Projeto Apoema - Matemática - 7º. Ano [2ª. Edição]

Table of contents :
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Matemática

t

7

Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne

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19/05/2015 12:40

7 Matemática

Projeto Apoema

Matemática Linos Galdonne Licenciado em Matemática Doutor em Educação – linha de pesquisa em Educação Matemática Professor da rede particular de ensino

2a edição São Paulo, 2015

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:11 AM

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Galdonne, Linos Projeto Apoema matemática 7 / Linos Galdonne. – 2. ed. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Projeto Apoema ; v. 7) Suplementado pelo manual do professor. ISBN 978-85-10-05904-6 (aluno) ISBN 978-85-10-05905-3 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. II. Série. 15-03722

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Imagem de capa Foto: César Oiticica Filho

© Editora do Brasil S.A., 2015 Todos os direitos reservados Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti Supervisão editorial: Erika Caldin Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero Supervisão de revisão: Dora Helena Feres Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete Consultoria técnica: Cristiane Boneto Edição: Rodrigo Pessota Assistência editorial: Edson Ferreira de Souza Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa Apoio editorial: Marilda Pessota Lima Coordenação de revisão: Otacilio Palareti Copidesque: Ricardo Liberal Revisão: Elaine Fares e Maria Alice Gonçalves Coordenação de iconografia: Léo Burgos Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves Assistência de arte: Andrea Melo Design gráfico: Alexandre Gusmão, José Hailton Santos e Regiane Santana Capa: Patrícia Lino Ilustrações: Alex Argozino, Carlos Caminha, DAE (Departamento de Arte e Editoração), Eduardo Belmiro, Marcio Levyman, Paulo César Pereira, Ronaldo Barata, Waldomiro Neto e Zubartez Produção cartográfica: Simone Soares de Andrade e Sonia Vaz Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos Editoração eletrônica: Adriana Albano, Elbert Stein, Gilvan Alves da Silva, José Anderson Campos e Wlamir Miasiro Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado

Hélio Oiticica. Metaesquema, 1958. Guache sobre cartão, 52,2 × 63,4 cm.

Hélio Oiticica (1937-1980) nasceu e viveu grande parte da vida na cidade do Rio de Janeiro. Sua obra foi marcada pela inovação e experimentação. Começou a estudar pintura com Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro, em 1954 e, no ano seguinte, iniciou a criação de pinturas geométricas abstratas. As obras Invenções, de 1959, assinalam a transição do artista da tela para o espaço ambiental. Tropicália, de 1967, deu nome ao movimento musical e cultural do mesmo período, o Tropicalismo. Durante a década de 1970 viveu em Nova York, retornando ao Brasil em 1978. Após seu falecimento, em 1980, foi criado o Projeto Hélio Oiticica.

2a edição, 2015

Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br

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5/26/15 10:11 AM

Apresentação

Queremos convidá-lo a estudar Matemática não como uma ciência completamente alheia à realidade e parada no tempo. Ao contrário, o estudo que aqui propomos é dinâmico e pensado para aqueles que desejam de fato compreender como os conceitos e as teorias relacionados a essa disciplina foram elaborados e aplicados. As regras e fórmulas matemáticas que usamos são consequências do estudo dos fenômenos que nos cercam. A Matemática está presente na natureza como a simetria em uma borboleta, no casulo hexagonal de uma colmeia ou na forma poligonal de uma flor. Está, também, nas construções realizadas pelo homem, como nas Pirâmides do Egito, nas estruturas triangulares e até mesmo no uso da tecnologia. Usamos a Matemática quando contamos, fazemos estimativas de medidas ou mesmo em simples observação sobre as letras e os algarismos da placa de um automóvel. Compreendê-la, portanto, é ampliar a percepção do mundo que já conhecemos. Esperamos que a vontade de compreender essa ciência, aliada ao desejo de investigação, sejam motivos suficientes para conduzi-lo ao estudo que aqui propomos. Desejamos que no final você perceba que a Matemática é uma atividade humana repleta de significados e aplicações. Bom estudo! O autor

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UNIDADE 3

Números racionais A divisão entre dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro. Sendo assim, é necessária outra ampliação do campo numérico com a criação do conjunto dos números racionais. Um número racional pode ter a escrita fracionária ou a escrita decimal.

Unidade No início de cada unidade, há um texto introdutório e perguntas que o motivam a estudar o assunto.

1 O que é um número racional? 2 Como podemos representar, na forma fracionária, o número racional 0,02? 3 Todo número natural é racional?

CAPÍTULO 21

A

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

(0, 5)

B

C

D

E

F

(1, 4)

(2, 3)

(3, 2)

(4, 1)

(5, 0)

Setup

y 7 6

Analise a seguinte situação: 5

Um professor está selecionando 5 alunos para compor a equipe de robótica da escola. Quantos meninos e quantas meninas haverá nessa equipe?

4

Tal indagação não tem uma única resposta. Podemos entender essa situação por meio da seguinte equação:

A

B

3

C

x  y  5, sendo x o número de meninos e y o número de meninas. Como essa equação apresenta duas incógnitas, que devem ser números naturais, poderíamos obter esses valores:

Capítulo

D

2

Meninos

0

1

2

3

4

5

Meninas

5

4

3

2

1

0

E

1

F 1

0

1

2

3

4

5

7 x

6

1

Cada capítulo é iniciado com uma situação do cotidiano ou de uma área do conhecimento relacionada com o conteúdo matemático a ser estudado.

Agora observe a situação a seguir:

Portanto, as soluções possíveis para esse problema serão: (0, 5); (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1); (5, 0).

Caio e Maria começaram a colecionar figurinhas e, depois de uma semana, obtiveram juntos 60 unidades. Sabendo que Caio tem 16 figurinhas a mais que Maria, como é possível determinar quantas figurinhas cada um possui?

Cada solução indicada forma um par ordenado

(0, 5)

• Primeiro, vamos escrever matematicamente essa situação utilizando duas equações:

Meninos Setup

Meninas

Caio tem x figurinhas; Maria tem y figurinhas.

(1, 4)

• As figurinhas de Caio mais as de Maria totalizam 60, portanto podemos escrever:

(2, 3)

• Como Caio tem 16 figurinhas a mais do que Maria, podemos dizer que o total das figuri-

x  y  60 nhas de Caio menos o total das figurinhas de Maria é igual a 16, o que nos leva a escrever: x  y  16

(3, 2)

• Reunindo as duas equações encontradas, podemos formar o seguinte sistema de equações do 1o grau:

(4, 1)

x  y  60 x  y  16

(5, 0)

Para resolver sistemas formados por duas equações do 1o grau, podemos nos valer por exemplo de quatro tipos de procedimentos:

Desconsiderando a situação que gerou a equação x  y  5, podemos tratar suas possíveis soluções como um conjunto de pares ordenados (x, y), e como tal eles podem ser inseridos em plano cartesiano, como indicado a seguir:

• Tentativa e erro • Método da substituição

• Método da comparação • Método da adição

190

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 A tabela a seguir contém as notas bimestrais de Mateus na disciplina de História. Para ser aprovado, sua média deverá ser superior a 5,4. Responda: Mateus foi aprovado?

Mês

Quantidade de filmes

1o 2o 3o 4o

6,0 4,0 5,0 7,0

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho

250 280 130 90 150 120

2 A tabela a seguir contém os valores arrecadados, na escola, para uma campanha em que serão comprados e doados cobertores para pessoas mais necessitadas.

6 5 8

40 25

28

32 26

0 Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun.

a) Qual é o valor correspondente à soma das massas dos cinco amigos? b) Qual é a massa média desses amigos? c) Qual é a massa média apenas das meninas? d) Qual é a massa média apenas dos meninos?

Mês

Faturamento (R$)

220.000,00 180.000,00 380.000,00 440.000,00 300.000,00

2o

3o

Nessa seção que aparece ao longo de cada capítulo, você encontrará exercícios de fixação relativos aos conteúdos desenvolvidos.

4o Bimestre

Idades no 7o ano

Número de alunos

10

Mês

6 A tabela fornece o faturamento de uma empresa durante os cinco primeiros meses do ano.

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio

1o

9 O gráfico contém a distribuição das idades de uma turma do 7o ano. Ilustrações: Setup

30

Agora é com você

Notas de Ciências

a) Qual é a média de Luana em Ciências? b) Determine a média de Luana, considerando que as notas têm pesos conforme o bimestre: 1o bimestre – peso 1; 2o bimestre – peso 2; 3o bimestre – peso 3; e 4o bimestre – peso 4.

7

a) No total, quantos veículos foram vendidos no 1o semestre? b) Qual foi a média mensal de vendas?

3 Cinco amigos resolveram se pesar numa balança da escola. O resultado está na tabela a seguir.

45 48 46 60 62

Veículos vendidos Setup

45 40 35 30 25 20 15 10 5

Calcule a média dos valores arrecadados nesses quatro meses.

“Peso” (kg)

Nota

1 2 3

0

Quantidade

250,00 300,00 400,00 150,00

Ana Roberta Roseli Marcos Pedro

Peso

1a 2a 3a

Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5 Observe, no gráfico a seguir, o número de veículos novos vendidos no primeiro semestre deste ano.

Quantia arrecadada (R$)

Nome

Prova

8 O gráfico a seguir contém as notas bimestrais de Luana na disciplina de Ciências.

Nota

Março Abril Maio Junho

7 Os resultados de três provas feitas por Euclides estão indicados na tabela. Observando que cada prova tem um peso, calcule a média dessas notas.

4 Determinada locadora fez um levantamento dos filmes que foram alugados ao longo do primeiro semestre. A tabela a seguir contém essas informações. Calcule a média mensal de filmes que foram locados.

Bimestre

Mês

191

a) Determine o número de alunos dessa turma. b) Utilizando o conceito de média ponderada, obtenha a idade média dos alunos.

3 2

11

12

13

14

Idade

10 Resolva os problemas a seguir.

a) Qual é o faturamento total no final dos cinco meses? b) Qual é o faturamento mensal médio nesse período?

a) Em três turmas do Ensino Médio, os alunos têm alturas variando de 130 cm até 163 cm. Sabe-se que a média aritmética das alturas de todos os alunos é 150 cm e que 8 alunos têm altura de 163 cm. Desconsiderando esses 8 alunos, a média das alturas dos demais alunos é 148 cm. Qual é o total de alunos nessa turma? b) A média das notas dos 50 alunos de uma turma do 9o ano na prova de Matemática foi 7,7. Considerando apenas as notas dos 15 meninos da turma, a média das notas é 7. Determine a média das notas considerando apenas as meninas.

239

238

Conexões

Exemplo:

70°

Resolução: Como o ângulo de medida x e o ângulo de medida 70° formam um ângulo raso, dizemos que são suplementares. Dessa forma:

x  70°  180°

ou

180°  70°  x

x  110°

x  110°

Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE 1 Um avião, ao levantar voo, forma com o solo um ângulo Åg de medida 3° 18’ 35’’.

Calculem o valor do ângulo Åh, representado na figura a seguir, sabendo que os ângulos Åg e Åh são adjacentes e suplementares. As medidas representadas não são as reais

Åh

Åg

Nessa seção, que aparece ao longo dos capítulos, você terá textos relacionados à história da Matemática, assuntos da realidade, aprofundamento da teoria ou curiosidades geométricas, algébricas e numéricas.

CONEXÕES O ser humano busca respostas para algumas de suas necessidades por meio da Matemática. Com base em indagações e descobertas – que não são realizadas facilmente –, ele evolui. A necessidade de o ser humano controlar seus bens teve como consequência a criação de símbolos utilizados para relacionar quantidades. Esses símbolos e a ideia de número foram sendo aprimorados pelos povos com a finalidade de uniformizá-los. O objetivo era usar poucos símbolos capazes de representar as quantidades. Dessa forma, chegou-se aos números mais simples: os inteiros positivos (1, 2, 3, 4, 5, ...), também chamados números naturais. Esses números eram utilizados para contar (ainda não existia o número zero). As operações entre os números naturais, com o tempo, eram efetuadas normalmente, conforme a necessidade: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Quando quaisquer dessas operações não podiam ser efetuadas no conjunto dos números naturais, simplesmente eram abandonadas. Com o tempo, a divisão de um todo em partes iguais precisou ser representada matematicamente por números. Dessa maneira, surgiram a ideia de fração e os números racionais absolutos.

solo

a)

b)

160° x

c)

65°

d) x

x

Grigoriy K./Shutterstock

2 Sem usar o transferidor, determinem o ângulo desconhecido nos itens seguintes. 125°

70° x

3 Dentre as diversas placas de trânsito, algumas indicam advertência. Veja os exemplos: Ilustrações: DAE

Trabalho em equipe Podemos associar cada placa acima a ângulos suplementares. Assim, faça o que se pede nos itens a seguir. a) Desenhe os ângulos suplementares relativos a cada placa. b) Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. I. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser retos. II. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser agudos. III. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser obtusos. IV. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser um agudo e o outro obtuso. c) Escreva duas medidas de ângulos adjacentes e suplementares, sendo um deles agudo.

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Nessa seção você e os colegas são convidados a, juntos, realizar uma tarefa, resolver um problema, refletir sobre questões propostas etc.

APOEMA MATEMÁTICA 7

Quando se dividia uma maçã em quatro partes iguais, cada parte podia 1 , que correspondia a uma das quatro partes em que 4

ser representada por era dividido o todo.

Em algum momento de nossa evolução surgiu um símbolo para representar a ausência de quantidade: o zero. Foi muito mais tarde, após as frações, que os hindus inventaram o importantíssimo algarismo zero.

A ideia de representar a falta de quantidade por números fez aparecer os números negativos e o conjunto dos números inteiros. O oposto de possuir determinada quantidade podia ser representado com os algarismos indo-arábicos precedidos por um sinal: . Assim, criava-se um conjunto numérico que dava significado a algumas operações entre números até então simplesmente abandonadas.

Ilustrações: Ronaldo Barata

x

Ilustrações: Setup

Na figura a seguir, qual é a medida do ângulo indicado pela letra x?

O conjunto dos números racionais, assim denominado, era formado por todos os números que podiam ser escritos ou obtidos como o quociente de dois números inteiros.

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a

5/26/15 10:12 AM

LilKar/Shutterstock

Visuals Unlimited/Inc./Scientifica/Getty Images

COM A PALAVRA, O ESPECIALISTA Arquivo pessoal

"Eraldo: Como e quando surgiu seu inteQuem resse pela Estatística? Marcos Vicenzi Marcos: Eu ingressei na licenciatura em Matemática, e tudo começou com uma disciEspecialidade plina de Estatística Básica. Gostei e achei que tiEstatística vesse facilidade para a coisa, mas desconhecia Área de pesquisa completamente as aplicações, só conseguia Desenvolvimento de Estratégias pensar no censo do IBGE. Então uma amiga de Crédito me convenceu a mudar de curso, mostrou-me diversas aplicações e possibilidade, além do mercado de trabalho que estava se expandindo. [...] Eraldo: Como você foi parar na área financeira? Marcos: Uma oportunidade para trabalhar numa grande instituição financeira, multinacional, numa equipe com profissionais experientes, um deles referência no mercado e uma grande referência pessoal. Não pensei duas vezes. Eraldo: Você escolheria essa área novamente caso tivesse a oportunidade de mudar? Marcos: Essa pergunta não é tão fácil de ser respondida, porque os primeiros passos por vezes definem boa parte da trajetória profissional. Gosto de outras áreas (Pesquisa em Saúde, por exemplo), e é bem provável que se houvesse uma oportunidade na época teria aceitado e estaria tão satisfeito como hoje. Eraldo: Qual a importância da Estatística na área financeira? Marcos: A área financeira tem muitas aplicações da Estatística, em especial Risco de Crédito, na qual trabalho. Alguns exemplos são as previsões, precificação de taxas de juros, seleção de clientes para a oferta de produtos, administração dos limites concedidos, controle de risco... De modo geral, a ideia é vender mais com menos risco, ou pelo menos com risco conhecido e sob controle. São questões ligadas à essência do próprio crédito, e por aí podemos inferir a importância da Estatística nesse mercado. [...] Eraldo: Nesta área é preciso dar continuidade aos estudos? Marcos: Sim, sem dúvida; o estatístico pode melhorar sua formação (mestrado, doutorado, especialização em Estatística), ou adquirir outras competências e habilidades, por exemplo, ligadas a administração, gestão de projetos etc. Qualquer das opções (ou ambas) somam pontos para encontrar um emprego e para mantê-lo após a contratação. [...] Eraldo: Quais os conselhos que você deixa para os novos profissionais? O que fazer e o que não fazer na carreira profissional? Marcos: O que fazer é aproveitar a graduação: estudar, discutir, procurar ir além da ementa, até para descobrir gostos e vocações. Chatear, no bom sentido, professores e monitores. Envolver-se com projetos do departamento. Se não há apelo computacional no curso, o que acho improvável no cenário atual, corre atrás.

Com a palavra, o especialista

Pedro explica que outros elementos permitem explorar o tema. ”As formas geométricas estão nas asas de uma borboleta ou no casco das tartarugas.“ Até mesmo, ele lembra, na imagem presente no núcleo de todas as células vivas, a dupla hélice de ácido desoxirribonucleico, mais conhecida por DNA. Lightspring/Shutterstock

Inlovepai/Shutterstock

Essa seção traz entrevistas com especialistas de áreas da Matemática. Pintura corporal Durante a visita aos índios Javaés, os estudantes puderam conhecer e valorizar as manifestações culturais daquele povo. Exploraram o padrão de pintura corporal e das cerâmicas e continuaram o estudo de ângulos. Tudo foi fotografado. Um bate-papo com os artesãos esclareceu a ideia que os índios têm sobre o assunto. "Nosso trabalho e nossa vida giram em torno da natureza e dos desenhos dela. Os animais são a maior fonte de inspiração", conta o cacique José Tehabi Javaé. A essa altura do projeto, a interferência de Pedro foi mínima, pois os alunos já sabiam reconhecer as figuras poligonais. Mas as aulas extrapolaram o tema inicial: Pedro aproveitou a oportunidade para discutir os estereótipos e o preconceito. O momento de maior descontração aconteceu quando os jovens, e também o professor, foram pintados com jenipapo por um índio. O mesmo ritual acontece na aldeia em dias de festa. Avaliação pela leitura de fotos O que foi feito das fotografias tiradas pela turma? Foram parar nas telas do computador. As cenas captadas pelas lentes das câmeras digitais ajudaram a repassar e fixar conceitos e, principalmente, serviram de material de avaliação para Pedro. Nas aulas de Informática, os alunos selecionaram imagens para cada propriedade de ângulos e polígonos. Na internet, eles pesquisaram a geometria presente em outros objetos e campos do conhecimento, como a arte, a arquitetura e a astronomia. Para finalizar, Pedro encomendou um texto livre sobre as imagens.” Fonte: BENCINI, Roberta. Com a Geometria na pele. Professor diversifica aulas de Geometria e ensina ângulos e polígonos através de pinturas corporais. Publicado na revista Nova Escola, ed. 169, jan. 2004, p. 3#37. São Paulo: Abril comumicações S/A. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/ geometria-pele-427471.shtml Acesso em: maio 2013.

O que não fazer: deixar de se dedicar a alguma disciplina por conta do professor ou por julgá-la ‘chata’ ou sem utilidade. Isso é mais comum do que parece e é difícil cobrir a lacuna depois.”

BAGAGEM CULTURAL

Disponível em: http://estatisticauem.blogspot.com.br/2009/09/entrevista-com-o-analista-estatistico.html. Acesso em: mar. 2015.

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O cálculo da área e as cheias do Nilo Na Antiguidade, o Egito foi um dos principais polos de construção de conhecimento matemático. Os egípcios utilizavam a Matemática para medir a área devastada pela cheia do Rio Nilo, tinham seu próprio sistema de numeração e realizavam cálculos aritméticos com números inteiros e racionais. O Rio Nilo, que tem cheia entre julho e outubro, destruía, naquela época, as divisões de terras feitas pelos agricultores. Com isso, em novembro todas as marcações precisavam ser feitas novamente. Dessa forma, os egípcios começaram a utilizar o conceito de área para facilitar os cálculos e as medições. Para que as águas do Nilo não invadissem casas e construções, estas eram construídas depois do plantio, assim os egípcios não corriam o risco de perder seus pertences e moradias. Para preservar as plantações, os egípcios fizeram, então, um calendário de sementeiras e colheita. A cheia do rio fertilizava o solo para o plantio, garantindo assim a alimentação do povo.

Fonte: Oscar Guelli. Contando a história da Matemática. 10. ed. São Paulo: Ática, 1999.

Pablo Mayer

Lisa S./Shutterstock

Bagagem cultural

Naquela época, cada agricultor possuía uma área de terra delimitada, que não podia ser misturada com a área dos outros proprietários. Porém, sempre depois das cheias, as cercas de pedra, utilizadas para delimitar os terrenos, eram levadas com a força das águas, o que fazia com que as áreas perdessem suas delimitações. Isso só trazia prejuízos aos agricultores, porque eles não conseguiam mais saber onde começavam e onde terminavam seus terrenos. Percebendo a necessidade de resolver esse problema, surgiram os estiradores de corda. A principal finalidade era utilizar cordas com nós, separados uns dos outros por uma unidade-padrão de medida adotada na época, que servia como solução para descobrir qual era o tamanho de cada terreno. Os estiradores de corda esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Assim, toda vez que passassem as cheias, eles teriam como descobrir quanto “media” o terreno de cada proprietário, sem criar injustiças com as delimitações das áreas.

Apresenta infográficos que possibilitam explorar a interdisciplinaridade entre a Matemática e outras disciplinas. Rio Nilo nos dias de hoje

Situação do Rio Nilo ao longo de um ano:

CURIOSIDADES Vamos pensar!

A palavra Nilo é oriunda do latim Nilus, que deriva do grego Neilos. Os egípcios chamavam o Rio Nilo de Aur ou Ar, que significa “negro”.

A importância do Rio Nilo é tão grande para a população egípcia que cerca de 90% encontra-se estabelecida em suas margens.

As águas desse rio, além de favorecerem a agricultura, também eram utilizadas para beber, pescar e como meio de transporte de pessoas e mercadorias.

Sua bacia hidrográfica abrange 3 milhões de km².

Após a cheia do Nilo, o faraó ordenou que seus trabalhadores fizessem a divisão das terras para 180 agricultores, de maneira que todos tivessem a mesma quantidade de terra. Se a área toda é de 120 alqueires, de quantos metros quadrados cada agricultor deverá cuidar?

Período de inundação: julho a outubro. Período de colheita: março a junho. Período de cultivo: novembro a fevereiro.

deserto ocidental

deserto oriental Nilo

aldeias culturas

culturas

aldeias agosto e setembro

fevereiro e março

153

152 Registre no

caderno

MATEMÁTICA E CIDADANIA

Fabio Colombini

O cálculo de áreas de figuras geométricas planas é empregado em diversas situações práticas, como para obter a área ocupada por uma casa, um terreno ou mesmo grandes fazendas em que alimentos serão plantados. Ou, ainda, pode ser bastante útil quando se trata de questões ligadas ao meio ambiente. Há órgãos do governo responsáveis pelo levantamento das grandes áreas de preservação ambiental. Por exemplo, algumas leis são especialmente elaboradas com o objetivo de preservar as encostas dos rios. Outras se referem a áreas que podem ser cultivadas, florestas que devem ser mantidas, grandes áreas que foram devastadas e estão sendo reflorestadas. Nesses casos, não estamos falando de áreas pequenas, e sim de grandes extensões, e calcular suas áreas ou determinar seus limites é fundamental. Para você ter uma ideia, veja o caso da Serra Grande (no estado da Bahia), que ocupa uma superfície de aproximadamente 16 mil hectares e está localizada numa faixa litorânea. Ela é uma área de proteção ambiental especialmente criada pelo governo da Bahia.

Matemática e cidadania Por meio dos textos dessa seção, você saberá como a Matemática é importante no exercício da cidadania. Coqueiral na Praia do Pé de Serra em Serra Grande, Itacaré, BA.

Ao se criar uma área de proteção ambiental, os principais objetivos são: a proteção da paisagem, a proteção de rios, nascentes e riachos, o incentivo ao equilíbrio dos recursos naturais, a preservação das espécies animais e vegetais. O que você acha da criação de áreas de proteção ambiental? Você concorda? 1 De acordo com o texto, a Serra Grande, na Bahia, ocupa uma superfície de aproximadamente 16 mil hectares. Transforme essa medida em km². 2 Em casa, faça uma pesquisa sobre o desmatamento da Mata Atlântica. Sua área original media quantos quilômetros quadrados? Quantos quilômetros quadrados ainda restam da Mata Atlântica? Registre no

...banho: R$ 960,00, vacina: R$ 115,00,...

Ração: R$ 720,00,...

...remédios, veterinário, brinquedos...

Assim não me sobra nada da mesada!

Ilustra Cartoon

caderno

DIVERSIFICANDO LINGUAGENS

160

1 Marcos adotou um cachorro na feira de adoção de animais de sua cidade. Para ajudar seus pais a controlar o gasto anual com o novo amigo da família, ele elaborou a planilha a seguir: Gastos

Valor anual (R$)

banho e tosa

960

remédios

210

Diversificando linguagens

720 115

veterinário

260

brinquedos

80

O pai de Marcos, que é professor de Matemática, pediu ao garoto que construísse também um gráfico de setores, usando os mesmos valores da planilha.

260

80

DAE

Em alguns capítulos, você conhecerá um jeito diferente de “ler a Matemática”, por exemplo, por meio de histórias em quadrinhos ou tirinhas, mapas etc.

ração vacinas

115

960 720

banho e tosa

vacinas

remédios

veterinário

ração

brinquedos

210

a) Qual é o valor total do gasto anual que a família de Marcos tem com o bicho de estimação? b) Qual é a porcentagem do gasto anual com ração em relação ao valor total anual de gastos? c) Se essa família tem renda de R$ 45.000,00 por ano, qual é a porcentagem que representa o gasto total anual com o cachorro?

257

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Superando desafios

Registre no

caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (Saresp)

Ao final de cada unidade, você é convidado a aprender mais por meio de questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo.

Ilustrações: Setup

Uma plantação foi feita de modo a ocupar 2 da terça parte da área de um sítio, como mostra a figura. 5

Em relação à área total do sítio, a fração que representa a área ocupada por essa plantação é: a) 2 c) 3 15 2 b) 2 3

d) 3 15

2 (OBM) Rubinho constrói uma sequência de 10 figuras, cada uma delas formada por quadradinhos de 1 cm de lado, conforme indicado abaixo.

Explorando Figura 1

Figura 2

Figura 3

Essa seção apresenta, no final de cada unidade, sugestões de livros, sites, filmes, vídeos, jogos etc. para você continuar explorando o assunto. Aqui, você conta também com alguns códigos QR, ferramenta que possibilita o acesso direto a recursos da web por meio de dispositivos móveis.

A figura 2, por exemplo, tem área igual a 5 cm² e perímetro igual a 12 cm. a) Qual é a área da figura 5? b) Qual é o perímetro da figura 10?

Explorando Recursos educacionais multimídia para a Matemática do Ensino Médio.

A lenda de Dido Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1126. Acesso em: mar. 2015. A fazendeira Elisa conhece a princesa Dido quando precisa calcular o tamanho do cercado de tela para suas ovelhas, e as duas descobrem que possuem algumas coisas em comum. A lenda de Dido pertence ao poema épico Eneida, do escritor latino Virgílio, e nele consta o que é considerado o primeiro problema isoperimétrico de que se tem registro.

161

TECLA_MATEMÁTICA Você já desenhou um quadrado? O que aconteceria com essa forma se pudéssemos prolongar dois de seus lados? E se pudéssemos movimentar os vértices de um triângulo, a fim de perceber suas propriedades? Existem softwares, chamados de “geometria dinâmica”, que possibilitam a construção e a manipulação de uma figura geométrica na tela do computador. Um deles é o GeoGebra. O GeoGebra é um software livre, isto é, pode ser baixado sem custo algum.

Observe os botões na barra de ferramentas e levante hipóteses sobre a finalidade de cada um. Em seguida, clique em cada opção e veja as descrições que aparecem. Suas hipóteses estavam próximas às descritas em cada uma delas? Fernanda Gomes

A tecnologia e a Matemática estão cada vez mais juntas e, por meio de programas de informática, você descobrirá um novo universo e aprenderá os conteúdos de forma divertida.

Na tela de abertura do GeoGebra estão localizados os botões das ferramentas disponíveis – para acioná-las utilizaremos o mouse. Fernanda Gomes

Tecla_Matemática

85

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Na figura a seguir,  representa a medida de cada um dos seis ângulos congruentes obtidos pela divisão de um ângulo raso.

5 Determinando a medida do ângulo x indicado na figura a seguir, obtemos: x 32°



a) 116° A medida do ângulo indicado por  é: a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° 2 Um ângulo raso foi dividido em seis ângulos de mesma medida, na figura a seguir. O ângulo destacado compreende quatro dessas medidas e corresponde a:

b) 112°

b) 100°

c) 110°

d) 120°

c) 150°

z

C

a) 90°

Ilustrações: Setup

b) 120°

y

O

B

6 Determine a alternativa que indica corretamente a soma das medidas x  y, conforme figura anterior. b) 120°

c) 150°

d) 180°

7 Se a medida k for 40°, é correto afirmar que a medida y será: a) 40°

a) 100°

A

x k

a) 90°

d) 232°

A figura a seguir deverá ser utilizada para as questões 6 e 7.

D

3 Em relação ao mesmo ângulo raso, assinale a alternativa que indica corretamente a medida do ângulo destacado na figura a seguir.

c) 128°

Atenção!

d) 160°

4 Em relação ao ângulo indicado na figura a seguir, é correto afirmar que:

b) 140°

c) 90°

d) 180°

8 Considerando que   35° 25' 18" e   27° 41' 32", é correto afirmar que: a)     7° 43' 46" b)     7° 42' 46" c)     7° 43' 45" d)     7° 42' 42"

Resgatando conteúdos Ao final de cada unidade, há uma proposta de “resgate” dos conteúdos abordados nela por meio de exercícios que servem também de autoavaliação.

9 Considerando que   35° 25' 18" e   27° 41' 32", é correto afirmar que: a) é um ângulo reto. b) é um ângulo agudo. c) é um ângulo obtuso. d) é um ângulo raso.

a)     67° 43' 50" b)     63° 6' 40" c)     63° 6' 50" d)     63° 26' 50"

88

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Sumário Unidade 1

Números inteiros

10

CAPÍTULO 1: OS NÚMEROS INTEIROS.................. 12

CAPÍTULO 4: DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS....... 36

VVOs números positivos e os números negativos....12

VVDivisão de números inteiros............................. 37

VVOs números inteiros............................................14

VVExpressões numéricas com números inteiros.....40

CAPÍTULO 2: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS....................................... 19

CAPÍTULO 5: O PLANO CARTESIANO.................... 42

VVAdição de números inteiros..............................19

CAPÍTULO 6: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: GRÁFICO DE BARRAS E DE LINHAS..................... 45

VVPropriedades da adição de números inteiros..... 24 VVSubtração de números inteiros........................27

CAPÍTULO 3: MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS....................................... 30 VVMultiplicação de números inteiros................... 30 VVPropriedades da multiplicação

de números inteiros.......................................... 34

Unidade 2

VVGráfico de barras..............................................46 VVGráfico de linhas...............................................49 VVA construção de gráficos estatísticos..............50 VVSuperando desafios.......................................54 VVExplorando.....................................................54 VVResgatando conteúdos..................................55

Geometria: ângulos

CAPÍTULO 7: ÂNGULOS....................................... 60 VVRetomando a ideia de ângulos.........................61 VVUnidade de medida de ângulos........................62 VVFrações do grau................................................65

58 CAPÍTULO 9: ÂNGULOS E RETAS.......................... 76 VVClassificação de ângulos..................................77 VVÂngulos entre retas..........................................81

VVBagagem cultural..........................................68

VVTecla_Matemática..........................................85

CAPÍTULO 8: OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULO....................................................... 70

VVSuperando desafios.......................................87

VVAdição e subtração de ângulos...............................70 VVMultiplicação e divisão por um número natural...73

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VVExplorando.....................................................87 VVResgatando conteúdos..................................88

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Unidade 3

Números racionais

CAPÍTULO 10: NÚMEROS RACIONAIS................... 92 VVComparação entre números racionais............97

CAPÍTULO 11: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS..................................100

90 CAPÍTULO 13: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS...............113 VVPotenciação de números racionais................115 VVPotenciação de números racionais

com expoentes inteiros negativos.................115

VVAdição de números racionais......................... 100

VVRadiciação de números racionais..................117

VVSubtração de números racionais................... 104

VVExpressões numéricas...................................118

CAPÍTULO 12: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS..................................106

CAPÍTULO 14: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: GRÁFICO DE SETORES.......................................122

VVMultiplicação de números racionais..............106

VVConstrução de gráficos de setores................123

VVDivisão de números racionais........................110

VVSuperando desafios.....................................125 VVExplorando...................................................125 VVTecla_Matemática........................................126 VVResgatando conteúdos................................128

Unidade 4

Geometria: áreas

CAPÍTULO 15: O CONCEITO DE ÁREAS................132

130

VVMedida de superfície......................................133

CAPÍTULO 17: ÁREA DO LOSANGO E DO TRAPÉZIO.................................................154

VVÁrea do quadrado...........................................136

VVÁrea do losango..............................................155

VVÁrea do retângulo...........................................139

CAPÍTULO 16: ÁREA DO TRIÂNGULO E DO PARALELOGRAMO.....................................145 VVÁrea do paralelogramo...................................145

VVÁrea do trapézio..............................................156 VVMatemática e cidadania...............................160 VVSuperando desafios.....................................161

VVÁrea do triângulo............................................148

VVExplorando...................................................161

VVBagagem cultural........................................152

VVResgatando conteúdos................................162

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Unidade 5

Álgebra 164

CAPÍTULO 18: INICIANDO A ÁLGEBRA.................166 VVNoções iniciais ...............................................166 VVSoma algébrica de termos semelhantes.......170

CAPÍTULO 19: EQUAÇÕES..................................173 VVEquações.........................................................174

CAPÍTULO 21: SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS..................190 CAPÍTULO 22: INEQUAÇÕES...............................196 VVDesigualdades................................................196 VVInequações......................................................199

VVResolução de uma equação...........................177

VVSuperando desafios.....................................202

CAPÍTULO 20: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS........184

VVExplorando...................................................202 VVResgatando conteúdos................................203

Unidade 6

Razões e proporções

CAPÍTULO 23: RAZÕES E PROPORÇÕES..............208 VVO conceito de razão........................................209 VVO conceito de proporção.................................213

CAPÍTULO 24: GRANDEZAS PROPORCIONAIS......217 VVGrandezas diretamente e inversamente

proporcionais..................................................218 VVRegra de sociedade........................................219 VVProblemas de regra de três...........................223 VVProblemas de regra de três composta..........229

Unidade 7

206 CAPÍTULO 25: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA.................................. 233 VVMédia aritmética.............................................233 VVMédia aritmética ponderada..........................236 VVCom a palavra, o especialista......................240 VVSuperando desafios.....................................241 VVExplorando...................................................241 VVResgatando conteúdos................................242

Introdução à matemática financeira

CAPÍTULO 26: PORCENTAGEM E JURO SIMPLES.....246 VVRetomando o cálculo com porcentagens......247 VVJuro simples...................................................252

244

VVMatemática e cidadania...............................256 VVSuperando desafios.....................................259 VVExplorando...................................................259 VVResgatando conteúdos................................260

Gabarito Referências

262 272

Manual do Professor

273

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UNIDADE 1

Números inteiros Os números que estudamos até o momento não são suficientes para representar todas as situações de nosso dia a dia. Por exemplo, como podemos representar um saldo devedor no banco? E uma temperatura que ficou abaixo de zero grau?

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10:08 AM

Albright Knox Art Gallery, Buffalo/ The Bridgeman Art Library/Keystone/© Jasper Johns/ Licenciado por AUTVIS, Brasil, 2013

1 Qual número adicionado a 100 resulta em zero? 2 Você conhece outros exemplos da utilização de números negativos? 3 Pode a multiplicação de dois números ter como resultado um número negativo?

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CAPÍTULO 1

Os números inteiros

Embora o Brasil seja considerado um país de temperaturas altas, no inverno, em determinadas regiões, é possível ocorrerem temperaturas abaixo de zero. Para representar essas temperaturas abaixo de zero, utilizamos os números negativos. Na fotografia, você pode ver um painel indicando uma temperatura negativa. Observe o sinal de subtração na frente do número.

Duda Pinto/Estadão Conteúdo

Você já ouviu falar em números negativos? Normalmente eles são utilizados para representar que situações? Observe a fotografia ao lado e leia a legenda que se encontra logo abaixo dela. Como é possível confirmar que se tratava de uma manhã fria? Pela temperatura indicada no painel.

Respostas da página anterior: 1. 2100 2. Resposta pessoal. 3. Sim.

Amanhecer de um dia frio em Santana do Livramento, RS.

Nesta unidade, você ampliará o conhecimento a respeito dos números. Conhecerá os números inteiros formados pelos números positivos (1, 2, 3, 4, 5,...), negativos (21, 22, 23, 24, 25, ...) e o zero.

Os números positivos e os números negativos Na fotografia ao lado, vemos um dos vários modelos de termômetros que são utilizados para medir a temperatura. Esse termômetro indica também as temperaturas que estão abaixo de zero. Como podemos diferenciar essas temperaturas das outras? Para diferenciar valores menores que zero dos valores maiores que zero, utilizamos a ideia de números negativos. Assim, temos: Os números menores que zero, como

olgov Igor D

m /Drea

.com stime

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210, ... são chamados números negativos. Os números maiores que zero, como

Observação: VV O número zero não é

positivo nem negativo.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... são chamados números positivos. Os números positivos e os números negativos são utilizados também para indicar saldos bancários, desempenho de ações no mercado financeiro, saldo de gols em campeonatos de futebol etc.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Observe as temperaturas mínimas em algumas cidades do Rio Grande do Sul em 20 de junho de 2014.

Santana do Livramento São José dos Ausentes Canela Santa Rosa

21,8 °C 24,6 °C 22,6 °C 23 °C

2. Professor, na atividade 2 temos uma sondagem sobre o conhecimento prévio do aluno em relação às operações com inteiros.

Fonte das informações: . Acesso em: jan. 2015.

a) Qual das cidades registrou a temperatura mais baixa? E a mais alta? A temperatura mais baixa

ocorreu em São José dos Ausentes, 24,6 °C, e a temperatura mais alta foi registrada em Santana do Livramento, 21,8 °C.

b) Coloque as temperaturas em ordem crescente. 24,6 °C; 23 °C; 22,6 °C; 21,8 °C 2 Em determinada cidade, o termômetro marcou, pela manhã, 3 graus negativos. Até o meio-dia, a temperatura aumentou 7 graus. Qual foi a nova temperatura? Como você representaria a operação que realizou para chegar ao resultado? 11 11 11 11 11 11 11 23 22 21

Resposta possível: 4 graus positivos.

0

1

2

3

4

3 O Vale da Morte, uma depressão árida localizada na Califórnia, nos Estados Unidos, está 86 metros abaixo do nível do mar. Como você representaria em notação matemática essa informação? Resposta pessoal, mas que deve ser conduzida na resolução para 286 m. 4 Qual temperatura é menor: 27 °C ou 22 °C?

27 °C

5 O termo "saldo negativo" é usado quando alguém gastou mais do que tinha em sua conta bancária. Imagine que você esteja com saldo negativo de R$ 250,00 e tenha feito um depósito de R$ 420,00. O novo saldo será positivo ou negativo? Qual será esse novo saldo? O novo saldo será positivo, de 170 reais (2250 1 420 5 1170). 6 Observe a imagem ao lado e responda às questões. a) Como você representaria a dívida de Marcos: com número positivo ou com número negativo?

Tenho uma dívida de 35 reais.

Depositei 35 reais em minha conta-corrente.

Número negativo. Representaria por 235 reais.

Ronaldo Barata

b) O valor que Luana depositou em sua conta-corrente aumentou ou diminuiu seu saldo? Aumentou o saldo em 35 reais.

7 Observe a sequência numérica: 20

15

10

Marcos

Luana

5

a) Explique como essa sequência é formada. Os números vão diminuindo de 5 em 5. b) Quais são os três próximos números dessa sequência? 0, 25 e 210 8 Determine o padrão desta sequência e escreva os dois próximos números.  5

3

1

1

5   3 Os números vão aumentando de 2 em 2.

9 Vimos que no Brasil, em algumas épocas do ano, encontramos temperatura abaixo de zero em determinadas regiões. Você saberia dizer a temperatura mais baixa registrada em sua região? E a mais alta? A temperatura mais baixa chegou a ficar abaixo de zero? Em duplas, pesquisem e descubram essas informações. Resposta pessoal.

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BA

Utilizamos os números naturais para expressar o resultado de uma contagem ou mesmo de uma medida. Quando queremos falar sobre a quantidade de pessoas presentes num teatro ou num evento, por exemplo, também usamos estes números.

O 13 C N 24

MATEMÁTICO

DAE

Os números inteiros Extrato bancário

Agência: 034 Conta-corrente: 76567-0 Saldo .................... 567,34

Entretanto, há diversas situações em que os números naturais não são suficientes para representá-las. Em algumas dessas situações, usamos os números inteiros.

Saque .................. 2 230,00 Posto Azulinho ......... 2 100,00 Depósito .................. 50,00

Note, por exemplo, que no extrato bancário o saque, o pagamento realizado no Posto Azulinho e um novo saque estão representados por números negativos inteiros (em vermelho).

Saque .................. 2 300,00 Saldo atual .............. 212,66

Outra situação comum é a tabela de classificação dos times num campeonato de futebol. Nesse tipo de tabela há várias informações, entre elas, a indicação dos “gols pró (GP)”, ou seja, representa quantos gols o time fez; dos “gols contra (GC)”: quantos gols o time sofreu; e, ainda, o saldo de gols, que representa a diferença entre os gols pró e os gols contra, nessa ordem. A tabela a seguir foi elaborada com base na classificação final do campeonato brasileiro de 2014 e apenas alguns times foram destacados como exemplo. Time

Gols pró (GP)

Gols contra (GC)

Saldo (GP 2 GC)

Cruzeiro

67

38

29

São Paulo

59

40

19

Internacional

53

41

12

Flamengo

46

47

21

Criciúma

28

56

228

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Observe, na coluna que indica o saldo de gols, que foram usados números negativos para representar alguns saldos. 67 2 38 5 29 (saldo positivo) • Cruzeiro: 59 2 40 5 19 (saldo positivo) • São Paulo: • Internacional: 53 2 41 5 12 (saldo positivo) • Flamengo: 46 2 47 5 21 (saldo negativo) • Criciúma: 28 2 56 5 228 (saldo negativo) Note que foi feita a subtração de números naturais. Podemos dizer que os resultados das subtrações de dois números naturais quaisquer são números inteiros. Vamos relembrar:

Os números naturais podem ser representados por N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5...}.

Nesse conjunto, todo número natural tem um sucessor (n 1 1), e todo número natural exceto o zero tem um antecessor (n 2 1, em que n  0 ). Nesta unidade, iniciamos o trabalho com os números inteiros.

Os números inteiros podem ser representados por Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3...}.

É um conjunto no qual todo número tem um sucessor (n 1 1) e todo número tem um antecessor (n 2 1). No conjunto dos números inteiros, o antecessor de zero é o 21 (ou seja, 1 negativo), e como todo número inteiro tem um antecessor não é possível determinar um início para esse conjunto.

DAE

Podemos representar o conjunto dos números naturais e dos números inteiros em um diagrama, como a seguir. Com essa representação percebemos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Isso significa que todo número natural é inteiro, e existem números inteiros que não são naturais.

Números naturais

Números inteiros

Usamos a seguinte notação matemática para expressar que um conjunto está contido em outro. N  Z (Lê-se o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros.)

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Assim, podemos dizer que o conjunto dos números inteiros é formado por: • números inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... • o zero: 0 • números inteiros negativos: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210, ...

Outra forma de representação dos números inteiros é a reta numérica.

109 87 6 5 4 3 2 1

0

1

Nessa reta os números vão aumentando da esquerda para a direita de 1 em 1 (estão em ordem crescente). Se, entretanto, observarmos da direita para a esquerda, esses números vão diminuindo de 1 em 1 (estão em ordem decrescente).

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Observação: VV Quando dois números na reta estão situados

à mesma distância do zero, dizemos que eles têm o mesmo valor absoluto (ou módulo).

Os números 28 e 8 (ou 18) têm o mesmo valor absoluto 8, pois distam 8 unidades do zero. Em símbolos: |28| 8 (módulo de 28 igual a 8) e |18|5 8 (módulo de 18 igual a 8)

DAE

Exemplo 1: 8

0

8

8

8

Exemplo 2: • 28 é o simétrico (ou oposto) de 8 (ou 18) • 8 é o simétrico (ou oposto) de 28 O zero, por ser um elemento neutro, não tem simétrico ou oposto. Logo, o módulo de 0 é igual a zero.

Observação: VV Números que têm o mesmo valor absoluto

são ditos simétricos ou opostos.

Exemplo 3: Vamos retomar os saldos de gols dos times destacados anteriormente:

• Cruzeiro: 67 2 38 5 29 (saldo positivo) • São Paulo: 59 2 40 5 19 (saldo positivo) • Internacional: 53 2 41 5 12 (saldo positivo) • Flamengo: 46 2 47 5 21 (saldo negativo) • Criciúma: 28 2 56 5 228 (saldo negativo)

Observação: VV Para comparar dois números inteiros

quaisquer, basta posicioná-los na reta numérica. O maior deles é aquele que está à direita do outro, enquanto o menor é aquele que está à esquerda do outro.

O time com o maior saldo de gols é o Cruzeiro (29). O time que tem o menor saldo de gols é o Criciúma (228). Comparando os saldos, podemos escrever: 29  228.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Qual é o maior número inteiro negativo?

21

2 É possível determinar qual é o menor número inteiro negativo? Justifique sua resposta. 3

Não é possível determinar o menor número inteiro negativo, pois existem inteiros negativos menores do que qualquer inteiro que se tome. Quantos e quais números inteiros existem entre 25 e 15? Existem 9 números inteiros: 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3 e 4.

4 Determine: c) |0| 0 d) |23| 3

a) |27| 7 b) |15| 5

e) |14| 4 f) |28| 8

5 Escreva os simétricos dos números dados a seguir. c) 23 13 d) 21 11

a) 18 218 b) 27 17

e) 19 29 f) 210 110

6 Coloque em ordem crescente os números a seguir. 210, 27, 23, 21, 19, 118 118

27

23

21

19

210

7 Usando os símbolos . e ,, compare os números a seguir. a) 27

1,

d) 112

218 

b) 13

25 

e) 217

215 

c) 28

24 ,

f) 0

23 

8 Identifique os números inteiros representados pelos pontos X, Y e Z. Z 5 23; X 5 21; Y 5 2

4 Z 2 X 0 1

Y

3

9 Represente numa reta numérica os números inteiros de 27 até 7. Depois, responda: a) Quais desses números são negativos?

27, 26, 25, 24, 23, 22 e 21

b) Qual é o menor número inteiro positivo representado na reta? c) Qual número está à mesma distância que o 25 está do zero?

11 15

10 Numa cidade da Região Sul do Brasil, em uma fria noite de inverno, foi registrada, às 20 horas, a temperatura de 25 °C. Às 23 horas, a temperatura diminuiu 3 °C. Responda: a) Qual era a temperatura na cidade às 23 horas? 28 ºC b) Essa temperatura é maior ou menor que a temperatura às 20 horas?

Menor.

11 Responda: a) O meu saldo na conta-corrente era de R$ 100,00. Fiz uma retirada de R$ 150,00. Após essa retirada, o meu saldo é positivo ou negativo? Negativo. b) Estava com o saldo negativo em R$ 300,00 na minha conta-corrente. Fiz um depósito de R$ 200,00. O meu novo saldo é positivo ou negativo? Negativo. 12 Desenhe um termômetro e indique nele temperaturas inteiras de 210 até 20.

O aluno deve desenhar ou esquematizar um termômetro e, nele, marcar os números: 210, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20, igualmente espaçados.

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Registre no

caderno

13 Responda: a) Quando o módulo de um número inteiro é igual ao próprio número inteiro? Quando o número inteiro é positivo ou igual a zero.

b) Qual é o maior: um número inteiro negativo ou o seu simétrico? O simétrico do número inteiro negativo.

14 De acordo com o conjunto dos números inteiros, escreva: a) o simétrico de 221; 121

d) o sucessor de 25;

b) o oposto de 17; 27

e) o sucessor de 0;

c) o antecessor de 210; 211

f) o antecessor do maior número inteiro negativo.22

24

11

15 Roberto percebeu que era importante acompanhar e controlar seus gastos. Por isso, resolveu anotar seu saldo ao final de cada mês, pois nessas datas já havia recebido seu salário e pago todas as contas do referido mês. Para visualizar melhor as informações, ele representou os seis primeiros meses do ano em um gráfico. Saldo mensal de janeiro a junho Saldo em R$ DAE

600 500 400 300 200 100 0

março

janeiro

maio

Mês

100 200

fevereiro junho

300 abril



400

Observando a situação financeira de Roberto descrita no gráfico, responda: a) Roberto ficou com saldo positivo em todos os meses? Por quê?

Não. Resposta possível: Nos meses de fevereiro, abril e junho o total de contas foi maior do que o salário de Roberto.

b) Em qual mês Roberto teve o maior saldo positivo? Maio. c) Em qual mês Roberto ficou devendo mais dinheiro? Abril. d) No mês de junho Roberto tinha um saldo de 300 reais negativos. Suponha que em julho ele tenha recebido R$ 1.000,00 de salário e suas contas tenham totalizado R$ 900,00. Qual seria seu saldo no final desse mês? R$ 200,00 negativos (2300 1 1 000 2 900 5 2200).

Professor, este é um momento de explorar os procedimentos adotados pelos alunos, pois somente no próximo capítulo abordaremos a adição e a subtração de números inteiros.

e) O que é possível observar sobre a condição financeira de Roberto?

f) Você acha importante que uma pessoa anote e acompanhe seus rendimentos e gastos? Resposta possível: Sim. É importante manter as finanças de modo organizado, pois assim podemos controlar Por quê? nossos gastos e, consequentemente, não ter saldo negativo.

18

e) Resposta pessoal. Professor, discuta com os alunos a importância de não gastar além daquilo que se ganha, pois logo eles estarão no mercado de trabalho e em geral os juros para se tomar dinheiro emprestado é muito alto. A educação financeira deve ser trabalhada desde os anos iniciais.

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CAPÍTULO 2

Adição e subtração de números inteiros Observe abaixo parte do extrato da conta-corrente de Júlia. Em duplas, copiem a tabela e descubram o saldo final da conta de Júlia. Para isso, observem no extrato bancário o saldo inicial, os depósitos e as retiradas. Registrem todas as estratégias adotadas por vocês para chegar ao resultado e apresentem-nas para a turma. Data

Retirada

Depósito

20/4

Saldo

750

21/4 22/4

Ronaldo Barata

Júlia foi ao caixa eletrônico para verificar o movimento de sua conta bancária nos últimos dias. Ela queria saber como estava seu saldo.

250 400

1.000 600

22/4

100

700

23/4

500

200

24/4

800

2600

24/4

350

2950

Quando fazemos um depósito na conta bancária e queremos saber qual é o saldo, efetuamos uma adição. Porém, se fizermos uma retirada, ou seja, se sacarmos dinheiro, estamos diante de uma subtração. Mas como fazemos a adição e a subtração entre números inteiros positivos e negativos? Vamos verificar a seguir.

Adição de números inteiros Júlia queria compreender seu saldo bancário. Analisando o extrato de sua conta-corrente do dia 20/4 até o dia 24/4, ela observou que:

• em 22/4, ela havia feito uma retirada de 400 e um depósito de 100, que é o mesmo que fazer uma retirada de 300: 2400 1 100 5 2300

• em 24/4, ela havia feito duas retiradas, uma de 800 e outra de 350, que é o mesmo que fazer uma só retirada de 1 150. Aqui, temos a seguinte adição: (2800) 1 (2350) 5 21 150 No exemplo de Júlia podemos perceber que, em determinadas situações, é preciso adicionar tanto números positivos quanto números negativos. Observe que na adição de

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números positivos é possível recorrer aos mesmos procedimentos utilizados na adição de números naturais. 750 1 250 5 1 000 ou 1 750 1 250 5 1 1 000 Será que esses procedimentos são válidos para os números negativos?

Dois números inteiros negativos Na adição de dois números inteiros negativos, adicionamos os valores absolutos desses números e damos, ao resultado obtido, o sinal negativo.

Exemplo: Considere, assim como no exemplo do extrato bancário, uma pessoa que fez duas retiradas em sua conta-corrente: uma de 100 reais e outra de 40 reais. Essas duas retiradas correspondem a uma só retirada de 140 reais, isto é: (2100) 1 (240) 5 2140 Podemos interpretar essa situação em uma reta numérica:

140

130

120

110

100

90

80

70

60

40

50

40

30

20

10

0

10

Ilustrações: DAE

140

100

Dois números inteiros de sinais contrários Na adição de um número inteiro negativo com um número inteiro positivo, subtraímos os valores absolutos e damos, ao resultado, o mesmo sinal daquele número com maior valor absoluto.

Exemplo: Considere, assim como no exemplo do extrato bancário, uma pessoa que fez, em sua conta-corrente, uma retirada de 140 reais e um depósito de 90 reais. Isso equivale a fazer uma retirada de 50 reais: (2140) 1 (190) 5 250 Podemos interpretar essa situação em uma reta numérica: 50

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

10

140 90

Observação: VV Na adição de dois números inteiros opostos (ou simétricos), o resultado é zero.

Exemplo: (2350) 1 (1350) 5 2350 1 350 5 0

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CONEXÕES Quando fazemos uma transferência bancária eletrônica para outra pessoa, podemos utilizar, entre outras, duas opções para realizar este processo: por DOC ou TED. Você sabe qual é o significado dessas duas siglas? E a diferença entre elas? Pois bem, veja a seguir o significado de cada sigla: • DOC: Documento Ordem de Crédito. • TED: Transferência Eletrônica Disponível. Pode ser transferido até R$ 4.999,99 através de um DOC. Ele é processado e só é compensado, isto é, o dinheiro só cai na conta da outra pessoa no próximo dia útil em relação ao dia da transação bancária. A TED pode ser feita quando o valor é maior que R$ 500,00. Valor determinado em 16/1/2015 pela Federação Brasileira de Bancos (Febraban). A vantagem desse processo é que o valor transferido fica disponível para a outra pessoa no mesmo dia do depósito. Esse valor mínimo é estipulado para evitar que o sistema fique sobrecarregado. Fonte de pesquisa: . Acesso em: mar. 2015. Disponível em: . Acesso em: jan. 2015.

TRABALHO EM EQUIPE

Registre no

caderno

Esta atividade é introdutória para o desenvolvimento da adição e subtração de números inteiros. Ao final da atividade, converse com os alunos sobre os resultados obtidos e se com base nestes eles conseguiram entender o valor final.

Em dupla, criem um tabuleiro como o apresentado a seguir: 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Agora vamos jogar! Serão necessários dois dados de cores diferentes – por exemplo, azul e vermelho – e dois peões, um para cada jogador. Inicialmente os peões devem estar na casa do zero. Os jogadores deverão jogar alternadamente os dois dados. Considerando que os dados sejam vermelho e azul, o peão anda para a esquerda o valor do dado vermelho e para a direita o valor do dado azul. Após cada jogada, o jogador deve registrar os valores na tabela como o modelo a seguir. Jogada

Valor inicial

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a

0

Valor do dado vermelho

Valor do dado azul

Valor final

Ganha aquele que chegar à casa do 10 primeiro ou o que ao final da 10a rodada estiver mais próximo dela. Que vença o melhor!

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Resolva as operações indicadas. a) 22 1 7 15 b) 110 1 (29) 11

c) 215 1 (23) 218 d) 21 1 (15) 1 (22) 12

e) 8 1 (23) 1 (11) 16 f) 26 1 (22) 1 (21) 29

DAE

2 Na reta numérica está representada a operação 11 1 (13). Indique a operação 210 1 (14) em uma reta numérica. Qual é o resultado? 26

109 87 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

1 3 4

3 Considere um número inteiro qualquer e some-o com o seu simétrico. Qual é o resultado? 0 4 Represente cada situação a seguir por meio de uma adição de números inteiros, resolva e indique o saldo. a) Saldo de R$ 1.200,00 e saque de R$ 750,00. 11 200 1 (2750) 5 1450  Saldo positivo de R$ 450,00. 1 (1720) 5 1375 b) Saldo devedor de R$ 345,00 e depósito de R$ 720,00. 2345 Saldo positivo de R$ 375,00. c) Saldo de R$ 680,00 e saque de R$ 500,00. 1680 1 (2500) 5 1180  Saldo positivo de R$ 180,00. d) Saldo devedor de R$ 185,00 e depósito de R$ 185,00. 2185 1 (1185) 5 0  Saldo zero. 5 Em cada linha da tabela há uma adição. Observe o resultado e complete com o número inteiro que deve ser somado à parcela dada. Operação

Resultado

213 1

121

18

17 1

29

22

225 1

115

210

26 1

29

215

222 1

125

13

111 1

211

0

6 Determine o padrão de cada sequência numérica e complete-as com os próximos quatro 50 30 10 10 números. 130 150 170 190 a)

50

30

10

10

b)

200

120

40

40

200

120

40

40

2120

2200

2280

2360

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caderno

7 Na tabela a seguir, adicione cada número que está na primeira coluna aos números que estão na primeira linha. Observe as adições que já foram efetuadas: 260 1 (150) 5 210; 1 210

220 1 (120) 5 0;

240 1 (170) 5 130

110

120

130

140

150

160

170

180

190

0

110

120

130

140

150

160

170

180

220

210

0

110

120

130

140

150

160

170

230

220

210

0

110

120

130

140

150

160

240

230

220

210

0

110

120

130

140

150

250

240

230

220

210

0

110

120

130

140

260

250

240

230

220

210

0

110

120

130

270

260

250

240

230

220

210

0

110

120

280

270

260

250

240

230

220

210

0

110

290

280

270

260

250

240

230

220

210

0

8 Responda: a) Qual é o número que, adicionado a 230, resulta zero? 130 b) Qual é o resultado da adição de dois números simétricos? Zero. c) A adição de dois números positivos pode resultar em um número negativo? Não. d) A adição de dois números negativos pode resultar zero? Não. e) A soma de dois números inteiros é 47. Um deles é 210. Qual é o outro número? 57 f) A soma de dois números inteiros é 256. Um deles é 2100. Qual é o outro número? 44 9 Mariana foi ao banco com sua mãe. Ao ver o saldo do banco, Denise, a mãe de Mariana, levou um susto, pois estava com o saldo devedor de R$ 155,00. Assim, Denise depositou uma quantia para pagar a conta de água de R$ 32,00, fazer com que o saldo de sua conta fique positivo e ainda sobrar R$ 125,00. Qual foi a quantia, em reais, que Denise teve de depositar? R$ 312,00. 10 Copie e complete a tabela a seguir.



6

212

20

50

61

70

287

212

15

67

58

267

212

15

67

58

267

x

23

28

4

5

0

235

y

226

32

14

25

212

x1y

229

24

18

30

y1x

229

24

18

30

11 Represente por meio de uma adição ou subtração cada situação. a) Em uma manhã de inverno, a temperatura de uma cidade às 8 horas era igual a 24 °C e às 11 horas passou a ser igual a 10 °C, aumentando, portanto, 14 °C. Resposta possível: 24 1 14 5 10 b) Em uma reta numérica marcou-se um ponto de 5 unidades para a direita do zero. Depois, deslocou-se 10 unidades à esquerda, parando no ponto correspondente ao número 25. Resposta possível: 5 1 (210) 5 25

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Propriedades da adição de números inteiros Assim como ocorre com os números naturais, a adição de números inteiros também tem as chamadas propriedades da adição, que possibilitam a realização dessa operação de formas diferentes, porém dando o mesmo resultado. Destacamos aqui duas propriedades:

• Propriedade comutativa Considere a seguinte situação: Rui e Ana estavam brincando. Eles combinaram que utilizariam o sinal 1 para anotar os pontos ganhos e o sinal 2 para anotar os pontos perdidos. No final da primeira rodada, o saldo de pontos de cada um foi o da tabela ao lado.

1a rodada

Rui

Ana

Pontos ganhos

1120

1400

Pontos perdidos

2260

2350

Saldo de pontos

2140

150

Para obtermos o saldo de pontos, adicionamos os pontos ganhos aos pontos perdidos, em qualquer ordem. Saldo de Rui:

(1120) 1 (2260) 5 120 2 260 5 2140 ou (2260) 1 (1120) 5 2260 1 120 5 2140 Saldo de Ana: (1400) 1 (2350) 5 400 2 350 5 150 5 50 ou (2350) 1 (1400) 5 2350 1 400 5 150 5 50 A mudança na ordem das parcelas não altera o resultado.

Propriedade comutativa Na adição de dois números inteiros, a ordem das parcelas não altera o resultado. Observe a tabela que construímos no exercício 10 da página anterior e veja que a propriedade comutativa ocorreu nas duas últimas linhas da tabela.

• Propriedade associativa Ana e Rui jogaram mais duas rodadas. O vencedor seria aquele que conseguisse maior saldo no final das três rodadas. Os pontos em cada rodada estão indicados na tabela ao lado. Para saber o saldo de cada um, devemos efetuar a adição dos pontos em cada rodada. Observe como podemos calcular.

Rodada

Rui

Ana

1a

2140

150

2a

1350

2210

3a

2100

140

Saldo de Rui: (Adicionamos primeiro as duas primeiras parcelas e depois a 3a.)

(Adicionamos primeiro as duas últimas parcelas e depois a 1a.)

(2140) 1 (1350) 1 (2100) 5

(2140) 1 (1350) 1 (2100) 5

5 2140 1 350 2 100 5

ou

5 2140 1 350 2 100 5

5 [2140 1 350] 2 100 5

5 2140 1 [350 2 100] 5

5 1210 2 100 5

5 2140 1 250 5

5 1110 5 110

5 1110 5 110

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Saldo de Ana: (Adicionamos primero as duas primeiras parcelas e depois a 3a.)

(Adicionamos primeiro as duas últimas parcelas e depois a 1a.)

(150) 1 (2210) 1 (140) 5

(150) 1 (2210) 1 (140) 5

5 150 2 210 1 40 5

ou

5 150 2 210 1 40 5

5 [150 2 210] 1 40 5

5 150 1 [2210 1 40] 5

5 2160 1 40 5

5 150 2 170 5

5 2120

5 2120

Observe que, fazendo associações diferentes numa mesma adição, chegamos ao mesmo resultado. Comparando os saldos, descobrimos que Rui obteve mais pontos.

Propriedade associativa Na adição de diversos números inteiros, obtemos o mesmo resultado quando fazemos associações das parcelas de maneiras diferentes.

TRABALHO EM EQUIPE

Registre no

caderno

Que tal criar um jogo, em dupla, que retrate as operações realizadas por Rui e Ana? Ao criarem um jogo, é importante refletirem sobre a estrutura que ele terá, por exemplo: • Como será o jogo de vocês? De tabuleiro? De cartas? Uma trilha? Utilizará dados? Haverá perguntas e respostas? • Quais serão as regras utilizadas para indicar o ato de ganhar pontos ou perdê-los? • Que material será necessário? • Será que as regras estão claras? Pergunte a um colega se ele entende como se joga somente lendo as regras, ou seja, sem que vocês as expliquem (se ele não entender será preciso melhorá-las). Depois que o jogo estiver construído, troquem de jogo com outra dupla; dessa forma, vocês conhecerão outros jogos criados pelos colegas.

• Elemento neutro

Exemplos: • 1 450 1 0 5 450 1 0 5 0 1 450 5 450 • 248 1 0 5 0 2 48 5 248

Elemento neutro Na adição de um número inteiro qualquer a zero, o resultado é sempre o próprio número. O zero é chamado de elemento neutro da adição.

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• Elemento oposto ou simétrico

Exemplos: • (120) 1 (220) 5 0 ⇒ O oposto ou simétrico de 120 é 220. O oposto ou simétrico de 220 é 120. • (2208) 1 (1208) 5 0 ⇒ O oposto ou simétrico de 2208 é 1208. O oposto ou simétrico de 1208 é 2208.

Elemento oposto ou simétrico Todo número inteiro tem um oposto ou simétrico. Ao adicionar um inteiro a seu oposto ou simétrico, o resultado é zero. Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Utilizando as propriedades da adição de números inteiros, complete com os números que estão faltando. a) (1350) 1 (2250) 5

1 (1350) 2250

b) (2120) 1 (1120) 5 (1120) 1

2120

2 Qual número adicionado ao número: a) (2270) tem como resultado zero? 1270 b) (1150) tem como resultado (2150)? 2300 3 Calcule o resultado das adições. a) (220) 1 [(230) 1 (150)] 0 b) [(220) 1 (230)] 1 (150) 0 4 Resolva os seguintes problemas: a) O saldo da conta bancária de Viviane estava negativo em R$ 450,00 no dia 20 de dezembro. Ela depositou R$ 300,00 em 21 de dezembro e, depois, mais R$ 200,00 em 23 de dezembro. Qual é o saldo depois desses dois depósitos? R$ 50,00 Data

Retirada

Depósito

20/12

Saldo 2450,00

21/12

300,00

23/12

200,00

2150,00

b) Roberto estava devendo R$ 230,00 para seu irmão e pediu emprestado para ele R$ 400,00. Qual é a dívida que Roberto tem com o irmão? R$ 630,00 c) Sônia estava no 1o andar de seu prédio. Pegou o elevador e subiu mais 10 andares, depois desceu 4 andares. Em qual andar desse prédio ela se encontra? 7o andar

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Subtração de números inteiros Meunierd/Shutterstock

No Hemisfério Norte, as temperaturas no inverno são bem baixas. Existem países, como o Canadá, em que a neve é muito frequente. Nesses lugares é muito comum, em alguns dias, temperaturas bem abaixo de zero.

Um dia de inverno em Montreal, Canadá.

Considere que, em um desses locais, ao longo de quatro dias de determinada semana, foram registradas temperaturas máximas e mínimas conforme apresentadas na tabela a seguir: Dia da semana

segunda-feira

terça-feira

quarta-feira

quinta-feira

Temperatura mínima

214 °C

26 °C

24 °C

7 °C

Temperatura máxima

28 °C

6 °C

10 °C

13 °C

Com base nessas informações, vamos obter a amplitude térmica em cada dia. Amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e a mínima em determinado dia. Para tanto, podemos fazer a subtração dos valores correspondentes utilizando a representação na reta numérica: Segunda-feira:

16 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Ilustrações: DAE

(28) 2 (214) 5 ?

O sinal negativo na frente do 214 indica o oposto desse número, que é igual a 114; logo, a operação pode ser reescrita como: (28) 1 14 5 6, ou seja, a temperatura estava em 14 graus negativos, aumentou 6 graus até chegar a 28 °C. Terça-feira: (16) 2 (26) 5 ? 212 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

O sinal de negativo na frente do 26 indica o oposto desse número, que é igual a 16; logo, a operação pode ser reescrita como: 6 1 6 5 12, ou seja, a temperatura estava em 6 graus negativos, aumentou 12 graus e chegou a 6 °C.

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Quarta-feira: (110) 2 (24) 5 ? 114 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

O sinal de negativo na frente do 24 indica o oposto desse número, que é igual 14; logo, a operação pode ser reescrita como: 10 1 4 5 14, ou seja, a temperatura estava em 4 graus negativos, aumentou 14 graus e chegou a 10 °C. Quinta-feira:

214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Ilustrações: DAE

(113) 2 (17) 5 ?

O sinal de negativo na frente do 17 indica o oposto desse número, que é igual a 27; logo, a operação pode ser reescrita como: 13 2 7 5 6, ou seja, a temperatura estava em 7 °C, aumentou 6 °C e chegou a 13 °C.

Subtração de números inteiros A subtração de dois números inteiros é efetuada adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo.

