Achse ohne E i n w i r k u n g ä u ß e r e r K r ä f t e d a u e r n d gleichmäßig r o t i e r e n kann. Soll, dies derv Fall sein, so müssen wegen des Fehlens äußerer Kräfte die linken Seiten der drei Gl. 16 verschwinden, wegen der geforderten Konstanz des Vektors h> aber auch die ersten Glieder der rechten Seiten. Es müssen also auch die drei letzten Glieder der Gleichungen verschwinden, und dies ist für einen ganz beliebigen Körper, für den die drei Hauptträgheitsmomente voneinander verschieden angenommen werden müssen, nur dann möglich,, wenn (17)

w 3 =ic s w 1 ==ic 1 w i = 0

ist. Die GL 17 sind entweder dann erfüllt, wenn alle drei Komponenten Null sind, welcher Fall aber, da dann überhaupt keine ßotation stattfindet, hier nicht in Betracht kommt, oder aber, wenn von den drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit zwei verschwinden. Dies kann aber nur dann der Fall sein, wenn der Vektor to dauernd die Sichtung einer der drei Hauptträgheitsachsen hat. Die H a n p t t r ä g h e i t s a c h s e n stellen also zugleich die sogenannten f r e i e n Achsen des starren Körpers dar, die dadurch definiert sind, daß um sie der starre Körper ohne Einwirkung äußerer Kräfte gleichförmig rotieren kann. § 13. Die Spannung. Gehen wir von der Mechanik starrer Körper zu der Mechanik d e f o r m i e r b a r e r K ö r p e r über, die wir uns unter dem Bilde einer k o n t i n u i e r l i c h v e r b r e i t e t e n Masse denken, so müssen wir in die Betrachtung die i n n e r e n F l ä c h e n k r ä f t e einführen, die sich als Zug oder als Druck (also als negativer Zug) äußern. Für jede Stelle innerhalb der kontinuierlich verbreiteten Masse hat der Zug eine bestimmte Sichtung und einen bestimmten Betrag; er ist durch einen V e k t o r darstellbar, der $ genannt werde. Der Betrag des Vektors $ ist dann dadurch gegeben, daß an einem Flächenelement, das auf der Sichtung des Zuges senkrecht steht und das die Größe df hat, insgesamt eine Kraft von der Größe Pdf angreift. Man erhält also den Betrag des Zuges, wenn man die Kraft, die ein zu der Sichtung des Zuges senkrechtes Fläöhenelement erfährt, durch die Größe des Flächenelementes dividiert. Wir denken uns nun durch die Stelle, an des sich das Flächenelement befindet, eine Ebene gelegt, deren nach a u ß e n weisende Normale1 mit der Sichtung des Vektors einen Winkel a einschließe und 1

Man muß Bich das Flächenelement als Begrenzung eines Körpers denken.

§ 13. Die

47

Spannung.

in dieser Ebene an der betreffenden Stelle ein Flächenelement d f , das so groß sei, daß seine P r o j e k t i o n auf die zu der Richtung des Zuges senkrechte Ebene gerade gleich sei df (Fig. 16). Dann greift auch an dem Flächenelement df eine Kraft an von der Gesamtgröße df. Daherist die a u f die F l ä c h e n e i n h e i t bezogene F l ä c h e n k r a f t , die auf das Flächenelement df wirkt and die genannt werde, gegeben durch die Beziehung

(1) Nun ist aber (2) und daher ist

df

df — df cosa ,

(3) Wir denken uns nun ein Koordinatensystem konstruiert und betrachten an irgendf'g-16. einer Stelle innerhalb der kontinuierlich verbreiteten Masse drei dort konstruierte F l ä c h e n e l e m e n t e , die s e n k r e c h t .stehen mögen auf den drei K ö o r d i n a t e n a c h s e n ; die nach außen weisenden Normalen der Flächenelemente sollen hierbei die Bichtungen der positiven Koordinatenachsen haben. Die Flächenkräfte, die auf diese drei Flächenelemente wirken, mögen bezeichnet werden mit Jede dieser drei Flächenkräfte stellt für sich einen Vektor dar.3 .Nach Gl. 3 ist nun COS ( $ , * ) ,

(4)

,y),

y { t ) = $ cos (xy, p „ . Dann ist, wenn wir in üblicher Weise den Betrag des Vektors mit P ( l ) bezeichnen, (5)

Pxx = -P(*)COS

x).

Nun fallen aber die Bichtungen der Vektoren iß(x) und zusammen, und daher ist

(6)

cos

xj = cos

nach Gl. 4

x).

1 Um von vornherein dem Irrtum vorzubeugen, als ob es sich um die Komponenten eines Vektors und nicht um drei verschiedene Vektoren bandelt, wurden eben die Indizes x, y, z eingeklammert.

Die Tensoren.

48

Setzen wir andererseits aus 61. 4 den Wert für den Betrag P(x) ein, so ergeben sich die Beziehungen | (7) \

pxx=P cos* ( $ , * ) , p „ = P COS ( $ , * ) COS ( $ , ! / ) , pxt=P COS ( $ , i ) COS ( $ , *) •

In analoger Weise läßt sich der Vektor ^ß,,, in drei Komponenten zerlegen, die bezeichnet werden mögen mit p , t , p,„, p,j. Dabei ist (») p „ = P cos cos ( $ , * ) . Es ist also (9) Analoge Beziehungen gelten schließlich auch für die Komponenten des Vektors die bezeichnet werden mögen mit p„, p„, pa. Nun sind aber die drei Kosinus oos x), cos y), cos z) K o m p o n e n t e n e i n e s V e k t o r s , nämlich Komponenten des Einheitsvektors, der in die Eichtling des Zuges $ fällt. Wie die 61. 7 aeigen, transformieren sich also die neun 6rößen p „ , p x y usw. wie die paarweise gebildeten Produkte der Komponenten zweier Vektoren, die in unserem Falle beide identisch sind mit dem erwähnten Einheitsvektor. Die neun 6rößen stellen daher die K o m p o n e n t e n e i n e s T e n s o r s dar, und zwar, wie aus der ~61. 9 folgt, eines s y m m e t r i s c h e n Tensors. Dieser Tensor wird als die S p a n n u n g bezeichnet. Die Tensorkomponenten erster Art nennt man die N o r m a l s p a n n u n g e n , die Tensorkomponenten zweiter Art die T a n g e n t i a l s p a n n u n g e n . Da nach 61. 7 die Tensorkomponenten erster Art nie negativ werden können, ist der Spannungstensor darstellbar durch ein Ellipsoid, das das S p a n n u n g s e l l i p s o i d genannt wird. Die Hauptwertc des Spannungstensors heißen die H a u p t S p a n n u n g e n und Ebenen, die auf den Hauptachsen des Spannungstensors senkrecht stehen, werden als H a u p t e b e n e n bezeichnet. Da der Spannungstensor symmetrisch ist, so müssen in bezug auf ein Hauptachsensystem die Tangentialspannungen verschwinden. Konstruiert man also um eine Stelle innerhalb einer kontinuierlich verbreiteten Masse ein kleines P a r a l l e l e p i p e d , dessen Flächen H a u p t e b e n e n darstellen, so erfährt dieses Parallelepiped überhaupt k e i n e Tangentialspannungen. Um schließlich den Zusammenhang zu finden, der zwischen den Spannungskomponenten und der Flächenkraft ^ß' besteht, die auf ein beliebig gerichtetes Flächenelement wirkt, beachten wir, daß der in Gl. 3 auftretende Winkel a nichts anderes ist als der Winkel, den die Bichtung des Vektors ^ß mit dem Einheitsvektor n einschließt, der auf dem Flächenelement normal nach außen errichtet wird. Es ist also (nach Gl. 14 des § 2) (10) cos u = cos (^ß, jr) cos (tt, ¿r) + cos (^ß,;/) cos (n, y) -f cos (^ß, z) cos (n, z).

§ 13. Die

49

Spannung.

Multiplizieren wir diese Gleichung noch mit dem Vektor so erhalten wir auf der linken Seite den Vektor ^P'; in die rechte Seite wollen wir die Werte aus den Gl. 4 einsetzen. Dann finden wir (11)

=

cos (n, X)

cos (n,,,)

cos (n, z)

oder in analytischer Schreibweise, wenn wir die Symmetrie des Spannungstensors berücksichtigen, (12)

Pz' =pxs

cos (tt, j - ) + p x y cos ( n , y ) + pxt cos (n, z).

Zwei analoge Gleichungen gelten für die y- und die ¿-Komponente des Vektors so daß also dieser Vektor, der die auf ein beliebiges Flächenelement wirkende Flächenkraft darstellt, als eine lineare Funktion des zur Fläche normalen Einheitsvektors und des Spannungstensors erscheint.

Bus, Vektoranmlriif.

4

III. KapiteL

Die Vektorfelder. § 14. Die Tektoriellen Differentialopermtioneii. Betrachten wir ein V e k t o r f e l d und denken wir uns in diesem ein Koordinatensystem gelegt, so erscheinen die drei K o m p o n e n t e n des Vektors, der 91 genannt werde, als F u n k t i o n e n der K o o r d i n a t e n , und es können daher n e u n p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n nach dem Schema gebildet werden BA, Bx BA, Bx BA. Bx

(1)

BA, 3* BA, Bx BA, Bx

BA, By BA, dy BA. By

Wir wollen es nun untersuchen, wie sich bei dem Übergang zu einem anderen Koordinatensystem diese neun Größen t r a n s f o r m i e r e n . Wir berechnen also zunächst den Ausdruck dAz'/dx'. Dabei ist nach den Gl. 8 des § 4 (2) ¿„'««nii.+ M . + M . und ebenso, weil ja x, y, z die Komponenten eines Vektors sind, der von dem Koordinatenursprung zu dem betrachteten Punkt des Feldes gezogen wird, (8)

x'=tt1x+

ß1y+ylz.

