Vektoranalysis in ihren Grundzügen und wichtigsten physikalischen Anwendungen [2., verb. Aufl. Reprint 2015] 9783111638386, 9783111255804

Table of contents :
Inhalt
Einleitung
I. Kapitel. Die Vektoren
II. Kapitel. Die Tensoren
III. Kapitel. Die Vektorfelder
IV. Kapitel. Die Potentiale
V. Kapitel
VI. Kapitel. Die Weltvektoren
Anhang. Zusammenfassung des Inhalts

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VEKTORANALYSIS IN IHREN GRUNDZÜGEN UND W I C H T I G S T E N P H Y S I K A L I S C H E N ANWENDUNGEN

VON

A R T H U R HAAS DR. PHIL., PROFESSOR FÜR PHYSIK AN DER UNIVERSITÄT WIEN

M I T 37 A B B I L D U N G E N IM T E X T

ZWEITE, VERBESSERTE

BERLIN

W A L T E R

UND

DE

AUFLAGE

LEIPZIG

1929

G R U Y T E R

& CO.

VORMALS G. J. GÖSCHEN*SCHE VERLAGSHANDLUNG • J. GUT l'ENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG . GEORG REIMER. . KARL J. TRUBNER . VEIT & COMP.

Copyright by Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter & Co. in Leipzig, 1922

Manuldrudi von F. Ulimann G. m. b. H„ Zwickau Sa.

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage. In den Vorlesungen, die ich im Wintersemester 1921/22 an der Wiener Universität hielt und die in diesem Buche wiedergegeben sind, sollte die Vektoranalysis nicht wie in anderen Büchern um ihrer selbst willen behandelt werden; es sollten vielmehr in diesen Vorlesungen die Grundlagen der Mechanik der Massenpunkte, der starren und deformierbaren Körper sowie die Grundlagen der MAXWELL sehen Theorie und der Relativitätstheorie möglichst einfach mittels einer einheitlichen vektoriellen Methode entwickelt werden. Zu diesem Zwecke wurden in den Vorlesungen die Grundzüge der Vektor- und der Tensoranalysis dargestellt; doch wurde hierbei grundsätzlich niemals weiter gegangen, als es für die späteren physikalischen Anwendungen notwendig war. In dem Buche wechseln rein mathematische Abschnitte mit solchen ab, in denen die gewonnenen mathematischen Erkenntnisse physikalisch verwertet werden. Eine scharfe Scheidung erschien mir notwendig, damit sich der Leser deutlich dessen bewußt werde, welche Zusammenhänge zwischen physikalischen Theoremen rein mathematischer Natur sind und welche nur unter Zuhilfenahme physikalischer Erfahrungstatsachen hergestellt werden können. Von dem HAMILTON sehen Operator habe ich in diesem Buche nirgends Gebrauch gemacht, da ich glaube, daß seine Benutzung den Anfänger nur verwirrt; aus demselben Grunde erschien mir eine scharfe Betonung des Gegensatzes zwischen polaren und axialen Vektoren überflüssig. Auf eine Darstellung der verallgemeinerten, nichteuklidischen Tensoranalysis habe ich in diesem Buche verzichtet; ich glaubte dies um so eher tun zu sollen, als sich eine solche von mir verfaßte Darstellung ohnedies in meiner „Einführung in die theoretische Physik" (in dem Kapitel über allgemeine Relativitätstheorie) findet. Wien, im Juni 1922. Arthur Haas.

Vorwort zur zweiten Auflage. Von der ersten Auflage unterscheidet sich die zweite außer durch mannigfache kleinere Verbesserungen in den anderen Abschnitten vor allem durch eine völlige Umarbeitung des § 13 (Spannung). Die Gliederung des Büchleins ist im übrigen unverändert geblieben. Wien, im Juli 1929. Arthur Haas.

Inhalt. Seite

Einleitung

1

I. Kapitel. § § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Vektoren und Skalare Vektoralgebra Die Dynamik des Massenpunktes Die Transformation der Vektorkomponenten Der Gradient eines skalaren Feldes Potential und Energie Das rotierende Koordinatensystem Die Belativbewegung Die BewegungsVorgänge auf der rotierenden Erde

II. Kapitel. § 10. §11. § 12. §13.

Die Vektoren.

Der Das Das Die

Die Tensoren.

Begriff des Tensors Tensorellipsoid Trägheitsmoment Spannung

III. Kapitel.

2 5 13 17 19 22 23 27 31

36 40 .41 45

Die Vektorfelder.

§14.

Die vektoriellen Differentialoperationen

§ 15.

Der Satz von GAUSS

48 54

§ 16. Die Vektorlinien

56

§ 17.

Der Satz von STOKES

58

§ § § §

Tensorfeld und Vektordivergenz Die Dynamik des deformierbaren Körpers Die ideale Flüssigkeit Das elastische Medium

62 68 70 74

18. 19. 20. 21.

IV. Kapitel.

Die Potentiale.

§ 22.

Quellpunkt und Feldstärke

§ 23.

Die Gleichung von POISSON

81

§ § § § § §

Die Quellenflächen Quellenpaar und Doppelachichte . . . . ' . Das vektorielle Potential Die COULOMB sehen Fernkräfte Elektrische Ladung und elektrischer Strom Der Magnetismus

83 85 87 91 92 95

24. 25. 26. 27. 28. 29.

78

vi

Inhalt. Seite 98 101 102

§ 30. § 31. § 32.

D a s G e s e t z v o n BIOT u n d SAVABT D a s e l e k t r o d y n a m i s c h e G r a n d g e s e t z v o n AMPÈRE D a s I n d u k t i o n s g e s e t z v o n NEDMANN

§83.

D i e MAXWELL s e h e n G l e i c h u n g e n

104

§ 34.

D e r S a t z v o n POYNTIKG

106

V. Kapitel. § § § §

35. 86. 37. 38.

Die Die Die Die

Die Vektorwellen.

Vektorschwingung ebenen Vektorwellen elastischen Wellen elektromagnetischen Lichtwellen

VI. Kapitel.

108 110 113 114

Die Weltvektoren.

§ 39.

D i e MINKOWSKI-Welt

118

•§ 40. § 41. § 42. •§ 43.

Die Die Die Die

122 124 127 130

LosENTz-Transformation Zusammensetzung von Geschwindigkeiten relativistische Dynamik träge Masse der Energie

Anhang. Zusammenfassung des Inhalts

133

Übersicht über die häufigsten Bezeichnungen

144

Namenverzeichnis

. . . .

145

Sachverzeichnis

. . . .

146

Einleitung. Die Geschichte der Vektorrechnung beginnt eigentlich mit dem bekannten holländischen Physiker STEVIN, der um 1600 anläßlich seiner Entdeckung des Prinzips des Kräfteparallelogramms zuerst p h y s i k a lische Größen durch g e r i c h t e t e S t r e c k e n d a r s t e l l t e . Etwa hundert Jahre nach STEVIN erhielt die Mechanik ihr eigentliches Fundament in dem bekannten z w e i t e n NEWTONSchen B e w e g u n g s a x i o m , das eine vektorielle Beziehung zum Inhalt hat. Denn es lehrt ja unter anderem, daß die B e s c h l e u n i g u n g und die K r a f t stets g l e i c h ger i c h t e t sind. Da das zweite NEWTON sehe Bewegungsgesetz die eigentliche Grundlage der Mechanik bildet, haben natürlich die theoretischen Physiker, als sie im 17. und 18. Jahrhundert die Mechanik ausbauten, dabei auch viele wichtige Beziehungen der Vektortheorie aufgefunden. Sie sprachen allerdings nicht von Vektoren; aber sie wußten, wenn auch auf komplizierte Art, mit ihnen zu operieren, namentlich seit durch EULER in der Mitte des 18. Jahrhunderts die Physik mit der a n a l y t i s c h e n Geom e t r i e des R a u m e s verknüpft worden war; und als im Beginne des 19. Jahrhunderts die Potentialtheorie ausgebildet wurde, da erkannten die Theoretiker auch die Bedeutung der wichtigen Differentialoperationen, durch die Vektorgrößen miteinander verknüpft werden können. Freilich rechneten damals die theoretischen Physiker nie mit den Vektoren selbst, sondern immer, indem sie alles auf ein Koordinatensystem bezogen, mit den V e k t o r k o m p o n e n t e n . Erst um das Jahr 1840 erkannten gleichzeitig, doch unabhängig voneinander GRASSMANN und HAMILTON, daß dieses ständige Rechnen mit den Vektorkomponenten statt mit den Vektoren selbst eine durch den Gegenstand gar nicht geforderte und ganz überflüssige Komplizierung bedeutet; und so bildeten sie in den Vierziger Jahren des 19. Jahrhunderts die eigentliche V e k t o r r e c h n u n g aus. In die theoretische Physik hat die Vektoranalysis indessen erst durch MAXWELLS berühmtes, 1878 erschienenes Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus Eingang gefunden. Eine allgemeine Verbreitung wurde der Vektoranalysis freilich erst seit dem Beginne des 20. Jahrhunderts zuteil — infolge der ungeheuren Vereinfachung, die durch sie die Darstellung der Mechanik und der Elektrizitätstheorie erfährt. HAAS, Vektoranalysis.

