Projeto Apoema - Matemática - 9º. Ano [2ª. Edição]

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Citation preview

Matemática

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Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne

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9 Matemática

Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne Licenciado em Matemática Doutor em Educação – linha de pesquisa em Educação Matemática Professor da rede particular de ensino

2a edição São Paulo, 2015

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Galdonne, Linos Projeto Apoema matemática 9 / Linos Galdonne. – 2. ed. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Projeto Apoema ; v. 9) Suplementado pelo manual do professor. ISBN 978-85-10-05910-7 (aluno) ISBN 978-85-10-05911-4 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. II. Série. 15-03684

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Imagem de capa Foto: César Oiticica Filho

© Editora do Brasil S.A., 2015 Todos os direitos reservados Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti Supervisão editorial: Erika Caldin Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero Supervisão de revisão: Dora Helena Feres Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete Consultoria técnica: Cristiane Boneto Edição: Rodrigo Pessota Assistência editorial: Edson Ferreira de Souza Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa Apoio editorial: Marilda Pessota Lima Coordenação de revisão: Otacilio Palareti Copidesque: Ricardo Liberal Revisão: Andréia Andrade e Elaine Fares Coordenação de iconografia: Léo Burgos Pesquisa iconográfica: Adriana Vaz Abrão e Denise Sales Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves Assistência de arte: Samira de Souza Design gráfico: Alexandre Gusmão, José Hailton Santos e Regiane Santana Capa: Patrícia Lino Ilustrações: DAE (Departamento de Arte e Editoração), Eduardo Belmiro, Ivan Luiz, Ilustra Cartoon, Paula Radi, RS2 Comunicação, Ronaldo Barata, Waldomiro Neto e Zubartez Produção cartográfica: DAE (Departamento de Arte e Editoração) e Simone Soares de Andrade Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos Editoração eletrônica: Adriana Albano, Débora Jóia e Gabriela César Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado

Hélio Oiticica. Metaesquema (Vermelho cortando o branco), 1958. Óleo sobre tela, 52 × 60 cm.

Hélio Oiticica (1937-1980) nasceu e viveu grande parte da vida na cidade do Rio de Janeiro. Sua obra foi marcada pela inovação e experimentação. Começou a estudar pintura com Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro, em 1954 e, no ano seguinte, iniciou a criação de pinturas geométricas abstratas. As obras Invenções, de 1959, assinalam a transição do artista da tela para o espaço ambiental. Tropicália, de 1967, deu nome ao movimento musical e cultural do mesmo período, o Tropicalismo. Durante a década de 1970 viveu em Nova York, retornando ao Brasil em 1978. Após seu falecimento, em 1980, foi criado o Projeto Hélio Oiticica.

2a edição, 2015

Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br

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Apresentação

Queremos convidá-lo a estudar Matemática não como uma ciência completamente alheia à realidade e parada no tempo. Ao contrário, o estudo que aqui propomos é dinâmico e pensado para aqueles que desejam de fato compreender como os conceitos e as teorias relacionados a essa disciplina foram elaborados e aplicados. As regras e fórmulas matemáticas que usamos são consequências do estudo dos fenômenos que nos cercam. A Matemática está presente na natureza como a simetria em uma borboleta, no casulo hexagonal de uma colmeia ou na forma poligonal de uma flor. Está, também, nas construções realizadas pelo homem, como nas Pirâmides do Egito, nas estruturas triangulares e até mesmo no uso da tecnologia. Usamos a Matemática quando contamos, fazemos estimativas de medidas ou mesmo em uma simples observação sobre as letras e os algarismos da placa de um automóvel. Compreendê-la, portanto, é ampliar a percepção do mundo que já conhecemos. Esperamos que a vontade de compreender essa ciência, aliada ao desejo de investigação, sejam motivos suficientes para conduzi-lo ao estudo que aqui propomos. Desejamos que no final você perceba a Matemática como uma atividade humana repleta de significados e aplicações. Bom estudo! O autor

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CONHEÇA O SEU LIVRO UNIDADE 1

Potenciação, radiciação e cálculo algébrico Ao longo do aprendizado sobre números, ampliamos sucessivamente o conhecimento do campo numérico. Conhecemos os números naturais, os números inteiros, os números racionais e os números irracionais. A ampliação do aprendizado também ocorreu em relação às operações entre os números. Agora vamos aprofundar nossos conhecimentos sobre potenciação e radiciação.

Unidade

Comzeal/Dreamstime.com

No início de cada unidade, há um texto introdutório e perguntas que o motivam a estudar o assunto.

4

4

1 Qual dos números é maior: (32) ou 32 ? 2 Como podemos representar, de forma simplificada, o número 0,00000000023? 22  52  2  5 ?

Área do retângulo, do quadrado e do paralelogramo

CAPÍTULO 17

Áreas de quadriláteros e triângulos

Vamos lembrar como calcular a área de superfícies que tenham a forma de retângulo, de quadrado e de paralelogramo. Observe, para cada caso, os exemplos dados.

Retângulo A área de um retângulo é calculada pelo produto das medidas de sua base e sua altura. Algebricamente: A  b  h

O Brasil tem aproximadamente 8 516 000 quilômetros quadrados de superfície. A área do país está entre as maiores do mundo.

Setup

3 É correto afirmar que

h

b

Brasil: político

RORAIMA 0°

AMAPÁ Macapá

EQUADOR

Belém São Luís

Manaus

Fortaleza

PARÁ

AMAZONAS

Capítulo

MARANHÃO

CEARÁ

Teresina

Brasil - Divisão política RR

Natal

Palmas

ALAGOAS

AM

MATO GROSSO

MA PI

Cuiabá

AC

Cada capítulo é iniciado com uma situação do cotidiano ou de uma área do conhecimento relacionada com o conteúdo matemático a ser estudado.

Brasília TO

RO

Ó CAPRIC

RNIO

PB

SE BAMINAS

GERAIS

DF

Belo Horizonte MG

ESPÍRITO SANTO Vitória

SÃO PAULO SP

SC

RIO DE JANEIRO Rio de Janeiro

N

Curitiba

RS SANTA CATARINA

O

Florianópolis

Carnaúba Tocantins Limites estaduais Limites internacionais

RIO GRANDE DO SUL

0

Capital de estado

Vista aérea de moradias na cidade de Ribeirão Preto, SP.

L S

Porto Alegre

Capital de país

OCEANO ATLÂNTICO

ES

RJ São Paulo

PARANÁ

Babaçu

Salvador

RN

AL

GOIÁS GO

CE PE

PR

Castanha-do-brasil Madeira

OCEANO PACÍFICO

DF

Goiânia MT

Campo Grande

MATO GROSSO DO SUL MS

Borracha C O DE TRÓPI

Recife

Aracaju

BAHIA PA

Maceió

SERGIPE

TOCANTINS

RONDÔNIA

João Pessoa

PERNAMBUCO

AP

Rio Branco

RIO GRANDE DO NORTE PARAÍBA

PIAUÍ Porto Velho

ACRE

Exemplo 1: Delfim Martins/Pulsar Imagens

Boa Vista

© DAE/Simone Soares de Andrade

Brasil – Divisão Política

390

780 km

Na fotografia aérea de uma localidade, foi destacada uma região em forma de retângulo. Qual é a área destacada sabendo que as dimensões do terreno são 220 m por 752 m?

1 : 78000 000 50°O

Fonte: Atlas Geográfico Escolar, 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.

17 075 000 km2

Canadá

9 975 000 km2

China

9 600 000 km2

Estados Unidos

9 364 000 km2

Brasil

8 516 000 km2

Resolução: Quando trabalhamos com quilômetros quadrados utilizamos a unidade km2 como padrão de medida de superfície, ou seja, um quadrado com unidade de lado de 1 km. Dependendo da superfície que queremos avaliar, podemos usar outras unidades como, hectare, alqueire, cm2, m2 ou mm2. Neste capítulo, retomaremos o estudo da área de alguns quadriláteros e também da área de um triângulo.

Os cinco maiores países do mundo

Rússia

Como sabemos as duas medidas do retângulo, podemos calcular a área. Abh A  220 m  752 m A  165 440 m2

Observação: V Normalmente, denominamos as medidas de um retângulo de base e altura, porém também podem ser

chamadas de comprimento e largura.

Sua Pesquisa.com. Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

158

Registre no

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

5 Uma pessoa obteve as medidas de dois ângulos nos pontos A e B, distantes 40 m um do outro.

45° d

l

45° l

60°

2 Utilize os dados da tabela a seguir para fazer o que se pede. 45°

60°

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tg

3 3

1

3

Agora é com você

30° A

B

Determine: a) a distância do ponto A até a base do edifício; b) a altura do edifício.

Nessa seção que aparece ao longo de cada capítulo, você encontrará exercícios de fixação relativos aos conteúdos desenvolvidos.

6 Os dois triângulos retângulos representados na figura têm em comum um mesmo cateto que mede d unidades de comprimento. Determine, em função de d, a medida correspondente a x  y. Setup

30°

sen

caderno

Eduardo Belmiro

1 Considere um quadrado com medida de lado  e medida de diagonal d. A diagonal forma, com os lados do quadrado, ângulos de 45°, como indicado na figura. a) Utilizando o teorema de Pitágoras, expresse a medida da diagonal d em função da medida  do lado do quadrado. e cos b) Determine sen  cos 45 45 . 2 2 sen 45  22 c) Mostre que tg 45°  1.

159

a) Determine o valor da expressão x  (sen 45°)2  (cos 45°)2. b) Comparando os valores das expressões A  2  sen 30°  cos 30° e B  sen 60°, o que você conclui? c) Qual é o valor da expressão y  tg 30°  tg 60°?

y

C

x

x 30°

D

7 Uma pessoa observa, de um ponto O de um edifício, outro edifício ao lado. O ângulo pelo qual ela vê esse edifício é 75º, como representado abaixo. Usando as medidas indicadas, determine a altura do edifício que está sendo observado.

A

y

60°

d

60°

30°

B

Ilustrações: Setup

3 Usando as medidas indicadas na figura, determine:

300 m

Eduardo Belmiro

4 A figura ao lado ilustra um navio que se aproxima de uma plataforma de petróleo. O ângulo de 60° é chamado ângulo de depressão em relação à proa do barco, conforme linhas tracejadas. Sendo de 45 m a altura da torre, a que distância, em metros, o navio está da plataforma?

Eduardo Belmiro

a) os valores de x e y; b) as medidas dos segmentos BC e DC; c) as medidas dos ângulos BDC, DCB e ACD. 60° 30°

O 75°

45 m 12 m

12 m

107

106

Conexões

Registre no

caderno

Na aplicação do teorema de Tales, encontramos uma curiosidade: a divisão de um segmento em partes iguais.

Nessa seção, que aparece ao longo dos capítulos, você terá textos relacionados à história da Matemática, assuntos da realidade, aprofundamento da teoria ou curiosidades geométricas, algébricas e numéricas.

É claro que poderíamos medir o segmento e depois dividi-lo em tantas partes quantas quiséssemos. Entretanto, a solução usa diretamente o teorema. Imagine que desejamos dividir o segmento AB, representado a seguir, em 5 partes de mesmo comprimento. A

B

• O procedimento para a divisão consiste em traçar, a partir do ponto A, um segmento de medida qualquer.

• Com o auxílio de um compasso, no qual fixamos a abertura, marcamos consecutivamente 5 pontos nesse segmento. A

TRABALHO EM EQUIPE Acabamos de conhecer um pouco da construção de vitrais. Vamos criar um vitral de papel? Para isso, vocês precisarão de:

B 1 2 3

• papel-cartão de cor preta; • lápis; • papel celofane de várias cores; • cola; • tesoura. Façam um desenho no papel-cartão. Este desenho deve conter formas geométricas vistas nesse capítulo. Depois, o papel preto deverá ser recortado de maneira que o desenho fique vazado. A seguir, escolham as cores do papel celofane e colem do avesso, para que o lado direito não tenha nenhum defeito. Desta maneira, visualiza-se o aspecto de um vitral. Ronaldo Barata

CONEXÕES

4 5

• Utilizando uma régua, ligamos o último ponto com o ponto B por meio de um segmento. • Em seguida, traçamos com auxílio de um compasso ou esquadro, segmentos paralelos ao primeiro, que passem pelos outros 4 pontos marcados na reta auxiliar, e construímos mais 4 segmentos.

Trabalho em equipe

Ilustrações: DAE

Eles dividirão o segmento AB em 5 partes iguais. B

A 1 2 3 4 5

Construa um segmento com extremidades C e D e, com o auxílio de régua e compasso, divida esse segmento em 7 partes iguais.

83

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Nessa seção você e os colegas são convidados a, juntos, realizar uma tarefa, resolver um problema, refletir sobre questões propostas etc.

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com a PalavRa, o esPecialista “Só 46% dos cereais plantados alimentam pessoas“. Entrevista com o matemático biológico Joel E. Cohen Quando a Terra atingiu o sexto bilhão de seres humanos habitando-a simultaneamente, em 1999, o matemático biológico Joel E. Cohen, 67, guardava um certo otimismo. Via exagero no fatalismo com que alguns estudiosos referiam-se ao futuro e achava que a pergunta que dá título a seu livro mais famoso – Quantas pessoas a Terra aguenta? – não era para ser respondida com um número, mas com políticas públicas e iniciativas sociais.

Com a palavra, o especialista

Entre o sexto e o recém-alcançado sétimo bilhão, porém, a humanidade – e seus governos – pouco colaboraram para manter o otimismo do matemático, que chefia o Laboratório de Populações na Universidade Rockfeller e leciona em Columbia, ambas em Nova York.

Essa seção traz entrevistas com especialistas de áreas da Matemática.

Em entrevista, Cohen falou sobre controle populacional, educação, investimento em desenvolvimento e o uso da comida que o mundo produz hoje. Mas o tom que era de expectativa deu lugar à premência em um planeta que, a seu ver, tem seguido uma receita para o desastre. A entrevista é de Luciana Coelho e publicada pelo jornal Folha de S. Paulo, 07-11-2011.

The Rockefeller University

Eis a entrevista.

Quem Joel Ephraim Cohen

Especialidade Biomatemática

Área de pesquisa Biologia populacional

Quando chegamos aos 6 bilhões, o senhor dizia que a pergunta que dá título ao seu livro era algo em aberto. Aos 7 bilhões, continuamos sem resposta? Agora percebemos que a mudança climática é uma ameaça à produção de comida, à vida das espécies, incluindo a humana, com mais clareza do que há 12 anos. O progresso científico trouxe razões para nos preocuparmos mais. Hoje também temos o maior número de famintos em 40 anos, segundo o braço da ONU para agricultura e alimentação: quase 1 bilhão.

A GEOMETRIA DOS VITRAIS

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Você já deve ter visto alguns vitrais pela sua cidade. Eles são formados por pedacinhos coloridos de vidro que, quando colados próximos, formam figuras. Observe o vitral ao lado. Ele pode ser observado na Catedral de Notre-Dame, em Paris, França.

A Arte Gótica se desenvolveu na Europa entre os séculos XII e XV, e foi uma das mais importantes da Idade Média. No início desse período, o ser humano via Deus como centro do Universo e praticamente toda a produção artística era religiosa. A arquitetura, a pintura e a escultura representavam cenas bíblicas, santos e anjos. As igrejas passaram a ser mais altas, com longas torres, vitrais coloridos e três portais na fachada. O uso de uma rosácea sobre o portal central tornou-se o verdadeiro símbolo da Arte Gótica.

Rosácea de Sainte-Chapelle, em Paris, França.

Shutterstock risov/ S.Bo

VITRAL

Bagagem cultural

A ARTE GÓTICA

Bucchi Francesco/Shutterstock

bagagem cultuRal

Até recentemente, o número de pessoas cronicamente mal nutridas estava caindo, mas, nos últimos anos o preço dos alimentos subiu muito, em boa medida devido à competição com biocombustíveis e outros usos industriais da comida. Com isso, a fome aumentou.

LUZ NATURAL

Rosácea matemática, feita com compasso. Ivan Luiz

LUZ

Em cada parte do vitral, encontramos diversas formas geométricas que estudamos até agora.

De início, os vitrais eram usados exclusivamente nas igrejas católicas, pois foram obra de eclesiásticos. Depois, eles foram sendo adotados nos castelos e nas casas dos burgueses até chegarem aos lares dos artesãos e operários.

Neirfy/Shutterstock

Na Idade Média, usou-se vitrais para resolver os problemas de iluminação causados pelas enormes janelas das igrejas.

Apresenta infográficos que possibilitam explorar a interdisciplinaridade entre a Matemática e outras disciplinas.

Nicky Rhodes/Shutterstock

COMO ERA FEITO

1

Para a criação de um vitral, era necessário que o pintor fizesse um desenho e recortasse-o em formas geométricas, que serviriam de molde para uma armação de ferro que, mais tarde, acomodaria perfeitamente peças de vidro.

2

O vidro passava então por uma sequência de sessões para ficar da cor desejada.

3

Além do vidro, os artesãos tinham de fundir e modelar as estruturas metálicas (conhecidas também como “perfis de chumbo”), e esta subdivisão também deveria seguir à risca o desenho inicialmente sugerido.

4

Após todo esse processo, as peças de vidro eram aquecidas até atingirem o ponto de quebra.

5

Depois, com um estilete, o artesão cortava o vidro em pedaços para encaixá-los na armação, e colocava uma massa para que a água não penetrasse no vitral.

6

Assim, a janela era levada pronta para ser instalada na igreja.

197

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matemática e cidadania O efeito estufa e o aquecimento global "O efeito estufa é um fenômeno natural e possibilita a vida humana na Terra.

sol

topo da atmosfera

radiação solar

daulon/Shutterstock

Parte da energia solar que chega ao planeta é refletida diretamente de volta ao espaço, ao atingir o topo da atmosfera terrestre – e parte é absorvida pelos oceanos e pela superfície da Terra, promovendo o seu aquecimento. Uma parcela desse calor é irradiada de volta ao espaço, mas é bloqueada pela presença de gases de efeito estufa que, apesar de deixarem passar a energia vinda do Sol (emitida em comprimentos de onda menores), são opacos à radiação terrestre, emitida em maiores comprimentos de onda. Essa diferença nos comprimentos de onda se deve às diferenças nas temperaturas do Sol e da superfície terrestre.

Matemática e cidadania radiação terrestre

calor

superfície terrestre

gases de efeito estufa

Por meio dos textos dessa seção, você saberá como a Matemática é importante no exercício da cidadania.

Representação esquemática do efeito estuda

De fato, é a presença desses gases na atmosfera o que torna a Terra habitável, pois, caso não existissem naturalmente, a temperatura média do planeta seria muito baixa, da ordem de 18 C negativos. A troca de energia entre a superfície e a atmosfera mantém as atuais condições, que proporcionam uma temperatura média global, próxima à superfície, de 14 C. Quando existe um balanço entre a energia solar incidente e a energia refletida na forma de calor pela superfície terrestre, o clima se mantém praticamente inalterado. Entretanto, o balanço de energia pode ser alterado de várias formas: (1) pela mudança na quantidade de energia que chega à superfície terrestre;

230

diveRsiFicando linguagens Observe uma curiosidade: a

( x mo te )  a ⇒  a ( x mo te ) 

2

 x  te   a 2 ⇒ x  te  a ⇒  a2 ⇒ a   mo  mo

⇒ x  te  amo ⇒ x  amo  te

Tente agora descobrir o que está escrito na frase: “x, a matemática é y ”, na qual x é a equação x  im  a e y é a equação s  im

y  ver  da . di (ver )2  ti Registre no

caderno

suPeRando desaFios 1 (OBM)

No dia de seu aniversário, em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nasci no ano x2 e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?” A resposta certa é: a) 61 b) 64 c) 67 d) 70 e) 72

Diversificando linguagens

2 (Vunesp) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade de x horas por semana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana. Trabalha, porém, 4 horas a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada. O valor de x é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 3 (PUC-MG) No concurso para o Tribunal de Alçada, os candidatos fizeram provas de Português, Conhecimentos Gerais e Direito, respectivamente com pesos 2, 4 e 6. Sabendo-se que cada prova teve o valor de 100 pontos, o candidato que obteve 68 em Português, 80 em Conhecimentos Gerais e 50 em Direito, teve média: a) 53 b) 56 c) 63 d) 66 e) 72

Em alguns capítulos, você conhecerá um jeito diferente de “ler a Matemática”, por exemplo, por meio de histórias em quadrinhos ou tirinhas, mapas etc.

as mil e uma equações Autor: Ernesto Rosa Editora: Ática 72 páginas Três jovens acompanham um poderoso emir em uma viagem no Oriente Médio. Nessa aventura eles conhecem Omar Ibn Sinan, que os entretêm com divertidos desafios matemáticos envolvendo equações e incluindo até o desenvolvimento de uma fórmula para resolução de equações do 2o grau. Os jovens também participam de uma disputa realizada por dois príncipes, que tem como prêmio a mão da princesa, filha do emir. O livro traz um suplemento de atividades relacionado às questões da história.

Editora Ática

Editora Ática

explorando história da equação do 2o grau Autor: Oscar Guelli Coleção: Contando a História da Matemática Editora: Ática 56 páginas O livro conta a história da equação do 2o grau desde o primeiro registro em uma placa de argila, há 4 mil anos, até o desenvolvimento da fórmula resolutiva.

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Registre no

caderno

suPeRando desaFios 1 (PUC-SP)

Se N é o número que resulta do cálculo de 2 19  5 15, então, o total de algarismos que compõem N é: a) 17

b) 19

c) 25

d) 27

e) maior do que 27

d) 3  p  10

e) p  10

2 (ESPM-SP) 97 812 346  97 812 348  3 , então: Se p  97 812 345  97 812 349 a) 0  p  1

b) 1  p  3

c) 2  p  3

3 (UFF-RJ) Calcule o valor numérico de 1 , sendo M  2  M

a2  b2  2 , b2 a2

Superando desafios Ao final de cada unidade, você é convidado a aprender mais por meio de questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo.

a  0,998 e b  1. 4 (OBM) Um quadrado tem 3 + 3 cm de lado, e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são 72 + 3 6 e 2 . Qual dos dois tem maior área? E o maior perímetro? 5 (Saresp) O número irracional a) 2 e 3

7 está compreendido entre os números: b) 13 e 15 c) 3 e 4

d) 6 e 8

Editora Ática

Editora Zahar

explorando

uma raiz diferente

17 equações que mudaram o mundo

Autor: Luzia Faraco Ramos Editora: Ática 88 páginas

Autor: Ian Stewart Tradutor: George Schlesinger Editora: Zahar 408 páginas

O livro relata a interessante história de Luís, que está terminando os estudos em sua cidade e precisa mudar para uma cidade maior se quiser continuar a estudar, mas seus avós contam com ele para ajudar na roça. Sua vida muda bastante quando entra em contato com um grupo que acampa em sua cidade. Entre outras coisas, Luís aprende raízes quadradas e cúbicas.

As equações fazem mais parte de nosso cotidiano do que imaginamos. Ian Stewart não só mostra algumas das mais importantes equações para o avanço da ciência, como contextualiza de forma única cada uma delas. Fica clara a relação que as equações têm com a tecnologia usada em GPS, viagens espaciais, energia atômica, entre outras. Do teorema de Pitágoras à equação da relatividade de Einstein, o autor compartilha muitas histórias interessantes sobre essa maravilhosa ferramenta matemática.

48

Explorando Essa seção apresenta, no final de cada unidade, sugestões de livros, sites, filmes, vídeos, jogos etc. para você continuar explorando o assunto. Aqui, você conta também com alguns códigos QR, ferramenta que possibilita o acesso direto a recursos da web por meio de dispositivos móveis.

tecla_matemática Raízes na calculadora Fotos: Edson Antunes

Utilizando a calculadora científica de um computador (figura abaixo), podemos notar que existem algumas funções para o cálculo de raízes, como mostra a figura a seguir:

Tecla_Matemática A tecnologia e a Matemática estão cada vez mais juntas e, por meio de programas de informática, você descobrirá um novo universo e aprenderá os conteúdos de forma divertida.

Para encontrar a calculadora científica, é só clicar em Exibir e selecionar a opção “Científica”.

A tecla

significa “raiz em qualquer índice y de um valor x”, e a tecla

“raiz cúbica de um valor x”. A outra tecla destacada (

significa

), que representa a raiz quadrada,

é facilmente encontrada numa calculadora comum. Para extrair uma raiz quadrada utilizando essa calculadora, basta digitar o número que você quer extrair seguido da tecla correspondente à raiz quadrada. Se quisermos obter a raiz quadrada de 12, apertamos as teclas

e imediatamente teremos o resul-

tado com um número considerável de casas decimais. O valor mostrado na calculadora pode ser arredondado para 3,46, com apenas duas casas decimais.

Resultado de

12 .

33

Registre no

caderno

Resgatando conteÚdos 1 Determine a alternativa que indica corretamente o nome do gráfico estatístico representado abaixo. 25

a) 100 pessoas b) 120 pessoas c) 40 pessoas d) 60 pessoas

10% 30%

60%

5 Ainda sobre os dados da atividade 4, determine a alternativa que contém o número de pessoas que não responderam à pesquisa.

20 15 10

a) 100 pessoas b) 120 pessoas

5 0 B

C

D

E

b) gráfico de setores

a) gráfico de setores b) gráfico de linhas c) histograma d) gráfico de barras

c) gráfico de barras d) histograma 2 No gráfico a seguir, esqueceram de incluir o percentual correspondente ao item "Bom". Determine a opção que indica esse valor que está faltando. a) 40% b) 50% c) 60% d) 45%

regular 15%

ruim 5%

c) 40 pessoas d) 20 pessoas

6 Como é classificado o tipo de gráfico apresentado a seguir? Ilustrações: Setup

A

a) gráfico de linhas

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ótimo 20%

20 40 60 80 100

7 Este histograma foi construído observando o tempo de duração do atendimento de um caixa de banco ao longo de um dia, contando o tempo de espera para ser atendido. Observe-o e responda às questões. Número de pessoas atendidas

bom

3 Três amigos estão reunidos. O primeiro tem 15 anos de idade, o segundo 20 anos e o terceiro 18. A média das idades desses três amigos é: a) mais próxima da idade 18 anos. b) mais próxima da idade 15 anos. c) mais próxima da idade 20 anos. d) maior que 18 anos. 4 Numa pesquisa feita com 200 pessoas, 10% não responderam, 30% disseram não e 60% disseram sim. Qual foi o total de pessoas que disse sim?

12

11

10 8 6 4

3

2 0

0

4 2 0

8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 28-32 Duração (min)

Resgatando conteúdos Ao final de cada unidade, há uma proposta de “resgate” dos conteúdos abordados nela por meio de exercícios que servem também de autoavaliação.

a) Em quantas classes a variável Duração está dividida? b) Qual é a medida de cada classe? c) Qual é a classe com maior frequência? d) Quais são as classes que têm frequência zero?

72

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Sumário Unidade 1

Potenciação, radiciação e cálculo algébrico

CAPÍTULO 1: Potenciação.................................... 12 VVPotenciação com expoentes inteiros............... 12 VVNotação científica............................................. 15 VVPropriedades da potenciação........................... 18 VVMatemática e cidadania................................. 20

CAPÍTULO 2: Radiciação....................................... 21

10

VVPotenciação e radiciação.................................. 31 VVTecla Matemática........................................... 33

CAPÍTULO 4: Cálculo algébrico............................ 35 VVOs três casos de produtos notáveis................. 35 VVCubo de uma soma e cubo de uma diferença.....41

VVRaiz quadrada................................................... 21 VVPotência com expoente racional e raiz cúbica....23 VVSimplificação com radicais.............................. 25

CAPÍTULO 5: Fatoração....................................... 43

CAPÍTULO 3: Cálculo com radicais........................ 27

VVSuperando desafios....................................... 48

VVAdição e subtração........................................... 27 VVMultiplicação e divisão..................................... 30

VVResgatando conteúdos.................................. 49

VVFator comum e por agrupamento.................... 43 VVFatoração por produtos notáveis..................... 45 VVExplorando..................................................... 48

UNIDADE 2 Tratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade CAPÍTULO 6: Gráficos......................................... 54 VVTabelas e gráficos............................................. 55 VVGráfico de barras.............................................. 55 VVGráfico de linhas (ou de segmentos) .............. 56 VVGráfico de setores............................................. 57 VVGráficos pictóricos ou pictogramas................. 57

CAPÍTULO 7: Distribuição de frequências.............. 59 VVDistribuição de frequências: variáveis

discretas........................................................... 59

UNIDADE 3

VVDistribuição de frequências: variáveis

contínuas.......................................................... 60

CAPÍTULO 8: Contagem e probabilidades............... 63 VVO princípio fundamental da contagem............. 63 VVIdeias iniciais de probabilidade........................ 67 VVSuperando desafios...................................... 71 VVExplorando................................................... 71 VVResgatando conteúdos................................. 72

Geometria: semelhança de triângulos

CAPÍTULO 9: Teorema de Tales.............................. 76

52

74

VVTeorema de Tales.............................................. 79

CAPÍTULO 12: Razões trigonométricas no triângulo retângulo..................................... 100

CAPÍTULO 10: Semelhança de triângulos.............. 84

VVRazões seno, cosseno e tangente.................. 100 VVRazões trigonométricas para

VVSemelhança de triângulos............................... 84 VVOs três casos de semelhança de triângulos... 88

VVBagagem cultural – Triângulo

CAPÍTULO 11: O triângulo retângulo.................... 91

VVSuperando desafios......................................110

VVRelações métricas no triângulo retângulo...... 91 VVO teorema de Pitágoras.................................... 95

VVExplorando....................................................111

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ângulos notáveis............................................ 105 das Bermudas................................................ 108

VVResgatando conteúdos.................................112

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UNIDADE 4

Álgebra: equações do 2o grau

CAPÍTULO 13: Equações do 2o grau...................... 116 VVResolução de equações incompletas............ 116 VVResolução de equações por trinômios

quadrados perfeitos....................................... 119 VVResolução de equações por fórmula............. 122

114 VVResolução de problemas por

meio de equações do 2º grau........................ 132 VVEquações biquadradas................................... 135 VVEquações irracionais...................................... 137 VVTecla Matemática........................................ 142

CAPÍTULO 14: Propriedades de raízes e coeficientes.................................................... 125

CAPÍTULO 16: Medidas de tendência central........ 144

VVO discriminante – discussão

VVMédia e média ponderada.............................. 144

das raízes....................................................... 125 VVSoma e produto das raízes............................. 128

VVMediana e moda............................................. 147

CAPÍTULO 15: Equações redutíveis ao 2o grau e problemas....................................................... 132

VVExplorando....................................................152

UNIDADE 5

VVSuperando desafios......................................152

VVResgatando conteúdos.................................153

Geometria: polígonos e circunferências

156

CAPÍTULO 17: Áreas de quadriláteros e triângulos.... 158

CAPÍTULO 20: Círculo e circunferência................ 184

VVÁrea do retângulo, do quadrado e do paralelogramo. 159

VVComprimento da circunferência

VVÁrea do triângulo, do losango e do trapézio....... 162

CAPÍTULO 18: Polígonos convexos....................... 167 VVCálculo do número de diagonais de um

polígono convexo............................................ 167 VVSoma das medidas dos ângulos internos e

externos de um polígono convexo................. 170

CAPÍTULO 19: Polígonos regulares...................... 174 VVMedida dos ângulos internos

e externos de polígonos regulares................ 175 VVPolígonos inscritíveis e circunscritíveis......... 179 VVTriângulo equilátero, hexágono regular e quadrado......................................................... 181

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e de um arco de circunferência..................... 184 VVÁrea do círculo e de um setor circular................. 188

CAPÍTULO 21: Relações métricas na circunferência............................................. 190 VVRelação entre cordas e entre secantes......... 191 VVRelação entre secante e tangente

e potência de um ponto................................. 193 VVBagagem cultural – A geometria

dos vitrais.....................................................196 VVSuperando desafios......................................199 VVExplorando....................................................201 VVResgatando conteúdos.................................202

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UNIDADE 6 Introdução às funções e função afim CAPÍTULO 22: Introdução às funções................... 206 VVRelação entre grandezas:

conceito de função......................................... 206 VVRepresentação gráfica no plano cartesiano.. 210

CAPÍTULO 23: Noções de função afim.................... 216

UNIDADE 7

VVGráfico de uma função afim........................... 219 VVSuperando desafios......................................225 VVExplorando....................................................229 VVMatemática e cidadania................................230 VVResgatando conteúdos .................................233

Noções de função quadrática

CAPÍTULO 24: Noções de função quadrática ......... 236 VVFunção quadrática.......................................... 236 VVRepresentação gráfica no plano cartesiano.... 237 VVCoordenadas do vértice da parábola............. 244

234 VVProblemas de máximo e de mínimo.............. 248 VVSuperando desafios......................................253 VVExplorando....................................................254 VVCom a palavra, o especialista ......................255 VVResgatando conteúdos .................................258

UNIDADE 8 Geometria: triângulos quaisquer CAPÍTULO 25: Lei dos cossenos............................ 262 VVObtenção da lei dos cossenos........................ 262 VVAplicações da lei dos cossenos...................... 266

CAPÍTULO 26: Lei dos senos................................ 268

204

VVFunção afim.................................................... 217

260

VVObtenção da lei dos senos.............................. 268 VVAplicações da lei dos senos........................... 272 VVSuperando desafios......................................274 VVExplorando....................................................274 VVResgatando conteúdos .................................275

Gabarito Referências

276 288

Manual do Professor

289

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UNIDADE 1

Potenciação, radiciação e cálculo algébrico

Comzeal/Dreamstime.com

Ao longo do aprendizado sobre números, ampliamos sucessivamente o conhecimento do campo numérico. Conhecemos os números naturais, os números inteiros, os números racionais e os números irracionais. A ampliação do aprendizado também ocorreu em relação às operações entre os números. Agora vamos aprofundar nossos conhecimentos sobre potenciação e radiciação.

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4

4

1 Qual dos números é maior: (32) ou 32 ? 2 Como podemos representar, de forma simplificada, o número 0,00000000023? 3 É correto afirmar que

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22 1 52 5 2 1 5 ?

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Capítulo 1

Potenciação Empréstimos e financiamentos são operações comuns no mercado financeiro. Muitas empresas se especializam em trabalhar com operações desse tipo, que geram lucro por meio da cobrança de juro. Usa-se a potenciação nas fórmulas da Matemática Financeira para calcular esses modelos de cobrança.

Anita Huszti/Shutterstock

Vamos pesquisar! Procure informações sobre as taxas de juro que são cobradas em diferentes linhas de crédito. Por exemplo, se um correntista tiver limite em sua conta bancária e começar a utilizá-lo, quando pagará de juro ao dia e ao mês? E um cliente que atrasar o pagamento da fatura de seu cartão de crédito, quanto pagará de juro?

Linhas de crédito são empréstimos concedidos a pessoas físicas ou jurídicas, oferecidas por instituições bancárias ou financeiras.

Deve-se tomar cuidado ao usar uma linha de crédito, pois em muitos casos as taxas de juros cobradas são abusivas. Neste capítulo, abordaremos o estudo de potenciação, recordando o cálculo com expoentes inteiros, e ampliaremos esse conhecimento com a introdução da notação científica.

Potenciação com expoentes inteiros Vimos que a potenciação pode representar uma multiplicação com fatores iguais. Assim, para representar o produto do número 3 por ele mesmo, cinco vezes, utilizamos a potenciação, escrevendo: 35 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 243 Cada um dos termos relacionados em uma potenciação recebe uma denominação especial: expoente Respostas da página anterior: 4 1. 32  (32)4 2. 2,3  10210 3. Não.

35 5 243

potência

base

12 pom9_010_034_u01.indd 12

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Observações: V Quando o expoente é igual a 0 e a base é diferente de 0, a potência resultante é igual a 1, isto é:

a0 5 1 (a  0) V Quando o expoente é igual a 1, a potência resultante é a própria base.

a1 5 a V Se o expoente é negativo, invertemos a base elevando-a ao expoente positivo.

a2n 5 1n a Registre no

caderno

trabalho em eQuIpe

Resposta possível: am am 5 am2m 5 a0 (a  0), mas m 5 1 . Assim, a0 5 1. m a a

Justifique, utilizando as propriedades de potenciação, a seguinte afirmação: Todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

Observe atentamente a resolução de cada um dos exemplos a seguir e vá anotando no caderno cada propriedade utilizada ao longo da execução da expressão, por exemplo: Professor, as propriedades de potenciação, observadas nos exemplos, foram estudadas no ano anterior. Temos aqui uma retomada. Neste capítulo vamos destacar ainda tais propriedades.

223 5 13 2

Exemplo 1:

( )

Calcule o valor da expressão numérica: 223 1 3 2

3

2 (22) . 22

Resolução: Aplicando as observações e o que você já estudou sobre potenciação nos anos anteriores, temos:

( )

3

22 1 223 1 3 2 (22) 5 13 1 27 2 5 2 2 8 (22)2 27 2 1 1 513 26 5 13 5 11 11 27 2 5 88 88 44 4 8 4

Exemplo 2: Quantos algarismos há no resultado de 16 ? 109?

Resolução: Em uma potência de base 10, o expoente natural indica a quantidade de zeros que seguem o algarismo 1. Veja o exemplo: 16 109

16 10 10 10 10 10 10 10 10 10

16 109

16 1000 000 000

16 109

16 000 000 000

9 9

Portanto, existem 11 algarismos na potência resultante.

13 pom9_010_034_u01.indd 13

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Registre no

caderno

aGora É Com VoCÊ 1 Escreva os números a seguir como potências de base 10. 105

c) 10 000

104

d) 0,001

1023

e) 0,1

0,015625

6 Agora resolva os problemas.

f) 100 000 000

10

8

1024

2 Calcule o valor numérico da expressão seguinte. 2

2

5

1

() 2 3

0

29 20

•

base positiva, expoente par: resultado positivo; base positiva, expoente ímpar: resultado positivo; base negativa, expoente par: resultado positivo; base negativa, expoente ímpar: resultado negativo. Observando esses princípios, calcule o valor numérico de cada item a seguir.

• • •

81 2125 2216 2343

e) (25)4 625 f) 235 2243 g) (24)4 256 h) 244 2256

4 Compare os números A e B tais que: A 5 70 000 1 5 000 1 400 1 30 1 8 B 5 7 ? 104 1 5 ? 103 1 4 ? 102 1 3 ? 101 1 1 8 ? 100 Qual deles é maior?

a) Em um papel milimetrado, cada quadradinho tem 0,001 m de medida de lado. Qual é a área desse quadradinho em m2? 0,000001 m2 b) O volume de um cubo é calculado elevando a medida de sua aresta ao cubo. Qual é o volume de um cubo bem pequeno cuja aresta mede 0,2 cm? 0,008 cm3

3 Quando calculamos uma potência com expoente natural, podem ocorrer as seguintes situações:

a) (23)4 b) (25)3 c) (26)3 d) (27)3

20,008

3

106

1021

g) 0,0001

3

Os dois números são iguais.

5 Calcule cada uma das potências seguintes. a) (20,2)3 20,008 b) (20,05)2 0,0025 c) (20,5)4 0,0625

7 Considerando que x21 5 1 , para x  0, x simplifique as expressões a seguir. a)

x21 1 y 21 x 1y

1 xy

b)

x21 2 y 21 y 2x

1 xy

8 Determine o expoente desconhecido em cada uma das igualdades. a) 2x 5 32

x55

b) 12x 5 1

x50

c) 10x 5 0,01 x 5 22 d) 4x 5 1 x 5 21 4 e) 3x 5 1 x 5 23 27 9 Lúcia gosta muito de resolver desafios de Matemática. Seu professor propôs uma situação que deve ser resolvida por meio de potenciação. Ela tem que descobrir a quantidade de algarismos que há no resultado de todas as operações indicadas para o número M, sendo: M 5 21 999 ? 52 000 Depois de muito pensar, Lúcia descobriu a resposta. E você, sabe dizer qual é? 2 000 algarismos

rata

b) 1 000 000

( ) f) ( 1 ) 4 e) 2 1 5

Ronaldo Ba

a) 100 000

d) (20,01)3 20,000001

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Notação científica Nas ciências, de modo geral, é possível analisar grandezas macroscópicas (como a velocidade da luz) e também grandezas microscópicas (como a massa de um elétron).

Ikonstudio/Dreamstime.com

Ssuaphoto/Dreamstime.com

• Velocidade da luz: 299 792 458 metros por segundo. • Massa de um elétron: 0,000000000000000000000000000000911 quilogramas,

A proporção entre as dimensões dos elementos representados na imagem e as cores usadas não são reais.

Modelo atômico composto de prótons, nêutrons e elétrons.

Feixe de luz.

A notação científica possibilita expressar essas grandezas de forma mais simples, por meio de potências de base 10. Assim, evita­‑se a escrita desnecessária de números com muitos algarismos ou daqueles com muitas casas decimais. Um número real N está escrito em notação científica quando estiver na forma N 5 a ? 10k, sendo 1  a  10 e k um número inteiro. Assim, retornando aos exemplos da velocidade da luz e da massa de um elétron, temos:

• a velocidade da luz é aproximadamente 3 ? 108 metros por segundo; • a massa de um elétron é 9,11 ? 10231 quilogramas.

Trabalho em EQUIPE Em dupla, pesquise em livros ou na internet três medidas, em notação científica, utilizadas na Biologia, Física ou Química. Os exemplos devem ser diferentes dos que foram apresentados neste livro. Em seguida, converse com o colega sobre a utilidade da notação científica e, juntos, escrevam um pequeno texto expressando a opinião da dupla sobre o assunto.

Exemplo 1: Escreva o número 0,000000674 em notação científica.

Resolução: Para isso, a vírgula deve ficar posicionada entre os algarismos 6 e 7, ou seja, ela será deslocada 7 casas decimais para a direita. Isso equivale a multiplicar o número por 107. Para não alterar o valor numérico, dividimos por 107. 7 0,000000674 5 0,000000674 ? 107 5 6,74 ? 1 7 5 6,74 ? 1027 10 10

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Exemplo 2:

Tritooth/Dreamstime.com

A massa do planeta Terra é 5 960 000 000 000 000 000 000 000 kg. Vamos expressar essa massa por meio de notação científica.

Representação artística do planeta Terra.

Resolução: Para isso, a grandeza deve ser o produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Assim, posicionamos a vírgula entre os algarismos 5 e 9 deslocando­‑a para a esquerda 24 casas decimais, o que equivale a dividir o número por 1024. Para não alterá-lo, multiplicamos por 1024. 5 960 000 000 000 000 000 000 000 kg 5 5,96 ? 1024 kg.

Exemplo 3:

Objeto educacional digital

Escreva todos os algarismos do número 2,3 ? 1026.

Resolução: Observe que 1026 corresponde a 0,000001 (6 casas decimais). Assim, temos: 2,3 ? 1026 5 2,3 ? 0,000001 5 0,0000023.

Conexões Unidades de medidas no Universo O que é para você uma grande distância? Qual foi a maior distância que você já mediu? Será que em nosso dia a dia estamos acostumados a medir grandes distâncias? O que é uma distância astronômica? As distâncias entre galáxias e estrelas, por exemplo, são muito maiores das que estamos acostumados a medir. Por isso, a fim de simplificar esse processo, foram criadas novas medidas para a Astronomia. Veja-as a seguir. Unidade astronômica (ua): é a distância média entre a Terra e o Sol, ou seja, 1 ua, que equivale a 1,496 ? 1011 m. Ano-luz: é a distância que a luz percorre em 1 ano a aproximadamente 3 ∙ 108 metros por segundo. 1 Utilizando esses dados determine a medida em metros de 1 ano-luz. 8

3  10 m  365 (dias em um ano)  24 (horas em um dia)  60 (minutos em uma hora)  60 (segundos em um minuto)   3  108 m  3,65  102  2,4  10  6  10  6  10  946  1013  9,46  102  1013  9,46  1015 m

2 Você sabia que o céu austral é o céu visível a olho nu, visto do Hemisfério Sul da Terra? Nele pode ser visto a Alfa Centauri B, que além de ser uma das estrelas mais brilhantes do céu austral, é também a mais próxima do nosso Sistema Solar, encontrando-se a apenas 4,3 anos-luz de distância. Determine essa distância em metros utilizando os dados acima. 4,3  9,46  1015 m  4,07  1016 m

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva os números a seguir em notação científica. Número 1·103 1·10

6

1·109 1·1012

Notação científica

1 000 1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000

Número

Notação científica 1·1023

0,001 0,000001 0,000000001 0,000000000001

1·1026 1·1029 1·10212

2 Reescreva as grandezas seguintes em notação científica. a) Diâmetro de um átomo: 0,0000000001 m. 1·10210 m b) Quantidade de moléculas em 1 mol de uma substância qualquer: 602 300 000 000 000 000 000 000. 6,023·1023 c) Distância entre a Terra e o Sol: 149 600 000 km. 1,496·108 km 3 Quantas casas decimais há no resultado de cada potência a seguir? a) 1022

2 casas decimais

b) 1023

3 casas decimais

c) 1027

7 casas decimais

d) 10210 10 casas decimais

4 Escreva em notação científica os números seguintes. a) 152 000 000 1,52 · 108 b) 35 000 3,5 · 104

c) 9 000 000 000 9 · 109 d) 0,000002345 2,345 · 1026

e) 0,009 9 · 1023 f) 0,000000023

2,3 · 1028

5 Os números a seguir estão escritos em notação científica. Reescreva-os evidenciando todos os seus algarismos. a) 7,31 ? 104 73 100 b) 2,05 ? 1024 0,000205

c) 8,9 ? 107 89 000 000 d) 4,03 ? 1026 0,00000403

e) 3 ? 1011 300 000 000 000 f) 5,1 ? 1028 0,000000051

6 A superfície do Brasil, em quilômetros quadrados, é de 8 515 767. Fazendo uma aproximação, podemos dizer que é de cerca de 8 516 000 km2. a) Escreva esse valor aproximado em notação científica. 8,516 · 106 km2 b) Transforme essa medida em metros quadrados, considerando que 1 km2 5 106 m2.

8,516 · 1012 m2

7 Agora resolva os problemas.

8 Sabe-se que a massa do planeta Júpiter é de aproximadamente 1,9 · 1027 kg. Já a massa do Sol é de aproximadamente 1,989 · 1030 kg. O desafio é determinar, por meio de massas aproximadas, o valor pelo qual devemos multiplicar a massa de Júpiter para obter a massa do Sol. Por 1 046,8, aproximadamente.

NASA

Sh Ivan ut co te vla rs d to / ck

a) Antonia estava lendo um livro de 1 600 páginas, com espessura de 4 cm (desconsiderando a capa). Qual é a espessura de cada folha do livro em notação científica? 2,5 · 1023 cm b) Pela manhã, cada aula tem duração de 50 minutos. Em uma manhã, Paula assiste a 5 aulas. Escreva, em notação científica, o tempo, em segundos, correspondente ao total de aulas que ela assiste em uma manhã. 1,5 · 104 segundos

9 Determine: a) a metade de 2198; 2197

b) o triplo de 3100; 3101

c) o quádruplo de 423. 424

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Propriedades da potenciação Destacamos cinco propriedades da potenciação para simplificar o cálculo, que podem ser obtidas pela definição de potenciação com expoentes inteiros. Apresentamos a seguir cada uma delas, bem como alguns exemplos nos quais podemos observar como são utilizadas.

Propriedade 1 O produto de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a base e adicionando os expoentes.

Exemplo 1: 310 ? 34 ? 325 5 310 1 4 1 (25) 5 39

a ?a 5a m

n

m1n

Propriedade 2

Exemplo 2:

O quociente de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a base e subtraindo os expontes. m a m  a n 5 a n 5 a m 2 n (a ≠ 0) a

Propriedade 3 O produto de potências de mesmo expoente é igual à potência que se obtém multiplicando as bases e conservando o expoente. am ? bm 5 (a ? b)m

412 ? 425 5 412 1 (25) 5 424 424 7 5 424 5 47 2 (24) 5 411 4

Exemplo 3: 25 ? 4 5 52 ? 22 5 (5 ? 2)2 5 5 102 5 100

Propriedade 4 O quociente de potências de mesmo expoente é igual à potência que se obtém dividindo as bases e conservando o expoente.

()

m a m  b m 5 am 5 a b b

m

Exemplo 4:

( )

64 5 4 3 5 4 27 33 3

(b  0)

3

Propriedade 5 Uma potência elevada a um dado expoente é igual à potência que se obtém conservando a base e multiplicando os expoentes (potência de potência).

( a m )n

Exemplo 5: 815 5 (34)5 5 34 ? 5 5 320

5 am ? n

18 pom9_010_034_u01.indd 18

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AGORA É COM VOCÊ 1 Reduza cada item a uma só potência, conforme propriedades de potenciação. 22 4 a) 37 ? 38 315 c) (73 ) 712 e) a24 a2 a 8 25 b) 513 525 d) x17 ? x210 x7 f) ( y 24 ) y20 5

6 Responda às questões abaixo. a) Qual é maior: 25 ou 52?

b) Qual é maior: 32 ou ( 32 ) ? 324

4 Calcule o valor numérico da expressão a seguir. 1 131 1 5 2 5 1 25 5

()

5 Simplifique a expressão usando as propriedades de potenciação para reduzi­‑la a uma potência de base igual a 3. 3 2 32 ( 33 ) 27 4 327 813 9 2

4

4

c) Qual é o próximo número da sequência: 1, 5, 25, 125? 625 d) Qual é o próximo número da sequência: 1, 4, 16, 64, 256? 1 024

2 Julgue V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa. a) Na multiplicação de potências de bases iguais, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. F b) Na divisão de potências de bases iguais, conserva-se a base e dividem-se os expoentes. F c) Na multiplicação de potências de bases iguais, conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. V d) Na divisão de potências de bases iguais, conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. F e) Na divisão de potências de bases iguais, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. V f) Um número diferente de zero elevado a zero é o próprio número. F 3 Responda: a) Por quanto devemos multiplicar 27 para que o resultado seja 210? Por 23. b) Por quanto devemos multiplicar 45 para que o resultado seja 420? Por 415. c) Por quanto devemos dividir x20 para que o resultado seja x15? Por x5. d) Por quanto devemos dividir 324 para que o resultado seja 38? Por 3212.

25

7 Para calcular determinadas potências, muitas vezes podemos fazer uma aproximação. Veja o exemplo: 210  103. ­Nessa aproximação, o número 1 024 é substituído por 1 000. Com esse procedimento, podemos fazer algumas estimativas muito interessantes. Utilize essa aproximação para expressar como potência de base 10 as potências seguintes. a) 220

106

b) 450

1030

c) 2120

1036

8 Simplifique a expressão utilizando as propriedades de potenciação para reduzi‑la a uma potência de base igual a x, sendo x  0.

( x3

x

4 2

)

x3

2

( x 2 )4

x

x

4

x224

9 Calcule o valor das expressões numéricas a seguir.

( ) (0,5) b) ( 3 ) ( 23 ) 2 a) 1 2

2

3

1

2

6 275 108

10 Agora resolva os problemas. a) Mateus resolveu calcular 410, porém, descobriu que essa potência podia ser escrita em outra base, de tal maneira que o expoente duplicava. Como isso é possível? Basta escrever como 220. b) A potência 5n 1 3 corresponde a multiplicar a potência 5n por um número inteiro. Descubra qual é esse número. 125

19 pom9_010_034_u01.indd 19

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Você já ouviu falar em inflação? Sabe qual é a previsão de inflação do Brasil para o ano atual? As pessoas que atuam no comércio ficam atentas às mudanças de políticas cambiais, taxas de juro, impostos e, principalmente, a informações sobre a inflação. Normalmente, os órgãos responsáveis por essa área importante divulgam os índices econômicos. Esses índices são utilizados para determinar, por exemplo, o aumento no preço do aluguel de uma casa, o aumento no preço dos alimentos e também para se chegar aos percentuais que determinarão o aumento (anual) a ser aplicado no salário. O conjunto desses aumentos ocorridos durante o ano gera a inflação.

Imagelab/Shutterstock

caderno

Matemática e Cidadania

Vamos imaginar que em determinado país a inflação tenha sido de 1% no primeiro mês do ano e de 2% no segundo mês. Ao final desses dois meses, qual foi a inflação acumulada? Essa é uma pergunta que os profissionais do mercado financeiro podem responder de forma imediata: a inflação acumulada nesses dois meses foi de 3,02%. Você deve estar se perguntando por que esse valor não foi igual a 3%. Não basta simplesmente somar os índices dos dois meses? Para compreender como chegamos ao valor de 3,02%, considere que no início do mês de janeiro determinada mercadoria tinha o preço P. Assim, reajustando esse valor conforme as inflações mencionadas, temos:

• Fim de janeiro:

• Fim de fevereiro:

P 1 0,01 ? P 5 P ? (1 1 0,01) 5 P ? 1,01 P ? 1,01 1 0,02 ? (P ? 1,01) 5 P ? 1,01 ? (1 1 0,02) 5 O novo preço é 1% maior que o anterior. 5 P ? 1,0302 O novo preço é 3,02% maior que o inicial. Há uma situação interessante relacionada a uma taxa de inflação fixa ao longo de todos os meses do ano. Imagine que a cada mês a inflação seja de 1%. Como podemos determinar a inflação acumulada nos 12 meses? A resposta é o resultado de uma potenciação. Observe que a cada mês o preço inicial de determinado produto, ou o valor que estamos usando como referência, é multiplicado por 1,01 (100% mais 1%). Assim, obtemos: P ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) ? (1,01) 5 P ? (1,01)  

12

12

Com uma calculadora podemos determinar o valor seguinte: (1,01)12  1,1268 Ou seja, a inflação acumulada em 12 meses será de 12,68%.

• Pesquise qual foi a inflação acumulada no último ano no Brasil. Resposta conforme a pesquisa. foi fixada em 1%. • Calcule a inflação acumulada em um semestre considerando que a inflação mensal Aproximadamente 6,15%. foi fixada em 2%? • Qual é a inflação acumulada em um ano em que a inflação mensal Aproximadamente 26,8%. 20 pom9_010_034_u01.indd 20

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Capítulo 2

Radiciação Setup

No cálculo de área de figuras geométricas planas, uma das unidades que utilizamos é o metro quadrado, que deve ser compreendido como um quadrado de lado medindo 1 metro. Se, entretanto, conhecemos a área de um quadrado e desejamos calcular a medida do lado, utilizamos a raiz quadrada. Assim, a raiz quadrada representa a medida do lado do quadrado. Para exemplificar, se o quadrado tem lado medindo l e sua área é igual a A, temos: Cálculo da área do quadrado: A 5 l2 

Cálculo do lado do quadrado:   

Vitaly Korovin/Shutterstock

A

A raiz quadrada

Com uma calculadora, podemos determinar raízes quadradas de números reais que não sejam negativos. Para tanto, digitamos o número e escolhemos a tecla raiz quadrada, destacada na figura ao lado. Em algumas calculadoras, primeiro pressionamos a tecla raiz quadrada para então digitarmos o número do qual desejamos obter a raiz. Neste capítulo, além de retomarmos o trabalho com a raiz quadrada, ampliaremos o estudo considerando a raiz cúbica e a relação existente entre radiciação e potenciação.

Raiz quadrada a 5 b, se e somente se b2 5 a a e b números reais e não negativos

Exemplos: • •

•

196 5 14, pois 14 2 5 196

27,04 5 5,2, pois 5,22 5 27,04

1369 5 37, pois 372 5 1369

Você já deve ter observado que, ao calcularmos a raiz quadrada de um número real não negativo, algumas vezes encontramos as raízes exatas. Quando isso ocorre, dizemos que o número que admite a raiz exata é um quadrado perfeito. Observe na tabela a seguir alguns quadrados perfeitos. Raiz exata Quadrado perfeito

0 50 0

1 51 1

4 52 4

9 53 9

16 5 4 16

25 5 5 25

36 5 6 36

49 5 7 49

… …

21 pom9_010_034_u01.indd 21

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Setup

E quando a raiz não é exata?

1

Podemos usar a calculadora ou fazer aproximações. Um exemplo bem interessante de raiz quadrada que não é exata é o cálculo do lado l, do quadrado de área 2. Observe, na figura, que o lado do quadrado tracejado mede 1 unidade e a área também é unitária. Já a área do quadrado maior é o dobro da área do quadrado menor.

Área  1 1

Área  2





Como a área do quadrado maior é igual a 2, a medida do lado l será representada por

2 , pois ( 2 ) 552.2. 22

Quanto ao valor correspondente à raiz quadrada de 2, podemos obter somente aproximações. Observe que precisamos de um número que elevado ao quadrado resulte em 2:

1² 5 1

1,4² 5 1,96

1,41² 5 1,9881

1,414² 5 1,999396

...

2² 5 4

1,5² 5 2,25

1,42² 5 2,0164

1,415² 5 2,002225

...

1,

2 ,2

1,4 ,

2 , 1,5

1,41 ,

2 , 1,42

1,414 ,

2 , 1,415

...

Dessa forma, vimos que a raiz quadrada de 2 está entre 1,414 e 1,415. Temos assim uma aproximação, mas podemos continuar esse processo indefinidamente, pois 2 é igual a um número decimal, infinito e não periódico. Raiz enésima Temos que considerar dois casos: Índice par: n

a 5 b, se e somente se bn 5 a; a e b números reais não negativos, n número natural maior que 1.

Exemplo: 4

81 5 3, pois 34 5 81 Índice ímpar: n

a 5 b, se e somente se bn 5 a; a e b números reais, n número natural maior que 1.

Exemplos: 5

232 5 22, pois (22)5 5 232

Observação: Sendo a um número real não negativo tem-se que  a 2 5 a Assim, no exemplo: ( 2 4)2  2 4, pois

( 2 4)2 5

16 5 4

22 pom9_010_034_u01.indd 22

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Potência com expoente racional e raiz cúbica Existe uma relação entre a potenciação e a radiciação que nos possibilita ampliar o conhecimento dessas duas operações. A radiciação pode ser compreendida como uma potência, entretanto, com o expoente não inteiro. Vamos observar isso iniciando pela raiz quadrada. Qualquer raiz quadrada de um número não negativo é uma potência de expoente 1 , ou seja: 2 1 2 a 5 a (a  0) Uma maneira de compreender essa relação é por meio das propriedades de potenciação, que vimos anteriormente, porém com expoentes não inteiros. Observe o exemplo. 3 5 3 5 3 1

1 1 1 2 2

5 3

1 ?2 2

5 (3 ) 1 2

2

5

(

3)

2

Esse fato permite ampliar a ideia de raiz, obtendo também outras raízes de índices diferentes de 2, como a seguir. Sendo a um número real não negativo, m um número natural maior que 0 e n, um número natural maior que 1, define-se: m

an 5

am

n

Observação: m for uma fração irredutível de denominador ímpar, podemos n 1 ter a negativo. Observe: (232) 5 5 5 232 5 22 .

VV Se

Exemplo 1: 1

• 8 3

1

5 ( 23 ) 3 5 2 1

• 625 4

5

4

3? 1 3

6251 5

4

1

5 21 5 2 ou 8 3 5 1

3

81 5

3

8 52

1

625 5 5 ou 625 4 5 (54 ) 4 5 5

4? 1 4

5 51 5 5

Observação: VV A raiz cúbica de um número positivo pode ser interpretada geometricamente

como o cálculo da medida da aresta de um cubo, conhecendo-se seu volume.

Setup

Exemplo 2: x

Obtenha a medida da aresta de um cubo de volume igual a 8 cm3. Resolução: Cálculo da medida da aresta: x 5

x x

3

8 5 2

Portanto, a aresta mede 2 cm.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Usando uma calculadora, verifique entre quais números inteiros e consecutivos está cada uma das raízes quadradas seguintes. a) 10 b) 15

c) 21 d) 45

Entre 3 e 4. Entre 3 e 4.

e) 90 f) 97

Entre 4 e 5. Entre 6 e 7.

2 Se o lado de um quadrado mede

g) 500

Entre 9 e 10.

Entre 22 e 23.

Entre 9 e 10.

3 cm, determine:

a) a medida do perímetro desse quadrado; b) a área desse quadrado. 3 cm2

4 3 cm

3 Determine, em cada equação a seguir, o valor de x. a) x2 5 16 x 5 4 ou x 5 24 b) x2 5 100 x 5 10 ou x 5 210

c) x2 5 256 x 5 16 ou x 5 216 d) x2 5 5 x 5 5 ou x 5 2 5

e) x2 5 7

x5

7 ou x 5 2 7

4 Utilize uma calculadora e, com aproximação de três casas decimais, obtenha os valores de x e de y, sendo: 64 1 144 e y

x 5

64

144

Depois, responda: Esses valores são iguais?

Não. Os valores são diferentes: x é aproximadamente 14,422 e y 5 20.

5 Determine os valores de x e de y, sendo: x 5 64 ? 144 e y 5 64 ? 144 Depois, responda: Esses valores são iguais?

Os valores são iguais: x 5 96 e y 5 96.

6 Escreva na forma de radical cada número a seguir. 1

a) 7 3

1

3

b) 5 2

7

1

2

5

c) 10 4

2

d) 7 3

10

4

2

3

72

e) 115

1

5

f) 2 3

112

3

2

7 Escreva na forma de potência as raízes seguintes. a) 12

1

12 2

b) 2

1

22

c) 16

8 Determine o valor da expressão

3

1

d) 3 3

16 2

1000 100

1

121 1

1

33 3

4096 .

e) 0,1

1

f)

0,12

3

1

4

43

16

9 A figura ao lado representa um cubo de aresta medindo x cm. Sabendo-se que o volume desse cubo é igual a 64 cm3, determine: a) a medida indicada pela letra x; x 5 4 cm b) a área de cada uma das seis faces do cubo.

x

x x

16 cm2

10 Calcule cada uma das raízes seguintes. 1 12

c) 0,01

b) 169 25

13 5

d) 0,0625

e) 3

0,1

1 1000

1 10

0,25

11 Sabe-se que o volume V de um cubo é calculado pela relação V 5 x3, em que x representa a medida de cada aresta. Para duplicar o volume de um cubo, por quanto devemos multiplicar a medida x de sua aresta? Devemos multiplicar por 3 2 .

x

Ilustrações: Setup

1 144

a)

x x

24 pom9_010_034_u01.indd 24

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Simplificação com radicais A interpretação de radicais como potências de expoentes fracionários possibilita-nos efetuar simplificações e operações com radicais por meio das propriedades da potenciação, que vimos anteriormente. Ao dividirmos ou multiplicarmos o índice e o expoente de um radical por um mesmo número, o resultado não se altera. Em símbolos: n

am 5 n ? x am ? x

Para:

• a número real não negativo. • m número natural maior que 0. • n número natural maior que 1. • x número natural maior que 0.

Exemplos: • 6 64 • 8 625

5

6

5

• 15 710

26 5 2 8

54 5

2

51 5

5

3

72 5

3

49

5

Observação: VV Essa propriedade de simplificação permite extrair ou mesmo simplificar radicais fatorando o radicando.

A raiz de um produto com dois ou mais fatores é igual ao produto das raízes desses fatores. Em símbolos: n

a ?b 5

n

a ?

n

b

Observações: VV Essa propriedade pode ser justificada por uma propriedade da potenciação. n

1

1

1

a ? b 5 (a ? b) n 5 a n ? b n 5

n

a ?

n

b

VV No caso de índice n par, os radicandos devem ser não negativos, isto é, a  0 e b  0.

Exemplos: •

200 5

• 3 216 • • 3

5

48 5 10 5

100 ? 2 5 3

23 ? 33 5

24 ? 3 5 9 ?

100 ? 3

23 ?

24 ?

10 5

3

2 5 10 ?

2 5 10 2

33 5 2 ? 3 5 6

3 5 22 ?

9 ? 10 5

3 5 4?

3 54 3

90

25 pom9_010_034_u01.indd 25

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caderno

aGora É Com VoCÊ

1 Calcule as raízes fazendo a decomposição dos radicandos e utilizando as propriedades da radiciação. a) b)

3

196 125

c) d)

14 5

4

576 625

24 5

2 Simplifique cada radical pela fatoração do radicando. a)

200

10 2

e)

90

3 10

b)

700

10 7

f)

72

6 2

c)

180 27

6 5

g)

40

2 10

h)

45

3 5

d)

3 3

3 Considerando a aproximação pressão numérica.

2  1,41, determine um valor aproximado para cada ex-

a) 4 2

5,64

c)

32

5,64

b)

4,23

d)

98

9,87

18

4 Considerando a aproximação pressão numérica A.

3  1,73, determine um valor aproximado para cada ex-

a)

12

3,46

c)

75

8,65

b)

27

5,19

d)

48

6,92

5 Desenvolva os itens a seguir, conforme o modelo. 10 5 5 100 ?

5 5 100 ? 5 5 500

a) 2 5

20

e) 3 2

18

b) 4 2

32

f) 4 5

80

c) 7 2

98

g) 2 6

24

d) 10 7

700

h) 2 3 2

3

16

Ronaldo Barata

6 O professor de Matemática começou a aula passando um desafio na lousa para saber qual dos dois números escritos na forma de radical era maior. Nenhum aluno resolveu de imediato o desafio. No final da aula, porém, Mateus apresentou uma solução afirmando que 3 3 é o maior dos dois números. Você concorda? Justifique. O maior desses números é 3 3 . Para verificar, basta transformar os dois radicais no índice 12 (índice comum) e comparar os radicandos correspondentes.

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Capítulo 3

Cálculo com radicais

Quando não dispomos de calculadoras científicas ou de ferramentas computacionais, conhecer as operações que envolvem radicais pode ser bastante útil. Assim, neste capítulo, veremos como efetuar adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e também radiciação com radicais.

DAE

Nos computadores, podemos encontrar modelos diferentes de calculadoras. As calculadoras mais simples não permitem obter, por exemplo, raiz cúbica ou qualquer outra raiz com índice maior que 3. Ao fazer a opção por uma calculadora científica, o computador apresenta o modelo ao lado.

3

x

y

x

Adição e subtração Setup

Considere, por exemplo, que um retângulo tem as medidas de seus lados representadas por números irracionais expressos na forma de radical, como na figura a seguir. Como podemos representar seu perímetro?

(2 3  1) cm

(4 3  2) cm

Sabemos que o perímetro é a medida do contorno da figura. Assim, indicando o perímetro por P, temos: P 5 ( 4 3 1 2) 1 ( 4 3 1 2) 1 ( 2 3 1 1 ) 1 ( 2 3 1 1 )

Essa operação é uma adição envolvendo radicais. Se usarmos uma calculadora, podemos obter uma aproximação para 3 e, dessa forma, determinar o perímetro do retângulo.

• Usando a aproximação P P P P

3  1,73:

5 ( 4 3 1 2) 1 ( 4 3 1 2) 1 ( 2 3 1 1 ) 1 ( 2 3 1 1 )  ( 4 ? 1,73 1 2) 1 ( 4 ? 1,73 1 2) 1 ( 2 ? 1,73 1 1 ) 1 ( 2 ? 1,73 1 1 )  8,92 1 8,92 1 4,46 1 4,46  26,76

Outro procedimento é a simplificação de radicais por meio de adição e subtração. Nesse caso, temos de usar a mesma estratégia da adição de expressões algébricas semelhantes. Observe os exemplos.

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Exemplos: Efetue as operações indicadas fazendo a redução de termos semelhantes.

Resolução:

• 4xy 2 7xy 1 10xy 5 (4 2 7 1 10)xy 5 7xy • 5m 1 2n 2 10m 2 8n 5 (5m 2 10m) 1 (2n 2 8n) 5 25m 2 6n Da mesma forma, também podemos efetuar a adição ou a subtração com radicais. Entretanto, os radicais devem ser semelhantes. Dois ou mais radicais são semelhantes se tiverem o mesmo índice e também o mesmo radicando. Note que no exemplo do perímetro do retângulo os radicais apresentados são semelhantes. Assim, temos:

P P P P

5 5 5 5

(4 (4

3 1 2) 1 ( 4 3 1 2) 1 ( 2 3 1 1 ) 1 ( 2 3 1 1 ) 3 1 4 3 1 2 3 1 2 3 ) 1 (2 1 2 1 1 1 1) ( 4 1 4 1 2 1 2) ? 3 1 6 12 3 1 6

Observações: VV Quando os radicais não puderem ser reduzidos a radicais semelhantes, apenas indicamos a adição ou a subtração.

Exemplo:

5 1

2.

VV Algumas vezes os radicais não são semelhantes, porém, podem ser reduzidos a radicais semelhantes.

Exemplo 1: Efetue as operações indicadas.

Resolução: 4 5 5 5

18 2 3 32 1 6 2 5 4 32 ? 2 2 3 24 ? 2 1 6 2 5 4?3? 2 2 3?4? 2 1 6 2 5 12 2 2 12 2 1 6 2 5 12 2 12 1 6 2 5 6 2

(

)

Exemplo 2: Efetue as adições e subtrações indicadas.

Resolução: 500 1 7 200 2 20 2 7 8 5 5 100 ? 5 1 7 100 ? 2 2 4 ? 5 2 7 4 ? 2 5 5 10 5 1 7 ? 10 2 2 2 5 2 7 ? 2 2 5 5 10 5 1 70 2 2 2 5 2 14 2 5 5 (10 2 2) 5 1 (70 2 14) 2 5 radicais não semelhantes 5 8 5 1 56 2

Um procedimento diferente da decomposição em fatores primos é encontrar um dos fatores que seja um quadrado perfeito.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule os resultados das expressões numéricas. a) 81 1

64 1 100

27

d) 64 2 144 1

256

b) 36 2

400 1 16

210

e) 169 2

36

c) 3 64 1

3

27 1

3

8 131

81 1

f) 2 3 64 2 3 3 27

10

12 10

21

2 Reduzindo os radicais semelhantes, simplifique as expressões seguintes com radicais. a) 4 3 2 7 3 1 9 3 2

3

5 3

b) 10 5 2 2 5 1 16 5 2 4 5

20 5

c) 4 3 2 1 12 3 2 2 8 3 2 1 2 3 2

10 3 2

d) 6 3 10 2 2 3 10 2 3 3 10 1 3 10

2 3 10

e) 6 3 5 1 113 5 2 2 3 5 1 9 3 5

24 3 5

f)

30 3 2

3

2 2 2 3 2 2 13 3 2 1 44 3 2

3 Fatore o radicando extraindo dele algum número que seja quadrado perfeito, como no exemplo. 72 5

36 ? 2 5 6 2

a) 98

b) 288

7 2

12 2

c) 128

d) 800

8 2

20 2

4 Calcule as expressões com radicais procurando reduzi­‑las inicialmente a radicais semelhantes. a) 4 32 2 20 8 1 3 50

c) 98 1 5 147

29 2

b) 2 20 2 9 45 1 3 605

d) 3 2 2 27 1

10 5

7 2 1 35 3

363

6 3

5 Obtenha o perímetro de um retângulo considerando que a medida de um dos lados é (3 1 6 2 ) cm e a medida do outro lado é 18 cm. (6 1 18 2 ) cm 6 Simplifique as expressões, reduzindo a radicais semelhantes, quando possível. a) 12 1 18 2

48 2

50

22 3 2 2 2

b) 20 1

5 2

3

3 5 2

3

7 Determine o perímetro da figura a seguir. (6 2 1 3 1 )144 cm cm

(

2 cm D

2 1 3 ) cm

A

(

DAE

E

8 1 2) cm

2 cm

B

(

2 1 2) cm

C

29 pom9_010_034_u01.indd 29

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Multiplicação e divisão

Uma das propriedades que vimos no final do Capítulo 2 abordava o produto de dois radicais. Embora, na prática, geralmente trabalhemos com raiz quadrada e, algumas vezes, raiz cúbica, essa propriedade pode ser ampliada para qualquer índice natural maior que 2.

Exemplo 1: Vamos calcular o produto:

5

32 ?

1 024

5

Resolução: Uma maneira é calcular cada uma das raízes e, somente então, multiplicar os resultados: 5

32 ?

5

1 024 5

5

25 ?

5

210 5 2 ? 22 5 8

 utro procedimento é apropriar-se do fato de que "o produto de duas raízes de mesmo ínO dice é igual à raiz do produto": 5 32 ? 5 1 024 5 5 32 ? 1 024 5 5 32 768 5 5 215 5 23 5 8 Esse procedimento constitui uma propriedade:

Observações:

Para multiplicar dois radicais de mesmo índice, conservamos o índice e multiplicamos os radicandos. Em símbolos: n

a ?

n

b 5

n

a ?b

VV Se o índice for par, os radicandos devem ser não negativos. VV Se os índices forem diferentes, primeiramente podemos reduzi-

-los a índices iguais, para então empregarmos a propriedade.

 

Exemplo 2:

Utilizando a propriedade do produto de dois radicais, reduza a um só radical o produto 3 ⋅

5

2.

Resolução: Como os índices são 2 e 5, reduzimos ao índice 10 (10 é múltiplo de 2 e de 5): 3 ?

5

2 5

2?5

31 ? 5 ?

5?2

21 ? 2 5

10

35 ? 22

Além da propriedade para a multiplicação de radicais, há também uma propriedade para a divisão. Dizemos que o “quociente de dois radicais é o radical do quociente”.

Exemplo 3: Escreva o resultado de

45 . 5

Resolução: Podemos escrever:

45 5 5

45 5 5

9 5 3.

Observações: Para dividir dois radicais de mesmo índice, conservamos o índice e dividimos os radicandos. Em símbolos: n n

a 5 b

n

a b

VV Se o índice for par, os radicandos devem ser não negativos. VV Algumas vezes, a eliminação do radical do denominador pode

(b  0)  

facilitar os cálculos com radicais. Esse procedimento é chamado de racionalização dos denominadores. Quando o denominador é a raiz quadrada de um número positivo, multiplicamos o numerador e o denominador pelo radical que está no denominador. Esse radical é chamado de fator de racionalização.

30 pom9_010_034_u01.indd 30

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Exemplos: Racionalize os denominadores das expressões a seguir. 3 5 3

•

3 5 3 3 5 3 3

3 ? 3

5 5 5 ? 2 2 2 2

•

3

2 5 10 5 2⋅2 2

10 4

Potenciação e radiciação Vimos, no início desta unidade, que a radiciação pode ser interpretada como potenciação com expoente não inteiro. Nos tópicos anteriores aprendemos a efetuar adição, subtração, multiplicação e divisão com radicais. Agora, veremos como efetuar, por exemplo:

(

5)

10

4 3

2

5 ?

potência de raiz

5 ?

raiz de raiz

As duas questões podem ser explicadas pela definição de raiz como potência de expoente racional. Considerando inicialmente esses dois exemplos, observe as duas maneiras que podemos usar para realizar os cálculos.

• 1ª maneira: utilizando a propriedade do produto de radicais.

(

5)

5

5 ?

(

5)

5

5?5?5?5?5?5?5?5?5?5

(

5)

5

510

(

5)

5 55 5 3 125

10

10

10

10

5 ?

5 ?

5 ?

5 ?

5 ?

5 ?

5 ?

5 ?

5

O expoente 10 do radical tornou-se expoente do radicando.

• 2ª maneira: utilizando a definição, vista anteriormente, de radiciação como potência de expoente racional.

(

((5 5) ) ⇒ (((555)) ) ⇒ 5((55 )) ⇒⇒( 55( ) 5 )⇒ 5(

5)

1 2

10

10 10

1 2

10 1010

1 2

1 10

10 10

1 2

2

10 10

10

5

⇒ 5(5 5 ) 3125 55 552 ) 3125 1

10 10

10

3125

Para n natural maior ou igual a 1 e m um expoente inteiro, vale a relação:

(

n

a) 5 m

n

am

Para calcularmos a raiz de raiz, observe que a explicação segue a propriedade de potência de potência. Assim, ao resolver o segundo exemplo, temos: 1 4

1

1

11 1

 1 11 131 4  1 13  4 1  11 131113 1344 4 1 1 1 1 1 1 11 111 ⋅ 111 ⋅ 1 11 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 24⋅ ⋅ 5 ⋅ ⋅ 6 5 24   24 4 3 44 334⇒ 24 ⇒  442332 22  24⇒ 2⇒ 5  24424 32334 3422 ⇒ ⇒ ⇒ 2  224 ⇒2 ⇒ ⇒42⇒3244⇒33342 344223 ⇒22⇒ ⇒24⇒424 334 3 22 2  2224242 2 2  2 2323 43424 34⇒  2324 2232322 242⇒ 2  3 24 54  2225 224223  2424 2 22

( )

( )

( () )

Nesse caso, a raiz da raiz é efetuada multiplicando-se os índices dos radicais. Para m e n números inteiros positivos, vale a relação: m n

a 5 m ?n a

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Registre no

caderno

aGora É Com VoCÊ

1 Efetue as multiplicações reduzindo o resultado a um só radical e simplificando-o quando possível. a) 4 2 ? b)

5

3 ?

8

4 10

c)

6 ? 10

24 5 2 6

d)

8 ?

e)

60 5 2 15

2

f)

4

5 ? 125 3

3 ?

3

9

25 3

2 Efetue as divisões escrevendo o resultado em um só radical. 12 3

a)

b)

4 52

28 7

32 2

c)

4 52

6 216

d)

16 5 4

1 36

5

1 6

3 Racionalize os denominadores das frações seguintes. a)

1 5

b) 3 3

5 5

1 2 2

c)

3

2 4

d)

9 2 7

9 7 14

4 Faça uso da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou subtração) para obter os produtos e indique a resposta na forma mais simples possível. a) 2 ? ( 3 1 b) 4 3 ?

(

2)

3 1

2 3 12

c) 2 5 ? (1 2

2)

d) 6 2 ?

12 1 4 6

(

5)

2 5 2 10

3)

2 2

12 2 6 6

5 Calcule as potências seguintes.

( 2) b) ( 4 ) a)

6

3

2

3

( 7) d) ( 5 )

4

c)

4

6

23 2

49

e)

125

f)

( 6) ( 10 )

22

1 6

24

1 100

6 O volume de um cubo é calculado elevando a medida de sua aresta ao cubo. Assim, determine o volume do cubo cuja medida da aresta é: a) 5 cm

b)

125 cm3

5 cm

c)

5 5 cm3

3

5 cm

5 cm3

7 Reescreva cada expressão numérica a seguir usando apenas um radical. a)

5

4

b)

5

3

2

12

c)

2

8 Escreva a expressão 2 3 com um só radical. 9 Escreva a expressão

(

2 1

4 3

4

7

24

d)

7

10

16

10

12

3 ) desenvolvendo o quadrado do binômio. 2

10 Determine o valor da expressão ( 3 3 2

2 ) 1 (3 3 1

2) .

58

11 Determine o valor da expressão (5 2 2

5 ) 1 (5 2 1

5) .

110

12 Determine o volume da figura a seguir.

(20

2

2

512 6

2

2

)

3 2 30 cm3

5 3 cm

DAE

( (

3 2 1 ) cm

3 2 1 ) cm

32 pom9_010_034_u01.indd 32

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teCla_matemátICa Raízes na calculadora Fotos: Edson Antunes

Utilizando a calculadora científica de um computador (figura abaixo), podemos notar que existem algumas funções para o cálculo de raízes, como mostra a figura a seguir:

Para encontrar a calculadora científica, é só clicar em Exibir e selecionar a opção “Científica”.

A tecla

significa “raiz em qualquer índice y de um valor x”, e a tecla

“raiz cúbica de um valor x”. A outra tecla destacada (

significa

), que representa a raiz quadrada,

é facilmente encontrada numa calculadora comum. Para extrair uma raiz quadrada utilizando essa calculadora, basta digitar o número que você quer extrair seguido da tecla correspondente à raiz quadrada. Se quisermos obter a raiz quadrada de 12, apertamos as teclas

e imediatamente teremos o resul-

tado com um número considerável de casas decimais. O valor mostrado na calculadora pode ser arredondado para 3,46, com apenas duas casas decimais.

Resultado de

12 .

33 pom9_010_034_u01.indd 33

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Para obter uma raiz cúbica, realizamos o mesmo procedimento, mas temos de utilizar o botão que simboliza a raiz cúbica:

e obtemos o resultado 2. Veja na figura: Fotos: Edson Antunes

Na calculadora, digitamos

.

3

8 5 2.

Mas, e se quisermos obter, por exemplo, a raiz quíntupla de 84 ( 5 84 )? Para isso, utilizamos o botão

. A letra y indica o índice da raiz. Para resolver essa questão, basta

digitar

, nessa ordem, e em seguida apertar a tecla

, que corresponde

ao índice da raiz que queremos saber. Repare que iniciamos a digitação pelo valor de x (84) e terminamos pelo valor de y (5). O resultado será:

Podemos escrever esse número com apenas duas casas decimais e fazendo uma aproximação: 2,43.

34 pom9_010_034_u01.indd 34

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Capítulo 4

Cálculo algébrico A Professor, nesta unidade, retomaremos o estudo de expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas. Esse conhecimento possibilita melhor desempenho quando da ampliação algébrica no estudo de equações do 2o grau e também de funções, ainda neste volume.

B

a

a2

ab

b

ab

b2

a

b

D

Setup

Algumas vezes, fatos algébricos podem ser justificados por relações geométricas e, reciprocamente, ideias ou conceitos geométricos são mais bem compreendidos quando apoiados na Álgebra.

C

Um exemplo é o cálculo da área do quadrilátero ABCD: podemos representá-lo por meio de expressões algébricas. Da mesma forma, o resultado algébrico denominado “quadrado de uma soma” é compreendido facilmente quando associado ao cálculo da área do quadrado. Neste capítulo recordaremos os três casos de produtos notáveis e ampliaremos esse conhecimento com o estudo do cubo de uma soma e também de uma diferença.

Os três casos de produtos notáveis No volume anterior desta coleção, estudamos três casos importantes relacionados às operações algébricas, conhecidos como produtos notáveis. O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Em símbolos: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2

Observações: VV Algebricamente, podemos obter esse resultado como mostrado a seguir:

(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) (a 1 b)2 5 a(a 1 b) 1 b(a 1 b) (a 1 b)2 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2 ⇒ (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 VV O polinômio a2 1 2ab 1 b2 é denominado trinômio quadrado perfeito, pois representa o quadrado do

binômio (a 1 b). VV Podemos dizer que (a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) representa a forma fatorada do trinômio a2 1 2ab 1 b2.

35 pom9_035_051_u01.indd 35

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Exemplos: • (3x 1 1)2 5 (3x)2 1 2 ? 3x ? 1 1 12 5 9x 2 1 6x 1 1 • (4y 1 5)2 5 (4y)2 1 2 ? 4y ? 5 1 52 5 16y 2 1 40y 1 25 •  m 1

2 2 

2

5 m2 1 2 ? m ?

2 1 2  2  2

2

5 m2 1

2m 1 1 2

O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Em símbolos: (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2

Observações: VV Veja outra maneira de obter esse resultado:

(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) (a 2 b)2 5 a(a 2 b) 2 b(a 2 b) (a 2 b)2 5 a2 2 ab 2 ba 1 b2 ⇒ (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2 VV O polinômio a2 2 2ab 1 b2 é denominado trinômio quadrado perfeito, pois representa o quadrado do

binômio (a 2 b). VV Podemos dizer que (a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) representa a forma fatorada do trinômio a2 2 2ab 1 b2.

Exemplos: • (2x 2 3)2 5 (2x)2 2 2 ? 2x ? 3 1 32 5 4x 2 2 12x 1 9 • (3y 2 5)2 5 (3y)2 2 2 ? 3y ? 5 1 52 5 9y 2 2 30y 1 25 •

(

3 2 x 3

)

2

5 ( 3 )2 2 2 ?

( ) 5 3 2 2 33 x 1 x9

3 ? x 1 x 3 3

2

2

O produto da soma de dois termos pela diferença desses dois termos é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Em símbolos: (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2

Exemplos:

Observações:

• (4x 1 1)(4x 2 1) 5 (4x)2 2 12 5 16x 2 2 1 • (9y 1 2)(9y 2 2) 5 (9y)2 2 22 5 81y 2 2 4 • ( 2m

)  ( 2m 1 55 ) 5 5 2m 2( 5 (2m ) 2 ) 5 4m 2 51 5 5 5

2

2

2

2

VV Algebricamente, podemos obter esse

resultado como demonstrado a seguir: (a 1 b)(a 2 b) 5 a(a 2 b) 1 b(a 2 b) (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ba 2 b2 (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2 VV Podemos dizer que (a 1 b)(a 2 b)

representa a forma fatorada de a2 2 b2.

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Importante! V O produto da soma pela diferença de dois termos pode ser utilizado

para racionalizar o denominador de frações que apresentam radicais. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Racionalize o denominador da fração

2 . 31 2

Resolução: Para eliminar o radical do denominador, utilizaremos o fator de racionalização 3 2 Para tanto, multiplicamos o numerador e o denominador da fração dada. 2 3

(3 (3

2 2

(3

2)

2) 2)

2) 2(3 32 ( 2 )2

6

2.

2 2 7

Exemplo 2: Racionalize o denominador da fração 3 2 2 3 . 312 3

Resolução: Para eliminar o radical do denominador, utilizaremos o fator de racionalização 3 2 2 3 . Para tanto, multiplicamos o numerador e o denominador da fração dada. 3 3

2 3 2 3 9

(3 (3

12 3 12 9 12

2 3) 2 3) 21

(3 3 (3

32

2 3) 2 3)

12 3 3

7

2 3 2 3 (2 3 )2 2 2 3 (2 3 ) 4 3

Até o momento já aprendemos que podemos calcular o quadrado de uma soma e o quadrado de uma diferença. Esses resultados, como vimos em alguns exemplos, podem ser explorados para o desenvolvimento de habilidades de cálculo mental com operações numéricas.

Ilustra Cartoon

Conexões

Embora tenhamos, geralmente, a oportunidade de efetuar cálculos com o auxílio de uma calculadora, muitas vezes nos encontramos em situações que requerem resposta imediata por meio de uma ou mais das operações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

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Uma estratégia usada por algumas pessoas é o cálculo por estimativas. Nesse caso, os resultados são aproximados e apropriados para fornecer uma ideia da ordem de grandeza que a situação exige. Outras pessoas, sem escrever os numerais e sem fazer aproximações, realizam determinadas operações rapidamente. A seguir, observe algumas estratégias que você pode utilizar.

• Qual é o resultado de 32 ? 74? Estamos acostumados a colocar um número abaixo do outro e multiplicá-los. Entretanto, observe que, se utilizarmos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, podemos escrever um número ao lado do outro de tal maneira que cada fator seja decomposto como uma dezena exata mais as unidades correspondentes. Resolvendo o exemplo, temos: 32 ? 74 5 (30 1 2)(70 1 4) 32 ? 74 5 30 ? 70 1 30 ? 4 1 2 ? 70 1 2 ? 4 32 ? 74 5 2 100 1 120 1 140 1 8 32 ? 74 5 2 368 Observe que não fizemos cálculo mental. Apesar disso, a forma de decompor os fatores dos produtos nos possibilita desenvolver habilidades às quais não precisaríamos escrever os números.

• Qual é o resultado de 97 ? 2

Nessa operação, o recomendável é usar um produto notável. Para facilitar, podemos expressar o número 97 como 100 2 3. Em seguida, utilizamos o quadrado de uma diferença: 972 5 (100 2 3)2 972 5 1002 2 2 ? 100 ? 3 1 32 972 5 10 000 2 600 1 9 972 5 9 409 Esse mesmo procedimento pode ser usado no cálculo de cubos de números naturais.

• Qual é o resultado de 995 ? 1 005? Nessa operação, observe que os dois fatores são números igualmente afastados do número 1 000. Um deles é 5 unidades a menos enquanto o outro é 5 unidades a mais. Aqui, o procedimento que auxilia na obtenção rápida do produto solicitado é a diferença de dois quadrados. 995 ? 1 005 5 (1 000 2 5)(1 000 1 5) 995 ? 1 005 5 1 0002 2 52 995 ? 1 005 5 1 000 000 2 25 995 ? 1 005 5 999 975 Lembre-se de que o desenvolvimento do cálculo mental se constrói aos poucos. Assim, antes de realizar uma operação qualquer, tenha o hábito de fazer uma estimativa do resultado. Pense em um procedimento a ser utilizado no cálculo. Somente assim, praticando, adquirimos habilidades de cálculo. Pesquise alguns procedimentos de cálculo mental. Descubra um exemplo bem interessante e pessoal. Oriente os alunos a realizarem uma pesquisa na internet sobre socialize com a turma. Resposta um exemplo interessante de cálculo mental envolvendo produtos notáveis.

38 pom9_035_051_u01.indd 38

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 C  alcule o quadrado das somas de dois termos a seguir: a) (2 1

3)

2

2 2

c) (2 1 m )

4 1 4m2 1 m4

d) (3x 1 x2)2

9x2 1 6x3 1 x4

)

2

f) (2x 1 8)2

4x2 1 32x 1 64

g) (4b 1 9)2

16b2 1 72b 1 81 2

2 C  alcule o quadrado das diferenças de dois termos a seguir: 2

b) (3a 2 5)

2

c) (y 2 y2)2

(

2)

2

g) (7b 2 1)2

)

2

1 2 x 2x 2 12 4

624 2

3 ) ? (6 1

3)

b) (4m 1 2)(4m 2 2)

33

16m2 2 4

) ? (2

3 1y

d) (3p 1 5)(3p 2 5)

9p2 2 25

(

161 604 494 209

Vamos calcular 9992: 9992 5 (1 000 2 1)2 9992 5 1 0002 2 2 ? 1 000 ? 1 1 12 9992 5 1 000 000 2 2 000 1 1 9992 5 998 001

100 2 80n 1 16n2

3 Desenvolva os produtos.

c) (2 3 2 y

40 401

49b2 2 14b 1 1

h) (10 2 4n)2

a) (6 2

Use o procedimento demonstrado para calcular os quadrados dos números seguintes.

5 O  quadrado da diferença de dois termos também pode ser utilizado para efetuar cálculos numéricos relacionados ao quadrado de números. No quadro abaixo, há um procedimento de como fazer esse cálculo.

16 2 8m2 1 m4

2



a) 2012 b) 4022 c) 7032

y2 2 2y3 1 y4

e) 1 x 2 2 f) (2 2

32 2 10 7

9a2 2 30a 1 25

d) (4 2 m2)2

241

Vamos calcular 9012: 9012 5 (900 1 1)2 9012 5 9002 1 2 ? 900 ? 1 1 12 9012 5 810 000 1 1 800 1 1 9012 5 811 801

37 1 20 3

a) ( 7 2 5)

49y2 2 36

4 O  quadrado da soma de dois termos também pode ser utilizado para efetuar cálculos numéricos relacionados ao quadrado de números. Veja no quadro abaixo um procedimento para esse tipo de cálculo.