Andererseits ist (naeh Gl. 5 des § 4) (4) x — at x'+ a 2 y'+

* _

dx'

—

dÄ

'

dx

Ä*L J_8A' LY B*

+

By

.

dx' ^

HA* 9* Bx

Bx' '

Nun ist aber nach Gl. 4 (und den beiden analogen für y und z) dp

0

Bx

§ 14. Die vektorieüm Differeniialoperationen.

51

und andererseits nach 61. 2 dA/ dA, . a dA, 9i> =}bh,P+Ä.

Zu dieser Bewegungsgleichung kommt nun noch ergänzend eine weitere fundamentale Beziehung, die sich aus dem Prinzip von der E r h a l t u n g d e r Masse ergibt, wonach Masse weder entstehen noch vergehen kann. Betrachten wir ein abgegrenztes Volumen, so muß für jedes Zeitelement der Überschuß der durch die Oberfläche des Volumens ausströmenden über die in demselben Zeitelement durch die Oberfläche einströmende Mässe gleich sein der Verminderung, die in demselben Zeitelement die in dem Volumen enthaltene Masse erfahren hat. Der Überschuß der ausströmenden über die einströmende Masse ist nun gleich dt mal dem Oberflächenintegral von Qvndf (denn die Flächennormale soll ja definitionsgemäß n a c h a u ß e n weisen, und es kann vn sowohl * Ist die äußere Kraft die Schwerkraft, so wird die Volumkraft einfach gleich der Beschleunigung der Erdschwere. 5*

68

Die

Vektorfelder.

positiv als auch negativ sein). Nach dem Satze von G A U S S ist also der Überschuß der ausströmenden über die einströmende Masse gleich (12)

dt J*div (g V) dz .

Andererseits ist die Verminderung, die in dem Zeitelement dt die in dem Volumen enthaltene Masse erfährt, dargestellt durch den Ausdruck (13)

-dtf^-dr

Da nach dem Prinzip von der Erhaltung der Masse die Ausdrücke (12) und (18) gleich sein müssen, und zwar für jedes beliebige Volumen, so ergibt sich die wichtige Beziehung (14)

div(oD) + | f = 0

In dieser Gleichung, die gewöhnlich als die K o n t i n u i t ä t s g l e i c h u n g bezeichnet wird, findet das P r i n z i p der E r h a l t u n g der Masse seinen vektoranalytischen Ausdruck. Als ein S p e z i a l f a l l der Bewegung einer kontinuierlich verbreiteten Masse muß sich die B e w e g u n g e i n e r s t a r r e n Masse ergeben. Die Bewegung einer starren Masse ist (nach Gl. 18 des § 8) durch die Formel beschreibbar (15)

ü = D(+[ror],

wenn ü ( die Translationsgeschwindigkeit bedeutet und XD die Winkelgeschwindigkeit ist, mit der sich ein mit der Masse fest verbundenes Koordinatensystem dreht; r ist die gerichtete Strecke, die von dem Koordinatenursprung zu der betrachteten Stelle innerhalb der Masse gezogen wird, an der der Geschwindigkeitsvektor den Wert 0 hat. Bilden wir nun für eine starre Masse die Rotation der Geschwindigkeit, so finden wir aus Gl. 15, weil j a die Komponenten von r gleich sind den Koordinaten und t>t vom Orte unabhängig ist, (16)

ö rot,, ü = -^g- (wx y

wyx)

3

(wz x -

wx z)

Nun ist aber der Vektor tu von den Koordinaten unabhängig, und die partielle Differentiation einer Koordinate nach einer Koordinate ergibt Eins oder Null. Es wird somit die rechte Seite der Gl. 16 einfach gleich 2w x , und daher wird ganz allgemein für eine starre Masse (17)

rot o = 2to

I n n e r h a l b e i n e r s t a r r e n Masse ist überall die R o t a t i o n der Ges c h w i n d i g k e i t g l e i c h der d o p p e l t e n W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t , und aus dieser Beziehung erklärt es sich auch, warum der Name „Rotation" für die betreffende vektorielle Differentialoperation eingeführt worden ist. Durch die zunächst willkürlich erscheinende Festsetzung, die hinsichtlich des Vorzeichens der „Rotation" (in Gl. 11 des § 14) getroffen

§ 19. Die Dynamik des deformierbaren Körpers.

69

wurde, wurde es erreicht, daß die Winkelgeschwindigkeit und die Rotation der Geschwindigkeit im Vorzeichen übereinstimmen. Betrachten wir nun innerhalb einer ganz beliebigen, also nicht mehr starren Masse einen kleinen Bereich, so kann die Bewegung dieses Bereiches (nach Gl. 19 des § 14) durch die Formel beschrieben werden (18)

» = o i + i [ r o t ö , t ] + »',

wobei D' eine lineare Funktion des Vektors r und der Dilatation von 0 ist. Wie uns die Gl. 18 und ihr Vergleich mit der Gl. 15 zeigen, kann also die Bewegung eines kleinen Bereiches aufgefaßt werden als S u p e r p o s i t i o n v o n d r e i B e w e g u n g e n . Die erste ist .eine T r a n s l a t i o n des Bereiches, die zweite ist eine D r e h u n g , bei der der Bereich wie ein starrer Körper ein Stück einer Rotation, ausführt. Die dritte Bewegung erfolgt an jeder Stelle des Bereiches mit der vom Orte abhängigen Geschwindigkeit 0'. Diese dritte Bewegung ist es, die einen nicht starren Körper von einem starren Körper unterscheidet; sie wird als D e f o r m a t i o n bezeichnet, wobei das Wort „Deformation" (ähnlich wie das Wort „Verrückung") sowohl die Bewegung selbst als auch deren Ergebnis, nämlich die bewirkte Lagenänderung der Massenteilchen, bezeichnet. Eine Bewegung einer kontinuierlich verbreiteten Masse, bei der Translation und Rotation fehlen, nennt man eine reine Deformation. Wir wollen nun ein Massenteilchen betrachten, das sich zu Beginn eines Zeitelementes an einer Stelle mit den Koordinaten x, y, z befinde, am Ende des Zeitelementes infolge einer reinen und zwar kleinen Deformation an einer Stelle mit den Koordinaten x + f , y -\-rj, z + Durch die Komponenten rj, £ ist der Vektor a der k l e i n e n V e r r ü c k u n g bestimmt, die durch die reine Deformation das Massenteilchen erfahren hat. Nun ist der Vektor d gleich dem Produkt aus dem Vektor D' und dem Zeitelement. Wenn also nach dem früher Gesagten ü' eine lineare Funktion von r und von der Dilatation von o ist, so muß ebenso a eine lineare Funktion von X und von der Dilatation von a sein. Nach der Definition der Dilatation eines Vektors (Gl. 12 des § 14) gelten also die Gleichung i - S - ' + ^ i i - ) , + » ( & + & ) . und zwei analoge Gleichungen für rj und Wegen der Kleinheit cles Bereiches werden (ebenso wie in § 17) innerhalb des Bereiches die partiellen Differentialquotienten von f, rj, £ nach den Koordinaten als k o n s t a n t angesehen werden dürfen. Um die physikalische Bedeutung zu erkennen, die der D i l a t a t i o n d e r V e r r ü c k u n g zukommt, nehmen wir zunächst an, daß von den neun Komponenten der Dilatation alle verschwinden mögeji bis auf die x-x-Komponente. Dann wird nach Gl. 19 (20)

S=

V =

f =

70

Die

Vektorfelder.

Die Deformation besteht in diesem speziellen Falle also darin, daß alle Massenpunkte eine Vergrößerung oder Verkleinerung ihrer x-Koordinate erfahren, die der Koordinate selbst (wegen der Konstanz des partiellen Differentialquotienten) p r o p o r t i o n a l ist. Der ganze Bereich dehnt sich also in der x-Richtung aus oder zieht sich in dieser Richtung zusammen. Eine derartige Deformation wird als eine D e h n u n g in der x-Richtung bezeichnet (wobei eben die Dehnung positiv oder als Kontraktion negativ sein kann). Um nun weiterhin auch die Bedeutung der Tensorkomponenten zweiter Art zu erkennen, nehmen wir an, daß alle Komponenten der Dilatation verschwinden mögen mit Ausnahme der a;-i/-Komponente und der ihr infolge der Tensorsymmetrie stets gleichen i/-a> Komponente. Dann wird nach Gl. 19 8

J dy -

0

wobei wieder wegen der Kleinheit des Bereiches nach dem früher Gesagten die beiden identischen Klammerausdrücke für den Bereich als konstant anzusehen sind. Es erfahren also zunächst einmal alle Massenpunkte in der «-Richtung eine Verrückung, die der y-Koordinate proportional ist. Infolge einer derartigen Verrückung verwandelt sich z. B. in Fig. 22 das Rechteck A B CD in das Rhomboid ABC'D'. Über diese Fig. 22 Verrückung superponiert sich aber nach Gl. 21 noch eine analoge, bei der alle Massenpunkte in der yRichtung eine Verrückung erfahren, die der x-Koordinate proportional ist. Wäre nur diese Verrückung vorhanden, so würde sich (Fig. 23) das Rechteck A B C D in das Rhomboid A B'C"D verwandeln. Das Gesamtergebnis der durch Fig. 23. die Gl. 21 beschriebenen

§ 19. Die Dynamik des deformierbarm Körpers.

