Quadratische Gleichungen [Reprint 2019 ed.] 9783486773613, 9783486773606

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Erster Teil. Algebraische Theorie der quadratischen Gleichung
Zweiter Teil. Anwendungen der quadratischen Gleichungen
Dritter Teil. Die quadratische Irrationelle
Vierter Teil. Zahlentheoretischer Exkurs
Fünfter Teil. Die Kreisteilungsgleichuiig
Sechster Teil. Die diophantische quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten
Register

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Heinrich Dörrie

Quadratische Gleichungen

M i t 22 B i l d e r n

München und B e r l i n 1943

Verlag von R. O l d e n b o u r g

C o p y r i g h t 1943 by R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d Berlin Druck und Einband von R. Oldenbourg, München P r i n t e d in G e r m a n y

Vorwort Zahlreiche geometrische und physikalische Probleme, die ihre Lösung auf arithmetischem Wege finden, werden auf quadratische Gleichungen zurückgeführt. Es ist deshalb eine wichtige und lohnende Aufgabe, sich mit diesen quadratischen Gleichungen und ihren Anwendungen näher zu befassen. Befremdlicherweise hat dieses Thema jedoch in der Lehrbuchliteratur bis jetzt keine eigene ausführliche Behandlung erfahren. Um diesem offensichtlichen Mangel abzuhelfen, hat der Verfasser in der vorliegenden Arbeit den Versuch gemacht, die bemerkenswertesten Dinge aus dem Gebiet der quadratischen Gleichungen im Rahmen eines Lehrbuches zu vereinigen, in einem Buche, welches sowohl alles Nötige aus der Theorie der quadratischen Gleichungen enthält, als auch den Anwendungen der quadratischen Gleichungen den ihnen gebührenden Platz einräumt. Wenn sich dabei herausgestellt hat, daß der Umfang der Arbeit weit größer ausgefallen ist als eine vorherige naive Abschätzung vermuten ließ, so liegt die Erklärung für diesen Umstand in der gewaltigen Stoffmenge, die zu verarbeiten war. Die Sichtung und Anordnung dieses Stoffes führt ungezwungen auf folgende S e c h s t e i l u n g d e s I n h a l t s : Im ersten Teile wird die algebraische T h e o r i e d e r q u a d r a t i s c h e n G l e i c h u n g entwickelt. Im unmittelbaren Anschluß daran erscheinen im zweiten Teile vier A b s c h n i t t e Anwendungen: 1. Anwendungen der quadratischen Gleichungen auf die Behandlung einer Klasse häufig vorkommender Extremaufgaben, die es mit Fug und Recht verdient, näher bekannt zu werden. 2. Anwendungen auf die Lösung besonders markanter geometrischer Probleme, wobei, um den Umfang des Buches nicht noch stärker anschwellen zu lassen, leider nur eine knappe Auswahl getroffen werden konnte. 3. und 4. durften die Anwendungen der quadratischen Gleichungen einerseits auf Gleichungen höheren Grades, die die Reduktion auf quadratische Gleichungen gestatten, im besonderen auf kubische und biquadratische Gleichungen, anderseits auf die außerordentlich häufig vorkommenden quadratischen Gleichungen mit zwei und drei Unbekannten nicht außer acht gelassen werden. 1*

—

4

—

Auf diesen zweiten Teil des Buches folgt die T h e o r i e d e r q u a d r a t i s c h e n I r r a t i o n e l l e n , d. h. der Wurzeln quadratischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Da hierbei den Eigenschaften der Kettenbrüche eine ausschlaggebende Bedeutung zukommt, wird dieser Teil mit den hierher gehörigen Sätzen aus der Lehre von den Kettenbrüchen eingeleitet. Den krönenden Abschluß des dritten Teiles bildet die Theorie der Legendrezahlen und die Lagrangesche Lösung der Fermatschen Gleichung. Der vierte Teil des Buches besteht aus einem elementaren z a h l e n t h e o r e t i s c h e n E x k u r s , dessen Kern die wichtigsten Eigenschaften der quadratischen Kongruenzen ausmachen. Dieser zahlentheoretische Abschnitt mußte eingefügt werden, da in den letzten beiden Teilen des Buches mehrfach auf zahlentheoretische Gesetzmäßigkeiten Bezug genommen wird. Schließlich ist es ja nicht gerade verwunderlich, wenn in einem umfangreichen Werk über quadratische Gleichungen auch der mit ihnen verwandten quadratischen Kongruenzen gedacht wird. Der nun folgende fünfte Teil ist den von Gauß entdeckten K r e i s t e i l u n g s g l e i c h u n g e n gewidmet, zumal jenen, deren Lösung sich durch quadratische Gleichungen bewerkstelligen läßt, und die das uralte Problem der Konstruktion der regulären Polygone zum Abschluß gebracht haben. Der sechste und letzte Teil des Buches handelt von den d i o p h a n t i s c h e n q u a d r a t i s c h e n G l e i c h u n g e n und gipfelt in der Gaußschen Theorie der quadratischen Formen, soweit letztere für die Lösung diophantischer quadratischer Gleichungen in Frage kommt. So ist, im ganzen genommen, kein trockenes Lehrgebäude entstanden — wie der Titel des Buches auf den ersten Blick vermuten lassen könnte —, sondern ein abwechslungs- und farbenreiches Gesamtbild, in welchem Höhepunkte auftreten — ich nenne hier nur die an künstlerischer Wirkung etwa Liszts Präludien um nichts nachstehende wunderbare Lagrangesche Lösung der Fermatgleichung sowie die erstaunliche Gaußsche Konstruktion des regulären Siebzehnecks, welcher Gauß selbst den größten Wert beimaß —, die das Entzücken jedes Mathematikers, jedes für die Schönheit mathematischer Gedanken empfänglichen Menschen bilden. Für das Studium der in diesem Buche dargestellten Dinge dürfte ein besonderer Anreiz darin liegen, daß es sich durchweg um ganz elementare Betrachtungen handelt. Da der Verfasser zudem den verschiedenen Seiten des Themas, der theoretischen, der praktischen und der ästhetischen gleiche Aufmerksamkeit und Sorgfalt zugewandt hat, gibt er sich der Hoffnung hin, daß das neue Buch allen Kreisen gute Dienste leisten möge, die auf irgendeine Weise mit der Mathematik in Berührung kommen. Wiesbaden, im Frühjahr 1943.

Heinrich D ö r r i e .

Inhaltsverzeichnis Ersterr Teil Algebraische Theorie der quadratischen Gleichungen § 1. Algebraische Lösung der quadratischen Gleichung § 2. Beziehungen zwischen Koeffizienten und Wurzeln § 3. Verwandlung des quadratischen Trinoms in ein P r o d u k t von Linearfaktoren § 4. Vorzeichen des Trinoms a x2 + b x + c § 5. Schaukurve des Trinoms a x2 + b x + c § 6. Numerische Auflösung § 7. Geometrische Lösung der quadratischen Gleichung § 8. Gleichungspaar

Seite

9 12 14 15 17 18 25 30

Z w e i t e r Teil A n w e n d u n g e n der quadratischen Gleichungen Erster

§ § § § §

9. 10. 11. 12. 13.

Zweiter

§ 14. §15. §16. §17. § 18. § 19. § 20. § 21.

