Projeto Apoema - Matemática - 8º. Ano [2ª. Edição]

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Matemática

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Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne

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8 Matemática

Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne Licenciado em Matemática Doutor em Educação – linha de pesquisa em Educação Matemática Professor da rede particular de ensino

2a edição São Paulo, 2015

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APOEMA MATEMÁTICA 8

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6/2/15 10:09 AM

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Galdonne, Linos Projeto Apoema matemática 8 / Linos Galdonne. – 2. ed. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Projeto Apoema ; v. 8) Suplementado pelo manual do professor. ISBN 978-85-10-05907-7 (aluno) ISBN 978-85-10-05908-4 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. II. Série. 15-03724

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Imagem de capa Foto: César Oiticica Filho

© Editora do Brasil S.A., 2015 Todos os direitos reservados Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti Supervisão editorial: Erika Caldin Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero Supervisão de revisão: Dora Helena Feres Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete Consultoria técnica: Cristiane Boneto Edição: Rodrigo Pessota Assistência editorial: Edson Ferreira de Souza Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa Apoio editorial: Marilda Pessota Lima Coordenação de revisão: Otacilio Palareti Copidesque: Ricardo Liberal Revisão: Alexandra Resende, Andréia Andrade e Maria Alice Gonçalves Coordenação de iconografia: Léo Burgos Pesquisa iconográfica: Adriana Vaz Abrão, Denise Sales e Márcia Sato Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves Assistência de arte: Samira de Souza Design gráfico: Alexandre Gusmão, José Hailton Santos e Regiane Santana Capa: Patrícia Lino Ilustrações: Alex Argozino, Branco Chiacchio, Sonia Vaz, Ilustra Cartoon, Carlos Caminha, DAE (Departamento de Arte e Editoração), Eduardo Belmiro, Marcio Levyman, Paulo César Pereira, Ronaldo Barata, Simone Soares de Andrade, Waldomiro Neto e Zubartez Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos Editoração eletrônica: Débora Jóia, Gabriela César, Gilvan Alves da Silva e José Anderson Campos Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado

Hélio Oiticica. Metaesquema, 1957. Guache sobre cartão, 39 × 51 cm.

Hélio Oiticica (1937-1980) nasceu e viveu grande parte da vida na cidade do Rio de Janeiro. Sua obra foi marcada pela inovação e experimentação. Começou a estudar pintura com Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro, em 1954 e, no ano seguinte, iniciou a criação de pinturas geométricas abstratas. As obras Invenções, de 1959, assinalam a transição do artista da tela para o espaço ambiental. Tropicália, de 1967, deu nome ao movimento musical e cultural do mesmo período, o Tropicalismo. Durante a década de 1970 viveu em Nova York, retornando ao Brasil em 1978. Após seu falecimento, em 1980, foi criado o Projeto Hélio Oiticica.

2a edição, 2015

Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br

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Apresentação

Queremos convidá-lo a estudar Matemática não como uma ciência completamente alheia à realidade e parada no tempo. Ao contrário, o estudo que aqui propomos é dinâmico e pensado para aqueles que desejam de fato compreender como os conceitos e as teorias relacionados a essa disciplina foram elaborados e aplicados. As regras e fórmulas matemáticas que usamos são consequências do estudo dos fenômenos que nos cercam. A Matemática está presente na natureza como a simetria em uma borboleta, no casulo hexagonal de uma colmeia ou na forma poligonal de uma flor. Está, também, nas construções realizadas pelo homem, como nas Pirâmides do Egito, nas estruturas triangulares e até mesmo no uso da tecnologia. Usamos a Matemática quando contamos, fazemos estimativas de medidas ou mesmo em uma simples observação sobre as letras e os algarismos da placa de um automóvel. Compreendê-la, portanto, é ampliar a percepção do mundo que já conhecemos. Esperamos que a vontade de compreender essa ciência, aliada ao desejo de investigação, seja motivo suficiente para conduzi-lo ao estudo que aqui propomos. Desejamos que no final você perceba a Matemática como uma atividade humana repleta de significados e aplicações. Bom estudo! O autor

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Conheça o seu livro Dick Duerrstein / Shutterstock

UNIDADE 8

Geometria: circunferência

O lugar geométrico dos pontos de um plano situados a uma mesma distância de um ponto fixo dado é uma circunferência. A superfície limitada por uma circunferência é denominada círculo. Em uma circunferência podemos inscrever ou circunscrever triângulos e quadriláteros. Podemos também representar ângulos inscritos e ângulos centrais.

Unidade No início de cada unidade, há um texto introdutório e perguntas que o motivam a estudar o assunto. 1 Qual é a medida do ângulo central correspondente a um setor circular que representa 10% de um círculo? 2 Quantas posições relativas entre uma reta e uma circunferência são possíveis quando desenhadas num mesmo plano? 3 Todo quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência?

CAPÍTULO 10

Como os três triângulos são congruentes, os lados são dois a dois congruentes, e os ângulos também são dois a dois congruentes. Utilizando símbolos, temos:

Congruência de triângulos

• lados congruentes:

sível afirmar que dois triângulos são congruentes.

Capítulo

A

Conceito de congruência de triângulos

Sylverarts/Shutterstock

Setup

Depois, fez cópias do mesmo triângulo em posições diferentes, conforme está representado a seguir:

B2

Foi visto anteriormente que um triângulo pode ser deslocado no plano e assumir posições diferentes. Agora vamos estabelecer as condições para que dois triângulos sejam congruentes.

Dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um deles são respectivamente congruentes aos lados e aos ângulos do outro.

C2

C

  A   A  , B   B   B  e C   C   C  A 1 2 1 2 1 2

Neste capítulo abordaremos a congruência de triângulos. Veremos casos em que é pos-

Na tela do computador, Marcos desenhou um triângulo de vértices A, B e C.

B

AB  A 1 B1  A 2B2 , AC  A 1 C1  A 2C2 e BC  B1 C1  B2C2

• ângulos congruentes:

B1 A2

E DAE

A1

Cada capítulo é iniciado com uma situação do cotidiano ou de uma área do conhecimento relacionada com o conteúdo matemático a ser estudado.

C1 E

B

A

A

B

Note que é um mesmo triângulo que sofreu “deslocamentos”. Para verificar se de fato os outros triângulos correspondem ao original, podemos deslocar um sobre o outro, de tal maneira que os vértices coincidam. Se isso ocorrer, dizemos que os triângulos são congruentes e escrevemos:

Observações:

ABC  A1B1C1  A2B2C2

V Nos dois triângulos acima, os lados, dois a dois, são congruentes

(a quantidade de tracinhos indica que os lados têm o mesmo comprimento).

Quando dois triângulos têm as mesmas medidas de ângulos e lados dizemos que são congruentes, ou seja, podem ser sobrepostos de maneira que coincidam.

V Nos dois triângulos acima, os ângulos, dois a dois, são congruentes

(a mesma cor indica que os ângulos têm a mesma medida).

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

x

x

d) 81  3x  15 e) x  3  x  2 2 3 2 8 Qual é a solução da equação: (4) x  2

x

Registre no

caderno

7 Resolva cada uma das equações abaixo na incógnita x. a) 2x  70  10 b) 3(5x  22)  3 c) x  1  x 21 7

1 Considere a balança em equilíbrio representada abaixo:

97

f) 5(x  3)  2(x  1)  20 g) 1  x  1 4 2 3 h) 6 1  x  x  1 3 2 i) 3x  5  2(x  5)  3x 2 2

(

)

3,24  5 ?

Agora é com você

9 Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa. a) Se as três bolas colocadas no prato da esquerda têm a mesma massa, escreva uma equação que represente a situação. b) Resolva essa equação determinando a massa de cada uma dessas bolas. 2 Há três números naturais consecutivos com soma igual a 102.

a) ( ) 8 é a raiz da equação x  3  5. b) ( ) Resolvendo 32x  14  5, obteremos 1 como resposta.

Nessa seção que aparece ao longo de cada capítulo, você encontrará exercícios de fixação relativos aos conteúdos desenvolvidos.

c) ( ) 15 é a raiz da equação 3(8)  x  9 d) ( ) A equação 50x  20  10x tem como solução um número inteiro.

a) Escreva uma equação que represente essa situação. b) Que números são esses?

Então: a) escreva uma equação que auxilie na determinação da massa x de cada uma das latas; b) qual é a massa de cada uma delas?

b) O triplo da quantia que João possui mais R$ 44,00 resulta exatamente a quantia necessária para pagar uma dívida de R$ 134,00. Qual é a quantia que João possui? c) Ao adicionar 5 aos três meios de um número, o resultado é o mesmo que adicionar 3 aos quatro quintos desse mesmo número. Que número é esse? d) O tanque de um carro contém 40 litros de gasolina, o que representa 80% de sua capacidade. Qual é a capacidade desse tanque?

5 Determine o número real x para que as expressões 6(2x  3) e 62  3x sejam iguais.

Ilustraçõs: Eduardo Belmiro

6 Sabendo que a balança encontra-se em equilíbrio e que as embalagens do mesmo produto têm mesma massa, faça o que se pede.

Anna Lurye/Shutterstock

4 Considere a balança com dois pratos em equilíbrio e que cada uma das latas tenha a mesma massa.

a) Numa cidade, a corrida de táxi custa R$ 5,00 mais a quantia de R$ 2,00 por quilômetro rodado. Se a pessoa gastou R$ 25,00 em uma corrida, qual é a distância percorrida?

Paolo Bona/Shutterstock

10 Resolva os problemas a seguir.

3 Determine três números naturais ímpares e consecutivos cuja soma seja igual a 75.

11 Um vendedor recebe um salário fixo mensal de R$ 1.300,00 mais uma comissão de 2% sobre o valor de vendas efetuadas durante o mês. a) Defina uma equação que forneça o rendimento mensal R desse vendedor em razão das vendas x realizadas. b) Se o ganho no final do mês desse vendedor foi de R$ 4.200,00, qual foi seu volume de vendas?

a) Equacione o problema acima utilizando C para café e A para arroz. b) Utilizando a equação encontrada, determine a massa de cada pacote de arroz sabendo que cada pacote de café tem massa igual a 4 kg.

12 (Unicamp) Roberto disse a Amanda: “Pense em um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Amanda disse: “15”. Roberto imediatamente revelou o número original em que Amanda havia pensado. Calcule esse número.

201

Conexões

R

grau 2

S

grau 1

CONEXÕES

Construção geométrica

Observações: V O grau de um polinômio só pode ser determinado quando o polinômio estiver com

seus termos semelhantes reduzidos. V Um número real é dito polinômio de grau zero.

Exemplo: P  4 tem grau zero. V Não se define o grau de um polinômio nulo.

Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE Ilustrações: Setup

Observe a sequência de figuras e faça o que se pede.

fig. 1

Nessa seção, que aparece ao longo dos capítulos, você terá textos relacionados à história da Matemática, assuntos da realidade, aprofundamento da teoria ou curiosidades geométricas, algébricas e numéricas.

Quando temos informações sobre as medidas dos lados de um triângulo, podemos construí-lo em uma folha de papel. Utilizando lápis, transferidor, compasso e régua, pode-se, por exemplo, comprovar, por meio de construções, os quatro casos de congruência entre triângulos. Antes é necessário saber como construir um triângulo com os instrumentos de desenho geométrico que aqui foram mencionados.

m

grau 3

e.co

Q

Grau de um polinômio numa variável é o maior expoente dessa variável.

amstim

grau 4

Dre

P

tto/

Assim, retomando os polinômios anteriores, temos:

Lloveo

200

Leia com atenção! Vamos construir um triângulo ABC de tal maneira que: AB  5 cm, BC  4 cm e AC  7 cm.

•1

o passo: Com o auxílio de uma régua, trace um segmento com comprimento de 5 cm. Indique com as letras A e B as extremidades do segmento.

fig. 2 fig. 3 fig. 4 1 Copie e complete a tabela. Área

Amarelo

Laranja

Branco

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 9 16 25 36

2 3 4 5 6

2 2 2 2 2

0 4 10 18 28

2 Com base nos dados obtidos, elabore uma hipótese para o cálculo de cada item abaixo. Em seguida, confirme a veracidade de suas hipóteses. a) Área. b) Quantidade de quadradinhos amarelos. c) Quantidade de quadradinhos laranja. d) Quantidade de quadradinhos brancos.

124

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•2

o passo: Com o auxílio de um compasso, obtenha uma abertura correspondente à medida de 4 cm, conforme está indicado na figura.

Trabalho em equipe Nessa seção você e os colegas são convidados a, juntos, realizar uma tarefa, resolver um problema, refletir sobre questões propostas etc.

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Ilustrações: Eduardo Belmiro

Figura

104

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6/2/15 3:47 PM

Quem Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

LilKar/Shutterstock

Arquivo pessoal

Visuals Unlimited/Inc./Scientifica/Getty Images

com a palavra, o especialisTa

Especialidade É livre-docente em Matemática (1995) e doutor em Física (1992) ambos pela Unicamp.

Com a palavra, o especialista

Área de pesquisa Informática na Educação Matemática.

Pedro explica que outros elementos permitem explorar o tema. ”As formas geométricas estão nas asas de uma borboleta ou no casco das tartarugas.“ Até mesmo, ele lembra, na imagem presente no núcleo de todas as células vivas, a dupla hélice de ácido desoxirribonucleico, mais conhecida por DNA.

Como a álgebra evoluiu?

Lightspring/Shutterstock

Inlovepai/Shutterstock

Essa seção traz entrevistas com especialistas de áreas da Matemática.

A Álgebra evoluiu da Aritmética, inclusive pode-se pensar que ela é uma extensão da Aritmética. A Álgebra tem algo que falta à Aritmética: a noção de incógnita, o “x” da questão. Antigamente, a descrição de problemas era feita de forma textual e ficou conhecida como álgebra retórica. A álgebra simbólica, que é a forma utilizada hoje, tem aproximadamente 500 anos; é recente se for comparada com os trabalhos dos gregos antigos, que têm mais de 2 mil anos. Por que a Álgebra é uma área preocupante em relação ao ensino e à aprendizagem? Ela é um dos principais componentes da linguagem matemática. A Álgebra é importante para a representação e a resolução de problemas. Ela favorece a abstração dos métodos empregados na resolução de problemas similares, possibilitando a generalização com base em um bom exemplo. Por isso, é fundamental que os alunos adquiram habilidade para representar problemas usando a álgebra simbólica e também para resolver operações algébricas.

Pintura corporal Durante a visita aos índios Javaés, os estudantes puderam conhecer e valorizar as manifestações culturais daquele povo.

Quais métodos e ideias podem auxiliar os alunos a aprender Álgebra? A relação entre Álgebra e Geometria deve ser explorada sempre que possível, particularmente a representação geométrica de um problema algébrico. Os materiais manipulativos e os materiais concretos também podem facilitar a compreensão de ideias e conceitos algébricos. Atualmente, existem softwares para treinamento, visualização, jogos, manipulativos virtuais etc. voltados para o conteúdo de Álgebra. Enfim, há vários caminhos para ensinar e aprender Álgebra.

Exploraram o padrão de pintura corporal e das cerâmicas e continuaram o estudo de ângulos. Tudo foi fotografado. Um bate-papo com os artesãos esclareceu a ideia que os índios têm sobre o assunto. "Nosso trabalho e nossa vida giram em torno da natureza e dos desenhos dela. Os animais são a maior fonte de inspiração", conta o cacique José Tehabi Javaé. A essa altura do projeto, a interferência de Pedro foi mínima, pois os alunos já sabiam reconhecer as figuras poligonais.

Há muitas mídias digitais (softwares, animações, filmes, textos etc.) disponíveis na internet. Destacamos:

Mas as aulas extrapolaram o tema inicial: Pedro aproveitou a oportunidade para discutir os estereótipos e o preconceito. O momento de maior descontração aconteceu quando os jovens, e também o professor, foram pintados com jenipapo por um índio. O mesmo ritual acontece na aldeia em dias de festa.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

• Portal do Professor: .

Avaliação pela leitura de fotos O que foi feito das fotografias tiradas pela turma? Foram parar nas telas do computador. As cenas captadas pelas lentes das câmeras digitais ajudaram a repassar e fixar conceitos e, principalmente, serviram de material de avaliação para Pedro. Nas aulas de Informática, os alunos selecionaram imagens para cada propriedade de ângulos e polígonos. Na internet, eles pesquisaram a geometria presente em outros objetos e campos do conhecimento, como a arte, a arquitetura e a astronomia. Para finalizar, Pedro encomendou um texto livre sobre as imagens.” Fonte: BENCINI, Roberta. Com a Geometria na pele. Professor diversifica aulas de Geometria e ensina ângulos e polígonos através de pinturas corporais. Publicado na revista Nova Escola, ed. 169, jan. 2004, p. 3#37. São Paulo: Abril comumicações S/A. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/ geometria-pele-427471.shtml Acesso em: maio 2013.

bagagem culTural

144

Itália

89

CHARME OBLÍQUO

TORRE DE PISA: UM ERRO QUE DEU CERTO

56,4

metros

Pisa

Apresenta infográficos que possibilitam explorar a interdisciplinaridade entre a Matemática e outras disciplinas.

Localizada na Itália, a Torre de Pisa é um dos principais pontos turísticos do país. Com seus 8 andares e 56,4 metros de altura, no seu ponto mais alto, a torre feita de mármore assusta turistas até hoje por ser ligeiramente inclinada, dando a impressão de que está prestes a cair.

Muitos boatos surgiram a respeito do fato de a Torre de Pisa ser inclinada. Um deles se refere aos trabalhadores que a construíram. Muitos acreditavam que eles a tivessem construído inclinada de propósito, como forma de protesto aos baixos salários.

A Torre de Pisa demorou 177 anos para ser construída. Em 1178, durante a construção do terceiro andar, é que arquitetos e engenheiros começaram a perceber a inclinação.

Já os fiéis católicos acreditavam que a torre havia sido entortada por Deus, por ter sido construída no Campo dei Miracoli (Campo dos Milagres, em português).

Pavel Ilyukhin/Shutterstock

O verdadeiro motivo O real motivo para a Torre de Pisa ser inclinada só foi descoberto no século XX: constatou-se que esse campanário, de 14 mil toneladas, foi construído em um terreno alagadiço e instável. No final de 2013, um conjunto de obras foi concluído na Torre

Em 1995, foram instalados cabos subterrâneos a 40 metros de sua superfície, por onde se injetava nitrogênio para congelar a água que havia no terreno e evitar inundações. Em 2013 terminou Atualmente sua um projeto de 12 anos que envolvia inclinação é de a conexão de cabos de5,5 aço e enormes graus para o pesos sul. de chumbo como um contrapeso.

5,5°

Disponível em: . Acesso em: abr. 2015. N

N2

de Pisa, com um investimento de R$ 93 milhões de reais para desentortá-la; com isso, a torre ficou com uma inclinação de aproximados 4°. Você sabia que ela já teve inclinação de 5,5°? Segundo o diretor técnico da obra, a torre deve permanecer estável e sem necessidade de intervenção pelos próximos 200 ou 250 anos.

2

Gustavo Moore

Bagagem cultural

Em 1988, a Torre de Pisa foi interditada à visitação pública, pois tinha chances de cair.

Jessmine/Shutterstock

© Google Earth 2013

Roma

CURIOSIDADE No Brasil, na orla de Santos, litoral de São Paulo, alguns prédios também sofrem com um problema semelhante ao da torre. Por ficarem inclinados um para o outro, dois edifícios foram apelidados de "beijoqueiros" pelos moradores.

79

78 Registre no

caderno

maTemáTica e cidadaNia A Matemática e as placas de trânsito

2.

4.

3.

7.

Ilustrações: DAE

Você já deve ter visto algumas placas de trânsito. Consegue perceber que temos várias formas geométricas nestas placas? 1.

8.

Matemática e cidadania

5. 6.

9.

10.

11.

NA DÚVIDA NÃO ULTRAPASSE

Nos exemplos mostrados acima, percebemos que as placas têm várias formas geométricas ou formas que se aproximam das geométricas. Temos vários tipos de sinalizações e cada placa tem um significado.

Por meio dos textos dessa seção, você saberá como a Matemática é importante no exercício da cidadania.

O primeiro tipo é a sinalização de advertência, que serve para alertar o motorista sobre algum problema ou perigo que ele pode encontrar naquela via – são as placas com fundo amarelo. As placas de regulamentação têm a função de informar aos motoristas proibições, obrigações ou restrições do uso – elas têm fundo vermelho ou somente o contorno vermelho. As placas de indicação auxiliam no sentido de direção e distâncias dos lugares – estão divididas em 4 grupos: • Orientação e destino: sinalizam nomes de cidade, número dos quilômetros de determinada rodovia, com as palavras em branco e fundo verde.

•

Serviços auxiliares: informam o motorista sobre locais para reparos em falhas do carro, falta de combustível, local para descanso etc. Essas placas têm fundo azul.

diversificaNdo liNguageNs

190

Localizado está num ponto a uma mesma distância de todos aqueles que limitam o local. Pedras e mais pedras revestem o local. A retirada de uma pedra falsa para sempre fecha o acesso ao último legado.

Em alguns capítulos, você conhecerá um jeito diferente de “ler a Matemática”, por exemplo, por meio de histórias em quadrinhos ou tirinhas, mapas etc.

TungCheung / Shutterstock

Diversificando linguagens

Vadin Sadorski/Shutterstock

Um dia, o professor de Marcos contou uma lenda para a turma do 8o ano. A lenda dizia que havia um tesouro enterrado em um local construído pelos antigos maias. Ao chegarem ao local, depois de muitas pistas falsas e tentativas infrutíferas, os caçadores de tesouros se depararam com uma imensa vegetação que cobria todo o local e se diferenciava um pouco das demais. Conforme pista que eles haviam encontrado num antigo documento, leram: Depois de ficarem um dia inteiro discutindo e tentando entender a última pista, resolveram vasculhar todo o local. Observaram que, apesar de coberto por uma densa vegetação, o local era perfeitamente plano. Com um pedaço de metal, o mais velho dos caçadores tocou o solo e escutou um estalido diferente. Limparam em volta e constataram que, por baixo da vegetação, pedras de mesmo tamanho e perfeitamente lisas cobriam o local. O passo seguinte foi remover toda a vegetação. Foi então que entenderam a última pista fornecida: havia um círculo imenso perfeitamente revestido por pedras. Somente a pedra que estava situada exatamente no centro poderia ser retirada.

Numa folha de papel, o mais novo dos caçadores desenhou um pequeno círculo. Traçou nesse círculo duas cordas. Depois de encontrar o ponto médio de cada uma dessas duas cordas, traçou duas retas perpendiculares pelo ponto médio das duas cordas. O ponto de encontro dessas duas retas indicava o local exato do centro da circunferência. A pedra foi retirada com extremo cuidado e o segredo foi revelado!

Ronaldo Barata

Embora seja uma lenda, temos aqui algo extremamente interessante que você pode explorar. Imagine que alguém desenhou uma grande circunferência, mas não deixou marcado o centro dela. Pelo que foi visto acima, podemos agora localizar precisamente onde está o centro da circunferência. 1. Com o auxílio de régua e compasso, faça uma Registre no circunferência de raio igual a 10 cm numa caderno folha de papel. Procure não deixar marca do local em que está situado o centro da circunferência. 2. Trace duas cordas dessa circunferência e, como foi feito anteriormente, determine o ponto exato que corresponde ao centro dela.

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Superando desafios

Registre no

caderno

SUPERANDO DESAFIOS

Ao final de cada unidade, você é convidado a aprender mais por meio de questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo.

1 (ITA) Dadas as afirmações: I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares; II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares; III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango. Podemos concluir que: a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas II é verdadeira. e) Apenas III é verdadeira. 2 (OBM)

Ronaldo Barata

Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais conforme ilustração abaixo, obtendo-se um triângulo isósceles. Foi feito um corte na folha dobrada, paralelo à base desse triângulo, pelos pontos médios dos outros lados. A área do buraco na folha corresponde a que fração da área da folha original?

a)

Explorando Essa seção apresenta, no final de cada unidade, sugestões de livros, sites, filmes, vídeos, jogos etc. para você continuar explorando o assunto. Aqui, você conta também com alguns códigos QR, ferramenta que possibilita o acesso direto a recursos da web por meio de dispositivos móveis.

1 2

b)

1 6

3 8

c)

Explorando

d)

3 4

e)

1 4

Pra que serve a Matemática? – Geometria www.uff.br/cdme/jcq/jcq-html/ jcq-br.html

Atual Editora

Jogo da classificação dos Quadriláteros

Autores: Imenes, Jakubo, Lellis Atual Editora 48 páginas

www.uff.br/cdme/jcq/jcq-html/jcq-br.html Acesso em: mar. 2015.

Você sabia que a Geometria é usada em outras áreas do conhecimento? O livro dá exemplos práticos do uso da Geometria na arquitetura, propaganda, eletrônica e telecomunicações.

Jogo em que você deverá formar o quadrilátero indicado pelo software. Esse material, desenvolvido pela Universidade Federal Fluminense, ajudará a aprimorar seus conhecimentos em relação à classificação dos quadriláteros.

O leitor é desafiado a fazer construções usando dobraduras de papel com o objetivo de compreender conceitos geométricos abstratos. Há também exemplos de situações curiosas do uso da Geometria na natureza e no nosso dia a dia.

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TECLA_MATEMÁTICA Você sabe o que é mediatriz? Siga atentamente as instruções para entender esse importante ente geométrico. Para isso, vamos usar o programa de geometria dinâmica GeoGebra. 1. Abra o programa GeoGebra.

Fotos: Dotta

2. Clique no terceiro botão da esquerda para a direita, e escolha a opção “Segmento” (figura I), para construir o segmento de reta AB. (figura II).

Tecla_Matemática A tecnologia e a Matemática estão cada vez mais juntas e, por meio de programas de informática, você descobrirá um novo universo e aprenderá os conteúdos de forma divertida.

Figura I

Figura II

106

Registre no

caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Dois segmentos com o mesmo comprimento são: a) paralelos; b) perpendiculares; c) congruentes; d) pertencentes à mesma reta.

6 Considerando que na figura a seguir o ângulo AOC é raso, o valor de x indicado é: B

5x  24°

A

2 Dois ângulos congruentes têm:

x  36°

C

0

a) 30°

a) o mesmo vértice; b) a mesma medida; c) os mesmos lados; d) medidas diferentes.

b) 35°

c) 20°

d) 25°

7 Ainda em relação à figura da questão anterior, é correto afirmar que as medidas dos ângulos AOB e BOC são, respectivamente:

3 Na figura a seguir, a medida do ângulo indicado pela letra x é:

a) 124° e 56° b) 56° e 124°

c) 120° e 60° d) 60° e 120°

8 Conforme a figura a seguir, é correto afirmar que:

A

x

29,8°

B

x 32°

a) 48°

b) 58°

c) 32°

d) 42°

4 Observando, na figura a seguir, as retas concorrentes e os ângulos indicados, assinale a alternativa correta.

a) x  150°

c) x  147,2°

b) x  140,2°

d) x  150,2°

9 Considerando que as retas r e s são paralelas, podemos afirmar que: t

 

A 

r



a) Os quatro ângulos têm a mesma medida. b) Os ângulos opostos pelo vértice têm medidas diferentes. c) Existem dois ângulos cuja soma das medidas é 180°. d) Existem dois ângulos cuja soma das medidas é 90°. 5 Dois ângulos opostos pelo vértice: a) são complementares; b) são suplementares; c) não têm a mesma medida; d) são congruentes.

B

s

Ilustrações: Setup

O

a) os ângulos A e B são complementares. b) os ângulos A e B são suplementares. c) se o ângulo A é 45°, então o ângulo B é 125°. d) se o ângulo B é 120°, então o ângulo A é 30°.

Resgatando conteúdos Ao final de cada unidade, há uma proposta de “resgate” dos conteúdos abordados nela por meio de exercícios que servem também de autoavaliação.

10 Num triângulo isósceles, dois ângulos internos têm medidas 40° e 100°. Qual é a medida do terceiro ângulo interno? a) 40°

b) 60°

c) 20°

d) 80°

110

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APOEMA MATEMÁTICA 8

a

05/06/2015 19:39

Sumário Unidade 1

Números reais

CAPÍTULO 1: Números racionais.......................... 12 VVA ciência das medidas..................................... 12 VVOs números racionais...................................... 13 VVAs dízimas periódicas...................................... 17

CAPÍTULO 2: Os números reais............................ 21 VVOs números irracionais....................................22 VVOs números reais................................................25 VVO comprimento da circunferência....................28

Unidade 2

VVPotências com expoentes inteiros...................42 VVPropriedades da potenciação...........................44 VVPotências de base 10........................................48

CAPÍTULO 5: Radiciação: raiz quadrada................ 51 VVRaiz quadrada aritmética.................................51

VVMédia.................................................................31 VVMediana.............................................................32 VVModa..................................................................32 VVSuperando desafios.......................................34 VVExplorando.....................................................35 VVMatemática e cidadania.................................36 VVResgatando conteúdos..................................37

40 VVRaiz quadrada: cálculo pela decomposição

em fatores primos............................................54 VVCálculo de raiz quadrada aproximada.............55

CAPÍTULO 6: Tratamento da informação: Análise combinatória: princípio fundamental da contagem .....58 VVSuperando desafios.......................................61 VVExplorando.....................................................61 VVResgatando conteúdos..................................62

Geometria: triângulos

CAPÍTULO 7: Segmentos, ângulos e retas............. 66 VVSegmentos e retas............................................66 VVÂngulos.............................................................68 VVÂngulos entre duas retas concorrentes.................71 VVÂngulos de duas retas paralelas

com uma transversal...........................................73 VVBagagem cultural – Charme oblíquo –

Torre de Pisa: um erro que deu certo...........78

CAPÍTULO 8: Triângulos..................................... 80 VVClassificação de triângulos................................... 81

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CAPÍTULO 3: Tratamento da informação: média, mediana e moda......................................... 31

Potenciação e Radiciação

CAPÍTULO 4: potenciação com expoentes inteiros.... 42

UNIDADE 3

10

APOEMA matemática 8

64 CAPÍTULO 9: Soma das medidas dos ângulos de um triângulo.......................................................... 86 VVSoma das medidas dos ângulos

internos de um triângulo.................................87 VVSoma das medidas dos ângulos

externos de um triângulo.................................90

CAPÍTULO 10: Congruência de triângulos............ 96 VVConceito de congruência de triângulos...........97 VVCasos de congruência......................................99 VVTecla_Matemática........................................106 VVSuperando desafios.....................................109 VVExplorando...................................................109 VVResgatando conteúdos................................110

a

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UNIDADE 4

Álgebra: cálculo algébrico

112

CAPÍTULO 11: Expressões algébricas.................114

VVMultiplicação de polinômios..........................129

VVExpressão algébrica e valor numérico...........114 VVMonômios........................................................116 VVTermos semelhantes......................................119 VVPolinômios de uma variável...........................123

CAPÍTULO 12: Operações com polinômios de uma variável.................................................126 VVAdição e subtração de polinômios.................126

UNIDADE 5

CAPÍTULO 13: Tratamento da informação: análise de gráficos............................................138 VVSuperando desafios.....................................143 VVExplorando...................................................143 VVCom a palavra, o especialista................. 144 VVResgatando conteúdos................................146

Produtos notáveis e fatoração

CAPÍTULO 14: Produtos notáveis........................150 VVQuadrado da soma de dois termos................151 VVQuadrado da diferença de dois termos..........154 VVProduto da soma pela diferença de

dois termos.....................................................156

CAPÍTULO 15: Fatoração de polinômios...............159 VVFator comum e por agrupamento..................159

UNIDADE 6

VVDivisão de polinômios.....................................135

148

VVSimplificação de frações algébricas..............163 VVSuperando desafios.....................................164 VVExplorando...................................................164 VVMatemática e cidadania...............................165 VVResgatando conteúdos................................166

Geometria: quadriláteros

168

CAPÍTULO 16: Quadriláteros.............................170

VVPropriedades dos paralelogramos.................181

VVOs quadriláteros: conceitos e elementos......170

VVOutras propriedades.......................................184

VVSoma das medidas dos ângulos internos......172 VVSoma das medidas dos ângulos externos.....174 VVBagagem cultural – Geometria africana.....176

CAPÍTULO 17: Quadriláteros notáveis.................178 VVTrapézio, paralelogramo, losango,

retângulo e quadrado ....................................178

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APOEMA matemática 8

VVSuperando desafios.....................................189 VVExplorando...................................................189 VVMatemática e cidadania...............................190 VVResgatando conteúdos ................................192

a

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UNIDADE 7

Álgebra: equações

CAPÍTULO 18: Equações do 1o grau......................196 VVResolução de problemas que envolvem

equações do 1o grau.......................................197 VVResolução de equações literais.....................202 VVResolução de equações fracionárias..................205

CAPÍTULO 19: Sistemas de equações ..................208 VVSistemas de equações do 1o grau..................208 VVResolução de um sistema: método

da substituição e método da adição..............210

UNIDADE 8

194 CAPÍTULO 20: Interpretação geométrica da solução de sistemas......................................214 VVO plano cartesiano..........................................214 VVInterpretação geométrica da solução

de um sistema................................................218

CAPÍTULO 21: Tratamento da informação: probabilidade...................................................226 VVSuperando desafios.....................................228 VVExplorando...................................................229 VVResgatando conteúdos ................................230

Geometria: circunferência

232

CAPÍTULO 22: Circunferência e círculo..............234

CAPÍTULO 24: Ângulos e arcos na circunferência ... 252

VVCircunferência: elementos e obtenção..........234 VVCírculo: partes de um círculo.........................237 VVPosições relativas de retas e circunferências.. 239 VVPosições relativas entre circunferências.......243

CAPÍTULO 23: Segmentos e quadriláteros...........246 VVPropriedades de segmentos tangentes

a uma circunferência.....................................246 VVCircunferência inscrita num quadrilátero.....248

VVArco e ângulo central: medidas.....................252 VVMedida do ângulo inscrito..............................253 VVQuadrilátero inscrito numa circunferência.....257 VVSuperando desafios.....................................259 VVExplorando...................................................259 VVResgatando conteúdos................................260

Gabarito 262 Referências 272 Manual do Professor 273

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APOEMA matemática 8

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UNIDADE 1

Números reais Acredita-se que a ideia de um número que não seja nem inteiro e nem fracionário surgiu em um estágio mais avançado da civilização, e não de forma tão natural como outros conjuntos numéricos. O trabalho e o estudo com medidas podem ter motivado a criação desse tipo de número.

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APOEMA matemática 8

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VL1/Shutterstock

1 O que é um número é racional? 2 A raiz quadrada de um número racional positivo é sempre um número racional? 3 Como calcular o comprimento de uma circunferência com base na medida do raio?

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Capítulo 1

Números racionais Uma das várias utilizações dos números está relacionada às medidas. Medimos a altura das pessoas, sua massa, calculamos distâncias entre cidades, observamos velocidades de percurso, consumo de combustível do carro, analisamos as medidas de temperaturas, calculamos a medida do comprimento do lado de um quadrado, estabelecemos a área, que é uma medida de superfície etc. Respostas da página anterior:

A ciência das medidas

1. Aquele que pode ser expresso como uma fração de dois números inteiros, isto é, razão de dois inteiros. 2. Não. 3. Usando a fórmula: C 5 2pr.

Andrey Kryuchkov/Dreamstime.com

Você sabia que existe uma ciência sobre as medições e suas aplicações na sociedade? Pois é, o uso de medidas na indústria e no comércio exige muito cuidado e há uma ciência própria para este fim: a Metrologia. Metrologia é a ciência das medições, abrange os aspectos teóricos e práticos que asseguram a precisão exigida nos processos produtivos.

Você se lembra de que, nos anos anteriores, em algumas atividades nas quais era preciso fazer medições, muitas vezes os resultados encontrados eram diferentes? Isso acontece porque em geral as medidas são representadas por números não inteiros e a precisão da medida depende, entre outras coisas, do instrumento utilizado. Na história da Matemática, um capítulo que levou muito tempo a ser escrito estava ligado à impossibilidade de estabelecer exatamente a medida da diagonal de um quadrado, ou, outro problema similar, o de calcular o comprimento de uma circunferência. Uma simples gota de água, quando cai na superfície de um lago, permite-nos observar o que é uma circunferência. Como podemos calcular o comprimento de uma circunferência? Nos próximos dois capítulos, trabalharemos com os números retomando o que foi estudado até aqui e, para ampliar nosso conhecimento sobre os conjuntos numéricos, estudaremos os números irracionais, que fazem parte do conjunto dos números reais.

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APOEMA matemática 8

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Os números racionais Até este momento já foram vistos os números naturais, os números inteiros e os números racionais. Vamos agora retomar algumas das ideias principais já abordadas. Inicialmente apresentamos ao lado um diagrama que permite relacionar esses números.

Setup

Naturais Inteiros Racionais

Pela representação, podemos concluir que:

• qualquer número natural é também um número racional; • qualquer número inteiro é também um número racional. a

Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma b com a e b inteiros e b  0 são chamados de números racionais. Os números naturais, inteiros e racionais foram criados pela necessidade de ampliação do campo numérico. Por exemplo, em diversas civilizações foi possível identificar necessidades práticas, como mensurar uma quantidade, medir e comparar áreas; ou até mesmo necessidades de cunho acadêmico. Quando pensamos nas possibilidades operacionais, percebemos que alguns resultados não são possíveis em determinados conjuntos numéricos. Por exemplo, ao efetuar a subtração 15 2 20 no conjunto dos números naturais, não obtemos nenhum resultado que pertença a esse conjunto, logo, essa operação não pode ser realizada no conjunto dos números naturais. Vejamos mais alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1: A subtração de dois números naturais nem sempre é um número natural. Assim, observe que as subtrações abaixo não apresentam como resultado um número natural: 2 2 25 5 ? 45 2 60 5 ? Já no conjunto dos números inteiros o resultado dessas operações pode ser representado: 2 2 25 5 223 45 2 60 5 215

Observações: VV Os números inteiros podem ser representados na reta numérica, como a seguir: () 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

()

VV A comparação entre dois números inteiros é feita pela posição em que o número está representado na reta.

Aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita.

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Exemplo 2: A divisão de dois números inteiros nem sempre é um número inteiro. Assim, observe que as divisões abaixo não apresentam como resultado um número inteiro: 2455?

2 4 5 5 2 5 0,4 5 90 4 4 5 90 5 22,5 4

90 4 4 5 ? Já no conjunto dos números racionais o resultado dessas operações pode ser representado conforme mostrado ao lado.

forma decimal forma fracionária

Qualquer número racional pode ser representado como a razão de dois números inteiros.

Exemplo 3:

Caixa

João estava fazendo a conferência de uma mercadoria. Na embalagem, a massa nominal era de 1,5 kg. Ele recolheu e mediu as massas de uma amostra de 10 caixas e anotou as diferenças das massas em uma tabela.

1

No final da medição, João comparou a massa real com a massa esperada para as 10 embalagens (15 kg) e indicou a diferença. Quais foram os resultados da medição?

5

2 3 4 6 7

Como você faria essa averiguação? Veja a seguir como João procedeu:

8 9

Resolução:

10

• primeiramente, ele somou as diferenças positivas:

Diferença de massa (em kg)

1 0,030 2 0,120 2 0,052 1 0,063 1 0,039 2 0,025 2 0,046 2 0,052 1 0,022 1 0,023

0,030 + 0,063 + 0,039 + 0,022 + 0,023 = 0,177;

• depois, somou as diferenças negativas: (–0,120) + (–0,052) + (–0,025) + (–0,046) + (–0,052) = –0,295;

• somou os resultados e obteve: 0,177 + (–0,295) = –0,118; • logo, havia 0,118 Kg a menos. Assim, a massa total das 10 embalagens foi de 14,882 Kg.

Observações: VV Os números racionais podem ser representados na reta numérica, como a seguir:  6

51 10



5 2

() 6 5 4 3 2 1

0

0

28 5

4

1

2

3

4

5

6

()

VV A comparação entre dois números racionais é feita pela posição em que o número está representado na

reta, da mesma forma como nos números inteiros. VV Um número racional pode ser representado na forma fracionária ou na forma decimal.

A seguir propomos alguns exercícios que objetivam retomar o que foi estudado de números racionais no volume anterior desta coleção.

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APOEMA matemática 8

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Passe os números racionais que estão na forma decimal para a forma fracionária. a) 0,32

32 100

b) 21,5

2

c) 6,52

3 15 ou 2 2 10

652 163 ou 100 25

5 25 ou 2 2 10

d) 22,5

2

e) 0,02

2 1 ou 100 50

f) 9,1

91 10

2 Passe os números racionais que estão na forma fracionária para a forma decimal. a) 2 7 2 b) 8 5

d) 2 2 100

23,5

1,6

c) 2 33 4

28,25

20,02

e) 7 1000

0,007

f) 2 25 4

26,25

3 Utilize uma calculadora para escrever cada um dos números a seguir na forma decimal. a) 111 4

27,75

d) 1 80

b) 720 25

28,8

e) 2 15 160

c) 2 930 64

0,0125

f) 1600 128

214,53125

20,09375

12,5

4 Responda às questões a seguir. a) Dois números racionais estão representados na reta numérica. Como podemos saber qual deles é maior? O maior deles é aquele que estiver mais à direita na reta. b) Dois números racionais negativos estão representados na reta numérica. Como podemos saber qual deles é o menor? O menor é aquele que estiver mais à esquerda na reta. 5 Observe os números racionais escritos na tabela a seguir. 232

23,2

0,9

25

24,5

45

450

5 3

42

4,2

28,1

2

2 5

29,01

2

7 2

99,1

9 213

24

Responda às questões. a) Quais desses números são naturais? 25, 9, 45, 450, 42 e 24 b) Quais desses números são inteiros? 25, 9, 45, 450, 42, 24, 232 e 213 c) Qual desses números é o maior? 450 d) Qual desses números é o menor? 232 e) Quais desses números são racionais não inteiros? 23,2; 0,9; 29,01; 24,5; 5 ; 2 7 ; 4,2; 28,1; 2 2 e 99,1 2 5 3

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APOEMA matemática 8

15 a

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6 Copie e complete as sentenças a seguir com um dos sinais de comparação: . (maior que), , (menor que) ou 5 (igual a). . . 5 22,92 c) 22,5 e) 24,005 a) 22,91 25 2 b) 2,91 f) 20,91 2,92 d) 4,01 4,002 ,

.

,

Registre no

caderno 24,05 0,91

7 Na reta numérica a seguir estão indicadas as representações de alguns números racionais. Considerando que as divisões indicadas na reta têm as mesmas medidas, escreva: 0

A

1

C

2

3

a) o número racional correspondente ao ponto A; b) o número racional correspondente ao ponto B; c) o número racional correspondente ao ponto C.

4

B

1 0,5 ou 2 9 4,5 ou 2 3 1,5 ou 2

© Banco Central do Brasil

8 Resolva cada um dos problemas a seguir.

a) A quantia de R$ 25,00 deverá ser dividida igualmente entre 4 pessoas. Qual é a quantia que caberá a cada uma? R$ 6,25 b) O saldo na conta-corrente de Márcia está devedor em R$ 450,25. Ela fez um depósito de R$ 250,45. Qual é o saldo atual? R$ 199,80 negativos c) A quantia de R$ 500,00 deverá ser obtida somente em cédulas de R$ 20,00. Quantas devem ser as cédulas? 25 cédulas. d) Qual seria a quantidade de cédulas de R$ 5,00 correspondente a R$ 500,00? 100 cédulas. 9 Numa reta numérica estão representados os números 0 e 20,5. Além disso, estão indicados dois pontos: P e Q. Considere todos os pontos igualmente espaçados. P

Q 0

0,5

Responda às questões a seguir. a) Se as divisões feitas entre os pontos correspondentes aos números 20,5 e 0 são de mesmo comprimento, quais são os números que os pontos P e Q representam? 20,3 e 20,2, respectivamente b) Quais são os opostos desses dois números? 0,3 e 0,2, respectivamente 10 Copie as afirmações corrigindo aquelas que julgar falsas. 11. a) Todo número natural é inteiro. números naturais números inteiros números racionais b) Todo número inteiro é natural. 8; 16 ; 53; 23 8; 16 ; 53; 23; 2,4; 24,85 8; 16 ; 53 c) Todo número inteiro positivo é natural. d) Os números naturais podem ser positivos e negativos. e) Um número racional pode ser um número inteiro. 10. b) Nem todo número inteiro é natural. d) Os números naturais não são negativos. f) Os números racionais são números inteiros. f) Os números inteiros são números racionais.

11 Classifique os números a seguir como naturais, inteiros ou racionais. 23

2,4

8

24,85

16

53

16 pom8_010_039_u01.indd 16

APOEMA MATEMÁTICA 8

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As dízimas periódicas Ao escrever a forma decimal de um número racional podemos obter um decimal exato ou uma dízima periódica.

Exemplo 1: Os números racionais a seguir são representados por decimal exato:

•

5 5 0,5 10

numeral com número finito de casas decimais;

• 2 83

5 2 0,375

21 • 2 16

5 21,3125

numeral com número finito de casas decimais; numeral com número finito de casas decimais.

Um número racional é decimal exato quando o numeral que representa a forma decimal contém um número finito de casas decimais.

Exemplo 2: Os números racionais a seguir são representados por dízimas periódicas:

•

5 5 1,666... 5 1,6 numeral com número 3 infinito de casas decimais periódicas;

• 2 22 15

5 21,4666... 5 21,46

numeral com

número infinito de casas decimais periódicas;

Observação: VV Quando uma fração corresponde

a uma dízima periódica é denominada de fração geratriz da dízima. VV Utilizamos um traço em cima do

algarismo (ou dos algarismos) que se repete(m).

53 5 4,818181... 5 4,81 numeral com nú11 mero infinito de casas decimais periódicas. Note que podemos obter uma dízima periódica, com ou sem calculadora, fazendo a divisão do numerador pelo denominador, quando conhecemos a fração geratriz. Agora precisamos também saber o caminho inverso, isto é, tendo por base a dízima periódica, e determinar a fração geratriz. Faremos isso por meio de artifício aritmético conforme os três exemplos a seguir.

•

Exemplo 3: Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0,777...

Resolução:

• Vamos indicar pela incógnita x a dízima que corresponde à fração que queremos determinar, isto é:

x 5 0,777...  (I)

• Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10, de tal maneira que a vírgula se desloque uma casa decimal para a direita; deixando as partes decimais iguais (do x e do 10x):

x 5 0,777... 10x 5 7,777...  (II)

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APOEMA matemática 8

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• Como (I) e (II) têm a mesma parte decimal, fazemos (II) menos (I), membro a membro, e determinamos assim x na forma fracionária: 10x 2 x 5 7,777... 2 0,777… 9x 5 7

x 5 7 9 Obtivemos, assim, a fração geratriz da dízima periódica, ou seja, 0,777... 5 7 . 9

Exemplo 4: Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0,727272...

Resolução:

• Vamos indicar pela incógnita x a dízima que corresponde à fração que queremos determinar, isto é:

x 5 0,727272...  (I)

• Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para que a vírgula se desloque duas casas decimais para a direita deixando as partes decimais iguais (do x e do 100x):

x 5 0,727272... 100x 5 72,727272...  (II)

• Como (I) e (II) têm a mesma parte decimal, fazemos (II) menos (I), membro a membro, e determinamos assim x na forma fracionária: 100x 2 x 5 72,727272… 2 0,727272… 99x 5 72

x 5 72 99 Obtivemos, assim, a fração geratriz da dízima periódica, isto é, 0,727272… 5 72 . 99

Exemplo 5: Escreva na forma fracionária o número 2,5438438438...

Resolução:

• Vamos indicar pela incógnita x a dízima que corresponde à fração que queremos determinar, isto é:

x 5 2,5438438438...  (I)

• Temos aqui um decimal que apresenta uma parte periódica e outra parte não periódica. Transformamos inicialmente a parte não periódica em inteiro. Para isso, multiplicamos por 10:

x 5 2,5438438438...  (I) 10x 5 25,438438438...  (II)

• Como (II) tem uma parte periódica em que três algarismos se repetem, multiplicamos (II) por 1 000: 10x 5 25,438438438... 10 000x 5 25 438,438438438...  (III)

18 pom8_010_039_u01.indd 18

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:13 AM

•

Analogamente aos exemplos anteriores, fazemos (III) – (II), ou seja: 10 000x  10x  25 438,438438438…  25,438438438… 9 990x  25 413

x 

25 413 9 990

Obtivemos, assim, a fração correspondente, isto é, 2,5438438438… 

25 413 . 9 990

As dízimas periódicas podem ser representadas de formas diferentes. Veja algumas formas a seguir:

•

Em forma de fração: 7,222...  65 9

•

Com um ponto acima do algarismo que se repete: 3,666...  3,6

•

Com um traço acima dos algarismos que se repetem: 0,1653653653...  0,1653 Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE Você já viu que alguns números racionais, quando escritos na forma decimal, podem ter infinitas casas decimais com determinado período (um algarismo ou algarismos que se repetem). Como obter a fração que gera a dízima periódica?

x  0,666 multiplicando por 10

10x  6,666 subtraindo a 1a da 2a equação

10x  x  6,666...  0,666... o 2o membro resulta num número inteiro

Multiplicando essa dízima periódica por potências de base 10 e subtraindo a própria dízima do resultado, pode-se chegar à forma fracionária da dízima. Observe ao lado.

9x  6

x  6  2 9 3

Utilizando essa ideia, considere as dízimas periódicas abaixo. Copie e preencha a tabela com os colegas de forma adequada.

x

0,666...

10x 

6,666...

10x  x 

x  fração geratriz

6 6 9

0,333...

0,111...

2,444...

3,555...

8,333...

5,222...

3,333...

1,111...

24,444...

35,555...

83,333...

52,222...

3

1

32

75

47

3 9

1 9

32 9

75 9

47 9

22

22 9

19 pom8_010_039_u01.indd 19

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

6/2/15 4:05 PM

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva a fração geratriz das dízimas periódicas a seguir. a) 20,444...

2

4 9

b) 0,333... 3 ou 1 9

c) 0,888...

3

2 Determine a forma decimal dos números a seguir. a) 25 4,1666... c) 215 5,97222... 6 36 b) 40 12

e)

d) 125 2,6041666... 48

3,333...

8 9

2 011 2,0313131... 990

f) 77 90

0,8555...

3 Obtenha a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas. a) 0,343434...

34 99

b) 20,272727...

2

c) 0,545454... 27 99

d) 0,787878...

54 99 78 99

4 Escreva na forma decimal os números racionais a seguir. a) 22 0,2444... e) 150 16,666... 90 9 1250 156,25 b) f) 25 0,08333... 300 8 c) 80 90

g) 26 500

0,888...

0,052

4 000 2 1 333,333... 0,0008 h) 2 500 3 5 Em relação aos números racionais do exercício anterior, responda às questões. d)

22

a) Quais são dízimas periódicas? 90 , b) Quais são decimais exatos? 1250 8

,

80 4 000 150 25 , , e 90 3 9 300 26 2 e 500 2 500

6 Escreva na forma fracionária os números racionais a seguir. a) 1,888...

17 9

b) 0,321321321...

c) 1,717171... 321 999

d) 8,555...

77 9

170 99

a) Uma dívida de R$ 400,00 deverá ser paga em três parcelas iguais. Entretanto, ao dividir o valor por 3, não temos uma divisão exata. Como pode ser feita essa divisão? Duas parcelas de R$ 133,33 e uma parcela de R$ 133,34. Professor, observar outras respostas. b) Um computador está sendo vendido por R$ 1.500,00, em 9 parcelas iguais sem acréscimo. É possível que todas as parcelas tenham o mesmo valor?

Desktop computer with lcd monitor, keyboard, speaker and mouse, isolated over white Gleb Semenov/Dreamstime.com

7 Resolva cada um dos problemas a seguir.

Não, pois a divisão de R$ 1.500,00 por 9 resulta em uma dízima periódica.

8 Sendo a 5 0,666... 1 0,222... e b 5 0,3 1 0,05, determine o valor de a . b

8 a 8 20 160 9 5 5 ⋅ 5 b 9 7 63 7 20

20 pom8_010_039_u01.indd 20

APOEMA matemática 8

a

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Capítulo 2

Os números reais Tupungato/Dreamstime.com

Você já ouviu falar da Escola Pitagórica? Inúmeras são as histórias a respeito de um grego chamado Pitágoras. Esse filósofo e matemático que viveu na Grécia Antiga tinha discípulos, que ficaram conhecidos como pitagóricos. Para eles, os números governavam o mundo e, tinham em mente que por trás dos fatos, dos acontecimentos e da natureza estavam os números.

Plimpton Collection, Rare Book and Manuscript Library, Columbia University

É atribuído a Pitágoras um famoso teorema que relaciona entre si os lados de um triângulo retângulo, mas pesquisas no campo da História da Matemática indicam que os babilônios tinham esse conhecimento mais de 2 000 anos antes dos pitagóricos. Um tablete de argila babilônio escrito por volta de 1800 a.C., denominado Plimpton 322, contém sequências de números correspondentes às ternas pitagóricas.

Escultura do busto de Pitágoras de Samos (c. 570-496 a.C.), Roma, Itália.

Uma curiosa figura formada por triângulos retângulos (quando um dos ângulos de um triângulo é reto) tinha suas medidas representadas por raízes quadradas de números naturais e consecutivos. A figura é a seguinte: 1

1

4

5

3 2

6

1

1

11 17

7 1 8 1

1

16

Setup

Se você observar com atenção cada um dos triângulos, verá que um dos lados mede 1 unidade de comprimento, e os lados que se ligam ao centro da chamada espiral pitagórica têm suas medidas representadas por raízes quadradas de números naturais. Acontece que nem sempre essas raízes quadradas são números racionais. Para que essas raízes tenham significado, precisaremos estudar um novo conjunto numérico.

1

1

Tablete de argila babilônio Plimpton 322.

15

9 10 1

1 11

14

13

12

1 1 1

1 1

21 pom8_010_039_u01.indd 21

APOEMA matemática 8

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Os números irracionais Assim como aconteceu com os números naturais e depois com os números inteiros, os números racionais também se mostraram insuficientes para representar todos os resultados de operações. Já sabemos pela definição que um número racional pode ser representado como a razão de dois inteiros. Observe, a seguir, a figura formada por dois quadrados. 1

Setup

1





O quadrado maior, de lado medindo , tem a área igual ao dobro da área do quadrado menor, de lado medindo 1 unidade de comprimento. Lembrando que a área de um quadrado é o quadrado da medida do lado, temos que: A quadrado maior 5 2 ? A quadrado menor 2 5 2 ? 1 2 2 5 2 Assim, a medida do lado do quadrado maior será a raiz quadrada da área, ou seja:  5

2 5 ?

Qual é o número racional que, elevado ao quadrado, resulta em 2? Ou, perguntando de outra maneira, qual é a raiz quadrada de 2? Por meio de aproximações podemos tentar descobrir a resposta para essa questão: 12 5 1  54

• 22

1, ,2

Vamos utilizar números racionais mais próximos, com uma casa decimal:

•

1,12 1,22  2 1,3 1,42  2 1,5

5 1,21 5 1,44 5 1,69 5 1,96 5 2,25

1,4 ,  , 1,5

Aproximando agora com duas casas decimais:

•

1,412 5 1,9881 1,422 5 2,0164 

1,41 ,  , 1,42

22 pom8_010_039_u01.indd 22

APOEMA matemática 8

a

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Agora aproximamos com três casas decimais:

•

1,4112 1,4122  1,4132 1,4142  2 1,415

5 5 5 5 5

1,990921 1,993744 1,996569 1,999396 2,002225

1,414 ,  , 1,415

Podemos utilizar uma calculadora ou um computador para continuar as aproximações. Entretanto, por mais que queiramos continuar, sempre vamos encontrar um valor aproximado que, elevado ao quadrado, terá como resultado um número próximo de 2, mas não o número 2. O resultado da raiz quadrada de 2 não tem em sua dízima uma parte periódica, fato que pode ser provado. Logo, não pode ser escrita na forma fracionária. Portanto, não conseguimos um número racional que, elevado ao quadrado, tenha como resultado o número 2. Dizemos então que 2 não é um número racional: ele é chamado de número irracional.

Observações: VV Quadrado perfeito é um número inteiro cuja raiz quadrada também é um número inteiro. São exemplos

de quadrados perfeitos: 0, pois

0 5 0

4, pois

4 52

16, pois

1, pois

1 5 1

9, pois

9 5 3

25, pois

16 5 4 ... 25 5 5

VV As raízes quadradas dos números inteiros que não são quadrados perfeitos são números irracionais. São

exemplos de números irracionais:

2;

3;

5;

6 ; ...

Exemplos: 2 5 1, 414213562373095048801... 3 5 1,732050807568877293527... 5 5 2,2360679774997896964091... Observe, nos exemplos acima, que, mesmo que um número tenha muitas casas decimais, isso não o caracteriza como um número irracional, pois em sua representação decimal não sabemos se após a última casa representada inicia-se um período. Afirmamos que esses números são irracionais porque há uma comprovação matemática para isso. A fração 24 , por exemplo, tem um período formado por 16 casas, mas ao fazer essa di17 visão em uma calculadora, dependendo de seu modelo, obtemos o número 1,41176470588, que parece não ter período – mas tem e, portanto, é um número racional. Os números que não podem ser representados como quociente (razão) de dois números inteiros são denominados de números irracionais. A representação de um número irracional na forma decimal tem infinitas casas decimais e não periódicas.

23 pom8_010_039_u01.indd 23

APOEMA matemática 8

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AGORA É COM VOCÊ 1 Responda às questões a seguir.

a) Se a representação de um número na forma decimal tem infinitas casas, isso significa que é irracional? Não, pois a representação pode ter infinitas casas decimais e periódicas (portanto, racional). b) Se a representação decimal de um número é exata, esse número pode ser irracional? Ilustrações: Setup

Não, pois número irracional não tem a representação decimal exata.

2 O quadrado representado mede 3 cm de lado. Utilizando uma calculadora, podemos obter o valor aproximado para a medida do lado, isto é, 3  1,732. Determine:

3 cm

a) a medida aproximada do perímetro desse quadrado; 6,928 cm b) a medida aproximada da área do quadrado; 2,999824 cm2 c) a medida da área, considerando que a medida do lado do quadrado é 3 cm. 3 cm2 3 Retomando parte da espiral pitagórica, observe as medidas dos lados dos triângulos retângulos representados ao lado. Com o auxílio de uma calculadora, escreva com 4 casas decimais as medidas aproximadas correspondentes a: b) 5 2,2361

c) 6

1

1

1

1 5

4

3

2

6 2,4495

4 Utilizando ainda uma calculadora, calcule o quadrado de cada um dos números obtidos na atividade anterior. Em seguida, responda: Elevando esses números ao quadrado, você obteve os valores 3, 5 e 6, respectivamente? Não, mas valores próximos.

1

1 v/ ko ini om Ole e.c n ty tim len ms Va rea D

a) 3 1,7320

3 cm

5. Os alunos deverão representar esses números na reta numérica. Para tanto deverão calcular as raízes quadradas com o auxílio de uma calculadora. 2 3 5 10 20 0 1 2 3 5 6 7 8 9 4

5 Desenhe uma reta e indique sobre ela um segmento de 10 cm. Numa das extremidades desse segmento, represente um ponto correspondente ao zero e, na outra extremidade, um ponto correspondente ao número 10. De 1 em 1 centímetro, marque os pontos correspondentes aos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em seguida, localize aproximadamente as posições dos pontos correspondentes aos números irracionais: a) 2  1,4

b) 3  1,7

c) 5  2,2

d) 10  3,2

e) 20  4,5

6 Utilizando uma calculadora, o professor informou aos alunos que 350 era 18,70828693... Responda: A representação decimal feita para 350 é infinita e periódica, infinita e não perió­dica ou finita e exata? Infinita e não periódica. 7 Observe o quadrado abaixo e responda às questões.

Área: 40 cm2

a) Qual é a medida do lado desse quadrado? 40 cm b) Qual é a área de um quadrado com 6,32 cm de lado? 39,9424 cm² c) E com 6,33 cm de lado? 40,0689 cm² d) A raiz quadrada de 40 é um número irracional? Quantas casas decimais ela possui? Sim, e, portanto, apresenta infinitas casas decimais.

24 pom8_010_039_u01.indd 24

APOEMA matemática 8

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Os números reais Os números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros quaisquer são ditos números racionais. Aqueles que não podem ser representados como o quociente de dois números inteiros são denominados números irracionais. Cada número racional ou irracional pode ser representado por um ponto na reta numérica. Considerando todos os números racionais e também todos os números irracionais obtemos os números reais. Número real é todo número que é racional ou irracional. Lembrando que tanto os números naturais quanto os números inteiros são racionais, agora podemos reescrever nosso diagrama dos números reais como:

Z

N

Irracionais

DAE

Q

N representa o conjunto dos números naturais. Z representa o conjunto dos números inteiros. Q representa o conjunto dos números racionais.

Observações: VV Todo número que é racional é real. VV Todo número que é irracional é real. VV Todo número real é racional ou é irracional. VV Associamos a cada número real um ponto na reta e,

reciprocamente, a cada ponto da reta associamos um número real. A reta é conhecida como reta real.   3,14 51  6 10

2  1,41

5  2

0

() 6 5 4 3 2 1

0

28 5

4

1

2

3

4

5

6

  

Comparar dois números reais a e b significa estabelecer uma das seguintes sentenças como verdadeira: a , b ou a 5 b ou a . b

()

VV A comparação entre dois números reais é feita de

forma análoga à comparação de números racionais.

25 pom8_010_039_u01.indd 25

APOEMA matemática 8

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Exemplo 1: Comparamos a parte inteira de cada um deles (aquele que tiver a maior parte inteira é o número maior). Como no exemplo os dois têm a mesma parte inteira, comparamos a parte decimal igualando, quando necessário, o número de casas decimais:

DAE

Vamos comparar os números 3,72 e 3,721.

C

D U D C M 3, 7 2

C

D U D C M 3, 7 2 1

0,72 5 0,720 0,720 (setecentos e vinte milésimos) 0,721 (setecentos e vinte e um milésimos) Como 0,720 , 0,721, temos que 3,72 , 3,721.

Exemplo 2: Vamos comparar os números

10 e 3,5.

Utilizando uma calculadora, temos uma aproximação para o número irracional 10, isto é: 10  3,16 Como 3,16 é menor que 3,5, concluímos:

10 , 3,5

Exemplo 3: Como vimos, a diagonal de um quadrado de lado 1 tem medida determinar o número 2 na reta numérica.

2 . Agora, observe como

1. Construa um quadrado de lado 1 na reta numérica, como a seguir. 1

0

1

2

3

4

2. Com a ponta-seca do compasso em 0 e raio igual à diagonal do quadrado, trace um arco de circunferência que intersecta a reta numérica no ponto P. 1

P 0

Assim, P representa

1

2

3

4

2 na reta numérica.

26 pom8_010_039_u01.indd 26

APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:13 AM

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Willian Raphael Silva e Carol Böck

Diversificando linguagens

Disponível em: . Acesso em: maio 2015.

1 Leia a tirinha e responda: É verdade que a gente nunca usa frações?

Sugestão de resposta: Como o quadrinho nos mostrou, nós usamos as frações muitas vezes, até para pedir uma pizza.

2 Veja as afirmações a seguir e indique verdadeiro ou falso. a) O número 3 pertence ao conjunto dos irracionais. Falso. 8 b) O número 2 pertence ao conjunto dos racionais. Verdadeiro. 8 c) O número 7 pertence ao conjunto dos reais. Verdadeiro. 8 3 Se os personagens dividirem a pizza conforme o papagaio diz no último quadrinho, quantos pedaços cada um irá comer? Se a pizza for dividida em 8 pedaços, cada personagem irá comer 4 pedaços. 5. 5 ⋅ 2 é maior. Para comprovar, seria bom utilizar uma calculadora para obter os valores desses números na forma decimal.

AGORA É COM VOCÊ 1 Utilize uma calculadora para escrever os números reais correspondentes a: a) 1,44

c) 0,49

1,2

b) 12100

0,7

d) 57 600

110

240

e) 0,25

0,5

f) 18

4,242640687...

2 Em relação aos números reais obtidos no exercício anterior, responda às questões. a) Todos são reais? Sim. b) Quais são racionais?

Todos, menos o correspondente à raiz quadrada de 18.

c) Quais são irracionais?

Apenas o correspondente à raiz quadrada de 18.

3 Utilizando uma calculadora, obtenha na forma decimal, com três casas decimais, os seguintes números reais: a) 2 1

2

b) 10 2

c) 4 1

3,414

5

0,926

7

6,646

d) 8 2 3

1,096

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4 Coloque em ordem crescente os números reais 8 , 22 e 7 . 7 , 8 e 22 3 3 5 Qual número é maior: 5 ? 2 ou 2 ? Explique como você determinou.

5?

6 Resolva cada um dos seguintes problemas. a) Um terreno em forma de quadrado tem a área igual a 625 m2. Qual é a medida, em metros, do lado desse quadrado? 25 m b) Algumas medidas de comprimento são efetuadas utilizando-se a unidade polegada, em que 1 polegada corres­ponde a 2,54 cm. Qual é a área, em centímetros quadrados, de um quadrado cuja medida do lado é 2 polegadas? 25,8064 cm2

27 pom8_010_039_u01.indd 27

APOEMA matemática 8

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O comprimento da circunferência Você já procurou de alguma forma obter o comprimento de uma circunferência? Uma lata de refrigerante ou uma lata de leite em pó têm, aproximadamente, uma forma geométrica conhecida como cilindro. As duas bases do cilindro têm a forma de círculo.

Eduardo Belmiro

O contorno do círculo é a circunferência. Para obtermos o comprimento da circunferência, podemos contornar a lata com um barbante e depois medir o comprimento do barbante correspondente ao contorno da lata. Observe as ilustrações a seguir:

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tRabalho eM eQuIpe • • • •

Ronaldo Barata

Faça agora, com os colegas, uma experiência. Você precisará dos seguintes materiais: uma calculadora; uma caneca redonda; uma régua; uma lata de milho verde; um pedaço de barbante medindo 1 m; um CD. uma moeda de R$ 0,50;

• • •

Instruções: 1. Utilizando a régua, obtenha a medida do diâmetro (D) dos objetos e com base nela calcule seus raios (r ); observando que têm a metade da medida do diâmetro. 2. Com o barbante, contorne cada objeto para conseguir a medida do comprimento de suas circunferência (C). 3. Copie e preencha as três primeiras colunas da tabela com valores aproximados. 4. Divida, utilizando a calculadora, o comprimento da circunferência pelo diâmetro correspondente de cada objeto. 5. Preencha a 4a coluna da tabela.

D (cm)

r (cm)

C (cm)

C D

Moeda Caneca Lata CD Responda às questões a seguir. a) Todos os valores da última coluna são números iguais? Aproximadamente iguais. b) Qual é a conclusão que se pode chegar com os resultados obtidos? Resposta pessoal.

28 pom8_010_039_u01.indd 28

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

6/2/15 10:13 AM

Na história da Matemática, diversos personagens tentaram obter o comprimento de uma circunferência por meio de alguma relação. A partir de tentativas chegaram a uma conclusão intrigante. Ao dividir o comprimento de uma circunferência qualquer pelo dobro da medida do seu raio, observaram que dava sempre um mesmo número um pouco maior que 3. comprimento de uma circunferência 5 ? dobro da me edida do raio

p

Atualmente pode-se provar que esse número é irracional e correspondente na forma decimal a 3,14159265..., tendo infinitas casas decimais. Utilizamos a letra grega p (pi) para representá-lo. A razão entre o comprimento C de uma circunferência de raio r e a medida do dobro desse raio (também chamada de diâmetro da circunferência) é igual a p. Em símbolos: C 5p 2r

Observações: VV Para calcular o comprimento C de uma circunferência de raio r, podemos utilizar a Setup

relação acima, mas isolando no primeiro membro a letra C: C 5 2p ? r VV Normalmente utilizamos uma aproximação para o número p substituindo-o por 3,14. 2r

Essa aproximação é usada para obter a medida do comprimento de uma circunferência conhecendo a medida de seu raio r. VV O dobro da medida do raio é o diâmetro.

Exemplo: Calcule o comprimento de uma circunferência de raio igual a 5 cm.

Resolução: Utilizando a relação matemática mencionada anteriormente, temos: C 5 2p ? r C  2 ? 3,14 ? 5 C  31,4

Setup

Assim, o comprimento aproximado da circunferência é 31,4 cm.

29 pom8_010_039_u01.indd 29

APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:13 AM

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AGORA É COM VOCÊ

1 Se você desenhar uma circunferência com raio de 10 cm, qual será a medida aproximada do comprimento dela? (Utilize a aproximação 3,14 para p.) 62,8 cm 2 Marcos mediu o comprimento aproximado de uma circunferência e obteve 314 cm. Considerando p 5 3,14: a) determine a medida do diâmetro da circunferência; 100 cm b) determine a medida do raio da circunferência. 50 cm 3 Responda às questões a seguir. a) Duplicando a medida do raio de uma circunferência, o que ocorre com seu diâmetro? Duplica também. b) E o que ocorre com o comprimento dessa circunferência? Duplica também. c) Triplicando a medida do raio de uma circunferência, o que ocorre com seu diâmetro? Triplica também.

Setup

4 Um quadrado cujo lado mede 4 cm foi construído de tal forma que cada um dos lados tem um ponto em comum com a circunferência, conforme a figura ao lado. a) Determine a medida do perímetro desse quadrado. 16 cm b) Obtenha a medida do diâmetro da circunferência. 4 cm c) Calcule o comprimento da circunferência considerando a aproximação 3,14 para p. 12,56 cm

Erdal Bayhan/Dreamstime.com

5 Uma roda-gigante foi construída em forma de circunferência, de tal maneira que a medida de seu raio é 8 metros. Responda às questões a seguir. a) Qual é o comprimento da circunferência correspondente à roda­‑gigante? 50,24 m (considerando a aproximação 3,14 para p)

b) Dar 6 voltas na roda-gigante, corresponde a percorrer que distância? 301,44 m

6 A roda de um carro tem 14 polegadas de diâmetro. Considerando que 1 polegada corresponde à medida de 2,54 cm, obtenha:

Iwona Grodzka/Shutterstock

a) a medida em centímetros do diâmetro dessa roda; 35,56 cm b) o comprimento da circunferência correspondente a essa roda. 111,66 cm 7 Se uma bicicleta tem aro 26, significa que o diâmetro de seu pneu é de 26 polegadas. Determine, em centímetros: a) a medida do diâmetro do pneu da bicicleta aro 26; 66,04 cm b) a medida do comprimento da circunferência correspondente ao pneu. 207,37 cm, considerando a aproximação 3,14 para p

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:14 AM

Capítulo 3

Tratamento da informação: média, mediana e moda Média Para o estudo desses conceitos, analisemos a situação descrita a seguir.

Ricky Fitchett/NewSport/Corbis/Latinstock

Ao verificar a altura de dois times de basquete obtivemos os seguintes dados:

Time A

Time B

jogador 1

185 cm

jogador 1

180 cm

jogador 2

201 cm

jogador 2

192 cm

jogador 3

198 cm

jogador 3

189 cm

jogador 4

182 cm

jogador 4

203 cm

jogador 5

190 cm

jogador 5

187 cm

Como podemos saber em qual dos times a média de altura dos jogadores é maior? Para calcular uma média aritmética basta somar todos os elementos e dividir o resultado pelo número de elementos somados, logo:  185 1 201 1 198 1 182 1 190

A média de altura do time A é 191,2 cm  

5

 180 1 192 1 189 1 203 1 187

A média de altura do time B é 190,2 cm  

5

 

5 191,2  

5 190,2

A média aritmética de n elementos, pode ser calculada dividindo-se a soma de todos esses elementos por n.

31 pom8_010_039_u01.indd 31

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:14 AM

Dessa forma, podemos afirmar que a média de altura do time A é maior que a média de altura do time B. A média é um tipo de medida chamada de tendência central. Outras medidas de tendência central muito utilizadas são a mediana e a moda. As medidas de tendência central traçam o perfil de um conjunto de dados com base em seu centro, ou seja, verificam qual é a tendência central de um conjunto de dados.

Observação: VV Em Estatística, muitas vezes não conseguimos obter dados de uma população inteira, como a altura

média dos jogadores de basquete de todo o mundo. Nesses casos, utilizamos amostras menores, que nos possibilitam descobrir o comportamento de determinada parcela da população. Um exemplo do uso de amostras são as pesquisas eleitorais.

Mediana A mediana é o valor central quando os elementos são ordenados em ordem crescente (do menor para o maior). No caso dos dois times de basquete exemplificados anteriormente, as medianas são: Time A: 182 – 185 – 190 – 198 – 201 Time B: 180 – 187 – 189 – 192 – 203 Logo, a mediana do time A é 190 cm e a mediana do time B é 189 cm. Observe que, nesse caso, temos 5 informações de cada time, portanto, é possível descobrir o valor que está no “meio”. Mas se tivéssemos seis informações de cada time qual seria o valor da mediana?

Exemplo: No conjunto de dados 31, 45, 47, 50, 52, 52 há 6 elementos. Nesse caso, a mediana será representada pela média aritmética entre os dois termos centrais: 31, 45, 47, 50, 52, 52; logo, temos: 47 1 50 5 48,5 2

Moda Em Estatística, moda é o valor que mais se repete em um conjunto de dados. No caso dos times de basquete não há repetição de valores, assim, dizemos que este conjunto é amodal, ou seja, não tem moda. Um conjunto de dados pode ter diversas modas, observe os exemplos.

Exemplo 1: Considere o conjunto formado por: 12, 15, 15, 16, 17, 19, 19, 20, 21 Esse conjunto é bimodal, pois tem duas modas: 15 e 19.

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Exemplo 2: Considere o conjunto formado por: 21, 25, 25, 25, 27, 30, 31, 31, 34, 36, 37, 37 A moda desse conjunto é 25, pois o 25 aparece mais vezes.

Exemplo 3: Considere o conjunto formado por: 182, 185, 190, 198, 201 Por não haver repetição de valores, esse conjunto é amodal. Registre no

caderno

Trabalho em EQUIPE

Para esta atividade, que pode ser feita com o professor de Educação Física, serão necessárias as seguintes medidas: Altura de cada aluno. O tempo de cada aluno para correr 100 metros.

• •

Em dupla, faça a análise dos dados. Para cada conjunto de medidas determine a média, a mediana e a moda, caso exista. Resposta pessoal.

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 As notas das provas de um candidato em um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7; e 7,2.

Determine a nota média, a nota mediana e a nota modal desse candidato. Média: 7,9; mediana: 7,8; moda: 7,2.

2 Os salários dos funcionários de uma empresa estão distribuídos na tabela a seguir.



Salário

Número de funcionários

R$ 400,00 R$ 600,00 R$ 1.000,00 R$ 5.000,00

5 2 2 1

Determine o salário médio, o salário mediano e o salário modal.

Salário médio (média): R$ 1.020,00; salário mediano (mediana): R$ 500,00; salário modal (moda): R$ 400,00.

3 As idades dos funcionários de uma empresa foram organizadas na seguinte sequência: 23, 23, 34, 36, 36, 36, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 42, 43, 50, 50, 50, 51, 52 a) Calcule a média, a moda e a mediana das idades dos funcionários. Média: 40,1 (aproximado); mediana: 40; moda: 36. b) Na mesma empresa do item a foram admitidos 3 novos funcionários com as idades de 34 anos, 23 anos e 57 anos. Qual é a nova média? E a moda, sofreu alteração? E a mediana? A nova média é 39,82 (aproximadamente). A moda não mudou. A nova mediana é 39,5. 4 Há quatro jovens reunidos numa sala, com idade média de 15 anos. Se entrar na sala um rapaz de 25 anos, qual passa a ser a média da idade das pessoas do grupo? Registre como pensou. Resposta pessoal. 17 anos.

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Superando Desafios 1 (Saresp) Sabendo que 3,1416 é uma aproximação para o valor de p (pi), podemos dizer que sua localização na reta abaixo está indicada pelo ponto: Alternativa b. a) P b) Q P Q R S c) R 3,1 3,11 3,2 d) S 2 (Saresp) Os alunos da professora Raquel levaram para sala de aula vários objetos que tinham alguma superfície que fosse circular. Com régua, fita métrica e barbante, os alunos da professora Raquel mediram os comprimentos e os diâmetros de várias circunferências mostradas em figuras pela professora. Anotaram os resultados das medidas em uma tabela. Veja as anotações dos alunos na tabela:

Figuras

I

II

III

IV

Comprimento (em cm)

62 20

179,8 58

x 100

38,2 12,3

Diâmetro (em cm)

Como existe uma relação entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, o valor de x é aproximadamente igual a: Alternativa b. a) 279,8 c) 103 b) 310 d) 91,4 3 (Saresp) O número pi (p ) é uma razão constante entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. Observe as circunferências abaixo: Alternativa d.

I

II

III

Agora assinale a alternativa correta. a) O valor de pi (p ) na circunferência I é maior que na circunferência II e III. b) O valor de pi (p ) na circunferência III é maior que nas circunferências I e II. c) O valor de pi (p ) na circunferência III é igual à soma dos valores de pi (p ) das circunferências I e II. d) O valor de pi (p ) é o mesmo em todas as circunferências.

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4 (Enem)

caderno

A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. ME

2009 (em milhares de reais)

2010 (em milhares de reais)

2011 (em milhares de reais)

200 200 250 230 160

220 230 210 230 210

240 200 215 230 245

Alfinetes V Balas W Chocolates X Pizzaria Y Tecelagem Z

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são: Alternativa d. a) Balas W e Pizzaria Y. d) Pizzaria Y e Chocolates X.   b) Chocolates X e Tecelagem Z. e) Tecelagem Z e Alfinetes V. c) Pizzaria Y e Alfinetes V. 5 (Enem) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Gols marcados

Quantidade de partidas

0

5 3 4 3 2 2 1

1 2 3 4 5 7

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: Alternativa e. a) X 5 Y  Z. b) Z  X 5 Y. c) Y  Z  X. d) Z  X  Y. e) Z  Y  X.

Explorando O diabo dos números Autor: Hans Magnus Enzensberger Tradução: Sergio Tellaroli Editora: Companhia das Letras 272 páginas Por meio de sonhos o personagem Teplotaxl consegue atrair Robert, um garoto de 11 anos, para o fascinante mundo da Matemática. De modo agradável e atraente o autor discorre sobre números, cálculos e geometria com uma linguagem clara e que motiva o leitor a uma incrível viagem pela Matemática.

Autor: Georges Ifrah Tradução: Sylvia Taborda Editora: Globo 368 páginas

Editora Globo

Cia das Letras

Os números: a história de uma grande invenção

Imagine a sua vida sem os números! O livro conta a história dessa grande invenção desde a Pré-História, passando pela ideia de base, as primeiras máquinas de contar, o desenvolvimento da escrita dos algarismos, os números nas diferentes civilizações entre outras curiosidades.

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matemática e Cidadania Matemática e reciclagem Você já parou para pensar na quantidade de lixo que produzimos diariamente? E por mês? E por ano? Você também já parou para pensar para onde vai todo esse lixo? Cada ser humano produz, em média, 1,5 kg de lixo por dia. Agora imagine uma cidade com 50 000 habitantes:

• para 1 habitante 1,5 kg lixo/dia • para 50 000 habitantes 50 000 3 1,5 kg 5 75 000 kg de lixo por dia Uma excelente atitude que pode ser tomada, para evitar esse grande acúmulo de lixo produzido diariamente, é reciclar. A reciclagem consiste em transformar objetos e materiais já utilizados em produtos novos para o consumo. Este processo, além de preservar o meio ambiente e gerar riquezas, contribui significativamente para a diminuição da poluição do solo, da água e do ar.

Rogerio Reis/Tyba

Atualmente, instaladas em muitos estabelecimentos, as lixeiras de reciclagem têm a intenção de ajudar e incentivar a população a reciclar. Cada uma delas tem uma cor, além do tipo de material que deve ser depositado especificado.

As latas de alumínio para bebidas merecem destaque no campo da reciclagem, não só por serem muito consumidas, mas também por terem ciclo de vida inferior se comparadas a outros produtos de alumínio. Para se produzir alumínio, utiliza-se, como matéria-prima, o minério de alumínio (bauxita), que necessita de uma intensa quantidade de energia elétrica. Ao reciclar uma lata do mesmo material, pode-se ter uma economia de até 60% de energia. Fonte de pesquisa: . Acesso em: fev. 2015.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Passe os números racionais que estão na forma decimal para a forma fracionária. a) 0,38 b) 23,5 c) 4,22 d) 29,5 e) 0,05 f) 27,8

38 100 7 35 2 ou 2 2 10 422 100 95 19 2 ou 2 2 10 5 1 ou 100 20 78 2 10

12 99 b) 0,666... 6 ou 2 9 3 c) 0,818181... 81 99 d) 0,747474... 74 99 e) 0,979797... 97 99 f) 0,595959... 59 99

a) 0,121212...

g) 0,781781781...

2 Passe os números racionais que estão na forma fracionária para a forma decimal. a) 2 9 21,125 8 b) 27 5,4 5 c) 2 63 215,75 4 47 20,47 d) 2 100 e) 78 0,0078 10 000 f) 2 75 218,75 4 3 Utilize uma calculadora para escrever cada um dos números a seguir na forma decimal. a) 895 223,75 4 b) 420 16,8 25 c) 2 825 225,78125 32 d) 1 0,025 40 e) 2 75 20,125 600 6 400 f) 0,25 25 600

g) 205 5,69444... 36 h) 450 18,75 24 500 i) 1,3888... 360 j) 25 1,5625 16 k) 38 0,0383838... 990 154 l) 1,555... 99

4 A fração geratriz da dízima periódica 0,454545... é: Alternativa c. a) 45 90 b) 45 100

5 Escreva a fração geratriz de cada dízima periódica.

c) 45 99 d) 45 3

781 999

6 Copie a alternativa que contém o menor número. Alternativa d. a) 0,323232... b) 0,323233 c) 0,332222 d) 0,233333 7 Copie a alternativa que torna incorreta a afirmação: Qualquer número que é natural é também: Alternativa a. a) irracional. b) racional. c) real. d) inteiro 8 Números racionais, quando escritos na forma decimal: Alternativa d. a) sempre são exatos. b) sempre têm infinitas casas decimais. c) sempre são dízimas periódicas. d) podem apresentar infinitas casas decimais e periódicas. 9 Copie a alternativa que indica a representação decimal do número racional 26 . 5 Alternativa b. a) 5,1 c) 5,3 b) 5,2 d) 5,4 10 Copie a alternativa que indica uma igualdade verdadeira. Alternativa c. c) 316 5 3,16 a) 3 = 0,003 100 100 b) 31 5 0,0031 d) 31 5 0,31 100 99

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11 Qual alternativa contém uma afirmação verdadeira? Alternativa a. a) Um número que é real pode ser racional ou irracional. b) Um número que é real não é racional. c) Um número que é real não é irracional. d) Um número racional pode ser irracional. 12 Considere a circunferência e o quadrado representados a seguir cujas medidas do diâmetro e do lado, respectivamente, estão indicadas.