1 1 y 1 4y 2 16

h) (5 1 2 3 )

169x2 2 4

h) (2 2 3 5 ) ? (2 1 3 5 )

4a2 1 12a 1 9

(

g) (7y 1 6)(7y 2 6)

714 3

b) (2a 1 3)2

e) 1 1 2y 4

f) (13x 1 2)(13x 2 2)

2

) (

e) 1 2 5x ? 1 1 5x 4 4

)

2

)

12 2 y 

1 2 25x 2 16

4

Calcule os quadrados dos números seguintes usando o procedimento demonstrado. a) 4992 b) 3982 c) 5972

249 001 158 404 356 409

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Registre no

caderno

6 R  acionalize os denominadores das frações a seguir. 2 22 3

b)

4 5 2

3

c)

5 1 5 2

2 2

412 3

a) (x 1 y)2 1 (2x 1 y)2 2 (3x 1 2y)2 2 24x 2 6xy 2 2y2 b) (4x 1 3)2 1 (2x 1 1)2 2 (3x 1 2)22 11x 1 16x 1 6 c) (x2 1 x)2 1 (2 1 x)2 2 (x 14 2x2)32 2 23x 2 2x 1 x 1 4x 1 4 d) (3ab 1 1)2 2 (2 1 ab)2 2 (3 1 2ab)2

2 5 12 3 7 1 2 10 3

d) 10 41 5

10(4 2 5 ) 11

e) 5 2 51

31 2 10 6 19

6 6

4a2b2 2 10ab 2 12

10 O quadrado maior está dividido em dois quadrados menores e dois retângulos congruentes. Dentro de cada um dos quadriláteros, a expressão escrita indica a área correspondente. a) 2x e 9; b) 2x e 9; c) 2x 1 9

7 O  produto da soma pela diferença de dois termos também pode ser usado para efetuar cálculos numéricos relacionados ao produto de números. Veja no quadro abaixo um procedimento de como realizar esse tipo de cálculo. Vamos calcular 299 ? 301: 299 ? 301 5 (300 2 1) (300 1 1) 299 ? 301 5 3002 2 12 299 ? 301 5 90 000 2 1 299 ? 301 5 89 999

Utilizando o procedimento demonstrado, calcule os produtos dos números seguintes. a) 499 ? 501 249 999 b) 998 ? 1002 999 996 c) 797 ? 803 639 991

DAE

a)

9 D  esenvolva as potências e, em seguida, simplifique as expressões algébricas escrevendo-as na forma mais simples.

18x

81

4x2

18x

Determine: a) as medidas dos lados dos dois quadrados menores; b) as medidas dos lados dos dois retângulos congruentes; c) a medida do lado do quadrado maior, correspondente à figura toda. 11 Escreva uma expressão algébrica que represente a área do retângulo a seguir. 144x 2 2 4

12x  2

8 Complete a tabela. Quadrado de um binômio

(x 1 10)2 (y 1 8)

2

(2m 1 1)2 (4 1 9x)2

(3 1 2r )2 (2x 1 2y)2

Trinômio correspondente x2 1 20x 1 100

y 2 1 16y 1 64 4m2 1 4m 1 1

16 1 72x 1 81x 2 9 1 12r 1 4r 2

4x 2 1 8xy 1 4y 2

12x  2

12 Desenvolva as operações indicadas e, depois, simplifique as expressões algébricas escrevendo-as na forma mais simples. a) (9x 1 2y)(9x 2 2y) 1 (5x 1 3y)(5x 2 3y) 2 2 (6x 2 y)2 70x 2 2 14y 2 1 12xy b) (4x 2 1)2 1 (4x 1 1)2 2 (4x 2 1)(4x 1 1) 1 1 (4x 1 1)2 32x2 1 8x 1 4 c) (4x2 1 x)(4x2 2 x) 1 (3x2 2 5x)2 2 (3x2 1 1 5x)2 16x 4 2 60x3 2 x2

40 pom9_035_051_u01.indd 40

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Cubo de uma soma e cubo de uma diferença Assim como calculamos o quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferença de dois termos, também podemos determinar o cubo de uma soma e o cubo de uma diferença. Algebricamente, podemos obter esses dois resultados por meio da propriedade distributiva e dos produtos notáveis desenvolvidos anteriormente. O cubo da soma de dois termos é o cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, mais o triplo do primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Em símbolos: (a 1 b)3 5 a3 13a2b 1 3ab2 1 b3 Observe como podemos obter esse resultado: (a 1 b)3 5 (a 1 b)1 ? (a 1 b)2 (a 1 b)3 5 (a 1 b) (a2 1 2ab 1 b2) (a 1 b)3 5 a(a2 1 2ab 1 b2) 1 b(a2 1 2ab 1 b2) (a 1 b)3 5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 a2b 1 2ab2 1 b3 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

Exemplos: • (x 1 2)3 5 x 3 1 3 ? x 2 ? 2 1 3 ? x ? 22 1 23 5 x 3 1 6x 2 1 12x 1 8 • (2y 1 3)3 5 (2y)3 1 3 ? (2y)2 ? 3 1 3 ? 2y ? 32 1 33 5 8y 3 1 36y 2 1 54y 1 27 • ( 2 1

3 ) 5 23 1 3 ? 22 ? 3 1 3 ? 2 ? ( 3 ) 1 ( 3 ) 5 8 1 12 3 1 18 1 3 3 5 26 1 15 3 3

2

3

O cubo da diferença de dois termos é o cubo do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, mais o triplo do primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, e menos o cubo do segundo. Em símbolos: (a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3

Observe como podemos obter esse resultado:

Observação:

(a 2 b)3 5 (a 2 b)1 ? (a 2 b)2

VV Outra maneira de obter o cubo de uma

(a 2 b)3 5 (a 2 b) (a2 2 2ab 1 b2)

diferença é utilizar o cubo da soma e substituir b por –b, como mostrado a seguir: (a 2 b)3 5 [a 1 (2b)]3 (a 2 b)3 5 a3 1 3a2(2b) 1 3a(2b)2 1 1 (2b)3 (a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3

(a 2 b)3 5 a(a2 2 2ab 1 b2) 2 b(a2 2 2ab 1 b2) (a 2 b)3 5 a3 2 2a2b 1 ab2 2 a2b 1 2ab2 2 b3 (a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3

Exemplos: • (x 2 2)3 5 x 3 2 3 ? x 2 ? 2 1 3 ? x ? 22 2 23 5 5 x 3 2 6x 2 1 12x 2 8

• (2y 2 3)3 5 (2y)3 2 3 ? (2y)2 ? 3 1 3 ? 2y ? 32 2 33 5 8y 3 2 36y 2 1 54y 2 27 • ( 2 2

3 ) 5 23 2 3 ? 22 ? 3 1 3 ? 2 ? ( 3 ) 2 ( 3 ) 5 8 2 12 3 1 18 2 3 3 5 26 2 15 3 3

2

3

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule o cubo de cada uma das somas a seguir. a) (1 1

3)

3

10 1 6 3

b) (a 1 3)3

a3 1 9a2 1 27a 1 27

c) (2 1 m2)3

d) (x 1 x2)3

8 1 12m2 1 6m4 1 m6

x 3 1 3x 4 1 3x 5 1 x 6

2 Calcule o cubo de cada uma das diferenças a seguir. a) (1 2

3)

3

10 2 6 3

b) (a 2 3)3

a3 2 9a2 1 27a 2 27

c) (2 2 m2)3

d) (x 2 x2)3

8 2 12m2 1 6m4 2 m6

x 3 2 3x 4 1 3x5 2 x 6

3 U  tilizando o cubo de uma soma e o cubo de uma diferença, simplifique as expressões algébricas. a) (x 2 4)3 2 (x 1 4)3 224x 2 2 128

b) (2y 2 3)3 1 (2y 1 3)3 16y 3 1 108y

4 Simplifique as expressões numéricas, considerando: 3

2)

Conexões

(2

3

2)

22 2 16 1 24

b) ( 3

3

2)

(

3

3

2)

22 2

Registre no

caderno

A interpretação geométrica do cubo de uma soma pode ser feita por meio de um cubo em que cada aresta meça (a 1 b). Dividindo esse cubo, conforme representado abaixo, podemos interpretar geometrica- a mente o resultado: a b Uma interessante aplicação do cálculo do cubo de uma soma ou cubo de uma diferença de dois números diz respeito às aproximações que podem ser feitas quando do cálculo de potências de determinados números. Assim, por exemplo, imagine que se queira calcular o resultado de 10,1 elevado ao cubo. Com uma calculadora, podemos obter: 10,13 5 1 030, 301 Se considerarmos apenas os dois primeiros termos do cubo de uma soma, podemos ter uma boa aproximação desse resultado. Observe: (a 1 b)3  a3 1 3a2b Fazendo a 5 10 e b 5 0,1, nesta relação, teremos um valor aproximado: 10,13 5 (10 1 0,1)3  103 1 3 ? 102 ? 0,1 10,13 5 (10 1 0,1)3  1 000 1 30 10,13 5 (10 1 0,1)3  1 030 Podemos utilizar também o cubo de uma diferença para efetuar cálculos aproximados. Assim, por exemplo, vamos calcular, aproximadamente, o valor do cubo de 59,8: (a 2 b)3  a3 2 3a2b 59,83 5 (60 2 0,2)3  603 2 3 ? 602 ? 0,2 59,83 5 (60 2 0,2)3  216 000 2 2 160 59,83 5 (60 2 0,2)3  213 840 Determine qual é a diferença entre o resultado aproximado 213 840 que foi obtido para 59,83 e o resultado real de 59,83. A diferença é de 7,192.

Ilustrações: Setup

a) (2

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Capítulo 5

Fatoração Setup

Podemos considerar a fatoração como o procedimento inverso da propriedade distributiva da multiplicação em relação, por exemplo, à adição. Para compreender esse conceito, observe o exemplo do cálculo da área do retângulo maior representado a seguir.

x a

b

c

A área desse retângulo pode ser calculada de duas maneiras diferentes: (a 1 b 1 c)x 5 ax 1 bx 1 cx forma fatorada

adição das áreas

Neste capítulo, retomaremos a fatoração de expressões algébricas.

Fator comum e por agrupamento Apresentamos a seguir os dois casos de fatoração. O primeiro usa um fator comum, e o segundo a fatoração por agrupamento. Para começar, vamos relembrar o que é fatoração.

1o caso – Fator comum

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto. Assim, fatorar equivale a transformar em produto.

Em uma expressão algébrica com operações de adição ou subtração, basta colocar o fator comum em evidência para fazer a fatoração. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Fatore a expressão mx 1 my. Resolução: Nos dois termos dessa expressão há um fator comum: a letra m. Vamos colocar esse fator comum em evidência. mx 1 my 5 m ? x 1 m ? y 5 m(x 1 y) Observe que, para verificar se a fatoração está correta, basta utilizar a propriedade distributiva na forma fatorada.

Exemplo 2: Fatore o polinômio 4x3 2 16x2 1 12x. Resolução: Nesse caso, os três termos do polinômio têm o fator x em comum, além de serem números múltiplos de 4 (assim apresentam o fator 4 também em comum). 4x 3 2 16x 2 1 12x 5 4x ? x 2 2 4x ? 4x 1 4x ? 3 5 4x(x 2 2 4x 1 3)

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Exemplo 3: Escreva a forma fatorada da expressão algébrica 2 2 my 2 8 2 y 2 6 2 . Resolução: Nessa expressão algébrica, temos como fator comum a expressão 2 2 . Assim, colocamos esse fator comum em evidência. 2 2 my 2 8 2 y 2 6 2 5 2 2 ? ((my 2 2 44yy 223)3)

Nesse caso, para obter a forma fatorada é preciso fazer a fatoração por agrupamento, isto é, fatorações sucessivas. Para compreender a fatoração por agrupamento, vamos calcular a área de figuras planas. Como exemplo, considere o retângulo ao lado.

x

Setup

2o caso – Fatoração por agrupamento m a

b

• Considerando que a área do retângulo é o produto da medida da base pela medida da altura, temos: Área do retângulo 5 (a 1 b)(m 1 x)

forma fatorada

• Podemos calcular a área do retângulo pela adição das áreas dos retângulos em que está dividido: Área do retângulo 5 am 1 bm 1 ax 1 bx.

• Comparando essas duas maneiras, concluímos: (a 1 b)(m 1 x) 5 am 1 bm 1 ax 1 bx.

Exemplo 1: Fatore a expressão algébrica: ay 1 by 1 ar 1 br. Resolução: Note que não há um fator comum nos quatro termos da expressão algébrica. Entretanto, se considerarmos os dois primeiros, encontramos o fator y em comum, e nos dois últimos, o fator r. Assim, fatoramos de dois em dois. ay 1 by 1 ar 1 br 5 y(a 1 b) 1 r(a 1 b) A soma agora tem duas parcelas e nas duas aparece o fator (a 1 b). Dessa forma, colocamos esse fator em evidência. ay 1 by 1 ar 1 br 5 y(a 1 b) 1 r(a 1 b) 5 (a 1 b)(y 1 r)

Exemplo 2: Escreva a forma fatorada do polinômio x 3 2 3x 2 2 x 1 3. Resolução: Nos dois primeiros termos podemos colocar o fator comum x 2 em evidência. Já nos dois últimos termos, colocamos 21 em evidência para que apareça, nas duas fatorações, entre parênteses, um termo comum. x 3 2 3x 2 2 x 1 3 5 x 2(x 2 3) 2 1(x 2 3) 5 (x 2 3)(x 2 2 1)

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Fatoração por produtos notáveis Recordamos anteriormente os modos para fatorar expressões algébricas. Os dois casos apresentados envolvem fatoração simples, quando há um termo em comum, e fatoração por agrupamento, quando o fator comum aparece em grupos de expressões algébricas. Existem ainda outros três casos de fatoração relacionados diretamente com os produtos notáveis. Trinômio quadrado perfeito da soma O primeiro caso de produtos notáveis relacionado a fatoração é o quadrado da soma de dois termos:

a2 1 2ab 1 b2 5 a2 1 ab 1 ab 1 b2 a2 1 2ab 1 b2 5 a(a 1 b) 1 b(a 1 b) a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)(a 1 b) a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2

O quadrado da soma de dois termos representa a fatoração de um trinômio quadrado perfeito. a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2

Exemplos: • x 2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2

• 9m2 1 6m 1 1 5 (3m 1 1)2

• y 2 1 2 2 y 1 2 5 (y

1 2)

2

Trinômio quadrado perfeito da diferença O segundo caso de produtos notáveis relacionado a fatoração é o quadrado da diferença de dois termos.

a2 2 2ab 1 b2 5 a2 2 ab 2 ab 1 b2 a2 2 2ab 1 b2 5 a(a 2 b) 2 b(a 2 b) a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)(a 2 b) a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2

O quadrado da diferença de dois termos também representa a fatoração de um trinômio quadrado perfeito. a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2

Exemplos: • x 2 2 10x 1 25 5 (x 2 5)2

• 9m2 2 6m 1 1 5 (3m 2 1)2

•

y2 2 2 2 y 1 2 5 (y 2 2 )

2

Diferença de dois quadrados O terceiro caso de produtos notáveis também representa um importante método de fatoração. Nele, a diferença entre dois quadrados pode ser transformada no produto A diferença entre dois quadrados pode ser transda soma pela diferença de dois termos. formada em produto, considerando a soma e a Nesse caso, a fatoração é imediata pela observação do produto notável.

diferença de dois termos. a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)

Exemplos: • 49 2 16x 2 5 (7 1 4x)(7 2 4x) • 4 2 m2 5 (2 1 m)(2 2 m) • 121y 2 2 1 5 (11y 1 1)(11y 2 1)

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Zubartez

Além dos casos de fatoração que você estudou até aqui, existem ainda duas situações muito interessantes que estudaremos a seguir.

Soma de dois cubos Como podemos fatorar a3 1 b3? Observe. Já vimos que:

a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 5 (a 1 b)3 No primeiro membro dessa igualdade isolamos a soma dos dois cubos:

a3 1 b3 5 (a 1 b)3 2 3a2b 2 3ab2 a3 1 b3 5 (a 1 b)3 2 3ab(a 1 b) a3 1 b3 5 (a 1 b)[(a 1 b)2 2 3ab] a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 1 2ab 1 b2 2 3ab) a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2)

Exemplos: • 23 1 x3 5 (2 1 x) (4 2 2x 1 x2) • 83 1 53 5 (8 1 5) (8² 2 8 ? 5 1 5²) 5 13 ? (64 2 40 1 25) 5 13 ? 49 5 637 Diferença de dois cubos Observe a fatoração de a³ – b³. Já vimos que:

a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 5 (a 2 b)3 No primeiro membro dessa igualdade isolamos a diferença dos dois cubos:

a3 2 b3 5 (a 2 b)3 1 3a2b 2 3ab2 a3 2 b3 5 (a 2 b)3 1 3ab(a 2 b) a3 2 b3 5 (a 2 b)[(a 2 b)2 1 3ab] a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 2 2ab + b2 1 3ab) a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)

Exemplos: • k 3 2 x3 5 (k 2 x) (k² 1 kx 1 x2) • 83 2 53 5 (8 2 5)(8² 1 8 ? 5 1 5²) 5 3 ? (64 1 40 1 25) 5 3 ? 129 5 387

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Fatore as expressões algébricas a seguir. a) x2 1 4x 1 4

c) 4y2 1 4y 1 1

(x 1 2)2

b) a2 1 14a 1 49

(2y 1 1)2

d) 9m2 1 6 2 m 1 2

(a 1 7)2

(3m 1

2 )2

2 Fatore as expressões algébricas a seguir. a) x2 2 6x 1 9

c) 9y2 2 6y 1 1

(x 2 3)2

b) a2 2 16a 1 64

(3y 2 1)2

d) m2 2 2 2 m 1 2

(a 2 8)2

(m 2

2 )2

3 Fatore as expressões algébricas a seguir. a) x2  9

(x 1 3)(x 2 3)

b) a  16 2

c) 9y2  1

(3y 1 1)(3y 2 1)

d) m 2 2

(m 1

2

(a 1 4)(a 2 4)

2 )(m 2

2)

4 Fatore as expressões algébricas a seguir. a) 25 2 10x 1 x2 b) 36 1 24y 1 4y2 c) 9y 2 100 2

e) y2 2 18y 1 81

(5 2 x)2

f) 900 2 25x2

(6 1 2y)2

(30 1 5x)(30 2 5x)

g) 64x 2 32x 1 4

(8x 2 2)2

h) n2 1 32n 1 256

(n 1 16)2

2

(3y 1 10)(3y 2 10)

d) 49x2 1 14x 1 1

(y 2 9)2

(7x 1 1)2

5 S  e a soma e o produto de dois números são iguais a 2 e 1, respectivamente, determine a soma dos cubos desses números. Dica: Utilize o quadrado da soma de dois números 2 ⇒ (A 1 B)2 5 4 ⇒ A2 1 2AB 1 B2 5 4 ⇒ A2 1 2 ? 1 1 B2 5 4 ⇒ para determinar a soma dos cubos. A21 B 5 2 A 1B 52 A3 1 B3 5 (A 1 B)(A2 2 AB 1 B2) 5 2 ? (2 2 1) 5 2

6 Em cada expressão a seguir coloque em evidência o termo comum para fatorar. a) 4 2 2m b) 15x 2 5

c) 24 2 12y d) px 1 11x

2(2 2 m) 5(3x 2 1)

12(2 2 y)

x(p 1 11)

7 Transforme em produto as expressões seguintes. a) 9x3 1 3x 2 2 12x

3x(3x2 1 x 2 4)

b) 5x 3 2 10x2 1 25x

5x(x2 2 2x 1 5)

c) 12m2 1 14m 2 18

2(6m2 1 7m 2 9)

d) 25p2x2 1 5p2x 2 50p2x3

5p2x(5x 1 1 2 10x2)

8 Observando o termo comum entre parênteses, fatore as expressões algébricas seguintes. a) 8(a 2 b) 2 y(a 2 b)

(a 2 b)(8 2 y)

b) m(x 1 y) 1 2(x 1 y)

(x 1 y)(m 1 2)

c) 4(x 1 11) 1 z(x 1 11)

(x 1 11)(4 1 z)

d) 7(2p 2 1) 2 r(2p 2 1)

(2p 2 1)(7 2 r)

9 Efetue, por agrupamento, as fatorações das expressões a seguir. a) 4x 1 4y 1 px 1 py

(x 1 y) (4 1 p)

b) 2m 2 2y 1 bm 2 by

(m 2 y)(2 1 b)

c) ab 1 b 1 12a 1 12

(a 1 1)(b 1 12)

d) 3m 1 3x 2 mp 2 xp

(m 1 x)(3 2 p)

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caderno

Superando Desafios 1 (PUC-SP)

Se N é o número que resulta do cálculo de 2 19  5 15, então, o total de algarismos que compõem N é: Alternativa a. a) 17

b) 19

c) 25

d) 27

e) maior do que 27

d) 3 < p , 10

e) p > 10

2 (ESPM-SP) Se p 5

97 812 346 ? 97 812 348 2 3 , então: 97 812 345 ? 97 812 349

a) 0 , p , 1

b) 1 < p , 3

Alternativa b.

c) 2 , p < 3

3 (UFF-RJ) Calcule o valor numérico de 1 , sendo M 5 22 1 M a 5 0,998 e b 5 1. 249 500

a2 1 b2 1 2 , b2 a2

4 (OBM) Um quadrado tem 3 + 3 cm de lado, e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são 72 + 3 6 e 2 . Qual dos dois tem maior área? E o maior perímetro? Eles têm a mesma área, porém o maior perímetro é o do retângulo.

5 (Saresp) O número irracional a) 2 e 3

7 está compreendido entre os números: b) 13 e 15 c) 3 e 4

Alternativa a.

d) 6 e 8

Editora Zahar

Editora Ática

Explorando

Uma raiz diferente

17 Equações que mudaram o mundo

Autor: Luzia Faraco Ramos Editora: Ática 88 páginas

Autor: Ian Stewart Tradutor: George Schlesinger Editora: Zahar 408 páginas

O livro relata a interessante história de Luís, que está terminando os estudos em sua cidade e precisa mudar para uma cidade maior se quiser continuar a estudar, mas seus avós contam com ele para ajudar na roça. Sua vida muda bastante quando entra em contato com um grupo que acampa em sua cidade. Entre outras coisas, Luís aprende raízes quadradas e cúbicas.

As equações fazem mais parte de nosso cotidiano do que imaginamos. Ian Stewart não só mostra algumas das mais importantes equações para o avanço da ciência, como contextualiza de forma única cada uma delas. Fica clara a relação que as equações têm com a tecnologia usada em GPS, viagens espaciais, energia atômica, entre outras. Do teorema de Pitágoras à equação da relatividade de Einstein, o autor compartilha muitas histórias interessantes sobre essa maravilhosa ferramenta matemática.

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RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Qual é o número inteiro mais próximo de 200 ? Alternativa b.

7 Ainda sobre o quadrado da questão anterior, podemos afirmar que seu perímetro, em centímetros, é de: Alternativa a.

a) 13 b) 14

a) 16 3

c) 18 3

c) 15

b) 12 3

d) 4 3

d) 16

8 O valor da expressão 200 300 pode ser escrito na forma: y 5 200 1 300 1 500 2 Assinale a alternativa que indica corretaAlternativa b. mente o valor de 2 ? 3 ? 6 . a) 2 3 5 Alternativa c. a) 4 b) ( 2 3 5 ) 10 b) 5 c) 6 d) 7

3

5 ) 100

c) 5 3 é maior que 3 5 .

c) 24

d) seus quadrados são iguais.

d) 128

10 Reduzindo a expressão (23 )10 a uma só po­ tên­cia, obtemos: Alternativa d.

4 Sobre o valor de 36 1 64 é correto afirmar que: Alternativa d. a) é um número ímpar. b) é um número natural múltiplo de 4. d) é um número natural par. 4

a) 213

c) 23

b) 223

d) 230

11 Escrevendo o número 210  000  000 em notação científica, temos: Alternativa b.

c) é um número irracional.

a) 21 ? 107 b) 2,1 ? 108 c) 21 ? 108 d) 2,1 ? 107

0,0001, obtemos:

a) 0,2 b) 10 c) 0,1

12 Calculando

d) 0,3

Alternativa b.

a) 16 b) 18

6 Considerando que o quadrado abaixo tem área correspondente a 48 cm2, é correto afirmar que a medida x é: Alternativa d.

Setup

a) 2 3 cm x

c) 6 3 cm d) 4 3 cm

d) ( 2

b) 3 5 é maior que 5 3 .

b) 29

b) 3 3 cm

5) 5

a) são iguais.

a) 25

Alternativa c.

3

9 Sobre os números 3 5 e 5 3 é correto afirmar que: Alternativa c.

3 Ao calcular a metade de 210, obtemos como resultado: Alternativa b.

5 Calculando

c) ( 2

500

x

(

2 1

8 ) , obtém-se: 2

c) 24 d) 32

13 Sobre os números a 5 342 e b 5 432, é correto afirmar que: Alternativa b. a) os dois números são iguais. b) a é maior que b. c) b é maior que a. d) a é o quadrado de b.

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21 As medidas dos lados do retângulo estão 14 Para que x 1 10x 1 k seja um trinômio quadrado perfeito, devemos ter: Alternativa d. indicadas em centímetros. Assinale a alternativa que contém duas maneiras equivaa) k 5 1 c) k 5 20 lentes de demonstrar a área dessa figura. b) k 5 2 d) k 5 25 Alternativa a. y

15 A expressão correspondente ao desenvolvimento de (4x 2 1)2 é: Alternativa b. c) 4x2 2 1 a) 16x2 2 1 b) 16x2 2 8x 1 1 d) 16x2 2 16 16 A expressão correspondente ao desenvolvimento de (x 1 1)3 é: Alternativa d. a) x3 2 3x b) x3 1 3x c) x3 1 3x2 d) x3 1 3x2 1 3x 1 1 17 Qual é a expressão que devemos adicionar a x2 2 6x 1 5 para obter o quadrado de x 2 3? Alternativa c. a) 3x c) 4 b) 4x d) 3 18 Simplificando a expressão numérica 213 216 , obtemos como resultado: 215 Alternativa a. a) 1,5 c) 3 b) 2 d) 4 19 A área da região sombreada na figura a seguir, conforme as medidas indicadas é: Alternativa b.

a) x2 2 10 b) (x 1 5)(x 2 5) c) (x 2 5)2 d) x2 1 25

x

5 5 x

20 Simplificando a expressão numérica

123 4562 2 123 4552 , obtemos um nú123 456 1 123 455 mero: Alternativa d. a) maior que 600. b) par. c) não inteiro. d) inteiro positivo e menor que 2.

2x

3

2x

Ilustrações: Setup

2

3

a) 6y 1 12x 1 2xy 1 4x2 e (2x 1 6)(2x 1 y) b) 6y 1 12x 1 2xy 1 4x2 e (2x 1 6)(2x 2 y) c) 6y 1 12x 1 2xy 1 4x2 e (x 1 6)(2x 1 y) d) 6y 1 12x 1 2xy 1 4x2 e (2x 16)(x 1 y) 22 O valor numérico que a expressão algébrica (x 2 2 y 2 ) (x 2 1 2xy 1 y 2 ) ? assume para (x 2 y ) (x 1 y ) x 5 0,75 e y 5 1,25 é: a) 4

Alternativa a.

b) 8

c) 12 d) 16

23 Assinale a alternativa que indica corretamente a expressão correspondente a x3 2 3x2 1 3x 2 1. Alternativa a. c) (2x 2 1)3 a) (x 2 1)3 d) (x 2 2)3 b) (x 1 1)3 24 Considerando que x 1 y 5 7 e que x 2 y 5 2, assinale a alternativa que indica corretamente o valor de x 2 2 y 2. Alternativa d. a) 11 c) 13 b) 12

d) 14

25 As medidas do retângulo a seguir estão em centímetros. É correto afirmar que a área desse retângulo, em centímetros quadrados, pode ser representada pela expressão: Alternativa d. a) x2 1 9 b) x2 2 4 c) x2 1 4 d) x2 2 9

x3

x3

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26 O quadrado maior da figura abaixo está dividido em dois retângulos e dois quadrados. As medidas estão indicadas em centímetros. Assinale a alternativa que representa corretamente a área da figura. Alternativa b. 3 a) 4x2 1 9 3 b) 4x2 1 12x 1 9 2x c) 4x2 1 81 d) 4x2 1 6x 1 18 2x 27 Outra expressão equivalente para representar a área total da figura da questão anterior é: Alternativa c. c) (3 1 2x)2 a) (3 1 2x)(3 2 2x) d) (3 2 4x)2 b) (3 2 2x)2

Eduardo Belmiro

x

10

( ) b) ( 1 2 4y ) 4 c) ( 1 2 3m ) 3 d) ( 8 1 9x ) ? ( 8 2 9x ) 7 7 e) ( 1 x 1 8) 4 f) ( 5 1 x ) ? ( 5 2 x ) 4 8 4 8 a) 2 1 x 7

2

4 4x 1 1 x2 49 7

2

1 2 2y 1 16y 2 16

2

2

1 2 2m 1 9m2 9 64 2 81x 2 49

1 2 x 1 4x 1 64 16 25 x2 2 16 64

32 Observe o retângulo maior e as medidas indicadas. Setup

28 As medidas estão indicadas em metros na figura. A região cinza representa uma calçada, que será construída contornando um jardim.

31 Efetue as operações indicadas e dê a resposta na forma simplificada.

x

x

x 4

4

4

6a  b

6a  b

x x

29 Ainda em relação à figura da questão 28, indique a alternativa que representa a área total da calçada que será construída. Alternativa a. a) 4x ? (7 1 x) c) 4x ? (7 1 2x) b) 2x ? (7 1 x) d) x ? (7 1 x) 30 Complete as lacunas das igualdades considerando os três casos de produtos notáveis. a) (13 2 5x)2 5 169 2 1 25x2 130x b) (8x 1 5)2 5 64x2 1 80x 1 25 2 2 9y 256 c) (16 1 3y)(16 2 3y) 5 2 d) ( 2 9x) 5 100 2 180x 1 81x2 10 e) (7x 2 )2 5 49x2 2 28x 1 2e4 2 25n2 f) (7m 1 5n)(7m 2 5n) 5 49m 2

2b

Escreva uma expressão que represente: a) o perímetro desse retângulo; 20a 1 2b b) a área desse retângulo. 24a2 1 8ab 2 2b2 33 No final da aula, o professor propôs à turma uma fatoração um pouco diferente. Nesse desafio, cada aluno deveria pensar em uma maneira de resolver. O problema é: Fatorar a expressão x2 2 3x 1 2. Jéssica, depois de alguns minutos, encontrou uma solução. Qual foi a forma fatorada encontrada por Jéssica? (x 2 1)(x 2 2)

rat a

Assinale a alternativa que indica corretamente a área, em metros quadrados, desse jardim. Alternativa c. a) 24 c) 40 b) 32 d) 48

4a

Ba

x

ldo

10

na

x

Ro

x

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UNIDADE 2

T ratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade É muito importante saber interpretar gráficos atualmente, uma vez que as mídias utilizam muito esse recurso para mensurar fenômenos. Nesta unidade trabalharemos com vários tipos de gráficos, além de distribuição de frequências e probabilidade.

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Dukes/Shutterstock

1 O que é um gráfico de setores? 2 Dê um exemplo de variável discreta e contínua. 3 Em um dado hexagonal e não viciado, qual é a probabilidade de obter, em um lançamento, um número menor do que 5?

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Capítulo 6

Gráficos De acordo com informações divulgadas pelo Departamento Nacional de Trânsito (Denatran), a frota de motocicletas no Brasil aumentou 315,8% no período de 2000 a 2010. Essas informações estão detalhadas no gráfico a seguir.

18 000 000

16 778 224

16 000 000

14 920 067 13 262 163

14 000 000

11 277 366

12 000 000 10 000 000 8 000 000 6 000 000 4 000 000

Ilustrações: Setup

Quantidade de motocicletas

1. Evolução da frota de motocicletas

4 034 993 4 615 820

5 385 721

7 128 280

6 250 708

8 213 418

9 527 390

2 000 000 0

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2010 Ano

2009

Fonte: Denatran.

Uma das conse­quên­cias da ampliação da frota de motocicletas é o aumento de acidentes que ocasionam invalidez ou morte. As informações do gráfico abaixo evidenciam esse fato. 2. Evolução das ocorrências invalidez ou morte envolvendo motocicletas Número de ocorrências

60 000

53 008

50 000

29 878

30 000

10 000

44 416

41 361

40 000

20 000

50 296

24 715

20 492 14 205 10 940 10 579 9 693 7 441 6 608 8 139 8 076 8 938

11 857

12 741

13 623

12 541

12 502

12 175

2010 Ano 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Respostas da página anterior: 1. É um gráfico apresentado em um círculo sendo que morte invalidez as porcentagens dos dados são setores desse círculo Fonte: Seguradora Líder DPVAT. 2. Quantidade de facas e garfos em um faqueiro; altura de pessoas em um grupo. 3. 4 6 De 2001 a 2007, a quantidade de ocorrências (invalidez ou morte) envolvendo motociclis-

tas cresceu de forma assustadora. Nos anos seguintes já foi possível constatar uma discreta queda nesse número. A queda mais considerável pode ser notada em 2010. Sabendo que a frota de motocicletas que transitam nas ruas teve um crescimento considerável, que motivos podem ter levado à diminuição desse tipo de ocorrências? Resposta pessoal.

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Indique uma proposta para diminuir o número de acidentes com motociclistas.

Resposta pessoal.

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Fazendo uma comparação simples, no ano de 2010, das 36 890 ocorrências de invalidez ou morte envolvendo motocicletas, o total de mortes representa aproximadamente 33%. Neste capítulo, abordaremos gráficos e também as medidas de tendência central, que nos possibilitam conhecer melhor, com base em informações determinadas, o comportamento de um fenômeno.

Tabelas e gráficos Todas as atividades relacionadas à coleta, organização, análise, interpretação e apresentação de dados por meio de números, tabelas e gráficos fazem parte do que normalmente designamos de tratamento da informação. Os gráficos estatísticos mais utilizados são:

• gráfico de linhas (ou de segmentos); • gráfico de barras; • gráfico de setores; • gráficos pictóricos ou pictogramas. A seguir, apresentamos esses gráficos por meio de exemplos. Discuta com os colegas cada um dos gráficos; comentem suas características, semelhanças, diferenças e utilização.

Gráfico de barras Exemplo 1: Em uma cidade foi realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado imposto estadual no período de um mês. Ao se analisar os documentos de arrecadação, foram detectados seis níveis de valores, dispostos no eixo horizontal do gráfico a seguir. Observe que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes. Imposto estadual recolhido em um mês

Quantidade de recolhimentos

Setup

60 50 40 30 20 10 0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

Valores (R$)

Esse gráfico, extraído de uma questão de concurso público (elaborado pela Fundação Carlos Chagas – FCC), contém duas grandezas: valores (R$) e quantidade de recolhimentos. Esse é um exemplo típico de gráfico em que as barras estão dispostas verticalmente. Todos os retângulos devem ter a mesma largura e a altura de cada coluna deve ser proporcional ao respectivo dado. A distância entre as colunas deve ser constante. Identifique nos gráficos as três faixas de valores que tiveram os maiores recolhimentos. A faixa de 1 500 foi a de maior recolhimento, a de 1 000 foi a segunda maior e o terceiro maior recolhimento é igual para as faixas de 500 e 2 000. Portanto, há quatro faixas de valores com os três maiores recolhimentos.

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Exemplo 2:

Editoria de Arte/Folhapress

O gráfico a seguir mostra o consumo de água (em litros) por dia e por pessoa em alguns países. As informações são do jornal Folha de S. Paulo. Neste exemplo, as barras do gráfico estão dispostas na horizontal.

Professor, questione os alunos sobre o signifcado de “consumo per capita”. Outras perguntas podem ser encaminhadas para que eles analisem as informações do gráfico.

Fonte: Data360.org. Disponível em: . Acesso em: maio 2015.

Gráfico de linhas (ou de segmentos)

VEJA/Abril Comunicações S/A

Exemplo 3:

Revista Veja, São Paulo: Editora Abril, ano 43, ed. 2163, n. 18, p. 140, 2010.

Este é um exemplo de gráfico de linhas, também chamado gráfico de segmentos, representando uma série estatística. Normalmente, uma das variáveis desse tipo de gráfico é o tempo. É possível visualizar dados ao longo do tempo e também observar o crescimento ou decrescimento da variável analisada. Observe que foi até incluída uma projeção do crescimento para os anos 2020 e 2030.

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Gráfico de setores PIB no Rio Grande do Sul: O peso de cada setor

Setup

Exemplo 4: agropecuária

9,4% indústria

29%

61,6% serviços

Fonte: Fundação de Economia e Estatística – RS, 2012.

No gráfico está representada a distribuição do Produto Interno Bruto (PIB) do Estado do Rio Grande do Sul. Observe o percentual de cada setor (agropecuária, indústria e serviços) na composição do PIB. Com esse tipo de gráfico (também conhecido como gráfico de pizza ) podemos representar um fato geral e todas as partes em que ele está dividido e que o compõem. Além disso, seu formato possibilita que sejam feitas comparações imediatas entre as partes e entre cada parte e o todo.

Gráficos pictóricos ou pictogramas Arquivo/Agência O Globo

Exemplo 5: Os gráficos pictóricos são formados por meio de figuras. No exemplo, o gráfico tem ilustrações de carros. Por serem extremamente atrativos, esses gráficos são utilizados principalmente em publicidade e para fazer comparações. Objeto educacional digital

Observação: VV Há vários outros gráficos que podem ser obtidos

com base nesses modelos; demonstramos apenas alguns conceitos básicos de gráficos estatísticos. Nas atividades a seguir, você poderá construir alguns desses gráficos utilizando aplicativos de planilha eletrônica.

Fonte: Jornal O Globo, 29/08/2012. Editoria de Economia, p. 23.

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AGORA É COM VOCÊ

1 Pesquise gráficos estatísticos em revistas ou jornais. Traga para a sala de aula reportagens que contenham um gráfico: As respostas dependerão das pesquisas feitas pelos alunos. a) de barras;      b) de linhas;      c) de setores.

BRASIL

190 732 694

SUDESTE

80 353 724

NORDESTE

53 078 137

SUL

27 384 815

NORTE

15 865 678

CENTRO-OESTE

14 050 340

Setup

2 Os dados da tabela foram extraídos do Censo 2010, divulgado pelo IBGE, sobre a população total do Brasil e nas regiões do país. 2.b) Resposta possível: População do Brasil por regiões – Censo 2010 (em milhões de pessoas) 80 14 sudeste 16 nordeste 27 sul 53

norte centro-oeste

a) Utilizando esses dados, elabore um gráfico de barras sobre a população brasileira. b) Use a ferramenta apropriada de um computador para elaborar um gráfico de setores com essas informações. 3 Utilizando uma planilha eletrônica e de acordo com as informações da tabela sobre os Censos de 1940 a 2010, elabore um gráfico de linhas para demonstrar a evolução da população brasileira ao longo desse período. 2.a) Resposta possível: População aproximada para a unidade de milhão mais próxima. População do Brasil por regiões – Censo 2010 (em milhões de pessoas) 90 80 70 60 50 40 30 20 10

80

População aproximada (em milhões)

1940

41,1

1950

51,9

1960

70,0

1970

53 27

16

14

su d no este rd es te su l ce nt nor te ro -o es te

0

Censo (ano de realização)

93,1

1980

119,0

1991

146,8

2000

169,8

2010

190,8

3.

População brasileira – Censos de 1940 a 2010 (aproximação em milhões de pessoas)

250 200 169,8

150 119

100 50

70

190,8

146,8

93,1

51,9

41,1 0 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

Depois que o gráfico estiver pronto, responda às questões. a) Percentualmente, em que década a população aumentou mais?

Entre a década de 1950 e a de 1960 a população aumentou aproximadamente 34%.

b) Se a taxa de crescimento observada de 2000 a 2010 se mantiver para a próxima déaproximadamente cada, qual é a projeção da população brasileira para 2020? Aumentará 12,4%, chegando a 214,4 milhões de habitantes.

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Capítulo 7

Distribuição de frequências Distribuição de frequências: variáveis discretas Em uma pesquisa realizada entre os alunos de uma escola de línguas estrangeiras, foram coletadas as idades dos 40 alunos. Esses dados estão organizados na seguinte tabela. Observe que os dados já estão em ordem crescente.

10

10

10

10

11

11

11

11

11

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

14

14

14

14

14

14

15

15

15

Há, entretanto, outra maneira bem mais organizada de indicar os dados sobre as idades dos alunos: por meio de uma tabela de frequências absolutas. Denominamos frequência absoluta de um valor, o número de vezes que esse valor é observado numa determinada classe. Nesse exemplo da idade dos alunos, obtemos a tabela de frequências absolutas das idades e também das frequências relativas mostrada a seguir. Na última coluna à direita estão as frequências relativas, em porcentagens. Para calcular cada frequência relativa, obtemos o quociente da frequência absoluta pelo total.

A frequência relativa é obtida dividindo-se a frequência absoluta pela quantidade de elementos do total da população analisada. frequência absoluta frequência relativa 5 número de termos Para fornecer uma melhor visualização das informações, o resultado é comumente apresentado na forma de porcentagem. Para isso, basta multiplicá-los por 100.

tabela de frequências referentes às idades dos 40 alunos Idade Frequência Frequência (anos) absoluta relativa

10 11 12 13 14 15 TOTAL

4 5 12 10 6 3 40

10% 12,5% 30% 25% 15% 7,5% 100%

Observação: V Quando as variáveis são expressas por números naturais, dizemos que são variáveis discretas. V Nesse exemplo a variável é a idade dos alunos.

59 pom9_052_073_u02.indd 59

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Distribuição de frequências: variáveis contínuas Em determinadas situações, as variáveis não são representadas por números naturais porque elas não são discretas, são variáveis contínuas. Nesses casos, os valores são representados por números reais, não necessariamente inteiros.

Exemplo: Considere a lista que contém a altura de 40 alunos de uma mesma turma conforme o quadro a seguir. Altura dos 40 alunos (m)

1,48 1,48 1,52 1,53 1,54 1,55 1,55 1,57 1,58 1,58 1,58 1,60 1,60 1,61 1,62 1,63 1,63 1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,71 1,74 1,74 1,75 1,76 1,76 1,76 Com o objetivo de analisar melhor a distribuição das alturas dos alunos, podemos organizar essa distribuição em classes. Devemos determinar a amplitude, que nesse caso será dada pela diferença entre a altura máxima (1,76 m) e a altura mínima (1,48 m) dos alunos. amplitude 5 altura máxima 2 altura mínima amplitude 5 1,76 m 2 1,48 m amplitude 5 0,28 m Escolhemos 6 classes para essa amostra. Em geral não se escolhe um número muito grande de classes. Se dividirmos a amplitude pelo número de classes (0,28 m dividido por 6), o resultado é, aproximadamente, 0,047 m. Fazendo a aproximação de cada classe para o comprimento 0,05 m, todos os dados estarão contidos, pois 6 vezes 0,05 é igual a 0,30 m. Assim, formamos a tabela seguinte, contando o número de alunos em cada intervalo de altura. Altura (m)

Frequência absoluta (número de alunos)

Frequência relativa (%)

1,48  1,53

3

7,5

1,53  1,58

5

12,5

esquerda faz parte da classe, mas o valor da direita não.

1,58  1,63

7

17,5

VV O número de classes deve ser determinado

1,63  1,68

10

25

da maneira mais conveniente ao estudo.

1,68  1,73

9

22,5

1,73  1,78

6

15

TOTAL

40

100

Observações: VV O símbolo  significa que o valor da

VV A distribuição em classes também pode

ser feita quando a variável for discreta, desde que a quantidade de valores seja muito grande.

Quando a distribuição de frequências for por classes, podemos construir um gráfico chamado histograma, que é feito marcando numa reta os intervalos considerados. Cada um dos intervalos será a base de um retângulo. Veja.

60 pom9_052_073_u02.indd 60

05/06/2015 17:27

Observações:

Setup

Altura dos 40 alunos

Número de alunos

12

VV No histograma, as bases dos retângulos são iguais

quando as classes têm o mesmo comprimento. VV As alturas dos retângulos são proporcionais às

frequências. VV No histograma os retângulos estão sempre 1.b)

No de funcionários

justapostos.

Salário dos funcionários 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 8 6 4 2 0 1,48

1,53

1,58

1,63

1,68

1,73

1,78 Altura (m)

0 0 0 0 0 60 100 150 250 300 Salário (reais)

0

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Na tabela a seguir estão registrados os salários de 25 funcionários de um restaurante no centro da cidade. a) As frequências relativas são 16%, 32%, 24%, 20% e 8%, respectivamente. Salário (reais)

600

1 000

1 500

2 500

3 000

Frequência

4

8

6

5

2

a) Reproduza a tabela acrescentando uma linha com as frequências relativas. b) Use um gráfico de barras para representar os dados da tabela. 2 Os dados seguintes representam uma lista dos diferentes preços em reais de determinaPesquisa de preço pesquisado em 20 grandes cidades de um mesmo estado.

500 520

510 520

510 530

510 530

510 530

510 530

520 530

520 530

520 540

2. c)

540 Preço (reais)

2. a) do produto que foi Preço Frequência Frequência (R$) absoluta relativa 500 2 10% 500 510 5 25% 520 6 30% 520 530 6 30% 540 1 5% Total 20 100%

530 520 510 500 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Usando esses dados, faça o que se pede. N de cidades a) Elabore uma tabela de distribuição de frequências, contendo frequência absoluta e frequência relativa. b) Qual é o percentual de cidades que praticam preço maior que R$ 520,00? 35% c) Construa um gráfico de barras com as informações acima.

3 Lance uma moeda 40 vezes e anote o número de vezes em que ocorreu: Resposta pessoal, que depende dos resultados obtidos a) a face cara; b) a face coroa.

pelo aluno no lançamento da moeda.

4 Com os dados da atividade 3, elabore:

© Banco Central do Brasil

o

Resposta pessoal, que depende das informações da atividade anterior.

a) uma tabela com as frequências absoluta e relativa da ocorrência de face cara e de face coroa; b) construa um gráfico de barras com os dados anteriores.

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06/06/2015 11:42

Registre no

caderno

5 O gráfico a seguir apresenta a distribuição dos 420 alunos de uma escola, conforme suas idades. Frequência absoluta 60 68 72 136 84 420

Frequência relativa 14,3% 16,2% 17,1% 32,4% 20% 100%

15 anos

Número de alunos

Idade (anos) 11 12 13 14 15 Total

84

14 anos

136 72

13 anos

68

12 anos 60

11 anos

Altura dos alunos

6. b)

Distribuição das idades

14 12 10 8 6 4 2 0 8 4 ,6 6 2 8 Altura (m) 1,4 1,5 1 1,6 1,7 1,7

Elabore uma tabela com as frequências absoluta e relativa das idades, de acordo com os dados do gráfico. 6 Utilizando os mesmos dados da tabela de altura dos alunos da página 60, faça o que se pede. a) Elabore a tabela de frequências dividindo a amplitude em 5 classes. b) Construa um histograma para representar essa distribuição. 7 Considere os dados a respeito das massas, em quilogramas, de 32 crianças de mesma idade, obtidos em um posto de saúde.

22,2

22,3

23,1

23,5

23,8

24,1

24,3

24,3

26,0

25,0

25,1

25,3

25,3

25,4

25,6

25,7

26,0

26,1

26,2

26,2

26,3

26,5

26,6

26,7

27,1

27,1

27,3

25,7

27,7

27,9

28,0

28,0

a) Calcule a amplitude da distribuição de massas. 5,8 kg b) Separe os dados em 6 classes e dê o comprimento de cada classe. c) Elabore uma tabela de frequências de acordo com as classes. d) Construa um histograma com os dados obtidos.

1,0 kg

8 André resolveu fazer um histograma colocando alguns números em um gráfico, como representado abaixo. Observe o histograma e responda às questões. 7. c)

1,48 1,54 1,54 1,60 1,60 1,66 1,66 1,72 1,72 1,78 Total

Frequência Frequência 25 absoluta relativa (número de alunos) (%) 20 4 10 7 17,5 15 12 30 10 11 27,5 6 15 5 40 100 0

22,2  23,2 23,2  24,2 24,2  25,2 25,2  26,2 26,2  27,2 27,2  28,2 Total 7. d) 1

2

3

4

5

6

a) Em quantas classes está dividida a variável? b) Qual é a medida de cada classe? 2 c) Qual é a maior frequência? 20 d) Qual é a menor frequência? 5

62 pom9_052_073_u02.indd 62

Frequência Frequência absoluta relativa

Massa (kg)

7

8

3 3 4 9 8 5 32

9,375% 9,375% 12,5% 28,125% 25% 15,625% 100%

Massa das crianças

9 10

4 classes

Número de crianças

Altura (m)

Setup

6. a)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 22 23 24 25 26 27 28 Massa (kg)

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Capítulo 8

Você certamente já brincou com dados. Deve ter observado que em cada um deles as faces são marcadas com pontos que vão de 1 a 6. Além disso, a soma dos pontos em faces opostas é 7. Assim, a face oposta à de 1 ponto é a face de 6 pontos, a face oposta à de 2 pontos é a de 5 pontos e, finalmente, a face de 3 pontos é oposta à de 4 pontos.

Ronaldo Barata

Contagem e probabilidades

Neste capítulo, abordaremos alguns conceitos iniciais da Análise Combinatória, observando o princípio fundamental da contagem, além de ideias iniciais sobre o cálculo de probabilidades.

O princípio fundamental da contagem Imagine que você resolva sair para visitar um amigo. Como está muito quente, pretende vestir bermuda, camiseta e calçar tênis. Você tem 2 bermudas, 3 pares de tênis e 4 camisetas – de quantas maneiras diferentes poderá se vestir?

Ronaldo Barata

Podemos solucionar esse problema por meio de um desenho ou mesmo de uma árvore de possibilidades, como mostrado a seguir. Assim, se contarmos as possibilidades, há 24 maneiras diferentes de se vestir. Entretanto, pelo princípio fundamental da contagem podemos encontrar o resultado da seguinte maneira: • número de possibilidades na escolha de uma bermuda: 2; • número de possibilidades na escolha de um par de tênis: 3; • número de possibilidades na escolha de uma camiseta: 4. Portanto, o total de maneiras de escolhermos 1 bermuda, 1 par de tênis e 1 camiseta é calculado multiplicando-se as possibilidades. 2  3  4 5 24 Se uma contagem é composta de etapas sucessivas e o resultado depende dessas etapas, o total de maneiras de realizar essa contagem é multiplicando os números de possibilidades das etapas.

63 pom9_052_073_u02.indd 63

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Exemplo 1: Quantos números com dois algarismos distintos podem ser formados no nosso sistema de numeração decimal?

Resolução: Temos de escolher um algarismo para as dezenas e um algarismo para as unidades. Dezenas

Unidades 9 possibilidades (excluímos o zero) 9 possibilidades (excluímos apenas aquele que foi colocado nas dezenas)

Assim, de acordo com o princípio fundamental da contagem, temos: 9 ? 9 5 81; 81 possibilidades

Exemplo 2: Desejamos formar uma senha com 3 letras do alfabeto. Qual é o número total de senhas que podemos formar?

Resolução: 1a letra

2a letra

3a letra

Como são 26 letras, há 26 possibilidades para a 1ª letra, 26 possibilidades para a 2ª letra e 26 possibilidades para a 3ª letra. Assim, o total de senhas é: 26 ? 26 ? 265 17 576 Nesse exemplo, se houvesse a condição de que as letras deveriam ser distintas, teríamos como resultado: 26 ? 25 ? 245 15 600

Ronaldo Barata

Exemplo 3: Um grupo de 10 pessoas está reunido para uma confraternização. Ao final, todos se cumprimentam uma única vez. Qual foi o total de apertos de mão?

Resolução: Como cada pessoa cumprimenta outra, cada um cumprimentará 9 pessoas. Assim, o total de apertos de mãos pode ser calculado multiplicando-se 10 (número total de pessoas) por 9 (número de pessoas que cada uma irá cumprimentar). 10 ? 9 5 90

Devemos dividir esse resultado por 2, pois um mesmo aperto de mãos é contado duas vezes (um para cada pessoa). 90 5 45; 45 apertos de mãos 2

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05/06/2015 17:27

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Um menino possui 5 camisetas diferentes e 4 bermudas diferentes.

a) Sendo A, B, C, D e E as camisetas e P, Q, R e S as bermudas, obtenha todas as maneiP, AQ, AR, AS, BP, BQ, BR, BS, CP, CQ, ras do menino vestir uma camiseta e uma bermuda. a) ACR, CS, DP, DQ, DR, DS, EP, EQ, ER, ES. b) Utilizando o princípio multiplicativo, explique como calcular o número total de possibilidades dele se vestir. 5 ? 4 5 20 possibilidades

2 Angela tem 2 saias (uma vermelha e outra azul), 4 blusas (estampada, verde, preta e branca). Calcule o número de maneiras diferentes que ela pode se vestir combinando 1 saia e 1 blusa. 2 ? 4 5 8 maneiras diferentes de se vestir

3 Um restaurante oferece aos clientes 4 tipos de pratos quentes, 2 tipos de saladas e ainda 5 tipos de sobremesas. De quantas maneiras diferentes pode-se, nesse restaurante, escolher: 4 ? 2 ? 5 5 40 maneiras Ilustrações: Ronaldo Barata

a) um prato quente e uma salada? 4 ? 2 5 8 maneiras b) um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

4 Usando apenas os algarismos ímpares (1, 3, 5, 7 e 9), vamos formar números. Determine: a) a quantidade de números com 2 algarismos que podem ser formados; 25 números b) a quantidade de números com 2 algarismos distintos que podem ser formados;20 números c) a quantidade de números com 3 algarismos que podem ser formados; 125 números d) a quantidade de números com 3 algarismos distintos que podem ser formados. 60 números

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Registre no

caderno

5 Para observar se o resultado do lançamento de moedas deu cara ou coroa, responda: a) Qual é o número total de possibilidades de resultados no lançamento de duas moedas de maneira consecutiva? 4 resultados possíveis b) E de três moedas? 8 resultados possíveis 6 Com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8 e 9, determine a quantidade de números com três algarismos distintos que podem ser formados. 120 números

8 As três letras que compõem a placa dos carros são denominadas de prefixo. Responda: a) No tipo de emplacamento atual, qual é o número total de prefixos que podem ser formados? 17 576 prefixos b) Em quantos desses prefixos as três letras são diferentes? 15 600 prefixos

Eduardo Belmiro

Ronaldo Barata

7 Quatro pessoas participam de uma corrida. Determine o número total de possibilidades de termos o 1o, o 2o e o 3o colocados. 24 maneiras diferentes

9 Calcule a quantidade de números naturais de quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 840 números 10 Oito amigos resolvem disputar uma corrida. De quantas maneiras diferentes podemos ter: a) o 1o colocado? 8 maneiras b) os três primeiros colocados?

336 maneiras

11 Marcos tem 3 pares diferentes de tênis, 3 bermudas diferentes e 5 camisas diferentes. Calcule o total de possibilidades que ele tem de se vestir usando:

Ronaldo Barata

a) 1 bermuda e 1 camiseta; 15 possibilidades b) 1 tênis, 1 bermuda e 1 camiseta. 45 possibilidades

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Quando lançamos uma moeda para cima, quais são os resultados possíveis?

© Banco Central do Brasil

Ideias iniciais de probabilidade Sabemos que vai dar cara ou coroa. Assim, há apenas dois resultados possíveis e em geral consideramos que os dois têm igual possibilidade de ocorrência. Dizemos que tanto cara quanto coroa têm 50% de probabilidade de ocorrer. A probabilidade de ocorrência de determinado evento é o quociente entre o número de resultados favoráveis (evento) e o número total de resultados possíveis (espaço amostral). probabilidade 5

número de casos favoráveis número de casos possíveis

No lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade de ocorrência de uma face que tenha um número múltiplo de 3.

DAE

Exemplo 1: Resolução: Inicialmente, precisamos descobrir quais são os resultados favoráveis, isto é, quais resultados nos interessam (os múltiplos de 3). São os seguintes: 3 ou 6 (2 resultados favoráveis). Agora, determinamos os resultados possíveis, isto é, quais os resultados que podem acontecer: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 (6 resultados possíveis) Portanto, sendo p a probabilidade de ocorrência de um resultado múltiplo de 3, então:

p 5 2 5 1 5 0,333...  33,33% 6 3

Exemplo 2: Em uma caixa com 100 bolinhas numeradas de 1 a 100, qual é o número que tem maior probabilidade de ser sorteado: um número múltiplo de 9 ou um número múltiplo de 10?

Resolução: Nesse caso, temos de calcular as duas probabilidades. Primeiro, vamos determinar quais são as situações favoráveis para cada um dos números citados. Números múltiplos de 9 são: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 e 99 (11 possibilidades). Números múltiplos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 e 100 (10 possibilidades). Calculamos as probabilidades correspondentes, considerando que há 100 resultados possíveis de ser sorteados: Múltiplo de 9: p 5 11 5 0,11 5 11% 100 Múltiplo de 10: p 5 10 5 0,10 5 10% 100 Concluímos que é mais provável que ocorra um número múltiplo de 9 do que um número múltiplo de 10.

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Observações: VV Estamos analisando apenas casos mais simples, com experimentos aleatórios honestos e com probabilidade

igual de ocorrência (equiprovável). VV A probabilidade é representada por um número real, que varia de 0 a 1. Esse número também pode ser

expresso percentualmente variando de 0% a 100%.

Trabalho em EQUIPE

Professor, é importante os alunos perceberem que quanto mais vezes jogamos “cara ou coroa”, mais resultados de cada um aproxima-se de 50%.

Em dupla, joguem "cara ou coroa". Determinem que cada um jogue a moeda 50 vezes e registrem os resultados. Depois, respondam: ocorreu 50% de cara e 50% de coroa? Comentem a situação.

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 No lançamento de um dado, responda: a) Qual é a probabilidade de ocorrência da face com 5 pontos?

1 6

b) Qual é a probabilidade de ocorrência da face com um número par de pontos?

3 6

2 Em sua classe, determine a probabilidade de uma pessoa ser escolhida por sorteio de tal maneira que ela seja: Respostas que dependem do número de meninos e meninas da turma. a) do sexo masculino;

b) do sexo feminino.

3 Em uma rifa na festa junina da escola, os bilhetes foram numerados de 1 a 100. Calcule a probabilidade de o bilhete sorteado ser: a) um número par;

1 2

b) um número ímpar;

1 2

c) um número com 2 algarismos;

9 10

9 d) um número com 1 algarismo;100 36 e) um número maior que 64. 100

4 Dentro de uma caixa há 3 bolas pretas, 5 bolas azuis e 10 bolas brancas. Todas as bolas têm o mesmo tamanho. Uma pessoa vai retirar, sem olhar, uma bola da caixa. Determine a probabilidade de que essa bola retirada seja da cor: a) preta;

3 18

b) azul;

5 18

c) branca.

10 18

5 Você lança uma moeda para cima e aposta que vai dar coroa. Sua irmã lança um dado para cima e aposta que sairá a face com cinco pontos. Quem tem maior probabilidade de acertar: você ou sua irmã? Você. 6 Em uma escola de esportes 50 alunos estão matriculados no curso de vôlei, 80 no curso de futebol e 20 nos dois cursos. Se escolhermos ao acaso um dos alunos, qual é a probabilidade de ele jogar apenas futebol? 6 11

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Conexões Vimos que, além da média aritmética e da média ponderada, outras medidas de tendência central auxiliam-nos a compreender e a representar um grupo de valores: a moda e a mediana. Algumas vezes, as medidas de tendência central são insuficientes para representar adequadamente um grupo de valores. Nesses casos, é possível tomar decisões importantes por meio das medidas de dispersão. Considere uma situação envolvendo dois jogadores de basquete que jogam na mesma posição. Cada um deles participou de apenas 5 partidas de um total de 10 jogos. O técnico precisa decidir qual deles jogará na partida final do campeonato. A

Ilustrações: Ronaldo Barata

B

      Observe as pontuações dos dois jogadores: A

B

Jogo

Número de pontos

Jogo

Número de pontos

1

10

1

23

2

8

2

20

3

38

3

22

4

34

4

21

5

20

5

24

Total

110

Total

110

Se o critério do técnico for a média aritmética, os dois jogadores têm a mesma média. Há uma possibilidade diferente para a tomada de decisão, conhecida em Estatística como medida de dispersão: o desvio médio. Para compreender como calcular o desvio médio, inicialmente encontramos a média aritmética da pontuação feita pelos dois jogadores.

• Jogador A

MA 5 10  8  38  34  20 5 110 5 5

⇒ MA 5 22

• Jogador B

MB 5 23  20  22  21  24 5 110 5 5

⇒ MB 5 22

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Com a média aritmética da pontuação de cada jogador, calculamos a diferença entre o número de pontos de cada jogo e a média aritmética obtida. Jogador A: Desvio do 1o jogo: 10 2 22 5 212 Desvio do 2o jogo: 8 2 22 5 214 Desvio do 3o jogo: 38 2 22 5 16 Desvio do 4o jogo: 34 2 22 5 12 Desvio do 5o jogo: 20 2 22 5 22 Jogador B: Desvio do 1o jogo: 23 2 22 5 1 Desvio do 2o jogo: 20 2 22 5 22 Desvio do 3o jogo: 22 2 22 5 0 Desvio do 4o jogo: 21 2 22 5 21 Desvio do 5o jogo: 24 2 22 5 2

•

•

Os desvios representados por valores positivos são "desvios para mais" em relação à média. Já os desvios representados por valores negativos são "desvios para menos" em relação à média. O desvio médio é calculado pela média aritmética dos módulos dos desvios anteriores. Retornando ao exemplo, calculamos agora o desvio médio de cada um dos jogadores.

• D

A

=

• DD == BB

2 12  2 14  16  12  2 2 12  14  16  12  2 ⇒ D A 5 11,2 5 5 5  2 222   00   2 211   22 11   22   00   11   22 ⇒ 11  5 1,2 1,2 == DDBB 5 55 55

Assim, o maior desvio médio é do jogador A. Isso significa que o jogador B é mais regular do que o jogador A. Esse poderia ser um critério para o técnico escalar o jogador. Registre no

Trabalho em EQUIPE

Professor, oriente os alunos a trabalharem em grupo de no máximo quatro alunos.

caderno

1 Pesquisem um exemplo que mostre o uso de desvio médio. Façam a análise da situação e apresente-a na sala de aula. Resposta pessoal. 2 Calcule o desvio médio de dois jogadores de basquete considerando que cada um jogou 5 partidas e obteve a seguinte quantidade de pontos: DA 5 5,52; DB 5 4,32 Jogo

1 2 3 4 5 Total

Jogador A Número de pontos

12 20 8 25 13 78

Jogo

1 2 3 4 5 Total

Jogador B Número de pontos

10 18 14 24 12 78

70 pom9_052_073_u02.indd 70

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Registre no

caderno

Superando Desafios 1 (Enem)

Centro-Oeste

Possuíam Não possuíam

Sul

Sudeste

Nordeste

Norte

Paula Radi

Porcentagem (%)

Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 Estudantes que possuem telefone móvel celular estudantes foram entrevistados nescom idade de 10 anos ou mais sa pesquisa, quantos deles possuíam 70 64 63 62 58 56 telefone móvel celular? Alternativa d. 60 50 44 42 37 38 36 a) 5 513 40 30 b) 6 556 20 10 c) 7 450 0 d) 8 344 e) 9 536 Regiões brasileiras

Fonte: IBGE. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).

2 (Unesp) O gráfico, publicado na Folha de S. Paulo de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhões de reais) do governo federal com os juros da dívida pública. 120

bilhões de reais 102,2

100 80

70,0 54,7

60 40 20 0

Paula Radi

Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que: Alternativa d. a) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhões. b) o menor gasto foi em 1996. c) em 1997, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 1996. d) a média dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$ 79,8 bilhões. e) os gastos decresceram de 1997 a 1999.

57,4

23,6 19,5

20,6

1995 1996 1997 1998 1999 Obs.: 2001 – estimativa até dezembro.

2000

2001

ano

Editora Zahar

Explorando Mania de Matemática 2 Autor: Ian Stewart Tradutor: Diego Alfaro Editora: Zahar 240 páginas O livro é baseado em artigos sobre jogos e enigmas matemáticos que o autor escreveu para a revista Scientific American. O texto pretende entreter o leitor mostrando que a Matemática pode ser atraente e divertida, por meio de temas como gráficos, probabilidade e a divisão justa de um bolo (ilustração da capa do livro), além de problemas ainda não solucionados pelos matemáticos.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Determine a alternativa que indica corretamente o nome do gráfico estatístico representado abaixo.

a) 100 pessoas b) 120 pessoas c) 40 pessoas d) 60 pessoas

Alternativa c.

25

10% 30%

60%

5 Ainda sobre os dados da atividade 4, determine a alternativa que contém o número de pessoas que não responderam à pesquisa. Alternativa d.

20 15 10

a) 100 pessoas b) 120 pessoas

5 0 B

C

D

E

6 Como é classificado o tipo de gráfico apresentado a seguir? Alternativa c.

a) gráfico de linhas b) gráfico de setores

a) gráfico de setores b) gráfico de linhas c) histograma d) gráfico de barras

c) gráfico de barras d) histograma 2 No gráfico a seguir, esqueceram de incluir o percentual correspondente ao item "Bom". Determine a opção que indica es­ se valor que está faltando. Alternativa c.

a) 40% b) 50% c) 60% d) 45%

regular 15%

ruim 5%

Ilustrações: Setup

A

c) 40 pessoas d) 20 pessoas

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ótimo 20%

20 40 60 80 100

7 Este histograma foi construído observando o tempo de duração do atendimento de um caixa de banco ao longo de um dia, contando o tempo de espera para ser atendido. Observe-o e responda às questões. Número de pessoas atendidas

bom

3 Três amigos estão reunidos. O primeiro tem 15 anos de idade, o segundo 20 anos e o terceiro 18. A média das idades desses três amigos é: Alternativa a.

a) mais próxima da idade 18 anos. b) mais próxima da idade 15 anos. c) mais próxima da idade 20 anos. d) maior que 18 anos.

4 Numa pesquisa feita com 200 pessoas, 10% não responderam, 30% disseram não e 60% disseram sim. Qual foi o total de pessoas que disse sim? Alternativa b.

12

11

10 8 6 4

3

2 0

4 2

0

0

8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 28-32 Duração (min)

a) Em quantas classes a variável Duração está dividida? 6 classes b) Qual é a medida de cada classe? 4 minutos c) Qual é a classe com maior frequência? A de 16 a 20 minutos. d) Quais são as classes que têm frequên­ cia zero? A classe de 8 a 12 e a classe de 28 a 32 minutos.

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Registre no

caderno

8 Em uma sala há 4 homens e 3 mulheres. De quantas maneiras diferentes podem ser selecionados 1 homem e 1 mulher para formar um casal? Alternativa a. b) 24

c) 18

d) 36

9 Em uma questão de múltipla escolha formada de cinco respostas possíveis, se alguém responder à questão aleatoriamente, a probabilidade da resposta estar certa é: Alternativa d.

a) 2 3

b) 2 5

c) 1 3

d) 1 5

10 Dos 1 000 participantes de determinado programa de TV, apenas uma pessoa será escolhida para desempenhar um papel num comercial. Sabe-se que essa pessoa será escolhida aleatoriamente. Ana é uma das 1 000 pessoas. A probabilidade de ela ser sorteada é: Alternativa d. b) maior que 5% e menor que 10%. c) entre 1% e 2%. d) menor que 1%. 11 Em um concurso, Pedro tem de responder a três questões escrevendo V para verdadeira ou F para falsa em cada uma. O número de possíveis maneiras que ele pode apresentar as respostas é: Alternativa d. b) 2

c) 4

d) 8

12 Ainda em relação à atividade 11, qual é a probabilidade de Pedro acertar as três questões respondendo a cada uma delas aleatoriamente? Alternativa b. a) 1 4

b) 1 8

Quantidade de pacientes 12 10 8 6 4 2 0

a) maior que 10%.

a) 1

14 O histograma a seguir foi elaborado por um médico, de acordo com as informações das idades dos pacientes atendidos ao longo de uma semana.

c) 1 2

d) 1 3

13 O gráfico a seguir demonstra o número de desastres aéreos registrados nos seis primeiros meses de um ano em um país.

Ilustrações: Setup

a) 12

a) Elabore uma tabela contendo as frequências absoluta e relativa, de acordo com as informações do gráfico. b) Qual é o percentual de acidentes aéreos do mês de fevereiro em relação ao semestre? 13,33%

2

4

6

8

10

12

14

16

Idade (anos)

Responda: a) Quantos pacientes apresentavam idade no intervalo 4  6? 6 pacientes b) E no intervalo 8  10? 12 pacientes c) Quantos pacientes o médico atendeu ao longo da semana indicada? 48 pacientes 15 Numa cidade foi feita uma pesquisa com seus habitantes sobre a intenção de gastos para as compras de fim de ano. Após observar o gráfico, elabore uma frase de acordo com o que você interpretou das informações. Resposta pessoal.

13. a) Mês Freq. abs. 1 fev. 2 mar. 4 abr. 4 maio 3 jun. 1 Total 15

Intenção de gastos jan. 43% R$ 100,00

Freq. rel. 6,67% 13,33% 26,67% 26,67% 20% 6,66% 100%

Quantidade de desastres aéreos 5

4

4

1

15% R$ 50,00

3

3 2

4

2 1

1 jan.

fev.

mar.

abr.

maio

jun.

Mês

38% mais de R$ 200,00

4% acima de R$ 1.000,00

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UNIDADE 3

Geometria: semelhança de triângulos

Alguns resultados que hoje julgamos ser simples revolucionaram a história da Matemática. O cálculo de distâncias inacessíveis fez surgir no cenário dessa ciência dois teoremas importantes: o teorema de Tales e o teorema de Pitágoras. Vamos conhecer um pouco mais os procedimentos que nos permitem calcular a altura de um prédio, por exemplo, medindo apenas sua sombra.

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Anker/Dreamstime.com

1 Como calcular a altura de um poste apenas pela medida de sua sombra? 2 Quando podemos afirmar que duas fotografias têm medidas proporcionais? 3 Qual é o enunciado do teorema de Pitágoras?

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CAPíTUlo 9

Teorema de Tales Sculpies/Dreamstime.com

Comparar é medir! As pirâmides do Egito estão entre as construções mais antigas ainda preservadas. Quais estratégias você utilizaria para determinar a altura dessas pirâmides sem medi-las diretamente? A resposta para essa questão foi dada pelo filósofo Tales de Mileto, há aproximadamente 2 500 anos. Ele não só solucionou o problema como foi o precursor do que hoje denominamos “demonstração matemática”.

As pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos, em Gizé, Egito.

Neste capítulo teremos a oportunidade de conhecer um pouco mais a respeito de Tales e Objeto de um teorema que leva seu nome. educacional Ilustra Cartoon

digital

“Lentamente, seu olhar foi de seu corpo à sua sombra, de sua sombra a seu corpo, depois voltou-se para a pirâmide. [...] Tales compenetrou-se dessa ideia: a relação que mantenho com minha sombra é a mesma que a pirâmide mantém com a dela. Disso deduziu o seguinte: no instante em que minha sombra for igual à minha estatura, a sombra da pirâmide será igual à sua altura!” Denis Guedj. O teorema do papagaio. São Paulo: Cia. das Letras, 1999.

Ao escrever a comparação entre as medidas, obtemos uma razão. Se considerarmos dois segmentos AB e CD com medidas 7 cm e 14 cm, respectivamente, a razão entre essas medidas é representada por: Respostas da página AB 5 7 cm 5 1 anterior: Dizemos que a razão dos segmentos AB e CD é 1 . 1. Pela semelhança CD 2 14 cm 2 de triângulos. 2. Pela razão entre seus lados, deve ser a mesma. 3. Num triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

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A razão entre dois segmentos é a razão entre suas medidas, consideradas na mesma unidade.

Observação: VV Dados dois segmentos AB e CD, a razão

entre eles, nessa ordem, é indicada por AB . CD

Exemplo:

Ronaldo Barata

Os desenhos a seguir são de uma mesma casa. No primeiro desenho as medidas são 5 cm de largura por 3 cm de altura, enquanto no segundo, 7,5 cm de largura por 4,5 cm de altura.

4,5 cm 3 cm

5 cm

7,5 cm

Calcule a razão entre essas medidas em cada um dos desenhos.

Resolução:

• Primeiro desenho: altura 5 3 cm 5 3 largura 5 cm 5

• Segundo desenho:

razões iguais

altura 5 4,5 cm 5 4,5 5 3 largura 7,5 cm 7,5 5 Como as duas razões são iguais, temos uma proporção.

Quando quatro segmentos AB, CD, EF e GH formam a proporção: AB 5 EF , CD GH dizemos que AB e CD são proporcionais a EF e GH. Registre no

Trabalho em EQUIPE

caderno

Vamos construir um campo de futebol com base nas medidas oficiais para jogos internacionais? Segundo as regras da Federação Internacional de Futebol (Fifa), elas devem ser entre 100 e 110 metros na lateral e entre 64 e 75 metros na linha de fundo. Definam um espaço da escola para a suposta construção desse campinho e, com o auxílio de uma trena, meçam o local e determinem qual poderá ser o tamanho máximo para a lateral e para a linha de fundo. Para largura e comprimento, utilizem a mesma razão entre as medidas máximas determinadas pela Fifa. Caso a escola já tenha um campo, verifiquem se ele é proporcional ao campo de medidas máximas oficiais. Resposta de acordo com o campo da escola.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Determine a razão entre as medidas dos segmentos AB e CD, nessa ordem, considerando: 1 3

b) AB 5 7,5 cm e CD 5 15 cm c) AB 5 1 cm e CD 5 0,5 cm d) AB 5 15 cm e CD 5 40 cm

2 3 8

e) AB 5 10 cm e CD 5 1,5 cm

8 cm e 24 cm

1 2

B 32 cm

20 3

f) AB 5 2 2 cm e CD 5 4 2 cm

A 1 2

2 Expresse a razão  x na forma mais simy ples possível considerando: a) x 5 7 cm e y 5 0,7 dm b) x 5 5 L e y 5 25 L

a) 4a 5 b

1 4

b) 0,5a 5 25b 50

c) 16a 5 12b d) 3 a 5 5b 2

3 4 10 3

7 Resolva os problemas a seguir.

d) x 5 9 kg e y 5 18 000 g

1 2

5 4

DAE

3 Determine o valor de x para que os segmentos AB, AC, PQ e PR formem, nessa ordem, uma proporção. 10 cm B

A 3 cm

a sendo: 6 Calcule a razão b

1

1 5

c) x 5 2,5 dias e y 5 48 horas

5 cm

DAE

a) AB 5 10 cm e CD 5 30 cm

5 Um segmento AB medindo 32 cm foi dividido em duas partes diretamente proporcionais aos números 1 e 3. Qual é a medida de cada uma dessas partes?

C

Q x

a) Dois ângulos suplementares são tais que a razão entre as medidas é 2 . Quais são 7 as medidas desses ângulos? 40º e 140º b) A medida do lado de um quadrado é 6 cm. Determine a razão entre o perímetro e a medida do lado desse quadrado, nessa ordem. 41 c) Qual deve ser a largura de um campo de futebol com comprimento de 55 m para que ele seja proporcional a um campo com medidas máximas determinadas pela Fifa? 37,5 m 8 A razão entre as medidas de dois segmentos é 5 . Considere que as medidas 8 dos segmentos estão em centímetros e a soma das medidas é 52 cm. Determine as medidas dos dois segmentos. 32 cm e 20 cm

P 6 cm

R

4 Um segmento AB que mede 80 cm foi dividido em duas partes diretamente proporcionais aos números 3 e 5. Determine as medidas de cada uma das duas partes. 30 cm e 50 cm

9 Desenhe no caderno um quadrado cujo lado meça 5 cm. Em seguida, determine: a) a razão entre a medida de cada lado e o perímetro correspondente; 1 4 b) a razão entre o perímetro do quadrado e a medida do lado correspondente; 4 c) a razão entre a medida de um lado e a área do quadrado. 1 5

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Teorema de Tales O teorema de Tales está relacionado à ideia de retas paralelas interceptando uma ou mais retas transversais, como representado na figura.

Observações: VV Feixe de retas paralelas: três

Ilustrações: DAE

ou mais retas distintas de um mesmo plano, paralelas entre si. VV Reta transversal: reta que

intersecta todas as retas de um feixe de paralelas.

Essas retas, que são paralelas, formam um “feixe de paralelas”. Vamos considerar duas propriedades importantes relacionadas ao feixe de paralelas e às retas transversais.

Primeira propriedade Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. Essa propriedade pode ser observada na figura a seguir, considerando que as retas paralelas estão igualmente espaçadas. r

r’

A

A’

B

a B’

C

b C’

c

De acordo com essa propriedade, se o feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre a transversal r, também determinará segmentos congruentes na transversal r ’. Assim, se AB 5 BC (ou AB  BC: AB é congruente a BC) então, A‘B‘ 5 B‘C‘ (ou A‘B‘  B’C’: A’B’ é congruente a B’C’). Uma maneira de provar esse resultado é traçar duas retas paralelas à reta r, uma passando pelo ponto A’ e a outra passando pelo ponto B’, como na figura a seguir. r

r’

A B C

A’ P

a B’

Q

C’

b c

Ao traçar essas paralelas à reta r, são determinados dois paralelogramos:

• No paralelogramo AA’PB: AB 5 A’P • No paralelogramo BB’QC: BC 5 B’Q

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Como sabemos que AB 5 BC, então A‘P 5 B‘Q.

• Nos triângulos A‘PB‘ e B‘QC‘, os ângulos A‘ e B‘ são congruentes. • Nesses mesmos triângulos, os ângulos P e Q são congruentes. • Utilizando o caso de congruência ALA, temos que os dois triângulos são congruentes. Portanto, A’B’= B’C’.

Exemplo: Ilustrações: DAE

A primeira propriedade possibilita a determinação, de forma direta, da medida de x, como na figura a seguir, considerando que as retas em vermelho são transversais ao feixe de retas paralelas.

3,8 cm

2,5 cm

x

2,5 cm

De acordo com essa propriedade, temos que x 5 3,8 cm.

Segunda propriedade: teorema de Tales Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos de medidas proporcionais. A demonstração do teorema de Tales considera a primeira propriedade. Assim, vamos supor que, na figura a seguir, AB e BC sejam comensuráveis, isto é, que haja uma unidade padrão u de medida desses segmentos. Vamos supor que há um segmento de comprimento u que “cabe” m vezes em AB e n vezes em BC. A u u

r

s

Observações:

A’ v v

B u u C

a B’ v v

b C’ c

Assim, temos: AB 5 m ? u 5 m BC n ?u n

VV Dois segmentos são

comensuráveis quando o quociente de suas medidas é um número racional. VV É possível demonstrar a

validade do teorema de Tales, mesmo se os segmentos não forem comensuráveis

De acordo com a figura, podemos conduzir um feixe de retas paralelas igualmente espaçadas. Assim, o segmento A‘B‘ ficará dividido em m segmentos de comprimento v e o segmento B‘C‘ ficará dividido em n segmentos de comprimento v. Assim, temos: A'B' 5 m ? v 5 m B'C' n ?v n Comparando os resultados obtidos, concluímos que: AB 5 A'B' BC B'C'

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r

Exemplo:

s

A

Determine o valor de x na figura ao lado, sendo a, b e c retas paralelas.

A'

2x  3 B

Resolução:

a

5 B'

x2

6

C

De acordo com o teorema de Tales, temos que: AB 5 A'B' ⇒ 2x 2 3 5 5 BC B'C' x 12 6

b

C'

c

Em uma proporção, sabemos que o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos meios, isto é: 6(2x 2 3) 5 5(x 1 2) 12x 2 18 5 5x 1 10 7x 5 28 x54

Observações: VV É imediato, conforme o teorema de Tales e as propriedades de proporção, que os segmentos

correspondentes nas transversais formem a proporção:

a 5 b 5 c a' b' c'

a b

a' b'

VV Essa mesma proporção se mantém quando acrescentamos um segmento

correspondente à soma das medidas dos segmentos:

c

c'

a 5 b 5 c 5 a 1b 1c a' b' c' a' 1 b' 1 c' Registre no

caderno

Trabalho em EQUIPE

Um terreno em forma de trapézio deve ser dividido em três outros terrenos conforme figura abaixo, em que as retas a, b, c e d são paralelas. r A

s B

42 m

terreno 1

C

Ilustrações: DAE

a 36 m D b 35 m

terreno 2

E 28 m

x F c

terreno 3

G

y H d

Em dupla, responda: quais são as medidas representadas por x e y?

x 5 30 m; y 5 24 m

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

a r

s 9

x6

6

t

b



c

2 As retas paralelas a, b e c interceptam duas retas transversais r e s determia nando segmentos conb c forme medidas indicadas 3 r na figura. 5

Obtenha: a) o valor de x indicado na figura; 8 cm b) as medidas dos dois segmentos da reta a; 8 cm e 10 cm c) as medidas dos dois segmentos da reta b. 20 cm e 25 cm 5 Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas. Considere que AC 5 x cm, BC 5 8 cm, DE 5 (x 2 17) cm, EF 5 5 cm, GI 5 y cm e HI 5 10 cm.

s 7,5 cm 4,5 cm

s I t

H

s 8 t

a) Determine o valor de x. 2 3 cm b) Determine as medidas dos segmentos desconhecidos da figura.

b) o valor de y.

32 cm

40 cm

6 Na figura a seguir, as retas paralelas r e s interceptam as retas m e n. Considerando que AB 5 4 cm, AC 5 24 cm e BY 5 30 cm, determine a medida do segmento XY. 36 cm m

n

r

A B s

3

2 3 cm e 4 3 cm

r

E F

B

Determine: a) o valor de x;

y

12

r

2x

G

x

b

x

D

A

C

3 Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas e determinam nas duas transversais a e b segmentos cujas medidas estão indicadas em centímetros. a

s

25

10

Encontre: a) o valor de x; 6 cm b) as medidas dos segmentos determinados na reta r; 18 cm e 12 cm

a) Qual é a razão de proporção das medidas dos segmentos determinados nas retas r em relação aos segmentos determinados na reta s? Aproximadamente 0,667. b) Determine o valor de x. c) Determine o valor de y.

r

2x  4

x

a 3x

b

Ilustrações: DAE

4 As retas a e b são interceptadas pelas retas paralelas r, s e t, que determinam segmentos cujas medidas estão em centímetros.

1 Na figura a seguir, as retas a, b e c são paralelas e determinam, nas retas r e s, segmentos cujas medidas em centímetros estão representadas em função de x.

Y

X

C

7 As retas transversais m e n são interceptadas pelas retas paralelas r, s e t. Considerando que AB 5 p cm, BC 5 10 cm, XY 5 q cm, YZ 5 20 cm, determine a medida XY sabendo que q 2 p 5 40 cm. XY 5 80 cm m n r A

s

B C

X

Y

Z

t

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Registre no

caderno

Conexões

Na aplicação do teorema de Tales, encontramos uma curiosidade: a divisão de um segmento em partes iguais. É claro que poderíamos medir o segmento e depois dividi-lo em tantas partes quantas quiséssemos. Entretanto, a solução usa diretamente o teorema. Imagine que desejamos dividir o segmento AB, representado a seguir, em 5 partes de mesmo comprimento. A

B

• O procedimento para a divisão consiste em traçar, a partir do ponto A, um segmento de medida qualquer.

• Com o auxílio de um compasso, no qual fixamos a abertura, marcamos consecutivamente 5 pontos nesse segmento. A

B 1 2 3 4 5

• Utilizando uma régua, ligamos o último ponto com o ponto B por meio de um segmento. • Em seguida, traçamos com auxílio de um compasso ou esquadro, segmentos paralelos ao primeiro, que passem pelos outros 4 pontos marcados na reta auxiliar, e construímos mais 4 segmentos.

Ilustrações: DAE

Eles dividirão o segmento AB em 5 partes iguais. B

A 1 2 3 4

Resposta possível: C

5 D

Construa um segmento com extremidades C e D e, com o auxílio de régua e compasso, divida esse segmento em 7 partes iguais.

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CAPíTUlo 10

Semelhança de triângulos Em continuidade ao estudo do teorema de Tales, veremos neste capítulo a semelhança de triângulos. A ideia de semelhança está relacionada diretamente à ampliação e redução de figuras geométricas. Na figura ao lado, os lados dos três triângulos estão posicionados, dois a dois, paralelos entre si. Para a construção de outros triângulos semelhantes, basta traçar outros segmentos com extremidades nas linhas pontilhadas, mas paralelos aos lados dos triângulos já existentes. Veremos a seguir o conceito de semelhança de triângulos.

Semelhança de triângulos A semelhança de triângulos pode ser observada por meio do teorema de Tales. Considere três retas paralelas interceptando duas retas transversais, conforme figura ao lado. Sabemos que as retas paralelas determinam, nas duas transversais, segmentos cujas medidas são proporcionais. Se prolongarmos as duas retas transversais, como na figura a seguir, elas se interceptam formando triângulos.

D

A D

E

B

Ilustrações: Setup

A A

E

Observações: V

 é ângulo A P interno do ABC e ADE.

V Ângulos correspondentes:

 B e D.  e E.  C

C B

C

Assim como no teorema de Tales, quando dois triângulos são semelhantes, as medidas dos lados opostos a ângulos de mesma medida (lados ditos correspondentes) são proporcionais. Assim, podemos dizer que: Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes tiverem medidas proporcionais. A

Q B

Utilizando símbolos para indicar que os dois triângulos representados ao lado são semelhantes, temos:

P

C

R

ABC PQR ABC PQR

⇔

 ≡ P A   B ≡ Q C    ≡ R

e

AB 5 AC 5 BC PQ PR QR

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Observações: VV Ângulos congruentes são os ângulos de mesma medida. VV Lados homólogos em triângulos semelhantes são os lados correspondentes, isto é, os lados opostos aos

ângulos de mesma medida.

Por meio de duas propriedades fundamentais, sobre semelhança de triângulos, podemos verificar e caracterizar a semelhança de dois triângulos de maneira mais simples.

Primeira propriedade Se dois triângulos têm dois pares de ângulos respectivamente congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Para justificar essa propriedade, admitamos que os triângulos ABC e PQR tenham dois   P e B   Q.  ângulos congruentes: A A

P

R

Q B

C

• Inicialmente,

como sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que o terceiro ângulo do triângulo ABC tem a mesma medida   R.  do terceiro ângulo do triângulo PQR. Assim, podemos concluir que C

• Vamos sobrepor o triângulo PQR ao triângulo ABC fazendo coincidir os vértices A e P e depois fazendo coincidir o vértice B com o vértice Q, como representado nas figuras I e II a seguir. A

Ilustrações: Setup

AP

P Q

R

B

C Figura I

BQ

R

C

Figura II

• Utilizando o teorema de Tales na figura I, já que BC e QR são paralelos, temos:

AB 5 AC . PQ PR

• Utilizando o teorema de Tales na figura II, já que AC e PR são paralelos, temos:

AB 5 BC . PQ QR

De acordo com esses dois resultados, concluímos que AB 5 BC 5 AC , isto é, os lados PQ QR PR dos triângulos têm medidas proporcionais.

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Segunda propriedade Toda paralela a um lado de um triângulo, que intercepta os outros dois lados em pontos distintos, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro. Na figura ao lado, o segmento PQ é paralelo ao lado BC do triângulo. Dessa forma, temos nos triângulos ABC e APQ:   A  (mesmo ângulo). A

Ilustrações: Setup

A

P

  P (ângulos correspondentes). B   Q  (ângulos correspondentes). C

Q

C

B

Assim, os triângulos ABC e APQ são semelhantes: ABC  APQ

Observação: VV Dois triângulos que possuem ângulos correspondentes congruentes são semelhantes. VV Se os lados correspondentes (lados opostos a ângulos de mesma medida) de dois triângulos tiverem

medidas proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Exemplo 1: Na figura a seguir, o segmento RS é paralelo ao segmento BC. Dessa maneira, os triângulos ABC e ARS são semelhantes. Determine o valor de x.

Resolução: Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são de medidas proporcionais: AB 5 AC AR AS A 2 1 2 2 20 5 2x 1 6 1 30 x 2x  6 2x  2 2x 2 2 2x 1 6 R S (2x 1 6)(2x 1 18) 5 (2x 2 2)(2x 1 36) 20 cm 30 cm 4x 2 1 36x 1 12x 1 108 5 4x 2 1 72x 2 4x 2 72 48x 1 108 5 68x 2 72 ⇒ 20x 5 180 ⇒ x 5 9 cm B C Poderíamos também resolver utilizando o teorema de Tales: 2x 2 2 5 2x 1 6 20 30 30(2x 2 2) 5 20(2x 1 6) ⇒ 60x 2 60 5 40x 1 120 ⇒ 20x 5 180 ⇒ x 5 9 cm

Exemplo 2: De acordo com as medidas indicadas na figura abaixo, determine o valor da medida desconhecida representada pela letra x. B

Resolução: Como cada um dos triângulos ADE e BCE tem um ângulo reto e o ângulo E congruente (ângulos opostos pelo vértice), o terceiro ângulo tem a mesma medida. Dessa forma, podemos concluir que esses triângulos são semelhantes. Assim, temos: 6 5 8 ⇒ 6 ? x 5 12 ? 8 ⇒ x 5 16 cm 12 x

12 cm D

8 cm E x

C

6 cm A

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caderno

1 Considerando as medidas indicadas na figura a seguir, determine o valor de x.

Ilustrações: DAE

AGORA É COM VOCÊ B

x 5 16 cm

D

136 cm

50 cm 25 cm

A 10 cm

x

40 cm

2 Na figura dada estão indicados dois triângulos retângulos. A T

x

C 75 cm E

a) Os triângulos ABE e CDE são semelhantes? Sim. b) Qual é a medida correspondente ao termo desconhecido x indicado na figura?

129 cm

6 Considerando que o segmento ED é paralelo ao segmento BC, responda:

A

y

10 cm

R



O

E

Responda: a) Algum ângulo é congruente ao ângulo A na figura? Sim, o ângulo O. b) Os dois triângulos são semelhantes? Sim. c) Se os dois triângulos são semelhantes, qual é a proporção entre as medidas dos lados? AR RE AE Uma proporção possível seria:

OT

5

TE

5

.

OE

3 Na figura a seguir, temos: AB 5 12 cm, AC 5 13 cm e BC 5 15 cm. Além disso, o segmento DE 5 5 cm A é paralelo ao segmenD E to BC. Determine: AD 5 4 cm

a) a medida de AD; b) a medida de AE.

C

y 2 P

9 6 A

yx



12

x

B

M

y

N

5 Na figura a seguir, considere que os segmentos AB e CD são paralelos.

3

cm cm

 8

8

y 5 2x ou x 5

D x

7 Na figura a seguir, as medidas dos lados dos dois triângulos estão em centímetros. Além disso, a 5 b. Determine as medidas x e y. x 5 9 cm e y 5 32 cm 3

C

4 Considerando que os triângulos ABC e MNP são semelhantes, determine uma relação entre as medidas x e y indicadas.

14 cm

a) Os triângulos B C 20 cm AED e ABC são semelhantes? Sim. b) Qual é a razão de proporção entre as medidas dos lados do triângulo AED e ABC, nessa ordem (caso sejam pro7 porcionais)? 10 54 c) Qual é a medida indicada pela letra x? 7 d) Qual é a medida indicada pela letra y? 70

y B 13 AE 5 cm 3

E

18 cm

6

8 Lúcia desenhou dois triângulos semelhantes. O primeiro tem perímetro de 20 cm, e o segundo, de 100 cm. Se as medidas dos lados do primeiro triângulo são 5 cm, 6 cm e 9 cm, quais são as medidas dos lados do segundo triângulo?

25 cm, 30 cm e 45 cm

9 Em um triângulo ABC, os lados medem AB 5 4 cm, BC 5 5 cm e AC 5 6 cm. Determine as medidas do triângulo PQR semelhante ao triângulo ABC considerando que o perímetro de PQR é 45 cm. 12 cm, 15 cm e 18 cm

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Os três casos de semelhança de triângulos São três os casos de semelhança, pelos quais podemos concluir se dois triângulos são semelhantes.

Primeiro caso de semelhança – AA (Ângulo – Ângulo)

Ilustrações: DAE

Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente congruentes, então os triângulos são semelhantes. A

B

C

B  Q   C  R 

Observação:

P Q

VV Esse caso de semelhança pode ser interpretado da

R

⇒ ABC

PQR

seguinte maneira: para que dois triângulos sejam semelhantes, é suficiente que eles tenham dois ângulos respectivamente congruentes.

Segundo caso de semelhança – LAL (Lado – Ângulo – Lado) Se dois triângulos têm dois lados correspondentes de medidas proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então os triângulos são semelhantes. A

Observação:

P B

C

Q

R

VV Esse caso de semelhança pode ser interpretado

AB AB 5 AC 5 AC  PQ PQ PR PR  ⇒ ABC ABC  PQR PQR       A A P P  

da seguinte maneira: para que dois triângulos sejam semelhantes, é suficiente que eles tenham as medidas de dois lados correspondentes proporcionais e que os ângulos compreendidos entre esses lados sejam congruentes.

Terceiro caso de semelhança – LLL (Lado – Lado – Lado) Se dois triângulos têm os lados correspondentes de medidas proporcionais, então os triângulos são semelhantes. A

Observação:

P B

C

Q

R

AB AB 5 AC 5 BC ⇒  5 AC 5 BC ABC ABC  PQR PQR PQ PQ PR PR QR QR

VV O terceiro caso de semelhança pode ser interpretado

da seguinte maneira: para que dois triângulos sejam semelhantes, é suficiente que eles tenham as medidas dos lados correspondentes proporcionais.

88 pom9_074_113_u03.indd 88

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Agora que você conhece os três casos de semelhança de triângulos, não há mais a necessidade de verificar se todos os ângulos correspondentes são congruentes e também se os lados correspondentes têm medidas proporcionais. Há um resultado interessante sobre semelhança de triângulos que aborda a metade da medida de um lado: Se um segmento une os pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e tem medida igual à metade da medida do terceiro lado.

M  B e MN

1 2

A

M

DAE

A justificativa desse enunciado pode ser constatada pela observação dos triângulos AMN e ABC. Eles têm em comum o ângulo A e, além disso, AM 5 AN 5 1 . De acordo com o segundo caso AB AC 2 de semelhança, podemos afirmar que ABC  AMN. Assim, podemos concluir que:

N

B

C

BC

Observações: VV A recíproca desse enunciado também é verdadeira, ou seja: se pelo ponto médio de um lado de um

triângulo traçarmos uma reta paralela a outro lado, então ela encontra o terceiro lado em seu ponto médio. VV Nos casos de semelhança entre triângulos, podemos dizer que se a razão de semelhança entre as medidas

de lados é igual a k (sendo k um número real positivo), então essa razão é a mesma se considerarmos os perímetros dos triângulos, as alturas correspondentes e outras medidas lineares correspondentes.

Exemplo: A razão de semelhança entre dois triângulos é 4. Determine a razão de semelhança entre seus perímetros.