71

Deformation besteht also darin, daß gemäß Fig. 24 das Bechteck ABCD eine Umwandlung erfährt in das Viereck] .] = o div u> — to div d + (n) grad) o — (ö grad) ro . Auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt nun nach Gl. 4 das zweite Glied weg; es entfällt aber auch das erste Glied, weil ja n> gleich ist der halben ßotation von o und für jeden beliebigen Vektor, also auch für d, die Divergenz der ßotation (nach Gl. 24 des § 14) verschwindet. Die Gl. 7 nimmt also die Form an (10)

2 -GJ- = 2 (UJ grad) D — 2 (o grad) ro .

Nun ist wiederum (nach Gl. 7 des § 19) (11)

4 r 4

+ (»f? r a d )n>-

Bei Gasen tritt an die Stelle der Gl. 4 das BoYLEsche Gesetz oder die kompliziertere Zustandsgieichung. 5 Diese Transformation wird nach ihrem Entdecker HEINRICH W E B E R gewöhn, lieh als die W E B E R s c h e T r a n s f o r m a t i o n bezeichnet. Mittels ihrer ergibt sich aus der Gl. 3 die Gl. 6.

§ 20. Die ideale Flüssigkeit.

75

Somit läßt sich die Gl. 10 auf die einfache Form bringen (12)

=(tDgrad)o.

Diese Gleichung wurde zuerst von H E L M H O L T Z gewonnen*, und von ihm zur Ableitung wichtiger Sätze über die W i r b e l b e w e g u n g benutzt. Unter Wirbelbewegung verstehen wir eine Bewegung eines Flüssigkeitsbereiches, bei der dieser wie ein starrer Körper rotiert. Von einem Flüssigkeitsteilchen, für das (als substantiellen Träger) der Vektor n> einen von Null verschiedenen Wert hat, sagt man dann, daß es w i r b e l t . Aus Gl. 12 erkennt man nun ohne weiteres, daß ein Flüssigkeitsteilchen, das nicht bereits von Anfang an wirbelt, auch im Verlauf der Zeit-nicht zu wirbeln beginnen kann. Umgekehrt kann, wie auch aus der Gl. 12 folgt, ein Teilchen, das einmal wirbelt, nie zu wirbeln aufhören. In einer idealen, inkompressibeln Flüssigkeit, auf die nur solche äußere Kräfte wirken, die ein Potential besitzen, kann daher eine W i r b e l b e w e g u n g weder e n t s t e h e n noch, wenn sie einmal vorhanden ist, vergehen. Für die Wirbelbewegung gelten im übrigen natürlich im besonderen die Sätze, die ganz allgemein in § 16 für quellenfreie Felder abgeleitet wurden. Auch die Wirbelfäden in einer Flüssigkeit können nicht innerhalb der Flüssigkeit beginnen oder enden, und auch für sie muß das Produkt aus dem Querschnitt des Fadens und aus der Wirbelgeschwindigkeit entlang eines Fadens konstant sein.7 Sind in einer Flüssigkeit keine Wirbelbewegungen vorhanden, vergehwindet also überall die Botation der Geschwindigkeit, so ist die Geschwindigkeit (gemäß Gl. 23 des § 14) darstellbar als negativer Gradient eines Skalars, der das G e s c h w i n d i g k e i t s p o t e n t i a l genannt wird. Eine wirbelfreie Bewegung einer Flüssigkeit wird als S t r ö m u n g bezeichnet. Ändert sich im besonderen auch nicht der Wert des Geschwindigkeitsvektors an einer bestimmten Stelle, ist also

(») W = so spricht man von einer s t a t i o n ä r e n Strömung. Für sie wird der Klammerausdruck der linken Seite der Gl. 6 konstant. Man bezeichnet nun als h y d r o s t a t i s c h e n Druck (p0) den Wert, den p für i - = 0 annimmt; p selbst nennt man den h y d r a u l i s c h e n Druck. Für eine stationäre Strömung wird also nach Gl. 6 (14)

P= 6

Po-9i'-

In analytischer Schreibweise lautet also die Gleichung von

dwx dt

dv. * dx

dvx * dy

HELMHOLTZ:

dvr * dt

7 Auf andere Sätze, die HELMHOLTZ aus seiner Gleichung abgeleitet hat, soll hier nicht eingegangen werden.

Die Vektorfelder.

76

Der hydraulische Druck ist also stets kleiner als der hydrostatische. Er wird negativ, sobald eine „kritische" Geschwindigkeit überschritten wird, die keinesfalls größer sein kann als die Quadratwurzel aus dem mit 2/g multiplizierten Luftdruck. 8 Da in einer inkompressibeln Flüssigkeit nach Gl. 4 die Divergenz der Geschwindigkeit verschwindet, ist also in einer i n k o m p r e s s i b e l n F l ü s s i g k e i t der G e s c h w i n d i g k e i t s v e k t o r s o l e n o i d a l (im Sinne des § 16). Die Yektorlinien der Geschwindigkeit bezeichnet man als S t r ö m u n g s l i n i e n ; sie können nach § 16 innerhalb der Flüssigkeit nicht anfangen oder enden. Betrachten wir die Strömung einer Flüssigkeit in einer Eöhre, so können wir, da die Strömung parallel zu den Röhrenwänden erfolgt, die Eöhre als eine Vektorröhre der Geschwindigkeit ansehen. Aus Gl. 8 des § 16 folgt dann unmittelbar der wichtige Satz, daß die S t r ö m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t in einer Eöhre ' d e m E ö h r e n q u e r s c h n i t t u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist. § 21. Das elastische Medium. Für die wirklichen Körper erscheint der Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n D e f o r m a t i o n u n d S p a n n u n g durch ein Gesetz beschrieben, das auf empirischem Wege zuerst von H O O K E ( 1 6 7 8 ) gewonnen und dann von N A V I E R ( 1 8 2 2 ) ergänzt worden ist. Das Gesetz von H O O K E sagt aus, daß jeder Zug eine diesem Zuge p r o p o r t i o n a l e D e h n u n g in der E i c h t u n g des Zuges hervorbringt. Bezeichnen wir den reziproken Wert des Proportionalitätsfaktors als den E l a s t i z i t ä t s m o d u l 1 und nennen wir ihn E, so ist also, wenn die Größe des Zuges ist und dieser die Eichtung der ¡r-Achse hat, (1) W

— dx = — E •

Das Gesetz von N A V I E R ergänzt nun das H O O K E sehe Gesetz durch die Aussage, daß mit jeder Dehnung in allen zu der Dehnung senkrechten Eichtungen eine Q u e r k o n t r a k t i o n verbunden ist, die wiederum der Dehnung proportional ist. Nennen wir den Proportionalitätsfaktor k, so ist also zu setzen dr

m W

> dy ~ dz ~

kPi

E

Die Größe k, die als der K o e f f i z i e n t der Q u e r k o n t r a k t i o n 2 bezeichnet wird, hegt, wie die Erfahrung zeigt, bei den meisten Substanzen zwischen V4 und Vr 8

Für Wasser beträgt diese kritische Geschwindigkeit, bei der z. B. ein Wasserstrahl zerreißt, etwa 14 m in der Sekunde. 1 Oder als Y o u N ö s c h e n Modul. 2 Oder auch als PoissoNsche K o n s t a n t e .

Die Vektorfelder.

76

Der hydraulische Druck ist also stets kleiner als der hydrostatische. Er wird negativ, sobald eine „kritische" Geschwindigkeit überschritten wird, die keinesfalls größer sein kann als die Quadratwurzel aus dem mit 2/g multiplizierten Luftdruck. 8 Da in einer inkompressibeln Flüssigkeit nach Gl. 4 die Divergenz der Geschwindigkeit verschwindet, ist also in einer i n k o m p r e s s i b e l n F l ü s s i g k e i t der G e s c h w i n d i g k e i t s v e k t o r s o l e n o i d a l (im Sinne des § 16). Die Yektorlinien der Geschwindigkeit bezeichnet man als S t r ö m u n g s l i n i e n ; sie können nach § 16 innerhalb der Flüssigkeit nicht anfangen oder enden. Betrachten wir die Strömung einer Flüssigkeit in einer Eöhre, so können wir, da die Strömung parallel zu den Röhrenwänden erfolgt, die Eöhre als eine Vektorröhre der Geschwindigkeit ansehen. Aus Gl. 8 des § 16 folgt dann unmittelbar der wichtige Satz, daß die S t r ö m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t in einer Eöhre ' d e m E ö h r e n q u e r s c h n i t t u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist. § 21. Das elastische Medium. Für die wirklichen Körper erscheint der Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n D e f o r m a t i o n u n d S p a n n u n g durch ein Gesetz beschrieben, das auf empirischem Wege zuerst von H O O K E ( 1 6 7 8 ) gewonnen und dann von N A V I E R ( 1 8 2 2 ) ergänzt worden ist. Das Gesetz von H O O K E sagt aus, daß jeder Zug eine diesem Zuge p r o p o r t i o n a l e D e h n u n g in der E i c h t u n g des Zuges hervorbringt. Bezeichnen wir den reziproken Wert des Proportionalitätsfaktors als den E l a s t i z i t ä t s m o d u l 1 und nennen wir ihn E, so ist also, wenn die Größe des Zuges ist und dieser die Eichtung der ¡r-Achse hat, (1) W

— dx = — E •

Das Gesetz von N A V I E R ergänzt nun das H O O K E sehe Gesetz durch die Aussage, daß mit jeder Dehnung in allen zu der Dehnung senkrechten Eichtungen eine Q u e r k o n t r a k t i o n verbunden ist, die wiederum der Dehnung proportional ist. Nennen wir den Proportionalitätsfaktor k, so ist also zu setzen dr

m W

> dy ~ dz ~

kPi

E

Die Größe k, die als der K o e f f i z i e n t der Q u e r k o n t r a k t i o n 2 bezeichnet wird, hegt, wie die Erfahrung zeigt, bei den meisten Substanzen zwischen V4 und Vr 8

Für Wasser beträgt diese kritische Geschwindigkeit, bei der z. B. ein Wasserstrahl zerreißt, etwa 14 m in der Sekunde. 1 Oder als Y o u N ö s c h e n Modul. 2 Oder auch als PoissoNsche K o n s t a n t e .