1

I. K a p i t e l .

Die Vektoren. § 1. Vektoren nnd Skalare. Unter einem V e k t o r verstehen wir eine g e r i c h t e t e S t r e c k e , unter einer V e k t o r g r ö ß e eine Größe, die erst durch Angabe einer R i c h t u n g bestimmt ist und daher symbolisch d u r c h e i n e n V e k t o r d a r g e s t e l l t werden kann. Beispiele für Vektorgrößen sind die Kraft, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, das statische Moment, die elektrische Feldstärke. An jeder Vektorgröße müssen drei wesentliche Eigenschaften unterschieden werden: der B e t r a g , die R i c h t u n g und der R i c h t u n g s s i n n . Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Zahl, die es angibt, wieviel Einheiten die betreffende Größe hat. Unter dem Betrag einer Kraft oder einer Geschwindigkeit versteht man beispielsweise die Zahl, die es angibt, wieviel Krafteinheiten die betreffende Kraft oder wieviel Geschwindigkeitseinheiten die betreffende Geschwindigkeit mißt. Bei der Darstellung durch eine gerichtete Strecke ist natürlich der Betrag der Vektorgröße durch die L ä n g e der Strecke repräsentiert. Dem allgemeinen Brauche gemäß sollen im folgenden Vektorgrößen immer mit d e u t s c h e n B u c h s t a b e n bezeichnet werden. Der B e t r a g eines Vektors soll mit dem entsprechenden l a t e i n i s c h e n B u c h s t a b e n bezeichnet werden, also der Betrag eines Vektors 31 mit A. Daß zwei Vektoren 31 und SB im Betrage, in der Richtung und im Richtungssinn übereinstimmen, soll durch die symbolische Gleichung ausgedrückt werden (1)

=

Zwei V e k t o r e n werden also auch dann als i d e n t i s c h angesehen, wenn sie v o n v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n a u s gezogen werden, wofern nur Betrag, Richtung und Richtungssinn übereinstimmen. Daß zwei Vektoren 31 und £ zwar im Betrage und in der Richtung übereinstimmen, jedoch e n t g e g e n g e s e t z t e n R i c h t u n g s s i n n haben, soll seinen Ausdruck in der symbolischen Gleichung finden. (2)

31=-G. Die P r o j e k t i o n e n eines Vektors auf die A c h s e n e i n e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s werden als die K o m p o n e n t e n des V e k t o r s in

§ 1. Vektoren und Skalare. bezug auf dieses Koordinatensystem bezeichnet. Sind die Komponenten eines Vektors 51 gleich1 A„ Av, At, so ist nach dem pythagoreischen Lehrsatz (3) A* = Am* + Av* + Az*. Das Quadrat des Betrages eines Vektors ist gleich der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Durch die Komponenten ist aber nicht nur der Betrag des Vektors bestimmt, sondern auch seine Richtung und durch das Vorzeichen der Komponenten natürlich auch der Bichtungssinn. Es ist ja die Projektion auf die x-Achse gleich dem Betrage des Vektors, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, den die Vektorrichtung mit der Eicht,ung der xAchse einschließt, also (4) Ax = A cos (H, x) oder nach Gl. 3 cos (51, x)

(5)

Vas+AS+A* Zwei analoge Gleichungen gelten für die Winkel, die die Vektorrichtung mit der y- und der ¿-Achse bildet. z z A A

y

Fig.

y

Fig. 2.

Eine kurze Zwischenbemerkung über r ä u m l i c h e K o o r d i n a t e n s y s t e m e muß indessen hier eingeschaltet werden. Es sind zwei Arten von räumlichen Koordinatensystemen möglich, die miteinander nie zur Deckung gebracht werden können, weil die eine Art das S p i e g e l b i l d der anderen ist. Zeichnen wir nämlich in einer vertikalen Ebene die xund die «-Achse, so kann die positive y-Achse nach hinten oder nach vorn gerichtet sein. Im ersten Falle (Fig. 1) erscheint, von einem Punkte 1 Die Komponenten eines Vektors sollen in diesem Buch grundsätzlich immer mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.

1*

4

Die Vektoren.

der positiven z-Achse aus gesehen, die Drehung, die auf kürzestem Wege die positive x-Achse in die Eichtling der positiven y-Achse überführt 2 , e n t g e g e n g e s e t z t der Drehung des U h r z e i g e r s . Im zweiten Fall (Fig.'2) erscheint diese Drehung im Sinne des Uhrzeigers. Im ersten Fall spricht man von einem e n g l i s c h e n , im zweiten Fall von einem französischen Koordinatensystem.3 Man nennt auch das englische Koordinatensystem ein E e c h t s s y a t e m und das französische ein Linkssystem. Stellt man nämlich die x-Achse durch den Daumen, die y-Achse durch den Zeigefinger und die z-Achse durch den Mittelfinger dar, so erhält man durch die Finger der rechten Hand ein englisches, durch die der linken Hand hingegen ein französisches Koordinatensystem. Da für die Untersuchung elektromagnetischer Vorgänge das e n g l i s c h e Koordinatensystem vorteilhafter ist, ist es heute in der theoretischen Physik allgemein gebräuchlich und soll darum auch im folgenden ausschließlich benutzt werden. Im Gegensatze zu den Vektoren nennt man Größen, die bereits durch Angabe einer Zahl vollkommen bestimmt sind, denen also eine Richtimg nicht zukommt, S k a l a r e . Man nennt sie deshalb so, weil sie vollkommen bestimmt sind, sobald man ihre an einer bestimmten Skala gemessene Größe kennt. Skalare sind z. B . die Temperatur, die Zeit, die Masse, die elektrische Ladung, die Magnetismusmenge. Mit einem S k a l a r wird ein V e k t o r offenbar so m u l t i p l i z i e r t , daß der Betrag des Vektors mit dem Skalar multipliziert wird, ohne daß an der Richtung des Vektors etwas geändert wird. Ebenso wird natürlich ein Vektor durch einen Skalar dividiert, indem man den Betrag dividiert, ohne etwas an der Richtung zu ändern. Diese Regel führt nun weiterhin zu dem wichtigen Begriff des E i n h e i t s v e k t o r s . Unter einem solchen versteht man einen Vektor, dessen Länge gleich der L ä n g e n e i n h e i t ist. Jede mögliche Richtung kann also durch einen Einheitsvektor festgelegt werden. Jeder beliebige Vektor kann nun aufgefaßt werden als das Produkt aus einem in seine Richtung fallenden Einheitsvektor und einem Skalar, der gleich ist dem Betrage des Vektors. Nennen wir etwa einen Einheitsvektor, der in die Richtung eines Vektors fällt, a, so ist (6) 21 = aA . Auch ein Koordinatensystem kann charakterisiert werden durch die drei Einheitsvektoren, die in die Richtungen der positiven Achsen fallen. Man bezeichnet diese Einheitsvektoren allgemein mit i, j, I und nennt sie die G r u n d v e k t o r e n des betreffenden Koordinatensystems. 2 Statt durch eine Drehung um 90° kann man ja die positive ar-Achse in die Richtung der positiven y-Achse auch durch eine entgegengesetzte Drehung um 270° überführen. Darum wird von einer Überführung „auf kürzestem Wege" gesprochen. 3 Die Bezeichnungen erklären sich daraus, daß früher das durch Kg. 1 dargestellte System hauptsächlich von englischen, das durch Fig. 2 dargestellte aber vor allem von französischen Physikern benutzt wurde.

§ 2. Vektoralgebra.

5

§ 2. Vektoralgebra. Ebenso wie Zahlengrößen können auch Vektorgrößen durch mannigfache Operationen miteinander verknüpft werden, die zweckmäßig so definiert werden, daß sie in besonderen Fällen in die mit gleichem Namen benannten arithmetischen Operationen übergehen. Als S u m m e zweier V e k t o r e n definiert man zunächst einen Vektor, der die D i a g o n a l e eines Parallelogramms darstellt, dessen Seiten den beiden Summanden nach Größe und Richtung gleich sind. Um die Summe zweier Vektoren und 93 zu erhalten, trägt man also von dem Endpunkt des Vektors 9t den Vektor © auf und verbindet nun den Anfangspunkt des Vektors 31 mit dem Endpunkt des Vektors SB (Fig. 3). Die vektorielle oder, wie man auch sagt, die geometrische Summe der "beiden Vektoren wird durch das Symbol ausgedrückt 91 + 93. Ohne weiteres zeigt die geometrische Anschauung, daß ebenso wie für die arithmetische so auch für die vektorielle Addition sowohl das komm u t a t i v e als auch das a s s o z i a t i v e Gesetz gilt. Es ist (1) 9I + » = 9 3 + 9 t , und wenn ein beliebiger dritter Vektor mit (£ bezeichnet wird, ist (2)

(31 + 23)+(£ = (91+6;) + 93 = (93 + (£) + 91.