Resolução: Se considerarmos as medidas dos lados de um triângulo como x, y e z e as medidas dos lados de outro triângulo semelhante como m, n e p, temos:

x 5 y 5 z 54 m n p De acordo com a propriedade da proporção, podemos escrever: x 5 y 5 z 5 x 1y 1z 54 m n p m 1n 1p

razão entre os perímetros

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AGORA É COM VOCÊ 1 Observe os dois triângulos representados a seguir.

b) Qual é o caso de semelhança?

c) Qual é a medida indicada por x?

3 cm

6 cm

LLL

2 Nos dois triângulos a 10 seguir estão indica5 12 das as medidas em 6 centímetros. Além y 8 disso, há um ângulo correspondente congruente. a) Os dois triângulos são semelhantes. Qual é o caso de semelhança? LAL b) Qual é a medida indicada por y? 4 cm 3 Os dois triângulos representados a seguir são semelhantes e as medidas estão em centímetros. K 36

L F

y

12 G



H

x

Determine: a) a medida x; b) a medida y.

24 cm

A

D xm 8m

C

6

8

4  2



x

Então: a) verifique se os dois triângulos são semelhantes; Sim. b) determine x;

10 cm

c) determine y.

7 cm

27 cm, 33 cm e 45 cm

28 cm

4 Na figura a seguir estão indicados os triângulos ABC e DEF.

70 m

y



6 Em uma folha de papel, Marcelo desenhou dois triângulos semelhantes. O primeiro tem perímetro de 35 cm, e o segundo, 105 cm. Se as medidas dos lados do primeiro triângulo são 9 cm, 11 cm e 15 cm, quais são as medidas dos lados do segundo triângulo?

M

42

70 m

5 Considere que as medidas da figura estão indicadas em centímetros. Além disso, os ângulos indicados por a e b são congruentes.

a) Eles são semelhantes? Sim. b) Se esses dois triângulos forem semelhantes, qual é o caso de semelhança?

18

Caso AA.

Ilustrações: Setup

2 cm

a) Os dois triângulos são semelhantes? Sim.

7 cm

4 cm

3,5 cm

Responda:

45°

45° B

F

Obs.: As medidas não estão representadas na proporção.

E

7 Em um triângulo ABC, os lados medem AB 5 8 cm, BC 5 10 cm e AC 5 12 cm. Determine as medidas do triângulo PQR semelhante ao triângulo ABC considerando que o perímetro de PQR é de 20 20 cm. 16 cm, cm e 8 cm 3 3 8 Uma construtora construiu um prédio de 80 metros de altura. Para representar o edifício, construiu uma maquete de 1 m de altura. A porta de entrada do edifício tem 2 metros de altura. Qual é a medida da altura da porta na maquete? 0,025 m 5 2,5 cm

90 pom9_074_113_u03.indd 90

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CAPíTUlo 11

O triângulo retângulo Neste livro, já falamos do teorema de Tales, que relaciona medidas de segmentos obtidos em retas transversais interceptadas por retas paralelas em um mesmo plano. Agora veremos a contribuição de outro grego chamado Pitágoras. A partir de agora, e inúmeras vezes ao longo de sua formação, você utilizará um dos conceitos mais conhecidos na Matemática: o teorema de Pitágoras. No centro da figura ao lado está um triângulo retângulo. Uma forma de interpretar o teorema de Pitágoras está relacionada com os três quadrados construídos: a soma das áreas dos dois quadrados de mesma cor é igual à área do quadrado maior. Observe que as medidas dos lados dos três quadrados são as medidas dos lados do triângulo retângulo. Veremos a seguir como enunciar esse teorema tão famoso.

Você já observou um esquadro? A forma do esquadro lembra a de um triângulo. Observando melhor, o triângulo do esquadro tem um ângulo reto. Esse tipo de triângulo é classificado como triângulo retângulo.

Blinka/Shutterstock

Relações métricas no triângulo retângulo

hipotenusa cateto

Ilustrações: Setup

Os dois lados que formam o ângulo reto num triângulo retângulo são chamados de catetos, ao passo que o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos, além do ângulo reto, dois ângulos cuja soma das medidas é 90°. Esses dois ângulos são ditos complementares.

cateto

91 pom9_074_113_u03.indd 91

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Quando traçamos a altura do triângulo relativamente à hipotenusa, ficam determinados nela dois segmentos, denominados projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

c

B

b

h n

m H

BH  n projeção do cateto de medida c sobre a hipotenusa

Ilustrações: Setup

A

C

a CH  m projeção do cateto de medida b sobre a hipotenusa

Ao traçar a altura relativamente à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois outros triângulos, que também são retângulos. Além disso, esses dois triângulos obtidos são semelhantes entre si e também são semelhantes ao triângulo inicial. Conhecendo essas semelhanças, vamos obter algumas relações métricas entre as medidas dos catetos, da hipotenusa e também das projeções dos catetos e da altura traçada. Uma dessas relações é o teorema de Pitágoras. Triângulo II

Triângulo I A

A

c

B

c

h n

B

Triângulo III A b

h n

b

h

m

m

C

a

C

• Observando a semelhança entre os triângulos I e II e os triângulos I e III, temos: a 5 b 5 c c h n

e

a 5 b 5 c b m h

Dessas proporções, obtemos: c2 5 a ? n;  b2 5 a ? m e a ? h 5 b ? c

• Observando a semelhança entre os triângulos II e III, temos: bc Dessa proporção, obtemos: h2 5 m ? n.

5 h 5 n. m h

As relações métricas que envolvem um cateto, a hipotenusa e a projeção do cateto sobre a hipotenusa podem ser enunciadas da maneira a seguir. Num triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto das medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. c2 5 a ? n      b2 5 a ? m A terceira relação envolve as medidas dos dois catetos, da hipotenusa e da altura relativamente à hipotenusa. Num triângulo retângulo, o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a ela é igual ao produto das medidas dos catetos. a?h5b?c

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A quarta relação obtida envolve as medidas da altura relativamente à hipotenusa e das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa (as projeções dos catetos). h2 5 m ? n Observe a seguir alguns exemplos de aplicações dessas relações métricas no triângulo retângulo.

Exemplo 1: No triângulo retângulo ABC à esquerda, determine, com base nas relações métricas observadas anteriormente, a altura relativa à hipotenusa e também a medida do cateto c.

A c B

16 cm

h

7,2 cm

Resolução:

12,8 cm

C

a

Como a hipotenusa é a soma das medidas das projeções dos catetos sobre ela, temos:

a 5 7,2 1 12,8 ⇒ a 5 20 cm Por meio das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa, determinamos a medida da altura: h2 5 m ? n

h2 5 7,2 ? 12,8 5 92,16 ⇒ h 5 9,6 cm Para calcular a medida do cateto c, podemos fazer: c 2 5 a ? n

c 2 5 20 ? 7,2 5 144 ⇒ c 5 12 cm

Ilustrações: Setup

Exemplo 2: No triângulo retângulo em A, representado ao lado, determine as medidas dos catetos b e c e também a medida da altura relativa à hipotenusa.

A c

B

2 cm

h

b

Resolução: 3 cm

C

A medida da hipotenusa é a soma das medidas das projeções dos catetos sobre ela, isto é:

a 5 2 1 3 ⇒ a 5 5 cm Conhecendo a hipotenusa e também as projeções dos catetos, podemos determinar as medidas dos catetos: c2 5 a ? n b2 5 a ? m 2 e b 2 5 5 ? 3 c 5 5?2 c 2 5 10 ⇒ c 5 10 cm b 2 5 15 ⇒ b 5 15 cm Para determinar a medida da altura relativa à hipotenusa, podemos utilizar a relação: a ?h 5b ?c 5 ? h 5 15 ? 10 h 5 150 5 25 ? 6 5 5 6 ⇒ h 5 6 cm 5 5 5

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AGORA É COM VOCÊ

1 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 cm e os catetos medem 20 cm e 15 cm. Determine: a) a medida da altura do triângulo em relação à hipotenusa; 12 cm b) a medida da projeção do cateto que mede 20 cm sobre a hipotenusa; 16 cm c) a medida da projeção do cateto que mede 15 cm sobre a hipotenusa. 9 cm A

2 No triângulo ABC, retângulo em A, sabemos as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. a) Determine a medida da hipotenusa. 41 cm b) Obtenha a medida da altura h do triângulo em relação à hipotenusa. 20 cm c) Calcule a medida do cateto AC. 5 41 cm d) Calcule a medida do cateto AB. 4 41 cm

h

B

c) h d) c

6 3 cm 12 3 cm

25 cm A

3 No triângulo retângulo ABC, AC 5 12 cm e BC 5 24 cm. Determine as medidas de: a) n 6 cm b) m 18 cm

C 16 cm

B

c

12

h

m

n

C

24

4 Como podemos ver na figura abaixo, a altura do triângulo retângulo maior em relação à hipotenusa mede 6 cm. Determine a medida de x da projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa considerando que a medida da projeção do outro cateto é 12 cm. 3 cm

6

12

x

5 Ainda em relação ao triângulo retângulo maior da atividade anterior, determine: a) a medida da hipotenusa; 15 cm b) a medida dos catetos. 3 5 cm e 6

5 cm

6 No triângulo retângulo representado abaixo, com medidas em centímetros, encontre a medida:

B

Ilustrações: Setup

A

9

C

25

a) da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa; b) da altura relativa à hipotenusa; 12 cm c) do cateto AB; 15 cm d) do cateto AC. 20 cm

16 cm

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O teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras

b

c

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a2  b2  c2

a

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TRABALHO EM EQUIPE A

Escolha duas das relações métricas de um triângulo retângulo e faça um sistema de equações para deduzir o teorema de Pitágoras. Dica: De acordo com as letras utilizadas nas relações, podemos ver que m  n  a. b2  c2

c n

B

b

h

am an c 2  a  n e b2  a  m b2  c2  a  ( m  n )      Adicionando membro a membro essas igualdades, temos: a

a

m

C

b2  c2  a2

Observação:

a2

V Esse teorema pode também ser interpretado da seguinte forma:

b

2

A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

c2

Obtenha a medida da diagonal de um quadrado considerando que a medida de seu lado é igual a x.

Resolução:

x

Ilustrações: Setup

x

Exemplo 1:

d

Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

d 2  x 2  x 2 ⇒ d 2  2x 2 ⇒ d 

2x 2 ⇒ d  x 2

Exemplo 2: Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm, como representado ao lado.

Resolução: Como a altura divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos, temos: 6  h  3 ⇒ 36  9  h ⇒ h  27 ⇒ h  2

2

2

2

2

6 cm

h

6 cm

6 cm

9  3 ⇒ h  3 3 cm

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Exemplo 3: Os três quadrados da figura a seguir foram construídos tendo como medidas dos lados as medidas da hipotenusa e dos catetos do triângulo retângulo. Determine a área A do quadrado menor.

36 cm2

25 cm2

Setup

A

Resolução: Pelo teorema de Pitágoras, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Assim, temos: 36 5 A 1 25 36 2 25 5 A A 5 11 cm2

Exemplo 4: Um cabo foi esticado entre os topos de duas construções, como mostrado na figura. Observando a distância das bases dessas construções, determine a medida do cabo representado pelo segmento AB. A

A 25  15 B

B

40

Eduardo Belmiro

25 m 15 m 40 m

Resolução: De acordo com a figura, considerando que as construções formam 90° com o solo, temos o triângulo retângulo destacado em verde. Aplicando o teorema de Pitágoras: (AB)2 5 (25 2 15)2 1 402 (AB)2 5 100 1 1 600 (AB)2 5 1 700 AB 5 100 ? 17 ⇒ AB 5 10 17 m Registre no

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Trabalho em EQUIPE Imaginem que um atleta ande nas ruas de uma cidade em zigue-zague, isto é: anda uma quadra para o norte, vira à direita, anda uma quadra para o leste, vira à esquerda, conforme sugere a linha quebrada na figura. a) Que distância ele percorre do ponto A até o ponto B? 2 000 m b) Qual seria a distância aproximada do ponto A ao ponto B se ele fizesse o percurso em linha reta? 1 414,2 m

B

1 000 m

A

1 000 m

C

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Conexões

Ilustrações: Setup

J. Augustus/Knapp/Corbis/Latinstock

Pitágoras nasceu na Ilha de Samos, por volta do ano 572 antes de Cristo. Aos 18 anos teria seguido para a Ilha de Lesbos à procura de conhecimento filosófico. Depois de aproximadamente dois anos, seguiu para Mileto, onde teve contato com Tales e, aconselhado provavelmente por ele, após algum tempo Pitágoras mudou-se para o Egito, permanecendo ali cerca de 20 anos. Ele regressou para a Ilha de Samos e iniciou sua carreira de mestre. Pitágoras é considerado por muitos o grande sábio da Antiguidade, não apenas na área da Matemática, mas em Música e Filosofia. Faleceu por volta do ano 497 antes de Cristo, mas seus ensinamentos continuaram a ser transmitidos pela escola pitagórica. Embora não haja registros sobre a vida de Pitágoras e seus discípulos, sabe-se que eles também foram responsáveis, além de Tales, pelo desenvolvimento do método de demonstração na Matemática. Pitágoras. O famoso teorema de Pitágoras, já conhecido pelos babilônicos de alguma forma, em que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos, foi demonstrado, ao longo da história da humanidade, de diversas maneiras interessantes. Como já vimos, esse teorema pode ser interpretado como: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados C B construídos sobre os catetos. c b a Há uma generalização do teorema de Pitágoras muito curiosa! Considere, inicialmente, que sejam construídas figuras semelhantes soA bre os lados do triângulo retângulo – observe as figuras A, B e C ao lado. Demonstra-se a seguinte generalização do teorema de Pitágoras: Se figuras semelhantes são construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos.

Assim, por exemplo, se quisermos construir três semicírculos tendo como diâmetros as medidas dos catetos e a medida da hipotenusa, temos: área do semicículo de diâmetro a

área do semicículo de diâmetro c a c b

Considerando que a área de um círculo de raio r 2 é igual a   r2, a área do semicírculo é a metade, πr  . 2 Como os raios dos semicírculos ao lado são a , 2 b e c , temos: 2 2 2 2 2 A1 5 π ? a , A 2 5 π ? b , A 3 5 π ? c e 8 8 8 2 2 A2 1 A3 5 π ? b 1 π ? c 5 π (b2 1 c 2 ) . 8 8 8

Pelo teorema, temos que a2 5 b2 1 c2. Portanto, área do semicículo de diâmetro b

π ? b2 1 c 2 5 π ? a2 . ( ) 8 8

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AGORA É COM VOCÊ

1 Em cada item a seguir determine o valor da medida x desconhecida no triângulo retângulo correspondente a ele. a) 15 cm

b) 15 cm

c) 16 cm

x x

25 cm

20 cm

9 cm

20 cm

12 cm

12 cm

x

2 Encontre a medida da diagonal de um quadrado considerando que a medida do lado é: a) 3 cm 3 2 cm b) 5 cm 5 2 cm c) 7 2 cm 14 cm

x

3 As hipotenusas dos três triângulos retângulos representados na figura ao lado são desconhecidas. Determine as medidas de x, y e z indicadas. y 5 2 13 cm; z 5 61 cm; x 5 9 cm

6 cm

y

4 cm

z

2 5 3 cm

4 Em uma cidade há uma quadra em forma de trapézio retângulo cujas medidas estão indicadas em metros na figura a seguir. Sabemos as medidas de três lados da quadra, porém, há uma medida que precisa ser determinada. Qual é, em metros, essa medida? Eduardo Belmiro

125 m

100

150

5 Um segmento tangencia uma circunferência com 4 cm de raio. Considerando que o comprimento desse segmento é 10 cm, determine a distância entre a extremidade do segmento externo à circunferência e o centro da circunferência. 2 29 cm

Ilustrações: Setup

225

6 Em um losango, as diagonais se interceptam nos pontos médios e formam um ângulo reto. Sabe-se que, na figura ao lado, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, e o lado do losango mede 4 cm. Determine as medidas das diagonais do losango. 8 5 cm e 16 5 cm 5

5

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7 Resolva os problemas a seguir.

10 cm

8 Dois navios, A e B, partem de um mesmo porto em sentidos diferentes: o navio A vai para o norte e o navio B para o leste. Considerando que suas velocidades são 30 km/h e 40 km/h, respectivamente, determine a distância entre os navios após 5 horas. 250 km

Ronaldo Barata

a) A diagonal de um quadrado mede 10 2 cm. Qual é a medida do lado desse quadrado? b) O perímetro de um retângulo é 68 cm. Um dos lados desse retângulo mede 10 cm. Calcule a medida da diagonal do retângulo. 26 cm c) As medidas das diagonais de um losango são 20 cm e 48 cm. Calcule a medida do lado desse losango. 26 cm d) As bases de um trapézio isósceles medem 14 cm e 38 cm, e os lados não paralelos medem 20 cm. Determine a altura do trapézio. 16 cm

A

9 Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede .  3

B

2



10 Lúcia desenhou um triângulo retângulo. Em seguida, construiu três quadrados e dividiu cada um deles em quadradinhos de 2 cm de lado, como mostrado na figura.

A

11 A figura ABCD à direita é um quadrado. Desse quadrado foi retirado outro quadrado cujo lado mede 13 cm. Encontre: a) a medida indicada por x; 5 cm b) a área da parte do quadrado ABCD que restou.

12

x

13

12 120 cm

13

2 

B

x

x

13

13 12

D

12

Ilustrações: Setup

a) Determine a área do quadrado construído sobre o cateto menor. 36 cm2 b) Determine a área do quadrado construído sobre o cateto maior. 64 cm2 c) Determine a área do quadrado construído sobre a hipotenusa. 100 cm2 d) Obtenha as medidas dos dois catetos. 6 cm e 8 cm e) Obtenha a medida da hipotenusa. 10 cm

x C

99 pom9_074_113_u03.indd 99

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Capítulo 12

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Ronaldo Barata

Preocupações com o deslocamento e acesso de pessoas e veículos fizeram surgir as rampas, que muitas vezes substituem as escadas. Não é raro encontrarmos rampas em construções comerciais como opção de acesso para pessoas com deficiência física.

A construção de uma escada ou mesmo de uma rampa tem de ser devidamente planejada para não ocasionar dificuldades de movimentação. No planejamento dessas obras são usados conhecimentos simples que envolvem ângulos em triângulos retângulos. Neste capítulo estudaremos as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Razões seno, cosseno e tangente As rampas são planos inclinados. Ampliaremos os conceitos sobre rampas estudando as razões trigonométricas para os ângulos agudos de um triângulo retângulo. G E C A Setup

Inicialmente, observe, na figura ao lado, os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH (outros triângulos poderiam ser considerados). Esses triângulos são semelhantes, pois seus ângulos, de dois em dois, são congruentes. Dessa forma, podemos escrever: AB 5 CD 5 EF 5 GH 5 k 1 OA OC OE OG OB 5 OD 5 OF 5 OH 5 k 2 OA OC OE OG AB 5 CD 5 EF 5 GH 5 k 3 OB OD OF OH

 O

B

D

F

H

100 pom9_074_113_u03.indd 100

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As razões k1, k2 e k3 estão relacionadas à medida do ângulo a indicado na figura. Mantendo a medida desse ângulo, essas razões são mantidas. Dizemos que são razões trigonométricas para o ângulo agudo a dos triângulos retângulos indicados e são assim definidas:

k1 5 sen α 5

medida do cateto oposto ao ângulo α medida da hipotenusa

k2 5 cos α 5

medida do cateto adjacente ao ângulo α medida da hipotenusa

k3 5 tg α 5

medida do cateto oposto ao ângulo α medida do cateto adjacente ao ângulo α

Assim, para simplificar, observe que as medidas dos catetos do triângulo retângulo representado ao lado são b e c (cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo a, respectivamente) e a medida da hipotenusa é a. As razões trigonométricas são:

hipotenusa a

b

cateto oposto a 

 c

sen a 5 b ; cos a 5 c ; tg a 5 b a a c

cateto adjacente a 

Para determinar os valores de sen 32°, cos 32°e tg 32°, construímos um triângulo retângulo de tal maneira que um dos ângulos agudos tenha medida 32°. Podemos fixar que a medida do cateto adjacente ao ângulo será 4,0 cm (segmento AB), como representado ao lado.

A

4,0 cm

B

32°

Ilustrações: Setup

Exemplo 1:

Com o auxílio de uma régua, traçamos uma perpendicular pelo ponto B, determinando assim o vértice C. A

4,0 cm

B

32°

C

Utilizando uma régua, podemos determinar as medidas do cateto BC (de 2,5 cm) e da hipotenusa AC (de 4,7 cm). Com essas medidas, obtemos as razões trigonométricas para o ângulo agudo dado. sen 32° 5 BC 5 2,5  0,532 AC 4,7 cos 32° 5 AB 5 4,0  0,851 AC 4,7 tg 32° 5 BC 5 2,5 5 0,625 AB 4,0

101 pom9_074_113_u03.indd 101

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Observação: VV Com o procedimento do Exemplo 1 é possível determinar, de forma aproximada, os valores do seno,

Digite inicialmente o valor 32 (medida do ângulo) e depois clique nas teclas correspondentes a seno, cosseno e tangente. Você obterá os seguintes valores:

DAE

cosseno e da tangente de ângulos agudos. Podemos, entretanto, usar a calculadora para verificar as razões trigonométricas correspondentes a esses valores. Acesse a calculadora científica do computador e verifique as razões trigonométricas para o ângulo 32°.

sen 32° 5 0,5299192642... cos 32° 5 0,8480480961... tg 32° 5 0,6248693519.... Observe que há diferenças entre os valores obtidos anteriormente e os fornecidos pela calculadora. As diferenças dependem das medidas dos lados do triângulo feitas com a régua.

Exemplo 2:

C

Com o auxílio de um teodolito, instrumento que faz medidas de ângulos, obtemos a medida do ângulo 39° indicado na figura abaixo. Queremos determinar a altura do edifício representado. Utilizando uma trena, obtemos a medida AB indicada na figura (150 m).

Eduardo Belmiro

ângulo

121,5 m

A

AB  150 m

B

Para calcular a altura BC do edifício, fazemos: tg 398 5 BC . AB Com uma calculadora, obtemos: tg 39°  0,80978 0,80978  BC . 150 0,80978 ? 150  BC ⇒ BC  121,467 m Registre no

O bairro onde sua escola está localizada possibilita o fácil deslocamento de cadeirantes ou de pessoas que tenham dificuldade de locomoção? Você acha que seriam necessárias algumas mudanças para favorecer a acessibilidade? Quais?

caderno Huntstock/Getty Images

Trabalho em EQUIPE

Converse com os colegas e, juntos, elaborem um parecer com suas observações e as possíveis soluções para alguns dos problemas encontrados. Feito isso, exponham o seu parecer para a turma.

102 pom9_074_113_u03.indd 102

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AGORA É COM VOCÊ C

1 No triângulo retângulo ao lado, a, b e c representam as medidas dos lados. Determine, em função dessas medidas, os valores correspondentes a: b

c

a b

b

a) sen B; cos B; tg B a , a e c c A B b) sen C; cos C; tg C ca , ba e cb Comparando as respostas obtidas nos itens a e b, qual é a relação entre sen B e cos C , entre cos B e sen C e entre tg B e tg C? São iguais; iguais; inversos.

2o pavimento

2. a)

4,5 4,5   15,39 m sen 17 8 0,2924

4,5 m 17°

1o pavimento

Ilustrações: Setup

2 Em uma escola de Ensino Fundamental há uma rampa que liga dois pavimentos, como pode ser observado na figura a seguir.

De acordo com as medidas indicadas na figura, utilize uma calculadora para determinar: a) a distância que uma criança, estando no 1o pavimento, tem de andar na rampa para chegar ao 2o pavimento; b) a distância na horizontal do início da rampa (1o pavimento) até o final da rampa (2 o pavimento). 4,5  4,5  14,72 m tg 17 8

0,3057

3 Considere o triângulo retângulo representado. Obtenha: a) a medida de x indicada; 80 m b) os valores de sen a, cos a e tg a. c) os valores de sen b, cos b e tg b.

 x

48 m

0,6; 0,8 e 0,75 0,8; 0,6 e 1,33



4 Responda às questões.

64 m

a) Em um triângulo retângulo e isósceles (em que os dois catetos têm a mesma medida), quais são os valores das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos? 2 , 2 e 1 2 2 b) Num triângulo pitagórico (um triângulo retângulo com as medidas dos lados proporcionais aos números 3, 4 e 5), quais são os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos? senos 0,6 ou 0,8; cossenos 0,8 ou 0,6 e tangentes 0,75 ou 1,33

y x 15° B



AB  2 000 m

Eduardo Belmiro

5 Imagine que um avião decola seguindo uma direção (em linha reta) que forma 15° com o solo.

A

Com uma calculadora, determine: a) a altura do avião em relação ao solo após percorrer, na horizontal, 2 000 m; x  535,9 m b) a distância percorrida pelo avião após percorrer 2 000 m na horizontal. y  2 070,6 m

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6 Elabore uma tabela igual ao modelo abaixo e acrescente 5 linhas. Em cada linha escolha uma medida para o ângulo a entre 0° e 90°. Com o auxílio da calculadora complete cada coluna com os valores correspondentes às medidas. Utilize aproximações com 4 casas decimais.

Ângulo a

sen a

cos a

(sen a)2

(cos a)2

(sen a)2 1 (cos a)2

A tabela dependerá dos valores dos ângulos escolhidos pelos alunos.

Os valores obtidos na última coluna da direita se aproximam de qual número inteiro?

1

7 As medidas dos lados deste triângulo estão indicadas em centímetros.

12

Setup

C x

40° A

D

B

y 32



Observando que a linha tracejada CD é perpendicular ao lado AB do triângulo, obtenha, com o auxílio de uma calculadora: a) a medida indicada pela letra x; x  7,7134 cm b) a medida indicada pela letra y; y  22,8075 cm c) a área do triângulo, lembrando que ela pode ser determinada pela metade do produto da medida da base pela medida da altura. Aproximadamente 123,4152 cm2. 8 Com um teodolito colocado rente ao chão, uma pessoa que está a 25 m de uma torre observa-a sob um ângulo a 5 50,2°. Após se afastar mais 25 m do edifício, o ângulo passa a medir b 5 31°. É possível, com essas informações, obter a altura da torre? h h ou tg 318 5 . 25 50 Ronaldo Barata

Sim, basta conhecer os valores da tangente dos ângulos 50,2° e 31°, isto é: tg 50,2 8 5

h

a

b

25 m 50 m

9 Observe atentamente o prédio representado abaixo. Forme dupla com um colega e juntos: Eduardo Belmiro

a) elaborem o enunciado de um problema que contenha os dados da figura; Resposta pessoal. b) resolvam a questão e apresentem aos colegas o enunciado e a forma como o problema foi solucionado. Resposta pessoal que dependerá do problema elaborado pela dupla.

a

1,3 m

22°

50 m

104 pom9_074_113_u03.indd 104

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Razões trigonométricas para ângulos notáveis 30°

45°

60°

sen

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tg

3 3

1

3

• Nos ângulos de medida 30° e 60°: Considerando um triângulo equilátero cujo lado mede l, traçamos a altura relativamente a um dos lados. Conforme teorema de Pitágoras: l

2

h

2

2

h2

l2

h

3l 2 ⇒ h 4

2

30°

( ) l 2 l2 4



h

60°

l 3 2

Setup

Nos ângulos agudos de medidas 30°, 45° e 60°, as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente podem ser obtidas pelas relações métricas em figuras geométricas planas. Essas razões estão resumidas na tabela ao lado.

60°  2

• Determinamos as razões trigonométricas para o ângulo de 30°: l 2 l

sen 30°

cos 30°

tg 30°

h l l 2 h

l 2 l 3 2 l l 2 l 3 2

1 ⇒ sen 30° l l 3 2 l 2

1 2 3 2

1 ⇒ cos 30° l 2

l 3

⇒ tg 30°

3 3

• Analogamente, fazemos o mesmo para o ângulo de 60°: sen 60°

cos 60°

tg 60°

h l l 2 l h l 2

l 3 2 l

l 3 2

3 2

1 ⇒ sen 60° l

l 2

1 ⇒ cos 60° l

l 3 2 l 2

l 3 2

1 2

2 ⇒ tg 60° l

3

O procedimento usado para a obtenção das razões trigonométricas para os ângulos de 30° e 60° também pode ser utilizado para o ângulo de 45°. Obtenha essas razões trigonométricas, por meio de um triângulo retângulo isósceles na atividade 1 a seguir.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considere um quadrado com medida de lado l e medida de diagonal d. A diagonal forma, com os lados do quadrado, ângulos de 45°, como indicado na figura. a) Utilizando o teorema de Pitágoras, expresse a medida da diagonal d em função da medida l do lado do quadrado. d 5  2 245245 22 22 11  sen °5 5 5 ⇒sen 4545 °5 55 °5 °5 sen sen b)5 e cos b) Determine sen 5 cos 45 458 .85 sen 4588 5 22 22 22  2 2 22 2 2 2 2 1 1   c) Mostre que tg 45° 5 1. coscos 45°45 45°45 5° 5 5° 5 5 5 5 5 cos ⇒ cos  2 2

2 2

45° d

l

45° l

2 2

2 2

2 Utilize os dados da tabela a seguir para fazer o que se pede. 30°

45°

60°

sen

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tg

3 3

1

3

c) tg 45° 5 sen 45° ⇒ cos 45°    2 2 ⇒ tg 45 ⇒45 5° 5 tg 5°15 1 tg°45 tg°45    2 2

a) Determine o valor da expressão x 5 (sen 45°)2 1 (cos 45°)2. x 5 1 b) Comparando os valores das expressões A 5 2 ? sen 30° ? cos 30° e B 5 sen 60°, o que você conclui? Os valores são iguais. c) Qual é o valor da expressão y 5 tg 30° ? tg 60°? 1 C

x

B

Ilustrações: Setup

3 Usando as medidas indicadas na figura, determine:

60°

30°

D

A

y

300 m

4 A figura ao lado ilustra um navio que se aproxima de uma plataforma de petróleo. O ângulo de 60° é chamado ângulo de depressão em relação à proa do barco, conforme linhas tracejadas. Sendo de 45 m a altura da torre, a que distância, em metros, o navio está da plataforma?

60° 30°

Eduardo Belmiro

a) os valores de x e y; x 5 100 3 m; y 5 100 m b) as medidas dos segmentos BC e DC; 200 3 m e 200 m c) as medidas dos ângulos BDC, DCB e ACD. 120°, 30° e 30°

45 m

15 3 m

106 pom9_074_113_u03.indd 106

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caderno

Eduardo Belmiro

5 Uma pessoa obteve as medidas de dois ângulos nos pontos A e B, distantes 40 m um do outro.

60°

30° A

B

Determine: a) a distância do ponto A até a base do edifício; b) a altura do edifício. 20 3 m

20 m

6 Os dois triângulos retângulos representados na figura têm em comum um mesmo cateto que mede d unidades de comprimento. Determine, em função de d, a medida correspondente a x 1 y. 4d 3 Setup

3

y

x 30°

60°

d

Eduardo Belmiro

7 Uma pessoa observa, de um ponto O de um edifício, outro edifício ao lado. O ângulo pelo qual ela vê esse edifício é 75º, como representado abaixo. Usando as medidas indicadas, determine a altura do edifício que está sendo observado. (12 1 4 3 ) m

O 75° 12 m

12 m

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Bagagem cultural

triângulo das

Be rmudas ntos e m i c e r a p e sa d os

M

apa d

Região misteriosa do Atlântico que tem seu nome associado ao formato de triângulo, cujos vértices estão localizados no mapa abaixo. Por que há tantos naufrágios e desaparecimentos de aviões nessa área?

Frenstusha/iStockphoto

Bermudas

Cabo Canaveral

Porto Rico

250

desaparecimentos

Desses,

1/ 3

foi no caminho da Corrente do Golfo

150 aeronaves

108 pom9_074_113_u03.indd 108

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Dobra

Nuvem

Ond a

nética mag

acial p s e

Há pilotos que afirmam ter percorrido longas distâncias em pouco tempo, como numa dobra espacial – mas para isso, seria necessário muita energia.

A bússola e outros instrumentos de navegação podem falhar nessa área. A explicação seria a presença de nuvens carregadas do silício proveniente da atividade sísmica ou do gás metano.

te gigan

Tempestades no Atlântico Norte formam ondas que se dividem nas Bermudas. Depois elas ganham monstruosos 10 metros de altura e podem causar naufrágios.

A Corre nte do Golfo Navios podem ser encontrados a centenas de quilômetros do lugar do naufrágio devido à força da Corrente do Golfo. Há um estreitamento entre a Flórida e Cuba que faz aumentar o poder de deslocamento dessa corrente oceânica. Um terço dos acidentes reportados ocorrem nessa área.

N O

L

0

4905

EM VÍDEO

9810 km

1 : 490 500 000

Co rren te

do G

olf

o

Corrente quente Corrente fria

Triângulo das Bermudas – Verdade ou mito? , documentário da Discovery Channel.

Montagem da área sobre imagem de satélite

Carol Cavaleiro e Marcelo Stoppa

S

Mar do Caribe

Giro Subtropical

1

Sabendo que o Cabo Canaveral dista 1687 km de Porto Rico; que Porto Rico dista 1576 km de Bermudas; e Bermudas dista 1669 km do Cabo Canaveral, responda: Como é classificado esse triângulo?

2

Pretende-se construir uma maquete que represente o Triângulo das Bermudas. Se o lado maior tiver 37,5 cm e o menor, 35,0 cm, qual seria a medida do terceiro lado para que esse triângulo fosse semelhante ao original?

109 pom9_074_113_u03.indd 109

6/12/15 10:45 AM

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caderno

sUPErANDo DEsAFIos 1 (Fuvest-SP)

5 (Cefet-RN)

A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual é a altura do poste? 20 m

2 (Fuvest-SP)

Numa plantação de melancia foi instalada uma rede de irrigação conforme representado na figura. A medida total do comprimento dos dutos utilizados para construir essa rede foi de: a) 113 m b) 93 m c) 88 m d) 78 m Alternativa b.

80 m, 60 m e 40 m

40 m

30 m Rua A

Ilustrações: Eduardo Belmiro

No desenho abaixo, estão representados os terrenos I, II e III. Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas? 32 m 24 m

12 m 16 m

y

z

6 (Ufla-MG)

20 m

3 (Saresp-SP)

Rua dos Lírios

x

Setup

Rua B

m 15

Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual é a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m?

Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km? Alternativa b. a) 6 km c) 11 200 m e) 5 m b) 6 200 m d) 4 km

10 km

Rua das Margaridas

15 m

200 m

Ru

a

8 km

da

sR

os

as

20

Obs.: As medidas não estão na proporção.

m

7 (Acafe-SC)

4 (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é: Alternativa a. Sol a) 25 b) 29 c) 30 d) 45 Prédio e) 75 Poste 5 15

3

Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore era 16 m e a ponta da parte quebrada está a 8 m de sua base, a altura do tronco que restou em pé é de: Alternativa e. a) 10 m c) 5 m e) 6 m b) 4 m d) 8 m 8 (UFSC) Num vão entre duas paredes deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo que a altura das paredes é de 4 3 m e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. 30°

110 pom9_074_113_u03.indd 110

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9 (Enem)

caderno

na, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o Balão cumprimento do tempo previsto de medição.

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto, sob um ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação:

Na data do acon60° 30° tecido, duas pes1,8 km A 3,7 km B soas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km c) 3,1 km e) 5,5 km Alternativa c. b) 1,9 km d) 3,7 km

P

2

 B

Trajetória do barco

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a 5 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB 5 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: d) 2 000 m a) 1 000 m e) 2 000 3 m b) 1 000 3 m Alternativa b. 3 c) 2 000 ? m 3

11 (Unicamp-SP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB 5 2 cm, BC 5 3 cm e CD 5 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as arestas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'. AB' 5 2,6 cm; B'C' 5 3,9 cm; e C'D' 5 6,5 cm

10 (Enem)

A

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argenti-

C

B

D

Ilustrações: Setup

A

B’ C’ D’

Donald no País da Matemágica Direção: Hamilton Luske, Wolfgang Reitherman, Les Clark, Joshua Meador Duração: 27 minutos O vídeo traz três curtas. Em Donald no País da Matemágica, o personagem faz uma viagem na qual interage com estudiosos da história da Matemática, como Pitágoras e seus discípulos. Bem e eu conta a história do inventor Benjamim Franklin e o ratinho Amos, que o ajuda em suas experiências científicas. No curta Invenções modernas, Donald mostra as invenções que facilitaram nossa vida.

Editora Ática

Walt Disney Productions

Explorando Dando corda na trigonometria Autor: Oscar Guelli Coleção: Contando a História da Matemática Editora: Ática 64 páginas Muitas das demonstrações matemáticas que conhecemos hoje foram feitas por estudiosos gregos. Como exemplos de problemas que impulsionaram o desenvolvimento dessa ciência, temos o de Tales, que mediu a altura de uma pirâmide por meio de sua sombra, e o de Eratóstenes, que mediu o raio da Terra utilizando a Geometria elementar. Assim, o autor mostra como a Trigonometria se desenvolveu.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Em um triângulo retângulo em que os catetos medem 3 cm e 4 cm, a hipotenusa mede: Alternativa c. b) 6 cm

c) 5 cm

r

d) 4 cm

8

2 A sombra de uma pessoa de 1,80 m de altura mede 0,60 m em determinada hora do dia. Nesse mesmo momento, a sombra projetada por um obelisco é de 2 m. Então, é correto afirmar que a altura desse obelisco é: Alternativa a. a) 6 m

b) 12 m

c) 15 m

d) 18 m

3 Um triângulo retângulo cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 5 cm é semelhante a outro triângulo em que os catetos medem 12 cm e 16 cm. É correto afirmar que a hipotenusa mede: Alternativa b. a) 18 cm

b) 20 cm

c) 22 cm

d) 45 cm

4 A medida de cada ângulo interno de um triângulo equilátero é 60°. Considerando que a medida do lado é 30 cm, determine a medida da altura do triângulo.15 3 cm 5 Considere que os triângulos PTN e AMO são semelhantes. P t

6 T



p

3 N

M

A

s 6

y

t



Então, podemos afirmar que:

Alternativa a.

a) x 5 64 cm 7

c) x 5 124 cm 7

b) x 5 32 cm 7

d) x 5 100 cm 7

8 Ainda em relação à atividade 7, é correto afirmar que: Alternativa b. a) y 5 64 cm 7

c) y 5 104 cm 7

b) y 5 48 cm 7

d) y 5 110 cm 7

9 As retas paralelas r, s e t determinam nas transversais a e b segmentos cujas medidas estão indicadas em centímetros.

5 7

O

Podemos afirmar que a razão de semelhança das medidas do primeiro triângulo para o segundo é: Alternativa c. a) impossível de determinar; b) é um número irracional; c) é igual a 2; d) é igual a 3. 6 Ainda sobre a situação apresentada na atividade 5, podemos afirmar que: Alternativa a.

x

a) t 5 10 e p 5 14

c) t 5 8 e p 5 14

b) t 5 10 e p 5 3,5

d) t 5 8 e p 5 3,5

7 Na figura a seguir, sabe-se que x 1 y 5 5 16 cm.

x3

x

r

Ilustrações: Setup

a) 7 cm

s x2

a

x2

t b

Encontre: a) o valor de x; 6 b) as medidas dos segmentos determinados na reta a; 6 cm e 8 cm c) as medidas dos segmentos determinados na reta b. 3 cm e 4 cm 10 Determine a alternativa que indica corretamente o comprimento da escada apoiada no solo e no topo do prédio, como mostra a figura a seguir.

112 pom9_074_113_u03.indd 112

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Eduardo Belmiro

Registre no

a) 16 m b) 17 m c) 18 m d) 19 m

15 m

20 D

17 As três ruas transversais da figura são cortadas por quatro ruas paralelas. Considerando que as medidas estão indicadas em centímetros, determine a alternativa que indica corretamente a medida de x. Alternativa a.

20

y 15

20 A

12

B

12 Ainda em relação à figura da atividade 11, determine a alternativa correta.Alternativa c. a) AD 5 12 cm c) AD 5 16 cm b) AD 5 14 cm d) AD 5 18 cm 13 Um avião levanta voo sob um ângulo de 30° e percorre 8 km em linha reta. Determine a alternativa que indica corretamente a altura em que se encontra o avião ao percorrer essa distância. Alternativa d. a)  1 km b) 2 km c) 3 km d) 4 km

Eduardo Belmiro

14 Observe a figura a seguir. Alternativa b.

10 m

Eduardo Belmiro

d) 10 2

C Setup

11 A figura ao lado contém dois triângulos retângulos. A medida BC indicada na figura é: Alternativa a. b) 18 2

c) tg α 5 24 10 d) tg α 5 26 10

12

x

z 18

15

a) 10 cm b) 12 cm

c) 14 cm

d) 16 cm

18 Ainda em relação à atividade 17, determine a alternativa que indica corretamente as medidas de y e z indicadas na figura. Alternativa d. a) y 5 25 cm e z 5 22,5 cm b) y 5 30 cm e z 5 12,5 cm c) y 5 25 cm e z 5 15 cm d) y 5 30 cm e z 5 22,5 cm 19 Na figura a seguir, o observador tem 1,80 m de altura e está a 5 m da base da torre. Determine a altura da torre. Utilize 3 5 1,73. 10,45 m

Ronaldo Barata

8m

c) 40 2

a) tg α 5 24 26 b) tg α 5 10 24

16 Ainda em relação à atividade 15, podemos dizer que a medida da diagonal é: Alternativa d. a) 48 cm b) 38 cm c) 36 cm d) 26 cm

Alternativa b.

a) 20 2

caderno

37°



Podemos afirmar que a altura do poste pode ser calculada pela expressão: a) h 5 10 ? cos 378 b) h 5 10 ? sen 378

c) h 5 10 ? tg 378 d) h 5 5 ? cos 37°

15 As medidas dos lados de um retângulo são 24 cm e 10 cm. Ao traçar a diagonal do retângulo, ela divide o ângulo reto em dois outros cujas medidas são a e b, sendo que a . b. É correto afirmar que: Alternativa c.

60° 1,8 m 5m

20 Um avião levanta voo sob um ângulo de 30° e percorre, nessa mesma direção, x km. Após percorrer essa distância, encontra-se a 7,5 km do solo. Dadas essas condições, determine x. 15 km

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UNIDADE 4

Álgebra: equações o do 2 grau

Ao resolvermos uma equação do 1o grau com uma incógnita, o procedimento consiste em isolar a incógnita em um dos membros da igualdade. Porém, quando isolamos a incógnita em uma equação do 2o grau, obtemos uma fórmula resolutiva que no Brasil é chamada de fórmula de Bhaskara. Veremos como obter tal fórmula e também como proceder para a resolução de problemas diversos que envolvem equações do 2o grau.

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BobbieSandlin/Shutterstock

1 Quantas soluções reais a equação x2 2 4x 5 0 admite? 2 É possível obter mentalmente as raízes da equação x2 2 7x 1 6 5 0? 3 O que é um trinômio quadrado perfeito?

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Capítulo 13

Equações do 2º grau Nos anos anteriores, você resolveu problemas que envolviam equações. Alguns deles eram solucionados por meio de sistemas formados por duas equações. Também aprendeu a resolver outros desafios que exigiam o conhecimento de equações do 1º grau numa incógnita. Considere agora uma situação envolvendo uma peça de cerâmica quadrada, conforme a representação ao lado.

x cm 60 cm

Um fabricante lançará no mercado uma peça com uma cor predominante cujos cantos são decorados com quatro quadrados de outra cor. Qual é a medida x, em centímetros, para que as duas cores ocupem cada uma 50% da peça? Essa situação pode ser interpretada por meio da seguinte igualdade: 4x2 5 (60 2 2x)2 1 4x(60 2 2x) ⇒ 8x2 2 3 600 5 0

Setup

x cm

A igualdade resultante representa uma equação do 2º grau na incógnita x. Nesta unidade estudaremos equações do 2º grau e veremos procedimentos que nos possibilitem resolvê-las com base nos coeficientes. Em dupla, determine a medida x indicada no desenho.

Registre no

x 515 2

Resolução de equações incompletas

caderno

Para iniciarmos o estudo sobre equações do 2º grau numa incógnita, precisamos identificar quando estamos diante de uma equação desse tipo. Denomina-se equação do 2o grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma: ax² 1 bx 1 c 5 0, em que a, b e c são números reais, com a  0.

Observações: VV Os números a, b e c são ditos coeficientes da equação do 2o grau. VV Quando a equação é escrita como ax² 1 bx 1 c 5 0, dizemos que está na forma reduzida.

Exemplo 1: Na equação 7x² 2 10x 1 9 5 0, identifique os coeficientes.

Resolução:

a 5 7  Os coeficientes dessa equação são: b 5 210 c 5 9

Respostas da página anterior: 1. Duas. 2. Sim. 3. É o desenvolvimento do quadrado da soma de duas parcelas.

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Exemplo 2: Escreva a equação (4 2 3x)² 1 10x 5 20 na forma reduzida e identifique os seus coeficientes.

Resolução: Desenvolvendo o quadrado do binômio e agrupando os termos semelhantes, temos: (4 2 3x)² 1 10x 5 20 16 2 24x 1 9x² 1 10x 2 20 5 0 a 5 9  9x² 2 14x 2 4 5 0 → b 5 214 c 5 24 Precisamos desenvolver procedimentos para a resolução de uma equação do 2º grau. Dizemos que resolver uma equação significa obter os valores (ou o valor) de x que verificam tal equação. Solução ou raiz de uma equação é o número que colocado no lugar da incógnita torna a igualdade verdadeira.

Exemplo 3: Verifique se x 5 2 é ou não raiz da equação x² 2 5x 1 6 5 0.

Resolução: Substituímos x por 2 na equação:

x² 2 5x 1 6 5 0 2² 2 5  2 1 6 5 0 4 2 10 1 6 5 0 Como esta última igualdade é verdadeira, dizemos que x 5 2 é raiz da equação dada. Veremos agora como podemos resolver equações do 2º grau. Iniciamos com aquelas que são ditas incompletas, isto é, tem um dos coeficientes (b ou c) igual a zero. As equações do 2o grau que apresentam a forma ax ² 1 c 5 0 são ditas incompletas. Tais equações podem ser resolvidas isolando a incógnita x em um dos lados da igualdade.

Exemplo 4: Resolva a equação do 2º grau 4x² 2 576 5 0.

Resolução: Vamos isolar a incógnita x no primeiro membro da igualdade: 4x² 2 576 5 0 4x² 5 576 x² 5 576 4 x² 5 144

x5

144 ⇒ x 5 12 ou x 5 212

Podemos dizer que o conjunto solução S dessa equação é: S 5 {−12, 12}

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Exemplo 5: Resolva a equação do 2º grau 3x² 2 36 5 0.

Resolução: Vamos isolar a incógnita x no primeiro membro da igualdade: 3x² 2 36 5 0 3x² 5 36 x² 5 36 3 x² 5 12

x5

12 ⇒ x 5 2 3 ou x 5 22 3

Podemos dizer que o conjunto solução S dessa equação é: S 5 {22 3 , 2 3 }.

Exemplo 6: Resolva a equação (x 2 5)² 1 10x 2 2 5 0.

Resolução: Inicialmente, escrevemos a equação do 2º grau na forma reduzida. Depois procuramos isolar o x: (x 2 5)² 1 10x 2 2 5 0

x² 2 10x 1 25 1 10x 2 2 5 0 x² 1 23 5 0 x² 5 223 Note que não existe nenhum número real cujo quadrado seja um número negativo. Portanto, dizemos que essa equação não admite solução real. As equações do 2o grau que apresentam a forma ax² 1 bx 5 0 também são ditas incompletas. Tais equações podem ser resolvidas por meio da fatoração, isto é, colocando-se x em evidência.

Exemplo 7: Resolva a equação do 2º grau x² 1 7x 5 0.

Resolução: Como o termo independente de x é igual a zero (c 5 0), podemos fatorar o primeiro membro colocando x em evidência:

x² 1 7x 5 0 x ? (x 1 7) 5 0 Se o produto de dois números é igual a zero (como ocorre na forma fatorada da equação), então pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, podemos concluir que:

x 5 0 ou x 1 7 5 0 ou seja,

x 5 0 ou x 5 27 Portanto, temos: S 5 {0, 27}.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Verifique se o número 10 é solução da equação x² 1 20x 2 100 5 0.

Dez não é solução da equação.

2 Resolva cada uma das equações do 2o grau e indique o conjunto solução. a) 49 2 x² 5 0 b) x² 2 10 5 0

{7, 27}

{

10 , − 10

 11

}

11 

c) 121 2 4x² 5 0 { 2 , − 2 } d) x² 2 8 5 0 {2 2 , −2 2 }

e) 100 2 0,01x² 5 0 {100, 2100} f) 900 2 x² 5 0 {30, 230}

3 Resolva cada equação a seguir. a) (x 2 2)  (x 2 10) 5 0 b) x  (x 1 1) 5 0 {0,21}

{2, 10}

c) (x 1 2)  (x 2 5) 5 0 d) 4x  (x 2 3) 5 0 {0, 3}

{22, 5}

4 As equações abaixo podem ser resolvidas por meio de fatoração. Indique em cada uma o conjunto solução. a) 4x 2 x² 5 0 {0, 4} b) 7x² 1 x 5 0 0, − 1  

7

c) x² 1 9x 5 0 {0, 29} d) x² 1 0,5x 5 0 {0, 20,5}

5 Resolva os problemas. a) Sabendo-se que o dobro de um número real é igual a seu quadrado, determine qual é esse número. zero ou 2. b) A área de um quadrado é igual à medida de sua diagonal. Determine a medida do lado do quadrado. 2 unidades de comprimento c) Em um triângulo retângulo, os catetos medem x cm e 2x cm. Determine o valor de x sabendo que a área desse triângulo é igual a 144 cm². 12 d) Um retângulo tem área igual a 3 042 cm². Determine a medida de seus lados sabendo-se que a base mede 6x e a altura, 3x. 39 cm e 78 cm 6 Utilizando a fatoração, você pode encontrar as soluções de equações não apenas do 2o grau. Procure fatorar a equação do 3o grau em x e determinar as soluções correspondentes: x³ 2 4x² 2 x 1 4 5 0 x 5 1, x 5 21, e x 5 4

Resolução de equações por trinômios quadrados perfeitos Quando estudamos os chamados produtos notáveis, aprendemos como desenvolver o quadrado de uma soma e também o quadrado de uma diferença. Em símbolos: (a 1 b)² 5 a² 1 2ab 1 b² e (a 2 b)² 5 a² 2 2ab 1 b² Com base nesses dois casos, podemos resolver equações do 2º grau que são completas, transformando um dos membros da igualdade num trinômio quadrado perfeito.

Exemplo 1: O trinômio x² 1 12x 1 36 é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser transformado no quadrado de um binômio, isto é: x² 1 12x 1 36 5 (x 1 6)² trinômio quadrado perfeito

quadrado de um binômio

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Para resolver uma equação do 2o grau na forma ax² 1 bx 1 c 5 0, devemos transformar o primeiro membro no quadrado de um binômio.

Observação: VV O procedimento que adotamos para transformar o primeiro membro de uma equação do 2o grau em um

trinômio quadrado perfeito é conhecido como procedimento de completar quadrado.

Exemplo 2: Resolva a equação do 2º grau x² 2 4x 1 3 5 0 utilizando o procedimento de completar quadrado. Resolução: Como o primeiro membro da igualdade apresentada não é um trinômio quadrado perfeito, vamos transformá-lo em um, isto é:

x² 2 4x 1 3 5 0 x² 2 2  x  2 1 4 2 4 1 3 5 0 Adicionamos 4 e subtraímos 4.

x² 2 2  x  2 1 4 2 4 1 3 5 0 

(x 2 2)² (x 2 2)² 2 4 1 3 5 0 ⇒ (x 2 2)² 5 1

(x 2 2) só pode ser 1 1 ou 2 1, pois (11)2 5 1 e (21)2 5 1].

x 2 2 5 1 ⇒ x 5 3 x 2 2 5 1 ⇒  x 2 2 5 21 ⇒ x 5 1 Portanto, temos: S 5 {3, 1}.

Exemplo 3: Resolva a equação do 2º grau 4x² 1 6x 1 1 5 0 utilizando o procedimento de completar quadrado. Resolução: Como o primeiro membro da igualdade apresentada não é um trinômio quadrado perfeito, vamos transformá-lo em um, isto é: 4x² 1 6x 1 1 5 0 (2x)² 1 2  (2x)  3 1 9 2 9 1 1 5 0 2 4 4 

Adicionamos



9 9 e subtraímos . 4 4

(2x)² 1 2  (2x)  3 1 9 2 9 1 1 5 0 2 4 4 

2

2

  5 3 5 3 9 3 ⇒ 2x 1 5  2x 1  2 1 1 5 0 ⇒  2x 1  5 4 2 4 2 4 2 2 x 5 23  5 ⇒ x 5 2 2

120

5 23 2 5 23 ou x 5 4 4

2 5 23 Portanto, temos: S 5  , 4 

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5 23  . 4 

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Em cada expressão a seguir, determine o valor de k para que o trinômio corresponda a um quadrado perfeito. a) x2 2 8x 1 k

16

g) x2 1 4x 1 k

4

b) x2 1 6x 1 k

9

h) x2 2 2x 1 k

1

c) x2 2 x 1kk5

1 4

d) x 2 2 2 2 x 1 k e) x2 1 10x 1 k

2

25

f) x2 2 6 2 x 1 k

{25, 3}

c) (2x 2 2)² 5 36

j) z2 2 12z 1 k

36

k) y2 1 ky 1 49

14

) 5 161

e) ( x 1

2) 58

(

) 5 41

f) x 2 3 2

{22, 4}

6

(

d) x 2 1 2

{21, 5}

b) (x 1 1)² 5 16

25

l) y2 2 ky 1 9

18

2 Resolva as equações abaixo. a) (x 2 2)² 5 9

i) x2 2 10x 1 k

2

2

 1 3   ,   4 4 

{ 2 , 23 2 }

2

{2, 1}

3 Utilizando o procedimento de completar quadrado, podemos resolver a equação correspondente. Determine, por esse processo, a solução de cada equação a seguir. a) y² 1 6y 1 5 5 0

{21, 25}

b) m² 2 6m 1 5 5 0 c) x² 2 8x 2 9 5 0

{1, 5}

h) x² 2 10x 1 16 5 0

{2, 8}

i) x² 1 18x 1 17 5 0

{1, 17}

j) x² 2 8x 1 7 5 0

{9, 21}

{1, 7}

d) y² 1 12y 1 36 5 0

{26}

k) y² 1 12y 1 27 5 0

{29, 23}

e) 4x² 1 8x 2 12 5 0

{1, 23}

l) y² 2 14y 1 33 5 0

{3, 11}

f) y² 2 18y 1 32 5 0

{16, 2}

g) x² 1 x 2 2 5 0

{22, 1}

4 Determine os lados e áreas do quadrado e do retângulo a seguir sabendo-se que a área do retângulo é igual à área do quadrado adicionada a 4. DAE

Quadrado: lado 2 uc e área 4 ua. Retângulo: lados 1 uc e 8 uc e área 8 ua. x 2

x

8 x

121 pom9_114_155_u04.indd 121

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Resolução de equações por fórmula O procedimento de completar quadrado pode ser utilizado em qualquer equação do 2º grau na incógnita x. É por meio desse mecanismo que podemos obter uma fórmula resolutiva, conforme demonstração a seguir:

ax 2 1 bx 1 c 5 0

Multiplicamos por 4a.

4a2x 2 1 4abx 1 4ac 5 0 Subtraímos 4ac.

4a2x 2 1 4abx 5 24ac 4a x  1 4abx 1 b 5 b 2 4ac 2

2

2

2

(2ax 1 b)2 5 b2 2 4ac 2ax 1 b 5  2ax 5 −b 

b 2 2 4ac b 2 2 4ac

Adicionamos b2. Obtemos um trinômio quadrado perfeito. Eliminamos o quadrado. Subtraímos b. Isolamos x.

x5

2b 

b 2 2 4ac 2a

Dada uma equação do 2o grau na forma ax² 1 bx 1 c 5 0, com a  0, as soluções podem ser obtidas por meio da fórmula: 2 x 5 2b  b 2 4ac 2a Tal relação é conhecida como fórmula de Bhaskara.

Observações: VV Na dedução da fórmula, a expressão b² 2 4ac possibilita verificar se a equação do 2o grau tem raízes reais.

Essa expressão é dita discriminante da equação e pode ser representada por:  5 b² 2 4ac. VV A fórmula resolutiva, com a utilização do discriminante, pode ser escrita como:

x 5 2b   . 2a

VV Uma equação do 2o grau admitirá soluções caso   0, pois, se  , 0, a equação não apresentará raízes reais.

Exemplo 1: Resolva, pela fórmula de Bhaskara, a equação 8x² 2 10x 1 3 5 0. Resolução: Observando os coeficientes da equação dada, substituímos na fórmula resolutiva:

x 5 2b  x 5

b 2 2 4ac 2a

2(210) 

(210)2 2 4  8  3 5 10  4 16 28

x 5 10 1 2 ⇒ x 5 3 10  2  16 4 x5 ⇒ 1 16 10 2 2 ⇒x5 x 5 16 2 

  S53 , 1  4 2

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Exemplo 2: Resolva a seguinte equação do 2º grau na incógnita y: 2y² 1 y 1 1 5 0.

Resolução: Substituindo os coeficientes na fórmula resolutiva, temos:

y 5 2b 

b 2 2 4ac 2a

y 5 21 

12 2 4  2  1 22

y 5 21  27 4 Como

27 não é um número real, dizemos que a equação não apresenta solução real. S = { } ou S = 

Exemplo 3: Resolva a seguinte equação do 2º grau na incógnita t: 9t² 1 24t 1 16 5 0.

Resolução: Fazendo as substituições na fórmula resolutiva, temos:

t 5 2b 

b 2 2 4ac 2a

t 5 224 

242 2 4  9  16 29

t 5 224  18

0

224 1 0  ⇒ t 52 4 t 5 224  0 18 3 t5 ⇒ 18 24 0 2 2 4 t 5 ⇒ t 52 18 3  Quando isso acontece, dizemos que a equação tem uma raiz com multiplicidade 2.  4 Escrevemos o conjunto solução como S 5 2 3 .  

Exemplo 4:

Resolva a equação x² 2 15tx 1 56t² 5 0 na incógnita x.

Resolução: Quando algum coeficiente de uma equação apresenta letras, tal equação é dita literal. As soluções de uma equação literal do 2º grau podem ser obtidas por meio da fórmula resolutiva:

x = 2b  x 5

b 2 2 4ac 2a

2(215t ) 

(215t )2 2 4  1  56t 2 21

2 x 5 15t  t 2

x 5 15t 1 t ⇒ x 5 8t   15 t t 2   S 5 {7t, 8t} x5 ⇒ 15 t 2 t 2 ⇒ x 5 7t x 5 2 

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Utilizando a fórmula resolutiva, determine o conjunto solução da equação 2x² 2 7x 1 3 5 0. 1  Depois responda:  , 3 2



a) As raízes dessa equação são números inteiros? Não, apenas uma delas é um número inteiro. b) Quantos elementos há no conjunto solução dessa equação? Dois elementos. 2 Resolva, pela fórmula de Bhaskara, a equação 4x² 2 3x 1 2 5 0. Depois responda: 3  223

a) Essa equação admite solução real? Não. x 5 8 b) Quantos elementos há no conjunto solução dessa equação? Nenhum elemento.

3 Utilizando a fórmula resolutiva, obtenha o a) 9x² 1 12x 1 4 5 0 b) y² 2 2 3 y 2 9 5 0

  S 5 2 2   3 S 5 {2 3 , 3 3 }

b) Trabalho em equipe

4,0 3,5 conjunto solução de cada equação. 3,0 2,5   c) 2x² 2 x 2 10 5 0 S 5 22, 5  2,0 2  1,5  d) 2m² 1 m 1 2 5 0 S 5 { } 1,0 0,5 0

36 30 26,25 22 17,25

4 Coloque cada equação a seguir na forma reduzida. Depois, por meio da fórmula resolutiva, apresente o conjunto solução correspondente à equação. a) (2x 1 1)² 2 (2 2 x)² 1 8 5 0

  S 5 21, 2 5  3 

b) 3x(x 1 1) 1 (x 2 3)² 5 x 1 33 S 5 {3, 22}

5 As equações a seguir são incompletas. Resolva-as utilizando a fórmula resolutiva. {0, 11}

b) 9x² 2 4 5 0 2 2  ,2  3 3 

c) x² 1 9x 5 0 {0, 29}

d) 4x² 2 81 5 0

6 Sabendo-se que a soma das idades de um pai e um filho atualmente é de 52 anos e que daqui a dois anos o quadrado da idade do filho será igual à idade do seu pai, quantos anos cada um deles tem hoje? O filho tem

9 9  ,2  2 2

5 anos e o pai 47.

7 Um paralelepípedo de volume 64 cm3 tem arestas iguais a 2 cm, x cm e (x 2 4) cm. De acordo com essas medidas, determine o valor de x. 8

Self-Photos/Latinstock

a) x² 2 11x 5 0

Trabalho em EQUIPE Um agricultor planta determinado tipo de cereal. O custo x (em reais) do plantio por metro quadrado e a área A plantada (em m2) estão relacionados numericamente por meio da seguinte equação: A 5 40 2 x2 2 3x. a) Calcule o custo do plantio por m2 nas áreas plantadas pelo agricultor, que medem 36 m2, 30 m2, 26,25 m2, 22 m2 e 17,25 m2. 1 real, 2 reais, 2,5 reais, 3 reais e 3,5 reais b) Com os resultados obtidos no item a, construa um gráfico de barras colocando no eixo horizontal a área plantada e no eixo vertical o custo do plantio por m2. c) Observando o gráfico que você construiu, interprete o que ocorre com as grandezas envolvidas. Elabore uma justificativa para a conclusão observada.

124 pom9_114_155_u04.indd 124

Resposta possível: O custo do plantio por m² é menor quanto maior for a área plantada. Conforme observado no gráfico, podemos entender que alguns custos fixos para o plantio são mais bem absorvidos em áreas maiores.

06/06/2015 11:49

Capítulo 14

Propriedades de raízes e coeficientes Diante de uma situação que envolve quantidades ou valores em operação, mui-

 5 b 2 2 4ac

tas vezes os cálculos são feitos mentalmente. A habilidade relacionada ao cálculo mental é mais bem desenvolvida quanto mais nos familiarizamos com as operações matemáticas. Quando as raízes de uma equação do 2º grau são números inteiros, podemos determinar esses valores mentalmente, isto é, sem a resolução algébrica. Para tanto, precisamos conhecer duas propriedades que relacionam as raízes de uma equação aos coeficientes. Neste capítulo, estudaremos tais proIlustra Cartoon

priedades, que nos permitirão ampliar o conhecimento sobre a resolução de equações algébricas.

O discriminante – discussão das raízes No capítulo anterior vimos que podemos resolver, por meio da fórmula de Bhaskara, uma equação do 2º grau. Observamos que a fórmula resolutiva pode ser escrita em função do discriminante, isto é:

x 5 2b 

b 2 2 4ac 2a

ou

x 5 2b   , em que  5 b² 2 4ac 2a Dependendo do valor do discriminante , temos três possibilidades quanto à natureza das raízes.

125 pom9_114_155_u04.indd 125

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Uma equação do 2 o grau na forma ax² 1 bx 1 c 5 0 pode apresentar:

• duas raízes reais e distintas se D  0; • duas raízes reais e iguais se D 5 0; • nenhuma raiz real se D  0.

Exemplo 1: Analise a natureza das soluções da equação 2x² 2 3x 1 2 5 0.

Resolução: Calculamos o valor do discriminante D, isto é: D 5 b² 2 4ac D 5 (23)² 2 4  2  2 D 5 27 Como o discriminante é negativo, concluímos que a equação não apresenta raízes reais.

Exemplo 2: Determine os valores de k para que a equação 3x² 2 4x 1 k 5 0 admita duas raízes reais e distintas.

Resolução: Para que isso aconteça, devemos ter o discriminante positivo, ou seja: D0

b² 2 4ac  0 (24)² 2 4  3  k  0 16 2 12k  0 212k  216

12k  16 ⇒ k  4 3 Assim, para qualquer valor de k menor que 4 , a equação apresentará duas soluções reais 3 e distintas.

Exemplo 3: Determine os valores de m para que a equação 4x² 1 mx 1 12 5 0 admita duas raízes reais e iguais.

Resolução: Neste caso, a condição é que o discriminante seja igual a zero: D50

b² 2 4ac 5 0 m² 2 4  4  12 5 0 m² 5 192 m5

64  3 ⇒ m 5  8 3

Portanto, para m 5 8 3 ou m 5 28 3 , a equação apresentará duas raízes reais e iguais.

126 pom9_114_155_u04.indd 126

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Em cada equação a seguir, determine o valor do discriminante D. a) 3x² 2 7x 2 1 5 0

61

b) x² 2 4x 2 10 5 0

56

c) 2x² 1 9 5 0

272

d) 4x² 2 4x 1 1 5 0

zero

e) 100x² 2 20x 1 1 5 0 f) x² 2 11x 2 2 5 0

zero

129

2 Em relação às equações apresentadas na atividade anterior, indique: a) as que apresentam duas soluções reais e distintas; b) as que apresentam duas soluções reais e iguais; c) as que não apresentam soluções reais.

As equações dos itens a, b e f.

As equações dos itens d e e.

Apenas a equação do item c.

3 Determine o valor de m na equação 2x² 2 6x 1 m 2 4 5 0 para que: a) admita duas raízes reais e iguais;

m 5 8,5

b) admita duas raízes reais e distintas; c) não admita raízes reais.

m  8,5

m  8,5

4 Considere que a equação (k 2 1)  x² 2 8x 1 3 5 0 admita duas raízes reais e iguais. Então: a) obtenha o valor de k;

k5

19 3

b) escreva a forma reduzida dessa equação conforme valor de k do item anterior; c) obtenha o conjunto solução dessa equação.

16x² 2 24x 1 9 5 0

3   4

5 Considere que a equação (m 1 2)  x² 1 4x 11 5 0 não admita raízes reais. Então: a) obtenha o valor de m;

m2

b) escreva a forma reduzida dessa equação para o menor valor inteiro de m do item anterior. 5x² 1 4x 1 1 5 0 2 6 Dada a equação 4x² 1 (2k 2 1)x 1 k 5 0, determine os valores de k considerando que o 16 conjunto solução da equação é formado por duas raízes reais e iguais. k 5 1 ou k 5 1

3

7 Em relação à equação anterior, escreva cada uma das equações correspondentes a cada valor de k obtido. Para k 5 1, temos 64x² 1 16x 1 1 5 0; para k 5 1 , temos 576x² 2 48x 1 1 5 0. 3

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Soma e produto das raízes A partir da fórmula resolutiva (fórmula de Bhaskara), podemos obter as soluções de uma equação do 2º grau. Veremos agora duas propriedades que relacionam as raízes e os coeficientes da equação. Essas relações nos permitem, sem resolver a equação correspondente, obter a soma e o produto das raízes. Dada uma equação do 2º grau na forma ax 2 1 bx 1 c 5 0, com a  0, podemos obter suas raízes utilizando a fórmula resolutiva:

x 5 2b   2a

 2b 1 2b 1 x 1 5 x1 12xa2 5 2a  x 5 2b 2 2b 1 x1 12xa 5  2 2

Nessa fórmula, considerando o sinal , obtemos uma das raízes e, considerando o sinal , obtemos a outra. Sendo x1 uma raiz e x2 a outra.

2b 1  2a 2b 2  x2 5 2a

Zubartez

x1 5



1

2b 2  2a

 2b 2 2a



22b22b 2b 2b x1 1x1x1 5 x2 5 x 1x x1 5 x 5 ⇒ 2 2a 2a1 1 2 2 a a

 2b 1    2b 2   x1  x2 5      2a 2a 

(2b)2 2 (  )2 4a2 b2 2  x1  x 2 5 4a 2 x1  x2 5

x1  x 2 5

b 2 2 (b 2 2 4ac ) 4a 2

c c 4ac4ac x1 x 1x 2 x5 5 2 ⇒ x x x  x5 5 2 4a 4a 2 1 1 2 2 a a

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tRabalho eM eQuIpe

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Em dupla, utilize as raízes x1 e x2 para determinar as fórmulas da soma e do produto de duas raízes de uma equação do 2o grau.

Numa equação do 2o grau na forma ax² 1 bx 1 c 5 0, com a  0, a soma das raízes é obtida por meio do coeficiente de x e do coeficiente de x2, isto é: x1 1 x 2 5 2b a

Numa equação do 2o grau na forma ax² 1 bx 1 c 5 0, com a  0, o produto das raízes é obtido por meio do coeficiente de x 2 e do termo independente de x, isto é: x1  x 2 5 c a

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Exemplo 1: Obtenha a soma e o produto das raízes da equação 2x ² 2 7x 2 11 5 0.

Resolução: Utilizando as relações apresentadas anteriormente, temos:

• Soma das raízes x 1 1 x 2 5 2b a (2x7) 1 2 (27) 7 7 x1 1 x 1 x1 x52 5 ⇒ x x1 x5 5 2 2 2 1 1 2 2 2 2

• Produto das raízes x1  x2 5 c a x 1  x 2 52 11 2

Exemplo 2: Dada a equação 3x ² 1 5x 2 1 5 0, obtenha, sem resolvê-la, os seguintes valores:

• a soma dos inversos das raízes; • a soma dos quadrados dessas raízes. Resolução: Verificamos inicialmente a soma e o produto das raízes, isto é: b 1x x 15x 255 2 5 x 1 1x 1x 215x 225b 2x⇒ a 1a 1 2 2 3 3

c xx 5 x 1 xx125 x 2c5x⇒ x 251 2 1 a a1 12 2 3 3 Calculamos agora a soma dos inversos das raízes: 55 1 x 1x 1 223 3 5 5 3 3 1 1 1 1 11 1 1 55x 2x 1 2 55 55   ⇒ 11 1 1 555 5 1 1 3 3 1 1 x 1x 1 x 2x 2 x 1x 1 x 2x 2 x 1x1 x2x 2 22 33 O cálculo da soma dos quadrados das raízes é feito elevando a soma das raízes ao quadrado, isto é: x 1 1 x 2 52 5 3

(x

)

( )

1 x2 5 2 5 1 3 2

2

x 12 1 2x 1 x 2 + x 22 5 25 9

( )

x 12 1 2  2 1 1 x 22 5 25 3 9 25 1122 5525 25 1166 31 31 xx1212 ++xx22225525 ⇒ xx121211xx222255 99 33 99 99 99

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Observação: VV Com base nas relações que envolvem a soma e o produto das raízes de uma equação, podemos obter sua

forma fatorada, ou seja: ax ² 1 bx 1 c 5 0. b x 1 c 5 0. Dividimos essa igualdade membro a membro por a: x ² 1

a

a

Substituímos a soma e o produto das raízes: x ² − (x1 1 x2)x 1 x1  x2 5 0. Fatoramos o primeiro membro da equação: x ² − xx1 2 xx2 1 x1  x2 5 0 x  (x − x1) − x2 ? (x − x1) 5 0 (x − x1)  (x − x2) 5 0 forma fatorada de uma equação do 2o grau

Exemplo 3: Considerando que as raízes de uma equação do 2º grau em x são 7 e 28, escreva essa equação nas formas fatorada e reduzida.

Resolução: Como conhecemos as raízes, podemos escrever a equação na forma fatorada: ( x 2 x 1)  ( x 2 x 2) 5 0 (x 2 7)  (x 1 8) 5 0 Utilizando a propriedade distributiva, podemos agora escrevê-la na forma reduzida: (x 2 7)  (x 1 8) 5 0

x  (x 1 8) 2 7  (x 1 8) 5 0 x² 1 8x 2 7x 2 56 5 0 ⇒ x² 1 x 2 56 5 0

Exemplo 4: Resolva a equação x2 2 3x + 2 5 0 utilizando a soma e o produto das raízes.

Resolução:

(23) 5 3. Soma das raízes: x 1 + x 2 5 2 b 5 2 a 1 c 2 Produto das raízes: x 1  x 2 5 5 5 2. a 1 Agora precisamos determinar dois números cuja soma seja 3 e cujo produto seja 2. 11253e1252 Portanto, as raízes da equação são 1 e 2. Logo, S 5 {1, 2}.

Exemplo 5: Resolva a equação 3x2 2 24x 1 45 5 0.

Resolução:

(

)

224 5 8 Soma das raízes: x 1 + x 2 5 2 b 5 2 . a 3 c 45 5 15. Produto das raízes: x 1  x 2 5 5 a 3 Agora precisamos determinar dois números cuja soma seja 8 e cujo produto seja 15. 3 1 5 5 8 e 3  5 5 15 Portanto, as raízes da equação são 3 e 5. Logo, S 5 {3, 5}.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Em cada equação a seguir, informe a soma e o produto das raízes. a) 3x² 2 6x 1 1 5 0 Soma: 2; produto: 1 . 3 b) x² 2 2 3 x 2 3 3 5 0 Soma: 2 3 ; produto: 23 c) x² 2 16x 1 28 5 0 Soma: 16; produto: 28.

d) 2x² 2 4x 2 3 5 0 Soma: 2; produto: 2 3 . 2 e) 9x² 1 6x 1 1 5 0 Soma: 2 2 ; produto: 1 . 3 9 3. f) x² 1 9 2 x 1 16 5 0 Soma: 29 2 ; produto: 16.

2 Na equação 5x² 1 kx 1 2 5 0, sabe-se que a soma das raízes é igual 21. a) Determine o valor de k. k 5 5 2 b) Obtenha o produto das correspondentes soluções. 5 3 Sabe-se que na equação x² 1 (m 2 10)x 2 36 5 0 as duas raízes são reais e opostas. a) Obtenha o valor de m. m 5 10 b) Calcule o produto das raízes. 236 c) Determine o conjunto solução dessa equação. {6, 26} 4 Considere a equação 2x² 2 5x 1 m 2 1 5 0. Então determine: a) o valor de m considerando que o produto das duas raízes é igual a 1;   b) o conjunto solução dessa equação. 2, 1  

m53

2

5 Determine o valor de k considerando que na equação x² 2 5x 1 k 2 1 5 0, uma das raízes somada a 1 é igual a outra raiz. k 5 7 6 Considere a equação 2x² 2 7x 1 1 5 0. Sendo a e b as raízes dessa equação, determine: a) a 1 b 7 b) a  b 1 c) 1 1 1 7 d) a² 1 b² 45 2 2 4 a b 7 Utilizando a forma fatorada, escreva uma equação considerando que as raízes são: a) 2 e 3 (x 2 2)(x 2 3) 5 0 c) 10 e 210 (x 2 10)(x 1 10) 5 0 e) 4 e 25 (x 2 4)(x 1 5) 5 0 b) 24 e 28 (x 1 4)(x 1 8) 5 0 d) 9 e 27 (x 2 9)(x 1 7) 5 0 f) 210 e 11 (x 1 10)(x 2 11) 5 0 8 Utilize a soma e o produto para determinar as raízes das equações. a) x² 2 16x 1 28 5 0

2 e 14

b) x² 1 3x 2 70 5 0

210 e 7

Conexões Apresentamos aqui uma curiosidade sobre o cálculo mental das raízes de uma equação do 2o grau. Com base nas relações que envolvem a soma e o produto das raízes de uma equação do 2o grau em x na forma x ² 1 bx 1 c 5 0, e sabendo que essas raízes são números inteiros, elas podem ser obtidas mentalmente considerando que: soma 5 2b x ² 1 bx 1 c 5 0 ⇒  produto 5 c Vamos considerar a equação x ² 1 7x 1 6 5 0. A soma das raízes deverá ser igual a 27 e o produto igual a 6, isto é, podemos escrever a equação da seguinte forma: x ² 1 7x 1 6 5 0 x ² 2 (21 2 6)x 1 (21) . (26) 5 0 Assim, as raízes são 21 e 26. Teste essa dica!

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Capítulo 15

Equações redutíveis ao 2º grau e problemas Diversas situações podem ser resolvidas por meio de equações do 2º grau. Uma situação interessante diz respeito ao número de diagonais de um polígono em função do número de lados ou de vértices. Setup

A I

Você conhece algum procedimento para obtermos a quantidade de diagonais sem ter que contá-las uma a uma?

B

C

H

G

D

F

E

n ⋅(n 2 3) possibilita calcular o número de diagonais se conhecermos o 2 número de lados. Assim, conforme a figura acima, o número de lados do polígono é 9. Apli9 ⋅(9 2 3) cando-o na fórmula, descobrimos quantas são as diagonais. Neste caso, d 5 5 27, 2 ou seja, são ao todo 27 diagonais. A fórmula d 5

Um problema interessante é, nessa situação, descobrir qual é o polígono em que o número de diagonais é exatamente igual ao número de lados. Tal problema é resolvido por meio de uma equação do 2º grau cuja incógnita é n. Neste capítulo, abordaremos diversos problemas cujas soluções são determinadas por meio da resolução de equações do 2º grau em x. Além disso, mostraremos que existem equações que são redutíveis a equações do 2º grau.

Resolução de problemas por meio de equações do 2º grau Apresentamos agora, por meio de alguns exemplos, situações diversas envolvendo equações do 2º grau. Nesses problemas é importante respeitar algumas etapas (descritas a seguir) em que eles são apresentados para que sua resolução seja adequada.

• Ler atentamente o enunciado observando quais são os dados apresentados. • Escrever a equação correspondente ao problema. • Resolver a equação obtida. • Verificar se as soluções obtidas são adequadas ao problema dado.

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Exemplo 1: Qual é o polígono convexo em que o número de diagonais é igual ao número de lados?

Resolução:

Setup

Considerando a fórmula que fornece o número de diagonais, apresentada na introdução deste capítulo, temos: d 5 n  (n 2 3) 2 n  ( n 2 3) n 5 ⇒ 2n 5 n² 2 3n ⇒ n² 2 5n 5 0 2 Então resolvemos a equação do 2º grau obtida: n² 2 5n 5 0 n50

n  (n 2 5) 5 0 ⇒ ou n2550⇒n55 Das duas soluções, a única que satisfaz o problema é n 5 5. Assim, o polígono em que o número de diagonais é igual ao número de lados é o pentágono representado ao lado.

Exemplo 2: A tela retangular de um pintor famoso tem comprimento de 140 cm e largura de 120 cm. Uma moldura de madeira será colocada nessa tela, contornando-a. Considerando que a tela com a moldura terá área igual a 22 400 cm2 e que a largura da moldura é uniforme, deseja-se saber qual é a medida dessa largura.

Resolução:

Ronaldo Barata

Tomando x como a largura da moldura, as imagens a seguir ilustram a situação:

(120 1 2x) cm

(140 1 2x) cm

Se temos que a área do quadro com moldura é 22 400 cm2, então: (140 1 2x)  (120 1 2x) 5 22 400 140  (120 1 2x) 1 2x  (120 1 2x) 5 22 400 ⇒ 16 800 1 280x 1 240x 1 4x² 5 22 400 ⇒ ⇒ 4x² 1 520x 2 5 600 5 0 ⇒ x² 1 130x − 1 400 5 0 Resolvemos, pela fórmula resolutiva, a equação correspondente: x 5 2b 

x5

2130  22500 2130  1302 2 4  1  (2 1 400) 5 2 21

b 2 2 4ac 2a

x 5 2 130 2 150 ⇒ x 5 2140  2  130 150 2 x5 ⇒ 130 2 1 150 ⇒ x 5 10 2 x 5 2  Observando que a medida da largura deve ser um número positivo, verificamos que a largura da moldura deve ser igual a 10 cm.

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caderno

1 Em um retângulo, as medidas dos lados são representadas por dois números naturais e consecutivos, como indicado na figura ao lado. Sabendo-se que a área desse retângulo é 110 cm2, faça o que se pede.

Ilustações: DAE

AGORA É COM VOCÊ

x1

a) Escreva uma equação que represente essa situação.

x(x 2 1) 5 110 {11, 210}

b) Resolva a equação escrevendo o conjunto solução. c) Indique as medidas dos lados desse retângulo.

x

11 cm e 10 cm

2 Dois números inteiros são tais que o produto deles é igual a 54 e a diferença entre eles é 3. Determine esses números. 6 e 9 3 Márcia desenhou um retângulo no caderno. Após observar as medidas, concluiu que a área do retângulo era igual a 84 cm2 e o perímetro igual a 40 cm. Quais são as medidas dos lados dele? 6 cm e 14 cm 4 Um pai tem o triplo do quadrado da idade de seu filho. Determine as idades deles considerando que a soma delas é igual a 52 anos. O filho tem 4 anos e o pai 48. 5 Taís multiplicou um número por ele mesmo. Do resultado subtraiu 14, obtendo o quíntuplo do número inicial. Determine o número inicial. 7 ou 22 6 Sabe-se que a medida D da diagonal de um quadrado de lado l pode ser determinada por D  l 2 . Determine a medida do lado de um quadrado considerando que sua área é numericamente igual ao dobro da medida de sua diagonal. 2 2 7 Dois números naturais e consecutivos são tais que a soma de seus quadrados é igual a 841. Determine esses números. 20 e 21 8 Um retângulo tem as medidas dos lados indicados na figura. Considere que a área desse retângulo é igual a 14 cm2.

x3 x2

a) Escreva a equação que representa a situação apresentada. x2 2 x 2 20 5 0 b) Resolva essa equação.

x 5 5 ou x 5 24 (não convém)

c) Determine as medidas dos lados desse retângulo.

2 cm e 7 cm

9 Numa cartolina quadrada, tendo como área 625 cm2, quatro quadrados de lado medindo x cm são retirados dos quatro cantos. Considerando que a folha final ficou com área 225 cm2, determine a medida do lado x. x 5 10 cm 10 Numa folha de papel, Tomás escreveu um número. Em seguida, elevou esse número ao quadrado e adicionou ao resultado o dobro do número inicial. Se o resultado final dessa adição foi três, qual foi o número inicial escrito por Tomás? 1 ou 23

134 pom9_114_155_u04.indd 134

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Equações biquadradas Existem equações que podem ser reduzidas para equações do 2º grau, embora não sejam desse tipo. Um exemplo é a equação biquadrada. Denomina-se equação biquadrada na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma: ax 4 1 bx ² 1 c 5 0, em que a, b e c são números reais, com a  0. A resolução de uma equação biquadrada é feita por uma troca de incógnitas, obtendo assim uma equação do 2º grau em outra incógnita. Resolvemos então essa nova equação e, depois, desfazemos a troca de incógnitas.

Exemplo 1: Resolva a equação biquadrada na incógnita x dada por x 4 2 4x 2 1 3 5 0.

Resolução: Iniciamos procedendo à troca de incógnitas: x 2 5 y. Substituindo x 2 por y na equação dada, obtemos uma equação do 2º grau na nova incógnita. Resolvemos então a equação obtida:

y 2 2 4y 1 3 5 0

y5

2b  b 2 2 4ac 2a

⇒ y5

2( 2 4)  ( 2 4)2 2 4  1  3 21

y 5 4 1 2 ⇒ y 5 3   4 2 2 ⇒  y5 2 4 2 ⇒ y 51 2 y 5 2  Desfazemos então a troca de incógnitas para obtermos os valores correspondentes para a incógnita x:  2 x 5 3 x 5 3 ⇒   x 5 2 3 x2 5 y ⇒  x 2 5 1 ⇒ x 5 1 x 5 21   Portanto, a equação dada apresenta quatro soluções, ou seja: S 5 {21, 1,

3 , 2 3 }.

Exemplo 2: Resolva a equação biquadrada na incógnita x dada por x 4 1 14x 2 2 72 5 0.

Resolução: Iniciamos procedendo à troca de incógnitas: x 2 5 y. Substituindo x 2 por y na equação dada, obtemos uma equação do 2º grau na nova incógnita. Resolvemos então a equação obtida:

y² 1 14y 2 72 5 0 214  142 2 4  1  (272) b 2 2 4ac ⇒ y 5 2a 21 2 1 14 22 y 5 ⇒ y 54  2  14 22 2 y5 ⇒ 2  y 5 214 2 22 ⇒ y 5 218 2 

y 5 2b 

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Desfazemos então a troca de incógnitas para obtermos os valores correspondentes para a incógnita x:  2 x 5 2 x 5 4 ⇒  x 5y ⇒ x 5 22 x 2 5 218 , não existe x real nessas condições.  2

Portanto, a equação dada apresenta apenas duas soluções, ou seja: S 5 {22, 2}. Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Resolva a equação biquadrada 3x4 2 6x² 2 105 5 0.{

7,2 7

}

2 Obtenha o conjunto solução da equação biquadrada x4 2 6x² 1 5 5 0. {1, 21,

5,2 5}

3 Um número real é tal que, quando elevado à quarta potência, é igual ao número 4 adicionado ao triplo de seu quadrado. a) Escreva uma equação que representa a situação. x4 5 4 1 3x² b) Determine qual é esse número real. Pode ser 2 ou 22. 4 A soma de um número real elevado à quarta potência com o triplo do seu quadrado é igual a sete vezes o quadrado desse número. Então: a) escreva uma equação que represente a situação; b) determine o número procurado. zero ou 62

x4 1 3x² 5 7x²

5 Um número, quando adicionado ao seu quadrado, resulta em 56. Determine esse número. 28 ou 7

6 Sabe-se que um número inteiro é tal que o triplo de seu quadrado menos o seu dobro é igual a 40. Qual é esse número? 4 7 Resolva cada uma das seguintes equações: a) (x² 2 16)(x² 1 1) 5 0

{4, 24}

b) (x² 2 25)(x² 2 1) 5 0

{5, 25, 1, 21}

c) (x² 2 6)(x² 2 5) 5 0

{2 6 ,

d) x²  (x² 2 2) 5 0

2,2 2}

e) (x² 2 9)² 5 0

{0,

6,2 5,

5}

{3, 23}

8 Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas: a) x4 2 7x² 1 6 5 0

b) 9x4 2 6x² 1 1 5 0 c) x 2 4x² 2 45 5 0 4

d) x4 1 3x² 2 4 5 0

6,2 6}

{1, 21,

{

2

3 , 3

3 3

}

{3, 23}

{21, 1}

e) x 2 26x² 1 25 5 0

{1, 21, 5, 25}

f) 9x4 2 13x² 1 4 5 0

 2 2 1, 21, , 2  3 3 

4

136 pom9_114_155_u04.indd 136

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Equações irracionais Existem situações que são resolvidas por meio de equações que apresentam a incógnita no radicando. Quando isso ocorre, as equações são irracionais. Equação irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais.

Exemplos: As equações a seguir são exemplos de equações irracionais:

•

22x 5x

• 2 x

27 50

• 3 x 2 1

1 6 x 21 57

O procedimento para a resolução de uma equação irracional consiste em eliminar o radical ou os radicais presentes. Nesse procedimento, elevamos os dois membros da equação a uma potência conveniente, isto é, uma potência que elimine o radical. Um cuidado que devemos ter ao elevar uma igualdade a uma potência é verificarmos, ao final, as soluções encontradas. Algumas vezes podemos introduzir valores que não verificam a igualdade representada pela equação. A seguir, apresentamos alguns exemplos de como proceder na resolução de equações irracionais.

Exemplo 1: Resolva a equação

2x 2 3 5 5 .

Resolução: Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ao quadrado os dois membros da equação dada: 2x 2 3 5 5

(

2x 2 3

)

2

5 52

2x 2 3 5 25 2x 5 28 ⇒ x 5 14 Verificamos o valor encontrado, substituindo-o na equação do original: 2x 2 3 5 5 x 5 14 2  14 2 3 5 5 25 5 5 5 5 5 (verdadeiro) Como o valor encontrado torna verdadeira a igualdade, ele é a solução da equação. Assim, temos: S 5 {14}.

137 pom9_114_155_u04.indd 137

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Exemplo 2: Resolva a equação

5 2 2x 5 1 2 x .

Resolução: Para eliminar a raiz quadrada, elevamos os dois membros ao quadrado: 5 2 2x 5 1 2 x

(

) 5 (1 2 x) 2

5 2 2x

2

5 2 2x 5 1 2 2x 1 x 2

x 2 2 4 5 0 x 5 2 x 2 5 4 ⇒  x 5 22 Verificamos cada um dos valores obtidos, substituindo-os na equação dada: 5 2 2x 5 1 2 x  522  2 5122  x 5 2 ⇒  1 5 21 1 5 21 (falso)   5 2 2  ( 2 2) 5 1 2 ( 2 2)  x 5 22 ⇒  9 5 3 3 5 3 (verdadeiro)  Note que um dos valores obtidos não verifica a equação dada. Assim, temos: S 5 {22}.

Exemplo 3: Resolva a equação 5 2

x 5

x 25.

Resolução: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação dada para eliminar os radicais: 52

x 5

(5 2

)

x

2

x 25 5

(

x 2 5)

2

x1x5x25

25 2 10

30 5 10 x 35 32 5

x

(

x

)

2

95x Verificamos o valor encontrado, substituindo-o na equação: 52

x 5

x25

x59 52

9 5

5235

925 4

2 5 2 (verdadeiro) Portanto, como o valor verifica a equação, temos: S 5 {9}.

138 pom9_114_155_u04.indd 138

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Resolva a equação biquadrada

x 2 5 5 4.

Depois, responda: Quantas soluções admite essa equação? 2 Considere a equação irracional

A equação admite apenas x 5 21 como solução.

x 2 x 1 1 5 1.

Responda: a) O número zero é solução dessa equação? b) O número 3 é solução dessa equação? c) Qual é o conjunto solução da equação? 3 Considerando a equação irracional

Não.

Sim. S 5 {3}

x 5 2 1 x 2 48 , responda:

a) O número 48 é solução da equação?

Não.

b) O número 169 é solução da equação?

Sim.

c) Qual é o conjunto solução dessa equação?

S 5 {169}

4 Resolva cada uma das seguintes equações irracionais: a) 6 1

2x 1 1 5 3

b) 1 1

x 55

c) 3 2

x 12 51

{4}

{576} {2}

5 Resolva cada uma das equações irracionais e escreva o conjunto solução correspondente. a) 2x 1 2 5 1 1

x 12

{7}

b) 2x 1 3 5 1 1

x 15

{11}

c) 3x 1 1 2

2x 2 7 5 2

d) x 2 3 1

x 22 51

{16, 8}

{3}

6 Resolva os problemas a seguir. a) O dobro da raiz quadrada de um número é igual a 24. Determine esse número.

144

b) A soma das raízes quadradas de dois números naturais consecutivos é igual a 1. Quais são esses dois números? zero e 1 c) Qual é o número tal que o triplo de sua raiz quadrada é igual ao próprio número?

zero ou 9

7 Resolva cada uma das seguintes equações irracionais: a) x 1 4 2 b) 2y 2 3 1

x 24 5

x 21

y 22 51

S 5 {5}

S 5 {2}

139 pom9_114_155_u04.indd 139

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Conexões Você já ouviu falar do número de ouro? Existem muitas construções que, teoricamente, teriam sido projetadas com base no conceito do número de ouro. Entretanto, diversas vezes se trata apenas de coincidências numéricas.

Christophe Amerijckx/Dreamstime

Há quem diga, por exemplo, que as pirâmides do Egito teriam sido construídas levando em conta o número de ouro. Nesse caso, afirma-se que a razão entre a medida da altura de uma face e a metade da medida do lado da base da pirâmide é igual ao número de ouro. Essa razão também é conhecida como razão áurea.

Pirâmide de Quéfren, em Gizé, Egito.

Andybignellphoto/Dreamstime.com

Outros comentários sugerem que o número de ouro tenha sido utilizado em obras de pintores famosos, como Leonardo da Vinci. Já para o matemático italiano Fibonacci, até nos elementos da natureza pode ser encontrada uma razão, chamada por ele de razão da perfeição.

Concha de Nautilus; a razão entre suas medidas é considerada um número de ouro.

140 pom9_114_155_u04.indd 140

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Para você compreender o que é esse número, vamos considerar um segmento de reta de extremidades nos pontos A e C, conforme representado a seguir. A

B

C

y

x

Se conseguirmos localizar nesse segmento um ponto B de tal maneira que a razão do comprimento do segmento menor (AB) para o comprimento do maior (BC) seja a mesma razão existente entre o comprimento do segmento BC e o comprimento do todo representado pelo segmento AC, teremos a chamada razão áurea. Para chegar a esse número de ouro, vamos retomar a figura apresentada indicando as medidas dos segmentos pelas letras x e y numa mesma unidade, isto é: A

B

C

y

x

Escrevendo a proporção, temos: AB 5 BC BC AC y 5 x x x 1y Vamos utilizar agora as propriedades de proporção, isto é, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: y 5 x x x 1y y  (x 1 y) 5 x  x yx 1 y ² 5 x ² x ² 2 yx 2 y ² 5 0 Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando que nessa equação a incógnita é x, vem: x 5 2b  x5 x5 x5

2(2y )  5y

y 

Considerando apenas o sinal 1, temos:

b 2 2 4ac 2a (2 y ) 2 4  1  (2 y ) 21 2

2

2

x 5y  11 5    2

2



número de ouro

 número de ouro é representado pela letra O grega  (phi).

y y 5 2

x 5y  1 5    2

141 pom9_114_155_u04.indd 141

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teCla_MateMÁtICa

Vamos construir, no GeoGebra, uma espiral com base em retângulos áureos. Exiba a malha quadriculada na tela inicial do GeoGebra (clique com o botão direito do mouse na área de trabalho do programa e selecione o item “malha”) e construa o quadrado ABCD (utilize o botão “polígonos regulares”).