15 Qual é o perímetro do retângulo representado a seguir? Alternativa b.

8  5 cm

8  5 cm

a) 30 cm b) 32 cm c) 34 cm d) 36 cm 16 A raiz quadrada de um número natural:

Alternativa c.

a) sempre é um número natural.

b) pode ser um número inteiro negativo. 5 cm

5 cm

Copie a alternativa correta. Alternativa b. a) O quadrado e a circunferência têm o mesmo perímetro. b) O perímetro do quadrado é maior que o comprimento da circunferência. c) O comprimento da circunferência é maior que o perímetro do quadrado. d) Não é possível fazer comparações entre as medidas comprimento da circunferência e perímetro do quadrado. 13 Copie a alternativa que contém o maior número. Alternativa d. a) p

d) sempre é um número irracional. 17 Multiplicando a medida do diâmetro de uma circunferência pelo número irracional p, obtemos: Alternativa c. a) a medida do raio da circunferência. b) a medida da área limitada pela circunferência. c) a medida do comprimento da circunferência. d) o quadrado da medida do raio da circunferência. 18 Observando o quadrado maior, o quadrado menor e a circunferência, representados na figura abaixo, é correto afirmar: Alternativa d.

b) 10 c) 3 ?

c) nem sempre é um número natural.

3

d) 8 2 Ilustrações: Setup

14 A razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro resulta: Alternativa b. a) em um número inteiro. b) em um número irracional. c) em um número natural. d) em um número racional.

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19 Numa reta numérica estão representados os números racionais 21, 0 e 1. Além disso, as letras a e b representam dois números racionais: um situado na reta entre 21 e 0, e outro, entre 0 e 1. 1

a

0

b

23 Determine a medida do lado de um quadrado, considerando que sua área é 34 cm2. 5,83 cm aproximadamente

Setup

a) O comprimento da circunferência é maior que o perímetro do quadrado maior. b) O raio da circunferência é maior que a medida do lado do quadrado maior. c) O raio da circunferência é igual à medida do lado do quadrado maior. d) O diâmetro da circunferência é igual à medida do lado do quadrado menor.

Área  34 cm2

24 Responda às questões a seguir. a) Se um número é racional, ele é real também? Sim. b) Se um número real não é racional, ele será irracional? Sim. c) Existem números reais que não são irracionais? Sim, os racionais.

1

Responda às questões a seguir. a) Entre quais números, nessa reta, estará representado o número correspondente ao produto de a por b? Entre a e zero. b) Entre quais números, nesta reta, estará representado o número correspondente à soma a 1 b? Entre zero e b.

25 Calcule o comprimento de cada uma das seguintes circunferências, considerando a aproximação 3,14 para p. a) Circunferência de diâmetro 35 cm. 109,9 cm b) Circunferência de raio 21 cm. 131,88 cm c) Circunferência de diâmetro 50 cm. 157 cm d) Circunferência de raio 42 cm. 263,76 cm

20 Responda às questões a seguir. a) Todo número natural é inteiro? Sim. b) Todo número inteiro é natural? Não. c) Todo número natural é racional? Sim. d) Todo número inteiro é racional? Sim. e) Se um número é racional ele pode ser também irracional? Não. 21 Com o auxílio de uma calculadora, escreva na forma decimal cada um dos seguintes números irracionais com a aproximação de duas casas decimais. a) 15

3,87

b) 30

5,48

c) 45

6,71

d) 60

7,75

26 As idades de uma turma de hidroginástica do período da manhã da Academia Saúde são:

28, 67, 70, 56, 60, 42, 68, 67, 50, 56, 76 e 56.



Determine a média, moda e mediana desse conjunto de dados. Média: 58; moda: 56; mediana: 58.

27 Em uma empresa 6 funcionários ganham R$ 3.000,00 cada, 10 funcionários ganham R$ 1.000,00 cada e 4 funcionários com salários iguais ganham, juntos, R$ 90.000,00. Faça o que se pede.

22 Responda às questões. a) Toda raiz quadrada de um número natural é um número irracional? Não, por exemplo b) Qual número é maior: p ou 12 ? O número maior é 12 .

a) Determine a média de salários da ­empresa. R$ 5.900,00 b) Escreva sua opinião sobre a relação da média obtida e os salários dos funcio­ nários da empresa. Resposta pessoal. 4 5 2.

Espera-se que os alunos percebam que a média obtida não representa o salário de alguns funcionários, como os que recebem R$ 1.000,00 ou R$ 3.000,00.

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unidade 2

Potenciação e radiciação

Agsandrew/Shutterstock

O diâmetro do Sol é uma grandeza macroscópica – ele mede 1 391 684 km ou, em notação científica, cerca de 1,4 × 106 km –, enquanto uma bactéria tem um tamanho microscópico de 0,2 a 1,5 micrômetro de comprimento, ou seja, de 2 3 1027 a 1,5 3 1026.

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1 Como representar, na notação científica, a velocidade da luz, que é 300 000 000 metros por segundo?  2 Qual é a raiz quadrada do número 2 025? 3 Qual número é maior: 2700 ou 3500 ?

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Capítulo 4

Potenciação com expoentes inteiros A potenciação com expoentes naturais é uma maneira de representar a multiplicação com fatores iguais. Assim, por exemplo, podemos empregar a potenciação para indicar a quantidade de pequenos cubos existentes em cada uma das figuras a seguir.

DAE

Vamos formar um cubo composto de pequenos cubos. Primeiramente, vamos contar os pequenos cubos que formaram o cubo maior.

13 5 1 ? 1 ? 1

23 5 2 ? 2 ? 2

33 5 3 ? 3 ? 3

43 5 4 ? 4 ? 4

Assim, quando escrevemos an, o número que representa a base a deverá ser multiplicado por ele mesmo tantas vezes quanto for o número natural n. Em símbolos, escrevemos:

an 5 a? a ? a? (...) ?a n vezes

Ampliaremos o nosso estudo sobre potenciação e também sobre radiciação ao longo desta unidade. Lembre que agora, além dos números racionais, também conhecemos os números irracionais e os números reais.

Potências com expoentes inteiros Exemplo 1: Vamos calcular as seguintes potências naturais de números reais:

• (20,4)3 5 (20,4) ? (20,4) ? (20,4) 5 20,064 •

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2

• ( 2

42

4

5 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 81 2?2?2?2 16 2 2 2 2

3 ) 5 (2 3 ) ? (2 3 ) 5 2 ? 2 ? 2

3 ?

Respostas da página anterior: 1. 3 ? 108 metros por segundo. 2. 45 3. 3500

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3 5 4 ? 3 5 12

Toda potência de expoente natural maior que 1 é igual ao produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente.

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Exemplo 2: Calcule as seguintes potências de números reais: Resoluções:

• (21,2)22 •

( 41 )

5

23

1 5 1 5 1 5 100 5 25 144 144 36 (21,2)2 1,44 100 1 1 5 5 64 • 2 56 3 1 1 64 4

( )

( )

5

21

5

1 25 6

( )

1

5

1

25 6

5 26 5

Observações: VV Quando o expoente da base de um número real for igual a 1, o resultado é o próprio número real. Em

símbolos: a1 5 a (a é um número real). VV Quando o expoente da base de um número real for igual a zero, o resultado é igual a 1. Em símbolos:

a0 5 1 (a é um número real diferente de zero). VV Toda potência de expoente inteiro negativo e base diferente de zero é igual ao inverso da potência que se

obtém conservando a base e trocando o sinal do expoente. Em símbolos: a2n 5 1n (a é um número real a diferente de zero).

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Determine os resultados das seguintes potências: 4 e) (2 2 ) 64 c) 28 256 a) 115 1 d) (23)3 227 b) 015 0 f) 530 1 2 Responda. a) Qual é o sinal de uma potência em que a base é positiva e o expoente é par? Positivo. b) Qual é o sinal de uma potência em que a base é negativa e o expoente é ímpar? Negativo. c) Qual é o sinal de uma potência em que a base é negativa e o expoente é par? 3 Calcule as seguintes potências: a) (0,5)23 8

() c) (2 1 ) 10

b) 2 3

21

d) (2,5)2

()

e) 1 2

1 100

6,25

3

f) (20,2)5

a) 3 ? 3 ? 3 ? 3

34

() () () () () ()

b) 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 2 6 1   c) (22) ? (22) ? (22) (22)³ b)   5  16   2 2  d) b ? b ? b ? b ? b ? b ? b ? b ? b ? b b10

5 226

5 Utilizando os símbolos de maior (.), menor (,) ou igual (5), compare os números a seguir: a) 82 b) 52

5 26 , 3 3

. 272 4 5 1 d) 1 c) 25

(5)

( 25 )

2

6 Indique os resultados das equações a seguir.

3 2

2

Positivo.

4 Escreva o produto das seguintes multiplicações com uma única potência:

1 5 0,125 8 20,00032

a) 23 2 20 1 22 2 21 9 b) (29)2 2 92 0 2 c) 50 25 8 7 Qual é o dobro de 240? E qual é o triplo de 325? 241; 326

Professor, oriente os alunos a responderem na forma de potência.

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Propriedades da potenciação Existem alguns resultados no trabalho com potenciação que facilitam o cálculo. Eles são normalmente apresentados como propriedades da potenciação. Essas propriedades podem ser observadas de forma direta nos exemplos a seguir.

Exemplo 1: Escreva a expressão 24 ? 26 como uma só potência. Resolução: 24 ? 26 5     5 2 ?2 ?2 ? 2 ?2245? 226 5 2 2 ? 2 ? ?2 ?  2 ?      4 6 5 2 ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ?2 5 5 24 ? 16 5 2 ? 2 ? 2 ? 2  ? 2 4 1 6 5 10 2?2?2?2 1 5 210 5 ? 5 1 2?2?2?2?2?2 Escreva a expressão 24 ? 226 como uma só potência. Resolução:

5

2?2?2?2 5 1 5 12 5 1 5 2?2?2?2?2?2 2?2 2 4

Ou 2 ?2 4

26

ou

5

5 24 ? 16 5 2 2?2?2?2 1 5 ? 5 1 2?2?2?2?2?2

24 ? 226 5 5 24 1 (26) 5 5 222 5

2?2?2?2 5 5 1 5 12 5 1 5 2?2?2?2?2?2 2?2 2 4

( 21 )

2

5 12 5 1 5 2 4

() 1 2

2

Ou 24 ? 226 5

5 24 1 (26)15propriedade: 5 222 5Na multiplicação de potências de mesma base conservamos a 2 base e adicionamos os expoentes. Em símbolos: 5 12 5 1 5 1 am ? an 5 am 1 n 2 4 2 a

()

Exemplo 2: Escreva a expressão 59 4 56 como uma só potência. Resolução: 9    5?5?5?5?5?5?5?5?5 5 5? 5 ? 5 ?5 ? 5 ?5  6

5 5 ? 5 ?5 5  92653

55

3

44 pom8_040_063_u02.indd 44

APOEMA matemática 8

a

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() 1 2

2

Exemplo 3:

1 529 5 59 5 56 56 5 19 ? 16 5 9 1 6 5 115 5 5215 5 5 5 ?5 5

Escreva a expressão 529 4 56 como uma só potência.

Resolução: 1 529 5 59 5 56 56 5 19 ? 16 5 9 1 6 5 115 5 5215 5 5 5 ?5 5

ou

5 56 5 5 5 529 2 (16) 5 29

29 5 56 5 5 29 2 (16) 55 5

5 529 2 6 5 5 5215

26 5 25a29propriedade: 5

5 5215 Na divisão de potências de mesma base conservamos a base e subtraímos os expoentes. Em símbolos: m am : a n 5 a n 5 am 2 n (a  0) a

Exemplo 4: Escreva a expressão (3 ? 5)4 como multiplicação de potências de base 3 e base 5.

Resolução: Utilizando a definição de potência natural de um número real, temos: (3 ? 5)4 5 5 (3 ? 5) ? (3 ? 5) ? (3 ? 5) ? (3 ? 5) 5 5 (3 ? 3 ? 3 ? 3) ? (5 ? 5 ? 5 ? 5) 5 5 3 4 ? 54 Escreva a expressão (3 ? 5)23 como multiplicação de potências de base 3 e base 5.

Resolução: (3 ? 5)23 5 1 5 (3 ? 5)3 1 5 5 (3 ? 5) ? (3 ? 5) ? (3 ? 5) 1 1 5 3 5 323 ? 523 5 3?3?3?5?5?5 3 ? 53 5

3a propriedade: A potência de um produto é o produto das potências. Em símbolos: (a ? b)n 5 an ? bn

45 pom8_040_063_u02.indd 45

APOEMA matemática 8

a

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Exemplo 5:

( ) como quociente de potências de base 5 e base 6.

Escreva a expressão 5 6 Resolução:

3

Utilizando a definição de potência natural de um número real, temos:

() 5 5 (5) ⋅ (5) ⋅ (5) 5 6 6 6 5 6

3

3 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5 5 53 6 ⋅ 6 ⋅ 6 6

23 como 623 5

( ) 5 6

( )

3

23

6 é equivalente a , que pela 4a propriedade pode ser escrita 5 1 3 623 5 63 5 1 ⋅ 53 5 53 5 5 . E, por sua vez, 523 1 63 1 63 6 . 3 5

Note que a expressão

()

4a propriedade: A potência de um quociente é o quociente das potências. Em símbolos: n n a 5 an (b  0) b b

()

Exemplo 6: Considere a expressão (34 )5 que representa potência de potência. Simplifique essa expressão.

Resolução: (34 )5 5 4 4 4 ) ⋅ (34 ) ⋅ (3 ) ⋅ (34 ) ⋅ (3 )5 5 (3   5

5 ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) 5 3 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ (3 3 3⋅)23) 5 (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅  ⋅  5   4 ⋅ 5 5 20

1 5 (33 )5 Considere a expressão (33)25, que representa potência de potência. Simplifique essa expressão. 5 3 3 13 3 3 5 115 5 3215 3 ?3 ?3 ?3 ?3 3 Resolução: 5

5 320

(33 )25 5

m 5 (33 )25

1 5 (33 )5 5 3 3 13 3 3 5 115 5 3215 3 ?3 ?3 ?3 ?3 3

m 5 33 ? (25)

5

ou

m 5 3215

m 5 (33 )25 m 5 33 ? (25) 5a propriedade: m 5 3215de potência conservamos a base e multiplicamos os exNa potência poentes. Em símbolos: (a m )n = a m ? n

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APOEMA matemática 8

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Utilizando as propriedades de potenciação, transforme as multiplicações e divisões a seguir em uma única potência. a) 63  66  6 610 b) 73  72  7 7² c) 34  (32)4 34 d) 1013  10-7  (102)3

a) A  (2)5  (2)6  (2)7  (2)8 160 b) A  (3)5  (3)6  (3)7  (3)8 4 860 7 José precisa proteger a piscina dele, que é quadrada, e para isso deseja confeccionar uma lona de plástico com a mesma área da superfície da piscina.

1012

4²

Ronaldo Barata

90 e) 488 4

6 Utilize uma calculadora para determinar os valores de cada uma das seguintes expressões numéricas:

f) (x)5  (x)2 x³ g)

y9  y y 10

3 10 h) a a2 a

y0  1

a15

10 3 10 i) k  k 3k k k

k5

( )

4 2 Simplifique 53 5

2

 5.

52

3 Sendo a  34, b  310 e c  27, calcule o 3 2 valor da expressão: a 7 b . 311 c 4 Calcule o valor da expressão: (25 )2  (32 )3  103 . 9 26 36 53 5 Simplifique a expressão a seguir:

(

 27  213  12 5 2  2 2 2

)

4

Sabendo que o lado da piscina mede 8,5 m, ajude José a descobrir a área da lona que é necessária para proteger a piscina adequadamente. 72,25 m2 8 Na abertura da unidade perguntamos: Qual número é maior: 2700 ou 3500 ? Agora utilizando a propriedade potência de potência, justifique e determine qual 2700  27  100  (27)100 = 128100 número é maior. 3500  35 100  (35)100 = 243100 Como, 243  128, temos que 3500 é maior que 2700

9 Escreva todos os números naturais de 1 a 16 utilizando as potências de base 2 que estão no quadro a seguir.

5

  

220

20  1

21  2

22  4

23  8

24  16

9. 1  20, 2  21, 3  20 + 21, 4  22, 5  20  22, 6  21  22, 7  20 + 21 + 22, 8  23, 9  20 + 23, 10  21 + 23, 11  20 + 21 + 23, 12  22 + 23, 13  20  22  23, 14  21  22  23, 15  20  21  22  23, 16  24

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caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Uma das primeiras propriedades da potência que estudamos diz que todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um: (a0  1). Agora, utilizando as propriedades estudadas anteriormente, reúna-se com um colega e justifique matematicamente essa propriedade. n Sabemos que todo número dividido por ele mesmo é igual a 1; logo, podemos escrever que: an 1 an

a n  n  a0 Pela 2a propriedade da potência, temos que: n  a a n 1 a0 1. 1 Logo, como a 1, podemos 1 concluirque an

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APOEMA MATEMÁTICA 8

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Potências de base 10 A Organização Mundial das Nações Unidas (ONU) faz levantamentos anuais sobre a população mundial. Muitas decisões são tomadas tendo por base esses números. Algumas vezes são feitas projeções dessa população. Apenas para dar uma ideia da evolução da população mundial, em 1800 era de 1 bilhão de pessoas, em 1987 passou a 5 bilhões, em 1999 pulou para 6 bilhões, e no ano 2011 chegou à marca de 7 bilhões. Com base nessas informações, projeta-se para 2100 uma população de mais de 10 bilhões. Observe que os números relativos às populações mundiais foram apresentados com valores arredondados, que podem também ser escritos de outras maneiras, conforme tabela a seguir: ANO

POPULAÇÃO

1800

1 bilhão

1 000 000 000

109

1987

5 bilhões

5 000 000 000

5 ? 109

1999

6 bilhões

6 000 000 000

6 ? 109

2011

7 bilhões

7 000 000 000

7 ? 109

2100

10 bilhões

10 000 000 000

1010

Quando necessitamos falar ou escrever sobre números grandes, utilizamos potências de base 10. Esse emprego facilita a compreensão da ordem de grandeza do número que estamos expressando. A seguir observe algumas potências de base 10:

101

102

103

10 1

100 2

1 000 3





104 10 000 4

105 100 000 5

...

10n

...

100 ...00 n

Numa potência de base 10, com expoente natural maior que 1, o expoente indica a quantidade de zeros que deve ser escrita após o algarismo 1.

As potências de base 10 também servem para escrever números com valores absolutos muito pequenos. Nesse caso utilizamos expoentes negativos. A seguir algumas potências de base 10 com expoentes negativos:



1021

1022

1023

1024

0,1 1

0,01 2

0,001 3

0,0001 4





1025 0,00001 5

...

102n

...

0,000 ...01 n

Numa potência de base 10 com expoente inteiro negativo, a quantidade de casas decimais é determinada pelo número oposto ao do expoente.

48 pom8_040_063_u02.indd 48

APOEMA matemática 8

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Conexões

caderno

Quais as principais diferenças entre vírus e bactéria?

Bactéria Eye of Science/SPL/Latinstock

ESTRUTURA: Microrganismo unicelular com membrana e citoplasma, sem núcleo definido. Seu material genético, o ácido desoxirribonucleico (DNA), fica disperso. MODO DE VIDA: Algumas são parasitas e causam doenças como a pneumonia e a cólera. Outras mantêm uma relação harmoniosa com os seres vivos, como as que vivem no intestino humano, auxiliando a digestão. Há ainda as que se alimentam de matéria orgânica morta. TAMANHO: O diâmetro da maioria varia entre 0,2 e 2 micrômetros (unidade que representa 1 milésimo de milímetro) e o comprimento entre 2 e 8 micrômetros. Elas são visíveis a olho nu (se reunidas em colôBactéria Escherichia coli. Fotografia obtida por microsnias) ou com auxílio de microscópios ópticos. cópio eletrônico; ampliação SENSÍVEL A ANTIBIÓTICOS: Sim. aproximada de 330 vezes.

ESTRUTURA: Microrganismo acelular. Os mais simples apresentam uma cobertura proteica que envolve seu material genético – o ácido desoxirribonucleico (DNA) ou o ribonucleico (RNA). MODO DE VIDA: Todos são parasitas intracelulares. Alguns causam doenças em seres vivos, como a aids, a gripe, o sarampo e a rubéola. TAMANHO: Geralmente, eles são menores que as bactérias. O comprimento varia entre 20 e 1 000 nanômetros (unidade que representa 1 milionésimo de milímetro). São visíveis somente com auxílio de microscópios eletrônicos. SENSÍVEL A ANTIBIÓTICOS: Não.

Steve Gschmeissner/SPL/Latinstock

Vírus

Vírus Influenza. ­Fotografia obtida por microscópio eletrônico; ampliação aproximada de 35 mil vezes.

Quais as principais diferenças entre vírus e bactérias?, publicada na revista Nova Escola On-line. Crédito: Beatriz Vichessi/Abril Comunicações S/A.

Verifique a seguir a tabela com as potências de base 10 com seus prefixos e símbolos. Potência

Nome

Símbolo

Potência

Nome

Símbolo

10 102 103 106 109 1012

deca hecto kilo mega giga tera

da h k M G T

10 1022 1023 1026 1029 10212

deci centi mili micro nano pico

d c m  

1

21

p

Veja o exemplo a seguir para transformar unidades. Transforme 1 milímetro em centímetro. 1 ? 1023 ? 10 22 metro 1 ? 1023 centímetros 5 5 1 milímetro = 1 ? 10 23 metro 5 1022 1022 5 1 ? 10 23 ? 102 centímetros 5 1021 centímetros Agora, transforme 4 micrômetros em metros e 150 nanômetros em metros. 4 ? 1026 m; 1,5 ? 1027 m

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APOEMA matemática 8

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva cada uma das potências com todos os algarismos. a) 6 ? 103 6 000 b) 1,53 ? 105 153 000 c) 1,01 ? 108 101 000 000 d) 7 ? 1021 0,7 e) 1 ? 1026 0,000001 f) 5,5 ? 1024 0,00055 2 Considerando os números A, B, C e D, conforme vêm a seguir, escreva-os em ordem crescente. A 5 8 ? 103

d, b, a, c

B 5 800 C 5 3,2 ? 106 D 5 9 ? 10215

a) 34 000 000 5 34 ? 10k k 5 6 b) 4 000 000 000 5 4 ? 10k k 5 9 c) 0,002 5 2 ? 10k k 5 23 d) 0,00005 5 5 ? 10k k 5 25 6 Você sabia que a velocidade da luz no vácuo é de 300 000 km por segundo? Podemos escrever essa velocidade de maneiras diferentes. Em cada item a seguir está escrita a velocidade da luz, porém você deverá escrever no lugar da letra k o expoente correspondente a: a) 3 ? 10k quilômetros por segundo; k 5 5 b) 30 ? 10k quilômetros por segundo; k 5 4 c) 300 ? 10k quilômetros por segundo; k 5 3 d) 3 000 ? 10k quilômetros por segundo; k52 e) 30 000 ? 10k quilômetros por segundo. k51

36 ? 1024 m2

Acervo do Parque Nacional do Pico da Neblina - ICMBio

Setup

3 O Pico da Neblina é considerado o ponto mais alto do Brasil, com aproximadamente 2,99378 ? 103 metros de altura.

7 Sabendo que a área de um retângulo é calculada pelo produto entre a base e a altura, determine a área do retângulo a seguir.

4  102 m

Pico da Neblina, na Serra do Imeri (AM).

Apresente a altura do Pico da Neblina com todos os seus algarismos. 2 993,78 metros 4 Efetue as operações e indique as respostas utilizando potências de base 10. a) 2,5 ? 103 ? 2 ? 105 5 ? 108 b) 3 ? 108 ? 3 ? 1021 9 ? 107 2 c) 1021 10

103

d) 24 ? 10 8

2

3 ? 102

5 Em cada item você deverá escrever o valor de k correspondente ao expoente da base 10.

8 Pesquise sobre as distâncias dos planetas em relação ao Sol. Em seguida, copie a tabela a seguir e preencha-a adequadamente. Planeta

Distância do Sol Distância do Sol em (km) potência de 10 (km)

Mercúrio

57 910 000

5,791 ? 107

Vênus

108 200 000

1,082 ? 108

Terra

149 600 000

1,496 ? 108

Marte

227 940 000

2,2794 ? 108

Júpiter

778 330 000

7,7833 ? 108

Saturno

1 429 400 000

1,4294 ? 109

Urano

2 870 990 000

2,87099 ? 109

Netuno

4 504 300 000

4,5043 ? 109

Professor, nesta tabela apresentamos a distância dos planetas ao Sol como notação científica, mas o aluno poderá escrever como outra potência de base 10. Na página 57 abordaremos a notação científica.

50 pom8_040_063_u02.indd 50

9  102 m

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Capítulo 5

Radiciação: raiz quadrada Connect1/Dreamstime.com

Você acha que a calculadora é um equipamento importante? Por quê? A calculadora não é um instrumento que possibilita apenas fazer aquelas continhas mais difíceis. Ela também nos ajuda a ampliar o conhecimento pela observação de padrões numéricos. A tecla “raiz quadrada” faz o caminho inverso de elevar um número natural ao quadrado. Assim, por exemplo:

raiz quadrada

252 5 625 Ao calcularmos a raiz quadrada de 625, teremos como resultado o número 25, ou seja: 625 5 25 Neste capítulo retomaremos e ampliaremos o conhecimento sobre o cálculo que envolve a raiz quadrada de um número positivo.

Exemplo: Como podemos determinar a raiz quadrada de 40 em uma calculadora que não tenha a função raiz quadrada?

Resolução:

• Como sabemos que 6² = 36 e que 7² = 49; logo, podemos afirmar que o valor da raiz quadrada de 40 está entre 6 e 7, mas um pouco mais próximo de 6. Para encontrar um resultado com maior precisão, organizaremos as respostas obtidas na calculadora utilizando duas casas decimais: 6,1² = 37,21

6,2² = 38,44

6,3² = 39,69

6,4² = 40,96

• Podemos perceber que o valor dessa raiz se encontra entre 6,3 e 6,4: 6,31² = 39,8161

6,32² = 39,9424

6,33² = 40,0689

6,34² = 40,1956

Com duas casas decimais, o valor mais próximo à raiz quadrada de 40 é 6,32.

Raiz quadrada aritmética Sendo A a área de um quadrado de lado medindo l, temos: A 5 l2

Setup

Na Geometria Plana, a área de um quadrado pode ser calculada, desde que se conheça o lado do quadrado. 

Quando conhecemos a área de um quadrado e desejamos calcular a medida do lado, podemos utilizar a raiz quadrada, ou seja: l 

A



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APOEMA matemática 8

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Exemplo 1: Calcule a medida do lado de um quadrado cuja área é igual a 10 000 m2.

Resolução: Queremos determinar um número que, elevado ao quadrado, resulta em 10 000. Podemos fazer isso por tentativas até chegarmos ao número. Inicialmente fazemos: 502 5 2 500

702 5 4 900

902 5 8 100

602 5 3 600

802 5 6 400

1002 5 10 000

Assim, temos:

A raiz quadrada de um número real não negativo a é o número real b também não negativo que, elevado ao quadrado, resulta a. Em símbolos: a 5 b se b2 5 a (a > 0 e b > 0)

10000 5 100 , pois 1002 5 10 000

Exemplo 2: Observe a seguir a raiz quadrada de alguns números reais não negativos.

•

576 5 24 , pois 24 2 5 576

•

2 025 5 45 , pois 452 5 2 025

•

0,09 5 0,3 , pois 0,32 5 0,09

•

81 5 9 , pois 9 6 400 80 80

•

0 5 0 , pois 02 5 0

( )

2

5

81 6 400

Exemplo 3: Observe que, embora existam dois números que elevados ao quadrado resultem em 1 600, apenas 40 é a sua raiz quadrada. (240)2 5 1 600 1 600 5 40

e 402 5 1 600

O número 240 não é raiz aritmética de 1 600, pois por definição, a raiz quadrada aritmética de um número deve ser positiva.

Observações: VV A raiz quadrada de um número real não negativo é também conhecida como raiz aritmética. VV O símbolo

é denominado de radical.

VV Quando o número que está embaixo do radical é negativo, ele não admite raiz quadrada real. VV Números reais negativos, quando elevados ao quadrado, resultam em números reais positivos. Não

representam, porém, raiz aritmética.

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APOEMA matemática 8

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule as seguintes raízes quadradas: 1 25

1 5

a) 0 0

d) 0,04 0,2

g) 5,76 2,4

j)

b) 1 1

e) 0,25 0,5

h) 0,09 0,3

k) 144 49

12 7

c) 144 12

f)

1 400

1 20

6,25 2,5

i)

25 81

5 9

l)

2 Indique V para verdadeiro e F para falso nas afirmativas a seguir: a) A raiz quadrada de 900 é 30. V

c) 9 5 3, pois 32 5 9 V

b) 28 é raiz quadrada de 64. F

d) 121 5 11 V

3 Responda. (Utilize uma calculadora para conferir suas respostas.) a) Entre quais números inteiros consecutivos está 10 ? Entre 3 e 4. b) Entre quais números inteiros consecutivos está 30 ? Entre 5 e 6. c) Entre quais números inteiros consecutivos está 40 ? Entre 6 e 7. d) Entre quais números inteiros consecutivos está 200 ? Entre 14 e 15. e) Entre quais números inteiros consecutivos está 500 ? Entre 22 e 23. 4 Analise se esta sentença é verdadeira para os valores a seguir: a 1b 5 a 1 b a) a 5 9, b 5 0 V

b) a 5 9, b 5 4 F

c) a 5 25, b 5 16 F

d) a 5 25, b 5 0 V

DAE

5 A figura a seguir representa a planta de uma casa.

14 m2

14 m2

7 m2

11 m2 25 m2 10 m2



Desconsiderando a espessura das paredes, responda. a) Qual é a área total da casa? 81 m2 b) Se essa planta tem formato quadrado, qual é a medida de seu lado? 9 m

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APOEMA matemática 8

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Raiz quadrada: cálculo pela decomposição em fatores primos A raiz quadrada de um número real não negativo pode ser obtida por aproximação e por tentativas. O uso da calculadora representa um facilitador na obtenção de raízes quadradas, principalmente de números reais que não são quadrados perfeitos. Observe na tabela alguns quadrados perfeitos: Quadrados perfeitos

Raiz quadrada

Quadrados perfeitos

Raiz quadrada

0

0 5 0

49

49 5 7

1

1 5 1

64

64 5 8

4

4 5 2

81

81 5 9

9

9 5 3

100

100 5 10

16

16 5 4

121

121 5 11

25

25 5 5

144

144 5 12

36

36 5 6

…

…

Um número natural é quadrado perfeito quando é o resultado do quadrado de um número natural. A decomposição em fatores primos é um procedimento que auxilia na determinação da raiz quadrada de um número. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Verifique, pela decomposição em fatores primos, se o número 484 é quadrado perfeito.

Resolução:

• Fazemos a decomposição em fatores primos. • Podemos escrever: 484 5 22 ? 112. Como os

expoentes dos fatores primos são pares, o número 484 é um quadrado perfeito. Assim, para calcular a raiz quadrada de 484, substituímos esse número pelo produto de fatores primos: 484 5

22 ? 112 5

22 ?

112 5 2 ? 11 5 22

484

2

242

2

121

11

11

11

1

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Exemplo 2: Verifique, pela decomposição em fatores primos, se o número 800 é quadrado perfeito.

Resolução:

• Fazemos a decomposição em fatores primos: 800 400 200 100 50 25 5 1

2 2 2 2 2 5 5

Podemos escrever: 800 5 25 ? 52.

• Como os expoentes dos fatores primos não são todos pares, o número 800 não é um quadrado perfeito.

• Observe que podemos escrever

800 5

22 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 52 5 21 ⋅ 21 ⋅ 51 ⋅ 2 5 20 ⋅ 2

Cálculo de raiz quadrada aproximada Vamos calcular um valor aproximado para a Sabemos que 16 5 4 e que 18 está entre 4 e 5.

18.

25 5 5; logo, é possível estimar que o resultado da raiz de

Como 18 está mais próximo do número 16 do que do número 25, começaremos a estimativa de valores próximos a 4. 4,1²

4,2²

4,24²

4,25²

16,810

17,640

17,978

18,063

Perceba que 4,24² 5 17,978 nos dá uma diferença para 18 de 0,022 e que 4,25² 5 18,063 nos dá uma diferença para 18 de 0,063. Portanto, com duas casas decimais podemos dizer que: 18  4,24 Lembramos que, se utilizássemos mais casas decimais, teríamos um resultado mais preciso. Realizando esse cálculo em uma calculadora com um visor com capacidade para 10 dígitos, teremos: 18  4,242640687 Outra maneira de resolver essa questão é decompor 18 em fatores primos. 18 5 3²  2 18 5 32 ? 2 5 3 2 Como

2 é aproximadamente 1,41, com aproximação de duas casas decimais temos: 18 5 3 2  3  1,41 5 4,23

Entre os resultados obtidos para duas casas decimais há um erro de 1 centésimo.

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APOEMA matemática 8

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Determine o valor de x em cada item a seguir: x 5 625

b) x 5 15

x 5 225

c) x 5 3

x59

d) x 5 1 2

x5

e) x 5 0

x50

9 cm, 7 cm e 5 cm

Setup

a) x 5 25

6 A área de um quadrado é a medida de seu lado elevada ao quadrado. Sendo assim, determine as medidas dos lados de cada um dos quadrados conforme sua área.

81 cm2

k 5

7 Considerando o número 54, responda às perguntas. a) Ele está compreendido entre quais quadrados perfeitos? 49 e 64 b) A raiz quadrada dele está compreendida entre quais números naturais e consecutivos? 7 e 8 c) Qual é o menor número natural que devemos somar ao número 54 para torná-lo um quadrado perfeito? 10

5 6

1 100

k5

1 10

c) k 2 5 49 121

k5

7 11

d) k 2 5 144 400

k5

12 20

b) k 2 5

e) k 5 0,04 2

8 Escreva os números quadrados perfeitos de 1 até 300. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256 e 289

k 5 0,2

9 Utilizando a decomposição em fatores primos, descubra quais dos números a seguir são quadrados perfeitos. a) 361 Sim. c) 1 000 Não. b) 450 Não. d) 1 600 Sim.

3 Utilizando a decomposição em fatores primos, obtenha: a) 400

20

f)

256

16

b) 900

30

g) 289

17

c)

25 cm2

1 4

2 Observando os resultados, escreva os números positivos que devem ser colocados no lugar da letra k. a) k2 5 25 36

49 cm2

10 Com o auxílio de uma calculadora, mas

1 024

32

h) 4 096

64



sem utilizar a tecla

d) 1 225

35

i)

2 025

45



j)

8 100

raízes aproximadas com três casas decimais. Ao finalizar essa atividade, verifique se suas estratégias foram as mesmas utilizadas por um colega.

e) 3 600

60

90

4 Responda às seguintes perguntas: 17 e 217

a) 5 2,236 b) 37 6,083

, encontre as

c) 185 13,601 d) 924 30,397

a) Quais são os dois números diferentes que ao quadrado resultam em 289? 11 Descubra o número correspondente aos b) Qual é a raiz quadrada de 289? Somente 17. fatores primos indicados em cada item. 5 Quais são os números que, elevados ao quadrado, dão os resultados a seguir? a) 169 b) 0 0

13 e 213

c) 81 9 e 29 d) 1 51 e 2 51 25

a) 2 ? 3 ? 5 ? 7 210 b) 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 648 c) 5 ? 11 ? 13 715 d) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 5 1 000 e) 2 ? 3 ? 5 ? 17 510

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Conexões Você já ouviu falar em notação científica? Conheceremos um pouco mais a notação científica. Assim como podemos falar de grandezas macroscópicas, também podemos abordar as chamadas grandezas microscópicas. A distância entre planetas é um exemplo da primeira, enquanto a massa de um elétron é um exemplo da segunda. Nas Ciências é comum falar desses dois tipos de grandeza. Para exemplificar, observe dois exemplos: koya979/Shutterstock

• Massa do elétron: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 970 kg A proporção entre as dimensões dos elementos representados bem como as cores usadas não são as reais.

Modelo atômico que representa os elétrons orbitando ao redor do núcleo (com prótons e nêutrons).

• Distância da Terra ao Sol: 150 000 000 000 m Enquanto a massa do elétron é, em quilogramas, muito pequena (grandeza microscópica), a distância da Terra ao Sol, em metros, é muito grande (macroscópica). A quantidade de casas decimais na primeira e a quantidade de zeros na segunda representam obstáculos tanto na escrita quanto na leitura. Pensando na superação dessas dificuldades, os cientistas criaram uma notação que permite escrever esses dois tipos de grandeza de forma unificada:

• Massa do elétron: 9,1093897 ? 10 • Distância da Terra ao Sol: 1,5 ? 10

231

11

kg.

m.

De modo geral, podemos dizer que um número ou uma grandeza está em notação científica quando é escrito na forma: a ? 10k, sendo a um número real entre 1 e 10 (diferente de 10) e k um número inteiro. E como podemos transformar uma grandeza na notação científica? Se o número é maior que 1, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo. Por exemplo: 356 000 5 3,56 ? 105 O expoente 5 indica que avançamos 5 casas decimais com a vírgula para a esquerda. Se o número estiver entre 0 e 1, deslocamos a vírgula para a direita até obtermos um número de 1 a 10 menor que 10. Assim, por exemplo, temos: 0,000002450 5 2,45 ? 1026 O expoente 26 indica que a vírgula foi deslocada 6 casas decimais para a direita.

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Capítulo 6

Tratamento da informação: análise combinatória – princípio fundamental da contagem Para entendermos a importância da análise combinatória, tente responder às perguntas a seguir. 1. De quantas maneiras distintas 7 pessoas podem se sentar lado a lado em um cinema? 2. Quantas placas de automóveis podem ser formadas sem repetição no atual sistema de placas? Essas questões envolvem processos de contagem e multiplicação, só que no sentido combinatório. Por exemplo, quando perguntamos qual é a quantidade de placas de automóveis possíveis no atual sistema de placas – no qual a placa é composta de três letras e quatro números –, estamos perguntando quantas combinações de três letras e quatro números, diferentes ou iguais, é possível realizar. Uma característica interessante desse tipo de problema é que os termos são independentes, ou seja, a primeira letra de uma placa para a análise combinatória nada tem a ver com a segunda letra. Vejamos alguns exemplos nos quais esse tipo de raciocínio é útil.

Exemplo: Eduardo Belmiro

Marcela tem duas calças e três camisetas que utiliza para ir à escola. Ela quer combinar essas peças de modo a não repetir uma combinação de calça e camiseta em uma semana. Será que é possível?

Resolução:

• Para resolver esse tipo de problema, temos de imaginar as possíveis combinações que Marcela pode fazer; a princípio utilizaremos uma árvore de possibilidades – também conhecida como diagrama de árvore. Podemos perceber que, para cada calça, Marcela pode usar três camisetas; logo, ela pode fazer 6 combinações possíveis. Essa informação nos indica que ela conseguirá realizar seu intento de não repetir combinações no período de uma semana para ir à escola.

• Embora um diagrama facilite nossa compreensão, ele não é indispensável para resolver esse tipo de problema, que estaria corretamente resolvido pela expressão 2 · 3 = 6. Em outras palavras, multiplicando-se a quantidade de calças (2) pela quantidade de camisetas (3), temos 6 combinações diferentes. Esse procedimento de cálculo é conhecido por princípio fundamental da contagem.

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Você sabe o que é um anagrama? Anagrama é cada uma das palavras que podem ser formadas com determinado número de letras. Por exemplo: a palavra ROMA é um anagrama da palavra AMOR. A palavra RAMO também é um anagrama da palavra AMOR.

Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com a palavra CABO?

Resolução:

A C

B O C

A

B O

B O A O A B

O B O A B A

B O C O C B

O B O C B C

C B

A O C

O

A B

A O C O C A

O A

A B C B C A

B A

O C A C

B C A C

Para este problema, o diagrama de árvore se torna mais complexo. Veja: Observe que, quanto mais elementos é preciso combinar, mais difícil se torna a construção do diagrama. Por isso, vamos resolver este problema pelo princípio fundamental da contagem: 1. Para a primeira letra da palavra, temos 4 possibilidades. 2. Para a segunda letra da palavra, devemos lembrar que uma letra já foi usada; portanto, temos 3 possibilidades. 3. Para a terceira letra da palavra, devemos lembrar que duas letras já foram usadas; portanto, temos 2 possibilidades. 4. Para a quarta letra da palavra, devemos lembrar que três letras já foram usadas; portanto, temos 1 possibilidade. Logo, para resolver o problema basta multiplicar os termos anteriormente definidos: 4  3  2  1 5 24

24 palavras

De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento tem duas etapas distintas e independentes, podendo ocorrer a primeira de m modos; e a segunda de n modos, então, o evento pode ocorrer de m  n modos distintos. Isso também se aplica a eventos que tenham mais etapas.

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Exemplo 2: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os caracteres 0, 3, 5, 6, 8 e 9?

Resolução: Queremos um número com 3 algarismos.

• Como o primeiro número não pode ser zero, temos 5 possibilidades para a primeira posição: 3, 5, 6, 8 e 9.

• Os algarismos devem ser distintos, mas agora pode-se considerar o zero. Logo, para a segunda posição temos 5 possibilidades.

• Dois números já foram utilizados nas duas primeiras posições. Assim, temos para a última posição 4 possibilidades. Logo, pelo princípio fundamental da contagem, fazemos: 5 ? 5 ? 4 5 100 Portanto, podemos formar 100 números distintos. Registre no

AGORA É COM VOCÊ

caderno

1 Uma criança tem 3 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela poderá combinar saia e blusa sem repetir o mesmo conjunto? 3 · 4 5 12 maneiras 2 Um rapaz dispõe de 6 calças, 9 camisas e 3 pares de sapatos. Com essas peças, quantos conjuntos diferentes de calça, camisa e sapato ele pode formar para vestir-se? 6 · 9 · 3 5 162 conjuntos

3 Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas com o prefixo 543, em que os telefones têm 7 algarismos (p. ex.: 543-0000). 10 · 10 · 10 · 10 = 104 5 10 000 linhas telefônicas

4 Os números dos telefones de uma certa cidade têm 8 algarismos e começam sempre com o número 4. Qual é a quantidade possível de números de telefones que podem ser obtidos? 1 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 5 107 5 10 000 000 5 Um restaurante oferece no cardápio 3 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 6 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. De quantas maneiras diferentes uma pessoa poderá fazer seu pedido se ela escolher uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa? 3 · 4 · 6 · 3 5 216 maneiras 6 (VUNESP) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é: Alternativa a. a) 33 600 c) 43 200 e) 67 600 b) 37 800 d) 58 500

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caderno

Superando Desafios

1 (Senai - SP) Uma espécie de planta aquática cresce de modo que, a cada dia, ela duplica a superfície ocupada. Uma única planta leva 60 dias para cobrir completamente a superfície de determinado lago. Se fossem duas plantas, da mesma espécie, a superfície desse lago estaria completamente coberta em Alternativa d. a) 15 dias b) 30 dias

c) 47 dias d) 59 dias

e) 60 dias

2 (Saresp) Efetuando as operações ( 32 1 a) 2 b) 8

18 ) ?

2 , obtemos o resultado: Alternativa d. c) 10 d) 14

3 (ENCCEJA) “O sistema binário foi aperfeiçoado e formalizado por Leibniz e foi fundamental para o desenvolvimento do computador e do celular. Nesse sistema, toda informação é transformada nos números 0 e 1." No quadro, temos dois exemplos de como converter números decimais em binários: Decimal Binário

8

1000

33

100001

26

25

1

24

0

23

22

21

20

1

0

0

0

0

0

0

1

Com base no quadro, conclui-se que o número binário 1 111 é representado, na forma decimal, por: Alternativa c. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 4 (OBM) Assinale a alternativa que apresenta o maior dos cinco números. Alternativa a. a) 2 0145 b) 3 0154 c) 4 0163 d) 5 0172

Explorando

e) 6 0181

O segredo dos números Editora Ática

Autor: Luzia Faraco Ramos Editora: Ática 88 páginas Tomás está em férias em Portal da Lua, uma ilha paradisíaca que esconde um tesouro. Na busca por esse tesouro, acaba fazendo novos amigos e descobrindo o gosto pela Matemática, em especial pelas bases numéricas e potenciação.

© 2013 Brasil - Ministério da Educação

Propriedades de potências

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10486 Acesso em: mar. 2015. Traz uma tabela que, para ser preenchida, deve-se arrastar a resposta até o valor correspondente à potência em questão. É uma boa ferramenta para verificar o grau de desenvolvimento em relação à aprendizagem de potências.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Determine a alternativa que indica corretamente o valor de (24)3. Alternativa d. a) 12 b) 212

c) 64 d) 264

2 Entre quais números inteiros está localizado o número correspondente a 44 ? Alternativa a.

a) Entre 6 e 7. b) Entre 7 e 8. c) Entre 8 e 9. d) Entre 9 e 10.

Setup

a) 11 cm b) 16 cm

l

c) 12 cm d) 13 cm

4 Calcule cada um dos seguintes números: a) 100 b) (215)2 1 4

c) d) 54

10 225 1 2

625

()

e) 1 3

2

a) 90 b) 36

c) 49 d) 81

7 Indique a alternativa que contém o menor número inteiro quadrado perfeito com dois algarismos. Alternativa b. a) 11 b) 16

3 O quadrado representado a seguir tem como área 256 cm2. Qual é a medida do lado indicado pela letra l? Alternativa b.

l

6 Indique a alternativa que contém o maior número inteiro quadrado perfeito com dois algarismos. Alternativa d.

1 9

5 Determine a alternativa que indica corretamente a decomposição do número 48 em fatores primos. Alternativa c. a) 2 ? 5 b) 24 ? 32 c) 24 ? 3 d) 23 ? 3 4

c) 25 d) 49

8 Entre os números a seguir, a alternativa que contém um inteiro quadrado perfeito é: Alternativa d. a) 44 b) 440

c) 4 000 d) 2 500

9 O valor correspondente ao número 100 ? 1026 ? (1022 )3 é: Alternativa a. (1023 )5 5 a) 10 b) 1025 c) 106 d) 1010 10 A raiz quadrada exata do número 0,0004 é: Alternativa d. a) 0,01 b) 0,04 c) 0,03 d) 0,02 11 O valor numérico da expressão 9 ? 105 ? 0,01 A 5 é: Alternativa c. 302 a) 1 b) 5 c) 10 d) 20 12 Calcule os valores das expressões a seguir: a) 169 1 23 ? 22 1 (25)2

( 81 ) 1 ( 21 ) 2

b)

5

1

1 16

70 19 8

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13 Coloque os números a seguir em ordem crescente. b, a, e, d, c a) 1 16 b) 1621 c) 241 4 d) 16 e) 14 14 Dê o valor de cada raiz quadrada a seguir: a) 0,16 b) 2,25

0,4

c) 1,69

1,3

d) 0,49

0,7

18 Assinale a alternativa correta. Alternativa c. a) 24  42 4

b) (32)  94 c) 34 5 81 d) 0,1 .

1

19 O número 0,00000001 também pode ser escrito como: Alternativa b. a) 1027 b) 1028 c) 1029 d) 10210

1,5

20 O número 1012 corresponde ao número: Alternativa d.

a) 1 seguido de 11 zeros.

15 Entre os números 20 e 99, qual é a quantidade de números naturais que são quadrados perfeitos? Alternativa a. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

c) 1 seguido de 13 zeros. d) 1 seguido de 12 zeros. 21 A sequência a seguir é formada por pequenos cubos empilhados. Há um padrão numérico que relaciona a posição da figura com a quantidade de cubos empilhados para formá-la. O desafio é você determinar a quantidade de pequenos cubos da 4a figura, da 5a figura e da na figura dessa sequên­cia.

Ilustrações: Setup

16 O quadrado representado a seguir tem como área 1 024 cm2. Qual é a medida do lado indicado pela letra K? Alternativa c.

b) 1 seguido de 10 zeros.

K

K Figura 1

Figura 2

a) 11 cm b) 26 cm c) 32 cm d) 13 cm

Figura 4: 21 Figura 5: 26 Figura n: 1 1 5 ? n

2

17 Sobre os números A 5 252 e B 5 (52) é correto afirmar: Alternativa b. a) A . B c) A , B b) A 5 B d) A 2 B 5 1

Figura 3

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UNIDADE 3

Geometria: triângulos

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer corresponde à medida de um ângulo raso. Quando consideramos as medidas dos ângulos externos de um triângulo qualquer, a soma delas corresponde à medida de um giro completo, isto é, 360º. Você pode comprovar esses fatos da geometria plana por meio de dobraduras.

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Beholdereye/Dreamstime.com

1 Num triângulo retângulo, um dos ângulos é reto. O que podemos afirmar sobre as medidas dos outros dois ângulos internos desse triângulo? 2 Se o ângulo entre duas retas concorrentes mede 90º, que nome damos a essas retas? 3 Qual é a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo?

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Capítulo 7

Segmentos, ângulos e retas Marianne De Jong/Dreamstime.com

A Torre de Pisa é o campanário da catedral da cidade italiana de Pisa. Logo após o início da construção, no ano 1173, ela começou a inclinar em razão da fundação malfeita. Essa torre está inclinada para sudoeste. É curioso notar que a altura do topo da torre ao solo é de 55,86 m, considerando o lado mais baixo, e de 56,40 m, se considerarmos o lado mais alto. Atualmente a torre está inclinada em aproximadamente 4°. 4°

Neste capítulo retomaremos alguns dos principais conceitos estudados a respeito de ângulos, e ainda ampliaremos esse conhecimento.

Torre de Pisa, Itália.

Segmentos e retas

ravl/Shutterstock

Para traçar uma reta ou mesmo um segmento, utilizamos uma régua. Além dela, há também outros instrumentos, como os esquadros. Eles têm forma triangular, de dois tipos. O esquadro da figura 1 têm um ângulo reto, um ângulo de 30° e um ângulo de 60°; já o esquadro da figura 2 tem um ângulo reto e dois ângulos de 45°.

figura 1

Resposta da página anterior: 1. A soma das medidas dos outros dois ângulos é igual a 90. 2. Perpendiculares. 3. 360.

figura 2

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APOEMA matemática 8

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É possível representar numa folha de papel uma reta, uma semirreta ou um segmento de reta, conforme as ilustrações a seguir:

• Reta r: r

As duas setas indicam que a reta r é infinita nos dois sentidos.

• Reta determinada por dois pontos: Podemos representar a reta que passa pelos pontos A e B como AB ou BA.

A

B

• Semirreta: O ponto O divide uma reta em duas semirretas,  que podem ser representadas por: OA (semirreta de origem no ponto O que passa pelo ponto  A) e OB (semirreta de origem no ponto O que passa pelo ponto B).

O

r B

O A

O B

• Segmento de reta: Quando marcamos dois pontos, A e B, numa mesma reta, o conjunto de pontos dessa reta compreendidos entre esses dois pontos é denominado segmento de reta. Para representar o segmento com extremidades em A e B utilizamos a notação AB.

r A

B

Agora que já vimos exemplos de reta, semirreta e também de um segmento de reta, vamos entender o significado de segmentos congruentes.

Exemplo: B

A

P

Q

Utilizando uma régua, é possível observar que os segmentos AB e PQ têm o mesmo comprimento.

Dois segmentos de reta são ditos congruentes quando têm o mesmo comprimento. Em símbolos, se os segmentos AB e PQ são congruentes, escrevemos: AB  PQ. Ainda sobre segmentos: você sabe como obter o ponto médio de um segmento?

Ilustrações: Eduardo Belmiro

Ao desenhar um segmento de reta em uma folha e dobrá-la de forma que os pontos extremos do segmento coincidam, obtemos, na dobra, o ponto médio.

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Veja outra forma de encontrar o ponto médio utilizando régua e compasso:

M

B

1. Trace duas circunferências de mesmo raio, com centros em A e B, de modo que a abertura do compasso seja um pouco maior que a metade do segmento. 2. Em seguida, trace uma reta entre os pontos de encontro das duas circunferências. Essa reta é chamada de mediatriz e determina o ponto médio do segmento AB.

A

Observação: VV Representamos da seguinte forma, a congruência e o comprimento de segmento: • AB  PQ (o segmento AB é congruente ao segmento PQ). • AB  PQ (a medida do segmento AB é igual à medida do segmento PQ).

Ângulos Vamos também recordar agora o conceito de ângulo. A união de duas semirretas distintas e de mesma origem é um ângulo.

Num ângulo, há os seguintes elementos:

• vértice: é o ponto O; • lados do ângulo: são as semirretas

B

A

  OA e OB .

O

Observações: VV A abertura de um ângulo está relacionada à medida dele. VV Quando dois ângulos têm a mesma abertura, dizemos que são ângulos congruentes. VV Quando a medida de um ângulo é 90°, ele é denominado ângulo reto. VV Um ângulo é raso quando a medida é 180°. VV Se a medida de um ângulo qualquer estiver entre 0° e 90° dizemos que o ângulo é agudo. VV Ângulo obtuso é aquele cuja medida está compreendida entre 90° e 180°. VV Para medir um ângulo, podemos utilizar um transferidor.

Exemplo:

Robert Spriggs/Shutterstock

B

A medida do ângulo ABOB é 65°. Podemos indicar: med(ABOB) 5 65°. Observe que, na representação de um ângulo, utilizamos o acento circunflexo no ponto em que as semirretas se encontram; no caso acima, no ponto O.

A O

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Observe os pontos A, B e C representados na reta r e responda às questões. r C B A

a) Quantos segmentos de retas com extremidades em dois desses pontos estão sobre a reta r? Três segmentos. b) Quais são esses segmentos? AB, AC e BC. c) O ponto B pertence à semirreta AC? Sim. d) O ponto A pertence à semirreta CB? Sim. e) Qual é a origem da semirreta AC? O ponto A. f) Quantos pontos em comum têm as semirretas BC e BA? Um ponto apenas, o ponto B. 2 Agora vamos considerar que na reta r, representada a seguir, os pontos A, B e C indicados são tais que: AB 5 3 cm e BC 5 5 cm r

C B A

a) Determine a medida do segmento AC. 8 cm b) Determine a diferença entre as medidas dos segmentos AC e AB. 5 cm Não é possível determinar o comprimento da c) Qual é o tamanho da reta r? reta, pois ela é infinita. 3 Ainda em relação à atividade anterior, considere que M é um ponto médio do segmento AB, isto é, M está situado à mesma distância de A e de B. Além disso, N é o ponto médio do segmento BC, isto é, N está à mesma distância dos pontos B e C. Qual é a medida MN? 4 cm

4 Marcos desenhou no caderno um segmento de extremidades nos pontos P e Q. Júlia desenhou no caderno dela um segmento de extremidades nos pontos A e B congruente ao segmento PQ desenhado por Marcos. Responda: a) O que significa segmentos congruentes? Segmentos de mesmo comprimento. b) Qual é o comprimento do segmento desenhado por Júlia, considerando que o segmento desenhado por Marcos tem 5 cm de comprimento? 5 cm

a) De acordo com a figura do transferidor, obtenha as medidas dos ângulos PAQ, QAR e RAS. 40°, 60° e 40° b) Qual é a medida do ângulo PAR? 100° c) Qual é a medida do ângulo QAS? 100° S d) Entre os ângulos indicados acima, qual é o ângulo congruente ao ângulo RAS? O ângulo PAQ.

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APOEMA matemática 8

Q R

P

A

Robert Spriggs/Shutterstock

5 Observe os ângulos desenhados a seguir:

69 a

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caderno

Ilustrações: Robert Spriggs/Shutterstock

6 Desenhe um ângulo congruente ao ângulo indicado na figura a seguir:



Responda: Qual é a medida do ângulo que você desenhou? A medida é 60°. 7 Conforme a figura ao lado, determine a medida dos seguintes ângulos: a) med(AÔB) 30° b) med(BÔC) 20° c) med(CÔD) 40° d) med(DÔE) 20° e) med(EÔF) 30° f) med(FÔG) 20°

D

E

C

F

B G

A O

8 Ainda em relação à figura, responda: O que as semirretas em vermelho estão representando em relação aos ângulos indicados por AÔB, BÔC, CÔD, DÔE, EÔF e FÔG? A bissetriz desses ângulos.

Ilustrações: Setup

9 Os ângulos a seguir, AÔB e CÔD, são congruentes. Utilize um transferidor e obtenha as medidas. Os dois ângulos medem 60°. C

A

O



 O

B D

10 Considere a reta:

A

F

E



Se AB 5 20,6 cm e HB 5 2,575 cm, determine:

G

H

B

a) a medida de GB, sabendo que o ponto H é seu ponto médio. 5,15 cm b) a medida de EB, sabendo que o ponto G é seu ponto médio. 10,3 cm c) a medida de FG, sabendo que o ponto E é seu ponto médio. 10,3 cm

70 pom8_064_111_u03.indd 70

APOEMA matemática 8

a

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Ângulos entre duas retas concorrentes Quando se traçam duas retas distintas em um plano, existem duas possibilidades quanto às posições relativas: concorrentes ou paralelas. A seguir, observe a representação dessas duas possibilidades num plano representado por a. 

r

s

P

As retas r e s, pertencentes ao plano a, têm o ponto P como único ponto em comum. São ditas retas concorrentes. 

a

Observe que as duas retas a e b, representadas no plano a ao lado, não têm ponto em comum. São ditas retas paralelas.

Ilu

st ra çõ

es :S

et

up

b

Na representação de duas retas concorrentes, formam-se quatro ângulos. Esses ângulos, dois a dois, são ditos opostos pelo vértice. Na figura a seguir, os ângulos indicados por a e c são opostos pelo vértice. Também são opostos pelo vértice os ângulos b e d. b a

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, isto é, são ângulos congruentes.

c d

Portanto, a medida do ângulo b é igual à medida do ângulo d, assim como a medida do ângulo c é igual à medida do ângulo a. Observe a seguir uma demonstração da afirmação dada.

b a

c

a  b  180 ⇒abbc⇒a5c b  c  180

Podemos perceber que as semirretas coincidem, logo, a medida do ângulo é a mesma:

Observação: VV Quando duas retas concorrentes formam quatro ângulos congruentes,

r

medindo 90° cada, dizemos que essas retas são perpendiculares. Assim, na figura ao lado, as retas r e s são perpendiculares. Para indicar um ângulo reto, desenhamos um pequeno quadrado com um ponto em seu centro.

s

71 pom8_064_111_u03.indd 71

APOEMA matemática 8

a

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AGORA É COM VOCÊ

Ilustrações: Setup

1 Laura desenhou no caderno duas retas concorrentes e obteve a medida de um dos quatro ângulos, conforme indicado na figura a seguir:

127°

a) Quais são as medidas dos outros três ângulos? 127°, 53° e 53° b) É necessário utilizar um transferidor para obter as medidas dos ângulos desconhecidos? Não, basta considerar que dois ângulos que são opostos pelo vértice têm medidas iguais.

2 Considerando os ângulos indicados pelas retas concorrentes, determine a medida de x em cada item a seguir. a) 25° 2x  10°

b) 40°

40°

2x  10°

x  20°

30° 2x  10°

x  20°

3 Dois ângulos opostos pelo vértice têm suas medidas representadas por 4x 2 308 e x 1 608. Então: a) determine o valor de x; x 5 30 b) obtenha as medidas dos dois ângulos. 90° 4 Para cada afirmação a seguir, indique V ou F, conforme ela seja verdadeira ou falsa, respectivamente. a) Duas retas concorrentes são perpendiculares. (   ) F b) Duas retas paralelas apresentam infinitos pontos em comum. (   ) F c) Se duas retas são perpendiculares, então elas são concorrentes. (   ) V d) Duas retas concorrentes que formam um ângulo de 90° são perpendiculares. (   ) V 5 Trace duas retas, r e s, que formem um ângulo de 90°. O aluno deverá representar duas retas perpendiculares. 6 Na figura ao lado, as retas r e s formam quatro ângulos retos. a) Determine o valor de x conforme medidas indicadas na figura. x 5 8

r

x  40° 3x x  10° 0

s

b) Obtenha as medidas dos três ângulos indicados na figura. 48°, 24° e 18°

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APOEMA matemática 8

a

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7 Na figura a seguir, observe os ângulos indicados pelas letras a, b e d. Considerando a medida do ângulo b 5 23°, determine a medida: a d

b

a) do ângulo a; 157° b) do ângulo d. 23°

r

8 Na figura ao lado, as retas r e s são concorrentes. Além disso, há uma semirreta com origem no ponto de encontro dessas duas retas.

40° 5x

85°

De acordo com as medidas dos ângulos indicados, determine: a) a medida do ângulo colorido na figura; 180° b) a medida de x; x 5 11° c) as medidas dos ângulos formados pelas retas concorrentes r e s. 125° e 55°

s

Ângulos de duas retas paralelas com uma transversal

Ilustrações: Setup

Considere agora as retas paralelas r e s. Essas duas retas são concorrentes a uma terceira reta, t, dita transversal. Na figura destacam-se os oito ângulos formados. Apesar de termos oito ângulos, se as retas r e s são paralelas, temos apenas duas medidas diferentes. Observe que as aberturas indicadas com a mesma cor correspondem a ângulos congruentes, isto é, ângulos com a mesma medida.

1 2 r

4

3

5 6 s

8

7

t

73 pom8_064_111_u03.indd 73

APOEMA matemática 8

a

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Eles podem ser identificados como mostramos a seguir.

• Ângulos opostos pelo vértice são congruentes: 1e3 2e4 5e7 6e8 • Ângulos correspondentes, que estão na mesma posição em relação à transversal, são congruentes: 1e5 2e6 3e7 4e8 • Ângulos suplementares: a soma deles é igual a 180°.

1e2 2e3 3e8 4e5

1e4 2e7 3e6 4e7

1e6 2e5 5e6 6e7

1e8 3e4 5e8 7e8

Ilustrações: Eduardo Belmiro

É possível verificar a congruência dos ângulos utilizando um pedaço de papel, régua e tesoura. Observe as imagens a seguir.

Numa folha separada, desenhe um esquema como o da página anterior, composto de duas retas paralelas e uma reta transversal; nomeie os ângulos de a a h.

Dobre a folha ao meio, conforme indicado pela linha tracejada.

Recorte-a na marca da dobra.

Sobreponha as duas partes e verifique a congruência dos ângulos.

r

Exemplo:

36°

Na figura ao lado, determine as medidas dos ângulos desconhecidos, considerando que as retas r e s são paralelas.

x

s

y

Resolução:

• Na figura, observe que o ângulo indicado por x é suplementar ao de medida 36°, isto é: x  36°  180° x  180° 2 36° x  144°

• Já os ângulos de medidas x e y são correspondentes em relação à transversal. Portanto, têm medidas iguais:

yx y  144°

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APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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aGoRa É CoM VoCÊ

t a

b c f

e

g

d

Ilustrações: Setup

1 Utilize um transferidor e obtenha as medidas dos ângulos indicados na figura a seguir, considerando que r e s são duas retas paralelas que são concorrentes a uma reta transversal t.

r

s a  c  e  g  30°; b  d  f  h  150°

h

2 Na figura a seguir, as retas u e v são paralelas. Tendo em vista que quatro dos ângulos formados na transversal têm a medida indicada, determine a medida de cada um dos demais ângulos. 135° 45°

v

45°

45°

u

45°

3 Na figura a seguir, as retas m e n são paralelas e concorrentes à reta t. t 53° c

a

m

b n

Considerando as informações indicadas na figura, determine: a) a medida do ângulo a; 127°

b) a medida do ângulo b; 53°

c) a medida do ângulo c. 53°

4 As retas m e n são paralelas e cortam a reta t em dois pontos. Nesses dois pontos estão indicados alguns ângulos. t y 20°

m n

z

x

Determine: a) a medida do ângulo y; 160°

b) a medida do ângulo x; 160°

c) a medida do ângulo z. 20°

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APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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5 Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Qual é a medida do ângulo indicado pela letra x? 42° t x

s

138°

Ilustrações: Setup

r

Professor, comente com os alunos que na atividade 6 eles devem imaginar a reta t mudando de posição conforme um dos itens a, b, c, d e e.

6 Considerando que as retas r e s são paralelas e observando possíveis valores para os ângulos indicados pelas letras a e b, responda:

t



a) Se a 5 1608, qual é a medida do ângulo b? 20°

r

b) Se a 5 1588, qual é a medida do ângulo b? 22° c) Se a 5 1408, qual é a medida do ângulo b? 40°



d) Se b 5 608, qual é a medida do ângulo a? 120°

s

e) Se b 5 808, qual é a medida do ângulo a? 100° 7 Na figura ao lado, as retas desenhadas com a mesma cor são paralelas entre si.

110°

a) Determine a medida de cada um dos ângulos indicados na figura pelas letras x, y, z e w.

70° w

x

x 5 110°, y 5 110°, z 5 70°; w 570°

b) Qual é a relação entre as medidas dos ângulos x e y? São iguais. c) Qual é a relação entre as medidas dos ângulos z e w? São iguais.

z

d) Qual é a relação entre as medidas dos ângulos x e w? São suplementares, isto é, somam 180°.

70°

y 110°

e) Qual é a relação entre as medidas dos ângulos y e z? São suplementares, isto é, somam 180°. 8 Se dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas indicadas por 4x 2 108 e 6x 2 408, determine: a) o valor de x; 15°

c) a medida do ângulo suplementar de x.165°

b) a medida desses dois ângulos; 50° 9 Na figura estão representadas duas retas concorrentes; e no ponto de encontro, três ângulos. Responda.  



a) Se a medida do ângulo a for igual a 45°, quais serão as medidas dos ângulos b e g? 45° e 135° b) Se a medida do ângulo a for igual a 55°, quais serão as medidas dos ângulos b e g? 55° e 125° c) Se a medida do ângulo a for igual a 41°, quais serão as medidas dos ângulos b e g? 41° e 139° d) Qual é a soma das medidas dos ângulos a e g? 180° e) E dos ângulos b e g? 180°

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 11:33 AM

10 Sendo r e s duas retas paralelas, determine: a) a medida do ângulo indicado pela letra x; 60° b) a medida do ângulo indicado por 2x; 120° c) a relação entre as medidas desses dois ângulos. São ângulos suplementares, isto é, somam 180°.

x r

s

2x

11 Na figura ao lado, as retas r e u são paralelas. De acordo com as medidas de ângulos indicadas, determine a medida do ângulo indicado pela letra:

t 118°

a) x; 98° b) y. 98°

r

y 20°

u

x

12 O ponto A corresponde ao vértice de um ângulo reto, e as retas m e n são paralelas. Determine a medida do ângulo indicado por a. 40° m

 A 130°

n

a

b

y x

14 As retas r e s são paralelas e as linhas tracejadas são paralelas a essas duas retas. Conforme as medidas dos ângulos indicados na figura, responda:

Ilustrações: Setup

13 As retas a e b, representadas a seguir, são paralelas. Determine as medidas dos ângulos desconhecidos. y 5 120° ; x 5 60°; 2x 5 120°

2x

15°

r 

a) Qual é a medida do ângulo indicado pela letra a? 45° b) Qual é a medida do ângulo indicado pela letra b? 60°

120°

s



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APOEMA matemática 8

a

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baGaGeM CultuRal Itália

CHARME OBLÍQUO

TORRE DE PISA: UM ERRO QUE DEU CERTO

Pisa

© Google Earth 2013

Roma

Localizada na Itália, a Torre de Pisa é um dos principais pontos turísticos do país. Com seus 8 andares e 56,4 metros de altura, no seu ponto mais alto, a torre feita de mármore assusta turistas até hoje por ser ligeiramente inclinada, dando a impressão de que está prestes a cair.

Muitos boatos surgiram a respeito do fato de a Torre de Pisa ser inclinada. Um deles se refere aos trabalhadores que a construíram. Muitos acreditavam que eles a tivessem construído inclinada de propósito, como forma de protesto aos baixos salários.

A Torre de Pisa demorou 177 anos para ser construída. Em 1178, durante a construção do terceiro andar, é que arquitetos e engenheiros começaram a perceber a inclinação.

Já os fiéis católicos acreditavam que a torre havia sido entortada por Deus, por ter sido construída no Campo dei Miracoli (Campo dos Milagres, em português).

Pavel Ilyukhin/Shutterstock

O verdadeiro motivo O real motivo para a Torre de Pisa ser inclinada só foi descoberto no século XX: constatou-se que esse campanário, de 14 mil toneladas, foi construído em um terreno alagadiço e instável. No final de 2013, um conjunto de obras foi concluído na Torre

de Pisa, com um investimento de R$ 93 milhões de reais para desentortá-la; com isso, a torre ficou com uma inclinação de aproximados 4°. Você sabia que ela já teve inclinação de 5,5°? Segundo o diretor técnico da obra, a torre deve permanecer estável e sem necessidade de intervenção pelos próximos 200 ou 250 anos.

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APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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56,4

metros

CURIOSIDADE No Brasil, na orla de Santos, litoral de São Paulo, alguns prédios também sofrem com um problema semelhante ao da torre. Por ficarem inclinados um para o outro, dois edifícios foram apelidados de "beijoqueiros" pelos moradores.

Jessmine/Shutt erstock

Em 1988, a Torre de Pisa foi interditada à visitação pública, pois tinha chances de cair. Em 1995, foram instalados cabos subterrâneos a 40 metros de sua superfície, por onde se injetava nitrogênio para congelar a água que havia no terreno e evitar inundações. Em 2013 terminou Atualmente sua um projeto de 12 anos que envolvia inclinação é de a conexão de cabos de5,5 aço e enormes graus para o pesos sul. de chumbo como um contrapeso.

5,5°

Disponível em: . Acesso em: abr. 2015. N

N2

Gustavo Moore

2

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APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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Capítulo 8

Triângulos Ungnoi Lookjeab/Shutterstock

Os engenheiros, arquitetos e construtores, de modo geral, sabem que a estrutura em forma de triângulo auxilia a distribuir melhor a massa que deve ser sustentada. Além disso, há também a questão de rigidez.

Torre com estrutura metálica formada por triângulos.

ollirg/Shutterstock

Você já parou para pensar sobre as estruturas feitas para sustentar grandes massas em construções de pontes, viadutos e edifícios? Notou que o triângulo sempre faz parte dessas estruturas?

Ponte com estaios em formato de triângulos, na Grécia.

O triângulo é o único polígono rígido. Isso significa que: uma vez definidos os lados de um triângulo, não é possível deformá-lo; os demais polígonos podem ser deformados.

• •

Alexandre Fagundes de Fagundes

Oksana Bratanova/ Shutterstock

Tatyana Nyshko/ Dreamstime.com

Bicicleta.

Duki84/Dreamstime.com

Veja alguns exemplos em que triângulos fazem parte das estruturas, com o objetivo de lhes conferir maior rigidez.

Suporte do telhado.

Porteira.

Suporte do balanço.

tRabalho eM eQuIpe

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Em dupla, faça o que se pede. Eduardo Belmiro

Use canudinhos e barbante fino para construir um quadrado e um triângulo, como mostra a figura ao lado. Tentem deformar essas figuras aplicando uma pequena força em seus vértices. a) Qual é o polígono que não se deforma? O triângulo. b) É possível tornar o quadrado rígido? Exemplifiquem com um Sugestão de resposta: desenho.

80 pom8_064_111_u03.indd 80

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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Neste capítulo conheceremos um pouco melhor os triângulos, seus elementos e também suas propriedades.

Classificação de triângulos Quanto aos lados:

Ilustrações: Setup

Observe atentamente os quatro triângulos representados a seguir.

Utilizando uma régua, podemos determinar as medidas de seus lados. Com o auxílio de um transferidor, obtemos as medidas de seus ângulos. É possível encontrar, entre os triângulos acima, um triângulo em que os três lados sejam congruentes (mesma medida), um triângulo em que apenas dois lados sejam congruentes ou um triângulo em que os três lados tenham medidas diferentes. Assim, temos três possibilidades quanto às medidas dos lados de um triângulo.

Triângulo equilátero

Triângulo isósceles A

C

A

B

• Todos os lados têm a mesma medida.

C

C

B

• Tem pelo menos dois lados de mesma medida.

AB  AC  BC

AB  AC

• Todos os ângulos têm a mesma medida.

A B  BB  C B  60

Triângulo escaleno

• Os ângulos opostos aos lados de mesma medida têm medidas iguais. BB  C B

A

B

• Todos os lados têm medidas diferentes. AB  AC  BC

• Todos os ângulos têm medida diferentes. A B  BB  C B

Observação: VV Um triângulo equilátero também pode ser considerado um triângulo isósceles, pois apresenta três lados com a

mesma medida; sendo assim, apresenta, inevitavelmente, dois lados com a mesma medida.

81 pom8_064_111_u03.indd 81

APOEMA matemática 8

a

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Quanto aos ângulos: Assim como se classifica um triângulo de acordo com as medidas de seus lados, outra maneira de classificá-lo é observar as medidas de seus ângulos. Existem três possibilidades quanto a essas medidas. Triângulo acutângulo

Triângulo obtusângulo

Triângulo retângulo Ilustrações: Setup

B

C

C

A

A

B

B

• Todos os ângulos têm

• Tem um ângulo com

medida menor do que 90

medida maior do que 90.

A

C

• Tem um ângulo reto.

Conexões Quando você analisar as medidas dos lados de um triângulo, poderá comprovar um resultado conhecido como desigualdade triangular que representa a condição de existência de um triângulo, quanto às medidas de seus lados. Em um triângulo qualquer, cada lado tem a medida menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Essa propriedade pode ser comprovada com uma pequena experiência. Imagine três segmentos com comprimento de 10 cm, 6 cm e 3 cm. Posicionando primeiramente o segmento de maior comprimento e depois os outros dois, note que não é possível formar um triângulo, já que os dois segmentos de comprimentos 3 cm e 6 cm não se juntam.

6 cm 3 cm

10 cm

Considerando a desigualdade triangular, não haveria necessidade de verificar isso, pois a medida de 10 cm não é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Sendo assim, não é possível construir um triângulo com essas medidas.

82 pom8_064_111_u03.indd 82

APOEMA matemática 8

a

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considere o triângulo representado ao lado e com o auxílio de uma régua, responda às perguntas. a) Esse triângulo é isósceles? Não. b) Esse triângulo é retângulo? Não. c) Esse triângulo é escaleno? Sim.

2 Utilizando uma régua, construa um triângulo isósceles em que as medidas de dois lados sejam iguais a 8 cm. Depois, informe a medida do terceiro lado. Resposta pessoal, pois existe mais de um triângulo isósceles com as medidas indicadas.

3 Com relação às medidas dos lados, responda: Quando dois de seus lados

a) Quando um triângulo é classificado como isósceles? tiverem a mesma medida.

Quando os três lados tiverem

b) Quando um triângulo é classificado como equilátero? a mesma medida.

c) Quando um triângulo é classificado como escaleno? Quando os três lados tiverem medidas diferentes.

4 Com relação às medidas dos ângulos de um triângulo, responda: a) Quando um triângulo é classificado como retângulo? Quando um de seus ângulos for reto. b) Quando um triângulo é classificado como equilátero? Quando todos os ângulos tiverem a mesma medida. c) Quando um triângulo é classificado como isósceles? Quando dois de seus ângulos tiverem a mesma medida.

5 Responda. a) Pode um triângulo retângulo ter os três ângulos com a mesma medida? Não. b) O que podemos afirmar sobre as medidas dos ângulos de um triângulo isósceles? Dois de seus ângulos têm a mesma medida.

c) Qual é o nome do triângulo em que as medidas dos três ângulos são iguais? Triângulo equilátero.

Ilustrações: Setup

6 No triângulo isósceles representado, a medida de um lado é igual a 8 cm. Considerando que os outros dois lados têm cada um medida de 10 cm, determine a medida do perímetro do triângulo. 28 cm

8 cm

7 O perímetro de um triângulo equilátero é igual a 36 cm. Determine a medida de cada um de seus lados. 12 cm 8 Resolva cada um dos problemas seguintes. a) Em um triângulo isósceles, dois de seus lados medem 7 cm e 8 cm, respectivamente. Qual é a medida do terceiro lado? 7 cm ou 8 cm. b) O perímetro de um triângulo isósceles é 29 cm, e o lado com medida diferente mede 9 cm. Determine a medida dos lados iguais. 10 cm

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APOEMA matemática 8

a

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9 Na figura ao lado, ABC e DEF são triângulos equiláteros cujos lados medem cada um 9 cm. Considerando que, para montar a figura, esses dois triângulos equiláteros são sobrepostos de maneira que formem seis novos triângulos equiláteros menores, com lados de mesmo tamanho, e um hexágono, determine:

D

a) a medida do lado de cada um dos pequenos triângulos equiláteros formados; 3 cm b) o perímetro do hexágono formado pelas linhas tracejadas; 18 cm

B

C

E

F

c) o perímetro da estrela de seis pontas que foi formada. 36 cm 10 Na figura ao lado, estão representados três segmentos com comprimentos de 4 cm, 2 cm e 7 cm. Considerando esses dados, responda: a) Os três segmentos podem representar os três lados de um mesmo triângulo? Não.

A

4 cm 2 cm A

7 cm

B

b) Aumentando o comprimento do segmento menor para 3 cm, os segmentos de comprimento 4 cm, 7 cm e 3 cm podem representar os lados de um mesmo triângulo? Não. c) Aumentando o comprimento do segmento menor para 4 cm, os segmentos de comprimento 4 cm, 7 cm e 4 cm podem representar os lados de um mesmo triângulo? Sim. 11 A figura a seguir representa um triângulo equilátero. Considerando as medidas indicadas, determine os valores de x e y. x 5 2 e y 5 6 4x  2

6

y

12 Determine a medida dos lados do triângulo a seguir, considerando que seu perímetro é igual a 58 cm. Os lados medem 10 cm, 20 cm e 28 cm.

2x

Ilustrações: Setup

x

3x  2

13 O perímetro de um triângulo equilátero é igual a 24 cm. Determine a medida de cada um de seus lados. 8 cm

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a

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14 Resolva cada um dos problemas seguintes.

a) Em um triângulo isósceles, um lado mede 17 cm e outro, 12 cm. Qual é a medida do terceiro lado? Pode ser 17 cm ou 12 cm. b) O perímetro de um triângulo isósceles é 49 cm, e o lado com medida diferente mede 19 cm. Determine a medida dos lados iguais. 15 cm 15 Utilizando apenas régua, construa um triângulo em que um dos lados tenha medida de 12 cm. Depois responda: a) O triângulo que você desenhou têm os lados com a mesma medida do triângulo depessoal, mas espera-se que o aluno perceba senhado por um colega seu? Resposta que os triângulos não precisam ser congruentes. b) Quais são as medidas dos outros dois lados do triângulo? Resposta pessoal, pois depende do triângulo construído.

16 Num papel quadriculado desenhe um triângulo de acordo com as instruções a seguir: 1o passo – um dos lados deverá ter a medida de 12 cm; 2o passo – o segundo lado, perpendicular ao primeiro numa de suas extremidades, deverá ter a medida de 16 cm. 3o passo – o terceiro lado deverá ser obtido ligando os extremos dos segmentos correspondentes aos outros dois lados.

Depois responda: Qual é a medida do terceiro lado do triângulo construído? O terceiro lado deverá ter medida de 20 cm.

up

17 A figura a seguir é formada por três quadrados e, ao centro, um triângulo retângulo ABC. Observe que as áreas de cada um dos quadrados estão indicadas na figura.

Ilu

str a

çõ

es

:S

et

100 cm2

C

36 cm2

A

B

64 cm2

Então: a) determine a medida do lado do quadrado com área de 100 cm2; 10 cm b) determine a medida do lado do quadrado com área de 64 cm2; 8 cm c) determine a medida do lado do quadrado com área de 36 cm2; 6 cm d) obtenha a medida BC; 10 cm e) obtenha a medida AB; 8 cm f) obtenha a medida AC; 6 cm g) determine o perímetro do triângulo. 24 cm

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Capítulo 9

Soma das medidas dos ângulos de um triângulo Registre no

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Trabalho em EQUIPE

Antes de iniciarmos o capítulo sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, vamos fazer uma experiência utilizando recortes. Desenhe em uma cartolina um triângulo e pinte com cores diferentes as aberturas correspondentes aos ângulos internos, como está indicado na figura a seguir.

Ilustrações: Setup

Depois, corte os três ângulos, conforme a figura a seguir, e coloque um do lado do outro.

Ao final, o que foi formado? Dos três ângulos internos do triângulo, foi obtido um ângulo raso. Assim, concluímos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Neste capítulo abordaremos esse assunto. Esse mesmo raciocínio pode ser estendido a um quadrilátero qualquer. Efetue os mesmos passos de construção do triângulo com um quadrilátero e determine qual é a medida da soma de seus ângulos internos. 360°

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APOEMA matemática 8

a

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Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Veja a seguir a comprovação do resultado do “Trabalho em equipe”.

A

B

C

Vamos traçar duas retas paralelas: uma com um dos lados do triângulo e outra passando pelo vértice oposto a esse lado, como a seguir representadas.

A

B

C

Se prolongarmos os dois lados do triângulo, conforme as linhas tracejadas, na posição em que está o ângulo indicado pela letra A, formaremos um ângulo raso.

A

Ilustrações: Setup

B

C A

B

C

Portanto, a medida do ângulo correspondente a ÅA 1 Å B 1 C Å é 180°. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Exemplo: Num triângulo, as medidas de dois de seus ângulos são 35° e 60°. Obtenha a medida do terceiro ângulo desse triângulo.