77

§ 21. Das elastische Medium.

Eine kontinuierlich verbreitete Masse wird nun als elastisch definiert, wenn an jeder Stelle die Hauptachsen der Dilatation mit den Hauptachsen der Spannung zusammenfallen und die Hauptspannungen gemäß dem Gesetze von H o o k e und N a v i e b Dehnungen und Querkontraktionen hervorbringen. Wir wollen die Hauptwerte des Dilatationstensors mit ij, „ = 2/i

H

+ AÖ '

(de

(14) p«=

dti\

p (är + ä i ) •

Somit wird, wenn wir zu der Bildung der Vektordivergenz übergehen, i i f e * I. yns\ '

\' '

dx

, gp.z dy

I g'g a

dx[dx

I *f*\

»

l aw

d

+

dzt

dy

+

dz)

d 9

dl

Der Ausdruck in der ersten Klammer der rechten Seite ist A der Ausdruck in der zweiten Klammer aber gleich 6. Es wird daher (16)

b b , p = i u J f + (/i + A) 4 f - •

Ist nun das elastische Medium frei von Translation und Botation (oder sehen wir davon ab), so bleibt die durch die Koordinaten x, y, z dargestellte Normallage der einzelnen Massenteilchen ungeändert, und es kann daher der Vektor a der Verrückung mit den Komponenten £, t), C als Funktion von x, y, z und t angesehen werden. Die Komponenten der Beschleunigung an einer Stelle sind dann gegeben durch die zweiten partiellen zeitlichen Differentialquotienten d ' f / d / * , 8iry/3, so ist also dat HAU, Vektamulyita. 8

82

Die Potentiale.

der sogenannte räumliche Winkel, unter dem, von dem Quellpunkte aus gesehen, das Flächenelement df erscheint (Fig. 27). Es wird also dff 1 r — n = Jda>

Dabei ist da» mit positivem'oder negativem Vorzeichen zu nehmen, je nachdem, ob die Verlängerung des von dem Quellpunkte aus gezogenen Vektors c mit der nach außen weisenden Flächennormalen n einen Bpitzen oder stumpfen Winkel bildet. Andererseits ergibt sich mit Bücksicht auf Gl. 4 und 6 die für eine spätere Betrachtung vichtige Beziehung (12) - n grad. ( i ) df = n grad, ) df = d m . Es wird somit nach 61. 9 und 11

FKdf = gdo>

(18)

Fig. 28.

Fig. 27.

Denken wir uns nun um den Quellpunkt eine ganz beliebige Fl&che konstruiert, die den Quellpunkt umschließt, so wird das über diese Fläche erstreckte Integral des räumlichen Winkels gleich dem gesamten Oberflächeninhalt der Einheitskugel, also gleich 4 jt. Für eine solche Fläche gilt also die Beziehung

(14)

fFndf

= 4jig.

Der Fluß der Feldstärke durch eine einen Quellpunkt umschließende Fläche ist gleich der mit 4 n multiplizierten Ergiebigkeit des Quellpunktes. Wird hingegen der Quellpunkt von der Fläche nicht umschlossen, dann schneidet (Fig. 28) jeder Elementarkegel, den man von dem Quellpunkte zu einem Element der geschlossenen Fläche legt, aus der Fläche zugleich noch ein zweites Flächenelement heraus, wobei der Winkel zwischen der Verlängerung von r und n bei dem dem Quellpunkt näheren Flächenelement Afx stumpf, bei dem anderen Flächenelement d/ 2 hingegen spitz ist. Es ist also

§ 23. DU Gleichung von Poisson.

83

—Y" cos (n lf r) H — f 0 0 3 ("a» r) = — d«o + dß» = 0 . ri rt In einem von einem Quellpunkt erzeugten Felde ist also der Fluß der Feldstärke durch eine geschlossene, den Quellpunkt jedoch n i c h t ums c h l i e ß e n d e Fläche gleich Null. Stellt man demnach das Vektorfeld der Feldstärke durch V e k t o r linien derart dar, daß man die Dichte der Vektorlinien überall proportional macht dem auf die Flächeneinheit bezogenen Vektorfluß (§ 16), so muß man also von einem Quellpunkte 4 n mal so viel Vektorlinien ausgehen lassen, als die Ergiebigkeit des Quellpunktes beträgt (überdies noch multipliziert mit dem willkürlich zu wählenden Proportionalitätsfaktor). Hieraus erklären sich auch die Bezeichnungen . „ Quellpunkt" und „Ergiebigkeit". Ist die Ergiebigkeit n e g a t i v , so müssen natürlich umgekehrt in den Quellpunkt 4JI ] = ±

^

.

In durchaus analoger Weise wie das Prinzip Von der Erhaltung der Masse läßt sich nun auch (gemäß Gl. 14 des § 19) das P r i n z i p von der E r h a l t u n g der E n e r g i e v e k t o r a n a l y t i s c h a u s d r ü c k e n , nämlich in der Form (4)

divfop)+4?- = 0 ;

§ 34. Der Satx von

Poynting.

109

dabei bedeutet ü die Geschwindigkeit der Energieströmung. Führen wir also einen Vektor ein (5)

©

=

¿ [ « 5 ] ,

so stellt dieser Vektor nach Betrag, Richtung und Richtungssinn die D i c h t e der E n e r g i e s t r ö m u n g dar. Der Vektor Q wird nach dem Forscher, der ihn zuerst (1885) in die Theorie einführte, als der P O Y N T I N G sehe V e k t o r bezeichnet. Die Gl. 3 läßt sich aber als S a t z v o n P O Y N T I N G auch in der Form aussprechen, daß an jeder Stelle eines elektromagnetischen Feldes eine S t r ö m u n g v o n E n e r g i e s e n k r e c h t zu d e n R i c h t u n g e n d e r elekt r i s c h e n u n d der m a g n e t i s c h e n F e l d s t ä r k e stattfindet.

V Kapitel.

Die Vektorwellen. § 35. Die Vektorschwingnng. Für viele Probleme der theoretischen Physik besitzt eine grundlegende Bedeutung die v e k t o r i e l l e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g Von der Form (1)

dabei bedeutet a2 eine beliebige Konstante. Man erkennt es ohneweiters, daß sowohl die Funktion 51 sin (at) als auch die Funktion 23 cos (at) L ö s u n g e n der Differentialgleichung darstellen, wenn und SB vektorielle Konstanten sind. Denn in der Tat wird {21 sin (at)} = - o 2 2t sin (at), und eine analoge Beziehung gilt natürlich auch für © cos (at). g e m e i n e L ö s u n g der Gl. 1 lautet daher 1

Die a l l -

93 = 21 sin (at) + SB cos (at)

(2)

Ein Vorgang, der durch diese Gleichung beschrieben wird, wird als eine V e k i o r s c h w i n g u n g bezeichnet. Der schwingende Vektor 23 ändert Betrag und Richtung periodisch. E r nimmt nach Gl. 2 denselben Wert an in P e r i o d e n von der Dauer

Denn in der Tat ändert sich der Wert von 93 nach Gl. 2 nicht, wenn wir die Zeit i um die Größe r (oder um ein ganzzahliges Vielfaches von r) vermehren, weil ja sin (x + 2 n) gleich sin x und ebenso cos (x + 2 TI) gleich cos x ist. Die Größe z wird als die S c h w i n g u n g s d a u e r bezeichnet. Wie aus der Gl. 2 folgt, muß der schwingende Vektor stets in der E b e n e bleiben, die durch die beiden konstanten Vektoren 21 und SB 1

Man kann allerdings in Gl. 2 zu dem Argument der Sinus- und Kosinusfunktion noch eine Phasenkonstante e bzw. e' hinzufügen. Doch kann man andererseits diese Phasenkonstanten auch wiederum durch entsprechende Abänderung der Beträge der vektoriellen Konstanten 91 und SB beseitigen (vgl. Gl. 10 und 11).

§ 35. Die Vektor

Schwingung.

111

b e s t i m m t ist. Denkt m a n sich also den schwingenden Vektor 93 von einem bestimmten Anfangspunkte aus aufgetragen, so b e s c h r e i b t s e i n E n d p u n k t e i n e e b e n e K u r v e , und es läßt sich auch leicht erkennen, von welcher Art diese K u r v e ist. Wir wollen die Richtung, die zu der Zeit t — 0 der Vektor 95 hat, als «-Achse eines ebenen Koordinatensystems wählen, dessen E b e n e mit der E b e n e zusammenfalle, in der der Vektor 95 schwingt. E s fällt also nach Gl. 2 die « - R i c h t u n g zusammen mit der Richtung des Vektors 23, so daß also By verschwindet. 2 I m übrigen wollen wir setzen

AX = F ,

(4)

BX=G,

Ay=H.