Em seguida, marque o ponto médio E do segmento AB, construa o segmento com extremidades em E e C e construa a circunferência com centro em E e raio EC.

Trace duas retas, uma que passe pelos pontos A e B e outra que passe pelos pontos C e D. Marque o ponto F da intersecção da reta que passa por A e B com a circunferência. Em seguida, trace uma reta perpendicular ao ponto F e, por fim, marque o ponto G, que é a intersecção dessa reta com a reta que passa por C e D.

Fotos: Dotta

Espiral áurea

D

C

A

B

D

C

A

E

C

D

A

B

E

B

G

F

142 pom9_114_155_u04.indd 142

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Agora faça quadrados regulares sucessivos com o botão “polígono regular”, primeiro clicando em B e F, depois em H e G, em J e C e finalmente em L e I, sempre montando quadrados regulares.

Podemos agora desenhar nossa espiral. Utilize o botão “arco circular dados centro e dois pontos”, sendo a ordem para clicar os pontos CDB, IBH e assim sucessivamente.

Fotos: Dotta

Construa o retângulo BFGC com o botão “polígono”. O retângulo AFGD é áureo, ou seja, a razão entre as medidas de seus lados é igual x a5 AF 5 1 + 5 . FG 2 Podemos ocultar os demais elementos geométricos e só deixar o retângulo AFGD na tela; para isso, utilize o botão direito do mouse com o cursor em cima do elemento e clique em exibir objeto.

C

D

A

B

L I

D

C

I

B

G

O M N K

B

L

A

F

C J

D

A

G

H

F

J

G

O M N K

H

F

Crie espirais maiores aumentando a figura.

143 pom9_114_155_u04.indd 143

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Capítulo 16

Medidas de tendência central Há situações nas quais precisamos utilizar um único valor que represente um grupo de valores. Um exemplo comum na escola são as notas das avaliações ao longo do ano. Avaliações ao longo do ano Nota Setup

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1a

2a

3a

4a

5a

6a

7a

8a

9a

10a

Tarefa

Imagine que foram feitos, na sala de aula, 10 trabalhos e avaliações ao longo de um ano na disciplina de Matemática. O gráfico acima indica os valores de todas as 10 tarefas. No final do ano, sabemos que apenas um valor deve representar esse conjunto de valores – teremos, então, a média. Neste capítulo, abordaremos o cálculo das medidas de tendência central, das quais a média aritmética é uma delas.

Média e média ponderada No volume do 7o ano desta coleção, estudamos a média aritmética e a média ponderada. Agora, retomaremos esse assunto por meio de alguns exemplos. Para começar, vamos examinar a definição de média aritmética e de média ponderada. A média aritmética de n números representa a soma de todos esses números dividida por n.

144 pom9_114_155_u04.indd 144

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Observações: VV A média aritmética de um grupo de valores pode representar, de forma aproximada, esse grupo. VV Utilizando símbolos, a média aritmética MA dos n valores

MA 5

x1 , x 2 , x 3 , ..., x n é calculada pela relação:

x1 1 x 2 1 x 3 1 ... 1 x n n

A média ponderada pode ser considerada um caso particular da média aritmética. O cálculo da média ponderada é feito de forma análoga ao cálculo da média aritmética. Cada peso de um valor, quando representado por um número natural, indica o número de vezes que esse valor deve ser considerado. Calculamos a média ponderada dos n valores x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , sendo que cada um deles tem peso respectivamente representados por p1 , p2 , p 3 , ..., pn . Utilizando símbolos, a média ponderada MP é calculada pela relação: MP =

p1  x 1 1 p2  x 2 1 p 3  x 3 1 ... 1 pn  x n p1 1 p2 1 p 3 1 ... 1 pn

A seguir, apresentamos alguns exemplos para retomar o cálculo da média aritmética e da média ponderada.

Exemplo 1: Em uma empresa, a média aritmética dos salários dos 23 funcionários é R$ 1.500,00. Calcule o total que a empresa gasta com os salários.

Resolução: Observe que sabemos a média aritmética dos salários, mas não a soma desses salários. Representando a soma dos salários pela letra S, temos: MA 5

x1 1 x2 1 x3 1 ... 1 x23

23 S 1500 5 23 1500 ⋅ 23 5 S ⇒ S = 34500 A empresa gasta um total de R$ 34.500,00 com os salários.

Exemplo 2: A tabela a seguir contém as notas bimestrais de Laura na disciplina de Geografia. Para que ela seja aprovada, a média deve ser superior a 6. Vamos calcular a média aritmética e depois a média ponderada, de acordo com os pesos indicados. Bimestre

Nota

Peso

1o

8,0

1

o

2

4,0

2

3o

6,0

3

4o

7,0

4

145 pom9_114_155_u04.indd 145

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Resolução: Para calcular a média aritmética, basta somar as quatro notas e dividir o valor por 4. MA 5 8 1 4 1 6 1 7 4 25 MA 5 ⇒ M A 5 6,25 4 Observando os pesos de cada bimestre, determinamos a média ponderada. MP 5 MP 5

81 1 42 1 63 1 74 1 1 2 1 3 1 4 62 ⇒ M 5 6,2 P 10

Assim, ela será aprovada.

Exemplo 3: Considere que a média aritmética de 100 números de determinado conjunto é 56. Desse conjunto são retirados os números 48 e 64. Qual é a média aritmética dos 98 números restantes?

Resolução: Como já sabemos a média aritmética dos 100 números, podemos escrever:

x 1 1 x 2 1 x 3 1 ... 1 x 100 5 56 100 x 1 1 x 2 1 x 3 1 ... 1 x 100 5 5600 MA 5

Para calcular a média aritmética dos 98 números restantes, fazemos: MA 5 MA 5

5600 2 48 2 64 100 2 2 5 488 ⇒ M A 5 56 98

A média permaneceu a mesma, pois retiramos dois elementos cuja média é a mesma do grupo de 100 elementos.

Exemplo 4: Em uma turma há 30 meninos e 20 meninas. Em determinada avaliação, os meninos obtiveram média 7 e as meninas, média 8. Vamos calcular a média geral das notas da classe.

Resolução: Faremos o cálculo utilizando a média ponderada, considerando que nos dois grupos os pesos são 30 e 20, correspondentes respectivamente ao número de meninos e ao número de meninas. M50 5 M50 5 M50 5

30  M 30 1 20  M 20 30 1 20 30  7 1 20  8 30 1 20 370 ⇒ M 5 7,4 50 50

Observe que a média do grupo está mais próxima da média dos meninos do que da média das meninas, pois o número de meninos é maior (tem maior peso para a média).

146 pom9_114_155_u04.indd 146

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Mediana e moda A média aritmética e a média ponderada são utilizadas para representar um grupo de valores. Entretanto, algumas vezes apenas a média se mostra insuficiente. Nesses casos, podem ser usadas outras duas medidas de tendência central: a mediana e a moda. Elas também podem ser utilizadas para representar um grupo de valores. Para compreender melhor cada uma delas, vamos considerar os exemplos a seguir.

Exemplo 1:

© Banco Central do Brasil

Cinco amigos decidem ir a um restaurante para comemorar o aniversário de um deles e resolvem verificar a quantia em reais que eles têm. Cada um deles tem apenas uma cédula no bolso e os valores são:

Se calcularmos a média aritmética dos valores em reais dos cinco amigos, teremos: Média 5 Média 5

10 1 10 1 10 1 20 1 100 5 150 ⇒ Média 5 30 5

Embora a média aritmética do grupo seja 30, esse valor não representa o grupo. Como o valor 10 é mais frequente, ele representa melhor o grupo. Na Estatística, esse valor é chamado de moda.

Moda é a medida de tendência central correspondente ao valor mais frequente de um grupo de valores observados.

Exemplo 2: Em uma pesquisa sobre o tipo de filme preferido feita com 225 alunos, obteve-se o resultado apresentado no gráfico a seguir. Preferência em filmes 90 80 70 60 50 40 30 20 10

Setup

Número de alunos 80 60 45 18

m

e

en hu

Tipo de filme

N

pe ns

Su s

tu ra

10

Av en

m a Dr a

an ce

éd Co m

Ro m

ia

12

147 pom9_114_155_u04.indd 147

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Aqui, a moda é o valor "comédia" da variável considerada. É o valor mais frequente, ou seja, possui o maior número de escolhas na população consultada.

Observações: V Utilizamos a moda quando precisamos informar o valor da variável que mais ocorreu. V Normalmente, a moda é empregada em pesquisas que procuram verificar preferências entre pessoas. V Há situações nas quais podemos obter mais de uma moda, ou até mesmo situações em que não há moda.

Outra medida de tendência central é a mediana. Observe atentamente o exemplo.

Exemplo 3:

1,24

1,37

1,41

1,45

1,58

1,67

Ronaldo Barata

Um grupo formado por 7 pessoas resolveu medir suas alturas, obtendo o gráfico seguinte, com as medidas em ordem crescente. 1,78

Como essas alturas estão em ordem crescente, dizemos que a altura 1,45 representa a mediana das alturas. Em um grupo de valores colocados em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o valor que ocupa a posição central do grupo, se a quantidade de valores for ímpar. Se a quantidade de valores for par, a mediana é igual à média aritmética dos dois valores que ocupam as posições centrais.

Exemplo 4: A seguir, estão informadas, em ordem crescente, as idades de um grupo formado por 10 pessoas.

10 anos

12 anos

13 anos

14 anos

14 anos

17 anos

18 anos

18 anos

19 anos

20 anos

Observe que a quantidade de valores é par. Assim, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais do grupo colocado em ordem crescente. Mediana 5 14 1 17 5 15,5 anos. 2

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1 A tabela a seguir contém os valores recebidos na venda de pneus, por uma loja especializada, ao longo de quatro meses. Mês

março

abril

maio

junho

Quantia recebida (reais)

25 000

30 000

40 000

15 000

Calcule a média dos valores recebidos nesses quatro meses.

R$ 27 500,00

Vitaly Maksimchuk / Shutterstock

caderno

aGoRa É CoM VoCÊ

2 Uma empresa é constituída de 20 funcionários e os salários deles estão representados no quadro a seguir. número de funcionários

8

5

7

salário (R$)

2.400,00

2.900,00

4.000,00

a) Obtenha o total da folha de pagamento dos 20 funcionários. b) Calcule o salário médio dos funcionários. R$ 3.085,00

R$ 61.700,00

3 Um aluno tirou nota 7 no 1o bimestre e nota 7 no 2o bimestre. Considerando que ele pode escolher entre a média aritmética simples ou a média aritmética ponderada, e que o 1o bimestre tem peso 1 e o 2o bimestre tem peso 2, qual das médias é maior? Fernando Favoretto

As duas médias, nessa situação, apresentam o mesmo resultado.

4 Durante um período de 10 dias, uma pessoa pagou 5 refeições a R$ 25,00 cada, 3 refeições a R$ 30,00 cada e 2 refeições a R$ 35,00 cada. Em média, quanto ela gastou por refeição? Gastou em média R$ 28,50.

5 A média aritmética dos gols feitos pelos jogadores A, B, C e D em um campeonato de futebol é 14. A média aritmética dos jogadores A e B é igual a 20. Sabendo-se que o jogador C fez 4 gols a mais do que o jogador D, responda: a) Quantos gols fez o jogador D? 6 b) Quantos gols fez o jogador C? 10 c) Qual é o número máximo de gols que um dos quatro pode ter feito? 40 6 Na tabela a seguir encontra-se a amostra aleatória da idade em anos completos dos alunos de um curso profissionalizante. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: Alternativa d.

25 32 22

18 16 24

17 20 19

18 20 28

a) A média é 24 e a mediana é 42. b) A moda é 18 e a média é 20. c) A mediana é 21 e a média é 20.

18 21 33

29 18 32

31 42 15

19 35 21

29 17 27

25 18 31

d) A mediana é 21 e a média é 24. e) Não é possível calcular a média.

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7 A tabela mostra o faturamento de uma empresa ao longo dos cinco primeiros meses do ano.

caderno

Mês

janeiro

fevereiro

março

abril

maio

Faturamento (R$)

250.000,00

220.000,00

300.000,00

480.000,00

200.000,00

a) Qual foi o faturamento total ao final dos cinco meses? R$ 1.450.000,00 b) Qual foi o faturamento mensal médio nesse período? R$ 290.000,00 c) Qual deverá ser o faturamento no mês de junho para que a média fique igual?

R$ 290.000,00

8 Um time de futebol fez seis partidas no campeonato estadual. Os placares dos jogos estão na tabela a seguir. Jogo 1

Jogo 2

Jogo 3

Jogo 4

Jogo 5

Jogo 6

430

432

235

431

333

132

Calcule a média dos gols desses seis jogos.

Aproximadamente 5,2 gols por jogo.

9 Um professor trabalha com pesos para as três notas da disciplina que leciona, ao longo de um ano. A primeira prova tem peso 2, a segunda tem peso 2 e a terceira tem peso 6. Um aluno tirou nota 5 na primeira prova e nota 7 na segunda. Determine a nota dele na terceira para que a média resultante seja 7. Aproximadamente 7,7. 10 Um grupo de 4 pessoas com idades de 20, 26, 30 e 34 anos está reunido. Uma pessoa com 24 anos se junta a eles. Responda: a) Qual é a média das 4 pessoas inicialmente reunidas? 27,5 anos b) Com a chegada dessa pessoa de 24 anos, o que acontece com a média das idades do grupo? A média cai para 26,8 anos. 11 De segunda a quinta-feira, José atendeu em sua loja 45, 42, 30 e 43 clientes, respectivamente. Determine a alternativa correta sabendo que a média de atendimento a clientes nos 5 dias úteis foi 40. Alternativa c. a) A mediana é 30, dado que na sexta-feira foram atendidos 30 clientes. b) A mediana é 43, dado que na sexta-feira foram atendidos 30 clientes. c) A mediana é 42, dado que na sexta-feira foram atendidos 40 clientes. d) A mediana é 42, dado que na sexta-feira foram atendidos 41 clientes. e) A mediana é 30, dado que na sexta-feira foram atendidos 41 clientes. 12 Pesquise as idades de seus colegas de turma e anote-as, considerando apenas as idades completas. Em seguida, determine: Respostas pessoais que dependem das idades dos alunos da turma. a) a moda das idades; b) a mediana das idades.

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13 A tabela mostra o número de gols marcados por um time ao longo dos 20 jogos de um campeonato. Gols marcados

Quantidade de partidas

0

5

1

3

2

4

3

6

4

2

Observando essas informações, determine: a) a moda correspondente ao número de gols; 3 gols b) a mediana dessa distribuição. 2 gols

14 A tabela abaixo apresenta as idades dos 11 jogadores de um time de futebol amador.

44

48

54

54

50

50

50

a) Determine a média das idades desses jogadores. b) Indique a idade que representa a moda. 50 anos c) Indique a idade que representa a mediana. 50 anos

46

48

59

56

Aproximadamente 51 anos.

15 Em um posto de saúde, foi feito um levantamento sobre as alturas de um grupo de pessoas. A tabela abaixo contém as informações correspondentes. a) Determine o número de pessoas que participaram do levantamento. b) Calcule a média das alturas do grupo de pessoas. Aproximadamente 1,76 m. c) Indique a moda das alturas do grupo. 1,75 m d) Indique a mediana das alturas do grupo. 1,75 m

16 pessoas

Altura (m)

1,69

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,78

1,80

1,82

1,84

Frequência

1

1

2

1

5

1

1

1

2

1

16 Determine a média, a mediana e a moda das velocidades, em km/h, de sete carros que participaram de uma competição, conforme valores da tabela. A média é 251 km/h; a mediana é 250 km/h; não há moda.

Carro 1

250 km/h

Carro 2

248 km/h

Carro 3

251 km/h

Carro 4

260 km/h

Carro 5

249 km/h

Carro 6

252 km/h

Carro 7

247 km/h

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Diversificando linguagens Observe uma curiosidade: a

(

x 1 te mo

)

 5a ⇒  a 

(

)

2

x 1 te  5 a 2 ⇒ a  x 1 te  5 a 2 ⇒ x 1 te 5 a ⇒  mo  mo  mo

⇒ x 1 te 5 amo ⇒ x 5 amo 2 te

Tente agora descobrir o que está escrito na frase: “x, a matemática é y ”, na qual x é a equação x  im 5 a e y é a equação s  im

y  ver 5 da . di (ver )2  ti

Assim, a Matemática é divertida.

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Superando Desafios 1 (OBM)

No dia de seu aniversário, em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nasci no ano x2 e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?” A resposta certa é: Alternativa d. a) 61 b) 64 c) 67 d) 70 e) 72 2 (Vunesp) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade de x horas por semana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana. Trabalha, porém, 4 horas a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada. O valor de x é: Alternativa a. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 3 (PUC-MG) No concurso para o Tribunal de Alçada, os candidatos fizeram provas de Português, Conhecimentos Gerais e Direito, respectivamente com pesos 2, 4 e 6. Sabendo-se que cada prova teve o valor de 100 pontos, o candidato que obteve 68 em Português, 80 em Conhecimentos Gerais e 50 em Direito, teve média: Alternativa c. a) 53 b) 56 c) 63 d) 66 e) 72

Editora Ática

As mil e uma equações Autor: Ernesto Rosa Editora: Ática 72 páginas Três jovens acompanham um poderoso emir em uma viagem no Oriente Médio. Nessa aventura eles conhecem Omar Ibn Sinan, que os entretêm com divertidos desafios matemáticos envolvendo equações e incluindo até o desenvolvimento de uma fórmula para resolução de equações do 2o grau. Os jovens também participam de uma disputa realizada por dois príncipes, que tem como prêmio a mão da princesa, filha do emir. O livro traz um suplemento de atividades relacionado às questões da história.

Editora Ática

Explorando História da equação do 2o grau Autor: Oscar Guelli Coleção: Contando a História da Matemática Editora: Ática 56 páginas O livro conta a história da equação do 2o grau desde o primeiro registro em uma placa de argila, há 4 mil anos, até o desenvolvimento da fórmula resolutiva.

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RESGATANDO CONTEÚDOS

1 Determine a alternativa que contém uma equação do 2o grau que admite zero como solução. Alternativa b.

a) x² 2 9x 5 10 b) x² 2 9x 5 0

c) x² 2 9x 1 2 5 0 d) x² 2 4x 1 2 5 0

2 Se uma equação do 2o grau em x não admite solução real, então: Alternativa c.

a) o discriminante é igual a zero. b) o discriminante é um número inteiro. c) o discriminante é um número real negativo. d) o discriminante é um número real positivo.

3 O número de diagonais de um polígono é obtido pela relação d 5 n  (n 2 3) . Determine 2 a alternativa que indica o polígono em que a quantidade de diagonais é igual ao dobro do número de lados. Alternativa c.

a) quadrilátero b) pentágono

c) heptágono d) hexágono

4 O quadrado e o retângulo a seguir têm a mesma área. Alternativa b.

x1

2 cm 4 cm

x1



Determine a alternativa que indica o valor de x. a) 2 b) 1 1 2 2

c) 1 2 2 2 d) 3

5 Um aluno escreveu em seu caderno a equação x  y 5 0. Depois, fez as afirmações a seguir sobre os possíveis valores de x e de y. Determine apenas aquela que é correta. Alternativa d.

a) Tanto x quanto y são iguais a zero. b) Se x for igual a zero, então y também será igual a zero. c) Se x for um número diferente de zero, então y também será diferente de zero. d) Se x for igual a 25, então y será necessariamente igual a zero.

6 Determine a alternativa que contém uma equação do 2o grau que apresenta duas raízes reais e iguais. Alternativa d.

a) x² 2 9x 1 8 5 0 b) x² 2 6x 1 8 5 0

c) x² 2 10x 1 9 5 0 d) x² 2 16x 1 64 5 0

7 Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes da equação x² 2 29x 1 30 5 0, então é correto afirmar que: Alternativa c.

a) S 5 30 e P 5 29 b) S 5 229 e P 5 230

c) S 5 29 e P 5 30 d) S 5 229 e P 5 30

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8 Na resolução de uma equação do 2 grau em x, o discriminante D 5 b² 2 4ac positivo indica a existência de: Alternativa d. a) apenas uma raiz real. b) duas raízes reais e iguais. c) duas raízes reais e opostas. d) duas raízes reais e distintas. o

9 A soma das raízes da equação x² 2 14x 1 48 5 0 é igual a: a) 48

b) 26

Alternativa c.

c) 14

10 A forma fatorada da equação x² 2 14x 1 48 5 0 é:

d) 214

Alternativa a.

a) (x 2 6)(x 2 8) 5 0 b) (x 2 6)(x 1 8) 5 0 c) (x 1 6)(x 2 8) 5 0 d) (x 1 6)(x 1 8) 5 0 11 Resolvendo a equação biquadrada x4 2 13x² 1 36 5 0, encontramos um conjunto solução formado por: Alternativa d. a) um elemento. b) dois elementos.

c) três elementos. d) quatro elementos.

12 A área de um quadrado de lado l é numericamente igual a seu perímetro. Sendo assim, temos: Alternativa a. a) l 5 4 b) l 5 2

c) l 5 1 d) l 5 0,5

13 Entre as alternativas a seguir, determine aquela que apresenta corretamente o conjunto solução da equação irracional 11 2 6 2 x 5 3. Alternativa a. a) S 5 {2} b) S 5 {0, 2}

c) S 5 {22} d) S 5 {4}

14 Se o número 23 é uma raiz da equação x² 2 7x 1 k 5 0, então é correto afirmar que: Alternativa d.

a) k 5 30 b) k 5 20

c) k 5 14 d) k 5 230

15 Um número natural, quando adicionado a seu inverso, tem como resultado o número racional 17 . É correto afirmar que esse número é: Alternativa b. 4 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 16 Sobre a equação irracional

x 2 x 5 0, é correto afirmar que:

Alternativa b.

a) não apresenta solução real. b) apresenta duas soluções reais. c) apresenta apenas uma solução real. d) apresenta mais de três soluções reais.

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a) 21

b) 22

c) 24

Africa Studio / Shutterstock

17 Alice e Bruna adoram basquete. Em uma mesma partida, Alice fez 20 pontos e Bruna fez 30 pontos. Qual foi a média dos pontos feitos pelas duas amigas? Alternativa d. d) 25

18 Luana obteve as seguintes notas nas provas de Língua Portuguesa no ano passado: 85, 70, 95 e 90. Nessas provas, os pesos foram 1, 2, 3 e 4, respectivamente. A média obtida por Luana foi: Alternativa c. a) 85

b) 86

c) 87

d) 88

19 No quadro aparecem 4 números e seus correspondentes pesos. Que valor obtemos ao calcular a média ponderada desses números, conforme seus pesos? Alternativa a.

2 3

Número Peso a) 3,25

4 2

b) 3,35

6 1

3 2

c) 4,25

d) 3,10

20 Em um grupo de ciclistas formado por 240 pessoas, observou-se que a média das idades era de 40 anos. Descobriu-se também que a média das idades de todas as mulheres desse grupo era de 35 anos, enquanto a média das idades de todos os homens era de 50 anos. Descubra quantas são as mulheres e quantos são os homens desse grupo. São 160 mulheres e 80 homens. 21 Um levantamento sobre as idades dos 50 alunos que frequentavam regularmente um curso especial de língua estrangeira teve o resultado apresentado no quadro a seguir.

17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 a) Organize uma tabela com as frequências absoluta e relativa dessas idades. b) Calcule a média das idades do grupo.

18,84 anos (aproximadamente 19 anos) c) Determine a moda das idades. 18 anos

d) Determine a mediana das idades. 19 anos

Idade 17 18 19 20 21 Total

Frequência absoluta 3 18 17 8 4 50

Frequência relativa 6% 36% 34% 16% 8% 100%

22 Um determinado produto é vendido em pacotes que deveriam ter 100 g de massa. Em um supermercado as massas de 10 pacotes desse produto foram verificados, obtendo-se os seguintes dados: Pacote 1

Pacote 2

Pacote 3

Pacote 4

Pacote 5

Pacote 6

Pacote 7

Pacote 8

98 g

102 g

100 g

100 g

99 g

97 g

96 g

95 g

Pacote 9 Pacote 10

99 g

100 g

Determine: 98,6 g a) a média das massas dos 10 pacotes;

99 g

b) a mediana das massas dos 10 pacotes; 100 g

c) a moda das massas dos 10 pacotes.

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UNIDADE 5

Geometria: polígonos e circunferências

Observando à nossa volta encontramos objetos e construções com formas parecidas às geométricas. O conhecimento de procedimentos para o cálculo de áreas de figuras planas, como quadrado, retângulo, triângulo e círculo, por exemplo, permite-nos conhecer e avaliar melhor objetos que, de alguma maneira, tenham tais formas. Ao buscarmos a origem da Geometria, o cálculo de áreas e as demarcações de terrenos são indícios importantes de seu início.

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05/06/2015 17:21

Vaclav Taus/Shutterstock

1 Qual é a área de sua sala de aula? 2 Você sabe determinar a área de um terreno circular de 20 m de medida do raio? 3 Todo quadrado é um retângulo?

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CAPÍTULO 17

Áreas de quadriláteros e triângulos O Brasil tem aproximadamente 8 516 000 quilômetros quadrados de superfície. A área do país está entre as maiores do mundo. Brasil: político

Boa Vista

RORAIMA 0°

AMAPÁ Macapá

EQUADOR

Belém São Luís

Manaus

Fortaleza

PARÁ

AMAZONAS

MARANHÃO

CEARÁ

Teresina

Brasil - Divisão política

Natal

ACRE

RR

Palmas

ALAGOAS

AM

MATO GROSSO

MA PI

Cuiabá

AC

Brasília TO

RO

GO

Campo Grande

AL

GERAIS

DF

Belo Horizonte

SÃO PAULO

ESPÍRITO SANTO

PARANÁ SC

RIO DE JANEIRO Rio de Janeiro

N

Curitiba

RS SANTA CATARINA

O

Florianópolis

Carnaúba Tocantins Limites estaduais Limites internacionais

RIO GRANDE DO SUL

0

Capital de estado

L S

Porto Alegre

Capital de país

OCEANO ATLÂNTICO

ES

RJ São Paulo

PR

Babaçu

PB PE

Vitória SP

Madeira

OCEANO PACÍFICO

Salvador

RN

MG

Borracha Castanha-do-brasil

CE

SE BAMINAS

GOIÁS

MATO GROSSO DO SUL MS O ICÓRNI E CAPR

DF

Goiânia MT

Maceió

Aracaju

BAHIA PA

Recife

SERGIPE

TOCANTINS

RONDÔNIA

CO D TRÓPI

PERNAMBUCO

AP

Rio Branco

João Pessoa

PARAÍBA

PIAUÍ Porto Velho

RIO GRANDE DO NORTE

© DAE/Simone Soares de Andrade

Brasil – Divisão Política

390

780 km

1 : 39 000 000 50°O

Fonte: Atlas Geográfico Escolar, 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.

Os cinco maiores países do mundo

Rússia

17 075 000 km2

Canadá

9 975 000 km2

China

9 600 000 km2

Estados Unidos

9 364 000 km2

Brasil

8 516 000 km2

Sua Pesquisa.com. Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

Quando trabalhamos com quilômetros quadrados utilizamos a unidade km2 como padrão de medida de superfície, ou seja, um quadrado com unidade de lado de 1 km. Dependendo da superfície que queremos avaliar, podemos usar outras unidades como, hectare, alqueire, cm2, m2 ou mm2. Neste capítulo, retomaremos o estudo da área de alguns quadriláteros e também da área de um triângulo. Respostas da página anterior: 1. Resposta pessoal. 3. Sim. 2. 400 m2

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6/12/15 10:47 AM

Área do retângulo, do quadrado e do paralelogramo Vamos lembrar como calcular a área de superfícies que tenham a forma de retângulo, de quadrado e de paralelogramo. Observe, para cada caso, os exemplos dados.

A área de um retângulo é calculada pelo produto das medidas de sua base e sua altura. Algebricamente: A 5 b ? h

Setup

Retângulo h

b

Delfim Martins/Pulsar Imagens

Exemplo 1:

Vista aérea de moradias na cidade de Ribeirão Preto, SP.

Na fotografia aérea de uma localidade, foi destacada uma região em forma de retângulo. Qual é a área destacada sabendo que as dimensões do terreno são 220 m por 752 m? Resolução: Como sabemos as duas medidas do retângulo, podemos calcular a área. A5b?h A 5 220 m ? 752 m A 5 165 440 m2

Observação: VV Normalmente, denominamos as medidas de um retângulo de base e altura, porém também podem ser

chamadas de comprimento e largura.

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Quadrado A área de um quadrado é calculada pelo quadrado da medida de seu lado. Algebricamente: A 5 l2

l

l

Exemplo 2: Uma peça de cerâmica foi lançada no mercado de construção civil. Ela tem a forma quadrada, e seu lado mede 0,9 metro. Calcule, em metros quadrados, a área que a peça ocupa.

0,9 m

0,9 m

Resolução: Utilizando a relação que fornece a área do quadrado, temos: A 5 l2 A 5 0,92 A 5 0,81; 0,81 m2

Observação: VV A área do quadrado pode ser compreendida como a área de um retângulo em que as medidas da base e da

altura são iguais.

Paralelogramo A área de um paralelogramo é calculada pelo produto das medidas da base e da altura. Algebricamente: A 5 b ? h

h

b

Exemplo 3: Calcule a área de um paralelogramo em que a medida da base é 7,5 cm e da altura 4,6 cm. Resolução: Como sabemos as medidas da base e da altura, basta substituir na relação matemática: A 5 bh A 5 7,5 cm  4,6 cm A 5 34,5 cm²

Observação: VV A relação matemática para o cálculo da área do retângulo e do paralelogramo é a mesma. Você pode

b

b h

h

Ilustrações: Setup

compreender mais facilmente ao observar que podemos transformar o paralelogramo em retângulo, como representado a seguir.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Obtenha as medidas da porta de sua sala de aula. Depois, calcule a área: a) em metros quadrados; b) em centímetros quadrados. As respostas dependem das medidas da porta. 2 Se a área de um quadrado é 10 cm2, determine: a) a medida do lado do quadrado;

10 cm

b) a medida da diagonal do quadrado.

20 cm 5 2 5 cm

3 Duas figuras geométricas que têm a mesma área são ditas equivalentes. Determine a medida do lado de um quadrado equivalente a um retângulo cujos lados medem 2 cm e 8 cm. M

N

a) a medida da base do paralelogramo; 5 cm b) a altura dele; 3 cm

Ilustrações: Setup

4 cm

4 Considere o paralelogramo LMNO ao lado, desenhado em uma malha quadriculada na qual cada quadradinho tem 1 cm de lado. Determine:

O

L

c) a área do paralelogramo. 15 cm . 2

5 Responda às questões a seguir. a) Quando duplicamos a medida do lado de um quadrado, o que ocorre com seu perímetro? Duplica.

b) Quando duplicamos a medida do lado de um quadrado, o que ocorre com sua área? Quadruplica.

c) Se a medida da base de um retângulo for triplicada e a altura for mantida, o que ocorre com a área desse quadrilátero? É multiplicada por 3. d) Se a medida da base de um paralelogramo for multiplicada por 7, o que devemos fazer com a medida da altura para que sua área seja mantida? Devemos dividi-la por 7. 6 A grama de um campo de futebol retangular que tem medidas 90 m e 120 m será trocada por outra mais resistente às temperaturas altas. Considerando que cada metro quadrado de grama custa R$ 7,50, calcule o custo total para trocar a grama do campo de futebol. R$ 81.000,00 7 Desenhe no caderno um retângulo cuja área seja 40 cm2. Depois, responda às questões. a) Quais são as medidas dos lados do retângulo desenhado? Resposta pessoal. b) Se um lado do retângulo medisse 4 cm, qual deveria ser a medida do outro lado? 10 cm c) Se a medida de um lado do retângulo fosse 2,5 cm, qual deveria ser a medida do outro lado? 16 cm

8 Calcule a área do paralelogramo a seguir. 40 cm2 10 cm

5 cm

3 cm

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Área do triângulo, do losango e do trapézio Você deve ter observado anteriormente que podemos obter a área de um quadrado e de um paralelogramo se soubermos calcular a área de um retângulo. Do mesmo modo, também podemos calcular a área de um losango e de um trapézio se soubermos a área de um triângulo.

Triângulo A área de um triângulo é calculada pela metade do produto da medida da base pela da altura.

Setup

h

b

Algebricamente: A 5 b ? h . 2

Exemplo 1: Calcule a área do triângulo com as medidas mostradas na figura a seguir.

9 cm

h

x

DAE

30°

Resolução: Vamos primeiro calcular a altura, observando que ela forma um ângulo de 90° com a base, e depois calcularemos e a medida da base. Utilizando as relações trigonométricas seno e cosseno, temos: h 9 cos 30° 5 sen 30° 5 9 x 1 h 9 9 3 18 18 ? 3 5 ⇒h5 ⇒x5 ⇒x5 ⇒ 5 2 2 9 2 x 3 3 ? 3 ⇒ x 5 18 ? 3 ⇒ x 5 6 3 3 Utilizando a fórmula para a área do triângulo, obtemos: A 5 b ?h 2 9 6 3 ? 2 27 3 A5 cm2 5 2 2

162 pom9_156_203_u05.indd 162

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Observação: VV A área de um triângulo pode ser compreendida como a metade da área de um paralelogramo, como

sugerem as figuras a seguir.

Losango Ilustrações: Setup

A área de um losango é calculada pela metade do produto das medidas de suas diagonais.

d

D

Algebricamente: A 5 D ? d . 2

Exemplo 2: Calcule a área de um losango cujas diagonais medem 7,2 cm por 4,8 cm. Resolução: Substituindo as medidas das diagonais do losango na fórmula anterior, obtemos: A 5

D?d 2

A 5 7,2 ? 4,8 2 A 5 17,28; 17,28 cm2

Observação: VV Para obter a fórmula da área de um losango, podemos considerá-lo formado por quatro triângulos iguais,

nos quais a medida da base e a medida da altura correspondem à metade da medida da diagonal maior e da diagonal menor, respectivamente. A área do losango é quatro vezes a área do triângulo. Alosango 5 4 ? Atriângulo Alosango d 2

D ? d 54? 2 2 2

Alosango 5 4 ? D ? d ⇒ Alosango 5 D ? d 8 2

D 2

163 pom9_156_203_u05.indd 163

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Trapézio A área de um trapézio é a metade do produto da altura pela soma das medidas das bases. Ilustrações: Setup

b

h

B

Algebricamente: A 5

(B 1 b ) ? h 2

Exemplo 3: Calcule a área de um terreno em forma de trapézio em que as medidas das bases são 15 m e 60 m e a altura (a distância entre as duas bases) é 25 m. Resolução: Como temos as medidas das bases e também da altura, substituímos na relação matemática correspondente: A 5 (B 1 b ) ? h 2 A 5 (60 1 15) ? 25 2 A 5 937,5; 937,5 m²

Observação: VV A fórmula para calcular a área de um trapézio corresponde às áreas de dois triângulos obtidos quando

traçamos uma das diagonais do trapézio. Atrapézio 5 A1 1 A2

b

A trapézio 5 B ⋅ h 1 b ⋅ h 2 2 A trapézio 5 B ⋅ h 1 b ⋅ h 2

A2 h A1

A trapézio 5

(B 1 b ) ⋅ h 2

B

164 pom9_156_203_u05.indd 164

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AGORA É COM VOCÊ 1 Determine a área de um losango cujas diagonais medem 14 cm e 28 cm. 196 cm2

2 As bases de um trapézio medem 10 cm e 14 cm. Sabemos que a medida da altura é 5 cm. Determine a área do trapézio. 60 cm2 3 A medida da base de um triângulo é 36 cm e a área é 72 cm2. Qual é a medida da altura do triângulo? 4 cm 4 A medida dos catetos do triângulo representado na figura abaixo estão indicadas.

12 cm

23 cm

Determine: a) a área do triângulo; 138 cm2 b) a medida do lado de um quadrado com a mesma área do triângulo.

138 cm

5 Observe as medidas indicadas na figura abaixo. 3 cm 2 cm 3 cm

6 cm

2 cm 2 cm 2 cm

8 cm

Determine: a) o perímetro da figura; 28 cm b) a área total da figura. 34 cm2

Ilustrações: Setup

6 O desenho abaixo representa a área de uma construção em forma de trapézio cujas bases medem 50 m e 20 m. Determine a área total da construção. 1050 m2

50 m

20 m

30 m

165 pom9_156_203_u05.indd 165

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B F

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Ilustrações: Setup

7 Na malha quadriculada a seguir, cada lado de um quadradinho equivale a 1 cm.

G C

A

E

H

D

Determine a área: a) do losango; 16 cm2

d) do triângulo EFH; 4 cm2

b) do triângulo AFE; 2 cm2

e) do triângulo BFG. 2 cm2

c) do retângulo EFGH; 8 cm2 8 Em um losango, a medida de uma diagonal é o triplo da medida da outra diagonal. Determine as medidas das diagonais considerando que a área do losango é 24 cm2. 4 cm e 12 cm 9 Determine a área da figura plana representada abaixo usando as medidas indicadas. 26,5 cm2

2 cm 3 cm 5 cm 3 cm

3 cm

3 cm

10 Se duplicarmos as medidas da base e da altura de um retângulo, o que acontece com sua área? Será multiplicada por 4, isto é, quadruplicará. 11 Considere o paralelogramo representado abaixo.

20 cm

25 cm

Determine: a) a área desse quadrilátero; 500 cm2 b) a altura de um triângulo equivalente cuja base mede 50 cm. 20 cm

166 pom9_156_203_u05.indd 166

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Capítulo 18

Polígonos convexos hxdbzxy/Shutterstock

Os revestimentos de pisos, paredes e calçadas normalmente são feitos com peças no formato de figuras geométricas conhecidas como polígonos. O triângulo, o quadrado, o losango e o hexágono são alguns exemplos de polígonos.

Podemos classificar um polígono como côncavo ou convexo. Observe ao lado uma maneira simples de diferenciá-los: no polígono convexo, qualquer segmento com extremidades no interior do polígono estará totalmente contido nele. Já no côncavo isso não ocorre. Neste capítulo, estudaremos os polígonos convexos.

polígono côncavo

polígono convexo

Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo Um polígono convexo com n lados é formado por n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos. Ao ligar dois vértices não consecutivos de um polígono convexo, obtemos um segmento que representa uma diagonal desse polígono.

diagonal do polígono

Vamos obter uma relação matemática para determinar o número de diagonais de um polígono convexo com base no número de lados (ou de vértices).

diagonal duas vezes. Assim, para obter o número correto de diagonais, dividimos esse resultado por 2. Portanto, sendo d o número de diagonais, chegamos na relação:

d 5 n ? (n 2 3) 2

Ilustrações: Setup

• De cada vértice de um polígono com n lados podemos construir n – 3 diagonais. • Como são n vértices, ao todo teríamos, pelo princípio multiplicativo, n ? (n 2 3) diagonais. • Se fizermos o cálculo dessa maneira, contaremos uma mesma

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Em um polígono convexo com n lados, o número total de diagonais d é calculado pela relação: d5

n ? (n 2 3) 2

Exemplo 1:

Setup

Calcule o número de diagonais desenhadas no polígono abaixo.

Resolução: Observe as diagonais desenhadas; contar essa quantidade de diagonais não é tarefa muito fácil. É mais simples contar o número de vértices (ou lados) do polígono. Após verificarmos que o polígono tem 20 lados (é um icoságono), substituímos na fórmula, para obter o total de diagonais.

d 5 n ? (n 2 3) 2 (20? (20 2 3)2d⇒ 3)5d170 d 5d 20 5 ?20 5 170 2 2 Portanto, o polígono tem 170 diagonais.

Exemplo 2: Determine o número de lados de um polígono considerando que o número de diagonais é o dobro do número de lados. Resolução: Consideramos, na fórmula correspondente, que o número de diagonais é o dobro do número de lados. Em seguida, resolvemos a equação.

d 5 n ? (n 2 3) 2 2n 5 n ? (n 2 3) 2 4n 5 n2 2 3n n 5 0 n2 2 7n 5 0 ⇒ n ? (n 2 7) 5 0 ⇒  n 5 7

(não convém)

Portanto, o polígono tem 7 lados.

168 pom9_156_203_u05.indd 168

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AGORA É COM VOCÊ 1 Determine o número de diagonais admitidas por um polígono com: a) 9 lados; 27 diagonais b) 11 lados; 44 diagonais c) 13 lados; 65 diagonais d) 20 lados. 170 diagonais

2 De cada vértice de um pentágono é possível traçar 2 diagonais; de cada vértice de um hexágono é possível traçar 3 diagonais; e de cada vértice de um heptágono é possível traçar 4 diagonais. Utilizando essa regularidade, determine o número de lados de um polígono convexo do qual foi possível traçar 9 diagonais de um dos vértices. 12 lados 3 Sabe-se que o número de diagonais de um polígono convexo é igual ao quádruplo do número de lados. Determine: a) a quantidade de lados desse polígono; 11 lados b) o número de diagonais do polígono. 44 diagonais 4 Sabe-se que em um polígono convexo o número de lados é igual ao número de diagonais. Qual é a denominação desse polígono? O nome do polígono é pentágono. 5 No polígono representado ao lado foram desenhadas as diagonais. Após observá-lo, responda às questões. a) Quantos vértices há no polígono? 8 vértices b) Quantos são os lados? 8 lados c) Qual é o número de diagonais que partem de cada um dos vértices? 5 diagonais d) Qual é o total do número de diagonais? 20 diagonais 6 No polígono de vértices de A a N, inscrito em uma circunferência, estão representadas suas diagonais. a) Qual é o número de lados do polígono? 14 lados b) Qual é o total de diagonais? 77 diagonais c) Quantas diagonais passam pelo ponto central do polígono? 7 diagonais I

J

H

K

F

M

Ilustrações: Setup

G

L

E

N D

A B

C

169 pom9_156_203_u05.indd 169

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Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo No volume anterior deste projeto, vimos como calcular a soma das medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo e de um quadrilátero. Ampliaremos nosso conhecimento agora, obtendo relações matemáticas para calcular a soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo. Nas relações a seguir, é importante conhecer o número de lados do polígono correspondente. Soma das medidas dos ângulos internos Com o auxílio de transferidor determine a soma dos ângulos internos das seguintes figuras:

180°, 360°, 540°, 720°

Agora observe estas mesmas figuras quando traçamos suas diagonais de um vértice:

Vemos que os polígonos com mais de três lados podem ser decompostos em triângulos e, como já sabemos, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Assim, temos: Triângulo

Quadrilátero

Pentágono

Hexágono

180°  1 5 180°

180°  2 5 360°

180°  3 5 540°

180°  4 5 720°

1 triângulo

2 triângulos

3 triângulos

4 triângulos

Com base nisso, tente generalizar uma relação que envolva o número de lados de um polígono convexo qualquer e a quantidade de triângulos em que ele pode ser decomposto quando traçamos todas as diagonais de um vértice. Socialize suas ideias com os colegas. A relação é n 2 2 triângulos, sendo n o número de lados.

Agora que, por meio da relação estabelecida anteriormente, sabemos quantos triângulos há em um polígono convexo, generalize a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Si 5 (n 2 2)  180°, sendo Si a soma dos ângulos internos do polígono.

Ilustrações: Setup

Exemplo 1: Obtenha a soma das medidas dos ângulos internos do polígono à esquerda. Resolução: Ao contarmos diretamente na figura, concluímos que o polígono tem 12 lados (dodecágono). Assim, podemos calcular a soma das medidas dos ângulos internos. Si 5 (n 2 2)  180° Si 5 (12 2 2)  180° Si 5 1 800°

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Soma das medidas dos ângulos externos Há uma relação, vista no volume anterior deste projeto, entre a medida de um ângulo interno e um ângulo externo de um polígono. Essa relação pode ser visualizada na figura ao lado. Em um vértice P qualquer de um polígono convexo, a soma das medidas de um ângulo interno i com o ângulo externo e é igual a 180°, resultando em um ângulo raso.

i

e P

i 1 e 5 1808

Com base nessa relação, podemos obter a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo com n lados (n vértices). Vamos adicionar todas as medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo. Como são n vértices, representamos essas medidas por índices. Assim, i1 1 e1 5 1808 representa a soma das medidas dos ângulos interno e externo do vértice P1, já i2 1 e2 5 1808 é do vértice P2 e assim por diante:

i1 1 e1 5 180° i 2 1 e2 5 180° i 3 + e 3 5 180°  in 1 en 5 180° _____________

(i

i2

(n

2) 180°

e1

e2

e3

...

en

n 180°

(n

e1

e2

e3

...

en

n 180°

n 180°

1

i3

...

(e

in

) (e

e2

1

e2

1

e3

e3 ...

en

)

en

...

)

180°

180°

180°

...

180°

n 180° 2) 180° 360° ⇒ e1

e2

e3

...

en

360°

Portanto, concluímos que a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono corresponde a 360°. Vamos representar essa soma por Se. Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas de todos os ângulos externos Se é 360°. Se 5 360°

Exemplo 2: Ilustrações: Setup

Na figura a seguir estão representados os ângulos externos de um polígono convexo. e4

e3

e5

e2

e6 e7

A soma das medidas dos ângulos externos é 360°: e1 1 e2 1 e3 1 e4 1 e5 1 e6 1 e7 5 360°

e1

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AGORA É COM VOCÊ 1 Dado um hexágono convexo, determine: a) a soma das medidas dos ângulos internos do polígono; 720º b) a soma das medidas dos ângulos externos do polígono. 360º

2 O polígono representado na figura abaixo está dividido em 5 triângulos originados de um mesmo vértice. C

B

D

A

E

G F

Determine: a) a soma das medidas dos ângulos externos do polígono; 360° b) a soma das medidas dos ângulos internos do polígono. 900° 3 A medida do ângulo externo correspondente ao vértice C indicado na figura ao lado é 86°.

A

Determine:

B

E

a) a medida do ângulo interno correspondente ao vértice C; 94° b) a soma das medidas de todos os ângulos externos do polígono; 360° c) a soma das medidas de todos os ângulos internos do polígono. 540°

C

D

4 A medida de um ângulo interno de um polígono é 70°. As medidas dos demais ângulos, como mostra a figura, estão indicadas em função de x.

x

Determine: a) o valor de x; 120° b) a medida dos seis ângulos internos; 120°, 120°, 120°, 140°, 70° e 150° c) a medida do ângulo externo correspondente ao ângulo interno indicado por x. 60°

x  20°

x 70°

x

x  30°

s:

e açõ str

tup

Se

Ilu

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5 Considere que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 1800°. Determine: a) o número de lados do polígono; 12 lados b) o número de diagonais. 54 diagonais 6 No polígono representado abaixo, as medidas dos ângulos internos estão indicadas em função de x. 2x  20°

x  25°

x  15°

3 x 2

x

Determine: a) a soma das medidas dos ângulos internos do polígono; 540° b) o valor de x; 80° c) a medida de cada um dos ângulos internos e também a medida dos correspondentes internos: 80°, 105°, 140°, 95° e 120°. ângulos externos. Ângulos Ângulos externos: 100°, 75°, 40°, 85° e 60°.

Ilustrações: Setup

7 Sabendo-se que a medida do ângulo externo indicado na figura é um quarto da medida do ângulo interno correspondente, obtenha:

a) a medida do ângulo interno; 144° b) a medida do ângulo externo correspondente. 36° 8 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 2 160°. Calcule o número de diagonais do polígono. 77 diagonais 9 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é 5 400°. Determine: a) o número de lados do polígono; 32 lados b) o número de diagonais. 464 diagonais 10 Responda às questões a seguir. a) Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é igual à soma das medidas dos ângulos externos? O quadrilátero. b) Existe algum polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos seja menor que a soma das medidas dos ângulos externos? Sim, um triângulo. c) Qual é o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos é o dobro da soma das medidas dos ângulos externos? O hexágono.

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Capítulo 19

Polígonos regulares Eduardo Belmiro

Quando todos os lados e todos os ângulos internos de um polígono são iguais, ele é denominado regular. Os polígonos regulares mais conhecidos são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono; veja uma composição com esses polígonos na figura a seguir.

Além de serem encontrados em revestimentos para paredes e pisos, os polígonos regulares também aparecem em quadros e mosaicos.

Ilustrações: Setup

Neste capítulo, ampliaremos um pouco mais o conhecimento sobre os polígonos regulares.

triângulo equilátero

quadrado

pentágono regular

hexágono regular

heptágono regular

octógono regular

eneágono regular

decágono regular

Número de lados

Polígono

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

undecágono dodecágono tridecágono tetradecágono pentadecágono hexadecágono heptadecágono octodecágono eneadecágono icoságono

174 pom9_156_203_u05.indd 174

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Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares Vimos, no capítulo anterior, que podemos determinar a soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo. Se o polígono convexo é regular, os ângulos internos são congruentes, e o mesmo ocorre com os ângulos externos. Nesse caso, para determinar a medida de cada um dos ângulos, dividimos a soma das medidas dos ângulos pelo número de ângulos. Em um polígono regular, cada ângulo interno i e cada ângulo externo e tem medida correspondente a: i5

Si (n 2 2) ? 180° ⇒i5 n n e5

Se ⇒ e 5 360° n n

sendo Si a soma das medidas dos ângulos internos, e Se a soma das medidas dos ângulos externos.

Exemplo: Determine a medida de cada ângulo interno de um decágono regular. Resolução: Dividimos a soma das medidas dos ângulos internos do decágono por 10 para obter a medida de cada ângulo interno.

Ilustrações: Setup

i 5

e i

Si n

i 5 (n 2 2) ? 180° n

i 5 (10 2 2) ? 180° ⇒ i 5 144° 10

Observações: VV Outro método é calcular primeiro a medida do ângulo externo e depois seu suplementar:

e 5 360° ⇒ e 5 36° 10 i 1 e 5 180° i 1 36° 5 180° ⇒ i 5 144° VV Esse procedimento pode ser adotado para qualquer polígono regular.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considere um decágono regular. Determine: a) a medida de cada ângulo externo; 36° b) a medida de cada ângulo interno. 144°

2 Em um polígono regular, a medida de cada ângulo interno é o triplo da medida de cada ângulo externo. Determine: a) a medida de cada ângulo externo; 45° b) a medida de cada ângulo interno; 135° c) o número de lados que o polígono tem. 8 lados 3 Observe o polígono regular e suas diagonais representados abaixo e responda às questões. A G

B

F

C

E

D

a) Quantos lados tem o polígono? 7 lados b) Qual é o número total de diagonais? 14 diagonais o c) Qual é a medida de cada ângulo externo? 360 7 d) Qual é a medida de cada ângulo interno? 900o 7

(aproximadamente 51,4°) (aproximadamente 128,6°)

4 Sabe-se que a medida de cada ângulo externo de um polígono regular é 20º. a) Determine o número de lados do polígono. 18 lados b) Obtenha a medida de cada ângulo interno do polígono. 160°



Ilustrações: Setup

5 A figura a seguir representa um polígono regular.

Determine: a) a medida de cada ângulo central a; 40° b) a medida de cada ângulo externo; 40° c) a medida de cada ângulo interno.

140°

6 Considere um dodecágono regular. Determine: a) a medida de cada ângulo central; 30° b) a medida de cada ângulo externo; 30° c) a medida de cada ângulo interno. 150°

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7 Em um polígono regular, sabe-se que a medida do ângulo interno é 8 vezes a medida do ângulo externo correspondente. a) Obtenha a medida de cada ângulo interno. 160° b) Obtenha a medida de cada ângulo externo. 20° c) Informe o número de lados desse polígono regular. 18 lados 8 A diagonal AC do hexágono regular abaixo divide-o em dois polígonos: um triângulo e um pentágono. B

C

D

A

F

E

a) Determine a medida do ângulo destacado na figura. 30° b) Obtenha a soma das medidas dos ângulos internos do pentágono. 540° 9 Observe a seguir uma sequência de polígonos regulares, com as correspondentes medidas dos ângulos internos indicadas. 900° 360° 9. a) heptágono,

; b) 120°, 90°, 72°, 60° e

7

120°

108°

90°

60°

7

a) Indique qual será a próxima figura da sequência de polígonos e determine a medida do ângulo interno correspondente. b) Escreva a sequência das cinco medidas dos ângulos externos correspondentes. 10 A figura ao lado foi construída compondo-se um hexágono regular e seis quadrados. Sabemos que a medida do lado do quadrado é a mesma do lado do hexágono. Determine a medida do ângulo indicado na figura. 60°

A



B

C

E

Ilustrações: Setup

11 Determine o número de lados de dois polígonos regulares considerando que a razão entre as medidas dos ângulos internos é 3 e a razão entre os números de lados é 1 . 3 Um polígono tem 4 lados e o outro tem 12 lados. 5 12 O polígono ABCDE é regular. Determine a medida do ângulo indicado na figura. 36°

D

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Conexões WimL/Shutterstock

Os polígonos regulares mais utilizados em construções são o quadrado, o triângulo equilátero e o hexágono regular. Na prática, esses polígonos são usados no design de azulejos, cerâmicas e porcelanatos diversos que revestem paredes, pisos e calçadas. As peças feitas nesses formatos possibilitam a "justaposição sem deixar espaços". Assim, por exemplo, ao unirmos peças com o formato de triângulo equilátero, observe que seis delas podem ser encaixadas perfeitamente sem que haja sobra de espaços entre elas.

A medida de cada um dos ângulos internos do triângulo equilátero é 60°. Assim, no ponto em que as seis peças se encontram obtemos o ângulo correspondente ao giro completo: 6 ? 60° 5 360°

Ilustrações: Setup

Se a peça tiver o formato quadrado, necessitaremos de quatro peças iguais justapostas para que não sobrem espaços; o encaixe das peças cobre toda a superfície.

Nas peças quadradas, os ângulos internos são retos, medem 90°. Assim, precisamos de apenas quatro peças, pois: 4 ? 90° 5 360° Quando as peças têm a forma de hexágono regular, unimos apenas três peças para revestir sem deixar espaços entre elas.

Como cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120°, então: 3 ? 120° 5 360°

178 pom9_156_203_u05.indd 178

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Polígonos inscritíveis e circunscritíveis B

A C

O

D

Quando um polígono convexo admite uma circunferência passando por todos os seus vértices, o polígono é inscritível na circunferência. Em outras palavras, dizemos que um polígono é inscritível somente se houver um ponto O igualmente distante de todos os vértices do polígono. Todo triângulo é inscritível a uma circunferência. Um quadrilátero é inscritível se a soma das medidas dos ângulos opostos for 180°. Qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência.

Exemplo 1: O triângulo equilátero, o quadrado e o pentágono regular são exemplos de polígonos inscritíveis em circunferências.

Podemos também obter uma circunferência tangenciando todos os lados de um polígono. Quando isso ocorre dizemos que o polígono é circunscritível à circunferência. De modo geral, um polígono é circunscritível se houver um ponto O situado à mesma distância de todos os lados do polígono. Ilustrações: Setup

B A O C

D

Todo triângulo é circunscritível a uma circunferência. Um quadrilátero é circunscritível a uma circunferência quando a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados. Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

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Exemplo 2: O quadrado, o pentágono regular e o triângulo equilátero são exemplos de polígonos regulares circunscritíveis a circunferências.

Verifique a afirmação acima, para um octógono regular, utilizando o programa de geometria dinâmica GeoGebra. Como todo polígono regular é inscritível e circunscritível, é importante conhecermos alguns elementos que merecem destaque.



a

a R a

R

apótema ou raio da circunferência inscrita raio da circunferência circunscrita ângulo central

Ilustrações: Setup

Área de um polígono regular

O

a

A

B 

Como qualquer polígono regular é circunscritível, podemos calcular a área se soubermos a medida do lado do polígono e também a medida do apótema. Observe que todo polígono regular de n lados pode ser dividido em n triângulos isósceles. Nesses triângulos, a medida da altura é igual à medida do apótema. Dessa forma, temos: Apolígono 5 n  Atriângulo  a Apolígono 5 n  2 n ⋅ a Apolígono 5 2 Apolígono 5 p  a

(

)

Observações: VV Nessa fórmula, p representa o semiperímetro do polígono regular, ou seja, a metade de seu perímetro. VV A área do polígono regular é o produto do semiperímetro pela medida do apótema do polígono.

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AGORA É COM VOCÊ

1 Um polígono regular tem 6 lados e a medida do apótema é 2 cm. Determine a área desse polígono. 8 3 cm2 2 Calcule a área de um polígono regular de n lados que tem perímetro 12 3 cm e apótema k cm. 6 3 k cm2 3 Em relação à atividade 2, responda: Quantos lados tem esse polígono regular, considerando que a medida de cada lado é 3 cm? 12 lados 4 Na figura ao lado está representado um polígono regular inscrito numa circunferência. Observe as medidas indicadas por a e  e determine uma expressão que indique: a) o perímetro do polígono; 6  l b) a medida do apótema do polígono; a c) a área do polígono. 6  l  a

 







a

2



5 Calcule a área de um hexágono regular considerando que a medida de seu lado é 6 cm. 54 3 cm2

6 Calcule a área de um quadrado cuja medida do apótema é 4 cm. 64 cm2 7 Observe, ao lado, um polígono regular inscrito numa circunferência. Considerando que o apótema desse polígono é a cm e que a área do triângulo destacado é 10 cm2, determine: a) a área do polígono; 100 cm2 b) a medida do lado do polígono.

20 cm a

Triângulo equilátero, hexágono regular e quadrado Como o triângulo equilátero, o hexágono regular e o quadrado são os polígonos regulares mais usados, apresentamos a seguir as relações métricas das medidas dos lados desses polígonos, dos apótemas e dos raios das circunferências inscritas e circunscritas. Triângulo equilátero

33 22

RR

ll ⇒ ⇒ ll 22

sen 30° 5 a R

11 5 5 aa ⇒ ⇒ aa 5 5 RR RR 22 22

2

Ilustrações: Setup

Observando o triângulo retângulo destacado na figura abaixo e usando as relações trigonométricas estudadas, temos: l R A a 30° 2 cos 30° 5 R  RR 33 R a B

 2

C

181 pom9_156_203_u05.indd 181

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Em um triângulo equilátero, podemos expressar a medida do lado e do apótema em função da medida do raio da circunferência circunscrita. l R 3 ea5 R 2

Hexágono regular No triângulo equilátero a seguir, temos: l 2 cos 60° 5 R R

1  l ⇒ l R 2 2R



R

a

60°

R

sen 60° 5 a R



a R

3 5 a ⇒a 5 R 3 R 2 2

Em um hexágono regular, podemos expressar a medida do lado e do apótema em função da medida do raio da circunferência circunscrita. l5Re a 5 R 3 2 Quadrado Os catetos do triângulo retângulo medem l e a hipotenusa mede 2R. Temos: (2R)² 5 l² 1 l² 4R² 5 2l²



Comparando a medida do apótema com a medida do lado, temos: 2a 5 l



2R a

Ilustrações: Setup

l² 5 2R² ⇒ l  R 2

2a 5 R 2 ⇒ a 5 R 2 2

Em um quadrado, podemos expressar a medida do lado e do apótema em função da medida do raio da circunferência circunscrita. l  R 2 e aa5 5R 2 2

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AGORA É COM VOCÊ

1 Um quadrado está inscrito em uma circunferência de 3 cm de medida de raio. Determine: a) a medida do lado do quadrado; 3 2 cm b) a medida do apótema do quadrado; 3 2 2 c) a área do quadrado. 18 cm2

cm

2 O lado de um quadrado circunscrito a uma circunferência mede 8 cm. Determine a medida: a) do lado de um quadrado inscrito na mesma circunferência; b) da diagonal do quadrado inscrito nessa circunferência. 8 cm

4 2 cm

3 Calcule a área de um triângulo equilátero considerando que a medida de seu apótema é 3 cm. 27 3 cm2 4 O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 12 cm. Calcule: a) a medida do raio da circunferência; 4 3 cm b) a medida do apótema do triângulo equilátero; c) a área do triângulo. 36 3 cm2

2 3 cm

5 Calcule a área de um quadrado inscrito em uma circunferência cujo raio mede 5 cm. 50 cm2

2 cm O

O

2 cm

O 2 cm

Ilustrações: Setup

6 A seguir estão representados polígonos regulares inscritos em circunferências de raio de 2 cm.

Para cada um desses polígonos, determine: a) a medida do apótema; Os apótemas medem 2 cm, 3 cm e 1 cm, respectivamente. b) a medida do lado; Medem 2 2 cm, 2 cm e 2 3 cm, respectivamente. c) a área. As áreas são 8 cm2, 6 3 cm2 e 3 3 cm2, respectivamente.

Videowokart/Dreamstime.com

7 Em uma calçada foram usadas peças em forma de hexágono regular. Determine a área de cada uma das peças, considerando que o perímetro de cada peça é 120 cm. 600 3 cm2.

183 pom9_156_203_u05.indd 183

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Capítulo 20

Círculo e circunferência Círculo é uma superfície e circunferência é uma linha correspondente ao contorno.

Pzdesigns/Dreamstime.com

O uso de vidros em forma de círculo, por exemplo, exige o conhecimento de relações matemáticas que possibilitem determinar a área do círculo com base na medida do raio. Também podemos determinar a medida do contorno, isto é, o perímetro da circunferência, conhecendo a medida do raio.

Neste capítulo, abordaremos o estudo da circunferência, do arco de circunferência, do círculo e do setor circular.

R

Setup

Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência

O comprimento de uma circunferência já foi abordado neste projeto, quando estudamos os números irracionais. Essa medida está relacionada ao número irracional p. p 5 C ⇒ C 5 2pR 2R

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O comprimento da circunferência é o produto da medida do diâmetro pelo número irracional p. Em símbolos: C 5 2pR

Observação: VV O comprimento de um arco de circunferência é diretamente proporcional à medida do ângulo central

Setup

correspondente a esse arco. Assim, podemos determinar sua medida com base em uma proporção.

R x



R

Para determinar a medida x do arco de circunferência, usamos a seguinte proporção: x 5 a° 2pR 360° x 5 2pR ? a ° ⇒ x 5 pRa 360° 180°

Exemplo: Encontre a medida do comprimento de um arco de 45° construído em uma circunferência de raio 10 cm. Resolução: Utilizando a proporção vista anteriormente, obtemos o comprimento x do arco correspondente a 45°: x a 5 2pR 360°

x 2p ? 10

5

45° 360°

x 5 1 20p 8

x 5 20p ⇒ x 5 5p cm 8 2

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considere uma circunferência com raio de 2 cm. Determine: a) a medida do diâmetro da circunferência; 4 cm b) o perímetro da circunferência; 4p cm 4p 2p c) o comprimento de um arco de 60°; 6 cm 5 3 cm d) o comprimento de um arco de 45°. 4p cm 5 p cm 8

2

2 Considere uma circunferência com diâmetro de 28 cm. Determine: a) o comprimento da circunferência; 28p cm b) o comprimento de um arco correspondente a 90°; 7p cm c) o comprimento de um arco correspondente a 120°. 283p cm 3 A figura abaixo representa um setor circular construído em uma circunferência com raio de 12 cm. B

12

60° O

12

A

Determine: a) a medida do comprimento do arco AB; 4p cm b) o comprimento da circunferência correspondente. 24p cm 4 Calcule a medida do raio de uma circunferência cujo comprimento é 240 cm.

120 cm p

l

Indique, em função de l, a medida: a) do raio da circunferência inscrita; 2l b) do raio da circunferência circunscrita.

Ilustrações: Setup

5 A figura abaixo representa um quadrado, uma circunferência inscrita e outra circunferência circunscrita ao quadrado.

2

l 2

6 Responda às questões. a) Quanto aumenta a medida do raio de uma circunferência quando seu comprimento é multiplicado por 3? Aumenta 2 vezes, pois o novo raio será o triplo do anterior. b) Quanto aumenta a medida do raio de uma circunferência quando seu comprimento duplica? Aumenta 1 vez, pois o novo raio será multiplicado por 2.

186 pom9_156_203_u05.indd 186

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Eduardo Belmiro

7 Um ciclista percorre uma pista circular com raio de 50 m.

Determine: a) a medida correspondente a uma volta completa na pista; 100p m ou, aproximadamente, 314 m b) o número de voltas que ele precisa dar para percorrer 62 800 m na pista, considerando p  3,14. 200 voltas

Ilustrações: Setup

8 Na figura a seguir, o lado do quadrado mede 20 cm. Quatro semicircunferências foram desenhadas tendo como centro os pontos médios dos lados do quadrado.

Determine: a) a medida do raio de cada semicircunferência; 10 cm b) a soma das medidas dos comprimentos de todas as semicircunferências desenhadas. 40p cm 9 A figura abaixo é formada por 4 arcos concêntricos pertencentes a circunferências com raios de 1 cm, 2 cm, 3 cm e 4 cm. Considerando que o ângulo correspondente a esses arcos é de 45°, determine a soma das medidas dos comprimentos dos arcos. 52p cm

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Área do círculo e de um setor circular A área de um círculo de raio r pode ser obtida, de forma intuitiva, dividindo-o em setores circulares iguais. Juntando os setores, como mostra a figura, obtemos um polígono similar a um paralelogramo. Nele, a medida da base corresponde, aproximadamente, à metade da medida do comprimento da circunferência; e a altura corresponde, também de forma aproximada, à medida do raio r. Assim: A5bh r

  A círculo 5  1 ? C ? r 2    A círculo 5  1 ? 2pr  ? r ⇒ A círculo = pr 2 2 

1 C 2

A área de um círculo de raio r é igual ao produto do quadrado da medida do raio pelo número p. A 5 pr 2

Observação: VV A área de um setor circular é diretamente proporcional à medida do ângulo central correspondente a esse

setor. Assim, podemos determinar essa área com base em uma proporção. Para determinar a área A de um setor circular, usamos a seguinte proporção: r  A r

A setor 5 a 360 ° pr 2 A setor 5 pr 2 ?

2 a ⇒A 5 pr a setor 360° 360°

Exemplo: Calcule a área do setor circular representado. Como sabemos a medida do ângulo central correspondente ao setor circular e à medida do raio, obtemos: A 5 30° pr 2 360°

8 cm 30°

Ilustrações: Setup

Resolução:

A 5 1 ⇒ A 5 64p ⇒ A 5 16 p cm2 p82 12 12 3

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AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 20 cm. 100p cm2

2 Considere um círculo com raio de 4 cm. Determine a área de um setor circular correspondente a um ângulo de: a) 30°

4p cm2 3

b) 45° 2p cm2

c) 90° 4p cm2

d) 120°

16p cm2 3

3 Responda às questões a seguir. a) O que ocorre com a área de um círculo quando seu raio é duplicado? A área quadruplica. b) O que ocorre com a área de um círculo quando seu raio é aumentado em 50%? A área é multiplicada por 2,25.

4 A parte colorida da figura ao lado é uma coroa circular formada pela região entre duas circunferências concêntricas, conforme as medidas indicadas dos raios. Determine a área da coroa circular. 7p cm2.

4 cm 3 cm

5 Calcule a área de um setor circular correspondente a um arco de 72° considerando que a medida do raio do círculo é 8 cm. 64p cm2 5

6 Ao observar um gráfico de setores de um jornal, constatou-se que ele correspondia a 12,5% de um círculo com raio de 4 cm. a) Determine o ângulo central. 45º b) Calcule a medida do comprimento do arco. c) Calcule a área do setor circular. 2p cm2

p cm

7 Foram retirados de um quadrado com lado de 10 cm quatro setores circulares de centros nos seus vértices, que formaram a figura indicada pelos pontos E, F, G e H. Determine a área da figura que sobrou (a área colorida). (100 2 25p) cm2

D

G

C

F

A

H

E

B

8 De um quarto de círculo foi retirado um quadrado cujo lado mede 2 cm. Determine:

9 Conforme as medidas em centímetros indicadas na figura, determine: a) a área da coroa circular; 16p cm2 b) o comprimento da circunferência menor; 6p cm c) o comprimento da circunferência maior. 10p cm

5 3

Ilustrações: Setup

a) a medida do raio do círculo; 2 2 cm b) a área da região que sobrou na figura. (2p 2 4) cm2

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Capítulo 21

Relações métricas na circunferência Algumas relações de circunferências e ângulos já foram estudadas no volume anterior deste projeto. Uma relação importante é a que envolve a medida de um ângulo inscrito. Quaisquer ângulos inscritos em uma circunferência, correspondentes a um mesmo arco, têm a mesma medida. De acordo com essa propriedade, na figura a seguir, os quatro ângulos inscritos têm a mesma medida. B

A



V

Outra relação, que também vimos anteriormente, envolve as medidas de um ângulo inscrito e do ângulo central. Em uma circunferência, a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central, ambos correspondentes a um mesmo arco.

Ilustrações: Setup

A

D



C

Neste capítulo, abordaremos a relação entre cordas, entre secantes, entre secante e tangente e também a potência de um ponto em relação a uma circunferência.

2

B

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Relação entre cordas e entre secantes Se ligarmos, por meio de um segmento, dois pontos quaisquer de uma circunferência, formamos uma corda da circunferência. O diâmetro é a maior corda da circunferência. B

D A

2r

C

AB

corda da circunferência

CD

corda da circunferência (diâmetro)

Há uma propriedade que relaciona duas cordas de uma mesma circunferência. Considere, por exemplo, que as cordas AB e CD, representadas na figura a seguir, se intersectam no ponto P.

P

P

D

C

A

Ilustrações: Setup

C

A

B

D

B

Ao ligarmos, como na figura da direita, os pontos A e C e depois os pontos D e B, formamos os triângulos PAC e PDB.

• Os ângulos indicados com vértice nos pontos A e D são inscritos e correspondem a um mesmo arco BC. Portanto, são ângulos congruentes.

• No vértice P, os dois ângulos são opostos pelo vértice. Portanto, também são congruentes. • Como a soma dos ângulos internos é 180°, os ângulos com vértices em C e B também são congruentes. A conclusão é que esses dois triângulos são semelhantes. Assim, a seguinte proporção é válida: PA 5 PC PD PB PA  PB 5 PC  PD propriedade das cordas

Se duas cordas de uma circunferência se intersectam, então o produto das medidas das duas partes de uma delas é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

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Exemplo 1: 12

Na figura ao lado, duas cordas se interceptam. As medidas estão indicadas em centímetros. Calcule o valor de x.

x 6 2x  10

Resolução: De acordo com a propriedade das cordas, temos: (2x 1 10)  x 5 12  6 2x² 1 10x 2 72 5 0 ⇒ x² 1 5x 2 36 5 0 5 44 52 2 4 ? 1 ? (236) 13 ⇒ xx 5 255 13 ⇒ xx 5 52   52 299(não (nãoconvém) convém) 2?1 22 xx 5 Portanto, x 5 4.

x 5

25 ±

Outra relação importante é obtida quando traçamos duas secantes a uma circunferência originadas de um ponto externo à circunferência, conforme representado pela figura a seguir. B

A

Por meio de segmentos, unimos os pontos B e C e também os pontos A e D, como na figura a seguir, formando os triângulos PBC e PDA.

P C

D

B

• Os ângulos com vértice em B e em D são inscritos e cor-

A P

respondem ao mesmo arco AC. Dessa forma, são ângulos C congruentes. D • O ângulo em P é comum aos dois triângulos. • Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então os ângulos BBCP e PBAD são congruentes. A conclusão é que os dois triângulos são semelhantes. Portanto, é válida a seguinte proporção entre as medidas dos lados: PA 5 PD PC PB PA  PB 5 PC  PD propriedade das secantes

Se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos dois segmentos secantes, então o produto da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida de sua parte externa.

Na figura ao lado, determine o valor de x seguindo as medidas indicadas.

4 cm 9 cm

Resolução: Utilizando a propriedade das secantes a uma mesma circunferência, temos:

x

Ilustrações: Setup

Exemplo 2:

4x

x  5x 5 4  13 5x ² 5 52 x 5 2 52 (não convém)  5 52 x2 5 ⇒  5 x 5 52 5  Portanto, x 5

52 cm. 5

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Relação entre secante e tangente e potência de um ponto Há uma propriedade que relaciona as medidas de uma secante e uma tangente a uma circunferência, conforme veremos a seguir. T P B

A

Na figura à esquerda, o segmento PT é tangente à circunferência e o segmento PA é secante à circunferência. Por meio de segmentos, ligamos os pontos A e T e também os pontos T e B, formando os triângulos PAT e PTB, conforme figura a seguir.

Utilizando a teoria de ângulos em uma circunferência pode-se demonstrar que os triângulos PAT e PTB são semelhantes e, portanto, as medidas dos lados formam uma proporção. PA 5 PT Professor, proponha que os PT PB alunos, por meio de argumentos, mostrem que os triângulos PAT e PTB são semelhantes.

T P B

A

PA  PB 5 PT² propriedade da secante e da tangente

Se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos um segmento tangente e outro segmento secante, o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante pela medida da sua parte externa.

Ao aplicarmos a propriedade entre as cordas, vista anteriormente, e tendo como referência a corda AB, obtemos: C

PA  PB 5 PC  PD

F

PA  PB 5 PE  PF 

P

E

Poderíamos traçar tantas cordas quanto quiséssemos nessas mesmas condições.

Ilustrações: Setup

A última relação que abordaremos está relacionada à potência de um ponto em relação a uma circunferência. Considere, conforme mostra a figura a seguir, que todas as cordas se interceptem num ponto P interior à circunferência. A

D B

O produto entre as medidas dos segmentos determinados por cordas que se interceptam num mesmo ponto P de uma circunferência é a potência do ponto P em relação à circunferência.

Observação: A

VV Se o ponto P estiver externo à circunferência, como

na figura ao lado, o produto da medida de cada segmento secante à circunferência pela medida de sua parte externa também é denominado de potência do ponto P em relação à circunferência. A potência do ponto P do segmento tangente será o quadrado da medida desse segmento.

B

C

D F E

P

PT 2 5 PA ? PB PT 2 5 PC ? PD PT 2 5 PE ? PF 

T

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AGORA É COM VOCÊ

1 De acordo com as medidas indicadas em centímetros na figura, determine o valor de AB 5 x. x 5 6 B x

A 8 P

9

7

C

D

2 Calcule x na figura, com as medidas indicadas. x 5 4

x1

4x

x



1

3x

3 Os segmentos BD e CE representam cordas de uma mesma circunferência e se interceptam no ponto A. A medida do comprimento dos segmentos que elas determinam estão representadas em função de x. B

2x x 6

A x

x

E

2

6

2

D

C

Determine: a) o valor de x; 6 b) a medida das partes do segmento BD; 12 e 12 c) a medida das partes do segmento CE. 18 e 8 4 Considerando que as medidas indicadas na figura a seguir estão em centímetros, calcule x. x 5 2

x 6

Ilustrações: Setup

4

194 pom9_156_203_u05.indd 194

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5 Dois segmentos secantes de 50 cm e 40 cm são traçados de um ponto externo P a uma circunferência. A parte externa do primeiro segmento mede 8 cm. Determine a medida da parte externa do segundo segmento. 10 cm 6 O ponto P é externo à circunferência; veja a figura. Originando-se dele são traçados um segmento tangente e um segmento secante. x

A

4

B

P

6

Considerando que as medidas indicadas estão em centímetros, determine: a) o valor de x; 5 cm b) a potência do ponto P. 36 cm2 7 Na figura estão indicados três segmentos traçados a partir de um ponto P externo à circunferência. Dois deles são secantes e o outro é tangente à circunferência. x y

10

P

12 8

Considerando que as medidas estão indicadas em centímetros, determine: a) o valor de x; x 5 4 15 cm b) o valor de y; y 5 14 cm c) a potência do ponto P. 240 cm2 8 Observando que, a partir do ponto P são traçadas uma tangente e uma secante, e que a secante contém o diâmetro da circunferência, determine a medida do raio da circunferência, conforme informações a seguir: PA 5 16 cm e PT 5 8 cm. R 5 6 cm

A

R

B

R

P

T

9 Considerando que as medidas indicadas estão em centímetros, calcule o valor de x. x 5 4 x 4 12

Ilustrações: Setup

x

2 cm

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Bagagem cultural A GEOMETRIA DOS VITRAIS

Shutte risov/ S .B o

rstock

Você já deve ter visto alguns vitrais pela sua cidade. Eles são formados por pedacinhos coloridos de vidro que, quando colados próximos, formam figuras. Observe o vitral ao lado. Ele pode ser observado na Catedral de Notre-Dame, em Paris, França.

VITRAL LUZ NATURAL LUZ

Em cada parte do vitral, encontramos diversas formas geométricas que estudamos até agora.

De início, os vitrais eram usados exclusivamente nas igrejas católicas, pois foram obra de eclesiásticos. Depois, eles foram sendo adotados nos castelos e nas casas dos burgueses até chegarem aos lares dos artesãos e operários.

Neirfy/Shutterstock

Na Idade Média, usou-se vitrais para resolver os problemas de iluminação causados pelas enormes janelas das igrejas.

COMO ERA FEITO

1

Para a criação de um vitral, era necessário que o pintor fizesse um desenho e recortasse-o em formas geométricas, que serviriam de molde para uma armação de ferro que, mais tarde, acomodaria perfeitamente peças de vidro.

2

O vidro passava então por uma sequência de sessões para ficar da cor desejada.

3

Além do vidro, os artesãos tinham de fundir e modelar as estruturas metálicas (conhecidas também como “perfis de chumbo”), e esta subdivisão também deveria seguir à risca o desenho inicialmente sugerido.

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Bucchi Francesco/Shutterstock

A ARTE GÓTICA A Arte Gótica se desenvolveu na Europa entre os séculos XII e XV, e foi uma das mais importantes da Idade Média. No início desse período, o ser humano via Deus como centro do Universo e praticamente toda a produção artística era religiosa. A arquitetura, a pintura e a escultura representavam cenas bíblicas, santos e anjos. As igrejas passaram a ser mais altas, com longas torres, vitrais coloridos e três portais na fachada. O uso de uma rosácea sobre o portal central tornou-se o verdadeiro símbolo da Arte Gótica.

Rosácea de Sainte-Chapelle, em Paris, França.

Nicky Rhodes/Shutterstock

Ivan Luiz

Rosácea matemática, feita com compasso.

4

Após todo esse processo, as peças de vidro eram aquecidas até atingirem o ponto de quebra.

5

Depois, com um estilete, o artesão cortava o vidro em pedaços para encaixá-los na armação, e colocava uma massa para que a água não penetrasse no vitral.

6

Assim, a janela era levada pronta para ser instalada na igreja.

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tRABAlHO eM eQuIpe Acabamos de conhecer um pouco da construção de vitrais. Vamos criar um vitral de papel? Para isso, vocês precisarão de:

• papel-cartão de cor preta; • lápis; • papel celofane de várias cores; • cola; • tesoura.

Ronaldo Barata

Façam um desenho no papel-cartão. Este desenho deve conter formas geométricas vistas nesse capítulo. Depois, o papel preto deverá ser recortado de maneira que o desenho fique vazado. A seguir, escolham as cores do papel celofane e colem do avesso, para que o lado direito não tenha nenhum defeito. Desta maneira, visualiza-se o aspecto de um vitral. Professor, como é um trabalho em grupo, estipule o tamanho do desenho, para que todos possam trabalhar com o mesmo objetivo.

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caderno

supeRANDO DesAFIOs 1 (Enem)

Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: Ilustrações: Setup

Objeto educacional digital

Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição).

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome

triângulo

Quadrado

pentágono

Hexágono

Octógono

eneágono

60°

90°

108°

120°

135°

140°

Figura

Ângulo interno

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um: Alternativa b. a) triângulo. d) hexágono. b) quadrado. e) eneágono. c) pentágono. 2 (Mackenzie-SP)

Se o hexágono regular da figura tem área 2, a área do pentágono assinalado é: Alternativa e. 7 2 7 b) 3 5 c) 6 a)

4 3 5 e) 3 d)

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3 (Enem)

caderno

Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calcada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde: Alternativa e.

M

P A

C

N

Ilustrações: Setup

B

a) à mesma área do triângulo AMC. b) à mesma área do triângulo BNC. c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. 4 (Enem) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: Alternativa e. Grande

Média

Pequena

2m

Área do círculo: 2 2m

a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 5 (Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é: Alternativa b. a) 6 d) 16 b) 7 e) 17 c) 13

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6 (Unitau-SP) O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o: a) dodecágono b) pentágono c) decágono

d) hexágono e) heptágono

Alternativa b.

7 (OBM) Girando um pentágono, qual figura será obtida se girarmos no sentido horário o pentágono regular por um ângulo de 252° em torno do seu centro? Observação: o sentido horário é o sentido em que giram os ponteiros de um relógio; no caso do pentágono, isso está indicado pela seta no desenho.

Ilustrações: Setup

Alternativa b.

          b)

           d)

          c)

          e)

http://geometricas.net

a)

Atual Editora

Explorando Geometria Autor: Howard Whitley Eves Editora: Atual 80 páginas O autor conduz a obra de maneira agradável, em episódios interessantes da história da Geometria. Em linguagem simples mas rigorosa, o livro é dividido em duas partes, sendo uma delas uma visão geral do desenvolvimento da Geometria ao longo dos tempos, e a outra formada por “cápsulas” com detalhes de importantes teoremas, conceitos e avanços da Geometria.

Geométricas Disponível em: www.geometricas.net/ Acesso em: maio 2015. Site no qual é possível acompanhar a construção de figuras como polígonos ou circunferências e observar como essas formas estão presentes no nosso cotidiano.

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RESGATANDO CONTEÚDOS

1 Se a diagonal de um quadrado mede 5 2 cm, é correto afirmar que a medida de seu lado é: Alternativa d.

a) 10 cm

b) 8 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

2 Em um hexágono regular, as medidas de cada ângulo interno e de cada ângulo externo são, respectivamente: Alternativa c. a) 60° e 120°

b) 60° e 60°

c) 120° e 60°

d) 120° e 120°

3 O número de diagonais que o polígono representado a seguir admite é: Alternativa b. Ilustrações: Setup

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16

4 Ainda sobre o polígono convexo da atividade 3, é correto afirmar que a soma das medidas dos ângulos internos é: alternativa a. a) 900° b) 720°

c) 490° d) 360°

5 Qual é o polígono regular em que a medida de cada ângulo externo é 120°? Alternativa c. a) quadrado b) heptágono

c) triângulo equilátero d) hexágono

6 Determine a alternativa que indica um polígono regular em que cada ângulo interno é congruente ao correspondente ângulo externo. Alternativa d. a) triângulo b) hexágono

c) decágono d) quadrado

7 No hexágono regular representado ao lado: Alternativa d. a) a medida do apótema é 5 cm. b) a medida do raio da circunferência circunscrita é 5 cm. c) a medida do apótema é 10 cm. d) a medida do raio da circunferência circunscrita é 10 cm.

10 cm

8 O número de diagonais de um pentágono regular é: Alternativa c. a) o dobro do número de lados. b) o dobro do número de vértices.

c) o número de vértices. d) o triplo do número de lados.

9 Se a medida do raio de uma circunferência circunscrita a um quadrado for medida do lado desse quadrado é: Alternativa a. a) 2 cm b) 3 cm

2 cm, então a

c) 4 cm d) 5 cm

10 Calculando o apótema de um quadrado cujo lado mede 10 cm, obtemos: Alternativa d. a) 2 cm b) 3 cm

c) 4 cm d) 5 cm

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11 No polígono regular representado na figura ao lado, é correto afirmar que: Alternativa c. a) x 5 100° b) x 5 90° c) x 5 45° d) x 5 60°

x

12 Na circunferência ao lado, as duas cordas se interceptam no ponto P interno à circunferência. Então: Alternativa a.

x

a) x 5 32 b) x 5 64 c) x 5 16 d) x 5 36

24

6

P 8

13 Na figura, um dos segmentos traçados do ponto P, externo à circunferência, é secante, e o outro é tangente à circunferência. Então, é correto afirmar que: Alternativa b.

Ilustrações: Setup

18 6 P x

a) x 5 11 b) x 5 12

c) x 5 13 d) x 5 14

14 Ainda em relação à figura da atividade 13, é correto afirmar que a potência do ponto P é: Alternativa c.

a) 64 b) 128 c) 144 d) 256

E

15 Na figura, o ponto E é externo à circunferência. A partir dele são traçadas duas secantes EA e ED. Alternativa b. Observando as medidas indicadas das partes desse segmento, é correto afirmar que: a) a ? b 5 x ? y b) a ? (a 1 b) 5 x ? (x 1 y) c) a ? x 5 b ? y d) a2 5 x ? y

a

x C

B

b

y O

D

A

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UNIDADE 6

Introdução às funções e função afim

Erengoksel/Dreamstime.com

Quando observamos que duas grandezas estão relacionadas e, além disso, uma depende da outra, temos um exemplo de função. As funções, de modo geral, podem ser utilizadas para descrever e modelar situações diversas, como o custo de produção de peças em uma fábrica, o valor de uma corrida de táxi etc.

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1 Uma pessoa, desde o nascimento, cresce a cada ano de forma linear, isto é, cresce com a mesma taxa de crescimento? 2 O que significa plano cartesiano? 3 Do que depende o valor pago numa corrida de táxi?

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CAPÍTULO 22

O que é uma função? Essa é uma pergunta que pretendemos responder ao longo deste capítulo. Para que você tenha ideia do conceito de função, pense a respeito da relação entre o valor que pagamos para abastecer um carro e a quantidade de litros de gasolina. São duas grandezas que, de alguma forma, estão relacionadas. Outras perguntas podem ser feitas para termos ideia do que vem a ser função:

CreativeNature.nl/Shutterstock

Introdução às funções

• Se 1 litro de leite custa R$ 3,00, qual valor deve ser pago por 13 litros de leite?

• Do que depende o perímetro de um quadrado?

• Como podemos determinar a quantidade de diagonais de um polígono convexo?

• Se a bandeirada de um táxi é R$ 4,00 e ele cobra R$ 0,75 por quilômetro percorrido, como podemos determinar o valor a ser pago numa corrida após percorrer 15 quilômetros, se desconsiderarmos o tempo de percurso?

Relação entre grandezas: conceito de função De alguma forma todas essas questões podem ser respondidas utilizando direta ou indiretamente o conceito de função: Respostas da página anterior. 1. Não. 2. É um sistema com dois eixos para a localização de pontos. 3. Depende da bandeirada, da quilometragem e também do tempo.

Função pode ser considerada uma relação de dependência entre duas grandezas.

Assim, quando afirmamos que o preço de uma corrida de táxi depende da quilometragem percorrida, temos aqui duas grandezas relacionadas, que podemos expressar da seguinte maneira: Valor em reais é função da quilometragem percorrida, se considerarmos apenas essas grandezas.

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Exemplo 1: O comprimento de uma circunferência depende da medida do raio, isto é, o comprimento é função da medida do raio. R Setup

Essa relação entre as duas grandezas pode ser representada por uma fórmula matemática. Considerando C o comprimento da circunferência e R a medida do raio, temos: C 5 2p  R

Korakot Khayankarnnavee/Dreamstime.com

Exemplo 2: O pH de uma substância depende da concentração de íons de hidrogênio, isto é, o pH é função da concentração de íons de hidrogênio. Há uma relação matemática que possibilita estabelecer como essas duas grandezas estão relacionadas: pH 5 2log10 H1 (log10 é logaritmo na base 10, que você irá estudar no Ensino Médio)

Observações: VV A fórmula que representa como as grandezas estão relacionadas é chamada de relação de dependência

da função. VV Quando queremos representar uma função genérica, representamos uma grandeza por x e a outra por y.

A relação de dependência é indicada por: y 5 f(x) VV Convencionamos que y é a variável dependente, e x a variável independente. Dizemos que y é a imagem

de x segundo a função f. VV Quando escrevemos f : R → R, queremos representar uma função f que "vai dos números reais nos

números reais", isto é, x e y são números reais. O primeiro conjunto é denominado domínio da função, e o segundo conjunto contradomínio da função.

Exemplo 3: Considere uma função f definida por y 5 f (x ) 5 de m tal que m 5 f (2) 1 f (10).

x 2 2 2x . Calcule nessa função o valor

Resolução: Note que na igualdade m 5 f (2) 1 f (10), os números 2 e 10 foram colocados no lugar de x. Assim, para determinar o valor de m, substituímos esses números na lei de formação da função (relação de dependência da função): m 5 f (2) 1 f (10)

m 5

22 2 2  2 1

m 501

102 2 2  10

80 ⇒ m 5 4 5

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Considerando que a lei de formação de uma função é f (x) 5 9x 2 10, determine: a) f (0) 210 b) f (1) 21

c) f (22) 228 d) f (210) 2100

2 Sendo A a área de um quadrado de lado medindo l, escreva: a) o valor de A em função de l; A 5 l² b) o valor de l quando a área é igual a 49 cm²; l 5 7 cm c) o valor de A quando a medida do lado do quadrado é igual a 3,5 cm. A 5 12,25 cm²

Ilustrações: Setup

3 Considere o retângulo com as medidas indicadas a seguir:

2x  2

4x  1

a) Escreva a lei de formação da função que representa a área A do retângulo em função da medida x indicada. A(x) 5 (4x 2 1)(2x 2 2) b) Obtenha o valor correspondente a A(3). 44 u.a. c) Escreva a lei de formação da função que representa o perímetro P em função da medida x indicada. P(x) 5 12x 2 6 d) Obtenha o valor correspondente a P(4). 42 u.c. 4 Considere que a lei de formação de uma função f é dada por f(x) 5 (x 2 2) ? (x 1 2). Então: a) calcule o valor de f (2) 1 f (7); 45 b) determine os valores de x para os quais f (x) 5 0; x 5 2 ou x 5 22 c) determine os valores de x para os quais f (x) 5 21. x 5 5 ou x 5 25 5 Um matemático obteve uma fórmula que relaciona o número do calçado (C) em função do tamanho do pé, em centímetros, de uma pessoa (P). A fórmula é: C 5 5P 1 28 4 Determine: a) o número do calçado de uma pessoa cujo pé mede 24 cm, aproximadamente; 37 b) o comprimento aproximado do pé de uma pessoa que calça 42. 28 cm 6 O número de diagonais de um polígono convexo depende do número de lados desse polígono. Sendo d o número de diagonais, e n o número de lados, a relação de dependência entre essas duas grandezas é: d 5 f (n) 5 n(n 2 3) 2 a) Quantas diagonais tem um polígono convexo com 10 lados? 35 diagonais b) Se o polígono tem 9 diagonais, quantos são seus lados? 6 lados c) Na função d 5 f (n), qual é a variável dependente? E a variável independente? A variável dependente é d, e a variável independente é n.

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7 Observe a relação entre os valores das grandezas x e y na tabela a seguir. Grandeza x

Grandeza y

1 2 3 4

7 14 21 28

Responda: a) Se y é uma função de x, qual é a lei de formação dessa função? y 5 7x b) Nessa função, duplicando o valor de x, o que ocorre com o valor de y? É duplicado também. c) Sendo y 5 700, qual é o valor em correspondência de x? x 5 100

Eduardo Belmiro

8 Com 3 palitos de fósforo, Marcos representou 1 triângulo. Acrescentando mais 2 palitos, ele formou 2 triângulos, conforme a 2a figura a seguir. Marcos continuou formando triângulos pelo acréscimo de palitos, e formou as 3a e 4a figuras.

1a figura

a)

Ordem 1a 2a 3a 4a

Número de palitos 3 5 7 9

Número de triângulos 1 2 3 4

2a figura

3a figura

4a figura

a) Elabore uma tabela com três colunas. Na primeira coluna deve aparecer a ordem da figura na sequência acima; na segunda coluna, a quantidade de palitos utilizados e, finalmente, na terceira coluna, o número de triângulos formados. b) Qual é a quantidade de palitos necessários para formar a 5a figura dessa sequência? 11 palitos c) E na figura de ordem n? (2n 1 1) palitos d) Quantos triângulos são formados na 5a figura dessa sequência? 5 triângulos e) E na figura de ordem n? n triângulos f) Sendo P a quantidade de palitos numa figura qualquer dessa sequência, e T o número de triângulos formados, qual é a relação entre P e T? P 5 2T 1 1 9 Um agricultor estabelece o preço da saca de café conforme a quantidade de sacas adquiridas pelo comprador. Para tanto, ele elaborou a seguinte relação matemática: P 5 f (n) 5 50 1 20 n Nessa relação, P é o preço em dólares e n é a quantidade de sacas vendidas. Responda às questões. a) Qual é o valor de cada saca de café pago por um comprador que adquire 100 sacas? 50,20 dólares b) Se fossem 200 sacas, qual seria o preço de cada uma? 50,10 dólares c) Nessa função, as grandezas P e n são diretamente proporcionais? Não. d) São inversamente proporcionais? Não. e) Quantas sacas comprou alguém que pagou 54 dólares por saca? 5 sacas

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Representação gráfica no plano cartesiano Podemos representar o comportamento de uma função f que relaciona duas grandezas por meio de um gráfico construído no plano cartesiano. Essa forma de representar uma função possibilita observar, com mais detalhes, o comportamento da relação de dependência entre as grandezas envolvidas. Lembre-se de que, no plano cartesiano, a cada ponto associamos um par ordenado (x, y), que representa as coordenadas desse ponto e, reciprocamente, a cada par ordenado associamos um ponto do plano.