Abschnitt

Anwendungen der quadratischen Gleichung: auf die Lösung von Extremaufgaben Das Prinzip, an Beispielen erläutert Teilverhältnis und Doppelverhältnis Harmonie Quadratische Gleichungen und Harmonie Die E x t r e m e der rationalen quadratischen Funktion Abschnitt

Anwendungen der quadratischen Gleichung auf die Lösung geometrischer Probleme Apollonius' Taktionsproblem Eulers Schließungsdreiecke Die Sicherheitsfläche Sonnen- und Mondfinsternisse Brocards Transversalenaufgabe Trieder-Aufgabe von Lagrange . Catalans Toroidenaufgabe Painvins Quadrikaufgabe Dritter

33 42 45 54 58

63 65 66 68 72 74 80 82

Abschnitt

Gleichungen mit einer Unbekannten, die sich auf quadratische Gleichungen zurückfähren lassen § 22. Reziproke Gleichungen § 23. Gleichungen, die sich durch Einführung einer neuen Unbekannten auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen

86 90

—

ß

— Seite

§ 24. Auf quadratische Gleichungen zurückführbare Wurzelgleichungen § 25. Kubische Gleichungen § 26. Biquadratische Gleichungen Vierter

. . , .

97 103 109

Abschnitt

Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten § 27. Zurückführung des quadratischen Gleichungspaares mit zwei Unbekannten auf eine biquadratische Gleichung §28. Die ±-Methode § 29. Die Verhältnis-Methode . . ' §30. Die NP-Methode. §31. Die Identitätenmethode §32. Reduktion auf eine reziproke Gleichung § 33. Goniometrisches Verfahren §34. Gleichungen mit drei Unbekannten

112 113 116 117 121 125 130 134

D r i t t e r Teil Die quadratische Irrationelle Erster §35. § 36. § 37. §38. §39. §40. §41. §42.

Abschnitt

Kettenbrüche Eulerpolynome Die lineare diophantische Gleichung Kettenbrüche Verwandlung einer gegebenen Zahl in einen Kettenbruch Näherungsbrüche Nebennäherungsbrüche Kettenbruchumkehrung. . . . . . . Äquivalente Zahlen Zweiter

143 151 155 158 163 177 179 182

Abschnitt

Die quadratische Irrationelle §43. § 44. §45. § 46. § 47. § 48. §49. §50.

Verwandlung der quadratischen Irrationelle in Lagranges Periodizitätssatz Eulers Periodizitätssatz . Reinperiodische Kettenbrüche (Die Sätze von Äquivalenz quadratischer Irrationellen Gemischtperiodische Kettenbrüche . Kettenbruch einer Legendrezahl Die Fermatgleichung

einen Kettenbruch

. .

. Galois) . . . .

. . . .

186 194 196 199 204 209 211 218

Vierter Teil Zahlentheoretischer Exkurs §51. §52. § 53. § 54. § 55. § 56. §57.

Multipla und Divisoren Grundeigenschaften der Kongruenzen Restsysteme Der Indikator Lineare Kongruenzen Die Sätze von F e r m a t und Euler Quadratische Reste und Nichtreste, d a s Legendresymbol

234 242 247 250 254 261 265

Seite

§ 58, §59. § 60. §61. § 62. § 63.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz und seine Ergänzungen Die quadratische Kongruenz x2 = F mod m Primmodulkongruenzen Kongruenzen höheren Grades Die binomische Kongruenz Primitivwurzeln einer Primzahl

. . . .

270 275 281 288 292 297

F ü n f t e r Teil Die § 64. § 65. § 66. § 67. §68. § 69. § 70. §71. § 72.

Kreisteilungsgleichung

Regelmäßige Vielecke Von den Wurzeln der Kreisteilungsgleichung Irreduzibilität der Kreisteilungsgleichung Perioden Periodenpolynome Subperioden . . Gauß' Fundamentalsatz . . Das reguläre Siebzehneck Gleichungen, deren Wurzeln mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind

305 308 311 317 324 335 340 345 348

S e c h s t e r Teil Die diophantische quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten Erster

Abschnitt

Zurttckfiihrung auf Xormalformcn § 73. § 74. § 75. §76.

Problernstellung Die diophantische Gleichung' x2 + y2 = m . Reduktion auf Normalformen Geometrische Bedeutung der Gleichung

0 sein. Hier ist

D = 4 [c2 (y — a2f — (a2 — 2 y) (a2 c2 — y2)] = 4 [(a 2 + c 2 ) y2 — 2 y3] oder

D = 8y2

a 2 + c2

2/

— 39 — Mithin muß

a2 + c2 " < 2

sein. Der höchste Wert, den y erreichen kann, 2

ist

a

_ a + c . 2/max 2

Die Lösung dieser Aufgabe mittels Differentialrechnung ist umständlicher. Beispiel7.

Die H a u p t a c h s e n 2

ax

der 2

+ 2 bxy

cy

Ellipse = 1

zu b e s t i m m e n . L ö s u n g : Bedeutet r den Abstand eines beliebigen Ellipsenpunktes (x, y) vom Ellipsenzentrum, das hier mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, so ist r2 — x2 + y2, und das Maximum von r stellt die große Halbachse, das Minimum von r die kleine Halbachse der Ellipse dar. Unsere Aufgabe besteht also darin, das Maximum und Minimum der Größe R = r2 zu bestimmen. Um diese Aufgabe zu lösen, schreiben wir R = r2 — x2

y2

2

x2 + y

1

x2 + y2 a x + 2 b x y + c y2 2

Hier erweitern wir mit 1 : x 2 , setzen y:x = t und bekommen R =

1 +t2 a + 2b t + et2

Diese Beziehung fassen wir als quadratische Gleichung für das Koordinatenverhältnis t (= y: x) eines die Ellipse durchlaufenden Mobils auf: (Rc — 1) t2 + 2 Rb t + (Ra — 1) = 0. Da diese Gleichung keine komplexen Wurzeln t haben darf, muß ihre Diskriminante D nichtnegativ sein: D> 0 .

— Da

40

—

D = — 4 [(Ra — 1) (Rc — 1) — R2 b2]

ist, so sagt diese Bedingung aus, daß der in der eckigen Klammer stehende quadratische Ausdruck Q = d R2 — eR + 1, in welchem d = ac — 62, £ == a + c ist, negativ oder Null sein muß. Um über das Vorzeichen von Q zu entscheiden, verwandeln wir Q in ein Produkt von zwei Linearfaktoren ( § 3 ) : Q =

wobei

d(R-G)(R-K),

K =

G= — - ,

un< *

to = + } fi2 — 4 V2 oder r> V:d . Man e r h ä l t also die k l e i n s t e E n t f e r n u n g der b e i d e n S c h i f f e , indem man den B e t r a g des V e k t o r p r o d u k t s der b e i d e n V e k t o r e n a und b = 6 — c d u r c h den B e t r a g v o n b t e i l t . D i e s e n M i n i m a l a b s t a n d h a b e n die S c h i f f e (wegen dH -(7 S = 0) zur Z e i t t =

_S:d2

= —

ab:d2.

Aus den verschiedenartigen hier behandelten Beispielen erkennt der Leser mühelos das folgende allgemeine

— 42 — P r i n z i p zur L ö s u n g von E x t r e m a u f g a b e n : Um das M a x i m u m oder Minimum einer v a r i a b l e n Größe zu e r m i t t e l n , die v o n e i n e m A r g u m e n t a b h ä n g t , s u c h e m a n l e t z t e r e s als U n b e k a n n t e e i n e r q u a d r a t i s c h e n Gleichung darzustellen, deren Koeffizienten und damit a u c h D i s k r i m i n a n t e D von j e n e r Größe a b h ä n g e n , und schließe aus der D i s k r i m i n a n t e n b e d i n g u n g D> 0 auf d e n kann.