Assim, podemos calcular a diferença entre dois números inteiros efetuando a adição do primeiro ao oposto do segundo. Retomando os exemplos relacionados às temperaturas: segunda-feira (28) 2 (214) 5 28 1 14 5 6 terça-feira (16) 2 (26) 5 6 1 6 5 12 quarta-feira (110) 2 (24) 5 10 1 4 5 14 quinta-feira (113) 2 (17) 5 13 2 7 5 6

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TRABALHO EM EQUIPE

caderno

Estudamos as propriedades da adição: comutativa, associativa e elemento neutro. Em dupla, verifique, por meio de exemplos, a validade dessas propriedades na subtração de dois números inteiros positivos e negativos. Registrem suas conclusões em um texto. Professor, espera-se que os alunos verifiquem, por meio de contraexemplos, que as propriedades não são válidas.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Utilizando o conceito de oposto de um número, determine os resultados a seguir: a) 2(2100) 1100 b) 2(1 450) 2450

c) 2(273) 173 d) 1(2150) 2150

2 Resolva as operações indicadas. a) 22 2 (12) 24 b) 111 2 (29) 120 c) 213 2 (23) 210

d) 21 2 (25) 2 (13) 11 e) 9 2 (23) 2 (110) 12 f) 28 1 (22) 2 (210) 0

3 Uma pessoa mora no vigésimo andar de um prédio. Imagine que ela tenha descido até a garagem do terceiro andar do subsolo. Calcule quantos andares ela desceu. 120 2 (23) 5 23; 23 andares 4 No início do mês, a conta-corrente de João estava com saldo negativo de R$ 275,00. No dia em que seu salário foi depositado, o saldo passou a ser de R$ 2.750,00. Sabendo que ele não fez movimentações bancárias nesse período e que o banco cobrou uma taxa de R$ 15,00, porque a conta estava com saldo negativo, calcule o salário dele. 2 750 2 (2275 2 15) 5 3 040; R$ 3.040,00

5 Determine o valor a ser subtraído para obter o resultado indicado. 112

220

a) 130 2 5 150 120 b) 18 2 5 22 29 c) 221 2 5 212

d) 112 2 5 0 18 e) 229 2 5 237 128 f) 15 2 5 213

6 A empresa em que o pai de Mauro trabalha divulgou seu faturamento em reais ao longo dos últimos cinco meses do ano. Para tanto, foi feito o seguinte gráfico: Faturamento da empresa

Faturamento (mil reais) 5.000

Setup

Professor, converse com os alunos sobre questões relacionadas a saldo devedor, limite de cheque especial, juros e taxas cobradas pela instituição bancária quando utilizamos esse limite. Se o saldo da conta-corrente está negativo, ao fazermos um depósito, esse saldo é coberto e taxas são cobradas; o que sobra é o saldo positivo da conta.

4.171 4.000

3.000 2.128

2.397 2.050

2.000

1.000

0

nov. ago.

set.

1.000

out.

dez.

Mês

682

Observando as informações no gráfico, responda: a) De agosto a setembro, o faturamento aumentou ou diminuiu? Aumentou. b) E de novembro a dezembro? Aumentou. c) De outubro a novembro, o faturamento diminuiu quantos reais? R$ 2.732,00

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CAPÍTULO 3

Multiplicação de números inteiros Zubartez

Às sextas-feiras, o professor de Matemática passa um desafio para sua turma. Na última semana, os alunos deveriam encontrar os cinco próximos números da sequência numérica que ele escreveu na lousa: No entanto, o professor solicitou que o desafio fosse justificado por meio de multiplicação. Luíza apresentou à turma uma solução envolvendo multiplicação, porém relacionada com números negativos: 3 ? 7 5 21 2 ? 7 5 14 1?757 0?750 O primeiro fator da multiplicação diminui de 1 em 1.

(21) ? 7 5 27

O resultado da multiplicação diminui de 7 em 7.

(22) ? 7 5 214 (23) ? 7 5 221 (24) ? 7 5 228 (25) ? 7 5 235  O desafio foi apenas uma motivação para iniciar a explicação sobre a multiplicação de números inteiros. Você resolveria de forma diferente? Como representaria sua solução?

Multiplicação de números inteiros Existem três situações que precisamos explorar para compreender o procedimento de multiplicação de números inteiros. São elas:

• Quando os dois fatores da multiplicação são positivos Neste caso, a multiplicação é feita de forma análoga, ou seja, semelhante àquela efetuada quando apenas números naturais estão envolvidos.

Exemplos: (18) ? (116) 5 8 ? 16 5 128 5 (1128) (142) ? (125) 5 42 ? 25 5 1 050 5 (11 050) (113) ? (117) 5 13 ? 17 5 221 5 (1221)

A multiplicação de dois números inteiros positivos resulta em um número inteiro positivo.

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• Quando um fator é positivo e o outro é negativo Neste caso, adicionamos parcelas negativas tantas vezes quanto for o número positivo. Também podemos recorrer à ideia de que um número negativo é o oposto de outro positivo.

Exemplos: (13) ? (210) 5 3 ? (210) 5 (210) 1 (210) 1 (210) 5 230 (29) ? (15) 5 2(19) ? (15) 5 2(145) 5 245 A multiplicação de um número inteiro positivo por outro número inteiro negativo, em qualquer ordem, resulta em um número inteiro negativo.

• Quando os dois fatores da multiplicação são negativos Uma forma de compreender como proceder para multiplicar dois números inteiros negativos é observar padrões numéricos associados à multiplicação.

Exemplo: Considere a seguinte sequência numérica relacionada à multiplicação de números inteiros: (14) ? (25) 5 220 (13) ? (25) 5 215 (12) ? (25) 5 210 (11) ? (25) 5 25 Observe que os resultados das multiplicações estão aumentando de 5 em 5. 0 ? (25) 5 0 (21) ? (25) 5 ? (22) ? (25) 5 ? (23) ? (25) 5 ?  Isso sugere que os resultados que estão faltando são: (21) ? (25) 5 15 5 5 A multiplicação de dois números inteiros negativos (22) ? (25) 5 110 5 10 resulta em um número inteiro positivo. (23) ? (25) 5 115 5 15

Observação: VV Na multiplicação em que os dois fatores são inteiros negativos,

podemos utilizar o conceito de oposto de um número inteiro. Exemplo: (212) ? (225) 5 2(112) ? (225) 5 2(2300) 5 1300 5 300

De maneira geral podemos dizer que, se a e b são números inteiros: 2 (2a) 5 a (2a)  (b) 5 2(a  b) (a)  (2b) 5 2(a  b) (2a)  (2b) 5 2(a)  (2b) 5 2 (2a  b) 5 a  b

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 O time Parnaíba participou de um torneio de futebol de cinco rodadas. Ao final, o saldo de gols do time foi igual a 22 em cada rodada. a) Represente essa situação por meio de uma multiplicação. 5 ? (22) b) Existe outra operação que também represente essa situação? Descreva-a. (22) 1 (22) 1 (22) 1 (22) 1 (22)

c) Qual foi o saldo final de gols? 210 gols d) Nesse caso, o saldo final de gols foi uma situação de vitória ou de derrota? De derrota, pois o time perdeu em todas as rodadas.

2 O que acontece se multiplicarmos uma dívida de R$ 100,00 por 3? A dívida será triplicada e passará a ser de R$ 300,00.

3 Considerando os números inteiros, qual será o resultado se multiplicarmos: a) um número negativo por outro negativo? O resultado será positivo. b) um número positivo por um número negativo? O resultado será negativo. c) um número positivo por outro positivo? O resultado será positivo. d) um número negativo por um número positivo? O resultado será negativo. 4 Observe o resultado das multiplicações e complete com o fator que está faltando. a) (212) 3

25

e) (210) 3

5 60

b) 3 (16) 5 224 c) (28) 3

5 180

4

24

7

28

f) 3 (24) 5 216 g) (29) 3

5 256

9

29

5 81

24

d) 3 (23) 5 227

h) 3 (212) 5 48

5 Indique o produto resultante das operações. a) (110) ? (27) 270

g) (215) ? (22) ? (210) 2300

b) (211) ? (28) 88

h) (218) ? (21) ? (13) 54

c) (112) ? (23) 236

i) (112) ? (23) ? (24) 144

d) (212) ? (23) 36

j) (219) ? (12) ? (21) 38

e) (2200) ? (14) 2800

k) (122) ? (14) ? (210) 2880

f) (215) ? (210) 150

l) (22) ? (22) ? (22) 28

6 Descubra como a sequência a seguir é formada e, utilizando esta regra, complete-a escrevendo os próximos cinco números. Cada número, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por 22. 10

20

40

80 2160 320 2640

1 280

22 560

7 A afirmação 2[2(218)] 5 218 é falsa ou verdadeira? Justifique sua resposta.

Verdadeira, pois os sinais que estão dentro do colchete indicam oposto de 218, que é 118, e o sinal que está fora do colchete indica o oposto de 118, que é 218.

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8 Beatriz resolveu inventar uma tabuada com números inteiros positivos e negativos. Copie e complete as tabelas a seguir conforme o resultado das multiplicações indicadas. 21 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210

1

22 2

2

4

23

24

25

26

27

28

29

210

3

4

5

6

7

8

9

10

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

10

15

20

25

35

40

45

50

6

12

18

24

30

36

42

54

60

7

14

28

35

42

49

56

63

70

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

21

21

22

23

24

30

25

48

26

27

28

29

210

1

21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

2

22

24

26

28

210

212

214

216

218

220

3

23

26

29

212

215

218

224

227

230

28

212

216

220

224

228

232

236

240

210

215

220

225

230

235

240

245

250

218

224

230

236

242

248

254

260

4

24

221

5

25

6

26

7

27

214

221

228

235

242

249

256

263

270

8

28

216

224

232

240

248

256

264

272

280

9

29

218

227

236

245

254

263

272

281

290

10

210

220

230

240

250

270

280

290

2100

212

260

9 Responda: a) Quando o produto de dois números inteiros é positivo? Quando ambos têm o mesmo sinal. Quando um fator é positivo e outro b) Quando o produto de dois números inteiros é negativo? negativo. pelo menos um dos fatores é c) Quando o produto de dois números inteiros é igual a zero? Quando igual a zero. os fatores são 1 e têm o d) Quando o produto de dois números inteiros é igual a 1? Quando mesmo sinal. e) Quando o produto de dois números inteiros é igual a 21? Quando os fatores são 1 e 21. f) O produto de três números negativos é um número positivo? Não, é negativo. g) O produto de três números positivos pode ser um número negativo? Não. h) O produto de quatro números negativos é um número com que sinal? Positivo. i) O produto de quatro números, dois positivos e dois negativos, é positivo ou negativo? 10 Resolva os seguintes problemas:

Positivo.

a) O produto de dois números inteiros é 232. Quais podem ser esses dois números? 1 e 232; 21 e 32; 2 e 216; 16 e 22; 4 e 28; 8 e 24 b) O produto de dois números naturais é 32. Quais podem ser esses dois números? 1 e 32; 2 e 16; 4 e 8

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Propriedades da multiplicação de números inteiros Vimos propriedades para a adição de números inteiros. Ao multiplicarmos números inteiros, também estabelecemos algumas propriedades que permitem ampliar e facilitar tal operação.

• Propriedade comutativa A ordem dos fatores da multiplicação não altera o produto (resultado final). Essa propriedade significa, em outras palavras, que podemos efetuar uma multiplicação de números inteiros com os fatores dispostos em qualquer ordem.

Exemplo: (272) ? (13) 5 (13) ? (272) 5 2216 Generalizando, a ? b 5 b ? a, com a e b  Z.

• Propriedade associativa Ao multiplicarmos três ou mais fatores inteiros, o resultado pode ser obtido associando os fatores em qualquer ordem.

Exemplo: (28) ? (210) ? (112) 5 [(28) ? (210)] ? (112) 5 (180) ? (112) 5 1960 5 960 ou (28) ? (210) ? (112) 5 (28) ? [(210) ? (112)] 5 (28) ? (2120) 5 1960 5 960 Generalizando, a ? (b ? c) 5 (a ? b) ? c, com a, b e c  Z.

• Elemento neutro Na multiplicação de números inteiros, o número 1 é chamado elemento neutro, pois qualquer número inteiro, quando multiplicado por 1, resulta nele mesmo.

Exemplo: (2145) ? (11) 5 2145 Generalizando, a ? 1 5 1 ? a 5 a, com a  Z.

• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição A multiplicação de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas.

Exemplo 1: 4  (7 1 3) 5 4  7 1 4  3 5 28 1 12 5 40

Exemplo 2: (27)  (3 1 5) 5 (27)  3 1 (27)  5 5 (221) 1 (235) 5 256 Generalizando, a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c, com a, b e c  Z.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Os colchetes indicam a ordem em que você deve efetuar as expressões a seguir. Obtenha os produtos e compare os resultados. a) [(220) ? (13)] ? (27) 420 b) [(230) ? (25)] ? (14) 600

c) (220) ? [(13) ? (27)] 420 d) (230) ? [(25) ? (14)] 600

2 Tiago fez a seguinte conta:

[(22) 1 (13)] ? (25) 5 5 (22) 1 (215) 5 5 217

Porque ele não utilizou a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou não fez a adição, primeiramente, dentro dos colchetes. O resultado correto é 25.

Explique por que a conta de Tiago não está certa e dê o resultado correto.

[(25) ? (10 2 2)] ? (212) 5 5 [(25) ? 10 2 (25) ? 2] ? (212) 5 5 [250 1 10] ? (212) 5

Ilustrações: Ilustra Cartoon

3 Em dupla, analise a resolução a seguir e, juntos, respondam às questões.

5 (250) ? (212) 1 10 ? (212) 5 5 600 2 120 5 480 a) Qual propriedade foi utilizada nesse cálculo? Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. b) De que outra maneira poderíamos obter o valor dessa expressão? Resposta pessoal. c) Qual das formas vocês acharam mais fácil? Por quê? Resposta pessoal.

Observação: V A propriedade do elemento neutro pode ser utilizada para justificar por que o produto de dois números

inteiros negativos resulta em um número inteiro positivo, conforme o exemplo a seguir. Exemplo: Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição dos números inteiros, considere a seguinte igualdade: 20 1 (220) 5 0 (24) ? [20 1 (220)] 5 (24) ? 0 Multiplicamos os dois lados por (24). (24) ? 20 1 (24) ? (220) 5 0 Utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. 280 1 (24) ? (220) 5 0 Este produto deverá ser igual a 180, para que o resultado da adição seja zero.

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CAPÍTULO 4

Divisão de números inteiros Deklojenak/Shutterstock

Antônio contraiu um empréstimo bancário para comprar um carro. Essa dívida deverá ser paga em 60 parcelas iguais totalizando R$ 45.000,00.

Para saber qual é o valor de cada uma das 60 parcelas em que a dívida foi feita, devemos efetuar uma divisão: 45 000 : 60 5 750 Valor de cada parcela: R$ 750,00.

Observações: VV Quando uma divisão é exata, isto é, o resto é igual

a zero, podemos estabelecer uma relação entre a multiplicação e a divisão. Assim, conforme o exemplo: 45 000  60 5 750, pois 750 ? 60 5 45 000 VV Como é uma dívida, poderíamos utilizar números

negativos para representar a situação: (245 000)  60 5 2750 Ele deve 60 parcelas de 750 reais.

Com base no conhecimento da multiplicação de números inteiros, podemos compreender como efetuar a divisão entre números inteiros.

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Divisão de números inteiros Podemos dizer que a divisão entre números inteiros representa a operação inversa da multiplicação. Então, de acordo com a observação da página anterior, a divisão pode ser efetuada considerando a relação já estabelecida na multiplicação. Assim, o sinal do resultado da divisão de números inteiros é determinado da mesma forma que o sinal do resultado da multiplicação.

• Dividendo e divisor positivos. Quando os dois termos da divisão de números inteiros são positivos, procedemos de forma análoga à divisão com números naturais.

Exemplos: (148)  (116) 5 48  16 5 3 5 (13), pois (13) ? (116) 5 (148) (1420)  (121) 5 420  21 5 20 5 (120), pois (120) ? (121) 5 (1420) Na divisão de dois números inteiros positivos, o quociente é positivo.

• Dividendo e divisor com sinais contrários. Quando um termo é positivo e o outro é negativo, fazemos a relação com a multiplicação, para estabelecermos o sinal resultante.

Exemplos: (130)  (210) 5 30  (210) 5 (23) 5 23, pois (23) ? (210) 5 (130) 5 30 (2990)  (115) 5 (2990)  15 5 (266) 5 266, pois (266) ? (115) 5 (2990) 5 2990 Na divisão de dois números inteiros de sinais contrários, o resultado é negativo.

• Dividendo e divisor negativos. Assim como ocorre na multiplicação de dois números inteiros negativos, na divisão o sinal do resultado é positivo.

Exemplos: (2450)  (225) 5 (118) 5 18, pois (118) ? (225) 5 (2450) 5 2450 (21 980)  (220) 5 (199) 5 99, pois (199) ? (220) 5 (21 980) 5 21 980 Na divisão de dois números inteiros negativos, o quociente é positivo.

Observações: VV Quando multiplicamos dois números inteiros, o resultado é um número inteiro. VV Quando dividimos dois números inteiros, o resultado nem sempre é um número inteiro. VV Zero dividido por qualquer número inteiro diferente de zero tem como resultado zero.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Copie e complete a tabela dividindo os valores da linha pelos valores da coluna. 22



5

25

10

12

5

210 18 28 112 212 16 26

21

11 10

210

10

25

210

24

4

28

8

4

24

8

28

26

6

212

12

6

26

12

212

23

3

26

6

3

23

6

26

2 Três amigos foram almoçar em um restaurante e dividiram a conta, que foi de R$ 63,00. Quanto cada um pagou? R$ 21,00. 3 Observe o resultado das divisões e complete com o número inteiro que está faltando. a) (232) 

24

236

e) (250) 

58

40

22

5 125

b)  (16) 5 26

f)  (24) 5 210

c) (28) 

g) (281) 

8

227

5 21

160

d)  (23) 5 19

29

5 19

h)  (212) 5 25

4 Escreva os quocientes das seguintes divisões exatas: a) (240)  (24) 10

d) (11 500)  (13) 500

b) (255)  (111) 25

e) (2160)  (110) 216

c) (11 100)  (210) 2110

f) (299)  (29) 11

5 Responda: a) Na divisão de dois números positivos, o quociente é um número positivo ou negativo? Positivo. b) Na divisão de dois números com sinais contrários, qual é o sinal do quociente? Negativo. c) Na divisão de dois números com o mesmo sinal, qual é o sinal do quociente? Positivo. 6 Complete com o respectivo quociente. a) (240)  (14) 210 (2400)  (140) 210 (24 000)  (1400) 210

c) (135)  (25) 27 (1350)  (250) 27 (13 500)  (2500) 27

b) (260)  (22) 30 (2600)  (220) 30 (26 000)  (2200) 30

d) (299)  (211) 9 (2990)  (2110) 9 (29 900)  (21 100) 9

38 pom7_010_057_u01.indd 38

APOEMA MATEMÁTICA 7

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10:08 AM

7 Descubra como a sequência a seguir é formada e complete escrevendo os próximos cinco números. Cada número, a partir do segundo, é o anterior dividido por 22.

Registre no

caderno

264 32 216 8 24 1 024

512

256

128

8 Em dupla, determine os elementos de cada conjunto. a) Conjunto A: todos os números inteiros x tal que (250) : x resulte em um número inteiro. A 5 {250, 225, 210, 25, 22, 21, 1, 2, 5, 10, 25, 50}

b) Conjunto B: todos os números inteiros x tal que (2125) : x resulte em um número inteiro negativo. B 5 {1, 5, 25, 125} c) Conjunto C: todos os números inteiros x tal que (2130) : x resulte em um número inteiro positivo. C 5 {2130, 265, 226, 213, 210, 25, 22, 21} 9 Copie e complete a tabela dividindo os valores da linha pelos valores da coluna. 10

 2100 290

260 250 240 230 220 210

2

210

220

29

218

245

216

240

27

214

235

26

212

230

25

210

225

24

28

220

23

26

215

280 270

5

28

22 21

250

24 22

210 25

Registre no

TRABALHO EM EQUIPE

caderno

Estudamos as propriedades da multiplicação: comutativa, associativa, elemento neutro e distributiva em relação à adição. Em dupla, verifique, por meio de exemplos, a validade dessas propriedades na divisão de números inteiros. Não se esqueçam de usar exemplos em suas verificações e utilizar inteiros positivos e negativos. Registrem suas conclusões em um texto.

Professor, espera-se que os alunos verifiquem, por meio de contraexemplos, que as propriedades não são válidas.

39 pom7_010_057_u01.indd 39

APOEMA MATEMÁTICA 7

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10:08 AM

Expressões numéricas com números inteiros No ano anterior, você estudou as expressões numéricas com números naturais. Ampliamos agora o estudo abordando, por meio de alguns exemplos, a resolução de expressões numéricas com números inteiros. Lembre-se de que existem situações em que é preciso efetuar mais de uma operação aritmética. A ordem das operações numa expressão numérica é: 1o 2 multiplicação ou divisão; 2o 2 adição ou subtração. Para evitar quaisquer confusões na ordem em que as operações são efetuadas, algumas vezes são empregados os sinais de associação: ( ) ⇒ parênteses [ ] ⇒ colchetes { } ⇒ chaves Estes sinais indicam a ordem em que devemos efetuar as operações: primeiro resolvemos o que está entre parênteses; depois, o que está entre colchetes; por último, aquilo que estiver entre chaves. Observe atentamente os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Obtenha o valor da expressão numérica: 2150 2 {(230)  15 1 [(27) ? (10 2 20)] 2 40}.

Resolução: 2150 2 {(230)  15 1 [(27) ? (10 2 20)] 2 40} 5 5 2150 2 {(22) 1 [(27) ? (210)] 2 40} 5 5 2150 2 {(22) 1 70 2 40} 5 5 2150 2 (128) 5 5 2150 2 28 5 5 2178

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão numérica: {220 ? [15  (350 2 365) ? (2280)  (228)] 2 45} 1 210.

Resolução: {220 ? [15  (350 2 365) ? (2280)  (228)] 2 45} 1 210 5 5 {220 ? [15  (215) ? (110)] 2 45} 1 210 5 5 {220 ? [(21) ? (110)] 2 45} 1 210 5 5 {220 ? (210) 2 45} 1 210 5 5 155 1 210 5 5 365

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Observação: A expressão 2150 2 {(230) : 15 1 [(27) ? (10 2 20)] 2 40}, resolvida anteriormente, pode ser escrita apenas com parênteses, sem que haja alteração na hierarquia de operações. Veja: 2150 2 ((230) : 15 1 ((27) ? (10 2 20)) 2 40) 5 2150 2 ((22) 1 ((27) ? (210)) 2 40) 5 2150 2 ((22) 1 70 2 40) 5 2150 2 (22 1 30) 5 2150 2 (128) 5 2150 2 28 5 2178 Embora os sinais de associação mostrem a ordem em que as operações devem ser executadas, em muitos textos de matemática ou em calculadoras, em geral, são utilizados somente os parênteses. A ideia, neste caso, é eliminar os parênteses de dentro para fora. Agora, caso a expressão apareça sem parênteses, usamos a ordem das operações. Veja o exemplo: 150 ? (3 2 2) 5 150 ? 1 5 150 Sem parênteses a expressão tem um resultado diferente. 150 ? 3 2 2 5 450 2 2 5 448

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Ao multiplicarmos dois números inteiros, é necessário estar atento para o sinal do produto. Em expressões que apresentam mais de uma multiplicação, precisamos observar o sinal de cada operação feita. Resolva as expressões numéricas a seguir. a) 3 ? (25) ? (22) 30 b) (27) ? (21) ? 3 21

c) (24) ? (12) ? 5 240 d) (22) ? (210) ? (21) 220

e) 6 ? (23) ? (22) ? 0 0

2 Resolva as expressões numéricas. a) (25) 1 [(212)  6] ? (24) ? (210) 285 b) 36  [(22) ? 3] 2 [10  (25)] 24 c) (224)  (13) 1 [4 1 45  (29) 1 2] 27 d) [16  (24) 1 4] ? (27) 0 3 Calcule o valor da seguinte expressão numérica: {242 ? [150  (2350 1 355) ? (2200)  (1200)] 2 95} 2 160 1 005 4 Em dupla, crie uma situação que seja resolvida pela seguinte expressão numérica: 2 ? (230) 1 2 ? (240 1 80)

Depois, troquem a situação com outros dois colegas para verificar se, com o texto escrito por vocês, eles conseguem chegar à expressão numérica apresentada. Resposta pessoal.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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CAPÍTULO 5

O plano cartesiano 180° 90°N

160°O

140°O

120°O

100°O

80°O

60°O

40°O

20°O

0°

20°L

40°L

60°L

80°L

100°L

120°L

140°L

160°L

180° 90°N

80°N

80°N

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

70°N Círculo Polar Ártico

70°N

60°N

60°N

A

50°N

EUROPA

50°N

40°N 30°N

B

40°N

ÁSIA

30°N

Trópico de Câncer

20°N

20°N

ÁFRICA

AMÉRICA

OCEANO PACÍFICO

10°N 0°

10°N

Equador

0°

OCEANO PACÍFICO

10°S

C

20°S

OCEANO ATLÂNTICO

Trópico de Capricórnio

D

OCEANO ÍNDICO

Meridiano de Greenwich

30°S

© DAE/Sonia Vaz

Mapa-múndi

40°S 50°S 60°S

30°S

140°O

120°O

100°O

80°O

60°O

40°O

20°O

0°

50°S

L

60°S

S 0

ANTÁRTICA

160°O

40°S

O

70°S 80°S

20°S

N

OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO

Círculo Polar Antártico

90°S 180°

10°S

OCEANIA

20°L

2361

70°S

4 722 km

80°S

1: 236 100 000 40°L

60°L

80°L

100°L

120°L

140°L

90°S 180°

160°L

Disponível em: . Acesso em: jan. 2015.

Para localizar um ponto em um plano podemos usar duas coordenadas, uma para indicar uma posição horizontal e outra para indicar uma posição vertical. DAE

st e N

e st

or oe

de or

Oeste

Leste

Su

te es

de

do

st e

Su

Cabe notar que a Linha do Equador tem a orientação norte-sul, enquanto o Meridiano de Greenwich, leste-oeste.

Norte

N

Essa ideia é utilizada em localizações no plano terrestre. Nelas usamos duas medidas: a latitude, que toma como referência a Linha do Equador, e a longitude, que toma como referência o Meridiano de Greenwich.

Sul

Exemplo:

Vamos descrever a posição dos pontos A, B, C e D representados no planisfério acima. Ponto A: 50° norte e 100° oeste. Ponto B: 40° norte e 80° leste. Ponto C: 20° sul e 40° oeste. Ponto D: 10° sul e 20° leste. É creditado ao matemático, filósofo e físico René Descartes (1596-1650) a ideia do plano cartesiano. Por meio de coordenadas podemos representar pontos nesse plano. Consequentemente, com esses pontos, podem-se representar outros entes geométricos, como retas, segmentos, polígonos, circunferências etc.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Museu do Louvre, Paris

O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares entre si. Veja a figura 1. As retas são chamadas de eixos. O eixo horizontal, orientado para a direita, é chamado de eixo x ou eixo das abscissas, que são as coordenadas desse eixo. O eixo vertical, orientado para cima, é chamado de eixo y ou eixo das ordenadas, que são as coordenadas desse eixo. O ponto de intersecção dos eixos é chamado de origem e tem abscissa e ordenada iguais a zero. A representação de pontos no plano cartesiano é feita por meio de pares ordenados, que são assim chamados por existir uma ordem para descrevê-los. Veja a figura 2.

René Descartes (1596-1650).

O primeiro número de um par ordenado indica a coordenada do ponto em relação ao eixo x, ou seja, a abscissa do ponto. O segundo número indica a coordenada do ponto em relação ao eixo y, também chamada de ordenada do ponto. Das coordenadas de um ponto, traçamos segmentos perpendiculares aos eixos, e na intersecção desses segmentos obtemos a representação do ponto. Veja na figura 2 o exemplo da representação do ponto P(25, 2). Nesse caso, 25 é a abscissa do ponto, enquanto 2 é a ordenada do ponto. y

3

4 3 2

Eixo das abscissas

P

2 1

1 4 3 2 1 0 1 1 Eixo das ordenadas

2

3

4

x

0

5 4 3 2 1

2

1

2

1

3 4

2

Figura 1

3

Figura 2 Ilustrações: DAE

Exemplo: 4 3 A

Os pares ordenados A(22, 2), B(4, 2), C(4, 22) e D(22, 22) são os vértices de um retângulo em um plano cartesiano. Desenhe o plano cartesiano e a figura em uma malha quadriculada.

Resolução (ao lado):

B

2 1

4

3

2

1

0

1

2

3

4

1 D

2

C

3 4

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Registre no

AGORA É COM VOCÊ

caderno

1 Localize os seguintes pontos em um mesmo plano cartesiano representado numa folha quadriculada: A (0, 4);

D (24, 25);

B (3, 24);

E (2, 2).

C (0, 0); 2 Escreva os pares ordenados de cada ponto do plano cartesiano a seguir. A(22, 4) B(3, 4) C(2, 1) D(22, 23) E(1, 23)

A

B

4 3

1.

2 4. 4 3 2 1 24 23 22 21 21 D C22 23 B 24

1

A

0 4 3 2 1 1 1 2 3 4

5 4A 3 2 1 C

C

1

2

3

4

24 23 22 21 21 22 23 24 D 25

2 3

D

E

4

E

1 2 3 4

B

3 Considere os segmentos a e b indicados no plano cartesiano a seguir. Determine as coordenadas de suas extremidades. Segmento a: A(22, 2) e B(6, 4). Segmento b: C(22, 23) e D(8, 21). 4

Ilustrações: DAE

3 A

B

a

2 1

0 4 3 2 1 1

1

2 C

2

3 b

4

5

6

7

8

9

D

3 4

4 Em um plano cartesiano, trace os segmentos AB e CD de acordo com as coordenadas: A(3, 4); C(21, 22); B(23, 24); D(21, 21).

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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CAPÍTULO 6

Tratamento da informação: gráfico de barras e de linhas

Eugênio Moraes/Hoje Em Dia/Futura Press

A cada dez anos, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), por meio de pesquisa, faz um levantamento minucioso não apenas do contingente populacional como também de diversas questões relacionadas aos usos e costumes dos habitantes do país, o que permite conhecer mais a fundo o Brasil. As informações levantadas nessas pesquisas são organizadas e, geralmente, apresentadas na forma de tabelas e gráficos estatísticos. É o que chamamos de tratamento das informações.

© DAE/Simone Soares de Andrade

Brasil – População

Equador

Região OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO PACÍFICO córnio de Capri Trópico

População (em milhares) mais de 10.000

N

O

entre 5.000 e 10.000

L

entre 1.000 e 5.000 S

0

420 1: 42 000 000

entre 500 e 1.000

840 km

menos de 500 50° O

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 41.

População

Sudeste

81 565 983

Nordeste

53 914 144

Sul

27 731 644

Norte

16 318 163

Centro-Oeste

14 423 952

Fonte: IBGE – Censo 2010 – estimativa de 2012.

Por meio de recursos gráficos, é possível evidenciar, no próprio mapa do Brasil, como a população está distribuída. Uma tabela permite, por exemplo, observar a população brasileira por região.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Para apresentar, de forma organizada, as informações levantadas em pesquisas, utilizamos geralmente as tabelas e os gráficos estatísticos. Existem diferentes tipos de gráficos, que podem ser empregados de acordo com a necessidade e o objetivo a que se destina.

Gráfico de barras Ilustrações: DAE

Valor (em milhões de reais)

Observe com atenção o gráVendas do 1o semestre 800 fico “Vendas do 1º semestre” ilustrado ao lado. Nesse tipo de 700 gráfico, as informações são inse600 ridas em um plano formado por 500 duas retas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical, que 400 recebem o nome de eixos. Nes300 te caso, no eixo horizontal temos 200 os meses do primeiro semestre e, 100 no eixo vertical, o valor vendido em milhões de reais nos meses 0 janeiro fevereiro março abril maio junho Mês de janeiro a junho. As barras são retângulos que têm base de mesma medida. A altura desses retângulos tem maior importância no gráfico, pois ela indica os valores ou porcentagens que devem ser apresentadas de acordo com os dados do eixo vertical. Lembre-se: na construção de um gráfico não podemos esquecer o título e a informação sobre os dados que estão em cada eixo. Uma simples leitura desse gráfico permite observar o desempenho das vendas no período, além de evidenciar aspectos diversos, como o mês em que houve mais venda e o mês em que houve menos venda. Ele ainda possibilita que se projete, para os próximos meses, a chamada tendência: as vendas vão crescer ou decrescer. O gráfico de barras pode ter orientação horizontal, como representado ao lado. Veja que as informações, neste caso, são apresentadas com relação ao comprimento do retângulo e não à sua altura. Você consegue imaginar um produto que tenha esta rotina de vendas? Perceba que o pico de vendas ocorreu em janeiro e fevereiro, o mês de março foi o pior mês de vendas, abril e maio ficaram próximos e em junho houve novo decrescimento. Que tipo de produto poderia apresentar essas características de venda? Professor, uma sugestão de resposta pode ser caderno escolar, uma vez que em fevereiro esse produto tem sua venda aumentada devido ao início do período escolar. Assim, para os próximos meses a tendência é de queda nas vendas.

Registre no

caderno

Vendas do 1o semestre Mês junho

maio

abril

março

fevereiro

janeiro 0

100

200

300

400 500

600

700

800 Valor

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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10:08 AM

O gráfico ao lado também é de barras, só que o eixo vertical foi suprimido, mas isso não altera a informação, pois o que vale é a altura do retângulo, que é proporcional à porcentagem descrita em cada topo.

Porcentagem da quantidade de alunos da escola Aprender 62%

38%

meninos

Observe ao lado o mesmo gráfico com orientação horizontal.

meninas

Porcentagem da quantidade de alunos da escola Aprender

meninas

38%

meninos

62%

Ilustrações: DAE

Vejamos outro tipo de situação na qual o gráfico de barras pode ser utilizado: Comparação entre jogadores na temporada de 2013/2014 (Clubes e Seleções) 21

João

48 55

Carlos

48 41

Marcelo

44 0

10

20

30

Gols

40

50

60

Jogos na temporada

Média de gols 1,50 1,15 1,00

0,93 0,44

0,50 0,00 Marcelo

Carlos

João

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10:08 AM

Observe que para a comparação entre os jogadores foi usado um modelo de gráfico de barras duplas. Para média de gols, optamos por fazer outro gráfico, pois a diferença numérica entre gols, quantidade de jogos e média de gols é muito grande, o que poderia comprometer a análise.

Vocabulário Temporada: período do ano em que os times de determinada região jogam os campeonatos.

Com base nos dados, indique qual foi o melhor jogador da temporada de 2013/2014. Lembre-se de que, quando tomamos uma decisão em estatística, deixamos nossas preferências pessoais de lado e nos baseamos apenas nas informações disponíveis. Justifique sua resposta por meio de um texto e utilize-se das informações apresentadas no gráfico. Resposta pessoal, mas os dados indicam o jogador Carlos.

Os gráficos de barras justapostas não se limitam a duas barras; na verdade, poderão conter quantas barras forem necessárias desde que se facilite a visualização da informação apresentada. Veja o gráfico a seguir, baseado em uma pesquisa publicada em 2010 Registre no pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea). caderno

100

Muito bom/Bom Regular

90

Ruim/Muito ruim

80,7

80

69,6

70 Proporção (%)

Ilustrações: DAE

Proporção das opiniões dos entrevistados a respeito da qualidade dos serviços públicos de saúde prestados pelo Sistema Único de Saúde (SUS) segundo tipo de serviço pesquisado – Brasil, 2010 (Em %)

60,6

60 50

48,1

44,9 40

31,4

31,1

30 24,1

20,7

20

18,8

20,5

19,4

14,0 10 0

11,0 5,4

Centros e/ou postos de saúde

Saúde da Família

Especialidades médicas

Urgência e emergência

Distribuição de medicamentos

Disponível em: . Acesso em: jan. 2015.

Essa pesquisa compara alguns serviços de saúde, que foram classificados em três critérios: muito bom/bom, regular e ruim/muito ruim. Esse modelo de pesquisa é importante porque orienta os governantes quanto aos serviços que devem ser melhorados. Em sua opinião, qual desses serviços mereceria mais investimento por parte dos órgãos governamentais? Por quê?

Registre no

caderno

 esposta pessoal. Espera-se que o aluno explicite sua opinião pautada na observação do gráfico ou ainda em sua experiência pessoal. R Caso ache conveniente, estimule-os a argumentar sobre suas escolhas fazendo-os perceber a importância e a seriedade existente em inúmeras pesquisas de opinião. Se quiser ampliar a atividade, promova um debate sobre a saúde pública e o atual investimento nesta área.

48 pom7_010_057_u01.indd 48

APOEMA MATEMÁTICA 7

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10:08 AM

Gráfico de linhas

O gráfico de linhas (ou também chamado gráfico de segmentos) é bastante empregado quando se deseja acompanhar a evolução de determinada informação ao longo do tempo. As linhas ou segmentos que unem os dados permitem uma leitura imediata quanto ao crescimento ou decrescimento. Assim, conforme o exemplo abaixo, se determinada agência especializada em promover intercâmbios de estudantes em diversos países elabora o gráfico de linhas relacionando, ano a ano, a quantidade de intercambistas, esses dados permitem observar que houve um crescimento mais acentuado de 2010 para 2011 do que de 2009 para 2010.

Quantidade de alunos

Alunos de intercâmbio 350 321

315

300 291

275

250 200

2008

Objeto educacional digital

285

2009

2010

2011

2012

Vamos verificar mais um exemplo também observado em Minas Gerais, neste caso, no município de Contagem. Na tabela ao lado temos dados do censo feito pelo IBGE sobre a evolução do crescimento populacional de Contagem.

Ano

Ano

Com o auxilio da tabela, podemos organizar os dados em um gráfico de linhas ou de segmentos. Os dados são apresentados em um plano com dois eixos perpendiculares entre si. No eixo horizontal, encontramos o ano em que foi feita a contagem, e no eixo vertical, o número de habitantes. Após marcar os pontos (ano, população) no plano, traçamos segmentos de reta unindo esses pontos, como segue. Um ponto no plano é obtido com a intersecção de retas perpendiculares aos eixos que se referem a cada ano e sua população.

Número de habitantes

1950

6 022

1960

27 914

1970

111 235

1980

280 470

1991

449 588

1996

492 214

2000

538 017

2010

603 442

População de Contagem (MG) 603 442

600 000 492 214

500 000

538 017

Ilustrações: DAE

Número de habitantes

700 000

449 588

400 000 300 000

280 470

200 000 111 235 100 000 6 022 0 1940

1950

27 914 1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020 Ano

Com uma breve leitura do gráfico, é possível observar que a população de Contagem cresceu de 1950 a 2010 e que esse crescimento foi mais acentuado de 1970 para 1980, e de 1980 para 1991.

49 pom7_010_057_u01.indd 49

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A construção de gráficos estatísticos Existem aplicativos nos computadores que possibilitam a construção de quaisquer gráficos com recursos que permitem alterar cores, tamanhos de fonte, formas de apresentação etc. Agora, por meio de alguns exemplos, vamos observar como construir alguns gráficos estatísticos utilizando apenas recursos simples, como régua e compasso.

Exemplo 1: Em determinada escola, o professor de Educação Física fez um levantamento das faltas dos alunos ao longo de uma semana e organizou as informações em uma tabela. Com base nessas informações, ele construiu um gráfico de barras. Dia da semana

segunda-feira

terça-feira

quarta-feira

quinta-feira

sexta-feira

Número de alunos

12

10

4

5

9

• Ele fez dois eixos numa folha de papel quadriculado; no eixo vertical, marcou a quantidade

Ilustrações: Setup

de alunos, no horizontal, os cinco dias de aula da semana e deu um título para o gráfico: “Faltas na semana”.

Quantidade de alunos

Faltas na semana

Dia da semana

• A seguir, o professor marcou os 5 dias de aula da semana utilizando, para cada dia, um grupo de três quadradinhos separados por dois quadradinhos.

• Estabeleceu também, na vertical, a altura de cada retângulo correspondendo a quantidade de quadradinhos ao número de alunos faltantes. O gráfico ficou da seguinte maneira:

Quantidade de alunos

Faltas na semana 12 10 9 5 4

segunda- terça-feira -feira

quarta- quinta-feira -feira

sexta- Dia da -feira semana

50 pom7_010_057_u01.indd 50

APOEMA MATEMÁTICA 7

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Observação: VV Para a construção do gráfico de barras horizontais, bastaria inverter os eixos, isto é, colocar os retângulos

com as informações numéricas na horizontal, como mostrado a seguir.

Dia da semana

Faltas na semana sexta-feira

9

quinta-feira quarta-feira

5 4

terça-feira

10

segunda-feira

12

Quantidade de alunos

Exemplo 2: A bibliotecária da escola percebeu que, conforme os dias passavam, a procura de livros diminuía. Comentou suas preocupações com o diretor. Ele então pediu que fizesse um levantamento dos empréstimos de livros realizados durante o 2º semestre, para se ter uma ideia melhor. Ela resolveu, mediante informações prévias, elaborar uma tabela e, depois, um gráfico de linhas.

• A tabela foi elaborada com os números que ela havia registrado ao longo dos cinco meses de aula do 2º semestre, ou seja:

Agosto 48

Mês de aulas Número de livros emprestados

Setembro 34

Outubro 26

Novembro 15

Dezembro 10

• Para evidenciar que o número de empréstimos de livros estava diminuindo mês a mês, a bibliotecária resolveu fazer um gráfico de linhas. Numa folha de papel, ela construiu os dois eixos: indicou os meses no eixo horizontal e o número de livros emprestados no eixo vertical. Levantamento de empréstimos de livros 60

48 Ilustrações: DAE

Número de livros emprestados

50

Número de livros emprestados

40 34 30

26

20 15 10

10

0

agosto

setembro

outubro

novembro

dezembro

Mês

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Registre no

caderno

1 A cada ano, determinada escola promove uma festa. O gráfico de linhas apresentado ao lado mostra o número de participantes nas festas realizadas de 2007 a 2011. Observe as informações presentes no gráfico e responda às questões. a) Quantos alunos participaram das festas em 2010? 794 alunos

b) De quanto foi o crescimento no número de participantes da festa de 2008 comparado ao número de pessoas da festa de 2007? 19 pessoas

Quantidade de participantes

AGORA É COM VOCÊ

819 794

777 753

734

2007

2008

2009

2010

2011 Ano

c) E de 2010 para 2011, houve crescimento? De quantas pessoas? Sim, de 25 pessoas.

Quantidade vendida

2 No gráfico a seguir, há informações sobre o desempenho de vendas de cinco produtos de uma loja ao longo de uma semana. Os produtos são A, B, C, D e E. Analise o gráfico e responda às questões.

25 20

18

15 10

20 15

10 6

5 0

A

B

C

D

E

Produto

a) Que título você daria para esse gráfico? Resposta pessoal. Poderia, por exemplo, ser: “Vendas na semana”. b) Qual foi o produto que mais vendeu? Produto E. c) Qual foi o produto que menos vendeu? Produto D. 3 O gráfico a seguir contém um levantamento das árvores que foram plantadas num município brasileiro, durante campanha denominada "Plante uma árvore". Observe os dados desse gráfico e faça o que se pede. Árvores plantadas

25 000 Árvores plantadas Quantidade Mês de árvores 20 000 janeiro 10 000 15 000 fevereiro 20 000 10 000 março 15 000 abril 17 000 5 000 0

17 000

Árvores plantadas

3. c) abril Mês

3. b)

Ilustrações: DAE

Quantidade de árvores

17000

março

15 000

fevereiro

20 000

janeiro jan.

fev.

mar.

abr.

Mês

a) Quantas árvores foram plantadas em março? 15 000 b) Elabore uma tabela com os dados presentes no gráfico. c) Construa com essas informações um gráfico de barras horizontais.

10 000 0

0 0 0 0 0 5 00 10 00 15 00 20 00 25 00 Quantidade de árvores

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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10:08 AM

Registre no

caderno

4 No gráfico a seguir, há informações sobre a produção de calçados de uma pequena indústria ao longo do primeiro semestre de 2014. Quantidade de calçados janeiro 300 fevereiro 275 março 410 abril 620 maio 450 junho 715 Mês

Produção de calçados

800 Quantidade de calçados

4. a)

715

700

620

600 500

450

410

400 300

300

275

jan.

fev.

200 100 mar.

abr.

maio

jun. Mês

a) Elabore uma tabela com as informações presentes no gráfico. b) Durante o primeiro semestre, em quais períodos a produção diminuiu? De janeiro para fevereiro e de abril para maio. c) Em quais períodos houve crescimento? De fevereiro para março, de março para abril e de maio para junho. d) Em qual período houve um crescimento mais acentuado? De maio para junho. 5 O gráfico a seguir contém os percentuais de venda de uma marca de refrigerante em relação às demais. Percentual de venda de refrigerante (%) Ano 2012 2013 Mês 14 janeiro 13 fevereiro 5 11 março 9 4 abril 10 8 maio 14 12

13%

jan.

2012

14%

2013

5%

fev.

11%

4% 10%

abr.

8% 14%

maio

Vendas

5. b)

9%

mar.

Percentual

5. a)

Ilustrações: Setup

Vendas

Mês

12%

16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0%

Percentual

2012 2013

. fev. ar. br. aio a m m

jan

Mês

Observe que os dados referem-se aos cinco primeiros meses dos anos 2012 e 2013. a) Elabore uma tabela com as informações presentes no gráfico. b) Construa um gráfico de barras verticais com as mesmas informações.

Equipe

Os intocáveis Amigos Os impossíveis Quinteto Monstros e companhia

Número de pontos

75 70 45 30 30

Elabore um gráfico de barras com os dados da tabela.

Número de pontos

6 Numa grande gincana da escola, a turma do 7º ano foi dividida em cinco equipes. No final, os dados com os nomes das equipes e a quantidade de pontos de cada uma foram 6. apresentados numa tabela, conforme a seguir: Resultado da gincana 80 70 60 50 40 30 20 10 0

os se eis eis eto cáv Amig possív Quint nstro hia o n M pa im Os com Equipe

O

to s in

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caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (OBM)

Qual é a menor diferença entre um número inteiro positivo de quatro algarismos e um número inteiro positivo de três algarismos, sendo todos os sete algarismos distintos? Alternativa e. a) 1 b) 13 c) 19 d) 29 e) 36 2 (Saresp) Leia a notícia abaixo: Uma onda de frio já causou 46 mortes nos últimos dias nos países da Europa Central. No centro da Romênia, a temperatura chegou a 232 8C na noite passada. No noroeste da Bulgária, a temperatura era de 222 8C e as ruas ficaram cobertas por uma camada de 10 cm de gelo. Foram registradas as marcas de 230 8C na República Tcheca e de 223 8C na Eslováquia.

Segundo a notícia, o país em que a temperatura estava mais alta é: Alternativa b. a) Romênia b) Bulgária c) República Tcheca d) Eslováquia

Editora Globo

Explorando Aritmética da Emília Autor: Monteiro Lobato Editora: Globo 128 páginas

Editora Jorge Zahar

Os artistas do País da Aritmética visitam a Turma do Sítio do Picapau Amarelo e se apresentam num circo organizado pelo Visconde de Sabugosa. Por meio de brincadeiras, eles apresentam diversos conceitos matemáticos, que são explicados minuciosamente pelo Visconde. Essa encantadora obra de Monteiro Lobato, escrita em 1935, recebe sua edição comentada, pois apesar de a Matemática continuar sendo a mesma, o método ensinado nas escolas sofreu alterações.

Mania de Matemática Autor: Ian Stewart Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges Editora: Jorge Zahar 208 páginas Mania de Matemática reúne uma variedade de desafios, enigmas e charadas, todos eles criados em torno de uma envolvente história ficcional. Por meio de situações do nosso cotidiano, o autor apresenta temas complexos de forma compreensível e interessante. As histórias aguçam a curiosidade do leitor, que sente vontade de descobrir logo a solução dos problemas apresentados. Cada capítulo traz um tema novo, com uma solução diferente, o que torna a leitura empolgante. Os assuntos não são aprofundados no livro, mas nele consta a fonte de pesquisa para quem quiser estudar por conta própria. A obra foi escrita pelo autor e professor britânico Ian Stewart, ativo pesquisador da Matemática e áreas afins.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Indique com V as alternativas verdadeiras e com F as falsas.

a) 27 é maior que 22. F b) O triplo de 23 é 29. V c) Qualquer número inteiro positivo é maior que qualquer inteiro negativo. V d) A metade de 210 é 25. V e) Qualquer número inteiro negativo é maior que zero. F f) O produto entre (27) e (12) é igual ao produto entre (22) e (17). V g) O produto entre dois números inteiros negativos resulta em um número negativo. F h) O produto entre zero e qualquer número inteiro será sempre igual a zero. V i) Ao multiplicarmos um número inteiro por (21), obtemos seu oposto. V 2 Usando os símbolos . e ,, compare os números inteiros. a) 24 b) 17

, 

2 0

c) 29 d) 15

, 



215 e) 210  f) 0 28

22 21

g) 19 h) 26



23 11

,

3 Observe os números inteiros representados por letras de A até F na reta numérica e responda às questões. B

C

0

1

D

E

F

1

a) Qual desses números inteiros é maior? 8 (indicado pelo ponto F) b) Qual é o menor? 26 (indicado pelo ponto A) c) Quais são simétricos? 2 e 22 (indicados, respectivamente, pelos pontos C e D) d) Escreva o número que apresenta maior módulo entre os que estão representados. 8 (indicado pelo ponto F) e 25 (indicados, respectivamente, pelos e) Escreva um par de números inteiros consecutivos. 26 pontos A e B) 23 f) Quais números inteiros existem entre os pontos D e E? 3, 4 e 5 4 Em um quadrado mágico, a soma em cada linha, coluna ou diagonal deve ser a mesma. Copie e complete com números inteiros como o modelo do quadrado mágico ao lado.

2

22 3 21

25

0

Ilustrações: Setup

A

24 11

5 Responda: a) Qual é o triplo de 27? 221 b) Qual é o dobro de 250? 2100 c) Quanto é a metade de uma dívida de 70 reais? É uma dívida de 35 reais. d) Qual é a terça parte de 260? 220 e) O que é maior: a metade de 240 ou o dobro de 211? A metade de 240: 220 . 222 f) O que é maior: o triplo de 225 ou a terça parte de 36? A terça parte de 36: 275 , 12

6 Sobre as operações com números inteiros, indique com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. a) Ao dividirmos um número negativo por outro positivo, o resultado será negativo. V b) A soma de dois números positivos resulta em um número negativo. F c) Na divisão e na multiplicação, se os sinais forem iguais, o resultado será positivo. V d) Na divisão e na multiplicação, se os sinais forem diferentes, o resultado será negativo. V 7 Identifique os números cujo módulo ou valor absoluto é: a) 12 112 e 212

b) 8 18 e 28

c) 31 131 e 231

d) 24 124 e 224

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8 Dê o simétrico ou oposto de: b) 213     c) 210     d) 11   e) 29   f) 23 a) 8      28 113 110 211 19 13 9 Com o auxílio de uma calculadora, descubra o saldo que ficou na conta-corrente após as movimentações indicadas na tabela.

O saldo ficaria negativo, pois 1730,20 1 (21 000) 5 2269,80

Qual seria o novo saldo se, no dia 20 de maio, fosse compensado um cheque de R$ 1.000,00?

10 O resultado da adição de dois números inteiros negativos: Alternativa d. a) pode ser um número inteiro positivo. b) pode ser igual a zero. c) sempre é um número positivo. d) é um número negativo.

Data

Movimentação

Valor (R$)

15/maio

Saldo anterior

184,50

15/maio

Saque

150,00

16/maio

Depósito em dinheiro

1.935,00

17/maio

Conta de telefone

237,40

17/maio

Cheque compensado

219,90

19/maio

Cheque compensado

462,00

19/maio

Saque

320,00

19/maio

Saldo atual

730,20

11 Determine o padrão da sequência e assinale a alternativa que indica corretamente o próximo número da sequência. Alternativa b. 25

a) zero

15

b) 5

5

c) 10

d) 15

12 Numa cidade, se a temperatura, às 6 horas da manhã, era de 210 °C e, ao meio-dia, era de 21 °C, então: Alternativa c. a) ela diminuiu 10 °C. b) ela diminuiu 9 °C.

c) ela aumentou 9 °C. d) ela aumentou mais de 10 ºC.

13 Qual é a alternativa que indica os sinais das operações que devem ser colocados para que a sentença a seguir seja verdadeira? Alternativa a. (110) a) 3 e 1

(21)

b) 3 e 3

(13) 5 (27) c) 4 e 2

d) 2 e 2

14 Observe e copie a tabela a seguir. Veja os valores de A e B e complete a tabela calculando os valores de A 1 B e de A 2 B. A

B

2450

900

2340

2200

150

500

550

250

190

230

2300

300

100

100

A1B

A2B

450

21 350

2540

2140

650

2350

500

600

160

220

0

2600

200

0

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10:08 AM

Registre no

caderno

15 Resolva os seguintes problemas:

a) Um submarino encontra-se a 220 metros de profundidade. Depois de algum tempo, está a 100 metros de profundidade. Ele subiu ou desceu? Quantos metros? Subiu 120 metros. b) O saldo de gols de um time de futebol no campeonato brasileiro é 210 gols. Quantos gols o time precisa fazer, sem tomar nenhum, para ficar com o saldo positivo de 10 gols? 20 gols c) Numa cidade da Serra Gaúcha, em uma manhã de inverno, a temperatura chegou a 24 °C às 6 horas. Ao meio-dia, a temperatura já estava em 12 °C. Quantos graus, nesse período, a temperatura da cidade subiu? 16 ºC Lucro da empresa

Lucro. R$ 2.300.000,00.

3.000

Setup

Lucro (em milhões de reais) 2.500

2.500 2.000 1.500

800

1.000

o nh

Mês

ju

ai o 500

m

ne

iro fe ve re iro

0 500

200

ab ril

300

500

m ar ço

1.000

ja

16 O gráfico ao lado representa o registro do lucro de uma empresa ao longo do primeiro semestre. Responda: a) Ao longo desse período, em que mês a empresa teve o maior lucro? Em janeiro. b) Em quais meses essa empresa teve prejuízo? Março e abril. c) Essa empresa teve lucro ou prejuízo ao longo do 1o semestre? Qual foi o valor?

1.000

1.500

17 Na pilha de retângulos a seguir estão escritos alguns números inteiros. Há um segredo que relaciona esses números de tal maneira que aquele que está na posição superior é resultado de uma operação matemática entre os números que vêm imediatamente abaixo. Copie a pilha, descubra qual é o segredo e preencha os retângulos que estão em branco. 48

8

26

24

2

3

1

2

2

18 Considere o lançamento simultâneo de dois dados. Os pontos obtidos devem ser multiplicados entre si. Considerando os números pares negativos e os números ímpares positivos, calcule o produto, se o resultado obtido for: a) 13 3 (22) 5 26 c) (24) 3 (13) 5 212

b)

15 3 (13) 5 115

d)

11 3 (15) 5 15

Ilustrações: Eduardo Belmiro

3

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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UNIDADE 2

Geometria: ângulos

Utilizamos o grau como unidade de medida de ângulo. Assim, podemos determinar, por exemplo, a inclinação de um telhado por meio da medida de um ângulo. A necessidade de efetuarmos medidas cada vez mais precisas levou à criação de subunidades do grau. Dessa forma, temos que 1º corresponde a 60' e 1' corresponde a 60".

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

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Clivewa / Shutterstock

1 Como podemos definir a medida 1' em relação ao grau? 2 Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo? 3 Como transformar uma medida de ângulo que está em minutos para graus?

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

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CAPÍTULO 7

Ângulos Em algumas situações, a palavra ângulo é usada no sentido de “ponto de vista”. Assim, quando uma pessoa diz “Veja por este ângulo”, ela está querendo reforçar que, embora existam diferentes formas de analisar determinado assunto, aquela “forma de ver” é que está sendo considerada. Em Matemática, particularmente na Geometria, ângulo tem um significado Respostas da próprio, no entanto está relacionado a diversas situações cotidianas. página anterior:

1 1. 1' 5  1° 60 2. 180° 3. medida em graus 5 medida em minutos 5 60

Pensando em futebol, quando o goleiro chuta a bola, o alcance dela depende da potência e do ângulo do chute, como representado na imagem ao lado. 60º

Eduardo Belmiro

Neste capítulo abordaremos ângulos, retomando inicialmente conceitos estudados no volume anterior.

30º

Registre no

CONEXÕES

caderno

olar Ártico

Zhukov Oleg/Shutterstock

© DAE/Sonia Vaz

Uma torre em Abu Dhabi é considerada o prédio mais inclinado do mundo. 0°

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

E U R O PA ÁSIA

Abu Dhabi

de Câncer

OCEANO

ÁFRICA

AMÉRICA

PACÍFICO Equador

OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO PACÍFICO

OCEANO ÍNDICO

OCEANIA

0°

N

Meridiano de Greenwich

de Capricórnio

O 0

3 117

6 234 km

L S

1 : 311 700 000

OCEANO GLACIAL Fonte: AtlasANTÁRTICO geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 32 e 33

olar Antártico

Capital Gate Tower, em Abu Dhabi, capital dos Emirados Árabes Unidos.

ANTÁRTICA

O Capital Gate Tower tem 160 metros de altura e uma inclinação de 18°, maior que a da Torre de Pisa na Itália. Recorde foi reconhecido pelo Livro Guinness.

Ilustrações: Eduardo Belmiro

Disponível em: . Acesso em: jan. 2015.

Agora vamos pesquisar! Será que existem outros prédios inclinados no mundo? Quais? Em que países estão esses prédios?

Exemplo de resposta: os prédios tortos na orla da praia de Santos.

Em dupla, faça uma pesquisa para descobrir o ângulo de inclinação e a localização geográfica (país) desses prédios.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

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Retomando a ideia de ângulos

Setup

Paulo César Pereira

Nosso planeta gira em torno de um eixo, e os raios solares chegam à superfície da Terra inclinados em relação a esse eixo. Esse é um exemplo que, de certa forma, relaciona-se ao conceito de ângulo. Na figura a seguir, a linha laranja representa um raio solar, enquanto a linha azul representa o eixo da Terra.

A linha vermelha nos dá a ideia de “abertura” do ângulo formado pela incidência do raio solar (linha laranja) em relação ao eixo da Terra (linha azul), ou seja, o ângulo formado entre o raio solar e o eixo do planeta. Ângulo é a região do plano determinada por duas semirretas e de mesma origem. Num ângulo, temos os seguintes elementos: Setup

• vértice: é o ponto O; A • lados do ângulo: são as semirretas wOA% e wOB%; • a região em laranja indica o menor ângulo formado por wOA% e wOB%; • a região em azul indica o maior ângulo formado por wOA% e wOB%; B B ou BO B A. • representação do ângulo formado por wOA% e wOB%: AO

B

O

Para determinar o ângulo que está sendo considerado, em geral, usa-se uma indicação (em B B. vermelho, na figura acima). Na figura, por exemplo, estamos considerando o menor ângulo AO

Observações: V

A abertura de um ângulo está relacionada à sua medida.

V

Quando dois ângulos têm a mesma abertura, dizemos que são ângulos congruentes. Exemplo:

F

C

B

E

D

Fotos: NRT/Shutterstock

Os ângulos AB BC e FB ED representados a seguir são congruentes. Para saber se dois ângulos são congruentes, verificamos se a abertura é a mesma. No caso a seguir, podemos notar que os dois ângulos medem 50° e que a localização das semirretas é diferente.

A

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

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Unidade de medida de ângulos Para medir ângulos, utilizamos uma unidade de medida chamada grau, que pode ser compreendida por meio de um círculo dividido em 360 arcos do mesmo tamanho. A cada uma das 360 partes em que o círculo é dividido corresponde um ângulo de medida 1°. Assim, uma volta completa é um ângulo de medida 360°.

rs toc k

O transferidor é um instrumento utilizado para medir ângulos. Observe, no transferidor a seguir, que cada um dos espaços entre dois tracinhos corresponde a um ângulo de medida 1°.

ut /Sh n rt

te

Observações: Para medir um ângulo com um transferidor, devemos executar os passos a seguir. V O centro do transferidor deve coincidir com o

vértice do ângulo. V Uma das semirretas deve ficar alinhada com o

ponto central e a marcação do ângulo de 0° do transferidor. Caso as semirretas não atinjam essa marcação, podemos prolongá-las com régua, por exemplo.

A

V A outra semirreta estará sobre a marca do ângulo a ser medido com o transferidor.

B C e DE B F, que medem 50° e 90°, respectivamente. Observe a seguir os ângulos AB

F

B

A

E

D

Fotos: NRT/Shutterstock

C

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

5/31/15 10:55 AM

Fotos: NRT/Shutterstock

De acordo com suas medidas, os ângulos podem ter as seguintes denominações:

• Ângulo raso — sua medida é 180°. Na figura ao lado, a abertura do ângulo formado pelas duas semirretas opostas de origem no ponto A indica um ângulo de medida 180°.

A

• Ângulo reto — sua medida é 90°. Observe ao lado a abertura do ângulo formado pelas duas semirretas de origem no ponto A. Temos um ângulo de medida 90°. O sinal

indica que o ângulo mede 90°.

A

• Ângulo obtuso — sua medida é maior que 90° e menor que 180°. Na figura ao lado, observe a abertura do ângulo formado pelas duas semirretas de origem no ponto A. Esse ângulo tem medida maior que 90° e menor que 180°, conforme indicado no transferidor.

A

• Ângulo

agudo — sua medida é menor que 90° e maior que zero.

Observe ao lado a abertura do ângulo formado pelas duas semirretas de origem no ponto A. É um ângulo de medida menor que 90°.

A

Registre no

caderno

DIVERSIFICANDO LINGUAGENS

2 4

Copie e complete o diagrama de palavras ao lado de acordo com as dicas dadas.

5 C

3

1. Nome do ângulo de medida 180°. raso 2. Nome do ângulo de medida 90°. reto

B

T

A

E

G

T

U

N

D

G

O

S

O

R

3. Nome do ângulo que tem medida entre 90° e 180°. obtuso

U E

4. Nome do ângulo que tem medida entre 0° e 90°. agudo 5. Denominação de dois ângulos com a mesma abertura. congruentes

O

R

N T E

1

R

A

S

O

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

Ilustrações: Setup

1 Com o auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo. Se achar necessário, prolongue as semirretas que formam os lados dos ângulos.

120° 25°



40°

Agora responda às questões a seguir. a) Quais ângulos são obtusos? Apenas o ângulo de medida 120°. b) Quais ângulos são agudos? Os ângulos de medidas 25° e 40°. 2 Usando régua e transferidor, construa os ângulos de acordo com as medidas dadas. a) 110°

Atividade de construção.

b) 75°

c) 60°

d) 95°

3 Para cada relógio, indique a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros. b)

c)

d) NRT/Shutterstock

a)

60°

120°

4 Identifique as afirmações verdadeiras.

150°

30°

Alternativas a e c.

a) Podemos dizer que o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 14 h é congruente ao ângulo formado às 10 h. b) Um ângulo agudo é maior que um ângulo reto. c) Ao traçarmos o diâmetro de uma circunferência, formamos dois ângulos de mesma medida. d) Ao prolongarmos as semirretas que formam um ângulo, aumentamos a medida dele. 5 (Saresp) Imagine que você tem um robô tartaruga e quer fazê-lo andar num corredor sem que ele bata nas paredes. Para fazer isso, você pode acionar 3 comandos: AVANÇAR (indicando o número de casas), VIRAR À DIREITA e VIRAR À ESQUERDA. Para que você acione de forma correta o comando, imagine-se dentro do robô. Seus comandos para que o robô vá até o final deverão ser: Alternativa a.

a) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2. b) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2. c) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2. d) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2.

final entrada

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Frações do grau

Vimos na unidade anterior que para localizar um objeto na superfície terrestre podemos partir da Linha do Equador (Norte-Sul) e do Meridiano de Greenwich (Leste-Oeste); dessa forma, teremos as “coordenadas” referentes à localização do referido objeto. 10°L

20°L 30°L 40°L 50°L

60°L 70°L

80°L 90°L

100°L 110°L 120°L 130°L 140°L 150°L 160°L 170°L 180°

©DAE/Sonia Vaz

180° 170°O 160°O 150°O 140°O 130°O 120°O 110°O 100°O 90°O 80°O 70°O 60°O 50°O 40°O 30°O 20°O 10°O 0° 90°N 80°N

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

70°N

Círculo Polar Ártico 60°N

E U R O PA

50°N 40°N 30°N

ÁSIA Trópico de Câncer

20°N

ÁFRICA

AMÉRICA

OCEANO PACÍFICO

10°N

0°

Equador

OCEANO PACÍFICO

10°S

OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO ÍNDICO

OCEANIA

20°S

Meridiano de Greenwich

Trópico de Capricórnio 30°S 40°S 50°S 60°S

N O S

OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO

Círculo Polar Antártico 70°S

0

ANTÁRTICA

80°S

L

2 834

5 668 km

1 : 283 400 000

90°S

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6 ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 80.

Mas será que, utilizando somente o grau como unidade de medida, teríamos a localização precisa desse objeto? Esse é um importante questionamento, pois na superfície terrestre a região correspondente a uma abertura equivalente a um grau representa uma grande área. Essas questões levaram ao surgimento dos submúltiplos dos ângulos. Considere um ângulo de medida 1°. Se o dividirmos em 60 partes, cada parte corresponderá a um minuto. 1 grau corresponde a 60 minutos, isto é, 1° 5 60'. Do mesmo modo, se dividirmos o ângulo de medida 1 minuto (1') em 60 partes iguais, cada uma dessas partes corresponderá a um segundo. 1 minuto corresponde a 60 segundos, isto é, 1' 5 60".

Observação: VV Dizemos que o minuto e o segundo são frações do grau, pois:

1'  1 ⋅ 1 60

3 3 600

1"  1 ⋅ 1' 60

Dependendo da medida do ângulo, muitas vezes é preciso usar uma notação mista para indicá-la. Assim, para indicar um ângulo de medida 7 graus, 48 minutos e 35 segundos, utilizamos a notação 7 ° 48' 35" (7 ° 1 48'1 35"). Essa notação também pode ser chamada de notação mista da medida de um ângulo.

3 60

3 60

grau

minuto 460

segundo 460

43 600

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Exemplo 1: 3° 5 180’ 5 10 800’’ Ou seja, 3 graus é igual a 180 minutos (3  60), que é igual a 10 800 segundos (180  60). Da mesma forma: 10 800’’ 5 180’ 5 3°. Ou seja, 10 800 segundos é igual a 180 minutos (10 800 ; 60), que é igual a 3° (180  60).

Exemplo 2: Transforme 4° 44' em segundos.

Resolução: Transformamos a medida em minutos e, depois, em segundos, ou seja: 4° 44'  4° 1 44' 4° 44'  4 ? 60' 1 44' 4° 44'  284' 4° 44'  284 ? 60" 4° 44'  17 040"

Exemplo 3: Passe para graus, minutos e segundos a medida 28 459".

Resolução:

• Dividimos a medida dada por 60 para determiná-la em minutos: Assim, 28 459" 5 474' 19".

28 459"

60

445

474

259 19

• Dividimos 474 por 60 para determinar a medida em graus: Assim, 474' 5 7° 54'. Portanto: 28 459" 5 7° 54' 19".

4749 60 54 7 Registre no

TRABALHO EM EQUIPE Em dupla, responda.

caderno

Professor, promova esta atividade de discussão coletiva para a turma perceber que tanto a medida de ângulo quanto a medida de tempo são sexagesimais.

1 Quantos minutos há em 1 de 1 hora? 1 minuto 60 2 Quantos segundos há em 1 de 1 minuto? 1 segundo 60 3 Uma partida de futebol tem 90 minutos. Como fica esse tempo em horas e minutos? 1 hora e 30 minutos

4 Um dia tem quantos minutos? 1 440 minutos 5 Uma hora tem quantos segundos? 3 600 segundos 6 Se 1 hora tem 60 minutos, quantos minutos há em 0,5 hora? 30 minutos 7 Há alguma semelhança entre medida de ângulo e medida de tempo? Resposta pessoal.

