Vektoranalysis: Teil 2 [Reprint 2017 ed.] 9783110832075, 9783110046427

Table of contents :
Inhaltsverzeichnis
Siebentes Kapitel: Inhalte und Maße
Achtes Kapitel: Integrationstheorie
Neuntes Kapitel: Kurvenintegrale
Zehntes Kapitel: Integrale auf Mannigfaltigkeiten
Lösungen der Aufgaben
Namen- und Sachverzeichnis

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de Gruyter Lehrbuch Kowalsky - Vektoranalysis II

Hans-Joachim Kowalsky

Vektoranalysis II

w DE

_G Walter de Gruyter • Berlin • New York 1976

Dr. rer. nat. Hans-Joachim Kowalsky o. Professor für Mathematik an der Technischen Universität Braunschweig

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Kowalsky, Hans-Joachim Vektoranalysis. 2. -1976. (de-Gruyter-Lehrbuch) ISBN 3-11-004642-3

Copyright 1976 by Walter de Gruyter & Co., vormals G.J. Göschen'sche Verlagshandlung J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp., Berlin 30 - Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. - Satz: Fotosatz Tutte, Salzweg-Passau - Druck: Gerike, Berlin - Bindearbeiten : Mikolai, Berlin. - Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis

Siebentes Kapitel Inhalte und M a ß e § 22 §23 § 24 § 25 § 26

Figuren und Elementarinhalt Mengenringe und Inhalte und Maße Das Lebesgue'sche Maß Meßbare Abbildungen

7 ff-Algebren

7 15 24 39 47

Achtes Kapitel Integrationstheorie § 27 § 28 § 29 § 3.0 §31 § 32

Das Integral Rechengesetze Integrale reellwertiger und numerischer Funktionen Das Integral als lineares Funktional Integrale auf Vektorräumen Die Transformationsformel

62 62 75 84 97 106 117

Neuntes Kapitel Kurvenintegrale

128

§33 Das Bogenmaß § 34 Kurvenintegrale

128 140

Zehntes Kapitel Integrale auf Mannigfaltigkeiten

157

§35 Flächenintegrale § 36 Mannigfaltigkeiten § 37 Integration alternierender Differentiale

157 167 184

Lösungen der Aufgaben

199

N a m e n - u n d Sachverzeichnis

249

Siebentes Kapitel Inhalte und Maße

Die Integrationstheorie in Vektorräumen bedarf einiger Vorbereitungen. Anders als im Fall der Zahlengeraden, in dem Integrale im allgemeinen nur über Intervalle erstreckt werden, treten hier wesentlich allgemeinere Mengen als Integrationsbereiche auf. Um nun einen entsprechend allgemeinen Integralbegriff definieren zu können, muß man zunächst geeigneten Teilmengen des Vektorraums ein Volumen zuordnen. Und zwar wird man bemüht sein, hierbei möglichst vielen Mengen in sinnvoller Weise eine Maßzahl zuzuordnen, nämlich so, daß dieser Maßbegriff einige natürliche Eigenschaften besitzt. Eine einfachste Maßbestimmung, die unmittelbar an die Anschauung anknüpft, wird durch den Jordarischen Inhalt geliefert, der auf den Riemami sehen Integralbegriff führt. Zu einem allgemeineren Integralbegriff mit einfacheren Eigenschaften gelangt man jedoch, wenn man den Jordan'sehen Inhalt auf eine erheblich größere Klasse von Mengen ausdehnt und ihn so zum Lebesgue" sehen Maß erweitert. Das durch ihn bestimmte Lebesgue'sche Integral liefert dann auch im Fall der Zahlengeraden einen neuen Integralbegriff. Das Lebesgue'sehe Maß ist nur ein Spezialfall eines allgemeinen, abstrakt definierten Maßbegriffs, durch den gerade die wesentlichen Eigenschaften erfaßt werden. Daher ist es auch häufig übersichtlicher, Begriffe, Sätze und Beweise für allgemeine Maße zu formulieren, und sie erst dann auf den hier gebrauchten Spezialfall anzuwenden. Deswegen werden in diesem Kapitel die einfachsten Grundlagen der allgemeinen Maßtheorie in dem hier erforderlichen Rahmen zusammengestellt, obwohl sie weitgehend nur in dem Spezialfall des Lebesgue'sehen Maßes gebraucht werden. Die Darstellung dieses Kapitels stützt sich in einigen Teilen auf die Bücher „H. Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundlagen der Maßtheorie" und „E. Henze, Einführung in die Maßtheorie". Dem ersten Buch wurde besonders die Verwendung der Dynkin-Systeme entlehnt.

§ 22 Figuren und Elementarinhalt In diesem Paragraphen ist X stets ein euklidischer Vektorraum endlicher Dimension, und {e^ ..., e j ist eine fest gewählte Orthonormalbasis von X. Be-

8

Inhalte und Maße

züglich dieser Basis werden die Koordinaten von Vektoren a , . . . , x,... sinngemäß mit alt..., ak,..., xu ..., xk,... bezeichnet. Sind nun a, b zwei Vektoren aus X, deren Koordinaten die Ungleichungen aK < bx(K = 1,..:•, k) erfüllen, so wird die Menge [ a , b [ = { s : aK^xK

(W)

-

~

£

M) +

= A ( j ) - f

1 > 0

» = 0

und daher erst recht für jede natürliche Zahl n (3)

k n - K J o ) -

-X{J'n)>

^r) =

0.