D a n n nimmt in analytischer Schreibweise die Gl. 2 die F o r m an J

V

l

F „ = H sin

x

= F sin ( at) + G cos ( a t ) , (at).

Den bisher noch ganz willkürlich gelassenen N u l l p u n k t d e r Z e i t m e s s u n g wollen wir nun so wählen, daß für t = 0 der sich p e r i o d i s c h ä n d e r n d e B e t r a g des s c h w i n g e n d e n V e k t o r s ein E x t r e m u m wird. E s soll also sein Nun ist aber

dt

= 1=o

0.

V2 =

VX2 +

Vy2

und daher

C71 K'>

V r

— V dVx -I- V dt ~ y

wobei der Vektor a die Verrückung bedeutet, die durch die elastische Deformation ein Massenteilchen erfährt. Auf Grund der Ergebnisse des vorhergehenden Abschnittes folgt aus der Gl. 4 ohne weiteres die Möglichkeit einer ebenen wellenförmigen Ausbreitung des Vektors a. Weil aber @ die Divergenz des Vektors a darstellt und diese nach Gl. 8 Null sein soll, so müssen die d i l a t a t i o n s f r e i e n W e l l e n t r a n s v e r s a l sein. Macht man also etwa die Fortpflanzungsrichtung der Welle zur x-Achse, so beteiligen sich an den Schwingungen nur die y- und die ¿¡-Komponente des Vektors a, und da dieser Vektor die Verrückung aus der Buhelage darstellt, so bewegen sich die Massenteilchen in der dilatationsfreien Welle s e n k r e c h t zu der Fortpflanzungsrichtung der Welle. Für die G e s c h w i n d i g k e i t der d i l a t a t i o n s f r e i e n W e l l e n folgt aus der Gl. 4 (5)

j/f

§37.

Die elastischen Wellen.

115

sein. Die «-Komponente des Vektors beteiligt sich dann also überhaupt nicht an dem Schwingungsvorgang. Die S c h w i n g u n g e n erfolgen s e n k r e c h t zu der durch die as-Achse bestimmten Fortpflanzungsrichtung der Welle. Die e b e n e n W e l l e n e i n e s V e k t o r s m i t v e r s c h w i n d e n d e r D i v e r g e n z sind also stets r e i n t r a n s v e r s a l . § 37. Sie elastischen Wellen. Für die Bewegung eines e l a s t i s c h e n M e d i u m s , auf das keine äußeren Kräfte wirken, hatte sich (Gl. 18 des § 21) die Beziehung ergeben (1)

A0

3* & = 2fi + A dt*

dabei bedeutet 0 die V o l u m d i l a t a t i o n , q die Massendichte, während ¡i und X für die Substanz charakteristische Konstanten sind. Auf Grund der Ergebnisse des vorhergehenden Abschnittes (§ 86) folgt daraus ohne weiteres die Möglichkeit einer wellenförmigen Ausbreitung der Dilatation, also von D i l a t a t i o n s w e l l e n , deren G e s c h w i n d i g k e i t nach Gl. 1 den Wert hat 2/t + A (2) Q Außer diesen Dilatationswellen sind aber in elastischen Medien, wie aus deren Bewegungsgleichungen hervorgeht, auch d i l a t a t i o n s f r e i e W e l l e n möglich. Setzen wir nämlich (8)

0 =

0,

so nimmt die Gl. 17 des § 21 die Form an (4) /A\

Ö 2

0

—pA A

a

>

wobei der Vektor a die Verrückung bedeutet, die durch die elastische Deformation ein Massenteilchen erfährt. Auf Grund der Ergebnisse des vorhergehenden Abschnittes folgt aus der Gl. 4 ohne weiteres die Möglichkeit einer ebenen wellenförmigen Ausbreitung des Vektors a. Weil aber @ die Divergenz des Vektors a darstellt und diese nach Gl. 8 Null sein soll, so müssen die d i l a t a t i o n s f r e i e n W e l l e n t r a n s v e r s a l sein. Macht man also etwa die Fortpflanzungsrichtung der Welle zur x-Achse, so beteiligen sich an den Schwingungen nur die y- und die ¿¡-Komponente des Vektors a, und da dieser Vektor die Verrückung aus der Buhelage darstellt, so bewegen sich die Massenteilchen in der dilatationsfreien Welle s e n k r e c h t zu der Fortpflanzungsrichtung der Welle. Für die G e s c h w i n d i g k e i t der d i l a t a t i o n s f r e i e n W e l l e n folgt aus der Gl. 4 (5)

j/f

116

Die

Vektorwellm.

Endlich möge noch die Frage untersucht werden, in welcher Richtung die Massenteilchen bei den durch die Gl. 1 beschriebenen Dilatationswellen schwingen. Wir greifen dazu auf die Gl. 17 des § 21 zurück, die in vektorieller Schreibweise die Form hat (6)

ö'a Q-^r=nA

a + (/* + A) grad *+

y>2+ ¿'2- c« ,'» = y* +

2 XVt + »», der zweite als Drehung um einen Winkel r = ß * n und andererseits, weil v2 gleich Null ist, nach Gl. 14 (18)

^

= ß/i =

m

.

Während also in der klassischen Mechanik sowohl KJbj^ als auch KJb2 gleich ist der Masse, gilt dies in der relativistischen Mechanik nur für die transversale Komponente. 3 Da ß immer größer sein muß als Eins, so ist stets „ „ •fti ^ JU. 6i b2 oder \ * Kx " K r a f t und B e s c h l e u n i g u n g sind also im allgemeinen n i c h t g l e i c h g e r i c h t e t ; die Richtung der B e s c h l e u n i g u n g bildet vielmehr mit der Bewegungsrichtung stets einen g r ö ß e r e n W i n k e l als die Bichtung der Kraft. Die relativitätstheoretische Formel, die die A b h ä n g i g k e i t d e r Masse v o n der G e s c h w i n d i g k e i t ausdrückt, erscheint in zweifacher Hinsicht d u r c h die E r f a h r u n g b e s t ä t i g t . Einerseits zeigten Messungen der m a g n e t i s c h e n A b l e n k u n g von sehr rasch bewegten B e t a S t r a h l e n , daß die Masse der-die ß- Strahlen zusammensetzenden Teilchen in der Tat gemäß der relativistischen Formel zunimmt, wenn sich die Geschwindigkeit der Teilchen der Lichtgeschwindigkeit nähert. 4 Andererseits vermochte auf die relativistische Massenformel im Jahre 1915 S O M M E R F E L D eine Theorie der F e i n s t r u k t u r der S p e k t r a l l i n i e n 5 zu gründen, die durch die tatsächlichen spektroskopischen Messungen in glänzendster Weise bestätigt wird. § 43. Sie träge Masse der Energie. Aus den die MINKOWSKI-Kraft definierenden Gleichungen (Gl. 8 des § 42) folgt für das innere Produkt von MiNKowsKi-Kraft und MINKOWSKIGeschwindigkeit 3

Den Quotienten K1Jb1 bezeichnete man früher auch als „longitudinale Masse" und den Quotienten KJb2 als „transversale Masse". 4 Die Geschwindigkeit der von radioaktiven Substanzen ausgesandten ß- Strahlteilchen beträgt bis zu 99% der Lichtgeschwindigkeit. 5 Unter Feinstruktur der Spektrallinien versteht man die Tatsache, daß in starken Spektralapparaten sich die SpektraHinien in Gruppen und Untergruppen von Linien auflösen.

§ 43.

oder nach Gl. 9 des § 42 (3) Es wird somit (4)

P,

~ ^ f ß w ^ =

c2

ß2lT •

Skv = ~ ( ß f i c ^ ) .

Diese Gleichung muß für jedes beliebige Bezugssystem gelten, weil ja die Gl. 1, aus der die Gl. 4 gewonnen wurde, auch von dem Bezugssystem unabhängig ist. In der klassischen Mechanik besteht nun die fundamentale Beziehung, daß das innere Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit, also die auf die Zeiteinheit bezogene Arbeit, gleich ist dem zeithchen Differentialquotienten der kinetischen Energie (Gl. 7 des § 6). Diese Beziehung können wir gemäß der allgemeingültigen Gl. 4 auch in der relativistischen Dynamik beibehalten, wofern wir die einfache klassische Formel für die k i n e t i s c h e Energie (Masse mal halbem Geschwindigkeitsquadrat) durch die kompliziertere Formel ersetzen (5)

L = ß /xc2 — mc2 .

In dieser Gleichung wollen wir ß mittels des binomischen Lehrsatzes in eine R e i h e entwickeln. Es ist

Daher wird in erster Annäherung

Das zweite Glied der rechten Seite stellt aber nichts anderes dar als die l e b e n d i g e K r a f t der k l a s s i s c h e n Mechanik (in der ja fi und m identisch sind). Hierzu kommt aber noch ein unvergleichlich größeres Glied, das auch dann nicht verschwindet, wenn v gleich Null ist, und das als die E i g e n e n e r g i e des Massenpunktes bezeichnet wird; sie ist bestimmt durch das Produkt aus der R u h m a s s e und dem Quadrate der L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t .

134

Die Weltvektoren.