Resolução: Considerando que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a 180° e representando por x a medida desconhecida, temos:

x 1 358 1 608 5 1808 x 5 1808 2 958 x 5 858

87 pom8_064_111_u03.indd 87

APOEMA matemática 8

a

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AGORA É COM VOCÊ 1 Nos triângulos a seguir, determine a medida do ângulo indicado por x. a) B

e) B

C

B

50°

x 80° 55°

35° A

40°

x

x

A

C

30°

C

A B

b)

f)

80°

A

x

35° C

c)

15°

C

30°

A

45°

120°

x

B

C 70°

g) A

A

C

x

62°

x

45° 73° 37°

B

53° B

d)

h) A

C 66°

C

x

60°

15°

105° B

x B

Ilustrações: Setup

C

45°

69° A

2 A figura a seguir representa um triângulo equilátero. Qual é a medida de cada um de seus ângulos internos? 60° A

C

B

3 Num triângulo isósceles, os dois ângulos congruentes medem 30°. Qual é a medida do terceiro ângulo? 120°

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APOEMA matemática 8

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4 Em relação a um triângulo retângulo, responda às questões. a) Se um dos ângulos mede 45°, quais são as medidas dos demais ângulos? 45° e 90° b) Se um dos ângulos mede 30°, quais são as medidas dos demais ângulos? 60° e 90° c) Se um dos ângulos mede 15°, quais são as medidas dos demais ângulos? 75° e 90° 5 No triângulo representado, dois de seus ângulos internos são conhecidos. Então: a) determine a medida do terceiro ângulo interno; 70° b) esse triângulo é isósceles? Sim.

70°

x

Ilustrações: Setup

40°

6 Num triângulo isósceles, qual é a medida do terceiro ângulo, considerando que: a) dois de seus ângulos são iguais a 45° e 90°? 45° b) dois de seus ângulos são iguais a 50° e 80°? 50° 7 O triângulo ABC é reto no vértice A, e o prolongamento do lado BC forma o lado BE do triângulo BDE. a) Determine a medida do ângulo interno B do triângulo ABC. 43° b) Determine as medidas dos ângulos internos B e E do triângulo BDE. 43° e 92°

C 47°

A

45°

B

D

8 Resolva os seguintes problemas: E a) Num triângulo, as medidas dos ângulos internos são representadas por números inteiros e consecutivos. Quais são essas medidas? 59°, 60° e 61° b) Se as medidas dos ângulos internos de um triângulo são representadas por x, 2x e 3x, quais são essas medidas? 30°, 60° e 90° c) Num triângulo retângulo, uma das medidas dos ângulos internos é 32°. Quais são as medidas dos outros dois ângulos? 90° e 58° 9 Num triângulo, as medidas dos ângulos internos estão indicadas por 2x, 4x e 6x, conforme figura a seguir. Responda: 6x

a) Qual é o valor de x? x 5 15° b) Quais são as medidas dos ângulos internos desse triângulo? 30°, 60° e 90°

2x 4x

B

10 Determine as medidas dos ângulos internos do triângulo ao lado. x 5 30°, x 133°5 48° 2 e 3x112° 5 102°

3x 1 12

x

A

E

x 1 33 2

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Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo Vimos anteriormente que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Além dos ângulos internos, um triângulo também tem ângulos externos, como indicado na figura 1.

figura 1

Queremos agora determinar a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo qualquer. Representando as medidas dos ângulos externos por eA, eB e eC e as medidas dos (ângulos internos por A, B e C, temos a figura 2. eA figura 2

A

eC

C

B eB

Como a medida de um ângulo externo com o correspondente interno é 180° (ângulo raso em cada vértice do triângulo), podemos escrever:

eA 1 A 5 180°

eB 1 B 5 180°

eC 1 C 5 180°

Adicionando membro a membro essas igualdades, obtemos:

eA 1 A 1 eB 1 B 1 eC 1 C 5 180 1 180 1 180 eA 1 eB 1 eC 1 (A 1 B 1 C) 5 540 eA 1 eB 1 eC 1 180 5 540 eA 1 eB 1 eC 5 540 2 180

Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360°.

eA 1 eB 1 eC 5 360

Observação: VV Pode-se verificar facilmente que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das

medidas dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo considerado. Conforme as medidas dos ângulos indicados no triângulo, podemos escrever: A 1 B 1 C 5 180° (I) eC 1 C 5 180° (II) A

Como as duas igualdades têm o mesmo segundo membro, os dois primeiros membros só podem ser iguais, isto é: A 1 B 1 C 5 eC 1 C A 1 B 5 eC

B

eC

C

90 pom8_064_111_u03.indd 90

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Trabalho em EQUIPE

Há mosaicos muito interessantes feitos com polígonos regulares. O desafio é montar imagens com a união desses polígonos. Veja alguns exemplos.

Apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular fornecem pavimentações do plano com um único tipo de polígono regular, pois a soma dos ângulos internos em torno de um ponto é igual a 360°, ou seja, uma volta completa.

Só é possível formar mosaicos planos (construídos com apenas um tipo de polígono) com três polígonos regulares: os triângulos equiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares. Escreva uma justificativa matemática que explique por que só e possível fazer esse tipo de mosaico com os três polígonos citados.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Sendo A, B e C as medidas dos ângulos internos do triângulo e D, E e F as medidas dos ângulos externos correspondentes a eles, responda às questões.

Ilustrações: Setup

E B

a) Qual é a medida correspondente à soma das mediD das dos ângulos A, B e C? 180° C A b) Qual é a medida correspondente à soma das medidas dos ângulos D, E e F? 360° c) Qual é a medida correspondente à soma das medidas dos ângulos A e D? 180° d) Qual é a medida correspondente à soma das medidas dos ângulos B e E? 180° e) Qual é a medida correspondente à soma das medidas dos ângulos C e F? 180° 2 No triângulo representado na figura ao lado estão indicadas as medidas dos ângulos internos. Determine:

F

60°

a) a soma das medidas dos ângulos internos; 180° b) a soma das medidas dos ângulos externos; 360° c) a medida de cada um dos ângulos externos. 120°, 110° e 130° 70°

3 Responda.

50°

a) Se a medida de um ângulo interno de um triângulo é igual a 52°, qual é a medida de seu ângulo externo correspondente? 128° b) Se a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a 100°, qual é a medida de seu ângulo interno correspondente? 80°

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APOEMA matemática 8

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a) x 46° b) y 59° c) z 121° d) t 105°

C z y

t

75°

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Ilustrações: Setup

4 No triângulo ABC estão indicadas a medida de um ângulo interno e a de um ângulo externo. Então, determine as medidas dos ângulos:

134°

x

A

B

5 No triângulo PMN conhecem-se as medidas de dois ângulos externos. Determine:

145°

P

a) a medida do ângulo externo correspondente ao terceiro ângulo; 138° b) a medida do ângulo interno correspondente ao ângulo externo de medida 145°; 35° c) a medida do ângulo interno correspondente ao ângulo externo de medida 77°; 103° d) a medida do ângulo interno correspondente ao vértice N. 42°

77°

N

M

6 Calcule a medida dos ângulos internos de um triângulo sabendo que dois de seus ângulos externos medem 80° e 118°. 18°, 62°, 100° 7 Considerando as medidas dos ângulos indicadas no triângulo ao lado, determine:

x  10°

a) o valor de x; 50° b) as medidas dos ângulos internos desse triângulo; 50°, 60° e 70° c) as medidas dos ângulos externos desse triângulo; 130°, 120° e 110°

110°

x

8 No triângulo representado ao lado, estão indicadas as medidas dos ângulos externos em função de x.

x  5°

Determine: a) o valor de x; 110° b) as medidas dos ângulos externos; 110°, 105° e 145° c) as medidas dos ângulos internos. 70°, 75° e 35°

x

x  35°

z

127°

y

9 Calcule a medida dos ângulos internos e externos x, y, z e w. x 5 53 y 5 31 w 5 84 z 5 149

x

96° w

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10 No triângulo ABC, conhece-se a medida do ângulo externo ao vértice C. B 140° A

C

Sendo assim, responda: a) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo ABC? 180° b) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos A e B do triângulo? 140°

Ilustrações: Setup

11 Os dois ângulos internos indicados no triângulo abaixo são congruentes e medem 37° cada um.

Determine: a) a medida do ângulo externo indicado na figura; 74° b) a medida do ângulo interno desconhecido. 106° 12 Resolva cada um dos problemas. a) Num triângulo isósceles, um ângulo externo correspondente a um dos ângulos congruentes mede 105°. Determine as medidas dos ângulos internos do triângulo.75°, 75° e 30° b) Determine a medida de cada um dos ângulos internos de um triângulo isósceles, considerando que o ângulo externo correspondente ao ângulo formado pelos lados congruentes é igual a 40°. Os ângulos internos são 140°, 20° e 20°. c) Num triângulo, a medida de dois ângulos externos é igual a 120°. Determine a medida de cada um dos ângulos internos desse triângulo. Os ângulos internos medem 60° cada um, portanto, o triângulo é equilátero.

13 Responda às questões. a) Quando, num triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à medida do correspondente ângulo interno? Quando o ângulo for reto (triângulo retângulo). b) Num triângulo, as medidas dos ângulos internos são representadas por A, B e C, sendo A . B . C. Qual desses ângulos externos apresenta a maior medida? O ângulo C. c) E qual desses ângulos externos tem a menor medida? O ângulo A. 14 As medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC são representadas, em graus, por A 5 x, B 5 2x 1 10° e C 5 x 1 50°. Determine: a) o valor de x; 30° b) as medidas dos ângulos internos desse triângulo; 30°, 70° e 80° c) as medidas dos ângulos externos desse triângulo. 150°, 110° e 100° 15 Desenhe um triângulo com o auxílio de uma régua e de um transferidor, de tal maneira que as medidas de dois de seus ângulos internos sejam iguais a 40° e 70°. Depois responda às questões. a) Qual é a medida do terceiro ângulo interno? 70° b) Quais são as medidas dos ângulos externos correspondentes aos internos? 140°, 110° e 110°

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a

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Conexões Outros elementos de um triângulo Agora vamos ver outros elementos importantes do triângulo.

Altura A altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento e tem como extremidades o lado ao qual é perpendicular e o vértice oposto a esse lado.

A

D

G

B

J

E

F

K

I

H

Ilustrações: Setup

C

• fiDC é a altura relativa ao lado fiAB no triângulo ABC. • Efi G é a altura relativa ao lado fiE F no triângulo EFG. • fiKJ é a altura relativa ao lado fiHI no triângulo HIJ. Todo triângulo tem três alturas, cada uma relacionada a cada um dos lados. Veja no exemplo a seguir. C

Pode-se provar que há um único ponto de intersecção entre as três alturas de um triângulo. Esse ponto é chamado de ortocentro.

P

A

B

O ponto P é o ortocentro do triângulo ABC. Observação: se o triângulo for obtusângulo o ortocentro deve ser determinado pelo prolongamento das alturas.

Mediana A mediana é um segmento de reta que tem como extremidades o vértice de um triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. C Pode-se provar que há um único ponto de intersecção entre as três medianas de um triângulo. Esse ponto é chamado de baricentro. No triângulo ABC ao lado, G é o baricentro.

E

D

G

A

F

B

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APOEMA matemática 8

a

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No triângulo ABC:

• o segmento fiCF é a mediana relativa ao lado fiAB. • o segmento fiAE é a mediana relativa ao lado fiBC. • o segmento fiBD é a mediana relativa ao lado fiAC. Propriedade das medianas:

GE GD GF 1 5 5 5 , ou seja, o segmento que tem extremidades no AG BG CG 2

vértice e no baricentro tem o dobro da medida do segmento que tem extremidades no baricentro e o ponto médio.

Bissetriz Bissetriz é a semirreta que passa pelo vértice de um ângulo dividindo-o em dois ângulos de mesma medida. Observe que, como no triângulo ABC, todo triângulo tem três bissetrizes e pode-se provar que elas se intersectam em um único ponto. C  

O ponto de intersecção entre as bissetrizes é chamado de incentro. O incentro do triângulo ABC, ao lado, é o ponto I.

I

a

a a

b

b b

O incentro é o centro da circunferência inscrita ao triângulo.

Mediatriz Mediatriz é a reta que passa perpendicularmente pelo ponto médio de um segmento. Observe que, como no triângulo ABC, todo triângulo tem três mediatrizes e pode-se provar que as mediatrizes de um triângulo se intersectam em um único ponto.

O ponto de intersecção entre as mediatrizes é chamado de circuncentro. O circuncentro do triângulo ABC, ao lado, é o ponto D.

e

f d a

b

g

Ilustrações: Setup

c

No triângulo ABC os pontos E, F e G são pontos médios dos lados. O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

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APOEMA matemática 8

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Capítulo 10

Congruência de triângulos Na tela do computador, Marcos desenhou um triângulo de vértices A, B e C.

A

Setup

B2

B

Sylverarts/Shutterstock

Depois, fez cópias do mesmo triângulo em posições diferentes, conforme está representado a seguir:

C2

C B1 A2

A1 C1

Note que é um mesmo triângulo que sofreu “deslocamentos”. Para verificar se de fato os outros triângulos correspondem ao original, podemos deslocar um sobre o outro, de tal maneira que os vértices coincidam. Se isso ocorrer, dizemos que os triângulos são congruentes e escrevemos: ABC  A1B1C1  A2B2C2

Quando dois triângulos têm as mesmas medidas de ângulos e lados dizemos que são congruentes, ou seja, podem ser sobrepostos de maneira que coincidam.

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APOEMA matemática 8

a

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Como os três triângulos são congruentes, os lados são dois a dois congruentes, e os ângulos também são dois a dois congruentes. Utilizando símbolos, temos:

• lados congruentes:

AB  A 1 B1  A 2B2 , AC  A 1 C1  A 2C2 e BC  B1 C1  B2C2

• ângulos congruentes:

  A   A  , B   B   B  e C   C   C  A 1 2 1 2 1 2

Neste capítulo abordaremos a congruência de triângulos. Veremos casos em que é possível afirmar que dois triângulos são congruentes.

Conceito de congruência de triângulos Foi visto anteriormente que um triângulo pode ser deslocado no plano e assumir posições diferentes. Agora vamos estabelecer as condições para que dois triângulos sejam congruentes.

Dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um deles são respectivamente congruentes aos lados e aos ângulos do outro.

DAE

E

E

B

A

A

B

Observações: VV Nos dois triângulos acima, os lados, dois a dois, são congruentes

(a quantidade de tracinhos indica que os lados têm o mesmo comprimento). VV Nos dois triângulos acima, os ângulos, dois a dois, são congruentes

(a mesma cor indica que os ângulos têm a mesma medida).

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APOEMA matemática 8

a

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Os triângulos ABC e EFG são congruentes. C

A

G

B

E

F

Considerando que a medida do ângulo interno A é igual a 27° e ainda a medida do ângulo interno C é 64°, responda: a) Qual é a medida do ângulo interno B? 89° b) Qual é a medida do ângulo interno E? 27° c) Qual é a medida do ângulo interno G? 64° d) Qual é a medida do ângulo interno F? 89° 2 Os triângulos representados a seguir são equiláteros.

Responda às questões. a) Os três triângulos têm as mesmas medidas dos ângulos internos? Sim, cada ângulo interno mede 60°. b) Os três triângulos são congruentes? Não, pois os lados têm medidas diferentes. 3 Os triângulos ABC e DEF, representados a seguir, são congruentes. Considere que AB 5 4 cm, Å A 5 48° e ÅC 5 50°. F

C

A E B D

Ilustrações: Setup

a) Determine a medida do ângulo B. 82° b) Obtenha a medida dos ângulos D, E e F. 48°, 82° e 50°, respectivamente c) Qual é a medida do lado DE? 4 cm 4 Considerando dois lados de um paralelogramo e as duas diagonais, conforme figura ao lado, foram construídos dois triângulos. Utilizando régua e transferidor, verifique: a) quais são os ângulos congruentes nesses dois triângulos; Espera-se que o aluno encontre três pares de ângulos congruentes.

b) quais são os pares de lados congruentes.

Espera-se que o aluno encontre três pares de lados congruentes.

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APOEMA matemática 8

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Casos de congruência De acordo com o que foi visto anteriormente, dois triângulos são ditos congruentes quando os lados e os ângulos de um deles são respectivamente congruentes aos lados e aos ângulos do outro. Inicialmente pode parecer que para verificar a congruência seria preciso também verificar dois a dois todos os ângulos (três verificações), e dois a dois todos os lados (mais três verificações) e que isso daria muito trabalho. No entanto, observa-se a seguir que não é preciso fazer seis verificações (3 ângulos e 3 lados), mas apenas três. São os chamados casos de congruência.

• 1o caso (LAL): Lado – Ângulo – Lado C

A

Nos dois triângulos temos:

G

B

• AC  EG • A  E • AB  EF

E

F

Logo, ABC  EFG.

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre esses dois lados, então os triângulos são congruentes.

• 2o caso (ALA): Ângulo – Lado – Ângulo A

B

E

C

F

Nos dois triângulos temos:   E  A

• • AB  EF • B  F

G

Logo, ABC  EFG.

Se dois triângulos têm um lado e os dois ângulos a ele adjacentes respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.

• 3o caso (LLL): Lado – Lado – Lado Ilustrações: Setup

C

A

Nos dois triângulos temos:

G

B

E

F

• AB  EF • AC  EG • BC  FG Logo, ABC  EFG.

Se dois triângulos apresentam os três lados respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.

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• 4o caso (LAAo): Lado – ângulo adjacente – Ângulo oposto G

C

Nos dois triângulos temos:

• AB  EF • A  E  • C  G

A

B

E

Logo, ABC  EFG.

F

Observação: VV Nos quatro casos de congruência não é preciso verificar a congruência entre seis elementos. Basta verificar a

congruência de três elementos dos triângulos dados.

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Trabalho em EQUIPE 1 Responda às questões.

a) O triângulo ABC é isósceles com TAB  TAC. O triângulo DEF também é isósceles com TDE  TEF. Sabendo-se que TAB  TDE, podemos dizer que os triângulos ABC e DEF são Não podemos dizer que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF. congruentes? Justifique a sua resposta.Justificativa possível:para que eles sejam congruentes os ângulos b) Quando dois triângulos equiláteros são congruentes? formados pelos lados congruentes em cada triângulo devem ser congruentes também.

Quando apresentarem os lados com as mesmas medidas.

2 Os triângulos ABC e PQR, representados a seguir, foram desenhados de tal modo que os ângulos A e P, B e Q e C e R fossem congruentes dois a dois. Responda: Esses dois triângulos são congruentes? Justifique. Não, pois para serem congruentes, os lados também devem ser congruentes.

R C

A

B

P

Q

3 Os triângulos ABC e FDC, representados abaixo, são congruentes. B

A

60°

C 30° 60° F

15 cm

D

Ilustrações: Setup

30°

Sendo assim, responda às questões. a) Qual lado do triângulo ABC é congruente ao lado FD? O lado AB 5 15 cm. b) Desenhe dois triângulos con­gruentes apoiando-se nos quatro casos de congruência estudados (LAL, ALA, LLL, LAA0). Em seguida, peça a outra equipe que identifique o caso de congruência utilizado no desenho e tente identificar o caso de congruência que seus colegas utilizaram no desenho deles.

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APOEMA matemática 8

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AGORA É COM VOCÊ

1 Considere a afirmação: Os triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes. Qual é o caso de congruência que garante a veracidade dessa afirmação? LAL A

A’

B

C

B’

C’

2 Conforme indicações feitas nos dois triângulos abaixo, eles são congruentes. Qual é o caso de congruência que permite afirmar isso? LLL C

C’

A

B

A’

B’

3 Num triângulo isósceles, o segmento AM é perpendicular ao lado BC e o divide ao meio. Os dois triângulos são congruentes, conforme o caso LAL, por exemplo.

A

B

C

M

Verifique se os triângulos ABM e ACM são congruentes e justifique. 4 Desenhe num papel quadriculado um triângulo retângulo de tal maneira que os dois lados que formam o ângulo reto tenham as medidas AB 5 12 cm e AC 5 16 cm. Na sequência: a) obtenha com a régua a medida do lado maior do triângulo, isto é, a medida BC; 20 cm b) verifique se o triângulo desenhado por um colega seu é congruente ao triângulo que você desenhou. Sim, os dois triângulos devem ser congruentes.

B

A

D

Ilustrações: Setup

5 Num paralelogramo, os lados opostos são, dois a dois, paralelos e têm a mesma medida. Ao traçar a diagonal AC no paralelogramo, formam-se dois triângulos congruentes: ABC e CDA. Qual é o caso de congruência utilizado para essa afirmação? Os quatro casos são válidos.

C

101 pom8_064_111_u03.indd 101

APOEMA matemática 8

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6 Os triângulos ABC e EGF são congruentes, conforme as indicações de ângulos e lados a seguir.

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G

A

30°

z y

B

60°

w

5 cm

E

C x 2,5 cm F

Determine a medida de: a) AC 2,5 cm b) x 60°

c) y 30°

d) z 90°

e) FG 5 cm

7 Na figura a seguir, os triângulos ABC e EDC são congruentes. 7 cm

A

B

x

35°

4,16 cm

105° C z

40°

y D

E

Sendo assim, determine: a) a medida do lado CE; 4,16 cm c) a medida do ângulo x; 40° b) a medida do lado DE; 7 cm d) a medida do ângulo y; 35°

e) a medida do ângulo z. 105°

8 Lúcia desenhou os triângulos ABC e EFG, conforme representados a seguir. Logo após afirmou: esses dois triângulos são congruentes. Responda às questões. a) Lúcia está correta? Sim. b) Qual é o caso de congruência que Lúcia utilizou para afirmar serem os triângulos congruentes? LLL

B

F 3 cm

2 cm A

C

4 cm

3 cm

2 cm E

G

4 cm

9 Qual é o caso de congruência que nos permite afirmar serem os dois triângulos congruentes? LAL F

5 cm

5 cm

30° A

Ilustrações: Setup

B

30° 6 cm

C

E

6 cm

G

102 pom8_064_111_u03.indd 102

APOEMA matemática 8

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10 Qual é o caso de congruência dos triângulos a seguir? LAAo B

F

50° 30°

A

50°

C

5 cm

30°

E

G

5 cm

11 Em cada item abaixo verifique se os triângulos A e B são congruentes. a)

13

5

A

B

5

b)

Não são congruentes.

20°

20°

13

3

A

3

B

40°

40°

São congruentes, conforme caso LAAo.

12 Em cada item a seguir há dois triângulos congruentes. Indique em cada um o caso de congruência. b) ALA

a) LAL

45°

8 cm 6 cm

30°

10 cm

120°

45°

10 cm

6 cm 8 cm 30°

10 cm

120°

30°

8 cm

120°

10 cm

45°

45°

6 cm

c) LLL

30°

d) LAAo 9 cm

7 cm

10 cm

10 cm

7 cm

45°

45°

30°

10 cm 9 cm

10 cm

30° 10 cm

9 cm

7 cm

45°

45°

10 cm

7 cm

30°

10 cm E

B 9 cm

10 cm

2y C

13 Na figura ao lado, os triângulos ABC e EDC são congruentes. Considerando que AB 5 36 cm e CE 5 24 cm, determine os valores de x e y. x 5 6 cm; y 5 18 cm

Ilustrações: Setup

6 cm

30°

8 cm

120°

4x D

A

103 pom8_064_111_u03.indd 103

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Conexões

Construção geométrica Quando temos informações sobre as medidas dos lados de um triângulo, podemos construí-lo em uma folha de papel.

Llov eott o/D re

ams time

.com

Utilizando lápis, transferidor, compasso e régua, pode-se, por exemplo, comprovar, por meio de construções, os quatro casos de congruência entre triângulos. Antes é necessário saber como construir um triângulo com os instrumentos de desenho geométrico que aqui foram mencionados. Leia com atenção! Vamos construir um triângulo ABC de tal maneira que: AB 5 5 cm, BC 5 4 cm e AC 5 7 cm.

• 1

passo: Com o auxílio de uma régua, trace um segmento com comprimento de 5 cm. Indique com as letras A e B as extremidades do segmento. o

Professor, oriente os alunos a elaborarem as construções geométricas aqui detalhadas passo a passo.

• 2

passo: Com o auxílio de um compasso, obtenha uma abertura correspondente à medida de 4 cm, conforme está indicado na figura.

Ilustrações: Eduardo Belmiro

o

104 pom8_064_111_u03.indd 104

APOEMA matemática 8

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• 3

passo: Utilizando a abertura obtida no compasso, posicione a ponta-seca dele no ponto B e trace um arco de acordo com o indicado na figura a seguir. Ilustrações: Eduardo Belmiro

o

B

A

C

• 4

passo: Agora, com uma abertura de 7 cm no compasso, ponta-seca no ponto A, trace um arco que cruze o arco anterior. O ponto de encontro desses dois arcos é o ponto C, terceiro vértice do triângulo. o

B

A

C

• 5

passo: Com uma régua, ligue os pontos A e C traçando um segmento (é um dos lados do triângulo), e ligue também os pontos B e C com um segmento (outro lado do triângulo). O resultado é o triângulo ABC. o

7 cm 4 cm

A

B

5 cm

Agora você está pronto para construir triângulos e até verificar que, nos quatro casos de congruência, um triângulo ficará bem determinado se conhecermos as medidas de dois lados e do ângulo entre eles (LAL), as medidas de um lado e dos ângulos adjacentes a ele (ALA), as medidas dos três lados (LLL) e, finalmente, as medidas de um lado, de um ângulo adjacente a esse lado e de um ângulo oposto a esse lado (LAAo). 1 Construa um triângulo ABC de tal forma que AB 5 12 cm, AC 5 12 cm e o ângulo correspondente ao vértice A meça 120°.

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Atividade de construção.

2 Compare o triângulo que você desenhou com o triângulo feito por um colega e verifique Resposta pessoal. Momento de os alunos expressarem as próprias ideias e se eles são congruentes. debaterem as opiniões. Espera-se que o aluno responda que os triângulos são congruentes.

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teCla_MateMÁtICa Você sabe o que é mediatriz? Siga atentamente as instruções para entender esse importante ente geométrico. Para isso, vamos usar o programa de geometria dinâmica GeoGebra. 1. Abra o programa GeoGebra.

Fotos: Dotta

2. Clique no terceiro botão da esquerda para a direita, e escolha a opção “Segmento” (figura I), para construir o segmento de reta AB. (figura II).

Figura I

Figura II

106 pom8_064_111_u03.indd 106

APOEMA MATEMÁTICA 8

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Fotos: Dotta

3. Construa sua mediatriz, clicando no quarto botão da esquerda para a direita e selecionando a opção “mediatriz”, e marque o ponto C da intersecção.

4. Agora marque o ponto D na mediatriz construída. 5. Construa os segmentos AD e BD.

6. Movimente o ponto D clicando no primeiro botão da esquerda para a direita e verifique os valores dos segmentos AD e BD, representados pelas letras c e d, respectivamente. O que você percebeu?

Espera-se que os alunos percebam que, por mais que movimentem o ponto D, os segmentos AD e BD terão sempre a mesma medida.

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APOEMA matemática 8

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Você sabe o que é um ponto médio? Que informações possui sobre este conceito? 1. Com base em seus conhecimentos sobre GeoGebra, construa um triângulo ABC.

Fotos: Dotta

2. Obtenha o ponto médio do lado AB. Para isso, abra a segunda janela, da esquerda para a direita, e selecione a opção “Ponto Médio ou Centro”. Depois, clique sobre os pontos A e B, um por vez, e a marcação do ponto médio se dará automaticamente. Em seguida, renomeie o ponto médio D como O. Para renomear um ponto, clique em cima dele utilizando o botão direito do mouse. Note que um painel se abre. Nele, clique em renomear para modificar o nome do ponto como mostra a figura.

3. Obtenha o ponto médio de AC e nomeie-o de P. 4. Crie o segmento OP e verifique a sua medida.

5. Observe a medida do lado BC do triângulo. 6. Movimente A, B ou C e observe as medidas de OP e BC. O que você pôde observar? Socialize com seus amigos suas descobertas.

Os alunos devem perceber que o segmento OP mede exatamente a metade do lado BC do triângulo.

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Superando Desafios 1 (Saresp)

Setup

O movimento completo do limpador do para-brisa de um carro corresponde a um ângulo raso. Na situação descrita pela figura, admita que o limpador está girando em sentido horário e calcule a medida do ângulo que falta para que ele complete o movimento completo. Alternativa c.

40°

b) 120°

a) 50°

c) 140°

d) 160°

2 (FUVEST) Na figura AB 5 AC, BX 5 BY e CZ 5 CY. Se o ângulo  mede 40° calcule o ângulo XYZ.

Alternativa d .

DAE

C Z Y

A

a) 40°

b) 50°

X

c) 60°

Editora Ática

Explorando Jogo da classificação dos triângulos www.uff.br/cdme/jct/jct-html/jct-br.html Acesso em: maio 2013

.

Jogo em que você deverá formar o triângulo indicado pelo software. O material desenvolvido pela Universidade Federal Fluminense ajudará a aprimorar os conhecimentos em relação à classificação dos triângulos.

B

d) 70°

e) 90°

Saída pelo triângulo Autor: Ernesto Rosa Editora: Ática 88 páginas Três amigos estão em um acampamento em Mato Grosso e resolvem conhecer uma ilha local que tem algumas lendas indígenas. O barco em que estavam se perde depois de uma chuva forte e isso os impede de sair da ilha. A partir daí, os amigos são impelidos a usar conhecimentos matemáticos para poder voltar ao acampamento.

109 pom8_064_111_u03.indd 109

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RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Dois segmentos com o mesmo comprimento são: Alternativa c.

6 Considerando que na figura a seguir o ângulo AOC é raso, o valor de x indicado é: Alternativa c.

a) paralelos; b) perpendiculares; c) congruentes; d) pertencentes à mesma reta.

B

5x  24°

A

2 Dois ângulos congruentes têm:

x  36°

C

0

Alternativa b.

a) 30°

a) o mesmo vértice; b) a mesma medida; c) os mesmos lados; d) medidas diferentes.

b) 35°

c) 20°

d) 25°

7 Ainda em relação à figura da questão anterior, é correto afirmar que as medidas dos ângulos AOB e BOC são, respectivamente: Alternativa a.

3 Na figura a seguir, a medida do ângulo indicado pela letra x é: Alternativa b.

a) 124° e 56° b) 56° e 124°

c) 120° e 60° d) 60° e 120°

8 Conforme a figura a seguir, é correto afirmar que: Alternativa d.

A

x

29,8°

B

x 32°

a) 48°

b) 58°

c) 32°

d) 42°

4 Observando, na figura a seguir, as retas concorrentes e os ângulos indicados, assinale a alternativa correta. Alternativa c.

a) x 5 150°

c) x 5 147,2°

b) x 5 140,2°

d) x 5 150,2°

9 Considerando que as retas r e s são paralelas, podemos afirmar que: Alternativa b. t

 

A 

Ilustrações: Setup

O

r



a) Os quatro ângulos têm a mesma medida. b) Os ângulos opostos pelo vértice têm medidas diferentes. c) Existem dois ângulos cuja soma das medidas é 180°. d) Existem dois ângulos cuja soma das medidas é 90°. 5 Dois ângulos opostos pelo vértice:

Alternativa d.

a) são complementares; b) são suplementares; c) não têm a mesma medida; d) são congruentes.

B

s

a) os ângulos A e B são complementares. b) os ângulos A e B são suplementares. c) se o ângulo A é 45°, então o ângulo B é 125°. d) se o ângulo B é 120°, então o ângulo A é 30°. 10 Num triângulo isósceles, dois ângulos internos têm medidas 40° e 100°. Qual é a medida do terceiro ângulo interno? Alternativa a.

a) 40°

b) 60°

c) 20°

d) 80°

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16 A figura a seguir representa um paralelo11 Num triângulo retângulo, as medidas de dois ângulos agudos são tais que: Alternativa d. gramo de tal modo que os lados paralelos são iguais. Alternativa a. a) a soma é igual a 180°. D

b) a soma é igual a 120°. c) a diferença é igual a 90°. d) a soma é igual a 90°.

C

z

x

12 Em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a: a) 360° b) 180°

c) 90° d) 120°

w y

13 Em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos externos é igual a: Alternativa a.

a) 360° b) 180°

Sendo assim, é correto afirmar que: a) os triângulos ABD e CDB são congruentes.

c) 90° d) 120°

b) os ângulos de medida x e w são congruentes. c) os lados CD e BC são congruentes. d) os ângulos de medida z e y são congruentes.

14 Na figura a seguir, os dois triângulos são congruentes. Alternativa b. B

F

50°

A

30°

50°

C

5 cm

E

B

A

30° 5 cm

G

Sendo assim, é correto afirmar que: a) o ângulo interno G tem a mesma medida do ângulo interno B. b) o ângulo externo G têm a mesma medida do ângulo externo C. c) a medida do lado FG é igual à medida do lado AC. d) a medida do lado EF é igual a 5 cm. 15 Observando as informações no triângulo a seguir, é correto afirmar que: Alternativa d. x

17 Na figura a seguir, os ângulos indicados pelos números 1 e 2 representam dois ângulos cujas medidas são 35° e 45°, respectivamente. Determine a medida do ângulo indicado pela letra x. 80 r 1

x

18 Na figura a seguir, as medidas dos segmentos BC, AC, AD e DE são iguais. O desafio é determinar a medida do ângulo CAD. 20 A

z

60° y

s

2

Ilustrações: Setup

Alternativa b.

120°

a) o triângulo é retângulo. b) a medida do ângulo z é 70°. c) a medida do ângulo y é 110°. d) o triângulo é equilátero.

40° B

40° C

D

E

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UNIDADE 4

Álgebra: cálculo algébrico

Juergen Faelchle/Shutterstock

O estudo da Álgebra possibilita-nos fazer várias generalizações. Operamos com letras e números como se estivéssemos operando apenas com números. Fazendo uso dessas ideias, podemos estabelecer fórmulas que relacionam grandezas diversas. Um exemplo pode ser a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer que pode ser representada pela fórmula S 5 (n 2 2) ? 180°.

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APOEMA matemática 8

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1 Como podemos calcular a área de um triângulo? 2 O que é um monômio? 3 Quando duas expressões algébricas são consideradas termos semelhantes?

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Capítulo 11

Expressões algébricas A Álgebra é uma parte da Matemática que utiliza letras para representar números ou grandezas desconhecidas. Efetuam-se generalizações para relacionar padrões não apenas numéricos como também geométricos. Por exemplo, podemos ter a seguinte sequência formada por Respostas da página anterior: cubos de mesmo tamanho: 1 1. 

? Medida de base ? medida da altura (correspondente a essa base). 2 2. É uma expressão algébrica inteira em que há apenas a multiplicação de números e letras. 3. Quando ambas têm a mesma parte literal.

1a figura

Ilustrações: Setup

1ªa figura figura 1

2ª figura 2a figura

2a figura

3a figura

a figura 1ª 3figura

4a figura 1 ? 2 cubos

2ª figura

2 ? 3 cubos

3ª figura 4ª figura

2a figura

a 33ª figura figura

3a figura

10 ? 11 cubos

4a figura



nª figura

2a figura

4 ? 5 cubos

 10ª figura

1a figura

3 ? 4 cubos

4a figura

n ? (n 1 1) cubos

4a figura 4ª

Há um padrão numérico que associa a posição da figura com a quantidade de cubos que a formam. Ao escrever n ? (n 1 1), estamos utilizando uma expressão algébrica que permite determinar a quantidade de cubos existentes na figura de ordem n, bastando atribuir valor para n.

Expressão algébrica e valor numérico As tarifas de táxi em Curitiba em 2014 eram: bandeirada R$ 4,30 e o quilômetro rodado R$ 2,30, em períodos considerados normais (esse período varia de cidade para cidade, mas normalmente vigora em horário comercial). A bandeirada é o valor fixo pago pelo passageiro ao utilizar os serviços de um táxi, ela independe da quantidade de quilômetros rodados; podemos entendê-la como um custo fixo a ser pago pela viagem. Já o valor de R$ 2,30 é pago por quilômetro rodado: quanto maior a distância percorrida, maior o valor a ser pago. Vamos supor que, naquele ano, um turista tenha pegado um táxi em Curitiba e rodado 15 km para chegar a seu destino. Ele gastou R$ 4,30 de bandeirada 1 15 (quilômetros rodaincentive o levantamento de hipóteses e a troca de ideias e soluções entre os alunos. dos) ? R$ 2,30 5 R$ 44,39. AProfessor, expressão pode ser escrita como 4,30 1 15x, em que a variável x indica os quilômetros percorridos. E se quisermos uma expressão que generalize essa situação para todos os motoristas? Como a expressão pode ser escrita?

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114 pom8_112_147_u04.indd 114

APOEMA matemática 8

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Vamos a outra situação: Considere um retângulo em que a medida da base corresponde a 10 unidades a mais que a medida da altura. Como não conhecemos a medida da altura, vamos representá-la pela letra x. Desse modo, a medida da base poderá ser representada por x 1 10. A área desse retângulo poderá ser representada por: (x 1 10) ? x

x

 emos, então, uma expressão algébrica que representa T a área desse retângulo.

x  10

Uma expressão algébrica é formada por letras, números e sinais que indicam as operações. Numa expressão algébrica, as letras são denominadas variáveis.

Exemplos: • 9mn 1 10xy

expressão algébrica com variáveis m, n, x e y formada por dois termos:

9mn e 10xy;

• 81 1 10y 1 y 2

expressão algébrica com variável y formada por três termos: 81, 10y e y 2.

Ilustrações: Setup

Agora retornemos ao retângulo anterior, porém atribuindo o valor 5 à variável x. Assim, podemos determinar a área deste retângulo. (x 1 10) ? x fazendo x 5 5 5

(5 1 10) ? 5 5 5 15 ? 5 5 75

5  10

O resultado obtido é o valor numérico da expressão algébrica para x = 5. Valor numérico de uma expressão algébrica é um número real que se obtém substituindo a variável (ou as variáveis) por número (ou números). Para obter esse valor, as operações indicadas na expressão algébrica devem ser efetuadas.

Exemplo: Calcule o valor numérico que a expressão algébrica n2 1 10n 1 4 assume para n 5 7.

Resolução: Substituímos n por 7 na expressão algébrica. Valor numérico 5 72 1 10 ? 7 1 4 Valor numérico 5 49 1 70 1 4 Valor numérico 5 123

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Monômios Já vimos que o paralelepípedo é um bloco retangular.

Ilustrações: Setup

Tente elaborar uma expressão algébrica para calcular o volume de qualquer paralelepípedo. Em seguida, mostre suas estratégias a um colega e veja as que ele utilizou. Vocês chegaram à mesma expressão?

c

b

a

Se você imaginou que o volume seria a ? b ? c, acertou! Essa expressão é um exemplo de monômio, ou termo algébrico. Agora vamos determinar o volume da seguinte figura:

1,5

2

a

Esse paralelepípedo tem volume igual a 1,5 ? 2 ? a 5 3a. Monômio é uma expressão algébrica inteira em que há apenas a multiplicação de números e letras. Estamos considerando, nesse contexto, que expressão algébrica inteira é quando os expoentes das letras são números naturais. Em geral, podemos dizer que um monômio pode apresentar a parte literal (formada apenas pelas variáveis) e o coeficiente numérico. No monômio 3a:

• 3 é o coeficiente numérico; • a é a parte literal.

1 ;5. 3 Note que um monômio pode ser constituído por um número apenas ou pelo produto de um número por uma ou mais variáveis. Lembre-se, os expoentes das variáveis só podem ser naturais. São exemplos de monômios: 2x², 14xyz, abc, 13a²y³;

Observação: VV Cada termo de uma expressão algébrica recebe o nome de monômio.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva usando notação matemática, as seguintes sentenças: a) O quadrado do número x adicionado a seu dobro. x2 1 2x b) A soma de um número y com o dobro de um número x. y 1 2x c) O quadrado da soma do número x com o número y. (x 1 y)2 d) O quadrado da diferença do número x com o número y. (x 2 y)2 e) O produto de um número inteiro n pelo seu sucessor. n(n 1 1) f) A diferença entre o quadrado de um número x e o seu quíntuplo. x2 2 5x g) A diferença dos quadrados dos números x e y. x2 2 y2 h) A diferença entre o quadrado de um número x e sua metade. x2 2 x 2

2 No retângulo ao lado, estão representadas as medidas de seus lados. a) Escreva uma expressão algébrica que represente o perímetro desse retângulo. 16x b) Escreva uma expressão algébrica que represente a área desse retângulo. 16x2 2 9

4x  3

4x  3

3 Em relação ao retângulo representado na atividade anterior, determine o valor numérico: c) da área, quando x 5 2; 55 d) da área, quando x 5 10. 1 591

a) do perímetro, quando x 5 2; 32 b) do perímetro, quando x 5 10; 160

4 Calcule o valor numérico que a expressão x2 2 8x 1 10 assume para os seguintes valores de x: a) 0

10

c) 2

22

e) 21

19

b) 1

3

d) 3

25

f) 23

43

Ilustrações: Setup

5 O polígono ao lado tem todos os lados de mesma medida, representada pela expressão 2x 1 1. a) Escreva uma expressão algébrica que represente o perímetro desse octógono. 16x 1 8 b) Calcule o perímetro desse octógono considerando x 5 2,5. 48 c) Calcule o perímetro desse octógono considerando x 5 3,5. 64 d) Calcule o perímetro desse octógono considerando x 5 4,5. 80 e) Se o perímetro é igual a 88, qual é o valor de x? x 5 5 6 Copie e complete a tabela.

x

y

4 22 10 0,3 1,8 23 9

5 7 5 1,4 22 26 10

x2 1 y 2

(x 1 y)2 41; 81 53; 25 125; 225 2,05; 2,89 7,24; 0,04 45; 81 181; 361

117 pom8_112_147_u04.indd 117

APOEMA matemática 8

a

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caderno

7 Copie e complete a tabela.

x

y

24

25

81; 81

22

27

81; 81

10

25

25; 25

0,3

1,4

2,89; 2,89

1,8

22

0,04; 0,04

23

26

81; 81

9

210

1; 1

(x 1 y)2

x2 1 2xy 1 y 2

Agora responda: As expressões (x 1 y)2 e x2 1 2xy 1 y2 são equivalentes? Sim, basta comparar na tabela os valores das duas últimas colunas. Comente com os alunos que esse resultado será comprovado na próxima unidade deste livro.

8 Copie e complete a tabela.

x

y

14

5

81; 81

12

7

25; 25

10

25

225; 225

5,4

1,4

16; 16

3,8

22

33,64; 33,64

4

22

36; 36

29

10

361; 361

(x 2 y)2

x 2 2 2xy 1 y 2

Agora responda: As expressões (x 2 y)2 e x2 2 2xy 1 y2 são equivalentes? 9

Sim, basta comparar na tabela os valores das duas últimas colunas. Comente com os alunos que esse resultado será comprovado na x 2 2 2xy próxima unidade deste livro. . Considere a seguinte expressão:

x 1y a) Determine o valor numérico dessa expressão para x 5 10 e y 5 8.

2

b) Determine o valor numérico dessa expressão para x 5 210 e y 5 6.

10 3 255

10 Utilize uma expressão algébrica para indicar: a) o número de dias correspondente a x semanas e mais cinco dias; 7x 1 5 b) o número de horas correspondente a y dias inteiros e mais 16 horas; 24y 1 16 c) a quantidade de meses correspondente a z anos menos 3 meses. 12z 2 3

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APOEMA matemática 8

a

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Vamos considerar ao lado dois retângulos com as representações das medidas de seus lados. Queremos obter uma expressão algébrica que forneça a soma das áreas dos dois retângulos. Observe que a área do primeiro retângulo pode ser representada por 12 xy e a área do segundo retângulo por 4xy. Esses dois termos são semelhantes porque têm a parte literal em comum.

Ilustrações: Setup

Termos semelhantes 4x

4x

3y

y

Área: 3y  4x ou 12xy.

Área: y  4x ou 4xy.

Dois termos ou monômios que têm a mesma parte literal são denominados termos semelhantes. Voltando ao exemplo dos retângulos, vamos determinar a soma de suas áreas. Como as áreas estão representadas por dois termos semelhantes, precisamos obter a soma deles, isto é: 12xy 1 4xy 5 ? Como adicionar dois termos semelhantes?

• Uma maneira de responder a essa pergunta é considerar que, como os dois retângulos têm a mesma altura podemos formar um novo retângulo com a base medindo (3y 1 y). Assim, a área será: 4x ? (3y + y) = 4x ? 4y = 16xy

4x

3y

y

Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever essa adição como:

xy ? (12 1 4) 5 xy ? 16 Já pela propriedade comutativa podemos escrever: 16xy, pois, se a ? b 5 b ? a, então x ? y ? 16 5 16 ? x ? y

Observação: VV A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é:

a(b 1 c) 5 ab 1 ac

Logo: 12xy 1 4xy 5 16xy

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APOEMA matemática 8

a

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A adição de termos semelhantes efetua-se adicionando os coeficientes e conservando a parte literal.

Exemplos: • 14p 1 5p 2 2p 5 (14 1 5 2 2) ? p 5 17 ? p 5 17p 1

• 4x 2 y 1 3 x 2 y

(

)

5 4 1 1 ? x 2 y 5 13 x 2 y 3 3

Observação: VV Numa soma algébrica, quando os termos não são semelhantes, deixamos a soma indicada.

Exemplo 1: Efetue a seguinte soma algébrica: 12mx 1 7m 2 10 1 15mx.

Resolução: Observe que existem, nessa expressão algébrica, apenas dois termos semelhantes. Adicionamos então esses dois termos e deixamos indicados os demais: 12mx 1 7m 2 10 1 15mx 5 12mx 1 15mx 1 7m 2 10 5 27mx 1 7m 2 10

Exemplo 2: Setup

Como podemos calcular a área da figura a seguir?

2x x x 2 y 

y 

y 

Resolução:

• Primeiro, representamos a área do retângulo amarelo por A1, a área do retângulo verde

por A2 e a do retângulo vermelho por A3 e calculamos a área de cada uma dessas partes: x 1 AI 5 ? y 5 xy 2 2 AII 5 x ? y AIII 5 2x ? y

• Em seguida, somamos essas áreas. Lembre-se de que é importante identificar os termos semelhantes.

1 xy 1 xy 1 2xy 2 • Como os termos são semelhantes, fazemos a soma algébrica dos coeficientes conservando a parte literal: 1 7 [ 1 1 1 2] xy 5 xy 5 3,5xy 2 2

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APOEMA matemática 8

a

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Conexões Expressão algébrica Ao longo dos anos escolares, questionamos o porquê de estudar Álgebra, pois muitas vezes não encontramos utilidades para este ramo da Matemática. Porém, indiretamente, a utilizamos sem saber. Veja um exemplo a seguir. Para calcular o consumo de energia elétrica, são utilizados recursos da Álgebra para facilitar os cálculos. Todo equipamento elétrico tem uma potência apresentada em watts cujo símbolo é W. O computador, em média, apresenta uma potência de 250 W. O consumo (C) de energia elétrica de um equipamento pode ser definido pela seguinte fórmula: C5W?t em que t é o tempo de funcionamento em horas. Então, se você mantém o computador ligado por 3 horas ao dia, o consumo de energia elétrica dele é de 750 Wh aproximadamente. Como a energia elétrica é registrada utilizando a unidade de medida quilowatts, é necessário dividir o valor encontrado na expressão anterior por 1 000. Portanto, o consumo por dia será de 0,75 kWh. Generalizando a fórmula para encontrar o consumo de energia elétrica de um equipamento, obtemos: C 5 W ?t 1000 Este cálculo é um resumo de como é feito o cálculo do consumo de energia da sua casa para que então seja aplicado um valor. Para chegar próximo ao valor real, é necessário fazer o cálculo do consumo de energia de todos os equipamentos elétricos durante os 30 dias do período de cobrança. E para saber quanto pagará na conta de energia elétrica, é necessário adicionar o consumo de todos os aparelhos elétricos e multiplicar o valor encontrado pelo valor da tarifa vigente em seu estado. Fonte de pesquisa: . Acesso em: mar. 2015.

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AGORA É COM VOCÊ

1 Junte-se a um colega e resolvam o desafio a seguir registrando os caminhos por vocês percorridos e as estratégias utilizadas na resolução. Pela figura consideramos 6 semanas, o que nos dá 63x. Na terceira semana de novembro, uma instituição de caridade recebeu x doações em reais. A cada segunda-feira das semanas seguintes o valor doado dobrou em relação à semana anterior; isso ocorreu até a semana do dia 20 de dezembro. Considerando as imagens abaixo, qual foi o total arrecadado? Semana 1a 2a 3a 4a 5a 6a Logo, o total será: Valor

x

2x

4x

8x

16x

Novembro 2016 Seg Ter Qua Qui

x 1 2x 1 4x 1 8x 1 16x 1 32x 5 63x.

32x

Dezembro 2016

Sex Sáb Dom

Seg Ter Qua Qui

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5

6

14

15

16

17

18

19

20

12

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Sex Sáb Dom

1

2

3

4

7

8

9

10

11

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

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APOEMA matemática 8

a

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2 Escreva, num único termo, o resultado de: a) 7x 1 8x 2 10x

c) 4x2 2 32x2 1 80x2

5x

b) 16m 1 2m 2 20m 1 4m

d) y 1 2y 1 3y 1 4y

2m

52x2 10y

3 Simplifique as expressões algébricas reduzindo os termos semelhantes. a) 4m 2 7x 2 4 1 5m 1 8 2 2x

9m 2 9x 1 4

b) 5y 2 7p 2 2x 1 15p 1 8x 2 3y

2y 1 8p 1 6x

c) 14m2 2 17x2 2 4x2 1 5m2 1 8m2 2 2x2 d) 9t3 2 7 2 4t3 1 15t3 1 18 2 2t3 e) 9xy 1 18x 2 36y 1 22x 2 5xy

18t3 1 11

4xy 1 40x 2 36y

f) 9x 2 1 44x 2 3y 2 1 12x 2 5x 2 1 9y 2 g) 26x 1 3x 2 y 1 22x 2 5y

27m2 2 23x2

4x2 1 56x 1 6y2

51x 2 6y

h) 13ab 1 8ab 2 16a 1 22 2 5ab 2 12

16ab 2 16a 1 10

4 Escreva uma expressão simplificada que indique o perímetro das figuras planas a seguir. a)

6x  3

b)

24x 1 12

6x  3

6x  3

9x  7

34x 1 10

8x  2

8x  2

6x  3

9x  7

Ilustrações: Setup

5 Em relação ao retângulo abaixo:

6x

10

4

a) escreva uma expressão algébrica que represente o perímetro desse retângulo; b) escreva uma expressão algébrica que represente a área desse retângulo.

12x 1 28

84x

6 São dadas as seguintes expressões algébricas: A 5 7x 2 4 C 5 9x 1 14

B 5 9 2 3x D 5 10 2 6x

Escreva a expressão algébrica correspondente a: a) A 1 B

4x 1 5

d) C 2 D

b) A 2 B

10x 2 13

e) A 1 B 2 C 2 D

x 2 19

c) C 1 D

3x 1 24

f) A 2 B 1 C 2 D

25x 2 9

15x 1 4

122 pom8_112_147_u04.indd 122

APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:27 AM

Polinômios de uma variável Vimos anteriormente que os termos de uma expressão algébrica são também denominados monômios. Qualquer expressão algébrica composta por um ou mais termos constitui um polinômio. A palavra polinômio significa "vários monômios".

Exemplos: São exemplos de polinômios as seguintes expressões algébricas: polinômio de 1 termo (ou monômio) • 9xy polinômio de 2 termos (ou binômio) • 27x 1 5 polinômio de 3 termos (ou trinômio) • 10 1 3y 2 6xy polinômio de 4 termos • 8m 1 3n 1 4x 1 4xy Polinômio é uma soma algébrica de monômios, em que cada monômio representa um termo do polinômio.

Exemplo: 4x 2 1 10x 2 2 7x 2 1 2x 2 5 (4 1 10 2 7 1 2)x 2 5 9x 2 Para facilitar o trabalho com polinômios, podemos representá-los por letras maiúsculas. Essa notação é especialmente interessante quando é um polinômio de uma variável. Observe, a seguir, alguns exemplos de polinômios na mesma variável x:

Observação: VV Num polinômio, quando existem dois ou mais

termos semelhantes, podemos reduzi-los a um só termo. Para isso, conservamos a parte literal e somamos os coeficientes.

P 5 x 4 2 10x 3 2 7x 2 1 5x 2 12 Q 5 213x 3 2 8x 2 2 25x 1 33 R 5 218x 2 1 4x 2 7 S 5 14x 2 21

Observações: VV Como nos exemplos acima, normalmente escrevemos um polinômio

segundo os expoentes da variável em ordem decrescente. VV Quando um polinômio tem todos os termos iguais a zero, é denominado

polinômio nulo.

Note que, em cada polinômio exemplificado, os termos, apesar de terem a mesma variável, não são semelhantes. A parte literal de cada termo que compõe esses polinômios se diferencia pelo valor que está no expoente. O maior expoente da variável de um polinômio numa só variável é dito grau do polinômio.

123 pom8_112_147_u04.indd 123

APOEMA matemática 8

a

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Assim, retomando os polinômios anteriores, temos: grau 4

P

Q

grau 3

R

grau 2

S

grau 1

Grau de um polinômio numa variável é o maior expoente dessa variável.

Observações: V O grau de um polinômio só pode ser determinado quando o polinômio estiver com

seus termos semelhantes reduzidos. V Um número real é dito polinômio de grau zero.

Exemplo: P 5 4 tem grau zero. V Não se define o grau de um polinômio nulo.

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tRAbAlho EM EQUIpE Ilustrações: Setup

Observe a sequência de figuras e faça o que se pede.

fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 1 Copie e complete a tabela. figura

Área

Amarelo

laranja

branco

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 9 16 25 36

2 3 4 5 6

2 2 2 2 2

0 4 10 18 28 49; 7; 2; 40 64; 8; 2; 54 81; 9; 2; 70 100; 10; 2; 88

2 Com base nos dados obtidos, elabore uma hipótese para o cálculo de cada item abaixo. Em seguida, confirme a veracidade de suas hipóteses. f é o número da figura a) Área. A 5 (f 1 1)2 b) Quantidade de quadradinhos amarelos. a 5 f 1 1 ou a 5 A c) Quantidade de quadradinhos laranja. l 5 2 d) Quantidade de quadradinhos brancos. b 5 A 2 a 2 l

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APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considere um trapézio cujas medidas dos lados estão indicadas a seguir. 3x

3x  5

3x  5

7x  2

a) Escreva um polinômio que represente o perímetro do trapézio. b) Determine o grau desse polinômio. grau 1

16x 1 12

2 Considere o polinômio A 5 10x 4 2 7x 3 2 22x 2 1 19x 2 32. Escreva: a) o grau do polinômio; grau 4 b) o coeficiente numérico do termo em x 3; 27 c) o coeficiente numérico do termo do primeiro grau em x; d) a quantidade de termos que há no polinômio. 5 termos

19

3 Considere o polinômio A 5 4x 5 2 17x 3 1 2x 2 1 7x 2 2. Escreva: a) o grau do polinômio; grau 5 b) o coeficiente numérico do termo em x 3; 217 c) o coeficiente numérico do termo do primeiro grau em x; 7 d) a quantidade de termos existentes no polinômio; 5 termos 4 Para fazer caixas de papelão precisamos calcular a área de cada face da caixa. Suponha que João tem de produzir 10 caixas de acordo com as medidas indicadas na figura a seguir. Qual é a área total de papelão que deve ser comprada?

c

Ilustrações: Setup

10(2ac 1 2bc 1 2ab) 5 20ac 1 20bc 1 20ab

b



a

5 Camila vende doces para festas por R$ 65,00 o cento e salgadinhos por R$ 53,00 o cento. Com base nessas informações, faça o que se pede e responda à questão. a) Determine uma possível expressão que generalize o custo de uma encomenda. Resposta possível: 65x 1 53y, onde x representa a quantidade de centos de doces e y, representa a quantidade de centos de salgadinhos.

b) Se uma pessoa comprar 4 centos de salgadinhos e 5 centos de doces, quanto gastará? Essa quantidade de alimentos será suficiente para os convidados? 65 ? 5 1 53 ? 4 5 325 1 212 5 537; a pessoa gastará R$ 537,00. Não é possível responder ao segundo questionamento, pois não há dados suficientes.

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APOEMA matemática 8

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Capítulo 12

Operações com polinômios de uma variável No capítulo anterior vimos que é possível utilizar expressões algébricas para representar situações diversas. Consideremos agora a seguinte situação, que relaciona polinômios com Geometria. Setup

As medidas dos lados de um retângulo estão representadas por polinômios de grau 1 na variável x.

2x  1

• Qual

é o polinômio que representa o perímetro desse retângulo?

• Qual

é o polinômio que representa a área desse retângulo?

3x  2

De fato, haverá um polinômio que representa o perímetro do retângulo e também um polinômio que representa a área do retângulo. Para determinar os dois polinômios, teremos de adicionar e multiplicar polinômios. É o que veremos ao longo deste capítulo.

Adição e subtração de polinômios

Ao adicionar ou subtrair termos semelhantes de expressões algébricas, você já adicionou ou subtraiu polinômios. Entretanto, nosso objetivo agora é realizar essas operações com polinômios de uma mesma variável. Essas operações são feitas agrupando os termos semelhantes.

Exemplo: Dados os polinômios A 5 9x 2 2 10x 1 11 e B 5 x 3 1 2x 2 1 7x, vamos determinar os polinômios correspondentes a A 1 B e A 2 B.

Resolução: Para determinar os polinômios, somamos algebricamente os termos semelhantes, isto é, os termos de mesmo grau:

• A 1 B 5 (9x 2 2 10x 1 11) 1 (x 3 1 2x 2 1 7x) A 1 B 5 x 1 (9x 1 2x ) 1 (210x 1 7x) 1 11 A 1 B 5 x 3 1 11x 2 2 3x 1 11 3

2

2

• A 2 B 5 (9x 2 2 10x 1 11) 2 (x 3 1 2x 2 1 7x) A 2 B 5 2x 3 1 (9x 2 2 2x 2) 1 (210x 2 7x) 1 11 A 2 B 5 2x 3 1 7x 2 2 17x 1 11 A adição ou a subtração de polinômios é efetuada por meio da adição ou da subtração de termos semelhantes.

Observações: VV Efetua-se a subtração de um

polinômio por outro adicionando o primeiro polinômio ao oposto do segundo polinômio. VV Adicionando um polinômio ao

polinômio oposto, obtemos o polinômio nulo. Exemplo: se A 5 x 2 2, o oposto de A é 2A 5 2x 1 2. Ao somarmos A 1 (2A), temos (x 2 2) 1 (2x 1 2) = 0.

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APOEMA matemática 8

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AGORA É COM VOCÊ 1 Considere as expressões algébricas A e B, a seguir. A 5 2a 1 10b 2 3c 1 5 B 5 4a 2 2b 1 4c 2 15 Determine a expressão que representa: a) A 1 B 6a 1 8b 1 c 2 10 b) A 2 B 22a 1 12b 2 7c 1 20 c) 2A 4a 1 20b 2 6c 1 10 d) 3B 12a 2 6b 1 12c 2 45 2 Escreva o polinômio correspondente a cada situação. a) O cubo de um número natural x adicionado ao dobro de seu quadrado. b) O quadrado de um número inteiro x adicionado a seu triplo. x2 1 3x

x3 1 2x2

3 No quadro abaixo estão indicados alguns polinômios.

A 5 x 3 2 1

B 5 2x 3 1 4x 2 1 9x 2 10

C 5 x 2 1 4x

D 5 x 4 1 2x 3 2 x 

E 5 4x 2 2 10x

F 5 4x 2 2 10x 1 1

Escreva os polinômios a seguir. a) A 1 B 1 C

3x3 1 5x2 1 13x 2 11

b) D 1 E 1 F

x4 1 2x3 1 8x2 2 21x 1 1

c) A 2 B

2x3 2 4x2 2 9x 1 9

d) D 1 E 2 F

x4 1 2x3 2 x 2 1

e) A 2 C 1 F

x3 1 3x2 2 14x

4 No quadro abaixo estão indicados alguns polinômios.

A 5 2x 3 1 1

B 5 4x 3 1 2x 2 1 6x 2 1

C 5 x 2 2 4x 1 2

D 5 x 4 2 2x 3 2 3x 

E 5 x 2 2 10x 1 3

F 5 5x 2 2 x 1 6

Escreva os seguintes polinômios. a) A 1 B 1 C

6x3 1 3x2 1 2x 1 2

b) D 1 E 1 F

x4 2 2x3 1 6x2 2 14x 1 9

c) A 2 B

22x3 2 2x2 2 6x 1 2

d) D 1 E 2 F

x4 2 2x3 2 4x2 2 12x 2 3

e) A 2 C 1 F

2x3 1 4x2 1 3x 1 5

5 Considerando ainda os polinômios da atividade 3, escreva o polinômio: a) oposto do polinômio A; 2x3 1 1 b) correspondente ao dobro do polinômio B;

4x3 1 8x2 1 18x 2 20

c) oposto do polinômio C; 2x2 2 4x d) correspondente ao triplo do polinômio D.

3x4 1 6x3 2 3x

127 pom8_112_147_u04.indd 127

APOEMA matemática 8

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6 Dado que o polinômio A 5 x3 1 2x2 2 x, e a soma dos polinômios A 1 B 5 5 2x3 1 2x2 2 x 1 5, determine o polinômio B. x3 1 5

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7 Dado que a soma dos polinômios A 1 C 5 x3 1 x2 2 x 1 5, e a soma dos polinômios B 1 C 5 x3 1 x 1 4, determine o polinômio B. Considere A 5 x2 2 x. x 2 1 8 Verifique se a afirmação é verdadeira e justifique sua resposta por meio de exemplos. “Ao adicionar um polinômio A com o oposto de seu oposto, essa soma sempre será igual a zero.” A afirmação é falsa, pois ela resultará no dobro do polinômio A. Dado um polinômio A, sabemos que o oposto de A é – A, e o oposto de 2A é igual a A. Portanto, temos que A 1 A 5 2A.

9 Efetue a adição ou a subtração indicada. a) (4x 2 2 9x 1 10) 2 (7x 2 2 3x 1 2)

23x2 2 6x 1 8

b) (7x 3 2 4x 2 1 10x 2 5) 1 (2x 3 2 4x 1 12) c) (4x 2 2 9x 1 10) 1 (7x 2 2 3x 1 2)

9x3 2 4x2 1 6x 1 7

11x2 2 12x 1 12

d) (7x 3 2 4x 2 1 10x 2 5) 2 (2x 3 2 4x 1 12)

5x3 2 4x2 1 14x 2 17

10 Responda às questões. a) Se adicionarmos um polinômio do 2o grau a um polinômio do 3o grau, de que grau será o polinômio resultante? Será um polinômio do 3o grau. b) Se adicionarmos um polinômio do 4o grau a um polinômio do 3o grau, de que grau será o polinômio resultante? Será um polinômio do 4o grau. c) Se subtrairmos um polinômio do 2o grau de um polinômio do 3o grau, de que grau será o polinômio resultante? Será um polinômio do 3o grau. d) Se subtrairmos um polinômio do 4o grau de um polinômio do 3o grau, de que grau será o polinômio resultante? Será um polinômio do 4o grau. 11 Em dupla, resolva o desafio a seguir.

11. Resposta pessoal. Seguem algumas sugestões para resposta: • (x 3 2 x2) 1 (4x 3 2 3x) 5 5 5x 3 2 x2 2 3x → → polinômio do 3o grau • (3x 3 2 2x2) 1 (23x 3 1 6x2) 5 5 4x2 → polinômio do 2o grau • (x2 2 x 3 1 3x) 1 1 (x 3 2 x2 1 9x) 5 12x → → polinômio do 1o grau • (x 3 2 5x2 1 3x 1 9) 1 1 (2x3 1 5x2 2 3x 1 9) 5 18 → → polinômio de grau zero • (x 3 2x2) 1 (2x 3 1x2) 5 0 → → polinômio nulo.

Ronaldo Barata

Após fazer algumas atividades relacionadas à adição e à subtração de polinômios, o professor desafiou a turma toda com a seguinte pergunta: Ao adicionarmos dois polinômios do 3o grau, qual será o grau do polinômio resultante? Imediatamente alguns alunos responderam que o polinômio resultante seria do 3o grau. O professor disse, então, que o polinômio resultante poderia ser do 3o grau, mas também poderia ser do 2o grau, do 1o grau, de grau zero, e ainda um polinômio nulo. Por meio de exemplos, explique essas possibilidades.

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Multiplicação de polinômios Na multiplicação de polinômios é possível haver: monômio multiplicado por monômio, monômio multiplicado por um polinômio e, ainda, polinômio multiplicado por outro polinômio. Nos exemplos a seguir, veremos como proceder.

Exemplo 1: Determine a área do retângulo cujas medidas dos lados estão indicadas a seguir.

2x

9x

Resolução: A área do retângulo é determinada pelo produto da medida da base pela medida da altura. Como essas medidas estão sendo representadas por monômios, multiplicamos dois monômios para obter a área. Área 5 9x ? 2x Área 5 9 ? 2 ? x ? x Área 5 18x 2 Para multiplicar dois monômios, multiplique os coeficientes e multiplique as partes literais.

Exemplo 2:

Ilustrações: Setup

Determine o polinômio que representa a área do retângulo abaixo, conforme as medidas indicadas.

4x  1

6x

Resolução: A base do retângulo é representada por um monômio, e sua altura por um polinômio. Assim, a área será: Área 5 6x ? (4x 2 1) Área 5 6x ? 4x 2 6x ? 1 Área 5 24x 2 2 6x A multiplicação de um monômio por um polinômio é efetuada aplicando a propriedade distributiva, isto é, multiplica-se o monômio por todos os termos do polinômio e adicionam-se os resultados.

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Exemplo 3: Verifique na determinação da área do retângulo a equivalência das expressões.

Observação:

2

VV Para compreender a propriedade distributiva

da multipliação em relação à adição, considere o retângulo dividido em dois outros retângulos, conforme as medidas indicadas.

3x

8x

• Como

a base do retângulo maior está representada por 8x, e a medida da altura por 3x 1 2, a área do retângulo pode ser indicada por: Área 5 8x ? (3x 1 2)

• Essa área também pode ser indicada pela soma das áreas dos dois retângulos em que a figura está dividida, ou seja: Área 5 8x ? 3x 1 8x ? 2 Como as duas maneiras representam a mesma área, escrevemos: 8x ? (3x + 2) 5 8x ? 3x + 8x ? 2

Exemplo 4: Ilustrações: Setup

Obtenha a área do retângulo conforme as medidas indicadas a seguir.

4x  1

5x  2

Resolução: A área do retângulo será determinada pelo produto dos dois polinômios que representam as medidas da base e da altura, isto é: Área 5 (5x 1 2) ? (4x 2 1) Área 5 5x ? (4x 2 1) 1 2 ? (4x 2 1) Área 5 5x ? 4x 1 5x ? (21) 1 2 ? 4x 1 2 ? (21) Área 5 20x 2 2 5x 1 8x 2 2 Área 5 20x 2 1 3x 2 2 A multiplicação de dois polinômios é efetuada multiplicando cada termo de um polinômio por todos os termos do outro. No final, adicionam-se os resultados para obter o polinômio produto.

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Exemplo 5: Ilustrações: Setup

Verifique na determinação da área a equivalência das expressões. 2

3x 5x

4

Observação: VV Para compreender um pouco mais a multiplicação de polinômios,

considere o retângulo dividido em quatro outros retângulos, conforme as medidas indicadas.

Resolução: • Como a base do retângulo maior está representada por 5x 1 4 e a medida da altura, por 3x 1 2, a área do retângulo maior pode ser indicada por: Área 5 (5x 1 4) ? (3x 1 2)

• Essa área também pode ser indicada pela soma das áreas dos quatro retângulos em que a figura está dividida, ou seja: Área 5 5x ? 3x 1 5x ? 2 1 4 ? 3x 1 4 ? 2 Como as duas maneiras representam a mesma área, escrevemos: (5x 1 4) ? (3x 1 2) 5 5x ? 3x 1 5x ? 2 1 4 ? 3x 1 4 ? 2

Exemplo 6: Obtenha o polinômio resultante de (x 1 1) ? (5x 1 4) ? (3x 1 2).

Resolução:

• Inicialmente multiplicamos os dois pri­meiros polinômios, assim: (x 1 1) ? (5x 1 4) ? (3x 1 2) 5 5 (5x 2 1 4x 1 5x 1 4) ? (3x 1 2) 5 5 (5x 2 1 9x 1 4) ? (3x 1 2)

Observação: VV Para multiplicar três ou mais polinômios,

multiplique os dois primeiros e, depois, multiplique o resultado pelo terceiro e assim por diante.

• O resultado deve ser multiplicado pelo terceiro polinômio: (5x 2 1 9x 1 4) ? (3x 1 2) 5 15x 3 1 10x 2 1 27x 2 1 18x 1 12x 1 8 5 5 15x 3 1 37x 2 1 30x 1 8

Trabalho em EQUIPE

Registre no

caderno

yx

Em dupla, resolva as atividades a seguir. 1 Determine o polinômio que represente a área correspondente à parte colorida da figura ao lado. Registre as estratégias utilizadas. Compare suas estratégias com as de outros colegas. 5xy 1 x2

2 Determine a área e o volume do paralelepípedo representado ao lado. A 5 24x2 1 50x 1 300; V 5 210x2 1 150x

3x

x

2y

x

x 30 2 2x

5

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Responda às questões. a) Qual é o grau do monômio resultante da multiplicação de um monômio do 3o grau por um monômio do 4o grau? 7o grau b) Multiplicando-se um monômio do 3o grau por outro monômio também do 3o grau, qual é o grau resultante? 6o grau c) O produto de um monômio do 2o grau por outro monômio do 5o grau é um monômio de que grau? 7o grau 2 Observe, a seguir, que o retângulo maior foi dividido em quatro retângulos menores. x2

A

B

Setup

x

x1

x2

C

D

Escreva um polinômio que represente a área: a) do retângulo A; x2 1 x b) do retângulo B;

x2 1 3x 1 2

c) do retângulo C;

x2 2 2x

d) do retângulo D;

x2 2 4

e) do retângulo maior.

4x2 1 2x 2 2

3 Obtenha os polinômios resultantes das multiplicações indicadas. a) (9x 2 2) ? (x2 1 3x) 9x3 1 25x2 2 6x b) (2x 2 5) ? (x2 2 7x) 2x3 2 19x2 1 35x c) (x2 2 2x) ? (x2 1 2x 1 1) x4 2 3x2 2 2x d) (x2 2 4x) ? (x2 2 2x 1 2) x4 2 6x3 1 10x2 2 8x e) (x2 1 x 1 5) ? (x 3 2 x) x5 1 x4 1 4x3 2 x2 2 5x

f) (x2 2 x 1 1) ? (x 3 2 3x) x5 2 x4 2 2x3 1 3x2 2 3x g) (x 3 2 4x) ? (x 3 1 4x) x6 2 16x2 h) (2x2 2 x 1 2) ? (2x2 1 x 2 2) 4x4 2 x2 1 4x 2 4 i) (x 4 1 3x) ? (x 2 1) x5 2 x4 1 3x2 2 3x j) (x 3 2 3x) ? (x 3 1 3x) x6 2 9x2

4 Em dupla, leia o texto e faça o que se pede. Você sabe como funciona a poupança? Ela trabalha em um sistema de juro composto, ou seja: se você aplicar um valor em dinheiro a um juro de 0,5% ao mês, após esse período seu dinheiro terá rendimento de 0,5% sobre o que você aplicou. No segundo mês, o rendimento de 0,5% será calculado sobre o capital inicial investido mais o juro do primeiro mês, e assim por diante, considerando a taxa sempre igual a 0,5% ao mês. Observe a seguir uma tabela para 3 meses com juro de 0,5% ao mês. Lembre-se de que 0,5% = 0,5 5 5 5 0,005. 100 1000 Mês

Montante (capital + juro) x

1

x 1 0,005x 5 1,005x

2

1,005x 1 0,005 ? 1,005x 5 1,010025x

3

1,010025x 1 0,005 ? 1,010025x 5 1,015075125x

o o o

Logo, podemos perceber que o juro é aplicado sobre juro e quanto mais tempo a aplicação durar, melhor. a) Suponha que foi aplicado R$ 1.500,00 em uma poupança com Use uma rendimento de 0,5% ao mês durante 5 meses. Qual é o valor a ser calculadora. retirado no final desse período? R$ 1.537,88 aproximadamente.

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b) Faça uma pesquisa para saber a forma de cobrança de juro praticada pelos cartões de crédito e, em seguida, elabore um texto comentando o investimento em poupança e a cobrança dos cartões de crédito. 5 Responda às questões. a) Qual é o monômio que devemos multiplicar por 9x2 para obter, como resultado, 81x 4? 9x2 b) Qual é o monômio que devemos multiplicar por 22x 3 para obter, como resultado, 232x5? 16x2 c) Qual é o monômio que devemos multiplicar por x2 1 3x para obter, como resultado, x4 1 3x3? x2

Setup

6 Considere o retângulo e as medidas indicadas.

3x  4

2x  3

a) Escreva, em ordem decrescente de expoentes de x, o polinômio que indica a área desse retângulo. 6x2 1 x 2 12 b) Qual é o grau desse polinômio? grau 2 c) Calcule o valor numérico que o polinômio assume para x 5 4. 88 d) Qual é a área do retângulo quando x 5 4? 88 7 Considere os seguintes polinômios: A 5 2x 2 1 B 5 x2 1 4x C 5 2x2 2 x D 5 5x 1 2 Escreva, em ordem decrescente de expoentes de x, o polinômio correspondente a: a) A ? B 2x3 1 7x2 2 4x c) A ? D 10x2 2 x 2 2 e) A ? B ? D 10x4 1 39x3 2 6x2 2 8x b) C ? D 25x3 2 7x2 2 2x d) A ? B ? C 22x5 2 9x4 2 3x3 1 4x2 8 Observe atentamente como elevar um polinômio ao quadrado: (3x 2 2)2 5 9x2 2 6x 2 6x 1 4 (3x 2 2)2 5 (3x 2 2) ? (3x 2 2) 2 (3x 2 2) 5 3x ? (3x 2 2) 2 2 ? (3x 2 2) (3x 2 2)2 5 9x2 2 12x 1 4 2 (3x 2 2) 5 3x ? 3x 2 3x ? 2 2 2 ? 3x 2 2 ? (22) Faça o mesmo para: c) (x 1 5)2 x2 1 10x 1 25 e) (2 1 3x)2 4 1 12x 1 9x2 a) (x 1 1)2 x2 1 2x 1 1 b) (2x 2 4)2 4x2 2 16x 1 16 d) (2x 2 3)2 4x2 2 12x 1 9 f) (5x 2 1)2 25x2 2 10x 1 1 9 Para multiplicar o polinômio x2 1 3x 1 5 pelo polinômio 2x 2 3, podemos utilizar o método seguinte. Observe como foi feita a multiplicação e, então, faça da mesma forma para obter as multiplicações indicadas. x 2 1 3x 1 5 2x 2 3 23x 2 2 9x 215 3 12x 1 6x 2 110x 1x 215 12x 3 1 3x 2 11 a) x2 2 3x 1 4 por 4x 2 1 b) x2 1 2x 2 4 por 5x 2 2

4x3 2 13x2 1 19x 2 4 5x3 1 8x2 2 24x 1 8

c) 2x2 2 x 1 1 por 3x 1 2 6x3 1 x2 1 x 1 2 d) x2 1 5x 2 10 por 2x 1 3 2x3 1 13x2 2 5x 2 30

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Conexões

caderno

Você sabe como montar uma caixa em forma de paralelepípedo?

Ilustrações: Setup

Para exemplificar, vamos considerar um papelão em forma de retângulo, com medidas de 80 cm e 50 cm.

50 cm

80 cm

Se retirarmos dos quatro cantos desse retângulo quadrados iguais, podemos fazer as "dobras" que serão necessárias para formar a caixa. Assim, se cortarmos de cada canto um quadrado de lado que mede x cm, teremos a figura ao lado. As linhas tracejadas na figura acima representam os locais em que o papelão deverá ser dobrado. Então, em cima das linhas tracejadas, dobramos as abas em direção ao centro da figura, formando assim a caixa ao lado. Para calcular o volume ocupado pela caixa, multiplicamos as três medidas. Como essas medidas estão representadas por expressões algébricas, o volume V será representado por um polinômio, isto é:

x

x

x

x

x

x

50  2x

x

x

80  2x x

50  2x

80  2x

V 5 (80 2 2x) ? (50 2 2x) ? x V 5 (4 000 2 160x 2 100x 1 4x 2) ? x V 5 4 000x 2 160x 2 2 100x 2 1 4x 3 V 5 4x 3 2 260x 2 1 4 000x 1 Qual é o polinômio que representa a superfície do papelão após a retirada de 4 quadrados de lado que mede x? A 5 (50 ? 80) 224x2 ou A 5 2x (50 2 2x) 1 2x (80 2 2x) 1 (50 2 2x) (80 2 2x) A 5 4 000 2 4x

2 Qual é o valor do volume para x 5 5?

V 5 14 000

3 Com um pedaço inteiro de papelão, construa uma caixa observando os passos anteriores.

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Divisão de polinômios Já multiplicamos, até aqui, um monômio por outro monômio, um monômio por um polinômio e também efetuamos a multiplicação entre polinômios. Agora veremos como efetuar a divisão que envolve monômios e polinômios.

Divisão entre dois monômios Inicialmente vamos recordar como é feita a multiplicação entre números racionais na forma fracionária. Assim, considere que as letras A, B, C e D estejam representando números, com B e D diferentes de zero: A ? C 5 A ?C B?D B D Agora esse procedimento pode ser utilizado para efetuar a divisão de um monônio por outro monômio. Observe os exemplos a seguir.

Exemplos: Vamos obter o resultado das seguintes divisões:

• 14x 3 : 2x 5

14x 3 5 14 ? x 3 5 7 ? x 3 2 1 5 7x 2 2x 2 x

resultou em um monômio

25y 3 y3 1 5 5 não é um monômio, 5 25 ? 5 5 5 ? y 3 2 5 5 5 ? y 22 5 5 o? resultado 5 10y 10 y 2 2 2 y2 2y 2 pois o expoente da parte literal não é um número natural. 3 2 2 3 resultou em um • 32x 3y 2 : 8xy 5 32x y 5 32 ? x ? y 5 4 ? x 3 2 1 ? y 2 2 1 5 4x 2y 8xy 8 x y monômio

• 25y 3 : 10y 5 5

Observação:

A divisão entre dois monômios é efetuada dividindo-se os coeficientes e as partes literais deles.

VV Na divisão entre dois monômios, nem sempre o resultado é

 

um monômio. Quando isso ocorre, como num exemplo acima, dizemos simplesmente que o resultado é uma fração algébrica.

Divisão de um polinômio por um monômio Para efetuar a divisão de um polinômio por um monômio, considere a propriedade distributiva da multiplicação. Queremos dividir o número A 1 B por 4. Podemos escrever: A 1 B 5 1 ? (A 1 B) 5 1 ? A 1 1 ? B 4 4 4 4 Utilizamos esse procedimento para efetuar a divisão de um polinômio por um monômio, conforme os exemplos a seguir.

Exemplos: Observe a seguir o resultado das divisões de polinômios por monômios. 2 5 1 ? (4x 2 1 3x ) 5 1 ? 4x 2 1 1 ? 3x 5 4x 1 3x 5 2x 1 3 2x 2x 2x 2x 2x 2 em um polinômio

2 3x • 4x 21 x

resul­tou

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•

6y 4 1 y 3 2 4y 2 5 12 ? (6y 4 1 y 3 2 4y 2 ) 5 12 ? 6y 4 1 12 ? y 3 2 12 ? 4y 2 5 2 y y y y y y3 6y 4 4y 2 5 1 2 2 5 6y 2 1 y 2 4 resultou em um polimônio y2 y y2

Na divisão de um polinômio por um monômio, cada termo do polinômio é dividido pelo monômio e, no final, os resultados são adicionados.  

Divisão de um polinômio por outro polinômio (método da chave) Quando fazemos a divisão entre dois números inteiros, buscamos determinar dois outros números: o quociente e o resto da divisão. Portanto, se representarmos um número por A e outro por B, a divisão de A por B pode ser assim representada: dividendo resto

A R

B Q

divisor quociente

E a divisão entre dois polinômios? Dividir um polinômio A por outro polinômio B, de grau menor ou igual ao grau de A, significa determinar o polinômio quociente Q e o resto R da divisão. Além disso, os quatro polinômios satisfazem a igualdade: A5B?Q1R A divisão de um polinômio por outro é análoga à divisão entre números naturais. Por meio de um exemplo, mostraremos, passo a passo, como efetuar a divisão de polinômios.

Exemplo: Divida o polinômio A 5 5x 3 2 12x 2 1 9x 1 8 pelo polinômio B 5 x 2 2 3x 1 1.