Sind zwei zu addierende Vektoren gleich gerichtet, so geht die geometrische Addition in die arithmetische über, indem der Betrag der Summe dann einfach gleich ist der Summe der Einzelbeträge. Unter der D i f f e r e n z zweier V e k t o r e n , bezeichnet durch das Symbol 91 — 23, versteht man die Summe aus dem Vektor 91 und aus einem Vektor, der dem Vektor SB e n t g e g e n g e s e t z t gleich ist. Hat ein Vektor 9t die Komponenten Ax, Av, Az, so können wir den Vektor auch auffassen als die Summe dreier Vektoren, die in die Richtungen der Koordinatenachsen fallen und die Beträge Ax, Av, Az haben. Indem wir die Symbole für die Grundvektoren des Koordinatensystems benutzen, können wir also die Formel aufstellen (3) %=\AX + \AV+UZ. Ist umgekehrt ein Vektor 91 in der Form darstellbar

6

Die Vektoren.

wobei S', S" und S'" drei skalare Ausdrücke bedeuten mögen, so können wir daraus sofort schließen, daß S' die ¡r-Komponente des Vektors ist, 8" die y- und S'" die ¿-Komponente. Denken wir uns die Gl. 3 auch für einen zweiten Vektor © gebildet und zu der ursprünglichen Gl. 8 vektoriell hinzuaddiert, so finden wir (4)

51 + © = t (A. + Bx) + j (Ay + By) + l(Az +

B„).

Nach dem vorhin Gesagten bedeutet diese Formel, daß die K o m p o n e n t e n der Summe zweier Vektoren gleich sind den S u m m e n der K o m p o n e n t e n der einzelnen Vektoren. Bei der M u l t i p l i k a t i o n von V e k t o r e n unterscheidet man die sogenannte innere und die sogenannte äußere Multiplikation. Als i n n e r e s oder fikalares P r o d u k t zweier Vektoren definiert man einen Skalar, der sich ergibt, wenn man den B e t r a g des einen Vektors multipliziert mit der P r o j e k t i o n des a n d e r e n Vektors auf den e r s t e n V e k t o r . Das innere Produkt zweier Vektoren und 23 wird durch das Symbol bezeichnet 5193 oder 51.9? oder (51 SB) . Es ist also (5) 2123 = B cos (51, 23). Das skalare Produkt ist p o s i t i v oder n e g a t i v , je nachdem ob die Vektoren miteinander einen s p i t z e n oder einen s t u m p f e n Winkel bilden. Aus der Definition des skalaren Produktes folgt zunächst, daß ebenso wie für die arithmetische Multiplikation das k o m m u t a t i v e Gesetz gilt; es ist (6) 51 SB = 23 21. Wir wollen nun weiterhin das skalare Produkt aus einem Vektor 51 und einem zweiten Vektor D untersuchen, der seinerseits die Summe zweier Vektoren 23 + £ sei. Indem wir die Richtung des Vektors 51 zu der a>Achse eines sonst beliebigen Koordinatensystems machen, erkennen wir aus der Gl. 4 sogleich, daß die Projektion des Vektors £) auf die Richtung des Vektors 51 gleich ist der Summe der Projektionen der Vektoren SB und (£. Nach der Definition des skalaren Produktes ist also (7)

21 (SB + Q ~JT '

E s ist also (13)

K = y •

Trägt man von dem Punkte A aus die Richtungen auf, die der Geschwindigkeitsvektor in den Punkten A und B hat, so bestimmen diese beiden Vektoren eine Ebene, die die S c h m i e g u n g s e b e n e des Kurvenstückes A B genannt wird. In dieser Schmiegungsebene liegen also die Vektoren D und d + d o und somit auch der Vektor dxtjdt; dieser aber ist der Beschleunigungsvektor mit seinen beiden Komponenten. 1 Für eine k r e i s f ö r m i g e B e w e g u n g wird g einfach gleich dem Kreisradius. Die Normal1 Die zu der Schmiegungsebene normale Richtung wird als die Binormale bezeichnet. Die Komponente der Beschleunigung nach dieser Richtung ist also stets null.

§ 3. Die Dynamik des Massenpunktes.

15

komponente der Beschleunigung wird dann einfach als die Z e n t r i p e t a l b e s c h l e u n i g u n g bezeichnet. 2 Das Produkt aus der Masse und dem Geschwindigkeitsvektor wird als B e w e g u n g s g r ö ß e oder I m p u l s bezeichnet. Wird der Impuls © genannt, so ist also (14)

© = mv

und somit .

Hieraus folgt durch zweimalige Integration nr\

(5)

X=

gwf* R COS 1f .

§ 9. Die Bewegungsvorgänge auf der rotierenden Erde.

33

(Die Integrationskonstanten können weggelassen werden, weil ja zur Zeit t = 0 sowohl dxjdt als auch x verschwinden muß.) Da die Fallhöhe

ist, so kann die gesamte östliche Abweichung auch durch die Formel dargestellt werden —= W

(6)

COS

Ij)

.

Am größten ist die Abweichung für den Äquator, während sie an den Polen ganz verschwinden muß. Betrachten wir einen Ort von etwa 48° Breite, zum Beispiel Wien, so wird w cos y> — 4,866 . 1 0 - 5 s e c - 1 .

(7)

Da g gleich ist 981 cm sec~2, so ergibt die Gl. 6 bei einer Fallhöhe von 100 m in der geographischen Breite von Wien eine östliche Abweichung von etwa 1,46 cm. Als ein zweites Beispiel einer Relativbewegung auf der rotierenden Erde werde eine H o r i z o n t a l b e w e g u n g betrachtet. Die CORIOLIS-Kraft muß dann eine solche Richtung haben, daß, von ihrer Spitze aus gesehen, die Drehung dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint, die die horizontale Bewegungsrichtung in die Richtung der gerichteten Strecke überführt, die die Winkelgeschwindigkeit der Erde darstellt. Diese Strecke weist aber, wie schon erwähnt, auf der nördlichen Erdhälfte immer nach oben, auf der südlichen immer nach unten. Eine Aufwärtsbewegung aus einer horizontalen Richtung erscheint aber nun einem Zuschauer dann entgegengesetzt dem Uhrzeiger, wenn er sich rechts von der horizontalen Richtung befindet. Die CoBiOLis-Kraft sucht also auf der n ö r d l i c h e n E r d h ä l f t e jede H o r i z o n t a l b e w e g u n g n a c h r e c h t s , auf der s ü d l i c h e n Erdhälfte aber n a c h l i n k s a b z u l e n k e n . Infolge dieser seitlichen Ablenkung biegen Meeres- und Luftströmungen auf der nördlichen Halbkugel nach rechts, auf der südlichen nach links ab. Auf der nördlichen Erdhälfte zeigt daher ein Nordwind die Tendenz, sich allmählich in einen Ostwind umzuwandeln. 2 (Denn für einen von Nord nach Süd wandernden Menschen ist ja die Richtung von Ost nach West gleichbedeutend mit der Richtung von links nach rechts.) ' Durch diese Tatsache finden die P a s s a t w i n d e ihre Erklärung. In den Tropen steigt nämlich die durch Erwärmung verdünnte Luft als ein gewaltiger Luftstrom vertikal nach aufwärts, um nach den beiden Polen abzufließen. Den Kreislauf schließend, strömen infolgedessen in den unteren Regionen kältere Luftmassen von Nord und Süd gegen den Äquator zu. Infolge der seitlichen Ablenkung tritt diese Strömung auf der nördlichen Erdhälfte als Nordostpassat, auf der südlichen als Südostpassat auf. In den höheren Regionen weht die von dem Äquator zu den Polen strömende Luft als Antipassat. Dieser ist auf der nördlichen Halbkugel ein Südwestwind, auf der südlichen ein Nordwestwind. HAAS, Vektoranalysis.

3

34

Die

Vektoren.

Um von der Größe der seitlichen Ablenkung bei der Horizontalbewegung eine • bestimmte Vorstellung zu gewinnen, betrachten wir den einfachen Fall, daß die Horizontalbewegung in der Meridianebene beginne. Der Vektor to schließt dann mit der Richtung der Relativgeschwindigkeit einen Winkel ein, der gleich ist der geographischen Breite •»//, und daher wird nach Gl. 2 der zweite zeitliche Differentialquotient der seitlichen Abweichung (8)

y = 0 ,

w3 = w sin ip.

Hierbei bedeutet nach der Definition der Winkelgeschwindigkeit wx die Winkelgeschwindigkeit um die ¡r-Achse, also in der j/-z-Ebene, wy die Winkelgeschwindigkeit um die ¡¡/-Achse und wz also die Winkelgeschwindigkeit um die Vertikale in einer Horizontalebene. Ein Koordinatensystem, bei dem nur die ¿-Achse als stets vertikal mit der Erde fest verbunden ist, während die beiden anderen Achsen in der Horizontalebene drehbar sind, wird sich daher für einen irdischen

§ 9. Die Bewegungsvorgänge auf der rotierenden

Erde.