Die Erkenntnis, daß jeder Körper, auch ohne Bewegung, eine Energie besitzt, die mit einem universellen Proportionalitätsfaktor seiner Masse proportional ist, legt aber nun weiterhin die Auffassung nahe, daß überhaupt j e d e r M a s s e E n e r g i e zukommt und umgekehrt j e d e E n e r g i e feine t r ä g e M a s s e b e s i t z t ; diese ist eben gleich der Energiemenge, gebrochen durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. M a s s e und E n e r g i e erweisen sich derart als i d e n t i s c h , nur durch einen universellen Proportionalitätsfaktor voneinander verschieden. So erscheinen durch die Relativitätstheorie die Sätze von der E r h a l t u n g d e r M a s s e und von der E r h a l t u n g d e r E n e r g i e zu einem e i n z i g e n P r i n z i p 1 verschmolzen. 1 Daß trotzdem beide Erhaltungssätze mit ungemein großer Annäherung eine selbständige Rolle innehaben, erklärt sich aus der verschwindenden Kleinheit der Masseänderungen, die mit beobachtbaren Energieänderungen verbunden sind. Ein wichtiges Anwendungsgebiet scheint sich neuestens für den Satz von der Trägheit der Energie in der Atomtheorie zu erschließen. Durch diesen Satz werden zunächst die Abweichungen der Atomgewichte von den ganzen Zahlen (soweit sie nicht durch Isotopie bedingt sind) verständlich, weiterhin aber auch Probleme der Stabilität der Atomkerne geklärt.

Anhang. Zusammenfassung des Inhalts. I. Kapitel.

Die Vektoren.

§ 1. Jede Vektorgröße ist durch Betrag, Richtung und Richtungssinn bestimmt; daß in diesen Eigenschaften zwei Vektorgrößen übereinstimmen, wird durch Gleichsetzung der Vektorgrößen ausgedrückt. Das Quadrat des Betrages eines Vektors ist gleich der Summe der Quadrate der Komponenten. Jeder Vektor kann aufgefaßt werden als Produkt aus seinem Betrage und einem in seine Richtung fallenden Einheitsvektor. Die Einheitsvektoren der positiven Koordinatenachsen werden als die Grundvektoren des Koordinatensystems (t, j, I) bezeichnet. § 2. Für die vektorielle Addition gelten die Rechenregeln der arithmetischen. Das innere oder skalare Produkt 23 ist ein Skalar von dem Betrage A B cos (31, 23). Es ist 2123 = AXBX+

ÄyBy+

AtBz.

Das äußere oder Vektorprodukt [2123] ist ein Vektor, der auf der Ebene des von den Vektoren 21 und 23 gebildeten Parallelogramms senkrecht steht, der so viel Längeneinheiten enthält, als das Parallelogramm Flächeneinheiten hat, und der einen solchen Richtungssinn hat, daß von seiner Spitze gesehen, die Drehung dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint, die den Vektor 21 in die Richtung des Vektors 23 überführt. Es ist [SB 21] entgegengesetzt gleich [21 SB]. Das innere Produkt verschwindet für zwei zueinander normale, das äußere für zwei gleichgerichtete Vektoren. Es ist 2i[23(S] = 23[£2I] = (S[2I23] ; diese Produkte verschwinden, wenn die Vektoren 21, 23, £ komplanar sind. Ferner ist [ 2 I [ S £ ] ] = 2 3 (£21)- As= . § 12. Der Drehimpuls eines starren Körpers erweist sich als lineare Vektorfunktion der Winkelgeschwindigkeit und eines symmetrischen Tensors, der als das Trägheitsmoment bezeichnet wird. Bezieht man die Bewegung eines starren Körpers auf ein Koordinatensystem, das mit dem Schwerpunkt als Ursprung von den drei Hauptträgheitsachsen gebildet wird, so ergeben sich die E U L E R sehen Bewegungsgleichungen des starren Körpers; aus ihnen ersieht man, daß die Hauptträgheitsachsen zugleich die freien Achsen des starren Körpers sind. § 13. Betrachten wir innerhalb einer kontinuierlich verbreiteten Masse die Flächenkräfte, die auf drei Flächenelemente wirken, die an einer Stelle auf den Koordinatenachsen senkrecht stehen, so erweisen sich die dreimal drei Komponenten der drei Flächenkräfte als Komponenten eines symmetrischen Tensors, der als die Spannung bezeichnet wird und dessen Komponenten erster und zweiter Art als Normal- und Tangentialspannungen unterschieden werden. III. Kapitel.

Sie Vektorfelder.

§ 14. Die neun partiellen Differentialquotienten der Komponenten eines Vektors nach den Koordinaten erweisen sich als Komponenten eines Tensors. Daraus folgt ohne weiteres aus den allgemeinen tensoriellen Beziehungen, daß in einem Vektorfelde jeder Stelle ein Skalar, die „Divergenz" und ein Vektor, die „Rotation" zugeordnet werden können. Hierfür bestehen die Gleichungen dx ~ öy ~ x

öy

dz

dz

Zusammenfassung

des Inhalts.

139

Multipliziert man die neun partiellen Differentialquotienten eines Vektors nach den Koordinaten mit deD Komponenten eines Vektors 93 nach dem entsprechenden Schema (§ 10), so erhält man einen Vektor, der bezeichnet wird als der auf den Vektor 93 bezogene Gradient des Vektors 31. Es ist (93 grad) 91 = i (93 grad Ax) + j (93 grad Av) + ! (93 grad At) . Für die kombinierten vektoriellen Differentialoperationen Formeln ^ e,s div grad S = id ,§ = _ + _ + _ •

gelten

die

Dementsprechend ist AW = iAAx+\AAy+iAAz. Ferner ist rot grad S = 0 , div rot 91 = 0 , rot rot 91 = grad div 91 — A 91. § 1 5 . Nach dem Satze von GAUSS ist der Fluß eines Vektors durch eine geschlossene Fläche gleich dem Volumintegral der Divergenz des Vektors, erstreckt über das ganze von der Fläche umschlossene Volumen oder J f Andf = J/» div 91 dx .

Aus dem Satze von GAUSS ergibt sich der Satz von G R E E N , demzufolge im besonderen, wenn an den Grenzen eines skalaren Feldes der Gradient des Skalars verschwindet, die Beziehung besteht J S A Sdx = -J(grad

S)2 dx .

§ 16. Eine in einem Vektorfelde gezogene Kurve, deren Elemente überall die Richtung des Vektors haben, stellt eine Vektorlinie dar. In einem Felde, dessen Divergenz überall verschwindet und das als solenoidal bezeichnet wird, ist längs einer Vektorröhre das Produkt aus dem Betrage des Vektors und dem Röhrenquerschnitt konstant. Die Röhren eines solenoidalen Vektors können daher im Felde weder beginnen noch endigen und müssen somit innerhalb des Feldes geschlossene Kurven darstellen. Das Feld eines Vektors, der seinerseits der Gradient eines Skalars ist, ist wiederum darstellbar durch die Niveauflächen des Skalars; innerhalb der so gebildeten Lamellen ist der Betrag des Vektors überall umgekehrt proportional der Dicke der Lamelle. § 1 7 . Nach dem Satze von STOKES ist das Linienintegral eines Vektors längs einer geschlossenen Kurve gleich dem Integral der Normalkomponente der Rotation des Vektors, erstreckt über die ganze von der Kurve umschlossene Fläche, oder

J%d5=

fn rot Wdf;

dabei muß die Flächennormale einen solchen Richtungssinn haben, daß von ihrer/ Spitze der Umlauf, in dem das Linienintegral gebildet wird, dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint.

Anhang.

140

§ 18. In einem Tensorfelde läßt sich für jede Stelle ein als Vektordivergenz (bin t) bezeichneter Vektor ableiten; es ist bio* t = Qz* 8x

+ '

dy

+1 -^F- • ox

Unter der Normalkomponente eines Tensors in bezug auf ein Flächenelement versteht man einen Vektor, dessen «-Komponente gleich ist ( t „ ) * = txx cos (n, x) + txy cos (n, y) + txz cos (n, z). Der Tensorfluß durch eine geschlossene Fläche erweist sich dann gleich dem Volumintegral der Vektordivergenz des Tensors. § 19. In einer kontinuierlich verbreiteten Masse ist die innere Kraftdichte gleich der Vektordivergenz der Spannung. Für die Beschleunigung eines Massenteilchens gilt die Beziehung B = -FF +

grad

)D "

Das Prinzip der Erhaltung der Masse findet seinen vektoranalytischen Ausdruck in der Gleichung div

+

= o.

Die Bewegung eines kleinen Bereiches einer kontinuierlich verbreiteten Masse kann stets aufgefaßt werden als Superposition einer Translation, einer Drehung und einer eigentlichen Deformation, die sich im allgemeinen darstellt als eine Dehnung längs den Koordinatenachsen und eine Scherung entlang den Koordinatenebenen. § 20. Für eine ideale Flüssigkeit müssen die Tangentialspannungen stets verschwinden und die Normalspannungen daher untereinander stets den gleichen Wert haben, der mit entgegengesetztem Vorzeichen den Flüssigkeitsdruck darstellt. Aus der allgemeinen Bewegungsgleichung des deformierbaren Körpers ergeben sich derart die hydrodynamischen Grundgleichungen von EULER. Für inkompressible Flüssigkeiten verschwindet die Divergenz der Geschwindigkeit. Von den EULER sehen Gleichungen führt eine vektoranalytische Transformation zu der Gleichung von HELMHOLTZ, die die Erhaltung der Wirbelbewegung in idealen Flüssigkeiten ausspricht, auf die nur solche äußere Kräfte wirken, die ein Potential besitzen. Für eine Flüssigkeitsströmung erweist sich der hydraulische Druck stets kleiner als der hydrostatische. Die Strömungsgeschwindigkeit muß in einer Röhre deren Querschnitt umgekehrt proportional sein. § 21. Ein Medium wird als elastisch bezeichnet, wenn die Hauptachsen der Deformation mit den Hauptachsen der Spannung zusammenfallen und der Zusammenhang zwischen Deformation und Spannung durch das Gesetz von HOOKE und NAVIER beschrieben wird. Drückt man dementsprechend die Komponenten der Spannung durch die Verrückungen aus, so ergeben sich in einfacher Form die Bewegungsgleichungen eines elastischen, von äußeren Kräften freien Mediums.