^

v= 0

Z

14

Inhalte und Maße

Andererseits ergibt sich aus (1) und (2) r für alle CeX), wegen 5eX) also insbesondere A n f i e l ) . Außerdem gilt für beliebiges C' e X) auch C = BnC' eT> und daher ( ^ n 5 ) n C ' = = AnCeX>, also AnBeA(X>, X). Damit ist A(X), X) durchschnittsstabil, als Dynkin-System nach 23.6 also eine a-Algebra. •

22

Inhalte und Maße

Wichtiger als der soeben benutzte Satz 23.6 ist für die Anwendungen das folgende Ergebnis. Es besagt, daß ein Dynkin-System alle u-Algebren enthält, die von durchschnittsstabilen Teilsystemen erzeugt werden. 23.8 Es sei X> ein Dynkin-System, und © sei ein durchschnittsstabiles Teilsystem von T>. Dann gilt auch 2I* und Ee(£ auch AnEeX>*. Nach demselben Satz ist weiter 21 = A (X>*, D*) eine * folgt aus nach der vorangehenden Bemerkung auch E= XnEe T>*. Da außerdem EnA e für alle AeT>* gilt, folgt sogar Es A (£*, D*) = 91, also G c: 21. Da aber 21 selbst eine cr-Algebra ist, muß auch 21 erfüllt sein. • Ergänzungen und Aufgaben 23A Obwohl die BoreVsehe tr-Algebra 93 eines Vektorraums X sehr gut zu übersehende c-Erzeugendensysteme besitzt, ist es sehr schwierig, von den Borer sehen Mengen selbst einen zutreffenden Eindruck zu gewinnen. Man erkennt zwar verhältnismäßig leicht, daß BoreVsehe Mengen sehr kompliziert aufgebaut sein können. Dabei kann aber auch der Verdacht entstehen, daß die BoreV sehen Mengen aus einem anderen Grund sehr gut zu übersehen sein könnten. Es ist nämlich nicht unmittelbar auszuschließen, daß etwa jede Teilmenge von Zeine BoreV sehe Menge ist, daß © also mit der Potenzmenge von X zusammenfällt. Tatsächlich trifft dies zwar nicht zu. Nur erfordert ein entsprechender Beweis weitergehende mengentheoretische und topologische Grundlagen, so daß er hier nur angedeutet werden kann. Auf der Zahlengeraden werden zu jeder natürlichen Zahl n induktiv 2" kompakte und disjunkte Intervalle Jn e (Q = 0 , . . . , 2" — 1) durch folgende Vorschrift definiert: ^0.0 = [0,1]. Gilt J„ e = [a, ¿>], so sei Jn+i,ie = laAa + hb~\

und

JB+1>2e+i = ßa + | M ] .

Anschaulich bedeutet dieser Prozeß, daß aus den bereits konstruierten Intervallen im nächsten Schritt jeweils das mittlere Drittel entfernt wird. Die Mengen K=

(n e IN)

23

§ 23 Mengenringe und tr-Algebren

sind als Vereinigungen je endlich vieler kompakter Intervalle selbst kompakt und nicht leer. Nach dem Durchschnittssatz von Cantor (5.2) ist daher auch d= n

K

n= 0

eine nicht leere und kompakte Teilmenge der Zahlengeraden, insbesondere also auch eine BoreVsche Menge. Sie wird das Cantor'sche Diskontinuum genannt und ist wegen ihrer interessanten topologischen Struktur ein häufig benutztes Beispiel. Aufgabe :(1) Man zeige, daß die Mengen G„e = J„e n D ( « e INJ, g = 0,.. .,2" - 1) offen in D sind und daß sich jede in D offene Teilmenge als Vereinigung von solchen Mengen G„ e darstellen läßt. (2) Man zeige weiter, daß das System 51 aller Durchschnitte je höchstens abzählbar vieler in D offener Mengen eine e in F(M) liegt. Es folgt

30

Inhalte und Maße

a„(M) g X

S Z

+

v \

v,e

/

= (X a„(M v )) + e v

für jede positive Fehlerschranke e, also (3). Schließlich sei n jetzt u-additiv, es gelte A e SR, und (Av) sei eine Folge aus F(A). Dann liegt auch die durch A'v = AnAv definierte Folge in F(A) und ebenfalls die disjunkte Folge A%=A'0,

A*+1 = A'v + 1\(A'0u...^A'v)

(velN).

Wegen A* cz A'v c Av, der Isotonie von aß und der er-Additivität von ¡x folgt ß(A) = At(U A*) = £ fi(A*) ^ X p{Ay), V

V

V

und zwar für alle Folgen (Av) e F(A), also fi(A) OLß(A). Da die umgekehrte Ungleichung bereits am Anfang des Beweises nachgewiesen wurde, folgt a„(A) = ft(A)• Obwohl die äußeren Maße nicht einmal additiv zu sein brauchen, haben sie deswegen eine besondere Bedeutung, weil sie bei geeigneter Einschränkung ihres Definitionsbereichs auf Maße führen. Dieser Verengung des Definitionsbereichs dient die folgende Festsetzung. Definition 24e: Es sei OL : 91 —• IR+ ein äußeres Maß. Dann wirdeine Menge Ae%I eine a-meßbare Menge genannt, wenn (M)