66 pom7_058_089_u02.indd 66

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Considere uma circunferência cuja volta completa representa um ângulo de 360°. Qual é a medida do ângulo representado por: 180° a) meia-volta? c) 1 de volta? 60° e) 1 de volta? 45° 6 8 d) 1 de volta? 180° b) 1 de volta? 90° f) 1 de volta? 36° 4 2 10 Ilustra Cartoon

2 Imagine uma pessoa caminhando. O que acontecerá se ela parar, der um giro de 90° à direita e depois outro giro de 90°, também à direita, e continuar caminhando?

Espera-se que o aluno perceba que, nesse caso, a pessoa passará a caminhar no sentido contrário àquele em que vinha caminhando.

3 Copie e complete a tabela a seguir. 2,5°

Graus

3°

1° 1,5° 2°

Minutos 60' 90'

4,5°

3,5° 4° 150' 180'

120'

5° 270'

240'

210'

300'

4 Transforme em minutos as medidas a seguir. a) 35° 2 100' b) 22° 44' 1 364' c) 45° 13' 2 713'

d) 56° 54' 3 414' e) 5,5° 330' f) 7° 420'

g) 15° 900' h) 22° 1 320'

5 Transforme em notação mista as medidas de ângulos representadas em segundos. a) 6 010" 1° 40' 10" b) 9 565" 2° 39' 25"

c) 7 230" 2° 30" d) 3 690" 1° 1' 30"

e) 4 540" 1° 15' 40"

6 As medidas abaixo estão escritas na forma mista. Escreva-as em segundos. a) 1° 14' 22" 4 462" b) 20° 24' 26" 73 466"

c) 6° 50' 40" 24 640" d) 10° 10' 10" 36 610"

7 Na figura ao lado estão representadas as divisões de um relógio. Para indicar as horas, fazemos 12 divisões e, para indicar os minutos, fazemos 60 divisões.

Eduardo Belmiro

a) Qual é a medida em graus correspondente a uma volta nessa circunferência? 360° b) Qual é a medida do menor ângulo formado pelas semirretas azuis? 30° c) Qual é a medida do menor ângulo formado pelas semirretas vermelhas? 6º 8 Observe um relógio e responda:

a) Quando o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, qual a medida do ângulo que ele descreve? 360º b) E qual é a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas quando o ponteiro grande dá uma volta completa? 30º

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?

BAGAGEM CULTURAL O que é

FUSO HORÁRIO Vimos até agora como os ângulos podem ser utilizados no cotidiano. Eles também ajudam a resolver grandes problemas. Até o final do século XIX, cada país estabelecia seu próprio horário, ou seja, independentemente dos demais países. Para organizar os horários, a superfície terrestre foi dividida em fusos geométricos para indicar quais regiões têm o mesmo horário.

Como foram calculadas as zonas horárias?

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

M

-2

-1

-180º|+180º

360º

São 8h no centro dos EUA. -45°

+45° -15°

0º +15°

MERIDIANO DE GREENWICH Vasilius/Shutterstock

A Terra demora, aproximadamente, 24 horas para completar uma revolução, isto é, girar 360° a cada dia. Dividindo 360° por 24 horas, descobrimos que nosso planeta gira cerca de 15° por hora. Por isso, cada faixa horária (ou cada hora do dia) é representada por seções de 15º e delimitada por meridianos. É a partir do meridiano de Greenwich que os outros meridianos são estabelecidos.

É meio-dia no Brasil.

Dia ou noite?

23º RAIOS SOLARES

Quando você almoça ao meio-dia, já é a hora do jantar para um indiano, e do japonês pôr pijama. A área mais clara no mapa indica as regiões iluminadas pelo Sol quando tudo isso acontece. O formato dessa área ocorre por causa da inclinação da Terra e de como os raios solares incidem em sua superfície.

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0

chetti/Corbis/ Lat Bian ins no to efa t ck S

Júlio Verne

O rico cavalheiro londrino Phileas Fogg aposta com os colegas que, graças à evolução dos transportes de sua época, conseguiria dar a volta ao mundo em 80 dias. Assim, cruza países com trens e navios, seguido pelo inspetor Fix, o qual acredita que Fogg roubou um banco. Pouco antes de chegar, Fogg é preso, o que o atrasa. Solto, pensa ter perdido a aposta, mas como viajava no sentido leste, ele retornou na verdade um dia antes do previsto, porque seu meridiano local ainda não havia dado 80 voltas completas.

MERIDIANO DE GREENWICH

0

+1

+2

+3

+4

A volta ao mundo em 80 dias, de Júlio Verne. Editora Melhoramentos.

LINHA INTERNACIONAL DE DATA

+5

+6

+7

+8

+9

+10

+11

Kiribati é um país formado por pequenas ilhas espalhadas numa grande área no Oceano Pacífico, abrangendo duas zonas horárias. Como algumas de suas ilhas estavam à direita da linha de data, o país era dividido em dias diferentes. Em 1995, os horários foram unificados pelo deslocamento da linha da data para leste, fazendo do local o ponto mais a leste do planeta, onde o sol nasce primeiro. Muita gente viajou para lá para ver os primeiros raios de sol do ano 2000, e o país lucrou com o turismo.

+12 +12 -12

É meia-noite no Japão.

São 20h na Índia.

Área ampliada LINHA INTERNACIONAL DE DATA

HAVAÍ

KIRIBATI FIJI TAHITI

TONGA AUSTRÁLIA

Carol Cavaleiro e Marcelo Stoppa

-1

NA LITERATURA

OCEANO ÍNDICO OCEANO PACÍFICO

NOVA ZELÂNDIA

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CAPÍTULO 8

Operações com medidas de ângulo Uma das ideias associadas ao conceito de ângulo é a de “mudança de direção”. Considere determinado percurso ao longo de um trajeto em forma de polígono, como sugere a figura a seguir. Saindo do ponto A, passando sucessivamente pelos pontos B, C, D, E e retornando ao ponto A, muda-se cinco vezes de direção. Objeto educacional digital

D

C

B

Setup

E

A

Se soubermos as medidas dos ângulos correspondentes às mudanças de direção feitas acima, ao adicioná-las, chegaremos ao resultado de 360°. Esse é apenas um exemplo em que é preciso efetuar operações entre medidas de ângulos.

Adição e subtração de ângulos

NRT/Shutterstock

Com o auxílio de um transferidor, Lucas mediu determinado ângulo representado em seu caderno, obtendo a medida aproximada de 27,5°. Então, ele indicou a medida de outro ângulo que seria necessário para compor um ângulo reto.

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Embora Lucas pudesse determinar a medida desse novo ângulo observando o transferidor, ele optou por fazer a seguinte operação entre medidas: 90° 2 27,5° 5 62,5° 5 62° 30' Nessa situação, foi efetuada uma subtração de medidas de ângulos. Para verificar se a subtração está correta, utilizamos a adição: 62° 30'1 27° 30' 5 62° 1 27° 1 30' 1 30'  89° 1 60' 5 89° 1 1° 5 90° Para adicionar ou subtrair medidas de ângulos, adicionamos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Em alguns casos, quando adicionamos ou subtraímos medidas de ângulos, é necessário, no final, fazer a simplificação para a forma mista. Observe os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Calcule: 33° 42' 49" 1 59° 35' 36".

Resolução: 33° 42' 49" 1 59° 35' 36" 92° 77' 85" Vamos simplificar, considerando que 1° 5 60' e que 1'5 60": 92° 77' 85" 5 92° 1 77' 1 85" 92° 77' 85" 5 92° 1 60' 1 17' 1 60" 1 25" 92° 77' 85" 5 92° 1 1° 1 17' 1 1' 1 25" 92° 77' 85" 5 93° 1 18' 1 25" 92° 77' 85" 5 93° 18' 25" Portanto: 33° 42' 49" 1 59° 35' 36" 5 93° 18' 25".

Exemplo 2: Obtenha a medida do ângulo correspondente ao resultado da subtração: 98° 43' 2 29° 15' 44".

Resolução: Observe que, nesse caso, é preciso inicialmente fazer uma transformação para que o resultado seja em graus, minutos e segundos: 98° 43' 229° 15' 44" Transformamos para subtrair: 98° 43' 5 98° 1 42' 1 1' 5 98° 1 42' 1 60" 5 98° 42' 60". 98° 42' 60" 2 29° 15' 44" 69° 27' 16" Portanto: 98° 43' 2 29° 15' 44" 5 69° 27' 16".

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90°, dizemos que eles são complementares. Nos itens a seguir, escreva a medida do ângulo complementar aos ângulos indicados. a) 25°

b) 56°

65°

c) 84°

34°

d) 22,5°

6°

67,5°

e) 7,5°

82,5° Zubartez

2 No quadro da figura ao lado, está indicada a adição das medidas de dois ângulos. a) A medida resultante é maior que 10°? Sim. b) É menor que 11°?

Não.

Essa medida pode ainda ser c) transformada em graus, minutos e segundos? Como ficará? Sim, pode ser transformada em 11° 6' 6".

3 Efetue as adições de medidas de ângulos indicadas. a) 22° 45' 1 46° 25' 69° 10' b) 90° 15' 20" 1 54° 32' 77" c) 62° 59' 28" 1 33° 39' 46"

144° 48' 37" 96° 39' 14"

d) 40° 55' 50" 1 60° 40' 30" 101° 36' 20" e) 32° 35' 12" 1 46° 25' 7" 79° 19" f) 48° 45' 10" 1 34° 52' 27" 83° 37' 37"

4 Calcule as medidas correspondentes aos resultados das subtrações a seguir. a) 92° 50' 55" 2 40° 37' 15" 52° 13' 40" b) 41° 18' 30" 2 26° 53' 47" 14° 24' 43" c) 102° 59' 56" 2 60° 44' 16" 42° 15' 40"

d) 35° 22' 43" 2 24° 51' 40" 10° 31' 3" e) 82° 40' 45" 2 40° 37' 15" 42° 3' 30" f) 91° 8' 40" 2 26° 3' 47" 65° 4' 53"

Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Observe no quadro a seguir as coordenadas geográficas de algumas capitais brasileiras: Capital

Latitude

Longitude

Belo Horizonte

219° 55’ 15’’

243° 56’ 16’’

São Paulo

223° 32’ 51’’

246° 38’ 10’’

Salvador

212° 58’ 16’’

238° 30’ 39’’

Curitiba

225° 25’ 40’’

249° 16’ 23’’

Fortaleza

203° 43’ 02’’

238° 32’ 35’’

Fonte: . Acesso em: jan. 2015.

Repare que, nessas cidades, o valor da latitude e o da longitude são negativos. Elabore com um colega uma justificativa para esse fato observando o mapa-múndi.

72

Espera-se que o aluno perceba que isso se deve à localização do Brasil no mapa-múndi, que está abaixo da Linha do Equador e à esquerda do Meridiano de Greenwich, ou seja, em quadrante com latitude e longitude negativas. Se for do interesse é possível buscar cidades em outros quadrantes, por exemplo, uma cidade na Noruega terá latitude e longitude positivas.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

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Multiplicação e divisão por um número natural Vamos considerar que, num determinado percurso, as mudanças de direção tenham sempre a mesma medida, como sugere a figura a seguir, em que o percurso é feito ao longo de um octógono regular. F

G

D

DAE

E

45° 135° H

C

A

B

Como todas as mudanças de direção nesse caso correspondem ao ângulo de medida 45°, para obter a soma desses ângulos, podemos efetuar uma multiplicação: 45° 1 45° 1 45° 1 45° 1 45° 1 45° 1 45° 1 45° 5 5 8  45° 5 360° De modo semelhante, se desejamos saber qual é o ângulo correspondente a cada mudança de direção, devemos efetuar a divisão de 360° pelo número de mudanças feitas: 360° 40°

8 45°

0° Perceba que um dos ângulos internos do polígono acima tem medida 135°. Como o polígono regular tem todos os seus ângulos internos com a mesma medida, podemos calcular a soma de seus ângulos internos por: 135°  8 5 1 080° De forma análoga, caso conhecêssemos a soma dos ângulos internos, poderíamos descobrir a medida de cada um deles pela divisão: 1 080°  8 5 135° E se as medidas dos ângulos forem representadas por graus, minutos e segundos, como proceder para multiplicá-las ou dividi-las por um número natural? Para multiplicar (ou dividir) a medida de um ângulo por um número natural, devemos multiplicar (ou dividir) os graus, minutos e segundos por esse número.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

5/26/15 10:06 AM

Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Em parceria com um colega, faça a operação a seguir e depois compartilhe com a turma as estratégias utilizadas. 72° 192’ 204’’  6 12° 32’ 34” Alguma outra dupla realizou os mesmos procedimentos que vocês? A seguir, verifique nos exemplos apresentados uma possibilidade de resolução.

Exemplo 1: Obtenha o produto de 12° 32' 34" pelo número 6.

Resolução: 12° 32' 

34" 6

72° 192' 204" Efetuando as transformações necessárias: 72° 192' 204" 5 72° 1 180' 1 12' 1 180" 1 24" 72° 192' 204" 5 72° 1 3 ? 60' 1 12' 1 3 ? 60" 1 24" 72° 192' 204" 5 72° 1 3° 1 12' 1 3' 1 24" 72° 192' 204" 5 75° 1 15' 1 24" 72° 192' 204" 5 75° 15' 24" Portanto, temos: 6 ? 12° 32' 34" 5 75° 15' 24".

Exemplo 2: Calcule o quociente da divisão de 45° 15' 32" por 2.

Resolução: Inicialmente, dividimos a medida em graus por 2: Como 1° 5 60', adicionamos a 15' (60'1 15' 5 75') e dividimos essa medida por 2:

45° 2 44° 22° 1° 1° 60' 1 15' 5 75'

75' 2 74' 37' 1' 1' 60" 1 32" 5 92"

Transformando 1' em 60", adicionamos esse resultado a 32" e continuamos dividindo: Portanto: (45° 15' 32")  2 5 22° 37' 46".

92" 2 92" 46" 0

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Efetue a seguir as multiplicações de medidas de ângulos por números naturais. a) 3  (22° 22' 22")

67° 7' 6"

e) 7  (12° 12' 12")

85° 25' 24"

b) 5  (43° 12' 14")

216° 1' 10"

f) 4  (41° 11' 31")

164° 46' 04"

c) 8  (35° 42' 37")

285° 40' 56"

g) 5  (12° 52' 47")

64° 23' 55"

h) 9  (18° 20' 22")

165° 03' 18"

d) 10  (13° 23' 43")

133° 57' 10"

2 Divida as medidas de ângulos seguintes por números naturais. a) (42° 12' 22")  2

21° 6' 11"

c) (160° 44' 48")  4

b) (48° 54' 21")  3

16° 18' 7"

d) (55° 5' 25")  5

40° 11' 12"

11° 1' 5"

NRT/Shutterstock

3 Com o auxílio de transferidor e compasso, Mário construiu, no caderno, um ângulo de medida igual a 120°. Depois, com uma linha tracejada, marcou uma semirreta para indicar parte desse ângulo, conforme figura ao lado. a) Qual é a medida do menor ângulo? 20° b) Para obter essa medida, é necessário dividir 120° por qual número natural? Por 6. c) Qual é a medida correspondente a 1 de 120°? 12° 10 d) E a medida correspondente a 1 de 120°? 5° 24

E

D

a) Qual é a medida de cada ângulo indicado pela letra x? 72° b) Dividindo cada ângulo indicado pela letra x por 4, qual é a medida do ângulo resultante? 18° c) E se a medida do ângulo x fosse dividida por 10, qual seria a medida do ângulo obtido? 7,2°

x

A

x

x

x x

C

Ilustrações: Setup

4 Podemos dividir uma circunferência em partes iguais. No centro da circunferência ao lado, a medida 360° foi dividida em partes iguais.

B

5 Os pontos indicados na circunferência ao lado estão igualmente espaçados. As duas semirretas desenhadas têm origem no centro da circunferência e passam por dois pontos consecutivos. a) Qual é a medida do menor ângulo formado por essas duas semirretas? 18° b) Dividindo a medida do menor ângulo formado por essas duas semirretas por 4, qual é a medida que obtemos? 4,5° 5 4° 30' 6 Calcule a medida que se pede. a) 1 de 7° 2

3,5° 5 3° 30'

b) 1 de 27° 4

c) 1 de 60° 21' 48" 3 20° 07'16"

6,75° 5 6° 45'

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CAPÍTULO 9

Ângulos e retas Paula Radi

ias

rá

R. Aimo

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Br Av.

m

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R. Pern

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Região N. Sra. da Boa Viagem

R. Cea

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Praça Oswaldo de M. Campos

Av. Ca ran

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Praça Levi C. da Rocha

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Parque Municipal Américo Renné Gianne

R. Alago

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R. Para o Preto R. Our

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Praça Raul Soares

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R. dos

Av. d o s A

Centro

Bi Av.

catu

Para nos situarmos numa grande cidade, utilizamos mapas. Neles, localizamos praças, parques e ruas, como no exemplo abaixo.

Mapa de parte da cidade de Belo Horizonte, MG.

Nesse mapa é possível observar os cruzamentos de diversas ruas. Algumas dessas ruas são como retas que, ao se cruzarem, formam ângulos de 90° ou ângulos diferentes. Assim, por exemplo, a Av. Álvares Cabral forma ângulo de 90° com a Av. Bias Fortes. Agora observe no mapa o cruzamento entre a Av. Carandaí e a Av. Brasil: o ângulo entre elas tem medida inferior a 90°. Se representarmos essas avenidas por retas, teremos a ideia do cruzamento e do ângulo entre elas, conforme o desenho abaixo. Além disso, observe que existem quatro ângulos formados por essas retas.

Neste capítulo abordaremos as posições entre retas, ampliando nosso estudo sobre ângulos.

76 pom7_058_089_u02.indd 76

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Classificação de ângulos No início desta unidade vimos as definições de ângulo agudo, ângulo obtuso, ângulo raso e ângulo reto. Além delas, existem outras noções importantes a respeito de ângulos.

• Ângulos adjacentes

Ilustrações: Setup

B B e BO B C, que têm em comum o vértice Na figura a seguir vamos considerar os ângulos AO O e o lado OB. Observe que eles estão destacados com cores diferentes e não têm pontos internos em comum. São chamados ângulos adjacentes.

C

B

O

Dois ângulos são adjacentes quando têm em comum o vértice e um dos lados, porém não têm pontos internos em comum.

A

B B e a semirreta OM, que divide o ângulo Considere o ângulo AO em dois ângulos adjacentes. Se a semirreta o divide em dois B B. ângulos de mesma medida, ela é denominada bissetriz de AO

A O

M

bissetriz

B

• Ângulos complementares

B B e BO B C indicados na figura a seguir formam um ângulo reto, isto Os ângulos adjacentes AO é, um ângulo de medida 90°. Quando isso ocorre, dizemos que os ângulos são complementares. A medida do ângulo complementar a x pode ser representada como 90° 2 x. A

Dois ângulos adjacentes são ditos complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

B

C

x O

• Ângulos suplementares

B C e CO B B formam um ângulo raso, Conforme a figura seguinte, os ângulos adjacentes AO isto é, um ângulo de medida 180°. Dizemos que são ângulos suplementares. A medida do ângulo suplementar a x pode ser representada como 180° 2 x. C

x

A

Dois ângulos adjacentes são ditos suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

B

O



77 pom7_058_089_u02.indd 77

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Exemplo:

x

Ilustrações: Setup

Na figura a seguir, qual é a medida do ângulo indicado pela letra x?

70°

Resolução: Como o ângulo de medida x e o ângulo de medida 70° formam um ângulo raso, dizemos que são suplementares. Dessa forma:

x 1 70° 5 180°

ou

180° 2 70° 5 x

x 5 110°

x 5 110°

Registre no

TRABALHO EM EQUIPE

caderno

Professor, conduza as atividades em trio.

1 Um avião, ao levantar voo, forma com o solo um ângulo Åg de medida 3° 18’ 35’’.

Calculem o valor do ângulo Åh, representado na figura a seguir, sabendo que os ângulos Åg e Åh são adjacentes e suplementares. 176° 41’ 25’’ As medidas representadas não são as reais

Åh

Åg

solo

2 Sem usar o transferidor, determinem o ângulo desconhecido nos itens seguintes. a) 20°

b) 20°

160° x

c) 25°

65°

d) 55° x

x

125°

70° x

Ilustrações: DAE

3 Dentre as diversas placas de trânsito, algumas indicam advertência. Veja os exemplos:



Podemos associar cada placa acima a ângulos suplementares. Assim, faça o que se pede nos itens a seguir. a) Desenhe os ângulos suplementares relativos a cada placa. b) Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. I. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser retos. V II. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser agudos. F III. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser obtusos. F IV. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser um agudo e o outro obtuso. V c) Escreva duas medidas de ângulos adjacentes e suplementares, sendo um deles agudo.

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CONEXÕES Podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou até mesmo dividir medidas de ângulos. Quando conhecemos a medida de um ângulo e a dividimos por 2, obtemos dois outros ângulos de mesma medida. A semirreta que divide esse ângulo ao meio é chamada de bissetriz do ângulo.

Bissetriz

Ilustração: Setup

Construção de bissetriz

 

O

Se utilizarmos instrumentos de desenho, podemos construir geometricamente a bissetriz de um ângulo dado. Para tanto, basta considerar as etapas seguintes.

• Com a ponta-seca do compasso no

vértice e uma abertura qualquer, trace um arco de circunferência, de modo que corte as semirretas que formam o ângulo. Marque os pontos A e B na intersecção desse arco com as semirretas.

B

O

arco de circunferência

ponta-seca

A

• Abra o compasso de modo que a

abertura seja maior que a metade do arco AB. Com a ponta-seca em A, trace um arco na região interna do ângulo. Usando a mesma abertura, repita o procedimento, mas com a ponta-seca em B. A intersecção desses dois arcos determina um ponto. Vamos nomeá-lo C.

B

B

origem no vértice do ângulo e que passe pelo ponto C. Essa semirreta divide o ângulo AÔB em dois ângulos congruentes (de mesma medida).

C

O

A

Ilustrações: Eduardo Belmiro

A

• Construa uma semirreta com

TRABALHO EM EQUIPE

C

O

Registre no

caderno

Professor, conduza as atividades em duplas.

1 Agora que vocês já viram como traçar uma bissetriz utilizando régua e compasso, construam o ângulo de 60° e encontrem sua bissetriz. Exercícios de construção. 2 Com o auxílio do transferidor, verifiquem se a construção está correta.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Indique as afirmações verdadeiras. Alternativas a e d. a) O ângulo complementar de um ângulo de 45° também tem medida 45°. b) O ângulo complementar de um ângulo de 32° tem medida menor que 32°. c) O dobro do ângulo complementar de um ângulo de medida 20° é um ângulo agudo. d) O dobro do ângulo suplementar de um ângulo de medida 160° é um ângulo agudo. 2 Indique a medida do ângulo complementar dos ângulos a seguir. a) 33°

57°

b) 12°

c) 25,5°

78°

d) 39°

64,5°

51°

3 Determine a medida do ângulo suplementar dos ângulos a seguir. a) 40°

140°

b) 32,5°

c) 33° 33'

147,5°

d) 162,3°

146° 27'

17,7°

4 Observe os três ângulos indicados na figura ao lado. a) Qual é o ângulo adjacente ao ângulo a?  b) Qual é o ângulo adjacente ao ângulo ? Pode ser a ou b. c) Adicionando a 1 , obtemos um ângulo agudo ou um ângulo obtuso? Obtuso. d) Adicionando b 1 , obtemos um ângulo agudo ou um ângulo obtuso? Obtuso. e) Qual é a soma das medidas dos três ângulos indicados? 180°

  

5 Com o auxílio de um transferidor, podemos obter a medida do ângulo indicado em vermelho na imagem ao lado.

NR T/ S t hu

ck sto ter

a) Qual é a medida do ângulo indicado? 67° b) Qual é a medida do ângulo complementar a ele? 23° c) Qual é a medida do ângulo suplementar a ele? 113°

B C e CB B D são suplementares. Um deles tem o triplo da medida do 6 Os ângulos adjacentes AB outro. Quais são as medidas desses ângulos? 135° e 45° A

B

D x

3x C

7 Na figura ao lado, os ângulos a e b são complementares. Responda às questões.



Ilustrações: Setup

a) Se um deles tem medida igual a 20°, qual é a medida do outro? 70° b) Se um deles tem o dobro da medida do outro, quais são as medidas dos dois ângulos? 30° e 60°



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Ângulos entre retas Rita Barreto

Dizemos que duas retas são coplanares quando estão no mesmo plano. Por exemplo, se desenhamos duas retas numa folha de papel apoiada numa mesa, a folha nos dá a ideia de plano. Vamos retomar alguns conceitos estudados no volume anterior, a respeito da posição entre duas retas que são coplanares. Com base neles, observaremos os ângulos formados por essas retas.

• Retas paralelas Observe as retas r e s representadas a seguir. Elas não têm ponto em comum. Quando isso ocorre com duas retas coplanares, dizemos que elas são paralelas.

Duas retas coplanares que não têm ponto em comum são denominadas paralelas. r

    

s

Exemplo: Observe as duas retas construídas pelo prolongamento de dois lados opostos de um losango. São exemplos de retas paralelas.

• Retas concorrentes

r P s

Ilustrações: Setup

As retas r e s, representadas a seguir, têm apenas um ponto em comum. Dizemos que elas se interceptam no ponto P ou, em outras palavras, elas são concorrentes no ponto P.

Duas retas que têm um único ponto em comum são concorrentes.

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Observações: VV Duas retas que são concorrentes formam, entre si, dois ângulos suplementares, isto é, ângulos cujas medidas

somam 180°, conforme a figura abaixo. r

s

P

VV Quando duas retas concorrentes formam quatro ângulos retos, dizemos que essas retas são

perpendiculares.

Essas noções sobre retas concorrentes e paralelas você já estudou no volume anterior desta coleção. Nas duas observações acima, ampliamos um pouco mais esse estudo, considerando o ângulo formado por retas concorrentes. Considere agora a seguinte figura formada por duas retas concorrentes no ponto P: r P s

O ponto P é chamado de vértice dos quatro ângulos formados por duas retas concorrentes. Observe os ângulos indicados pela mesma cor na figura acima, eles são opostos pelo vértice.

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais. Na figura ao lado, os ângulos indicados em azul são opostos pelo vértice. Note que as medidas estão representadas pelas letras gregas  e . Justificamos que tais medidas são iguais considerando que:







Ilustrações: Setup

Observações:

VV os ângulos  e  são suplementares (formam um ângulo raso). Assim:



a 1  5 180°

VV os ângulos b e  são suplementares (formam um ângulo raso). Assim:

b 1  5 180° Logo, temos que: a15b1 a5b

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Os ângulos indicados na figura a seguir são opostos pelo vértice. Que relação existe entre as medidas dos ângulos e essa característica? A  B e C  D. Ângulos OPV são congruentes. D A

r B

C

2. Em todos os itens, a soma dos ângulos é igual a 90°. Medidas: a) 70° e 20°; b) 45° cada; c) 45° cada; d) 75° e 15°.

s

2 Meça com o transferidor os ângulos indicados nas figuras e some-os. a)

b)

c)

d)

3 Meça com o transferidor os ângulos indicados nas figuras e some-os. b)

c)

d)

Ilustrações: Setup

a)

3. Em todos os itens, a soma dos ângulos é igual a 180°. Medidas: a) 150° e 30°; b) 20° e 160°; c) 105° e 75°; d) 15° e 165°.

4 Na figura abaixo estão representadas 3 retas e indicados 8 ângulos. G F

H C

E B

D A

a) Escreva pares de ângulos que são opostos pelo vértice. A e C; B e D; E e G; H e F. b) Escreva pares de ângulos que são adjacentes e suplementares. A e B; B e C; C e D; D e A; E e F; F e G; G e H; H e E.

5 A letra x está indicando a medida de um ângulo desconhecido nas figuras seguintes. Determine essa medida. a)

60°

b) 121°

60°

x

59°

x

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Registre no

caderno

6 Resolva os problemas a seguir.

Ilustrações: Setup

a) Quanto mede um ângulo que tem a mesma medida de seu complemento? 45° b) Um ângulo tem a metade da medida de seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo? 60° c) A medida de um ângulo é tal que o dobro da medida de seu complemento é 16°. Qual é a medida desse ângulo? 82° d) Considere que um ângulo é tal que o triplo da medida de seu suplemento é 90°. Qual é a medida desse ângulo? 150° e) No quadrado ao lado, as linhas tracejadas indicam as diagonais. Qual é a medida do ângulo formado por elas? 90° 45°

7 Responda às questões. a) Qual é a relação entre as medidas de dois ângulos que são complementares? A soma de suas medidas é 90°. b) Qual é a relação entre as medidas de dois ângulos que são suplementares? A soma de suas medidas é 180°. c) A bissetriz de um ângulo reto o divide em dois ângulos de mesma medida. Qual é essa medida? 45° d) Se um ângulo tem medida 35°, qual é a medida de um ângulo oposto a ele pelo vértice? 35° 8 Copie a tabela e complete-a com as medidas dos ângulos que faltam. Ângulo A 32° 45° 60°

66° 2° 80°

Complementar de A

Suplementar de A

58°

148°

45° 30° 24°

88° 10°

135°

120° 114° 178°

100°

9 Desenhe, com o auxílio de transferidor e régua, duas retas concorrentes que formam um ângulo de 55°. Depois responda: Quais são as medidas dos quatro ângulos formados por essas retas? 55° e 125° 10 Na figura a seguir, as letras x, y, z e w representam as medidas dos ângulos formados por duas retas concorrentes. Estabeleça uma relação entre as medidas abaixo. a) x e z x 5 z b) x e y x 1 y 5 180° c) x e w x 1 w 5 180° d) y e w y 5 w e) y e z y 1 z 5 180°

w x

z y

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TECLA_MATEMÁTICA Você já desenhou um quadrado? O que aconteceria com essa forma se pudéssemos prolongar dois de seus lados? E se pudéssemos movimentar os vértices de um triângulo, a fim de perceber suas propriedades? Existem softwares, chamados de “geometria dinâmica”, que possibilitam a construção e a manipulação de uma figura geométrica na tela do computador. Um deles é o GeoGebra. O GeoGebra é um software livre, isto é, pode ser baixado sem custo algum.

Fernanda Gomes

Na tela de abertura do GeoGebra estão localizados os botões das ferramentas disponíveis – para acioná-las utilizaremos o mouse.

Fernanda Gomes

Observe os botões na barra de ferramentas e levante hipóteses sobre a finalidade de cada um. Em seguida, clique em cada opção e veja as descrições que aparecem. Suas hipóteses estavam próximas às descritas em cada uma delas?

85 pom7_058_089_u02.indd 85

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Fernanda Gomes

Para facilitar nossa comunicação, vamos nomear cada um dos botões de 1o a 12o, da esquerda para direita.

Agora é sua vez! Em duplas ou trios, resolvam as atividades a seguir. 1 Utilizem o 2o botão (novo ponto) e marquem os pontos A, B e C na tela. 2 Construam o triângulo ABC utilizando o 5o botão (polígono). Para isso, antes de clicar, leiam as instruções que aparecem quando vocês posicionam o cursor do mouse em cima do botão. 3 Utilizando o 1o botão (mover), movimentem os vértices do triângulo. O que vocês acham que acontece com os ângulos internos desse triângulo quando movimentamos os vértices?

Alexandre Dotta

4 Determinem a medida dos ângulos internos do triângulo utilizando o 8o botão (ângulo). Se acharem conveniente, nesse momento, utilizem uma calculadora para averiguar a soma das medidas dos ângulos. Qual é o valor da soma das medidas desses ângulos? Observem que a medida dos ângulos encontra-se na janela de álgebra.

5 Continuem movimentando os vértices e observem a soma das medidas dos ângulos internos. O que vocês perceberam? O que é possível concluir com essa experimentação?

86

Espera-se que os alunos percebam que, por mais que eles movam os vértices do triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos sempre será 180°.

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Registre no

caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (Unicamp-SP)



Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º.  1 h e 24 minutos

2 (Saresp)



As retas r, s e t interceptam-se num mesmo ponto, formando ângulos que medem 32°, 50°, x, y etc. t

r x

50° 32°

s

y



A soma de x + y é igual a: Alternativa a. a) 130° b) 128°

c) 120°

d) 118°

3 (OBM) Todo relógio analógico tem pelo menos dois ponteiros: um para mostrar a hora e outro mais comprido para mostrar o minuto. Joãozinho percebeu que esses ponteiros às vezes ficam alinhados, opostos ou então sobrepostos, como na figura. Quantas vezes isto acontece entre as 7 horas da manhã de um dia até as 7 horas da manhã do dia seguintes? Alternativa b.

Hal_P/Shutterstock



a) 40

b) 44

c) 45

d) 46

e) 47

Editora Zastras

Explorando Mansão dos labirintos Autor: David Glover Editora: Zastras 48 páginas Esse livro faz parte da coleção Aventuras matemáticas e foi criado para ser lido de forma diferente. As pistas aparecem numa sequência maluca e, para desvendar a trama, o leitor precisa resolver jogos matemáticos que envolvem figuras, sólidos, espaços e medidas. Se errar alguma etapa, a sequência o levará à explicação do problema e ao caminho certo da aventura.

87 pom7_058_089_u02.indd 87

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RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Na figura a seguir, b representa a medida de cada um dos seis ângulos congruentes obtidos pela divisão de um ângulo raso.

5 Determinando a medida do ângulo x indicado na figura a seguir, obtemos: Alternativa a.

Alternativa b.

x 32° 

a) 116° A medida do ângulo indicado por b é: a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° 2 Um ângulo raso foi dividido em seis ângulos de mesma medida, na figura a seguir. O ângulo destacado compreende quatro dessas medidas e corresponde a:

b) 112°

c) 128°

d) 232°

Atenção! A figura a seguir deverá ser utilizada para as questões 6 e 7.

Alternativa d.

D

k

a) 90°

b) 100°

c) 110°

d) 120°

3 Em relação ao mesmo ângulo raso, assinale a alternativa que indica corretamente a medida do ângulo destacado na figura a seguir. Alternativa c.

c) 150°

y

B

6 Determine a alternativa que indica corretamente a soma das medidas x 1 y, conforme figura anterior. Alternativa d. a) 90°

Ilustrações: Setup

b) 120°

O z

C

b) 120°

c) 150°

d) 180°

7 Se a medida k for 40°, é correto afirmar que a medida y será: Alternativa a. a) 40°

a) 100°

A

x

d) 160°

4 Em relação ao ângulo indicado na figura a seguir, é correto afirmar que: Alternativa b.

b) 140°

c) 90°

d) 180°

8 Considerando que a 5 35° 25' 18" e b  27° 41' 32", é correto afirmar que: Alternativa a.

a) a 2 b 5 7° 43' 46" b) a 2 b 5 7° 42'  46" c) a 2 b 5 7° 43' 45" d) a 2 b 5 7° 42' 42" 9 Considerando que a 5 35° 25' 18" e b 5 27° 41' 32", é correto afirmar que: a) a 1 b 5 67° 43' 50" b) a 1 b 5 63° 6' 40" c) a 1 b 5 63° 6' 50" d) a 1 b 5 63° 26' 50"

a) é um ângulo reto. b) é um ângulo agudo. c) é um ângulo obtuso. d) é um ângulo raso.

Alternativa c.

88 pom7_058_089_u02.indd 88

APOEMA MATEMÁTICA 7

A

5/26/15 10:07 AM

Registre no

caderno

11 Transforme em notação mista as medidas de ângulos representadas em minutos. a) 500' 8° 20' b) 625' 10° 25' c) 3 121' 52° 1' d) 4 226' 70° 26' e) 5 000' 83° 20' 12 Se a medida de um ângulo a é igual a 34° 12' 45", a medida do ângulo complementar de a é: Alternativa d. a) 54° 47' 55" b) 55° 48' 15" c) 54° 12' 45" d) 55° 47' 15"

a) 44°

1 60

b) 43°

c) 65°

d) 53°

c) 64°

d) 54°

16 Assinale a alternativa que indica corretamente a medida do menor ângulo, representado pelas semirretas que têm origem no centro do relógio a seguir:

Eduardo Belmiro

a) Um ângulo de medida 6° tem quantos minutos? 360 minutos b) Um ângulo de medida 0,5° tem quantos minutos? 30 minutos c) Um ângulo de medida 1' tem quantos segundos? 60 segundos d) Um ângulo de medida 0,5' tem quantos segundos? 30 segundos e) Que fração do minuto equivale a 1 se1 gundo? 60 f) Que fração do grau equivale a 1 minuto?

15 O triplo da medida do complemento de um ângulo é igual a 111°. Então, a medida desse ângulo é: Alternativa d.

Alternativa d.

a) 45°

b) 44°

17 Às duas horas exatamente, o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio tem medida 60°. Assinale a alternativa que indica outro horário em que o ângulo formado pelos ponteiros também é 60°. Alternativa c. a) 16 horas b) 9 horas e 50 minutos c) 22 horas d) 14 horas e 20 minutos

13 A medida do suplemento do complemento de um ângulo cuja medida é 65° 30' é: Alternativa b.

a) 65° 30' b) 155° 30' c) 55° 30' d) 145° 30'

18 Na figura abaixo, as semirretas azuis representam os lados de dois ângulos que são adjacentes e complementares. As semirretas tracejadas vermelhas são as bissetrizes desses dois ângulos. Determine a medida do ângulo formado por essas duas bissetrizes. 45°

b) 98°, 98° e 22°

Ilustração: Setup

14 Duas retas que são concorrentes formam quatro ângulos, sendo que um deles tem medida 112°. Assinale a alternativa que indica corretamente as medidas dos outros três ângulos. Alternativa a. a) 68°, 68° e 112°

Eduardo Belmiro

10 Responda às questões a seguir.

c) 112°, 68° e 12° d) 62°, 62° e 118°

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APOEMA MATEMÁTICA 7

A

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UNIDADE 3

Números racionais A divisão entre dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro. Sendo assim, é necessária outra ampliação do campo numérico com a criação do conjunto dos números racionais. Um número racional pode ter a escrita fracionária ou a escrita decimal.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

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KTS/Dreamstime.com

1 O que é um número racional? 2 Como podemos representar, na forma fracionária, o número racional 0,02? 3 Todo número natural é racional?

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

CAPÍTULO 10

Números racionais Miflippo/Dreamstime.com

Utilizamos os números todos os dias em diversas situações. Suas aplicações não se limitam apenas à contagem. Há situa­ções, como no caso de medidas de temperatura, em que necessitamos representar, por meio de números, medidas abaixo de zero, por exemplo. Então, ampliamos o campo numérico com a criação dos números inteiros, formados pelos naturais e, também, por seus opostos. Números naturais N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Números inteiros Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}

Respostas da página anterior: 1. Aquele que pode ser representado por uma fração de dois números inteiros com denominador diferente de zero. 3. Sim. 2. 2 100

Nem sempre os resultados de medidas de comprimento, de massa e de capacidade, por exemplo, são expressos somente com números inteiros. A altura de uma pessoa pode ser maior que 1 metro e menor que 2 metros. Assim, sua medida será representada por um número que não é inteiro para uma medida em metros. Que outras situações você conhece que não poderiam ser descritas por números inteiros? Que tal tentar medir alguns objetos utilizando a unidade de medida metro ou verificar o preço de alguns produtos na cantina da escola? Vamos então, nesta unidade, aumentar nosso conhecimento sobre os números. Quando efetuamos operações aritméticas com números inteiros, nem sempre o resultado é um número inteiro. É o que ocorre, às vezes, na divisão de dois números inteiros, em que o resultado pode ser ou não um número inteiro. São casos nos quais os números inteiros se mostram insuficientes para expressar os resultados.

Ronaldo Barata

Observe, por exemplo, a situação descrita a seguir.

Quatro amigos almoçam juntos em um restaurante. No final, o valor da conta é R$ 75,00. Eles resolvem dividir a quantia por quatro, para verificar quantos reais cada um deve pagar. 75 4 4 5 ? Note que o resultado não é um número inteiro em reais. Se eles utilizarem a representação fracionária, poderão escrever: 75 4 4 5 75 4

92 pom7_090_129_u03.indd 92

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

Se efetuarem a divisão, poderão escrevê-lo na forma decimal: 75 24 35

4 18,75

2 32 030 2

28 020

2

020 00

Assim, é possível escrever:

75 4 4 5 75 5 18,75 4 Verifique a representação desse número na reta numérica. 16

17

18

19

20

18,75

Banco Central do Brasil

Observe a seguir a forma como os 4 amigos pagaram o valor total da conta, usando, para cada um, a mesma quantidade de dinheiro:

No exemplo, o número 18,75 é maior que o inteiro 18 e menor que o inteiro 19. Esse número é chamado racional. Dizemos que o resultado da divisão entre dois números inteiros, quando o segundo deles é diferente de zero, é um número racional. É bom lembrar que, mesmo quando o resultado da divisão de dois números inteiros for um número inteiro, esse resultado também é considerado um número racional.

a

, com a e b números inteiros e b b diferente de zero. Em uma escrita mais formal, isso seria: Todo número racional pode ser escrito como

5

a b

, a e b  Z, b  0

 representa o conjunto dos números racionais.

93 pom7_090_129_u03.indd 93

APOEMA MATEMÁTICA 7

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5/26/15 10:05 AM

Observações: VV Todo número natural é também um número racional. VV Todo número inteiro é também um número racional.

A relação entre os números naturais, os inteiros e os racionais está ilustrada no diagrama a seguir.

naturais inteiros racionais

VV Um número racional qualquer pode ser representado na forma decimal exata ou periódica.

Exemplos:

3 5 0,75 4 8 5 0,888... 9

forma decimal com dízima finita forma decimal com dízima periódica

Vamos verificar esta informação: “O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros estão contidos no conjunto dos números racionais”, ou seja,     .

Exemplo 1: Podemos dizer que 3 é um número natural e um número inteiro, mas também é um número racional, pois pode ser representado por uma fração de dois números inteiros com denominador diferente de zero: 3 6 9 3   … 1 2 3

Exemplo 2: Da mesma forma, 25 é um número que pertence ao conjunto dos números inteiros; logo, ele pode ser representado por uma fração de dois números inteiros com denominador diferente de zero: 5 10 15  5     … 1 2 3 Assim, podemos perceber que um número racional pode ser representado de infinitas maneiras. Vejamos agora algumas representações de um mesmo número racional. Forma decimal: 21,5 Forma fracionária:  1,5  

15 10



15  5 10  5

Na reta numérica: 2

1,5

1

0,5

0

 0,5

3 2 1

… 1,5

2

94 pom7_090_129_u03.indd 94

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

CONEXÕES O ser humano busca respostas para algumas de suas necessidades por meio da Matemática. Com base em indagações e descobertas – que não são realizadas facilmente –, ele evolui. A necessidade de o ser humano controlar seus bens teve como consequência a criação de símbolos utilizados para relacionar quantidades. Esses símbolos e a ideia de número foram sendo aprimorados pelos povos com a finalidade de uniformizá-los. O objetivo era usar poucos símbolos capazes de representar as quantidades. Dessa forma, chegou-se aos números mais simples: os inteiros positivos (1, 2, 3, 4, 5, ...), também chamados números naturais. Esses números eram utilizados para contar (ainda não existia o número zero). As operações entre os números naturais, com o tempo, eram efetuadas normalmente, conforme a necessidade: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Quando quaisquer dessas operações não podiam ser efetuadas no conjunto dos números naturais, simplesmente eram abandonadas.

Grigoriy K./Shutterstock

Com o tempo, a divisão de um todo em partes iguais precisou ser representada matematicamente por números. Dessa maneira, surgiram a ideia de fração e os números racionais absolutos. Quando se dividia uma maçã em quatro partes iguais, cada parte podia 1 , que correspondia a uma das quatro partes em que ser representada por 4 era dividido o todo. Em algum momento de nossa evolução surgiu um símbolo para representar a ausência de quantidade: o zero. Foi muito mais tarde, após as frações, que os hindus inventaram o importantíssimo algarismo zero.

A ideia de representar a falta de quantidade por números fez aparecer os números negativos e o conjunto dos números inteiros.

Ilustrações: Ronaldo Barata

O oposto de possuir determinada quantidade podia ser representado com os algarismos indo-arábicos precedidos por um sinal: 2. Assim, criava-se um conjunto numérico que dava significado a algumas operações entre números até então simplesmente abandonadas. O conjunto dos números racionais, assim denominado, era formado por todos os números que podiam ser escritos ou obtidos como o quociente de dois números inteiros.

95 pom7_090_129_u03.indd 95

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Represente os números racionais na forma fracionária. 2

4

4 Observe o conjunto A e responda:  10  10 π; 7; 6; π; 4; 7;  A ; 0,4;  ;6;0,4; 2 2

A

184;  10 

18   10 

a) Quais elementos desse conjunto são números naturais? 10 2

b) Quais elementos desse conjunto são os números inteiros? c) Quais elementos desse conjunto são números racionais? d) Quais elementos não são números racionais? Todos são racionais.

96 pom7_090_129_u03.indd 96

4. b)

10 ; 2 6; 2 4 2

4. c)

10 18 ; 0,4; 2 6; 2 4 ; 2 2 10

APOEMA MATEMÁTICA 7

2 6

5 6

4 6

1 4

2 4

6 Utilize uma calculadora e escreva, na forma decimal, os seguintes números racionais apresentados na forma fracionária: 12 0,121212... a) 99 b) 7 1,1666... 6 c) 45 2,5 18 107 0,1080808... d) 990 e) 450 0,450450450... 999 f) 835 8,434343... 99

rstoc k

a) O número 10 é inteiro. V b) O número 210 é natural. F c) Se um número é racional, então ele é inteiro. F d) Se um número é racional, ele pode ser inteiro. V e) Todo número que é natural é também inteiro. V f) Todo número que é natural é também racional. V

2 3

hutte

3 Classifique as sentenças a seguir como verdadeiras ou falsas.

1 6

ayer/S

5 1 2 a) 20,5 2 10 2 33 b) 3,3 10 c) 20,125 2 125  2 1 1000 8 d) 10,3 103 10 e) 0,555... 5 9 32 f) 20,323232...22 99

1 3

Kosm

2 Os números racionais apresentados a seguir estão na forma decimal. Escreva-os na forma fracionária.

Dan

20

Setup

a) (22)  (13) 2 3 b) (14)  (19) 1 4 9 c) (212)  (26) 1 12  2 6 1 d) (233)  (19) 2 33  2 11 9 3 e) (220)  (215) 1 20  4 15 3 f) (145)  (220) 2 45  2 9

5 Cada figura a seguir representa a unidade. A parte colorida é uma fração da unidade. Escreva as frações que representam os números racionais correspondentes às partes coloridas.

7 Quando o denominador de uma fração é 100, podemos escrever o número racional correspondente a ele por meio do símbolo de porcentagem, conforme exemplificado a seguir: 2828 28%(lemos: vinte e oito por cento)  28% 100 100 Escreva os números racionais a seguir como uma porcentagem: a) 4 4% c) 14 14% 100 100 b) 2,5 2,5% d) 99 99% 100 100

a

5/31/15 10:58 AM

Comparação entre números racionais Vamos colocar os seguintes números em ordem crescente: 3 7

6

,

7

,

5

,

6

5 7

Para concluir essa tarefa, podemos imaginar que cada fração representa a parte colorida das figuras a seguir.

3

6

5

5

7

7

6

7

3

5

, mas teremos certa dificuldade para 7 6 6 5 , . Como podemos resolver essa situação? comparar, nas figuras, as frações 7 6 Uma possibilidade é efetuar as divisões em uma calculadora. Veja: Observando as imagens podemos dizer que

6 7



 6  7  0, 857142857… 5 6

 0, 83333333…

Assim, em ordem crescente os números seriam escritos como: 3 7



5 7



5 6



6 7

ou

6 7



5 6



5

3 7

7

,

5 6

6

,

7

, ou ainda:

3



7

5

,

7

Lembramos que os símbolos . e , significam, respectivamente, maior que e menor que. Como vimos anteriormente, todo número que é natural ou inteiro também é racional. Assim como no caso dos números naturais e dos inteiros, podemos comparar os números racionais em uma reta numérica. Nesta reta estão representados alguns números racionais inteiros. Acrescentando alguns números racionais que não são inteiros, temos: (...)10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5,2

3,4

0

1,8 0,5 0,5

1

2 1,8

3

4 3,4

5

6

7

8

9

10 (...)

5,2

Números racionais que são opostos têm o mesmo valor absoluto (ou módulo). Por exemplo, os números 25,2 e 5,2, representados acima, têm o valor absoluto 5,2. Considere, a seguir, mais alguns exemplos em que comparamos números racionais.

97 pom7_090_129_u03.indd 97

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

Exemplo 1: Comparando os números racionais 27,2 e 0,98, qual deles é maior?

Resolução: Como um é positivo e o outro é negativo, dizemos que o maior é o número positivo. ­Assim, temos: 27,1 , 0,98 ou 0,98 . 27,1

Exemplo 2: Qual número racional é maior: 

8 5

ou 

6 5

?

Resolução: Como os números racionais estão escritos na forma fracionária, com mesmo denominador, e ambos são negativos, o maior deles é o de menor numerador: 8 6   (na reta numérica, o primeiro número estará situado à direita do segundo) 5 5

Exemplo 3: Qual número racional é maior:

3 4

ou

2 3

?

Resolução: Nesse exemplo, os dois números racionais, escritos na forma fracionária, têm denominadores diferentes. Para compará-los, temos de reduzir as frações ao mesmo denominador (utilizamos a ideia de frações equivalentes). Para tanto, tiramos o mínimo múltiplo comum entre os denominadores: mmc (4; 3) = 12 3 9 2 8 33 24 e     4 12 3 12 43 34 Como os dois números racionais são positivos e agora têm o mesmo denominador, o maior deles é aquele com maior numerador, isto é: 3 2 9 8  , pois  4 3 12 12 Ou, ainda, podemos transformá-los em números decimais: 3 ; 4 5 0,75 2 ; 3 5 0,6666... (dízima periódica) 3 2 0,75 . 0,666..., ou seja,  4 3 Verifique a comparação com as figuras: 3

9

4

12

2

8

3

12

98 pom7_090_129_u03.indd 98

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

20,123

0,12

0,123

20,12

2,3

2,33

22,3

22,33

22,33 , 22,3 , 20,123 , 20,12 , 0,12 , 0,123 , 2,3 , 2,33

2 Em cada item, escreva um dos seguintes sinais: ., , ou 5 entre os números racionais. 2 a) 5 2 5 2 c) 2 5 34 d) 2 15

9 2 8



9  8 4  2 10 33  2 15 3 e) 20,333... 2 9 f) 7 2 4 b) 2

2

Extrato para simples conferência Dia

Histórico

03/10

Cheque

07/10

Saldo

08/10

Depósito

09/10

Saldo

Nr. doc Valor R$ 12030

211946,00 55003,50

56821

678,32 55681,82

10/10

Cheque

12105

2152,00

11/10

Cheque

23452

2564,00

14/10

Cheque

21589

2654,21

22/10

Cheque

00215

25623,55

23/10

Cheque

11678

2325,90

Qual é o número do cheque de maior valor? Determine o saldo final da conta, após o lançamento do cheque de R$ 325,90. 12 030; R$ 48.362,16

7 Na reta numérica a seguir estão indicados alguns números inteiros.



negativos

3 Analise as afirmações a seguir e indique as verdadeiras e as falsas. a) Todo número que é positivo é maior que zero. V b) A soma de um número com seu oposto é sempre igual a zero. V c) O módulo de qualquer número negativo é também um número negativo. F d) O módulo de um número positivo é também um número positivo. V 4 Escreva o valor absoluto (ou módulo) para os seguintes números racionais: a) 20,12 0,12 b) 10,34 0,34 c) 2100 100

6 Considere o seguinte extrato bancário: DAE

1 Na tabela a seguir estão escritos alguns números racionais. Coloque-os em ordem crescente:

d) 20,25 e) 10,25

0,25 0,25

positivos

(...) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (...)

Observe a reta e escreva entre quais dois números inteiros consecutivos os números racionais a seguir se encontram. Exemplo: o número racional 22,33 está entre os inteiros 23 e 22. d) 20,33... entre –1 e 0 a) 4,44 entre 4 e 5 b) 0,43 entre 0 e 1

e) 29,44

entre –10 e –9

c) 21,71 entre –2 e –1

f) 28,01

entre –9 e –8

8 Escreva os números racionais indicados pelos pontos vermelhos considerando as divisões consecutivas da reta de mesmo comprimento. 0

5 Escreva, para os seguintes números, o seu oposto. d) 10,25 20,25 a) 2 2 72 7 e) 2 1 91 b) 1 24 2 24 9 37 37 c) 20,44 0,44

10

6

2

10

6

14

9 Compare os valores e responda às questões. a) Qual é a maior temperatura: 223 °C ou 222 °C? 222 oC b) Qual é a menor temperatura: 22,3 °C ou 22,23 °C? 22,3 oC

99 pom7_090_129_u03.indd 99

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:05 AM

CAPÍTULO 11

Adição e subtração de números racionais Você já trabalhou com os números racionais não negativos. Agora, como o campo numérico foi ampliado, precisamos trabalhar também com os números racionais negativos. Veremos como efetuar a adição e a subtração com números racionais.

Zubartez

Helio Torchi/Futura Press

Em situações anteriores, vimos a forma fracionária e a forma decimal dos números racionais. A forma decimal é mais empregada do que a fracionária. Podemos perceber isso, por exemplo, nos valores dos produtos em reais, nos números que representam a nossa altura e até mesmo nas operações financeiras de uma bolsa de valores.

Painel de operações da bolsa de valores.

Adição de números racionais Como os números racionais podem ser representados tanto na forma fracionária quanto na decimal, é preciso saber operar com as duas formas. Observe, por meio dos exemplos da próxima página, que a adição de números racionais, quanto ao sinal (positivo ou negativo), é análoga à adição dos números inteiros.

100 pom7_090_129_u03.indd 100

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:06 AM

Exemplo 1:

Observação:

Observe no quadro a seguir o preço dos combustíveis anunciado em dois postos de gasolina. Vamos determinar a diferença de preço entre a gasolina comum e a aditivada em cada um desses postos. Posto A Gasolina comum 2,699 e gasolina aditivada 2,799

Posto B Gasolina comum 2,499 e gasolina aditivada 2,999

2,799 2 2,699 5 0,10

2,999 2 2,499 5 0,5

Embora o real, dinheiro que circula no Brasil, tenha só duas casas após a vírgula, muitos postos de combustível utilizam o milésimo de real, ou seja, três casas após a vírgula. Usar o milésimo de real pode fazer diferença quando pensamos em uma grande quantidade de combustível vendida para muitos consumidores.

No posto A, a diferença de preço é de R$ 0,10 por litro de gasolina; no posto B, é de R$ 0,50. Em parceria com um colega, faça uma pesquisa sobre a diferença de preço entre a gasolina comum e a aditivada: Por que será que uma é mais cara do que a outra? Será que o preço da gasolina comum sofre muita alteração em diferentes postos de combustível? Tente encontrar o menor e o maior preço anunciado em postos de gasolina de sua região. Por conta dos encargos de transporte e outras tarifas, muitas vezes, o preço do mesmo produto é diferente dependendo da região. Agora vamos verificar a diferença de preço entre os postos apresentados. Gasolina comum: 2,699 (posto A) 2 2,499 (posto B) 5 0,2 Gasolina aditivada: 2,999 (posto B) 2 2,799 (posto A) 5 0,2

Exemplo 2:

( ) 1 43 .

Obtenha o resultado da seguinte adição: 2 2 5 Resolução:

Reduzimos as frações ao mesmo denominador, observando que o mmc (5; 4) 5 20. A seguir, adicionamos os numeradores:

(2 52) 1 43 5 2 52  44 1 43  55 5 2 208 1 2015 5 28201 15 5 207

Exemplo 3:

( 73) 1 (2 125 ) .

Obtenha o resultado da seguinte adição: 2

Resolução:

Reduzimos as frações ao mesmo denominador, observando que o mmc (3; 12) = 12. A seguir, adicionamos os numeradores:

(2 73) 1 (2 125 ) 5 (2 73  44 ) 1 (2 125 ) 5 (2 2812 ) 1 (2 125 ) 5 33 5 (228) 1 (25) 5 233 5 2 12 12 12

101 pom7_090_129_u03.indd 101

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

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Exemplo 4: Adicione os seguintes números racionais na forma decimal: (22,45) 1 (28,23).

Resolução: Como os dois números racionais têm o mesmo sinal, adicionamos seus valores absolutos e, ao resultado obtido, damos o mesmo sinal de cada parcela: (22,45) 1 (28,23) 5 210,68

Exemplo 5: Adicione os seguintes números racionais na forma decimal: (132,48) 1 (216,12).

Resolução: Como os dois números racionais têm sinais contrários, calculamos a diferença entre seus valores absolutos (o de maior valor absoluto menos o de menor valor absoluto) e damos, ao resultado, o mesmo sinal do número de maior valor absoluto: (132,48) 1 (216,12) 5 116,36 5 16,36

Observações: Na adição de números racionais, são válidas as mesmas propriedades da adição de números inteiros. Considerando a, b e c como números racionais, podemos escrever as propriedades como: VV Propriedade comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado.

a1b5b1a

( 5) ( 3) 5 (1 43) 1 (2 25)

Exemplo: 2 2 1 1 4

VV Propriedade associativa: Na adição de três números racionais, o resultado será o mesmo caso se

adicionem as duas primeiras parcelas e, então, o resultado obtido à terceira parcela, ou primeiro se adicionem as duas últimas parcelas e, então, o resultado obtido à primeira parcela. a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c Exemplo:

( ) 1 (1 43 ) 1 (2 21 ) 5 (2 25 ) 1 (1 43 ) 1 (2 21 )

22  5

VV Elemento neutro: Zero, quando somado a qualquer número racional, tem como resultado o próprio

número racional. a10501a5a

( 72 ) 5 2 72

Exemplo: 0 1 2

VV Oposto ou simétrico: Todo número racional tem seu oposto (ou simétrico). Dessa forma, um número

racional adicionado a seu oposto resulta zero. a 1 (2 a) 5 0 Exemplo:

( 1 72 ) 1 ( 2 72 ) 5 0

102 pom7_090_129_u03.indd 102

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

3 9

92 23 5 100 25

2

(2 29 ) 1 (2 54 ) 1 (1 74 )

6 Cada círculo a seguir representa a unidade. As partes coloridas representam frações dessa unidade. Escreva essas frações. 2 ou 0,2 10

a) 2

2

5 18

b)

5 12

16 8 5 2 18 9

19 20

1 10 ou 0,1

7 Resolva os seguintes problemas: a) Na figura está representada uma régua em centímetros e um parafuso. Zubartez

( ) ( ) b) (1 5 ) 1 (2 2 ) 9 9 c) (1 4 ) 1 (1 88 ) 100 100 d) (2 9 ) 1 (2 3 ) 1 (1 7 ) 12 12 12 e) (1 1 ) 1 (2 7 ) 1 (2 10 ) 18 18 18 f) (2 1 ) 1 (2 3 ) 5 4 g) (1 2 ) 1 (2 2 ) 3 7 h) (2 1 ) 1 (2 1 ) 1 2 2 4

5 Calcule o valor da seguinte expressão numérica:

Ilustrações: Setup

1 Indique os resultados das seguintes adições de números racionais apresentados na forma fracionária. 11 a) 2 7 1 2 4  10 10 10

8 21

5 4

2 Determine os valores das somas. a) (20,24) 1 (21,12) 1,36 b) (210,5) 1 (13,2) 7,3 c) (14,85) 1 (22,15) 2,7 d) (2100,22) 1 (210,66) 110,88 3 Numa reta numérica estão indicados os pontos P e Q, conforme a seguir: P 0,5

Q 0

a) Quais são os números racionais indicados pelos pontos P e Q? 20,3 e 20,2 b) Determine a soma desses dois números. 20,5

4 Responda: a) Qual é o número que adicionado a (24,3) tem como resultado zero? 4,3 b) Qual é o número oposto do número 22 ? 2 10 10 c) Qual é o número que adicionado a 2 2 tem como resultado o número 21? 10 c) 2

Colocando três desses parafusos um à frente do outro na extensão da régua, qual será o comprimento total? 7,5 cm b) Numa cidade do Hemisfério Norte, às 8 horas da manhã, o termômetro indicava a temperatura de 27,5 °C. Quatro horas depois, houve um aumento de 4,3 °C. Qual é a temperatura após esse aumento? 23,2 oC 8 Sílvia tinha os seguintes registros em sua conta bancária (o sinal “1” representa um depósito, e o sinal “2”, uma retirada):

28/11 30/11 2/12 5/12 10/12 12/12

2550,00 11.253,25 2300,25 12.356,98 21.586,95 2987,69

Qual era seu saldo em 12/12?

Não é possível determinar, pois o problema não traz o saldo inicial.

8 10

103 pom7_090_129_u03.indd 103

APOEMA MATEMÁTICA 7

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Subtração de números racionais Assim como aconteceu com a adição, na subtração de números racionais operamos de modo semelhante à subtração de números inteiros. Lembre-se de que, ao se subtraírem dois números inteiros, o resultado é obtido adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo. A subtração de números racionais é efetuada adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo. Observe, nos exemplos a seguir, como fazemos a subtração de números racionais tanto na forma fracionária quanto na forma decimal.

Exemplo 1:

( ) 2 (2 61 ) .

Obtenha o resultado da subtração: 2 7 3 Resolução:

Adicionamos o primeiro número ao oposto do segundo. Como eles estão na forma fracionária, reduzimos as frações ao mesmo denominador para, então, efetuar a adição do primeiro ao oposto do segundo:

(2 73 ) 2 (2 61 ) 5 (2 73 ) 1 (1 61 ) 5 2 73  22 1 61 5 2 146 1 61 5 21461 1 5 5 213 5 2 13 6 6

Exemplo 2: Obtenha o resultado da subtração: 8,5 2 (22,3).

Resolução: Os dois números racionais estão na forma decimal. Do mesmo modo que foi feito na forma fracionária, adicionamos o primeiro ao oposto do segundo: 8,5 2 (22,3) 5 8,5 1 (12,3) 5 8,5 1 2,3 5 10,8 Podemos também passar os números da forma decimal para a forma fracionária e efetuar a subtração deles. O resultado pode então ser transformado na forma decimal: 5 10,8 ( ) 5 8510 1 1023 5 85 101 23 5 108 10

8,5 2 ( 2 2,3) 5 85 2 2 23 10 10

Observação: VV No caso da adição e subtração de números racionais, é mais frequente a apresentação desses números

sem a utilização de parênteses. Assim, convencionamos que o sinal entre dois números indica o sinal do segundo número. Efetuamos, então, a adição desses números e obtemos a chamada soma algébrica. Exemplo:

2

9 27 10 227 + 10 217 17 1 5 52 1 5 52 = 2 6 6 3 6 6 6

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Indique os resultados das subtrações de números racionais apresentados na forma fracionária.

( ) 2 (2 104 ) b) (2 5 ) 2 (2 2 ) 9 9 c) (2 12 ) 2 (1 3 ) 25 25 d) (1 4 ) 2 (2 35 ) 100 100 e) (2 1 ) 2 (2 3 ) 5 4 f) (1 2 ) 2 (2 2 ) 3 7 g) (2 3 ) 2 (1 5 ) 9 18 h) (1 10 ) 2 (2 6 ) 7 5 i) (2 1 ) 2 (2 1 ) 2 4 a) 2 7 10

2

2

3 10

15 3 5 2 25 5 39 100

11 20

20 21

2

11 18

92 35

2

1 4

2 Escreva os números racionais correspondentes a:

( ) b) 2(1 16 ) 3 c) 2(2 2 ) 21 d) 2(1 1 ) 100

a) 2 2 3 25

3 3 1 5 25 25

2

1

16 3

2 2 5 21 21

2

a) (20,25) 2 (11)

1,25

b) (110,5) 2 (210)

20,5

c) (29,2) 2 (112) 21,2

3 1 5 2 9 3

2

4 Efetue as seguintes subtrações de números racionais:

1 100

3 Responda: a) Quando o oposto de um número racional esse número é positivo? Quando racional é negativo. b) Quando o oposto de um número racional esse número é negativo? Quando racional é positivo. c) Pode o oposto de um número racional ser o próprio número? Sim, o oposto de zero é igual a zero.

d) (24,75) 2 (21,25) 3,5 5 Calcule as seguintes expressões algébricas: a) 2 1 1 1 2 1 2 1 3 2 4 12 b) 1 1 1 2 2 2 7 6 3 2 c) 21 1 1 1 3 2 1 2 8 8 2 d) 2 1 1 1 15 5 3 6 Resolva os seguintes problemas: a) Qual é o número que, ao subtrairmos 22,5 dele, obtemos como resultado o número 10,7? 8,2 b) Lúcia escreveu um número racional na forma fracionária e adicionou 1 a ele, 3 7 obtendo o resultado de 2 . Qual foi o 6 número que Lúcia escreveu? 2 9 5 2 3 6

2

7 Efetue as seguintes expressões algébricas de números racionais na forma decimal. a) 26,25 2 1,32 1 0,01 7,56 b) 124,2 2 10,3 1 30,1 44 c) 2100,55 2 25,22 1 80,33 45,44 d) 140,2 2 11,3 1 50 78,9 8 As letras a, b e c representam diferentes valores racionais. Observe: a = 2 1 , b = 3 , 5 2 c = 22,3. Em cada caso, substitua a letra por seu valor correspondente e calcule: a) a 1 b 1 c 22,2 5 2 11 5 b) a 2 b 2 c 1,2 5

6 5

c) a 1 (c 2 b) 23,4 5 2 17 5 d) 2a 2 (b 1 c) 2 (a 1 c) 5 5

50 10

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APOEMA matemática 7

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5/26/15 5:39 PM

CAPÍTULO 12

Multiplicação e divisão de números racionais

Setup

Como ampliamos o campo numérico com os números racionais, precisamos compreender agora como efetuar a multiplicação e a divisão de dois números racionais, apresentados tanto na forma fracionária quanto na forma decimal. Para isso, vamos retomar algumas ideias. Considere que desejamos obter 1 de 1 . Se utilizarmos um retângulo para representar 4 3 1 , o significado de 1 de 1 pode ser compreendido como se, da parte colorida na primeira 4 4 3 figura, tomássemos o correspondente à terça parte.

1 4

1 de 1 é 1 3 4 12

Esse resultado poderia ser obtido de forma direta pela multiplicação das duas frações: 1 de 1 5 1 ⋅ 1 5 1 ⋅ 1 5 1 3 4 3 4 3 ⋅ 4 12 Para obter a fração resultante da multiplicação de duas ou mais frações, multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores das frações correspondentes aos fatores.

Multiplicação de números racionais Helio Torchi/Futura Press

Diogo Moreira/Futura Press

Considere a seguir as placas que mostram o preço de alguns tipos de combustível em dois postos diferentes.

Posto 1

Posto 2

Vamos supor que Rafael foi ao posto 1 e encheu o tanque de combustível do carro com 40 L de gasolina aditivada, pagando, portanto, o menor preço anunciado. Gustavo também abasteceu o carro com 40 L de gasolina aditivada, mas no posto 2. Quanto Gustavo pagou a mais que Rafael? 40 ? 4,999 5 199,96 Gustavo pagou R$ 88,00 a mais.

40 ? 2,799 5 111,96

106 pom7_090_129_u03.indd 106

APOEMA MATEMÁTICA 7

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Como sabemos que todo número racional também pode ser expresso por meio de uma fração (forma fracionária), para efetuarmos as multiplicações, o procedimento é análogo, ou seja, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores. O sinal do produto depende dos sinais dos números que compõem os fatores, seguindo as mesmas regras da multiplicação de números inteiros.

• O produto de dois números racionais positivos é um número racional positivo. • O produto de dois números racionais negativos é um número racional positivo. • O produto de dois números racionais de sinais contrários é um número racional negativo. Observe, a seguir, exemplos de como efetuar a multiplicação de números racionais.

Exemplo 1: Efetue as multiplicações dos números racionais a seguir.