Bereich

der W e r t e ,

die die

Größe

annehmen

Gewiß besitzt dieses Verfahren zur Ermittlung von Extremaufgaben bei weitem nicht die Allgemeinheit der Differentialmethode; doch ist die Anzahl der Fälle, auf die es angewandt werden kann, so groß und die Ausübung des Verfahrens, wie die obigen Beispiele zeigen, so einfach und übersichtlich, daß es lohnt, das Verfahren kennenzulernen. Da die Ausdrücke, deren Extreme nach dieser Methode zu ermitteln sind, auf rationale quadratische Funktionen von der allgemeinen Form _ ~

y

Ax2 + 2Bx + C' ax2 + 2bx + c

zurückgeführt werden, so wird unsere Aufgabe vornehmlich darin bestehen, die Extreme dieser Funktion bei Zugrundelegung allgemeiner Koeffizientenwerte A, B, C, a, b, c zu bestimmen. Da bei dem herzuleitenden allgemeinen Satze auch geometrische Betrachtungen, und zwar über harmonische Punkte eine Rolle spielen, so schicken wir unserer Untersuchung einen Exkurs über Harmonie und ihre Beziehungen zu quadratischen Gleichungen voraus.

§ 10. Teilverhältnis und Doppelverhältnis Trägt man die — reellen — Wurzeln quadratischen Gleichung AX2

+ 2BX

und X2 einer vorgelegten

+ C = 0

auf der Zahlenachse § ab, so bilden die (vom Nullpunkt um X j und X2 abstehenden) Endpunkte P1 und P2 der Abtragungen — die die Zahlen X-L und X2 geometrisch darstellen (auch selbst wohl als die »Zahlen« Xl und X2 bezeichnet werden) — ein P u n k t e p a a r , das die Strecke Pr P2 begrenzt. Um dann die Lage eines beliebigen Punktes P der Geraden j zu bestimmen, bedient man sich häufig der »Standgröße« P ± P = f j des Punktes P, worunter man den Abstand des Punktes P von der Stelle Pi versteht, wobei dieser Abstand positiv oder negativ gerechnet wird, je

— 43

—

nachdem die von Px nach P führende Richtung mit der von Py nach P2 führenden Richtung übereinstimmt oder nicht. Man könnte die Lage des Punktes P ebensogut durch seine auf P2 bezogene Standgröße P2 P = f 2 bestimmen, wobei f 2 positiv oder negativ zu rechnen ist, je nachdem die von P2 nach P führende Richtung mit der von P2 nach P1 führenden übereinstimmt oder nicht. Damit besitzt dann der Punkt P z w e i Standgrößen und f 2 , die aber voneinander abhängen, insofern ihre Summe gleich der Länge der Strecke Pl P2 ist. Der Punkt P liegt zwischen P1 und P2 oder nicht, je nachdem seine beiden Standgrößen gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. D a zur Festlegung des Punktes P die Angabe b e i d e r Standgrößen überflüssig ist, begnügt man sich meist mit der Angabe ihres V e r h ä l t nisses l=P1P:PaP = £1:£s-, dieses Verhältnis heißt das T e i l v e r h ä l t n i s d e s P u n k t e s P in d e r S t r e c k e Px P2 oder das T e i l v e r h ä l t n i s d e s P u n k t e s P f ü r d a s P u n k t e p a a r (Z^, P2), wobei aber auf die Reihenfolge der Punkte P1 und P2 zu achten ist. D u r c h d a s T e i l v e r h ä l t n i s ist die L a g e des P u n k t e s eindeutig bestimmt. In der T a t : Durchläuft der Punkt P die Gerade j von — oc bis + oo, so durchläuft das Teilverhältnis /. a l l e reellen Werte, und zwar jeden genau einmal; und zwar läuft / von — 1 bis 0, wenn P aus dem negativen Unendlichen nach P1 geht, es läuft von 0 bis -(- oo, wenn P von Px aus die Strecke P2 durcheilt, beim Passieren der Stelle P2 springt es von + 0 0 auf — oo, um schließlich, wenn P von P2 bis ins positive Unendliche läuft, von — oo bis auf — 1 anzusteigen. Demnach kommt nur der Wert 7. = — 1 doppelt vor: einmal im negativen und einmal im positiven Unendlichen. Da aber in der Geometrie der geraden Linie nur ein unendlich ferner Punkt zugeschrieben wird, so ist dieses d o p p e l t e Vorkommen nur Schein; wir müssen sagen: das Teil Verhältnis hat im Unendlichen den Wert — 1. Neben der g e o m e t r i s c h e n

Schreibung

l = P1P:

P2P

des Teilverhältnisses ist die a n a l y t i s c h e Schreibweise zu merken. Wenn der Punkt P auf der Zahlenachse j die Zahl X darstellt, d. h. wenn sein Abstand vom Nullpunkt — seine Koordinate — X ist, dann haben wir PxP = X — Xi und P 2 P = X 2 ~ X und

'

XS — "X'

— 44 — Wir prägen uns ein: D a s T e i l v e r h ä l t n i s des P u n k t e s Pz f ü r d a s {Pu P2) h a t d e n W e r t ; =

P

1 l>,

P

± P*

=

Punktepaar

AV A", •X*

wobei X2, X3 d i e K o o r d i n a t e n d e r d r e i P u n k t e deuten. Nunmehr sei a x + 2bx + c= 0

be-

2

eine zweite quadratische Gleichung mit gegebenen Koeffizienten. Auch ihre Wurzeln xx und x2 seien zunächst reell. Die Abtragung dieser Wurzeln auf der Zahlenachse § führe zu den Zahlen xx und x2, den Punkten p^ und p . Jeder der beiden Punkte pt und p2 bestimmt mit dem obigen Punktepaar (Pu P2) ein Teilverhältnis, der erste das Teilverhältnis 2

x

P i P i

5

i

—

A2 —

^ - P . P !

Xx'

der zweite das Teilverhältnis Xi 2 •Y Durch Division der beiden Teilverhältnisse entsteht das sogenannte =

Pl P%

P2

x2 -

P2

^-2 s

X

D o p p e l v e r h ä l t n i s d e r P u n k t e p a a r e (P^ P2) und (p1, p2) oder der Wurzelpaare (X1? X2) und (a;l5 x2) oder, wie man meist sagt, das D o p p e l v e r h ä l t n i s der v i e r P u n k t e Px, P2, p1: p2, wobei die Reihenfolge zu beachten ist. Das Doppelverhältnis der vier Punkte Pt1 P2, (j P ! P 2 P i P 2 ) — hat den Wert

p2 — geschrieben:

Heißen die Punkte A, B, C,D, so wird

Durch Einführung der Koordinaten schreibt sich das Doppelverhältnis X\ ( P i

P2P1P2)

X

2

X2, : A,

x2

X j

X

x2 der vier Punkte, A,

2

—

x

2

— 45

—

oder auch, vielleicht etwas bequemer,

Natürlich können wir auch die Abkürzung (X x X 2 x1 x2) für das Doppelverhältnis wählen und haben d a n n : Das Doppelverhältnis der vier P u n k t e mit den Koordinaten X 1? \F~ :

(X x X 2 Xi x2) = —7 Xi

X2

[Heißen die Koordinaten

wird ihr Doppelverhältnis ry

(Xi x2

Si2

x^) — - 3 X3

.

X «^4" ai. ry y X 4 /X 2 /Y»

/y

Bis jetzt setzten wir die Wurzeln (X 1 ; X 2 ) und (x l5 x2) als reell voraus. Es macht aber nicht die geringsten Schwierigkeiten, unsere Begriffe »Teilverhältnis« und »Doppelverhältnis« auch auf komplexe Zahlentripel (X,, X 2 , x±) bzw. Zahlenquadrupel (X l 5 X 2 , xx, x2) zu übertragen, worauf weiter unten zu achten sein wird.

