Die Auflösung von Gleichungen in ganzen Zahlen (Diophantische Gleichungen) [2 ed.]

Table of contents :
Vorwort ........................... 3
Einleitung .......................... 6
§ 1. Gleichungen .mit einer Unbekannben ............ 7
§2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekan'nten ..... 8
§ 3. Beispiele fiir Gleichuhgen zweiten Grades mit drei Unbekannten .. 18
g4.
§5-.
§6.
§7.
Gleichungen der Form an” — A y? = 1.. Die Emittlung sfler Lésun-
gen dieser Gleichung . ' .................. 22
Die allgemeine Gleichung zwei’ren Grades mit zwei Unbekannten . 34
Gleichungen héheren als qweiten Grades mit zwei Unbekannten . 45
Algebraische Gleichun’gen hbheren als zweiten Grades mit drei
Unbekannten 11nd einige Exponentinlgleichungen .- . .' . . . . 51

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KLEINE ERGANZUNGSREIHE zu den Hochschulbnchern fur Mathematgk Herauoaeaeben mm Prof. .DrLHcrbert Kafl. Potsdam

DIE AUFLGSUNG VON GLEICHUNGEN 'IN GANZEN ZAHLEN (DIOPHANTISCHE GLEICHUNGEN) Von

A. '0. Gelfond

VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1960 '

nonyupme aemlm no Hum-rune Bunyan 8

L0. I‘elidmxn, Pememle ypunenfin a non: “on! local

196%

Helium-pan

Emhlonon 1m Stutsverlng (fir technlsch-theoreflache Literatur Masha-Leningrad 1952.

Am dam Russlaohen them-mu von Gel-bud Rum.

Alla Ruchte vorbehalm Copyright 1954 by VEB Deutscher Voting der Winsomchuun. Berlin Printed in Germany

lz-Nr. 206 - — 435lawm Gammon-stalking: (IV/5/l) Buchdruckerel Paul Dhnnhnupt.

Katha: (Anh.) LNG/59

Vol-wort Grundlage dieses Buches ist ein Vorbrag fiber Diophantische Gleichungen, den ich im Jahre 1951 auf der mathematischen Olympiade in der Moskauer Staaflichen Universitfit gehalten habe.

Ich 'méchte mi dieser Stelle meinem Schfiler, Doz. N. M. Koronow, danken, der den ersten, den zweiten und einen Tefl des‘dritten

Paragraphen nach dem Konzept meiner Lektion geschrieben hat.

Dase Bfichlein ist fiir Schiiler der hfiheren Klassen von Oberachulen gedecht, A. Gmonb

Inhaltsvorzeichnis Suite

Vorwort Einleitung

...........................

3

..........................

6

§ 1. Gleichungen .mit einer Unbekannben

............

§2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekan'nten

.....

7

8

§ 3. Beispiele fiir Gleichuhgen zweiten Grades mit drei Unbekannten .. 18 g4. Gleichungen der Form an” — A y? = 1.. Die Emittlung sfler Lésungen dieser Gleichung . ' .................. 22

§5-. Die allgemeine Gleichung zwei’ren Grades mit zwei Unbekannten . 34

§6. §7.

Gleichungen héheren als qweiten Grades mit zwei Unbekannten . Algebraische Gleichun’gen hbheren als zweiten Grades mit drei

45

Unbekannten 11nd einige Exponentinlgleichungen .- . .' . . . .

51

rm“

r-g.

Imam Die Zahlentheorie untersucht im wesentlichen die arithmetischen Eigenschaften der natiirlichen Zahlen, also der ganzen positiven Zahlen, und gehort zu den' filtesten Teflgebieten .der Mathematik.