Setup

y A (3, 8)

B(8, 3) E (25, 2) D C (5, 0)

(21, 1)

H (4, 21)

x

F (23, 23) I (0, 24)

G (2, 29)

Quais são as coordenadas dos pontos representados no plano cartesiano acima? Discuta essa questão com os colegas. Para representar o gráfico de uma função real definida por uma sentença da forma y 5 f(x), devemos proceder da forma indicada a seguir.

• Elaboramos uma tabela com valores de x e valores de y. • Atribuímos valores para x e calculamos os valores para y substituindo na lei de formação da função dada. • Localizamos os pontos correspondentes no plano cartesiano. • Ligamos os pontos de forma conveniente, isto é, seguindo a tendência da posição dos pontos obtidos.

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Observe nos exemplos a seguir como podemos obter o gráfico de uma função real no plano cartesiano.

Exemplo 1: Construa no plano cartesiano o gráfico da função real definida por y 5 f(x) 5 2x.

Resolução: Elaboramos uma tabela, atribuindo valores para x e calculando os valores correspondentes para y:

x

y 5 f (x) 5 2x

(x, y)

24

y 5 f (24) 5 2 ? (24) 5 28

(24, 28)

21

y 5 f (21) 5 2 ? (21) 5 22

(21, 22)

2

y 5 f (2) 5 2 ? 2 5 4

(2, 4)

3

y 5 f (3) 5 2 ? 3 5 6

(3, 6)

5

y 5 f (5) 5 2 ? 5 5 10

(5, 10)

Localizamos os pontos obtidos no plano cartesiano: Setup

y

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 4 121110 9 8 7 6 5

1 3 2

1 0

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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Como queremos construir um gráfico de uma função real, ligamos os pontos, convenientemente, conforme suas posições. Obtemos, assim, o seguinte gráfico: Setup

y

12 11

reta

10 9 8 7 6 5 4 3 2 4 121110 9 8 7 6 5

1

1 0 1 1

3 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Exemplo 2: Construa no plano cartesiano o gráfico da função real definida por y 5 f(x) 5 x2.

Resolução: Elaboramos uma tabela, atribuindo valores para x e calculando os valores correspondentes para y:

x

y 5 f (x) 5 x 2

(x, y)

22

y 5 f (22) 5 (22)2 5 4

(22, 4)

21

y 5 f (21) 5 (21)2 5 1

(21, 1)

0

y 5 f (0) 5 02 5 0

(0, 0)

1

y 5 f (1) 5 12 5 1

(1, 1)

2

y 5 f (2) 5 22 5 4

(2, 4)

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Localizamos os pontos obtidos no plano cartesiano: y

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

3 2 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

x

2 3 4

Como queremos construir um gráfico de uma função real, ligamos os pontos, convenientemente, conforme suas posições. Obtemos, assim, o seguinte gráfico que é chamado de parábola e será estudado na próxima unidade.

7

Ilustrações: Setup

y

parábola

6 5 4 3 2 1 3 2 1

0 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

x

2 3 4

Professor, comente com os alunos que, em caso de dúvida de “como ligar os pontos convenientemente”, obtenham mais pontos atribuindo mais valores para a variável x.

Observações: VV Dizemos que uma função y 5 f (x) é crescente quando para qualquer x1  x2 tem-se f (x1)  f (x2). De

maneira equivalente, poderíamos dizer que, para qualquer x1  x2 tem-se f (x1)  f (x2). VV Dizemos que uma função y 5 f (x) é decrescente quando para qualquer x1  x2 tem-se f (x1)  f (x2) . De

maneira equivalente, poderíamos dizer que, para qualquer x1  x2 tem-se f (x1)  f (x2). VV Denominamos conjunto imagem da função o conjunto formado por todos os valores de y nessa função.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 No plano cartesiano a seguir, está representado o gráfico de uma função qualquer. y

3

0

x

5

Identifique: a) as coordenadas do ponto em que esse gráfico intercepta o eixo das abscissas; (5, 0) b) as coordenadas do ponto em que esse gráfico intercepta o eixo das ordenadas; (0, 3) c) se essa função é crescente ou decrescente. Decrescente. 2 No plano cartesiano abaixo, está representado o deslocamento x em metros em função do tempo t em minutos de determinada pessoa ao longo de 6 minutos. Descreva com suas palavras o movimento dessa pessoa nesses 6 minutos. x (m) Nos 3 primeiros minutos ela está parada nos 200 metros e, depois, nos 3 minutos seguintes ela se desloca 600 metros até atingir os 800 metros.

8,0  102 6,0  102 4,0  102 2,0  102 0

1,5

3,0

4,5

6,0

t (min)

3 Uma função f: R → R foi representada no plano cartesiano conforme mostrado a seguir: y

0



Ilustrações: Setup

4

x

10

Qual é o máximo valor de y nessa função? O máximo que essa função assume é 4. 4 Utilizando um papel quadriculado, esboce no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções definidas no conjunto dos números reais por: O gráfico será uma parábola com a

c) h(x) 5 (x 2 1)2; concavidade voltada para cima. a) f (x) 5 x 2 2; O gráfico será uma reta crescente. b) g(x) 5 x2 2 1; O gráfico será uma parábola com a d) k(x) 5 x3. O gráfico será uma curva crescente passando concavidade voltada para cima.

pela origem (cúbica).

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5 Considere o gráfico de uma função que relaciona a variação de uma grandeza y em função de outra grandeza x. y

Setup

77

34 19 11 0

2001

2002

2003

2004

x (anos)

Responda às questões a seguir. a) Em qual intervalo essa função é crescente? No intervalo de 2001 a 2004. b) Em qual intervalo essa função é decrescente? Em nenhum intervalo. c) Em qual intervalo essa função tem o crescimento mais acentuado: de 2001 a 2002, de 2002 a 2003 ou de 2003 a 2004? No intervalo de 2003 a 2004. 6 Um restaurante resolveu aumentar em 15% todos os preços de seu cardápio: Eduardo Belmiro

a) Escreva a função que representa o novo preço y de um prato que custa x reais. y 5 1,15x b) Determine o novo preço de um prato que custava R$ 100,00. R$ 115,00. c) O novo preço de uma sobremesa é R$ 34,50. Determine o preço dela antes do aumento. R$ 30,00. 7 (Enem) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:

750 573

Alternativa c.

a) menor que 1 150. b) 218 unidades maior que em 2 004.

Ilustrações: Setup



372

c) maior que 1 150 e menor que 1 200. d) 177 unidades maior que em 2 010. e) maior que 1 200. 1980

1992

2004

215 pom9_204_233_u06.indd 215

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Capítulo 23

Uma viagem de automóvel deve ser planejada não apenas em relação ao roteiro, mas também – e principalmente – aos cuidados que devem ser tomados com a segurança. Antes de iniciar a viagem verifica-se o estado em que se encontram os pneus, os freios etc.

Fernando Favoretto

Noções de função afim

Esses cuidados, além de propiciar uma viagem muito mais tranquila e segura, auxiliam a evitar gastos extras, caso não seja verificado os itens essenciais. Em relação ao consumo de combustível de um automóvel, sabemos que depende, entre outras coisas, da velocidade do veículo ao longo da viagem. Consumo de combustível (km/L)

0

40

60

80

100 Velocidade (km/h)

Setup

10 9 8 7

Apenas como exemplo, observe, no gráfico acima, o consumo de combustível de um veículo em função de sua velocidade. O consumo do combustível é em km/L (quilômetros por litro), enquanto a velocidade do automóvel é em km/h (quilômetros por hora). Na situação descrita, conforme informações do gráfico, sabemos que o automóvel, a uma velocidade de 60 km/h, tem autonomia de 10 quilômetros por litro. Isso significa que, em média, o veículo percorre 10 quilômetros com essa velocidade e gasta apenas 1 litro de combustível. Ampliaremos nosso trabalho com funções estudando neste capítulo a função afim.

216 pom9_204_233_u06.indd 216

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Função afim O gráfico do exemplo anterior é formado por três segmentos de reta. Para cada um deles podemos obter a lei de formação da relação entre as grandezas relacionadas. A função correspondente é chamada de função afim. Neste capítulo, estudaremos funções cujos gráficos serão segmentos de reta, semirretas, pontos alinhados ou, de modo mais amplo, retas. Vamos considerar a seguinte situação: Antônio foi contratado para vender computadores de determinada marca. Ficou acordado que seu salário seria composto de duas partes. Uma parte fixa no valor de R$ 800,00 e uma parte variável que corresponde a 2% do valor total vendido ao longo de um mês. Queremos obter a lei de formação da função que fornece o salário mensal S em função do total de vendas V.

/ ov kh re om Te me.c sti am

e Dr

Observe que S (salário) depende de V (valor total de vendas). Em símbolos temos: S 5 f(V) S 5 f(V) 5 800 1 0,02V

lei de formação da função

Atribuindo alguns valores para a variável V e substituindo na lei de formação da função, obtemos em correspondência valores para S. Na tabela a seguir, temos algumas possibilidades: Valor total de vendas (V)

Salário mensal (S)

0

S 5 f (0) 5 800 1 0,02  0 ⇒ S 5 800

2 500

S 5 f (2 500) 5 800 1 0,02  2 500 ⇒ S 5 850

7 000

S 5 f (7 000) 5 800 1 0,02  7 000 ⇒ S 5 940

10 000

S 5 f (10 000) 5 800 1 0,02  10 000 ⇒ S 5 1 000

15 000

S 5 f (15 000) 5 800 1 0,02  15 000 ⇒ S 5 1 100

A função exemplificada acima é uma função afim. Uma função f: R → R definida por f(x) 5 ax 1 b, com a e b números reais quaisquer é denominada função afim. A seguir observe exemplos de funções afins:

• f (x ) 5 10x

a 5 10 27 →  b 5 27

• f (x ) 5 29x

a 5 29 1 97 →  b 5 97

• f (x ) 5 0,4x

a 5 0,4 →  b 5 0 a 5 0 5 29

• f (x ) 5 29 → b 

217 pom9_204_233_u06.indd 217

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Determine a lei de formação de uma função afim f, considerando que f(2) 5 10 e que f(4) 5 30. Com base nessa lei de formação, calcule: f(x) 5 10x 2 10 a) f(0); 210

b) o valor de x tal que f(x) 5 35. 4,5

2 Numa pequena indústria de camisetas, o custo de produção de 500 unidades é de R$  2.700,00. Para produzir 1 000  unidades do mesmo tipo de camiseta, o custo é de R$ 3.800,00. Considere que o custo das camisetas é dado em função do número produzido por meio da função C(x) 5 mx 1 n, em que x é a quantidade produzida e n o custo fixo. Então:

Begunenco/Shutterstock

e n 5 R$ 1.600,00 a) obtenha os valores de m e de n; m 5 11 5 b) calcule o custo para a produção de 900 camisetas. R$ 3.580,00

3 Junte-se a um colega para fazer o que se pede a seguir. a) Elaborem a lei de formação de uma função afim da forma f(x) 5 ax 1 b. b) Construam, com o auxílio de uma planilha eletrônica, que contenha dez valores para x e suas imagens conforme a função elaborada no item anterior. Resposta pessoal que dependerá da lei de formação da função elaborada pelas duplas.

Karam Miri/ Dreamstime.com

4 Um fabricante de bonés opera a um custo fixo de R$ 1.400,00 por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo de cada boné é de R$ 2,00. Atualmente, são comercializadas 1 000 unidades por mês, a um preço unitário de R$ 5,00. Devido à concorrência no mercado, será necessária uma redução de 30% no preço unitário de venda. Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida? Deverá vender 2 000 unidades por mês.

5 Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20 000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi de R$ 150.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 20,00 (DVD virgem, processo de copiar e embalar). Calcule o preço mínimo que deve ser cobrado por DVD, para que a produtora não tenha prejuízo. No mínimo R$ 27,50 por unidade. 6 Se uma função f é tal que f(1) 5 7, f(4) 5 13 e f(6) 5 20, é possível afirmar que se trata de uma função afim? Não, pois f(6) deveria ser igual a 17 para manter o mesmo crescimento observado em f(1) e f(4), por exemplo.

218 pom9_204_233_u06.indd 218

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Gráfico de uma função afim Quando o domínio de uma função afim, definida por f(x) 5 ax 1 b (a e b números reais), é o conjunto dos números reais, o gráfico da função no plano cartesiano é uma reta. Existem três possibilidades quanto ao comportamento dessa função: crescente, decrescente ou constante. Essas possibilidades estão relacionadas com a chamada taxa de crescimento da função:

• a  0

função crescente

• a  0

função decrescente

• a 5 0

função constante

O coeficiente de x na função afim da forma f (x) 5 ax 1 b indica o crescimento da função. y

y

y

b

0

0

x

0

x

a0

a0

x

a0

Numa função f: R → R definida por f(x) 5 ax 1 b, o valor de a é denominado taxa de crescimento da função. Esse valor pode ser obtido pela relação: f (x 2 ) 2 f (x1 ) y 2 y1 y 5 2 a= 5 x 2 2 x1 x 2 2 x1 x Justificativa Assim, vamos considerar dois pontos A 5 (x1, y1) e B 5 (x2, y2) pertencentes ao gráfico de uma função afim da forma f(x) 5 ax 1 b:

B

y2 y1 0

Ilustrações: Setup

y

r

A   x1

Algebricamente, temos: A 5 (x1, y1)  r ⇒ y1 5 ax1 1 b

(I)

B 5 (x2, y2)  r ⇒ y2 5 ax2 1 b

(II)

x2

x

219 pom9_204_233_u06.indd 219

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Fazendo (II) – (I), membro a membro, obtemos: y 2 2 y 1 5 ax 2 1 b 2 (ax 1 1 b ) y 2 y1 y 2 2 y 1 5 a(x 2 2 x 1 ) ⇒ a 5 2 x2 2 x1 Geometricamente, observando o triângulo destacado no gráfico e considerando a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas, temos: y 2 y1 tg α 5 2 5a x 2 2 x1

Observação: VV Devido a essa última igualdade, dizemos que a é também chamado de coeficiente angular da reta, isto é,

corresponde ao valor da tangente do ângulo que essa reta forma com o eixo x no sentido anti-horário.

Exemplo 1: O gráfico da função afim definida no conjunto dos números reais por f(x) 5 3x 1 2 está representado a seguir. Setup

y f(x)  3x  2

17

14

11

8

5

0

1

2

3

4

5

x

Atribuindo valores a x, obtemos valores para y. Assim, conforme os pontos do gráfico, temos:

x 5 1 ⇒ y 5 f(1) 5 3  1 1 2 5 5

x 5 4 ⇒ y 5 f(4) 5 3 ? 4 1 2 5 14

x 5 2 ⇒ y 5 f(2) 5 3 ? 2 1 2 5 8

x 5 5 ⇒ y 5 f(5) 5 3 ? 5 1 2 5 17

x 5 3 ⇒ y 5 f(3) 5 3 ? 3 1 2 5 11 Note que, aumentando o valor de x em 1 unidade, a imagem aumenta 3 unidades (taxa de crescimento da função).

220 pom9_204_233_u06.indd 220

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Exemplo 2: O gráfico a seguir representa a função real definida por y 5 ax 1 b e passa pelos pontos de coordenadas A 5 (22, 4) e B 5 (6, 28). Determine a lei de formação dessa função.

Resolução:

Setup

y

5 A

4 3 2 1

5

4

3

2

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

1 2 3 4 5 6 7 B

8

4 5 a  (22) 1 b Considerando que a reta passa pelos pontos A e B, temos:  28 5 a  6 1 b Resolvendo o sistema, obtemos: a 5 2 3 e b 5 1 2 Assim, a lei de formação da função é y 5 2 3 x 1 1 . 2

Observação: VV No exemplo 2, poderíamos inicialmente obter a taxa de crescimento da função:

a5

y 2 2 y1 5 28 2 4 5 2 3 x 2 2 x1 6 2 (22) 2

VV A abscissa do ponto onde o gráfico intersecta o eixo x é chamada de zero da função ou raiz e pode ser

determinada igualando a função a zero, que é a imagem correspondente a esse ponto. Por exemplo, para 2 determinar o zero da função y 5 3x 1 2, fazemos y 5 0, ou seja, 3x 1 2 5 0, obtendo x 5 2  , que é o 3 zero da função.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Reúna-se com um colega para construir num mesmo plano cartesiano os gráficos das funções definidas por: I) y 5 2x 1 3 II) y 5 2x III) y 5 2x 2 3 Agora, responda: a) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico da função I intercepta o eixo das ordenadas? (0, 3) b) E da função II? (0, 0) c) E da função III? (0, 23) d) O que vocês observaram sobre a posição relativa das retas correspondentes aos gráficos dessas funções? As retas são paralelas. 2 Elabore a lei de formação de duas funções da forma y 5 ax 1 b e, utilizando uma folha de papel quadriculado, construa num mesmo plano cartesiano os gráficos correspondentes. Depois, obtenha as coordenadas do ponto em que as duas retas se interceptam. Resposta pessoal que dependerá das funções elaboradas pelos alunos.

3 A seguir estão representados os gráficos de duas funções da forma y 5 ax 1 b. O primeiro gráfico é uma reta que divide os quadrantes ímpares ao meio (bissetriz dos quadrantes ímpares) e o segundo divide os quadrantes pares ao meio (bissetriz dos quadrantes pares).

ordenadas ordenadas

2o quadrante 2o quadrante

ordenadas ordenadas

1o quadrante 1o quadrante

2o quadrante 2o quadrante

1o quadrante 1o quadrante

eixoeixo das das abscissas abscissas x

3o quadrante 3o quadrante

Ilustrações: Setup

Obtenha a lei de formação de cada uma das correspondentes funções. y y y y b) y 5 2 x a) y 5 x eixoeixo das das eixoeixo das das

4o quadrante 4o quadrante

eixoeixo das das abscissas abscissas

x

x

3o quadrante 3o quadrante

x

4o quadrante 4o quadrante

4 Uma função afim da forma y 5 f (x) 5 ax, com a  R*, é denominada função linear. Um exemplo de função linear é y 5 f (x) 5 3x. Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em verdadeira (V) ou falsa (F). a) Numa função linear, duplicando o valor da variável independente x, duplica-se também o valor da variável dependente y. V b) O gráfico de uma função linear, com domínio no conjunto dos números reais, é uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas cartesianas. V c) Numa função linear, tem-se y inversamente proporcional a x. F d) Numa função linear, tem-se y diretamente proporcional a x. V

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5 O gráfico da função y 5 mx 1 n, em que m e n são constantes, passa pelos pontos A 5 (1, 6) e B 5 (3, 2). Determine a taxa de crescimento da função.

Registre no

caderno

A taxa de crescimento da função é igual a 22.

6 Construa, no caderno, o gráfico da função real definida por y 5 f(x) 5 4x 2 1. Depois, responda às questões. a) Essa função é crescente ou decrescente? Crescente. b) Nessa função, duplicando o valor de x, duplica-se também o valor de y? Não. c) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico dessa função intersecta o eixo das abscissas?  1 , 0 4 d) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico dessa função intersecta o eixo das ordenadas? (0, 21)

Setup

7 Num papel milimetrado, Viviane desenhou o gráfico de uma função afim, obtendo a reta que está representada abaixo. y 4 3 2 1

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

x

1 2 3 4 5

Determine, conforme dados do gráfico: a) a imagem de 2 nessa função; 3 b) o valor de x tal que y 5 23; 21 c) as coordenadas do ponto em que a reta intersecta o eixo das abscissas; (0,5; 0) d) as coordenadas do ponto em que a reta intersecta o eixo das ordenadas. (0, 21) e) qual é a lei de formação dessa função? f(x) 5 2x 2 1 8 Construa, no caderno, o gráfico da função real definida por y 5 f(x) 5 22x 1 4. Depois, responda às questões. a) Essa função é crescente ou decrescente? Decrescente. b) Nessa função, duplicando o valor de x, duplica-se também o valor de y? Não. c) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico dessa função intersecta o eixo das abscissas? (2, 0) d) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico dessa função intersecta o eixo das ordenadas? (0, 4)

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Registre no

9 O gráfico de uma função foi representado no plano cartesiano abaixo.

caderno

O que acontece nessa função quando aumentamos os valores de x? Os valores de y são sempre iguais a um valor constante.

y 3 2 1 3 2 1 0 1

1

2

3

x

Delfin Martins/Pulsar Imagens

10 Um posto de combustíveis cobra R$ 2,90 pelo litro de gasolina e R$ 1,80 pelo litro de álcool.

11 No plano cartesiano ao lado está representado o gráfico de uma função afim. Determine: a) a lei de formação dessa função; f (x) 5 x 1 1 b) o valor correspondente a f (10); 11 c) o valor correspondente a f (210). 29

Ilustrações: Setup

a) Obtenha a lei de formação de uma função que fornece a quantia Q a ser paga pela compra de x litros de gasolina. Q 5 2,90x b) Nessa função, duplicando o valor de x, o que acontece com o valor de Q? Duplica também. c) Obtenha a lei de formação de uma função que fornece a quantia P a ser paga pela compra de y litros de álcool. P 5 1,80y d) Nessa função, duplicando o valor de y o que acontece com o valor de P? Duplica também. y

2 1 0

1

x

12 O valor V, em reais, da conta mensal de energia elétrica é calculado da seguinte forma: para consumos inferiores ou iguais a 200 kWh, cobra-se R$ 0,35 por kWh; para consumos superiores a 200 kWh, o valor do kWh é acrescido de 50%. Então: a) obtenha a lei de formação que fornece o valor V cobrado pelo consumo de x kWh considerando que 0 < x < 200; V 5 0,35x b) calcule o valor pago para o consumo de 100 kWh; V 5 R$ 35,00 c) obtenha a lei de formação que fornece o valor V cobrado pelo consumo de x kWh considerando que x . 200; V 5 0,525x d) determine o valor pago no consumo de 300 kWh. V 5 R$ 157,50

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caderno

Superando Desafios

A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.

Eduardo Belmiro

1 (Enem)

b x

d

A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é: Alternativa a. 2 a) S 5 k  b2 d x

2 c) S 5 k  b  d x

b) S 5 k  b2  d x

2 d) S 5 k  b  d x

e) S 5 k  b  2d 2x

2 (UFRN) Ao pesquisar preços para a compra de uniformes, duas empresas, E1 e E2, encontraram, como melhor proposta, uma que estabelecia o preço de venda de cada unidade por 120 2 n , onde n é 20 o número de uniformes comprados, com o valor por uniforme se tornando constante a partir de 500 unidades. Se a empresa E1 comprou 400 uniformes e a E2, 600, na planilha de gastos, deverá constar que cada uma pagou pelos uniformes, respectivamente: Alternativa c. a) R$ 38.000,00 e R$ 57.000,00 b) R$ 40.000,00 e R$ 54.000,00

c) R$ 40.000,00 e R$ 57.000,00 d) R$ 38.000,00 e R$ 54.000,00

3 (Enem) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que representa a evolução do total de vendas (em reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. Setup

Vendas (R$)

jan. fev. mar. abr. maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. Mês

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor vendas absolutas em 2011 foram: Alternativa e. a) março e abril. d) junho e setembro. b) março e agosto. e) junho e agosto. c) agosto e setembro.

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4 (Enem)

Ilustrações: Setup

No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação ao real, entre o final de 2001 e o início de 2005. Por exemplo, em janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.

4.00 3.60 3.20 2.80 2.40 2.00 1.60 1.20

jan. 2002

jan. 2003

jan. 2004

jan. 2005

Fonte: Banco Central do Brasil

Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em relação ao dólar foi no Alternativa b. a) final de 2001. d) final de 2004. b) final de 2002. e) início de 2005. c) início de 2003. 5 (PUC-RS) Num circuito elétrico em série contendo um resistor R e um indutor L, a força eletromotriz E(t) é definida por:  t 110, 0  0, t 30

E(t)

30

O gráfico que representa corretamente essa função é: Alternativa b. a) E(t)

b) E(t)

c) E(t)

110

110

110

30

30

t

t

30

d) E(t)

e) E(t)

110

110

30

t

30

t

t

226 pom9_204_233_u06.indd 226

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6 (UFPR) Num teste de esforço físico, o movimento de um indivíduo caminhando em uma esteira foi registrado por um computador. A partir dos dados coletados, foi gerado o gráfico da distância percorrida, em metros, em função do tempo, em minutos, mostrado abaixo: Ilustrações: Setup

Distância (metros) 1 400

1 000 600 200 2

4

6

8

10

Tempo (minutos)

De acordo com esse gráfico, considere as seguintes afirmativas: 1. A velocidade média nos primeiros 4 minutos foi de 6 km/h. 2. Durante o teste, a esteira permaneceu parada durante 2 minutos. 3. Durante o teste, a distância total percorrida foi de 1 200 m. Assinale a alternativa correta. Alternativa e. a) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. d) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 7 (Enem)

VENDEDORES JOVENS Fábricas de LONAS – Vendas no Atacado 10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência. Salário: R$ 300,00 fixo 1 comissão de R$ 0,50 por m2 vendido. Contato: 0xx97-43421167 ou [email protected]

Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem-sucedidos os jovens que responderam, respectivamente: Alternativa c. a) R$ 300,00 e R$ 500,00. b) R$ 550,00 e R$ 850,00. c) R$ 650,00 e R$ 1.000,00.

d) R$ 650,00 e R$ 1.300,00. e) R$ 950,00 e R$ 1.900,00.

227 pom9_204_233_u06.indd 227

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8 (UFRN) A academia "Fique em Forma" cobra uma taxa de inscrição de R$ 80,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A academia "Corpo e Saúde" cobra uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 55,00. a) Determine as expressões algébricas das funções que representam os gastos acumulados em relação aos meses de aulas, em cada academia. 80 1 50n e 60 1 55n b) Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que pretende "malhar" durante um ano? Justifique, explicitando seu raciocínio. A academia “Fique em Forma”. Ela cobra em 12 meses R$ 680,00, enquanto a outra academia cobra R$ 720,00.

9 (FGV-SP) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês. Em geral, a cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$ 500,00. a) Qual seu salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês? S 5 800 1 10x b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês, o que é preferível: um aumento de 20% no salário fixo ou um aumento de 20% (de 5% para 6%) na taxa de comissão? 10 (UFSC)

Será mais vantajoso um aumento na taxa de comissão, pois: x 5 220 (aumentando a parte fixa) → Salário: 800 1 160 1 10 ? 220 5 3 160 reais x 5 220 (aumentando a taxa) → Salário: 800 1 0,06 ? 200 ? 220 5 3 440 reais

Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II, inicialmente com nível de 80 mm, evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes. 11 (UFMG)

5 5 x e a lei de formação de II é y 5 80 2 x. 2 3 Assim, ao final do 24o dia as duas substâncias estarão com o mesmo nível.

A lei de formação de I é y 5 100 2

Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

18

0

A

20

B

Setup

Absorção (mg/dia)

Ingestão (mg/dia)

Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa falsa relativa ao gráfico é: Alternativa b. a) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia.

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12 (Unicamp-SP) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C 5 5 (F 2 32) 9 onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. 95 8F b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? 160 8C 13 (Puccamp-SP) A seguir vê-se parte de um gráfico que mostra o valor y a ser pago (em reais), pelo uso de um estacionamento por um período de x horas. Ilustrações: Setup

y (reais) 6,5

5

3,5

2

0

1

2

3

4

x (horas)

Suponha que o padrão observado no gráfico não se altere quando x cresce. Nessas condições, uma pessoa que estacionar o seu carro das 22 horas de certo dia até as 8 horas e 30 minutos do dia seguinte deverá pagar: Alternativa d. a) R$ 12,50 d) R$ 17,00 b) R$ 14,00 e) R$ 18,50 Na 1a hora paga R$ 2,00 e para cada uma das 10 horas seguintes c) R$ 15,50 paga R$ 1,50. Assim, o total que pagará é de R$ 17,00.

Editora Zahar

Explorando Almanaque das curiosidades matemáticas Autor: Ian Stewart Tradutor: Diego Alfaro Editora: Zahar 316 páginas Sim, a Matemática que você aprende na escola é interessante, de acordo com Ian Stewart, que desde os 14 anos faz anotações sobre desafios, histórias e anedotas de Matemática. O livro traz parte dessas anotações, passando por temas diversos, como o teorema de Pitágoras e o famoso problema N 5 NP, que ainda não foi solucionado (a propósito, quem conseguir resolvê-lo levará o prêmio de 1 milhão de dólares). Trata-se de uma obra muito interessante, não só para os amantes de Matemática.

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Matemática e Cidadania O efeito estufa e o aquecimento global "O efeito estufa é um fenômeno natural e possibilita a vida humana na Terra.

sol

topo da atmosfera

radiação solar

radiação terrestre

daulon/Shutterstock

Parte da energia solar que chega ao planeta é refletida diretamente de volta ao espaço, ao atingir o topo da atmosfera terrestre – e parte é absorvida pelos oceanos e pela superfície da Terra, promovendo o seu aquecimento. Uma parcela desse calor é irradiada de volta ao espaço, mas é bloqueada pela presença de gases de efeito estufa que, apesar de deixarem passar a energia vinda do Sol (emitida em comprimentos de onda menores), são opacos à radiação terrestre, emitida em maiores comprimentos de onda. Essa diferença nos comprimentos de onda se deve às diferenças nas temperaturas do Sol e da superfície terrestre.

calor

superfície terrestre

gases de efeito estufa

Representação esquemática do efeito estuda

De fato, é a presença desses gases na atmosfera o que torna a Terra habitável, pois, caso não existissem naturalmente, a temperatura média do planeta seria muito baixa, da ordem de 18 8C negativos. A troca de energia entre a superfície e a atmosfera mantém as atuais condições, que proporcionam uma temperatura média global, próxima à superfície, de 14 8C. Quando existe um balanço entre a energia solar incidente e a energia refletida na forma de calor pela superfície terrestre, o clima se mantém praticamente inalterado. Entretanto, o balanço de energia pode ser alterado de várias formas: (1) pela mudança na quantidade de energia que chega à superfície terrestre;

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(2) pela mudança na órbita da Terra ou do próprio Sol; (3) pela mudança na quantidade de energia que chega à superfície terrestre e é refletida de volta ao espaço, devido à presença de nuvens ou de partículas na atmosfera (também chamadas de aerossóis, que resultam de queimadas, por exemplo); e, finalmente, (4) graças à alteração na quantidade de energia de maiores comprimentos de onda refletida de volta ao espaço, devido a mudanças na concentração de gases de efeito estufa na atmosfera. Essas mudanças na concentração de gases de efeito estufa na atmosfera estão ocorrendo em função do aumento insustentável das emissões antrópicas desses gases. As emissões de gases de efeito estufa ocorrem praticamente em todas as atividades humanas e setores da economia: – na agricultura, por meio da preparação da terra para plantio e aplicação de fertilizantes; – na pecuária, por meio do tratamento de dejetos animais e pela fermentação entérica do gado; – no transporte, pelo uso de combustíveis fósseis, como gasolina e gás natural;

Vocabulário Antrópicas: resultantes de ações humanas.

– no tratamento dos resíduos sólidos, pela forma como o lixo é tratado e disposto; – nas florestas, pelo desmatamento e degradação de florestas; e – nas indústrias, pelos processos de produção, como cimento, alumínio, ferro e aço, por exemplo. Gases de efeito estufa Há quatro principais gases de efeito estufa (GEE), além de duas famílias de gases, regulados pelo Protocolo de Quioto: – O dióxido de carbono (CO2) é o mais abundante dos GEE, sendo emitido como resultado de inúmeras atividades humanas como, por exemplo, por meio do uso de combustíveis fósseis (petróleo, carvão e gás natural) e também com a mudança no uso da terra. A quantidade de dióxido de carbono na atmosfera aumentou 35% desde a era industrial, e este aumento deve-se a atividades humanas, principalmente pela queima de combustíveis fósseis e remoção de florestas. O CO2 é utilizado como referência para classificar o poder de aquecimento global dos demais gases de efeito estufa. – O gás metano (CH4) é produzido pela decomposição da matéria orgânica, sendo encontrado geralmente em aterros sanitários, lixões e reservatórios de hidrelétricas (em maior ou menor grau, dependendo do uso da terra anterior à construção do reservatório) e também pela criação de gado e cultivo de arroz. Com poder de aquecimento global 21 vezes maior que o dióxido de carbono. – O óxido nitroso (N2O) cujas emissões resultam, entre outros, do tratamento de dejetos animais, do uso de fertilizantes, da queima de combustíveis fósseis e de alguns processos industriais, possui um poder de aquecimento global 310 vezes maior que o CO2. – O hexafluoreto de enxofre (SF6) é utilizado principalmente como isolante térmico e condutor de calor; gás com o maior poder de aquecimento, é 23 900 vezes mais ativo no efeito estufa do que o CO2.

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– Os hidrofluorcarbonos (HFCs), utilizados como substitutos dos clorofluorcarbonos (CFCs) em aerossóis e refrigeradores; não agridem a camada de ozônio, mas têm, em geral, alto potencial de aquecimento global (variando entre 140 e 11 700). – Os perfluorcarbonos (PFCs) são utilizados como gases refrigerantes, solventes, propulsores, espuma e aerossóis e têm potencial de aquecimento global variando de 6 500 a 9 200. Os hidrofluorcarbonos e os perfluorcarbonos pertencem à família dos halocarbonos, todos eles produzidos, principalmente, por atividades antrópicas. Aquecimento global Embora o clima tenha apresentado mudanças ao longo da história da Terra, em todas as escalas de tempo, percebe-se que a mudança atual apresenta alguns aspectos distintos. Por exemplo, a concentração de dióxido de carbono na atmosfera observada em 2005 excedeu, e muito, a variação natural dos últimos 650 mil anos, atingindo o valor recorde de 379 partes por milhão em volume (ppmv) – isto é, um aumento de quase 100 ppmv desde a era pré-industrial. Outro aspecto distinto da mudança atual do clima é a sua origem: ao passo que as mudanças do clima no passado decorreram de fenômenos naturais, a maior parte da atual mudança do clima, particularmente nos últimos 50 anos, é atribuída às atividades humanas. A principal evidência dessa mudança atual do clima é o aquecimento global, que foi detectado no aumento da temperatura média global do ar e dos oceanos, no derretimento generalizado da neve e do gelo, e na elevação do nível do mar, não podendo mais ser negada. Atualmente, as temperaturas médias globais de superfície são as maiores dos últimos cinco séculos, pelo menos. A temperatura média global de superfície aumentou cerca de 0,74 °C, nos últimos cem anos. Caso não se atue neste aquecimento de forma significativa, espera-se observar, ainda neste século, um clima bastante incomum, podendo apresentar, por exemplo, um acréscimo médio da temperatura global de 2 °C a 5,8 °C, segundo o 4o Relatório do Painel Intergovernamental sobre Mudanças Climáticas (IPCC), de 2007. Em resumo, a primeira parte do 4o relatório do IPCC, que compila os estudos sobre base científica da mudança do clima, considera o aquecimento global um fenômeno inequívoco e, muito provavelmente, causado pelas atividades antrópicas. A comunidade científica tem tido um papel importante para subsidiar os países em sua tomada de decisão, fornecendo projeções da mudança do clima sob diferentes cenários futuros, dentro de margens de erro aceitáveis, indicando desafios e apontando oportunidades." Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

Com base na leitura do texto, responda às questões a seguir: 1 Em qual parágrafo podemos encontrar a relação entre o tema discutido e o conteúdo matemático sobre funções? Justifique. o

Registre no

caderno

No 4 parágrafo, pois, com base na descrição, podemos considerar que o calor varia de acordo com a energia solar incidente e a energia refletida. Isso significa que o calor está em função das energias.

2 Rosângela produz, em média, meia tonelada de lixo por ano. Desses, 65% é material orgânico e o restante é reciclado. Ao descobrir que o lixo orgânico em decomposição contribui para o efeito estufa, decidiu mudar seus hábitos e passou a produzir, em média, 350 quilos de lixo por ano. Ao final de um ano, qual porcentagem de lixo orgânico ela terá evitado despejar? Ela reduziu seu lixo em 97,5 quilos por ano, isso significa que ela terá evitado despejar 30%.

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RESGATANDO CONTEÚDOS 1 A seguir está representado o gráfico de uma função.

1 2 3 4

Ilustrações: Setup

y

y

3 2

1

0

x

4

1 0



1

2

3

4

x

7

Sobre essa função é correto afirmar que o valor de f (0) 1 f (1) 1 f (2) 1 f (3) 1 f (4) é: a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

Alternativa d.

2 Sobre a função real definida por f (x) 5 5x 2 3, assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira. Alternativa d. a) O gráfico dessa função passa pela origem do sistema de coordenadas. b) Essa função é decrescente. c) O gráfico dessa função é uma parábola. d) O gráfico dessa função intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 23). 3 Um comerciante teve uma despesa de R$  230,00 na compra de x unidades de determinado produto. Como pretende vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final L é dado em função de x por: a) L(x) 5 5x 1 230 b) L(x) 5 5x 2 230 c) L(x) 5 5(x 1 230) d) L(x) 5 5(x 2 230)

Alternativa b.

4 Uma função f é definida no conjunto dos números reais por f (x) 5 9x 2 15. Determine o valor de m tal que m 5 f (40) 2 f (30) . 40 2 30 a) 9 c) 39 Alternativa a. b) 29 d) 15 5 Maurício desenhou no plano cartesiano o gráfico de uma função afim, conforme figura a seguir.



Sobre essa função é correto afirmar que: Alternativa c.

a) é crescente. b) aumentando em uma unidade o valor de x, há em correspondência um acréscimo de 3 unidades para o valor de y. c) aumentando em uma unidade o valor de x, há em correspondência um decréscimo de 3 unidades para o valor de y. d) duplicando o valor de x, duplica-se também o valor de y. 6 Na produção de x peças de determinado produto, sabe-se que o custo fixo é de R$ 800,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Determine a alternativa que indica corretamente o custo C de produção de x dessas peças. Alternativa c.

a) C(x) 5 800 2 0,50x b) C(x) 5 800x 2 0,50 c) C(x) 5 800 1 0,50x d) C(x) 5 800

7 Ainda em relação à atividade 6, determine a alternativa correspondente ao custo total na produção de 100 peças desse produto. a) R$ 800,00 b) R$ 1.300,00

Alternativa c.

c) R$ 850,00 d) R$ 900,00

8 Na função afim definida por f (x) 5 54x 1 45, qual é o valor cor­respon­ dente a f (1999) 2 f (1998)? Alternativa b. a) 45

b) 54

c) 154

d) 145

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UNIDADE 7

Noções de função quadrática

Budimir Jevtic/Shutterstock

No estudo de funções encontramos diversos modelos para analisar situações como a trajetória de uma bola de futebol quando chutada ou a queda livre de um objeto. Ambas podem ser analisadas por meio de uma função quadrática, também conhecida como função polinomial do 2o grau.

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1 Como podemos determinar a posição de um corpo em queda livre em função do tempo? 2 A concavidade de uma parábola depende do coeficiente a em y(x) 5 ax2 1 bx 1 c?

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Capítulo 24

Noções de função quadrática A trajetória de uma bola de golfe, conforme imagem ao lado, pode ser descrita por meio de uma curva que recebe o nome de parábola. Também no futebol, muitas vezes, quando o goleiro chuta a bola em direção ao campo adversário sua trajetória é uma parábola.

Neste capítulo, abordaremos o estudo de funções quadráticas e veremos que o gráfico correspondente será uma parábola.

Função quadrática

Sahuad/Shutterstock

A parábola é uma curva especial. Existe uma função cujos pontos em um plano cartesiano formam essa curva.

Estudamos anteriormente as chamadas funções afins. Ampliaremos agora nosso estudo, conhecendo também o que é uma função quadrática. Uma função f: R → R definida por f(x) 5 ax ² 1 bx 1 c, com a, b e c números reais quaisquer, e a  0, é denominada função quadrática ou função do 2o grau. A seguir, observe exemplos de funções quadráticas: a 5 1  • f (x ) 5 x 2 10x 2 7 → b 5 210 c 5 27 2

a 5 29  • f (x ) 5 29x 1 97 → b 5 0 c 5 97 2

a 5 0,4  • f (x ) 5 0,4x → b 5 0 c 5 0 2

Respostas da página anterior:  g ? t2 , em que 1. Através da função h(t) 5 2 h é a altura da queda, g é a aceleração da gravidade e t é o tempo. 2. Sim.

a 5 23  • f (x ) 5 23x 2 9 → b 5 0 c 5 29 2

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Representação gráfica no plano cartesiano O gráfico de uma função afim no plano cartesiano, quando o domínio (valores de x) é o conjunto dos números reais, é uma reta. Já o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano será uma curva conhecida como parábola. A construção do gráfico de uma função quadrática não é imediata, como acontece com a função afim. Aqui serão necessários mais pontos para que possamos ter uma ideia melhor do gráfico. Observe, a seguir, como podemos obter o gráfico de uma função quadrática.

Exemplo 1: O gráfico a seguir é resultado da função quadrática real definida por y 5 f(x) 5 x 2 2 4. Setup

y

5 Professor, comente com os alunos que, por comodidade, atribuímos valores inteiros para x. Entretanto, poderíamos atribuir números reais não inteiros.

3

2

1

0

1

2

3

x

3

4

As coordenadas dos sete pontos indicados no gráfico foram obtidas da seguinte forma: x 5 23 ⇒ y 5 f (23) 5 (23)2 2 4 5 5 x 5 22 ⇒ y 5 f (22) 5 (22)2 2 4 5 0 x 5 21 ⇒ y 5 f (21) 5 (21)2 2 4 5 23 x 5 0 ⇒ y 5 f (0) 5 02 2 4 5 24 x 5 1 ⇒ y 5 f (1) 5 12 2 4 5 23 x 5 2 ⇒ y 5 f (2) 5 22 2 4 5 0 x 5 3 ⇒ y 5 f (3) 5 32 2 4 5 5 Após localizar os pontos com base nas expressões acima, ligamos esses pontos convenientemente, obtendo a curva chamada de parábola. Nesse exemplo, dizemos que a parábola tem a concavidade voltada para cima.

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Exemplo 2: Setup

O gráfico a seguir é resultado da função quadrática real definida por y 5 f(x) 5 2x² 1 4x. y

4 3

1

0

1

2

3

4

5

x

5

As coordenadas dos sete pontos indicados no gráfico foram obtidas da seguinte forma:

y 5 f (21) 5 2(21)2 1 4(21) 5 25 y 5 f (0) 5 02 1 4 ? 0 5 0 y 5 f (1) 5 212 1 4 ? 1 5 3 y 5 f (2) 5 222 1 4 ? 2 5 4 y 5 f (3) 5 232 1 4 ? 3 5 3 y 5 f (4) 5 24 2 1 4 ? 4 5 0 y 5 f (5) 5 252 1 4 ? 5 5 25 A cada par ordenado obtido, localizamos um ponto no plano cartesiano. Ligando os pontos convenientemente, obtemos a curva ao lado. Nesse caso, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Embora tenhamos apresentado até aqui apenas dois exemplos, de modo geral podemos dizer que existem duas possibilidades quanto à concavidade da parábola que representa a função quadrática: concavidade voltada para cima ou concavidade voltada para baixo. Numa função f: R → R definida por y 5 f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, sendo a, b e c números reais e a  0, temos: parábola com a concavidade voltada para cima; • a  0 parábola com a concavidade voltada para baixo. • a  0

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Observações: VV A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, c). Assim, o termo c é a ordenada do ponto de intersecção da

parábola com o eixo y. VV Chamam-se zeros da função quadrática valores da variável x que fazem com que a função tenha o valor

igual a zero, ou seja, onde a parábola intersecta o eixo das abscissas.

Exemplo 1: Resolução: Para determinarmos os zeros dessa função, igualamos a função a zero: x 2 2 4x 1 3 5 0 y Resolvemos então a equação do 2º grau correspondente: 2b  b 22 2 4ac x 5 2a 2 2 x 5 2( 2 4)  ( 2 4) 2 4 ? 1 ? 3 2?1 0) 0 1 x 5 3 ⇒ (3, (3,0) x 5 4  2 ⇒  ⇒ 5 1 (1, 0) x 2 ⇒ (1,0) 

Setup

Determine os zeros da função quadrática definida por y 5 f(x) 5 x 2 2 4x 1 3.

3

x

Conforme o esboço do gráfico, os pontos em que a parábola intersecta o eixo das abscissas são (3, 0) e (1, 0). Assim, os zeros dessa função são 1 e 3.

Exemplo 2: Obtenha as coordenadas do ponto em que a parábola correspondente ao gráfico da função quadrática y 5 f(x) 5 3x 2 1 4x 2 7 intersecta o eixo das ordenadas. Resolução: No eixo das ordenadas temos que a abscissa é igual a zero. Assim, para obter a ordenada, basta substituir x por zero: x50 y 5 f(0) y 5 3 ? 02 1 4 ? 0 2 7 ⇒ y 5 27 O termo independente de x indica a ordenada do ponto em que o gráfico intersecta o eixo das ordenadas.

Exemplo 3: Obtenha as coordenadas dos pontos de intersecção entre a função quadrática definida por y 5 f(x) 5 x 2 1 6x 2 7 e o eixo x. Resolução: Para obter as coordenadas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo das abscissas, fazemos: y 5 0 x 2 1 6x 2 7 5 0 26  62 2 4 ? 1 ? ( 2 7) x 5 2?1 7⇒ ( 20)7, 0) (27, x 55272⇒ x 5 26  8 ⇒  2 x 551 1⇒⇒(1,(1,0)0)

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Complete, a seguir, a tabela sobre funções quadráticas. Função

Valor de a

Valor de b

Valor de c

Concavidade

y 5 2x 2 2 4x 2 10

2

24

210

voltada para cima

y 5 x 2 1 3x

1

3

0

voltada para cima

y 5 2x 2 2 x 2 1

21

21

21

voltada para baixo

y 5 29x 2 1 15x

29

15

0

voltada para baixo

y 5 2x 2 2 13

21

0

213

voltada para baixo

y 5 0,5x 2 2 2,4

0,5

0

22,4

voltada para cima

2 Considere a função quadrática definida por f(x) 5 2x2 2 10. a) Determine o valor de f (0). 210 b) Qual é a concavidade da parábola correspondente ao gráfico dessa função? c) Calcule o valor de f (1) ? f (21). 64

Concavidade voltada para cima.

3 Determine os zeros de cada função quadrática a seguir. a) y 5 x2 2 8x x 5 0 ou x 5 8 b) y 5 3x2 2 27 x 5 23 ou x 5 3 c) y 5 2x2 1 7x 2 6 x 5 1 ou x 5 6 d) y 5 2x2 1 10x x 5 0 ou x 5 10 e) y 5 x2 2 4x 1 4 x 5 2 f) y 5 x2 2 x 1 7 A função não tem zeros. 4 Considere uma função quadrática cujo gráfico está representado ao lado. Responda às questões.

y

a) Quantos zeros reais tem essa função? Dois. b) Qual é o valor de f (1)? Zero. c) Qual é o valor de f (5)? Zero. d) Para x  5, é correto afirmar que y  0? Sim.

1

5

x

e) Para quais valores de x temos y  0? Para 1  x  5. y

Ilustrações: Setup

5 O gráfico de uma função quadrática foi esboçado conforme a figura ao lado. Sobre essa função, responda às questões a seguir. a) Para quantos valores de x temos y igual a zero? Nenhum. b) Para quais valores de x temos y negativo? Nenhum. c) Para quais valores de x temos y positivo? Qualquer valor real de x.

x

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6 Esboce o gráfico da função quadrática definida por y 5 f (x) 5 2x2 1 4x. Depois, responda às questões.

Registre no

caderno

a) Qual é a concavidade da parábola obtida? Concavidade voltada para baixo. b) Quais são as coordenadas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo das abscissas? (0, 0) e (4, 0)

c) Quais são as coordenadas do ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas? (0, 0)

7 Esboce o gráfico da função quadrática definida por y 5 f (x) 5 x 2 4. Depois, responda às questões a seguir. 2

a) Qual é a concavidade da parábola obtida? Concavidade voltada para cima. b) Quais são as coordenadas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo das abscissas? (22, 0) e (2, 0)

c) Quais são as coordenadas do ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas? (0, 24)

8 O goleiro de um time de futebol chutou uma bola e ela descreveu uma trajetória parabólica, conforme representada pelo gráfico a seguir. Considerando que a bola tocou o solo 40 m adiante do ponto em que o goleiro chutou, responda às questões. Altura (m)

7,5

0



10

40

Distância (m)

a) A altura máxima atingida pela bola foi 7,5 m? Não. b) A 10 m do ponto em que o goleiro chutou a bola, qual foi a altura atingida por ela? 7,5 m c) Em quantos pontos da parábola a altura da bola em relação ao solo é igual a zero metro? Em dois pontos. d) Em quantos pontos da parábola a altura da bola em relação ao solo é igual a 7,5 m? Em dois pontos.

x x

x x

210 m

Ilustrações: Setup

9 O dono de um sítio resolveu plantar seringueiras, que deverão estar distribuídas ao redor de todo o terreno (parte vermelha). Na parte interna do terreno (parte verde), ele resolveu organizar um pomar e construir uma casa. Veja a planta a seguir:

70 m

x



x x

x



Determine a área A, onde serão plantadas as seringueiras, em função da medida x. A(x) 5 4x² 1 560x

241 pom9_234_259_u07.indd 241

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v

Conexões

vichie81/Shutterstock

A velocidade com que as informações chegam até nossa casa depende de uma tecnologia extremamente avançada. As antenas parabólicas estão entre os instrumentos que possibilitam a transmissão dessas informações.

Eduardo Belmiro

Não é por acaso que essa antena é chamada de parabólica. Seu formato tem relação com a parábola que estudamos. Mas como funciona a antena parabólica? Na imagem ao lado, observe algumas setas que representam as ondas eletromagnéticas emitidas por um satélite ao atingir a antena parabólica. Essas ondas são refletidas na antena e direcionadas para um ponto chamado foco da parábola correspondente. Nesse foco, encontra-se um aparelho receptor responsável por converter essas ondas em um sinal que o aparelho de TV transforma e passa para nós como imagem e som.

Paulo Fridman/Pulsar Imagens

Esse é apenas um exemplo de aplicação das parábolas ou de suas propriedades. O estudo aprofundado das parábolas possibilita até mesmo verificar que algumas construções são feitas em forma de parábola ou, muitas vezes, numa forma aproximada dela. Algumas pontes podem ser encontradas com a forma de parábola. Um exemplo bem interessante é a ponte da fotografia a seguir.

Ponte Juscelino Kubitschek sobre o Lago Paranoá, em Brasília, DF.

242 pom9_234_259_u07.indd 242

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v

Outras belíssimas construções também podem ser encontradas, as quais têm como referência uma parábola. E você, já desenhou uma parábola? Sabia que podemos desenhar uma com base em algumas retas? Para compreendermos como isso pode ser feito, basta desenhar duas semirretas com a mesma origem. Marcamos, a partir do ponto correspondente à origem dessas duas semirretas, pontos igualmente espaçados, numerando-os. Numa delas, a ordem é crescente e, na outra, decrescente, como representado na figura 1 a seguir:

0 1 2 4 5 0

1

2

3

Figura 1

4

5 Figura 2

Ilustrações: Setup

3

Note que na figura 1 estão indicados apenas alguns pontos. Quanto maior for a quantidade de pontos, melhor ficará o desenho (figura 2). Deve-se ligar, por meio de segmentos, cada ponto da semirreta com números em ordem crescente (ou decrescente) ao ponto antecessor (ou sucessor) da outra semirreta. Outra forma interessante de obter uma parábola é considerarmos um cone. Se "cortarmos" esse cone por um plano, como indicado na figura a seguir, podemos obter uma secção cujo contorno tem a forma de parábola.

243 pom9_234_259_u07.indd 243

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Coordenadas do vértice da parábola Quando representamos uma parábola no plano cartesiano, percebemos que essa curva admite um eixo de simetria, isto é, um eixo que divide a curva em duas partes simétricas. Esse eixo de simetria passa exatamente pelo ponto conhecido como vértice da parábola V 5 (xV, yV).  

Ilustrações: Setup

y y

V

yV

xV

xV

x

x

yV

V

eixo de simetria

eixo de simetria

Um problema importante a resolver é a determinação das coordenadas do vértice da parábola. Demonstra-se que: As coordenadas do vértice de uma parábola definida pela função quadrática y 5 f(x) 5 ax 2 1 bx 1 c podem ser obtidas por: e y V 5 f (x V ) xV 5 2 b 2a Uma maneira de obtermos a fórmula que fornece a abscissa do vértice da parábola é considerar dois pontos situados simetricamente em relação ao eixo de simetria, conforme pode ser observado no gráfico ao lado.

y

Consideramos os pontos simétricos como uma unidade a mais e uma unidade a menos que a abscissa do vértice (poderíamos considerar outro valor). Como eles têm a mesma imagem, isto é, o mesmo valor para y, substituímo-los na função quadrática:

(

f xV 2 1

( (x

)

(

5 f xV 1 1

)

2

(

)

)

(

)

f(xV  1)  f (xV  1) f (xV) V xV  1

2

(

xV

xV  1

x

)

a ? xV 2 1 1 b ? xV 2 1 1 c 5 a ? xV 1 1 1 b ? xV 1 1 1 c a?

2 V

)

(

)

2 2x V 1 1 1 bx V 2 b 5 a ? x V 1 2x V 1 1 1 bx V 1 b 2

ax V 2 2 2ax V 1 a 2 b 5 ax V 2 1 2ax V 1 a 1 b b 24axv 5 2b ⇒ 2axv 5 2b ⇒ xv 5 2 2a 2b2 1 4ac Sabendo-se que yv 5 f(xv), mostre que yv 5 . 4a

Professor, solicite que os alunos demonstrem a relação que permite obter a ordenada do vértice. Para isso, deverão substituir o x na função pelo valor da abscissa do vértice.

244 pom9_234_259_u07.indd 244

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Observações: VV Substituindo x na função quadrática pelo valor obtido para a abscissa do vértice, obtemos sua ordenada:

yV 5 f (xV)

A ordenada do vértice corresponde ao valor obtido substituindo x pelo valor determinado para a abscissa do vértice.

VV Como a abscissa do vértice de uma parábola está situada no eixo de simetria, e os chamados zeros da

função estão situados à mesma distância da abscissa do vértice, podemos obter esse valor pelo cálculo da média aritmética dos zeros da função:

xV 5

x1 1 x 2 2

A abscissa do vértice é igual à média aritmética das raízes da equação correspondente.

Exemplo 1: Obtenha as coordenadas do vértice da parábola correspondente à função quadrática definida no conjunto dos números reais por y 5 f(x) 5 22x 2 1 4x. Resolução: Com base nos coeficientes da função quadrática e nas relações apresentadas, temos: b 4 ⇒ xv 5 1 xv 5 2 52 2 ? (22) 2a

yv 5 2

 4 2 2 4 ? (22) ? 0 ⇒ yv 5 2 52 4a 2 ? (22)

Para o cálculo da ordenada também podemos fazer:

yV 5 f(xV) ⇒ yV 5 f(1) 5 22 ? 12 1 4 ? 1 ⇒ yV 5 2

Exemplo 2: Na função quadrática y 5 f(x) 5 x 2 1 6x 2 7, obtenha as coordenadas do vértice da parábola correspondente. Resolução: Utilizando a fórmula para o cálculo da abscissa do vértice, temos: b 6 ⇒ xv 5 23 xv 5 2 5 2  2?1 2a A ordenada é a imagem da abscissa do vértice, ou seja:

yV 5 f (xV) ⇒ yV 5 f (23) 5 (23)2 1 6 ? (23) 2 7 ⇒ yV 5 216

Exemplo 3: Obtenha o valor da abscissa do vértice do gráfico. Resolução: Pelo gráfico, os zeros da função quadrática são os números –2 e 1. Assim, temos:

x1 1 x2 2 2 2 11 xV 5 2 xV 5 2 1 2 xV 5

Setup

y 2 1 3

2

1 0

1

x

1

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Considerando a função quadrática definida por y 5 f (x) 5 24x 2 x2, obtenha: a) a abscissa do vértice da parábola correspondente; 22 b) a ordenada do vértice da parábola correspondente. 4 2 Considerando a função quadrática definida por y 5 f (x) 5 x2 2 4x 1 3, obtenha: a) a abscissa do vértice da parábola correspondente; 2 b) a ordenada do vértice da parábola correspondente. 21

3 No plano cartesiano a seguir, está representado o gráfico de uma função quadrática. y

5

0

x

3

Com base nele, responda às questões. a) Quantos pontos em comum com o eixo da abscissa tem a parábola? Apenas um. b) Qual é a abscissa do vértice dessa parábola? 3 c) Qual é a ordenada do vértice da parábola? 0 d) Quais são as coordenadas do ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas? (0, 5)

V a) O

eixo y é o eixo de simetria dessa parábola.

F b) O

vértice da parábola corresponde ao ponto (1, 0).

V c) A

abscissa do vértice da parábola é x 5 0.

F d) O

vértice da parábola pertence ao eixo das abscissas.

V e) Existem V f)

Ilustrações: Setup

y

4 Em relação ao gráfico de uma função quadrática, representado ao lado, determine V ou F para cada afirmação conforme seja verdadeira ou falsa, respectivamente.

8

3

dois valores de x para os quais y 5 8.

Os pontos de abscissas x 5 22 e x 5 2 são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola.

3 2 1 0 1

1

2

3

x

5 Considere a função quadrática definida por f (x) 5 23x2 1 27x. Então: a) obtenha os zeros da função quadrática; x 5 0 ou x 5 9 b) calcule a abscissa do vértice da parábola; xV 5 4,5 c) obtenha o valor da ordenada do vértice da parábola.

yV 5

243 4

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Registre no

y 1 1 0 1

2

x

3

caderno

Ilustrações: Setup

6 Em relação ao gráfico representado a seguir, responda às questões.

2 3 4 5 6

a) Quantos zeros reais apresenta a função quadrática correspondente? Nenhum. b) Quais são as coordenadas do ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas? (0, 23) c) Qual é a abscissa do vértice da parábola? xV 5 1 d) Qual é a ordenada do vértice da parábola? yV 5 22 e) Existe algum ponto da parábola em que o valor de y é igual a 1? Não. f) Para quantos valores de x temos y 5 24? Dois valores. 7 Com base no gráfico de uma função quadrática representado a seguir, responda às questões. y 6 4 2

4 3 2

0

1

2

x

2

4

a) Quais são as coordenadas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo das abscissas? (23, 0) e (1, 0) b) Qual é a ordenada do vértice dessa parábola? yV 5 24 c) Qual é o valor da abscissa do vértice da parábola? xV 5 21 d) Como você calculou a abscissa do vértice da parábola? Obtendo a média aritmética entre os zeros da função quadrática.

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tRABAlHo EM EQUIpE

Professor, ajude os alunos a observar que a área é uma função quadrática em x. Adiante voltaremos a essa atividade para determinar o retângulo de área máxima. C

1 Cada grupo deverá desenhar em um papel milimetrado o triângulo ABC e o retângulo AMNP conforme medidas indicadas no desenho ao lado, 40 cm onde BN 5 NC. Após a construção, respondam: a) Quais são as medidas de AP e PC? 20 cm, já que BN 5 NC b) Quais são as medidas de BM e MA?

N

P

B

M

A

60 cm

30 cm, já que BN 5 NC

2 Considerem agora que AM 5 x e AP 5 y. Por semelhança entre triângulos, obtenha uma relação entre y e x. Após obter tal relação, expressem a área A do retângulo em função de x. 2x   A 5 x ? y ⇒ A 5 x ?  40 2  3 

Problemas de máximo e de mínimo Ao analisarmos o gráfico de uma função quadrática, percebemos que, dependendo da concavidade da parábola, em yV podemos ter tanto o valor máximo quanto o valor mínimo que a função assume. y Concavidade para baixo: a função tem um ponto de máximo no vértice.

V

yV

0



b 2a

x

Observe no gráfico acima que a imagem da função (representada em laranja), ou seja, os valores assumidos por y são todos menores que o valor da ordenada do vértice ou iguais a ele, isto é: y < yV. Já no gráfico a seguir, a imagem da função (representada em laranja), ou seja, os valores assumidos por y são todos maiores que o valor da ordenada do vértice ou iguais a ele, isto é: y > yV. Ilustrações: Setup

y



b 2a

0 Concavidade para cima: a função tem um ponto de mínimo no vértice.

yV

x

V

248 pom9_234_259_u07.indd 248

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Observação: VV Existem situações bem interessantes que são resolvidas pelo conhecimento dos valores de máximo ou de

mínimo assumidos por funções quadráticas. Em tais situações, conforme os exemplos que apresentamos a seguir, a maior dificuldade está em obter as leis de formação das correspondentes funções.

Exemplo 1: Em um terreno com a forma de triângulo retângulo, queremos construir um cercado retangular, conforme representado a seguir, de tal forma que ele tenha a maior área possível. Quais são as medidas x e y dos lados desse retângulo?

Resolução: Usando semelhança de triângulos, temos: 30 5 20 30 2 x y 30 m

y x

30y 5 20(30 2 x ) ⇒ 30y 5 600 2 20x

Setup

Vamos expressar y em função de x: 30 5 20 30 2 x y

20 m

y 5 20 2 2 x 3 Como queremos determinar as medidas do retângulo para que sua área seja máxima, fazemos: A 5 x ?y

(

)

A 5 x ? 20 2 2 x 5 20x 2 2 x 2 ⇒ A(x ) 5 2 2 x 2 1 20x 3 3 3 Temos, nessa função, que a área depende de x. Além disso, o gráfico seria uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Assim, a função assume um máximo. Calculamos a abscissa do vértice correspondente: xV 5 2 b 2a 20 xV 5 2 ⇒ x V 5 15 2? 22 3

( )

Assim, para x 5 15, o retângulo terá a área máxima. Como sabemos o valor de x, podemos determinar agora o valor em correspondência para y: y 5 20 2 2 x 3 y 5 20 2 2 ? 15 ⇒ y 5 10 3 Portanto, as dimensões do retângulo que tornam a área máxima são 15 m por 10 m.

Observação: VV No exemplo, para calcular a área máxima, basta substituir na função A(x) o valor de x por 15. Outra maneira é

multiplicar as medidas obtidas dos lados do retângulo.

249 pom9_234_259_u07.indd 249

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Exemplo 2: Em uma quadra de 8 m por 8 m foi demarcada uma região quadrada conforme a figura a seguir. Observando que essa região é obtida do quadrado maior retirando-se quatro triângulos retângulos, deseja-se saber qual é a medida do lado do quadrado demarcado para que sua área seja a menor possível. Setup

x

x

8x x

x

Resolução: Observando as medidas indicadas na figura e considerando que a área do quadrado é obtida do quadrado maior, ao retirar os quatro triângulos retângulos, temos: A 5 82 2 4 ? x ? (8 2 x ) 2 A 5 64 2 2x (8 2 x ) A 5 64 2 16x 1 2x 2 A 5 2x 2 2 16x 1 64 Considerando que a função quadrática corresponde a uma parábola com a concavidade voltada para cima, ela assumirá um valor mínimo para a ordenada do vértice. Vamos determinar inicialmente a abscissa do vértice:

xV 5 2 b 2a x V = 2 216 ⇒ x V 5 4 2?2 Para calcular a área mínima que o quadrado inscrito terá, devemos substituir x na função pelo valor da abscissa do vértice: A(x) 5 2x 2 2 16x 1 64 Amínima 5 A(4) Amínima 5 2 ? 4 2 2 16 ? 4 1 64 Amínima 5 32 Assim, como a área mínima do quadrado é igual a 32 m², a medida do lado será a raiz quadrada de 32, ou seja: 4 2 m.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considerando a função quadrática definida por f (x) 5 5x2 1 10x 2 1, determine: a) a abscissa do vértice da parábola correspondente; xV 5 21 b) o valor da ordenada do vértice da parábola; yV 5 26 c) se essa função assume um máximo ou um mínimo. Assume mínimo.

2 A seguir temos um esboço do gráfico de uma função quadrática definida no conjunto dos números reais. Ilustrações: Setup

y

5 x

0 5

a) Determine as coordenadas do vértice dessa parábola. (5, 25) b) Essa função tem um valor máximo ou um valor mínimo? Um valor mínimo.

c) Qual é esse valor? 25

3 Considerando a função quadrática definida por f (x) 5 23x2 1 18x 2 24, determine: a) a abscissa do vértice da parábola correspondente; xV 5 3 b) o valor da ordenada do vértice da parábola; yV 5 3 c) se essa função assume um valor máximo ou um mínimo. Um valor máximo. 4 A figura a seguir representa a trajetória de um projétil, disparado para cima, a partir do solo, com certa inclinação. Altura (m)

10

solo

1 000 Alcance (m)

Considerando que a altura h desse projétil em função do alcance x é dada por h(x) 5 2 1 x(x 2 1000), determine: 495 a) a altura desse projétil quando o alcance é igual a 10 m; 20 m b) o valor de x para que a altura seja máxima; 500 m c) a altura máxima atingida pelo projétil. Cerca de 505 m.

251 pom9_234_259_u07.indd 251

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Fabio Colombini

5 Um grilo, ao saltar do solo, tem a altura de seu salto dada pela função quadrática h(t) 5 3t 2 3t2, sendo h dado em metros e t o tempo em segundos.

a) Determine o instante t que o grilo retorna ao solo. 1 segundo b) Obtenha o valor de t para que o grilo atinja a altura máxima. 0,5 segundo c) Calcule a altura máxima atingida pelo grilo. 0,75 m

Ilustrações: Setup

6 Considere um retângulo de perímetro medindo 10 cm, e x a medida de um dos lados desse retângulo, conforme a figura dada.

x

a) Expresse, em função de x, a medida do outro lado do retângulo.

52x

b) Represente a área A do retângulo em função de x. A 5 x(5 2 x) c) Calcule o valor de x para que a área do retângulo seja máxima.

x 5 2,50

d) Calcule a área máxima do retângulo. 6,25 cm² 7 Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é representado por x 2 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. Sabendo-se que a quantidade vendida desse produto a cada mês depende do preço de venda e é representada por 70 2 x, determine: a) a equação matemática que representa o lucro na venda de 70 – x unidades; b) a valor de x que proporciona um lucro máximo; x 5 40

L 5 (x 2 10)(70 2 x)

c) o valor do lucro máximo mensal. 900 unidades monetárias 8 Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por C(x) 5 x2 2 80x 1 3 000. Nessas condições, calcule: a) o custo para produzir 10 unidades desse produto; R$ 2.300,00 b) a quantidade de unidades que devem ser produzidas para que o custo seja mínimo; c) o valor mínimo do custo. R$ 1.400,00

40 unidades

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Superando Desafios 1 (UFPR) Determine a alternativa que apresenta a história que melhor se adapta ao gráfico. Alternativa b. Distância de casa

Tempo

a) Assim que saí de casa lembrei que deveria ter enviado um documento para um cliente por e-mail. Resolvi voltar e cumprir essa tarefa. Aproveitei para responder mais algumas mensagens e, quando me dei conta, já havia passado mais de uma hora. Saí apressado e tomei um táxi para o escritório. b) Saí de casa e quando vi o ônibus parado no ponto corri para pegá-lo. Infelizmente o motorista não me viu e partiu. Após esperar algum tempo no ponto, resolvi voltar para casa e chamar um táxi. Passado algum tempo, o táxi me pegou na porta de casa e me deixou no escritório. c) Eu tinha acabado de sair de casa quando tocou o celular e parei para atendê-lo. Era meu chefe, dizendo que eu estava atrasado para uma reunião. Minha sorte foi que nesse momento estava passando um táxi. Acenei para ele e poucos minutos depois eu já estava no escritório. d) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Desci do carro, troquei o pneu e finalmente pude ir para o trabalho. e) Saí de casa sem destino 2 estava apenas com vontade de andar. Após ter dado umas dez voltas na quadra, cansei e resolvi entrar novamente em casa. 2 (Ufscar-SP)

f(x)

Ilustrações: Setup

A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f (x) 5 x2 e g(x) 5 x. g(x)

T 0

k 2k x

0

x

Sabendo-se que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 120, o número real k é: Alternativa e. d) 1,5 a) 0,5 e) 2 b) 1 c) 2

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3 (FGV) Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 frequentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por dia. a) Admitindo que o preço (p) relaciona-se com o número de frequentadores por dia (x) através 1 1 60 de uma função do 1o grau, obtenha essa função. p 5 2 4x b) Num outro parque B, a relação entre p e x é dada por p 5 80 2 0,4x. Qual o preço que deverá ser cobrado para maximizar a receita diária? R$ 40,00 4 (Vunesp) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função f(x) 5 (40 2 x)(20 1 x), onde x indica o número de lugares vagos (0 < x < 40). Determine: a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo; 10 lugares vagos b) qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem. R$ 900,00 5 (PUC-SP) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser, em reais: Alternativa d. a) 15,00 c) 32,70 e) 42,50 b) 24,50 d) 37,50 6 (Ufscar-SP) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) 5 22t2 1 8t (t > 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo; t 5 4 segundos b) a altura máxima atingida pela bola. 8 metros

Editora Zahar

Explorando Os maiores problemas matemáticos de todos os tempos Autor: Ian Stewart Editora: Zahar 390 Páginas Nesse livro, o professor Ian Stewart traz, de forma envolvente e curiosa, grandiosos desafios matemáticos, como o teorema de Fermat e a complexa hipótese de Riemann, entre muitos outros. Cada capítulo é dedicado a um desses problemas. De forma detalhada, simples e objetiva, o autor apresenta desde o contexto da origem de cada um desses desafios e enigmas à sua atual importância individualmente.

254 pom9_234_259_u07.indd 254

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com a palavra, o ESPECIALISTA “Só 46% dos cereais plantados alimentam pessoas“. Entrevista com o matemático biológico Joel E. Cohen Quando a Terra atingiu o sexto bilhão de seres humanos habitando-a simultaneamente, em 1999, o matemático biológico Joel E. Cohen, 67, guardava um certo otimismo. Via exagero no fatalismo com que alguns estudiosos referiam-se ao futuro e achava que a pergunta que dá título a seu livro mais famoso – Quantas pessoas a Terra aguenta? – não era para ser respondida com um número, mas com políticas públicas e iniciativas sociais. Entre o sexto e o recém-alcançado sétimo bilhão, porém, a humanidade – e seus governos – pouco colaboraram para manter o otimismo do matemático, que chefia o Laboratório de Populações na Universidade Rockfeller e leciona em Columbia, ambas em Nova York. Em entrevista, Cohen falou sobre controle populacional, educação, investimento em desenvolvimento e o uso da comida que o mundo produz hoje. Mas o tom que era de expectativa deu lugar à premência em um planeta que, a seu ver, tem seguido uma receita para o desastre. A entrevista é de Luciana Coelho e publicada pelo jornal Folha de S. Paulo, 07-11-2011.

Quem Joel Ephraim Cohen

The Rockefeller University

Eis a entrevista.

Especialidade Biomatemática

Área de pesquisa Biologia populacional

Quando chegamos aos 6 bilhões, o senhor dizia que a pergunta que dá título ao seu livro era algo em aberto. Aos 7 bilhões, continuamos sem resposta? Agora percebemos que a mudança climática é uma ameaça à produção de comida, à vida das espécies, incluindo a humana, com mais clareza do que há 12 anos. O progresso científico trouxe razões para nos preocuparmos mais. Hoje também temos o maior número de famintos em 40 anos, segundo o braço da ONU para agricultura e alimentação: quase 1 bilhão. Até recentemente, o número de pessoas cronicamente mal nutridas estava caindo, mas, nos últimos anos o preço dos alimentos subiu muito, em boa medida devido à competição com biocombustíveis e outros usos industriais da comida. Com isso, a fome aumentou.

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Os biocombustíveis têm um impacto significativo? Porque a mudança climática também pesa nas colheitas? Onde há medição, as colheitas diminuíram por causa da mudança climática. Mas acho que pesam os dois fatores, uso industrial e clima. Outra questão é a crescente riqueza em alguns países em desenvolvimento. A quantidade de carne consumida por pessoa na Terra subiu, se não me engano, quatro vezes desde 1961. Países antes pobres, como a China, aumentaram enormemente a demanda, e muito do gado é alimentado com grãos, cultivados em terra agricultável que podia ser usada para plantar comida. Os ricos conseguiram melhorar sua dieta, o que é bom, mas às custas dos pobres, que não têm como bancar a competição com os animais. O que os governos de um mundo superpopuloso deveriam priorizar? Em 2009-2010, o mundo cultivou 2,3 bilhões de toneladas métricas de cereais. Do total, 46% foi para a boca de pessoas, 34% foi para animais e 18% foi para máquinas – biocombustível, plásticos. Nosso sistema econômico não precifica gente que passa fome. A fome é economicamente invisível. Não é que não possamos alimentar as pessoas – com o que se planta agora, poderíamos alimentar de 9 bilhões a 11 bilhões. O problema é que os pobres não têm renda. O que o senhor sugere? A primeira coisa é que todas as 215 milhões de mulheres que querem usar métodos anticoncepcionais, mas não têm sua demanda atendida, deveriam ter apoio financeiro para conseguir anticoncepcionais modernos. Isso custaria US$ 6,7 bi ao ano para o mundo todo. Os EUA, sozinhos, gastaram US$ 6,9 bi para festejar o Halloween há uma semana [segundo a Federação Nacional de Varejistas]. Devemos dividir a conta com países ricos e pobres. Mas o mundo pode bancar isso facilmente. E o que mais? Assegurar que todos tenham uma educação de boa qualidade no ensino fundamental e médio, que permita às pessoas ter renda e ser trabalhadores capacitados. Isso também melhoraria a velhice, pois gente bem educada na juventude envelhece com mais saúde. E, quando os jovens vão à escola, eles se casam mais tarde. Mulheres educadas costumam ter menos filhos, e seus filhos sobrevivem melhor. As taxas de mortalidade caem. E a minha terceira recomendação é garantir nutrição adequada para todas as gestantes, lactantes e crianças de até cinco anos. Isso é crucial, pois se a criança passa fome antes de chegar à idade escolar, ela não aprende. Há problemas de desenvolvimento. Se você quiser que as crianças tenham cérebros que funcionam, é preciso assegurar que tenham acesso a boa comida. Não estamos fazendo isso. Estamos desperdiçando nossas crianças sem ver o custo econômico. Há um conceito em economia chamado custo de oportunidade, que é o que você perde ao não explorá-la. Nosso péssimo tratamento das crianças é um custo de oportunidade enorme que não é incluído nos sistemas econômicos nacionais.

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Li pouco sobre eles, mas sei que existem programas similares no México. São maravilhosos. O Brasil e o México estão entre os países mais ricos que levam a questão a sério. Na América Latina como um todo, o número médio de filhos por mulher passou de 6, nos anos 60, para 2 ou 2,1 hoje. Uma mudança enorme.

Alexandre Tokitaka/Pulsar Imagens

O senhor está familiarizado com os programas de transferência de renda no Brasil?

Menino procura restos de alimentos em feira livre de São Paulo, SP.

O senhor atribui isso a quê? É uma via de mão dupla. Por um lado, as mulheres e meninas receberam mais educação, e houve quedas tremendas na taxa de fertilidade. Por outro, a queda na fertilidade faz com que haja menos crianças precisando de escola. As duas coisas andam juntas. A educação reduz a fertilidade, e a fertilidade mais baixa melhora as oportunidades para a educação, se a sociedade quiser. Na África Subsaariana e no Sul da Ásia, inclusive parte da Índia, você não vê uma queda tão drástica na fertilidade, tampouco melhoras na nutrição. A fertilidade caiu na Europa, e a população envelheceu. O mesmo tem ocorrido na América como um todo. Mas a fertilidade ainda é alta em partes do mundo, sobretudo na Ásia, como o senhor diz. Qual o impacto, para o planeta, de uma população declinante e envelhecida de um lado e países cada vez mais superpopulosos de outro? Você tem razão, temos pelo menos dois regimes demográficos hoje. Há mais de 50 países onde os níveis de fertilidade caíram abaixo da taxa de reposição. E há outros com crescimento rápido. Em 1950, havia três vezes mais gente na Europa do que na África Subsaariana. Em 2010, havia 16% mais gente na África Subsaariana do que na Europa. Pelas projeções da ONU, em 2100 haverá 5 pessoas na África Subsaariana para 1 na Europa. De 3 para 1, fomos de 1 para 5 – a proporção aumentou 15 vezes. Isso pode significar uma tremenda pressão pela imigração da África Subsaariana para a Europa se a África continuar pobre. Por outro lado, se os europeus, se a China e se o resto do mundo ajudarem a África a enriquecer, isso pode significar um mercado enorme para o maquinário, os produtos e até o estilo que a Europa produz. E pode significar prosperidade. O perfil da população mudou, mas a renda não acompanhou – menos gente tem mais, mais gente tem menos. É lamentável. É uma situação instável ecológica, política, econômica e socialmente. É a receita para o desastre. “Só 46% dos cereais plantados alimentam pessoas”, Folha de S.Paulo, 07/11/2011 (Entrevista com o matemático biólogo Joel E. Cohen). FOLHAPRESS.

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Registre no

caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS

1 Considerando a função f definida no conjunto dos números reais por f (x) 5 x2, determine a alternativa que indica corretamente o valor de f (1) 1 f (2) 1 f (3). Alternativa b. a) 10

b) 14

c) 16

d) 20

2 Determine a alternativa que indica corretamente o valor de k de modo que 2 seja um dos zeros da função quadrática definida no conjunto dos números reais por f (x) 5 3x2 2 kx 1 18. Alternativa d.

a) 1

b) 10

c) 12

d) 15

3 O gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo das abscissas nos pontos A 5 (–2, 0) e B 5 (8, 0). Sobre essa função é correto afirmar que: Alternativa c. a) o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. b) o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. c) a abscissa do vértice da parábola correspondente é 3. d) a abscissa do vértice da parábola correspondente é 4. 4 Numa fazenda há um rolo de tela de arame com 100 m de comprimento. O fazendeiro pretende construir um galinheiro retangular utilizando esses 100 m de tela. As medidas dos lados desse galinheiro de forma que proporcione ao fazendeiro a maior área possível são: Alternativa b.

a) 40 m e 10 m.

c) 20 m e 30 m.

b) ambas 25 m.

d) 15 m e 35 m.

5 No instante t 5 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. A altura h desse mergulhador em relação ao solo é dada em função do tempo pela função quadrática h(t) 5 32 1 16t 2 16t2, sendo t dado em segundos. Assinale a alternativa que indica a altura desse mergulhador após 1 segundo. Alternativa a. a) 32 pés

b) 16 pés

c) 8 pés

d) 9 pés

6 Ainda em relação à atividade 5, determine o instante em que o mergulhador atinge a água, isto é, quando h 5 0. Alternativa b. a) 1 s

b) 2 s

c) 0,5 s

d) 3 s

7 Dada a função quadrática y 5 x2 2 4x 1 k, sabe-se que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola correspondente são iguais. Dessa forma, é correto afirmar que: Alternativa d. a) k 5 214

b) k 5 210

c) k 5 4

d) k 5 6

8 Para construir o gráfico de uma função quadrática, Lígia fez uma tabela com sete valores de x. Substituiu esses valores na lei de formação da função e obteve sete valores para y. Em seguida, localizou no plano cartesiano os pontos correspondentes a esses pares ordenados, obtendo então o gráfico representado na próxima página. Alternativa c.

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y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Sobre essa função e seu gráfico é correto afirmar que: a) o gráfico não intercepta o eixo das abscissas. b) o gráfico não intercepta o eixo das ordenadas. c) a função possui dois zeros. d) essa função admite um mínimo igual a 11. 9 O professor de Matemática desenhou na lousa o gráfico de algumas funções quadráticas que passavam pela origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme esboço a seguir. y  5x2 y  2x2 y  x2

y

y

1 2 x 2

x

0



1 2 x 10

Ilustrações: Setup

y

Note que ao lado de cada curva aparece a função quadrática correspondente e a linha tracejada indica a função quadrática definida por: y 5 x2. Responda às questões. a) Qual dessas funções tem a maior imagem para x 5 7? y 5 5x2 b) E qual tem a menor imagem para x 5 7?

y5

1 2 x 10

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UNIDADE 8

eometria: G triângulos quaisquer

Aleksandar Mirkovic/Dreamstime.com

Você já estudou triângulo retângulo. Observou que há relações métricas e trigonométricas. Veremos agora duas leis com as quais podemos estudar outros triângulos que não são retângulos. Uma dessas relações é conhecida como lei dos senos e a outra é a lei dos cossenos. Essas relações podem ser usadas para o cálculo de grandes distâncias.

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1 Se, em um triângulo, os três ângulos internos são 60º, 100º e 20º, como saber qual é o lado maior do triângulo? 2 Se, em um triângulo, os três lados medem 5 cm, 7 cm e 8 cm, como saber qual é o ângulo de menor medida? 3 Qual é a relação matemática que podemos usar para determinar o raio de uma circunferência circunscrita a um triângulo em que são dadas a medida de um de seus lados e a medida do ângulo oposto a esse lado?

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Capítulo 25

Lei dos cossenos Eduardo Belmiro

A impossibilidade de obter a medida de determinadas distâncias na Antiguidade – o que trazia problemas para a agricultura, a astronomia e as navegações – motivou o estudo das relações métricas e trigonométricas em triângulos. Observe o exemplo a seguir.

B

A

C

Como podemos determinar a medida do ponto A até o ponto C, ou do ponto B até o ponto C na figura acima? Se pudermos determinar, por exemplo, a distância do ponto A até o ponto B e também os ângulos internos do triângulo, conseguiremos obter essas medidas. Para tanto, devemos conhecer duas leis importantes relacionadas ao estudo de triângulos quaisquer: a lei dos senos e a lei dos cossenos. É o que abordaremos neste capítulo e no próximo.

Obtenção da lei dos cossenos A lei dos cossenos é uma relação matemática que envolve as medidas dos três lados de um triângulo e o cosseno de um de seus ângulos internos. Leia seu resumo no quadro a seguir. Em um triângulo qualquer ABC, sendo A A, A B e A C as medidas de seus ângulos internos e a, b e c as medidas dos lados opostos a esses ângulos, as seguintes igualdades são válidas: a ² 5 b ² 1 c ² 2 2 ? b ? c ? cos A A b ² 5 a ² 1 c ² 2 2 ? a ? c ? cos A B c ² 5 a ² 1 b ² 2 2 ? a ? b ? cos A C

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Respostas da página anterior: 1. O lado de maior medida é oposto ao ângulo de maior medida. 2. O ângulo de menor medida é oposto ao lado de menor medida. 3. Lei dos senos.

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Observe que, apesar de termos apresentado três igualdades, elas podem ser compreendidas por uma única relação: o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao lado considerado inicialmente. Faremos a seguir a demonstração da lei dos cossenos considerando o caso em que o ângulo A é agudo. Demonstração:

c

A

Setup

B

a

h

x

bx

H

C

b

• Inicialmente, traçamos a altura h do triângulo relativa ao vértice B. Essa altura divide o triângulo ACB em dois triângulos retângulos: o triângulo AHB e o triângulo BHC, como podem ser vistos na figura.

• Fazendo AH 5 x e HC 5 b 2 x nos dois triângulos retângulos considerados, aplicamos o teorema de Pitágoras, obtendo as relações: (I) c² 5 x ² 1 h² ⇒ c² 2 x ² 5 h² (II) a² 5 (b 2 x)² 1 h² ⇒ a² 2 (b 2 x)² 5 h²

• Comparando essas duas relações, podemos escrever as igualdades seguintes: a² 2 (b 2 x)² 5 c² 2 x ² a² 2 b ² 1 2bx 2 x ² 5 c² 2 x ² a² 5 b² 1 c ² 2 2bx (III)

• No triângulo retângulo AHB, calculamos o cosseno do ângulo agudo A. cos BA 5

x ⇒ c ? cos BA 5 x (IV) c

Professor, comente com os alunos que o resultado apresentado no quadro “Observação” será demonstrado no Ensino Médio. Além disso, o aluno poderá, quando necessário, obter senos e cossenos com o auxílio de calculadora.

• Substituindo (IV) em (III), obtemos: a² 5 b² 1 c ² 2 2bx

a² 5 b² 1 c ² 2 2b ? (c ? cos BA)

lei dos cossenos para o lado de medida a

Observação: VV cos B A 5 2cos (180o 2 B A), quando 90o , B A , 180o

Exemplo: cos 150o 5 2cos (180o 2 150o) 5 2cos 30o

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Exemplo 1: Com as medidas indicadas no triângulo ABC, representado a seguir, obtenha a medida do lado BC. Resolução: C Aplicando a lei dos cossenos para o lado indicado pela letra x, temos:

x

10 cm

x ² 5 10² 1 15² 2 2 ? 10 ? 15 ? cos 60°

60°

x ² 5 100 1 225 2 300 ? 0,5

A

15 cm

B

x ² 5 175 ⇒ x  13,23 cm

Exemplo 2: Considere que dois lados de um triângulo ABC medem ambos 10 cm e que o ângulo entre eles é igual a 135°. Determine a medida do terceiro lado. Ilustrações: Setup

A 10 cm

10 cm

135o

B

x

C

Resolução: Vamos aplicar a lei dos cossenos para o lado desconhecido, indicado na figura pela letra x. Como o ângulo oposto é obtuso, fazemos: cos 135° 5 2cos(180° 2 135°) 5 2cos 45° a2 5 b2 1 c 2 2 2 ? b ? c ? cos BA

x 2 5 102 1 102 2 2 ? 10 ? 10 ? cos 135° x 2 5 100 1 100 2 200 ? (2cos 45°) x 2  200 1 200 ? 0,707 x 2  341,4 ⇒ x  18,48 cm

Observações: VV Nos dois exemplos utilizamos a calculadora para determinar os valores dos

cossenos necessários. VV Caso queira, você também pode utilizar a seguinte tabela dos arcos notáveis:

Ângulo

30°

45°

60°

Seno

1 2

2 2

3 2

Cosseno

3 2

2 2

1 2

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Considere o triângulo ABC representado ao lado. Determine a medida x do lado BC, indicado na figura. x 5 8 cm

A 7 cm

3 cm 60°

2 Num triângulo ABC, sabe-se que dois de seus lados medem 6 cm e 5 cm. Além disso, a medida do ângulo formado por esses dois lados é 30°. Qual é a medida do terceiro lado do triângulo? 61 2 30 3 cm

C

B

x

F

3 Determine a medida do lado oposto ao ângulo 120° no triângulo DEF representado ao lado. 109 cm

5 cm 120° D

E

7 cm

A

4 No triângulo ABC ao lado, y representa a medida do lado oposto ao ângulo de 60°. Usando as medidas indicadas, determine o valor de y. y 5 2 3 cm

y

2 cm 60°

5 Resolva o problema a seguir.

C

B

4 cm

b) o cosseno do menor ângulo.

Ilustrações: Setup

Os três lados de um triângulo medem 4 cm, 5 cm e 6 cm. Utilizando a lei dos cossenos, determine: a) o cosseno do maior ângulo; 81 3 4

120°

6 Considere as medidas indicadas no trapézio isósceles e determine a medida de cada uma das diagonais. 2 19 cm

4 cm

4 cm

7 No triângulo ABC representado, dois lados medem 5 cm e 10 cm. O ângulo oposto ao lado desconhecido mede 120°. Determine a medida, em centímetros, do lado desconhecido. x 5 175 cm

10 cm B x 5

120° C

10

A

8 Resolva os problemas seguintes. a) As medidas de dois lados de um triângulo são 7 cm e 4 cm. Em qual situação a medida do lado desconhecido é maior: quando o ângulo entre os dois lados dados for 30° ou quando for 60°? Quando for 60º. b) Um triângulo isósceles tem os dois lados congruentes com medida desconhecida. Considerando que o terceiro lado do triângulo mede 10 cm e o ângulo entre os dois lados congruentes é 60°, determine as medidas dos dois lados congruentes. 10 cm (neste caso o triângulo isósceles é equilátero)

c) As medidas de dois lados de um triângulo são 4 m e 3 m. Se o ângulo entre esses dois lados é 30°, determine a medida do terceiro lado do triângulo. 7 cm

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Aplicações da lei dos cossenos Observe atentamente algumas aplicações.

Exemplo 1: Um menino brinca com seu cachorro no parque. Ele encontra-se no ponto A, seu cachorro no ponto B, e a distância entre eles é de 8 metros. O menino joga uma bola que cai a uma distância de 25 m, no ponto C. Se BA 5 30°, qual a distância aproximada o cachorro terá de percorrer para pegar a bola? Nos cálculos, considere que  3   1,73. Resolução: Como os pontos A, B e C formam um triângulo, podemos calcular a distância percorrida pelo cachorro por meio da lei dos cossenos. C (BC)2 5 (AB)2 + (AC)2 – 2 ? (AB) ? (AC) ? cos 30°  3 (BC)2 5 82 + 252 2 2 ? 8 ? 25 ? 2 (AC)2  64 1 625 2 346 (AC)2  343 ⇒ AC  18,5 Assim, o cachorro percorrerá aproximadamente 18,5 m. B

No desenho a seguir, BC representa uma ponte com o comprimento de 50 m, e essa é a mesma medida do segmento AC. Deseja-se determinar a distância do ponto A até o ponto B. Para isso, obteve-se a medida do ângulo C. Qual é a medida do segmento AB? Resolução: Utilizando a lei dos cossenos, podemos obter a medida do lado AB. cos 105° 5 2(cos 180° 2 105°) 5 2cos 75°  20,2588 a² 5 b² 1 c² 2 2 ? b ? c ? cos BA B Ab² 5 2 500 1 2 500 2 5 000 ? cos 105° AB² 5 5 000 2 5 000 ? (20,2588) 50 m AB²  5 000 1 1 294 A 105° AB² 5 6 294 ⇒ AB  79,335 m 50 m C

Exemplo 3:

Um terreno em forma de paralelogramo será dividido por uma cerca ao longo da diagonal maior. Sabe-se que as medidas dos dois lados do paralelogramo são 100 m e 80 m. O ângulo entre dois lados do paralelogramo mede 138°. Determine o comprimento da cerca. Resolução: 100 m Considerando que a medida da cerca é x, temos: cos 138° 5 2cos (180° 2 138°) 5 2cos 42°  20,7431 a² 5 b² 1 c² 2 2 ? b ? c ? cos BA x² 5 100² 1 80² 2 2 ? 100 ? 80 ? cos 138° x² 5 10 000 1 6 400 2 16 000 ? (2cos 42°) x²  16 400 2 16 000 ? (20,7431) x²  16 400 1 11 889,6 x²  28 289,6 ⇒ x  168,195 m

Eduardo Belmiro

A

80 m

138°

Ilustrações: Setup

Exemplo 2:

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 No triângulo a seguir, as medidas de dois de seus lados estão indicadas em centímetros. Considerando que o ângulo entre esses dois lados é 60°, determine a medida do lado indicado pela letra a. 7 cm

Ilustrações: Setup

a

5 60° 8

6 Em um triângulo ABC, sabe-se que AB 5 20 cm, AC 5 10 cm e o ângulo entre esses dois lados mede 45°. Determine a medida do lado BC. 500 2 200 2 cm 7 Um grande relógio de uma torre no centro da cidade indica exatamente 16  horas. O ponteiro dos minutos mede 2 m e o ponteiro das horas mede 1 m.

Eduardo Belmiro

2 No triângulo ABC, determine, utilizando a lei dos cossenos: C

7 cm

5 cm

A

; a) cos A

1 5

B

6 cm

; b) cos B

5 7

. c) cos C

19 35

3 No paralelogramo a seguir, sabe-se que as medidas dos lados são 10 cm e 5 cm. 5 cm

a) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros. 120° b) Qual é a distância entre as extremidades dos dois ponteiros? 7 cm

8 Ainda considerando as medidas dos ponteiros do relógio da atividade 7, determine Considerando que um dos ângulos intera distância entre as extremidades dos nos do paralelogramo é 60°, determine: ponteiros quando o relógio estiver mara) o comprimento da diagonal menor; 75 cm cando exatamente: b) o comprimento da diagonal maior. 175 cm a) 15 horas; 5 cm c) 18 horas. 3 cm 10 cm

4 As medidas de dois lados consecutivos de um paralelogramo são 8 cm e 12 cm. Se esses dois lados formam um ângulo de 60°, determine: a) a medida da menor diagonal; b) a medida da maior diagonal.