§ 11. Harmonie Zwei Punktepaare (Pu P2) und (pt, p2) einer Geraden, zwei Koordinatenpaare (X l 5 X 2 ) und (#1, x2), die Wurzelpaare (X 1 ; X 2 ) und (x1: x2) zweier quadratischen Gleichungen A X 2 + 2 BX

+ C = 0

und

ax* + 2 bx + c = 0,

heißen z u e i n a n d e r h a r m o n i s c h , w e n n i h r D o p p e l v e r h ä l t n i s d e n W e r t — 1 h a t . Außerdem heißen dann die P u n k t e Px und P2 des einen Paares, ebenso die P u n k t e px und p2 des andern Paares e i n a n d e r z u g e o r d n e t oder k o n j u g i e r t . Die Gesamtheit der vier P u n k t e Plr P2, p 1, p2 nennt man einen h a r m o n i s c h e n W u r f . Auch k a n n m a n die beiden Strecken P1 P2 und pxp2 z u e i n a n d e r h a r m o n i s c h ( h a r m o n i s c h e S t r e c k e n ) nennen. Die Berechtigung der Redeweise »zueinander harmonisch« erkennt m a n unmittelbar, wenn m a n (p±, p2) s t a t t (Plt P2) als Ausgangspaar n i m m t und die Definitionsgleichung (Pi P2P1P2) = — 1 (Pi P2 Pi P2) = — 1

oder oder

P1p1: P2p1 = — P1p2: P2p2 Pi Pi-P2Pi = — Pi P2 • P2 P2

schreibt An unsere Definition knüpfen sich sofort z w e i w i c h t i g e I. Z u w e l c h e n g e o m e t r i s c h e n monie zweier P a a r e ?

Deutungen

führt

Fragen: die

Har-

— 46 — II. W i e w i r k t s i c h die H a r m o n i e d e r b e i d e n W u r z e l p a a r e auf die K o e f f i z i e n t e n d e r z u g e h ö r i g e n q u a d r a t i s c h e n Gleichungen aus? I. G e o m e t r i s c h e D e u t u n g e n d e r H a r m o n i e . (A, B) und (P, Q) seien zwei (zueinander) harmonische Punktpaare, so daß (ABPQ) = — i oder AP: BP =:—AQ: BQ ist. Wenn aber die Teilverhältnisse zweier Punkte P und Q für das Paar (A, B) entgegengesetzt gleich sind, muß der eine der beiden Punkte, etwa P, innerhalb, der andere, Q, außerhalb der Strecke A B liegen. Wir denken uns die Gerade, die den harmonischen Wurf (^4, B, P, Q) enthält, so, daß die Punkte, von links nach rechts gesehen, in der Reihenfolge A, P, B, Q erscheinen: A •

P *

l

m

B •

Q *

n

und setzen AP = l,

PB = m,

BQ = n,

AQ = g.

Dann ist AP:

BP = 1: m,

AQ: BQ = — g: n,

folglich l: m = g : n oder mg = In •

(1)

Drei sukzessive

S t r ecken

AP = l,

PB = m,

BQ = n

einer G e r a d e n erzeugen d a n n und nur d a n n m o n i s c h e P u n k t p a a r e (A, B) u n d (P,Q), w e n n mg = In

zwei

har-

mit g = l + m + n

ist. Wir schreiben diese fundamentale Relation für zwei harmonische Strecken A B und PQ um. Zu dem Zwecke führen wir den Mittelpunkt einer der beiden Strecken, etwa den Mittelpunkt M der Strecke A B und die (positiven) Abstände MA=r,

M B = r,

M P = p,

MQ = q

der vier harmonischen Punkte A, B, P, Q von M ein.

— 47 — Dann ist r =

l + m 2

l~

2

'

m 2

'

*

+ n 2

mithin wegen der Harmoniebedingung mg = In _

l+ m g— n _ 2 * 2

lg-

in n

pq

= lg

mn

und r = pq In Worten: D e r A b s t a n d d e r E n d p u n k t e e i n e r v o n zwei h a r m o n i s c h e n S t r e c k e n v o n i h r e r M i t t e vT/ i s t m i t t l e r e P r o p o r t i o n a l e z w i s c h e n den A b s t ä n d e n d e r E n d p u n k t e der a n d e r n S t r e c k e v o n M. Umgekehrt folgt leicht aus (2) (1). (2)

Zeichnen wir den Kreis (£ mit dem Durchmesser A B = 2 r, so heißen bekanntlich zwei auf der Geraden A B und zwar auf derselben Seite von M gelegene Punkte P und Q, deren Zentralen M P = p und MQ = q das Produkt r2 haben, in bezug auf diesen Kreis Spiegelbilder voneinander. Folglich: Spiegelt man einen P u n k t P in e i n e m K r e i s e Bild 8. n a c h Q und s c h n e i d e t d i e V e r b i n d u n g s l i n i e PQ den K r e i s i n ^ 4 u n d ß , so s i n d ^ i ? ) (P, Q) h a r m o n i s c h e P u n k t p a a r e .

und

Zeichnet man weiter einen durch die Punkte P und Q laufenden Kreis r mit b e l i e b i g e m Radius q, SO hat seine Potenz in M einerseits den Wert M P • MQ = pq = r2, anderseits den Wert z2 — q2, wenn s den Abstand des Punktes M vom Zentrum von r bedeutet. Daher wird Q2 = r2

oder

z2 = r% + q'2.

Letztere Gleichung sagt aber aus, daß die Kreise £ und r aufeinander senkrecht stehen. Haben wir umgekehrt zwei Orthogonalkreise S und r mit den Radien r und q, Bild 9. und sind P und Q die Punkte, in denen ein beliebiger Durchmesser A B von © den Kreis r schneidet, so ist die Potenz von r im Mittelpunkte M von £ einerseits MP • MQ, ander-

— 48

—

seits z 2 — g 2 , unter z die Zentrale der beiden Kreise verstanden, und es gilt die Gleichung MP-

MQ

2

2

= z — ß .

Wegen der Orthogonalität der beiden Kreise ist aber z2 = r 2 + e 2 . Aus den beiden letzten Gleichungen folgt MP

- MQ

r2.

=

Q ist also Spiegelbild von P in und das P u n k t p a a r ( P , Q), in dem die Gerade AMB den Kreis r schneidet, ist harmonisch zu (A, B). Daher gilt der S a t z : Z i e h t m a n d u r c h das Z e n t r u m eines v o n zwei O r t h o g o n a l k r e i s e n e i n e S e k a n t e , so b i l d e n i h r e S c h n i t t p u n k t e m i t den K r e i s e n zwei h a r m o n i s c h e P u n k t p a a r e . Zu einer vierten geometrischen Deutung der Harmonie führt das Vierseit. Ein (vollständiges) V i e r s e i t ist der Inbegriff von vier Geraden der Ebene, von denen keine drei durch e i n e n P u n k t laufen. W ä h l t m a n zwei von den vier Seiten willkürlich aus, so bildet ihr SchnittA P B Q. punkt, e i n e E c k e des Vierseits, der Schnittpunkt der andern beiden Seiten'die zugeordnete Ecke oder kurz G e g e n e c k e . Da die Auswahl auf drei Weisen getroffen werden kann, besitzt das Vierseit im ganzen sechs Ecken, drei Gegeneckenpaare. Die Verbindungslinie von zwei Gegenecken heißt D i a g o n a l e des Vierseits. Ein Vierseit hat drei Diagonalen. Die S c h n i t t p u n k t e der Diagonalen werden D i a g o n a l p u n k t e genannt. Das gezeichnete Vierseit h a t die vier Seiten AED, ACF, BCE und BFD, die sechs Ecken A, B, C, D, E, F. (A, B), (C, D) und (E, F) sind Gegeneckenpaare, demnach AB, CD, EF die drei Diagonalen. Die Schnittp u n k t e von AB und CD, dann von AB und EF, endlich von CD und EF sind die drei Diagonalpunkte P, Q, O. Nun ist nach dem auf das Dreiseit A BD mit den drei Cevatransversalen AC, BC, DC angewandten Satze von Ceva AP