Eines der zentralen Probleme der (im 19. Jahrhundert

entstandenen; d. Red.) sog. analytischen Zahlentheorie ist die

Verteilung der Primzahlen in der Folge der natiirlichen Zahlen. Primzahl nénnt man jede ganze positive Zahl, die gréiBer als Eins ist, weml sie ohne Rest Iediglich dufch sich selbst und durch Eins teilbar ist. Das Problem der Verteilung der Primzahlen in der Folge der natiirlichen Zahlen besteht darin, zu untersuchen, nach welchen Gesetzmfifligkeiten die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer

gewissen Zahl N anwfichst, falls diese Zahl N immer gréBer wird. (Die von GAUSS [1777—1855] vermutete Bezie'hung wurde

Ends des 19. Jahrhunderts von_ HADAMARD und 1311 LA VALLfimPoussm bewiesen; (1. Red.) Das erste Ergebnis in diesel- Richtung finden wir schon bei EU‘KLID (IV. Jahrhundert v. u. Zeitr”) Es handelt sich um den Beweis der Tatsache, daB es unendlich viele Primzahlen gibt. Das zweite Resultat nach EUKLI'D lieferte in.der zweiten Hilfte d‘es

XIX. Jahrhunderts der groBe russischeMathematiker P. L. TSOEEBYSCEEFF. Eine andere wesentliche Aufgabe der Zahlentheorie ist die Darstellung ganzer Zahlen als Summe gamer Zahlen eines bestimmten Typus, z. B. die Darstellung der ungeradén Zahlen als Summen dreier Primzahlen. Dieses letzte Problem, die GOLD-

BACHsche Vermutung wurde erst 1937 von dem bedeutendsten derzeitigen Vertreter der Zahlentheorie, dem sowjetischen Mathematiker I. M. Wmoamow, geltist. Das vorliegende Biichlein behandelt eines der interessantesten Gebiete der Zahlentheorie, nalmlich die Auflfisung von sog. diophantischen Gleichungen. Die Ermittlung der ganzzahligen Losungen algebraischer Glei-

chungen mit garizen Koeffizienten und mehr als einer Unbe’kannben

6

Einleitung

ist eines der schwierigsten Problems der Zahlentheorie. Mit diesen Problemen beschfiftigten sich viele hervorragende Mathematiker des Altertums, z. B. der griechische Mathematiker PYTEAGORAS (VI. Jahrhundert 'v. u. Zeitr.), der alexandrinische Mathematiker

DIOPIIANT (II. —III. Jahrhundert [nach ihm werden diese Gleiéhungen benannt; (1. Red.])- und die besten Mathematiker der

Neuzeit, PIERRE mur (XVII. Jah hundert), LEONEARD EULEB (XVIII. Jahrhundert), human und andere. Ungeachtet der

Bemiihungen vieler Generationen hervorregender Mathematiker fehlen auf diesem Gebiet irgendwelche allgemeine Methoden, etwa von der Art der WINOGRADOWschen Methode der trigonometrischen Summen, welche die Ldsung der verschiedensten Probleme der analytischen' Zehlentheorie erlaubt. Des Problem, die ganzzahligen Losungen von Gleichungen zu finden, ist nur bis zu Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten vollstindig geliist. Fiir Gleichungen beliebigen Grades mit einer Unbekannten ist das Problem nicht sehr interessant, da. es hier m endlich vielen Schritten entschieden Werden kann. (Man probiert, ob die Teiler des absoluten Gliedes Ldsungen sind; d. Red.). Fiir Gleichungen hoheren als zweiten Grades mit zwei Oder mehr Unbekennten ist nicht nur das Problem, alle ganzzahligen Lfisungen zu ermitteln, sehr schwierig, sondem sogar schon die wesentlich leichtere Aufgabe, festzustellen, ob endlich odor unendlich viele solcher Losungen existieren.

Die Aufliisung von Gleichungen in ganzen Zahlen hat nicht nur theoretisches Interesse; solche Gleichungen kommen bisweilen auch in der Physik vor.

Des theoretische Interesse an diesen Gleichungen ist sehr‘ groB, da. sie eng mit vielen Problemen der Zahlentheorie zusammenhingen. AuBerdem konnen die in diesem Biichlein behandelten elemental-en Teile der Theorie solcher Gleichungen gut zur Er-

weiterung des mathematischen Gesichtskreises von Schiilem der Oberschule und von Studierenden an Inhrerbildungsinstituten und Padagogischen Instituten verwende‘t werden. ' In diesem Buch werden die grundlegenden Resultate der Theorie der diophantischen Gleichungen behandelt. Die Beweise der vorkommenden Sfitze sind angegeben, soweit sie nicht zu schwierig sind.

