Projeto Apoema - Matemática - 6º. Ano [2ª. Edição] 9788510054188

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Matemática

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Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne

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6 Matemática

Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne Licenciado em Matemática Doutor em Educação – linha de pesquisa em Educação Matemática Professor da rede particular de ensino

2a edição São Paulo, 2015

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PROJETO APOEMA MATEMÁTICA 6 ANO

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Galdonne, Linos Projeto Apoema matemática 6 / Linos Galdonne. – 2. ed. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Projeto Apoema ; v. 6) Suplementado pelo manual do professor. ISBN 978-85-10-05901-5 (aluno) ISBN 978-85-10-05902-2 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. II. Série. 15-03460

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Imagem de capa Foto: César Oiticica Filho

© Editora do Brasil S.A., 2015 Todos os direitos reservados Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti Supervisão editorial: Erika Caldin Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero Supervisão de revisão: Dora Helena Feres Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete Consultoria técnica: Cristiane Boneto Edição: Rodrigo Pessota Assistência editorial: Edson Ferreira de Souza Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa Apoio editorial: Marilda Pessota Lima Coordenação de revisão: Otacilio Palareti Copidesque: Gisélia Costa e Ricardo Liberal Revisão: Alexandra Resende, Andréia Andrade e Maria Alice Gonçalves Coordenação de iconografia: Léo Burgos Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves Assistência de arte: Samira de Souza Design gráfico: Alexandre Gusmão, José Hailton Santos e Regiane Santana Capa: Patrícia Lino Ilustrações: Alex Argozino, Carlos Caminha, DAE (Departamento de Arte e Editoração), Eduardo Belmiro, Ilustra Cartoon, Marcio Levyman, Paulo César Pereira, Ronaldo Barata, Waldomiro Neto e Zubartez Produção Cartográfica: Sonia Vaz, DAE (Departamento de Arte e Editoração), Simone Soares de Andrade Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos Editoração eletrônica: Estação das Teclas Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado

Hélio Oiticica. Grupo Frente, 1956. Óleo sobre madeira, 67,8 × 117,2 cm.

Hélio Oiticica (1937-1980) nasceu e viveu grande parte da vida na cidade do Rio de Janeiro. Sua obra foi marcada pela inovação e experimentação. Começou a estudar pintura com Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro, em 1954 e, no ano seguinte, iniciou a criação de pinturas geométricas abstratas. As obras Invenções, de 1959, assinalam a transição do artista da tela para o espaço ambiental. Tropicália, de 1967, deu nome ao movimento musical e cultural do mesmo período, o Tropicalismo. Durante a década de 1970 viveu em Nova York, retornando ao Brasil em 1978. Após seu falecimento, em 1980, foi criado o Projeto Hélio Oiticica.

2a edição, 2015

Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br

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Projeto APOEMA matemática 6 ano

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Apresentação

Queremos convidá-lo a estudar Matemática não como uma ciência completamente alheia à realidade e parada no tempo. Ao contrário, o estudo que aqui propomos é dinâmico e pensado para aqueles que desejam de fato compreender como os conceitos e as teorias relacionados a essa disciplina foram elaborados e aplicados. As regras e fórmulas matemáticas que usamos são consequências do estudo dos fenômenos que nos cercam. A Matemática está presente na natureza como a simetria em uma borboleta, no casulo hexagonal de uma colmeia ou na forma poligonal de uma flor. Está, também, nas construções realizadas pelo homem, como nas Pirâmides do Egito, nas estruturas triangulares e até mesmo no uso da tecnologia. Usamos a Matemática quando contamos, fazemos estimativas de medidas ou mesmo em uma simples observação sobre as letras e os algarismos da placa de um automóvel. Compreendê-la, portanto, é ampliar a percepção do mundo que já conhecemos. Esperamos que a vontade de compreender essa ciência, aliada ao desejo de investigação, sejam motivos suficientes para conduzi-lo ao estudo que aqui propomos. Desejamos que, no final, você perceba a Matemática como uma atividade humana repleta de significados e aplicações. Bom estudo! O autor

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Projeto APOEMA matemática - 6 ano

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cOnHeça O seu livrO unidade 4

Formas geométricas planas

Com base nas posições dos ponteiros de um relógio, podemos obter a noção de ângulo. Associamos essa ideia também com a mudança de direção. Aspectos importantes da Geometria Plana estão relacionados ao conceito de ângulo.

Unidade

Anyunos/Shutterstock

No início de cada unidade, há um texto introdutório e perguntas que o motivam a estudar o assunto.

1 O que significa dizer que a bola foi “bem no ângulo” quando um jogador faz um gol? 2 Quantos graus tem um ângulo reto? 3 Quando duas retas são perpendiculares?

Léo Burgos

Título O uso título dos números título título

A brasileira Sarah Menezes ficou em 1o lugar na competição de judô nas Olimpíadas de 2012, em Londres.

No quadro abaixo, indicamos alguns números ordinais:

Números que indicam a velocidade do carro.

Números que indicam o horário.

Números que indicam as rotações do motor.

Capítulo

Números que indicam a quantidade de combustível no tanque.

Números que indicam a quantidade de quilômetros percorrida pelo carro.

Você já olhou com atenção o painel de um automóvel? Nele podemos observar diversas luzes, vários comandos e informações importantes que são representados por números.

MATO GROSSO DO SUL

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a) 3

PARANÁ

Waldomiro Neto

g) 9 h) 10

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Eduardo Belmiro

Zubartez

e) mmc (10; 25) f) mmc (6; 12; 18)

1 000o (milésimo)

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1 000 000o (milionésimo)

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1 000 000 000o (bilionésimo)

L

105

OCEANO ATLÂNTICO 210 km

Capital de estado

Você conhece outras unidades de medida? Quais?

Martinlee58/Dreamstime.com

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Dalibor Sevaljevic/Shutterstock

Estudaremos outras unidades de medida mais adiante. Ao criarmos uma senha, podemos escolher um conjunto de caracteres como letras, sinais e números. Neste caso, o número tem a finalidade específica de codificar. Outros exemplos de números usados como código são os de documentos pessoais, telefone, Código de Endereçamento Postal (CEP), código de barras etc. Empregamos os números com diversas finalidades.

Teclado do caixa eletrônico de um banco.

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g) mmc (10; 15; 30) © Banco Central do Brasil

h) mmc (24; 12; 16)

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a) Pinte de azul todos os quadrinhos que contêm números que são múltiplos de 4.

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b) Marque um X nos quadrinhos que contêm números que são múltiplos de 9.

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8 Copie a tabela em seu caderno e faça o que se pede.

c) Escreva os números que estão nos quadrinhos coloridos de azul e marcados com X. d) O que indicam esses números? e) Qual é o mmc (4; 9)? 9 Responda.

a) Quando o mínimo múltiplo comum de dois números diferentes de zero e distintos entre si é um dos números? b) Qual é o mínimo múltiplo comum dos números 1 e 17?

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Conexões

Toda adição de números naturais está fundamentada em três propriedades: associativa, comutativa e existência do elemento neutro. Na adição de três números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas em ordem diferente que o resultado será o mesmo. Exemplo: 15 + (20 + 13)  (15 + 20) + 13 15 + 33  35 + 13 48  48 Quando se inverte a ordem das parcelas de uma adição, o resultado não se altera. Exemplo: 121 + 79  79 + 121 200  200 Quando se adiciona o número zero a qualquer valor natural, o resultado será o mesmo valor natural, ou seja, o zero não influencia na adição de dois números naturais. Exemplo:

cOneXões A “artemática” indígena

Nessa seção, que aparece ao longo dos capítulos, você terá textos relacionados à história da Matemática, assuntos da realidade, aprofundamento da teoria ou curiosidades geométricas, algébricas e numéricas.

Observe as imagens a seguir. Você já viu objetos parecidos com estes? Lembra-se de onde foi? Fabio Colombini

Sejam quaisquer números a, b e c, que pertençam ao conjunto dos números naturais, temos:

Cestos indígenas com motivos geométricos confeccionados pela aldeia guarani-mbyá.

Esses cestos foram construídos por indígenas do grupo guarani-mbyá, que utilizam tiras de bambu para criar motivos geométricos, entrelaçando várias tiras coloridas. São representadas, nos cestos, diferentes formas geométricas, como losangos, paralelogramos, quadrados ou apenas linhas paralelas, revelando o máximo de cuidado e exatidão no entrelaçamento das tiras, de modo que as figuras fiquem o mais semelhante possível. Observando com atenção, percebemos que em um mesmo cesto há a repetição de uma mesma forma, ou seja, os mbyás representam motivos geométricos semelhantes em um cesto, mas os diferenciam em outros. É comum utilizarem sempre segmentos paralelos nas construções e, se o desenho escolhido for um losango, por exemplo, ele será feito dentro de outro losango, que estará dentro de outro e assim por diante. Se a forma escolhida for o paralelogramo, criarão um paralelogramo ao lado de outro, obtendo um paralelismo dos lados dos polígonos, com uma visualização de ângulos congruentes. Um detalhe importante é que não usam nenhum instrumento de medida de ângulos.

308 + 0  0 + 308 308  308

Registre no

caderno

trabalHO em equipe

1 Considerem que as letras a e b representam dois números naturais. Atribuam seis números naturais para a e seis números naturais para b, completando a tabela com os resultados a  b e b  a.

a

b

a1b

b1a









Agora respondam às questões a) O que acontece quando mudamos a ordem das parcelas numa adição de dois números naturais? b) Se o zero for uma das parcelas da adição, o que ocorrerá?

2 Atribuam seis valores para x, seis valores para y e seis para z. Os valores deverão ser maiores que o número 100. Utilize uma calculadora para obter os resultados das adições. Calcule primeiro a adição indicada dentro dos parênteses.

x

y

z

x 1 (y 1 z)

( x 1 y) 1 z











Agora respondam à questão a seguir. Qual é a conclusão de vocês a respeito dos resultados de x  (y  z) e de (x  y)  z?

Trabalho em equipe Nessa seção você e os colegas são convidados a, juntos, realizar uma tarefa, resolver um problema, refletir sobre questões propostas etc.

PROJETO APOEMA MATEMÁTICA

Depois de confeccionada a base do cesto, quando as tiras já estão perpendiculares, entrelaçam uma tira colorida entre elas. O entrelaçamento é feito pela contagem de tiras verticais, que devem passar por cima ou por baixo, de acordo com o desenho escolhido. Começando da primeira tira horizontal, os vértices do quadrado vão ficando arredondados até que cada volta passa a ter a forma aproximada de uma circunferência. As tiras vão sendo entrelaçadas em espiral até chegar à altura desejada para a conclusão do cesto. Você acha que este grupo indígena utiliza conhecimentos matemáticos?

Fabio Colombini

Propriedades da adição de números naturais

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90o (nonagésimo)

Nessa seção que aparece ao longo de cada capítulo, você encontrará exercícios de fixação relativos aos conteúdos desenvolvidos.

c) mmc (12; 16) d) mmc (7; 12)

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900o (noningentésimo)

8o (oitavo)

Agora é com você

f) 8

b) 4 c) 5

b) mmc (8; 12)

5 Um relógio eletrônico dispara um alarme a cada 120 minutos. Outro relógio dispara um alarme a cada 150 minutos. Os dois relógios soaram juntos às 14 horas. Quando eles voltarão a tocar juntos?

3. Elemento neutro da adição: a+00+aa

80o (octogésimo)

caderno

a) mmc (4; 6)

4 Escreva todos os múltiplos de 7 que são menores que 100.

2. Propriedade comutativa da adição: a+bb+a

800o (octingentésimo)

7o (sétimo)

S 0

Contagens, ordenações e códigos

7 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir.

Se o paciente tomou os dois comprimidos juntos pela primeira vez ao meio-dia de hoje, daqui a quantas horas ele tomará novamente os dois comprimidos juntos?

1. Propriedade associativa da adição: a + (b + c)  (a + b) + c

70o (septuagésimo)

Esses são apenas alguns exemplos de utilização dos números. Eles são empregados com finalidades diversas, como veremos a seguir.

e) 7

Waldomiro Neto

1 comprimido a cada 8 horas.

700o (setingentésimo)

6o (sexto)

Curitiba

Escreva os números dessa tabela que são múltiplos de:

1 comprimido a cada 4 horas;

60o (sexagésimo)

N

SANTA CATARINA

Omkr/Dreamstime.com

e) mmc (15; 24; 60) f) mmc (210; 462)

3 Resolva os seguintes problemas:

remédio B

600o (sexcentésimo)

5o (quinto)

As réguas para uso escolar, em geral, têm um conjunto de números naturais que expressam comprimento. Observe a imagem da régua e note que os números representam valores em centímetros, que é uma unidade de medida.

SÃO PAULO

Arapongas

O

6 Considere os números que estão indicados na tabela a seguir:

2 Considere os números 18 e 27. Determine os cinco menores múltiplos comuns que são diferentes de zero.

remédio A

500o (quingentésimo)

50o (quinquagésimo)

Registre no

caderno

a) Dois ciclistas levam, respectivamente, 30 segundos e 35 segundos para completar uma volta numa arena esportiva. Após a largada, quantos segundos serão necessários para que esses ciclistas se encontrem novamente no ponto de partida, se mantidas as suas velocidades? b) Em relação ao problema anterior, responda: Quantas voltas terá completado cada um desses ciclistas? c) No final do ano, duas torres foram construídas com lâmpadas coloridas. Numa delas, as lâmpadas piscam a cada 4 segundos, enquanto que, na outra, a cada 6 segundos. Se uma pessoa observa agora que as lâmpadas das duas torres estão piscando juntas, depois de quanto tempo elas piscarão juntas novamente pela primeira vez? d) Um caixa eletrônico foi programado para fornecer quantias menores que 49 reais, mas em um tipo de cédula apenas: cédulas de 2 reais ou de 5 reais. Quais são as quantias que podem ser retiradas com somente um tipo de cédula, entre os dois tipos citados? e) Com relação ao problema anterior, responda: Qual é a menor quantia que pode ser retirada nas condições do problema? E qual é a maior quantia? f) Depois de examinar um paciente, a médica receitou dois remédios:

400o (quadringentésimo)

40o (quadragésimo)

4o (quarto)

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.

Registre no

1 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir: c) mmc (12; 36; 48) d) mmc (8; 16; 64)

300o (tricentésimo)

30o (trigésimo)

3o (terceiro)

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.

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a) mmc (4; 12) b) mmc (18; 60)

20o (vigésimo)

2o (segundo)

Trópico de Capricórnio

Desde criança, utilizamos os números para fazer contagens. Para tanto, empregamos os números naturais. Além disso, fazemos comparações entre quantidades.

agOra é cOm vOcê

1o (primeiro)

Natalia Siverina/ Dreamstime.com

Os números ainda estão presentes na identidade e na carteira de habilitação do motorista do carro. Além disso, eles fazem parte da placa dos veículos.

50°O

© DAE

Cada capítulo é iniciado com uma situação do cotidiano ou de uma área do conhecimento relacionada com o conteúdo matemático a ser estudado.

Quando queremos indicar posição, utilizamos os números ordinais, por exemplo, João está em primeiro (1o) lugar; Maria, em segundo (2o) lugar, e assim por diante.

Cameron Spencer/Getty Images

capítulO 2X

Mulher produzindo artesanato na aldeia guarani-mbyá.

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“Em entrevista exclusiva à Revista E, o artista plástico Luiz Sacilotto fala da apropriação da arte pela televisão e prevê que a estética concreta está longe de conhecer seu fim. Coleção Sacilotto

O artista plástico Luiz Sacilotto, considerado um dos principais expoentes da arte concreta brasileira, fala nesta entrevista exclusiva sobre a motivação de suas criações, contando a gênese de sua arte, além de avaliar seus companheiros Artes plásticas. de viagem pictórica. Sacilotto comenta o racha Área de pesquisa que originou o movimento neoconcreto, as hisArte concreta brasileira. tórias envolvendo disputas de poder no mundo artístico e de como a arte concreta acabou influenciando outros meios. Fala ainda dos painéis que realizou no recém-inaugurado Sesc Santo André, cidade onde nasceu e mora até hoje.

Especialidade

Com a palavra, o especialista

Pedro explica que outros elementos permitem explorar o tema. ”As formas geométricas estão nas asas de uma borboleta ou no casco das tartarugas.“ Até mesmo, ele lembra, na imagem presente no núcleo de todas as células vivas, a dupla hélice de ácido desoxirribonucleico, mais conhecida por DNA.

Essa seção traz entrevistas com especialistas de áreas da Matemática. Inlovepai/Shutterstock

Luiz Sacilotto.

Lightspring/Shutterstock

Quem

LilKar/Shutterstock

Visuals Unlimited/Inc./Scientifica/Getty Images

com a palavra, o especialista

Qual foi a base de inspiração para os seus trabalhos criados para o Sesc Santo André? Eles fazem parte de uma obra que já venho desenvolvendo. Quando me pediram um projeto, pensei em algo que agradasse o público, que tivesse o elemento-surpresa, que parecesse uma coisa e fosse outra, que se revezasse. Os painéis, principalmente aquele que dá para o grande salão, são de um jeito à primeira vista, mas depois se revertem. Há uma ambiguidade que constitui a essência da obra, algo que cada pessoa percebe de um jeito. Algumas olham e não percebem nada, outras percebem mais ou menos... Isso me interessa muito e parece-me que esse resultado foi obtido.

Pintura corporal

Como é criar uma obra “pública”, no sentido de ela estar num lugar onde será vista, observada e admirada por muitos? É diferente de um quadro que vai para um museu ou para um colecionador particular? Como é a concepção de linguagem que deve ser aplicada, na sua opinião?

Durante a visita aos índios Javaés, os estudantes puderam conhecer e valorizar as manifestações culturais daquele povo. Exploraram o padrão de pintura corporal e das cerâmicas e continuaram o estudo de ângulos. Tudo foi fotografado. Um bate-papo com os artesãos esclareceu a ideia que os índios têm sobre o assunto. "Nosso trabalho e nossa vida giram em torno da natureza e dos desenhos dela. Os animais são a maior fonte de inspiração", conta o cacique José Tehabi Javaé. A essa altura do projeto, a interferência de Pedro foi mínima, pois os alunos já sabiam reconhecer as figuras poligonais.

Não importa se faço uma obra pública ou para um museu. Quando exponho numa galeria, os colecionadores também vão e veem. No caso do trabalho para o Sesc, a diferença é que se trata de uma obra que não será vendida. Mas a finalidade é a mesma: faço para agradar. Já tive umas dez experiências em escolas, nas quais eu levava material e começava a pintar. Na primeira vez, foi uma algazarra terrível; na segunda, o barulho já tinha diminuído; na terceira, ouvi os suspiros de admiração das crianças; no final, elas queriam mais. Essa experiência foi a mais gratificante. Ou seja, devemos perceber que a nossa arte não deve ser feita apenas para o crítico, mas sim para todos, para quem entende e para quem não entende. Quando a TV Cultura esteve aqui, a entrevistadora perguntou para um senhor o que ele achava de uma escultura minha, localizada em uma das ruas de Santo André. O senhor olhou para ela admirado e respondeu “Ah, é uma escultura?! Acho fantástica!”. Ele nem sabia que aquilo era uma escultura e muito menos de quem era.

Mas as aulas extrapolaram o tema inicial: Pedro aproveitou a oportunidade para discutir os estereótipos e o preconceito. O momento de maior descontração aconteceu quando os jovens, e também o professor, foram pintados com jenipapo por um índio. O mesmo ritual acontece na aldeia em dias de festa. Avaliação pela leitura de fotos O que foi feito das fotografias tiradas pela turma? Foram parar nas telas do computador. As cenas captadas pelas lentes das câmeras digitais ajudaram a repassar e fixar conceitos e, principalmente, serviram de material de avaliação para Pedro. Nas aulas de Informática, os alunos selecionaram imagens para cada propriedade de ângulos e polígonos. Na internet, eles pesquisaram a geometria presente em outros objetos e campos do conhecimento, como a arte, a arquitetura e a astronomia. Para finalizar, Pedro encomendou um texto livre sobre as imagens.”

Qual foi o estalo que o fez deixar de ser figurativo e passar para as figuras geométricas? Qual foi a inspiração? Eu não acredito em inspiração. Era figurativo por causa da minha formação acadêmica, mas depois, na década de 1940 – quando não havia possibilidade de livre formação –, comecei a sentir que alguma coisa não estava certa. Por que copiar a natureza? Por mais que eu me esforçasse nunca seria igual. Então, um dia, desenhando enquanto estava ao telefone, fiz abstrações de forma inconsciente e isso me despertou uma grande vontade de fazer aquelas abstrações de forma consciente. Daí, aprimorei a técnica dentro da linguagem que eu queria. Minha profissão também me ajudou. Fui desenhista de arquitetura,

Fonte: BENCINI, Roberta. Com a Geometria na pele. Professor diversifica aulas de Geometria e ensina ângulos e polígonos através de pinturas corporais. Publicado na revista Nova Escola, ed. 169, jan. 2004, p. 3#37. São Paulo: Abril comumicações S/A. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/ geometria-pele-427471.shtml Acesso em: maio 2013.

bagagem cultural

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CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL

Risco aumentado

Faixa ideal

aorta

80 — 88

> 88

< 94

94 — 102

> 102 Ilustrações: Alex Argozino

< 80

Homem

CALCULANDO O IMC

artéria normal

CORAÇÃO

excesso de colesterol

TABELA IMC

Você já ouviu falar em IMC? O Índice de Massa Corporal classifica as diferentes faixas de massa das pessoas. Por meio de seu resultado, podemos descobrir se estamos abaixo, dentro ou acima da massa ideal recomendada. O cálculo é feito por meio da fórmula:

artéria

Apresenta infográficos que possibilitam explorar a interdisciplinaridade entre a Matemática e outras disciplinas.

IMC abaixo de 17 entre 17 e 18,49 entre 18,5 e 24,99 entre 25 e 29,99 entre 30 e 34,99 entre 35 e 39,99 acima de 40

IMC = M2 , em que: A M = massa em kg A = altura em m

COMO MEDIR A CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL 1. Posicione a fita métrica entre a 2. Relaxe o abdômen e expire no

17 milhões de pessoas

no mundo por ano. No Brasil, esse tipo de doença é responsável pelo maior número de mortes.

Obs.: pode-se obter um resultado mais preciso se a medição for feita sem vestimentas.

Joao Virissimo/Shutterstock

Para redução da gordura abdominal, devemos praticar atividade física aeróbica, como caminhar, correr, pedalar, nadar etc., e evitar alimentos calóricos, principalmente os muito gordurosos.

momento de medi-lo.

3. Registre a medida. As dimensões das estruturas representadas estão fora de escala; as cores usadas não são reais.

Situação muito abaixo da massa abaixo da massa massa normal acima da massa obesidade I obesidade II (severa) obesidade III (mórbida)

Calcule seu IMC e descubra em qual faixa de massa você está. Caso o valor obtido não esteja localizado no intervalo de massa normal, pesquise quais medidas devem ser tomadas para que seu IMC reflita uma vida saudável.

Depois de obter o valor, consulta-se a tabela ao lado.

borda inferior das costelas e a borda superior do osso do quadril. placa de colesterol em estágio avançado

As doenças cardiovasculares matam mais de

Risco muito aumentado

Mulher

Iakov Filimonov / Dreamstime.com

Ilustrações: Alex Argozino

Engana-se quem pensa que medir uma circunferência é só coisa de matemático! Estudos comprovam que o aumento excessivo da circunferência abdominal pode contribuir para o surgimento de doenças cardiovasculares, como diabetes e hipertensão. Além disso, também é importante descobrir se estamos com a massa corporal adequada. Para isso, usamos as unidades de medidas, assunto estudado nessa unidade.

Bagagem cultural

VALOR IDEAL DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL (CM)

Na tabela ao lado, estão os valores considerados ideais para a circunferência abdominal, segundo a Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica.

TAMANHO DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL É FATOR DE RISCO CARDIOVASCULAR

A medida de circunferência abdominal é utilizada e aceita pela comunidade médica em adultos na avaliação de riscos de doenças. Em crianças e adolescentes, essa medida não deve ser utilizada a não ser em casos específicos, por apresentar variações por conta do crescimento. Logo, as faixas ideais e de risco teriam de ser diferentes para cada faixa etária. Hoje ainda há poucos estudos sobre esse assunto.

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280 Registre no

caderno

matemática e cidadania

Delfim Martins/Pulsar Imagens

Será que nós, brasileiros, conhecemos de fato nosso país e sua população?

Indígenas kalapalo da aldeia Aiha no Parque Indígena do Xingu, Querência, MT.

Para uma pergunta como essa, não temos prontamente uma resposta. Por exemplo, se falarmos que os indígenas estão desaparecendo na população brasileira, será uma afirmação completamente equivocada. No último censo populacional feito no Brasil, descobriu-se que há cerca de 270 línguas indígenas.

Matemática e cidadania

DAE

190,755 169,8 146,8 119

Por meio dos textos dessa seção, você saberá como a Matemática é importante no exercício da cidadania.

93,1 70,0

72

14,3

30,6 17,4

41,1

51,9

90 19 00 19 20 19 40 19 50 19 60 19 70 19 80 19 91 20 00 20 10

9,9

18

Muitos gráficos são elaborados com os resultados da coleta de informações, como o gráfico ao lado, que mostra a evolução da população residente em nosso país de 1872 até 2010.

Evolução da população residente no país (em milhões de pessoas)

18

Como essas informações são levantadas? O que significa censo? É então que fica clara a importância de fazer pesquisas. A cada 10 anos é feito um censo no país, ou seja, uma grande pesquisa que objetiva levantar as informações mais importantes a respeito do Brasil. Essas informações são analisadas e, com base nelas, decisões importantes são tomadas.

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.

Agora faça o que se pede. 1 Observando o gráfico acima, responda: Qual foi o crescimento, em milhões de pessoas, ocorrido entre 1872 e 2010? 2 Pesquise o crescimento populacional de indígenas no Brasil entre os anos 1991 e 2010 e responda: a) Qual foi a taxa percentual de crescimento, de acordo com Censo 2010? b) De acordo com o Censo 2010, existem 896 900 indígenas no Brasil. Se em 2020 o aumento for de 15% em relação ao ano de 2010, qual será a quantidade de indígenas ao todo que teremos nesse ano? 3 Além do censo, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) traz outras informações importantes para nossa vida. Pesquise e escreva o nome de outras pesquisas que o IBGE faz em nosso país.

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diversificandO linguagens

241

Preciso visitar mais a minha família, só conheço 8 primos.

... 17, 19 e ...

Ilustra Cartoon

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

1 Por que o personagem relaciona a sequência numérica com a família dele? 2 Faça uma pesquisa sobre a palavra primo e descreva o porquê de sua utilização como classificação de alguns números e como grau de parentesco.

Diversificando linguagens

3 Escreva a sequência dos números primos até o número 50. 4 Escreva o número 324 como um produto de números primos.

Em alguns capítulos, você conhecerá um jeito diferente de “ler a Matemática”, por exemplo, por meio de histórias em quadrinhos ou tirinhas, mapas etc.

5 Você conhece algum método para determinar os números primos que estão no intervalo de 101 a 200? 6 Em dupla, copie a tabela e, com o auxílio de uma calculadora, juntos determinem os números primos que estão no intervalo de 101 a 150. Dica: utilizem os múltiplos dos números primos e os critérios de divisibilidade.

101

102

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178

179

180

7 Descreva o procedimento usado para determinar os números primos na tabela acima.

126

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PROJETO APOEMA MATEMÁTICA

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Superando desafios

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superandO desafiOs

Ao final de cada unidade, você é convidado a aprender mais por meio de questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo.

1 (Saresp)

Ilustrações: DAE

Melissa fez uma caixinha para guardar seus brincos. A planificação da caixinha está representada na figura abaixo.

Como ficou a caixinha de Melissa depois de colada?

a)

c)

b)

d)

2 (Saresp) Em qual das alternativas abaixo a figura é a planificação de um cubo? a)

c)

b)

d)

Explorando

Explorando Autor: Ernesto Rosa Editora: Ática 112 páginas André e sua irmã, Isabela, embarcam em um monomotor que sofre uma pane, deixando os dois perdidos em plena floresta amazônica. Para tentar escapar com vida, os dois usam a Geometria e ganham novos amigos.

http://www.mcescher.com/ indexuk.htm

M.C. Escher “Man with Cuboid” © 2013 The M.C. Escher Company- The Netherlands. All rights reserved. www.mcescher.com

geometria na amazônia

Editora Ática

Essa seção apresenta, no final de cada unidade, sugestões de livros, sites, filmes, vídeos, jogos etc. para você continuar explorando o assunto. Aqui, você conta também com alguns códigos QR, ferramenta que possibilita o acesso direto a recursos da web por meio de dispositivos móveis.

maurits cornelis escher

Homepage oficial de M. C. Escher, artista gráfico holandês famoso pelos efeitos de ilusões de ótica de suas obras. É possível encontrar imagens das obras e toda a biografia do artista. Site em inglês.

90

tecla_matemática Você já ouviu falar em programas cuja função é criar planilhas de cálculo? Você já teve a oportunidade de explorá-los? Esse tipo de programa é muito utilizado para várias finalidades e em diferentes situações. Eles nos possibilitam criar tabelas, automatizar cálculos, analisar dados e até construir gráficos para melhor visualizar os dados. Primeiro, observe a estrutura de uma “página” nova da planilha. Cada um dos “retângulos” recebe o nome de célula. Cada célula tem um endereço, que é a intersecção da coluna com a linha onde ela se encontra. Por exemplo, na figura a seguir a célula selecionada está na coluna A e na linha 1, ou seja, é a célula A1: Fotos: Fernanda Gomes

Tecla_Matemática A tecnologia e a Matemática estão cada vez mais juntas e, por meio de programas de informática, você descobrirá um novo universo e aprenderá os conteúdos de forma divertida.

Para criar uma tabela, primeiro digite em cada célula a informação desejada. Por exemplo:

Em seguida, clique no botão Formatar como tabela e escolha o estilo de tabela que deseja.

242

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caderno

resgatandO cOnteúdOs

2 Mentalmente, faça as seguintes adições: a) 10  0,25 b) 12,89  20 c) 220,02  0,002

d) 4,5  0,35 e) 9,88  0,2 f) 2,22  0,78

3 O número 0,4 pode ser representado por: a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 100 5 5 8 4 A metade de um décimo pode ser escrita como: a) 0,5 b) 0,05 c) 0,2 d) 0,01

a) 10 b) 5

© Banco Central do Brasil

5 Quantas moedas iguais à reproduzida a seguir são necessárias para trocar por uma cédula de 2 reais? c) 20 d) 15

6 No gráfico de setores a seguir, estão indicados os percentuais correspondentes a A, B, C e D. Qual desses percentuais poderá ser representado pela fração decimal 1 ? 10 A 15%

9 Qual é a alternativa que contém uma sentença matemática verdadeira? a) 2  2,001 c) 2,01  2,009 b) 2,02  2,1 d) 2,002  2,01 10 Cada pão estava sendo vendido na panificadora por R$ 0,25. Marcos comprou 3 pães e pagou com uma cédula de R$ 2,00. Quanto ele recebeu de troco? a) R$ 1,15 b) R$ 0,75 c) R$ 0,25 d) R$ 1,25 11 Qual das divisões indicadas nas alternativas tem o mesmo resultado da divisão 0,5  0,2? a) 0,05  0,02 c) 0,05  0,2 b) 0,5  0,02 d) 0,05  0,002

C 35%

c) 0,05499214 d) 00,005499214

13 No quadro está indicada a quantia que Rubens conseguiu juntar hoje. Fotos: © Banco Central do Brasil

c) 35% d) 10%

7 Qual é a alternativa que indica a forma correta de ler o número 0,32? a) Trinta e dois. b) Trinta e dois décimos. c) Trinta e dois centésimos. d) Trinta e dois milésimos.

Ao final de cada unidade, há uma proposta de “resgate” dos conteúdos abordados nela por meio de exercícios que servem também de autoavaliação.

549 921,4 5 499,214 54,99214

B 40%

a) 15% b) 40%

Resgatando conteúdos

12 Observando a sequência numérica, podemos afirmar que o número que deverá ser escrito no último quadro é:

a) 1,5499214 b) 0,5499214 Setup

D 10%

8 Quatrocentos inteiros e quarenta e um centésimos podem ser representados por: a) 400,401 c) 4,41 b) 40,41 d) 400,41

Jiri Hera/Shutterstock

1 O número 0,25 corresponde a quantos centésimos da unidade? a) 2 b) 5 c) 20 d) 25

Qual é a alternativa que indica corretamente esse valor? a) R$ 46,00 b) R$ 0,46

c) R$ 4,60 d) R$ 0,75

245

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PROJETO APOEMA MATEMÁTICA

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Sumário UNIDADE 1

Números e sistemas de numeração

10

CAPÍTULO 1 - Os números naturais...........................12

CAPÍTULO 5 - Multiplicação e divisão.......................41

VVUm pouco da história dos números.................13

VVMultiplicação com números naturais..............41

VVNúmeros naturais e sequências numéricas.....15

VVPropriedades da multiplicação de números

VVNúmeros consecutivos.....................................15

naturais e expressões numéricas....................45 VVDivisão com números naturais........................48 VVDivisão com resto.............................................52 VVExpressões numéricas.....................................52

VVNoções de conjunto .........................................18 VVO conjunto dos números naturais....................18

CAPÍTULO 2 - O uso dos números...............................20 VVContagens, ordenações e códigos...................20 VVOs números e o nosso dinheiro........................23

CAPÍTULO 3 - Sistema de numeração decimal...........25 VVArredondamentos.............................................29

CAPÍTULO 4 - Adição e subtração..............................32 VVAdição com números naturais ........................33 VVPropriedades da adição de números naturais .34

CAPÍTULO 6 - Potenciação e radiciação....................55 VVPotenciação.......................................................55 VVRadiciação.........................................................56 VVExpressões numéricas.....................................58

CAPÍTULO 7 - Tratamento da informação: organização de dados em tabelas..............................................59 VVTecla_Matemática..........................................63

VVSubtração com números naturais...................36

VVSuperando desafios.......................................65

VVExpressões numéricas ....................................38

VVExplorando.....................................................65

VVCálculo mental .................................................39

VVResgatando conteúdos..................................66

UNIDADE 2

Geometria: primeiras noções 

CAPÍTULO 8 - Percebendo a geometria .....................70 VVConhecendo a história......................................71 VVAlgumas noções de Geometria........................75

68 VVParalelepípedo ou bloco retangular.................81 VVCubo..................................................................81 VVVistas diferentes de um mesmo objeto...........83

VVBagagem cultural.............................................78

VVObservando formas geométricas planas.........85

CAPÍTULO 9 - Formas geométricas planas e não

VVExplorando.....................................................90

planas...........................................................................80

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Projeto APOEMA matemática

VVSuperando desafios.......................................90 VVResgatando conteúdos..................................91

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UNIDADE 3

Múltiplos e divisores 

96

CAPÍTULO 10 - Divisibilidade e números primos.......98

VVOs múltiplos de um número...........................118

VVNoções de divisibilidade...................................99

VVMínimo múltiplo comum................................122

VVCritérios de divisibilidade...............................101 VVNúmeros primos.............................................103

CAPÍTULO 13 - Tratamento da informação: contagem

VVReconhecendo um número primo.................103

e estimativa.................................................................127

VVCrivo de Eratóstenes......................................104

VVPrimeiros procedimentos de contagem........127

VVDecomposição em fatores primos.................106

VVÁrvore de possibilidades.................................127

CAPÍTULO 11 - Divisores de um número natural....110

VVEstimativa........................................................129

VVMáximo divisor comum..................................114

CAPÍTULO 12 - Múltiplos de um número natural...118

UNIDADE 4

VVNoção de ângulo ............................................137 VVClassificação de ângulos................................140 VVPosição relativa entre retas............................143

CAPÍTULO 15 - Polígonos.........................................147 VVLinha poligonal...............................................148

VVResgatando conteúdos................................132

134 VVPolígonos........................................................148 VVPolígonos regulares........................................151 VVCom a palavra, o especialista........................153 VVQuadriláteros..................................................155 VVSuperando desafios.....................................160 VVExplorando...................................................160 VVResgatando conteúdos................................161

Frações

CAPÍTULO 16 - A ideia de fração..............................166 VVNoções iniciais ...............................................166 VVTipos de fração...............................................171 VVFração de quantidade.....................................174

CAPÍTULO 17 - Equivalência e comparação entre frações.......................................................................176 VVFrações equivalentes......................................177 VVSimplificação de frações................................181 VVComparação de frações.................................185

CAPÍTULO 18 - Adição e subtração de frações.......189

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VVExplorando...................................................131

Formas geométricas planas

CAPÍTULO 14 - A ideia de ângulo..............................136

UNIDADE 5

VVSuperando desafios.....................................130

Projeto APOEMA matemática 6 ano

164 VVAdição e subtração de frações com o mesmo

denominador...................................................190 VVAdição e subtração de frações com denomina-

dores diferentes..............................................192

CAPÍTULO 19 - Fração de fração.............................195 VVMultiplicação de frações................................195 VVDivisão de frações...........................................198 VVSuperando desafios.....................................201 VVExplorando...................................................201 VVResgatando conteúdos................................203

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UNIDADE 6

Números decimais 

CAPÍTULO 20 - Frações decimais e números decimais......................................................................208 VVNúmero decimal e fração decimal................209 VVFrações centesimais.......................................214 VVMultiplicação de decimais por

potências de 10...............................................214 VVDivisão de decimais por potências de 10.......215 VVComparações entre números decimais........217

CAPÍTULO 21 - Operações com números decimais..219 VVAdição com números decimais......................219 VVSubtração com números decimais................221 VVMultiplicação com números decimais...........223

UNIDADE 7

206 VVDivisão entre números naturais:

quociente decimal..........................................225 VVDivisão com números decimais.....................230

CAPÍTULO 22 - Tratamento da informação: noção de porcentagem, gráficos e tabelas..............233 VVPorcentagem...................................................234 VVDescontos e acréscimos................................235 VVPesquisas, tabelas e gráficos........................237 VVMatemática e cidadania...............................241 VVTecla_Matemática........................................242 VVSuperando desafios.....................................244 VVExplorando...................................................244 VVResgatando conteúdos................................245

Grandezas e medidas

CAPÍTULO 23 - Unidades de comprimento e de massa...................................................................250 VVUnidades de comprimento.............................251 VVPerímetros de figuras geométricas planas...254

248 VVUnidades de capacidade.................................273

CAPÍTULO 26 - Medida de tempo...............................275 VVMatemática e cidadania...............................278

VVUnidades de massa........................................256

VVBagagem cultural........................................280

CAPÍTULO 24 - Unidades de área..............................258

CAPÍTULO 27 - Tratamento da informação:

VVUnidades de área............................................259 VVÁreas de figuras geométricas planas............263

CAPÍTULO 25 - Unidades de volume e de

probabilidade e média aritmética.............................282 VVNoções de probabilidade................................282 VVNoções sobre o conceito de

média aritmética.............................................284

capacidade..................................................................267

VVSuperando desafios.....................................285

VVUnidades de volume.......................................267

VVExplorando...................................................285

VVVolumes do cubo e do paralelepípedo...........270

VVResgatando conteúdos................................286

Gabarito Referências

291

Manual do Professor

305

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Projeto APOEMA matemática 6 ano

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UNIDADE 1

Números e sistemas de numeração

Uma das primeiras noções que adquirimos sobre os números está relacionada à ideia de contagem. Assim como utilizamos os números para contar, também os empregamos para ordenar, medir e comparar. Dessa forma, temos as operações aritméticas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Tais operações são facilitadas quando empregamos as propriedades de nosso sistema de numeração decimal.

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APOEMA Matemática 6

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Dreamzdesigner/Dreamstime.com

1 Quantos algarismos utilizamos na escrita dos números no sistema de numeração decimal? 2 A adição de dois números naturais sempre resulta em um número natural? 3 Como você lê o número ordinal 89o?

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Capítulo 1

Os números naturais Albrecht Dürer/Museen der Stadt Nürnberg, Alemanha

Albrecht Dürer/Museen der Stadt Nürnberg, Alemanha

Em 1514, o pintor, gravador e ilustrador Albrecht Dürer (1471-1528) fez uma gravura chamada Melancolia I. Próximo ao canto superior direito da obra há um quadrado mágico, que está destacado a seguir.

Albrecht Dürer. Melancolia I, 1514. Gravura em cobre, 23,9 3 18,8 cm.

16

3

2

13

5

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1

Esse é um dos mais famosos quadrados mágicos conhecidos. Ele é formado por 16 números distribuídos em 4 linhas e 4 colunas. À primeira vista, parece uma tabela comum, mas verifique que: Respostas da página anterior: 1. 10

• a soma dos números em cada linha é 34; 2. Sim, dizemos que o conjunto dos números naturais é “fechado” para a adição. • a soma dos números em cada coluna é 34; 3. Octogésimo nono. • a soma dos números em cada uma das duas diagonais é 34; • a soma dos números que estão nos quatro cantos também é 34. E há mais uma curiosidade que você pode descobrir: basta observar os tracejados no quadrado mágico abaixo. Note que a soma dos quatro números envoltos pelo tracejado, dentro dos quadrados menores, também é 34. 16

3

2

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5

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4

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14

1

A história da Matemática tem muitas curiosidades, principalmente quando falamos do surgimento dos números. Conhecer esse contexto histórico nos auxilia na compreensão de conceitos, propriedades e aplicações matemáticas.

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Um pouco da história dos números A história dos números se confunde com a história de nossa evolução. Sendo assim, torna-se muito difícil estabelecer sua origem. Sabemos que, em algum momento, devido à necessidade de contar quantidades, os números foram ganhando espaço na mente do ser humano.

Popperfoto/Getty Images

Quando teriam surgido os números?

Objeto educacional digital

O berço dessa grande ideia parece estar ligado a três rios. No Vale do Rio Nilo estabeleceu-se a civilização egípcia, enquanto nos vales dos rios Tigre e Eufrates formaram-se várias civilizações, além da importante civilização babilônica.

As pirâmides de Gizé durante um período de cheia do Rio Nilo, no Egito, c. 1890.

Institut Royal des Sciences Naturelles de Belgique

A observação de diferentes fontes e registros dessas civilizações indica, entre outros costumes, o uso dos números. Mesmo assim, responder à pergunta anterior parece uma tarefa impossível. Tudo o que temos são indícios que levam os historiadores a fazer conjecturas sobre o assunto.

O "osso Ishango", provavelmente de um leão.

Esses indícios mostram que o surgimento dos números está relacionado com a necessidade de o ser humano contar coisas. A imagem de um pastor criando as ovelhas e associando cada uma delas a uma pedra possibilitou a ele um mecanismo de contagem muito simples. Talvez não tenham sido pedras. Poderia ter sido uma corda com vários nós, em que cada nó corresponderia a uma ovelha.

Para ter uma ideia da evolução do número, observe a seguir um quadro contendo algarismos indo-arábicos, com os quais escrevemos os números. Neste quadro é possível perceber como os símbolos usados para grafar os números foram mudando ao longo do século VI (indiano) tempo até chegarem à forma como os século IX (indiano) escrevemos atualmente. No ano 1455, o alemão Johannes Gutemberg imprimiu 200 Bíblias tipograficamente. Era a invenção da imprensa. Antes dessa revolucionária invenção, os livros eram copiados um a um, manualmente. Assim, letras e algarismos foram, naturalmente, sofrendo transformações ao longo do tempo. Observando a última linha dessa tabela, podemos ver como os algarismos eram escritos no século XV, na Europa. Desse período para cá, eles praticamente mantiveram a mesma forma de escrita.

século X (árabe oriental)

Marcio Levyman

Em meados do século XX, no Congo, foi encontrado um osso com entalhes datado de cerca de 20000 a.C. Historiadores acreditam que pode ser um dos mais antigos registros do conhecimento matemático. Os entalhes registrados no osso levam a crer que se tratava de algum tipo de marcação de quantidades.

século X (europeu) século XI (árabe oriental) século XII (europeu) século XIII (árabe oriental) século XIII (europeu) século XIV (árabe oriental) século XV (árabe oriental) século XV (europeu)

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APOEMA Matemática 6

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva os números a seguir utilizando nosso sistema de numeração. a) Número que indica o último dia do mês de janeiro. 31 b) Maior número natural formado por três algarismos. 999 c) Menor número natural formado por três algarismos. 100 2 Com base em sua leitura, escreva cada número a seguir. a) Nove mil oitocentos e setenta e quatro. 9 874 b) Trezentos e cinquenta e oito mil novecentos e noventa e nove. 358 999 c) Dois milhões, quatrocentos e noventa e cinco mil duzentos e oito. 2 495 208 3 Observe ao lado o quadrado dividido em três linhas e três colunas e responda: a) Quais números estão escritos neste quadrado? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b) Esse quadrado também é mágico? Explique. Sim, a soma dos números de cada linha, coluna e diagonal é 15.

4 Observe ao lado o quadrado formado por nove números, dispostos em três linhas e três colunas. Responda: a) Qual é a soma dos números de cada linha? 72 b) E de cada coluna? 72 c) E de cada uma das diagonais? 72

2

9

4

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5

3

6

1

8

23

28

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22

24

26

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20

25

Romanos Indo-arábicos

I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1 000

Marcio Levyman

5 Complete a tabela com algarismos indo-arábicos.

Agora faça o que se pede. a) Escreva os números de 1 a 20 utilizando apenas algarismos romanos. I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX. b) Descubra em que ano começou o século XXI. 2 001

Registre no

caderno

Trabalho em equipe Quadrado mágico 5 3 5

Em grupo, faça o que se pede. 1 Preencha as 9 casas centrais (quadrado 3 3 3) do quadrado mágico ao lado, com os números 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17, de modo que a soma das linhas, colunas e diagonais seja 39. Dica: o número central é o 13. 2 Complete o restante das casas com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25, de modo que a soma das linhas, colunas e diagonais do quadrado 5 3 5 seja 65. 3 Faça um resumo das estratégias utilizadas pela equipe nas atividades 1 e 2.

5

20

18

3

19

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APOEMA Matemática 6

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Números naturais e sequências numéricas  Zubartez

Uma das sequências numéricas que mais utilizamos está ligada à contagem do tempo. Qualquer folha de calendário é organizada em linhas e colunas para que possamos visualizar melhor os dias do mês e da semana. Normalmente, a primeira sequência de números que conhecemos, antes mesmo de entrar na escola, é a sequência dos números naturais. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Nessa sequência, cada número, a partir do zero, que é o primeiro, é igual ao anterior mais 1. Temos aí a ideia de sucessor e antecessor de um número natural.   1 é o sucessor de 0 (0 é o antecessor de 1) 1 5 0 1 1    2 é o sucessor de 1 (1 é o antecessor de 2) 2 5 1 1 1    3 é o sucessor de 2 (2 é o antecessor de 3) 3 5 2 1 1    4 é o sucessor de 3 (3 é o antecessor de 4) 4 5 3 1 1 



 4 999 5 4 998 1 1 

  4 999 é o sucessor de 4 998 (4 998 é o antecessor de 4 999)

Exemplo 1: Escreva uma sequência formada por todos os números naturais pares que sejam compostos de dois algarismos. Resolução: O menor número par com dois algarismos é o 10. Então, a partir dele, basta ir adicionando 2 para obter os demais. Observe: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98 Desses números, o maior é o 98.

Exemplo 2: Descubra o padrão numérico da sequência 1, 4, 9, 16, 25, ... Resolução: Note que a sequência é formada pela multiplicação de um número natural por si mesmo, começando do número 1. 1 3 1 5 1; 2 3 2 5 4; 3 3 3 5 9; 4 3 4 5 16; 5 3 5 5 25; ... Ou pode-se, a partir do número 1, adicionar os números 3, 5, 7, 9, ... a cada termo obtido, para determinar os demais termos da sequência. 1; 1 1 3 5 4; 4 1 5 5 9; 9 1 7 5 16; 16 1 9 5 25; ...

Números consecutivos

Nas sequências numéricas, os números que se seguem uns aos outros do menor para o maior e sem lacunas são chamados de consecutivos. Veja os exemplos a seguir: • 4 e 5 são consecutivos na sequência dos números naturais; • 12, 14, 16, 18 são consecutivos na sequência dos números pares; • 3 e 7 não são consecutivos na sequência dos números ímpares, mas são consecutivos na sequência 3, 7, 11, 15, ...

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Considere o número 299. Escreva os próximos quatro números naturais maiores que 299. 300, 301, 302, 303

2 Observe a tabela abaixo. Descubra o padrão numérico aplicado a ela e informe quais números deverão ser colocados no lugar das letras que estão na segunda linha.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

5

10

15

A

B

C

35

40

45

De 5 em 5. A 5 20, B 5 25, C 5 30.

3 Escreva a sequência dos dez primeiros números naturais ímpares. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

4 É correto dizer que todo número natural tem um antecessor? Não, pois 0 é um número natural que não tem antecessor.

5 Observe a tabela abaixo. Descubra o padrão numérico aplicado a ela e informe quais números deverão ser colocados no lugar das letras que estão na segunda linha.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

6

12

18

A

B

C

D

E

F

De 6 em 6. A 5 24, B 5 30, C 5 36, D 5 42, E 5 48, F 5 54.

6 Na tabela a seguir aparecem os quatro primeiros números triangulares. Determine qual é o próximo número triangular. 15

1

3

6

10

7 Observe na tabela a seguir os chamados números quadrados. Essa denominação é feita pela disposição dos pontos ao longo de quadrados. Determine qual é o próximo número quadrado. 25

1

4

9

16

8 Escreva cinco números naturais e consecutivos que são maiores que 10 e menores que 20. Resposta pessoal. Resposta possível: 12, 13, 14, 15 e 16 .

9 Alisson escreveu no caderno cinco números naturais e consecutivos, sendo 4 001 o maior deles. Quais são os cinco números escritos por Alisson? 3 997, 3 998, 3 999, 4 000, 4 001.

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APOEMA Matemática 6

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caderno

10 Escreva o sucessor e o antecessor de cada um dos números naturais seguintes. a) 99 100 e 98

c) 9 019 9 020 e 9 018

b) 908 909 e 907

d) 1 000 000 1 000 001 e 999 999

11 Observe no quadro ao lado a sequência formada pelas cidades onde algumas olimpíadas foram sediadas e o ano em que cada uma ocorreu. 120°O

60°O

60°L

0°

Ano

Local

1980

Moscou

1984

Los Angeles

1988

Seul

1992

Barcelona

1996

Atlanta

2000

Sydney

L

2004

Atenas

13 444 km

2008

Pequim

2012

Londres

2016

Rio de Janeiro

120°L

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

Círculo Polar Ártico

Moscou

Londres Barcelona Atlanta

Los Angeles

Pequim

Atenas

Seul

OCEANO PACÍFICO 0° Equador

OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO PACÍFICO

Rio de Janeiro

Trópico de Capricórnio

Sedes olímpicas

Círculo Polar Antártico

OCEANO ÍNDICO

N

Meridiano de Greenwich

© DAE/Sonia Vaz

Trópico de Câncer

Sydney

O

OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO

0

6 722

S

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 32.

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 32.

b) 2020, 2024, 2028, 2032 e 2036. A Olimpíada de 2020 será em Tóquio. Não se sabe ainda as cidades-sede das próximas olimpíadas, pois o comitê olímpico determina o local aproximadamente sete anos antes de sua realização.

• Sedes olímpicas

a) Como foi formada a sequência dos anos correspondentes às olimpíadas? De 4 em 4 anos. b) Observando a data da última olimpíada indicada na tabela, quando ocorrerão as próximas cinco olimpíadas? É possível saber onde? Por quê? c) Escreva cinco anos, antes de 1980, em que houve Olimpíadas. 1960, 1964, 1968, 1972, 1976.

12 Determine o padrão numérico das sequências e escreva os próximos cinco termos de cada uma delas. a) 20, 40, 60, 80, ... Adiciona-se 20 para obter o próximo termo: 100, 120, 140, 160, 180. b) 10, 25, 40, 55, ... Adiciona-se 15 para obter o próximo termo: 70, 85, 100, 115, 130. c) 980, 900, 820, 740, ... Subtrai-se 80 para obter o próximo termo: 660, 580, 500, 420, 340. d) 2010, 2006, 2002, 1998, ... Subtrai-se 4 para obter o próximo termo: 1994, 1990, 1986, 1982, 1978. 13 Escreva cada uma das sequên­cias numéricas indicadas a seguir. a) O primeiro número é 100. A partir do segundo número, inclusive, cada número é igual ao anterior mais 10 unidades. 100, 110, 120, 130, 140, 150, ... b) O primeiro número é 999. A partir do segundo número, inclusive, cada número é igual ao anterior menos 10 unidades. 999, 989, 979, 969, 959, 949, ... 14 Responda: a) Quanto é a diferença entre dois números naturais e consecutivos? 1 b) E entre dois números naturais e consecutivos pares? 2 c) E entre dois números naturais e consecutivos ímpares? 2

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Noções de conjunto Um conjunto pode ser entendido como uma coleção de objetos. Um exemplo é o conjunto de todas as moedas de nosso sistema monetário. Podemos representar um conjunto listando seus elementos entre chaves e separando-os com vírgulas. Assim, a representação do conjunto das moedas do nosso sistema monetário pode ser: M 5 {1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos, 1 real} Em geral, o nome do conjunto é representado por uma letra maiúscula.

• O conjunto que tem apenas um elemento é chamado de conjunto unitário.

Exemplo: Seja A o conjunto dos dias da semana cujos nomes começam com a letra d. Só temos o domingo que começa com d. Portanto, A é um conjunto unitário e pode ser representado por: A = {domingo}

• O conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio.

Exemplo: Seja B o conjunto dos meses que têm 40 dias. Como não há mês com essa quantidade de dias, o conjunto B é vazio. Podemos representar esse conjunto por: B =  ou B 5 { }

O conjunto dos números naturais A sequência dos números naturais é infinita e começa do zero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Este conjunto é identificado pelo símbolo , logo, o conjunto dos números naturais pode ser escrito como:   {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} As reticências indicam que o conjunto é infinito. Perceba que, da mesma maneira que todo número natural n tem um sucessor que pode ser descrito como n  1, todo número natural n, com exceção de 0, tem um antecessor que pode ser descrito como n  1. É possível também representar o conjunto dos números naturais em uma reta numérica, como a reta a seguir. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A disposição dos números nessa reta indica que eles aumentam da esquerda para a direita. Assim, um valor é maior do que cada um dos valores que estão à sua esquerda. Exemplos: 34

      

51

      

87

Lembre-se: o sinal > significa maior que e o sinal < significa menor que.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Escreva cinco números que fazem parte de seu dia a dia e são usados para contar, medir, ordenar, fornecer uma informação ou um código. Resposta pessoal. 2 Larissa e Maria, sua amiga, estavam brincando de karaoke. Larissa obteve 15 pontos, e Maria alcançou, em sua pontuação, o sucessor dos pontos de Larissa. Qual foi a soma de pontos das duas? 31 pontos 3 Chiquinho tem 2 irmãos. O número de irmãos de Maria é igual ao dobro da quantidade de irmãos de Chiquinho. O número de irmãos de Camila é igual ao antecessor do número de irmãos de Maria. Quantos irmãos tem Camila? Camila tem três irmãos. 4 Escreva o conjunto de cada item. a) Números naturais ímpares menores que 4. {1, 3} b) Números naturais maiores que 1 e menores que 9. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) Números naturais pares maiores que 7. {8, 10, 12, 14, 16, ...} d) Números naturais menores ou iguais a 10. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 5 Em um trimestre Carina obteve três notas com valores naturais e consecutivos, e a menor delas foi 7. Qual foi a maior nota que Carina obteve no trimestre? A maior nota foi 9. 6 Escreva em ordem crescente os números a seguir. a) 22, 4, 90, 5, 13, 1, 99 1, 4, 5, 13, 22, 90, 99 b) 567, 452, 453, 888, 1 019, 1 009 452, 453, 567, 888, 1 009, 1 019 7 Pense em um conjunto qualquer e represente-o com a notação matemática que você aprendeu. Resposta pessoal. 8 Determine os números dos itens a seguir. a) O antecessor de 100. 99 b) O sucessor de 23. 24 c) O sucessor do sucessor de 31. 33 d) O sucessor do antecessor de 31. 31 e) O antecessor do sucessor de 31. 31 9 Em uma família com três filhos, o mais velho tem 6 vezes a idade do caçula e este, por sua vez, tem um quinto da idade do filho do meio. Determine a soma das idades dos irmãos, sabendo que o filho mais novo tem 3 anos. 36 anos (18 1 15 1 3 5 36) 10 Uma soma com 4 parcelas é igual a 132. Subtraindo 5 da primeira parcela e 41 da segunda e adicionando 12 e 60 na terceira e quarta parcelas, respectivamente, qual será o novo resultado da soma? 132 2 5 2 41 1 12 1 60 5 158 11 Escreva o conjunto formado pelas cédulas do nosso sistema monetário. A = {2 reais, 5 reais, 10 reais, 20 reais, 50 reais, 100 reais}

12 Responda: a) Qual é o número de elementos de um conjunto unitário? 1 b) Qual é o número de elementos de um conjunto vazio? Zero.

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Capítulo 2X

Léo Burgos

Título O uso título dos números título título Números que indicam a velocidade do carro.

Números que indicam o horário.

Números que indicam as rotações do motor.

Números que indicam a quantidade de combustível no tanque.

Números que indicam a quantidade de quilômetros percorrida pelo carro.

Você já olhou com atenção o painel de um automóvel? Nele podemos observar diversas luzes, vários comandos e informações importantes que são representados por números. Os números ainda estão presentes na identidade e na carteira de habilitação do motorista do carro. Além disso, eles fazem parte da placa dos veículos.

© DAE

50°O

MATO GROSSO DO SUL Trópico de Capricórnio

SÃO PAULO

Arapongas

PARANÁ N

Curitiba Zubartez

O

L

OCEANO ATLÂNTICO

S 0

105

210 km

SANTA CATARINA

Capital de estado

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.

Esses são apenas alguns exemplos de utilização dos números. Eles são empregados com finalidades diversas, como veremos a seguir.

Contagens, ordenações e códigos

43

20 pom6_010_067_u1.indd 20

APOEMA MATEMÁTICA 6

Martinlee58/Dreamstime.com

Omkr/Dreamstime.com

Desde criança, utilizamos os números para fazer contagens. Para tanto, empregamos os números naturais. Além disso, fazemos comparações entre quantidades.

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Cameron Spencer/Getty Images

Quando queremos indicar posição, utilizamos os números ordinais, por exemplo, João está em primeiro (1o) lugar; Maria, em segundo (2o) lugar, e assim por diante.

A brasileira Sarah Menezes ficou em 1o lugar na competição de judô nas Olimpíadas de 2012, em Londres.

No quadro abaixo, indicamos alguns números ordinais:

1o (primeiro)

20o (vigésimo)

300o (tricentésimo)

2o (segundo)

30o (trigésimo)

400o (quadringentésimo)

3o (terceiro)

40o (quadragésimo)

500o (quingentésimo)

4o (quarto)

50o (quinquagésimo)

600o (sexcentésimo)

5o (quinto)

60o (sexagésimo)

700o (setingentésimo)

6o (sexto)

70o (septuagésimo)

800o (octingentésimo)

7o (sétimo)

80o (octogésimo)

900o (noningentésimo)

8o (oitavo)

90o (nonagésimo)

1 000o (milésimo)

9o (nono)

100o (centésimo)

1 000 000o (milionésimo)

10o (décimo)

200o (ducentésimo)

1 000 000 000o (bilionésimo)

Natalia Siverina/ Dreamstime.com

As réguas para uso escolar, em geral, têm um conjunto de números naturais que expressam comprimento. Observe a imagem da régua e note que os números representam valores em centímetros, que é uma unidade de medida.

Você conhece outras unidades de medida? Quais?

Ao criarmos uma senha, podemos escolher um conjunto de caracteres como letras, sinais e números. Neste caso, o número tem a finalidade específica de codificar. Outros exemplos de números usados como código são os de documentos pessoais, telefone, Código de Endereçamento Postal (CEP), código de barras etc. Empregamos os números com diversas finalidades.

Dalibor Sevaljevic/Shutterstock

Estudaremos outras unidades de medida mais adiante.

Teclado do caixa eletrônico de um banco.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva por extenso cada um dos seguintes números ordinais: a) 224o

b) 75o

c) 139o

setingentésimo sexagésimo segundo

d) 762o

centésimo trigésimo nono

ducentésimo vigésimo quarto septuagésimo quinto

Zubartez

2 Houve um acidente e o veículo que o causou fugiu logo depois. Uma testemunha memorizou apenas as três letras da placa e os três primeiros algarismos.

a) Quais são as possíveis placas que esse veículo pode ter? São 10 placas suspeitas: PLM-5740 ou com o último algarismo sendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. b) E se a testemunha tivesse anotado a placa faltando apenas a última letra, quantas seriam as possíveis placas do veículo? 26

4 Para fazer o que se pede nos itens a seguir você pode ir a uma agência dos Correios de sua cidade ou consultar o site ‹www.correios.com.br›. O Código de Endereçamento Postal (CEP) é uma sequência

a) O que é CEP? numérica utilizada para orientar e acelerar o encaminhamento de correspondências. b) Qual é o CEP de seu endereço? Resposta pessoal. c) O seu CEP é o mesmo que o de seus colegas? Resposta pessoal. d) Faça com um colega uma pesquisa sobre o significado dos algarismos na estrutura do CEP e apresente-a na Resposta pessoal. Oriente os alunos a buscar informações para sala de aula.

Cesar Diniz/Pulsar Imagens

3 Numa corrida em um fim de semana, 93 pessoas chegaram antes de você. Qual foi a sua posição de chegada? 94o

a pesquisa no site dos Correios.

5 Como determinar os dígitos verificadores do CPF? Se o CPF de uma pessoa tem os 9 primeiros dígitos 087.342.524, quais serão os dois dígitos verificadores? Cálculo do primeiro dígito de controle: CPF

0

8

7

3

4

2

5

2

4

Posição

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Devemos multiplicar o algarismo do CPF pelo número que corresponde à sua posição e somar os nove resultados, como a seguir. 0 3 1 1 8 3 2 1 7 3 3 1 3 3 4 1 4 3 5 1 2 3 6 1 5 3 7 1 2 3 8 1 4 3 9 5 168 Feito isso, dividimos o resultado por 11. O resto da divisão, que neste caso é 3, é o primeiro dígito verificador. Agora, para determinar o segundo dígito verificador, acrescentamos o décimo número, que acabamos de calcular, e usamos como posição os números de 0 a 9. Verifique: CPF

0

8

7

3

4

2

5

2

4

3

Posição

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 3 0 1 8 3 1 1 7 3 2 1 3 3 3 1 4 3 4 1 2 3 5 1 5 3 6 1 2 3 7 1 4 3 8 1 3 3 9 5 160 Novamente, dividimos o número obtido por 11 e obtemos resto igual a 6, que é o segundo dígito verificador. Assim o CPF completo seria: 087.342.524–36. Agora, em dupla, verifique essa regra utilizando seu CPF ou o CPF de um parente ou colega. Resposta pessoal.

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Os números e o nosso dinheiro

© Banco Central do Brasil

Observe reproduções das cédulas do real (representado pelo R$), a moeda que circula em nosso país.

Note que as cédulas têm tamanhos diferentes. É importante conhecer bem os valores dessas cédulas para fazer compras, compreender quanto se recebe de troco etc. Leia as situações a seguir a fim de compreender o uso do dinheiro.

Exemplo 1: Um feirante precisava trocar uma cédula de 100 reais. Foi ao caixa de um banco e recebeu 1 cédula de 50 reais e outras cédulas de valores diferentes de 50 reais. Quais são os valores possíveis dessas cédulas, sabendo que elas têm o mesmo valor?

Resolução: Como o caixa deu 1 cédula de 50 reais, as outras cédulas devem totalizar 50 reais. Precisamos então determinar quais são as possibilidades de juntar cédulas de mesmo valor que totalizem 50 reais:

• 1a possibilidade: 5 cédulas de 10 reais; • 2a possibilidade: 10 cédulas de 5 reais; • 3a possibilidade: 25 cédulas de 2 reais. São apenas essas as possibilidades, já que as cédulas devem ter o mesmo valor.

Exemplo 2: Raul foi à cantina da escola e comprou um pão de queijo, um suco e um lanche natural. Observe a tabela de produtos e seus valores existentes na cantina. Registre no

pão de queijo

R$ 2,00

coxinha

R$ 4,00

croissant

R$ 3,00

mini pizza

R$ 5,00

lanche natural

R$ 5,00

refrigerante

R$ 4,00

suco

R$ 5,00

caderno

a) Com base na tabela de preços, quanto Raul gastou? Raul gastou R$ 12,00. b) Ele entregou duas notas de R$ 10,00 para o vendedor. Haverá troco? Se sim, de quanto será o troco? Por quê? 20 2 12 5 8 O troco será de R$ 8,00.

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Registre no

caderno

aGoRa É CoM VoCÊ

© Banco Central do Brasil

1 Além das cédulas, há moedas em circulação no Brasil. Marta conseguiu juntar um total de 2 reais com moedas de mesmo valor. Qual é o número de moedas que ela pode ter juntado? Ela juntou 200 moedas de 1 centavo, ou

40 de 5, ou 20 de 10, ou 8 de 25, ou 4 de 50 ou 2 moedas de 1 real.

2 Veja na tabela a seguir a quantia que Júlia, Mauro e Tânia possuem. Nas colunas estão indicadas quais cédulas cada um tem e seus valores.

Júlia

1

2

1

2

Mauro

2

2

2

2

tânia

1

4

2

4

Fotos: © Banco Central do Brasil

Cédula

Nome

Escreva a quantia em reais que cada um deles tem. Júlia: 240 reais, Mauro: 360 reais e Tânia: 380 reais. 3 Maria e seu irmão organizaram um evento para auxiliar na compra de material escolar para crianças de uma comunidade. A tabela a seguir mostra o total arrecadado. Observe-a e calcule quantos reais eles conseguiram arrecadar. R$ 397,00 4 moedas de R$ 0,25

6 moedas de R$ 0,50

3 moedas de R$ 1,00

2 cédulas de R$ 10,00

1 cédula de R$ 20,00

3 cédulas de R$ 50,00

2 cédulas de R$ 100,00

4 O cadeado de uma mala de viagem contém uma senha composta de quatro algarismos. O dono da mala se lembra dos três primeiros e esqueceu apenas o último algarismo. 640, 8 641, 8 642, 8 643, 8 644, 8 645, 8 646, 8 647, Quais são as possíveis senhas desse cadeado? 88 648 ou 8 649

8

6

4

?

5 Escreva a quantia total correspondente a: a) 4 cédulas de 20 reais; 80 reais b) 3 cédulas de 100 reais; 300 reais c) 5 cédulas de 5 reais; 25 reais 6 Copie e complete a tabela com os valores que faltam. Note que a primeira linha da tabela está completa.

d) 8 cédulas de 2 reais; 16 reais e) 10 cédulas de 10 reais. 100 reais Valor da compra (reais)

quantia dada (reais)

troco recebido (reais)

75

100

25

130

140 160

200

40 350

320 920

10

30 30

950

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Capítulo 3

Sistema de numeração decimal Por volta do ano 500, matemáticos indianos desenvolveram o sistema de notação posicional dos números. Atualmente, o denominamos sistema de numeração decimal ou sistema de numeração indo-arábico. Esta última denominação informa que o sistema foi criado pelos indianos (“indo”) e sua divulgação foi feita pelos árabes (”arábico“) .

AFEGANISTÃO

CHINA PAQUISTÃO

NEPAL

BUTÃO

Trópico de

Câncer

evyman

BANGLADESH

MIANMAR

Í N D I A

rcio L

Nova Délhi

Golfo de Bengala

OCEANO

Ma

© DAE/Simone Soares de Andrade

índia -- Político político Índia

ÍNDICO N O

Is. Lacadivas (IND)

Is. Andaman (IND)

L S

Capital de país

SRI LANKA 80° L

0

336

Is. Nicobar (IND)

672 km

1: 33 600 000

Fonte: Atlas geográfico escolar. 5. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 47.

Para escrever um número no sistema de numeração decimal, utilizamos 10 símbolos, chamados de algarismos.

0123456789 O sistema tem base 10, isto quer dizer que, os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades. É posicional, ou seja, o valor de um algarismo depende de sua posição no número. Por exemplo, no número 333 o algarismo da direita equivale a 3 unidades, o algarismo do centro equivale a 3 dezenas e o da esquerda equivale a 3 centenas. Neste capítulo, estudaremos um pouco mais sobre o sistema de numeração decimal.

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No sistema de numeração decimal, cada número é composto, da direita para a esquerda, pela quantidade de unidades, de dezenas, de centenas, de unidades de milhar, de dezenas de milhar, de centenas de milhar, de unidades de milhão etc.

Unidade

Dezena

Centena

Unidades

Unidade de milhar

Dezena de milhar

Centena de milhar

Milhares

Unidade de milhão

Dezena de milhão

Centena de milhão

Milhões

Unidade de milhar de milhão

Dezena de milhar de milhão

Ordem

Milhares de milhão

Centena de milhar de milhão

Classe

Exemplo 1: • 3 782 456 5 3 000 000 1 700 000 1 80 000 1 2 000 1 400 1 50 1 6

Lê-se: três milhões, setecentos e oitenta e dois mil quatrocentos e cinquenta e seis. • 92 446 902 5 90 000 000 1 2 000 000 1 400 000 1 40 000 1 6 000 1 900 1 2 Lê-se: noventa e dois milhões, quatrocentos e quarenta e seis mil novecentos e dois.

Exemplo 2: Em revistas e jornais é muito comum os números muito grandes serem escritos de maneira um pouco diferente, por exemplo, a população brasileira, conforme o Censo 2010, era de aproximadamente 191 milhões. Escreva essa quantidade de habitantes somente com algarismos, conforme o sistema de numeração decimal.

Resolução: 191 191 mil 5 191 000 191 milhões 5 191 000 000

Exemplo 3: Faça a decomposição e escreva como se lê cada um dos seguintes números. a) 9 345 629 Resolução: 9 345 629 5 9 000 000 1 300 000 1 40 000 1 5 000 1 600 1 20 1 9 Nove milhões, trezentos e quarenta e cinco mil seiscentos e vinte e nove. b) 24 999 523 Resolução: 24 999 523 5 20 000 000 1 4 000 000 1 900 000 1 90 000 1 9 000 1 500 1 20 1 3 Vinte e quatro milhões, novecentos e noventa e nove mil quinhentos e vinte e três. c) 342 789 421

Resolução: 342 789 421 5 300 000 000 1 40 000 000 1 2 000 000 1 700 000 1 80 000 1 9 000 1 1 400 1 20 1 1 Trezentos e quarenta e dois milhões, setecentos e oitenta e nove mil quatrocentos e vinte e um.

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Registre no

caderno

aGoRa É CoM VoCÊ

1 Observe a tabela. Com base nas informações sobre a Região Norte do Brasil, responda às questões. Norte (IbGe) — Divisão política N de habitantes

Rondônia

1 560 501

Acre

732 793

Amazonas

3 480 937

Roraima

451 227

Pará

7 588 078

Amapá

668 689

Tocantins

1 383 453

Capital de estado Limites estaduais Limites internacionais

SURINAME GUIANA

Boa Vista

GUIANA FRANCESA (FRA)

RORAIMA

COLÔMBIA

OCEANO ATLÂNTICO

AMAPÁ Macapá

0° Equador

Belém

Manaus

A M A Z O N A S

PERU

PA R Á

MARANHÃO

N

O

L

ACRE

PIAUÍ

Porto Velho Palmas

Rio Branco

S 0

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.

VENEZUELA

© DAE/Simone Soares de Andrade

estado

o

TOCANTINS

RONDÔNIA

331 1: 33 100 000

MATO GROSSO

662 km

BAHIA

BOLÍVIA

GOIÁS

60° O

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 90.

a) Quais são os estados dessa região que têm a população maior que 1 milhão de habitantes? Rondônia, Amazonas, Pará e Tocantins. b) Determine a soma da população dos estados da Região Norte. Escreva esse número como se lê. 15 865 678; quinze milhões, oitocentos e sessenta e cinco mil, seiscentos e setenta e oito 2 Faça a composição de cada um dos seguintes números: a) 9 000 000 1 80 000 1 600 1 4 9 080 604

b) 20 000 000 1 30 000 1 500 1 1 20 030 501

3 Considere o número 2 milhões, isto é, 2 000 000. Neste número, quantas são as: a) unidades? 2 000 000 b) dezenas? 200 000 c) centenas? 20 000

d) unidades de milhar? 2 000 e) dezenas de milhar? 200 f) centenas de milhar? 20

4 Em um número o algarismo da dezena é 5, o das centenas é 4 e o do milhar é 3. Sabendo-se que este número natural é par e menor que 3 500, escreva todos os possíveis números que atendem a essas condições. 3 450, 3 452, 3 454, 3 456, 3 458 5 Escreva com algarismos cada um dos seguintes números. a) Trezentos e nove mil quatrocentos e oitenta e oito. 309 488 b) Nove milhões, quatrocentos e cinquenta e dois mil. 9 452 000 6 Responda: a) Qual é o sucessor do número 10 999? 11 000 b) Qual é o antecessor do número 100 900? 100 899

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7 Faça a decomposição de cada um dos seguintes números: 000 1 400 000 1 50 000 1 6 000 1 c) 3 456 829 31000 800 1 20 1 9 d) 44 758 223 40 000 000 1 4 000 000 1 700 000 1 50 000 1

a) 74 576 70 000 1 4 000 1 500 1 70 1 6 b) 932 775 900 000 1 30 000 1 2 000 1 700 1 70 1 5

1 8 000 1 200 1 20 1 3

8 Escreva o número correspondente a: a) 44 centenas; 4 400 b) 57 unidades de milhar; 57 000

c) 3 dezenas de milhar; 30 000 d) 9 dezenas de bilhão. 90 000 000 000

Zubartez

9 A figura abaixo representa um ábaco. Cada conta colorida significa uma unidade da correspondente ordem indicada.

Responda: a) Que número está indicado no ábaco? 456 789 b) Que número cada conta vermelha está representando? 100 000 c) Que número cada conta amarela está representando? 100 10 Conforme o Censo Demográfico 2010, confira a população dos estados que compõem a Região Nordeste: estado

No de habitantes

Nordeste (IbGe) – Divisão política

Maranhão

6 569 683

Piauí

3 119 015

Ceará

8 448 055

Rio Grande do Norte

São Luís

PARÁ

Fortaleza

MARANHÃO

Fernando de Noronha (PE)

CEARÁ Teresina

RIO GRANDE DO NORTE

PA R A Í B A

PIAUÍ

3 168 133

ALAGOAS

3 766 834

Pernambuco

8 796 032

TOCANTINS

Natal

João Pessoa

PERNAMBUCO 10° S

Paraíba

Atol das Rocas

Recife

© DAE/Simone Soares de Andrade

Capital de estado

Maceió

SERGIPE Aracaju

OCEANO ATLÂNTICO

BAHIA Salvador

Alagoas Sergipe Bahia

3 120 922 2 068 031 14 021 432

N

O

L

DF GOIÁS

S MINAS GERAIS

0 ES 40° O

257

514 km

1: 25 700 000

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 90.

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.

Responda: a) Quais estados apresentam a maior e a menor população? Bahia e Sergipe. b) Qual é o total da população do Nordeste? 53 078 137 e três milhões, setenta e oito mil c) Escreva por extenso o número obtido no item b. Cinquenta cento e trinta e sete.

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Arredondamentos A população do estado de Pernambuco no Censo 2000 era de 7 918 344 habitantes. Já no Censo 2010, essa população passou a 8 796 032 habitantes. Conforme site do IBGE.

RN

© DAE/Simone Soares de Andrade

pernambuco – -Divisão municipal Pernambuco Divisão municipal ARQUIPÉLAGO DE FERNANDO DE NORONHA -3º50’

CEARÁ PARAÍBA

- 3 2º 2 5 ’

OCEANO

PIAUÍ

ATLÂNTICO 8º S

Recife

P E RN AM BU C O N O

L S

BAHIA

ALAGOAS

Capital de estado 38º O

0

52

104 km

1:5 200 000

SERGIPE

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 167.

De maneira mais simples, poderíamos dizer que a população era de aproximadamente 7 900 000 e passou a 8 800 000 habitantes. Fizemos um arredondamento para a centena de milhar mais próxima, isto é: 7 918 7 000

8 000

7 900

Note, na reta, 7 918 está mais próximo de 7 900 (centena de milhar mais próxima).

Ilustrações: Setup

Arredondamos 7 918 344 para 7 900 000:

8 800

Arredondamos 8 796 032 para 8 800 000:

8 000

9 000

8 796

Note, na reta, 8 796 está mais próximo de 8 800 (centena de milhar mais próxima).

Os arredondamentos para a centena de milhar mais próxima foram arbitrários. Poderíamos ter arredondado para a unidade de milhão mais próxima ou para a unidade de milhar mais próxima, conforme a conveniência. Exemplos:

• 7 918 344 (arredondamento para a unidade de milhar mais próxima): 7 918 000; • 8 796 032 (arredondamento para a unidade de milhar mais próxima): 8 796 000. As aproximações facilitam a comunicação e, por isso, esse recurso é muito usado pelos meios de comunicação. O arredondamento permite que o leitor, telespectador ou ouvinte tenha uma ideia aproximada das quantidades e valores mencionados nas reportagens. Além disso, quando queremos saber, por exemplo, quanto gastaremos, aproximadamente, numa compra, podemos fazer arredondamentos para os valores dos produtos que precisamos, para, então, calcular o total.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Arredonde cada número para a centena mais próxima. b) 82 781 82 800 c) 45 432 45 400 a) 7 077 7 100 2 Considerando-se os mesmos números anteriores, faça agora arredondamentos para a unidade de milhar mais próxima. 7 000; 83 000; 45 000 3 Observe o valor de alguns eletrodomésticos descritos no quadro ao lado e responda às questões. Fogão com 4 bocas R$ 531,00 a) Se você precisar calcular rapidamente o valor da Micro-ondas R$ 369,00 compra de todos esses itens, é útil fazer arredonGeladeira R$ 917,00 damentos? Por quê? Resposta pessoal. Máquina de lavar R$ 876,00 b) Que cálculos aproximados você pode fazer? Que valor estima para essa compra? Resposta pessoal. c) Verifique com os colegas se os valores que eles estimaram foram iguais aos seus. Será que há apenas uma estimativa possível? Resposta pessoal, porém espera-se que o aluno responda que podemos ter estimativas diferentes, conforme arredondamentos ou aproximações feitas.

4 Luiz Antônio fez uma viagem de carro. Ele saiu de Belo Horizonte e foi para Brasília, que está a 716 quilômetros de distância. Logo depois, ele partiu de Brasília e foi a Campo Grande, distante 1 134 quilômetros. Finalmente, após alguns dias em Campo Grande, Luiz voltou para Belo Horizonte, percorrendo então 1 453 quilômetros. 60°O

VENEZUELA

Boa Vista

COLÔMBIA

40°O

Guiana Francesa SURINAME (FRA) GUIANA

AMAPÁ Macapá

RORAIMA Equador

0°

Belém

Manaus

São Luís Fortaleza

AMAZONAS

MARANHÃO Teresina CEARÁ

PARÁ

PIAUÍ ACRE Rio Branco

Porto Velho

Palmas

RONDÔNIA

TOCANTINS

Cuiabá BOLÍVIA OCEANO PACÍFICO

MATO GROSSO DO SUL

20°S

Campo Grande CHILE

PARAGUAI

Capital de país Capital de estado Limites estadual internacional

OCEANO ATLÂNTICO

Belo Horizonte

PARANÁ Curitiba

ESPÍRITO SANTO Vitória

RIO DE JANEIRO Rio de Janeiro

SANTA Florianópolis RIO CATARINA GRANDE DO SUL Porto Alegre

ARGENTINA

N O

Trópico de Capricórnio

L S

0 URUGUAI

Arq. de Fernando de Noronha

Salvador

DISTRITO FEDERAL GOIÁS Brasília MINAS Goiânia GERAIS

SÃO PAULO São Paulo

RIO GRANDE DO NORTE Natal

PARAÍBA João Pessoa PERNAMBUCO Recife ALAGOAS Maceió SERGIPE Aracaju

BAHIA

MATO GROSSO

PERU

© DAE/Sonia Vaz

Brasil – Político

494

988 km

1 : 49 400 000

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.

a) Obtenha a distância aproximada de Belo Horizonte a Brasília (arredonde para a dezena mais próxima). 720 quilômetros b) Obtenha a distância aproximada de Brasília a Campo Grande (arredonde para a dezena mais próxima). 1 130 quilômetros c) Obtenha a distância aproximada de Campo Grande a Belo Horizonte (arredonde para a dezena mais próxima). 1 450 quilômetros d) Em sua opinião, Luiz Antônio percorreu toda a viagem em linha reta, como ilustrado no mapa? Por quê? Não, pois as estradas não têm a trajetória reta como ilustrado no mapa.

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5 Considerando-se o número 788 439, indique com V as afirmações que são verdadeiras e com F aquelas que são falsas. a) Os dois algarismos 8 têm o mesmo valor relativo. F b) O valor relativo do algarismo 7 é 700 000. V c) O algarismo 7 é o de maior valor posicional. V d) O número 788 440 é seu antecessor. F 6 Copie e complete a tabela com os arredondamentos solicitados. Número

Arredondamento para dezena

Arredondamento para centena

Arredondamento para unidade de milhar

95 273

95 270

95 300

95 000

103 459

103 460

103 500

103 000

77 488

77 490

77 500

77 000

91 311

91 310

91 300

91 000

13 419

13 420

13 400

13 000

7 Na tabela a seguir, estão indicados os valores em reais de alguns gastos que Felipe fez ao longo de uma semana. Gastos com

Quantia gasta (R$)

Gasolina

91,00

Comida

157,00

Cinema

33,00

Supermercado

272,00

Farmácia

71,00

160; 30; a) Faça o arredondamento desses valores para a dezena mais próxima. 90; 270; 70 b) Obtenha, com base nesses arredondamentos, o valor aproximado do gasto de Felipe na semana. R$ 620,00

8 Para responder às perguntas a seguir, faça arredondamentos para a dezena mais próxima. a) Uma pessoa caminha, todos os dias, 3 503 metros. Quantos metros, aproximadamente, ela terá caminhado ao final de dois dias? 7 000 metros b) Duas parcelas de R$ 48,00 correspondem a quantos reais, aproximadamente? R$ 100,00 c) Gastei a quantia de R$ 74,00 pela manhã e R$ 97,00 à tarde. Quanto gastei, aproximadamente? R$ 170,00 d) Três pessoas entraram no elevador: uma, de 68 quilogramas; outra, de 71 quilogramas; e a terceira, de 46 quilogramas. Qual é a massa total das três pessoas? 190 quilogramas Explique aos alunos a diferença entre massa e peso. No dia a dia é comum utilizar essas palavras com o mesmo sentido. Comente que massa é a quantidade de matéria de um corpo, e peso é a força c om que a Terra atrai determinada massa.

9 Aproxime cada número a seguir para a centena mais próxima. a) 93 454 93 500

b) 10 371 10 400

c) 42 098 42 100

d) 95 333 95 300

10 Aproxime cada número a seguir para dezena mais próxima. a) 93 454 93 450

b) 10 371 10 370

c) 42 098 42 100

d) 95 333 95 330

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Capítulo 4

Adição e subtração Ilustra Cartoon

José é engenheiro e Rodolfo é arquiteto. Juntos, eles vão construir um estádio de futebol para sediar os jogos dos times da cidade onde moram.

Para saber quanto terão de investir na construção, eles decidiram elaborar a tabela a seguir com a previsão dos gastos:

Obras gerais

R$ 220.500.000,00

Implantação do gramado

R$ 69.200.000,00

Arquibancada e camarotes

R$ 100.000.000,00

Show de inauguração Valor total

R$ 1.800.000,00 R$ 500.000.000,00

Para obter o total desses valores, tivemos de fazer uma adição, isto é: 220 500 000 1 69 200 000 1 100 000 000 1 1 800 000 5 391 500 000 Se José e Rodolfo optarem por não contratar o show para a inauguração do estádio, devemos tirar essa quantia do total dos gastos para descobrirmos o novo valor total, ou seja: 391 500 000  1 800 000 5 389 700 000 Nesse caso, efetuamos uma subtração. Essas duas operações aritméticas serão estudadas ao longo deste capítulo.

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Adição com números naturais O significado de adicionar está ligado à ideia de juntar, reunir, acrescentar. Os números que são adicionados são chamados de parcelas, e o resultado obtido da adição recebe a denominação de soma ou total. soma ou total

120 1 760 5 880

parcelas

Para resolver uma adição podemos utilizar diferentes estratégias, por exemplo, decompondo as parcelas. Veja o exemplo: 120 1 760 5 100 1 20 1 700 1 60 120 1 760 5 100 1 700 1 20 1 60 120 1 760 5 800 1 80 120 1 760 5 880 Que estratégias você utiliza para resolver uma adição?

Registre no

Resposta pessoal.

caderno

Exemplo 1: Efetue a adição 9 543 1 2 725 pela decomposição das parcelas.

Resolução: Pela decomposição, cada uma das parcelas é separada em unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar: 9 543 1 2 725 5 (9 000 1 500 1 40 1 3) 1 (2 000 1 700 1 20 1 5) 9 543 1 2 725 5 (9 000 1 2 000) 1 (500 1 700) 1 (40 1 20) 1 (3 1 5) 9 543 1 2 725 5 11 000 1 1 200 1 60 1 8 9 543 1 2 725 5 12 200 1 68 9 543 1 2 725 5 12 268 Os parênteses indicam os agrupamentos de parcelas.

Exemplo 2: O quadro ao lado apresenta a quantidade de habitantes dos três estados da Região Sul do Brasil, conforme Censo 2000 e Censo 2010. a) Qual era a população dessa região, conforme o Censo 2000? b) E conforme o Censo 2010?

Número de habitantes Estado

Censo 2000

Censo 2010

Paraná

9 563 458

10 439 601

Santa Catarina

5 356 360

6 249 682

Rio Grande do Sul

10 187 798

10 695 532

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e Censo Demográfico 2010.

Resolução: Para responder às duas perguntas, precisamos efetuar as duas adições. Vamos colocar as parcelas uma embaixo da outra e fazer as adições. a)

9 563 458 5 356 360 1 10 187 798 25 107 616

b)

10 439 601 6 249 682 1 10 695 532 27 384 815

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Propriedades da adição de números naturais Toda adição de números naturais está fundamentada em três propriedades: associativa, comutativa e existência do elemento neutro. Sejam quaisquer números a, b e c, que pertençam ao conjunto dos números naturais, temos: Na adição de três números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas em ordem diferente que o resultado será o mesmo. Exemplo:

1. Propriedade associativa da adição: a + (b + c) 5 (a + b) + c

15 + (20 + 13) 5 (15 + 20) + 13 15 + 33 5 35 + 13 48 5 48 Quando se inverte a ordem das parcelas de uma adição, o resultado não se altera. Exemplo:

2. Propriedade comutativa da adição: a+b5b+a

121 + 79 5 79 + 121 200 5 200 Quando se adiciona o número zero a qualquer valor natural, o resultado será o mesmo valor natural, ou seja, o zero não influencia na adição de dois números naturais. Exemplo:

3. Elemento neutro da adição: a+050+a5a

308 + 0 5 0 + 308 308 5 308

Registre no

caderno

Professor, o objetivo das duas atividades a seguir é levar o aluno a sistematizar as propriedades comutativa e associativa da adição. São atividades para fazer em duplas ou grupos de até três alunos.

Trabalho em equipe

1 Considerem que as letras a e b representam dois números naturais. Atribuam seis números naturais para a e seis números naturais para b, completando a tabela com os resultados a 1 b e b 1 a.

a

b

a1b

b1a









Agora respondam às questões Professor, oriente os alunos a utilizarem a calculadora nesta atividade. a) O que acontece quando mudamos a ordem das parcelas numa adição de dois números naturais? A soma é a mesma. b) Se o zero for uma das parcelas da adição, o que ocorrerá? Qualquer número natural ao ser adicionado ao número zero é também o valor da soma.

2 Atribuam seis valores para x, seis valores para y e seis para z. Os valores deverão ser maiores que o número 100. Utilize uma calculadora para obter os resultados das adições. Calcule primeiro a adição indicada dentro dos parênteses.

x

y

z

x 1 (y 1 z)

(x 1 y) 1 z











Agora respondam à questão a seguir. Qual é a conclusão de vocês a respeito dos resultados de x 1 (y 1 z) e de (x 1 y) 1 z? São iguais.

34 pom6_010_067_u1.indd 34

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Resolva as seguintes adições: a) 9 364 1 12 388 21 752 b) 102 455 1 390 675 493 130 c) 9 034 1 100 346 109 380

d) 32 810 1 44 290 77 100 e) 72 459 1 102 240 174 699 f) 144 832 1 700 444 845 276

g) 9 543 1 3 459 13 002 h) 20 450 1 45 204 65 654

2 Resolva as seguintes adições por meio da decomposição das parcelas: a) 934 1 128 1 062 b) 102 1 675 777 c) 234 1 546 780

d) 810 1 290 1 100 e) 2 422 1 2 240 4 662 f) 4 835 1 2 424 7 259

g) 943 1 309 1 252 h) 451 1 454 905

3 Calcule a soma dos números 453, 107 e 232, efetuando, primeiro, a adição indicada entre parênteses. a) 453 1 (107 1 232)

b) (453 1 107) 1 232

453 1 339 5 792

4 Resolva os problemas a seguir.

c) (453 1 232) 1 107

560 1 232 5 792

685 1 107 5 792

a) Pela manhã, as vendas em um supermercado arrecadaram R$ 9.574,00. Já no perío­do da tarde o valor foi de R$ 5.370,00 e, à noite, R$ 4.550,00. Qual foi a arrecadação total desse supermercado? R$ 19.494,00 b) A tabela a seguir apresenta a quantidade de refeições que o restaurante de uma grande indústria serviu a seus funcionários, de segunda a sexta­‑feira, no horário do almoço e do jantar, em determinada semana: Dia da semana

segunda-feira

terça-feira

quarta-feira

quinta-feira

sexta-feira

Almoço

1 250

1 112

990

1 030

1 120

Jantar

660

452

345

552

463

• Em qual dia da semana foram servidas mais refeições? Quantas? segunda-feira; 1 910 refeições. • Em qual dia da semana foram servidas menos refeições? Quantas? quarta-feira; 1 335 refeições. • Quantos almoços foram servidos durante a semana? 5 502 almoços. • E quantos jantares? 2 472 jantares. • Em sua opinião, por que a quantidade de refeições servidas é diferente em cada dia da semana? Por que a quantidade de jantares servidos é menor que a quantidade de almoços? Resposta pessoal. Sugestões para respostas: Os funcionários podem levar comida preparada em casa e não comer no restaurante alguns dias da semana; ou os funcionários talvez trabalhem em turnos e dias alternados etc.

Rogério Reis/Pulsar Imagens

c) Gabriel viajou, de carro, de Salvador para Aracaju e percorreu 356 quilômetros. Depois, foi de Aracaju a Maceió, percorrendo uma distância de 294 quilômetros. Finalmente, percorreu 285 quilômetros de Maceió até Recife. Ele passou uma semana em Recife, então fez todo o caminho de volta passando pelas mesmas estradas da ida. Qual foi a distância total percorrida? Casarios históricos no Pelourinho, Salvador (BA). 1 870 quilômetros.

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Subtração com números naturais O significado de subtrair está ligado à ideia de diminuir, tirar (quanto sobra), completar (quanto falta), comparar (quanto a mais ou a menos). Os termos da subtração são chamados de minuendo e subtraendo, como você pode ver a seguir. O resultado obtido da subtração recebe a denominação de diferença. 920 2 360 5 560 minuendo

diferença

subtraendo

Para saber se uma subtração está correta, basta adicionar a diferença ao subtraendo e verificar se o resultado é o minuendo. Assim, no exemplo: 920 2 360 5 560, fazemos: 560 1 360 5 920.

Exemplo:

Waldomiro Neto

Numa maratona, cada atleta deve percorrer 42 195 metros. Quem participa sabe que é necessário treinar bastante para completar a prova. Marcos se preparou muito, porém, quando faltavam 3 432 metros, precisou parar. Qual foi a distância que ele percorreu na maratona?

Resolução:

Como faltavam 3 432 metros para completar 42 195 metros, devemos efetuar uma subtração: 42 195 2 3 432 5 38 763 Portanto, Marcos percorreu 38 763 metros.

Trabalho em equipe

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caderno

Será que as mesmas propriedades da adição (associativa, comutativa e elemento neutro) se aplicam à subtração? Vamos descobrir! Em trio, teste as propriedades da adição estudadas em subtrações. Vocês devem apresentar uma decisão à turma dizendo se as mesmas propriedades são válidas ou não para as subtrações. Justifiquem as decisões com exemplos (quando possível). Resposta pessoal. Consulte o Manual do Professor.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Resolva as seguintes subtrações. a) 934 2 128 806 b) 2 902 2 1 675 1 227 c) 4 234 2 1 546 2 688

d) 9 810 2 3 290 6 520 e) 2 422 2 1 211 1 211 f) 4 835 2 2 424 2 411

2 Observe ao lado o quadro que apresenta o número de habitantes dos estados da Região Sul, conforme Censo 2000 e Censo 2010. Qual dos estados teve o maior aumento do número de habitantes de 2000 a 2010? Santa Catarina. Professor, esse crescimento foi maior não apenas em número de habitantes como também percentualmente.

g) 943 2 309 634 h) 8 451 2 3 454 4 997

Número de habitantes Estado

Censo 2000

Censo 2010

Paraná

9 563 458

10 439 601

Santa Catarina

5 356 360

6 249 682

Rio Grande do Sul

10 187 798

10 695 532

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e Censo Demográfico 2010.

3 Resolva os problemas a seguir.

a) Quando são retiradas as poltronas do Teatro Riachuelo, em Natal (RN), a plateia se transforma num grande salão, podendo receber 2 495 pessoas. Em determinado dia de espetáculo, compareceram 1 714 pessoas. Quantas pessoas ainda caberiam no salão? 781 pessoas

b) Em uma viagem de carro de Curitiba a São Paulo, a família de Antônio percorreu 127 quilômetros até parar em um posto para almoçar. Considerando-se que a distância entre as duas cidades é de 385 quilômetros, quanto ainda terão de percorrer após o almoço? 258 quilômetros 4 O quadro abaixo contém a população brasileira por região, conforme censos de 2000 e 2010. Número de habitantes Região

Censo 2000

Censo 2010

Norte

12 900 704

15 865 678

Nordeste

47 741 711

53 078 137

Sudeste

72 412 411

80 353 724

Sul

25 107 616

27 384 815

Centro-Oeste

11 636 728

14 050 340

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e Censo Demográfico 2010.

a) Faça essa tabela no caderno colocando as regiões em ordem crescente de população. Nesta ordem: Centro-Oeste, Norte, Sul, Nordeste, Sudeste.

b) De 2000 a 2010, qual foi a região em que o número de habitantes mais aumentou? Sudeste. c) E a região em que aumentou menos em número de habitantes? Sul.

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Expressões numéricas Existem situações em que temos de efetuar mais de uma operação aritmética. Quando isso ocorre, estamos diante de uma expressão aritmética. Para evitar confusão na ordem em que as operações são efetuadas, são usados os chamados sinais de associação:

( ) 

 parênteses

[ ] 

 colchetes

{ } 

 chaves

Esses sinais indicam a ordem em que devemos efetuar as operações: primeiro, resolvemos o que está entre parênteses; depois, o que está entre colchetes; e, por último, o que aparece entre chaves. Veja um exemplo de expressão aritmética: 150 2 {15 1 [70 1 (180 2 20)] 2 120} Iniciamos calculando 180 2 20

Observe atentamente os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Obtenha o valor da expressão numérica: 150 2 {15 1 [70 1 (180 2 20)] 2 120}

Resolução: Como foi dito anteriormente, inicialmente devemos resolver o que está entre parênteses, então, aquilo que está entre colchetes e, finalmente, o que estiver entre chaves: 150 2 {15 1 [70 1 (180 2 20)] 2 120} 5 5 150 2 {15 1 [70 1 160] 2 120} 5 5 150 2 {15 1 230 2 120} 5 5 150 2 {245 2 120} 5 5 150 2 125 5 5 25

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão numérica: {20 1 [15 2 (350 2 340) 1 (280 2 100)] 1 45}

Resolução: {20 1 [15 2 (350 2 340) 1 (280 2 100)] 1 45} 5 5 {20 1 [15 2 10 1 180] 1 45} 5 5 {20 1 185 1 45} 5 5 250

Importante! VV Quando a expressão numérica contém apenas adições e subtrações, sem sinais de associação, as operações

são realizadas na ordem em que aparecem.