35

Beobachter mit einer Winkelgeschwindigkeit drehen, die entgegengesetzt gleich ist v)., also gleich ist (11)

w' = — w sin xp.

Wir betrachten nun auf der rotierenden Erde eine P e n d e l b e w e g u n g , die ohne eine seitliche Anfangsgeschwindigkeit erfolge. Das Pendel werde aus seiner Ruhelage entfernt und dann ohne jeden Impuls losgelassen. Da die Ruhelage infolge der Erdschwere immer vertikal unterhalb des Aufhängepunktes liegen muß, so behält ein Pendel seine Schwingungsrichtung in bezug auf ein Koordinatensystem bei, das mit der Erde teilweise in dem früher ang'egebenen Sinne verbunden ist' indem nämlich die eine Achse stets vertikal ist, während die beiden anderen sich in einer Horizontalebene drehen können. Nach dem früher Gesagten muß sich also die v e r t i k a l e S c h w i n g u n g s e b e n e des Pendels f ü r einen i r d i s c h e n B e o b a c h t e r d r e h e n , und zwar nach Gl. 11 in einem Tage um einen Winkel von 360° mal dem Sinus der geographischen Breite. Wegen des negativen Vorzeichens in Gl. 11 erfolgt die Drehung so, daß sie auf der nördlichen Erdhälfte im S i n n e des U h r z e i g e r s von oben gesehen erscheint. Derart vermochte im Jahre 1 8 5 0 F O U C A U L T mittels seines berühmten Pendelversuches einen direkten e x p e r i m e n t e l l e n B e w e i s f ü r die E r d r o t a t i o n zu erbringen.3 8 Das wichtigste ist bei dem FOUCAULT sehen Pendelverauch die völlige Vermeidung einer seitlichen Anfangsgeschwindigkeit, weil auch eine solche eine Drehung der Schwingungsebene zur Folge hat. Bei dem FOUCAULT sehen Versuche wird darum das Pendel mittels einer Schleife aus der Ruhelage entfernt und festgehalten, und dann erst wird die Schleife durchgebrannt.

3

II. Kapitel.

Die Tensoren. § 10. Der Begriff des Tensori. Sind £ und 35 zwei beliebige Vektoren, so können wir bei Benutzung eines bestimmten Koordinatensystems stets neun Größen ableiten, indem wir die K o m p o n e n t e n der beiden V e k t o r e n p a a r w e i s e m i t e i n a n d e r m u l t i p l i z i e r e n , also setzen

(1) (2)

Da

i EXX = CXDX, | Evx = CyDx, I Ezx = CzDx .

Exy = CxDy, Evv = GyDv, Ezv = CzDy,

Exx + Eyv + Ezz =

EXZ = CXDZ, Eyz = CyDz, EZZ=CZDZ. ((iT)),

nämlich gleich dem i n n e r e n P r o d u k t der Vektoren £ und X) ist, so muß die Summe auf der linken Seite der 61. 2 einen von dem Koordinatensystem unabhängigen S k a l a r darstellen. Fassen wir hingegen das ä u ß e r e P r o d u k t der Vektoren (E und 35 ins Auge, so ergeben sich aus den Gl. 1 die Beziehungen (3)

=[(£©],;

E1X - Exz = [£ ®]>;

Exv - Evx =-

£]s.

Bildet man also den Ausdruck Eyz — Ezy und die beiden analogen, so erhält man wiederum die Komponenten eines V e k t o r s . Multiplizieren wir endlich die neun Größen Exx usw. mit den Komponenten eines beliebigen Vektors 23 nach dem folgenden Schema, so finden wir

(4)

EXXBX + ExyBy + EXZBZ = Cx ( » 35)

usw. Da das innere Produkt der Vektoren SB und 35 ein Skalar ist, so stellen also die linken Seiten der Gl. 4 und der beiden analogen wiederum die Komponenten eines V e k t o r s dar. Bei einem Wechsel des Koordinatensystems t r a n s f o r m i e r e n sich im übrigen die Größen Exx usw. nach den Regeln, die für die Transformation von Vektorkomponenten gelten (Gl. B des § 4). Es ist

(5)

E„'=

CX'DX'= (aiCx + ßxC, + 7iC„) KZ), + ßxD, +

DM),

yi

§10.

Der Begriff des Tensors.

37

wenn av ßr, yx usw. die Kosinus der Winkel zwischen den alten und den neuen Koordinatenachsen (nach den Gl. 1 des § 4) sind. Die Gl. 5 kann nach den Gl. 1 auch in der Form geschrieben werden (6)

Exx'=

a^Exx

+ ß^Eyy

(8)

+

+ ßi n (Evz + E„) +

Ebenso ist (7) oder

+ y*E„

Exy' = (aiCx E„' =

ai

Ö1

ßx (EXII +

7l

a, (Ezx +

+ ßiCy + 7i Cz) ~(a2Dx + ß2Dy +

a2Exx + ßi ßtEvy+

ri

y2Ezz +

Eyx) Exz). nDt)

ß2Exy + a2 ßxEyx

+ ßi y*Eyi + ß2 + 7! a2Ezx 4- y2 aiExz. Sind nun in bezug auf ein bestimmtes Koordinatensystem n e u n G r ö ß e n gegeben l^xx "•xv > kxz

[

(9)

\

>

kyx >

kyy ,

kyz

kzx >

kzy,

kz j

'

so d e f i n i e r e n wir diese neun Größen als K o m p o n e n t e n e i n e s T e n s o r s , wenn sie sich bei einem Wechsel des Koordinatensystems e b e n s o t r a n s f o r m i e r e n wie die p a a r w e i s e g e b i l d e t e n P r o d u k t e der K o m p o n e n t e n zweier V e k t o r e n . Die Größen, bei denen derselbe Index zweimal vorkommt, also kxx, kvll, kzz, nennt man die T e n s o r k o m p o n e n t e n e r s t e r A r t ; die übrigen sechs bezeichnet man als Tensorkomponenten zweiter Art. Daß die Tensorkomponenten auch darstellbar seien als Produkte der Komponenten zweier Vektoren, ist nach der gegebenen Definition keineswegs erforderlich; es genügt, wenn sie sich so wie die Produkte der Komponenten zweier Vektoren t r a n s f o r m i e r e n . Ist dies aber der Fall, so folgt aus der Gl. 2 sogleich, daß

(10)

kxx

+ kyy + kzz

sein muß. Die S u m m e der T e n s o r k o m p o n e n t e n e r s t e r A r t stellt einen v o n d e m K o o r d i n a t e n s y s t e m u n a b h ä n g i g e n S k a l a r dar. 1 Wie andererseits aus den Gl. 3 folgt, läßt sich a u s j e d e m T e n s o r ein von dem Koordinatensystem unabhängiger V e k t o r a b l e i t e n , dessen Komponenten durch die drei Ausdrücke dargestellt sind

(11)

kyz

kzy,

ktx

kxz,

kxy

kvx.

Endlich folgt aus der Gl. 4, daß man durch eine entsprechende Verknüpfung der Komponenten eines Tensors mit den Komponenten eines Vektors (23) stets einen neuen Vektor (21) ableiten kann mittels der Beziehungen 1 Man kann dies natürlich auch derart beweisen, daß man die Gl. 6 auch für und Ets' bildet, die drei Gleichungen addiert und die Gl. 12 und 13 des § 4 berücksichtigt.

38

Die Tensoren. kxxBx

(12)

-)- kxyBy

-f- kxeBt

— Ax ,

X "l" kyVBy -f" }iyz + kzyBv

+ kzzBz

=

Ax.

Der Vektor 31 wird dann als eine l i n e a r e V e k t o r f u n k t i o n des Vektors 33 bezeichnet, weil seine Komponenten lineare Funktionen der.Komponenten des Vektors 23 sind. Sind nun etwa k xx usw. die Komponenten eines Tensors und f x x usw. die Komponenten eines zweiten Tensors und bildet man neun neue Größen, indem man die gleichartigen Komponenten der beiden Tensoren a d d i e r t , also (13) usw., so erkennt man aus den Gl. 6 und 8 ohne weiteres, daß sich auch die Größen qxx, qxv usw. wiederum so transformieren wie die Größen Exx, Exy und so fort. Durch A d d i t i o n g l e i c h a r t i g e r T e n s o r k o m p o n e n t e n erhält man also wiederum die K o m p o n e n t e n eines T e n s o r s . Andererseits können wir aus den Komponenten eines gegebenen Tensors k xx usw. auch neue Größen ableiten, indem wir die Tensorkomponenten zweiter Art ungeändert lassen, hingegen die Komponenten erster Art um eine und dieselbe von dem Koordinatensystem unabhängige skalare Größe vermehren, die S genannt werde. Die neuen Größen sind dann gegeben durch die Gleichungen (14)

tXX = kXX-\- S ,

tVV=

kyy-{- S,

1ZZ = kzz~\~ S ,

tXy=

Uxy USW.