5 l. Gleiohungen mic einer Unbelmnnten

7

§ 1. Gleichungen mit einer Unbekannten

Wir betrachten eine Gleichnng ersten Grades mit einer Unbekannten .

a1x+ao=0.

(1)

_Sind die Koeffizienten a1 und an der Gleichung gauze Zahlen, so ist 11hr, dnB 'die Lfisung dieser Gleichung,

a: = — — , a, nur dann eine‘ gauze Zahl ist, won (11 in an aufgeht. Somit ist die Gleichung (1) nicht immer in ganzen Zahlen lfisbar; so hat zum Beispiel von den beiden Gleichungen 3 x — 27 = 0 und

6:; + 21 = 0 die erste die ganzzahlige Lfisung x: 9, die zweite ist. jedoch nicht in ganzen Zahlen lfisbar. Denselben Sachverhalt finden wir auch bei Gleichungen hiiheren als ersten Grades: die quadratische Gleichung z’ + a: -— 2 = 0 but die gsnzzahligen Losungen x1: 1 und :5— = — 2; die Gleichung z’— 4 a; + 2: 0 hat keine ganzzahligen Losungen, da ihre Wurzeln x1 2 = 2 :1: [/2 2irrational sind. Das Problem, die ganzzahligen Lfisungen einer Gleichung n-ten Grades mit ganzzahligen Koefiizienten

am+a1_1z"-1+

+a1w+a_o= 0 (n2 1)

(2)

211 finden, ist leicht zu Risen. Angenommen, a: = a sei eine gsnzzahlige Wurzel dieser Gleichung. Dunn gilt

a..a"+a_1a"-1 + --.+a1a+ao=0 a1=—a(a.. “1-1 +a _1a"-2+-- +a1) Aus dieser Identitiit ist ersichtlich, (19.3 (to ohne Rest durch a bei]bar ist; folglich ist jede ganzzahljge Wurzel der Gleichung (2) ein

Teiler ihres absoluten Gliedes. Um die ganzzahligen Losungen einer Gleichung zu finden, muB man diejenigen Teiler von a0 suchen, die beim Einsetzen'1n die Gleichung eine Identitfit liefern. So ist zum Beispiel von den Zahlen 1, — 1,” 2 und — 2, die sfimtliche

Teiler des absoluten Gliedes der Gleichung

x1°+x7+2x3+2=0 ausmachen, nur — 1 eine Wurzel. Folglich ist un'ter den Wurzeln

dieser Gleichung a: = — 1 die einzige .ganzzshlige. ,Nach der

8

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zv'vei Unbgkannten

gleichen Methode kann man leiéht zeigen, dafl die Gleichung

x8-x5+3x4+x2—x+3=9 keine ganzzahligen Wurzeln hat. Von wesentlich grfiBerem Interesse ist die Ermittlung der ganzzahligen Ldsungen bei Gleichungen mit mehreren Unbekannten. § 2. Gleichungen ersten Grades mit 'zwei Unbekannten Wir betrachten eine Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten

ax+by+o=0, (3) wobei a und b gauze, vo_n Null verschiedene Zahlen sind, wfihrend c eine beliebige ganze Zahl ist. Wir diirfen annehmen, daB die Koeffizienten a and b keine gemeinsamen Tefler auBer 1 habenlz

Ist nfimdlich der gréBte gemeinsame Tefler d = (a, b) dieser Koeffizienten von 1 verschieden, so gelten die Beziehungen a = a1 - d and b— = b1- d; die Gleichung (3) nimmt die Form

(alw+b1y)d+c=o an und kann nur dam: ganzzahlige Lfisungen haben, won 6 durch d teilbar ist. Somit mfissen ffir den Fall (a, b) = d =|= 1 sfimtliche

Koeffizienten der Gleichung (3) gauze Vielfache von d s'ein. Wenn wir (3) (lurch d kiirzen, kommen wir zur Gleichung

alw’+b1y+c1=0

(91%1fi),

deren Koefiizien‘wn a1 und b1 teilerfremd sind. Wir betrachten zuerst ~den Fall 6 = 0. Ana Gleichung (3) Wild dann:

a a: + b y = 0 .