BF

DE

_

^

BP

D F

ÄE

~

1

'

sodann nach dem auf dasselbe Dreiseit mit der Transversale EF Q angewandten Satze von Menelaos AQ

/!{)

BF

I>F

.1 /•;

— 49 — wobei jedes Teilverhältnis mit dem der obigen Verabredung entsprechenden Vorzeichen zu denken ist. Die Division dieser beiden Gleichungen gibt AP AQ _ BP 1 BQ ~ Das Doppelverhältnis der vier Punkte A, B, P,Q bzw. der beiden Punktpaare (^4, B) und {P, Q) ist — 1, d. h. aber: diese Punktpaare sind harmonisch. Wendet man dieselbe Schluß weise auf das Dreiseit DEF mit den Cevatransversalen DC, EC, FC, mit der Menelaostransversale QBA an, so entsteht die Gleichung EO,EQ _ _ FO :FQ ~ und bei Benutzung des Dreiseits CDF mit den Cevatransversalen CE, DE, FE, mit der Menelaostransversale B A P die Gleichung DO_ DP _ CO' C P~ Damit sind auch (E, F) und (0, Q) sowie auch (D, C) und (0, P) als harmonische Punktpaare erkannt. Es gilt demnach der Satz vom Vierseit: J e zwei G e g e n e c k e n e i n e s V i e r s e i t s u n d d i e auf i h r e r V e r b i n d u n g s l i n i e liegenden D i a g o n a l p u n k t e sind h a r monische Punktpaare. Die angegebenen Sätze setzen uns instand, folgende zwei F u n d a m e n t a l a u f g a b e n zu lösen: I. Von zwei h a r m o n i s c h e n P u n k t p a a r e n (A, B) u n d (P,Q) i s t d a s e r s t e u n d ein P u n k t , e t w a P, d e s z w e i t e n geg e b e n ; d e n zu P z u g e o r d n e t e n P u n k t Q des z w e i t e n P a a r e s zu z e i c h n e n . II. Zu zwei g e g e b e n e n P u n k t p a a r e n ( 4 , B) u n d (C, D) e i n e r G e r a d e n die g e m e i n s a m e h a r m o n i s c h e E r g ä n z u n g , d. h. d a s s o w o h l zu (A, B) a l s a u c h zu (C, D) h a r m o n i s c h e P u n k t p a a r (P,Q) zu z e i c h n e n . L ö s u n g e n v o n I. E r s t e L ö s u n g : Man zeichne zwei durch A und B laufende Parallelen und bringe sie in H und K mit einer beliebigen, durch P laufenden Geraden zum Schnitt. Man spiegle K in B nach L; der Schnittpunkt der Verbindungslinie HL mit der Geraden A B ist der zu P zugeordnete Punkt Q. Dörrie,

Quadratische Gleichungen.

4

-

50

— Der Beweis folgt ohne weiteres aus dem Strahlensatze. Dieser liefert die beiden Proportionen (ohne Vorzeichenberücksichtigung) AP:

]K und

BP

=

AH:BK

AQ:BQ=AH:BL,

liilü 11 aus denen, dann die Gleichheit der Teilverhältnisse AP : B P und AQ : BQ (ohne Vorzeichenberücksichtigung) hervorgeht. Der weitere Umstand, daß Q außerhalb oder innerhalb der Strecke AB liegt, je nachdem P innerhalb oder außerhalb von A B liegt, vervollständigt den Beweis.' Z w e i t e L ö s u n g: Man zeichne den Kreis E vom Durchmesser A 5 u n d spiegle P i n ß ; das Spiegelbild ist der gesuchte, zu P zugeordnete Punkt Q. A n m e r k u n g . Das SpiegelbildQ eines Punktes P in einem Kreise (£ vom Zentrum M kann man z. B. folgendermaßen bekommen. Liegt P außerhalb von C, so zeichnet man \B M 0. \ • die Tangenten P H und P K an (£; der Schnittpunkt von HK mit M P ist Q. Liegt P innerhalb von (£, so errichte man in P auf M P die Senkrechte bis zum Schnitt H mit 6 ; die in H an g gelegte Tangente trifft M P in Q. Der Beweis erfolgt durch Anwendung des Satzes vom Kathetenquadrat auf die Kathete MH des rechtwinkligen Dreiecks MH P bzw. MHQ. ( M I l 2 = MQ • MP oder M P -MQ = r\) D r i t t e L ö s u n g : Man verbinde einen beliebigen Punkt D außerhalb von A B mit A und B. Liegt nun P innerh a l b von AB, so verbinde man P mit Z>, bringe diese Verbindungslinie und B D mit einer beliebigen, durch A laufenden Transversale in C d B P und F zum Schnitt und Bild 14. bringe BC mit AD in E zum Schnitt; die Verbindungslinie EF schneidet die Gerade A B in Q.

— 51 — Liegt P dagegen außerhalb von AB, so bringe man AD und BD mit einer beliebigen, von P ausgehenden Transversale in E und F zum Schnitt und zeichne den Schnittpunkt C von AF und BE; die Verbindungslinie DC trifft A B im gesuchten Punkte Q. Das Bemerkenswerteste an dieser Konstruktion ist der Umstand, daß sie mit dem Lineal allein ausgeführt werden kann; sie ist eine sog. Linealkonstruktion. ZumAusbau einer r e i n e n Z i r k e l k o n s t r u k t i o n eignet sich am besten die zweite Lösung unserer Aufgabe, insofern es sehr einfach ist, einen Punkt in einem Kreise mit alleiniger Benutzung des Zirkels zu spiegeln. [Liegt P z. B. außerhalb von©, so schlage man mit der Zirkelöffnung M P auf © ein und beschreibe um die erhaltenen Schnittpunkte I und II Kreise mit dem Halbmesser Ml = MII; der zwischen M und P gelegene Schnittpunkt dieser Kreise ist das Spiegelbild Q von P in 6. (Beweis nach dem auf das gleichschenklige Dreieck M Q I mit der Spitzentransversale I P angewandten Spitzentransversalensatze.) Liegt P innerhalb von S, so gilt dieselbe Konstruktion, falls M P größer ist als der halbe Halbmesser von S. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, muß die Konstruktion etwas umgestaltet werden, worauf wir hier aber nicht weiter eingehen wollen.] L ö s u n g v o n II. Wenn das gesuchte Punktpaar (P,Q) sowohl zu (A, B) als auch zu (C, D) harmonisch sein soll, so muß jeder durch P und Q laufende Kreis $ die Kreise / und II mit den Durchmessern A B und CD senkrecht schneiden, wie auch jeder zu I und II orthogonale Kreis £ die Gerade ABCD in einem Punktpaare (P, Q) schneidet, das sowohl zu (A, B) als auch zu (C, D) harmonisch ist (wobei wir allerdings die Existenz solcher Schnittpunkte voraussetzen müssen). Aus dieser Bemerkung resultiert folgende Konstruktion: Man zeichne die Kreise 1 und II mit den Durchmessern A B und CD, sowie einen Kreis S', der auf I und II senkrecht steht; dieser schneidet die Gerade A BCD in dem gesuchten^ Punktpaare (P, Q). Die Konstruktion gelingt jedoch nur, wenn I und I I keinen Punkt gemeinsam haben; wenn sich I und II schneiden, versagt sie; wenn sich I und II berühren, fallen P und Q mit dem Berührungspunkte zusammen. Einen Kreis der auf zwei vorgelegten Kreisen I und II senkrecht steht, bekommt man leicht folgendermaßen. Es gibt unendlich viele Kreise, die auf / und II senkrecht stehen: ihre Zentra liegen auf der 4*

-

52

—

Chordale % von / und II; und der Radius des zu einem beliebigen Punkte O von x gehörigen auf / und II senkrechten Kreises $ ist eine der von 0 an I oder II gelegten (gleich langen) Tangenten. Wenn sich / und II in//und/f schneiden, so ist die Chordale % bekanntlich die gemeinsat— me Sekante H K. Wenn F der Schnittpunkt von f / \ / \ % und A B und OF = / , FH =FK = s ist, wenn AI / C B\ \D 1° * / n m ferner O T die von O an / \\ V / ! gelegte Tangente, zuV /9 Tl/ gleich der Halbmesser t des zu I und II orthoX gonalen Kreises ist, so hat die Potenz von / jsiia 15. in O den Wert t2 = OH • OK = (f — s) (f + s) = P — s*.