Wenn wir also die neun Größen betrachten (15)

Ixx—S,

tyy—S,

tzz

S,

tXy,

tyX USW.,

so müssen sich diese Größen zufolge Gl. 14, weil ja kxx usw. Tensorkomponenten sind, transformieren gemäß den Gl. 6 und 8. Wir finden also (16) txx'~ S = Ox« (txx - S) + ft« (tyy - S) + Yl* (tzz - S) + «1 ßi ('*» + tyx) + ßx yx {tyZ+

tzy) + ri Ol (tzx + txz) .

Nun ist aber nach Gl. 9 des § 4 (17)

S(a1*+ß1*+y1*)

=

S,

und die Gl. 16 geht daher in die Gl. 6 über, nur daß an Stelle des Buchstabens E nunmehr der Buchstabe t erscheint. Setzen wir andererseits die neun Größen des Schemas (15) in die Gl. 8 ein, so finden wir (18)

txy'=

a2 (txr—

S) + & ß2 (tyy ~ S) + ft ft ^

Z

~ S) -f • • • ,

wobei die letzten sechs nicht angeschriebenen Glieder sich decken mit den letzten sechs Gliedern der Gl. 8, nur daß statt des Buchstabens E der Buchstabe t zu schreiben ist. Nach Gl. 10 des § 4 ist aber

§ 10. Der Begriff des Tensors.

39

alat+ß1ßt+ylYl=0,

(19)

und daher geht die Gl. 18 in die Gl. 8 über, wofern in dieser der Buchstabe E durch den Buchstaben / ersetzt wird. Die durch die Gl. 14 definierten Größen txx, txy usw. stellen also selbst wieder die Komponenten eines Tensors dar. Aus jedem Tensor kann man also einen anderen ableiten, indem man, ohne etwas an den Komponenten zweiter Art zu ändern, die K o m p o n e n t e n e r s t e r A r t um einen und denselben Skalar v e r m e h r t . Sind im besonderen bei einem Tensor die K o m p o n e n t e n z w e i t e r Art paarweise gleich, so f i r d der Tensor als s y m m e t r i s c h bezeichnet. Für einen symmetrischen Tensor ist also kxv = kvx,

(20)

kyz — klv,

kzx = kxz.

Es läßt sich nun leicht zeigen, daß aus jedem beliebigen Tensor ein s y m m e t r i s c h e r Tensor abgeleitet werden kann. Nach den Gl. 6 und 8 ist ja (21) kxx' = af kxx + . .. + % ßi (Kv+ Kx) + • • • , ferner (22) Ky'= «i «2 kxx + • • • + % ß2 kxv + a2ß1kyx + . . ., hingegen (23) Kx'= «2a l k x x + . .. + a2 ß1 kxv -f ß2 kvx + ... Wir wollen nun neun neue Größen mittels der Beziehungen ableiten ^XX kxxy lyy ky y y ^ZZ ^ZZ > 1'xy ~~ lyx = ^ (kxv ^yx) J lyz = lzy — i (kyz -(- kzy) , hx — Ixz— \ {kZx kxz).

(24) Es ist dann (25)

4

kXy -)- kyX = lXy ")"

,

und die Gl. 21 läßt sich somit in der Form schreiben (26) lxt'= af lxx+ ...+a1ß1 (lxy + lvx) + ... Bildet man andererseits die halbe Summe aus den Gl. 22 und 23, so kann nach den Gl. 24 dafür geschrieben werden (27)

lXy'= «i a 2 /„+...

+ cii ßt lxy + a 2 ß1lyx+

...

Wie ein Vergleich der Gl. 26 und 27 mit den Gl. 21 und 22 zeigt, stellen also die durch die Gl. 24 eingeführten neuen Größen wiederum die Komponenten eines Tensors, und zwar eines symmetrischen, dar. Mittels der Beziehungen, die durch die Gl. 24 ausgedrückt sind, läßt sich also aus j e d e m beliebigen Tensor s t e t s ein s y m m e t r i s c h e r Tensor a b l e i t e n . Ist bereits der ursprüngliche Tensor symmetrisch, so ist natürlich nach den Gl. 24 der abgeleitete Tensor mit dem ursprünglichen identisch.

40

Die

Tensoren.

§ 11. Das Tensorellipsoid. Wir wollen ein ganz bestimmtes Koordinatensystem betrachten, auf das bezogen die Komponenten eines Tensors kxx, kxy usw. seien, und wollen uns nun eine ganz beliebige, von dem Koordinatenursprung ausgehende Gerade denken, die mit den drei Achsen Winkel mit den Kosinus a, ß, y einschließe. Den Wert, den für diese Richtung als neue z-Achse die z-x-Komponente des Tensors annimmt, bezeichnen wir wie bisher mit k xx '. Dann ist (nach 61. 6 des § 10, in der wir nunmehr den Index 1 weglassen können) (1)

«2 K*+

ß \ y + r2 Kz+ + ßy

a ß (kxy +

(Kz + kv)

kvx)

+ 7«{Kx

+ Kz) •

Wir wollen nun auf der Geraden von dem Koordinatenursprung aus eine Strecke von einer L ä n g e auftragen, deren Q u a d r a t der Größe kxx' r e z i p r o k sei. Die Koordinaten des E n d p u n k t e s d i e s e r S t r e c k e mögen mit rj, £ bezeichnet werden. Da die Strecke mit den drei Koordinatenachsen die Winkel mit den Kosinus a, ß, y einschließt, so ist, wenn die Länge der Strecke mit / bezeichnet wird. (2)

$ = al,

V

= ß l

Z=

yl.

2

Da andererseits wieder l reziprok ist zu kXT', so ist also (8)

a*=kxx'£*,

ß*=kxxr,\

y*=kxx'?.

Die Gl. 1 kann somit nach Division durch kxx in der Form geschrieben werden (4)

1 = f » kxx+

rf kyy+

+ r,t(kVi+kzv)

k2z+ +

in

(kxv+kvx)

Z H h * + h z ) -

Wir denken uns nun d u r c h d e n K o o r d i n a t e n u r s p r u n g ein B ü n d e l v o n S t r a h l e n gelegt und auf jedem dieser Strahlen von dem Koordinatenursprung aus eine Strecke aufgetragen, deren Längenquadrat reziprok sei dem W7erte, den für diese Gerade als x'-Achse die Komponente k x J annimmt. Die F l ä c h e , die den g e o m e t r i s c h e n O r t d e r E n d p u n k t e der a u f g e t r a g e n e n S t r e c k e n darstellt, ist dann durch die Gl. 4 dargestellt. Diese Gleichung stellt eine F l ä c h e z w e i t e n G r a d e s dar. Ist im besonderen der Tensor so beschaffen, daß seine K o m p o n e n t e n e r s t e r Art nie n e g a t i v werden können — und nur dieser Fall soll im folgenden betrachtet werden —, dann kann die Fläche zweiten Grades nur ein E l l i p s ö i d 1 sein. Dieses ist völlig unabhängig von dem benutzten Koordinatensystem und s t e l l t e i n e T e n s o r g r ö ß e ebenso g r a p h i s c h d a r , wie ein Vektor durch eine gerichtete Strecke 1 Sonst könnte die Fläche auch ein Hyperboloid sein. Der Leser, der mit der analytischen Geometrie des Raumes nicht vertraut ist, denke an die analogen Beziehungen in der analytischen Geometrie der Ebene.

§12.

Das

41

Trägheitsmoment.