(3’)

Liisen wir die Gleichung nach a: auf, so erhalten wir: x = —% 3/.

Es ist klar, daB a: dam 11nd nur dann ganzzahlige Werte annehmen kann, wenn y ohne Rest durch d teilbar ist. Nun kfinnen alle 1 Solche Zahlen a 11nd b nennt maxi teilerfremd; bezeichnet man mit (a, b) den groa gemeinsamen Teiler der Zahlen a mu]. b, so ist also ffir beilerfremde Zahlen (a, b) = 1.

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekmnten

9

ganzen»Zah1en 3/, die' Vielfache 17011 a Bind; in-der Fdrm f‘" y=at

>

dargestellt warden, wobei t 3.110 ganzzahligen Werbe (t_ — 0, :l; 1, j: 2,...) annimmt. Setzen wir diesen Wert iii: 3/ in die obige

Gleichung ein, so erhalten wir x=—-b—at=—bt a

‘

und besitzen damit folgende Formeln, die alle ganzzahligen Lfisungen der Gleichung (3’)~ liefem: ' x=—vbt,

y=at

(t=0,:|:1,;|:2,,...).

Wir gehen 'jetzh zum Fall 6 =|= 0 fiber.- . Wir zeigen zuniichst, daB es fiir das Auffinden aller ganzzahligen

Lfisungen der Gleichung (3) geniigt, irgendeine ihrer L6sungen zu finden, d. h. solche ganzen Zahlen x0, yo zu finden, iii: die

“xo+byo+0_=0‘

gilt.

Satz 1.8131111 a and b teilerfremd and Mt [2:0, yo] irgendeine Lb'aungl der Glewhung ax+by+c=.0, (3) sq liefem die Formeln ~ w=xo—bt,

y=‘yo+at

~

(4)

mit t: 0, i- 1, j: 2, . . . alle Lbbungen d_er Gleichung (3). Beweisz' Sai [x, y] eine beliebige Losung der Gleichung (3).

Wir erhalten dann aus den Gleichungen az+by+c=0

und

awo+byoi+c=0

die Beziehungen

. az—axo+by— byo=0;

y— Igo=flx°b_—z).

D9. 31— yo eine gauze Zahl ist und die Zalflen a und b teilerfremd sind, muB x0 — a: ein ganzes Vielfaches von b sein, d. h, x0 —- a: hat die Form

xo—x=bt, 1 Ein Paar ganzef Zahlen a: und 3/, welche die Gleicliung befiiedigon, wollen wir sine Manny nennon und mit [27, y] bezeichnen.

'

10

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbeiumnten

wobel"? eine gauze Zshl ist. Dunn ist abet ab!

3/- yo=—=at and wit erhalten: z=xo—bt,

y=iyo+at.

Damit ist beWiesen, daB jede Liisung [x, 3/] die Form (4) hat; Es bleibt noch zu verifizieren, daB jedes Zahlenpaar [$1, 311], das

man durch die Formeln (4) bei ganzzahfigem t: t1 erhilt, eine Lfisung der Gleichung (3) ist. Zu diesem Zwecke setzen wir die Gr6Benzl=zo— b-~-—-t1undy1 yo+a tlindielinkeSeitevon (3) ein:

¢n+by1~+c=axo-abt1+byo+abt1+c= = a ”o +5 90 +03

da. abet [3:0, 310] eine Lbsung ist, ist a 2:.) + b yo + c = 0, und folglich az1+by1+c=0,' d. h., [31} 3/1] ist eine Lfisung der Gleichung (3), womit der Satz vollstfindig bewiesen ist. Wenn also eine Lfisung der Gleichung a x + b y + c = 0 bekannt ist, findet man alle fibrigen Lfisungen aus den arithmetischen Progressionen, deren allgemeine Glieder die Form

z=zo—’bt, y=yo+at (a.=o, 11.5%...) Wir bemerken, daB-man fiir c = 0 die frfiher gefundenen 146'sungsformeln -

a: = — b t, y = at nus den eben' abgeleibeten Formeln x=xo—bt, y=yo+at erhalt, wenn man x0: yo = 0 wfihlt. Das ist mfiglich, da. das Paar z— — 0, 3/ =0 offenbar eine Lfisung der Gleichung a a: + b y = 0