(2 23 ) ⋅ (1 54 ) 5 2 23 ⋅⋅ 45 5 2 158 (1 108 ) ⋅ (1 54 ) 5 1 108 ⋅⋅ 45 5 1 5032 5 5032 5 2516 (2 92 ) ⋅ (2 47 ) 5 1 92 ⋅⋅ 47 5 1 3614 5 3614 5 187 (1 163 ) ⋅ (2 83 ) 5 1 163 ⋅⋅ 83 5 2 2448 5 2 21 E se os números racionais que estamos multiplicando estiverem na forma decimal? Nesse caso, multiplicamos os valores absolutos desses números e damos, ao resultado, o sinal conforme a regra de sinais vista anteriormente para a forma fracionária.

Exemplo 2: Efetue a multiplicação dos seguintes números racionais: (22,1) ? (10,8) 5 21,68 (24,12) ? (21,9) 5 17,828 5 7,828 (122,04) ? (22,4) 5 252,896 (145,14) ? (13,043) 5 1137,36102

Observações: VV O resultado da multiplicação de dois números

racionais é um número racional cujo sinal depende dos sinais dos fatores: se os fatores tiverem o mesmo sinal, o resultado é um número positivo; se os fatores tiverem sinais contrários, o resultado é um número negativo. VV Na forma fracionária, o resultado pode ser

expresso por meio de uma fração: no que se refere aos fatores, o numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. VV Quando possível, na forma fracionária, o

resultado deve ser simplificado.

Lembre-se de que o número de casas decimais do resultado é igual à soma dos números de casas decimais dos fatores. É importante compreender também que as propriedades da multiplicação de números inteiros também valem para os números racionais. Existe ainda uma quinta propriedade, conhecida como a propriedade do inverso ou recíproco de um número racional. Para compreender essa propriedade, observe os produtos a seguir.

( ) 5 1 51 ⋅⋅ 51 5 55 5 1 (2 89 ) ⋅ (2 89 ) 5 1 89 ⋅⋅ 89 5 7272 5 1 (1 57 ) ⋅ (1 57 ) 5 1 57 ⋅⋅ 57 5 3535 5 1

( 25) ⋅ 2 1 5

Note que, em cada exemplo, o produto resultante é igual a 1. Quando isso ocorre, os fatores são chamados de números inversos entre si.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Observações: As propriedades a seguir podem ser generalizadas para a multiplicação de números racionais, considerando a, b e c como números racionais. VV Propriedade comutativa: Na multiplicação de números racionais, a ordem dos fatores não altera o

produto. ab5ba VV Propriedade associativa: Na multiplicação de três números racionais, o resultado será o mesmo caso

efetuemos a multiplicação dos dois primeiros fatores e, então, a multiplicação do resultado pelo terceiro fator, ou, primeiro, a multiplicação dos dois últimos fatores e, então, a multiplicação do resultado pelo primeiro fator. (a  b)  c 5 a  (b  c) VV Elemento neutro: Quando multiplicamos qualquer número racional pelo número 1, o resultado é o próprio

número. a151a5a VV Propriedade distributiva: O produto de um número racional pela soma de dois outros números racionais

é igual à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o primeiro racional e cada um dos racionais da adição. a  (b 1 c) 5 a  b 1 a  c Todo número racional diferente de zero tem um inverso (ou recíproco) tal que o produto de um número racional pelo seu inverso é sempre igual a 1. Considerando a um número racional diferente de zero. aa  1 5 a  1 5 a 51

a

1

a

a

Por exemplo: 3  1 5 3  1 5 3 51 .

3

1

3

3

Exemplo 3: Katia foi tomar sorvete com seus sobrinhos. Ela os levou a uma sorveteria que vendia sorvete por quilo. O quilo custava R$ 12,56. Ao somar o peso de todos os sorvetes que comprou, viu que seu consumo totalizava 1,56 kg. Quanto Katia pagou?

Resolução:

Eduardo Belmiro

12,56 ? 1,56 5 R$ 19,5936. Assim, ela pagou R$ 19,59 arredondando para duas casas decimais.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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5/26/15 10:06 AM

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

4 Calcule o valor numérico das expressões A e B: O resultado das duas expressões é 3 .

2 5

( ) ( ) ( )( ) ()

6 2 2 5 2 9 3 2

2 15

2

Agora, compare os dois resultados. Qual resultados são é sua conclusão? Os iguais.

10 5 5 2 44 22

10 1 5 2 20 2 2

2

2 1  16 30 5

a) Qual é o número que, multiplicado por 22, tem como resultado 1? 2 1 2 b) Qual é o inverso do número 4? 1 4 c) Qual é o número que, quando multiplicado por 2 2 , tem como resultado –1? 3 d) Qual é o dobro do número 2 9 ? 2 9 5 10

30 15 5 44 22

1

2

5 Responda às questões.

8 1 5 2 80 10

1

2

70 5 21 70

60 2 5 150 5

6 1 5 2 150 25

2 O resultado de um número racional multiplicado por seu inverso é sempre 1. Escreva o inverso dos números racionais a seguir. a) 2 2 5

2

5 2

d) 2 20 11

2

b) 1 4 3

1

3 4

e) 10,1

110

c) 2 1 6

f) 20,25

24

26

3 Calcule.

( ) 1 de 2 1 b) ( 4) 10 2 1 c) de (1 9 100 ) d) 1 de (1 3 ) 8 8 a)

2 de 2 3 3 4



1 2 2

1 40

1

1 450

1

11 20

3 64

3 2

6 Complete com os números que estão faltando. 1 a)   25 5 2 1 2 50 2 5 1 24 b) 20,25 ? c)  2 5 2 2 21 7 21 3 7 Sendo A 5 22,3; B 5 21,5 e C 5 4,2, determine o valor da expressão: A ? B 1 (C 2 A) 2 B ? A 6,5 8 Suponhamos que a letra c represente o preço de uma camiseta, e a letra b o preço de um boné. A expressão 3  c 1 4  b representa a compra realizada por Mauro. 3 camisetas e a) O que Mauro comprou? 4 bonés b) Observe a propaganda desta loja e calcule o valor gasto por Mauro. R$ 256,60

Camiseta R$ 47,80

Boné R$ 28,30

Polryaz/Shutterstock

( ) c) 1  (2 2 ) 5 3 d) 1  (2 10 ) 4 11 e) (2 3 )  (2 10 ) 4 11 f) (2 2 )  (1 5 ) 5 4 g) (1 10 )  (2 7 ) 7 10 h) (1 8 )  (2 1 ) 5 16 i) (2 3 )  (2 20 ) 50 3 j) ( )( ) b) 3  2 2 9

20

3   21  3 A→ 2 5 2   6 3  21   3 B →  2 6  2  5

Dinga/Shutterstock

1 Calcule. 1 a) 2  5

9 A tecla de divisão da calculadora de Roberto está quebrada, como proceder, utilizando a calculadora, para calcular a metade de 0,56? 0,56 3 0,5 5 0,28

109 pom7_090_129_u03.indd 109

APOEMA MATEMÁTICA 7

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Divisão de números racionais Vamos retomar uma situação que ilustra o procedimento para efetuar a divisão de frações. Considere que desejamos obter o resultado da seguinte divisão: 1 4 1   Equivale a descobrir quantas vezes 1 “cabe” em 1 . 3 6 6 3

1 6 1 6

1 3 Observe, pelas figuras anteriores, que 1 “cabe” 2 vezes em 1 . Na prática, uma maneira de 6 3 chegarmos a esse resultado é a seguinte: 1 1 4 1 5 3 5 1 ⋅ 6 5 1 ⋅ 6 5 6 5 2 1 3 6 3 1 3 ⋅ 1 3 6

“cabe” 2 vezes

Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.

Como todo número racional pode ser representado por meio de fração (a forma fracionária de um número racional), a divisão de dois números racionais pode ser efetuada conforme o procedimento acima, isto é: Para dividir dois números racionais na forma fracionária, multiplicamos o primeiro pelo inverso do segundo. O sinal do resultado segue a regra de sinais da multiplicação de dois números racionais.

Exemplo 1: Faça as seguintes divisões entre números racionais apresentados na forma fracionária:

(2 52 )  (2 43 ) 5 (2 52 ) ⋅ (2 43 ) 5 1 52 ⋅⋅ 43 5 206 = 103 (1 56 )  (2 27 ) 5 (1 56 ) ⋅ (2 27 ) 5 2 56 ⋅⋅ 27 5 2 4210 5 2 215 (2 201 )  (1 59 ) 5 (2 201 ) ⋅ (1 59 ) 5 2 201 ⋅ ⋅95 5 2 1009 110 pom7_090_129_u03.indd 110

APOEMA MATEMÁTICA 7

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Exemplo 2: Efetue as seguintes divisões entre números racionais apresentados na forma decimal: (22,42)  (20,4) 5 16,05 5 6,05 (12,42)  (20,4) 5 26,05 (22,42)  (10,4) 5 26,05 (12,42)  (10,4) 5 16,05 5 6,05

Observação: VV A divisão de dois números racionais escritos na forma decimal é feita dividindo-

-se os valores absolutos dos números e aplicando-se a mesma regra de sinais da multiplicação.

Exemplo 3: Um táxi em São Paulo cobra R$ 2,50 por quilômetro rodado mais um preço fixo por corrida (bandeirada) de R$ 4,10. Se Carlos pegou um táxi e pagou R$ 50,35 pelo percurso que fez até sua casa, quantos quilômetros ele rodou? Resolução Para descobrir a quantidade de quilômetros percorridos, primeiramente é preciso retirar o valor da bandeirada (que é um valor fixo) do valor total pago. Assim, saberemos o valor gasto com o deslocamento. 50,35 2 4,10 5 46,25 Foram gastos com o deslocamento R$ 46,25. Se 1 quilômetro custa R$ 2,50, logo: 46,25  2,5 5 18,5 Carlos rodou até sua casa 18,5 km Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Efetue as divisões de números racionais.

( 83)  (2 91) 4 8 b) (1 )  (2 ) 27 9 7 7 c) (1 )  (1 ) 4 2 6 12 d) (2 )  (2 ) 5 5

27 8

a) 2

26 1 2 2

2 Efetue as divisões. a) (290)  (21) 90 (290)  (20,1) 900

(290)  (20,01)

9 000

b) (20,2)  (22) 0,1 (20,02)  (22)

0,01

(20,002)  (22)

0,001

c) (140)  (24)

210

(1400)  (240) 210 (14 000)  (2400) 210 d) (20,5)  (15) 20,1 (25)  (150) 20,1 (250)  (1500)

20,1

111 pom7_090_129_u03.indd 111

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:06 AM

Registre no

caderno

3 Complete com os números racionais que estão faltando. a) b) c) d)

( 21)  4  ( 2 )  1 3  ( 1 )  10 5  ( 1 )  1 10  

2

2 3

para a torcida visitante. No jogo entre Criciúma e Atlético Tubarão somente um décimo da área da torcida visitante foi preenchido. Quantos torcedores do Atlético Tubarão vieram ao jogo? Explique a um colega o raciocínio que você usou para chegar ao resultado e escute o dele. Vocês utilizaram as mesmas estratégias?

2

1 10

4 Qual é o valor da expressão a seguir?

( 21  34 )  ( 31)



3 4

5 Determine o valor da seguinte expressão

8 Um posto de gasolina cobra R$ 2,99 por litro de gasolina. Jonas foi abastecer seu carro e pediu ao frentista que colocasse quantos litros fosse possível com R$ 32,00. Quantos litros de gasolina ele pôde colocar no carro? 32 : 2,99  10,7023411; aproximadamente 10,7 L.

9 Complete o quadro de multiplicação:

numérica: 1  3  1 2 8 4 3 2

1 4

( 23)  2  53 2 4 b) (  1)  (1  ) 3 5 1 1 c) (10  )  (10  ) 5 5 d) ( 2 )  ( 1 )   1 10  4  5 e) ( 2 )  ( 1 )   1 10  4  5 f) ( 2 )  ( 1 )   1 10  4  5 g) ( 2 )  ( 1 )   1 10  4  5 

0,35

3

2 3

5 4

2,1

0,35

3

2 3

5 4

2,1

0

0

0

0

0

1

15 8

3,15

8 15

1

1,68

1

6 Calcule o valor das expressões numéricas. a) 



10 21

5 3 49 51



6 5

21 100 

1 8



17 4

7 O estádio Heriberto Hulse, em Criciúma, tem capacidade total para 20 000 torcedores. Sabe-se que somente um quinto da capacidade total do estádio é reservado

0 3 2

0,525

4 5

0,28



9 2

2,4



10 Verifique se as propriedades da multiplicação de números racionais são ou não válidas na divisão de números racionais. A seguir um exemplo da não comutatividade na divisão de números racionais: 10 5 3 15 1 5      e 3 6 10 60 4 6 10 5 10 6 60      4. 3 6 3 5 15 5 10 10 5 . Portanto,    6 3 3 6 Dê outros exemplos e escreva suas conclusões. Resposta pessoal.

1 20 000   4 000 5 5 4 000 1  400  Área da parte reservada preenchida pela torcida do Atlético Tubarão: 4 000  10 10 Logo, 400 torcedores do Atlético Tubarão foram ao jogo. 7. Parte do estádio reservado para a torcida visitante: 20 000 

112

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 5:39 PM

CAPÍTULO 13

Potenciação e radiciação de números racionais Você já viu um cubo de Rubik?

tock guroldinneden/Shutters

Popartic/Shutterstock

O cubo de Rubik é um quebra-cabeça tridimensional em forma de cubo que foi inventado pelo húngaro Ernö Rubik. Hoje existem várias versões do cubo, mas o mais comum é o 3 3 3, que tem aresta igual a 3 unidades. Esse cubo possui 9 quadrados de mesma cor em cada face, e as faces têm cores diferentes entre si. Graças a um mecanismo interno, pode-se fazer movimentos de rotação, embaralhando assim as cores das faces. Uma vez embaralhado, o objetivo é montar novamente as faces com quadrados de mesma cor.

Cubo embaralhado.

Cubo montado.

5  5  5 5 125 ou 53 (5 elevado ao cubo). Assim, nesse exemplo, temos:

1a camada: 5  5 cubos

Empire331/Drea

Imagine que, em vez do mecanismo interno, esse cubo fosse formado por cubinhos empilhados. Uma maneira de contar esses cubinhos seria:

mstime.com

Veja ao lado o cubo 5 × 5:

expoente

53 5 125 base

potência

O expoente está indicando o número de vezes que a base deve ser multiplicada por ela mesma. O resultado da potenciação é chamado de potência. Neste capítulo, abordaremos a potenciação de números racionais.

113 pom7_090_129_u03.indd 113

APOEMA MATEMÁTICA 7

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5/26/15 10:06 AM

Europics/Newscom/Glow Images

CONEXÕES História do cubo mágico Em 1974, um jovem professor de arquitetura de Budapeste (Hungria) chamado Ernö Rubik criou um objeto que não deveria ser possível. Mesmo após de ter sido girado, o cubo não quebrou ou desmontou. Com adesivos coloridos em suas faces, o cubo foi embaralhado e assim surgiu o primeiro “Cubo de Rubik”. Ernö Rubik.

Ernö precisou de um pouco mais de um mês para conseguir solucionar este quebra-cabeça. Mal ele sabia que o cubo se tornaria o brinquedo mais vendido do mundo. Como professor, Ernö sempre procurava por coisas novas, maneiras mais emocionantes para transmitir informação, então ele usou o primeiro modelo do cubo para ajudá-lo a explicar aos seus alunos sobre relações de espaço. Ernö sempre viu o cubo como uma peça de arte, uma escultura móvel simbolizando contrastes da condição humana: problemas desconcertantes e inteligência triunfal; simplicidade e complexidade; estabilidade e dinâmica, ordem e caos. Para este objeto mágico se tornar o brinquedo mais vendido do mundo, algumas tentativas foram necessárias. Assim como as maiores invenções do mundo, o Cubo de Rubik não teve um começo fácil. Depois de mostrar o protótipo para seus alunos e amigos, Ernö começou a perceber o potencial de seu cubo. O próximo passo era fabricá-lo. Os primeiros cubos foram produzidos e distribuídos na Hungria pela Politechnika. Estes primeiros cubos, comercializados como “Cubo Mágico”, eram o dobro do peso dos que seriam fabricados mais tarde. Nos anos 70, a Hungria fazia parte do regime comunista e qualquer tipo de importação ou exportação era altamente controlado. Como que a invenção de Ernö, que se tornou um grande sucesso na Hungria, acabaria nas mãos das crianças dos anos 80? O primeiro passo para o cubo ganhar reconhecimento mundial seria ser exportado da Hungria. Uma parte disso foi feita pelos matemáticos que levavam o cubo para conferências internacionais e a outra parte por um empresário húngaro que levou o cubo para a feira de brinquedos de Nuremberg em 1979. Foi lá que Tom Kremer, um especialista em brinquedos, concordou em vendê-lo para o resto do mundo. A confiança implacável de Tom sobre o cubo finalmente resultou na “Ideal Toy Company” assumindo distribuição do Cubo Mágico. Os executivos da Ideal Toy acharam que o nome possuía conotações de bruxaria, e depois de passar por diversas possibilidades, o nome “Cubo de Rubik” foi decidido, e o ícone nasceu. Desde o seu lançamento internacional em 1980, estima-se que foram vendidos mais de 350 milhões de cubos. Aproximadamente uma a cada sete pessoas já brincaram com o quebra-cabeça. Este pequeno cubo de seis cores passou a representar uma década. Ele apareceu em obras de arte, vídeos famosos, filmes de Hollywood e até teve o seu próprio programa de TV, ele representava tanto genialidade quanto confusão, deu início a um novo esporte (speedcubing), e já até foi para o espaço. A beleza do Cubo de Rubik é que quando você vê um embaralhado, você sabe o que exatamente precisa fazer, sem alguma instrução. Porém, sem instrução é quase impossível de se resolver, fazendo com que ele seja umas das invenções mais frustrantes e viciantes já produzidas. Disponível em: . Acesso em: mar. 2015.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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5/26/15 10:06 AM

Potenciação de números racionais A potenciação com expoente natural de um número racional qualquer é uma simplificação da multiplicação desse número racional por ele mesmo, tantas vezes quanto for o expoente natural. Assim, se utilizarmos a letra a para representar um número racional e a letra n para indicar um número natural maior que 1, temos:

an  a  a  a  …  a n vezes

Como a potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, observe no exemplo a seguir como calcular algumas potências relacionadas aos números racionais.

Exemplo:

Observações:

Calcule as seguintes potências com bases racionais:

VV Quando o expoente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (2 121 ) 5 (2 121 )  (2 121 )  (2 121 ) 5 2 1 728 (2 54 ) 5 (2 54 )  (2 54 )  (2 54 )  (2 54 )  (2 54 ) 5 2 13024 125 (1 27 ) 5 (1 27 )  (1 27 )  (1 27 ) 5 1 3438 22 3

4

é par, a potência de um número racional diferente de zero é sempre um número positivo.

16 5 22  22  22  22 5 1 81 3 3 3 3

3

5

VV Quando o expoente é

ímpar, a potência de um número racional diferente de zero tem o mesmo sinal da base.

3

(20,5)4 5 (20,5) ? (20,5) ? (20,5) ? (20,5) 5 10,0625

VV Quando o expoente é 1,

a potência é igual à base, isto é: a1 5 a

Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos

VV Se a base é um número

diferente de zero e o expoente é igual a zero, a potência é igual a 1, ou seja: a0 5 1

Qual é o valor de 222? Para resolver essa operação, observe a sequência:

24

23

22

21

20

221

222

16

8

4

2

1

?

?

Analisando essa sequência verificamos que o resultado da potência dividido por 2 dá o resultado da próxima potência. Assim: 221 5

1 2

5

1 2

222 5

1

1 2

25

1 2

1 Para todo número racional a, com a  0, definimos: an  n  a 1 é o inverso de a. número natural e a

1



5

2 1 a

1 4

5

1 22

n

, em que n é um

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:06 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule as seguintes potências de números racionais:

( ) b) (1 2 ) 3 a) 2 1 3

2

3

( ) d) (1 4 ) 9

c) 2 2 5

1 9

3

2

8 27

2

8 125

16 81

2 Obtenha as potências dos seguintes números racionais escritos na forma decimal: a) (20,1)2

0,01

e) (20,4)2

0,16

b) (22,2)2

4,84

f) (22,3)2

5,29

c) (10,2)3

0,008

g) (10,5)2

0,25

d) (22,5)2

6,25

h) (21,1)2

1,21

3 Qual é o número maior: A ou B?

( ) ( ) b) A 5 2(2 2 ) ou B 5 (2 2 ) 3 3

a) A 5 2 2

2 22 ou B 5 2 5 5

3

B é maior que A.

3

3

A é maior que B.

4 Determine o valor das expressões calculando primeiro as potências indicadas.

( ) ( ) b) (2 1 ) 1 (2 1 ) 4 2 a) 2 2 1 2 1 3 2

2

3

2

3

( ) ( ) ( ) d) (1 2 ) ⋅ (1 2 ) 3 3 2

2

2

c) 2 1 2 2 1 1 2 1 5 2 3

23 72

2

1 16

3

2

2

89 900

32 243

5 Responda às questões: a) Um número racional positivo elevado ao quadrado resulta num número racional positivo ou negativo? Positivo. b) Um número racional negativo elevado ao quadrado resulta num número racional positivo ou negativo? Positivo. c) Um número racional positivo elevado ao cubo resulta num número racional positivo ou negativo? Positivo. d) Um número racional negativo elevado ao cubo resulta num número racional positivo ou negativo? Negativo. 6 Qual deve ser o expoente x para que a igualdade seja verdadeira?

( ) 1 1258 2 5

x

x53

7 Resolva cada expressão numérica. a) 321 2 1 5

0 5 3 b) (5  2) 1 1 11

2 15

3

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APOEMA matemática 7

a

5/26/15 5:39 PM

Radiciação de números racionais Você já observou, numa calculadora, a tecla “raiz quadrada”? Esta é a tecla “raiz quadrada”.

Graja/Shutterstock

Quando você digita o número 16 na calculadora e, depois, aperta a tecla "raiz quadrada", no visor aparece o número 4. Isso significa que a raiz quadrada de 16 é igual a 4. 16 5 4

Professor, comente com os alunos que, em algumas calculadoras, primeiro apertamos a tecla raiz quadrada e depois digitamos o 16 para obter 4.

Podemos dizer que a raiz quadrada de 16 representa, geometricamente, a medida do lado de um quadrado cuja área é igual a 16, isto é:

Área do quadrado: 4 ? 4 5 16

4

Lado do quadrado a partir da área:

16 5 4

4

Quando o número é racional positivo ou igual a zero, também é possível calcular a raiz quadrada. Observe, a seguir, alguns exemplos de raiz quadrada de outros números racionais. 1 5 1 16 4

( ) 5 41 ⋅ 41 5 161 Utilizando a potenciação: ( 2 ) 5 2 ⋅ 2 5 4 7 7 7 49 Utilizando a potenciação: ( 10 ) 5 10 ⋅ 10 5 100 9 9 9 81

Utilizando a potenciação:

4 5 2 49 7 100 5 10 81 9

1 4

2

2

2

0,25 5 0,5

Utilizando a potenciação: ((0,5) 0,5)2 5 0,5 ⋅ 0,5 5 0,25

1,44 5 1,2

Utilizando a potenciação: ((1,2) 1,2)2 5 1,2 ⋅ 1,2 5 1,44

2

2

Observações: VV A raiz quadrada de zero é igual a zero, pois: 02 5 0 VV Chama-se quadrado perfeito qualquer número natural que admite raiz quadrada exata:

Quadrados perfeitos Raízes quadradas

0

0 50

1

1 51

4

4 52

9

9 53

16

16 = 4

25

25 5 5

36

36 5 6

... ...

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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5/26/15 10:06 AM

Expressões numéricas Agora que já vimos um pouco de potenciação e radiciação, é importante observar que essas operações também podem estar presentes em expressões numéricas.

Exemplo: Obtenha o valor numérico da expressão: 0,04 2 5    

1 2 1 1 3 1 2         1      6  5      2       6 3 2 5 5 3

Resolução Ela pode ser resolvida mantendo-se os valores em números fracionários ou convertendo-se 1 as frações em números decimais. Neste caso, como a fração gerará uma dízima periódica, 3 utilizaremos os números fracionários: 0,04 2 5    

1 2 1 1 3 1 2          1      6  5      2      65 3 2 5 5 3

4 2 5     1 ] 2      6    6  5 3       5    265 6 5 5 3 100 2 1 6 3 25 2 5     ]         6  5  65 100 36 5 5 9 1 1 5 2           5 50 30 3 1 1 3 2           5 50 30 5 1 3 2         5 50 150 1 1 1 5 50 50 2 1 5 50 25

Observações: Nas expressões numéricas devemos efetuar as operações na seguinte ordem: 1. potenciação ou radiciação; 2. multiplicação ou divisão; 3. adição ou subtração; sempre respeitando os sinais de agrupamento, eliminando-os na seguinte ordem: 1. parênteses; 2. colchetes; 3. chaves.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:06 AM

Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Complete a tabela com as raízes quadradas de alguns números naturais. 81 5

9

100 5

10

121 5

11

12

144 5

169 5

13

14

196 5

15

16

256 5

225 5

2 Obtenha as raízes quadradas. a)

1 4

b)

9 25

1 2 3 5

c)

1 81

1 9

e) 100 81

10 9

g)

4 625

d)

25 64

5 8

f)

36 169

6 13

h)

9 49

2 25 3 7

3 Calcule as raízes quadradas dos números racionais escritos na forma decimal. a) 0,01

0,1

c) 6,25

b) 1,44

1,2

d) 1,69

2,5 1,3

e) 2,56 f)

g) 5,76

1,6

0,09

h) 0,81

0,3

2,4 0,9

4 Responda às questões: a) Quais são os números que, elevados ao quadrado, têm como resultado 4? –2 ou 2 b) Quais são os números que, elevados ao quadrado, têm como resultado 5,76? –2,4 ou 2,4 c) Quais são os números que, elevados ao quadrado, têm como resultado 0,04? –0,2 ou 0,2 d) Quais são os números que, elevados ao quadrado, têm como resultado 0,25? –0,5 ou 0,5 5 Compare os números A e B conforme indicados a seguir. A5

36 ou B 5 25

36 25

Qual é a relação entre esses números? Os dois números são iguais.

6 Qual é o número maior: A5

1 ou B 5 625

1 ? 16

O número B é maior que o número A.

7 Calcule.

a) 49 1

25 1

4 5 14

d)

22 b) 8  16 2 100 5

c) 0,25 

0,09 2

0,49 5 20,55

e) 5 

8 Calcule o resultado das expressões numéricas:

( ) ( )

25 1 49

16 2 9

144 1 100

100 58 36 21

121 5101 225 15

( )  ( 34 ) 1 (2 31 ) 2

2

3

a) 2  ( 2 2) 1 4  2 3 2 1  2 3  2 2 3 3 8 4 2 3

d) 2 2 3

b) 2 5,6  (22,8) 2 0,25  (20,5) 2,5 c) 1,44  (20,48) 1 0,9  1,2 22,25

e) 22,7  (20,3)2 1 0,8  (20,2)2 210

(

23 108

)

f) (21 21 21)  5 22 2 1 4 2

7 4

9 Calcule as seguintes potências: a 5 4³, b 5 (24)³, c 5 422 e d 5 (22)23. Depois coloque os 1 1 1 1 264, , 64. 2 ,    d 5 2 ; 264, resultados em ordem crescente. a 5 64   b 5 264  c 5 16 8 8

16

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APOEMA matemática 7

a

5/26/15 5:40 PM

CONEXÕES Decoração africana Você sabia que as mulheres da África do Sul, falantes da língua (gi) tonga da província moçambicana de Inhambane são especialistas na arte da decoração? Centenas de motivos diferentes revelam a força da imaginação e a criatividade artística e geométrica das cesteiras fabricantes dos sipatsi, que são bolsas e carteiras consideradas elementos culturais de Moçambique.

DAE

A figura a seguir apresenta um exemplo de partes de “padrões de fita” com os quais as cesteiras decoram seus sipatsi.

120 pom7_090_129_u03.indd 120

APOEMA MATEMÁTICA 7

a

5/26/15 10:06 AM

Quando elas decoram seus sipatsi, repetem o motivo decorativo na posição oblíqua ou diagonal. Uma das condições que deve satisfazer para ser considerado belo e de boa qualidade é que, em cada fita ornamental, o motivo deve caber, ao dar a volta ao sipatsi, exatamente um número inteiro de vezes. Isso implica que o número total de tiras coloridas deve ser um múltiplo comum de cada um dos períodos dos motivos utilizados na decoração. Outro ponto importante é a análise das simetrias que os padrões de fita apresentam. Nos exemplos que ilustramos anteriormente existem eixos de simetria na posição horizontal ou vertical. Aproveite e tente encontrá-los. Você sabia que, do ponto de vista da teoria algébrica, existem sete grupos de simetria de padrões de fitas infinitos? O mais interessante e fascinante é que as cesteiras inventaram padrões de fitas que pertencem a todos os sete grupos de simetria teoricamente possíveis. Mulheres do extremo norte da África do Sul, perto da fronteira com o Zimbábue, tecem peças com lã crua e, assim como as outras mulheres sul-africanas, utilizam criações que apresentam eixos de simetria bem interessantes. Em duplas, conversem sobre as habilidades e os conhecimentos matemáticos dessas mulheres. John Warburton Lee / SuperStock / Glow Images

Resposta pessoal.

Mulher vendendo bolsas do tipo sipatsi em Inhambane, Moçambique.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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5/26/15 10:06 AM

CAPÍTULO 14

Tratamento da informação: gráfico de setores

Ilustrações: Setup

O gráfico de setores é construído com um círculo dividido em partes (cada parte é chamada de setor do círculo). O tamanho do setor é proporcional ao valor (ou percentual) que será considerado em relação ao todo (o círculo). Vamos imaginar que foi feita uma pesquisa para saber como as pessoas avaliam o desempenho de um novo modelo de telefone celular. O gráfico a seguir mostra o resultado dela. Fica evidente, nesse gráfico, que o conceito "bom" representa a maioria das opiniões. Observa-se isso não apenas lendo o percentual como também visualizando o tamanho do setor correspondente. O tamanho de cada setor é determinado pela medida do ângulo central, considerando que o círculo tem 360°. Para exemplificar, observe como podemos calcular cada ângulo central do exemplo anterior: ruim ótimo 5 ? 3608 5 0,05 ? 3608 5 188. regular 5% 20% • Ruim: 5% de 3608 5 100 15% 15 ? 3608 5 0,15 ? 3608 5 548. • Regular: 15% de 3608 5 100 20 ? 3608 5 0,20 ? 3608 5 728. • Ótimo: 20% de 3608 5 100 60 ? 3608 5 0,60 ? 3608 5 2168. bom • Bom: 60% de 3608 5 100 60%

Observação: VV Com o auxílio de transferidor e compasso, você poderá construir gráficos de setores.

Uma das grandes questões a serem A distribuição da terra agrícola em Rondônia em 2010 resolvidas no Brasil nos próximos anos é a da distribuição de terra. grande propriedade 77,40% Vejamos uma pesquisa realizada em Rondônia no ano de 2010. Ela indica que média propriedade 6,20% a maior parte da terra está nas mãos dos grandes produtores. pequena propriedade 10,70% O gráfico nos mostra uma situação minifúndio 5,70% particular do estado de Rondônia, mas existem inúmeras situações que mobili- Disponível em: Acesso em: jan. 2015. zam discussões sobre a reforma agrária. Outro tema que começou a ficar mais evidente em 2014 é a questão da quantidade de terras já desmatadas e improdutivas no Brasil. Segundo o Greenpeace, se aproveitássemos as áreas improdutivas para o plantio e a pecuária, não haveria a necessidade de derrubar mais nenhuma árvore no país. Para mais informações acesse: .

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Construção de gráficos de setores Exemplo: Na avaliação de um trabalho de Ciências, foram atribuídos conceitos. No levantamento final, a avaliação ficou assim distribuída: Conceito

Regular

Bom

Ótimo

Número de alunos

10

15

25

Podemos elaborar um gráfico de setores para observar a distribuição dos 50 alunos. Observe as etapas de construção do gráfico:

• Calculamos inicialmente os percentuais correspondentes: Regular: 10 alunos em 50 5 10 5 0,20 5 20% 50 Bom: 15 alunos em 50 5 15 5 0,30 5 30% 50 Ótimo: 25 alunos em 50 5 25 5 0,50 5 50% 50

• Determinamos as medidas dos ângulos de cada setor com base nos percentuais acima:

• Com o auxílio de um compasso, desenhamos uma circunferência. Utilizando o transferidor marcamos os ângulos correspondentes e inserimos as porcentagens:

72

108 180

Ilustrações: Setup

Regular: 20% de 360° 5 20 ? 3608 5 728 100 Bom: 30% de 360° 5 30 ? 3608 5 1088 100 Ótimo: 50% de 360° 5 50 ? 3608 5 1808 100

Avaliação em Ciências

30%

20%

ótimo bom regular

• O passo seguinte é escolher uma cor para cada setor e colocar uma legenda ao lado, indicando o que cada cor representa. Também é preciso criar um título para o gráfico.

50%

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

4 Numa turma do 7o ano, havia 44 alunos, dos quais 33 eram meninas e 11, meninos. Faça um gráfico de setores com essas informações. Depois, responda às meninos questões:

Ilustrações: Setup

1 Considere que, após determinada pesquisa, produziu-se o seguinte gráfico de setores. 10% Responda: 30%

meninas

a) Qual é o percentual de meninas em relação ao número de alunos da turma?

60%

75%

b) E qual é o percentual de meninos? 25% c) No gráfico de setores que você construiu, qual é o ângulo correspondente ao setor que representa o número de meninas? 270º

a) Qual é a soma dos percentuais indicados? 100% b) Qual é a medida do ângulo correspondente ao setor que indica 60%? 216º

d) E qual é o ângulo correspondente ao setor que representa o número de meninos? 90º

c) Qual é a medida do ângulo correspondente ao setor que indica 10%? 36º d) Qual é a medida do ângulo correspondente ao setor que indica 30%? 108º

2 Conforme os percentuais mostrados no gráfico de setores ao lado, indique a medida do ângulo correspondente a cada setor. 10% → 36º 44% → 158,4º

46%

44%

Ilustrações: Setup

10%

5 O gráfico de setores a seguir contém os conceitos dados para os 200 alunos de uma escola na disciplina de Educação Física, numa atividade esportiva. Conceitos na atividade esportiva

46% → 165,6º

3 Determinada loja fez um levantamento sobre a satisfação de seus clientes, e o resultado está expresso no gráfico a seguir, em que o total corresponde a um setor de 180o.

53% boa 6% excelente

22%

28%

13% não tão boa

1% ruim

27% não sabe

10% 40% ruim – 44; regular – 20; bom – 80 e ótimo – 56.

ruim

regular

bom

ótimo

a) Calcule o número de alunos correspondente a cada conceito. b) Determine a medida do ângulo correspondente a cada setor.

ruim – 79,2º; regular – 36º; bom – 144º e ótimo – 100,8º

b) boa; 95,4°

124

5. c) Conceito Percentual ruim 22% regular 10% bom 40% ótimo 28%

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d) ruim. 1,8° Número de alunos 44 20 80 56

APOEMA MATEMÁTICA 7

d) Construa um gráfico de barras. 5. d) Porcentagem

Calcule a medida do ângulo correspondente ao setor que indica a avaliação: c) não tão boa; 23,4° a) excelente; 10,8°

c) Elabore uma tabela contendo os conceitos, os percentuais e o número de alunos. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

ruim regular

bom

ótimo

Conceito

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SUPERANDO DESAFIOS 1 (OBM) Podemos afirmar que 0,1² 1 0,2² é igual a: Alternativa a. 1 1 1 b) c) a) 20 10 5

d)

1 4

e)

1 2

2 (OBM) Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido 3 da escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de 4 descer, que fração da escada Beatriz ainda terá que subir? Alternativa e. a) 1 4

b) 1 3

c)

1 12

d) 5 12

e) 2 3

3 (UFRJ) Dois estados do país, num certo ano, produzem os mesmos tipos de grãos. Os gráficos de setores ilustram a relação entre a produção de cada tipo de grão de um estado e a produção total desse mesmo estado. feijão DAE

milho soja trigo Estado I

Estado II

a) Determine que percentual da produção de grãos do estado II, desse ano, representa as produções de soja e de trigo juntas. Justifique. 50% pois ocupa metade do gráfico de setores. b) Pode-se dizer que, nesse ano, o estado I produziu uma quantidade total de milho maior que a do estado II? Justifique. Não, pois não sabemos os valores produzidos.

Editora Atual

Explorando Pra que serve Matemática? – Frações e números decimais Autor: Imenes, Jakubo, Lellis Editora: Atual 48 páginas Os autores do livro Frações e números decimais, volume pertencente à coleção Pra que serve Matemática?, nos apresentam diversos exemplos de como a Matemática está presente em nosso cotidiano sem nos damos conta disso. De maneira bem-humorada e com diversas ilustrações, vamos descobrir que aplicamos as frações e os números decimais a todo instante, seja na música, nos gráficos, nas medidas das lapiseiras, na cronometragem de campeonatos esportivos, ou seja, em situações corriqueiras.

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TECLA_MATEMÁTICA Você já construiu um gráfico? Que etapas foram utilizadas para construí-lo? Nesta seção veremos como criar um gráfico em uma planilha de cálculo.

Fernanda Gomes

Vamos trabalhar com o seguinte dado: “Quantidade de alunos do sexto ano da Escola Alto-Astral”.

Fernanda Gomes

Na aba superior da planilha, clique na opção Inserir. Nela, localize no grupo Gráficos o tipo de gráfico que deseja usar. Sugerimos que iniciem pelo gráfico de colunas. Veja que abaixo de cada tipo de gráfico há uma seta que possibilita abrir os subtipos desses gráficos.

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Ao selecionar o tipo do gráfico observe que existe um item chamado “selecionar dados”.

Fernanda Gomes

Clique nesse botão e selecione as salas e a quantidade de alunos. Clique em Ok e seu gráfico será gerado.

Fernanda Gomes

É importante dar nome ao gráfico e aos dados das coordenadas. Para isso, localize o grupo chamado Layout de Gráfico e clique em cada uma das opções para observar as alterações ocorridas em seu gráfico. Para inserir o título, clique em cima da expressão “Título do Gráfico” e altere o título.

Utilizando uma planilha de cálculo, construa um gráfico para que você verifique como está a distribuição de seu tempo durante o dia. Para isso, elabore uma tabela de sua rotina diária. Use o intervalo de tempo que achar mais adequado, por exemplo, anotar hora a hora a atividade realizada ou anotar as atividades que realiza no dia e ao lado a quantidade de horas utilizadas em cada atividade etc. Feito isso, responda às questões com base no gráfico construído.

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Como está a distribuição de seu tempo durante o dia? Está adequado o tempo que você se dedica aos estudos em relação ao tempo de lazer?

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RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Qual número apresentado a seguir é, ao mesmo tempo, inteiro e natural? Alternativa c. a) 20,3 b) 4,5

c) 103 d) 235

2

A 0

1

1

2

?

2 Sobre os números naturais, os inteiros e os racionais, apenas uma das afirmações a seguir é verdadeira. Determine-a. Alternativa c.

a) Um número inteiro é também natural. b) Um número racional é também um número inteiro. c) Um número inteiro pode ser um número natural. d) Todo número natural não é inteiro. 3 Qual é a alternativa que indica corretamente a forma fracionária do número 0,343434...? Alternativa a. c) 34 a) 34 99 90 4 b) d) 34 99 9 4 O número racional 20,125 escrito na forma fracionária é: Alternativa b. a) 2 125 c) 2 125 100 10 b) 2 1 d) 2 1 8 4 5 Escreva na forma decimal os seguintes números racionais: a)  3 20,6 d) 12 0,48 5 25 2 102 b)  20,25 e) 25,5 8 4 c)  98 29,8 10 6 Entre os números a seguir, indique aquele com maior valor absoluto. Alternativa d. a) 22,332 b) zero

D E

c) 4,15 d) 24,18

7 Na reta numérica a seguir, a letra D indica o número 21 e A indica o número zero. Assinale a alternativa correspondente ao número indicado pela letra E. Alternativa c.

c) 20,7 d) 21,3

a) 21,4 b) 20,6

8 Resolva a expressão numérica e determine qual é a alternativa que indica a resposta correta. Alternativa d.

(2 103 ) 1 (2 154 ) 1 (1 74 )

a) 2 10

c) 23 10 d) 2 23 10

b) 2 2 10

9 Qual é o número racional que indica a distância entre os dois pontos destacados na reta numérica a seguir? Alternativa b.

1

0,7

0,3

0,3

0

a) 0,4 b) 1

1

c) 20,4 d) 21

10 Determine a alternativa que apresenta um número o qual, adicionado a 2 23 , resulta 10 em zero. Alternativa c. c) 1 23 a) 2 23 10 10 d) zero b) 1 2 15 11 O valor da expressão numérica 3 7 2 2 1 2  é: Alternativa c. 4  8 

( )

a) 0,25 b) 0,05

c) 0,125 d) –0,25

12 Calcule o valor da expressão aritmética 2 2 1 2 1 1 1 e determine a alter4 3 nativa que corresponde esse valor. Alternativa a. a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 12 4 6 13

(

) (

)

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13 Calcule o valor da expressão aritmética 1 2 1 ⋅ 1 2 1 e determine a alter9 2 nativa correta. Alternativa c. b) 5 c) 4 d) 5 a) 1 2 2 9 9

(

) (

)

2 3

1 2



 3 2

2 3



a) um número positivo maior que 0,2. b) um número maior que 1. c) um número entre zero e 1. d) um número negativo. 15 Calcule o valor da expressão aritmética 1 2 1  1 1 1 e determine a alter4 2 nativa correspondente. Alternativa a. b) 5 c) 5 d) 5 a) 1 2 2 4 6

(

) (

)

16 Sobre os números A e B, sendo A 5 0,01 e B 5 (20,1)3 , é correto afirmar que: Alternativa b.

17 Na reta numérica a seguir foram indicados, por meio de pequenos traços verticais, nove pontos igualmente espaçados. A cada ponto corresponde um número racional. Os números 21 e zero estão indicados. Quais são os números racionais que as letras A, B, C e D indicam?

1 A B

C D

Ilustrações: Setup

0

4 3 2 3 A) 2 ; B) 2 ; C) ; D) 5 5 5 5

18 No quadro a seguir, foram escritos alguns números racionais e o sinal de multiplicação (). Descubra quais são os números racionais que estão faltando.

19. É possível perceber que a unidade se repete a cada quatro vezes na sequência {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, ...}. Vendo essa repetição, a questão pode ser abordada pelos restos da divisão por 4.

Restos da divisão 0 - 1 - 2 - 3 do expoente por 4 Unidade do resultado

6-2-4-8

1

  



1



1 3

1 3

19 Observe, calcule e responda: É possível saber qual algarismo das unidades de qualquer potência de 2? 2¹ 5 2

25 5

 32

29 5

512

2² 5 4

2 5

 64

2 5

1 024

2³ 5 8

2 5

 128 2 5

2 048

24 5 16

28 5

256

212 5

4 096

6

7

10

11

20 Complete a tabela a seguir com os quadrados e os cubos dos números naturais. Obs.: utilize uma calculadora caso seja necessário. Número natural

a) são números iguais. b) A é maior que B. c) A é menor que B. d) os dois são positivos.



 

1 3







14 Calculando a potenciação (20,2)3, o resultado é: Alternativa d.



Quadrado

Cubo

0

0

0

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1 000

11

121

1 331

12

144

1 728

13

169

2 197

14

196

2 744

15

225

3 375

16

256

4 096

Logo, concluímos que, se o valor do expoente for dividido por 4 e tiver resto zero, a unidade será 6; se tiver resto 1, a unidade será 2; se tiver resto 2, a unidade será 4 e, se tiver resto 3, a unidade será 8.

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UNIDADE 4

Geometria: áreas

Ao comprar um terreno ou mesmo uma casa, precisamos saber quantos metros quadrados de área eles têm. Utilizamos assim o metro quadrado como unidade de medida de área. Para grandes superfícies, como fazendas, outras unidades são empregadas.

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Mystel/Shutterstock

1 Como explicar o significado de 1 metro quadrado? 2 Quantos metros quadrados há em 1 quilômetro quadrado? 3 Qual é a maior superfície: 1 alqueire ou 1 hectare?

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CAPÍTULO 15

O conceito de áreas Eduardo Belmiro

Para se construir uma casa, devem ser tomadas diversas medidas. Não basta saber a área do terreno em que a construção será feita, é preciso definir qual será o tamanho total da casa e como será sua divisão em cômodos. Assim, deve-se ter em mente a quantidade de quartos e de banheiros, o tamanho da garagem (se será coberta ou não), o tipo de revestimento que será utilizado para os pisos e paredes etc.

São decisões importantes relacionadas ao planejamento da casa a ser construída. Veja, na imagem acima, a planta de uma casa. Nela é possível observar a disposição da casa no terreno, a localização dos quartos e dos demais cômodos. Por esse exemplo, podemos notar a importância de entender o conceito de área e também de saber calcular a área de superfícies diferentes. Neste capítulo vamos retomar alguns aspectos antes abordados e ampliar um pouco mais Respostas da página anterior: nosso conhecimento sobre o assunto. 1. É a área de um quadrado cujo lado tem 1 metro. 2. 106 m2 3. Alqueire

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Medida de superfície Quando falamos em área, queremos dizer medida de superfície. Assim, podemos obter a área de um campo de futebol, de nosso país, de uma folha de papel, da tela do computador etc. Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto a área é a medida dessa grandeza. Chamamos de grandeza tudo o que pode ser medido.

Setup

Dependendo do que se quiser medir, é mais conveniente utilizar determinada unidade de medida de área em vez de outra. O metro quadrado é a unidade de medida padrão de área.

Define-se como unidade de medida padrão de área o metro quadrado (m2). Essa unidade corresponde a uma região limitada por um quadrado cujo lado mede 1 m.

Dizemos que odequadrado Dizemos que o quadrado lado de lado 1 m de medindo 1 m demedindo comprimento tem 1comprimento m2 de área. tem 1 m2

1m

de área.

1m

O metro quadrado tem múltiplos e submúltiplos. Múltiplos da unidade

Unidade

Submúltiplos da unidade

quilômetro quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

1 000 000 m2

10 000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

Note que cada unidade de área é igual a 100 vezes a unidade imediatamente inferior ou, de forma equivalente, cada unidade de área é igual a 1 centésimo da unidade imediatamente superior. Na prática, o uso dessas unidades de medida de área depende do contexto. É comum, por exemplo, a área de um país ser dada em quilômetros quadrados; já quando nos referimos à área de um apartamento ou uma casa, costumamos utilizar o metro quadrado. O hectômetro quadrado, também chamado de hectare, é uma medida normalmente utilizada em áreas de plantio. Pequenas áreas, como a área da capa de um caderno, podem ser medidas em centímetros quadrados ou ainda milímetros quadrados.

Observações: VV Para o cálculo de grandes áreas, utilizam-se as unidades agrárias:

hectare e alqueire. 1 hectare 5 1 ha 5 10 000 m2 1 alqueire 5 2,42 ha 5 24 200 m2 VV No volume anterior, comentamos que, em algumas regiões do país,

é usado o alqueire que equivale a 48 400 m2 (o alqueire mineiro e o goiano). Há ainda o alqueire do norte, que corresponde a 27 225 m2 (utilizado na Região Norte do país).

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 O quadrado maior está dividido em quadrados menores de 1 cm2 de área. Determine: a) a medida do lado de cada quadrado menor; 1 cm b) a medida de cada lado do quadrado maior; 3 cm c) o perímetro do quadrado maior; 12 cm d) a área do quadrado maior. 9 cm2

Ilustrações: Setup

2 Um retângulo está dividido em pequenos quadrados iguais de área 0,7 cm2. Determine a área do retângulo. 25,2 cm2

3 Passe para m2 as medidas de superfície a seguir. a) 2 km2 2 000 000 m2

b) 25 000 cm2 2,5 m2

4 Calcule a área de um quadrado cujo lado mede: a) 2,7 cm 7,29 cm2 b) 0,9 m 0,81 m2

c) 5,1 m 26,01 m2 d) 8,8 cm 77,44 cm2

5 O retângulo ao lado representa um terreno e a região em forma de T, o local do terreno em que será construída uma casa. Na malha quadriculada, cada quadrado tem 25 m2 de área. Calcule: a) a área ocupada pela casa; 100 m2 b) a área do terreno descontando a área da casa. 600 m2 6 Transforme as medidas de superfície em metros quadrados. a) 2 hectares 20 000 m2 b) 10,5 hectares 105 000 m2 c) 5 alqueires paulistas 121 000 m2 d) 0,5 alqueire paulista 12 100 m2

e) 9 hectares 90 000 m2 f) 165,8 hectares 1 658 000 m2 g) 9,5 alqueires paulistas 229 900 m2

As atividades 7 e 8 poderão ser resolvidas em dupla. 7 Uma grande peça de cerâmica em forma de quadrado está dividida em partes coloridas e partes não coloridas, conforme mostra a figura ao lado. Determine a área da parte colorida, considerando que a peça toda tem 81 cm2. 63 cm2

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Eduardo Belmiro

8 Observe a planta a seguir, descrita na malha quadriculada, e responda às questões com valores aproximados.

BANH.

BANH.

a) Nessa planta, qual é a área aproximada dos dormitórios considerando que cada quadrado da malha quadriculada tem área igual a 2 500 cm²? 345 000 cm² b) Se o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 0,5 m, qual é a medida dos quartos em metros quadrados? 0,5 m  0,5 m 5 0,25 m² Como temos aproximadamente 138 quadrados, c) Por que 345 000 cm² é igual a 34,5 m²? 0,25 m²  138 5 34,5 m². Porque 1 cm² 5 0,0001 m², assim 345 000 cm² será igual a 0,0001 m²  345 000 5 34,5 m².

TRABALHO EM EQUIPE

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caderno

Faça as atividades a seguir em um grupo de até cinco pessoas e descubra quantas pessoas cabem em um metro quadrado. Respostas pessoais. a) Escrevam o número de pessoas que vocês acham que cabem em um metro quadrado. b) Com auxilio do professor, usem régua, esquadro e giz branco para desenhar no pátio da escola um metro quadrado. c) Convidem seus amigos para ficar em pé dentro do quadrado que vocês acabaram de desenhar. d) Quantas pessoas couberam nesse espaço? e) A estimativa inicial de vocês estava próxima do número de pessoas obtido? f) Façam uma pesquisa sobre a quantidade máxima de pessoas por metro quadrado em meios de transporte públicos. Comparem os resultados encontrados com as outras equipes.

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Área do quadrado Ilustrações: Setup

Se você conhece a medida do lado de um quadrado, pode calcular sua área elevando essa medida ao quadrado. Por exemplo, se a medida do lado de um quadrado for 4 cm, sua área será 16 cm2.

4 cm

4 cm

Área: (4 cm)2 5 16 cm2

 

Isso significa que podemos construir 16 quadradinhos de 1 cm de medida de lado num quadrado cujo lado mede 4 cm. A área de um quadrado pode ser obtida elevando-se ao quadrado a medida do lado desse quadrado. Assim, se a medida do lado for representada pela letra ℓ e a área por A, temos que: A 5 ℓ2

Observações: VV A unidade de área é a unidade de medida do comprimento do lado do quadrado elevada ao quadrado. VV Se a medida do lado de um quadrado for um número racional não inteiro, a área do quadrado será esse

número elevado ao quadrado.

Exemplo 1: A figura representa um quadrado cujo lado mede 8 cm. Calcule a sua área. 8 cm

A

B

8 cm

D

C

Resolução: Como a medida do lado é 8 cm, para calcular a área elevamos essa medida ao quadrado. A 5 ℓ2 A 5 (8 cm)2 5 64 cm2

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Exemplo 2: Considere que cada quadradinho desenhado ao lado representa 2,5 cm2 de área. Determine a área total representada pela figura. Resolução: A área total será dada pela soma da área de todos os quadradinhos iguais em que essa figura está dividida. 5 ? 5 5 25 (total de quadradinhos de mesmo tamanho) Portanto: A = 25 ? 2,5 cm2 A = 62,5 cm2

Exemplo 3: Aline desenhou no caderno um quadrado cujo lado mede 7,2 cm e, dentro dele, outro quadrado de lado medindo 4,8 cm, conforme representado pela figura a seguir. Ilustrações: Setup

Calcule a área da região colorida, compreendida entre os dois quadrados. Resolução: A área a ser calculada corresponde à diferença entre as duas áreas, isto é: A 5 (7,2 cm)2 2 (4,8 cm)2 A 5 51,84 cm2 2 23,04 cm2 A 5 28,80 cm2

Exemplo 4: Os moradores de um bairro resolveram cuidar de uma praça abandonada que havia na redondeza. Juntos, decidiram construir um jardim no centro da praça e uma calçada cimentada em torno do jardim para colocar bancos e cadeiras. O esboço do projeto está representando ao lado.

• Os

moradores colocarão grama no jardim. Quantos m² de grama serão necessários? Resolução:

Área cimentada

6m

Área do jardim: (3,8 m)² 5 14,44 m²

• Para

comprar o cimento que será utilizado na construção da calçada é preciso descobrir quantos m² serão cimentados.

Jardim

3,8 m

3,8 m

6m

Área total: (6 m)² 5 36 m². Área da parte cimentada: área total da praça menos a área do jardim. 36 m² 2 14,44 m² 5 21,56 m²

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Complete a tabela com as áreas de quadrados. Medida do lado do quadrado (cm) Área do quadrado (cm2)

1

1,5

2

2,8

3

3,6

4

10,2

21

30

1

2,25

4

7,84

9

12,96

16

104,04

441

900

2 Calcule a área dos quadrados abaixo conforme as medidas de seus lados: b) 2 dm 4 dm2 c) 1 km 1 km2 d) 80 mm 6 400 mm2 a) 7 cm 49 cm2 3 Resolva os problemas a seguir. a) Marcos comprou um terreno em forma de quadrado, com 25 m de medida em cada lado. Na metade do terreno, ele plantará grama. Quantos metros quadrados de grama ele terá de encomendar? 312,5 m2 b) Tatiana tem um terreno de formato quadrado que mede 121 m². Recentemente ela decidiu cercar o terreno com uma tela. Quantos metros lineares de tela ela precisará comprar para cercar esse terreno? 44 m 4 A seguir estão representados quatro quadrados da seguinte forma: o lado do quadrado A mede 1,5 cm; o lado do quadrado B mede 1 cm a mais que o lado do quadrado A; o lado do quadrado C mede 1 cm a mais que o lado do quadrado B; e o lado do quadrado D mede 1 cm a mais que o lado do quadrado C. Determine as áreas desses quatro quadrados. A

B

C

D

Ilustrações: Setup

A: 2,25 cm2; B: 6,25 cm2; C: 12,25 cm2; D: 20,25 cm2.

5 Responda às questões. a) O lado de um quadrado mede entre 2 cm e 3 cm. Entre que valores está a área desse quadrado? Entre 4 cm2 e 9 cm2. b) O lado de um quadrado mede entre 4,5 cm e 5 cm. Entre que valores está a área desse quadrado? Entre 20,25 cm2 e 25 cm2. Registre no

TRABALHO EM EQUIPE

caderno

Em dupla, faça as atividades a seguir. a) Se a medida do lado de um quadrado é duplicada, o que ocorre com sua área? É quadruplicada.

b) Se a medida do lado de um quadrado é multiplicada por 0,5, o que ocorre com sua área? É multiplicada por 0,25.

c) Na figura ao lado, a área do quadrado menor é 9,56 cm2. Determine a área do quadrado maior.

A área do quadrado maior é o dobro da área do quadrado menor, isto é, 19,12 cm2.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Registre no

caderno

CONEXÕES

Nem sempre nos deparamos com uma figura geométrica regular para determinar a área de uma superfície. Nesse caso, para calculá-la, fazemos aproximações, imaginando que a superfície cuja área desejamos determinar esteja dividida em quadrados de mesma área. Por exemplo, na figura a seguir, considere que a parte colorida representa a superfície de um lago cuja área precisamos determinar. Note que foram desenhados quadrados iguais.

Se o lado de cada quadrado mede 100 m, responda: a) Qual é a área de cada um desses quadrados? 10 000 m2 b) O lago ocupa aproximadamente quantos desses quadrados? Entre 7 e 8 quadrados. c) Então, qual é a área aproximada desse lago? Entre 70 000 m2 e 80 000 m2.

Área do retângulo E como calculamos a área de um retângulo? Para calcular a área do quadrado, vimos que basta elevar ao quadrado a medida do lado. No caso do retângulo, existem duas medidas: comprimento (base) e largura (altura). Lembrando que a unidade de medida de área é um quadrado, basta dividirmos o retângulo em quadrados de mesma medida. Por exemplo, vamos considerar um retângulo em que a base mede 5 cm e a altura mede 3 cm.

3 cm

5 cm

Ilustrações: Setup

Dividindo esse retângulo em quadradinhos de 1 cm de lado, obtemos a figura a seguir. Se cada quadradinho tem 1 cm2 de área, podemos dizer que a área desse retângulo é o número total de quadradinhos em que foi dividido multiplicado pela área de cada um deles. A 5 5 ? 3 ? (1 cm2)

1 cm

A 5 15 ? (1 cm2) ⇒ A 5 15 cm2 1 cm

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Em outras palavras: A área de um retângulo pode ser obtida multiplicando-se a medida da base b pela medida da altura h. Em símbolos: A5b?h

Exemplo 1: Setup

O lado de cada quadradinho da malha quadriculada abaixo mede 0,5 cm. Calcule a área da parte não colorida da figura.

Resolução: Uma possibilidade é: calculamos a área do retângulo maior menos a área do retângulo menor. A 5 (14 ? 0,5 cm) ? (9 ? 0,5 cm) 2 (6 ? 0,5 cm) ? (4 ? 0,5 cm) A 5 (7 cm) ? (4,5 cm) 2 (3 cm) ? (2 cm) A 5 31,5 cm2 2 6 cm2 A 5 25,5 cm2

Exemplo 2: Waldomiro Neto

Quantos metros quadrados tem o campo de futebol cujas medidas estão indicadas a seguir?

70 m

100 m

Resolução: Como o campo é um retângulo com comprimento de 100 m e largura de 70 m, para ­calcular a área multiplicamos essas duas medidas. A5b?h A 5 (100 m) ? (70 m) A 5 7 000 m2

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Exemplo 3: No terreno da casa em que Paula mora, há uma área na qual será plantada grama. O custo da grama é de R$ 15,00 o metro quadrado. Paula fez um desenho com as medidas do terreno onde a grama será plantada. Que estratégias você utilizaria para calcular a área total desse terreno? Quantos reais serão pagos para comprar a grama?

2m 3m

Ilustrações: Setup

7m

6m

Resolução: Vejamos duas possibilidades para responder a questão:

• Vamos calcular a área do terreno em que a grama será plantada. É a área do retângulo, cuja medida é 7 m por 3 m, menos a área do quadrado, cujo lado mede 1 m. A 5 (7 m) ? (3 m) 2 (1 m)2 A 5 21 m2 2 1 m2 ⇒ A 5 20 m2 Agora podemos calcular o custo da grama multiplicando a área obtida pelo valor do metro quadrado de grama. Custo 5 20 ? 15,00 5 300,00 Portanto, o custo será de R$ 300,00.

• Podemos também dividir a figura em dois retângulos e calcular a área de cada um para determinar a área total, como segue. Área de A 5 (2 m)  (1 m) 5 2 m² Área de B 5 (3 m)  (6 m) 5 18 m² Área total 5 2 m² 1 18 m² 5 20 m²

7m

1m 2m

A B

3m

6m

E agora basta calcular o custo total, como fizemos acima.

TRABALHO EM EQUIPE

Registre no

caderno

Tragam para a escola folhetos com anúncios de imóveis, de preferência propagandas que tenham ilustrações das plantas baixas de apartamentos. Formem duplas, escolham uma planta baixa entre as coletadas por vocês e calculem: a área total do imóvel, a área dos dormitórios (quartos) e a área dos sanitários (banheiros). Comparem os resultados encontrados com os de outra dupla e observem semelhanças e diferenças entre eles.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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AGORA É COM VOCÊ

Registre no

caderno

1 Considere o retângulo desenhado na malha quadriculada abaixo e em seguida faça o que se pede.

1 cm 1 cm

a) Determine as medidas dos lados do retângulo. 6 cm por 4 cm b) Calcule a área ocupada pelo retângulo. 24 cm2 2 Dizemos que duas figuras geométricas planas são equivalentes quando ambas têm a mesma área. Verifique se os retângulos representados a seguir são equivalentes. São equivalentes, pois têm a mesma área: 10 cm2.

2,5 cm



1,25 cm 4 cm

8 cm

3 Complete a tabela com os valores correspondentes às áreas dos retângulos. Retângulo

Medida da base (cm)

Medida da altura (cm)

Área (cm2)

A

9,2

4,5

41,4

B

10,5

6

63

C

6,8

6,5

44,2

D

16

10

160

E

18,3

5

91,5

Ilustrações: Setup

4 Uma empresa encomendou um grande painel luminoso para colocar na parede externa do prédio. Esse painel é formado por placas retangulares, em duas cores (verde e amarelo), que medem 1 m de comprimento por 0,5 m de altura cada uma, como representado a seguir.

0,5 m 1m

a) Qual é a área do painel? 31,5 m b) Qual é a área ocupada pelas letras A e H? 11,5 m2 2

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Ilustrações: Setup

5 Considere, inicialmente, um retângulo em que a medida da base é 10 cm e a medida da altura é 8 cm, conforme indicado na figura a seguir.

8 cm

10 cm

Responda: a) Qual é a área do retângulo? 80 cm2 b) Aumentando 1 cm na medida da base e mantendo a medida da altura, o que acontece com a área? Aumenta 8 cm2. c) Aumentando 1 cm na medida da altura e mantendo a medida da base, o que acontece com a área? Aumenta 10 cm2. d) Duplicando a medida da base e mantendo a medida da altura, o que acontece com a área? Duplica também. e) Duplicando a medida da altura e mantendo a medida da base, o que acontece com a área? Duplica também. f) Duplicando a medida da base e também a medida da altura, o que ocorre com a área? Quadruplica.

6 O retângulo a seguir é formado por uma parte azul e outra amarela, e sua altura é 7,5 cm.

7,5 cm

x cm

y cm

Sabendo que a área do retângulo azul é 45 cm2 e a medida de y é o dobro da medida de x, determine: b) a medida de y; 12 cm c) a área do retângulo amarelo. a) a medida de x; 6 cm 7 Resolva os problemas a seguir.

90 cm2

a) Um terreno tem a forma de um retângulo cujos lados medem 12 m por 25 m. Qual é a área do terreno? 300 m2 b) Em um campo de futebol que mede 100 m por 70 m, será jogado adubo para o fortalecimento da grama. Estima-se que será preciso 1 saco de determinado adubo para cada 250 metros quadrados de grama. Quantos sacos de adubo serão necessários para adubar adequadamente o gramado? 28 sacos c) Para revestir uma garagem retangular de 10 m por 3,6 m, serão utilizadas cerâmicas quadradas com medida de lado de 30 cm. Quantas cerâmicas deverão ser compradas para revestir a garagem? 400 cerâmicas d) Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Determine a medida do outro lado desse retângulo, de tal forma que sua área seja igual à de outro retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm. 10,8 cm e) Num parque retangular de 240 m por 45 m, haverá um show especial com uma orquestra. Para cada 2 m2 de área, são esperadas cerca de 5 pessoas. Nessas condições, qual é a lotação máxima para o show? 27 000 pessoas

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Registre no

caderno Eduardo Belmiro

8 A figura ao lado representa um salão de 48 m de comprimento por 32 m de largura. Conforme indicado no desenho, para uma festa o piso do salão será revestido com placas quadradas de madeira cujos lados medem 4 m cada. Essas placas serão colocadas lado a lado, sem sobreposição. Qual é o número total de placas necessárias para cobrir o piso? 96 placas 9 Calcule a área das figuras a seguir. 125 m

3 cm

a)

b) 7 cm

220 m 1 cm

10 cm

125 m 250 m

2 cm

6m

80 m 37 500 m²

80 cm²

Ilustrações: Setup

10 Considere o retângulo a seguir.

12 cm

20 cm

Em cada item está indicada uma mudança na medida de um dos lados, porém a área do retângulo deverá permanecer a mesma em todos os casos. Em dupla, indique o que muda na medida do outro lado se: a) a medida da base for multiplicada por 2; A medida da altura deverá ser dividida por 2. b) a medida da altura for dividida por 5; A medida da base deverá ser multiplicada por 5. c) a medida da base for triplicada; A medida da base deverá ser dividida por 3. d) a medida da altura for aumentada em 25%. A medida da base será diminuída em 20%.

11 Na figura a seguir há um quadrado de vidro cuja moldura tem 4 partes retangulares iguais, feitas de madeira. Sabendo que o perímetro de cada retângulo é 14 cm, qual é a área do quadrado maior, formado pelo quadrado menor e as quatro partes da moldura? 49 cm2

Eduardo Belmiro



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CAPÍTULO 16

Área do triângulo e do paralelogramo Juca Martins/Olhar Imagem

No capítulo anterior vimos como é possível calcular a área de um quadrado e a de um retângulo quando conhecemos as medidas de seus lados. Tanto a forma quadrada quanto a forma retangular são muito utilizadas em construções. Os terrenos geralmente têm formato retangular. Por isso, o cálculo da área de um terreno é feito multiplicando-se o comprimento dele por sua largura. Entretanto, nem sempre as formas das áreas que desejamos medir são retangulares ou quadradas, inclusive as de alguns terrenos. Podemos encontrar, como na fotografia ao lado, locais cuja forma é triangular e que também precisam ter sua área determinada. Como podemos determinar a área de um triângulo?

Vista aérea de linha de metrô em São Paulo, SP.

Neste capítulo ampliaremos um pouco o conhecimento sobre o cálculo de área envolvendo figuras planas. Veremos especialmente como calcular a área de um triângulo e de um paralelogramo.

Área do paralelogramo Você sabe o que é um paralelogramo? Paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos. A distância de um lado, que podemos chamar de base até o lado paralelo a ele, é chamada de altura. Observe que podemos transformar um paralelogramo construído em cartolina em um retângulo de mesma base e de mesma altura.

• Desenhamos um paralelogramo com medida de base b e altura h numa cartolina, e o

h

Setup

recortamos.

b

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• Recortamos um triângulo retângulo conforme indicado na figura a seguir. h

b

• Transportamos esse triângulo para o outro lado do paralelogramo. h

b

O que obtivemos foi um retângulo de mesma medida de base e mesma altura do paralelogramo inicial. Assim, concluímos: A área de um paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se a medida da base b pela medida da altura h. Em símbolos: A5b?h

Exemplo 1: Numa malha quadriculada, formada por quadradinhos cujo lado mede 1 cm, foi desenhado o paralelogramo ABCD, conforme representado a seguir. Calcule a área desse paralelogramo. C Ilustrações: Setup

D

A

E

B

F

Resolução:

• No desenho, observamos que a base do paralelogramo mede 6 cm (AB 5 6 cm) e a altura mede 2 cm (DE 5 2 cm). Portanto, a área A desse paralelogramo é: A5b?h A 5 (6 cm) ? (2 cm) ⇒ A 5 12 cm2

• Note ainda que esse paralelogramo é equivalente (significa que ele tem a mesma área) ao retângulo EFCD, formado por 12 quadradinhos com medida de lado de 1 cm. Assim, a área também pode ser determinada por: A 5 12 ? (1 cm)2 A 5 12 cm2

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Exemplo 2: Calcule a área do paralelogramo de acordo com as medidas indicadas na figura a seguir.