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Cálculo mental O valor que você deve pagar é 7 reais. Se me pagar com 1 cédula de 10 reais e outra de 2 reais, o troco...

Já sei! O troco será 5 reais. Assim, você me dará apenas 1 cédula de 5 reais como troco.

Ilustrações: Marcio Levyman

Leia com bastante atenção o diálogo no caixa de um supermercado:

Algumas pessoas conseguem fazer determinadas operações aritméticas mentalmente e bem rápido. Aos poucos, você também poderá realizá-las. Para que isso ocorra, confira algumas propostas apoiadas nas propriedades da adição que estudamos. Procure identificar quais foram as propriedades utilizadas nos exemplos a seguir.

Exemplo 1: Márcia precisava calcular mentalmente o resultado da adição: 157 1 33. Observe como ela calculou: 157 1 33 5 157 1 30 1 3 5 187 1 3 5 190 Primeiro, ela adicionou 157 a 30, depois, adicionou o resultado obtido a 3.

Exemplo 2: Agora veja como Márcia procedeu para efetuar a subtração destes dois números: 157 2 33 5 157 2 30 2 3 5 127 2 3 5 124 Ela fez a decomposição do subtraendo: subtraiu 30 e, depois, 3.

Exemplo 3: Para efetuar a subtração 993 2 289, Marcos tem um truque bem legal: 993 2 289 5 (993 1 1) 2 (289 1 1) 5 994 2 290 5 704 A dica de Marcos é acrescentar 1 unidade tanto ao minuendo quanto ao subtraendo. Na página 34 foram apresentadas três propriedades da adição, sendo duas delas muito importantes e úteis para o cálculo mental: Para a, b e c pertencentes ao conjunto . Propriedade comutativa

a1b5b1a Numa adição, a ordem das parcelas não altera a soma. Propriedade associativa

a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c Numa adição, a soma será sempre a mesma independente da ordem de associação das parcelas.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Informe o valor de cada expressão numérica a seguir: a) 1 150 2 350 1 180 980 b) 1 150 2 (350 1 180) 620 c) 930 1 70 2 480 520

d) (930 1 70) 2 480 520 e) 1 200 2 [(800 2 300) 1 400] 2 100 200 f) 1 200 2 {800 2 [(300 1 400) 2 100]} 1 000

2 Responda às questões a seguir.

5 (987 1 1) 2 (199 1 1) 5 5 988 2 200 5 5 788

3 Utilizando o mesmo procedimento de Luíza, efetue as seguintes subtrações: a) 783 2 259 524

c) 753 2 499 254

b) 597 2 359 238

d) 437 2 198 239

Ilustrações: Marcio Levyman

a) Numa adição de duas parcelas, quando aumentamos uma delas em 100 unidades, o que acontece com o resultado? Aumenta em 100 unidades. b) Numa subtração, se acrescentarmos 30 unidades ao minuendo e 20 unidades ao Observe meu truque subtraendo, o que acontecerá com o repara efetuar a subtração: sultado? Aumenta em 10 unidades. 987 2 199 5

4 Observe como Júlia calculou 297 2 98 mentalmente. 299 2 100 5 199

Explique como ela efetuou a subtração indicada.

Adicionou 2 unidades ao minuendo e ao subtraendo, e o resultado não se altera.

5 Escreva V ou F conforme cada igualdade a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente. c) 1 100 2 451 5 1 101 2 450 F d) 1 100 2 451 5 1 099 2 450 V

a) 1 500 1 900 5 1 000 1 900 1 500 V b) 932 2 479 5 933 2 480 V

6 Copie e complete a tabela com os valores que estão faltando. Valor da compra (R$)

Quantia dada (R$)

Troco a receber (R$)

278,00

300,00

22,00

172,00

200,00

28,00

713,00

750,00

37,00

439,00

500,00

61,00

75,00

100,00

25,00

336,00

350,00

14,00

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Capítulo 5

Multiplicação e divisão 60°O

VENEZUELA COLÔMBIA

RR

SURINAME

GUIANA

40°O

Guiana Francesa (FRA)

AP

Equador 0°

0°

Arq. de Fernando de Noronha

Fortaleza AM

A distância aérea entre Porto Alegre, capital do Rio Grande do Sul, e Fortaleza, capital do Ceará, é de, aproximadamente, 4 250 quilômetros. Para cobrir essa distância em 5 horas, a velocidade média de um avião deve ser de 850 quilômetros por hora.

PA

TO BA

MT GO

BOLÍVIA

MG SP

PARAGUAI

CHILE

OCEANO ATLÂNTICO

DF

MS

20°S

OCEANO PACÍFICO

RN PB PE AL SE

PI RO

PERU

CE

MA

AC

ES RJ

Trópico de Capricórnio N

PR SC

ARGENTINA RS

Limites estaduais Limites internacionais

© DAE/Sonia Vaz

Brasil – Político

O

Porto Alegre

L S

0

485

URUGUAI

970 km

1 : 48 500 000

Fonte: geográficoescolar escolar. Janeiro: IBGE, 2012. p. 90. Fonte: Atlas Atlas geográfico . 6.6.ed.ed.RioRiodedeJaneiro: IBGE, 2012. p. 90.

850 1 850 1 850 1 850 1 850 5 4 250



5 vezes 850 resulta em 4 250 (multiplicação)

Também é possível dividir a distância de 4 250 quilômetros por 5 horas, e o resultado será 850, que indica a velocidade do avião em quilômetros por hora. Neste capítulo estudaremos tanto a multiplicação quanto a divisão.

Multiplicação com números naturais

A multiplicação pode estar associada à ideia de adição de parcelas iguais. Assim, quando pagamos 5 parcelas de 50 reais, por exemplo, estamos pagando ao todo 250 reais. Isso pode ser representado da seguinte forma: 50 1 50 1 50 1 50 1 50 5 250 ou 5 3 50 5 250 No exemplo, os números 5 e 50 são chamados de fatores, e o resultado da multiplicação, isto é, 250, é o produto. Veja outros exemplos. • 7 3 25 5 25 1 25 1 25 1 25 1 25 1 25 1 25 5 175 • 2 3 3 3 10 5 3 3 10 1 3 3 10 5 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 5 60 • 2 3 3 5 3 1 3 5 6

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AGORA É COM VOCÊ

1 Use a multiplicação para calcular o número de quadrados de menor área em que o painel retangular abaixo está dividido. 8 3 16 5 128

© Banco Central do Brasil

2 Utilize a multiplicação e informe a quantia em reais correspondente a: 9 3 20 5 180; 180 reais

3 Na Escola Estudando Feliz há 7 turmas, com 25 alunos em cada uma. Quantos são os alunos dessa escola ao todo? 175 alunos 4 Para calcular o resultado da multiplicação anterior, você pode fazer a decomposição de um dos fatores e, depois, multiplicar. Veja o exemplo: 7 3 25 5 7 3 (20 1 5) 5 7 3 20 1 7 3 5 5 140 1 35 5 175 Utilize esse procedimento para efetuar as seguintes multiplicações: a) 8 3 73 584 c) 7 3 469 3 283 e) 25 3 87 2 175 g) 43 3 64 2 752 b) 9 3 246 2 214 d) 5 3 9 174 45 870 f) 87 3 54 4 698 h) 25 3 123 3 075 5 As três pilhas de cubos coloridos estão completas. Cada pilha tem o mesmo número de cubos por camada.

Setup

A quantidade de cubos em cada pilha pode ser representada por uma multiplicação com três fatores. Relacione as multiplicações com as cores dos cubos.

2 3 2 3 2 amarela

3 3 3 3 3 verde

2 3 3 3 3 azul

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6 Na multiplicação, os arredondamentos também são comuns quando se deseja fazer estimativas em relação a produtos. Observe, a seguir, algumas estimativas de produtos nas multiplicações: • 5 3 71 reais  5 3 70 reais 5 350 reais • 6 3 98 metros  6 3 100 metros 5 600 metros • 9 3 119 horas  9 3 120 horas 5 1 080 horas

Atenção!

Utilize arredondamentos para o cálculo aproximado dos produtos a seguir. a) 8 ? 997 quilogramas 8 000 quilogramas b) 7 ? 1 002 quilômetros 7 000 quilômetros c) 12 ? 499 horas 6 000 horas

VV No lugar do sinal 3 para

VV O símbolo de aproximadamente

é . multiplicação, podemos utilizar um ponto entre os fatores: 7 3 13 5 7 ? 13

7 Um carro bem econômico anda 12 quilômetros com apenas 1 litro de gasolina. Quantos quilômetros esse carro percorrerá com: a) 3 litros de gasolina?

b) 10 litros de gasolina?

36 quilômetros

120 quilômetros

c) 20 litros de gasolina?

240 quilômetros

8 A turma do 6o ano quer fazer uma festa no final do ano e os alunos se organizaram para vender suco natural no horário do lanche para conseguir o dinheiro necessário. Veja no gráfico a quantidade de copos de suco que eles venderam durante o ano. Venda de suco natural Quantidade de copos 30 25 20 15 venda de suco natural

10 5 novembro

dezembro

outubro

agosto

setembro

julho

junho

maio

abril

março

fevereiro

Mês janeiro

0

a) Que procedimentos você pode utilizar para calcular rapidamente a quantidade total pessoal. Sugestão para resposta: de copos de suco vendidos no ano? Resposta 2  15  2  25  20  3  10  3  5  145 copos. Mostre a um colega os cálculos que você fez e veja se ele usou as mesmas estratégias. b) Sabendo-se que cada copo de suco foi vendido a R$ 3,00, quantos reais os alunos arrecadaram no total? 145  R$ 3,00  R$ 435,00 c) Observando o gráfico, que outras informações podemos extrair dessa experiência realizada pela turma do 6o ano? Resposta pessoal. 9 Sônia precisava resolver duas operações e decidiu usar a calculadora. Ao iniciar percebeu que a tecla do número 7 não estava funcionando. E agora? Como ela pode resolver as operações 740  26 e 27  74 sem utilizar a tecla 7?

Uma das possíveis respostas: 740  26  640  26  100  26  19 240 27  74  (64  10)  3  9  1 998

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Eduardo Belmiro

10 Considere que o cubo ao lado é formado por 4 camadas de cubos menores. Em cada camada, os cubos estão distribuídos em 4 linhas e 4 colunas. Represente a quantidade total de cubos por meio de uma multiplicação com três fatores. 4 3 4 3 4 5 64

b) 12 345 679 3 18 222 222 222

g) 12 345 679 3 63 777 777 777

c) 12 345 679 3 27 333 333 333

h) 12 345 679 3 72 888 888 888

d) 12 345 679 3 36 444 444 444

i) 12 345 679 3 81 999 999 999

Graja/Shutterstock

11 Faça as multiplicações a seguir na calculadora e observe os resultados obtidos. f) 12 345 679 3 54 666 666 666 a) 12 345 679 3 9 111 111 111

e) 12 345 679 3 45 555 555 555 Experimente multiplicar qualquer número que tenha três algarismos por 1 001. Você encontrará um resultado muito interessante. Os algarismos do número aparecem nas classes das unidades e dos milhares.

12 Efetue as seguintes multiplicações: a) 7 3 426 2 982

e) 4 3 987 3 948

b) 8 3 342 2 736

f) 3 3 2 225 6 675

c) 5 3 923 4 615

g) 12 3 42 504

d) 6 3 704 4 224

h) 11 3 18 198

13 Faça as seguintes multiplicações observando padrões numéricos e resolvendo-as mentalmente. a) 7 3 2 5 14

d) 5 3 9 5 45

g) 2 3 16 5 32

7 3 20 5 140

5 3 90 5 450

2 3 160 5 320

7 3 200 5 1 400

5 3 900 5 4 500

2 3 1 600 5 3 200

7 3 2 000 5 14 000

5 3 9 000 5 45 000

2 3 16 000 5 32 000

b) 3 3 8 5 24

e) 11 3 8 5 88

h) 25 3 2 5 50

3 3 80 5 240

11 3 80 5 880

25 3 20 5 500

3 3 800 5 2 400

11 3 800 5 8 800

25 3 200 5 5 000

3 3 8 000 5 24 000

11 3 8 000 5 88 000

25 3 2 000 5 50 000

c) 8 3 7 5 56

f) 13 3 5 5 65

i) 31 3 3 5 93

8 3 70 5 560

13 3 50 5 650

31 3 30 5 930

8 3 700 5 5 600

13 3 500 5 6 500

31 3 300 5 9 300

8 3 7 000 5 56 000

13 3 5 000 5 65 000

31 3 3 000 5 93 000

14 Responda indicando a multiplicação que corresponde à pergunta. a) Se um dia tem 24 horas e uma semana tem 7 dias, quantas horas há em 1 semana? 168 horas b) Se uma dúzia de maçãs são 12 maçãs, quantas maçãs há em 5 dúzias? 60 maçãs c) Se 1 hora tem 60 minutos e um dia tem 24 horas, quantos minutos há em 1 dia? 1 440 minutos d) Se 1 quilômetro tem 1 000 metros, quantos metros há em 20 quilômetros? 20 000 metros

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Waldomiro Neto

Propriedades da multiplicação de números naturais e expressões numéricas Propriedade comutativa Valéria adora se vestir com camiseta e calça, sempre bem coloridas. Em seu armário há 6 camisetas e 4 calças. Para saber de quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir escolhendo uma camiseta e uma calça, Valéria deverá efetuar uma multiplicação.

Eduardo Belmiro

Verifique a tabela a seguir.

Este é um exemplo de cálculo combinatório (número de possibilidades), ou seja, é o número de camisetas multiplicado pelo número de calças, ou o número de calças multiplicado pelo número de camisetas. Portanto, são 24 maneiras diferentes de vestir uma camiseta e uma calça. Nesse cálculo, apareceu uma propriedade importante da multiplicação, a comutativa. 6 ? 4 5 24 ou 4 ? 6 5 24 A ordem dos fatores não altera o produto.

Propriedade comutativa Numa multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Sejam quaisquer números a e b que pertençam ao conjunto dos números naturais. a?b5b?a

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Propriedade distributiva

Setup

Além da propriedade comutativa da multiplicação, existe outra que é muito utilizada. É a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou subtração). Você já usou essa propriedade neste capítulo. Para compreendê-la, observe a figura a seguir, formada por quadrados coloridos dispostos em linhas e colunas (ideia de organização retangular).

6 linhas

10 colunas

8 colunas

Para saber quantos quadradinhos coloridos há nessa figura, basta fazer a seguinte multiplicação: 6 ? (10 1 8) 5 6 ? 10 1 6 ? 8 5 60 1 48 5 108 Assim, acabamos de utilizar uma propriedade da multiplicação, a distributiva.

Propriedade distributiva Na multiplicação de um número por uma adição, cada parcela desta é multiplicada pelo número e os resultados são adicionados. Sejam quaisquer números a, b e c que pertençam ao conjunto dos números naturais. a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c Propriedade associativa Quando multiplicamos três ou mais números, podemos efetuar a operação com os fatores em qualquer ordem, isto é, podemos fazer qualquer associação dos fatores e o resultado permanecerá o mesmo. Veja o exemplo. 2 ? 3 ? 4 5 (2 ? 3) ? 4 5 2 ? (3 ? 4) 5 3 ? (2 ? 4) Nesse exemplo, os parênteses estão indicando a ordem em que fazemos a multiplicação. Esta é a chamada propriedade associativa da multiplicação.

Propriedade associativa Numa multiplicação de dois ou mais números, todas as associações possíveis têm o mesmo resultado. Sejam quaisquer números a, b e c que pertençam ao conjunto dos números naturais. a ? (b ? c) 5 (a ? b) ? c Elemento neutro

Exemplo: 15 ? 1 5 1 ? 15 5 15

Propriedade do elemento neutro Quando multiplicamos qualquer número a que pertença ao conjunto dos números naturais por 1, obtemos como resultado o próprio número natural. a?151?a5a

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AGORA É COM VOCÊ Atenção! 1 Resolva a seguinte expressão numérica: 2 1 {3 1 40 2 [7 2 9 ? (8 2 2 ? 4)]} 38 2 Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração (ou adição), calcule o valor numérico da expressão: 7 ? (1 000 2 30). 6 790

VV Expressões numéricas que contêm adições,

subtrações e multiplicações devem ser resolvidas observando-se a ordem dos parênteses, colchetes e chaves. Quanto às operações, primeiro é feita a multiplicação e, depois, a adição e a subtração, na ordem em que estas duas últimas aparecem.

3 Resolva as seguintes expressões numéricas: a) 2 ? {23 1 4 ? [200 ? 18 2 5 ? (9 ? 70 2 3 ? 40)]} 8 446 b) 10 ? 135 2 {450 2 3 ? [2 ? (25 2 5 ? 4)]} 930 c) {350 1 3 ? 500 2 [600 2 5 ? (4 1 3 ? 7)]} 1 4 ? 90 1 735 4 Resolva os seguintes problemas: © Banco Central do Brasil

a) A turma de uma sala de aula foi dividida em 8 equipes, cada equipe com 3 alunos. Cada aluno tinha 5 reais. Quantos reais ao todo havia com a turma? 120 reais

b) Marcos está se preparando para uma prova de corrida em sua cidade. Todos os dias ele corre 2 quilômetros pela manhã e outros 5 quilômetros à tarde. Ao final de 12 dias de preparação, quantos quilômetros terá corrido? 84 quilômetros c) No estacionamento da escola havia bicicletas e automóveis. Mateus contou 72 pneus ao todo, e disse que o número de bicicletas era o mesmo que o número de automóveis. Quantas eram as bicicletas? E os automóveis? 12 bicicletas; 12 automóveis d) Marta comprou uma geladeira em 3 prestações iguais a R$ 215,00 e um fogão em 3 prestações iguais a R$ 132,00. Quanto Marta pagou no total, no final das prestações?

ppart/Shu

tterstock

Gl0ck33/Dreamstime.com

R$ 1.041,00

5 Descubra qual dos sinais: 1 (adição), 2 (subtração) ou 3 (multiplicação) deve ser colocado em cada quadradinho para que as igualdades apresentadas sejam verdadeiras. a) 8

8 3

b) (8

8 1

8) 1

c) 8

8 3

8 3

8 5 80 8 5 120 2

8 3

(ou 1 3 1 ou 1 1 3)

1

8 5 520 (ou 1 3 3) 1

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Divisão com números naturais cobalt88/Shutterstock

É comum efetuarmos a compra de bens de consumo em parcelas. Roberta comprou um aparelho de televisão no valor de R$ 1.288,00, em 7 parcelas de mesmo valor. Para saber o valor de cada parcela, fazemos a seguinte divisão: quociente

1 288 4 7 5 184 dividendo

divisor

Portanto, Roberta deverá pagar 7 parcelas no valor de R$ 184,00 cada. Note que, nesse exemplo, a divisão está sendo associada à ideia de repartir igualmente. Observe agora um exemplo em que a divisão está associada à ideia de medida (quantos cabem).

Exemplo: Em um supermercado, 144 latas de refrigerante serão embaladas em caixas que contêm 6 latas cada uma. Qual é o total de caixas?

Resolução: 144 4 6 5 24 Portanto, serão 24 caixas. A divisão é a operação inversa da multiplicação. Assim, voltando ao exemplo da compra da televisão, podemos relacionar essas duas operações aritméticas da seguinte forma: 1 288 4 7 5 184, pois 7 3 184 5 1 288 A multiplicação pode ser interpretada como a adição de parcelas iguais e a divisão como a subtração de subtraendos iguais. Veja: 1 288 2 184 1 104 2 184 920 2 184 736 2 184 552 2 184 368 2 184 184 2 184 0

7 subtrações sucessivas de 184

7 3 184 5 184 1 184 1 184 1 184 1 184 1 184 1 184 5 1 288 7 parcelas

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AGORA É COM VOCÊ

1 Copie e complete a tabela a seguir com o quociente correspondente a cada divisão.

0435

0

0445

0

0455

0

0465

0

0475

0

0485

0

3435

1

4445

1

5455

1

6465

1

7475

1

8485

1

6435

2

8445

2

10 4 5 5

2

12 4 6 5

2

14 4 7 5

2

16 4 8 5

2

9435

3

12 4 4 5

3

15 4 5 5

3

18 4 6 5

3

21 4 7 5

3

24 4 8 5

3

12 4 3 5

4

16 4 4 5

4

20 4 5 5

4

24 4 6 5

4

28 4 7 5

4

32 4 8 5

4

15 4 3 5

5

20 4 4 5

5

25 4 5 5

5

30 4 6 5

5

35 4 7 5

5

40 4 8 5

5

18 4 3 5

6

24 4 4 5

6

30 4 5 5

6

36 4 6 5

6

42 4 7 5

6

48 4 8 5

6

21 4 3 5

7

28 4 4 5

7

35 4 5 5

7

42 4 6 5

7

49 4 7 5

7

56 4 8 5

7

24 4 3 5

8

32 4 4 5

8

40 4 5 5

8

48 4 6 5

8

56 4 7 5

8

64 4 8 5

8

27 4 3 5

9

36 4 4 5

9

45 4 5 5

9

54 4 6 5

9

63 4 7 5

9

72 4 8 5

9

30 4 3 5

10

40 4 4 5

10

50 4 5 5

10

60 4 6 5

10

70 4 7 5

10

80 4 8 5

10

Agora responda: a) Qual é o resultado da divisão de zero por um número diferente de zero? 0 b) Quando o quociente de uma divisão é igual ao número 1? 2 Efetue cada uma das seguintes divisões: a) 420 4 7 60 c) 250 4 5 50 b) 650 4 10 65 d) 6 400 4 4 1 600

e) 900 4 9 100 f) 880 4 8 110

3 Vimos que na divisão cada termo recebe uma denominação, como no exemplo a seguir: quociente

300  15 5 20 dividendo

divisor

Quando o dividendo e o divisor são iguais.

g) 343 4 7 49 h) 2 430 4 3 810

Atenção! VV No lugar do sinal para divisão ÷,

podemos utilizar dois-pontos entre o dividendo e o divisor: 48 4 6 5 48 : 6

Responda: a) Qual é o quociente de uma divisão, se o dividendo é o dobro do divisor? 2 b) Qual é o quociente de uma divisão, se o dividendo é o triplo do divisor? 3 c) O quociente é 10 e o dividendo é 20. Qual é o divisor? 2 d) O quociente é 10 e o divisor é 20. Qual é o dividendo? 200 4 Os 45 alunos das duas turmas do 6o ano foram divididos em equipes, com 5 alunos em cada equipe. Quantas equipes foram formadas? 9 equipes 5 Efetue as seguintes divisões observando padrões numéricos e calculando-as mentalmente. a) 14 : 2 7 140 : 2 70 1 400 : 2 700 14 000 : 2 7 000

b) 32 : 8 4 320 : 8 40 3 200 : 8 400 32 000 : 8 4 000

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e) 11 : 11 1

c) 81 : 9 9 810 : 9 90

110 : 11 10

8 100 : 9 900

1 100 : 11 100

81 000 : 9 9 000

11 000 : 11 1 000 f) 45 : 5

d) 56 : 4 14

9

560 : 4 140

450 : 5 90

5 600 : 4 1 400

4 500 : 5 900

56 000 : 4 14 000

45 000 : 5 9 000

6 Copie e complete a tabela a seguir com os valores que estão faltando. Utilize uma calculadora para efetuar as divisões (ou multiplicações). Dividendo

Divisor

Quociente

9 570

11

870

3 125

25

125

3 459

3

1 153

10 120

4

2 530

1 776

8

222

35 500

20

1 775

45 760

8

5 720

Atenção! VV Expressões numéricas que contêm adições, subtrações, multiplicações e divisões devem ser resolvidas

de acordo com a ordem dos parênteses, colchetes e chaves. Quanto às operações, primeiro é feita a multiplicação ou a divisão (aquela que aparece antes) e depois a adição e a subtração, na ordem em que elas aparecem.

7 Resolva as seguintes expressões numéricas: a) 20 1 2 ? {900 2 2 000 ; 20 1 [100 1 5 ? (700 2 100 ? 5)]} 3 820 b) {100  5 1 2 ? 40  [90  9  2 ? (800  10 ? 80)]}  17 ? 3

39

8 Resolva os problemas a seguir. a) A escola realizará uma vista ao museu. Os 320 alunos irão de ônibus escolar, cuja capacidade é de 20 lugares. Como há apenas um ônibus na escola, quantas viagens deverão ser feitas para que todos os alunos possam visitar o museu? 16 viagens b) Uma compra no valor de R$ 2.750,00 será paga com uma entrada de R$ 750,00 e o restante em 4 parcelas iguais, sem acréscimo. Qual é o valor de cada parcela? R$ 500,00 c) Num restaurante, uma sobremesa especial para 20 pessoas é feita com 1 dúzia de maçãs. No final de semana, 300 pessoas comeram essa sobremesa. Quantas dúzias de maçãs foram necessárias para fazer o mesmo tipo de sobremesa para essas pessoas? 15 dúzias

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DIVERSIFICANDO LINGUAGENS

Disponível em: ,http:portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56306.. Acesso em: abr. 2015.

Responda: 1 Por que a professora ficou nervosa com Gaturro? Porque ele deu a resposta errada, por não ter entendido a pergunta.

2 Qual era a resposta que ela esperava ouvir? 16 3 Qual é o significado de 4 × 4 na revista que Gaturro está lendo? Termo utilizado para definir a configuração de tração de veículos; nesse caso, menciona-se a tração nas quatro rodas.

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CONEXÕES

Anton Starikov/Dreamstime.com

As calculadoras muitas vezes possibilitam que façamos algumas descobertas bastante interessantes. Uma delas diz respeito à divisão, que você poderá descobrir sozinho. Agora, com o auxílio de uma calculadora, faça o que se pede a seguir. Digite um número com 4 algarismos, em que os dois primeiros sejam iguais aos dois últimos (exemplos: 4 848, 9 191, 3 434 etc.) Divida qualquer um desses números por 101. O que você descobriu? O resultado é igual ao número formado com os dois primeiros algarismos do dividendo.

Digite um número com 6 algarismos, em que os três primeiros sejam iguais aos três últimos (exemplos: 481 481, 921 921, 345 345 etc.) Divida qualquer um desses números por 1 001. O que você descobriu?

O resultado é igual ao número formado com os três primeiros algarismos do dividendo.

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Divisão com resto

Rita Barreto

Rita Barreto

Uma grande indústria, depois de embalar suco de uva em pequenas garrafas, utiliza engradados feitos de papelão para acondicionar 12 garrafas. Esse procedimento facilita o armazenamento e também a distribuição.

Num determinado dia foram produzidas 5 000 garrafas de suco. Para saber quantas embalagens de papelão seriam necessárias, o gerente fez a seguinte divisão: divisor

dividendo

5 000 2 4 992 resto

8

12 416 quociente

De acordo com essa divisão, serão necessárias 416 caixas e ainda sobrarão 8 garrafas sem embalagem. Uma divisão é exata quando o resto é igual a zero. Caso o resto não seja zero, dizemos que a divisão não é exata. Voltando ao exemplo, podemos escrever a seguinte igualdade: 5 000 5 12 ? 416 1 8 Relação fundamental da divisão Numa divisão, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente e adicionado ao resto. Dividendo  divisor  quociente  resto Essa relação pode ser utilizada para conferir o resultado de uma divisão. O resto nunca pode ser maior que ou igual ao divisor; por exemplo, se o divisor for 4, os possíveis restos serão 0, 1, 2 e 3.

Expressões numéricas Agora vamos organizar as quatro operações em uma única expressão numérica. Lembre-se da ordem das associações utilizadas nas expressões numéricas: parênteses, colchetes e chaves. Após respeitar essa ordem é necessário considerar a ordem das operações: 1º multiplicação ou divisão, 2º adição ou subtração.

Exemplo:

52

45  {2  [18  (24  4)]  0  121}   45  {2  [18  6]  0}   45  {2  12}   45  24  21

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AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as divisões indicando o quociente e o resto. a) 455 4 10 45; 5 b) 9 322 4 9 1 035; 7 c) 6 802 4 8 850; 2 d) 7 421 4 6 1 236; 5 e) 8 543 4 7 1 220; 3 f) 8 999 4 5 1 799; 4

2 Para um trabalho de pesquisa, os 47 alunos de duas turmas do 6o ano foram divididos em equipes de 8 alunos. Todos os alunos puderam ser inseridos nestas equipes? Por quê? Não, sete alunos ficaram sem equipe, pois 5  8  7  47

3 Quando dividimos um número natural por 8, quais são os restos possíveis? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 4 O professor de Educação Física resolveu organizar um campeonato de futebol de salão na escola. Os 133 alunos deverão ser divididos em equipes, com 5 alunos cada. Determine o número máximo de equipes que podem ser formadas e verifique se sobrarão alunos. Andresr/Shutterstock

26 equipes e sobram 3 alunos

5 Resolva a expressão numérica: 2 1 3 ? {100 2 2 ? 40 1 [90 2 10 ? (7 2 10 4 5)]} 182 6 Resolva os seguintes problemas: a) Foram compradas 1 744 poltronas para a inauguração de um novo teatro. • Se essas poltronas forem distribuídas igualmente em 20 filas, quantas poltronas haverá por fila? 87 poltronas. Eduardo Belmiro

• Sobrarão poltronas? Sim, 4 poltronas. • E se elas forem distribuídas igualmente em 30 filas, quantas poltronas terá em cada fila? 58 poltronas. • Sobrariam poltronas?

Sim, 4 poltronas.

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b) A quantia de R$ 4.850,00 deve ser paga em notas de R$ 100,00 e em notas de R$ 50,00 apenas. Responda:

ez Zubart

• Se R$ 4.000,00 forem pagos em notas de 100 reais e o restante em notas de 50 reais, quantas notas haverá de cada tipo? 40 notas de 100 e 17 notas de 50 • Se R$ 4.800,00 forem pagos em notas de 100 reais e o restante em notas de 50 reais, quantas notas haverá de cada tipo? 48 notas de 100 e 1 nota de 50 c) Marta estava olhando um calendário. Os 365 dias estão divididos em 12 meses. Alguns meses têm 30 dias, outros, 31 dias, e apenas 1 mês tem 28 dias. Então ela imaginou um problema: como dividir os 365 dias em 12 meses, de modo que cada mês tenha 30 dias ou 31 dias? 7 meses de 30 dias e 5 meses de 31 dias d) Agora divida os 365 dias do calendário em semanas, com 7 dias cada semana. Quantas serão as semanas? Sobram dias? 52 semanas e sobra 1 dia

© Banco Central do Brasil

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7 Os 372 alunos da escola serão divididos em equipes. Quantas equipes poderão ser formadas e quantos alunos sobrarão se cada equipe deve ter exatamente: a) 3 alunos? 124 equipes c) 5 alunos?74 equipes

e) 7 alunos?53 equipes

g) 9 alunos?41 equipes

b) 4 alunos? 93 equipes

f)

h) 10 alunos?

e sobram 2 alunos d) 6 alunos? 62 equipes

8 Responda:

e sobra 1 aluno 8 alunos?46 equipes e sobram 4 alunos

e sobram 3 alunos

37 equipes e sobram 2 alunos

a) Quando o divisor é 4, quais são os possíveis restos de uma divisão? 0, 1, 2 e 3 b) Quando o divisor é 5, quais são os possíveis restos de uma divisão? 0, 1, 2, 3 e 4 c) Se o resto da divisão é zero, o quociente é 5 e o divisor é 10, qual será o valor do dividendo? 50 d) Se o resto da divisão é 8, o quociente é 5 e o divisor é 10, qual será o valor do dividendo? 58 e) Se o resto da divisão é 11, o quociente é 2 e o divisor é 20, qual será o valor do dividendo? 51 9 Copie e complete a tabela a seguir com os valores que estão faltando. Utilize uma calculadora para efetuar as operações necessárias. Dividendo

Divisor

quociente

Resto

78

10

7

8

99

22

4

11

76

13

5

11

103

15

6

13

110

8

13

6

120

25

4

20

61

9

6

7

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Capítulo 6

Potenciação e radiciação Potenciação Agora que você recordou as quatro operações aritméticas, estudaremos duas novas operações: a potenciação e a radiciação. Para compreender essas novas operações, observaremos alguns exemplos:

Dois dados, um branco e outro vermelho, são lançados. Representaremos todos os resultados que podem ocorrer. Para essa representação, utilizaremos pares ordenados, em que o primeiro valor indica o resultado do dado branco, enquanto o segundo valor indica o resultado do dado vermelho:

Zubartez

Exemplo 1:

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

Podemos dizer que são 6 resultados possíveis para o dado branco e 6 resultados possíveis para o vermelho. O total de resultados possíveis no lançamento dos dois lados pode ser obtido por uma multiplicação ou por uma potenciação, isto é: 6 3 6 5 62 5 36 A potenciação de números naturais é a multiplicação de fatores iguais. No exemplo, temos as seguintes denominações: 62 5 36 6 é a base (fator que será repetido) 2 é o expoente (indica quantas vezes o fator é repetido) é a potência (resultado da potenciação) 36

Exemplo 2: Observe como algumas potências são calculadas: • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 (lemos: dois elevado ao cubo é igual a oito); • 34 5 3 3 3 3 3 3 3 5 81 (lemos: três elevado a quatro é igual a oitenta e um).

55 pom6_010_067_u1.indd 55

APOEMA Matemática 6

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Radiciação

Eduardo Belmiro

Daremos apenas uma ideia do que vem a ser a radiciação, pois, nos próximos anos, ampliaremos o conhecimento a respeito tanto da radiciação quanto da potenciação.

Paulo comprou um terreno que tem a forma de um quadrado de área igual a 121 m². Para providenciar uma cerca, ele precisa descobrir a medida do lado do terreno. Qual operação matemática Paulo deve usar para determinar essa medida? A forma do terreno é quadrada, portanto todos os lados dele devem ter a mesma medida.

Observação! VV Podemos calcular a área de um quadrado multiplicando a

medida do lado do quadrado por ela mesma. Por exemplo, se o quadrado tem lado igual a 3, sua área será 3  3  9.

Quando conhecemos somente a área do quadrado, podemos utilizar a radiciação, que é a operação inversa da potenciação, para determinar a medida do seu lado. Assim, para medir um quadrado com área igual a 9, fazemos 2 9 (raiz quadrada de 9) que equivale a 3. O 2 é chamado de índice e o 9 é o radicando. As raízes quadradas podem ser escritas sem o índice 2. Logo, a operação matemática que Paulo deve usar é a radiciação. Para determinar o lado de um quadrado com área 121, fazemos: 121  11, pois 11²  121 Portanto, o lado do terreno que Paulo comprou mede 11 m. Além de raízes quadradas, há raízes com outros índices. Observe os exemplos a seguir.

• raiz cúbica de oito → 3 8  2, pois 2³  8 • raiz quinta de duzentos e quarenta e três → 5 243  3, pois 35  243 • raiz sétima de cento e vinte e oito → 7 128  2, pois 27  128 • raiz cúbica de cento e vinte cinco → 3 125  5, pois 53  125

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APOEMA Matemática 6

a

5/17/15 2:59 PM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule as seguintes potências: a) 33 27 b) 53 125 c) 44 256

d) 232 529 e) 12¹ 12 f) 13² 169

g) 14² 196 h) 15² 225 i) 16² 256

j) 17² 289 k) 20² 400 l) 25² 625

2 Copie e complete. c) Se 54 5 625, então 4 5 .625; 5 d) Se 103 5 1 000, então 3 5 . 1 000;10

a) Se 26 5 64, então 6 5 2 . 64 5 .196;14 b) Se 142 5 196, então

3 Copie e complete a tabela a seguir escrevendo os quadrados e os cubos de alguns números naturais. Número

4

5

6

7

8

9

Quadrado

1

1 4

2 9

3

16

25

36

49

64

81

Cubo

1

8

27

64

125

216

343

512

729

4 Represente, por meio de potenciação, cada multiplicação a seguir, indicando o resultado. a) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 5 243 b) 10 310 3 10 3 10 104 5 10 000 c) 12 3 12 3 12 123 5 1 728 d) 20 3 20 202 5 400 e) 9  9  9  9 94  6 561

f) 6  6  6 6³  216 g) 2²  2² (2²)²  2 3 2 3 2 3 2  24  16 h) 3²  3² (3²)²  81 i) 3²  3²  3² (3²)³  3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  36  729 j) 2²  2²  2² (2²)³  2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2  26  64

5 Calcule as seguintes raízes: a) 36 b) 3 27 c) 5 32 d) 4 16

6 3 2 2

e) f) g) h)

100 625 400 289

i) j) k) l)

10 25 20 17

144 169 256 225

12 13 16 15

m) 4 81 3 n) 6 1 1 o) 5 3125 5 p) 4 2401 7

6 Observe: 5²  54 5 5  5  5  5  5  55 56. Com base no exemplo, escreva os itens a seguir em uma única potência. a) 3²  3² 34 b) 7²  78 710

c) 49  410 419 d) 65²  657 659

e) 12  12³  1210 1214 f) 50  50 50²

7 Em um lago há uma planta muito especial, com uma característica única: dobra de tamanho a cada noite. Em 28 dias a planta cobriu todo o lago. Em que dia a planta havia coberto metade do lago? No 27o dia 8 Um pedreiro colocou azulejos em uma sala que tem a forma de um quadrado, e para isso ele utilizou 144 lajotas de forma quadrada e de mesmo tamanho, sem precisar cortar nenhuma delas. As lajotas foram dispostas paralelamente às paredes. Quantas lajotas couberam em cada lado da sala? 144  12, pois 12²  144. Portanto, em cada lado da sala couberam 12 lajotas. 9 Que número natural é ímpar e está entre

900 e 1089 ? 31

57 pom6_010_067_u1.indd 57

APOEMA Matemática 6

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02/06/2015 12:51

Expressões numéricas Agora podemos resolver expressões numéricas com todas as operações. Lembre-se de que não importa a quantidade de operações, as ordens de associação sempre serão: primeiro os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves. Quando não houver sinais de associação, deve-se respeitar a ordem das operações: 1º) Potências e raízes na ordem em que aparecem. 2º) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem. 3º) Adição e subtração na ordem em que aparecem.

Exemplo 1: 3² 1 {10³  [5  (180  25)] ; 2²} 5 5 9 1 {1 000 2 [5  (180 2 32)] ; 4} 5 5 9 1 {1 000 2 [5  148] ; 4} 5 5 9 1 {1 000 2 740 ; 4} 5 5 9 1 {1 000 2 185} 5 5 9 1 815 5 824

Exemplo 2: 3² 1 { 3 1 000 2 [10  (12 2

100 )] ; 2²} 5

5 9 1 {10 2 [10  (12 2 10)] ; 4} 5 5 9 1 {10 2 [10  2] ; 4} 5 5 9 1 {10 2 20 ; 4} 5 5 9 1 {10 2 5} 5 5 9 1 5 5 14 Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Obtenha o valor numérico de cada expressão. a) {3³ 1 2  [5 – (12² 2 140)]} 29 b) [39 1 (12 2 3 8 1 2)]  17 3 c) 116  {13 2 100 1 [10 1 4³  (2 1

4 )} 4

d) (14² 1 23)  {[3  8  ( 625  3  7)]  219} 1 2 Após obter o valor numérico de cada uma das seguintes expressões, troque ideias com seus colegas sobre a ordem das operações feitas em cada uma delas:

Expressão A: 24 



Expressão B: 24   64 1 2 ? 5  2  5 1  



Expressão C: 24  64 1 2 ? 5  2 5 8

(

64 1 2 ? 5  2

)

10

(

)

Professor: é importante que os alunos observem que os valores numéricos dessas expressões envolvendo os mesmos números e as mesmas operações são diferentes devido à ordem com que devemos fazer as operações.

58 pom6_010_067_u1.indd 58

APOEMA Matemática 6

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5/17/15 2:59 PM

Capítulo 7

Tratamento da informação: organização de dados em tabelas

Ilustra Cartoon

O professor de Matemática fez uma pesquisa para descobrir qual foi o sabor de sorvete preferido dos alunos na festa do sorvete da escola.

Cada aluno escreveu em uma tira de papel seu sabor predileto e depois todos os papéis foram contabilizados. Dos 450 alunos da escola, 180 preferiram sorvete de chocolate. O professor comentou que já esperava que a maioria escolhesse esse sabor. A surpresa maior foi 101 alunos escolherem o sabor de limão. O sorvete de morango foi escolhido por 40 alunos, o de creme por 54 alunos, o de abacaxi por 14 alunos e o restante escolheu sorvete de uva. Responda rapidamente às questões a seguir. a) Quantos alunos escolheram sorvete de morango? E de limão? 40; 101 b) O sorvete de uva obteve mais votos do que o de creme? Sim. Agora observe a tabela abaixo e de novo responda rapidamente aos questionamentos anteriores. Quantidade de votos por sabor

Chocolate

limão

uva

Creme

Morango

abacaxi

180

101

61

54

40

14

Observar os dados do texto organizados em uma tabela facilitou a localização das informações e ajudou você a responder mais rapidamente às perguntas?

59 pom6_010_067_u1.indd 59

APOEMA MATEMÁTICA 6

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5/17/15 2:59 PM

Vejamos mais alguns exemplos de como uma tabela pode ser utilizada para resumir informações. O ICMBio1 finalizou em dezembro de 2014 a avaliação nacional do risco de extinção da fauna brasileira. [...] Nos 1.173 táxons2 oficialmente reconhecidos como ameaçados estão 110 mamíferos, 234 aves, 80 répteis, 41 anfíbios, 353 peixes ósseos (310 água doce e 43 marinhos), 55 peixes cartilaginosos (54 marinhos e 1 água doce), 1 peixe-bruxa e 299 invertebrados. 1. Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade. 2. Objeto de estudo da Taxonomia, ramo das Ciências Biológicas que estuda os seres vivos, podem estar em qualquer nível de um sistema de classificação. Um reino, por exemplo, é um táxon, assim como um gênero ou uma espécie. Disponível em: ,www.icmbio.gov.br/portal/biodiversidade/fauna-brasileira/60-fauna-brasileira.html.. Acesso em: fev. 2015.

Lenorlux/iStockphoto.com

Organizando os dados do texto em uma tabela, temos: Espécies ameaçadas de extinção da fauna Brasileira

Onça-pintada.

Classes

Quantidade de espécies ameaçadas

mamíferos

110

aves

234

répteis

80

anfíbios

41

peixes ósseos

353

peixes cartilaginosos

55

peixe-bruxa

1

invertebrados

299

Total

1 173

As tabelas são utilizadas de forma ampla para a divulgação de informação de maneira rápida e resumida. Os meios de comunicação frequentemente utilizam tabelas para mostrar informações de maneira a facilitar sua leitura.

Trabalho em equipe Em grupo, faça as atividades a seguir.

1 Escrevam um pequeno texto com base nos questionamentos a seguir. a) Por que um levantamento como o proposto pelo Ministério do Meio Ambiente e pelo ICMBio é importante?

Resposta pessoal.

b) Na opinião de vocês, quais fatores levaram nossa fauna a essa situação? Resposta pessoal. 2 Procurem dados em textos de jornais e revistas e transcrevam-nos em forma de tabela. Não se esqueçam de dar um título a ela. Depois de construída, comparem-na com as dos outros grupos.

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APOEMA Matemática 6

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5/18/15 3:13 PM

Exemplo 1: Em uma escola, foi feita uma pesquisa sobre gêneros musicais com 90 alunos. A pergunta da pesquisa foi: Qual é o tipo de música de que você mais gosta? Os dados foram organizados em tabelas simples da forma seguinte. Gênero musical preferido

Meninos

Gênero musical preferido

Meninas

rock

12

rock

10

rap

5

rap

2

MPB

2

MPB

13

sertanejo

15

sertanejo

20

gospel

6

gospel

5

Você percebeu que o critério de separação foi o gênero dos entrevistados (masculino e feminino)? Será que podemos analisar os dados organizando-os em uma única tabela? Veja a seguir. Gênero musical preferido dos alunos pesquisados Gênero musical

Rock

Rap

MPB

Sertanejo

Gospel

Meninos

12

5

2

15

6

Meninas

10

2

13

20

5

Sexo

Esta tabela é chamada de tabela de dupla entrada. Observe que cada célula tem duas classificações. Por exemplo, a célula referente à primeira linha e à primeira coluna nos informa que há 12 meninos que gostam de rock.

Exemplo 2: No lançamento de dois dados, vamos somar os valores obtidos nos dois dados. Qual é o valor de maior ocorrência para essa soma?

Resolução: Vamos elaborar uma tabela de dupla entrada com todos os pares que podem ocorrer. Dado 2

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Dado 1

Podemos verificar que existem 36 pares possíveis para o lançamento de dois dados e que a soma de maior ocorrência desses pares é o 7.

61 pom6_010_067_u1.indd 61

APOEMA Matemática 6

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Registre no

caderno

aGoRa É CoM VoCÊ

1 Que tal fazer a pesquisa do exemplo 1 em sua sala de aula? Identifiquem os gêneros musicais que farão parte da pesquisa e, depois, cada aluno deve responder à pergunta. Vocês podem organizar os dados primeiramente na lousa e, depois, montar a tabela. Depois da construção da tabela, respondam às questões a seguir. a) Qual foi o gênero musical preferido? Resposta pessoal. b) Que tipo de empresa ou profissional pode interessar-se pelas informações coletadas em uma pesquisa sobre preferências musicais? Resposta pessoal. Sugestão para resposta: Essas infor-

mações são úteis para produtoras e gravadoras, bem como profissionais de marketing que inserem músicas nas propagandas com o objetivo de alcançar o maior número de pessoas possível.

2 Observe a tabela sobre o tipo de fruta preferida entre os alunos de uma escola e responda às questões.

quantidade

laranja

abacaxi

Mamão

Maçã

pera

68

138

209

175

180

a) Qual é a fruta preferida da turma? Mamão. b) Qual foi o total de alunos pesquisados? 770 c) Em sua opinião, é mais fácil obter o total pedido no item anterior em um texto ou em uma tabela? Por quê? É mais fácil obter o total em uma tabela. 3 Copie no caderno a tabela a seguir e complete-a. Vendas da pastelaria bom pastel no primeiro semestre de 2016 tipo

queijo

Carne

Frango com requeijão

pizza

totais

Janeiro

221

200

340

180

941

Fevereiro

181

240

305

232

958

415

384

287

1 415

240

1 083

Mês

Março

329

abril

256

287

300

Maio

265

258

280

248

1 051

Junho

432

448

519

482

1 881

1 684

1 848

2 128

1 669

7 329

totais

4 Corrija as afirmações falsas sobre os dados da tabela a seguir, na qual há o resultado de uma pesquisa para o canal Sempre Esporte sobre o tipo de esporte preferido de homens e mulheres. Futebol

basquetebol

Voleibol

atletismo

Judô

tênis

Natação

outros esportes

homens

3 187

2 120

1 923

1 756

1 800

1 957

1 678

459

Mulheres

1 688

1 512

1 879

1 121

1 249

801

1 059

580

Sexo

esporte

a) O total de pessoas que prefere futebol é igual a 4 875. Afirmativa correta. b) Voleibol é o esporte que tem a maior preferência. Futebol é o esporte que tem a maior preferência. é o sexto esporte na c) Natação é o terceiro esporte na preferência das mulheres. Natação preferência das mulheres. d) O total de mulheres entrevistadas foi 9 890. O total de mulheres entrevistadas foi 9 889

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APOEMA MATEMÁTICA 6

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tecla_matemática Um texto bem escrito possibilita ao leitor uma melhor compreensão. Você concorda com essa afirmação? Existem diferentes programas de computador que são utilizados para redigir um texto. Esses programas são chamados de editores de texto. Você já redigiu um texto em um editor? O que você achou? Ao escrevermos um texto matemático, precisamos de símbolos próprios, utilizados para representar palavras e ideias. Por exemplo, qual símbolo matemático é utilizado para representar a multiplicação? E a divisão? Em um texto podemos escrever, por exemplo, “quatro é diferente de x”, mas para um texto matemático talvez fosse melhor usar: “4  x”. Selecionamos alguns símbolos utilizados na Matemática que poderão ser reproduzidos em um editor de texto. ?, 3

multiplicação

, 4

divisão



alfa



diferente



mais ou menos



congruência



delta



pi



menor



maior



menor ou igual

 maior ou igual

�

intersecção

�

união



conjunto vazio

raiz quadrada

Edson Antunes

Todos esses símbolos aparecem representados no teclado do computador?

Grande parte deles não. Veja a seguir como inserir símbolos matemáticos em um texto.

Fernanda Gomes

Abra o editor de texto e localize os botões:

63 pom6_010_067_u1.indd 63

APOEMA MATEMÁTICA 6

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5/17/15 2:59 PM

Ao clicar no botão Símbolo, você verá que surge uma janela que contém alguns símbolos:

Fotos: Fernanda Gomes

Ao clicar em Mais símbolos, outra janela (figura a seguir) se abrirá e nela você terá outras opções.

Veja a seguir o nome de alguns símbolos que aparecem na imagem acima:  5 delta

 5 teta

 5 phi

 5 épsilon

 5 lâmbda

 5 psi

 5 eta

 5 mi

 5 sigma

Depois de escolher o símbolo desejado, basta clicar nele para inseri-lo na tela. Agora que você já sabe como inserir símbolos em seu editor de textos, aproveite para rascunhar diferentes textos utilizando-se dos símbolos matemáticos que você já conhece. Se aparecer algum símbolo desconhecido, será uma ótima oportunidade para fazer uma pesquisa a fim de ampliar seu conhecimento.

64 pom6_010_067_u1.indd 64

APOEMA Matemática 6

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5/17/15 2:59 PM

Registre no

caderno

Superando Desafios 1 (Saresp)

Em um jogo de tabuleiro, ganha quem chegar primeiro na casa final. De acordo com a tirada de 2 dados, Cláudio andou 5 casas e ganhou o direito de avançar mais 3 casas. Nina andou 12 casas, mas teve de voltar outras 2. Tito avançou 10 casas, mas também teve de voltar 2. Pode-se dizer que neste momento do jogo: Alternativa c. a) Tito está ganhando de Nina. b) Nina está atrás de Cláudio. c) Cláudio está na mesma casa que Tito. d) Todos estão na mesma casa do tabuleiro. 2 (Obmep) O algarismo da unidade do número 1  3  5  79  97  113 é Alternativa c. a) 1 c) 5 e) 9 b) 3 d) 7 3 (Obmep) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica, portanto, nas casas usam-se velas a noite. Na casa de João usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente, e com quatro desses tocos de velas João fabrica uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa dispondo de 43 velas? Alternativa d. a) 43 c) 56 e) 60 b) 53 d) 57

Alice não gostou da ideia de estudar Matemática. Por isso, Lewis Carrol decide levá-la a uma viagem fabulosa pelo País dos Números, e então a menina descobre que a Matemática pode ser divertida e serve para muita coisa.

O leitor será o detetive de uma investigação divertida. Quem é ou quem são os culpados pelo desaparecimento dos números? Mergulhe nesta envolvente investigação, que poderá levá-lo a lugares estranhos e, às vezes, será preciso refazer os caminhos. Em sala de aula, o professor poderá reforçar conceitos matemáticos conduzindo um jogo empolgante. Em casa, o leitor vai se divertir, além de treinar as quatro operações matemáticas.

Editora

ramen Melho Editora

ramen

O livro traz uma série de crimes que são resolvidos pelo chefe de polícia Artur e seu assistente mirim, Calvin. Esta dupla desvenda, com a ajuda dos números, os mistérios criados pelos fatos apresentados e pelas pistas deixadas, de maneira lúdica e divertida, prendendo o leitor do começo ao fim.

Melho

Autor: Michael Thomson Tradução: Adazir Almeida Ilustrações: Bryony Jacklin Editora: Melhoramentos 72 páginas

Editora

Em busca dos números perdidos

Autor: Carlo Frabetti Tradução: Maria Dolores Prades Ilustrações: Cris Eich Editora: Ática 112 páginas

Ática

Alice no País dos Números

Autor: Bill Wise Tradução: Antonio Carlos Vilela Ilustrações: Lucy Corvino Editora: Melhoramentos 96 páginas

tos

Calvin, o detetive

tos

Explorando

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APOEMA Matemática 6

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5/17/15 2:59 PM

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 No sistema de numeração decimal, quantos algarismos são utilizados para escrever os números? Alternativa b. a) 9

c) 15

b) 10

d) 20

2 O número correspondente a 90 dezenas e 1 centena é: Alternativa c. a) 990

c) 1 000

b) 1 100

d) 910

3 Corresponde ao número 1 095:

Alternativa d.

a) 1 000 1 900 1 5 b) 100 1 90 1 5

c) 10

d) 11

5 Quantos são os números naturais pares maiores que 11 e menores que 27? b) 9

c) 10

Alternativa a.

d) 11

6 Qual é o próximo número da sequência (0, 4, 8, 12, ...)? Alternativa c. a) 14

b) 15

c) 16

d) 18

7 Que número ímpar é maior que 309 e menor que 312? Alternativa b. a) 310

b) 311

c) 312

d) 313

8 Descubra o padrão da sequência numérica e determine o seu próximo número. (900, 820, 740, ...)? Alternativa b. a) 680

b) 660

c) 650

d) 640

9 Como lemos o número ordinal 50o? a) cinco décimos

Alternativa c.

a) 44o

c) 46o

b) 45o

d) 47o

11 Tenho 2 notas de 100 reais e 5 notas de 20 reais. A quantia total que tenho é: Alternativa b.

a) R$ 250,00

c) R$ 450,00

b) R$ 300,00

d) R$ 500,00

12 Tenho 9 moedas de 50 centavos e 2 moe­ das de 25 centavos. Posso trocar exatamente por: Alternativa d.

c) 4 cédulas de 2 reais

4 Quantos são os números naturais ímpares menores que 20? Alternativa c.

a) 8

10 Numa prova, 45 pessoas chegaram à frente de Ana. Logo a posição dela foi:

b) 2 cédulas de 5 reais

d) 1 000 1 90 1 5

b) 9

caderno

a) 1 cédula de 10 reais

c) 1 000 1 900 1 90 1 5

a) 8

Registre no

Alternativa d.

b) cinquenta

d) 1 cédula de 5 reais 13 No jornal estava escrito “6 milhões de reais”. Essa quantia é a mesma que: Alternativa c. a) 60 000 reais b) 600 000 reais c) 6 000 000 de reais d) 60 000 000 de reais 14 O algarismo 7 no número 987 566 corresponde ao valor de: Alternativa b. a) 700

c) 700 000

b) 7 000

d) 70 000

15 Fazendo arredondamentos, assinale, entre os números abaixo, aquele que é mais próximo de 156 985. Alternativa b. a) 156 900

c) 156 000

b) 157 000

d) 156 800

16 Digitei 1 250 na calculadora. Qual é o número que tenho de adicionar para obter como soma 1 500? Alternativa c.

c) cinquentésimo

a) 150

c) 250

d) quinquagésimo

b) 200

d) 350

66 pom6_010_067_u1.indd 66

APOEMA Matemática 6

a

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24 Qual é o segredo que torna a figura abaixo um triângulo mágico?

A soma dos números de cada lado é 10.

Alternativa b.

a) 400

c) 600

b) 500

d) 350

18 Na divisão 55 : 5 5 11, o quociente é 11. O que acontece com o quociente se duplicarmos o valor do dividendo e também o valor do divisor? Alternativa a. a) Não se altera. b) Duplica também. c) Aumenta 5 unidades. d) Diminui 5 unidades.

5

3

a) Mais que 1 000 reais.

25 Copie a figura abaixo e escreva os números de 1 a 9 dentro dos círculos. O número 5 já está escrito. Mas atenção para a regra: cada três números em linha reta (observe as linhas coloridas) deverá ter soma igual a 15. 2

4 5 3

6 1

c) Exatamente 1 000 reais. 20 Um carro que anda 500 quilômetros com 50 litros de gasolina consome 1 litro a cada: Alternativa c. a) 5 quilômetros. b) 9 quilômetros. c) 10 quilômetros. d) 20 quilômetros. 21 Se 5 3 7 5 35, qual é o valor de 50 3 70?

Alternativa c.

a) 35

c) 3 500

b) 350

d) 35 000

22 Calculando 302, obtemos:

9

7 Respostas pessoal. Uma possibilidade:

b) Menos que 900 reais. d) Exatamente 950 reais.

Alternativa b.

a) 300

c) 1 000

b) 900

d) 810

23 O valor da expressão numérica 2 ? 16 1 4 ? 4 é: Alternativa c. a) 8

c) 16

b) 12

d) 20

1

6

19 Tenho 9 notas de 50 reais e 50 notas de 10 reais. Qual é a quantia total que tenho? Alternativa d.

4

2

Ilustrações: Setup

17 Digitei 12 750 na calculadora. Qual é o número que tenho de subtrair para obter como resultado o número 12 250?

8

26 Descubra o segredo para completar a pirâmide de números. 1000 288 712 83 205 507 28 55 150 357 12 107 16 43 250 10 6 6 37 70 180

27 O quadrado abaixo é formado por 5 linhas e 5 colunas. Os números de 1 a 25 devem ser colocados, sem repetição, dentro de cada quadradinho, de tal forma que a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal seja sempre 65. O desafio é completar o quadrado com os números que estão faltando.

1

13

3

25

23

21

18 11

6

9

22

19

12

10

2

5

8

15

20

17

16

7

24

4

14

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APOEMA Matemática 6

a

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UNIDADE 2

Geometria: primeiras noções

A história da Geometria se confunde com a história evolutiva do pensamento humano. As formas da natureza serviram de inspiração para a criação de objetos e também em projetos de construções. Conhecer aspectos da Geometria é desvendar parte de nossa própria história.

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Kseniia Veledynska/Dreamstime.com

1 O que é um retângulo? 2 Quantos vértices há em um cubo?

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Capítulo 8

Paulo Fridman/Pulsar Imagens

Percebendo a Geometria

Ponte Juscelino Kubitschek sobre o Lago Paranoá – Brasília, DF.

Waldomiro Neto

Não precisamos ir muito longe para encontrar grandiosas construções. Algumas são modernas, outras bem mais antigas; algumas extremamente complexas, outras mais simples. São pontes, castelos, túneis, estádios, muros, estradas etc. Não importa o tipo de construção nem sua dimensão, muitas delas, provavelmente, nasceram de um simples desenho.

Esboço da Ponte Juscelino Kubitschek.

Com base em um desenho é elaborado, então, um projeto. Arquitetos e engenheiros estão entre os profissionais envolvidos nas várias etapas, desde o desenho até a construção final. Cada etapa exige um tipo específico de conhecimento. Se por um lado o arquiteto toma cuidado com o aspecto final da obra e seus detalhamentos, por outro o engenheiro é encarregado de analisar estruturas e fazer cálculos que garantam, entre outros aspectos, a segurança e a resistência da construção. Talvez o conhecimento mais básico que esses profissionais precisam ter é o de Geometria. Respostas da página anterior:

70 pom6_068_095_u2.indd 70

1. É um quadrilátero do grupo dos paralelogramos que tem os ângulos internos congruentes. 2. Há 8 vértices.

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Conhecendo a história

Ilustra Cartoon

Quando “nasceu” a Matemática? Quando analisamos a evolução da Matemática, parece-nos mais razoável que ela tenha sido desenvolvida gradualmente desde tempos remotos, e não que tenha sido descoberta por um indivíduo ou determinado grupo nativo. Muitos pesquisadores associam o surgimento da Matemática às necessidades práticas, mas estudos antropológicos sugerem outras possibilidades para sua origem, por exemplo, o ato de contar poderia estar associado a rituais religiosos primitivos. E a Geometria? Heródoto, que foi um historiador grego, nos dizia que a Geometria havia começado no Egito em razão da necessidade prática de fazer novas medições de terras depois das enchentes do Rio Nilo. Quem faziam essas medições eram os estiradores de corda.

Já Aristóteles associou o surgimento da Geometria a uma classe sacerdotal do Egito que usufruía de muitos tipos de lazer. Claro que não nos cabe contradizer nenhum desses importantes pensadores, porém, se observarmos os desenhos realizados pelo ser humano neolítico é possível perceber a preocupação com as relações espaciais. Tecidos, cestas e potes mostram a presença de congruência e simetria, que, em essência, fazem parte da Geometria elementar. Historiadores apontam o Egito Antigo como o lugar de surgimento da Geometria. Como as terras cultivadas pelos agricultores egípcios se localizavam às margens do Rio Nilo, na época de chuvas essas terras eram invadidas por suas águas, deixando o solo fertilizado. Entretanto, havia um grande problema: as mesmas águas que tornavam o solo ideal para a agricultura eliminavam as demarcações dos terrenos. Havia, então, a necessidade de novas demarcações para que as terras fossem redistribuídas entre os agricultores. Ao desenvolver métodos de medição, os egípcios foram adquirindo conhecimentos cada vez mais amplos sobre "medida da terra" (geo = “terra”; metria = “medida”). A esses conhecimentos deram o nome de Geometria.

Album/Prisma/Latinstock

Estiradores de corda.

Euclides de Alexandria (c. 360­295 a.C.).

71 pom6_068_095_u2.indd 71

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Não podemos deixar de mencionar o interesse que os egípcios tinham pela Astronomia e que as observações que fizeram do céu levaram a descobertas relevantes. Importantes sábios fizeram parte da história, entre eles Platão, Aristóteles (considerado por muitos o homem mais erudito de todos os tempos) e Euclides (autor da obra que se tornou referência para os matemáticos – Os elementos).

Gunold Brunbauer/Dreamstime.com

Nela, Euclides (século III a.C.) reuniu e organizou grande parte do conhecimento de sua época. Esse conhecimento envolvia conceitos relacionados à teoria dos números (que aborda a construção dos sistemas numéricos), conceitos que tratam da incomensurabilidade entre grandezas e, por último, mas não menos importante, os conceitos da Geometria que estudaremos nesta unidade.

Rio Nilo, Egito.

Crackerclips/Dreamstime.com

James Steidl/Dreamstime.com

Atualmente constatamos a presença dos conhecimentos geométricos não apenas nas grandes construções. Basta um olhar para a natureza para encontrar as inúmeras formas nela presentes. Em alguns lugares do planeta, é possível encontrar flocos de neve menores que 1 centímetro, cujas formas regulares nos chamam a atenção.

 

/D 55 o5

rg Ma

 

Flocos de neve ampliados.

om e.c

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As imagens dos flocos de neve e do favo de mel são exemplos da presença das formas geométricas na natureza.

Favo de mel.

72 pom6_068_095_u2.indd 72

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A observação das diversas formas presentes na natureza sempre inspirou a humanidade. A Geometria é uma das áreas que estuda essas formas e tantas outras idealizadas e criadas pelos seres humanos. Um típico exemplo é a forma geométrica conhecida como esfera.

retângulo

TV

caixa de joias

paralelepípedo

ndphoto/Shutterstock

planeta Terra

Paolo Gianti/ Shutterstock

Ilustrações: Setup

esfera

/ wa sa om Ka e.c hn tim Jo ms ea Dr

João Virissimo/Dreamstime.com

Veja a seguir algumas formas geométricas e suas denominações. Note que ao lado de cada uma há uma fotografia de algum objeto com a mesma forma:

Pirâmide de Quéfren, Egito. pirâmide Karam Miri/Dreamstime.com

ms tim

e.c om



rea

us

eva /D



Na

tal i

aG

cilindro lixeira

triângulo

triângulo de sinalização

Observe que acima aparecem formas geométricas planas (triângulo e retângulo) e formas geo­m étricas não planas (cilindro, esfera, paralelepípedo e pirâmide). Além dessas, há muitas outras, que serão vistas ao longo do ensino de Geometria. Registre no

Trabalho em equipe

caderno

Até o momento você viu como algumas formas geométricas estão presentes no cotidiano. Você conhece outras? Em trio ou quarteto, traga para a próxima aula algumas embalagens. Juntos, verifiquem se reconhecem nelas algumas das formas geométricas apresentadas neste capítulo ou estudadas por vocês anteriormente. Com o auxílio de uma tesoura, abram as embalagens e identifiquem as formas planas que fazem parte da forma espacial da embalagem. Ao final da atividade, escrevam um pequeno texto contando as descobertas realizadas durante a execução da atividade e procurem descrever e diferenciar uma forma plana de uma não plana, ou seja, espacial.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

Crédito

2 Observe atentamente a reprodução da tela ao lado, e responda às questões a seguir. a) Essa representação da tela tem uma forma plana ou não plana? Plana. b) Quais formas foram representadas na cor amare­ la? Retângulos e quadrados. c) E na cor vermelha? Retângulos e quadrados. d) O que as formas representadas na tela têm em comum? Todas as formas são figuras planas e

Stedelijk Museum, Amsterdam

1 Para cada forma geométrica a seguir, escreva P para plana ou NP para não plana. a) quadrado P e) retângulo P b) círculo P f) paralelepípedo NP c) cilindro NP g) triângulo P d) esfera NP h) cone NP

variam entre quadrados e retângulos.

3 A seguir estão representados cilindros de tamanhos diferentes:

Setup

Kazimir Malevitch. Composição suprematista, 1916. Óleo sobre tela, 88 3 70 cm.

4 Com base em um desenho fei­ to numa cartolina (planificação), a turma de Júlia construiu um dado, conforme imagem ao lado.

Marcio Levyman

Escreva o nome de um objeto que tem a forma de cilindro. Resposta pessoal.

Responda. a) Quantos quadrados aparecem na planificação do dado? 6 b) Dentro desses quadrados fo­ ram desenhados de 1 a 6 pon­ tos. No dado montado, pode­ mos ver apenas os quadrados em que aparecem 2, 4 e 6 pon­ tos. Quantos pontos aparecem nos quadrados opostos a es­ ses, respectivamente? 5, 3 e 1 c) Há alguma regularidade quan­ do observamos as faces opos­ tas? Qual? Sim. A soma dos números é sempre igual a 7.

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Algumas noções de Geometria

placa de vidro

Fernando Favoretto

Vimos anteriormente um pouco da história da Geometria. Também observamos algumas formas geométricas que representam idealizações. Vamos agora ampliar nosso conhecimento, observando algumas noções geométricas importantes. Para isso vamos utilizar um cubo que é uma figura geométrica não plana.

canto

friso (encontro de duas placas)

Uma face do cubo dá a ideia de uma "parte" de um plano (se ampliássemos uma face do cubo indefinidamente, teríamos a ideia de um plano). Cada aresta do cubo dá a ideia de "uma parte" de uma reta (imagine a aresta sendo ampliada indefinidamente nos dois sentidos), e um vértice, a ideia de ponto.

vértice

face

aresta (encontro de duas faces)

Ilustrações: Setup

Assim como podemos denominar as partes de uma caixa de vidro, também o fazemos com a forma idealizada de um cubo. Veja na representação ao lado.

Waldomiro Neto

Agora, vamos imaginar que a professora indicou na lousa dois pontos: A e B. Com uma régua, ligou esses dois pontos e prolongou para os lados. Com esse simples procedimento, acabou representando uma reta no plano da lousa.

 

Por dois pontos distintos passa uma única reta.

 Dizemos então que os pontos A e B determinam a reta que representamos por AB . Além dos pontos A e B, existem infinitos outros pontos que pertencem à reta, como também existem infinitos pontos que não pertencem a ela, como representado a seguir:

75 pom6_068_095_u2.indd 75

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S X

V

B

T

P Y

Q R

A

U

 Os pontos R, A, Q, B e T pertencem à reta AB .

 Os pontos P, V, S, X, U e Y não pertencem à reta AB . Pontos que pertencem à mesma reta são chamados pontos colineares.

Agora vamos considerar partes de uma reta.

 Observe na figura a seguir que os pontos A e B determinam a reta AB. Note que as duas pontas setas colocadas nas extremidades indicam que a reta se prolonga indefinidamente para os dois sentidos. Se considerarmos apenas parte de uma reta, podemos ter uma semirreta e também um segmento.  Reta AB : 

A

B

 A Semirreta AB (origem no ponto A):   Semirreta BA (origem no ponto B):  Segmento AB : 

A

B A

B

B

Exemplo: Na figura ao lado está representado um paralelepípedo. Responda. a) Quantas faces desse paralelepípedo estão visíveis? b) Quantas são as arestas visíveis? c) E quantos são os vértices visíveis?

Resolução:

• 3 faces (laranjas); • 9 arestas (vermelhas); • 7 vértices (pretos).

Ilustrações: Setup

A figura desenhada é como um bloco. Nem todas as partes são visíveis. Embora o paralelepípedo tenha 6 faces, 12 arestas e 8 vértices ao todo, são visíveis:

Importante! VV Quando queremos, por exemplo, indicar arestas não visíveis, utilizamos segmentos

tracejados. Assim, o mesmo paralelepípedo poderia ser representado conforme mostrado ao lado.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ a) Semirreta de origem A que passa por B. A

B

b) Segmento de reta cujos extremos são X e Y. X Y 2 Utilizando a régua, construa os seguin­ O aluno deverá construir tes segmentos de reta: segmentos conforme as a) AB  6,2 cm b) CD  3,7 cm

medidas indicadas.

c) GH  4,6 cm d) RS  5,0 cm

3 Quantos segmentos de reta há em cada uma das figuras? a) 3

4 Com os pontos A, B, C, D e E foram cons­ truídas cinco semirretas, formando a fi­ gura a seguir. a) O ponto C pertence a quantas semirretas? 2  EA b) As semirretas  e BC têm algum ponto em comum? Não.

B C

A

D

E

c) O ponto A é comum a quais semirretas?   EA e AB. d) As semirretas EA e DE têm algum ponto em comum? Sim. O ponto E. 5 No quadro a seguir estão representados os pontos A, B, C, D, E e F. A

B

F

C

b)

E

Ilustrações: Setup

1 Construa o que se pede.

D

4

a) Escreva todos os segmentos que po­ dem ser construídos ligando-se dois AC, AD, AE, AF, BC, BD, pontos quaisquer. AB, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF b) Quantas retas podemos construir passando por dois pontos quaisquer? 15 c) 6

6 Desenhe uma reta s e marque nela dois pontos: A e B. Depois faça o que se pede.  Resposta a) Pinte de azul a semirreta AB . pessoal.  Resposta b) Pinte de verde a semirreta BA . pessoal. c) Responda: Essas duas semirretas têm algo em comum? Sim. O segmento AB.

d) 3

7 Na figura abaixo, as retas indicadas pe­ las letras r e s têm em comum o ponto P. Quantas semirretas com origem no pon­ to P estão representadas na figura? 4 r P s

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bagagem cultural A GRANDE PIRÂMIDE

Alex Argozino

Neste capítulo você aprendeu que a Geometria está em quase tudo aquilo que nos cerca. Uma prova disso são as construções. Seja um prédio residencial, um museu, um teatro... E até mesmo uma pirâmide. Das Sete Maravilhas do Mundo Antigo, a única que resiste até hoje, praticamente intacta, é a Pirâmide de Quéops. Construída em 2650 a.C., ela surpreende, devido a sua arquitetura, mesmo quase após 5 mil anos. Veja a seguir algumas informações sobre esse monumento.

100 mil trabalhadores foram usados na construção Cerca de

2,6 milhões de blocos

de pedra calcária foram utilizados, alguns com massa próxima a 20 toneladas.

30 anos

es

foi o tempo que a pirâmide levou para ser construída

a­

m

m

Ga

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Ostill/Shutterstock

PIRÂMIDE DE QUÉOPS

Pirâmide de Quéops vista de perto. É possível observar nitidamente os blocos de pedra calcária.

78 pom6_068_095_u2.indd 78

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CHIPRE ISRAEL

Alexandria

LÍBIA

face lateral

EGITO

Sharm el-Sheikh

Assuan

Abu Simbel

face lateral

lho me Ver

base

Gizé Local da Pirâmide de Quéops

r Ma

face lateral

Suez

Cairo

face lateral

o Nil Rio

A base da Pirâmide de Quéops é quadrada. Observe a planificação de uma pirâmide desse tipo.

Alex Argozino

LÍBANO

Mar Mediterrâneo

Lago Nasser

SUDÃO 0

300 km

Base

Faces laterais

m

face lateral

232,805 m

46

1,0

22 232,805 m

COM BASE NOS TEXTOS E NAS IMAGENS, RESPONDA AO QUE SE PEDE. 1) Quais figuras geométricas podemos identificar na Pirâmide de Quéops? 2) Quantas faces laterais a Pirâmide de Quéops tem? O número de faces laterais tem relação com o polígono da base? 3) Pesquise como está a Pirâmide de Quéops hoje. Sua estrutura sofreu alguma alteração ao longo dos anos? Em caso afirmativo, explique.

base

1. Triângulos (faces laterais), quadrado (base) e retângulos (blocos que compõem a pirâmide). 2. 4; Sim. Como a base é um quadrado, a pirâmide tem 4 faces laterais. 3. Resposta pessoal.

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Capítulo 9

2013 The M.C Escher Company - The Netherlands

Formas geométricas planas e não planas

M. C. Escher. Man with Cuboid, 1958. Xilogra­ vura, 64 × 64 cm.

Ilustrações: Setup

o Belm Eduard

Na verdade, o artista que produziu essa obra utilizou ilusão de ótica. A forma geométrica que o homem segura parece um cubo e, se observarmos atentamente, suas arestas estão entrelaçadas. Existem inúmeras ilusões de ótica que você pode encontrar pesquisando na internet. Uma delas consiste em dizer quantos pontinhos pretos você consegue enxergar nos encontros Sugestão de resposta: Duas das linhas da figura a seguir.

iro

Observe com atenção a gravura acima. Você percebe algo de estranho no objeto que o homem segura? Para facilitar sua observação, representamos a seguir o suposto objeto. O que você pode afirmar a respeito dessa representação?

arestas estão ligadas a vértices errados, gerando uma constru­ ção impossível.

No capítulo anterior vimos alguns elementos importantes da Geometria. Também falamos um pouco sobre algumas formas geométricas. Agora abordaremos duas delas: o cubo e o paralelepípedo.

80 pom6_068_095_u2.indd 80

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Paralelepípedo ou bloco retangular O paralelepípedo é uma forma geométrica não plana formada por 6 faces retangulares, 8 vértices e 12 arestas. Observe a seguir uma das possíveis planificações do paralelepípedo:

Atenção! VV Planificar é o mesmo que tornar plano.

paralelepípedo

Cubo O cubo também tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces quadradas e, como todo quadrado é um retângulo, podemos considerar que o cubo é um caso particular do paralelepípedo. Veja a seguir uma das possíveis planificações do cubo:

cubo

Um paralelepípedo tem três dimensões: comprimento, largura e altura.

altura

Como no cubo as faces são quadradas, as três dimensões são iguais.

largura comprimento

A figura ao lado representa um paralelepípedo formado pelo empilhamento de pequenos cubos. As faces dos cubos são quadrados que medem 1 centímetro de lado. Quais são as medidas das três dimensões do paralelepípedo?

Ilustrações: Setup

Exemplo:

Resolução: Para saber as medidas do comprimento, da largura e da altura, basta observar a quantidade de quadrados ao longo dessas dimensões. Assim, temos: comprimento 5 4 centímetros; largura 5 2 centímetros; altura 5 2 centímetros.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

Ilustrações: Setup

1 A figura representa um paralelepípedo formado pelo empilhamento de 64 pequenos paralelepípedos de mesmo tamanho. Após empilhá-los, a turma os co­ lou e resolveu pintar somente as faces dos pequenos paralelepípedos que formavam as faces do paralele­ pípedo maior. Sobre os paralelepípedos pequenos, responda quantos têm exatamente: a) uma face pintada? 24 b) duas faces pintadas? 24 c) três faces pintadas? 8

Marcio Levyman

2 Observe o paralelepípedo apoiado numa superfície plana. As três faces visíveis estão indicadas pelas letras A, B e C. Ao lado dessa figura geométrica não plana, está repre­ sentada uma possível planificação. B

B C

A

1

A

2

Usando os números existentes na planificação, indique: a) a face oposta à face C; 1 b) a face oposta à face A; 3 c) a face que encosta na superfície plana e é oposta à face B. 2

3

C

Ilustrações: Setup

3 A equipe de Giovana ficou encarregada de preencher um pa­ ralelepípedo com cubos de mesmo tamanho, como indicado na figura ao lado. Responda. a) Quantos cubos haverá na primeira camada? 70 b) Quantas serão as camadas? 6 c) Quantos cubos serão necessários para preencher o pa­ ralelepípedo? 420

Registre no

caderno

Trabalho em equipe

Dois desafios para vocês "quebrarem a cuca". Reflita em dupla para descobrir as soluções! 1 P  ara que a figura ao lado seja um paralelepípedo formado ape­ nas pelo empilhamento de cubos, basta retirar 4 cubos e movi­ mentar alguns outros. Expliquem como isso é possível. Basta deslocar 6 cubos da 1a camada para a 2a camada e, após, retirar 4 cubos da 1a camada.

2 Qual é o número mínimo de cubos que precisamos retirar para formar um cubo? 7 cubos

82 pom6_068_095_u2.indd 82

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Vistas diferentes de um mesmo objeto Ana Maria, Juliana e Marcos olham para a mesma pilha de pequenos cubos. Cada um deles tem uma visão diferente da pilha:

Marcos

Marcos

Ana Maria

Juliana

Juliana

Marcos

Ana Maria

Juliana

Ana Maria

Marcos

Ana Maria

Juliana

Um mesmo objeto pode ser visto de formas diferentes, dependendo da posição em que se encontra o observador. Indicamos as vistas de um objeto por: vista superior, vista frontal e vista lateral.

Exemplo: Um paralelepípedo e dois cubos aparecem na figura a seguir. Vamos representar as vistas superior, frontal e lateral, conforme indicado pelas setas. superior

superior

lateral

lateral

frontal

frontal

Os desenhos a seguir representam as vistas superior, frontal e lateral do paralelepípedo e dos dois cubos que estão em cima dele. frontal

lateral Ilustrações: Setup

superior

83 pom6_068_095_u2.indd 83

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Ao assistir a uma premiação esportiva, é comum encontrarmos os chamados pódios. Eles são comumente compostos de três grandes “blocos” e têm três níveis (alturas) di­ Vista superior ferentes. Veja o exemplo: Vista frontal -

2

Vista lateral 1 -

1

Vista lateral 2 -

3

Represente a vista superior, a vista frontal e duas vistas laterais desses blocos.

Vladimiroquai/Dreamstime.com

2 Na fotografia a seguir, temos uma vista lateral, frontal ou superior do carro?

Uma vista superior.

3 Desenhe as vistas indicadas pelas setas.

4 Na figura estão indicadas as vistas frontal, lateral e superior de uma pilha de pequenos cubos. Desenhe essas vistas.

frontal

lateral

Ilustrações: Setup

superior

84 pom6_068_095_u2.indd 84

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Observando formas geométricas planas Entre as formas geométricas planas, as que mais encontramos em objetos, construções e ilustrações diversas são o triângulo, o círculo, o quadrado e o retângulo.

  

Observação:

Ilustrações: Setup

VV A circunferência é a linha

correspondente ao contorno do círculo. Já o círculo é a circunferência e toda a região interior a ela.

Os mosaicos, por exemplo, muitas vezes podem ser formados pela composição de formas geométricas planas. Até mesmo em alguns pisos e calcadas é possível observar a utilização dessas formas geométricas.

Com quatro retângulos iguais e um quadrado, formamos um quadrado. Algumas vezes também podemos decompor figuras geométricas. Assim, por exemplo, recortando um quadrado podemos formar dois triângulos:

85 pom6_068_095_u2.indd 85

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Conexões Existem muitas ilusões de ótica associadas às figuras geo­métricas. Observe atentamente cada uma das imagens a seguir.

Tudor Antonel Adrian/Dreamstime.com

Olhando a imagem abaixo, ficamos em dúvida se o traço em vermelho é ou não um quadrado. Acredite, é um quadrado!

Valkos/Dreamstime.com

O que ocorre é que as linhas curvas das circunferências nas laterais do quadrado nos dão a impressão de não termos um quadrado desenhado ao centro.

Sylwia Hampel/Dreamstime.com

Nessa outra imagem, foram desenhados pequenos quadrados ao longo de várias circunferências. Todas elas têm o mesmo centro e estão no mesmo plano, embora os quadrados nos deem a ilusão de profundidade.

Esta última imagem é mais estranha ainda. Olhe atentamente e responda: O desenho está se movimentando ou é apenas mais uma ilusão de ótica? É apenas uma ilusão de ótica.

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Registre no

caderno

aGora É Com VoCÊ 1 Uma folha de papel tem a forma de um círculo, conforme desenho ao lado. Mostre através de desenhos como dividir esse círculo por meio de dobras em quatro partes iguais. a 1a dobra

3 dobra

2a dobra

2 Observe a sequência formada por pequenos triângulos de mesmo tamanho. Quantos triângulos haverá na 5a figura dessa sequência? E na 6a figura? 25; 36

1a figura

2a figura

3a figura

4a figura

Ilustrações: Setup

3 Perceba que os cubos formam uma sequência. Descubra o segredo dela e determine a quantidade de cubinhos nos dois próximos cubos da sequência. 3. 2³, 3³, 4³, 5³, 6³. A quantidade de cubinhos dos próximos ter­ mos são 125 e 216.

4 Observe a sequência de figuras formadas por quadrados. 1a figura

2a figura

3a figura

Responda às questões a seguir. a) Quantos quadrados existirão na 4a figura dessa sequência? 9 b) E na 5a figura? 11 c) E na 6a figura? 13

Ilustrações: Setup

5 Nas figuras abaixo, cada um dos quadrados foi dividido em 4 partes iguais. Encontre uma maneira diferente de dividir um quadrado em 4 partes iguais. Pode­se formar 4 retângulos iguais dobrando no meio e no­ vamente no meio cada uma das partes divididas anteriormente.

6 Lúcia observou que no banheiro da escola foram colocadas peças cerâmicas com duas formas geométricas: quadrados e retângulos. Essas peças cerâmicas formavam uma faixa na parede, conforme figura a seguir:

Utilizando apenas quadrados e retângulos, elabore uma faixa para substituir a que está representada acima. Resposta pessoal.

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Conexões A “artemática” indígena Fabio Colombini

Observe as imagens a seguir. Você já viu objetos parecidos com estes? Lembra-se de onde foi?

Esses cestos foram construídos por indígenas do grupo guarani-mbyá, que utilizam tiras de bambu para criar motivos geométricos, entrelaçando várias tiras coloridas. São representadas, nos cestos, diferentes formas geométricas, como losangos, paralelogramos, quadrados ou apenas linhas paralelas, revelando o máximo de cuidado e exatidão no entrelaçamento das tiras, de modo que as figuras fiquem o mais semelhante possível. Observando com atenção, percebemos que em um mesmo cesto há a repetição de uma mesma forma, ou seja, os mbyás representam motivos geométricos semelhantes em um cesto, mas os diferenciam em outros. É comum utilizarem sempre segmentos paralelos nas construções e, se o desenho escolhido for um losango, por exemplo, ele será feito dentro de outro losango, que estará dentro de outro e assim por diante. Se a forma escolhida for o paralelogramo, criarão um paralelogramo ao lado de outro, obtendo um paralelismo dos lados dos polígonos, com uma visualização de ângulos congruentes. Um detalhe importante é que não usam nenhum instrumento de medida de ângulos. Depois de confeccionada a base do cesto, quando as tiras já estão perpendiculares, entrelaçam uma tira colorida entre elas. O entrelaçamento é feito pela contagem de tiras verticais, que devem passar por cima ou por baixo, de acordo com o desenho escolhido. Começando da primeira tira horizontal, os vértices do quadrado vão ficando arredondados até que cada volta passa a ter a forma aproximada de uma circunferência. As tiras vão sendo entrelaçadas em espiral até chegar à altura desejada para a conclusão do cesto. Você acha que este grupo indígena utiliza conhecimentos matemáticos?

Fabio Colombini

Cestos indígenas com motivos geométricos confeccionados pela aldeia guarani-mbyá.

Mulher produzindo artesanato na aldeia guarani-mbyá.

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Alf Ribeiro/Pulsar Imagens

A verdade é que o povo guarani-mbyá nunca teve ensinamentos de Geometria. Toda a habilidade demonstrada está pautada em um conhecimento informal de matemática, e as crianças aprendem o ofício observando os adultos construírem os cestos.

Artesanato produzido pelos guaranis-mbyá à venda.

Apesar de nunca terem recebido ensinamento formal, os guarani-mbya desenvolvem matemática na confecção dos cestos com motivos geométricos, porque eles têm de fazer relações, comparações, demonstrar percepções e habilidade. Desse modo, eles mantêm viva sua cultura, além de essa atividade ser um meio de sobrevivência para seu povo. [...] Nas regiões sul e sudeste do Brasil (do estado do Rio Grande do Sul ao Espírito Santo) encontram-se cerca de 100 áreas ocupadas pelos mbyá e ñandeva, além de outros locais de ocupação intermitente. Na faixa litorânea desses estados estão cerca de 60 aldeias, das quais somente 16 tiveram áreas demarcadas e homologadas pela Presidência da República até o citado ano. Guarani Mbya: situação fundiária e territorialidade. Povos Indígenas do Brasil. Disponível em: ,http://pib.socioambiental.org/pt/povo/guarani-mbya/1292.. Acesso em: fev. 2015.

Trabalho em equipe Leia com atenção um trecho da carta da comunidade Morro dos Cavalos (SC) às autoridades do governo. Em seguida, pesquise a atual situação da demarcação das áreas indígenas no Brasil e, em grupos de até três colegas, elaborem um pequeno texto sobre o assunto. Para concluir, procurem explicar à turma a opinião dos integrantes do grupo sobre a situação que vocês constataram. Tudo era livre e hoje está tudo sendo proibido para nós. Para fazer roça, como antigamente, nós já não podemos. Mas pelos menos esse pedaço de terra que estamos querendo demarcar tem que ser reconhecido, porque se tirarem de nós até esse pedacinho, não teremos mais nada. [...] Queremos a garantia da terra para viver nossa cultura com liberdade, cultivar nossa cultura, ensinar nossos filhos e nossos netos. Porque hoje em dia, com a falta de uma terra verdadeira para nós, não podemos viver nossa vida e nossa cultura (nhande reko) completamente. [...] Guarani Mbya: situação fundiária e territorialidade. Povos Indígenas do Brasil. Disponível em: ,http://pib.socioambiental.org/pt/povo/guarani-mbya/1292.. Acesso em: fev. 2015.

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caderno

Superando Desafios 1 (Saresp)

Ilustrações: DAE

Melissa fez uma caixinha para guardar seus brincos. A planificação da caixinha está representada na figura abaixo.

Como ficou a caixinha de Melissa depois de colada?

a)

b)

Alternativa b.

c)



d)



2 (Saresp) Em qual das alternativas abaixo a figura é a planificação de um cubo? a) b)

c)



d)

Maurits Cornelis Escher Geometria na Amazônia Autor: Ernesto Rosa Editora: Ática 112 páginas André e sua irmã, Isabela, embarcam em um monomotor que sofre uma pane, deixando os dois perdidos em plena floresta amazônica. Para tentar escapar com vida, os dois usam a Geometria e ganham novos amigos.

M.C. Escher “Man with Cuboid” © 2013 The M.C. Escher Company- The Netherlands. All rights reserved. www.mcescher.com

Explorando Editora Ática

Alternativa d.

http://www.mcescher.com/ indexuk.htm Homepage oficial de M. C. Escher, artista gráfico holandês famoso pelos efeitos de ilusões de ótica de suas obras. É possível encontrar imagens das obras e toda a biografia do artista. Site em inglês.

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caderno

resGatando ConteÚdos 1 Qual é o número total de faces do parale­ lepípedo representado a seguir? Alternativa c.

d) 8 e) 9

Ilustrações: Setup

a) 4 b) 5 c) 6

4 Assinale a alternativa que indica corre­ tamente a vista superior, conforme seta, de um cilindro. Alternativa a.

2 Sobre um cubo é correto afirmar que: Alternativa e.

a) círculo b) quadrado c) retângulo a) o número de vértices é igual ao núme­ ro de arestas. b) o número de vértices é menor que o número de faces. c) o número de faces é igual ao número de arestas. d) o número de arestas é o dobro do nú­ mero de vértices. e) o número de arestas é o dobro do nú­ mero de faces. 3 A forma de uma lata de refrigerante é parecida com a de: Alternativa b.

d) triângulo e) esfera 5 Assinale a alternativa que indica cor­ retamente uma forma geométrica não plana. Alternativa c. a) quadrado b) círculo c) esfera d) triângulo e) retângulo

Eduardo Belmiro

6 O número total de pequenos cubos em­ pilhados na figura a seguir é: Alternativa d.

a) um cubo. b) um cilindro. c) um cone. d) um paralelepípedo. e) uma esfera.

a) 38

d) 56

b) 42

e) 58

c) 48

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caderno

10 Prolongando-se as arestas de um cubo podemos formar retas, como a que está representada na figura.

Zubartez

7 As esferas empilhadas têm a forma pare­ cida com a de um cubo.

Ao todo, quantas esferas foram em­ pi­ lhadas? Alternativa e. a) 36

d) 200

b) 64

e) 216

Qual é o total de retas que podemos obter pelos prolongamentos dessas arestas? Alternativa a. a) 12 retas b) 8 retas

c) 144

c) 10 retas d) 16 retas e) 20 retas 11 A figura a seguir representa a planifica­ ção de: Alternativa c.

Ilustrações: Setup

Eduardo Belmiro

8 Em um dado, a soma do número de pon­ tos das faces opostas resulta em 7.





Assinale a alternativa que indica corre­ tamente a soma dos pontos que estão nas faces opostas daquelas visíveis na figura. Alternativa b. a) 5

d) 8

b) 6

e) 9

c) 7 9 Qual é o número total de segmentos de­ senhados na figura a seguir? Alternativa c. a) um cone. b) uma esfera. a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

c) um cilindro. d) um paralelepípedo. e) um cubo.

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12 A planificação representada a seguir é de: Alternativa d.

a) 10 pontos

d) 15 pontos

b) 12 pontos

e) 20 pontos

caderno

c) 14 pontos 15 Assinale a alternativa que mostra a vis­ ta superior, conforme seta, da pilha de cubos. Alternativa a.

a) um cone.

d) um paralelepípedo.

b) uma esfera.

e) um cubo.

c) um cilindro. a)

d)

Ilustrações: Setup

13 A figura a seguir representa um prisma.

b) e) c)

Assinale a alternativa que contém uma afirmação correta sobre esse prisma. a) Tem 10 faces.

Alternativa b.

b) Tem 18 arestas. c) Tem 16 vértices.

16 Considerando as vistas representadas no empilhamento de cubos, assinale a alternativa correta. Alternativa d.

d) Todas as faces são retângulos.

superior

e) O número de arestas é menor que o número de vértices. 14 A figura a seguir foi formada por 10 seg­ mentos: 5 representados por linhas cheias e 5 representados por linhas tracejadas. frontal



Qual é o número total de pontos de­ terminados pelos encontros de dois ou mais segmentos? Alternativa a.

lateral

a) A vista frontal é formada por 4 quadrados. b) A vista superior é formada por 5 qua­ drados. c) A vista lateral é formada por 5 qua­ drados. d) A vista frontal é formada por 3 qua­ drados. e) A vista superior é igual à vista lateral.

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17 A figura a seguir foi formada por retângu­ los iguais, dispostos horizontal ou verti­ calmente, como indicado na figura:

19 A figura a seguir é formada por retângu­ los coloridos, que estão sobrepostos. Alternativa a.

Alternativa c.

disposição horizontal disposição vertical

É correto afirmar que: a) a figura é formada por 20 retângulos ao todo. b) existem mais retângulos dispostos na vertical do que na horizontal. c) existem mais retângulos dispostos na horizontal do que na vertical. d) o número de retângulos dispostos na horizontal é igual ao número de retân­ gulos dispostos na vertical. e) a figura é formada por 24 retângulos ao todo. 18 Como na figura do exercício anterior, cada dois retângulos dispostos na horizontal ou na vertical formam um quadrado. Quantos desses quadrados seriam necessários para cobrir a figu­ ra a seguir? Alternativa c.

Ao todo existem: a) 12 retângulos.

d) 15 retângulos.

b) 13 retângulos.

e) 16 retângulos.

c) 14 retângulos. 20 Considerando as cinco figuras, assinale a alternativa que indica corretamente o número de pontos que deverá ter a sexta figura dessa sequência. Alternativa d.

1

3

6

10

15

a) 18 pontos

d) 21 pontos

b) 19 pontos

e) 22 pontos

c) 20 pontos

Ilustrações: Setup

21 Contando o total de segmentos que for­ mam os quadrados e os triângulos da figura, encontramos: Alternativa d.

a) 12 quadrados b) 10 quadrados c) 9 quadrados d) 8 quadrados

a) 30 segmentos.

d) 36 segmentos.

e) 7 quadrados

b) 32 segmentos.

e) 40 segmentos.

c) 34 segmentos.

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22 Uma caixa em forma de paralelepípedo foi preenchida com pequenos cubos de mesmo tamanho, conforme altura indi­ cada pela pilha de pequenos cubos ao lado da caixa. Determine quantos cubos foram usados para essa construção. 140 cubos

caderno

a) 200; 152 b) 50; 100 c) 80; 70 d) 101; 49 e) 100; 49

25 Desenhe a vista superior, lateral e frontal, sabendo que a peça só tem 7 cubos, con­ forme figura a seguir. superior

lateral

Ilustrações: Setup

23 A figura a seguir representa uma pirâmide. Em vermelho estão indicadas duas retas construídas a partir de arestas da pirâmide.



frontal

26 Desenhe as vistas frontal, lateral e su­ perior da figura formada por três para­ lelepípedos, conforme a indicação das setas.

Responda. a) Quantos são os vértices dessa pirâmide? 5 b) E a quantidade de arestas? 8 c) Quantas são as faces? 5 d) As duas retas indicadas têm algum ponto em comum? Não.

24 Maurício estava empilhando pequenos cubos, como indicado na figura a seguir, para formar um paralelepípedo. A pilha teria 150 pequenos cubos ao todo. Copie a alternativa correta com o número de cubos que já foram empilhados e quantos ainda precisam ser colocados para com­ pletar o paralelepípedo. Alternativa d.

27 Observe a sequência formada pelo em­ pilhamento de cubos de mesmo tama­ nho formando degraus, como sugere a ilustração.

Figura 1 Figura 2

Figura 3

Figura 4

Responda: a) Quantos cubos há na figura 2? 6 cubos. b) Quantos cubos há na figura 3? 18 cubos c) Quantos cubos há na figura 4? 30 cubos.

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UNIDADE 3

Múltiplos e divisores

Wei Keong/Shutterstock

Quando consideramos a contagem do tempo, as regularidades existentes no calendário, a formação de grupos de objetos e também aspectos diversos das quantidades representadas pelos números, de alguma forma usamos conhecimentos sobre múltiplos e critérios de divisibilidade dos números naturais.

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Respostas da página anterior: 1. Será divisiível por 3 se a soma dos algarismos do número for divisível por 3 ou se o resto da divisão desse número por 3 for zero. 2. Infinitos. 3. Depende do ano em que o livro foi usado.

1 Como saber se determinado número é divisível por 3? 2 Quantos números primos existem? 3 O ano em que estamos é bissexto?

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Capítulo 10

Divisibilidade e números primos Nós contamos os dias e as horas. O ano é dividido em meses; os meses, em semanas. Você já parou para pensar por que cada dia tem 24 horas? E por que um ano tem 365 dias e a cada 4 anos acrescenta-se 1 dia? Essas e outras respostas relacionadas à divisão do tempo estão associadas a dois movimentos de nosso planeta: a rotação e a translação. Sol

Paulo César Pereira

Terra

O planeta Terra leva aproximadamente 24 horas para dar uma volta em torno de seu próprio eixo (movimento de rotação) e aproximadamente 365 dias e 6 horas para dar uma volta em torno do Sol (movimento de translação).

Zubartez

Para corrigir essa diferença de aproximadamente 6 horas a mais que há em um ano, foram criados os anos bissextos. Assim, em nosso calendário, a cada 4 anos existe um dia a mais: o dia 29 de fevereiro.

Em 2016, por exemplo, há o dia 29 de fevereiro. Esse ano é bissexto.

Respostas da página anterior: 1. Será divisível por 3 se a soma dos algarismos do número for divisível por 3 ou se o resto da divisão desse número por 3 for zero. 2. Infinitos. 3. D epende do ano em que o livro for usado

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Zubartez

Para saber quando um ano é bissexto, é preciso compreender as chamadas noções de divisibilidade.

Em 2017, por exemplo, não há o dia 29 de fevereiro. Esse ano não é bissexto.