Resolução:

• Dividimos o termo de maior grau de A pelo termo de maior grau de B, indicando o resultado no quociente, isto é: 5x 3 2 12x 2 1 9x 1 8

x 2 2 3x 1 1 5x

• Multiplicamos o monônio obtido (5x) pelos termos do divisor (x2 2 3x 1 1), subtraindo os resultados do dividendo, conforme está representado a seguir: 5x 3 2 12x 2 1 9x 1 8 25x 3 1 15x 2 2 5x 0 1 3x 2 1 4x

x 2 2 3x 1 1 5x

• Abaixamos o próximo termo do dividendo e repetimos, com esse polinômio obtido, o procedimento inicial, isto é, dividimos o termo de maior grau desse polinômio pelo termo de maior grau do divisor: 5x 3 2 12x 2 1 9x 1 8 25x 3 1 15x 2 2 5x 0 1 3x 2 1 4x 1 8

x 2 2 3x 1 1 5x 1 3

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• Multiplicamos

o termo 3 por todos os termos do divisor e subtraímos o resultado do polinômio que foi dividido: 5x 3 2 12x 2 1 9x 1 8 25x 3 1 15x 2 2 5x 0 1 3x 2 1 4x 1 8 23x 2 1 9x 2 3 resto 13x + 5

x 2 2 3x 1 1 5x + 3

quociente

No exemplo, o resto é um polinômio de grau 1, e o quociente um polinômio de grau 1. Se multiplicarmos o quociente pelo divisor e adicionarmos o resto ao resultado, obteremos o polinômio dividendo, isto é: (5x 1 3) ? (x 2 2 3x 1 1) 1 13x 1 5 5 5x 3 2 12x 2 1 9x 1 8

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Utilizando o método da chave, faça a divisão do polinômio A pelo polinômio B e indique o quociente Q e o resto R. a) A 5 3x2 2 4x 2 10 e B 5 x 2 1

Q 5 3x 2 1; R 5 211

b) A 5 x 3 1 5x2 1 4x 1 10 e B 5 x 1 1

Q 5 x2 1 4x; R 5 10

c) A 5 4x2 2 16x 1 20 e B 5 x 1 2 Q 5 4x 2 24; R 5 68 d) A 5 x 3 1 2x2 1 9x 2 15 e B 5 x 2 2 Q 5 x2 1 4x 1 17; R 5 19 e) A 5 x2 1 2x 2 3 e B 5 x 1 4

Q 5 x 2 2; R 5 5

f) A 5 4x2 1 9x 2 13 e B 5 x2 1 x 2 1

Q 5 4; R 5 5x 2 9

g) A 5 4x 3 2 2x2 1 7x 1 1 e B 5 x2 1 4x 2 1

Q 5 4x 2 18; R 5 83x 2 17

2. x 2 6

2 Um retângulo tem área igual a x2 2 36. Sabendo-se que sua base é x + 6, determine sua altura.

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caderno

Trabalho em EQUIPE

1 Resolvam a divisão do polinômio A pelo polinômio B, indicando o quociente Q e o resto R. a) A 5 x 3 1 2x2 2 6x 1 5 e B 5 x 1 1

Q 5 x2 1 x 2 7; R 5 12

b) A 5 x 3 2 4x2 2 9x 2 7 e B 5 x 1 7

Q 5 x2 2 11x 1 68; R 5 2483

c) A 5 2x 3 2 6x2 1 5x 2 3 e B 5 x2 1 2x 1 2

Q 5 2x 2 10; R 5 21x 1 17

2 O polinômio 3x4 2 9x3 1 6x2 pode ser escrito como produto de três fatores; dois deles são 3x e x2 2 2x. Determine o terceiro fator desse polinômio. (x 2 1)

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Capítulo 13

Tratamento da informação: análise de gráficos Neste capítulo nos deteremos no estudo e na análise de gráficos que fazem parte de documentos oficiais publicados pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea). O Ipea promove diversas pesquisas de caráter socioeconômico que auxiliam governos municipais, estaduais e federal na destinação de recursos. Sua missão, segundo o próprio site do instituto, é “Aprimorar as políticas públicas essenciais ao desenvolvimento brasileiro, por meio da produção e disseminação de conhecimentos e da assessoria ao Estado nas suas decisões estratégicas”. 1o caso: mercado de trabalho Vamos começar analisando o gráfico a seguir retirado do boletim Juventude Informa número 2, que aborda as mudanças no mercado de trabalho para jovens de 15 a 29 anos. Esse boletim está disponível em: (acesso em: mar. 2015). O gráfico a seguir está na página 3 do boletim. Observando o gráfico, o que podemos afirmar a respeito da ocupação de jovens de 15 a 29 anos, no período de 1995 a 2013? Antes de continuar a leitura deste capítulo, observe os dados do gráfico, reflita sobre ele e tire suas próprias conclusões. Depois, compare-as com as informações a seguir.

www.ipea.gov.br

Taxa de ocupação dos jovens de 15 a 29 anos

Fonte: PNAD/IBGE. Elaboração: Ipea, 2014.

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• Em

primeiro lugar, podemos observar que a maior taxa de ocupação foi de 60% dos pesquisados em 1995.

• Também podemos observar que a menor taxa de ocupação entre os pesquisados foi em 2001, quando apenas 54,9% estavam ocupados.

• Em 2008, apesar de ter sido o ano em que ocorreu uma das maiores crises econômicas internacionais, houve a segunda maior taxa de ocupação entre os jovens pesquisados.

• Outra observação é que de 2012 a 2013 a taxa de ocupação caiu 1,8 ponto percentual. Essas são algumas observações que podemos fazer com o objetivo de entender um aspecto do país em um período específico. Há diversas outras análises possíveis e tudo depende do que queremos observar e descobrir em uma análise gráfica. De todo modo, podemos perceber a utilidade de um gráfico em condensar de forma visual e acessível uma grande quantidade de informações. 2o caso: mercado de trabalho Esse caso está na página 6 do boletim Juventude Informa. Com base nele, podemos analisar outra questão relacionada ao emprego dos jovens no mesmo período, dessa vez referente à remuneração. Enquanto no gráfico anterior percebemos que o percentual de jovens ocupados sofreu redução entre 2008 e 2013, neste segundo gráfico é possível notar que ocorreu o contrário com a remuneração: Houve um aumento em 2013 em relação a 2008 (de R$ 857,90 para R$ 1.070,10). Observe que estamos falando de salários médios e considerando uma determinada amostra pesquisada.

www.ipea.gov.br

Remuneração média do trabalho dos jovens de 15 a 29 anos

Fonte: PNAD/IBGE. Elaboração: Ipea, 2014.

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3o caso: educação Agora usaremos em nossas análises o documento Políticas sociais: acompanhamento e análise, nº 22, publicado no primeiro semestre de 2014. Esse documento, como o próprio nome informa, faz uma análise e acompanha implantações de políticas sociais no Brasil, bem como busca apontar caminhos para novas políticas. Ele pode ser encontrado acessando o site: (acesso em: mar. 2015).

www.ipea.gov.br

O gráfico a seguir analisa a frequência escolar de jovens de 4 a 17 anos que têm algum tipo de deficiência.

Fonte: IBGE, Censo Demográfico.

Os alunos foram separados em quatro grupos:

• deficiência visual; • deficiência auditiva;

• deficiência de locomoção; • deficiência mental.

Os três primeiros tipos de deficiência também foram separados em três subgrupos, dependendo do grau da deficiência:

• não consegue de modo algum;

• grande dificuldade;

• alguma dificuldade.

Ao observar o gráfico, podemos notar que 22% dos jovens com dificuldade de locomoção não frequentam a escola, enquanto 78% a frequentam. Desses jovens, o menor índice de frequência é o dos que não conseguem se locomover de modo algum, 54,1% – isso significa que dos jovens que não se locomovem de modo algum, 45,9% não frequentam a escola. O caso se torna ainda mais grave quando olhamos para os jovens dessa faixa etária que têm algum tipo de deficiência mental. Observe que para essa deficiência não houve nenhuma análise por grau de dificuldade; podemos notar que 29% desses jovens não frequentam a escola. Essa é uma situação gravíssima para um país em desenvolvimento.

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4o caso: economia solidária Para esta análise utilizaremos o boletim Mercado de Trabalho: conjuntura e análise, disponível em: (acesso em: mar. 2015), publicado em agosto de 2014.

Distribuição do EES por localização (Em %)

O gráfico de setores ao lado usa o mapeamento realizado pelo Sistema Nacional de Informações de Economia Solidária (Sies). Observe que as informações foram separadas em três áreas: urbano; rural; urbano e rural. Os Empreendimentos Econômicos Solidários (EES) foram atribuídos às organizações de acordo com os seguintes critérios:

Fonte: Banco de dados do Sies, 2014.

Gráficos: Setup/www.ipea.gov.br

Distribuição do EES por data de fundação

Objeto educacional digital

Fonte: Banco de dados do Sies, 2014.

• organizações coletivas – organizações suprafamiliares, singulares e complexas, tais como associações, cooperativas, empresas autogestionárias, grupos de produção, clubes de troca, redes etc., cujos participantes ou sócios exercem coletivamente a gestão das atividades, assim como a alocação dos resultados;

• organizações permanentes – que disponham ou não de registro legal, prevalecendo a existência real;

• organizações

que realizam atividades econômicas de produção de bens, prestação de serviços, fundos de crédito (cooperativas de crédito e fundos rotativos populares), comercialização e consumo solidário.

Podemos notar que a maior parte desse modelo de economia encontra-se nas áreas rurais, com 54,8% do total. Nessa pesquisa foram identificados 19 708 empreendimentos organizados e distribuídos entre 2 713 municípios brasileiros, entre 2009 e 2013.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ Distribuição Percentual do consumo de energia elétrica no Brasil 9%

Distribuição percentual do consumo de energia elétrica no setor industrial

7%

11%

14%

12%

8% 44%

40%

29%

26%

Industrial Comercial

Residencial Público

Outros



DAE/UFPE

1 (UFPE) Os gráficos a seguir ilustram a distribuição percentual do consumo de energia elétrica no Brasil dos diversos setores e do setor industrial.

Metais

Química

Alimentos

Papel

Outros

Assinale a alternativa incorreta sobre o consumo de energia elétrica no Brasil. Alternativa d. a) O setor de metais consome mais que o comercial. b) O setor público consome mais que o de alimentos. c) O setor residencial consome mais que, juntos, o químico e o de metais. d) O setor de papel consome 4,1% do total de energia. e) O setor químico e o de alimentos consomem juntos menos que o residencial. UFLMG

2 (UFL-MG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados no gráfico. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas: a) ( ) O candidato B pode se considerar eleito. F b) ( ) O número de pessoas consultadas foi de 5 400. V c) ( ) O candidato B possui 30% das intenções de voto. V d) ( ) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A, o candidato C assume a liderança. V e) ( ) O candidato A ainda tem chances de vencer as eleições. V

a) 15

b) 17

c) 18

ENEM

3 (ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato. Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de pontos igual a: Alternativa c. d) 20

e) 24

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Superando Desafios 1 (OBM)

1. P  elo critério de divisibilidade por 8, os três últimos dígitos devem formar um número múltiplo de 8. A única opção admissível é z 5 4. Pelo critério de divisibilidade por 11, (x 1 2 1 z) 2 (y 1 6) 5 x 2 y deve ser divisível por 11. Como x e y são dígitos, a única opção é x 5 y. Finalmente, pelo critério de divisibilidade por 9, (x 1 y 1 2 1 6 1 z) 5 5 2x 1 12 deve ser divisível por 9. O único dígito que satisfaz tal condição é x 5 3.

O número de 5 dígitos xz y26zx, em que cada uma das letras representa um dígito, é divisível por 8, 9 e 11. Qual o valor de x? Alternativa a. a) 3 b) 5 c) 1 d) 4 e) 9 Registre no

2 (Saresp)

caderno

Considere as expressões: A 5 2a 1 4ba e B 5 2a O resultado da divisão de A por B é: Alternativa c. a) 4ba c) 1 1 2b b) 4a 1 4ab 1 b

d) 2

3 (ENEM)

Enem

O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo.



No ano de 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de: Alternativa b. a) 1960 b) 1963 c) 1967 d) 1970 e) 1980

Explorando

Pra que serve Matemática? – Álgebra Autores: Imenes, Jakubo, Lellis Atual Editora 48 páginas

O código polinômio

Editora Ática

Atual Editora

Autor: Luzia Faraco Ramos Editora: Ática 104 páginas

O relógio do pai de Leo some juntamente com outras raridades em uma exposição, no lugar é encontrado um código matemático que parece ser uma pista. Outros roubos acontecem na cidade com novas expressões matemáticas surgindo. Leo pede auxílio à sua professora e acaba por descobrir e se interessar pela matemática dos polinômios envolvida em todo o mistério.

Este volume da coleção Para que serve a Matemática? ensina Álgebra de forma divertida e curiosa, utilizando temas do cotidiano e despertando assim o interesse do leitor. Os autores comprovam para que serve a Álgebra por meio de muitos exemplos e brincadeiras, como truques de cálculo, pirâmides numéricas e adivinhações matemáticas. E ainda contém curiosidades, desafios e explicação de fatos matemáticos.

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Arquivo pessoal

com a palavra, o ESPECIALISTA Quem Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

Especialidade É livre-docente em Matemática (1995) e doutor em Física (1992) ambos pela Unicamp.

Área de pesquisa Informática na Educação Matemática.

Como a álgebra evoluiu? A Álgebra evoluiu da Aritmética, inclusive pode-se pensar que ela é uma extensão da Aritmética. A Álgebra tem algo que falta à Aritmética: a noção de incógnita, o “x” da questão. Antigamente, a descrição de problemas era feita de forma textual e ficou conhecida como álgebra retórica. A álgebra simbólica, que é a forma utilizada hoje, tem aproximadamente 500 anos; é recente se for comparada com os trabalhos dos gregos antigos, que têm mais de 2 mil anos. Por que a Álgebra é uma área preocupante em relação ao ensino e à aprendizagem? Ela é um dos principais componentes da linguagem matemática. A Álgebra é importante para a representação e a resolução de problemas. Ela favorece a abstração dos métodos empregados na resolução de problemas similares, possibilitando a generalização com base em um bom exemplo. Por isso, é fundamental que os alunos adquiram habilidade para representar problemas usando a álgebra simbólica e também para resolver operações algébricas. Quais métodos e ideias podem auxiliar os alunos a aprender Álgebra? A relação entre Álgebra e Geometria deve ser explorada sempre que possível, particularmente a representação geométrica de um problema algébrico. Os materiais manipulativos e os materiais concretos também podem facilitar a compreensão de ideias e conceitos algébricos. Atualmente, existem softwares para treinamento, visualização, jogos, manipulativos virtuais etc. voltados para o conteúdo de Álgebra. Enfim, há vários caminhos para ensinar e aprender Álgebra. Há muitas mídias digitais (softwares, animações, filmes, textos etc.) disponíveis na internet. Destacamos:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

• Portal do Professor: .

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http://objetoseducacionais2.mec.gov.br

Banco Internacional de Objetos Educacionais (Bioe): .

www.feg.unesp.br/difusao/Softwares.htm

Há também um software, Múltiplos na balança, desenvolvido pela minha equipe. Ele permite que os estudantes explorem algumas ideias de Álgebra relacionadas a números inteiros (a noção de múltiplos, mínimo múltiplo comum e equações com soluções inteiras, conhecidas como equações diofantinas). Tem uma interface simples e intuitiva, acompanhado de ajuda on-line, fácil de usar. Ele está disponível em: .

Que conhecimentos são necessários para que os alunos possam aplicar as noções algébricas nos problemas do dia a dia? Inicialmente, é necessário entender o problema: deve-se ler, interpretar e reler o problema, levantar dados, definir variáveis adequadas a ele, estudar as relações entre as variáveis e reler novamente o problema até ter certeza de que obteve a representação algébrica correta dele. Isto parece fácil para as pessoas que já completaram a educação básica, mas, para os alunos dos anos finais do Ensino Fundamental, representar um problema textual (do dia a dia) algebricamente é uma dificuldade a ser superada. Após ter obtido a representação algébrica (provavelmente uma ou mais equações), é preciso conhecer os métodos algébricos que possibilitem a resolução da equação para a variável (incógnita) desejada, que responde à pergunta do problema. Usualmente, os alunos têm mais facilidade nesta etapa, pois ela envolve apenas habilidade computacional. Por fim, depois da solução, deve-se voltar ao texto do problema e verificar se ela é razoável, se faz sentido, se realmente é a resposta do problema.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS a) 2 b) zero

c) 16 d) 10

2 Multiplicando um polinômio do 3o grau por outro polinômio também do 3o grau, o produto será um polinômio do: Alternativa d.

a) 3o grau

c) 5o grau

b) 4 grau

d) 6 grau

o

o

7 Adicionando a expressão A 5 3ab 1 1 2x 2 3y à expressão B 5 6ab 2 4x 1 1 3y, obtém-se: Alternativa d. a) A 1 B 5 3ab 1 4x 2 6y b) A 1 B 5 3ab 2 4x 2 6y c) A 1 B 5 9ab 1 2x d) A 1 B 5 9ab 2 2x 8 O polinômio que representa a área da figura é: Alternativa d. 4x

3 A expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo a seguir é:

Ilustrações: Setup

1 O valor numérico da expressão algébrica y3 1 2y2 para y 5 2 é: Alternativa c.

Alternativa b. 2x 3x  2 3 6x  3

a) 18x b) 18x 2 2

c) 18x 1 1 d) 18x 1 2

4 Considerando ainda o retângulo do exercício anterior, a expressão algébrica que representa sua área é: Alternativa a. a) 18x 1 3x 2 6 b) 18x2 1 3x 1 6 c) 18x2 2 3x 2 6 2

c) 8x 1 9 d) 8x2 2 9

9 Ainda em relação à figura anterior, copie a alternativa que indica corretamente o perímetro. Alternativa a. a) 12x b) 12x 2 9

c) 12x 1 9 d) 12x 2 3

10 Adicionando dois polinômios do 2o grau, o resultado será, no máximo, um polinômio do: Alternativa b.

d) 18x2 2 3x 1 6 5 Copie a alternativa que representa corretamente a sentença a seguir: "A soma de um número x ao seu quadrado multiplicado por cinco". Alternativa c. a) x 1 5x b) x 1 x2

a) 8x 1 27 b) 8x 2 9

3

c) x 1 5x2 d) x2 2 x

6 Sendo x a medida de um ângulo e y a medida de seu suplementar, uma relação entre essas medidas é: Alternativa b. a) x 1 y 5 90° b) x 1 y 5 180° c) x 1 y 5 360°

a) 1o grau b) 2o grau c) 3o grau d) 4o grau 11 Pensei em um número x, elevei-o ao quadrado, adicionei 6 ao resultado, multipliquei a soma por 3 e acrescentei o quíntuplo do número. Obtive um resultado y. a) Escreva uma fórmula para o resultado y e simplifique-a. y 5 3x2 1 5x 1 18 b) Use a fórmula e obtenha y para x 5 2. c) Faça o mesmo para x 5 1 . 2

d) x 1 y 5 60°

40

85 4

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12 Um polinômio A, quando dividido por x² 1 1, tem como quociente o polinômio 2x 2 1 e o resto 5. Copie a alternativa que indica corretamente como obter o polinômio A. Alternativa d.

a) Multiplicando-se x2 1 1 por 2x 2 1. b) Multiplicando-se x2 1 1 por 2x 2 1 e tirando-se 5. c) Multiplicando-se x2 1 1 por 2x 2 1 e tirando-se 1. d) Multiplicando-se x2 1 1 por 2x 2 1 e acrescentando-se 5. 13 Obtenha o valor numérico solicitado nas expressões algébricas a seguir. 4

b) (x 2 y) (x 1 y) para x 5 5 e y 5 6 c) x2 2 y2 para x 5 5 e y 5 6

Responda: a) Quanto deverá pagar o motorista que deixou seu carro estacionado por 2 horas e 30 minutos? R$ 10,00 b) Quanto deverá pagar o motorista que deixou seu carro estacionado por 5 horas e 12 minutos? R$ 17,50 c) Qual é a fórmula que permite obter o valor V a pagar para um carro que ficou estacionado por t horas, com t . 1? V 5 5 1 (t 2 1) ? 2,50

16 Copie e complete a figura a seguir escrevendo em cada retângulo uma expressão algébrica, considerando que cada uma é obtida adicionando-se as expressões escritas nos dois retângulos situados imediatamente abaixo.

211

219x 1 24 23x 1 9

211

d) (x 1 y)2 para x 5 0,1 e y 5 2,1

4,84

e) x2 1 2xy 1 y2 para x 5 20,1 e y 5 2,1 x3 2 y 3 para x 5 4 e y 5 2 28 f)  x2y

4

14 Por meio de expressões algébricas, represente: a) o número de dias existentes em n semanas; n ? 7 b) o número de horas existentes em x dias; x ? 24 c) a quantidade de centímetros existentes em y metros; y ? 100 d) a quantidade de metros existentes em a quilômetros; a ? 1 000 e) o número de anos que existem em x meses; x 12 f) o número de meses existentes em x anos. x ? 12 15 Observe a tabela de preços de um estacionamento.

Tempo

Preço

1a hora

R$ 5,00

Horas seguintes

R$ 2,50

Observação: fração da hora é cobrada como hora inteira.

216x 1 15

41x

212x 1 10

4 1 2x 4

2x 2x

23x 1 5 23x 5

29x 1 5

29x

24x 1 5

17 Em uma cidade do interior de São Paulo, a porcentagem das pessoas que utilizam o ônibus é menor do que aqueles que utilizam algum meio de transporte individual, como carros, motos, táxis (42%) e também daqueles que preferem andar a pé ou de bicicleta (32%). O gráfico a seguir mostra os destinos dos usuários de ônibus em dias úteis: Destino dos usuários de ônibus

DAE

a) x 2 1 y para x 5 23 e y 5 7



Trabalho - 44,3% Escolas - x% Órgão de saúde - 6,9% Compras - 6,8% Lazer - 5,6% Outros - 12,8%

a) É possível afirmar, pelo texto, que 42% das pessoas utilizam exclusivamente o carro como meio de transporte nespois não se refere apenas sa cidade? Não, aos carros. b) Qual é o principal destino dos usuários de ônibus? Trabalho. c) Qual é a porcentagem de pessoas que utilizam os ônibus para irem às escolas? 23,6%

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UNIDADE 5

Produtos notáveis e fatoração

O quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença entre dois termos são resultados importantes do estudo da Álgebra e representam sistematizações que facilitam o trabalho algébrico. Esses resultados são conhecidos como produtos notáveis. Diversas situações algébricas, geométricas ou mesmo aritméticas podem ser solucionadas com eles.

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Kheng Guan Toh/Dreamstime.com

1 Como você calcularia o resultado de 10002 2 9992? 2 É correto afirmar que (x 1 4)2 5 (2x 2 4)2? 3 Como explicar que ax 1 bx 1 ay 1 by pode ser transformado em (a 1 b) ? (x 1 y)?

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Capítulo 14

Produtos notáveis Para iniciar o estudo sobre os produtos notáveis, vamos considerar uma situação. Que estratégias são possíveis para resolver 132? No caderno, registre os caminhos escolhidos por você e, em seguida, verifique com um colega se ele pensou da mesma maneira que você. Vamos à resolução! Uma das possíveis estratégias é fazer a multiplicação 13  13 5 169, que também pode ser resolvida de diferentes formas, como por decomposição, para facilitar o cálculo mental: (10 1 3)  (10 1 3).

(10 1 3)  (10 1 3) 5 169 3  3

Respostas da página anterior: 1. (1000 1 999) ? (1000 2 999) 5 1999 2. Sim. 3. x(a 1 b) 1 y(a 1 b) 5 (a 1 b) ? (x 1 y)

5 9

3  10 5 30 10  3 5 30

9 1 30 1 30 1 100 5 169

10  10 5 100 Outra forma de representar essa multiplicação é (10 1 3)2.

DAE

Também podemos pensar geometricamente e, para facilitar sua visualização, uma ideia seria utilizar a representação do Material Dourado:

100

30

30

9

13

13

150 pom8_148_167_u05.indd 150

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Podemos representar a forma geométrica da página anterior também da seguinte maneira: Ilustrações: DAE

10

10

3 3

Dessa forma, teremos áreas definidas em: 10

10

3

100 u.a.

30 u.a.

30 u.a.

Área total 5 169 u.a.

9 u.a. 3

Logo, 132 5 (10 1 3)2 5 100 1 60 1 9 5 169.

Observação: VV Quando a unidade de medida não é especificada, usa-se a sigla u.a., que significa “unidade de área”.

Observando atentamente a igualdade numérica apresentada, temos aí o quadrado da soma de dois números. Veremos neste capítulo que podemos desenvolver o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e ainda o produto da soma pela diferença de dois termos. São os chamados produtos notáveis.

Trabalho em EQUIPE Em grupos, resolvam 15 utilizando a interpretação geométrica.

10

2

Resposta pessoal: 152 5 (10 1 5)2 5 100 1 100 1 25 5 225

Registre no

caderno

10

5

100 u.a.

50 u.a.

25 50 u.a. u.a. 5

Quadrado da soma de dois termos Utilizando uma situação análoga à apresentada anteriormente, vamos considerar um quadrado ABCD cujo lado mede, genericamente, a 1 b. Conforme a figura da página seguinte, ele está dividido em dois retângulos congruentes e dois quadrados menores que o inicial. Ao comparar duas maneiras diferentes de calcular a área do quadrado ABCD, chegamos a um resultado algébrico importante.

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B

a

a2

ab

b

ab

b2

a

b

Ilustrações: Setup

A

C

D

1a maneira: O quadrado da medida do lado: (a 1 b)2. 2a maneira: A soma das áreas em que o quadrado foi dividido: a2 1 2 ? a ? b 1 b2. Como nessas duas maneiras os resultados são iguais, podemos escrever a seguinte igualdade: (a 1 b)2 5 a2 1 2 ? a ? b 1 b2 quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo. Em símbolos: (a 1 b)2 5 a2 1 2 ? a ? b 1 b2.

5

a2

1

ab ab

1

b2

Observações: VV Algebricamente, podemos obter esse resultado da seguinte forma:

(a 1 b)2 5 (a 1 b) ? (a 1 b) (a 1 b)2 5 a ? (a 1 b) 1 b ? (a 1 b) (a 1 b)2 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2 ⇒ (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 VV O polinômio a2 1 2ab 1 b2 é denominado trinômio quadrado perfeito, pois representa o quadrado do

binômio (a 1 b). VV Podemos dizer que (a 1 b) ? (a 1 b) representa a forma fatorada do trinômio a2 1 2ab 1 b2.

Essa sentença é verdadeira para quaisquer valores de a e b.

Exemplos: • (x 1 1)2 5 x 2 1 2 ? x ? 1 1 12 5 x 2 1 2x 1 1 • (mn 1 4)2 5 (mn)2 1 2 ? mn ? 4 1 42 5 m2n2 1 8mn 1 16 • (3 1 3 )2 5 32 1 2 ? 3 ? 3 1 ( 3 )2 5 9 1 6 3 1 3 5 12 1 6 

•  y

2

3

2

 1 3  5 y 2 1 2 ? y ? 3 1  3  5 y 2 1 3y 1 9  2 2 2 4

152 pom8_148_167_u05.indd 152

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:29 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Desenvolva o quadrado de cada um dos seguintes binômios. a) (x 1 5)2 x2 1 10x 1 25 b) (a 1 3)2 a2 1 6a 1 9 c) (2 1 y)2 4 1 4y 1 y2 d) (4 1 m)2 16 1 8m 1 m2

e) (x 1 a)2 x2 1 2xa 1 a2 f) (m 1 6)2 m2 1 12m 1 36 g) (x 1 7)2 x² 1 14x 1 49 h) (3x 1 2)2 9x2 1 12x 1 4

2 O quadrado da soma de dois termos pode também ser utilizado para efetuarmos cálculos numéricos que envolvem o quadrado de números. No quadro ao lado, há um procedimento de como isso pode ser feito.

Vamos calcular 1012: 1012 5 (100 1 1)2 1012 5 1002 1 2 ? 100 ? 1 1 12 1012 5 10 000 1 200 1 1

Utilizando esse procedimento, calcule o quadrado dos seguintes números: a) 512 2 601

b) 2022 40 804

i) (4a 1 1)2 16a2 1 8a 1 1 j) (2x 1 y2)2 4x2 1 4xy2 1 y4 k) (4x 1 x2)2 16x2 1 8x3 1 x4 2 1  1 2 x 4 1 a l)   4 x 1 4xa 1 16a2 2

1012 5 10 201

c) 832 6 889

d) 432 1 849

3 Copie e complete a seguinte tabela: Quadrado de um binômio

Trinômio correspondente

(x 1 10)

2

x2 1 20x 1 100

16 1 72x 1 81x 2 4x 2 1 8xy 1 4y 2

(4 1 9x)2 (2x 1 2y)

2

4 Desenvolva cada uma das potências indicadas e, depois, simplifique as expressões algébricas escrevendo-as na forma mais simples. a) (x 1 y)² 1 (2x 1 y)² 2 (3x 1 2y)² 24x2 2 6xy 2 2y2 b) (3ab 1 1)² 2 (2 1 ab)2 2 (3 1 2ab)² 4a2b2 2 10ab 2 12

5

2x

5 Considere o quadrado ao lado conforme medidas que estão indicadas. a) Determine a área de cada uma das quatro partes em que o quadrado está dividido. 10x; 4x2; 25; 10x b) Represente, por meio do quadrado de um binômio, a área da figura total. (5 1 2x)² c) Escreva um trinômio que corresponda à área da figura.

2x

5

4x2 1 20x 1 25

DAE

6 A área do quadrado amarelo é 441 cm2, e a área do quadrado laranja é 121 cm2.

a) Determine o lado do quadrado maior da figura. 32 cm b) Determine a área de cada um dos retângulos verde e azul. 231 cm2

153 pom8_148_167_u05.indd 153

APOEMA matemática 8

a

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Quadrado da diferença de dois termos

Vimos anteriormente como podemos obter o quadrado da soma de dois termos. Por meio do resultado que foi estabelecido, podemos calcular também o quadrado da diferença de dois termos, isto é: (a 2 b)² 5 [a 1 (2b)]² (a 2 b)² 5 a² 1 2 ? a ? (2b) 1 (2b)² (a 2 b)² 5 a² 2 2 ? a ? b 1 b² a a2b

Pela representação geométrica, temos: (a 2 b)² 5 a2 2 2ab 1 b2 a

a2b

a

a

a

a 2

2

5

b b 1

b

b b

b (a 2 b)2

a2

5

2

2ab

b2

1

Nessa construção, partimos de um quadrado de área a2 (lado a) e obtemos a área do quadrado cujo lado é (a 2 b) subtraindo as áreas dos retângulos e do quadrado menor. Essa representação só é válida se a . b . 0.

O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo. Em símbolos: (a 2 b)² 5 a² 2 2 ? a ? b 1 b².

Observações: VV Outra maneira de obter esse resultado algebricamente é:

(a 2 b)² 5 (a 2 b) ? (a 2 b) (a 2 b)² 5 a ? (a 2 b) 2 b ? (a 2 b) (a 2 b)² 5 a² 2 ab 2 ba 1 b² ⇒ (a 2 b)² 5 a² 2 2ab 1 b² VV O polinômio a² 2 2ab 1 b² é denominado trinômio quadrado perfeito, pois representa o quadrado do binômio (a 2 b). VV Podemos dizer que (a 2 b) ? (a 2 b) representa a forma fatorada do trinômio a² 2 2ab 1 b². Essa sentença é verdadeira para quaisquer valores de a e b.

Exemplos: • (r 2 3)2 5 r 2 2 2 ? r ? 3 1 32 5 r 2 2 6r 1 9 • (3x 2 2)2 5 (3x)2 2 2 ? 3x ? 2 1 22 5 9x 2 2 12x 1 4 • (mp 2 4)2 5 (mp)2 2 2 ? mp ? 4 1 42 5 m2p2 2 8mp 1 16 • (4 2 2 )2 5 42 2 2 ? 4 ? 2 1 ( 2 )2 5 16 2 8 2 1 2 5 18 2 8 

•  s

2

()

 2 1  5 s 2 2 2 ? s ? 1 1 1 3 3 3

2

2

5 s2 2 2 s 1 1 3 9

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APOEMA matemática 8

a

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Registre no

caderno

aGora É Com VoCÊ 1 Desenvolva o quadrado de cada binômio. e) (x 2 a)2 x2 2 2xa 1 a2 a) (x 2 7)2 x2 2 14x 1 49

i) (x 2 y2)2 x2 2 2xy2 1 y4

b) (a 2 5)2 a2 2 10a 1 25

f) (m 2 8)2 m2 2 16m 1 64

j) (3x 2 x2)2 9x2 2 6x3 1 x4

c) (6 2 y)2 36 2 12y 1 y2

g) (3x 2 5)2 9x2 2 30x 1 25

k) (8 2 2x)2 64 2 32x 1 4x²

d) (4 2 m)2 16 2 8m 1 m2

h) (4a 2 1)2 16a2 2 8a 1 1

1  l)  x 2 2a 2

2

1 2 x 2 2xa 1 4a2 4

2 Complete as expressões: a) (y 2 b) (4 2

)2 5 y2 2 16y 1 8; 64 2 x) 5 16 2 x 1 12x2

c) (3z 2 d) (4 2

12 ; 8 12

3 O quadrado da diferença de dois termos pode ser utilizado para efetuarmos cálculos numéricos que envolvem o quadrado de números. No quadro ao lado, há um procedimento de como isso pode ser feito. Utilizando esse procedimento, calcule o quadrado dos seguintes números: c) 772 5 929 d) 392 1 521

a) 492 2 401 b) 1982 39 204

1 1 )2 5 9z2 2 z 1 ; 6 36 x)2 5 2 72x 1 81x2 9; 16

Vamos calcular 992: 992 5 (100 2 1)2 992 5 1002 2 2 ? 100 ? 1 1 12 992 5 10 000 2 200 1 1 992 5 9 801

4 Copie e complete a seguinte tabela: Quadrado de um binômio

trinômio correspondente

y 2 2 16y 1 64

(y 2 8)2

(2m 2 1) 2

4m2 2 4m 1 1

(3 2 2r) 2

9 2 12r 1 4r2

5 Desenvolva cada uma das potências indicadas e, depois, simplifique as expressões algébricas escrevendo-as na forma mais simples. a) (2x 2 3)2 1 (2x 1 1)2 2 (3x 2 2)2

b) (x2 2 2x)2 1 (2 2 x)2 2 (x 1 2x2)2

2x2 1 4x 1 6

23x4 2 8x3 1 4x2 2 4x 1 4

6 Na Avenida República existe uma praça de esportes ao ar livre, de formato quadrado. Por conta de um projeto urbanístico que visa melhorar a área verde da praça, ela será reformulada de acordo com a seguinte planta: x

x

Área de esportes Canteiros de flores da terceira idade x

5

x Canteiros de flores

Área de esportes ao ar livre

5

Determine a expressão algébrica que representa a nova área de esportes ao ar livre. 2 2 (x 2 5) 5 x 2 10x 1 25

155 pom8_148_167_u05.indd 155

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

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Produto da soma pela diferença de dois termos Assim como ocorreu com o quadrado da soma de dois termos, vamos também utilizar uma situação geométrica para obtermos outro caso de produto notável. Considere que, de um quadrado ABCD de lado medindo a, retiramos um quadrado menor de lado medindo b, como sugerem as figuras a seguir. A

B

a

a

D

C

b

a 2

Recortamos o retângulo indicado e formamos com ele um novo retângulo de lados a 1 b e a 2 b.

ab

ab

Ilustrações: Setup

b

1

a

2

1

a

b

Podemos calcular a área que é formada, após a retirada do quadrado de lado b, de duas maneiras: 1a maneira: Considerando a diferença entre as áreas do quadrado de lado a e do quadrado de lado b: a2 2 b2 2a maneira: Considerando a área do retângulo obtido, conforme sugere a 3a figura acima: (a 1 b) ? (a 2 b). Como nessas duas maneiras os resultados são iguais, podemos escrever a seguinte igualdade: (a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 b2 produto da soma pela diferença de dois termos

O produto da soma de dois termos pela diferença desses dois termos é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. Em símbolos: (a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 b2

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:29 AM

Observações: VV Algebricamente, podemos obter esse resultado da seguinte forma:

(a 1 b) ? (a 2 b) 5 a ? (a 2 b) 1 b ? (a 2 b) (a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ba 2 b2 (a 1 b) ? (a 2 b) 5 a22 b2 VV Podemos dizer que (a 1 b) ? (a 2 b) representa a forma fatorada de a2 2 b2.

Exemplos: • (2x 1 1) ? (2x 2 1) 5 (2x)2 2 12 5 4x 2 2 1 • (4y + 3) ? (4y 2 3) 5 (4y)2 2 32 5 16y 2 2 9 • (mn + 5) ? (mn 2 5) 5 (mn)2 2 52 5 m2n2 2 25 • ( 6 1 

•  y

3 ) ? (6 2

3 ) 5 62 2 ( 3 )2 5 36 2 3 5 33

  2 2  ?  y 1 2  5 y 2 2  2   5 5  5

2

5 y2 2 4 25 Registre no

caderno

Trabalho em EQUIPE

Além das representações dos produtos notáveis que trabalhamos até agora, podemos encontrar situações nas quais apareçam cubos. Veja o exemplo. DAE

Esta imagem representa um cubo maior formado por outros cubos e paralelepípedos menores. b

a

a b a

b

1 Determine o volume do cubo.

Cubo separado em partes.

(a 1 b)³

2 Determine uma expressão equivalente ao volume do cubo Essa expressão deve ser formada com a soma dos volumes das partes do cubo. a³ 1 3a²b 1 3ab² 1b³ 3 Desenvolva os seguintes produtos: a) (x 1 1)³ x³ 1 3x² 1 3x 1 1

b) (3z 1 x)³ 27z³ 1 27z²x 1 9zx² 1 x³

157 pom8_148_167_u05.indd 157

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:29 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule o quadrado de cada uma das expressões algébricas. a) (3x 2 5) ? (3x 1 5) 9x2 2 25 b) (2x 1 7) ? (2x 2 7) 4x² 2 49 c) (4y 1 3) ? (4y 2 3) 16y² 2 9

d) (4a 1 1) ? (4a 2 1) 16a2 2 1 e) (x 2 y2) ? (x 1 y2) x2 2 y 4 f) (3x 1 x2) ? (3x 2 x2) 9x2 2 x4

g)  1 2 2a ?  1 1 2a 2  2  1 2 4a2 4

2 O produto da soma pela diferença de dois termos pode também ser utilizado para efetuar­ mos cálculos numéricos que envolvem o produto de números. No quadro abaixo há um procedimento de como isso pode ser feito. Vamos calcular 99 ? 101: 99 ? 101 5 (100 2 1) ? (100 1 1) 99 ? 101 5 1002 2 12 99 ? 101 5 10 000 2 1 99 ? 101 5 9 999 Utilizando esse procedimento, calcule os seguintes produtos de números: a) 49 ? 51 2 499

b) 198 ? 202 39 996

c) 77 ? 83 6 391

d) 39 ? 41 1 599

3 Copie e complete a tabela a seguir. Produto da soma pela diferença

Diferença de dois quadrados

(x 1 10) ? (x 2 10)

x2 2 100

y 2 2 64

(y 1 8) ? (y 2 8)

(2m 1 1) ? (2m 2 1)

4m2 2 1

16 2 81x 2

(4 1 9x) ? (4 2 9x)

(3 1 2r) ? (3 2 2r)

9 2 4r2

4x 2 2 4y 2

(2x 1 2y) ? (2x 2 2y)

4 Desenvolva cada uma das operações indicadas e, depois, simplifique as expressões algébricas escrevendo-as na forma mais simples. a) (x 2 y) ? (x 1 y) 1 (2x 1 y) ? (2x 2 y) 2 (3x 2 2y) ? (3x 1 2y) 24x2 1 2y2 b) (2x 2 1)2 2 (2x 1 1)2 2 (3x 1 2) ? (3x 2 2) 29x2 2 8x 1 4 c) (x2 1 2x) ? (x2 2 2x) 1 (2x2 2 x) ? (x 1 2x2) 5x4 2 5x2 d) (3ab 2 2) 2 (2 1 3ab) ? (2 2 3ab) 2 (3 2 2ab) 9a2b2 1 5ab 2 9 5 Escreva uma expressão algébrica que represente a área do retângulo a seguir. 16x2 2 9

4x  3

Ilustrações: Setup

x

4x  3

6 Escreva uma expressão algébrica que represente: a) o perímetro da figura ao lado; 4x b) a área dessa figura. x² 2 y²

x

y y

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APOEMA matemática 8

a

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Capítulo 15

Fatoração de polinômios Nos capítulos anteriores, utilizamos a Geometria plana, particularmente o cálculo de área de quadrados e retângulos, para explicar os casos de produtos notáveis. Neste capítulo, transformaremos expressões algébricas em produto, isto é, vamos escrever uma expressão algébrica na forma fatorada. A fatoração pode ser considerada aqui o caminho inverso de efetuarmos a propriedade distributiva da multiplicação, por exemplo, em relação à adição.

Setup

Para exemplificar, vamos considerar um retângulo de altura x dividido em três outros retângulos de bases medindo a, b e c, como indicado na figura a seguir.

x

a

b

c

A área desse retângulo pode ser calculada de duas maneiras diferentes: Área 5 (a 1 b 1 c) ? x ou Área 5 ax 1 bx 1 cx A primeira dessas duas formas é denominada forma fatorada. Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de dois ou mais fatores. Assim, fatorar equivale a transformar em produto.

Fator comum e por agrupamento Retomando o exemplo anterior, observe que a segunda expressão representa a soma da área dos três retângulos considerados:

ax 1 bx 1 cx As três parcelas dessa soma têm um fator em comum: x. Quando essa expressão é escrita na forma fatorada x ? (a 1 b 1 c), dizemos que o termo em comum foi colocado em evidência. O caso mais simples de fatoração é quando numa expressão algébrica, ou mesmo em um polinômio, temos apenas um fator em comum. Nesse caso, para fatorar, basta colocar esse fator comum em evidência. Observe a seguir alguns exemplos.

159 pom8_148_167_u05.indd 159

APOEMA matemática 8

a

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Exemplo 1: Fatore a expressão ax 1 ay.

Resolução: Nos dois termos dessa expressão há um fator comum: a incógnita a. Vamos colocar esse fator comum em evidência:

Observação: VV Para verificar se a fatoração está correta, utilize a

propriedade distributiva na forma fatorada.

ax 1 ay 5 a ? x 1 a ? y 5 a ? (x 1 y)

Exemplo 2: Escreva a forma fatorada da expressão algébrica 4mpx 2 2mx 2 4x.

Resolução: Nesta expressão algébrica, temos como fator comum o termo 2x. Assim, colocamos esse fator comum em evidência: 4mpx 2 2mx 2 4x 5 2x ? 2mp 2 2x ? m 2 2x ? 2 5 2x ? (2mp 2 m 2 2)

Exemplo 3: Fatore o polinômio 2x 3 2 8x 2 1 6x.

Resolução:

• Neste caso, os três termos do polinômio têm o fator x em comum, além de serem números pares (assim, apresentam o fator 2 também em comum). 2x 3 2 8x 2 1 6x 5 2x ? x 2 2 2x ? 4x 1 2x ? 3 5 2x ? (x 2 2 4x 1 3)

Exemplo 4: Fatore a expressão algébrica am 1 bm 1 ax 1 bx.

Resolução: Note que não há um fator comum aos quatro termos da expressão algébrica. Entretanto, se considerarmos os dois primeiros, temos o fator m em comum e, nos dois últimos, o fator x. Sendo assim, fatoramos de dois em dois, ou seja:

Observação: VV Há um caso em que, para obtermos a forma

fatorada, precisamos fazer fatoração por agrupamento, isto é, fazemos fatorações sucessivas. Para compreender como isso pode ser feito, observe os dois próximos exemplos.

am 1 bm 1 ax 1 bx 5 5 m ? (a 1 b) 1 x ? (a 1 b) A soma agora tem duas parcelas e nas duas aparece o fator (a 1 b). Dessa forma, colocamos esse fator em evidência:

am 1 bm 1 ax 1 bx 5 5 m (a 1 b) 1 x (a 1 b) 5 5 (a 1 b) ? (m 1 x)

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APOEMA matemática 8

a

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Para compreender a fatoração por agrupamento feita anteriormente, observaremos como podemos calcular a área do retângulo maior, conforme medidas indicadas. Observe que utilizamos as mesmas letras da expressão algébrica para representar as medidas.

Setup

Exemplo 5: x

m a

b

Considerando que a área do retângulo é o produto da medida da base pela medida da altura, temos: Área do retângulo 5 (a 1 b) ? (m 1 x) forma fatorada

Podemos calcular a área do retângulo pela soma da área dos retângulos em que está dividido: Área do retângulo 5 am 1 bm 1 ax 1 bx. Comparando essas duas maneiras, concluímos que: (a 1 b) ? (m 1 x) 5 am 1 bm 1 ax 1 bx.

Observações: VV O quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito:

a2 1 2ab 1 b2 5 a2 1 ab 1 ab 1 b2 a2 1 2ab 1 b2 5 a ? (a 1 b) 1 b ? (a 1 b) a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b) ? (a 1 b) a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2 VV Analogamente, temos o quadrado da diferença de dois termos:

a2 2 2ab 1 b2 5 a2 2 ab 2 ab 1 b2 a2 2 2ab 1 b2 5 a ? (a 2 b) 2 b (a 2 b) a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b) ? (a 2 b) a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2 VV O produto da soma pela diferença entre dois termos é a forma fatorada da diferença de quadrados:

a2 2 b2 5 (a 1 b) ? (a 2 b)

Registre no

Trabalho em EQUIPE

caderno

Apresentamos a seguir algumas situações que podem ser resolvidas a partir de produtos notáveis. Em dupla, faça o que se pede. 1 No capítulo anterior você determinou a expressão equivalente ao cubo de uma soma, como segue: (a 1 b)³ 5 a³ 1 3a²b 1 3ab² 1 b³ Com base nesse resultado, determine a expressão correspondente a (a – b)³. a³ 2 3a²b 1 3ab² 2 b³

2 A expressão algébrica A = (x 2 y) ? (x² 1 xy 1 y²) é a forma fatorada de uma expressão B. Obtenha essa expressão B e explique o procedimento utilizado. Basta utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição na expressão A para obtermos a expressão: B 5 x³ 2 y³.

3 A expressão algébrica A = (x 1 y) ? (x² 2 xy 1 y²) é a forma fatorada de uma expressão B. Obtenha essa expressão B e explique o procedimento utilizado. Basta utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição na expressão A para obtermos a expressão: B 5 x³ 1 y³.

161 pom8_148_167_u05.indd 161

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:29 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Em cada expressão a seguir coloque em evidência o termo comum para fatorar. a) 4m 2 8 4(m 2 2) d) mx 1 2x x(m 1 2) b) 3x 2 9 3(x 2 3) e) mn 1 3n n(m 1 3) c) 16 2 4y 4(4 2 y) f) 7x 2 49y 7(x 2 7 y) 2 Transforme em produto cada uma das seguintes expressões: a) 3x3 1 2x2 2 4x x(3x² 1 2x 2 4) b) 2x3 1 4x2 2 16x 2x(x² 1 2x 2 8) c) 6m2 2 4m 1 8 2(3m² 2 2m 1 4) d) 15a2x2 1 10a2x 2 20a2x3 5a²x(3x 1 2 2 4x²) e) 12r3 1 4r2 2 24r4 4r²(3r 1 1 2 6r²) f) x3y3 2 x2y2 1 3xy xy(x²y² 2 xy 1 3) g) 5r2x2 1 10r2x 2100r2x3 5r²x(x 1 2 2 20x²) h) 12y3 2 24y2 1 48y4 12y²(y 2 2 1 4y²)

3 Observando o termo comum entre parênteses, fatore cada uma das seguintes expressões algébricas. a) 7 ? (m 2 n) 2 x ? (m 2 n) (m 2 n) ? (7 2 x) b) x ? (a 1 b) 2 4 ? (a 1 b) (a 1 b) ? (x 2 4) c) 9 ? (x 2 2) 1 y ? (x 2 2) (x 2 2) ? (9 1 y) d) 50 ? (2m 1 1) 2 y ? (2m 1 1) (2m 1 1) ? (50 2 y) e) 8x ? (y 1 3x) 2 5 ? (y 1 3x) (y 1 3x) ? (8x 2 5) f) m ? (x 1 y) 1 10 ? (x 1 y) (x 1 y) ? (m 1 10) 4 Efetue, por agrupamento, a fatoração das expressões a seguir. a) 3x 1 3y 1 bx 1 by (3 1 b) ? (x 1 y) b) x2 2 4x 1 2x 2 8 (x 2 4) ? (x 1 2) c) ay 2 by 1 ax 2 bx (a 2 b) ? (y 1 x) d) mn 1 n 1 2m 1 2 (m 1 1) ? (n 1 2)

e) mp 1 xp 2 mr 2 xr (m 1 x) ? (p 2 r) f) 9 2 3x 1 3m 2 mx (3 1 m) ? (3 2 x) g) n2 1 18n 1 81 (n 1 9)² h) y2 2 24y 1 144 (y 2 12)²

5 Utilizando os três casos de produtos notáveis, fatore cada uma das seguintes expressões. a) 4 2 4x 1 x2 (2 2 x)² b) 64 1 16y 1 y2 (8 1 y)² c) 9y2 2 25 (3y 2 5) ? (3y 1 5)

d) x2 1 10x 1 25 (x 1 5)² e) y2 1 12y 1 36 (y 1 6)² f) 100 2 4x2 (10 2 2x) ? (10 1 2x) 25a

a) Determine a área em amarelo da figura ao lado e represente-a na forma fatorada. (25a)2 2 (9b)2 5 625a2 2 81b2 5 (25a 1 9b) ? (25a 2 9b)

b) Considerando a 5 1 m e b 5 0,5 m, determine a área que será ocupada pelo monumento. 20,25 m2

DAE

6 Um espaço público será reformulado para receber, em seu centro, um monumento. A área em amarelo continuará sendo utilizada para o trânsito de pedestres.

9b 25a 9b

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Simplificação de frações algébricas Fração algébrica é o quociente de dois polinômios, escrito na forma de uma fração, em que aparecem uma ou mais variáveis no denominador. São frações algébricas:

2 ,  5 1 y ,  a2 2 3 x x22 a

Não são frações algébricas: x ,  6n 2 3 2 9 Uma das finalidades de aprendermos a fatorar expressões está na simplificação das frações algébricas. Você certamente já efetuou a simplificação de frações numéricas quando trabalhou com frações equivalentes:

8 é um fator comum

24 5 8 ? 3 5 3 64 8?8 8



8 é um fator comum

Assim, no exemplo acima, o numerador foi fatorado e o denominador também. Como os dois têm em comum o fator 8, eles foram simplificados (dividimos o numerador e o denominador por 8). E como simplificar frações algébricas? Para simplificar uma fração algébrica, transforme o numerador e o denominador na forma fatorada. Caso seja possível, divida o numerador e o denominador por um fator comum.

Exemplo: Simplifique a fração algébrica formada pela divisão de polinômios: x 4 2 3x 3 1 x 2 2 3x x 2 2 6x 1 9

Resolução: No numerador, temos de fazer uma fatoração por agrupamento, enquanto no denominador aparece um trinômio quadrado perfeito, que pode ser transformado em quadrado de uma diferença: x 4 2 3x 3 1 x 2 2 3x 5 x 3 ? (x 2 3) 1 x (x 2 3) 5 x 2 2 6x 1 9 (x 2 3)2 3 3 5 (x 2 3) ? (x 1 x ) 5 x 1 x x23 (x 2 3) ? (x 2 3)

Observações: VV Para fatorar o numerador e o denominador, devemos utilizar os casos de fatoração vistos anteriormente. VV Como o denominador de uma fração deve ser diferente de zero, devemos estabelecer, em uma fração

5 7 2 y b2 2 11 algébrica, os valores que a variável não pode assumir. Nas frações algébricas , e , temos x x23 a x  0, x  3 e a  0, respectivamente.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Simplifique as frações a seguir. 2x m 21 2r 3 a) mx c) 2 3 x 2x x 21 r 2 2r 6 2x 2 y 8 2 b) d) 4x 2 2 2xy 4x 2 16 x 2 4

2 1 2 2r 3 1 2x

x 2 xy 12y e) 2x 1 xy 21 1 y 5 21 ax1 bx 1 ay 1 by x 1 y f) 3 3a 1 3b

2 Utilizando os casos de produtos notáveis para fatorar numerador e denominador das frações, simplifique-as. x 2 2 2xy 1 y 2 x 2 y x 2 2 16x 1 64 x 2 8 x 2 1 20x 1 100 x 1 10 c) e) a) 2 x 18 x x 2 64 x 2 1 10x x 1y x2 2 y 2 2 2 2 92y x 2 16y x2 2 y 2 x 2 4y x 2y d) 81 2 18y 2 1 y 4 9 21 y 2 f) x 2 1 8xy 1 16y 2 x 1 4y b) x 2 1 2xy 1 y 2 x 1 y

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Superando Desafios 1 (Saresp) 2 Simplificando-se a expressão x 2 1 3x , em que x  3, obtém-se: Alternativa b. x 29



3 x 29 b) x x 23

c) x 3

a)

d) 2 x 3

2 (Saresp)

A expressão x2 2 a2 é equivalente a: Alternativa d. a) 22ax b) (x 2 a)2

c) (x 1 a)2 d) (x 2 a) ? (x 1 a)

Matemática divertida e curiosa Autor: Malba Tahan (Prof. Júlio César de Mello e Souza) Editora: Record 192 páginas Matemática divertida e curiosa é um livro do mesmo autor de O homem que calculava. Malba Tahan trata de forma leve e intuitiva temas como divisão áurea, números amigos, quadrados mágicos, entre outros. Da Aritmética à Geometria apresenta ao leitor problemas interessantes, além de frases, anedotas e histórias sobre a Matemática elementar.

Editora Ática

Editora Record

Explorando Contando a história da Matemática – Jogando com a Matemática Autor: Oscar Guelli Editora: Ática 56 páginas O livro propõe jogos interessantes e divertidos que tratam de temas matemáticos como sistema de numeração, divisores de um número, critérios de divisibilidade e problemas numéricos.

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Matemática e Cidadania

Professor, no site ,www.braillevirtual.fe.usp.br/pt/Portugues/ braille.html., você encontra a representação animada em braile de todas as letras do alfabeto, dos numerais e de alguns símbolos utilizados em nossa escrita. Você pode sugerir que os alunos acessem o site de casa ou na própria escola, aproveitando para desenvolver o assunto e até mesmo criar alguma atividade sobre isso.

Como você se comunica?

Normalmente, um bebê, desde pequeno, percebe diferentes gestos e sons e os associa a diferentes situações do cotidiano. Com isso, vai gradativamente desenvolvendo formas de se comunicar com o mundo. A língua materna é uma dessas formas de comunicação, mas sabemos que existem outras, como o teatro, a dança, a música etc. Uma pessoa surda, por exemplo, utiliza muitas vezes a linguagem gestual, enquanto uma pessoa cega acaba aprimorando suas Professor, conte que quem deseja se tornar responsável pela tradução e interpretação de habilidades auditivas e táteis. Libras e do sistema braile deve ingressar no curso de Comunicação Assistiva. O profissional

dessa área tem a missão de transformar os sinais em palavras faladas ou lidas e vice-versa.

Falando em linguagem, a língua portuguesa possui algumas variações, e elas podem ser apresentadas tanto na forma de sinais, como na forma de códigos. Você já ouviu falar em Libras? E em Sistema Braille? Conheça um pouco mais a seguir.

Libras é a sigla de Língua Brasileira de Sinais. As Línguas de Sinais não são universais, e possuem sua própria estrutura de país para país. Elas são utilizadas por pessoas surdas, e consistem na comunicação por meio de gestos (geralmente com as mãos) e imagens. Mas não são quaisquer gestos e imagens. Esse tipo de língua é natural, como qualquer outra, e possui estruturas gramaticais próprias, assim como o português, o inglês, o francês etc. Assim, para cada letra do alfabeto, existe um sinal feito com a mão para representá-la. Já o Sistema Braille, utilizado universalmente na leitura e na escrita por pessoas cegas, foi criado em 1825 na França, por Louis Braille, um jovem cego. É um sistema de escrita e leitura, composto de 64 símbolos em relevo, resultantes da combinação de até seis pontos dispostos em duas colunas de três pontos cada. Por meio destes pontos, pode-se representar letras e algarismos, e a leitura desses códigos é feita da esquerda para a direita. A aplicação do Sistema Braille à Matemática também foi proposta por seu inventor. Foram apresentados os símbolos fundamentais para os algarismos, além das convenções para a Aritmética e a Geometria. Fonte de pesquisa: ; ; . Acesso em: abril 2015.

No quadro abaixo, estão representados os números de 0 a 9 na Língua Brasileira de Sinais e no sistema braile, sendo que os pontos maiores indicam relevos. 1

2

3

4

5

6

7

8

9 Ronaldo Barata

0

1 Pesquise na internet institutos que oferecem programas de capacitação em braile no os programas de Brasil e compare com seus colegas as informações encontradas. Professor, capacitação mais conhecidos

no Brasil são os institutos Benjamin Constant e Dorina Nowill. São institutos que facilitam a inclusão social de pessoas com deficiência visual, respeitando as necessidades individuais e sociais por meio de produtos e serviços especializados.

2 Reflita sobre a importância da adequação dos objetos de ensino para atender às necessidades peça aos alunos que efetuem uma pesquisa sobre inclusão social e de pessoas com deficiência. Professor, a relacionem com o conteúdo desenvolvido ao longo da seção. Após a pesquisa, peça

que fabriquem cartazes que conscientizem outros alunos da importância desse assunto.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Desenvolvendo a potência (9x 2 1)2, obtemos:

Alternativa c.

a) 81x 1 18x 1 1 2

x 1y x y 12 d) y

b) 81x2 1 18x 2 1

c)

c) 81x2 2 18x 1 1 d) 81x2 2 1 2 Fatorando a expressão algébrica 2mn 1 18m, temos como resultado: Alternativa a.

a) 2m (n 1 9) b) m (n 1 9) c) 2m (n 2 9) d) m (n 2 9)

3 Utilizando fatoração por agrupamento, podemos afirmar que A 5 mn 2 m 2 n 1 1 é igual a: Alternativa d. a) A 5 (n 1 1) (m 1 1) b) A 5 (n 2 1) (m 1 1) c) A 5 (n 1 1) (m 2 1) d) A 5 (n 2 1) (m 2 1)

7 Copie a alternativa que contém o valor numérico de A 5 1 0002 2 9002. Alternativa a. a) A 5 190 000 b) A 5 19 000 c) A 5 1 900 d) A 5 190 8 Uma expressão algébrica que representa a área total da figura formada por três retângulos é: Alternativa c.

6

Alternativa b.

a) (10 1 m)2 b) (10 2 m)2 c) (20 1 m)2 d) (5 1 m)2

5 A área do retângulo a seguir pode ser representada por: Alternativa c.

2x  1

2x  1

c) 4x2 2 1 d) 4x2 1 2

6 Simplificando a fração algébrica x 21 2x 1 2y 1 xy , obtemos: Alternativa a. x 2 1 xy

x

z

a) 6x 1 6y 1 z b) x 1 6(y 1 z) c) 6(x 1 y 1 z) d) 6(x 1 y 1 6z) 9 Considere o quadrado maior dividido em dois retângulos congruentes e dois quadrados de tamanhos diferentes. Se a área dessas figuras estão indicadas internamente, assinale a alternativa que indica a área total da figura. Alternativa d. a) 9y2 1 x2 b) 9y2 1 4x2 c) 9y2 2 x2 d) (3y 1 x)2

9y2

3xy

3xy

x2

10 Fatorando a expressão algébrica A 5 5x 1 ax 1 5y 1 ay, obtemos: a) 5(a 1 x) b) (5 1 a)(x 1 y)

a) x 1 2 x

y

Ilustrações: Setup

4 A expressão 100 2 20m 1 m2 equivale a:

a) 4x2 1 1 b) 8x2 1 1

x 12 b) x 1 y

Alternativa b.

c) x(a 1 5) d) x(5a 1 5y)

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11 Considerando que x2 1 y2 5 12 e 2xy 5 18, o valor de (x 1 y)2 é: Alternativa c. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35

17 A seguir, temos três quadrados coloridos dispostos dentro de um quadrado maior. O desafio será obter uma expressão algébrica que represente a área do quadrado maior considerando que a medida de seu lado é a soma da medida do lado dos três quadrados coloridos. (a 1 b 1 c)2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2(ab 1 ac 1 bc)

12 A expressão 121 2 4y corresponde a: 2

a) (11 1 2y) (11 1 2y)

a

b) (11 2 2y) (11 2 2y)

Ilustrações: Setup

a

Alternativa c.

b b

c) (11 1 2y) (11 2 2y)

c

d) (11 1 y) (11 2 y)

c

13 Calculando o valor da expressão E 5 2002 2 1992, obtemos: Alternativa a. 18 Conforme os três casos de produtos notáveis, complete cada uma das seguintes igualdades:

a) A 5 399 b) A 5 3 999 c) A 5 3 901

a) (9 2 5x)2 5 81 2

d) A 5 4 900 14 Copie a alternativa correta. a) x2 2 y2 5 (x 1 y)2 2

b) (3x 1 4)2 5 9x2 1 24x 1

16

c) (7 1 4y) ? (7 2 4y) 5

2 16y2

49

2

d) (

c) x2 1 y2 5 2 (x 1 y)2 d) x2 2 y2 ? 2 (x 1 y)2

Alternativa c.

121

2 3x)2 5 100 2 60x 1 9x2 10

e) (3x 2

15 Na figura abaixo está indicada a área de dois quadrados, isto é, 121 e y2. A área de cada retângulo representado por A é:

A

)2 5 9x2 2 30x 1

5; 25

f) (m 1 9n) ? (m 2 9n) 5 m2 2

A

y2

( ) b) ( 1 2 5y ) 5 c) ( 2 2 6m) 3 d) ( 4 1 3x ) ? ( 4 2 3x ) 5 5 e) ( 1 x 1 2) 3 f) ( 7 1 x ) ? ( 7 2 x ) 2 5 2 5 a) 2 1 3x 3

2

4 1 4x 1 9x 2 9

1 2 2y 1 25y 2 25

2

a) 11 b) y2 c) 11y d) 22

2

16 E a área total da figura é: Alternativa b. c) 121 d) 22

81n2

19 Efetue as operações indicadas e dê a resposta na forma simplificada.

2

a) (1 1 y)2 b) (11 1 y)2

90x

Alternativa d.

b) x 2 y 5 (x 2 y) 2

1 25x2

4 2 8m 1 36m2 9 16 2 9x 2 25

1 2 4 x 1 x 14 9 3 49 x2 2 4 25

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unidade 6

Geometria: quadriláteros

Berezovskyi/Dreamstime.com

Ao observar o formato da bandeira brasileira verificamos que há dois quadriláteros: o retângulo e o losango. Em objetos e construções, é muito frequente o uso de formas que se inspiram nos quadriláteros. Assim, retângulo, paralelogramo, quadrado e losango são amplamente utilizados. Conhecer suas propriedades permite-nos ampliar a compreensão da realidade.

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1 Quando um quadrilátero é denominado de para­ lelogramo? 2 Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero? 3 E a soma das medidas dos ângulos externos?

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Capítulo 16

Quadriláteros A Matemática e a Arte sempre andaram juntas. Artistas famosos já produziram obras belíssimas utilizando temas matemáticos. A Geometria, particularmente, é muito utilizada por esses artistas. Coleção Arcangelo Ianelli

O pintor Arcangelo Ianelli apresenta em sua obra a Geometria. Na tela ao lado, podemos observar a preocupação com o traçado de linhas retas formando quadriláteros em tamanhos e cores diferentes. Ao estudar os quadriláteros nos próximos capítulos, é importante que você observe os tipos de quadrilátero existentes e também as propriedades que os cercam. Respostas da página anterior: 1. Quando os lados opostos são paralelos. 2. 360° 3. 360°

Arcangelo Ianelli. Casas, 1960. Óleo sobre tela, 60 × 80 cm.

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Trabalho em equipe

caderno

Matemática e Arte Em um grupo de três pessoas, realizem juntos uma pesquisa sobre obras de arte que utilizam quadriláteros em sua composição. Indiquem o nome do autor de cada obra. Escolham uma das obras pesquisadas e a reproduzam em cartolina. Podem ser utilizadas diversas técnicas, como colagem, desenho, pintura, mosaico etc. Concluída a atividade, organizem uma exposição com as obras feitas.

Os quadriláteros: conceitos e elementos No volume anterior desta coleção, vimos como calcular a área de alguns quadriláteros. Sendo assim, já foi abordado o procedimento para o cálculo da área do quadrado, do retângulo, do paralelogramo, do trapézio e também do losango. Agora vamos ampliar um pouco esse conhecimento compreendendo os conceitos e elementos de um quadrilátero. Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

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Exemplos: Ilustrações: Setup

Q

B A C

S

P

D

R

Observações: VV Os pontos A, B, C e D (ou P, Q, R e S) são vértices do quadrilátero. VV Os segmentos

AB , BC , CD e DA (ou PQ , QR , RS e SP ) são os lados do quadrilátero.

VV Os vértices A, B, C e D (ou P, Q, R e S) indicam também os ângulos internos do quadrilátero. VV Normalmente, não fazemos distinção entre a região ocupada pelo quadrilátero e seu contorno. Assim,

quando calculamos a área de um quadrilátero, estamos calculando a área da região limitada por ele. VV Uma região plana é chamada de convexa se e somente se todo segmento de reta cujas extremidades pertencem

a ela estiver inteiramente dentro dessa região. Caso contrário, o polígono é chamado de não convexo. Exemplo 1: VV O quadrilátero ABCD é convexo, pois quaisquer dois pontos internos podem ser ligados por um segmento que fica inteiramente contido no quadrilátero.

B A C D Q

Exemplo 2: VV O quadrilátero PQRS é não convexo, pois apresenta pontos internos

que, quando ligados por um segmento, este não fica inteiramente contido no quadrilátero.

S

P

R

No nosso estudo dos quadriláteros vamos dar ênfase àqueles que são convexos por serem os de maior aplicação. Registre no

caderno

Trabalho em EQUIPE

Copie a tabela abaixo, complete-a com o maior número possível de objetos que apresentem a forma parecida com quadriláteros e que podem ser encontrados em cada um dos ambientes descritos. Cozinha

Banheiro

Quarto

balcão

espelho

janela

fôrma ou assadeira

sabonete

colchão

Lavanderia caixa de sabão (faces) pano de chão

Quintal

piso lixeira

Esses objetos listados também podem ser encontrados em outras formas geométricas? Cite alguns exemplos. Resposta pessoal.

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Soma das medidas dos ângulos internos Há um resultado muito importante que foi estudado na Unidade 3 deste livro sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. A

Ilustrações: Setup

Sendo A, B e C as medidas dos ângulos internos de um triângulo, temos: A 1 B 1 C 5 1808

B

C

E qual será a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero?

Para responder a essa pergunta, vamos considerar um quadrilátero convexo ABCD, conforme ilustrado na figura a seguir. Nele traçamos uma de suas diagonais (segmento que liga dois vértices não consecutivos). Essa diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos. Assim, temos na figura os ângulos A e C divididos pela diagonal em dois ângulos cada. Considerando que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, obtemos as seguintes igualdades: (I) A1 1 D 1 C1 5 1808 D (II) A2 1 B 1 C2 5 1808 C

C1

Adicionando essas duas igualdades membro a membro: A1 1 D 1 C1 1 A2 1 B 1 C2 5 1808 1 1808 (A1 1 A2) 1 B 1 (C1 1 C2) 1 D 5 3608 A 1 B 1 C 1 D 5 3608

C2

A1 A2 A

B

Num quadrilátero convexo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 360°.

Exemplo: Determine as medidas dos ângulos internos do quadrilátero representado ao lado.

B 2x

Resolução: Como a soma das medidas dos ângulos internos é 360°, podemos determinar o valor de x:

3x

x 1 2x 1 3x 1 4x 5 3608

C

4x

10x 5 3608

A

x 5 368

x D

Portanto, os ângulos internos desse quadrilátero têm medidas 36°, 72°, 108° e 144°.

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AGORA É COM VOCÊ

caderno

Professor, em algumas das atividades a seguir, o aluno deverá recordar características sobre os quadriláteros que foram abordadas no volume anterior desta coleção. No próximo capítulo faremos uma retomada sobre quadriláteros.

1 Indique V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação a seguir. I) Todo quadrilátero é convexo.  F

II) Há quadriláteros que apresentam os quatro ângulos congruentes.  V III) Todo trapézio é um quadrilátero.  V 2 Indique quais quadriláteros são convexos. I

I e IV

II

III

IV

3 Dadas as afirmações I) Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II) A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360°. III) Todo quadrilátero é não convexo. Alternativa d.

Podemos concluir que: a) Todas são verdadeiras.

d) Apenas II é verdadeira.

b) Apenas I e II são verdadeiras.

e) Apenas III é verdadeira.

c) Apenas II e III são verdadeiras. 4 No quadrilátero ABCD representado ao lado, um dos ângulos internos é igual a 90° e o ângulo D mede 60°. Responda às questões a seguir: a) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse quadrilátero? b) Qual é a soma das medidas dos ângulos A e C?

D C

360°

210°

c) Se o ângulo C medir 110°, qual deverá ser a medida do ângulo A?

A

100°

B

A B

75°

5 Determine a medida do ângulo interno correspondente ao vérti­ ce B, conforme medidas indicadas no quadrilátero ao lado.

x

x 5 150°

45°

6 Faça o que se pede nos itens, conforme a figura ao lado. a) Determine o valor de y. y 5 60° b) Determine a medida de cada um dos ângulos internos.

C

2y

2y

y

y

Ilustrações: Setup

D

60°, 60°, 120° e 120°

7 Em um quadrilátero, três de seus ângulos medem 80°, 102° e 96°. Determine a medida do quarto ângulo interno. 82°

173 pom8_168_193_u06.indd 173

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:32 AM

Soma das medidas dos ângulos externos

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Trabalho em EQUIPE

Você sabe qual é a soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer? Construa alguns polígonos e faça algumas verificações. O que foi possível concluir? Confira suas hipóteses e descobertas com os colegas.  A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°. Conhecendo a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo qualquer, podemos determinar a soma das medidas dos ângulos externos correspondentes a eles. Be

Ae

Bi Ai

Ci Ce Di De

No quadrilátero ao lado, considere que Ai, Bi, Ci e Di representam as medidas dos ângulos internos, e Ae, Be, Ce e De, as medidas dos ângulos externos correspondentes a eles. Como o ângulo externo e o ângulo interno relativos ao mesmo vértice são suplementares, temos as seguintes igualdades: Ai 1 Ae 5 1808

Ci 1 Ce 5 1808

Bi 1 Be 5 1808

Di 1 De 5 1808

Adicionando essas igualdades membro a membro, obtemos: A i 1 A e 1 Bi 1 Be 1 Ci 1 Ce 1 Di 1 De 5 180o 1 180o A e o11Be180 1o C1 1 Doi 1 1 180 1 oCe 1 De 5 720o A i 1 A e 1 Bi 1 Be 1 Ci 1 Ce 1 Di 1 ADi e 15Bi180 180 i   o 360o A i 1 Bi 1 Ci 1 Di 1 A e 1 Be 1 Ce 1 De 5 720  1 1 A B Ce 1 De 5 720o 2 360o e e 360o A e 1 Be 1 Ce 1 De 5 720o 2 360o ⇒ A e 1 Be 1 Ce 1 De 5 360o A e 1 Be 1 Ce 1 De 5 360o

Exemplo:

B

Determine a medida x indicada no quadrilátero ao lado.

Resolução:  omo sabemos que a soma das medidas dos ângulos externos do C quadrilátero é igual a 360°, vamos indicar as medidas dos quatro ângulos externos de acordo com a figura: Ae 5 1808 2 x

Ce 5 608

Be 5 1008

De 5 1808 2 x

100° A

x

Ilustrações: Setup

Num quadrilátero convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360°.

x

60° C

D

Assim, adicionando essas medidas, temos: Ae 1 Be 1 Ce 1 De 5 3608 1808 2 x 1 1008 1 608 1 1808 2 x 5 3608 3608 22x 11608 5 3608 1608 5 2x ⇒ x 5 808

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:32 AM

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AGORA É COM VOCÊ

1 Desenhe um retângulo e, em seguida, indique todos os ângulos externos. Qual é a medi­ da de cada um dos ângulos externos? 90° 2 Considere o quadrilátero convexo representado a seguir. Determine a medida: a) de x;

70°

b) do ângulo externo a x;

110°

c) do ângulo externo a 105°;

x 75°

d) do ângulo externo a 98°;

82°

e) do ângulo externo a 87°.

93°

105° 87°

98° A

3 O quadrilátero ABCD tem as medidas de seus ân­ gulos internos indicadas por expressões algébri­ cas. Observe-o e faça o que se pede.

B

2x  50° x  100° x  20°

80  x

D

C

a) Escreva uma equação que represente a soma das medidas dos ângulos internos. 2x 1 50° 1 x 1 100° 1 x 2 20° 1 80° 2 x 5 360° b) Indique o valor de x.

x 5 50°

c) Determine a medida de cada um dos ângulos internos.

150°, 150°, 30° e 30°

d) Determine a medida de cada um dos ângulos externos.

30°, 30°, 150° e 150°

4 O professor desenhou na lousa o quadrilátero ao lado e indicou apenas uma das medidas de seus ângulos internos. Sabendo que BA 1 BB 5 180° e BB 2 BD 5 0°, responda às questões.

C 156°

D

B

A

a) Podemos determinar as medidas dos demais ângulos internos?

Sim.

b) Podemos determinar também as medidas dos ângulos externos desse quadrilátero? Sim.

c) Quais são as medidas dos ângulos internos que estão faltando? 156°, 24° e 24°

d) Quais são as medidas dos ângulos externos desse quadrilátero?

a) Qual é o valor de x?

x

2x

Ilustrações: Setup

24°, 24°, 156° e 156°

5 No quadrilátero à direita os lados opostos, dois a dois, são paralelos. Considere que o ângulo externo a um vértice tenha o dobro da medida do correspondente ângulo interno. Responda às questões a seguir. 60°

b) Qual é a medida de cada ângulo interno desse quadrilátero?

60°, 60°, 120° e 120°

c) Qual é a medida de cada ângulo externo do quadrilátero representado? 120°, 120°, 60° e 60° 6 O quadrilátero ABCD tem dois ângulos externos retos nos vértices C e D. Determine: a) a medida dos ângulos internos desse quadrilátero; b) a medida dos ângulos externos desse quadrilátero. B

A 5 60°, B 5 120° e C 5 D 5 90° A 5 120°, B 5 60° e C 5 D 5 90° C

120°

A

D

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:32 AM

baGaGem Cultural Geometria africana Os sona são desenhos elaborados pelos povos cokwes, que habitam o nordeste de Angola, partes do noroeste da Zâmbia e as áreas adjacentes ao sul do Congo. Esse povo é conhecido pelos trabalhos ornamentais, como artesanato, máscaras e desenhos na areia. Os sona fazem parte da tradição oral desse povo, e são mais utilizados para memorizar as histórias contadas pelos homens mais velhos. Os meninos aprendem a contar essas histórias e também a desenhar os sona como parte de sua iniciação em rituais. Cada lusona (singular de sona) pode ser desenhado sem levantar o dedo ou sem refazer uma linha. Para iniciar um lusona, o artista geralmente começa alisando a areia e, com a ponta dos dedos, cria uma grade de pontos chamada tobe, que servirá como um quadro para o desenho. Percebe­se que ela tem um eixo de simetria vertical.

IIlustrações: Eduardo Belmiro

Observe a simetria da figura a seguir.

Branco Chiacchio

Agora observe este outro lusona.

Ele tem dois eixos de simetria, um perpendicular ao outro.

“Mais de 80% dos sona da maior coleção, [...], são simétricos. [...] Sona com apenas uma simetria rotacional de 180° ou de 90° são menos vulgares. A frequência de sona com um ou mais eixos de simetria constitui uma expressão da importância da simetria (axial) como valor cultural.” *

176 pom8_168_193_u06.indd 176

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

6/2/15 10:33 AM

bacongos Werner Forman Archive/Heritage Images/Glow Images

Povos de Angola

bacongos

bacongos quimbundos cokwes-lunda

ng an gu ela s

hereros

Alessandro Passos da Costa

cokwes-lunda

umbundu

nganguelas

nhanecas-humbe ambós

gas

xindon

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 45.

IIlustrações: Eduardo Belmiro

Agora vamos tentar fazer um lusona? Observe os passos a seguir, reproduza o quadro acima no caderno e faça o lusona. É mais fácil primeiro pensarmos em linhas retas, formando retângulos, e depois curvarmos os cantos. Não esqueça: desenhe seu lusona usando somente uma linha.

1o passo

2o passo

3o passo

4o passo

FINAL

*Paulus Gerdes: Geometria sona de Angola: Matemática duma tradição africana. Projecto de Investigação Etnomatemática. Maputo: Universidade Pedagógica, 1993. p. 34. Disponível em: . Acesso em: mar. 2015.

177 pom8_168_193_u06.indd 177

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

6/2/15 10:35 AM

Capítulo 17

Quadriláteros notáveis Eduardo Belmiro

Em calçadas e revestimentos, de modo geral, é possível constatar a presença de formas geométricas. Assim, não é difícil encontrar objetos com formas geométricas como o triângulo, o quadrado, o retângulo e o hexágono. Podemos, de modo extremamente criativo, utilizar o trapézio. Observe que, na figura ao lado, temos 18 trapézios, que formam 6 triângulos e 1 hexágono maior correspondente à figura completa.

O trapézio é apenas um dos exemplos de quadriláteros notáveis. Além dele, temos o paralelogramo, o losango, o retângulo e também o quadrado. Neste capítulo, observaremos mais detalhadamente as características de cada um desses quadriláteros. G. Evangelista/Opção Brasil

Arseniy Krasnevsky/ Shutterstock

Veja algumas calçadas com mosaicos. Note nessas ilustrações formas geométricas diversas.

Calçada com mosaico, em João Pessoa, PB.

Calçadão em Goiânia, GO.

Trapézio, paralelogramo, losango, retângulo e quadrado

Trapézio é um quadrilátero que tem dois lados paralelos.

A

B

D

C

Ilustrações: Setup

Com base na definição de cada um dos quadriláteros notáveis, podemos perceber melhor as relações existentes entre eles. Procure ler atentamente como cada um desses quadriláteros é definido. Serão cinco definições e algumas observações importantes.

Observações: VV Conforme exemplo acima, os dois lados paralelos são

AB e CD .

VV Os lados paralelos são chamados de bases do trapézio. VV Os trapézios podem ser classificados como: isósceles (os dois lados não paralelos são congruentes e os

ângulos adjacentes à mesma base são congruentes), retângulo (tem apenas dois ângulos internos retos) e escaleno (os lados não paralelos têm medidas diferentes). D

C

  Bˆ Cˆ  D ˆ A

B

178 pom8_168_193_u06.indd 178

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:36 AM

A

B

Paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. D

C

• No paralelogramo representado acima, os lados paralelos são AB e CD e também AD e BC. • Um paralelogramo pode ser considerado também trapézio, pois apresenta dois lados paralelos (na verdade, tem os lados opostos paralelos). A

D

B

Losango é um quadrilátero que tem os quatro lados congruentes.

C

• No losango representado acima, os lados opostos AB e CD e também AD e BC são paralelos. • Um losango também pode ser considerado um paralelogramo, pois os lados opostos são paralelos. A

B

Retângulo é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos. D

C

• No retângulo representado acima, os lados opostos

AB e CD e também AD e BC são

paralelos.

• Um retângulo também pode ser considerado um paralelogramo, pois os lados opostos são paralelos. B

Ilustrações: Setup

A

D

Quadrado é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos e os quatro lados congruentes. C

• No quadrado representado acima, os lados opostos

AB e CD e também AD e BC são

paralelos.

• Um quadrado também pode ser considerado um paralelogramo, pois os lados opostos são paralelos.

• Como o quadrado tem quatro ângulos retos, também pode ser considerado um retângulo. • Pelo fato de o quadrado apresentar quatro lados congruentes, também pode ser considerado um losango.

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APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:36 AM

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Responda às questões a seguir. a) Quais quadriláteros têm os quatro ângulos retos? Quadrado e retângulo. b) Quais quadriláteros têm os quatro lados congruentes? Losango e quadrado. 2 Desenhe em papel quadriculado: a) um quadrado cujo lado mede 5 cm; Resposta pessoal. b) um retângulo cujos lados medem 5 cm e 8 cm; Resposta pessoal. c) um trapézio em que os lados paralelos medem 2 cm e 6 cm. Resposta pessoal. 3 Indique V (verdadeira) ou F (falsa) para cada afirmação a seguir. I) Qualquer losango é também um retângulo.

F

II) Qualquer quadrado é também um retângulo. III) Todo retângulo é um quadrado.

V

F

IV) Todo quadrado é um paralelogramo.

V

V) Todo retângulo é um paralelogramo.

V

VI) Qualquer paralelogramo é também um losango.

F

Ilustrações: Setup

4 Num paralelogramo foi traçada uma das diagonais conforme representação na figura a seguir. 49°

61°

a) Qual é a medida dos ângulos internos desse paralelogramo? b) Qual é a medida dos ângulos externos? 110°, 110°, 70° e 70°

70°, 70°, 110° e 110°

5 Considerando um quadrado cujo lado mede 3,5 cm, responda às questões: a) Qual é a área desse quadrado? b) E o perímetro? 14 cm

12,25 cm2

6 Num paralelogramo foi traçada uma das diagonais conforme figura a seguir: 65°

55°

a) Quais são as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo? b) Quais são as medidas dos ângulos externos? 120°, 120°, 60°, 60°

60°, 60°, 120°, 120°

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:36 AM

Propriedades dos paralelogramos

Ilustrações: Setup

Ao caracterizar cada um dos quadriláteros notáveis, apresentados anteriormente, fizemos observações que nos levam a concluir que o losango, o quadrado e o retângulo são também paralelogramos.

Há propriedades importantes relativas a qualquer um dos paralelogramos que você já deve ter observado ao fazer algumas atividades relacionadas. Agora detalharemos tais propriedades.

Propriedade dos ângulos opostos Em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes, isto é, as medidas dos ângulos opostos são iguais.

Para justificar essa propriedade, consideraremos o paralelogramo ABCD representado ao lado. Os lados AB e CD são paralelos. Traçando uma reta que passe por dois vértices opostos, temos uma reta transversal às duas retas paralelas que contém os dois lados mencionados.

A

B A2

A1

C1 C2

D

C

Essa transversal divide os dois ângulos internos do paralelogramo em dois outros ângulos de tal maneira que, conforme propriedade já estudada: A1  C1 e A2  C2 Dessa forma, temos que: A  A1 1 A2  C1 1 C2  C ângulos opostos congruentes

Observação: VV A recíproca dessa propriedade é verdadeira, isto é:

todo quadrilátero que apresenta ângulos opostos, dois a dois congruentes, é um paralelogramo.

De acordo com a propriedade apresentada, podemos concluir que dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo são sempre suplementares. Considere, ao lado, o paralelogramo de ângulos com medidas a e b.

a

b

a 1 a 1 b 1 b 5 360° ⇒ 2a 1 2b 5 360° ⇒ a 1 b 5 180° b a

181 pom8_168_193_u06.indd 181

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:36 AM

Propriedade dos lados opostos

A justificativa dessa propriedade recai na congruência de triângulos. Retomando o paralelogramo ABCD, e conforme propriedade anterior, temos que o segmento AC o divide em dois triângulos.

A

B A2

A1

C1 C2

D

Ilustrações: Setup

Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes, isto é, as medidas dos lados opostos são iguais.

