Über Gleichungen ohne Affekt [Reprint 2019 ed.] 9783111410289, 9783111046624

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Über Gleichungen ohne Affekt

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse Abteilung A. = Jahrgang 1923. 3. Abhandlung.

Ober Gleichungen ohne Affekt. Von

Oskar Perron in München.

Eingegangen am 19. Mai 1923.

B e r l i n und L e i p z i g

1923

W a l t e r de G r u y t e r y>)>

9

Über Gleichungen ohne Affekt.

offenbar ist er eine ganze rationale Funktion der A + l Argumente x, y v y x mit ganzzahligen Koeffizienten. Nach den Regeln der Partialbruchzerlegung ist w Wenn man hier y ^ + i an Stelle von x schreibt und beachtet, daß offenbar 9). (*) • ( x - y x + i ) = 9 i + i {%), also durch Differentiation ffx(3fx

+ j ) = í í i + í ( 3 f x + i)>

9\ (Vv)" (&X + 1 —Vv) — — + i (Pv)

( r ^ l , 2, . . ., X)

ist, erhält man die Formel: fx + i ( n + v vi,

w ) = 2

J

{ y v

l r v

Diese zeigt, daß fx-^i eine s y m m e t r i s c h e Funktion ihrer A + l Argumente ist; man kann also das erste Argument yx-\-1 auch an die letzte Stelle setzen. Wenn man dann noch fi statt A + l schreibt, so geht die vorige Formel über in: (5) Nun formulieren und beweisen wir den H i l f s s a t z 3. Sei X eine der Zahlen 1, 2, . . ., n — 2. Dann gibt es X ganze Zahlen y l f y.¿, . . die mod p ^ + i inkongruent und relativ prim zu p x + i s i Q d, und so beschaffen, daß die X ganzen Zahlen (A)

f { y i ) , Í 2 ( y v y^), • •

f x Q/i> y * , • • • > v x )

durch eine beliebig hohe vorgeschriebene Potenz von Px-\-\ sind- Setzt man dann f x + l ( z > Vi, • •

yx) = x n ~

x

+ c1xn~i-

1

so sind alle c v durch Px + i teilbar, aber speziell

teilbar

. . . +cn-x> nicht durch

P\ + v Nach Hilfssatz 2 kann man nämlich die Zahlen y l } . . y \ so wählen, daß sie mod Px + i inkongruent und relativ prim zu px + i sind, und daß die X Zahlen f(t,v)

0 = 1 , 2, . . ., X)

10

0. Pereon:

durch eine beliebig hohe vorgeschriebene Potenz von Px-{-i teilbar sind. Die Formel (5) lehrt, daß dann auch die Zahlen (A) durch diese beliebig hohe Potenz von + i teilbar sind. Ferner folgt aus (4), indem man mit dem Nenner gx (x) multipliziert, daß das Polynom f{x) nach der beliebig hohen Potenz von PK + i dem Produkt g% (x) • f%Jrl (x, yv • • ., yx) kongruent ist. Setzt man also (6)

gx(z)

dlxi~1+...+d3i,

= xi +

so gilt insbesondere mod p\-j-1 die Kongruenz xn+a1xn~1+ = {xX+d1

+dx)

... n

(x -2- +

+a„

Cl

x«-¿-i

+ . . .

+c„_x),

und folglich ist an

=dxcn-x

(mod p \ + 1 ) . ax + i = dÄc1+dx_1c2+

...

Nun ist aber, wie ein Vergleich von (3) mit (6) lehrt, dx = + y1 y2 ... y}, und daher d x nicht durch py i teilbar. I iach der ersten der Kongruenzen (7) ist also cn_i durch + i teilbar, aber nicht durch p\ + weil ja an nicht durch p\+1 teilbar ist. Aus den späteren der Kongruenzen (7) ergibt sich dann der Reihe nach, daß auch • • • > c 2 , c t durch p ) vollständig bewiesen.

i teilbar sind. Damit ist Hilfssatz 3

§ 5Beweis des Hauptsatzes.

Der Beweis unserer in § 3 formulierten Behauptung gestaltet sich nun folgendermaßen. Aus (4) folgt, indem man für yv . . ., yx speziell die Wurzeln @v . . ., von f(x) einsetzt:

Nach § 2 ist also nur nötig zu zeigen, daß die Polynome im Körper der rationalen Zahlen (8)

f*(«»

)l

ei)

fn-

irreduzibel sind.

QV

Qn- e»-2)

Über Gleichungen ohne Affekt.

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Nun folgt aber die Irreduzibilität von f(x) im Körper der rationalen Zahlen sogleich aus Hilfssatz 1 mit p—pv Wir dürfen daher annehmen, daß die Irreduzibilität der l ersten unter den Polynomen (8) bereits erkannt sei, und wollen dann auch die Irreduzibilität des (A + 1 ) t e n , also des Polynoms fx + I(X> Q V • • •> QX)

im Körper $(Q1} ..., QX) beweisen. Machen wir zu dem Zweck die Hypothese des Gegenteils, so gilt eine Zerlegung der Form (9)

fx+ifo

e v - ,

$*) =

(*'•+...)(**-*-''+••.)»

Hvobei rechts die Koeffizienten der geringeren Potenzen von x Zahlen des Körpers fligj, . . ., qx) sind, die wir daher als Polynome von Qv • • •> 6). mit rationalen (nicht notwendig ganzen) Koeffizienten schreiben können. Dadurch erhält die Formel (9) die Gestalt (9a)

fx

+

1(x,

QV . .