CoNEXÕES Falamos que no ano bissexto há 366 dias. Vamos detalhar um pouco mais o procedimento que você pode adotar para verificar se determinado ano é bissexto. Há duas regras para verificação: 1. São bissextos todos os anos múltiplos de 400. 2. São bissextos todos os anos múltiplos de 4 e não múltiplos de 100. Veja na tabela a seguir as possibilidades de um ano ser bissexto: Exemplo

ano múltiplo de 4

ano múltiplo de 100

ano múltiplo de 400

É bissexto?

2005

NÃO

2012

SIM

1900

NÃO

2000

SIM

Noções de divisibilidade

Ilustra Cartoon

O professor de Educação Física pediu aos alunos que formassem duplas. Veja o que aconteceu:

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Os alunos dessa turma conseguiram se dividir em duplas? Por que um aluno ficou sozinho?

Ilustra Cartoon

Se o professor tivesse a quantidade de alunos ilustrada a seguir e lhes pedisse que formassem duplas, aconteceria o mesmo problema que no exemplo anterior? Por quê?

Ao observar um número, como podemos saber se é possível dividi-lo por 2 e conseguir uma divisão exata? Veja alguns exemplos.

Exemplo 1: Para que possamos saber se determinada quantidade de alunos pode ser dividida igualmente em equipes, sem que nenhum aluno fique de fora, precisamos verificar se o número de alunos é divisível pelo número de equipes. Veja o exemplo: 124 alunos divididos em 4 equipes. 124 2 12

4 31

004 24

Como o resto é igual a 0, dizemos que 124 é divisível por 4.

0

Exemplo 2: Um livro de Matemática será impresso em "cadernos" de 16 páginas. Essa divisão em "cadernos" facilita a impressão na gráfica. Como saber se um livro de 368 páginas poderá ser impresso em cadernos de 16 páginas?

Resolução: Basta verificar se o número 368 é divisível por 16: 368

16

048

23

00

Como o resto é igual a 0, dizemos que 368 é divisível por 16.

Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro pelo segundo é exata, isto é, o resto é igual a zero. Então, para saber se determinado número é divisível por outro, temos de efetuar a divisão. Caso o resto seja zero, dizemos que é divisível. Caso o resto não seja zero, ele não é divisível. Os critérios de divisibilidade auxiliam na verificação da divisibilidade de um número por outro. Apresentaremos, por meio de exercícios, alguns desses critérios.

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caderno

TRABALHO EM EQUIPE

1 Em duplas, verifiquem quais números da tabela são divisíveis pelos números indicados nos itens.

15 950

27 436

189

15 352

1 078

469

144

185 963

254 856

65 448

1 001

10 001

128

369

625

44 823

a) 2

189;144; 254 856; 65 448; 369; 44 823

b) 3

c) 5 15 950; 625

d) 6

144; 254 856;65 448

15 950; 27 436; 15 352; 1 078; 144; 254 856; 65 448;128

2 Será que é possível encontrar uma maneira mais simples de determinar se um número é divisível ou não por outro número natural? Que relações é possível perceber por meio dos resultados obtidos? Espera-se que alguns alunos percebam que números pares são divisíveis por 2 e que os números divisíveis por 2 e por 3 também são divisíveis por 6. Também é esperado que façam reflexões sobre quando um número será divisível por 5.

Critérios de divisibilidade • Critério de divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele é par.

• Critério de divisibilidade por 3 Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é um número divisível por 3.

• Critério de divisibilidade por 6 Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

• Critério de divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

• Critério de divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0.

• Critério de divisibilidade por 4 Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

• Critério de divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo subtraído do número sem o último algarismo resultar em um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

• Critério de divisibilidade por 8 Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

• Critério de divisibilidade por 9 Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é um número divisível por 9.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Verifique se os números 2 331 e 4 558 são divisíveis por 2.

2 331 não e 4 558 sim

2 Conforme o critério de divisibilidade por 3, verifique se os números 45 996 e 91 446 são divisíveis por 3. Sim. 3 Com base no critério de divisibilidade por 6, verifique se o número 99 468 é divisível por 6. Sim.

4 De acordo com os critérios de divisibilidade por 5 e por 10, determine o valor de k para que o número 874 35k seja divisível por 5 e por 10 ao mesmo tempo. Atenção: observe que k é o algarismo das unidades. k 5 0 5 Com base no critério de divisibilidade, verifique quais são os números divisíveis por 4 da tabela abaixo. 22 460; 8 992; 88 104; 171 440; 78 336; 25 148; 39 008

22 460

171 440

25 148

75 766

8 992

78 336

95 111

39 008

88 104

55 342

247 990

333 349

6) Sim, pois 1 794 2 16 5 1 778 177 2 16 5 161 16 2 2 5 14 Como 14 é divisível por 7, o número 17 948 é divisível por 7.

6 Com base no critério de divisibilidade verifique se o número 17 948 é divisível por 7. 7 Considere os números da tabela anterior e indique quais desses números são divisíveis por 8. 8 992; 88 104; 171 440; 78 336; 39 008 8 Conforme o critério de divisibilidade, verifique se os números 9 450 e 181 999 são divisíveis por 9. 9 450 sim e 181 999 não

a) Uma cooperativa vende maçãs para a comunidade. Existem três tipos de embalagem em que as maçãs são colocadas: embalagem para 4 maçãs, embalagem para 6 maçãs e embalagem para 8 maçãs. Se, num mesmo dia, foi colhido um total de 34 456 maçãs, responda: Em que tipos de embalagem todas as maçãs podem ser distribuídas sem sobrar nenhuma? Embalagem para 4 ou para 8 maçãs.

Kixalot/Dreamstime.com

9 Resolva os problemas.

b) A quantia de 54 370 reais será paga em notas de 5 reais. Qual será o número total dessas notas? 10 874 notas c) Os números correspondentes aos anos bissextos são divisíveis por 4. Cuidado: os anos terminados em 00 só são bissextos quando divisíveis por 400. Quantos anos são bissextos entre os anos de 2013 e 2025? 3 anos: 2016, 2020 e 2024

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Números primos Você sabe quando um número é primo? Um número natural maior que 1 é primo somente quando é divisível por 1 e por ele mesmo. Os números destacados que aparecem na tabela são números primos porque são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Quanto aos outros números da tabela, com exceção do número 1, todos são chamados números compostos. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Importante!

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

VV O número 1 não é primo.

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

VV O menor número primo é o 2.

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

    

Um número natural maior que 1 é composto quando é divisível por mais de dois divisores.

Exemplo: Quantos números naturais de 1 a 20 são números primos?

Resolução: Um número natural é primo quando é divisível por 1 e por ele mesmo. Assim, os números primos menores que 20 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Portanto, são 8 números primos menores que 20.

Reconhecendo um número primo Para saber se um número é primo, divide-se esse número pelos números primos menores que ele. Se alguma das divisões der resto zero, o número não é primo. Não se obtendo resto zero, continuam-se as divisões até que o quociente seja igual ou menor que o divisor; se a divisão ainda der resto, conclui-se que o número em questão é primo.

Exemplo: 97  2 5 48 e resto 1

97  7 5 13 e resto 6

97  3 5 32 e resto 1

97  11 5 8 e resto 9

97  5 5 19 e resto 2

Como 8 é menor que 11, ou seja, o quociente é menor que o divisor, podemos concluir que o número 97 é primo.

103 pom6_096_133_u3.indd 103

5/17/15 3:35 PM

Crivo de Eratóstenes Sammlung Rauch/INTERFOTO/Interfoto/Latinstock

Eratóstenes foi um pensador muito talentoso. Ele nasceu em Cirene, cidade na costa sul do Mar Mediterrâneo, e morreu por volta do ano 194 a.C. Um de seus grandes feitos foi a invenção de um método que hoje é conhecido como crivo de Eratóstenes, em sua homenagem. Esse método é utilizado para encontrar os números naturais que são primos. Para que você possa compreender como ele funciona, vamos usá-lo a seguir e obter todos os números primos menores que 100, com base em uma tabela que contém todos os números naturais de 1 a 100. Eratóstenes de Cirene (c. 276 -194 a.C.).

Marcamos o número 1, que não é primo. Destacamos o número 2 e, em seguida, marcamos todos os outros números que são divisíveis por 2 (todos os números pares). Observe os números que sobram.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Destacamos o número 3 e marcamos todos os números que são divisíveis por 3.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

104 pom6_096_133_u3.indd 104

5/18/15 3:27 PM

Destacamos o número 5 e depois o número 7 e marcamos todos os números que são divisíveis por 5 e depois os que são divisíveis por 7.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Prosseguindo dessa forma, destacando sempre o primeiro número não marcado e eliminando os demais números que são divisíveis por ele, restarão somente os números destacados, que são os números primos menores que 100.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100 Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Responda. a) Um número primo é divisível por quantos números naturais? b) O número 10 é divisível por quantos números naturais? c) O que é um número composto?

Por dois números: 1 e ele mesmo.

Por quatro números: 1, 2, 5 e 10.

É um número divisível por mais de dois divisores.

d) Existe algum número natural par que é primo? e) Quantos números primos são divisíveis por 3?

Sim, o 2. Um número, o 3.

f) Quantos números primos são divisíveis por 5? Um número, o 5. 2 Qual é o maior número primo de dois algarismos? 97 3 Qual é o menor número primo de 3 algarismos?

101

105 pom6_096_133_u3.indd 105

5/17/15 3:35 PM

Decomposição em fatores primos O professor de Matemática havia solicitado que os alunos desenhassem, no caderno, um retângulo em que o produto das medidas dos dois lados fosse igual a 60. Havia ainda uma restrição: as medidas deveriam ser dadas em centímetros e teriam de ser números naturais. Aos poucos, os alunos foram apresentando as soluções, e o professor fez a seguinte tabela: Medida de um lado

Medida do outro lado

Produto

1

60

1 ? 60 5 60

2

30

2 ? 30 5 60

3

20

3 ? 20 5 60

4

15

4 ? 15 5 60

5

12

5 ? 12 5 60

6

10

6 ? 10 5 60

Observe que o número 60 foi escrito como o produto de dois outros números, isto é, foi decomposto em dois fatores. Considerando ainda o número 60, note que é possível fazer a decomposição dele de tal maneira que os fatores sejam números primos: 60 5 2 ? 30 5 30 ? 2 60 5 2 ? 3 ? 10 5 10 ? 3 ? 2

Decompor um número em produto é representá-lo por meio de uma multiplicação cujo resultado é o próprio número.

60 5 2 ? 3 ? 2 ? 5 5 5 ? 2 ? 3 ? 2 Fatores primos: 2, 3, 2 e 5

Todo número natural maior que 1 ou é número primo ou pode ser decomposto num produto em que os fatores são números primos. Existe uma forma simples de efetuar a decomposição em fatores primos partindo da divisão do número que queremos decompor por fatores primos: iniciar pelo menor fator primo em que o número é divisível. Observe como fazemos isso com o número 60: 60 

2

60  2 5 30

30 

2

30  2 5 15

15

3

15  3 5 5

5

5

5551

1 60 5 2  2 ? 3 ? 5

106 pom6_096_133_u3.indd 106

5/17/15 3:35 PM

Exemplo: O produto de dois números naturais é igual a 100. Determine quais podem ser esses números.

Resolução: Devemos encontrar dois números naturais cujo produto seja igual a 100. Temos as seguintes possibilidades: 1 ? 100 5 100 2 ? 50 5 100 4 ? 25 5 100 5 ? 20 5 100 10 ? 10 5 100 Assim, os números procurados podem ser: 1 e 100; 2 e 50; 4 e 25; 5 e 20 ou 10 e 10. Outra forma de resolver o problema é por meio da decomposição do número 100 em fatores primos. Primeiramente fazemos a decomposição do número 100 em fatores primos: 100

2

50

2

25

5

5

5

1 Então podemos escrever o número 100 como 2 ? 2 ? 5 ? 5. Agora vamos obter dois fatores tais que o produto seja 100, isto é: 2 ? 2 ? 5 ? 5 5 1 ? (2 ? 2 ? 5 ? 5) 5 1 ? 100 2 ? 2 ? 5 ? 5 5 2 ? (2 ? 5 ? 5) 5 2 ? 50 2 ? 2 ? 5 ? 5 5 (2 ? 2) ? (5 ? 5) 5 4 ? 25 2 ? 2 ? 5 ? 5 5 5 ? (2 ? 2 ? 5) 5 5 ? 20 2 ? 2 ? 5 ? 5 5 22 ? 52 5 4 ? 25 5 100

CONEXÕES Peça a uma pessoa que imagine um número de três algarismos, multiplique-o por 7, o resultado por 11 e, depois, o resultado por 13 (ela pode usar uma calculadora). Sabendo o resultado, você consegue adivinhar em que número ela pensou? Note que 7 ? 11 ? 13 equivale a multiplicar por 1 001. Por exemplo, se alguém pensar no número 568, ao multiplicá-lo por 7 ? 11 ? 13, obterá 568 568. Ou seja, o resultado encontrado será sempre o número pensado pela pessoa inicialmente escrito duas vezes, pois essa é a característica da multiplicação de qualquer número de três algarismos por 1 001. Desafie alguém de sua família e depois conte a experiência em sala de aula.

107 pom6_096_133_u3.indd 107

5/17/15 3:35 PM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Considere o número natural A 5 2 ? 3 ? 5 ? 7. Verifique, sem efetuar os cálculos, se esse número é divisível por: Sim, para todos os itens. a) 2 b) 3

c) 5 d) 7

e) 6 f) 15

g) 14 h) 70

2 Faça a decomposição dos seguintes números em fatores primos: a) 20 2 ? 2 ? 5 b) 120 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 c) 600 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 5

d) 1 000 2  2  2 ? 5  5  5 e) 48 2  2  2  2 ? 3 f) 128 2  2  2  2  2  2  2

3 Obtenha os números correspondentes às seguintes decomposições: a) 2 ? 3 ? 5 30 b) 22 ? 3 ? 5 60 c) 2 ? 32 ? 5 90

d) 2 ? 5 ? 7 70 e) 22 ? 32 ? 5 180 f) 23 ? 5 40

4 Os números naturais a seguir são chamados de quadrados perfeitos. Faça a decomposição de cada um deles em fatores primos.

Professor, questione se os alu-

a) 4 2  2 b) 9 3  3 c) 16 2  2  2  2 d) 25 5  5 e) 36 2  2  3  3 f) 49 7  7

g) 64 2  2    2  2  2 nos perceberam que os fatores primos de cada número decomh) 81 3  3  3  3 posto se repetem uma quantidade par de vezes, e por isso i) 100 2  2  5  5 esses números são chamados de quadrados perfeitos. j) 121 11  11 k) 144 2  2  2  2  3  3 l) 169 13  13

5 Sem efetuar as divisões, identifique quais dos números da tabela a seguir são divisíveis por 2.

9 455

101 443

209 008

45 766

44 337

108 992

48 336

905 111

99 342

998 104

98 107

15 133

441 990

333 349

103 005

108 992, 48 336, 209 008, 441 990, 45 766, 99 342, 998 104

6 Identifique na tabela anterior e escreva aqueles que são números ímpares. 9 455, 98 107, 101 443, 15 133, 905 111, 333 349, 44 337, 103 005

7 Considere os números da tabela a seguir e os critérios de divisibilidade estudados anteriormente. 7. a) 66 108, 12 222, 44 556, 29 118,

755

21 448

29 118

5 710

445

66 108

28 105

95 139

7 340

888 100

33 104

35 173

891 220

53 355

3 905

12 222

44 556

3 390

550

457

95 139, 3 390, 53 355 b) 66 108, 12 222, 44 556, 29 118, 3 390 c) 755, 28 105, 891 220, 3 390, 5 710, 7 340, 53 355, 550, 445, 888 100, 3 905 d) 891 220, 3 390, 5 710, 7 340, 550, 888 100

Escreva os números dessa tabela que são divisíveis por: a) 3 c) 5 b) 6 d) 10

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5/17/15 3:35 PM

Registre no

caderno

Zubartez

8 O professor de Matemática escreveu na lousa da sala de aula o seguinte número, colocando no lugar do algarismo das unidades a letra X.

Determine o algarismo que deve ser colocado no lugar da letra X para que o número seja divisível por: a) 2 0, 2, 4, 6, 8 d) 6 0, 6 b) 3 0, 3, 6, 9

e) 5 0, 5

c) 4

f) 10 0

0, 4, 8

9 Responda às seguintes questões: a) Todo número natural é divisível por 2?

Não.

b) Todo número natural é divisível por 1?

Sim.

c) Qualquer número natural diferente de zero é divisível por ele mesmo? Sim. d) Qual é o maior número natural com três algarismos que é divisível por 8? 992 e) Qual é o menor número natural com três algarismos que é divisível por 4? 100 10 Considere os números naturais da tabela abaixo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Responda. a) Quais são os números primos dessa tabela? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 b) Quais são os números compostos?

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

c) Existe, na tabela, algum número que não seja primo nem composto? 1 11 Considere o número natural A 5 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 11 (esse número está decomposto em fatores primos). Verifique, sem efetuar os cálculos, se esse número é divisível por: a) 2

f) 6

b) 3

g) 33

c) 5

h) 15

d) 7 e) 11

i) 77

Sim, para todos os itens.

12 A decomposição completa de 360 é 2x ? 3² ? 5. Determine o valor de x.

3

109 pom6_096_133_u3.indd 109

5/17/15 3:35 PM

Capítulo 11

Divisores de um número natural Considere a seguinte situação: A quantidade de alunos de cada ano numa escola de Ensino Fundamental II está indicada na tabela a seguir: Ano

6o ano

7o ano

8o ano

9o ano

Número de alunos

30

36

42

48

Esses alunos serão divididos em equipes para participar de uma gincana escolar. Cada equipe terá o mesmo número de alunos e só poderá ser formada por alunos que se encontram no mesmo ano do Ensino Fundamental II. Qual é o número de equipes que podem ser formadas, visto que cada equipe deverá ter o máximo de alunos possível? Para resolver essa situação, devemos encontrar um número pelo qual os quatro números correspondentes à quantidade de alunos sejam divisíveis. Note que esses números são divisíveis por 2 (são pares) e divisíveis também por 3 (a soma dos algarismos de cada número é divisível por 3). Sendo assim, eles serão divisíveis por 6: 30  6 5 5

(5 equipes de 6 alunos) 36

656

(6 equipes de 6 alunos)

42  6 5 7 (7 equipes de 6 alunos) 48  6 5 8 (8 equipes de 6 alunos) Portanto, pelo que acabamos de observar, serão 5 1 7 1 6 1 8 equipes; cada equipe terá 6 alunos e esses alunos pertencerão ao mesmo ano do Ensino Fundamental II. Essa situação foi resolvida com base no conceito de divisores comuns de números naturais. 16 40

5

9

45

TRABALHO EM EQUIPE

8

80

2

90 18

4

10

1

3

Mistério do quadrado

60 120 6 150 50

Registre no

caderno

15

24 12 30 25 75

O quadrado a seguir foi dividido em 25 quadrados menores e iguais. Dentro de quatro desses quadrados foram escritos quatro números diferente entre si. Os quadrados sem preenchimento, que estão ao redor dos quadrados numerados, devem ser preenchidos de maneira que sejam sempre um divisor do número escrito ao centro. Os 25 quadrados devem ser preenchidos com números diferentes entre si. Por exemplo, em torno do número 80 devem ser escritos oito divisores de 80, diferentes entre si. Alguns desses números deverão ser divisores também de 90 e 120. Alguns números que são divisores de 90 devem também ser divisores de 80 e 150. Observe que o número a ser escrito no centro do quadrado deve ser divisor de 80, 90, 120 e 150. As equipes devem desenhar o quadrado, preenchê-lo e apresentar a solução para a turma. De acordo com a solução encontrada, responda: Qual número sua equipe colocou no centro do quadrado?

80

90

120

150

São quatro números que poderão aparecer no centro: 1, 2, 5 ou 10.

110 pom6_096_133_u3.indd 110

5/17/15 4:36 PM

Na situação apresentada anteriormente, tivemos de encontrar um divisor comum dos números 30, 36, 42 e 48. Encontramos o número 6 por tentativas e conforme os critérios de divisibilidade estudados anteriormente. Veremos agora um procedimento que permite encontrar os divisores de um número natural por meio da decomposição em fatores primos. Antes, porém, é importante observar que: Um número natural é divisor de outro quando o segundo número é divisível pelo primeiro número.

Exemplo 1: 10 é divisor de 180, pois 180 é divisível por 10 18 é divisor de 180, pois 180 é divisível por 18 Divisores de um número natural também podem ser chamados de fatores desse número.

Exemplo 2: 180  10 5 18 pois 18 3 10 5 180 180  18 5 10 pois 10 3 18 5 180

180 é divisível por 10 e por 18; 10 e 18 são divisores de 180

10 e 18 são fatores de 180; 10 e 18 são divisores de 180

Com a decomposição em fatores primos, podemos determinar todos os divisores de um número natural. Quando dizemos que um número não é divisor de outro, isso quer dizer que a divisão entre eles não resulta em um número exato.

Exemplo 3: O número 25 é divisor de 320?

Resolução: Para que possamos resolver essa questão, será preciso dividir 320 por 25 e verificar se o resultado é um número exato. Se fizermos isso em uma calculadora, iremos perceber que 320  25 5 12,8, que não é inteiro; logo, o número 25 não é divisor de 320.

Observações: VV

O número zero não é divisor de nenhum número natural.

VV

Todo número natural diferente de zero tem como divisor o número 1.

VV

Todo número natural diferente de zero tem como divisor ele mesmo.

111 pom6_096_133_u3.indd 111

5/17/15 3:35 PM

Apenas para exemplificar, vamos obter todos os divisores naturais do número 180. Observe a seguir como fazer isso: 180  90  45  15   5   1

2 2 3 3 5

Iniciamos decompondo o número 180 em fatores primos.

1 180 2

Colocamos um traço horizontal e um traço vertical.

90 2

No canto superior à direita, colocamos o número 1 (é divisor de qualquer número natural).

45 3 15 3 5 5 1

180 2 90 2

1 2 4

45 3 15 3 5 5 1

Multiplicamos o próximo fator 2 pelos números que estão na linha acima dele. Obtemos 2 abaixo do 1. Multiplicamos o próximo fator primo 2 pelo número que está na linha acima dele. (2 × 1 5 2 e 2 × 2 5 4) Como 2 × 1 já foi feito, não escrevemos de novo.

1 180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

2 4 3, 6, 12

1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180

Multiplicamos o fator primo 3 pelos números 1, 2 e 4. Obtemos assim os números 3, 6 e 12, e escrevemos esses resultados ao lado do 3.

Repetimos esse procedimento com os fatores primos 3 e 5, que estão nas próximas linhas. Obtemos assim os divisores naturais de 180.

Portanto, o conjunto dos divisores naturais de 180, que representamos por D(180) é: D(18) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180}.

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AGORA É COM VOCÊ

1 Obtenha todos os divisores naturais do número 50 pela decomposição em fatores primos. 1, 2, 5, 10, 25, 50

2 Obtenha todos os divisores naturais que são comuns aos números 24 e 60.

1, 2, 3, 4, 6, 12

Importante! VV Com base no último exercício, podemos dizer que 12 é o máximo divisor comum dos números 24 e

60. Veremos como obter o máximo divisor comum de outra maneira ainda neste capítulo.

3 Escreva todos os números que são divisores naturais de: a) 9

1, 3, 9

b) 15

c) 13

1, 3, 5, 15

1, 13

d) 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Waldomiro Neto

4 Resolva os seguintes problemas: a) Na turma do 6o ano há exatamente 45 alunos. Para a disciplina de Geografia, será feito um trabalho em equipe em que cada uma deverá ter no mínimo 2 alunos e no máximo 20 alunos.

Responda: • Quantas equipes podem ser formadas?

No máximo 22. A quantidade varia de acordo com a quantidade de alunos por equipe.

• Quantos alunos haverá em cada equipe?

Considerando o máximo de grupos, teremos 21 equipes com 2 alunos e 1 grupo de 3.

b) Para juntarmos a quantia de 1 000 reais com cédulas de mesmo valor, responda: Aurelio Scetta/Dreamstime.com

• Quantas cédulas de 2 reais seriam necessárias? 500 • E de 5 reais? 200 • E de 10 reais? 100 • E de 20 reais? 50 • E de 50 reais? 20 • E de 100 reais? 10





Eduardo Belmiro



Eduard

o Belm

iro

c) Um supermercado tem dois tipos de embalagem de sucos: embalagem para 6 garrafas e embalagem para 12 garrafas. Qual é o menor número de embalagens necessárias para acomodar exatamente 150 garrafas desse suco? 13 embalagens

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Máximo divisor comum Waldomiro Neto

Duas turmas do 6º ano participaram de um passeio realizado pela escola: • turma A: com 40 alunos; • turma B: com 32 alunos. Cada turma deverá, separadamente, formar equipes de tal forma que todas elas tenham o mesmo número de alunos. Qual é o número máximo de alunos em cada equipe? Quantas equipes serão formadas? Para resolver a situação, devemos obter inicialmente os divisores de 40 e 32: D(40): 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40

divisores comuns: 1; 2; 4; 8

D(32): 1; 2; 4; 8; 16; 32 Conforme os divisores comuns, concluímos que as equipes poderão ter 1, 2, 4 ou 8 alunos. Como queremos o maior número possível de alunos em cada equipe, a resposta é 8. Considerando que 40  8 5 5 e 32  8 5 4, ao todo serão formadas 9 equipes (5 1 4) com 8 alunos em cada uma. Nessa situação, calculamos o máximo divisor comum dos números 40 e 32. Em símbolos, escrevemos: mdc (40; 32) 5 8 O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior número que é divisor de todos esses números. Há um procedimento para o cálculo do máximo divisor comum que utiliza a decomposição simultânea dos dois (ou mais) números em fatores primos. Observe como podemos fazer para calcular o mdc (40; 32): 40 32

2

fator comum a 40 e 32

20 16

2

fator comum a 20 e 16

10

8

2

fator comum a 10 e 8

5

4

2

5

2

2

5

1

5

1

1

mdc (40; 32) 5 2 ? 2 ? 2 5 8

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AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule o máximo divisor comum dos números 48, 64 e 80.

16

2 Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais, sabendo-se que o menor deles é divisor do maior? O menor número, que é divisor do maior. 3 Obtenha, em cada caso a seguir, o máximo divisor comum dos números solicitados. a) mdc (8; 9) 1 b) mdc (15; 16) 1 c) mdc (32; 33) 1 d) mdc (40; 49) 1

Quando dois ou mais números naturais apresentam o máximo divisor comum igual a 1, eles são chamados de primos entre si.

4 Observe que 500 5 5 ? 100. Responda. a) O número 500 é divisível por 5? Sim. b) O número 5 é um dos fatores do número 500? Sim. c) O número 100 é um dos fatores do número 500? Sim. d) 500 é divisível pelo número 100? Sim. 5 Utilize uma calculadora para responder às seguintes questões: a) O número 15 é um divisor do número 200? Não. b) O número 9 540 é divisível por 20? Sim. c) O número 35 é um dos fatores do número 21 000? Sim. d) O número 32 é um dos fatores do número 980? Não. 6 Considerando os números 40 e 25, obtenha: a) os divisores naturais de 40; 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) os divisores naturais de 25; 1, 5, 25 c) os divisores naturais comuns de 40 e 25. 1, 5 7 Obtenha todos os divisores naturais do número A, considerando que A 5 32 ? 52. 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225

8 Utilizando a decomposição simultânea em fatores primos, obtenha o máximo divisor comum dos números em cada item a seguir. a) mdc (18; 36) 18 b) mdc (45; 135) 45

c) mdc (22; 44; 33) 11 d) mdc (128; 256; 512) 128

9 Responda. a) Qual é o máximo divisor comum de dois números primos? 1 b) Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais pares consecutivos? 2 c) Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais ímpares consecutivos? 1 10 Escreva: a) os divisores naturais de 45, isto é, D(45); 1, 3, 5, 9, 15, 45 b) os divisores naturais de 27, isto é, D(27); 1, 3, 9, 27 c) os divisores comuns de 45 e 27; 1, 3, 9 d) o máximo divisor comum de 45 e 27. 9

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Eduardo Belmiro

11 Mateus tem, no estoque de sua fábrica, 3 rolos de corda com as seguintes medidas: 75 metros, 125 metros e 175 metros. Ele deseja dividir cada um desses rolos em pedaços iguais, de tal forma que a medida de cada pedaço seja um número natural e o maior possível. Qual será a medida de cada pedaço de corda? Quantos pedaços, ao todo, ele conseguirá? 25 metros; 15 pedaços

12 Resolva os seguintes problemas: a) Numa indústria de tecidos, são fabricados peda­ços de tecidos de mesmo comprimento. No final de um dia de trabalho, restaram ainda dois grandes rolos de tecidos, com comprimentos iguais a 234 me­tros e 468 metros. É possível dividir esses rolos em pedaços de medidas representadas por números naturais e de maior tamanho possível? Qual é esse tamanho e quantos são os pedaços? Sim, serão 3 pedaços de 234 metros cada.

m e.co

stim

und

o res

rtu

Ape

eam /Dr

b) 126 criancas, 3 balas de coco e 4 balas de caramelo para cada uma.

b) Tia Dolita levou 504 balas de caramelo e 378 balas de coco para distribuir entre as crianças de um orfanato. Determine a quantidade de crianças e de balas para cada criança, sabendo-se que elas receberam quantidades iguais de cada sabor e que receberam a menor quantidade possível de balas de caramelo e de coco. c) A tabela a seguir indica a quantidade de um mesmo livro de Matemática que foi encomendado à Editora Livrus, no início do ano, por três grandes livrarias. Livraria

Quantidade de livros

Manaus Livrarias

3 900

Livraria Rio Branco

1 300

Livraria Palmas

1 950

A editora resolveu atender aos pedidos das três livrarias por meio do envio de pacotes com a mesma quantidade de livros em cada um e, além disso, o máximo de livros possível em cada pacote. Responda: • Quantos livros serão colocados em cada pacote? 650 • Quantos pacotes cada livraria irá receber?

Manaus Livraria – 6 Livraria Rio Branco – 2 Livraria Palmas – 3

d) O movimento de translação dos planetas Júpiter, Saturno e Urano é próximo de 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Imagine que neste ano os três planetas ocupam determinada posição de alinhamento em relação ao Sol. Quantos anos decorrerão para que eles voltem a ocupar as mesmas posições deste ano? 420 anos

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Conexões Neste capítulo você aprendeu a calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números. Além disso, também observou um método para obter os divisores de um número partindo da decomposição em fatores primos. Existe um modo interessante de obter a quantidade de divisores de um número natural sem obter esses divisores. Para isso, basta observar a decomposição em fatores primos do número. Vamos exemplificar obtendo a quantidade de divisores naturais do número 360. Inicialmente decompomos 360 em fatores primos: 360

2

180

2

90

2

45

3

15

3

5

5

1 Escrevemos: 360 5 23 ? 32 ? 51 (os expoentes são: 3, 2, e 1) Adicionamos 1 a cada um dos expoentes desses fatores primos e multiplicamos os resultados: (3 1 1) ? (2 1 1) ? (1 1 1) 5 4 ? 3 ? 2 5 24 Portanto, o número 360 tem 24 divisores. Adicionar 1 ao expoente de cada fator primo se justifica pela quantidade de divisores que cada um desses fatores admite. Observe: 23

admite como divisores: 20; 21; 22; 23

32

admite como divisores: 30; 31; 32

51

admite como divisores: 50; 51

4 divisores 3 divisores

2 divisores

Com base nessa constatação, você pode obter os 24 divisores multiplicando as potências observadas acima:

20 ? 30 ? 50 5 1

21 ? 30 ? 50 5 2

22 ? 30 ? 50 5 4

23 ? 30 ? 50 5 8

20 ? 30 ? 51 5 5

21 ? 30 ? 51 5 10

22 ? 30 ? 51 5 20

23 ? 30 ? 51 5 40

20 ? 31 ? 50 5 3

21 ? 31 ? 50 5 6

22 ? 31 ? 50 5 12

23 ? 31 ? 50 5 24

20 ? 31 ? 51 5 15

21 ? 31 ? 51 5 30

22 ? 31 ? 51 5 60

23 ? 31 ? 51 5 120

20 ? 32 ? 50 5 9

21 ? 32 ? 50 5 18

22 ? 32 ? 50 5 36

23 ? 32 ? 50 5 72

20 ? 32 ? 51 5 45

21 ? 32 ? 51 5 90

22 ? 32 ? 51 5 180

23 ? 32 ? 51 5 360

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Capítulo 12

Múltiplos de um número natural Assim como a Terra, outros planetas também giram ao redor do Sol. A Terra leva aproximadamente 365 dias para completar seu movimento de translação, que é uma volta em torno do Sol.

Planeta

Tempo de translação (dias)

Mercúrio

88

Vênus

224

Terra

365

Marte

687

Júpiter

4 330

Paulo César Pereira

A tabela ao lado mostra, aproximadamente, o tempo de translação da Terra e de alguns outros planetas:

Fonte de pesquisa: . Acesso em: fev. 2015.

Observações: VV Sempre que mencionarmos "dia"

estaremos nos referindo a um dia terrestre, de 24 horas.

Sistema Solar.

Na ilustração, o tamanho dos elementos e a distância entre eles não estão na proporção. Foram utilizadas cores-fantasia.

Os múltiplos de um número Por estar próximo do Sol, o planeta Mercúrio leva apenas 88 dias para completar seu movimento de translação. Isso significa que ele dá uma volta completa em torno do Sol de 88 em 88 dias. Considerando que começamos a contar agora (utilizamos o zero para indicar esse início), a tabela a seguir indica a quantidade de dias e o número de voltas desse planeta em torno do Sol: Tempo (dias)

0

88

176

264

352

440

...

Número de voltas

0

1

2

3

4

5

...

Os números 0, 88, 176, 264, 352, 440, ... são múltiplos de 88.

118 pom6_096_133_u3.indd 118

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Vimos que Mercúrio leva 88 dias para dar uma volta completa em torno do Sol e nosso planeta leva 365 dias, ou seja, quase o quádruplo do tempo. Você já parou para pensar quantas horas existem em um ano? Em um mês? Ou até em uma semana? Veja a tabela a seguir. Tempo (dias)

1

2

3

4

5

6

7

Quantidade de horas

24

48

72

96

120

144

168

Nessa tabela descobrimos a quantidade de horas existente em uma semana (168 horas). Nela também é possível observar alguns múltiplos de 24. Observe o padrão numérico utilizado na sequência a seguir: 0 – 4 – 8 – 12 – 16 – 20... 4

134

8

234

12

334

16

434

4 20

534

1

4

1

4

1

4

1

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Podemos descrever o padrão dessa sequência numérica assim: considerando que o primeiro número é o zero, a partir dele cada termo a seguir é obtido somando-se 4 ao termo anterior. Múltiplos de um número natural são os números obtidos na multiplicação desse número pelos números naturais. Digite numa calculadora simples a operação indicada no exemplo anterior, ou seja, aperte as teclas: 0

4

1

4

1

1

4

1

4

1

4

5

Observe que os números que aparecem a cada vez que você aperta o sinal da adição

1

são múltiplos de 4. Agora faça um segundo teste. Digite a operação

0

1

O que você pôde perceber?

4

e, em seguida, repetidamente a tecla

5

Professor, numa calculdora não científica acabamos obtendo os números 4, 8, 12, ..., que são múltiplos de 4.

Agora encontre os múltiplos de 5, 6, 7 e 8 utilizando uma calculadora. Organize esses números em tabelas.

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tRaBalHo EM EQuIpE

Em uma folha de papel quadriculado, você e um colega deverão desenhar todos os retângulos que podem ser construídos exatamente com 24 quadradinhos. Depois respondam: a) Quais são os divisores do número 24? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 b) O número 24 é múltiplo de quais números? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24

Como podemos descobrir se um número é múltiplo de outro? Um número é múltiplo de outro se o resto da divisão entre eles for igual a zero, ou seja, se um for divisível pelo outro. Por exemplo, o número 20 é múltiplo de 4, pois 20  4 5 5 (resto 0).

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aGoRa É CoM VoCÊ 1 O número 32 é múltiplo de 8? Por quê? Sim. Pois 8 1 8 1 8 1 8 5 4 3 8 5 32.

2 Pedro foi ao consultório e o médico lhe entregou uma receita médica. Veja a seguir as indicações anotadas pelo médico.

Clínica Médica

RECEITUÁRIO Paciente: Pedro Souza USO ORAL 1) ANALGÉSICO FIQUEBEM TOMAR 1 COMPRIMIDO DE 8 EM 8 HORAS

Dr. Osvaldo a) Ele deverá tomar um comprimido de 8 em 8 horas. Quantos comprimidos tomará por 2.a) No máximo 3 comprimidos. Possibilidade de dia? Por quê? resposta: porque em um dia há 24 horas e 3 3 8 5 24. b) Se Pedro começar a tomar o medicamento à meia-noite (zero hora), os próximos comprimidos deverão ser tomados em que horários? Às 8 h e às 16 h. c) Você já reparou que, normalmente, os medicamentos devem ser tomados de 4 em 4 horas, de 6 em 6 horas, de 8 em 8 horas ou de 12 em 12 horas? Por que será? Converse com um colega e anotem as hipóteses levantadas por vocês.

120

D(24) 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} É esperado que os alunos percebam que os números citados são divisores de 24. Por isso, seguindo esses horários, uma pessoa tomará seu remédio todos os dias nos mesmos horários.

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3 Escreva os 13 primeiros números naturais que são múltiplos de 11. 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132

4 Observe a sequência formada pelos múltiplos de 19:

38

57

x

y

z

133

Determine os valores de x, y e z. x 5 76, y 5 95 e z 5 114 5 Observe atentamente o calendário do mês de maio de 2020 e considere os múltiplos de um número natural de 1 a 31 para responder. Zubartez

a) Os múltiplos de 5 estão no mesmo dia da semana? Não. b) Quantos múltiplos de 2 estão na segunda-feira? 2 c) Quantos múltiplos de 3 estão no sábado? 2 d) Quantos são os múltiplos de 9? 3 e) Quantos são os múltiplos de 11? 2 f) Quantos são os múltiplos de 7? 4 g) Os múltiplos de 7 estão no mesmo dia da semana? Sim. 6 Agora vamos considerar a tabela formada por todos os números naturais de 0 a 99.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

a) Quantos números pares há nessa tabela? 50 b) Quantos são os números ímpares? 50 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, c) Escreva todos os números dessa tabela que são múltiplos de 10. 80, 90 d) Escreva todos os números dessa tabela que são múltiplos de 11. 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 e) Quantos são os números múltiplos de 3 nessa tabela? 34 f) E quantos são os números múltiplos de 5? 20 7 Você deverá indicar o maior número natural: a) múltiplo de 7 com 2 algarismos; 98 b) múltiplo de 7 com 3 algarismos; 994 c) múltiplo de 5 com 2 algarismos; 95 d) múltiplo de 5 com 3 algarismos. 995

Utilize a calculadora

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Mínimo múltiplo comum Dois amigos resolveram andar de bicicleta no parque da cidade. Os dois iniciaram o percurso no mesmo ponto de partida e ao mesmo tempo, um deles demorou 3 minutos para completar o circuito enquanto o amigo completou o mesmo percurso em 2 minutos. Supondo que suas velocidades sejam mantidas, após quantos minutos eles voltarão a se encontrar no ponto de partida? Quantas voltas cada um deles já terá completado quando se encontrarem? 6 minutos; ciclista 1: 2 voltas, ciclista 2: 3 voltas Observe formas distintas de representar os tempos e as voltas: Tempo de cada ciclista para completar uma volta do circuito (em minutos) 1a volta

2a volta

3a volta

4a volta

Ciclista 1

3

6

9

12

Ciclista 2

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Observe que, na tabela, temos os múltiplos de 3 (ciclista 1) e os múltiplos de 2 (ciclista 2). Qual número há em comum? O número 6 indica um múltiplo de 2 e 3 simultaneamente. Dizemos então que 6 é um múltiplo comum. No exemplo, dizemos que 6 é o mínimo múltiplo comum (com exceção do zero) de 2 e 3. Sua representação é: mmc (2; 3) = 6. O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo desses números. Há um procedimento para o cálculo do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números que utiliza a decomposição simultânea desses números em fatores primos. Observe como podemos fazer para calcular o mmc (15; 25) (mínimo múltiplo comum de 15 e 25):

15, 25 3 5, 25 5 1, 5 5

mmc (15; 25) 5 3 ? 5 ? 5

1, 1 mmc (15; 25) 5 75

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o produto de todos os fatores primos obtidos da decomposição simultânea desses números.

Exemplo:

Resolução:

Considere que os planetas Júpiter, Saturno e Urano, a cada 12, 30 e 84 anos (aproximada e respectivamente), completam o movimento de translação ao redor do Sol. Imagine que neste ano os três planetas ocupam determinada posição de alinhamento em relação ao Sol. Quantos anos decorrerão para que eles voltem a ocupar essas mesmas posições?

12, 30, 84 2 6, 15, 48 2 3, 15, 24 2 3, 15, 12 2 3, 15, 6 2 3, 15, 3

3

1, 5, 1 5 1, 1, 1

mmc (12; 30; 84) 5 25 3 3 3 5 mmc (12; 30; 84) 5 480 anos

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AGORA É COM VOCÊ 1 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir: a) mmc (4; 12) 12 b) mmc (18; 60) 180

c) mmc (12; 36; 48) 144 d) mmc (8; 16; 64) 64

e) mmc (15; 24; 60) 120 f) mmc (210; 462) 2 310

2 Considere os números 18 e 27. Determine os cinco menores múltiplos comuns que são diferentes de zero. 54, 108, 162, 216, 270

remédio A

1 comprimido a cada 4 horas;

remédio B

1 comprimido a cada 8 horas.

Se o paciente tomou os dois comprimidos juntos pela primeira vez ao meio-dia de hoje, daqui a quantas horas ele tomará novamente os dois comprimidos juntos? 8 horas

Eduardo Belmiro © Banco Central do Brasil Waldomiro Neto

a) Dois ciclistas levam, respectivamente, 30 segundos e 35 segundos para completar uma volta numa arena esportiva. Após a largada, quantos segundos serão necessários para que esses ciclistas se encontrem novamente no ponto de partida, se mantidas as suas velocidades? 210 segundos 5 3,5 minutos b) Em relação ao problema anterior, responda: Quantas voltas terá completado cada um desses ciclistas? 7 e 6 voltas c) No final do ano, duas torres foram construídas com lâmpadas coloridas. Numa delas, as lâmpadas piscam a cada 4 segundos, enquanto que, na outra, a cada 6 segundos. Se uma pessoa observa agora que as lâmpadas das duas torres estão piscando juntas, depois de quanto tempo elas piscarão juntas novamente pela primeira vez? 12 segundos d) Um caixa eletrônico foi programado para fornecer quantias menores que 49 reais, mas em um tipo de cédula apenas: cédulas de 2 reais ou de 5 reais. Quais são as quantias que podem ser retiradas com somente um tipo de cédula, entre os dois tipos citados? e) Com relação ao problema anterior, responda: Qual é a menor quantia que pode ser retirada nas condições do problema? E qual é a maior quantia? 2 reais; 48 reais f) Depois de examinar um paciente, a médica receitou dois remédios:

Waldomiro Neto

3 Resolva os seguintes problemas:

4 Escreva todos os múltiplos de 7 que são menores que 100. 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84 ,91, 98

5 Um relógio eletrônico dispara um alarme a cada 120 minutos. Outro relógio dispara um alarme a cada 150 minutos. Os dois relógios soaram juntos às 14 horas. Quando eles voltarão a tocar juntos? À meia-noite. 3. d) Notas de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48. Notas de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

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caderno

6 Considere os números que estão indicados na tabela a seguir:



12

99

24

36

45

72

32

15

75

25

40

81

50

60

18

28

48

64

30

80

66

0

98

100

Escreva os números dessa tabela que são múltiplos de: 12, 30, 99, 15, 60, 24, 75, 18, 66, a) 3 0, 36, 45, 48, 72, 81

f) 8 0, 32, 80, 24, 40, 48, 72, 64

b) 4 0, 12, 32, 60, 80, 24, 36, 28, 40,

g) 9 0, 99, 18, 36, 45, 72, 81

48, 64, 72, 100 c) 5 0, 50, 30, 15, 60, 80, 75, 25, 45, 40, 100

h) 10 0, 50, 30, 60, 80, 40, 100 i) 11 0, 99, 66

d) 6 0, 12, 30, 60, 24, 18, 66, 36, 48, 72 e) 7 0, 28, 98

7 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir. a) mmc (4; 6) 12 b) mmc (8; 12) 24 c) mmc (12; 16) 48 d) mmc (7; 12) 84 e) mmc (10; 25) 50 f) mmc (6; 12; 18) 36 g) mmc (10; 15; 30)30 h) mmc (24; 12; 16) 48

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

a) Pinte de azul todos os quadrinhos que contêm números que são múltiplos de 4.

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

b) Marque um X nos quadrinhos que contêm números que são múltiplos de 9.

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

8 Copie a tabela em seu caderno e faça o que se pede.

0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99

c) Escreva os números que estão nos quadrinhos coloridos de azul e marcados com X. 0, 36, 72 d) O que indicam esses números? Que estes são múltiplos comuns de 4 e 9.

e) Qual é o mmc (4; 9)? 36 9 Responda.

8. a) 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96

a) Quando o mínimo múltiplo comum de dois números diferentes de zero e distintos entre si é um dos números? Quando o maior for múltiplo do menor. b) Qual é o mínimo múltiplo comum dos números 1 e 17? 17

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Conexões Curiosidades sobre números naturais Você estudou, nesta unidade, os múltiplos e os divisores de números naturais. Viu que existem números naturais que apresentam apenas dois divisores naturais: o próprio número e também a unidade. Tais números naturais são chamados de números primos. Há, na história da Matemática, muitas curiosidades a respeito de múltiplos e de divisores de números naturais. Divisores próprios: os divisores próprios de um número natural são todos os divisores desse número, exceto o próprio número. Números amigos: dois números naturais são amigos quando cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. • Exemplo: 284 e 220 são números amigos. Se observarmos os divisores naturais de cada um deles, excluindo o próprio número, teremos: D(220) 5 {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} Soma 5 1 1 2 1 4 1 5 1 10 1 11 1 20 1 22 1 44 1 55 1 110 5 284 D(284) 5 {1, 2, 4, 71, 142} Soma 5 1 1 2 1 4 1 71 1 142 5 220 Número perfeito: diz-se que um número é perfeito quando ele é igual à soma de seus divisores próprios. • Exemplos: 6 e 28 são números perfeitos. Em cada um desses exemplos, se adicionarmos os divisores próprios, a soma será igual ao próprio número, isto é: D(6) 5 {1, 2, 3} Soma 5 1 1 2 1 3 5 6 D(28) 5 {1, 2, 4, 7, 14} Soma 5 1 1 2 1 4 1 7 1 14 5 28 Números abundantes: são números naturais em que a soma dos divisores próprios é maior que o número. • Exemplo: 30 é um número abundante. D(30) 5 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15} Soma 5 1 1 2 1 3 1 5 1 6 1 10 1 15 5 42 Números deficientes: são números naturais em que a soma dos divisores próprios é menor que o número. • Exemplo: 26 é um número deficiente. D(26) 5 {1, 2, 13} Soma 5 1 1 2 1 13 5 16 Essas são apenas algumas curiosidades associadas aos números naturais que os antigos gregos, na época de Eratóstenes, gostavam de pesquisar.

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caderno

dIVERSIfICaNdo lINGuaGENS

Preciso visitar mais a minha família, só conheço 8 primos.

... 17, 19 e ...

Ilustra Cartoon

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

2. A palavra primo vem do latim primus, que significa “primeiro”. Os números primos são chamados assim por serem considerados os primeiros em referência a outros números que não são primos, pois qualquer número natural pode ser formado por um produto de números primos. A palavra primo como grau de parentesco surgiu da palavra consobrinus, que se refere ao primeiro grau de consanguinidade.

1 Por que o personagem relaciona a sequência numérica com a família dele? Resposta possível: A sequência numérica que ele pensou é a dos números primos, e esses números têm o mesmo nome que é usado para o grau de parentesco primo (filho ou filha de tios).

2 Faça uma pesquisa sobre a palavra primo e descreva o porquê de sua utilização como classificação de alguns números e como grau de parentesco. 3 Escreva a sequência dos números primos até o número 50. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

4 Escreva o número 324 como um produto de números primos.

2?2?3?3?3?3

5 Você conhece algum método para determinar os números primos que estão no intervalo de 101 a 200? Crivo de Eratóstenes. 6 Em dupla, copie a tabela e, com o auxílio de uma calculadora, juntos determinem os números primos que estão no intervalo de 101 a 150. Dica: utilizem os múltiplos dos números primos e os critérios de divisibilidade. 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173 e 179

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

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116

117

118

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120

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130

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140

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177

178

179

180

7 Descreva o procedimento usado para determinar os números primos na tabela acima.

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Resposta possível: Primeiramente riscamos todos os números pares, depois os múltiplos de 3. Para isso, usamos o critério de divisibilidade por 3. Depois usamos o critério de divisibilidade por 5, ou seja, riscamos todos os números terminados em 5, uma vez que os números terminados em zero já haviam sido riscados, pois também são múltiplos de 2. E, por fim, riscamos os múltiplos de 7, de 11 e de 13.

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Capítulo 13

Tratamento da informação: contagem e estimativa Primeiros procedimentos de contagem Você já decidiu quem começaria uma brincadeira ou quem ficaria com a bola ou o campo utilizando a estratégia de “cara ou coroa”? Nessa antiga estratégia utilizamos uma moeda para decidir, por exemplo, quem será o primeiro a realizar determinada ação. O ato de jogar uma moeda para cima e ver qual face cairá é complexo quando tratamos das possibilidades de resultados. Por exemplo, ao jogar uma moeda, quantas e quais opções são possíveis?

cara

coroa

© Banco Central do Brasil

Duas opções:

cara

cara

cara

coroa

coroa

cara

coroa

coroa

© Banco Central do Brasil

Mas, se jogarmos duas vezes a mesma moeda, quais são os resultados possíveis?

Agora não teremos apenas duas possibilidades, e sim quatro, já que cara e coroa é diferente de coroa e cara, pois em se tratando de possibilidades a ordem em que os resultados aparecem influencia no resultado.

Árvore de possibilidades E se lançarmos a mesma moeda do exemplo anterior 3 ou 4 vezes? Nesse caso seria um processo um pouco mais demorado para montar todas as possibilidades; por isso, é possível utilizar o que normalmente é chamado de árvore de possibilidades. Veja o exemplo a seguir. Uma lanchonete faz a seguinte promoção: compre um salgado e ganhe um refresco. Os salgados disponíveis são coxinha, bolinho de carne e rissole de queijo, e os refrescos são de limão, laranja, maracujá e abacaxi. De quantas maneiras possíveis uma pessoa pode fazer uma refeição participando dessa promoção? Vamos organizar os dados em uma árvore de possibilidades. Veja:

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Evgeny Karandaev/Shutterstock

Maquinotico/iStockphoto.com

suco de limão suco de laranja coxinha suco de maracujá suco de abacaxi

Davide Chiarito/ iStockphoto.com

MarkusSchiemann/ iStockphoto.com

suco de limão suco de laranja bolinho de carne

suco de maracujá

Davide Chiarito/ iStockphoto.com

Slawomir Zelasko/Shutterstock

suco de abacaxi suco de limão suco de laranja rissole de queijo suco de maracujá suco de abacaxi

Percebam que, para cada tipo de salgado, há 4 tipos de refresco; logo, as possibilidades que uma pessoa tem de fazer uma refeição participando dessa promoção são: 3 ? 4 5 12 possibilidades. Registre no

aGoRa É CoM VoCÊ

caderno

1 Se eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias diferentes, de quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? 40 maneiras 2 Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual é o número total de possíveis resultados? 32 resultados 3 Pedro foi a uma sorveteria e, antes de fazer o pedido, resolveu olhar o cardápio e viu as seguintes opções de sorvete: chocolate, morango, flocos, coco e abacaxi. Além disso, ele podia escolher calda de chocolate ou caramelo. Quantas opções de taças com um sabor de sorvete com apenas um tipo de calda Pedro poderia pedir? 10 opções 4 Durante o fim de semana, Marina fez uma pequena viagem para uma fazenda com os pais. Para esses dias ela resolveu levar 3 saias e 3 blusas na mala. a) De quantas maneiras diferentes Marina poderá se vestir utilizando apenas as peças de roupa que levou? 9 maneiras b) Durante quantos dias Marina consegue se vestir sem ter de repetir nenhuma combinação e usando apenas uma por dia? 9 dias c) Se além das peças que Marina está levando ela levasse mais 2 bermudas e 3 blusas, de quantas maneiras diferentes ela poderia se vestir? 30 maneiras

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Estimativa Observe a situação a seguir. Em novembro de 2014 foi realizado em São Paulo um grande show em um local onde cabem 55 mil pessoas. Sabendo que a média entre pessoas sentadas e de pé em um show é de 4 pessoas por m², podemos estimar a quantidade aproximada de m² dessa arena. Para isso fazemos o seguinte cálculo mental: Quanto é 55 dividido por 4? Entre 13 e 14, só que mais próximo de 14.

Mas estamos falando de 55 000 pessoas, logo a quantidade deve estar entre 13 000 e 14 000 m2. Qual destes valores você acredita ser o mais adequado para nossa estimativa? a) 13 200 m²

Alternativa c.

b) 13 500 m²

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c) 13 700 m² d) 13 900 m² Se fizéssemos a divisão em uma calculadora, descobriríamos que 55 000  4 5 13 750 m2.

Quando realizamos uma estimativa, estamos na verdade fazendo um cálculo aproximado da situação real.

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AGORA É COM VOCÊ

caderno

Leia o trecho da notícia a seguir.

"No segundo dia de greve no metrô e com o rodízio suspenso, a cidade de São Paulo bateu um novo recorde de congestionamento no trânsito em 2014 para o período da manhã nesta sexta-feira (6), com 239 km de filas registrados às 10h, segundo a CET (Companhia de Engenharia de Tráfego). Por volta de 11h, o índice teve uma pequena queda, para 228 km, e às 13h já tinha caído para 134 km. Às 15h, a lentidão voltou a aumentar, com 140 km. A chuva que atinge a cidade também ajuda a piorar a situação. O normal para o horário das 10h é lentidão entre 75 km e 105 km." SP tem novo recorde de lentidão no trânsito em 2o dia de greve do metrô. Disponível em: FOLHA PRESS. Acesso em: jan. 2015.



Estime a quantidade de carros que estavam parados em um congestionamento nesse dia nos horários a seguir. Para fazer essa estimativa, use a) 10 h [(239 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 5143 400; 143 400 carros uma calculadora e considere que: b) 11 h [(228 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 5136 800; 136 800 carros • a cada 40 metros temos em c) 13 h [(134 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 580 400; 80 400 carros média 8 carros; d) 15 h [(140 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 584 000; 84 000 carros • cada via de tráfego tem em média 3 pistas.

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Superando Desafios 1 (PUC–SP)

Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez que a manutenção ocorreu no mesmo dia foi em: Alternativa c. a) 6 de dezembro b) 8 de dezembro c) 14 de dezembro d) 26 de dezembro 2 (Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”? Alternativa e. a) 12

b) 10

c) 20

d) 15

e) 30

3 (Mack - SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: Alternativa d. a)15

b) 16

c) 17

d) 19

e) 21

4 (OBM) Quatro números inteiros positivos a , b , c , d são tais que o mdc entre quaisquer dois deles é maior do que 1, mas mdc (a,b,c,d) = 1. Qual é o menor valor possível para d? Alternativa c. a) 10

b) 12 c) 15

d) 30

e) 105

5 (Cefet) A soma dos valores absolutos dos algarismos de um número superior a 1010, inferior a 2010 e ao mesmo tempo múltiplo de 7, 11 e 13, é? Alternativa b. a) 2

b) 4

c) 5

d) 11

e) 22

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6 (Obmep) Quantos números inteiros positivos têm o número 9 como seu maior divisor, diferente do próprio número? Alternativa b. a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) infinitos 7 (Obmep) Escreve-se, em ordem crescente, cada um dos múltiplos de 3 cuja soma com 1 é um quadrado perfeito: 3; 15; 24; 48; ... a) Qual é o próximo número que aparecerá, nessa sequência, depois do 48? 63 b) Qual é o oitavo número dessa sequência? 168 c) Qual é o número que aparecerá, nessa sequência, na 2 013a posição? 9 120 399

8 (Acafe-SC) Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em dado instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente, depois de: Alternativa b. a) 2 minutos e 30 segundos c) 2 minutos e) 36 segundos b) 3 minutos d) 1 minuto e 30 segundos 9 (OBM) Entre os números naturais de 1 até n, pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são divisíveis por 6. No máximo, quantos desses números são divisíveis por 7? Alternativa e b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 a) 4

A revelação - Coleção O Contador de Histórias e Outras Histórias da Matemática Autor: Egídio Trambaiolli Neto Editora: FTD 80 páginas A obra apresenta enigmas que envolvem conhecimentos de História, Geografia e Mitologia e são resolvidos usando a Matemática. Este volume faz parte da coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática e vem acompanhado de um suplemento de trabalho.

Editora Ática

Editora FTD

Explorando

Contando a História da Matemática - História de potências e raízes Autor: Oscar Guelli Editora: Ática 56 páginas O autor e professor Oscar Guelli desenvolveu a coleção Contando a história da Matemática, composta de livros que respondem diversas perguntas a respeito desta ciência. Por exemplo, você sabe como os egípcios mediam a altura e a inclinação das pirâmides? E como a humanidade chegou ao conhecimento da chamada “quinta operação”? Descubra estas e outras curiosidades.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS Alternativa b.

a) O número 2 é múltiplo de 10. b) O número 10 é divisível por 2. c) O número 3 é composto. d) O número 4 é primo. e) O número 2 não é primo.

a) 60 b) 80

2 Um número é divisível por 6 quando:

Alternativa b.

a) é par. b) é par e divisível por 3. c) é divisível por 3. d) é ímpar. e) o algarismo das unidades é 0 ou 5. 3 Um número natural é primo quando:

Alternativa d.

a) é ímpar. b) é divisível por 1. c) é divisível por 2. d) apresenta apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. e) apresenta apenas um divisor natural.

4 Um número natural é composto quando apresenta: Alternativa c. a) apenas 1 divisor natural. b) apenas 2 divisores naturais. c) no mínimo 3 divisores naturais. d) apenas 3 divisores naturais. e) nenhum divisor natural. 5 Assinale a alternativa que indica corretamente a quantidade total de números primos que aparecem no seguinte quadro: Alternativa c.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

a) 8 b) 9

c) 10 d) 11

6 Qual é o número natural correspondente à fatoração 23 ? 3 ? 5? Alternativa d.

e) 12

c) 100 d) 120

e) 180

7 Assinale a alternativa que indica corretamente a quantidade de divisores naturais que admite o número 100. Alternativa c. a) 7 c) 9 e) 11 b) 8 d) 10 8 Considere a igualdade 17  ? 16 5 272. É incorreto afirmar que: Alternativa a. a) 17 é múltiplo de 272. b) 272 é divisível por 16. c) 17 é um dos fatores de 272. d) 16 é um dos fatores de 272. e) 272 é múltiplo de 16. 9 Para juntarmos a quantia de 10 000 reais somente com cédulas de 50 reais, precisaremos ao todo de: Alternativa a. © Banco Central do Brasil

1 Indique a alternativa correta.

a) 200 cédulas. b) 400 cédulas. c) 100 cédulas. d) 50 cédulas. e) 150 cédulas. 10 Em qualquer calendário, os dias, em um mesmo mês, que caem no mesmo dia da semana são aqueles correspondentes a: a) múltiplos de 5. b) múltiplos de 7. c) múltiplos de 8.

Alternativa b.

d) múltiplos de 4. e) múltiplos de 6.

11 Assinale a alternativa que indica corretamente o mdc (10; 20; 30). Alternativa c. a) 2 b) 5 c) 10 d) 4 e) 1 12 Considere que a letra A representa um número natural que é divisor do número natural representado pela letra B. Então, é correto afirmar: Alternativa c. d) mdc (A; B) 5 2 a) mdc (A; B) 5 1 e) mdc (A; B) 5 0 b) mdc (A; B) 5 B c) mdc (A; B) 5 A

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Alternativa a.

d G/S

d) 60 e) 36

Vla

a) 2 b) 24 c) 48

hutterstock

14 Observando o relógio analógico a seguir, assinale a alternativa que indica corretamente o número de voltas completas que dá o ponteiro pequeno em um dia inteiro.

15 Assinale a alternativa que indica corretamente a decomposição em fatores primos do número 676. Alternativa c. a) 23 ? 5 ? 7 b) 22 ? 132 c) 23 ? 52

d) 22 ? 52 ? 7 e) 23 ? 112

c) 15 d) 18

e) 24

19 No quadro a seguir, estão indicados os anos em que se realizaram olimpíadas e as cidades que as sediaram.

Alf Ribeiro/Folha Press

d) 14 h 15 min e) 15 h

18 Em um supermercado, as 72 caixas de suco de laranja, as 48 de suco de uva e as 36 de suco de pêssego serão acomodadas em embalagens com o maior número possível de caixas de um mesmo suco em cada uma. O número de caixas de suco por embalagem é: Alternativa b. a) 6 b) 12

16 Duas linhas de ônibus saem do mesmo terminal de uma cidade. Uma sai a cada 12 minutos; e a outra, a cada 16 minutos. Às 13 horas de um dia, as duas linhas saem simultaneamente do terminal. Assinale a alternativa que indica o próximo horário em que as duas sairão novamente juntas do terminal. Alternativa b.

a) 13 h 36 min b) 13 h 48 min c) 14 h

a) 12 em 12 segundos b) 10 em 10 segundos c) 6 em 6 segundos d) 15 em 15 segundos e) 20 em 20 segundos

Carlos Caetano/Dreamstime.com

a) mmc (A; B) 5 1 b) mmc (A; B) 5 B c) mmc (A; B) 5 A d) mmc (A; B) 5 2 e) mmc (A; B) 5 3

Zubartez

17 Em uma árvore de Natal, as lâmpadas vermelhas piscam de 4 em 4 segundos; as amarelas, de 6 em 6 segundos; e as azuis, a cada 12 segundos. Ao serem ligadas, elas acendem simultaneamente e, em seguida, cada cor pisca conforme o intervalo de tempo indicado anteriormente. De quantos em quantos segundos todas as lâmpadas piscam juntas? Alternativa a.

13 Agora a letra A indica um número natural que é múltiplo do número natural representado pela letra B. Então, é correto afirmar: Alternativa c.

1896 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1948 1952 1956 1960 1964

Atenas Paris Saint Louis Londres Estocolmo Antuérpia Paris Amsterdã Los Angeles Londres Helsinque Melbourne Roma Tóquio

1968 Cidade do México 1972 Munique 1976 Montreal 1980 Moscou 1984 Los Angeles 1988 Seul 1992 Barcelona 1996 Atlanta 2000 Sydney 2004 Atenas 2008 Pequim 2012 Londres 2016 Rio de Janeiro

Descubra quantas dessas olimpíadas ocorreram em ano que não é bissexto. Só a Olimpíada de Paris, em 1900.

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UNIDADE 4

Formas geométricas planas

Anyunos/Shutterstock

Com base nas posições dos ponteiros de um relógio, podemos obter a noção de ângulo. Associamos essa ideia também com a mudança de direção. Aspectos importantes da Geometria Plana estão relacionados ao conceito de ângulo.

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1 O que significa dizer que a bola foi “bem no ângulo” quando um jogador faz um gol? 2 Quantos graus tem um ângulo reto? 3 Quando duas retas são perpendiculares?

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Capítulo 14

A ideia de ângulo Desde o início da humanidade, a observação e o estudo do céu despertavam interesse e fascinavam os mais diversos povos. Esses estudos impulsionaram o surgimento, por exemplo, da Astronomia. Inúmeros estudiosos podem ser citados e, entre eles, Nicolau Copérnico se destacou por elaborar uma teoria considerada, por muitos, uma das mais importantes, a teoria do heliocentrismo. Você já ouviu falar dessa teoria?

Antonio Figueiredo/ Shutterstock

Segundo Copérnico, todos os planetas giravam em torno do Sol, portanto, o Sol seria o centro do Universo. Sabemos que nenhuma teoria é construída por um único pensador, mas vai se desenvolvendo com base em inúmeras pesquisas e estudos. Galileu Galilei e Johannes Kepler são alguns dos nomes que aparecem nos estudos sobre o Universo. Galileu, por exemplo, é citado como um dos primeiros estudiosos a olhar o céu através de um telescópio. Respostas da página anterior: 1. Que a bola passou bem próximo à intersecção do travessão (parte horizontal do gol que dá suporte à rede) com qualquer uma das traves (parte vertical do gol que dá suporte à rede). Essa expressão não representa o conceito matemático de ângulo que é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. Assim, quando pensamos no conceito matemático, ângulo não seria só a parte próxima à intersecção.

Na época das grandes navegações, as rotas traçadas em longas viagens pelos mares eram desenvolvidas por meio da observação da posição das estrelas. Instrumentos como o quadrante e o astrolábio eram utilizados para verificar se, durante a viagem, o navio estava seguindo a rota previamente traçada. Imagine como seria uma viagem pelos oceanos sem contar com esses instrumentos.

Daliscot55/Dreamstime.com

2. 90° 3. Quando elas se intersectam em um ponto formando um ângulo de 90°.

Astrolábio.

Atualmente, além de navios modernos, contamos com equipamentos mais precisos, como radares, GPS e outros. No entanto, mesmo com todo esse avanço, é imprescindível que as pessoas envolvidas no manejo desses equipamentos tenham um conhecimento básico: a ideia de ângulo. Neste capítulo, abordaremos algumas noções importantes sobre ângulos e ainda ampliaremos o estudo de Geometria Plana.

Embarcação de exploração petrolífera.

136 pom6_134_163_u4.indd 136

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Noção de ângulo

ap Ke e

m .co ime Chan | Dreamst

Ao observar os ponteiros de um relógio, podemos associar a ideia de ângulo à abertura existente entre dois ponteiros. Na imagem a seguir, a posição dos ponteiros possibilita a leitura das horas, neste caso, 10 horas e 10 minutos. Ao lado, temos outra representação dos ponteiros e, nesta, utilizamos duas semirretas de mesma origem.

Y

A região limitada pelas duas semirretas de mesma origem determina um ângulo. A origem comum a essas semirretas é o vértice do ângulo, e cada uma das semirretas é um lado do ângulo. Num ângulo temos os seguintes elementos:

• Vértice: é o ponto A; • Lados do ângulo:

  são as semirretas AC e AB .

B

C 99º A 261º

• Ângulo (abertura):

   . região compreendida entre as semirretas AC e AB , representada por CAB

Eduardo Belmiro

Coprid/ Shutterstock

Observe alguns exemplos nos quais é possível identificar a formação de diferentes ângulos. Abertura de uma tesoura Inclinação de um carro no guincho

Ilustração: DAE

Os ângulos também podem ser associados à ideia de giro. Observe, por exemplo, duas tiras coloridas presas por uma tachinha: uma delas fica numa posição, enquanto a outra vai girando.

O giro da tira verde corresponde a um ângulo. Note que, da esquerda para a direita, a abertura entre as duas tiras coloridas vai aumentando. Se continuarmos girando a tira verde até chegar à posição inicial, teremos um giro completo.

137 pom6_134_163_u4.indd 137

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Setup

Essa ideia pode ser representada por um círculo: giro de uma volta ou ângulo de uma volta

giro de 1 (meia) volta ou 2 ângulo de 1 volta: ângulo raso 2

giro de 1 (um quarto) de volta ou 4 ângulo de 1 de volta: ângulo reto 4 giro de 1 (um oitavo) de volta ou 8 ângulo de 1 de volta 8

Exemplo 1:

Wald omiro Neto

Em quais horas exatas de um dia o ângulo entre os ponteiros do relógio é reto?

Resolução: Existem 4 horas exatas ao longo de um dia em que o ângulo entre os ponteiros dos minutos e das horas é reto: 3 horas da manhã, 9 horas da manhã, 3 horas da tarde e 9 horas da noite.

Exemplo 2: Numa cartolina, vamos construir um ângulo reto por meio de dobraduras.

• Apoiamos uma tampa redonda em cima de uma cartolina. Com um lápis, contornamos Ilustrações: Eduardo Belmiro

essa tampa e obtemos um círculo. Com uma tesoura, recortamos o círculo.

• Dobramos então o círculo no meio (temos o ângulo raso) e depois fazemos uma nova dobra no meio para obter o ângulo reto.

138 pom6_134_163_u4.indd 138

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ Setup

1 Quantos ângulos retos são observados na figura a seguir? 9 ângulos

2 Em seu caderno, represente um relógio como abaixo. A seguir desenhe o ponteiro dos minutos e o ponteiro das horas indicando a hora exata em que o ângulo entre esses ponteiros é raso. A resposta apresenta apenas uma

iro

Ne to

das possibilidades, pois o problema admite várias soluções.

om ld Wa

Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE Em dupla, faça o que se pede.

Desenhem numa folha de papel quadriculado duas linhas que se cruzam. Marquem um ponto A exatamente no encontro dessas duas linhas. Depois, indiquem a direção Norte acima, a Sul abaixo, a Leste à direita e a Oeste à esquerda, como a seguir. Sigam as instruções: A partir de A, desloquem com o lápis 10 quadradinhos na direção Norte, marcando o ponto B.

•

N

• A partir de B, desloquem 15 quadradinhos na direção Leste, marcando o ponto C.

O

A

L

• A partir de C, desloquem 10 quadradinhos na direção Sul, marcando o ponto D.

• Finalmente, a partir de D, desloquem 15 quadradinhos na S

direção Oeste, chegando ao ponto final.

A que conclusão pode-se chegar?

Sugestão de resposta: O lápis “saiu” do ponto A, “descreveu” um retângulo e “voltou” ao ponto A.

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Classificação de ângulos Assim como existe uma régua para medir comprimentos, também existem instrumentos para medir ângulos.

nrt/Shutterstock

Um deles é o transferidor, que pode ser definido como um círculo (geralmente feito de plástico e vazado no meio) dividido em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes é um grau (símbolo: °). Usamos o grau para medir ângulos. O ângulo indicado pelas duas semirretas na figura ao lado mede 10°.

Léo Burgos

Transferidor.

A cada uma das 360 partes em que dividimos o círculo corresponde um ângulo de medida 1°. Assim, uma volta completa é um ângulo de medida 360°. Existem transferidores que são semicírculos divididos em 180 partes.

Conforme a medida de um ângulo, os seguintes tipos de ângulo podem ocorrer:

• Ângulo raso – ângulo de medida igual a 180°, desde que haja giro em uma das semirretas. Caso não haja giro, o ângulo será denotado por ângulo nulo e terá medida igual a 0°.

• Ângulo reto – um ângulo de um quarto de volta é um ângulo reto e tem medida igual a 90°.

Observação: B Ilustração: DAE

VV Veja a figura a seguir:  A indicação de ângulo reto

C D

Se quisermos representar o ângulo A, podemos usar a notação A ; para o ângulo B, escrevemos B e assim por diante.

140 pom6_134_163_u4.indd 140

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• Ângulo obtuso – ângulo de medida maior que 90° e menor que 180°.

• Ângulo agudo – ângulo de medida maior que 0° e menor do que 90°.

Exemplo: Vamos determinar a medida, em graus, do ângulo de vértice A, no triângulo abaixo. Ilustrações: Setup

C

B

A

Resolução:

Dessa forma, como indicado em vermelho, a medida do ângulo procurado é 30°.

C

Waldomiro Neto

Posicionamos o transferidor (vamos utilizar aqui o de 180o) com o centro no ponto A e com o zero coincidindo com um dos lados do triângulo. Então, observamos a medida do ângulo correspondente no transferidor, isto é:

B

A

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caderno

Trabalho em equipe Reúna-se em dupla e observe a rosa dos ventos para responder às questões. 1 Quais são os pontos cardeais? Norte, Sul, Leste e Oeste.

N

3 Usando o transferidor descubram os ângulos formados entre as direções indicadas pelos pontos cardeais. 90° 4 Usando o transferidor descubram os ângulos formados entre as direções indicadas por um ponto cardeal e um ponto colateral, um ao lado do outro. 45°

NO

NE

O

L SO

DAE

2 Quais são os pontos colaterais? Nordeste, Sudeste, Sudoeste e Noroeste.

SE S

141 pom6_134_163_u4.indd 141

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Observe a figura a seguir, em que o ângulo raso foi dividido por uma semirreta vermelha.

Se o ângulo agudo medir 55°, qual deverá ser a medida do ângulo obtuso? 125° 2 Desenhe um ângulo: Respostas pessoais. a) agudo;

b) reto;

c) obtuso;

d) raso.

3 Na figura a seguir, o ângulo raso foi dividido por uma semirreta vermelha.

Importante! VV A figura ao lado está fora de escala. Isso significa

que os ângulos desenhados não correspondem necessariamente aos valores reais.

   

Responda: a) Qual é a medida do ângulo agudo dessa figura, se a medida do ângulo obtuso for 130°? 50° b) Qual é a medida do ângulo obtuso dessa figura, se a medida do ângulo agudo for 40°? 140°

4 Considere o quadrado ABCD ilustrado a seguir. Nele foram utilizados dois segmentos de reta para unir os vértices opostos da figura, e observe que no cruzamento desses segmentos formaram-se 4 ângulos. Qual é a medida de cada um desses ângulos? Como você chegou à sua conclusão? 90°; Resposta pessoal. A

B

C

D

Waldomiro Neto

5 Observe a representação de um campo de futebol.

Responda: a) Que tipo de ângulo está indicado em cada um dos cantos do campo de futebol? Ângulo reto. b) No meio do campo, a linha está dividindo o círculo ao meio. Qual é o nome de cada um dos dois ângulos que formam o círculo central? Ângulo raso. c) Que tipo de ângulo a linha que divide o campo ao meio forma com as linhas laterais? Ângulo reto.

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Posição relativa entre retas A

C

r

B

Ilustrações: Setup

No quadriculado abaixo foram representadas quatro retas: r, s, u e v.

D

s u

v

Como elas estão representadas no mesmo plano formado pelo quadriculado, dizemos que são retas coplanares. Observe nessa malha quadriculada que:

• o ponto A é o encontro da reta r com a reta u (as retas r e u são ditas concorrentes); • o ponto B é o encontro da reta s com a reta u (as retas s e u são ditas concorrentes); • o ponto C é o encontro da reta r com a reta v (as retas r e v são ditas concorrentes); • o ponto D é o encontro da reta s com a reta v (as retas s e v são ditas concorrentes); • se prolongarmos as retas u e v, elas se encontrarão em algum ponto (são concorrentes). Duas retas coplanares que têm um único ponto de interseção (ponto de encontro) são denominadas retas concorrentes. Voltando à malha quadriculada, observe que, por mais que prolonguemos as retas r e s, elas jamais se encontrarão (são ditas retas paralelas). Duas retas coplanares que não se interceptam (não têm ponto de encontro) são denominadas retas paralelas. A seguir reproduzimos as retas que estão representadas acima, mas sem a malha quadriculada. Note que nos pontos A, B, C e D as retas são, duas a duas, concorrentes. Quando duas retas são concorrentes, elas formam quatro ângulos. A

C

r

s

B u

D v

• As retas r e v, que se interceptam no ponto C, formam quatro ângulos. Como nenhum desses ângulos é ângulo reto, dizemos que essas retas são oblíquas.

• As retas s e v, que se interceptam no ponto D, formam quatro ângulos. Como nenhum desses ângulos é ângulo reto, dizemos que essas retas são oblíquas.

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• As retas r e u, que se interceptam no ponto A, formam quatro ângulos, todos retos. Dizemos que essas retas são perpendiculares.

• As retas s e u, que se interceptam no ponto B, formam quatro ângulos, todos retos. Dizemos que essas retas são perpendiculares. Duas retas coplanares e concorrentes que formam, no ponto de encontro, quatro ângulos retos são denominadas retas perpendiculares.

Exemplo: Prolongando os três lados de um triângulo retângulo, obtemos as retas r, s e t. Indique as posições entre essas retas, duas a duas.

Ilustrações: Setup

t r

s

Resolução: Como, duas a duas, essas retas coplanares têm um ponto em comum, dizemos que:

• r e s são retas concorrentes; • r e t são retas concorrentes; • s e t são retas concorrentes. Como as retas s e t se encontram formando quatro ângulos retos, dizemos que são perpendiculares. As retas r e t e as retas r e s são oblíquas, pois se encontram formando quatro ângulos que não são retos.

Conexões Assim como existem retas que são coplanares, isto é, que estão num mesmo plano, também existem retas que não são coplanares. Tais retas são ditas reversas. Como exemplo dessas retas, considere o prolongamento de duas arestas de um cubo, como indicam as retas r e s representadas ao lado: Duas retas são ditas reversas quando não têm intersecção uma com a outra e não são paralelas. Isso significa que elas estão em planos diferentes, ou seja, não são coplanares.

r

s

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Prolongando os quatro lados de um retângulo, obtêm-se as retas r, s, t e u. Indique quais retas são paralelas e quais são perpendiculares. Paralelas: r e s; t e u. Perpendiculares: r e t; r e u; s e t; s e u. u

Ilustrações: Setup

t r

s

2 Na figura a seguir, com o prolongamento das retas r, s, t e u, obteve-se um retângulo, e as retas a e b contêm as diagonais desse retângulo. Escreva: a) todos os pares de retas que são paralelas; r e s; t e u

t

u

a

r

b) todos os pares de retas que são perpendiculares; r e t; r e u; s e t; s e u

c) todos os pares de retas que são oblíquas.

s

r e a; r e b; s e a; s e b; t e a; t e b; u e a; u e b

b

3 Numa folha de papel quadriculado desenhe, como na figura a seguir, as retas r e s. Setup

Depois, nesse mesmo quadriculado, trace: r

s

a) uma reta que seja paralela à reta r e também à reta s; b) uma reta que seja perpendicular à reta r e também à reta s; c) uma reta que seja oblíqua à reta r e também à reta s.

4 Desenhe uma reta r. Com o auxílio de um transferidor, represente: a) a reta s, perpendicular à reta r; b) a reta t formando um ângulo de 45° com a reta r. 5 Observe a ilustração a seguir. Quantos ângulos retos podem ser localizados nesta representação da tabela de basquete? 8 ângulos r t s

b)

Eduardo Belmiro

4.

3. Exemplo de respostas a)

s t

r

t r

s

c) r

t

s

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6 Observe atentamente os objetos de sua casa e selecione dois deles nos quais é possível identificar ângulos retos. Resposta pessoal.

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7 Para responder às questões a seguir, você deverá observar o ponteiro das horas (pequeno) e o ponteiro dos minutos (grande) de um relógio.

Andres Rodriguez/Dreamstime.com

a) Quando o ponteiro grande anda 60 minutos, qual é o ângulo que ele gira? 360° b) Quanto tempo o ponteiro grande precisa para dar um giro completo? 60 minutos ou 1 hora c) A partir das 12 h, após quantas horas o ponteiro pequeno descreverá um ângulo reto? 3 horas d) A partir das 12 h, após quantos minutos o ponteiro grande descreverá um ângulo reto? 15 minutos e) A partir das 12 h, de quantos minutos o ponteiro grande precisa percorrer para formar um ângulo raso? 30 minutos 8 Indique as medidas em graus do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às: a) 1 hora b) 2 horas c) 3 horas

d) 4 horas e) 5 horas f) 6 horas

30° 60° 90°

120° 150° 180°

9 Os pontos cardeais são: norte, sul, leste e oeste. Qual é a menor medida do ângulo formado pelas direções: a) norte e sul? 180° b) norte e leste? 90°

c) sul e oeste?

90°

10 Com o auxílio de um transferidor, indique as medidas dos quatro ângulos formados pelas retas r e s representadas a seguir: Aˆ  Cˆ  30°; Bˆ  Dˆ  150 ° s

B Â

r

C D

11 Na figura a seguir, está representado um quadrado e seis retas, das quais quatro são os prolongamentos dos lados e duas são os prolongamentos de suas diagonais. c

Ilustrações: Setup

b a

d e

f

a) Escreva todos os pares de retas que são perpendiculares. a e b; a e c; b e d; c e d; e e b) Escreva todos os pares de retas que são paralelas. a e d; b e c

f

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Capítulo 15

Polígonos Porselen/Dreamstime.com

Nos pisos e azulejos utilizados nas construções é comum encontrar formas geométricas. Às vezes, apenas uma forma é empregada, em outras, diversas formas gométricas são usadas para formar as composições.

Waldomiro Neto

Se você já observou mosaicos, certamente notou que inúmeras composições podem ser criadas a partir de formas geométricas planas. Exemplo disso é o mosaico a seguir, elaborado a partir de três formas.

Note que essas três formas geométricas planas estão dispostas formando outra figura geo­métrica, com 12 lados. Essa figura geométrica é um dodecágono. Neste capítulo, estudaremos os polígonos, entre eles: o triângulo, o quadrado, o pentágono, o hexágono etc.

147 pom6_134_163_u4.indd 147

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Linha poligonal Linha poligonal aberta:    Linha poligonal fechada:

Uma linha poligonal é formada por sucessivos segmentos de reta (lados), em que pares de segmentos de reta consecutivos não colineares têm um extremo comum (vértice), e não há mais do que dois lados a partilhar um extremo.

Polígonos Resposta pessoal.

Ilustrações: DAE

Observe as figuras e responda: o que elas têm em comum?

Todas essas figuras representam polígonos, pois: Polígono é uma figura geómetrica plana formada por uma linha poligonal fechada.

O perímetro de um polígono é a medida do contorno desse polígono, ou seja, a soma das medidas de seus lados. Tomando como exemplo o polígono ABCDE representado a seguir, temos os seguintes elementos: A • vértices: são os pontos A, B, C, D e E; B

• lados: são os segmentos AB , BC , CD , DE  , BCD  , CDE  , DEA  e EAB  . • ângulos: ABC

e EA;

Professor, consideramos aqui apenas os ângulos internos.

E C

Em qualquer polígono, o número de lados é igual ao número de vértices.

D

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Ilustrações: Setup

Alguns polígonos recebem denominações especiais, de acordo com o número de vértices (ou de lados) que apresentam. Para exemplificar:

3 lados: triângulo

4 lados: quadrilátero

5 lados: pentágono

6 lados: hexágono

Professor, embora o nosso estudo aqui seja concentrado em polígonos convexos, não faremos tal denominação. No volume do 9o ano faremos a distinção entre convexos e não convexos.

Na tabela a seguir, indicamos as denominações de outros polígonos, bem como o número de lados e o número de vértices.

Polígono

Nome do polígono

Número de vértices

Número de lados

heptágono

7

7

eneágono

9

9

decágono

10

10

icoságono

20

20

149 pom6_134_163_u4.indd 149

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Em uma tarefa, o professor Carlos pediu a seus alunos que recortassem figuras poligonais planas e as trouxessem para sala de aula.

Vejam as figuras que quatro alunos trouxeram: Márcia



Marcos

Thiago

Patrícia

Qual dos quatro alunos acertou o exercício proposto, ou seja, trouxe em seus recortes somente figuras poligonais? Qual foi o equívoco encontrado nos recortes dos outros alunos?

2 A figura ao lado representa um octógono em que o ponto A é um de seus vértices. Qual é o número total de lados, de vértices e de ângulos desse polígono? 8 lados, 8 vértices e 8 ângulos 3 Desenhe os seguintes polígonos: a) pentágono c) octógono b) hexágono d) decágono

A

Ilustrações: Setup

Marcos acertou, e os demais trouxeram figuras não poligonais, que não se encaixam na definição de polígonos que fora trabalhada.

e) dodecágono Respostas pessoais, desde que sejam polígonos com: 5, 6, 8, 10 e 12 lados, respectivamente.

4 Indique os nomes dos polígonos A e B representados a seguir:

A

A – decágono; B – octógono

B

  5 Todos os ângulos do hexágono a seguir têm medidas iguais, e seus lados têm a mesma medida. Professor, o ângulo  indicado na figura é um ângulo externo do polígono (formado por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo).



a) Utilizando um transferidor, determine a medida do ângulo indicado pela letra . b) Determine também a medida do ângulo indicado pela letra . 60° c) Qual é a soma das medidas desses dois ângulos? 180°

120°

6 Na figura ao lado, está representado um triângulo em que todos os seus lados são iguais. Utilizando régua e transferidor, determine: a) a medida de cada um dos três lados; 3,5 cm b) o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados do triângulo); 10,5 cm c) a medida de cada um dos ângulos; 60° d) a soma das medidas dos ângulos desse triângulo. 180°

Ilustrações: Setup



150 pom6_134_163_u4.indd 150

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Polígonos regulares Geralmente os polígonos que aparecem nos mosaicos têm algumas características especiais. Observe, por exemplo, as figuras a seguir:

Nelas estão representados os seguintes polígonos: triângulo, hexágono, quadrado e pentágono. Em cada um desses polígonos, os lados e os ângulos têm a mesma medida. Nesses casos, temos polígonos regulares. Polígono regular é aquele em que os lados e os ângulos têm a mesma medida.

Exemplo 1:

Esses polígonos são regulares.

Exemplo 2:

O retângulo não é regular. Apesar de seus ângulos medirem todos 90°, os lados não têm a mesma medida. Já o losango tem todos os lados de mesma medida, porém os ângulos não.

Se você desenhar um pentágono regular e, a seguir, traçar as diagonais (segmentos que ligam um vértice a outro, mas que não seja o lado), conseguirá obter um novo pentágono regular. Os vértices desse pentágono são os encontros das diagonais no centro da figura.

Ilustrações: Setup

CONEXÕES

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Sabendo-se que cada lado de um octógono regular mede 3 cm de comprimento, determine seu perímetro. 24 cm 2 No octógono regular a seguir estão indicadas as medidas de dois ângulos: um ângulo interno de medida 135° e um ângulo externo de medida 45°. Determine: a) a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono; 1 080° b) a soma das medidas dos ângulos externos desse polígono. 360°

45° 135°

Professor, leve o aluno a observar que o número de ângulos internos é igual ao número de ângulos externos tanto em polígono regular como em polígono não regular.

3 No triângulo equilátero ao lado, estão indicados os ângulos internos e os externos. Obtenha, com o auxílio de um transferidor: a) a medida de cada ângulo interno; 60° b) a medida de cada ângulo externo; 120° c) a soma das medidas dos ângulos internos; 180° d) a soma das medidas dos ângulos externos. 360° 4 Utilizando um transferidor e uma régua, obtenha:

5 Sabe-se que a medida de cada um dos ângulos externos de um dodecágono regular é 30° e a medida de cada um dos ângulos internos é 150°. Determine: a) a soma das medidas dos ângulos externos; 360° b) a soma das medidas dos ângulos internos. 1 800°

Ilustrações: DAE

a) a medida do lado do decágono regular; 2 cm b) o perímetro desse polígono; 20 cm c) a medida de cada um dos ângulos internos; 144° d) a medida de cada um dos ângulos externos. 36°

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com a palavra, o ESPECIALISTA “Em entrevista exclusiva à Revista E, o artista plástico Luiz Sacilotto fala da apropriação da arte pela televisão e prevê que a estética concreta está longe de conhecer seu fim. Coleção Sacilotto

O artista plástico Luiz Sacilotto, considerado um dos principais expoentes da arte concreta Quem brasileira, fala nesta entrevista exclusiva sobre a Luiz Sacilotto. motivação de suas criações, contando a gênese Especialidade de sua arte, além de avaliar seus companheiros Artes plásticas. de viagem pictórica. Sacilotto comenta o racha Área de pesquisa que originou o movimento neoconcreto, as hisArte concreta brasileira. tórias envolvendo disputas de poder no mundo artístico e de como a arte concreta acabou influenciando outros meios. Fala ainda dos painéis que realizou no recém-inaugurado Sesc Santo André, cidade onde nasceu e mora até hoje. Qual foi a base de inspiração para os seus trabalhos criados para o Sesc Santo André? Eles fazem parte de uma obra que já venho desenvolvendo. Quando me pediram um projeto, pensei em algo que agradasse o público, que tivesse o elemento-surpresa, que parecesse uma coisa e fosse outra, que se revezasse. Os painéis, principalmente aquele que dá para o grande salão, são de um jeito à primeira vista, mas depois se revertem. Há uma ambiguidade que constitui a essência da obra, algo que cada pessoa percebe de um jeito. Algumas olham e não percebem nada, outras percebem mais ou menos... Isso me interessa muito e parece-me que esse resultado foi obtido. Como é criar uma obra “pública”, no sentido de ela estar num lugar onde será vista, observada e admirada por muitos? É diferente de um quadro que vai para um museu ou para um colecionador particular? Como é a concepção de linguagem que deve ser aplicada, na sua opinião? Não importa se faço uma obra pública ou para um museu. Quando exponho numa galeria, os colecionadores também vão e veem. No caso do trabalho para o Sesc, a diferença é que se trata de uma obra que não será vendida. Mas a finalidade é a mesma: faço para agradar. Já tive umas dez experiências em escolas, nas quais eu levava material e começava a pintar. Na primeira vez, foi uma algazarra terrível; na segunda, o barulho já tinha diminuído; na terceira, ouvi os suspiros de admiração das crianças; no final, elas queriam mais. Essa experiência foi a mais gratificante. Ou seja, devemos perceber que a nossa arte não deve ser feita apenas para o crítico, mas sim para todos, para quem entende e para quem não entende. Quando a TV Cultura esteve aqui, a entrevistadora perguntou para um senhor o que ele achava de uma escultura minha, localizada em uma das ruas de Santo André. O senhor olhou para ela admirado e respondeu “Ah, é uma escultura?! Acho fantástica!”. Ele nem sabia que aquilo era uma escultura e muito menos de quem era. Qual foi o estalo que o fez deixar de ser figurativo e passar para as figuras geométricas? Qual foi a inspiração? Eu não acredito em inspiração. Era figurativo por causa da minha formação acadêmica, mas depois, na década de 1940 – quando não havia possibilidade de livre formação –, comecei a sentir que alguma coisa não estava certa. Por que copiar a natureza? Por mais que eu me esforçasse nunca seria igual. Então, um dia, desenhando enquanto estava ao telefone, fiz abstrações de forma inconsciente e isso me despertou uma grande vontade de fazer aquelas abstrações de forma consciente. Daí, aprimorei a técnica dentro da linguagem que eu queria. Minha profissão também me ajudou. Fui desenhista de arquitetura,

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depois desenhista de esquadrias metálicas. Na empresa, tinha acesso a retalhos de chapa de alumínio e comecei a pensar em fazer um trabalho com esse material. Cortava e juntava quadradinhos, fazendo grupos e subgrupos que formavam desenhos surpreendentes. Passei a fazer quadros concretos dentro desse mesmo princípio. Com o tempo, passei a produzir quadrados em relevos bidimensionais e fui crescendo, crescendo. Cada quadro me inspirava outro. Os quadradinhos e os triângulos foram crescendo como quadros; um deles, inclusive, pertence ao MAC (Museu de Arte Contemporânea). É um trabalho que apresenta vinte ou trinta retângulos em alumínio pintado de branco, postos com uma espécie de distanciador pintado de preto. Pensei nos círculos. Se há um círculo preto sobre uma superfície branca não há movimentação. Então, o que eu fiz? Fiz um pequeno corte no círculo, um ângulo de 15°, depois sobrepus outro círculo movimentando mais 15° e assim sucessivamente. Dessa forma, criei um movimento fabuloso no quadro, que chamei de Revolução. Para quem olha, parece que o quadro está se movendo, mas se trata de um rigor preciso do primeiro ao último elemento. Esses quadros têm essa vibração até hoje. Além das formas, você também incorporou esse elemento. Isso foi procurado?

Em que contexto se deram os seus primeiros trabalhos geométricos? Foi uma pesquisa solitária ou você já estava mantendo contato com artistas como Waldemar Cordeiro, por exemplo?

Coleção Sacilotto

Os resultados são imprevisíveis. Eles sempre me surpreendem. É o inconsciente que faz isso, são efeitos incontroláveis. É curioso como a sua arte funciona como uma pauta de música, basicamente geométrica e com vibração. A sua pintura ganha, assim, um caráter musical. Pode ser. Não entendo muito de música, embora seja fanático por música de todas as épocas. Pode ser que o inconsciente pegue os timbres e as passagens da música. Quando ouço Beethoven, por exemplo, fico em estado de transe. Pode ser que haja esse reflexo involuntário.

Nós tínhamos muito contato. Estávamos perfeitamente de acordo, mas ninguém sofreu influência do outro. Cada qual era livre. O Cordeiro e o Geraldo de Barros têm linguagens diferentes. Próximas porque são igualmente concretas, mas livres. Quando você começou a chamar o seu trabalho de pintura concreta? Em 1948; tenho um quadro adquirido pelo MAM (Museu de Arte Moderna) que é quase concreto. Não é concreto ainda porque as linhas e o motivo do quadro Luiz Sacilotto. Concreção 7961, 1979. Óleo sobre tela não concluem isso. Eu só começo a ter fixada na madeira, 100 × 100 cm. consciência de que um quadro é concreto a partir de 1950, quando a linguagem concreta rompe com a arte figurativa e passa a ser programada. Até então, os meus trabalhos não eram programados. Eu punha e tirava elementos. Se você fizer isso num quadro concreto, você o destrói. [...] Disponível em: . Acesso em: abr. 2015 .

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Quadriláteros

Franco Volpato/Shutterstock

Quando um polígono apresenta apenas quatro lados, ele é chamado de quadrilátero. Os quadriláteros estão presentes nas construções, nas janelas, no formato de uma folha de papel, no formato de um campo de futebol etc. Em muitos mosaicos a presença de quadriláteros também é comum. Veja um exemplo:

Mosaico com desenho geométrico em El Jem, Tunísia.

No quadrilátero ABCD representado a seguir temos: DAE

B

C A

D

• lados: AB , BC, CD e DA • vértices: A, B, C e D  , ABC  , • ângulos internos: DAB

  e CDA BCD

Alguns quadriláteros são mais utilizados em Geometria do que outros. É o caso do quadrado, do retângulo, do trapézio, do paralelogramo e do losango. Por isso, é importante observar as características de cada um desses quadriláteros para identificá-los melhor.

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Trapézio B

C

   A

É um quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos.

D

No trapézio acima, temos AD paralelo a BC .

Paralelogramo B

C

A

  

D

É um quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos.

No paralelogramo acima, temos AD paralelo a BC e AB paralelo a CD .

Retângulo C

Ilustrações: Setup

B

É um paralelogramo que tem quatro ângulos retos. D  

A

Observe que todo retângulo é um paralelogramo com os quatro ângulos retos.

Losango B

A

C

É um paralelogramo que tem todos os lados com a mesma medida.

D

Quadrado B

C

É um paralelogramo que tem quatro ângulos retos e quatro lados com a mesma medida. A

D  

Observe que todo quadrado é um paralelogramo com todos os ângulos retos. Além disso, é um retângulo cujos lados têm a mesma medida. Observe, também, que todo quadrado é um losango.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Nos paralelogramos a seguir, foram traçadas as diagonais.

A

B

C

Com o auxílio de uma régua, responda: a) Em quais paralelogramos as diagonais têm o mesmo comprimento? B e C b) Em quais paralelogramos as diagonais formam quatro ângulos retos? B

Ilustrações: Setup

2 Considere os retângulos e os quadrados desenhados na malha quadriculada. Nessa malha, cada quadradinho tem 1 cm de lado.

C A

B

D

a) Determine o perímetro de cada quadrilátero desenhado. A - 22 cm; B - 24 cm; C - 20 cm; D - 12 cm b) Calcule quantos quadradinhos de 1 cm de lado cada quadrilátero cobre totalmente. A - 28; B - 27; C - 25; D - 9

3 Observe o polígono a seguir e verifique se ele é regular.

Não, os ângulos internos têm a mesma medida, mas os lados não.

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4 Desenhe os seguintes quadriláteros:

a) um quadrado de 20 cm de perímetro; pessoais, desde que os lados do quadrado b) um retângulo de lados medindo 5 cm e 8 cm. Respostas meçam 5 cm e os do retângulo as medidas indicadas.