repräsentiert "wird.. Man bezeichnet darum die durch die Gl. 4 beschriebene Fläche als Tensorellipsoid. Durch die drei Achsen des Ellipsoids sind drei zueinander senkr e c h t e Eichtungen festgelegt, die man die H a u p t a c h s e n des Tensors nennt; ist eine Tensorgröße, indem sie ein Tensorfeld bildet, von Stelle zu Stelle verschieden, so ändert sich im allgemeinen natürlich auch von Ort zu Ort in stetiger Weise die Orientierung der drei Hauptachsen. Ist im besonderen das Tensorellipsoid ein R o t a t i o n s e l l i p s o i d , so ist nur für eine Hauptachse die Richtung bestimmt, während sie für die beiden anderen unbestimmt ist. Denn jede Gerade, die zu der einen Richtung senkrecht ist, kann dann als Hauptachse angesehen -werden. Ist in einem speziellen Fall das Tensorellipsoid eine Kugel, so stellt überhaupt jede Gerade eine Hauptachse dar. Die Werte, die die drei Tensorkomponenten erster Art in bezug auf ein Koordinatensystem annehmen, das von den drei Hauptachsen gebildet wird, werden als die drei H a u p t w e r t e des Tensors bezeichnet. Sie mögen im folgenden einfach k lt fc2, fc3 genannt werden. Bei Benutzung eines Koordinatensystems, das von den drei Hauptachsen gebildet wird, muß nun die Gleichung des Ellipsoids natürlich rein q u a d r a t i s c h werden, und dies ist, wenn der Tensor s y m m e t r i s c h ist, nach GL 4 nur dann möglich, wenn die T e n s o r k o m p o n e n t e n zweiter Art verschwinden. Die Komponenten eines s y m m e t r i s c h e n Tensors lassen sich daher in einem beliebigen Koordinatensystem durch die Hauptwerte mittels der folgenden Beziehungen ausdrücken, die ohne weiteres aus den Gl. 6 und 8 des § 10 folgen: (5)

i 4

a

Kx=

l

a

= i«2

kl

+

ßl

^2 + 7l2

+ ßi ßi

>

+ Vi y2 K

usw. Dabei sind (gemäß den Gl. 1 des § 4) au ßv yx die- Kosinus der Winkel, die die x-Achse mit den drei Hauptachsen einschließt; ebenso sind a 2 , ß2, y2 die Kosinus der Winkel, die die y-Achse mit den drei Hauptachsen bildet und so fort. Ist ein Vektor eine s y m m e t r i s c h e V e k t o r f u n k t i o n eines anderen Vektors 95 und sind die Komponenten der beiden Vektoren in bezug auf die Hauptachsen des zugehörigen Tensors gleich Av A2, A3 und Blt B2, B3, so gelten nach den Gl. 12 des § 10 die einfachen Beziehungen (6) fex-ßll •i^2== ^3-^3 • § 12. Bas Trägheitsmoment. Ein s t a r r e r K ö r p e r erscheint durch die Forderung definiert, daß in bezug auf ein Koordinatensystem, das durch drei Massenpunkte des

42

Die

Tensoren.

starren Körpers festgelegt ist1, s ä m t l i c h e den Körper bildenden Massenpunkte ihre Koordinaten unveränderlich beibehalten. Ein solches K o o r d i n a t e n s y s t e m bezeichnet man als mit dem K ö r p e r fest v e r b u n d e n . Denken wir uns den U r s p r u n g dieses fest verbundenen Koordinatensystems im S c h w e r p u n k t des K ö r p e r s und diesen selbst ruhend, so wird daher (nach Gl. 18 des § 8) die Geschwindigkeit eines einzelnen Massenpunktes (1) »=[wr], wenn t die gerichtete Strecke ist, die von dem Schwerpunkte zu dem Massenpunkte gezogen wird, und tt> die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das fest verbundene Koordinatensystem dreht. Der gesamte, auf den Schwerpunkt bezogene D r e h i m p u l s wird dann (nach Gl. 18 des § 8) (2) U = Z m [ x o] oder nach Gl. 1 (3) Ii = Z m [r [tn t J] . Nach der schon öfter benutzten vektoralgebraischen Formel (Gl. 24 des § 2) ist aber nun [r [n> r]J = r o ( r r ) - i ( r t o ) oder nach der Formel für das innere Produkt zweier Vektoren, da die Komponenten von r die Koordinaten x, y, z des Massenpunktes sind, = t o r 2 - r (xwx+ ywv + zwz). Übertragen wir die Gl. 3 aus der vektoriellen in die analytische Schreibweise, so finden wir daher

(4)

I

VX = wxZm ~Uy=—

wxZ

Uz=—wxZmzx

( r 2 — x2) — wy2 myx

+ wttZ

mxy

—w.Smxz, 2

i

m (r — y )~-wlZ

—Wyümzy

+w2Z

myz, m (r2 — z2)x

Man sieht nun leicht ein, daß die n e u n S u m m e n a u s d r ü c k e , die in diesem Gleichungstripel auftreten, K o m p o n e n t e n eines T e n s o r s sind. Bilden wir nämlich für einen Massenpunkt die neun Ausdrücke mx*, mxy usw., so transformieren sich diese Ausdrücke natürlich wie die Produkte der Komponenten zweier Vektoren, weil ja x, y, z die Komponenten des Vektors r sind. Diese neun Ausdrücke stellen also jedenfalls die Komponenten eines Tensors, und zwar eines symmetrischen Tensors, dar. Addieren wir aber diese Tensorkomponenten über sämtliche 1

Man macht z. B. den ersten Massenpunkt zum Ursprung des Koordinatensystems, die Verbindungslinie zwischen dem ersten und zweiten zur a-Achse und die durch die drei Massenpunkte bestimmte Ebene zur z-y-Ebene. Jeder geometrische Punkt, der in bezug auf dieses Koordinatensystem feste Koordinaten hat, kann aber nun wieder an die Stelle von einem der drei Massenpunkte treten und mit den beiden anderen wiederum ein Koordinatensystem bestimmen, auf das bezogen, alle Massenpunkte des starren Körpers ihre Koordinaten unveränderlich beibehalten.

§ 12. Das Trägheitsmoment.

43

Massenpunkte des Körpers, so müssen wir (nach Gl. 18 des § 10) wiederum die Komponenten eines Tensors erhalten, und daran ändert sich auch nichts, wenn wir das Vorzeichen umkehren. Schließlich erhalten wir aber wiederum die Komponenten eines Tensors, wenn wir (gemäß Gl. 14 des § 10), ohne an den Komponenten zweiter Art etwas zu ändern, zu den Tensorkomponenten erster Art noch den Skälar hinzuaddieren S =2mr!.

(6)

Auf diese Weise erhalten wir aber die neun in den Gl. 5 auftretenden Summenausdrücke, die somit als Komponenten eines s y m m e t r i s c h e n Tensors nachgewiesen sind. Diesen Tensor bezeichnet man als den Tensor des T r ä g h e i t s m o m e n t e s . Seine durch den Schwerpunkt gelegten Hauptachsen heißen die H a u p t t r ä g h e i t s a c h s e n des Körpers und die drei Haaptwerte die drei H a u p t t r ä g h e i t s m o m e n t e . Da (7) r2= x*+ y*+ z2 ist, so können nach Gl. 5 die Tensorkomponenten erster Art nie Null oder negativ werden. Die Fläche zweiten Grades, die den Tensor darstellt, ist also ein Ellipsoid, das als das T r ä g h e i t s e l l i p s o i d bezeichnet wird. Seine Konstruktion stammt von POINSOI: (1834), der an diesem wichtigen Beispiel zuerst die Möglichkeit der graphischen Darstellung eines Tensors erkannte. Nach den Gl. 5 und 7 gelten für die auf ein beliebiges Koordinatensystem bezogenen Tensorkomponenten erster Art, die mit Jxx usw. bezeichnet werden mögen, die Beziehungen (8) Jxx=Zm(y2+z2), 2

J „ = 2 «(*»+**),

J„ = Zm{x*+y*)

.

2

Nun ist aber y + z das Quadrat des Abstandes, den ein Punkt von der ar-Achse hat. Die drei Tensorkomponenten erster Art erhält man also, indem man die einzelnen Massenpunkte mit den Quadraten ihrer Abstände von den drei Koordinatenachsen multipliziert und dann über alle Massenpunkte addiert; man bezeichnet darum die drei Komponenten erster Art auch als die T r ä g h e i t s m o m e n t e um die drei K o o r d i n a t e n achsen. 2 Betrachten wir eine beliebige, durch den Schwerpunkt gehende Achse, die mit den Hauptachsen Winkel mit den Kosinus a, ß, y einschließe, so wird nach Gl. 5 des § 11 das Trägheitsmoment um diese Achse, das kurz mit J bezeichnet werde. (9)

J =

a*J1+ß*Jt+Y*Ji.

Der D r e h i m p u l s erweist sich als eine l i n e a r e V e k t o r f u n k t i o n der W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t , und daher wird, auf die Hauptträgheitsachsen bezogen, (10) l\=w1J1, U2 = u>2J2. F 3 = u-3 J 3 . 2

Die Terisorkomponenten zweiter Art werden als die D e v i a t i o n s m o m e n t e in bezug auf die drei Koordinatenebenen bezeichnet.

44

Die Tensoren.

Mittels des Begriffes des Trägheitsmomentes läßt sich nun auch die Drehung eines starren Körpers leicht beschreiben. Ebenso wie für einen einzelnen Massenpunkt der zeitliche Differentialquotient des Drehimpulses (nach Gl. 28 des § 3) gleich ist dem statischen Moment der angreifenden Kraft, so gilt auch für einen starren Körper die Beziehung (ii)

» =

4 r .

wenn jetzt unter 39? die vektorielle Summe der auf den Schwerpunkt bezogenen statischen Momente aller an dem Körper angreifenden Kräfte verstanden wird. 3 Es ist nun für viele Untersuchungen wichtig, die Bewegung eines starren Körpers auf ein mit ihm fest verbundenes Koordinatensystem zu beziehen. Wird der zeitliche Differentialquotient des Drehimpulses in bezug auf ein solches Koordinatensystem mit d*Uldt bezeichnet, so ist (nach Gl. 17 des § 7)

In analoger Weise können wir in dieser Gleichung (nach Gl. 17 des § 7) statt des Vektors U auch den Vektor tu selbst einsetzen. Da das äußere Produkt eines Vektors mit sich selbst aber verschwindet, so wird einfach q\ W

dtD ~df

d*tD ~~dF

=

Übertragen wir die Gl. 11 aus der vektoriellen in die analytische Schreibweise, so finden wir also, bei Berücksichtigung der Gl. 12, indem wir die Hauptträgheitsachsen zu Koordinatenachsen machen, (14)

Mx =

+ w2IJ3 -

w3U2.