C

Analisando esses dois triângulos, temos o caso ALA de congruência, isto é: A 1  C1   AC  AC  A 2  C2 

ABC  ACD

Como esses dois triângulos são congruentes, podemos concluir que seus lados, dois a dois, são congruentes.

Observação: VV A recíproca dessa propriedade é verdadeira, isto

é: todo quadrilátero que apresenta lados opostos, dois a dois congruentes, é um paralelogramo.

Assim, temos que os lados opostos do paralelogramo são congruentes: AD  BC e AB  CD

Propriedade das diagonais Em qualquer paralelogramo as diagonais se interceptam no ponto médio. A

Essa propriedade pode ser justificada considerando o paralelogramo ABCD e as duas diagonais, que se interceptam no ponto M, conforme indicado na figura ao lado.

B 

 M





D

C

• Conforme propriedade dos ângulos opostos de um paralelogramo vista anteriormente, temos as seguintes congruências entre ângulos: a  b e   g (I)

• Outra congruência observada na propriedade dos lados opostos de um paralelogramo nos garante que: AB  CD (II)

• Se considerarmos (I) e (II) e os triângulos AMB e CMD, concluímos: a b   AB  CD    g 

AMB  CMD

Observação: VV A recíproca dessa propriedade

• Como os triângulos AMB e CMD são congruentes, seus lados correspondentes serão congruentes, isto é: AM  MC e BM  MD M é ponto médio das diagonais

é verdadeira, isto é: todo quadrilátero em que as diagonais se interceptam no ponto médio é um paralelogramo.

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:36 AM

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Utilizando compasso e régua, desenhe: Respostas pessoais. a) um paralelogramo ABCD de tal maneira que AB 5 5 cm, AD 5 10 cm e o ângulo BAD 5 45°; b) um paralelogramo PQRS de tal maneira que PQ 5 6 cm, PS 5 14 cm e o ângulo QPS 5 60°. 2 Em relação aos paralelogramos desenhados anteriormente, responda às questões a seguir. a) Qual é a medida dos ângulos internos do paralelogramo ABCD? b) Qual é a medida dos ângulos internos do paralelogramo PQRS? c) Qual é o perímetro do paralelogramo ABCD? 30 cm d) Qual é o perímetro do paralelogramo PQRS? 40 cm

45°, 45°, 135° e 135° 60°; 60°; 120° e 120°

3 Em relação aos paralelogramos, indique V (verdadeira) ou F (falsa) para cada afirmação a seguir. I) Em um paralelogramo, os ângulos internos opostos são congruentes. V II) Em um paralelogramo, os ângulos internos que não são opostos são complementares. F III) Em um paralelogramo, os ângulos internos que não são opostos são suplementares. V IV) Num paralelogramo, as diagonais se encontram no ponto médio. V 4 Resolva cada um dos problemas abaixo. a) Num paralelogramo, um ângulo externo mede 38°. Quais são as medidas dos demais ângulos externos? 38°, 142° e 142° b) A soma das medidas de dois lados consecutivos de um paralelogramo é igual a 32 cm. Qual é o perímetro desse quadrilátero? 64 cm c) O perímetro de um paralelogramo é 48 cm, e a medida de um dos lados é igual ao dobro da medida do outro lado. Determine a medida do maior lado desse quadrilátero. 16 cm

y

78°

x 5 78°; y 5 102°

Ilustrações: Setup

5 Calcule a medida dos ângulos indicados por x e y no paralelogramo a seguir.

x

6 No paralelogramo ao lado, alguns ângulos estão indicados em função de x.

2x

x

a) Determine as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo. 60°, 60°, 120° e 120°

b) Determine as medidas dos ângulos externos desse paralelogramo.

x

x

120°, 120°, 60° e 60°

7 Em um paralelogramo, um dos ângulos forma­ dos pelas diagonais mede 96°. Essas diagonais dividem o paralelogramo em quatro triângulos, conforme representado ao lado. a) Obtenha a medida x. b) Obtenha a medida z.

70° 84°

x z

96° z x

26°

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:36 AM

Outras propriedades As propriedades estudadas anteriormente são válidas para todos os paralelogramos. Há, entretanto, propriedades particulares que não valem para todos eles. Observe-as atentamente. Professor, comente que todo quadrado é um re­ tângulo. Assim, a pro­ priedade ao lado também é válida para o quadrado.

Propriedade dos retângulos Em qualquer retângulo, as diagonais são congruentes.

A

B

D

C

A

B

A

C

D

B

Ilustrações: Setup

A justificativa dessa propriedade está na congruência de triângulos construídos no próprio retângulo quando traçamos suas diagonais. Considere o retângulo ABCD e os triângulos ABC e BAD abaixo representados:

• Conforme propriedades dos paralelogramos (lembre que todo retângulo é um paralelogramo), temos as seguintes congruências comparando os triângulos ABC e ABD: BC  AD (lados opostos no paralelogramo) A ≡ B (ângulos congruentes nos dois triângulos) AB  AB (lado comum nos dois triângulos)

Observação:

• Considerando o caso de congruência LAL, os triângulos ABC e ABD são congruentes. Sendo assim, temos a seguinte congruência:

VV A recíproca dessa propriedade

também é verdadeira, isto é: todo paralelogramo que têm diagonais congruentes é um retângulo.

AC  BD (diagonais do retângulo são congruentes).

Propriedade dos losangos Em qualquer losango, as diagonais são perpendiculares.

Professor, comente que todo quadrado é um losango. Assim, a propriedade ao lado também é válida para o quadrado.

Vamos justificar essa propriedade considerando um losango ABCD e suas diagonais se encontrando no ponto M, conforme figura a seguir. A

D



 M

B

C

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APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:36 AM

• Como todo losango é um paralelogramo, as diagonais se encontram no ponto médio M. Dessa forma, temos as congruências: AM  CM e BM  DM

• Considerando os triângulos ABM e ADM e os dois ângulos indicados, temos as seguintes congruências: AD  AB

(lados do losango)

DM  BM AM  AM (lado comum aos triângulos ABM e ADM)

• Considerando o caso de congruência LLL, os triângulos ABM e ADM são congruentes. Sendo assim, temos a seguinte congruência: ab Como esses dois ângulos são suplementares (observe na figura que eles formam um ângulo raso), temos que: a 5 b e a 1 b 5 1808 ⇒ a 5 b 5 908

Observação: VV A recíproca dessa propriedade também é verdadeira: todo paralelogramo que tem diagonais

perpendiculares é um losango.

Propriedade dos quadrados Em qualquer quadrado, as diagonais interceptam-se no ponto médio, são congruentes e são perpendiculares.

• Pelo que vimos até aqui, qualquer quadrado é losango (apresenta as medidas dos lados congruentes), é retângulo (os quatro ângulos são retos) e também é um paralelogramo (lados opostos paralelos). Sendo assim, temos as seguintes congruências: AC  BD (as diagonais são iguais)

M

D

Ilustrações: Setup

Para justificar essa propriedade, consideraremos o quadrado ABCD e nele traçaremos as duas diagonais, que se encontram no ponto M. A B

C

AM  BM  CM  DM (as diagonais se interceptam no ponto médio)

• Além

disso, como o quadrado é um losango, suas diagonais formam 90°, isto é, são perpendiculares.

Observação: VV A recíproca dessa propriedade também é válida: todo paralelogramo que apresenta diagonais congruentes

e perpendiculares é um quadrado.

185 pom8_168_193_u06.indd 185

APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:36 AM

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AGORA É COM VOCÊ 1 Desenhe um quadrado cujo lado meça 6 cm. Depois: a) trace as duas diagonais; Respostas pessoais. b) verifique se as duas diagonais formam ângulo reto. 2 Desenhe um retângulo cujos lados meçam 6 cm e 10 cm. Depois: a) trace as duas diagonais; Respostas pessoais. b) verifique se as duas diagonais formam ângulo reto. 3 Indique V (verdadeira) ou F (falsa) para cada afirmação a seguir. I) Em qualquer quadrado, as diagonais formam um ângulo de 90°. V II) Em todo retângulo, as diagonais formam um ângulo de 90°. F III) Em todo losango, as diagonais formam um ângulo de 90°. V IV) Num quadrado, as diagonais se encontram no ponto médio. V V) Num retângulo, as diagonais se encontram no ponto médio. V VI) Num losango, as diagonais se encontram no ponto médio. V

4 Num paralelogramo, os ângulos agudos medem a metade dos ângulos obtusos. Deterx  x  2x  2x  360° ⇒ 6x  360° ⇒ x  60° mine as medidas dos ângulos desse paralelogramo. Logo, o ângulo agudo será 60° e o ângulo obtuso será 120°.

5 A medida de cada ângulo obtuso de um losango é expressa por 2x + 5°, enquanto a medida de cada ângulo agudo é expressa por x + 40°. Nessas condições, determine a medida dos quatro ângulos desse losango. 2(2x  5)  2(x  40)  360 ⇒ x  45° O ângulo obtuso mede: 2  45°  5°  95°. O ângulo agudo mede: 45°  40°  85°.

DAE

6 No losango abaixo, a diagonal representada divide o quadrilátero em dois triângulos equiláteros cujos lados medem 5 cm.

a) Determine as medidas dos ângulos internos do losango. b) Obtenha o perímetro do losango. 20 cm

120°, 120°, 60° e 60°

7 Resolva os problemas a seguir. a) Determine as medidas dos ângulos internos de um losango, considerando que uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 52°. 104°, 104°, 76° e 76° b) Um dos ângulos internos de um losango é igual a 80°, e a diagonal menor divide o losango em dois triângulos congruentes. Determine as medidas dos ângulos internos desses triângulos. 50°; 50° e 80° 8 Em um trapézio isósceles, a medida de um ângulo interno excede a de outro em 20°. Calcule os ângulos desse trapézio.

x  x  x 20°  x  20°  360° ⇒ x  80°; Os ângulos medem 80° e 100°.

186 pom8_168_193_u06.indd 186

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 3:40 PM

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Conexões

Existem diversas propriedades dos quadriláteros que você viu ao longo desta unidade e que, de alguma forma, podem ser percebidas em situações práticas. Entretanto, algumas que não foram vistas são extremamente curiosas. Uma delas você poderá observar por meio de uma construção simples com lápis e régua. Construa um quadrilátero convexo qualquer de vértices A, B, C e D. Com o auxílio de uma régua, descubra os pontos médios dos lados desse quadrilátero. A seguir, ligue consecutivamente esses pontos com segmentos. B A

C

D

A curiosidade está aí: com base em um quadrilátero convexo qualquer, o quadrilátero que se obtém ligando os pontos médios será sempre um paralelogramo. Já, se ligássemos os pontos médios dos lados de um losango, obteríamos então um retângulo, como sugere a figura a seguir.

Ilustrações: Setup

Por outro lado, caso resolvamos ligar os pontos médios dos lados de um retângulo, o quadrilátero resultante será um losango, como indicado na figura abaixo.

Descubra o que acontece quando ligamos os pontos médios dos lados de um quadrado.

Obtemos outro quadrado.

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Peter Marble/Dreamstime.com

Na prática podemos encontrar alguns exemplos bem interessantes da utilização direta ou indireta dessas propriedades dos quadriláteros. Um exemplo disso é o chamado mosaico. Alguns mosaicos são elaborados com formas geométricas. Aqui, o que chama nossa atenção são os padrões geométricos que muitas vezes aparecem nessas construções.

Lowlihjeng/Dreamstime.com

Mosaico de vidro colorido formando uma flor.

Um mosaico pode ser construído com pedaços de cerâmica, por exemplo. Esses pedaços são colocados de acordo com um desenho previamente escolhido. Outro exemplo mais ligado às propriedades dos quadriláteros pode ser encontrado em revestimentos de pisos e paredes, como mostra a fotografia ao lado.

1 Pesquise mosaicos na internet. Traga para a sala de aula uma ilustração impressa de um mosaico que você achou bem interessante.

Registre no

caderno

Eduardo Belmiro

2 Elabore um desenho, em papel quadriculado, composto de quadriláteros formando uma faixa, para ser colocado numa parede. Observe o exemplo a seguir:

3 Em sua escola há pisos e paredes de lajotas em forma de quadriláteros? Exemplifique. Resposta pessoal.

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caderno

Superando Desafios 1 (ITA) Dadas as afirmações: I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares; II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares;

III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango. Podemos concluir que: Alternativa c. a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas II é verdadeira. e) Apenas III é verdadeira. 2 (OBM)

Ronaldo Barata

Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais conforme ilustração abaixo, obtendo-se um triângulo isósceles. Foi feito um corte na folha dobrada, paralelo à base desse triângulo, pelos pontos médios dos outros lados. A área do buraco na folha corresponde a que fração da área da folha original? Alternativa e.

b) 1 6

c)

Explorando

3 8

d) 3 4

e) 1 4

Pra que serve a Matemática? – Geometria www.uff.br/cdme/jcq/jcq-html/ jcq-br.html

Jogo da classificação dos Quadriláteros

Atual Editora

a) 1 2

Autores: Imenes, Jakubo, Lellis Atual Editora 48 páginas

www.uff.br/cdme/jcq/jcq-html/jcq-br.html Acesso em: mar. 2015.

Você sabia que a Geometria é usada em outras áreas do conhecimento? O livro dá exemplos práticos do uso da Geometria na arquitetura, propaganda, eletrônica e telecomunicações.

Jogo em que você deverá formar o quadrilátero indicado pelo software. Esse material, desenvolvido pela Universidade Federal Fluminense, ajudará a aprimorar seus conhecimentos em relação à classificação dos quadriláteros.

O leitor é desafiado a fazer construções usando dobraduras de papel com o objetivo de compreender conceitos geométricos abstratos. Há também exemplos de situações curiosas do uso da Geometria na natureza e no nosso dia a dia.

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caderno

MATEMÁTICA e Cidadania A Matemática e as placas de trânsito

Você já deve ter visto algumas placas de trânsito. Consegue perceber que temos várias formas geométricas nestas placas? 2.

4.

3.

7.

Ilustrações: DAE

1.

8.

5. 6.

9.

10.

11.

NA DÚVIDA NÃO ULTRAPASSE

Nos exemplos mostrados acima, percebemos que as placas têm várias formas geométricas ou formas que se aproximam das geométricas. Temos vários tipos de sinalizações e cada placa tem um significado. O primeiro tipo é a sinalização de advertência, que serve para alertar o motorista sobre algum problema ou perigo que ele pode encontrar naquela via – são as placas com fundo amarelo. As placas de regulamentação têm a função de informar aos motoristas proibições, obrigações ou restrições do uso – elas têm fundo vermelho ou somente o contorno vermelho. As placas de indicação auxiliam no sentido de direção e distâncias dos lugares – estão divididas em 4 grupos: • Orientação e destino: sinalizam nomes de cidade, número dos quilômetros de determinada rodovia, com as palavras em branco e fundo verde.

• Serviços auxiliares: informam o motorista sobre locais para reparos em falhas do carro, falta de combustível, local para descanso etc. Essas placas têm fundo azul.

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• Placas educativas: visam educar o usuário quanto à possibilidade de não causar nenhum acidente por falta de atenção e cuidado. Normalmente, são brancas, com palavras em preto.

• Atrativos turísticos: auxiliam na localização de determinados lugares de lazer, como praias, parques etc. Têm fundo marrom e palavras em branco ou símbolos dos locais em preto em branco.

Além das placas, os semáforos, faixas de pedestres etc., também têm formas geométricas. O importante mesmo é respeitar as leis de trânsito, para que em nosso bairro, ou em nossa cidade, sempre prevaleça a segurança para todos. Precisamos nos conscientizar de que, se temos essas leis, é para que elas nos auxiliem a evitar acidentes graves. Fontes: www.cetsp.com.br/internew/sinalizacao/2007/abertura.html e aimore.net/placas/geral.html. Acesso em: mar. 2015.

Veja a tirinha de Mauricio de Sousa.

© Mauricio de Sousa Produções — Brasil

A princípio, a primeira placa salvou o Cebolinha de um incrível olho roxo, mas a placa seguinte, não.

Disponível em: portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002027/0000024245.jpg. Acesso em: mar. 2015.

Após ler o texto, faça o que se pede. 1 Escreva o nome das formas geométricas de cada placa de trânsito mostrada no texto da círculo, octógono, página anterior. Desconsidere que os vértices são arredondados. Quadrado, triângulo, retângulo.

Professor, repare que a terceira imagem pode ser dita como um losango, já que o quadrado é um caso particular de losango.

2 Quais são as placas de regulamentação que aparecem no início do texto? Desenhe-as. 2, 5, e 6

3 Quais são as placas de sinalização de advertência que aparecem no início do texto? Desenhe-as. 3 e 7 4 Quais são as placas de indicação que aparecem no início do texto? Desenhe cada uma, separando-as pelos quatro grupos descritos no texto.

• Orientação e destino 1 e 8 • Serviços auxiliares 9 • Placas educativas 10 • Atrativos turísticos 4 5 As placas de trânsito da tirinha são de qual tipo de sinalização?

Regulamentação.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Se um quadrilátero tem quatro lados con­ gruentes e os quatro ângulos congruentes, então ele é denominado de: Alternativa b. a) retângulo. b) quadrado. c) losango. d) parelelogramo. 2 Dos quadriláteros mencionados abaixo, assinale aquele em que as diagonais são perpendiculares. Alternativa b. a) trapézio b) losango c) paralelogramo d) retângulo 3 No losango a seguir, um dos ângulos in­ ternos é igual a 46°.

3x 5x 2x

2x

a) o maior ângulo interno é igual a 80°. b) o menor ângulo interno é igual a 30°. c) o maior ângulo interno é igual a 120°. d) o menor ângulo interno é igual a 60°. 7 Considerando que o quadrilátero é um trapézio isósceles, é correto afirmar que: Alternativa d.

Alternativa a.

117°

x 46°

Então, a medida do outro ângulo indicado por x é: a) 134° b) 144°

c) 154° d) 104°

4 Num quadrilátero convexo, a medida de um ângulo interno é igual a 22°. Então, a me­ dida do ângulo externo correspondente é: Alternativa d. a) 178° b) 168° c) 138° d) 158° 5 Num quadrilátero, as medidas de três de seus ângulos são 110°, 50° e 90°. A medi­ da do quarto ângulo interno é: Alternativa c. a) 100° b) 105° c) 110° d) 115° 6 Conforme medidas indicadas para os ân­ gulos internos do quadrilátero convexo, é correto afirmar que: Alternativa d.

a

b

a) c 5 118° b) a 5 63° e b 5 64° c) a 5 53° e b 5 53° d) a 5 63° e b 5 63° 8 No quadrilátero convexo representado a seguir, é correto afirmar que o ângulo x mede: Alternativa a.

85°

Ilustrações: Setup



c

125° y x

80°

a) 70°

c) 77°

b) 40°

d) 0°

9 Nesse quadrilátero, a medida do ângulo indicado por y é: Alternativa c.

a) 70°

c) 110°

b) 100°

d) 120°

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10 Ainda sobre o quadrilátero anterior, é cor­ reto afirmar que a medida do menor ân­ gulo externo é:

14 Considerando que o quadrilátero ABCD é um losango, é correto afirmar que: Alternativa d. A

Alternativa b.

a) 45° b) 55° c) 40° d) 60°

y

11 No trapézio ABCD, dois de seus ângulos in­ ternos são congruentes e medem 60°. Alternativa a.

D

C

60°

Sendo assim, a medida de cada um dos outros dois ângulos internos é: c) 180° d) 110°

12 O quadrilátero representado abaixo tem dois de seus ângulos internos determinados. x

É correto afirmar que as medidas dos ân­ gulos x e y: Alternativa b. c) somam 90°. d) somam 120°.

13 No retângulo representado a seguir, dois dos ângulos determinados por uma de suas diagonais têm suas medidas repre­ sentadas em função de x. Ilustrações: Setup

Alternativa c.

5x  3°

12x  2°



É correto afirmar que o valor de x é: a) 3°

b) 4°

a) x 5 30° b) x 5 45°

C

c) x 5 40° d) x 5 60°

a) y 5 105° b) y 5 60°

c) y 5 90° d) y 5 100°

16 Se num losango um dos ângulos externos medir 130°, é correto afirmar que o maior ângulo interno medirá: Alternativa d.

a) 90° b) 100°

c) 110° d) 130°

Alternativa c.

100°

a) são iguais. b) somam 140°.

D

17 Qual das afirmações a seguir é falsa?

120° y



2x 15°

Alternativa a.

B

a) 120° b) 240°

x  15°

15 Ainda sobre o losango representado na ati­ vidade anterior, é correto afirmar que:

60°

A



B

c) 5°

d) 6°

a) Todo quadrado é um retângulo. b) Todo retângulo é um paralelogramo. c) Todo losango é um quadrado. d) Todo quadrado é um losango. 18 Responda às questões. a) Todo quadrilátero convexo tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 360°? Sim. b) Em todo quadrilátero convexo, qual é a soma das medidas dos ângulos externos? 360° c) Qual é a medida de cada um dos ângu­ los internos de um quadrado? 90° d) Qual é a medida de cada um dos ângu­ los externos de um quadrado? 90° e) Se a medida de um ângulo interno de um quadrilátero é 32°, qual é a medida do correspondente ângulo externo? 148° f) Se a medida de um ângulo externo de um quadrilátero é 102°, qual é a medida do correspondente ângulo interno? 78°

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UNIDADE 7

Álgebra: equações A qualquer ponto situado num plano dividido por dois eixos perpendiculares podemos associar um par ordenado. A qualquer par ordenado, podemos associar um ponto desse mesmo plano. Tal ideia permite-nos representar retas, segmentos e curvas diversas, que podem estar associadas a equações. É o início da Geometria Analítica, em que um ponto é interpretado por um par ordenado e uma reta, por meio de uma equação.

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Binkski/Shutterstock

1 Como podemos localizar um ponto qualquer na superfície da Terra? x  y  5 2 Quantas soluções apresenta o sistema  ? x  y  7

3 Se dois números somam 10 e a diferença entre eles é 4, quais são esses números?

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Capítulo 18

Equações do 1 grau o

Ilustrações: Eduardo Belmiro

No volume anterior desta coleção iniciamos o trabalho com Álgebra. Vimos que em muitas situações podemos utilizar letras para representar quantidades. Problemas podem ser resolvidos por meio de equações. Uma igualdade que apresenta uma incógnita (que representamos por uma letra) é denominada de equação.

Na Matemática, uma igualdade pode ser interpretada como uma balança de dois pratos em equilíbrio. Se acrescentarmos (ou retirarmos) uma mesma massa aos dois pratos, o equilíbrio se mantém. De modo análogo, numa igualdade, quando acrescentamos (ou retiramos) uma mesma quantidade nos dois membros, obtemos uma igualdade também verdadeira. Essa ideia simples possibilita-nos resolver equações. Neste capítulo, retomamos primeiro como podemos resolver equações e depois ampliamos este conhecimento. Registre no

Trabalho em EQUIPE

caderno

Em dupla, observe a balança que está em equilíbrio. c) Resposta possível: O conjunto numérico será o dos racionais positivos mais o zero, mas, se algum aluno pensar que a massa é medida em gramas, o conjunto numérico poderá ser o dos naturais ou o dos inteiros.

a) Tente descobrir qual é a massa de cada pote de mel supondo-os iguais. 200 g b) Se 10 gramas custam 50 centavos, quanto pagará quem comprar um pote? R$ 10,00. c) Quando resolvemos equações que estão expressas por uma balança, os resultados possíveis pertencem a qual conjunto numérico? d) Crie uma equação que relacione a massa do pote de mel com o valor a ser pago, sabendo que o valor pago por grama de mel é R$ 0,05 e que de todo produto deverá ser retirado a massa equivalente à embalagem, que tem massa igual a 30 g, e acrescido o valor de R$ 1,00 equivalente ao valor da embalagem.

196

x representa a massa do pote de mel, em gramas, e y representa o valor a ser pago; equação: 0,05  (x  30)  1  y, ou aplicando a distributiva e resolvendo: 0,05x – 1,5  1 = y  > 0,05x  0,5  y Respostas da página anterior: 1. Usando coordenadas geográficas. 2. Não há solução para o sistema. 3. 7 e 3.

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Resolução de problemas que envolvem equações do 1o grau Vamos utilizar a seguir alguns exemplos de problemas que envolvem equações para que possamos relembrar os procedimentos normalmente adotados para a resolução.

Exemplo 1: A soma de três números naturais ímpares e consecutivos é igual a 147. Determine esses três números.

Resolução:

• Para equacionar, precisamos observar que os números são ímpares e consecutivos. Um número ímpar pode ser representado por 2x 1 1. Sendo assim, escrevemos: 1o número 5 2x 1 1 2o número 5 2x 1 3 3o número 5 2x 1 5

• Agora escrevemos uma equação que represente a situação e a resolvemos: 2x  1  2x  3  2x  5  147 6x  9  147 6x  9  9  147  9 6x  138 6x  138 6 6 x  23 1º número  2  23  1  47 x  23 ⇒ 2º número  2  23  3  49 3º número  2  23  5  51 Portanto, os números procurados são 47, 49 e 51.

Exemplo 2: Observe a equação e responda: Que número x devemos somar a 8 para que possamos obter o resultado 17?

x  8  17 Resolução: É possível que tenha utilizado a estratégia 9  8  17. Agora vamos pensar de outra forma: somando (8) aos dois membros da equação, teremos: x  8  8  17  8; ao cancelar  8  8 teremos x  17  8, ou seja, x  9. Com base nesse exemplo, encontre os resultados correspondentes nas sentenças abaixo relacionando as equações com as soluções. a) (3); b) (4); c) (1); d) (2) a) x  6  10

(1) x  3

b) x  20  8

(2) x  13

c) 7  x  4

(3) x  16

d) 6  x  19

(4) x  12

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caderno

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Exemplo 3: Observe a equação e responda: Qual valor deve ser atribuído a x para que este, multiplicado por 2, resulte em 24? 2x  24

Resolução: É possível que você tenha utilizado a estratégia 2  12  24. Agora vamos pensar de outra forma: multiplicando os dois termos da equação por para isolar a incógnita, teremos:

( 21 ) ,

1 1 24  2x  24  . Dessa forma, x  ou x  12. 2 2 2 Você notou que o número 2, que estava multiplicando a incógnita no 1º termo, apareceu, no segundo termo, dividindo o número 24? Com base no exemplo acima, encontre o resultado de cada equação da primeira coluna nos itens da segunda coluna: Resposta: a) (3); b) (2); c) (4); d) (1). a) 3x  15 (1) x  9 b) 2x  100 (2) x  50 c) 20x  –2 (3) x  5 1 x  4,5 (4) x    d) 10 2

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caderno

Exemplo 4: Resolva a seguinte equação do 1o grau na incógnita x:

4 ? (x 2 1) 1 6x 5 7 2 2 ? (3 2 x)

Resolução:

• Inicialmente, eliminamos os parênteses e procuramos agrupar os termos semelhantes em cada um dos membros da igualdade correspondente a elas. 4 ? (x 2 1) 1 6x 5 7 2 2 ? (3 2 x) 4x 2 4 1 6x 5 7 2 6 1 2x 10x 2 4 5 1 1 2x

• Deixamos os termos com a incógnita x no 1º membro e os termos independentes da incógnita x no 2o membro: 1 4 1 10x 2 4 5 1 1 2x 1 4 10x 2 4 1 4 5 1 1 2x 1 4 2 2x 1 10x 5 5 1 2x 2 2x 8x 5 5

Exemplo 5: Resolva a seguinte equação na incógnita x:

8x 5 5 8 8 5 x5 8

x  2  4  2x  7 2 3 6

Resolução: Para eliminar inicialmente as frações, multiplicamos os dois membros da igualdade pelo número 6 (mínimo múltiplo comum dos denominadores existentes). Em seguida, o procedimento é análogo ao exemplo anterior.

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(

6  x  2  4  2x 2 3

)  6  67

3 ? (x 2 2) 1 2 ? (4 2 2x) 5 7 3x 2 6 1 8 2 4x 5 7 2x 1 2 5 7 2x 1 2 2 2 5 7 2 2 (21) (2 x) 5 5  (21) x 5 25

Observação: VV No final da resolução dessa equação,

multiplicamos os dois membros por 21 para alterar o sinal da incógnita no 1o membro.

Exemplo 6: 1 Um ciclista, em uma velocidade constante, após já ter percorrido do trajeto, gastou 3 4 mais uma hora para percorrer desse mesmo trajeto. Em quanto tempo o ciclista percorreu 5 todo o percurso?

Resolução: Considerando t o tempo gasto, temos: 1 1 • 3  t  1 ⇒ tempo para percorrer 3 do trajeto mais uma hora; 4 4 • 5  t ⇒ tempo para percorrer 5 do trajeto. Logo: 1 4 t1 t 5t  12t  15 3 5 7t  15 1 4 15  [  t  1]  15  t 15 15 3 5 t  7 7 5t  15  12t 15 Logo, para completar o percurso o ciclista levou horas, ou aproximadamente 2,14 horas. 7

Exemplo 7: Um vendedor de produtos eletrônicos ganha mensalmente um salário fixo de R$ 750,00 e mais uma comissão de 2% sobre o total de vendas no mês. Considerando que neste mês ele teve um salário de R$ 3.450,00, determine o total de vendas que ele efetuou.

Resolução: Representando o total de vendas que ele efetuou por x, temos a seguinte equação: Ronaldo Barata

750 1 0,02 ? x 5 3 450 750 2 750 1 0,02 ? x 5 3 450 2 750 0,02x 5 2 700 2 700 0,02x  0,02 0,02 2 700 x  2 100 x  2 700  100 ⇒ x  135 000 2 Portanto, o vendedor efetuou um total de R$ 135.000,00 em vendas.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Considere a balança em equilíbrio representada abaixo:

x

x

x

a) Se as três bolas colocadas no prato da esquerda têm a mesma massa, escreva uma equação que represente a situação. 3x 1 300 5 650 b) Resolva essa equação determinando a massa de cada uma dessas bolas. x  350 g 3

2 Há três números naturais consecutivos com soma igual a 102. a) Escreva uma equação que represente essa situação. b) Que números são esses? 33, 34 e 35

x 1 x 1 1 1 x 1 2 5 102

3 Determine três números naturais ímpares e consecutivos cuja soma seja igual a 75. 23, 25 e 27

4 Considere a balança com dois pratos em equilíbrio e que cada uma das latas tenha a mesma massa.

Então: a) escreva uma equação que auxilie na determinação da massa x de cada uma das latas; 3x 1 400 5 1 000 b) qual é a massa de cada uma delas? 200 g 5 Determine o número real x para que as expressões 6(2x 1 3) e 62 1 3x sejam iguais.

x52

Ilustraçõs: Eduardo Belmiro

6 Sabendo que a balança encontra-se em equilíbrio e que as embalagens do mesmo produto têm mesma massa, faça o que se pede.

a) Equacione o problema acima utilizando C para café e A para arroz. 7 ? C 5 18 1 2 ? A b) Utilizando a equação encontrada, determine a massa de cada pacote de arroz sabendo que cada pacote de café tem massa igual a 4 kg. 5 kg

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7 Resolva cada uma das equações abaixo na incógnita x. a) 2x 2 70 5 210 x 5 30 b) 3(5x 2 22) 5 3 x 5 1 c) x  1  x x  21 2 21 7

f) 5(x 1 3) 2 2(x 2 1) 5 20 x 5 1 g) 1  x  1 x  1 6 4 2 3 h) 6 1  x  x  1 x  3 10 3 2 i) 3x  5  2(x  5)  3x x 5 23 2 2

(

d) 81  3x  15 x 5 22 e) x  3  x  2 x 5 213 2 3 2 8 Qual é a solução da equação: (4) x  2

3,24  5 ?

)

x 5  

2   0,4 5

9 Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa. a) ( ) 8 é a raiz da equação x 1 3 5 25. F b) ( ) Resolvendo 32x 5 14 2 5, obteremos 1 como resposta. V c) ( ) 15 é a raiz da equação 23(28) 5 x 1 9 V d) ( ) A equação 50x 1 20 5 10x tem como solução um número inteiro. F 10 Resolva os problemas a seguir.

10 km

b) O triplo da quantia que João possui mais R$ 44,00 resulta exatamente a quantia necessária para pagar uma dívida de R$ 134,00. Qual é a quantia que João possui? R$ 30,00 c) Ao adicionar 5 aos três meios de um número, o resultado é o mesmo que adicionar 3 aos quatro quintos desse mesmo número. Que número é esse?  20 7 d) O tanque de um carro contém 40 litros de gasolina, o que representa 80% de sua capacidade. Qual é a capacidade desse tanque? 50 litros

Anna Lurye/Shutterstock

Paolo Bona/Shutterstock

a) Numa cidade, a corrida de táxi custa R$ 5,00 mais a quantia de R$ 2,00 por quilômetro rodado. Se a pessoa gastou R$ 25,00 em uma corrida, qual é a distância percorrida?

11 Um vendedor recebe um salário fixo mensal de R$ 1.300,00 mais uma comissão de 2% sobre o valor de vendas efetuadas durante o mês. a) Defina uma equação que forneça o rendimento mensal R desse vendedor em razão das vendas x realizadas. R  1 300  0,02x b) Se o ganho no final do mês desse vendedor foi de R$ 4.200,00, qual foi seu volume de vendas? Seu volume de vendas foi de R$ 145.000,00. 12 (Unicamp) Roberto disse a Amanda: “Pense em um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Amanda disse: “15”. Roberto imediatamente revelou o número original em que Amanda havia pensado. Calcule esse Pense em um número: x Que número havia sido pensado? número. Dobre esse número: 2x Some doze ao resultado: 2x  12 2x  12 Divida o novo resultado por dois: 2 2x  12 Quanto deu?  15 2

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APOEMA matemática 8

2x  12  30 2x  30  12 2x  18 x9 Amanda havia pensado no número 9.

a

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Resolução de equações literais Até aqui resolvemos equações numa incógnita. Em algumas situações, podemos nos deparar também com uma equação literal. Mas o que significa equação literal? Denomina-se equação literal numa incógnita quando, na igualdade correspondente, existem coeficientes ou termos indicados por outras letras diferentes da incógnita. Para resolver uma equação literal usamos o mesmo procedimento da equação não literal, isto é, isolamos a incógnita no 1o membro da igualdade. Observe atentamente alguns exemplos.

Exemplo 1: Considere a situação já estudada. Um vendedor de produtos eletrônicos ganha mensalmente um salário fixo de R$ 750,00 e mais uma comissão de 2% sobre o total de vendas no mês. Vamos considerar que, em uma situação como essa, haja duas variáveis: o total de vendas (x) e o salário (y). Podemos observar que o salário total y depende da variável volume de venda x. Assim, podemos escrever as informações: y  salário total comissão: 0,02 (2%)  x (vendas) y  750  0,02  x 750  y Se quisermos resolver essa equação na incógnita x, teremos: x  0,02 Registre no • Se no mês de agosto esse vendedor faturou R$ 20.000,00 em vendas, com caderno 750  0,02  20 000 base na equação acima, qual foi seu salário total? yy   R$ 1.150,00

Exemplo 2: Resolva a equação ax 1 b 5 c 2 2x  na incógnita x.

Resolução: Como a incógnita da equação é x, devemos isolar essa incógnita no 1o membro da igualdade, isto é:

ax 1 b 5 c 2 2x (Subtraímos b nos dois membros.) ax 1 b 2 b 5 c 2 2x 2 b ax 5 c 2 b 2 2x

Professor, comente com os alunos que na resolução de uma equação a incógnita também poderia ser isolada no 2o membro da igualdade correspondente.

(Somamos 2x aos dois membros.) ax 1 2x 5 c 2 b 2 2x 1 2x (Colocamos o x em evidência.) x(a 1 2) 5 c 2 b (Dividimos os dois membros por a 1 2.) x  c b a 2 Como x foi obtido em função de a, b e c, devemos ter cuidado para que o denominador da fração obtida seja diferente de zero, isto é: a 1 2  0 ou a  22.

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APOEMA matemática 8

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Exemplo 3: Resolva a equação

Resolução:

mx  n 2

5

mx  n 3

na incógnita x.

Como a incógnita é x, vamos isolar essa incógnita no 1o membro da equação. Para tanto, multiplicamos os dois membros pelo número 6 (mínimo múltiplo comum de 2 e 3).

mx + n  mx  n 2 3 (Multiplicamos os dois membros por 6.) 6  mx  n  6  mx  n 2 3

(

)

(

)

3 ? (mx 1 n) 5 2 ? (mx 2 n) 3mx 1 3n 5 2mx 2 2n (Subtraímos 3n nos dois membros.) 3mx 1 3n 2 3n 5 2mx 2 2n 2 3n 3mx 5 2mx 2 5n (Subtraímos 2mx nos dois membros.) 3mx 2 2mx 5 2mx 2 5n 2 2mx (Dividimos os dois membros por m.) mx 5n 52 m m x   5n m A restrição da solução encontrada (na forma fracionária) é que o denominador deverá ser diferente de zero, isto é, m  0.

Exemplo 4: Resolva na incógnita x a equação: k2x 2 k 5 4x 1 2.

Resolução: Isolamos x no 1o membro: k 2x 2 k 5 4 x 1 2 (Somamos k nos dois membros.) k 2x 2 k 1 k 5 4 x 1 2 1 k k 2x 5 4 x 1 2 1 k (Subtraímos 4x nos dois membros.) k 2x 2 4 x 5 4 x 1 2 1 k 2 4 x (Colocamos o x em evidência.) x(k2 2 4) 5 k 1 2 (Dividimos os dois membros por k2 2 4.)

x (k 2  4)  k  2 k2  4 k2  4 x  k2  2 k 4 Observe que no denominador do 2o membro há um produto notável. Fatorando, temos: (k  2) (k  2)(k  2) 1 , com k  2 e k  2 x  k 2

x 

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Registre no

caderno

AGorA É Com VoCÊ 1 Resolva as seguintes equações literais na incógnita x. x 

b) 4x  2a  3b

b a

x

c) 5(a  x)  b  a

Zubartez

a) ax  b  0

3b  2a 4 b − 6a x 5

d) 3  2x  6(a  2b) x  a  2b e) 3mx  n  mx  n 5 4

x

9n 7m

). Determine o valor de: 2 Considere que m  3(nx 22 4m a) n n  3x b) x x 

4m 3n

3 Em cada equação a seguir, determine a incógnita x. a) mx  n  px  q b) p  2x  2x  p

(q  n ) (m  p ) p x 2 x

c) mx  5m  3x  3m

x 

2m (m  3)

d) 8x  p2  px  64 x  8  p 4 Considere a equação na incógnita x dada por: a2x  1  x  a. Resolva esta equação considerando que: a) a  2

x

1 3

c) a  3

b) a  2 x  1

x

d) a  3

1 4

x 

1 2

5 Resolva cada uma das equações literais considerando que a incógnita é x. a) r(x  2)  x  r b) px  q  p  qx

x

x

r r 1

p q p q

c) m(x  2)  n(x 2)  4m d) a(ax  b)  b2(x 1)

x

x

2n  6m m n

ab  b2 a2  b2

6 Descubra o número em cada situação. a) Pense em um número, dobre este número, some 12 ao resultado e divida o novo resultado por 2 para obter o número 15 ao final. Qual é o número? 9 Ilustra Cartoon

b) Marcos pensou em um número. Adicionou 7 a esse número e multiplicou o resultado por 3, obtendo o número 99. Qual é o número que ele pensou? 26 7 Escreva as restrições da solução encontrada, quando houver, dos exercícios 1, 2, 3 e 5. 1. a) a ≠ 0 e) m ≠ 0

2. a) x ≠ 0 b) n ≠ 0

3. a) m ≠ p c) m ≠ 3

5. a) r ≠ 1 b) p ≠ q

c) m ≠ n d) a ≠ ±b

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Resolução de equações fracionárias No tópico anterior vimos como resolver uma equação literal, isto é, equações que, além da incógnita, contêm letras que representam números. Algumas vezes nos deparamos com equações que não são equações do 1o grau, pois a incógnita aparece em meio a frações algébricas. Exemplos de equações fracionárias: 2 4 3  1  1 5 10 y

• x • 1

• 1  •

2 7 4 3x x 4 1   23x x 2 x 2 x 4

Equação fracionária é aquela que apresenta pelo menos um de seus termos como fração algébrica. Uma fração algébrica é uma fração que apresenta uma ou mais variáveis no denominador. A resolução de uma equação fracionária, principalmente quando apresenta a incógnita no denominador de uma fração, deve ser efetuada tomando o cuidado das restrições quanto ao denominador. Não podemos esquecer que o denominador de uma fração deve ser diferente de zero. A seguir, observe atentamente alguns exemplos.

Exemplo 1: Resolva a equação na incógnita x:

2  4. x 3

Resolução:

• Como o denominador da fração que está no primeiro membro apresenta a incógnita, devemos impor a condição inicial de existência, isto é:

x30⇒x3

• Multiplicando os dois membros da equação por esse denominador, temos: 2  (x  3)  4  (x  3) (x  3) 2  4x  12 2  12  4x  12  12 14  4x 14  4x 4 4 7 x 2 Portanto, a solução da equação é x  7 (observe que satisfaz a condição inicial de exis2 tência de ser diferente de 3).

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APOEMA MATEMÁTICA 8

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Exemplo 2: Resolva a seguinte equação fracionária na incógnita x: 1  2  7  4 . x 3x Resolução:

• Como existem duas frações com denominadores que contêm a incógnita, impomos a condição de que esses denominadores sejam diferentes de zero: 3x  0 e x  0

• Multiplicamos os dois membros da equação por 3x (mínimo múltiplo comum de 3x e x): 1 2 7 4 x 3x 3x  1  2  3x  7  4 x 3x

(

)

(

)

3x 2 2 5 21x 1 12 3x 2 2 + 2 5 21x + 12 + 2 3x 5 21x + 14 3x  21x 5 21x + 14  21x 218x 5 14 18x 5 214 14 x 5 2  18 7 x 5 2  9

Exemplo 3: Resolva a equação fracionária:

Resolução:

4 1   2 3x . x 2 x 2 x 4

• Condições de existência: x 2 2  0 (x  2) x 1 2  0 (x  22) x 2 2 4  0 (x  2 e x  22)

• Observando que x2 2 4 5 (x 1 2)(x 2 2), multiplicamos os dois membros da igualdade por esse produto para eliminar os denominadores, isto é: 4 1   2 3x x 2 x 2 x 4 4 1 3x   (x  2)(x  2)  (x  2)(x  2)  x 2 x 2 x2  4

(

)

(

)

4(x 1 2) 1 1(x 2 2) 5 3x 4x 1 8 1 x 2 2 5 3x 5x 1 6 5 3x 5x 1 6 2 6 5 3x 2 6 5x 5 3x 2 6 5x 2 3x 5 3x 2 6 2 3x 2x 5 26 2x   6 ⇒ x   3 2 2

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Registre no

AGORA É COM VOCÊ 1 Resolva a equação fracionária a seguir: 4  1  3 x 3 x 4 x 2 x55

caderno

25 30 5)  x x 0,30 30x  25x  7,5 5x  7,5 x  1,5 Logo, no posto B, o etanol custa R$ 1,50, e no posto A, R$ 1,80.

2 Resolva cada uma das seguintes equações fracionárias na incógnita x. a) 12  1  10 x 5 27 g) 2  2   64 x 5 23 x 2x 4x x 2 5 5x b) 5  15 x 5 2  h) 2 x55 3x  1 21 x  2x  1 (x  1)2 c) x  2  4 x 5 214 i) 3x  1  x x 5 24 x 2 3 x 4 x 4 d) x  3  x  1 x 5 8 j) 1  3  2 x50 5x 5x x 5 x 5 x 5 3 3 k) 82  1  x 2 1 x 5 2 e) 15(m  n)  5 x  3(m  n) 2 9x 18x x 4x 2 2 x x 2 4 2   4 x 5 23 5 7 2 9 l) 4   f)   x  7 x  x 1 2 1 2 x x 9 Professor, na resolução da equação fracionária da atividade 3 Considere a equação a seguir. 4, o aluno observará que aparece uma equação do 2º grau

na incógnita x. Comente que esse tipo de equação será 8(x  4)  36 resolvido no próximo volume desta coleção. 3x 12 a) Para que exista essa equação, x deverá ser diferente de quais valores? x  3 67 b) Qual é a solução dessa equação? x 5 17

4 Considere a equação 3x  2  2x e responda: 4x 3 a) Qual é a restrição à solução dessa equação? A incógnita x tem de ser diferente de zero. b) O número 6 é solução dessa equação? Justifique sua resposta. Não é solução. Ao substituirmos a incógnita x por 6, encontramos a desigualdade 2  4. 3

5 No posto de combustível A, o litro de etanol custa R$ 0,30 a mais do que no posto B. Para abastecer o carro com a mesma quantidade de etanol gastou-se R$ 30,00 no posto A e R$ 25,00 no posto B. Qual é o custo do litro de etanol em cada um desses postos? Registre no

Diversificando linguagens

1.

caderno

390 km x  10 B

x  10

C

x

D Peanuts, Charles Schulz © Peanuts Worldwide LLC./Dist. by Universal Uclick

A

1 Após a leitura dos quadrinhos, tente montar o esquema do problema com o qual a Patty 1 10 1 x 5 390 Pimentinha está com dificuldades.2. x3x11102015x 390 2 Resolva o problema da Patty.

3x 5 370 x 5 123, 33 Se x 5 123, 33, então a distância entre A e B é 133, 33 km, aproximadamente.

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CApítUlo 19

Sistemas de equações Julio Abramczuk/Folhapress

Mateus adora inventar problemas! Certa ocasião, ele estava em um estacionamento, ao lado de um campo de futebol, e resolveu contar todos os pneus das motocicletas e dos carros que estavam estacionados.

Ilustra Cartoon

Após a contagem, Mateus chegou à conclusão de que havia ao todo 124 pneus. Ele inventou, então, o seguinte problema: Em um estacionamento, em determinado momento, havia motocicletas e carros, totalizando 124 pneus sem contar os estepes. Quantos eram os carros e quantas eram as motocicletas?

Vista aérea de um estacionamento.

Observe que não sabemos o total de carros e muito menos o total de motocicletas. Conhecemos apenas o total de pneus desses veículos. Neste problema, existem duas quantidades desconhecidas, ou seja, duas incógnitas. Estamos, portanto, diante de uma situação que envolve uma equação com duas incógnitas. Como você resolveria isso? Neste capítulo veremos como resolver problemas com mais de uma incógnita.

Sistemas de equações do 1o grau

Ronaldo Barata

Com base na situação apresentada no início deste capítulo, vamos considerar que a quantidade desconhecida de carros e de motos sejam representadas por x e y, respectivamente. Observando que um automóvel tem 4 pneus, e uma motocicleta, 2, temos a seguinte equação:

pneus de motocicleta

4  x  2  y  124 pneus de carros

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Observe que nessa equação aparecem duas incógnitas. Será necessário mais uma informação para que possamos descobrir quantos são os carros e quantas são as motocicletas no estacionamento. Vamos então supor que Mateus deu mais uma pista para que possamos resolver o problema: O número de motocicletas supera o número de carros em 17. Como o número de carros é representado pela letra x e o número de motocicletas pela letra y, temos uma nova equação com as mesmas duas incógnitas:

y 5 x 1 17 Devemos determinar um valor de x e um valor de y que satisfazem as duas equações simultaneamente. Representamos essa situação por um sistema: 4x  2y  124  y  x  17 

Quando duas equações com duas incógnitas devem ser satisfeitas simultaneamente, temos um sistema de duas equações a duas incógnitas. Vamos voltar ao sistema considerando que na 2a equação a incógnita y está isolada da incógnita x. Assim, podemos substituir a 2a equação na 1a equação: 4x  2y  124  y  x  17 

4x 1 2 ? (x 1 17) 5 124 4x 1 2x 1 34 5 124 6x 1 34 2 34 5 124 2 34 6x 5 90 6x  90 6 6

x 5 15 Como sabemos quantos são os carros, podemos determinar o número de motocicletas substituindo em uma das duas equações a incógnita x por 15. Vamos substituir na 2 a equação:

y 5 x 1 17 y 5 15 1 17 y 5 32 Portanto, há 15 carros e 32 motocicletas.

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Resolução de um sistema: método da substituição e método da adição Agora que você conheceu um sistema de equações, vamos detalhar um pouco mais os processos que possibilitam a resolução de tais sistemas. Se você observar com atenção o sistema que foi resolvido anteriomente, verificará um procedimento, que pode ser utilizado, chamado método da substituição.

Método da substituição Para resolver um sistema com duas equações a duas incógnitas, isola­‑se uma incógnita numa equação e substitui­‑se o resultado obtido na outra equação. Vamos exemplificar a utilização desse método.

Exemplo 1:

x  y  11 Resolva o sistema:  3x  2y  23 Resolução:

• Vamos isolar uma das incógnitas em uma das duas equações. Optamos por isolar y na 1a equação e substituir esse resultado na 2a equação, isto é: x  y  11 ⇒ y  11  x  3x  2y  23 3x 2 2 ? (11 2 x) 5 23 3x 2 22 1 2x 5 23 5x 2 22 1 22 5 23 1 22 5x 5 45 5x  45 5 5

x59

• Esse resultado poderá ser substituído em uma das duas equações dadas para que possamos determinar o valor da outra incógnita. Vamos substituir na 2a equação (poderia ser na 1a equação): 3 ? 9 2 2y 5 23 27 2 2y 2 27 5 23 2 27 22y 5 24 2y 5 4 y52 Portanto, x 5 9 e y 5 2 representam valores que são as soluções do sistema.

Exemplo 2:

x  2y  1  2 Resolva o seguinte sistema:  3x  2y  3 2 

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Resolução:

• Para

utilizar o método da substituição, podemos isolar x na 1a equação e substituir o resultado obtido na 2a equação, isto é: x  2y  1 ⇒ x   2  3x  2y  3 2  3  1  2y  2y  2 3  6y  2y  3 2 2 3  8y  3  3  2 2 2 28y 5 0 8y 5 0

(

)

1  2y 2 3 2

3 2

y50

• O resultado obtido pode ser substituído em uma das duas equações, por exemplo, na 1a equação:

x  1  2y 2 x  1 20 2 x  1 2 Ao resolver um sistema formado por duas equações e duas incógnitas, podemos também utilizar um método um pouco diferente que consiste em adicionar, sob certas condições, as duas equações simultaneamente. É o método da adição.

Método da adição Quando, num sistema de duas equações a duas incógnitas, uma mesma incógnita aparece com coeficientes opostos, adiciona­‑se as duas equações membro a membro, eliminando essa incógnita, o que resulta numa equação com apenas uma incógnita.

Exemplo 3: x  y  15 Resolva o seguinte sistema pelo método da adição:  3x  y  33 Resolução:

• Visto que a incógnita y apresenta coeficientes opostos nas duas equações, adicionam­ ‑se as equações membro a membro, a incógnita y desaparece e fica apenas a incógnita x, isto é: x  y  15 3x  y  33 ____________ 4x  48 4x  48 4 4 x  12

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• Como conhecemos o valor de uma das incógnitas, podemos substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na 1a equação (poderia ser na 2a equação): x 1 y 5 15 12 1 y 5 15 12 1 y 2 12 5 15 2 12

y53 Portanto, x 5 12 e y 5 3 são os valores que representam a solução desse sistema.

Observação: VV Mesmo que no sistema os coeficientes de uma mesma incógnita não sejam opostos, é possível

transformá-los de tal maneira que fiquem opostos. Verifique o próximo exemplo.

Exemplo 4: 2x  5y  51 Resolva o seguinte sistema utilizando o método da adição:  x  y  12 Resolução:

• Se

multiplicarmos, por exemplo, a 2a equação por 22, os coeficientes de x nas duas equações serão opostos. Sendo assim, podemos utilizar o método da adição: 2x  5y  51 (x  y)  (2)  12  (2) 2x  5y  51 2x  2y  24

• Adicionando, no sistema obtido, as duas equações membro a membro, obtemos: 2x  5y  51 2x  2y  24 3y  27 3y  27 ⇒ y  9 3 3

• Vamos substituir na 2a equação: x 1 y 5 12 x 1 9 5 12 x 1 9 2 9 5 12 2 9 x53 Portanto, x 5 3 e y 5 9 são os valores que representam a solução do sistema.

Observação: VV A solução de um sistema formado por duas equações a duas incógnitas é um par de valores que

satisfazem simultaneamente essas duas equações.

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Registre no

AGORA É COM VOCÊ 1 Encontre os valores de x e y que representam as soluções de cada uma das equações presentes nos sistemas. Resolva cada sistema pelo método da substituição.

 x  y  1 1 x , 4 d)  5 4x  2y  2 y  43 5 4, 7x 15y  21 5x  8y  4 xy 5 2 e)  b)  x 5 23,  y50 5x  10y  0  x  y  3 x 5 5, y 5 10

6x  2y  4  x  2y  14 c)  x 5 21, f)  x 5 58, x  y   4 5 y 5 21   x  4y  30 y 5 222 2 Resolva cada um dos sistemas a seguir utilizando o método da adição.  x  y  2 x 5 24, 4x  y  0 x 5 25, a)  y 5 22 d)  x  y   6   x  y  15 y 5 220 2x  3y  12 b)  2x  y  6

 x  4y  0 x 5 4, e)  2x  3y  11 y 5 1

 x  2y  11x 5 29, c)  f)  x  3y  6 y 5 1 2. b) x 5 

15 ,y59 2

 x  2y  4 5x  2y  20 

x 5 6, y55

3 Resolva cada um dos seguintes proble­ mas:

Maçã: 280 g; e pera: 160 g.

9 cédulas de R$ 100,00 e 31 cédulas de R$ 20,00

Eduardo Belmiro

a) Para manter a balança representada abaixo em equilíbrio, foram utilizados pesos de 200 e 20 gramas, além de maçãs e peras. Calcule a massa das frutas usando o sistema de equações e considerando que frutas iguais têm a mesma massa.

b) Douglas precisa comprar lápis e borrachas. Se ele comprar 2 lápis e 5 borrachas, gastará R$ 17,00. Mas, se ele resolver comprar 4 lápis e 2 borrachas, gastará R$ 18,00. Sabendo disso, determine o valor dos dois itens. c) Em uma fazenda estão sendo criados 72 animais, dentre cavalos e vacas. Sabe-se que há 8 cavalos a mais do que vacas. Com base nessa informação, calcule o número de cavalos e vacas na fazenda. 32 vacas e 40 cavalos d) Um estacionamento cobra R$ 5,00 por carro e R$ 4,00 por moto estacionados. Sabendo que o estacionamento obteve uma renda de R$ 60,00 em determinado dia para um total de 14 veículos, calcule a quantidade de motos e care ros que foram estacionados. 410carros motos e) Miguel possui um total de 120 moedas, entre elas moedas de 25 e 5 centavos apenas. Somando-as, obtém-se um valor de R$ 12,60. Determine a quantidade de moedas de 25 e 5 centavos. f) Pagou-se uma compra de R$ 1.520,00 com apenas notas de 100 e 20 reais, totalizando 40 cédulas. Com essas informações e com o seu conhecimento de sistemas lineares, calcule a quantidade de notas de 100 e 20 reais.

© Banco Central do Brasil

2x  y a)  3x  y  5

caderno

3. b) Lápis: R$ 3,50; e borracha: R$ 2,00. 3. e) São 87 moedas de 5 centavos e 33 moedas de 25 centavos.

g) Em determinado jogo de futebol, compareceram 30 mil pessoas ao total. Sabendo que estavam presentes 10 mil sócios a menos que o triplo do número de não sócios, determine a quantidade de sócios que compareceram ao jogo. 20 mil sócios

213 pom8_194_231_u07.indd 213

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:39 AM

Capítulo 20

Interpretação geométrica da solução de sistemas Vicente Barcelo Varona/Shutterstock

Quando é necessário localizar um ponto qualquer na superfície do nosso planeta, utilizamos as coordenadas geográficas: longitude e latitude. Você já estudou algo sobre tais coordenadas? Conte para os colegas e o professor o que sabe sobre longitude e latitude. Figura fora de escala; as cores usadas não são as reais.

Planeta Terra visto do espaço.

Na Matemática, quando queremos localizar um ponto qualquer num plano, utilizamos um sistema de coordenadas cartesianas. Nesse sistema, qualquer ponto pode ser associado com um par de valores (coordenadas do ponto) e, reciprocamente, qualquer par de valores pode ser associado a um ponto desse mesmo plano. Veremos neste capítulo como podemos formar esse sistema de coordenadas e, a partir daí, fazer uma interpretação geométrica da solução de um sistema.

O plano cartesiano Ao estudar os números reais, vimos que é possível associar qualquer número real com um ponto numa reta e, reciprocamente, a qualquer ponto da reta podemos associar um número real. 26

25

24

23

22

21

0

1

2

3

4

Se, a partir dessa reta, traçarmos outra perpendicular passando exatamente pelo ponto que representa o zero, dividiremos o plano, conforme a figura ao lado, em quatro partes. As duas retas perpendiculares serão os eixos coordenados. Qualquer ponto P será localizado a partir de duas coordenadas: um valor de x e um valor de y.

5

6

7

y P

Ilustrações: Setup

27

x

214 pom8_194_231_u07.indd 214

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:39 AM

Se representarmos esse plano numa malha quadriculada, a localização dos pontos do plano fica mais simples, considerando que no eixo x temos para a direita os valores positivos e, para a esquerda, os valores negativos. No eixo y, de modo análogo, temos para cima os valores positivos e, para baixo, os negativos.

Observações: VV Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro

quadrantes, conforme indicado a seguir: y

Exemplo 1: Ilustrações: Setup

y

5 B 4 A

3

C

1o quadrante

3o quadrante

4o quadrante

x

VV Os pontos que estão nos eixos coordenados não

pertencem a nenhum dos quadrantes.

2

VV O ponto de encontro dos eixos coordenados é dito

1

D

2o quadrante

1

4 3 2 1 1

2

3

4

origem do sistema de coordenadas cartesianas. Representamos por O (0, 0).

5 x

2

VV Dado um par ordenado (x, y) que corresponde

3 4 F

a um ponto do plano cartesiano, x é chamado de abscissa do ponto e y é chamado de ordenada desse ponto.

G

E 5

No plano cartesiano representado acima estão indicados alguns pontos: A 5 (2, 3), B 5 (0, 5), C 5 (23, 3), D 5 (22, 0), E 5 (21, 25), F 5 (0, 24) e G 5 (3, 24). Agora que conhecemos um pouco a respeito do plano cartesiano, podemos ampliar esse conhecimento observando que qualquer equação do 1o grau com duas incógnitas, x e y, poderá ser representada por meio de uma reta no plano cartesiano. Observe o exemplo a seguir.

Exemplo 2: Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem a equação x 2 2y 5 3.

Resolução:

• Como a equação apresenta duas incógnitas, podemos, por exemplo, atribuir valores a uma delas e obter os correspondentes valores para outra. Assim, obtemos pares ordenados, isto é: x 2 2y 5 3

(x, y)

y 5 21 ⇒ x 2 2 ? (21) 5 3 ⇒ x 5 1 (1, 21) y 5 0 ⇒ x 2 2 ? 0 5 3 ⇒ x 5 3

(3, 0)

y 5 1 ⇒ x 2 2 ? 1 5 3 ⇒ x 5 5

(5, 1)

y 5 2 ⇒ x 2 2 ? 2 5 3 ⇒ x 5 7

(7, 2)

• Como

a cada par ordenado corresponde um ponto no plano cartesiano, localizamos e ligamos esses pontos por meio de uma reta, conforme o gráfico ao lado.

y

7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Professor, comente com os alunos que atribuímos, no exemplo, valores inteiros para y por uma questão de comodidade. Entretanto, poderíamos atribuir qualquer outro número real. Obteríamos, assim, os pontos da reta representada.

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APOEMA matemática 8

a

x

215 6/2/15 10:39 AM

Registre no

caderno

Trabalho em EQUIPE Você já jogou batalha naval? Veja o tabuleiro original utilizado para este jogo. BATALHA NAVAL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A B C D E F G H I J K L M N O COURAÇADO

CRUZADORES

FRAGATAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C D E F G H I J K L M N O SUBMARINOS

HIDROAVIÕES

y O jogo é bem simples. Para começar, arranje um 7 oponente para jogar contra você. Vocês vão precisar de 6 uma folha quadriculada e lápis. Veja na ilustração ao lado 5 que, para esse jogo, fizemos uma pequena alteração no 4 3 tabuleiro. Nesta versão, você deve desenhar primeiro o 2 plano cartesiano na folha quadriculada e, em seguida, 1 escolher os pontos que determinam a posição de cada 7654 3 21 0 1 2 3 4 5 6 7 embarcação. Cada um dos jogadores tem direito: 1 2 são 5 pontos cartesianos • 2 couraçados 3 consecutivos, na horizontal ou vertical. 4 (exemplo: (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1) ) 5 6 1 ponto cartesiano • 3 submarinos 7 2 pontos cartesianos consecutivos, • 3 fragatas na horizontal ou vertical. Para jogar, você deve escolher um ponto e torcer para que acerte algum navio do seu oponente. Vamos tentar?

Setup

A B C D E F G H I J K L M N O

x

216 pom8_194_231_u07.indd 216

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:40 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Represente em um plano cartesiano os pontos correspondentes aos seguintes pares ordenados: C 5 (24, 26) E 5 (7, 25) G 5 (24, 0) A 5 (210, 2) B 5 (10, 4) D 5 (4, 6) F 5 (0, 4) H 5 (25, 26) 2 Em um mesmo plano cartesiano, represente os pontos: A 5 (0, 4); B 5 (22, 4); C 5 (7, 4) e D 5 (8, 4). Depois, responda às questões. a) O que esses pontos têm em comum? A mesma ordenada (ordenada de um ponto é o valor de y) 4. b) Esses pontos estão alinhados? Sim. 3 Em um mesmo plano cartesiano, represente os pontos: P 5 (5, 4); Q 5 (5, 23); R 5 (5, 22) e S 5 (5, 6). Depois, responda às perguntas. a) O que esses pontos têm em comum? A mesma abscissa (abscissa de um ponto é o valor de x) 5. b) Esses pontos estão alinhados? Sim. 4 Reproduza o plano cartesiano a seguir e represente com pontos os pares ordenados que satisfazem a equação x 1 y 5 8. Sugestão: atribua valores a x e determine os valores para y em correspondência. 9 8 7 6

Os alunos poderão desenhar uma reta contendo esses pontos. 1.

Ilustrações: Setup

y

Resposta pessoal. Depende dos valores escolhidos pelo aluno. Sugestão: p/ y 5 1: x 5 7 → (1, 7) p/ y 5 2: x 5 6 → (2, 6) p/ y 5 3: x 5 5 → (3, 5)

5

y 8 D 6 B F 4 A 2 G 0 108 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 x 2 4 E H C 6

4 3 2 1 1

1 1

2

4

3

5

6

7

8

9

x

5 Reproduza o plano cartesiano abaixo e represente com pontos os pares ordenados que satisfazem a equação x 2 y 5 4. Sugestão: atribua valores a x e determine os valores para y em correspondência. y

Resposta pessoal. Depende dos valores escolhidos pelo aluno. Sugestão: p/ x 5 21: y 5 25 → (21, 25) p/ x 5 0: y 5 24 → (0, 24) p/ x 5 1: y 5 23 → (1, 23)

Os alunos poderão desenhar uma reta contendo esses pontos.

5 4 3 2 1 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x

2 3 4 5 6 7

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:40 AM

Interpretação geométrica da solução de um sistema Vimos anteriormente que, a partir de uma equação do 1o grau com duas incógnitas, podemos localizar pontos no plano cartesiano. Esses pontos pertencem a uma mesma reta. Veremos agora uma interpretação geométrica associando, a cada equação do 1o grau com duas incógnitas, uma reta no plano, como fizemos anteriormente. Considerando duas retas representadas num mesmo plano cartesiano, podemos dizer que existem três possibilidades quanto às posições relativas dessas duas retas: Ilustrações: Setup

y

x

1a possibilidade Duas retas no plano cartesiano podem ter um único ponto em comum. Dizemos que elas são concorrentes.

y

x

2a possibilidade Duas retas no plano cartesiano podem não ter nenhum ponto em comum. Dizemos que elas são paralelas.

y

x

3a possibilidade Duas retas no plano cartesiano podem ter infinitos pontos em comum. Dizemos que elas são coincidentes.

Quando estamos diante de um sistema formado por duas equações do 1o grau com duas incógnitas (x e y), a solução do sistema, caso exista e seja única, representará o ponto de encontro das retas associadas às duas equações.

218 pom8_194_231_u07.indd 218

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:40 AM

Exemplo 1: x  y  4 Resolva e interprete, no plano cartesiano, o sistema:  x  y  2 Resolução:

• Inicialmente, vamos utilizar o método da adição para resolver o sistema. x  y  4 x  y  2  2x 5 6

x53⇒y51

• Atribuindo valores para uma das variáveis, obtemos pares ordenados e representamos as retas correspondentes no plano cartesiano.

x1y54 x

y

(x, y)

0 1 3

4 3 1

(0, 4) (1, 3) (3, 1)

5 4 3 2 1

x2y52 x

y

(x, y)

1 3 4

21 1 2

(1, 21) (3, 1) (4, 2)

Setup

y

4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2 3 4 5

Um sistema formado por duas equações do 1o grau nas incógnitas x e y, quando apresenta apenas uma solução, é interpretado como o ponto de encontro das duas retas que representam as equações. A solução é um par ordenado e as retas são ditas concorrentes. Dizemos que o sistema é possível e determinado.

Exemplo 2: x  y  2 Resolva e interprete, no plano cartesiano, o sistema:  2x  2y  4 Resolução:

• Inicialmente, resolvemos o sistema. Vamos utilizar o método da adição. x  y  2 2x  2y  4 

2x  2y  4 2x  2y  4  00

• Note

que, ao adicionar essas duas equações membro a membro, chegamos a uma igualdade que é verdadeira. Dizemos que o sistema apresenta infinitas soluções. Atribuindo valores para uma das variáveis, obtemos pares ordenados e representamos as retas correspondentes no plano cartesiano.

219 pom8_194_231_u07.indd 219

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:40 AM

x1y52 x

y

(x, y)

y

0 1 2

2 1 0

(0, 2) (1, 1) (2, 0)

4 3 2

2x 1 2y 5 4

1

x

y

(x, y)

0 1 2

2 1 0

(0, 2) (1, 1) (2, 0)

2 1 1

1

2

3

4

x

5

2 3

Um sistema formado por duas equações do 1o grau nas incógnitas x e y, quando apresenta infinitas soluções, é interpretado como duas retas coincidentes. Dizemos que o sistema é possível e indeterminado.

Exemplo 3:

x  y  2 Resolva e interprete, no plano cartesiano, o sistema: x  y  4  Resolução:

• Inicialmente, resolvemos o sistema. Vamos utilizar o método da adição. x  y  2 x  y  4 

x  y  2 x  y  4  0  2

• Note

que, ao adicionar essas duas equações membro a membro, chegamos a uma igualdade que não é verdadeira. Dizemos que o sistema não apresenta solução. Atribuindo valores para uma das variáveis, obtemos pares ordenados e representamos as retas correspondentes no plano cartesiano. x

y

(x, y)

0 1 2

2 1 0

(0, 2) (1, 1) (2, 0)

y

Ilustrações: Setup

x1y52

5 4 3 2 1

x1y54 x

y

(x, y)

0 1 2

4 3 2

(0, 4) (1, 3) (2, 2)

3 2 1 1

1

2

3

4

5

6 x

2 3

Um sistema formado por duas equações do 1o grau nas incógnitas x e y, quando não apresenta solução, é interpretado como duas retas paralelas. Dizemos que o sistema é impossível.

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:40 AM

Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

1 Em dupla, represente graficamente as retas das expressões definidas por y  2x; y  2x  8; y   3x  2.

y y  3x  2

2 Com base nas equações das retas reescrevam:

4 3

y2 2xx 2y  4 4xx



b) um sistema possível e indeterminado;

2 1

y2 2xx  8 y  3x  2



c) um sistema possível e determinado.

y  2x

5

y  2x  8 y2 2xx



a) um sistema impossível;

6

4 3 2 1

3 Conforme o gráfico da atividade 1, determine a solução do sistema:

y  2x  8



y  2x  8 y  3x  2 (–2, 4)

0 1 1

x 2

2 3 4

CONEXÕES Museu do Louvre, Paris

René Descartes (1596-1650) é considerado um dos pensadores mais respeitados da história. Nascido em La Haye, na França, começou a estudar em um colégio jesuíta ainda criança. Quando adolescente, concluiu o curso de Direito na Universidade de Poitiers, mas não chegou a exercer a função.

Descartes passou muitos anos pela Europa estudando Física, Matemática e Filosofia. Foi na Holanda que ele começou a escrever o seu primeiro livro, intitulado Règles pour la Direction de I’Esprit (Regras para a Orientação do Espírito, de 1629), que não chegou a ser publicado em vida. Logo depois, iniciou um segundo livro, agora de nome Traité du Monde René Descartes (1596-1650). (Tratado do Mundo, de 1633). Seu terceiro livro, Discurso do Método (1637), foi publicado com grande repercussão. A obra discutia a natureza do conhecimento e o processo de aprendizado de novas informações. “Penso, logo existo”, famosa frase criada pelo pensador, foi usada para demonstrar a existência do eu, bem como a de Deus. Descartes incluiu, ainda, três artigos sobre seus estudos científicos no fim de sua terceira obra. Um deles detalhava a lei fundamental da reflexão, estudada na Física, e que Descartes havia descoberto. Já o outro, de maior importância para os cientistas, falava sobre a invenção da geometria analítica. Estudavam-se as figuras geométricas colocando-as em eixos coordenados x e y. Dessa forma, o ponto de uma figura geométrica poderia ser localizado por meio da distância dos eixos x e y. Isso permitiria que as figuras geométricas fossem descritas numericamente. Descartes também inventou o conceito de se usar as letras do final do alfabeto para representar elementos desconhecidos, e criou expoentes para representar potências.

221 pom8_194_231_u07.indd 221

APOEMA MATEMÁTICA 8

a

6/2/15 11:46 AM

AGORA É COM VOCÊ 1 Determine graficamente o ponto que representa a solução de cada um dos seguintes sistemas, escrevendo as coordenadas do ponto. x  y  5 a)  x  y  3

a)

4x  y  0 c)  2x  y  8

5 4 3 2 1

(4,1)

0 1 1

2x  y  6 b)  x  y  0

b)

c)

y

1

2

3

4

5

2x  y  7 e)  6x  y  9

20 (4,16) 10

0

10

x

6

20

x

e)

3x  y  10 d)  x  y  2

6 5 4 3 2

(2, 2)

2

3

y

x  y  0 f)  x  y  0

6 5 4 3 (4, 2)

2

4

5

0 1

x

1

6 4

2

3

4

5

(2, 3)

3 2 1 0 1

1

1 1

d)

y

5

10

y

0

y

f)

1

2

3

5

x

y 5 4 3 2 1 0 3 2 1 1

x

4

(0, 0) 1

2

3 x

Setup

2 Márcia resolveu um sistema formado por duas equações com duas incógnitas por meio de representação das retas no plano cartesiano. y

5 4 3 2 1

2

1

0

1

2

3

4

x

1

Responda às questões. a) Para que valores de x e de y as equações são verificadas simultaneamente? Para x 5 1 e y 5 4. b) Quantos pontos em comum têm as duas retas? Apenas um. c) Qual é o par ordenado que representa a interseção das duas retas no plano cartesiano? (1, 4)

3 Represente num mesmo plano cartesiano cada uma das retas correspondentes às equações do sistema: x  y  4 x  y  6  Em seguida responda às questões. a) Quantos pontos em comum as retas têm? b) Quantas soluções o sistema apresenta? Nenhuma solução. c) Qual é a classificação desse sistema?

Nenhum, pois as retas são paralelas.

O sistema é impossível.

222 pom8_194_231_u07.indd 222

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:40 AM

Registre no

caderno

4 Represente num mesmo plano cartesiano cada uma das retas correspondentes às equações do sistema:

7 Num mesmo plano cartesiano represente cada uma das retas correspondentes às equações do sistema:

x  y  4 2x  2y  8 

 x  2y  2  x  2y  8 

Depois responda às questões. a) Quantos pontos em comum têm as retas? Infinitos pontos, pois são retas coincidentes. b) Quantas soluções o sistema apresenta? Infinitas soluções. c) Qual é a classificação desse sistema?

Depois responda às questões. a) Quantos pontos em comum têm as retas? Nenhum, pois as retas são paralelas. b) Quantas soluções o sistema apresenta? Nenhuma solução. c) Qual é a classificação desse sistema? O sistema é impossível.

O sistema é possível e indeterminado.

8 Num mesmo plano cartesiano represente cada uma das retas correspondentes às equações do sistema:

5 Num mesmo plano cartesiano estão representados os gráficos de algumas equações formadas por duas incógnitas. yx5

6 5

x  y  3 2x  2y  6 

Ilustrações: Setup

y

Agora responda às questões. a) Quantos pontos em comum têm as retas? Infinitos pontos, pois são retas coincidentes. b) Quantas soluções o sistema apresenta? Infinitas soluções. c) Qual é a classificação desse sistema?

y4

4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 1

y  x  3 1

2

2

3

4

O sistema é possível e indeterminado.

9 Num mesmo plano cartesiano estão representadas as retas correspondentes às equações do sistema:

x

y  x

y

Observe­‑os atentamente e interprete a solução de cada um dos sistemas a seguir. y a)  y y b)  y y c)  y y d)  y

x 5 4

 x  3  x  x 4

2

Sistema possível e determinado (há uma solução).

x 5  x  3

1

a) Qual é a denominação que damos a um sistema que apresenta apenas uma solução? Sistema possível e determinado. b) E quando o sistema apresenta infinitas soluções? Sistema possível e indeterminado. c) E quando não tem solução?

1

2

3

x

2

Sistema impossível (não há solução).

6 Responda às questões.

A

0 1

Sistema possível e determinado (há uma solução).

Sistema possível e determinado (há uma solução).

x  y  3 x  y  3 

3 B

3



C

Com base no gráfico e no sistema, faça o que se pede. a) Resolva o sistema. x  3 e y  0 b) Obtenha as coordenadas do ponto A. (3,0) c) Obtenha as coordenadas do ponto B. (0,3) d) Obtenha as coordenadas do ponto C. (0,3)

10 Considerando ainda a atividade anterior, e determine a área do triângulo ABC. 9

Sistema impossível.

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APOEMA matemática 8

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Conexões A seguir, você conhecerá que, além das coordenadas cartesianas, também existem as chamadas coordenadas polares, que possibilitam a localização de pontos num plano de uma outra forma, mas também com duas coordenadas. Quando estamos diante de um plano cartesiano, podemos associar cada ponto dele por meio de um par ordenado. Assim, podemos localizar um ponto, se conhecermos suas coordenadas. Essas coordenadas são também ditas coordenadas retangulares, conforme representado pela figura a seguir: Ilustrações: Setup

y

P(a, b)

b

a

x

Ao observar o sistema de coordenadas cartesianas, qualquer ponto pode ser localizado a partir de duas coordenadas: abscissa (valor de x) e ordenada (valor de y). Há outras maneiras de localizarmos um ponto qualquer em um plano, pois podemos trabalhar com outros sistemas. Uma dessas maneiras é o sistema de coordenadas polares. Para compreender como podemos localizar qualquer ponto num plano a partir das coordenadas polares, devemos imaginar um plano em que tenhamos um ponto como origem (polo) e um eixo como referência (eixo polar). P(r, ) r  polo

eixo polar

Para localizarmos qualquer ponto deste plano, devemos, no sistema de coordenadas polares, conhecer duas informações: a distância do ponto ao polo (representamos pela letra r) e o ângulo que dá a direção que o polo-ponto forma com o eixo polar (representamos por : ângulo tomado no sentido anti-horário). Conforme representado no plano acima, o ponto P tem, no sistema de coordenadas polares, as seguintes coordenadas:

uma distância

P(r, )

um ângulo

Enquanto no sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano pode ser representado numa malha quadriculada, no sistema de coordenadas polares o plano fica representado por circunferências concêntricas (mesmo centro) e várias retas passando pelo polo.

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90° 120°

60°

B

150°

Setup

30° A

C 180°

1 D

2 3 4

0° 5 6

E 330°

210° F 300°

240° 270°

Apenas para exemplificar, no plano dado estão representadas seis circunferências concêntricas de raios 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (pode-se considerar a medida do raio que desejar) e algumas direções indicadas de 30° em 30° (poderiam também ser considerados outros ângulos). Essa foi apenas uma curiosidade relacionada à outra forma de localizarmos pontos num plano.

NASA

Na superfície da Terra, para localizar qualquer ponto, utilizamos o GPS, que, com base em informações obtidas em satélites, possibilita a localização de pontos com uma precisão muito grande. Atualmente, aparelhos de celulares contêm o GPS. Carros novos já são produzidos com GPS.

Satélite sobre a Terra.

1 Quais são as coordenadas polares dos pontos indicados pelas letras A, B, C, D, E e F no plano polar acima?

Registre no

caderno

A 5 (2, 60°), B 5 (5, 90°), C 5 (4, 150°), D 5 (3, 210°), E 5 (1, 270°) e F 5 (6, 300°)

2 Faça uma pesquisa sobre os radares que são utilizados para localizar aviões no espaço aéreo. Resposta pessoal. 3 Procure o significado da sigla GPS. Faça uma pesquisa sobre como ele funciona, anote os termos desconhecidos para futura pesquisa em dicionário, liste algumas conclusões sobre o uso e a utilidade desse equipamento e, se ainda tiver dúvidas, anote-as para posterior conversa em sala de aula. Global Positioning System. Sugerimos visitar o site:

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Capítulo 21

Tratamento da informação: probabilidade Para iniciar nossos estudos, verificaremos com a teoria da probabilidade respostas para as perguntas seguintes. • Qual é a probabilidade de tirar um ás em um baralho? • Qual é a probabilidade de tirar um duplo seis em um par de dados? • Qual é a probabilidade de tirar uma soma 7 em um par de dados? Mas o que é probabilidade? O termo probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e da incerteza. Esse tipo de estudo teve origem nos jogos de azar, mas hoje é aplicado em diversos campos do conhecimento, por exemplo, na Física, nas engenharias e em diferentes tipos de pesquisa. Nesse estudo dois conceitos são primordiais:

• Espaço amostral, que é o conjunto de resultados possíveis de um experimento. Por exemplo, no lançamento de um dado o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• Evento é um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, os resultados ímpares no lançamento de um dado é o evento {1, 3, 5}. A probabilidade em si é determinada pela seguinte razão: P(A) 

N(A) N(E)

Significa que a probabilidade de um evento A ocorrer é igual à razão entre o número de elementos desse evento A pelo número de elementos do espaço amostral E. Vamos verificar agora quais são as probabilidades sugeridas anteriormente.

• Qual é a probabilidade de tirar um ás em um baralho? Em primeiro lugar, precisamos entender que um baralho tem 13 cartas diferentes, cada uma com 4 naipes diferentes; logo, o número total de cartas em um baralho é: 13  4  52 cartas, sem considerar as cartas chamadas coringas. Esse número é o que representa a quantidade de elementos do espaço amostral. Cloki/Shutterstock

Bom, já sabemos a quantidade de elementos do espaço amostral; agora vamos descobrir a quantidade de elementos do evento. O elemento que procuramos é o ás, e no baralho 4 ases.

Observação: VV Dados dois conjuntos, A e B, se todos os elementos

de A também pertencerem ao conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B.

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APOEMA matemática 8

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Logo, a probabilidade é calculada como: P(A) 

N(A)



N(E)

4 52



1 13

Assim, temos 1 possibilidade em 13 de retirar um ás de um baralho ou 0,07692…, que equivale a aproximadamente 7,7% de probabilidade.

• Qual é a probabilidade de tirar um duplo seis em um par de dados? • Qual é a probabilidade de tirar uma soma 7 em um par de dados? Resolveremos essas duas questões em um mesmo espaço amostral, pois para ambas temos que descobrir quantos resultados são possíveis no lançamento de dois dados. Vamos organizar as possibilidades em uma tabela de dupla entrada:

D2

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

D1

Logo se percebe que o número de elementos desse espaço amostral é igual a 36, o que também pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem como 6  6 = 6² = 36. Definido o espaço amostral, vamos identificar o número de elementos de cada evento:

• Evento A: tirar um duplo 6 no lançamento de dois dados (em verde): {(6, 6)}, 1 elemento. • Evento B: obter a soma 7 no lançamento de dois dados (em vermelho): {(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)}, 6 elementos. Portanto, as probabilidades são: N(A) 1   0,02777... ou aproximadamente 2,78%. • P(A)  N(E) 36

• P(A) 

N(B) N(E)



6 36



1 6

 0,1666... ou aproximadamente 16,67%.

Observações: VV Temos um evento impossível quando sua probabilidade de ocorrer é igual a 0. VV Temos um evento certo quando sua probabilidade de ocorrer é igual a 1. VV A probabilidade de que um evento ocorra mais a probabilidade que esse mesmo evento não ocorra

resulta em um, ou seja, um evento certo. Exemplo: Se a probabilidade de retirar a soma 7 no lançamento de dois dados é 0,16666..., a probabilidade de que isso não ocorra é 0,833333..., e 0,16666...  0,83333...  1

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 (FGV- SP) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: Alternativa a. a) 3 25

d) 8 50

b) 7 50

e) 1 5

c) 1 10 2 No lançamento de um dado não viciado, o resultado foi um número maior do que 4. Qual é a probabilidade de esse número ser par? 1 ou 0,5 ou 50% 2

3 Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 12 bolas vermelhas, 8 brancas e 10 azuis. Determine a probabilidade de a bola extraída ser vermelha. 2 ou 0,4 ou 40% 5

4 De uma sacola contendo 18 bolas numeradas de 1 a 18, retira-se uma bola. Qual é a probabilidade de o número ser divisível por 6? 1 ou 0,1666… ou aproximadamente 16,67% 6

Superando Desafios 1 (UFJF)   

Registre no

caderno

Professor, oriente os alunos a resolverem esses desafios em dupla.