Waldomiro Neto

5 Uma quadra de basquetebol tem a forma de um retângulo, conforme medidas indicadas. Qual é a medida de seu perímetro? 88 m

16 m

28 m

6 Ainda sobre a quadra de basquete representada no exercício anterior, considere apenas uma das metades do campo e responda: a) É um retângulo? Sim. b) Qual é a medida do perímetro desse retângulo? 60 m 7 Pesquise como se faz um Tangram e, depois de construir o seu, represente: a) um paralelogramo utilizando duas peças; b) um retângulo utilizando três peças; b) c) um trapézio utilizando todas as peças.

a)

c)

ConExõEs Euclides e seus elementos Sabe-se muito pouco a respeito de Euclides de Alexandria. Muitos dizem que ele teria sido um sábio que viveu por volta do ano 300 a.C. A ele é atribuída uma importante obra que ficou conhecida por Os Elementos. Até o final do século XIX e início do século XX, versões de sua obra ainda eram utilizadas como referência ou até mesmo como texto didático. Como consequência, Euclides e seus “Elementos” foram sempre considerados como sinônimos de Geometria e, por isso, nos referimos muitas vezes a ela como Geometria Euclidiana durante o Ensino Fundamental e o Ensino Médio. Essa obra contém uma parte considerável da Geometria grega da época de Euclides e também da época anterior a ele. Deve-se a Euclides a organização didática e a compilação de uma obra com boa parte da Matemática elaborada pelos matemáticos gregos de épocas anteriores a ele e, é claro, a Matemática usada por ele próprio.

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Números figurados Conta-se que na Grécia Antiga havia uma comunidade formada pelos pitagóricos, que tinha como base filosófica a suposição de que a causa última das várias características do ser humano e da matéria seriam os números inteiros. Isso os levava a uma exaltação e ao estudo de muitas propriedades dos números e de suas operações. Essas pesquisas os levaram a estudar também o que hoje chamamos de números figurados, pois estes, quando representados por pedrinhas (aqui utilizaremos pontinhos), podem ser dispostos de maneira a corresponderem a figuras geométricas. Vejamos alguns exemplos de números figurados. Números triangulares

1

3

6

10

15

Observe a sequência formada não apenas pelos números mas pela disposição dos pontos. Esses números assim representados são chamados de números triangulares. Embora tenham sido representadas aqui apenas 4 figuras, podemos escrever tantas figuras quanto desejarmos.

Números quadrados Também podem ser chamados de quadrados perfeitos, pois representam os quadrados de números naturais, começando pelo número 1. 1

4

9

16

Números pentagonais Nesse caso, em cada figura, a partir da segunda, a disposição dos pontos é em forma de pentágonos. 1

5

12

22

Ilustrações: Setup

Números hexagonais

1

6

15

28

...

Nessa sequência de figura, a disposição dos pontos é hexagonal. Deixamos para você pensar a respeito de quais são os números hexagonais.

Agora, observe as sequências de figuras dadas nos exemplos. a) Quais são os próximos três números triangulares? 1 – 3 – 6 – 10 – …

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caderno

15 – 21 – 28

b) Quais são os próximos quatro números quadrados? 1 – 4 – 9 – 16 – …

25 – 36 – 49 – 64

c) Quais são os próximos cinco números pentagonais? 1 – 5 – 12 – 22 – ... 35 – 51 – 70 – 92 – 117 d) Que tal escrever a sequência formada pelos oito primeiros números hexagonais? 1 – 6 – 15 – 28 – 45 – 66 – 91 – 120

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Superando Desafios 1 (Saresp)

DAE

O movimento completo do limpador do para-brisa de um carro corresponde a um ângulo raso. Na situação descrita pela figura, admita que o limpador está girando em sentido horário e calcule a medida do ângulo que falta para que ele complete o movimento completo. Alternativa c. a) 50° b) 120° c) 140° 40° d) 160° 2 (Prova Brasil) Ao escolher lajotas para o piso de sua varanda, Dona Lúcia falou ao vendedor que precisava de lajotas que tivessem os quatro lados com a mesma medida. Alternativa a.

losango

retângulo

quadrado

trapézio

Que lajotas o vendedor deve mostrar a Dona Lúcia? a) Losango ou quadrado. b) Quadrado ou retângulo. c) Quadrado ou trapézio. d) Losango ou trapézio.

Editora FTD

Explorando A profecia - Coleção O Contador de Histórias e Outras Histórias da Matemática Autor: Egídio Trambaiolli Neto Editora: FTD 72 páginas

Editora Scipione

Este livro cheio de enigmas faz parte da coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática e vem acompanhado de um suplemento de trabalho (Outros desafios) com atividades para auxiliar a fixar o que foi aprendido durante a leitura do livro.

Polígonos, centopeias e outros bichos Autor: Nílson José Machado Ilustrador: Joubert J. Lancha Editora: Scipione 36 páginas A aula do professor Mateus apresenta conceitos de Geometria e Etimologia (significado das palavras) de forma simples e objetiva. São apresentadas noções de polígono, triângulo e grau. Compõem a obra personagens interessantes, como um sapo matemático e uma centopeia paralítica.

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RESGATANDO CONTEÚDOS 1 A figura a seguir representa um ângulo. Sobre esse ângulo é correto afirmar que: Alternativa d.

A

a) um ângulo raso. b) um ângulo reto. c) um ângulo obtuso. d) um ângulo agudo. 4 A medida de um ângulo correspondente a um giro completo é: Alternativa d.

O

B

a) é um ângulo reto. b) é um ângulo raso. c) é um ângulo de meia­‑volta. d) é um ângulo agudo. 2 O ângulo representado na figura a seguir é:

Alternativa a.

A

5 A medida de um ângulo correspondente a meia-volta (metade de um giro completo) é: Alternativa b. a) 90° b) 180° c) 270° d) 360°

B

a) obtuso. b) reto. c) agudo. d) raso.

6 Qual é a medida do ângulo formado pelas direções norte–sul? Alternativa b.

AGorohov/Shutterstock

3 Às 3 horas em ponto, os ponteiros dos minutos e das horas em um relógio formam: Alternativa b.

a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° 7 Duas retas coplanares que têm um ponto em comum são ditas: Alternativa b. Ilustrações: Setup

O

a) 90° b) 180° c) 270° d) 360°

a) paralelas. b) concorrentes. c) perpendiculares. d) reversas.

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8 Duas retas coplanares que não se interceptam são ditas: Alternativa a. a) paralelas. b) concorrentes. c) perpendiculares. d) reversas. 9 O nome do polígono representado a seguir é: Ilustrações: Setup

Alternativa a.



Então, o perímetro dele é:

Alternativa a.

a) 18 cm b) 21 cm c) 24 cm d) 30 cm 13 A medida do ângulo externo de um vértice de um quadrado é: Alternativa d. a) 180° b) 30° c) 45° d) 90° 14 O quadrilátero representado a seguir é um: Alternativa d.

a) pentágono. b) hexágono. c) heptágono. d) octógono. 10 Um polígono que tem ao todo 10 lados e 10 vértices é denominado: Alternativa c. a) pentágono. b) dodecágono. c) decágono. d) octógono. 11 Icoságono é um polígono que é formado por: Alternativa b. a) 10 lados. b) 20 lados. c) 12 lados. d) 15 lados. 12 O hexágono regular representado a seguir tem 3 cm como medida do lado.

a) retângulo. b) quadrado. c) losango. d) paralelogramo. 15 Um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos e os quatro lados com a mesma medida é um: Alternativa c. a) retângulo. b) trapézio. c) quadrado. d) paralelogramo. 16 Considere a figura a seguir, em que os segmentos têm o mesmo comprimento.

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RESGATANDO CONTEÚDOS

Os dois quadriláteros podem ser: Alternativa a. a) quadrado e losango. b) quadrado e retângulo. c) losango e hexágono. d) trapézio e pentágono.

Ilustrações: Setup

17 Observe os polígonos desenhados na malha quadriculada.

No dodecágono.

a) Em qual dos polígonos a medida do contorno é maior: no octógono ou no dodecágono? b) Qual deles contém mais quadradinhos na região interna: o octógono ou o dodecágono?

O dodecágono.

18 Considere que a malha quadriculada da atividade anterior tenha cada quadradinho com 1 cm de medida de lado. Sendo assim, é correto afirmar que a área do octógono é: Alternativa c. a) 25 cm2 b) 26 cm2 c) 27 cm2 d) 28 cm2 19 Qual será a área do dodecágono representado na atividade 18, sendo que a malha quadriculada é formada por quadradinhos de 1 cm de lado? Alternativa a. a) 32 cm2 b) 30 cm2 c) 29 cm2 d) 28 cm2

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UNIDADE 5

Frações

Andrey Smirnos/Shitterstock

Ao falarmos das medidas da receita de um bolo, dos pedaços de uma pizza ou mesmo do diâmetro de um cano utilizado em construção, empregamos muitas vezes as frações de um número inteiro.

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1 Qual fração irredutível pode ser representada pelo número misto 2 2 ? 5 1 2 Quantas fatias há em de uma pizza que foi 4 dividida em 16 fatias? 3 Quantos minutos há em 1 de hora? 3

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Capítulo 16

A ideia de fração Sarahgen/Dreamstime.com

Leia atentamente esta receita:

Bolo de chocolate Ingredientes Massa de bolo: • 1 pitada de sal; • 2 xícaras de açúcar; • 1 xícara de chocolate; • 3 xícaras de farinha de trigo; • 3 ovos inteiros; • 1 xícara de óleo; • 1 ½ xícara de água fervente; • 1 colher de fermento em pó.

Cobertura: • 2 colheres de manteiga; • 1 copo de leite pequeno; • ½ xícara de açúcar; • 3 colheres de chocolate.

Para fazer a cobertura do bolo, recomenda-se, na receita, que seja usada: 1 xícara de açúcar 2



Lemos: meia xícara de açúcar.

Respostas da página anterior: 1. 12 5 2. 4 fatias 3. 20 minutos

Existem diversas situações em que utilizamos as frações. Assim, precisamos compreender como trabalhar com elas, não somente lendo como também realizando operações.

Noções iniciais Quando dividimos um círculo em 4 partes iguais (cada parte é um setor do círculo), cada uma delas representa um quarto do círculo. Dessa forma, para cobrir o círculo inteiro, precisaremos de 4 setores coloridos.

Ilustrações: Setup

Considerando-se que o círculo representa uma unidade e ele foi dividido em 4 partes iguais, cada parte é chamada de um quarto da unidade. Assim, 2 partes do círculo representam dois quartos da unidade, 3 partes representam três quartos da unidade.

um quarto ou

1 4

dois quartos ou

2 4

três quartos ou

3 4

Uma fração é um número que representa partes de um todo ou inteiro. Na fração, o número colocado abaixo do traço é o denominador e indica a quantidade de partes iguais em que o todo ou o inteiro foi dividido. Já o número acima do traço da fração é o numerador e indica a quantidade de partes do todo ou do inteiro que estão sendo consideradas.

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Ilustrações: Setup

A seguir, apresentamos alguns exemplos de frações e a forma como devemos ler cada uma delas.

2 5

5 8

4 6

dois quintos

cinco oitavos

quatro sextos

7 9 sete nonos

2 3 dois terços

3 7 três sétimos

Quando as frações têm o denominador 10, 100 ou 1 000 (frações ditas decimais ou potências de 10), a leitura é feita acrescentando as palavras décimos, centésimos e milésimos, respectivamente.

Exemplos: 7 5 7 101 10

Lemos: sete décimos.

23 5 23 102 100 91 5 91 103 1 000

Lemos: vinte e três centésimos. Lemos: noventa e um milésimos.

Para as frações em que o denominador é maior que 10 e diferente das potências de 10, primeiro lemos o numerador e, em seguida, o denominador, acompanhado da palavra avos.

Exemplos: 5 12

Lemos: cinco doze avos.

8 35

Lemos: oito trinta e cinco avos.

21 72

Lemos: vinte e um setenta e dois avos.

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Quanto à leitura de algumas frações, há uma curiosidade: embora possamos utilizar a denominação avos, é comum empregarmos outra maneira de ler determinadas frações. Observe o quadro abaixo. Fração

leitura

leitura comum

1 20

um vinte avos

um vigésimo

1 30

um trinta avos

um trigésimo

1 40

um quarenta avos

um quadragésimo

1 50

um cinquenta avos

um quinquagésimo

1 60

um sessenta avos

um sexagésimo

1 70

um setenta avos

um septuagésimo

1 80

um oitenta avos

um octogésimo

1 90

um noventa avos

um nonagésimo

© Banco Central do Brasil

Que valor representa cada uma destas moedas?

Será que é possível associar nosso sistema monetário às frações? A resposta é sim, pois 1 centavo é a centésima parte de 1 real. Observe: 1 centavo = 5 centavos =

1 de real 100 5 de real 100

10 centavos =

10 de real 100

50 centavos = 50 de real 100

25 centavos = 25 de real 100

Represente em forma fracionária o total do valor de 2 moedas de 25 centavos, 1 moeda 75 de 10 centavos e 3 moedas de 5 centavos. 100

Registre no

1 Encontramos frações em várias situações do dia a dia. Em dupla, observe a imagem ao lado e pesquise para responder às questões.

a) A medida do diâmetro de tubulações é dada em qual unidade de medida?

Polegada.

b) O que é polegada? c) Quais são as possíveis medidas do diâmetro dos canos?

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Resposta pessoal. Existem diversas medidas, por exemplo, 1

caderno

StockThings/Shutterstock

tRABAlHo EM EQUIpE

1. b) A polegada é uma unidade de medida usada principalmente na Inglaterra e nos Estados Unidos. Uma polegada equivale a 2,54 centímetros.

1 polegada. 2

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva por extenso como devem ser lidas as seguintes frações: a) 2 9 b) 3 7

c) 9 10 d) 8 20

dois nonos três sétimos

e) 10 dez vinte e um avos 21 f) 3 três oitavos 8

nove décimos oito vinte avos

2 Escreva as frações a seguir. a) dois sétimos b) quatro nonos

2 7 4 9

c) três onze avos

d) sete dezoito avos

7 18

e) catorze centésimos 3 11

f) cinco vinte avos

5 20

14 100

3 Escreva as frações que indicam as partes coloridas de cada figura a seguir. a)

3 6

b)

6 8

9 12

c)

4 Agora escreva as frações que indicam as partes não coloridas de cada figura do exercício 3 anterior. 63 , 28 , 12 Respostas pessoais.

a) 3 8

c) 4 10

e) 5 8

g) 3 10

b) 7 12

d) 5 9

f) 8 12

h) 8 9

6 Responda às questões. a) Em quantas partes iguais a superfície lateral do barril representado foi colorida? 3 partes iguais b) Cada cor corresponde a que fração dessa superfície?

Ilustrações: Setup

5 Faça um desenho para representar as seguintes frações:

1 3

7 Observe atentamente o painel feito com lajotas de mesmo tamanho. Responda às questões. a) Qual é o número total de lajotas utilizadas nesse painel? 8 b) Cada lajota corresponde a que fração do painel?

1 8

c) A parte mais escura desse painel representa qual fração do painel completo? 28 d) E a parte mais clara?

6 8

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Registre no

caderno

8 Observe ao lado a representação de um cubo e responda:

Eduardo Belmiro

a) Ele é dividido em quantos cubos menores? 27 cubos b) Qual é a fração que indica um desses cubos em relação ao total de 1 cubos? 27 c) Quantos cubos menores correspondem a um terço do cubo maior? 9 cubos menores

9 A turma de Lúcia formou um painel com cubos coloridos, como indica a figura abaixo. Eduardo Belmiro

Responda às questões. a) Qual é a quantidade total de cubos nessa figura? 100 cubos b) Qual é a fração correspondente aos 30 cubos vermelhos? 100 c) E aos cubos azuis?

10 100

d) E aos cubos amarelos?

60 100

a) Qual é a fração que representa a parte laranja da figura? 16 35 b) Qual é a fração que representa a parte azul da figura?

Ilustrações: Setup

10 Observe a figura composta por ladrilhos quadrados de mesmo tamanho:

19 35

11 Observe os três retângulos e represente:

a) a fração que indica a parte colorida do primeiro retângulo; b) a fração que indica a parte colorida do segundo retângulo; 8 c) a fração que indica a parte colorida do terceiro retângulo. 16

1 ; um meio 2 2 ; dois quartos 4 ; oito dezesseis avos

Agora, para cada item anterior, escreva como se lê a fração. 12 Indique a fração que corresponde à área pintada de cada uma das figuras a seguir, sabendo-se que as partes pintadas foram obtidas com a divisão em partes iguais de cada figura. Feito isso, compare suas respostas com as dos colegas. Todos chegaram ao mesmo resultado? a)

1 8

b)

1 4

c)

3 8

13 Resolva os seguintes problemas: a) Uma folha de papel em forma de retângulo precisa ser dividida em 8 partes iguais. Explique como resolver esse problema apenas utilizando dobraduras. Dobrando sempre ao meio, 3 vezes.

b) Com mais uma dobra, seria possível dividir a folha em 16 partes iguais? Explique. Sim, pois os 8 novos retângulos serão divididos ao meio.

c) Se você precisasse dividir em 8 partes iguais uma folha em forma de círculo, quantas dobras seriam necessárias? 3 dobras d) Como você dividiria um barbante para obter a metade de seu comprimento? Resposta esperada: unindo as duas pontas e cortando a extremidade oposta.

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Tipos de fração Quando dividimos um número natural por outro também natural, este diferente de zero, podemos representar essa divisão por meio de fração. Assim, ao dividirmos 5 por 7, podemos representar essa operação na forma fracionária mostrada a seguir: 5 7

Lemos: cinco sétimos.

No exemplo, o numerador é menor que o denominador. Outras divisões também podem ser representadas por meio de frações. É possível ainda o numerador ser múltiplo do denominador. Por esse motivo, separamos as frações em três tipos:

Frações próprias São frações em que o numerador é menor que o denominador.

Exemplo:     2 4

fração que indica a parte colorida

Frações impróprias São frações em que o numerador é maior que o denominador. 6 Professor, aqui o aluno pode pensar na fração , mas o que 8 deve ser explicado é que o inteiro, nesse caso, é o quadrado e este foi dividido em 4 partes iguais. Sendo assim, a parte 4 2 6 colorida é igual a (inteiro), mais , totalizando . 4 4 4

Ilustrações: Setup

Exemplo:

   6 4

fração que indica a parte colorida

Observe que cada unidade está dividida em 4 partes iguais. O total das partes coloridas é 6.

Importante! VV As frações impróprias podem ser escritas na forma mista,

isto é, utilizando números inteiros e frações. Observe como podemos escrever a fração do exemplo anterior: 6 5 4 1 2 5 1 1 2 51 2 4 4 4 4 4

Lemos: um inteiro e dois quartos.

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Frações aparentes São frações em que o numerador é múltiplo do denominador.

Ilustrações: Setup

Exemplo:     8 4

fração que indica a parte colorida

Observe que cada unidade está dividida em 4 partes iguais. O total das partes coloridas é 8. Nesse exemplo, dizemos que a fração corresponde a 2 unidades. Por isso, ela é denominada fração aparente.

Importante! VV Qualquer número natural pode ser escrito como fração

aparente. Para exemplificar, temos: 8 4 4 5 1 511152 4 4 4

número natural

fração aparente

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caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Em dupla, faça as atividades a seguir. 1 Cada um dos três círculos de mesmo tamanho representados a seguir está dividido em cinco partes iguais.

Escrevam, sabendo que a figura tem três inteiros que foram divididos em 5 partes cada.

a) o número misto que indica a parte colorida da figura;

2

4 5

b) a fração imprópria que indica a parte colorida da figura;

14 5

c) a fração própria que indica a parte não colorida da figura.

1 5

2 Escrevam o número natural 3 na forma de fração aparente, de tal modo que o denominador seja igual a 8. 24 8

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva como se leem as seguintes frações impróprias: a) 3 2

três meios

b) 7 4

sete quartos

c) 10 7

d) 6 5

dez sétimos

seis quintos

2 Observe, ao lado, que os dois retângulos de mesmo tamanho foram divididos em 6 partes iguais. Então, responda: a) Quantas partes ao todo foram coloridas? 10 partes b) Quantas partes ao todo não foram coloridas? 2 partes c) Qual é a fração que representa toda a parte colorida? d) Qual é a fração que representa a parte não colorida?

2 6

10 6

3 Faça desenhos para representar as seguintes frações impróprias: Resposta pessoal. a) 4 3

b) 5 4

c) 6 5

d) 8 7

4 Faça desenhos para representar as seguintes frações aparentes: Resposta pessoal. a) 6 3

b) 5 5

c) 12 4

d) 4 2

5 Em relação às frações aparentes do exercício anterior, indique, em cada caso, o número natural que lhe corresponde. 2, 1, 3, 2, respectivamente 6 Dois círculos de mesmo tamanho foram divididos em 4 partes iguais cada um. Algumas dessas partes foram coloridas, conforme representado abaixo.

a) Indique, por meio de uma fração, toda a parte colorida da figura. b) Escreva na forma mista o que toda parte colorida representa.

5 4 1 1 4

Ilustrações: Setup

7 A figura representa três retângulos de mesmo tamanho, cada um dividido em 4 partes iguais.

a) Escreva o número misto que indica toda a parte colorida da figura.

2

2 4

b) Escreva a fração imprópria que indica toda a parte colorida da figura.

10 4

173 pom6_164_205_u5.indd 173

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Fração de quantidade Waldomiro Neto

Na turma de Maria, o professor contou os alunos e verificou que, dos 39 alunos:

• 23

eram meninas;

• 13

eram meninos.

Como podemos saber quantas são as meninas e quantos são os meninos? Observe que a turma foi dividida em 3 partes iguais (conforme indicam os denominadores). Assim, para sabermos quantas são as meninas e os meninos, fazemos: 13 alunos

• Como as meninas são acima:

13 alunos

13 alunos

2 (duas partes de três), então, de acordo com a representação 3

13 1 13 5 26 Outra forma de calcular é: 2 de 39 alunos: 2 ? 39 5 2 ? 39 5 78 5 26 3 3 3 3 os meninos são 1 (uma parte de três), então, de acordo com a representação 3 acima, eles são no total 13.

• Como

Outra forma de calcular é: 1 de 39 alunos: 1 ? 39 5 1 ? 39 5 39 5 13 3 3 3 3 Portanto, são 26 meninas e 13 meninos.

Exemplo: Quanto é 1 de R$ 300,00? 3

Resolução:

1 3

1 3

1 3

Fotos: Banco Central do Brasil

Conforme indica o denominador da fração 1 , vamos dividir igualmente em 3 partes os 3 trezentos reais.

Assim, cada cédula de R$ 100,00 representa 1 do total. 3 Resposta: R$ 100,00.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule quanto é em reais: a) 1 de 30 reais 3

10 reais

b) 2 de 50 reais 5

20 reais

c) 5 de 100 reais 10

50 reais

d) 6 de 200 reais 20

60 reais

2 Responda rápido: a) Tenho um décimo de 20 reais. Qual é a quantia que possuo? 2 reais b) De 40 alunos, quatro quintos fizeram a tarefa. Quantos são esses alunos?

32 alunos

c) Andei a metade de 2 000 metros. Quantos metros eu andei? 1 000 metros 3 Em dupla, resolva os itens a seguir. a) Em um simulado com 40 questões, 1 delas eram de Matemática e 2 de Português. 8 8 O restante das questões era das outras disciplinas. Quantas questões se destinavam às outras disciplinas? Quais disciplinas foram contempladas no simulado?

Para as demais disciplinas havia 25 questões. Não é possível responder à ultima pergunta, pois não temos informações suficientes.

b) Sabrina e Lucy participaram de uma corrida. Sabrina percorreu 3 da pista, e Lucy 2 . 8 5 Sabendo-se que a pista mede 1 600 metros, calculem a soma da distância percorrida pelas duas garotas. 1 240 metros

a) 2 de 30 cm 20 cm 3

d) 2 de 30 cm 4 cm 15

b) 5 de 30 cm 25 cm 6

e) 4 de 30 cm 24 cm 5

c) 4 de 30 cm 12 cm 10

f) 4 de 30 cm 8 cm 15

5 Uma volta completa no transferidor corresponde ao ângulo de medida 360°. Escreva os ângulos correspondentes a: a) 1 de volta; 180° d) 1 de volta; 36° 2 10 b) 1 de volta; 90° 4

e) 3 de volta. 135° 8

c) 3 de volta; 270° 4

f) 5 de volta. 300° 6

Claudio Baldini/Dreamstime.com

Natalia Siverina/ Dreamstime.com

4 Observe a representação de uma régua de 30 cm e depois informe as seguintes medidas em centímetros:

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CApítUlo 17

Equivalência e comparação entre frações

DAE

Ilustra Cartoon

Mara desenhou 4 círculos de mesmo tamanho e os dividiu em partes iguais. O primeiro ela dividiu em duas partes, o segundo em quatro, o terceiro em seis e o quarto em oito partes. Depois ela coloriu a metade de cada um dos 4 círculos.

Agora faça o mesmo que Mara. Desenhe 3 quadrados de mesmo tamanho e divida-os em 2, 4 e 8 partes iguais. Para isso, utilize segmentos paralelos aos lados. Pinte a metade de cada quadrado e represente com frações a parte colorida de cada um deles. Escreva o que notou a respeito das representações fracionárias e das partes coloridas das figuras.

176 pom6_164_205_u5.indd 176

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Frações equivalentes • 1 parte de 2, que pode ser representada pela fração

1 ;5 2 5 3 5 4 2 4 6 8

1 5 • 2 partes de 4, que podem ser representadas pela fração 2

2 5 3 5 4 ; 4 6 8

1 5fração 2 5 • 3 partes de 6, que podem ser representadas pela 2 4

3 ;5 4 6 8

1 5 2 5 3 5 pela fração • 4 partes de 8, que podem ser representadas 2 4 6

4 . 8

DAE

Observando as divisões feitas, podemos afirmar que as partes coloridas do círculo são iguais a:

Note que as representações fracionárias são diferentes, mas a parte colorida dos círculos são iguais, por isso podemos dizer que: 1 5 2 5 3 5 4 2 4 6 8 Quando duas ou mais frações representam a mesma quantidade de uma grandeza são denominadas frações equivalentes.

Exemplo 1: Obtenha frações equivalentes a 4 . 8

Resolução: Multiplicando o numerador e o denominador por 3:

Portanto, temos 4 5 12 . 8 24

4 ? 3 5 12 8?3 24

Dividindo o numerador e o denominador por 2:

Portanto, temos 4 5 2 . 8 4

42 5 2 82 4

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Exemplo 2:

Ilustra Cartoon

Certo dia, dois amigos descobriram que possuíam a mesma quantidade de carrinhos em suas coleções. Veja a coleção de cada um deles.

A coleção de Alexandre estava dividida em 4 caixas com a mesma quantidade de carrinhos em cada caixa. Na coleção de Carlos, os carrinhos foram igualmente repartidos em 6 caixas. Um dia, eles decidiram levar para a escola 1 das caixas de sua coleção; portanto, Alexandre levou 1 de sua coleção e Carlos levou 1 de sua coleção. Quem levou mais car4 6 rinhos? Por quê?

Resolução: Alexandre levou mais carrinhos do que Carlos, pois Alexandre levou 3 carrinhos, e Carlos 2 carrinhos. Intrigados com a situação, cada um resolveu levar metade de suas caixas. Alexandre, então, levou 2 de suas 4 caixas, e Carlos levou 3 de suas 6 caixas. Dessa vez, quem levou mais carrinhos? Por quê? 2 e 3 2 e 3 Os dois levaram a mesma quantidade de carrinho, pois ? 12 = 6 ? 12 = 6. 4 6 4 6 2 e 3 equivalem à mesma quantidade de carrinhos consideranPercebemos então que 4 6 do que cada coleção têm 12 carrinhos. Essa equivalência pode ser observada multiplicando o numerador e o denominador dessas frações por um mesmo número. Observe: 2?3 5 6 4?3 12

3?2 5 6 6?2 12

E, como 6  6 5 1 , temos que 2 5 3 5 1 . 12  6 2 4 6 2 Assim, no segundo dia cada um levou metade de seus carrinhos e, neste caso, a mesma quantidade de carrinhos.

Importante! V Há uma propriedade que possibilita obter uma fração equivalente a uma fração dada. Basta multiplicar ou

dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número diferente de zero.

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1 Obtenha frações equivalentes à fração 6 efetuando o que se pede nos itens a seguir. 18 a) Multiplique o numerador e o denominador por 2. 12 36 b) Divida o numerador e o denominador por 3. 2 6 c) Multiplique o numerador e o denominador por 5. 30 90 d) Por que ao efetuarmos as operações acima as frações obtidas são equivalentes à Porque, além de multiplicarmos ou dividirmos o numerador da fração por um fator ou divisor, fração 6 ? fazemos o mesmo com o denominador. 18 2 Os dois quadrados ao lado são do mesmo tamanho. a) Escreva as frações que representam a parte colorida de cada figura. 1 e 4 4

16

b) Essas frações são equivalentes?

Ilustrações: Setup

caderno

AGORA É COM VOCÊ

Sim.

c) Escreva as frações que representam a parte não colorida de cada figura. 3 e 12 4

16

d) Essas frações são equivalentes?

Sim.

3 O professor desenhou na lousa uma estrela dividida em 5 partes iguais e pintou 3 dessas partes. Em seguida, desenhou outra estrela, de mesmo tamanho, dividida em 5 partes iguais, e pintou novamente 3 dessas partes. Nessa segunda estrela, resolveu dividir ao meio cada uma das 5 partes. a) As frações que representam as partes coloridas em cada estrela são equivalentes? Sim. b) As frações que representam as partes não coloridas em cada estrela são equivalentes? Sim.

4 Responda às seguintes perguntas: a) Qual é o número pelo qual devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração 2 para obtermos uma fração equivalente de numerador 10? Multiplicar por 5. 7 b) Qual é o número pelo qual devemos dividir o numerador e o denominador da fração 18 para obtermos uma fração equivalente de denominador 10? Dividir por 6. 60 5 Os três retângulos são de mesmo tamanho e foram divididos em partes iguais. Responda: a) Quais são as frações que indicam as partes 3 6 9 coloridas desses retângulos? 5 , 10 , 15 b) São frações equivalentes?

Sim.

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caderno

6 Resolva os seguintes problemas:

a) Obtenha uma fração equivalente à fração 5 de tal maneira que o denominador seja o 3 200 menor múltiplo de 10 com três algarismos. 120 b) Marcos gastou numa festa 3 de 200 reais. Antônio gastou 6 de 400 reais. Quem 5 10 gastou mais? Antônio, que gastou 240 reais. 7 Observe a sequência de frações equivalentes e escreva quais são as próximas três frações dessa sequência. 2 5

4 10

6 15

12 30

10 25

8 20

14 35

8 Reescreva as equivalências, determinando os números que estão faltando. 15 c) 1 5 9 e) 100 5 20 a) 3 5 72 150 30 7 35 8 b) 2 5 20 7 70

d)

5 3 15 5

f) 4 5 240 180 3

9

Ilustrações: Setup

9 As partes coloridas dos retângulos de mesmo tamanho ao lado estão representando frações equivalentes. Escreva uma igualdade sobre as frações que lhes correspondem. 1 2 3 4 5     2 4 6 8 10

10 Observe os quatro retângulos de mesmo tamanho e faça o que se pede.

2 4

1 2

a) Escreva as frações que indicam as partes coloridas desses retângulos. b) Essas frações são equivalentes? Sim.

4 8

3 6

11 Na lousa, o professor desenhou círculos de mesmo tamanho para explicar frações equivalentes. Considerando que ele tenha desenhado os dois círculos ao lado, responda: a) As partes coloridas estão representando que 6 3 equivalência? 20  10 7  b) E as partes não coloridas? 14 20 10 12 Cada figura a seguir, considerando a parte colorida, representa uma fração.

1 2

2 3

1 4

1 6

7 8

a) Escreva as frações correspondentes às partes coloridas. b) Coloque essas frações em ordem crescente. 61 , 41 , 21 , 23 , 78 c) Para cada fração, encontre uma fração equivalente com o denominador igual ao dobro 2 1 2 1 2 2 4 7 14  ,  ,  ,  , do denominador da fração. 61  12 4 8 2 4 3 6 8 16 Professor: chame a atenção dos alunos que as figuras em cada atividade são de mesmo tamanho.

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Simplificação de frações Ilustra Cartoon

A turma do 6º ano tem 30 alunos, dos quais 12 são meninas.

Podemos comparar o número de meninas com o número de meninos utilizando a fração 12 . 18

tRABAlHo EM EQUIpE

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Em trio, faça as atividades a seguir com base na situação anterior.

caderno

1 Comparem o número de meninas com o total de alunos e o número de meninos com o total de alunos. Para isso, utilizem frações. 12 , 18 30 30

2 O professor organizou a classe em grupos de 5 alunos, de modo que esses grupos ficassem com o mesmo número de meninas. Com base nessa informação, façam o que se pede.

a) Respondam: quantas meninas há em cada grupo? 2 meninas b) Escrevam a fração que compara o número de meninas de um grupo com o número total de componentes desse grupo.

2 5

c) Escrevam a fração que compara o número de meninos de um grupo com o número total de componentes desse grupo. 35

d) Escrevam a fração que compara o número de meninas com o número de meninos em cada grupo. 2 3

3 Verifiquem e descrevam se há alguma relação entre as frações 12 , 18 e 12 com as 30 30 18 frações obtidas nas atividades 2b, 2c e 2d, respectivamente. É esperado que os alunos verifiquem que 12 5 2 , 18 5 3 e 12 5 2 . 30 5 30 5 18 3

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Observe que as frações solicitadas nas atividades 2b, 2c e 2d são equivalentes às frações 12 , 18 e 12 , respectivamente. Dividindo o numerador e o denominador das frações por um 18 30 30 mesmo número obtemos as frações equivalentes, que podemos chamar de simplificações das frações originais. 12 • 30

5 12  6 5 2 30  6 5 12 meninas para cada 30 alunos ou 2 meninas para cada 5 alunos

18 • 30

5 18  6 5 3 30  6 5 18 meninos para cada 30 alunos ou 3 meninos para cada 5 alunos

• 12 18

5 12  6 5 2 18  6 3 12 meninas para cada 18 meninos ou 2 meninas para cada 3 meninos

Utilizamos a simplificação de frações para facilitar as operações entre frações e a apresentação de dados. Para simplificar uma fração, dividimos seus termos (numerador e denominador) por um mesmo número natural diferente de zero e diferente de um. Obtemos, assim, uma fração com termos menores que os termos iniciais.

Exemplo:

Setup

Representando as partes coloridas das figuras por meio de frações, temos que:

 

As frações 3 e 1 são equivalen9 3 tes. Obtivemos a fração 1 a partir da 3 fração 3 dividindo o numerador e o 9 denominador por 3. Fizemos uma simplificação.

3 9

43 5 43

1 3  

Importante! VV Se, ao simplificarmos uma fração, os termos obtidos

não puderem mais ser simplificados, dizemos que a fração é irredutível. Isso ocorre quando o numerador e o denominador são números primos entre si, isto é, apresentam apenas o número 1 como divisor comum.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Simplifique para obter frações irredutíveis. 30 a) 35 90 b) 100

11 c) 44

6 7

300 d) 250

9 10

48 e) 64

1 4

24 f) 240

6 5

3 4 1 10

2 Observando as frações equivalentes, faça o que se pede. 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 ... 5 10 15 20 25 30 a) Simplifique a fração 4 obtendo uma fração irredutível. 20 b) Simplifique a fração 6 obtendo uma fração irredutível. 30 c) Simplifique a fração 3 obtendo uma fração irredutível. 15 d) Simplifique a fração 2 obtendo uma fração irredutível. 10 e) Simplifique a fração 5 obtendo uma fração irredutível. 25

1 5 1 5 1 5 1 5 1 5

3 Os retângulos desenhados ao lado são de mesmo tamanho e cada retângulo foi dividido em partes iguais. a) Escreva as frações correspondentes às partes coloridas. 1 , 2 , 4 2

4

8

b) Qual dessas frações é irredutível?

1 2

36 48

A

B

5 18 24

5

A

B

C 9 12

5

3 4

Ilustrações: Setup

4 Para simplificar a fração 36 , observe como Júlia procedeu: 48

C

a) Explique o que Júlia fez na passagem indicada pela letra A. Dividiu os termos da fração por 2. b) Ela fez o mesmo na passagem B? Sim. c) O que Júlia fez na passagem C? Dividiu os termos da fração por 3. d) A última fração obtida, após a passagem C, é irredutível? Sim. Observação: Júlia fez divisões sucessivas para simplificar as frações.

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caderno

5 Utilizando o procedimento de divisões sucessivas, obtenha, nos casos a seguir, a fração irredutível. d) 120 23 a) 25 58 40 180 b) 72 48

3 2

c) 250 200

5 4

e) 512 128

4

f) 99 66

3 2

6 Uma professora explicou que era possível obter a fração irredutível fazendo apenas uma divisão do numerador e do denominador de uma fração. Para tanto, bastava encontrar o máximo divisor comum desses dois termos da fração. Utilizando o mesmo exemplo da fração que Júlia simplificou, veja a seguir o que ela escreveu na lousa: Professor: comente com os alunos que o procedimento utilizado pela professora permite obter a fração irredutível por meio de uma divisão apenas. Evita-se, assim, as divisões sucessivas.

Método do mdc

36 → mdc(36;48)  12 48

Waldomiro Neto

36 4 12 36 3   48 48 4 12 4

Agora use o método do máximo divisor comum e faça as simplificações nas seguintes frações: 7 a) 28 10 e) 98 74 40 56 b) 45 34 60 18 c) 63 72 d) 32 128

1 4

f) 26 104 g) 243 81 300 h) 432

1 4 3 25 36

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Marcio Levyman

Comparação de frações Vamos considerar três situações diferentes relacionadas às frações. Leia atentamente cada uma delas e, caso necessário, discuta com os colegas a respeito. 1ª situação: Lino disse que passa 1 do dia brincando, enquanto 3 Laura afirma que passa 1 do dia brincando. Qual de6 les passa mais tempo brincando? A comparação entre essas frações pode ser feita utilizando-se dois retângulos de mesmo tamanho para representar um dia inteiro. No primeiro, consideramos apenas 1 , e no segundo 1 . 3 6

Lino: 1 de um dia. 3

Laura: 1 de um dia. 6

Comparando as partes coloridas de cada retângulo pode-se perceber que 1 . 1 . Assim, Lino 3 6 passa mais tempo do dia brincando do que Laura. Considerando-se que um dia tem 24 horas, Lino brinca 8 horas, enquanto Laura 4 horas. Quando duas frações têm o mesmo numerador, a maior delas é a que tem o menor denominador, então a menor delas será aquela que tem o maior denominador. 2ª situação:

Waldomiro Neto

Numa corrida, Beatriz percorreu 5 do percurso 12 em linha reta e 7 com curvas bem acentuadas. Ela 12 correu mais em linha reta ou mais em curvas? Para responder à pergunta, devemos fazer uma comparação entre duas frações de um mesmo todo, no caso, o percurso total. Assim, para compararmos, representamos o percurso total dividido em 12 partes. Representaremos por meio de dois retângulos:

Linha reta: 5 do percurso. 12

Curvas: 7 do percurso. 12

Fazendo a comparação das partes coloridas dos retângulos, pode-se perceber que 7 . 5 . 12 12 Assim, Beatriz fez um percurso maior em curvas. Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem o maior numerador, então, a menor delas será aquela que tem o menor numerador.

185 pom6_164_205_u5.indd 185

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3ª situação: Marcio Levyman

Um técnico de futebol ficou em dúvida sobre qual dos dois centroavantes de seu time tinha maior aproveitamento por jogo. Enquanto Roger fez 3 gols em 5 partidas, Lenilson fez 5 gols em 8 partidas. Como saber qual deles teve o maior aproveitamento por jogo? O aproveitamento de cada jogador pode ser aqui representado por meio de fração, isto é: 3 5

Roger (3 gols em 5 jogos) Lenilson (5 gols em 8 jogos)

5 8

A comparação entre as duas frações pode ser feita por meio de frações equivalentes, que têm o mesmo denominador. Assim, vamos escrever frações equivalentes multiplicando o numerador e o denominador de cada fração por um número natural, até que consigamos frações com o mesmo denominador.

• 53

5 6 5 9 5 12 5 15 5 18 5 21 5 24 5 ... 10 15 20 25 30 35 40

• 58

5 10 5 15 5 20 5 25 5 30 5 35 5 40 5 ... 16 24 32 40 48 56 64

Note que, agora, temos frações com o mesmo denominador, bastando comparar os numeradores correspondentes para saber qual é o maior, isto é: como 25 . 24 , então 5 . 3 . 40 40 8 5 Dessa forma, Lenilson teve um aproveitamento maior por partida. Se duas frações têm numeradores e denominadores diferentes, a comparação pode ser feita com suas frações equivalentes, as quais devem ter o mesmo denominador.

Importante! VV O denominador comum corresponderá ao

mínimo múltiplo comum dos denominadores apresentados.

Exemplo: Na comparação das frações 5 e 3 , para facilitar 8 5 a obtenção de frações com mesmo denominador, podemos determinar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e, assim, encontrar as frações equivalentes com mesmo denominador.

35

mmc (8; 5) 5 40

5 5 ? 8 40    3 5 ?  5 40

5 5 25 8 40 35 38

3 5 24 5 40 38

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Quatro tiras de mesmo comprimento foram divididas conforme a representação abaixo. Em cada tira, as partes têm o mesmo tamanho. a) Escreva as frações que representam a parte colorida de cada tira. 61 , 41 , 31 , 21 b) Essas frações têm o mesmo numerador? Sim. c) Comparando essas frações, qual delas é maior? Qual delas é menor? 1 1 Maior:

2

; menor:

6

2 Ainda em relação às tiras representadas na atividade anterior, responda: a) Quais são as frações que representam as partes não coloridas?

5 3 2 1 , , , 6 4 3 2

b) Essas frações têm o mesmo numerador? E o denominador?

Não. Não.

c) Qual dessas frações é maior? Qual delas é menor?

5 1 ; menor: 6 2

Maior:

3 Identifique, nos itens a seguir, a menor das frações escritas. a) 2 ou 4 7 7

2 7

b) 12 ou 9 5 5 c) 3 ou 4 8 8

9 5 3 8

d) 9 ou 9 10 13

9 13

e) 11 ou 11 15 34

11 34

f) 10 ou 10 22 23

10 23

4 Determine a maior fração nos itens a seguir. Quais procedimentos você utilizou para chegar à conclusão? c) 6 ou 8 89 a) 2 ou 1 23 3 5 10 9 b) 6 ou 1 8 2

6 8

d) 7 ou 4 7 6

7 7

Ilustrações: Setup

5 Observe os dois triângulos de mesmo tamanho, representados abaixo.

Responda. a) Considerando apenas a parte colorida, qual fração é maior: 1 ou 1 ? 4 8

1 4

b) Considerando apenas a parte não colorida, qual fração é maior: 3 ou 7 ? 4 8

7 8

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. maior que , menor que  igual a 2 3 3 b) 8

,

5 9

,

a)

c)

.

3 4 2 6 4 7

3 5 6 4 8 6 , 10 e) 10 16

d)

f)

2 4

5

3 6

caderno Ilustrações: Setup

6 Na lousa, o professor desenhou retângulos de mesmo tamanho, para que os alunos pudessem comparar frações apenas por observação, conforme a figura ao lado. Sem fazer cálculos, apenas comparando os retângulos, reescreva cada uma das sentenças a seguir completando-as adequadamente com um dos três sinais:

1 inteiro 1 2

1 2

1 3

1 3

1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 1 16 16

1 3

1 4

1 4

1 5

1 5

1 6

1 8

1 5

1 6

1 7

1 6

1 7

1 6

1 7

1 8

1 1 9 9 1 1 10 10 1 1 1 16 16 16

1 4

1 8 1 9

1 7 1 8

1 9

1 7 1 8

1 9

1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16

1 8

1 5 1 6 1 7 1 8

1 9

1 1 9 9 1 1 1 10 10 10 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16

7 Resolva os seguintes problemas: a) Marta e Leila resolveram ler o mesmo livro. Após alguns dias, Marta disse que tinha lido 9 do livro, enquanto Leila tinha lido 7 do livro. Quem leu mais? Marta leu mais. 11 10 b) Numa eleição para prefeito de uma cidade, descobriu-se que: o candidato A conseguiu 1 dos votos, o candidato B conseguiu 2 dos votos e o candidato C conseguiu 1 dos 2 5 10 votos. Quem conseguiu mais votos? O candidato A. 8 Considerando as partes coloridas dos três retângulos representados ao lado, responda às questões. a) Qual é a maior fração? b) Qual é a menor fração?

3 4 1 2

c) Escreva as três frações em ordem d) Escreva as três frações em ordem

2 3 1 2 3 4

1 2 3 crescente. 2 , 3 , 4 decrescente. 3 , 2 , 1 4 3 2

e) Escreva frações equivalentes a essas três, porém com o mesmo denominador. 9 Os três retângulos a seguir foram divididos em partes iguais.

9 8 3 6 2 1  ,  ,  12 12 4 12 3 2

1 3 5 , , 8 8 8

a) Escreva em ordem crescente as frações que indicam as partes coloridas dos retângulos. b) Escreva em ordem decrescente as frações que indicam as partes não coloridas dos retângulos. 78 , 58 , 38

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Capítulo 18

Adição e subtração de frações Zubartez

De uma barra de chocolate dividida em 24 partes, veja quanto Marcos e Luana comeram enquanto assistiam a um filme.

Luana

Marcos





Note que Marcos comeu 8 , e Luana 4 da barra de chocolate. Juntos comeram 12 . 24 24 24 No exemplo, para chegar à fração da barra de chocolate que os dois comeram juntos, é possível contar os pedaços que comeram e depois escrever o resultado em fração.

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Adição e subtração de frações com o mesmo denominador Adição Podemos chegar ao total de pedaços que foram comidos efetuando a adição das frações que cada um comeu: 8 1 4 5 12 24 24 24 Observe que os denominadores das duas frações que adicionamos são iguais. Assim, mantemos o denominador e adicionamos os numeradores para obter o numerador resultante. A adição de frações de denominadores iguais é uma fração em que o numerador é a soma dos numeradores das parcelas e o denominador é igual ao denominador das parcelas.

Exemplo 1: 2 15

5 15

4 15

2 1 5 1 4 5 2 1 5 1 4 5 11 15 15 15 15 15 11 15

Subtração Considere o exemplo da barra de chocolate. Para sabermos quanto sobrou dessa barra, podemos efetuar uma subtração de frações, isto é: 1 2 12 5 24 2 12 5 12 24 24 24 24 Observe que 1 pode ser representado pela fração 24 . Assim, os dois denominadores das 24 frações da subtração são iguais. A diferença, resultado da subtração, é obtida subtraindo os numeradores. A subtração de frações de denominadores iguais resulta numa fração na qual o numerador é a diferença dos numeradores e o denominador é o mesmo que o das frações dadas.

Exemplo 2:

Ilustrações: Setup

11 15

11 15

11 2 4 5 7 15 15 15 7 15

4 15

   

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as adições e subtrações com frações a seguir. a) 2 1 7 59 15 15 15

4 c) 9 2 5 513 13 13

e) 17 2 6 511 4 4 4

b) 4 1 2 56 7 7 7

d) 10 2 2 583 3 3

9 f) 3 1 4 1 2 510 10 10 10

2 Abaixo, cada retângulo representa um inteiro. Observe que está representada uma subtração das partes coloridas.





a) Quais frações representam as partes coloridas dessas figuras? 34 , 24 , 41 b) Qual subtração de frações as figuras, como um todo, representam? 34

2 4

1 4

Ilustrações: Setup

3 Abaixo, cada retângulo representa um inteiro. Observe que está representada uma adição das partes coloridas.





Então: a) indique quais são as frações que estão sendo adicionadas; b) escreva o resultado dessa adição de frações. 54

3 2 e 4 4

4 Resolva os seguintes problemas: a) Para dar uma volta numa pista circular, é necessário percorrer 2 000 metros. Se andei 1 da volta, tomei um gole de água, depois andei mais 5 da volta e parei, quantos 8 8 metros percorri ao todo? 1 500 metros b) Do pacote de bolachas que continha 16 unidades no total, Paulo comeu 3 bolachas, e Antônio comeu 4. Qual é a fração do pacote de bolachas que os dois comeram 7 juntos? Comeram 16 das bolachas. c) Em relação ao problema anterior, qual é a fração do pacote de bolachas que ainda falta comer? 9 16

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Adição e subtração de frações com denominadores diferentes Como poderemos adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes? A adição e a subtração de frações com denominadores diferentes são efetuadas reduzindo-se inicialmente as frações dadas a um mesmo denominador. Ao reduzirmos as frações ao mesmo denominador, tanto a subtração quanto a adição podem ser realizadas utilizando-se o mesmo procedimento adotado para aquelas que têm denominadores iguais. Observe a seguir dois exemplos.

Exemplo 1: Obtenha o resultado da adição: 2 + 3 5 4

Observação! VV Reduzir a um mesmo denominador

siguinifica obter frações equivalentes que tenham denominadores iguais.

Resolução:

Iniciamos reduzindo as duas frações ao mesmo denominador, para isso devemos determinar o mínimo múltiplo comum dos denominadores: mmc (5; 4) 5 20 2 5 234 5 8 5 534 20

3 5 3 3 5 5 15 4 435 20

Agora adicionamos frações com o mesmo denominador: 2 1 3 5 8 1 15 5 8 1 15 5 23 5 1 3 5 4 20 20 20 20 20

Exemplo 2: Efetue a seguinte subtração: 7 2 3 . 9 10

Resolução: Iniciamos reduzindo as duas frações ao mesmo denominador: mmc (9; 10) 5 90 7 5 7 3 10 5 70 9 9 3 10 90

3 5 3 3 9 5 27 10 10 3 9 90

Agora subtraímos frações com o mesmo denominador: 7 2 3 5 70 2 27 5 70 2 27 5 43 9 10 90 90 90 90

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AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as seguintes adições e subtrações: a) 2 1 1 55  1 15 5 15 3

g) 5 1 5 554 12 6

b) 4 1 2 514 3 9 9

11 h) 1 1 1 524 3 8

41 c) 9 2 1 520 4 5

i) 7 2 1 556 6 3

5 d) 7 2 3 524 12 8

3 j) 9 2 3 510 10 5

3 e) 7 2 2 510 10 5

k) 11 2 1 521 18 9

f) 3 1 1 1 1 554 4 3 6

l) 1 1 1 1 1 578 4 2 8

2 O professor pediu aos alunos que representassem, por meio de desenhos, a adição 1 1 1 . Observe o desenho que os alunos fizeram: 2 5





5 a) Qual é a fração equivalente a 1 que está representada no primeiro círculo? 10 2 2 b) Qual é a fração equivalente a 1 que está representada no segundo círculo? 10 5 2 c) 5 10 10 c) Escreva a adição de frações que aparece indicada e o resultado que lhe corresponde.

7 10

Ilustrações: Setup

3 Observe as figuras que representam duas barras de chocolate de mesmo tamanho, porém divididas em números diferentes de partes. Viviane comeu, pela manhã, 4 pedaços do chocolate da esquerda e, à tarde, 3 pedaços do chocolate da direita.

4 a) Qual é a fração do chocolate da esquerda que ela comeu pela manhã? 12 b) Qual é a fração do chocolate da direita que ela comeu à tarde? 3 18 c) Some essas frações para descobrir que fração de uma barra Viviane comeu nesse dia.

1 2

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a) Uma pessoa que compra uma embalagem de cada tipo, no total, qual fração do quilograma ela compra? 34 b) Qual é a fração que falta para completar 1 quilograma de açúcar?

Zubartez

4 Um supermercado resolveu vender o açúcar em embalagens com massas diferentes: uma embalagem contendo 1 de quilograma de açúcar e outra 4 embalagem contendo 1 quilograma 2 de açúcar. Responda:

1 4

DAE

5 Os dois círculos representados são de mesmo tamanho. Considerando apenas as partes coloridas, faça o que se pede.



a) Indique, por meio de frações, a subtração representada na figura. 34  24 b) Escreva o resultado dessa subtração e faça um desenho para representá-lo.

1 4

6 Se apagássemos 1 da área pintada do retângulo a seguir, que parte desse retângulo per6 maneceria pintada? Indique uma sentença matemática para representar o que você fez.

6 1 5 2 5 18 18 18

DAE

7 Em um retângulo, pinte a parte que representa a soma 2 1 1 . 2 1 1 5 10 1 3 5 13 3 5 3 5 15 15 15 8 O gráfico a seguir refere-se a uma pesquisa sobre o meio de comunicação preferido dos alunos do 6o ano da Escola Saber.

Meios de comunicação 1 6 4 9

5 18

rádio televisão jornal internet

1 9

11

a) Que fração de alunos prefere rádio e internet como meio de comunicação? 18 13 b) Que fração de alunos prefere televisão e internet como meio de comunicação? 18 c) Suponha que essa pesquisa tenha sido feita com uma amostra de 2 700 pessoas. Quantas pessoas preferem como meio de comunicação o rádio? 450 pessoas

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Capítulo 19

Fração de fração No capítulo anterior vimos como adicionar e subtrair frações. Observe que, ao adicionarmos frações iguais, podemos utilizar a multiplicação de um número natural para representar o resultado.

Exemplo: 1 8

1 8

1    

1 8

1

1 8

5

1 1 1 8

5

2 8

ou

1 8

? 2 5

Ilustrações: Setup

2 8

      

1 1 1 52? 1 5 2?1 5 2 8 8 8 8 8 Assim, ao multiplicarmos um número natural por uma fração, multiplicamos o numerador por esse número natural ou, de forma equivalente, adicionamos a fração com a própria fração tantas vezes quanto for o número natural que está multiplicando essa fração.

Multiplicação de frações Você já aprendeu como multiplicar um número natural por uma fração. Agora ampliaremos essa ideia demonstrando como multiplicar fração por fração.

195 pom6_164_205_u5.indd 195

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Vladful/Dreamstime.com

Vamos considerar uma situação relacionada à multiplicação de frações. Uma grande área de plantio será dividida em 4 partes. Numa delas, o fazendeiro resolve plantar feijão. Entretanto, ele decidiu que deixaria 1 livre nessa parte. Qual é a fração 3 da área de plantio que ficará livre? Nessa situação, duas frações podem ser consideradas inicialmente: • 41 da área de plantio será de feijão; • 13 da área destinada ao feijão ficará livre. Para responder à pergunta, precisaremos obter uma nova fração que represente 1 de 1 da área de plantio. 3 4 Vamos representar, por meio de um desenho, 1 da área de plantio: 4

1 4

Ilustrações: Setup

Com linhas verticais, vamos obter, agora, 1 dessa região destacada: 3

1 12

Portanto, podemos dizer que a fração da área total de plantio que ficará livre é 1 . 12 O procedimento de cálculo que possibilita chegar a esse mesmo resultado define-se como a multiplicação de frações, ou seja: 1 de 1 5 1 ? 1 5 1 ? 1 5 1 3?4 12 3 4 3 4 A multiplicação de duas ou mais frações efetua-se com a multiplicação dos numeradores e a dos denominadores. Dizemos que a fração resultante tem como numerador o produto dos numeradores, e como denominador o produto dos denominadores.

Exemplos: 2 ? 4 5 2?4 5 8 5 3?5 15

• 3

3 ? 3 5 3?3 5 9 7 10 ? 7 70

• 10

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as seguintes multiplicações: a) 3 ? 2 65 d) 1 ? 2 5 4 5 b) 1 ? 2 3 5

2 15

e) 7 ? 3 4 14

c) 3 ? 3 6 5

3 10

f) 7 ? 9 9 7

1 10

g) 4 ? 3 7

3 8

h) 1 ? 3 8 4 i) 10 ? 10 3 3

1

2 Escreva a fração correspondente aos seguintes casos: 1 5 b) 3 de 5 16 c) 2 de 4 a) 1 de 2 15 10 3 8 6 7 5 3 Represente, por meio de figura, a fração correspondente a: 2 9

b) 3 de 1 4 6

1 8

3 32 100 9

d) 1 de 7 5 10

8 35

7 50

Sugestões para resposta:

c) 2 de 1 5 3

2 15 d)

1 de 1 5 4

4 Resolva os seguintes problemas:

1 20

a) O professor levou uma melancia para sua turma. Os meninos comeram 2 da melancia, e as 3 1 do que sobrou. meninas comeram 2 Qual é a fração da melancia que as meninas comeram? 61 b) Na turma de Lúcia, 2 dos alunos praticam basquete. Desses, 1 participam do time 5 4 principal da escola. Qual é a fração dos alunos dessa turma que participam do time

Eduardo Belmiro

a) 1 de 2 3 3

12 7

1 10

principal da escola?

c) Numa gincana, Marcos conseguiu 1 de 2 do número total de pontos de sua turma. 10 3 Lúcia conseguiu 2 de 2 do total de pontos. Qual dos dois conseguiu mais pontos? 3 5 5 Resolva as seguintes expressões: a)

(

1 ? 2 1 4 2 3 3

)

1

b)

(

3 ? 1 1 1 4 3 2

Lúcia, que conseguiu

)

5 8

c)

(

1 ? 2 2 1 6 3 8

)

13 144

d)

(

4 de pontos. 15

1 ? 11 2 5 3

)

1 3

6 Calcule quanto é, em reais: a) 2 de 15 reais 3 b) 1 de 60 reais 6

10 reais 10 reais

c) 1 de 100 reais 50 reais 2 d) 1 de 200 reais 20 reais 10

7 José reservou 5 da área de sua fazenda para plantio. Dessa área, ele utilizará 1 para 6 5 2 para mexericas e o restante para plantar acerolas. Que fração da plantar laranjas, 3 1 área da fazenda de José será utilizada para o plantio de acerolas? 9

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Divisão de frações Como dividir frações? Para compreendermos como isso pode ser feito, veremos, inicialmente, dois exemplos:

Exemplo 1: Obtenha o resultado da seguinte divisão: 1 4 2. 2 Resolução: Consideremos um inteiro dividido em duas partes iguais. Observe a representação: 1 2

Queremos dividir a parte considerada em duas partes iguais. Para isso, dividimos o todo em 4 partes iguais e consideramos apenas uma das duas partes destacadas anteriormente:

Portanto, o resultado da divisão é: 1 4 2 5 1 . 2 4 1 4

Exemplo 2: Qual o resultado da divisão: 1 4 1 ? 2 4 Resolução: Ilustrações: Setup

Essa divisão pode ser interpretada da seguinte forma: Quantas vezes 1 cabe em 1 ? 4 2 1 2

1 1 cabe 2 vezes em 4 2

Portanto, o resultado da divisão é: 1 4 1 5 2 . 2 4 Há uma maneira mais prática de efetuarmos a divisão de frações: A divisão de uma fração por outra efetua-se com a multiplicação da primeira pelo inverso da segunda. a Observe que dada uma fração , com a e b números naturais e diferentes de 0, o inverso b b dessa fração será . a Retomando os exemplos anteriores, temos:

• 21

425 1 4 2 5 1 ? 1 5 1 2 1 2 2 4

• 21

4 1 5 1 ? 4 5 4 52 4 2 1 2

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AGORA É COM VOCÊ

( ) b) 3 4 ( 1 ? 1 ) 4 3 2

a) 1 4 2 2 1 2 3 3

3 2 9 2

e) 7 4 3 4 14

9 8

f) 5 4 4 4 5

( ) d) 1 ? (1 4 3 ) 8 4 c) 1 ? 2 4 1 6 3 9

1 1 6

49 6 25 16

(

) f) 2 4 ( 2 2 1 ) 3 6 e) 1 1 1 1 4 2 2 5

3 Responda. a) O inverso de uma fração pode ser um número inteiro? Sim. b) Qual é o resultado da multiplicação de uma fração pela fração inversa?

4

4

1

4 Resolva os seguintes problemas: c) 7 de litros de suco em cada jarra. 4 a) Joana descobriu que passa 1 do dia em seu quarto. Desse tempo, 4 ela passa lendo 3 5 4 livros. Qual é a fração do dia que ela passa lendo livros? 15 b) Descubra quem é mais velho: Mateus tem 2 de 3 de 7 4 56 anos e Júlia tem 3 de 3 de 20 anos. Mateus, que tem 12 anos. 5 4 1 c) Uma jarra tem 3 litros de suco de laranja. Esse suco 2 será distribuído igualmente em 2 jarras menores. Quantos litros de suco serão colocados em cada uma das jarras? d) E se 3 1 litros de suco de laranja fossem distribuídos em 2 copos de 1 de litro, quantos copos seriam necessários? 4 Seriam necessários 14 copos. 3 da quantia para comprar um par de têe) Eu possuo 5 nis que custa R$ 120,00. Qual é a quantia que tenho? R$ 72,00 f) Os irmãos Marcos e Pedro ganharam de seu pai 100 reais cada. Marcos disse que gastou 2 dessa 5 quantia, enquanto Pedro afirmou que gastou 8 20 dessa quantia. Quem gastou mais? Os dois gastaram a mesma quantia.

Valentyn75/Dreamstime.com

b) 1 4 2 23 d) 1 4 2 3 9 4 9 2 Resolva as expressões a seguir.

5 6

Zubartez

1 Efetue as seguintes divisões: a) 3 4 2 92 c) 3 4 3 3 6 5

Sharpshot/Dreamstime.com

5 Na figura a seguir está representada uma régua de 15 centímetros de comprimento.

Desenhe um segmento de medida correspondente a: a) 2 de 15 cm 10 cm 3

b) 2 de 15 cm 5

6 cm

c) 4 de 15 cm 4 cm 15

d) 4 de 15 cm 12 cm 5

199 pom6_164_205_u5.indd 199

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CONEXÕES A reta numérica Ja vimos que é possível representar os números naturais em uma reta numérica. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Existe algum número entre dois números naturais consecutivos? Na verdade, quando pensamos apenas no conjunto dos naturais, a resposta é que não existem números entre dois números naturais consecutivos. Para validar essa informação, basta recordar a noção de sucessor de um número natural (n 1 1). Mas, as coisas mudam quando passamos a considerar a existência de frações. As frações podem ser representadas por pontos na reta numérica. Por exemplo, quantos valores fracionários estão no intervalo entre os números naturais 0 e 1, ou seja, em quantas partes esse intervalo pode ser repartido? Veja a seguir: 1 2

0

1

O ponto que se encontra exatamente na metade do intervalo entre os números 0 e 1 representa a fração 1 (um meio), mas há muitos outros valores que podemos alocar. Veja na reta a seguir 2 que o ponto que representa a fração 1 está exatamente na metade do intervalo entre os núme4 ros 0 e 1 , e o ponto que representa a fração 1 está exatamente na metade do intervalo entre os 2 8 números 0 e 1 . 4 1 8

0

1 4

1 2

1

Você consegue imaginar quantos pontos que representam frações poderíamos alocar não só nesse segmento mas em toda a reta? Na verdade, infinitos pontos, pois podemos continuar o processo de inserir um ponto entre cada dois pontos indefinidamente.

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Trabalho em equipe

caderno

Em trio, faça as atividades a seguir. 1 Determinem os valores de X a Y na reta, considerando que os traços consecutivos estão igualmente espaçados. 8 e 12 5

0

5

1

X

2

Y

3

2 Associem as frações 3 , 9 e 1 às letras que aparecem na reta numérica considerando 2 2 2 que os traços estão igualmente espaçados. 0

A

1

C

2

3

4

B

5

1 9 3 eC5 A5 ,B5 2 2 2

200 pom6_164_205_u5.indd 200

5/17/15 4:43 PM

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caderno

SUpERANDo DESAFIoS 1 (Saresp)

Robson utilizou 3 de 1 litro de tinta para pintar a sala de sua casa. Sabendo que o restante da 4 casa equivale a 3 vezes a área pintada da sala, de quantos litros de tinta ele precisará para pintar os outros cômodos? Alternativa a.

1 a) 2 litros 4 b) 3

3 litros 4

c) 9 litros 12 d)

12 litros 4

2 (Prova Brasil) Alternativa c. DAE

A figura ao lado representa uma figura dividida em partes iguais. A parte pintada de preto corresponde a que fração da figura? a) 1 2

c) 2 6

b) 1 6

d) 6 2

MDMat – UFRGS http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais

Editora Ciência Moderna

http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ Acesso em: fev. 2015.

Explorando Matemática e origami: trabalhando frações Autora: Eliane Moreira da Costa Editora: Ciência Moderna 40 páginas Como ensinar Matemática para quem não gosta de Matemática? Este tem sido um dos grandes desafios dos professores e o origami pode auxiliá-los a desenvolver uma aula que apresente conceitos e fixe a linguagem matemática de forma lúdica e prazerosa. Este volume traz como tema as frações e sugere atividades com modelos simples, interessantes e fáceis de construir, podendo gerar excelentes resultados em sala de aula.

Homepage vinculada à UFRGS com alguns objetos digitais de aprendizagem. Para esta unidade em especial, clique em “Números e operações”; em seguida, clique em “Frações” para ter acesso às atividades relacionadas ao conteúdo de frações.

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caderno

DIVERSIFICANDo lINGUAGENS Pizza com frações

Assim como as frações, acredita-se que as primeiras pizzas surgiram entre os egípcios. Claro que elas não eram como as que conhecemos nos dias de hoje. A pizza era uma massa fina de farinha com água, na época conhecida como “pão de Abrahão”; era servida só com ervas e azeite de oliva e dobrada ao meio. Mais tarde, em Nápoles, surgiria o termo picea e esta era servida aberta com cobertura de toucinho, peixes fritos e queijo. Fonte de pesquisa: http://www.portaldasmassas.com.br/site/7746_Historia-da-Pizza . Acesso em: jul. 2013.

Agora que você já sabe um pouquinho da história da pizza, associe cada expressão com frações à imagem que representa seu resultado. 8 21 15 3

b)

4 1 6 30 15

c) 3 ? 1 5 3

d)

13 5 5

e) 5 2 4 3 3

Ilustrações: Waldomiro Neto

a)

e

a

c

d

b

202 pom6_164_205_u5.indd 202

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Calculando 3 de R$ 1.000,00, obtemos: 5 Alternativa c. a) R$ 400,00

c) R$ 600,00

b) R$ 500,00

d) R$ 700,00

5 Observe a sequência formada pelos círculos a seguir, todos de mesmo tamanho e divididos em partes iguais.

2 Considerando o círculo, a parte colorida destacada pode ser representada pela fração:

Alternativa b.

Qual é a alternativa que indica corretamente a sequência formada pelas frações que representam as partes coloridas das figuras? Alternativa c. a) 1 , 2 , 1 , 1 , 1 2 3 4 5 8 b) 1 , 2 , 1 , 1 , 7 2 5 4 5 8 c) 1 , 2 , 1 , 1 , 7 2 3 4 6 8

a) 3 12

c) 11 12

b) 9 12

d) 8 12

d) 1 , 2 , 1 , 1 , 1 2 3 6 5 8

3 Qual das frações abaixo é equivalente à fração 2 ? 7

6 O resultado da adição 1 1 1 1 1 é: 2 3 4 Alternativa a. 13 10 a) c) 12 12 b) 11 12

Alternativa d.

a) 6 12

c) 12 35

b) 6 14

d) 8 28

d) 15 12

7 Qual é a alternativa que indica corretamente a adição de frações representada pelas duas partes mais escuras dos círculos de mesmo tamanho abaixo? Alternativa d. Ilustrações: Setup

4 Fração irredutível é aquela em que os números que representam o numerador e o denominador têm como máximo divisor comum o número 1. Assinale a alternativa que contém uma fração irredutível. a) 6 15

c) 20 35

b) 8 9

d) 8 100

Alternativa b.

a) 5 1 3 6 9

c) 5 1 3 3 12

b) 5 1 3 3 8

d) 2 1 3 6 8

203 pom6_164_205_u5.indd 203

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Utilize as figuras a seguir para fazer as duas próximas atividades a respeito de frações: 1 8

1 8

1 8

(

1 8

1 2 1 4 1 10 1 16

1 4 1 10

1 16

1 16

1 10 1 16

1 10 1 16

1 16

1 10 1 16

)

11 Resolvendo a expressão 1 ? 2 1 1 , ob2 2 temos: Alternativa b. a) 5 16

c) 4 3

b) 5 4

d) 1 3

12 Quais são as frações que representam corretamente a equivalência de frações indicada pelas figuras? Alternativa c.

1 16

8 São frações equivalentes: Alternativa a. a) 5 ? 1 5 4 ? 1 10 8

c) 5 ? 1 5 8 ? 1 10 8

b) 5 ? 1 5 2 ? 1 10 8

d) 5 ? 1 5 4 ? 1 10 2

9 Comparando as frações, é correto afirmar que: Alternativa c. a) 1 . 1 8 2

c) 2 . 3 10 16

b) 2 . 2 10 8

d) 1 , 1 2 4

Ilustrações: Setup

10 Algumas azeitonas foram separadas em três grupos com a mesma quantidade, como indica a figura a seguir.

Cada um desses grupos representa: Alternativa d. a) 1 de 6 azeitonas. 3 b) 1 de 12 azeitonas. 3 c) 1 de 15 azeitonas. 3 d) 1 de 18 azeitonas. 3

a) 2 5 6 5 15 b) 4 5 12 10 30

c) 2 5 4 5 10 d) 4 5 8 5 10

13 Se transformarmos o número misto 2 2 5 em fração imprópria, obtemos: Alternativa d. a) 22 5

c) 5 12

b) 12 10

d) 12 5

14 Considerando-se que cada retângulo maior é a unidade, assinale a alternativa que indica corretamente o número misto representado pelas figuras abaixo. Alternativa a.

a) 1 4 6

c) 1 3 6

b) 1 2 6

d) 1 1 6

204 pom6_164_205_u5.indd 204

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15 Qual é a alternativa que indica corretamente o resultado da subtração das frações que representam a parte escura dos círculos de mesmo tamanho?

17 Determine os termos que estão faltando nas frações, de tal forma que todas elas sejam equivalentes. Na célula central, deverá aparecer a fração que é equivalente a todas as outras, porém, irredutível. 55

30

220

120

DAE

Alternativa c.

1

35 40

c) 1 30

b) 1 20

d) 1 9

72 100

10

160 a) 1 6

18

4

140



180 120

400

40

18 Qual é o resultado da expressão

(

)

12 1 ? 1 1 3 ? 2 4 a) 1 2

16 Cinco amigos resolveram sair no fim de semana para comer pizza: Cíntia, Lúcia, Antônio, Mário e Paulo. Márcio Levyman

b)

1 4

Alternativa c.

c) 1 8 d) 1 16

19 Quantos centímetros correspondem a 3 5 de 30 cm? Alternativa a. a) 18 cm b) 21 cm

c) 12 cm d) 8 cm

20 A metade de um bolo será dividida em duas partes iguais. Qual fração do bolo corresponde a cada parte? Alternativa d. a) 1 2 b) 1 3

Leia as informações e descubra quantas fatias de pizza cada um comeu: • Paulo comeu 4 do que Lúcia comeu; 3

12

• Antônio, 4 do que Paulo comeu; 16 3 • Lúcia, 3 do que Mário comeu; 5

9

• Mário comeu 1 de 60 fatias; 15 4 • Cíntia comeu 1 do que comeu Paulo. 2

6

c) 1 5 d) 1 4

21 Qual fração imprópria corresponde ao número misto 3 2 ? Alternativa b. 7 14 a) 7 b) 23 7 c) 20 7 d) 22 7

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UNIDADE 6

Números decimais Ao medirmos a altura de uma criança ou verificarmos a massa de um caminhão carregado, dificilmente o resultado será um número natural, sendo necessário o emprego dos números com vírgula. O trabalho com esses números representa uma ampliação importante ao nosso conhecimento numérico.

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APOEMA Matemática 6

a

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Agsandrew/Shutterstock

1 Qual é maior: 5,07 ou 5,7? 2 Quantos décimos de segundos há em 1 segundo? 3 Uma cédula de 20 reais pode ser trocada por quantas moedas de 50 centavos?

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APOEMA Matemática 6

a

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CAPíTULO 20

Frações decimais e números decimais

Respostas da página anterior: 1. 5,7 2. 10 3. 40

R$ 2,00

R$ 20,00

R$ 5,00

© Banco Central do Brasil

Vamos rever as cédulas do sistema monetário brasileiro. Você se lembra de como são representados cada um dos valores expressos nas cédulas a seguir?

R$ 50,00

R$ 10,00

R$ 100,00

E as moedas? Como elas são representadas? Já que temos cédulas, para que precisamos de moedas? As moedas, com exceção da moeda de 1 real, representam as partes do real. Em muitas transações financeiras utilizamos os centavos. Por exemplo, o preço da passagem de ônibus em uma cidade do Brasil foi reajustado para R$ 2,85 no ano de 2014.

© Banco Central do Brasil

Observe a representação numérica das moedas: a parte inteira (à esquerda da vírgula) é igual a zero ou igual a um.

R$ 0,01

R$ 0,05

R$ 0,10

R$ 0,25

R$ 0,50

R$ 1,00

208 pom6_206_247_u6.indd 208

APOEMA MATEMÁTICA 6

a

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Ao escrevermos uma quantia em reais, utilizamos os números decimais. O número à esquerda da vírgula indica a quantia inteira em reais, enquanto o número que está à direita dela indica a fração do real. Os números decimais podem ser representados por meios de frações e, como vimos anteriormente, os centavos nos reportam à base 100, isto é, os agrupamentos são feitos de 100 em 100, pois em 1 real temos 100 centavos.

• 1 centavo



• 10 centavos • 50 centavos

  

1 5 0,01 100

• 5 centavos

5   5 0,05 100

10 5 0,10 100

• 25 centavos

  

25 5 0,25 100

50 5 0,50 100

• 1 real

  

100 5 1,00 100

Número decimal e fração decimal

Nos capítulos anteriores, estudamos as frações. As frações cujos denominadores são 10, 100, 1 000, 10 000 etc. são chamadas de frações decimais. Utilizando partes do Material Dourado, é possível ter uma ideia melhor do que são essas frações decimais. 1 O cubo representa a unidade (1), a placa representa um décimo da unidade , a barra 10 1 e o cubinho representa um milésimo da unidade indica um centésimo da unidade 100 1 1 000 .

(

)

( )

( )

DAE

placa 1 unidade dividida em 10 partes iguais

1 da unidade 5 0,1 10

1 unidade dividida em 100 partes iguais

1 unidade dividida em 1 000 partes iguais

barra

1 da unidade 5 0,01 100

cubinho 1 da unidade 5 0,001 1 000

209 pom6_206_247_u6.indd 209

APOEMA Matemática 6

a

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caderno

TRABALHO EM EQUIPE Em trio, utilize o Material Dourado para completar a tabela. Quantidades 4 décimos 1 inteiro e 4 décimos 3 décimos e 5 centésimos

Representação Fração Decimal do Material 4 placas 1 cubo e quatro placas

Um cubo, 3 placas e 5 barras

1 inteiro, 5 décimos, 1 centésimo e 8 milésimos

1 cubo, cinco placas, 1 barra e 8 cubinhos

9 milésimos

9 cubinhos

Décimos Centésimos Milésimos

4 10

0,4

0

4

0

0

4 10

1,4

1

4

0

0

35 100

0,35

0

3

5

0

35 100

1,35

1

3

5

0

518 1000

1,518

1

5

1

8

9 1000

0,009

0

0

0

9

1

3 placas e cinco barras

1 inteiro, 3 décimos e 5 centésimos

Unidade

1

1

Exemplo 1: O algarismo 8, nos números a seguir, ocupa posições diferentes, deslocando-se uma ordem para a direita:











• 183 947

Valor posicional: 80 000 5 8 3 10 000

• 138 947

Valor posicional: 8 000 5 8 3 1 000

• 139 847

Valor posicional: 800 5 8 3 100

• 139 487

Valor posicional: 80 5 8 3 10

• 139 478

Valor posicional: 8 5 8 3 1

Observe que no número 183 947 o algarismo 8 equivale a 80 000, já no número 138 947 o algarismo 8 equivale a 8 000, que é um décimo

( 101 ) de 80 000, pois 80 000 : 10 = 8 000. Isso

volta a ocorrer nos demais exemplos, pois, a cada um destes, o algarismo 8 encontra-se em uma ordem anterior, desta forma, seu valor posicional altera-se.

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APOEMA Matemática 6

a

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Exemplo 2:

Ilustrações: DAE

O algarismo 8, nos números a seguir, ocupa posições diferentes no número, deslocando-se uma ordem para a direita: 218,349 8 unidades

83158 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

213,849 8 décimos

8 3 0,1 5 0,8 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1

83 1 5 8 10 10

213,489 8 centésimos

8 3 0,01 5 0,08 0,01 1 0,01 1 0,01 1 0,01 1 0,01 1 0,01 1 0,01 1 0,01

83 1 5 8 100 100

213,498 8 milésimos 8 3 0,001 5 0,008 0,001 1 0,001 1 0,001 1 0,001 1 0,001 1 0,001 1 0,001 1 0,001

83

1 5 8 1000 1000

Exemplo 3: Transforme frações decimais em números na forma decimal:

Resolução: 7 • 10

5 0,7

Lemos: sete décimos.

• 27 10

5 2,7

Lemos: dois inteiros e sete décimos.

2 • 100

5 0,02

Lemos: dois centésimos.

27 • 100

5 0,27

Lemos: vinte e sete centésimos.

Para transformar uma fração decimal em número na forma decimal, podemos utilizar um processo prático. Nele, escrevemos o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros que aparecem no denominador.

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APOEMA Matemática 6

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Exemplo 4: Transforme números na forma decimal em frações decimais:

Resolução: 3 10 231 • 2,31 5 100 3 • 0,03 5 100 74 • 0,074 5 1 000 4 801 • 4,801 5 1 000 2 907 • 29,07 5 100

• 0,3 5

Para transformar um número na forma decimal em fração decimal, escrevemos uma fração em que o numerador corresponde ao número sem vírgula e o denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva na forma decimal as frações decimais a seguir: a) 28 10 b) 823 100

c) 207 100

2,8

d)

8,23

e)

2,07

4 557 1000

39 10 000

f) 997 10

4,557

0,0039

99,7

2 Transforme os números seguintes em frações decimais: 34 a) 0,34 100

b) 45,123

45123 1 000

3 1 000 231 10

e) 8,915

d) 23,1

f) 0,45

3 Utilizando algarismos, escreva os seguintes números: a) dois inteiros e quarenta e nove centésimos; 2,49 b) quatrocentos e vinte e cinco milésimos; 0,425 c) vinte e oito inteiros e setenta e dois centésimos; 28,72 d) trinta e dois inteiros e novecentos e quarenta e oito milésimos; e) setenta e oito centésimos; 0,78 f) quarenta inteiros e quatro milésimos. 40,004

32,948

4 Observe os números das placas a seguir e escreva-os por extenso.



8 915 1 000 45 100

c) 0,003

0,934

0,850

2,5

2,340

0,5

7,3

2,150

3,77

Quais desses números podem ser chamados de decimais?

Novecentos e trinta e quatro milésimos; oitocentos e cinquenta milésimos; dois inteiros e cinco décimos; dois inteiros e trezentos e quarenta milésimos; cinco décimos; sete inteiros e três décimos; dois inteiros e cento e cinquenta milésimos; três inteiros e setenta e sete centésimos.

Todos.

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APOEMA Matemática 6

a

5/17/15 3:56 PM

5 Observe que algumas frações que não são decimais podem ser transformadas em frações decimais, utilizando-se a equivalência entre frações. Assim, elas também podem ser escritas como números na forma decimal.

Exemplos:

305 61 5 1 000 200 105 21 5 Verde: 0,1 1 0,005 5 0,105 5 1 000 200 105 21 5 Amarelo: 0,1 1 0,005 5 0,105 5 1 000 200 125 1 5 Azul: 0,12 1 0,005 5 0,125 5 1 000 8 36 9 5 Branco 5 0,36 5 0,36 5 100 25 6. a) Vermelho: 0,3 1 0,005 5 0,305 5

• 1 5 1 ? 5 5 5 5 0,5 2 2?5 10 • 3 5 3 ? 25 5 75 5 0,75 4 4 ? 25 100 • 3 5 3 ? 5 5 15 5 0,15 20 20 ? 5 100

Utilize o procedimento acima descrito para escrever as frações a seguir como números na forma decimal: 6  0,6 a) 3 10 5 36  0,36 b) 9 100 25 35  0,35 c) 7 100 20

 1,6 d) 8 16 5 10 42  0,42 e) 21 100 50 25  0,25 f) 1 100 4

DAE

6 O mosaico a seguir representa 1 inteiro. Ele foi desenhado em uma malha quadriculada e foram utilizadas 4 cores diferentes (azul, vermelho, amarelo e verde) em sua composição.

Professor, esta é uma atividade que deve ser utilizada para sondar o conhecimento do aluno não apenas de números decimais, mas também de operações com esses números. Além da sugestão de resposta apresentada, o aluno poderá resolver os questionamentos a partir da contagem de quadradinhos e triângulos coloridos.

Após observar o mosaico, responda às questões. a) Represente, na forma fracionária e na forma decimal, a porção da malha quadriculada utilizada para cada cor. b) Represente, na forma fracionária e na forma decimal, a soma das partes pintadas da 64 imagem, com exceção da cor branca. 100 5 0,64

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Frações centesimais As frações que têm denominador igual a 100, chamadas de centesimais, podem ser representadas com outra notação matemática, a porcentagem. Fazemos isso escreven50 = 50% do o numerador da fração centesimal seguido do sinal % (por cento). Assim, 100 (cinquenta por cento). Comparando os dois números, vemos que 50 é igual a metade de 100. Portanto, dizer que 50 é a metade de 100 é o mesmo que dizer que 50 é igual a cinquenta por cento de 100.

Exemplo 1: 3 • 100

5 3% (lemos: três por cento)

41 • 100

5 41% (lemos: quarenta e um por cento)

Importante!

Exemplo 2: • 7,5% 5

7,5 5 75 5 0,075 100 1 000

• 91,2% 5

91,2 5 912 5 0,912 100 1 000

VV Para transformar uma porcentagem

em fração centesimal e, depois, em número na forma decimal, basta observar a equivalência de frações.

Multiplicação de decimais por potências de 10 O resultado da multiplicação de um número na forma decimal por 10, por 100, por 1 000, … é obtido deslocando a vírgula, respectivamente, uma, duas, três, … casas decimais para a direita.

Exemplo: • 91,345 3 10 5

91 345 91 345 3 10 5 5 913,45 1 000 1 100

• 91,345 3 100 5

91 345 91 345 3 100 5 5 9 134,5 1 000 1 10

• 91,345 3 1 000 5

91 345 1 000 91 345 3 5 5 91 345 1 000 1 1

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Divisão de decimais por potências de 10 O resultado da divisão de um número na forma decimal por 10, por 100, por 1 000, ... é obtido deslocando a vírgula, respectivamente, uma, duas, três, ... casas decimais para a esquerda.

Exemplo 1: • 523,79  10 5

52 379 10 52 379 52 379  5 3 1 5 5 52,379 100 1 100 10 1 000

• 523,79  100 5

52 379 100 52 379 52 379 5 5,2379  5 3 1 5 100 1 100 100 10 000

• 523,79  1 000 5

52 379 1 000 52 379 52 379  5 3 1 5 5 0,52379 100 1 100 1 000 100 000

Importante! VV No caso de um número na forma decimal,

retirando ou acrescentando um ou mais zeros à direita de sua parte decimal, o número permanece o mesmo. Isso poderá ser constatado por meio da equivalência de frações.

Exemplo 2: 0,27 5 0,270 5 0,2700 5 0,27000 5 … ou 27 5 270 5 2 700 5 27 000 5 ... 100 1 000 10 000 100 000 Conforme a observação acima, podemos representar um número decimal com diferentes números de casas.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva as frações decimais correspondentes às seguintes porcentagens: 23 a) 23% 100

15 c) 15% 100

e) 2,5%

7 b) 7% 100

77 d) 77% 100

f) 3,9%

2,5 25  100 1000 3,9 39  100 1000

2 Transforme os números abaixo em porcentagens. a) 0,34 34%

c) 0,33 33%

e) 0,92 92%

b) 0,05 5%

d) 0,01 1%

f) 0,14 14%

3 Efetue as seguintes multiplicações: a) 23,45 3 10 234,5

c) 0,4972 3 1 000 497,2

e) 0,3457 3 1 000 345,7

b) 143,482 3 100 14 348,2

d) 0,0014 3 10 0,014

f) 2,3478 3 10 000 23 478,0

4 Obtenha o resultado das seguintes divisões: a) 92,784  10

9,2784

b) 782,554  100

7,82554

c) 75 634,12  1 000 d) 0,09  10

e) 600,1  1 000

0,6001

f) 5 000  10 000

0,5

g) 0,15  10

75,63412

0,015

h) 1,234  100 0,01234

0,009

5 Copie e complete cada item com um número que torne verdadeira a igualdade. a) 9,341

3

b) 175,1



c)

0,009341

d)

827,5

100 1 000

5

934,1

e) 22,997

3

5

0,1751

f) 44,567



3

1 000

5

9,341

g)

37



100

5

8,275

h)

177,8

1 000 10

5

22 997

5

4,4567

3

100

5

3 700



1 000

5

0,1778

6 Resolva os problemas a seguir. a) Quantas moedas de R$ 0,25 são necessárias para conseguir a quantia de R$ 25,00? 100 moedas

b) Tenho R$ 50,00 em moedas de R$ 0,10. Quantas moedas eu tenho? 500 moedas

c) Uma nota de R$ 100,00 vai ser trocada por moedas de R$ 0,01. Quantas moedas serão necessárias? 10 000 moedas d) Um supermercado conseguiu 1 000 moedas de R$ 0,50 para troco. Qual é a quantia total em reais? R$ 500,00 7 Observe os números que estão escritos dentro dos círculos. Eles formam uma sequência numérica. Quais são os três próximos números dessa sequência?

95 670

9 567,0

956,70

95,670

9,5670

0,95670

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Comparações entre números decimais

Zubartez

Num treino classificatório de uma corrida de Fórmula 1, dois pilotos levaram praticamente o mesmo tempo para completar a volta. Um deles fez uma volta completa em 1 minuto, 18 segundos e 352 milésimos de segundo. O outro fez em 1 minuto, 18 segundos e 325 milésimos de segundo. Qual deles foi mais rápido? Para descobrir qual deles foi mais rápido, temos de comparar os seguintes tempos:

• 325 milésimos de segundo ou 0,325 do segundo 0,325 5 325 1 000

• 352 milésimos de segundo ou 0,352 do segundo

Como as duas frações têm o mesmo denominador, basta comparar o numerador. Assim, temos que: 0,325  0,352

0,352 5 352 1 000 Na situação apresentada, concluímos que o piloto que levou 1 minuto, 18 segundos e 325 milésimos de segundo foi mais rápido do que o outro. Neste exemplo, fizemos a comparação entre dois números decimais que tinham o mesmo número de casas decimais. Como podemos comparar dois números decimais quaisquer? Para comparar dois ou mais números escritos na forma decimal, há outro procedimento que podemos adotar sem a necessidade de transformá-los em frações decimais. Para comparar dois números decimais quaisquer que têm a mesma parte inteira, procedemos da seguinte maneira: 1. igualamos o número de casas decimais desses números; 2. comparamos então as partes decimais.

Exemplo: Compare os números 73,4567 e 73,44.

Resolução: Reescrevemos os números igualando a quantidade de casas decimais: 73,4567

73,44 = 73,4400 4 casas decimais

Comparando as partes decimais dos dois números, temos: 4 567  4 400. Concluímos que 73,4567  73,44.

Importante! VV Quando as partes inteiras são diferentes, a comparação dos números será feita pela comparação dessas

partes inteiras.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Nos itens a seguir, indique qual é o número maior. a) 34,009 ou 34,09 34,09

e) 8,726 ou 8,72601 8,72601

b) 4,0231 ou 4,2031 4,2031

f) 9,2145 ou 9,2 9,2145

c) 999,75 ou 899,99 999,75

g) 54,23 ou 54,234 54,234

d) 44,112 ou 44,3 44,3

h) 2 000,01 ou 2 001,08 2 001,08

2 Em uma calculadora, para obter um número com vírgula utilizamos o ponto. Veja o exemplo: para escrever 2,13 escrevemos

.

2

1

(2 ponto 13).

3

Suponha que a tecla ponto esteja quebrada; como podemos obter no visor da calculadora os números a seguir? a) 0,2 2 : 10 b) 4,51 451 : 100 c) 1,018 1018 : 1000

Zubartez

3 André usou uma régua para comparar o comprimento de dois segmentos desenhados numa folha de papel, como indicam as figuras:

  a) Qual é a medida de cada segmento? 4,5 cm e 4,8 cm b) Qual deles é menor? O segmento de 4,5 cm. c) Na régua, 1 centímetro está dividido em 10 partes. O que indica cada uma dessas partes? Um milímetro.

Setup

4 Numa folha, Sandra desenhou um segmento e marcou nele 4 números igualmente espaçados. Como numa régua, ela dividiu em 10 partes iguais cada segmento entre dois números consecutivos e indicou um ponto dessa linha por meio de uma seta, como mostra a figura. Responda:

0

1

2

3

a) Qual foi o número que ela indicou? 2,3 b) Esse número é maior ou menor que 2,35? Menor. 5 O professor escreveu na lousa os números 99,5 e 99,6. Em seguida, pediu que os alunos escrevessem outros seis números obedecendo a seguinte condição: serem maiores que 99,5 e menores que 99,6. Escreva seis números que satisfaçam essa condição. Resposta pessoal. Sugestão de resposta: 99,51; 99,52; 99,53; 99,54; 99,55; 99,56.

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Capítulo 21

Operações com números decimais Existem balanças eletrônicas que permitem avaliar a massa de uma forma mais precisa, até com três casas depois da vírgula.

Fruta

Massa (quilogramas)

melancia

2,5

pera (meia dúzia)

0,754

maçã (meia dúzia)

0,81

banana (3 unidades)

0,285

Eduardo Belmiro

Laura, ao comprar algumas frutas num supermercado que utiliza balança eletrônica, constatou que as massas obtidas foram:

Como poderemos saber a massa total que Laura carregará?

Adição com números decimais Para obter a massa total que Laura carregará é necessário fazer uma adição. Observe que os valores correspondentes às massas aparecem com casas decimais. Assim, precisamos de um procedimento que nos permita adicionar tais valores. Para adicionar dois ou mais números decimais, procedemos da seguinte maneira:

• igualamos o número de casas decimais dos números a serem adicionados acrescentando zeros, se necessário;

• posicionar os números de tal maneira que as vírgulas fiquem alinhadas; • adicionamos como se fossem números naturais; • no resultado, colocamos a vírgula alinhada com as vírgulas das parcelas. Vamos adicionar os números da situação apresentada anteriormente. Igualamos o número de casas decimais e adicionamos os números correspondentes. 2,5 0,754 0,81 0,285

5 5 5 5

2,500 0,754 0,810 0,285 1 4,349

Podemos perceber que Laura comprou 4,349 kg de frutas; essa é a massa que ela terá de carregar. Será que ela aguenta carregar a sacola?

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Você se lembra da decomposição dos números naturais? Observe a seguir como fazer a decomposição de números escritos na forma decimal: Decomposição 258,976 5 200 1 50 1 8 1 0,9 1 0,07 1 0,006 Agora faça a decomposição dos seguintes números na forma decimal: a) 72,975 70 1 2 1 0,9 1 0,07 1 0,005 b) 8,907 8 1 0,9 1 0,007 c) 456,239 400 1 50 1 6 1 0,2 1 0,03 1 0,009 d) 81,3296 80 1 1 1 0,3 1 0,02 1 0,009 1 0,0006 e) 0,4593 0,4 1 0,05 1 0,009 1 0,0003 f) 0,0457 0,04 1 0,005 1 0,0007 2 Agora observe os números decompostos e faça a composição deles: a) 50 1 3 1 0,3 1 0,08 1 0,004 53,384 b) 200 1 40 1 1 1 0,2 1 0,02 1 0,002 241,222 c) 3 1 0,1 1 0,02 1 0,007 3,127 d) 700 1 30 1 0,8 1 0,04 1 0,001 730,841

e) 2 1 0,9 1 0,07 2,97 f) 0,4 1 0,09 1 0,007 1 0,0004 0,4974 g) 10 1 3 1 0,3 1 0,01 13,31 h) 50 1 0,5 1 0,005 50,505

3 Resolva as adições a seguir utilizando a estratégia que considerar mais simples. a) 23,567 1 0,32 23,887 b) 4,785 1 92,03 96,815 c) 0,004 1 100,5523 100,5563

d) 30,4051 1 2,034 32,4391 e) 40,316 1 7,54 47,856 f) 8,7 1 102,045 110,745

4 Responda rápido: a) Aumentando-se 1 décimo ao número 0,34, qual será o número obtido? 0,44 b) Acrescentando-se 0,002 ao número 1,088, qual será o número obtido? 1,09 5 Descubra o padrão de cada sequência a seguir e depois escreva os próximos três termos. a)

0,0005

0,0025

0,0045

0,0065

0,0085; 0,0105; 0,0125

b)

0,0004

0,0504

0,1004

0,1504

0,2004; 0,2504; 0,3004

6 Resolva os seguintes problemas:

Zubartez

a) A mãe de Sônia foi ao supermercado e gastou R$ 235,44 apenas com alimentos. Passou na farmácia e gastou mais R$ 45,25. Quanto ela gastou ao todo no supermercado e na farmácia? R$ 280,69 b) Marcelo anotou no caderno sua altura no começo do ano: 1,57 metro. Verificou, depois de 8 meses, que havia crescido 3 centímetros. Qual é a altura de Marcelo após esses 8 meses? 1,60 metro c) Manuel comprou 2 pacotes de feijão de 0,5 quilogramas e pagou R$ 4,74 cada. Qual é o valor de 1 quilograma de feijão? R$ 9,48

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Subtração com números decimais Ilustrações: Waldomiro Neto.

Observe as quatro etapas principais no salto com varas:

Dois atletas fizeram seus saltos: o primeiro conseguiu 4,85 metros e o segundo atingiu a altura de 4,9 metros. Qual é a diferença entre essas alturas? Nesta situação, precisamos apenas fazer a subtração das alturas. A subtração de dois números decimais é feita de maneira análoga à utilizada na adição. Que estratégia você pode utilizar para resolver esta subtração? Por quê? Para subtrair dois números decimais, procedemos da seguinte maneira:

• igualamos

o número de casas decimais dos números a serem subtraídos acrescentando zeros, se necessário;

• posicionamos os números de tal maneira que as vírgulas fiquem alinhadas; • subtraímos como se tivéssemos números naturais; • no resultado, colocamos a vírgula alinhada com as vírgulas dos números que estão sendo subtraídos.

Exemplo: Calcule a diferença entre os dois saltos:

Resolução: 4,9 5 4,90 4,85 5 4,85 2 0,05 Podemos concluir então que o segundo atleta saltou 0,05 metro a mais do que o primeiro atleta.

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5/17/15 3:56 PM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as seguintes subtrações com números na forma decimal: a) 23,567 – 0,32 23,247 b) 5,785 – 2,03 3,755

c) 20,894 – 10,552 10,342 e) 9,99 – 0,0001 9,9899 g) 8,75 – 2,045 6,705 d) 30,4051 – 2,03428,3711f) 40,316 – 30,04 10,276 h) 10,5 – 8,27 2,23

2 Responda rápido: a) O valor da compra era R$ 9,75. Se paguei com uma cédula de 10 reais, qual foi o troco que recebi? R$ 0,25 b) Qual foi o troco recebido para uma nota de R$ 50,00, sabendo que o valor da compra foi R$ 45,50? R$ 4,50 c) O valor da compra era R$ 187,10. Se paguei com duas cédulas de R$ 100,00, qual foi o troco que recebi? R$ 12,90 3 Copie e complete a tabela com as quantias que estão faltando. Valor da compra

Quantia que tenho

R$ 120,00

R$ 100,50

R$ 250,00

Quanto falta R$ 19,50

R$ 150,75

R$ 99,25

R$ 200,00

R$ 70,50

R$ 129,50

R$ 530,00

R$ 350,50

R$ 179,50

R$ 100,00

R$ 10,20

R$ 89,80

4 Descubra o padrão de cada sequência a seguir e depois escreva os próximos três termos. a)

1,04

1,01

0,98

0,95

0,92; 0,89; 0,86

b) 10,05

9,20

8,35

7,50

6,65; 5,8; 4,95

5 Resolva as seguintes expressões: a) (2 2 0,1) 1 10,3 12,2 b) (22,2 1 1,25) 2 5,35 18,1 c) (42 2 0,2) 1 100,5 142,3 d) (422,25 1 10,25) 2 5,5 427



e) (1 2 0,002) 1 0,888 1,886 f) 13,74 1 (9,8 2 0,4) 23,14 g) (11,1 2 0,1) 1 33,333 44,333 h) 131,44 1 (10,8 2 9,4) 132,84

i) 9,341 1 (0,3 2 0,001) 9,64 j) (4,5 2 0,01) 1 25,324 29,814 k) 3,78 1 (1,3 2 0,02) 5,06 l) (88,5 1 0,05) 1 55,04 143,59

a) Com uma cédula de 100 reais, paguei um almoço no valor de R$ 34,50 e um sorvete no valor de R$ 10,25. Quantos reais me sobraram? R$ 55,25 b) Meu pai tem 1,95 metro de altura. Ainda preciso crescer mais 8 centímetros para chegar à altura dele. Qual é a minha altura atual? 1,87 metro c) A amplitude térmica é a diferença entre a maior temperatura e a menor. Assim, se a maior temperatura hoje foi de 32,5 °C e a temperatura mínima foi de 19 °C, qual é o valor da amplitude térmica?13,5 °C d) Todos os dias, pela manhã, costumo correr 10 quilômetros numa pista perto de minha casa. Hoje, entretanto, acabei correndo 2,250 quilômetros a menos. Quantos quilômetros corri?