112 cm 304 cm

5 O professor desenhou na lousa um triângulo em que as medidas dos lados eram 8 cm, 10 cm e 12 cm. Utilizando a lei dos cossenos, ele determinou a medida do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo. Qual foi o valor obtido? 81

b) 14 horas;

3 cm

9 Um triângulo tem as medidas dos três lados representadas, em centímetros, por x, x 1 1 e x 1 2. Considerando que o ângulo oposto ao lado de medida maior é 120°, determine as medidas dos três lados do triângulo. 23 cm, 52 cm e 72 cm x2 x

120° x1

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Capítulo 26

Lei dos senos

Setup

Para desenhar um triângulo em uma folha de papel, utilizamos os instrumentos geométricos. Alguns desses instrumentos são a régua, o esquadro, o transferidor e o compasso. Em qualquer triângulo que você desenhar numa folha de papel, sempre será possível construir uma circunferência circunscrita a ele; isso significa que sempre haverá uma circunferência passando pelos três vértices.

Pelo fato de um triângulo ser inscrito em qualquer circunferência, podemos obter diversas propriedades relacionadas aos arcos determinados pelos vértices na circunferência, aos ângulos inscritos e também aos ângulos centrais correspondentes a esses arcos. Neste capítulo veremos a lei dos senos, que está diretamente relacionada ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Obtenção da lei dos senos A lei dos senos é uma relação matemática que envolve as medidas dos lados de um triângulo e os valores dos senos de seus ângulos internos, resumida no quadro a seguir. Em um triângulo qualquer ABC, sendo B A, B B e BC as medidas de seus ângulos internos, a, b e c as medidas dos lados opostos a esses ângulos, e 2R o diâmetro da circunferência circunscrita, a seguinte igualdade é válida: a b c 5 5 5 2R sen B A sen B B sen BC

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Na prática, veremos que podemos calcular, com a lei dos senos, a medida de dois lados quando são fornecidos os três ângulos (ou dois ângulos, pois a soma das medidas dos ângulos é 180°), e também a medida do terceiro lado. Faremos inicialmente a demonstração desse resultado e depois exemplificaremos como utilizá-lo. Demonstração:

• Vamos considerar um triângulo ABC qualquer inscri-

A

to em uma circunferência de diâmetro 2R. Saindo do ponto B, como mostra a figura, podemos encontrar um ponto D de tal forma que BD seja diâmetro da circunferência.

D Ilustrações: Setup

R

• Ligando

o ponto D ao ponto C, obtemos o triângulo BCD retângulo em C, ilustrado pela linha tracejada.

ângulos inscritos B D e B A são congruentes, pois correspondem ao mesmo arco BC (propriedade de ângulo inscrito).

• Os

• No triângulo retângulo, podemos fazer:  5 a ou sen A  5 sen D 2R

a 2R

⇒

a  sen A

• Procedemos

com os ângulos B e C de maneira análoga, obtendo: b c 5 2R e 5 2R   sen B sen C

• Comparando os três resultados, temos: a b c 5 5 5 2R    sen B sen A sen C

5 2R

B C

a

Professor, comente com os alunos que a observação sobre os senos de ângulos suplementares será demonstrada no Ensino Médio. Aqui eles poderão utilizar uma calculadora para verificar tal resultado.

Observações: VV A lei dos senos vale para qualquer

triângulo. VV Quando dois ângulos são

suplementares, eles possuem o mesmo valor do seno, isto é: sen B A 5 sen (180° 2 B A)

Exemplo 1: No triângulo ao lado, determine as medidas dos lados desconhecidos.

Resolução:

B 30°

a

c

Como a soma das medidas dos ângulos internos é 180°,  5 30°, isto é, o triângulo é isósceles. Dessa forma, temos que C AB 5 AC 5 20 ⇒ c 5 20

120° A

20

C

Utilizando a lei dos senos, podemos determinar a medida do lado BC.

a b c 5 5 5 2R sen B A sen B B sen B C a 20 ; como sen 120° 5 sen 60°, temos: 5 sen 120° sen 30° a 3 2

5 20 ⇒ a 5 20 3 1 2

269 pom9_260_275_u08.indd 269

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Exemplo 2: B 30°

Em relação ao triângulo ABC ao lado, qual é a medida do raio da circunferência circunscrita?

a

c 120° A

Resolução:

20

C

b 5 2R  sen B 20 5 2R sen 30° 20 5 2R 1 2 40 5 2R ⇒ R 5 20

Pela lei dos senos, se sabemos a medida de um lado e do ângulo que lhe é oposto, podemos determinar a medida do diâmetro.

Exemplo 3: Qual é a medida do lado BC no triângulo representado abaixo? 8 cm 30°

Setup

C x 45°

A

B

Resolução:

Utilizando a lei dos senos, podemos obter a medida x indicada na figura.

a b c 5 5 5 2R    sen B sen A sen C x 8 5 sen 30° sen 45° x 5 8 ⇒ x 5 4 2 cm 1 2 2 2

Exemplo 4: Em relação ao triângulo ABC, qual é a medida do raio da circunferência circunscrita? Resolução: Pela lei dos senos, temos: b 5 2R sen  Bˆ 8 C 5 2R sen  45° 8 cm 8 5 2R x 2 30° 45° 2 A B 16 2 5 2R R=

8 8 2 5 4 2 5 2 2

A medida do raio é 4 2 cm.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Se a medida do raio de uma circunferência circunscrita a um triângulo ABC de lados a, b e c, respectivamente, é 2 cm, determine: a) a razão

a ;4  sen A

b) a razão

b ;4  sen B

c .4  sen C

c) a razão

2 Considere o triângulo ABC representado ao lado.

B

a) Determine a medida do diâmetro da circunferência circunscrita. 2R  115,5 cm b) Obtenha a medida do lado BC indicada por x. 74,3 cm c) Obtenha a medida do lado AC indicada por y. 113,8 cm Observação: Utilize sen 80° 5 0,985, sen 60° 5 0,866 e sen 40° 5 0,643.

80°

100 cm

x

40°

60°

A

C

y

3 No triângulo ao lado estão indicadas as medidas de dois ângulos internos e o comprimento de um lado. a) Qual é a medida do terceiro ângulo interno? 75° b) Qual é a medida do lado indicado pela letra x? 3 c) Qual é a medida do lado indicado pela letra y? y Utilize: sen 75° 5 0,96

60° 51,92

sen 110° 5 0,939

45° y

3

4 Considere as informações do triângulo ao lado e no quadro a seguir.

sen 20° 5 0,342

x

6

B

20°

10 cm

sen 50° 5 0,766

a) Determine a medida do ângulo C. 50° b) Obtenha as medidas dos lados AB e AC. 8,158 cm e 3,642 cm c) Calcule a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 5,325 cm

110°

C

A

5 Resolva os problemas seguintes. a) Dois ângulos de um triângulo têm medidas 60° e 75°. Sabendo que o lado oposto ao ângulo de 60° mede 18 3 cm, determine a medida do lado oposto ao menor ângulo do triângulo. 18 2 cm b) Qual é a medida do diâmetro de uma circunferência circunscrita a um triângulo equilátero considerando que a medida de cada lado é 10 cm? 20 cm 20 3 cm 3

a) Determine a medida do raio R da circunferência. 3 cm b) Determine a medida do seno do ângulo oposto ao lado que mede 5,2 cm. 3

5,2

30°

cm

m 3c

6 Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio R. As medidas de dois de seus lados são 3 cm e 5,2 cm. O ângulo formado pelo lado desconhecido e o lado medindo 5,2 cm é igual a 30°.

Ilustrações: Setup

3

2

271 pom9_260_275_u08.indd 271

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Aplicações da lei dos senos Edson Antunes

Assim como a lei dos cossenos, a lei dos senos pode ser empregada em aplicações nas quais precisamos descobrir determinadas medidas que não podem ser obtidas de forma direta com instrumentos de medição. Nessas aplicações, muitas vezes necessitamos da calculadora para obter valores da razão trigonométrica seno (ou cosseno).

Calcula o seno de um ângulo em graus.

Calcula o cosseno de um ângulo em graus.

Na figura ao lado estão representados um rio e uma grande área em forma de triângulo. As medidas de dois dos ângulos internos são conhecidas e determinou-se que BC 5 500 m. É possível, com essas informações, calcular as medidas dos lados AB e AC sem atravessar o rio?

Eduardo Belmiro

Exemplo: A

59°

C

Resolução: Inicialmente, a medida do ângulo A pode ser obtida lembrando que a soma das medidas dos ângulos internos é 180°.  1 57° 1 59° 5 180° A

57°

B

 5 64°  A Utilizando a lei dos senos e obtendo os valores aproximados dos senos dos ângulos em uma calculadora, temos: a b c 5 5 5 2R    sen B sen A sen C 500 AB AC 5 5 sen 64° sen 59° sen 57° 500 AB AC   0,898 0,857 0,838 AB  0,857 ?

500 ⇒ AB  477,17 m 0,898

AC  0,838 ?

500 ⇒ AC  466,59 m 0,898

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AGORA É COM VOCÊ 1 Todo triângulo pode ser inscrito em uma circunferência. Detera num triângulo considerando que a medimine a razão  sen A da do raio da circunferência é: a) 2 cm 4 b) 3 cm 6 c) 4 cm 8

d) 5 cm 10 e) 10 cm 20

A

B

C

a

2 Determine a medida do diâmetro de uma circunferência circunscrita a um triângulo considerando que a medida de um ângulo interno é 45° e a medida do lado oposto a esse ângulo é 5 2 cm. 10 cm 3 Em uma circunferência, foram marcados três pontos A, B e C de maneira que AB 5 2 cm, BC 5 1 cm e a medida do ângulo correspondente ao vértice B é 135°. Calcule a medida do lado AC, considerando cos 135° 5 2cos 45°. AC 5 5 1 2 2 cm x 105°

4 No triângulo representado ao lado, determine a medida do lado indicada pela letra x. 100 2 cm

100 cm

45° A

5 Na imagem ao lado, AB representa uma ponte sobre um rio. Com as informações indicadas, determine:

x

Eduardo Belmiro

a) a medida do ângulo correspondente ao ponto B; 105° b) a medida da ponte, representada pela letra x. x 5 100

30°

2 m 45° 100 m

P

B

6 O triângulo ABC está inscrito na circunferência de raio R. Sabemos a medida de um ângulo e também a do lado oposto a esse ângulo. Qual é a medida do raio dessa circunferência? 4 u.c. C

A

4 2

R

B

Ilustrações: Setup

45°

7 Considere o triângulo da figura ao lado. Usando os valores dos senos dos ângulos notáveis, determine: a) a medida indicada pela letra b; 3 cm b) a medida do diâmetro da circunferência que pode ser circuns­crita ao triângulo. 2 cm

2 60°

b 45°

273 pom9_260_275_u08.indd 273

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Superando Desafios 1 (FEI-SP) Alternativa b. Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede: c) 2 3 cm e) 2 2 cm a) 37 cm b) 13 cm d) 3 3 cm 2 (Cesgranrio-RJ) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. Quanto vale o seno do ângulo B? Alternativa b. b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 1 2 3 4 5 6 A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d'água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d'água e o ângulo formado pelas direções caixa-d'água-bomba e caixa-d'água-casa é de 60°. Se se pretende bombear água no mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? 70 m

Eduardo Belmiro

3 (Unicamp-SP)

80 m 60° 50 m

x

4 (Unesp)

C Setup

Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que 3 3 e sen y 5 . Deseja-se construir uma nova sen x 5 4 7 rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. 70 km b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. 42 km

E x A

y D

B

ito Escrituras Ed

ra

Explorando Matemática e música: O pensamento analógico na construção de significados Autor: Oscar João Abdounur Editora: Escrituras 315 páginas O livro Matemática e música, terceiro volume da Coleção Ensaios Transversais (selo Escrituras), aborda a profunda ligação entre essa ciência e essa arte desde a Antiguidade. Sua proposta é recuperar e organizar momentos históricos importantes, que evidenciam relações entre a Matemática e a música, baseando-se em pesquisas de fontes e documentos. O tema é apoiado em oficinas de Matemática e música realizadas pelo autor, o prof. dr. Oscar João Abdounur, do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP).

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RESGATANDO CONTEÚDOS

a) 2 cm b) 3 cm

c) 4 cm d) 8 cm

2 Na lei dos senos, as medidas dos lados de um triângulo e os senos dos ângulos opostos a esses lados formam uma proporção. Sobre a razão dessa proporção é correto afirmar que: Alternativa b. a) é igual à medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. b) é igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. c) é igual à medida do raio da circunferência inscrita no triângulo. d) é igual à medida do diâmetro da circunferência inscrita no triângulo. 3 As medidas dos lados de um triângulo são indicadas por 2x, 3x e 4x. Considerando que os ângulos opostos a esses lados são indicados por BA, BB e BC, respectivamente, é correto afirmar que, aplicando a lei dos senos, é válida a relação: Alternativa a. 2 3 4 a) 5 5 B B sen A sen B sen BC 2 3 4 b) 5 5 sen BC sen BB sen B A 2 3 4 c) 5 5 B B sen B sen A sen BC 2 3 4 d) 5 5 sen BC sen BA sen BB 4 No triângulo representado ao lado, as x 10 medidas dos lados 60° estão indicadas em 16 centímetros. É correto afirmar que a medida x é tal que:

5 Ainda em relação ao triângulo da atividade 4, determine a alternativa que indica corretamente a medida do diâmetro da circunferência circunscrita. Alternativa d. a) 7 3 cm 3

c) 21 3 cm 3

b) 14 3 cm 3

d) 28 3 cm 3

6 No triângulo representado abaixo, um dos lados mede 12 cm. 45°

x

30° 12

De acordo com as medidas dos ângulos dados, é correto afirmar que a medida do terceiro ângulo é: Alternativa a. a) 105° c) 45° b) 75° d) 90° 7 Em relação à medida do lado indicado pela letra x no triângulo do exercício 6, temos:

Alternativa d.

c) 12 2 cm d) 6 2 cm

a) 16 2 cm b) 4 2 cm

8 Considere ainda os dados da atividade 6. Qual é a medida do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo? Alternativa d. c) 12 2 cm d) 6 2 cm

a) 16 2 cm b) 4 2 cm

9 No triângulo abaixo, as medidas dos lados estão em centímetros. 3

5

x

Alternativa c.

a) x é um número racional não inteiro. b) x é um número natural ímpar. c) x é um número natural par. d) x é um número irracional.

Ilustrações: Setup

1 Em um triângulo, a medida de um lado é 4 cm, e o ângulo oposto a ele mede 30°. A medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo é: Alternativa d.

7

É correto afirmar que: Alternativa b. a) cos x 5 0,5 c) cos x 5 1 b) cos x 5 20,5 d) cos x 5 20,7

275 pom9_260_275_u08.indd 275

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Gabarito Unidade 1 Capítulo 1

4. a) 1,52 ? 108 b) 3,5 ? 104 c) 9 ? 109 d) 2,345 ? 1026 e) 9 ? 1023 f ) 2,3 ? 1028

Página 14 Agora é com você 1. a) 105 b) 106 c) 104 d) 1023 e) 1021 f ) 108 g) 1024 2.

3. a) 2 casas decimais b) 3 casas decimais c) 7 casas decimais d) 10 casas decimais

29 20

3. a) 81 b) 2125 c) 2216 d) 2343 e) 625 f ) 2243 g) 256 h) 2256 4. Os dois números são iguais. 5. a) 20,008 b) 0,0025 c) 0,0625 d) 20,000001 e) 20,008 f ) 0,015625 6. a) 0,000001 m2 b) 0,008 cm3 1 xy 1 b) xy 7. a)

8. a) x 5 5 b) x50 c) x 5 22 d) x 5 21 e) x 5 23 9. 2 000 algarismos

5. a) 73 100 b) 0,000205 c) 89 000 000 d) 0,00000403 e) 300 000 000 000 f ) 0,000000051 6. a) 8,516 ? 106 km2 b) 8,516 ? 1012 m2 7. a) 2,5 ? 1023 cm b) 1,5 ? 104 segundos 8. Por 1 046,8, aproximadamente. 9. a) 2197 b) 3101 c) 424

Página 19 Agora é com você 1. a) 315 b) 525 c) 712 d) x7 e) a2 f ) y20 2. a) F b) F c) V d) F e) V f ) F

Agora é com você 1. 1 ? 103 1 ? 106 1 ? 109 1 ? 1012 1 ? 1023 1 ? 1026 1 ? 1029 1 ? 10212 2. a) 1 ? 10210 m b) 6,023 ? 1023 c) 1,496 ? 108 km

4.

Capítulo 2 Página 24 Agora é com você 1. a) Entre 3 e 4. b) Entre 3 e 4. c) Entre 4 e 5. d) Entre 6 e 7. e) Entre 9 e 10. f ) Entre 9 e 10. g) Entre 22 e 23. 2. a) 4 3 cm b) 3 cm2 3. a) x 5 4 ou x 5 24 b) x 5 10 ou x 5 210 c) x 5 16 ou x 5 216 d) x 5 5 ou x 5 2 5 e) x 5 7 ou x 5 2 7 4.  Não. Os valores são diferentes: x é aproxima­damente 14,422 e y 5 20. 5. Os valores são iguais: x 5 96 e y 5 96. 6. a)

3

7

b) 5 2

4 c) 10 3 2 d) 7 5 e) 112

1

7. a) 12 2 1

b) 22 1

c) 16 2

131 25

1

d) 33 1

0,12 e) 1

f ) 43 8. 16 9. a) x 5 4 cm

5. 327



6. a) 2

5 4

b) 32 c) 625 d) 1 024 7. a) 106

b) 1030



c) 1036

8. x224

10. a) Basta escrever como 220. b) 125

3 f ) 2

3. a) Por 23. b) Por 415. c) Por x 5. d) Por 3212.

Página 17

9. a) 6 275 b) 108

b) 16 cm2

10. a)

1 12

13 b) 5 c) 0,1 d) 0,25 1 e) 10

276 pom9_276_288_gab.indd 276

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11. Devemos multiplicar por

Página 26

3

2 .



d) 6 3

5. ( 6 1 18 2 ) cm

1. a) 7 1 4 3 b) 4a2 1 12a 1 9 c) 4 1 4m2 1 m4 d) 9x 2 1 6x31x 4

Agora é com você

6. a) 22 3 22 2

1. a) 14 b) 5 c) 24 d) 5



7. (6 2 1 3 1 4) cm

Página 32

1 e) 1 y 1 4y2 16 f ) 4x 2 1 32x 1 64 g) 16b2 1 72b 1 81

2. a) 10 2

Agora é com você





b) 10 7

1. a) 4 10



c) 6 5



d) 3 3



e) 3 10

2. a) 32 2 10 7 b) 9a2 2 30a 1 25 c) y2 2 2y3 1 y4 d) 16 2 8m2 1 m4



f ) 6 2



g) 2 10



h) 3 5

3. a) 5,64 b) 4,23 c) 5,64 d) 9,87 4. a) 3,46 b) 5,19 c) 8,65 d) 6,92 5. a)

20

b) 32

b) 3 5 2

b) 2 6 c) 2 15 d) 4 e) 25 f ) 3 2. a) 2 b) 2 c) 4 1 d) 6 5 5

3. a)

3 b) 2 c) 4

c) 98

9 7 d) 14

d) 700

4. a) 2 3 1 2

e) 18 f ) 80 g) 24 3 h) 16

6. 3 3

Capítulo 3 Página 29 Agora é com você 1. a) 27 b) 210 c) 10 d) 12 e) 10 f ) 21 2. a) 5 3



b) 12 1 4 6

c) 2 5 2 10

d) 12 2 6 6

5. a) 4 b) 23 2 c) 49 d) 125 1 e) 6 1 f ) 100 6. a) 125 cm3 b) 5 5 cm3 c) 5 cm3 7. a)

4

5

12 b) 2 24 c) 7



b) 20 5



c) 10 3 2



d) 2 3 10

8. 4 12



e) 24 3 5

9. 5 1 2 6



f ) 30 3 2

3. a) 7 2

3

16 d) 10

10. 58 11. 110



b) 12 2



c) 8 2

12. (20 3 2 30) cm3



d) 20 2

Capítulo 4

4. a) 29 2

b) 10 5

Página 39



c) 7 2 1 35 3

Agora é com você

h) 37 1 20 3

1 e) x 2 2 x 2 1 2 4 f ) 6 2 4 2 g) 49b2 2 14b 1 1 h) 100 2 80n 1 16n2 3. a) 33 b) 16m2 2 4 c) 12 2 y 4 d) 9p2 2 25 1 e) 2 25 x2 16 f ) 169x 2 2 4 g) 49y2 2 36 h) 241 4. a) 40 401 b) 161 604 c) 494 209 5. a) 249 001 b) 158 404 c) 356 409 6. a) 4 1 2 3 2 5 1 2 3 b) 7 1 2 10 c) 3

(

10 4 2 5 d) 11 31 2 10 6 e) 19

)

7. a) 249 999 b) 999 996 c) 639 991 8.

Quadrado de um binômio

Trinômio correspondente

(x 1 10)2 (y 1 8)2 (2m 1 1)2 (4 1 9x)2 (3 1 2r)2 (2x 1 2y)2

x 2 1 20x 1 100 y 2 1 16y 1 64 4m 2 1 4m 1 1 16 1 72x 1 81x 2 9 1 12r 1 4r 2 4x 2 1 8xy 1 4y 2

9. a) 24x 2 2 6xy 2 2y 2 b) 11x 2 1 16x 1 6 c) 23x 4 2 2x 3 1 x 2 1 4x 1 4 d) 4a2b2 2 10ab 2 12

277 pom9_276_288_gab.indd 277

05/06/2015 17:15

12. a) 70x 2 1 14y 2 1 12xy b) 32x 2 1 8x 1 4 c) 16x 4 2 60x 3 2 x 2

1 c) 2 2m 1 9m2 9

Página 48

Agora é com você

1. a

1. a) 10 1 6 3 b) a3 1 9a2 1 27a 1 27 c) 8 1 12m2 1 6m4 1 m6 d) x 3 1 3x 4 1 3x 5 1 x 6

2. b

2. a) 10 2 6 3 b) a3 2 9a2 1 27a 2 27 c) 8 2 12m2 1 6m4 2 m6 d) x 3 2 3x 4 1 3x 5 2 x 6 3. a) 224x 2 128 b) 16y3 1 108y 2

64 d) 2 81x 2 49 1 e) x 2 1 4x 1 64 16

3. 249 500 4. Eles têm a mesma área, porém o maior perímetro é o do retângulo. 5. a

x2 25 f ) 2 16 64 32. a) 20a 1 2b

Resgatando conteúdos

Unidade 2

2. c

Capítulo 6

3. b

b) 22 2

Página 58

4. d

Capítulo 5

Agora é com você

5. c

Página 47

1. Respostas pessoais.

6. d

Agora é com você

2. a)

7. a

1. a) (x 1 2)2

c) (2y 1 1)



d) (3m 1 2 )2

2



b) (a 2 8)2



c) (3y 2 1)2



d) (m 2 2 )2

40 30

15. b



c) (3y 1 1)(3y 2 1)



d) (m 1 2 )(m 2 2 )

4. a) (5 2 x)2 b) (6 1 2y)2 c) (3y 1 10)(3y 2 10) d) (7x 1 1)2 e) (y 2 9)2 f ) (30 1 5x)(30 2 5x) g) (8x 2 2)2 h) (n 1 16)2

0

b)

16. d

c) 12(2 2 y) d) x(p 1 11)

7. a) 3x(3x 2 1 x 2 4) b) 5x(x 2 2 2x 1 5) c) 2(6m2 1 7m 2 9) d) 5p2x(5x 1 1 2 10x2)

14

População do Brasil por regiões – Censo 2010 (em milhões de pessoas) 14

17. c 16

18. a

sudeste nordeste

19. b

27

sul

20. d

norte

21. a

centro-oeste

22. a 3.

24. d

População brasileira – Censos de 1940 a 2010 (aproximação em milhões de pessoas)

25. d

250

26. b

200 150

27. c

100

28. c

50 0

29. a 30. a) 130x b) 25

80

53

23. a

5. 22

16

10

13. b

b) (a 1 4)(a 2 4)

27

20

12. b



53

50

11. b

14. d

8. a) (a 2 b)(8 2 y) b) (x 1 y)(m 1 2) c) (x 1 11)(4 1 z) d) (2p 2 1)(7 2 r)

60

10. d

3. a) (x 1 3)(x 2 3)

6. a) 2(2 2 m) b) 5(3x 2 1)

70

9. c

2. a) (x 2 3)2

80

80

su

b) (a 1 7)2

População do Brasil por regiões – Censo 2010 (em milhões de pessoas) 90

8. b



b) 24a21 8ab 2 2b2

33. (x 2 1)(x 2 2)

Página 49 1. b

4. a) 40

4 4x 1 1 x2 49 7

1 b) 2 2y 1 16y 2 16

Superando desafios

Página 42



31. a)

DAE

11. 144x 2 4

9. a) (x 1 y) (4 1 p) b) (m 2 y)(2 1 b) c) (a 1 1)(b 1 12) d) (m 1 x)(3 2 p)

su l no ce rte nt ro -o es te

c) 2x 1 9

de ste rd es te

b) 2x e 9

2

no

10. a) 2x e 9



c) 256 d) 10



e) 2 e 4 f ) 25n2



41,1 51,9

70

93,1

119

146,8

169,8

190,8

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

a) Entre 1950 e 1960. b) 214,4 milhões de habitantes

278 pom9_276_288_gab.indd 278

05/06/2015 17:15

Capítulo 7

Capítulo 8

6. a)

Frequência absoluta (número de alunos)

Frequência relativa (%)

1,48 a 1,54

4

10



1,54 a 1,60

7

17,5

2. 8 maneiras

1,60 a 1,66

12

30

3. a) 8 maneiras

1,66 a 1,72

11

27,5



1,72 a 1,78

6

15

Total

40

100

Página 61 Altura (m)

Agora é com você 1. a) As frequências relativas são 16%, 32%, 24%, 20% e 8%, respectivamente. b) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Setup

Número de funcionários

Salário dos funcionários

600

1 000

1 500

3 000

2 500

Página 65 Agora é com você 1. a) AP, AQ, AR, AS, BP, BQ, BR, BS, CP, CQ, CR, CS, DP, DQ, DR, DS, EP, EQ, ER, ES.

b)

Frequência relativa

500

2

10%

510

5

25%

520

6

30%

530

6

30%

540

1

5%

Total

20

100%

b) 35% c)

Altura dos alunos

7. 24 maneiras

6

8. a) 17 576 prefixos

4



1,54

Preço (reais)

1,60

1,66

1,72 1,78 altura (m)

10. a) 8 maneiras

7. a) 5,8 kg b) 1,0 kg c)



Massa (kg)

Frequência absoluta

Frequência relativa

22,2 a 23,2

3

9,375%

23,2 a 24,2

3

9,375%

24,2 a 25,2

4

12,5%

510

25,2 a 26,2

9

28,125%

26,2 a 27,2

8

25%

27,2 a 28,2

5

15,625%

Total

32

100%

Agora é com você

3 b) 6 2. Respostas pessoais.

1 b) 2

Ilustrações: Setup

10

11

60

14,3%

12

68

16,2%

13

72

17,1%

14

136

32,4%

15

84

20%

Total

420

100%

Número de crianças

9

Frequência relativa

8 7 6

9 d) 100 36 e) 100

5

4. a)

4 3 2

3 18

5 b) 18

1 0 22,2

1 2

3. a)

9 c) 10

Massa das crianças

Frequência absoluta

1 6

1. a)

d)

Idade

b) 45 possibilidades

Página 68

Número de cidades

4. Respostas pessoais.

b) 336 maneiras

11. a) 15 possibilidades

520

5.

b) Em 15 600 prefixos.

9. 840 números

540

3. Respostas pessoais.

b) 8 resultados possíveis

8

0 1,48

1 2 3 4 5 6 7 8 9

d) 60 números

6. 120 números

Pesquisa de preço

0

c) 125 números



10

2

500

b) 20 números





12

530



5. a) 4 resultados possíveis

14

Número de alunos

Preço (R$)

Frequência absoluta

b) 40 maneiras

4. a) 25 números

salário (reais)

2. a)

b) 20 possibilidades

23,2

24,2

8. a) 4 classes b) 2

25,2

26,2



c) 20 d) 5

27,2 28,2 Massa (kg)

10 c) 18 5. Você. 6. 6 11

279 pom9_276_288_gab.indd 279

05/06/2015 17:15

Página 71

2. a)     1

Superando desafios

1 b) 5

1. d

5 c) 4

2. d

Página 72 Resgatando conteúdos

1 d) 2

1. c

3. 10 cm

2. c

4. 30 cm e 50 cm

3. a

5. 8 cm e 24 cm

4. b

1 4 b) 50 3 c) 4

5. d

6. a)

6. c 7. a) 6 classes b) 4 minutos c) A de 16 e 20 minutos. d) A classe de 8 a 12 e a classe de 28 a 32 minutos. 8. a 9. d 10. d



janeiro

1

6,67%

fevereiro

2

13,33%

março

4

26,67%

abril

4

26,67%

maio

3

20%

junho

1

6,66%

Total

15

100%

b) 13,33%

14. a) 6 pacientes b) 12 pacientes c) 48 pacientes 15. Resposta pessoal.

Unidade 3 Capítulo 9 Página 78 Agora é com você 1 1. a) 3 1 b) 2 c)    2 3 d) 8 20 e) 3 1 f ) 2

y 2

5. a) Sim. b) 129 cm 6. a) Sim. 7 b) 10 54 c) cm 7 70 d) cm 3 7. x 5 9 cm e y 5

32 cm 3

Página 90

8. 32 cm e 20 cm

Frequência relativa

4. y 5 2x ou x 5

7. a) 40° e 140° 4 b) 1

12. b

Frequência absoluta

13 cm 3

8. 25 cm, 30 cm e 45 cm



Mês

b) AE 5

3 d) 10

11. d 13. a)



c) 37,5 cm

9. a)

1 4

9. 12 cm, 15 cm e 18 cm Agora é com você 1. a) Sim. b) LLL 2. a) LAL b) 4 cm



3. a) 28 cm b) 24 cm

Página 82

4. a) Sim. b) Caso AA c) 70 m

b) 4 1 c) 5

Agora é com você 1. a) 6 cm b) 18 cm e 12 cm 2. a) Aproximadamente 0,667. b) 7,5 cm c) 4,5 cm 3. a) 2 3 cm

b) 2 3 cm e 4 3 cm

4. a) 8 cm b) 8 cm e 10 cm c) 20 cm e 25 cm 5. a) 32 cm b) 40 cm 6. 36 cm 7. XY 5 80 cm

Capítulo 10

5. a) Sim. b) 10 cm c) 7 cm 6. 27 cm, 33 cm e 45 cm 7. 16 cm, 20 cm e 8 cm 3 3 8. 0,025 m 5 2,5 cm

Capítulo 11 Página 94 Agora é com você 1. a) 12 cm b) 16 cm c) 9 cm 2. a) 41 cm b) 20 cm

c) 5 41 cm

Página 87



d) 4 41 cm

Agora é com você

3. a) 6 cm b) 18 cm

1. x 5 16 cm 2. a) Sim, o ângulo O. b) Sim. c) Uma proporção possível seria: AR RE AE 5 5 . OT TE OE



c) 6 3 cm



d) 12 3 cm

4. 3 cm 5. a) 15 cm

b) 3 5 cm e 6 5 cm

3. a) AD 5 4 cm

280 pom9_276_288_gab.indd 280

05/06/2015 17:15

7. a) x  7,7134 cm b) y  22,8075 cm c) Aproximadamente 123,4152 cm2.

6. a) 16 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 20 cm

8. Sim.

Página 98

9. Respostas pessoais.

Agora é com você

Página 106

1. a) 15 cm b) 15 cm c) 16 cm

4. 125 m

2 2 2 c) cos 45° 5 2 2. a) x 5 1 b) Os valores são iguais. c) 1

5. 2 29 cm

3. a) x 5 100 3 m; y 5 100 m



b) 5 2 cm c) 14 cm

3. y 5 2 13 cm; z 5

6.

61 cm; x 5 9 cm

8 5 16 5 cm e cm 5 5

7. a) 10 cm b) 26 cm c) 26 cm d) 16 cm 8. 250 km 9. , 3 2 10. a) 36 cm2 b) 64 cm2 c) 100 cm2 d) 6 cm e 8 cm e) 10 cm 11. a) 5 cm b) 120 cm2

Capítulo 12 Página 103 Agora é com você 1. a)

b c b , , a a c

c b c b) , , a a b São iguais; iguais; inversos. 2. a)  15,39 m b)  14,72 m 3. a) 80 m b) 0,6; 0,8 e 0,75 c) 0,8; 0,6 e 1,33 2 2 , e1 4. a) 2 2 b) senos 0,6 ou 0,8; cossenos 0,8 ou 0,6 e tangentes 0,75 ou 1,33



15. c 16. d 17. a

19. 10,45 cm

1. a) d 5 , 2

14. b

18. d

Agora é com você

2. a) 3 2 cm

13. d

20. 15 km

b) sen 45° 5

b) 200 3 m e 200 m c) 120°, 30° e 30°

Unidade 4 Capítulo 13 Página 119 Agora é com você 1. Dez não é solução da equação.

4. 15 3 m

2. a) {7 , 27}

5. a) 20 m

b) { 10 , 2 10 } 11 11 c) ,2 2 2 2 2 , 22 2 d) e) {100, 2100} f ) {30, 230}

}

3. a) {2, 10} b) {0, –1}



c) {22, 5} d) {0, 3}

4. a) {0, 4}



c) {0, 29} d) {0, 20,5}





b) 20 3 m

{ {

4d 3 6. 3 7. (12 1 4 3 ) m

Página 110 Superando desafios 1. 20 m 2. 80 m, 60 m e 40 m

}

{ }

1 0, 2 b) 7 5. a) zero ou 2

3. 32 m

7. e

4. a

8. 30°

5. b

9. b

b) 2 unidades de comprimento c) 12 d) 39 cm e 78 cm

6. b

10. c

6. x 5 1; x 5 21; e x 5 4

11.  AB’ 5 2,6 cm; B’C’ 5 3,9 cm; C’D’ 5 6,5 cm

Página 112 Resgatando conteúdos 1. c 2. a 3. b 4. 15 3 cm 5. c 6. a 7. a 8. b 9. a) 6 b) 6 cm e 8 cm c) 3 cm e 4 cm

5. a) x  535,9 m b) y  2 070,6 m

10. b

6. Resposta pessoal; 1.

12. c

11. a

Página 121 Agora é com você 1. a) 16 b) 9 1 c) 4 d) 2 e) 25 f ) 18 g) 4 h) 1 i) 25 j) 36 k) 14 l) 6 2. a) {21, 5} b) {25, 3} c) {22, 4}

{ }

1 3 d) , 4 4

e) { 2 , 23 2 } f ) {2, 1}

281 pom9_276_288_gab.indd 281

05/06/2015 17:15

3. a) {21, 25} b) {1, 5} c) {9, 21} d) {26} e) {1, 23} f ) {16, 2}



g) {22, 1} h) {2, 8} i) {1, 17} j) {1, 7} k) {29, 23} l) {3, 11}

4. Quadrado: lado 2 u.c. e área 4 u.a. Retângulo: lados 1 u.c. e área 8 u.a.

Página 124 Agora é com você 1 1. ,3 2 a) Não, apenas uma delas é um número inteiro. b) Dois elementos.

{ }

2. a) Não. b) Nenhum elemento.

{ }

2 3. a) S 5 2 3

b) S 5 {2 3 , 3 3 }



5 c) S 5 22, 2 d) S 5 {  }



{ }

{

5 4. a) S 5 21, 2 3

b) S 5 {3, 22}

5. a) {0, 11}

{

2 2 ,2 b) 3 3

c) {0, 29}

{

9 9 ,2 d) 2 2

6. k 5 1 ou k 5

1 3

7.  Para k 5 1, 64x 2 1 16x 1 1 5 0; 1 para k 5 , 576x 2 2 48x 1 1 5 0 3

} }

6. O filho tem 5 anos e o pai 47. 7. 8

Capítulo 14 Página 127 Agora é com você 1. a) 61 b) 56 c) 272 d) zero e) zero f ) 129

Agora é com você

Agora é com você

2. {1, 21,

1 . 1. a) Soma: 2; produto: 3 b) Soma: 2 3 ; produto: 23 3 . c) Soma: 16; produto: 28. 3 d) Soma: 2; produto: 2 . 2 2 1 e) Soma: 2 ; produto: . 3 9 f ) Soma: 29 2 ; produto: 16.

3. a) x  5 4 1 3x 2 b) 2 ou 22

2. a) k 5 5 2 b) 5 3. a) m 5 10 b) 236 c) {6, 26}

{ }

b) 2,

1 2

5. k 5 7 7 2 1 b) 2 c) 7 45 d) 4

6. a)

7. a) (x 2 2)(x 2 3) 5 0 b) (x 1 4)(x 1 8) 5 0 c) (x 2 10)(x 1 10) 5 0 d) (x 2 9)(x 1 7) 5 0 e) (x 2 4)(x 1 5) 5 0 f ) (x 1 10)(x 2 11) 5 0 8. a) 2 e 14 b) 210 e 7

Capítulo 15 Página 134 Agora é com você 1. a) x(x 2 1) 5 110 b) {11, 210} c) 11 cm e 10 cm

3. a) m 5 8,5 b) m , 8,5 c) m . 8,5

2. 6 e 9

19 4. a) k 5 3 b) 16x 2 2 24x 1 9 5 0

5. 7 ou 22

3 c) 4

7. 20 e 21

5. a) m . 2 b) 5x2 1 4x 1 1 5 0

Página 136 1. { 7 , 2 7 }

2. a) As equações dos itens a, b e f. b) As equações dos itens d e e. c) Apenas a equação do item c.

{}

10. 1 ou 23

Página 131

4. a) m 5 3

}

9. x 5 10 cm

3. 6 cm e 14 cm 4. O filho tem 4 anos e o pai 48 anos.

6. 2 2

8. a) x 2 2 x 2 20 5 0 b) x 5 5 ou x 5 2 4 (não convém) c) 2 cm e 7 cm

5, 2 5}

4

4. a) x 4 1 3x 2 5 7x 2 b) zero ou  2 5. 28 ou 7 6. 4 7. a) {4, 24} b) {5, 25, 1, 21}

c) {2 6 , 6 , 2 5 , 5 }



d) {0, 2 , 2 2 } e) {3, 23}

8. a) {1, 21, 6 , 2 6 }  3 3  b) , 2  3   3 c) {3, 23} d) {21, 1} e) {1, 21, 5, 25}

{

2 2 1, 21, , 2 f ) 3 3

}

Página 139 Agora é com você 1.  A equação admite apenas x 5 21 como solução. 2. a) Não. b) Sim. c) S 5 {3} 3. a) Não. b) Sim. c) S 5 {169} 4. a) {4} b) {576} c) {2} 5. a) {7} b) {11} c) {16, 8} d) {3} 6. a) 144 b) zero e 1 c) zero ou 9 7. a) S 5 {5} b) S 5 {2}

Capítulo 16 Página 149 Agora é com você 1. R$ 27.500,00

282 pom9_276_288_gab.indd 282

05/06/2015 17:15

2. a) R$ 61.700,00 b) R$ 3.085,00

8. 4 cm e 12 cm

21. a)

3.  As duas médias apresentam o mesmo valor. 4. Gastou em média R$ 28,50. 5. a) 6 b) 10 c) 40 6. d

Idade

Frequência absoluta

Frequência relativa

17 18 19 20 21 Total

3 18 17 8 4 50

6% 36% 34% 16% 8% 100%

7. a) R$ 1.450.000,00 b) R$ 290.000,00 c) R$ 290.000,00



8. Aproximadamente 5,2 gols por jogo.

22. a) 98,6 g b) 99 g c) 100 g

9. Aproximadamente 7,6. 10. a) 27,5 anos b) A média cai para 26,8 anos.

b) 19 anos aproximadamente c) 18 anos d) 19 anos

Unidade 5

11. c 12. Respostas pessoais.

Capítulo 17

13. a) 3 gols b) 2 gols 14. a ) Aproximadamente 51 anos. b) 50 anos c) 50 anos 15.

a) 16 pessoas b) Aproximadamente 1,76 m. c) 1,75 m d) 1,75 m

16.  A média é 251 km/h; a mediana é 250 km/h; não há moda.

Página 152

Página 161 Agora é com você 1. Respostas pessoais 2. a)

10 cm

b) 2 5 cm

1. d 2. a

11. a) 500 cm2 b) 20 cm

Capítulo 18 Página 169 Agora é com você 1. a) 27 diagonais b) 44 diagonais c) 65 diagonais d) 170 diagonais 2. 12 lados 3. a) 11 lados b) 44 diagonais 4. O nome do polígono é pentágono. 5. a) 8 vértices b) 8 lados c) 5 diagonais d) 20 diagonais 6. a) 14 lados b) 77 diagonais c) 7 diagonais

Página 172

4. a) 5 cm b) 3 cm c) 15 cm2

1. a) 720° b) 360°

6. R$ 81.000,00

3. c

10. Quadruplicará.

3. 4 cm

5. a) Duplica. b) Quadruplica. c) É multiplicada por 3. d) Devemos dividi-la por 7.

Superando desafios

9. 26,5 cm2

Agora é com você

2. a) 360° b) 900° 3. a) 94°

b) 360°



c) 540°

Resgatando conteúdos

7. a) Resposta pessoal. b) 10 cm c) 16 cm

1. b

15. b

8. 40 cm2

2. c

16. b

Página 165

3. c

17. d

Agora é com você

4. b

18. c

1. 196 cm2

6. a) 540° b) 80°

5. d

19. a

2. 60 cm2



6. d

20. São 160 mulheres e 80 homens.

Página 153

7. c 8. d

4. a) 138 cm2 b) 138 cm

9. c 10. a

6. 1 050 m2

11. d

7. a) 16 cm2 b) 2 cm2 c) 8 cm2 d) 4 cm2 e) 2 cm2

13. a 14. d

5. a) 12 lados b) 54 diagonais

3. 4 cm

5. a) 28 cm b) 34 cm2

12. a

4. a) 120° b) 120°, 120°, 120°, 140°, 70° e 150° c) 60°

c) Ângulos internos: 80°, 105°, 140°, 95° e 120° Ângulos externos: 100°, 75°, 40°, 85° e 60°

7. a) 144° b) 36° 8. 77 diagonais 9. a) 32 lados b) 464 diagonais 10. a) O quadrilátero.

b) Sim, um triângulo.



c) O hexágono.

283 pom9_276_288_gab.indd 283

05/06/2015 17:15

Capítulo 19



Página 176

2. a) 4 2 cm b) 8 cm

Agora é com você 1. a) 36° b) 144°

c) 18 cm2

3. 27 3 cm2 4. a) 4 3 cm

2. a) 45° b) 135° c) 8 lados 3. a) 7 lados b) 14 diagonais c) 51,4° aproximadamente d) 128,6° aproximadamente 4. a) 18 lados b) 160° 5. a) 40°



b) 2 3 cm



c) 36 3 cm2

5. 50 cm2 6. a) Os apótemas medem 2 cm, 3 cm e 1 cm, respectivamente.

b) Medem 2 2   cm, 2 cm e 2 3 cm, respectivamente.



c)  As áreas são 8 cm2, 6 3   cm2 e 3 3  cm2, respectivamente.



b) 40°

7. 600 3 cm2



c) 140°

Capítulo 20

6. a) 30° b) 30° c) 150°

Página 186 Agora é com você 1. a) 4 cm b) 4p cm 2p c) cm 3 p d) cm 2

7. a) 160° b) 20° c) 18 lados 8. a) 30° b) 540° 9. a) heptágono,

900° 7

b) 120°, 90°, 72°, 60° e

360° 7

10. 60° 11.  Um polígono tem 4 lados e o outro tem 12 lados.

2. a) 28 p cm b) 7 p cm 28p c) cm 3 3. a) 4 p cm b) 24 p cm 4.

12. 36°

Página 181 Agora é com você 1. 8 3 cm2 2. 6 3 n cm2 3. 12 lados 4. a) 6 ? , b) a

6 a c) A área é 2

5. 54 3 cm2 6. 64 cm2 7. a) 100 cm2 20 b) cm a

Página 183 Agora é com você 1. a) 3 2 cm 3 2 b) cm 2

120 cm p

5. a)

, 2

, 2 b) 2 6. a) Aumenta 2 vezes. b) Aumenta 1 vez.

3. a) A área quadruplica. b) A área é multiplicada por 2,25. 4. 7p cm2 64p cm2 5 6. a) 45° b) p cm c) 2p cm2 5.

7.  (100 2 25p) cm2 8. a) 2 2 cm b) (2p 2 4) cm2 9. a) 16p cm2 b) 6p cm c) 10p cm

Capítulo 21 Página 194 Agora é com você 1. x 5 6 2. x 5 4 3. a) 6 b) 12 e 12 c) 18 e 8 4. x 5 2 5. 10 cm 6. a) 5 cm b) 36 cm2 7. a) x 5 4 15 cm b) y 5 14 cm c) 240 cm2 8. 6 cm 9. x 5 4 2 cm

Página 199 Superando desafios 1. b 2. e 3. e 4. e

7. a) 100p m, aproximadamente 314 m. b) 200 voltas.

5. b

8. a) 10 cm b) 40p cm

7. b

9.

5p cm 2

Página 189 Agora é com você 1. 100p cm2 2. a) 4 cm2 3 b) 2p cm2 c) 4p cm2 16p d) cm2 3

6. b

Página 202 Resgatando conteúdos 1. d 2. c 3. b 4. a 5. c 6. d 7. d

284 pom9_276_288_gab.indd 284

05/06/2015 17:15

9. a



10. d

Página 214

11. c

Agora é com você

12. a

1. a) (5, 0) b) (0, 3)

13. b

c) Não. d) Não.



e) 5 sacas

d) y 5 4



3

c) Decrescente.

2 1

2.  Nos 3 primeiros minutos ela está parada nos 200 metros e, depois, nos 3 minutos seguintes ela se desloca 600 metros até atingir os 800 metros.

14. c 15. b

Unidade 6

Ilustrações: Setup

8. c

4

3

2

1

1

2

3

4

x

1

3. O máximo que essa função assume é 4.

2

4. a)

3

y 5

Capítulo 22

5. a) No intervalo de 2001 a 2004. b) Em nenhum intervalo. c) No intervalo de 2003 a 2004.

4

Página 208

3

Agora é com você

2

1. a) 2 10

6. a) y 5 1,15x b) R$ 115,00 c) R$ 30,00

1

b) 21 1

1

c) 2 28

2

3

4

5

6

7

x

1

d) 2 100

Capítulo 23

2

2. a) A 5 ,2 b) , 5 7 cm c) A 5 12,25 cm2

7. c

3

Página 218 Agora é com você

b)

3. a) A(x) 5 (4x 2 1)(2x 2 2)

y



b) 44 u.a.

7



c) P(x) 5 12x 2 6

6

1. f(x) 5 10x 2 10 a) 210 b) 4,5



d) 42 u.c.

5

2. a) m 5

11 e n 5 R$1.600,00 5 b) R$ 3.580,00

4. a) 45

4

b) x 5 2 ou x 5 22

3

3. Respostas pessoais.

c) x 5 5 ou x 5 25

2

5. a) 37

1

4.  Deverá vender mas 2 000 unidades por mês.



5. No mínimo R$ 27,50 por unidade.

b) 28 cm

4

3

2

1

1

6. a) 35 diagonais



2

3

4

x

1

Página 222

b) 6 lados

c) A variável dependente é d e a variável independente é n.

Agora é com você

c) y

6

1. a) (0, 3) b) (0, 0) c) (0, 23) d) As retas são paralelas

5

2. Resposta pessoal.

8

7. a) y 5 7x

7

b) É duplicado também. c) x 5 100 8. a)

3. a) y 5 x b) y 5 2x

4

Ordem

Número de palitos

Número de triângulos

1a 2a 3a 4a

3 5 7 9

1 2 3 4

b) 11 palitos c) (2n 1 1) palitos d) 5 triângulos e) n triângulos f ) P 5 2T 1 1 9. a) 50,20 dólares

6. Não

3 2 1 2

1

1

2

3

4

5

6

x

4. a) V b) V c) F d) V 5.  A taxa de crescimento da função é igual a 22. 6. a) Crescente. b) Não. 1  c)  4 , 0

b) 50,10 dólares



d) (0, 21)

285 pom9_276_288_gab.indd 285

05/06/2015 17:15

7. a) 3 b) 21 c) (0,5; 0) d) (0, 21) e) f(x) 5 2x 2 1 8. a) Decrescente. b) Não. c) (2, 0) d) (0, 4)

Página 240 Agora é com você 1.

a) Q 5 2,90x b) Duplica também. c) P 5 1,80y d) Duplica também.

Função

a

y 5 2x 2 2 4x 2 10

2

y 5 x 2 1 3x

1

a) V 5 0,35x b) V 5 R$ 35,00 c) V 5 0,525x d) V 5 R$ 157,50

Página 225 Superando desafios 1. a 2. c 3. e

y 5 29x 2 1 15x

0,5

0

22,4

para cima

2. a) 210 b) Concavidade voltada para cima. c) 64 3. x 5 0 ou x 5 8 b) x 5 23 ou x 5 3 c) x 5 1 ou x 5 6 d) x 5 0 ou x 5 10 e) x52 f ) A função não tem zeros.

c) Zero.

7. c



d) Sim.



e) Para 1 , x ,5.

7. a) (23, 0) e (1, 0) b) yV 5 24 c) xV 5 21 d) Obtendo a média aritmética entre os zeros da função quadrática.

Página 251 Agora é com você 1. a) xV 5 21 b) yV 5 2 6 c) Assume mínimo. 2. a) (5, 25) b) Um valor mínimo. c) 25 3. a) xV 5 3 b) yV 5 3 c) Um valor máximo.

7. a) Concavidade voltada para cima. b) (22, 0) e (2, 0) c) (0, 24)

6. a) 5 2 x b) A 5 x(5 2 x) c) x 5 2,50 d) 6,25 cm2

8. a) Não. c) Em dois pontos.

13. d



d) Em dois pontos.

Página 233

9. A(x) 5 4x2 1 560x

Resgatando conteúdos

Página 246

8. b

6. a) Nenhum. b) (0, 23) c) xV 5 1 d) yV 5 22 e) Não. f ) Dois valores.

5. a) 1 segundo b) 0,5 segundo c) 0,75 m

b) 7,5 m

7. c

243 4

6. a) Concavidade voltada para baixo. b) (0, 0) e (4, 0) c) (0, 0)



6. c

c) yV 5

4. a) 20 m b) 500 m c) Cerca de 505 m.



5. c

5. a) x 5 0 ou x 5 9 b) xV 5 4,5

5. a) Nenhum. b) Nenhum. c) Qualquer valor real de x.

12. a) 95 °F b) 160 °C

4. a

para baixo

y 5 0,5x  2 2,4

6. e

3. b

0

para baixo

b) Zero.

2. d

para baixo

213



1. d

para cima

0



11. b

0

para cima

21

2

5. b

10.  Ao final do 24o dia as duas substâncias estarão com o mesmo nível.

3

29 15

4. a) Dois.

9. a) S 5 800 1 10x b) Será mais vantajoso um aumento na taxa de comissão.

24 210

y 5 2x  2 13 2

4. b

8. a) 80 1 50n e 60 1 55n b) A academia “Fique em Forma”. Ela cobra em 12 meses R$ 680,00, enquanto a outra academia cobra R$ 720,00.

c Concavidade

y 5 2 x 2 2 x 2 1 21 21 21

11. a) f(x) 5 x 1 1 b) 11 c) 29 12.

b

d) (0, 5)

4. a) V b) F c) V d) F e) V f ) V

Capítulo 24

9. Os valores de y são sempre iguais a um valor constante. 10.



Unidade 7

7. a) L 5 (x 2 10)(70 2 x) b) x 5 40 c) 900 unidades monetárias 8. a) R$ 2.300,00 b) 40 unidades c) R$ 1.400,00

Agora é com você

Página 253

1. a) 22 b) 4

Superando desafios

2. a) 2 b) 21

2. e

3. a) Apenas um. b) 3 c) 0

1. b 1 + 60 4x b) R$ 40,00

3. a) p 5 2

286 pom9_276_288_gab.indd 286

05/06/2015 17:15

4. a) 10 lugares vagos

6. a) 3 cm

1 5 5 b) 7 19 c) 35

2. a)

b) R$ 900,00 5. d 6. a) t = 4 segundos b) 8 metros

Página 258

3. a)

Resgatando conteúdos

b) 175 cm

3 b) 2

Página 273 Agora é com você 1. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 20

75 cm

1. b 4. a)

2. d 3. c 4. b

5.

5. a 6. b 7. d 8. c 9. a) y 5 5x2

b) y =

Unidade 8 Capítulo 25 Página 265 Agora é com você 1. x 5 8 cm 2. 61 2 30 3 cm 3. 109 cm 4. y 5 2 3 cm 1 5. a) 8 3 b) 4 6. 2 19 cm 7. x 5

112 cm

2. 10 cm

b) 304 cm

175 cm

8. a) Quando for 60°. b) 10 cm c) 7 cm

Página 267 Agora é com você

1 2 x 10

3. AC 5

1 8

5 1 2 2 cm

4. 100 2 m

6. 500 2 200 2 cm

5. a) 105°

7. a) 120°

b) x 5 100 2 m

7 cm b)

6. 4 u.c.

8. a) 5 cm b) 3 cm c) 3 cm

7. a) 3 cm b) 2 cm

3 5 7 cm, cm e cm 9. 2 2 2

Superando desafios

Capítulo 26

2. b

Página 274

Página 271

3. 70 m 4. a) 70 km b) 42 km

Agora é com você 1. a) 4 b) 4 c) 4

Página 275 Resgatando conteúdos

2. a) 2R  115 cm b) 74,3 cm c) 114 cm 3. a) 75° b) 3 c) y 5 1, 92

1. b

1. d 2. b 3. a 4. c

3

5. d 6. a

4. a) 50° b) 8,158 cm e 3,642 cm c) 5,325 cm 5. a) 18 2 cm

7. d 8. d 9. b

20 3 b) cm 3

1. 7 cm

287 pom9_276_288_gab.indd 287

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Referências Livros ALBRECHT, J. Resolução de problemas matemáticos: Uma abordagem metodológica da proposta educação para o pensar. São Paulo: Editora Clube dos Autores, s/d. ALMOULOUD, S. A.; SILVA, M. J. F. da. Engenharia Didática: evolução e diversidade. Florianópolis: Revemat – Revista Eletrônica de Educação Matemática. ISSN 1981-1322. v. 07, n. 2, p. 22-52, 2012. BAYÓN, M. I. V.; Saldaña, M. A. H.; Fernández, J. R.; Fernández, M. M.  Projeto de Inteligência Harvard:  resolução de problemas. Madrid: Ciencias de la Educación Preescolar y Especial (CEPE), s.d. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.  BROLEZZI, A. C. Criatividade e resolução de problemas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2013. COVER, Front.; MILIES, Francisco C. P.; COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática. São Paulo: Edusp, 2001. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997. GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010. MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado:  como o acaso determina nossa vida. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. OLIVEIRA, Ana Teresa de C. C. de. Reflexões sobre a aprendizagem da álgebra. SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Educação Matemática em Revista. Ano 9, n. 12, p. 35 – 39, jul. 2002. PETITTO, S. Projetos de trabalho em informática: desenvolvendo competências. Campinas: Papirus, 2003. ROQUE, Tatiana. História da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. SILVA, C. M. S. Explorando as operações aritméticas com recursos da história da Matemática. Brasília: Plano editora, 2003. SOUZA, Júlio César de Mello. Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record, 1998. 10ª ed. STEWART, Ian. Almanaque das Curiosidades Matemáticas. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. . Incríveis passatempos matemáticos. Tradução: Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. Periódico Boletim de Educação Matemática: Revista Bolema. Unesp. Disponível em: . Acesso em: maio 2015.

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Manual do

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

Professor

9

289 289 pom9_mp_289_290_especifica.indd 289

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Sumário 1. Apresentação............................................................................. 291

MANUAL DO PROFESSOR

2. Orientações didáticas e metodológicas.......................................... 292 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano)..........................................................292 2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental............................................................293 2.2.1 Números e operações ...........................................................................................295 2.2.2 Álgebra..................................................................................................................295 2.2.3 Geometria ............................................................................................................296 2.2.4 Grandezas e medidas ...........................................................................................297 2.2.5 Estatística e probabilidade ...................................................................................297 2.3 A postura do professor......................................................................................................299 2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas.............................................300 2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ..................................................300 2.4.2 Comunicação em Matemática...............................................................................300 2.5 Interdisciplinaridade ........................................................................................................301 2.6 Resolução de problemas .................................................................................................301 2.7 Avaliação .........................................................................................................................302 2.8 Recursos didáticos ..........................................................................................................302 2.8.1 Calculadora ..........................................................................................................303 2.8.2 Computador e internet .........................................................................................303 2.8.3 Softwares matemáticos ........................................................................................304 2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra .......................................................................304 2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor............................................306

3. Estrutura e organização do Projeto ............................................... 306 4. Quadros de conteúdos ................................................................. 309 5. Orientações didáticas do volume .................................................. 318 6. Referências ............................................................................... 382

290 pom9_mp_289_290_especifica.indd 290

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Cada educador matemático carrega consigo seus conhecimentos, valores e crenças sobre o processo de ensino e aprendizagem. Independentemente de nossos valores e crenças, não podemos deixar de observar o desenvolvimento e as transformações ocorridas na sociedade atual. Com um simples clique, os alunos têm a sua disposição uma enormidade de informações e podem, muitas vezes, acompanhar em tempo real o que acontece a milhares de quilômetros de distância de onde estão. Acreditamos que um de nossos desafios reside em “como” educar esse “homem tecnológico”, a fim de prepará-lo para atuar de forma consciente e autônoma nesta sociedade. Além disso, percebemos que na sociedade atual os motivos para se ensinar Matemática talvez não sejam simplesmente os transcendentais explicitados por Platão, e sim as necessidades práticas de poder entender e utilizar com proveito as tecnologias modernas, atuar de forma plena no campo do trabalho e nas inúmeras situações do cotidiano. Dessa forma, o sentido da Matemática deve ser um constante equilíbrio entre a Matemática Formativa e a Matemática Informativa; a primeira mais estável e a segunda mais mutável, percebendo-se, inclusive, o tempo, o lugar e a finalidade perseguida pelos alunos. Para tal, é imprescindível decidir os conteúdos e também a metodologia mais conveniente. Diante desses apontamentos, precisamos, como educadores, observar e compreender melhor as possíveis habilidades e capacidades propiciadas pelo dinamismo da sociedade informatizada e suas possíveis lacunas. É provável que nossos alunos percam em precisão de raciocínio e em capacidade para análises detalhadas de problemas, pois muitas vezes são obrigados a agir e tomar decisões muito rapidamente. No entanto, por haver facilidade de formulação dos problemas em programas calculáveis, por exemplo, não há

necessidade de economizar em número de operações, já que a velocidade das máquinas torna praticável o método do ensaio e do erro, no qual os alunos testam soluções até encontrar e ajustar o correto. Observando esses dois apontamentos, é possível perceber que é necessário um repensar constante, a fim de avaliar a forma e o procedimento mais adequados em cada uma das situações. Ao elaborarmos este Projeto, procuramos contemplar o equilíbrio citado e, para isso, foram idealizados diferentes momentos de aprendizagem que possibilitam a você, professor, e ao aluno explorações diversificadas e significativas que visam ao desenvolvimento integral de cada um. Ao longo deste Projeto, você encontrará: • pequenos textos e questões disponibilizados nas páginas de abertura, cujo objetivo é sondar o conhecimento que os alunos já têm sobre o tema e o conteúdo propostos na referida unidade. Sabemos o quanto é importante o conhecimento trazido por cada um deles para, com base nisso, desenvolver habilidades cognitivas; • sugestões de leitura e pesquisa nas quais os alunos são convidados a analisar dados e interpretá-los utilizando-se, inclusive, das novas tecnologias. Nossa sociedade precisa de cidadãos críticos e criativos, capazes de produzir conhecimento, e buscamos ajudá-los a alcançar esse desenvolvimento; • sugestões de trabalho para serem realizados em duplas ou pequenos grupos, propiciando a interação social entre os alunos. Essa dinâmica busca não só compartilhar e socializar conhecimentos como também favorecer o levantamento de hipóteses e estratégias, que é uma importante ferramenta para a construção do pensamento matemático; • conexões dos conteúdos de Matemática entre si e da Matemática com as demais disciplinas;

MANUAL DO PROFESSOR

1. Apresentação

291 291 pom9_mp_291_317_comum.indd 291

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• problemas rotineiros e não rotineiros. Acreditamos que quem determina o grau de desafio de um problema é quem o resolve. Dessa forma, inserimos ao longo da coleção uma diversidade de problemas para que eles vivenciem diferentes explorações. Salientamos que, além de resolver problemas, em determinados momentos os alunos são chamados a elaborá-los; • sugestões de trabalhos que envolvam o uso de materiais concretos, visando, além da manipulação, à teorização. Lembramos que neste momento é necessário um trabalho cuidadoso para que o material não assuma o principal papel no ensino e seja percebido como um instrumento facilitador da aprendizagem; • situações que apresentam e abordam a história da Matemática e a Etnomatemática e possibilitam a ampliação do olhar para a diversidade e a pluralidade cultural, enfatizando, inclusive, o respeito e a valorização das diferentes culturas.

MANUAL DO PROFESSOR

Esperamos que este manual possa servir de instrumento às suas discussões pedagógicas, auxiliando-o na elaboração de seus projetos educativos e no planejamento e avaliação de suas aulas de Matemática.

2. Orientações didáticas e metodológicas 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano) A proposta deste Projeto está fundamentada nos documentos oficiais que tratam da educação básica, tais como a Lei nº 9.394, que estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB); as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da

Educação Básica (DCNs); o Plano Nacional de Educação (PNE), aprovado pelo Congresso Nacional em 26 de junho de 2014, e o Plano Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (Pnaic) de 2014, além de pesquisas atuais sobre Educação Matemática. Conforme documento oficial elaborado pelo Ministério da Educação em 2013, o objetivo das Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica é orientar a organização, a articulação, o desenvolvimento e a avaliação das propostas pedagógicas de todas as redes de ensino brasileiras. A ideia explicitada nas DCNs é considerar o tempo escolar desde a infância até a juventude, ou seja, um tempo de aproximadamente 14 (catorze) anos. Tais diretrizes resultam de um amplo debate e visam tornar-se um instrumento efetivo para a reinvenção da educação brasileira e a construção de uma nação cada vez mais justa, solidária e capaz de desenvolver suas inúmeras potencialidades. Cabe ressaltar que os documentos oficiais descritos anteriormente também trazem à tona as discussões elucidadas na abertura deste manual, ou seja, retratam o cenário no qual se encontram o ensino e a aprendizagem da Matemática. Relatam, inclusive, o constante desafio de reverter um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significado para o aluno, em um ensino que torne os conhecimentos matemáticos acessíveis a todos (democratização do ensino da Matemática), e apresente a Matemática como um importante componente na construção da cidadania. [...] A Matemática é uma atividade humana, faz parte de nossa cultura, além de ser uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas, tanto os problemas do dia a dia que os indivíduos enfrentam nas suas tarefas cotidianas, como os mais complexos que aparecem em atividades profissionais e científicas. Porém, a Matemática tem muitos aspectos e níveis de complexidade que devemos considerar quando organizamos seu ensino, passando das atividades lúdicas

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2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental Conforme explicitado nas Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica, é importante, além de fazer uma criteriosa seleção de saberes em termos de quantidade, pertinência e relevância, equilibrar a distribuição desses ao longo dos anos escolares. Sabemos que fazer essas escolhas não é tarefa simples e requer um olhar amplo e, ao mesmo tempo, focado, para atender às demandas particulares de cada grupo escolar com os quais trabalhamos. É importante salientar que nós, os idealizadores deste projeto, também tivemos de fazer escolhas e, como mencionado anteriormente, buscamos realizar uma criteriosa seleção de conteúdos e atividades. Neste momento, convidamos você, professor, a percorrer conosco esse caminho para torná-lo mais significativo aos alunos. Sabemos que, além de ter o domínio do conteúdo essencial, é importante ter informações sobre a história dos alunos e saber quais conhecimentos prévios eles trazem, além de saber de que forma conseguem resolver problemas que envolvem conteúdos matemáticos. Para ampliar essa discussão, trazemos mais algumas ponderações a respeito da seleção e organização dos conteúdos. A primeira delas diz respeito à potencialidade de cada conteúdo, ou seja, cada conteúdo deve ser selecionado levando-se em consideração seu potencial, seja instrumentalizar para vida, seja desenvolver o raciocínio. A segunda trata da organização dos conteúdos e, neste momento, o documento menciona que não é raro encontrar

uma forma excessivamente hierarquizada em que predomina a ideia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura lógica da Matemática que, por vezes, desconsidera as possibilidades de aprendizagem dos alunos. E, para finalizar esta reflexão sobre a seleção dos conteúdos e até a divisão em campos da Matemática ou eixos, reproduzimos duas citações que refletem a importância de propiciar aos alunos situações que os levem a estabelecer relações entre esses eixos ou campos. A fragmentação e o tratamento isolado de conteúdos é uma abordagem nociva para a aprendizagem de ideias, conceitos e procedimentos matemáticos. A exposição de tópicos desconectados contribui para que os alunos percam a noção do todo e, em consequência, do processo que caracteriza o desenvolvimento do pensamento matemático. O próprio termo “fragmento”, em sua origem etimológica, expressa isso. Fragmento: s. m. pedaço de coisa que se quebrou, cortou, rasgou, etc. (HOUAISS; et al. apud Pnaic, 2014). O contraponto a esta visão é uma Educação Matemática que valoriza as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Uma Matemática viva na qual os alunos são os sujeitos, problematizando, pondo coisas em relação e raciocinando. E studos indicam que, quando o aluno tem opor tunidade de relacionar ideias matemáticas, sua compreensão é mais profunda e duradoura (Pnaic, 2014, p. 26).

Ainda abordando a análise e seleção dos conteúdos e, consequentemente, o planejamento e replanejamento de ações pedagógicas, apresentamos a seguir as cinco competências elementares almejadas na educação básica, que foram descritas no referencial teórico do Enem e que estão destacadas na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008, p. 43).

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às aplicações práticas, sem perder de vista que também é uma ciência abstrata e, como tal, deve ser tratada no momento adequado, respeitando o desenvolvimento cognitivo das crianças (Pnaic, 2014, p. 6).

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• Competência I à capacidade de expressão em diferentes linguagens, incluídas a língua materna, a Matemática, as artes, entre outras; • C o m p e t ê n c i a I I à c a p a c i d a d e d e compreensão de fenômenos, que incluem desde a leitura de um texto até a “leitura” do mundo; • Competência III à capacidade de contextualizar, de enfrentar situações-problema, ficando implícita a valorização da imaginação, da necessária abstração quando se criam novos contextos; • Competência IV à capacidade de argumentar de modo consistente, de desenvolver o pensamento crítico; • Competência V à capacidade de decidir, após as análises argumentativas, e elaborar propostas de inter venção solidária na realidade.

Diante das competências citadas, é possível perceber que, em parceria com a língua materna, a Matemática se constitui em um:

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[...] recurso imprescindível para uma expressão rica, uma compreensão competente, uma argumentação correta, um enfrentamento asser tivo de situações-problema, uma contextualização significativa dos temas estudados e, simultaneamente, um exercício de imaginação que pode extrapolar os limites de qualquer contexto (SÃO PAULO, 2008, p. 44).

Para complementar nossa discussão sobre os conteúdos específicos, selecionamos alguns trechos que tratam dos cinco eixos ou campos da Matemática: Números e operações (Aritmética); Álgebra; Geometria; Grandezas e medidas; e Estatística e Probabilidade (Tratamento da Informação). Esses eixos foram retirados de uma das inúmeras propostas curriculares com o objetivo de despertar o olhar do professor para a existência desse importante documento elaborado pelas Secretarias de Educação. As propostas curriculares trazem alguns princípios orientadores que merecem especial atenção e estudo. Portanto, sugerimos que

cada educador faça uma seleção e estudo da proposta curricular de seu estado (se houver). A seguir apresentamos alguns trechos da Proposta Curricular do Estado de São Paulo: O trabalho com o eixo números tem por objetivo principal a ampliação da ideia do campo numérico por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade. [...] Espera-se, ao final da escolaridade fundamental, que o aluno reconheça e saiba operar no campo numérico real, o que constituirá a porta de entrada para aprofundamentos, sistematizações e o estabelecimento de novas relações no Ensino Médio. O estudo de sucessões numéricas, números irracionais e aproximações racionais usadas em problemas práticos, bem como a extensão do campo numérico para os complexos, constitui o mote central para o desenvolvimento do eixo números no Ensino Médio. (p. 45) Em geometria, o Ensino Fundamental deve ocupar-se inicialmente do reconhecimento e da representação e classificação das formas planas e espaciais, preferencialmente trabalhando em contextos concretos com as crianças de 5a a 6a série (6o e 7o anos), e com ênfase na articulação do raciocínio lógico-dedutivo nas 7a e 8a séries (8o e 9o anos). [...] A interpretação de que a geometria plana é um assunto do Ensino Fundamental e a espacial e analítica são do Ensino Médio é muito frequente em propostas curriculares, mas não traduz a necessidade permanente de imbricação de tais temas nos dois níveis de ensino. Em contrapartida a essa visão, entendemos que a geometria deve ser tratada ao longo de todos os anos, em abordagem espiralada, o que significa dizer que os grandes temas podem aparecer tanto nas séries do Ensino Fundamental quanto nas do Ensino Médio, sendo que a diferença será a escala de tratamento dada ao tema. (p. 45 e 46) O par gr andezas e medidas parece especialmente adequado para favorecer a interdisciplinar idade, e mesmo a transdisciplinaridade, uma vez que suas conexões com os eixos de números e geometria se dão quase naturalmente. (p. 46)

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2.2.1 Números e operações Conforme descrito no Pnaic (2014), no ensino da Matemática é importante valorizar as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Portanto, é fundamental propor aos alunos situações-problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e os significados das operações em diferentes contextos, inclusive, nos contextos da própria Matemática. Em toda a obra, buscou-se, em inúmeras passagens, explorar esse recurso pedagógico por meio da proposição de situações próximas ao cotidiano dos alunos, nas quais foram exigidas e desenvolvidas habilidades numéricas como as de classificar, ordenar, quantificar, medir, comparar e relacionar, que cooperam para a compreensão do sentido numérico, bem como o significado das quatro operações básicas. Por vezes, foram utilizados referenciais históricos para fomentar discussões em sala de aula, cuja proposta era a de prover recursos para a compreensão dos diferentes sistemas numéricos, suas regras e processo de formação. Como mencionado anteriormente, na perspectiva de explorar os campos operatórios, buscou-se sugerir tarefas individuais ou em grupo para fazer com que os alunos argumentem, levantem hipóteses e demonstrem as propriedades comutativa, distributiva, associativa e elemento neutro. Nesse sentido, procurou-se apresentar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), construindo o significado de cada uma delas.

Para o desenvolvimento do sentido numérico e dos significados das operações, procuramos apresentar a aplicação dos números naturais, inteiros e racionais (representação fracionária e decimal) em diferentes contextos, possibilitando o estudo reflexivo de cálculo exato e aproximado, mental e escrito. Buscou-se, por exemplo, estabelecer relação entre os números naturais por meio das noções de “ser múltiplo” e de “ser divisor de”. Para essa finalidade, foram propostas atividades em diferentes contextos. As formas de representação (decimal e fracionária) dos números racionais foram exploradas, bem como as regras operatórias dessas duas formas. Procurou-se também utilizar a reta numérica para representar os números racionais e suas diferentes apresentações. Foi sugerida, por exemplo, uma atividade em que o aluno deveria posicionar corretamente os números de acordo com sua posição na reta numérica. Assim, é possível explorar os conceitos de comparação (maior, menor e igual) e, consequentemente, o de ordenação. No segundo ciclo (8o e 9o anos), foi dada ênfase às operações de potenciação e radiciação. Na mesma perspectiva do ciclo anterior, foram propostas situações-problema em diferentes contextos para significar o uso dessas operações. Por exemplo, as potências de 10 são apresentadas como forma de representação para números muito grandes ou pequenos, cuja utilização é exigida em diversas áreas de conhecimento. Foram propostas diferentes técnicas para extração da raiz quadrada de um número, exata ou aproximada, bem como o uso de recursos tecnológicos, como a calculadora, para essa finalidade.

2.2.2 Álgebra Por meio de atividades que envolvem a identificação de padrões e regularidades para a criação de generalizações, buscou-se o desenvolvimento do pensamento algébrico durante os dois ciclos (6o ao 9o ano). De acordo

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Em relação ao tratamento da informação, [...] não faltam justificativas razoáveis para sua exploração ao longo das sete séries escolares (9 anos). Retomando uma vez mais nossa perspectiva de que os conteúdos disciplinares são meios para a formação dos alunos como cidadãos e como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao eixo argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da informação (p. 47).

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com Vale et al. (2006), a integração de tarefas de investigação com padrões no currículo da Matemática escolar assume um papel de destaque na abordagem da Álgebra. De forma gradual, a obra proporcionou a passagem do conhecimento aritmético para o algébrico, bem como a definição dos conceitos de incógnita, equação, variável e função. Além do papel desempenhado pela Álgebra no desenvolvimento do raciocínio lógico para resolução de situações-problema, foram propostas abordagens de fórmulas utilizadas em outras áreas de conhecimento e suas aplicações. Dessa forma, desperta-se o interesse dos alunos e eles compreendem a importância desse estudo. Diferentes formas de representação foram utilizadas para a construção do conhecimento algébrico, expressões, equações, tabelas, gráficos, representações geométricas e a conversão entre eles. Segundo Duval (2003), [...] a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar, a todo o momento, de registro de representação.

O que Duval salienta é que não é possível garantir a aprendizagem se o foco do ensino estiver apenas nos tratamentos.

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Ainda por Duval (1995) apud Almouloud (2010, p. 207), [...] para o sujeito aprender é necessário considerar seu modo de funcionamento cognitivo por meio da coordenação de registros de representação semiótica, e deve ser efetuada pelo menos uma conversão de dois registros de um objeto. [...], se num nível cognitivo o aluno conseguir realizar as mudanças de registros as mais variadas possíveis para um determinado objeto matemático, então aprenderá matemática.

Com base no que foi exposto até aqui, procuramos fundamentar o ensino da Álgebra na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval, na busca por padrões e generalidades com o objetivo de tornar

significativo o processo de ensino e aprendizagem desse domínio de conhecimento. Como meio pedagógico para o ensino da Álgebra, apoiamo-nos em recursos tecnológicos e lúdicos com a finalidade de atender a diversas expectativas dos alunos em sala de aula.

2.2.3 Geometria Como proposta inicial, com o objetivo de motivar o ensino e a aprendizagem da Geometria, buscou-se incentivar os alunos a observar o mundo real e sua relação com os objetos matemáticos estudados em sala de aula. É interessante levá-los a associar os temas abordados durante os estudos de espaço e forma com a realidade observada ao redor. A identificação desses elementos pode revelar ao aluno a relevância da Matemática para as diversas áreas do conhecimento. De acordo com a visão crítica formada com base nessas constatações, foram formuladas situações-problema usando a leitura de plantas, croquis, mapas e outros recursos, a fim de despertar o interesse dos alunos pelo estudo da Geometria e sua utilidade na solução de problemas reais. Os problemas formulados exigem conhecimentos matemáticos e numéricos para o cálculo de áreas, perímetros e comparação entre eles. A composição e a decomposição de figuras também foram exploradas como recurso para o cálculo de áreas. Por meio da confecção de materiais concretos, os alunos poderão desenvolver habilidades que cooperam para o domínio do conhecimento de espaço e forma. Para a confecção desses materiais utilizaram-se dobraduras, recortes e colagem, bem como instrumentos de construção, como esquadro, compasso e transferidor, o que contribui para o desenvolvimento de habilidades e o conhecimento de como devem manusear esses instrumentos. A manipulação dos materiais lúdicos nas versões bidimensionais e tridimensionais ajuda os alunos a explorar concretamente os

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Por vezes, tarefas exigem dos alunos a argumentação e o levantamento de hipóteses sobre as propriedades geométricas estudadas em diferentes objetos matemáticos, como polígonos, sólidos geométricos e figuras planas. Para isso, além dos objetos confeccionados, a obra propicia o uso da tecnologia ao sugerir softwares de geometria dinâmica. O uso de recursos tecnológicos favorece o estudo de conteúdos, por exemplo, semelhança entre triângulos, e a constatação de que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, pois a possibilidade de redução e ampliação do mesmo objeto matemático favorece a identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). A localização da posição de um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas é explorada de forma interdisciplinar ao propor o estudo das coordenadas geométricas para a localização de pontos no globo terrestre. Para todas as atividades foram exigidas a utilização de nomenclaturas de acordo com a linguagem formal da Matemática e a representação de unidades de medidas conforme a grandeza observada e suas conversões.

2.2.4 Grandezas e medidas No bloco “Grandezas e medidas”, destacam-se a relevância social desse tema e sua aplicação em diferentes áreas de conhecimento, inclusive, nos campos conceituais da própria Matemática, como descrito no Pnaic (2014). [...] Medidas é uma conexão natural entre números e geometria. As nossas crianças devem aprender a lidar, naturalmente, com situações de medição e as coisas que serão medidas devem ser pensadas de modo a levá-las a explorar e ampliar o seu domínio sobre os objetos e formas que são estudados no campo da Geometria (Pnaic, 2014, p. 35).

Em todos os conteúdos abordados foram exploradas habilidades que exigiam conhecimento sobre o bloco “grandezas e medidas”. Esse domínio de conhecimento não é exclusivo da Matemática. Expressar uma medida por meio de uma grandeza é necessário em várias áreas de conhecimento. Em diferentes momentos, buscou-se apresentar instrumentos de medição com diversos propósitos, enfatizando a respectiva grandeza e seus padrões de conversão. De forma crítica, procurou-se discutir o arredondamento de medidas, como aproximações para os valores de p, quando era necessário fazer o cálculo do comprimento de uma circunferência.

2.2.5 Estatística e Probabilidade

Objeto educacional digital

Nesta obra, abordam-se as noções de Estatística e Probabilidade situadas em contextos que propiciam a construção de uma visão crítica, cujo propósito é contribuir com a educação para a cidadania. Com essa proposta procurou-se desenvolver as três competências que norteiam as principais metas para o ensino da Estatística: a literacia estatística, o pensamento estatístico e o raciocínio estatístico. Pautamo-nos nas definições dessas competências, apresentadas pelos autores a seguir, a fim de traçar estratégias para seleção dos conteúdos e elaboração das atividades a serem desenvolvidas para o ensino da Estatística. Garfield (1999) define a literacia estatística como sendo o entendimento da linguagem estatística, ou seja, sua terminologia, símbolos e termos, a habilidade de interpretar gráficos e tabelas, de entender as informações estatísticas que estão nos jornais e outras mídias. De acordo com Mallows (1998) apud Campos (2007, p. 53), o pensamento estatístico pode ser inicialmente imaginado como: [...] sendo a capacidade de relacionar dados quantitativos com situações concretas, admitindo a presença da variabilidade e da incerteza, explicitando o que os dados podem

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conteúdos teóricos estudados, como planificações, relação entre número de faces, vértices e arestas, e outras propriedades geométricas.

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dizer sobre o problema em foco. O pensamento estatístico ocorre quando os modelos matemáticos são associados à natureza contextual do problema em questão, ou seja, quando surge a identificação da situação analisada e se faz uma escolha adequada das ferramentas estatísticas necessárias para sua descrição e interpretação.

identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

De acordo com Garfield (2002) apud Campos (2007, p. 56), o raciocínio estatístico pode ser definido como:

Sobre a presença da Estatística no cotidiano, Campos (2007, p. 122) afirma que:

[...] a maneira com a qual uma pessoa raciocina com ideias estatísticas e faz sentido (make sense) com as informações estatísticas. Isso envolve fazer interpretações sobre dados, representações gráficas, construção de tabelas etc. Em muitos casos, o raciocínio estatístico envolve ideias de variabilidade, distribuição, chance, incerteza, aleatoriedade, probabilidade, amostr agem, testes de hipóteses, o que leva a interpretações e inferências acerca dos resultados. A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo, embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade. Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia a dia. Além disso, calcular algumas medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem

A Estatística é pródiga em aplicação de seus conteúdos na vida real. Vivemos cercados de números, de estatísticas, vivemos um constante exercício de comparação, somos permeados de índices que nos acompanham desde a infância, desde o garoto que constrói estatísticas (mesmo que mentalmente) de seu desempenho como artilheiro de futebol ou cestinha do time de basquete ao adulto que precisa decidir por uma ou outra forma de investimento, desde o trabalhador que precisa lutar por índices de reajuste salarial e que vive às voltas com alíquotas de imposto de renda à dona de casa que precisa administrar o orçamento familiar e ficar atenta aos reajustes dos preços dos bens e serviços que consome. Os jornais diários são ricos em gráficos, índices e análises comparativas de todas as espécies. Os profissionais dos mais diversos ramos utilizam a Estatística em seu trabalho, desde médicos, psicólogos, esportistas, até técnicos de nível médio.

As atividades propostas buscaram desenvolver habilidades de coleta e organização dos dados, e ainda suas diferentes representações gráficas, bem como sua interpretação. Os conceitos de moda, média e mediana foram abordados de forma a ir além de sua definição como algoritmos, ou seja, como elementos para interpretar os dados estatísticos. Os conceitos sobre probabilidade foram introduzidos como raciocínio de incerteza, com o propósito de levar os alunos a entender e usar as ideias de chance e aleatoriedade para julgar eventos, como simulações com moedas ou diagramas de árvore, que ajudam a interpretar diferentes situações.

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2.3 A postura do professor Ao longo deste manual, pudemos refletir sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática e ainda apresentar algumas escolhas e proposições desta coleção. Sabemos o quão delicado é refletir sobre a postura do professor, mas também sabemos que, sem essa reflexão, todas as intenções, os estudos e as reflexões ficam esvaziados de sentido. [...] Para trabalhar a Matemática de maneira alternativa é necessário acreditar que de fato o processo de aprendizagem da Matemática se baseia na ação do aluno em resolução de problemas, em investigações e explorações dinâmicas de situações que o intrigam [...]. (D’Ambrósio, 1993, p. 38).

Além dessa citação, gostaríamos de acrescentar uma contribuição que acreditamos ser de grande valia para esta discussão. Yves Chevallard (2005) apresenta o conceito de transposição didática e discute de forma aprofundada o papel do professor nesse processo. Segundo ele, o professor deve operar uma transposição didática do saber (que surge da pesquisa) ao saber ensinado (aquele que se pratica em sala de aula). Acrescenta à esta discussão todo o cenário no qual se dá esse processo, inclusive, o ambiente social mais amplo. Podemos perceber, portanto, que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo, que precisa de inúmeras mediações e dos três polos sempre juntos: o professor, o saber e o aluno. Chevallard (1991), ao falar sobre o “saber”, menciona que ele foi transformado em “substância” e que, embora esteja materializado em livros ou máquinas, é “objetivado” somente pela atividade de troca

crítica entre os seres humanos. Segundo ele, o saber não está nos livros, e sim na compreensão do livro. Diante dessas colocações, fica claro o papel do livro didático como uma importante ferramenta para o aluno e para o professor. Como pudemos ver, é importante que o professor reconheça as principais características da Matemática, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações e ainda conheça a história de vida de seus alunos e tenha clareza de suas próprias crenças e concepções a respeito da Matemática, seu ensino e sua aprendizagem, pois sabemos que nossas escolhas e práticas pedagógicas estão intimamente ligadas a essas concepções e crenças. Como educadores, devemos ter em mente que os alunos interpretam termos e conceitos de maneira original, que, em geral, não correspondem ao que esperamos. Por isso, precisamos ser claros sobre o que de fato desejamos. Além disso, ao contrário do que se possa pensar, o trabalho do professor e seu real papel não perdem importância. O professor passa a ter outras funções, que descrevemos a seguir. • Organizador da aprendizagem: o professor deve, além de conhecer as reais condições socioculturais dos alunos, ter em mente as expectativas deles. Um ponto importante nessa função é a escolha de situações e problemas que possibilitarão a construção do conhecimento. • Consultor do processo: cabe ao professor fornecer informações necessárias para que o aluno, com autonomia, construa o conhecimento. • Mediador: deve promover as condições para que haja a intervenção de cada aluno, a fim de que ele exponha sua solução, questione, quando necessário, e conteste, se for o caso. • Controlador e incentivador: o professor deve estabelecer condições e prazos

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Em resumo, procurou-se desenvolver uma educação matemática crítica, proporcionando, além da habilidade de lidar com noções matemáticas, a habilidade de aplicar essas noções em diferentes contextos e a capacidade de refletir sobre suas aplicações, exercendo uma postura crítica, desenvolvida com base no diálogo e que favorece uma aprendizagem significativa.

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para a realização das atividades, sem se esquecer de dar o tempo necessário aos alunos. Quanto ao papel de incentivador da aprendizagem, ele deve estimular a cooperação entre os alunos. A “sala de aula” se torna, portanto, um importante ambiente de aprendizagem. O Pnaic (2014) nos oferece uma reflexão sobre este espaço formativo. [...] a sala de aula deve ser vista como um ambiente de aprendizagem pautado no diálogo, nas interações, na comunicação de ideias, na mediação do professor e, principalmente, na intencionalidade pedagógica para ensinar de forma a ampliar as possibilidades das aprendizagens discentes e docentes. Tal intencionalidade requer um planejamento consistente do professor, uma sala de aula concebida como uma comunidade de aprendizagem e uma avaliação processual e contínua do progresso dos alunos, bem como dos vários fatores intervenientes no processo como: a prática do professor, o material e a metodologia utilizados, dentre outros (Pnaic, 2014, p. 5).

2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas

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2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática

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Sabemos que a escrita é um dos recursos básicos de comunicação nas aulas de Matemática e, para tal, utilizamos a língua materna. Mas, muito mais do que simplesmente ser utilizada para decodificar os enunciados das atividades, a língua materna facilita a interpretação do que se ouve, ou seja, serve de suporte para a troca de informações. Segundo Fonseca (2013, p. 9): As práticas sociais envolvendo quantificação, medição, or ientação, ordenação ou classificação compõem os modos de usar a língua escrita e são por eles constituídas, não só porque representações matemáticas aparecem nos textos escritos ou porque

nossa herança cultural nos legou modos escritos de fazer Matemática, mas porque a própria cultura escrita, que permeia e constitui as práticas matemáticas das sociedades grafocêntricas, é, em geral, permeada também por princípios calcados numa mesma racionalidade, que forja ou parametriza essas práticas matemáticas e que é por elas reforçada.

Cândido apud Smole (2001, p. 17) diz que: [...] a tarefa do professor em relação à linguagem matemática deve desdobrar-se em duas direções; na direção do trabalho com os processos de escrita e representação, sobre a elaboração dos símbolos, sobre o esclarecimento das regras e em segundo, em direção ao trabalho sobre o desenvolvimento de habilidades de raciocínio que se inicia com o apoio da linguagem oral e, com o tempo, incorpora a esta os textos e as representações mais elaboradas.

Neste projeto, inúmeras vezes o aluno é convidado a contar para os colegas suas hipóteses e percursos. Acreditamos que a oralidade, no início, ajuda o aluno a demonstrar toda a complexidade do que foi pensado.

2.4.2 Comunicação em Matemática Anteriormente, trouxemos a fala de Chevallard (1991) para nos ajudar a refletir sobre o papel do professor no processo de ensino e também de aprendizagem da Matemática. Um dos pontos essenciais descritos na fala do autor foi a construção do saber. Segundo ele, “o saber” é “objetivado” somente pela atividade de troca crítica entre os seres humanos, assim a comunicação se torna essencial para a aprendizagem matemática. Mas o que entendemos por comunicação? Como ocorre essa comunicação nas aulas de Matemática? Acreditamos que tentar responder a essas indagações nos possibilitará, inclusive, desvelar concepções e crenças sobre esse assunto. Cândido apud Smole (2001) diz que a comunicação tem um papel fundamental nas aulas de Matemática, pois ajuda os alunos a

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2.5 Interdisciplinaridade

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A aprendizagem está intimamente ligada à habilidade de compreensão e, dessa forma, aprender o significado de um objeto pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos. Como garantir, portanto, a aprendizagem em um ambiente no qual os conteúdos são compartimentados e estanques e apresentados em uma sucessão rígida e linear? Será possível estabelecer relações e conexões? A construção dos significados feita pelo aluno será resultado das conexões que ele conseguiu estabelecer entre a Matemática e as demais disciplinas, entre a Matemática e

seu cotidiano e entre os próprios conteúdos matemáticos. Pensando nisso, trouxemos para a coleção entrevistas com profissionais de diferentes áreas, pesquisas e atividades que incentivam a percepção de como o mesmo conteúdo é abordado por outras disciplinas e contextos, e momentos de socialização em que há o estímulo para que os alunos expressem as relações apreendidas e, junto com os colegas, percebam e estabeleçam novas relações e conexões.

2.6 Resolução de problemas

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O que é um problema? Quais são os principais tipos de problema? Quais são as principais formas de trabalhar com a resolução de problemas em sala de aula? Iniciamos este subitem propondo aos educadores que respondam a esses questionamentos. Provavelmente, veremos que não há apenas uma resposta possível, e nossa intenção aqui não é classificar as respostas como certas ou erradas, verdadeiras ou falsas. Gostaríamos apenas de trazer algumas reflexões que julgamos fundamentais. Vamos relembrar alguns pontos importantes. Vimos anteriormente que o “resolvedor” do problema é o grande responsável por dimensioná-lo, ou seja, o tamanho do desafio dependerá da pessoa que o está resolvendo. O que pode ser problema para uma pessoa pode não ser para outra. Uma condição imprescindível é que essa pessoa sinta vontade de encontrar uma solução para o problema e não tenha, de imediato, caminhos óbvios a seguir. É importante que esse indivíduo pare para pensar e buscar ideias, pois, se ele resolver o problema ofertado com precisão e rapidez, isso não lhe representará um desafio. Não podemos deixar de mencionar que situações em que os alunos resolvem os problemas utilizando processos automáticos, muitas

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construírem um vínculo entre suas noções informais e intuitivas e a linguagem abstrata e simbólica da Matemática. Segundo ela, se os alunos forem encorajados a se comunicar matematicamente com os colegas, o professor e até mesmo os pais, terão a oportunidade de explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre o mesmo assunto. A comunicação será, portanto, um recurso que permitirá ao aluno estabelecer conexões entre suas concepções espontâneas e o que está aprendendo de novo, promovendo assim uma aprendizagem significativa. Neste projeto, professor e alunos encontrarão diferentes situações cujo princípio é estimular e favorecer a comunicação nas aulas de Matemática. Por meio delas, os alunos são encorajados a explorar individualmente ou em parceria uma grande diversidade de ideias matemáticas não apenas numéricas como também as relativas à Geometria, às medidas e às noções estatísticas. Em nossas propostas, eles são convidados a descrever suas observações, justificar suas soluções ou estratégias de resolução e ainda registrar seus pensamentos e aprendizagens. Cada uma dessas ações certamente os ajudará a esclarecer, refinar e organizar pensamentos, fazendo com que se apropriem tanto dos conhecimentos específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo.

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vezes o processo “siga o modelo”, não serão por nós consideradas problemas. Acreditamos que a prática de resolução de problemas oferece aos alunos a oportunidade de “fazer Matemática”, ou seja, de desenvolver habilidades de construção e reconstrução de propriedades matemáticas, bem como comunicar ideias, resultados e experiências. Um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas foi George Polya (1994). Em sua publicação A arte de resolver problemas , apresenta um modelo teórico em que classifica as etapas que ocorrem na resolução de um problema, que são: compreensão do problema, elaboração de um plano para resolução, execução do plano e a última fase foi por ele chamada de retrospecto ou exame da solução produzida. Nesta obra, também são identificadas tipologias de procedimentos (analogia, observação, experimentação e indução) e de problemas (determinação e demonstração).

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Pensando na importância da resolução de problemas nas aulas de Matemática e na necessidade de oferecer aos alunos uma diversidade deles, foram inseridos ao longo dos volumes problemas tidos como não rotineiros, entre eles, alguns com excesso de dados, sem solução, com mais de uma solução possível, com falta de dados etc. Cabe salientar que em momento algum dissemos que o treino do algoritmo e a fixação do conteúdo sejam prejudiciais à criatividade do aluno. Acreditamos que o problema reside em ficar apenas nisso, e não avançar para outras atividades como as sugeridas anteriormente.

2.7 Avaliação Mudanças nos objetivos de ensino e nos procedimentos metodológicos implicam mudanças na avaliação. Parece simples, mas será que toda essa simplicidade pode ser facilmente observada na prática? Que informações as avaliações fornecem ao professor? Um dado numérico?