Zusammenfassung des Inhalts. IV. Kapitel.

141

Die Potentiale.

§ 22. Ist in einem Felde, das von einem Quellpunkt von der Ergiebigkeit g erzeugt wird, das Potential in einem beliebigen Aufpunkt in der Entfernung r ¥ = r— und bezeichnet man den negativen Gradienten des Potentials bei veränderlichem Aufpunkt als die Feldstärke, so ist der Fluß der Feldstärke durch eine geschlossene Fläche gleich 4 TI g oder Null, je nachdem, ob die Fläche den Quellpunkt umschließt oder nicht. § 23. Bei kontinuierlicher Quellenverteilung ergibt sich die Gleichung von POISSON, derzufolge A V = -±7lQ ist, wenn q die Ergiebigkeitsdichte bedeutet. § 24. Die Normalkomponente der Feldstärke erfährt bei dem Durchsetzen einer Quellenfläche einen Sprung, der gleich ist 4 TI mal der Flächendichte. Die Tangentialkomponente der Feldstärke durchsetzt hingegen eine Quellenfläche stetig. § 25. Das Produkt aus der Ergiebigkeit eines Quellenpaares und der gerichteten Strecke, die von der negativen zur positiven Quelle führt, wird als das Moment des Quellenpaares bezeichnet. Das von einer Doppelschichte in einem Aufpunkt erzeugte Potential ist gleich dem Produkt aus der Momentendichte und dem räumlichen Winkel, unter dem von dem Aufpunkt die Doppelschichte erscheint. § 26. Unter dem Kurvenpotential einer Kurve verstehen wir den Vektor „•ds J

9=f

(wobei in einem bestimmten Umlaufsihn zu integrieren ist). Die von einer Doppelschichte herrührende Feldstärke erweist sich als identisch mit der Eotation des noch mit der Momentendichte multiplizierten Kurvenpotentials der Begrenzung. Die Divergenz des Kurvenpotentials verschwindet für eine geschlossene Kurve. § 27. Die Dichte der potentiellen Energie eines Feldes, zwischen dessen Quellen COULOMB sehe Fernkräfte wirken, ergibt sich mittels des GREEN sehen Satzes gleich dem Quadrate der Feldstärke, gebrochen durch 8 Für das Potential der mechanischen Kraft, mit der zwei Doppelschichten von den Momentendichten x und / ' aufeinander wirken, erhält man den Wert

v—ziff**§ 2 8 . Aus dem für die Elektrostatik grundlegenden Gesetz folgt für die elektrische Feldstärke

div (E = 4 TI

Q .

COULOMB

sehen

142

Anhang.

Ferner ergibt sich, daß ein Konduktor stets nur an der Oberfläche geladen sein kann, und daß die Feldstärke an der Oberfläche die Richtung der nach außen weisenden Normalen und den Betrag 4 n a hat. Die Divergenz der Stromdichte verschwindet für geschlossene Ströme. Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke entlang dem Stromleiter stellt die elektromotorische Kraft dar. § '29. Zu dem elektrostatischen Grundgesetz kommt als zweites Erfahrungsgesetz folgendes hinzu: Zwei geschlossene elektrische Ströme üben aufeinander eine mechanische Kraft aus, die ebenso groß ist wie die COULOMB sehe Femkraft zwischen zwei von den Strömen umgrenzten Doppelschichten, wofern man die Momentendichte jeder Doppelschichte gleich setzt dem Quotienten aus der Stromstärke und einer universellen Konstanten, die sich durch das Experiment als eine Geschwindigkeit von 8-10 10 cm/sec ergibt. Die äquivalente Doppelschichte bezeichnet man als magnetisch und spricht demgemäß von Magnetismusmenge und magnetischer Feldstärke. Ein homogen magnetisierter Körper muß sich so verhalten, als ob der Magnetismus nur an der Oberfläche vorhanden wäre. § 30. Für die magnetische Feldstärke, die ein Element eines geschlossenen elektrischen Stromes in einem beliebigen Aufpunkt erzeugt, ergibt sich durch vektoranalytische Deduktion eine Gleichung, die das Gesetz von B I O T und SAVART und die Schwimmerregel von A M P E R E zum Ausdruck bringt. Hieraus folgen weiterhin die Beziehungen div £ = 0 . rot fi = — i . ^ " c Die letztere Gleichung kann man auch in der Integralform dahin aussprechen, daß die Arbeit, die bei dem einmaligen Herumführen eines Einheitspoles um einen Strom verrichtet wird, gleich ist der mit 4rr multiplizierten, elektromagnetisch gemessenen Stromstärke. § 81. Die potentielle Energie, die einem Strome in einem Magnetfeld zukommt, erweist sich entgegengesetzt gleich dem Produkte aus der elektromagnetisch gemessenen Stromstärke und aus dem magnetischen Kraftfluß durch die Stromfläche. Gleich gerichtete Stromelemente müssen einander anziehen, entgegengesetzt gerichtete einander abstoßen, und zwar mit einer Kraft, die dem Produkte der Stromstärken direkt und dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist. § 82. Für die Induktionsströme ergibt sich mittels des Satzes von der Erhaltung der Energie die Folgerung, daß die induzierte elektromotorische Kraft bis auf den Proportionalitätsfaktor 1 je gleich sein muß der auf die Zeiteinheit bezogenen Änderung des magnetischen Kraftflusses, und ferner, daß der induzierte Strom einen solchen Umlaufssinn haben muß, daß er durch die von ihm ausgehende magnetische Kraft den induzierenden Vorgang zu hemmen sucht. § 88. Aus der Hypothese der Verschiebungsströme folgt in der M A X W E L L sehen Theorie für deren Dichte die Beziehimg

Zusammenfassung des Inhalts.

14S

ae "äT ' Für den leeren Baum nehmen daher die M A X W E L L sehen Gleichungen die Form an div (S = 4 7t ß , div § = 0 , s =

rot (r

~

c

dt

i

,

'

rot vfi =

c

är ' dt

Daraus folgt durch eine vektoranalytische Umformung für den leeren Kaum 1, s 1, & . . . A ff _ ® A /()Verleger-Teuerungszuschlag (Griechische Übersetxung von ANT. PH. CHALAS, Athen 1922.) Das kleine, aber ausgezeichnete Schriftchen ist nur mit lebhaftester Genugtuung zu begrüßen und Philosophen wie Physikern und Naturforschern überhaupt auf das wärmste zu empfehlen. Kantstudien. Vereinigung wissenschaftlicher

Verleger • Walter de Gruyter&

vormals G.J. Göschen sehe Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner Veit fr" Comp. • Berlin IV. 10 und Leipzig

Co.

Von dem gleichen Verfasser sind erschienen:

Das Natnrbild der neuen Physik Mit 6 Figuren im Text Gr.-Oktav. VI, 114 Seiten. 1920 Geb. M. 10.—, zuzQgL 1100°/ o Verleger-Teuerungsz Uschlag. (Englische, russische, griechische, ungarische Übersetzung im Vorbereitung.) Dieses Buch ist ein Master populärer Darstellung. Die Naturwissenschaften. Das Bach liest sich wie ein spannender Roman. Ars mediei, H a a s besitzt im höchsten Grad die Fähigkeit, selbst schwierige physikalische Kapitel anschaulich darzustellen. Die Vorträge zeichnen sich sowohl durch die Klarheit der Darstellung, wie durch die Schönheit des Stils aus. Wer durch solche Werke für die Schönheiten der Physik nicht begeistert wird, der ist für die exakten Naturwissenschaften überhaupt nicht au haben. Die neue Zeit. Das Bfichlein, welches Kürxe mit Klarheit und einem erstaunlichen Reichtum des Inhalts meisterhaft vereinigt, wird jedermann, dem Fachmann wie dem gebildeten Laien, viel Anregung und Genuß verschaffen. Neue Freie Presse, Wien. Dank der Sachkenntnis und des großen didaktischen Geschickes des Autors dürfte das Büchlein den Bedürfnissen der sahireichen Niehtphysiker entsprechen. Pädagogisehe Studien.

Die Grundgleichungen der Mechanik dargestellt

auf

der g e s c h i c h t l i c h e n

Grund Entwicklung

Mit 45 Abbildungen im Text Gr.-Oktav. Geh. M.7

VI, 216 Seiten.