Marcio Levyman

6 Resolva os seguintes problemas:

7,75 quilômetros

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APOEMA Matemática 6

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Bruna pesquisou, em lojas que vendem eletrônicos, o preço de um computador portátil. Encontrou um de que gostou bastante e solicitou ao vendedor que parcelasse o valor a ser pago, já que não tinha dinheiro suficiente para pagar à vista. Conseguiu comprar em 8 parcelas mensais iguais, conforme cartaz que havia na loja.

8

Glasseye stock/Dre amstime. com

Multiplicação com números decimais parcelas iguais de

R$

123,45

Bruna queria saber o total que pagaria, pois só tinha a informação do valor de cada parcela. Para descobrir o valor total, ela efetuou uma multiplicação. Lembrou então que havia aprendido a decomposição de números decimais. Observe como ela calculou: 8 3 123,45 5 8 3 (100 1 20 1 3 1 0,4 1 0,05) 8 3 123,45 5 (8 3 100) 1 (8 3 20) 1 (8 3 3) 1 (8 3 0,4) 1 (8 3 0,05) 8 3 123,45 5 800 1 160 1 24 1 3,2 1 0,40 8 3 123,45 5 987,60 Assim, o valor total a ser pago na compra do computador é de R$ 987,60. Na situação apresentada efetuamos a multiplicação de um número natural por um número na forma decimal. Como procedemos para fazer a multiplicação entre dois números decimais quaisquer?

Para multiplicar dois números decimais, fazemos da seguinte maneira:

• multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais, isto é, sem a vírgula;

• no resultado (produto obtido), colocamos a vírgula considerando que o número de casas decimais será igual à soma dos números de casas decimais dos fatores.

Exemplo: Efetue a multiplicação entre os números 5,27 e 1,6.

Resolução: 5,27 3 1,6 5 ? 2 casas

1 casa

527 3 16 3 162 1 5 270 8 432 8 432 5,27 3 1,6 5 8,432 ou 5,27 3 1,6 5 527 3 16 5 5 8,432 100 10 1000 2 1 3

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APOEMA MATEMÁTICA 6

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5/17/15 3:56 PM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as seguintes multiplicações de números naturais por números decimais: a) 9 3 25,42 228,78 b) 7 3 103,27 722,89 c) 12 3 5,88 70,56

d) 80 3 4,75 380 e) 15 3 7,26 108,9 f) 18 3 1,3 23,4

g) 99 3 0,11 10,89 h) 33 3 0,02 0,66 i) 25 3 49,08 1 227

2 Efetue as multiplicações de números decimais por números decimais: a) 1,2 3 0,04 0,048 b) 2,7 3 4,4 11,88 c) 45,6 3 5,18 236,208

d) 981,2 3 0,7 686,84 e) 12,1 3 8,2 99,22 f) 144,1 3 0,02 2,882

g) 99,2 3 10,12 1 003,904 h) 1,9 3 1,9 3,61 i) 101,29 3 3,6 364,644

3 Responda rápido: a) Multiplique 3,44 por 100. Qual é o resultado? 344 b) Qual é o resultado da multiplicação 0,01 3 100? 1 c) Ao multiplicar um número por 10 e, depois, o resultado por 0,1, o que acontece com o resultado final? Não se altera. d) Ao multiplicar um número por 1 000 e, depois, o resultado por 0,001, o que acontece com o resultado final? Não se altera. 4 Descubra o padrão das sequências a seguir e, então, escreva os próximos três números. a) 120,234

1 202,34

1 2023,4

120 234

1 202 340; 12 023 400; 120 234 000

b)

0,02

0,04

0,08

0,16

0,32; 0,64; 1,28

c)

0,04

0,12

0,36

1,08

3,24; 9,72; 29,16

d)

2,5

10

40

160

640; 2 560; 10 240

5 Nos itens a seguir, utilize uma multiplicação para descobrir a quantia resultante. a) Tenho 32 moedas de R$ 0,25. Quantos reais tenho? R$ 8,00 b) Tenho 60 moedas de R$ 0,50. Quantos reais tenho? R$ 30,00 c) Troquei 1 000 moedas de R$ 0,05 por apenas uma cédula. Qual é o valor da cédula? R$ 50,00 d) Troquei 500 moedas de R$ 0,10 por apenas uma cédula. Qual é o valor da cédula? R$ 50,00

6 Resolva os seguintes problemas: Tatyana Nyshko/ Dreamstime.com

a) Uma bicicleta está sendo vendida pelo valor de R$ 450,00 à vista ou em 7 parcelas iguais de R$ 68,90. Se eu comprá-la parcelado, quanto pagarei no total? Quanto a mais que à vista? R$ 482,30; R$ 32,30

Vittorio Velasquez/ Dreamstime.com

b) A mãe de Joana comprou 3 quilogramas de feijão e pagou R$ 4,70 por quilograma. Também comprou 4 quilogramas de arroz, pagando R$ 2,75 por quilograma. Quanto ela gastou no final? R$ 25,10 7 Resolva as seguintes expressões: a) 9 3 (8,97 2 2,47) 58,5 b) (98 3 0,2) 1 (5,16 2 4,57) 20,19 c) 0,59 3 (2,44 1 1,56) 2,36

d) (80 3 0,02) 1 (0,04 3 100) 5,6  e) (28,37 2 9,37) 3 0,03 0,57 f) 4,5 1 2,4 3 (7,15 2 4,45) 10,98

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APOEMA Matemática 6

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Divisão entre números naturais: quociente decimal Leelaryonkul/ Shutterstock

Rosane queria comprar a TV do anúncio ao lado que estava sendo vendida por R$ 1.399,00. Observe o anúncio feito pela loja. Se Rosane optar por comprar a TV da forma anunciada, qual será o valor de cada parcela? Para resolver esse problema, primeiro temos que descobrir qual é o valor a ser parcelado. Lembre-se de que o comprador deve dar uma entrada (valor inicial) de R$ 450,00.

Promoção! Entrada de R$ 450,00, mais 6 parcelas fixas e sem juros!

R$ 1.399, 00 – R$ 450,00 = R$ 949,00 Portanto, o valor a ser pago em cada parcela é o resultado da divisão de R$ 949,00 por 6: R$ 949,00 : 6 = R$ 158,1666... Obtemos no quociente da divisão um número decimal, infinito e periódico. Ele é chamado de infinito e periódico porque ao tentar fazer a divisão completa de 949 por 6, em determinado momento, o número 6 se repete indefinidamente na parte decimal do quociente. O período do número é a parte que se repete e, nesse caso, o período é o algarismo 6. Existem números decimais periódicos com períodos formados por mais algarismos. Por exemplo, na divisão de 1 por 23 temos um período formado por 22 algarismos. Números decimais, infinitos e periódicos são chamados de dízimas periódicas. Portanto, o valor de cada parcela é uma dízima periódica. Como em nosso sistema monetário utilizamos até duas casas decimais, é comum arredondar esse número para R$ 158,17. Vamos compreender melhor como efetuar uma divisão com números na forma decimal. Divisão entre dois números naturais com resultado decimal

Exemplo 1: Efetue a divisão de 11 por 4 utilizando o quadro de valores do sistema de numeração decimal, isto é, um número natural dividido por outro número natural. Resolução: Dividimos 11 unidades por 4: o quociente resultou em 2 unidades e restaram 3 unidades. D 1 –

U, 1 8 3

d

c

4 2, U,

d

c

Dividimos 30 décimos por 4: o quociente resultou em 7 décimos e restaram 2 décimos. D 1 –

U, 1 8 3 –2

d

0 8 2

c

4 2, U,

7 d

c

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APOEMA MATEMÁTICA 6

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Para dividir 2 décimos por 4, novamente é preciso repartir cada décimo em 10 partes, obtendo 20 centésimos. D 1 –

U, 1 8 3 –2

d

c

4 2, U,

0 8 2 –2

7 d

5 c

0 0 0

Dividimos 20 centésimos por 4: o quociente resultou em 5 centésimos e o resto, zero. O quociente da divisão de 11 por 4 resultou num decimal exato. Para verificar essa divisão, efetuamos a multiplicação de 4 por 2,75, isto é: 4 3 2,75 = 11 Divisão de um número natural por outro (quociente decimal aproximado)

Exemplo 2: Também utilizando o quadro de valores do sistema de numeração decimal, veja agora uma divisão em que o quociente decimal é aproximado. Vamos dividir 11 por 7:

Resolução: Dividimos 11 unidades por 7: o quociente resultou em 1 unidade e restaram 4 unidades. D 1 –

U, 1 7 4

d

c

m 7 1, U,

d

c

m

Para dividir 4 unidades por 7, é preciso repartir cada unidade em 10 partes obtendo assim 40 décimos da unidade. D 1 –

U, 1 7 4 –3

d

c

m 7 1, U,

0 5 5

5 d

c

m

Dividimos 40 décimos por 7: o quociente resultou em 5 décimos e restaram 5 décimos. Para dividir 5 décimos por 7, é preciso repartir cada décimo em 10 partes obtendo 50 centésimos da unidade. D 1 –

U, 1 7 4 –3

d

0 5 5 –4

c

m 7 1, U,

5 d

7 c

m

0 9 1

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APOEMA Matemática 6

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Dividimos 50 centésimos por 7: o quociente resultou em 7 centésimos e restou 1 centésimo. Para dividir 1 centésimo por 7, é preciso reparti-lo por 10 obtendo 10 milésimos da unidade. D 1 –

U, 1 7 4 –3

d

c

0 5 5 –4

m 7 1, U,

0 9 1

5 d

7 c

1 m

0 –7 3

Dividimos 10 milésimos por 7: o quociente resultou em 1 milésimo e restaram 3 milésimos. Se continuarmos a divisão indefinidamente, obteremos em determinado momento o resto 4 novamente e, assim, os demais restos se repetirão. Por isso, dizemos que o quociente é não exato, ou seja, é um dízima que tem período com 6 algarismos: Professor, comente que essa divisão poderia ter sido representada por 11 : 7 = 1,571428571428571428... 11  7 5 1,571428 A barra superior indica o grupo de algarismos que compõe o período de repetição.

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Conexões

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) definiu a forma de arredondar números decimais para evitar problemas nos resultados. A definição está registrada em um documento oficial publicado em 1977, que estabelece:

• Quando o algarismo a ser conservado for seguido de algarismo inferior a 5, permanece o algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores. EXEMPLO: 1,33 3 arredondado à primeira decimal torna-se 1,3. • Quando o algarismo a ser conservado for seguido de algarismo superior a 5, ou igual a 5 seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores EXEMPLO 1: 1,66 6 arredondado à primeira decimal torna-se 1,7; EXEMPLO 2: 4,850 5 arredondados à primeira decimal torna-se 4,9. • [...] Disponível em: ,http://www.abntcatalogo.com.br/norma.aspx?ID=326535.. Acesso em: abr. 2015.

Reproduza a tabela a seguir e, de acordo com as informações anteriores, arredonde os números. Número

Arredondamento da primeira casa decimal

Arredondamento da segunda casa decimal

158,1666...

158,2

158,17

2,75

2,7

2,75

1,6

1,57

3,7

3,67

1,571428571... 3,66666....

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APOEMA Matemática 6

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Observação: VV Fração geratriz é a que gera uma dízima periódica; por exemplo

1 é fração geratriz da dízima periódica 3

0,33333.... Veja a seguir outras frações geratrizes de dízimas periódicas. dizimas periódicas





0,6666... 5 6 9 0,727272... 5 72 99 0,325325325... 5 325 999

frações geratrizes

Veremos mais detalhes sobre como obter a fração geratriz de uma dízima periódica no próximo volume desta coleção.

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Calvin & Hobbes, Bill Watterson © 1986 Watterson/ Dist. by Universal Uclick

Diversificando linguagens

Disponível em: http://fazendomatfis.blogspot.com.br/2010/09/tiras-na-matematica.html Acesso em: fev. 2015.

1 Qual é o valor da multa por dia de atraso? R$ 0,05 2 A multa é aplicada para cada livro. Calvin pagou R$ 0,10 por 2 dias de atraso de 1 livro. Quanto ele teria pagado por 3 dias de atraso de 5 livros? R$ 0,75 Registre no

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TRABALHO EM EQUIPE

Em dupla e com o auxílio de uma calculadora, escreva na forma decimal os resultados das seguintes divisões: 1 Dividindo por 10 a) 3 ou 3 : 10 0,3 10

b) 12 ou 12 : 10 1,2 10

c) 314 ou 314 : 10 31,4 10

b) 12 ou 12 : 100 0,12 100

c) 314 ou 314 : 100 3,14 100

2 Dividindo por 100 a) 3 ou 3 : 100 0,03 100 3 Dividindo por 1 000 3 ou 3 : 1 000 0,003 b) 12 ou 12 : 1 000 0,012 c) 314 ou 314 : 1 000 0,314 1000 1 000 1 000 Converse com seus colegas a respeito do número de casas decimais dos resultados das divisões efetuadas. Havia necessidade do uso de calculadora?

a)

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Efetue as seguintes divisões obtendo quociente decimal exato. Depois, verifique os resultados com a calculadora. a) 22  5 4,4

e) 33  6 5,5

b) 125  4 31,25

f) 144  5 28,8

c) 45  6 7,5

g) 225  8 28,125

d) 28  8 3,5

h) 121  4 30,25

2 Efetue as seguintes divisões e indique quais são as dízimas periódicas. a) 440  7

62,857142

b) 22  7 3,142857 c) 400  3 133,3 d) 58  6

Professor, reforce que a barra superior indica o grupo de algarismos que faz parte do período de repetição da dízima.

e) 850  9 94,4 f) 551  6 91,83 g) 90  7 12,857142 h) 100  9 11,1

9,6

3 Em relação às divisões efetuadas no exercício anterior, obtenha o quociente decimal aproxi3. a. 62,857 e. 94,444 mado com três casas. 4 Resolva os problemas a seguir.

b. 3,143 f. 91,833 c. 133,333 g. 12,587 d. 9,667 h. 11,111

© Banco Central do Brasil

a) Uma quantia de 100 reais deve ser dividida igualmente entre três irmãos que irão ao cinema. Ao dividir o valor, eles observaram que a divisão resultava numa dízima periódica, e então decidiram que o mais velho receberia 1 centavo a mais. Qual foi a quantia que coube a cada um dos três irmãos? R$ 33,33, R$ 33,33 e R$ 33,34 b) Uma dívida de R$ 1.000,00 foi negociada para ser paga em 7 parcelas de mesmo valor. Porém, ao dividir, verificou-se que o quociente da divisão não era exato. Apresente uma solução para os valores dessas parcelas, de tal maneira que haja o maior número de parcelas com a mesma quantia. Resposta possível: seis parcelas de R$ 142,85 e uma parcela de R$ 142,90.

c) Marcos usou uma calculadora para verificar algumas divisões. Ao dividir, por exemplo, o número 90 por 33, o resultado que apareceu no visor da calculadora foi o número 2,727272727. Para verificar o resultado, ele multiplicou o valor obtido por 33. Que valor ele encontrou ao usar a calculadora? Por que ele obteve este valor? 89,99999999 A divisão resulta em uma dízima periódica. Ao efetuar a multiplicação utilizamos um valor aproximado, por isso também chegamos a um resultado aproximado.

5 Com o auxílio da calculadora, escreva a dízima periódica para as seguintes frações geratrizes: d) 254 0,254254254... a) 2 0,222... 9 999 b) 44 99

0,444...

e) 35 6

5,83333...

c) 11 6

1,83333...

f) 40 3

13,333...

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Divisão com números decimais Vimos anteriormente como efetuar a divisão de um número natural por outro. Agora ampliaremos esse conhecimento, fazendo divisão com números decimais. Observe, a seguir, três situações diferentes. Para dividir dois números decimais, procedemos da seguinte forma: Eliminamos as vírgulas, multiplicando o dividendo e o divisor por 10, 100, 1 000, ..., de modo que os termos da divisão se transformem em números naturais. Divisão de número decimal por número natural

Exemplo 1: Divida o número decimal 17,95 pelo número natural 5:

Resolução: 1

7,

9

5

5

Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100, eliminando a vírgula. Temos então a divisão entre dois números naturais: 1

7

9

5

5

0

0

–1

5

0

0

3,

5

9

2

9

5

0

–2

5

0

0

4

5

0

0

–4

5

0

0 0

Divisão de número natural por número decimal

Exemplo 2: Divida o número natural 65 pelo número decimal 2,5:

Resolução: 6

5

2,

5

Multiplicamos o dividendo e o divisor por 10, eliminando a vírgula. Recaímos então na divisão de dois números naturais: 6

5

0

–5

0

1

5

0

–1

5

0

2

5

2

6

0

230 pom6_206_247_u6.indd 230

APOEMA Matemática 6

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Divisão de número decimal por número decimal

Exemplo 3: Divida o número decimal 45,78 pelo número decimal 2,8:

Resolução: 4

5,

7

2,

8

8

O dividendo tem duas casas decimais e o divisor apenas uma casa decimal. Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100, transformando ambos em números naturais: 4 –2 1 –1

5 8 7 6

7 0 7 8 9 –8 1 –1

2 1

8 8 0 8 4 4 4

0 0 0 0

8 6,

0 3

5

0 0 0

Considere agora a seguinte situação: No começo do mês de novembro, em 2014, o dólar comercial estava cotado em R$ 2,563. Supondo que uma pessoa nessa data tinha R$ 481,50, quantos dólares ela poderia comprar? Ao responder, faça a aproximação de duas casas decimais. Professor, solicite que os alunos 481,5 : 2,563 = 187,87 Essa pessoa poderia comprar 187,87 dólares.

observem o valor do dólar comercial atual e simulem a compra de alguns dólares com determinada quantia em reais.

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CONEXÕES

A divisão é uma operação aritmética que muitas vezes nos surpreende. Algumas curiosidades estão relacionadas diretamente com a divisão. Você descobrirá, por exemplo, que, ao fazermos divisão por 7 os resultados são inesperados. Utilize uma calculadora e faça as seguintes divisões por 7. Anote os resultados. 1 5 1 4 7 5 0,14285714285714285714285714285714 7 2 5 2 4 7 5 0,28571428571428571428571428571428 7 3 5 3 4 7 5 0,42857142857142857142857142857142 7 4 5 4 4 7 5 0,57142857142857142857142857142857 7 5 5 5 4 7 5 0,71428571428571428571428571428571 7 6 5 6 4 7 5 0,85714285714285714285714285714285 7 Se sua calculadora fornece o resultado com 9 casas decimais, observe os algarismos que aparecem depois da vírgula. Qual é a curiosidade?

Waldomiro

Neto

• • • • • •

A sequência 285714 sempre se repete em todas as divisões.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule as seguintes divisões de números decimais por números naturais. a) 12,44  2 6,22 b) 20,75  5 4,15 c) 99,33  3 33,11 d) 95,1  6 15,85

e) 101,76  8 12,72 f) 1,024  2 0,512 g) 0,44  11 0,04 h) 0,343  7 0,049

2 Agora as divisões são de números naturais por números decimais. Encontre os resultados. a) 90  0,5 180 b) 1 024  0,02 51 200

c) 75  2,5 30 d) 32  0,08 400

e) 18  0,03 600 f) 210  0,21 1 000

g) 800  0,25 3 200 h) 400  1,6 250

3 Efetue as divisões de números decimais por números decimais. a) 0,09  0,3 0,3 b) 0,121  1,1 0,11 c) 1,44  1,2 1,2 d) 43,2  0,12 360

e) 62,5  0,4 156,25 f) 10,88  3,2 3,4 g) 99,75  1,5 66,5 h) 0,002  0,005 0,4

4 Nos itens a seguir, os resultados das divisões formam um padrão numérico. Indique os quocientes que correspondem a esse padrão. a) 12  1 12

c) 144  12 12

e) 48  16 3

g) 0,36  6 0,06

1,2  0,1 12

14,4  1,2 12

4,8  1,6 3

0,36  0,6 0,6

0,12  0,01 12

1,44  0,12 12

0,48  0,16 3

0,36  0,06 6

0,012  0,001 12

0,144  0,012 12

0,048  0,016 3

0,36  0,006 60

b) 44  4 11

d) 400  5 80

f) 3 500  35 100

h) 324  18 18

4,4  0,4 11

40  0,5 80

350  3,5 100

324  1,8 180

0,44  0,04 11

4  0,05 80

35  0,35 100

324  0,18 1 800

0,044  0,004 11

0,4  0,005 80

3,5  0,035 100

324  0,018

18 000

5 Resolva os problemas a seguir. a) Lucas é caixa numa panificadora e deve ter sempre moedas para fornecer o troco das compras. Um cliente levou um pacote de moedas de 25 centavos e trocou por uma cédula de 20 reais. Responda: Quantas moedas esse cliente levou para fazer a troca? 80 moedas

Eduardo Belmiro

b) Numa festa de fim de ano, foram encomendados 46 refrigerantes de um litro. O dono da festa gastou, com esses refrigerantes, a quantia de R$ 126,50. Determine o valor de cada refrigerante. R$ 2,75 cada refrigerante.

c) Para essa mesma festa, foram encomendados 300 salgadinhos, de mesmo valor, que custaram, no total, R$ 105,00. Qual é o valor de cada salgadinho? R$ 0,35 cada salgadinho.

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Capítulo 22

Você sabe o que é porcentagem? Em que situações ela normalmente é utilizada? Utilizamos a porcentagem diariamente. Ela aparece nas reportagens de jornais, revistas, rádio e TV, nos cálculos dos juros, nas ofertas de descontos, nas comparações entre quantidades etc., e estes são apenas alguns dos exemplos em que a forma de representação por meio de porcentagem nos auxilia na compreensão do que está sendo analisado.

Ilustrações: Zubartez

Tratamento da informação: noção de porcentagem, gráficos e tabelas

Os valores percentuais são úteis na apresentação de dados, tanto na forma gráfica quanto de tabela, pois essas representações possibilitam a comparação de valores sobre uma mesma base.

Exemplo: Os 60 alunos de uma classe irão eleger, por meio de votação, o representante da turma. Observe o nome dos candidatos e os dados coletados na tabela ao lado. Nessa tabela, podemos ver a quantidade de candidatos que concorreram (5 alunos) e a quantidade de votos que cada um recebeu. Uma outra forma de organizar os dados é representá-los em valores percentuais. Com base na quantidade de votos recebida, temos: Caio obteve 21 votos, portanto, que representa o valor percentual dessa quantidade é 35%, que representa a maioria dos votos. Alunos

Votos

Júlia

20%

Caio

35%

Sofia

15%

Sofia

Fernanda

20%

Fernanda

Gabriel

10%

Alunos

Votos

Júlia

12

Caio

21

Sofia

9

Fernanda

12

Gabriel

6

Porcentagem dos votos

Júlia Caio

Gabriel

E o que o gráfico informa sobre os demais candidatos? É possível perceber que Júlia e Fernanda estão empatadas em segundo lugar, com 20% dos votos; Sofia teve 15% dos votos, ficando em terceiro lugar; Gabriel, obteve apenas 10% do total de votos.

233 pom6_206_247_u6.indd 233

APOEMA Matemática 6

a

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Porcentagem Como calculamos porcentagens?

Exemplo: Um levantamento foi feito num município e descobriu-se que 57% dos alunos estudam no período da manhã. Se o município tem atualmente 3 800 alunos, como podemos determinar a quantidade de alunos que estudam pela manhã?

Resolução:

Setup

Numa malha quadriculada desenhamos um retângulo formado por 100 quadrados menores e pintamos 57 deles. A parte colorida pode ser representada pela fração

57 (cinquenta e sete centésimos) 100 ou na forma de porcentagem 57% (cinquenta e sete por cento) Assim, cada quadrado menor corresponde a

1 ou 1%. 100

Desse modo, a quantidade de 3 800 alunos foi dividida em 100 partes, portanto, cada parte (quadrado menor) contém 38 alunos (3 800 : 100 = 38). Podemos, então, determinar a quantidade de alunos que estudam de manhã da seguinte forma: 57% de 3 800 5 57 ? 3 800

100

57% de 3 800 5 57 ? 38 57% de 3 800 5 2 166 Portanto, concluímos que 2 166 alunos estudam de manhã.

Utiliza-se porcentagem para fazer comparação, dividindo o todo em 100 partes iguais.

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APOEMA Matemática 6

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Descontos e acréscimos

Se eu pagar à vista, quanto de desconto terei? Tyler Olson/Shutterstock.com

As compras que são feitas à vista muitas vezes nos permitem boas economias. Já as compras a prazo, isto é, aquelas que fazemos em várias parcelas, geralmente contêm acréscimos por conta dos juros cobrados como forma de compensação pelo prazo que obtivemos na compra. Você já conseguiu desconto em alguma compra? Conhece alguma situação em que houve acréscimo na compra de uma mercadoria? Considere agora os seguintes exemplos:

Exemplo 1: Ao comprar um perfume que custava R$ 80,00, Joana solicitou desconto, pois tinha dinheiro para pagá-lo à vista. O vendedor autorizou um desconto de 20%. Qual o valor do desconto obtido? Quanto Joana teve de pagar à vista?

Resolução:

• Podemos, inicialmente, calcular o valor do desconto: 20 ? 80 100 20% de 80 reais 5 0,2 ? 80

20% de 80 reais 5

20% de 80 reais 5 16 → Portanto, 16 reais de desconto

• Agora calculamos o valor do perfume à vista: 80 2 16 5 64 Assim, o valor pago à vista foi de R$ 64,00.

Exemplo 2: Um skate de competição profissional é vendido por R$ 650,00 à vista. Mateus deseja comprá-lo, porém, não tem todo o dinheiro para pagamento à vista. Sendo assim, negocia com o vendedor da seguinte maneira: R$ 150,00 de entrada e o restante com um acréscimo de 15% e dividido em 4 parcelas iguais. Qual será o valor de cada parcela do skate?

Resolução:

• Calculamos inicialmente o valor a ser parcelado: 650 2 150 5 500 → R$ 500,00

• Valor do acréscimo:

15 ? 500 (ou 0,15 ? 500) 100 15% de 500 reais 5 75 → R$ 75,00

15% de 500 reais 5

• Dividimos o total pelo número de parcelas combinadas: (R$ 500,00 1 R$ 75,00) 4 4 5 R$ 143,75 Assim, o valor de cada parcela será de R$ 143,75.

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APOEMA Matemática 6

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ Ilustrações: Setup

1 No gráfico a seguir estão representados alguns percentuais (parte colorida). Calcule:

25%

50%

75% 100%

375 a) 25%

de 1 500; 1 125 c) 75% de 1 500; 750 b) 50% de 1 500; 1 500 d) 100% de 1 500. 2 Transforme as porcentagens a seguir em fração centesimal, isto é, fração em que o denominador é igual a 100. a) 22% 22 d) 98% 98 100 5 100 c) 44% 44 100

b) 5%

e) 11% f) 60%

3 Transforme as frações centesimais em porcentagem.

100 11 100 60 100

a) 2 100

2%

c)

25 100

25%

e) 99 100

99%

b) 87 100

87%

d) 39 100

39%

f)

48 100

48%

4 Transforme os números decimais em porcentagem. a) 0,03 3% c) 0,67 67% b) 0,45 45% d) 0,12 12%

e) 0,001 0,1% f) 0,004 0,4%

5 Utilize uma calculadora e transforme as frações em porcentagem. 38 10 a) 22 40% 6,66% c) e) 570 700 55 b) 42 33,3% d) 12 1,25% f) 297 126 960 990

1,42% 30%

6 Responda fazendo os cálculos mentalmente. a) Quantos por cento representam 8 pessoas em 80? 10% b) Qual é o valor correspondente a 2% de 1 000? 20 c) Um minuto de 60 minutos correponde a mais ou menos que 1%? Mais que 1%. d) A quantos por cento correspondem 15 minutos em 60 minutos?

Correspondem a 25%.

7 Resolva os seguintes problemas: a) Uma bicicleta estava sendo vendida por R$ 300,00. Para pagamento à vista, era dado um desconto de 5%. Uma pessoa que compra a bicicleta à vista paga qual valor?R$ 285,00 b) Depois de uma pesquisa na escola de Eduarda para saber a porcentagem de meninas e de meninos entre os alunos, foi apresentado o gráfico ao lado. Sabendo que são 460 alunos e há mais meninas que meninos, determine o número de meninas da escola. 55% de 460 5 253 meninas

55%

45%

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APOEMA Matemática 6

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Pesquisas, tabelas e gráficos • Como

Zubartez

você pode descobrir o passatempo preferido de seus colegas?

• No Brasil, há mais mulheres ou há mais homens?

• Entre os estudantes brasileiros, há mais meninas ou há mais meninos?

• Quantas

são as pessoas que possuem

carro?

• Quantas

são as pessoas que trabalham atualmente em nosso país?

Essas e outras perguntas precisam de pesquisa para que as respostas sejam obtidas. Algumas dessas pesquisas são bem conhecidas e divulgadas, como as pesquisas eleitorais, quando se deseja saber qual é o candidato que tem a preferência da população. Outras pesquisas – que não aparecem tanto, mas são realizadas frequentemente – referem-se à aceitação de determinado produto, por exemplo. Imagine que você vai lançar no mercado um novo sabor de sorvete. Como saber se as pessoas gostarão, antes de fazer o lançamento em grande quantidade? Geralmente, encomenda-se uma pesquisa em que o sorvete é dado para diversas pessoas experimentarem. Essa pesquisa pode ser feita perguntando diretamente ou pedindo à pessoa que preencha um formulário. Nesse formulário, diversas perguntas podem ser colocadas para conhecer o sabor preferido de sorvete, por exemplo. As informações da pesquisa são chamadas de dados da pesquisa. Elas podem ser resumidas em tabelas ou em gráficos. Para organizar uma pesquisa é preciso definir uma amostra, ou seja, escolher o número de pessoas que participarão da pesquisa. Esse dado representa o que chamamos de “população” da pesquisa: essa amostra deve representar a população que o produto quer alcançar. Nesse caso, o produto é o sorvete. Vamos supor que esse sorvete será lançado na cidade de São Paulo, que tem uma população estimada em 11 895 883 habitantes, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Por causa da grandiosa população, a amostra adequada não pode ser pequena, vamos supor uma amostra de 850 pessoas. A pergunta analisada é: Qual é o seu sabor de sorvete preferido? Observe o resultado da pesquisa organizado em uma tabela. Sabores

Quantidade

morango

100

limão

60

chocolate

210

pistache

50

coco

180

flocos

150

creme

100

237 pom6_206_247_u6.indd 237

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É possível também organizar essas informações em um gráfico de colunas, que pode ser vertical ou horizontal. Ilustrações: DAE

Gráfico de colunas vertical Quantidade de pessoas

Sorvete preferido quantidade

250 200

morango limão chocolate

150

pistache coco

100

flocos

50

creme

flocos

coco

pistache

limão

morango

chocolate

creme

0

7,06 17,65

chocolate

coco

creme

flocos

coco

100

150

200 250 Quantidade de pessoas

Valor percentual

11,76

11,76

Sabores

morango

morango

Quantidade limão

morango limão 7,06

150

17,65

limão

100

pistache

coco

pistache

chocolate

limão

morango

5,88

11,76%

pistache

7,06%

coco

chocolate coco

210

flocos

24,71%

pistache

50

creme

5,88%

coco

creme

21,18

60

flocos

flocos creme

Sabores

creme

180

quantidade

Valor percentual

100chocolate

chocolate

24,71

50 0

50

coco

Esses Sorvete mesmos valores podem ser apresentados na forma percentual, de representapreferido Sorvete tipo preferido Sabores ção muito utilizada na mídia. quantidade

flocos

pistache

chocolate

limão

morango

0

chocolate

creme

5,88

creme

limão

flocos

21,18

flocos

200

200 Quantidade

pistache

24,71

pistache

250

150

morango

11,76 11,76 quantidade

limão

Quantidade de pessoas

100

Valor percentual

morango

Sabores

50

Sorvete preferido

Sabores

quantidade

0

Sabores

Gráfico de colunas horizontal Sorvete preferido

Sorvete preferido

Sabores

0

21,18% 100

50

150

17,65%

100

11,76%

150

200 250 Quantidade de pessoas

As mesmas informações podem ser utilizadas para compor um gráfico de setores: Valor percentual 11,76

morango

11,76 7,06

17,65

limão chocolate pistache

24,71

coco flocos

21,18 5,88

creme

238 pom6_206_247_u6.indd 238

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Os três gráficos representam a mesma informação de maneiras diferentes. O pesquisador utilizará o que ele acredita ser mais adequado para apresentar os dados coletados. Uma análise básica das informações coletadas na pesquisa sobre o sabor de sorvete preferido revela que a maioria dos entrevistados prefere sorvetes de chocolate, morango, flocos e creme. Logo, se a empresa estiver pensando em lançar um sorvete de limão com pistache é melhor analisar bem as informações antes de iniciar a produção.

Exemplo: Em uma turma havia 48 alunos. Cada aluno teve de responder à seguinte pergunta: Pesquisa Em qual período você prefere assistir às aulas? ( ) Manhã.   ( ) Tarde. Enquanto os alunos informavam sua preferência, o professor anotava na lousa, com um traço, a opção declarada. O resultado foi o seguinte: Manhã:

Tarde:

Após contar os votos, o professor elaborou a tabela a seguir: Período

Número de alunos

manhã

36

tarde

12

total

48

Com esses dados, o professor fez o cálculo das porcentagens que esses números representam em relação ao total e ampliou a tabela, acrescentando mais uma coluna: Manhã: 36 5 0,75 5 75%. 48 Tarde: 12 5 0,25 5 25%. 48

Período

Número de alunos

Porcentagem

manhã

36

75%

tarde

12

25%

total

48

100%

Com base nessas informações, ele construiu o seguinte gráfico de colunas: Período de preferência Número de alunos 40

36

30 20 12

10 0

manhã

tarde

Período

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Mostrou também que esse gráfico de colunas poderia ser representado percentualmente em um gráfico de setores, como o exemplo a seguir. Ilustrações: DAE

Período de estudo

25% manhã

75%

tarde

Gráfico de linhas

Registre no

caderno

(OBM)

O gráfico mostra a variação dos preços de alguns produtos alimentícios no primeiro semestre em Alternativa e. uma certa região. Com base no gráfico é possível afirmar com certeza que: Preços por kg

arroz feijão milho

junho

maio

abril

março

fevereiro

janeiro

Objeto educacional digital

a) o milho sempre foi mais barato que o arroz e o feijão. a) Não, em janeiro o milho foi mais caro, em abril eles custavam o mesmo preço e em maio ele voltou a ser mais caro. Não, o que se manteve mais estável foi o feijão. O preço b) o preço do arroz foi o mais estável no período. b) do arroz sofreu muitas variações. c) o feijão sempre custou mais caro que o milho. c) Não, o feijão só foi mais caro nos meses de fevereiro, março e junho. d) nunca houve dois produtos com o mesmo preço. d) O feijão e o milho tiveram o mesmo preço em abril. e) o produto com menor variação de preços foi o feijão. e) Sim, foi o produto mais estável. No exemplo acima, vimos a utilização do gráfico de linhas, também conhecido como gráfico de segmentos. Neste tipo de gráfico é possível observar o crescimento ou a variação de determinada informação ou dado ao longo do tempo. Em jornais e revistas, sua utilização é muito frequente. Que tal trazer para os demais colegas um exemplo de utilização de gráfico de linhas?

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Registre no

caderno

Matemática e Cidadania

Delfim Martins/Pulsar Imagens

Será que nós, brasileiros, conhecemos de fato nosso país e sua população?

 

Indígenas kalapalo da aldeia Aiha no Parque Indígena do Xingu, Querência, MT.

Para uma pergunta como essa, não temos prontamente uma resposta. Por exemplo, se falarmos que os indígenas estão desaparecendo na população brasileira, será uma afirmação completamente equivocada.

Muitos gráficos são elaborados com os resultados da coleta de informações, como o gráfico ao lado, que mostra a evolução da população residente em nosso país de 1872 até 2010.

Evolução da população residente no país (em milhões de pessoas)

190,755 169,8 146,8 119 93,1 70,0

9,9

14,3

30,6 17,4

41,1

51,9

18 72 18 90 19 00 19 20 19 40 19 50 19 60 19 70 19 80 19 91 20 00 20 10

Como essas informações são levantadas? O que significa censo? É então que fica clara a importância de fazer pesquisas. A cada 10 anos é feito um censo no país, ou seja, uma grande pesquisa que objetiva levantar as informações mais importantes a respeito do Brasil. Essas informações são analisadas e, com base nelas, decisões importantes são tomadas.

DAE

No último censo populacional feito no Brasil, descobriu-se que há cerca de 270 línguas indígenas.

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.

Agora faça o que se pede. 1 Observando o gráfico acima, responda: Qual foi o crescimento, em milhões de pessoas, ocorrido entre 1872 e 2010? 190,755 milhões de pessoas 2 Pesquise o crescimento populacional de indígenas no Brasil entre os anos 1991 e 2010 e responda: a) Qual foi a taxa percentual de crescimento, de acordo com Censo 2010? 205% b) De acordo com o Censo 2010, existem 896 900 indígenas no Brasil. Se em 2020 o aumento for de 15% em relação ao ano de 2010, qual será a quantidade de indígenas ao todo que teremos nesse ano? 1 031 435 indígenas 3 Além do censo, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) traz outras informações importantes para nossa vida. Pesquise e escreva o nome de outras pesquisas que o IBGE faz em nosso país. Sugestão de resposta: Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), Índice de Preços ao Produtor (IPP), Pesquisa Mensal de Comércio (PMC) etc.

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TECLA_MATEMáTICA Você já ouviu falar em programas cuja função é criar planilhas de cálculo? Você já teve a oportunidade de explorá-los? Esse tipo de programa é muito utilizado para várias finalidades e em diferentes situações. Eles nos possibilitam criar tabelas, automatizar cálculos, analisar dados e até construir gráficos para melhor visualizar os dados.

Fotos: Fernanda Gomes

Primeiro, observe a estrutura de uma “página” nova da planilha. Cada um dos “retângulos” recebe o nome de célula. Cada célula tem um endereço, que é a intersecção da coluna com a linha onde ela se encontra. Por exemplo, na figura a seguir a célula selecionada está na coluna A e na linha 1, ou seja, é a célula A1:

Para criar uma tabela, primeiro digite em cada célula a informação desejada. Por exemplo:

Em seguida, clique no botão Formatar como tabela e escolha o estilo de tabela que deseja.

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Fotos: Fernanda Gomes

Quando o estilo é escolhido, abre-se uma caixa de texto intitulada Formatar como Tabela com o questionamento: “Onde estão os dados da tabela?”.

Os itens que você digitou serão selecionados automaticamente, então é só clicar em OK. Para nomear as colunas, clique duas vezes em cima do nome Coluna e escreva o nome que representa as informações dela.

Observe que ao lado do título de cada coluna aparece uma seta. Clique nela e descubra as diferentes possibilidades de organização e seleção de dados. Anote suas descobertas e socialize-as com um colega.

Zubartez

Agora que você já sabe como construir uma tabela de dados, faça uma tabela sobre os colegas com dados como esporte favorito, idade, passatempo predileto, altura etc. Perceba que as possibilidades de uma planilha são infinitas. Feita a tabela, responda: Que informações você descobriu sobre os colegas por meio da pesquisa e organização dos dados?

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Registre no

caderno

Superando Desafios 1 (Saresp)

O gráfico abaixo mostra o número de livros comprados nos últimos anos pela Biblioteca Municipal de Chimbica da Serra. Alternativa a. 1000

866

800

718

600

457

2001

2002

532 Setup

400

422

807

741

296

200 0

1999

2000

2003

2004

2005

2006

Observando o gráfico, é possível afirmar que: a) Em 1999 houve maior compra de livros. b) No ano de 2003 foram adquiridos mais livros do que em 2004. c) Em 2006 foram comprados mais livros do que em 2005. d) A menor compra de livros ocorreu em 2006. 2 (Encceja) No ano de 2002, o filme "Homem-Aranha", segundo a revista Veja (05/2002, no 19), quebrou o recorde de bilheteria com a arrecadação de 115 milhões de dólares. Se a cotação do dólar em um determinado dia fosse R$ 2,70, a indústria cinematográfica americana arrecadaria, em reais, com esse filme: Alternativa c. a) 3,105 bilhões. b) 31,05 bilhões. c) 310,5 milhões. d) 3 105 milhões.

Editora Ática

Explorando  Aventura decimal Autor: Luzia Faraco Ramos Editora: Ática 120 páginas Paulo vai com seu Teo conhecer o pequeno lago, um lugar considerado mágico e encantador. Lá, o garoto encontra Sara, que pede ajuda para decifrar um misterioso cubo dourado. Juntos, aprendem sobre números mistos, frações, cálculos decimais, entre outros.

©2013 Brasil - Ministério da Educação

Um dia de compras A animação propõe uma atividade de compras em uma feira de frutas, verduras e legumes. Ao aluno é atribuída uma lista de compras que contém alguns itens que ele deverá comprar na feira. Porém, existem barracas que têm os mesmos itens com preços diferentes. Para que ao final das compras seja possível o aluno comprar um doce, à sua escolha, ele deverá comparar os preços e realizar as compras conforme solicitado na lista de compras que recebeu. Disponível em: . Acesso em: fev. 2015.

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Registre no

caderno

REsGATAnDO COnTEÚDOs

2 Mentalmente, faça as seguintes adições: a) 10 1 0,25 10,25 b) 12,89 1 20 32,89 c) 220,02 1 0,002

220,022

d) 4,5 1 0,35 4,85 e) 9,88 1 0,2 10,08 f) 2,22 1 0,78 3

3 O número 0,4 pode ser representado por: Alternativa c. 4 3 2 a) b) c) d) 5 100 5 5 8 4 A metade de um décimo pode ser escrita como: Alternativa b. a) 0,5 b) 0,05 c) 0,2 d) 0,01 5 Quantas moedas iguais à reproduzida a seguir são necessárias para trocar por uma cédula de 2 reais? © Banco Central do Brasil

a) 10 b) 5

Alternativa c.

c) 20 d) 15

6 No gráfico de setores a seguir, estão indicados os percentuais correspondentes a A, B, C e D. Qual desses percentuais poderá ser representado pela fração decimal 1 ? Alternativa d. 10 D 10%

A 15%

8 Quatrocentos inteiros e quarenta e um centésimos podem ser representados por: Alternativa d. a) 400,401 c) 4,41 b) 40,41 d) 400,41 9 Qual é a alternativa que contém uma sentença matemática verdadeira? Alternativa c. a) 2  2,001 c) 2,01  2,009 b) 2,02  2,1 d) 2,002  2,01 10 Cada pão estava sendo vendido na panificadora por R$ 0,25. Marcos comprou 3 pães e pagou com uma cédula de R$ 2,00. Quanto ele recebeu de troco? Alternativa d.

a) R$ 1,15 b) R$ 0,75 c) R$ 0,25 d) R$ 1,25

Jiri Hera/Shutterstock

1 O número 0,25 corresponde a quantos centésimos da unidade? Alternativa d. a) 2 b) 5 c) 20 d) 25

11 Qual das divisões indicadas nas alternativas tem o mesmo resultado da divisão 0,5 4 0,2? Alternativa a. a) 0,05 4 0,02 c) 0,05 4 0,2 b) 0,5 4 0,02 d) 0,05 4 0,002 12 Observando a sequência numérica, podemos afirmar que o número que deverá ser escrito no último quadro é: 549 921,4 5 499,214 54,99214 a) 1,5499214 b) 0,5499214

c) 0,05499214 d) 00,005499214

Setup

Alternativa b.

C 35%

13 No quadro está indicada a quantia que Rubens conseguiu juntar hoje.

a) 15% b) 40%

Fotos: © Banco Central do Brasil

B 40%

c) 35% d) 10%

7 Qual é a alternativa que indica a forma correta de ler o número 0,32? Alternativa c. a) Trinta e dois. b) Trinta e dois décimos. c) Trinta e dois centésimos. d) Trinta e dois milésimos.

Qual é a alternativa que indica corretamente esse valor? Alternativa b. a) R$ 46,00 b) R$ 0,46

c) R$ 4,60 d) R$ 0,75

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15 Uma cédula de R$ 50,00 será trocada pelo mesmo valor, mas apenas em moedas de R$  0,05, para ser utilizado como troco num supermercado. Ao todo, quantas serão as moedas? Alternativa c. a) 500

b) 750

c) 1 000

d) 2 000

16 Numa calculadora, Bruna digitou o número 10 000, então apertou a tecla de divisão e digitou, em seguida, o número 4 000. Apertou depois a tecla com o sinal de igual. Que número apareceu no visor da calculadora? Alternativa a.

4,7100

4,0710

0,5

0,05

0,050

4,710

0,2800

4,071

0,280

1,9

1,4

1,7

1,5

1,3

1,6 1,1

1,8

21 Indique a divisão e informe o número total de moedas necessário para trocar:

18 Responda: a) 1 unidade corresponde a quantos décimos? 10 b) 1 unidade corresponde a quantos centésimos? 100 c) 1 unidade corresponde a quantos milésimos? 1 000 19 A tabela a seguir contém 20 números escritos na forma decimal. Reproduza a tabela e pinte com a mesma cor os retângulos que têm os mesmos números:

246

0,500

1,2

17 Responda às questões a seguir. a) Qual é o número que se obtém diminuindo-se 1 décimo de 25,8? 25,7 b) Qual é o número que se obtém aumentando-se 1 centésimo a 99,99? 100 c) Adicionando-se 1 centésimo ao número 8,99, obtém-se um número inteiro? Sim, 9. d) Subtraindo-se 1 centésimo do número 44,01, obtém-se um número inteiro? Sim, 44. e) Adicionando-se 5 décimos a 5 centésimos, que número é obtido? 0,55

4,71

20 Provavelmente você já ouviu falar em quadrados mágicos com números naturais. O quadrado abaixo também é mágico, mas com uma pequena diferença: é formado por números decimais. Reproduza o quadrado e determine quais são os números que estão faltando, lembrando que, no quadrado mágico, a soma dos números que aparecem numa mesma linha é igual à soma dos que aparecem numa mesma diagonal ou numa mesma coluna. Dica: neste quadrado mágico, a soma é igual a 4,5.

Sonechka/Dreamstime.com

a) 2,5 b) 5 c) 25 d) 50

0,28

a)

por moedas de

500 moedas

b)

por moedas de

Fotos: © Banco Central do Brasil

14 Calculando-se o valor da expressão 9 4 (2,5 2 1), obtém-se: Alternativa c. a) um número maior que 10. b) um número menor que 4. c) um número entre 5 e 7. d) zero.

200 moedas

c)

por moedas de

40 moedas

Devem ser pintados com a mesma cor: 0,28; 0,2800 e 0,280 / 4,0710 e 4,071 / 4,71; 4,710 e 4,7100 / 0,5 e 0,500 / 0,05 e 0,050.

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APOEMA MATEMÁTICA 6

a

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Registre no

RESGATANDO CONTEÚDOS Alternativa b.

22 É o mesmo que 25%: a) 1 2 b) 1 4

c) 1 5 d) 1 8

23 O número 0,04 corresponde a:

Conceitos

Alternativa b.

c) 0,4% d) 0,04%

ruim 5%

regular 15%

ótimo 20% Ilustrações: Setup

a) 40% b) 4%

caderno

28 No trabalho de final de ano, o professor avaliou os 40 alunos em conceitos: ruim, regular, bom e ótimo, conforme percentuais apresentados no gráfico a seguir. Quantos alunos alcançaram o conceito ótimo? Alternativa b.

24 Calcular 23 de R$ 1.500,00 é o mesmo 100 que obter: Alternativa a. a) 23% de R$ 1.500,00. b) 2,23% de R$ 1.500,00. c) 0,23% de R$ 1.500,00. d) 230% de R$ 1.500,00.

bom 60%

a) 9

25 Observe o gráfico abaixo. D 10%

c) 6

A 15%

Esporte preferido

30

B 40%

É correto afirmar que a cor azul corresponde ao número decimal: Alternativa c. a) 0,4 c) 0,15 b) 0,35 d) 0,1 26 Aline tem em sua carteira uma cédula que corresponde a 10% de R$ 200,00. A cédula que Aline tem é a de: Alternativa d. c) R$ 10,00 d) R$ 20,00

27 Qual é a alternativa que indica o valor que está faltando na tabela? Alternativa a. Sexo

Quantidade

Porcentagem

masculino feminino total

16 ? 64

25% 75% 100% c) 12 d) 40

Número de alunos

25

a) R$ 2,00 b) R$ 5,00

d) 24

29 Uma pesquisa feita com alunos da escola sobre seu esporte preferido teve como resultado o seguinte gráfico:

C 35%

a) 48 b) 36

b) 8

25

20 15

15 12

10

10

12 8

10

5 0

futebol meninos

vôlei

9 6

basquete atletismo

5

tênis

Esporte meninas

Então, lembrando que cada aluno escolheu apenas um dos esportes, é correto afirmar que, nessa escola, participaram da pesquisa: a) 65 meninos e 47 meninas. b) 64 meninos e 48 meninas. c) 120 alunos ao todo. d) 125 alunos ao todo.

Alternativa a.

30 Calcule as seguintes porcentagens: a) 45% de 350 pães 157,5 pães b) 9% de R$ 9.000,00 R$ 810,00 c) 12% de 2 500 metros 300 metros d) 60% de 450 litros 270 litros

247 pom6_206_247_u6.indd 247

APOEMA Matemática 6

a

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UNIDADE 7

Grandezas e medidas

Ralfpoller/Dreamstime.com

Ao avaliarmos a quantidade de água em um reservatório, a velocidade de um automóvel numa rodovia, o tempo que levamos para dar uma volta na quadra esportiva, a superfície de um terreno ou mesmo a pequena massa de um alfinete, fazemos medições.

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APOEMA Matemática 6

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1 O que é maior: uma área de 2 000 cm2 ou 2 m2? 2 Qual é o volume de uma caixa de água cúbica cuja aresta mede 1 m? 3 Podemos utilizar um copo para medir a capacidade de uma jarra de água?

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APOEMA Matemática 6

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Capítulo 23

Resposta da página anterior: 1. 2 m2 2. 1 m3 3. Sim.

Ableimages/Exactostock/SuperStock/Glow Images

Unidades de comprimento e de massa Você já ouviu falar em trena eletrônica? A imagem ao lado representa uma pessoa medindo o comprimento de uma parede. Ela está utilizando um instrumento de medida que possibilita, por meio de raios laser, obter a medida de um ponto a outro.

crobo

t/Drea

mstim

e.com

régua

trena

Sergiy Telesh/Shutterstock

Plasti

Seregam/Shutterstock

Veja a seguir alguns exemplos de instrumentos utilizados para medir comprimento. Você conhece todos eles? Se todos medem o comprimento, quais podem ser as diferenças entre eles?

fita métrica

Wi

na

i Te Sh psutt utt inu ers n/ toc k

paquímetro

Conexões

Precisão

Objeto educacional digital

Quanto uma medida deve ser precisa? Essa pergunta tem, na verdade, uma resposta complicada, pois dificilmente vamos encontrar uma medida totalmente precisa. Se, com o auxílio de uma régua, você medir o comprimento de sua mesa, e outro colega também medir esse comprimento, há uma boa chance de que, por uma diferença pequena, os dois cheguem a resultados distintos. Mas por que isso acontece? Alguns instrumentos de medida que utilizamos podem ser mais precisos do que outros. Podemos dizer que a trena é mais precisa do que o metro de carpinteiro, e o paquímetro é mais preciso do que a trena. Na escola, normalmente utilizamos réguas, trenas e talvez até o metro de carpinteiro; o uso de um instrumento como o paquímetro acaba sendo mais restrito a laboratórios e empresas (que necessi­ tam de mais precisão em suas medições).

250 pom6_248_290_u7.indd 250

APOEMA Matemática 6

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Unidades de comprimento Léo Burgos

Utilizamos medidas de comprimento em diversas situações. Por exemplo, na placa ao lado está indicada a distância que falta para chegar a um local em que há oficina, posto de combustível, banheiro e restaurante: 500 metros. Ao longo da história foram utilizados diferentes tipos de unidades de medida. O ser humano usou partes do próprio corpo como instrumentos de medição, pois precisava desse recurso para construir moradias, trocar alimentos etc. Assim, um palmo representava a medida que ia da ponta do polegar até a ponta do dedo médio, com a mão espalmada; a polegada era a largura do polegar; e o pé era o comprimento de um pé. Com o desenvolvimento da humanidade, as unidades que já existiam foram aperfeiçoadas e surgiram novos padrões para problemas que necessitavam de medições com maior rigor, pois não era possível obter precisão com uma medida que usa partes do corpo como instrumento, afinal as pessoas têm tamanhos diferentes. Atualmente, a polegada ainda é usada em países como Inglaterra e nos Estados Unidos e equivale a 2,54 cm, e o pé, que é usado como medida de altitude de aeronaves, equivale a 30,48 cm. Outro exemplo de medida padronizada usada hoje em dia é o metro. Com essa unidade podemos medir a altura das pessoas, distâncias, o comprimento de uma sala etc. O metro é uma unidade de medida aceita internacionalmente dele derivam outras unidades como o quilômetro (km), o centímetro (cm) e o milímetro (mm). No quadro a seguir você pode observar as relações entre essas unidades. Quilômetro (km)

Metro (m)

Centímetro (cm)

Milímetro (mm)

1 000 m

1m

0,01 m

0,001 m

TRABALHO EM EQUIPE Em dupla faça o que se pede. Utilizem partes do próprio corpo como instrumento de medida e obtenham o comprimento e a largura: a) da sala de aula; b) da porta da sala; c) do tampo da mesa do professor; d) do tampo da carteira. Comparem as medidas obtidas com as demais duplas e descrevam as suas impressões sobre esse modo de medir. Respostas pessoais.

251 pom6_248_290_u7.indd 251

APOEMA Matemática 6

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Na tabela a seguir, aparecem algumas unidades de medida de comprimento.

Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos

Nome

Símbolo

Valor (em metros)

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1 000 m 100 m 10 m 1m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Responda às questões. a) Quantos metros correspondem a 1 decâmetro? 10 metros b) Uma medida de 2 hectômetros corresponde a quantos metros? 200 metros c) Qual é a unidade que representa a décima parte do metro? Decímetro. d) Qual é a unidade que representa a décima parte do centímetro? Milímetro. 2 O quadro a seguir foi elaborado para explicar como transformar uma unidade de comprimento em outra. 10

km

10

hm

10

10

dam

10

10

m

10

10

dm

10

10

cm

10

Se quisermos transformar uma medida de comprimento em uma unidade que está imediatamente à direita, devemos multiplicá-la por 10. mm

10

Transforme: a) 8,65 m em cm; 8,65 3 100 5 865; 865 cm b) 95,23 dm em m; 95,23  10 5 9,523; 9,523 m

 

Se quisermos transformar uma medida de comprimento em uma unidade que está imediatamente à esquerda, devemos dividi-la por 10. c) 2,3 km em dam; 2,3 3 100 5 230; 230 dam d) 2 450 mm em m. 2 450  1000 5 2,45; 2,45 m

3 Escolha, entre as unidades de medida indicadas, aquela que é a mais adequada para medir:

k

• (  ) metro x • ( ) centímetro • (  ) quilômetro

tte

• (  ) metro x • ( ) quilômetro

Ph

an

t/S

hu

Mikhail Kokhanchikov/ Dreamstime.com

• (  ) milímetro • (  ) centímetro

b) o comprimento de uma caneta.

rst oc

a) o comprimento de um rio, como o que aparece na fotografia:

252 pom6_248_290_u7.indd 252

APOEMA Matemática 6

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c) o comprimento da escada utilizada pelos bombeiros: • (  ) milímetro

x

• ( ) metro

• (  ) quilômetro • (  ) decâmetro • (  ) milímetro • (  ) metro x • ( ) centímetro

Diomedia

Waldomiro Neto

• (  ) quilômetro • (  ) centímetro

d) a largura de sua carteira:

4 Observe algumas unidades de medida de comprimento que são utilizadas: 1 dm 1 cm

Zubartez

1 mm

Responda: a) Quantos milímetros há em 1 centímetro? 10 milímetros b) Quantos centímetros há em 1 decímetro? 10 centímetros c) Quantos milímetros há em 1 decímetro? 100 milímetros 5 Quando dizemos que uma pessoa tem 1,85 m de altura, significa que ela tem 1 m e 85 cm de altura. Transforme em metros e centímetros as seguintes medidas: a) 2,05 m 2 metros e 5 centímetros b) 1,25 m 1 metro e 25 centímetros c) 1,93 m 1 metro e 93 centímetros

d) 2,01 m e) 1,76 m f) 1,54 m

2 metros e 1 centímetro 1 metro e 76 centímetros 1 metro e 54 centímetros

6 Resolva os problemas a seguir. a) A altura da porta da sala de aula é 2,10 m. Marcos, o diretor, tem 1,93 m de altura. Qual é a diferença, em centímetros, da altura da porta para a altura de Marcos? 210 2 193 5 17; 17 cm b) A largura da porta do item anterior é a metade da altura dela diminuída de 10 cm. Qual é a largura da porta em metros? 210 : 2 2 10 5 95; 95 cm 5 0,95 m c) Uma casa foi construída com dois andares. Ela tem altura total de 7,58 m. Se cada andar tiver a mesma altura, qual será essa medida? 7,58 : 2 5 3,79; 3,79 m d) Para instalação da internet em uma escola, foram comprados 25 m e 40 cm de cabos de rede a um custo de R$ 2,30 o metro. Quanto foi gasto em cabos para essa instalação? R$ 58,42 e) Um competidor de triatlo percorreu em uma competição 1 500 metros a nado, 40 km de bicicleta e 8,5 km correndo. Ao final da prova, quantos metros esse competidor percorreu? 50 000 metros

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Perímetros de figuras geométricas planas Waldomiro Neto

100 m

Como aquecimento, um treinador pediu a seus jogadores que dessem 10 voltas ao redor de um campo de futebol, mas, para que todos percorressem a mesma distância, orientou-os a correr em cima das 70 m linhas que margeiam o campo.

70 m

Observe a representação do campo de futebol e responda: Ao fim dessa primeira etapa do treinamento, quantos metros cada jogador terá percorrido?

100 m

Comprimento de uma volta: 100 m 1 100 m 1 70 m 1 70 m 5 340 m Distância percorrida pelos atletas: 10 3 340 m 5 3 400 m ou 3,4 km

  

A medida do contorno é denominada perímetro.

Exemplo 1: Obtenha o perímetro de um quadrado cujo lado mede 16,5 cm.

Resolução: Perímetro 5 4 3 16,5 cm 5 66 cm

Como podemos determinar o perímetro do quadrilátrero representado ao lado se a unidade de medida não é mesma para os lados que a compõem?

Resolução:

3 cm 0,25 dm

DAE

Exemplo 2:

0,032 m

Para resolver esse problema, precisamos converter todas as unidades em uma mesma unidade de medida. Neste exemplo, escolhemos o centímetro (cm) como unidade de medida; portanto, todas as grandezas serão convertidas para centímetro. Veja: 0,25 dm

0,25 ? 10 5 2,5; 2,5 cm

38 mm

38  10 5 3,8; 3,8 cm

0,032 m

0,032 ? 100 5 3,2; 3,2 cm

38 mm

Logo, o perímetro será: 3 cm 1 2,5 cm 1 3,8 cm 1 3,2 cm 5 12,5 cm Registre no

Trabalho em EQUIPE

caderno

Em grupo, com o auxílio de uma trena ou de uma fita métrica, obtenha o perímetro da sala de aula.

254

Professor, conduza esta atividade em grupos para que se possam confrontar os resultados. Uma sugestão: proponha a cada grupo que escolha um representante para também medir o perímetro da sala de aula utilizando como unidade o passo. Será interessante confrontar as respostas em passos com a medida feita com a trena. Isso valorizará a necessidade de termos uma unidade padrão de comprimento.

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APOEMA Matemática 6

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule o perímetro de cada quadrado ou retângulo a seguir.

a)

c) 3,9 cm

3,25 cm

Ilustrações: Setup

3,25 cm

7,2 cm

3,25 1 3,25 1 3,25 1 3,25 5 13; 13 cm 3,25 cm

3,9 cm

3,25 cm

4,8 cm

b)

4,8 cm

7,2 cm 7,2 1 3,9 1 7,2 1 3,9 5 22,2; 22,2 cm 5,3 cm

4,8 1 4,8 1 4,8 1 4,8 5 19,2; 19,2 cm

d) 4,8 cm

4,8 cm

4,8 cm

5,3 cm 4,8 1 5,3 1 4,8 1 5,3 5 20,2; 20,2 cm

4,8 cm

Eduardo Belmiro

2 Solicite a ajuda do professor para obter algumas medidas na sala de aula. a) Obtenha as medidas do comprimento e da largura da lousa. Resposta pessoal. b) Qual é o perímetro da lousa? Resposta pessoal. c) Obtenha as medidas da altura e da largura da porta da sala de aula. Resposta pessoal. d) Qual é o perímetro da porta? Resposta pessoal. Waldomiro Neto

3 A imagem representa uma quadra poliesportiva. Considere que o lado maior mede 27 m e o lado menor, 16 m. Calcule o perímetro dessa quadra.

27 1 16 1 27 1 16 5 86; 86 m.

4 Calcule o perímetro de cada triângulo.

a)

7 cm

7 cm 7 1 7 1 7 5 21; 21 cm

b)

3 cm

5 cm

3 1 5 1 4 5 12; 12 cm

4 cm 7 cm

5 Resolva os problemas a seguir. a) Ana desenhou no caderno um quadrado. Sabendo que o perímetro desse quadrado corresponde a 20,4 cm, qual é a medida de cada lado dele? 20,4 : 4 5 5,1; 5,1 cm b) A sala de aula retangular da turma de Pedro tem 10,52 m de comprimento por 7,34 m de largura. Qual é o perímetro da sala? 10,52 1 7,34 1 10,52 1 7,34 5 35,72; 35,72 m 2 km c) O pai de Fernando comprou uma grande área para plantar milho, conforme desenho e medidas 1 km que ele mesmo fez. Para cercar esse terreno, 1 040 m o pai de Fernando terá de comprar arame e palanques. Ao fazer a compra dos equipamentos 2 200 m necessários, o vendedor solicitou o perímetro do terreno. Determine-o. 2 km 5 2 000 m 1 km 5 1 000 m 1 040 1 2 200 1 2 000 1 1 000 5 6 240 m ou 6,24 km

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Fernando Favoretto/Criar Imagem

Unidades de massa Você conhece o instrumento ilustrado ao lado? A balança é um instrumento usado para avaliar a massa de um corpo. Assim como ocorreu com o metro (unidade determinada como padrão de medida de comprimento), também foi necessário o estabelecimento de uma unidade padrão de medida de massa. Essa unidade é o quilograma (kg). Existem outras unidades de medida, e as mais utilizadas entre elas são:

• grama (g) – é a milésima parte do quilograma, isto é: 1 g 5 0,001 kg;

• miligrama (mg) – é a milésima parte do grama, isto é: 1 mg 5 0,001 g.

Balança digital.

Importante! VV Além das unidades acima, também são muito utilizadas outras duas unidades de medida de massa: a

Essa unidade de massa é secundária e utilizada quando queremos avaliar grandes massas, por exemplo, cargas de caminhões.

1 arroba 5 14,69 kg Essa unidade de massa também é secundária e utilizada quando queremos avaliar massas de gado, como vaca e boi.

mina/Shutterstock

1 tonelada 5 1 000 kg

Zubartez

tonelada (t) e a arroba.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Indique as seguintes medidas em quilogramas: a) 9 t 9 000 kg b) 2,3 t 2 300 kg

c) 5 t 5 000 kg d) 8,4 t 8 400 kg

e) 50 t 50 000 kg f) 20 t 20 000 kg

2 As medidas de massa a seguir estão em quilogramas. Mude-as para toneladas. a) 2 500 kg 2,5 t b) 9 200 kg 9,2 t

c) 10 300 kg 10,3 t d) 1 500 kg 1,5 t

e) 10 500 kg 10,5 t f) 3 000 kg 3 t

3 Indique a unidade de medida de massa mais adequada para avaliar a massa em cada item a seguir. a) Um elefante adulto. • (  ) miligrama

x

• (  ) grama

• ( ) tonelada

b) Um cachorro. • ( ) tonelada x • ( ) quilograma c) Um comprimido. • (  ) tonelada

• ( ) arroba • ( ) miligrama • (  ) quilograma

x

• ( ) miligrama

4 Transforme em gramas. a) 2,5 kg 2 500 g b) 0,3 kg 300 g c) 2 500 mg 2,5 g

d) 1 t 1 000 000 g e) 10 kg 10 000 g f) 30 mg 0,03 g

5 As massas a seguir estão em gramas, transforme-as em quilogramas. a) 1 000 g 1 kg b) 700 g 0,7 kg c) 800 g 0,8 kg

d) 2 700 g 2,7 kg e) 350 g 0,35 kg f) 3 500 g 3,5 kg

6 Passe para quilogramas as massas dadas em arrobas, considerando que 1 arroba tem aproximadamente 15 kg. a) 35 arrobas 525 kg b) 20 arrobas 300 kg

c) 15 arrobas 225 kg d) 23 arrobas 345 kg

7 Resolva os problemas a seguir: a) Uma família é formada pelo casal e 2 filhos. Cada um deles come aproximadamente 250 gramas de pão por dia. No mês de novembro, qual foi o gasto total com pão sabendo-se que o quilo custa R$ 6,80? R$ 204,00 b) Uma baleia azul pode ter massa igual a 120 toneladas. Considere um golfinho com massa de 500 kg. Quantos golfinhos com esse massa são necessários para chegar a massa da baleia azul? 120 t 5 120 000 kg → 120 000 : 500 5 240; 240 golfinhos c) Um caminhão será carregado com 105 sacos de batata; cada saco tem 45 kg. Se o caminhão vazio tem massa igual a 2,8 toneladas, qual será a massa dele depois de carregado? 105 3 45 5 4 725; 4725 kg 5 4,725 t Massa do caminhão já carregado: 4,725 1 2,8 5 7,525; 7,525 t

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Capítulo 24

Unidades de área Luis Salvatore/Pulsar Imagens

Em nosso país existem muitas reservas ecológicas. São áreas imensas que precisam ser preservadas. Mesmo assim, a cada ano, ainda temos problemas ambientais gravíssimos causados pela devastação de grandes áreas.

Arquipélago de Anavilhanas, Parque Estadual do Rio Negro, AM.

Utilizando satélites e outros equipamentos sofisticados, hoje é possível localizar onde as agressões ao meio ambiente ocorrem. Em muitas áreas, a derrubada de árvores é feita para que o local sirva para a plantação de alimentos ou mesmo para a criação de gado. O problema é que algumas derrubadas são ilegais. Dr. Morley Read/Shutterstock

Os dados sobre os desmatamentos são constantemente atualizados. Assim, foi divulgado que, no período de agosto e setembro de 2014, apenas dois meses, a derrubada acumulada na Amazonia atingiu cerca de 838 quilômetros quadrados. Mas o que significa 1 quilômetro quadrado? Essa é uma medida de superfície. Para que você tenha uma ideia do que representa uma superfície com essa medida, imagine um quadrado em que a medida de seu lado corresponda a 1 km. A área desse quadrado é 1 quilômetro quadrado.

Área desmatada por meio de corte e queimada para cultivo. Floresta Amazônica, AM.

258 pom6_248_290_u7.indd 258

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Unidades de área

Ilustrações: Setup

O retângulo a seguir representa uma superfície plana. Considere que essa superfície corresponda à garagem de uma residência, que será revestida por lajotas. A empresa dá duas opções para esse revestimento: uma com lajotas em forma de retângulo, outra com lajotas em forma de quadrado.

1a opção:

2a opção:

U

V

Unidade de medida utilizada na 1a opção.

Unidade de medida utilizada na 2a opção.

Na primeira opção, a superfície retangular tem medida 15 U, isto é, são necessárias 15 lajotas do tamanho U para cobrir completamente a superfície. Já na segunda opção a superfície tem medida 30 V. Nesse caso, são necessárias 30 lajotas do tamanho V para cobri-la completamente. Note que os números que indicam as medidas da superfície exemplificada variam conforme a unidade utilizada para comparar as lajotas. Como ocorreu com a medida de comprimento, também na medida de superfície existe uma unidade de área padrão. Nesse caso, a unidade adotada no Sistema Internacional de Medidas é o metro quadrado, que indicamos por m2.

Dizemos que o quadrado cujos lados medem 1 m de comprimento tem 1 m2 de área.

1m

1m

Há situações em que a utilização do metro quadrado como unidade de medida não é recomendada. Por exemplo, para medir a superfície do território brasileiro, utilizamos o quilômetro quadrado. Já para medir a superfície de uma folha de papel empregamos o centímetro quadrado. Na tabela a seguir, mostramos os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado: Múltiplos da unidade

Unidade

Submúltiplos da unidade

quilômetro quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

1 000 000 m2

10 000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

Qual das unidades de área apresentadas no quadro você já conhecia? Professor, exponha as respostas em um quadro e discuta a necessidade das unidades e o fato de que, de formas diferentes, diversas unidades podem expressar uma mesma superfície.

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APOEMA Matemática 6

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Note que cada unidade de área é igual a 100 vezes a unidade imediatamente inferior ou, de forma equivalente, cada unidade de área é igual a 1 centésimo da unidade imediatamente superior. É importante compreender que, na prática, não utilizamos todas essas unidades. As mais usadas são: o quilômetro quadrado, o metro quadrado, o centímetro quadrado e o milímetro quadrado.

Exemplo 1: Transforme a medida 25,2 km2 em m2.

Resolução: Para passar da unidade km2 para qualquer outra menor, conforme a tabela anterior, devemos: multiplicá-la por 100 para chegar a hm2, novamente por 100 para chegar a dam2 e novamente por 100 para transformá-la em m2, isto é: 25,2 km2 5 25,2 3 100 hm2 5 2 520 hm2 25,2 km2 5 2 520 3 100 dam2 5 252 000 dam2 25,2 km2 5 252 000 3 100 m2 5 25 200 000 dam2 Portanto, 25,2 km2 5 25 200 000 m2

Exemplo 2: Transforme a medida 345,8 cm2 em m2.

Resolução: Para passar da unidade cm2 para qualquer outra maior, conforme a tabela anterior, devemos dividi-la por 100 para chegar a dm2 e novamente por 100 para chegar a m2: 345,8 cm2 5 345,8 : 100 dm2 5 3,458 dm2 345,8 cm2 5 3,458 : 100 m2 5 0,03458 m2 Portanto, 345,8 cm2 5 0,03458 m2

Importante! VV Existem, além das unidades decimais, as chamadas unidades agrárias. Elas são empregadas para medir

grandes extensões de terra. As mais usadas são o hectare e o alqueire.

Relacionando hectare com metro quadrado, temos: 1 hectare 5 1 ha 5 10 000 m2 5 1 hm2 (um hectômetro quadrado) Para você ter uma ideia dessa área, a medida do lado maior de um campo de futebol é aproximadamente 100 metros. Imagine então que temos um quadrado, conforme a figura ao lado, que mede 100 m por 100 m. A área desse quadrado é 1 hectare.

iro

m ldo

to

Ne

Wa

Outra medida de área é o alqueire paulista: 1 alqueire 5 2,42 ha 5 24 200 m2 Observe ainda que, em algumas regiões do país, utiliza-se o alqueire como 48 400 m2 (alqueire mineiro e goiano). Além disso, há o alqueire do Norte, que corresponde a 27 225 m2 (utilizado na Região Norte do país).

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

O quadro a seguir foi elaborado para ilustrar uma maneira de como transformar uma unidade de superfície em outra. 100

km2

100

hm2

100

100

dam2

100

100

m2

100

100

dm2

100

100

cm2

100

mm2

100

1 O retângulo a seguir está dividido em quadrados de 0,5 cm de medida de lado.

0,5 cm

Responda às questões. a) Quais são as medidas dos lados desse retângulo? 2 cm e 3 cm b) O quadrado colorido corresponde a quantos centímetros qua0,25 cm² drados de medida de área? c) Quantos são os quadrados em que o retângulo está dividido?

0,5 cm

4 3 6 5 24; 24 quadrados

d) Quantos centímetros quadrados tem a área desse retângulo? 24 3 0,25. 6 cm² 2 Transforme em metros quadrados as seguintes áreas: a) 4 km2

b) 2 570 cm2

c) 5 dam2

0,2570 m²

4 000 000 m²

500 m²

d) 200 cm2

e) 6 km2

0,02 m²

6 000 000 m²

f) 15 170 cm2 1,5170 m²

a) 20 000 m2 2 hectares

d) 4 alqueires paulistas

b) 24 200 m

e) 10 alqueires paulistas 24,2 hectares

2

2,42 hectares

c) 100 000 m2 10 hectares

9,68 hectares

f) 200 alqueires paulistas

484 hectares

4 Obtenha em metros quadrados as seguintes áreas: a) 896 dm2 8,96 m²

b) 10 574 cm2 1,0574 m²

1 hectare

100 m 1 hectare  10 000 m2

c) 0,96 dam2 d) 102 400 mm2 e) 5 km2 96 m²

0,1024 m²

100 m

Ilustrações: Setup

3 Considerando que 1 hectare corresponde a 10 000 m2, e 1 alqueire paulista a 24 200 m², transforme em hectares as áreas a seguir:

5 000 000 m²

f) 950 hm2 9 500 000 m²

5 Resolva os seguintes problemas: a) O professor de Matemática do 6o ano teve uma ideia para que a turma toda pudesse avaliar o que significa uma área de 1 metro quadrado. Com o auxílio de uma trena, ele desenhou, no piso da sala de aula, um quadrado de 1 metro de medida de lado. Então disse: "O quadrado tem 1 metro quadrado de área. Represente com papel (pode ser folha de jornal) um quadrado com área de 1 metro quadrado". Faça o que ele pediu. Resposta prática. b) A casa de Cristina tem 245 metros quadrados. Ela foi colocada à venda por R$ 2.410,00 o metro quadrado. Qual é o valor de venda da casa de Cristina? R$ 590.450,00 c) O sítio de Carla fica no interior de Goiás e tem uma área de 37 alqueires goianos. Ela resolveu vender o sítio para uma pessoa que mora no estado de São Paulo. Como o alqueire goiano corresponde a 48 400 m2 e o alqueire paulista corresponde a 24 200 m2, Carla precisou transformar a medida da área para alqueire paulista. Determine essa 37 3 48 400 5 1 790 800; 1 790 800 m² medida. (alqueires goianos) 1 790 800 : 24 200 5 74; 74 alqueires paulistas

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d) A área do estado do Tocantins é de 277 621,85 km2, enquanto o Brasil tem área de 8 514 876,6 km2. É correto afirmar que, no Brasil, cabe aproximadamente 31 vezes o estado do Tocantins? Sim, é correto, pois 8 514 876,6: 277 621,85  30,7 aproximadamente 31 vezes.

4

Brasil – Divisão política RR

5

6

8

9

AP

EQUADOR

AM

PA

MA

7

CE

PI

RN PB PE

AC

AL

TO

RO

SE MT

BA

GO

DF

OCEANO MS SP CO DE TRÓPI

ÓRNIO CAPRIC

ATLÂNTICO

ES RJ

N

PR

OCEANO

O

SC

PACÍFICO

L

RS

S 0

Tocantins

560

50°O

1020 km

© DAE/Simone Soares de Andrade

MG

Fonte: Atlas Geográfico Escolar, 5. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2009.

DAE

6 Considerando que cada quadrado da malha quadriculada mede 1 cm², determine a medida de área das figuras a seguir. 9 cm2, 14cm2, 10,5 cm2

Registre no

tRaBalHo eM eQuIpe

caderno

Esta atividade deve ser feita em um grupo de sete pessoas. No transporte público ou em grandes eventos, a lotação máxima estimada é de 7 pessoas por m². Vocês conseguem imaginar a sensação que essa lotação pode causar? Utilizando um instrumento de medida adequado, desenhem com giz um metro quadrado. Vejam com o professor o local mais adequado para desenhá­lo. Em seguida, comprovem a lotação máxima, ou seja, posicionem­se dentro desse metro quadrado. Depois disso, desenhem 2 metros quadrados com auxílio do professor e convidem mais 7 amigos para ocupar esse espaço. Pela estimativa de lotação máxima, quantos metros quadrados seriam ne­ cessários para contemplar todos os alunos de sua classe? Será que essa também deve ser a lotação máxima para os elevadores? O que mais pode estar envolvido na lotação máxima em um elevador? Após sua vivência, descreva por meio de um texto sua opinião sobre a estimativa de lotação utili­ zada nos transportes públicos.

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Localizador numerado, esse número indicará qual aplicar nos mapas.

Conexões

1

2

3

Luxemburgo

Apenas para fazermos uma comparação, a cidade de Belo Horizonte, capital de Minas Gerais, ocupa uma área de 330 km2. Em outras palavras, o território de Luxem­ burgo corresponde a aproximadamente oito vezes o território ocupado pela capital mineira. Fonte: Atlas Geográfico Escolar, 5. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2009.

6º L

4 50º N

6º 20’ L

5

© DAE/Simone Soares de Andrade

Esta curiosidade envolve áreas de países. Você sabia que um dos menores países do mundo é Luxemburgo? Ele fica na Europa e faz divisa com Bélgica, França e Ale­ manha. Para se ter uma ideia do tamanho desse país, sai­ ba que sua área é de aproximadamente 2 586 km2.

6

BÉLGICA

ALEMANHA

LUXEMBURGO N 7 N 49º 40’

Capital

8

9

Luxemburgo

O

L S

FRANÇA

0

11

22 km

Áreas de figuras geométricas planas A área de uma figura geométrica plana corresponde à medida da superfície limitada pela figura plana. Assim, a área de um retângulo é a medida da superfície limitada por seus quatro lados. A seguir, você verá que é possível calcular a área do retângulo e do quadrado se conhecermos as medidas de seus lados. Área do retângulo Vamos denominar a medida do maior lado de um retângulo de comprimento e a do menor lado, largura. A área de um retângulo pode ser obtida multiplicando as medidas do comprimento pela largura correspondente. Área 5 comprimento 3 largura

largura

comprimento

     

Exemplo 1: Vamos considerar um retângulo de comprimento 7 cm e largura 5 cm, como mostrado na figura a seguir: Ilustrações: Setup

quadrado de 1 cm2 de área

O retângulo foi dividido em quadrados cujos lados medem 1 cm de comprimento. Assim, podemos dizer que: Área do retângulo 5 5 (7 3 5) 3 1 cm2 5 5 (7 cm) 3 (5 cm) 5 35 cm2

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Área do quadrado

Ilustrações: Setup

Um quadrado é um retângulo cujos lados têm a mesma medida.

  

A área de um quadrado pode ser obtida multiplicando-se a medida do lado por ela mesma, isto é, "lado vezes lado". Área 5 lado 3 lado ou Área = (lado)2

lado

lado

     

Exemplo 2: quadrado de 1 cm2 de área

Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 6 cm.

Resolução: O quadrado foi dividido em quadrados menores. Vamos supor que cada lado desses quadrados meça 1 cm de comprimento. Assim, podemos dizer que: Área do quadrado 5 (6 3 6) ? 1 cm2 5 5 (6 cm) ? (6 cm) 5 36 cm2

Exemplo 3: Beatriz quer trocar o revestimento do chão da sala, que mede 4 m de largura por 6 m de comprimento. A lajota que escolheu é quadrada e tem 25 cm de lado. Quantas lajotas serão necessárias para revestir o piso da sala?

Importante! VV Se as medidas dos lados de um quadrado ou de

um retângulo não são inteiras, para obter as áreas correspondentes, multiplicamos essas medidas. Assim, a área será indicada pelo produto das medidas, sempre na mesma unidade.

Resolução: Área da lajota 5 25 cm ? 25 cm 5 625 cm² Área da sala 5 4 m ? 6 m 5 24 m² Área da sala em cm²: 24 m² ? 10 000 5 240 000 cm² Quantidade de lajotas: 240 000 cm²  625 cm² 5 384 lajotas

Exemplo 4: A área do retângulo ao lado é igual a 28 cm2. A diagonal está dividindo o retângulo em dois triângulos de mesmo tamanho. Determine a área de cada um desses triângulos. Resolução: Ao traçarmos a diagonal de um retângulo, determinamos dois triângulos com mesma medida de superfície, ou seja, a mesma área; logo, a área do triângulo é 28 cm² : 2 5 14 cm².

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 cm

1 Considere o retângulo dividido em quadrados cujos lados medem 1 cm.

1 cm



a) Em quantos quadrados de lado 1 cm o retângulo está dividido? b) Qual é a área de cada um desses quadrados? 1 cm² c) Qual é a área do retângulo em centímetros quadrados? 15 cm²

15 quadrados

2 Considere os retângulos 1 e 2 a seguir que foram divididos em quadrados de lados que medem 1 cm.

Retângulo 1

Retângulo 2

Determine: a) a área do retângulo 1; 24 cm² b) a área do retângulo 2. 54 cm² c) a área total da figura. 78 cm² 3 A seguir estão representados 3 quadrados. Cada um está dividido em quadrados menores. Considere que cada lado desses quadrados menores mede 1 cm. Ilustrações: DAE

Professor: questione os alunos sobre um possível padrão das áreas da sequência formada pelos quadrados I, II e III. Qual seria a área do quadrado IV dessa sequência? Quadrado I

Quadrado II

Quadrado III

a) Escreva as medidas dos lados do quadrado I, II e III. b) Determine as áreas dos quadrados I, II e III.

2, 3 e 4 cm de lado, respectivamente

4 cm² ; 9 cm² ; 16 cm², respectivamente

4 Calcule a área das figuras em cada item a seguir: a) retângulo cujos lados medem 20 cm por 10 cm; b) quadrado cujos lados medem 32 cm;

1 024 cm²

c) retângulo cujos lados medem 2,8 cm por 4,5 cm; d) quadrado cujos lados medem 9,2 cm.

200 cm²

12,6 cm²

84,64 cm²

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2,5 cm

2,5 cm

A

2,5 cm

Ilustrações: DAE

5 Considere os quadrados A e C e os retângulos B e D a seguir. Conforme as medidas indicadas, determine a área dessas figuras geométricas planas.

2,9 cm B

2,5 cm

C 2,5 cm 6,25 cm²

6,6 cm 16,5 cm² 2,9 cm

2,9 cm

2,2 cm C

2,5 cm

2,9 cm

D B 4,3 cm 8,41cm²

2,2 cm

9,46 cm²

6,6 cm

6 Resolva os seguintes problemas: D

4,3 cm

a) Um campo de futebol retangular tem 100 metros de comprimento e 70 metros de largura. Uma grama especial será plantada nesse campo, e o metro quadrado dela custa R$ 9,50. Qual é o custo total da grama necessária para cobrir o campo? R$ 66.500,00

b) Na escola onde Marta estuda será construída uma quadra de basquete retangular que terá 28 metros de comprimento por 15 metros de largura. Um piso especial será utilizado para revesti-la. Qual é a área total dessa quadra? 420 m² c) Uma casa será construída num terreno retangular de 25 metros de comprimento por 12 metros de largura. Considerando-se que a área da casa será de 86,50 metros quadrados, qual será a área livre do terreno? 213,5 m² d) A figura abaixo representa o piso de uma casa. Nele serão colocadas, como indicado, lajotas quadradas de 95 cm de medida de lado. Qual é a área total do piso? 135 375 cm²

Professor, solicite aos alunos que obtenham essa área em metros quadrados (13,5375 m2)

e) A janela retangular do apartamento em que Mauro mora tem 4 partes em vidro do mesmo tamanho. Cada parte mede 25 cm por 72 cm. Determine, sem contar as divisões, quantos metros quadrados de vidro são necessários para essa janela. 0,72 m² de vidro

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Capítulo Capítulo 25 X

Andreia, muito interessada em peixes, resolveu fazer uma pesquisa sobre aquários, pois queria montar um em sua casa. Consultou sites e obteve, de determinada empresa, informações sobre dois tipos de aquário.

Zubartez

Unidades detítulo volume Título título título e de capacidade • Aquário pequeno em forma de cubo Medidas: 25 cm 3 25 cm 3 25 cm Capacidade: 15 litros

• Aquário maior em forma de paralelepípedo Medidas: 35 cm 3 28 cm 3 30 cm Capacidade: 27 litros Ela observou então que, além de se preocupar com a capacidade dos aquários, também precisava considerar o espaço que cada um ocuparia.

Unidades de volume Para medir o espaço que ocupa determinado objeto, utilizamos unidades de volume. Vimos que a base da medida do comprimento é o metro, e a base da medida da área é o metro quadrado. Agora utilizaremos o metro cúbico como base para as medidas do volume ocupado por um corpo.

DAE

Volume é a medida que indica espaço ocupado por um corpo. Segundo o Sistema Internacional de Medidas, a unidade-padrão para medida de volume é o metro cúbico (m³). Essa unidade de volume corresponde a um espaço limitado por um cubo de aresta que mede 1 m.

Dizemos que o cubo de aresta que mede 1 m de comprimento tem 1 m3 de volume.

1m 1m 1m

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APOEMA Matemática 6

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Na tabela a seguir estão os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico. Múltiplos da unidade

Unidade

Submúltiplos da unidade

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

1 000 000 000 m3

1 000 000 m3

1 000 m3

1 m3

0,001 m3

0,000001 m3

0,000000001 m3

Note que, conforme a tabela acima, cada unidade de volume é igual a 1 000 vezes a unidade imediatamente inferior, ou, de forma equivalente, cada unidade de volume é igual a 1 milésimo da unidade imediatamente superior. É importante compreender que, na prática, não utilizamos todas essas unidades. As mais usadas são: metro cúbico, decímetro cúbico, centímetro cúbico e milímetro cúbico. Analise os dois exemplos que relacionam unidades de medidas de volumes.

Exemplo 1: Transforme a medida 125,2 m3 em cm3. Resolução: Para passar da unidade m3 para qualquer outra menor, conforme a tabela acima, devemos multiplicar por 1 000, para chegar a dm3, e novamente por 1 000, para chegar a cm3, isto é: 125,2 m3 5 125,2 3 1 000 dm3 125,2 m3 5 125 200 dm3 5 125 200 3 1 000 cm3 125,2 m3 5 125 200 000 cm3 Outro procedimento é observar que 1 m 5 100 cm. Assim, temos: 125,2 m3 5 125,2 3 (1 m 3 1 m 3 1 m) 125,2 m3 5 125,2 3 (100 cm 3 100 cm 3 100 cm) 125,2 m3 5 125,2 3 1 000 000 cm3 125,2 m3 5 125 200 000 cm3

Exemplo 2: Transforme a medida 4 634 500 mm3 em m3. Resolução: Para passar da unidade mm3 para qualquer outra maior, conforme a tabela acima, dividimos por 1 000, para chegar a cm3, novamente por 1 000, para chegar a dm3, e novamente por 1 000, para chegar a m3: 4 634 500 mm3 5 4 634 500 mm3 : 1 000 5 4 634,5 cm3 4 634 500 mm3 5 4 634,5 cm3 : 1 000 5 4,6345 dm3 4 634 500 mm3 5 4,6345 dm3 : 1 000 5 0,0046345 m3 Portanto, 4 634 500 mm3 5 0,0046345 m3 Outro procedimento é observar que 1 mm 5 0,001 m. Dessa forma, temos: 4 634 500 mm3 5 4 634 500 3 (1 mm 3 1 mm 3 1 mm) 4 634 500 mm3 5 4 634 500 3 (0,001 m 3 0,001 m 3 0,001 m) 4 634 500 mm3 5 4 634 500 3 0,000000001 m3 4 634 500 mm3 5 0,004634500 m3

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Registre no

1 Considere que o cubo colorido ao lado é formado por cubos menores, de mesmo tamanho. Cada cubo menor tem 1 cm de medida de aresta. Responda: a) Qual é o volume, em centímetros cúbicos, de um dos cubos menores? 1 cm³ b) Ao todo, quantos são os cubos menores que formam o cubo maior? 125 cubos menores

Eduardo Belmiro

caderno

AGORA É COM VOCÊ

c) Qual é o volume desse cubo maior em centímetros cúbicos? 125 cm³ 2 Transforme: a) 1 000 dm3 em cm3

1 000 000 cm ³

d) 2 500 m3 em cm3 2 500 000 000 cm³

b) 3 000 dm3 em m3 3 m³

e) 810 000 cm3 em m3 0,81 m³

c) 0,004 m3 em dm3 4 dm³

f) 0,006 m3 em mm3 6 000 000 mm³

3 A figura a seguir é formada por 8 cubos, e cada cubo tem 4 cm3 de volume.

a) Determine o volume formado por 4 desses cubos. 16 cm³ b) Qual é o volume dos 8 cubos juntos? 32 cm³ 4 A figura a seguir representa o empilhamento de 9 cubos, cada um deles com 2,9 cm3 de volume. Qual é o volume total ocupado pelos 9 cubos? 26,1 cm³

5 Resolva os problemas a seguir:

Ilustrações: Setup

a) O volume do cubo maior, mostrado a seguir, é igual a 135 cm3. Ele foi construído pelo empilhamento de cubos menores e iguais. Qual é o volume de cada um dos cubos menores? 5 cm³

b) Qual aquário ocupa espaço maior: um de 100 dm3 ou um de 0,2 m3? 0,2 m3, pois 100 dm3 5 0,1 m³

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Volumes do cubo e do paralelepípedo O volume de uma figura geométrica não plana corresponde à medida do espaço limitado por ela. Assim, o volume de um paralelepípedo é a medida do espaço que ele ocupa. Vamos observar, a seguir, que é possível calcular o volume de um paralelepípedo e de um cubo conhecendo-se as medidas de suas arestas. Volume de um paralelepípedo As medidas das arestas de um paralelepípedo são assim denominadas: comprimento, largura e altura. altura

comprimento

largura

O volume de um paralelepípedo pode ser obtido multiplicando-se a medida do comprimento pelas medidas correspondentes à largura e à altura. Volume do paralelepípedo 5 comprimento 3 largura 3 altura

Exemplo: Considere um paralelepípedo com 7 cm de comprimento, 5 cm de largura e 3 cm de altura, como mostra a figura ao lado. Qual é o seu volume? O paralelepípedo foi dividido em cubos cujas arestas medem 1 cm de comprimento. Assim, podemos dizer que: Volume do paralelepípedo 5 (7 3 5 3 3) 3 1 cm³

Ilustrações: Setup

Resolução:

Volume do paralelepípedo 5 105 3 1 cm³ Volume do paralelepípedo 5 105 cm³ Outra maneira: Volume do paralelepípedo = 7 cm 3 5 cm 3 3 cm Volume do paralelepípedo = 105 cm³ Volume do cubo Um cubo é um paralelepípedo em que as medidas do comprimento, da largura e da altura são iguais. Utilizamos a denominação "medida da aresta do cubo" para indicar essas medidas.

aresta

aresta

O volume de um cubo é obtido pelo produto de três fatores iguais, correspondentes à medida de sua aresta.

aresta

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Exemplo 1: Cristiane possui 125 cubos pequenos e quer montar um cubo maior utilizando os 125 cubos. Quantos cubos devem compor a aresta do cubo maior? Para construirmos o cubo a partir de 125 cubos menores devemos dispor uma mesma quantidade deles ao longo do comprimento, da largura e da altura. Como 125 5 5³ 5 5 3 5 3 5, ao longo de cada aresta serão dispostos 5 cubos menores. A seguir, veremos como podemos calcular o volume de um cubo quando conhecemos a medida de sua aresta.

Exemplo 2: Calcule o volume de um cubo cuja aresta mede 6 cm.

Resolução: O cubo foi dividido em cubos menores, cujas arestas medem 1 cm de comprimento. Assim, podemos dizer que: Setup

Volume do cubo 5 (6 3 6 3 6) 3 1 cm3 5 216 cm3 ou Volume do cubo 5 (6 cm) 3 (6 cm) 3 (6 cm) 5 216 cm3

Importante! VV Para obter o volume de um cubo ou de um

paralelepípedo com medidas de arestas não inteiras, basta multiplicar essas arestas. Assim, o volume será indicado pelo produto dessas medidas, sempre na mesma unidade.

Determine o volume dos dois aquários mencionados no começo deste capítulo. Resolução:

Zubartez

Exemplo 3:

Aquário pequeno em forma de cubo Medidas: 25 cm 3 25 cm 3 25 cm Volume 5 25 cm 3 25 cm 3 25 cm Volume 5 15 625 cm3 Aquário maior em forma de paralelepípedo Medidas: 35 cm 3 28 cm 3 30 cm Volume 5 35 cm 3 28 cm 3 30 cm Volume 5 29 400 cm3

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

a) as medidas do comprimento, da largura e da altura do paralelepípedo; 3 cm, 2 cm e 2 cm, respectivamente b) o volume do paralelepípedo. 12 cm³ 2 Os três cubos representados a seguir têm arestas que medem, respectivamente, 2 cm, 2,5 cm e 3 cm. Determine o volume de cada cubo.

5 Em algumas calçadas de cidades brasileiras é comum a utilização de blocos de concreto. Considerando que um bloco tem 20 cm de comprimento, 12 cm de largura e 7 cm de altura, determine seu volume. 1 680 cm³ Fernando Favoretto

1 Alguns blocos em forma de cubo foram empilhados para formar o paralelepípedo representado a seguir. Considerando que a aresta de cada cubo mede 1 cm, determine:

6 O paralelepípedo desenhado a seguir tem as medidas dadas em decímetros.

8 cm³, 15,625 cm³, 27 cm³, respectivamente

A

6 dm

Ilustrações: Setup

C

B

2 dm

3 A tabela a seguir indica as medidas de dois paralelepípedos. Paralelepípedo

Comprimento (cm)

Largura (cm)

Altura (cm)

A

4,5

3,5

2,5

B

4,6

3,4

2,6

Determine o volume dos paralelepípeA: 39,375 cm³ dos. Paralelepípedo Paralelepípedo B: 40,664 cm³

Zubartez

4 Observe as dimensões do aquário de vidro representado a seguir. Determine, em metros cúbicos, o volume desse aquário. 10,8 m³

2,7 m

Professor, comente com os alunos que e ss a m e d i d a é aproximada, p o i s o b lo co contém, geralmente, irregularidades.

1,5 dm

a) Obtenha o volume desse paralelepípedo em decímetros cúbicos. 18 dm³ b) Transforme o volume em metros cúbicos. 0,018 m³ 7 Resolva os problemas a seguir: a) Uma caixa de leite tem 10 cm de comprimento, 7 cm de largura e 16 cm de altura. As caixas desse tamanho são embaladas em caixas maiores, que podem conter 6 caixas de leite, em pé, formando duas filas, como sugere a figura a seguir. Determine o volume da caixa maior, utilizada para embalar os 6 pacotes de leite. 6 720 cm³ Professor, comente com os alunos que essa medida deverá ser um pouco maior observando a espessura do papelão da caixa.

b) Observe as medidas de sua sala de aula e determine o volume interno dela.

1m

Resposta pessoal.

4m

272 pom6_248_290_u7.indd 272

APOEMA Matemática 6

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Unidades de capacidade Fernando Favoretto/Criar Imagem

Ao encher uma piscina, a água ocupa o espaço interno. Para determinar a quantidade de água que cabe nela, precisamos calcular sua capacidade. Para obter a capacidade de um recipiente, por exemplo, uma piscina ou uma caixa-d'água, utilizamos como unidade o litro, seus múltiplos e submúltiplos. O litro (L) é a capacidade de um cubo que tem como medida de aresta 1 dm, isto é, a capacidade de 1 L corresponde ao volume de 1 dm3. Considerando que 1 dm corresponde a 10 cm, para compreender a relação anterior, imagine uma caixa cúbica cuja aresta mede 10 cm (1 dm). Dentro dessa caixa, cabe 1 litro. DAE

10 cm

Volume: 1 dm3 5 1 000 cm3 Capacidade:1 L

Uma caixa conhecida que tem a capacidade de 1 litro é a caixa de leite. Apesar de não ter o formato de um cubo, o volume dela é equivalente a aproximadamente 1 dm³. Observe, na tabela a seguir, os múltiplos e os submúltiplos do litro como medida de capacidade: Múltiplos da unidade

Quilolitro kL 1 000 L

Hectolitro hL 100 L

Unidade

Decalitro daL 10 L

Litro L 1L

Submúltiplos da unidade

Decilitro dL 0,1 L

Centilitro cL 0,01 L

Mililitro mL 0,001 L

Importante! VV O litro e o mililitro são as unidades de medida de capacidade mais utilizadas. Para

fazer as transformações entre as unidades, procede-se de maneira semelhante às transformações de medidas de comprimento.