I

ist. Wie kann mun aber irgendeine Lfisung [1:0, yo] der Gleichung (3) im allgemeiilen Fall, also mit b =|= 0 finden? Gehen wir von einem Beispiel ans! -

§ 2. Gleichungen ereten Grades mit swei Unbehnntan

11

Es sei die Gleiohung V 127x—52y+1=0 vorgelegt. Wit bilden den Quotienten der Koeffizienten dot Unbekannten.

Zunichst verwandeln wit den unechten Btuch—1272in die Summe

einer ganzen Zahl und eines echten Bruches: 127

E = 2 +2— 52 ‘ Der echte Btuch g—g ist gleich 5—12 '2?! So'mit erhalten wit 121—2 +— 62 =

612' 23

Wit formen den in: Nennet stehenden uneohten Bmchg—gin gleicher Weise um: 6

1

'6' Jetzt ‘hafi dot ursptfingliche Bruch die .Form ' 127

1

32 =~ 2 + 7' + 2—3 ‘6'

Wiedethelen wit dieselben Ubetlegungen flit den Bruch .263

23_

5_

1

i=3+§—3+E, 5

so ethalten wit:

_ 12? 1 _=2+___ 62

2+

.

1 1

3+1— 6

12 .

§ 2. Gleiohungen ersten' Grades mit zwei Unbekannten

Nun stellen wir den unechten Bruch ~2- als Summe einer ganzen Zahl und einee echten Bruches ' _=1+%_ dar. .Dann kommen wir zum Endresultat:

15227 ‘— 2 + f1— 3+

1

1+l

Wir haben einen sogenennten endlnochm5Kettenbruch erhalten. Vemachlfissigen wir—b- ,das letzte Glied dieses Kettenbruches, und verwandeln wir den dadurch entstehenden neuen Kettenbruch 1n einen einfachen Bruch und subtra'hieren wir diese'n von dem ~ur—

spri'mglichen Bruch % ,. so erhalten wir

2+

1 2+

1 =2+ 1

1

~ 22 1=2+—-=—,

2+?

3+T 127 _2_2_1143—1144 1 52—9: 52.9 = --52 9'

Jetzt multiplizieren wir den so erhaltenen Ausdruck mit dem

’Hauptnenner: 127 9—52- 22+1=0. Ans dem Vergleich dieses Ausdruckes mit der Gleichung 127x—52y+1=0 folgt, daB a: = 9 und y— .— 22 eine Losung dieser Gleichung bilden. Nach Satz I werden alle ihre Lésungen dutch die Folgen x=9+.52t, y=22+ 127t (t=0,-j; 1, 3:2,...) geliefert. Dieses Resultat bringt uns auf den Gedanken, daB man auch

im allgemeinenFall zurAuflfisung der Gleichung a x + b y + c— _0 so vorgehen kann:

§ 2.' Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten

l3

Der. Quotient der Koeffizienten- der Unbekannten Wild in einon Kettenbruch entwickelt, dessen letztes Glied man wegfallen laBt; danach fiihrt man Berechnungen dutch, die den obigen analog sind. Fiir den Beweis dieser Vermutung benotigen wir einige Eigen-

schaften der Kettenbriiche. Wir betrachten einen gekiirzten Bruch % [d. h. (a, 1)) =1].

Mit q:l bezeichnen wir den Quotienten und mit r, den Rest der Division von a dumb b. Dann erhalten wir a=q1b+r2, r, a. > - > 02b-_>%~

‘ 61 V2. "

new.