Andererseits ist aber nach Gl. 10 und 13 d u

mcn

* i _ T dw, ~~df~ ~ i'df '

(15

Bei Berücksichtigung der Gl. 10 ergibt sich also aus der Gl. 14 das Gleichungstripel M

(16)

1 = J1

~

M

2 = 'h djJ- = -h

d

f"t

-

W W

2 3 (J2--h) 7

V-h ">1 (J3--h) " i «'2

»

{Ji~-h)-

3 Daß die „inneren Kräfte", die den starren Körper zusammenhalten, für die Gl. 11 außer Betracht bleiben, erfordert allerdings einen genaueren Beweis. Doch soll dieser in diesem Buche um so eher wegbleiben, als sich auf ihn nur die weiteren Ausfuhrungen des § 12, nicht aber sonstige spätere Untersuchungen gründen würden. — Mittels des Satzes von der Erhaltung des Schwerpunktes läßt sich übrigens auch leicht zeigen, daß der Drehimpuls eines starren Körpers bei ruhendem Schwerpunkt von dem Bezugspunkt unabhängig ist. — Vgl. des Verfassers „Einführung in die theoretische Physik".

§ 13.

Die Spannung.

45

Diese wichtigen B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n des s t a r r e n K ö r p e r s wurden zuerst von E U L E B im Jahre 1763 aufgestellt. Mittels dieser Gleichungen (die übrigens auch die Grundlage der Kreiseltheorie darstellen) läßt sich nun auch leicht die Frage beantworten, ob und wann ein Körper um eine f e s t e Achse ohne E i n w i r k u n g ä u ß e r e r K r ä f t e d a u e r n d g l e i c h m ä ß i g r o t i e r e n kann. Soll dies der Fall sein, so müssen wegen des Fehlens äußerer Kräfte die linken Seiten der drei Gl. 16 verschwinden, wegen der geforderten Konstanz des Vektors rc aber auch die ersten Glieder der rechten Seiten. Es müssen also auch die drei letzten Glieder der Gleichungen verschwinden, und dies ist für einen ganz beliebigen Körper, für den die drei Hauptträgheitsmomente voneinander verschieden angenommen werden müssen, nur dann möglich, wenn (17)

ic2 icA = u'3 w1 = Wj ic2 = 0

ist. Die Gl. 17 sind entweder dann erfüllt, wenn alle drei Komponenten Null sind, welcher Fall aber, da dann überhaupt keine Rotation stattfindet, hier nicht in Betracht kommt, oder aber, wenn von den drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit zwei verschwinden. Dies kann aber nur dann der Fall sein, wenn der Vektor tD dauernd die Richtung einer der drei Hauptträgheitsachsen hat. Die H a u p t t r ä g h e i t s a c h s e n stellen also zugleich die sogenannten f r e i e n Achsen des starren Körpers dar, die dadurch definiert sind, daß um sie der starre Körper ohne Einwirkung äußerer Kräfte gleichförmig rotieren kann.

§ 13.

Die Spannung.

Der auf ein Flächenelement innerhalb eines deformierbaren Körpers wirkende Zug oder Druck hängt nicht nur von der Stelle ab, an der sich das Flächenelement befindet, sondern auch von dessen Richtung. Wir wollen darum innerhalb eines deformierbaren Körpers eine bestimmte Stelle ins Auge fassen, ein Koordinatensystem errichten, und sodann mit SPp = J. S£r = lB'S f5i-+-gii-+-s;r • Betrachten wir nun einen beliebigen Vektor 91, so ist AA

^ dz* "t- ay«

4 1 . dz

Bilden wir die analogen Gleichungen für At und At und multiplizieren wir sie mit t, j, l und addieren wir sie sodann, so erhalten wir auf der rechten Seite den Ausdruck

52

Die Vektorfelder.

m)

da«

Ti

i ** dy» "r das"

Da die ein- oder zweimalige Differentiation eines Vektors nach einem Skalar wiederum einen Vektor ergibt, so stellt der Ausdruck (21) die Summe dreier Vektoren, also selbst einen Vektor dar, den wir mit zl2t bezeichnen. Es ist also (22)

AW=iAAr+iAAv+lAAz.

Für die R o t a t i o n d e s G r a d i e n t e n finden wir rot, (grad S) = £ ( g r a d , S) - ¿ . (grad, S ) = ±

)- ±

)= 0.

Da Analoges auch für die y- und die ¿-Komponente der Rotation des Gradienten gilt, ist also (28) rot grad S = 0 . Von der Rotation eines Vektors können wir natürlich abermals die Divergenz und die Rotation bilden. Wir finden, wenn wir zunächst die D i v e r g e n z d e r R o t a t i o n berechnen, ö

/ i cw\

9 ( dA,

5-4» \

und somit, wenn wir auch die Gleichungen hinzufügen, die sich durch zyklische Vertauschung ergeben, und sodann addieren, A-

+ «r _ ( e*A> _

a i v r o t u — ydxdy

Es ist also (24) Andererseits ist

B A

' * 1 _i_

ex dz)

' [dydx

_

8 A

' • ) +_i_ / PA* _

dy dx )

\8zdx

PA* \

dxdy)'

div rot 21 = 0 .

rot, (rot 91) = - A (rotz 21) - ±

(rot, 21)

_ I8A„ _ _ /_(BAX ~~ dy i dx dy ) dx \ dz d*Ay dtAx diAx , d*A, dxdy dy* dx1 dxdx

8A,\ dx

oder r o t , (rot 21) =

Es ist also (25)

(div 2 \ ) - A A x

rot rot 21 = grad div 21 - A 21.

Weiterhin wollen wir, da dies für spätere Betrachtungen wichtig ist, die Divergenz und die Rotation berechnen einerseits von dem Produkte aus einem Skalar und einem Vektor und andererseits von dem Vektorprodukte zweier Vektoren. Wir berechnen zunächst also div (SS), wobei sowohl der Skalar S als aucji der Vektor 21 als Funktionen des Ortes gedacht sind. Es ist dann

§ 14. Die vektoriellen oder (26)

Differeniialoperaiionen.

53

div (SSI) = S div 91 + 9t. grad S . In analoger Weise finden wir r o U S t O ^ S - ^ S + ^ l f - J , - ! !

oder (27)

rot (S9t> = S rot 91 + [grad S, 91]. Um weiterhin die Divergenz eines Vektorproduktes zu finden, gehen wir von der Gleichung aus [«8

Dann finden wir ¿ [ 9 m

] x

^ B

\=AyBz-AzBy. z + 8

f ; A

v

- ^ B

y

- ^ A

z

,

+

¿[91 Folglich ist

div [918] =—Ax rot* fS—Av rotv 93 — Az rot2 © + Bx iotx 9l + By rot, 91 +BZ rot, 91. Da wir auf der rechten Seite dieser Gleichung das innere Produkt von 91 und rot 3?, bzw. von 95 und rot 91 erkennen, ist also (28)

div [9193] = - 9t rot 95 + 8 rot 91. In ähnlicher Weise finden wir rot, [918] = A [9i

- - ¿ [ 9 1 8 ] , = ^ (AXBV - AVBX) -±-{AzBx-AxBt)

oder rot, [91 8 ] =

div X-A.

g

-Av*£-Az°g.

Indem wir die Gl. 13 berücksichtigen, finden wir so (29)

rot [9t 8 ] = 9t div 8 - 8 div 9t + ( 8 grad) 9t - (9t grad) 8 .

Endlich möge noch der Gradient des inneren Produktes zweier Vektoren untersucht werden, jedoch nur der spezielle Fall (denn nur dieser wird benötigt), daß das innere Produkt aus einem Vektor mit sich selbst gebildet wird. Wir finden dann zunächst

54

Die Vektorfelder. gad.(««) = a

+ Avfx' +

-

Hierfür können wir aber, indem wir die Gl. 13 zu verwerten suchen, auch schreiben

lg

r , d ,(A')=A,

Dabei ist (nach Gl. 10 des § 4) 2 = F2 + G 2 ,

tge 6 = y

§ 36. Die ebenen Vektorwellen.