Quantos litros de água cabem numa caixa-d'água de volume interno correspondente a 1 m3?

Resolução: Como o volume de 1 dm3 corresponde a 1 L, devemos descobrir quantos decímetros cúbicos correspondem a 1 m3, isto é: 1 m3 5 1 000 dm3 Portanto, a capacidade da caixa-d'água é de 1 000 L.

Fernando Favoretto/Criar Imagem

Exemplo:

273 pom6_248_290_u7.indd 273

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Registre no

caderno

aGoRa É CoM VoCÊ 1 Transforme as medidas em litros, conforme tabela apresentada anteriormente. a) 10 kL 10 000 Lb) 1 500 mL 1,5 L c) 300 cL 3 L

d) 45 hL 4 500 L e) 24 daL 240 L f) 2,45 dL 0,245 L

2 Considere os volumes internos de alguns recipientes e informe, em litros, qual é a capacidade correspondente a eles. a) 2,5 m3 2 500 L b) 28 m3 28 000 L c) 25 dm3 25 L

d) 4 800 cm3 4,8 L

e) 0,8 m3 800 L

f) 230 dm3 230 L

Eduardo Belmiro

3 A conta de água nas residências vem em metros cúbicos. Considerando que 1 metro cúbico corresponde a 1 000 litros de capacidade, quantos litros de água foram consumidos numa residência cuja conta marcou 17 metros cúbicos em um mês? 17 000 litros

4 Em relação ao exercício anterior, quantas caixas de 1 000 litros cheias correspondem ao gasto mensal da residência? 25 caixas cheias

a) Alguns refrigerantes são vendidos em embalagens plásticas que contêm 12 garrafas PET. Considerando que cada garrafa tem 600 mL de refrigerante, quantos litros há em uma dessas embalagens? 7,2 L b) Uma piscina tem 1,5 m de profundidade, 10 m de comprimento e 5 m de largura. Quantos litros de água são necessários para encher completamente a piscina? Volume da piscina 5 75 m³ → 75 000 L c) Uma garrafa de 2 litros de refrigerante enche completamente 16 copos plásticos. Determine a capacidade de cada copo em mililitros. O copo tem uma capacidade de 125 mL.

Eduardo Belmiro

5 Resolva os problemas a seguir:

274 pom6_248_290_u7.indd 274

APOEMA MATEMÁTICA 6

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Capítulo 26

Dia

Hora

Minutos

Segundos

segunda-feira

1

30

20

terça-feira

1

28

20

quarta-feira

1

31

01

quinta-feira

1

35

26

sexta-feira

1

40

54

iro om Wa ld

Pedro é um ciclista profissional, e treina percorrendo um trajeto de 45 km por dia, ou seja, percorre 45 000 metros diariamente. Para acompanhar melhor a marcação de seu tempo ao final do percurso, Pedro organizou a seguinte tabela:

Ne to

Medida de tempo

Por quanto tempo Pedro treinou nessa semana? Para responder a essa pergunta será necessário realizar algumas transformações entre as unidades medidas de tempo. A hora, unidade de medida de tempo, também tem subunidades: o minuto e o segundo, de tal forma que:

• 1 hora corresponde a 60 minutos. Representamos por: 1 h 5 60 min

• 1 minuto corresponde a 60 segundos. Representamos por: 1 min 5 60 s

• 1 hora

= 60 minutos (1  60) = 3 600 segundos (1  60  60).

Agora podemos responder à pergunta acima, acrescentando uma linha à tabela. Dia

Hora

Minutos

Segundos

segunda-feira

1

30

20

terça-feira

1

28

20

quarta-feira

1

31

01

quinta-feira

1

35

26

sexta-feira

1

40

54

Total

5

164

121

Temos que 121 segundos é igual a dois minutos e 1 segundo. 121  60 5 2 e resta 1, logo: Total

5

166

1

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E 166 minutos é igual a 2 horas e 46 minutos. 166  60 5 2 e resta 46, logo: Total

7

46

1

Pedro treinou 7 horas, 46 minutos e 1 segundo nessa semana. Algumas vezes é preciso operar com as medidas de tempo e até fazer transformações de unidades. Observe atentamente os exemplos a seguir:

Exemplo 1: Quantos minutos há em 3,5 horas?

Resolução: Como 1 h 5 60 min, efetuamos a seguinte multiplicação para saber quantos são os minutos: 3,5 h 5 3,5 ? 60 min 5 210 min

Exemplo 2: Quantos segundos há em 1 dia inteiro?

Resolução: Como 1 dia inteiro tem 24 horas, procedemos da seguinte maneira para determinar a quantidade de segundos: 1 dia 5 24 h 1 dia 5 24 3 60 min 1 dia 5 1 440 min 1 dia 5 1 440 3 60 s 1 dia 5 86 400 s

Exemplo 3: Transforme 9 650 segundos em horas, minutos e segundos.

Resolução: Como 1 h 5 3 600 s, dividimos 9 650 por 3 600 para saber quantas são as horas: 9 650 2 450

3 600 2

O quociente deu 2 (2 horas); o resto (2 450) dividimos por 60 para saber quantos são os minutos, isto é: 2 450 050

60 40

Como o quociente deu 40, sabemos que são 40 minutos. O resto (50) indica a quantidade em segundos. Assim: 9 650 s 5 2 h 40 min 50 s

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APOEMA Matemática 6

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O ano-luz

Professor, solicite aos alunos que pesquisem qual é a distância percorrida pela luz em 1 ano, isto é, a distância correspondente a 1 ano-luz. Tose/ Dreamstime.com

Conexões

O ano-luz é uma medida de compri­ mento que corresponde à distância per­ corrida pela luz durante um ano. É utiliza­ da para tratar de distâncias astronômicas, por exemplo, a distância da Terra ao Sol. A luz que sai do Sol leva aproximada­ mente 8,3 minutos para chegar à Terra. Se a velocidade da luz é aproximadamente 300 000 km/s (a luz percorre 300 000 km a cada segundo), qual é a distância aproxi­ mada da Terra ao Sol?

Sol e Terra no espaço.

As dimensões e as distâncias entre os elementos retratados não estão na proporção; as cores usadas não são reais.

8,3 ? 60 5 498; 498 segundos 498 ? 300 000 5 149 400 000; 149 400 000 km

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Em cada item, indique a medida do tempo em minutos. a) 2,5 h 150 min

c) 7 200 s 120 min

b) 4,8 h 288 min

d) 2 400 s 40 min

2 Passe as medidas de tempo para horas, minutos e segundos. a) 3 800 s 1 h 3 min 20 s

c) 10 000 s 2 h 46 min e 40 s

b) 4 000 s 1 h 6 min 40 s 

d) 8 500 s 2 h 21 min e 40 s

3 Responda: a) Quantos minutos há em 2 horas? 120 minutos b) Quantas horas há em 240 minutos? 4 horas c) 1 dia tem quantos minutos? 1 440 minutos 4 Observe atentamente o relógio. Ele está indicando um horário pela manhã. Responda: a) Qual é o horário que ele está indicando?

10 h 58 min 50 s

12 h 1 min 52 s

b) Quanto tempo passou das 12 horas? 1 minuto e 52 segundos c) Quantos segundos faltam para as 13 horas? 3 488 segundos

Mirce a Ma

a) Qual é o horário que o relógio está indicando?

ties/S

5 Marcos estava almoçando quando olhou para o relógio digital marcando o horário, conforme a fotografia ao lado. Responda:

hutte rstoc k

b) Quantos segundos faltam para as 11 horas? 70 segundos

Anthony Berenyi/Shutterstock

d) 60 minutos têm quantos segundos? 3 600 segundos

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APOEMA Matemática 6

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MateMÁtICa e CIDaDanIa Mario Friedlander/Pulsar Imagens

Você economiza água todos os dias?

Muito já se falou da importância da água, porém, ainda é possível ver cenas em que a água potá­ vel, aquela ideal para as pessoas beberem, é desperdiçada. Você pode até pensar que existe muita água em nosso planeta e que não precisamos nos preocu­ par, pois ela nunca faltará. Entretanto, o desperdício de água está fazendo com que ela fique cada vez mais rara. Existem lugares do nosso planeta em que praticamente não chove e, em outros, a água chega somente por caminhões­pipa. Assim, em 1992, a Organização das Nações Unidades (ONU) estabeleceu que o dia 22 de março seria, a partir de então, considerado o Dia Mundial da Água. Essa atitude foi uma maneira de alertar as pessoas sobre a necessidade de não desperdiçar esse líquido tão fundamental para nossas vidas.

Algumas dicas para economizar água Se você demora no banho, você gasta de 95 a 180 litros de água limpa. Banhos rápidos (de no máximo 15 minutos) economizam água e energia.

Escovando os dentes e fazendo a barba

Waldomiro Neto

“Banho rápido

Se a torneira ficar aberta enquanto você escova os dentes e faz a barba, você gasta até 25 litros de água. Então, o melhor é primeiro escovar e depois abrir a torneira.

Torneira fechada Torneira aberta é igual a desperdício. Com a torneira aberta, você gasta de 12 a 20 litros de água por minuto. Se deixar pingando, são desperdiçados 46 litros por dia.

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Descarga Uma descarga chega a utilizar 20 litros de água em um único aperto! Então, aperte a descarga apenas o tempo necessário.

Lavando louça Ao lavar louças, não deixe a torneira aberta o tempo todo (assim você desperdiça até 105 litros). Primeiro passe a esponja e ensaboe e depois enxague tudo de uma só vez.

Lavando o carro Lavar o carro com uma mangueira gasta até 560 litros de água em 30 minutos. Quando precisar lavar o carro, use um balde!

Mangueira, vassoura e balde Ao lavar a calçada não utilize a mangueira como se fosse vassoura. Utilize uma vassoura de verdade e depois jogue um balde d’água (assim você economiza até 250 litros de água).

Jardim Regando plantas você gasta cerca de 186 litros de água limpa em 30 minutos. Para economizar, guarde a água da chuva e regue sempre de manhã cedo, evitando que a água evapore com o calor do dia. 

Aquário Quando for limpar o aquário, aproveite a água para regar as plantas. Esta água está enriquecida com nitrogênio e fósforo, o que faz muito bem para as plantas. [...] Não adianta só economizar: é preciso brigar por políticas que cuidem dos rios e lagos e garantam água potável para todos.” Disponível em: ,www.agenersa.rj.gov.br/agenersa_site/index.php?option=com_ content&view=article&id=112:dez-dicas-para-economizar-agua.. Acesso em: fev. 2015.

Agora faça o que se pede. 1 Pesquise em sua casa se existe alguma maneira de armazenar a água da chuva. Descreva em quais situações essa água pode ser reutilizada. Resposta pessoal. 2 Pegue as contas de água de sua casa e elabore uma tabela, como a mostrada a seguir, para anotar o consumo mensal dos 6 meses anteriores à conta. Resposta pessoal. Mês

Consumo mensal (m3)

Responda às questões ou faça o que se pede. a) Qual foi o mês de maior consumo? Resposta pessoal. b) Qual foi o mês de menor consumo? Resposta pessoal. c) Transforme, em litros, o consumo mensal dos meses das respostas anteriores.

Resposta pessoal.

3 Pergunte para alguém quais são suas ações para economizar água e anote as mais interessantes. Resposta pessoal.

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BaGaGeM CultuRal CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL TAMANHO DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL É FATOR DE RISCO CARDIOVASCULAR

Iakov Filimonov / Dreamstime.com

Ilustrações: Alex Argozino

Engana-se quem pensa que medir uma circunferência é só coisa de matemático! Estudos comprovam que o aumento excessivo da circunferência abdominal pode contribuir para o surgimento de doenças cardiovasculares, como diabetes e hipertensão. Além disso, também é importante descobrir se estamos com a massa corporal adequada. Para isso, usamos as unidades de medidas, assunto estudado nessa unidade.

aorta

artéria

artéria normal

CORAÇÃO

excesso de colesterol

COMO MEDIR A CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL 1. Posicione a fita métrica entre a

borda inferior das costelas e a borda superior do osso do quadril.

2. Relaxe o abdômen e expire no

placa de colesterol em estágio avançado

momento de medi-lo.

3. Registre a medida. As dimensões das estruturas representadas estão fora de escala; as cores usadas não são reais.

As doenças cardiovasculares matam mais de

17 milhões de pessoas

no mundo por ano. No Brasil, esse tipo de doença é responsável pelo maior número de mortes.

Obs.: pode-se obter um resultado mais preciso se a medição for feita sem vestimentas.

A medida de circunferência abdominal é utilizada e aceita pela comunidade médica em adultos na avaliação de riscos de doenças. Em crianças e adolescentes, essa medida não deve ser utilizada a não ser em casos específicos, por apresentar variações por conta do crescimento. Logo, as faixas ideais e de risco teriam de ser diferentes para cada faixa etária. Hoje ainda há poucos estudos sobre esse assunto.

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APOEMA MATEMÁTICA 6

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VALOR IDEAL DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL (CM) Faixa ideal

Risco aumentado

Risco muito aumentado

Mulher

< 80

80 — 88

> 88

Homem

< 94

94 — 102

> 102 Ilustrações: Alex Argozino

Na tabela ao lado, estão os valores considerados ideais para a circunferência abdominal, segundo a Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica.

Você já ouviu falar em IMC? O Índice de Massa Corporal classifica as diferentes faixas de massa das pessoas. Por meio de seu resultado, podemos descobrir se estamos abaixo, dentro ou acima da massa ideal recomendada. O cálculo é feito por meio da fórmula:

IMC = M2 , em que: A M = massa em kg A = altura em m Depois de obter o valor, consulta-se a tabela ao lado.

Para redução da gordura abdominal, devemos praticar atividade física aeróbica, como caminhar, correr, pedalar, nadar etc., e evitar alimentos calóricos, principalmente os muito gordurosos.

TABELA IMC IMC abaixo de 17 entre 17 e 18,49 entre 18,5 e 24,99 entre 25 e 29,99 entre 30 e 34,99 entre 35 e 39,99 acima de 40

Situação muito abaixo da massa abaixo da massa massa normal acima da massa obesidade I obesidade II (severa) obesidade III (mórbida)

Calcule seu IMC e descubra em qual faixa de massa você está. Caso o valor obtido não esteja localizado no intervalo de massa normal, pesquise quais medidas devem ser tomadas para que seu IMC reflita uma vida saudável.

Joao Virissimo/Shutterstock

CALCULANDO O IMC

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APOEMA MATEMÁTICA 6

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Capítulo 27

Tratamento da informação: probabilidade e média aritmética G. Evangelista/Opção Brasil Imagens

O que é mais provável de acontecer: um acidente de carro ou um acidente de avião? Essa é uma pergunta que interessa não apenas às pessoas que viajam, mas também às grandes seguradoras. A quantidade de acidentes com carros é bem maior do que os acidentes com aviões. Assim, é mais provável ocorrer um acidente de carro do que um acidente de avião. Por volta do ano de 1500, Girolamo Cardano escreveu um livro sobre o cálculo de probabilidade. Essa obra foi um marco importante na história do desenvolvimento do conceito de probabilidade. Atualmente, em Estatística, a probabilidade é muito utilizada na tomada de decisões com relação a investimentos ou até mesmo na elaboração dos custos de seguro para indenização de pessoas em caso de acidentes.

Noções de probabilidade O que é probabilidade? Como calcular a probabilidade do acontecimento de um evento? Uma noção de probabilidade e também uma forma de se calculá-la pode ser representada por meio de uma fração: Probabilidade de um evento ocorrer 5

número de situações favoráveis número de situações possíveis

Exemplo 1: Represente por meio de uma fração a probabilidade de ocorrer face par no lançamento de um dado.

Resolução:

• Quando lançamos um dado, existem 6 resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. • Queremos que ocorra um número par. Então, temos 3 situações favoráveis: 2, 4, 6. A fração que representa a probabilidade é: probabilidade 5

3 6

282 pom6_248_290_u7.indd 282

APOEMA MATEMÁTICA 6

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Veja a seguir que a probabilidade pode ser escrita na forma fracionária, na forma decimal ou mesmo em porcentagem. Vamos usar a probabilidade do exemplo 1. 3 1 5 0,5 5 50% probabilidade 5 5 6 2 O valor mínimo no cálculo de uma probabilidade é zero (dizemos que o evento é impossível) e o valor máximo é 1 (dizemos que o evento é certo).

Exemplo 2: Calcule a probabilidade de ocorrer face 7 no lançamento de um dado.

Resolução:

• Quando lançamos um dado, existem 6 resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. • Queremos que ocorra face 7. Como não existe a face com o número 7, dizemos que o número de situações favoráveis é igual a zero: 0 probabilidade 5      evento impossível 6

Exemplo 3:

Qual é a probabilidade de retirar uma bola azul de um saco que contém 2 bolas vermelhas, 1 bola amarela e 5 bolas azuis?

Resolução:

• O evento é retirar uma bola azul. Como são 5 bolas azuis em um total de 8 bolas, temos: probabilidade 5

5 5 0,625 5 62,5% 8

Observação: Se a probabilidade de um evento ocorrer é de 62,5%, a probabilidade de ele não ocorrer é de 37,5%, pois: 62,5 1 37,5 5 100% 5

100 51 100

Exemplo 4: Em um saco há 1 bola azul, 1 bola amarela, 1 bola verde e 1 bola preta. Todas têm o mesmo tamanho e a mesma massa. Uma pessoa faz duas retiradas em seguida e sem reposição. Qual é a probabilidade de a segunda bola retirada ser amarela? Resolução: azul verde, azul azul, amarela amarela azul

amarela

amarela

verde, amarela

azul, preta

preta

verde, preta

azul

amarela, azul

azul

preta, azul

verde

amarela, verde

amarela

preta, amarela

preta

amarela, preta

verde

preta, verde

verde

azul, verde

preta

verde

preta

3 5 Número de situações favoráveis: 3; número de situações totais: 12; probabilidade 5 12 5 0,25 ou 25%.

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APOEMA Matemática 6

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Registre no Professor, solicite aos alunos que em cada situação descrevam todas situações favoráveis e todas situações possíveis.

AGORA É COM VOCÊ

caderno

1 Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de obtermos duas caras? 1 5 0,25 ou 25% 4

2 Ao tentar ligar para um colega, Raul percebeu que não tinha anotado o último dígito do número do telefone dele: 3625462__. Assim, decidiu descobrir esse último dígito. Qual a probabilidade de ele acertar na primeira tentativa? 1 5 0,1 ou 10% 10

Noções sobre o conceito de média aritmética Em uma escola, um grupo de alunos do 6º ano fez um levantamento sobre as alturas dos 10 alunos (titulares e reservas) de cada uma das quatro equipes de basquete que representavam a escola. Para isso, organizaram um pesquisa perguntando para cada aluno a sua altura. Ao final, organizaram a seguinte tabela com as alturas em centímetros: equipe A

145

151

171

148

169

136

167

167

147

170

equipe B

146

138

149

147

147

165

145

154

165

156

equipe C

160

153

158

179

140

146

148

156

158

156

equipe D

155

144

147

153

136

156

178

169

169

145

Para calcular a média, eles somaram a altura dos jogadores em cada equipe, obtendo:

 

equipe A

equipe B

equipe C

equipe D

Soma das alturas

1 571

1 512

1 554

1 552

Em seguida, dividiram a soma das alturas de cada equipe pelo número de integrantes que compõe cada equipe. Observe os resultados obtidos: 1 571 1 554 Equipe A 5 5 157,1 157,1 cm 5 155,4 155,4 cm Equipe C 5 10 10 1 512 1 512 Equipe B 5 Equipe D 5 5 151,2 151,2 cm 5 155,2 155,2 cm 10 10

Média das alturas das equipes de basquete (cm) Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que a equipe A da escola tem a maior média de altura, enquanto a equipe B apresenta a menor média. É importante destacar aos alunos que a média retrata um apanhado geral de cada equipe. Assim, existem membros da equipe que podem ter alturas maiores que a média obtida ou menores e, além disso, dependendo da situação, é possível encontrar até aqueles que tenham a altura coincidindo com a médida da equipe (isso não aconteceu no exemplo).

Altura 158

DAE

Para apresentação dos dados dessa pesquisa, organizaram as médias em um gráfico de colunas. Observe: 157,1

156

155,4

155,2

154 152

151,2

150 148 EQUIPE A EQUIPE B EQUIPE C EQUIPE D Equipe

Comparando as médias das alturas das quatro equipes por meio do gráfico acima, o que você conclui?

284 pom6_248_290_u7.indd 284

APOEMA Matemática 6

5/17/15 4:00 PM

Registre no

caderno

supeRanDo DesaFIos 1 (Saresp)

Um mapa rodoviário possui escala 1 cm para 50 km. Se a distância entre duas cidades, medida nesse mapa, é de 2,5 cm, calcule qual é a distância entre essas cidades na realidade. Alternativa d. a) 35 km b) 65 km c) 90 km d) 125 km 2 (Saresp) Das alternativas abaixo, indique a que é mais vantajosa. Alternativa c. a) Comprar uma caixa de iogurte contendo 4 potinhos de 100 mL cada a R$ 2,00. b) Comprar 2 potes de iogurte de 200 mL cada a R$ 2,40. c) Comprar 1 litro de iogurte a R$ 3,00. d) Comprar uma caixa de iogurte contendo 5 potes de 200 mL cada a R$ 3,50.

O quadrado ao lado foi repartido em quatro regiões, representadas pelas letras. Duas delas têm a mesma área. Quais? Alternativa d. a) A e B b) A e C c) A e D d) B e C e) B e D

DAE

3 (OBM)

A B

C D

http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ Acesso em: mar. 2015.

Editora Ática

Explorando

Como encontrar a medida certa MDMat – uFRGs http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ Homepage vinculada à UFRGS com alguns objetos digitais de aprendizagem. Para ter acesso às atividades relacionadas ao conteúdo dessa unidade, clique em “Grandezas e medidas” e, em seguida, clique em “Medidas”.

Autor: Carlos Marcondes Editora: Ática 104 páginas Beto e seus amigos vão participar de uma olimpíada estudantil e, além do bom preparo físico, eles precisam exercitar o cérebro para concluir uma complicada tarefa matemática que envolve Geometria.

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APOEMA MATEMÁTICA 6

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Registre no

caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS d) 400 m

a) trena

c) paquímetro

b) régua

d) balança

3 A porta da sala do diretor da escola tem 90 cm de largura por 2,10 m de altura. O perímetro dessa porta em metros é: a) 6 m

Eduardo Belmiro

2 Qual dos instrumentos a seguir não é utilizado para obter medidas de comAlternativa d. primento?

6 Assinale a alternativa que contém uma massa maior que 100 kg. Alternativa d. a) 4 arrobas b) 5 arrobas

c) 6 arrobas d) 7 arrobas

7 Em relação à massa de um gato, qual das unidades é mais adequada para medi-lo? Alternativa c.

Alternativa a.

b) 5,80 m c) 4,30 m d) 7 m

Waldomiro Neto

4 Mateus mora num bairro em que cada quadra tem a forma de um quadrado de lado medindo 100 metros. Alternativa c.

a) arroba b) tonelada c) quilograma d) miligrama

gillmar/Shutterstock

b) 500 m

5 A massa do elefante do zoológico da cidade é 7,5 toneladas, o que corresponde a: Alternativa b. a) 750 kg b) 7 500 kg c) menos que 1 000 kg d) mais que 8 000 kg

oleksa/Shutterstock

1 Quantos metros há em 0,5 km? Alternativa b. c) 200 m a) 100 m

8 Quantos metros quadrados há numa região cuja área é de 10 hectares? Alternativa c. a) 1 000 m2 b) 10 000 m2

c) 100 000 m2 d) 20 000 m2

9 Na figura estão representados retângulos e quadrados. Os números indicam as medidas dos comprimentos em centímetros. Alternativa a.

Todos os dias, pela manhã, ele dá 5 voltas na quadra onde mora, caminhando ao todo: d) 2 500 m a) 500 m b) 1 000 m c) 2 000 m

2

1

DAE

3 1

1

2

2

3

3

3

2

1

A área total da parte colorida dessa figura é: c) 16 cm2 a) 14 cm2 2 b) 15 cm d) 12 cm2

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10 Ainda em relação à figura anterior, assinale a alternativa que indica corretamente a área não colorida. Alternativa c. a) 19 cm2 b) 20 cm2

15 O cubo menor tem 1 cm3 de volume. Se a aresta do cubo maior tem medida 6 cm, então o volume do cubo maior é: Alternativa b. Ilustrações: Setup

c) 22 cm2 d) 23 cm2

11 O desenho abaixo é de um terreno onde será construída uma academia de musculação. 30 m

a) 18 cm3 b) 216 cm3

20 m

50 m

Assinale a alternativa que indica corretamente a área desse terreno. Alternativa b. a) 1 350 m2 c) 1 500 m2 b) 1 600 m2 d) 1 890 m2 12 Em relação à situação anterior, se o dono do terreno construir a academia em forma de retângulo de 12 m de comprimento por 10 m de largura, qual é a área do terreno que ficará livre? Alternativa d.

Alternativa c.

a) 2 litros b) 1,5 litro c) 1 litro d) mais de 2 litros

17 Um recipiente em forma de paralelepípedo será construído com vidro nas faces, conforme as medidas indicadas. Alternativa a. 3 cm

4 cm 12 cm

c) 1 148 m d) 1 480 m2

a) 1 100 m b) 1 200 m2 2

16 Um recipiente cúbico tem, como medida das arestas, 1 dm. A capacidade, em litros, desse recipiente é:

2

13 O paralelepípedo é composto por blocos de mesmo tamanho. Quantos blocos foram utilizados? Alternativa c.

A capacidade desse recipiente será de: a) 0,144 L c) 14,4 L b) 1,44 L d) 144 L 18 Ao transformar 5,5 horas em minutos, obtemos: Alternativa b. a) 320 min b) 330 min

a) 8

b) 10

c) 16

d) 40

14 Se, na figura anterior, os números indicam as medidas, em decímetros, do comprimento, da largura e da altura do paralelepípedo, assinale a alternativa correspondente ao volume dele. Alternativa c. a) 8 dm3 b) 10 dm3

Akinshin/ Dreamstime

40 m

c) 36 cm3 d) 42 cm3

c) 16 dm3 d) 40 dm3

c) 340 min d) 350 min

19 Assinale a alternativa que indica corretamente o tempo correspondente a 7 200 segundos. Alternativa c. a) 3 horas b) 4 horas

c) 2 horas d) 2,5 horas

20 No relógio de parede estava indicando 4 h 59 min 38 s. Quantos segundos faltam para as 5 h? Alternativa d. a) 12 s

b) 14 s

c) 24 s

d) 22 s

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21 O que é mais provável de acontecer em um lançamento de um dado não viciado, numerado de 1 a 6? Alternativa c. a) Um número par. b) Um número ímpar. a) Um número maior que 1. a) Um número menor que 2. 22 Transforme as medidas de comprimento conforme indicado a seguir. a) 3,2 km em metros 3 200 m b) 95 metros em centímetros 9 500 cm c) 250 decímetros em centímetros 2 500 cm d) 500 milímetros em centímetros 50 cm e) 380 centímetros em metros 3,8 m f) 0,95 km em metros 950 m 23 Determine o perímetro da figura limitada pela linha colorida a seguir, sabendo que a malha quadriculada representa quadrados com lado igual a 1 metro. 22 metros (4 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 2 11 1 2 5 22)

caderno

25 Na malha quadriculada a seguir, cada quadrado representado indica medida de lado igual a 1 m.

A

B

Determine: a) o perímetro da figura A; 2 1 2 1 2 1 1 1 4 1 3 5 14 m b) o perímetro da figura B.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 12 m

26 Júlia tem 49 cm a menos de altura que seu irmão Roberto. Considerando que a altura de Roberto é 1,68 m, qual é a altura de Júlia?1,68 m 5 168 cm → 168 − 49 5 119 → 1,19 m 27 Desenhe as seguintes figuras geométricas: a) um quadrado de lado medindo 5 cm; Resposta pessoal. b) um retângulo cujos lados medem 2 cm e 6 cm. Resposta pessoal. 28 Em relação às figuras geométricas que você desenhou no exercício anterior, responda: a) Qual é o perímetro do quadrado? 5 1 5 1 5 1 5 5 20; 20 cm

b) Qual é o perímetro do retângulo? 2 1 6 1 2 1 6 5 16; 16 cm

Ilustrações: Setup

3 cm 6 cm

2 cm

Waldomiro Neto

24 Observando as medidas indicadas na figura a seguir, determine seu perímetro em centímetros.

29 Uma competição de ciclismo é feita numa pista cujo perímetro é de 3,5 km. Num treinamento para a competição, Jonas faz diariamente 50 voltas. Qual é o percurso total, em quilômetros, que ele faz durante 30 dias de treinamento? 3,5 3 50 3 30 5 5 250; 5 250 km

1 cm

2 cm

10 cm 6 cm

8 cm 10 1 8 1 3 1 1 1 2 1 6 1 2 1 6 5 38 cm

30 Transforme: a) 1 500 kg em toneladas; 1,5 t b) 1 250 kg em gramas; 1 250 000 g c) 300 g em quilogramas; 0,3 kg d) 800 kg em toneladas. 0,8 t

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Registre no

caderno Setup

31 Resolva os seguintes problemas: a) Um quilograma de feijão custa R$ 2,50. Um restaurante especializado em feijoada compra 9,5 kg de feijão. Qual é o valor total gasto pelo restaurante?

129

612 918

33

VR Photos/Shutterstock

9,5 3 2,50 5 R$ 23,75

98

910 66

36

915

96

b) Depois de colhido, o feijão é colocado 1818 em sacos. Um saco de feijão tem 50 kg. Para fazer uma carga de 1 tonelada, 1812 quantos sacos serão necessários?1 t 5 1 000 kg 1 000 4 50 5 20 sacos c) Um boi foi vendido quando tinha a massa correspondente a 45 arrobas. Determine a massa desse boi em quia) Obtenha as áreas dos quadrados e relogramas, considerando que 1 arroba tângulos em centímetros quadrados. tem aproximadamente 15 kg. b) Obtenha a área total da figura limitada 1 arroba 5 15 kg →15 3 45 5 675; 675 kg d) Um boi com 450 kg tem aproximadapelo contorno vermelho. 1 296 cm² mente quantas arrobas? 30,63 arrobas c) Transforme a medida da área obtida no e) Utilizando uma calculadora, Plinio item anterior em metros quadrados. 0,1296 m² transformou a massa de 1 tonelada em 34 Responda: arrobas. Qual foi o valor aproximado obtido? Arredonde para 1 casa decimal. a) Um quadrado tem a medida do lado igual 68,1 arrobas, considerando 1 arroba com 14,69 kg a 15 m. Duplicando a medida desse lado, 32 O quadrado azul tem lado medindo 3,5 cm. o que acontece com a medida da área? Dois vértices do quadrado azul são tamQuadriplica a área. b) Um retângulo tem a medida do compribém vértices do quadrado vermelho. Além mento igual a 25 m e a largura medindo disso, um vértice do quadrado azul está 10 m. Duplicando a largura e mantendo bem no centro do quadrado vermelho. o comprimento, o que acontece com a Qual é a medida, em centímetros quadramedida da área? Duplica a área. dos, da área do quadrado vermelho? 35 A tabela abaixo indica as áreas dos estados 4 3 3,5 5 24,5; 24,5 cm2 2 da Região Norte do Brasil. Na coluna à direita, escreva essas áreas em hectares. Setup

2

33 A figura geométrica com contorno vermelho foi dividida em vários quadrados e retângulos. Dentro de cada um está indicado o produto das medidas de seus lados, em centímetros.

Estado

Área (km2)

Área (hec)

Acre

152 581,388

15 258 138,8

Amapá

142 814,585

14 281 458,5

Amazonas

1 570 745,680

157 074 568,0

Pará

1 247 689,515

124  768  951,5

Rondônia

237 576,167

Roraima

224 298,980

23  757  616,7 22  429  898,0

Obs.: utilize uma calculadora.

33. a) 162 cm², 72 cm², 90 cm², 72 cm², 36 cm², 108 cm², 9 cm², 18 cm², 54 cm², 135 cm², 216 cm², 324 cm²

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37 Utilizando-se 12 blocos em forma de paralelepípedo, foi formado um bloco maior com 3 cm de comprimento, 2 cm de largura e 2 cm de altura.

2 cm 2 cm 3 cm

a) Calcule o volume do bloco maior. 12 cm³ b) Qual é o volume de cada bloco? 1 cm³

Ilustrações: Setup

38 Empilhando-se cubos de 1 cm de medida de aresta, obteve-se a figura representada a seguir.

Responda: a) Qual é o número total de cubos utilizados? 32 cubos b) Qual é o volume total ocupado por esses cubos? 32 cm³ 39 Considere os volumes internos de alguns recipientes e informe, em litros, qual é a capacidade correspondente a eles. a) 1,5 m3 1 500 L b) 25 m

3

42.

25 000 L

c) 9 600 cm3 9,6 L

1o passo

d) 460 dm

3o passo

3

460 L

2o passo

1l

5l

6l

1 0 1 0

5 5 4 4

2 3 3 4

a) 1 m 1 000 L b) 2 m 8 000 L c) 4 m 64 000 L d) 10 m 1 000 L

41. Espera-se que o aluno esquematize o pensamento a seguir: Primeiro, ele obtém sua massa; em seguida, a massa com o gato no colo; por fim, faz uma subtração: a massa com o gato menos a massa sem o gato, que será igual à massa do gato.

41 Mateus foi, com sua mãe, a uma farmácia. Enquanto ela comprava alguns remédios, ele resolveu medir sua massa. Lembrou então que seria interessante obter também a massa de seu gatinho, porém ele jamais ficaria comportado em cima da balança. Depois de algum tempo pensando, encontrou uma maneira de medir a massa do gatinho. Descubra uma maneira de medir a massa de um gatinho numa balança de farmácia, considerando que ele não fica parado sozinho em cima da balança.

Waldomiro Neto

a) 66 kg b) 67 kg c) 68 kg d) 69 kg

caderno

40 Determine a capacidade, em litros, de um cubo em que a aresta mede:

Resposta pessoal.

42 O professor apresentou aos alunos 3 recipientes: o primeiro com capacidade de 6 litros, o segundo com capacidade de 5 litros e o terceiro com capacidade de 1 litro, como representado a seguir. Ele disse que o recipiente de 6 litros contém apenas 2 litros de água, o de 5 litros está com 5 litros e o de 1 litro está com 1 litro. Manipulando-se a quantidade de água de um para outro recipiente, é possível, no final, deixar dois desses recipientes com 4 litros e o menor vazio. Como isso é possível?

Ilustrações: Setup

36 Uma pessoa tem, em Janeiro, massa correspondente a 64 kg, e em fevereiro, a 70 kg. Indique a massa média dessa pessoa nesses dois meses. Alternativa b.

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Gabarito Unidade 1 Capítulo 1 Página 14 Agora é com você 1. a) 31 b) 999 c) 100 2. a) 9 874 b) 358 999 c) 2 495 208 3. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 b) Sim, a soma dos números de cada linha, coluna e diagonal é 15. 4. a) 72 b) 72 c) 72 5. 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1 000 a) I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX. b) 2 001

Página 16 Agora é com você 1. 300, 301, 302, 303 2. De 5 em 5. A 5 20, B 5 25, C 5 30. 3. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 4.  Não, pois 0 é um número natural que não tem antecessor. 5. De 6 em 6. A 5 24, B 5 30, C 5 36, D 5 42, E 5 48, F 5 54. 6. 15 7. 25 8. Resposta pessoal. 9. 3 997, 3 998, 3 999, 4 000, 4 001 10. a) 100 e 98 b) 909 e 907 c) 9 020 e 9 018 d) 1 000 001 e 999 999 11. a) De 4 em 4 anos. b) 2020, 2024, 2028, 2032 e 2036. A Olimpíada de 2020 será em Tóquio. Não se sabe ainda as cidades-sede das próximas olimpíadas, pois o comitê olímpico determina o local aproximadamente sete anos antes de sua realização. c) 1960, 1964, 1968, 1972, 1976 12. a) Adiciona-se 20 para obter o próximo termo: 100, 120, 140, 160, 180. b) Adiciona-se 15 para obter o próximo termo: 70, 85, 100, 115, 130. c) Subtrai-se 80 para obter o próximo termo: 660, 580, 500, 420, 340. d) Subtrai-se 4 para obter o próximo termo: 1994, 1990, 1986, 1982, 1978. 13. a) 100, 110, 120, 130, 140, 150, ... b) 999, 989, 979, 969, 959, 949, ... 14. a) 1 b) 2 c) 2

Página 19 Agora é com você 1. Resposta pessoal. 2. 31 pontos 3. Camila tem três irmãos. 4. a) {1, 3} b) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) {8, 10, 12, 14, 16, ...} d) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 5. A maior nota foi 9. 6. a) 1, 4, 5, 13, 22, 90, 99 b) 452, 453, 567, 888, 1 009, 1 019 7. Resposta pessoal. 8. a) 99 b) 24 c) 33 d) 31 e) 31 9. 36 anos (18 + 15 + 3 = 36) 10. 132 – 5 – 41 + 12 + 60 = 158 11. A = {2 reais, 5 reais, 10 reais, 20 reais, 50 reais, 100 reais} 12. a) 1 b) Zero.

Capítulo 2 Página 22 Agora é com você 1. a) ducentésimo vigésimo quarto b) septuagésimo quinto c) centésimo trigésimo nono d) setingentésimo sexagésimo segundo 2. a) PLM 2 5 740, PLM 2 5 741, PLM 2 5 742, PLM 2 5 743, PLM 2 5 744, PLM 2 5 745, PLM 2 5 746, PLM 2 5 747, PLM 2 5 748 ou PLM 2 5 749 b) 26 3. 94o 4. a) O Código de Endereçamento Postal (CEP) é uma sequência numérica utilizada para orientar e acelerar o encaminhamento de correspondência. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. d) Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal.

Página 24 Agora é com você 1. Ela juntou 200 moedas de 1 centavo ou 40 de 5 ou 20 de 10 ou 8 de 25 ou 4 de 50 ou 2 moedas de 1 real. 2. Júlia: 240 reais, Mauro: 360 reais e Tânia: 380 reais. 3. R$ 397,00 4. 8 640, 8 641, 8 642, 8 643, 8 644, 8 645, 8 646, 8 647, 8 648 ou 8 649

5. 6.

a) 80 reais b) 300 reais c) 25 reais d) 16 reais e) 100 reais

Valores da compra (reais)

Quantia dada (reais)

Troco recebido (reais)

75

100

25

130

140

10

160

200

40

320

350

30

920

950

30

Capítulo 3 Página 27 Agora é com você 1. a) Rondônia, Amazonas, Pará e Tocantins. b) 15 865 678; quinze milhões, oitocentos e sessenta e cinco mil seiscentos e setenta e oito. 2. a) 9 080 604 b) 20 030 501 3. a) 2 000 000 b) 200 000 c) 20 000 d) 2 000 e) 200 f ) 20 4. 3 450, 3 452, 3 454, 3 456, 3 458 5. a) 309 488 b) 9 452 000 6. a) 11 000 b) 100 899 7. a) 70 000 1 4 000 1 500 1 70 1 6 b) 900  000 1 30 000 1 2 000 1 700 1 1 70 1 5 c) 3 000 000 1 400 000 1 50 000 1 1 6 000 1 800 1 20 1 9 d) 40 000 000 1 4 000 000 1 700 000 1 1 50 000 1 8 000 1 200 1 20 1 3 8.

a) 4 400 b) 57 000 c) 30 000 d) 90 000 000 000

9. a) 456 789 b) 100 000 c) 100 10. a) Bahia e Sergipe. b) 53 078 137 c) Cinquenta e três milhões, setenta e oito mil cento e trinta e sete.

Página 30 Agora é com você 1. a) 7 100

291 pom6_291_304_gab.indd 291

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d) 1 100



e) 4 662

2. 7 000; 83 000; 45 000



f ) 7 259

3. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal.



g) 1 252



h) 905

4.



b) 792



c) 792



b) 82 800 c) 45 400

3. a) 792

a) 720 quilômetros b) 1 130 quilômetros c) 1 450 quilômetros d) Não, pois as estradas não têm a trajetória reta como ilustrado no mapa.

5. a) F b) V c) V d) F 6.

ArredonArredonArredondadamento damento Número mento para para para dezena unidade centena de milhar 95 273

95 270

95 300

95 000

103 459

103 460

103 500

103 000

77 488

77 490

77 500

77 000

91 311

91 310

91 300

91 000

13 419 7. 8. 9. 10.

13 420

13 400

a) 90; 160; 30; 270; 70 b) R$ 620,00 a) 7 000 metros b) R$ 100,00 c) R$ 170,00 d) 190 quilogramas a) 93 500 b) 10 400 c) 42 100 d) 95 300 a) 93 450 b) 10 370 c) 42 100 d) 95 330

13 000

Valor da compra (R$)

Quantia dada Troco a receber (R$) (R$)

278,00

300,00

22,00

172,00

200,00

28,00

713,00

750,00

37,00

439,00

500,00

61,00

75,00

100,00

25,00

336,00

350,00

14,00

4. a) R$ 19.494,00

b) • segunda-feira; 1 910 refeições.





• quarta-feira; 1 335 refeições.





• 5 502 almoços





• 2 472 jantares





• Resposta pessoal.



c) 1 870 quilômetros

Página 37 Agora é com você 1. a) 806

b) 1 227



c) 2 688



d) 6 520



e) 1 211



f ) 2 411



g) 634



h) 4 997

2. Santa Catarina. 3. a) 781 pessoas

b) 258 quilômetros

4. a) Nesta ordem: Centro-Oeste, Norte, Sul, Nordeste, Sudeste.

b) Sudeste.



c) Sul.

Página 40 Agora é com você 1. a) 980

b) 620



c) 520



d) 520



e) 200

Capítulo 4



f ) 1 000

Página 35



Agora é com você 1. a) 21 752 b) 493 130 c) 109 380 d) 77 100 e) 174 699 f ) 845 276 g) 13 002 h) 65 654 2. a) 1 062 b) 777 c) 780

6.

2. a) Aumenta em 100 unidades. b) Aumenta em 10 unidades.

3. a) 524

b) 238



c) 254



d) 239

4. Adicionou 2 unidades ao minuendo e ao subtraendo, e o resultado não se altera. 5. a) V

b) V



c) F



d) V

Capítulo 5 Página 42 Agora é com você 1. 128 2. 180 reais 3. 175 alunos 4. a) 584 b) 2 214 c) 3 283 d) 45 870 e) 2 175 f ) 4 698 g) 2 752 h) 3 075 5. a) amarela b) verde c) azul 6. a) 8 000 quilogramas b) 7 000 quilômetros c) 6 000 horas 7. a) 36 quilômetros b) 120 quilômetros c) 240 quilômetros 8. a) Resposta pessoal. b) 435 reais c) Resposta pessoal. 9. Resposta pessoal 10. 4 3 4 3 4 5 64 11. a) 111 111 111 b) 222 222 222 c) 333 333 333 d) 444 444 444 e) 555 555 555 f ) 666 666 666 g) 777 777 777 h) 888 888 888 i) 999 999 999 12. a) 2 982 b) 2 736 c) 4 615 d) 4 224 e) 3 948 f ) 6 675 g) 504 h) 198

292 pom6_291_304_gab.indd 292

5/17/15 4:02 PM

13. a) 14, 140, 1 400, 14 000 b) 24, 240, 2 400, 24 000 c) 56, 560, 5 600, 56 000 d) 45, 450, 4 500, 45 000 e) 88, 880, 8 800, 88 000 f ) 65, 650, 6 500, 65 000 g) 32, 320, 3 200, 32 000 h) 50, 500, 5 000, 50 000 i) 93, 930, 9 300, 93 000 14. a) 168 horas b) 60 maçãs c) 1 440 minutos d) 20 000 metros



b) 4, 40, 400, 4 000



c) 9, 90, 900, 9 000



d) 14, 140, 1 400, 14 000



9.

Dividendo

Divisor

Quociente

Resto

e) 1, 10, 100, 1 000

78

10

7

8

f ) 9, 90, 900, 9 000

99

22

4

11

76

13

5

11

103

15

6

13

110

8

13

6

120

25

4

20

61

9

6

7

6.

Dividendo

Divisor

Quociente

9 570

11

870

3 125

25

125

3 459

3

1 153

Página 47

10 120

4

2 530

Agora é com você 1. 38 2. 6 790 3. a) 8 446 b) 930 c) 1 735 4. a) 120 reais b) 84 quilômetros c) 12 bicicletas; 12 automóveis d) R$ 1.041,00 5. a) × 1 1 c) × × 1 b) 1×2

1 776

8

222

35 500

20

1 775

45 760

8

5 720

7. a) 3 820

b) 39

8. a) 16 viagens

b) R$ 500,00



c) 15 dúzias

Página 53 Agora é com você

Página 49

1. a) 45; 5

Agora é com você 1.



b) 1 035; 7



c) 850; 2



d) 1 236; 5



e) 1 220; 3



f ) 1 799; 4

3

4

5

6

7

8

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

2. Não, sete alunos ficaram sem equipe, pois 5 3 8 1 7 5 47.

4

4

4

4

4

4

3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7

5

5

5

5

5

5

4. 26 equipes e sobram 3 alunos

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

9

9

9

9

9

10

10

10

10

10



5. 182 6. a) • 87 poltronas



• Sim, 4 poltronas.





• 58 poltronas

9



b) • 40 notas de 100 e 17 notas de 50

10







c) 7 meses de 30 dias e 5 meses de 31 dias



d) 52 semanas e sobra 1 dia

a) 0 b) Quando o dividendo e o divisor são iguais. 2. a) 60 b) 65 c) 50 d) 1 600 e) 100 f ) 110 g) 49 h) 810 3. a) 2 b) 3 c) 2 d) 200 4. 9 equipes 5. a) 7, 70, 700, 7 000

• 48 notas de 100 e 1 nota de 50

7. a) 124 equipes

b) 93 equipes



c) 74 equipes e sobram 2 alunos



d) 62 equipes



e) 53 equipes e sobra 1 aluno



f ) 46 equipes e sobram 4 alunos



g) 41 equipes e sobram 3 alunos



h) 37 equipes e sobram 2 alunos

8. a) 0, 1, 2 e 3

b) 0, 1, 2, 3 e 4

c) 50 d) 58

e) 51

Capítulo 6 Página 57 Agora é com você 1. a) 27 b) 125 c) 256 d) 529 2. a) 64 b) 196; 14 c) 625; 5 d) 1 000; 10 3.

e) 12 f ) 169 g) 196 h) 225



i) 256 j) 289 k) 400 l) 625

6

7

Número

1

2

3

Quadrado

1

4

9 16 25 36 49 64 81

Cubo

1

8 27 64 125 216 343 512 729

4

4. a) 35 5 243 b) 104 5 10 000 c) 123 5 1 728 d) 202 5 400 e) 94 = 6 561 g) 20 5. a) 6 h) 17 b) 3 i) 12 c) 2 j) 13 d) 2 k) 16 e) 10 l) 15 f ) 25 6. a) 34 b) 710 c) 419 d) 659 e) 1214 f ) 502 7. No 27o dia. 8. 12 9. 31

5

8

9

f ) 63 = 216 g) 24 = 16 h) (32)2 = 81 i) 36 = 729 j) 26 = 64 m) 3 n) 1 o) 5 p) 7

Página 58 Agora é com você 1. a) 11 b) 3 c) 4 d) 1 2. A: 10; B: 1; C: 8.

293 pom6_291_304_gab.indd 293

5/17/15 4:02 PM

Capítulo 7

Unidade 2

Página 62

Capítulo 8

Agora é com você 1. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. 2. a) Mamão. b) 770 c) É mais fácil obter o total em uma tabela. 3.

Tipo

Queijo Carne

Mês

4.

Página 74 Agora é com você 1. a) P b) P c) NP d) NP e) P f ) NP g) P h) NP 2. a) Plana. b) Retângulos e quadrados. c) Retângulos e quadrados. d) Todas as formas são figuras planas e variam entre quadradros e retângulos. 3. Resposta pessoal. 4. a) 6 b) 5, 3 e 1 c) Sim. A soma dos números é sempre igual a 7.

Frango com Pizza Totais requeijão

Janeiro

221

200

340

180

941

Fevereiro

181

240

305

232

958

Março

329

415

384

287

1 415

Abril

256

287

300

240

1 083

Maio

265

258

280

248

1 051

Junho

432

448

519

482

1 881

Totais

1 684

1 848

2 128

1 669 7 329

Página 77

a) Afirmativa correta. b) Futebol é o esporte que tem a maior preferência. c) Natação é o sexto esporte na preferência das mulheres. d) O total de mulheres entrevistadas foi 9 889.

Página 65 Superando desafios 1. c 2. c

1000 288 712 83 205 507 28

55

16 10

12 6

43 6

150 357 107 250 37 70 180

27. 1

13

3

25

23

21

18

11

6

9

22

19

12

10

2

5

8

15

20

17

16

7

24

4

14

A

B

b)

X

A C

c)

3. d

G

d) R 19. d 20. c 21. c 22. b 23. c

Y

2. a)

b)

Página 66 Resgatando conteúdos 1. b 7. b 13. c 14. b 2. c 8. b 3. d 9. d 15. b 4. c 10. c 16. c 5. a 11. b 17. b 6. c 12. d 18. a 24. A soma dos números de cada lado é 10. 25. Resposta pessoal. 26.

Agora é com você 1. a)

B D H S

3. a) 3 b) 4 c) 6 d) 3 4. a) 2 b) Não.   EA e AB c) d) Sim. O ponto E. 5. a) AB, AC, AD, AE, AF, BC , BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF b) 15 6. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Sim. O segmento AB. 7. 4

Capítulo 9 Página 82 Agora é com você 1. a) 24 b) 24 c) 8

294 pom6_291_304_gab.indd 294

5/17/15 4:02 PM

2. e

2. a) 1 b) 3 c) 2 3. a) 70 b) 6 c) 420

3. Sim. 4. k 5 0 5. 22 460; 8 992; 88 104; 171 440; 78 336; 25 148; 39 008 6. Sim, pois179421651 778,1772165161, 16 2 2 5 14, como 14 é divisível por 7, o número 17948 é divisível por 7. 7. 8 992; 88 104; 171 440; 78 336; 39 008 8. 9 450 sim e 181 999 não 9. a) Embalagem para 4 ou para 8 maçãs. b) 10 874 notas c) 3 anos: 2016, 2020 e 2024

3. b 4. a 5. c 6. d 7. e

Página 84

8. b

Agora é com você

9. c

1. Vista superior 

Vista frontal 



Vista lateral 1 

10. a 11. c 12. d 13. b

Página 105

14. a

Vista lateral 2 

15. a

2. Uma vista superior. 3.

16. d

4.

superior

17. c 18. c 19. a 20. d 21. d 22. 140 cubos 23. a) 5 b) 8 24.  d 25.



lateral

frontal

26.

Página 87 Agora é com você 1.

1a dobra

2a dobra

3a dobra

2. 25; 36 3.  2³, 3³, 4³, 5³, 6³. A posição elevada ao cubo com n ≥ 2 determina a quantidade de cubos menores. A quantidade dos próximos termos são 125 e 216. 4. a) 9 b) 11 c) 13 5. Pode-se formar 4 retângulos iguais dobrando no meio e novamente no meio cada uma das partes divididas anteriormente. 6. Resposta pessoal.

Página 90 Superando desafios 1. b 2. d

Página 91 Resgatando conteúdos 1. c



27. a) 6 cubos b) 18 cubos c) 30 cubos v

Unidade 3

Capítulo 10 Página 102 Agora é com você 1. 2 331 não e 4 558 sim 2. Sim.

c) 5 d) Não.

Agora é com você 1. a) Por dois números: 1 e ele mesmo. b) Por quatro números: 1, 2, 5 e 10. c) É um número divisível por mais de dois divisores. d) Sim, o 2. e) Um número, o 3. f ) Um número, o 5. 2. 97 3. 101

Página 108 Agora é com você 1. Sim, para todos os itens. 2. a) 2 ? 2 ? 5 b) 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 c) 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 5 d) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 5 e) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 f ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3. a) 30 b) 60 c) 90 d) 70 e) 180 f ) 40 4. a) 2 ? 2 b) 3 ? 3 c) 2 ? 2 ? 2 ? 2 d) 5 ? 5 e) 2 ? 2 ? 3 ? 3 f ) 7 ? 7 g) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 h) 3 ? 3 ? 3 ? 3 i) 2 ? 2 ? 5 ? 5 j) 11 ? 11 k) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 l) 13 ? 13 5. 108 992, 48 336, 209 008, 441 990, 45 766, 99 342, 998 104 6. 9 455, 98 107, 101 443, 15 133, 905 111, 333 349, 44 337, 103 005 7. a) 66 108, 12 222, 44 556, 29 118, 95 139, 3 390, 53 355 b) 66 108, 12 222, 44 556, 29 118, 3 390 c) 755, 28 105, 891 220, 3 390, 5 710, 7 340, 53 355, 550, 445, 888 100, 3 905 d) 891 220, 3 390, 5 710, 7 340, 550, 888 100

295 pom6_291_304_gab.indd 295

5/17/15 4:02 PM

8.

a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 0, 3, 6, 9 c) 0, 4, 8 d) 0, 6 e) 0, 5 f ) 0

9. a) Não. b) Sim. c) Sim. d) 992 e) 100 10. a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 b) 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 c) 1 11. Sim, para todos os itens. 12. 3

9. 10. 11. 12.

a) 1 b) 2 c) 1 a) 1, 3, 5, 9, 15, 45 b) 1, 3, 9, 27 c) 1, 3, 9 d) 9 25 metros; 15 pedaços a) Sim, serão 3 pedaços de 234 metros cada. b) 126 crianças, 3 balas de coco e 4 balas de caramelo para cada uma. c) • 650 • Manaus Livraria 2 6 Livraria Rio Branco 2 2 Livraria Palmas 2 3 d) 420 anos

Capítulo 11

Capítulo 12

Página 113

Página 120

Agora é com você 1. 1, 2, 5, 10, 25, 50 2. 1, 2, 3, 4, 6, 12 3. a) 1, 3, 9 b) 1, 3, 5, 15 c) 1, 13 d) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 4. a) • No máximo 22. A quantidade varia de acordo com a quantidade de alunos por equipe. • Considerando o máximo de grupos, teremos 21 equipes com 2 alunos e 1 grupo de 3. b) • 500 • 200 • 100 • 50 • 20 • 10 c) 13 embalagens

Agora é com você 1. Sim. Pois 8  8  8  8 = 4 3 8 = 32 2. a) No máximo 3 comprimidos. Possibilidade de resposta: porque em um dia há 24 horas e 3 3 8 = 24. b) Às 8 h e às 16 h. c) Resposta pessoal. 3. 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132 4. x = 76, y = 95 e z = 114. 5. a) Não. b) 2 c) 2 d) 3 e) 2 f ) 4 g) Sim. 6. a) 50 b) 50 c) 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 d) 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 e) 34 f ) 20 7. a) 98 b) 994 c) 95 d) 995

Página 115 Agora é com você 1. 16 2.  O menor número, que é divisor do maior. 3. a) 1 c) 1 b) 1 d) 1 4. a) Sim. b) Sim. c) Sim. d) Sim. 5. a) Não. b) Sim. c) Sim. d) Não. 6. a) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) 1, 5, 25 c) 1, 5 7. 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 8. a) 18 b) 45 c) 11 d) 128

Página 123 Agora é com você 1.

a) 12 b) 180 c) 144 d) 64 e) 120 f ) 2 310

2. 3.

54, 108, 162, 216, 270 a) 210 segundos = 3,5 minutos b) 7 e 6 voltas c) 12 segundos d) Notas de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16,18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48. Notas de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

e) 2 reais; 48 reais f ) 8 horas 4. 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 5. À meia-noite. 6. a) 0, 12, 30, 99, 15, 60, 24, 75, 18, 66, 36, 45, 48, 72, 81 b) 0, 12, 32, 60, 80, 24, 36, 28, 40, 48, 64, 72, 100 c) 0, 50, 30, 15, 60, 80, 75, 25, 45, 40, 100 d) 0, 12, 30, 60, 24, 18, 66, 36, 48, 72 e) 0, 28, 98 f ) 0, 32, 80, 24, 40, 48, 72, 64 g) 0, 99, 18, 36, 45, 72, 81 h) 0, 50, 30, 60, 80, 40, 100 i) 0, 99, 66 7. a) 12 b) 24 c) 48 d) 84 e) 50 f ) 36 g) 30 h) 48 8. a) 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96 b) 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 c) 0, 36, 72 d) Que estes são múltiplos comuns de 4 e 9. e) 36 9. a)  Quando o maior for múltiplo do menor. b) 17

Capítulo 13 Página 128 Agora é com você 1. 40 maneiras 2. 32 resultados 3. 10 opções 4. a) 9 maneiras b) 9 dias c) 30 maneiras

Página 129 Agora é com você a) 143 400 carros b) 136 800 carros c) 80 400 carros d) 84 000 carros

Página 130 Superando desafios 1. c 2. e 3. d 4. c 5. b 6. b

296 pom6_291_304_gab.indd 296

5/17/15 4:02 PM

7. a) 63 b) 168 c) 9 120 399 8. b 9. e

rr tt

e)

ss

Página 132

Resgatando conteúdos 1. b 2. b 3. d 4. c 5. c 6. d 7. c 8. a 9. a 10. b 11. c 12. c 13. c 14. a 15. c 16. b 17. a 18. b 19. Só a Olimpíada de Paris, em 1900.

Unidade 4 Capítulo 14 Página 139

Waldomiro Neto

Agora é com você 1. 9 ângulos 2.

Página 142 Agora é com você 1. 1258 2. Respostas pessoais. 3. a) 508 b) 1408 4. 908; Resposta pessoal 5. a) Ângulo reto. b) Ângulo raso. c) Ângulo reto.

Página 145 Agora é com você 1. Paralelas: r e s; t e u. Perpendiculares: r e t; r e u; s e t; s e u.

b)

b) r e t; r e u; s e t; s e u c)  r e a; r e b; s e a; s e b; t e a; t e b; u e a; ueb

tt rr

ss

c) rr

tt

4.

ss

s t

r

5. 8 ângulos 6. Resposta pessoal. 7. a) 3608 b) 60 minutos ou 1 hora c) 3 horas d) 15 minutos e) 30 minutos 8. a) 308 b) 608 c) 908 d) 1208 e) 1508 f ) 1808 9. a) 1808 b) 908 c) 908  5 308; B 5 D  5 1508 10. Â 5 C 11. a) a e b; a e c; b e d; c e d; e e f b) a e d; b e c

4. A - decágono; B - octógono 5. a) 1208 b) 608 c) 1808 6.

a) 3,5 cm b) 10,5 cm c) 608 d) 1808

Página 152 Agora é com você 1. 24 cm 2. a) 1 0808 b) 3608 3. a) 608 b) 1208 c) 1808 d) 3608 4. a) 2 cm b) 20 cm c) 1448 d) 368 5. a) 3608 b) 1 8008

Página 157 Agora é com você 1. a) B e C b) B 2. a) A 2 22 cm; B 2 24 cm; C 2 20 cm; D 2 12 cm b) A 2 28; B 2 27; C 2 25; D 2 9 3. Não. 4. Respostas pessoais. 5. 88 m 6. a) Sim. b) 60 m 7. a) b)

Capítulo 15 Página 150 Agora é com você 1. Marcos acertou, e os demais trouxeram figuras que não se encaixam na definição de polígono. 2. 8 lados, 8 vértices e 8 ângulos 3. a)

b)

2. a) r e s; t e u

d)

3. a)

c)

c)

Página 160 Superando desafios 1. c 2. a

Página 161 Resgatando conteúdos 6. b 1. d 7. b 2. a 8. a 3. b 9. a 4. d 10. c 5. b

11. b 12. a 13. d 14. d 15. c

297 pom6_291_304_gab.indd 297

5/18/15 3:23 PM

16. a 17. a) No dodecágono. b) O dodecágono. 18. c 19. a

Unidade 5 Capítulo 16 Página 169 Agora é com você 1. a) dois nonos b) três sétimos c) nove décimos d) oito vinte avos e) dez vinte e um avos f ) três oitavos 2 2. a) 7 4 b) 9 c)

3 11

7 d) 18 e)

14 100

f )

5 20

3. a)

3 6

b)

6 8

9 c) 12 3 2 3 , , 6 8 12 5. Respostas pessoais. 6. a) 3 partes iguais 1 b) 3 7. a) 8 1 b) 8 4.

c)

2 8

d) 6 8 8. a) 27 cubos 1 b) 27 c) 9 cubos menores 9. a) 100 cubos 30 b) 100 10 c) 100 60 d) 100

10. a)

16 35

b)

19 35

11. a)

1 ; um meio 2

2 b) ; dois quartos 4 8 c) ; oito dezesseis avos 16 1 12. a) 8 1 b) 4 3 c) 8 13. a) Dobrando sempre ao meio, 3 vezes. b) Sim. c) 3 dobras d) Resposta pessoal.



5. a) 1808 b) 908 c) 2708 d) 368 e) 1358 f ) 3008

Capítulo 17 Página 179 Agora é com você 12 36 2 b) 6 30 c) 90 1. a)



Página 173 Agora é com você 1. a) três meios b) sete quartos c) dez sétimos d) seis quintos 2. a) 10 partes b) 2 partes 10 c) 6 2 d) 6 3. Resposta pessoal. 4. Resposta pessoal. 5. 2, 1, 3, 2, respectivamente 5 6. a) 4 1 b) 1 4 7. a) 2 b)

2 4

10 4

Página 175

f ) 8 cm

d) Porque, além de multiplicarmos ou dividimos o numerador da fração por um fator ou divisor, fazemos o mesmo com o denominador.

1 4 e 4 16 b) Sim. 2. a)

3 12 e 4 16 d) Sim. 3. a) Sim. b) Sim. 4. a) Multiplicar por 5. b) Dividir por 6. c)

3 6 9 , , 5 10 15 b) Sim.

5. a)

200 120 b) Antônio, que gastou 240 reais

6. a)

10 12 14 , , 25 30 35 8. a) 15 b) 7 c) 72 d) 9 e) 150 f ) 180 9. 1 5 2 5 3 5 4 5 5 2 4 6 8 10

7.

Agora é com você 1. a) 10 reais b) 20 reais c) 50 reais 2 1 4 3 10. a) , , , d) 60 reais 4 2 8 6 2. a) 2 reais b) Sim. b) 32 alunos 3 11. a) c) 1 000 metros 10 3. a) Para as demais disciplinas havia 25 7 b) questões. Não há informação sufi10 ciente para responder à última per1 2 1 1 7 12. a) , , , , gunta. 2 3 4 6 8 b) 1 240 metros 1 1 1 2 7 b) , , , , 4. a) 20 cm 6 4 2 3 8 b) 25 cm 1 2 1 2 1 2 2 4 7 14 , 5 , 5 , 5 , 5 c) 5 c) 12 cm 6 12 4 8 2 4 3 6 8 16 d) 4 cm 1 2 1 2 1 2 2 4 7 14 , 5 , 5 5 , 5 , 5 e) 24 cm 6 12 4 8 2 4 3 6 8 16

298 pom6_291_304_gab.indd 298

5/17/15 4:02 PM

Página 183 Agora é com você 6 1 1. a) 2. a) 7 5 9 1 b) b) 10 5 1 1 c) c) 4 5 6 1 d) d) 5 5 3 1 e) e) 5 4 1 f ) 10 1 2 4 3. a) , , 2 4 8 1 b) 2 4. a) Dividiu os termos da fração por 2. b) Sim. c) Dividiu os termos da fração por 3. d) Sim. 5 2 5. a) d) 8 3 e) 4 3 b) 2 3 f ) 2 5 c) 4 7 6. a) 10 3 b) 4 2 c) 7 1 d) 4



7 e) 4 1 f ) 4 g) 3 25 h) 36

b) Não. Não. 5 c) Maior: ; menor: 6 2 3. a) 7 9 b) 5 3 c) 8

1 4

c)

1 2 3 , , 2 3 4

3 2 1 , , 4 3 2 1 6 2 8 3 9 e) 5 , 5 , 5 2 12 3 12 4 12 1 3 5 9. a) , , 8 8 8

d)

7 5 3 b) , , 8 8 8

Página 191

c)

4 13

d)

8 3

11 e) 4 f )

9 10

3 2 1 , , 4 4 4 3 2 1 5 b) 2 4 4 4 2. a)

3. a)

3 2 e 4 4

1 . 2 9 d) 13 11 e) 34 10 f ) 23

8 9 7 d) 7 c)

b)

7 8

Agora é com você 5 1 1. a) 5 15 3

Capítulo 19 Página 197 Agora é com você 6 1. a) f ) 1 5 2 12 g) b) 15 7 3 3 h) c) 10 32 1 100 i) d) 9 10 3 e) 8 1 15 5 b) 16

2. a)

8 35 7 d) 50 c)

3. Sugestões para resposta: 5 g) 4

b)

14 9

h)

11 24

c)

41 20

i)

5 6

d)

5 24

j)

3 10

e)

3 10

k)

1 2

5 7 l) 4 8 5 2. a) 10 2 b) 10 5 2 7 c) 1 5 10 10 10 f )

5 18 13 7. 15 6.

11 18 13 b) 18 c) 450 pessoas

Capítulo 18 Agora é com você 9 1. a) 15 6 b) 7

4 12 3 b) 18 1 c) 2 3 4. a) 4 1 b) 4 3 2 2 5. a) 4 4 1 b) 4 3. a)

8. a)

Página 193



5. a)

1 2

5 4 4. a) 1 500 metros 7 das bolachas. b) 16 9 c) 16

Agora é com você 1 1 1 1 1. a) , , , 6 4 3 2 b) Sim. 1 1 . c) Maior: ; menor: 2 6 5 3 2 1 2. a) , , , 6 4 3 2

2 3 6 b) 8

b)

b)

Página 187

4. a)

6. a) < d) 5 b) > e) < f ) 5 c) < 7. a) Marta. b) O candidato A. 3 8. a) 4

2 9 1 b) 8 2 c) 15 1 d) 20 4. a) 1 6 1 b) 10 4 c) Lúcia, que conseguiu de pontos. 15 5. a) 1 5 b) 8 13 c) 144 1 d) 3 a)

299 pom6_291_304_gab.indd 299

5/17/15 4:03 PM

6.

20. d 21. b

a) 10 reais b) 10 reais c) 50 reais d) 20 reais

Unidade 6

7. 1 9

Capítulo 20

Página 199 Agora é com você 9 1. a) 2

9 d) 8

3 b) 2

49 e) 6

5 c) 6

25 f ) 16

2. a)

3 2

d)

1 6

9 2 c) 1

e) 4

3. a) Sim.

b) 1

b)

4. a)

f ) 4

4 15



b) Mateus, que tem 12 anos. 7 c) 4 d) Seriam necessários 14 copos. e) R$ 72,00 f ) Os dois gastaram a mesma quantia. 5. a) 10 cm b) 6 cm c) 4 cm d) 12 cm

Página 201 Superando desafios 1. a 2. c

Página 203 Resgatando conteúdos 1. c 2. b 3. d 4. b 5. c 6. a 7. d 8. a 9. c 10. d 11. b 12. c 13. d 14. a 15. c 16. 12, 16, 9, 15, 6 1 18 100 10 40 35 55 30 17.  , , , , , , , 4 72 400 40 160 140 220 120 18. c 19. a

Página 212 Agora é com você 1. a) 2,8

d) 4,557

b) 8,23

e) 0,0039

c) 2,07

f ) 99,7

2. a)

34 100

d)

45 123 b) 1000 3 c) 1000

231 10

8 915 e) 1000 45 f ) 100

3. a) 2,49 d) 32,948 b) 0,425 e) 0,78 c) 28,72 f ) 40,004 4. Novecentos e trinta e quatro milésimos; oitocentos e cinquenta milésimos; dois inteiros e cinco décimos; dois inteiros e trezentos e quarenta milésimos; cinco décimos; sete inteiros e três décimos; dois inteiros e cento e cinquenta milésimos; três inteiros e setenta e sete centésimos. Todos 5. a) 0,6 d) 1,6 b) 0,36 e) 0,42 c) 0,35 f ) 0,25 6. a) Vermelho: 61 200 Verde: 21 200 Amarelo:

21 200

9 25

b) 0,64

Página 216 Agora é com você 23 1. a) 100 b)

7 100

c)

15 100

2. a) 34%

d)

77 100

e) 25 1 000 f ) 39 1 000

c) 33%

d) 1% e) 92% f ) 14%

3. a) 234,5 b) 14 348,2 c) 497,2

d) 0,014 e) 345,7 f ) 23 478,0

b) 5%



e) 0,6001 f ) 0,5 g) 0,015 h) 0,01234

5. a) 100 b) 1 000 c) 0,009341 d) 827,5



e) 1 000 f ) 10 g) 37 h) 177,8

6. a) 100 moedas b) 500 moedas c) 10 000 moedas d) R$ 500,00 7. 95,670; 9,5670; 0,95670

Página 218 Agora é com você 1. a) 34,09 b) 4,2031 c) 999,75 d) 44,3 e) 8,72601 f ) 9,2145 g) 54,234 h) 2 001,08 2. a) 2 : 10 b) 451 : 100 c) 1 018 : 1 000 3. a) 4,5 cm e 4,8 cm b) O segmento de 4,5 cm. c) O milímetro. 4. a) 2,3 b) Menor 5. Resposta pessoal.

Capítulo 21 Página 220

Azul: 1 8 Branco:

4. a) 9,2784 b) 7,82554 c) 75,63412 d) 0,009

Agora é com você 1. a) 70 1 2 1 0,9 1 0,07 1 0,005 b) 8 1 0,9 1 0,007 c) 400 1 50 1 6 1 0,2 1 0,03 1 0,009 d) 80 1 1 1 0,3 1 0,02 1 0,009 1 0,0006 e) 0,4 1 0,05 1 0,009 1 0,0003 f ) 0,04 1 0,005 1 0,0007 e) 2,97 2. a) 53,384 f ) 0,4974 b) 241,222 g) 13,31 c) 3, 127 h) 50,505 d) 730, 841 3. a) 23,887 b) 96,815 c) 100,5563 d) 32,4391 e) 47,856 f ) 110,745 4. a) 0,44 b) 1,09 5. a) 0,0085; 0,0105; 0,0125 b) 0,2004; 0,2504; 0,3004 6. a) R$ 280,69 b) 1,60 metros c) R$ 9,48

300 pom6_291_304_gab.indd 300

5/17/15 4:03 PM

Página 222 Agora é com você 1. a) 23,247 b) 3,755 c) 10,342 d) 28,3711 2. a) R$ 0,25 b) R$ 4,50 c) R$ 12,90 3.

e) 9,9899 f ) 10,276 g) 6,705 h) 2,23

Página 229

Valor da compra

Quantia que tenho

Quanto falta

R$ 120,00

R$ 100,50

R$ 19,50

R$ 250,00

R$ 99,25

R$ 150,75

R$ 200,00

R$ 70,50

R$ 129,50

R$ 530,00

R$ 179,50

R$ 350,50

R$ 100,00

R$ 10,20

R$ 89,80

4. a) 0,92; 0,89; 0,86 b) 6,65; 5,8; 4,95 5. a) 12,2 b) 18,1 c) 142,3 d) 427 e) 1,886 f ) 23,14 6. a) R$ 55,25 b) 1,87 metros c) 13,5 8C d) 7,75 quilômetros

g) 44,333 h) 132,84 i) 9,64 j) 29,814 k) 5,06 l) 143,59

Página 224 Agora é com você 1. a) 228,78 b) 722,89 c) 70,56 d) 380 e) 108,9 f ) 23,4 g) 10,89 h) 0,66 i) 1 227 2. a) 0,048 b) 11,88 c) 236,208 d) 686,84 e) 99,22 f ) 2,882 g) 1 003,904 h) 3,61 i) 364,644 3. a) 344 b) 1 c) Não se altera. d) Não se altera. 4. 5.

6. a) R$ 482, 30; R$ 32,30 b) R$ 25,10 7. a) 58,5 b) 20,19 c) 2,36 d) 5,6 e) 0,57 f ) 10,98

a) 1 202 340; 12 023 400; 120 234 000 b) 0,32; 0,64; 1,28 c) 3,24; 9,72; 29,16 d) 640; 2 560; 10 240 a) R$ 8,00 c) R$ 50,00 b) R$ 30,00 d) R$ 50,00

Agora é com você 1. a) 4,4 b) 31,25 c) 7,5 d) 3,5 e) 5,5 f ) 28,8 g) 28,125 h) 30,25 2. a) 62,857142 b) 3,142857 c) 133,3 d) 9,6 e) 94,4 f ) 91,83 g) 12,857142 h) 11,1 3. a) 62,857 b) 3,143 c) 133,333 d) 9,667 e) 94,444 f ) 91,833 g) 12,587 h) 11,111 4. a) R$ 33,33, R$ 33,33 e R$ 33,34 b) Seis parcelas de R$ 142,85 e uma parcela de R$ 142,90. c) 89,99999999; A divisão resulta em uma dizíma periódica. Ao efetuar a multiplicação utilizamos um valor aproximado, por isso também chegamos a um resultado aproximado. 5. a) 0,222... b) 0,444... c) 1,83333... d) 0,254254254... e) 5,83333... f ) 13,333...

Página 232 Agora é com você 1. a) 6,22 b) 4,15 c) 33,11 d) 15,85 e) 12,72 f ) 0,512 g) 0,04 h) 0,049 2. a) 180 b) 51 200 c) 30 d) 400

e) 600 f ) 1 000 g) 3 200 h) 250 3. a) 0,3 b) 0,11 c) 1,2 d) 360 e) 156,25 f ) 3,4 g) 66,5 h) 0,4 4. a) 12 b) 11 c) 12 d) 80 e) 3 f ) 100 g) 0,06; 0,6; 6; 60 h) 18; 180; 1 800; 18 000 5. a) 80 moedas b) R$ 2,75



c) R$ 0,35



c) 1 125 d) 1 500

CAPÍTULO 22 Página 236 Agora é com você 1. a) 375 b) 750 22 2. a) 100 b)

5 100

c) 44 100 98 d) 100 e)

11 100

f )

60 100

d) 39% 3. a) 2% e) 99% b) 87% f ) 48% c) 25% 4. a) 3% b) 45% c) 67% d) 12% e) 0,1% f ) 0,4% 5. a) 40% b) 33,3% c) 6,66% d) 1,25% e) 1,42% f ) 30% 6. a) 10% b) 20 c) Mais que 1%. d) Correspondem a 25%. 7. a) R$ 285,00 b) 55% de 460 = 253 meninas

301 pom6_291_304_gab.indd 301

5/17/15 4:03 PM

Página 244



Superando desafios 1. a 2. c

Página 245 Resgatando conteúdos 1. d 2. a) 10,25 b) 32,89 c) 220,022 d) 4,85 e) 10,08 f ) 3

Página 252 Agora é com você 1. a) 10 metros b) 200 metros c) Decímetro. d) Milímetro. 2. a) 865 cm b) 9,523 m c) 230 dam d) 2,45 m 3. a) quilômetro b) centímetro c) metro d) centímetro 4. a) 10 milímetros b) 10 centímetros c) 100 milímetros 5. a) 2 metros e 5 centímetros b) 1 metro e 25 centímetros c) 1 metro e 93 centímetros d) 2 metros e 1 centímetro e) 1 metro e 76 centímetros f ) 1 metro e 54 centímetros 6. a) 17 cm b) 0,95 m c) 3,79 m d) R$ 58,42 e) 50 000 metros

4. b 5. c 6. d 7. c 8. d 9. c 10. d 11. a 12. b 13. b 14. c 15. c 16. a 17. a) 25,7 b) 100 c) Sim, 9. d) Sim, 44. e) 0,55 18. a) 10 b) 100 c) 1 000

Página 255

19. Tem a mesma cor: 0,28; 0,2800 e 0,280/4,0710 e 4,071/ 4,71; 4,710 e 4,7100/ 0,5 e 0,500/ 0,05 e 0,050. 20. 1,2

1,7

1,6

1,9

1,5

1,1

1,4

1,3

1,8



b) 200 moedas



c) 40 moedas

22. b 23. b 24. a 25. c 26. d 27. a 28. b 29. a 30. a) 157,5 pães

Unidade 7 Capítulo 23

3. c

21. a) 500 moedas

b) R$ 810,00 c) 300 metros d) 270 litros

Agora é com você 1. a) 13 cm b) 19,2 cm c) 22,2 cm d) 20,2 cm 2. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. d) Resposta pessoal. 3. 86 m 4. a) 21 cm b) 12 cm 5. a) 5,1 cm b) 35,72 m c) 6 240 m ou 6,24 km

Página 257 Agora é com você 1. a) 9 000 kg b) 2 300 kg c) 5 000 kg d) 8 400 kg e) 50 000 kg f ) 20 000 kg

2. a) 2,5 t b) 9,2 t c) 10,3 t d) 1,5 t e) 10,5 t f ) 3 t 3. a) tonelada b) quilograma c) miligrama 4. a) 2 500 g b) 300 g c) 2,5 g d) 1 000 000 g e) 10 000 g f ) 0,03 mg 5. a) 1 kg b) 0,7 kg c) 0,8 kg d) 2,7 kg e) 0,35 kg f ) 3,5 kg 6. a) 525 kg b) 300 kg c) 225 kg d) 345 kg 7. a) R$ 204,00 b) 240 golfinhos c) 7,525 t

Capítulo 24 Página 261 Agora é com você 1. a) 2 cm e 3 cm b) 0,25 cm² c) 24 quadrados d) 6 cm² 2. a) 4 000 000 m² b) 0, 2570 m² c) 500 m² d) 0,02 m² e) 6 000 000 m² f ) 1,5170 m² 3. a) 2 hectares b) 2, 42 hectares c) 10 hectares d) 9, 68 hectares e) 24,2 hectares f ) 484 hectares 4. a) 8,96 m² b) 1,0574 m² c) 96 m² d) 0,1024 m² e) 5 000 000 m² f ) 9 500 000 m² 5. a) Resposta prática. b) R$ 590.450,00 c) 74 alqueires paulistas. d) Sim. 6. 9 cm2; 14 cm2; 10,5 cm2

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Página 265 Agora é com você 1. a) 15 quadrados b) 1 cm² c) 15 cm² 2. a) 24 cm² b) 54 cm² c) 78 cm² 3. a) 2,3 e 4 cm de lado, respectivamente. b) 4 cm²; 9 cm²; 16 cm², respectivamente. 4. a) 200 cm² b) 1 024 cm² c) 12,6 cm² d) 84,64 cm² 5. A: 6,25 cm²; B: 16,5 cm²; C: 8,41 cm²; D: 9,46 cm². 6. a) R$ 66.500,00 b) 420 m² c) 213,5 m² d) 135 375 cm2 e) 0,72 m² de vidro

Capítulo 25 Página 269 Agora é com você 1. a) 1 cm³ b) 125 cubos menores c) 125 cm³ 2. a) 1 000 000 cm³ b) 3 m³ c) 4 dm³ d) 2 500 000 000 cm³ e) 0,81 m³ f ) 6 000 000 mm³ 3. a) 16 cm ³ b) 32 cm³ 4. 26,1 cm³ 5. a) 5 cm³ b) 0,2 m³

Página 272 Agora é com você 1. a) 3 cm, 2 cm e 2 cm, respectivamente b) 12 cm³ 2. 8 cm³, 15,625 cm3, 27 cm3, respectivamente 3. A: 39,375 cm³ B: 40,664 cm³ 4. 10,8 m³ 5. 1 680 cm³ 6. a) 18 dm³ b) 0,018 m³ 7. a) 6 720 cm³ b) Resposta pessoal.

Página 274 Agora é com você 1. a) 10 000 L b) 1,5 L c) 3 L d) 4 500 L e) 240 L f ) 0,245 L

2. 3. 4. 5.

a) 2 500 L b) 28 000 L c) 25 L d) 4,8 L e) 800 L f ) 230 L 17 000 litros 25 caixas cheias a) 7,2 L b) 75 000 L c) 125 mL



c) 2 500 cm



d) 50 cm



e) 3,8 m



f ) 950 m

23. 22 metros 24. 38 cm 25. a) 14 m

b) 12 m

26. 1,19 m 27. a) Resposta pessoal.

Capítulo 26

b) Resposta pessoal.

28. a) 20 cm

Página 277

b) 16 cm

29. 5 250 km

Agora é com você 1. a) 150 min b) 288 min c) 120 min d) 40 min 2. a) 1 h 3 min 20 s b) 1 h 6 min 40 s c) 2 h 46 min 40 s d) 2 h 21 min 40 s 3. a) 120 minutos b) 4 horas c) 1 440 minutos d) 3 600 segundos 4. a) 10 h 58 min 50 s b) 70 segundos 5. a) 12 h 1 min 52 s b) 1 minuto e 52 segundos c) 3 488 segundos

30. a) 1,5 t

Capítulo 27

35.



b) 1 250 000 g



c) 0,3 kg



d) 0,8 t

31. a) R$ 23,75

b) 20 sacos



c) 675 kg



d) 30,63 arrobas



e) 68,1 arrobas

32. 24,5 cm2 33. a) 162 cm², 72 cm², 90 cm², 72 cm², 36 cm², 108 cm², 9 cm², 18 cm², 54 cm², 135 cm², 216 cm², 324 cm²

b) 1 296 cm²



c) 0,1296 m²

34. a) Quadriplica a área.

b) Duplica a área.

Área (hec)

Página 284

15 258 138,8

Agora é com você

14 281 458,5

1 1.  5 0,25 ou 25% 4

157 074 568,0

1 2.  5 0,1 ou 10% 10

23 757 616,7

124 768 951,5 22 429 898,0

Página 285

36. b

Superando desafios 1. d 2. c 3. d

37. a) 12 cm³

Página 286

39. a) 1 500 L

Resgatando conteúdos 8. c 1. b 9. a 2. d 10. c 3. a 11. b 4. c 12. d 5. b 13. c 6. d 14. c 7. c 22. a) 3 200 m b) 9 500 cm



b) 1 cm³

38. a) 32 cubos

15. b 16. c 17. a 18. b 19. c 20. d 21. c

b) 32 cm³



b) 25 000 L



c) 9,6 L



d) 460 L

40. a) 1 000 L

b) 8 000 L



c) 64 000 L



d) 1 000 L

41. Resposta pessoal. 42. Resposta pessoal.

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Referências ALBRECHT, J. Resolução de problemas matemáticos: uma abordagem metodológica da proposta educação para o pensar. São Paulo: Editora Clube dos Autores, s/d. BAYÓN, M. I. V; Saldaña, M. A. H.; Fernández, J. R. ; Fernández, M. M. Projeto de Inteligência Harvard: resolução de problemas. Madrid: Ciencias de la Educación Preescolar y Especial (CEPE), s.d.  BOYER, Carl B., História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.  BROLEZZI, A. C. Criatividade e resolução de problemas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2013. CAVALCANTI, Cláudia T. Diferentes formas de resolver problemas. In: SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez (Org.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed editora, 2001. COVER, Front; MILIES, Francisco C. P; COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática. São Paulo: Edusp, 2001. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997. MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado:  como o acaso determina nossa vida. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. ROQUE, Tatiana. História da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. SILVA, C. M. S. Explorando as operações aritméticas com recursos da história da Matemática. Brasília: Plano editora, 2003. SOUZA, Júlio César de Mello. Matemática divertida e curiosa. 10. ed. Rio de Janeiro: Record, 1998. STEWART, Ian. Almanaque das curiosidades matemáticas. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. _______. Incríveis passatempos matemáticos. Trad. Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Zahar, 2010.

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MATEMÁTICA

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Professor

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Sumário 1. Apresentação............................................................................. 307

MANUAL DO PROFESSOR

2. Orientações didáticas e metodológicas.......................................... 308 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano)..........................................................308 2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental............................................................309 2.2.1 Números e operações ...........................................................................................311 2.2.2 Álgebra..................................................................................................................311 2.2.3 Geometria ............................................................................................................312 2.2.4 Grandezas e medidas ...........................................................................................313 2.2.5 Estatística e probabilidade ...................................................................................313 2.3 A postura do professor......................................................................................................315 2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas.............................................316 2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ..................................................316 2.4.2 Comunicação em Matemática...............................................................................316 2.5 Interdisciplinaridade ........................................................................................................317 2.6 Resolução de problemas .................................................................................................317 2.7 Avaliação .........................................................................................................................318 2.8 Recursos didáticos ..........................................................................................................318 2.8.1 Calculadora ..........................................................................................................319 2.8.2 Computador e internet .........................................................................................319 2.8.3 Softwares matemáticos ........................................................................................320 2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra .......................................................................320 2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor............................................322

3. Estrutura e organização do Projeto ............................................... 322 4. Quadros de conteúdos ................................................................. 325 5. Orientações didáticas do volume .................................................. 334 6. Referências ............................................................................... 384

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Cada educador matemático carrega consigo seus conhecimentos, valores e crenças sobre o processo de ensino e aprendizagem. Independentemente de nossos valores e crenças, não podemos deixar de observar o desenvolvimento e as transformações ocorridas na sociedade atual. Com um simples clique, os alunos têm a sua disposição uma enormidade de informações e podem, muitas vezes, acompanhar em tempo real o que acontece a milhares de quilômetros de distância de onde estão. Acreditamos que um de nossos desafios reside em “como” educar esse “homem tecnológico”, a fim de prepará-lo para atuar de forma consciente e autônoma nesta sociedade. Além disso, percebemos que na sociedade atual os motivos para se ensinar Matemática talvez não sejam simplesmente os transcendentais explicitados por Platão, e sim as necessidades práticas de poder entender e utilizar com proveito as tecnologias modernas, atuar de forma plena no campo do trabalho e nas inúmeras situações do cotidiano. Dessa forma, o sentido da Matemática deve ser um constante equilíbrio entre a Matemática Formativa e a Matemática Informativa; a primeira mais estável e a segunda mais mutável, percebendo-se, inclusive, o tempo, o lugar e a finalidade perseguida pelos alunos. Para tal, é imprescindível decidir os conteúdos e também a metodologia mais conveniente. Diante desses apontamentos, precisamos, como educadores, observar e compreender melhor as possíveis habilidades e capacidades propiciadas pelo dinamismo da sociedade informatizada e suas possíveis lacunas. É provável que nossos alunos percam em precisão de raciocínio e em capacidade para análises detalhadas de problemas, pois muitas vezes são obrigados a agir e tomar decisões muito rapidamente. No entanto, por haver facilidade de formulação dos problemas em programas calculáveis, por exemplo, não há

necessidade de economizar em número de operações, já que a velocidade das máquinas torna praticável o método do ensaio e do erro, no qual os alunos testam soluções até encontrar e ajustar o correto. Observando esses dois apontamentos, é possível perceber que é necessário um repensar constante, a fim de avaliar a forma e o procedimento mais adequados em cada uma das situações. Ao elaborarmos este Projeto, procuramos contemplar o equilíbrio citado e, para isso, foram idealizados diferentes momentos de aprendizagem que possibilitam a você, professor, e ao aluno explorações diversificadas e significativas que visam ao desenvolvimento integral de cada um. Ao longo deste Projeto, você encontrará: • pequenos textos e questões disponibilizados nas páginas de abertura, cujo objetivo é sondar o conhecimento que os alunos já têm sobre o tema e o conteúdo propostos na referida unidade. Sabemos o quanto é importante o conhecimento trazido por cada um deles para, com base nisso, desenvolver habilidades cognitivas; • sugestões de leitura e pesquisa nas quais os alunos são convidados a analisar dados e interpretá-los utilizando-se, inclusive, das novas tecnologias. Nossa sociedade precisa de cidadãos críticos e criativos, capazes de produzir conhecimento, e buscamos ajudá-los a alcançar esse desenvolvimento; • sugestões de trabalho para serem realizados em duplas ou pequenos grupos, propiciando a interação social entre os alunos. Essa dinâmica busca não só compartilhar e socializar conhecimentos como também favorecer o levantamento de hipóteses e estratégias, que é uma importante ferramenta para a construção do pensamento matemático; • conexões dos conteúdos de Matemática entre si e da Matemática com as demais disciplinas;

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1. Apresentação

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• problemas rotineiros e não rotineiros. Acreditamos que quem determina o grau de desafio de um problema é quem o resolve. Dessa forma, inserimos ao longo da coleção uma diversidade de problemas para que eles vivenciem diferentes explorações. Salientamos que, além de resolver problemas, em determinados momentos os alunos são chamados a elaborá-los; • sugestões de trabalhos que envolvam o uso de materiais concretos, visando, além da manipulação, à teorização. Lembramos que neste momento é necessário um trabalho cuidadoso para que o material não assuma o principal papel no ensino e seja percebido como um instrumento facilitador da aprendizagem; • situações que apresentam e abordam a história da Matemática e a Etnomatemática e possibilitam a ampliação do olhar para a diversidade e a pluralidade cultural, enfatizando, inclusive, o respeito e a valorização das diferentes culturas.

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Esperamos que este manual possa servir de instrumento às suas discussões pedagógicas, auxiliando-o na elaboração de seus projetos educativos e no planejamento e avaliação de suas aulas de Matemática.

2. Orientações didáticas e metodológicas 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano) A proposta deste Projeto está fundamentada nos documentos oficiais que tratam da educação básica, tais como a Lei nº 9.394, que estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB); as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da

Educação Básica (DCNs); o Plano Nacional de Educação (PNE), aprovado pelo Congresso Nacional em 26 de junho de 2014, e o Plano Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (Pnaic) de 2014, além de pesquisas atuais sobre Educação Matemática. Conforme documento oficial elaborado pelo Ministério da Educação em 2013, o objetivo das Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica é orientar a organização, a articulação, o desenvolvimento e a avaliação das propostas pedagógicas de todas as redes de ensino brasileiras. A ideia explicitada nas DCNs é considerar o tempo escolar desde a infância até a juventude, ou seja, um tempo de aproximadamente 14 (catorze) anos. Tais diretrizes resultam de um amplo debate e visam tornar-se um instrumento efetivo para a reinvenção da educação brasileira e a construção de uma nação cada vez mais justa, solidária e capaz de desenvolver suas inúmeras potencialidades. Cabe ressaltar que os documentos oficiais descritos anteriormente também trazem à tona as discussões elucidadas na abertura deste manual, ou seja, retratam o cenário no qual se encontram o ensino e a aprendizagem da Matemática. Relatam, inclusive, o constante desafio de reverter um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significado para o aluno, em um ensino que torne os conhecimentos matemáticos acessíveis a todos (democratização do ensino da Matemática), e apresente a Matemática como um importante componente na construção da cidadania. [...] A Matemática é uma atividade humana, faz parte de nossa cultura, além de ser uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas, tanto os problemas do dia a dia que os indivíduos enfrentam nas suas tarefas cotidianas, como os mais complexos que aparecem em atividades profissionais e científicas. Porém, a Matemática tem muitos aspectos e níveis de complexidade que devemos considerar quando organizamos seu ensino, passando das atividades lúdicas

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2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental Conforme explicitado nas Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica, é importante, além de fazer uma criteriosa seleção de saberes em termos de quantidade, pertinência e relevância, equilibrar a distribuição desses ao longo dos anos escolares. Sabemos que fazer essas escolhas não é tarefa simples e requer um olhar amplo e, ao mesmo tempo, focado, para atender às demandas particulares de cada grupo escolar com os quais trabalhamos. É importante salientar que nós, os idealizadores deste projeto, também tivemos de fazer escolhas e, como mencionado anteriormente, buscamos realizar uma criteriosa seleção de conteúdos e atividades. Neste momento, convidamos você, professor, a percorrer conosco esse caminho para torná-lo mais significativo aos alunos. Sabemos que, além de ter o domínio do conteúdo essencial, é importante ter informações sobre a história dos alunos e saber quais conhecimentos prévios eles trazem, além de saber de que forma conseguem resolver problemas que envolvem conteúdos matemáticos. Para ampliar essa discussão, trazemos mais algumas ponderações a respeito da seleção e organização dos conteúdos. A primeira delas diz respeito à potencialidade de cada conteúdo, ou seja, cada conteúdo deve ser selecionado levando-se em consideração seu potencial, seja instrumentalizar para vida, seja desenvolver o raciocínio. A segunda trata da organização dos conteúdos e, neste momento, o documento menciona que não é raro encontrar

uma forma excessivamente hierarquizada em que predomina a ideia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura lógica da Matemática que, por vezes, desconsidera as possibilidades de aprendizagem dos alunos. E, para finalizar esta reflexão sobre a seleção dos conteúdos e até a divisão em campos da Matemática ou eixos, reproduzimos duas citações que refletem a importância de propiciar aos alunos situações que os levem a estabelecer relações entre esses eixos ou campos. A fragmentação e o tratamento isolado de conteúdos é uma abordagem nociva para a aprendizagem de ideias, conceitos e procedimentos matemáticos. A exposição de tópicos desconectados contribui para que os alunos percam a noção do todo e, em consequência, do processo que caracteriza o desenvolvimento do pensamento matemático. O próprio termo “fragmento”, em sua origem etimológica, expressa isso. Fragmento: s. m. pedaço de coisa que se quebrou, cortou, rasgou, etc. (HOUAISS; et al. apud Pnaic, 2014). O contraponto a esta visão é uma Educação Matemática que valoriza as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Uma Matemática viva na qual os alunos são os sujeitos, problematizando, pondo coisas em relação e raciocinando. E studos indicam que, quando o aluno tem opor tunidade de relacionar ideias matemáticas, sua compreensão é mais profunda e duradoura (Pnaic, 2014, p. 26).

Ainda abordando a análise e seleção dos conteúdos e, consequentemente, o planejamento e replanejamento de ações pedagógicas, apresentamos a seguir as cinco competências elementares almejadas na educação básica, que foram descritas no referencial teórico do Enem e que estão destacadas na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008, p. 43).

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às aplicações práticas, sem perder de vista que também é uma ciência abstrata e, como tal, deve ser tratada no momento adequado, respeitando o desenvolvimento cognitivo das crianças (Pnaic, 2014, p. 6).

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• Competência I à capacidade de expressão em diferentes linguagens, incluídas a língua materna, a Matemática, as artes, entre outras; • C o m p e t ê n c i a I I à c a p a c i d a d e d e compreensão de fenômenos, que incluem desde a leitura de um texto até a “leitura” do mundo; • Competência III à capacidade de contextualizar, de enfrentar situações-problema, ficando implícita a valorização da imaginação, da necessária abstração quando se criam novos contextos; • Competência IV à capacidade de argumentar de modo consistente, de desenvolver o pensamento crítico; • Competência V à capacidade de decidir, após as análises argumentativas, e elaborar propostas de inter venção solidária na realidade.

Diante das competências citadas, é possível perceber que, em parceria com a língua materna, a Matemática se constitui em um:

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[...] recurso imprescindível para uma expressão rica, uma compreensão competente, uma argumentação correta, um enfrentamento asser tivo de situações-problema, uma contextualização significativa dos temas estudados e, simultaneamente, um exercício de imaginação que pode extrapolar os limites de qualquer contexto (SÃO PAULO, 2008, p. 44).