Uma prova de certo concurso contém 5 questões com 3 alternativas de resposta para cada uma, sendo somente uma dessas alternativas a resposta correta. Em cada questão, o candidato deve escolher uma das três alternativas como resposta. Certo candidato que participa desse concurso decidiu fazer essas escolhas aleatoriamente. A probabilidade desse candidato escolher todas as respostas corretas nessa prova é igual a: Alternativa e. d) 1 a) 3 5 125 b) 1 3

e) 1 243

c) 1 15 2 (FGV) Um jogador aposta que, em três lançamentos de uma moeda honesta, obterá duas caras e uma coroa. A probabilidade de que ele ganhe a aposta é: Alternativa d. d) 3 a) 1 3 8 b) 2 3

e) 5 8

c) 1 8

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3 (UFJF) Um soldado do esquadrão antibombas tenta desativar certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar 2 fios específicos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se cortar um fio errado ou na ordem errada, o artefato explodirá. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato não explodir ao cortá-los é igual a: Alternativa b. c) 2 e) 9 a) 2 25 5 20 1 1 b) d) 20 10 4 (Saresp) A nota que Tonico recebeu em Ciências é o dobro da nota de Taís mais 3 pontos. Já a nota de Raul é o triplo da de Taís e a mesma recebida por Tonico. A expressão que representa a relação entre as notas desses alunos é: Alternativa b. a) 2x 5 3x 1 3 e x 5 2. c) 2x 1 3x 5 3 e x 5 2. b) 2x 1 3 5 3x e x 5 3. d) 3x 1 3 5 2x e x 5 2. 5 (OBM) Ana, Esmeralda e Lúcia têm, juntas, 33 reais. Ana e Esmeralda, juntas, têm 19 reais, e Esmeralda e Lúcia, juntas, têm 21 reais. Quantos reais tem Esmeralda? Alternativa b. a) 6

b) 7

c) 10

d) 12

e) 14

6 (UFRGS-RS)

Se a terna ordenada (a, b, c) satisfaz o sistema de equações xy1 yz1 xz0

então a + b + c vale: Alternativa b. a) 2 b) 1 c) 0

d) 21

e) 22

http://m3.ime.unicamp.br/recursos

Explorando A voz do interior

Encontros de primeiro grau Autor: Luzia Faraco Ramos Editora: Ática 88 páginas

Editora Ática

Após sobreviver a um naufrágio, Wang passa a vida procurando por sua filha que desapareceu. Um tempo depois, ele conhece Rodrigo, um balonista que conta com a ajuda do novo amigo oriental para conquistar a jovem Carolina. Os problemas se iniciam quando a fábrica química do pai da garota começa a poluir o rio da cidade. Navegue por essa história de espionagem industrial e que mostra como podemos resolver uma série de problemas por meio de equações de 1o grau.

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1192 Acesso em: abril 2015. Um programa de rádio lança uma pegadinha que envolve o número de galinhas e porcos em um celeiro dando apenas informações sobre o total de patas e rabos. Então, um jovem ouvinte entra em contato com o programa e ensina a todos como resolver o problema.

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1 A solução da equação x  1  x  1 é 2 3 um número: Alternativa c. a) natural. b) inteiro.

c) racional. d) irracional.

2 Um número é adicionado ao seu dobro e tem como resultado o menor número natural com dois algarismos. A equação que pode representar tal situação é: Alternativa a. a) x 1 2x 5 10 b) x 1 2x 5 210 c) x 1 2x 5 100 d) x 2 2x 5 100 3 Resolvendo a equação ax 1 b 5 0 na incógnita x, a solução é: Alternativa d. a) x  b a

c) x  a b

b) x   a b

d) x   b a

4 O valor de x na equação 6x 2 y 5 10 considerando que y 5 2 é: Alternativa c. a) x 5 0 b) x 5 1

c) x 5 2 d) x 5 3

5 O dobro de um número adicionado à sua terça parte resulta 45. A equação que representa essa situação é: Alternativa b. a) 2x  1  45 c) 2x  1  45 3 3 1 b) 2x  x  45 d) 2x  1 x  45 3 3 6 Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 salgadinhos custam R$ 5,70. Além disso, o preço de 3 copos de refrigerante e de 5 salgadinhos é R$ 9,30. O preço de cada copo de refrigerante é: Alternativa d. a) R$ 0,90 b) R$ 0,85

c) R$ 0,70 d) R$ 0,60

7 Doze anos atrás Larissa tinha a metade da idade de Marcelo. Hoje Marcelo tem 9  anos a mais do que Larissa, qual é a idade de Marcelo? 30 anos

8. c) O mais moço recebe R$ 100,00, o do meio recebe R$ 200,00 e o mais velho recebe R$ 400,00.

8 Resolva os seguintes problemas: a) Em um retângulo, o perímetro é igual a 92 cm. Determine as medidas dos lados desse retângulo considerando que o comprimento é 8 cm a mais que a largura. 19 cm; 27 cm b) Determine um número sabendo que o dobro desse número, mais a sua terça parte e mais a sua quarta parte somam 31. x 5 12 c) Três filhos recebem do seu pai, por ocasião do Natal, uma quantia em dinheiro. O mais velho recebe o dobro do que o segundo, e este, o dobro do que recebe o mais moço. Considerando que a quantia dos três soma R$ 700,00, determine quanto recebe cada um deles. 9 Num estacionamento há automóveis e motocicletas, tendo ao todo 17 veículos e 58 rodas de veículos. O número total de motocicletas é: Alternativa a. a) 5 b) 6 c) 8 d) 15 10 Ao interpretar um sistema formado por duas equações a duas incógnitas, duas retas concorrentes foram representadas no plano cartesiano. Então, é correto afirmar que esse sistema: Alternativa b. a) é impossível. b) apresenta apenas uma solução. c) apresenta infinitas soluções. d) apresenta mais de uma solução. 11 No plano cartesiano dado estão representadas as retas correspondentes a um sistema formado por duas equações a duas incógnitas, x e y. Este sistema apresenta como solução: Alternativa c. a) x 5 3 b) x 5 2

y

Setup

RESGATANDO CONTEÚDOS

s r

2

P

x

3

c) x 5 3 e y 5 2 d) x 5 2 e y 5 3

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Registre no

caderno

12 Considerando que a balança está em equilíbrio, assinale a alternativa que indica corretamente a massa do pacote de arroz. Alternativa b.

c) 4 kg d) 5 kg Eduardo Belmiro

a) 2 kg b) 3 kg

17 João e Karyna querem descobrir a altura que cada um tem. Eles sabem que, quando somadas, as alturas resultam num valor de 3,45 metros, e também sabem que a altura de João excede a de Karyna em 0,25 metro. Ajude o casal a calcular a respectiva altura. João mede 1,85 m e Karyna mede 1,60 m.

18 Observe as figuras a seguir: Obs.: As medidas das figuras não estão na proporção.

13 Se a minha idade atualmente é igual a x e a de meu pai é igual a y, daqui a 20 anos nossas idades serão: Alternativa c.

2x

a) x  10 e y  10 b) x  20 e y  10 c) x  20 e y  20 d) x  2 e y  2

2x

5y

14 Se a diferença entre as idades de meus pais atualmente é de 5 anos, qual será essa diferença daqui a 20 anos? Alternativa d.

a) 25 anos b) 15 anos

c) 20 anos d) 5 anos

x

15 Ao interpretar corretamente um sistema formado por duas equações a duas incógnitas, duas retas paralelas foram representadas no plano cartesiano. Então, é correto afirmar que esse sistema:Alternativa a. a) é impossível. b) apresenta apenas uma solução. c) apresenta infinitas soluções. d) apresenta mais de uma solução.

12y

Sabendo que o perímetro do triângulo é 18,1 cm e o do retângulo é 45,6 cm, calcule os valores de x e y. x  2,4 cm e y  1,7 cm 19 Há um desafio muito curioso e antigo sobre a idade de duas pessoas. Leia atentamente e obtenha a solução.

x

Sendo assim, o valor de x que torna verdadeira tal situação é: Alternativa c. a) x  7 c) x  8 b) x  6 d) x  9

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que tenho, a soma das idades será 45 anos. Quantos anos eu tenho?

Ilustrações: Setup

x

Eduardo Belmiro

16 Os dois pratos da balança estão em equilíbrio.

Tenho 20 anos.

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UNIDADE 8

Geometria: circunferência

O lugar geométrico dos pontos de um plano situados a uma mesma distância de um ponto fixo dado é uma circunferência. A superfície limitada por uma circunferência é denominada círculo. Em uma circunferência podemos inscrever ou circunscrever triângulos e quadriláteros. Podemos também representar ângulos inscritos e ângulos centrais.

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Dick Duerrstein / Shutterstock

1 Qual é a medida do ângulo central correspon‑ dente a um setor circular que representa 10% de um círculo? 2 Quantas posições relativas entre uma reta e uma circunferência são possíveis quando dese‑ nhadas num mesmo plano? 3 Todo quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência?

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Capítulo 22

Circunferência e círculo Diego Lezama/Getty Images

A fotografia aérea abaixo representa regiões de irrigação de plantações de soja, milho, algodão e café.

Observe que há áreas em forma de círculo. É bem provável que você esteja se perguntando como é possível fazer esse grande círculo. Uma experiência simples pode ser feita: utilize um barbante, por exemplo, de 2 m de comprimento, fixe uma de suas extremidades no chão e amarre um pedaço de giz na outra extremidade. Mantendo o barbante sempre esticado, você poderá desenhar no chão uma circunferência. A região limitada por essa circunferência é um círculo. Por que será que essas plantações foram planejadas em formato circular? Pesquise informações sobre o assunto e, em seguida, compartilhe suas descobertas com toda a turma. Neste capítulo estudaremos um pouco mais o círculo, a circunferência e seus elementos.

Eduardo Belmiro

Circunferência: elementos e obtenção Respostas da página anterior: 1. 36° 2. Três. 3. Não.

Com o auxílio de um compasso, podemos desenhar uma circunferência numa folha de papel. Ao posicionarmos a ponta-seca do compasso em determinado ponto (o ponto representará o centro) e girarmos o compasso com uma abertura previamente escolhida (a medida da abertura chama-se raio), traçamos na folha uma circunferência. Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão situados a uma mesma distância de um ponto fixo desse plano.

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APOEMA matemática 8

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6/2/15 10:42 AM

Observações: raio

VV O ponto fixo é o centro da circunferência. VV A distância de um ponto da circunferência ao seu

centro

centro é denominada raio da circunferência. VV O dobro da medida do raio é conhecido como

diâmetro da circunferência.

diâmetro

Observe que a circunferência é apenas a linha. Quando ligamos dois pontos quaisquer pertencentes à circunferência por meio de um segmento, traçamos uma corda da circunferência. Corda de uma circunferência é qualquer segmento que apresenta as duas extremidades pertencentes à circunferência.

Exemplo 1: A

Na circunferência ao lado, são exemplos de cordas:

• corda • corda • corda

B C

D

O

E

AB; CD ; EF.

Observação: VV Quando uma corda de circunferência

passa pelo seu centro, ela é um diâmetro.

F

Ao desenharmos uma circunferência numa folha de papel, temos pontos que pertencem à circunferência, pontos que estão na região limitada pela circunferência e pontos que são externos à circunferência. Assim, para sabermos qual é a posição relativa de um ponto e uma circunferência, basta compararmos a distância do ponto ao centro da circunferência. São três possibilidades que podem ser resumidas no exemplo a seguir.

Exemplo 2: A

Vamos observar as posições de três pontos em relação à circunferência de raio r indicada a seguir.

Ilustrações: Setup

1a possibilidade C

r

O ponto pertence à circunferência. É o caso do ponto B. Observe que a distância desse ponto ao centro da circunferência é igual ao raio.

O

2a possibilidade B

O ponto é exterior à circunferência. É o caso do ponto A.  ote que a distância do ponto A ao centro da circunfeN rência é maior que a medida do raio.

3a possibilidade O ponto é interior à circunferência. É o caso do ponto C. Aqui a distância do ponto ao centro da circunferência é menor que a medida do raio da circunferência.

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6/2/15 10:42 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

A

A

B

O

C

Analise cada uma das afirmações e in‑ dique quais são verdadeiras e quais são falsas. I) O segmento AB é denominado corda da circunferência. V II) O comprimento do segmento AB é maior que o diâmetro da circunfe‑ rência. F III) O comprimento do segmento AB é igual ao diâmetro da circunferência. F IV) A distância do ponto A até o ponto O é igual a 3 cm. V V) A distância do ponto B até o ponto O é maior que 3 cm. F VI) A distância do ponto A até o ponto O é menor que 3 cm. F VII) O triângulo AOB é equilátero. F VIII) O triângulo AOB é isósceles. V 3 O centro da circun‑ ferência representa‑ da ao lado é o pon‑ to O, e o raio mede 2,5 cm. Conforme as posições dos pontos A, B e C e sem utili‑ zar régua, responda:

B

Ilustrações: Setup

b) O que podemos afirmar sobre a dis‑ 1 Desenhe, com o auxílio de um compas‑ tância do ponto B ao ponto O? so, uma circunferência: A distância é maior que 2,5 cm. a) de raio medindo 3 cm; Atividade de construção. c) Qual é a distância do ponto C ao ponto O? A distância é 2,5 cm. b) de raio medindo 4 cm; 4 No desenho abaixo estão representadas c) de raio medindo 5 cm. três circunferências de centros no pon‑ Agora responda: Qual é o diâmetro de tos A, B e C que tem, duas a duas um cada uma dessas circunferências? ponto em comum, apenas. 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente 2 Na circunferência representada a seguir, o raio mede 3 cm e o centro é o ponto O.

A

B O

C

a) O que podemos dizer da distância do ponto A ao centro da circunferência? A distância é menor que 2,5 cm.

Considerando que os raios das circunfe‑ rências são 5 cm, 4 cm e 3 cm, determine: a) a medida do diâmetro da circunferência de centro no ponto A; 10 cm b) a medida do diâmetro da circunferência de centro no ponto B; 8 cm c) a medida do diâmetro da circunferência de centro no ponto C; 6 cm d) a medida do segmento AB; 9 cm e) a medida do segmento AC; 8 cm f) a medida do segmento BC. 7 cm 5 Pedro marcou numa folha de papel um ponto A e depois os pontos B, C, D, E e F, todos situados a uma mesma distância do ponto A. Considerando que essa dis‑ tância é igual a 5 cm, responda: a) Os pontos B, C, D, E e F pertencem à mesma circunferência? Sim, pois estão situados à mesma distância de um ponto. b) O que significa o ponto A em relação a essa circunferência? O centro da circunferência. 6 Considere os seg‑ Q mentos representa‑ R dos na circunferên‑ P O cia de centro no pon‑ to O. Indique desses T segmentos aqueles S que representam: a) o raio da circunferência; OT, OR, OS e OP b) o diâmetro da circunferência; TR c) uma corda da circunferência. PQ e TR

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Círculo: partes de um círculo Quando consideramos todos os pontos de uma circunferência e também aqueles que são internos à circunferência, temos um círculo. Dessa forma, círculo é uma região do plano limitada por uma circunferência.

Círculo é uma região plana formada por todos os pontos da circunferência e também pelos pontos interiores a essa circunferência. circunferência

círculo

Observações: VV O centro, o raio e o diâmetro do círculo

correspondem ao centro, ao raio e ao diâmetro da circunferência.

semicírculo

VV Uma corda numa circunferência é também

corda no círculo de mesmo centro e mesmo raio.

diâmetro semicírculo

VV Um diâmetro divide o círculo em duas partes

iguais denominadas semicírculos.

Além dos semicírculos, há algumas partes do círculo que recebem denominações especiais. Uma delas você já conhece da construção de gráficos de setores, em Estatística:

Ilustrações: Setup

A setor circular

O B

Quando dois pontos distintos são marcados em uma circunferência, ela fica dividida em duas partes que são conhecidas como arcos de circunferência. Considerando parte do círculo formada por todos os pontos limitados pelo arco AB da circunferência, o segmento OA e o segmento OB, temos um setor circular. Setor circular AOB é o conjunto formado por todos os pontos que estão no interior do ângulo AOB e nos raios OA e OB, do círculo de centro no ponto O.

Observação: VV Uma vez marcados os pontos A e B na circunferência acima,

surgem dois setores circulares que podem ser identificados como setor AOB (aquele que está em azul) e aquele que está em branco.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ Atividade de construção.

percentuais indicados, calcule o ângulo cor­­‑ res­pondente a cada um desses setores.

2 Desenhe um círculo de centro num pon‑ to O e raio igual a 4 cm. Atividade de construção.

3 Desenhe uma circunferência de centro num ponto O e raio igual a 4 cm. Depois, represente nesse desenho um semicírculo.

C 30%

Atividade de construção.

4 Observe as figuras a seguir.

I

II

III

IV

Indique qual delas representa: a) uma circunferência; IV b) um círculo;

I

c) um setor circular; d) um semicírculo.

II e III

A 25%

D 40%

A → 90° B → 18° B 5% C → 108° D → 144°

Ilustrações: Setup

1 Desenhe uma circunferência de centro num ponto O e raio igual a 4 cm.

6 No gráfico abaixo estão representados os setores correspondentes a uma pes‑ quisa sobre o que as pessoas pensam do desempenho do prefeito de um mu‑ nicípio. Conforme os percentuais indica‑ dos, calcule o ângulo correspondente a Ótimo → 72° cada um desses setores. Bom → 216° regular 15%

ruim 5%

Regular → 54° Ruim → 18° ótimo 20%

II

5 Na figura a seguir está representado um setor circular que representa 20% do círculo.

20%

Observe como podemos calcular o ângulo correspondente a esse setor circular: Calculando o ângulo do setor: 20% de 360° 5 0,20 ? 360° 5 72° Portanto, o ângulo do setor mede 72°.

No gráfico a seguir estão representa‑ dos os setores A, B, C e D. Conforme os

bom 60%

7 Em uma escola foi feita uma pesquisa com o seguinte tema: meios de trans‑ porte mais utilizados pelos alunos. Para encontrar essa informação, o 8o ano elaborou uma pergunta a ser feita aos demais colegas da escola: Qual é o meio de transporte que você utiliza para vir à escola? O resultado foi: • 20% dos alunos afirmaram vir a pé; • 15% vêm de bicicleta; 20% 15% • 35% de ônibus; 35% • 30% de carro. 30% Junte-se a um colega e formem uma dupla. Com os dados descritos acima, elaborem um gráfico de setores usando régua e compasso. Em seguida, com‑ parem o gráfico que vocês construíram com o gráfico elaborado por outra dupla. Há alguma diferença? Qual? Por quê? Respostas pessoais.

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Conexões

Ilustrações: Setup

Ao longo da história da humanidade, diversos personagens se dedicaram a encontrar uma maneira de "quadrar o círculo". Em outras palavras, uma maneira de poder determinar a área de um círculo ou, ainda, encontrar um quadrado que tenha a mesma área do círculo.

r

Objeto educacional digital

Hoje temos uma relação matemática que nos possibilita calcular a área de um círculo se conhecermos a medida do raio desse círculo. Fórmula para o cálculo da área de um círculo de raio r: A 5 p ? r2 Podemos utilizar nessa fórmula o valor aproximado 3,14 para o número irracional p.

Posições relativas de retas e circunferências No desenho a seguir, estão representadas três retas e uma circunferência de centro no ponto O e raio r. b

a

c

r O

Observe que a reta a não tem nenhum ponto em comum com a circunferência. A reta b apresenta dois pontos em comum com a circunferência, e, por último, a reta c tem apenas um ponto em comum com a circunferência. Dizemos que há três posições relativas entre uma reta e uma circunferência: Reta e circunferência secantes – quando a reta corta uma circunferência em dois pontos distintos. Reta e circunferência externas – quando não há ponto em comum entre a reta e a circunferência. Reta e circunferência tangentes – quando uma reta tem um só ponto em comum com a circunferência.

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Essas posições relativas podem também ser observadas se considerarmos a distância do centro da circunferência até a reta. Nesse caso, precisamos primeiro observar o que significa a distância de um ponto a uma reta. P t

d Q

A distância d do ponto P à reta t é a medida do segmento PQ perpendicular à reta com uma extremidade no ponto P e a outra no ponto Q (pertencente à reta). Retomando as três retas e a circunferência e observando as distâncias do centro da circunferência a cada reta, temos as possibilidades a seguir.

• Reta e circunferência secantes – a distância d do centro da circunferência à reta é menor que a medida

d

r

O

do raio da circunferência, isto é: d , r .

• Reta e circunferência externas – a distância d do centro da circunferência à reta é maior que a medida do

d

raio da circunferência, isto é: d . r .

r O

• Reta

e circunferência tangentes – a distância d do centro da circunferência à reta é igual à medida

d

r O

do raio da circunferência, isto é: d 5 r .

Observações: VV Se uma reta é secante a uma circunferência, a reta traçada

perpendicularmente à secante que passa pelo centro da circunferência, também passa pelo ponto médio da corda determinada pela secante. VV Se traçarmos uma reta passando pelo centro

da circunferência e pelo ponto médio da corda determinada pela secante, essa reta será perpendicular à secante. perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência. VV Uma reta que é perpendicular ao raio

na extremidade, que não é o centro da circunferência, é tangente à circunferência.

Ilustrações: Setup

VV Toda reta tangente a uma circunferência é

Professor, essas quatro observações podem ser conduzidas para os alunos por meio das construções correspondentes com instrumentos de desenho.

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AGORA É COM VOCÊ

1 Analise cada uma das afirmações e indique quais são verdadeiras (V) e quais são falsas (F). I) Quando é tangente a uma circunferência, uma reta tem dois pontos em comum com a circunferência. F II) Se uma reta é externa à circunferência, então ela não tem ponto em comum com a circunferência. V III) Se uma reta tem dois pontos em comum com a circunferência, então ela é secante à circunferência. V IV) Se a distância do centro da circunferência a uma reta é igual ao raio, a reta é tangen‑ te à circunferência. V V) Se a distância do centro da circunferência a uma reta é maior que o raio, a reta é externa à circunferência. V VI) Se a distância do centro da circunferência a uma reta é menor que o raio, a reta é tangente à circunferência. F VII) Se uma reta é secante a uma circunferência, a distância dela ao centro da circunfe‑ rência é menor que a medida do raio. V 2 Desenhe uma circunferência de centro num ponto O e raio medindo 5 cm. Depois repre‑ sente nesse mesmo desenho: Atividade de construção. a) uma reta tangente à circunferência; b) uma reta secante à circunferência; c) uma reta externa à circunferência. 3 No desenho a seguir estão representadas duas circunferências de centros nos pontos O e O', com raios iguais a 4 cm e 3 cm, respectivamente, e duas retas r e s.

Setup

s

r O

O'

a) Quantos pontos da reta s também são pontos de alguma circunferência?

2 pontos

b) Quantos pontos da reta r também são pontos de alguma circunferência?

3 pontos

c) Qual é a distância do ponto O ao ponto O'? d) Qual é a distância do ponto O à reta s? e) Qual é a distância do ponto O' à reta s?

7 cm

4 cm 3 cm

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4 Sendo x a distância do centro de uma circunferência de raio r a uma reta, indique em cada caso a seguir a posição relativa da reta em relação à circunferência. Distância x

Medida do raio r

2 cm

4 cm

secante

3 cm

3 cm

tangente

4 cm

2 cm

externa

5 cm

5,1 cm

secante

5 cm

4,9 cm

externa

Posição relativa

r

5 Na figura ao lado, a reta r passa pelo centro da circunferência de raio 10 cm e intercepta a corda AB de comprimento 8 cm no pon‑ to P, que é ponto médio de AB. Determine: a) a medida do ângulo que a reta r forma com a corda AB; 90° 10 cm

c) a distância do ponto O ao ponto C;

10 cm

d) a distância do ponto A ao ponto P;

4 cm

e) a distância do ponto B ao ponto P.

4 cm

P A

6 Na circunferência foi desenhada uma corda de extremidades nos pontos A e B, conforme indicado na figura. A seguir, foi traçada uma reta que passa pelo centro da circunferência formando um ângulo reto com a corda AB no ponto P. Considerando que AP 5 3x 2 5 cm e BP 5 x 1 7 cm: a) encontre o valor de x; x 5 6 b) determine o comprimento da corda AB; 26 cm c) responda: O raio da circunferência é maior que 13 cm? Sim, pois o raio é maior que a metade da

B Ilustrações: Setup

b) a distância do ponto O ao ponto B;

C

O

B

r

x7 P

O

3x  5 A

medida da corda AB.

7 A circunferência de centro no ponto O tem me‑ dida de raio igual a 3,5 cm. A reta r é secante à circunferência, e a reta s é tangente à circun‑ ferência. Agora responda às questões. a) Ligando o ponto O ao ponto A por meio de um segmento, qual é a medida do ângulo formado por esse segmento e a reta s no ponto A? 90° b) Que ângulo uma reta que passa pelo ponto O e pelo ponto médio do segmento BC for‑ ma com a reta r? 90° c) Qual é a distância do ponto O à reta s? 3,5 cm d) O que você pode afirmar sobre a distância do ponto O à reta r? A distância é menor que 3,5 cm.

r B s O

C

A

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Posições relativas entre circunferências Vimos anteriormente que há três possibilidades em relação às posições entre uma reta e uma circunferência: são externas, tangentes ou secantes. E quais são as posições relativas entre duas circunferências desenhadas num plano? Veremos agora que são cinco as posições relativas.

• Circunferências

tangentes externamente – quando duas circunferências têm um único ponto comum, e os demais pontos de uma são externos à outra.

O1 r1

No caso ao lado, P é o ponto comum às duas circunferências, isto é, P é o ponto de tangência. Ao calcularmos a distância entre os centros dessas duas circunfências, o resultado será a soma das medidas dos raios, isto é:

P r2

O2

d 5 r1 1 r2

• Circunferências tangentes internamente – quando duas circunferências têm um úni-

Ilustrações: Setup

co ponto comum e os demais pontos de uma são internos à outra.

O1 d O2 P

Nesse caso, P é o ponto comum às duas circunferências, isto é, P é o ponto de tangência. Ao calcularmos a distância entre os centros dessas duas circunfências, o resultado será a diferença entre as medidas do maior e do menor raio, isto é:

d 5 r 12 r 2

• Circunferências externas – quando os pontos de cada uma delas são externos à outra. O1 r1 r2

O2

Nesse caso, não existe ponto em comum. Ao calcularmos a distância entre os centros dessas duas circunferências, o resultado será maior que a soma das medidas dos raios, isto é:

d . r1 1 r2

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• Circunferência interna a uma outra – quando todos os pontos de uma delas são internos à outra. r2 r1 O1

O2

Nesse caso, não existe ponto em comum. Ao calcularmos a distância entre os centros dessas duas circunfências, o resultado será menor que a diferença entre as medidas do maior e do menor raio, isto é:

d , r2  r1

• Circunferências secantes – quando têm em comum apenas dois pontos distintos.

Observação: r1

VV Duas circunferências são

Ilustrações: Setup

O1

O2 r2

ditas concêntricas quando têm o mesmo centro.

O1  O2

Ao calcularmos a distância entre os centros dessas duas circunfências, o resultado será maior que a diferença entre as medidas do maior e do menor raio e menor que a soma das medidas desses raios, isto é:

r2 2 r1 , d , r2 1 r1 Registre no

caderno

twrgtopgun / Shutterstock

Trabalho em EQUIPE

Um marceneiro fez uma mesa com a forma de um círculo. Quando a entregou para um cliente, teve de resolver um inesperado problema. Bem no centro da mesa, era necessário fixar uma peça de metal, conforme o desejo do cliente. O problema era saber como determinar o ponto exato do centro desse círculo. Faça uma pesquisa para descobrir um método matemático para resolver o problema. Descreva os métodos pesquisados para o resto da turma. Traçar uma corda AB, determinar seu ponto médio e desenhar

uma reta r perpendicular à corda passando pelo ponto médio da corda. Traçar outra corda CD, determinar seu ponto médio e desenhar uma reta s perpendicular à corda passando pelo ponto médio da corda. O ponto de encontro das duas retas é o centro da circunferência.

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AGORA É COM VOCÊ 1. A – uma interna à outra; B – tangentes internas; C – secantes; D – tangentes externas; E – externas.

A

B

C

D

E

2 Indique V ou F para cada afirmação a se‑ guir caso seja verdadeira ou falsa, res‑ pectivamente. I) Se duas circunferências não têm pontos em comum, então elas são secantes. F II) Quando duas circunferências apre‑ sentam apenas um ponto em comum, elas são ditas tangentes entre si. V III) Duas circunferências distintas po‑ dem ter dois pontos em comum. V IV) Duas circunferências que têm o mesmo centro e raios diferentes são concêntricas. V V) Duas circunferências que têm ape‑ nas um ponto em comum são tan‑ gentes externas. F VI) Podemos ter duas circunferências tangentes internamente. V 3 O professor desenhou na lousa duas circun‑ ferências de diâmetros 10,6 cm e 7,4 cm, conforme figura abaixo. Considerando que as duas circunferências apresentam o mesmo centro O, determine:

O

4 Ainda em relação às duas circunferências concêntricas da atividade 3, responda: a) Uma reta que é secante à circunferên­ cia menor é também secante à cir‑ cunferência maior? Sim. b) Uma reta que é tangente à circunfe‑ rência maior é também tangente à circunferência menor? Não. c) Se uma reta é tangente à circunferên‑ cia menor, que posição relativa com a circunferência maior ela terá? Secante.

5 As duas circunferências a seguir são tangentes externamente. Considerando que a distância entre os centros dessas circunferências é 56 cm e a diferença entre as medidas dos raios é 16 cm, de‑ termine as medidas dos raios. 20 cm e 36 cm Professor, oriente os alunos a resolverem as atividades 5, 6 e 7 também por meio de sistemas de equa‑ ções

Ilustrações: Setup

1 A seguir estão representadas as posi‑ ções relativas de duas circunferências. Escreva essas posições.

6 As duas circunferências representadas a seguir são tangentes internamente. Considerando que a soma das medidas dos raios é igual a 60 cm e a distância en‑ tre os centros é igual a 12 cm, determine as medidas dos raios. 36 cm e 24 cm

7 Resolva os problemas a seguir.

A B

a) a medida do raio de cada circunferên‑ cia; 5,3 cm e 3,7 cm b) a medida do segmento AB, sabendo que o ponto A pertence à circunferên­ cia menor e o ponto B, à ­circunferência maior e que o segmento AB está con‑ tido no raio AB. 1,6 cm

a) A distância entre os centros de duas cir‑ cunferências tangentes interna­men­­te é 10 cm. Se a soma das medidas dos raios é igual a 22 cm, determine as medidas cm dos raios dessas circunferências. 16 e 6 cm b) Duas circunferências tangentes ex‑ ternamente têm diâmetros de 40 cm e 16 cm. Qual é a distância entre os centros dessas circunferências? 28 cm

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Capítulo 23

Segmentos e quadriláteros

Observe a presença de quadrado e circunferência. A ideia do autor era observar padrões de medidas humanas para ampliar sua compreensão a esse respeito. A circunferência representa uma linha formada por pontos situados à mesma distância de um ponto fixo. Nesse desenho, a posição do umbigo do homem parece estar exatamente no centro dessa circunferência.

Rob Atkins/Getty Images

Ao estudarmos as formas geométricas, dedicamos um bom tempo pensando em suas aplicações. Vemos muitos objetos com formas parecidas com círculo, quadrado, retângulo etc. Entretanto, deixando um pouco de lado a questão prática, encontramos formas geométricas diversas presentes muitas vezes em pinturas e desenhos de artistas famosos. Assim, por exemplo, o chamado Homem Vitruviano é uma verdadeira obra de arte do pintor Leonardo da Vinci.

Leonardo da Vinci. Homem Vitruviano, c. 1490. Lápis e tinta sobre papel, 34 × 24 cm.

Neste capítulo observaremos algumas propriedades importantes relacionando circunferência com segmentos e também com quadriláteros.

Propriedades de segmentos tangentes a uma circunferência Com o auxílio de uma régua e também de um compasso, você poderá comprovar um resultado muito interessante. Ao desenhar uma circunferência numa folha de papel, localizar seu centro e um ponto qualquer externo à circunferência, observará o seguinte: Traçando os segmentos PA e PB, tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente, esses segmentos têm o mesmo comprimento, isto é:

A

O

Utilizando uma régua, você pode verificar se, de fato, os comprimentos são iguais.

P

B

Setup

PA 5 PB

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Há uma maneira de comprovar esse resultado observando os triângulos PAO e PBO, conforme destacado a seguir: Conforme propriedade estudada anteriormente, os segmentos PA e PB são perpendiculares ao raio nos pontos A e B, respectivamente. Assim, temos as seguintes congruências:

A r O r

OA  OB (raio da circunferência) P

B

PO (lado comum aos triângulos PAO e PBO) A  B (ângulos retos)

Portanto, os triângulos PAO e PBO são congruentes. Dessa forma, concluímos que PA  PB (segmentos tangentes são congruentes).

Observação: Propriedade:

VV Como os dois triângulos anteriores são

congruentes, temos que os ângulos APO e BPO têm mesma medida. Dessa forma, o segmento OP divide ao meio o ângulo APB, isto é, o segmento OP é a bissetriz desse ângulo, e o centro da circunferência está na bissetriz desse ângulo.

Traçando, a partir de um ponto P, os segmentos PA e PB, tangentes a uma circunferência nos pontos A e B, esses segmentos têm o mesmo comprimento.   C

r

Outra propriedade relacionada à tangência de segmentos é a que diz que todo triângulo é circunscrito em uma circunferência, isto é, cada lado do triângulo tangencia a mesma circunferência. r

I

Utilizando régua e compasso, por meio de construção geométrica, podemos verificar essa propriedade. A

r

B

Construímos as bissetrizes dos ângulos do triângulo ABC ao lado. Na intersecção das bissetrizes, obtemos o ponto I, que é chamado de incentro. Esse ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Na figura a seguir, construímos retas perpendiculares aos lados do triângulo. Essas retas devem passar pelo ponto I. Por fim, traçamos a circunferência de centro I e raio IP ou IR ou IQ. Observando os pontos de tangência P, Q e R, temos: C

 AQ ;  BP ;

Q

 CQ .

P Ilustrações: Setup

• AR • BR • CP

I

A

R

247

B

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Vimos anteriormente que podemos inscrever uma circunferência em um triângulo e que o centro dessa circunferência é denominado incentro. Podemos também construir quadriláteros convexos cujos lados tangenciam uma circunferência.

A

Ilustrações: Setup

Circunferência inscrita num quadrilátero B

O

O quadrilátero ABCD está circunscrito a uma circunferência de centro no ponto O. Podemos dizer também que a circunferência está inscrita no quadrilátero. Há uma propriedade que relaciona as medidas dos lados opostos de um quadrilátero convexo inscrito numa circunferência.

C D

Propriedade: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados opostos. Em símbolos, conforme figura anterior: AB 1 CD 5 BC 1 AD

Observações: VV A recíproca dessa propriedade também é verdadeira, isto é: se a soma das medidas de dois lados opostos

de um quadrilátero convexo é igual à soma das medidas dos outros dois, o quadrilátero é circunscritível (admite uma circunferência inscrita). A

P

VV Essa relação pode ser justificada pela propriedade dos

segmentos tangentes.

B

S

Considerando os pontos de tangência P, Q, R e S, podemos escrever que:

Q

O

AP 5 AS 5 d1 BP 5 BQ 5 d2 CQ 5 CR 5 d3 DR 5 DS 5 d4

C

R

Em função das medidas indicadas, vamos calcular a soma dos comprimentos dos lados opostos:

D

AB 1 CD 5 AP 1 PB 1 CR 1 DR AB 1 CD 5 d1 1 d2 1 d3 1 d4 BC 1 AD 5 BQ 1 QC 1 AS 1 DS BC 1 AD 5 d2 1 d3 1 d1 1 d4 Comparando esses resultados, concluímos que AB 1 CD 5 BC 1 AD.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Em cada item, considerando que os segmentos representados são tangen‑ tes às circunferências, determine o va‑ lor de x.

3 As medidas dos segmentos PB e PA es‑ tão indicadas em função de x (medidas em centímetros), conforme figura abaixo. B

5 x  10 3

a) x 5 30 B

P

O

2x  10 P

O

4x  3 A

x  20

Determine: a) o valor de x; 3 cm b) a medida do segmento PA; 15 cm c) a medida do segmento PB; 15 cm d) o perímetro do quadrilátero AOBP considerando que o raio da circunfe‑ rência é igual a 7 cm. 44 cm

b) x 5 4 A

P

20

6x  4 B

2 Na figura a seguir, os segmentos PA e PB são tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente. A

O

P

B

Analise cada uma das seguintes afirma‑ ções, indicando V ou F caso sejam ver‑ dadeiras ou falsas, respectivamente. I) Os segmentos PA e PB têm o mes‑ mo comprimento. V II) Os segmentos OA e OB são con‑ gruentes. V III) O segmento PB é perpendicular ao segmento OB. V IV) O segmento PA é perpendicular ao segmento OA. V V) Os triângulos OAP e OBP não são congruentes. F

4 Os pontos P, Q, R e S representam os pontos de tangência do quadrilátero ABCD com a circunferência. Considere as seguintes medidas: B AP 5 x P PB 5 5 cm A BQ 5 y O QC 5 1 cm Q CR 5 z S C RD 5 3,5 cm R DS 5 t D SA 5 2 cm x 5 2 cm; y 5 5 cm; z 5 1 cm e t 5 3,5 cm a) Determine os valores de x, y, z e t. b) Obtenha o perímetro do quadrilátero ABCD. 23 cm 5 O quadrilátero está circunscrito à circun‑ ferência, e as medidas de três de seus lados estão indicadas em centímetros. x Ilustrações: Setup

A

14 17 12

Determine: a) o valor de x; 19 cm b) o perímetro do quadrilátero.

62 cm

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6 O quadrilátero a seguir está circunscrito a uma circunferência. As medidas dos lados estão representadas, em centíme‑ tros, por expressões algébricas.

8 A circunferência está inscrita num triân‑ gulo retângulo em que as medidas dos lados são 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine a medida do raio dessa circunferência. 2 cm

2x

2x  4 6x  22

10 cm

6 cm

r r

4x  6 r

Determine:

8 cm

6 cm

b) as medidas dos lados do quadrilátero; c) o perímetro

12 cm, 16 cm, 18 cm e 14 cm do quadrilátero. 60 cm

7 O triângulo ABC está circunscrito à cir‑ cunferência. Seus lados estão tangen‑ ciando a circunferência nos pontos P, Q e R.

9 No quadrilátero abaixo, os lados tangen‑ ciam a circunferência. Considerando que AB 5 26 cm, BN 5 10 cm e PD 5 12 cm, determine a medida do segmento AD. 28 cm A

Ilustrações: Setup

a) a medida de x;

M A B

O

Q

N P Q

C

P

D

10 Resolva cada um dos seguintes problemas. B

C

R

Analise cada uma das seguintes afirma‑ ções indicando V ou F caso sejam verda‑ deiras ou falsas, respectivamente. I) O triângulo é isósceles. F II) Os segmentos AP e AQ são con‑ gruentes. V III) Os segmentos BP e BR têm a mes‑ ma medida. V IV) Os segmentos CR e CQ têm medi‑ das diferentes. F

a) Obtenha a medida do raio de uma cir‑ cunferência inscrita em um triângulo retângulo considerando que os lados medem 15 cm, 12 cm e 9 cm. 3 cm b) Num triângulo retângulo, os lados que formam 90° medem 6 cm e 8 cm. Considerando que ele está circunscri‑ to a uma circunferência de raio me‑ dindo 2 cm, determine a medida do terceiro lado do triângulo. 10 cm. c) Determine a medida de um dos lados não paralelos de um trapézio isósceles que está circunscrito a uma circunfe‑ rência considerando que os dois lados paralelos medem 10 cm e 30 cm. 20 cm

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Diversificando linguagens

Localizado está num ponto a uma mesma distância de todos aqueles que limitam o local. Pedras e mais pedras revestem o local. A retirada de uma pedra falsa para sempre fecha o acesso ao último legado.

Vadin Sadorski/Shutterstock

Um dia, o professor de Marcos contou uma lenda para a turma do 8o ano. A lenda dizia que havia um tesouro enterrado em um local construído pelos antigos maias. Ao chegarem ao local, depois de muitas pistas falsas e tentativas infrutíferas, os caçadores de tesouros se depararam com uma imensa vegetação que cobria todo o local e se diferenciava um pouco das demais. Conforme pista que eles haviam encontrado num antigo documento, leram: Depois de ficarem um dia inteiro discutindo e tentando entender a última pista, resolveram vasculhar todo o local. Observaram que, apesar de coberto por uma densa vegetação, o local era perfeitamente plano. Com um pedaço de metal, o mais velho dos caçadores tocou o solo e escutou um estalido diferente. Limparam em volta e constataram que, por baixo da vegetação, pedras de mesmo tamanho e perfeitamente lisas cobriam o local. O passo seguinte foi remover toda a vegetação. Foi então que entenderam a última pista fornecida: havia um círculo imenso perfeitamente revestido por pedras. Somente a pedra que estava situada exatamente no centro poderia ser retirada.

TungCheung / Shutterstock

Numa folha de papel, o mais novo dos caçadores desenhou um pequeno círculo. Traçou nesse círculo duas cordas. Depois de encontrar o ponto médio de cada uma dessas duas cordas, traçou duas retas perpendiculares pelo ponto médio das duas cordas. O ponto de encontro dessas duas retas indicava o local exato do centro da circunferência. A pedra foi retirada com extremo cuidado e o segredo foi revelado!

Ronaldo Barata

Embora seja uma lenda, temos aqui algo extremamente interessante que você pode explorar. Imagine que alguém desenhou uma grande circunferência, mas não deixou marcado o centro dela. Pelo que foi visto acima, podemos agora localizar precisamente onde está o centro da circunferência. 1. Com o auxílio de régua e compasso, faça uma Registre no circunferência de raio igual a 10 cm numa caderno folha de papel. Procure não deixar marca do local em que está situado o centro da circunferência. 2. Trace duas cordas dessa circunferência e, como foi feito anteriormente, determine o ponto exato que corresponde ao centro dela.

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APOEMA matemática 8

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Capítulo 24

Ângulos e arcos na circunferência Se, após desenharmos uma circunferência de centro no ponto O, numa folha de papel, marcarmos dois pontos quaisquer dela (pontos A e B, por exemplo), teremos a circunferência  . Para não dividida em duas partes que podemos chamar de arcos AB e representá-los por AB haver confusão, quando falarmos em arco AB, estaremos indicando o menor deles. Se ligarmos as extremidades desse arco com o centro da circunferência, teremos um ângulo central AÔB. Assim, podemos dizer que a todo arco AB faremos corresponder, no sentido de abertura, um ângulo central, conforme indicado na figura a seguir.

Observação:

A O

arco 

ângulo central

VV Você pode perceber que há dois arcos com

B

extremidades nos pontos A e B. O menor está representado na cor vermelha e o maior na cor verde.

Neste capítulo trabalharemos o conceito de arco associado ao conceito de ângulo. Além do chamado ângulo central, também estudaremos o ângulo inscrito.

Arco e ângulo central: medidas

Ilustrações: Setup

Utilizamos a unidade grau para medir ângulos. Como a todo arco de uma circunferência corresponde um ângulo central, essa mesma unidade é adotada para medir arcos.

arco de um grau (unidade de arco)

ângulo central de um grau (unidade de ângulo)   

A unidade de medida de um arco é o arco determinado na circunferência por um ângulo central de mesma medida, ou seja, a medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente a ele.

Exemplo 1: Observe que na figura ao lado há um ângulo central de medida 30° e um arco também de medida 30°.

B

AB  30°

30° O

A

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Exemplo 2: Nas três circunferências concêntricas (mesmo centro) foram marcados arcos de medida 45°.

E C

Observe que:

Ilustrações: Setup

A

 • AB

45° O

B

D

F

 5 EF  5 45° ; 5 CD

• cada

um desses arcos, embora pertençam a circunferências diferentes, correspondem a um ângulo central de medida 45°.

Observação: VV Na figura anterior, a medida de cada arco é 45°. Essa medida corresponde ao menor arco AB, ao menor arco

CD e ao menor arco EF nas circunferências. Se desejarmos obter a medida do maior arco, basta observarmos o que falta para 360°, isto é, 360° 2 45° 5 315°.

Medida do ângulo inscrito Vimos anteriormente que a todo arco de circunferência corresponde um ângulo central de mesma medida. O ângulo central é assim denominado pois seu vértice está no centro da circunferência. Caso o vértice do ângulo seja um ponto pertencente à circunferência, será denominado de ângulo inscrito à circunferência. B arco AB V

ângulo inscrito



A

 é o ângulo inscrito na circunferência, pois o vértice V pertence à Na figura acima, AVB circunferência. Observe que todo ângulo inscrito também tem o ângulo central que corresponde ao mesmo arco AB: B

V

ângulo central



A

Veja ao lado uma propriedade importante a respeito dos ângulos inscritos correspondentes ao mesmo arco.

Propriedade: Numa circunferência, os ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco têm a mesma medida.

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B

A

V4



V3

V1

V2

Essa é uma propriedade que você poderá comprovar desenhando, com o auxílio de um compasso, uma circunferência como a que está representada ao lado. Escolha dois pontos A e B para indicar um arco. A seguir, construa alguns ângulos inscritos correspondentes a esse mesmo arco. Com o auxílio de um transferidor, obtenha a medida de cada um desses ângulos inscritos. Você observará que eles têm a mesma medida.

Observação: VV Se o arco AB

corresponder à semicircunferência, a medida do ângulo inscrito é igual a 90°, isto é, o ângulo inscrito será reto.

A

O

B

Podemos também obter uma relação entre a medida de um ângulo inscrito numa circunferência e o ângulo central que corresponde ao mesmo arco. B

V

Propriedade: Um ângulo inscrito numa circunferência tem a metade da medida do ângulo central correspondente ao mesmo arco.



O



B C

P

Ilustrações: Setup

 A





A

Nessa propriedade é importante observar que tanto o ângulo inscrito quanto o ângulo central devem ser da mesma circunferência e corresponder ao mesmo arco, como observado na figura ao lado.

C

A

 2 O

 x O 

Para justificar essa relação, consideraremos um arco AB, um ângulo inscrito de medida b e um ângulo central de medida a. Deveremos mostrar que b 5 a . 2 Inicialmente, mudaremos a posição do ângulo inscrito de tal forma que um de seus lados passe pelo centro da circunferência, isto é: o triângulo OPC é isósceles, pois OC e OP representam o raio da circunferência. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos: x 1 b 1 b 5 180° x 1 2b 5 180° Observe ainda que os ângulos de medidas x e a são suplementares, isto é:

B

x 1 a 5 180°

Comparando esses dois últimos resultados, podemos escrever que:

x 1 2b 5 x 1 a 2b 5 a b5 a 2

Observação: VV Acabamos de utilizar uma maneira de concluir

que a medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente a ele. Há outras maneiras que também podem ser utilizadas para esse fim.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Na circunferência abaixo está indicada a medida do menor arco AB. Determine:

5 Considere numa circunferência um arco de 39°, conforme indicado na figura a seguir.

B

a) a medida do ân‑ gulo central indi‑ cado por x; 98° b) a medida do maior arco AB. 262°

x

O

98°

39°

O

x

y

A

2 Responda:

a) Se um arco AB de uma circunferência mede 120°, qual é a medida do ângulo central correspondente a esse arco? 120° b) Se o menor arco AB de uma circunfe‑ rência mede 100°, qual é a medida do ângulo central correspondente ao maior arco AB nessa mesma circunferência? 260°

Determine: a) a medida indicada por x; b) a medida indicada por y.

A

x

b) 62°

19,5°

6 Na figura a seguir, o segmento BC re‑ presenta a medida do diâmetro da cir‑ cunferência.

3 O ponto O representa o centro de cada uma das circunferências. Determine a medida do ângulo x indicado. a) 102°

39°

B

O

28°

C

x x

O

O

124°

51°

Determine: a) a medida do ângulo inscrito nessa cir‑ cunferência relativa ao arco BC; 90° b) a medida do ângulo inscrito corres‑ pondente ao arco AC; 62° c) a medida do ângulo central corres‑ pondente ao ângulo inscrito com vér‑ tice em C; 56° d) a medida do ângulo central corres‑ pondente ao ângulo inscrito com vér‑ tice em B. 124°

4 Responda:

a) Se a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual a 30°, qual é a medida do arco correspondente a ele? 60° b) Se a medida de um ângulo central de uma circunferência é igual a 45°, qual é a medida de um ângulo inscrito nes‑ sa mesma circunferência relativo ao mesmo arco? 22,5° 7 Determine a medida x conforme a figura c) Se a medida de um ângulo inscrito a seguir. x 5 6 numa circunferência é igual a 90°, qual é a medida do ângulo central correspondente a ele? 10x

Ilustrações: Setup

180°

d) Se um ângulo inscrito numa circunfe‑ rência tiver medida em graus repre‑ sentada por 3x, qual é a expressão que representa a medida do ângulo cen‑ tral correspondente ao mesmo arco? 6x

6x  84°

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8 Resolva cada um dos problemas a seguir. a) A medida de um ângulo central corres­ ponde a 1 da medida total, em graus, 6 de uma circunferência. Qual é a me‑ dida de um ângulo inscrito correspon‑ dente ao mesmo arco? 30° b) A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é a metade da me‑ dida de um ângulo reto. Qual é a medi‑ da do ângulo central corrrespondente ao mesmo arco? 90° c) Um arco é 1 de uma circunferência. 16 Qual é a medida do ângulo central correspondente a ele?

22,5°

d) Na figura a seguir, está indicada a medida a de um ângulo inscrito numa circunferência correspondente ao ar‑ co AB. Qual é a medida do arco AB? 2a B

O

A

e) Observe os ângulos indicados na cir‑ cunferência e também os triângulos as‑ sim formados. O desafio é determinar a medida do ângulo desconhecido x. x 5 16°

O

Ilustrações: Setup

94° 70°

medida 30°. B

x y

9 Desenhe uma circunferência e inscreva nela um ângulo de 35°. Depois responda: a) Qual é a medida do ângulo central correspondente ao mesmo arco? 70° b) Qual é a medida do arco correspon‑ dente ao ângulo inscrito? 70°

A

O

z

11 Na figura a seguir estão representados a medida de um arco de 88°, o ângulo inscrito e também o ângulo central. Determine a x y medida indicada O por: a) x; b) y.

88°

44° 88°

12 Na figura ao lado estão indicados dois arcos AB, sendo que o me‑ nor deles mede 142°. Determine:



x

caderno

10 O arco AB na circunferência a seguir mede 60°. Determine as medidas dos ângulos x, y e z in‑ dicadas na figura. Os três ângulos têm

A

O

a) a medida do B arco maior; 218° b) a medida do ângulo central corres‑ pondente ao menor arco; 142° c) a medida do ângulo central corres‑ pondente ao maior arco. 218° 13 Considere os arcos AB, BC e AC na circun‑ ferência abaixo. Determine: A a) a medida do me‑ nor arco AB; 156° 88° 58° b) a medida do ângu‑ lo central corres‑ C O pondente ao arco menor AB; 156° B c) a medida do ângu‑ lo central correspondente ao menor arco AC; 88° d) a medida do ângulo central corres‑ pondente ao menor arco BC. 116°

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Quadrilátero inscrito numa circunferência Mateus desenhou no caderno uma circunferência. A seguir, escolheu quatro pontos pertencentes a ela e construiu um quadrilátero ABCD, como mostra a figura. B

A C

O

Como Mateus é muito curioso, resolveu utilizar um transferidor para obter as medidas dos ângulos internos. Fez uma descoberta no mínimo curiosa: dois ângulos opostos têm a soma das medidas igual a 180°, isto é, dois ângulos opostos são suplementares. Assim, conforme o desenho ao lado, temos para os ângulos que: B 1C B 5 180° A  B B 1 D B 5 180°

D

Desenhe uma circunferência com um quadriláRegistre no caderno tero inscrito em quatro pontos quaisquer. Junte-se com um colega e discuta o que vocês conseguem observar sobre os ângulos desse quadrilátero. Escrevam o que vocês perceberam e comparem suas percepções com a propriedade a seguir.

Propriedade: Se um quadrilátero está inscrito numa circunferência, os seus ângulos opostos são suplementares.

Observações: VV A recíproca da propriedade acima também é verdadeira, isto é, se os ângulos de um quadrilátero convexo

são suplementares, o quadrilátero será inscritível numa circunferência.

inscrito e ângulo central de uma circunferência, conforme mostramos ao lado.

A

Vamos demonstrar apenas que os ângulos B e D são suplementares (deixamos para você fazer o mesmo com os ângulos A e B). Sendo assim, ligamos o centro

Ilustrações: Setup

VV Podemos justificar a propriedade acima utilizando a relação entre ângulo

B

x C

O y

da circunferência aos pontos A e B, conforme as linhas tracejadas. D

O ângulo B é o ângulo inscrito correspondente ao arco maior AC, e y representa a medida do ângulo central desse mesmo arco. Logo:

 B B 5 y   ⇒ 2 B B 5 y   (I) 2 O ângulo D é o ângulo inscrito correspondente ao arco menor AC, e x representa a medida do ângulo central desse mesmo arco. Logo:  B D 5 x   ⇒ 2 B D 5 x   (II) 2 Os ângulos x e y correspondem, se adicionados, a um ângulo de medida 360°. Assim, substituindo (I) e (II) nessa nova relação, teremos: y 1 x 5 360°  ⇒  2B B 1 2B D 5 360°  ⇒  B B 1 B D 5 180°

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caderno

AGORA É COM VOCÊ Somam 180°.

a) Se um quadrilátero é inscritível em uma circunferência, o que acontece com as medidas dos ângulos opostos? b) Se num quadrilátero as medidas de dois ângulos opostos são 60° e 50°, esse quadrilátero é inscritível? Não. c) Todo quadrilátero é inscritível numa circunferência? Não. 2 Com o auxílio de régua, compasso e transferidor, Júlia desenhou um qua‑ drilátero inscrito numa circunferência. A seguir, observou que a medida de um dos ângulos internos desse quadrilátero era 124°. 124° O x

Responda: a) Qual é a medida do ângulo x, oposto ao ângulo de medida 124°? 56° b) O que podemos afirmar sobre as me‑ didas dos dois outros ângulos? São suplementares, isto é, somam 180°. 3 Dois ângulos internos de um quadriláte‑ ro inscritível, conforme figura abaixo, têm suas medidas x e 2x. Então: a) determine o valor de x; 60° b) determine as medi‑ das desses dois ângulos; 60° e 120° x c) responda: O que O podemos afirmar 2x sobre as medi‑ das dos outros dois ângulos internos do quadrilátero? Somam 180°. 4 Desenhe uma circunferência de raio medindo 5 cm. Em seguida, desenhe um quadrilátero inscritível de tal maneira que dois de seus ângulos sejam 100° e 40°. Depois, com o auxílio de um trans‑ feridor, obtenha as medidas dos outros dois ângulos do quadrilátero.

5 Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência. Dois de seus ângulos têm suas medidas indicadas na figura. A

O

115°

B

95° D

C

Determine: a) a medida do ângulo A; b) a medida do ângulo D.

85° 65°

6 Ainda em relação ao quadrilátero da ati‑ vidade anterior, responda: a) Qual é a medida do ângulo central correspondente ao arco DCB? 170° b) Qual é a medida do ângulo central correspondente ao arco ABC? 130° c) Qual é a medida do ângulo central correspondente ao arco ADC? 230° d) Qual é a medida do ângulo central correspondente ao arco DAB? 190° 7 Na tabela a seguir estão indicadas as medidas dos ângulos internos de qua‑ driláteros inscritíveis numa circunferên‑ cia. Copie e complete a tabela conside‑ rando que os ângulos A e C e também os ângulos B e D são opostos. A

B

C

BA

20° 40° 50° 55° 64°

BB

BB

90° 140° 80° 130° 75° 125° 70° 116°

D

BC

BC

100° 160°

Ilustrações: Setup

1 Responda:

BD

80° 90° 100° 105° 110°

Os outros dois ângulos são opostos aos ângulos de 100° e 40° e medem 80° e 140°, respectivamente.

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caderno

Superando Desafios 1 (OBM)

C A Ilustrações: Setup

Na figura ao lado o ponto O é o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B, C, D e E. Sabendo que o diâmetro AB e a corda CD são perpendiculares e que BCE  35°, o valor em graus do ângulo DAE é: Alternativa c. a) 35° b) 10° c) 20° d) 30° e) 55°

O D B E

2 (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro da circunferência. C

A

  40°

B

O

O menor dos arcos AC mede: Alternativa a. a) 100° b) 120°

c) 140° d) 150°

http://m3.ime.unicamp.br/ recursos

Explorando

Roda do sonho http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1173. Acesso em: mar. 2015. Pablo é um artista plástico que gosta de ciências exatas e tem um sonho em que conversa com Arquimedes de Siracusa, matemático e físico que viveu na Grécia, cerca de 300 anos antes de Cristo. Nesse sonho, Arquimedes auxilia Pablo a calcular a área de um círculo, por meio de decomposição de figuras, além de calcular o comprimento de uma circunferência.

As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1102. Acesso em: mar. 2015. Durante o dia Arnaldo é um jovem normal como os demais, vai à escola, ouve música e fica horas no computador, mas à noite transforma-se no Geodetetive, um personagem curioso à procura de conhecimento. Nesse episódio ele conversa com Eratóstenes, que viveu cerca de 300 anos antes de Cristo. Eratóstenes mostra como conseguiu determinar, de forma bastante rústica, o comprimento da circunferência da Terra e conta que para fazer isso usou conhecimentos básicos da Geometria e assim, admiravelmente, obteve um valor muito próximo do que conhecemos hoje.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Se um ponto é exterior a uma circunfe‑ rência, então a distância desse ponto ao centro da circunferência é: Alternativa b.

5 O triângulo ABC é circunscrito a uma cir‑ cunferência tangenciando-a nos pontos P, Q e R.

a) igual à medida do raio. b) maior que a medida do raio. c) menor que a medida do raio. d) a metade da medida do raio.

A P

B

2 Na circunferência de centro no ponto O e raio igual a 3 cm, a distância do ponto O à reta r, conforme indicado na figura, é: Ilustrações: Setup

Alternativa a.

r

R

Q C

Se AP 5 x, BP 5 y e CR 5 z, então: Alternativa b. a) AR 5 z b) CQ 5 z c) BQ 5 x d) BQ 5 z

3 cm

6 Se a medida de um ângulo central numa circunferência é igual a 92°, então a me‑ dida de um ângulo inscrito correspon‑ dente ao mesmo arco é: Alternativa a.

a) menor que 3 cm. b) maior que 3 cm. c) igual a 3 cm. d) igual a 1,5 cm.

a) 46° b) 44°

3 Se duas circunferências de raios 3 cm e 4 cm apresentam dois pontos em comum, então: Alternativa c.

a) elas são tangentes externas. b) elas são tangentes internas. c) elas são secantes. d) elas são exteriores.

c) 45° d) 47° 7 Na circunferência representada a seguir, a medida de x é: Alternativa b. y P

4 Na circunferência abaixo, o segmento AB representa um diâmetro. Então, o ângulo correspondente ao vértice C é:

Q

118° O x

C

M

A

Alternativa c.

a) agudo. b) obtuso.

B

O

a) 60°

c) 49°

b) 59°

d) 79°

8 Ainda em relação à figura anterior, po‑ demos afirmar que a medida do arco y é: c) reto. d) raso.

Alternativa c.

a) 59°

c) 118°

b) 109°

d) 129°

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Registre no

9 Mônica desenhou duas circunferências de raios iguais a 4 cm tendo os pontos A e B como centros. Ligou esses dois pon‑ tos por meio de um segmento. Marcou a seguir os pontos F e G correpondentes aos pontos de encontro dessas duas cir‑ cunferências, conforme figura abaixo.

caderno

A medida do arco AB é: Alternativa a. a) 68° c) 77° b) 84° d) 54°

12 O quadrilátero está inscrito em uma cir‑ cunferência.

F

82° 94°

A

B x

86° G

a) Qual é o comprimento de segmento AB?

4 cm

b) Qual é a distância do ponto A ao ponto F? 4 cm

c) Qual é a distância do ponto G ao ponto B? 4 cm

d) Se construirmos um triângulo ligando os pontos A, F e B, que tipo de triân‑ gulo obteremos? Um triângulo equilátero.

Conforme medidas indicadas, o valor de x é: Alternativa d. a) 88° c) 68° b) 78° d) 98° 13 Os segmentos TR e TS são tangentes à circunferência.

10 Na circunferência abaixo, o arco AB mede 50°.

R O

A O

50° x

B

B

A

O valor de x é: Alternativa b. a) 7 c) 9 b) 8 d) 10 14 Na figura a seguir, os segmentos PA e PB tangenciam a circunferência. A Ilustrações: Setup

11 Na circunferência abaixo, b é igual a 34°.

T

3x  5

S

C

Então, é correto afirmar que a medida do ângulo indicada por x é: Alternativa c. a) 35° b) 22° c) 25° d) 23°

19 cm

O

105°

x

P

B



V

Conforme medidas indicadas, temos que: Alternativa c. a) x 5 65° b) x 5 95° c) x 5 75° d) x 5 88°

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Gabarito 9. a) 20,3 e 20,2, respectivamente b) 0,3 e 0,2, respectivamente 10. b) Nem todo número inteiro é natural. d) Os números naturais não são negativos; f ) Os números inteiros são números racionais. 11.

Unidade 1 Capítulo 1 Página 15 Agora é com você 1. a)

32 100

Conjunto dos números naturais

3 15 2 ou 2 b) 2 10

91 f ) 10 2. a) 23,5 b) 1,6 c) 28,25 d) 20,02 e) 0,007 f ) 26,25

2.

3. a) 27,75 b) 28,8 c) 214,53125 d) 0,0125 e) 20,09375 f ) 12,5 4. a) O maior deles é aquele que estiver mais à direita na reta. b) O menor é aquele que estiver mais à esquerda na reta. 5. a) 25, 9, 45, 450, 42 e 24 b) 25, 9, 45, 450, 42, 24, 232, 213 c) 450 d) 232 7 5 ; 2 ; e)  23,2; 0,9; 29,01; 24,5; 2 3 2 4,2; 28,1; 2 e 99,1 5 d)  e) . f ) 

1 7. a) 0,5 ou 2

3 c) 1,5 ou 2

16 ; 53; 23

8; 16 ; 53; 23; 2,4; 24,85

Agora é com você 4 8 1. a) 2 c) 9 9 3 1 b) ou 9 3

2 1 e) ou 100 50

9 b) 4,5 ou 2

8;

Página 20

5 25 d) 2 ou 2 2 10

6. a)  b)  c) 5

16 ; 53

8;

163 652 c) ou 100 25

Conjunto dos Conjunto dos números números inteiros racionais

8. a) R$ 6,25 b) R$ 199,80 negativos c) 25 cédulas b) 100 cédulas

a) 4,1666... b) 3,333... c) 5,97222... d) 2,6041666... e) 2,0313131... f ) 0,8555...

34 54 c) 99 99 27 78 b) 2 d) 99 99 4. a) 0,2444... 3. a)



b) 156,25



c) 0,888...



d) 1 333,333...



e) 16,666...



f ) 0,08333...



g) 0,052



h) 0,0008

5. a)

22 80 4 000 150 25 , , , e 90 90 3 9 300

1 250 26 2 e b) , 8 500 2 500 6. a)

17 9

321 b) 999 170 c) 99 77 d) 9 7. a) Resposta possível: duas parcelas de R$ 133,33 e uma parcela de R$ 133,34. b) Não, pois a divisão de R$ 1.500,00 por 9 resulta em uma dízima periódica. 160 8. 63

CapÍtulo 2 Página 24 Agora é com você 1. a) Não. b) Não. 2. a) 6,928 cm b) 2,999824 cm2 c) 3 cm2 3. a) 1,7320 b) 2,2361 c) 2,4495 4. Não, mas valores próximos. 5. a) 1,4 cm b) 1,7 cm c) 2,2 cm d) 3,2 cm e) 4,5 cm 6. Infinita e não periódica. 7. a) 40 cm b) 39,9424 cm2 c) 40,0689 cm2 d) Sim, e, portanto, apresenta infinitas casas decimais.

Página 27 Agora é com você 1. a) 1,2 b) 110 c) 0,7 d) 240 e) 0,5 f ) 4,242640687... 2. a) Sim. b) Todos, menos o correspondente à raiz quadrada de 18. c)  Apenas o correspondente à raiz quadrada de 18. 3. a) 3,414 b) 0,926 c) 6,646 d) 1,096 22 4. 7 , 8 e 3 5. 5 ? 2 é maior. 6. a) 25 m b) 25,8064 cm2

Página 30 Agora é com você 1. 62,8 cm 2. a) 100 cm b) 50 cm 3. a) Duplica também. b) Duplica também. c) Triplica também. 4. a) 16 cm b) 4 cm c) 12,56 cm 5. a) 50,24 m b) 301,44 m

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APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:44 AM

6. a) 35,56 cm b) 111,66 cm 7. a) 66,04 cm b) 207,37 cm

74 d) 99

Capítulo 3

97 e) 99

Página 33

59 f ) 99

81 c) 99

Agora é com você 1. 7,9; 7,8; 7,2 2. R$ 1.020,00; R$ 500,00; R$ 400,00 3. a) média: 40,1 aproximadamente; mediana: 40; moda: 36. b) Nova média: 39,82 (aproximadamente); a moda não mudou; mediana: 39,5. 4. 17 anos: Resposta pessoal.

Página 34 Superando desafios 1. b 2. b 3. d 4. d 5. e

Página 37 Resgatando conteúdos 1. a)

38 100

7 35 2 ou 2 b) 2 10 422 c) 100 19 95 2 ou 2 d) 2 10 5 1 e) ou 100 20 78 f ) 2 10 2. a) 21,125 b) 5,4 c) 215,75 d) 20,47 e) 0,0078 f ) 218,75 3. a) 223,75 b) 16,8 c) 225,78125 d) 0,025 e) 20,125 f ) 0,25 g) 5,69444... h) 18,75 i) 1,3888... j) 1,5625 k) 0,0383838... l) 1,555... 4. c 5. a)

12 99

6 2 b) ou 9 3

3 b) 2 1 c) 100 d) 6,25 1 e) 5 0,125 8 f ) 20,00032

781 g) 999 6. d 7. a 8. d 9. b 10. c 11. a 12. b 13. d 14. b 15. b 16. c 17. c 18. d 19. a) Entre a e zero. b) Entre zero e b. 20. a) Sim. b) Não. c) Sim. 21.

4. a) 34 b) 226 c) (22)3 d) b10 5. a) 5 b)  c)  d) 5 6. a) 9 b) 0 c) 25 7. 241; 326

Página 47

d) Sim. e) Não.

a) 3,87 b) 5,48 c) 6,71 d) 7,75

22. a) Não, por exemplo

4 5 2.



b) O número maior é

12 .

23. 24. 25. 26. 27.

5,83 cm aproximadamente a) Sim. b) Sim. c) Sim, os racionais. a) 109,9 cm b) 131,88 cm c) 157 cm d) 263,76 cm 58; 56; 58 a) R$ 5.900,00 b) Resposta pessoal.

Unidade 2 CapÍtulo 4 Página 43 Agora é com você 1. a) 1 b) 0 c) 256 2. a) Positivo. b) Negativo. c) Positivo. 3. a) 8

d) 227 e) 64 f ) 1

Agora é com você 1. a) 610 b) 72 c) 324 d) 1012 e) 42 2. 52 3. 311 4. 9 5. 220 6. a) 160



f ) x 3 g) y 0 5 1 h) a15 i) k 5



b) 4 860

7. 72,25 m2 8. 3500 . 2700 9. 1 5 20, 2 5 21, 3 5 20 + 21, 4 5 22, 5 5 20 1 22, 6 5 21 1 22, 7 5 20 + 21 + 22, 8 5 23, 9 5 20 + 23, 10 5 21 + 23, 11 5 20 + 21 + 23, 12 5 22 + 23, 13 5 20 1 22 1 23, 14 5 21 1 22 1 23, 15 5 20 1 21 1 22 1 23, 16 5 24

Página 50 Agora é com você 1. a) 6 000 b) 153 000 c) 101 000 000 d) 0,7 e) 0,000001 f ) 0,00055 2. D, B, A, C 3. 2 993,78 metros 4. a) 5 ? 108 b) 9 ? 107 c) 103 d) 3 ? 102 5. a) 6 b) 9 c) 23 d) 25 6. a) 5 b) 4 c) 3

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APOEMA matemática 8

a

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d) 2 e) 1 7. 36 ? 1024 m2 8. 57 910 000 108 200 000 149 600 000

5,791  107 1,082  108 1,496  108

227 940 000

2,2794  108

778 330 000 1 429 400 000

7,7833  108 1,4294  109

2 870 990 000 4 504 300 000

2,87099  109 4,5043  109

CapÍtulo 5 Página 53 Agora é com você 1. a) 0 b) 1 c) 12 d) 0,2 e) 0,5 f ) 2,5 g) 2,4 h) 0,3 5 i)  9 1 j)  5 12 k)  7 1 l)  20 2. V; F; V; V 3. a) Entre 3 e 4. b) Entre 5 e 6. c) Entre 6 e 7. d) Entre 14 e 15. e) Entre 22 e 23. 4. v; f; f; v. 5. a) 81 m2 b) 9 m

Página 56 Agora é com você 1. a) 625

b) 225 c) 9 1 d) 4 e) 0 5 2. a) 6 1 b) 10 7 c) 11 12 d) 20 e) 0,2 3. a) 20

b) 30 c) 32 d) 35 e) 60 f ) 16 g) 17 h) 64 i) 45 j) 90 4. a) 17 e 217 b) Somente 17. 5. a) 13 e 213 b) 0 c) 9 e 29 1 1 d) e 2 5 5 6. 9 cm, 7 cm e 5 cm 7. a) 49 e 64 b) 7 e 8 c) 10 8. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256 e 289 9. a) Sim. c) Não. b) Não. d) Sim. 10. a) 2,236 b) 6,083 c) 13,601 d) 30,397 11. a) 210 b) 648 c) 715 d) 1 000 e) 510

capítulo 6 Página 60 Agora é com você 1. 12 2. 162 3. 10 000 4. 10 000 000 5. 216 6. a

Página 61 Superando desafios 1. d 2. d 3. c 4. a

Página 62 Resgatando conteúdos 1. d 2. a 3. b 4. a) 10 b) 225 1 c) 2 d) 625 1 e) 9

5. c 6. d 7. b 8. d 9. a 10. d 11. c 12. a) 70 19 b) 8 13. b, a, e, d, c 14. a) 0,4 b) 1,5 c) 1,3 d) 0,7 15. a 16. c 17. b 18. c 19. b 20. d 21.  Figura 4: 21 Figura 5: 26 Figura n: 1 1 5 ? n

Unidade 3 CapÍtulo 7 Página 69 Agora é com você 1. a) Três segmentos. b) AB, AC e BC. c) Sim. d) Sim. e) O ponto A. f ) Um ponto apenas, o ponto B. 2. a) 8 cm b) 5 cm c) Não é possível determinar o comprimento da reta. 3. 4 cm 4. a) Segmentos de mesmo comprimento. b) 5 cm 5. a) 408, 608 e 408 b) 1008 c) 1008 d) O ângulo PAQ 6. A medida é 608 7. a) 308 b) 208 c) 408 d) 208 e) 308 f ) 208 8. A bissetriz desses ângulos. 9. Os dois ângulos medem 608. 10. a) 5,15 cm b) 10,3 cm c) 10,3 cm

Página 72 Agora é com você 1. a) 1278, 538 e 538. b) Não.

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a

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2. a) 258 b) 308 3. a) x 5 308 b) 908 4. a) F b) F c) V d) V 5. Resposta pessoal. 6. a) x 5 88 b) 488, 248 e 188 7. a) 1578 b) 238 8. a) 1808 b) x 5 118 c) 1258 e 558

Página 75 Agora é com você 1. a 5 c 5 e 5 g 5 308; b 5 d 5 f 5 h 5 1508 2. 1358 3. a) 1278 b) 538 c) 538 4. a) 1608 b) 1608 c) 208 5. 428 6. a) 208 b) 228 c) 408 d) 1208 e) 1008 7. a) x 5 1108; y 5 1108; z 5 708; w 5708 b) São iguais. c) São iguais. d) São suplementares. e) São suplementares. 8. a) 158 b) 508 c) 1658 9. a) 458 e 1358 b) 558 e 1258 c) 418 e 1398 d) 1808 e) 1808 10. a) 608 b) 1208 c) São ângulos suplementares. 11. a) 988 b) 988 12. 408 13. y 5 1208; x 5 608; 2x 5 1208 14. a) 458 b) 608

CapÍtulo 8 Página 83 Agora é com você 1. a) Não. b) Não. c) Sim. 2. Resposta pessoal. 3. a) Quando dois de seus lados tiverem a mesma medida.

b) Quando os três lados tiverem a mesma medida. c) Quando os três lados tiverem medidas diferentes. 4. a)  Quando um de seus ângulos for reto. b) Quando todos os ângulos tiverem a mesma medida. c) Quando dois de seus ângulos tiverem a mesma medida. 5. a) Não. b) Dois de seus ângulos têm a mesma medida. c) Triângulo equilátero. 6. 28 cm 7. 12 cm 8. a) 7 cm ou 8 cm. b) 10 cm 9. a) 3 cm b) 18 cm c) 36 cm 10. a) Não. b) Não. c) Sim. 11. x 5 2 e y 5 6 12. 10 cm, 20 cm e 28 cm. 13. 8 cm 14. a) 17 cm ou 12 cm b) 15 cm 15. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. 16. 20 cm 17. a) 10 cm b) 8 cm c) 6 cm d) 10 cm e) 8 cm f ) 6 cm g) 24 cm

Capítulo 9 Página 88 Agora é com você 1. a) 558 b) 708 c) 378 d) 458 e) 408 f ) 458 g) 458 h) 158 2. 608 3. 1208 4. a) 458 e 908 b) 608 e 908 c) 758 e 908 5. a) 708 b) Sim. 6. a) 458 b) 508 7. a) 438 b) 438 e 928 8. a) 598, 608 e 618 b) 308, 608 e 908 c) 908 e 588

9. a) x 5 15 b) 308, 608 e 908 10. 308, 488 e 1028

Página 91 Agora é com você 1. a) 1808 b) 3608 c) 1808 d) 1808 e) 1808 2. a) 1808 b) 3608 c) 1208, 1108 e 1308 3. a) 1288 b) 808 4. a) x 5 468 b) y 5 598 c) z 5 1218 d) t 5 1058 5. a) 1388 b) 358 c) 1038 d) 428 6. 188, 628 e 1008 7. a) 508 b) 508, 608 e 708 c) 1308, 1208 e 1108 8. a) 1108 b) 1108, 1058 e 1458 c) 708, 758 e 358 9.  x 5 538; y 5 318; w 5 848; z 5 1498 10. a) 1808 b) 1408 11. a) 748 b) 1068 12. a) 758, 758 e 308 b) 1408, 208 e 208 c) 608, 608 e 608 13. a) Quando o ângulo for reto. b) O ângulo C. c) O ângulo A. 14. a) 308 b) 308, 708 e 808 c) 1508, 1108 e 1008 15. a) 708 b) 1408, 1108 e 1108

Capítulo 10 Página 98 Agora é com você 1. a) 898 b) 278 c) 648 d) 898 2. a) Sim. b) Não. 3. a) 828 b) 488, 828 e 508, respectivamente c) 4 cm

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a

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4. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal.

Página 101 Agora é com você 1. LAL 2. LLL 3. São congruentes. 4. a) 20 cm b) Sim. 5. Os quatro casos são válidos. d) 908 6. a) 2,5 cm e) 5 cm b) 608 c) 308 7. a) 4,16 cm b) 7 cm c) 408 d) 358 e) 1058 8. a) Sim. b) LLL 9. LAL 10. LAAo 11. a) Não são congruentes. b) São congruentes. 12. a) LAL c) LLL b) ALA d) LAAo 13. x 5 6 cm e y 5 18 cm

(x 1 y)2

41 53 125

81 25 225

2,05

2,89

7,24 45 181

0,04 81 361

Superando desafios 1. c 2. d 3. b

Resgatando conteúdos 1. c 2. b 3. b 4. c 5. d 6. c 7. a 8. d 9. b 10. a 11. d 12. b 13. a 14. b 15. d 16. a 17. 808 18. 208

Página 125

x 2 1 y 2

Página 109

Página 110

b) 2m c) 52x 2 d) 10y 3. a) 9m 2 9x 1 4 b) 2y 1 8p 1 6x c) 27m2 2 23x 2 d) 18t 3 1 11 e) 4xy 1 40x 2 36y f ) 4x 2 1 56x 1 6y2 g) 51x 2 6y h) 16ab 2 16a 1 10 4. a) 24x 1 12 b) 34x 1 10 5. a) 12x 1 28 b) 84x 6. a) 4x 1 5 b) 10x 2 13 c) 3x 1 24 d) 15x 1 4 e) x 2 19 f ) 25x 2 9

c) (x 1 y)2 d) (x 2 y)2 e) n(n 1 1) f ) x 2 2 5x g) x 2 2 y 2 x h) x2 2 2 2. a) 16x b) 16x2 2 9 3. a) 32 b) 160 c) 55 d) 1 591 4. a) 10 b) 3 c) 22 d) 25 e) 19 f ) 43 5. a) 16x 1 8 b) 48 c) 64 d) 80 e) 5 6.

7.

(x 1 y)2

x 2 1 2xy 1 y 2

81 81 25 2,89 0,04 81 1

81 81 25 2,89 0,04 81 1

Sim. 8.

(x 2 y)2

x 2 2 2xy 1 y 2

81 25 225 16 33,64 36 361

81 25 225 16 33,64 36 361

Sim.

Unidade 4 Capítulo 11

255 9. a) 2 10 b) 3 10. a) 7x 1 5 c) 12z 2 3 b) 24y 1 16

Página 117

Página 121

Agora é com você 1. a) x 2 1 2x b) y 1 2x

Agora é com você 1. 63x 2. a) 5x

Agora é com você 1. a) 16x 1 12 b) grau 1 2. a) grau 4 b) 27 c) 19 d) 5 termos 3. a) grau 5 b) 217 c) 7 d) 5 termos 4. 20ac 1 20bc 1 20ab 5. a) Resposta possível: 65x 1 53y b) R$ 537,00; não há dados suficientes para responder.

Capítulo 12 Página 127 Agora é com você 1. a) 6a 1 8b 1 c 2 10 b) 22a 1 12b 2 7c 1 20 c) 4a 1 20b 2 6c 1 10 d) 12a 2 6b 1 12c 2 45 2. a) x 3 1 2x 2 b) x 2 1 3x 3. a) 3x 3 1 5x 2 1 13x 2 11 b) x 4 1 2x 3 1 8x2 2 21x 1 1 c) 2x 3 2 4x 2 2 9x 1 9 d) x 4 1 2x 3 2 x 2 1 e) x 3 1 3x 2 2 14x 4. a) 6x 3 1 3x 2 1 2x 1 2 b) x 4 2 2x 3 1 6x 2 2 14x 1 9 c) 22x 3 2 2x 2 2 6x 1 2 d) x 4 2 2x 3 2 4x 2 2 12x 2 3 e) 2x 3 1 4x 2 1 3x 1 5 5. a) 2x 3 1 1 b) 4x 3 1 8x 2 1 18x 2 20 c) 2x 2 2 4x d) 3x 4 1 6x 3 2 3x 6. x 3 1 5 7. x 2 1 8. Falsa, pois A 1 A 5 2A. 9. a) 23x 2 2 6x 1 8

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a

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10. 11.

b) 9x 3 2 4x 2 1 6x 1 7 c) 11x 2 2 12x 1 12 d) 5x 3 2 4x 2 1 14x 2 17 a) Será um polinômio do 3o grau. b) Será um polinômio do 4o grau. c) Será um polinômio do 3o grau. d) Será um polinômio do 4o grau. Resposta pessoal.

Página 132 Agora é com você 1. a) 7o grau b) 6o grau c) 7o grau 2. a) x 2 1 x b) x 2 1 3x 1 2 c) x 2 2 2x d) x 2 2 4 e) 4x 2 1 2x 2 2 3. a) 9x 3 1 25x 2 2 6x b) 2x 3 2 19x 2 1 35x c) x 4 2 3x 2 2 2x d) x 4 2 6x 3 1 10x 2 2 8x e) x 5 1 x 4 1 4x 3 2 x 2 2 5x f ) x 5 2 x 4 2 2x 3 1 3x 2 2 3x g) x 6 2 16x 2 h) 4x 4 2 x 2 1 4x 2 4 i) x 5 2 x 4 1 3x 2 2 3x j) x 6 2 9x 2 4. a) R$ 1.537,88 aproximadamente. 5. a) 9x 2 b) 16x 2 c) x 2 6. a) 6x 2 1 x 2 12 b) grau 2 c) 88 d) 88 7. a) 2x 3 1 7x 2 2 4x b) 25x 3 2 7x 2 2 2x c) 10x 2 2 x 2 2 d) 22x 5 2 9x 4 2 3x 3 1 4x 2 e) 10x 4 1 39x 3 2 6x 2 2 8x 8. a) x 2 1 2x 1 1 b) 4x 2 2 16x 1 16 c) x 2 1 10x 1 25 d) 4x 2 2 12x 1 9 e) 4 1 12x 1 9x 2 f ) 25x 2 2 10x 1 1 9. a) 4x 3 2 13x 2 1 19x 2 4 b) 5x 3 1 8x 2 2 24x 1 8 c) 6x 3 1 x 2 1 x 1 2 d) 2x 3 1 13x 2 2 5x 2 30

Página 137 Agora é com você 1. a) Q 5 3x 2 1; R 5 211 b) Q 5 x ² 1 4x; R 5 10 c) Q 5 4x 2 24; R 5 68 d) Q 5 x ² 1 4x 1 17; R 5 19 e) Q 5 x 2 2; R 5 5 f ) Q 5 4; R 5 5x – 9 g) Q 5 4x 2 18; R 5 83x 2 17 2. x 2 6

Capítulo 13

2. F; V; V; V; V 3. c

e) x 2 12xa 1 a 2

Página 143

g) x 2 114x 1 49

Superando desafios 1. a 2. c 3. b



h) 9x 2 112x 1 4



i) 16a 2 18a 1 1



j) 4x 2 14xy 2 1 y 4



k) 16x 2 18x 3 1 y 4

f ) m 2 112m 1 36

Página 146

1 l) x 2 1 4xa 1 16a 2 4

Resgatando conteúdos 1. c 2. d 3. b 4. a 5. c 6. b 7. d 8. d 9. a 10. b 11. a) y = 3x ² + 5x + 18 b) y = 40 85 c) 4 12. d 13. a) 4 b) 211 c) 211 d) 4,84 e) 4 f ) 28

2. a) 2 601 b) 40 804 c) 6 889 d) 1 849 3.