1

Folglich ist t kürzer als das von O auf die Zentrale von / und II gefällte Lot OF = /, und der Kreis $ kann die Zentrale nicht schneiden; die gesuchten Punkte P und Q existieren n i c h t . Wenn/und / / k e i n e n Punkt g e m e i n s a m haben, verläuft ihre Chordale % ganz außerhalb der beiden Kreise / und II, liegt also auch ihr Schnittpunkt F mit der Zentrale von I und II außerhalb von / und II. Ist nun z. B. M der Mittelpunkt, r der Radius von 1,0 wieder irgendein Punkt der Chor/ \M dale, O T = t die Tangente von O an /, zugleich der Radius des A\ D zu I und II normalen Kreises Ä r / mit dem Mittelpunkte O, endlich OM = z, OF = / und MF = g, so erhalten wir für die Potenz des X B i l d 16. Kreises / in O den Wert

^

( T\

r

für den Abstand / des Punktes 0 von der Zentrale der Kreise / und I I die pythagoreische Gleichung /2 = z 2 - g 2 .

53 — Da aber F außerhalb von I liegt, g also größer als r ist, so iolgt aus diesen beiden Gleichungen t

>/,

so daß der Kreis Si die Zentrale von / und II in zwei Punkten P und Q schneidet. Das Punktpaar (P,Q) ist zu jedem der beiden Punktpaare (A, B) und (C, D) harmonisch. Die Konstruktion gelingt, wenn die Kreise / und II keinen Punkt gemeinsam haben; ob (wie in unserer Figur) der eine Kreis ganz außerhalb, oder ob er ganz innerhalb des andern liegt, macht bei ihrer Ausführung keinen Unterschied. Wir sehen auch noch, daß in dem Grenzfalle, wo die Kreise / und I I sich berühren, die Punkte P und Q im Berührungspunkte zusammenfallen. Daß im übrigen j e d e r der unendlich vielen Kreise deren Zentra O auf der Chordale liegen, deren Halbmesser t Tangenten an I und II sind, die Zentrale von 1 und II stets an d e n s e l b e n Stellen P und Q schneidet, folgt so: Setzen wir FP = FQ = x,. so erhalten wir für die Potenz von S in M die Relation z2 — t2 = M P • MQ = (g — x) • (g + x) = g2 — x2, aus der Orthogonalität von £ und I die Gleichung = ¿2

r2

Die Verbindung dieser beiden Gleichungen liefert für die Unbekannte x die Gleichung g2 — x2 = r2, so daß x = y g2 — r2 ein für alle Kreise ® unveränderlicher Wert ist. Das heißt aber: jeder auf / und II senkrechte Kreis ® läuft durch d i e s e l b e n Punkte P und Q der Zentrale von I und II. Um das Ergebnis dieser Betrachtungen bequem aussprechen zu können, wollen wir zwei Strecken A B und CD bzw. zwei Punktpaare (^4, B) und (C, D) einer Geraden v e r k e t t e t nennen, wenn von den beiden Punkten C und D der eine innerhalb, der andere außerhalb der Strecke A B liegt. Wir haben dann folgenden Satz von der harmonischen E r g ä n z u n g : Zwei P u n k t p a a r e ( ^ 4 , ß ) u n d {C,D) e i n e r G e r a d e n h a b e n n u r d a n n e i n e g e m e i n s a m e h a r m o n i s c h e E r g ä n z u n g (P, Q), w e n n die g e g e b e n e n P u n k t p a a r e n i c h t v e r k e t t e t s i n d , u n d z w a r ist in d i e s e m F a l l e d a s zu (A, B) u n d (C, D)

— 54 — h a r m o n i s c h e P a a r (P,Q) das S c h n i t t p u n k t p a a r , das i r g e n d e i n z u d e n K r e i s e n m i t d e n D u r c h m e s s e r n AB u n d CD o r t h o g o n a l e r K r e i s a u f d e r G e r a d e n ABCD erzeugt.

§ 12. Quadratische Gleichungen und Harmonie Nach diesen geometrischen Erörterungen kommen wir zur Behandlung der zweiten obigen Frage » W e l c h e B e z i e h u n g b e s t e h t z w i schen den K o e f f i z i e n t e n der q u a d r a t i s c h e n Gleichungen AX2 + 2BX

+ C = 0

und

ax2 + 2 bx + c = 0,

deren Wurzelpaare X2) u n d (xx, x2) z u e i n a n d e r h a r m o n i s c h s i n d ?« Wir erhalten die gesuchte Beziehung durch Verknüpfung der Harmoniebedingung (X1Xix1xt)

= - l '

oder

:

£ " J ^

_ 1

mit den bekannten Wurzel-Koeffizienten-Relationen A x -+- A 2 —

2B

A2 —

,

C

^ X

1

_

-+- X2 —

2b ^

, X1X2

—

—

aus § 2. Wir schreiben die Harmoniebedingung (X, — x j (X2 -

x2) + (X, -

x2) (X2 — Xl) = 0

oder 2 X x X 2 + 2 x, x2 = (X, + X2) (x, + x2) und bekommen C , „ c 2B 2b 2 x + 2 - = oder endlich Ac +Ca

— 2Bb

= 0

welche Gleichung die gesuchte Beziehung darstellt. Die Koeffizientenverbindung H= Ac

Ca •— 2Bb

heißt die h a r m o n i s c h e I n v a r i a n t e der Trinome Ax2 und ax2-\-2bx-\-c bzw. Gleichungen Ax2 + 2 Bx + C = 0

und

2 Bx + C

ax2 + 2 bx + c = 0,

und unser Ergebnis l a u t e t : S a t z von der harmonischen I n v a r i a n t e . Zwei q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g e n h a b e n h a r m o n i s c h e W u r z e l paare, wenn ihre harmonische Invariante verschwindet.

— 55 — Dieser Satz gilt auch dann, wenn einer der Erstkoeffizienten A oder a verschwindet. Ist z. B. A = 0, so hat die quadratische Gleichung Ax2-{-2Bx-\-C eine unendlich große Wurzel Xx = co und die Wurzel Xt = — C: 2 B. Das obige Doppelverhältnis nimmt den Wert

an, und es ist

X i x9 —

2-2 X! +

oder

-^2

= 2 A~2

_ 2Ä _ _ a

oder

Ca — 2Bb

C H • = 0.