Para complementar nossa discussão sobre os conteúdos específicos, selecionamos alguns trechos que tratam dos cinco eixos ou campos da Matemática: Números e operações (Aritmética); Álgebra; Geometria; Grandezas e medidas; e Estatística e Probabilidade (Tratamento da Informação). Esses eixos foram retirados de uma das inúmeras propostas curriculares com o objetivo de despertar o olhar do professor para a existência desse importante documento elaborado pelas Secretarias de Educação. As propostas curriculares trazem alguns princípios orientadores que merecem especial atenção e estudo. Portanto, sugerimos que

cada educador faça uma seleção e estudo da proposta curricular de seu estado (se houver). A seguir apresentamos alguns trechos da Proposta Curricular do Estado de São Paulo: O trabalho com o eixo números tem por objetivo principal a ampliação da ideia do campo numérico por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade. [...] Espera-se, ao final da escolaridade fundamental, que o aluno reconheça e saiba operar no campo numérico real, o que constituirá a porta de entrada para aprofundamentos, sistematizações e o estabelecimento de novas relações no Ensino Médio. O estudo de sucessões numéricas, números irracionais e aproximações racionais usadas em problemas práticos, bem como a extensão do campo numérico para os complexos, constitui o mote central para o desenvolvimento do eixo números no Ensino Médio. (p. 45) Em geometria, o Ensino Fundamental deve ocupar-se inicialmente do reconhecimento e da representação e classificação das formas planas e espaciais, preferencialmente trabalhando em contextos concretos com as crianças de 5a a 6a série (6o e 7o anos), e com ênfase na articulação do raciocínio lógico-dedutivo nas 7a e 8a séries (8o e 9o anos). [...] A interpretação de que a geometria plana é um assunto do Ensino Fundamental e a espacial e analítica são do Ensino Médio é muito frequente em propostas curriculares, mas não traduz a necessidade permanente de imbricação de tais temas nos dois níveis de ensino. Em contrapartida a essa visão, entendemos que a geometria deve ser tratada ao longo de todos os anos, em abordagem espiralada, o que significa dizer que os grandes temas podem aparecer tanto nas séries do Ensino Fundamental quanto nas do Ensino Médio, sendo que a diferença será a escala de tratamento dada ao tema. (p. 45 e 46) O par gr andezas e medidas parece especialmente adequado para favorecer a interdisciplinar idade, e mesmo a transdisciplinaridade, uma vez que suas conexões com os eixos de números e geometria se dão quase naturalmente. (p. 46)

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2.2.1 Números e operações Conforme descrito no Pnaic (2014), no ensino da Matemática é importante valorizar as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Portanto, é fundamental propor aos alunos situações-problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e os significados das operações em diferentes contextos, inclusive, nos contextos da própria Matemática. Em toda a obra, buscou-se, em inúmeras passagens, explorar esse recurso pedagógico por meio da proposição de situações próximas ao cotidiano dos alunos, nas quais foram exigidas e desenvolvidas habilidades numéricas como as de classificar, ordenar, quantificar, medir, comparar e relacionar, que cooperam para a compreensão do sentido numérico, bem como o significado das quatro operações básicas. Por vezes, foram utilizados referenciais históricos para fomentar discussões em sala de aula, cuja proposta era a de prover recursos para a compreensão dos diferentes sistemas numéricos, suas regras e processo de formação. Como mencionado anteriormente, na perspectiva de explorar os campos operatórios, buscou-se sugerir tarefas individuais ou em grupo para fazer com que os alunos argumentem, levantem hipóteses e demonstrem as propriedades comutativa, distributiva, associativa e elemento neutro. Nesse sentido, procurou-se apresentar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), construindo o significado de cada uma delas.

Para o desenvolvimento do sentido numérico e dos significados das operações, procuramos apresentar a aplicação dos números naturais, inteiros e racionais (representação fracionária e decimal) em diferentes contextos, possibilitando o estudo reflexivo de cálculo exato e aproximado, mental e escrito. Buscou-se, por exemplo, estabelecer relação entre os números naturais por meio das noções de “ser múltiplo” e de “ser divisor de”. Para essa finalidade, foram propostas atividades em diferentes contextos. As formas de representação (decimal e fracionária) dos números racionais foram exploradas, bem como as regras operatórias dessas duas formas. Procurou-se também utilizar a reta numérica para representar os números racionais e suas diferentes apresentações. Foi sugerida, por exemplo, uma atividade em que o aluno deveria posicionar corretamente os números de acordo com sua posição na reta numérica. Assim, é possível explorar os conceitos de comparação (maior, menor e igual) e, consequentemente, o de ordenação. No segundo ciclo (8o e 9o anos), foi dada ênfase às operações de potenciação e radiciação. Na mesma perspectiva do ciclo anterior, foram propostas situações-problema em diferentes contextos para significar o uso dessas operações. Por exemplo, as potências de 10 são apresentadas como forma de representação para números muito grandes ou pequenos, cuja utilização é exigida em diversas áreas de conhecimento. Foram propostas diferentes técnicas para extração da raiz quadrada de um número, exata ou aproximada, bem como o uso de recursos tecnológicos, como a calculadora, para essa finalidade.

2.2.2 Álgebra Por meio de atividades que envolvem a identificação de padrões e regularidades para a criação de generalizações, buscou-se o desenvolvimento do pensamento algébrico durante os dois ciclos (6o ao 9o ano). De acordo

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Em relação ao tratamento da informação, [...] não faltam justificativas razoáveis para sua exploração ao longo das sete séries escolares (9 anos). Retomando uma vez mais nossa perspectiva de que os conteúdos disciplinares são meios para a formação dos alunos como cidadãos e como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao eixo argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da informação (p. 47).

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com Vale et al. (2006), a integração de tarefas de investigação com padrões no currículo da Matemática escolar assume um papel de destaque na abordagem da Álgebra. De forma gradual, a obra proporcionou a passagem do conhecimento aritmético para o algébrico, bem como a definição dos conceitos de incógnita, equação, variável e função. Além do papel desempenhado pela Álgebra no desenvolvimento do raciocínio lógico para resolução de situações-problema, foram propostas abordagens de fórmulas utilizadas em outras áreas de conhecimento e suas aplicações. Dessa forma, desperta-se o interesse dos alunos e eles compreendem a importância desse estudo. Diferentes formas de representação foram utilizadas para a construção do conhecimento algébrico, expressões, equações, tabelas, gráficos, representações geométricas e a conversão entre eles. Segundo Duval (2003), [...] a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar, a todo o momento, de registro de representação.

O que Duval salienta é que não é possível garantir a aprendizagem se o foco do ensino estiver apenas nos tratamentos.

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Ainda por Duval (1995) apud Almouloud (2010, p. 207), [...] para o sujeito aprender é necessário considerar seu modo de funcionamento cognitivo por meio da coordenação de registros de representação semiótica, e deve ser efetuada pelo menos uma conversão de dois registros de um objeto. [...], se num nível cognitivo o aluno conseguir realizar as mudanças de registros as mais variadas possíveis para um determinado objeto matemático, então aprenderá matemática.

Com base no que foi exposto até aqui, procuramos fundamentar o ensino da Álgebra na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval, na busca por padrões e generalidades com o objetivo de tornar

significativo o processo de ensino e aprendizagem desse domínio de conhecimento. Como meio pedagógico para o ensino da Álgebra, apoiamo-nos em recursos tecnológicos e lúdicos com a finalidade de atender a diversas expectativas dos alunos em sala de aula.

2.2.3 Geometria Como proposta inicial, com o objetivo de motivar o ensino e a aprendizagem da Geometria, buscou-se incentivar os alunos a observar o mundo real e sua relação com os objetos matemáticos estudados em sala de aula. É interessante levá-los a associar os temas abordados durante os estudos de espaço e forma com a realidade observada ao redor. A identificação desses elementos pode revelar ao aluno a relevância da Matemática para as diversas áreas do conhecimento. De acordo com a visão crítica formada com base nessas constatações, foram formuladas situações-problema usando a leitura de plantas, croquis, mapas e outros recursos, a fim de despertar o interesse dos alunos pelo estudo da Geometria e sua utilidade na solução de problemas reais. Os problemas formulados exigem conhecimentos matemáticos e numéricos para o cálculo de áreas, perímetros e comparação entre eles. A composição e a decomposição de figuras também foram exploradas como recurso para o cálculo de áreas. Por meio da confecção de materiais concretos, os alunos poderão desenvolver habilidades que cooperam para o domínio do conhecimento de espaço e forma. Para a confecção desses materiais utilizaram-se dobraduras, recortes e colagem, bem como instrumentos de construção, como esquadro, compasso e transferidor, o que contribui para o desenvolvimento de habilidades e o conhecimento de como devem manusear esses instrumentos. A manipulação dos materiais lúdicos nas versões bidimensionais e tridimensionais ajuda os alunos a explorar concretamente os

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Por vezes, tarefas exigem dos alunos a argumentação e o levantamento de hipóteses sobre as propriedades geométricas estudadas em diferentes objetos matemáticos, como polígonos, sólidos geométricos e figuras planas. Para isso, além dos objetos confeccionados, a obra propicia o uso da tecnologia ao sugerir softwares de geometria dinâmica. O uso de recursos tecnológicos favorece o estudo de conteúdos, por exemplo, semelhança entre triângulos, e a constatação de que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, pois a possibilidade de redução e ampliação do mesmo objeto matemático favorece a identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). A localização da posição de um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas é explorada de forma interdisciplinar ao propor o estudo das coordenadas geométricas para a localização de pontos no globo terrestre. Para todas as atividades foram exigidas a utilização de nomenclaturas de acordo com a linguagem formal da Matemática e a representação de unidades de medidas conforme a grandeza observada e suas conversões.

2.2.4 Grandezas e medidas No bloco “Grandezas e medidas”, destacam-se a relevância social desse tema e sua aplicação em diferentes áreas de conhecimento, inclusive, nos campos conceituais da própria Matemática, como descrito no Pnaic (2014). [...] Medidas é uma conexão natural entre números e geometria. As nossas crianças devem aprender a lidar, naturalmente, com situações de medição e as coisas que serão medidas devem ser pensadas de modo a levá-las a explorar e ampliar o seu domínio sobre os objetos e formas que são estudados no campo da Geometria (Pnaic, 2014, p. 35).

Em todos os conteúdos abordados foram exploradas habilidades que exigiam conhecimento sobre o bloco “grandezas e medidas”. Esse domínio de conhecimento não é exclusivo da Matemática. Expressar uma medida por meio de uma grandeza é necessário em várias áreas de conhecimento. Em diferentes momentos, buscou-se apresentar instrumentos de medição com diversos propósitos, enfatizando a respectiva grandeza e seus padrões de conversão. De forma crítica, procurou-se discutir o arredondamento de medidas, como aproximações para os valores de p, quando era necessário fazer o cálculo do comprimento de uma circunferência.

2.2.5 Estatística e Probabilidade

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Nesta obra, abordam-se as noções de Estatística e Probabilidade situadas em contextos que propiciam a construção de uma visão crítica, cujo propósito é contribuir com a educação para a cidadania. Com essa proposta procurou-se desenvolver as três competências que norteiam as principais metas para o ensino da Estatística: a literacia estatística, o pensamento estatístico e o raciocínio estatístico. Pautamo-nos nas definições dessas competências, apresentadas pelos autores a seguir, a fim de traçar estratégias para seleção dos conteúdos e elaboração das atividades a serem desenvolvidas para o ensino da Estatística. Garfield (1999) define a literacia estatística como sendo o entendimento da linguagem estatística, ou seja, sua terminologia, símbolos e termos, a habilidade de interpretar gráficos e tabelas, de entender as informações estatísticas que estão nos jornais e outras mídias. De acordo com Mallows (1998) apud Campos (2007, p. 53), o pensamento estatístico pode ser inicialmente imaginado como: [...] sendo a capacidade de relacionar dados quantitativos com situações concretas, admitindo a presença da variabilidade e da incerteza, explicitando o que os dados podem

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conteúdos teóricos estudados, como planificações, relação entre número de faces, vértices e arestas, e outras propriedades geométricas.

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dizer sobre o problema em foco. O pensamento estatístico ocorre quando os modelos matemáticos são associados à natureza contextual do problema em questão, ou seja, quando surge a identificação da situação analisada e se faz uma escolha adequada das ferramentas estatísticas necessárias para sua descrição e interpretação.

identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

De acordo com Garfield (2002) apud Campos (2007, p. 56), o raciocínio estatístico pode ser definido como:

Sobre a presença da Estatística no cotidiano, Campos (2007, p. 122) afirma que:

[...] a maneira com a qual uma pessoa raciocina com ideias estatísticas e faz sentido (make sense) com as informações estatísticas. Isso envolve fazer interpretações sobre dados, representações gráficas, construção de tabelas etc. Em muitos casos, o raciocínio estatístico envolve ideias de variabilidade, distribuição, chance, incerteza, aleatoriedade, probabilidade, amostr agem, testes de hipóteses, o que leva a interpretações e inferências acerca dos resultados. A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo, embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade. Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia a dia. Além disso, calcular algumas medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem

A Estatística é pródiga em aplicação de seus conteúdos na vida real. Vivemos cercados de números, de estatísticas, vivemos um constante exercício de comparação, somos permeados de índices que nos acompanham desde a infância, desde o garoto que constrói estatísticas (mesmo que mentalmente) de seu desempenho como artilheiro de futebol ou cestinha do time de basquete ao adulto que precisa decidir por uma ou outra forma de investimento, desde o trabalhador que precisa lutar por índices de reajuste salarial e que vive às voltas com alíquotas de imposto de renda à dona de casa que precisa administrar o orçamento familiar e ficar atenta aos reajustes dos preços dos bens e serviços que consome. Os jornais diários são ricos em gráficos, índices e análises comparativas de todas as espécies. Os profissionais dos mais diversos ramos utilizam a Estatística em seu trabalho, desde médicos, psicólogos, esportistas, até técnicos de nível médio.

As atividades propostas buscaram desenvolver habilidades de coleta e organização dos dados, e ainda suas diferentes representações gráficas, bem como sua interpretação. Os conceitos de moda, média e mediana foram abordados de forma a ir além de sua definição como algoritmos, ou seja, como elementos para interpretar os dados estatísticos. Os conceitos sobre probabilidade foram introduzidos como raciocínio de incerteza, com o propósito de levar os alunos a entender e usar as ideias de chance e aleatoriedade para julgar eventos, como simulações com moedas ou diagramas de árvore, que ajudam a interpretar diferentes situações.

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2.3 A postura do professor Ao longo deste manual, pudemos refletir sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática e ainda apresentar algumas escolhas e proposições desta coleção. Sabemos o quão delicado é refletir sobre a postura do professor, mas também sabemos que, sem essa reflexão, todas as intenções, os estudos e as reflexões ficam esvaziados de sentido. [...] Para trabalhar a Matemática de maneira alternativa é necessário acreditar que de fato o processo de aprendizagem da Matemática se baseia na ação do aluno em resolução de problemas, em investigações e explorações dinâmicas de situações que o intrigam [...]. (D’Ambrósio, 1993, p. 38).

Além dessa citação, gostaríamos de acrescentar uma contribuição que acreditamos ser de grande valia para esta discussão. Yves Chevallard (2005) apresenta o conceito de transposição didática e discute de forma aprofundada o papel do professor nesse processo. Segundo ele, o professor deve operar uma transposição didática do saber (que surge da pesquisa) ao saber ensinado (aquele que se pratica em sala de aula). Acrescenta à esta discussão todo o cenário no qual se dá esse processo, inclusive, o ambiente social mais amplo. Podemos perceber, portanto, que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo, que precisa de inúmeras mediações e dos três polos sempre juntos: o professor, o saber e o aluno. Chevallard (1991), ao falar sobre o “saber”, menciona que ele foi transformado em “substância” e que, embora esteja materializado em livros ou máquinas, é “objetivado” somente pela atividade de troca

crítica entre os seres humanos. Segundo ele, o saber não está nos livros, e sim na compreensão do livro. Diante dessas colocações, fica claro o papel do livro didático como uma importante ferramenta para o aluno e para o professor. Como pudemos ver, é importante que o professor reconheça as principais características da Matemática, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações e ainda conheça a história de vida de seus alunos e tenha clareza de suas próprias crenças e concepções a respeito da Matemática, seu ensino e sua aprendizagem, pois sabemos que nossas escolhas e práticas pedagógicas estão intimamente ligadas a essas concepções e crenças. Como educadores, devemos ter em mente que os alunos interpretam termos e conceitos de maneira original, que, em geral, não correspondem ao que esperamos. Por isso, precisamos ser claros sobre o que de fato desejamos. Além disso, ao contrário do que se possa pensar, o trabalho do professor e seu real papel não perdem importância. O professor passa a ter outras funções, que descrevemos a seguir. • Organizador da aprendizagem: o professor deve, além de conhecer as reais condições socioculturais dos alunos, ter em mente as expectativas deles. Um ponto importante nessa função é a escolha de situações e problemas que possibilitarão a construção do conhecimento. • Consultor do processo: cabe ao professor fornecer informações necessárias para que o aluno, com autonomia, construa o conhecimento. • Mediador: deve promover as condições para que haja a intervenção de cada aluno, a fim de que ele exponha sua solução, questione, quando necessário, e conteste, se for o caso. • Controlador e incentivador: o professor deve estabelecer condições e prazos

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Em resumo, procurou-se desenvolver uma educação matemática crítica, proporcionando, além da habilidade de lidar com noções matemáticas, a habilidade de aplicar essas noções em diferentes contextos e a capacidade de refletir sobre suas aplicações, exercendo uma postura crítica, desenvolvida com base no diálogo e que favorece uma aprendizagem significativa.

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para a realização das atividades, sem se esquecer de dar o tempo necessário aos alunos. Quanto ao papel de incentivador da aprendizagem, ele deve estimular a cooperação entre os alunos. A “sala de aula” se torna, portanto, um importante ambiente de aprendizagem. O Pnaic (2014) nos oferece uma reflexão sobre este espaço formativo. [...] a sala de aula deve ser vista como um ambiente de aprendizagem pautado no diálogo, nas interações, na comunicação de ideias, na mediação do professor e, principalmente, na intencionalidade pedagógica para ensinar de forma a ampliar as possibilidades das aprendizagens discentes e docentes. Tal intencionalidade requer um planejamento consistente do professor, uma sala de aula concebida como uma comunidade de aprendizagem e uma avaliação processual e contínua do progresso dos alunos, bem como dos vários fatores intervenientes no processo como: a prática do professor, o material e a metodologia utilizados, dentre outros (Pnaic, 2014, p. 5).

2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas

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2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática

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Sabemos que a escrita é um dos recursos básicos de comunicação nas aulas de Matemática e, para tal, utilizamos a língua materna. Mas, muito mais do que simplesmente ser utilizada para decodificar os enunciados das atividades, a língua materna facilita a interpretação do que se ouve, ou seja, serve de suporte para a troca de informações. Segundo Fonseca (2013, p. 9): As práticas sociais envolvendo quantificação, medição, or ientação, ordenação ou classificação compõem os modos de usar a língua escrita e são por eles constituídas, não só porque representações matemáticas aparecem nos textos escritos ou porque

nossa herança cultural nos legou modos escritos de fazer Matemática, mas porque a própria cultura escrita, que permeia e constitui as práticas matemáticas das sociedades grafocêntricas, é, em geral, permeada também por princípios calcados numa mesma racionalidade, que forja ou parametriza essas práticas matemáticas e que é por elas reforçada.

Cândido apud Smole (2001, p. 17) diz que: [...] a tarefa do professor em relação à linguagem matemática deve desdobrar-se em duas direções; na direção do trabalho com os processos de escrita e representação, sobre a elaboração dos símbolos, sobre o esclarecimento das regras e em segundo, em direção ao trabalho sobre o desenvolvimento de habilidades de raciocínio que se inicia com o apoio da linguagem oral e, com o tempo, incorpora a esta os textos e as representações mais elaboradas.

Neste projeto, inúmeras vezes o aluno é convidado a contar para os colegas suas hipóteses e percursos. Acreditamos que a oralidade, no início, ajuda o aluno a demonstrar toda a complexidade do que foi pensado.

2.4.2 Comunicação em Matemática Anteriormente, trouxemos a fala de Chevallard (1991) para nos ajudar a refletir sobre o papel do professor no processo de ensino e também de aprendizagem da Matemática. Um dos pontos essenciais descritos na fala do autor foi a construção do saber. Segundo ele, “o saber” é “objetivado” somente pela atividade de troca crítica entre os seres humanos, assim a comunicação se torna essencial para a aprendizagem matemática. Mas o que entendemos por comunicação? Como ocorre essa comunicação nas aulas de Matemática? Acreditamos que tentar responder a essas indagações nos possibilitará, inclusive, desvelar concepções e crenças sobre esse assunto. Cândido apud Smole (2001) diz que a comunicação tem um papel fundamental nas aulas de Matemática, pois ajuda os alunos a

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2.5 Interdisciplinaridade

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A aprendizagem está intimamente ligada à habilidade de compreensão e, dessa forma, aprender o significado de um objeto pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos. Como garantir, portanto, a aprendizagem em um ambiente no qual os conteúdos são compartimentados e estanques e apresentados em uma sucessão rígida e linear? Será possível estabelecer relações e conexões? A construção dos significados feita pelo aluno será resultado das conexões que ele conseguiu estabelecer entre a Matemática e as demais disciplinas, entre a Matemática e

seu cotidiano e entre os próprios conteúdos matemáticos. Pensando nisso, trouxemos para a coleção entrevistas com profissionais de diferentes áreas, pesquisas e atividades que incentivam a percepção de como o mesmo conteúdo é abordado por outras disciplinas e contextos, e momentos de socialização em que há o estímulo para que os alunos expressem as relações apreendidas e, junto com os colegas, percebam e estabeleçam novas relações e conexões.

2.6 Resolução de problemas

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O que é um problema? Quais são os principais tipos de problema? Quais são as principais formas de trabalhar com a resolução de problemas em sala de aula? Iniciamos este subitem propondo aos educadores que respondam a esses questionamentos. Provavelmente, veremos que não há apenas uma resposta possível, e nossa intenção aqui não é classificar as respostas como certas ou erradas, verdadeiras ou falsas. Gostaríamos apenas de trazer algumas reflexões que julgamos fundamentais. Vamos relembrar alguns pontos importantes. Vimos anteriormente que o “resolvedor” do problema é o grande responsável por dimensioná-lo, ou seja, o tamanho do desafio dependerá da pessoa que o está resolvendo. O que pode ser problema para uma pessoa pode não ser para outra. Uma condição imprescindível é que essa pessoa sinta vontade de encontrar uma solução para o problema e não tenha, de imediato, caminhos óbvios a seguir. É importante que esse indivíduo pare para pensar e buscar ideias, pois, se ele resolver o problema ofertado com precisão e rapidez, isso não lhe representará um desafio. Não podemos deixar de mencionar que situações em que os alunos resolvem os problemas utilizando processos automáticos, muitas

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construírem um vínculo entre suas noções informais e intuitivas e a linguagem abstrata e simbólica da Matemática. Segundo ela, se os alunos forem encorajados a se comunicar matematicamente com os colegas, o professor e até mesmo os pais, terão a oportunidade de explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre o mesmo assunto. A comunicação será, portanto, um recurso que permitirá ao aluno estabelecer conexões entre suas concepções espontâneas e o que está aprendendo de novo, promovendo assim uma aprendizagem significativa. Neste projeto, professor e alunos encontrarão diferentes situações cujo princípio é estimular e favorecer a comunicação nas aulas de Matemática. Por meio delas, os alunos são encorajados a explorar individualmente ou em parceria uma grande diversidade de ideias matemáticas não apenas numéricas como também as relativas à Geometria, às medidas e às noções estatísticas. Em nossas propostas, eles são convidados a descrever suas observações, justificar suas soluções ou estratégias de resolução e ainda registrar seus pensamentos e aprendizagens. Cada uma dessas ações certamente os ajudará a esclarecer, refinar e organizar pensamentos, fazendo com que se apropriem tanto dos conhecimentos específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo.

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vezes o processo “siga o modelo”, não serão por nós consideradas problemas. Acreditamos que a prática de resolução de problemas oferece aos alunos a oportunidade de “fazer Matemática”, ou seja, de desenvolver habilidades de construção e reconstrução de propriedades matemáticas, bem como comunicar ideias, resultados e experiências. Um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas foi George Polya (1994). Em sua publicação A arte de resolver problemas , apresenta um modelo teórico em que classifica as etapas que ocorrem na resolução de um problema, que são: compreensão do problema, elaboração de um plano para resolução, execução do plano e a última fase foi por ele chamada de retrospecto ou exame da solução produzida. Nesta obra, também são identificadas tipologias de procedimentos (analogia, observação, experimentação e indução) e de problemas (determinação e demonstração).

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Pensando na importância da resolução de problemas nas aulas de Matemática e na necessidade de oferecer aos alunos uma diversidade deles, foram inseridos ao longo dos volumes problemas tidos como não rotineiros, entre eles, alguns com excesso de dados, sem solução, com mais de uma solução possível, com falta de dados etc. Cabe salientar que em momento algum dissemos que o treino do algoritmo e a fixação do conteúdo sejam prejudiciais à criatividade do aluno. Acreditamos que o problema reside em ficar apenas nisso, e não avançar para outras atividades como as sugeridas anteriormente.

2.7 Avaliação Mudanças nos objetivos de ensino e nos procedimentos metodológicos implicam mudanças na avaliação. Parece simples, mas será que toda essa simplicidade pode ser facilmente observada na prática? Que informações as avaliações fornecem ao professor? Um dado numérico?

Nossa primeira reflexão está pautada na obtenção de dados sobre as competências dos alunos. Muitas vezes, as avaliações fornecem ao professor informações restritas, deixando de lado importantes dados, por exemplo, saber se os alunos utilizam adequadamente a linguagem matemática para comunicar ideias ou ainda obter informações sobre as competências de cada aluno para resolver problemas. Acreditamos que as avaliações devem contemplar também as explicações, justificativas e argumentações, e estas poderão ser realizadas por meio da escrita de pequenos textos ou da linguagem oral. Ao longo do projeto, será possível encontrar situações nas quais os alunos são convidados a “falar”, “argumentar” e “justificar”. Esses momentos poderão servir, inclusive, para a captação desses dados. Diante desses apontamentos, é perceptível a necessidade do planejamento. Uma avaliação precisa ser planejada com o máximo de cuidado prevendo-se, inclusive, os possíveis tipos de interpretação e solução dos alunos. Para isso, é sugerido ao professor que, no momento da elaboração das avaliações, ele faça algumas perguntas, como: De que forma meu aluno poderá tentar resolver este problema? O enunciado está claro? Que tipos de resposta poderão aparecer? Qual será o tempo utilizado para resolvê-lo? O que estou tentando verificar com esta questão?

2.8 Recursos didáticos

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Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita). Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão – em última instância, à base da atividade matemática.

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Entendemos que a escola desempenha um papel decisivo na formação dos cidadãos e, nesse sentido, deve incorporar e adequar-se às inovações tecnológicas do mundo real, contribuindo para a formação de pessoas preparadas para atuar com igualdade de participação na vida em sociedade. Nessa perspectiva, de acordo com Guinther (2009, p. 69), A sociedade atual exige cada vez mais o desenvolvimento de competências em todas as áreas da atividade humana e a escola pode contribuir muito com esse desenvolvimento oferecendo uma educação de qualidade que forme um indivíduo consciente, aberto à aprendizagem e capaz de utilizar as tecnologias que s ão coloc adas à sua disposição. [...] A utilização da calculadora em sala de aula deve ser bem planejada, tendo um conhecimento prévio de suas possibilidades e limitações. Os alunos devem saber por que as atividades serão desenvolvidas com o uso dessa ferramenta e com quais objetivos.

propostas sugeridas nesta obra. Você pode também buscar caminhos alternativos e formas inovadoras de inserir o uso da calculadora em sala de aula e explorar seus recursos e possibilidades, contribuindo para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

2.8.2 Computador e internet Nos últimos anos, é inegável a presença dos computadores no cotidiano das pessoas. Seu uso não é mais uma alternativa, e sim uma necessidade para a participação nas diversas atividades humanas. A escola, como interface dessas transformações, deve buscar alternativas para inserir os alunos nesse contexto, desempenhando seu papel mediador para a inclusão digital. Já é significativo o número de escolas que contam com esse recurso para uso no ambiente escolar como instrumento de apoio pedagógico. De acordo com o Pnaic (2014, p. 5), [...] o jogo1 pode propiciar a construção de conhecimentos novos, um aprofundamento do que foi trabalhado ou ainda a revisão de conceitos já aprendidos, servindo como um momento de avaliação processual pelo professor e de autoavaliação pelo aluno. Trabalhado de forma adequada, além dos conceitos, o jogo possibilita aos alunos desenvolver a capacidade de organização, análise, reflexão e argumentação, uma série de atitudes como: aprender a ganhar e a lidar com o perder, aprender a trabalhar em equipe, respeitar regras, entre outras. No entanto, para que o ato de jogar na sala de aula se caracterize como uma metodologia que favoreça a aprendizagem, o papel do professor é essencial. Sem a intencionalidade pedagógica do professor, corre-se o risco de se utilizar o jogo sem explorar seus aspectos educativos, perdendo grande parte de sua potencialidade.

Sendo a calculadora um dos recursos tecnológicos presentes nas diferentes atividades da população, julgamos importante introduzir esse recurso como uma proposta pedagógica auxiliar no processo de ensino e aprendizagem da Matemática nos dois ciclos (6o ao 9o ano). Do ponto de vista didático, o uso orientado da calculadora, de acordo com Carvalho e Lima (2002), contribui para a compreensão, o desenvolvimento de diferentes formas de raciocínio e a resolução de problemas. Procuramos sugerir, ao longo da obra, o uso da calculadora como incentivo a experimentações, quando a aplicação de cálculos mais complexos e sua resolução não forem o foco do estudo, possibilitando verificações e formulações de novas conjecturas, bem como a descoberta de novos conceitos. Cabe a você, professor, avaliar qual é a melhor forma de utilizar e adaptar as

Além dos jogos, não podemos esquecer

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2.8.1 Calculadora

Utilizamos a palavra jogo para referenciar até mesmo jogos disponibilizados em softwares.

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que o computador possibilita acesso a informações de diversas áreas, transpondo as barreiras físicas por meio da internet. O advento da internet gerou fortes impactos em diversas áreas de atuação profissional. As novas formas de produção, divulgação e armazenamento de conhecimentos e informações são possíveis pela interconexão dos computadores mundiais, que tem provocado profundas rupturas nos processos pedagógicos tradicionais. A respeito dos novos rumos da educação, Lévy (1999, p. 172) afirma: A grande questão da cibercultura [...] é a transição de uma educação e uma formação estritamente institucionalizadas (a escola, a universidade) para uma situação de troca generalizada dos saberes, o ensino da sociedade por ela mesma, do reconhecimento autogerenciado, móvel e contextual das competências.

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Julgamos importante que o professor estimule o uso consciente da internet, bem como um olhar crítico para as informações obtidas por meio desse recurso, por isso, é importante que você sugira aos alunos a busca de informações em fontes seguras, por exemplo, instituições de estudos reconhecidas, centros de pesquisas, universidades ou instituições reconhecidas como especialistas em determinado assunto, para assegurar e garantir a confiabilidade dos dados obtidos. O papel do professor como orientador não se limita a incentivar um olhar crítico para a origem das fontes pesquisadas. é necessário propor ainda atividades com base nos conteúdos obtidos, levando os alunos a interpretar tais informações, estimulando a leitura e a análise desses conteúdos e propondo sua interpretação, discussão e debate em sala de aula, ou seja, eles não podem se limitar à reescrita por meio de recursos como o de “copiar e colar as informações que encontraram.

2.8.3 Softwares matemáticos Conforme já abordado, o bom uso do computador em sala de aula também depende da

escolha de softwares, que deve estar de acordo com os objetivos que se pretende alcançar e a concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo. Como proposta auxiliar para o ensino e a aprendizagem da Matemática, sugerimos atividades com o uso de diferentes softwares voltados a essa temática, como os de Geometria Dinâmica e Álgebra, as planilhas eletrônicas e outros aplicativos disponíveis on-line2 e off-line3. É significativo o número de contribuições que o uso de softwares oferece para o ensino e a aprendizagem da Matemática, já que é um recurso visual capaz de validar as propriedades estudadas em sala de aula. Julgamos importante avaliar as possibilidades experimentais disponíveis nesses softwares e sua contribuição para a elaboração de conjecturas, bem como sua verificação pelos alunos. No que se refere à investigação matemática, Zulatto (2002) afirma que ela é apontada como uma das principais potencialidades dos softwares. No bloco “Estatística e Probabilidade” e na resolução de situações-problema, a construção de gráficos e tabelas é um recurso necessário para a organização e análise dos dados, e o uso de planilhas eletrônicas pode incentivar e facilitar esse estudo. Antes do início da utilização dos softwares em sala de aula, ou seja, antes de utilizá-los como ferramenta de ensino, julgamos interessante uma exploração prévia dos recursos disponíveis em cada um deles. Além da sugestão de softwares direcionados ao ensino e à aprendizagem dos tópicos abordados, apresentamos alguns de seus recursos com orientações passo a passo para o uso adequado.

2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra O governo federal tem adotado medidas de enriquecimento e ampliação de acervos Requer acesso à internet.

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Não requer o uso da internet.

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Obras literárias de variados gêneros têm sido distribuídas, propiciando ao aluno o acesso democrático à leitura e à informação, que contribuem para sua formação crítica e o exercício da cidadania.

Aproveite a situação explorada na obra para propor uma pesquisa sobre as influências e contribuições dos gregos para a Matemática. Cite, como exemplo, os nomes Pitágoras, Euclides e Arquimedes, para auxiliá-los nesse trabalho. Peça que coletem, também, informações sobre a vida deles, os lugares onde viviam, o que estudavam, entre outros detalhes. Pode-se, ainda, criar um laço com a disciplina de História.

Indicamos a seguir alguns livros paradidáticos que podem ser encontrados nas bibliotecas da escola. Esses títulos possibilitam o trabalho com leitura e o desenvolvimento de atividades com abordagens interdisciplinares.

Contos e lendas da Amazônia, de Reginaldo Prandi. São Paulo: Cia das Letras, 2011.

Tá falando grego? Tá falando Grego?, de Ricardo Hofstetter. Rio de Janeiro: Editora Rocco, 2012. O livro conta a história de três adolescentes que, depois de resolverem equações do

A distância das coisas, de Flávio Carneiro. São Paulo: Edições SM, 2008. A obra conta a história de Pedro, um adolescente de 14 anos que, órfão do pai, recebe a notícia de que sua mãe morreu em um acidente de carro. Porém, o restante da família impede o garoto de acompanhar o velório. Desconfiado, ele vai atrás dos fatos para descobrir se realmente sua progenitora faleceu. Uma das lições que o personagem principal compartilha com o leitor é que é preciso comparar sempre, para não perder o sentido das coisas, e não esquecer como é relativa a distância das coisas. São por meio de metáforas desse tipo que o enredo se conecta à Matemática. Para ir além dessas explorações, peça aos alunos que elenquem situações em que precisamos medir distâncias. Comente sobre a importância das estimativas e da criação de um sistema de unidades padronizadas.

MANUAL DO PROFESSOR

Essa obra também possibilita trabalho interdisciplinar com História, Geografia e Língua Portuguesa.

A distância das coisas

Edições SM

Cia das Letras

Contos e lendas da Amazônia

Este livro apresenta 25 contos sobre a Amazônia, que envolvem animais, plantas e histórias sobre coragem, todos com um principal objetivo: incentivar a preservação dessa floresta. Converse com os alunos sobre essa atitude importante e, depois, oriente-os a fazer um levantamento sobre informações do local, indicando, por exemplo, quais espécies de animais e plantas vivem na região. Dados sobre educação e saúde da população que reside nessa área também podem ser coletados. Por fim, peça que apresentem os resultados obtidos em forma de gráficos e tabelas.

Editora Rocco

1º grau encontradas num livro enigmático e antigo, acabam “presos” no passado. Nessa viagem, eles vão parar na Grécia Antiga, e lá conhecem o filósofo Sócrates.

de bibliotecas de escolas públicas, com o objetivo de oferecer materiais de apoio à educação dos alunos e à prática docente.

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2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor Trazemos a seguir algumas sugestões de sites e livros que poderão ampliar as temáticas e reflexões principiadas neste manual. Sugestões de livros: • Aprendizagem em Matemática, de Silvia Dias Alcântara Machado. Campinas: Editora Papirus, 2003. • A arte de resolver problemas, de George Polya. São Paulo: Editora Interciência, 1995. • Introdução ao estudo das situações didáticas – conteúdo e métodos de ensino, de Guy Brousseau. São Paulo: Editora Ática, 2008. • Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática, de Kátia Cristina Stocco Smole e Maria Ignez Diniz (Org.). Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. • Recontextualização e transposição didática, de Miriam Soares Leite. Araraquara: Editora Junqueira&Marin, 2007.

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• Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais , de Raymond Duval. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. (Coleção Contexto da Ciência). Sugestões de sites (acessos em: abr. 2015): • Ministério da Educação: . • Sociedade Brasileira de Educação Matemática: . • Sociedade Brasileira de Matemática: . • Educação Matemática e Tecnologia Informática: .

3. Estrutura e organização do Projeto Cada um dos quatro livros deste Projeto está dividido em unidades. Cada unidade, por sua vez, está organizada em capítulos. Os livros do primeiro ciclo (6º e 7º anos) contêm sete unidades e os livros do segundo ciclo (8º e 9º anos), oito unidades. Na abertura de cada unidade, os alunos encontrarão um pequeno texto que os despertará para o assunto a ser desenvolvido e, junto com ele, questionamentos que propiciam reflexões sobre o conteúdo a ser trabalhado e questões para conduzir uma pequena discussão. Descrevemos a seguir as seções existentes nos volumes da coleção e lembramos que algumas delas serão fixas, ou seja, aparecerão em todas as unidades e volumes, e outras estarão distribuídas de forma aleatória ao longo dos volumes. Junto com a descrição das seções, você encontrará um breve resumo com as informações sobre a intencionalidade idealizada para cada uma dessas seções.

Agora é com você Nessa seção são propostas atividades de exploração, averiguação e sistematização. Esse é um importante momento para o aluno colocar em prática o que aprendeu ao longo da unidade.

Trabalho em EQUIPE Algumas atividades são elaboradas para o trabalho coletivo. Nessa seção, deseja-se que os alunos cooperem entre si na busca de solução para as situações propostas. Além disso, espera-se que os alunos consigam adquirir o hábito de expressar o próprio pensamento, compreender o pensamento do

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Bagagem cultural Aqui são apresentados textos e imagens sobre curiosidades por meio das quais os alunos perceberão a Matemática em outros contextos, que relacionam conteúdos de duas ou mais disciplinas. Assim, esperamos que eles passem a ver a Matemática não mais de forma isolada, e sim dinâmica, ou seja, presente em outras áreas do conhecimento.

Diversificando linguagens A disciplina de Matemática tem linguagem própria, símbolos, formas e representações peculiares. Por sua vez, revistas e jornais – em geral, presentes na vida dos alunos – apresentam diversidade no tratamento de informações. Ao propormos algumas atividades com tirinhas ou mesmo diagramas de palavras, por exemplo, queremos evidenciar também os conteúdos e as situações matemáticas que são apresentados por essas formas de expressão. Do aluno, em tais momentos, é exigida a interpretação e a compreensão do que a tirinha ou o diagrama apresenta.

Conexões Essa seção é reservada para a história dos conteúdos e dos personagens que os construí­ram, para explorar curiosidades que envolvam a Matemática e para a leitura de textos de reflexão. Sugerimos que ela seja trabalhada coletivamente, a fim de que todos conheçam os aspectos relevantes que estão sendo apontados.

Matemática e Cidadania Nessa seção são apresentados textos amplamente ilustrados, que proporcionam leitura agradável e rica em informações, relacionando várias áreas do conhecimento. É uma oportunidade ímpar de ampliar o conhecimento dos alunos sobre a necessidade de aprender Matemática a fim de poderem interpretar e buscar soluções para situações diversas. Para exercer a cidadania, é adequado saber calcular, efetuar medidas, argumentar, raciocinar, compreender informações estatísticas e tomar decisões.

com a palavra, o ESPECIALISTA O conhecimento de qualquer disciplina ocorre também pelo contato com o trabalho de diversos profissionais. Experiências de vida, de trabalho e de estudo precisam ser transmitidas aos alunos como exemplos a serem seguidos e referências a serem consideradas. Essa seção amplia a visão de mundo dos alunos.

Explorando Depois que os conteúdos são desenvolvidos, o aluno encontra algumas referências de entretenimento – livros, filmes e sites – relacionadas aos assuntos abordados na unidade. Em cada referência, uma pequena resenha explica do que trata cada item. Explorar diferentes modos de abordagem de conteúdos matemáticos é uma forma de estimular a leitura, a visualização e até a brincadeira.

MANUAL DO PROFESSOR

outro, discutir possíveis e esperadas dúvidas e incorporar soluções alternativas, reestruturando e ampliando procedimentos adotados no enfrentamento de problemas diversos.

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Superando Desafios Uma das características do aluno do Ensino Fundamental II é o prazer de ser desafiado. Nessa seção, ele é convidado a ir além das atividades propostas no livro e resolver questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo. A Matemática representa um contexto rico de ideias, problemas diversos, desafios e enigmas instigantes que deixam o aluno diante de situações completamente diferentes e que exigem soluções muitas vezes inesperadas e extremamente criativas. Essa é uma maneira de valorizar a capacidade e as potencialidades dele.

RESGATANDO CONTEÚDOS

Tecla_matemática Nessa seção, os alunos terão a oportunidade de vivenciar a Matemática utilizando recursos tecnológicos. Por meio dessas explorações, eles terão mais possibilidades de construir o conhecimento, ganhando, inclusive, mais agilidade na realização de tarefas. Lembramos que as ferramentas sugeridas estão a serviço do conteúdo, ou seja, devem favorecer a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

MANUAL DO PROFESSOR

Sugerimos um grupo de atividades no final de cada unidade. A ideia é que, com a resolução dos exercícios, os alunos possam verificar, com autonomia, a compreensão

dos conteúdos apresentados na unidade. Esse é também um modo de relacionar os assuntos tratados separadamente nos capítulos. Sugerimos que as atividades sejam encaminhadas apenas após a conclusão da unidade. É importante também que os alunos sejam motivados a fazê-las e que organizem as resoluções no caderno, discutindo entre eles possíveis respostas antes da resolução coletiva.

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4. Quadros de conteúdos Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de Matemática.

6o ano UNIDADE

1. Números e sistemas de numeração

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Os números naturais

ƒƒ Números naturais ƒƒ Introdução histórica dos números ƒƒ Números naturais e sequências numéricas ƒƒ Números consecutivos ƒƒ Noções de conjuntos ƒƒ Conjunto dos números naturais

O uso dos números

ƒƒ Contagem, ordenação e códigos ƒƒ Valores monetários

Sistema de numeração decimal

ƒƒ Sistema de numeração decimal ou indo-arábico ƒƒ Noções de sistema de numeração posicional ƒƒ Antecessor e sucessor de um número natural ƒƒ Arredondamentos

Adição e subtração

ƒƒ Adição e subtração de números naturais ƒƒ Propriedades da adição de números naturais ƒƒ Expressões numéricas ƒƒ Cálculo mental

Multiplicação e divisão

ƒƒ Multiplicação e divisão de números naturais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números naturais e expressões numéricas ƒƒ Divisão com resto e expressões numéricas

Potenciação e radiciação

ƒƒ Noções de potenciação ƒƒ Noções de radiciação ƒƒ Expressões numéricas

Percebendo a Geometria

ƒƒ Noções iniciais de Geometria ƒƒ Introdução histórica do conhecimento geométrico ƒƒ Conceito de reta, semirreta e ponto ƒƒ Reconhecer figuras planas e não planas

Formas geométricas planas e não planas

ƒƒ Paralelepípedos ou bloco retangular ƒƒ Cubo ƒƒ Vistas de um objeto não plano ƒƒ Identificar formas geométricas planas

Divisibilidade e números primos

ƒƒ Noções de divisibilidade ƒƒ Números primos ƒƒ Critérios de divisibilidade

Divisores de um número natural

ƒƒ Divisores de um número natural ƒƒ Encontrar os divisores de um número pela decomposição em números primos ƒƒ Máximo divisor comum ƒƒ Reconhecer números primos ƒƒ Crivo de Eratóstenes ƒƒ Decomposição em fatores primos ƒƒ Estimativa

Múltiplos de um número natural

ƒƒ Multiplicação de números naturais ƒƒ Mínimo múltiplo comum

Tratamento da informação: contagem e estimativa

ƒƒ Noções iniciais de contagem ƒƒ Construir árvore de possibilidades

2. Geometria: primeiras noções

3. Múltiplos e divisores

MANUAL DO PROFESSOR

Tratamento da informação: organização de dados em tabelas ƒƒ Interpretação e organização de dados em tabelas

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UNIDADE

CAPÍTULO A ideia de ângulo

ƒƒ Noções iniciais de ângulo ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Posição relativa entre retas

Polígonos

ƒƒ Linha poligonal ƒƒ Definição de polígono ƒƒ Polígonos regulares ƒƒ Quadriláteros

A ideia de fração

ƒƒ Noções iniciais de fração ƒƒ Classificação de frações ƒƒ Fração de quantidade

Equivalência e comparação entre frações

ƒƒ Frações equivalentes ƒƒ Simplificação de frações ƒƒ Comparação de frações

Adição e subtração de frações

ƒƒ Adição e subtração de frações com mesmo denominador ƒƒ Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Fração de fração

ƒƒ Multiplicação de frações ƒƒ Divisão de frações

Frações decimais e números decimais

ƒƒ Número decimal e fração decimal ƒƒ Frações centesimais ƒƒ Multiplicação de decimais por potência de 10 ƒƒ Divisão de decimais por potência de 10 ƒƒ Comparação entre números decimais

Operações com números decimais

ƒƒ Adição com números decimais ƒƒ Subtração com números decimais ƒƒ Multiplicação com números decimais ƒƒ Divisão entre números naturais com quociente decimal ƒƒ Divisão com números decimais

Tratamento da informação: noção de porcentagem, gráficos e tabelas

ƒƒ Porcentagem ƒƒ Descontos e acréscimos ƒƒ Interpretação de dados organizados em tabelas e gráficos

Unidades de comprimento e de massa

ƒƒ Unidades de comprimento ƒƒ Conversão de unidades de medida de comprimento ƒƒ Perímetro de figuras geométricas planas ƒƒ Unidades de massa ƒƒ Conversão de unidades de medidas de massa

Unidades de área

ƒƒ Unidades de área ƒƒ Conversão de unidades de medidas de área ƒƒ Áreas de figuras geométricas planas

Unidades de volume e de capacidade

ƒƒ Unidades de volume ƒƒ Conversão de unidades de medidas de volume ƒƒ Volume do cubo ƒƒ Volume do paralelepípedo ƒƒ Unidade de capacidade ƒƒ Conversão de unidades de medidas de capacidade

Medida de tempo

ƒƒ Medida de tempo ƒƒ Conversão de unidades de medidas de tempo

Tratamento da informação: probabilidade e média aritmética

ƒƒ Noções iniciais de probabilidade ƒƒ Noções iniciais do conceito de média aritmética

4. Formas geométricas planas

5. Frações

MANUAL DO PROFESSOR

6. Números decimais

CONTEÚDO

7. Grandezas e medidas

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7o ano capítulo O números inteiros

ƒƒ Números positivos e números negativos ƒƒ Números inteiros ƒƒ Exemplos de aplicações dos números inteiros

Adição e subtração de números inteiros

ƒƒ Adição de números inteiros ƒƒ Propriedades da adição de números inteiros ƒƒ Subtração de números inteiros

Multiplicação de números inteiros

ƒƒ Multiplicação de números inteiros ƒƒ Propriedades da multiplicação de números inteiros

Divisão de números inteiros

ƒƒ Divisão de números inteiros ƒƒ Expressões numéricas com números inteiros

O plano cartesiano

ƒƒ Introdução ao plano cartesiano

Tratamento da informação: gráfico de barras e de linhas

ƒƒ Informações em gráfico de barras ƒƒ Informações em gráfico de linhas ƒƒ A construção de gráficos estatísticos ƒƒ Interpretação de dados com base em gráficos de linhas e colunas

Ângulos

ƒƒ Retomada da ideia de ângulos ƒƒ Unidade de medida de ângulos ƒƒ Frações do grau

Operações com medidas de ângulo

ƒƒ Adição e subtração de ângulos ƒƒ Multiplicação e divisão por um número natural

Ângulos e retas

ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes

Números racionais

ƒƒ Formação do conjunto ƒƒ Reta numérica ƒƒ Representação decimal e representação fracionária de números racionais ƒƒ Comparação entre números racionais ƒƒ Exemplos de aplicações dos números racionais

Adição e subtração de números racionais

ƒƒ Adição de números racionais ƒƒ Subtração de números racionais

Multiplicação e divisão de números racionais

ƒƒ Multiplicação de números racionais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números racionais ƒƒ Divisão de números racionais

Potenciação e radiciação de números racionais

ƒƒ Potenciação de números racionais ƒƒ Radiciação de números racionais ƒƒ Expressões numéricas

Tratamento da informação: gráfico de setores

ƒƒ Construção de gráfico de setores ƒƒ Interpretação de dados com base em gráfico de setores

O conceito de áreas

ƒƒ Medida de superfície ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do retângulo

Área do triângulo e área do paralelogramo

ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo

Área do losango e do trapézio

ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

1. Os números inteiros

2. Geometria: ângulos

3. Números racionais

4. Geometria: áreas

CONTEÚDO

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

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UNIDADE

5. Álgebra

6. Razões e proporções

capítulo

CONTEÚDO

Iniciando a álgebra

ƒƒ Noções iniciais de álgebra ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Soma algébrica de termos semelhantes

Equações

ƒƒ Equações ƒƒ Resolução de uma equação

Resolução de problemas

ƒƒ Resolução de problemas com uma incógnita

Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

ƒƒ Resolução de sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

Inequações

ƒƒ Desigualdades ƒƒ Inequações

Razões e proporções

ƒƒ Conceito de razão ƒƒ Conceito de proporção

Grandezas proporcionais

ƒƒ Grandezas diretamente proporcionais ƒƒ Grandezas inversamente proporcionais ƒƒ Regra de sociedade ƒƒ Problemas de regra de três ƒƒ Problemas de regra de três composta

Tratamento da informação: média aritmética simples e média aritmética ponderada

ƒƒ Média aritmética simples ƒƒ Média aritmética ponderada ƒƒ Retomada do cálculo com porcentagens ƒƒ Juros simples

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7. Introdução à matemática financeira Porcentagem e juros simples

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8o ano

1. Números reais

2. Potenciação e radiciação

3. Geometria: triângulos

capítulo

CONTEÚDO

Números racionais

ƒƒ Números racionais e obtenção de medidas ƒƒ Números racionais ƒƒ Dízimas periódicas

Os números reais

ƒƒ Números irracionais ƒƒ Números reais ƒƒ Comprimento da circunferência e o número irracional .

Tratamento da informação: média, mediana e moda

ƒƒ Conceito de média ƒƒ Conceito de mediana ƒƒ Conceito de moda

Potenciação com expoentes inteiros

ƒƒ Potenciação ƒƒ Propriedades da potenciação ƒƒ Potências de base 10

Radiciação: raiz quadrada

ƒƒ Raiz quadrada aritmética ƒƒ Cálculo de raiz quadrada pela decomposição em fatores primos ƒƒ Cálculo de raiz quadrada por aproximação ƒƒ Notação científica

Tratamento da informação: análise combinatória: princípio fundamental da contagem

ƒƒ Análise combinatória ƒƒ Princípio fundamental da contagem

Segmentos, ângulos e retas

ƒƒ Segmentos ƒƒ Reta ƒƒ Ponto médio ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes ƒƒ Ângulos formados entre duas retas paralelas e uma transversal

Triângulos

ƒƒ Classificação de triângulos quanto aos lados ƒƒ Condição de existência de um triângulo

Soma das medidas dos ângulos de um triângulo

ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo

Congruência de triângulos

ƒƒ Congruência de triângulos ƒƒ Casos de congruência de triângulos ƒƒ Construção de triângulos

Expressões algébricas

ƒƒ Expressão algébrica e valor numérico ƒƒ Monômios ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Polinômios de uma variável

Operações com polinômios de uma varável

ƒƒ Adição e subtração de polinômios ƒƒ Multiplicação de polinômios ƒƒ Divisão de polinômios

Tratamento da informação: análise de gráficos

ƒƒ Análise de gráficos

Produtos notáveis

ƒƒ Quadrado da soma de dois termos ƒƒ Quadrado da diferença de dois termos ƒƒ Produto da soma pela diferença de dois termos

Fatoração de polinômios

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Simplificação de frações algébricas

4. Álgebra: cálculo algébrico

5. Produtos notáveis e fatoração

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UNIDADE

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UNIDADE

capítulo

CONTEÚDO

Quadriláteros

ƒƒ Quadriláteros: conceito e elementos ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero

Quadriláteros notáveis

ƒƒ Trapézio, paralelogramo, losango, retângulo e quadrado ƒƒ Propriedades dos paralelogramos ƒƒ Propriedades dos casos particulares de paralelogramos

Equações do 1o grau

ƒƒ Resolução de problemas que envolvem equações do 1o grau ƒƒ Resolução de equações literais ƒƒ Resolução de equações fracionárias

Sistema de equações

ƒƒ Sistema de equações do 1o grau ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da substituição ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da adição

Interpretação geométrica da solução de sistemas

ƒƒ Representação de pontos no plano cartesiano ƒƒ Interpretação geométrica da solução de um sistema de equações

Tratamento da informação: probabilidade

ƒƒ Probabilidade

Circunferência e círculo

ƒƒ Construção da circunferência ƒƒ Identificação de elementos de uma circunferência ƒƒ Partes do círculo ƒƒ Posições relativas de retas e circunferências ƒƒ Posições relativas entre circunferências

Segmentos e quadriláteros

ƒƒ Propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência ƒƒ Circunferência inscrita num quadrilátero

Ângulos e arcos na circunferência

ƒƒ Arco e ângulo central ƒƒ Medida do ângulo inscrito ƒƒ Quadrilátero inscrito numa circunferência

6. Geometria: quadriláteros

7. Álgebra: equações

MANUAL DO PROFESSOR

8. Geometria: circunferência

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9o ano

1. Potenciação, radiciação e cálculo algébrico

2. Tratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade

3. Geometria: semelhança de triângulos

capítulo

CONTEÚDO

Potenciação

ƒƒ Potenciação com expoentes inteiros ƒƒ Notação científica ƒƒ Propriedades da potenciação

Radiciação

ƒƒ Raiz quadrada exata e aproximada ƒƒ Potência com expoente racional ƒƒ Raiz cúbica ƒƒ Propriedades da radiciação e simplificação de radicais

Cálculo com radicais

ƒƒ Adição e subtração ƒƒ Multiplicação e divisão ƒƒ Potenciação e radiciação

Cálculo algébrico

ƒƒ Retomada dos três casos de produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois termos ƒƒ Racionalização de denominadores ƒƒ Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos

Fatoração

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Fatoração por produtos notáveis

Gráficos

ƒƒ Interpretação de gráficos de linhas, colunas, setores, pictóricos ou pictogramas ƒƒ Tratamento da informação, tabelas e gráficos

Distribuição de frequências

ƒƒ Conceito de frequência absoluta ƒƒ Conceito de frequência relativa ƒƒ Conceito de variáveis discretas ƒƒ Conceito de variável contínua ƒƒ Distribuição de frequência por classes ƒƒ Construção de gráficos histograma

Contagem e probabilidade

ƒƒ Princípio fundamental da contagem ƒƒ Noções iniciais de probabilidade

Teorema de Tales

ƒƒ Conceito de razão e proporção ƒƒ Teorema de Tales

Semelhança de triângulos

ƒƒ Semelhança de triângulos ƒƒ Casos de semelhança de triângulos

O triângulo retângulo

ƒƒ Relações métricas no triângulo retângulo ƒƒ Teorema de Pitágoras

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

ƒƒ Seno ƒƒ Cosseno ƒƒ Tangente ƒƒ Razões trigonométricas para ângulos notáveis

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UNIDADE

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UNIDADE

capítulo

CONTEÚDO

Equações do 2o grau

ƒƒ Resolução de equações incompletas ƒƒ Resolução de equações por trinômio do quadrado perfeito ƒƒ Resolução de equações por fórmula de Bháskara

Propriedade de raízes e coeficientes

ƒƒ Possíveis soluções de equação do 2o grau por análise do discriminante da fórmula de Bháskara ƒƒ Relação entre a soma e produto das raízes e os coeficientes de uma equação do 2o grau

Equações redutíveis ao 2o grau e problemas

ƒƒ Resolução de problemas por meio de equações do 2o grau ƒƒ Equações biquadradas ƒƒ Equações irracionais

Medidas de tendência central

ƒƒ Média ƒƒ Média ponderada ƒƒ Mediana ƒƒ Moda

Áreas de quadriláteros e triângulos

ƒƒ Área do retângulo ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

Polígonos convexos

ƒƒ Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Polígonos regulares

ƒƒ Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares ƒƒ Polígonos regulares inscritíveis e circunscritíveis em uma circunferência

Círculo e circunferência

ƒƒ Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência ƒƒ Área do círculo e de um setor circular

Relações métricas na circunferência

ƒƒ Relação entre ângulos e arcos ƒƒ Relação entre cordas e entre secantes ƒƒ Relação entre secante e tangente e potência de um ponto

Introdução às funções

ƒƒ Conceito de função ƒƒ Relação de dependência de variáveis ƒƒ Representação gráfica de funções ƒƒ Função crescente e decrescente ƒƒ Conjunto domínio, contradomínio e imagem

Noções de função afim

ƒƒ Função afim ƒƒ Gráfico de uma função afim

4. Álgebra: equações do 2o grau

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5. Geometria: polígonos e circunferências

6. Introdução às funções e função afim

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UNIDADE

7. Noções de função quadrática

capítulo

CONTEÚDO

Noções de função quadrática

ƒƒ Função quadrática ƒƒ Gráfico de uma função quadrática ƒƒ Coordenadas do vértice da parábola ƒƒ Problemas de máximo e mínimo ƒƒ Comportamento do gráfico da parábola em relação à variação dos coeficientes

Lei dos cossenos

ƒƒ Lei dos cossenos ƒƒ Demonstração da Lei dos cossenos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos cossenos

Lei dos senos

ƒƒ Lei dos senos ƒƒ Demonstração da Lei dos senos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos senos

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8. Geometria: triângulos quaisquer

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5. Orientações didáticas do volume

• Associar a potenciação a situações que representam multiplicações de fatores iguais.

Unidade 1 – Números e sistemas de numeração

• Compreender a raiz quadrada de um número natural associando-a ao quadrado de um número natural.

Objetivos da unidade • Conhecer a história da Matemática. • Perceber padrões numéricos. • Perceber a presença dos números naturais em situações do cotidiano. • Perceber sequências numéricas. • Conhecer diversas funções do número, tais como contagem, código e medidas. • Comparar números naturais. • Compor e decompor números. • Representar um número natural. • Conhecer características do sistema de numeração decimal. • Conhecer características de outros sistemas de numeração. • Obter o antecessor e o sucessor de um número natural. • Verificar as propriedades da adição e dos números naturais. • Associar a adição às situações de juntar e acrescentar.

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• Associar a subtração às situações de tirar, completar e comparar. • Resolver problemas relacionados à adição e à subtração de números naturais. • Associar a multiplicação a situações que representam adição de parcelas iguais e à ideia de configuração retangular. • Verificar as propriedades da multiplicação de números naturais. • Associar a divisão com a multiplicação. • Resolver problemas relacionados à multiplicação e à divisão de números naturais. • Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais.

• Perceber a radiciação como a operação inversa da potenciação.

• Praticar a habilidade de interpretar uma tabela simples. • Praticar a habilidade de interpretar uma tabela de dupla entrada. • Ter os primeiros contatos com pesquisa estatística simples.

Capítulo 1 – Os números naturais Objetivos do capítulo

• Conhecer a história da Matemática. • Perceber padrões numéricos. • Representar um número natural. • Perceber sequências numéricas. • Obter o antecessor e o sucessor de um número natural. • Conhecer algumas características do sistema de numeração decimal.

Algumas explorações Inicie o trabalho questionando os alunos sobre o que conhecem da história dos números e, em seguida, promova a leitura do texto das páginas 12 e 13. Sugerimos realizá-la coletivamente em sala de aula para que todos possam ampliar seu repertório a respeito da história da Matemática e suas curiosidades, como o quadrado mágico na gravura Melancolia I, de Albrecht Düver. Esse conteúdo, além de possibilitar maior aproximação com essa ciência, colabora para a compreensão da necessidade de elaborar determinadas regras e procedimentos matemáticos. Na atividade 5 da página 14, da seção Agora é com você, há uma indagação sobre o século XXI. Essa abordagem possibilita estabelecer relação com a disciplina de História, na qual os alunos poderão, por exemplo, construir uma pequena tabela observando o começo e o término de alguns séculos.

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Outras atividades Abaixo, selecionamos algumas sugestões de atividades complementares. 1. Observe a sequência a seguir e responda: DAE

1a

A ideia de “consecutivo de um número natural” é um conceito primitivo abordado nos axiomas de Peano, que formam a base do conjunto dos números naturais e demais conjuntos.

Na atividade 1 da seção Agora é com você, da página 16, caso julgue conveniente, relembre com os alunos o conceito de números consecutivos estudado anteriormente e a soma da quantidade 1 a cada número natural da sequência numérica. Nas atividades 8 e 9 dessa mesma página é possível trabalhar com os padrões que os alunos encontraram na sequência. O mapa disponibilizado na página 17 possibilita outras explorações, inclusive estabelecer relações com as disciplinas de Geografia e História. Caso julgue conveniente, elabore questões relacionadas aos impactos econômicos e ambientais (positivos e negativos) sofridos pelos países que sediaram as olimpíadas.

...

5a

a) Qual figura ocupará a 6ª posição? Triângulo azul seguido do triângulo vermelho. b) Qual figura ocupará a 55ª posição? Triângulo vermelho seguido do triângulo azul. c) Qual estratégia você utilizou para responder aos itens a e b? As figuras que ocupam as posições ímpares são iguais a triângulo vermelho seguido de azul, e as que ocupam as posições pares são iguais a triângulo azul seguido de vermelho. 2. Observe a sequência de figuras a seguir e responda: DAE

GEQUELIM, Hugo; DARIO, Ronie. Axiomas de Peano e os números naturais. In: SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA, 17., 2012, Curitiba. Anais Sicite 2012. Curitiba: UTFPR, 2012. p. 2.

3a

4a

Os axiomas de Peano são: (A1) 0 (zero) é um número natural e não é sucessor de um número natural. (A2) Todo número natural tem um único suce s s or, que t ambém é um númer o natural. (A3) Se dois números naturais têm o mesmo sucessor, então eles são iguais entre si. (A4) Se um subconjunto X dos números naturais possui o elemento zero e também o sucessor de todos os elementos de X, então X é igual ao conjunto dos números naturais.

2a

... 1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

a

8

a

9

a

10 11 12 a

a

a

a) Qual figura ocupará a 13ª posição? Resolução:

b) Qual figura ocupará a 67ª posição? Registre as estratégias utilizadas para responder a esta questão. A sequência se repete de 8 em 8. Logo, dividiremos 67 por 8; da divisão tomamos a parte inteira do quociente e multiplicamos por 8: 8  8 5 64; na posição 65 inicia-se novamente a sequência. A posição 67 será equivalente à 3ª posição.

MANUAL DO PROFESSOR

No tópico Números naturais e sequências numéricas, é interessante perceber que se inicia uma abordagem de padrões algébricos em linguagem natural. O aluno precisa descobrir o padrão de uma sequência e buscar regularidades que possam facilitar a previsão de termos distantes dessa sequência.

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Algumas resoluções Observe a seguir a resolução da atividade 6 da página 16. Ela apresenta uma sequência de números triangulares. Estimule os alunos a perceber o padrão dessa sequência, que pode ser descrita por meio de operações matemáticas. A generalização da sequência não deve ser apresentada aos alunos. Inserimos a tabela a seguir para seu aprimoramento. Ela é descrita como uma combinação simples (n 1 1)! n ? (n 1 1) n11 5 [ ]5 (n 1 1 2 2)! 2! 2 2

MANUAL DO PROFESSOR

com n  N. Aos alunos é interessante expor os resultados em uma tabela para que possam compreender a regularidade ao observar cada resultado.

n

Operação

Valor

1

1  (1 1 1) 2 5 51 2 2

1

2

2  (2 1 1) 6 5 53 2 2

3

3

3  (3 1 1) 12 5 56 2 2

6

4

4  (4 1 1) 20 5 510 2 2

10

5

5  (5 1 1) 30 5 515 2 2

15

Para saber mais • Se achar interessante, apresente aos alunos o vídeo A história do número 1, desenvolvido pelo canal History Channel e hoje disponível no YouTube, no endereço eletrônico: (acesso em: mar. 2015). • Para ampliar a discussão sobre os Jogos Olímpicos, acesse o site oficial do evento: (acesso em: mar. 2015).

Capítulo 2 – O uso dos números Objetivos do capítulo

• Perceber a presença dos números naturais em situações do cotidiano. • Conhecer diversas funções do número, tais como contagem, código e medidas. • Comparar números naturais.

Algumas explorações O capítulo visa promover uma discussão sobre a função dos números e a presença da Matemática em diferentes situações do cotidiano. É interessante motivar os alunos a realizar explorações, levando-os a perceber as relações entre os conteúdos matemáticos e as demais disciplinas, por exemplo, a Geografia. Nessa disciplina é possível explorar a aplicação dos números naturais em diferentes contextos e em suas diversas representações (escala, renda, população etc.). Se achar pertinente, faça um levantamento das diferentes situações em que se podem utilizar os números e, consequentemente, a Matemática. Em seguida, crie um painel com essas informações e o mantenha atualizado ao longo do ano após as descobertas realizadas pelos alunos. Na página 20 incentive os alunos a fazer diferentes pesquisas, como observar a placa do veículo exibida na página do livro e as informações nela contidas (sigla e nome da cidade e sequência de letras e números), observar o mapa disponibilizado e explorar medidas e distâncias, perceber as diferenças entre a distância em linha reta de um ponto a outro e a distância em que se considera a condição real das estradas (curvas, desvios etc.). Nesse momento, é possível abordar o funcionamento dos aparelhos de GPS e as informações encontradas em mapas e guias que contenham trajetos e percursos. GPS é a sigla de Global Positioning System, que significa sistema de posicionamento global, em português. GPS é um sistema de navegação por satélite que pode

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O capítulo possibilita introduzir o questionamento sobre o significado do marco zero de uma cidade e propor algumas problematizações, por exemplo: Alguém sabe o que significa marco zero? Alguém sabe a localização do marco zero em nossa cidade? O marco zero das rodovias estaduais é o mesmo das federais? Qual é a função de um ponto que determina um marco inicial? Essas reflexões e pesquisas servirão de base para uma conversa sobre as placas informativas encontradas nas rodovias, que indicam desde a quilometragem de determinado ponto até a distância entre cidades. Comente também sobre os números das casas e a sequência deles nas ruas. É importante fazer os alunos perceberem que essas sequências numéricas têm um ponto de partida e são minuciosamente planejadas. Na página 21, apresenta-se o conjunto dos números naturais dispostos em uma régua graduada em centímetros. Sugerimos abordar com os alunos outras unidades de medida, que podem ser tabuladas e discutidas em sala de aula. Ao final, faça-os refletir sobre a utilização de cada uma dessas unidades de medida associadas aos mais diferentes contextos, por exemplo, as medidas agrárias (hectômetro, acre, hectare), utilizadas preferencialmente na zona rural. Na página 22 é possível explorar a atividade 2 para abordar o tema “cidadania”, com base na discussão sobre a conduta do motorista do veículo que causou o acidente. Esse é um momento para que os alunos expressem suas opiniões sobre diferentes condutas e posturas e percebam os diferentes pontos de vista dos indivíduos envolvidos no acidente (a pessoa que o causou, a pessoa que sofreu o acidente e a testemunha). Pode-se ainda pesquisar as leis de trânsito e os direitos e deveres dos cidadãos.

Nas páginas 21 e 22 abordamos o Código de Endereçamento Postal (CEP), um importante recurso para a localização de imóveis. Esse assunto pode despertar o interesse dos alunos no que se refere à sua formação. No site dos Correios há informações sobre a estrutura dos CEPs: (acesso em: mar. 2015). Na página 23 é possível explorar o tema Os números e o nosso dinheiro propondo alguns jogos de tabuleiro que envolvem situações de compra e venda. Caso opte por essa sugestão, incentive os alunos a registrar as operações realizadas durante o jogo. Nas atividades 2, 3 e 6 da página 24 exploram-se dois tipos de registros de representação: o tabular e o numérico. Esse trabalho, que visa ao desenvolvimento de estruturas matemáticas complexas, é fortemente recomendado por pesquisadores da área, como Duval. Vale ressaltar que, em determinadas atividades, criamos a oportunidade do trabalho com diferentes registros de representação, por exemplo, levar os alunos a observar as cédulas e moedas (registro figural) ou perceber as mesmas informações inseridas em tabelas (registro tabular) e no próprio registro numérico. O trabalho com diferentes registros de representação possibilitará mais domínio e compreensão dos conceitos matemáticos estudados.

Outras atividades Veja a seguir algumas atividades complementares. 1. Joana comprou um sorvete por R$ 1,75. Que moedas ela utilizou para fazer essa compra? a) 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos. b) 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 25 centavos e 2 moedas de 10 centavos. c) 1 moeda de 1 real, 3 moedas de 25 centavos. d) 1 moeda de 1 real, 2 moedas de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos. Alternativa c.

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ser usado com um aparelho móvel, e que envia informações sobre a posição de algo. É muito utilizado por motoristas, quando precisam chegar a um determinado lugar mas não conhecem o caminho.

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2. A tabela a seguir mostra onde estão sentados os alunos em uma sala de aula. De acordo com as informações, assinale como verdadeira ou falsa as alternativas abaixo. 1a fila

2a fila

3a fila

4a fila

5a fila

Júlia

Márcio

Jeferson

Davi

Paula

Carolina

Sofia

Lucas

Eduarda

Marta

Paulo

Fernando

Andréa

Maria

Flávio

a) Maria está sentada na 2ª carteira da 2ª fila. b) Lucas está sentado quatro carteiras à esquerda de Jeferson. c) Andréa está sentada na 3ª fila, ao lado de Júlia. d) Eduarda está na 4ª fila e Marta está sentada a seu lado, na 5ª fila. a) Falsa. Maria está sentada na 3ª carteira da 4ª fila. b) Falsa. Lucas está sentado imediatamente atrás de Jeferson. c) Falsa. Andréa está sentada na 3ª fila, mas entre Fernando e Maria. d) Verdadeira.

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3. Paguei R$ 55,00 por uma mochila e um estojo. O estojo foi R$ 13,00 mais barato do que a mochila. Qual foi o preço da mochila?



a) R$ 21,00

c) R$ 28,00

b) R$ 42,00

d) R$ 34,00

Essa atividade deve ser explorada por meio de uma tabela, com ênfase na diferença entre os valores, que é de R$ 13,00; logo, a resposta será dada quando valores que respeitem essa diferença somarem R$ 55,00. Estojo

Mochila

Total

R$ 10

R$ 23

R$ 33

R$ 15

R$ 28

R$ 43

R$ 20

R$ 33

R$ 53

R$ 21

R$ 34

R$ 55

Alternativa d.

4. Em casa, pesquise números em jornais, revista, anúncios etc. Em sala de aula, identifique se o número é uma medida, um código etc. Sugerimos que esses valores sejam dispostos em uma tabela do seguinte modelo: Contar Medir Ordenar Informar Código



Essa tabela pode ser feita na lousa, e um número pode ocupar mais de uma posição na tabela. Essa construção será mais produtiva se for coletiva.

Para saber mais • Para saber mais informações sobre o funcionamento do GPS, visite (acesso em: mar. 2015). • Sobre o marco zero de São Paulo, consulte (acesso em: mar. 2015). • Sobre o marco zero da cidade de Curitiba, consulte (acesso em: mar. 2015). • Algumas moedas do real foram confeccionadas para comemorar datas, fatos e personalidades importantes para o Brasil. Você pode conferi-las em (acesso em: mar. 2015).

Capítulo 3 – Sistema de numeração decimal Objetivos do capítulo • Perceber o uso do sistema de numeração decimal no cotidiano. • Conhecer características de outros sistemas de numeração. • Compor e decompor números.

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Ao trabalhar com o sistema de numeração decimal, é interessante relacioná-lo a outros sistemas de numeração, por exemplo, o sistema de numeração babilônico (base 60) e o maia (base 20). Primeiramente, questione se os alunos conhecem algum sistema de numeração diferente do que utilizamos e, de acordo com as respostas, promova novas explorações sobre esses diferentes sistemas. A discussão sobre a base 60 (sexagesimal) possibilita várias abordagens e associações, por exemplo, com nosso sistema de horas, minutos e segundos, que também apresenta base sexagesimal. Outro possível conceito é a subdivisão de ângulos (que também estão baseados em minutos e segundos e, portanto, operam com a base 60). Sobre o sistema de numeração maia é interessante levar os alunos a perceber a possível relação entre a base 20 e a base 10 (decimal), estimulando-os a pensar, por exemplo, na contagem dos dedos (mãos e pés). Na base decimal, utilizamos os dedos das mãos, enquanto no sistema de numeração maia, utilizavam-se os dedos dos pés e das mãos (base 20). Para aprofundar esse trabalho proponha uma pesquisa sobre a utilização desses e de outros sistemas de numeração, por exemplo, o sistema binário. Finalize a atividade sugerindo a escrita de alguns números tanto na numeração maia quanto na numeração babilônica. Na atividade 1 da seção Agora é com você, da página 27, pode-se aprofundar o assunto abordando os primeiros conceitos de densidade demográfica, mas não é recomendado que, nesse momento, seja trabalhada a densidade demográfica como razão, concentrando-se somente na relação número de habitantes por km². O mesmo conceito pode ser retomado na atividade 10 da página seguinte. Para ampliar tal temática, é possível, ainda, discutir questões sociais e econômicas em estados superpopulosos ligadas à migração, natalidade, mortalidade etc.

Outras atividades Caso perceba alguma dificuldade dos alunos na execução das decomposições

sugeridas na atividade 7 da página 28, apresente-lhes as fichas sobrepostas. Elas podem servir de amparo visual para composições e decomposições numéricas. Observe um exemplo desse material:

Referência das fichas sobrepostas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Outro importante recurso é o ábaco. Por meio da manipulação desse artefato, os alunos podem inicialmente perceber as ordens e classes, o valor posicional e, posteriormente, fazer diferentes operações. Pergunte quem conhece esse instrumento e deixe que o explorem. Relembramos que sua utilização se dá de acordo com o valor posicional, em que uma argola no primeiro pino da direita para a esquerda equivale a uma unidade, uma argola no segundo pino equivale a uma dezena, e assim sucessivamente. Como o número máximo de argolas em um pino é 9, quando houver mais de 9 argolas, os alunos deverão fazer as trocas. Se possível, reúna-os em pequenos grupos e entregue um ábaco a cada grupo; permita (inicialmente) que o explorem livremente, comentando o que sabem sobre ele, e, em seguida, solicite que representem alguns números. Os próprios alunos poderão “desafiar” os colegas na atividade de representar números. Arredondamentos É importante que os conceitos abordados nesse tópico sejam retomados sempre que houver oportunidade, pois são interessantes recursos que proporcionam mais agilidade e rapidez ao resolver alguns problemas matemáticos. Sempre que possível, questione os alunos sobre os valores esperados em diferentes

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Algumas explorações

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A temática dessa seção proporciona criar algumas relações com outras disciplinas, por exemplo, Geografia. Abordar a criação do Censo e a importância das pesquisas realizadas por esse instituto é uma possibilidade de exploração. Quando falamos sobre as regras de arredondamento do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), nesse momento, nosso maior interesse está voltado para o tipo de trabalho por ele realizado, pois as regras de arredondamento propriamente ditas serão abordadas e aprofundadas durante o trabalho com números decimais.

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No trabalho com as atividades da seção Agora é com você da página 30, é recomendado promover uma discussão sobre a funcionalidade dos arredondamentos e possíveis situações nas quais eles podem ser utilizados. Sabemos que o arredondamento pode ser tratado como uma estimativa facilitadora de cálculos, mas não podemos abandonar o questionamento sobre a importância da exatidão em determinadas situações. Sempre que possível, permita que os alunos argumentem sobre seus posicionamentos e criem exemplos e contraexemplos para suas afirmações e negações. Na atividade 4 há uma problematização da distância entre cidades. Pergunte aos alunos sobre possíveis viagens por eles realizadas e verifique seus conhecimentos acerca das distâncias em linha reta e distâncias percorridas em estradas de rodagem. Na abordagem da atividade proposta sugerimos os seguintes questionamentos: Qual é a distância entre as cidades citadas se seguíssemos em linha reta? Essa pergunta pode ser respondida com o auxílio de pesquisas em sites ou mapas rodoviários. O professor de Geografia pode ser convidado a participar dessa discussão, favorecendo a interdisciplinaridade. Na página 31, utilize a atividade 7 para conversar sobre planejamento financeiro. Sugira uma pesquisa sobre o atual valor do salário

mínimo e incentive os alunos a pensar sobre os gastos de uma família (moradia, alimentação, vestuário, lazer etc.). Em seguida, convide-os a pensar na relação entre o salário mínimo e os gastos de uma família de, por exemplo, quatro pessoas. Problematize: Será que o valor recebido é suficiente para os gastos mensais? Qual seria a melhor maneira de se planejar para não gastar mais do que recebe? Essas discussões podem ser ampliadas e exploradas em outras áreas do conhecimento para abordar, por exemplo, diferenças sociais, programas de benefício do governo etc.

Para saber mais • Sistema de numeração maia Sugerimos também a leitura do livro História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo, de Georges Ifrah. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. Tomo 1.

Nova Fronteira

operações a serem realizadas (antecipação e estimativa). O objetivo é levá-los a perceber, com mais rapidez, um possível erro de cálculo ao se deparar com um resultado muito diferente do estimado por eles anteriormente.

• Nos sites a seguir você encontra informações sobre diferentes sistemas de numeração: e (acessos em: mar. 2015). • Proposta de trabalho com o ábaco: (acesso em: mar. 2015).

Capítulo 4 – Adição e Subtração Objetivos do capítulo • Verificar as propriedades da adição de números naturais. • Associar a adição às situações de juntar e acrescentar.

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Algumas explorações Nesse momento abordaremos as propriedades da adição. Apesar do trabalho já realizado em anos anteriores, é importante retomar o estudo das propriedades da adição, evitando a realização mecânica dos cálculos sem a compreensão e reflexão sobre elas.

Quantos lápis existem ao todo? Como podemos representar aritmeticamente as operações a serem realizadas?

Sempre que possível, propomos o trabalho com contraexemplos, seja no momento das atividades, seja durante as discussões sobre as propriedades da adição e sua validade na subtração. Os questionamentos do livro possibilitam importantes explorações, e a principal delas é a socialização dos caminhos e estratégias utilizadas pelos alunos, não somente ao executar uma adição mas em diferentes situações que exijam a resolução de alguma questão. Na página 36, o tópico da subtração pode ser tratado, em um primeiro momento, como a operação inversa da adição. Para isso, utilize exemplos numéricos que mostrem a relação entre adição e subtração, que pode ser expressa da seguinte maneira:

a 1 b 5 c; logo, c 2 a 5 b e c 2 b 5 a O Trabalho em equipe traz uma importante reflexão: Será que as propriedades da adição se aplicam à subtração? Auxilie os alunos nessa tarefa, incentivando-os a exemplificar (numericamente) as possíveis descobertas ou hipóteses levantadas. A temática nesse desafio é o trabalho com contraexemplos, por exemplo, com a propriedade comutativa da adição sabemos que 3 1 4 5 4 1 3, mas na subtração 3 2 4  4 2 3. Essa percepção, se realizada pelo aluno, é suficiente para invalidar a propriedade na subtração. Ao trabalhar com as expressões numéricas, inicialmente, promova reflexões sobre os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves). Pergunte, por exemplo: O que aconteceria caso esses sinais não fossem utilizados? É importante

Se não utilizarmos nenhum sinal de associação, o que pode acontecer? 5 1336

8 3 6 5 48 ⇒ não existem 48 lápis Ou: 3 6) 5 5 1 (3 5 1 18 5 23 ⇒ existem 23 lápis Propriedades e cálculo mental É importante que cada criança desenvolva suas próprias estratégias para realizar cálculos mentais, e muitas já as têm, pois fazem cálculos para saber o troco de uma mercadoria comprada ou até mesmo se com o dinheiro que possuem conseguem comprar algo que desejam, entre outras situações. Ao fazer o cálculo mental, o aluno percebe que há diversos caminhos na resolução de um mesmo problema. E, no caso da adição, intuitivamente acabam aplicando suas propriedades, pois percebem que ao trocar a ordem das parcelas o resultado será o mesmo ou quando somam mais de dois valores compreendem que é possível somar primeiro o que lhes for mais conveniente.

Outras atividades Para complementação das atividades propostas no cálculo mental sugerimos a seguinte atividade:

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• Resolver problemas relacionados à adição e à subtração de números naturais.

deixar claro para o aluno que a associação indica a ordem das operações, as quais podem revelar um possível contexto. Veja o exemplo:

Ilustrações: Eduardo Belmiro

• Associar a subtração às situações de tirar, completar e comparar.

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Capítulo 5 – Multiplicação e divisão

Complete rapidamente a pirâmide.

Objetivos do capítulo

10 7

8 4

4

2

9 5

1

• Associar a multiplicação a situações que representam adição de parcelas iguais e a ideia de configuração retangular.

5

8

8

21 9

9 6







1

Inicie com números mais simples e, quando os alunos entenderem o mecanismo da atividade, aumente o grau de complexidade. Em seguida, permita que expressem as estratégias utilizadas para calcular rapidamente. Na 2 a pirâmide, que está incompleta, o aluno pode perceber a possibilidade de subtrair o número 7 do número 10 (que se encontra no topo da pirâmide) e chegar ao valor 3. Portanto, o número que deve estar ao lado do 2 é o 1, pois na base da pirâmide os números 1 e 2 originarão o 3, que está no meio da pirâmide. Para as demais pirâmides basta fazer a soma dos dois números diretamente abaixo deles.

8 4 4

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6

Ilustrações: DAE

19

9 8 1

10 3 7 1 2 5

32 18 14 9 9 5 1 8 1 4

21 12 9 6 6 3

19 11 8 5 6 2 0 5 1 1

Para saber mais • Gérard Vergnaud fala sobre os campos conceituais. No site a seguir é possível ter acesso a informações sobre essa teoria: (acesso em: abr. 2015).

• Verificar as propriedades da multiplicação de números naturais. • Associar a divisão com a multiplicação. • Resolver problemas relacionados à multiplicação e à divisão de números naturais. • Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais.

Algumas explorações Conforme proposto nos objetivos do capítulo, a multiplicação pode ser abordada como a soma de parcelas iguais, ou seja, com base na ideia de configuração retangular. Caso julgue conveniente, proponha aos alunos que encontrem uma expressão capaz de representar a generalização da multiplicação com base na soma de parcelas iguais. Espera-se que cheguem à seguinte expressão:

a 1 a 1 a 1 a 1 ... 1 a = a 3 n

 n vezes

O texto introdutório informa a velocidade média de um avião. Questione os alunos sobre o que sabem a respeito de velocidade média e promova discussões sobre a possível velocidade de um carro ou avião durante uma viagem. Será que o veículo mantém a mesma velocidade durante todo o trajeto? Por quê? Para ampliar as discussões, pergunte se já observaram as velocidades registradas em um velocímetro durante uma viagem de carro: O ponteiro permanece no mesmo lugar durante toda viagem? A ideia é mostrar que raramente a velocidade se mantém a mesma durante todo o trajeto e, portanto, ao representarmos uma única velocidade para todo o trajeto, estamos nos referimos à velocidade média, e não à velocidade instantânea em relação a determinado momento da viagem. Na seção Agora é com você, das páginas 42 a 44, algumas atividades podem ser

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Divisão com resto Com relação a esse tópico, cabe lembrar que os alunos já conhecem alguns processos de divisão, trabalhados no decorrer do Ensino Fundamental I. Dessa forma, seria interessante abrir um espaço para que mostrem seus modelos de resolução. Sugerimos, inclusive, a criação de um quadro de resoluções no qual os alunos apresentem aos demais sua forma de resolver a divisão. Lembramos que a relação fundamental da divisão pode ser amplamente utilizada para elaboração de provas reais não apenas nos exemplos propostos mas também nas atividades da seção Agora é com você.

Ao final da atividade 11, proporcione um momento para que os alunos tentem formular uma frase que apresente a regularidade observada nas multiplicações realizadas.

Outras atividades

Propriedades da multiplicação de números naturais e expressões numéricas

1. Júlia iniciou seu trabalho em uma floricultura. Sua primeira tarefa é completar a estante a seguir com diferentes espécies de planta. Quantas espécies devem ser compradas para preencher toda a estante?

Nessa seção é recomendado o trabalho com as propriedades da multiplicação no conjunto dos números naturais com base em suas generalizações. Para isso, é importante associar essas generalizações a exemplos numéricos que facilitem o entendimento das propriedades.

Veja a seguir sugestões para complementar as atividades propostas na introdução da multiplicação.

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Na atividade 8 há um gráfico que apresenta informações sobre a quantidade de suco vendida pelos alunos de uma turma de 6º ano. É interessante sugerir que elaborem uma tabela para anotar as informações obtidas do gráfico. Dessa forma, será possível perceber a relação entre a tabela e os dados do gráfico. Nesse momento, além de trabalhar a leitura das informações apresentadas, sugerimos uma ampliação no tipo de exploração para que os alunos percebam que esse registro pode fornecer muitas informações “secundárias”, que não aparecem claramente no texto, mas podem gerar inferências e deduções, por exemplo: Por que a venda de suco foi maior no primeiro semestre? Poderia estar associada à estação do ano? Por que não houve venda no mês de julho e as vendas caíram no final do ano? Diante dessas informações, que sugestões dariam para alguém que fosse fazer o mesmo projeto?

Na atividade 4, item b, da seção Agora é com você, página 47, é possível utilizar uma reta para marcar as respectivas distâncias, apresentando aos alunos dois tipos de registro (figural e aritmético). Lembre-se da importância de enfatizar o conceito de adição de parcelas iguais. Já no item d é possível explorar o exemplo para solicitar uma pesquisa sobre modelos de compra observando o tipo de cobrança apresentado, inclusive a cobrança de juro quando o valor da compra é parcelado e não há no plano de venda a informação de que o parcelamento será sem juro. Após a pesquisa e socialização dos resultados, amplie os questionamentos com perguntas como: O que é mais vantajoso, o pagamento à vista ou o parcelado? Por quê? Isso sempre será uma regra? Por quê? Caso julgue conveniente ampliar a exploração da atividade, converse com o grupo sobre a importância do planejamento financeiro (poupar para comprar à vista e receber desconto ou não pagar juro).

Eduardo Belmiro

exploradas com material manipulável, por exemplo, o Material Dourado. Oriente os alunos a representar as estruturas da atividade 5 com os cubos de unidade desse material. Assim, eles conseguirão contar os cubos de forma concreta e ainda criar outras possibilidades. Para finalizar, solicite que registrem, com desenho, as estruturas construídas (registro figural) e representem matematicamente (registro aritmético) a quantidade de cada uma delas. Nesse momento é importante lembrar que, ao contar os cubos internos, introduzimos de forma intuitiva o conceito de volume dos cubos provenientes dos empilhamentos.

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5 × 3 = 15

Capítulo 6 – Potenciação e radiciação

Júlia deve adquirir 15 espécies de plantas para completar a estante.

2. Em um tabuleiro de xadrez existe a inscrição 8 × 8. O que significa essa inscrição? Quantos quadrados tem o tabuleiro? Quantos são claros e quantos são escuros?

A quantidade total de quadrados é igual a: 8 3 8 5 64. A quantidade de quadrados claros e escuros é igual a: 4 3 8 5 32.

Algumas resoluções Veja a seguir a resolução da atividade 9 da página 43.

Sônia precisava resolver duas operações e decidiu usar a calculadora. Ao iniciar percebeu que a tecla do número 7 não estava funcionando. E agora? Como ela pode resolver as operações 740 3 26 e 27 3 74 sem utilizar a tecla 7  ? Como há diversas maneiras de resolver essas operações, as propostas aqui apresentadas não são únicas, mais sim orientadoras: 740 3 26 5 640 3 26 1 100 3 26 5 (640 1 100) 3 26 27 3 74 5 25 3 60 1 25 3 14 1 2 3 60 1 2 3 14 5 25 3 (60 1 14) 1 2 3 (60 1 14) 5

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(25 1 2) 3 (60 1 14) Solicite aos alunos que, ao final das explorações, representem a operação feita na calculadora por meio de uma expressão numérica.

Para saber mais • Para saber mais informações sobre contraexemplos, visite: (acesso em: mar. 2015). Nesse endereço há um artigo que trata dos estudos das formas de negação de Ensino da Matemática, entre as quais se encontram os contraexemplos citados como ferramentas didáticas.

Eduardo Belmiro

A inscrição 8 3 8 indica que o tabuleiro é formado por 8 fileiras verticais e 8 horizontais, ou seja, 8 colunas e 8 linhas.

Objetivos do capítulo • Associar a potenciação a situações que representam multiplicações de fatores iguais. • Perceber a radiciação como a operação inversa da potenciação. • Compreender a raiz quadrada de um número natural associando-a ao quadrado de um número natural.

Algumas explorações Não podemos afirmar algo em Matemática com base em exemplos pontuais, mas outras afirmações podem ser feitas com base em um único contraexemplo (uma situação na qual determinada propriedade não é válida); por exemplo, ao testar a propriedade comutativa da adição na subtração de naturais, já pudemos afirmar que a propriedade testada não é válida para aquele conjunto numérico. O exemplo 1 da página 55 é um caso de análise combinatória que envolve o princípio fundamental da contagem. Pergunte aos alunos quantos resultados poderiam ocorrer ao lançarmos três dados (216). É possível ainda aproveitar a abordagem para tratar do lançamento de moedas (cara e coroa). Sobre a radiciação é interessante ­tratá-la como a operação inversa da potência, ­a proveitando a definição apresentada de forma a trabalhar com as duas operações simultaneamente. A percepção da radiciação como operação inversa da potenciação pode ser desenvolvida com as atividades da seção Agora é com você. É importante acompanhar os alunos durante a correção dessas atividades.

Outras atividades Para que os alunos possam refletir sobre a potenciação, sugerimos a construção do triângulo de Sierpinski. É importante que eles saibam construir um triângulo equilátero (utilizando régua e compasso). Se achar conveniente, essa atividade pode ser realizada em duplas ou trios.

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1. Divida o triângulo equilátero em quatro triângulos equiláteros iguais entre si e retire o centro. Perceba que o comprimento dos lados dos três triângulos que restaram é igual à metade do comprimento do lado do triângulo feito inicialmente.

• Também sugerimos a leitura do livro Contando a história da Matemática: história de potências e raízes, de Oscar Guelli, Editora Ática, v. 4. A obra conta como a humanidade chegou ao conhecimento da chamada “quinta operação”.

Editora Ática

Para iniciar a atividade, apresente aos alunos a imagem a seguir e converse com eles sobre os fractais. Depois, solicite que sigam as instruções para a realização da atividade.

Ilustrações: DAE

Capítulo 7 – Tratamento da informação: organização dos dados em tabelas Objetivos do capítulo

3. Ao se repetir esses procedimentos, o que acontece? Ao final, é interessante fazer os alunos perceber a relação existente entre o t­ riângulo e a potência. Exemplo:

Etapa Etapa Etapa Etapa Etapa Etapa Etapa Etapa 0 1 2 3 4 5 6 7

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Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Matemática – Novo Telecurso – Ensino Fundamental – Aula 53 (Potência e Raízes), da série Novo Telecurso, que aborda esse tema com situações do cotidiano. Disponível em: (acesso em: mar. 2015).

• Compreender as ideias iniciais de pesquisa estatística simples.

Algumas explorações Um dos pontos discutidos nesse tópico é levar os alunos a refletir sobre a importância de suas preferências diante das situações do cotidiano, por exemplo, mencionar seu sabor preferido de sorvete, seu estilo musical etc. É importante perceberem que essas informações são interessantes e valiosas a inúmeros setores da sociedade, principalmente aos fabricantes de produtos, motivo pelo qual as pesquisas de opinião são de grande relevância. A pesquisa proposta no livro pode ser feita em sala de aula, e os dados coletados organizados em tabelas e gráficos. Caso os alunos se interessem por esse tema, poderão ampliar essa pesquisa para todos os integrantes da escola. Se possível, permita que organizem os dados em tabelas feitas em planilhas eletrônicas. Como alguns alunos talvez já tenham utilizado programas desse tipo, você pode solicitar-lhes que auxiliem os colegas na realização dessa tarefa. Ao final da atividade, os gráficos obtidos podem ser organizados em cartolina e

MANUAL DO PROFESSOR

2. Depois, cada um dos triângulos deve ser dividido novamente em quatro triângulos equiláteros iguais entre si e o centro deve ser retirado. O que é possível perceber?

• Interpretar tabelas simples e de dupla entrada.

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expostos com algumas conclusões feitas pelo grupo com base na observação e análise dos dados. A disciplina de Língua Portuguesa, por exemplo, pode ajudá-los na escrita de um texto descritivo. Na página 60, os alunos são convidados a refletir sobre as espécies em extinção. Se achar conveniente, proponha uma pesquisa nos sites e (este último do Ministério do Meio Ambiente). Neles, há inúmeras informações sobre o tema, bem como tabelas com dados estatísticos. Se desejar ampliar a atividade, proponha um desafio: solicite aos alunos que elaborem uma tabela com dados selecionados no site do Ibama (www.ibama.gov.br) e, com base nesses dados, façam diferentes gráficos.

Outra atividade 1. Dois amigos que estudavam Economia resolveram comparar seus boletins ao final do semestre. Veja: Aluno

Eduardo

Vicente

Português

8

9

Matemática

9

9

Informática

8

8

Inglês

7

8

Economia

7

5

Matéria

MANUAL DO PROFESSOR

Com base nessa tabela responda às questões: a) Em quais matérias Eduardo se saiu melhor que Vicente? Eduardo se saiu melhor em Economia. b) Em quais matérias Vicente se saiu melhor que Eduardo? Português e Inglês. c) Em quais matérias eles tiraram a mesma nota? Matemática e Informática. d) Em sua opinião, quem é o melhor aluno? Não existe uma única resposta possível para essa pergunta, pois é impossível medir se um aluno é melhor do que outro

apenas por suas notas. Aproveite a oportunidade para estimular o pensamento crítico, mostrando que existem inúmeras variáveis nessa questão, por exemplo, o crescimento de cada um ao longo do semestre, as facilidades com determinadas disciplinas etc. Se achar conveniente, proponha alguns questionamentos, como: Que variáveis deveríamos observar para comparar dois alunos? Será que é possível fazer essa comparação? Por quê?

Autoavaliação Ao final dessa unidade, sugerimos que convide os alunos a uma reflexão sobre as conquistas e dificuldades encontradas ao longo do estudo de seu conteúdo. Estimule-os a identificar os conceitos que acreditam ter desenvolvido com facilidade e outros que, para eles, foram mais complexos. Aproveite para incentivá-los a expressar possíveis dúvidas (para que possam ser retomadas) e, principalmente, suas conquistas durante a unidade.

Unidade 2 – Geometria: primeiras noções Objetivos da unidade • Rever aspectos da história da Geometria e seu emprego. • Identificar noções básicas da Geometria, tais como algumas formas planas e não planas. • Identificar vértices, faces e arestas de sólidos geométricos. • Ter os primeiros contatos com os conceitos primitivos de ponto, reta e plano. • Identificar formas geométricas planas. • Identificar formas geométricas não planas. • Efetuar planificações de cubo e paralelepípedo. • Utilizar e identificar vistas de um objeto. • Adquirir conceitos sobre forma e espaço por meio da observação. • Desenvolver olhar crítico sobre as formas geométricas encontradas no cotidiano escolar e não escolar.

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• Trabalhar a Geometria em múltiplas perspectivas. • Perceber, no âmbito da Geometria, o que está por trás do que observamos a nosso redor. • Compreender conceitos geométricos e raciocínio espacial.

Capítulo 8 – percebendo a geometria Objetivos do capítulo

• Rever aspectos da história da Geometria e seu emprego. • Descobrir intuitivamente propriedades e regularidades nas formas geométricas. • Desenvolver olhar crítico sobre as formas geométricas encontradas no cotidiano escolar e não escolar. • Perceber, no âmbito da Geometria, o que está por trás do que observamos ao nosso redor. • Identificar noções básicas da Geometria, tais como algumas formas planas e não planas. • Identificar vértices, faces e arestas de sólidos geométricos. • Ter os primeiros contatos com os conceitos primitivos de ponto, reta e plano.