219x 1 24 41x 24x 1 5 212x 1 10 2x 4 1 2x 23x 1 5 29x 1 5 23x

5

29x

17. a) Não, pois não se refere apenas aos carros. b) Trabalho. c) 23,6%

Unidade 5 Capítulo 14 Página 153 Agora é com você 1. a) x 2 1 10x 1 25

Página 142

b) a 2 1 6a 1 9

Agora é com você 1. d



c) 4 1 4y 1 y 2



d) 16 1 8m 1 m 2

(x 1 10)2 (4 1 9x)2 (2x 1 2y)2

x 2 1 20x 1 100 16 1 72x 1 81x 2 4x 2 1 8xy 1 4y 2

Página 155

23x 1 9 216x 1 15

2x

Trinômio correspondente

4. a) 24x 2 2 6xy 1 2y 2 b) 4a 2b 2 2 10ab 2 12 5. a) 10x; 4x 2; 25; 10x b) (5 1 2x) 2 c) 4x 2 1 20x 1 25 6. a) 32 cm b) 231 cm2

14. a) n ? 7 b) x ? 24 c) y ? 100 d) a ? 1 000 x e) 12 f ) x ? 12 15. a) R$ 10,00 b) R$ 17,50 c) V 5 5 1 (t 2 1) ? 2,50 16.

4

Quadrado de um binômio

Agora é com você 1. a) x 2 2 14x 1 49 b) a 2 2 10a 1 25 c) 36 2 12y 1 y 2 d) 16 2 8m 1 m 2 e) x 2 2 2xa 1 a 2 f ) m 2 2 16m 1 64 g) 9x 2 2 30x 1 25 h) 16a 2 2 8a 1 1 i) x 2 2 2xy 2 1 y 4 j) 9x 2 2 6x 3 1 x 4 k) 64 2 32x 1 4x 2 1 l) x 2 1 2xa 1 4a 2 4 2. a) 8; 64 b) 12 ; 8 12 1 1 c) ; 6 36 d) 9; 16 3. a) 2 401 b) 39 204 c) 5 929 d) 1 521 4.

Quadrado de um binômio

Trinômio correspondente

(y 2 8)2 (2m 2 1)2 (3 2 2r )2

y 2 2 16y 1 64 4m 2 2 4m 1 1 9 2 12r 1 4r 2

5. a) 2x 2 1 4x 1 6 b) 23x 4 2 8x 3 1 4x2 2 4x 1 4 6. x 2 2 10x 1 25

267 pom8_262_272_gabarito.indd 267

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:44 AM

g) (n 1 9)2 h) (y 2 12)2 5. a) (2 2 x)2 b) (8 1 y)2 c) (3y 2 5) ? (3y 1 5) d) (x 1 5)2 e) (y 1 6)2 f ) (10 2 2x) ? (10 1 2x) 6. a) (25a 1 9b)(25a 2 9b) b) 20,25 m2

Página 158 Agora é com você 1. a) 9x 2 2 25

b) 4x 2 2 49



c) 16y 2 2 9



d) 16a 2 2 1

e) x 2 2 y 4

f ) 9x 2 2 x 4

1 g) 2 4a 2 4 2. a) 2 499

b) 39 996



c) 6 391

Página 164 Agora é com você 1. a)

d) 1 599 3.

Produto da soma pela diferença

Diferença de dois quadrados

(x 1 10) ? (x 2 10)

x 2 2 100

(y 1 8) ? (y 2 8)

y 2 2 64

(2m 1 1) ? (2m 2 1)

4m 2 2 1

(4 1 9x) ? (4 2 9x)

16 2 81x 2

(3 1 2r ) ? (3 2 2r )

9 2 4r 2

(2x 1 2y) ? (2x 2 2y)

4x 2 2 4y 2

4. a) 24x 2 1 2y 2 b) 29x 2 2 8x 1 4

c) 5x 4 2 5x 2



d) 9a 2b 2 1 5ab 2 9

5. 16x 2 2 9 6. a) 4x b) x 2 2 y 2

Capítulo 15 Página 162 Agora é com você 1. a) 4(m 2 2) b) 3(x 2 3) c) 4(4 2 y) d) x(m 1 2) e) n(m 1 3) f ) 7(x 2 7y) 2. a) x(3x 2 1 2x 2 4) b) 2x(x 2 1 2x 2 8) c) 2(3m 2 2 2m 1 4) d) 5a 2x(3x 1 2 2 4x 2) e) 4r 2(3r 1 1 2 6r2) f ) xy(x 2y 2 2 xy 1 3) g) 5r 2x(x 1 2 2 20x 2) h) 12y 2(y 2 2 1 4y 2) 3. a) (m 2 n) ? (7 2 x) b) (a 1 b) ? (x 2 4) c) (x 2 2) ? (9 1 y) d) (2m 1 1) ? (50 2 y) e) (y 1 3x) ? (8x 2 5) f ) (x 1 y) ? (m 1 10) 4. a) (3 1 b) ? (x 1 y) b) (x 2 4) ? (x 1 2) c) (a 2 b) ? (y 1 x) d) (m 1 1) ? (n 1 2) e) (m 1 x) ? (p 2 r) f ) (3 1 m) ? (3 2 x)

m 21 x 21

2 b) x 24 2 c) 3 1 2 2r 1 d) 2x 12y e) 21 1 y x1y f ) 3 2. a)

x 2y x 1y

x 2y b) x 1y x 28 c) x 18 1 d) 2 92y x 1 10 e) x x 2 4y f ) x 1 4y

Página 164 Superando desafios 1. b 2. d

Página 166 Resgatando conteúdos 1. c 2. a 3. d 4. b 5. c 6. a 7. a 8. c 9. d 10. b 11. c 12. c 13. a 14. d 15. c 16. b

17.  (a 1 b 1 c)2 5 5 a2 1 b2 1 c2 1 2(ab 1 ac 1 bc) 18. a) 90x d) 10 b) 16 e) 5; 25 c) 49 f ) 81n2 19. a)

4 1 4x 1 9x 2 9

1 b) 2 2y 1 25y 2 25 4 c) 2 8m 1 36m2 9 16 d) 2 9x 2 25 1 4 e) x 2 1 x 1 4 9 3 x2 49 f ) 2 4 25

Unidade 6 Capítulo 16 Página 173 Agora é com você 1. I) F II) V III) V 2. I e IV 3. d 4. a) 3608 b) 2108 c) 1008 5. x 5 1508 6. a) y 5 608 b) 608, 608, 1208, 1208 7. 828

Página 175 Agora é com você 1. 908 2. a) 708 d) 828 b) 1108 e) 938 c) 758 3. a) 2x 1 508 1 x 1 1008 1 x 2 208 1 1 808 2 x 5 3608 b) x 5 50 c) 1508, 1508, 308 e 308 d) 308, 308, 1508 e 1508 4. a) Sim. b) Sim. c) 1568, 248 e 248 d) 248, 248, 1568 e 1568 5. a) 608 b) 608, 608, 1208 e 1208 c) 1208, 1208, 608 e 608 6. a) A 5 608, C 5 D 5 908, B 5 1208 b) A 5 1208, B 5 608, C 5 D 5 908

Capítulo 17 Página 180 Agora é com você 1. a) Quadrado e retângulo. b) Losango e quadrado. 2. a) Resposta pessoal.

268 pom8_262_272_gabarito.indd 268

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:44 AM

b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. 3. I) F II) V III) F IV) V V) V VI) F 4. a) 708, 708, 1108 e 1108 b) 1108, 1108, 708 e 708 5. a) 12,25 cm2 b) 14 cm 6. a) 608, 608, 1208, 1208 b) 1208, 1208, 608, 608

Página 183 Agora é com você 1. Respostas pessoais. 2. a) 458, 458, 1358 e 1358 b) 608, 608, 1208 e 1208 c) 30 cm d) 40 cm 3. I) V II) F III) V IV) V 4. a) 388, 1428 e 1428 b) 64 cm c) 16 cm 5. x 5 788, y 5 1028 6. a) 608, 608, 1208 e 1208 b) 1208, 1208, 608 e 608 7. a) 708 b) 848

Página 186 Agora é com você 1. Respostas pessoais. 2. Respostas pessoais. 3. I) V II) F III) V IV) V V) V VI) V 4. 608 e 1208 5. 858, 858, 958 e 958 6. a) 1208, 1208, 608 e 608 b) 20 cm 7. a) 1048, 1048, 768 e 768 b) 508, 508 e 808 8. 808 e 1008

Página 189 Superando desafios 1. c 2. e

Página 192 Resgatando conteúdos 1. b 2. b 3. a 4. d 5. c 6. d 7. d 8. a 9. c 10. b 11. a

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

b c d a d c a) Sim. b) 3608 c) 908

2. a) n 5



d) 908 e) 1488 f ) 788

Capítulo 18 Página 200 Agora é com você 1. a) 3x 1 300 5 650 350 x5 g b) 3 2. a) x 1 x 1 1 1 x 1 2 5 102 b) 33, 34 e 35 3. 23, 25 e 27 4. a) 3x 1 400 5 1000 b) 200 g 5. x 5 2 6. a) 7 ? C 5 18 1 2 ? A b) 5 kg 7. a) x 5 30 b) x51 21 x5 c) 2 d) x522 e) x 5 2 13 f ) x51 x5 g)

1 6

x5 h)

3 10

i) x523 2 8. x 5 2 5 9. a) F b) V c) V d) F 10. a) 10 km b) R$ 30,00

20 c) 2 7

d) 50 litros

11. a) R 5 1300 1 0,02x

2m (q 2 n ) c) x 5 2 (m 2 3) (m 2 p ) p x5 d) x581p b) 2 1 1 x5 4. a) x 5 c) 3 4 1 b) x521 d) x 5 2 2 2r 5. a) x 5 r 11 p 2q x5 b) p 1q 22n 2 6m x5 c) m 2n ab 2 b2 d) x5 2 a 2 b2 3. a) x 5

Unidade 7



4m 4m b) x5 3x 3n

b) R$ 145.000,00

12. 9

Página 204 Agora é com você b 1. a) x 5 2 a 3b 1 2a b) x5 4 b 2 6a c) x5 5 d) x 5 a 1 2b 9n e) x5 7m

6. a) 9 b) 26 7. 1. a) a  0 e) m  0 2. a) x  0 b) n  0

3. a) m  p c) m  3 5. a) r  21 b) p  2q c) m  n d) a  b

Página 207 Agora é com você 1. x 5 5 2. a) x 5 2 7 b) x52 c) x 5 214 d) x58 3(m3 2 n ) e) x5 2 9 f ) x 52 7 g) x 5 23 h) x55 i) x 5 24 j) x50 k) x52 l) x523 3. a) x  3 67 b) 17 4. a) x  0 b) Não é solução. 5. A: R$ 1,80; B: R$ 1,50

Capítulo 19 Página 213 Agora é com você 1. a) x 5 5, y 5 10 b) x 5 4, y 5 2 c) x 5 21, y 5 21 1 3 d) x5 , y5 4 4 e) x 5 23, y 5 0 f ) x 5 58, y 5 222 2. a) x 5 24, y 5 22 15 b) x 52 ,y59 2

269 pom8_262_272_gabarito.indd 269

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:44 AM

c) x 5 29, y 5 1 d) x 5 25, y 5 220 e) x 5 4, y 5 1 f ) x 5 6, y 5 5 3. a) Maçã: 280 g e pera: 160 g b) Lápis: R$ 3,50 e borracha: R$ 2,00 c) 32 vacas e 40 cavalos d) 4 carros e 10 motos e) 87 moedas de 5 centavos e 33 moedas de 25 centavos. f ) 9 cédulas de R$ 100,00 e 31 cédulas de R$ 20,00 g) 20 mil sócios

c) y 20

(4,16) 10

0

10

20

x

Capítulo 21

10

Capítulo 20

d)

d) Sistema possível e determinado. 6. a) Sistema possível e determinado. b) Sistema possível e indeterminado. c) Sistema impossível. 7. a) Nenhum, pois as retas são paralelas. b) Nenhuma solução. c) O sistema é impossível. 8. a) Infinitos pontos, pois são retas coincidentes. b) Infinitas soluções. c) O sistema é possível e indeterminado. 9. a) x 5 3 e y 5 0 c) (0, 3) b) (3, 0) d) (0, 23) 10. 9

y

Página 228

Página 217

6

Agora é com você 1.

5

Agora é com você 1. a 1 ou 0,5 ou 50% 2 2 3. ou 0,4 ou 40% 5 1 4.  ou 0,1666... ou aproximadamente 6 16,67%

4

2.

3

8

D

6

F

4

A

2

2 0

G

0

0 2 10 8 6 4 2 2

4

6

e)

E

6

2

3

4

5

x

Página 228 Superando desafios 1. e 2. d 3. b 4. b 5. b 6. b

y 6

2. a) A mesma ordenada 4. b) Sim. 3. a) A mesma abscissa 5. b) Sim. 4. Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal.

5 4 3

(2,3)

2

Página 230

1

Resgatando conteúdos 1. c 2. a 3. d 4. c 5. b 6. d 7. 30 anos 8. a) 19 cm; 27 cm b) x 5 12 c) O mais moço recebe R$ 100,00, o do meio recebe R$ 200,00 e o mais velho recebe R$ 400,00. 9. a 10. b 11. c 12. b 13. c 14. d 15. a 16. c 17. João mede 1,85 m e Karyna mede 1,60 m 18. x 5 2,4 cm e y 5 1,7 cm 19. Tenho 20 anos.

Página 222

0

Agora é com você 1. a)

1

1

8 10 12

4

HC

(4,2)

1

B

f )

y

1

2

3

4

5

x

2

3

x

1

y 5

5 4

4

3

3

2

2

1

1

(4,1)

(0,0)

1 1

b)

0

1

2

3

4

5

6

x

y 6 5 4 3 2

(2,2)

1 0

1

2

3

4

5

x

3 2

1 1

0

1

2. a) Para x 5 1 e y 5 4. b) Apenas um. c) (1, 4) 3. a) Nenhum, pois as retas são paralelas. b) Nenhuma solução. c) O sistema é impossível. 4. a) Infinitos pontos, pois são retas coincidentes. b) Infinitas soluções. c) O sistema é possível e indeterminado. 5. a) Sistema possível e determinado. b) Sistema possível e determinado. c) Sistema impossível.

Unidade 8 Capítulo 22 Página 236 Agora é com você 1. a) Atividade de construção.

270 pom8_262_272_gabarito.indd 270

APOEMA matemática 8

a

6/2/15 10:44 AM

b) Atividade de construção. c) Atividade de construção. 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente 2. I) V II) F III) F IV) V V) F VI) F VII) F VIII) V 3. a) A distância é menor que 2,5 cm. b) A distância é maior que 2,5 cm. c) A distância é 2,5 cm. 4. a) 10 cm d) 9 cm b) 8 cm e) 8 cm c) 6 cm f ) 7 cm 5. a) Sim. b) O centro da circunferência. 6. a) OT , OR, OS, OP c) PQ e TR b) TR Agora é com você 1. Atividade de construção. 2. Atividade de construção. 3. Atividade de construção. 4. a) IV b) I c) II e III d) II 5. A → 908 B → 188 C → 1088 D → 1448 6. Ótimo → 728 Bom → 2168 Regular → 548 Ruim → 188 7. Respostas pessoais.

Página 241 Agora é com você 1. I) F IV) V V) V II) V VI) F III) V 2. Atividade de construção. 3. a) 2 pontos b) 3 pontos c) 7 cm d) 4 cm e) 3 cm 4.

Distância Medida x do raio r

5. a) 908 b) 10 cm c) 10 cm d) 4 cm e) 4 cm 6. a) x 5 6 b) 26 cm c) Sim. 7. a) 908 b) 908

c) 3,5 cm d) A distância é menor que 3,5 cm.

Página 245 Agora é com você 1.  A 2 uma interna à outra; B 2 tangentes internas; C 2 secantes; D 2 tangentes externas; E 2 externas. 2. I) F III) V V) F II) V IV) V VI) V 3. a) 5,3 cm e 3,7 cm b) 1,6 cm 4. a) Sim. b) Não. c) Secante. 5. 20 cm e 36 cm 6. 36 cm e 24 cm 7. a) 16 cm e 6 cm b) 28 cm

Capítulo 23 Página 249

Página 238

2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 5 cm



4 cm 3 cm 2 cm 5,1 cm 4,9 cm

VII) V

Posição relativa secante tangente externa secante externa

Agora é com você 1. a) x 5 30 b) x 5 4 2. I) V II) V III) V IV) V V) F 3. a) 3 cm b) 15 cm c) 15 cm d) 44 cm 4. a) x 5 2 cm; y 5 5 cm; z 5 1 cm e t 5 3,5 cm b) 23 cm 5. a) 19 cm b) 62 cm 6. a) 6 cm b) 12 cm, 16 cm, 18 cm e 14 cm c) 60 cm 7. I) F II) V III) V IV) F 8. 2 cm 9. 28 cm 10. a) 3 cm b) 10 cm c) 20 cm

Capítulo 24 Página 255 Agora é com você 1. a) 988 b) 2628 2. a) 1208 b) 2608 3. a) 1028 b) 628 4. a) 608 b) 22,58 c) 1808 d) 6x 5. a) 398 b) 19,58 6. a) 908 b) 628

c) 568 d) 1248 7. x 5 6 8. a) 308 b) 908 c) 22,58 d) 2α e) x 5 168 9. a) 708 b) 708 10. Os três ângulos têm medida 308. 11. a) 448 b) 888 12. a) 2188 b) 1428 c) 2188 13. a) 1568 b) 1568 c) 888 d) 1168

Página 258 Agora é com você 1. a) Somam 1808 b) Não. c) Não. 2. a) 568 b) São suplementares, isto é, somam 1808. 3. a) 608 b) 608 e 1208 c) Somam 1808. 4.  Os outros dois ângulos são opostos aos ângulos de 1008 e 408 e medem 808 e 1408, respectivamente. 5. a) 858 b) 658 c) 2308 6. a) 1708 d) 1908 b) 1308 7.

BB

BC

1008 908 808 758 708

1608 1408 1308 1258 1168

Página 259 Superando desafios 1. c 2. a

Página 260 Resgatando conteúdo 1. b 2. a 3. c 4. c 5. b 6. a 7. b 8. c 9. a) 4 cm b) 4 cm c) 4 cm d) Um triângulo equilátero. 10. c 11. a 12. d 13. b 14. c

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Referências Livros ALBRECHT, J. Resolução de problemas matemáticos: uma abordagem metodológica da proposta educação para o pensar. São Paulo: Editora Clube dos Autores, s/d. ALMOULOUD, S. A.; SILVA, M. J. F. da. Engenharia Didática: evolução e diversidade. Revemat: R. Eletr. de Edu. Matem. ISSN 1981-1322. Florianópolis, v. 07, n. 2, p. 22-52, 2012. BAYÓN, M. I. V; Saldaña, M. A. H.; Fernández, J. R.; Fernández, M. M.  Projeto de Inteligência Harvard: resolução de problemas. Madrid: Ciencias de la Educación Preescolar y Especial (CEPE), s.d. BOYER, Carl B., História da Matemática, Edgard Blucher, São Paulo, 1974.  BROLEZZI, A. C. Criatividade e resolução de problemas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2013. COVER, Front; MILIES, Francisco C. P, COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática. Edusp, 2001. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997. GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 2010. MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado:  como o acaso determina nossa vida. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. OLIVEIRA, Ana Teresa de C. C. de. Reflexões sobre a aprendizagem da álgebra. SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Educação Matemática em Revista. Ano 9, n. 12, p. 35 – 39, jul. 2002. PETITTO, S. Projetos de trabalho em informática: desenvolvendo competências. Campinas: Papirus, 2003. ROQUE, Tatiana. História da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. SILVA, C. M. S. Explorando as operações aritméticas com recursos da história da Matemática. Brasília: Plano editora, 2003. SOUZA, Júlio C. de M. Matemática divertida e curiosa. 10a ed. Rio de Janeiro: Record, 1998. Periódico Revista Bolema: Boletim de Educação Matemática – São Paulo: UNESP, 2015.

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Sumário 1. Apresentação............................................................................. 275

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2. Orientações didáticas e metodológicas.......................................... 276 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano)..........................................................276 2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental............................................................277 2.2.1 Números e operações ...........................................................................................279 2.2.2 Álgebra..................................................................................................................279 2.2.3 Geometria.............................................................................................................280 2.2.4 Grandezas e medidas.............................................................................................281 2.2.5 Estatística e probabilidade....................................................................................281 2.3 A postura do professor......................................................................................................283 2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas.............................................284 2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ..................................................284 2.4.2 Comunicação em Matemática...............................................................................284 2.5 Interdisciplinaridade ........................................................................................................285 2.6 Resolução de problemas .................................................................................................285 2.7 Avaliação .........................................................................................................................286 2.8 Recursos didáticos ..........................................................................................................286 2.8.1 Calculadora ..........................................................................................................287 2.8.2 Computador e internet .........................................................................................287 2.8.3 Softwares matemáticos ........................................................................................288 2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra .......................................................................288 2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor............................................290

3. Estrutura e organização do Projeto ............................................... 290 4. Quadros de conteúdos ................................................................. 293 5. Orientações didáticas do volume .................................................. 302 6. Referências ............................................................................... 368

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Cada educador matemático carrega consigo seus conhecimentos, valores e crenças sobre o processo de ensino e aprendizagem. Independentemente de nossos valores e crenças, não podemos deixar de observar o desenvolvimento e as transformações ocorridas na sociedade atual. Com um simples clique, os alunos têm a sua disposição uma enormidade de informações e podem, muitas vezes, acompanhar em tempo real o que acontece a milhares de quilômetros de distância de onde estão. Acreditamos que um de nossos desafios reside em “como” educar esse “homem tecnológico”, a fim de prepará-lo para atuar de forma consciente e autônoma nesta sociedade. Além disso, percebemos que na sociedade atual os motivos para se ensinar Matemática talvez não sejam simplesmente os transcendentais explicitados por Platão, e sim as necessidades práticas de poder entender e utilizar com proveito as tecnologias modernas, atuar de forma plena no campo do trabalho e nas inúmeras situações do cotidiano. Dessa forma, o sentido da Matemática deve ser um constante equilíbrio entre a Matemática Formativa e a Matemática Informativa; a primeira mais estável e a segunda mais mutável, percebendo-se, inclusive, o tempo, o lugar e a finalidade perseguida pelos alunos. Para tal, é imprescindível decidir os conteúdos e também a metodologia mais conveniente. Diante desses apontamentos, precisamos, como educadores, observar e compreender melhor as possíveis habilidades e capacidades propiciadas pelo dinamismo da sociedade informatizada e suas possíveis lacunas. É provável que nossos alunos percam em precisão de raciocínio e em capacidade para análises detalhadas de problemas, pois muitas vezes são obrigados a agir e tomar decisões muito rapidamente. No entanto, por haver facilidade de formulação dos problemas em programas calculáveis, por exemplo, não há

necessidade de economizar em número de operações, já que a velocidade das máquinas torna praticável o método do ensaio e do erro, no qual os alunos testam soluções até encontrar e ajustar o correto. Observando esses dois apontamentos, é possível perceber que é necessário um repensar constante, a fim de avaliar a forma e o procedimento mais adequados em cada uma das situações. Ao elaborarmos este Projeto, procuramos contemplar o equilíbrio citado e, para isso, foram idealizados diferentes momentos de aprendizagem que possibilitam a você, professor, e ao aluno explorações diversificadas e significativas que visam ao desenvolvimento integral de cada um. Ao longo deste Projeto, você encontrará: • pequenos textos e questões disponibilizados nas páginas de abertura, cujo objetivo é sondar o conhecimento que os alunos já têm sobre o tema e o conteúdo propostos na referida unidade. Sabemos o quanto é importante o conhecimento trazido por cada um deles para, com base nisso, desenvolver habilidades cognitivas; • sugestões de leitura e pesquisa nas quais os alunos são convidados a analisar dados e interpretá-los utilizando-se, inclusive, das novas tecnologias. Nossa sociedade precisa de cidadãos críticos e criativos, capazes de produzir conhecimento, e buscamos ajudá-los a alcançar esse desenvolvimento; • sugestões de trabalho para serem realizados em duplas ou pequenos grupos, propiciando a interação social entre os alunos. Essa dinâmica busca não só compartilhar e socializar conhecimentos como também favorecer o levantamento de hipóteses e estratégias, que é uma importante ferramenta para a construção do pensamento matemático; • conexões dos conteúdos de Matemática entre si e da Matemática com as demais disciplinas;

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1. Apresentação

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• problemas rotineiros e não rotineiros. Acreditamos que quem determina o grau de desafio de um problema é quem o resolve. Dessa forma, inserimos ao longo da coleção uma diversidade de problemas para que eles vivenciem diferentes explorações. Salientamos que, além de resolver problemas, em determinados momentos os alunos são chamados a elaborá-los; • sugestões de trabalhos que envolvam o uso de materiais concretos, visando, além da manipulação, à teorização. Lembramos que neste momento é necessário um trabalho cuidadoso para que o material não assuma o principal papel no ensino e seja percebido como um instrumento facilitador da aprendizagem; • situações que apresentam e abordam a história da Matemática e a Etnomatemática e possibilitam a ampliação do olhar para a diversidade e a pluralidade cultural, enfatizando, inclusive, o respeito e a valorização das diferentes culturas.

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Esperamos que este manual possa servir de instrumento às suas discussões pedagógicas, auxiliando-o na elaboração de seus projetos educativos e no planejamento e avaliação de suas aulas de Matemática.

2. Orientações didáticas e metodológicas 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano) A proposta deste Projeto está fundamentada nos documentos oficiais que tratam da educação básica, tais como a Lei nº 9.394, que estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB); as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da

Educação Básica (DCNs); o Plano Nacional de Educação (PNE), aprovado pelo Congresso Nacional em 26 de junho de 2014, e o Plano Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (Pnaic) de 2014, além de pesquisas atuais sobre Educação Matemática. Conforme documento oficial elaborado pelo Ministério da Educação em 2013, o objetivo das Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica é orientar a organização, a articulação, o desenvolvimento e a avaliação das propostas pedagógicas de todas as redes de ensino brasileiras. A ideia explicitada nas DCNs é considerar o tempo escolar desde a infância até a juventude, ou seja, um tempo de aproximadamente 14 (catorze) anos. Tais diretrizes resultam de um amplo debate e visam tornar-se um instrumento efetivo para a reinvenção da educação brasileira e a construção de uma nação cada vez mais justa, solidária e capaz de desenvolver suas inúmeras potencialidades. Cabe ressaltar que os documentos oficiais descritos anteriormente também trazem à tona as discussões elucidadas na abertura deste manual, ou seja, retratam o cenário no qual se encontram o ensino e a aprendizagem da Matemática. Relatam, inclusive, o constante desafio de reverter um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significado para o aluno, em um ensino que torne os conhecimentos matemáticos acessíveis a todos (democratização do ensino da Matemática), e apresente a Matemática como um importante componente na construção da cidadania. [...] A Matemática é uma atividade humana, faz parte de nossa cultura, além de ser uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas, tanto os problemas do dia a dia que os indivíduos enfrentam nas suas tarefas cotidianas, como os mais complexos que aparecem em atividades profissionais e científicas. Porém, a Matemática tem muitos aspectos e níveis de complexidade que devemos considerar quando organizamos seu ensino, passando das atividades lúdicas

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2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental Conforme explicitado nas Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica, é importante, além de fazer uma criteriosa seleção de saberes em termos de quantidade, pertinência e relevância, equilibrar a distribuição desses ao longo dos anos escolares. Sabemos que fazer essas escolhas não é tarefa simples e requer um olhar amplo e, ao mesmo tempo, focado, para atender às demandas particulares de cada grupo escolar com os quais trabalhamos. É importante salientar que nós, os idealizadores deste projeto, também tivemos de fazer escolhas e, como mencionado anteriormente, buscamos realizar uma criteriosa seleção de conteúdos e atividades. Neste momento, convidamos você, professor, a percorrer conosco esse caminho para torná-lo mais significativo aos alunos. Sabemos que, além de ter o domínio do conteúdo essencial, é importante ter informações sobre a história dos alunos e saber quais conhecimentos prévios eles trazem, além de saber de que forma conseguem resolver problemas que envolvem conteúdos matemáticos. Para ampliar essa discussão, trazemos mais algumas ponderações a respeito da seleção e organização dos conteúdos. A primeira delas diz respeito à potencialidade de cada conteúdo, ou seja, cada conteúdo deve ser selecionado levando-se em consideração seu potencial, seja instrumentalizar para vida, seja desenvolver o raciocínio. A segunda trata da organização dos conteúdos e, neste momento, o documento menciona que não é raro encontrar

uma forma excessivamente hierarquizada em que predomina a ideia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura lógica da Matemática que, por vezes, desconsidera as possibilidades de aprendizagem dos alunos. E, para finalizar esta reflexão sobre a seleção dos conteúdos e até a divisão em campos da Matemática ou eixos, reproduzimos duas citações que refletem a importância de propiciar aos alunos situações que os levem a estabelecer relações entre esses eixos ou campos. A fragmentação e o tratamento isolado de conteúdos é uma abordagem nociva para a aprendizagem de ideias, conceitos e procedimentos matemáticos. A exposição de tópicos desconectados contribui para que os alunos percam a noção do todo e, em consequência, do processo que caracteriza o desenvolvimento do pensamento matemático. O próprio termo “fragmento”, em sua origem etimológica, expressa isso. Fragmento: s. m. pedaço de coisa que se quebrou, cortou, rasgou, etc. (HOUAISS; et al. apud Pnaic, 2014). O contraponto a esta visão é uma Educação Matemática que valoriza as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Uma Matemática viva na qual os alunos são os sujeitos, problematizando, pondo coisas em relação e raciocinando. E studos indicam que, quando o aluno tem opor tunidade de relacionar ideias matemáticas, sua compreensão é mais profunda e duradoura (Pnaic, 2014, p. 26).

Ainda abordando a análise e seleção dos conteúdos e, consequentemente, o planejamento e replanejamento de ações pedagógicas, apresentamos a seguir as cinco competências elementares almejadas na educação básica, que foram descritas no referencial teórico do Enem e que estão destacadas na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008, p. 43).

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às aplicações práticas, sem perder de vista que também é uma ciência abstrata e, como tal, deve ser tratada no momento adequado, respeitando o desenvolvimento cognitivo das crianças (Pnaic, 2014, p. 6).

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• Competência I à capacidade de expressão em diferentes linguagens, incluídas a língua materna, a Matemática, as artes, entre outras; • C o m p e t ê n c i a I I à c a p a c i d a d e d e compreensão de fenômenos, que incluem desde a leitura de um texto até a “leitura” do mundo; • Competência III à capacidade de contextualizar, de enfrentar situações-problema, ficando implícita a valorização da imaginação, da necessária abstração quando se criam novos contextos; • Competência IV à capacidade de argumentar de modo consistente, de desenvolver o pensamento crítico; • Competência V à capacidade de decidir, após as análises argumentativas, e elaborar propostas de inter venção solidária na realidade.

Diante das competências citadas, é possível perceber que, em parceria com a língua materna, a Matemática se constitui em um:

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[...] recurso imprescindível para uma expressão rica, uma compreensão competente, uma argumentação correta, um enfrentamento asser tivo de situações-problema, uma contextualização significativa dos temas estudados e, simultaneamente, um exercício de imaginação que pode extrapolar os limites de qualquer contexto (SÃO PAULO, 2008, p. 44).

Para complementar nossa discussão sobre os conteúdos específicos, selecionamos alguns trechos que tratam dos cinco eixos ou campos da Matemática: Números e operações (Aritmética); Álgebra; Geometria; Grandezas e medidas; e Estatística e Probabilidade (Tratamento da Informação). Esses eixos foram retirados de uma das inúmeras propostas curriculares com o objetivo de despertar o olhar do professor para a existência desse importante documento elaborado pelas Secretarias de Educação. As propostas curriculares trazem alguns princípios orientadores que merecem especial atenção e estudo. Portanto, sugerimos que

cada educador faça uma seleção e estudo da proposta curricular de seu estado (se houver). A seguir apresentamos alguns trechos da Proposta Curricular do Estado de São Paulo: O trabalho com o eixo números tem por objetivo principal a ampliação da ideia do campo numérico por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade. [...] Espera-se, ao final da escolaridade fundamental, que o aluno reconheça e saiba operar no campo numérico real, o que constituirá a porta de entrada para aprofundamentos, sistematizações e o estabelecimento de novas relações no Ensino Médio. O estudo de sucessões numéricas, números irracionais e aproximações racionais usadas em problemas práticos, bem como a extensão do campo numérico para os complexos, constitui o mote central para o desenvolvimento do eixo números no Ensino Médio. (p. 45) Em geometria, o Ensino Fundamental deve ocupar-se inicialmente do reconhecimento e da representação e classificação das formas planas e espaciais, preferencialmente trabalhando em contextos concretos com as crianças de 5a a 6a série (6o e 7o anos), e com ênfase na articulação do raciocínio lógico-dedutivo nas 7a e 8a séries (8o e 9o anos). [...] A interpretação de que a geometria plana é um assunto do Ensino Fundamental e a espacial e analítica são do Ensino Médio é muito frequente em propostas curriculares, mas não traduz a necessidade permanente de imbricação de tais temas nos dois níveis de ensino. Em contrapartida a essa visão, entendemos que a geometria deve ser tratada ao longo de todos os anos, em abordagem espiralada, o que significa dizer que os grandes temas podem aparecer tanto nas séries do Ensino Fundamental quanto nas do Ensino Médio, sendo que a diferença será a escala de tratamento dada ao tema. (p. 45 e 46) O par gr andezas e medidas parece especialmente adequado para favorecer a interdisciplinar idade, e mesmo a transdisciplinaridade, uma vez que suas conexões com os eixos de números e geometria se dão quase naturalmente. (p. 46)

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2.2.1 Números e operações Conforme descrito no Pnaic (2014), no ensino da Matemática é importante valorizar as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Portanto, é fundamental propor aos alunos situações-problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e os significados das operações em diferentes contextos, inclusive, nos contextos da própria Matemática. Em toda a obra, buscou-se, em inúmeras passagens, explorar esse recurso pedagógico por meio da proposição de situações próximas ao cotidiano dos alunos, nas quais foram exigidas e desenvolvidas habilidades numéricas como as de classificar, ordenar, quantificar, medir, comparar e relacionar, que cooperam para a compreensão do sentido numérico, bem como o significado das quatro operações básicas. Por vezes, foram utilizados referenciais históricos para fomentar discussões em sala de aula, cuja proposta era a de prover recursos para a compreensão dos diferentes sistemas numéricos, suas regras e processo de formação. Como mencionado anteriormente, na perspectiva de explorar os campos operatórios, buscou-se sugerir tarefas individuais ou em grupo para fazer com que os alunos argumentem, levantem hipóteses e demonstrem as propriedades comutativa, distributiva, associativa e elemento neutro. Nesse sentido, procurou-se apresentar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), construindo o significado de cada uma delas.

Para o desenvolvimento do sentido numérico e dos significados das operações, procuramos apresentar a aplicação dos números naturais, inteiros e racionais (representação fracionária e decimal) em diferentes contextos, possibilitando o estudo reflexivo de cálculo exato e aproximado, mental e escrito. Buscou-se, por exemplo, estabelecer relação entre os números naturais por meio das noções de “ser múltiplo” e de “ser divisor de”. Para essa finalidade, foram propostas atividades em diferentes contextos. As formas de representação (decimal e fracionária) dos números racionais foram exploradas, bem como as regras operatórias dessas duas formas. Procurou-se também utilizar a reta numérica para representar os números racionais e suas diferentes apresentações. Foi sugerida, por exemplo, uma atividade em que o aluno deveria posicionar corretamente os números de acordo com sua posição na reta numérica. Assim, é possível explorar os conceitos de comparação (maior, menor e igual) e, consequentemente, o de ordenação. No segundo ciclo (8o e 9o anos), foi dada ênfase às operações de potenciação e radiciação. Na mesma perspectiva do ciclo anterior, foram propostas situações-problema em diferentes contextos para significar o uso dessas operações. Por exemplo, as potências de 10 são apresentadas como forma de representação para números muito grandes ou pequenos, cuja utilização é exigida em diversas áreas de conhecimento. Foram propostas diferentes técnicas para extração da raiz quadrada de um número, exata ou aproximada, bem como o uso de recursos tecnológicos, como a calculadora, para essa finalidade.

2.2.2 Álgebra Por meio de atividades que envolvem a identificação de padrões e regularidades para a criação de generalizações, buscou-se o desenvolvimento do pensamento algébrico durante os dois ciclos (6o ao 9o ano). De acordo

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Em relação ao tratamento da informação, [...] não faltam justificativas razoáveis para sua exploração ao longo das sete séries escolares (9 anos). Retomando uma vez mais nossa perspectiva de que os conteúdos disciplinares são meios para a formação dos alunos como cidadãos e como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao eixo argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da informação (p. 47).

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com Vale et al. (2006), a integração de tarefas de investigação com padrões no currículo da Matemática escolar assume um papel de destaque na abordagem da Álgebra. De forma gradual, a obra proporcionou a passagem do conhecimento aritmético para o algébrico, bem como a definição dos conceitos de incógnita, equação, variável e função. Além do papel desempenhado pela Álgebra no desenvolvimento do raciocínio lógico para resolução de situações-problema, foram propostas abordagens de fórmulas utilizadas em outras áreas de conhecimento e suas aplicações. Dessa forma, desperta-se o interesse dos alunos e eles compreendem a importância desse estudo. Diferentes formas de representação foram utilizadas para a construção do conhecimento algébrico, expressões, equações, tabelas, gráficos, representações geométricas e a conversão entre eles. Segundo Duval (2003), [...] a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar, a todo o momento, de registro de representação.

O que Duval salienta é que não é possível garantir a aprendizagem se o foco do ensino estiver apenas nos tratamentos.

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Ainda por Duval (1995) apud Almouloud (2010, p. 207), [...] para o sujeito aprender é necessário considerar seu modo de funcionamento cognitivo por meio da coordenação de registros de representação semiótica, e deve ser efetuada pelo menos uma conversão de dois registros de um objeto. [...], se num nível cognitivo o aluno conseguir realizar as mudanças de registros as mais variadas possíveis para um determinado objeto matemático, então aprenderá matemática.

Com base no que foi exposto até aqui, procuramos fundamentar o ensino da Álgebra na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval, na busca por padrões e generalidades com o objetivo de tornar

significativo o processo de ensino e aprendizagem desse domínio de conhecimento. Como meio pedagógico para o ensino da Álgebra, apoiamo-nos em recursos tecnológicos e lúdicos com a finalidade de atender a diversas expectativas dos alunos em sala de aula.

2.2.3 Geometria Como proposta inicial, com o objetivo de motivar o ensino e a aprendizagem da Geometria, buscou-se incentivar os alunos a observar o mundo real e sua relação com os objetos matemáticos estudados em sala de aula. É interessante levá-los a associar os temas abordados durante os estudos de espaço e forma com a realidade observada ao redor. A identificação desses elementos pode revelar ao aluno a relevância da Matemática para as diversas áreas do conhecimento. De acordo com a visão crítica formada com base nessas constatações, foram formuladas situações-problema usando a leitura de plantas, croquis, mapas e outros recursos, a fim de despertar o interesse dos alunos pelo estudo da Geometria e sua utilidade na solução de problemas reais. Os problemas formulados exigem conhecimentos matemáticos e numéricos para o cálculo de áreas, perímetros e comparação entre eles. A composição e a decomposição de figuras também foram exploradas como recurso para o cálculo de áreas. Por meio da confecção de materiais concretos, os alunos poderão desenvolver habilidades que cooperam para o domínio do conhecimento de espaço e forma. Para a confecção desses materiais utilizaram-se dobraduras, recortes e colagem, bem como instrumentos de construção, como esquadro, compasso e transferidor, o que contribui para o desenvolvimento de habilidades e o conhecimento de como devem manusear esses instrumentos. A manipulação dos materiais lúdicos nas versões bidimensionais e tridimensionais ajuda os alunos a explorar concretamente os

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Por vezes, tarefas exigem dos alunos a argumentação e o levantamento de hipóteses sobre as propriedades geométricas estudadas em diferentes objetos matemáticos, como polígonos, sólidos geométricos e figuras planas. Para isso, além dos objetos confeccionados, a obra propicia o uso da tecnologia ao sugerir softwares de geometria dinâmica. O uso de recursos tecnológicos favorece o estudo de conteúdos, por exemplo, semelhança entre triângulos, e a constatação de que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, pois a possibilidade de redução e ampliação do mesmo objeto matemático favorece a identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). A localização da posição de um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas é explorada de forma interdisciplinar ao propor o estudo das coordenadas geométricas para a localização de pontos no globo terrestre. Para todas as atividades foram exigidas a utilização de nomenclaturas de acordo com a linguagem formal da Matemática e a representação de unidades de medidas conforme a grandeza observada e suas conversões.

2.2.4 Grandezas e medidas No bloco “Grandezas e medidas”, destacam-se a relevância social desse tema e sua aplicação em diferentes áreas de conhecimento, inclusive, nos campos conceituais da própria Matemática, como descrito no Pnaic (2014). [...] Medidas é uma conexão natural entre números e geometria. As nossas crianças devem aprender a lidar, naturalmente, com situações de medição e as coisas que serão medidas devem ser pensadas de modo a levá-las a explorar e ampliar o seu domínio sobre os objetos e formas que são estudados no campo da Geometria (Pnaic, 2014, p. 35).

Em todos os conteúdos abordados foram exploradas habilidades que exigiam conhecimento sobre o bloco “grandezas e medidas”. Esse domínio de conhecimento não é exclusivo da Matemática. Expressar uma medida por meio de uma grandeza é necessário em várias áreas de conhecimento. Em diferentes momentos, buscou-se apresentar instrumentos de medição com diversos propósitos, enfatizando a respectiva grandeza e seus padrões de conversão. De forma crítica, procurou-se discutir o arredondamento de medidas, como aproximações para os valores de p, quando era necessário fazer o cálculo do comprimento de uma circunferência.

2.2.5 Estatística e Probabilidade

Objeto educacional digital

Nesta obra, abordam-se as noções de Estatística e Probabilidade situadas em contextos que propiciam a construção de uma visão crítica, cujo propósito é contribuir com a educação para a cidadania. Com essa proposta procurou-se desenvolver as três competências que norteiam as principais metas para o ensino da Estatística: a literacia estatística, o pensamento estatístico e o raciocínio estatístico. Pautamo-nos nas definições dessas competências, apresentadas pelos autores a seguir, a fim de traçar estratégias para seleção dos conteúdos e elaboração das atividades a serem desenvolvidas para o ensino da Estatística. Garfield (1999) define a literacia estatística como sendo o entendimento da linguagem estatística, ou seja, sua terminologia, símbolos e termos, a habilidade de interpretar gráficos e tabelas, de entender as informações estatísticas que estão nos jornais e outras mídias. De acordo com Mallows (1998) apud Campos (2007, p. 53), o pensamento estatístico pode ser inicialmente imaginado como: [...] sendo a capacidade de relacionar dados quantitativos com situações concretas, admitindo a presença da variabilidade e da incerteza, explicitando o que os dados podem

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conteúdos teóricos estudados, como planificações, relação entre número de faces, vértices e arestas, e outras propriedades geométricas.

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dizer sobre o problema em foco. O pensamento estatístico ocorre quando os modelos matemáticos são associados à natureza contextual do problema em questão, ou seja, quando surge a identificação da situação analisada e se faz uma escolha adequada das ferramentas estatísticas necessárias para sua descrição e interpretação.

identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

De acordo com Garfield (2002) apud Campos (2007, p. 56), o raciocínio estatístico pode ser definido como:

Sobre a presença da Estatística no cotidiano, Campos (2007, p. 122) afirma que:

[...] a maneira com a qual uma pessoa raciocina com ideias estatísticas e faz sentido (make sense) com as informações estatísticas. Isso envolve fazer interpretações sobre dados, representações gráficas, construção de tabelas etc. Em muitos casos, o raciocínio estatístico envolve ideias de variabilidade, distribuição, chance, incerteza, aleatoriedade, probabilidade, amostr agem, testes de hipóteses, o que leva a interpretações e inferências acerca dos resultados. A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo, embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade. Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia a dia. Além disso, calcular algumas medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem

A Estatística é pródiga em aplicação de seus conteúdos na vida real. Vivemos cercados de números, de estatísticas, vivemos um constante exercício de comparação, somos permeados de índices que nos acompanham desde a infância, desde o garoto que constrói estatísticas (mesmo que mentalmente) de seu desempenho como artilheiro de futebol ou cestinha do time de basquete ao adulto que precisa decidir por uma ou outra forma de investimento, desde o trabalhador que precisa lutar por índices de reajuste salarial e que vive às voltas com alíquotas de imposto de renda à dona de casa que precisa administrar o orçamento familiar e ficar atenta aos reajustes dos preços dos bens e serviços que consome. Os jornais diários são ricos em gráficos, índices e análises comparativas de todas as espécies. Os profissionais dos mais diversos ramos utilizam a Estatística em seu trabalho, desde médicos, psicólogos, esportistas, até técnicos de nível médio.

As atividades propostas buscaram desenvolver habilidades de coleta e organização dos dados, e ainda suas diferentes representações gráficas, bem como sua interpretação. Os conceitos de moda, média e mediana foram abordados de forma a ir além de sua definição como algoritmos, ou seja, como elementos para interpretar os dados estatísticos. Os conceitos sobre probabilidade foram introduzidos como raciocínio de incerteza, com o propósito de levar os alunos a entender e usar as ideias de chance e aleatoriedade para julgar eventos, como simulações com moedas ou diagramas de árvore, que ajudam a interpretar diferentes situações.

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2.3 A postura do professor Ao longo deste manual, pudemos refletir sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática e ainda apresentar algumas escolhas e proposições desta coleção. Sabemos o quão delicado é refletir sobre a postura do professor, mas também sabemos que, sem essa reflexão, todas as intenções, os estudos e as reflexões ficam esvaziados de sentido. [...] Para trabalhar a Matemática de maneira alternativa é necessário acreditar que de fato o processo de aprendizagem da Matemática se baseia na ação do aluno em resolução de problemas, em investigações e explorações dinâmicas de situações que o intrigam [...]. (D’Ambrósio, 1993, p. 38).

Além dessa citação, gostaríamos de acrescentar uma contribuição que acreditamos ser de grande valia para esta discussão. Yves Chevallard (2005) apresenta o conceito de transposição didática e discute de forma aprofundada o papel do professor nesse processo. Segundo ele, o professor deve operar uma transposição didática do saber (que surge da pesquisa) ao saber ensinado (aquele que se pratica em sala de aula). Acrescenta à esta discussão todo o cenário no qual se dá esse processo, inclusive, o ambiente social mais amplo. Podemos perceber, portanto, que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo, que precisa de inúmeras mediações e dos três polos sempre juntos: o professor, o saber e o aluno. Chevallard (1991), ao falar sobre o “saber”, menciona que ele foi transformado em “substância” e que, embora esteja materializado em livros ou máquinas, é “objetivado” somente pela atividade de troca

crítica entre os seres humanos. Segundo ele, o saber não está nos livros, e sim na compreensão do livro. Diante dessas colocações, fica claro o papel do livro didático como uma importante ferramenta para o aluno e para o professor. Como pudemos ver, é importante que o professor reconheça as principais características da Matemática, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações e ainda conheça a história de vida de seus alunos e tenha clareza de suas próprias crenças e concepções a respeito da Matemática, seu ensino e sua aprendizagem, pois sabemos que nossas escolhas e práticas pedagógicas estão intimamente ligadas a essas concepções e crenças. Como educadores, devemos ter em mente que os alunos interpretam termos e conceitos de maneira original, que, em geral, não correspondem ao que esperamos. Por isso, precisamos ser claros sobre o que de fato desejamos. Além disso, ao contrário do que se possa pensar, o trabalho do professor e seu real papel não perdem importância. O professor passa a ter outras funções, que descrevemos a seguir. • Organizador da aprendizagem: o professor deve, além de conhecer as reais condições socioculturais dos alunos, ter em mente as expectativas deles. Um ponto importante nessa função é a escolha de situações e problemas que possibilitarão a construção do conhecimento. • Consultor do processo: cabe ao professor fornecer informações necessárias para que o aluno, com autonomia, construa o conhecimento. • Mediador: deve promover as condições para que haja a intervenção de cada aluno, a fim de que ele exponha sua solução, questione, quando necessário, e conteste, se for o caso. • Controlador e incentivador: o professor deve estabelecer condições e prazos

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Em resumo, procurou-se desenvolver uma educação matemática crítica, proporcionando, além da habilidade de lidar com noções matemáticas, a habilidade de aplicar essas noções em diferentes contextos e a capacidade de refletir sobre suas aplicações, exercendo uma postura crítica, desenvolvida com base no diálogo e que favorece uma aprendizagem significativa.

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para a realização das atividades, sem se esquecer de dar o tempo necessário aos alunos. Quanto ao papel de incentivador da aprendizagem, ele deve estimular a cooperação entre os alunos. A “sala de aula” se torna, portanto, um importante ambiente de aprendizagem. O Pnaic (2014) nos oferece uma reflexão sobre este espaço formativo. [...] a sala de aula deve ser vista como um ambiente de aprendizagem pautado no diálogo, nas interações, na comunicação de ideias, na mediação do professor e, principalmente, na intencionalidade pedagógica para ensinar de forma a ampliar as possibilidades das aprendizagens discentes e docentes. Tal intencionalidade requer um planejamento consistente do professor, uma sala de aula concebida como uma comunidade de aprendizagem e uma avaliação processual e contínua do progresso dos alunos, bem como dos vários fatores intervenientes no processo como: a prática do professor, o material e a metodologia utilizados, dentre outros (Pnaic, 2014, p. 5).

2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas

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2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática

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Sabemos que a escrita é um dos recursos básicos de comunicação nas aulas de Matemática e, para tal, utilizamos a língua materna. Mas, muito mais do que simplesmente ser utilizada para decodificar os enunciados das atividades, a língua materna facilita a interpretação do que se ouve, ou seja, serve de suporte para a troca de informações. Segundo Fonseca (2013, p. 9): As práticas sociais envolvendo quantificação, medição, or ientação, ordenação ou classificação compõem os modos de usar a língua escrita e são por eles constituídas, não só porque representações matemáticas aparecem nos textos escritos ou porque

nossa herança cultural nos legou modos escritos de fazer Matemática, mas porque a própria cultura escrita, que permeia e constitui as práticas matemáticas das sociedades grafocêntricas, é, em geral, permeada também por princípios calcados numa mesma racionalidade, que forja ou parametriza essas práticas matemáticas e que é por elas reforçada.

Cândido apud Smole (2001, p. 17) diz que: [...] a tarefa do professor em relação à linguagem matemática deve desdobrar-se em duas direções; na direção do trabalho com os processos de escrita e representação, sobre a elaboração dos símbolos, sobre o esclarecimento das regras e em segundo, em direção ao trabalho sobre o desenvolvimento de habilidades de raciocínio que se inicia com o apoio da linguagem oral e, com o tempo, incorpora a esta os textos e as representações mais elaboradas.

Neste projeto, inúmeras vezes o aluno é convidado a contar para os colegas suas hipóteses e percursos. Acreditamos que a oralidade, no início, ajuda o aluno a demonstrar toda a complexidade do que foi pensado.

2.4.2 Comunicação em Matemática Anteriormente, trouxemos a fala de Chevallard (1991) para nos ajudar a refletir sobre o papel do professor no processo de ensino e também de aprendizagem da Matemática. Um dos pontos essenciais descritos na fala do autor foi a construção do saber. Segundo ele, “o saber” é “objetivado” somente pela atividade de troca crítica entre os seres humanos, assim a comunicação se torna essencial para a aprendizagem matemática. Mas o que entendemos por comunicação? Como ocorre essa comunicação nas aulas de Matemática? Acreditamos que tentar responder a essas indagações nos possibilitará, inclusive, desvelar concepções e crenças sobre esse assunto. Cândido apud Smole (2001) diz que a comunicação tem um papel fundamental nas aulas de Matemática, pois ajuda os alunos a

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2.5 Interdisciplinaridade

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A aprendizagem está intimamente ligada à habilidade de compreensão e, dessa forma, aprender o significado de um objeto pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos. Como garantir, portanto, a aprendizagem em um ambiente no qual os conteúdos são compartimentados e estanques e apresentados em uma sucessão rígida e linear? Será possível estabelecer relações e conexões? A construção dos significados feita pelo aluno será resultado das conexões que ele conseguiu estabelecer entre a Matemática e as demais disciplinas, entre a Matemática e

seu cotidiano e entre os próprios conteúdos matemáticos. Pensando nisso, trouxemos para a coleção entrevistas com profissionais de diferentes áreas, pesquisas e atividades que incentivam a percepção de como o mesmo conteúdo é abordado por outras disciplinas e contextos, e momentos de socialização em que há o estímulo para que os alunos expressem as relações apreendidas e, junto com os colegas, percebam e estabeleçam novas relações e conexões.

2.6 Resolução de problemas

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O que é um problema? Quais são os principais tipos de problema? Quais são as principais formas de trabalhar com a resolução de problemas em sala de aula? Iniciamos este subitem propondo aos educadores que respondam a esses questionamentos. Provavelmente, veremos que não há apenas uma resposta possível, e nossa intenção aqui não é classificar as respostas como certas ou erradas, verdadeiras ou falsas. Gostaríamos apenas de trazer algumas reflexões que julgamos fundamentais. Vamos relembrar alguns pontos importantes. Vimos anteriormente que o “resolvedor” do problema é o grande responsável por dimensioná-lo, ou seja, o tamanho do desafio dependerá da pessoa que o está resolvendo. O que pode ser problema para uma pessoa pode não ser para outra. Uma condição imprescindível é que essa pessoa sinta vontade de encontrar uma solução para o problema e não tenha, de imediato, caminhos óbvios a seguir. É importante que esse indivíduo pare para pensar e buscar ideias, pois, se ele resolver o problema ofertado com precisão e rapidez, isso não lhe representará um desafio. Não podemos deixar de mencionar que situações em que os alunos resolvem os problemas utilizando processos automáticos, muitas

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construírem um vínculo entre suas noções informais e intuitivas e a linguagem abstrata e simbólica da Matemática. Segundo ela, se os alunos forem encorajados a se comunicar matematicamente com os colegas, o professor e até mesmo os pais, terão a oportunidade de explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre o mesmo assunto. A comunicação será, portanto, um recurso que permitirá ao aluno estabelecer conexões entre suas concepções espontâneas e o que está aprendendo de novo, promovendo assim uma aprendizagem significativa. Neste projeto, professor e alunos encontrarão diferentes situações cujo princípio é estimular e favorecer a comunicação nas aulas de Matemática. Por meio delas, os alunos são encorajados a explorar individualmente ou em parceria uma grande diversidade de ideias matemáticas não apenas numéricas como também as relativas à Geometria, às medidas e às noções estatísticas. Em nossas propostas, eles são convidados a descrever suas observações, justificar suas soluções ou estratégias de resolução e ainda registrar seus pensamentos e aprendizagens. Cada uma dessas ações certamente os ajudará a esclarecer, refinar e organizar pensamentos, fazendo com que se apropriem tanto dos conhecimentos específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo.

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vezes o processo “siga o modelo”, não serão por nós consideradas problemas. Acreditamos que a prática de resolução de problemas oferece aos alunos a oportunidade de “fazer Matemática”, ou seja, de desenvolver habilidades de construção e reconstrução de propriedades matemáticas, bem como comunicar ideias, resultados e experiências. Um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas foi George Polya (1994). Em sua publicação A arte de resolver problemas , apresenta um modelo teórico em que classifica as etapas que ocorrem na resolução de um problema, que são: compreensão do problema, elaboração de um plano para resolução, execução do plano e a última fase foi por ele chamada de retrospecto ou exame da solução produzida. Nesta obra, também são identificadas tipologias de procedimentos (analogia, observação, experimentação e indução) e de problemas (determinação e demonstração).

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Pensando na importância da resolução de problemas nas aulas de Matemática e na necessidade de oferecer aos alunos uma diversidade deles, foram inseridos ao longo dos volumes problemas tidos como não rotineiros, entre eles, alguns com excesso de dados, sem solução, com mais de uma solução possível, com falta de dados etc. Cabe salientar que em momento algum dissemos que o treino do algoritmo e a fixação do conteúdo sejam prejudiciais à criatividade do aluno. Acreditamos que o problema reside em ficar apenas nisso, e não avançar para outras atividades como as sugeridas anteriormente.

2.7 Avaliação Mudanças nos objetivos de ensino e nos procedimentos metodológicos implicam mudanças na avaliação. Parece simples, mas será que toda essa simplicidade pode ser facilmente observada na prática? Que informações as avaliações fornecem ao professor? Um dado numérico?

Nossa primeira reflexão está pautada na obtenção de dados sobre as competências dos alunos. Muitas vezes, as avaliações fornecem ao professor informações restritas, deixando de lado importantes dados, por exemplo, saber se os alunos utilizam adequadamente a linguagem matemática para comunicar ideias ou ainda obter informações sobre as competências de cada aluno para resolver problemas. Acreditamos que as avaliações devem contemplar também as explicações, justificativas e argumentações, e estas poderão ser realizadas por meio da escrita de pequenos textos ou da linguagem oral. Ao longo do projeto, será possível encontrar situações nas quais os alunos são convidados a “falar”, “argumentar” e “justificar”. Esses momentos poderão servir, inclusive, para a captação desses dados. Diante desses apontamentos, é perceptível a necessidade do planejamento. Uma avaliação precisa ser planejada com o máximo de cuidado prevendo-se, inclusive, os possíveis tipos de interpretação e solução dos alunos. Para isso, é sugerido ao professor que, no momento da elaboração das avaliações, ele faça algumas perguntas, como: De que forma meu aluno poderá tentar resolver este problema? O enunciado está claro? Que tipos de resposta poderão aparecer? Qual será o tempo utilizado para resolvê-lo? O que estou tentando verificar com esta questão?

2.8 Recursos didáticos

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Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita). Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão – em última instância, à base da atividade matemática.

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Entendemos que a escola desempenha um papel decisivo na formação dos cidadãos e, nesse sentido, deve incorporar e adequar-se às inovações tecnológicas do mundo real, contribuindo para a formação de pessoas preparadas para atuar com igualdade de participação na vida em sociedade. Nessa perspectiva, de acordo com Guinther (2009, p. 69), A sociedade atual exige cada vez mais o desenvolvimento de competências em todas as áreas da atividade humana e a escola pode contribuir muito com esse desenvolvimento oferecendo uma educação de qualidade que forme um indivíduo consciente, aberto à aprendizagem e capaz de utilizar as tecnologias que s ão coloc adas à sua disposição. [...] A utilização da calculadora em sala de aula deve ser bem planejada, tendo um conhecimento prévio de suas possibilidades e limitações. Os alunos devem saber por que as atividades serão desenvolvidas com o uso dessa ferramenta e com quais objetivos.

propostas sugeridas nesta obra. Você pode também buscar caminhos alternativos e formas inovadoras de inserir o uso da calculadora em sala de aula e explorar seus recursos e possibilidades, contribuindo para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

2.8.2 Computador e internet Nos últimos anos, é inegável a presença dos computadores no cotidiano das pessoas. Seu uso não é mais uma alternativa, e sim uma necessidade para a participação nas diversas atividades humanas. A escola, como interface dessas transformações, deve buscar alternativas para inserir os alunos nesse contexto, desempenhando seu papel mediador para a inclusão digital. Já é significativo o número de escolas que contam com esse recurso para uso no ambiente escolar como instrumento de apoio pedagógico. De acordo com o Pnaic (2014, p. 5), [...] o jogo1 pode propiciar a construção de conhecimentos novos, um aprofundamento do que foi trabalhado ou ainda a revisão de conceitos já aprendidos, servindo como um momento de avaliação processual pelo professor e de autoavaliação pelo aluno. Trabalhado de forma adequada, além dos conceitos, o jogo possibilita aos alunos desenvolver a capacidade de organização, análise, reflexão e argumentação, uma série de atitudes como: aprender a ganhar e a lidar com o perder, aprender a trabalhar em equipe, respeitar regras, entre outras. No entanto, para que o ato de jogar na sala de aula se caracterize como uma metodologia que favoreça a aprendizagem, o papel do professor é essencial. Sem a intencionalidade pedagógica do professor, corre-se o risco de se utilizar o jogo sem explorar seus aspectos educativos, perdendo grande parte de sua potencialidade.

Sendo a calculadora um dos recursos tecnológicos presentes nas diferentes atividades da população, julgamos importante introduzir esse recurso como uma proposta pedagógica auxiliar no processo de ensino e aprendizagem da Matemática nos dois ciclos (6o ao 9o ano). Do ponto de vista didático, o uso orientado da calculadora, de acordo com Carvalho e Lima (2002), contribui para a compreensão, o desenvolvimento de diferentes formas de raciocínio e a resolução de problemas. Procuramos sugerir, ao longo da obra, o uso da calculadora como incentivo a experimentações, quando a aplicação de cálculos mais complexos e sua resolução não forem o foco do estudo, possibilitando verificações e formulações de novas conjecturas, bem como a descoberta de novos conceitos. Cabe a você, professor, avaliar qual é a melhor forma de utilizar e adaptar as

Além dos jogos, não podemos esquecer

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2.8.1 Calculadora

Utilizamos a palavra jogo para referenciar até mesmo jogos disponibilizados em softwares.

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que o computador possibilita acesso a informações de diversas áreas, transpondo as barreiras físicas por meio da internet. O advento da internet gerou fortes impactos em diversas áreas de atuação profissional. As novas formas de produção, divulgação e armazenamento de conhecimentos e informações são possíveis pela interconexão dos computadores mundiais, que tem provocado profundas rupturas nos processos pedagógicos tradicionais. A respeito dos novos rumos da educação, Lévy (1999, p. 172) afirma: A grande questão da cibercultura [...] é a transição de uma educação e uma formação estritamente institucionalizadas (a escola, a universidade) para uma situação de troca generalizada dos saberes, o ensino da sociedade por ela mesma, do reconhecimento autogerenciado, móvel e contextual das competências.

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Julgamos importante que o professor estimule o uso consciente da internet, bem como um olhar crítico para as informações obtidas por meio desse recurso, por isso, é importante que você sugira aos alunos a busca de informações em fontes seguras, por exemplo, instituições de estudos reconhecidas, centros de pesquisas, universidades ou instituições reconhecidas como especialistas em determinado assunto, para assegurar e garantir a confiabilidade dos dados obtidos. O papel do professor como orientador não se limita a incentivar um olhar crítico para a origem das fontes pesquisadas. é necessário propor ainda atividades com base nos conteúdos obtidos, levando os alunos a interpretar tais informações, estimulando a leitura e a análise desses conteúdos e propondo sua interpretação, discussão e debate em sala de aula, ou seja, eles não podem se limitar à reescrita por meio de recursos como o de “copiar e colar as informações que encontraram.

2.8.3 Softwares matemáticos Conforme já abordado, o bom uso do computador em sala de aula também depende da

escolha de softwares, que deve estar de acordo com os objetivos que se pretende alcançar e a concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo. Como proposta auxiliar para o ensino e a aprendizagem da Matemática, sugerimos atividades com o uso de diferentes softwares voltados a essa temática, como os de Geometria Dinâmica e Álgebra, as planilhas eletrônicas e outros aplicativos disponíveis on-line2 e off-line3. É significativo o número de contribuições que o uso de softwares oferece para o ensino e a aprendizagem da Matemática, já que é um recurso visual capaz de validar as propriedades estudadas em sala de aula. Julgamos importante avaliar as possibilidades experimentais disponíveis nesses softwares e sua contribuição para a elaboração de conjecturas, bem como sua verificação pelos alunos. No que se refere à investigação matemática, Zulatto (2002) afirma que ela é apontada como uma das principais potencialidades dos softwares. No bloco “Estatística e Probabilidade” e na resolução de situações-problema, a construção de gráficos e tabelas é um recurso necessário para a organização e análise dos dados, e o uso de planilhas eletrônicas pode incentivar e facilitar esse estudo. Antes do início da utilização dos softwares em sala de aula, ou seja, antes de utilizá-los como ferramenta de ensino, julgamos interessante uma exploração prévia dos recursos disponíveis em cada um deles. Além da sugestão de softwares direcionados ao ensino e à aprendizagem dos tópicos abordados, apresentamos alguns de seus recursos com orientações passo a passo para o uso adequado.

2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra O governo federal tem adotado medidas de enriquecimento e ampliação de acervos Requer acesso à internet.

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Não requer o uso da internet.

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Obras literárias de variados gêneros têm sido distribuídas, propiciando ao aluno o acesso democrático à leitura e à informação, que contribuem para sua formação crítica e o exercício da cidadania.

Aproveite a situação explorada na obra para propor uma pesquisa sobre as influências e contribuições dos gregos para a Matemática. Cite, como exemplo, os nomes Pitágoras, Euclides e Arquimedes, para auxiliá-los nesse trabalho. Peça que coletem, também, informações sobre a vida deles, os lugares onde viviam, o que estudavam, entre outros detalhes. Pode-se, ainda, criar um laço com a disciplina de História.

Indicamos a seguir alguns livros paradidáticos que podem ser encontrados nas bibliotecas da escola. Esses títulos possibilitam o trabalho com leitura e o desenvolvimento de atividades com abordagens interdisciplinares.

Contos e lendas da Amazônia, de Reginaldo Prandi. São Paulo: Cia das Letras, 2011.

Tá falando grego? Tá falando Grego?, de Ricardo Hofstetter. Rio de Janeiro: Editora Rocco, 2012. O livro conta a história de três adolescentes que, depois de resolverem equações do

A distância das coisas, de Flávio Carneiro. São Paulo: Edições SM, 2008. A obra conta a história de Pedro, um adolescente de 14 anos que, órfão do pai, recebe a notícia de que sua mãe morreu em um acidente de carro. Porém, o restante da família impede o garoto de acompanhar o velório. Desconfiado, ele vai atrás dos fatos para descobrir se realmente sua progenitora faleceu. Uma das lições que o personagem principal compartilha com o leitor é que é preciso comparar sempre, para não perder o sentido das coisas, e não esquecer como é relativa a distância das coisas. São por meio de metáforas desse tipo que o enredo se conecta à Matemática. Para ir além dessas explorações, peça aos alunos que elenquem situações em que precisamos medir distâncias. Comente sobre a importância das estimativas e da criação de um sistema de unidades padronizadas.

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Essa obra também possibilita trabalho interdisciplinar com História, Geografia e Língua Portuguesa.

A distância das coisas

Edições SM

Cia das Letras

Contos e lendas da Amazônia

Este livro apresenta 25 contos sobre a Amazônia, que envolvem animais, plantas e histórias sobre coragem, todos com um principal objetivo: incentivar a preservação dessa floresta. Converse com os alunos sobre essa atitude importante e, depois, oriente-os a fazer um levantamento sobre informações do local, indicando, por exemplo, quais espécies de animais e plantas vivem na região. Dados sobre educação e saúde da população que reside nessa área também podem ser coletados. Por fim, peça que apresentem os resultados obtidos em forma de gráficos e tabelas.

Editora Rocco

1º grau encontradas num livro enigmático e antigo, acabam “presos” no passado. Nessa viagem, eles vão parar na Grécia Antiga, e lá conhecem o filósofo Sócrates.

de bibliotecas de escolas públicas, com o objetivo de oferecer materiais de apoio à educação dos alunos e à prática docente.

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2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor Trazemos a seguir algumas sugestões de sites e livros que poderão ampliar as temáticas e reflexões principiadas neste manual. Sugestões de livros: • Aprendizagem em Matemática, de Silvia Dias Alcântara Machado. Campinas: Editora Papirus, 2003. • A arte de resolver problemas, de George Polya. São Paulo: Editora Interciência, 1995. • Introdução ao estudo das situações didáticas – conteúdo e métodos de ensino, de Guy Brousseau. São Paulo: Editora Ática, 2008. • Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática, de Kátia Cristina Stocco Smole e Maria Ignez Diniz (Org.). Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. • Recontextualização e transposição didática, de Miriam Soares Leite. Araraquara: Editora Junqueira&Marin, 2007.

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• Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais , de Raymond Duval. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. (Coleção Contexto da Ciência). Sugestões de sites (acessos em: abr. 2015): • Ministério da Educação: . • Sociedade Brasileira de Educação Matemática: . • Sociedade Brasileira de Matemática: . • Educação Matemática e Tecnologia Informática: .

3. Estrutura e organização do Projeto Cada um dos quatro livros deste Projeto está dividido em unidades. Cada unidade, por sua vez, está organizada em capítulos. Os livros do primeiro ciclo (6º e 7º anos) contêm sete unidades e os livros do segundo ciclo (8º e 9º anos), oito unidades. Na abertura de cada unidade, os alunos encontrarão um pequeno texto que os despertará para o assunto a ser desenvolvido e, junto com ele, questionamentos que propiciam reflexões sobre o conteúdo a ser trabalhado e questões para conduzir uma pequena discussão. Descrevemos a seguir as seções existentes nos volumes da coleção e lembramos que algumas delas serão fixas, ou seja, aparecerão em todas as unidades e volumes, e outras estarão distribuídas de forma aleatória ao longo dos volumes. Junto com a descrição das seções, você encontrará um breve resumo com as informações sobre a intencionalidade idealizada para cada uma dessas seções.

Agora é com você Nessa seção são propostas atividades de exploração, averiguação e sistematização. Esse é um importante momento para o aluno colocar em prática o que aprendeu ao longo da unidade.

Trabalho em EQUIPE Algumas atividades são elaboradas para o trabalho coletivo. Nessa seção, deseja-se que os alunos cooperem entre si na busca de solução para as situações propostas. Além disso, espera-se que os alunos consigam adquirir o hábito de expressar o próprio pensamento, compreender o pensamento do

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Bagagem cultural Aqui são apresentados textos e imagens sobre curiosidades por meio das quais os alunos perceberão a Matemática em outros contextos, que relacionam conteúdos de duas ou mais disciplinas. Assim, esperamos que eles passem a ver a Matemática não mais de forma isolada, e sim dinâmica, ou seja, presente em outras áreas do conhecimento.

Diversificando linguagens A disciplina de Matemática tem linguagem própria, símbolos, formas e representações peculiares. Por sua vez, revistas e jornais – em geral, presentes na vida dos alunos – apresentam diversidade no tratamento de informações. Ao propormos algumas atividades com tirinhas ou mesmo diagramas de palavras, por exemplo, queremos evidenciar também os conteúdos e as situações matemáticas que são apresentados por essas formas de expressão. Do aluno, em tais momentos, é exigida a interpretação e a compreensão do que a tirinha ou o diagrama apresenta.

Conexões Essa seção é reservada para a história dos conteúdos e dos personagens que os construí­ram, para explorar curiosidades que envolvam a Matemática e para a leitura de textos de reflexão. Sugerimos que ela seja trabalhada coletivamente, a fim de que todos conheçam os aspectos relevantes que estão sendo apontados.

Matemática e Cidadania Nessa seção são apresentados textos amplamente ilustrados, que proporcionam leitura agradável e rica em informações, relacionando várias áreas do conhecimento. É uma oportunidade ímpar de ampliar o conhecimento dos alunos sobre a necessidade de aprender Matemática a fim de poderem interpretar e buscar soluções para situações diversas. Para exercer a cidadania, é adequado saber calcular, efetuar medidas, argumentar, raciocinar, compreender informações estatísticas e tomar decisões.

com a palavra, o ESPECIALISTA O conhecimento de qualquer disciplina ocorre também pelo contato com o trabalho de diversos profissionais. Experiências de vida, de trabalho e de estudo precisam ser transmitidas aos alunos como exemplos a serem seguidos e referências a serem consideradas. Essa seção amplia a visão de mundo dos alunos.

Explorando Depois que os conteúdos são desenvolvidos, o aluno encontra algumas referências de entretenimento – livros, filmes e sites – relacionadas aos assuntos abordados na unidade. Em cada referência, uma pequena resenha explica do que trata cada item. Explorar diferentes modos de abordagem de conteúdos matemáticos é uma forma de estimular a leitura, a visualização e até a brincadeira.

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outro, discutir possíveis e esperadas dúvidas e incorporar soluções alternativas, reestruturando e ampliando procedimentos adotados no enfrentamento de problemas diversos.

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Superando Desafios Uma das características do aluno do Ensino Fundamental II é o prazer de ser desafiado. Nessa seção, ele é convidado a ir além das atividades propostas no livro e resolver questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo. A Matemática representa um contexto rico de ideias, problemas diversos, desafios e enigmas instigantes que deixam o aluno diante de situações completamente diferentes e que exigem soluções muitas vezes inesperadas e extremamente criativas. Essa é uma maneira de valorizar a capacidade e as potencialidades dele.

RESGATANDO CONTEÚDOS

Tecla_matemática Nessa seção, os alunos terão a oportunidade de vivenciar a Matemática utilizando recursos tecnológicos. Por meio dessas explorações, eles terão mais possibilidades de construir o conhecimento, ganhando, inclusive, mais agilidade na realização de tarefas. Lembramos que as ferramentas sugeridas estão a serviço do conteúdo, ou seja, devem favorecer a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

MANUAL DO PROFESSOR

Sugerimos um grupo de atividades no final de cada unidade. A ideia é que, com a resolução dos exercícios, os alunos possam verificar, com autonomia, a compreensão

dos conteúdos apresentados na unidade. Esse é também um modo de relacionar os assuntos tratados separadamente nos capítulos. Sugerimos que as atividades sejam encaminhadas apenas após a conclusão da unidade. É importante também que os alunos sejam motivados a fazê-las e que organizem as resoluções no caderno, discutindo entre eles possíveis respostas antes da resolução coletiva.

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4. Quadros de conteúdos Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de Matemática.

6o ano UNIDADE

1. Números e sistemas de numeração

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Os números naturais

ƒƒ Números naturais ƒƒ Introdução histórica dos números ƒƒ Números naturais e sequências numéricas ƒƒ Números consecutivos ƒƒ Noções de conjuntos ƒƒ Conjunto dos números naturais

O uso dos números

ƒƒ Contagem, ordenação e códigos ƒƒ Valores monetários

Sistema de numeração decimal

ƒƒ Sistema de numeração decimal ou indo-arábico ƒƒ Noções de sistema de numeração posicional ƒƒ Antecessor e sucessor de um número natural ƒƒ Arredondamentos

Adição e subtração

ƒƒ Adição e subtração de números naturais ƒƒ Propriedades da adição de números naturais ƒƒ Expressões numéricas ƒƒ Cálculo mental

Multiplicação e divisão

ƒƒ Multiplicação e divisão de números naturais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números naturais e expressões numéricas ƒƒ Divisão com resto e expressões numéricas

Potenciação e radiciação

ƒƒ Noções de potenciação ƒƒ Noções de radiciação ƒƒ Expressões numéricas

Percebendo a Geometria

ƒƒ Noções iniciais de Geometria ƒƒ Introdução histórica do conhecimento geométrico ƒƒ Conceito de reta, semirreta e ponto ƒƒ Reconhecer figuras planas e não planas

Formas geométricas planas e não planas

ƒƒ Paralelepípedos ou bloco retangular ƒƒ Cubo ƒƒ Vistas de um objeto não plano ƒƒ Identificar formas geométricas planas

Divisibilidade e números primos

ƒƒ Noções de divisibilidade ƒƒ Números primos ƒƒ Critérios de divisibilidade

Divisores de um número natural

ƒƒ Divisores de um número natural ƒƒ Encontrar os divisores de um número pela decomposição em números primos ƒƒ Máximo divisor comum ƒƒ Reconhecer números primos ƒƒ Crivo de Eratóstenes ƒƒ Decomposição em fatores primos ƒƒ Estimativa

Múltiplos de um número natural

ƒƒ Multiplicação de números naturais ƒƒ Mínimo múltiplo comum

Tratamento da informação: contagem e estimativa

ƒƒ Noções iniciais de contagem ƒƒ Construir árvore de possibilidades

2. Geometria: primeiras noções

3. Múltiplos e divisores

MANUAL DO PROFESSOR

Tratamento da informação: organização de dados em tabelas ƒƒ Interpretação e organização de dados em tabelas

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UNIDADE

CAPÍTULO A ideia de ângulo

ƒƒ Noções iniciais de ângulo ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Posição relativa entre retas

Polígonos

ƒƒ Linha poligonal ƒƒ Definição de polígono ƒƒ Polígonos regulares ƒƒ Quadriláteros

A ideia de fração

ƒƒ Noções iniciais de fração ƒƒ Classificação de frações ƒƒ Fração de quantidade

Equivalência e comparação entre frações

ƒƒ Frações equivalentes ƒƒ Simplificação de frações ƒƒ Comparação de frações

Adição e subtração de frações

ƒƒ Adição e subtração de frações com mesmo denominador ƒƒ Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Fração de fração

ƒƒ Multiplicação de frações ƒƒ Divisão de frações

Frações decimais e números decimais

ƒƒ Número decimal e fração decimal ƒƒ Frações centesimais ƒƒ Multiplicação de decimais por potência de 10 ƒƒ Divisão de decimais por potência de 10 ƒƒ Comparação entre números decimais

Operações com números decimais

ƒƒ Adição com números decimais ƒƒ Subtração com números decimais ƒƒ Multiplicação com números decimais ƒƒ Divisão entre números naturais com quociente decimal ƒƒ Divisão com números decimais

Tratamento da informação: noção de porcentagem, gráficos e tabelas

ƒƒ Porcentagem ƒƒ Descontos e acréscimos ƒƒ Interpretação de dados organizados em tabelas e gráficos

Unidades de comprimento e de massa

ƒƒ Unidades de comprimento ƒƒ Conversão de unidades de medida de comprimento ƒƒ Perímetro de figuras geométricas planas ƒƒ Unidades de massa ƒƒ Conversão de unidades de medidas de massa

Unidades de área

ƒƒ Unidades de área ƒƒ Conversão de unidades de medidas de área ƒƒ Áreas de figuras geométricas planas

Unidades de volume e de capacidade

ƒƒ Unidades de volume ƒƒ Conversão de unidades de medidas de volume ƒƒ Volume do cubo ƒƒ Volume do paralelepípedo ƒƒ Unidade de capacidade ƒƒ Conversão de unidades de medidas de capacidade

Medida de tempo

ƒƒ Medida de tempo ƒƒ Conversão de unidades de medidas de tempo

Tratamento da informação: probabilidade e média aritmética

ƒƒ Noções iniciais de probabilidade ƒƒ Noções iniciais do conceito de média aritmética

4. Formas geométricas planas

5. Frações

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6. Números decimais

CONTEÚDO

7. Grandezas e medidas

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7o ano capítulo O números inteiros

ƒƒ Números positivos e números negativos ƒƒ Números inteiros ƒƒ Exemplos de aplicações dos números inteiros

Adição e subtração de números inteiros

ƒƒ Adição de números inteiros ƒƒ Propriedades da adição de números inteiros ƒƒ Subtração de números inteiros

Multiplicação de números inteiros

ƒƒ Multiplicação de números inteiros ƒƒ Propriedades da multiplicação de números inteiros

Divisão de números inteiros

ƒƒ Divisão de números inteiros ƒƒ Expressões numéricas com números inteiros

O plano cartesiano

ƒƒ Introdução ao plano cartesiano

Tratamento da informação: gráfico de barras e de linhas

ƒƒ Informações em gráfico de barras ƒƒ Informações em gráfico de linhas ƒƒ A construção de gráficos estatísticos ƒƒ Interpretação de dados com base em gráficos de linhas e colunas

Ângulos

ƒƒ Retomada da ideia de ângulos ƒƒ Unidade de medida de ângulos ƒƒ Frações do grau

Operações com medidas de ângulo

ƒƒ Adição e subtração de ângulos ƒƒ Multiplicação e divisão por um número natural

Ângulos e retas

ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes

Números racionais

ƒƒ Formação do conjunto ƒƒ Reta numérica ƒƒ Representação decimal e representação fracionária de números racionais ƒƒ Comparação entre números racionais ƒƒ Exemplos de aplicações dos números racionais

Adição e subtração de números racionais

ƒƒ Adição de números racionais ƒƒ Subtração de números racionais

Multiplicação e divisão de números racionais

ƒƒ Multiplicação de números racionais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números racionais ƒƒ Divisão de números racionais

Potenciação e radiciação de números racionais

ƒƒ Potenciação de números racionais ƒƒ Radiciação de números racionais ƒƒ Expressões numéricas

Tratamento da informação: gráfico de setores

ƒƒ Construção de gráfico de setores ƒƒ Interpretação de dados com base em gráfico de setores

O conceito de áreas

ƒƒ Medida de superfície ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do retângulo

Área do triângulo e área do paralelogramo

ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo

Área do losango e do trapézio

ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

1. Os números inteiros

2. Geometria: ângulos

3. Números racionais

4. Geometria: áreas

CONTEÚDO

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

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UNIDADE

5. Álgebra

6. Razões e proporções

capítulo

CONTEÚDO

Iniciando a álgebra

ƒƒ Noções iniciais de álgebra ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Soma algébrica de termos semelhantes

Equações

ƒƒ Equações ƒƒ Resolução de uma equação

Resolução de problemas

ƒƒ Resolução de problemas com uma incógnita

Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

ƒƒ Resolução de sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

Inequações

ƒƒ Desigualdades ƒƒ Inequações

Razões e proporções

ƒƒ Conceito de razão ƒƒ Conceito de proporção

Grandezas proporcionais

ƒƒ Grandezas diretamente proporcionais ƒƒ Grandezas inversamente proporcionais ƒƒ Regra de sociedade ƒƒ Problemas de regra de três ƒƒ Problemas de regra de três composta

Tratamento da informação: média aritmética simples e média aritmética ponderada

ƒƒ Média aritmética simples ƒƒ Média aritmética ponderada ƒƒ Retomada do cálculo com porcentagens ƒƒ Juros simples

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7. Introdução à matemática financeira Porcentagem e juros simples

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8o ano

1. Números reais

2. Potenciação e radiciação

3. Geometria: triângulos

capítulo

CONTEÚDO

Números racionais

ƒƒ Números racionais e obtenção de medidas ƒƒ Números racionais ƒƒ Dízimas periódicas

Os números reais

ƒƒ Números irracionais ƒƒ Números reais ƒƒ Comprimento da circunferência e o número irracional .