3,4 cm

7,2 cm

Resolução: Como temos as medidas da base e da altura, podemos determinar a área pelo produto dessas duas medidas: A5b?h A = (7,2 cm) ? (3,4 cm) ⇒ A 5 24,48 cm2

Exemplo 3: Caíque é marceneiro e recebeu a encomenda de uma placa para propaganda no formato a seguir. Ilustrações: Setup

90 cm

40 cm

a) Determine a área dessa placa. Resolução: 40 cm  90 cm  3 600 cm² b) Se Caíque precisar fazer 4 placas iguais a essa, quantos m² de madeira precisará comprar? Resolução: 4  3 600 cm² 5 14 400 cm² Como 1 m² é igual a 10 000 cm², temos que 14 400 cm² 5 1,44 m². c) Sabendo que uma placa de madeira tem 1,20 m² de área, quantas placas ele utilizará para fazer essas peças? Sobrará madeira? Será que essa sobra pode ser utilizada para outro trabalho? Resolução: Ele usará 2 placas, num total de 2,4 m². Logo, a sobra de material será de 2,4 m² 2 1,44 m² 5 0,96 m². Se a sobra pode ser utilizada depende do tipo de trabalho e da quantidade de recortes realizados nas placas de madeira.

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Na malha quadriculada ao lado, cada lado do quadradinho mede 1 cm. Observe que, nesse exemplo, o triângulo colorido ocupa, na malha quadriculada, a metade do espaço que ocupa o retângulo tracejado em volta.

Ilustrações: Setup

Área do triângulo

Nesse caso, podemos dizer que a área do triângulo é a metade da área do retângulo, isto é: A triângulo 5 1 ? A retângulo 2 A triângulo 5 1 ? b ? h 2 A triângulo 5 1 ? (4 cm) ? (3 cm) ⇒ A retângulo 5 6 cm2 2

• A altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, e tem como extremidades o lado ao qual é perpendicular e o vértice oposto a esse lado.

• A área de um triângulo é igual à metade do produto da medida da base b pela altura h relativa a essa base, ou seja:

A 5 b ?h 2

Podemos compreender a área de um triângulo relacionando-a com a área de um paralelogramo desenhado e recortado em cartolina.

• Desenhamos

inicialmente dois triângulos, de mesma base e de mesma altura, e os

recortamos: h

b

• Invertemos a posição horizontal de um dos triângulos:

• Juntamos os dois triângulos formando um paralelogramo com a mesma base e a mesma altura dos triângulos iniciais:

h

b

São necessários dois triângulos para formar o paralelogramo. Por isso, podemos dizer que a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo de mesma base e de mesma altura.

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Exemplo 1: Ilustrações: Setup

Calcule a área do triângulo representado na malha quadriculada considerando que cada lado do quadradinho mede 1 cm. C

A

D

B

Resolução: Observando a figura, constatamos que a medida da base AB é 6 cm e a da altura CD, 3 cm. Portanto, a área é: A 5 b ?h 2 (6 cm) ? (3 cm) ⇒ A 5 9 cm2 A 5 2

Exemplo 2: Na figura a seguir estão indicadas as medidas, em centímetros, da base e da altura de um triângulo isósceles (triângulo que tem os dois lados com a mesma medida). Determine a área desse triângulo. Resolução: Como temos as medidas da base e da altura, então: 14

22

A 5 b ?h 2 (22 cm) ? (14 cm) ⇒ A 5 154 cm2 A 5 2

DAE

Exemplo 3: Vamos calcular a área de um polígono regular de oito lados com base no que sabemos sobre a área de um triângulo.

Observação:

a

VV Lembre-se: um polígono regular tem todos os lados

l

e ângulos de mesma medida

Um polígono regular de oito lados pode ser decomposto em oito triângulos idênticos. al Cada triângulo tem área . 2 al Logo, a área do polígono é  8 5 4  a  l. 2

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Complete a tabela com os valores correspondentes às áreas dos triângulo. Triângulo

Medida da base (cm)

Medida da altura (cm)

A B C D E

6,2 10,5 6,8 20 18

2,5 1,8 6,5 10 5,5

Área (cm2) 7,75 9,45 22,1 100 49,5

2 Complete a tabela com os valores correspondentes às áreas dos paralelogramos. Paralelogramo

Medida da base (cm)

Medida da altura (cm)

A B C D E

9,2 22,5 14,8 25 18

3,4 10 5 1,5 6,5

Área (cm2) 31,28 225 74 37,5 117

3 Na malha quadriculada a seguir, cada quadradinho mede 1 cm de lado. Nela foi desenhado um paralelogramo.

Determine: a) a medida da base do paralelogramo; 8 cm c) a área do paralelogramo. b) a medida da altura do paralelogramo; 5 cm

40 cm2

4 Determine as áreas dos triângulos A, B e C, representados na malha quadriculada, a ­considerando que o lado de cada quadradinho mede 1,5 cm. Os três triângulos têm 2 Ilustrações: Setup

mesma área: 13,5 cm

A

B

C

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5 Obtenha a área do paralelogramo representado a seguir. 96,72 cm2

7,8 cm

12,4 cm

6 As duas diagonais de um retângulo dividem­‑no em quatro triângulos, como representado na figura a seguir. Considerando que o retângulo tem 12 cm de base e 5 cm de altura e as alturas relativas às bases que medem 12 cm nos triângulos A e B têm medidas iguais e as alturas relativas aos lados que medem 5 cm nos triângulos C e D, têm medidas iguais, determine as áreas dos quatro triângulos indicados pelas letras A, B, C e D. A e B: 15 cm2; C e D: 15 cm2.

A

D

C B

7 Responda às questões. a) Se a medida da base de um triângulo é igual a 4 cm, qual deve ser a medida de sua altura, relativa à mesma base, para que sua área seja 4 cm2? 2 cm b) A medida da altura de um triângulo é igual à medida de sua base. Se a área do triângulo é 8 cm2, qual é a medida de sua base? 4 cm c) Duplicando-se a medida da base de um paralelogramo e mantendo-se a medida de sua altura, o que ocorre com a área? Duplica em relação à medida anterior.

Ilustrações: Setup

8 Na malha quadriculada abaixo foi desenhada a figura I e, depois, com a mesma forma, foi construída a figura II.

I II

Considerando que cada quadradinho tem 1 cm2 de área, determine a área da figura: a) I; 16 cm2 b) II. 36 cm2

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BAGAGEM CULTURAL

Aproximadamente 16 133 m2.

O cálculo da área e as cheias do Nilo

Lisa S./Shutterstock

Na Antiguidade, o Egito foi um dos principais polos de construção de conhecimento matemático. Os egípcios utilizavam a Matemática para medir a área devastada pela cheia do Rio Nilo, tinham seu próprio sistema de numeração e realizavam cálculos aritméticos com números inteiros e racionais. O Rio Nilo, que tem cheia entre julho e outubro, destruía, naquela época, as divisões de terras feitas pelos agricultores. Com isso, em novembro todas as marcações precisavam ser feitas novamente. Dessa forma, os egípcios começaram a utilizar o conceito de área para facilitar os cálculos e as medições. Para que as águas do Nilo não invadissem casas e construções, estas eram construídas depois do plantio, assim os egípcios não corriam o risco de perder seus pertences e moradias. Para preservar as plantações, os egípcios fizeram, então, um calendário de sementeiras e colheita. A cheia do rio fertilizava o solo para o plantio, garantindo assim a alimentação do povo.

Rio Nilo nos dias de hoje

CURIOSIDADES Vamos pensar!

A palavra Nilo é oriunda do latim Nilus, que deriva do grego Neilos. Os egípcios chamavam o Rio Nilo de Aur ou Ar, que significa “negro”.

A importância do Rio Nilo é tão grande para a população egípcia que cerca de 90% encontra-se estabelecida em suas margens.

As águas desse rio, além de favorecerem a agricultura, também eram utilizadas para beber, pescar e como meio de transporte de pessoas e mercadorias.

Sua bacia hidrográfica abrange 3 milhões de km².

Após a cheia do Nilo, o faraó ordenou que seus trabalhadores fizessem a divisão das terras para 180 agricultores, de maneira que todos tivessem a mesma quantidade de terra. Se a área toda é de 120 alqueires, de quantos metros quadrados cada agricultor deverá cuidar?

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Naquela época, cada agricultor possuía uma área de terra delimitada, que não podia ser misturada com a área dos outros proprietários. Porém, sempre depois das cheias, as cercas de pedra, utilizadas para delimitar os terrenos, eram levadas com a força das águas, o que fazia com que as áreas perdessem suas delimitações. Isso só trazia prejuízos aos agricultores, porque eles não conseguiam mais saber onde começavam e onde terminavam seus terrenos. Percebendo a necessidade de resolver esse problema, surgiram os estiradores de corda. A principal finalidade era utilizar cordas com nós, separados uns dos outros por uma unidade-padrão de medida adotada na época, que servia como solução para descobrir qual era o tamanho de cada terreno. Os estiradores de corda esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Assim, toda vez que passassem as cheias, eles teriam como descobrir quanto “media” o terreno de cada proprietário, sem criar injustiças com as delimitações das áreas.

Pablo Mayer

Fonte: Oscar Guelli. Contando a história da Matemática. 10. ed. São Paulo: Ática, 1999.

Situação do Rio Nilo ao longo de um ano: Período de inundação: julho a outubro. Período de colheita: março a junho. Período de cultivo: novembro a fevereiro.

deserto ocidental

deserto oriental Nilo

aldeias culturas

culturas

aldeias

fevereiro e março

agosto e setembro

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CAPÍTULO 17

Área do losango e do trapézio A bandeira brasileira tem a forma de um retângulo, é composta de um losango e, no seu centro, há um círculo. Suas medidas são regulamentadas por decreto e devem guardar certas proporções. Assim, se a medida da base do retângulo da bandeira for de 20 cm, a altura será de 14 cm, conforme indicado a seguir.

14 cm

20 cm

E como podemos, por exemplo, saber as medidas do losango?

Ilustrações: Setup

Nesse mesmo decreto há a indicação de que a distância de cada vértice do losango até o lado mais próximo do retângulo deve ser a mesma, observando-se também certas proporções estabelecidas. Na figura anterior, se os lados do retângulo verde medirem 20 cm e 14 cm, a distância de cada vértice ao lado do retângulo deverá ser de 1,7 cm (como está indicado na figura a seguir). 1,7 cm

1,7 cm

1,7 cm

1,7 cm

Assim, com as medidas do retângulo, podemos obter as medidas das diagonais do losango. Diagonal maior: D 5 20 cm 2 1,7 cm 2 1,7 cm 5 16,6 cm. Diagonal menor: d 5 14 cm 2 1,7 cm 2 1,7 cm 5 10,6 cm. Veremos, neste capítulo, como determinar a área de um losango conhecendo as medidas de suas diagonais e também como calcular a área de um trapézio.

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Área do losango O losango é um quadrilátero formado por quatro lados de mesma medida. Uma característica do losango é que seus lados opostos são paralelos. Queremos estabelecer uma maneira de calcular a área de um losango. Então, para começar, vamos considerar um losango desenhado numa malha quadriculada. O losango ocupa a metade da malha quadriculada. Isso pode ser mais bem observado se desenharmos as diagonais do losango como na figura a seguir. As linhas tracejadas dividem o retângulo em quatro partes iguais. A metade de cada parte está dentro do losango.

Assim, concluímos que a área do losango é a metade da área do retângulo, cujas medidas dos lados são as medidas das duas diagonais do losango.

A área de um losango é igual à metade do produto da medida da diagonal maior D pela medida da diagonal d menor, isto é: A 5 D?d 2

VV Podemos também calcular a área do losango dividindo-o

em quatro triângulos, como nas figuras ao lado:

VV A medida da base de cada triângulo corresponde à

Ilustrações: Setup

Observação:

d

D

metade da medida da diagonal maior, e a medida da altura de cada triângulo corresponde à metade da medida da diagonal menor. Assim, temos:

Alosango 5 4 ? A triângulo D ? d 2 Alosango 5 4 ? 2 2 Alosango 5 4 ? D ? d 8 D ? d Alosango 5 2

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Exemplo: Ilustrações: Setup

Calcule a área correspondente ao losango desenhado na bandeira do Brasil (conforme início do capítulo). Resolução: Vimos que as medidas das diagonais são: D 5 20 cm 2 1,7 cm 2 1,7 cm 5 16,6 cm

d 5 14 cm 2 1,7 cm 2 1,7 cm 5 10,6 cm Utilizando a fórmula para o cálculo da área do losango, temos: A 5 D?d 2 ? 10,6 16,6 A 5 2 A 5 87,98 cm2

Área do trapézio

O trapézio é um quadrilátero que tem dois lados paralelos. Vamos denominar os dois lados paralelos de bases. Ilustrações: Setup

base menor

base maior

b

b

h

h

h

B

B

Se traçarmos uma diagonal nesse quadrilátero, obteremos dois triângulos, cujas bases são as do trapézio. Assim, a área do trapézio é igual à soma das áreas dos dois triângulos: A 5 B?h 1 b ?h 2 2 h ⇒ A 5 B 1 b ?h B ? 1 ? h b A 5 2 2

(

)

A área de um trapézio é igual à metade da soma das medidas das duas bases B e b, multiplicada pela medida da altura h, isto é:

(

)

A 5 B 1 b ?h 2

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule a área do trapézio conforme as medidas indicadas a seguir: 20,25 cm2

Ilustrações: Setup

3 cm

4,5 cm

6 cm

2 Calcule a área de um losango em que a medida da diagonal maior é 10 cm e a da diagonal menor é 6 cm. 30 cm2 3 Determine a medida da diagonal maior de um losango cuja área é igual a 144 cm2 e a medida da diagonal menor é igual a 9 cm. 32 cm 4 Calcule a área de um trapézio em que os lados paralelos medem 4 cm e 10 cm, e a altura mede 5 cm. 35 cm2 5 Qual é a medida da área de um trapézio considerando que os lados paralelos têm medidas 10 cm e 18 cm e, ainda, que a medida de sua altura é 6 cm? 84 cm2 6 A diagonal menor de um losango de área 60 m2 mede 6 m. Determine a medida da diagonal maior. 20 m 7 Responda às questões. a) Mantendo-se as medidas das bases de um trapézio e duplicando-se a altura, o que acontece com a área? Duplica também. b) Num losango, a medida de uma diagonal é duplicada. O que deve acontecer com a medida da outra diagonal para que a área não se altere? A medida da outra diagonal deverá ser reduzida pela metade.

8 Calcule a área da seguinte superfície: 1 cm

2 cm

1 cm

2,5 cm

Área do trapézio: [ Área do triângulo:

4 cm  2 cm

1 cm

]  (3,5 cm)  10,5 cm2

2 s2,5 cm  2 cmd

 2,5 cm2

2 cm

2 Área da parte colorida: 10,5 cm² 2 2,5 cm² 5 8 cm².

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9 Considere que na malha quadriculada ao lado, cada lado do quadradinho mede 1 cm. Nela foi desenhada primeiro a figura I e depois a figura II. Cada segmento da figura II tem como medida a metade do segmento da figura I. Responda às questões. a) Qual é a área da figura I? 12 cm2 b) Qual é a área da figura II? 3 cm2

Figura I

Figura II

Ilustrações: Setup

10 Os lados do retângulo abaixo medem 12 cm e 8 cm. Ligando os pontos médios desses lados, desenha-se um losango. a) Qual é a medida da diagonal menor do losango? 8 cm b) Qual é a medida da diagonal maior? 12 cm c) Determine a área do losango. É a metade da área do retângulo, isto é, 48 cm2.

11 Desenhe um losango em que a diagonal maior meça 14 cm e a diagonal menor, 7 cm. Depois calcule a área do losango. 49 cm2 12 Desenhe um trapézio em que as medidas dos lados paralelos sejam de 5 cm e de 9 cm. Além disso, a altura (que é a distância entre esses lados paralelos) deverá ser igual a 4 cm. Depois calcule a área do trapézio. 28 cm2 13 Na malha a seguir, o lado de cada quadradinho mede 1 cm. Determine a área ocupada pela figura escura desenhada nessa malha. 24 cm2

14 A figura a seguir mostra a planta de um escritório que será construído. Determine, em metros quadrados, a área desse escritório. 23 m2 Eduardo Belmiro

Professor, comente que nesse cálculo incluímos a espessura das paredes.

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CONEXÕES Esta é uma curiosidade!

Ilu

st ra çõ e

s:

Se

tu p

Ao lado, está representado um losango em que as duas diagonais têm a mesma medida (sendo assim, o losango é também um quadrado). Essa figura foi dividida em pequenos quadrados de tal modo que uma ilusão de ótica foi criada. Observe-a atentamente e veja se funciona. Você tem a impressão de que esses quadrados estão se movimentando?

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caderno

TRABALHO EM EQUIPE Vamos medir a área da escola?

Para isso, em grupos de até quatro pessoas completem a tabela a seguir com as medidas obtidas e façam um esboço da planta baixa de algumas partes da escola. Escola Ambiente

Parede A

Parede B

Área

sala de aula banheiro masculino banheiro feminino corredor pátio sala dos professores quadra estacionamento Total Quais instrumentos vocês utilizaram para realizar as medidas? Comparem os resultados com os dos colegas.

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MATEMÁTICA E CIDADANIA

caderno

Fabio Colombini

O cálculo de áreas de figuras geométricas planas é empregado em diversas situações práticas, como para obter a área ocupada por uma casa, um terreno ou mesmo grandes fazendas em que alimentos serão plantados. Ou, ainda, pode ser bastante útil quando se trata de questões ligadas ao meio ambiente. Há órgãos do governo responsáveis pelo levantamento das grandes áreas de preservação ambiental. Por exemplo, algumas leis são especialmente elaboradas com o objetivo de preservar as encostas dos rios. Outras se referem a áreas que podem ser cultivadas, florestas que devem ser mantidas, grandes áreas que foram devastadas e estão sendo reflorestadas. Nesses casos, não estamos falando de áreas pequenas, e sim de grandes extensões, e calcular suas áreas ou determinar seus limites é fundamental. Para você ter uma ideia, veja o caso da Serra Grande (no estado da Bahia), que ocupa uma superfície de aproximadamente 16 mil hectares e está localizada numa faixa litorânea. Ela é uma área de proteção ambiental especialmente criada pelo governo da Bahia.

Coqueiral na Praia do Pé de Serra em Serra Grande, Itacaré, BA.

Ao se criar uma área de proteção ambiental, os principais objetivos são: a proteção da paisagem, a proteção de rios, nascentes e riachos, o incentivo ao equilíbrio dos recursos naturais, a preservação das espécies animais e vegetais. O que você acha da criação de áreas de proteção ambiental? Você concorda? 1 De acordo com o texto, a Serra Grande, na Bahia, ocupa uma superfície de aproximadamente 16 mil hectares. Transforme essa medida em km². 160 km² 2 Em casa, faça uma pesquisa sobre o desmatamento da Mata Atlântica. Sua área original media quantos quilômetros quadrados? Quantos quilômetros quadrados ainda restam da Mata Atlântica?

160

Sua área original era de aproximadamente 1,8 milhão de quilômetros quadrados. De acordo com o jornal Folha de S.Paulo, de 30 de maio de 2012, restam 7,9% da área original, o que equivale a aproximadamente 142 200 km². Disponível em: . Acesso em: mar. 2015.

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caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (Saresp)

Ilustrações: Setup

Uma plantação foi feita de modo a ocupar 2 da terça parte da área de um sítio, como mostra a figura. 5 Alternativa a.

Em relação à área total do sítio, a fração que representa a área ocupada por essa plantação é: c) 3 a) 2 15 2 b) 2 3

d) 3 15

2 (OBM) Rubinho constrói uma sequência de 10 figuras, cada uma delas formada por quadradinhos de 1 cm de lado, conforme indicado abaixo.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

A figura 2, por exemplo, tem área igual a 5 cm² e perímetro igual a 12 cm. a) Qual é a área da figura 5? 41 cm2 b) Qual é o perímetro da figura 10? 76 cm

Explorando Recursos educacionais multimídia para a Matemática do Ensino Médio.

A lenda de Dido Disponível em: ,http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1126.. Acesso em: mar. 2015. A fazendeira Elisa conhece a princesa Dido quando precisa calcular o tamanho do cercado de tela para suas ovelhas, e as duas descobrem que possuem algumas coisas em comum. A lenda de Dido pertence ao poema épico Eneida, do escritor latino Virgílio, e nele consta o que é considerado o primeiro problema isoperimétrico de que se tem registro.

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caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS 1 Uma sala retangular de 6,5 metros por 5 metros tem uma área de: Alternativa b.

a) 5,2 cm2 b) 5,25 cm2 c) 5,29 cm2 d) 5,44 cm2

a) 30 metros quadrados. 0

b) 32,5 metros quadrados.

1

c) 44 metros quadrados.

2

d) 42,5 metros quadrados. Alternativa c.

a) 10 000 m2

c) 24 200 m2

b) 20 000 m2

d) 48 400 m2

3

2 A área de 1 alqueire paulista corresponde a:

8 Cada pequeno retângulo a seguir mede 1 cm de base por 0,5 cm de altura. Alternativa d.

3 A área de 1 hectare corresponde a: a) 10 000 m2

c) 24 200 m2

b) 20 000 m2

d) 48 400 m2

4 O lado do quadrado a seguir mede 5 cm. Então a área do triângulo desenhado é: Alternativa d.

a) 10 cm2

b) 10,5 cm2 c) 11 cm2 d) 12,5 cm2 5 Os lados do retângulo a seguir medem 13 cm e 8 cm. A área do losango desenhado ligando-se os pontos médios desse retângulo é de: Alternativa a. a) 52 cm2 b) 50,5 cm2 c) 51 cm2

6 A área do trapézio é: Alternativa d. b) 50,5 cm2 c) 51 cm2 d) 52,5 cm2

É correto afirmar que a área do paralelogramo representado é: a) 10,5 cm2 b) 11 cm2

c) 12 cm2 d) 12,5 cm2

9 Na malha quadriculada ao lado I II estão desenhadas quatro figuras. Sobre as áreas III IV dessas figuras, é correto afirmar que: Alternativa c. a) as quatro figuras têm a mesma área. b) as figuras II e IV são equivalentes. c) as figuras I e IV são equivalentes. d) a figura I tem área maior que a figura II. 10 Observando o retângulo e o triângulo representados na malha quadriculada, é correto afirmar que: Alternativa b.

d) 52,5 cm2

a) 52 cm2



Ilustrações: Setup

Alternativa a.

3 cm 7 cm

12 cm

7 Mateus desenhou um quadrado no caderno e, com uma régua, verificou a medida em centímetros do lado desse quadrado. Então, calculou a área e obteve: Alternativa c.

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a) a área do retângulo é maior que a área do triângulo. b) a área do retângulo é igual à área do triângulo. c) a área do retângulo é menor que a área do triângulo. d) não é possível comparar as duas áreas. 11 Multiplicando-se a medida da base de um retângulo por 3 e multiplicando-se a altura desse retângulo por 2, a área do novo retângulo: Alternativa b. a) é igual à área do retângulo inicial. b) é 6 vezes a área do retângulo inicial. c) é 12 vezes a área do retângulo inicial. d) é o triplo da área do retângulo inicial. 12 As medidas dos lados de um quadrado são multiplicadas por 5, obtendo-se assim um novo quadrado. Esse novo quadrado tem: Alternativa a.

a) 25 vezes a área do quadrado inicial. b) 5 vezes a área do quadrado inicial. c) a mesma área do quadrado inicial. d) o dobro da área do quadrado inicial.

Ilustrações: Setup

Atenção: o enunciado a seguir deverá ser utilizado nas atividades 13, 14 e 15. Numa malha quadriculada em que cada lado do quadradinho mede 1 cm, Laura desenhou uma casa. Note que esse desenho é formado por: 1 triângulo, 1 paralelogramo, 2 retângulos que representam a frente e a lateral da casa, 1 retângulo que representa a janela da casa e 2 retângulos que representam a porta dessa casa.

14 A área correspondente ao paralelogramo, no desenho, é: Alternativa c. a) 18 cm2 b) 19 cm2

c) 15 cm2 d) 11 cm2

15 No desenho, a área correspondente à frente da casa e à lateral, excluindo-se a porta e a janela, é: Alternativa d. a) 36 cm2 b) 34 cm2

c) 33 cm2 d) 27 cm2

16 O lado do quadrado vermelho mede 4 cm e foi dividido em 16 quadradinhos menores. Observe que ele também está dividido em 2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 2 triângulos pequenos, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Qual é a alternativa correta? Alternativa c. a) A área do paralelogramo é maior que a área do quadrado menor. b) A área do triângulo médio é o dobro da área do paralelogramo. c) A área de cada triângulo grande é o dobro da área do triângulo médio. d) A área do quadrado pequeno multiplicada por 6 resulta na área do quadrado vermelho. 17 No piso da entrada da escola, foi construída uma grande placa quadrada, como a representada a seguir. Nos quatro cantos existem quadrados brancos, cujos lados medem 50 cm. Descubra qual é a maior área: a que está ocupada pela parte escura ou a ocupada pela parte clara. A parte clara tem maior área.

13 No desenho, a área correspondente ao triângulo é: Alternativa b. a) 8 cm2 b) 9 cm2

c) 10 cm2 d) 11 cm2

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UNIDADE 5

Álgebra

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Quando escrevemos uma fórmula, estamos utilizando letras para representar quantidades ou medidas. Podemos dizer que a Álgebra representa uma parte da Matemática na qual operamos com números e letras objetivando generalizar e descrever situações diversas.

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a

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1 Você conhece alguma fórmula matemática? 2 Como se calcula a área de um retângulo? 3 Se h indica a altura de um edifício, como representamos o dobro dessa medida?

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5/27/15 9:25 AM

CAPÍTULO 18

Respostas da página anterior: 1. Resposta pessoal. 2. Medida da base vezes a medida da altura. 3. 2h

Iniciando a Álgebra

Em unidades anteriores, utilizamos letras para representar medidas (quando calculamos as áreas de figuras geométricas planas) e letras que representavam números quaisquer (na generalização de propriedades das operações). Por exemplo, para calcular a área de um triângulo qualquer, cuja base mede b e a altura mede h unidades de comprimento, a área A pode ser determinada por: A 5 b ?h 2 h

Assim, a fórmula apresentada equivale a dizer: A área de um triângulo é igual à metade do produto da medida da base pela medida da altura desse triângulo.

b

O emprego de letras para representar números ou medidas simplifica a escrita, além de auxiliar bastante na resolução de situações diversas dentro da Matemática. Iniciamos, então, o estudo da Álgebra. Nos próximos capítulos, você verá que é possível solucionar inúmeros problemas aritméticos e geométricos com o auxílio da Álgebra.

Noções iniciais

figura 4 Ilustrações: Setup

Observe a sequência de retângulos construídos com quadradinhos de mesmo tamanho. Note que, de uma figura para outra, a quantidade de quadradinhos que formam os retângulos está aumentando.

figura 3 figura 2 figura 1

De acordo com a posição da figura e a quantidade de quadradinhos nela existente, temos: figura 1: 2 quadradinhos; figura 2: 6 quadradinhos; figura 3: 12 quadradinhos;

Ordem da figura

figura 4: 20 quadradinhos.

1

1?252

2

2?356

3

3 ? 4 5 12

4

4 ? 5 5 20

5

5 ? 6 5 30

6

6 ? 7 5 42

 Para continuar a sequência, precisamos descobrir o padrão numérico, isto é, a maneira como a sequência está sendo construída. Pela observação das figuras, podemos dizer que, de uma para outra, aumentam 1 linha e 1 coluna. Então, podemos elaborar a tabela ao lado:



Quantidade de quadradinhos



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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

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Assim, pela tabela, podemos determinar a quantidade de quadradinhos que haverá numa figura qualquer, bastando conhecer a ordem da figura na sequência:

Exemplo 1: 7a figura 2 será formada por 7 ? (7 1 1) quadradinhos; 100a figura 2 será formada por 100 ? (100 1 1) quadradinhos. Se representarmos, por meio da letra n, a posição da figura na sequência, teremos: na figura 2 será formada por n ? (n 1 1) quadradinhos.

expressão algébrica

A expressão algébrica obtida anteriormente possibilita, por simples substituição, saber a quantidade de quadradinhos existente numa figura qualquer dessa sequência. A letra n da expressão é chamada de variável. Para tanto, basta conhecer a posição dessa figura.

Exemplo 2: Quantos quadradinhos há na 25ª figura da sequência?

Resolução:

Observações: VV Numa expressão algébrica, quando

utilizamos uma letra para representar diferentes números, ela é chamada de variável.

Substituímos a variável n por 25 na expressão algébrica, isto é:

n ? (n 1 1)

As expressões matemáticas formadas por letras e números são chamadas de expressões algébricas.

VV Ao substituirmos, numa expressão

algébrica, a variável por um número, o resultado obtido é conhecido como valor numérico da expressão algébrica.

↓ n 5 25 25 ? (25 1 1) 5 650

valor numérico

VV Qualquer letra pode ser utilizada para

Portanto, a 25ª figura é formada por 650 quadradinhos dispostos em forma retangular.

escrever uma expressão algébrica.

Exemplo 3: Na tabela a seguir, apresentamos alguns exemplos de expressões algébricas utilizadas para representar situações diversas.

Importante!

Situação

Expressão algébrica

o dobro de um número

2?x

um número aumentado em dez

a 1 10

o triplo de um número menos quinze

3 ? y 2 15

o quadrado de um número menos o dobro desse número

a2 2 2 ? a

VV Quando, numa expressão

algébrica, há um número multiplicado por uma letra, podemos omitir o ponto que indica a multiplicação. Assim, podemos escrever 10x para indicar 10 ? x.

Observação: VV a² pode ser escrito como a  a, assim como x² 5 x  x. Ao multiplicarmos um número por ele mesmo

estamos, na verdade, elevando esse número ao quadrado.

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a

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 No retângulo ao lado, estão indicadas, numa mesma unidade, as medidas dos lados.

2 O volume de um bloco retangular é o produto das três dimensões. Considere o seguinte bloco retangular, cujas dimensões estão indicadas numa mesma unidade de medida.

5

a) Determine uma expressão algébrica que represente o volume desse bloco. (2x 1 1)  2x  5 b) Qual é o valor do volume desse bloco para x 5 4? 360

Ilustrações: Setup

6

a) Escreva uma expressão algébrica que represente o perímetro desse retângulo. 4x 1 12 b) Qual é o valor do perímetro desse retângulo para 2x x 5 10? 52 c) Escreva uma expressão algébrica que represente a área desse retângulo. 12x d) Qual é o valor da área desse retângulo para x 5 10? 120

2x 2x  1

3 Escreva uma expressão algébrica correspondente: a) a 45% de um número x; 0,45x ou 45 x 100 b) ao quadrado de um número y somado ao número 99; y2 1 99 c) ao triplo do sucessor do número inteiro x; 3(x 1 1) x d) à metade do número x menos o quadrado do número n. 2

 n2

4 Observe a seguir uma sequência formada por quadrados, desenhados em malha quadriculada, com 1 cm de medida de lado.

1o quadrado

2o quadrado

3o quadrado

4o quadrado

a) Complete a tabela. Ordem do quadrado

1o

2o

Perímetro (cm)

4

8

Área (cm )

1

4

2

3o

4o

5o

6o

7o

8o

12

16

20

24

28

32

9

16

25

36

49

64

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b) Escreva uma expressão algébrica para representar o perímetro do n-ésimo quadrado dessa sequência. 4n c) Qual é o valor numérico da expressão algébrica do item anterior para n 5 25? 100 d) Escreva uma expressão algébrica que represente a área do no quadrado em função de n. n2 e) Qual é o valor numérico da expressão algébrica do item anterior para n 5 25? 625 5 Com peças retangulares de plástico, Joana montou a seguinte sequência de elementos, representados pelos esquemas abaixo: Ilustrações: Setup

5. a) 

esquema 1 b)  No do esquema 1 2 3 4 5 6 

Quantidade de retângulos 4?11256 4 ? 2 1 2 5 10 4 ? 3 1 2 5 14 4 ? 4 1 2 5 18 4 ? 5 1 2 5 22 4 ? 6 1 2 5 26 

esquema 2

esquema 3

a) Desenhe no caderno o esquema correspondente à quantidade de retângulos utilizada no próximo elemento da sequência. b) Faça uma tabela com duas colunas: na primeira, indique o número do esquema e, na segunda, a quantidade de retângulos utilizados. c) Escreva a expressão algébrica correspondente ao n-ésimo esquema dessa sequência. 4n 1 2

6 Escreva uma expressão algébrica para cada situação indicada na tabela. Professor, oriente os alunos a utilizarem as letras x e y para representar números desconhecidos.

Situação

Expressão algébrica

o triplo de um número a soma de um número com o dobro de outro número a diferença entre um número e o triplo de outro número um número aumentado em vinte e dois o triplo de um número menos quarenta o dobro de um número menos o quadrado desse número o quadrado de um número mais o quadrado de outro número

3?x x 1 2y x 2 3y x 1 22 3x 2 40 2x 2 x2 x2 1 y2

7 Observe a sequência de números. Descubra como essa sequência é formada e, depois, complete a tabela. 1o

2o

3o

0

5

10

4o

5o

6o

7o

8o

...

no

15

20

25

30

35

...

5n 2 5

8 Guilherme comprou uma televisão que custava x reais, mas recebeu um desconto de R$ 45,00, pois realizou o pagamento à vista. Qual das expressões a seguir melhor descreve a situação de Guilherme? Alternativa d. a) x 1 45

b) 45 2 x

c) x  45

d) x 2 45

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

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Soma algébrica de termos semelhantes Setup

Considere que a base de um retângulo mede 10 cm, mas sua altura é desconhecida, então a substituímos pela letra x.

x cm

10 cm

Podemos utilizar uma expressão algébrica para indicar a área desse retângulo. Área do retângulo: 10 ? x ou 10x Observe que essa expressão algébrica representa um produto. Nela não há adição nem subtração. Quando isso acontece, dizemos que essa expressão algébrica é um monômio ou, simplesmente, termo. Note ainda que esse termo é formado por duas partes: parte literal: x

monômio: 10x parte numérica: 10

Observação: VV A parte numérica de um monômio (ou termo) é

também conhecida como coeficiente do monômio.

Exemplos: Na tabela a seguir, observe, em alguns monômios, a parte literal e o coeficiente (parte numérica): Monômio Coeficiente Parte literal

91xy 2

91

xy 2

0,34a3bc 2

0,34

a 3bc 2

2 4 x 3z 2 5

24 5

x 3z 2

2abc

21

abc

r 3s

1

r 3s

Observações: VV Qualquer número racional é também um monômio. VV Quando um monômio é igual à sua parte literal, o coeficiente é 1.

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a

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Ilustrações: Setup

Considere que os dois retângulos tenham suas medidas indicadas pelas letras a e b. Desejamos saber qual é a expressão algébrica que representa a soma das áreas desses dois retângulos.

b

Note que os dois monômios que representam as áreas dos retângulos têm algo em comum: a mesma parte literal (ab).

b

4a

3a

Área: 4ab ou 4ab

Área: 3ab ou 3ab

  

Dois termos ou monômios que têm a mesma parte literal são denominados termos semelhantes.

Vamos agora determinar a soma de suas áreas. Como as áreas estão representadas por dois termos semelhantes, podemos somá-los, isto é: 4ab 1 3ab 5 ?

Como adicionar dois termos semelhantes?

Observe que a medida da base do novo retângulo é: 4a 1 3a

b

Lembrando da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, podemos dizer que a nova base é:

4a

Ilustrações: Setup

Uma forma de responder a essa pergunta é considerar que, como os dois retângulos têm a mesma altura, eles formam um novo retângulo, ou seja:

3a

4a 1 3a 5 (4 1 3) ? a 5 7 ? a 5 7a Portanto, a soma das áreas dos dois retângulos pode ser representada por: 4ab 1 3ab 5 (4a 1 3a) ? b 5 7a ? b 5 7ab

A adição de termos semelhantes é efetuada adicionando-se os coeficientes e conservando-se a parte literal.

Exemplos: • 9a 2b

(

)

1 3 a 2b 5 9 1 3 ? a 2b 5 21 a 2b 2 2 2

• 3ax 1 7x 1 12 1 5ax 5 5 3ax 1 5ax 1 7x 1 12 5 5 8ax 1 7x 1 12

Observação: VV Numa soma algébrica,

quando os termos não são semelhantes, deixamos a soma indicada.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

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8. 1a parte: Vamos separar a figura em 4 partes: b

AGORA É COM VOCÊ

b

Monômio

99xy

Coeficiente

caderno

a

IV 2a

4 Calcule o valor numérico que a expressão algébrica x2 1 10x 2 2 assume quando: Parte literal

a) x 5 1 9

xy

99

x 2y

1

x2y

0,3n

0,3

n

22y 3

22

y3

210pq

210

pq

b) x 5 0 22

c) x 5 20 598

5 Considere o triângulo a seguir, com as medidas indicadas em função de x. 2x  1

Ilustrações: Setup

1 Complete a tabela a seguir.

I a

III II a

Registre no

2x  1

3x  3

a) Escreva uma expressão algébrica que indique o perímetro desse triângulo. 7x 1 3 b) Para x 5 5, qual é o valor corresponden­ te ao perímetro desse triângulo? 38

2 Considere o retângulo a seguir com as medidas indicadas em função de x.

6 Responda às questões. a) Lembrando que ângulos complementares têm suas medidas somando 90°, se representarmos a medida de um ângulo agudo por x, como poderemos representar a medida de seu complementar?

2x

90° 2 x

b) Obtêm-se as medidas de dois ângulos suplementares somando 180°. Se representarmos a medida de um ângulo por y, como poderemos representar a medida de seu suplementar?

5x  4

a) Escreva uma expressão algébrica que indique o perímetro desse retângulo. 14x 1 8

b) Qual é o valor dessa expressão algébrica para x 5 2? 36 3 Efetue as somas algébricas indicadas a seguir.

180° 2 y

7 Com base em seus conhecimentos, identifique valores para x que validem as igualdades. a) x 1 2 5 4 x 5 2 b) 8 2 x 5 6 x 5 2 c) x² 5 16 x 5 4 ou x 5 24

a) 2a 1 15a 2 7a 1 a 11a b) 13ab 1 22ab 2 25ab 1 10ab 20ab c) 9x2 2 5x2 2 8x2 1 2x2

22x2

d) 7mp 2 2mp 1 15mp 1 mp 21mp

8 Em dupla, escreva o monômio que representa o volume da figura a seguir.

e) 0,2x 1 1,5x 2 0,3x 1 2x 3,4x

b

f) 2xy 1 4x 2 10xy 1 9x 2 15

28xy 1 13x 2 15

g) 6a 1 8ab 2 4ab 1 a 1 2b 2 4a h) 4 1 13a 2 6 1 8a 1 14

172

3a 1 4ab 1 2b 12 1 21a

8. 2a parte: A figura I tem medidas a  b  a; logo, seu volume é a²b. A figura II tem volume igual ao das figuras I e III; logo, seu volume é a²b. O volume da figura III é a²b.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

a

b a

a

2a

A figura IV tem medidas 2a  a  b, o que é igual a 2a²b. O volume total da figura é a²b 1 a²b 1 a²b 1 2a²b 5 5a²b.

a

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CAPÍTULO 19

Equações No capítulo anterior, vimos que podemos utilizar letras para representar números. Assim, é possível o emprego de expressões algébricas para representar determinadas relações. Por exemplo, podemos utilizar uma expressão algébrica para representar as medidas dos lados de um retângulo, considerando que a base é o triplo da medida da altura. Como as medidas são desconhecidas, podemos utilizar a letra x para representar a altura. Se a base é o triplo da altura, então a base pode ser representada por 3x. Setup

•

x

3x

•

Agora, vamos empregar outra expressão algébrica para representar a medida do perímetro (medida do contorno) do retângulo: 3x 1 x 1 3x 1 x

ou

8x

Atribuindo valores para a variável x (valores positivos, pois x representa medida de comprimento), podemos, por meio dessa expressão algébrica, determinar o perímetro do retângulo: Se x 5 1, então o perímetro do retângulo é: 8 ? 1 5 8 Se x 5 2,5, então o perímetro do retângulo é: 8 ? 2,5 5 20 Se x 5 7, então o perímetro do retângulo é: 8 ? 7 5 56

• E se o perímetro for igual a 400, qual é o valor de x? • Para responder a essa pergunta, igualamos a expressão algébrica que representa o perímetro a 400, isto é: 8x 5 400

Igualando uma expressão algébrica a um determinado número, temos uma equação.

Zubartez

Neste capítulo, veremos que determinadas situações podem ser representadas por meio de equações, e aprenderemos também a resolvê-las.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Equações Você já ouviu falar em uma balança com dois pratos?

Eduardo Belmiro

Nesse tipo de balança, quando há equilíbrio (os dois pratos nivelados na horizontal), dizemos que as massas colocadas nos dois pratos são iguais.

Por exemplo, considere que, em um prato da balança, foram colocados cinco pesos, cada um de 1 kg. No outro prato, foram colocados uma caixa e dois pesos de 1 kg cada. Se a balança está em equilíbrio, como no esquema acima, qual é a massa da caixa? Para resolver essa situação, vamos indicar a massa da caixa por x. Como os dois pratos têm a mesma massa, escrevemos a seguinte igualdade:

5521x (equação)

Equação é uma sentença matemática representada por meio de uma igualdade que contém um ou mais termos desconhecidos.

Observação: VV Na equação exemplificada, o termo desconhecido (indicado pela letra x) representa a incógnita da

equação. 5521x Note que, se substituirmos a incógnita x pelo número 3, a igualdade será verificada, isto é, dizemos que a igualdade é verdadeira para x 5 3: 55213

Solução ou raiz de uma equação é um número que torna verdadeira a sentença correspondente à equação.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Exemplo 1: Escreva uma equação correspondente à seguinte situação: Dez mais o dobro de um número é igual ao triplo desse número.

Resolução: Representando o número desconhecido por x, temos: O dobro do número: 2x Dez mais o dobro de um número: 10 1 2x O triplo do número: 3x Equação: 10 1 2x 5 3x

Exemplo 2: Verifique, na equação anterior, se o número 7 é a solução.

Resolução: Para isso, substituímos a incógnita por 7: 2x 1 10 5 3x 2 2 2 ? 7 1 10 5 3 ? 7 2 2 24 5 19   FALSO Como o número 7 não tornou a igualdade verdadeira, x 5 7 não é solução da equação.

Exemplo 3: Setup

Escreva uma equação para a seguinte situação: o retângulo abaixo tem perímetro igual a 32 cm.

2x  3

4x  7

Resolução: O perímetro de uma figura geométrica plana é a medida de seu contorno. Assim, temos: 4x 2 7 1 4x 2 7 1 2x 1 3 1 2x 1 3 5 32 12x 2 8 5 32

Exemplo 4: Verifique se x 5 10 é solução da equação obtida no exemplo anterior. 3 Resolução: Substituímos, na equação, a incógnita por 10 , isto é: 3 12x 2 8 5 32 12 ? 10 2 8 5 32 3 40 2 8 5 32 32 5 32   VERDADEIRO 10 torna a igualdade verdadeira, dizemos que x 5 10 é solução da equação. Como x 5 3 3

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva uma equação para as situações a seguir. Utilize x como incógnita.

5 Dois ângulos que são complementares têm a soma de suas medidas igual a 90°.

2 Abaixo estão indicadas as medidas dos lados de um quadrado e de um retângulo.

Ilustrações: Setup

a) A soma do triplo de um número com 10 é igual a 25. 3x 1 10 5 25 b) O produto de um número inteiro por seu antecessor resulta em 72. x(x 2 1) 5 72 c) O dobro de um número somado a 50% desse número é 36. 2x 1 0,5x 5 36

x 2x  5

x

a) Escreva uma equação considerando que, na figura acima, os ângulos são complementares. 3x 1 5 5 90 b) Verifique se o número 10 é a solução dessa equação. Não. c) Verifique se o número 85 é a solução 3 da equação. Sim.

x

6 Dois ângulos que são suplementares têm a soma de suas medidas igual a 180°.

x2

10

y

Escreva uma equação para cada situação. a) O perímetro do quadrado é igual a 48 cm. 4x 5 48 b) O perímetro do retângulo é igual a 32 cm. 2x 1 16 5 32 c) A área do quadrado é igual a 100 cm2 2. x 5 100 d) A área do retângulo é igual a 144 cm2. 10x 2 20 5 144 e) O quadrado e o retângulo têm o mesmo perímetro. 4x 5 2x 1 16 f) O quadrado e o retângulo têm a mesma área. x2 5 10x 2 20 3 Considere a equação x 2 10 5 25 e res­ ponda: a) x 5 35 é a solução dessa equação? b) x 5 45 é a solução dessa equação?

Sim. Não.

4 Verifique se o número 6 é a raiz da equação 4(x 2 1) 2 6(x 1 2) 5 24(x 1 1). Sim.

x

a) Elabore uma equação com duas incógnitas, de tal maneira que os dois ângulos indicados na figura acima sejam suplementares. x 1 y 5 180 b) Se um dos ângulos tiver medida 30°, qual deverá ser a medida do outro ângulo? 150° c) Escreva uma equação considerando que um dos ângulos tem medida x, e o outro 30° a mais do que o primeiro. x 1 x 1 30 5 180 d) Escreva uma equação considerando que um dos ângulos tem medida x, e o outro tem medida igual a 50% da medida do anterior. x 1 0,5x 5 180

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Resolução de uma equação Vimos que um número é solução de uma equação quando torna a igualdade verdadeira, isto é, quando substituímos a incógnita por esse número obtemos uma sentença verdadeira. Mas como podemos resolver uma equação? Antes de respondermos, vamos observar duas situações utilizando uma balança de dois pratos em equilíbrio. 1ª situação:

400 g

400 g

2 000 g 50 g

Ilustrações: Eduardo Belmiro

No prato da esquerda, há um melão e um peso de 400 g. Já no prato da direita a massa total é de 2 450 g. Se representarmos por x (incógnita) a massa do melão, considerando que a balança está em equilíbrio, podemos escrever a seguinte equação:

x 1 400 5 50 1 400 1 2 000 ou

x 1 400 5 2 450 2 000 g

Se tirarmos o peso de 400 g de cada lado da balança, ela continuará em equilíbrio, pois tiramos a mesma massa de cada prato.

50 g

De maneira análoga, na equação, temos:

x 1 400 5 2 450 x 1 400 2 400 5 2 450 2 400 x 1 0 5 2 050 ⇒ x 5 2 050 O melão tem massa igual a 2 050 g.

Observação: VV A palavra peso, usada nesta página, corresponde a uma

peça de metal de determinada massa que serve para medir a massa de outros corpos em balança de pratos.

2ª situação: Considere que no prato da esquerda, há três maçãs aproximadamente iguais, isto é, com a mesma massa. A balança está em equilíbrio. Queremos determinar a massa de cada maçã. Se representarmos por x a massa de cada uma, podemos escrever a seguinte equação:

50 g

3x 1 400 5 850

50 g

Vamos, inicialmente, subtrair 400 dos dois membros da igualdade. 3x 1 400 2 400 5 850 2 400 3x 5 450

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Pela igualdade resultante, vemos que o triplo da massa de cada maçã é igual a 450 g. ­S endo assim, cada uma delas tem a massa igual a 150 g. Observe que podemos isolar a ­incógnita no primeiro membro, da seguinte maneira: 3x ? 1 5 450 ? 1 3 3 3x 5 450 ⇒ x 5 150 3 3 As duas situações ilustram operações elementares que podem ser feitas numa equação, mantendo-se verdadeira a igualdade: Adicionando um mesmo número aos dois membros de uma equação, ela permanece verdadeira. Subtraindo um mesmo número dos dois membros de uma equação, ela permanece verdadeira. Multiplicando um mesmo número pelos dois membros de uma equação, ela permanece verdadeira. Dividindo cada membro de uma equação por um mesmo número diferente de zero, ela permanece verdadeira. A seguir, apresentamos alguns exemplos de como utilizar essas duas operações elementares para resolver uma equação. A ideia é deixar a incógnita da equação isolada em um dos membros.

Exemplo 1: Determine a solução da equação: 3x 2 1 5 23

Resolução:

• Inicialmente vamos adicionar 1 aos dois membros da igualdade, para isolar o termo que tem a incógnita no 1o membro: 3x 2 1 5 23 3x 2 1 1 1 5 23 1 1 3x 5 24

• Para isolar a incógnita no primeiro membro, multiplicamos os dois membros por é, o inverso do número 3:

1 , isto 3

3x 5 24 3x ? 1 5 24 ? 1 3 3 x 5 8 Portanto, a solução da equação é x 5 8. Observe que essa solução pode ser obtida eliminando-se algumas etapas na resolução, isto é, podemos resolver de forma simplificada: 3x 2 1 5 23 3x 5 23 1 1 3x 5 24

x 5 24 3 x58

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Exemplo 2: Resolva a seguinte equação: 4x 2 15 5 2x 1 7.

Resolução:

• Adicionamos 15 aos dois membros da igualdade, deixando os termos sem incógnita no 2o membro da igualdade: 4x 2 15 5 2x 1 7 4x 2 15 1 15 5 2x 1 7 1 15 4x 5 2x 1 22

• Para eliminar o termo em x existente no 2o membro, subtraímos 2x nos dois membros da igualdade: 4x 5 2x 1 22 4x 2 2x 5 2x 1 22 2 2x 2x 5 22 1 os dois membros da equação por (o mesmo que dividir os dois 2 membros por 2):

• Multiplicamos

2x ? 1 5 22 ? 1 2 2 22 x 5 ⇒ x 5 11 2 Assim, a solução da equação é x 5 11. Observe a resolução dessa equação de forma mais resumida: 4x 4x 4x 4x 2x

15 5 2x 1 7 2x 1 7 1 15 2x 1 22 2x 5 22 22 x 5 22 ⇒ x 5 11 2 2 5 5 2 5

Exemplo 3: Resolva a equação: 2(2x 2 5) 1 3(x 1 4) 5 5(x 2 1) 1 10.

Resolução:

• Inicialmente, utilizamos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses: 2(2x 2 5) 1 3(x 1 4) 5 5(x 2 1) 1 10 4x 2 10 1 3x 1 12 5 5x 2 5 1 10 7x 1 2 5 5x 1 5

• Deixamos os termos sem a incógnita no 2o membro: 7x 1 2 5 5x 1 5 7x 1 2 2 2 5 5x 1 5 2 2 7x 5 5x 1 3

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• Deixamos os termos com a incógnita no 1o membro da igualdade: 7x 5 5x 1 3 7x 2 5x 5 5x 1 3 2 5x 2x 5 3

• Multiplicamos os dois membros por

1 para isolar a incógnita no 1o membro: 2

2x 5 3 2x ? 1 5 3 ? 1 2 2 3 x 5 2

Exemplo 4: Resolva a seguinte equação: x 1 3 2 x 5 1 2 2x 2 5 . 2 4 3 6 Resolução:

• Multiplicamos os dois membros da igualdade por um múltiplo comum dos denominadores, eliminando assim as frações. O múltiplo comum pode ser o mmc (2, 4, 3, 6) 5 12. 12 ? x 1 12 ? 3 2 x 5 12 ? 1 2 12 ? 2x 2 5 2 4 3 6 6x 1 3(3 2 x ) 5 4 2 2(2x 2 5)

• Utilizamos

então a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. A partir daí, seguimos o procedimento observado nos exemplos anteriores, procurando deixar os termos em x no 1o membro e os termos sem a incógnita no 2o membro: 6x 6x 3x 3x 3x 3x 7x

1 3(3 2 x ) 5 4 2 2(2x 2 5) 1 9 2 3x 5 4 2 4x 1 10 1 9 5 14 2 4x 1 9 2 9 5 14 2 4x 2 9 5 5 2 4x 1 4x 5 5 2 4x 1 4x 5 5 7x ? 1 5 5 ? 1 7 7 5 x 5 7    

Observação: VV As equações apresentadas neste

capítulo são denominadas equações do 1o grau. Essa denominação deve-se ao fato de que a incógnita presente na equação tem expoente 1. No final do Ensino Fundamental, ampliaremos esse estudo com a resolução de equações do 2o grau.

Exemplo 5: Resolva a equação: 5(x 1 1) 5 2(x 2 3).

Resolução: 5x 15 5 2x 2 6 5x 1 5 2 5 5 2x 2 6 2 5 5x 5 2x 2 11 5x 2 2x 5 2x 2 11 2 2x 3x 5 211 11 11 3x   ⇒  x 5 2 52 3 3 3

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Exemplo 6: A família de Gustavo viajou. Durante o percurso, os familiares resolveram fazer uma parada antes de completar o trajeto da viagem e descobriram que ainda faltavam 85 km para que 3 chegassem ao destino. Diante dessa informação perceberam que já haviam percorrido do 5 trajeto. De quantos quilômetros, no total, será essa viagem? Vamos resolver o problema de duas formas:

• Escrevendo a equação que representa a situação, vem 3  x  85  x 5 Nessa equação, x representa a distância total; logo, ao somar a parte percorrida da viagem ao que falta percorrer, encontraremos a distância total da viagem. Resolvendo:

3  x  85  x 5 3x  425 x 5 3x  425  5x 3x  425  5x  5x  5x 2x  425  425   425 (1)  (2x)  (1)  (425) 2x  425 425 ⇒ x 5 212,5 km x 2

Ou seja, o percurso da viagem é de 212,5 km.

• Utilizando apenas raciocínio aritmético Se a família havia percorrido

3 2 da viagem, ainda faltavam percorrer , e essa fração da 5 5

viagem equivalia a 85 km. 1 Logo, da viagem corresponde a 85 km  2 5 42,5 km. 5 Como a viagem estava dividida em 5 partes iguais, podemos afirmar que o percurso é de 212,5 km, pois 5  42,5 5 212,5. Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Reúna-se com um colega para resolver o exercício proposto. A turma de Joana tem 10 meninas. Sabe-se que o número de meninas é um quinto do total de alunos da sala. Quantos são os alunos da sala de Joana? 1 Sendo n o número de alunos da turma de Joana, qual igualdade representa a situação apresentada? n ? 1 5 10 ou n  5 5 10. Multiplicando-se a quantidade de meninas 5

por 5: 10 ? 5 5 50.

2 Como podemos descobrir o número total de alunos da sala de Joana? 3 Elaborem uma situação que possa ser resolvida por meio de uma equação, resolvam-na e depois desafiem outra dupla de colegas a resolvê-la.

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Resolva as seguintes equações utilizando uma operação elementar que mantenha verdadeira a igualdade correspondente. a) x 1 10 5 25 x 5 15 b) x 2 4,5 5 210 x 5 25,5

c) 4x 5 200 d) x 5 0,9 7

x 5 50 x 5 6,3

2 Resolva as equações. a) 4 ? (x 2 5) 1 10 5 5 ? (7 1 2x) x 5 27,5 b) 25 ? (22x 2 1) 5 214 1 7 ? (3 1 x) x 5 c) 22 ? (1 2 x) 2 2 5 3 ? (1 1 x) 2 5 x 5 22 d) 3 ? (x 2 3) 5 7 2 x x 5 4 e) 5 ? (3 1 x) 2 7x 5 4 ? (2 2 2x) x 5 2 7

6

f) 4 2 2 ? (x 2 1) 1 10 5 8 2 6x x 5 22

2 3

g) 26 2 x 5 2x x 5 30 5 3 h) 4x 2 100 52 3x x 5 48 3 4 x 2 x 5 21 2 x x 5 45 i) 31 5 9 x x 1 5 25 x 5 224 j) 8 12 k) 1 2 2x 1 x 2 3 5 x 2 1 20 5 4 l)

3x 2 1 2 2x 2 1 5 5 3 5 x 2 10 5 2 3x 2 6 4 2

x 5 22

x52

3 Nos problemas a seguir, escreva e resolva a equação correspondente.

Ronaldo Barata

a) A metade de um número racional adicionada ao número 1 tem, como resultado, o dobro do número. Qual é esse número? 2 3 b) Três números naturais consecutivos têm soma igual a 33. Quais são esses números? 10, 11 e 12 c) Um número somado a sua metade resulta em 45. Determine esse número. 30 d) A soma de um número com o seu dobro é 45. Qual é o valor desse número? 15 e) Uma quantia em dinheiro foi dividida para três amigos: André, Guilherme e Daniel. Sabe-se que André ganhou um terço da quantia de Guilherme, e Daniel ganhou o dobro da quantia de Guilherme. Sabendo-se que os três juntos têm R$ 420,00, quanto cada um recebeu? André recebeu R$ 42,00; Guilherme, R$ 126,00; e Daniel R$ 252,00.

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CONEXÕES Uma curiosidade relacionada à ideia de equilíbrio: quando utilizamos uma balança de dois pratos para introduzir a noção de igualdade, estamos fazendo uma analogia entre igualdade e equilíbrio. A balança de dois pratos também é utilizada quando queremos falar de justiça. Dinza/Sutterstock

Um dos símbolos da Justiça é uma divindade grega, chamada Têmis; segura na mão direita uma espada, que simboliza a força, a coragem, a ordem, a regra, aquilo que a razão dita para exercer o poder de decisão. Na mão esquerda, segura uma balança, simbolizando a equidade, o equilíbrio, a ponderação e a igualdade das decisões aplicadas pela lei. Os olhos vendados significam o desejo de nivelar o tratamento jurídico de todos, sem nenhuma distinção, com imparcialidade. Como vemos na fotografia ao lado, essa mulher está pisando a cabeça de uma cobra, que representa o mal, e um livro, que é o da lei, do direito.

“Segundo IHERING, 2004 [...]. A espada sem a balança é a força bruta, a balança sem a espada é a fraqueza do direito. Ambas se completam e o verdadeiro estado de direito só existe onde a força, com a qual a Justiça empunha a espada, usa a mesma destreza com que maneja a balança.” Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

“Balança Eduardo Belmiro

Utensílio de origem caldeia, símbolo místico da justiça, quer dizer, da equivalência e equação entre o castigo e a culpa (CIRLOT, 1984, p. 112); não é apenas um signo zodiacal, mas em geral o símbolo da justiça e do comportamento correto, da medida, do equilíbrio; em muitas culturas, representa a imagem da jurisdição, da justiça terrena, da ‘Justitia’ com os olhos vendados, que não se deixa influenciar durante a avaliação da culpa. Também no além, segundo a doutrina ética de muitas religiões no que se refere à remissão dos pecados, ocorre um julgamento que decide sobre o peso das boas e das más ações realizadas na terra; assim como, por exemplo, o julgamento dos mortos dos antigos egípcios, no qual o deus Osíris, na presença de Maat, a deusa da justiça, pesa o coração do morto e decide sobre seu destino ultraterreno. O ato de pesar as ações terrenas encontra-se presente também nos julgamentos do além dos antigos persas e dos tibetanos. Na Grécia, com a balança, Zeus inflige ao homem seu destino. No cristianismo a balança é símbolo e atributo eminente do juiz universal no fim dos tempos; ele decide, com a balança na mão, se aquele que se encontra defronte à cadeira do juiz divino deve ser designado ao paraíso do céu ou aos tormentos eternos do inferno (BIEDERMANN, 1994, p. 49).” Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

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CAPÍTULO 20

Resolução de problemas Master2/Dreamstime.com

Vimos como resolver uma equação do 1o grau em uma incógnita. Em diversas circunstâncias, as equações não são claramente identificadas ou diretamente fornecidas. São casos em que se faz necessário interpretar adequadamente a situação, com os dados presentes, e então relacionar ou descrever essas informações por meio de uma equação. Somente então a questão poderá ser solucionada.

© Banco Central do Brasil

Por exemplo, uma pessoa retirou, num caixa eletrônico, a importância de 950 reais em cédulas de 20 e 50 reais. No total, ela recebeu 25 cédulas, entre elas havia 5 cédulas de 50 reais a mais do que de 20 reais. Quantas cédulas de cada tipo ela retirou? Como resolvemos essa situação? A seguir, você verá que, para solucionar esse problema e outros, precisamos, inicialmente, organizar as informações conforme o enunciado apresentado. É a etapa chamada de “equacionamento”. Equacionar uma situação significa relacionar as informações presentes, identificando o termo desconhecido por meio de uma incógnita. Para que esse procedimento, bem como a resolução da situação, ocorra, há algumas etapas importantes para seguir.

• O enunciado da situação deve ser lido com muita atenção. • A incógnita deve ser identificada por meio de uma letra. • As informações presentes no enunciado devem ser relacionadas

por meio de uma

equação.

• A equação, então, deve ser resolvida. • A adequação da solução encontrada à situação apresentada deve ser verificada. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de como não somente equacionar determinados problemas como também resolvê-los.

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Exemplo 1: Vamos retomar a situação apresentada no início do capítulo: Uma pessoa retirou, num caixa eletrônico, a importância de 950 reais em cédulas de 20 e 50 reais. No total, ela recebeu 25 cédulas, entre elas havia 5 cédulas de 50 reais a mais do que de 20 reais. Quantas cédulas de cada tipo ela retirou?

Resolução:

• Vamos identificar pela incógnita x a quantidade de cédulas de 20 reais. Assim, temos: Número de cédulas de 20 reais: x Número de cédulas de 50 reais: x 1 5 Quantia em cédulas de 20 reais: x ? 20 Quantia em cédulas de 50 reais: (x 1 5) ? 50 • Como sabemos a quantia total que foi retirada, podemos equacionar o problema:

x ? 20 1 (x 1 5) ? 50 5 950

• Agora, resolvemos a equação conforme estudamos no capítulo anterior: x ? 20 1 (x 1 5) ? 50 5 950 20x 1 50x 1 250 5 950 70x 1 250 2 250 5 950 2 250 70x 5 700 x 5 700 ⇒ x 5 10 70 • Como x representa o número de cédulas de 20 reais, concluímos então que foram retiradas 10 cédulas de 20 reais e 15 cédulas (5 a mais) de 50 reais. Observação: Conferimos o resultado: 10 ? 20 1 15 ? 50 5 200 1 750 5 950

Exemplo 2: Somando as idades de Bruno e Bianca, obtemos 15 anos. Qual é a idade de cada um, considerando que o dobro da idade de Bruno é igual ao triplo da idade de Bianca?

Resolução:

• Sabemos que a soma das idades dos dois é 15 anos. Assim, se representarmos a idade de Bruno com a letra x, a idade de Bianca corresponde ao que falta para 15, ou seja: Idade de Bruno: x Idade de Bianca: 15 2 x • Como o dobro da idade de Bruno é igual ao triplo da idade de Bianca, escrevemos a seguinte equação: 2 ? x 5 3 ? (15 2 x)

• Resolvemos então a equação como vimos no capítulo anterior: 2 ? x 5 3 ? (15 2 x) 2x 5 45 2 3x 2x 1 3x 5 45 2 3x 1 3x 5x 5 45 x = 45 ⇒ x 5 9 5 Como x representa a idade de Bruno, concluímos que Bruno tem 9 anos e Bianca, 6 anos (o que falta para 15).

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Exemplo 3: A figura a seguir é formada por dois quadrados. A medida do lado do quadrado maior é o dobro da medida do lado do quadrado menor. Determine essas medidas, considerando ainda que o perímetro do quadrado maior mede 16 cm a mais que o perímetro do quadrado menor. Setup

Resolução:

• Indicando por x a medida do lado do quadrado menor, temos: Medida do lado do quadrado menor: x Medida do lado do quadrado maior: 2x • Se o perímetro é a medida do contorno da figura plana, podemos representar os perímetros desses dois quadrados por: Perímetro do quadrado menor: 4x Perímetro do quadrado maior: 4 ? 2x

• Considerando que o perímetro do quadrado maior mede 16 cm a mais que o perímetro do quadrado menor, escrevemos a seguinte equação: 4 ? 2x 5 4x 1 16

• Resolvemos então a equação: 4 ? 2x 5 4x 1 16 8x 2 4x 5 4x 1 16 2 4x 4x 5 16 x 5 16 ⇒ x 5 4 4 Portanto, o quadrado menor tem lado medindo 4 cm, e o quadrado maior tem lado medindo 8 cm (o dobro da medida do lado do quadrado menor).

Exemplo 4: A soma de dois números naturais e consecutivos é igual a 421. Determine esses números.

Resolução:

• Representamos por x o menor número. Assim, temos: Menor número: x Maior número: x 1 1 (o consecutivo é 1 a mais)

• Escrevemos então a equação, considerando que conhecemos a soma dos dois números: x 1 (x 1 1) 5 421

• Resolvemos a equação:

x 1 (x 1 1) 5 421 2x 1 1 5 421 2x 1 1 2 1 5 421 2 1 2x 5 420 x 5 420 ⇒ x 5 210 2

Como 210 é o menor número, concluímos que o maior é 211. Essa situação também pode ser resolvida considerando apenas um raciocínio aritmético: 421  2 5 210,5 Logo, teremos os números 210 e 211.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Leia com atenção os problemas a seguir e escreva a equação correspondente.

a) O triplo de um número é igual a 99. 3x 5 99 x b) A soma de um número com sua metade é 25. x 1 2 5 25 c) Aumentando um número em 5 unidades, o resultado é o quádruplo do número inicial. x 1 5 5 4x d) Multiplicando 4 por determinado número e acrescentando 6, o resultado é 34. 4x 1 6 5 34 e) Aumentando um número em 25%, obtém-se o triplo dele. x 1 0,25x 5 3x 2 A balança está em equilíbrio.

De acordo com as massas indicadas em quilogramas: a) escreva uma equação que represente a situação, sendo x a massa do bloco; 6 5 2 1 x b) determine a massa do bloco. x 5 4; 4 kg 3 Na balança a seguir, os dois blocos colocados no prato da esquerda têm a mesma massa. Determine a massa de cada bloco, escrevendo e resolvendo a equação. 2x 1 2 5 14

Ilustrações: Eduardo Belmiro

x 5 6; 6 kg

4 Considere que, na balança em equilíbrio, os dois tijolos têm a mesma massa.

1 kg

1 kg

1 kg

1 kg

1 kg

1 kg

a) Escreva uma equação que represente a situação apresentada. 5 5 1 1 2x b) Qual é a massa de cada tijolo? 2 kg

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5 Resolva os problemas a seguir. a) Subtraindo 3 do dobro do antecessor de um número obtemos 25. Qual é esse número? 15 b) Um terreno retangular tem 36 m a menos de largura do que de comprimento. O perímetro do terreno é 168 m. Quais são as medidas desse terreno? 60 m e 24 m c) A soma de um número natural com o dobro de seu sucessor resulta em 104. Qual é esse número? 34 d) Uma conta de R$ 720,00 foi paga com notas de R$ 10,00 e de R$ 5,00. O número de notas de R$ 5,00 era o dobro do número de notas de R$ 10,00. Quantas eram as notas de cada valor? 36 notas de R$ 10,00 e 72 notas de R$ 5,00 6 A idade de Sônia é o quíntuplo da idade de Antônia. Considerando que, juntas, elas têm 78 anos, faça o que se pede a seguir. a) Escreva uma equação que represente a situação, utilizando a letra x para a idade de Antônia. 5x 1 x 5 78

b) Determine a idade de cada uma. Antônia tem 13 anos e Sônia, 65 anos. Sebastian Salguero/LatinContent/ Getty Images

7 Na turma de Mariana, sabe-se que, com a terça parte dos alunos, podem ser formadas duas equipes de voleibol. a) Sendo x o número de alunos da turma de Mariana, escreva uma equação que represente adequadamente a situação apresentada. b) Quantos são os alunos na turma de Mariana? 36 alunos

8 Resolva, utilizando equações, os seguintes problemas: 7. a) x 5 12 (cada equipe de voleibol tem 6 jogadores) 3

a) Sabe-se que dois números inteiros e consecutivos têm a soma de 159. Qual é o maior desses números? 80 b) A soma de dois números naturais pares e consecutivos é igual a 206. Quais são esses números? 102 e 104 c) Subtraindo-se 2 da terça parte de um número, o resultado é 8. Determine qual é esse número. 30 d) A soma de um número natural com o dobro de seu sucessor resulta em 206. Qual é esse número? 68 9 Lúcia e Pedro são irmãos. Quando Lúcia nasceu, Pedro tinha 3 anos. Atualmente, a soma da idade dos dois irmãos é 43 anos. Qual é a idade de cada um deles? 20 e 23 anos 10 Uma mulher tem 48 anos de idade e seu filho, 12 anos. Daqui a quantos anos a idade da mulher será o triplo da idade do filho? Daqui a 6 anos. 11 Uma conta de R$ 1.450,00 foi paga com notas de R$ 20,00 e de R$ 10,00. O número de notas de R$ 10,00 era o triplo do número de notas de R$ 20,00. Quantas eram as notas de cada valor? 29 notas de R$ 20,00 e 87 notas de R$ 10,00 12 Sabendo-se que 62% da capa de uma revista foi reservado para uma imagem e a área restante (de 330 cm²) será ocupada com o título e as chamadas, determine a área total Vamos chamar a área total da capa da revista de x. Logo: da capa dessa revista. 0,62x 1 330 5 x

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0,62x 2 x 5 2330 (21)  (20,38x) 5 2330  (21) 0,38x 5 330 x 5 330  0,38 x 5 868,4210526… 868,42 cm², aproximadamente.