A n m e r k u n g . Der Ausdruck »Invariante« erklärt sich folgendermaßen. Sind F = A x2 2 Bxy Cy2 und / = a x 2 + 2 bxy -+- c?/2 zwei, wie man sie nennt, quadratische Formen in d§n Veränderlichen rr und y, und substituiert man in ihnen für x und y zwei Linearformen x = xx' + ßy',

y = yx' + öy'

mit dem »Substitutionsmodul« A = xd — ßy, so gehen sie in zwei Formen F" = A'x'2

+ 2 B'x'y'

-f C'y'2

und /' = a' x'2 + 2b'x'y'

über, und eine einfache Rechnung zeigt, daß die neue

+

c'y'2

»Invariante«

H' = A'c' + C'a' — 2 B'b' mit der alten H = Ac + Ca — 2 Bb durch die einfache Formel

H' =

A2H

verknüpft ist. Die Koeffizientenkombination H ist der Substitution gegenüber — vom Zusatzfaktor zl 2 abgesehen — »invariant« geblieben. Nach dieser Betrachtung über die harmonische Invariante sind wir imstande, das im vorigen Paragraphen geometrisch erörterte Problem »Zu z w e i v o r g e l e g t e n P a a r e n d i e g e m e i n s a m e h a r m o n i s c h e E r g ä n z u n g zu s u c h e n « algebraisch zu behandeln. Die beiden gegebenen Paare seien die Wurzelpaare X2) und (x^ x2) der quadratischen Gleichungen

AX 2

+ 2 BX

+ C = 0

56 — ax 2 + 2 bx + c = 0.

und

Die Angehörigen und j 2 des gleichzeitig zu ( X l 5 X2) und (x1: x2) harmonischen P a a r e s fassen wir gleichfalls als Wurzeln einer quadratischen Gleichung auf, die wir a u s sogleich hervortretenden Gründen © j 2 — 33j + 21 = 0 schreiben. Nach dem Satze von der harmonischen Invariante sind die Bedingungen für die Harmonie der Paare ( X l t X2) und j 2 ) und der Paare x2) und ( j ^ jr2) j,4 2i + £ 3 3 + c e = 0)

\a 21 + 6 33 + c e =

0f

Diese beiden linearen Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten 21, 33, £ sind aber befriedigt durch d a s Werttripel 21 = 5 c — Cb,

>8 = Ca — Ac,

& = Ab —


0

i s t ; d i e s e r F a l l l i e g t v o r , w e n n d i e P u n k t p a a r e ( l l t X?) u n d (x^ x2) auf d e r Z a h l e n a c h s e niclrt v e r k e t t e t s i n d . E s g i b t a b e r n o c h e i n e n z w e i t e n F a l l , in d e m d i e h a r monische E r g ä n z u n g der v o r g e l e g t e n P a a r e reell ausf ä l l t : d e n n ä m l i c h , wo m i n d e s t e n s e i n e d e r q u a d r a t i schen Ausgangsgleichungen komplexe Wurzeln h a t , und in d e m g a n z v o n s e l b s t B > 0 ausfällt.

§ 13. Die Extreme der rationalen quadratischen Funktion -

V

Ax2 + 2Bx + C ax2 + 2bx + c '

Die Erörterungen des vorigen Paragraphen über Harmonie quadratischer Gleichungen werden uns den Überblick über unser eigentliches Problem »die E x t r e m e e i n e s Q u o t i e n t e n q u a d r a t i s c h e r T r i n o m e zu b e s t i m m e n « außerordentlich erleichtern. Wir schreiben die Ausgangsgleichung _ Ax2 + 2Bx+C V ~~ a x2 -{- 2b x c ' in der die Koeffizienten reelle Werte bedeuten, als quadratische Gleichung für die Unbekannte x: {ay — A) x2 + 2 (by — B) x + (cy — C) = 0. Sie liefert für x die beiden Werte B - b y ± j 0 ay — A A

t

—

59

—

0 = (by — B)* — {,ay — A)(cy

— C)

die Diskriminante der quadratischen Gleichung bedeutet. Für r e e l l e x-Werte kommt nur eine nichtnegative Diskriminante in Frage. Daher ist der dem x zugehörige Funktionswert y der Bedingung

I0>0

unterworfen, so daß alles darauf ankommt, das Vorzeichen des Trinoms 0 = dy2 + Hy + D zu bestimmen, dessen Koeffizienten die Werte' d = b2 — ac,

D = B2 — AC,

H = Ac + Ca —

2Bb

haben. Wir beachten, daß die Außenkoeffizienten d und D die Diskriminanten der quadratischen Gleichungen ax2 + 2bx + c = 0

und

A x2 + 2 Bx + C = 0

sind, während der Mittelkoeffizient die harmonische Invariante dieser Gleichungen ist. Zur Vorzeichenermittlung müssen wir (§4) das Polynom 0 in ein Produkt von Linearfaktoren verwandeln: & = d(y — yi) (y — y2),

wo ?/] und y2 die Wurzeln der Gleichung 0 = 0 sind, und d als von Null verschieden vorausgesetzt wird. Die Nullstellen y1 und y2 von 0 sind komplex oder reell, je nachdem die Diskriminante ® = //2 — 4 Arider quadratischen Funktion 0 von y negativ ist oder nicht, wobei daran erinnert werde, daß diese Diskriminante zugleich die Resultante R der quadratischen Ausdrücke Ax2-\-2Bx-\-C und ax2 -+- 2 bx + c ist: ® = R = H2 — 4 Dd = S82 — 4 mit % = Bc — Cb, 33 = Ca — Ac, y j von 0 reell und ungleich > 0), so wird das P r o d u k t (y — y ( y — y2) negativ oder nicht, je nachdem y zwischen y1 und y2 liegt oder nicht. Hier sind zwei Unterfälle auseinanderzuhalten: d > 0 und d < 0. Im Falle eines p o s i t i v e n d muß y außerhalb des offenen Intervalls (yu y2) liegen, stellt also y1 ein Maximum, y2 ein Minimum der Funktion y dar. Das Maximum ist aber kleiner als das Minimum. Bei n e g a t i v e m d darf y n u r zwischen yY und y2 liegen, allenfalls diese beiden Schranken erreichen. yy ist das Minimum, y2 das Maximum der F u n k t i o n ; diesmal ist das Maximum größer als das Minimum. Die Verwandlung von 0 in ein Produkt von zwei Linearfaktoren ist nicht möglich, wenn die Diskriminante d verschwindet. In diesem Falle ist 0 = Hy + D. Nun kann aber / / nicht auch noch verschwinden. Wären nämlich d und H gleichzeitig Null, so ließe sich der Zähler Ax2-\-2Bx-\-C unseres Bruches folgendermaßen in ein P r o d u k t von zwei Linearfaktoren zerlegen: a (A x? + 2 B x + C) = (a x + b) [a X +

2 B A

—

Ab>

j •

[Das rechts stehende Produkt ist Aax2+

2Bax

+

(

\2Bb-A^\a )

Da aber b2 = ca sein soll, ist { } = 2 Bb — A c, und dies ist wegen des verschwindenden// gleich Ca, so daß das P r o d u k t gleich a {A x2 + 2 Bx + C) wird.] In diesem Falle h ä t t e man also _ A x2 + 2 B x + C ^ a x2 + 2 b x + c oder A x+ y = ax+

__ a(Ax2 + 2B rr + C) _ a2 x2 + 2 a b x + a c ß — b

.± . 2 Ba mit ß =

(a x + b) (A x + ß) (a x + b)2 —Ab a

,

wäre sonach y im Gegensatze zu unserer Ausgangsvoraussetzung gar keine q u a d r a t i s c h e , sondern eine gebrochene l i n e a r e Funktion von x, ein Fall, der uns hier nicht interessiert, bei dem zudem auch nie E x t r e m e auftreten können. Zwar m u ß t e bei dieser Schlußweise a als von Null verschieden vorausgesetzt werden. Doch f ü h r t uns die A n n a h m e a = 0 gleichfalls auf die Linearität von y, insofern aus a = 0 und d — b2 — ac — 0 zunächst b = 0 und c + 0, darauf aus H = Ac + Ca — 2 Bb = 0 noch A = 0, mithin y = (2 Bx + C) : c

—

61

-

folgt. Jetzt ist y sogar eine g a n z e lineare Funktion. Demnach ist im Falle eines verschwindenden d 0 = Hy + D mit H + 0. Schreiben wir jetzt