Tratamento da informação: média, mediana e moda

ƒƒ Conceito de média ƒƒ Conceito de mediana ƒƒ Conceito de moda

Potenciação com expoentes inteiros

ƒƒ Potenciação ƒƒ Propriedades da potenciação ƒƒ Potências de base 10

Radiciação: raiz quadrada

ƒƒ Raiz quadrada aritmética ƒƒ Cálculo de raiz quadrada pela decomposição em fatores primos ƒƒ Cálculo de raiz quadrada por aproximação ƒƒ Notação científica

Tratamento da informação: análise combinatória – princípio fundamental da contagem

ƒƒ Análise combinatória ƒƒ Princípio fundamental da contagem

Segmentos, ângulos e retas

ƒƒ Segmentos ƒƒ Reta ƒƒ Ponto médio ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes ƒƒ Ângulos formados entre duas retas paralelas e uma transversal

Triângulos

ƒƒ Classificação de triângulos quanto aos lados ƒƒ Condição de existência de um triângulo

Soma das medidas dos ângulos de um triângulo

ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo

Congruência de triângulos

ƒƒ Congruência de triângulos ƒƒ Casos de congruência de triângulos ƒƒ Construção de triângulos

Expressões algébricas

ƒƒ Expressão algébrica e valor numérico ƒƒ Monômios ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Polinômios de uma variável

Operações com polinômios de uma variável

ƒƒ Adição e subtração de polinômios ƒƒ Multiplicação de polinômios ƒƒ Divisão de polinômios

Tratamento da informação: análise de gráficos

ƒƒ Análise de gráficos

Produtos notáveis

ƒƒ Quadrado da soma de dois termos ƒƒ Quadrado da diferença de dois termos ƒƒ Produto da soma pela diferença de dois termos

Fatoração de polinômios

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Simplificação de frações algébricas

4. Álgebra: cálculo algébrico

5. Produtos notáveis e fatoração

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UNIDADE

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UNIDADE

capítulo

CONTEÚDO

Quadriláteros

ƒƒ Quadriláteros: conceito e elementos ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero

Quadriláteros notáveis

ƒƒ Trapézio, paralelogramo, losango, retângulo e quadrado ƒƒ Propriedades dos paralelogramos ƒƒ Propriedades dos casos particulares de paralelogramos

Equações do 1o grau

ƒƒ Resolução de problemas que envolvem equações do 1o grau ƒƒ Resolução de equações literais ƒƒ Resolução de equações fracionárias

Sistema de equações

ƒƒ Sistema de equações do 1o grau ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da substituição ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da adição

Interpretação geométrica da solução de sistemas

ƒƒ Representação de pontos no plano cartesiano ƒƒ Interpretação geométrica da solução de um sistema de equações

Tratamento da informação: probabilidade

ƒƒ Probabilidade

Circunferência e círculo

ƒƒ Construção da circunferência ƒƒ Identificação de elementos de uma circunferência ƒƒ Partes do círculo ƒƒ Posições relativas de retas e circunferências ƒƒ Posições relativas entre circunferências

Segmentos e quadriláteros

ƒƒ Propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência ƒƒ Circunferência inscrita num quadrilátero

Ângulos e arcos na circunferência

ƒƒ Arco e ângulo central ƒƒ Medida do ângulo inscrito ƒƒ Quadrilátero inscrito numa circunferência

6. Geometria: quadriláteros

7. Álgebra: equações

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8. Geometria: circunferência

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9o ano

1. Potenciação, radiciação e cálculo algébrico

2. Tratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade

3. Geometria: semelhança de triângulos

capítulo

CONTEÚDO

Potenciação

ƒƒ Potenciação com expoentes inteiros ƒƒ Notação científica ƒƒ Propriedades da potenciação

Radiciação

ƒƒ Raiz quadrada exata e aproximada ƒƒ Potência com expoente racional ƒƒ Raiz cúbica ƒƒ Propriedades da radiciação e simplificação de radicais

Cálculo com radicais

ƒƒ Adição e subtração ƒƒ Multiplicação e divisão ƒƒ Potenciação e radiciação

Cálculo algébrico

ƒƒ Retomada dos três casos de produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois termos ƒƒ Racionalização de denominadores ƒƒ Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos

Fatoração

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Fatoração por produtos notáveis

Gráficos

ƒƒ Interpretação de gráficos de linhas, colunas, setores, pictóricos ou pictogramas ƒƒ Tratamento da informação, tabelas e gráficos

Distribuição de frequências

ƒƒ Conceito de frequência absoluta ƒƒ Conceito de frequência relativa ƒƒ Conceito de variáveis discretas ƒƒ Conceito de variável contínua ƒƒ Distribuição de frequência por classes ƒƒ Construção de gráficos histograma

Contagem e probabilidade

ƒƒ Princípio fundamental da contagem ƒƒ Noções iniciais de probabilidade

Teorema de Tales

ƒƒ Conceito de razão e proporção ƒƒ Teorema de Tales

Semelhança de triângulos

ƒƒ Semelhança de triângulos ƒƒ Casos de semelhança de triângulos

O triângulo retângulo

ƒƒ Relações métricas no triângulo retângulo ƒƒ Teorema de Pitágoras

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

ƒƒ Seno ƒƒ Cosseno ƒƒ Tangente ƒƒ Razões trigonométricas para ângulos notáveis

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UNIDADE

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UNIDADE

capítulo

CONTEÚDO

Equações do 2o grau

ƒƒ Resolução de equações incompletas ƒƒ Resolução de equações por trinômio do quadrado perfeito ƒƒ Resolução de equações por fórmula de Bháskara

Propriedade de raízes e coeficientes

ƒƒ Possíveis soluções de equação do 2o grau por análise do discriminante da fórmula de Bháskara ƒƒ Relação entre a soma e produto das raízes e os coeficientes de uma equação do 2o grau

Equações redutíveis ao 2o grau e problemas

ƒƒ Resolução de problemas por meio de equações do 2o grau ƒƒ Equações biquadradas ƒƒ Equações irracionais

Medidas de tendência central

ƒƒ Média ƒƒ Média ponderada ƒƒ Mediana ƒƒ Moda

Áreas de quadriláteros e triângulos

ƒƒ Área do retângulo ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

Polígonos convexos

ƒƒ Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Polígonos regulares

ƒƒ Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares ƒƒ Polígonos regulares inscritíveis e circunscritíveis em uma circunferência

Círculo e circunferência

ƒƒ Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência ƒƒ Área do círculo e de um setor circular

Relações métricas na circunferência

ƒƒ Relação entre ângulos e arcos ƒƒ Relação entre cordas e entre secantes ƒƒ Relação entre secante e tangente e potência de um ponto

Introdução às funções

ƒƒ Conceito de função ƒƒ Relação de dependência de variáveis ƒƒ Representação gráfica de funções ƒƒ Função crescente e decrescente ƒƒ Conjunto domínio, contradomínio e imagem

Noções de função afim

ƒƒ Função afim ƒƒ Gráfico de uma função afim

4. Álgebra: equações do 2o grau

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5. Geometria: polígonos e circunferências

6. Introdução às funções e função afim

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UNIDADE

7. Noções de função quadrática

capítulo

CONTEÚDO

Noções de função quadrática

ƒƒ Função quadrática ƒƒ Gráfico de uma função quadrática ƒƒ Coordenadas do vértice da parábola ƒƒ Problemas de máximo e mínimo ƒƒ Comportamento do gráfico da parábola em relação à variação dos coeficientes

Lei dos cossenos

ƒƒ Lei dos cossenos ƒƒ Demonstração da Lei dos cossenos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos cossenos

Lei dos senos

ƒƒ Lei dos senos ƒƒ Demonstração da Lei dos senos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos senos

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8. Geometria: triângulos quaisquer

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5. Orientações didáticas do volume Unidade 1 – Números reais Objetivos da unidade • Representar números racionais na forma fracionária e também na forma decimal. • Obter fração geratriz de dízimas periódicas. • Compreender e identificar números irracionais. • Identificar um número real como racional ou irracional. • Comparar e operar com números reais. • Obter o comprimento de uma circunferência com base na medida de seu raio. • Exemplificar o uso de média aritmética. • Comparar os valores de média, mediana e moda em um conjunto de dados. • Realizar comparações de médias.

Capítulo 1 – Números racionais Objetivos do capítulo • Retomar os números racionais.

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• Representar números racionais na forma fracionária e também na forma decimal. • Obter fração geratriz de dízimas periódicas.

Algumas explorações Sugerimos retomar os conteúdos já trabalhados sobre conjuntos numéricos e questões operatórias (por exemplo, a subtração de dois números naturais nem sempre é um número natural) que levaram à necessidade de ampliação dos conjuntos numéricos. Destaque a definição de números racionais e sua forma de representação (fração), pois esse conceito será necessário para a introdução dos números irracionais.

Caso julgue conveniente, peça aos alunos que representem números inteiros e dízimas periódicas na forma fracionária e questione-os sobre a possibilidade de representação de dízimas não periódicas em forma de fração. Por meio do questionamento: “O que há entre dois números racionais?” pretende-se levá-los a compreender que entre dois racionais há infinitos racionais. Depois de introduzir o conceito de irracionais, eles devem ampliar a compreensão de que, além de infinitos racionais, há, também, infinitos irracionais. Se possível, com base no exemplo 3 da página 14, proponha aos alunos uma pesquisa sobre o Código de Defesa do Consumidor e a obrigatoriedade, desde 20 de julho de 2010, por força da Lei federal nº 12.291, de todos os estabelecimentos comerciais e prestadores de serviços do país manterem, em local visível e de fácil acesso ao público, um exemplar do Código de Defesa do Consumidor (CDC). Sugira também uma pesquisa sobre o papel desempenhado pelos órgãos de fiscalização de pesos e medidas, como o Instituto de Pesos e Medidas (Ipem – estadual), o Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro – federal) e o Sistema Inmetro de Monitoramento de Acidentes de Consumo (Sinmac). É interessante que os alunos compartilhem suas respostas ao questionamento da página 19: “Como obter a fração que gera a dízima periódica?”. Anote essas regularidades e verifique sua validade nas atividades da seção Agora é com você. A seguir, uma proposta para discussão. Classificaremos as dízimas em periódicas simples (quando o período aparece logo depois da vírgula) e composta (quando há uma parte que não se repete, denominada antiperíodo, entre a vírgula e a parte periódica), para criarmos as generalizações. • Dízima periódica simples, sem parte inteira Para encontrar a fração geratriz de dízimas periódicas simples, coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo do período atribui-se um algarismo 9 no denominador.

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Exemplo 1:

4 527 2 45 5 9 990

0,333...

4 482 9 990

5 0,452727 ...

(1 algarismo no período)

Outras atividades

3 1 5 5 0,333 ... 9 3 Exemplo 2:

Abaixo, selecionamos uma sugestão de atividade complementar. 1. Encontre cinco números racionais que estejam entre os intervalos indicados.

(3 algarismos no período)

Separa-se a parte inteira da parte decimal.

a) 2 e 3 25 21 ; 2,5; 2,9; 2,333 ...; 9 10 b) 7 e 9 87 8; 7,1; 7,1222 ...;8,5; 10 c) 25 e 24

Exemplo 1:

24,5; 24,1; 24,333 ...; 24,9; 2

4,5151... (2 algarismos no período)

Algumas resoluções

125 5 0,125125 ... 999 • Dízima periódica simples, com parte inteira

51 447 149 396 1 51 5 5 5 5 41 99 99 33 99 5 4,5151 ... Exemplo 2: 1,1313... (2 algarismos no período) 11

13 112 99 1 13 5 5 5 1,1313 ... 99 99 99

• Dízima periódica composta Para cada algarismo do período coloca-se um algarismo 9 no denominador. E para cada algarismo do antiperíodo coloca-se um algarismo zero no denominador seguido do algarismo 9. No numerador faz-se o seguinte cálculo: (parte inteira com antiperíodo e período) menos (parte inteira com antiperíodo). Exemplo 1: 2,5438438... (3 algarismos no período, 1 algarismo no antiperíodo) 25 438 2 25 5 9 990

25 413 9 990

5 2,5438438 ...

Exemplo 2: 0,452727... (2 algarismos no período, 2 algarismos no antiperíodo)

498 100

Apresentamos aqui a resolução da atividade 8 da seção Agora é com você, da página 20, sobre o conceito de dízimas periódicas. Sendo a 5 0,666...1 0,222... e b 5 0,3 1 a 1 0,05, determine o valor de . b Primeiramente, transformamos em fração os valores de a e b: 6 2 8 a 5 0,666 ... 1 0,222 ... 5 1 5 9 9 9 35 7 b 5 0,3 1 0,05 5 0,35 5 5 100 20 a : Em seguida, efetuamos a operação b 8 9 8 20 160  5 5 9 7 63 7 20

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Ensinar frações para a vida, sobre o ensino e a aprendizagem de frações, que faz parte da programação “Salto para o futuro” da TV Escola, série Conhecimento Matemático: Desenvolvendo Competências para a Vida. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Sugerimos assistir ao vídeo sobre a origem dos números: A história do número 1. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Propomos o site a seguir para acessar a íntegra do Código de Defesa do Consumidor: (acesso em: abr. 2015). • Propomos o acesso ao site do Inmetro, que traz informações importantes para o cidadão sobre o papel desse órgão na fiscalização dos instrumentos de medição e dos produtos pré-medidos. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Para obter informações sobre o Ipem, sugerimos o site a seguir: (acesso em: abr. 2015). • Para obter informações sobre o Sinmac, sugerimos o site: (acesso em: abr. 2015).

Capítulo 2 – Os números reais Objetivos do capítulo • Compreender e identificar números irracionais. • Identificar um número real como irracional ou racional.

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• Comparar e operar com números reais. • Obter o comprimento de uma circunferência com base na medida de seu raio.

Algumas explorações Por meio do texto introdutório do item Os números irracionais, da página 22, pretendemos conduzir os alunos à constatação de que um número irracional, por ser uma dízima não periódica, não pode ser representado na forma fracionária, e que entre dois números racionais encontram-se infinitos números racionais e irracionais. Os conceitos até aqui trabalhados de forma intuitiva servirão de conhecimentos prévios para a construção das

ideias iniciais sobre a continuidade da reta real (conjunto dos números reais), ou seja, é possível associar a qualquer ponto da reta real um número (racional ou irracional). Como um número irracional não tem valor numérico exato, sua posição na reta real só pode ser indicada por meio de construções geométricas, de forma aproximada. Se considerarmos os problemas envolvidos ao realizarmos uma medida, podemos perceber que é muito difícil localizar com exatidão um número irracional na reta numérica. No exemplo 1 da página 26, são comparados dois números reais, escritos na forma decimal. Como as partes inteiras são iguais é necessário que se compare a parte decimal. Igualando o número de casas decimais dos números abaixo notamos que eles apenas se diferem na casa dos milésimos. Unidade

décimo

centésimo

milésimo

3,

7

2

0

3,

7

2

1

Como 1 é maior que 0, então 3,72  3,721. Propomos retomar com os alunos a comparação entre dois números reais escritos na forma fracionária por meio da redução ao mesmo denominador. A seguir uma sugestão para revisão desse procedimento. 1 2 e . Exemplo 1: Comparar os números 5 9 o 1 ) Encontrar o mmc dos denominadores. Como os denominadores são diferentes, reduzimos a um só denominador, ou seja, encontramos o mmc (mínimo múltiplo comum): 5,

9

3

5,

3

3

5,

1

5

1,

1

3 × 3 × 5 5 45

2o) Encontrar as frações equivalentes com mesmo denominador.

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1 9 (45  5) 3 1 5 5 5 45 45

b) A medida da área será igual a, aproximadamente: 1,732 cm 3 1,732 cm 5 2,999824 cm2

3o) Efetuar a comparação com base nos numeradores. 9 10  45 45

1 2  5 9

3 cm 3 3 cm 5 3 cm2 Atividade 7 a) Um quadrado com medida de área igual a 40 cm2 terá como medida de lado 40 cm. Por meio do cálculo a seguir é possível validar a resposta: 40 cm 3

40 cm 5 40 cm2

b) A medida da área de um quadrado com medida de lado igual a 6,32 cm será igual a: 6,32 cm 3 6,32 cm 5 39,9424 cm2

Ainda na página 26, apresentamos a representação no ábaco de dois números decimais. Você pode utilizar material concreto para os alunos retomarem e compararem os números decimais. Esse instrumento pode dar a alguns alunos melhor visualização.

c) A medida da área de um quadrado com medida de lado igual a 6,33 cm será igual a:

No item O comprimento da circunferência da página 28, sugerimos um Trabalho em equipe em que os alunos poderão explorar a relação entre o comprimento da circunferência, seu diâmetro e o valor de p. Recomendamos o uso do software de Geometria dinâmica GeoGebra e atividades com essa mesma finalidade, disponível no site: (acesso em abr. 2015).

40 5 6,324555320336758 ... Obs.: É importante os alunos observarem que os valores de medidas de áreas obtidas nos itens b e c, mostram que o valor de 40 está entre 6,32 e 6,33. No item d, enfatize que o número de casas decimais referente ao valor de 40 , quando obtido por meio de uma calculadora, estará limitado à capacidade de exibição do visor do dispositivo, pois o valor de 40 possui infinitas casas decimais não periódicas.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e sugestões de possíveis explorações sobre o conceito de números irracionais da seção Agora é com você da página 24. Atividade 2

6,33 cm 3 6,33 cm 5 40,0689 cm2 d) A raíz de 40 é um número irracional, por isso tem infinitas casas decimais.

Outras atividades 1. Indique Verdadeiro (V) ou Falso (F): a) ( F ) Todo número racional é inteiro. b) ( V ) Todo número natural é racional. c) ( V ) Todo número natural é inteiro.

Os resultados foram obtidos com o uso de uma calculadora. a) A medida do perímetro será igual a, aproximadamente:

d) ( F ) Todo número inteiro é natural.

4 3 1,732 cm 5 6,928 cm

f) ( V ) Todo número inteiro é racional.

e) ( F ) Todo número irracional é racional.

MANUAL DO PROFESSOR

2 10 (45  9) 3 2 5 5 9 45 45

c) A medida da área considerando o lado igual a 3 será:

305 305 pom8_mp_302_333_especifica.indd 305

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2. Determine, com régua e compasso, √2 , √3 , √4 e √5 em uma reta numérica. Obs.: recomendamos desenvolver essa atividade passo a passo com os alunos.

Ilustrações: DAE

1o) Utilizando a régua, trace o segmento AB de medida igual a 1 cm. Observação: o desenho está ampliado. A

B

2o) Com a ponta-seca do compasso em A e com abertura qualquer, trace um arco.

A

B

3o) Com a mesma abertura e com a ponta-seca do compasso onde o arco encontrou a reta, faça uma marca no arco. Posicione a ponta-seca do compasso nessa marca e faça uma segunda marca. A primeira marca representa um ângulo de 60°, e a segunda, de 120°.

A

B

4o) Com a ponta-seca do compasso na primeira marca, trace um arco com abertura um pouco maior do que a metade do primeiro arco obtido.

A

B

A

B

6o) Trace a reta perpendicular a AB pelo ponto A.

A

B

Ilustrações: DAE

MANUAL DO PROFESSOR

5o) Refaça o mesmo processo, mas agora colocando a ponta-seca na segunda marca e com a mesma abertura no compasso. Dessa forma obtemos a bissetriz do ângulo de 60°, medindo 30°, que somado a 60° nos permitirá construir o ângulo de 90°.

306 pom8_mp_302_333_especifica.indd 306

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7o) Com a ponta-seca do compasso em A e com abertura igual a AB, trace um arco que intercepte a perpendicular em C. C

A

B

8o) Com a ponta-seca do compasso em C e mesma abertura, trace um arco. C

A

B

9o) Com a ponta-seca do compasso em B e mesma abertura, trace outro arco que intercepte o último arco, obtendo, assim, o ponto D. C

A

B

10o) Com a régua, construa o quadrado ligando os pontos C e D e os pontos B e D.

A

D

B

Ilustrações: DAE

C

MANUAL DO PROFESSOR

D

307 307 pom8_mp_302_333_especifica.indd 307

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11o) Com a régua, unindo os pontos A e D traçamos a diagonal do quadrado de medida de lado igual a 1 cm; a medida dessa diagonal é igual a √2 cm. Com a ponta-seca do compasso em A e com abertura em D, traçamos um arco até interceptar o prolongamento do lado AB; dessa forma, obtemos a projeção da √2 marcando, assim, sua posição nesse prolongamento. Procederemos da mesma forma obtendo as projeções das raízes √3 (diagonal do retângulo de lados 1 e √2), √4 (diagonal do retângulo de lados 1 e √3  ) e √5 (diagonal do retângulo de lados 1 e √4  ), conforme a figura a seguir: Ilustrações: DAE

C

1

D

e tem por base o perímetro desse círculo e por altura seu raio. São comentados o problema clássico da quadratura do círculo e a expressão da área do círculo, como a multiplicação de um número p vezes seu raio ao quadrado. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Capítulo 3 – Tratamento da Informação: Média, mediana e moda Objetivos do capítulo • Exemplificar o uso da média aritmética. • Comparar os valores de média, mediana e moda em um conjunto de dados. • Realizar comparações de médias.

2

Algumas explorações A

1

B

2

3

4

5

Para saber mais

MANUAL DO PROFESSOR

• Sugerimos a leitura do livro Números: o simbólico e o racional na história, de Iran Abreu Mendes. São Paulo: Livraria da Física, 2006. O autor constrói uma narrativa sobre o conceito de número, abordando seus aspectos racionais, simbólicos, históricos, míticos e culturais. • Sugerimos o acesso à página da internet Números reais, uma introdução, disponível no site (acesso em: abr. 2015), em que constam informações adicionais, com demonstrações animadas sobre comensurabilidade e números racionais, incomensurabilidade e números irracionais, números reais e a reta real. • Sugerimos assistir ao vídeo Número pi e área de um círculo, que aborda inicialmente o resultado de Arquimedes, de que a área de um círculo é equivalente à área de um triângulo retângulo

No estudo da média aritmética oriente os alunos a comparar entre si as alturas, reunidos em grupos de cinco ou mais, de maneira que respondam à pergunta: Qual dos grupos formados pode ser considerado o mais alto? Esse modelo de atividade pode ser repetido com o tamanho (o número) dos calçados e outros valores que eles possam sugerir. No estudo da mediana, alguns alunos podem perceber que ela é uma medida separatriz, ou seja, mantém metade dos dados de um lado e a outra metade do outro. Os dados utilizados com médias podem ser aproveitados para esse estudo. Se preferir, peça aos alunos que organizem os dados em um gráfico e localizem a média, a mediana e a moda.

Atividades resolvidas Apresentamos a seguir a resolução da atividade 4 da seção Agora é com você da página 33. Se os jovens têm média de idades de 15 anos, podemos considerar cada idade como 15 anos, pois: 15 1 15 1 15 1 15 5 15 4

308 pom8_mp_302_333_especifica.indd 308

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15 1 15 1 15 1 15 1 25 5 17 5 Portanto, a média de idades será alterada para 17 anos.

Unidade 2 – Potenciação e radiciação Objetivos da unidade • Retomar a potenciação com expoentes inteiros. • Formalizar propriedades da potenciação. • Operar com potências de base 10. • Associar a raiz quadrada à medida do lado de um quadrado com base em sua área. • Calcular a raiz quadrada de um número natural pela decomposição em fatores primos. • Explorar e conceituar o princípio fundamental da contagem. • Relacionar a contagem com questões cotidianas.

Capítulo 4 – Potenciação com expoentes inteiros Objetivos do capítulo • Retomar a potenciação com expoentes inteiros. • Formalizar propriedades da potenciação. • Operar com potências de base 10.

Algumas explorações O texto introdutório da página 40 apresenta exemplos do uso da potenciação para

a representação de valores absolutos muito grandes ou muito pequenos por meio de potências de base 10 – notação científica. Esse recurso é utilizado em várias áreas de conhecimento, como Medicina, Biologia, Engenharia, Astronomia e outras relacionadas à tecnologia. Outra forma de abordar o tema potenciação é por meio da previsão de resultados, aplicação muito comum desse conceito. Quando determinada situação puder ser representada pela multiplicação de fatores iguais, podemos utilizar a potenciação para previsão de resultados, como no cálculo de juros compostos, análise combinatória e probabilidade. Caso julgue conveniente, converse com os alunos sobre a seguinte situação: Imaginem que eu tenho um pedaço de papel nas mãos e decido cortá-lo em três partes iguais: fico agora com três pedaços de papel de mesmo tamanho. Em seguida, cortarei cada um deles em três partes iguais novamente: terei nove pedaços de papel. Caso eu continue cortando os papéis dessa maneira, quantos pedaços de papel terei ao cortá-los pela quinta vez? Para responder, o aluno deve perceber que os papéis sempre são cortados em três pedaços e a cada corte a quantidade irá triplicar; logo, por meio da potenciação, podemos associar o número de cortes de cada pedaço ao fator comum ou base, e associar a quantidade de vezes que repito o procedimento ao expoente. Logo, para calcular o número de pedaços de papel, a potência, ao cortá-los pela quinta vez, será: 35 5 3 × 3 × 3 × 3 × 3 5 243 Se possível, propomos a atividade a seguir para os alunos explorarem de forma concreta esse conceito. Peça-lhes que providenciem uma folha de papel e façam dobras nela conforme mostram as imagens.

MANUAL DO PROFESSOR

Logo, para determinar a nova média basta inserir 25 no cálculo acima, alterando o denominador para 5.

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DAE

Dobre. Primeira dobra.

Volte a dobrar.

Abra.

Segunda dobra.

Dobre. Abra.

... Dobre. Volte a dobrar.

Terceira dobra.

MANUAL DO PROFESSOR

Abra.

Para finalizar, peça que respondam à seguinte questão sem fazer novas dobras no papel: Supondo que pudéssemos fazer esse procedimento pela décima vez, quantos retângulos estariam representados na folha de papel? Os alunos devem perceber que a folha é sempre dobrada ao meio, logo, o número 2 será o valor da base. O número que representa a quantidade de vezes em que dobramos o papel será o expoente 2. Portanto, para representar n dobras podemos escrever 2n. Respondendo ao questionamento acima: 2 52×2×2×2×2×2×2×2×2×25 5 1 024; estariam representados 1 024 retângulos. 10

No Trabalho em equipe da página 47, os alunos são confrontados a justificar matematicamente, por meio de uma demonstração, a propriedade de que todo número elevado a zero é igual a 1. Propor atividades com essa finalidade contribuirá para o desenvolvimento do raciocínio dedutivo dos alunos. Incentive-os também a socializar as estratégias utilizadas. Pode haver situações em que os alunos tenham dificuldades de encontrar uma demonstração satisfatória, mas é importante que os conhecimentos prévios deles sejam mobilizados nesse momento para a busca de uma solução, o que contribuirá para a construção de uma aprendizagem significativa.

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Outras atividades

Expoente

Potência

n

2n

1

2

1. Resolva as situações-problema a seguir.

2

4

3

8

a) Um homem tinha oito chácaras e em cada chácara havia oito cavalos. Para cada cavalo havia oito espigas de trigo e cada espiga tinha oito medidas de grão. Quantas coisas ele tinha no total, entre chácaras, cavalos, espigas e medidas de grão?

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

9

512

Total de cavalos: 8 ? 8 5 8 2 5 64 Total de espigas: 8 2 ? 8 5 8 3 5 512 Total de medidas de grão: 83 ? 8 5 84 5 5 4 096 Total: 8 1 8 2 1 8 3 1 8 4 5 8 1 64 1 1 512 1 4 096 5 4 680

10

1 024

11

2 048

12

4 096

13

8 192

14

16 384

b) Uma mensagem de Páscoa foi enviada via e-mail. Luiz enviou para Cíntia, Marcelo, Lucas, Paula e Édson, que enviaram, cada um, para mais 5 pessoas; cada uma dessas pessoas enviou para outras 5. Quantas mensagens foram enviadas?

15

32 768

16

65 536

17

131 072

18

262 144

19

524 288

20

1 048 576

As atividades propostas a seguir têm a finalidade de explorar o uso de potenciação para resolução de situações-problema.

Esta atividade tem o objetivo de explorar as propriedades dos cálculos envolvendo potências. 2. a) C om o auxílio de uma calculadora preencha a tabela a seguir. (Em algumas calculadoras, ao se pressionar as teclas 1 × 2 e, simultaneamente, o sinal de igualdade 5, é possível obter os valores das potências com base 2. Dê um tempo aos alunos para explorarem essa funcionalidade em suas calculadoras com o objetivo de facilitar o preenchimento da tabela.)

b) Calcule o valor de:

64 2 ? 323 ? 162 ? 524 288 45 ? 131 072 ? 164 ? 43 ? 1

(Em um primeiro momento os alunos podem tentar fazer o cálculo com o uso da calculadora, mas propositalmente o numerador contém uma quantidade de dígitos que não caberá no visor da calculadora. Pretendemos, dessa forma, levá-los a utilizar a tabela construída anteriormente e as propriedades das potências para o cálculo sugerido.)

MANUAL DO PROFESSOR

5 ? 5 ? 5 5 5 3 5 125

311 311 pom8_mp_302_333_especifica.indd 311

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Resolução com o uso da tabela e das propriedades da potenciação: 64 2 ? 323 ? 162 ? 524 288 5 45 ? 131 072 ? 164 ? 43 ? 1 6 2

5 3

4 2

5

(2 ) ? (2 ) ? (2 ) ? 2 5 5 4 3 (22) ? 217 ? (24) ? (22) ? 20

5

212 ? 215 ? 28 ? 219 5 210 ? 217 ? 216 ? 26 ? 20

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de potenciação, com base nos exercícios da seção Agora é com você, da página 43. Atividade 6 Indique os resultados das equações a seguir. a) 23 2 20­ 1 22 2 21 5 2 ? 2 ? 2 2 1 1 2 ? ?2225821142259 b) (29)2 – 92 5 (–9) ? (–9) – (9 ? 9) 5 81 – 2 81 5 0 52 5?5 5 25 5 80 1

MANUAL DO PROFESSOR

Nos itens a e c é importante os alunos utilizarem a propriedade da potenciação em que todo número elevado a zero é igual a 1. No item b, para a correta resolução da atividade, o aluno deve observar o uso dos parênteses e perceber que (29)2 é diferente de 292. Atividade 7 Qual é o dobro de 240? E qual é o triplo de 325?

O aluno deve deduzir que para um número dobrar seu valor é necessário multiplicá-lo por 2, e para triplicá-lo, deve ser multiplicado por 3, logo: O dobro de 2 2 ? 240.

40

pode ser escrito como

Lembrando que: 2 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 40

40 vezes

2 ? 240 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2  5 241 41 vezes

O dobro de 240 é igual a 2 ? 240 5 241.

19

254 212 1 15 1 8 1 19 5  10 1 17 1 16 1 6 1 0 5  49  5 254 2 49 5 25 5 32 2 2

c)

Temos:

Podemos utilizar a mesma linha de raciocínio para encontrar o triplo de 325. Sabemos que para triplicar um valor basta multiplicá-lo por 3; logo, o triplo de 325, pode ser escrito como 3 ? 325. Lembrando que: 325 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ... ? 3 25 vezes

Temos: 3 ? 325 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ... ? 3  5 326 26 vezes

O triplo de 325 é igual a 325 ? 3 5 326 Por meio dessa atividade introduzimos, intuitivamente, uma das propriedades das operações que envolvem potências: ao multiplicarmos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes.

Para saber mais • Sugerimos assistir aos vídeos da série Introdução à notação científica, que conceituam notação científica, abordam sua finalidade e dão alguns exemplos de conversões. Disponíveis em: (acesso em: abr. 2015).

Capítulo 5 – Radiciação: raiz quadrada Objetivos do capítulo • Associar a raiz quadrada à medida do lado de um quadrado com base em sua área. • Calcular a raiz quadrada de um número natural pela decomposição em fatores primos.

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Por meio da questão introdutória da página 51: Você acha que a calculadora é um equipamento importante? Por quê?, investigue os conhecimentos e impressões dos alunos acerca da utilização da calculadora como instrumento pedagógico e seu uso no cotidiano. As explorações sobre o tema mostram a radiciação como a operação inversa da potenciação, propriedade que será retomada na resolução de equações, como: x 4 5 256 ⇒ 4 ⇒ x 5 √ 256  5 4. O mesmo conceito é apresentado com relação à medida da área de um quadrado qualquer e a medida de seu lado. Caso julgue conveniente, com base no questionamento: Como podemos determinar a raiz quadrada de 40 em uma calculadora que não tenha a função raiz quadrada? da mesma página, converse com os alunos sobre os diferentes métodos para obtenção da raiz quadrada. A seguir apresentamos o método conhecido como algoritmo da raiz quadrada, que é um pouco trabalhoso, mas muito interessante, e pode ser utilizado com as operações de subtração, multiplicação e divisão. Sugerimos o uso da calculadora para auxiliar nos cálculos aritméticos. 1º passo) O primeiro passo requer que o radicando seja separado de dois em dois algarismos da direita para a esquerda e o último grupo pode conter um único algarismo. Em nosso exemplo, não será necessário dividir o radicando em grupos de dois algarismos, pois ele contém so­mente dois algarismos.

√ 40   º passo) Extrai-se a raiz quadrada exata 2 ou com aproximação do primeiro grupo à esquerda; teremos então o primeiro alga­ rismo da raiz. Assim, para √ 40  tem-se 6, pois 36 é o maior quadrado obtido menor que 40, conforme indicamos a seguir, à direita do radicando.

√ 40 

6

 º passo) Subtrai-se do primeiro grupo à 3 esquerda do radicando (40) o quadrado do primeiro algarismo da raiz (62 5 36), obtendo o primeiro resto (40 2 36 5 4).

√ 40 

6

236  1º resto

04 

 º passo) Como queremos maior aproxi­ 4 mação do valor da raiz quadrada de 40, acrescentamos um grupo de dois algaris­ mos iguais a zero à direita do primeiro resto, obtendo assim o número 400.

√ 40 

6

236  1º resto

04 00 

 º passo) Dobra-se a raiz obtida (2 3 6 5 12) 5 e escreve-se abaixo da raiz.

1º resto

√ 40 

6

236 

12

04 00 

 º passo) Divide-se o primeiro resto (400) 6 pelo dobro da raiz encontrada (12) e toma-se o primeiro algarismo à esquerda (3) do valor obtido na divisão (400 ÷ 12  33,333...). Acrescenta-se esse valor à direita do número 12 (123) e efetua-se a multiplicação, também por 3, como mostrado a seguir.

1º resto

√ 40 

6

236 

123 3 3 5 369

04 00 

7 º passo) Subtraímos o valor obtido na multi­plicação (369) de 400. Calculamos, assim, o segundo resto e acrescentamos o valor 3 à raiz.

√ 40 

63

236 

123 3 3 5 369

1º resto

04 00  203 69 

2º resto

00  31

 º passo) Como desejamos mais uma 8 casa de precisão, acrescentamos dois algarismos zero à direita do segundo resto

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas explorações

313 313 pom8_mp_302_333_especifica.indd 313

6/2/15 10:52 AM

(3 100), copiamos o valor 12 e dobramos o último algarismo encontrado (3) e obtemos o número (126), dividimos 3 100 por 126 (3 100 4 126  24,603), pegamos o primeiro algarismo do resultado da divisão (2) e posicionamos à esquerda de 126 (1 262). Agora efetuamos a multiplicação por 2 (1 262 × 2 5 2 524) e, em seguida, calculamos o valor do terceiro resto (3 100 2 2 524 5 576), repetimos o 4º, 5º, 6º e 7º passos quantas vezes forem necessárias para obtermos maior precisão para o valor da √ 40. 6,324 123 3 3 5 369 1262 3 2 5 2 524 12 644 3 4 5 50 576

A raiz quadrada de 10 está entre 3 e 4, pois 32 5 9 e 4 2 5 16, podemos então aumentar o número de casas decimais, com o objetivo de calcular valores mais próximos para a raiz de 10: 3,12 5 9,61 3,22 5 10,24 Vemos que 3,1 é o valor mais próximo para a raiz quadrada de 10; vamos melhorar a precisão desse valor aumentando mais uma casa decimal.

Assim, temos que a √ 40 com três casas de aproximação é 6,324. Veja a seguir outro exemplo para obtenção da raiz quadrada de 15 625 pelo método do algoritmo da raiz quadrada. Obs.: resto igual a zero indica a obtenção de uma raiz exata.

3,112 5 9,6721 3,122 5 9,7344 3,132 5 9,7969 3,14 2 5 9,8596 3,152 5 9,9225 3,162 5 9,9856 3,172 5 10,0489 Agora temos que 3,16 é o valor mais próximo para a raiz quadrada de 10; vamos melhorar a precisão desse valor aumentando mais uma casa decimal. 3,1612 5 9,991921

√ 40  1º resto 2º resto 3º resto 4º resto

236  04  00  203  69  00 31 00 225 24  05 76 00 205  05  76 00 70 24

√ 01.56.25 125

201  22 3 2 5 44 00.56 245 3 5 5 1 225 244 2º resto 12.25 212.25 3º resto 00.00 1º resto

MANUAL DO PROFESSOR

Caso julgue conveniente, explore com os alunos a possibilidade de se obter melhores aproximações para o valor da raiz quadrada de 40. Para isso, é necessário encontrar valores mais próximos para a raiz quadrada de 10. A seguir, uma sugestão de abordagem do tema.

Assim, temos que a √ 15 625 com três casas de aproximação é 125. Com base no item Raiz quadrada: cálculo pela decomposição em fatores primos, página 54, sugerimos recalcular o valor da √ 40, utilizando o método da decomposição de fatores primos. 40 20 10 5 1

2 2 2 5

√ 40  5 √ 22 3 21 3 51  5 2√ 10

3,1622 5 9,998244 3,1632 5 10,004569 Temos então o valor da √ 10 com três casas decimais de precisão, 3,162. Vamos recalcular o valor da raiz quadrada de 40, obtendo melhor aproximação para seu valor:

√ 40  5 √ 22 3 21 3 51  5 2√ 10 5 5 2 3 3,162 5 6,324 É importante os alunos compreenderem que fazer aproximações e estimativas é uma forma de se aproximar do valor real, por exemplo, de uma medida. Caso julgue conveniente, reforce a importância de obter valores precisos ao trabalhar com ângulos para localização de objetos que estejam a longas distâncias.

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Outras atividades 1. Encontre os valores solicitados e depois organize-os em ordem decrescente. a) Medida do lado de um quadrado de área 25 cm2. b) Metade da medida do lado de um quadrado de área 50 cm2. c) O dobro da medida do lado de um quadrado de área 81 cm2. d) Medida do lado de um quadrado de área de 250 cm2. a) 5 cm

b) 2,5√ 2 cm



c) 18 √ 10 cm



d) 5 cm



Em ordem decrescente: c); d); a); b).

2. a) S abendo que a medida da diagonal de um quadrado é igual a √ , 2 1 , 2, preencha a tabela a seguir. Medida Medida da Medida da diagonal dividida Quadrado do lado diagonal pela medida do lado (utilize (cm) (cm) três casas decimais)

a

5

b

11

c

18

d

21

e

25

f

45

Medida Medida do da Quadrado lado diagonal (cm) (cm)

Medida da diagonal dividida pela medida do lado (utilize três casas decimais)

a

5

7,07107

1,414

b

11

15,55635

1,414

c

18

25,45584

1,414

d

21

29,69848

1,414

e

25

35,35534

1,414

f

45

63,63961

1,414

b) Conforme a tabela anterior, todos os valores obtidos pela divisão da medida da diagonal pela medida do lado do quadrado são iguais a, aproximadamente, 1,414. Dos números irracionais que você já estudou, qual deles representa esse valor? √ 2 c) Com base no valor obtido no item b, crie uma fórmula para calcular o valor da diagonal de um quadrado com base no valor da medida de seu lado. Como a medida da diagonal de um quadrado dividida pela medida de seu lado é igual a √ 2 , temos: d 5 medida da diagonal do quadrado , 5 medida do lado do quadrado d 5 √ 2 , Logo: d 5 ,√ 2 d) Por meio da fórmula enunciada no item a, d 5 √ ,2 1  ,2 , você conseguiria obter a mesma fórmula do item c? d 5 √ ,2 1 ,2  5 √ 2 ? ,2  5 ,√ 2  Sim.

Algumas resoluções Apresentamos aqui a resolução da atividade 9 sobre o conceito de raiz quadrada (cálculo pela decomposição em fatores primos), da seção Agora é com você da página 56.

MANUAL DO PROFESSOR

A notação científica é amplamente utilizada em várias áreas de conhecimento. Com base no conteúdo explorado sobre esse tema na seção Conexões da página 57, proponha uma pesquisa em que os alunos busquem em jornais, revistas ou na internet informações em que essa notação seja empregada. Peça aos alunos que socializem os dados coletados e, ao final, monte com eles um quadro resumo com as informações, ressaltando, assim, a importância desse tipo de representação numérica para outras áreas de conhecimento.

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Atividade 9 a) 361 361 19 19 19 1



√ 361  5 √ 192  5 19

Sim. b) 450 450 225 75 25 5 1



2 3 3 5 5

√ 450  5 √ 21 3 32 3 52  5 3 3 5 3 √ 2  5 5 15√ 2 

Não. c) 1 000 1000 2 500 2 250 2 125 5 25 5 5 5 1



√ 1 000  5 √ 23 3 53  5 2 3 5 3 √ 2 3 5  5 5 10√ 10

MANUAL DO PROFESSOR

Não. d) 1 600 1 600 2 800 2 400 2 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1



√ 1 600  5 √ 26 3 52  5 23 3 5 5 40

Sim.

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo (Potência e Raízes) Matemática – Novo Telecurso – Ensino Fundamental – Aula 53. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Sugerimos o acesso à dissertação Alguns métodos interessantes de extração e aproximação da raiz quadrada, de Rubens Oliveira de Sousa, que apresenta os diferentes métodos para obtenção da raiz quadrada e suas respectivas demonstrações. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Capítulo 6 – Tratamento da informação: análise combinatória – Princípio fundamental da contagem Objetivos do capítulo

• Explorar e conceituar o princípio fundamental da contagem. • Relacionar a contagem com questões cotidianas.

Algumas explorações Para o estudo de probabilidade, um dos principais conceitos prévios que se espera do aluno é a análise combinatória. Nessa seção abordamos parte desse assunto: o princípio fundamental da contagem e algumas aplicações com números de telefones e placas de veículos. Você pode solicitar aos alunos que comparem a quantidade de números de telefones possíveis com, por exemplo, a quantidade de pessoas no Brasil. Uma indagação que você pode fazer com base nessa reflexão é: Por que foi necessário o acréscimo do algarismo 9 ao número do celular em algumas localidades do país?

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Atividade resolvida Apresentamos a seguir a resolução da atividade 3 da página 60 da seção Agora é com você. Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas com o prefixo 543, em que os telefones têm 7 algarismos (p. ex.: 543-0000). Para resolver essa questão é preciso identificar que há 4 variações possíveis: 3

3

3

 .

E para cada variação podemos ter 10 algarismos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Logo, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de linhas é: 10 ? 10 ? 10 ? 10 5 10 000

Para saber mais • Sobre mudanças no sistema de emplacamento de carros de países que pertençam ao Mercosul, acesse os endereços a seguir. Disponíveis em: e . Acessos em: abr. 2015.

Unidade 3 – Geometria: triângulos Objetivos da unidade • Conceituar congruência entre segmentos e congruência entre ângulos. • Retomar ângulos entre duas retas concorrentes.

• Obter relações entre ângulos formados numa reta transversal quando interceptada por duas retas paralelas. • Obter o ponto médio de um segmento. • Classificar triângulos tendo como referência as medidas dos lados. • Classificar triângulos tendo como referência as medidas dos ângulos i­nternos. • Enunciar o teorema de desigualdade triangular. • Obter a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. • Obter a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo. • Resolver problemas relacionados às medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo. • Conceituar congruência de triângulos. • Identificar os casos de congruência de triângulos. • Obter o ponto médio de um segmento.

Capítulo 7 – Segmentos, ângulos e retas Objetivos do capítulo

• Conceituar congruência entre segmentos e congruência entre ângulos. • Retomar ângulos entre duas retas ­concorrentes. • Obter relações entre ângulos formados numa reta transversal quando interceptada por duas retas paralelas. • Obter o ponto médio de um segmento.

Algumas explorações No item Segmentos, ângulos e retas, nas páginas 66 a 68, revisamos esses conceitos já estudados anteriormente. É importante verificar os conhecimentos prévios dos alunos acerca dos objetos matemáticos (propriedades e representações), bem como a correta utilização dos instrumentos para construção e medição (régua, esquadros, compasso e transferidor). Caso seja necessário, retome esses conteúdos.

MANUAL DO PROFESSOR

Outra sugestão é comparar a relação entre a quantidade de placas de veículos e a quantidade de pessoas do Brasil e, junto com essa problematização, levantar uma nova questão: Qual é atualmente o número de placas expedidas no Brasil? Qual pode ser a previsão desse número para daqui a 10 anos? Por quê? É interessante os alunos refletirem sobre questões do cotidiano e a importância da coleta e do tratamento desses dados.

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O texto desenvolvido nas páginas 78 e 79, da seção Bagagem cultural, pode ser explorado em sala de aula com as disciplinas de História e Geografia. Sugira a leitura e peça aos alunos que pesquisem a causa da inclinação de algumas construções conhecidas, como o Big Ben em Londres, ou mesmo as construções em Santos mencionadas no texto.

Outras atividades Apresentamos a seguir uma atividade que explora o conceito de ângulos em retas paralelas cortadas por uma transversal. 1. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais externos cujas medidas, em graus, são dadas por 3x 1 20° e 2x – 15°. Calcule a medida desses ângulos. Sendo os ângulos colaterais externos, sua soma resulta em 180°; assim, temos: 3x 1 20° 1 2x – 15° 5 180° 5x 1 5° 5 180°

MANUAL DO PROFESSOR

5x 5 180° – 5° 5x 5 175° 175° x5 5 x 5 35°

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de segmentos e ângulos congruentes com base nas atividades da seção Agora é com você da página 69. Atividade 2 C B A

a) A medida do segmento AC é igual a: AC 5 AB 1 BC AC 5 3 1 5 5 8 cm b) A diferença entre as medidas dos segmentos AC e AB é igual a:

AC – AB 5 8 – 3 5 5 cm

c) Pretende-se, nesse item, que os alunos interpretem de forma crítica os enunciados dos problemas propostos e, por meio de argumentação, expressem seus conhecimentos de forma coerente, mesmo quando deparados com atividades sem resposta. Resposta: não é possível determinar o tamanho de uma reta, pois ela é infinita. Atividade 3 Para solucionar essa atividade é exigida a correta interpretação de seu enunciado. Caso julgue conveniente, peça aos alunos que representem a construção de acordo com sua descrição para facilitar a visualização do procedimento e obter o resultado. Conforme o enunciado, temos:

Sabendo o valor de x, podemos calcular o valor dos ângulos: 3x 1 20° 5 3 ? 35° 1 20° 5 105° 1 20° 5 125° 2x – 15° 5 2 ? 35° – 15° 5 70° – 15° 5 55°

Resposta: os ângulos têm medidas iguais a 55° e 125°.

r Ilustrações: DAE

Na página 67 é proposta a construção do ponto médio de um segmento utilizando como recurso a dobradura. Caso julgue conveniente, questione os alunos sobre como eles verificariam se o ponto indicado é o ponto médio do segmento. Com essa proposta pretende-se verificar os conhecimentos deles relacionados ao uso adequado dos instrumentos de construção e medição para validação do método utilizado.

A

M

B

N

C

r

A medida do segmento MN é igual à medida de MB somada à medida de BN. Como M é o ponto médio do segmento AB, cuja medida é igual a 3 cm, MB mede 1,5 cm.

318 pom8_mp_302_333_especifica.indd 318

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Como BC mede 5 cm e N é o ponto médio desse segmento, a medida de BN é igual a 2,5 cm, logo, a medida de MN é igual a: MN 5 MB 1 BN MN 5 1,5 1 2,5 5 4 cm Resposta: a medida do segmento MN é igual a 4 cm. Apresentamos aqui a resolução da atividade 8 e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de ângulos entre duas retas concorrentes, com base nas atividades da seção Agora é com você da página 73.

com uma transversal, com base nas atividades da seção Agora é com você da página 77. Atividade 14 Caso julgue conveniente, peça aos alunos que socializem as estratégias utilizadas para resolução dessa atividade e as propriedades envolvidas; em seguida, explore-as com a turma. 15° r a

Atividade 8

Ilustrações: DAE

120°

s

b

r

Podemos verificar pela figura que a 5 5 x 1 15° e que x 1 b 5 90°. Como b 1 120° 5 5 180°, temos que b 5 60°, logo, o valor de x é igual a 30°. Sabendo o valor de x podemos determinar o valor de a 5 x 1 15°, pois a 5 5 x 1 15° 5 30° 1 15° 5 45°.

85°

s

a) A medida do ângulo colorido que está indicado na figura.

Ângulo raso 5 180°.

b) A medida de x. 5x 1 40 1 85 5 180 5x 5 180 – 85 – 40 5x 5 55 x 5 55 ÷ 5 x 5 11° c) As medidas dos ângulos formados pelas retas concorrentes r e s. 85 1 40 5 125° e 5x 5 5 × 11 5 55° Apresentamos a seguir algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de ângulos de duas retas paralelas

a) A medida do ângulo indicado pela letra a. 45° b) A medida do ângulo indicado pela letra b. 60° Atividade 11 Caso julgue conveniente, sugerimos a mesma proposta de discussão da atividade 14. t

118°

20°

r

y x

a) x 1 20° 5 118°

x 5 118° 2 20°



x 5 98°

u

MANUAL DO PROFESSOR

40° 5x

b) x 5 y, logo y 5 98°

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• Sugerimos assistirem ao vídeo Ângulos formados por retas paralelas e transversais, que aborda esses conceitos. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Por meio do site a seguir é possível acessar um transferidor virtual, com a possibilidade de manipulá-lo. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Capítulo 8 – Triângulos Objetivos do capítulo • Classificar triângulos tendo como referência as medidas dos lados. • Classificar triângulos tendo como referência as medidas dos ângulos internos. • Enunciar o teorema de desigualdade triangular.

Algumas explorações

MANUAL DO PROFESSOR

Na introdução desse capítulo é trabalhada a rigidez do triângulo e suas aplicações. Se possível, faça o Trabalho em equipe sugerido na página 80 para que os alunos explorem de forma concreta essa característica.

medidas dos lados sejam válidas, cada lado deve conter um valor dentro de determinado intervalo, conforme explicado a seguir. Sendo ABC um triângulo e a, b e c a medida de seus lados temos, de acordo com o teorema de desigualdade triangular: |b 2 c| , a , b 1 c |a 2 c| , b , a 1 c |a 2 b| , c , a 1 b Obs.: Os alunos já estudaram em unidades anteriores o conceito de módulo; caso seja necessário, retome esse conteúdo.

Outras atividades Apresentamos aqui duas atividades para construção de dois triângulos especiais, equilátero e isósceles, por meio de dobraduras. Ao final, peça aos alunos que validem as propriedades das duas construções. As ­atividades a seguir constam no documento Aprendendo Geometria com Origami, de L ­ uciana Leroy (Belo Horizonte, 2010, p. 40), disponível em: (acesso em: abr. 2015). Material necessário: folha de papel, se possível colorido. Construção de um triângulo equilátero 1. Trace uma reta qualquer e marque sobre ela os pontos A e B. Ilustrações: DAE

Para saber mais

Nas páginas 81 e 82 é enunciada a classificação dos triângulos de acordo com a medida de seus lados e ângulos. Recomendamos fazer as propostas de atividades da seção Outras atividades deste manual, para que os alunos construam alguns triângulos especiais explorando essas classificações. Na seção Conexões, página 82, é enunciado o teorema de desigualdade triangular. Sugerimos a você explorar a noção de intervalo de valores com os alunos porque, na construção de um triângulo, para que as

B A

320 pom8_mp_302_333_especifica.indd 320

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Ilustrações: DAE

2. Construa a mediatriz do segmento AB.

B A

3. Faça uma dobradura levando o ponto B sobre a mediatriz, de tal forma que a dobradura passe por A. Marque o ponto C na interseção de B com a mediatriz.

C 5 B

B A

C

B A

MANUAL DO PROFESSOR

A

321 321 pom8_mp_302_333_especifica.indd 321

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Ilustrações: DAE

4. Note que pela dobradura anterior, AC é congruente a AB. Como C está na mediatriz de AB, então esse ponto equidista de A e B; logo, AC é congruente a BC.

C

B

A

5. Resultado: como AB 5 BC 5 AC, o triângulo ABC construído é um triângulo equilátero. Construção de um triângulo isósceles 1. Trace uma reta qualquer e marque sobre ela os pontos A e B.

B A

MANUAL DO PROFESSOR

2. Construa a mediatriz do segmento AB.

B A

322 pom8_mp_302_333_especifica.indd 322

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1)

C

2)

Ilustrações: DAE

3. Marque um ponto C na mediatriz. Faça uma dobradura passando por B e C ao mesmo tempo e outra passando por A e C ao mesmo tempo. Desdobre.

Dobre e desdobre.

folha de papel

3)

4)

B A

Com o auxílio de uma régua e lápis, faça o traço indicado.

5)

6)

C Desdobre.

7)

8)

B

4. Resultado: sobrepondo os segmentos AC e BC eles coincidirão, portanto os lados AC e BC têm a mesma medida. Como AC 5 CB , o triângulo ABC é isósceles. Apresentamos a seguir duas atividades para construção de dois triângulos especiais, equilátero e isósceles, por meio de dobradura e recorte. Ao final da atividade, peça aos alunos que validem as propriedades das duas construções.

Dobre.

9)

Com o auxílio de uma régua e lápis, faça o traço indicado. 10)

Desdobre.

11)

12)

Materiais necessários: folha de papel, régua, lápis, borracha, cola e tesoura. Construção de um triângulo equilátero 1. Para a construção do triângulo equilátero, siga os passos indicados a seguir.

Recorte nas linhas traçadas.

triângulo equilátero

MANUAL DO PROFESSOR

A

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Construção de um triângulo isósceles 2. Para a construção do triângulo isósceles, siga os passos indicados a seguir. 2)

3)

4)

Ilustrações: DAE

1)

Dobre e desdobre.

Dobre, cole e depois vire.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre os conceitos de triângulos: classificação quanto aos lados e ângulos e desigualdade triangular, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 83 a 85. Atividade 2 Essa atividade apresenta mais de uma solução. Pela desigualdade triangular, podemos determinar um intervalo válido para as soluções, conforme demonstrado a seguir. Chamaremos de a e b os lados de medidas iguais e c o terceiro lado. |a 2 b|  c  a 1 b |8 2 8|  c  8 1 8 0  c  16

MANUAL DO PROFESSOR



Resposta: para que seja possível a construção de um triângulo isósceles com dois lados iguais a 8 cm, a medida do terceiro lado deve ser maior que zero e menor que 16 cm. Atividade 11

Por se tratar de um triângulo equilátero as medidas de seus lados são iguais, logo: x 1 4 5 4x 22 5 y Calcularemos inicialmente o valor de x. x 2 4x 5 22 2 4

Dobre e cole.

x5

triângulo isósceles

26

52 23 Conhecendo o valor de x, temos que y é igual a: x 1 4 5 4x 2 2 5 y 214542225y 6565y Resposta: x 5 2 e y 5 6.

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Matemática em toda parte – Construção/Rigidez Triângulos, no qual é explorada a característica da rigidez do triângulo e suas aplicações na construção civil e em objetos do nosso cotidiano. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Assista ao vídeo Teorema de desigualdade triangular. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Mais uma sugestão de vídeo: Matemática – Novo Telecurso – Ensino Fundamental – Aula 40 (Triângulos). Aborda o tema “triângulo”, suas propriedades e classificações. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

2 3x 5 26

324 pom8_mp_302_333_especifica.indd 324

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Capítulo 9 – Soma das medidas dos ângulos de um triângulo Objetivos do capítulo • Obter a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. • Obter a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo. • Resolver problemas relacionados às medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo.

a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo. A atividade foi obtida do documento Aprendendo Geometria com origami, de Luciana Leroy (Belo Horizonte, 2010, pág. 36), disponível em: (acesso em: abr. 2015). Material necessário: folha de papel, se possível, colorido. 1. Construa um triângulo qualquer usando dobraduras. Recorte-o.

Algumas explorações

Na seção Trabalho em equipe do item Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo, da página 91, é proposto aos alunos que justifiquem o motivo pelo qual somente os três polígonos regulares apresen­ erfeita um tados podem formar de maneira p mosaico geométrico plano ou ladrilhamento (utilizando somente um tipo de polígono). Caso julgue conveniente, trabalhe com o material concreto Mosaico G ­ eométrico, para os alunos manipularem outros polígonos e verificarem essa propriedade. Objeto

Outras atividades

C

C

Obs.: se o triângulo construído tiver um ângulo obtuso, nomeie o vértice desse ângulo de ponto A. 2. Construa a altura em relação ao vértice A. A

B O

C

3. Faça uma dobradura coincidindo o ponto A com o ponto O.

B

educacional digital

Apresentamos uma atividade com dobradura que possibilitará aos alunos comprovar

B

B

O5A

MANUAL DO PROFESSOR

Na página 87 é apresentada uma prova geométrica, realizada por meio de conceitos já conhecidos pelos alunos, para a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer. É importante mostrar aos alunos que a Matemática é uma ciência e que, para uma propriedade matemática ser considerada verdadeira, é preciso haver uma prova, ou demonstração, que seja aceita pela comunidade científica como válida.

A

A

Ilustrações: DAE

Na página 86, propomos um Trabalho em equipe para comprovar concretamente as propriedades da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e de um quadrilátero qualquer. Sugerimos solicitar aos alunos diferentes construções para que comprovem, de fato, essas propriedades.

C

325 325 pom8_mp_302_333_especifica.indd 325

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Ilustrações: DAE

4. Faça uma dobradura coincidindo o ponto B com o ponto O.

a) Determine a medida do ângulo interno B do triângulo ABC. Chamaremos de x a medida do ângulo interno B do triângulo ABC. Pela propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer, temos que:

O5A5B

47 1 90 1 x 5 180 x 5 180 2 47 2 90 x 5 43

C

5. Faça uma dobradura coincidindo o ponto C com o ponto O.

Resposta: 43°. b) Determine as medidas dos ângulos internos B e E do triângulo BDE. Como o ângulo interno B do triângulo BDE é oposto pelo vértice do ângulo calculado no item a, temos que sua medida é igual a 43°. Chamaremos de y o ângulo interno E do triângulo BDE. Pela propriedade da soma dos ângulos internos, temos que:

O5A5B5C

43 1 45 1 y 5 180 Resultado: observe que a união dos ângulos A, B e C formou um ângulo raso; logo, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a um ângulo raso. Repita esse procedimento com diferentes tipos de triângulos para comprovar essa propriedade.

y 5 180 2 43 2 45 y 5 92 Resposta: 43° e 92°. Atividade 10 B 3x 1 12

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas resoluções

x

Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre os conceitos de soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 88 e 89.

A

x 1 33 2

Pela propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer, temos que: 3x 1 12 1

Atividade 7

E

x 1 33 1 x 5 180 2

x 1 x 5 180 2 12 2 33 2 6x 1x 1 2x 5 135 2 9x 5 135 2 2 x 5 135  9 3x 1

C 47˚

A

B

45˚

E

D

x 5 30 Determinamos assim o valor dos demais ângulos:

326 pom8_mp_302_333_especifica.indd 326

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3x 1 12 5 3  30 1 12 5 90 1 12 5 102 x 30 1 33 5 1 33 5 15 1 33 5 48 2 2 Resposta: 30°, 102° e 48°. Apresentamos aqui a resolução da atividade 7 sobre o conceito de soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 91 a 93.

a) o valor de x; x 1 x 1 10 5 110 2x 5 110 2 10 2x 5 100 100 5 50 2 x 5 50° x5

b) as medidas dos ângulos internos desse triângulo; x 1 10 5 50 1 10 5 60 Sendo o outro ângulo suplementar de 110°, temos: 180 2 110 5 70 Resposta: 50°, 60° e 70°. c) as medidas dos ângulos externos desse triângulo. 180 2 50 5 130 Resposta: 120°, 130° e 110°.

Capítulo 10 – Congruência de triângulos • Conceituar congruência de triângulos. • Identificar os casos de congruência de triângulos.

Algumas explorações As páginas 96 e 97 apresentam o conceito de congruência de triângulos. Dois ou mais triângulos são congruentes quando, ao serem comparados, todos os lados e ângulos têm a mesma medida. É importante os alunos perceberem que o primeiro passo para fazer essa comparação é localizar um par de lados ou de ângulos correspondentes, pois nem sempre os triângulos são apresentados na mesma posição. Se possível, peça aos alunos que localizem, entre seus materiais ou na sala de aula, objetos que sejam idênticos. Em seguida, pergunte quais critérios eles usaram para considerar os objetos iguais. Complete falando da importância de realizar medições para validar tal afirmação. Nas páginas 99 e 100 são discutidos os casos de congruência de triângulos. É importante os alunos perceberem que não é necessário conhecer todas as medidas dos lados e ângulos dos triângulos a serem comparados para afirmarmos que são congruentes. Em diversas situações-problemas de ­G eometria nos deparamos com essa ­situação. C ­ onhecer os casos de congruência de triângulos possibilitará encontrar a solução, pois nem sempre todas as medidas são f­ornecidas para que possamos compará-las.

MANUAL DO PROFESSOR

Ilustrações: DAE

110°

Sabendo que a medida de um ângulo externo em um triângulo é igual à soma das medidas dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo considerado, temos que:

180 2 60 5 120

• Sugerimos um site com informações adicionais sobre ladrilhamento, que podem ser exploradas em sala de aula. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Objetivos do capítulo

x110°

x

Para saber mais

327 327 pom8_mp_302_333_especifica.indd 327

6/2/15 10:53 AM

No site a seguir há orientação para fazer construções com o software livre GeoGebra. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

2. Com base na tabela da atividade 2, determine quais são os critérios pelos quais podemos verificar se dois triângulos são congruentes. Espera-se que os alunos apontem os casos de congruência: ALA, LAA0, LLL, LAL. 3. Na figura, os triângulos ABC e BDE são equiláteros. Calcule x sabendo que AE mede 3 cm.

x E 3 cm A



Outras atividades

C

Por serem equiláteros, podemos determinar a medida dos ângulos.

Com essa sequência de atividades pretendemos trabalhar a congruência de triângulos e casos de congruência. Solicitaremos algumas construções, e será necessário o uso de régua, compasso e transferidor. Ou, se você preferir, a atividade pode ser feita com um software de geometria dinâmica.

60°

MANUAL DO PROFESSOR

60°

60° 60° x E

60°

3 cm 60°

A



C

Destacamos os triângulos ABE e CBD. D

B

b) (V) É possível construir um único triângulo sabendo a medida de seu lado e as medidas dos ângulos adjacentes a esse lado.

60°

60°

60° 60°

c) (F) É possível construir um único triângulo conhecendo a medida de dois de seus lados. d) (V) É possível construir um único triângulo conhecendo a medida de três de seus lados.

D

B

1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) os enunciados a seguir. a) (F) É possível construir um único triângulo conhecendo a medida de dois de seus ângulos.

D

B

Ilustrações: DAE

No item b da atividade 3 da seção Trabalho em equipe da página 100, a construção dos triângulos pode ser feita com régua, compasso, esquadros e transferidor. Sigam os passos descritos na seção Conexões das páginas 104 e 105, em que são fornecidas as medidas dos três lados do triângulo para a construção. Para definir os ângulos, oriente os alunos a utilizar o transferidor. É importante considerar também a sequência de cada elemento na construção, por exemplo: no caso de congruência LAL, após definidas as medidas dos lados e do ângulo, devemos construir primeiro um lado, depois o ângulo e, em seguida, o outro lado. O mesmo ocorre nos casos ALA e LAA.

x E

60°

3 cm 60°

A

C

328 pom8_mp_302_333_especifica.indd 328

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Sendo o triângulo BDE equilátero, os lados BD e BE são congruentes. Como o triângulo ABC é equilátero, os lados BC e AB são congruentes. Logo, pelo caso LAL, temos que os triângulos CBD e ABE são congruentes; assim, concluímos que o valor de x é igual a 3 cm.

Atividade 13 E

B

2y C

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre os conceitos de casos de congruência de ­triângulos, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 101 a 103. Atividade 7 7 cm

4,16 cm

B

35°

x

z

y

A

D

Como os triângulos são congruentes, temos que: AB congruente a ED, então, 2y 5 36 cm e CA congruente a CE; então, 4x 5 24 cm; logo, desenvolvendo as equações, temos: y mede 18 cm e x mede 6 cm.

Para saber mais

105°

C

D

4x

40° E

Como os triângulos são congruentes, temos que: a) a medida do lado CE: CE é congruente a AC; logo, mede 4,16 cm; b) a medida do lado DE: DE é congruente a AB; logo, mede 7 cm; c) a medida do ângulo x: o ângulo x é congruente ao ângulo de 40°; logo, tem a mesma medida; d) a medida do ângulo y: o ângulo y é congruente ao ângulo de 35°; logo, tem a mesma medida; e) a medida do ângulo z: o ângulo z é oposto pelo vértice ao ângulo de 105°; logo, tem a mesma medida.

• Propomos o endereço a seguir, que dá acesso a uma série de vídeos sobre o tema Congruência de triângulos. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Unidade 4 – Álgebra: cálculo algébrico Objetivos da unidade • Retomar expressões algébricas e o valor numérico de uma expressão algébrica. • Reduzir a termos semelhantes. • Definir polinômios de uma variável. • Efetuar a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão entre polinômios de uma variável. • Relacionar o estudo de gráficos com questões trabalhistas, educacionais e socioeconômicas. • Abordar a utilização de gráficos em documentos oficiais. • Analisar gráficos que contenham diversas informações.

MANUAL DO PROFESSOR

A

Ilustrações: DAE



329 329 pom8_mp_302_333_especifica.indd 329

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Capítulo 11 – Expressões algébricas Objetivos do capítulo • Retomar expressões algébricas e o valor numérico de uma expressão algébrica. • Reduzir a termos semelhantes. • Definir polinômios de uma variável.

Algumas explorações

Algumas resoluções

O texto e as questões introdutórias sobre Álgebra: cálculo algébrico das páginas 112 e 113, destacam a generalização de padrões como a base para o estudo desse conteúdo, bem como sua aplicação em outras áreas de conhecimento.

Apresentamos a seguir algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de expressão algébrica e valor numérico, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 117 e 118.

mos o mesmo valor numérico com ambas as expressões: 1  xy  xy  2xy e 3,5xy. Chame a 2 atenção deles para o fato de que a segunda está na forma reduzida, resultado do agrupamento de termos semelhantes. Na seção Conexões da página 121 discutimos a utilidade de cálculos algébricos, tendo como exemplo o consumo de energia em função do consumo em watts de um aparelho elétrico. Essa relação é representada por uma fórmula; logo, esse é um exemplo prático de generalização por meio de expressões algébricas presente no cotidiano.

Atividade 2 b) Escreva uma expressão algébrica que represente a área desse retângulo. DAE

Nas páginas 114 a 116 são discutidos os termos utilizados em expressões algébricas e a identificação de cada elemento que as compõem. É importante desenvolver em sala de aula o uso correto da linguagem matemática. Nas páginas 119 e 120 é trabalhado o conceito de termos semelhantes. Julgamos importante que os alunos compreendam e identifiquem os termos semelhantes de uma expressão algébrica, pois esse conhecimento é necessário para realização de cálculos algébricos. Ao efetuarmos cálculos algébricos, agrupamos os termos semelhantes, com o objetivo de obter a mesma expressão, mas em forma reduzida, facilitando, assim, os cálculos. Caso julgue conveniente, com base no exemplo 2 da página 120, mostre aos alunos que ao atribuirmos valores para as variáveis x e y obte-

MANUAL DO PROFESSOR

Incentive os alunos a realizar o Trabalho em equipe da página 124 do item Polinômios de uma variável. Inicie com sequências simples e, aos poucos, proponha estruturas mais complexas, porque esse tipo de atividade explora o principal aspecto para desenvolvimento do pensamento algébrico: a capacidade de criar generalizações com base na observação de padrões.

4x 2 3

4x 1 3

(4x 1 3)  (4x 2 3) 5 16x2 2 12x 1 12x 2 9 5 5 16x2 2 9 Resposta: 16x²  9 Atividade 7 Recomendamos que os alunos respondam a essa questão com uma justificativa matemática, ou seja, basta desenvolver o termo (x 1 y)2 para observar que se trata da mesma expressão. (x 1 y)2 5 (x 1 y)  (x 1 y) 5 x2 1 xy 1 xy 1 1 y2 5 x2 1 2xy 1 y2 Apresentamos aqui a resolução da atividade 1 sobre o conceito de termos semelhantes, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 121 e 122.

330 pom8_mp_302_333_especifica.indd 330

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Ilustrações: DAE

Atividade 1

situação, pois desenvolverá um olhar crítico para as situações-problemas propostas.

Novembro 2016 Seg

Sáb Dom

Camila vende doces para festas por R$ 65,00 o cento e salgadinhos por R$ 53,00 o cento.

Ter

Qua

Qui

Sex

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

65x 1 53y

14

15

16

17

18

19

20

Onde:

21

22

23

24

25

26

27

x 5 quantidade do cento(s) de doces

28

29

30

y 5 quantidade do cento(s) de salgadinhos Se uma pessoa comprar 4 centos de salgadinhos e 5 centos de doces, quanto gastará? Essa quantidade de alimentos será suficiente para os convidados?

Dezembro 2016 Seg

Ter

Qua

Que expressão generaliza o custo de uma encomenda com Camila?

Sáb Dom

Qui

Sex

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

Arrecadação 1ª semana: x Arrecadação 2ª semana: 2x Arrecadação 3ª semana: 2  2x 5 4x Arrecadação 4ª semana: 2  4x 5 8x

65  5 1 53  4 5 325 1 212 5 537 Não é possível responder ao segundo questionamento, pois não há dados suficientes.

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Telecurso – Ensino Fundamental – Matemática – Aula 61, que trata de nomenclaturas próprias e aplicações práticas de expressões algébricas na Geometria. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Arrecadação 6ª semana: 2  16x 5 32x Arrecadação total: x 1 2x 1 4x 1 8x 1 1 16x 1 32x 5 63x Apresentamos aqui a resolução da atividade 5 sobre o conceito de polinômios de uma variável, com base nas atividades da seção Agora é com você da página 125. Atividade 5 Essa atividade explora a aplicação dos conhecimentos sobre a criação de generalizações pela observação de um padrão de uso cotidiano, e traz o enunciado de um problema sem solução por insuficiência de dados. É importante o aluno encontrar esse tipo de

Capítulo 12 – Operações com polinômios de uma variável Objetivo do capítulo • Efetuar adição, subtração, multiplicação e divisão entre polinômios de uma variável.

Algumas explorações As operações de adição e subtração de polinômios são feitas por agrupamento de termos semelhantes. As principais dificuldades encontradas pelos alunos costumam estar relacionadas à manipulação correta

MANUAL DO PROFESSOR

Arrecadação 5ª semana: 2  8x 5 16x

331 331 pom8_mp_302_333_especifica.indd 331

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dos sinais (1 e –) nas operações de soma e subtração, e à organização ao fazer o agrupamento dos termos semelhantes. É preciso incentivá-los a fazer cálculos de forma organizada: primeiro agrupar os termos semelhantes e posteriormente reduzi-los a um único termo para se obter o resultado correto das operações. Na seção Trabalho em equipe da página 131 peça aos alunos que compartilhem as estratégias utilizadas para encontrar o polinômio que represente a área correspondente à parte colorida da figura do item 1. Essa é uma oportunidade importante para esclarecimento de dúvidas, validação das estratégias utilizadas pelos alunos e institucionalização. No item Divisão de polinômios das páginas 135 a 137, são abordados, por meio de exemplos, os procedimentos para a operação de divisão de monômios, polinômios e entre polinômios e monômios. Para facilitar o entendimento dos alunos, inicie com os casos mais simples e aumente o grau de complexidade à medida que for verificada a compreensão dos alunos no decorrer do desenvolvimento das atividades propostas.

Outras atividades Propomos aqui uma atividade que irá explorar a multiplicação e divisão de polinômios por meio do material manipulável Algeplan. A base desse material são peças que representam os monômios por meio da área de retângulos. O Algeplan é um material manipulativo usado para auxiliar no ensino de operações com polinômios, expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração. Caso não tenha o material concreto Algeplan, é possível confeccioná-lo em cartolina, papel-cartão ou papelão. A seguir apresentamos as peças para confecção e suas respectivas representações algébricas. x Ilustrações: DAE

y

y x

x

MANUAL DO PROFESSOR

y

Área 5 x2

Área 5 y2

Área 5 xy

1

1 x y

1 1

Área 5 x

Área 5 y

Área 5 1

332 pom8_mp_302_333_especifica.indd 332

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Obs.: lembramos que a medida da área representa o valor da peça.

Ilustrações: DAE

As mesmas peças devem ser confeccionadas na cor preta para representar os valores negativos. x y

y x

x y

Área 5 x2

Área 5 y2

Área 5 xy

1

1 x y

1 1

Área 5 x

Área 5 y

Área 5 1

Antes de iniciar a atividade, após os alunos compreenderem o valor atribuído a cada peça, sugerimos apresentar alguns exemplos para ajudá-los a aprender a manipular o material. Exemplo 1: multiplicação do polinômio: 2y  (2x 1 3).

2y

1444444444442444444444443 4xy 1 6y

Observe que os fatores são representados na horizontal e na vertical, a multiplicação é executada peça a peça, e o resultado final é a soma de todas as peças. Logo, 2y  (2x 1 3) 5 5 4xy 1 6y.

MANUAL DO PROFESSOR

2x 1 3

333 333 pom8_mp_302_333_especifica.indd 333

6/2/15 10:53 AM

Exemplo 2: divisão do polinômio:

b) (2y 1 2)  (3y 1 1) 5 6y 2 1 8y 1 2

(x2 1 2x 1 1)  (x 1 1).

Ilustrações: DAE

2y 1 2 (x 1 1)

(x 1 1)

3y 1 1

Para fazer a divisão devemos montar um retângulo perfeito com as figuras que representam o dividendo, com um dos lados igual ao divisor, encontrando assim o outro lado do retângulo, que é igual ao quociente. Se for necessário acrescentar peças para obter um quadrado perfeito, é preciso tomar o cuidado de acrescentar a mesma quantidade de peças pretas, para não alterar o valor final.

6y2 1 8y 1 2

c) (x 2 2)  (x 1 2) 5 x2 2 4 x2

Multiplicação de polinômios – Algeplan 1. Efetue as multiplicações de polinômios a seguir utilizando o Algeplan. Registre no caderno as operações e os resultados obtidos, depois verifique a validade dos resultados fazendo os cálculos conforme estudado.

x12

a) x  (x 1 1) 5 x2 1 x

MANUAL DO PROFESSOR

x

x2  4

x11

Divisão de polinômios – Algeplan

x2 1 x

2. Efetue as divisões de polinômios a seguir utilizando o Algeplan. Registre no caderno as operações e os resultados obtidos e depois verifique a validade dos resultados fazendo os cálculos conforme estudado.

334 pom8_mp_334_351_especifica.indd 334

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a) (2x2 – 5x – 12) ÷ (2x 13) 5 (x – 4)

Ilustrações: DAE

2x 1 3

x24

Obs.: Para obtermos um quadrado perfeito, foi necessário adicionar três peças de valor x e três peças negativas de valor x, assim manteremos a igualdade. b) (3x2 1 3xy) ÷ (x 1 y) 5 3x 3x

c) (xy 1 y) ÷ (x 1 1) 5 y x11

y

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(x 1 y)

335 335 pom8_mp_334_351_especifica.indd 335

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Algumas resoluções Apresentamos aqui a resolução da atividade 4 sobre o conceito de adição e subtração de polinômios, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 127 e 128.

A 5 2x3 1 1

B 5 4x3 1 2x2 1 6x  1

C 5 x2  4x 1 2

D 5 x4 2 2x3 2 3x

E 5 x2 2 10x 1 3

F 5 5x2 2 x 1 6

a) A 1 B 1 C

2x3 1 1 1 4x3 1 2x2 1 6x 2 1 1 x2 2 4x 1 2 5



5 2x3 1 4x3 1 2x2 1 x2 1 6x 2 4x 1 1 2 1 1 2 5



5 6x3 1 3x2 1 2x 1 2

b) D 1 E 1 F

x4 2 2x3 2 3x 1 x2 2 10x 1 3 1 5x2 2 x 1 6 5 5 x4 2 2x3 1 x2 1 5x2 2 3x 2 10x 2 x 1 3 1 6 5 5 x4 2 2x3 1 6x2 2 14x 1 9

c) A 2 B

2x3 1 1 2 (4x3 1 2x2 1 6x 2 1) 5 5 2x3 1 1 2 4x3 2 2x2 2 6x 1 1 5 5 2x3 2 4x3 2 2x2 2 6x 1 1 1 1 5 5 22x3 2 2x2 2 6x 1 2

d) D 1 E 2 F

x4 2 2x3 2 3x 1 x2 2 10x 1 3 2 (5x2 2 x 1 6) 5 5 x4 2 2x3 2 3x 1 x2 2 10x 1 3 2 5x2 1 x 2 6 5 5 x4 2 2x3 1 x2 2 5x2 2 3x 2 10x 1 x 1 3 2 6 5 5 x4 2 2x3 2 4x2 2 12x 2 3

e) A – C 1 F

MANUAL DO PROFESSOR



2x3 1 1 2 (x2 2 4x 1 2) 1 5x2 2 x 1 6 5 5 2x3 1 1 2 x2 1 4x 2 2 1 5x2 2 x 1 6 5 5 2x3 2 x2 1 5x2 1 4x 2 x 1 1 2 2 1 6 5 5 2x3 1 4x2 1 3x 1 5

Apresentamos a seguir a resolução e algumas explorações da atividade 4 sobre o conceito de multiplicação de polinômios, com base nas atividades da seção Agora é com você das páginas 132 e 133. Nessa atividade poderão ser explorados conhecimentos que envolvem educação financeira no contexto de taxas de juros. Explique aos alunos que as taxas de juros cobradas por bancos e instituições financeiras, em razão de empréstimos e gastos com cartões de crédito ou uso do cheque especial, se não forem bem gerenciadas podem afetar os recursos financeiros usados para o sustento básico de uma família. Sugira uma planilha de controle de gastos e mostre a importância de um bom planejamento financeiro.

336 pom8_mp_334_351_especifica.indd 336

6/2/15 10:54 AM

Atividade 2 Como foi fornecido o valor da área e temos o valor da base, basta efetuar a divisão dos polinômios. A seguir apresentamos a divisão passo a passo. 1o passo: x 2

2 36

2 x2 2 6x

x1 6 x

0 2 6x 2 36 2o passo: x

2 36 x 1 6 2 x2 2 6x x26 2 6x 2 36 2 6x 2 36 16x 1 36 0 Resposta: a altura do retângulo é igual a x 2 6. Atividade 2 Nessa atividade do Trabalho em equipe foram fornecidos os dois termos e procuramos o terceiro. Primeiro efetuaremos a multiplicação dos termos conhecidos, para depois dividir pelo polinômio original (3x 4 – 9x 3 1 6x 2), conforme a seguir: 1o passo: 3x  (x2 2 2x) 5 3x3 2 6x2 2o passo: 23x4 2 9x3 1 6x2 3x3  6x2 23x4 1 6x3 23x3 1 6x2 13x3 2 6x2 0

x21

Resposta: x 2 1 é o terceiro fator desse polinômio.

Para saber mais • Propomos o uso do Algeplan virtual para explorar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios com esse material manipulativo. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Sugerimos a leitura do texto indicado no site a seguir para obtenção de mais informações sobre fatos históricos que envolvem matemática financeira, juros e impostos. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Capítulo 13 – Tratamento da informação: Análise de gráficos Objetivos do capítulo • Relacionar o estudo de gráficos com questões trabalhistas, educacionais e socioeconômicas. • Abordar a utilização de gráficos em documentos oficiais. • Analisar gráficos que contenham diversas informações.

Algumas explorações É interessante, nesse capítulo, dar aos alunos a oportunidade de explorar diferentes gráficos selecionados de documentos oficiais. Com base na análise e problematização dos dados, eles devem ser capazes de construir, gradativamente, opinião crítica sobre os assuntos abordados e, por meio da sociali­ piniões, perceberão zação das hipóteses e o que há diferentes opiniões e olhares sobre um mesmo assunto. É importante promover situações que os levem a opinar, argumentar e registrar opiniões de forma mais sistematizada. Caso seja de interesse, os alunos podem, ainda, fazer pesquisas mais focadas sobre o tema dos documentos de onde os

MANUAL DO PROFESSOR

Apresentamos aqui a resolução e explorações de algumas atividades sobre o conceito de divisão de polinômios com base nas atividades da seção Agora é com você e do Trabalho em equipe da página 137, respectivamente.

337 337 pom8_mp_334_351_especifica.indd 337

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gráficos foram retirados. Essas informações podem embasar a discussão trazendo dados mais concretos e reais. Peça aos alunos que reflitam nas seguintes indagações: É possível, pela análise de um gráfico que contém uma forma de representação de dados, conhecer todas as nuances de uma pesquisa? Qual é a utilidade e funcionalidade de um gráfico? Que informações não podem faltar em um gráfico? Por quê?

Atividades resolvidas

DAE/UFPE

Apresentamos aqui a resolução da atividade 1 da seção Agora é com você da página 142. Distribuição percentual do consumo de energia elétrica no Brasil 7% 9%

14%

Distribuição percentual do consumo de energia elétrica no setor industrial 12% 11% 8%

44% 29%

26% Industrial Comercial Outros

MANUAL DO PROFESSOR

40%

Residencial Público

Metais Alimentos Outros

Química Papel

a) O setor de metais consome 40% de 44% do industrial. Logo, consome 17,60%, que é maior que 14%. Correta. b) O setor público consome 9% e o de alimentos consome 11% de 44%, que vale 4,84%. Correta. c) Os setores químicos e de metais consomem (40% 1 12%) de 44%. Logo, consomem 22,88% (