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CONEXÕES Você já prestou atenção em conversas de adultos, quando eles estão falando de problemas referentes às profissões que exercem? Às vezes, é possível perceber, nos diálogos, a utilização de termos da Matemática, particularmente da Álgebra. Este é exatamente o "xis" da questão. Ronaldo Barata

Precisamos equacionar a situação. Somente assim alcançaremos o equilíbrio.

O que significa dizer: “Precisamos equacionar...”? Lembre-se de que, nesta unidade, algumas vezes você teve de escrever uma equação que representava determinada situação. Ao fazer isso, acabou relacionando os dados do problema por meio de uma igualdade. O que você fez foi exatamente “equacionar” um problema. Assim, quando os adultos utilizam essa expressão, eles estão querendo resolver determinado problema. Esse problema não é necessariamente de Matemática, porém, ao equacioná-lo, eles poderão, de certa forma, compreender o que está acontecendo. Achar o ”xis” da questão equivale a dizer que o problema foi resolvido.

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TRABALHO EM EQUIPE Em dupla, resolva os seguintes problemas: Problema 1 Para que valores de n a expressão 7 · (n 2 2) 1 7 · (4 2 n): a) é igual a 14? Para qualquer valor de n. b) é igual a 7? Não existe valor de n. c) é múltiplo de 7? Para qualquer valor de n. d) é múltiplo de 5? Não existe valor de n. Problema 2

Problema 2 b) 5  (b 1 2) 1 3 5 23 5b 110 1 3 5 23 5b 1 13 5 23 5b 5 23 2 13 5b 5 10 b 5 2

c) 5  (b 1 2) 1 3 5 40 5b 1 10 1 3 5 40 5b 1 13 5 40 5b 5 40  13 5b 5 27 Como 27 não é múltiplo de 5, não existe b que pertença ao conjunto dos números naturais que resolva essa equação.

a) Qual deve ser o valor do número natural b para que 5 · (b 1 2) 1 3 dividido por 5 tenha Na expressão 5  (b 1 2) 1 3, o valor 5  (b 1 2) será um múltiplo de 5 para qualquer b pertencente aos resto 3?números naturais, pelo fato de que (b 1 2) está sendo multiplicado por 5. Logo, para qualquer b o resto será igual ao valor somado desde que este seja menor do que 5. A expressão terá resto 3 para qualquer valor de b.

b) Qual deve ser o valor do número natural b para que 5 · (b 1 2) 1 3 tenha 23 como resultado? c) Qual deve ser o valor do número natural b para que 5 · (b 12) 1 3 tenha como resultado 40?

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CAPÍTULO 21

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas Analise a seguinte situação: Um professor está selecionando 5 alunos para compor a equipe de robótica da escola. Quantos meninos e quantas meninas haverá nessa equipe? Tal indagação não tem uma única resposta. Podemos entender essa situação por meio da seguinte equação:

x 1 y 5 5, sendo x o número de meninos e y o número de meninas. Como essa equação apresenta duas incógnitas, que devem ser números naturais, poderíamos obter esses valores: Meninos

0

1

2

3

4

5

Meninas

5

4

3

2

1

0

Portanto, as soluções possíveis para esse problema serão: (0, 5); (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1); (5, 0). Cada solução indicada forma um par ordenado

(0, 5)

Meninos Setup

Meninas

(1, 4)

(2, 3)

(3, 2)

(4, 1)

(5, 0)

Desconsiderando a situação que gerou a equação x 1 y 5 5, podemos tratar suas possíveis soluções como um conjunto de pares ordenados (x, y), e como tal eles podem ser inseridos em plano cartesiano, como indicado a seguir:

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a

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A

B

C

D

E

F

(0, 5)

(1, 4)

(2, 3)

(3, 2)

(4, 1)

(5, 0)

Setup

y 7 6 5 4

A

B

3

C D

2

E

1

F 1

0

1

2

3

4

5

6

7 x

1

Agora observe a situação a seguir: Caio e Maria começaram a colecionar figurinhas e, depois de uma semana, obtiveram juntos 60 unidades. Sabendo que Caio tem 16 figurinhas a mais que Maria, como é possível determinar quantas figurinhas cada um possui?

• Primeiro, vamos escrever matematicamente essa situação utilizando duas equações: Caio tem x figurinhas; Maria tem y figurinhas.

• As figurinhas de Caio mais as de Maria totalizam 60, portanto podemos escrever: x 1 y 5 60

• Como Caio tem 16 figurinhas a mais do que Maria, podemos dizer que o total das figurinhas de Caio menos o total das figurinhas de Maria é igual a 16, o que nos leva a escrever: x 2 y 5 16

• Reunindo as duas equações encontradas, podemos formar o seguinte sistema de equações do 1o grau:

x 1 y 5 60 x 2 y 5 16

Para resolver sistemas formados por duas equações do 1o grau, podemos nos valer por exemplo de quatro tipos de procedimentos:

• Tentativa e erro • Método da substituição

• Método da comparação • Método da adição

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Por tentativa e erro podemos organizar os dados em uma tabela e, dessa forma, encontraremos o valor por meio de tentativas. Os valores escolhidos foram inicialmente aleatórios, veja:

x

y

x1y

x2y

30

30

60

0

40

20

60

20

50

10

60

40

35

25

60

10

37

23

60

14

38

22

60

16

Segundo essa tabela podemos perceber que Caio tem 38 figurinhas (valor de x) e Maria tem 22 figurinhas (valor de y), pois 38 1 22 5 60 e 38 2 22 5 16. Agora vamos resolver o mesmo problema utilizando o método da substituição. Temos estas duas equações:

x 1 y 5 60 x 2 y 5 16 Olhando para a 2a equação, podemos dizer que: x 2 y 5 16, então x 5 16 1 y (“figurinhas de Caio” é igual a “figurinhas de Maria” mais 16). Como o valor de x é o mesmo nas duas equações, podemos substituí-lo. Para isso, utilizaremos na primeira equação o valor de x encontrado na segunda equação. Veja:

x 1 y 5 60, substituindo x, temos:

(16 1 y) 1 y 5 60

216 1 16 1 2y 5 60 2 16

2y 5 60 2 16

y 5 44 ; 2



y 5 22

Sabendo que y 5 22, podemos substituí-lo em qualquer uma das equações para obter, assim, o valor de x, isto é: Se x 2 y 5 16, temos:

x 2 22 5 16



x 5 16 1 22



x 5 38

Dessa forma, descobrimos que Caio possui 38 figurinhas; e Maria, 22.

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Também podemos resolver pelo método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações e comparar os resultados. x 1 y 5 60

x 2 y 5 16 Vamos isolar x nas duas equações:

x 1 y 5 60 ⇒ x 5 60 2 y e x 2 y 5 16 ⇒ x 5 16 1 y Como o valor de x nas duas equações é o mesmo, podemos escrever:

x

5

x

60 2 y 5 16 1 y



60 2 y 5 16 1 y 60 5 16 1 y 1 y 60 2 16 5 y 1 y 44 5 2y 22 5y Substituindo y em qualquer uma das equações acima, encontraremos o valor de x igual a 38.

x 1 y 5 60 x 1 22 5 60 x 5 60 2 22 x 5 38 Agora, resolva a situação com o método da adição, para isso, adicione membro a membro as duas equações.

Exemplo 1: Tenho a seguinte escolha: ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda fico com R$ 30,00. Qual é o valor unitário desse produto? Quanto dinheiro eu tenho?

Resolução:

• Para resolver esse problema, primeiramente temos de obter as equações com base no enunciado. O trecho “compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho” possibilita definir duas incógnitas:

x: dinheiro que eu tenho y: preço de cada unidade

• Em seguida, elaboramos a equação com base nas informações ditas anteriormente. 20y 5 x

• Já o trecho “compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00” possibilita escrever a equação: 14y 1 30 5 x

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Neste caso, teremos: 20y 5 x 14y  30 5 x Qual método você utilizaria para resolver essas equações? Repare que, nesse sistema, a incógnita x já se encontra isolada nas duas equações. O que nos leva a utilizar o método da comparação entre os primeiros membros dessas equações. 20y 5 14y 1 30 20y 2 14y 5 30 6y 5 30

y 5 30  6 y55 Logo, sabemos que cada unidade a ser comprada custa R$ 5,00. Para descobrir o valor que tínhamos, basta utilizar a equação do sistema que achar mais simples e substituir y pelo valor encontrado: 20y 5 x 20  5 5 x 100 5 x Assim, o preço unitário de cada produto é R$ 5,00 e tenho R$ 100,00.

Exemplo 2: Em uma prateleira há 55 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 24,5 kg. Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja igual ao número de embalagens de 500 g?

Resolução:

• Primeiramente,

é preciso tomar cuidado com as unidades de medida apresentadas (g e kg). É necessário trabalhar com uma única unidade de medida. Neste exemplo, utilizaremos o kg. Logo, 400 g 5 0,4 kg e 500 g 5 0,5 kg.

• O trecho “Em uma prateleira há 55 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g” possibilita definir nossas incógnitas e, por consequência, encontrar uma das equações:

x 5 quantidade de embalagens de 400 g y 5 quantidade de embalagens de 500 g x 1 y 5 55, ou seja, ao somarmos a quantidade de unidades, o total é 55.

• O trecho “em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 24,5 kg” possibilita escrever a segunda equação, pois 0,4x 1 0,5y 5 24,5, ou seja, a massa total das embalagens de 400 g somado à massa total das embalagens de 500 g resulta em 24,5 kg. Logo, temos:

x  y 5 55 0,4x  0,5y 5 24,5

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• Nesse sistema, podemos isolar facilmente uma das incógnitas na primeira equação, mas observe que não é tão simples isolar uma incógnita na segunda equação. Logo, resolvemos utilizar nesta atividade o método da substituição. Isolando x na primeira equação:

x 5 55 2 y Substituindo x na segunda equação: 0,4  (55 2 y) 1 0,5y 5 24,5 22 2 0,4y 1 0,5y 5 24,5 0,1y 5 24,5 2 22 0,1y 5 2,5

y 5 (2,5) ; (0,1) ⇒ y 5 25 Logo, temos 25 embalagens de 500 g.

• Para encontrar a quantidade de embalagens de 400 g, substituímos o valor de y em uma das equações do sistema:

x 1 y 5 55 x 1 25 5 55 x 5 55 2 25 x 5 30 Logo, temos 30 embalagens de 400 g. Retomando a pergunta inicial: “Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja igual ao número de embalagens de 500 g?”, concluímos que são 5 embalagens que precisam ser retiradas. Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Aplicando o método da substituição, resolva. a) (7,5; 0,5); b) (4, 2); c) (23, 10) a) x 2 y 5 7 x 1 3y 5 9

b) 3x 2 2y 5 8 x 2 3y 5 22

c) 2x 1 y 5 4 x 1 y 5 7

2 Um estacionamento cobra, por um período de 12 horas, R$ 5,00 por moto e R$ 12,00 por carro estacionado. Ao final de um período de 12 horas, o caixa registrou R$ 1.109,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros ocuparam o estacionamento nesse dia? 13 motos e 87 carros

3 Uma cantina vende guaraná nas versões tradicional e diet. O tradicional é vendido por R$ 3,50 a lata, e o diet por R$ 4,00. Ao final de uma semana haviam sido vendidas 1 200 latas de guaraná, com um faturamento de R$ 4.325,00. Descubra quantas latas de cada tipo de guaraná foram vendidas. 950 latas do tradicional; 250 latas do diet 4 Num quintal há 48 animais, entre porcos e galinhas. Sabe-se que há, ao todo, 122 pés. Quantos são os porcos e quantas são as galinhas? São 35 galinhas e 13 porcos. 5 No último Encontro Nacional de Educação Matemática, a inscrição dos professores do Ensino Médio no evento custava R$ 85,00. Os professores do Ensino Superior pagavam R$ 128,00. A arrecadação total obtida com as inscrições foi de R$ 83.000,00 de um total de 850 professores inscritos. Quantos desses professores eram do Ensino Médio? Eram 600 professores do Ensino Médio.

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CAPÍTULO 22

Inequações A imagem de uma balança com dois pratos em equilíbrio pode ser associada a uma igualdade, isto é, dizemos que as massas colocadas nos dois pratos são iguais. Quando adicionamos ou subtraímos uma mesma massa dos dois pratos, o equilíbrio se mantém. Associando isso a uma igualdade, ao adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros da igualdade, obtemos uma igualdade. Essa ideia foi utilizada anteriormente para resolver uma equação. E quando a balança não está em equilíbrio?

Nesse caso, como ilustrado pela balança acima, a massa colocada em um dos pratos é maior que a massa colocada no outro. Ocorre então um desequilíbrio. Essa ideia pode ser associada a uma desigualdade, conforme veremos neste capítulo.

Desigualdades Illustrações: Eduardo Belmiro

Quando consideramos, por exemplo, dois blocos com massas A e B, respectivamente, há três possibilidades na comparação desses blocos:

• A 5 B (A é igual a B) • A , B (A é menor que B) • A . B (A é maior que B) Tanto nos números naturais como nos inteiros e, depois, nos racionais, a comparação entre dois números pode ser expressa por meio de uma igualdade ou desigualdade. Assim, sabemos que o número 2100 é menor que o número 250. Escrevemos isso por meio da desigualdade: 2100 , 250

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Assim como acontece numa igualdade, também numa desigualdade é preciso conhecer determinadas propriedades. Observe, por exemplo, o que ocorre com a desigualdade anterior quando adicionamos um mesmo número aos dois membros: 2100 , 250

desigualdade verdadeira

2100 1 700 , 250 1 700 600 , 950

desigualdade verdadeira

Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade verdadeira, obtemos uma desigualdade também verdadeira. Agora vamos multiplicar os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número. Primeiro, multiplicamos por um número positivo: 2100 , 250



desigualdade verdadeira

2100 ? 7 , 250 ? 7



2700 , 1 750



desigualdade verdadeira

Observe o que acontece quando multiplicamos por um número negativo: 2100 , 250



desigualdade verdadeira

2100 ? (27) , 250 ? (27)



700 . 1 750



desigualdade verdadeira Mudamos o sinal de maior para menor.

Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um número positivo, obtemos uma desigualdade também verdadeira. Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um número negativo, devemos inverter o sentido da desigualdade para que ela permaneça verdadeira. Um retângulo tem y metros de comprimento e x metros de largura, enquanto um triângulo equilátero tem 3 m de lado. Qual sentença matemática podemos escrever para expressar o fato de o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do triângulo equilátero?

Perímetro do retângulo: 2x 1 2y Perímetro do triângulo: 9 m (ou 3 ? 3) Sentença: 2x 1 2y . 9.

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x y

3m

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AGORA É COM VOCÊ 1 Indique V ou F conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente: a) 2 . 23 V b) 9 . 15 F c) 210 . 29 F d) 245 , 244 V

e) 212 . 211 F f) 210 . 211 V g) 0  5 2 5 F h) 9 2 25 , 10 2 25 V

i) 4  4 V j) 234  10 V

2 Considere inicialmente a seguinte desigualdade: 225 , 10

Escreva as desigualdades verdadeiras correspondentes ao que está definido nos itens. a) Com a adição de 10 aos dois membros. 215 , 20 b) Com a subtração de 5 aos dois membros. 230 , 5 c) Com a multiplicação dos dois membros por 2. 250 , 20 d) Com a divisão dos dois membros por 5. 25 , 2 e) Com a multiplicação dos dois membros por 22. 50 . 220 3 Complete a tabela a seguir. Símbolo

Como lemos o símbolo

5 . ,   

igual maior que menor que diferente maior ou igual que menor ou igual que

4 Responda às questões: a) Se partimos de uma desigualdade verdadeira e adicionamos um mesmo número nega­tivo aos dois membros, obtemos uma desigualdade verdadeira ou falsa? Verdadeira. b) Se partimos de uma desigualdade verdadeira e multiplicamos os dois membros por um número negativo, o que devemos fazer para obter uma desigualdade verdadeira? Inverter o sentido da desigualdade. c) Se partimos de uma desigualdade verdadeira e dividimos os dois membros por um mesmo número negativo, o que devemos fazer para obter uma desigualdade verdadeira? Inverter o sentido da desigualdade. d) Se partimos de uma desigualdade verdadeira e multiplicamos um mesmo número positivo pelos dois membros, obtemos uma desigualdade verdadeira ou falsa? Verdadeira. 5 Observando a balança com dois pratos, responda:

198

Eduardo Belmiro

a) Qual fruta tem maior massa? A melancia. b) Qual fruta tem menor massa? As bananas. c) Suponha que a melancia tenha massa igual a 10 quilos, que estratégia poderia ser usada para determinar a massa das bananas, utilizando uma balança de dois pratos? Resposta pessoal.

Colocar pesos no prato das bananas até que os dois pratos fiquem em equilíbrio. Feito isso, subtrair da massa da melancia a massa total dos pesos colocados no prato. Neste caso os pesos devem ser de metal com massas discriminadas. Caso não tenhamos disponibilidade desses pesos, podemos substituir a melancia por outros objetos cujas massas sejam previamente conhecidas, até que os dois pratos fiquem em equilíbrio, pelo menos de forma aproximada.

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Inequações

x x x x x

10 kg

5 kg

Eduardo Belmiro

Existem desigualdades que contêm incógnitas. Quando isso ocorre, elas são chamadas de inequações. Ao observar, por exemplo, a balança a seguir, vemos que a massa colocada no prato da esquerda é maior que a massa colocada no prato da direita.

Vamos representar essa situação por meio da seguinte desigualdade: 4x 1 5 . x 1 10 Desigualdades como a apresentada são chamadas de inequações. Inequação é uma sentença matemática representada por meio de uma desigualdade que contém uma ou mais incógnitas.

Observações: VV Um número é solução da inequação quando, ao ser substituída pela incógnita, a desigualdade

correspondente é verdadeira. VV Existem duas operações elementares que podemos realizar numa inequação:

•  adicionar (ou subtrair) um mesmo número aos dois membros da inequação; • multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma inequação por um número diferente de zero. Se esse número for positivo, mantém-se o sentido da desigualdade. Caso seja negativo, inverte-se o sentido da desigualdade. Para resolver uma inequação, devemos, utilizando as operações elementares, isolar a incógnita em um dos membros da desigualdade correspondente. Vamos exemplificar!

Exemplo 1: Resolva a inequação apresentada anteriormente, isto é, 4x 1 5 . x 1 10.

Resolução: 4x 1 5 . x 1 10 4x 1 5 2 x . x 1 10 2 x 3x 1 5 . 10 3x 1 5 2 5 . 10 2 5 3x . 5 ⇒ x . 5 3 Qualquer número maior que 5 satisfaz a desigualdade, portanto é solução. 3

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Exemplo 2:

Setup

No retângulo a seguir, a largura é 15 m e o comprimento dele é desconhecido. Para que a área desse retângulo seja, no mínimo, de 100 m2, qual deverá ser a medida do comprimento indicado pela letra x?

15 m

x

Resolução:

• Como a área é, no mínimo, de 100 m2, isso significa que sua medida deverá ser maior ou igual a esse número. Lembrando que a área do retângulo é o produto da base pela altura, temos a seguinte inequação: A  100 15 ? x > 100

• Para isolar a incógnita no 1o membro, podemos dividir os membros pelo número 15 (é o mesmo que multiplicar pelo inverso do número 15): 15 ? x  100 15x  100 ⇒ x  20 15 15 3 20 , podendo ser qualPortanto, o menor valor possível do comprimento do retângulo é 3 quer outra medida superior a essa.

Exemplo 3: Resolva a seguinte inequação: 22x  1 5 Resolução: Como, no 1o membro dessa inequação, temos o termo com a incógnita e seu coeficiente está negativo, vamos multiplicar, membro a membro, por 21, para tornar esse termo positivo. Observe que o sentido da desigualdade será invertido: 2 2x  1 5 1 22x ? ( 2 1)  ? ( 2 1) 5 2x  2 1 5 1  21 ? 1 2x ? 2 5 2 x  2 1 10

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caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Identifique os números que solucionam adequadamente cada inequação. 23 x1 x1 2x  2 x 1 2 5  2x

22

21

0

1

2

3

Não.

Não.

Não.

Não.

Não.

Sim.

Sim.

Não.

Não.

Não.

Não.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Não.

Não.

Não.

Não.

Não.

Não.

Não.

Não.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Sim.

Não.

2 Escreva uma inequação para as situações a seguir, utilizando, como termo desconhecido, a letra x. a) O dobro de um número menos 10 é maior que o triplo do número. 2x 2 10 . 3x b) O triplo de um número mais 15 é menor que o número aumentado em 20. 3x 1 15 , x 1 20 c) A diferença entre o quádruplo de um número e a metade desse número é maior ou igual a 70. 4x 2 x  70 2 d) Um número adicionado ao dobro de seu sucessor é menor que o triplo de seu antecessor. x 1 2(x 1 1) , 3(x 2 1)

3 Resolva as seguintes inequações: a) 4x 2 6 , 7x 2 7 x . b) 10x 1 3 < 12x x  3

1 3

2

c) 2x 2 18 . x 2 14 x . 4 d) 9 ? (x 2 2) 2 1 , 5 ? (x 2 3) x , 1

4 Resolva os seguintes problemas: a) A medida do lado de um quadrado é x centímetros, e as medidas dos lados de um retângulo são: 4 cm e 10 cm. Determine os valores de x considerando-os de tal modo que o perímetro do quadrado seja maior que o perímetro do retângulo. x . 7 b) Um retângulo tem medidas dos lados iguais a 10 cm e 22 cm. Outro retângulo tem lados medindo 8 cm e x cm. Determine possíveis valores de x de tal modo que a área do segundo retângulo seja menor que a área do primeiro. x , 27,5 c) Dez adicionado ao quádruplo de um número é maior que a subtração entre o dobro desse número e 18. Quais são os números que satisfazem a situação? Qualquer número maior que 214. d) Numa escola, a soma das quatro notas obtidas nos quatro bimestres, em cada disciplina, deve ser maior ou igual a 24 para o aluno ser aprovado. Marcos conseguiu 8 no primeiro bimestre, 4 no segundo bimestre e 5 no terceiro bimestre, na disciplina de Geografia. Qual deverá ser sua nota no 4o bimestre para ser aprovado em Geografia? Maior ou igual a 7.

5 Resolva as inequações na incógnita x. a) x 1 1 . 2x x , 6 2 3 x 2 1 b) , 2 2 x x  15 4 6 2 3 x 2 2 2 x 2 1 x0 c) 1 2x  6 3

d) 3(1 2 2x) 1 7 , x 2 4(3 2 5x) x . e) x 2 2  x 1 1 x < 24 8 4 x 2 1 1 f) . 2 1 2x 2 4 2 3 3

22 27

x,7

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caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (OBM)

Esmeralda está caminhando numa pista ao redor de um lago. Faltam 300 metros para chegar à metade do comprimento da pista e 200 metros atrás ela havia andado um terço do comprimento da pista. Cada volta nessa pista corresponde a quantos quilômetros? Alternativa a. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 2 (OBM) João e Maria herdaram um terreno, representado pelo polígono ABCDEF. Havia uma cerca reta separando o terreno em duas partes, mas como as áreas eram diferentes, João e Maria resolveram deslocá-la, mantendo a reta, de forma que a extremidade em F fosse para o ponto P. Com isso, as duas áreas tornaram-se iguais. Supondo que os ângulos em A, B, D, E e F são retos, de quantos metros foi o deslocamento FP? Alternativa b.

100 m

B

50 m

A

P

E

F

a) 5

D

70 m

C

Setup

60 m

b) 8

c) 10

d) 12

e) 20

3 (OBM) Entre os números naturais de 1 até n, pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são divisíveis por 6. No máximo, quantos desses números são divisíveis por 7? Alternativa e. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 A primeira condição nos diz que n  55, e a segunda que n < 59. Assim, teremos no máximo 8 múltiplos de 7 quando n  56, 57, 58 ou 59.

Editora Ática

Explorando Contando a História da Matemática – Equação: o idioma da Álgebra Autor: Oscar Guelli Editora: Ática 48 páginas Esse livro conta como se desenvolveu o idioma da Álgebra em diversas épocas e culturas, contribuindo assim para o surgimento de conceitos importantes. Acompanha suplemento de trabalho e sugestões didáticas para o professor.

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RESGATANDO CONTEÚDOS

caderno

1 A seguir, observe as várias adições e seus resultados. Descubra o segredo dessas adições para responder à pergunta no final. 121 151 11354 1131559 1 1 3 1 5 1 7 5 16 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 5 36 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 5 49 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 5 64 Qual é o valor da soma? 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 … 1 21 2 Assinale a alternativa que indica corretamente a situação: “O dobro de um número mais o triplo de seu quadrado”. Alternativa c. a) 2x 2 x2 b) 2x 1 x2

c) 2x 1 3x2 d) x 1 3x2

x

x

x

x

x 2

x

2

a) x4 1 4 5 x3 1 6 b) 4x 1 4 5 3x 1 6

2

x

2

2

Eduardo Belmiro

3 A equação que representa o equilíbrio observado na balança é: Alternativa b.

c) x4 2 4 5 x3 1 6 d) 3x 1 4 5 4x 1 6

Setup

4 Considerando as medidas mostradas no retângulo a seguir, a equação que indica corretamente suas 200 unidades de área é: Alternativa c.

4

2x  3

a) 8x 5 200 b) 8x 1 3 5 200

c) 8x 1 12 5 200 d) 8x 2 12 5 200

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5 Em relação ao retângulo da questão anterior, assinale a alternativa com a equação que representa o retângulo cujo perímetro é 64 unidades de comprimento. Alternativa a. a) 2(2x 1 3) 1 8 5 64 b) 2(2x 1 3) 1 16 5 64

c) 2(2x 1 3) 1 4 5 64 d) 2x 1 3 1 8 5 64

6 Num terreno retangular, a medida do perímetro é 80 metros. A medida de um lado é o triplo da medida do outro lado. Então, a área desse terreno é, em metros quadrados, igual a:

Alternativa b.

c) 400 d) 500

a) 200 b) 300

Setup

7 Conforme as medidas indicadas na figura a seguir, faça o que se pede.

y

9x

5x

a) Obtenha, na forma reduzida, a expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo maior. 28x  2y b) Obtenha, na forma reduzida, a expressão algébrica que representa a área do retângulo maior. 14xy 8 Se adicionarmos um número natural a seu sucessor, obteremos 127. Qual é o número natural considerado? Alternativa d. a) 53

b) 57

c) 59

9 O valor de x que é solução do sistema de equações a) 10

b) 11

d) 63 2x 2 y 5 10 é: x 1 y 5 20

c) 12

Alternativa a.

d) 13

10 Resolvendo a equação 3x 2 5 5 x 2 5 , obtemos como solução: Alternativa c. 8 6 3 2 a) um número natural. b) um número entre 1 e 10.

c) um número negativo. d) um número racional não inteiro.

11 Marcos comprou um livro por 80 reais. Deu 20 reais de entrada, e o saldo pagou em três parcelas iguais. Qual é o valor de cada parcela? Alternativa a. a) 20 reais b) 25 reais

c) 30 reais d) 40 reais

12 Numa folha de papel, Renata escreveu um número, multiplicou-o por 3, adicionou 12 ao produto e, depois, dividiu o resultado obtido por 7, conseguindo como resultado final o número 15. A equação correspondente é: Alternativa a. a) 3x 1 12 5 15 7

c) 3x 1 12 5 15 7

b) 3(x 1 12) 5 15 7

d) 3(x 1 12  7) 5 15

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RESGATANDO CONTEÚDOS

13 Em relação à situação apresentada na questão anterior, a solução é: Alternativa b. a) 21 b) 31

caderno

c) 41 d) 51

14 Assinale a alternativa que indica corretamente a situação representada na balança.

x x

x

x

1 kg

x 1 kg

a) 4x 1 1 . x b) 4x 1 1 . x 1 1

Eduardo Belmiro

Alternativa b.

c) 4x . 1 x 1 1 d) 5x 1 1 . x

15 Em um estacionamento há motos e carros, num total de 36 veículos. Sendo 126 o número total de pneus, desconsiderando os estepes, o número de carros no estacionamento é: Alternativa a.

c) 35 d) 18

a) 27 b) 28

16 O preço de um sanduíche é o triplo do preço de um suco. Se os dois juntos custam 24 reais, qual é o preço do suco? Alternativa d. a) 18 reais

b) 12 reais

c) 10 reais

d) 6 reais

17 A medida do lado de um quadrado é y metros, enquanto as medidas dos lados de um retângulo são: 3 m e 7 m. Considerando que o perímetro do quadrado é maior que o perímetro do retângulo, concluímos que: Alternativa c. a) y . 6

b) y . 4

c) y . 5

d) y , 5

18 Numa grande loja, por ocasião das festas de final de ano, houve uma promoção para compras feitas à vista. Os descontos eram dados conforme o valor da compra, representado na tabela a seguir pela letra C. Valor da compra

Desconto à vista

C , 200

zero

200  C , 400

2%

400  C , 800

3%

C  800

4%

Para cada valor de C indique o percentual de desconto que deve ser dado. c) C 5 399 2% e) C 5 400 3% g) C 5 900 4% a) C 5 190 zero b) C 5 290 2% d) C 5 210 2% f) C 5 650 3%

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UNIDADE 6

Razões e proporções

The Bridgeman Art Library/Keystone.

Galeria Nacional de Arte Moderna, Roma.

Em geral, no lançamento das vendas de um edifício a ser erguido, as construtoras elaboram uma miniatura dele para que as pessoas compreendam melhor como será a forma e os detalhes da construção. Essa miniatura é conhecida como maquete. Para detalhar como será um apartamento, as construtoras utilizam as chamadas plantas baixas. Esses são apenas alguns exemplos da utilização de razões e proporções.

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1 O que é uma planta baixa de uma casa? 2 Um mapa utiliza uma escala. Qual é o significado de uma escala? 3 Se uma criança com 10 anos de idade tem a altura de 1 m, qual será sua altura quando tiver 20 anos de idade?

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CAPÍTULO 23

Razões e proporções

Assim, se um carro viaja a uma velocidade constante de 60 quilômetros por hora (escrevemos "60 km/h") podemos, por exemplo, construir a seguinte tabela, relacionando o tempo com a distância percorrida: Respostas da página anterior: Velocidade constante de 60 km/h

Tempo (h) 1 2 3 4

Distância percorrida (km) 60 120 180 240

Ernesto Reghran/Pulsar Imagens

Viajando de carro por uma rodovia é possível observar e estabelecer diversas relações que envolvem grandezas. Podemos falar do tempo da viagem, da velocidade que esse carro leva para concluir a viagem, da distância que ele percorre. Considerando, por exemplo, que a velocidade é constante, podemos até ter uma ideia do tempo que levará para percorrer certa distância.

Veículo trafegando na Rodovia BR-226, em Santa Cruz, RN.

1. Resposta pessoal. A planta de uma casa pode ser considerada como um desenho que representa, em uma certa escala, uma “vista superior” dessa casa, evidenciando suas partes. 2. Resposta pessoal. É uma razão entre as medidas do desenho e as medidas correspondentes do objeto real. 3. Resposta pessoal.

Com base nesses valores, podemos escrever: distância 5 60 5 120 5 180 5 240 5 tempo 1 2 3 4 5 60 5 velocidade Registre no

caderno

Observando o exemplo acima responda à questão e depois faça o que se pede. a) Quantos quilômetros esse carro percorreria em 6 horas de viagem (sem paradas) a uma velocidade constante de 60 km/h? 360 km b) Considerando um carro a uma velocidade constante de 90 km/h, copie e complete a tabela:

Velocidade constante de 90 km/h

Tempo (h)

Distância percorrida (km)

1

90

2

180

3

270

4

360

Neste capítulo, abordamos dois conceitos extremamente importantes não apenas para a Matemática como também para outros ramos. Os conceitos são: razão e proporção. São ideias matemáticas relacionadas diretamente com as escalas de mapas, o consumo de combustível, a redução e a ampliação de fotografias, além de plantas e maquetes de casas e edifícios.

Observações: VV Outra forma de interpretar uma velocidade constante é dizer que o veículo teve uma velocidade média de

90 km/h, o que significa que a velocidade do veículo variou durante o percurso, por vezes, acima de 90 km/h e outras vezes abaixo dessa velocidade. VV Na Física definimos velocidade como a razão entre a distância percorrida por um corpo (veículo, por exemplo) e o tempo gasto para percorrer essa distância.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Ilustrações: Eduardo Belmiro

O conceito de razão Escala 1 : 100

Esta é a planta do escritório do pai de Lucas. Ela foi elaborada na escala 1 : 100 (lemos: escala "um para cem"). A planta, nessa escala, representa o escritório. Assim, cada 1 cm do desenho corresponde a 100 cm na medida real do escritório. Essa escala também pode ser escrita na forma de fração: Escala:

Temos aqui um exemplo de razão entre dois números.

Exemplo 1:

1 100

Denominamos razão entre dois números a e b, nessa ordem, com b  0, o quociente a . b

Considerando as medidas na planta do escritório do pai de Lucas, determine o perímetro e a área do escritório. 4 cm Escala 1 : 100

1,5 cm 3 cm

5 cm

3,5 cm

7 cm

Resolução:

• Primeiramente,

é preciso considerar a razão estabelecida. Neste caso, cada 1 cm na planta equivale a 100 cm ou 1 m na medida real do escritório. Logo, poderíamos reinterpretar essa figura da seguinte forma: 4 cm

1,5 cm 3 cm

5 cm

3,5 cm

7 cm

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APOEMA MATEMÁTICA 7

209 a

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• Considerando que os traços mais finos representam portas e janelas e que estes estão incluídos no perímetro temos: 4 m 1 5 m 1 1,5 m 1 3 m 1 3,5 m 1 7 m 5 24 m Perímetro igual a 24 m.

• Para calcular a área da figura, podemos decompô-la em duas partes: Eduardo Belmiro

4 cm

5 cm

1,5 cm 3 cm

I

II

3,5 cm

Área da figura I 5 5 m ? 4 m 5 20 m² Área da figura II 5 3 m ? 3,5 m 5 10,5 m² Área total 5 30,5 m²

7 cm

Exemplo 2: A turma de Luíza tem 50 alunos, dos quais 28 são meninas e 22 são meninos. Podemos obter as seguintes razões: 28 5 0,56 • Razão entre o número de meninas e a quantidade de alunos: 50 22 5 0,44 • Razão entre o número de meninos e a quantidade de alunos: 50 5 1,272727... • Razão entre o número de meninas e o número de meninos: 28 22 5 0,78571428571428571428... • Razão entre o número de meninos e o número de meninas: 22 28

Exemplo 3: Numa viagem, um automóvel consome 16 litros de gasolina para percorrer 160 quilômetros. Determine o consumo de combustível desse automóvel. Resolução: Calculando a razão de litros de gasolina para quilômetros percorridos: 16 5 1 160 10 Essa razão indica que, com 1 litro de combustível, o automóvel percorre 10 quilômetros.

Exemplo 4: Numa cidade com 2 500 000 pessoas, há 5 000 médicos. Calcule a razão do número de médicos por habitante. Resolução: Dividindo o número de médicos pelo número de habitantes e simplificando a fração: 5 000 5 5 5 1 2 500 000 2 500 500 Esta última razão indica que há 1 médico para cada 500 habitantes.

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Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Setup

Organizem-se em grupos. Em uma folha quadriculada, desenhem cinco retângulos com as medidas indicadas a seguir. Depois, recortem os retângulos e os sobreponham conforme mostra a figura: E

Medidas dos retângulos:

D

A: 1,5 cm 3 1 cm B: 3 cm 3 2 cm C: 4,5 cm 3 3 cm D: 6 cm 3 4 cm E: 7,5 cm 3 5 cm

C B A

a) Calculem a razão entre as medidas dos lados maior e menor de cada retângulo. Cada razão é de 1,5. b) As razões são iguais? Sim. c) Posicione uma régua no vértice inferior esquerdo do retângulo A e no superior direito do retângulo E. Qual é a conclusão? Os vértices estão alinhados. Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Escreva a razão correspondente: a) de 18 para 9; 2 b) de 9 para 18; 1 2 c) de 3 para 36; 1

12

d) de 0,5 para 0,25; 2 e) de 0,25 para 0,5. 1 2 f) de 4 para 36. 1

g) de 5 para 80 1 16 h) de 0,6 para 0,2. 3

9

2 Nos itens a e b da atividade anterior você escreveu a razão de 18 para 9 e de 9 para 18. O que acontece com a razão quando invertemos a comparação?  Os valores da razão se invertem.

DAE

3 Observe a figura a seguir e responda às questões:



Qual é a razão entre: 6 a) a área do retângulo vermelho e a área total da figura? 85 b) a área da figura verde e área do retângulo amarelo? 24 35 c) a área do retângulo amarelo e a área do retângulo vermelho? 35 6

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Registre no

caderno

4 Observando os valores de x e de y na tabela, copie e complete a tabela com a razão correspondente indicada.

x

25

32

0,625

244

281

1 4

1 024

y

10

8

0,25

222

9

1 2

32

x y y x

5 2

4

2 5

1 4

2,5

2

2 5

1 2

0,4 5

29

1 2

32

1 9

2

1 32

2

5 Responda às questões. a) A razão entre dois números positivos é um número positivo ou negativo? Explique sua resposta. Positivo. A divisão entre dois números positivos dá um número positivo. b) A razão entre dois números negativos é um número positivo ou negativo? Explique sua resposta. Positivo. A divisão entre dois números negativos dá um número positivo. c) A razão entre dois números de sinais contrários é um número positivo ou negativo? Explique sua resposta. Negativo. A divisão entre dois números de sinais contrários dá um número negativo. 6 Determine a razão correspondente nas questões a seguir. a) Qual é a razão entre a capacidade de uma garrafa de suco de 1 litro para uma latinha do mesmo suco, com capacidade de 350 mililitros? 1000 ou 20 350

7

b) Num município com 25 000 habitantes, existem apenas 4 médicos. Qual é a razão que indica o número de médicos por habitante? 4 ou 1 25 000

6 250

c) A medida da base de um retângulo é 30 cm, e a medida de sua altura é 5 cm. Qual é a 5 1 razão da medida da altura para a medida da base? 30 ou 6 d) Num concurso da Polícia Federal havia 4 500 candidatos concorrendo a 25 vagas. Qual é a razão que indica o número de vagas para o número de candidatos? 25 ou 1 4 500

180

e) Um automóvel gasta 8 litros de combustível para percorrer 100 quilômetros. Qual é a razão que indica o número de litros por quilômetro? 8 ou 2 100

25

7 Na festa junina da escola, a razão do número de meninos para o número de meninas era 1 . Sabendo que, ao todo, compareceram 45 meninos, qual foi o número de meninas que 3 estiveram presentes? 135 meninas 8 Após levantamento feito num município, descobriu-se que a razão do número de médicos para o número de habitantes era 1 . Havia 7 médicos no município. Qual é a população 2 500 do município? 17 500 habitantes 9 Numa viagem, Maurício observou que, com 1 litro de combustível, seu carro percorria 11 quilômetros, isto é, o consumo era 1 . Sabendo que ele percorreu, ao todo, 330 quilô11 metros, quantos litros de combustível seu carro gastou? 30 litros

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O conceito de proporção Eduardo Belmiro

Observe a seguir uma situação relacionada à escala. Um arquiteto projetou a planta de um pequeno apartamento. Ele desenhou essa planta na escala 1 : 200. Se, na planta, a medida de determinada parede é de 3 cm, qual é a medida real correspondente a esses 3 cm? Como a planta está na escala 1 : 200, cada 1 cm na planta corresponde a 200 cm de medida real. Assim, temos: 1 5 3 cm 200 x cm ou 1 5 3 proporção 200 x Esse problema pode ser resolvido por meio da resolução de uma equação ou, de forma equivalente, utilizando o conceito de proporção. A igualdade de duas razões constitui uma proporção.

Observações: VV A igualdade de duas razões constitui uma proporção; logo, quatro números não nulos a, b, c e d, nessa

ordem, formam uma proporção quando:



a5 c b d dizemos que a está para b na mesma razão em que c está para d.

VV Os quatro termos de uma razão recebem denominações especiais: meio extremo



a 5 c b d

extremo

meio

VV Em uma proporção, há uma propriedade importante que auxilia na resolução de problemas como o que foi

apresentado: Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa propriedade pode ser justificada da seguinte maneira: a 5 c b d a ? bd 5 c ? bd (multiplicamos os dois membros por bd) b d

a?d5b?c

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Exemplo 1: Resolva o exemplo da página anterior. Resolução: A proporção gera a seguinte equação:

1 5 3 200 x

1 ? x 5 200 ? 3 ⇒ x 5 600 Podemos então concluir que 3 cm na planta baixa representam 600 cm ou 6 metros na medida real.

Exemplo 2: Ollyy/Shutterstock

Uma fotografia 3 3 4 (3 cm de base por 4 cm de altura) foi ampliada de tal forma que a nova fotografia tem, como base, 5 cm. Qual é a medida da altura correspondente à fotografia?

Resolução: Como é uma ampliação, vamos representar por x a medida da nova altura da fotografia na seguinte proporção: 3 5 5 4 x 3?x54?5

4 cm

3 cm

Exemplo 3:

3x 5 20 ⇒ x 5 20 5 6,666... 3 Logo, podemos concluir que a altura da fotografia depois de ampliada será de aproximadamente 6,67 cm.

Se um automóvel percorre 13 km com 1 litro de combustível, quantos quilômetros percorrerá com o tanque cheio, cuja capacidade é de 54 litros? Resolução: Há aqui um exemplo de proporção envolvendo o consumo de combustível de um carro. Considerando que x representa a distância que o carro percorrerá com 54 litros, temos: 13 5 x 1 54 1 ? x 5 13 ? 54 ⇒ x 5 702 Portanto, nessas condições, o carro percorrerá 702 quilômetros.

4,5

Utilizando uma régua Caio mediu a dis- Rio Grande do Sul (RS): político 52°50’O Canguçu tância em linha reta entre as cidades de Canguçu e Pelotas, ambas no Rio Grande do Sul, Campos conforme vemos no mapa ao lado. UtilizanQuilombo Cerrito do a escala apresentada no mapa, determine Alegre B. Gonçalves a distância real entre essas cidades. R. Pelo tas Morro Monte Bonito Resolução: Redondo 1 5 4,5 Pelotas 1 400 000 x Dunas Capão do Leão 31°80’ S x 5 4,5 ? 1 400 000 Cerrito x 5 6 300 000 cm ou x 5 63 000 m ou Fonte: Atlas Geográfico Escolar. 6.ed. x 5 63 km Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 177.

© DAE/Sonia Vaz

Exemplo 4:

cm

N O

L S

0

14

28 km

1:1 400 000

214 pom7_206_243_u06.indd 214

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Utilizando a propriedade de uma proporção: "o produto dos extremos é igual ao produto dos meios", verifique se as igualdades indicadas constituem proporções. 2,5 5 1 É uma proporção. a) 3 5 1 Não é uma proporção. d) 7 5 49 Não é uma proporção. g) 25 8 3 9 20 8 b) 1 5 10 25 250 c)

1,5 5 30 2 40

É uma proporção.

É uma proporção.

e) 4 5 2 15 7

Não é uma proporção.

f) 2 5 14 7 49

É uma proporção.

h) 5 5 125 4 64

Não é uma proporção.

2 Determine o valor do termo desconhecido nas proporções a seguir. 2,1 2,1 a) 2 5 25 x 5 54 5 42 z 5 200 d) 5 420 x 5 3,1 g) 10 x x 620 z 10 y 0,005 64 b) 5 2 y 5 15 e) 1 5 25 x 5 8 h) 5 1 z 5 0,32 32 15 x 200 z 64 y 5 1 y56 c) 1 5 9 z 5 117 f) 90 15 13 z 3 Resolva as equações considerando a propriedade de proporção. 2 4 2 a) x 2 1 5 16 x 5 3 b) x 1 2 5 2 2 x x5 2 3 c) x 2 1 5 2 x 5 2 3 24 x 11 6

d) 2x 1 1 5 10 2x 2 1 9 x5

4 Resolva os seguintes problemas.

19 2

a) A razão entre a altura de um poste fixado verticalmente no chão e a medida de sua sombra, em determinada hora do dia, é 10 para 3. Se a sombra mede 6 metros, qual é a altura do poste? 20 m b) Numa escala 1 para 25, determine a medida real correspondente ao comprimento de 14 cm. 350 cm c) A razão entre as velocidades de dois carros, A e B, é de 2 para 5. Calcule a velocidade do carro A quando a velocidade do carro B for 100 km/h. 40 km/h d) Numa viagem, um automóvel, com velocidade média de 92 km/h, levou cerca de 5 horas para percorrer certa distância. Determine a distância percorrida pelo automóvel.

460 km

5 O retângulo em azul, de lados medindo 10 cm e 6 cm, foi ampliado conforme a figura ao lado. Considerando que o menor lado do retângulo ampliado mede 10 cm, qual é a medida do lado maior? 16,666... cm

10 cm 6 cm

6 Pedro Henrique tirou uma fotografia 3 3 4, conforme representada ao lado. No computador, ele precisou fazer uma ampliação de tal modo que a maior medida ficou igual a 20 cm. Qual é a outra medida da foto ampliada? 15 cm

Palmer Kane Llc/Shutterstock

10 cm

4 cm

3 cm

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DIVERSIFICANDO LINGUAGENS

Leite Óleo

1.

Ovos Farinha Achocolatado Açúcar de trigo (xícara) (xícara)

(xícara) (xícara) (unidade)

Receita original Receita aumentada

1 3

1 3

2 6

(colher)

2 6

1 3

1 3

É possível encontrar conceitos de Matemática em várias situações do nosso dia a dia, até mesmo Fermento Manteiga Achocolatado Açúcar Leite na cozinha. Veja um exemplo: químico (colher) (colher) (colher) (colher) (colher) Receita de bolo de chocolate

Receita original Receita aumentada

1 3

2 6

3 9

Massa

Cobertura

1 xícara (chá) de leite

2 colheres (sopa) de manteiga

1 xícara (chá) de óleo

3 colheres (sopa) de

2 ovos

achocolatado em pó

2 xícaras (chá) de farinha de trigo

3 colheres (sopa) de açúcar

1 xícara (chá) de achocolatado em pó

5 colheres (sopa) de leite

3 9

5 15

1 xícara (chá) de açúcar 1 colher (sopa) de fermento químico em pó

Ilustra Cartoon

Paulo e Marina querem fazer o bolo da receita para recepcionar os novos alunos da escola, mas eles se esqueceram de que a receita original só rende 10 fatias de bolo. Vamos ajudá-los a aumentar a quantidade dos ingredientes? Para isso, devemos respeitar a proporção de cada item. Sabe-se que os alunos que participarão dessa confraternização somam 30 pessoas, incluindo Paulo e Marina, e que cada um comerá um pedaço de bolo. Como a receita inicial serve 10 fatias, e supondo que cada pessoa comerá apenas uma fatia, devemos ter 30 fatias, que é o triplo da quantidade que a receita original produz.

Registre no

caderno

Agora vamos calcular a quantidade dos ingredientes que os amigos usarão para ampliar essa receita. Para facilitar o cálculo, organizamos as informações em uma tabela: Leite Receita original (10 fatias)

1 xícara

Receita aumentada (30 fatias)

3 xícaras

Óleo 3

1 xícara 3 xícaras

Ovos 3

2 unidades

3

6 unidades

Como o número de pessoas triplicou, também temos de multiplicar cada ingrediente por 3. 1 Copie a tabela acima e termine de completá-la com os ingredientes da massa e da cobertura, tanto para 10 como para 30 fatias, nas proporções corretas. 2 Se a confraternização fosse para 50 pessoas, quais seriam as novas quantidades de ingredientes que os amigos teriam de usar para produzir o bolo, considerando que cada pessoa comeria 2 fatias? Lembre-se! Cozinhar é divertido, mas faça isso sempre com a ajuda de um adulto. Como agora serão

216

50 pessoas e cada uma comerá 2 fatias, terão de ser produzidas, ao todo, 100 fatias. Para isso, temos de multiplicar as quantidades iniciais dos ingredientes por 10: 2. Leite Óleo Ovos Farinha de Achocolatado Açúcar Fermento Manteiga Achocolatado Açúcar Leite (xícara) (xícara) (unidade) trigo (xícara) (xícara) (xícara) químico (colher) (colher) (colher) (colher) (colher) Receita aumentada 10 10 20 20 10 10 10 20 30 30 50

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5/31/15 11:02 AM

CAPÍTULO 24

O que é uma grandeza? Podemos entender como grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. Como vimos em unidades anteriores, as grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas, e é comum em nosso dia a dia encontrarmos situações em que duas ou mais grandezas estejam relacionadas. Por exemplo, você já ouviu falar na expressão “Preciso correr contra o tempo”? Então, neste caso, as grandezas velocidade São Paulo (SP) num dia de chuva e frio. e tempo estão de alguma maneira relacionadas. Em uma máquina de costura, por exemplo, podemos relacionar as grandezas tempo de uso e produção: quanto mais tempo estiver em funcionamento, maior será a produção.

Anderson Barbosa/Fotoarena

Grandezas proporcionais

Para entendermos um pouco mais como as grandezas fazem parte de nossa vida vamos imaginar a rotina de um trabalhador: Eu acordo e tomo 200 mL de leite com 50 mL de café, como 2 pães de aproximadamente 50 g cada. Vou para o trabalho e gasto 15 minutos no trânsito, subo 9 m de escadas para chegar a minha sala. Saio do trabalho às 12 horas e 50 minutos e dirijo 12 km por 1 hora para o local onde estudo. Antes de iniciar os estudos, almoço em um restaurante por quilo, onde como, em média, 650 g de comida e tomo um copinho de café. Ao sair do meu local de estudo, às 16 h 30 min, retorno para minha casa, dirigindo por 40 minutos. Ao chegar em casa tomo um banho de 7 minutos, com uma vazão de água de 2 litros por minuto. Veja só, todos esses valores em negrito são grandezas que fazem parte de uma rotina e é claro que, se mapearmos tudo o que fazemos durante o dia, obteremos muito mais grandezas 2 por exemplo, observar a capacidade em Gb de um computador, o consumo de energia elétrica, as distâncias percorridas a pé, de ônibus ou de carro, entre muitas outras. Outros exemplos possíveis de comparação entre duas grandezas encontram-se na Geometria. Observe a tabela a seguir. Nela temos a medida do lado e a área de um mesmo quadrado. Lado (cm)

2

2,5

4

6

7

8

10

11

...

Área (cm2)

4

6,25

16

36

49

64

100

121

...

Neste capítulo, veremos que, em algumas grandezas, as relações envolvem proporções. São as chamadas grandezas diretamente proporcionais. Há também aquelas inversamente proporcionais.

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caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Vamos fazer uma pesquisa sobre as grandezas utilizadas na escola. Escolha um dia da semana e anote todas as grandezas utilizadas durante o período que permaneceu na escola. Observe atentamente tudo o que foi realizado. Em seguida, compare as grandezas que coletou com as grandezas obtidas por um colega e, juntos, escrevam um texto que fale sobre as “grandezas que fazem parte do cotidiano escolar”. Entreguem o texto para o professor, juntamente com os registros feitos.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Alf Ribeiro/Folhapress

• 1ª situação: Diariamente, numa panificadora, são feitos levantamentos que relacionam o consumo de farinha à quantidade de pães produzidos, chegando ao seguinte resultado: Quantidade de farinha (kg)

Número de pães

1

24

Observe que é possível continuar a tabela colocando outros valores para as duas grandezas:

multiplicando por 25

Quantidade de farinha (kg)

Número de pães

1

24

1,5

36

2

48

3

72

4

96

10

240

25

600

multiplicando por 25

Note que, se uma das grandezas é multiplicada por 25, por exemplo, a outra também é multiplicada por 25. Tais grandezas são diretamente proporcionais. Podemos escrever, assim, a seguinte proporção: 1 5 24 25 600 Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda é a mesma.

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• 2ª situação: Um prêmio de loteria no valor de R$ 400.000,00 deverá ser dividido igualmente entre certo número de pessoas. Quanto maior o número de pessoas, menor será o valor que cada uma receberá. Na tabela a seguir, observe algumas possibilidades. Número de ganhadores

1

2

4

5

8

10

Quantia para cada ganhador (reais)

400 000

200 000

100 000

80 000

50 000

40 000

Observe que, em cada possibilidade, se multiplicarmos o número de ganhadores pela quantia que cada um receberá, o produto será o mesmo: 1 ? 400 000 5 2 ? 200 000 5 4 ? 100 000 5 5 ? 80 000 5 8 ? 50 000 5 10 ? 40 000 Quando isso ocorre, temos grandezas inversamente proporcionais. Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda é o mesmo.

Ilustra Cartoons

CONEXÕES Existem muitas grandezas que se relacionam, porém, não são diretamente proporcionais, nem inversamente proporcionais. Um exemplo seria a altura de uma pessoa em razão de sua idade. Se essas grandezas fossem diretamente proporcionais, chegaríamos a resultados absurdos. Imagine que uma criança com 1 ano de idade tenha a altura de 80 cm. Com 10 anos de vida, qual seria sua altura? Se você considerasse as duas grandezas diretamente proporcionais, ela chegaria à altura absurda de 800 cm, isto é, ela mediria 8 metros aos 10 anos.

Regra de sociedade Uma das aplicações importantes a respeito de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais está voltada à chamada Regra de Sociedade. Para explicar isso, imagine que um grupo de pessoas resolva abrir uma sociedade. Se cada uma delas entra com o mesmo capital, é justo que tanto os lucros quanto os prejuízos que houver sejam divididos igualmente. Porém, não é difícil imaginar uma sociedade em que cada um entra com um capital diferente. Nesse caso, a divisão deverá ser feita em partes diretamente proporcionais ao capital que foi investido ou, de forma análoga, o prejuízo deve ser proporcional ao capital investido. Observe atentamente os exemplos a seguir.

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Exemplo 1: Uma herança de R$ 300.000,00 será dividida entre três pessoas: A, B e C, em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente. Quanto receberá cada pessoa?

Resolução: • Como essa divisão é proporcional aos números considerados, podemos escrever a seguinte proporção (sendo A, B e C os valores que essas pessoas receberão). Vamos indicar A 5 B 5 C 5k por k a constante de proporcionalidade: 2 3 5 A 5 2k  A 5 B 5 C 5k ⇒ B 5 3k • Igualando cada fração a k, podemos escrever: 2 3 5 C 5 5k • Como a soma dos valores que cada um deverá receber é R$ 300.000,00, temos: A 1 B 1 C 5 300 000 2k 1 3k 1 5k 5 300 000 ⇒ 10k 5 300 000

A 5 2 ? 30 000 5 60 000  k 5 30 000 ⇒ B 5 3 ? 30 000 5 90 000 C 5 5 ? 30 000 5 150 000 Vamos considerar, agora, outro exemplo um pouco diferente, no qual as grandezas envolvidas são chamadas de inversamente proporcionais.

Exemplo 2: Três sócios de uma empresa resolveram dividir o lucro de R$ 66.000,00 obtido durante o funcionamento da sociedade em partes inversamente proporcionais aos meses de férias que cada um tirou no período. Maurício tirou 2 meses de férias, Juliana 5 meses e Mônica 8 meses. Quanto recebeu cada um?

Resolução: • Como a divisão é em partes inversamente proporcionais aos meses de férias que cada um tirou, vamos representar por x a quantia que coube a Maurício, y a destinada a Juliana e z a correspondente a Mônica. Assim, temos: x ? 2 5 y ? 5 5 z ? 8 5 k (k é a constante de proporcionalidade)

• Expressando x, y e z em função de k e considerando que a soma dos valores recebidos é R$ 66.000,00, vem:

x 5 k , y 5 k , z 5 k e x 1 y 1 z 5 66 000 2 5 8 k 1 k 1 k 5 66 000 2 5 8 20k 1 8k 1 5k 5 66 000 40 33k 5 2 640 000 80 000  5 40 000 x 5 2  80 000 5 16 000 k 5 80 000 ⇒  y 5 5  z 5 80 000 5 10 000 8 

Portanto, Maurício recebeu R$ 40.000,00, Juliana R$ 16.000,00 e Mônica R$ 10.000,00.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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Observações: VV Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, ao se duplicar (triplicar, quadruplicar, ...) uma delas,

a outra também se duplica (triplica, quadruplica, ...). VV Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, ao se duplicar (triplicar, quadruplicar, ...) uma delas, a

outra é multiplicada por meio (um terço, um quarto, ...).

Conexões

Matemática e Música: a teoria musical envolve proporções Para que seja executada de forma universal, a música precisa ter várias notações. Assim como foram criados os números, os sinais e as nomenclaturas para a Matemática, esse trabalho também deve ser feito para a Música. Agora vamos nos ater somente ao tempo das notas musicais. Observe a tabela a seguir: Nome

Símbolo

Semibreve Mínima Semínima Colcheia Semicolcheia Podemos perceber, olhando esta tabela, que a semicolcheia representa uma porção de 1 da 16 semibreve, que, por sua vez, é o dobro de tempo da mínima, além de outras ligações entre as notas musicais que envolvem proporções. Além dessa maneira de lidar com o tempo das notas, temos também o ponto de aumento e o duplo ponto de aumento. O ponto de aumento vem seguido da nota, por exemplo: .. Esse ponto significa que a nota terá o seu tempo, mais metade dela. Isso quer dizer que, se a semínima valer 1, com o ponto ela passa a valer um tempo e meio, ou ainda 3 da nota. 2 O duplo ponto de aumento são dois pontos seguidos da nota, por exemplo: ... Essa nomenclatura significa que a nota terá seu tempo, mais metade e mais metade da metade. Isso quer dizer que, se a semínima valer 1, com os dois pontos ela terá um tempo e setenta e cinco centésimos, ou ainda 7 da nota. 4 Com essas explicações, podemos perceber como a Matemática está ligada a uma área tão lúdica e cultural, que é a Música. Fonte de pesquisa: LIMA, Marisa Ramires Rosa de; FERREIRA, Sérgio Luiz. Exercícios de teoria musical. 6. ed. São Paulo: Livraria Aroeira, 1991.

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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caderno

AGORA É COM VOCÊ

1 Se os números 2, 3 e 5 são diretamente proporcionais aos números 6, 9 e 15, nessa ordem, escreva: a) a proporção correspondente;

2 3 5 5 5 6 9 15

1 3

b) a constante de proporcionalidade.

2 Na tabela a seguir, os números que se encontram na linha representada por A são diretamente proporcionais aos números que se encontram na linha representada por B. Copie e complete a tabela. A

2

B

7

8

10 35

28

20

16 56

Depois responda: Qual é a constante de proporcionalidade de A para B, nessa ordem?

70

2 7

3 Na tabela a seguir, os números que se encontram na linha representada por A são inversamente proporcionais aos números que se encontram na linha representada por B. Copie e complete a tabela. A

1

6

B

60

10

2

4

20

30

15

3

4 Na proporção a seguir, determine os valores dos termos desconhecidos.

x 5 24, y 5 36 e z 5 48

x 5 y 5 z 5 12 2 3 4 5 Os números x, y e z são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, nessa ordem, isto é: x ? 2 5 y ? 3 5 z ? 4 5 120 Determine os valores dos termos desconhecidos.

x 5 60, y 5 40 e z 5 30

a) Uma corda de 120 metros de comprimento é dividida em partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine o comprimento de cada parte. 30 m, 40 m e 50 m b) Os números 6, x e y são diretamente proporcionais aos números 4, 8 e 20, nessa ordem. Determine os valores de x e y. x 5 12, y 5 30 c) A quantia de R$ 62.000,00 será dividida entre três sócios, em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Quais serão os valores recebidos pelos sócios? R$ 30.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 12.000,00. d) Quais devem ser os valores dos números x e y para que os números 3, 12 e x sejam inversamente proporcionais aos números y, 30 e 10, nessa ordem? x 5 36 e y 5 120 e) O perímetro de um triângulo, cujos lados, em centímetros, medem a, b e c, é 36 cm. Considerando que as medidas dos lados são proporcionais aos números 3, 4 e 5, nessa ordem, determine as medidas dos três lados do triângulo. 9 cm, 12 cm e 15 cm

Bw Folsom/Shutterstock

6 Resolva os seguintes problemas:

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Problemas de regra de três Ao relacionar duas grandezas que são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais nos deparamos com situações diversas, conhecidas como “problemas de regra de três”. Essa denominação é dada pelo fato de ser necessário conhecer três informações para determinar a quarta que está faltando. Vamos considerar alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1: Na sala de aula há um relógio que adianta 30 segundos a cada 5 dias. Quantos segundos ele adiantará em 365 dias? Mauro Carli/Shutterstock

Resolução: • As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, pois, considerando, por exemplo, que quando uma delas duplica, a outra também duplicará. Assim, podemos escrever: Tempo que adianta (s) Número de dias 30 5 x 365 • Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos a seguinte proporção: 30 5 5 x 365 5 ? x 5 30 ? 365 5x 5 10 950 ⇒ x 5 2 190 Assim, em um ano (365 dias), o relógio adiantará 2 190 segundos.

Exemplo 2: Imaginechina/Corbis/Latinstok

Um trem-bala, à velocidade de 300 km por hora, leva 26 minutos para ir de uma cidade a outra. Se a velocidade fosse de 400 km por hora, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

Resolução:

•O  bserve que, se aumentarmos a velocidade do trem, ele levará menos tempo para fazer o percurso. Imaginando que a velocidade duplica, por exemplo, o tempo de percurso será a metade do anterior. Sendo assim, as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Representamos por x o tempo que precisamos determinar. Velocidade (km/h)   Tempo (min) 300 26 400 x

• Como tais grandezas são inversamente proporcionais, o produto delas é constante. Assim, escrevemos:

300 ? 26 5 400 ? x

x 5 300 ? 26 ⇒ x 5 x 19,5 5 19,5 400 Portanto, o trem-bala levará 19,5 minutos para fazer o mesmo percurso a uma velocidade de 400 km/h.

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Exemplo 3: Brasil – Regiões

0°

©DAE/Simone Soares de Andrade

Numa determinada região brasileira, a densidade demográfica é de 45 habitantes por quilômetro quadrado, isto é, há 45 habitantes para cada quilômetro quadrado. Determine o número de habitantes dessa região, considerando que a área total é de 3 400 km2.

Equador

NORTE

Resolução:

NORDESTE

• Nessa

situação, observe que, aumentando uma grandeza, a outra também aumenta. Assim, se duplicarmos a área, duplicará o número de habitantes. Essas grandezas são diretamente proporcionais. Portanto, x é o número de habitantes que queremos determinar. Área (km2)

Número de habitantes

1

CENTRO-OESTE Brasília

OCEANO ATLÂNTICO

SUDESTE

o Trópic

ri de Cap

OCEANO PACÍFICO

45

N

córnio

O

L

SUL S 0 50°O

558

1116 km

1:55 800 000

Fonte: Atlas Geográfico Escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90. x 3 400 1 5 45 ⇒ x 5 3 400 ? 45 5 153 000 3 400 x

Portanto, nessa região, há 153 000 habitantes.

Exemplo 4: Para reaproveitar a água da chuva, o senhor Pedro criou um sistema de coleta. Veja a imagem abaixo. O senhor Pedro observou que quando havia uma chuva constante a caixa-d’água enchia em 45 minutos. Para otimizar o processo ele decidiu instalar mais 2 pontos de coleta e aguardou a primeira chuva constante para averiguar o que aconteceria. Ao final, descobriu que o volume de água coletado em cada ponto era o mesmo. Em quanto tempo a caixa-d’água estará cheia com 3 pontos de coleta?

Resolução:

ponto

minutos

1 3

45 x

Eduardo Belmiro

Ao triplicarmos o número de pontos de coleta para essa caixa-d’água, diminuímos pela terça parte o tempo necessário para enchê-la.

Logo, como o produto dela é constante, fazemos: 1 ? 45 5 3x 15 5 x Portanto, a caixa-d'água encherá em 15 minutos.

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AGORA É COM VOCÊ 1 Responda às questões.

a) Em grandezas que são diretamente proporcionais, triplicando o valor de uma delas, o que ocorre com o valor da outra? Também triplica. b) Em grandezas que são inversamente proporcionais, triplicando o valor de uma delas, o que ocorre com o valor da outra? É dividido por 3. Mikhail Pozhenko/Shutterstock

2 Numa loja especializada em venda de tecidos, cada 8 metros de tecido é vendido por R$ 50,00. a) Determine o valor do metro de tecido. R$ 6,25. b) Uma pessoa que compra 16 metros de tecido deverá pagar qual quantia? R$ 100,00. c) E quanto pagará uma pessoa que compra apenas 3,40 metros? R$ 21,25 d) As grandezas “metro de tecido“ e “valor a pagar“ são direta ou inversamente proporcionais? Diretamente proporcionais. 3 Numa viagem de motocicleta, Rubens observou que, a cada 18 quilômetros percorridos, ela consumia 1 litro de gasolina. a) Qual é a distância que pode ser percorrida com 45 litros de gasolina?

810 km

b) Quantos litros de gasolina a motocicleta gastará para percorrer 405 km?

22,5 litros

c) As grandezas “litro de gasolina“ e “distância percorrida“ são diretamente ou inversamente proporcionais? Diretamente proporcionais. 4 Rubens também notou que, com uma velocidade média de 100 km/h, a motocicleta levava 5 horas para percorrer certa distância. a) Se a velocidade for alterada para 50 km/h, quanto tempo a motocicleta levará para percorrer a mesma distância? 10 horas b) As grandezas “velocidade“ e “tempo“ são direta ou inversamente proporcionais? Inversamente proporcionais.

5 Resolva os seguintes problemas. a) Uma panificadora produz 800 pães com 20 kg de farinha de trigo. Para produzir 2 400 pães, serão necessários quantos quilogramas de farinha? 60 kg b) Um relógio atrasa 5 minutos a cada dia. Em 30 dias, qual será o atraso desse relógio?

150 min

c) Uma torneira fornece 48 litros de água por minuto e leva 90 minutos para encher determinado tanque. Duas torneiras iguais a essa levariam quantos minutos para encher o mesmo tanque? 45 minutos

d) Um avião com velocidade média de 800 km/h leva 3,5 horas para fazer determinado trajeto. Quanto tempo levaria para percorrer a mesma distância se sua velocidade média fosse 700 km/h? 4 horas 6 Para revestir um piso de 6 metros de comprimento por 5 metros de largura, são necessárias 300 peças de determinada cerâmica. Quantas dessas peças seriam necessárias para revestir um piso de 10 metros de comprimento por 9 metros de largura? 900 peças

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7 Rosângela lê um livro em 4 dias, lendo em média 60 páginas por dia.

a) Se ela conseguisse ler 120 páginas todos os dias, quanto tempo levaria para ler o livro completamente? 2 dias b) Se ela desejasse ler o livro em 8 dias, quantas páginas teria de ler, em média, por dia? 30 páginas c) As grandezas “número de páginas por dia” e “tempo” são diretamente ou inversamente proporcionais? Inversamente proporcionais. 8 A tabela a seguir contém as medidas da base e da altura de retângulos cujas áreas são iguais a 360 cm2. Copie e complete a tabela. Base (cm)

90

60

45

36

24

48

100

180

Altura (cm)

4

6

8

10

15

7,5

3,6

2

Responda: As grandezas “medida da base“ e “medida da altura“ de um retângulo de área constante são direta ou inversamente proporcionais? Inversamente proporcionais. 9 O professor de Geografia levou, para a sala de aula, um mapa do Brasil na escala 1 : 55 800 000. Para explicar o significado da escala, ele marcou a distância entre duas cidades, em linha reta, com um pedaço de barbante de comprimento de 5 cm. Responda: a) Cada 1 cm no mapa corresponde a quantos centímetros na distância real? 155 800 000 cm b) Qual é a distância entre as duas cidades indicadas pelo professor? 279 000 000 cm ou 2 790 km Brasil – Político Boa Vista

RORAIMA

AMAPÁ Macapá

0° Equador

Belém São Luís

Manaus

Fortaleza

PARÁ

AMAZONAS

MARANHÃO

Brasil - Divisão política

Natal

PARAÍBA

PIAUÍ Porto Velho

ACRE

RR

Palmas

AM

MATO GROSSO

MA

Distrito Federal

PI

GO

GERAIS

Belo Horizonte

OCEANO ATLÂNTICO

ESPÍRITO SANTO Vitória

SÃO PAULO

Borracha

Babaçu

BAMINAS

DF MG

MATO GROSSO DO SUL MS

Madeira

PB AL

GOIÁS

Campo Grande

Castanha-do-brasil

Aracaju

Salvador

RN

SE

Goiânia MT

CE PE

Brasília TO

RO

João Pessoa Recife

Maceió

SERGIPE BAHIA

PA

Cuiabá

AC

OCEANO PACÍFICO

ALAGOAS

TOCANTINS

RONDÔNIA

nio e capricór Trópico d

PERNAMBUCO

AP

Rio Branco

RIO GRANDE DO NORTE

CEARÁ

Teresina

©DAE/Simone Soares de Andrade

Brasil – Divisão Política

SP

ES

RJ São Paulo

PR

PARANÁ SC

RIO DE JANEIRO

N

Rio de Janeiro

O

Curitiba

L

RS SANTA CATARINA

Florianópolis

Carnaúba Tocantins RIO GRANDE DO SUL

S Porto Alegre

50°O

0

558

1116 km

1: 55 800 000

Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.