III

genügt. Bezeichnen wir nämlich die zweite Ableitung der Funktion / mit / " , so wird et1 ~

1

_

dx* ~1

'

r

'

womit in der Tat die Gl. 1 erfüllt ist. "Von besonderer Wichtigkeit ist nun der spezielle Fall, daß die beliebig gelassene Funktion eine S i n u s - o d e r K o s i n u s f u n k t i o n ist. Ist im besonderen (2)

S =

^sin[a(x±xi)],

wobei A und a Konstanten sind (und überdies noch eine Phasenkonstante hinzutreten und statt des Sinus natürlich auch der Kosinus gesetzt werden kann), so bezeichnet man den durch diese Gleichung beschriebenen Vorgang als eine h a r m o n i s c h e W e l l e oder auch als Sinuswelle oder auch als Welle schlechthin. Der durch den Skalar S dargestellte Zustand ist dann in doppelter Hinsicht p e r i o d i s c h , sowohl z e i t l i c h als auch r ä u m l i c h . An einer und derselben Stelle kehrt der Zustand in Perioden wieder von der Dauer 1 2.1

(S)

* = -iir-

In einem und demselben Augenblick ist hingegen derselbe Zustand vorhanden in Abständen von der Länge w

» =

Denn wird t um r oder x um X vermehrt, so ändert sich nicht der Wert von S, weil sich ja der Sinus eines Winkels nicht ändert, wenn der Winkel um 27z vermehrt wird. Die Größe x wird als die S c h w i n g u n g s d a u e r bezeichnet, die Größe X als die W e l l e n l ä n g e . A stellt die A m p l i t u d e der Welle dar, die Konstante x hängt mit der Wellenlänge und der Schwingungsdauer, wie ohne weiteres aus den Gl. 8 und 4 folgt, durch die einfache Beziehung zusammen (5)

* =

Die Größe x stellt also das Produkt dar aus der Wellenlänge und aus der Zahl der in der Zeiteinheit erfolgenden Schwingungen. Da der Zustand während einer Schwingungsdauer u m eine Wellenlänge fortschreitet, so stellt also die Konstante * die Strecke dar, um die sich der Zustand in der Zeiteinheit wellenförmig fortpflanzt. Die Konstante wird darum als die P o r t p f l a n z u n g s g e s c h w i n d i g k e i t d e r W e l l e (oder kurz als die Wellengeschwindigkeit) bezeichnet. 1 In halben Perioden kehrt wohl auch der Wert der Größe S räumlich und zeitlich wieder, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen des Differentialquotienten.

Die Vektorwellen.

112

Eine Welle, bei der die schwingende Größe (wie in Gl. 2) außer von der Zeit nur von einer einzigen Koordinate abhängt, bezeichnet man als eine ebene Welle und die Eichtung der betreffenden Koordinatenachse als die F o r t p f l a n z u n g s r i c h t u n g der Welle. Innerhalb jeder zu der Fortpflanzuügsrichtung senkrechten Ebene ist also der Schwingungszustand überall für einen bestimmten Augenblick gleich. Da nach Gl. 2 x(6)

' ist, so können wir setzen

oz = 0

oy

und es kann daher eine ebene harmonische Welle auch durch die Differentialgleichung beschrieben werden (8)

^

=

Umgekehrt folgt aus dem Bestehen der Gl. 8 stets die Möglichkeit einer Ausbreitung der Größe S in ebenen Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit * ausbreiten.2 Was für einen Skalar gilt, gilt natürlich auch in entsprechender Weise für einen Vektor. Es sei eine vektorielle Differentialgleichung gegeben von der Form m

Da wir diese Gleichung in drei skalare Gleichungen auflösen können (für A„ Av und Az), so folgt aus dem Bestehen der Gl. 9 unmittelbar stets die Möglichkeit einer Ausbreitimg des Vektors 9! in ebenen V e k t o r wellen, wobei (nach § 35) der Vektor an jeder Stelle im allgemeinen eine e l l i p t i s c h e Schwingung ausführt, die im besonderen aber auch zirkulär oder linear sein kann. Eine besonders einfache Eigenschaft kommt diesen Wellen in dem speziellen Fall zu, daß (10) div 21 = 0 ist. Da, wenn wir die Fortpflanzungsrichtung als x-Achse wählen, nach Gl. 6 dAv/dy und dAJdz verschwinden müssen, so verschwindet dann zufolge der Gl. 10 auch der partielle Differentialquotient dAx/dx, und es wird daher dann auch (11)

AA, = 0.

Ist dies aber der Fall, so muß nach Gl. 9 auch (12)

= 0 2

Als allgemeinere Lösung entspricht der Gl. 8 eine Kugelwelle, als deren Spezialfall wiederum die ebene Welle (bei sehr großer Entfernung des Wellenzentrums) erscheint.

§ 37. Die elastischen Wellen.

113

sein. Die j-Komponente des Vektors beteiligt sich dann also überhaupt nicht an dem Schwingungs Vorgang. Die Schwingungen erfolgen senkrecht zu der durch die x-Achse bestimmten Fortpflanzungsrichtung der Welle. Die ebenen Wellen eines Vektors mit verschwindender Divergenz sind also stets rein transversal. § 37. Die elastiichen Wellen. Für die Bewegung eines e l a s t i s c h e n Mediums, auf das keine äußeren Kräfte wirken, hatte sich (Gl. 18 des § 21) die Beziehung ergeben

dabei bedeutet 0 die V o l u m d i l a t a t i o n , q die Massendichte, während H und X für die Substanz charakteristische Konstanten sind. Auf Grund der Ergebnisse des vorhergehenden Abschnittes (§ 36) folgt daraus ohne weiteres die Möglichkeit einer wellenförmigen Ausbreitung der Dilatation, also von D i l a t a t i o n s w e l l e n , deren Geschwindigkeit nach Gl. 1 den Wert hat 2p + l. (2) 2 y>2 + ¿ x _ gi t>2 _ Diese Gleichung kann man nach MINKOWSKI dahin geometrisch interpretieren, daß das mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Quadrat der noch mit der Lichtgeschwindigkeit multiplizierten Zeit und die Quadrate der drei räumlichen Koordinaten sich untereinander so verhalten wie die Quadrate von vier Koordinaten in einer vierdimensionalen Geometrie. Die vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die als eine Verknüpfung von R a u m und Zeit durch die Koordinaten x, y, z und ict gegeben ist, wird als die MINKOWSKI-Welt bezeichnet. Die Bewegung eines Massenponktes erscheint durch eine Weltlinie dargestellt, deren Richtungskosinus in bezug auf ein bestimmtes vierdimensionales Achsenkreuz die Geschwindigkeit bestimmen, die für das gewählte Bezugsssystem der Massenpunkt besitzt. § 40. Der Übergang von einem räumlichen Koordinatensystem zu einem anderen, das gegenüber dem ersten mit der Geschwindigkeit v in der gemeinsamen sc-Richtung bewegt ist, erscheint in vierdimensionaler Darstellung als Drehung des Achsenkreuzes in der x-i-Ebene um einen Winkel, dessen Tangente gleich ist dem imaginären Quotienten aus der Geschwindigkeit v und der Lichtgeschwindigkeit. Hieraus und aus den allgemeinen Formeln für die Transformation von Vektorkomponenten (§ 4) ergeben sich die die LORENTZ-Transformation ausdrückenden Gleichungen

§ 41. Für die Zusammensetzung zweier gleich gerichteter Geschwindigkeiten v und v' ergibt die Relativitätstheorie als resultierende Geschwindigkeit

Zusammenfassung des Inhalts. u -

143

V + v'

Hieraus folgt die Unmöglichkeit von Überlichtgeschwindigkeiten. Ferner folgt daraus, daß Lichtwellen von einer strömenden Flüssigkeit mit einem Bruchteil a v der Strömungsgeschwindigkeit v mitgenommen werden, wobei a gleich ist (1 — 1/w2), wenn n der Brechungsexponent der Flüssigkeit ist (Versuch von F I Z E A U ) . § 42. In der relativistischen Dynamik muß die Vorstellung von der Konstanz der Masse aufgegeben werden. Die Impulsmasse m hängt mit der Buhmasse ¡i durch die Beziehung zusammen m

=

Kraft und Beschleunigung sind im allgemeinen nicht gleich gerichtet; vielmehr bildet die Eichtling der Beschleunigung mit der Bewegnngsrichtung einen größeren Winkel als die Richtung der Kraft. § 48. Aus der Relativitätstheorie folgt, daß jeder Masse, auch wenn sie nicht bewegt ist, eine Eigenenergie zukommen muß, die gleich ist dem Produkt aus der Ruhmasse und dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Umgekehrt muß hieraus auch geschlossen werden, daß jede Energie eine träge Masse besitzt, die gleich ist dem Quotienten aus der Energiemenge und dem Quadrate der Lichtgeschwindigkeit.

Übersicht über die häufigsten Bezeichnungen. Si, 95, (£ beliebige Vektoren (£ elektrische Feldstärke 5 Feldstärke (im allgemeinen) © Impuls § magnetische Feldstärke Ä mechanische Kraft 2JÎ statisches Moment ÜK magnetisches Moment oder Moment eines Quellenpaares Kurvenpotential