1914

, zuzügl.2900°/'oVerL-Teuerung8zu8chl. EinbandM.50

Man matt den Gedanken (der dem Buche zugrunde liegt) als außerordentlich glücklich bezeichnen, nnd er ist mit einer musterhaften Sorgifalt durchgeführt, die die Lektüre des Buches auch dem su einem hohen Genuß macht, der es nicht als Lernender liest Ein schönes, klares und ansprechend geschriebenes Buch, das man ganz besonders jedem Physiker ohne Einschränkung empfehlen darf. Physikal Zeitschrift. Das Buch seichnet sich durch Einfachheit und Klarheit der Darstellung und Lebhaftigkeit des Stiles vorteilhaft aus. Chemiker-Zeitung. Vereinigung wissenschaftlicher Verleger • Walter de GruyterGr Co. vormals G.J. Gesehen'sehe Verlagshandlung • J. Guttentag; Verlagsbuchhandlung • Georg Seimer • Karl J. Trübner Veit & Comp. • Berlin W. 10 und Leifsig

WORTERBUCH DER PHYSIK Von

Prof. Dr. Felix Auerbach Mit 267 Figuren. Oktav. X und 466 Seiten.

1920

Preis gebunden M. 306.— Das „Wörterbach der Physik" bietet auf dem knappen Saum von 80 Bogen eine Falle von Material. Nahezu 4000 alphabetisch geordnete Artikel, darunter 357 Hauptartikel, geben auf alle in das Qebiet der Physik einschlagenden Fragen kurze aber klare und in allem Wesentlichen erschöpfende Antwort in Gestalt von Definitionen, Lehrsätzen, Theorien, Formeln, Zahlentabellen und graphischen Darstellungen, v o m noch instruktive Figuren kommen. Das Buch ist für jeden Physiker wie aaeh für jeden Freund der exakten Naturwissenschaft von größtem Wert.

ÜBER KATHODENSTRAHLEN Nobelvortrag gehalten in öffentlicher Sitzung der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften zu Stockholm Von

P. Lenard Neue, durch viele Zusätze vermehrte Ausgabe mit 11 Abbildungen. Groß- Oktav. 1920

Preis M. 15.— anzüglich 1100% Verleger-Teuerungssuschlag Die in vorliegendem Vortrag enthaltenen Ausführungen des Verfassers vermitteln mit bestem Erfolge in allgemeinverständlicher und fibersichtlicher Weise die Kenntnis vom Wesen und Wirken der Kathodenstrahlen. Neue Erfahrungen werden eingehend gewürdigt. Vier Anhänge wollen in der Hauptsache historischem Interesse dienen.

Vereinigung wissenschaftlicher Verleger • Walter de Gruyter & Co. vormals G.J. GSuhen'scke Verlagshandlung • J. Glitten tag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer • Karl J. Trübner Veit 6* Comp. • Berlin W. 10 und Leiptig

Die Physik der Verbrennungserscheinungen Von

DP. Heinrich Mache o. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien

Mit 43 Abbildungen im Text and auf 2 Tafeln Groß-Oktav. IV, 188 Seiten.

1918.

Geh. M. 4.—, zuzügl. 29000/„ Verleger-Teuerungszuschlag. Einband M. 25.— In diesem Wei'k werden zum erstenmal die Verbrennungserscheinungen von physikalischen Gesichtspunkten aus behandelt. Der Verfasser hat alles zusammengestellt, was bis jetzt darüber bekannt ist Das Werk trägt überall die persönliche Note des Verfassers und wird deshalb auch diejenigen interessieren, welche mit dem Gegenstand bereits vertraut sind.

Lehrbuch der Physik Nach Vorlesungen an der Technischen Hochschule zu München Von

Dr. H. E b e r t

weiland Professor der Physik an der -Technischen Hochschule zn München

Erster Band: Mechanik, Wärmelehre Mit 168 Abbildungen im Test. 2. Auflage (anastat. Nachdruck) Groß-Oktav. X X , 661 Seiten. 1920. Gebunden M. 665.—

Zweiter Band, I. Teil: Die elektrischen Energieformen Fertiggestellt und herausgegeben von

Dr. C. Heinke

ord. Prof. der Elektrotechnik an der Technischen Hochschule zu München

Mit 341 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. X X , 687 Seiten. 1920 Geh. M. 65.—, zuzügl. 1100 °/0 Verleger-Teuerungszuschlag. Einband M. 90.— Für die Ausbildung der Studierenden, denen das- physikalische Wissen ebensowenig Endzweck ist, wie das mathematische, sondern denen vielmehr die Anwendung zur Lösung technischer Probleme obliegt, entspricht Eberts Art der Behandlung des Stoffes geradezu einem Bedürfnis.

Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter&Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner Veit 8t Comp. / Berlin W 10 und Leipzig

EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK in z w e i

Bänden

von

Dr. Clemens Schäfer Professor an der Universität Breslau-

I. B a n d : Mechanik m a t e r i e l l e r P u n k t e , Mechanik s t a r r e r K ö r p e r , Mechanik d e r K o n t i n u a ( E l a s t i z i t ä t und H y d r o m e c h a n i k ) Vergriffen.

Zweite, veränderte Auflage im Druck.

I L B a n d , Erster Teil: Theorie der W ä r m e , Molekular-kinetische Theorie der Materie Mit 71 Figuren im Text. Groß-Oktav. X , 562 Seiten. 1921. Geh. M. 75.—, zuzügl. 500°/ 0 Verleger-Teuerungszuschlag. Einband M. 65.— II. Band, Zweiter Teil.

In Vorbereitung.

„Wir sind überzeugt, daß der Leser das Buch mit denselben Gefühlen der Befriedigung aus der Hand legen wird, mit dem wir es sowohl den Fachgenossen, als auch, den Studierenden aufs angelegentlichste empfehlen. Es wird nach unserer Überzeugung für lange Zeit das S t a n d a r d w e r k f ü r den U n i v e r s i t ä t s u n t e r r i c h t werden." Physikalische Zeitschrift. „Die Darstellung ist ebenso elegant wie l e i c h t v e r s t ä n d l i c h . " Zeitschrift für Naturwissenschaften.

LEHRBUCH DER PHYSIK Von

B. Rieeke

herausgegeben von Prof.

E. Lecher

I. B a n d : Mechanik und A k u s t i k , W ä r m e , Optik Vergriffen. Siebente, veränderte Auflage im Druck. I I . B a n d : M a g n e t i s m u s und E l e k t r i z i t ä t Mit 306 Figuren im Text. Lexikon-Oktav. X I V , 363 Seiten. 1919, Geh. M. 40.—, zuzügl. 1700% Verleger-Teuerungszuschlag. Einband M. 90.— „Das Werk wird sich auch künftighin als a u s g e z e i c h n e t e s H i l f s m i t t e l besonders für das Selbststudium empfehlen." Ztschr. f. d. phys. Unterr.

V e r e i n i g u n g w i s s e n s c h a f t l i c h e r Verleger W a l t e r d e G r u y t e r & C o . vormals O.J.Göschen'sche Verlagshandlung / J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner Veit 8t Comp. / Berlin W ; 10 und Leipzig

K«tzger & Wittig, Leipzig.

Physik und

Hypothese

Versuch einer induktiven Wissenschaftslehre nebst einer kritischen Analyse der Fundamente der Relativitätstheorie von Dr. H u g o D i n g l e r , a. o. Professor an der Universität München. Groß-Oktav. XI, 200 Seiten. 1921, Geh. M. 30.— , zuzügl. 500 °/0 Verleger-Teuerungszuschlag. Einband M. 35.—

Vorlesungen über

Thermodynamik

Von Dr. Max P l a n c k , o. ö. Prof. der theoret. Physik a. d. Universität Berlin. Siebente Auflage. Im Druck. Einer besonderen Empfehlung bedarf das h e r v o r r a g e n d e Werk nicht mehr. (Zeitschrift für Elektrochemie und angew. physik. Chemie.) Die P l a n c k sehen Vorlesungen sind von a l l e r g r ö ß t e r B e d e u t u n g r und die Lektüre gewährt durch den universalen Standpunkt des Verfassers eine ganz b e s o n d e r e A n r e g u n g und r e i c h e n G e n u ß . (Chemiker-Zeitung.)

Einführung

in die Theorie der

Wärme

von Dr. H e i n r i c h M a c h e , o. ö. Prof. an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 96 Textfiguren. Groß-Oktav. VIII, 319 Seiten. 1921. Preis geheftet M. 50.—, zuzügl. 500% Verleger-Teuerungszuschlag. Einband M. 55.— Das Buch erstrebt vor Allem, die physikalische Begriffsbildung möglichst einfach und klar zu gestalten, es setzt nur physikalische Mittelschulbildung und Kenntnis der Elemente der Differential- und Integralrechnung voraus.

Die Principe

der

Dynamik

Von Professor Dir C l e m e n s S c h a e f e r . Mit 6 Figuren im Text. GroßOktav. IV, 76 Seiten. 1919. Geh. M. 4.50 zuzügl. 1700°/« Verlegerteuerungszuschlag. Das Werk behandelt ein außerordentlich wichtiges Kapitel der Dynamik, das in den meisten Darstellungen zu kurz kommt, nämlich das gegenseitige Verhältnis der Prinzipe der Dynamik zueinander. Die Darstellung ist eine sehr anregende, nicht zum wenigsten infolge der Erörterung einfacher, glücklich gewählter Beispiele, mit deren Hilfe die gegenseitigen Beziehungen der einzelnen Prinzipe besonders klar zutage treten, so daß wir dem Werkchen eine recht ausgedehnte. Verbreitung wünschen. (Zeitschrift für technische Physik)

Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter&Co. vormals G.J.Göschen'sche Verlagshandlung / J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner Veit & Comp. / Berlin W 10 und Leipzig