Nossa primeira reflexão está pautada na obtenção de dados sobre as competências dos alunos. Muitas vezes, as avaliações fornecem ao professor informações restritas, deixando de lado importantes dados, por exemplo, saber se os alunos utilizam adequadamente a linguagem matemática para comunicar ideias ou ainda obter informações sobre as competências de cada aluno para resolver problemas. Acreditamos que as avaliações devem contemplar também as explicações, justificativas e argumentações, e estas poderão ser realizadas por meio da escrita de pequenos textos ou da linguagem oral. Ao longo do projeto, será possível encontrar situações nas quais os alunos são convidados a “falar”, “argumentar” e “justificar”. Esses momentos poderão servir, inclusive, para a captação desses dados. Diante desses apontamentos, é perceptível a necessidade do planejamento. Uma avaliação precisa ser planejada com o máximo de cuidado prevendo-se, inclusive, os possíveis tipos de interpretação e solução dos alunos. Para isso, é sugerido ao professor que, no momento da elaboração das avaliações, ele faça algumas perguntas, como: De que forma meu aluno poderá tentar resolver este problema? O enunciado está claro? Que tipos de resposta poderão aparecer? Qual será o tempo utilizado para resolvê-lo? O que estou tentando verificar com esta questão?

2.8 Recursos didáticos

Objeto educacional digital

Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita). Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão – em última instância, à base da atividade matemática.

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Entendemos que a escola desempenha um papel decisivo na formação dos cidadãos e, nesse sentido, deve incorporar e adequar-se às inovações tecnológicas do mundo real, contribuindo para a formação de pessoas preparadas para atuar com igualdade de participação na vida em sociedade. Nessa perspectiva, de acordo com Guinther (2009, p. 69), A sociedade atual exige cada vez mais o desenvolvimento de competências em todas as áreas da atividade humana e a escola pode contribuir muito com esse desenvolvimento oferecendo uma educação de qualidade que forme um indivíduo consciente, aberto à aprendizagem e capaz de utilizar as tecnologias que s ão coloc adas à sua disposição. [...] A utilização da calculadora em sala de aula deve ser bem planejada, tendo um conhecimento prévio de suas possibilidades e limitações. Os alunos devem saber por que as atividades serão desenvolvidas com o uso dessa ferramenta e com quais objetivos.

propostas sugeridas nesta obra. Você pode também buscar caminhos alternativos e formas inovadoras de inserir o uso da calculadora em sala de aula e explorar seus recursos e possibilidades, contribuindo para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

2.8.2 Computador e internet Nos últimos anos, é inegável a presença dos computadores no cotidiano das pessoas. Seu uso não é mais uma alternativa, e sim uma necessidade para a participação nas diversas atividades humanas. A escola, como interface dessas transformações, deve buscar alternativas para inserir os alunos nesse contexto, desempenhando seu papel mediador para a inclusão digital. Já é significativo o número de escolas que contam com esse recurso para uso no ambiente escolar como instrumento de apoio pedagógico. De acordo com o Pnaic (2014, p. 5), [...] o jogo1 pode propiciar a construção de conhecimentos novos, um aprofundamento do que foi trabalhado ou ainda a revisão de conceitos já aprendidos, servindo como um momento de avaliação processual pelo professor e de autoavaliação pelo aluno. Trabalhado de forma adequada, além dos conceitos, o jogo possibilita aos alunos desenvolver a capacidade de organização, análise, reflexão e argumentação, uma série de atitudes como: aprender a ganhar e a lidar com o perder, aprender a trabalhar em equipe, respeitar regras, entre outras. No entanto, para que o ato de jogar na sala de aula se caracterize como uma metodologia que favoreça a aprendizagem, o papel do professor é essencial. Sem a intencionalidade pedagógica do professor, corre-se o risco de se utilizar o jogo sem explorar seus aspectos educativos, perdendo grande parte de sua potencialidade.

Sendo a calculadora um dos recursos tecnológicos presentes nas diferentes atividades da população, julgamos importante introduzir esse recurso como uma proposta pedagógica auxiliar no processo de ensino e aprendizagem da Matemática nos dois ciclos (6o ao 9o ano). Do ponto de vista didático, o uso orientado da calculadora, de acordo com Carvalho e Lima (2002), contribui para a compreensão, o desenvolvimento de diferentes formas de raciocínio e a resolução de problemas. Procuramos sugerir, ao longo da obra, o uso da calculadora como incentivo a experimentações, quando a aplicação de cálculos mais complexos e sua resolução não forem o foco do estudo, possibilitando verificações e formulações de novas conjecturas, bem como a descoberta de novos conceitos. Cabe a você, professor, avaliar qual é a melhor forma de utilizar e adaptar as

Além dos jogos, não podemos esquecer

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2.8.1 Calculadora

Utilizamos a palavra jogo para referenciar até mesmo jogos disponibilizados em softwares.

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que o computador possibilita acesso a informações de diversas áreas, transpondo as barreiras físicas por meio da internet. O advento da internet gerou fortes impactos em diversas áreas de atuação profissional. As novas formas de produção, divulgação e armazenamento de conhecimentos e informações são possíveis pela interconexão dos computadores mundiais, que tem provocado profundas rupturas nos processos pedagógicos tradicionais. A respeito dos novos rumos da educação, Lévy (1999, p. 172) afirma: A grande questão da cibercultura [...] é a transição de uma educação e uma formação estritamente institucionalizadas (a escola, a universidade) para uma situação de troca generalizada dos saberes, o ensino da sociedade por ela mesma, do reconhecimento autogerenciado, móvel e contextual das competências.

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Julgamos importante que o professor estimule o uso consciente da internet, bem como um olhar crítico para as informações obtidas por meio desse recurso, por isso, é importante que você sugira aos alunos a busca de informações em fontes seguras, por exemplo, instituições de estudos reconhecidas, centros de pesquisas, universidades ou instituições reconhecidas como especialistas em determinado assunto, para assegurar e garantir a confiabilidade dos dados obtidos. O papel do professor como orientador não se limita a incentivar um olhar crítico para a origem das fontes pesquisadas. é necessário propor ainda atividades com base nos conteúdos obtidos, levando os alunos a interpretar tais informações, estimulando a leitura e a análise desses conteúdos e propondo sua interpretação, discussão e debate em sala de aula, ou seja, eles não podem se limitar à reescrita por meio de recursos como o de “copiar e colar as informações que encontraram.

2.8.3 Softwares matemáticos Conforme já abordado, o bom uso do computador em sala de aula também depende da

escolha de softwares, que deve estar de acordo com os objetivos que se pretende alcançar e a concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo. Como proposta auxiliar para o ensino e a aprendizagem da Matemática, sugerimos atividades com o uso de diferentes softwares voltados a essa temática, como os de Geometria Dinâmica e Álgebra, as planilhas eletrônicas e outros aplicativos disponíveis on-line2 e off-line3. É significativo o número de contribuições que o uso de softwares oferece para o ensino e a aprendizagem da Matemática, já que é um recurso visual capaz de validar as propriedades estudadas em sala de aula. Julgamos importante avaliar as possibilidades experimentais disponíveis nesses softwares e sua contribuição para a elaboração de conjecturas, bem como sua verificação pelos alunos. No que se refere à investigação matemática, Zulatto (2002) afirma que ela é apontada como uma das principais potencialidades dos softwares. No bloco “Estatística e Probabilidade” e na resolução de situações-problema, a construção de gráficos e tabelas é um recurso necessário para a organização e análise dos dados, e o uso de planilhas eletrônicas pode incentivar e facilitar esse estudo. Antes do início da utilização dos softwares em sala de aula, ou seja, antes de utilizá-los como ferramenta de ensino, julgamos interessante uma exploração prévia dos recursos disponíveis em cada um deles. Além da sugestão de softwares direcionados ao ensino e à aprendizagem dos tópicos abordados, apresentamos alguns de seus recursos com orientações passo a passo para o uso adequado.

2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra O governo federal tem adotado medidas de enriquecimento e ampliação de acervos Requer acesso à internet.

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Não requer o uso da internet.

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Obras literárias de variados gêneros têm sido distribuídas, propiciando ao aluno o acesso democrático à leitura e à informação, que contribuem para sua formação crítica e o exercício da cidadania.

Aproveite a situação explorada na obra para propor uma pesquisa sobre as influências e contribuições dos gregos para a Matemática. Cite, como exemplo, os nomes Pitágoras, Euclides e Arquimedes, para auxiliá-los nesse trabalho. Peça que coletem, também, informações sobre a vida deles, os lugares onde viviam, o que estudavam, entre outros detalhes. Pode-se, ainda, criar um laço com a disciplina de História.

Indicamos a seguir alguns livros paradidáticos que podem ser encontrados nas bibliotecas da escola. Esses títulos possibilitam o trabalho com leitura e o desenvolvimento de atividades com abordagens interdisciplinares.

Contos e lendas da Amazônia, de Reginaldo Prandi. São Paulo: Cia das Letras, 2011.

Tá falando grego? Tá falando Grego?, de Ricardo Hofstetter. Rio de Janeiro: Editora Rocco, 2012. O livro conta a história de três adolescentes que, depois de resolverem equações do

A distância das coisas, de Flávio Carneiro. São Paulo: Edições SM, 2008. A obra conta a história de Pedro, um adolescente de 14 anos que, órfão do pai, recebe a notícia de que sua mãe morreu em um acidente de carro. Porém, o restante da família impede o garoto de acompanhar o velório. Desconfiado, ele vai atrás dos fatos para descobrir se realmente sua progenitora faleceu. Uma das lições que o personagem principal compartilha com o leitor é que é preciso comparar sempre, para não perder o sentido das coisas, e não esquecer como é relativa a distância das coisas. São por meio de metáforas desse tipo que o enredo se conecta à Matemática. Para ir além dessas explorações, peça aos alunos que elenquem situações em que precisamos medir distâncias. Comente sobre a importância das estimativas e da criação de um sistema de unidades padronizadas.

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Essa obra também possibilita trabalho interdisciplinar com História, Geografia e Língua Portuguesa.

A distância das coisas

Edições SM

Cia das Letras

Contos e lendas da Amazônia

Este livro apresenta 25 contos sobre a Amazônia, que envolvem animais, plantas e histórias sobre coragem, todos com um principal objetivo: incentivar a preservação dessa floresta. Converse com os alunos sobre essa atitude importante e, depois, oriente-os a fazer um levantamento sobre informações do local, indicando, por exemplo, quais espécies de animais e plantas vivem na região. Dados sobre educação e saúde da população que reside nessa área também podem ser coletados. Por fim, peça que apresentem os resultados obtidos em forma de gráficos e tabelas.

Editora Rocco

1º grau encontradas num livro enigmático e antigo, acabam “presos” no passado. Nessa viagem, eles vão parar na Grécia Antiga, e lá conhecem o filósofo Sócrates.

de bibliotecas de escolas públicas, com o objetivo de oferecer materiais de apoio à educação dos alunos e à prática docente.

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2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor Trazemos a seguir algumas sugestões de sites e livros que poderão ampliar as temáticas e reflexões principiadas neste manual. Sugestões de livros: • Aprendizagem em Matemática, de Silvia Dias Alcântara Machado. Campinas: Editora Papirus, 2003. • A arte de resolver problemas, de George Polya. São Paulo: Editora Interciência, 1995. • Introdução ao estudo das situações didáticas – conteúdo e métodos de ensino, de Guy Brousseau. São Paulo: Editora Ática, 2008. • Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática, de Kátia Cristina Stocco Smole e Maria Ignez Diniz (Org.). Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. • Recontextualização e transposição didática, de Miriam Soares Leite. Araraquara: Editora Junqueira&Marin, 2007.

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• Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais , de Raymond Duval. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. (Coleção Contexto da Ciência). Sugestões de sites (acessos em: abr. 2015): • Ministério da Educação: . • Sociedade Brasileira de Educação Matemática: . • Sociedade Brasileira de Matemática: . • Educação Matemática e Tecnologia Informática: .

3. Estrutura e organização do Projeto Cada um dos quatro livros deste Projeto está dividido em unidades. Cada unidade, por sua vez, está organizada em capítulos. Os livros do primeiro ciclo (6º e 7º anos) contêm sete unidades e os livros do segundo ciclo (8º e 9º anos), oito unidades. Na abertura de cada unidade, os alunos encontrarão um pequeno texto que os despertará para o assunto a ser desenvolvido e, junto com ele, questionamentos que propiciam reflexões sobre o conteúdo a ser trabalhado e questões para conduzir uma pequena discussão. Descrevemos a seguir as seções existentes nos volumes da coleção e lembramos que algumas delas serão fixas, ou seja, aparecerão em todas as unidades e volumes, e outras estarão distribuídas de forma aleatória ao longo dos volumes. Junto com a descrição das seções, você encontrará um breve resumo com as informações sobre a intencionalidade idealizada para cada uma dessas seções.

Agora é com você Nessa seção são propostas atividades de exploração, averiguação e sistematização. Esse é um importante momento para o aluno colocar em prática o que aprendeu ao longo da unidade.

Trabalho em EQUIPE Algumas atividades são elaboradas para o trabalho coletivo. Nessa seção, deseja-se que os alunos cooperem entre si na busca de solução para as situações propostas. Além disso, espera-se que os alunos consigam adquirir o hábito de expressar o próprio pensamento, compreender o pensamento do

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Bagagem cultural Aqui são apresentados textos e imagens sobre curiosidades por meio das quais os alunos perceberão a Matemática em outros contextos, que relacionam conteúdos de duas ou mais disciplinas. Assim, esperamos que eles passem a ver a Matemática não mais de forma isolada, e sim dinâmica, ou seja, presente em outras áreas do conhecimento.

Diversificando linguagens A disciplina de Matemática tem linguagem própria, símbolos, formas e representações peculiares. Por sua vez, revistas e jornais – em geral, presentes na vida dos alunos – apresentam diversidade no tratamento de informações. Ao propormos algumas atividades com tirinhas ou mesmo diagramas de palavras, por exemplo, queremos evidenciar também os conteúdos e as situações matemáticas que são apresentados por essas formas de expressão. Do aluno, em tais momentos, é exigida a interpretação e a compreensão do que a tirinha ou o diagrama apresenta.

Conexões Essa seção é reservada para a história dos conteúdos e dos personagens que os construí­ram, para explorar curiosidades que envolvam a Matemática e para a leitura de textos de reflexão. Sugerimos que ela seja trabalhada coletivamente, a fim de que todos conheçam os aspectos relevantes que estão sendo apontados.

Matemática e Cidadania Nessa seção são apresentados textos amplamente ilustrados, que proporcionam leitura agradável e rica em informações, relacionando várias áreas do conhecimento. É uma oportunidade ímpar de ampliar o conhecimento dos alunos sobre a necessidade de aprender Matemática a fim de poderem interpretar e buscar soluções para situações diversas. Para exercer a cidadania, é adequado saber calcular, efetuar medidas, argumentar, raciocinar, compreender informações estatísticas e tomar decisões.

com a palavra, o ESPECIALISTA O conhecimento de qualquer disciplina ocorre também pelo contato com o trabalho de diversos profissionais. Experiências de vida, de trabalho e de estudo precisam ser transmitidas aos alunos como exemplos a serem seguidos e referências a serem consideradas. Essa seção amplia a visão de mundo dos alunos.

Explorando Depois que os conteúdos são desenvolvidos, o aluno encontra algumas referências de entretenimento – livros, filmes e sites – relacionadas aos assuntos abordados na unidade. Em cada referência, uma pequena resenha explica do que trata cada item. Explorar diferentes modos de abordagem de conteúdos matemáticos é uma forma de estimular a leitura, a visualização e até a brincadeira.

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outro, discutir possíveis e esperadas dúvidas e incorporar soluções alternativas, reestruturando e ampliando procedimentos adotados no enfrentamento de problemas diversos.

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Superando Desafios Uma das características do aluno do Ensino Fundamental II é o prazer de ser desafiado. Nessa seção, ele é convidado a ir além das atividades propostas no livro e resolver questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo. A Matemática representa um contexto rico de ideias, problemas diversos, desafios e enigmas instigantes que deixam o aluno diante de situações completamente diferentes e que exigem soluções muitas vezes inesperadas e extremamente criativas. Essa é uma maneira de valorizar a capacidade e as potencialidades dele.

RESGATANDO CONTEÚDOS

Tecla_matemática Nessa seção, os alunos terão a oportunidade de vivenciar a Matemática utilizando recursos tecnológicos. Por meio dessas explorações, eles terão mais possibilidades de construir o conhecimento, ganhando, inclusive, mais agilidade na realização de tarefas. Lembramos que as ferramentas sugeridas estão a serviço do conteúdo, ou seja, devem favorecer a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

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Sugerimos um grupo de atividades no final de cada unidade. A ideia é que, com a resolução dos exercícios, os alunos possam verificar, com autonomia, a compreensão

dos conteúdos apresentados na unidade. Esse é também um modo de relacionar os assuntos tratados separadamente nos capítulos. Sugerimos que as atividades sejam encaminhadas apenas após a conclusão da unidade. É importante também que os alunos sejam motivados a fazê-las e que organizem as resoluções no caderno, discutindo entre eles possíveis respostas antes da resolução coletiva.

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4. Quadros de conteúdos Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de Matemática.

6o ano UNIDADE

1. Números e sistemas de numeração

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Os números naturais

ƒƒ Números naturais ƒƒ Introdução histórica dos números ƒƒ Números naturais e sequências numéricas ƒƒ Números consecutivos ƒƒ Noções de conjuntos ƒƒ Conjunto dos números naturais

O uso dos números

ƒƒ Contagem, ordenação e códigos ƒƒ Valores monetários

Sistema de numeração decimal

ƒƒ Sistema de numeração decimal ou indo-arábico ƒƒ Noções de sistema de numeração posicional ƒƒ Antecessor e sucessor de um número natural ƒƒ Arredondamentos

Adição e subtração

ƒƒ Adição e subtração de números naturais ƒƒ Propriedades da adição de números naturais ƒƒ Expressões numéricas ƒƒ Cálculo mental

Multiplicação e divisão

ƒƒ Multiplicação e divisão de números naturais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números naturais e expressões numéricas ƒƒ Divisão com resto e expressões numéricas

Potenciação e radiciação

ƒƒ Noções de potenciação ƒƒ Noções de radiciação ƒƒ Expressões numéricas

Percebendo a Geometria

ƒƒ Noções iniciais de Geometria ƒƒ Introdução histórica do conhecimento geométrico ƒƒ Conceito de reta, semirreta e ponto ƒƒ Reconhecer figuras planas e não planas

Formas geométricas planas e não planas

ƒƒ Paralelepípedos ou bloco retangular ƒƒ Cubo ƒƒ Vistas de um objeto não plano ƒƒ Identificar formas geométricas planas

Divisibilidade e números primos

ƒƒ Noções de divisibilidade ƒƒ Números primos ƒƒ Critérios de divisibilidade

Divisores de um número natural

ƒƒ Divisores de um número natural ƒƒ Encontrar os divisores de um número pela decomposição em números primos ƒƒ Máximo divisor comum ƒƒ Reconhecer números primos ƒƒ Crivo de Eratóstenes ƒƒ Decomposição em fatores primos ƒƒ Estimativa

Múltiplos de um número natural

ƒƒ Multiplicação de números naturais ƒƒ Mínimo múltiplo comum

Tratamento da informação: contagem e estimativa

ƒƒ Noções iniciais de contagem ƒƒ Construir árvore de possibilidades

2. Geometria: primeiras noções

3. Múltiplos e divisores

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Tratamento da informação: organização de dados em tabelas ƒƒ Interpretação e organização de dados em tabelas

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UNIDADE

CAPÍTULO A ideia de ângulo

ƒƒ Noções iniciais de ângulo ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Posição relativa entre retas

Polígonos

ƒƒ Linha poligonal ƒƒ Definição de polígono ƒƒ Polígonos regulares ƒƒ Quadriláteros

A ideia de fração

ƒƒ Noções iniciais de fração ƒƒ Classificação de frações ƒƒ Fração de quantidade

Equivalência e comparação entre frações

ƒƒ Frações equivalentes ƒƒ Simplificação de frações ƒƒ Comparação de frações

Adição e subtração de frações

ƒƒ Adição e subtração de frações com mesmo denominador ƒƒ Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Fração de fração

ƒƒ Multiplicação de frações ƒƒ Divisão de frações

Frações decimais e números decimais

ƒƒ Número decimal e fração decimal ƒƒ Frações centesimais ƒƒ Multiplicação de decimais por potência de 10 ƒƒ Divisão de decimais por potência de 10 ƒƒ Comparação entre números decimais

Operações com números decimais

ƒƒ Adição com números decimais ƒƒ Subtração com números decimais ƒƒ Multiplicação com números decimais ƒƒ Divisão entre números naturais com quociente decimal ƒƒ Divisão com números decimais

Tratamento da informação: noção de porcentagem, gráficos e tabelas

ƒƒ Porcentagem ƒƒ Descontos e acréscimos ƒƒ Interpretação de dados organizados em tabelas e gráficos

Unidades de comprimento e de massa

ƒƒ Unidades de comprimento ƒƒ Conversão de unidades de medida de comprimento ƒƒ Perímetro de figuras geométricas planas ƒƒ Unidades de massa ƒƒ Conversão de unidades de medidas de massa

Unidades de área

ƒƒ Unidades de área ƒƒ Conversão de unidades de medidas de área ƒƒ Áreas de figuras geométricas planas

Unidades de volume e de capacidade

ƒƒ Unidades de volume ƒƒ Conversão de unidades de medidas de volume ƒƒ Volume do cubo ƒƒ Volume do paralelepípedo ƒƒ Unidade de capacidade ƒƒ Conversão de unidades de medidas de capacidade

Medida de tempo

ƒƒ Medida de tempo ƒƒ Conversão de unidades de medidas de tempo

Tratamento da informação: probabilidade e média aritmética

ƒƒ Noções iniciais de probabilidade ƒƒ Noções iniciais do conceito de média aritmética

4. Formas geométricas planas

5. Frações

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6. Números decimais

CONTEÚDO

7. Grandezas e medidas

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7o ano capítulo O números inteiros

ƒƒ Números positivos e números negativos ƒƒ Números inteiros ƒƒ Exemplos de aplicações dos números inteiros

Adição e subtração de números inteiros

ƒƒ Adição de números inteiros ƒƒ Propriedades da adição de números inteiros ƒƒ Subtração de números inteiros

Multiplicação de números inteiros

ƒƒ Multiplicação de números inteiros ƒƒ Propriedades da multiplicação de números inteiros

Divisão de números inteiros

ƒƒ Divisão de números inteiros ƒƒ Expressões numéricas com números inteiros

O plano cartesiano

ƒƒ Introdução ao plano cartesiano

Tratamento da informação: gráfico de barras e de linhas

ƒƒ Informações em gráfico de barras ƒƒ Informações em gráfico de linhas ƒƒ A construção de gráficos estatísticos ƒƒ Interpretação de dados com base em gráficos de linhas e colunas

Ângulos

ƒƒ Retomada da ideia de ângulos ƒƒ Unidade de medida de ângulos ƒƒ Frações do grau

Operações com medidas de ângulo

ƒƒ Adição e subtração de ângulos ƒƒ Multiplicação e divisão por um número natural

Ângulos e retas

ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes

Números racionais

ƒƒ Formação do conjunto ƒƒ Reta numérica ƒƒ Representação decimal e representação fracionária de números racionais ƒƒ Comparação entre números racionais ƒƒ Exemplos de aplicações dos números racionais

Adição e subtração de números racionais

ƒƒ Adição de números racionais ƒƒ Subtração de números racionais

Multiplicação e divisão de números racionais

ƒƒ Multiplicação de números racionais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números racionais ƒƒ Divisão de números racionais

Potenciação e radiciação de números racionais

ƒƒ Potenciação de números racionais ƒƒ Radiciação de números racionais ƒƒ Expressões numéricas

Tratamento da informação: gráfico de setores

ƒƒ Construção de gráfico de setores ƒƒ Interpretação de dados com base em gráfico de setores

O conceito de áreas

ƒƒ Medida de superfície ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do retângulo

Área do triângulo e área do paralelogramo

ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo

Área do losango e do trapézio

ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

1. Os números inteiros

2. Geometria: ângulos

3. Números racionais

4. Geometria: áreas

CONTEÚDO

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UNIDADE

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UNIDADE

5. Álgebra

6. Razões e proporções

capítulo

CONTEÚDO

Iniciando a álgebra

ƒƒ Noções iniciais de álgebra ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Soma algébrica de termos semelhantes

Equações

ƒƒ Equações ƒƒ Resolução de uma equação

Resolução de problemas

ƒƒ Resolução de problemas com uma incógnita

Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

ƒƒ Resolução de sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

Inequações

ƒƒ Desigualdades ƒƒ Inequações

Razões e proporções

ƒƒ Conceito de razão ƒƒ Conceito de proporção

Grandezas proporcionais

ƒƒ Grandezas diretamente proporcionais ƒƒ Grandezas inversamente proporcionais ƒƒ Regra de sociedade ƒƒ Problemas de regra de três ƒƒ Problemas de regra de três composta

Tratamento da informação: média aritmética simples e média aritmética ponderada

ƒƒ Média aritmética simples ƒƒ Média aritmética ponderada ƒƒ Retomada do cálculo com porcentagens ƒƒ Juros simples

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7. Introdução à matemática financeira Porcentagem e juros simples

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8o ano

1. Números reais

2. Potenciação e radiciação

3. Geometria: triângulos

capítulo

CONTEÚDO

Números racionais

ƒƒ Números racionais e obtenção de medidas ƒƒ Números racionais ƒƒ Dízimas periódicas

Os números reais

ƒƒ Números irracionais ƒƒ Números reais ƒƒ Comprimento da circunferência e o número irracional .

Tratamento da informação: média, mediana e moda

ƒƒ Conceito de média ƒƒ Conceito de mediana ƒƒ Conceito de moda

Potenciação com expoentes inteiros

ƒƒ Potenciação ƒƒ Propriedades da potenciação ƒƒ Potências de base 10

Radiciação: raiz quadrada

ƒƒ Raiz quadrada aritmética ƒƒ Cálculo de raiz quadrada pela decomposição em fatores primos ƒƒ Cálculo de raiz quadrada por aproximação ƒƒ Notação científica

Tratamento da informação: análise combinatória – princípio fundamental da contagem

ƒƒ Análise combinatória ƒƒ Princípio fundamental da contagem

Segmentos, ângulos e retas

ƒƒ Segmentos ƒƒ Reta ƒƒ Ponto médio ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes ƒƒ Ângulos formados entre duas retas paralelas e uma transversal

Triângulos

ƒƒ Classificação de triângulos quanto aos lados ƒƒ Condição de existência de um triângulo

Soma das medidas dos ângulos de um triângulo

ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo

Congruência de triângulos

ƒƒ Congruência de triângulos ƒƒ Casos de congruência de triângulos ƒƒ Construção de triângulos

Expressões algébricas

ƒƒ Expressão algébrica e valor numérico ƒƒ Monômios ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Polinômios de uma variável

Operações com polinômios de uma variável

ƒƒ Adição e subtração de polinômios ƒƒ Multiplicação de polinômios ƒƒ Divisão de polinômios

Tratamento da informação: análise de gráficos

ƒƒ Análise de gráficos

Produtos notáveis

ƒƒ Quadrado da soma de dois termos ƒƒ Quadrado da diferença de dois termos ƒƒ Produto da soma pela diferença de dois termos

Fatoração de polinômios

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Simplificação de frações algébricas

4. Álgebra: cálculo algébrico

5. Produtos notáveis e fatoração

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

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UNIDADE

capítulo

CONTEÚDO

Quadriláteros

ƒƒ Quadriláteros: conceito e elementos ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero

Quadriláteros notáveis

ƒƒ Trapézio, paralelogramo, losango, retângulo e quadrado ƒƒ Propriedades dos paralelogramos ƒƒ Propriedades dos casos particulares de paralelogramos

Equações do 1o grau

ƒƒ Resolução de problemas que envolvem equações do 1o grau ƒƒ Resolução de equações literais ƒƒ Resolução de equações fracionárias

Sistema de equações

ƒƒ Sistema de equações do 1o grau ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da substituição ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da adição

Interpretação geométrica da solução de sistemas

ƒƒ Representação de pontos no plano cartesiano ƒƒ Interpretação geométrica da solução de um sistema de equações

Tratamento da informação: probabilidade

ƒƒ Probabilidade

Circunferência e círculo

ƒƒ Construção da circunferência ƒƒ Identificação de elementos de uma circunferência ƒƒ Partes do círculo ƒƒ Posições relativas de retas e circunferências ƒƒ Posições relativas entre circunferências

Segmentos e quadriláteros

ƒƒ Propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência ƒƒ Circunferência inscrita num quadrilátero

Ângulos e arcos na circunferência

ƒƒ Arco e ângulo central ƒƒ Medida do ângulo inscrito ƒƒ Quadrilátero inscrito numa circunferência

6. Geometria: quadriláteros

7. Álgebra: equações

MANUAL DO PROFESSOR

8. Geometria: circunferência

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9o ano

1. Potenciação, radiciação e cálculo algébrico

2. Tratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade

3. Geometria: semelhança de triângulos

capítulo

CONTEÚDO

Potenciação

ƒƒ Potenciação com expoentes inteiros ƒƒ Notação científica ƒƒ Propriedades da potenciação

Radiciação

ƒƒ Raiz quadrada exata e aproximada ƒƒ Potência com expoente racional ƒƒ Raiz cúbica ƒƒ Propriedades da radiciação e simplificação de radicais

Cálculo com radicais

ƒƒ Adição e subtração ƒƒ Multiplicação e divisão ƒƒ Potenciação e radiciação

Cálculo algébrico

ƒƒ Retomada dos três casos de produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois termos ƒƒ Racionalização de denominadores ƒƒ Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos

Fatoração

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Fatoração por produtos notáveis

Gráficos

ƒƒ Interpretação de gráficos de linhas, colunas, setores, pictóricos ou pictogramas ƒƒ Tratamento da informação, tabelas e gráficos

Distribuição de frequências

ƒƒ Conceito de frequência absoluta ƒƒ Conceito de frequência relativa ƒƒ Conceito de variáveis discretas ƒƒ Conceito de variável contínua ƒƒ Distribuição de frequência por classes ƒƒ Construção de gráficos histograma

Contagem e probabilidade

ƒƒ Princípio fundamental da contagem ƒƒ Noções iniciais de probabilidade

Teorema de Tales

ƒƒ Conceito de razão e proporção ƒƒ Teorema de Tales

Semelhança de triângulos

ƒƒ Semelhança de triângulos ƒƒ Casos de semelhança de triângulos

O triângulo retângulo

ƒƒ Relações métricas no triângulo retângulo ƒƒ Teorema de Pitágoras

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

ƒƒ Seno ƒƒ Cosseno ƒƒ Tangente ƒƒ Razões trigonométricas para ângulos notáveis

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

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UNIDADE

capítulo

CONTEÚDO

Equações do 2o grau

ƒƒ Resolução de equações incompletas ƒƒ Resolução de equações por trinômio do quadrado perfeito ƒƒ Resolução de equações por fórmula de Bháskara

Propriedade de raízes e coeficientes

ƒƒ Possíveis soluções de equação do 2o grau por análise do discriminante da fórmula de Bháskara ƒƒ Relação entre a soma e produto das raízes e os coeficientes de uma equação do 2o grau

Equações redutíveis ao 2o grau e problemas

ƒƒ Resolução de problemas por meio de equações do 2o grau ƒƒ Equações biquadradas ƒƒ Equações irracionais

Medidas de tendência central

ƒƒ Média ƒƒ Média ponderada ƒƒ Mediana ƒƒ Moda

Áreas de quadriláteros e triângulos

ƒƒ Área do retângulo ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

Polígonos convexos

ƒƒ Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Polígonos regulares

ƒƒ Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares ƒƒ Polígonos regulares inscritíveis e circunscritíveis em uma circunferência

Círculo e circunferência

ƒƒ Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência ƒƒ Área do círculo e de um setor circular

Relações métricas na circunferência

ƒƒ Relação entre ângulos e arcos ƒƒ Relação entre cordas e entre secantes ƒƒ Relação entre secante e tangente e potência de um ponto

Introdução às funções

ƒƒ Conceito de função ƒƒ Relação de dependência de variáveis ƒƒ Representação gráfica de funções ƒƒ Função crescente e decrescente ƒƒ Conjunto domínio, contradomínio e imagem

Noções de função afim

ƒƒ Função afim ƒƒ Gráfico de uma função afim

4. Álgebra: equações do 2o grau

MANUAL DO PROFESSOR

5. Geometria: polígonos e circunferências

6. Introdução às funções e função afim

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UNIDADE

7. Noções de função quadrática

capítulo

CONTEÚDO

Noções de função quadrática

ƒƒ Função quadrática ƒƒ Gráfico de uma função quadrática ƒƒ Coordenadas do vértice da parábola ƒƒ Problemas de máximo e mínimo ƒƒ Comportamento do gráfico da parábola em relação à variação dos coeficientes

Lei dos cossenos

ƒƒ Lei dos cossenos ƒƒ Demonstração da Lei dos cossenos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos cossenos

Lei dos senos

ƒƒ Lei dos senos ƒƒ Demonstração da Lei dos senos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos senos

MANUAL DO PROFESSOR

8. Geometria: triângulos quaisquer

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5. Orientações didáticas do volume Unidade 1 – Potenciação, radiação e cálculo algébrico Objetivos da unidade

MANUAL DO PROFESSOR

• Retomar o conceito de potenciação com expoentes naturais e ampliar para potenciação com expoentes inteiros. • Representar e transformar números reais em notação científica. • Utilizar adequadamente as propriedades da potenciação. • Retomar o conceito de raiz quadrada de um número real não negativo e ampliar o conhecimento sobre radiciação relacionando-a com expoente racional. • Simplificar radicais. • Efetuar cálculo com radicais por meio das propriedades da radiciação. • Racionalizar denominadores. • Retomar o estudo das expressões algébricas, de produtos notáveis e de fatoração de expressões algébricas. • Apresentar dois casos de fatoração: por fator comum e por agrupamento. • Apresentar os casos de fatoração por produtos notáveis.

Capítulo 1 – Potenciação Objetivos do capítulo

• Retomar o conceito de potenciação com expoentes naturais e ampliar para potenciação com expoentes inteiros. • Representar e transformar números reais em notação científica. • Utilizar adequadamente as propriedades da potenciação.

Algumas explorações Nesta unidade vamos retomar o trabalho com potências e ampliar esse conceito com

novas propriedades, explorando seu uso com diferentes conjuntos numéricos. Sugerimos que os alunos respondam às questões introdutórias da página 11 e que compartilhem as respostas e estratégias pensadas. No texto introdutório da página 12, em que é sugerida uma pesquisa, proponha aos alunos que obtenham as informações com familiares que tenham conta bancária ou façam uso de cartões de crédito. É importante que toda a família tenha conhecimento dos valores cobrados por diversos tipos de financiamento e saiba quanto o uso indiscriminado desse tipo de crédito pode comprometer o orçamento doméstico. Por meio da afirmação “Todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1”, constante no Trabalho em equipe da página 13, é possível explorar o conceito de generalização em Matemática. É importante que os alunos percebam a dimensão de uma expressão do tipo “todo número”, que em Matemática significa dizer que essa propriedade é válida para todos os números reais. No caso da questão proposta é possível generalizar que “todo o número elevado a zero é igual a um”, desde que seja apresentada a exceção, que no caso se refere ao número zero. Por meio do Trabalho em equipe da página 15, propomos uma pesquisa interdisciplinar sobre o uso da notação científica (potências de base 10) para representação de grandezas em diferentes áreas do conhecimento, como Biologia, Física e Química. Caso julgue conveniente, peça aos alunos que tragam textos de revistas ou jornais em que se verifique o uso de notação científica para representação de grandezas. Proponha a leitura do texto disponível na seção Conexões da página 16 e verifique o uso de cada representação com os alunos. Sugerimos a leitura do texto da seção Matemática e cidadania da página 20 e, em seguida, um debate com os alunos sobre os índices que envolvem a economia em geral, para que desenvolvam um olhar crítico sobre esses fatores. Associe os índices inflacionários

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Outras atividades

educacional digital

Esta atividade tem como objetivo explorar a compreensão dos alunos sobre as propriedades de potenciação. 1. Encontre o valor de: a) 15 1 22 1 17 1 23 5 1 1 4 1 1 1 8 5 14 b) 3 2 3 5 27 2 9 5 18 3

2

c) 52 1 102 5 25 1 100 5 125 20056 1 200 5 d) 20055 20056 2 55 1 200 5 2001 1 200 5 400 e) (23 1 4 2)2 5 (8 1 16)2 5 (24)2 5 576 f) (32  52)2 5 34  54 5 81  625 5 50 625 Nesta atividade exploraremos uma aplicação da potenciação: o juro composto. 2. Suponha que R$ 200,00 foram depositados em uma caderneta de poupança, com taxa de juro de 1% ao mês. Não houve depósitos seguintes. Calcule o primeiro mês de rendimento. 1 5 0,01 Dica: 1% 5 100 P r im eiro mês de rendim e nto 5  5 200 1 (200  0,01) 5 200  (1 1 0,01) 3. Calcule o valor do segundo mês de rendimento seguindo o mesmo raciocínio para cálculo do primeiro mês. Segundo mês de rendimento 5 200  (1 1 0,01) 1 [200  (1 1 0,01)]  0,01 5 5 200  (1 1 0,01)  (1 1 0,01) 4. Faça o mesmo para representar o terceiro mês de rendimento. 200  (1 1 0,01)  (1 1 0,01) 1 [200  (1 1 1 0,01)  (1 1 0,01)]  0,01 5 200  (1 1 0,01)  (1 1 0,01)  (1 1 0,01)

5. Com base no conceito de potenciação, existe uma maneira de simplificar a representação dos cálculos do segundo e do terceiro mês? Sim. Segundo mês de rendimento 5 200  (1 1 0,01)  (1 1 0,01) 5 5 200  (1 1 0,01)2 Terceiro mês de rendimento 5 200  (1 1 0,01)  (1 1 0,01)  (1 1 0,01) 5 5 200  (1 1 0,01)3 6. Você consegue estabelecer uma relação entre o mês de rendimento com as simplificações realizadas? Sim. O expoente da potência equivale à quantidade de meses em que o dinheiro esteve aplicado. 7. Pudemos observar que, para calcular o valor acumulado em qualquer mês, basta modificar o expoente de acordo com a quantidade de meses em que o dinheiro permaneceu aplicado. Agora, chamaremos de C o capital aplicado inicialmente, de i, a taxa de rendimento por período, que no nosso caso é mensal, e de n, o número de períodos. Substitua os valores numéricos de qualquer um dos cálculos pelas letras das variáveis sugeridas. 200  (1 1 0,01)3 5 C  (1 1 i)n  capital acumulado por período é chaO mado de montante (M). Logo, no item 6, encontramos uma fórmula para calcular o montante. Essa fórmula recebe o nome de fórmula para cálculo de juros compostos. O nome composto se refere ao conceito de juros sobre juros. 8. Um valor de R$ 100,00 foi aplicado na caderneta de poupança. Qual valor será resgatado após 12 meses de aplicação, com taxa de juros mensal de 1%? (Use uma calculadora para realizar os cálculos – para calcular a potência, use a tecla yx.) M M M M

5 5 5 5

C  (1 1 i)n 100  (1 1 0,01)12 100  (1,01)12 100  (1,01)12

MANUAL DO PROFESSOR

com as taxas cobradas pelas instituições financeiras e os rendimentos pagos em aplicações. Essa é uma maneira de despertar o interesse dos alunos pelo tema e fazê-los pensar nas vantagens e desvantagens em contratar um financiamento quando o cenário econômico não se mostra estável, com altos índices inflacionários. Objeto

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M 5 100  1,126825 M  112,68 9. Em determinado mês, um correntista precisou retirar R$ 100,00 do crédito especial de sua conta-corrente. Durante 12 meses ele não conseguiu cobrir este valor somadas às taxas cobradas. Qual será o valor pago neste período sabendo que o juro mensal desse tipo de crédito é de 10%? (Utilize uma calculadora para realizar os cálculos – utilize a tecla xy para calcular a potência). M M M M M

5 C  (1 1 i)n 5 100  (1 1 0,1)12 5 100  (1,1)12 5 100  3,1384  313,84

10. O que você pode concluir com a comparação dos itens 7 e 8? Resposta pessoal. Espera-se iniciar um debate sobre as altas taxas cobradas por linhas de financiamento e o uso consciente desses recursos, com o objetivo de contribuir para a educação financeira dos alunos.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de Potenciação da seção Agora é com você da página 14.

MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 3 Nessa atividade recomendamos a resolução passo a passo de cada item para que os alunos compreendam as regras enunciadas e não apenas as memorizem. a) (23)4 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 81 b) (25)3 5 (25) ? (25) ? (25) 5 2125 c) (26)3 5 (26) ? (26) ? (26) 5 2216 d) (27) 5 (27) ? (27) ? (27) 5 2343 3

e) (25) 5 (25) ? (25) ? (25) ? (25) 5 625 4

f) 235 5 2(3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3) 5 2243 g) (24)4 5 (24) ? (24) ? (24) ? (24) 5 256 h) 24 4 5 2(4 ? 4 ? 4 ? 4) 5 2256

Atividade 10 Nessa atividade proponha aos alunos que compartilhem as estratégias pensadas com os colegas. Posteriormente discuta cada uma delas, este é um momento adequado para verificar a compreensão dos alunos quanto à potenciação e suas propriedades. Uma maneira de solucionar essa atividade será reescrevendo a expressão: M 5 21 999  52 000 M5  21 999  52 000 5 21999  51 999  51 5 5 (2  5)1 999  5 5 5  101 999 Logo: 5  101 999 terá 2 000 algarismos. Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações do conceito de notação científica da seção Agora é com você da página 17. Atividade 7 a) Espessura 5 4 cm

Número de páginas 5 1 600 4 cm 5 0,0025 1 600

Em notação científica: 0,0025 5 2,5 3 0,001 5 2,5 3 10-3 Resposta: a espessura de cada folha do livro em notação científica é 2,5 3 10-3 cm b) Duração da aula 5 50 min Aulas assistidas 5 5 50 min 3 5 5 250 min Convertendo para segundos, temos: 250 min 3 60 5 15 000 s Em notação científica: 15 000 s 5 1,5 3 10 000 5 1,5 3 104 s Resposta: o tempo, em segundos, correspondente ao total de aula que ela assiste é 1,5 3 104 s. Atividade 8 Devemos dividir a massa do Sol pela massa de Júpiter. 1,989 1,989  1030  1030 2 27 5 5 1,9 1,9  1027 1,989 3 103 5 1,0468  103 5 1 046,8 1,9

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Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de propriedades da potenciação da seção Agora é com você da página 19. Atividade 3 Estas atividades podem ser resolvidas com o auxílio do conhecimento prévio dos alunos sobre Álgebra. Eles devem igualar os expoentes e formar equações. a)

27  2x 5 210 Consideraremos somente os expoentes: 7 1 x 5 10 x 5 10 27 x53 Resposta: 23

b) 45  4x 5 4 20 Consideraremos somente os expoentes: 5 1 x 5 20 x 5 20 2 5 x 5 15 Resposta: 415 c)

d)

x 20 5 x 15 xy Consideraremos somente os expoentes: 20 2 y 5 15 2y 5 15 2 20 2y 5 25 y55 Resposta: x5 324 5 38 3x Consideraremos somente os expoentes: 24 2 x 5 8 2x 5 8 1 4 2x 5 12 x 5 212 Resposta: 3-12

Atividade 10 a) Basta decompor o 4 em potência de 2.

Resposta: 410 5 (2 ? 2)10 5 (22)10 5 220

b) 5n 1 3 5 5n ? 53 Resposta: basta multiplicar a potência 5n por 53, que é igual ao número inteiro 125.

Para saber mais • Propomos a leitura da reportagem Para contar aos bilhões, que traz uma sugestão de atividade interdisciplinar sobre notação científica. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Capítulo 2 – Radiciação Objetivos do capítulo • Retomar o conceito de raiz quadrada de um número real não negativo e ampliar o conhecimento sobre radiciação relacionando-a com expoente racional. • Simplificar radicais.

Algumas explorações Nessa unidade retomaremos o trabalho com radiciação e ampliaremos esse conceito com a apresentação de novas propriedades que possibilitem sua operação em cálculos numéricos. Nos itens Raiz quadrada e Potência com expoente racional e raiz cúbica, das páginas 21 a 23, se possível, explore com os alunos diferentes exemplos de raízes, exatas e não exatas, trabalhe com aproximações e a posição desses números na reta numérica; com isso será possível visualizar de forma concreta a densidade dos números reais. Essa ideia intuitiva será muito importante por ocasião do estudo de intervalos e funções. No item Simplificações com radicais, da página 25, caso julgue conveniente, retome o conteúdo sobre decomposição de números em fatores primos para facilitar na simplificação de radicais.

MANUAL DO PROFESSOR

Resposta: o valor pelo qual devemos multiplicar a massa de Júpiter para obter a massa do Sol é aproximado a 1 046,8.

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Outras atividades 1. Sugerimos uma atividade que poderá ser realizada em grupo. O objetivo será visualizar de forma concreta a posição das raízes quadradas e as aproximações de seus valores na reta numérica. Para isso, os grupos deverão organizar uma série de números preestabelecidos, de forma que se respeite sua posição na reta. Os materiais necessários são: barbante, tesoura, cartões ou pedaços de papel com os números e clipes. De posse dos números, os alunos devem organizá-los e prendê-los com clipes no barbante para possibilitar sua movimentação; números iguais ou frações equivalentes deverão ser posicionados no mesmo clipe. A seguir uma proposta de sequência de números a ser utilizados:

2,25

11

2,646

3,30

3

3,31

1,71

2,645

3,33

7

1,731

2,66

4

2,23

1,733

5

3,32

2,24

1,732

2,647

MANUAL DO PROFESSOR

A organização final deverá ser a seguinte: 1,71; 1,731; 1,732; 3 ; 1,733; 4 ; 2,23; 5 ; 2,24; 2,25; 2,645; 7 ; 2,646; 2,647; 2,66; 3,30; 3,31; 11 ; 3,32; 3,33. Nesta atividade exploraremos três formas de encontrar a raiz quadrada exata de um número. a) Encontrar a raiz quadrada de 196 por aproximação. Para isso, pense em um número que, multiplicado por si mesmo, dê 196. Caso o resultado seja maior ou menor, faça nova tentativa. Esta atividade estimula o uso do cálculo mental. Exemplo de uma tentativa: 10 3 10 5 100 (pouco) 11 3 11 5 121 (pouco) 13 3 13 5 169 (pouco)

15 3 15 5 225 (muito) 14 3 14 5 196 (14 é a raiz quadrada de 196) Obs.: Caso julgue conveniente, peça aos alunos que compartilhem sua experiência. Pergunte quantas tentativas foram realizadas e como pensaram para chegar ao resultado. b) Encontrar a raiz quadrada de 196 por decomposição. Para isso, decomponha o número em fatores primos: 196 98 49 7 1

2 2 7 7 2 2  72

196 5

22  7 2 5

22  7 2 5

5 2  7 5 14 c) Encontrar a raiz quadrada de 196 pelo método chinês. Para isso, subtraia do número a sequência de números ímpares iniciando por “1” e registre o número de vezes que você efetuou a subtração até encontrar o número “0”; essa quantidade é a raiz quadrada procurada. A justificativa para esse método é que a soma de sucessivos ímpares é um número quadrado. 1º passo) 196 2 1 5 195 2º passo) 195 2 3 5 192 3º passo) 192 2 5 5 187 4º passo) 187 2 7 5 180 5º passo) 180 2 9 5 171 6º passo) 171 2 11 5 160 7º passo) 160 2 13 5 147 8º passo) 147 2 15 5 132 9º passo) 132 2 17 5 115 10º passo) 115 2 19 5 96 11º passo) 96 2 21 5 75 12º passo) 75 2 23 5 52 13º passo) 52 2 25 5 27 14º passo) 27 2 27 5 0 Como ocorrem 14 passos, a raiz quadrada de 196 é igual a 14.

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Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de Simplificações com radicais da seção Agora é com você da página 26. Atividade 1 a)

196 5 22  7 2 5 22  7 2 5 2  7 5 14 196 98 49 7 1

b)

3

125 5

125 25 5 1 c)

3

53 5 5

5 5 5 53

576 5 26  32 5 26  32 5 23  3 5 5 8  3 5 24 576 288 144 72 36 18 9 3 1

d)

2 2 7 7 2 2  72

4

2 2 2 2 2 2 3 3 26  32

625 5 4 54 5 5

625 125 25 5 1

5 5 5 5 54

Para saber mais • Sugerimos a leitura da reportagem Cálculo mental não é chute, sobre professores que comprovaram que estimular a fazer “contas de cabeça” é eficaz para o aprendizado. Disponível em: (acesso em: jun. 2015).

Capítulo 3 – Cálculo com radicais Objetivos do capítulo • Efetuar cálculo com radicais por meio das propriedades da radiciação. • Racionalizar denominadores.

Algumas explorações O uso da calculadora pode auxiliar na obtenção dos valores de raízes exatas e não exatas, neste segundo caso com melhores aproximações. Incentive os alunos a utilizar esse recurso tecnológico. A seguir observe uma descrição para o uso de uma calculadora comum e de uma científica para obter valores de raízes quadradas e cúbicas. Obtendo a raiz quadrada e cúbica com a calculadora A calculadora possui um número limitado de operações quando em sua versão padrão. Dentre essas operações, é possível obter a raiz quadrada de um número, mas para conseguir a raiz cúbica de um número, é necessário o uso de uma calculadora científica. A seguir descreveremos como obter a raiz quadrada e a cúbica de um número em dois tipos de calculadora: comum e científica. Extraindo a raiz quadrada em uma calculadora comum 1. Tecle o número do qual deseja extrair a raiz; 2. Pressione a tecla com o símbolo “

”;

3. O resultado será exibido no visor. Extraindo a raiz cúbica em uma calculadora científica 1. Tecle o número 3, que é o índice da raiz cúbica; 2. Pressione a tecla para acessar a segunda função “2nd”, e pressione a tecla abaixo do símbolo “ x ”;

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas resoluções

323 323 pom9_mp_318_349_especifica.indd 323

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Obs.: Essa tecla geralmente é de segunda função, ou seja, é necessário primeiro pressionar a tecla que dá acesso a essas funções para depois utilizá-la; em algumas calculadoras, essa tecla possui a descrição “2nd”.

(13 1 2 ) m 3

(12 2 7 ) m

(18 1 5 ) m (10 1 2 ) m

3. Tecle o número do qual deseja extrair a raiz e pressione a tecla com o sinal de igualdade “5” ou “ENTER”;

(20 1 5 ) m

Resolução:

4. O resultado será exibido no visor. É importante destacar que o ato de intuir em Matemática significa perceber algo por meio de formulações intuitivas. Essa é uma das habilidades a ser desenvolvidas pelos alunos e importante para desenvolver o pensamento matemático avançado. Para contribuirmos com o desenvolvimento dessa e de outras habilidades – como experimentar, explorar, identificar padrões, formular e testar conjecturas, generalizar, argumentar e demonstrar – devemos estimular os alunos a levantar hipóteses por meio de tentativa e erro, promover discussões em grupo e propiciar um trabalho com alunos de diferentes competências e estilos cognitivos, para facilitar o desenvolvimento integrado de atitudes, capacidades e conhecimentos com base nos conceitos já estudados.

MANUAL DO PROFESSOR

Para facilitar o entendimento dos alunos sobre as operações do item Adição e subtração, sobre cálculos com radicais, das páginas 27 e 28, podemos considerar os radicais semelhantes da mesma forma que uma incóg-

2 1 18 1

13 1 1

3

2 1 12 2

5 1 20 1

7 5

13 1 18 1 20 1 10 1 12 1 1

5 1

5 2

3

21

2 1

7 5

Sendo assim, temos que o perímetro da figura é: [73

7] m

3

12 2 12 5 2

Com o uso da calculadora, temos que: 2 5 1,41

3

5 5 2,24

7 5 1,91

Calculamos o valor aproximado do perímetro substituindo os valores das raízes, conforme a seguir: [73

3 1 2 2 1 2 5 2 7] m [73 1 (2 ? 1,41) 1 (2 ? 2,24) 2 1,91] m 73 1 2,82 1 4,48 2 1,91 5 78,39 Resposta: 78,39 m

2. Calcule a área das figuras a seguir: a)

7 2 m 20 3 7 m

Resolução: 3 20 7 ? 7 2 5 20 ? 7 ?

nita; logo, no caso de 2 2 1 3 2 5 5 2 ,

140 ?

32

podemos pensar da seguinte maneira: 2x 1 1 3x 5 5x. O mesmo ocorre ao considerarmos cálculos que envolvem a operação de subtração de radicais.

140 ?

6

72 ?

140 ?

6

49  8 5 140 ?

Outras atividades

b)

1. Calcule o perímetro do terreno representado na figura abaixo. Em seguida, com uma calculadora, encontre os valores das raízes considerando somente duas casas decimais e verifique a medida aproximada do perímetro do terreno:

5 1 10 1

7 1 2 ? 6

23

3

7 ?

2 5

213 5

23 5 140 ? 6

6

7 2 3 23

392

Resposta: 140  6 392 m2 9 5 12 2

m

m

Resolução: 12  9 5 12  9 5 108 2 5 25 10

324 pom9_mp_318_349_especifica.indd 324

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Racionalizando o denominador, temos: 108 5 108 10 5 108 10 5 108 10 10 10 10  10 102 Resposta: 108 10 m2 10

3 2

3 1 1] 5

15 3 2 15 2 15 1 5 3 5 [20 3 2 30] Resposta: [20 3 2 30] cm3.

Para saber mais

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões para possíveis explorações do conceito de Adição e subtração da seção Agora é com você da página 29. Atividade 5 2  [3 1 6 2 ] 1 2 

5 3  [3 2

• Sugerimos assistir à série de vídeos A raiz cúbica, que explora diferentes formas de cálculos de raízes cúbicas. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

18 5

Capítulo 4 – Cálculo algébrico

6 1 12 2 1 2 18 5

Objetivos do capítulo

6 1 12 2 1 2 2  32 5

• Retomar o estudo das expressões algébricas, de produtos notáveis e de fatoração de expressões algébricas.

32 5

6 1 12 2 1 2 2  3 5 6 1 12 2 1 6 2 5 6 1 18 2

Algumas explorações

Resposta: (6 1 18 2 )cm.

Retomamos o conteúdo sobre os três casos de produtos notáveis nas páginas 35 a 37. Se possível, faça alguns cartões com expressões que incluam os três casos de produtos notáveis, forme grupos, distribua esses cartões e solicite que realizem as operações; ao final, institucionalize os resultados com base no conteúdo a ser retomado e as respostas apresentadas pelos alunos.

Atividade 6 a)

12 1



22  3 1

48 2

18 2

2  32 2

50 5

24  3 2

2  52 5



2 3 13 2 24 3 25 2 5



22 3 2 2 2

b)

20 1



22  5 1



2 5 1

5 2

3 5

5 2 5 2

Outras atividades

3 5 3 5 3 52

3

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de Potenciação e Radiciação da seção Agora é com você da página 32. Atividade 8 2 3 5

43 5

4

43 5

Atividade 12 O volume da figura é igual a: 5 3 

[

3 2 1] 

[

3 2 1] 5

4

12

1. Encontre os valores a seguir com base em seus conhecimentos sobre produtos notáveis. a) 802 5 (100 2 20)2 5 1002 2 2  100  20 1 1 202 5 10 000 2 4 000 1 400 5 6 400 b) 95  20 5 (100 2 5)  (10 1 10) 5 5 1 000 1 1 000 250 250 5 1 900 c) 9992 5 (1 000 2 1)2 5 1 0002 2 2  1 000   1 1 12 5 1 000 000 2 2 000 1 1 5 998 001 d) 10 020 2 5 (10 000 1 20) 2 5 10 000 2 1 1 2  10 000  20 1 202 5100 000 000 1 1 400 000 1 400 5 100 400 400

MANUAL DO PROFESSOR

6 1 12 2 1 2 2 

325 325 pom9_mp_318_349_especifica.indd 325

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Algumas resoluções

(acesso em: jun. 2015).

Vejamos a seguir a resolução da atividade 6 da página 40 da seção Agora é com você. Atividade 6

(

)

Capítulo 5 – Fatoração

2 21 3 4 1 2 3 Objetivos 4 1 2 3 do capítulo 2 5 5 5 4 12 3 5 423 1 22 3 22 3  21 3 • Apresentar dois casos de fatoração: por fator comum e por agrupamento. 2 21 3 412 3 412 3 5 5 4 12 3 5 5 • Apresentar os casos de fatoração por 423 1 3 22 3  21 3 produtos notáveis. a)

(

(

)

)(

(

4

(

51 3

)

51 3

) (

52 3 

)

c)

( (

5

)( 2 )(

51 2  52

51 2 51 2

) )

d)

5

(

10  4 2 5

)

(4 1 5 )  (4 2 5 )

MANUAL DO PROFESSOR

0 2 10 5 40 2 10 5 5 16 2 5 11

( (

)( 2 )(

51 2  52

)(

)

)

b)

5

(

e)

4

(

)

51 3

4 51 4 3 4 explorações 5 14 3 Algumas 5 5 5 2 3 A proposta2inicial do capítulo (páginas 43 52 3  51 3 a 46) de associar os casos de fatoração por 4 5 14 3 4 5 14 3 fator comum e por agrupamento com a Geo5 5 5 523 2 metria tem a intenção de facilitar a visualização de conceitos como o de fator comum, o 52 5 1 2 3 qual poderia se tornar um conceito abstrato 5 2 5 2 1  1 5 1e de 10 1 10 compreensão 51 2 1 2 7 1 2 10se trabalhado sodifícil 5 5 5 5 2por 2 meio de manipulações 3 52 2 mente algébricas. 52 2  51 2 Se possível, explore esse conteúdo criando 5 1 10 1 10 1 2 7 1 2 10 novos exemplos, como o uso de expressões 5 5 522 3 com radicais como fator comum, para, dessa forma, retomar conhecimentos já adquiridos 10  4 2 5 10  4 2 5 40 2 10 5 40 2 10 5 10 5 em5unidades anteriores. 5 5 16 2 5 11 com os alunos 11 a importância de 41 5 41 5  42 5 Discuta realizar a fatoração de expressões algébricas 10  4 2 5 com multiplicações e divisões como forma 40 2 10 5 40 2 10 5 5 5 5 11 16 2 5 11 de simplificá-las. Isso servirá de base para todo o trabalho algébrico a ser desenvolvi10  4 2 5 do nos próximos anos, e esse conhecimento 5 11 será necessário não só para a disciplina de Matemática como também para a de Ciên52 6  52 6 25 2 5 6 cias, 6 31 2 10 6 52 6 25 6 no1Ensino Fundamental, e para Física e 5 5 5 25 Química, 19 Médio. 26 no Ensino 51 6 51 6  52 6 4 5 52 3

(

) (

( (

)

)( )(

(

(

)(

)

5

) )

(

)

(

(

)

)

)

( (

)( )(

) )

) )

51 2 25 2 5 6 2 5 6 + 6 31 2 10 6 5 5 25 2 6 19 51 2

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Matemática – Novo Telecurso – Ensino Fundamental – Aula 71 (Produtos notáveis), que apresenta formas de realizar o cálculo dos produtos notáveis e sua relação com a Geometria. Disponível em:

Outras atividades Nesta atividade o objetivo é estabelecer uma relação entre o mdc (máximo divisor comum) e o fator comum de uma expressão algébrica. 1. Fatore as expressões a seguir. a) 9xy 2 3x 2 1 12xy 5 3x(3y 2 x 1 4y) b) 15ab 3 2 6ab 2 1 18ab 2 5 3ab 2(5b 2 2 1 6) 5 3ab 2(5b 1 4)

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d) 2 2 x 2 2 12 10 x 1 50 12 x 2 2 x  [x 2 6 5 1 25 6 ] 2. Encontre o mdc dos itens a seguir. Obs.: Para o cálculo do mdc, decomponha em fatores primos os números ou expressões; o mdc será o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. a) mdc (9, 3, 12) 5 95333 353 12 5 2 3 2 3 3 O fator comum de menor expoente é 3, logo: mdc (9, 3, 12) 5 3 b) mdc (xy, x2, xy) 5 xy 5 x ? y x2 5 x ? x xy 5 x ? y O fator comum de menor expoente é x, logo: mdc (xy, x2, xy) 5 x 3. Compare os resultados obtidos nos itens a e b da atividade 2 com o item a da atividade 1. Descreva a relação entre eles. É esperado que os alunos percebam que, ao encontrar o fator comum de uma expressão algébrica, estarão calculando o máximo divisor comum daquelas expressões, tanto da parte literal quando da numérica.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções sobre o conceito de Fatoração da seção Agora é com você da página 47. Atividade 7 a) 9x 3 1 3x 2 2 12x 5 3x (3x 2 1 x 2 4) b) 5x 3 2 10x 2 1 25x 5 5x (x 2 2 2x 1 5) c) 12m2 1 14m 2 18 5 2(6m2 1 7m 2 9) d) 25p2x 2 1 5p2x 2 50p2x3 5 5 5p2x (5x 1 1 2 10x2)

b) 2m 2 2y 1 bm 2 by 5 2m 1 bm 2 22y 2 by 5 m(2 1 b) 2 y(2 1 b) 5 (m 2 y)  (2 1 b) c) ab 1 b 1 12a 1 12 5 b(a 1 1) 1 12(a 1 1) 5 5 (a 1 1)  (b 1 12) d) 3m 1 3x 2 mp 2 xp 5 3m 2 mp 1 3x 2 xp 5 5 m(3 2 p) 1 x(3 2 p) 5 (m 1 x)  (3 2 p)

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Fatoração de expressões usando o MDC. Disponível em: (acesso em: maio 2015). • Sugerimos, também, os vídeos da série que trata de fatoração de expressões algébricas. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Unidade 2 – Tratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade Objetivos da unidade • Retomar aspectos da análise de gráficos. • Identificar tipos de gráfico e seus usos. • Construir tabelas de frequências absoluta e relativa de um conjunto de dados. • Identificar variáveis contínuas e discretas e seus respectivos procedimentos. • Efetuar cálculos de contagem com o princípio fundamental da contagem.

Atividade 9

• Construir a árvore de possibilidades em eventos de cálculos combinatórios.

a) 4x 1 4y 1 px 1 py 5 4x 1 px 1 4y 1 py 5 5 x(4 1 p) 1 y(4 1 p) 5 (x 1 y)  (4 1 p)

• Conhecer as noções de cálculo com probabilidade.

MANUAL DO PROFESSOR

c) 45z 1 35z 5 − 20 5 5(9z 1 7z 5 2 4)

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Capítulo 6 – Gráficos Objetivos do capítulo

• Retomar aspectos da análise de gráficos. • Identificar tipos de gráfico e seus usos.

Algumas explorações

MANUAL DO PROFESSOR

Ao iniciarmos essa seção, na página 54, propomos uma análise em dois gráficos, o primeiro de barras simples e o segundo de barras duplas, que cruzam dados da frota de motocicletas e de acidentes com motocicletas. Veja aqui algumas questões que podem ser observadas.

Para saber mais • Para obter mais subsídios para a pesquisa de impostos, visite o site do Instituto Brasileiro de Planejamento e Tributação (IBPT): (acessos em: maio 2015). • Sobre dados atualizados de quanto pagamos pelos impostos, acesse o site do Impostômetro: . • Ministério da Fazenda: . Objeto educacional digital

Ao aumentarmos o número de motocicletas é esperado que o número de acidentes também aumente. O mesmo ocorre com o ciclista; quando aumenta o número de ciclistas nas ruas, inevitavelmente o número de ocorrências em que se envolvem também aumenta. Mas o que ocorre, então, com nossa análise a partir de 2007?

Capítulo 7 – Distribuição de frequências

Podemos perceber um aumento da frota e uma diminuição dos acidentes. Um dos fatores para que isso ocorra pode ser o aumento de políticas públicas que visam a proteção do motociclista; outro fator pode ser a chamada Lei Seca (2008), entre outras causas. Reflita com os alunos sobre outras possibilidades.

Algumas explorações

Na página 55 é possível solicitar aos alunos que desenvolvam uma pesquisa sobre impostos. Sugerimos que, se possível, essa pesquisa seja realizada na escola e com auxílio para que eles possam pesquisar em sites oficiais do governo e também de Organizações Não Governamentais (ONGs) e de institutos que analisam a situação da carga tributária do país (fonte confiável). Quando terminar, medeie as conclusões para que não se estabeleça um senso comum; o pagamento de impostos é um ônus, mas, de certa forma, é fundamental para o andamento de um país.

Objetivos do capítulo

• Construir tabelas de frequências absolutas e relativas de um conjunto de dados. • Identificar variáveis contínuas e discretas e seus respectivos procedimentos.

Depois de trabalhar com as tabelas de frequência, sugerimos que solicite aos alunos exemplos de variáveis discretas e contínuas. Nesse momento, aproveite para realizar as correções necessárias. É possível organizar em tabelas diversos dados interdisciplinares, entre eles: • medições obtidas em laboratório de Química (densidade, pH); • medições obtidas em laboratório de Física (velocidade, elasticidade da mola); • medições obtidas na aula de Educação Física (massa, velocidade, IMC). Os alunos podem também tabular seus dados em outras disciplinas e levar para a aula de Matemática apenas a conferência do método. Na tabela da página 60, vale notar que optamos pela escolha de 6 classes, mas na verdade essa é somente uma opção, e não um valor obrigatório. Outra tabela com um número diferente de dados poderia ter um

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Outras atividades Há uma diversidade de atividades práticas que podem ser realizadas com o objetivo de obter dados para organização em tabelas de frequência de variável discreta ou contínua. Entre elas sugerimos: • pesquisas de opinião; • dados de laboratório; • dados socioeconômicos; • dados pessoais, medidas do corpo. Converse com os professores de outras disciplinas para verificar o que é possível realizar em conjunto. Dessa forma, o aluno poderá aplicar o conhecimento matemático e estatístico adquirido em sala de aula (generalização).

Para saber mais • Apostilas de Estatística Descritiva, disponíveis na internet: e (acessos em: maio 2015).

Capítulo 8 – Contagem e probabilidades Objetivos do capítulo

• Efetuar cálculos de contagem com o princípio fundamental da contagem. • Construir a árvore de possibilidades em eventos de cálculos combinatórios. • Conhecer as noções de cálculo com probabilidade.

Algumas explorações Os primeiros parágrafos deste capítulo, página 63, exploram as ideias iniciais sobre

análise combinatória, o princípio fundamental da contagem e o cálculo de probabilidades. No que se refere ao Princípio fundamental da contagem é aconselhável incentivar os alunos a construir a árvore de possibilidades para que possam visualizar de forma concreta o número de combinações possíveis entre os elementos propostos, sem a necessidade de se apoiar em cálculos. Para isso, comece apresentando propostas que tenham como resultado um número pequeno de combinações para que não se inviabilize a construção da árvore de possibilidades. É importante que os alunos desenvolvam o raciocínio combinatório, e, para isso, sugira que explorem diferentes estratégias afim de obter o número exato de combinações. Uma forma de motivá-los nessa tarefa é trabalhar com problemas contextualizados. As Ideias iniciais de probabilidade são apresentadas na página 67. Sugerimos, se possível, trabalhar de forma concreta a probabilidade de ocorrência de um evento usando dados, moedas e outros objetos. Lembramos que para isso é importante considerar o número de lançamentos realizados. Quanto maior for esse número, mais próximo estaremos de simular a probabilidade de uma ocorrência. Caso julgue conveniente, realize o Trabalho em equipe proposto na página 68; essa é uma oportunidade para os alunos realizarem inferências e sentirem-se motivados a explorar o conteúdo.

Outras atividades 1. Apresente as situações a seguir e peça aos alunos que compartilhem as estratégias para resolução. a) Os estudantes de uma escola precisam criar uma senha individual para acessar os computadores da sala de informática. Foi determinado que cada aluno deverá criar uma senha de três dígitos, em que cada dígito poderá ser 1, 2, 3, e o primeiro dígito não pode ser par. Quantas senhas será possível criar?

MANUAL DO PROFESSOR

número diferente de classes e estar correta. Sugira aos alunos que organizem os mesmos dados em tabelas de 5 classes e de 7 classes, e depois pergunte a eles qual tabela tem, na opinião de cada um deles, a melhor organização dos dados.

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Resposta possível: Primeiro dígito

Segundo dígito

Terceiro dígito

Possibilidades

1

111

2

112

3

113

1

121

2

122

3

123

1

131

2

132

3

133

1

311

2

312

3

313

1

321

2

322

3

323

1

331

2

332

3

333

1

1

2

3

1

3

2

3

MANUAL DO PROFESSOR

Por multiplicação, temos: 1o dígito

2o dígito

3o dígito

2 possibilidades

3 possibilidades

3 possibilidades

2 3 3 3 3 5 18 Logo, será possível criar 18 senhas. b) Em um parque de diversões existem oito portões de acesso (cada portão tem um lado para entrada e outro para saída). De quantas formas uma pessoa pode entrar no parque e sair? Resposta possível: A árvore de possibilidades seria extensa para representar a situação proposta. Segue uma possível justificativa para o resultado obtido:

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05/06/2015 17:35

Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução da atividade 4 sobre o conceito do princípio fundamental da contagem da seção Agora é com você da página 65. Atividade 4 a) Como primeiro dígito temos 5 possibilidades, como segundo dígito temos 5 possibilidades; logo, pelo principio multiplicativo: 5 3 5 5 25 números. b) Como não é permitida a repetição, temos 5 possibilidades para o primeiro dígito, mas para o segundo temos somente 4, pois não podemos repetir o dígito escolhido para ocupar a primeira opção. Logo, pelo princípio multiplicativo: 5 3 4 5 20 números. c) Para o primeiro dígito temos 5 possibilidades; para o segundo, 5 possibilidades; e para o terceiro, 5 possibilidades. Logo, pelo princípio multiplicativo: 5 3 5 3 5 5 125 números. d) Para o primeiro dígito, temos 5 possibilidades; para o segundo dígito, temos 4 possibilidades, pois não podemos escolher o dígito que ocupa a primeira posição; para o terceiro dígito, temos 3 possibilidades, pois não podemos escolher

nem o dígito que ocupa a primeira posição nem o dígito que ocupa a segunda. Logo, pelo princípio da multiplicação: 5 3 4 3 3 5 60 números. Apresentamos a seguir a resolução da atividade 5 sobre as ideias iniciais de probabilidade da seção Agora é com você da página 68. Atividade 5 A probabilidade de você obter cara é: 1 5 0,50 5 50% 2 A probabilidade de sair cinco no dado lançado pela sua irmã é: 1  0,17  17% 6 Sendo assim, você tem maior probabilidade de acertar. Apresentamos a seguir a resolução da atividade 1 da seção Superando desafios da página 71. Atividade 1 Os estudantes que têm telefone celular no Sudeste correspondem a 56% dos que responderam à pesquisa. Se foram pesquisados 14 900 estudantes, a resposta será dada por: 56% de 14 900 5 0,56  14 900 5 8 344 Alternativa d.

Para saber mais • Sugerimos assistir aos vídeos da série que trata dos conteúdos sobre análise combinatória e probabilidade. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Unidade 3 – Geometria: semelhança de triângulos Objetivos da unidade • Calcular medidas associadas a segmentos proporcionais usando propriedades de proporção.

MANUAL DO PROFESSOR

Uma pessoa que entra pelo portão 1 poderia sair pelo próprio portão 1 ou pelos demais portões, de 2 até 8. O mesmo aconteceria se a pessoa entrasse pelo portão 2; poderia sair pelo próprio portão 2 ou pelo portão 1 ou pelos portões de 3 a 8. Como o problema não traz nenhuma restrição quanto à escolha do portão de entrada ou de saída, é possível, então, incluir todas as demais possibilidades na contagem. Por fim, como temos oito portões de entrada, cada um com oito opções de saída, segue cálculo para contagem do número de possibilidades que uma pessoa tem para entrar no parque e sair: 8 3 8 5 82 5 64 Logo, uma pessoa pode entrar no parque e sair de 64 formas.

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• Determinar medidas de segmentos em retas transversais quando “cortadas” por retas paralelas (teorema de Tales). • Identificar dois triângulos semelhantes e calcular medidas de lados desconhecidos de dois triângulos por semelhança de triângulos. • Identificar e aplicar os três casos de semelhança de triângulos. • Obter as relações métricas num triângulo retângulo e identificar catetos, hipotenusa, altura e projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. • Conhecer e aplicar o teorema de Pitágoras para determinação de medidas desconhecidas em triângulos retângulos. • Identificar, definir e calcular as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de ângulos agudos em triângulos retângulos. • Resolver situações relacionadas a medidas de lados de triângulos retângulos usando as razões trigonométricas. • Conhecer os valores das razões trigonométricas para os ângulos 30°, 45° e 60°.

que, ao analisarmos um fato ocorrido no passado, devemos considerar o contexto daquela época e os recursos disponíveis para realização de um feito, ou seja, com um olhar para o passado é possível compreender as contribuições para o presente. Se possível, compartilhe os dados obtidos em sala de aula e destaque a importância de procurar por informações em fontes confiáveis, principalmente quando extraídas da internet. Para auxiliá-los nessa tarefa apresentamos uma breve biografia desses matemáticos:

Pitágoras (571 a.C.–497 a.C.) Matemático e filósofo grego, nascido em Samos. Teria abandonado a ilha de Samos para fugir da tirania de Polícrates e aberto uma escola em Crotona. Aí teria alcançado elevada posição e influência, mas acabou por abandonar essa cidade depois que as massas se revoltaram contra sua autoridade. Exilou-se em Metaponto, onde terminou a vida. Pitágoras considerava o número como essência de todas as coisas. Esse conceito foi muito importante para o desenvolvimento da civilização europeia.

Tales de Mileto (625 a.C.–546 a.C.)

Capítulo 9 – Teorema de Tales

MANUAL DO PROFESSOR

Objetivos do capítulo

• Calcular medidas associadas a segmentos proporcionais usando propriedades de proporção. • Determinar medidas de segmentos em retas transversais quando “cortadas” por retas paralelas (teorema de Tales).

Algumas explorações O parágrafo introdutório da página 74 traz dois conceitos matemáticos envolvidos no cálculo de medidas inacessíveis: o teorema de Tales e o teorema de Pitágoras. Peça aos alunos que pesquisem sobre esses dois teoremas e digam em qual época foram enunciados. É importante mostrar-lhes

Matemático, astrônomo e filósofo grego da cidade de Mileto, que viveu nos últimos decênios do século VII a.C. e primeira metade do século VI a.C. O mérito de Tales deve-se ao fato de ter procurado explicações naturais dos fenômenos sem explicações míticas. Por isso é considerado o primeiro filósofo do Ocidente. Eram dados então os primeiros passos da passagem do pensamento mítico para o pensamento racional e filosófico. Fonte: ARAGÃO, M. J. História da Matemática. Rio de Janeiro: Interciência, 2009. 212 p.

Com o Trabalho em equipe, página 77, pretende-se levar os alunos a reproduzir figuras mantendo sua proporcionalidade com base nas medidas originais. Se possível,

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Ao dimensionar o objeto pelos cantos (proporcional):

desenvolva uma atividade com uso do computador. Insira uma figura qualquer em um editor de texto e clique nessa figura; surgirão alguns pontos em seu contorno, chamados de pontos de redimensionamento. Quando posicionamos o mouse sobre eles, o cursor transforma-se em uma seta de duas pontas, que indica a possibilidade de redimensionamento da figura. Peça aos alunos que observem quais pontos possibilitam dimensionar uma figura mantendo sua proporcionalidade, ou seja, sem deformá-la. Essa é uma maneira intuitiva de lhes mostrar de forma concreta objetos proporcionais e não proporcionais. A seguir um exemplo.

Ao dimensionar o objeto pelos lados (desproporcional):

O teorema de Tales e algumas de suas propriedades são exploradas nas páginas 79 a 81. Caso julgue conveniente, proponha aos alunos que criem figuras no caderno com a finalidade de efetuar medições e verificar as propriedades estudadas. Sugerimos considerar as próprias linhas do caderno como um feixe de paralelas. Recomende a construção de três modelos, variando a inclinação das transversais para cada um. Objeto

Outras atividades

educacional digital

Para realização desta atividade será necessário o uso de um computador com o software livre de geometria dinâmica GeoGebra instalado. Os alunos reproduzirão a atividade proposta na seção Conexões da página 83. 1. Abra o software GeoGebra. Caso seja necessário, clique no item Exibir e desmarque a opção Eixos para desabilitá-los. 2. Construa um segmento de reta AB clicando no terceiro botão e selecione a opção Segmento. Dê um clique na janela para marcar o ponto A e depois outro clique para criar o ponto B, estabelecendo o segmento AyBx.

MANUAL DO PROFESSOR

Ilustrações: Waldomiro Neto

Pontos para redimensionamento da figura:

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3. Construiremos a seguir uma semirreta. Para isso, clique no terceiro botão e selecione a opção Semirreta. Dê um clique no ponto A e outro clique direcionando para baixo do segmento AB. Surgirão o ponto C e a semirreta com início em A passando por C. 4. Não será necessária a exibição do ponto C. Para ocultá-lo, clique com o botão direito do mouse nele e depois clique na opção Exibir objeto. 5. Efetuaremos as marcações na semirreta conforme o número de divisões que serão realizadas no segmento AB. Nesta atividade, dividiremos o segmento em sete partes congruentes. Para isso, usaremos a ferramenta compasso: clique no sexto botão e selecione Compasso. O primeiro passo será definir a abertura do compasso. Clique em um ponto na parte superior da janela, afaste-o para a direita e dê outro clique. A medida da distância entre os dois pontos definirá o tamanho da abertura do compasso.

MANUAL DO PROFESSOR

6. Movimente o mouse até o ponto A e dê um clique; a circunferência com raio igual à abertura do compasso será inserida a partir do ponto A, determinando a medida das divisões que serão realizadas na semirreta. 7. Clique no segundo botão, selecione a opção Interseção de dois objetos e dê um clique na circunferência e na semirreta. Será então criado o ponto F, que determinará a primeira marcação na semirreta. 8. Faremos agora a segunda marcação. Para isso, clique no sexto botão, e a ferramenta Compasso será selecionada. Como já determinamos a medida da abertura do compasso, basta dar um clique no ponto D e depois no ponto E, por fim clicamos no ponto F. Dessa forma estabelecemos a segunda marcação. 9. Para demarcar o ponto na semirreta, clique no segundo botão, depois clique na

nova circunferência e na semirreta; surgirá então o ponto de intersecção H. 10. Repita os passo descritos nos itens 8 e 9, até que a semirreta esteja com as sete marcações. 11. Ocultaremos agora alguns objetos para facilitar a visualização das próximas construções. Para isso, clique com o botão direito em qualquer objeto construído e selecione a opção Propriedades. Clique no sinal 1 ao lado do item Círculo (ou Cônica) e depois na palavra Círculo, fazendo com que todos os círculos sejam selecionados, e desmarque a caixa Exibir objeto. 12. Construiremos agora a primeira reta, que criará as divisões no segmento AB. Clique no terceiro botão e selecione a opção Reta, depois clique no ponto B e no último ponto criado na semirreta. Dessa forma construiremos a reta-base para divisão do segmento. 13. Construiremos as retas paralelas à reta-base passando pelos pontos da semirreta. Clique no quarto botão e selecione Reta paralela, clique na reta-base e no outro ponto da semirreta para construir uma reta paralela à reta-base que passe pelo ponto. Realize esse procedimento para construir todas as retas paralelas. 14. Agora, vamos determinar os pontos de intersecção entre o segmento AB e as retas construídas. Para isso, utilize o botão Interseção de dois objetos. Clique no segmento AB e na reta que passa pelos pontos R e B. Repita esses passos para obter os outros pontos. 15. Criaremos segmentos de retas para delimitar as divisões no segmento e na semirreta para verificação de suas medidas. Clique no terceiro botão e selecione a opção Segmento, então clique no ponto A e depois no ponto Z; em seguida, clique no ponto Z e depois no ponto W. Realize esse procedimento para demarcar todas as divisões do segmento e da semirreta com segmentos de reta.

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16. Clique com o botão direito em qualquer objeto da construção e selecione a opção Propriedades. Clique no sinal 1 ao lado da palavra Segmento e depois na palavra Segmento, assim todos os segmentos serão selecionados. Marque a caixa Exibir rótulo, selecione a opção Valor. Clique somente no segmento a para ocultar a medida do segmento. Clique em Fechar.

Edson Antunes

A construção está concluída. Verifique que o segmento de reta AB está dividido em partes iguais.

Agora realizaremos algumas explorações.

2. Movimente a distância da medida-padrão que foi usada para demarcar a abertura do compasso. Verifique que, mesmo alterando essa medida, o segmento permanece dividido em parte iguais. Realize mais explorações e verifique a validade das propriedades enunciadas pelo teorema de Tales.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de segmentos proporcionais da seção Agora é com você da página 78. Atividade 7 2 itens a e b a)  x 1 y 5 180 (I)   x 5 2 (II) y 7 

MANUAL DO PROFESSOR

1. Clique no primeiro botão e movimente o ponto B. Verifique que, mesmo ao variar o tamanho do segmento AB, ele permanece dividido em partes iguais.

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 x 1 (II), Por y 5 temos: 180 (I)   x 5 2 (II) x y1 y 5 7 180 (I)  x 5 2 (II)   x5 y 7 y  x Substituindo 1 y 5 180 (I) (II) em (I), temos:   x 5 2 y(II)1 y 5 180 y 7  9 y 5 180 7 9y 5 180  7

Com base na observação da figura, temos que os triângulos ABX e BCY são semelhantes pelo caso AAA, pois em B os ângulos são opostos pelo vértice. Considerando as retas r e s paralelas e m e n transversais, temos que: Å Y é Å é congruente a A Å . congruente a Å X e C Sendo assim, temos: AB BX 5 BC BY Vamos calcular o valor de BC:

180  7 9 y 5 140

AC 5 BC 1 AB 24 5 BC 1 4 BC 5 24 2 4 BC 5 20 cm

Por (I), temos: x 1 y 5 180 x 1 140 5 180 x 5 180 2 140 x 5 40

Substituindo os valores na fórmula, temos:

y5



4 BX 5 20 30 BX 5

Resposta: As medidas desses ângulos são 40° e 140°.

BX 5 6 cm Sabendo que XY 5 BX 1 BY, temos:

b) Sendo a medida do lado de um quadrado igual a 6 cm, seu perímetro será:

XY 5 30 cm 1 6 cm 5 36 cm

Para saber mais

6 cm  4 5 24 cm

• Sugerimos assistir ao vídeo Matemática (Ensino Fundamental): O teorema de Tales – Aula 47 – Novo Telecurso, que apresenta formas de realizar medidas inacessíveis por meio das sombras, explorando o teorema de Tales. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Logo, a razão entre a medida de seu lado e de seu perímetro é:

24 5 4 6 1

Resposta: A razão entre a medida do lado do quadrado e seu perímetro

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações do conceito de teorema de Tales da seção Agora é com você da página 82.

Capítulo 10 – Semelhança de triângulos Objetivos do capítulo

Atividade 6 m

n A B

s

Y

DAE

MANUAL DO PROFESSOR

24 5 4 é . 6 1

r

X

C

30 ? 4 20

• Identificar dois triângulos semelhantes e calcular medidas de lados desconhecidos de dois triângulos por semelhança de triângulos. • Identificar e aplicar os três casos de semelhança de triângulos.

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Outras atividades Nesta atividade criaremos um material manipulativo para verificação dos três casos de semelhança de triângulos. Material necessário: • três cores de cartolina (como não será usada toda a cartolina, os alunos podem compartilhar as cartolinas de cores diferentes); • instrumentos para construção dos triângulos: régua, esquadro, transferidor, compasso. 1) Caso de semelhança AA (Ângulo – Ângulo) Desenhe dois segmentos de tamanhos diferentes; em cada extremidade dos segmentos, marque dois ângulos com medidas distintas. Faça o mesmo com os dois segmentos mantendo a congruência entre os ângulos. Construa os triângulos e recorte-os. Represente com letras os lados dos triângulos e verifique a proporção entre a medida

A seguir um exemplo de construção. F

C

d

a

b 40 A

e

70

40 B

c

70

D

E

f

2) Caso de semelhança LAL (Lado – Ângulo – Lado) Desenhe dois segmentos, tendo um o dobro da medida do outro. Defina um valor de ângulo e, a partir de uma das extremidades, desenhe esse ângulo. Realize o mesmo procedimento nos dois segmentos. Com base nesse ângulo, construa o lado do triângulo, tendo um o dobro da medida do outro, da mesma forma definida na construção do segmento-base. Finalize a construção do triângulo unindo a outra extremidade com o segmento construído. Represente com letras os lados dos triângulos e verifique a proporção entre a medida de seus lados. Responda: Os triângulos construídos são semelhantes? Descreva como chegou a essa conclusão. A seguir um exemplo de construção. F

C e b

a

65 A

d

65 c

B

D

f

E

3) Caso de semelhança LLL (Lado – Lado – Lado)

MANUAL DO PROFESSOR

A base do estudo de semelhança de triângulos, apresentada nas páginas 84 a 86, é a proporcionalidade, ou seja, a noção de ampliação e redução. Por meio do teorema de Tales é possível verificar as relações entre as medidas de triângulos semelhantes. Caso julgue conveniente, peça aos alunos que representem no caderno o modelo de construção da página 84, em que temos duas retas paralelas, que pode ser representado pelas linhas do caderno, e duas transversais que se cruzam, formando assim triângulos semelhantes; proponha a eles que façam medições e verifiquem as propriedades estudadas. No item Os três casos de semelhança de triângulos, páginas 88 e 89, proponha aos alunos a construção em cartolina dos três casos de semelhança de triângulos. Faça um roteiro para que verifiquem, por meio de medições, a proporcionalidade entre as construções realizadas para cada caso de semelhança.

de seus lados. Responda: Os triângulos construídos são semelhantes? Descreva como chegou a essa conclusão. Ilustrações: DAE

Algumas explorações

Desenhe dois triângulos: as medidas adotadas para os lados de um dos triângulos

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devem ser uma vez e meia maior que as adotadas para o outro triângulo. Represente com letras os lados dos triângulos e verifique a proporção entre a medida de seus lados. Responda: Os triângulos construídos são semelhantes? Descreva como chegou a essa conclusão. A seguir um exemplo de construção. Dica: Use régua e compasso para realizar essa construção. Com uma régua, trace separadamente segmentos que representem o tamanho dos lados dos triângulos a serem construídos para determinar o tamanho da abertura do compasso para essa construção. Lembre-se de que as medidas dos lados do segundo triângulo são uma vez e meia maiores que as medidas dos lados do primeiro triângulo. F

4,5

Atividade 8 Sendo os triângulos semelhantes, suas medidas são proporcionais. Por meio da medida dos perímetros desses triângulos, encontramos a razão de proporção entre eles. 100 55 20

5 cm ? 5 5 25 cm 6 cm ? 5 5 30 cm 9 cm ? 5 5 45 cm

D

E

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de semelhança de triângulos da seção Agora é com você da página 87.

Resposta: As medidas dos lados do segundo triângulo são iguais a 25 cm, 30 cm, 45 cm. Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de casos de semelhança de triângulos da seção Agora é com você da página 90. Atividade 4

Atividade 2

Ilustrações: DAE

3

B

c) A proporção entre a medida dos lados pode ser representada da seguinte forma: AR RE AE 5 5 OT TE OE

Sabendo a razão de proporção entre os triângulos, calculamos as medidas dos lados do segundo triângulo:

C

A

congruentes, pois os dois triângulos têm um ângulo de 90°, e o ângulo em E é comum; dessa forma, o terceiro ângulo também será congruente.

A

MANUAL DO PROFESSOR

A D

xm T

8m 70 m 45 C

R

O

E

Por meio da figura verificamos que os dois triângulos retângulos são EOT e AER a) Sim, o ângulo O. b) Sim. Pela figura verificamos que os três ângulos dos triângulos são

45 B

F

E

a) Sim. b) Observando a figura, temos o caso de semelhança AA, pois os dois triângulos têm ângulos de 90° e de 45° congruentes. c) Como o ângulo em B e E são de 45°, os ângulos em A e D também serão; logo, os segmentos AC e BC no

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A maquete é construída com medidas em escala em relação ao edifício, ou seja, as medidas do edifício e da maquete são proporcionais, o que significa dizer que são semelhantes. Por meio da altura do prédio e da maquete encontramos a razão de proporção entre suas medidas e a altura da porta da maquete, que chamaremos de x. 1 x 5 2 80 1 2? 5x 80 1 x5 40 1 5 0,025 m 5 2,5 cm x5 40 Resposta: A medida da altura da porta da maquete é 2,5 cm, ou 0,025 m.

Outras atividades Para realização desta atividade, será necessário o uso de um computador com o software livre de geometria dinâmica GeoGebra instalado. Nesta atividade verificaremos o teorema de Pitágoras por meio do software GeoGebra. Faremos a seguinte construção: E

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Matemática na vida – Razão e proporção: semelhança, que apresenta os conceitos de razão e semelhança por meio de acontecimentos e observação de objetos do nosso dia a dia. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Capítulo 11 – O triângulo retângulo

J

D

12,56

C

5,59

K

B

A

6,97

Objetivos do capítulo

• Obter as relações métricas num triângulo retângulo e identificar catetos, hipotenusa, altura e projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. • Conhecer e aplicar o teorema de Pitágoras para determinação de medidas desconhecidas em triângulos retângulos.

Algumas explorações No item Relações métricas no triângulo retângulo, páginas 91 a 93, encontra-se uma

F

G

1. Abra o software GeoGebra. Caso seja necessário, clique no item Exibir e desmarque a opção Eixos para desabilitá-los. 2. Construa uma reta. Para isso clique no terceiro botão e selecione a opção Reta definida por dois pontos. Dê um clique na tela e será definido o ponto A, afaste-o para a direita e dê o segundo clique para

MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 8

maneira de demonstrar o teorema de Pitágoras com base nas relações métricas do triângulo retângulo, em que são consideradas as medidas das projeções dos catetos, quando traçamos a altura do triângulo em relação à hipotenusa. Com o Trabalho em equipe da página 95, pretende-se estimular a prática da demonstração em Matemática, com o objetivo de levar os alunos a argumentar, levantar hipóteses e organizar o pensamento indutivo de forma que se possa comprovar ou refutar uma afirmação em Matemática.

DAE

triângulo ABC são congruentes. Assim, a medida de x é 70 m.

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definir o ponto B. Estará construída a reta que passa por esses pontos. 3. Construa uma reta perpendicular que passe por A. Para isso, clique no quarto botão e selecione a opção Reta perpendicular, dê um clique na reta e, em seguida, no ponto A. Estará construída uma reta perpendicular em A. 4. Clique no segundo botão, selecione a opção Novo ponto e clique na reta perpendicular acima do ponto A para marcar o ponto C nessa reta. 5. Clique no quinto botão, selecione a opção Polígono e clique no ponto A, em seguida no ponto B, depois no ponto C e, por fim, novamente no ponto A. Assim construiremos um triângulo retângulo;



Obs.: Caso o quadrado apareça invertido, clique em Editar, Desfazer, e mude a sequência de letras selecionadas anteriormente. A sequência em que você seleciona as letras, por exemplo A e B ou B e A, determina a posição do polígono construído.

8. Vamos exibir o valor da área dos quadrados. Para isso, clique com o botão direito do mouse em qualquer polígono e selecione Propriedades, depois clique na palavra Quadrilátero e marque a caixa de seleção Exibir rótulo. Selecione Valor e clique em Fechar. 9. Clique no primeiro botão e movimente os pontos B e C. Responda: O teorema de Pitágoras é válido para qualquer triângulo retângulo?

MANUAL DO PROFESSOR

Edson Antunes

6. Altere a cor do triângulo construído para diferenciá-lo dos demais polígonos a ser construídos. Para isso, clique com o botão direito do mouse no triângulo, selecione Propriedades, clique na guia Cor e selecione a cor desejada; depois clique em Fechar.

7. Construiremos agora três quadrados com medidas iguais às medidas dos lados do triângulo. Para isso, clique no quinto botão e selecione a opção Polígono regular. Clique nos pontos B e C, confirme a quantidade de lados do polígono (4) e clique em Ok; depois clique nos pontos B e A, em Ok e, por fim, C e A e Ok.