Algumas explorações Antes da leitura dos parágrafos introdutórios da página 70, caso julgue conveniente, peça aos alunos que identifiquem formas geométricas na imagem da Ponte Juscelino Kubitschek. Procure, nesse momento, elencar os conhecimentos dos alunos acerca do conteúdo em questão. Promova uma conversa sobre quais profissionais estariam envolvidos nessa construção e qual a importância da Geometria nesse projeto. Em seguida, proponha a leitura dos parágrafos introdutórios e inclua comentários sobre a importância dos conhecimentos geométricos em diferentes contextos. Pergunte aos alunos se entre seus f­ amiliares ou pessoas próximas existe alguém que ­atue na

área da construção civil e, se possível, proponha uma entrevista com alguns desses profissionais para que os alunos possam investigar a importância do conhecimento geométrico na formação acadêmica e na profissão deles. Se desejar ampliar a atividade, sugira também uma pesquisa sobre diferentes construções que se tornaram símbolos ou até pontos turísticos em seus estados. Essa atividade pode promover relações com outras áreas do conhecimento, como Geografia e História. No item Conhecendo a história, proponha um trabalho de pesquisa sobre os “estiradores de cordas” (matemáticos que utilizavam cordas para fazer demarcações nos terrenos). Esse tema pode ser explorado nas aulas de História e Geografia (localização no mapa, pesquisa histórica, períodos etc.). Se possível, incentive os alunos a observar as ilustrações da página 72. Verifique seus conhecimentos sobre simetria, ressaltando a importância de perceber intuitivamente padrões e regularidades nas formas apresentadas. Conforme destaca o texto da mesma página, os conhecimentos geométricos não estão presentes somente nas construções mas em inúmeras situações da natureza, e alguns desses conhecimentos foram construídos por meio da observação delas. Motive-os a explorar a relevância do conhecimento geométrico em diversos contextos, por exemplo, a forma curiosa com que as abelhas constroem seus favos. A forma geométrica hexagonal proporciona o máximo de economia de cera em sua confecção e tem a maior área útil para armazenamento do mel. Peça aos alunos que elaborem “novos favos” utilizando outras formas geométricas, e leve-os a argumentar se suas propostas promovem maior economia do que o processo utilizado pelas abelhas. O Trabalho em equipe proposto na página 73 propicia o diálogo entre os alunos e a troca de conhecimentos, de estratégias, podendo colaborar para o esclarecimento de dúvidas. Motive-os a identificar, antes mesmo de desmontar as embalagens, as formas geométricas

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• Descobrir intuitivamente propriedades e regularidades nas formas geométricas.

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planas nelas encontradas e, após as planificações, a conjecturar sobre noções básicas percebidas por eles que diferenciam as formas planas das formas não planas.

Para a atividade 4, proponha aos alunos explorar as possíveis planificações do cubo (existem 11 possíveis). Você pode organizar grupos para dinamizar o trabalho. Providencie ou confeccione um cubo e motive os alunos a desenvolver seus próprios métodos para registrar as planificações encontradas. Nesse momento, será possível, com base na exploração, desenvolver conceitos geométricos e raciocínio espacial. É importante deixar que os alunos tentem criar as planificações; portanto evite entregar ao grupo moldes ou exemplos de planificação para não interferir no processo de criação e planejamento.

Hermitage, St. Petersburg, Rússia / Bridgeman Images / Keystone Brasil/ © Succession Pablo Picasso/Licenciado por AUTVIS, Brasil, 2015

Durante a correção da atividade 2 proposta na seção Agora é com você da página 74, procure falar sobre as propriedades dos quadriláteros. É importante que os alunos observem as propriedades dos objetos geométricos e percebam que elas são imprescindíveis para classificá-los. Por exemplo, peça que listem as propriedades de um quadrado e de um retângulo e procure compará-las, levando-os a deduzir que um quadrado também é um ­retângulo, mas que a recíproca não é verdadeira. Apresente alguns artistas que utilizam formas geométricas em suas obras de arte. Veja a seguir algumas propostas: Objeto educacional digital

Dusseldórfia, Kunstsammlung Nordrhein

Piet Mondrian. New York City 1 (inacabado), 1941. Óleo e tiras de papel pintadas sobre tela, 1,19 × 1,15 m.

Museu de Arte Moderna de São Paulo, São Paulo/Foto: Romulo Fialdini

MANUAL DO PROFESSOR

Pablo Picasso. Horta de Ebro – A fábrica, 1909. Óleo sobre tela, 50,7 × 60,2 cm.

A seguir, apresentamos as 11 possíveis planificações do cubo (sugestão: após a exploração anterior, desenhe as planificações em papel quadriculado para posterior exploração com cálculo da medida da área de superfícies):

Alfredo Volpi. Composição, 1976. Têmpera sobre tela, 67,5 × 135,5 cm.

No item Algumas noções de Geometria da página 75, em referência à introdução dos conceitos primitivos sobre ponto, reta e plano, é importante destacar que esses objetos matemáticos são resultado do pensamento abstrato. Por esse motivo, utilizamos diferentes representações para possibilitar sua manipulação. Não podemos confundir o objeto com sua representação. No decorrer da vida escolar, o aluno terá contato com diferentes formas de

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representação desses objetos, por exemplo: representação figural, algébrica, entre outras.

DAE

Para facilitar a compreensão do exemplo da página 76 é aconselhável o uso de material concreto manipulável. A fim de obter uma melhor observação das arestas não visíveis dos sólidos, sugerimos sua construção com varetas e massa de modelar. Solicite aos alunos o desenho e o registro do número de vértices, arestas e faces dos sólidos manipulados. A seguir, apresentamos a ilustração de duas possíveis construções, respectivamente, com cartolina e com varetas e massa de modelar.

Algumas resoluções Vejamos agora a resolução das atividades 2, 5 e 7 da seção Agora é com você da página 77. Atividade 2 a) A

B

b) C

D

c) G

H

d) R

S

Atividade 5

Universal History Archive / contribuinte / Getty Images

No trabalho com ilusão de ótica, proponha aos alunos o seguinte desafio: Responda com base no que você observa. As linhas da figura a seguir são retas ou inclinadas? Retas.

B

F

C

E

D

a) fiAB¤, fiBC¤, fiCD¤, fiDE¤, fiEF¤,¤ fiAF¤, fiAE¤, fiAD¤, fiAC¤, fiBF¤, fiBE¤,¤ fiBD¤, fiCF¤, fiCE¤, fiDF¤¤. b) O número de retas formadas pela união de dois pontos será o mesmo do número de segmentos construídos; logo, será igual a 15. Atividade 7 Conforme representação, podemos verificar que, a partir do ponto P, temos 4 semirretas: P¤Ufl, P¤Vfl, Pfifi ¤Wfl e P¤Zfl (representamos os pontos U, V, W e Z para facilitar a visualização das semirretas).

r

U Z

s

V

P W

MANUAL DO PROFESSOR

Outra atividade

A

DAE

Na seção Agora é com você da página 77, há uma atividade que solicita a construção de segmentos de retas com diferentes valores. Sugerimos uma breve retomada na forma de manipular e utilizar a régua graduada, pois alguns alunos ainda se confundem ao manipulá-la (onde está marcado o início da contagem e o final, o que representa cada marcação na régua etc.). Muitas vezes, algo que nos parece óbvio pode ser um complicador para os alunos. Comente, por exemplo, que uma medição incorreta pode levar a inúmeros erros de construção.

Aqui apresentamos a construção de todos os segmentos de retas, ligando os pontos A, B, C, D, E, e F:

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Capítulo 9 – Formas geométricas planas e não planas

confecção do paralelepípedo (recomendamos uma padronização das medidas).

DAE

Objetivos do capítulo • Identificar formas geométricas planas. • Identificar formas geométricas não planas. • Efetuar planificações de cubo e paralelepípedo. • Utilizar e identificar vistas de um objeto. • Adquirir conceitos sobre forma e espaço por meio da observação.

Algumas explorações

Outra possibilidade é desafiá-los a construir o paralelepípedo sem auxílio de molde, ou seja, a planificação será criada com base na observação de uma imagem ou até da figura tridimensional (sólidos geométricos de madeira, por exemplo). Os alunos devem ter disponível papel resistente, régua, tesoura e cola ou fita adesiva.

Se possível, ao propor a leitura do texto introdutório do Capítulo 9 promova uma discussão acerca da figura não plana ilustrada nas mãos do homem da gravura de Escher, Man with Cuboid. Questione os alunos sobre o que é possível e não é possível do ponto de vista da Geometria.

Trabalhe com o professor de Artes na construção de sólidos geométricos. Peça aos alunos que pintem cada polígono da planificação com cores ou decore-os com desenhos diversos, assim essas formas também podem ser utilizadas em atividades relacionadas a vistas diferentes.

Por exemplo, do ponto de vista da Geometria, tomando como base a construção de um cubo, as faces superior e inferior deveriam ser paralelas e duas das arestas, que unem dois vértices opostos dessas mesmas faces, não deveriam estar cruzadas.

Seguem algumas sugestões de medidas para a elaboração dos moldes. Mantenha as linhas tracejadas para que os alunos possam dobrá-los.

• Trabalhar a Geometria em múltiplas perspectivas.

MANUAL DO PROFESSOR

• Compreender conceitos geométricos e raciocínio espacial.

Na página 81, que trata de cubos e paralelepípedos, sugerimos a exploração dos conceitos abordados nesse item por meio da manipulação de materiais concretos. Fazer construções utilizando o Material Dourado pode ser uma opção interessante. Nesse momento, acompanhe atentamente a leitura do exemplo proposto, verificando a compreensão dos alunos e discutindo possíveis dificuldades. Sugerimos a confecção de um paralelepípedo para manipulação e melhor exploração da atividade 2 proposta na seção Agora é com você, da página 82. Segue modelo para

Medida da base (a)

Medida da altura (b)

Medida da largura (c)

15 cm

10 cm

6 cm

17 cm

17 cm

17 cm

10 cm

15 cm

6 cm

9 cm

9 cm

20 cm

Peça a eles que reproduzam, com material concreto – por exemplo, os cubos de unidade do Material Dourado –, as construções propostas no item Vistas diferentes de um mesmo objeto, da página 83. A manipulação de material concreto facilita a reprodução das vistas

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Nas atividades propostas na seção Agora é com você da página 84, sugerimos a utilização de papel quadriculado para reprodução das diferentes vistas das ilustrações sugeridas. Em Observando formas geométricas planas, na página 85, explore a construção de diferentes polígonos, por exemplo, por meio da utilização do material concreto Geoplano. O site (acesso em: fev. 2015) disponibiliza um Geoplano virtual. Outras possibilidades são explorar a composição e decomposição de formas geométricas planas com o uso de um mosaico ou confeccionar com papel polígonos de diferentes formas. O Tangram também pode complementar e ampliar as explorações. Proponha a manipulação de diferentes materiais nas atividades da seção Agora é com você da página 87. Alguns materias foram sugeridos anteriormente. Conduza o aluno a conjecturar e argumentar de modo intuitivo sobre regularidades nas formas geométricas observadas, fatores imprescindíveis para que mais tarde possam chegar à abstração e à generalização das propriedades observadas.

Outras atividades

miótica, acesse (acesso em: mar. 2015). • Embora o site oficial de Escher (, acesso em: mar. 2015) esteja em inglês, nele é possível ter acesso ao acervo de obras do artista. • Para conhecer melhor o Geoplano, acesse e (acessos em: mar. 2015).

Unidade 3 – Múltiplos e divisores Objetivos da unidade • Obter múltiplos de um número natural por meio da decomposição simultânea em fatores primos. • Calcular o mínimo múltiplo comum entre números primos. • Resolver problemas relacionados a múltiplos e divisores de números naturais. • Verificar se um número natural é divisível ou não por outro número natural. • Identificar os primeiros números naturais primos. • Efetuar a decomposição de um número natural em fatores primos. • Obter os divisores de um número natural por meio da decomposição em fatores primos.

Utilize a versão virtual do Tangram disponível no site (acesso em: mar. 2015).

• Calcular o máximo divisor comum entre números naturais.

Para saber mais

• Analisar, interpretar e elaborar “árvores de possibilidades”.

• O site (acesso em: mar. 2015) disponibiliza as cinco melhores ilusões de ótica (selecionadas pela equipe da revista Superinteressante). • Para saber mais informações sobre ­diferentes registros de representação se-

• Trabalhar os primeiros procedimentos de contagem e estimativa.

Capítulo 10 – Divisibilidade e números primos Objetivos do capítulo

• Verificar se um número natural é divisível ou não por outro número natural.

MANUAL DO PROFESSOR

superior, frontal e lateral dessas construções e posterior visualização dos empilhamentos. Explore também atividades em que, com base na observação de imagens que apresentem diferentes pontos de vista de um objeto, os alunos os reproduzam utilizando material concreto.

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• Identificar os primeiros números naturais primos. • Efetuar a decomposição de um número natural em fatores primos.

Algumas explorações Na página que inicia o capítulo, são apresentados os movimentos de translação e rotação da Terra estabelecendo então uma conexão com a divisão do tempo em dias (rotação), meses e anos (translação). No tópico sobre Noções de divisibilidade, nossa intenção com a realização do Trabalho em equipe: “Em dupla, verifique quais números da tabela são divisíveis pelos números indicados nos itens:” é, além de exercitar a operação de divisão, levar os alunos a refletir, com base na apresentação dos critérios de divisibilidade (que serão propostos logo em seguida), que tal conhecimento pode poupar tempo e energia para obtenção das respostas solicitadas. Ainda nessa atividade, procuramos ­permitir que os alunos criem seus próprios ­critérios de divisibilidade; é importante e ­ xecutar essa tarefa antes de apresentá-los formalmente. Discuta cada um dos critérios sugeridos e faça operações que possam validá-los ou negá-los.

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Na seção Agora é com você da página 102, após terem sido apresentados os critérios de divisibilidade, proponha aos alunos uma pesquisa de outros critérios de divisibilidade além dos já apresentados e questione-os se o conhecimento de tais critérios se justifica por seu uso. Veja, a seguir, nossa proposta de tarefa: Em dupla, faça uma pesquisa sobre outros critérios de divisibilidade do conjunto dos números naturais. Nessa pesquisa, responda à seguinte pergunta: Será que todo critério de divisibilidade economiza tempo e energia de trabalho? Após o tópico Reconhecendo um número primo apresentamos a construção do crivo de Eratóstenes. Caso solicite aos alunos que reproduzam o crivo, você pode sugerir que utilizem malha quadriculada ou, até mesmo, um computador.

Outras atividades 1. Quais números representados no crivo de Eratóstenes que não foram pintados? Reescreva-os. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 Eles são os chamados números primos. 2. Existe algum número primo que seja par? Qual? Somente o número 2, porque ele é divisível por 1 e por ele mesmo. Na atividade 12 da página 109, item Agora é com você do tópico Números primos, destacamos que o uso da incógnita x não visa à introdução dos conhecimentos de Álgebra, mas explorar intuitivamente a ideia de número com uma representação literal. Apresentamos a seguir uma proposta de resolução:

A fatoração completa de 360 é 2x × 32 × 5. Determine o valor de x. 360 2 180

2

90

2

45

3

15

3

5

5

1

2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 5 5 23 3 32 3 5 Logo, x 5 3.

Para saber mais • No site (acesso em: mar. 2015) existe uma sugestão para abordar a decomposição em fatores primos. Esse recurso pode ser interessante para ampliar o repertório de estratégias do educador. É importante salientar que a adequação e a averiguação das possibilidades de resolução de cada turma são essenciais para o sucesso da proposta.

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Capítulo 11 – Divisores de um número natural Objetivos do capítulo • Resolver problemas relacionados a divisores de números naturais.

A seguir, a resolução da atividade 11 da seção Agora é com você da página 116. Atividade 11 Vamos começar escrevendo os divisores de 75, 125 e 175 para achar o mdc: D(75): 1; 3; 5; 15; 25; 75 D(125): 1; 5; 25; 125 D(175): 1; 5; 7; 25; 35; 175 Os divisores comuns são: 1; 5; 25. Mas queremos a maior medida possível, então o número é o 25. Para saber quantos pedaços Mateus conseguirá ao todo, primeiro dividimos cada um dos pedaços pelo mdc encontrado e depois somamos estes resultados: 75  25  3 125  25  5

• Obter os divisores de um número natural por meio da decomposição de fatores primos. • Calcular o máximo divisor comum entre números naturais. Na página 110 há uma problematização com o máximo divisor comum (mdc) em que deverão ser formados, com a maior quantidade de alunos possível, grupos com o mesmo número de integrantes. Ressaltamos que nesse momento ainda não instituímos o conceito de mdc, mas já procuramos formar as bases conceituais para tal abordagem. Temos como intenção inicial que os alunos visualizem, de forma prática, os divisores de um número.

175  25  7 3  5  7  15 Portanto, serão 15 pedaços de corda e cada um deles terá 25 metros.

Outras atividades 1. Quais são os divisores de 70, 91 e 210?

D(70) = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70



D(91) = 1, 7, 13, 91



D(210) = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210

2. Quantos são os divisores naturais de 960? Decompondo 960 em fatores primos:

Algumas resoluções

960

2

A seguir, a resolução do item c da atividade 4 da seção Agora é com você da página 113.

480

2

240

2

120

2

60

2

30

2

15

3

5

5

1

26  31  51

Atividade 4 Para acomodar as 150 garrafas em uma quantidade menor de embalagens, precisamos utilizar o máximo de embalagens para 12 garrafas. Como 12  12  144, colocamos 144 garrafas nas embalagens maiores e o restante em uma embalagem para 6 garrafas. Portanto, necessitamos de apenas 13 embalagens para acomodar todas as 150 garrafas.

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• No endereço eletrônico (acesso em mar. 2015), há um artigo que fala sobre o surgimento do ano bissexto. É interessante mostrar aos alunos a relação entre os dados apresentados na seção Conexões (página 99) – por exemplo, ser ano múltiplo de 100 e de 400 – e a história do desenvolvimento de tal convenção.

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(6  1)  (1  1)  (1  1)  7  2  2  28 Portanto, o número 960 tem 28 divisores. Obtenha esses divisores com os alunos.

Capítulo 12 – Múltiplos de um número natural Objetivos do capítulo • Resolver problemas relacionados a múltiplos de números naturais. • Obter múltiplos de um número natural por meio da decomposição simultânea em fatores primos. • Calcular o mínimo múltiplo comum entre números primos.

Algumas explorações O texto introdutório desse capítulo possibilita um trabalho interdisciplinar com Ciências e Geografia. Havendo a possibilidade, pergunte aos alunos qual outro movimento, além do movimento de translação, os planetas executam. A ideia é recordar e trazer para a discussão o movimento de rotação.

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Lembramos que essas noções serão importantes quando eles trabalharem em Matemática as isometrias no tópico de Geometria, cuja base é a noção dos movimentos de translação, rotação e reflexão de figuras. No item Os múltiplos de um número da página 118, é interessante motivar os alunos a discutir a resolução dos seguintes questionamentos: Você já parou para pensar em quantas horas existem em um ano? Quais dados da tabela seriam úteis para obter essa resposta? O resultado obtido é um número múltiplo de 24? Pretendemos com isso levar os alunos a perceber que, para calcular a quantidade de horas de um ano em nosso planeta, o dado útil da tabela é a relação de que um dia equivale a 24 horas. Assim, teremos na tabela números múltiplos de 24. Em diferentes contextos utilizaremos a calculadora como instrumento tecnológico

de apoio ao ensino da Matemática. Nesse momento, ela facilitará e agilizará a visualização dos múltiplos de um número. Observe que, em calculadoras tradicionais, para que se apresentem os múltiplos de um número – por exemplo, os múltiplos de “5” – é preciso fazer o seguinte: digite as teclas “0”, “+”, “5”, “=”; o visor apresentará o resultado “5”; ao pressionar novamente a tecla “+”, o resultado da operação será armazenado; em seguida, pressione mais uma vez as teclas “5” e “=”; o visor apresentará o resultado “10”; a partir daí, pressione repetidamente a tecla “=”, obtendo como resultado os múltiplos de 5. Como existem vários modelos de calculadora, sugerimos a verificação de sua forma de funcionamento antes de realizar a atividade. Ao final da atividade do Trabalho em equipe proposto na página 120, socialize as soluções propostas pelas duplas. Em seguida peça que explicitem como elaboraram suas estratégias de resolução, pois, assim, estarão não só ampliando o repertório de possibilidades de resolução mas também exercitando o uso da linguagem matemática. Apresentamos a seguir duas possíveis soluções para compor esse quadro. 1) Pela soma e multiplicação: 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 5 4 3 6 5 24 2) Por agrupamento sem sobras (para os alunos que já abstraíram o conceito de múltiplo em relação à divisão com resto zero): Formar 6 agrupamentos de 4; logo, 24 é múltiplo de 4. DAE

Os expoentes são 6, 1 e 1, adicionando 1 a cada um deles e multiplicando os resultados:

Com base na atividade 2, do Agora é com você da página 120: Se Pedro começar a tomar o medicamento à meia-noite (zero hora), os próximos comprimidos deverão ser tomados em quais horários dada a frequência de 8 em 8 horas?, inicie uma conversa com os alunos questionando-os:

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Na página 122 inicia-se a abordagem do conteúdo sobre Mínimo múltiplo comum (mmc). Com base no exemplo proposto nesse capítulo sobre “dois amigos que resolvem andar de bicicleta em um parque da cidade”, é possível levar os alunos a perceber que a cada volta obtemos múltiplos dos diferentes horários propostos para cada ciclista, e haverá um momento em que esses números serão iguais, aqui interpretados como o momento do encontro entre eles. Demonstre que, se continuarmos a representação, haverá novos encontros em horários posteriores, mas o que nos interessa nesse momento é encontrar o tempo e a quantidade de voltas do primeiro encontro entre os ciclistas. Logo, por meio desse exemplo, é possível introduzir de maneira intuitiva o conceito de mmc, que é o menor múltiplo comum entre dois ou mais números. Em seguida, apresente o procedimento para cálculo do mmc por meio da decomposição dos números primos. Caso seja necessário, retome o conceito de número primo com a turma.

Outras atividades A atividade complementar sugerida a seguir refere-se ao conteúdo Os múltiplos de um número. Raul tem entre 300 e 350 gibis. Se ele organizá-los em pilhas de 10 ou 15 revistas, sobram 7 fora das pilhas. Quantos gibis Raul tem? É possível que ele organize esses gibis em pilhas iguais? Os alunos poderão desenvolver diferentes estratégias para resolução dessa ati-

vidade. Incentive-os a socializá-las, explorando cada uma delas, num trabalho de ampliação do conceito de múltiplos. Apresentamos aqui uma das possíveis maneiras de visualizar a resolução. Optamos por organizá-las em uma tabela: Pilha com 10 gibis Pilha com 15 gibis

310 315

320 330

330 345

340 –

350 –

Ao observar a tabela apresentada, é possível concluir que, em pilhas organizadas com 10 e 15 gibis, a quantidade de gibis será igual quando alcançar 330. Como na atividade existe a informação de que sobram 7 gibis, a resposta correta é 337 gibis.

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de Múltiplos de um número com base nas atividades da seção Agora é com você da página 121. Atividade 5 Para ampliar a exploração dessa atividade, sugerimos pedir aos alunos que reflitam sobre o porquê de somente os múltiplos de 7 estarem no mesmo dia da semana e socializem suas hipóteses a respeito dessa questão. Se possível, proponha a consulta de um calendário para verificarem se isso também ocorre com os demais meses do ano. Atividade 6 Nessa atividade, desafie os alunos a explicar o que os números em cada item têm em comum. Com esse procedimento, espera-se que identifiquem as propriedades dos múltiplos, e também dos divisores, de um número, o que possibilitará aplicá-las para números além da tabela apresentada. Por exemplo, eles poderão perceber que os múltiplos de 6 também são divisíveis por 2 e por 3, já que 2 3 3 5 6, ou seja, para ser divisível por 6, o número tem de ser, necessariamente, múltiplo de 2 e de 3. Atividade 7 Sugerimos que essa atividade seja explorada com o uso da calculadora.

MANUAL DO PROFESSOR

Você se recorda de alguém que precisou tomar uma medicação controlada? De quantas em quantas horas a medicação foi prescrita? Espera-se que eles apresentem os divisores de 24. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. É possível que nem todos os divisores de 24 sejam sugeridos; nesse caso, complete o conjunto. Em seguida, por exemplo, adote alguns intervalos, de 4 em 4, 6 em 6 e 8 em 8 horas, e peça aos alunos que determinem oralmente a sequência de horários com início à zero hora. É importante perceberem que os horários obtidos serão os múltiplos daquele número.

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a) múltiplo de 7 com 2 algarismos Iniciamos com a representação do maior número possível com 2 algarismos: 99. 99  7 5 14,1428... Como procuramos somente os múltiplos, ou seja, o resto da divisão por 7 será 0, consideraremos somente a parte inteira: 14 3 7 5 98 b) múltiplo de 7 com 3 algarismos Iniciamos com a representação do maior número possível com 3 algarismos: 999. 999  7 5 142,7142... Como procuramos somente os múltiplos, ou seja, o resto da divisão por 7 será 0, consideraremos somente a parte inteira: 142 3 7 5 994 c) múltiplo de 5 com 2 algarismos Iniciamos com a representação do maior número possível com 2 algarismos: 99. 99  5 5 19,8 Como procuramos somente os múltiplos, ou seja, o resto da divisão por 5 será 0, consideraremos somente a parte inteira: 19 3 5 5 95 d) múltiplo de 5 com 3 algarismos

MANUAL DO PROFESSOR

Iniciamos com a representação do maior número possível com 3 algarismos: 999. 999  5 5 199,8 Como procuramos somente os múltiplos, ou seja, o resto da divisão por 5 será 0, consideraremos somente a parte inteira: 199 3 5 5 995

Para saber mais • No manual Explorando o ensino da Matemática – volume II, disponível no site (acesso em: mar. 2015), há estratégias que procuram levar os

alunos a “visualizar” o mmc, fazendo-os descobrir, por meio da exploração, o funcionamento do “método”.

Capítulo 13 – Tratamento da informação: contagem e estimativa Objetivos do capítulo

• Trabalhar os primeiros procedimentos de contagem. • Analisar, interpretar e elaborar “árvores de possibilidades”.

Algumas explorações O cálculo da quantidade de possibilidades possivelmente já é um assunto conhecido pelos alunos, pois normalmente é abordado no Ensino Fundamental I. Apesar disso, é importante resgatar e observar os conhecimentos do grupo acerca do assunto. Nosso objetivo nesse momento será retomar e ampliar os conhecimentos com base na premissa de que o cálculo da quantidade de possibilidades envolve técnicas de contagem. Toda a teoria desenvolvida se baseia no Princípio Fundamental da Contagem, abordado no campo da Análise Combinatória. Na atividade que envolve o lançamento de uma moeda é interessante que os alunos vivenciem essa experiência e registrem os resultados obtidos a cada lançamento. Esses dados podem ser arquivados para a comparação com a árvore de possibilidades apresentada no livro. Sistematize uma simbologia para anotação dos resultados – por exemplo, a letra K para “cara” e a C para “coroa” – ou deixe os alunos criá-la. No exemplo da lanchonete, eles poderão estabelecer relações com seus próprios lanches trazidos de casa ou comprados na cantina. Caso julgue conveniente, proponha algumas opções para compor um lanche saudável e peça que criem um conjunto de possibilidades com base nas opções sugeridas.

Outras atividades 1. Uma montadora de automóveis disponibiliza ao comprador as seguintes opções

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Ou pode-se montar uma tabela para mostrar as possibilidades de combinações entre modelo (m) e cor (c): 1

2

3

4

5

6

1 M1 e C1 M1 e C2 M1 e C3 M1 e C4 M1 e C5 M1 e C6 2 M2 e C1 M2 e C2 M2 e C3 M2 e C4 M2 e C5 M2 e C6 3 M3 e C1 M3 e C2 M3 e C3 M3 e C4 M3 e C5 M3 e C6 4 M4 e C1 M4 e C2 M4 e C3 M4 e C4 M4 e C5 M4 e C6 2. Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito? 23232323232323232325 2 5 1 024 possibilidades 10

Algumas resoluções Na atividade 2 da página 128 as sequências podem ser obtidas por meio de um diagrama de árvore: resultados 

Nessa atividade, os alunos devem perceber que: • no primeiro lançamento há duas possibilidades de resultado: 21; • no segundo lançamento há 4 possibilidades de resultado: 22; • no terceiro lançamento há 8 possibilidades de resultado: 23. Logo, se mantivermos o padrão da sequência, no 5o lançamento o número de resultados será: 25 5 32 possibilidades. Esse mesmo raciocínio pode ser utilizado para contar resultados possíveis em uma prova de verdadeiro ou falso.

Para saber mais • O cálculo de possibilidades está diretamente ligado aos estudos da análise combinatória, que, por sua vez, estão relacionados à probabilidade. Dentro das estatísticas podemos dizer que o campo de interligação é o da Inferência Estatística. Se quiser saber mais detalhes sobre o assunto sugerimos o site (acesso em: abr. 2015). Nele você encontrará informações e sugestões sobre análise combinatória e probabilidade e suas aplicações.

Unidade 4 – Formas geométricas planas

K

(K, K, K)

C

(K, K, C)

K

(K, C, K)

C

(K, C, C)

• Compreender a noção de ângulo e de medidas de um ângulo.

K

(C, K, K)

C

(C, K, C)

• Perceber que a ideia de ângulo está presente no cotidiano de diferentes formas.

K

(C, C, K)

C

(C, C, C)

K K C

K C C

Objetivos da unidade

• Estudar as posições relativas entre retas, de acordo com os ângulos formados entre elas (paralelas e perpendiculares).

MANUAL DO PROFESSOR

para aquisição de determinado veículo: 4 modelos e 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha? 4 3 6 5 24 modelos

• Estudar os polígonos.

357 357 pom6_mp_333_383_especifica.indd 357

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Objetivos do capítulo

• Compreender noções sobre ângulo e de medidas de um ângulo. • Conhecer os aspectos históricos que envolvem o conteúdo matemático. • Identificar os elementos que constituem o ângulo: abertura, vértice e lados. • Associar a ideia de volta completa a 360°. • Identificar ângulos retos, agudos e obtusos. • Compreender os conceitos de retas paralelas e perpendiculares.

Algumas explorações Ao realizar a leitura do texto inicial do capítulo (página 136), verifique os conhecimentos dos alunos acerca do tema em questão. O estudo histórico lhes possibilita fazer novas associações e, inclusive, perceber a importância desse instrumento (astrolábio) em diferentes áreas, como a astronomia e a aeronáutica, ou em outras disciplinas, por exemplo, Geografia. Selecionamos alguns sites (acessos em: mar. 2015) que podem ser utilizados como fonte de pesquisa sobre os matemáticos citados no texto.

a abertura do caderno etc. É importante que, mesmo sem ter o conhecimento matemático em sua representação formal, os alunos notem que os conceitos estão ao seu redor. Uma atividade interessante é pedir aos alunos que se movimentem no ambiente ao comando de um colega. Para isso, deverão utilizar giros que contemplem diferentes ângulos, por exemplo, girar 45° para a esquerda, seguir em frente, girar 90° para a direita etc. Ao final, discuta com o grupo os giros e os ângulos utilizados. Como complemento, solicite que registrem a atividade em forma de desenho. Dessa forma, será possível verificar a representação de ângulos utilizada pelos alunos. Uma ferramenta que pode auxiliar no processo de construção desse conhecimento, bem como facilitar seu entendimento por parte dos alunos, é o software GeoGebra (apresentado anteriormente neste manual). Nele, os alunos podem medir e construir ângulos, modificar sua abertura e também a estrutura dos objetos geométricos construídos. Aproveite para redefinir conceitos como: ponto, reta, semirreta, vértice etc. Veja a seguir um exemplo de construção nesse software com duas semirretas, a e b, originadas no ponto A. Dotta

Capítulo 14 – A ideia de ângulo

• www.somatematica.com.br/biograf/ nicolau.php

MANUAL DO PROFESSOR

• www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/ GravitacaoUniversal/lk.php • www.e-biografias.net/galileu_galilei • www.e-biografias.net/nicolau_copernico • www.e-biografias.net/johannes_kepler Na página 137 inicia-se a exploração de ângulo, suas noções e propriedades. É interessante propor aos alunos que identifiquem formas que possam representar a medida de diferentes ângulos. Peça que localizem a representação de um ângulo reto e, em seguida, proponha outras localizações sem a preocupação com a exatidão da medida encontrada, por exemplo, ao observar a abertura de janelas,

O GeoGebra é um software gratuito de Geometria Dinâmica. Veja a seguir dois sites (acessos em: mar. 2015) que disponibilizam tutoriais sobre o uso do software: • www.youtube.com/watch?v=x-fJy6vRNXE • www.pucsp.br/geogebrasp

358 pom6_mp_333_383_especifica.indd 358

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Na seção Trabalho em equipe da página 141 é interessante ressaltar a relação desse conteúdo matemático com a disciplina de Geografia, ou seja, apresentar uma aplicação para o uso de ângulos. Um exemplo é a rosa dos ventos, utilizada para orientar na navegação. Na atividade 9 da página 146, talvez seja necessário retomar o conceito de ângulos por meio da rosa dos ventos. Sempre que possível, peça aos alunos que compartilhem os caminhos e estratégias utilizados na execução das atividades. Lembramos que a linguagem matemática é construída ao longo dos anos e cada vez mais deve ser aprimorada e ampliada. É imprescindível que, desde cedo, habituem-se a justificar matematicamente suas respostas, utilizando a língua natural, figural, aritmética etc. Essa troca de saberes lhe possibilita acompanhar a evolução dos alunos, as possíveis dúvidas e conquistas. É importante

A seguir, apresentamos a resolução de algumas atividades da página 145 do Livro do Aluno. Atividade 3

Numa folha de papel quadriculado desenhe, como na figura a seguir, as retas r e s. Depois, nesse mesmo quadriculado, trace: a) uma reta que seja paralela à reta r e também à reta s; b) uma reta que seja perpendicular à reta r e também à reta s; c) uma reta que seja oblíqua à reta r e também à reta s. b

c

s a

r

As retas em vermelho representam as respostas esperadas para essa atividade. Atividade 4

Desenhe uma reta r. Com o auxílio de um transferidor, represente: a) a reta s perpendicular à reta r;

90º

MANUAL DO PROFESSOR

É importante acompanhar os alunos durante a manipulação do transferidor para identificar possíveis dificuldades ao utilizá-lo. O site (acesso em: mar. 2015) disponibiliza informações e sugestões sobre o uso do transferidor.

Algumas resoluções

DAE

No Trabalho em equipe da página 139, sugerimos o uso de papel quadriculado para facilitar a representação dos deslocamentos necessários à sua conclusão. Acreditamos que esse recurso pode colaborar para a visualização dos dados.

observar os erros cometidos por eles, que podem sinalizar a necessidade de retomada de algum conteúdo ou a incompreensão de conceitos já abordados.

Igor Dolgov/Dreamstime.com

Na página 138, é possível explorar a ideia de fração. Quando falamos de uma volta inteira, meia-volta, um quarto de volta e um oitavo de volta, estamos nos referindo à representação de uma fração como parte de um todo. Para facilitar a compreensão sobre um giro completo associado à medida de 360°, faça a associação com uma volta completa do planeta Terra ao redor de si mesmo. Para saber mais detalhes acesse o site (acesso em: mar. 2015).

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b) a reta t formando um ângulo de 45° com a reta r.

2. Calcule a medida do ângulo ABOB, sabendo que a medida de ABOC é igual a 24° e a de BBOC é 60°.

Igor Dolgov/Dreamstime.com

B

A

Outras atividades

O

1. O mapa a seguir representa um bairro de uma pequena cidade. Observe-o e faça o que se pede:

b) 84°

d) 48°

a Ru

Ilustrações: DAE

c) 90°

Rua C

a) 36°

Ru a

E

P

a Ru

Rua A

a Ru

H

Ru a

R

F

a Ru

Ru a

G

N

Rua L

Ru a

M

Ru a

I

B

a Ru

a) Escreva o nome de duas ruas paralelas

Alternativa a. O ângulo ABOB é o que falta para completar 60°, portanto, basta subtrair de 60° o ângulo ABOC (24°). Logo, teremos um ângulo de 36° (60 2 24 5 36). Aproveite para conversar com os alunos sobre alternativas impossíveis ou improváveis, como imagens nas quais, em ambos os casos, uma das alternativas menciona um ângulo de 90°. Ao observarmos as imagens, percebemos que a alternativa 90° é inviável, sendo, portanto, excluída das opções de escolha. Uma proposta interessante para que os alunos compreendam a função do transferidor é solicitar que o construam. Para isso, utilize o exemplo 2 da página 138 e amplie a exploração. Nessa tarefa, peça aos alunos que desenhem um círculo, dobrem-no ao meio e recortem-no, obtendo um meio círculo. Depois, dobrem o meio círculo ao meio mais duas vezes. Cada uma das divisões obtidas representará 45°. A figura a seguir ilustra o procedimento descrito.

à Rua M. (Possíveis respostas: DAE

MANUAL DO PROFESSOR

C

Veja algumas atividades que podem ser propostas aos alunos.

Ruas E, I, R e N.) b) Escreva o nome de duas ruas perpendi3

culares à Rua F. (Possíveis respostas: Ruas E, I, M, R e N.)

1 4

c) Escreva o nome de uma rua concorrente à Rua B.(Possíveis respostas: Ruas E, C, I, A, M, L, R e N.)

2

5

360 pom6_mp_333_383_especifica.indd 360

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O jogo auxilia na precisão de estimativas de medidas de ângulos.

Para saber mais • É comum que os alunos nessa faixa etária se interessem por Astronomia. Você pode explorar um pouco mais o tema com base no site (acesso em: mar. 2015). • Para explorar as contribuições de Eratóstenes, veja o texto Eratóstenes e a circunferência da Terra, disponível em: (acesso em: mar. 2015).

Capítulo 15 – Polígonos Objetivos do capítulo

• Identificar polígonos convexos com base no número de lados ou vértices. • Relacionar ângulos internos e externos. • Compreender quando um polígono é regular. • Identificar as propriedades de alguns quadriláteros.

Algumas explorações Na página 158 sugerimos a confecção de um tabuleiro do Tangram. O Tangram é composto de dois triângulos grandes, três triângulos menores, um paralelogramo e um quadrado. É interessante permitir que os alunos montem e criem diferentes imagens. Se julgar conveniente, faça um painel com todas as imagens criadas por eles.

1 8

1 8 1 16

1 4

1 8

1 4

1 16

Explore os conceitos e as propriedades que envolvem os polígonos relacionados com a construção de figuras geométricas de diversos tipos. Sugerimos a construção de mosaicos com figuras de polígonos regulares. É interessante disponibilizar na sala de aula kits com diferentes polígonos (feitos de papel, por exemplo) para que os alunos possam construir mosaicos. Distribua os kits para duplas ou pequenos grupos e desafie-os a fazer diferentes composições e apresentá-las aos colegas utilizando nomes e propriedades dos polígonos em questão. Posteriormente exponha esses trabalhos na escola. Não esqueça que, durante a manipulação do material, é interessante destacar os polígonos envolvidos, suas propriedades, composições e decomposições. Peça aos alunos que façam uma lista do material recebido, relacionando cada polígono de seu kit com as respectivas observações. Solicite que os grupos discutam entre si todas as observações e, ao final, faça a institucionalização de todos os conceitos abordados. Na página 159, na seção Conexões, apresentamos os números figurados. Para saber mais sobre o assunto consulte o site: (acesso em: mar. 2015).

MANUAL DO PROFESSOR

Sugerimos, também, uma atividade para ser realizada em equipe: um jogo interessante da Coleção Mathema, 6o ao 9o ano, batalha do ângulo. Para ter mais informações acesse o site (acesso em: mar. 2015).

Existem relações entre peças do Tangram e frações. Questione os alunos sobre essas relações. DAE

Peça aos alunos que, com o auxílio de uma caneta, reforcem as marcações e incluam o valor do ângulo em cada uma delas: 0°, 45°, 90°, 135° e 180°.

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Algumas resoluções A seguir, apresentamos a resolução da atividade 1 da página 157.

Nos paralelogramos a seguir, foram traçadas as diagonais. Com o auxílio de uma régua, responda:

a) Em quais paralelogramos as diagonais têm o mesmo comprimento? As diagonais têm o mesmo comprimento nos paralelogramos B e C, pois os quadriláteros indicados são respectivamente um quadrado e um retângulo. Essas figuras são formadas por quatro ângulos retos. O fato de essas diagonais terem a mesma medida é uma propriedade desses dois quadriláteros.

b) Em quais paralelogramos as diagonais formam quatro ângulos retos? No paralelogramo B, o motivo para isso é que cada diagonal é uma bissetriz do ângulo interno do vértice, ou seja, a diagonal de um quadrado ou de um losango divide cada ângulo interno em dois ângulos de mesma medida.

procedimentos e representações com números fracionários. • Observar a utilização desse conceito em situações do cotidiano. • Observar números fracionários em diferentes tipos de representação. • Trabalhar com adição, subtração, multiplicação e divisão de frações.

Capítulo 16 – A ideia de fração Objetivos do capítulo

• Identificar o uso de frações em situações do cotidiano. • Efetuar a leitura de frações. • Identificar frações próprias, impróprias e aparentes. • Calcular frações de uma quantidade.

Algumas explorações É comum utilizarmos figuras para tratar do tema frações. Por exemplo, a "fração" própria pode ser representada com a figura:

Podemos explicar essa propriedade no quadradro com o auxílio de folha e tesoura. Veja a seguir.

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2. Dobre essa folha conforme a imagem da atividade; faça uma diagonal, desdobre e depois faça a outra. 3. Com um transferidor, confirme se os ângulos internos do vértice no centro têm medida igual a 90°.

Uma dúvida pode surgir na representação de frações impróprias. Por exemplo, na repre7 4 inteiro e sentação da fração , temos 1  4 4 3 do inteiro. Assim, a figura representativa mais 4 fica como: DAE

1. Recorte um quadrado em uma folha de papel.

Para saber mais • Sobre o Tangram, consulte os sites e (acessos em: mar. 2015).

Unidade 5 – Frações Objetivos da unidade

• Relembrar o conceito de fração iniciado em anos anteriores organizando

O aluno pode pensar que a figura representa 7 a fração . Explique que o inteiro considerado 8 neste caso é o retângulo, e este foi dividido por 4. Na página 167, com base nos exemplos para retomar o conceito de potência de um número de base 10, indique que para todo número decimal podemos escrever o denominador da

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Na atividade 13 da página 170, sugerimos que os alunos vivenciem concretamente a experiência proposta no problema. Incentive-os a pensar e registrar as estratégias utilizadas. Em seguida, socialize as propostas apresentadas. Nas atividades 3 e 4 da seção Agora é com você, da página 173, sugerimos a utilização de folha quadriculada, o que facilitará a visualização das informações relevantes para a resolução delas. A atividade 3 da página 175 pode ser realizada em duplas para que possam ser compartilhadas estratégias e conhecimentos sobre os conceitos explorados. Provavelmente alguns alunos apresentarão uma solução para o último questionamento (“Quais disciplinas foram contempladas no simulado?”), mas lembramos que, por falta de dados, é impossível responder a ele. O importante é estimular a discussão sobre o assunto. No momento da socialização, esclareça que existem questionamentos sem resolução por falta de dados, o que não significa que a atividade esteja errada. Observar e analisar os dados fornecidos e reconhecer se existe ou não a solução de uma situação-problema devem fazer parte das estratégias de resolução proposta aos alunos.

Algumas resoluções Veja a seguir a resolução da atividade 3 da página 175. a) Em um simulado com 40 questões, 1 delas eram de Matemática e 2 de 8 8

Português. O restante das questões era das outras disciplinas. Quantas questões se destinavam às outras disciplinas? Quais disciplinas foram contempladas no simulado? 40 3

40 1 40 3 1 55 5 5 8 8 8

40 3

2 80 40 3 2 5 5 5 10 8 8 8

Portanto, foram 5 questões de Matemática e 10 questões de Português. 40 2 10 2 5 5 25 Portanto, para as demais disciplinas havia 25 questões. b) Sabrina e Lucy participaram de uma corrida. Sabrina percorreu 3 da pista 8 e Lucy, 2 . Sabendo que a pista mede 5 1 600 metros, calcule a soma da distância percorrida pelas duas garotas. Distância percorrida por Sabrina: 1 600 3 3 3 4 800 5 600 metros 5 5 8 8 8 Distância percorrida por Lucy:

1 600 3

3 200 2 1 600 3 2 5 5 5 640 metros 5 5 5 Logo, a soma da distância percorrida pelas duas foi 1 240 metros.

1 600 3

Outras atividades Veja algumas atividades complementares para ampliar as explorações. 1. Observe a imagem e responda: Quantos quadrados menores precisaremos pintar para representar: a) 1 da figura? d) 3 da figura? 2 4 b) 1 da figura? e) 5 da figura? 6 6 2 da figura? c) 3

MANUAL DO PROFESSOR

fração na forma de potência de base 10. Por exemplo, o número dois é um número decimal 2 2 que pode ser escrito como 5 5 2. 100 1 Sugerimos reservar aproximadamente duas aulas para que a discussão sobre noções de fração possa ser trabalhada. Assim, serão permitidas reflexões sobre a concepção “parte-todo” e a aprendizagem significativa dessa representação. Sabemos que é um trabalho que demanda mais tempo, mas salientamos que ele pode favorecer outros estudos no decorrer dessa unidade, principalmente os que envolvam a adição e subtração de frações.

363 363 pom6_mp_333_383_especifica.indd 363

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a) 1 ? 4 b) 3 ? 16

c) 3 ? 10 d) 5 ? 16

Dividindo a figura em triângulos menores e traçando as diagonais dos quadrados conseguiremos 16 partes. Portanto, a fração que representa corretamente a parte pintada é 3 , alternativa b. 16

Para saber mais

MANUAL DO PROFESSOR

• Para explorar a noção de fração sugerimos utilizar o Material Cuisenaire. Você encontra informações sobre atividades e confecção do material no site (acesso em: mar. 2015). • O site (acesso em: mar. 2015) disponibiliza conteúdo sobre o sistema monetário.

Ilustrações: DAE

• Simplificar frações. d) 3 3 12 5 9 a) 1 3 12 5 6 2 4 • Comparar frações de mesmo denominador. 1 5 3 12 5 2 3 12 5 10 b) e) • Comparar frações de denominadores 6 6 diferentes. c) 2 3 12 5 8 Algumas explorações 3 2. A fração que representa a parte pintada Para que os alunos possam compreender a da figura é: equivalência de frações e ainda visualizar essas comparações, sugerimos o uso de material concreto, por exemplo, solicitar que façam dobraduras em folhas de mesmo tamanho e pintem a metade de cada uma, conforme apresentado a seguir.

Algumas indagações podem ser utilizadas para auxiliá-los nessas comparações, por exemplo: • Em quantas partes seu inteiro (folha) foi dividido? • Como podemos representar em fração a divisão feita na folha? • Qual parte de cada inteiro é maior? E menor? Quantas partes de 1 inteiro são necessárias para se tornarem do mesmo tamanho que uma parte de outro inteiro? O Trabalho em equipe da página 181 direciona os alunos para a ideia de simplificação de frações. Essa atividade deve ser feita antes de qualquer explicação para que os alunos cheguem às suas próprias conclusões. É esperado que eles entendam que dizer que na sala há 12 meninas para cada 18 meninos é o mesmo que dizer que há 2 meninas para cada 3 meninos. Ou seja, as frações 12 e 2 são equivalentes. 18 3

Algumas resoluções

Capítulo 17 – Equivalência e comparação entre frações Objetivos do capítulo

• Reconhecer e identificar frações equivalentes.

A seguir, apresentamos a resolução da atividade 6 da página 184. Para calcular o mdc de dois ou mais números podemos decompor esses números em fatores primos e fazer o produto dos fatores comuns. Dessa forma, temos:

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Aproveite para retomar o mdc pelo método de decomposição, estudado na Unidade 3 deste volume. Por exemplo, para determinar o mdc (28, 48), fazemos: 28; 48

2 (fator comum)

Item b

14; 24

2 (fator comum)

45 mdc (45,60) 5 15 60 45  15 5 3 60  15 4

7; 12

2

7; 6

2

7; 3

3

7; 1

7

Item c

1; 1

18 mdc (18,63) 5 9 63 18  9 5 2 63  9 7 Item d 32 mdc (32,128) 5 32 128 32  32 5 1 128  32 4 Item e 98 mdc (98,56) 5 14 56 98  14 5 7 56  14 4 Item f 26 mdc (26,104) 5 26 104 26  26 5 1 104  26 4 Item g 243 mdc (243,81) 5 81 81 243  81 5 3 5 3 81  81 1 Item h 300 mdc (300,432) 5 12 432 300  12 5 25 432  12 36

Logo, o mdc (28, 48) 5 2 3 2 5 4

Outras atividades 1. Acompanhe o trecho retirado do site da Universidade de Coimbra referente a uma passagem do livro O homem que calculava, de Malba Tahan. Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente. Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Com base nesse trecho responda: a) Qual irmão receberia mais camelos? b) Qual irmão receberia menos camelos? c) Por que eles estavam discutindo acaloradamente? Para explorar esse problema precisamos resumir as frações a um mesmo denominador. Irmão mais velho: 1 3 9 5 9 239 18 Irmão do meio: 1 3 6 5 6 336 18

MANUAL DO PROFESSOR

Item a 28 mdc (28,40) 5 4 40 28  4 5 7 40  4 10

Irmão mais novo: 1 3 2 5 2 932 18

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Podemos supor que a discussão se resumia a não ser possível dividir os camelos de acordo com essas frações. Sugira aos alunos que tentem dividir os camelos entre os irmãos. Se achar interessante, proponha uma pesquisa com o seguinte tema: Como será que nosso herói Beremiz resolveu esse problema?

MANUAL DO PROFESSOR

Beremiz percebe que a herança foi dividida de forma incorreta, pois 1  1  1 2 3 9 962 17 1 , ou seja, falta para   18 18 18 completar 1 inteiro. Isso sem contar que 35 não é divisível nem por 2 nem por 3 nem por 9. A solução de Beremiz foi emprestar o camelo de seu amigo para que os irmãos fizessem a partilha. Assim, ficaram com 36 camelos, sendo que a metade, 18 camelos, coube ao irmão mais velho; um terço, 12 camelos, ficou com o irmão do meio e um nono, equivalente a 4 camelos, foi para o irmão mais novo. O surpreendente da resolução do problema é que todos os irmãos receberam mais camelos do que a divisão original e ainda sobraram 2 camelos, um que foi devolvido ao amigo e outro que foi dado a Beremiz por ter resolvido o problema.

Para saber mais • Para fazer algumas atividades extras envolvendo os conceitos estudados sugerimos que utilize as atividades e vídeos propostos pelo site da Academia Khan:

(acesso em: mar. 2015). • A atividade 6 da página 188 apresenta uma tabela que é a mesma utilizada no jogo da coleção Mathema: batalha de frações. Sugerimos a utilização dele e

de outros jogos, como o dominó de frações, para estimular o interesse e a compreensão dos alunos sobre o conteúdo.

Capítulo 18 – Adição e subtração de frações Objetivo do capítulo

• Efetuar adição e subtração de frações.

Algumas explorações Iniciamos o capítulo com uma figura que representa um chocolate e fazemos uma adição com partes desse chocolate. Antes de sistematizar, procure utilizar figuras ou mesmo materiais concretos no trabalho com frações. O material concreto Cuisenaire é constituído por barras de variados tamanhos e cores e pode auxiliar no aprendizado de adição e subtração de frações (ver exemplo na atividade 1 da página 193). Os alunos podem construir seu próprio material com o auxílio do professor de Arte. DAE

Logo, podemos perceber que o irmão mais velho receberá mais camelos, e o mais novo menos camelos.

Representação do material Cuisenaire.

A construção de muro é uma atividade interessante que trabalha a adição e a comutatividade de frações. Considerando uma barra, o aluno deve escolher outras duas barras que juntas tenham o mesmo tamanho da primeira. Peça aos alunos que atribuam valores fracionários a cada barra, para assim relacionar o material ao conteúdo trabalhado. Veja a seguir um exemplo de adição de fração. A barra verde-clara representa 3 partes de 6 da barra verde-escura.

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A barra verde-clara é verde-escura.

3 6

da barra

A barra vermelha representa 2 partes de 6 da barra verde-escura.

A barra vermelha é verde-escura.

2 6

da barra

As duas barras juntas equivalem a 5 partes de 6 da barra verde-escura.

3 2 5  5 6 6 6 O trabalho concreto de adições e subtrações de frações pode ser feito também com a representação virtual do material C ­ uisenaire no endereço: . Na atividade 8 da página 194, o aluno deve adicionar frações em um gráfico de setores. Se for necessário, lembre-os da equivalência de frações e dê como dica que todas as frações da atividade têm denominadores divisíveis por 18, ou seja, o mínimo múltiplo comum desses denominadores é 18. O gráfico de setores é um ótimo exemplo no trabalho com frações, pois a associação torna-se mais clara se pensarmos no círculo como o inteiro e nos setores como partes.

Algumas resoluções Observe a resolução da atividade 3 da página 193.

Observe as figuras que representam duas barras de chocolate de mesmo tamanho, porém divididas em números diferentes de partes. Viviane comeu pela manhã, 4 pedaços do chocolate da esquerda e, à tarde, 3 pedaços do chocolate da direita.

b) Qual é a fração do chocolate da direita que ela comeu à tarde? c) Some essas frações para descobrir que fração de uma barra Viviane comeu nesse dia. Peça aos alunos que escrevam as frações equivalentes que podem representar a parte que Viviane comeu pela manhã e à tarde. 4 Parte da manhã: (considerando 4 12 2 partes de 12), (considerando que cada 2 6 1 partes menores juntas sejam 1 parte) ou 3 (considerando que 4 partes menores juntas sejam 1 parte). 3 Parte da tarde: (considerando 3 partes 18 1 (considerando que cada 3 partes de 18) ou 6 menores juntas sejam 1 parte). Colabore para que os alunos percebam que podem adicionar as partes comidas de chocolate apenas olhando para as figuras e verifiquem que os chocolates estão divididos também em 6 partes, além de estarem divididos em 12 e 18 partes. Alguns alunos podem determinar o mmc entre 12 e 18, que é 36, para adicionar as frações pela seguinte adição: 12 6 18   e, simplificando o resultado, 36 36 36 1 terão . 2 Comente que antes de adicionar as frações, além de verificar as partes nas figuras, podem também simplificá-las. Verifique a seguir. 12 2  36 6 6 1  36 6 Dividimos os numeradores e denominadores das frações por 6 e obtemos a adição: 1 2 3   e, simplificando o resultado, 6 6 6 1 terão . 2

MANUAL DO PROFESSOR

Ilustrações: DAE

a) Qual é a fração do chocolate da esquerda que ela comeu pela manhã?

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Outra atividade Esta atividade pode ser resolvida coletivamente. Conduza-a de forma que todos os alunos, com sua orientação, possam elaborar estratégias para resolvê-la. Uma família com três integrantes comprou uma quantidade de carne. O filho consumiu

1 1 da carne, o pai consumiu ea 3 5

1 . Da quantidade comprada sobraram 4 260 g. Quantos quilogramas de carne foram comprados?

mãe,

Primeiro, vamos descobrir a soma das frações do consumo de carne: 1 1 1 20  12  15 47     3 5 4 60 60 13 A família não consumiu da carne, pois 60 47 13 60 47  13     1. 60 60 60 60 13 Logo, corresponde a 260 g. 60 Assim, com uma regra de três simples, ­temos: 260 g  60 Quantidade de carne   13  1 200 g. Foram comprados 1,2 kg de carne. Sugerimos que separe uma aula para discutir a atividade, deixando que os alunos explorem algumas alternativas de resolução.

MANUAL DO PROFESSOR

Para saber mais • Sobre a Matemática desenvolvida no Egito Antigo consulte os sites: e (acessos em: mar. 2015). • No site (acesso em: mar. 2015) estão disponíveis alguns jogos on-line nos quais, para completar as fases, os alunos precisam fazer operações e comparações com frações.

Capítulo 19 – Fração de fração Objetivo do capítulo

• Efetuar multiplicação e divisão de frações.

Algumas explorações Nesse capítulo, exploramos situações que envolvem, por exemplo, o plantio. Se possível, estabeleça relações com outras áreas do conhecimento, como Ciências e Geografia. Aproveite o exemplo e converse com os alunos sobre a importância de uma alimentação saudável, o uso de agrotóxicos, produtos orgânicos e outros conteúdos ligados à alimentação e qualidade de vida, assuntos que podem ser interessantes para levá-los a refletir, inclusive, sobre a expectativa de vida. No site (acesso em: mar. 2015) é possível encontrar informações sobre os dados estatísticos ligados à expectativa de vida. Para a atividade 5 da página 197 é interessante retomar as regras para resolução de expressões numéricas.

Algumas resoluções Observe a possível resolução do Trabalho em equipe da página 200.

Determinem os valores de x e y na reta, considerando que os traços consecutivos estão igualmente espaçados. 0

1

X

2

Y

3

A ideia principal é identificar em quantas partes está dividida uma unidade. Dessa forma ficamos com as seguintes frações: 5 0

1 5

2 5

3 5

4 5

1

6 5

7 5

X

9 5

2 11 Y 13 14 3 5 5 5

8 e 5 12 Y 5 Vejamos agora a atividade 1 da página 201, da seção Superando Desafios. Assim X 

(Saresp) Robson utilizou 3 de 1 litro de 4 tinta para pintar a sala de sua casa. Sabendo que o restante da casa equivale a 3 vezes a

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área pintada da sala, de quantos litros de tinta ele precisará para pintar os outros cômodos? c) 9 litros 12

Observe que há 9 partes em vermelho em um total de 20 partes.

b) 3  3 litros d) 12 litros 4 4 Para pintar o restante da casa ele precisa de 3 vezes a quantidade já utilizada. Portanto, 3 3 3 5 9 5 4 1 4 1 1 5 2  1 4 4 4 4 4 4 (Alternativa a).

Portanto, 9 do total foram vendidos só 20 para esse cliente.

Para saber mais

 ara determinar o quanto do total foi P vendido para um único cliente, fazemos: 3  3  9 4 5 20 Podemos justificar essa reposta com figuras, como segue:

• A descoberta da Matemática: frações sem mistérios, de Luzia Faraco Ramos. São Paulo: Editora Ática, 2002. Livro sobre frações para complementar o conteúdo abordado em sala de aula. DAE

Dividimos um retângulo em 5 partes iguais e colorimos 3 dessas partes.

Essa figura representa a fração 3 , que é o 5 total da produção vendida no site.

• Matemática e origami – Trabalhando frações, de Elaine Moreira da Costa. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007. Livro para abordagens alternativas em sala de aula.

Unidade 6 – Números decimais

Agora dividimos novamente o retângulo em 4 partes e colorimos, de vermelho, 3 partes das que estavam em azul.

Objetivos da unidade DAE

• Identificar e comparar números decimais. • Transformar frações decimais em números na forma decimal. • Transformar números na forma decimal em frações decimais. • Realizar operações com números na forma decimal.

MANUAL DO PROFESSOR

1. Mônica vendeu, por meio de um site, 3 5 de produção mensal de bijuterias de sua empresa. Desse total, 3 foram vendidos 4 para um único cliente. Quanto do total da produção foi vendido para esse cliente?

Editora Ática

• No site (acesso em: mar. 2015) estão disponíveis alguns jogos on-line. São jogos nos quais, para completar as fases, os alunos precisam fazer operações ou comparações com frações, para o que necessitam conhecer bem a noção de fração.

Outras atividades

Editora Ciência Moderna

a) 2  1 litros 4

A parte em vermelho representa 3 da 4 9 do total. parte em azul e 20

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• Resolver expressões numéricas com números decimais. • Associar os números decimais às medidas de comprimento e representações do sistema monetário. • Resolver problemas relacionados às operações com números decimais. • Analisar gráficos de colunas, de setores e de linha. • Desenvolver o pensamento crítico com base na análise de gráficos e resultados apresentados. • Realizar pesquisa, coleta e organização de informações. • Apresentar resultados utilizando gráficos. • Ter as primeiras noções do pensamento estatístico e analítico.

Capítulo 20 – Frações deCimais e números deCimais Objetivos do capítulo • Ampliar os conhecimentos acerca do sistema de numeração (números com vírgula). • Identificar décimos, centésimos e milésimos da unidade.

Retome com o grupo a inserção da vírgula como separador decimal e comente que em alguns países, como os Estados Unidos, em vez da vírgula utiliza-se o ponto, o que também pode ser observado ao representar um número decimal em uma calculadora. Na página 209, os números decimais são representados no Material Dourado. É provável que os alunos já tenham manipulado esse material no Ensino Fundamental I, mas, caso não o tenham feito, é interessante retomar alguns princípios básicos para que eles possam compreender tanto as atividades propostas quanto as transformações e operações com números na forma decimal. Lembramos que o Material Dourado possibilita inúmeras explorações. No Ensino Fundamental I, ele é utilizado para operar com os números naturais. Observe.

• Empregar as propriedades dos números decimais.

Ilustrações: DAE

MANUAL DO PROFESSOR

• Relacionar frações decimais com números decimais.

Inicialmente, optamos por utilizar nosso sistema monetário para apresentar formalmente aos alunos os “números com vírgula”. Se achar conveniente, aborde a questão da preservação das cédulas de dinheiro e dos cuidados que devemos ter com elas devido ao grande investimento feito para produzi-las e aos prejuízos ecológicos envolvidos em todo esse processo. Rasgar ou rabiscar as notas pode causar prejuízos a toda a população. No site do Banco Central do Brasil é possível encontrar informações sobre esse assunto: (acesso em: mar. 2015).

• Comparar números decimais.

Algumas explorações Nesse momento, procuramos mostrar aos alunos que, mesmo sem perceber os números decimais ou refletir sobre eles, lidamos com esse tema quase todos os dias. As moedas, os preços encontrados nas placas dos supermercados, nossa massa corporal ao subir em uma balança ou quando pesamos um alimento são alguns exemplos em que é possível encontrar os números decimais.

cubo placa 1 milhar ou 1 centena ou 10 centenas ou 10 dezenas ou 100 dezenas ou 100 unidades 1000 unidades

barra 1 dezena ou 10 unidades

cubinho 1 unidade

Aqui, faremos a utilização do Material Dourado para representar os números decimais, logo, haverá uma alteração no valor representado pelos elementos que compõem o material. Observe.

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Ilustrações: DAE

1 unidade dividida em 10 partes iguais

1 da unidade = 0,01 100

1 da unidade = 0,1 10

1 da unidade = 0,001 1000

Por exemplo, o número 2,345 seria representado por:

na observação de uma regularidade e não se trata de um processo matemático. Na página 213 apresentamos a atividade 6, na qual os alunos representarão, nas formas fracionária e decimal, a quantidade de elementos utilizados na composição do mosaico. Se possível, permita que construam diferentes mosaicos e, ao final de suas construções, registrem nas formas em questão a quantidade de peças coloridas utilizadas. Existem diferentes procedimentos para obter o resultado, dos quais selecionamos alguns. É interessante socializar as estratégias utilizadas pelo grupo e, se possível, montar um quadro de soluções. a) Partes vermelhas 30,5 5 305 5 0,305 100 1 000 ou 30,5 5 61 5 305 100 200 1 000 Partes verdes 10,5 5 105 5 0,105 100 1 000 ou 10,5 5 21 5 105 100 200 1 000

Algumas resoluções Na página 211 apresentamos, no exemplo 3, um procedimento rápido para transformar uma fração decimal em um número decimal. É importante esclarecer aos alunos que essa estratégia foi elaborada com base

ou 10,5 5 21 5 105 100 200 1000 Partes azuis 12,5 5 125 5 0,125 100 1000 ou 12,5 5 25 5 125 100 200 1000 Partes brancas 36 5 0,36 100 b) 30,5 1 10,5 1 10,5 1 12,5 5 64 5 0,64 100 100 100 100 100

MANUAL DO PROFESSOR

Permita que os alunos façam diferentes representações de números decimais utilizando o Material Dourado. Explore relações entre inteiros, décimos, centésimos e milésimos questionando, por exemplo, qual representa a maior quantidade – 3 décimos ou 3 centésimos – e de quantos décimos precisamos para completar 1 inteiro. Posteriormente, os alunos poderão fazer operações com decimais utilizando esse recurso.

Partes amarelas 10,5 5 105 5 0,105 100 1000

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Capítulo 21 – Operações com números decimais

Outra atividade Para ampliar as explorações sobre decimais equivalentes, selecionamos uma atividade complementar.

Objetivos do capítulo

• Efetuar operações de números decimais.

1. Observe as imagens a seguir e faça o que se pede.

• Resolver problemas relacionados a diferentes números decimais.

A

Algumas explorações Primeiramente, incentive os alunos a refletir sobre diferentes estratégias e possibilidades para adicionar números decimais. Retome a ideia dos números decimais associados ao sistema monetário e explore situações em que haja compra, venda e troco. É importante que argumentem sobre as escolhas e estratégias utilizadas.

B

Exemplo: • Uma criança foi comprar um chocolate e um refrigerante na lanchonete da escola. O chocolate custava R$ 2,25 e o refrigerante, R$ 3,50. Quanto o menino deve pagar pelos produtos? Acreditamos que provavelmente saberão fazer essa conta intuitivamente. Incentive-os a expor o caminho do pensamento por eles percorrido para chegar ao resultado: R$ 5,75. Oriente-os a utilizar, sempre que possível, a linguagem matemática.

Na figura A pinte as quatro primeiras colunas, ou seja, quarenta centésimos da unidade. Na figura B pinte as quatro primeiras colunas, ou seja, quatro décimos da unidade. Represente na forma fracionária e na forma decimal as partes pintadas de cada figura.

Em seguida, aproveite o exemplo apresentado anteriormente e complemente-o sugerindo situações em que haja a necessidade de subtrair os números decimais, por exemplo: • Essa mesma criança tinha uma cédula de R$ 5,00 e uma de R$ 2,00. É suficiente para fazer a compra? Se sim, ela receberá troco? Qual será o valor do troco?

Verificamos que 0,40 representa o mesmo que 0,4, ou seja, são decimais equivalentes.

Para saber mais • Pedagogia – Matemática e cultura: decimais, medidas e sistema monetário, de Cristiano Alberto Muniz, Carmyra Oliveira Batista e Erondina Barbosa da Silva. Disponível em: (acesso em: mar. 2015).

Universidade de Brasília

MANUAL DO PROFESSOR

40 5 0,40 4 5 0,4 100 10 Responda: O que você pôde perceber com relação às partes que você coloriu das figuras?

A criança tem um total de R$ 7,00. Como 7,00 é maior do que 5,75, então o dinheiro dela é suficiente para fazer a compra e para receber o troco. 7,00 – 5,75  1,25 O valor do troco será de R$ 1,25. Na página 221 aparece a palavra análoga. É possível que surjam questões sobre seu significado. Segundo o Mini Houaiss: dicionário da Língua Portuguesa (2012), análoga significa “semelhante”.

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Na seção Agora é com você da página 224, na atividade 4 é possível abordar a generalização de padrões de maneira informal utilizando a descoberta dos termos da sequência. Note que, no item a, o procedimento é multiplicar por 10 o número anterior, enquanto no item b dobramos os números decimais, no item c triplicamos os números decimais e no item d multiplicamos por 4 o número anterior da sequência. Se quiser ampliar essa exploração, proponha aos alunos que, em duplas, criem sequências numéricas. Essas sequências podem ser trocadas entre eles para que deduzam o padrão adotado pelos colegas e escrevam os próximos três termos da sequência. Já na atividade 7, retome os procedimentos necessários para resolver uma expressão numérica e apresente contraexemplos mostrando o que acontece quando as regras de ordem de resolução são desrespeitadas. Se possível, converse com os alunos sobre a importância da correta identificação do período de uma dízima, como no exemplo 2 da página 227, em que encontramos a dízima 1,571428571. Neste caso, o período é composto de 6 números. Períodos longos podem induzir o aluno a deduzir que o número não tem

Sobre as normas de arredondamento da ABNT, consulte o site (acesso em: mar. 2015).

Outras atividades 1. Gustavo foi à feira comprar frutas para sua mãe. Na Quitanda Saúde, Gustavo mostrou a lista de frutas feita por ela e usou uma nota de R$ 20,00 para pagar a compra. Quanto Gustavo levou de troco para casa? Produto

Quantidade

Valor na Quitanda Saúde

maçã

3 kg

R$ 1,89/kg

laranja

2,5 kg

R$ 0,90/kg

pera

0,5 kg

R$ 1,20/kg

tangerina

1,5 kg

R$ 1,60/kg

20 2 (3 3 1,89 1 2,5 3 0,90 1 0,5 3 1,20 1 1,5 3 1,60) 20 2 5,67 2 2,25 2 0,6 2 2,4 5 9,08 O troco foi de R$ 9,08. 2. Lucas resolveu representar em um gráfico de setores a maneira como gastou sua mesada no último mês: museu R$ 6,00

lanche R$ 30,20 cinema R$ 44,00 economizou R$ 21,90

MANUAL DO PROFESSOR

No Agora é com você da página 222, ressaltamos o item c da atividade 6. Aproveite para destacar, mais uma vez, o uso da Matemática no cotidiano, ressaltando a necessidade da medição da temperatura e aproveite para ampliar essas explorações comentando também a importância da previsão do tempo em diferentes áreas: agricultura, navegação, comércio, indústria etc. Questione como isso pode influenciar no dia a dia da população.

período. Reafirme que isso não é possível, pois um número racional é inteiro ou decimal finito ou decimal infinito e periódico. Caso julgue necessário, peça aos alunos que observem a dízima na calculadora antes de classificá-la.

DAE

Destaque aos alunos o quanto é importante o uso do dicionário. A linguagem matemática será construída gradativamente, mas é essencial que alguns termos façam parte do vocabulário e da compreensão deles. Sugerimos que o dicionário seja utilizado sempre que necessário para averiguação de possíveis significados, possibilitando, inclusive, reflexões sobre algumas divergências na utilização de uma palavra no contexto matemático e no contexto usual da língua portuguesa.

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Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras e, em caso negativo, reescreva a sentença. a) A diferença entre os gastos com cinema e com lanche é de R$ 14,00. Falsa, pois 44,00  30,20  13,80. Logo, a diferença entre os gastos com cinema e com lanche é de R$ 13,80. b) A maior área do gráfico representa a maior despesa de Lucas. Verdadeira. c) Lucas gastou mais com lanche e museu do que com cinema. Falsa, pois 30,20  6,00  36,20, que é menor do que 44,00. Logo, Lucas gastou mais com cinema do que com lanche e museu.

MANUAL DO PROFESSOR

d) O gasto com cinema é sete vezes o gasto com museu mais R$ 2,00. Verdadeira. 3. O preço de um produto sem desconto é R$ 1.850,00. Caso o consumidor opte pelo pagamento à vista, é dado um desconto de 13%. Qual é o valor do produto com esse desconto? Primeiro, vamos descobrir qual é o valor do desconto: 13  0,13 13%  100 1 850 0,13  240,50 O desconto foi de R$ 240,50. Para saber qual o preço do produto à vista precisamos subtrair o desconto do preço inicial: 1 850,00  240,50  1 609,50 Logo, o valor do preço pago à vista será de R$ 1.609,50.

Para saber mais • Nos sites e (acessos em: mar. 2015) há atividades prontas para trabalhar números decimais com o uso do Material Dourado. • Sobre educação financeira nas escolas consulte (acesso em: mar. 2015).

• Coleção O Menino do Dinheiro, de Reinaldo Domingos, São Paulo, DSOP. e (acesso em: mar. 2015).

Capítulo 22 – Tratamento da informação: Noção de porcentagem, gráficos e tabelas Objetivos do capítulo

• Analisar gráficos de colunas, de setores e de linha. • Desenvolver o pensamento crítico com base na análise de gráficos e resultados apresentados. • Realizar pesquisa, coleta e organização de informações. • Apresentar resultados utilizando gráficos. • Ter as primeiras noções do pensamento estatístico e analítico.

Algumas explorações Um dos conceitos explorados nesse tópico é o papel da amostragem em estatísticas. Pergunte aos alunos quais estratégias utilizariam para fazer uma pesquisa que envolvesse todos os habitantes de um país. Explique-lhes que as pesquisas em grande escala demandam tempo, normalmente alto investimento e, em alguns casos, os pesquisadores se deparam com dificuldades como localizar toda a população que atenda ao perfil desejado. Dependendo do tipo de pesquisa, é possível considerar somente uma parte dos sujeitos, ou seja, uma amostra. O Censo Demográfico, realizado pelo IBGE, tem como objetivo reunir informações sobre toda a população brasileira e, para isso, todas as moradias do país são visitadas a fim de que seus moradores sejam entrevistados. Neste caso, não é possível considerar somente uma amostra da população, pois esse tipo de pesquisa requer a participação de todos.

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Dessa forma, um projeto de pesquisa na escola pode ser planejado em conjunto, envolvendo professores de Matemática e de outras disciplinas.

Algumas resoluções Sobre o desafio da página 240 que envolve os valores estipulados para arroz, milho e feijão, é importante explicar que esses preços variam conforme a época do ano por causa dos períodos de safra e entressafra. A época da safra é a época da colheita, ou seja, a época em que possivelmente há maior disponibilidade daquele produto no mercado e, por isso, os valores tendem a diminuir (concorrência). Esses valores dependerão também do tamanho da safra: uma safra boa mantém os preços pouco inflacionados durante um tempo maior; quando a safra é fraca, os preços tendem a subir mais rapidamente. A entressafra, por sua vez, é o período entre uma safra e outra, com redução da oferta do produto e muitas vezes o solo onde o produto será plantado fica sem atividade. Nesse momento, o mercado só depende do estoque

Outra atividade 1. Proponha que os alunos façam uma pesquisa com base no roteiro a seguir. 1. Escolha de um tema (programa de TV, comida, livros etc.). 2. Definição da questão de investigação (por exemplo, quantas pessoas assistem aos telejornais e quais telejornais são esses). 3. Definição de uma hipótese (por exemplo, os alunos não assistem aos telejornais). 4. Elaboração de um questionário. 5. Testagem em sala de aula para verificar a eficácia do questionário. Estando tudo dentro do esperado, eles podem começar a pesquisar na escola, em casa, na rua ou em local definido antecipadamente. Solicite que façam, na sequência, a tabulação dos dados na planilha eletrônica e a elaboração de gráficos com as informações coletadas. Por fim, peça que analisem os dados e escrevam uma conclusão.

Para saber mais • Análise ­estatística com Excel para ­leigos , de Joseph Schmuller. Rio de Janeiro: Alta Books, 2012. Livro que ensina a usar o Excel e fazer análises estatísticas.

Unidade 7 – Grandezas e medidas Objetivos da unidade

• Compreender que medir é comparar grandezas de mesmo tipo. • Realizar medições. • Compreender os conceitos de medida de comprimento, superfície, volume, massa e capacidade. • Compreender os conceitos de perímetro e área.

MANUAL DO PROFESSOR

Também é proveitoso levar os alunos a perceber que uma única pesquisa pode fornecer dados de interesse para diferentes áreas de conhecimento. Por exemplo, quanto aos consumidores de sorvete de palito da situação da página 237, além de perguntarmos qual é o sabor preferido, poderíamos questioná-los sobre a quantidade de sorvetes ingerida por pessoa no período de um mês; neste caso, os dados coletados sobre os sabores seriam de interesse da indústria, e a quantidade consumida por pessoa interessaria para a área da saúde.

de produtos. Conforme esses estoques diminuem, o preço do produto tende a aumentar.

Alta Books

Para que os alunos reflitam sobre a abrangência da amostra e a importância em diversificá-la podem ser propostas outras questões. Por exemplo, uma pesquisa realizada somente em uma escola de determinada região do país mostrará a opinião de um grupo limitado de pessoas que estuda na mesma escola e mora no mesmo estado; logo, se quiséssemos saber a opinião de alunos em geral, seria necessário entrevistar alunos de outras escolas e de outras regiões. Essa reflexão é importante para perceberem que alguns resultados apresentados na mídia, por exemplo, podem não retratar a realidade por contar apenas com uma amostragem específica.

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• Compreender o conceito de probabilidade. • Trabalhar o conceito de média aritmética.

Capítulo 23 – Unidades de comprimento e de massa • Identificar unidades de medida de comprimento. • Transformar unidades de medida de comprimento. • Compreender os conceitos de perímetro. • Resolver situações que envolvam cálculo de perímetros de algumas figuras planas. • Identificar unidades de medida de massa. • Transformar unidades de medida de massa.

Algumas explorações

MANUAL DO PROFESSOR

Na primeira página desse capítulo apresentamos alguns instrumentos de medida de comprimento. É interessante perguntar aos alunos se conhecem outros instrumentos de medida e se saberiam dizer como são utilizados. Relembre alguns artefatos utilizados na própria escola, por exemplo, a régua, os esquadros, o transferidor etc. Pergunte se conhecem alguém que utilize, em sua profissão, algum desses equipamentos e, se possível, programe uma entrevista com esse especialista para que compartilhe seus conhecimentos. É interessante expor aos alunos uma régua de polegadas, à venda em papelarias. Deixe-os trabalhar com essa unidade propondo atividades de medição. Essa unidade também está presente em algumas situações cotidianas, e é interessante perceberem que existem outras unidades de medida diferentes das utilizadas no dia a dia. Na seção Conexões é mencionado o problema da falta de precisão de alguns instrumentos. Destaque o quanto essa característica é importante em determinadas áreas, como a da saúde, a farmacêutica e a de construção civil. Há uma série interessante sobre o tema “precisão: a medida das coisas”, disponível em:

(acesso em: mar. 2015).

Na seção Trabalho em equipe, os alunos são convidados a utilizar partes do próprio corpo como instrumento de medida e obter o comprimento e a largura da sala de aula e de itens que a compõem, como a mesa do professor, a porta etc. Em seguida, é importante que eles comparem entre si as medidas encontradas e expressem suas conclusões sobre essa forma de medir. Na atividade 3 da página 252, na seção Agora é com você, destaque que as respostas são variáveis, pois dependem do objetivo da medição. No primeiro parágrafo da página 254, sobre Perímetros de figuras geométricas planas, aproveite para relacionar a Matemática com outras áreas de conhecimento, como a Educação Física e as Ciências, conversando com eles sobre a importância do aquecimento antes de realizar uma atividade física, a relevância do alongamento etc. Quando falar sobre as unidades de massa, peça que façam um breve levantamento de outras unidades de medidas de massa utilizadas em sua região – por exemplo, no Norte é comum utilizarem uma lata como unidade de medida.

Outras atividades 1. Jonas estava lendo um livro de aventuras e descobriu que o herói aventureiro havia percorrido 10 quilômetros em 2 dias. Qual das alternativas a seguir contém as duas grandezas expressas nas informações acima? a) Tamanho e tempo. b) Comprimento e calendário. c) Tempo e comprimento. d) Distância e tempo. e) Massa e temperatura. Alternativa c. 2. Aninha adora andar de bicicleta em volta do campo de futebol perto de sua casa. Observe o tamanho do campo de futebol. DAE

• Calcular perímetro e área de figuras geométricas planas.

12 m

6m

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Se ela der 4 voltas completas no campo, ela andará: a) 144 m

c) 36 m

b) 42 m

d) 108 m

1 volta 5 12 1 6 1 12 1 6 5 36 m 4 voltas 5 4 3 36 5 144 m Alternativa a.

Veja a seguir um pequeno texto sobre como calcular o tamanho do calçado por meio de uma fórmula matemática, que pode ser apresentado para os alunos com o intuito de entreter e fazê-los perceber que a Matemática está empregada no cotidiano. O número que você calça e a Matemática

Para saber mais Conheça um pouco melhor o Sistema Internacional de Medidas (SI). Na tabela a seguir, estão algumas dimensões e unidades e os símbolos que usamos para representá-las. Sistema Internacional de Medidas Quadro I: As sete unidades básicas do SI e os símbolos utilizados para sua representação. SI - Unidades Básicas Grandeza

Unidade

Símbolo

tempo

segundo

s

comprimento

metro

m

massa

quilograma

kg

corrente elétrica

ampere

A

temperatura termodinâmica

kelvin

K

intensidade luminosa

candela

cd

quantidade de substância

mol

mol

Você sabia que existe uma fórmula matemática para calcular o número que você calça por meio do tamanho de seu pé em centímetros? Veja só: 5p 1 28 S5 4 em que S representa o número do sapato e p representa o comprimento do pé em centímetros. De acordo com essa fórmula, se o seu pé medir 20 cm, o número do seu sapato será: 128 5  20 1 28 100 1 28 5 32 5 5 4 4 4 Verifique com os demais colegas qual é o tamanho do calçado deles! S5

Capítulo 24 – Unidades de área Objetivos do capítulo

• Compreender o conceito de medida de área. • Realizar medições. • Transformar unidades de medida. • Calcular a área de quadrados e retângulos.

Aproveitando essa abordagem, sugira aos alunos que façam a construção de uma reta que representa essa medida-padrão, ou seja, 1 metro. Se possível, utilize uma fita métrica para auxiliar a construção. O desenho pode ser feito em qualquer lugar da escola que julgar conveniente. Caso não seja possível, construa um metro com um pedaço de barbante e, antes de iniciar possíveis medições, incentive os alunos a realizar estimativas com base na observação do tamanho do barbante ou da reta desenhada.

• Resolver problemas que envolvem o conceito de perímetro e área.

Algumas explorações Inicie esse capítulo conversando com os alunos sobre o desmatamento e os impactos ambientais sofridos em diferentes regiões. Essa abordagem pode ser ampliada em outras disciplinas, por exemplo, Geografia. Se possível, permita que visualizem imagens comparando épocas diferentes em um mesmo lugar, mapas e até mesmo imagens de satélite nas quais é possível perceber o desmatamento e suas consequências. Ao falar em área, resgate o conhecimento deles sobre o tema.

MANUAL DO PROFESSOR

Mais informações podem ser encontradas no site do Inmetro: (acesso em: mar. 2015).

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Na página 260 apresentamos o hectare e o alqueire. Essas unidades de medida são bastante comuns em áreas de zona rural e em situações específicas ligadas a terra e plantações. Se possível, deixe que os alunos pesquisem as diferenças regionais entre essas unidades de medida.

• Os lados maiores dos quatro retângulos têm o mesmo comprimento. • As cinco regiões têm o mesmo perímetro. Determine a área do terreno de Dona Lígia. Como a área do quadrado do centro é igual a 64 m2, então seu lado mede 8 m. Como o perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o comprimento do seu lado, concluímos que o perímetro do quadrado central é igual a 32 m. Como as cinco regiões têm o mesmo perímetro, concluímos que o perímetro de cada retângulo também é igual a 32 m. Observe agora a seguinte figura: A

M

N

B

S

Nesse livro já sugerimos a utilização do Geoplano para explorar a construção de polígonos. Podemos usá-lo também para o cálculo de área. Na seção Para saber mais é possível encontrar sugestões de atividades e aplicações.

Por meio dela vemos que MA + NA é igual à metade do perímetro do retângulo MANS.

Outra atividade

MA 1 NA 5 16 m

1. (Obmep) Dona Lígia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em cinco regiões, sendo quatro retângulos e um quadrado como ilustrado na figura abaixo:

Mas os lados maiores dos retângulos são iguais; logo, MA 5 NB. Assim, podemos substituir MA por NB na equação acima para obter NB 1 NA 5 16 m. Concluímos então que o lado do terreno mede NB 1 NA 5 16 m. Como o terreno tem forma de quadrado, a área do terreno é (16 m)2 5 256 m2.

DAE

MANUAL DO PROFESSOR

No item c da atividade 5, da página 261, proponha aos alunos que façam uma pesquisa sobre o preço do metro quadrado das casas e terrenos de diferentes regiões. Peça que se reúnam em pequenos grupos para elaborar, desenvolver e apresentar a pesquisa. Conversar com alguém do ramo imobiliário pode ser uma interessante opção.

• O quadrado do centro tem área igual a 64 m2.

DAE

Aproveite o Trabalho em equipe proposto na página 262 e explore noções de cidadania com os alunos. A indicação de lotação máxima encontrada em diferentes ambientes (elevadores, casas de shows, ônibus, estádios etc.) pode ser o disparador para essa conversa. Incentive-os a pensar na importância de respeitar a lotação máxima indicada e, consequentemente, respeitar a lei. Amplie essa questão para a utilização de elevadores fazendo-os perceber que, além da quantidade de pessoas, deve ser considerada a carga máxima.

Portanto,

Para saber mais

Na figura acima temos que:

• No site (acesso em: mar. 2015), há atividades que trabalham áreas e perímetros com a utilização do Geoplano.

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• Para ver aplicações do Geoplano em diversas áreas da Matemática consulte (acesso em: mar. 2015).

para montar diferentes empilhamentos. Após a exploração concreta, peça aos alunos que registrem, em forma de desenho e numericamente, as construções realizadas.

• Sugestão de site para saber mais detalhes sobre o desmatamento: (acesso em: mar. 2015).

Na atividade 3 da página 274, da seção Agora é com você, discuta a importância de economizar água e estimule a reflexão dos alunos sobre os desdobramentos dessa economia no meio ambiente e na conta de água. Aproveite também para explorar gráficos de variação de consumo, bem como a leitura de outras informações apresentadas na conta de água.

Capítulo 25 – Unidades de volume e de capacidade Objetivos do capítulo • Compreender os conceitos de medida de volume e de capacidade. • Identificar e transformar unidades de medida de volume. • Identificar e transformar unidades de medida de capacidade. • Compreender procedimentos para o cálculo do volume do cubo e também do paralelepípedo. • Resolver problemas que envolvam os conceitos de volume e de capacidade.

Algumas explorações É importante comentar com os alunos que a capacidade de um aquário é menor que seu volume, distinguindo bem as duas grandezas para que fique claro que se referem a medidas diferentes. Sugerimos que utilizem os cubos da unidade do Material Dourado para preencher embalagens de papel em formato de cubo ou paralelepípedos, como caixas de creme dental. Primeiramente, incentive-os a estimar quantidades e, em seguida, permita que façam as averiguações. Na seção Agora é com você da página 269 sugerimos a utilização do Material Dourado

Algumas resoluções Veja a resolução dos problemas da atividade 5 da página 274. a) Para saber quantos litros de refrigerante há em cada uma das embalagens de 12 garrafas PET de 600 mL cada, basta multiplicar esses valores: 12  600  7 200 Como 1 000 mL  1 L ⇒ 7 200 mL  7,2 L. Portanto, há 7,2 L em cada embalagem. b) Antes de determinar quantos litros de água serão necessários para encher a piscina, precisamos saber qual o volume dela. Volume  comprimento  largura  altura Volume  10 m  5 m  1,5 m Volume  75 m³ Como 1 m³  1 000 L ⇒ 75 m³  75 000 L Portanto, são necessários 75 000 L para encher completamente a piscina. c) O copo tem capacidade medida em mL, então transformamos 2 L em mL: Como 1 L  1 000 mL ⇒ 2 L = 2 000 mL. A garrafa de refrigerante foi dividida em 16 copos, portanto fazemos: 2 000  16  125 Logo, o copo tem uma capacidade de 125 mL.

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• No site (acesso em: mar. 2015) há uma proposta para o ensino do conceito de área, com uma sequência didática pronta.

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Outra atividade 1. (Obmep) Uma caixa possui o formato de um bloco retangular de dimensões 102 cm, 255 cm e 170 cm. Queremos guardar nessa caixa a menor quantidade possível de pequenos cubos de arestas inteira, de forma a ocupar toda a caixa. a) Qual a medida da aresta de cada bloco? b) Quantos blocos serão necessários? Perceba que a medida da aresta do cubo tem de ser um divisor de cada uma das três medidas das dimensões da caixa. a) Se a quantidade de blocos é a menor possível, sua aresta deve ser a maior possível. A medida da aresta deve ser um divisor de 102, 255 e 170. Como pretendemos encontrar a maior aresta possível, a medida dela deve ser igual ao mdc entre 102 e 255, 170, mdc (102, 255, 170) 5 17. Portanto, a aresta do cubo mede 17 cm. b) O número de blocos é 102  255  170 5 6  15  10 5 900. 17  17  17

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Para saber mais • Caso tenha interesse em saber mais informações sobre como trabalhar área, perímetro e volume com alunos cegos ou de baixa visão, consulte o artigo “A inclusão de alunos cegos nas aulas de matemática: explorando área, perímetro e volume através do tato”, de Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes e Lulu Healy, publicado no Bolema – Boletim de Educação Matemática, Rio Claro – SP, v. 23, n. 37, dez. 2010.

Capítulo 26 – Medida de Tempo Objetivos do capítulo

• Compreender os conceitos de medida de tempo.

• Resolver situações envolvendo medidas de tempo.

Algumas explorações Converse com os alunos sobre as diferentes formas de marcar o tempo, resgatando todos os conhecimentos deles sobre as unidades de medida de tempo. Apresente a tabela com o registro do tempo do ciclista (página 275) e faça-os perceber que, para esse atleta, os segundos são tão importantes quanto os minutos e as horas. Questione outras situações, como natação e corrida, em que o segundo é de grande importância e até mesmo pode definir quem será o campeão. Retome com os alunos a base sexagesimal (estudada anteriormente) e proponha algumas medições utilizando, por exemplo, a calculadora, se for o caso. Aproveite a tabela com o tempo do ciclista e proponha que os alunos construam um gráfico de linhas com as informações fornecidas, levando-os a perceber a adequação desse tipo de gráfico ao tipo de dado coletado. As abordagens feitas em Conexões, da página 276 e na seção Matemática e Cidadania da página 278 possibilitam ampliações e relações com outras áreas do conhecimento, como Ciências e Geografia. Da mesma forma, as informações apresentadas na seção Bagagem cultural da página 280 proporcionam explorações na área de Ciências, podendo-se ainda ampliar a discussão sobre a presença da Matemática na área da Medicina, por exemplo.

Outras atividades 1. Responda às questões a seguir. Se preciso, use uma calculadora. a) Uma hora tem quantos segundos? 60 3 60 5 3 600 segundos b) Um dia tem quantos segundos?

• Identificar unidades de medida de tempo.

24 3 60 3 60 5 86 400 segundos

• Transformar unidades de medida de tempo.

c) Uma semana tem quantas horas? 7 3 24 5 168 horas

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d) Quantos minutos há em três horas e 45 minutos? (3 3 60) 1 45 5 225 minutos e) Uma década tem quantos anos? 10 anos f) Quantos minutos há em cinco horas e cinco minutos?

Para saber mais • No site (acesso em: mar. 2015) há diversas sequências didáticas para trabalhar os conteúdos relacionados a grandezas e medidas.

(5 3 60) 1 5 5 305 minutos

45 minutos h) Quantos segundos há em 35 minutos? 35 3 60 5 2 100 segundos i) Quantos segundos há em duas horas e 53 minutos? 2 3 60 1 53 5 173 minutos 173 3 60 5 10 380 segundos j) Quantos minutos tem doze horas? 12 × 60 5 720 minutos 2. Pesquise, em revistas, jornais, internet, diferentes unidades de medida de tempo. Depois construa um cartaz com as informações coletadas. Observe o contexto no qual essas unidades de medida aparecem. Apresentamos a seguir mais algumas unidades de medida de tempo. mês (comercial) 5 30 dias ano (comercial) 5 360 dias ano (normal) 5 365 dias e 6 horas ano (bissexto) 5 366 dias semana 5 7 dias quinzena 5 15 dias bimestre 5 2 meses trimestre 5 3 meses quadrimestre 5 4 meses semestre 5 6 meses biênio 5 2 anos lustro ou quinquênio 5 5 anos década 5 10 anos século 5 100 anos milênio 5 1 000 anos

Capítulo 27 – Tratamento da informação: probabilidade e média aritmética Objetivos do capítulo

• Compreender o conceito de probabilidade. • Trabalhar o conceito de média aritmética.

Algumas explorações Utilize os jogos para trabalhar probabilidade com os alunos. Por exemplo: No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de a soma das faces viradas para cima ter como resultado 7? A probabilidade da soma ser 7 é maior do que a probabilidade de ela ser igual a 8? Existem 6 modos para o resultado ser 7: (1 + 6), (6 + 1), (2 + 5), (5 + 2), (3 + 4) e (4 + 3). Como existem 5 modos para ser 8: (2 + 6), (6 + 2), (3 + 5), (5 + 3) e (4 + 4), a probabilidade de a soma ser 8 é 5 , e a probabilidade de a soma ser 7 é 6  . 36 36 6 5 Como  , a probabilidade da soma 36 36 ser 7 é maior do que ela ser igual a 8. Continuando as explorações com base em jogos, podemos abordar outras estratégias, por exemplo, “cara ou coroa”. Pergunte aos alunos se acham que é justo jogar uma moeda para escolher quem começa a partida em um jogo e o porquê. Em geral, eles já conhecem conceitos básicos de probabilidade de forma intuitiva. Como os exemplos expostos se apoiam na análise combinatória tratada como cálculo de possibilidades, o enfoque deve estar relacionado à divisão de casos que sejam favoráveis ao evento pretendido pelo de casos totais (favoráveis e não favoráveis).

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g) Quantos minutos se passam das 9 h 50 min até as 10 h 35 min?

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f) uma letra?

Sugerimos que a terminologia formal da probabilidade [P(A) 5 N(A) ] seja explorada N(S) posteriormente. O trabalho desenvolvido com a média aritmética pode se tornar mais significativo se iniciado com base nas explorações conforme sugerido no tópico Noções sobre o conceito de média aritmética da página 284. Para isso, forme grupos de 5 alunos e peça que, com o auxílio de uma fita métrica, registrem a altura dos integrantes de cada grupo. Com base nesses registros, os grupos podem compartilhar os dados coletados e fazer o tratamento das informações sugerido nessa unidade, obtendo média por grupo, média da sala e gráfico de linha da média dos grupos.

Outras atividades 1. Uma bola será retirada de uma sacola que contém 6 bolas verdes e 10 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de sortearmos uma bola verde? Número de casos favoráveis: 6 Número de casos totais: 16 Probabilidade de obter uma bola verde: 6 5 0,375 ou 37,5%. 16 2. As cartas a seguir foram colocadas numa caixa e uma será retirada ao acaso.

MANUAL DO PROFESSOR

3

5

7

2

6

5

10

1

0

3

Qual é a probabilidade de a carta retirada conter: a) um número?

g) o mmc (2, 3)? h) um número primo?

Para saber as probabilidades pedidas, contamos os casos favoráveis e dividimos pelo número de casos totais (quantidade total de cartas): Probabilidade 



número de casos favoráveis número de casos possíveis

a) Casos favoráveis: Todos Casos totais: 10

Probabilidade 

b) Casos favoráveis: 7 (3, 7, 6, 10, 5, 2, 5) Casos totais: 10 Probabilidade

d) um número múltiplo de 2? e) um número divisível por 7?

7 10

c) Casos favoráveis: 5 (10, 5, 2, 5, 1)

Casos totais: 10

Probabilidade 

5 1  10 2

d) Casos favoráveis: 4 (6, 10, 0, 2) Casos totais: 10 Probabilidade 

4 2  10 5

e) Casos favoráveis: 2 (7, 0) Casos totais: 10 Probabilidade 

2 1  10 5

f) Casos favoráveis: não há Casos totais: 10 Probabilidade 

0 0 10

g) Casos favoráveis: 1 (6) Casos totais: 10 Probabilidade 

b) um número maior ou igual a 2? c) um número divisor de 10?

10 1 10

1 10

h) Casos favoráveis: 7 (3, 7, 5, 2, 5, 1, 3) Casos totais: 10 Probabilidade 

7 10

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Algumas resoluções Veja a resolução da atividade 2 da seção Agora é com você, da página 284. Atividade 2 3625546 Há dez possibilidades para o último número do telefone, e queremos calcular a probabilidade de Raul acertar na primeira. Então, temos: Casos favoráveis: 1

Probabilidade de acertar na primeira: 1 5 0,1 ou 10% 10

Para saber mais • Para saber mais detalhes sobre o desenvolvimento da probabilidade, aplicações e alguns fatos curiosos que ocorreram na história, sugerimos o livro O andar do bêbado , de Leonardo Mlodinow. Rio de Janeiro: Editora Zahar, 2009.

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Casos totais: 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Logo:

Editora Zahar

Peça aos alunos que calculem as porcentagens relativas às frações encontradas nessa atividade.

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6. Referências ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da Matemática. Curitiba: UFPR, 2007. BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas. Exame Nacional do Ensino Médio (Enem): fundamentação teórico-metodológica. Brasília, 2005. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, 2014. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília, 2013. CAMPOS, C. R. A educação estatística: uma investigação acerca dos aspectos relevantes à didática da estatística em cursos de graduação. Rio Claro, 2007. 242 f. CARVALHO, J. B. P.; LIMA, P. F. A avaliação pedagógica dos livros didáticos de Matemática: PNLD 1997 – 2004. Brasília: MEC, 2002. CHEVALLARD, Y. La transposition didactique: du savoir savant au savoir ensigné. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1992.

MANUAL DO PROFESSOR

D’AMBRÓSIO, B. S. Formação de  professores de  Matemática  para o século  XXI: o grande desafio. Pro-posições, v. 4, 1 [10], mar. 1993. FONSECA, M. C. F. R. Prefácio. In: NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Org.). Indagações, reflexões e práticas em leituras e escritas na educação matemática. Campinas: Mercado de Letras, 2013.

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