10 Uma montadora de automóveis opera diariamente durante 9 horas, produzindo 600 novos carros. Considerando as mesmas condições de produção, responda: a) No caso de se duplicar o número de horas de produção diária, qual seria o total de carros fabricados por dia? 1 200 carros b) Para produzir diariamente 300 novos carros, a montadora deverá operar quanto tempo por dia? 4,5 horas 11 Uma gravura de forma retangular com 20 cm de largura por 35 cm de comprimento deve ser ampliada para 1,2 m de largura. Qual será o comprimento para que não haja distorção na imagem? 2,1 m

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TRABALHO EM EQUIPE Agora que você conheceu um pouco mais sobre razões e proporções, veja como reconhecer quando uma imagem foi ampliada, reduzida ou até mesmo deformada. Se já utilizou um computador e, de certa forma, mexeu com ilustrações ou mesmo fotografias, você deve ter observado que, dependendo da posição que clica com o mouse e depois o arrasta, a imagem pode ser ampliada, reduzida ou mesmo deformada. Observe a fotografia a seguir em forma de retângulo:

Se você clicar com o mouse em qualquer dos lados e arrastar na direção indicada pelas setas, a imagem resultante será uma “deformação” da fotografia. Observe como fica a aparência dela se arrastarmos, por exemplo, para a direita ou para a esquerda:

Fotos: Blend Images/hutterstock

Se arrastarmos para cima ou para baixo, também ocorrerá uma deformação. Observe, abaixo, como fica:

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APOEMA MATEMÁTICA 7

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caderno

Se a ideia é só ampliar, basta clicar com o mouse e arrastar nos cantos indicados pelas setas.

Fotos: Blend Images/Shutterstock

Como curiosidade, quando ampliamos uma imagem, as medidas correspondentes formam uma proporção. Se você quiser apenas verificar se, de fato, foi feita a ampliação (ou redução) de uma imagem, coloque uma em cima da outra de tal maneira que dois lados coincidam. Se as diagonais (linha tracejada abaixo) estiverem alinhadas, é porque houve uma ampliação (ou redução). Caso contrário, o que ocorreu foi uma deformação.

1 Uma fotografia 3 3 4 foi ampliada, de maneira que o menor lado ficou com 17,5 cm. Para que a imagem não fique deformada, qual deverá ser a medida aproximada do Aproximadamente 23,3 cm. maior lado? 2 Uma fotografia que mede 9 3 12 cm foi reduzida, de maneira que o maior lado ficou com a metade de seu tamanho original. Qual é a porcentagem de redução de área dessa fotografia? Redução de 75%.

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Problemas de regra de três composta Até aqui observamos quando duas grandezas que estão relacionadas são diretamente proporcionais e também quando são inversamente proporcionais. Entretanto, podemos nos deparar com certos problemas que relacionam mais de duas grandezas, que podem ser, duas a duas, diretamente ou inversamente proporcionais. A essas situações denominamos problemas de regra de três composta. Observaremos, a seguir, dois exemplos.

unteroffizier/Dreamstime.com

Exemplo 1: Trabalhando durante 6 dias, 5 máquinas idênticas produzem 4 000 parafusos. Quantos parafusos desse mesmo tipo serão produzidos por 7 máquinas idênticas durante 12 dias?

Resolução:

• São três grandezas que estão relacionadas, conforme as seguintes informações: Número de máquinas

Número de dias

Número de peças

5 7

6 12

4 000 x

• Vamos relacionar a grandeza ”número de dias” com a “número de peças”, considerando constante a grandeza ”número de máquinas”. Sendo fixo o número de máquinas, aumentando-se o número de dias, o número de peças produzidas aumentará. Se duplicarmos o número de dias, duplicará o número de peças. Assim, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.

• Fixando agora a grandeza ”número de dias”, vamos relacionar as grandezas ”número de máquinas” e ”número de peças”. Assim, num mesmo tempo, duplicando-se o número de máquinas, será duplicado o número de peças produzidas. Essas grandezas são diretamente proporcionais.

• Concluímos que a grandeza ”número de peças” (que tem o termo desconhecido) é diretamente proporcional às outras duas grandezas. Podemos dizer que seus valores são diretamente proporcionais ao produto dos valores das duas grandezas relacionadas: 5 ? 6 5 4 000 7 12 x 30 5 4 000 84 x 30 ? x 5 84 ? 4 000 x 5 336 000 30

⇒ x 5 11 200

Portanto, serão produzidas 11 200 peças.

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Exemplo 2: Zubartez

Ao longo de um treinamento especial para competição, um ciclista percorreu cerca de 400 km em 4 dias, pedalando 4 horas diariamente. Nessas condições, esse ciclista levará quantos dias para percorrer 1 000 km pedalando 5 horas por dia?

Resolução:

• Organizamos

essas informações para analisar, duas a duas, as grandezas envolvidas: Número de quilômetros

Número de horas por dia

Número de dias

400 1 000

4 5

4 x

• Fixamos

a grandeza “número de quilômetros”: duplicando, por exemplo, o número de horas por dia, cairá pela metade o número de dias para percorrer uma quantidade fixa de quilômetros. Assim, essas grandezas são inversamente proporcionais.

• Fixamos a grandeza “número de horas por dia”: duplicando, por exemplo, o número de quilômetros percorridos numa quantidade fixa de horas por dia, duplicará o número de dias. Assim, essas grandezas são diretamente proporcionais.

• Concluímos

que a grandeza “número de dias” é diretamente proporcional à grandeza “número de quilômetros” e inversamente proporcional à grandeza “número de horas por dia”. Para determinar x, fazemos: razão invertida

400 ? 5 5 4 1000 4 x 2 000 5 4 4 000 x 2 000 ? x 5 4 ? 4000 x 5 16 000 ⇒ x 5 8 2 000

• Outro modo de analisar esse problema é perceber que podemos descobrir quantos quilômetros esse ciclista percorre por hora (em média). Se ele corre 400 km em 4 dias, significa que ele correu 100 km por dia. Se a cada dia ele treina durante 4 horas, significa que ele corre 25 km a cada hora. Agora vamos à pergunta: Nessas condições, o ciclista levará quantos dias para percorrer 1 000 km pedalando 5 horas por dia? Se percorre 25 km a cada hora, percorrerá 5 ? 25 km 5 125 km por dia. Para saber em quantos dias ele percorrerá 1 000 km, basta fazer uma divisão: 1 000 : 125 5 8 Portanto, o ciclista levará 8 dias para percorrer 1 000 km, pedalando 5 horas diariamente.

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Observação: VV Em problemas de regra de três composta, relacionamos cada grandeza com aquela que tem o termo a ser

determinado. A ideia é verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais à grandeza com termo desconhecido.

Exemplo 3: (Faap-SP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões? a) 20      b) 15      c) 12      d) 10      e) 5

Resolução:

• Primeiro,

vamos organizar os dados em uma tabela; a incógnita “dias” ficará na primeira coluna.

Tempo (dias)

Impressoras

Impressões Jornada (horas)

30

1

150 000

6

x

3

100 000

8

• Relacionando as grandezas número de dias e número de impressoras, percebemos que elas são inversamente proporcionais, já que se duplicarmos o número de impressoras o tempo de impressão cai pela metade.

• Relacionando

as grandezas número de dias e impressões, percebemos que elas são diretamente proporcionais, já que a duplicação do tempo acarreta também numa duplicação do número de impressões.

• Relacionando as grandezas número de dias e jornada de trabalho, percebemos que elas são inversamente proporcionais, já que a duplicação do número de horas trabalhadas acarreta na redução pela metade no tempo de impressão. E, dessa forma, invertendo os valores das grandezas inversamente proporcionas, teremos: 30 5 3 ? 150 000 ? 8 1 100 000 6 x 30 5 3 600 000 x 600 000 30 5 6 ⇒ 6x 5 30 ⇒ x 5 5 x Logo, a alternativa correta é a e, isto é, são 5 dias. Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Em dupla, elaborem uma situação (fictícia ou real) que tenha ao menos um questionamento que pode ser resolvido por meio da regra de três composta. Resolvam o problema e façam os ajustes necessários, pois o objetivo é que o desafio possa ser resolvido pela regra de três composta. Convidem uma dupla para resolver essa situação e aproveitem para tentar resolver a questão proposta pelos colegas. Ao final, socializem com o grupo as maiores dificuldades, as estratégias utilizadas e as possíveis aprendizagens adquiridas após essa experiência.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

Alberto César Araújo/Folhapress

1 Trabalhando 12 dias, 10 operários produzem 800 peças numa fábrica. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 14 operários trabalhando 18 dias? 1 680 peças

2 Em relação às grandezas relacionadas no exercício anterior, responda: a) Mantendo-se constante o número de dias, as grandezas “número de operários” e “quantidade de peças” são direta ou inversamente proporcionais? Diretamente proporcionais. b) Mantendo-se constante o número de operários, as grandezas “número de dias” e “quantidade de peças” são direta ou inversamente proporcionais? Diretamente proporcionais. 3 Na construção de um muro com 5 metros de altura e 60 metros de comprimento, alguns pedreiros levaram 48 dias. Em quantos dias o mesmo número de pedreiros, em ritmo idêntico, construiria um muro de 4 metros de altura e 50 metros de comprimento? 32 dias 4 No que se refere às grandezas relacionadas no exercício anterior, responda: a) Mantendo-se constante a altura do muro, as grandezas “comprimento do muro” e “número de dias” são direta ou inversamente proporcionais? Diretamente proporcionais. b) Mantendo-se constante o comprimento do muro, as grandezas “altura do muro” e “número de dias” são direta ou inversamente proporcionais? Diretamente proporcionais. 5 Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 5 dias para percorrer a distância entre duas cidades. Se sua velocidade fosse 100 km/h e se ele rodasse diariamente 6 horas, em quanto tempo faria o mesmo percurso? 4 dias 6 No que se refere às grandezas relacionadas no exercício anterior, responda: a) Mantendo-se constante a velocidade, as grandezas “horas por dia” e “número de dias” são direta ou inversamente proporcionais? Inversamente proporcionais. b) Mantendo-se constante a quantidade de horas diárias, as grandezas “velocidade” e “número de dias” são direta ou inversamente proporcionais? Inversamente proporcionais. Monkey Business Images/Shutterstock

7 Seis digitadores, com velocidades equivalentes, levaram 18 dias na produção de um livro de 720 páginas. Se desde o início do trabalho houvesse 2 digitadores a mais, em quanto tempo eles digitariam 800 páginas? 15 dias

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CAPÍTULO 25

Tratamento da informação: média aritmética simples e média aritmética ponderada Lisa F. Young/Shutterstock

Quantos anos, em média, vive uma pessoa? Essa não é uma pergunta simples de responder. Para isso são realizadas pesquisas. Algumas pesquisas apontam, por exemplo, que os brasileiros vivem, em média, 74,9 anos. Essa informação data de 2013, em um levantamento feito pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Isso não significa que todos os brasileiros viverão essa quantidade de tempo. O termo "em média" indica que é uma ideia aproximada, pois alguns brasileiros podem viver mais e outros podem viver menos que isso. A média é usada nos mais diversos levantamentos para dar uma ideia aproximada do comportamento de determinada informação. Em sua turma, por exemplo, pode-se levantar a altura média, o “peso” médio, a quantidade média de horas que cada um dorme diariamente, a quantidade média de irmãos que os alunos têm etc. Neste capítulo, veremos um pouco mais sobre a utilização da chamada média aritmética.

Média aritmética

Ronald

o Bara

ta

Num acampamento, um instrutor precisou calcular a média aritmética da altura das crianças de seu grupo. Para isso, ele escolheu cinco crianças e, com o auxílio de uma fita métrica, mediu a altura de cada uma delas e registrou os dados numa tabela.

Nome

Pedro

Marcos

Roseli

Roberta

Ana

Altura (cm)

115

110

95

98

102

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A seguir, ele calculou a soma das alturas e, como eram cinco crianças, dividiu o resultado por cinco: altura média 5 115 1 110 1 95 1 98 1 102 5 520 5 104 ⇒ 104 cm 5 5 A média aritmética de n números representa a soma de todos esses números dividida por n.

Observações: V A média aritmética de um grupo de valores representa, de forma aproximada, esse grupo. V Na figura a seguir, a linha tracejada indica a posição da média aritmética do grupo de valores, no caso, a

Ronald

o Bara

ta

altura média que foi calculada.

Observe exemplos de como calcular a média aritmética em algumas situações.

Exemplo 1:

Setup

O gráfico a seguir contém o número de lanches vendidos na cantina da escola ao longo dos cinco dias da semana. Quantos lanches, em média, são vendidos por dia?

Resolução: Para calcular a média de lanches vendidos diariamente, adicionamos os cinco valores referentes aos cinco dias e dividimos seu resultado por 5: média 5 32 1 20 1 26 1 18 1 34 5 130 ⇒ média 5 26 5 5 Portanto, são vendidos, em média, 26 lanches por dia.

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Observação: V Quando multiplicamos o valor correspondente à média aritmética pela quantidade de valores considerados,

obtemos a soma desses valores. No exemplo anterior, temos: 26 ? 5 5 130

Exemplo 2: Eduardo Belmiro

A previsão para amanhã é que a temperatura máxima alcançará 34 °C no estado do Amazonas. Já a temperatura mínima será de 23 °C. Qual é nesta previsão a temperatura média?

Resolução: Como são dois valores, adicionamos esses valores e dividimos o resultado por dois: temperatura média 5 34 1 23 2 57 temperatura média 5 5 28,5 2 Assim, a temperatura média será de 28,5 °C.

Exemplo 3: Numa empresa, a média aritmética dos salários de seus 15 funcionários é R$ 1.240,00. Calcule o total que essa empresa gasta com os salários.

Resolução: Note que, nesse exemplo, conhecemos a média aritmética dos salários, mas não conhecemos a soma deles. Representando a soma dos salários pela letra S, temos que: média dos salários 5 soma dos salários 15 1 240 5 S 15 15 ? 1 240 5 S ⇒ S 5 18 600 Portanto, essa empresa gasta R$ 18.600,00 com os salários.

CONEXÕES Medidas de dispersão Quando falamos em média queremos indicar uma tendência central dos dados. Veja, por exemplo, a medida da altura dos alunos de uma classe. Podemos ter duas classes distintas cujos alunos apresentem médias de altura muito próximas ou até mesmo iguais, mas as alturas individuais deles podem ser bem diferentes. Então, como podemos comparar quais dados estão mais próximos da média, ou, ainda, em quais dados a média é uma medida mais confiável? Para fazer essa comparação utilizamos uma medida chamada variância, que é uma medida de dispersão. Quanto menor a variância, mais próximo da média os dados se encontram.

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Há um caso particular de média aritmética que é conhecido como média aritmética ponderada. Para compreender como calcular uma média ponderada, vamos considerar a situação a seguir.

Vipdesignusa/Dreamstime.com

Média aritmética ponderada

Num concurso público, os candidatos precisavam fazer três provas, com os seguintes pesos: Prova

Peso

Conhecimentos gerais Conhecimentos específicos Redação

2 3 5

A nota final dos candidatos seria calculada pela média ponderada das provas, de acordo com o peso de cada prova. Observe a seguir as notas de dois candidatos e como suas notas finais foram determinadas.

• Candidato A: Prova

Peso

Nota

Conhecimentos gerais Conhecimentos específicos Redação

2 3 5

6 7 6,5

Note que a soma dos pesos é igual a 10. Assim, é como se tivéssemos 10 provas, em que cada tipo de prova era considerado tantas vezes quanto o peso. Então, a nota final foi dada pelo cálculo da média dessas 10 provas, isto é: médiaA 5 6 1 6 1 7 1 7 1 7 1 6,5 1 6,5 1 6,5 1 6,5 1 6,5 21315 médiaA 5 2 ? 6 1 3 ? 7 1 5 ? 6,5 ⇒ médiaA 5 65,5 5 6,55 10 10

• Candidato B: Prova

Peso

Nota

Conhecimentos gerais Conhecimentos específicos Redação

2 3 5

6,5 4 7,2

De acordo com o procedimento anterior, vamos determinar a média do candidato B: médiaB 5 6,5 1 6,5 1 4 1 4 1 4 1 7,2 1 7,2 1 7,2 1 7,2 1 7,2 21315 médiaB 5 2 ? 6,5 1 3 ? 4 1 5 ? 7,2 ⇒ médiaB 5 61 5 6,1 10 10

Observação: VV O cálculo da média ponderada é feito de forma análoga ao cálculo da média aritmética. O peso de cada valor,

quando representado por um número natural, indica o número de vezes que esse valor deve ser considerado.

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Registre no

caderno

TRABALHO EM EQUIPE

Quando é divulgado o resultado final do quadro de medalhas, a classificação normalmente é dada pela quantidade de medalhas de ouro que um país ganha, seguida pela quantidade de medalhas de prata e, finalmente, pela quantidade de medalhas de bronze. Como exemplo, observe abaixo alguns países e suas respectivas classificações nos Jogos Olímpicos de Londres, em 2012, e a quantidade de medalhas que cada um conquistou.

Jorge Silva / Reuters / Latinstock

Há quem diga que o importante não é ganhar, mas competir. Normalmente o espírito de competição também é movido pelo desejo de conquistar medalhas. A mais desejada é a medalha de ouro. Sabemos da preparação a que esses competidores se submetem.Treinamentos diários durante longos períodos tornam a vida dos atletas exemplo de dedicação.

Atletas disputando prova dos 200 metros durante as Olimpíadas de Londres, em 2012.

Posição

País

34o

 LITUÂNIA

2

1

2

5

35o

 NORUEGA

2

1

1

4

36

 CANADÁ

1

5

12

18

37o

 SUÉCIA

1

4

3

8

38o

 COLÔMBIA

1

3

4

8

39o

 GEÓRGIA

1

3

3

7

o

Ilustrações: Eduardo Belmiro

Quadro parcial de medalhas dos Jogos Olímpicos de Londres 2012

Fonte: ,olimpiadas.uol.com.br/quadro-de-medalhas.. Acesso em: mar. 2015.

A Noruega conseguiu um total de 4 medalhas e está, conforme essa tabela, na 35a posição. Logo a seguir, aparece o Canadá, com 18 medalhas (mais medalhas, portanto), ocupando a 36a posição. Ora, se a ideia é competir, não seria sensato valorizar o total de medalhas? Ou, ainda, que tal se atribuíssemos pesos às medalhas (medalha de ouro – peso 3, medalha de prata – peso 2, medalha de bronze – peso 1)? Vamos calcular a média desses dois países: Noruega: média 5 3 ? 2 1 2 ? 1 1 1 ? 1 5 9 5 1,5 31211 6 Canadá: média 5

3 ? 11 2 ? 5 1 1? 12 25 5 5 4,1666... 3 1 2 11 6

1 Utilizando a média ponderada, estaría­mos valorizando a medalha de ouro, mas, para efeito de classificação, tanto a medalha de prata quanto a medalha de bronze teriam sua importância aumentada. Vocês concordam? Resposta pessoal. 2 Pesquisem, em casa, qual foi a posição do Brasil nas Olimpíadas de Londres. Quantas a medalhas de cada tipo os atletas do Brasil ganharam? Ouro: 3; prata: 5; bronze: 9, 22 posição. 3 Em casa, pesquisem qual foi a posição do Brasil nas Paraolimpíadas de Londres. Quantas medalhas de cada tipo os paraolímpicos ganharam? Ouro: 21; prata; 14, bronze: 8, 7a posição.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ

A média foi de 170 filmes por mês.

Bimestre

Nota

Mês

Quantidade de filmes

1 2o 3o 4o

6,0 4,0 5,0 7,0

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho

250 280 130 90 150 120

o

2 A tabela a seguir contém os valores arrecadados, na escola, para uma campanha em que serão comprados e doados cobertores para pessoas mais necessitadas.



4 Determinada locadora fez um levantamento dos filmes que foram alugados ao longo do primeiro semestre. A tabela a seguir contém essas informações. Calcule a média mensal de filmes que foram locados.

Mês

Quantia arrecadada (R$)

Março Abril Maio Junho

250,00 300,00 400,00 150,00

Calcule a média dos valores arrecadados nesses quatro meses. R$ 275,00. 3 Cinco amigos resolveram se pesar numa balança da escola. O resultado está na tabela a seguir. Nome

“Peso” (kg)

Ana Roberta Roseli Marcos Pedro

45 48 46 60 62

a) Qual é o valor correspondente à soma das massas dos cinco amigos? 261 kg b) Qual é a massa média desses amigos? 52,2 kg c) Qual é a massa média apenas das meninas? 46,333... kg d) Qual é a massa média apenas dos meninos? 61 kg

5 Observe, no gráfico a seguir, o número de veículos novos vendidos no primeiro semestre deste ano. Quantidade 45 40 35 30 25 20 15 10 5

Veículos vendidos Setup

1 A tabela a seguir contém as notas bimestrais de Mateus na disciplina de História. Para ser aprovado, sua média deverá ser superior a 5,4. Responda: Mateus foi aprovado? Sim, pois sua média foi 5,5.

40 30

25

28

32 26

0 Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun.

Mês

a) No total, quantos veículos foram vendidos no 1o semestre? 181 b) Qual foi a média mensal de vendas?

30,1666...

6 A tabela fornece o faturamento de uma empresa durante os cinco primeiros meses do ano. Mês

Faturamento (R$)

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio

220.000,00 180.000,00 380.000,00 440.000,00 300.000,00

a) Qual é o faturamento total no final dos cinco meses? R$ 1.520.000,00. b) Qual é o faturamento mensal médio nesse período? R$ 304.000,00.

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7 Os resultados de três provas feitas por Euclides estão indicados na tabela. Observando que cada prova tem um peso, calcule a média dessas notas. 6,666... Prova

Peso

Nota

1 2a 3a

1 2 3

6 5 8

a

8 O gráfico a seguir contém as notas bimestrais de Luana na disciplina de Ciências. Notas de Ciências

Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1o

2o

3o

4o Bimestre

a) Qual é a média de Luana em Ciências? 7,5 b) Determine a média de Luana, considerando que as notas têm pesos conforme o bimestre: 1o bimestre – peso 1; 2o bimestre – peso 2; 3o bimestre – peso 3; e 4o bimestre – peso 4. 8

Ilustrações: Setup

9 O gráfico contém a distribuição das idades de uma turma do 7o ano. Idades no 7o ano

Número de alunos

10

7

a) Determine o número de alunos dessa turma. 22 b) Utilizando o conceito de média ponderada, obtenha a idade média dos alunos.

3

Aproximadamente 12,36 anos. 2

11

12

13

14

Idade

10 Resolva os problemas a seguir. a) Em três turmas do Ensino Médio, os alunos têm alturas variando de 130 cm até 163 cm. Sabe-se que a média aritmética das alturas de todos os alunos é 150 cm e que 8 alunos têm altura de 163 cm. Desconsiderando esses 8 alunos, a média das alturas dos demais alunos é 148 cm. Qual é o total de alunos nessa turma? 60 alunos b) A média das notas dos 50 alunos de uma turma do 9o ano na prova de Matemática foi 7,7. Considerando apenas as notas dos 15 meninos da turma, a média das notas é 7. Determine a média das notas considerando apenas as meninas. 8,0

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COM A PALAVRA, O ESPECIALISTA Arquivo pessoal

"Eraldo: Como e quando surgiu seu inteQuem resse pela Estatística? Marcos Vicenzi Marcos: Eu ingressei na licenciatura em Matemática, e tudo começou com uma disciEspecialidade plina de Estatística Básica. Gostei e achei que tiEstatística vesse facilidade para a coisa, mas desconhecia Área de pesquisa completamente as aplicações, só conseguia Desenvolvimento de Estratégias pensar no censo do IBGE. Então uma amiga de Crédito me convenceu a mudar de curso, mostrou-me diversas aplicações e possibilidade, além do mercado de trabalho que estava se expandindo. [...] Eraldo: Como você foi parar na área financeira? Marcos: Uma oportunidade para trabalhar numa grande instituição financeira, multinacional, numa equipe com profissionais experientes, um deles referência no mercado e uma grande referência pessoal. Não pensei duas vezes. Eraldo: Você escolheria essa área novamente caso tivesse a oportunidade de mudar? Marcos: Essa pergunta não é tão fácil de ser respondida, porque os primeiros passos por vezes definem boa parte da trajetória profissional. Gosto de outras áreas (Pesquisa em Saúde, por exemplo), e é bem provável que se houvesse uma oportunidade na época teria aceitado e estaria tão satisfeito como hoje. Eraldo: Qual a importância da Estatística na área financeira? Marcos: A área financeira tem muitas aplicações da Estatística, em especial Risco de Crédito, na qual trabalho. Alguns exemplos são as previsões, precificação de taxas de juros, seleção de clientes para a oferta de produtos, administração dos limites concedidos, controle de risco... De modo geral, a ideia é vender mais com menos risco, ou pelo menos com risco conhecido e sob controle. São questões ligadas à essência do próprio crédito, e por aí podemos inferir a importância da Estatística nesse mercado. [...] Eraldo: Nesta área é preciso dar continuidade aos estudos? Marcos: Sim, sem dúvida; o estatístico pode melhorar sua formação (mestrado, doutorado, especialização em Estatística), ou adquirir outras competências e habilidades, por exemplo, ligadas a administração, gestão de projetos etc. Qualquer das opções (ou ambas) somam pontos para encontrar um emprego e para mantê-lo após a contratação. [...] Eraldo: Quais os conselhos que você deixa para os novos profissionais? O que fazer e o que não fazer na carreira profissional? Marcos: O que fazer é aproveitar a graduação: estudar, discutir, procurar ir além da ementa, até para descobrir gostos e vocações. Chatear, no bom sentido, professores e monitores. Envolver-se com projetos do departamento. Se não há apelo computacional no curso, o que acho improvável no cenário atual, corre atrás. O que não fazer: deixar de se dedicar a alguma disciplina por conta do professor ou por julgá-la ‘chata’ ou sem utilidade. Isso é mais comum do que parece e é difícil cobrir a lacuna depois.” Disponível em: ,http://estatisticauem.blogspot.com.br/2009/09/entrevista-com-o-analista-estatistico.html.. Acesso em: mar. 2015.

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Registre no

caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (Prova Brasil)

Ilustrações: DAE

No pátio de uma escola, a professora de matemática pediu que Júlio, que mede 1,60 m de altura, se colocasse em pé, próximo de uma estaca vertical. Em seguida, a professora pediu a seus alunos que medissem a sombra de Júlio e a da estaca. Os alunos encontraram as medidas de 2 m e 5 m, respectivamente, conforme ilustram as figuras abaixo. A altura da estaca media: Alternativa b. a) 3,6 m x b) 4 m c) 5 m 1,6 m d) 8,6 m 5m

2m

2 (Prova Brasil) Trabalhando 10 horas por dia, um pedreiro constrói uma casa em 120 dias. Em quantos dias ele construirá a mesma casa, se trabalhar 8 horas por dia? Alternativa c. a) 96 b) 138 c) 150 d) 240 3 (UERJ) O tampo de uma mesa retangular foi medido por Paulo, que utilizou palitos de fósforo e palmos da própria mão. A maior dimensão do tampo é igual ao comprimento de 60 palitos de fósforo. Medida em palmos, essa maior dimensão é equivalente a 12  palmos. A menor dimensão do tampo da mesa é igual ao comprimento de 5 palmos. Determine o número de palitos de fósforo correspondente à medida da menor dimensão da mesa. 25 palitos

Editora Scipione

http://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1126

Explorando

Escoamento de areia Disponível em: . Acesso em: mar. 2015. Uma sugestão simples de experimento para que todos possam compreender na prática a aplicação de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa. Usando areia e garrafas pet, é possível identificar algumas relações importantes da Física que descrevem o escoamento de areia em funis com diferentes tamanhos de bocais.

Semelhança não é mera coincidência Autor: Nílson José Machado Editora: Scipione 40 páginas Nesse livro, o autor apresenta a ideia de semelhança baseando-se em situações vividas pelos alunos no cotidiano, e recupera e aprofunda, de maneira divertida e criativa, conceitos já construídos internamente, como manutenção de forma e escalas. Acompanha caderno de atividades com desenhos para ilustrar os assuntos que foram discutidos.

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RESGATANDO CONTEÚDOS

Ilustra Cartoon

1 Num hotel à beira-mar o valor da diária por pessoa é único. Sabe-se que 4 pessoas pagam R$ 600,00 para permanecer 5 dias. Para ficar 7 dias, 3 pessoas, nesse mesmo hotel, deverão pagar: Alternativa b.

a) 36, 32 e 34

c) 32, 36 e 36

b) 36, 72 e 24

d) 40, 42 e 45

6 Numa prova de 40 questões, acertei 16. Qual é a razão do número de questões certas para o número de questões erradas? Alternativa c.

a)

16 40

c) 16 24

b)

24 40

d) 24 16

7 A escala de 1 para 200 de uma planta indica que cada 1 centímetro no desenho representa quantos metros no real? Alternativa b.

a) R$ 730,00 b) R$ 630,00

c) R$ 430,00 d) R$ 830,00

2 Um piloto de testes faz determinado circuito com uma velocidade média de 180 km/h. Quantos metros por segundo representa essa velocidade média? Alternativa a.

a) 50 m/s b) 80 m/s

c) 180 m/s d) 40 m/s

3 Numa papelaria, uma dúzia de cadernos universitários está sendo vendida a R$ 48,00. Então, o preço de 18 desses cadernos é: Alternativa c.

a) R$ 52,00 b) R$ 62,00

c) R$ 72,00 d) R$ 82,00

4 Ângela leu, em média, 15 páginas por dia de um determinado livro em 4 dias. Para acabar a leitura desse mesmo livro em 10 dias, ela deverá ler em média: Alternativa d.

a) 200 m

c) 1 m

b) 2 m

d) 3 m

8 No mapa de uma cidade, uma distância de 18 cm está representando uma distância real de 18 km. Essa escala é: Alternativa d. a) 1 : 100

c) 1 : 10 000

b) 1 : 1 000

d) 1 : 100 000

9 Num retângulo de 20 cm de largura e 32 cm de comprimento, a razão da menor medida para a maior medida é: Alternativa d. a) 2 c) 4 8 8 b) 3 8

10 Dividindo R$ 60.000,00 em partes proporcionais aos números 3, 4 e 5, é correto afirmar que uma das partes é igual a: Alternativa b.

a) 18 páginas por dia b) 20 páginas por dia c) 14 páginas por dia d) 6 páginas por dia

a) R$ 5.000,00 b) R$ 15.000,00

5 A soma das idades de Pedro, Paulo e Lucas é 132 anos. Considerando que as idades dos três são diretamente proporcionais aos números 18, 36 e 12, respectivamente, então suas idades são:

d) 5 8

c) R$ 30.000,00 d) R$ 40.000,00

11 Dividindo R$ 45.000,00 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1 é correto 2 3 afirmar que uma das partes é igual a: Alternativa a.

a) R$ 27.000,00 b) R$ 9.000,00

c) R$ 40.000,00 d) R$ 5.000,00

Alternativa b.

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Registre no

caderno

12 Um avião consome 400 litros de um combustível especial a cada hora quando está em voo. Quantos litros de combustível esse avião consome durante o voo que dura 2 horas, 10 minutos e 3 segundos? Alternativa c. a) 850 litros b) 857 litros c) 867 litros d) 880 litros

17 O ponteiro das horas de um relógio analógico percorre um ângulo de 30° a cada 60 minutos. Responda: a) Quanto tempo ele levará para percorrer 120°? 240 minutos ou 4 horas b) Quanto tempo ele levará para percorrer 15°? 30 minutos

14 Considere os quadrados A e B conforme as medidas indicadas a seguir. B A

5 cm

a) Escreva a razão entre as medidas dos lados dos quadrados A e B, nessa ordem. 7 10 b) Determine a razão entre as medidas dos perímetros dos quadrados A e B, nessa ordem. 14 ou 7 20 10 c) As razões entre os lados e os perímetros obtidos anteriormente formam uma proporção? Sim. 15 Nos jogos escolares deste ano, a razão entre o número de meninas e o número de meninos participantes foi de 3 . Con4 siderando que 24 meninas participaram, quantos foram os meninos? 32 meninos

18 Para o almoço, um restaurante encomendou 96 kg de determinado tipo de carne, gastando R$ 1.203,20. Quantos quilogramas desse mesmo tipo de carne poderiam ser comprados com R$ 601,60? 48 kg 19 Um criador de cães observou que, para alimentar 50 cães durante 15 dias, eram necessários 90 kg de uma ração especial. Para alimentar 48 cães durante 20  dias, quantos quilogramas dessa mesma ração seriam necessários? 115,2 kg 20 A média aritmética entre cinco números é igual a 8. Acrescentando 1 unidade a cada valor, o que acontece com a nova média aritmética? Alternativa d. a) Continua sendo 8. b) Diminui 1 unidade. c) Não podemos calcular. d) Aumenta 1 unidade. 21 Determine a alternativa que indica a medida do ângulo correspondente à parte destacada em verde, no gráfico de setores a seguir. Alternativa b. a) 134° b) 234° c) 224° d) 154°

20

15

Ilustrações: Setup

13 Determinada máquina que funcionava 5 horas por dia, durante 6 dias, produzia 3 000 unidades de determinado produto. Quantas horas e minutos deverá funcionar, por dia, essa mesma máquina, para produzir 30 000 unidades desse produto em 40 dias? Alternativa b. a) 7 horas b) 7 horas e 30 minutos c) 8 horas e 20 minutos d) 9 horas

3,5 cm

16 Se 7 kg de determinado tipo de feijão custam R$ 9,10, quanto custam 13 kg desse mesmo feijão? R$ 16,90.

65

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UNIDADE 7

Introdução à matemática financeira

O conhecimento do nosso dinheiro, as compras que fazemos, as vendas que realizamos e a forma como investimos fazem parte da matemática financeira. Quando buscamos uma melhor maneira de utilizar o dinheiro que recebemos, estamos, de certa forma, nos educando financeiramente.

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Eliks/Shutterstock

1 Qual quantia é maior: 7% de R$ 2.000,00 ou 20% de R$ 700,00? 2 Se você atrasa um pagamento, o que ocorre? 3 Qual é o significado de juro simples?

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CAPÍTULO 26

Porcentagem e juro simples Em revistas e jornais, as informações são apresentadas de diversas maneiras, inclusive por meio do uso da porcentagem. Observe que a porcentagem é um recurso que visa facilitar o entendimento da informação e do contexto no qual está inserida, pois possibilita a comparação com o todo. Taxa de desemprego no Brasil Veja no exemplo ao lado:

14 12

No 1o trimestre de 2014, em % da força de trabalho 11,4 10,5 9,3 8,4 7,9 7,7 7,5 7 5,8 5,8 5,8 4,6

DAE

Respostas da página anterior. 1. São iguais. 2. Normalmente paga-se juros. 3. Juro simples é o percentual calculado apenas sobre o valor inicial.

Do total da força de trabalho, 10 8,7 ou seja, da população com mais 8 7,1 5,9 de 14 anos de idade que tem in5,4 6 4,3 3,5 teresse em trabalhar, 7,1% estavam 4 sem emprego em 2014. Entre os 2 0 homens, no entanto, a proporBrasil Norte Nordeste Centro-Oeste Sudeste Sul Fonte: IBGE ção de desempregados é de 5,9%, Total Homens Mulheres enquanto entre as mulheres é de Disponível em: . Acesso em: mar. 2015. Aqui não estamos falando de donas de casa ou de pessoas que optam por não buscar um trabalho remunerado regular. Nesses 8,7% de mulheres desempregadas são consideradas apenas aquelas que querem entrar no mercado de trabalho. Essa diferença se repete em todas as cinco grandes regiões brasileiras, como mostra o gráfico. Nesse gráfico, compara-se, em valores percentuais, o total de pessoas desempregadas com o total de pessoas que desejam trabalhar, o que nos permite escrever a razão a seguir: pessoas desempregadas pessoas que buscam emprego Para que o valor seja dado em percentual, essa razão é multiplicada por 100: pessoas desempregadas pessoas que buscam emprego

 100

As razões utilizadas nesse trecho da reportagem são: 7,1 5 71 , o que significa que a cada 1 000 pessoas que desejam trabalhar e • 7,1% 5 100 1 000 têm mais de 14 anos 71 pessoas não conseguem emprego; 5,9 5 59 , o que significa que a cada 1 000 homens que desejam trabalhar • 5,9% 5 100 1 000 59 não conseguem emprego; 8,7 5 87 , o que significa que a cada 1 000 mulheres que desejam trabalhar • 8,7% 5 100 1 000 87 não conseguem emprego.

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Mas, na matemática financeira, a porcentagem é utilizada de forma muito mais ampla para, por exemplo, discutir descontos e acréscimos em valores. Vejamos o caso da conta de água em São Paulo. Em 2014, quando houve uma grande seca nos reservatórios do sistema Cantareira, para evitar o desabastecimento o governo do estado de São Paulo tomou algumas medidas: • desconto de 10% no valor da conta de água para quem reduzisse seu consumo de 10% a 14,99%; • desconto de 20% no valor da conta de água para quem reduzisse seu consumo de 15% a 19,99%; • desconto de 30% no valor da conta de água para quem reduzisse 20% de seu consumo.   10 e  15%

10% sobre a conta de água e esgoto

 15 e  20%

20% sobre a conta de água e esgoto

  20%

30% sobre a conta de água e esgoto

Disponível em: . Acesso em: jan. 2015.

Ou seja, se uma família que pagava em média R$ 150,00 de conta de água fizesse uma economia de 25% no consumo, já conseguiria um bom desconto, certo? 25% de 150  0,25  150  37,5 Dessa forma, o valor da conta após o desconto seria de R$ 112,50. Entretanto, seguindo a regra de descontos estabelecida pelo governo (apresentada na tabela acima), essa família teria também direito a um abatimento de 30% no valor da conta; logo: 30% de 112,50  0,30  112,50  33,60 Portanto, o valor final a ser pago por essa conta seria de 112,50 2 33,60 5 78,90, quase a metade do valor pago anteriormente. Assim, pagaria R$ 78,90.

Retomando o cálculo com porcentagens A expressão por cento se originou do latim per centum e significa "por um cento". Dessa forma, quando escrevemos 5%, isso significa o mesmo que 5 em cada 100 ou, ainda, 5 centésimos: 5% 5 5 5 0,05 100 porcentagem fração centesimal número decimal

Para lembrar de algumas noções de porcentagem apresentamos a seguir alguns exemplos. Leia-os com atenção.

Exemplo 1: Vamos representar o número racional 3 utilizando porcentagem. 5 • Uma maneira é buscar, inicialmente, a fração equivalente com o denominador 100, isto é: 3 20

3 5

5

60 100

Assim, temos: 3 5 60 5 60% 5 100

3 20

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• Utilizando a divisão de 3 por 5, podemos obter inicialmente a forma decimal e, então, escrever o resultado na forma de porcentagem, ou seja: 3 5 0,6 5 0,60 5 60   ⇒  60% 5 100

Exemplo 2: Escreva a porcentagem 6,25% na forma decimal e na fracionária. Resolução: A porcentagem é transformada, inicialmente, na forma decimal e, depois, na forma fracionária, em que o denominador é múltiplo de 100. Então, utilizamos a equivalência de frações, ou seja: 6,25% 5 0,0625 5 625 5 1 10 000 16

Exemplo 3: Calcule 32% da quantia: R$ 2.500,00. Resolução:

• Observe

que calcular 32% de R$ 2.500,00 é o mesmo que efetuar uma das seguintes multiplicações: 32% de 2 500 5 0,32 ? 2 500 5 800 ou 32% de 2 500 5 32 ? 2 500 5 32 ? 25 5 800 100 Resolução:

• Utilizando a proporção, conforme visto nos capítulos anteriores, temos: Porcentagem (%)

Quantia (R$)

100

2 500

32

x

Assim, considerando grandezas diretamente proporcionais: 100 5 2 500 32 x 100 ? x 5 32 ? 2 500 80 000 x 5 ⇒ x 5 800 100

Exemplo 4: Um computador, no valor de R$ 1.350,00, será vendido com um desconto de 12%. Qual será o preço desse computador? Resolução:

• Uma maneira de calcular é considerar que, sendo 12% o desconto, o computador será vendido por 88% do valor. Assim, temos:

Resolução:

88% de 1 350 5 0,88 ? 1 350 5 88 ? 1 350 5 1 188 100

• Outra maneira é calcular 12% de R$ 1.350,00 e subtrair esse valor de R$ 1.350,00: 12% de 1 350 5 0,12 ? 1 350 5 12 ? 1 350 5 162 100 Portanto, o preço do computador será R$ 1.188,00, isto é, 1 350  162  1 188.

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Exemplo 5: A família de Fábio tinha um gasto de aproximadamente R$ 85,00 por mês com a conta de água. Devido à falta de água em São Paulo no ano de 2014, toda a família resolveu economizar. Por conta dessa economia, a conta do mês seguinte veio com a seguinte informação: Valor gasto com o consumo de água foi R$ 52,00; descontar desse valor 30% provenientes da política de descontos do estado de São Paulo. Qual foi o valor pago nessa conta de água?

Resolução:

• Primeiramente calculamos o valor do desconto: 52 

30 5 52 ⋅ 30 5 1 560 5 15,6 . 100 100 100

Logo, o desconto será de R$ 15,60, e o valor a ser pago por essa conta será de R$ 52,00 2 R$ 15,60 5 R$ 36,40. Para descobrir o valor do desconto neste exemplo poderíamos utilizar outras estratégias. Veja:

• 52 ? 0,3 5 15,6; • se percebemos que 10% de 52 é igual a 5,2, para obter 30% basta multiplicar 3  5,2 5 15,6; • se efetuarmos 52  100 5 0,52, descobriremos que 1% equivale a 0,52; logo, 30% equivalem a 0,52 ? 30 5 15,6. De que outra maneira você imagina que poderíamos descobrir o valor desse desconto? Crie mais uma estratégia e compare-a com a dos colegas.

Exemplo 6: Numa prova, determinado aluno acertou 39 das 50 questões propostas. Qual foi o percentual de acertos desse aluno na prova?

Resolução:

• Por meio de proporção, podemos determinar o percentual correspondente ao número de acertos, isto é: Porcentagem (%)

Número de questões

100

50

x

39

3 900 100 5 50   ⇒ 50 ? x 5 39 ? 100  ⇒  ⇒ x 5 78 x 5 x 39 50 Portanto, esse aluno acertou 78% das questões propostas. Pense em outra maneira de resolver a situação. Apresente-a aos colegas.

Exemplo 7: O preço de um automóvel sofreu um aumento de 6,5% devido à inflação no ano de 2014. Considerando que antes do aumento seu valor era de R$ 32.380,00, qual passou a ser o novo preço do automóvel?

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Resolução:

• Calculamos inicialmente o valor do aumenFatman73/Dreamstime.com

to, que foi de 6,5%. Para isso, transformaremos o valor percentual em decimal: 0,065 ? 32 380 5 2 104,70 Logo, o aumento foi de R$ 2.104,70, que somado ao valor anterior do automóvel nos dará o novo preço.

• Preço do automóvel após o aumento: R$ 32.380,00 1 R$ 2.104,70 5 R$ 34.484,70 Portanto, após o aumento o automóvel passou a custar R$ 34.484,70.

• Outra maneira de resolver é considerar que, com o aumento de 6,5%, o novo valor do automóvel passou a ser 106,5% do valor inicial. Logo, 106,5% de 32 380 5 1,065  32 380 5 34 487,70 Portanto, o automóvel passou a ser vendido por R$ 34.487,70. Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Calcule os seguintes percentuais: a) 5% de R$ 1.200,00 R$ 60,00 b) 1% de 3 000 metros 30 metros c) 7% de R$ 4.500,00 R$ 315,00 d) 1,2% de 8 000 metros 96 metros 2 Responda às questões. a) Multiplicar determinado número por 0,2 é o mesmo que obter qual porcentagem desse número? 20% b) Calcular o produto 0,75 ? x significa aumentar ou diminuir o valor de x? Em quanto por cento? Diminuir o número em 25%. c) De 1 000 para 1 200, houve um aumento de quanto por cento? 20% d) De 4 000 para 3 000, houve uma redução de quanto por cento? 25% 3 O retângulo está dividido em quadrados menores de mesmo tamanho. A parte colorida ocupa que porcentagem da figura?

33,333...%

4 Resolva os problemas a seguir. a) Determinado produto era vendido a R$ 12,00 e sofreu um aumento de R$ 1,80. De quanto por cento foi o aumento? 15% b) Num concurso, dos 480 candidatos participantes, 312 foram aprovados. Qual foi o percentual dos reprovados? 35% c) Sabe-se que 212 pessoas presentes numa festa correspondem a 20% do total. Qual é o número de pessoas na festa? 1 060 pessoas d) Em uma liquidação, um vestido de R$ 550,00 foi vendido por R$ 440,00. De quanto por cento foi o desconto? 20% e) Numa parede de 40 m2 de área, 30% foi pintado de azul, e metade dessa parte pintada é ocupada por um quadro. Qual é a área ocupada pelo ­quadro? 6 m2 5 Um comerciante, por ocasião da Páscoa, aumentou os preços dos ovos de chocolate em 40%. Após a Páscoa, ele resolveu dar um desconto de 40% sobre o novo valor. O novo valor representa que porcentagem do preço praticado antes do aumento? 84% do valor inicial

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CONEXÕES

Irochka/Dreamstime.com

No comércio, usualmente, vendedores e caixas utilizam calculadoras nas vendas que são feitas. Quando é necessário, por exemplo, dar um desconto, lá vai o vendedor utilizar aquela tecla bem famosa da calculadora. Usando a tecla % da calculadora, veja como resolvemos o problema a seguir.

Quanto é 23% de R$ 160,00? Na calculadora faremos: 160  23% 5 36,8. E se as calculadoras não tivessem essa tecla, como seria possível calcular os descontos ou mesmo os acréscimos? Vamos imaginar duas situações bem simples: 1a situação: O valor de venda de um par de tênis foi anunciado numa loja por R$ 230,00. Entretanto, se a pessoa pagar à vista, terá um desconto de 5%. Como calcular o valor do desconto? E como obter diretamente, com uma só operação na calculadora, o valor a ser pago à vista?

• Se houver um desconto de 5%, isso significa que a pessoa que comprará o par de tênis irá pagar 95% do valor dele. Sendo assim, basta calcular 95% de R$ 230,00, isto é: 95% de R$ 230,00 5 0,95  R$ 230,00 5 R$ 218,50 (basta multiplicar 230 por 0,95 para obter o novo preço)

• Para saber apenas qual valor foi dado de desconto, devemos calcular 5% sobre o preço do tênis, ou seja:

5% de R$ 230,00 5 0,05  R$ 230,00 5 R$ 11,50 2a situação: Vamos ainda considerar que houve um aumento de 7% no preço do par de tênis que era vendido a R$ 230,00. Como calcular o novo preço?

• Nesse caso, poderíamos inicialmente calcular 7% de R$ 230,00 e acrescentar o valor obtido ao valor R$ 230,00.

• Entretanto, se houve um aumento de 7%, é porque o novo preço será 107% (100% 1 7%) do valor anterior. Assim, temos:

107% de R$ 230,00 5 1,07  R$ 230,00 5 R$ 246,10 (basta multiplicar 230 por 1,07 para obter o novo preço) Registre no

Com essas duas ideias, não é necessário utilizar a tecla % da calculadora.

caderno

1 Além da aplicação do comércio, em quais outras áreas pode-se ver com frequência o uso Exemplos de aplicação de porcentagem: em Ciências, quando é abordada a quantidade de água de porcentagem? no planeta, que representa 70% da superfície terrestre. Na própria área de Matemática, é utilizada na construção de gráfico de setores.

2 Crie um problema que envolva porcentagem. Como sugestão de atividade, peça aos alunos que criem o problema em folha avulsa. E, em outra folha, descrevam o raciocínio de resolução. Troque os problemas para que os colegas resolvam; em seguida, troque novamente para que outros alunos corrijam; assim, os alunos poderão ter contato com diversos problemas e ainda comparar a linha de raciocínio dos colegas.

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Juro simples Considere a seguinte situação: Mário fez um empréstimo, numa instituição financeira, pois precisa pagar uma dívida feita quando adquiriu sua casa. O empréstimo foi de R$ 20.000,00, com a condição de pagar 1% ao mês de juro sobre o valor total emprestado. Ilustra Cartoon

Juro representa uma remuneração que é paga por quem toma emprestado certa quantia em dinheiro, durante algum tempo.

Existem dois modelos de juros que podem ser praticados: o juro simples e o juro composto. Em geral, instituições financeiras utilizam o composto, que é conhecido como juro sobre juro. Nesta situação, vamos imaginar que o empréstimo feito por Mário está sob o regime de juro simples. O cálculo de juro simples é sempre feito sobre o capital inicial. Assim, o valor do juro será constante em cada período de tempo. Por exemplo, se Mário quitar o seu empréstimo em 3 meses, além de pagar os R$ 20.000,00 pagará também R$ 200,00 ao mês de juro, totalizando R$ 20.600,00. O cálculo do juro a ser pago em situações como a apresentada acima pode ser realizado utilizando-se de um conceito estudado anteriormente: a regra de três composta. Se considerarmos que C representa o capital que foi emprestado; i % representa a taxa mensal sobre a qual o juro j é calculado, e t é o tempo, em meses, que esse capital é emprestado, temos: Capital

Tempo

Juro

C

t

j

100

1

i

Se considerarmos fixo o tempo, podemos dizer que o juro é diretamente proporcional ao capital. Se fixarmos o capital, o juro será diretamente proporcional ao tempo. Dessa forma, concluímos que o juro j é diretamente proporcional ao produto do capital C pelo tempo t. Assim, temos:

j i   ⇒  5 Ct 100  1

j 5 Ci t 100

Observação: VV A taxa i e o tempo t devem estar relacionados com a mesma unidade de tempo. Assim, se a

taxa é ao ano, o tempo também será ao ano, se a taxa for mensal, o tempo também deverá ser dado em meses.

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O que você acha mais interessante: ir guardando dinheiro até conseguir o valor total para comprar o que deseja ou fazer um empréstimo para comprar o que quer e ir pagando pelo empréstimo? Como você pôde ver no exemplo de Mário, quando pegamos dinheiro emprestado, ­normalmente pagamos juros a quem nos emprestou. Os economistas afirmam que um dos segredos de ter uma vida financeira confortável é planejar, ou seja, guardar para depois comprar à vista em vez de pagar em parcelas (normalmente taxadas com juros). Se Mário, em vez de pedir emprestado, tivesse guardado mensalmente uma quantia na poupança, teria recebido juro da instituição sobre o dinheiro poupado, e assim saldado sua dívida com mais conforto. É sempre melhor receber juro do que pagar juro.

Exemplo 1: Na situação apresentada anteriormente, vamos calcular o juro a ser pago após 5 meses do empréstimo.

Resolução: • Substituindo os dados na fórmula apresentada anteriormente, temos:

j 5 Ci t ⇒ 100 j 5

20000  1  5   ⇒  j 5 1 000 100

• Observe que podemos chegar a esse mesmo resultado calculando 1% sobre o capital e, depois, multiplicando o resultado por 5, ou seja: 1% de 20 000 5 0,01 ? 20 000 5 200 j 5 5 ? 200 5 1 000 Portanto, o juro será de R$ 1.000,00.

Exemplo 2: Qual é o juro simples produzido pelo capital R$ 14.400,00, quando é empregado à taxa anual de 4% durante 10 meses?

Resolução:

• Como a taxa é anual, devemos expressar o período de aplicação também em anos, ou seja:

t 5 10 meses 5 10 do ano 12 Resolução:

• Substituindo na relação apresentada, temos: j 5 Ci t 100 14 400  4  10 12 ⇒ j 5 480 j 5 100 Assim, após 10 meses, o juro que deve ser cobrado é de R$ 480,00.

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Observação: VV O resultado do capital emprestado somado ao juro cobrado é chamado de

montante. No exemplo anterior, o montante, no final de 10 meses, é de R$ 14.880,00 (14 400 1 480).

Exemplo 3: Qual é o capital que rende a uma pessoa R$ 6.028,80 de juro, quando é aplicado durante 4 anos à taxa de 12% ao ano?

Resolução:

• Conforme relação matemática que permite calcular o juro, temos: j 5 C  i  t ⇒ 6 028,80 5 C  12  4 ⇒ 48C 5 602 880 ⇒ 100 100 602 880 ⇒ C  12 650,00 C 48 Assim, o capital é de R$ 12.560,00. Vamos aprender um pouco a trabalhar com juro composto.

• Considere que Marcos resolveu investir R$ 2.000,00 em um fundo de investimento que paga 2% ao mês no regime de juro composto. Veja a tabela que ele montou para acompanhar seu investimento: Professor, com esta situação damos uma noção de juro composto ao aluno.

Registre no

Mês

Operação

Total

1o mês

Valor investido

2 000

2o mês

2 000 1 0,02 · 2 000

2 040

3o mês

2 040 1 0,02 · 2 040

2 080,8

4o mês

2 080,8 1 0,02 · 2 080,8

2 122,416

5o mês 6 mês

2 122,416 1 0,02 · 2 122,416

2 164,86

2 164,86 1 0,02 · 2 164,86

2 208,16

2 208,16 1 0,02 · 2 208,16

2 252,32

2 252,32 1 0,02 · 2 252,32

2 297,37

caderno

o

7o mês 8o mês

Perceba que a cada mês o acréscimo de 2% é calculado sobre o valor obtido no mês anterior. Complete a tabela de juro composto e responda às questões. a) Você prefere investir dinheiro para comprar algo que deseja ou parcelar para obtê-lo mais rapidamente? Resposta pessoal. b) Qual regime de juro é mais vantajoso para investimentos: o simples ou o composto? . Composto.

c) Qual regime de juro é mais vantajoso para realizar o parcelamento de uma dívida: o simples ou o composto? Simples.

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Registre no

caderno

AGORA É COM VOCÊ 1 Sobre o valor R$ 4.500,00 será cobrado um juro de 2%. a) Qual é o valor do juro? R$ 90,00

b) Qual é o valor a ser pago? R$ 4.590,00 Ilustra Cartoon

2 Antônia aplicou um capital de R$ 160.000,00 em um banco. Na ocasião, ficou combinado que receberia 5% ao ano de juro simples. a) Em 1 ano, quanto ela receberá de juro? R$ 8.000,00 b) E em 2 anos? R$ 16.000,00 3 Fernando teve de pagar R$ 3.400,00 de juro pelo empréstimo que fez para comprar um carro. Considerando que o valor do empréstimo foi de R$ 68.000,00, calcule: a) a quantia total que Fernando gastou na compra do carro; R$ 71.400,00 b) o percentual que foi cobrado de juro pelo empréstimo que ele fez. 5% 4 Lúcia pediu um empréstimo de R$ 12.000,00 a uma instituição financeira, que deveria ser pago após 2 anos, a uma taxa de juro simples de 14% ao ano. Responda às questões. a) Qual foi a quantia de juro simples que Lúcia pagou no período de 1 ano? R$ 1.680,00 b) E no período de 2 anos? R$ 3.360,00 c) No final desses 2 anos, Lúcia teve de pagar o empréstimo e também o juro correspondente a ele. Ao todo, quanto ela pagou? R$ 15.360,00 5 Responda às questões a seguir. a) A que taxa anual você deve aplicar um capital de R$ 36.000,00 para render R$ 1.260,00 de juro em um ano? 3,5% b) Qual é o capital que rende R$ 2.000,00 de juro quando aplicado durante 1 ano à taxa de 4% ao ano? R$ 50.000,00 6 Um capital de R$ 184.000,00 é aplicado a uma taxa de 9% ao ano de juro simples. Calcule o juro que deve ser recebido com esse capital aplicado depois de: a) 1 ano; R$ 16.560,00

b) 2 anos; R$ 33.120,00

c) 2,5 anos. R$ 41.400,00

7 Uma loja colocou um cartaz indicando que o preço à vista de determinada mercadoria era R$ 600,00. A prazo, essa mesma mercadoria, depois de 1 mês, custaria R$ 645,00. Qual é a taxa de juro simples cobrada na venda a prazo? 7,5% 8 Quanto renderá de juro: a) a quantia de R$ 3.600,00, aplicada durante 5 meses, a uma taxa de juro simples de 2,5% ao mês? R$ 450,00 b) a quantia de R$ 35.000,00, aplicada durante 2 anos, a uma taxa de juro simples de 7% ao ano? R$ 4.900,00 9 Uma aplicação feita durante 4 anos, a uma taxa de 8% ao ano, rendeu R$ 24.000,00 de juro simples. Determine o capital que foi aplicado. R$ 75.000,00 10 Ana fez um empréstimo de R$ 25.000,00, durante 2 anos e meio, pagando R$ 12.500,00 só de juro simples. Determine a taxa de juro simples cobrada anualmente pelo empréstimo. 20%

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MATEMÁTICA E CIDADANIA “Aposentada dá lição de economia com menos de dois salários mínimos [...] Wilson Kirsche – Londrina, PR. Ronaldo Barata

Santina Camilo é zeladora e comprou casa própria, carros e pagou a faculdade dos filhos com menos de dois salários mínimos por mês, cerca de R$ 1.200. Em uma reportagem do Jornal Hoje em 2008, Santina revelou seus truques com orçamento doméstico. ‘Se todos pegarem minha receita e fizerem igual eu garanto: pode não sobrar nada, mas ficar devendo você não fica não’, afirmava Santina Camilo, aposentada.

O segredo de Santina é sua saudável mania de economizar em tudo. A aposentada aprendeu até a pintar paredes pra não ter de pagar pelo serviço. ‘Na segunda mão que eu passar já fica bom’, declara. É assim o tempo todo, um olho no serviço e outro na economia. A água que lava roupa no tanque também limpa a calçada. Roupa, ela só compra de tecidos que não amarrotam e não precisam ser passados. Na cozinha nada vai para o lixo, tudo se transforma. ‘Quando sobra o frango eu coloco uma cenoura, abobrinha, espinafre, o que tiver, e refogo no meio do molho do frango e coloco um pouco de farinha’, conta. Quando sai de casa, a zeladora só abre a carteira depois de muita pesquisa. Em oficina, por exemplo, ela nunca aceita o primeiro orçamento. ‘Já aconteceu de me pedirem R$ 700 e ficou em R$ 320’, conta. De centavo em centavo, ela não perde dinheiro, nem oportunidade. A última conquista de Santina é uma casa de quatro cômodos que ela construiu em um terreno nos fundos de sua casa. O aluguel reforça o orçamento em R$ 350. O sistema de construção foi o mesmo. Ela economizou um pouco, comprou o tijolo, cimento, e assim por diante. Em oito meses a casa estava de pé. Além do aluguel, Santina começou a vender doces, na mesma faculdade onde trabalhava, para conseguir um dinheiro extra para engordar a aposentadoria. ‘Não acostumo ficar parada não’, diz. Depois de tantos anos de aperto e dinheiro contado, Santina quer aproveitar a vida. Aos 63 anos está firme na ginástica, se exercitando em um aparelho que também pesquisou para comprar. O próximo plano da aposentada é conhecer o Rio de Janeiro. ‘Dizem que é muito bonito. Ainda não tenho o dinheiro, mas eu vou juntar’, afirma. Alguém dúvida que ela vai conseguir? [...]” "Aposentada dá lição de economia com menos de dois salários mínimos" – JH exibe nesta semana série de reportagens sobre educação financeira. Wilson Kirsche/GLOBO COMUNICAÇÃO E PARTICIPAÇÕES S.A. Disponível em: http://g1.globo.com/jornal-hoje/noticia/2012/03/aposentada-da-licao-de-economia-commenos-de-dois-salarios-minimos.html. Acesso em: mar. 2015.

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Registre no

...banho: R$ 960,00, vacina: R$ 115,00,...

Ração: R$ 720,00,...

...remédios, veterinário, brinquedos...

Assim não me sobra nada da mesada!

Ilustra Cartoon

caderno

DIVERSIFICANDO LINGUAGENS

1 Marcos adotou um cachorro na feira de adoção de animais de sua cidade. Para ajudar seus pais a controlar o gasto anual com o novo amigo da família, ele elaborou a planilha a seguir: Resposta pessoal. Gastos

Valor anual (R$)

banho e tosa

960

remédios

210

ração

720

vacinas

115

veterinário

260

brinquedos

80

O pai de Marcos, que é professor de Matemática, pediu ao garoto que construísse também um gráfico de setores, usando os mesmos valores da planilha. 80

DAE

260 115

960 720

banho e tosa

vacinas

remédios

veterinário

ração

brinquedos

210

a) Qual é o valor total do gasto anual que a família de Marcos tem com o bicho de estimação? R$ 2.345,00

b) Qual é a porcentagem do gasto anual com ração em relação ao valor total anual de gastos? 720/2 345 5 30,7; 30,7%

c) Se essa família tem renda de R$ 45.000,00 por ano, qual é a porcentagem que representa o gasto total anual com o cachorro? 2 345/45 000 5 5,21; 5,21%

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CONEXÕES O Programa de Educação Financeira do Banco Central A Educação Financeira é o processo mediante o qual os indivíduos e as sociedades melhoram sua compreensão dos conceitos e produtos financeiros. Com informação, formação e orientação claras, as pessoas adquirem os valores e as competências necessários para se tornarem conscientes das oportunidades e dos riscos a elas associados e, então, façam escolhas bem embasadas, saibam onde procurar ajuda e adotem outras ações que melhorem o seu bem-estar. Assim, a Educação Financeira é um processo que contribui, de modo consistente, para a formação de indivíduos e sociedades responsáveis, comprometidos com o futuro.

Bia Alves/Fotoarena

O QUE É EDUCAÇÃO FINANCEIRA?

POR QUE PROMOVER A EDUCAÇÃO FINANCEIRA DO BRASILEIRO?

A crescente sofisticação dos produtos oferecidos aos consumidores de serviços financeiros aumenta o leque de opções à disposição do cidadão brasileiro, ao mesmo tempo que lhe atribui maior responsabilidade pelas escolhas realizadas. A recente ascensão econômica de milhões de brasileiros defronta o novo consumidor com instrumentos e operações financeiras complexas e variadas, sem que o cliente ou usuário do Sistema Financeiro Nacional esteja preparado para compreender os produtos e serviços financeiros disponíveis e lidar com eles no dia a dia. Não apenas é difícil o acesso a informações, mas também falta conhecimento para compreender as características, os riscos e as oportunidades envolvidos em cada decisão. A necessidade de educar o cidadão brasileiro para atuar no meio financeiro determinou a instituição de uma estratégia conjunta do Estado e da sociedade. Assim, foi instituída a Estratégia Nacional de Educação Financeira (Enef ), com a finalidade de promover a educação financeira e contribuir para o fortalecimento da cidadania, para a eficiência e a solidez do Sistema Financeiro Nacional (SFN) e para a tomada de decisões conscientes por parte dos consumidores. Os principais propósitos da educação financeira são ampliar a compreensão do cidadão quanto ao consumo, poupança e crédito, para que o indivíduo seja capaz de fazer escolhas conscientes quanto à administração de seus recursos financeiros. [...]

Disponível em: . Acesso em: fev. 2015.

Após ler o texto e conhecer mais detalhes sobre Educação Financeira, responda:

Registre no

caderno

1 O que você achou da iniciativa de criar a Estratégia Nacional de Educação Financeira? Respostas pessoais.

2 Você também acha que educar financeiramente a população é importante? 3 Que ações você acha que poderiam ser desenvolvidas pela Enef?

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Registre no

caderno

SUPERANDO DESAFIOS 1 (OBM)

Na escola de Esmeralda, neste ano, o aumento do número de alunos em relação ao ano passado foi de 10% para os meninos e 20% para as meninas. Há atualmente 230 alunos, exatamente 30 a mais do que no ano passado. Quantas meninas há na escola? 120 meninas 2 (OBM) Em uma festa o número de mulheres era quatro vezes o número de homens. Após a chegada de cinco casais, a porcentagem de homens na festa passou a ser 26%. a) Qual era o percentual de homens na festa antes da chegada dos cinco casais? 20% b) Quantos homens e quantas mulheres a festa passou a ter depois da chegada dos cinco casais? 13 homens e 37 mulheres 3 (Saresp) A área plantada na chácara Oliveiras está assim dividida: 30%: Alface e rúcula   25%: Tomates   18%: Temperos   22%: Couve e escarola Há ainda 80 m² de área onde se produz adubo e não se planta nada. Quantos m² de área tem essa chácara? Alternativa b. a) 800 c) 2400 b) 1600 d) 3200 4 (OBM) Se Joana comprar hoje um computador de 2 000 reais, ela conseguirá um desconto de 5%. Se ela deixar para amanhã, irá conseguir o mesmo desconto de 5%, mas o computador irá aumentar 5%. Se ela esperar, o que acontecerá? Alternativa d. a) Nada, pois pagará a mesma quantia. d) Ela perderá 95 reais. b) Ela perderá 100 reais. e) Ela perderá 105 reais. c) Ela ganhará 105 reais. Comprando hoje o computador, Joana gastaria 1900 reais. Esperando o próximo dia, o preço subiria para 2 100 reais, e ela gastaria 95 3 2 100 5 1 995 reais. Assim, ela perderia 95 reais. 100

Explorando Editora Zastras

www.mais.mat.br

A caverna das pistas

Autor: David Glover Editora: Zastras 48 páginas

Razão e porcentagem Disponível em: . Acesso em: mar. 2015. Esse software propõe desafios matemáticos nos quais os alunos podem obter diversas formas de representação para quantidades relativas: fração, porcentagem, visual e decimal.

A caverna das pistas é um interessante livro da coleção Aventuras matemáticas e traz os temas porcentagem, fração, cálculos de aproximação e sequência. Para prosseguir a leitura é preciso resolver os jogos matemáticos propostos e seguir as pistas. Caso erre alguma etapa, a sequência o levará à explicação do problema e ao caminho certo da aventura.

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Registre no

caderno

RESGATANDO CONTEÚDOS

1 Assinale o número decimal que indica corretamente o mesmo que 25% de certo valor. b) 0,25

a) 0,2

Alternativa b.

c) 0,3

d) 0,35

2 Quando determinado valor é duplicado, dizemos que ele aumentou: Alternativa a. a) 100% b) 50% c) 200% d) 150% 3 Multiplicar determinado número por 1,4 significa: Alternativa c. a) acrescentar 14% ao número. c) aumentar o número em 40%. b) diminuir 14% do número. d) reduzir o número em 40%. 4 Multiplicar determinado valor por 0,67 é o mesmo que: Alternativa d. a) reduzir esse valor em 67%. c) reduzir esse valor em 43%. b) aumentar esse valor em 67%. d) reduzir esse valor em 33%.