Ans der Bildungsweise der Kettenbriiche folgt, daB 61 _ V5 1 Sieho 2.13. H. B. Apnonbn ,‘l‘eopm: queen“ (I. W. ARNOLD ,,Zahlentheorie“), Kapitel VI, Stutsverlag fiir pidagogisehe Literatur 1939, odor A. '51. Xmmnn ,Hennue npoéu“ (A. J. Cmsonm ,,Kettenbriiche“), Stuntsverlag fiir techxfisch-theoretisehe Literatur, 1949. Deutsche Liberatur: O. PEBEON, Irrationalzahlen, Berlin 1939; 0. PEREON, Kettenbriiche, Leipzig 1929; femer: C. KNOCHENDbPPmL, Von den Ketten-

briiehen und den Diophantisohen Gleiehungen, Volk und Wiseen, BerlinLeipzig 1948 (d. Red.).

§ 4. Gleichungen der Form 5' — A y’ = 1

25

int. Allgemein: Ist die Entwicklung irgendeiner Irrationalzahl a in einen unendlichen Kettenbruch gegeben, 1

¢=Q1+

T

»

q’fqa‘l'.

so erfiillen die Nfiherungsbrfiche 'die Ungleichungen. >

.

61 0 und 3/ > 0 ist. Aus der Annahme, daB eine solche L6sung [x’, y’] der Gleichung

xz— Ags=1, A>io existiert, fiir- welche Gleichung (38) bei keinem ganzzahligen pos'itiven n gilt, konnten Wir eiue Liisung [:E, g] (:E > 0, 37 > 0, a? und 37 ganzzahlig) konstruieren, die den Ungleic‘hung‘en (44) gem'igt, welche im Widerspruch zu1-_Definition der Minimal-Hisung [$0, yo] stehen Somit haben wir bewiesen, daB die Ammhme der Existenz einer L6sung, die nicht durch die Formel (38) (large-

stellt wird, auf einen Widerspruch fiihrt. Mit anderen Worten: wir haben bewiesen, daB man alle Liisungen unserer Gleichung aus Formel (38) erhilt. Somit srgibt sich jede L63ung [x, y] do: Gleichung (29) ans

w+VZy=(zo+1/Ayo)” n'20

(48)

§ 4. Gleichungen der Form 5' — A y' = l wobei [1:0, yo] die Minimal-L63ung' ist.

33

Andern wir in dieser

letzten Gleichung das Vorzeichen von 3/ VI, so erhalten wir die Gleichung

.x — V2 y = (aco — V211,)",

(49)

Durch Addition and Subtraktion dieaer Gleichungen und Division beider Seiten durch 2 bzw. durch 2 V2 erhalten wir

x=

=_21[(”o+V—yo)n +(xo— V711,) ]

K50) ya = 2V: “30+ V2310)n-(wo "VA yer]:

m. a. W., éxplizite Ausdriicke fiir alle L6sungen [z, y] mit positivem a: und 3/. Hieraus erha'.lt man alle L63ungen, wenn man die Vorzeichen bei x and y, variiert.

Da. wir waiter oben schon gesehen hatten, dad} die MinimalL63ung fiir die Gleichung z” — 2 11/3— — 1 das Paar z— _. 3, y— -— 2 ist, wercien z. B. alle LBsungen dieser Gleichung somit durehdie Formeln

x..=—;-[(3+2V§)”+1(3-2V§)”]. .

y..=2—;?[(3+2V§)"—(3—2V§)"]'

geliefert. Fiir n— — 1, 2, 3 'erhalten wir die L65ungen [3,2], [17,12] und

[99, 70]. Wir bemerken noch, daB die- Zahlen x" und 3/” bei wachsendem 11 in der GrBBenordnung einer geometrischen Reihe mit dem Quotienten xo+ V71 3],, wachsen, da. wir infolge der Gleichung die Ungleichung

(”0 "Fl/2 3/0) ("’0 — V2- 310) = 1 0~-=%

|b|'

int. Zwei dieser Differenzen, d. h. zwei Faktoren der linken Seite

von Gleichung (85) kfinnen nicht gleichzeitig einen kleinen Absolutbetrag haben, da. alle Wurzeln verschieden sind und dahgr

y
a.2

gilt 4

_

0