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Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações do conceito de relações métricas no triângulo retângulo da seção Agora é com você da página 94.

sentam os catetos, e a diagonal representa a hipotenusa; sendo assim temos: a) x 2 5 32 1 32 x 2 5 9 1 9 x 2 5 18

Atividade 1

x5

18

a) a  h 5 b  c 25  h 5 20  15 h 5 20  15 25 300 5 12 cm h5 25

x5

32  2 5 3 2

Resposta: A hipotenusa do quadrado com medida de lado igual a 3 cm é 3 2 cm. b) x 2 5 52 1 52

x 2 5 25 1 25 x 2 5 50

b) c 2 5 a  n 202 5 25  n 400 5 25  n 400 5 16 cm n5 25

x5

50

x5

52  2 5 5 2

Resposta: A hipotenusa do quadrado com medida de lado igual a 5 cm é 5 2 cm.

c) b  5 a  m 152 5 25  n 225 5 25  n 225 5 9 cm n5 25 2

c) x 2 5 ( 7 2 ) 1 ( 7 2 ) 2

x2 5 98 1 98 x2 5 196

Atividade 4

x5

196

x 5 22  7 2 5 2 ? 7 5 14 Resposta: A hipotenusa do quadrado

6

com medida de lado igual a 7 2 cm é 14 cm. Atividade 3

Com base nas relações métricas do triângulo retângulo, temos: 62 5 12  x 36 5 12  x 36 5 3 cm x5 12 Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito do teorema de Pitágoras da seção Agora é com você das páginas 98 e 99. Atividade 2 Sugerimos pedir aos alunos que observem os resultados obtidos nesta atividade e indiquem as regularidades encontradas. A diagonal de um quadrado divide-o em dois triângulos retângulos cujos lados repre-

x z 6 cm

2

y

5

3 cm 4 cm

Iniciaremos buscando o valor de y:

y 2 5 62 1 4 2  ⇒  y 2 5 36 1 16  ⇒  y 2 5 52 y5

52   ⇒  y 5

22  13 5 2 13   ⇒

⇒  y 5 2 13 cm Sabendo o valor de y, calculamos o valor de z: 2

z 2 5 (2 13 ) 1 32  ⇒  z 2 5 52 1 9 z 2 5 61  ⇒  z 5

61   ⇒  z 5

MANUAL DO PROFESSOR

x

Ilustrações: DAE

12

2

61 cm

341 341 pom9_mp_318_349_especifica.indd 341

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Sabendo o valor de z, calculamos o valor de x:

x 2 5

61 1 ( 2 5 )   ⇒  x 2 5 61 1 20 2

x 2 5 81  ⇒  x 5

2

81 5 9 ⇒  x 5 9 cm

Para saber mais Sugerimos assistir à série de vídeos intitulada O legado de Pitágoras , que apresenta os fundamentos dos estudos realizados pelo filósofo e matemático Pitágoras e a história que permeou todas as suas descobertas. Visite os links a seguir (acessos em: maio 2015). • O legado de Pitágoras – Os triângulos de Samos (Parte I): . • O legado de Pitágoras – Pitágoras e outros (Parte II): . • O legado de Pitágoras – Desafiando Pitágoras (Parte III): .

Capítulo 12 – Razões trigonométricas no triângulo retângulo Objetivos do capítulo

MANUAL DO PROFESSOR

• Identificar, definir e calcular as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de ângulos agudos em triângulos retângulos. • Resolver situações relacionadas a medidas de lados de triângulos retângulos empregando as razões trigonométricas. • Conhecer os valores das razões trigonométricas para os ângulos 30°, 45° e 60°.

Algumas explorações No quadro Observação da página 102 é mencionado o uso da calculadora para obtenção das medidas do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo. Sugerimos padronizar a forma como será realizado o arredondamento dos valores obtidos na calculadora, o número de casas decimais e as

regras de arredondamento, para evitar disparidade nos resultados encontrados pelos alunos. Nessa mesma página temos a seção Trabalho em equipe. Motive os alunos a encontrar soluções para proporcionar melhorias no acesso ao bairro onde residem. Se possível, promova um diálogo entre eles sobre as propostas sugeridas e, com a participação de todos, avalie-as questionando-os, por exemplo, quanto ao uso de rampas: "Qual seria a melhor inclinação? Há espaço suficiente para sua construção?", entre outras questões. No item Razões trigonométricas para ângulos notáveis, página 105, verifique a compreensão dos alunos sobre os cálculos realizados, pois envolvem conhecimentos de Álgebra. Sugerimos explorar as atividades da seção Superando desafios das páginas 110 e 111. Ao estudar o teorema de Tales, proponha a resolução da atividade 2 desta seção, ou, ao estudar razões trigonométricas, proponha a resolução da atividade 10. São atividades contextualizadas que contribuirão para a apropriação dos conceitos estudados.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de razões, seno, cosseno e tangente da seção Agora é com você das páginas 103 e 104. Atividade 5 a) sen 15 5

x x   ⇒  0,2679 5 2 000 2 000

x 5 0,2679 ? 2 000 x  535,9 Resposta: aproximadamente 535,9 m. 2 000 2 000 b) cos 155   ⇒  0,9659 5 y y 2 000 y5 0,9659 y  2 070,6

Resposta: aproximadamente 2 070,6 m.

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Atividade 7 Eduardo Belmiro

Atividade 7 DAE

C 12

x

40° D

y

B

O

32

a) sen 405

x 12

0,6427 5

x 12

75° 12 m

x 5 12 ? 0,6427 x  7,7134; 7,7134 cm b) AyDx2 5 122 2 (7,7134)2

AyDx2 5 144 2 (7,7134)2



AyDx2 5 144 2 59,4965



AyDx2 5 84,5034



AyDx2 5



84,5034

AyDx2  9,1925; 9,1925 cm



Conhecendo a medida de AyDx, calculamos o valor de y:

12 m

Observando a figura, percebemos que do ponto onde o observador se encontra até o chão temos a forma de um quadrado; sendo assim, a linha inclinada do observador até a base do edifício observado representa a diagonal desse quadrado, que forma um ângulo de 45°; logo, o ângulo formado do ponto onde se encontra o observador até o topo do edifício observado será igual a 30°, pois 75° 2 45° 5 30°. Dessa forma, calculamos a altura do ponto onde está o observador até o topo do edifício observado.

y  32 2 9,1925

tg 30 5

y  22,8075; 22,8075 cm b  h 5 32  7,7134  123,4152; c) 2 2 aproximadamente 123,4152 cm2

3 ? 12  ⇒  x 5 4 3 m 3 Altura do edifício observado é

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações do conceito de razões trigonométricas para ângulos notáveis da seção Agora é com você das páginas 106 e 107. Atividade 4 x tg 30 5 45 3 x 5 3 45

x5

3 ? 45 3

x 5 15 3 Resposta: 15 3 m.

3 x x   ⇒  5 3 12 12

x5

(12 1 4 3 ) m

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Novo Telecurso – Aula 40: A trigonometria do triângulo retângulo, que traz uma maneira contextualizada para apresentar as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Disponível em: (acesso em: maio 2015). • Sugerimos, também, assistir à série de vídeos que trata das relações trigonométricas básicas. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

MANUAL DO PROFESSOR

A

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Unidade 4 – Álgebra: equações do 2o grau Objetivos da unidade • Identificar e resolver equações incompletas e equações completas do 2º grau por meio de procedimentos algébricos diversos. • Empregar a fórmula de Bhaskara para a resolução de equações do 2º grau com uma incógnita. • Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau. • Conhecer e empregar as propriedades que relacionam os coeficientes de uma equação do 2º grau e suas raízes. • Discutir, com base nos valores do discri­minante, as possibilidades sobre o conjun­to solução de uma equação do 2º grau. • Compreender como se fatora uma equa­ ção do 2º grau por meio de suas raízes. • Resolver equações redutíveis a equações do 2º grau por meio da troca de incógnitas (equações biquadradas). • Resolver problemas correspondentes. • Resolver equações irracionais.

MANUAL DO PROFESSOR

• Obter a média aritmética, a média ponderada, a mediana e a moda de um conjunto de valores.

Capítulo 13 – Equações do 2o grau Objetivos do capítulo

• Identificar e resolver equações incompletas e equações completas do 2º grau por meio de procedimentos algébricos diversos. • Utilizar a fórmula de Bhaskara para a resolução de equações do 2º grau com uma incógnita. • Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau.

Algumas explorações Com as questões introdutórias, página 115, pretende-se apresentar os conceitos iniciais sobre as funções polinomiais do 2º grau. Com base na primeira questão, Quantas soluções reais a equação x 2 2 4x 5 0 admite?, explique que uma função polinomial de grau n, possui no máximo n raízes no campo dos números reais (R). A seguir sugestões de exemplos para auxiliá-lo nessa tarefa. Exemplo 1: Duas raízes reais – Duas raízes reais e diferentes A equação x 2 2 4x 5 0, da primeira questão introdutória, é chamada de incompleta, pois não possui o coeficiente c; sua forma fatorada é igual a x  (x 2 4) 5 0, tendo como raízes x1 5 0 e x2 5 4. Ressalte que em equações que não possuem o termo independente (coeficiente c) uma das raízes sempre será zero. Exemplo 2: Única raiz real – Duas raízes reais e iguais A equação x 2 1 2x 1 1 tem como resolução uma única raiz 5 1. A forma fatorada da equação (x 2 1)  (x 2 1) mostra que a resolução admite duas raízes reais e iguais. Exemplo 3: Não tem raiz real A equação x 2 1 1 5 0 não tem raízes reais, pois x 2 5 21; x 2 5 21 . Com base na segunda questão introdutória, É possível obter mentalmente as raízes da equação x 2 2 7x 1 6 5 0?, pretende-se apontar a possibilidade de resolver uma equação polinomial do 2º grau somente com base nas informações sobre seus coeficientes, ou seja, encontrando a forma fatorada da equação. A forma fatorada da equação x 2 2 7x 1 6 5 5 0 é (x 2 1)  (x 2 6); logo, suas raízes são 1 e 6. Mentalmente a resolução depende dos valores dos coeficientes a, b e c. Pois, temos que:

x2 2 Sx 1 P 5 0 Na equação dada, S 5 Soma 5 7 e P 5 Produto 5 6, ou seja, temos de encon-

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Com a terceira questão, O que é um trinômio quadrado perfeito?, conforme já estudado, o desenvolvimento do trinômio quadrado perfeito resulta em uma equação polinomial do 2º grau. Na seção Trabalho em equipe, página 124, é solicitada aos alunos a conversão de um registro algébrico para o registro gráfico. É importante que o aluno compreenda os conceitos que envolvem determinado objeto matemático no trabalho com diferentes formas de registro. Cada tipo de representação de um objeto matemático traz informações distintas sobre aquele objeto; trabalhar com registros diversificados levará o aluno a explorar diferentes características e alcançar, assim, a aprendizagem significativa referente àquele objeto. No item Resolução de equações por fórmula, página 122, é apresentada a fórmula de Bhaskara. Por meio dessa fórmula é possível encontrar as raízes de uma equação polinomial do 2º grau de forma única, basta utilizar os valores dos coeficientes e aplicar a fórmula. Apesar da aparente simplicidade, durante sua aplicação podem ocorrer diferentes erros operatórios, pois sua execução requer vários passos. Até aqui foram apresentadas maneiras diversificadas para encontrar as raízes de uma equação polinomial do 2º grau. Se possível, permita que os alunos apliquem a forma que julgarem mais eficaz para sua resolução. É importante também motivá-los a verificar a validade dos valores encontrados, substituindo o valor de x pelos valores obtidos.

1. Com base na equação x 2 1 16x 5 57, desenhe um quadrado de área igual a x 2 e um retângulo de área igual a 16x. x

x x

16

2. Divida verticalmente o retângulo de área 16x em quatro retângulos de mesma área e responda: Qual é a área de cada retângulo obtido? 16x 5 4x 4 3. Desenhe o quadrado de área x 2 e, a seu redor, os quatro retângulos. Responda: Qual é a expressão que representa a área dessa figura? E qual é o valor da sua área?  bs.: Represente a equação sem desenO volver os cálculos.

x 4 cm

A área total será igual à área do quadrado somada à área dos quatro retângulos.

x 2 1 4  4x

Outras atividades

O aluno deverá perceber que, com base na equação polinomial do 2º grau fornecida no item 1, a área da figura é 57, pois x 2 1 4  4x 5 x 2 1 16x 5 57.

Esta atividade tem como objetivo explorar o método de completar quadrado por meio da Geometria. É importante o auxílio do professor para compreensão de todas as etapas.

4. Desenhe novamente a figura do item 3 e complete seus cantos para formar um quadrado. Encontre a expressão que fornece a área completa desse quadrado.

MANUAL DO PROFESSOR

Sendo assim: x2 2 7x 1 6 5 (x 2 1)  (x 2 6) 5 5 0, tem as raízes iguais a x1 5 1 e x2 5 6.

Ao final da atividade solicitamos que os alunos assistam a um vídeo disponível na internet para que acompanhem a resolução algébrica de uma equação polinomial do 2º grau empregando o método de completar quadrados.

Ilustrações: Setup

trar dois números cujo resultado, quando somados, é 7, e quando multiplicados é 6; logo, temos que esses números são iguais a x1 5 1 e x2 5 6. A forma fatorada será igual a: a  (x 2 x1)  (x 2 x2) 5 0.

345 345 pom9_mp_318_349_especifica.indd 345

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Ilustrações: Setup

Obs.: Dê a expressão sem desenvolver os cálculos.

x

apresenta o método algébrico de completar quadrados, no qual é possível encontrar o valor das duas raízes da equação polinomial do 2º grau. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Algumas resoluções 4 cm

x 2 1 4  4x 1 4  16 5. Com base nos itens 3 e 4, dê a equação que represente a área total do quadrado. Obs.: Dê a equação sem desenvolver os cálculos.

x2 1 4  4x 1 4  16 5 57 1 4  16 6. Com base na expressão do item 5, responda: Qual é a medida do lado do quadrado? A medida do lado do quadrado é: 57 1 4  16 5

121 5 11 u.c.

7. Conhecendo o valor da medida do lado do quadrado, encontre o valor de x. 4 1 x 1 4 5 11  ⇒  x 1 8 5 11 x 5 11 2 8  ⇒  x 5 3 8. Verifique se o valor de x encontrado no item 7 é raiz da equação x 2 1 16x 5 57.

MANUAL DO PROFESSOR

 im. Pois substituindo o valor de x na S equação temos:

x2 1 16x 5 57 32 1 16  3 5 57 9 1 48 5 57 57 5 57 9. Vimos que 3 é uma das raízes da equação. É possível encontrarmos um valor negativo para x?  im, porém, se isso ocorrer, o valor negaS tivo deve ser descartado, pois esse é um problema geométrico, que não admite valores negativos para medidas. 10. Depois de explorar o método de completar quadrados por meio da Geometria, assista ao vídeo indicado a seguir, que

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de resoluções de equações incompletas da seção Agora é com você da página 119. Atividade 5 2 itens a, b e d a) 2x 5 x 2 x 2 2 2x 5 0 x (x 2 2) 5 0 Tendo a forma fatorada da equação incompleta, encontramos suas raízes, que neste caso são 0 ou 2. b) Sabendo que a área do quadrado em relação à medida de seu lado é 2 e sua diagonal em relação à medida de seu lado é   2 , temos que: 2 5   2 2 2   2 5 0  [ 2

2] 5 0

Tendo a forma fatorada da equação incompleta, encontramos suas raízes, que neste caso são iguais a 0 ou 2 . Como 0 não é uma medida válida, temos que a medida do lado será 2 u.c. d) Sabemos que a área de um retângulo é igual à multiplicação da medida de seus lados; logo: 3x  6x 5 3 042 18x 2 5 3 042 3 042 x 2 5 18 2 x  5 169

x5

169

x 5 13 Então, a medida dos lados é: 3x 5 3  13 5 39 cm 6x 5 6  13 5 78 cm

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Atividade 6

Para calcular o valor da idade do pai, temos:

x 3 2 4x 2 2 x 1 4 5 0 24x 2 1 4 1 x 3 2 x 5 0 24(x 2 2 1) 1 x (x 2 2 1) 5 0 (x 2 2 1)  (x 2 4) 5 0 (x 2 1)  (x 1 1)  (x 2 4) 5 0

x 1 y 5 52  ⇒ 5 1 y 5 52 y 5 52 2 5  ⇒  y 5 47

Apresentamos a seguir a resolução da atividade 6 e algumas sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de resolução de equações por fórmula da seção Agora é com você da página 124. Chamaremos de x a idade do filho e de y a idade do pai.  x 1 y 5 52 (I)  2 ( x 1 2) 5 y 1 2 (II) Desenvolvendo (II), temos: x 2 1 4x 1 4 = y 1 2 (II) Por (I), temos: y 5 52 2 x Substituindo (I) em (II), temos: x 2 1 4x 1 4 = 52 2 x 1 2 (II) x 2 1 4x 1 x 1 4 2 54 = 0 (II) x 2 1 5x 2 50 = 0 (II) Temos que a 5 1, b 5 5, c 5 –50 Por Bhaskara: D 5 b 2 2 4ac D 5 (5)2 2 4  1  (250) D 5 25 1 200  ⇒  D 5 225

x5

2b 6 ∆ 2a

x5

2(5) 6 225 21

 2(5) 1 225 25 1 15 10 5 5 55   21 2 2 x5   2(5) 2 225 5 25 2 15 5 220 52 10  21 2 2 Como não é admitido valor negativo para idade, temos que x 5 5. Logo, a idade do filho é 5 anos.

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Esse tal de Bhaskara , que traz diversos métodos adotados por povos de diferentes épocas para resolver equações polinomiais do 2º grau. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Capítulo 14 – Propriedades de raízes e coeficientes Objetivos do capítulo • Conhecer e empregar as propriedades que relacionam os coeficientes de uma equação do 2º grau e suas raízes. • Discutir, com base nos valores do discriminante, as possibilidades sobre o conjunto solução de uma equação do 2º grau. • Compreender como se fatora uma equação do 2º grau por meio de suas raízes.

Algumas explorações No item O discriminante – discussão das raízes, páginas 125 e 126, solicite aos alunos que iniciem a resolução da fórmula de Bháskara pelo valor de D, pois no caso de D negativo não haverá raízes reais como resolução da equação, o que poupará o trabalho de efetuar cálculo desnecessário. A seção Trabalho em equipe, página 128, tem por objetivo levar o aluno a usar a linguagem formal da Matemática para encontrar generalizações. Esse trabalho deve ser incentivado, pois desenvolve o raciocínio lógico e dedutivo e, por se tratar de uma atividade em dupla, contribui também para o levantamento de conjecturas e argumentações, o

MANUAL DO PROFESSOR

Tendo a forma fatorada da equação polinomial de 3º grau, encontramos suas raízes, que neste caso são 1, 21 e 4.

Resposta: Hoje a idade do filho é 5 anos, e a do pai é 47 anos.

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que desenvolve no aluno uma postura crítica diante de um discurso matemático.

Tire a prova real para validar os resultados.

Outras atividades

(22)2 1 5  (22) 1 6 5 0

Nesta atividade será usado o Material Dourado para resolver equações polinomiais do 2º grau.

4 2 10 1 6 5 0

Material necessário: peças do Material Dourado que representem unidades, dezenas e centenas. Cada peça terá um valor, conforme representação a seguir.

x

Para x 5 –3: (23)2 1 5  (23) 1 6 5 0 9 2 15 1 6 5 0 1. Resolva as equações a seguir usando o Material Dourado. Tire a prova real para cada situação: a) x 2 1 4x 1 3 5 0

1

Ilustrações: Setup

x

Para x 5 22:

x 1 1 Valor  x2

Valor  x

Valor  1

Desenvolva com os alunos o seguinte exemplo. Vamos resolver a equação x 2 1 5x 1 6 5 0. • Forneça a eles a quantidade de peças que representam essa equação, ou seja: uma peça de valor x 2, cinco peças de valor x e seis peças de valor 1. • Solicite que construam um retângulo com as peças fornecidas.

(x 1 1)  (x 1 3) 5 0 Raízes: 21 ou 23 Verificação: Para: x 5 –1 x 2 1 4x 1 3 5 0 (21)2 1 4  (21) 1 3 5 0 1241350 Para: x 5 –3 x 2 1 4x 1 3 5 0 (23)2 1 4  (23) 1 3 5 0 9 2 12 1 3 5 0

MANUAL DO PROFESSOR

b) x 2 1 6x 1 5 5 0

• Orienta-os a que representar a expressão que equivale à área do retângulo encontrado: (x 1 2)  (x 1 3) • A expressão encontrada é a forma fatorada da expressão x2 1 5x 1 6. Agora basta resolver a equação na forma fatorada: (x 1 2)  (x 1 3) 5 0

x 1 2 5 0  ⇒  x 5 22 ou x 1 3 5 0  ⇒  x 5 23

(x 1 1)  (x 1 5) 5 0 Raízes: 21 ou 25 Verificação: Para: x 5 –1 x 2 1 6x 1 5 5 0 (–1)2 1 6  (–1) 1 5 5 0 1261550 Para: x 5 –5 x 2 1 6x 1 5 5 0

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explorações sobre o conceito de soma e produto das raízes da seção Agora é com você da página 131.

(–5)2 1 6  (–5) 1 5 5 0 25 2 30 1 5 5 0

Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução da atividade 3 e algumas sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de discriminante – discussão das raízes da seção Agora é com você da página 127. Atividade 3

b a

a) x1 1 x2 5 2

x1 2 x1 5 2

(m 2 10) 1

0 5 2(m 2 10)

b 5 26

c5m24

Logo, o valor de D é: D 5 b2 2 4ac D 5 (26)2 2 4  2  (m 2 4) D 5 36 2 8  (m 2 4) D 5 36 2 8m 1 32 D 5 28m 1 68 a) Para que a equação admita duas raízes reais e iguais, D 5 0; logo, o valor de m para este caso é: 28m 1 68 5 0 28m 5 2 68 268 m5 28 m 5 8,5 b) Para que a equação admita duas raízes reais e distintas, D  0; logo, o valor de m para este caso é: 28m 1 68  0 28m  2 68 268 m 28 m  8,5 c) Para que a equação não admita raízes reais, D  0; logo, o valor de m para este caso é: 28m 1 68  0 28m  2 68 268 m 28 m  8,5 Apresentamos a seguir a resolução da atividade 3 e algumas sugestões de possíveis

2m 1 10 5 0 2m 5 210

m 5 10 Resposta: O valor de m é 10. b) x1  x2 5 x1  x2 5

c a 236 5 236 1

Resposta: O produto das raízes é 236. c) x1  x2 5

c a

x1  (2 x1) 5

236 1

2x12 5 236

x12 5 36 x1 5 6 36 x1 5 66 Sendo x2 o oposto de x1, temos que, para x1 5 16, x2 5 26; para x1 5 26, x2 5 16; Resposta: O conjunto solução dessa equação é {6, –6}.

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Matemática (Ensino Fundamental): Equação do 2º  grau – Novo Telecurso – Aula 73, que traz algumas situações do cotidiano que são resolvidas por meio de equações do 2º grau. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

MANUAL DO PROFESSOR

Para os três itens será necessário encontrar o valor de D, para isso temos que os coeficientes da equação dada são:

a52

Sendo x1 oposto de x2, x2 5 2x1.

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Objetivos do capítulo • Resolver equações redutíveis a equações do 2º grau por meio da troca de incógnitas (equações biquadradas). • Resolver problemas correspondentes. • Resolver equações irracionais.

Algumas explorações

MANUAL DO PROFESSOR

No texto introdutório da página 132, sobre a quantidade de diagonais em um polígono, é apresentada uma situação para a aplicação das equações polinomiais do 2º grau. Para os alunos, conhecer a aplicação de determinada fórmula os ajuda na resolução de problemas. Se possível, peça que os alunos sigam atentamente as recomendações do item Resolução de problemas por meio de equações do 2º grau, dessa mesma página, pois tais detalhes podem contribuir para a resolução adequada das equações polinomiais do 2º grau e evitar o trabalho de refazê-las, o que às vezes resulta em novos erros. No item Equações biquadradas, páginas 135 e 136, são apresentadas as equações polinomiais do 4º grau; logo, possuirão até quatro raízes reais como resolução. Vale ressaltar aos alunos que sua resolução segue os mesmos procedimentos das equações polinomiais do 2º grau, com a diferença de que será necessário extrair as raízes quadradas dos valores de x1 e x2 encontrados, o que poderá resultar em raízes não reais. Se possível, recomende a leitura da seção Conexões, páginas 140 e 141, e como sugestão peça aos alunos que meçam a largura e a altura de um cartão magnético (cartão de conta-corrente ou de crédito). Em geral a razão entre essas medidas, respectivamente, tem valor aproximado ao número de ouro (Φ), cujo valor aproximado é 1,618. Esse é um exemplo de proporção áurea em objetos do cotidiano.

Outras atividades Nessas atividades sugerimos algumas situações-problemas a serem resolvidas por meio de equações polinomiais de 2º grau. Se possível incentive os alunos a compartilhar as estratégias empregadas na resolução dessas situações. 1. O dono de uma fazenda recebeu 300 metros de tela para cercar determinada área retangular em sua fazenda. Encontre uma expressão que represente a área de um terreno que possa ser cercado com esse comprimento de cerca. O dono da fazenda pretende cercar um dos dois terrenos que ele possui, um com comprimento igual a 20 m e outro com comprimento igual a 30 m. Qual é a área total, e sua respectiva largura, que poderá ser cercada com a quantidade de tela fornecida?  figura a seguir ilustra o procedimento para A cálculo da área do terreno.

Setup

Capítulo 15 – Equações redutíveis ao 2o grau e problemas

x

150  x

 esenvolvendo a expressão que represenD tará a área, temos:

x  (150 2 x)  ⇒ 150x 2 x2 A área do terreno será dada por: 150x 2 x2.  ara o terreno com comprimento igual a P 30 m, temos: Área do terreno 5 150x 2 x2 150  30 2 302 5 4 500 2 900 5 3 600 m2 Largura do terreno 5 150 2 x 5 150 2 30 5 120 m  ara o terreno com comprimento igual a P 20 m, temos: Área do terreno 5 150x 2 x2 150  20 2 202 5 3 000 2 400 5 2 600 m2 Largura do terreno 5 150 2 x 5 150 2 20 5 130 m

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2. Uma caixa sem tampa tem a base quadrada com lado que mede x dm e altura 1 dm. Sabendo que a área total de sua superfície é de 5 dm 2, calcule a medida de x . Área da base é igual a: x 2 dm2. Área da lateral é igual a: x dm2.  ada a área da superfície, temos a D seguinte equação:

x 2 1 4  x 5 5 dm2 x 2 1 4x 2 5 5 0 Fatorando a expressão, temos:

x 2 1 4x 2 5 5 (x 2 1)  (x 1 5)

Para: x 1 4 5 14, x 5 10 Para: x 1 4 5 –14, x 5 –18 Logo, as raízes da equação x2 1 8x 5 180 são: 10 ou –18. Como para este problema não é admitido valor negativo, x 5 218 será descartado, utilizando apenas x 5 10. Sendo assim, o número de alunos por fila é:

x 1 8 5 10 1 8 5 18 Resposta: A quantidade de alunos por fila é 18.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução da atividade 9 e algumas sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de resolução de problemas por meio de equações do 2º grau da seção Agora é com você da página 134. Atividade 9

 endo assim, os possíveis valores de x S são: 11 ou –5. Como para medida não é admitido valor negativo, a medida de x é 1 dm.

Chamaremos de , o lado do quadrado, e de x a medida do lado do quadrado retirado dos cantos:

Resposta: A medida de x é igual a 1 dm.

A área dos quatro quadrados retirados dos cantos é x 2; sabendo que depois de retirar os quatro cantos a área é 225 cm 2, temos que:

3. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila? Número de filas 5 x Número de alunos por fila 5 x 1 8

,2 5 625 cm2

, 2 2 4x 2 5 225 625 2 4x 2 5 225 24x 2 5 225 2 625

x  (x 1 8) 5 180

24x2 5 2400

x 2 1 8x 5 180

x2 5

 sando o método de completar quadrados U para resolver a equação do 2º grau, temos:

2400 24 2 x  5 100

x 2 1 2  4x 1 4  4 5 180 1 4  4

x5

x 2 1 8x 1 16 5 180 1 16

x 5 10

x 2 1 8x 1 16 5 196 (x 1 4)2 5 196 ( x 1 4)2 56 196

x 1 4 5 614 x 1 4 5 14 ou x 1 4 5 214

100

Resposta: A medida do lado x é 10 cm. Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de equações irracionais da seção Agora é com você da página 139.

MANUAL DO PROFESSOR

Resposta: A expressão que representa a medida da área do terreno é igual a 150x 2 x2; as medidas das áreas e respectivas larguras dos terrenos de 20 m e 30 m de comprimento são: 3 600 m 2 e 120 m; 2 600 m 2 e 130 m.

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Atividade 3 Resolvendo a equação, temos:

(

x 5 2 1 x 2 48

(

x ) 5 2 1 x 2 48 2

2

(

a) 6 1 2x 11 5 3

)

2

6 1 2x 11

6 1 2x 11 5 9 2x 11 5 3 2x 11 ) 5 3 2

2

2x 1 1 5 9 2x 5 9 2 1 2x 5 8 8 ⇒x54 2 Resposta: {4}

MANUAL DO PROFESSOR

x5

11 x 55

)

2

1 1 x 5 52 1 1 x 5 25 x 5 25 2 1 x 5 24

(

2

c) S 5 {169}.

Objetivos do capítulo

• Obter a média aritmética e a média ponderada de um conjunto de valores.

Atividade 4

(

5 12

Capítulo 16 – Medidas de tendência central

Logo, temos:

b)

2

x 1 2 ) 5 22 x1254 x 5 4 2 2  ⇒  x 5 2 Resposta: {2}

x 5 121 1 48  ⇒  x 5 169

(

)

x 12 5 2

x 2 48 5 121

(

32 x 12

2 x 1 2 52 2

2

b) Sim.

(

2 x 12 5 1 2 3

x 2 48 ) 5 112

a) Não.

32 x 12 5 1

3 2 x 12 5 1

)

x 5 4 1 4 x 2 48 1 x 2 48 x 5 4 x 2 48 1 x 2 44 4 x 2 48 1 x 2 x 5 44 4 x 2 48 5 44 x 2 48 5 44 4

(

c)

x ) 5 242 x 5 576 2

Resposta: {576}

5 32

• Obter a mediana e a moda de um conjunto de valores. • Usar no entendimento de situações as medidas de tendência central.

Algumas explorações Cabe notar que em volumes anteriores os alunos estudaram o conceito de média aritmética; dessa forma, sugerimos que nessa seção o enfoque seja dado para as aplicações da média, bem como na resolução de atividades. Quanto à mediana e à moda é interessante que os valores sejam organizados próximos à média, a fim de que os alunos possam comparar essas medidas. Este assunto é de continuidade direta da organização de dados em tabelas de frequência. Se julgar conveniente, solicite aos alunos que retornem às tabelas da seção anterior para determinar suas medidas de tendência central.

Outras atividades Converse com os alunos sobre a obtenção de dados que podem ser organizados em tabelas de frequência de variáveis discreta ou contínua. Incentive-os a pensar em algumas opções, como:

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• dados de laboratório; • dados socioeconômicos; • dados pessoais, medidas do corpo. Converse com os professores de outras disciplinas para verificar a possibilidade de articular projetos conjuntos; dessa forma, o aluno poderá aplicar um conhecimento matemático estatístico adquirido em sala de aula a outras disciplinas e situações. Em seguida, o aluno poderá identificar a média, a mediana e a moda em cada situação e também calcular o desvio médio. Com base nos conceitos estudados poderão comparar seus resultados e identificar qual foi o experimento mais regular.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução da atividade 20 da seção Resgatando conteúdos das páginas 153 a 155. Atividade 20 Considerando que:

x: quantidade de homens y: quantidade de mulheres Temos que x 1 y 5 240 E que a média pode ser escrita como: x  50 1 y  35 5 40 240  1 y 5 240 Logo, temos o seguinte xsistema de equa 50 x 1 35 y ções: 5 40  240   x 1 y 5 240  x 1 y 5 240    50 x 1 35 y 5 40 50 x 1 35 y 5 9600  240   x 1 y 5 240 Isolando x na 1ª equação, temos: x 5  50 x 1 35 y 5 9600  5 240 2 y Substituindo na 2ª equação, temos: 50  (240 2 y) 1 35y 5 9 600 12 000 2 50y 1 35y 5 9 600 215y 5 22 400

y 5 160 Logo, temos 160 mulheres e 80 homens nesse grupo de ciclismo.

Para saber mais • Apostilas de Estatística Descritiva disponíveis na internet; visite: e (acessos em: maio 2015).

Unidade 5 – Geometria: polígonos e circunferências Objetivos da unidade • Conhecer o procedimento para o cálculo da área de um triângulo, de um quadrado, de um losango, de um paralelogramo e de um trapézio. • Identificar polígonos convexos. • Calcular o número de diagonais de um polígono convexo conhecendo o número de lados. • Calcular a soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo com base no número de lados. • Identificar polígonos convexos regulares. • Obter as medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo regular de acordo com o número de lados. • Compreender o significado de polígonos inscritíveis e circunscritíveis. • Calcular a área de um polígono regular pela medida de seu apótema e de seu semiperímetro. • Obter e aplicar as relações entre o lado, o apótema e o raio da circunferência circunscrita a um triângulo equilátero, a um quadrado e a um hexágono regular. • Obter e aplicar relações para calcular a área de um círculo, o comprimento

MANUAL DO PROFESSOR

• pesquisas de opinião;

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• Retomar a relação entre ângulo inscrito e ângulo central de um mesmo arco de circunferência. • Obter e aplicar as relações métricas entre cordas numa circunferência. • Obter e aplicar as relações métricas entre secantes numa mesma circunferência. • Calcular a potência de um ponto em relação às relações métricas numa circunferência.

Capítulo 17 – Áreas de quadriláteros e triângulos Objetivo do capítulo

• Conhecer o procedimento para o cálculo da área de um retângulo, de um quadrado, de um paralelogramo, de um triângulo, de um losango e de um trapézio.

onde seja necessária a composição ou decomposição de figuras. No item Área do retângulo, do quadrado e do paralelogramo, páginas 159 e 160, é feita uma revisão do cálculo de área desses polígonos; no caso particular do paralelogramo, consideramos importante destacar que a demonstração do cálculo de sua área é feita por meio da decomposição e composição de figuras. Caso julgue conveniente, proponha a construção de um paralelogramo em cartolina e, por meio de recortes, mostre que a nova forma obtida é a de um retângulo. O mesmo trabalho pode ser realizado no item Área do triângulo, do losango e do trapézio, páginas 162 a 164, com a demonstração dos cálculos das áreas de um losango na página 163 e de um trapézio na página 164.

Outras atividades Veja a seguir o passo a passo da confecção de um Tangram. Setup

de uma circunferência, a área de um setor circular e o comprimento de um arco de circunferência.

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas explorações Com base no parágrafo introdutório da página 156, pretende-se destacar a importância de os alunos observarem o ambiente a sua volta e reconhecer as formas geométricas que nele se encontram. Muitos problemas do cotidiano são resolvidos por meio dessa percepção; por exemplo, para calcular a área de um terreno irregular faz-se necessária sua decomposição em figuras conhecidas para obter o valor dessa medida, o que exige o conhecimento das propriedades e características métricas e geométricas dos polígonos. As questões introdutórias da página 157 apresentam essa perspectiva. Com base no questionamento: Qual é a área de sua sala de aula?, página 157, se possível proponha aos alunos medir a área da sala de aula. Peça que forneçam esse valor em diferentes unidades de medida (km, m, cm etc.). Caso julgue conveniente, proponha também a medida da área de algum local

Parte I Existem várias formas de construir um Tangram. Use a que julgar mais conveniente. Para auxiliá-lo nessa tarefa, apresentamos uma delas. Material necessário: cartolina branca, régua, compasso, esquadro, lápis, borracha e lápis de cor.

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A seguir, passos para a construção do Tangram: 1. Desenhe na cartolina um quadrado com medida de lado igual a 10 cm. D

C

A

B

D

C

A

B

2. Trace a diagonal AC.

3. Marque o ponto médio da diagonal AC e identifique-o como ponto E. C

D

E

A

B

D

C

4. Trace um segmento de reta DE.

B

A

5. Encontre os pontos médios dos segmentos AB e BC e marque esses pontos como F e G, respectivamente. C

D

E

A

F

G

MANUAL DO PROFESSOR

E

B

355 355 pom9_mp_350_373_especifica.indd 355

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6. Trace o segmento de reta FG. D

E

A

G

F

Ilustrações: Setup

C

B

7. Prolongue o segmento de reta DE até que encontre o segmento FG; identifique o ponto de intersecção do segmento DE com o segmento FG como H. D

C

G

E H A

B

F

8. Trace dois segmentos de reta, um paralelo ao segmento EH passando por F e outro paralelo ao segmento AD passando por H. C

D

G

E H A

F

B

MANUAL DO PROFESSOR

9. O Tangram está concluído. Para melhor identificação das peças, pinte-as de cores diferentes e recorte-as. Parte II – Desafios de construção usando o Tangram Com as peças do Tangram, construa as formas geométricas indicadas de acordo com o número de peças: a) um paralelogramo não retângulo, usando duas peças; b) um retângulo usando quatro peças; c) um trapézio usando duas peças; d) um quadrado usando cinco peças.

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Resolução a) Um paralelogramo não retângulo usando duas peças.

a) um paralelogramo não retângulo usando duas peças;

b) Um retângulo usando quatro peças.

Possibilidades: • Com dois triângulos pequenos: 2 u.a. • Com dois triângulos grandes: 8 u.a. b) um retângulo usando quatro peças;

c) Um trapézio usando duas peças.

• Dois triângulos pequenos 1 um triân­ gulo médio 1 um triângulo grande: 2 ? 1 1 2 1 4 5 8 u.a. c) um trapézio usando duas peças;

d) Um quadrado usando cinco peças.

Tomando como base de unidade para medida de área o triângulo menor da peça do Tangram, ou seja, o triângulo menor da peça do Trangram mede 1 u.a., calcule a medida da área das demais peças. Anote os valores encontrados. Resolução Quadrado, triângulos médios e paralelogramo: 2 u.a. Triângulo grande: 1 1 1 1 1 1 1 5 4 u.a. Parte IV – Calculando a área das figuras construídas Com base nos valores de áreas obtidos de cada peça, calcule a área das figuras construí­das no item Parte II:

d) Um quadrado usando cinco peças.

• Um triângulo médio 1 dois triângulos pequenos 1 um paralelogramo 1 um quadrado: 2 1 2 ? 1 1 2 1 2 5 8 u.a.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de área do retângulo, do quadrado e do paralelogramo da seção Agora é com você da página 161.

MANUAL DO PROFESSOR

Parte III – Calculando a medida da área das peças do Tangram

Ilustrações: Setup



Possibilidades: • Um triângulo médio 1 um triângulo pequeno: 2 1 1 5 3 u.a. • um quadrado 1 um triângulo pequeno: 2 1 1 5 3 u. a. • um paralelogramo 1 um triângulo pequeno: 2 1 1 5 3 u. a.

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A área do retângulo é: 2 cm ? 8 cm 5 16 cm2 Por serem equivalentes as medidas das áreas do retângulo e do quadrado, temos: ,2 5 16  ⇒  , 5

16 ⇒ , 5 4 cm

Resposta: A medida do lado do quadrado é 4 cm. Atividade 5 a) Supondo um quadrado de lado com medida igual a ,, o cálculo de seu perímetro será: , 1 , 1 , 1 , 5 4, Ao duplicarmos o valor da medida de seu lado, temos: 2, 1 2, 1 2, 1 2, 5 8, Resposta: Ao dobramos a medida do lado de um quadrado, seu perímetro irá duplicar. b) Supondo um quadrado de lado com medida igual a ,, o cálculo de sua área será: , ? , 5 ,2 Ao duplicarmos o valor da medida de seu lado, temos: 2, ? 2, 5 4,2 Resposta: Ao dobramos a medida do lado de um quadrado, sua área irá quadruplicar.

conceito de área do triângulo, do losango e do trapézio da seção Agora é com você das páginas 165 e 166. Atividade 5 Caso julgue conveniente, peça aos alunos que discutam quais estratégias aplicaram para resolução do item b, pois esse item possibilita a aplicação de diversas estratégias para o cálculo de sua área. Para auxiliá-lo nessa tarefa, apresentamos duas soluções. a) 3 cm 2 cm

MANUAL DO PROFESSOR

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o

3 cm

6 cm

2 cm 2 cm

2 cm

8 cm

6 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 8 5 28 Resposta: o perimetro da figura é 28 cm. b)

3 cm



2 cm 6 cm

c) Supondo um retângulo com medida de lados x e y, o cálculo de sua área será: x  y 5 xy Ao triplicarmos o valor da medida de sua base, temos: 3x ? y 5 3xy Resposta: Ao triplicarmos o valor da me­ dida da base de um retângulo, a medida de sua área é multiplicada por três. d) Supondo um paralelogramo com medida de base igual a x e altura igual a y, o cálculo de sua área será:x  y 5 xy Ao multiplicarmos o valor de sua base por 7 e mantermos a medida de sua área, devemos dividir o valor de sua altura por 7. y 5 xy 7x  7 Resposta: Para mantermos a medida da área de um paralelogramo ao multiplicarmos por 7 o valor de sua base, devemos dividir o valor de sua altura por 7.

Ilustrações: Setup

Atividade 3

A1

3 cm A2

2 cm 2 cm A3

2 cm

8 cm

 amos calcular a área de cada retânV gulo, e a área total da figura será igual à soma dessas áreas. A1 5 6 cm ? 3 cm 5 18 cm2 A2 5 (6 2 2) cm ? 3 cm 5 4 cm ? 3 cm 5 5 12 cm2 A3 5 2 cm ? 2 cm 5 4 cm2 Área total 5 A1 1 A2 1 A3 5 18 cm2 1 12 cm2 1 4 cm2 5 34 cm2

Outra resolução:

A1  retângulo externo 3 cm 2 cm 6 cm

A2 3 cm

A3 2 cm 2 cm

2 cm

8 cm

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 amos calcular a área do retângulo V maior e subtrair dela as áreas dos retângulos acrescidos na figura:

possibilita muitas vezes a decomposição de um polígono cujo cálculo da área é desconhecido em polígonos conhecidos.

A1 5 6 cm ? 8 cm 5 48 cm2

No item Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo, páginas 170 e 171, caso julgue conveniente, retome algumas das atividades propostas em unidades anteriores, realize construções de polígonos e, por meio de recorte e colagem, verifique as propriedades sobre a soma de ângulos internos e externos de polígonos convexos.

A3 5 2 cm ? 4 cm 5 8 cm2 Área total 5 A1 2 A2 2 A3 5 5 48 cm2 2 6 cm2 2 8 cm 5 34 cm2 Atividade 11 a) A 5 b  h A 5 25 cm  20 cm A 5 500 cm2 b  h 5 500 b) 2 50  h 5 500 2 h 5 500  2 50 h 5 20 cm

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Área de um quadrilátero estranho, que explora o cálculo da área de um quadrilátero irregular pelo método da decomposição. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Capítulo 18 – Polígonos convexos Objetivos do capítulo • Identificar polígonos convexos.

Incentive os alunos a realizar a proposta da página 170: [...] tente generalizar uma relação que envolva o número de lados de um polígono convexo qualquer e a quantidade de triângulos em que ele pode ser decomposto quando traçamos todas as diagonais de um vértice. Socialize suas ideias com os colegas. Essa é uma oportunidade de avaliar os conceitos já trabalhados e uma possibilidade de ampliá-los ante a busca por padrões e generalizações.

Outras atividades Esta atividade explora a relação entre as medidas dos ângulos internos e externos de polígonos regulares por meio do conceito de pavimentação. 1. Preencha a tabela a seguir. Obs.: Os polígonos indicados são regulares, e todos os polígonos têm a mesma medida de lado. Dados os seguintes polígonos, crie uma pavimentação.

• Calcular o número de diagonais de um polígono convexo conhecendo o número de lados.

Somente com quadrados

• Calcular a soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo com base no número de lados.

Somente com hexágonos

Somente com triângulos

Somente com pentágonos

Algumas explorações

Quadrados e hexágonos

Nas páginas 167 e 168 é explorado o Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo. É importante mencionar que o traçado de uma diagonal pode facilitar o cálculo de áreas, perímetros e outras medidas, pois

Triângulos e quadrados Quadrados e octógonos

É possível criar essa pavimentação?

Se possível, desenhe.

MANUAL DO PROFESSOR

A2 5 3 ? 2 cm 5 6 cm

2

Hexágonos e triângulos

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6/12/15 10:50 AM

Resolução:

MANUAL DO PROFESSOR

É possível criar essa pavimentação?

Se possível, desenhe. Ilustrações: Setup

Dados os seguintes polígonos, crie uma pavimentação.

Somente com quadrados

Sim.

Somente com triângulos

Sim.

Somente com hexágonos

Sim.

Somente com pentágonos

Não.

–

Quadrados e hexágonos

Não.

–

Triângulos e quadrados

Sim.

Quadrados e octógonos

Sim.

Hexágonos e triângulos

Sim.

Objeto educacional digital

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Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de cálculo do número de diagonais de um polígono convexo da seção Agora é com você da página 169. Atividade 3 a) d 5 n  (n 2 3) 2 Sendo o número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados, temos: 4n 5 n  (n 2 3) 2 8n 5 n  (n 2 3) 8n 5 n2 2 3n n2 2 3n 2 8n 5 0 n2 2 11n 5 0  or fatoração, temos: n  (n 2 11) 5 0, P tendo como resolução as raízes 0 ou 11. Resposta: O número de lados do polígono é 11. b) Sendo o número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados, então: d 5 4n ⇒ d 5 4  11 ⇒ d 5 44. Resposta: O número de diagonais é 44. Atividade 4 Sendo d 5 n, temos: n 5 n  (n 2 3) 2 2n 5 n  (n 2 3) 2n 5 n2 2 3n 2n 1 3n 5 n2 n2 5 5n n2 2 5n 5 0 Por fatoração, temos: n  (n 2 5) 5 0, tendo como resolução as raízes 0 ou 5.  esposta: O número de lados do polígoR no é 5; ele é conhecido como pentágono. Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono

convexo da seção Agora é com você das páginas 172 e 173. Atividade 5 a) Si 5 (n 2 2)  1808 1 800 5 (n 2 2)  1808 1 800 5 n22 180 10 5 n 2 2

n 5 10 1 2 n 5 12 Resposta: O número de lados do polígono é 12. b) d 5 n  (n 2 3) 2 d 5 12  (12 2 3) 2 d569

d 5 54 Resposta: O número de diagonais do polígono é 54. Atividade 10 a) Si 5 Se (n 2 2)  1808 5 3608

n 2 2 5 3608 1808 n2252 n 5 2 1 2  ⇒  n 5 4 Resposta: O quadrilátero. b) Si  Se (n 2 2)  1808  3608

n 2 2  3608 1808 n222 n  2 1 2  ⇒  n  4 O polígono deverá ter o número de lados menor que quatro; sendo assim, trata-se de um polígono de 3 lados, ou seja, o triângulo. Resposta: O triângulo. c) Si 5 2Se (n 2 2)  1808 5 2  360

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas resoluções

(n 2 2)  1808 5 720

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n 2 2 5 7208 1808 n2254 n 5 4 1 2  ⇒  n 5 6 O polígono deverá ter o número de lados igual a seis; sendo assim, trata-se do hexágono. Resposta: O hexágono.

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Soma dos ângulos externos de um polígono convexo, que exibe uma forma descrita passo a passo dessa propriedade. Disponível em: (acesso em: maio 2015). • Sugerimos assistir ao vídeo Polígonos e quadriláteros notáveis – Matemática, da série Vestibulando Digital, que apresenta as propriedades dos polinômios. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Capítulo 19 – Polígonos regulares Objetivos do capítulo • Identificar polígonos convexos regulares.

MANUAL DO PROFESSOR

• Obter as medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo regular de acordo com o número de lados. • Compreender o significado de polígonos inscritíveis e circunscritíveis. • Calcular a área de um polígono regular pela medida de seu apótema e de seu semiperímetro. • Obter e aplicar as relações entre o lado, o apótema e o raio da circunferência circunscrita a um triângulo equilátero, a um quadrado e a um hexágono regular.

Algumas explorações Esse capítulo discute as propriedades dos polígonos regulares. Na página 174, se possível, incentive os alunos a explorar as proprie-

dades das figuras geométricas apresentadas. Levá-los a conjecturar e a levantar hipóteses antes de apresentar definições é uma oportunidade de conduzi-los na construção autônoma do conhecimento, o que trará benefícios para a trajetória escolar e acadêmica deles. Na seção Outras atividades deste manual traremos uma proposta de atividade para auxiliá-lo nessa tarefa. Com base na seção Conexões, página 178, sugira aos alunos uma pesquisa sobre as colmeias das abelhas e sobre a relação do formato dos favos com a Geometria; essa relação estabelece melhor aproveitamento do espaço para armazenamento do mel. Esse conceito será mais bem explorado no estudo dos prismas.

Outras atividades Essa atividade tem como objetivo explorar as propriedades dos polígonos regulares. Para executá-la será necessário um computador com o software livre de geometria dinâmica GeoGebra instalado. 1. Abra o software GeoGebra. Caso seja necessário, desabilite os eixos clicando no menu Exibir e depois em Eixos. 2. Dê um clique no quinto botão e selecione a opção Polígono regular, clique em qualquer ponto da janela, afaste para a direita e dê o segundo clique. Será solicitado o número de lados desejado para construção do polígono; digite o número e clique em Ok. Construa um quadrado, um triângulo, um pentágono e um hexágono. 3. Para exibir o valor dos ângulos internos de cada triângulo, clique no oitavo botão, selecione a opção Ângulo e dê um clique dentro do polígono; o valor dos ângulos internos do polígono será exibido. 4. Para exibir o valor do lado de cada polígono, clique com o botão direito do mouse no polígono, selecione Propriedades, clique na palavra Segmento, marque a caixa de seleção Exibir rótulo e selecione a opção Valor; clique em Ok e será exibido o valor dos lados dos polígonos.

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Atividade 10 Ilustrações: Setup

5. Para construir as diagonais dos polígonos, clique no terceiro botão e selecione a opção Segmento definido por dois pontos. 6. Verifique as propriedades estudadas dos polígonos regulares em relação ao número de lados, diagonais e soma dos ângulos internos.

Algumas resoluções

Sabendo que cada ângulo interno de um hexágono mede 120° e que cada ângulo interno de um quadrado mede 90°, temos: 360 5 120 1 90 1 90 1 x

Atividade 2

x 5 360 2 120 2 90 2 90

a) i 1 e 5 1808 3e 1 e 5 1808 4e 5 1808 e 5 1808 4 e 5 458 Resposta: A medida de cada ângulo externo é 45°.

x 5 60

b) i 5 3e

i 5 3  458 i 5 1358 Resposta: A medida do ângulo interno do polígono é 135°. c) e 5 3608 n 3608 458 5 n n 5 3608 458 n58 Resposta: O número de lados do polígono é 8.

Resposta: O ângulo indicado na figura tem 60°. Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de polígonos inscritíveis e circunscritíveis da seção Agora é com você da página 181. Atividade 4 a) Perímetro é a soma da medida dos lados do polígono:

 1  1 l 1 l 1 l 1 l 5 6l Resposta: O perímetro do polígono é 6  . b) Na figura temos que a medida do apótema do polígono é igual a: a. c) Apolígono 5 p  a  ⇒ Apolígono 5 6    a 2 Resposta: A área do polígono é: 6a. 2 Atividade 6 Sabendo que a medida do apótema de um quadrado é igual à metade de seu lado, temos: Apolígono 5 p  a Apolígono 5

48 2

MANUAL DO PROFESSOR

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares da seção Agora é com você das páginas 176 e 177.

4

363 363 pom9_mp_350_373_especifica.indd 363

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Capítulo 20 – Círculo e circunferência

Apolígono 5 16  4  ⇒ Apolígono 5 64 Resposta: A área do quadrado é 64 cm . 2

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de triângulo equilátero, hexágono regular e quadrado da seção Agora é com você da página 183. Atividade 7 Sabendo que um hexágono tem seis lados e a medida de seu perímetro é 120 cm, temos que a medida do lado do hexágono vale 120 cm ÷ 6 5 20 cm. Essa medida equivale à medida do raio da circunferência circunscrita no hexágono. Para calcular sua área total podemos decompô-lo em seis triângulos, cuja medida da altura será igual ao apótema do hexágono e cuja medida da base será igual à medida do lado do hexágono. Para encontrar o valor do apótema temos que: R 3 20 3   ⇒  a 5   ⇒  a 5 10 3 2 2 Para calcular a área de cada triângulo faremos: bh A5 2

a5

20  10 3   ⇒ A 5 100 3 cm2 2 Como o hexágono é formado por seis triângulos, para calcularmos sua área basta multiplicar o valor da área de cada triângulo por 6; logo, teremos: Apolígono 5 6  100 3 5 600 3

MANUAL DO PROFESSOR

A5

Apolígono 5 600 3 cm2

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Abelhas matemáticas , da série Matemática e Multimídia, que explora os conceitos de prismas e figuras geométricas. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Objetivos do capítulo • Obter e aplicar relações para calcular a área de um círculo, o comprimento de uma circunferência, a área de um setor circular e o comprimento de um arco de circunferência.

Algumas explorações É muito comum confundir os termos círculo e circunferência. Em Matemática, essa distinção se faz necessária às diferentes propriedades atribuídas a cada um desses objetos matemáticos. Se possível, depois de definir cada um dos termos, peça que os alunos deem exemplos de círculos e circunferências que podem ser observados no cotidiano. É comum a associação de um anel para exemplificar uma circunferência e de uma moeda como exemplo de um círculo. Propor aos alunos esse tipo de discussão pode ser uma oportunidade de verificar, de forma descontraída e não como em uma avaliação, se os conceitos estudados estão sendo apreendidos significativamente.

Outras atividades Esta atividade tem como objetivo explorar as aproximações para os valores atribuídos a p. Material necessário: uma folha de papel, compasso, calculadora, régua, barbante e cola. 1. Com auxílio do compasso, construa quatro circunferências de medida de raio igual a 4 cm. 2. Calcule o comprimento dessa circunferência com os seguintes valores de referência para p: a) p 5 2,9; C 5 2pR 2  2,9  4 cm 5 23,2 cm b) p 5 3; C 5 2pR 2  3  4 cm5 24 cm c) p 5 3,1; C 5 2pR 2  3,1  4 cm5 24,8 cm

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Obs.: Ao medir, não estique o barbante nem o deixe com folga. 4. Cole sobre cada circunferência construída um dos pedaços de barbante, tomando o cuidado para não esticá-lo e mantendo-o o mais alinhado possível sobre a circunferência. Observe quais pedados de barbante mais se aproximaram do comprimento da circunferência e responda: Qual foi a melhor aproximação para o valor de p?

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de comprimento da circunferência e de um arco de circunferência da seção Agora é com você das páginas 186 e 187. Atividade 2 a) C 5 2pR  ⇒ C 5 28p cm b) x 5

x5 x5 x5 c) x 5

x5 x5 x5

pRa 1808 28 p  908 2 1808 p  14  908 1808 p  14   ⇒  x 5 7p cm 2 pRa 1808 28 p  1208 2 1808 p  14  1208 1808 28p p  14  2   ⇒  x 5 cm 3 3

a) A medida do raio equivale à metade da medida do lado do quadrado. 20 cm 5 10 cm 2 b) Como existem quatro semicircunferências desenhadas, teremos no total um comprimento equivalente a duas circunferências. Ctotal 5 2  C Ctotal 5 2  2  p  10  ⇒ Ctotal 5 40p cm

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de área do círculo e de um setor circular da seção Agora é com você da página 189. Atividade 3 a) A 5 pr2 Ao duplicarmos o valor do raio, temos: A 5(2r)2p  ⇒ A 54r2p Resposta: A área do círculo quadruplica. b) A 5 pr2 Ao aumentarmos em 50% o raio, temos: A 5 [r 1 A5[ A5[

r  2 ]p 2

2r 1 r  2 ]p 2

3r  2 ]p 2

9r2 p  ⇒ A 5 2,25r2p 4 Resposta: A área do círculo será multiplicada por 2,25. A5

Atividade 7 D

G

F

A

C

H

E

MANUAL DO PROFESSOR

3. Corte pedaços de barbante conforme os valores obtidos no item 2.

Atividade 8 Ilustrações: Setup

d) p 5 3,2. C 5 2pR 2  3,2  4 cm 5 25,6 cm

B

365 365 pom9_mp_350_373_especifica.indd 365

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Os quatro setores circulares equivalem a um círculo completo com raio igual à metade do lado do quadrado; logo, a área do círculo será: A 5 pr2 A 5 p52 A 5 25p cm2 Logo, a área da figura que sobrou é: 100 cm2 2 25p cm2 5 (100 2 25p) cm2 Resposta: A área que sobrou é (100 2 25p) cm 2

Para saber mais

aplicar corretamente as propriedades e identificar as relações entre esses elementos. Para melhor compreensão das propriedades discutidas nas páginas 190 a 193, sugerimos, se possível, apresentá-las separadamente. Aprofunde cada um dos conceitos e, à medida que o conteúdo for sendo assimilado, introduza outra propriedade. As atividades da seção Resgatando conteúdos, páginas 202 a 203, podem auxiliá-los nessa tarefa. Selecione as atividades adequadas à aplicação de cada propriedade. No fim, propomos a criação de um cartão com o resumo das propriedades estudadas. A seguir uma sugestão para criar esse cartão.

• Sugerimos assistir ao vídeo Círculos: raio, diâmetro, circunferência e p, que exibe as relações entre esses conceitos matemáticos. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Propriedade das cordas

P

D

B

PA  PB 5 PC  PD Propriedade das secantes

Objetivos do capítulo

B

• Retomar a relação entre ângulo inscrito e ângulo central de um mesmo arco de circunferência.

MANUAL DO PROFESSOR

C

A

Capítulo 21 – Relações métricas na circunferência

• Obter e aplicar as relações métricas entre cordas em uma circunferência.

Ilustrações: Setup

A área do quadrado é: A 5  2 A 5 102  ⇒ A 5 100 cm2

A P C

D

• Obter e aplicar as relações métricas entre secantes em uma mesma circunferência.

PA  PB 5 PC  PD

• Calcular a potência de um ponto quanto às relações métricas em uma circunferência.

Propriedade da secante e da tangente T

Algumas explorações Nesse capítulo são exploradas as relações métricas na circunferência e novos termos são introduzidos, como corda, retas secantes e tangentes. Se possível, inicie com uma introdução sobre esses conceitos. É importante que os alunos saibam distingui-los para

P B A

PA  PB 5 PT2

366 pom9_mp_350_373_especifica.indd 366

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Nesta atividade, os alunos terão a oportunidade de explorar a propriedade da secante e da tangente por meio do software livre de geometria dinâmica GeoGebra. Para esta atividade será necessário um computador com o software de geometria dinâmica GeoGebra instalado. 1. Abra o software GeoGebra. Caso seja necessário, clique em Exibir e depois em Eixos para desabilitá-los. 2. Crie uma circunferência. Clique no sexto botão, selecione a opção Círculo dados centro e raio e dê um clique em qualquer ponto da janela. Será solicitado o tamanho do raio da circunferência; para este exemplo digite 3 e clique em Ok. Será criada uma circunferência de centro A. 3. Crie um ponto na circunferência. Clique no segundo botão e selecione Ponto. Dê um clique na circunferência. Será criado o ponto B. 4. Representaremos o raio da circunferência. Clique no terceiro botão e selecione Segmento, clique no ponto A e depois no ponto B. Será criado o segmento que representa o raio da circunferência. 5. Vamos traçar uma reta perpendicular ao raio para representar a tangente da circunferência. Clique no quarto botão e selecione Reta perpendicular, dê um clique no segmento AB e depois em B. Será construída a reta perpendicular ao raio. 6. Marque um ponto na reta e um na circunferência. Clique no segundo botão e selecione Ponto, dê um clique na reta e um na circunferência. Serão criados os pontos C e D. 7. Construa uma reta que passa pelos pontos C e D. Clique no terceiro botão e selecione

8. Definiremos o segundo ponto, que é a intersecção entre a circunferência e a reta que passa por C e D. Clique no segundo botão, selecione Interseção de dois objetos e dê um clique na reta e na circunferência. Serão criados os pontos E e F. 9. Para facilitar a visualização ocultaremos as retas. Para isso, clique com o botão direito em cada uma delas e depois em Exibir objeto; as retas não serão mais exibidas. 10. Crie os segmentos BC, CF e CE. Clique no terceiro botão e selecione Segmento para criar o segmento BC, clique no ponto B e em seguida no ponto C; faça o mesmo procedimento para criar os demais segmentos. 11. Para exibir o valor dos segmentos criados, clique com o botão direito do mouse em qualquer segmento e selecione a opção Propriedades; clique na palavra Segmento, marque a caixa de opção Exibir rótulo e selecione a opção Valor, depois feche a janela. Os valores dos segmentos serão exibidos. 12. Agora verifique, por meio das Propriedades das secantes e das tangentes, as relações entre os valores dos segmentos criados. Para movimentar os pontos B e C, clique no primeiro botão e depois os movimente. Verifique se os novos valores mantêm as relações enunciadas nessa propriedade.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de relações métricas na circunferência da seção Agora é com você das páginas 194 e 195. Atividade 2

x1

4x  1

x 3x

MANUAL DO PROFESSOR

Outras atividades

Reta. Feito isso, clique nos pontos C e D. Será criada uma reta que passa por C e por D.

Ilustrações: Setup

Caso julgue conveniente, proponha a leitura da seção Bagagem cultural, páginas 196 e 197, e, para retratar a relação da Matemática com a arte, se possível crie um vitral conforme proposto no Trabalho em equipe da página 198.

367 367 pom9_mp_350_373_especifica.indd 367

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Pela propriedade das cordas, temos: (x 1 1)  3x 5 x  (4x 2 1) 3x2 1 3x 5 4x2 2 x 4x2 2 3x2 2 3x 2 x 5 0

Objetivos da unidade

x2 2 4x 5 0

• Introduzir o conceito de função como relação de dependência entre duas grandezas.

Fatorando:

x2 2 4x 5 0 x  (x 2 4) 5 0 Logo, as raízes são 0 ou 4; por não admitir valores nulos, x é 4. Resposta: O valor de x é 4.

Ilustrações: Setup

• Identificar e utilizar a lei de formação de uma função para calcular valores da variável dependente e da variável independente. • Identificar e construir gráficos de funções no plano cartesiano por meio da lei de formação.

Atividade 8

• Definir e identificar uma função afim. A

R

R

B

P

T

Dada a medida de PA, temos que a medida de PB será: PB 5 16 2 2R Aplicando a propriedade da secante e da tangente, temos: PT2 5 PA  PB 82 5 16  (16 2 2R) 64 5 256 2 32R 232R 5 64 2256 232R 5 2192

MANUAL DO PROFESSOR

Unidade 6 – Introdução às funções e função afim

R 5 2192 232 R 5 6 cm Resposta: O valor do raio é 6 cm.

Para saber mais • No site a seguir há uma série de vídeos que exploram as características, propriedades e termos que envolvem o círculo e a circunferência. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

• Construir e interpretar gráficos de função afim. • Classificar uma função afim como crescente, decrescente ou constante. • Identificar e calcular a taxa de crescimento de uma função afim. • Obter a lei de formação de uma função afim com base em dois pontos conhecidos.

Capítulo 22 – Introdução às funções Objetivos do capítulo • Introduzir o conceito de função como relação de dependência entre duas grandezas. • Identificar e usar a lei de formação de uma função para calcular valores da variável dependente e da variável independente. • Identificar e construir gráficos de funções no plano cartesiano por meio da lei de formação.

Algumas explorações De acordo com o texto introdutório do capítulo, página 206, o conceito de função está relacionado à noção de dependência de variáveis.

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os conceitos de pares ordenados e a representação gráfica de uma função. Antes de apresentar qualquer definição sobre a representação gráfica de uma função, como forma e comportamento, sugerimos utilizar um software de geometria dinâmica para que os alunos façam explorações e, por observação, constatem quais são a forma de uma função (por exemplo: reta, parábola etc.) e o comportamento de uma função em relação aos valores definidos para os coeficientes (por exemplo: inclinação da reta, concavidade da parábola etc.).

Outras atividades 1. Determine qual é a lei de formação para cada item a seguir. a)

a

b

2

2

7

4,5

12

7

x

y

y 5 6 (saída)

16

7

Resposta:

No estudo de funções também é importante definir os termos domínio, imagem e contradomínio. Para auxiliá-lo nessa tarefa, apresentamos uma forma resumida desses termos. Quando duas variáveis, por exemplo, x e y, são tais que a cada valor de x do conjunto D (domínio de f ) corresponde um único valor de y (imagem de x), em um conjunto E (contradomínio de f ), segundo uma lei qualquer, dizemos que y é função de x. Retomando a função f (x) 5 2x, podemos definir o conjunto domínio e o conjunto contradomínio como o conjunto dos números reais, mas o conjunto imagem é formado pelos valores obtidos por meio da lei de formação, ou seja, Im(f ) 5 {y ∈ R | y 5 2x}. Observe que y pertence ao conjunto dos números reais, mas o conjunto imagem é definido pelos valores de y quando este é igual a 2x.

225

18

y5

121

14

k

z

27

237

5

23

21

27

i

j

5

29

11

221

27

213

r

s

23

10

1

2

23

530

x 5 3 (entrada) função (lei)

y 5 2x

b)

No item Representação gráfica no plano cartesiano, páginas 210 a 213, são discutidos

c)

d)

e)

Resposta: a b5 11 2

x 13

Resposta: z 5 5k 2 2

Resposta: j 5 22i 1 1

Resposta: s 5 r 2 1 1

MANUAL DO PROFESSOR

Duas variáveis são dependentes quando existe uma lei de formação que as relaciona. Podemos estabelecer a relação entre elas ao definirmos duas grandezas, x e y, e, por exemplo, dizermos que y é o dobro de x; isso significa dizer que, ao atribuirmos qualquer valor para x, o valor de y será 2x. Nessa relação de dependência, cada variável assume um papel diferente; uma será a variável dependente e a outra independente. Neste caso, a variável independente será o x, pois podemos escolher qualquer valor aleatoriamente para defini-lo; já a variável y é dependente, pois ela depende do valor atribuído a x para que seu valor seja determinado. A lei que rege essa relação é chamada de “função”, ou seja, em linguagem natural temos: y está em função de x, tal que y 5 2x. Outra forma ilustrativa e comum que pode ser utilizada para representar uma função é a seguinte:

369 369 pom9_mp_350_373_especifica.indd 369

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2. Observe a trajetória de um ponto ao percorrer os lados de um quadrado, sabendo que o lado do quadrado mede 2 cm. Dê uma expressão que represente o comprimento x do caminho percorrido pelo ponto P nos intervalos indicados. C

Ilustrações: Setup

D

2

c) Trajetória do ponto C ao ponto D: Resposta: x 2 4 cm d) Trajetória do ponto D ao ponto A: Resposta: x 2 6 cm 3. Em cada um dos trajetos dê a expressão que representa o cálculo da área da figura colorida, A, em função do comprimento percorrido pelo ponto P. a) Trajetória do ponto A ao ponto B: Resposta: A(x) 5 0

A

P 2

b) Trajetória do ponto B ao ponto C: 2(x 2 2) 5x22 Resposta: A(x) 5 2 c) Trajetória do ponto C ao ponto D: 2(2 1 x 2 4) 5x22 Resposta: A(x) 5 2 d) Trajetória do ponto D ao ponto A:

B

D

C

P x2

A

2

D

P

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e possibilidades de exploração do conceito de relação entre grandezas: conceito de função da seção Agora é com você das páginas 208 e 209.

B x4

Resposta: A(x) 5 4 cm

C

Atividade 3 2 2x  2 4x  1 A

2

MANUAL DO PROFESSOR

D

B C

a) Sabendo que a área de um retângulo é determinada por l 2, temos que a lei de formação da função que determina a área A em função de x é: A(x) 5 (4x 2 1)  (2x 2 2)

2

P

b) A(x) 5 (4x 2 1)  (2x 2 2) A(3) 5 (4  3 2 1)  (2  3 2 2) A(3) 5 (12 2 1)  (6 2 2)

A

2

B

a) Trajetória do ponto A ao ponto B: Resposta: x cm b) Trajetória do ponto B ao ponto C: Resposta: x 2 2 cm

A(3) 5 11  4 A(3) 5 44 u. a. c) P(x) 5 2(4x 2 1) 1 2(2x 2 2) P(x) 5 8x 2 2 1 4x 2 4 P(x) 5 12x 2 6

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a) Observa-se que, no intervalo de 2001 a 2004, ao aumentar o valor de x, o valor de y também aumenta; logo, nesse intervalo a função é crescente.

d) P(x) 5 12x 2 6 P(4) 5 12  4 2 6 P(4) 5 48 2 6 P(4) 5 42 u.c.

b) Não se observa uma diminuição do valor de y ao aumentarmos o valor de x; em nenhum intervalo a função é decrescente.

Atividade 7 Grandeza y

1

7

2

14

3

21

4

28



c) A proporção de crescimento em relação às grandezas x e y é maior no intervalo de 2003 a 2004.

Para saber mais

a) De acordo com a tabela, a grandeza y é igual a sete vezes o valor da grandeza x; logo, a lei de formação dessa função é: y 5 7x b) Ao duplicarmos o valor de x, duplicamos o valor de y; pela lei da igualdade, temos: y 5 7x 2  y 5 2  7x c) y 5 7x 700 5 7x 700 x5   ⇒  x 5 100 7

Capítulo 23 – Noções de função afim

Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de representação gráfica no plano cartesiano da seção Agora é com você da página 215. Atividade 5 Essa atividade traz a oportunidade de se obter informações com base em uma representação gráfica. É importante incorporar atividades que exploram tal habilidade. y DAE

77

34 19 11 0

2001

2002

2003

2004

• Sugerimos assistir ao vídeo (A noção de função) Matemática – Novo Telecurso – Ensino Médio – Aula 27. Nesse vídeo são apresentadas situações de nosso cotidiano em que podemos identificar o uso de funções. Apesar de a indicação ser para o Ensino Médio, o nível de aprofundamento está adequado ao Ensino Fundamental. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

x (anos)

Objetivos do capítulo

• Definir e identificar uma função afim. • Construir e interpretar gráficos de função afim. • Classificar uma função afim como crescente, decrescente ou constante. • Identificar e calcular a taxa de crescimento de uma função afim. • Obter a lei de formação de uma função afim com base em dois pontos conhecidos.

Algumas explorações O texto introdutório desse capítulo, página 216, traz a relação de cuidados gerais com um automóvel que proporcionam maior conforto, segurança e economia de combustível em uma viagem. Sugerimos, caso julgue conveniente, uma pesquisa interdisci-

MANUAL DO PROFESSOR

Grandeza x

371 371 pom9_mp_350_373_especifica.indd 371

05/06/2015 17:37

plinar em que os alunos levantem informações sobre cuidados que devem ser tomados em relação ao automóvel antes de uma viagem longa. Peça a eles que compartilhem os dados coletados e preparem um quadro-resumo com essas informações. No item Função afim, página 217, é importante destacar que funções lineares ou função afim são representadas pela expressão f (x) 5 ax 1 b, com a  0. Sugira, se possível, diferentes situações que possibilitem sua representação como uma função linear e que ocasionem alterações nos valores dos coeficientes a e b, com o objetivo de levar os alunos a perceber sua relação com o comportamento da função. Para essa tarefa propomos a construção manual dos gráficos que as representem ou com uso de um software de geometria dinâmica. As definições dos comportamentos de uma função afim, bem como as de seus coeficientes, são apresentadas nas páginas 219 a 221.

Outras atividades Nesta atividade exploramos a conversão de registros por meio da representação da função com base em um gráfico dado. 1. Represente a expressão da função correspondente a cada um dos gráficos a seguir.

3

2

1

b) 3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

x

3

2

1

0

1

1

1

2

2

3

3

Resposta: f (x) 5 23x

MANUAL DO PROFESSOR

y

Ilustrações: Setup

y

a)

2

3

x

Resposta: f (x) 5 x 2 1

c)

y 4 3 2

Resposta: f (x) 5

1

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

x 13 2

x

1

372 pom9_mp_350_373_especifica.indd 372

05/06/2015 17:37

d) Ilustrações: Setup

y 3 2 1

3

2

0

1

1

2

3

x

1

2

3

x

Resposta: f (x) 5 22x 1 1

1 2 3

y

e)

3 2 1

3

2

1

0

Resposta: f (x) 5 x

1 2 3

Apresentamos a seguir algumas resoluções e possibilidades de exploração do conceito de função afim da seção Agora é com você da página 218. Atividade 2 a) De C(x) 5 mx 1 n, temos duas expressões em função de n: 2 700 5 500m 1 n

n 5 2 700 2 500m e

n 5 3 800 2 1 000m

Como o custo é fixo, podemos igualar as duas expressões e obter, dessa forma, o valor de m. 2 700 2 500m 5 3 800 2 1 000m 2500m 1 1 000m 5 3 800 2 2 700 500m 5 1 100 1 100 m5 500 11 m5 5 Para obter o valor de n, basta substituir o valor de m em qualquer uma das expressões: 11 n 5 2 700 2 500  5 n 5 2 700 2 1 100

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas resoluções

n 5 R$ 1.600,00

373 373 pom9_mp_350_373_especifica.indd 373

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Com os valores obtidos de m e n, temos a seguinte função: C(x) 5

11 x 1 1 600 5

Para calcular o custo para produção de 900 camisetas, basta utilizar a função que determina a lei de formação: 11  900 1 1 600 C(900) 5 5 C(900) 5 1 980 1 1 600 C(900) 5 R$ 3.580,00 Atividade 5 Chamaremos de x o número de unidades de CD produzidas. Custo(x) 5 20x 1 150 000

e) f (x) 5 ax 1 b O valor do coeficiente linear b é definido pelo ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas: b 5 –1 Para definirmos o coeficiente angular a, temos: y2 2 y1 a5 x 2x 2 1 (21) 2 1 021 22 a5 21 a52

a5

Temos que a função que representa o gráfico dado é igual a: f (x) 5 2x 2 1

Para a produção prevista, o custo total será igual a:

y

Ilustrações: Setup

b) C(x) 5 mx 1 n

4

Custo(x) 5 20x 1 150 000 Custo(20 000) 5 20 ? 20 000 1 150 000

3

Custo(20 000) 5 400 000 1 150 000

2

Custo(20 000) 5 R$ 550.000,00 1

Para obter lucro, o preço mínimo para cada CD será igual a: 20 000x 5 550 000 550 000 x5 20 000

3

2

1

0

1

2

3

x

1 2

MANUAL DO PROFESSOR

x 5 R$ 27,50 3

Apresentamos a seguir a resolução e uma sugestão de como explorar o conceito de gráfico de uma função afim da atividade 7 da seção Agora é com você da página 223.

4 5

a) Pelo gráfico, quando x 5 2, a imagem é igual a 3. b) Pelo gráfico, quando y 5 23, x é igual a 21. c) Pelo gráfico, as coordenadas do ponto de intersecção da reta com o eixo das abscissas é igual a (0,5; 0). d) Pelo gráfico, as coordenadas do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas é igual a (0; 21).

Para saber mais • Sugerimos a leitura da publicação Antes das férias, dê atenção ao seu veículo para discussão em sala de aula sobre os cuidados com o automóvel e itens a verificar antes de realizar uma viagem. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

374 pom9_mp_374_384_especifica.indd 374

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Unidade 7 – Noções de função quadrática Objetivos da unidade • Definir e identificar a função polinomial do 2º grau. • Construir e interpretar gráficos de uma função quadrática. • Calcular as coordenadas do vértice da representação gráfica de uma função polinomial do 2º grau. • Calcular os zeros de uma função polinomial do 2º grau e relacioná-los com sua representação gráfica. • Identificar, com base em sua lei de formação, quando uma função polinomial é crescente ou decrescente e qual é o aspecto de sua representação gráfica.

Capítulo 24 – Noções de função quadrática Objetivos do capítulo • Representar a função polinomial do 2º grau em um eixo cartesiano com base em um conjunto de pontos. • Entender algumas aplicações da função polinomial do 2º grau e suas respectivas representações. • Determinar e interpretar o vértice de uma parábola com base em uma lei de formação e em sua representação gráfica. • Aplicar a função polinomial do 2º grau em problemas que envolvam máximos e mínimos de maneira interdisciplinar.

Algumas explorações No estudo da função polinomial do 2º grau (função quadrática) sugerimos que a representação gráfica seja trabalhada sempre de forma paralela a sua representação algébrica, com o domínio e o contradomínio estabelecidos. Ao construir o gráfico da função indicamos que seja determinado o maior número de pares ordenados possível, para que a curvatura da parábola não pareça ao aluno algo conveniente e sem motivo. Como sabemos, se alinharmos infinitos pares ordenados de uma função quadrática, o resultado realmente será uma parábola. Se tiver à disposição os recursos computacionais, é interessante solicitar que desenhem a parábola no GeoGebra ou no Winplot; ambos os softwares são gratuitos. Nesta coleção houve o cuidado de orientar a execução das atividades com emprego da tecnologia. Os zeros da função quadrática também podem ser verificados pela resolução algébrica ax ² 1 bx 1 c 5 0 ou pela resolução gráfica. Apontamos a necessidade de trabalhar de ambas as maneiras e permitir que o aluno opte por aquela que preferir. É interessante que algumas atividades apresentem relativo grau de dificuldade para a resolução gráfica (raízes irracionais), enquanto outras sejam facilitadas por ela. Os vértices da parábola serão usados nessa unidade principalmente em problemas de máximos e mínimos. Há interesses explorados na Física na função que modela o movimento uniformemente variado, no cálculo de área para obtenção de uma área máxima e em funções que definam o custo de determinada produção. Nas páginas 244 e 245 diversos exemplos são propostos. Sugerimos que eles sejam discutidos com os alunos de forma individual, prestando-se atenção principalmente nos processos envolvidos para a resolução do problema.

MANUAL DO PROFESSOR

• Sugerimos assistir ao vídeo (A Função y 5 ax 1 b) Matemática – Novo Telecurso – Ensino Médio – Aula 30, que traz informações gerais e definições sobre a função afim. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

375 375 pom9_mp_374_384_especifica.indd 375

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Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução da atividade 8 da seção Agora é com você das páginas 240 e 241. Atividade 8 a) A altura máxima pode ser observada no gráfico da função, em que temos: altura  7,5 metros. b) Nesse ponto podemos notar o par ordenado (10; 7,5), ou seja, a altura da bola foi de 7,5 metros. c) Em dois pontos: o primeiro é onde a bola recebe o chute, e o segundo é onde a bola vai tocar no solo novamente. d) Em dois pontos: os alunos podem inferir pela escala adotada no gráfico que a bola alcança 7,5 metros de altura nas distâncias de 10 metros e de 30 metros depois do chute.

yv 5

5 60,75 Apresentamos a seguir a resolução de algumas atividades da seção Agora é com você das páginas 251 e 252. Atividade 4 Ao iniciar esta atividade sugerimos que a função indicada seja reduzida ao modelo f (x) 5 ax² 1 bx 1 c; logo:

h(x) 5 2

h(10) 5 2

1 1 000  102 1  10 5 495 495

52

1 1 000  100 1  10 5 495 495

52

100 10 000 9 900 1 5 5 495 495 495

Atividade 5

23x ² 1 27x 5 0

x (23x 1 27) 5 0 De onde temos:

MANUAL DO PROFESSOR

x 5 0 ou 23x 1 27 5 0 227 5 9, verificado com auxílio 23 do GeoGebra. Portanto, x 5 0 ou x 5 9.

x5

b) A abscissa do vértice é dada pela expressão: 2b 227 227 xv 5 5 5 5 4,5 2  (23) 26 2a c) A ordenada do vértice é dada pela expressão: 2D yv 5 4a Sendo D 5 27² 2 4  (23)  0 5 729

1 1 000  x 2 1  x 495 495

a) Para determinarmos essa altura substituiremos x por 10:

Veja a seguir a resolução da atividade 5 da seção Agora é com você da página 246.

a) Para obtenção dos zeros temos de igualar f (x) 5 0. Logo:

729 243 2D 2729 5 5 5 5 12 4 4a 4  (23)

5 20 m b) Para que a altura seja máxima: 1 000 495 2b xv 5 5 5 2a 1 2  [2 ] 495 2

5 [2

1 000 495 1 000 5 ]  [2 ]5 495 2 2

5 500 m c) A altura máxima atingida é dada por:

yv 5

2D 4a

Sendo D 5 [2

yv 5

1 000 2 ]  5 4,081 495 (aproximado)

24,081 4,081 5  0,00808 1 4  [2 ] 495

 505,07 metros

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Atividade 8

Algumas explorações

a) Substituindo x 5 10 na função:

Com o texto introdutório da página 262, pretende-se apresentar aos alunos uma aplicação prática do uso da lei dos senos e da lei dos cossenos. É importante levá-los a observar que ao traçarmos a altura de um triângulo qualquer, ele será decomposto em dois triângulos retângulos; dessa forma é possível enunciar a lei dos senos e a lei dos cossenos e aplicá-las na resolução de problemas que envolvem medidas em um triângulo qualquer.

b) Este valor mínimo vai ser determinado por:

xv 5

80 2b 2(280) 5 5 5 40 2 21 2a

Resposta: 40 unidades. c) Para determinarmos o valor mínimo do custo basta calcular C(40). C(40) 5 40² 280  40 1 3 000 5 1 400 Resposta: R$ 1.400,00.

 Para saber mais • O uso do GeoGebra no ensino de fun­ ções quadráticas. Disponível em: (acesso em: maio 2015). • Para saber mais sobre o ensino de funções quadráticas, sugerimos: (acesso em: maio 2015).

Unidade 8 – Geometria: triângulos quaisquer Objetivos da unidade • Obter e aplicar a lei dos cossenos no cálculo de medidas desconhecidas de um triângulo qualquer. • Obter e aplicar a lei dos senos no cálculo de medidas desconhecidas de um triângulo qualquer.

Capítulo 25 – Lei dos cossenos Objetivo do capítulo

• Obter e aplicar a lei dos cossenos no cálculo de medidas desconhecidas de um triângulo qualquer.

Se possível, no item Demonstração, página 263, explore cada passo descrito, verificando a compreensão dos alunos sobre cada item. O trabalho com demonstrações pode motivá-los a desenvolver habilidades como levantar hipóteses, argumentar e organizar ideias de forma lógica. O quadro Observações, página 264, traz uma tabela com os arcos notáveis para consulta. Eles recebem esse nome porque suas medidas são comumente usadas em cálculos com aplicações práticas em várias áreas do conhecimento. Caso julgue conveniente, proponha aos alunos que observem a tabela e questione-os sobre as regularidades apresentadas; por exemplo, o valor do seno de 30° é igual ao cosseno de 60°, o seno e o cosseno de um ângulo de 45° são iguais etc. Após essas observações, motive-os a discutir sobre essas constatações. Por meio dos exemplos da página 266, pretende-se apresentar aplicações práticas no uso da lei dos cossenos. Caso julgue conveniente, faça um breve comentário com os alunos sobre a aplicação da lei dos cossenos em outras disciplinas, como no caso da Física, em que essa lei é aplicada em cálculos vetoriais.

Outras atividades 1. Proponha aos alunos que realizem a demonstração da lei dos cossenos para o lado oposto ao ângulo A, quando este é obtuso.

MANUAL DO PROFESSOR

C(10) 5 10² 2 80  10 1 3 000 5 2 300 Resposta: R$ 2.300,00

377 377 pom9_mp_374_384_especifica.indd 377

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A seguir uma sugestão de demonstração para esta atividade. • Traçando a altura do triângulo ABC, formaremos dois triângulos retângulos: BCH e AHC.

h

Ilustrações: Setup

C

a

b

180°  BA H

x

A

c

B

• Fazendo HA 5 x e HB 5 c 1 x nos dois triângulos retângulos considerados, aplicamos o teorema de Pitágoras e obtemos as relações (I) e (II): b 2 5 h 2 1 x 2 h 2 5 b 2 2 x 2 (I) a 2 5 h 2 1 (c 1 x)2 a 2 5 h 2 1 c 2 1 2cx 1 x 2 h 2 5 a 2 2 c 2 2 2cx 2 x 2 (II) • Comparando (I) e (II), obtemos a expressão (III): b 2 2 x 2 5 a 2 2 c 2 2 2cx 2 x 2 a 2 5 b 2 2 x 2 1 c 2 1 2cx 1 x 2 a 2 5 b 2 1 c 2 1 2cx (III)

MANUAL DO PROFESSOR

• No triângulo retângulo AHC, calculamos o cosseno do ângulo obtuso em A: x cos(1808 2 Â) 5 b x 5 b  cos(1808 2 Â) (IV) • Substituindo (IV) em (III), obtemos a lei dos cossenos para o lado de medida a: a 2 5 b 2 1 c 2 1 2  b  c  cos(1808 2 Â)

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de lei dos cossenos da seção Agora é com você da página 265. Atividade 1

72 5 x 2 1 32 2 2  x  3  cos(60) 1 49 5 x 2 1 9 2 2  x  3  2 2 49 5 x  1 9 2 3x

x 2 1 9 2 3x 2 49 5 0 x 2 2 3x 2 40 5 0 Temos aqui uma equação do 2º grau, em que sua forma fatorada é igual a: (x 1 5)  (x 2 8) 5 x 2 2 3x 2 40 Tem como raízes 25 e 8, como não é admitido valor negativo para medidas, o valor de x será igual a 8 cm. Resposta: A medida do lado BC do triângulo é igual a 8 cm. Atividade 5 Sabendo que o maior ângulo é oposto ao maior lado e que o menor ângulo é oposto ao menor lado, temos: a) 62 5 4 2 1 52 2 2  4  5  cosx 36 5 16 1 25 2 40  cosx 36 2 16 2 25 5 240  cosx 25 5 cosx 240 1 cosx 5 8 Resposta: O cosseno do maior ângulo 1 é igual a . 8 4 2 5 52 1 62 2 2  5  6  cosx 16 5 25 1 36 2 60  cosx 16 2 25 2 36 5 260  cosx 245 5 cosx 260 3 cosx 5 4 Resposta: O cosseno do menor ângu3 lo é igual a . 4 Atividade 7 É importante observar que o ângulo oposto ao lado cuja medida é procurada é obtuso, logo:

A

B x

7 cm

3 cm

5 120

60 C

x

B

C

10

A

378 pom9_mp_374_384_especifica.indd 378

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Apresentamos a seguir algumas resoluções e possibilidades de exploração do conceito de aplicações da lei dos cossenos da seção Agora é com você da página 267. Atividade 7 a) Como a cada hora o ponteiro das horas se movimenta 30°, ao marcar 16 h o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e minutos será de 30° ? 4 5 120°. Resposta: O menor ângulo formado pelos ponteiros será de 120°. b) Aplicando a lei dos cossenos, temos:

x 2 5 12 1 22 1 2  1  2  cos(180 2 120) x 2 5 1 1 4 1 2  1  2  cos(60) 1 x 2 5 1 1 4 1 2  1  2  2 x 2 5 1 1 4 1 2 x 2 5 7 x5

7

Resposta: A distância entre as extremidades do ponteiro é igual a 7 m.

Por meio da Demonstração da página 269, propomos realizar uma demonstração minuciosa da lei dos senos verificando a compreensão dos alunos sobre cada item. É importante que eles entendam os dados dedutivos envolvidos em uma demonstração para que estes não se tornem somente um modelo a ser seguido passo a passo. No item Aplicações da lei dos senos, página 272, caso julgue conveniente, peça aos alunos que pesquisem em jornais, revistas ou na internet aplicações práticas para o uso da lei dos senos e, se possível, proponha-lhes situações-problema com base nos dados coletados.

Outras atividades Usando o teodolito construído na unidade anterior, apresente novas explorações. 1. Proponha aos alunos que encontrem as medidas de alguns objetos localizados na sala de aula; por exemplo, altura do bastão de apoio de cortinas em relação ao chão, altura do topo da lousa em relação ao chão etc. Sugerimos deixar a cargo dos alunos a busca por estratégias para realizar as medições, fazendo uso das leis do cosseno ou do seno. A seguir, uma proposta de estratégia para medida da altura do topo da lousa em relação ao chão. B

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo A lei dos cossenos – Matemática – Novo Telecurso – Ensino Médio – Aula 42 , em que são exploradas as relações trigonométricas do triângulo retângulo com a lei dos cossenos, com aplicações práticas. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

Capítulo 26 – Lei dos senos Objetivo do capítulo

• Obter e aplicar a lei dos senos no cálculo de medidas desconhecidas de um triângulo qualquer.

 z h  A

y

C x

Para encontrar o valor da medida de h, observando a figura, temos que o valor de x será igual à altura da posição do teodolito em relação ao chão; a medida do ângulo a será obtida por meio de medição com o uso do teodolito. Conhecendo o valor de a é possível calcular o valor de b, já que a medida do terceiro ângulo é

MANUAL DO PROFESSOR

Resposta: A medida do lado desconhecido, em centímetros, é igual a 175  cm.

Algumas explorações

Ilustrações: Setup

x 2 5 102 1 52 1 2  10  5  cos(180 2 120) 1 x 2 5 100 1 25 1 100  2 x 2 5 100 1 25 1 50 x 2 5 175 x 5 175

379 379 pom9_mp_374_384_especifica.indd 379

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igual a 90°. A medida de y é determinada pela distância do teodolito ao objeto cuja altura é procurada. Assim, com base na lei dos senos, sendo a, b, e y valores conhecidos, obtemos o valor de z, conforme a seguir: y z 5 senb sena Lembramos que para encontrar o valor de h devemos realizar o seguinte cálculo:

h5z1x

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de lei dos senos da seção Agora é com você da página 271. Atividade 2

Resposta: A medida do lado AC é igual a aproximadamente 113,8 cm. Atividade 5 a) Sabendo que as medidas dos ângulos informados são iguais a 60° e 75°, o terceiro ângulo será igual a 45°; logo, o menor lado do triângulo será oposto ao ângulo de 45°. Dessa forma, aplicando a lei dos senos, temos:

x 18 3 5 sen458 sen608 18 3 3 2 36 5

B 80

Ilustrações: Setup

100 cm

x

40 A

y

C

100 5 2R sen608 100 5 2R 0,866 2R  115,5 cm Resposta: O diâmetro da circunferência circunscrita é igual a aproximadamente 115,5 cm. 100 x b) 5 sen608 sen408 100 x 5 0,866 0,643 x 115,5  0,643 x  115,5 ? 0,643  ⇒  x  74,3 cm Resposta: A medida do lado BC é igual a aproximadamente 74,3 cm. 100 y c) 5 sen608 sen808 100 y  0,866 0,985 0,866 y  100 ? 0,985

y  113,8 cm

x 2 2

x 2 2 2 5x 2

x 5 18 2 cm

60

a)

MANUAL DO PROFESSOR

36 

5

Resposta: A medida do lado oposto ao menor ângulo do triângulo é igual a 18 2 cm. b) Em um triângulo equilátero, os três lados e ângulos têm a mesma medida; logo, os ângulos internos têm medida igual a 60°. 10 5 2R sen608 10 3 2 2R 5

5 2R

20 20 5  3 3

3 20 3 cm 5 3 3

Resposta: A medida do diâmetro de uma circunferência circunscrita a um triângulo equilátero de medida de 20 3 lado 10 cm é igual a cm. 3 Apresentamos a seguir algumas resoluções e possibilidade de exploração do conceito de aplicação da lei dos senos da seção Agora é com você da página 273.

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Atividade 2 5 2 5 2R sen458 5 2 2 2

5 2R

2R 5 5 2  2 2 2R 5 10 Resposta: A medida do diâmetro é igual a 10 cm. Atividade 5

a) 180° 5 45° 1 30° 1 Å B Å B 5 180° 2 45° 2 30° Å B 5 105° b)

x 100 5 sen308 sen458 x 2 2

5

100 1 2

x 5 100  2  2 2 x 5 100 2 m

b) Como DxEx é paralelo a ByCx, os triângulos ADE e ABC são semelhantes; logo: AB BC 5 AD DE 50 70 5 30 DE DE  50 5 70 ? 30 2100 50 DE 5 42 km

DE 5

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo A lei dos senos – Matemática – Novo Telecurso – Ensino Médio – Aula 43, em que são exploradas as relações entre o cálculo de áreas e sua relação com a lei dos senos, com aplicações práticas. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

MANUAL DO PROFESSOR

Apresentamos a seguir a resolução da atividade 4 da seção Superando desafios, da página 274.

(Unesp) 40 BC 5 a) 3 3 7 4 7 3 BC 5 40   3 4 BC 5 70 km

381 381 pom9_mp_374_384_especifica.indd 381

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6. Referências ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da Matemática. Curitiba: UFPR, 2007. BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas. Exame Nacional do Ensino Médio (Enem): fundamentação teórico-metodológica. Brasília, 2005. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, 2014. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília, 2013. CAMPOS, C. R. A educação estatística: uma investigação acerca dos aspectos relevantes à didática da estatística em cursos de graduação. Rio Claro, 2007. 242 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – UNESP-IGCE. CARVALHO, J. B. P.; LIMA, P. F. A avaliação pedagógica dos livros didáticos de Matemática: PNLD 1997 – 2004. Brasília: MEC, 2002. CHEVALLARD, Y. La transposition didactique: du savoir savant au savoir ensigné. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1992.

MANUAL DO PROFESSOR

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