Qx)=y>(x,

QV.

.Qx)'">(x>

Qv

• •> Qx)-

Wenn man hier statt qx eiüe Variable yx setzt, so besagt diese Gleichung, daß das Polynom (10)

fx +1% -y>(x,

Qlt

Q v • • •> QX -v

. . . , QX-1,

yx)

Q!,...,

yx)-co(x,

QX-1,

yx)

für Hx — Qx verschwindet. Da aber y = Qx eine Wurzel der im Körper . . ., QX-I) schon als irreduzibel erkannten Gleichung fx(y> Qv • • •> QX-1) = 0 ist» s 0 m u ß das Polynom (10) durch fx(yx> Qv • • •> QX-i) teilbar sein, oder, weil ja fx eine s y m m e t r i s c h e Funktion ist, durch fx(Qv • • •> i?A-i> Vx)- Somit besteht eine Identität der Form fx+i^Qv->

Qx-vyx)—y>(.x>Qv-;Qx-vyx)-a}(x> = fx(ev

• • •> QX-v yx)-xx(x>

ew-> Qv • •

8X-v

Qx-vVß Vx)>

wo auch y x rationale Koeffizienten hat und in x von geringerem Grad a l s 0 höchstens vom Grad n —1 — 1. als fx + i Bringt man in der letzten Formel die rechte Seite nach links und setzt dann statt _ 1 wieder eine Variable yx - 1 , so erkennt man ebenso, daß das entstehende Polynom durch fx-I(QV • ••» QX-2> VX-I) teilbar sein muß. Durch Fortsetzung dieses Prozesses erhält man schließlich eine Identität der Form: fx-\-i{x>

Vv •• •> yx)=y(x,yv +fx(yi>

+ fx-1 +Utyv

(l/v y^-x2(»>

•• •> yx) •M (x> lJv •• •> y*)

• • •> vx)' kx (x> Vv • • •> yx) Vx-i)yv

XX-i

(«f 9v

• • •» yi)+f{yi)-xi(x>

•••> yx) +

-'-

yv • • •> yz)>

wobei die Polynome % rationale Koeffizienten haben und in x hoch-

0. Perkon:

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stens vom Grad n — k — 1 sind. Polynom von x K

}\-U(«/!.Vi)•

X2(«>•

Diese Identität besagt aber, daß das

• •>y;.) -•••-().{Vv

• • v2/;.)•

(®,ft,• • V i ) ,

wenn man darin für y v . . yj beliebige rationale Zahlen einsetzt, im natürlichen Rationalitätsbereich stets in zwei Faktoren yj-co zerfällt, die beide x enthalten. Wenn man also ein Zahlensystem yv . . y ; nachweisen kann, für welches das Polynom (11) tatsächlich irreduzibel wird, so liegt ein Widerspruch vor; die oben gemachte Hypothese wird dann als falsch erkannt, und somit unsere Behauptung in vollem Umfang bewiesen sein. Ein solches Zahlensystem ylt . . ., yj ist aber das in Hilfssatz 3 angegebene. Denn selbst, wenn die rationalen Koeffizienten der Funktionen % die Primzahl P) im Nenner enthalten sollten, kann man nach Hilfssatz 3 die Zahlen ylt . . ., ?/; doch so wählen, daß in den sämtlichen Subtrahenden von (11) diese Nennerfaktoren sich wegheben, und die Subtrahenden noch durch eine beliebig hohe Potenz von Pi l teilbar werden, also gewiß durch p\+1. Dann ist aber das Polynom (11) mod p\ +! kongruent zu fl +1(x,

yv . . ., y)) = xn-}- + cixn~}-~i+

...

Wenn man also vom Koeffizienten der höchsten Potenz von x, der ja gleich 1 ist, absieht, sind nach Hilfssatz 3 alle andern Koeffizienten durch P)_ +1 teilbar, und speziell das von x freie Glied nicht durch p) + i- Nach Hilfssatz 1 erweist sich dann das Polynom (11) als irreduzibel, und damit ist der gewünschte Widerspruch festgestellt. § 6. Ausdehnung auf beliebige algebraische Zahlkörper.

Legt man statt des natürlichen Rationalitätsbereiches einen beliebigen algebraischen Zahlkörper zugrunde und wählt die Primzahlen Pv Pf • • •> Pn — i so, daß sie nicht in der Diskriminante dieses Körpers enthalten sind, so sind sie bekanntlich nicht durch das Quadrat eines Primideals teilbar.1) Ist etwa p; _(_ y ein Primidealfaktor von Px + n s 0 lassen sich wörtlich dieselben Überlegungen wie oben durchMan sehe etwa Satz 31 des HiLBERTschen Berichtes ,Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der deütschen Mathematikervereinigung 4.

Über Gleichungen ohne Affekt.

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führen, wobei nur als Kongruenzmodul an Stelle von p^ 1 jetzt + 1 stehen muß. Dabei ist es für die jedesmalige Anwendung des dem EiSENSTEiNschen Satz (Hilfssatz 1) entsprechenden Satzes 1 ) wesentlich, daß der letzte Gleichungskoeffizient a n nur durch die erste Potenz von2?; + 1 , also auch nur durch die erste Potenz von t teilbar ist. Somit ist die Gleichung f(x) = 0 , die rationale Koeffizienten hat, nicht nur im Körper der rationalen Zahlen, sondern auch in dem zugrunde gelegten algebraischen Zahlkörper ohne Aflekt. 1

) Dessen Beweis ganz einfach und dem des EiSENSTEiNschen Satzes völlig analog ist.