(

D

so erkennen wir, daß y > y0

y < y0

oder

mit y0 =

—D:H

bleiben muß, je nachdem H positiv oder negativ ist. Im Ausnahmefalle verschwindender Diskriminante d besitzt die Funktion y ein Minimum oder Maximum y0 = — D: H, je nachdem H positiv oder negativ ist. Nachdem wir uns so über das Vorkommen von Extremen der quadratischen rationalen Funktion y unterrichtet haben, sehen wir uns nach d e n Stellen des Arguments x um, an denen y einen Extremwert annimmt. Da für jeden Extremwert von y die Diskriminante 0 der quadratischen Gleichung (ay — A) x2 + 2 (by — B) x + (cy — C) = 0 verschwindet, besteht zwischen einem Extrem y unserer Funktion und dem zugehörigen Argumentwert x der Zusammenhang x =

B — by -ay — A

y =

Ax + B -a x + b

y

Ax2 + 2Bx ax2jr2bx-\-c

oder Da aber auch ist, können wir schreiben y

Ax2 + 2Bx + C — x(Ax ax2,Jr2bx-srC — x(ax

+ C

+ B) b)

Bx + C bx + c

Durch Gleichsetzung der beiden für y gefundenen Werte entsteht die Bedingungsgleichung Ax + B ax + b

Bx + C bx + c

oder Ax + ax

B b

für die gesuchten Argumentwerte. Sie ist quadratisch, da im allgemeinen

—

62

—

zwei Extreme auftreten. Im Falle rf = : 0, wo nur ein Extrem auftritt, wird sie natürlich linear, wie aus ihrer Schreibung

A x 4/>

X

/?

'•• ( '

_ ax + b l> .r

• •,

C

sofort hervorgeht, wenn man

ax + b _ b bx + c c setzt [was wegen der Bedingung d = 0 oder b2 = ac möglich ist]. Das Ergebnis unserer Untersuchung ist folgender S a t z von den E x t r e m e n des Q u o t i e n t e n q u a d r a t i s c h e r T r i n o m e : Der

Quotient

der b e i d e n

_ A x2 -f 2 B x_+_C_ a x- ! 2 b x + c

quadratischen 2

T = Ax

+ 2 Bx + C

Trinome und

* = ax2 + 2

+ c

b e s i t z t n u r dann E x t r e m e , wenn die R e s u l t a n t e R d e r b e i d e n T r i n o m e T und t p o s i t i v i s t , g e o m e t r i s c h ges p r o c h e n : wenn das zu den W u r z e l p a a r e n der q u a d r a t i s c h e n G l e i c h u n g e n T = 0 und i = 0 g e m e i n s a m e h a r m o n i s c h e P a a r aus n i c h t z u s am men f a l l e n d e n reellen Punkten besteht. D i e s e E x t r e m e sind die W u r z e l n des T r i n o m s

0=

dy2 + Hy + D,

wo d die D i s k r i m i n a n t e des N e n n e r s i, D die des Z ä h l e r s T und H die h a r m o n i s c h e I n v a r i a n t e von T und t b e d e u t e t , und die z u g e h ö r i g e n x - W e r t e sind die W u r z e l n der G l e i c h u n g

Ax+B _ Bx + C ax+ b bx + c Im A u s n a h m e f a l l e d = 0 h a t d i e s e G l e i c h u n g nur W u r z e l , und es g i b t n u r ein E x t r e m .

eine

Ein Extrem y = e ist ein Maximum oder Minimum, je nachdem den unterhalb oder den oberhalb der Stelle y = e liegenden ¡¡/-Werten positive Werte des Trinoms 0 entsprechen. Z u s a t z . Wenn der Quotient y in der Gestalt

_ A x2 + B x + C y a x2 - j - b x + c

—

63

—

vorgelegt ist, kann man statt mit dem obigen auch mit folgendem Formelwerk arbeiten: d = b2 — 4 ac,

D = B' — iA'C, H = 2Ac O = dy* + 2 Hy + D,

2 A x +B _ 2ax + b Sonst bleibt alles wie dort.

Zweiter

+ 2Ca — Bb

Bx + 2 C bx 2c

Abschnitt

Anwendungen der quadratischen Gleichung auf die Lösung geometrischer Probleme § 14. Apollonius' Taktionsproblem E i n e n K r e i s zu z e i c h n e n , der drei g e g e b e n e K r e i s e b e r ü h r t . L ö s u n g von G a u ß (Werke, Bd. IV, S. 399). Wir nennen die gegebenen Kreise i), f, Ä1, den gesuchten 9t, ihre Radien h, k, K, R, die Zentralen der Kreispaare (I), 9t), (!, 9i), 9t), Bringen wir die drei verschiedenen Möglichkeiten der Berührung zweier Kreise, etwa der Kreise 9t und f zeichnerisch zur Darstellung, so bekommen wir je nach der Art der Berührung eine der drei Formeln ä . = Ä + A,

b= R —

i = k — 9t,

die wir aber in die eine Formel §= uR + 0k zusammenfassen können, in welcher u und o Einheiten bedeuten, die gleichartig oder ungleichartig sind, je nachdem die Berührung äußerlich oder innerlich ist. W'ir multiplizieren diese Berührungsrelation mit u und bekommen (1) u j = Ä + ef, (e = o u), worin nunmehr die Einheit e positiv oder negativ ist, je nachdem die Berührung äußerlich oder innerlich ist. Für die Kreispaare (9t, S) und (9t, f)) bekommen wir gerade so die Formeln (2) U 8 = Ä + @$e und (3) uz = R + ei), wo @ bzw. e die positive oder negative Einheit bedeutet, je nachdem

—

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—

die Berührung der Kreise 91 und ft bzw. 9t und t) äußerlich oder innerlich ist, und wo speziell u den Wert + 1 hat, wenn der Kreis 91 den Kreis f) äußerlich berührt oder aber umschlingt, während u gleich — 1 ist, wenn 9t im Innern von f) liegt. Für das weitere legen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem (x, y) zugrunde, dessen Ursprung der Mittelpunkt des Kreises t) ist, und in dem die Mittelpunkte der Kreise !, Ä, 9t die Koordinaten (a, b), (A, B), (x, y) haben, so daß das Gleichungstripel (x — a)2 +

(y — b)2 =

2,

ä

{x — A)2

+ (y — B)2

=

,32,

2

X

+ y2 =

Z2

gilt. Um die Unbekannten j und 3 aus ihnen zu entfernen, subtrahieren wir (3) von (1) und (2) und erhalten » } = «z + c

und

U $ = uz +

C,

wobei c = e f — et),

C =

g f - e f )

nach Festsetzung der Berührungsarten bekannte Strecken sind. Setzen wir diese Werte in die beiden ersten Relationen des obigen Gleichungstripeis ein [es ist (u = j 2 , ( U 3 ) 2 = 3 2 ] , so nimmt das Tripel die Form (x-a)2-f

(y — b)*=

(uz + c)2, ( x - A ) x2 + y2 = z2

2

+ (y-B)2

=

(uz+C)\

an. Damit ist d a s a p o l l o n i s c h e P r o b l e m a u f d r e i q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g e n m i t d r e i U n b e k a n n t e n x, y, z zurückgeführt. Doch fallen beim Ausquadrieren wegen u2z2 = z2 = x2 + y2 die quadratischen Glieder fort, und es bleibt das Gleichungspaar

mit

ax

by

ucz = d,

Ax

By

2 d =

a2

b2

2 D =

A2

+

—

c2,

+

uCz

+

B2

=

—

D C2.

Durch Division seiner beiden Gleichungen entsteht Ax

+ By+uCz

_

a x + b y -+- ucz

1) d,

•und hieraus, wenn wir den Gleichungen x = z cos