Zubartez

5 Numa turma, havia 40 alunos. Certo dia, faltaram 4 alunos. Então, é correto afirmar que o percentual dos alunos que compareceram é: Alternativa a. a) 90% b) 35% c) 45% d) 60%

6 Considerando que cada retângulo representa 100%, assinale a alternativa com a figura colorida que indica 75% do retângulo. Alternativa c.

b)



c)



7 Indique a alternativa que apresenta corretamente o percentual correspondente ao ângulo cujo setor tem medida 18°. Alternativa a. a) 5% c) 12% b) 6% d) 33%

d)

5% 6% 44%

DAE

a)

12%

33%

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40%

Ilustrações: Setup

8 Sobre o gráfico de setor ao lado, é correto afirmar que: Alternativa b. a) a parte em amarelo corresponde a um ângulo de medida 108°. b) a parte em vermelho corresponde a um ângulo de medida 144°. c) a parte em amarelo corresponde a 70%. d) a parte em vermelho corresponde a 60%.

9 Se o preço do litro da gasolina é R$ 3,00 e ocorre um aumento de 4%, o novo preço do litro será: Alternativa d. a) R$ 3,24 b) R$ 3,40 c) R$ 3,04 d) R$ 3,12 10 Qual é o valor correspondente a 30% da metade de R$ 1.500,00? Alternativa c. c) R$ 225,00 a) R$ 325,00 b) R$ 315,00 d) R$ 245,00 11 Qual é o preço de custo de uma mercadoria que é vendida por R$ 321,00, considerando que houve um lucro de 7% sobre o preço de custo? Alternativa c. a) R$ 100,00 b) R$ 200,00 c) R$ 300,00 d) R$ 280,00 12 Márcia comprou um aparelho de DVD com um desconto de 10% sobre o preço que estava na vitrine, pagou, então, R$ 360,00. Assinale a alternativa que indica corretamente o preço que estava na vitrine. Alternativa a. c) R$ 430,00 a) R$ 400,00 b) R$ 420,00 d) R$ 480,00 13 Um par de tênis, se comprado hoje com um desconto de 20%, custará R$ 100,00. Qual é o valor sem o desconto? Quanto custará na próxima promoção? Alternativa d. a) R$ 110,00 c) R$ 140,00 b) R$ 130,00 d) R$ 125,00 Com os dados do enunciado é impossível saber o preço do tênis na próxima promoção.

14 Um capital de R$ 6.000,00 rendeu R$ 600,00 ao longo de 5 meses em que ficou investido a juro simples. A taxa de juro ao mês é: Alternativa b. a) 1% c) 3% b) 2% d) 4% 15 A tabela a seguir contém dados sobre as opiniões fornecidas por 120 pessoas depois de assistirem a uma peça de teatro apresentada na escola. 

20

30

10 60

Opinião

Número de alunos

ótimo

30

bom

60

regular

10

ruim

20

ruim regular bom ótimo

  a) Opinião

c)

ótimo bom regular ruim 0

10 20 30 40 50 60 70 Número de alunos

a) Represente os dados num gráfico de barras. b) Calcule o percentual correspondente a cada opinião. ótimo — 25%; bom — 50%; regular — 8,333...%; ruim —16,666...%

c) Elabore um gráfico de setores.

ótimo — 90°; bom — 180°; regular — 30°; ruim — 60°

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GABARITO 15.

UNIDADE 1 CAPÍTULO 1 Página 13 Agora é com você 1.  a) São José dos Ausentes e Santana do Livramento. b) 24,6 °C; 23 °C; 22,6°C; 21,8 °C 2. 4 graus positivos

Página 26

a) Não. b) Maio. c) Abril. d) R$ 200,00 negativos. e) Resposta pessoal. f ) Resposta pessoal.

Agora é com você

2. a) 1270 b) 2300 4. a) R$ 50,00 b) R$ 630,00

CAPÍTULO 2

4. 27 °C 5. Positivo, de 170 reais.

2. 26

6. a) Número negativo, 235. b) Aumentou em 35 reais.

3. 0

c) 218 d) 12

e) 16 f ) 29

8. 3 e 5

5.

Agora é com você 1. 21 2. Não. 3. 9 inteiros: 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3 e 4. 4. a) 7 b) 5



c) 0 d) 3



e) 4 f ) 8

d) 11 e) 29 f ) 110

5. a) 218 b) 17 c) 13

6. 210, 27, 23, 21, 19, 118 7. a)  b) 

c)  d) 

e)  f ) 

8. Z 5 23, X 5 21, Y 52 9. a) 27, 26, 25, 24, 23, 22 e 21 b) 11 c) 15 10. a) 28 °C b) Menor. 11. a) Negativo.



b) Negativo.

Operação

Resultado

213 1 (121) 17 1 (29) 225 1 (115) 26 1 (29) 222 1 (125) 111 1 (211)

18 22 210 215 13 0

230 240 250 260 270 280

220 230 240 250 260 270

140 130 120 110 210 0 220 210 230 220 240 230 250 240 260 250

8. a) 130 b) Zero.

150 140 130 120 110 0

160 150 140 130 120 110 210 0 220 210 230 220 240 230

c) Não. d) Não.

12. Resposta pessoal.

9. R$ 312,00

13. a) Quando o número inteiro é positivo ou igual a zero. b) O simétrico do número inteiro ne­ gativo.

10.

14. a) 121 b) 27

11. a) 24 1 10 5 10 b) 5 1 (210) 5 25

c) 211 d) 24

e) 11 f ) 22

170 160 150 140 130 120 110 0

180 170 160 150 140 130 120 110 210 0 220 210



e) 12 f ) 0

4. R$ 3.040,00 5. a) 220 b) 120

c) 29 d) 112

e) 18 f ) 128

6. a) Aumentou. b) Aumentou. c) R$ 2.732,00

CAPÍTULO 3 Página 32 Agora é com você

7. 110 120 130 0 110 120 210 0 110 220 210 0

c) 210 d) 11

3. 23 andares

6. a) 130, 150, 170, 190 b) 2120, 2200, 2280, 2360 1 210 220 230 240 250 260 270 280 290

1. a) 1100 c) 173 b) 2450 d) 2150 2. a) 24 b) 120

7. a) Os números vão diminuindo de 5 em 5. b) 0, 25, e 210

Página 17

c) 7o andar

Agora é com você

4. a) Saldo positivo de R$ 450,00. b) Saldo positivo de R$ 375,00. c) Saldo positivo de R$ 180,00. d) Saldo zero.

9. Resposta pessoal.



Página 29

Página 22 1. a) 15 b) 11

b) 0

3. a) 0

Agora é com você

3. 286 m

b) 2120

1. a) 2250

190 180 170 160 150 140 130 120 110 0

e) 57 f ) 44

x: 6, 212, 20 y: 25, 212, 50 x 1 y: 229, 24, 18 y 1 x: 229, 24, 18, 30, 212, 15, 67, 58, 267

1. a) 5 ? (22) b) (22) 1 (22) 1 (22) 1 (22) 1 (22) c) 210 gols d) De derrota, pois o time perdeu em todas as rodadas. 2.  A dívida será triplicada e passará a ser de R$ 300,00. 3. a) O resultado será positivo. b) O resultado será negativo. c) O resultado será positivo. d) O resultado será negativo. 4. a) 25 b) 24 c) 7 d) 9

e) 28 f ) 4 g) 29 h) 24

5. a) 270 e) 2800 i) 144 b) 88 f ) 150 j) 38 c) 236 g) 2300 k) 2880 d) 36 h) 54 l) 28 6.  Cada número, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por 22. 2160, 320, 2640, 1 280, 22 560 7. Verdadeira.

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CAPÍTULO 4

4. Resposta pessoal.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Página 38

2

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Agora é com você

3

6

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1.

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24

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32

36

40

5

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30

35

40

45

50

6

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54

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7

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56

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8

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9

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72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 22 24 26 28 210 212 214 216 218 220 23 26 29 212 215 218 221 224 227 230 24 28 212 216 220 224 228 232 236 240 25 210 215 220 225 230 235 240 245 250 26 212 218 224 230 236 242 248 254 260 27 214 221 228 235 242 249 256 263 270 28 216 224 232 240 248 256 264 272 280 29 218 227 236 245 254 263 272 281 290 210 220 230 240 250 260 270 280 290 2100 9. a) Quando ambos têm o mesmo sinal. b) Quando um fator é positivo e outro negativo. c) Quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. d) Quando os fatores são 1 e têm o mesmo sinal. e) Quando os fatores são 1 e 21. f ) Não. g) Não. h) Positivo. i) Positivo. 10. a) 1 e 232; 21 e 32; 2 e 216; 16 e 22; 4 e 28; 8 e 24 b) 1 e 32; 2 e 16; 4 e 8

Página 35 Agora é com você 1. a) 420 b) 600 c) 420 d) 600 2.  Porque ele não utilizou a propriedade distributiva. O resultado correto é 25. 3. a) Propriedade distributiva da multiplica­ ção em relação à adição. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal.

: 10 210 8 28 12 212 6 26

3. 1 005

CAPÍTULO 5 Página 44

22

2

21

1

25

5

210

10

5

25

10

210

24

4

28

8

5

4

24

8

28

4

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6

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12

3

6

26

12

212

2

23

3

26

6

3

23

6

26

Agora é com você 1.

1

A E C 1

25 24 23 22 21 21

2. R$ 21,00

2

3

23

B

24

D

25

2.  A(22,4); B(3,4); C(2,1); 4. a) 10 d) 500 E(1,23) b) 25 e) 216 c) 2110 f ) 11 3. a: A(22, 2) e B(6, 4) 5. a) Positivo. b: C(22, 23) e D(8, 21) b) Negativo. 4. c) Positivo 4 6. a) 210; 210; 210 3 b) 30; 30; 30 2 c) 27; 27; 27 1

d) 9; 9; 9

7. Cada número, a partir do segundo, é o anterior dividido por 22.

24 23 22 21 D

264, 32, 216, 8, 24

C

8. a) A 5 {250, 225, 210, 25, 22, 21, 1, 2, 5, 10, 25, 50} b) B 5 {1, 5, 25, 125} c) C 5 {2130, 265, 226, 213, 210, 25, 22, 21} 9.

210

220

250

29

218

245

28

216

240

27

214

235

26

212

230

25

210

225

24

28

220

23

26

215

22

24

210

21

22

25

2. a) 285 c) 27 b) 24 d) 0

A

2

3

4

21 22 23 24

B

CAPÍTULO 6 1. a) 794 alunos b) 19 pessoas c) Sim, de 25 pessoas. 2. a) Resposta pessoal. b) Produto E. c) Produto D. 3. a) 15 000 b)

Agora é com você c) 240 d) 220

1

D(22,23);

Página 52

Página 41 1. a) 30 b) 21

5

22 e) 22 f ) 40 g) 29 h) 60

3. a) 24 b) 236 c) 8 d) 227



4

Ilustrações: DAE

8.



e) 0

Árvores plantadas

Mês

Quantidade de árvores

janeiro

10 000

fevereiro

20 000

março

15 000

abril

17 000

263 pom7_262_272_gab.indd 263

5/26/15 9:38 AM

abril

17 000

6.

15. a) Subiu 120 metros b) 20 gols c) 16 °C

Resultado da gincana 80

março

70

15 000

4. a)

Mês

Quantidade de calçados

48 8

6 2

fevereiro

275

março

410

abril

620

maio

450

junho

715

3

Superando desafios 2. b

Resgatando conteúdos

1. a) F b) V c) V

d) V e) F f ) V



2. a)  d)  b)  e)  c)  f ) 



c) De fevereiro para março, de março para abril e de maio para junho.

22 23 3

4

3.

6. a) V

7. a) 112 e 212 b) 18 e 28

14

12

8. a) 28 b) 113

b) F

c) V

d) V

c) 131 e 231 d) 124 e 224

c) 110 d) 211

Página 67 Agora é com você

Vendas 16%

10. d

12. c

11. b

13. a

A

B

10%

A1B

A2B

2450

900

450

21350

2340

2200

2540

2140

150

500

650

2350

550

250

500

600

8% 6% 4% 2% jan.

fev.

mar.

abr.

mai.

Mês 2012

2013

190

230

160

220

2300

300

0

2600

100

100

200

0



e) 45° f ) 36°

Minutos

1° 1,5° 2° 2,5° 3° 3,5° 4° 4,5° 5°

60' 90' 120' 150' 180' 210' 240' 270' 300'

e) 19 f ) 13

12%

c) 60° d) 180°

Graus

14.

14%



1. a) 180° b) 90°

9. 730,20. O saldo ficaria negativo 5 2269,80

b)

0%

1. 120°, 25° e 40° a) O ângulo de medida 120°. b) Os ângulos de medidas 25° e 40°.

2. Resposta pessoal.

11

maio

Página 64

5. a

5

8

CAPÍTULO 7

5. a) 221 b) 2100 c) 35 reais d) 220 e) A metade de 240 : 220  222 f ) A terça parte de 36 : 275  12

fevereiro

10

UNIDADE 2

4. As afirmações verdadeiras são a e c.

0

14

abril

c) 212 d) 15

3. 60°, 120°, 150°, 30°

13

4

2

2. Atividade de construção.

2

janeiro

9

2

Agora é com você

21 25

24 11

março

g)  h) 

4.

d) De maio para junho.

Percentual de venda de refrigerante (%) Ano 2012 2013 Mês

g) F h) V i) V

d) 8 e) 26 e 25 f ) 3, 4 e 5

3. a) 8 b) 26 c) 2 e 22

1

18. a) 26 b) 115

Página 55

b) De janeiro para fevereiro e de abril para maio.

Percentual

17.

3

1. e

300



5. a)

Monstros e companhia

0

Quinteto

10

Os impossíveis

25 0

00

00

00

20

16. a) Em janeiro. b) Março e abril. c) Lucro. R$ 2.300.000,00

Equipes

janeiro



40 30

20 0

15 0

00 10 0

5 00

0

0

10 000

Amigos

janeiro

50 Os intocáveis

20 000

fevereiro

Pontos

60

Ilustrações: Setup

c)

4. a) 2 100’ b) 1 364’ c) 2 713’ d) 3 414’



5. a) 1° 40’ 10” b) 2° 39’ 25” c) 2° 30” 6. a) 4 462” b) 73 466” 7. a) 360°



e) 330’ f ) 420’ g) 900’ h) 1 320’ d) 1° 1’ 30” e) 1° 15’ 40”

b) 30°

c) 24 640” d) 36 610”

c) 6°

264 pom7_262_272_gab.indd 264

5/26/15 9:38 AM

8. a) 360°



b) 30°

3. a) 150° e 30°; 180° b) 20° e 160°; 180° c) 105° e 75°; 180° d) 15° e 165°; 180°

CAPÍTULO 8 Página 72 Agora é com você 1. a) 65° b) 34°



c) 6° d) 67,5°

e) 82,5°

2. a) Sim. b) Não. c) Sim. 11° 6’ 6” 3. a) 69° 10’ b) 144° 48’ 37” c) 96° 39’ 14” d) 101° 36’ 20” e) 79° 19” f ) 83° 37’ 37”

4. a) A e C; B e D; E e G; H e F b) A e B; B e C; C e D; D e A; E e F; F e G; G e H; H e E

4. a) 52° 13’ 40” b) 14° 24’ 43” c) 42° 15’ 40” d) 10° 31’ 3” e) 42° 3’ 30” f ) 65° 4’ 53”



2. a) 21° 6’ 11” b) 16° 18’ 7”

4. a) 72°

c) 40° 11’ 12” d) 11° 1’ 5”



e) 85° 25’ 24” f ) 164° 46’ 04” g) 64° 23’ 55” h) 165° 03’ 18”

b) 18°

5. a) 18°

c) 12° d) 5°

c) 82° d) 150°



e) 90°

45°

45° 135°

60°

30° 120°

66°

24° 114°

2°

88° 178°

80°

10° 100°

9. 55° e 125° 10. a) x 5 z d) y5w b) x 1 y 5 180° e) y 1 z 5 180° c) x 1 w 5 180°

c) 7,2°

1. 1h e 24 minutos

Agora é com você 1. a e d 2. a) 57° b) 78° c) 64,5° d) 51° 3. a) 140° c) 146° 27' b) 147,5° d) 17,7° 4. a)  b) Pode ser a ou b c) Obtuso. d) Obtuso. e) 180° 5. a) 67° b) 23° c) 113° 6. 135° e 45° 7. a) 70° b) 30° e 60°

Resgatando conteúdos 1. b 4. b 7. a 2. d 5. a 8. a 3. c 6. d 9. c 10. a) 360 minutos d) 30 segundos 1 b) 30 minutos e) 60 c) 60 segundos 1 f ) 60 11. 12. 13. 14.

a) 8° 209 b) 10° 259 c) 52° 19 d 15. d b 16. d a 17. c

d) 70° 269 e) 83° 209 18. 45°

1.  A  B e C  D. Ângulos OPV são con­ gruentes. c) 45° cada; 90° d) 75° e 15°; 90°

5.

1 1 2 2 5 4 1 2 ; ; ; ; ; ; ; 3 6 3 6 6 6 4 4

6. a) 0,121212... b) 1,1666... c) 2,5 d) 0,1080808... e) 0,450450450... f ) 8,434343... 7. a) 4% b) 2,5%

UNIDADE 3

c) 5 d) 

4. a) 0,12 b) 0,34

2 3

4 b) 9

e) 5 f )  c) F d) V



c) 100 d) 0,25



e) 0,25

2 d) 20,25 7 24 1 b) 2 e) 37 9 c) 0,44 5. a)

6. 12 030; R$ 48.362,16 7. a) entre 4 e 5 b) entre 0 e 1 c) entre 22 e 21 d) entre 21 e 0 e) entre 210 e 29 f ) entre 29 e 28 b) 22,3 °C

CAPÍTULO 11

CAPÍTULO 10

1. a) 2

c) 14% d) 99%

Página 99

9. a) 222 °C

Página 103 Agora é com você

2 c) 1 11 2 d) 3

11 5 d) 2 10 12 8 3 b) e) 2 9 9 23 19 − c) f ) 25 20 1. a) 2

Agora é com você

Agora é com você

e) V f ) V

8. 210, 26, 22, 6 e 14, respectivamente.

Página 96

Página 83



10 2 10 b) ; 26; 2√ 4 . 2 10 18 c) ; 0,4; 26; 2√ 4 .; 2 2 10 d) Todos são racionais.

3. a) V b) V

Página 88

Página 80

c) F d) V

4. a)

2. a)  b) 

2. a 3. b

CAPÍTULO 9



1.  22,33  22,3  20,123  20,12   0,12  0,123  2,3  2,33

Superando desafios

b) 4° 30’

3. a) V b) F

Agora é com você

Página 87

6. a) 3° 30’ b) 6° 45’ c) 20° 07’ 16”

2. a) 70° e 20; 90° b) 45° cada; 90°

b) 59°

7. a) A soma de suas medidas é 90°. b) A soma de suas medidas é 180°. c) 45° d) 35° 8. 32° 58° 148°

Agora é com você

3. a) 20° b) 6



6. a) 45° b) 60°

Página 75 1. a) 67° 7’ 6” b) 216° 1’ 10” c) 285° 40’ 56” d) 133° 57’ 10”



5. a) 60°

1 103 d) 2 10 33 5 b) e) 10 9 1 32 c) 2 f ) 2 8 99

2. a) 2

4 e) 3 9 2 f ) 4

8 g) 21 5 h) 4

265 pom7_262_272_gab.indd 265

5/26/15 9:38 AM

c) 2,7 d) 2110,88

2. a) 21,36 b) 27,3 3. a) 20,3 e 20,2 b) 20,5 4. a) 4,3 5.

2 b) 10

8 2 c) 10

5 18

2 ou 0,2 10 7. a) 7,5 cm b) 23,2 °C

6. a)

1 b) ou 0,1 10

8.  Não é possível determinar, pois o pro­ blema não traz o saldo inicial.

1 c) 1 450 3 2 d) 1 64

1 2 1 2 b) 40

3. a) 2

3 ; os resultados são iguais. 4. 20 1 3 c) 5. a) 2 2 2 9 1 b) d) 2 4 5 1 1 6. a) 2 2 b) 24 c) 3 50

Página 105 Agora é com você

9. 0,28

3 11 39 g) 2 d) 10 100 18 1 92 11 b) 2 h) e) 3 35 20 3 20 1 2 c) f ) 2 i) 5 21 4 3 2 c) 2. a) 25 21 16 1 2 2 b) d) 3 100 3. a)  Quando esse número racional é negativo. b)  Quando esse número racional é positivo. c) Sim, o oposto de zero é igual a zero. 4. a) 21,25 c) 221,2 b) 20,5 d) 23,5

Página 111

1. a) 2

1 12 7 2 b) 6

1. a)

2 5

0

2 2 b) 3 2 c) 2 15 5 d) 2 22 15 e) 22 5 2. a) 2 2 3 + b) 4 c) 26

0,525

g) 21

20,28

1  h) 10 2 i) 5 1  j) 25 11 2 d) 20 e) 110 f ) 24

89 c) 2 900 32 d) 243

23 72

1 2 b) 16

c) Positivo. d) Negativo.

5. a) Positivo. b) Positivo.

1 2 3 b) 5 1 c) 9

b) 3

0

c) 22 1 d) 10



4. a) 22 ou 2 b) 22,4 ou 2,4

2 g) 25 3 h) 7

e) 1,6 f ) 0,3 g) 2,4 h) 0,9 c) 20,2 ou 0,2 d) 20,5 ou 0,5

5. Os dois números são iguais.

0

0

0

9 2

1

15 8

23,15

2,4

2

8 15

21

1,68

2

5 d) 8 10 e) 9 6 f ) 13

3. a) 0,1 b) 1,2 c) 2,5 d) 1,3

6. B  A 7. a) 14 b) 22 c) 20,55 8 d) 21 101 e) 15 2 8. a) 2 3 b) 2,5 c) 22,25

23 d) 108 e) 210 7 f ) 4

9. a 5 64;

b 5 264; 1 c5 ; 16 1 1 1 d 5 2 ; 264, 2 , , 64 8 16 8

CAPÍTULO 14

10. Resposta pessoal.

Página 124

CAPÍTULO 13

Agora é com você 1. a) 100% b) 216°

Página 116 Agora é com você 1 9 8 b) 27

8 c) 2 125 16 d) 81

2. a) 0,01



1. a)

4. a)

2. a)

1 c) 2 d) 2

3. a) 22 2 b) 3 3 4. 2 4 1 5. 4 10 6. a) 2 21 5 b) 3 49 c) 51 6 2 d) 5 7. 400 torcedores

1  f ) 2

3. a) B  A b) A  B

1. 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16

2. a) 90, 900, 9 000 b) 0,1; 0,01; 0,001 c) 210, 210, 210 d) 20,1; 20,1; 20,1

Agora é com você

f ) 5,29 g) 0,25 h) 1,21

Agora é com você

Agora é com você 27 1. a) 8 b) 26

Página 109



Página 119

1 c) 2 21 8 e) 100 2 d) 1 15 2 f ) 8 3 6. a) 8,2 b) 2 17 2 2 g) 4 7. a) 27,56 c) 245,44 b) 44 d) 78,9 11 17 2 8. a) 2 c) 5 5 6 50 b) d) 8. Aproximadamente 10,7 L. 5 10 9. 2 5 0,35 22,1 23 CAPÍTULO 12 3 4 5. a) 2

c) 0,008 d) 6,25 e) 0,16

6. x 5 3 2 7. a) 15

7. 6,5 8. a) 3 camisetas e 4 bonés b) R$ 256,60



b) 4,84



c) 36° d) 108°



c) 23,4° d) 1,8°

2. 10% → 36° 44% → 158,4° 46% → 165,6° 3. a) 10,8° b) 95,4°

266 pom7_262_272_gab.indd 266

5/26/15 9:39 AM

4.

4 3 2 3 17. A) 2 ; B) 2 ; C) ; D) 5 5 5 5 18.

meninos meninas

2

a) 75% b) 25%



c) 270% d) 90%

2

b) ruim – 79,2°; regular – 36°; bom – 144° e ótimo – 100,8°.

Percentual

Número de alunos

ruim

22%

44

regular

10%

20

bom

40%

80

ótimo

28%

56

5

3

3 2

2

3

2 3

2

1 3

3 1

5



b) 2,5 m2

4. a) 7,29 cm2 b) 0,81 m2



c) 26,01 m2 d) 77,44 cm2



e) 90 000 m2 f ) 1 658 000 m2 g) 229 900 m2

5. a) 100 m2 b) 600 m2 6. a) 20 000 m2 b) 105 000 m2 c) 121 000 m2 d) 12 100 m2 7. 63 cm2

5

c)

Conceito

1 2

3

3

5. a) ruim – 44; regular – 20; bom – 80 e ótimo – 56.

2 3

3. a) 2 000 000 m2

5

1 19.

2

3

1 3

5 5

2

1 3

Página 138 32 64 128 256

512 1 024 2 048 4 096

Agora é com você 1.

Medida do lado do Área do quadrado quadrado (cm) (cm2)

20.

d)

8. a) 345 000 cm2 b) 34,5 m2 c) Resposta pessoal.

1

1

1,5

2,25

2

4

2,8

7,84

3

9

3,6

12,96

4

16

10,2

104,04

21

441

30

900

Cubo

0

0

0

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

Página 125

5

25

125

Superando desafios

6

36

216

1. a

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1 000

11

121

1 331

4.  A: 2,25 cm2; B: 6,25 cm2; C: 12,25 cm2; D: 20,25 cm2.

1. c

12

144

1 728

2. c

13

169

2 197

5. a) Entre 4 cm2 e 9 cm2. b) Entre 20,25 cm2 e 25 cm2.

3. a

14

196

2 744

Página 142

15

225

3 375

16

256

4 096

Ilustrações: Setup

Quadrado

Porcentagem

Número natural

45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

ruim regular bom

ótimo

Conceito

2. e 3. a) 50% b) Não, pois não sabemos os valores produzidos.

Página 128 Resgatando conteúdos

4. b 5. a) 20,6 b) 20,25 c) 29,8 6. d 7. c 8. d 9. b 10. c 11. c 12. a 13. c 14. d 15. a 16. b



d) 0,48 e) 25,5

2. a) 49 cm2 b) 4 dm2



c) 1 km2 d) 6 400 mm2

3. a) 312,5 m2 b) 44 m

Agora é com você 1. a) 6 cm por 4 cm b) 24 cm2 2. São equivalentes. 3.

UNIDADE 4

Retângulo

Área (cm2)

A

41,4

B

63

Página 134

C

44,2

Agora é com você

D

160

E

91,5

CAPÍTULO 15

1. a) 1 cm b) 3 cm 2. 25,2 cm2



c) 12 cm d) 9 cm2

4. a) 31,5 m2



b) 11,5 m2

267 pom7_262_272_gab.indd 267

5/26/15 9:39 AM

5. a) 80 cm2 b) Aumenta 8 cm2. c) Aumenta 10 cm2. d) Duplica. e) Duplica. f ) Quadruplica.

CAPÍTULO 17

1. a) 4x 1 12 b) 52

Página 157

2. a) (2x 1 1) ? 2x ? 5 b) 360

Agora é com você 1. 20,25 cm2

4. 35 cm2

3. a) 0,45x b) y2 1 99 c) 3(x 1 1) x d) 2 n2 2

5. 84 cm2

4. a)

2. 30 cm

2

6. a) 6 cm b) 12 cm c) 90 cm2

3. 32 cm

7. a) 300 m b) 28 sacos c) 400 cerâmicas d) 10,8 cm e) 27 000 pessoas 2

6. 20 cm 7. a) Duplica. b) Reduzida pela metade.

9. a) 37 500 m

2



b) 80 cm

2

10. a) A medida da altura deverá ser dividida por 2. b) A medida da base deverá ser multipli­ cada por 5. c) A medida da base deverá ser dividida por 3. d) A medida da base deverá ser diminuí­ da em 20%.

1o

4

1

2o

8

4

3o

12

9

4

16

16

5

o

20

25

6o

24

36

13. 24 cm2

7o

28

49

14. 23 m2

8

32

64

9. a) 12 cm2



b) 3 cm2

10. a) 8 cm b) 12 cm c) 48 cm2

o

11. 49 cm2 12. 28 cm2

11. 49 cm2

Página 161

CAPÍTULO 16

Superando desafios

Página 150

2. a) 41 cm2

Agora é com você

Página 162

o

1. a

1.

c) 12x d) 120

Ordem do quadrado Perímetro Área

8. 8 cm2

8. 96 placas





b) 76 cm

b) 4n c) 100 d) n2 e) 625 5. a)

Resgatando conteúdos

Triângulo

Área (cm2)

1. b

A

7,75

2. c

B

9,45

3. a

C

22,1

4. d

D

100

5. a

E

49,5

Área (cm2)

A

31,28

B

225

C

74

D

37,5

E

117

3. a) 8 cm b) 5 cm



c) 40 cm2

4.  Os três triângulos têm a mesma área: 13,5 cm2. 5. 96,72 cm2 6. A e B: 15 cm2; C e D: 15 cm2. 7. a) 2 cm b) 4 cm c) Duplica. 8. a) 16 cm2 b) 36 cm2

1

6

6. d

2

10

7. c

3

14

8. d

4

18

5

22

6

26

9. c 10. b 11. b 12. a 13. b



...

Paralelogramo

No do esquema Quantidade de retângulos

...

2.

b)

c) 4n 1 2

14. c 15. d 16. c 17. A parte clara.

UNIDADE 5

6.

Expressão algébrica 3?x

x 1 2y x 2 3y x 1 22

CAPÍTULO 18

3x 2 40

Página 168

2x 2 x 2

Agora é com você

x 2 1 y 2

268 pom7_262_272_gab.indd 268

5/26/15 9:39 AM



7.

c) Sim.



c) 30



d) 68

6. a) x 1 y 5 180 b) 150° c) x 1 x 1 30 5 180 d) x 1 0,5x 5 180

9. 20 e 23 anos

8. d

Página 182

Aproximadamente 868,42 cm2. 12. 

Página 172

Agora é com você

Agora é com você

1. a) x 5 15 b) x 5 25,5 c) x 5 50 d) x 5 6,3

1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o ... no 0

5

10

15

20

25

30

35

... 5n 2 5

1.

Monômio

Coeficiente Parte literal

99xy

99

xy

x 2y

1

x 2y

0,3n

0,3

n

22y 3

22

y 3

210pq

210

pq

2. a) 14x 1 8 b) 36 3. a) 11a b) 20ab c) 22x2 d) 21mp e) 3,4x f ) 28xy 1 13x 2 15 g) 3a 1 4ab 1 2b h) 12 1 21a

10. 6 anos 11.  29 notas de R$ 20,00 e 87 notas de R$ 10,00

CAPÍTULO 21 Página 195 Agora é com você 1. a) (7,5; 0,5) b) (4, 2) c) (23, 10)

2. a) x 5 27,5 2 b) x5 3 c) x 5 22 d) x54 7 e) x52 6 f ) x 5 22 g) x 5 30 h) x 5 48 45 i) x5 31 j) x 5 224 k) x 5 22 l) x52

2. 13 motos e 87 carros. 3.  950 latas do tradicional; 250 latas do diet. 4. 35 galinhas e 13 porcos. 5. 600 professores do Ensino Médio.

CAPÍTULO 22 Página 198 Agora é com você

2 3 b) 10, 11 e 12 c) 30 d) 15 e) André: R$ 42,00;  Guilherme: R$ 126,00; Daniel: R$ 252,00.

3. a)

4. a) 9 b) 22 c) 598



1. a) V b) F c) F d) V

e) F f ) V g) F h) V

2. a) 215  20 b) 230  5 c) 250  20



i) V j) V

d) 25  2 e) 50  220

3.

5. a) 7x 1 3 b) 38

CAPÍTULO 20

6. a) 90° 2 x b) 180° 2 y

Página 187

7. a) x 5 2 b) x52 c) x 5 4 ou x 5 24

Símbolo

Como lemos o símbolo

Agora é com você

5

igual

1. a) 3x 5 99 x b) x1 5 25 2 c) x 1 5 5 4x d) 4x 1 6 5 34 e) x 1 0,25x 5 3x



maior que



menor que



diferente

>

maior ou igual que

Página 176

2. a) 6 5 2 1 x b) 4 kg


70 2 d) x 1 2(x 1 1)  3(x 2 1) 1 3 3 b) x> 2 c) x4 d) x1

3. a) x 

4. a) x  7 b) x  27,5 c) Qualquer número maior que 214. d) Maior ou igual a 7. 5. a) x  6 15 b) x 4 c) x>0 22 d) x 27 e) x  24 f ) x7

3. a) x 5 3

UNIDADE 6

b) x52

CAPÍTULO 23

c) x52 19 d) x5 2 4. a) 20 m b) 350 cm

Página 211 Agora é com você 1. a) 2 1 b) 2 1 c) 12 d) 2

1 e) 2 1 f ) 9 1 g) 16 h) 3

1. a 2. b 3. e

Página 203 Resgatando conteúdos 1. 121 2. c 3. b 4. c

CAPÍTULO 24 Página 222 Agora é com você 5 15 1 b) 3

1. a)

x

25

32

0,625 244 281

1 4

y

10

8

0,25 222

9

1 2

32

x y

5 2

4

2,5

2

29

1 2

32

x y

2 5

1 4

2 5

1 2

1 2 9

2

1 32

1 024

10. c

8. 17 500 habitantes

11. a

9. 30 litros

12. a

Página 215

13. b

Agora é com você

14. b

1. a) Não é uma proporção. b) É uma proporção. c) É uma proporção. d) Não é uma proporção. e) Não é uma proporção. f ) É uma proporção. g) É uma proporção. h) Não é uma proporção.

16. d 17. c 18.

a) zero b) 2% c) 2% d) 2% e) 3% f ) 3% g) 4%

A

2

B

7

28

35

56

70

A

1

6

2

4

20

B

60

10

30

15

3

8

10

16

20  ;

2 7

4. x 5 24, y 5 36 e z 5 48

6. a)

4 5 64 b) y5 15

2. a) x 5

c) z 5 117

6. a) 30 m, 40 m e 50 m b) x 5 12, y 5 30 c) R$ 30.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 12.000,00

d) x 5 36 e y 5 120

7. 135 meninas

15. a

3.



5. a) Positivo. b) Positivo. c) Negativo.

9. a

7. a) 28x 1 2y b) 14xy

2.

5. x 5 60, y 5 40 e z 5 30

8. d

6. b

c) 40 km/h d) 460 km

6. 15 cm

2. Os valores da razão se invertem. 6 3. a) 85 24 b) 35 35 c) 6 4.

20 7 1 b) 6 250 1 c) 6

5. a



5. 16,666... cm

Página 202 Superando desafios

2 3

1 d) 180 2 e) 25



e) 9 cm, 12 cm e 15 cm

Página 225 Agora é com você 1. a) Também triplica. b) É dividido por 3. 2. a) R$ 6,25

b) R$ 100,00



c) R$ 21,25



d) Diretamente proporcionais.

3. a) 810 km

d) x 5 3,1 e) x58 f ) y56 g) z 5 200 h) z 5 0,32



b) 22,5 litros



c) Diretamente proporcionais.

4. a) 10 horas

b) Inversamente proporcionais.

5. a) 60 kg

b) 150 minutos



c) 45 minutos



d) 4 horas

6. 900 peças 7. a) 2 dias b) 30 páginas c) Inversamente proporcionais.

270 pom7_262_272_gab.indd 270

5/26/15 9:39 AM

8. 90 4

60 6

45 8

36 10

24 15

48 7,5

100 180   ; 3,6 2

Inversamente proporcionais.

9. a) 155 800 000 cm b) 279 000 000 cm ou 2 790 km 10. a) 1 200 carros b) 4,5 horas

3. c

9. d

4. d

10. b

5. b

11. a

6. c

12. c

7. b

13. b

8. d 7 10 14 7 b) ou 10 20 c) Sim.

14. a)

11. 2,1 m

Página 232 Agora é com você 1. 1 680 peças

4. a) R$ 1.680,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 15.360,00 5. a) 3,5% b) R$ 50.000,00 6. a) R$ 16.560,00 b) R$ 33.120,00 c) R$ 41.400,00 7. 7,5% 8. R$ 450,00 b) R$ 4.900,00

15. 32 meninos

9. R$ 75.000,00

16. R$ 16,90

10. 20%

2. a) Diretamente proporcionais. b) Diretamente proporcionais.

17. a) 240 minutos

3. 32 dias

18. 48 kg

Superando desafios

4. a) Diretamente proporcionais. b) Diretamente proporcionais.

19. 115,2 kg

1. 120 meninas

20. d

5. 4 dias

21. b

2. a) 20% b) 13 homens e 37 mulheres

6. a) Inversamente proporcionais. b) Inversamente proporcionais. 7. 15 dias



b) 30 minutos

Página 259

3. b

UNIDADE 7

CAPÍTULO 25

CAPÍTULO 26

Página 238

4. d

Página 260 Superando desafios 1. b

9. d

Página 250

2. a

10. c

1. Sim.

Agora é com você

3. c

11. c

2. R$ 275,00

1. a) R$ 60,00 b) 30 metros c) R$ 315,00 d) 96 metros

4. d

12. a

5. a

13. d; Com os dados do enunciado é im­ possível saber o preço do tênis na próxima promoção.



c) 46,333... kg d) 61 kg

4. A média foi de 170 filmes por mês.

2. a) 20% b) Diminuir o número em 25% c) 20% d) 25%

5. a) 181 b) 30,1666... 6. a) R$ 1.520.000,00 b) R$ 304.000,00

7. a 8. b

14. b 15. a)

3. 33,333...%

7. 6,666... 8. a) 7,5

6. c

b) 8

9. a) 22 b) Aproximadamente 12,36 anos. 10. a) 60 alunos b) 8,0

4. 15% b) 35% c) 1 060 pessoas d) 20% e) 6 m²

Ótimo Opinião

3. a) 261 kg b) 52,2 kg

Bom Regular Ruim

5. 84% do valor inicial

0 10 20 30 40 50 60 70

Página 241

Página 255

Superando desafios

Agora é com você

1. b

1. a) R$ 90,00 b) R$ 4.590,00



b) Ótimo – 25%; Bom – 50%; Regular – 8,333...%; Ruim – 16,666...%

2. a) R$ 8.000,00 b) R$ 16.000,00



c) Ótimo – 90°; Bom – 180°; Regular – 30°; Ruim – 60°

3. a) R$ 71.400,00 b) 5%



2. c 3. 25 palitos

Página 242 Resgatando conteúdos

20

2. a DAE

1. b

Número de alunos

30

10 60

Ótimo Bom Regular Ruim

271 pom7_262_272_gab.indd 271

5/26/15 9:39 AM

Referências Livros ALBRECHT, J. Resolução de problemas matemáticos: Uma abordagem metodológica da proposta educação para o pensar. São Paulo: Editora Clube dos Autores, s/d. BAYÓN, M. I. V; Saldaña, M. A. H.; Fernández, J. R. ; Fernández, M. M. Projeto de Inteligência Harvard: resolução de problemas. Madrid: Ciencias de la Educación Preescolar y Especial (CEPE).  BOYER, Carl B. História da Matemática. Edgard Blucher: São Paulo, 1974.  BROLEZZI, A. C. Criatividade e resolução de problemas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2013. CAVALCANTI, Cláudia T. Diferentes formas de resolver problemas. In: SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez (Org.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. COVER, Front; MILIES, Francisco C. P; COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática. São Paulo: Edusp, 2001. EVES, Howard, Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997. MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado:  Como o acaso determina nossa vida. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. OLIVEIRA, Ana Teresa de C. C. de. Reflexões sobre a aprendizagem da álgebra. SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Educação Matemática em Revista, ano 9, n. 12, p. 35 – 39, jul. 2002. ROQUE, Tatiana. Historia da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. SILVA, C. M. S. Explorando as operações aritméticas com recursos da história da Matemática. Brasília: Plano editora, 2003. SOUZA, Júlio César de Mello. Matemática divertida e curiosa. 10a ed. Rio de Janeiro: Record, 1998. STEWART, Ian. Almanaque das curiosidades matemáticas. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. . Incríveis passatempos matemáticos. Trad. Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. Periódicos Boletim de Educação Matemática: Revista Bolema. Unesp. Disponível em: . Acesso em: maio 2015.

272 pom7_262_272_gab.indd 272

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Manual do

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

Professor

7

273 273 pom7_mp_273_274_especifica.indd 273

5/26/15 5:56 PM

Sumário 1. Apresentação............................................................................. 275

MANUAL DO PROFESSOR

2. Orientações didáticas e metodológicas.......................................... 276 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano)..........................................................276 2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental............................................................277 2.2.1 Números e operações ...........................................................................................279 2.2.2 Álgebra..................................................................................................................279 2.2.3 Geometria ............................................................................................................280 2.2.4 Grandezas e medidas ...........................................................................................281 2.2.5 Estatística e probabilidade ...................................................................................281 2.3 A postura do professor......................................................................................................283 2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas.............................................284 2.4.1 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ..................................................284 2.4.2 Comunicação em Matemática...............................................................................284 2.5 Interdisciplinaridade ........................................................................................................285 2.6 Resolução de problemas .................................................................................................285 2.7 Avaliação .........................................................................................................................286 2.8 Recursos didáticos ..........................................................................................................286 2.8.1 Calculadora ..........................................................................................................287 2.8.2 Computador e internet .........................................................................................287 2.8.3 Softwares matemáticos ........................................................................................288 2.8.4 O uso de paradidáticos nesta obra .......................................................................288 2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor............................................290

3. Estrutura e organização do Projeto ............................................... 290 4. Quadros de conteúdos ................................................................. 293 5. Orientações didáticas do volume .................................................. 302 6. Referências ............................................................................... 367

274 pom7_mp_273_274_especifica.indd 274

5/26/15 5:56 PM

Cada educador matemático carrega consigo seus conhecimentos, valores e crenças sobre o processo de ensino e aprendizagem. Independentemente de nossos valores e crenças, não podemos deixar de observar o desenvolvimento e as transformações ocorridas na sociedade atual. Com um simples clique, os alunos têm a sua disposição uma enormidade de informações e podem, muitas vezes, acompanhar em tempo real o que acontece a milhares de quilômetros de distância de onde estão. Acreditamos que um de nossos desafios reside em “como” educar esse “homem tecnológico”, a fim de prepará-lo para atuar de forma consciente e autônoma nesta sociedade. Além disso, percebemos que na sociedade atual os motivos para se ensinar Matemática talvez não sejam simplesmente os transcendentais explicitados por Platão, e sim as necessidades práticas de poder entender e utilizar com proveito as tecnologias modernas, atuar de forma plena no campo do trabalho e nas inúmeras situações do cotidiano. Dessa forma, o sentido da Matemática deve ser um constante equilíbrio entre a Matemática Formativa e a Matemática Informativa; a primeira mais estável e a segunda mais mutável, percebendo-se, inclusive, o tempo, o lugar e a finalidade perseguida pelos alunos. Para tal, é imprescindível decidir os conteúdos e também a metodologia mais conveniente. Diante desses apontamentos, precisamos, como educadores, observar e compreender melhor as possíveis habilidades e capacidades propiciadas pelo dinamismo da sociedade informatizada e suas possíveis lacunas. É provável que nossos alunos percam em precisão de raciocínio e em capacidade para análises detalhadas de problemas, pois muitas vezes são obrigados a agir e tomar decisões muito rapidamente. No entanto, por haver facilidade de formulação dos problemas em programas calculáveis, por exemplo, não há

necessidade de economizar em número de operações, já que a velocidade das máquinas torna praticável o método do ensaio e do erro, no qual os alunos testam soluções até encontrar e ajustar o correto. Observando esses dois apontamentos, é possível perceber que é necessário um repensar constante, a fim de avaliar a forma e o procedimento mais adequados em cada uma das situações. Ao elaborarmos este Projeto, procuramos contemplar o equilíbrio citado e, para isso, foram idealizados diferentes momentos de aprendizagem que possibilitam a você, professor, e ao aluno explorações diversificadas e significativas que visam ao desenvolvimento integral de cada um. Ao longo deste Projeto, você encontrará: • pequenos textos e questões disponibilizados nas páginas de abertura, cujo objetivo é sondar o conhecimento que os alunos já têm sobre o tema e o conteúdo propostos na referida unidade. Sabemos o quanto é importante o conhecimento trazido por cada um deles para, com base nisso, desenvolver habilidades cognitivas; • sugestões de leitura e pesquisa nas quais os alunos são convidados a analisar dados e interpretá-los utilizando-se, inclusive, das novas tecnologias. Nossa sociedade precisa de cidadãos críticos e criativos, capazes de produzir conhecimento, e buscamos ajudá-los a alcançar esse desenvolvimento; • sugestões de trabalho para serem realizados em duplas ou pequenos grupos, propiciando a interação social entre os alunos. Essa dinâmica busca não só compartilhar e socializar conhecimentos como também favorecer o levantamento de hipóteses e estratégias, que é uma importante ferramenta para a construção do pensamento matemático; • conexões dos conteúdos de Matemática entre si e da Matemática com as demais disciplinas;

MANUAL DO PROFESSOR

1. Apresentação

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• problemas rotineiros e não rotineiros. Acreditamos que quem determina o grau de desafio de um problema é quem o resolve. Dessa forma, inserimos ao longo da coleção uma diversidade de problemas para que eles vivenciem diferentes explorações. Salientamos que, além de resolver problemas, em determinados momentos os alunos são chamados a elaborá-los; • sugestões de trabalhos que envolvam o uso de materiais concretos, visando, além da manipulação, à teorização. Lembramos que neste momento é necessário um trabalho cuidadoso para que o material não assuma o principal papel no ensino e seja percebido como um instrumento facilitador da aprendizagem; • situações que apresentam e abordam a história da Matemática e a Etnomatemática e possibilitam a ampliação do olhar para a diversidade e a pluralidade cultural, enfatizando, inclusive, o respeito e a valorização das diferentes culturas.

MANUAL DO PROFESSOR

Esperamos que este manual possa servir de instrumento às suas discussões pedagógicas, auxiliando-o na elaboração de seus projetos educativos e no planejamento e avaliação de suas aulas de Matemática.

2. Orientações didáticas e metodológicas 2.1 Objetivos para o Ensino Fundamental (6o ao 9o ano) A proposta deste Projeto está fundamentada nos documentos oficiais que tratam da educação básica, tais como a Lei nº 9.394, que estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB); as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da

Educação Básica (DCNs); o Plano Nacional de Educação (PNE), aprovado pelo Congresso Nacional em 26 de junho de 2014, e o Plano Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (Pnaic) de 2014, além de pesquisas atuais sobre Educação Matemática. Conforme documento oficial elaborado pelo Ministério da Educação em 2013, o objetivo das Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica é orientar a organização, a articulação, o desenvolvimento e a avaliação das propostas pedagógicas de todas as redes de ensino brasileiras. A ideia explicitada nas DCNs é considerar o tempo escolar desde a infância até a juventude, ou seja, um tempo de aproximadamente 14 (catorze) anos. Tais diretrizes resultam de um amplo debate e visam tornar-se um instrumento efetivo para a reinvenção da educação brasileira e a construção de uma nação cada vez mais justa, solidária e capaz de desenvolver suas inúmeras potencialidades. Cabe ressaltar que os documentos oficiais descritos anteriormente também trazem à tona as discussões elucidadas na abertura deste manual, ou seja, retratam o cenário no qual se encontram o ensino e a aprendizagem da Matemática. Relatam, inclusive, o constante desafio de reverter um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significado para o aluno, em um ensino que torne os conhecimentos matemáticos acessíveis a todos (democratização do ensino da Matemática), e apresente a Matemática como um importante componente na construção da cidadania. [...] A Matemática é uma atividade humana, faz parte de nossa cultura, além de ser uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas, tanto os problemas do dia a dia que os indivíduos enfrentam nas suas tarefas cotidianas, como os mais complexos que aparecem em atividades profissionais e científicas. Porém, a Matemática tem muitos aspectos e níveis de complexidade que devemos considerar quando organizamos seu ensino, passando das atividades lúdicas

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2.2 Seleção de conteúdos para o Ensino Fundamental Conforme explicitado nas Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica, é importante, além de fazer uma criteriosa seleção de saberes em termos de quantidade, pertinência e relevância, equilibrar a distribuição desses ao longo dos anos escolares. Sabemos que fazer essas escolhas não é tarefa simples e requer um olhar amplo e, ao mesmo tempo, focado, para atender às demandas particulares de cada grupo escolar com os quais trabalhamos. É importante salientar que nós, os idealizadores deste projeto, também tivemos de fazer escolhas e, como mencionado anteriormente, buscamos realizar uma criteriosa seleção de conteúdos e atividades. Neste momento, convidamos você, professor, a percorrer conosco esse caminho para torná-lo mais significativo aos alunos. Sabemos que, além de ter o domínio do conteúdo essencial, é importante ter informações sobre a história dos alunos e saber quais conhecimentos prévios eles trazem, além de saber de que forma conseguem resolver problemas que envolvem conteúdos matemáticos. Para ampliar essa discussão, trazemos mais algumas ponderações a respeito da seleção e organização dos conteúdos. A primeira delas diz respeito à potencialidade de cada conteúdo, ou seja, cada conteúdo deve ser selecionado levando-se em consideração seu potencial, seja instrumentalizar para vida, seja desenvolver o raciocínio. A segunda trata da organização dos conteúdos e, neste momento, o documento menciona que não é raro encontrar

uma forma excessivamente hierarquizada em que predomina a ideia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura lógica da Matemática que, por vezes, desconsidera as possibilidades de aprendizagem dos alunos. E, para finalizar esta reflexão sobre a seleção dos conteúdos e até a divisão em campos da Matemática ou eixos, reproduzimos duas citações que refletem a importância de propiciar aos alunos situações que os levem a estabelecer relações entre esses eixos ou campos. A fragmentação e o tratamento isolado de conteúdos é uma abordagem nociva para a aprendizagem de ideias, conceitos e procedimentos matemáticos. A exposição de tópicos desconectados contribui para que os alunos percam a noção do todo e, em consequência, do processo que caracteriza o desenvolvimento do pensamento matemático. O próprio termo “fragmento”, em sua origem etimológica, expressa isso. Fragmento: s. m. pedaço de coisa que se quebrou, cortou, rasgou, etc. (HOUAISS; et al. apud Pnaic, 2014). O contraponto a esta visão é uma Educação Matemática que valoriza as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Uma Matemática viva na qual os alunos são os sujeitos, problematizando, pondo coisas em relação e raciocinando. E studos indicam que, quando o aluno tem opor tunidade de relacionar ideias matemáticas, sua compreensão é mais profunda e duradoura (Pnaic, 2014, p. 26).

Ainda abordando a análise e seleção dos conteúdos e, consequentemente, o planejamento e replanejamento de ações pedagógicas, apresentamos a seguir as cinco competências elementares almejadas na educação básica, que foram descritas no referencial teórico do Enem e que estão destacadas na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008, p. 43).

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às aplicações práticas, sem perder de vista que também é uma ciência abstrata e, como tal, deve ser tratada no momento adequado, respeitando o desenvolvimento cognitivo das crianças (Pnaic, 2014, p. 6).

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• Competência I à capacidade de expressão em diferentes linguagens, incluídas a língua materna, a Matemática, as artes, entre outras; • Competência II à capacidade de compreensão de fenômenos, que incluem desde a leitura de um texto até a “leitura” do mundo; • Competência III à capacidade de contextualizar, de enfrentar situações-problema, ficando implícita a valorização da imaginação, da necessária abstração quando se criam novos contextos; • Competência IV à capacidade de argumentar de modo consistente, de desenvolver o pensamento crítico; • Competência V à capacidade de decidir, após as análises argumentativas, e elaborar propostas de inter venção solidária na realidade.

Diante das competências citadas, é possível perceber que, em parceria com a língua materna, a Matemática se constitui em um:

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[...] recurso imprescindível para uma expressão rica, uma compreensão competente, uma argumentação correta, um enfrentamento asser tivo de situações-problema, uma contextualização significativa dos temas estudados e, simultaneamente, um exercício de imaginação que pode extrapolar os limites de qualquer contexto (SÃO PAULO, 2008, p. 44).

Para complementar nossa discussão sobre os conteúdos específicos, selecionamos alguns trechos que tratam dos cinco eixos ou campos da Matemática: Números e operações (Aritmética); Álgebra; Geometria; Grandezas e medidas; e Estatística e Probabilidade (Tratamento da Informação). Esses eixos foram retirados de uma das inúmeras propostas curriculares com o objetivo de despertar o olhar do professor para a existência desse importante documento elaborado pelas Secretarias de Educação. As propostas curriculares trazem alguns princípios orientadores que merecem especial atenção e estudo. Portanto, sugerimos que

cada educador faça uma seleção e estudo da proposta curricular de seu estado (se houver). A seguir apresentamos alguns trechos da Proposta Curricular do Estado de São Paulo: O trabalho com o eixo números tem por objetivo principal a ampliação da ideia do campo numérico por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade. [...] Espera-se, ao final da escolaridade fundamental, que o aluno reconheça e saiba operar no campo numérico real, o que constituirá a porta de entrada para aprofundamentos, sistematizações e o estabelecimento de novas relações no Ensino Médio. O estudo de sucessões numéricas, números irracionais e aproximações racionais usadas em problemas práticos, bem como a extensão do campo numérico para os complexos, constitui o mote central para o desenvolvimento do eixo números no Ensino Médio. (p. 45) Em geometria, o Ensino Fundamental deve ocupar-se inicialmente do reconhecimento e da representação e classificação das formas planas e espaciais, preferencialmente trabalhando em contextos concretos com as crianças de 5a a 6a série (6o e 7o anos), e com ênfase na articulação do raciocínio lógico-dedutivo nas 7a e 8a séries (8o e 9o anos). [...] A interpretação de que a geometria plana é um assunto do Ensino Fundamental e a espacial e analítica são do Ensino Médio é muito frequente em propostas curriculares, mas não traduz a necessidade permanente de imbricação de tais temas nos dois níveis de ensino. Em contrapartida a essa visão, entendemos que a geometria deve ser tratada ao longo de todos os anos, em abordagem espiralada, o que significa dizer que os grandes temas podem aparecer tanto nas séries do Ensino Fundamental quanto nas do Ensino Médio, sendo que a diferença será a escala de tratamento dada ao tema. (p. 45 e 46) O par gr andezas e medidas parece especialmente adequado para favorecer a interdisciplinar idade, e mesmo a transdisciplinaridade, uma vez que suas conexões com os eixos de números e geometria se dão quase naturalmente. (p. 46)

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2.2.1 NÚMEROS E OPERAÇÕES Conforme descrito no Pnaic (2014), no ensino da Matemática é importante valorizar as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Portanto, é fundamental propor aos alunos situações-problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e os significados das operações em diferentes contextos, inclusive, nos contextos da própria Matemática. Em toda a obra, buscou-se, em inúmeras passagens, explorar esse recurso pedagógico por meio da proposição de situações próximas ao cotidiano dos alunos, nas quais foram exigidas e desenvolvidas habilidades numéricas como as de classificar, ordenar, quantificar, medir, comparar e relacionar, que cooperam para a compreensão do sentido numérico, bem como o significado das quatro operações básicas. Por vezes, foram utilizados referenciais históricos para fomentar discussões em sala de aula, cuja proposta era a de prover recursos para a compreensão dos diferentes sistemas numéricos, suas regras e processo de formação. Como mencionado anteriormente, na perspectiva de explorar os campos operatórios, buscou-se sugerir tarefas individuais ou em grupo para fazer com que os alunos argumentem, levantem hipóteses e demonstrem as propriedades comutativa, distributiva, associativa e elemento neutro. Nesse sentido, procurou-se apresentar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), construindo o significado de cada uma delas.

Para o desenvolvimento do sentido numérico e dos significados das operações, procuramos apresentar a aplicação dos números naturais, inteiros e racionais (representação fracionária e decimal) em diferentes contextos, possibilitando o estudo reflexivo de cálculo exato e aproximado, mental e escrito. Buscou-se, por exemplo, estabelecer relação entre os números naturais por meio das noções de “ser múltiplo” e de “ser divisor de”. Para essa finalidade, foram propostas atividades em diferentes contextos. As formas de representação (decimal e fracionária) dos números racionais foram exploradas, bem como as regras operatórias dessas duas formas. Procurou-se também utilizar a reta numérica para representar os números racionais e suas diferentes apresentações. Foi sugerida, por exemplo, uma atividade em que o aluno deveria posicionar corretamente os números de acordo com sua posição na reta numérica. Assim, é possível explorar os conceitos de comparação (maior, menor e igual) e, consequentemente, o de ordenação. No segundo ciclo (8o e 9o anos), foi dada ênfase às operações de potenciação e radiciação. Na mesma perspectiva do ciclo anterior, foram propostas situações-problema em diferentes contextos para significar o uso dessas operações. Por exemplo, as potências de 10 são apresentadas como forma de representação para números muito grandes ou pequenos, cuja utilização é exigida em diversas áreas de conhecimento. Foram propostas diferentes técnicas para extração da raiz quadrada de um número, exata ou aproximada, bem como o uso de recursos tecnológicos, como a calculadora, para essa finalidade.

2.2.2 ÁLGEBRA Por meio de atividades que envolvem a identificação de padrões e regularidades para a criação de generalizações, buscou-se o desenvolvimento do pensamento algébrico durante os dois ciclos (6o ao 9o ano). De acordo

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Em relação ao tratamento da informação, [...] não faltam justificativas razoáveis para sua exploração ao longo das sete séries escolares (9 anos). Retomando uma vez mais nossa perspectiva de que os conteúdos disciplinares são meios para a formação dos alunos como cidadãos e como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao eixo argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da informação (p. 47).

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com Vale et al. (2006), a integração de tarefas de investigação com padrões no currículo da Matemática escolar assume um papel de destaque na abordagem da Álgebra. De forma gradual, a obra proporcionou a passagem do conhecimento aritmético para o algébrico, bem como a definição dos conceitos de incógnita, equação, variável e função. Além do papel desempenhado pela Álgebra no desenvolvimento do raciocínio lógico para resolução de situações-problema, foram propostas abordagens de fórmulas utilizadas em outras áreas de conhecimento e suas aplicações. Dessa forma, desperta-se o interesse dos alunos e eles compreendem a importância desse estudo. Diferentes formas de representação foram utilizadas para a construção do conhecimento algébrico, expressões, equações, tabelas, gráficos, representações geométricas e a conversão entre eles. Segundo Duval (2003), [...] a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar, a todo o momento, de registro de representação.

O que Duval salienta é que não é possível garantir a aprendizagem se o foco do ensino estiver apenas nos tratamentos.

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Ainda por Duval (1995) apud Almouloud (2010, p. 207), [...] para o sujeito aprender é necessário considerar seu modo de funcionamento cognitivo por meio da coordenação de registros de representação semiótica, e deve ser efetuada pelo menos uma conversão de dois registros de um objeto. [...], se num nível cognitivo o aluno conseguir realizar as mudanças de registros as mais variadas possíveis para um determinado objeto matemático, então aprenderá matemática.

Com base no que foi exposto até aqui, procuramos fundamentar o ensino da Álgebra na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval, na busca por padrões e generalidades com o objetivo de tornar

significativo o processo de ensino e aprendizagem desse domínio de conhecimento. Como meio pedagógico para o ensino da Álgebra, apoiamo-nos em recursos tecnológicos e lúdicos com a finalidade de atender a diversas expectativas dos alunos em sala de aula.

2.2.3 GEOMETRIA Como proposta inicial, com o objetivo de motivar o ensino e a aprendizagem da Geometria, buscou-se incentivar os alunos a observar o mundo real e sua relação com os objetos matemáticos estudados em sala de aula. É interessante levá-los a associar os temas abordados durante os estudos de espaço e forma com a realidade observada ao redor. A identificação desses elementos pode revelar ao aluno a relevância da Matemática para as diversas áreas do conhecimento. De acordo com a visão crítica formada com base nessas constatações, foram formuladas situações-problema usando a leitura de plantas, croquis, mapas e outros recursos, a fim de despertar o interesse dos alunos pelo estudo da Geometria e sua utilidade na solução de problemas reais. Os problemas formulados exigem conhecimentos matemáticos e numéricos para o cálculo de áreas, perímetros e comparação entre eles. A composição e a decomposição de figuras também foram exploradas como recurso para o cálculo de áreas. Por meio da confecção de materiais concretos, os alunos poderão desenvolver habilidades que cooperam para o domínio do conhecimento de espaço e forma. Para a confecção desses materiais utilizaram-se dobraduras, recortes e colagem, bem como instrumentos de construção, como esquadro, compasso e transferidor, o que contribui para o desenvolvimento de habilidades e o conhecimento de como devem manusear esses instrumentos. A manipulação dos materiais lúdicos nas versões bidimensionais e tridimensionais ajuda os alunos a explorar concretamente os

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Por vezes, tarefas exigem dos alunos a argumentação e o levantamento de hipóteses sobre as propriedades geométricas estudadas em diferentes objetos matemáticos, como polígonos, sólidos geométricos e figuras planas. Para isso, além dos objetos confeccionados, a obra propicia o uso da tecnologia ao sugerir softwares de geometria dinâmica. O uso de recursos tecnológicos favorece o estudo de conteúdos, por exemplo, semelhança entre triângulos, e a constatação de que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, pois a possibilidade de redução e ampliação do mesmo objeto matemático favorece a identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). A localização da posição de um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas é explorada de forma interdisciplinar ao propor o estudo das coordenadas geométricas para a localização de pontos no globo terrestre. Para todas as atividades foram exigidas a utilização de nomenclaturas de acordo com a linguagem formal da Matemática e a representação de unidades de medidas conforme a grandeza observada e suas conversões.

2.2.4 GRANDEZAS E MEDIDAS No bloco “Grandezas e medidas”, destacam-se a relevância social desse tema e sua aplicação em diferentes áreas de conhecimento, inclusive, nos campos conceituais da própria Matemática, como descrito no Pnaic (2014). [...] Medidas é uma conexão natural entre números e geometria. As nossas crianças devem aprender a lidar, naturalmente, com situações de medição e as coisas que serão medidas devem ser pensadas de modo a levá-las a explorar e ampliar o seu domínio sobre os objetos e formas que são estudados no campo da Geometria (Pnaic, 2014, p. 35).

Em todos os conteúdos abordados foram exploradas habilidades que exigiam conhecimento sobre o bloco “grandezas e medidas”. Esse domínio de conhecimento não é exclusivo da Matemática. Expressar uma medida por meio de uma grandeza é necessário em várias áreas de conhecimento. Em diferentes momentos, buscou-se apresentar instrumentos de medição com diversos propósitos, enfatizando a respectiva grandeza e seus padrões de conversão. De forma crítica, procurou-se discutir o arredondamento de medidas, como aproximações para os valores de p, quando era necessário fazer o cálculo do comprimento de uma circunferência.

2.2.5 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Objeto educacional digital

Nesta obra, abordam-se as noções de Estatística e Probabilidade situadas em contextos que propiciam a construção de uma visão crítica, cujo propósito é contribuir com a educação para a cidadania. Com essa proposta procurou-se desenvolver as três competências que norteiam as principais metas para o ensino da Estatística: a literacia estatística, o pensamento estatístico e o raciocínio estatístico. Pautamo-nos nas definições dessas competências, apresentadas pelos autores a seguir, a fim de traçar estratégias para seleção dos conteúdos e elaboração das atividades a serem desenvolvidas para o ensino da Estatística. Garfield (1999) define a literacia estatística como sendo o entendimento da linguagem estatística, ou seja, sua terminologia, símbolos e termos, a habilidade de interpretar gráficos e tabelas, de entender as informações estatísticas que estão nos jornais e outras mídias. De acordo com Mallows (1998) apud Campos (2007, p. 53), o pensamento estatístico pode ser inicialmente imaginado como: [...] sendo a capacidade de relacionar dados quantitativos com situações concretas, admitindo a presença da variabilidade e da incerteza, explicitando o que os dados podem

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conteúdos teóricos estudados, como planificações, relação entre número de faces, vértices e arestas, e outras propriedades geométricas.

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dizer sobre o problema em foco. O pensamento estatístico ocorre quando os modelos matemáticos são associados à natureza contextual do problema em questão, ou seja, quando surge a identificação da situação analisada e se faz uma escolha adequada das ferramentas estatísticas necessárias para sua descrição e interpretação.

identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

De acordo com Garfield (2002) apud Campos (2007, p. 56), o raciocínio estatístico pode ser definido como:

Sobre a presença da Estatística no cotidiano, Campos (2007, p. 122) afirma que:

[...] a maneira com a qual uma pessoa raciocina com ideias estatísticas e faz sentido (make sense) com as informações estatísticas. Isso envolve fazer interpretações sobre dados, representações gráficas, construção de tabelas etc. Em muitos casos, o raciocínio estatístico envolve ideias de variabilidade, distribuição, chance, incerteza, aleatoriedade, probabilidade, amostr agem, testes de hipóteses, o que leva a interpretações e inferências acerca dos resultados. A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo, embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade. Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia a dia. Além disso, calcular algumas medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem

A Estatística é pródiga em aplicação de seus conteúdos na vida real. Vivemos cercados de números, de estatísticas, vivemos um constante exercício de comparação, somos permeados de índices que nos acompanham desde a infância, desde o garoto que constrói estatísticas (mesmo que mentalmente) de seu desempenho como artilheiro de futebol ou cestinha do time de basquete ao adulto que precisa decidir por uma ou outra forma de investimento, desde o trabalhador que precisa lutar por índices de reajuste salarial e que vive às voltas com alíquotas de imposto de renda à dona de casa que precisa administrar o orçamento familiar e ficar atenta aos reajustes dos preços dos bens e serviços que consome. Os jornais diários são ricos em gráficos, índices e análises comparativas de todas as espécies. Os profissionais dos mais diversos ramos utilizam a Estatística em seu trabalho, desde médicos, psicólogos, esportistas, até técnicos de nível médio.

As atividades propostas buscaram desenvolver habilidades de coleta e organização dos dados, e ainda suas diferentes representações gráficas, bem como sua interpretação. Os conceitos de moda, média e mediana foram abordados de forma a ir além de sua definição como algoritmos, ou seja, como elementos para interpretar os dados estatísticos. Os conceitos sobre probabilidade foram introduzidos como raciocínio de incerteza, com o propósito de levar os alunos a entender e usar as ideias de chance e aleatoriedade para julgar eventos, como simulações com moedas ou diagramas de árvore, que ajudam a interpretar diferentes situações.

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2.3 A postura do professor Ao longo deste manual, pudemos refletir sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática e ainda apresentar algumas escolhas e proposições desta coleção. Sabemos o quão delicado é refletir sobre a postura do professor, mas também sabemos que, sem essa reflexão, todas as intenções, os estudos e as reflexões ficam esvaziados de sentido. [...] Para trabalhar a Matemática de maneira alternativa é necessário acreditar que de fato o processo de aprendizagem da Matemática se baseia na ação do aluno em resolução de problemas, em investigações e explorações dinâmicas de situações que o intrigam [...]. (D’AMBRÓSIO, 1993, p. 38).

Além dessa citação, gostaríamos de acrescentar uma contribuição que acreditamos ser de grande valia para esta discussão. Yves Chevallard (2005) apresenta o conceito de transposição didática e discute de forma aprofundada o papel do professor nesse processo. Segundo ele, o professor deve operar uma transposição didática do saber (que surge da pesquisa) ao saber ensinado (aquele que se pratica em sala de aula). Acrescenta à esta discussão todo o cenário no qual se dá esse processo, inclusive, o ambiente social mais amplo. Podemos perceber, portanto, que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo, que precisa de inúmeras mediações e dos três polos sempre juntos: o professor, o saber e o aluno. Chevallard (1991), ao falar sobre o “saber”, menciona que ele foi transformado em “substância” e que, embora esteja materializado em livros ou máquinas, é “objetivado” somente pela atividade de troca

crítica entre os seres humanos. Segundo ele, o saber não está nos livros, e sim na compreensão do livro. Diante dessas colocações, fica claro o papel do livro didático como uma importante ferramenta para o aluno e para o professor. Como pudemos ver, é importante que o professor reconheça as principais características da Matemática, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações e ainda conheça a história de vida de seus alunos e tenha clareza de suas próprias crenças e concepções a respeito da Matemática, seu ensino e sua aprendizagem, pois sabemos que nossas escolhas e práticas pedagógicas estão intimamente ligadas a essas concepções e crenças. Como educadores, devemos ter em mente que os alunos interpretam termos e conceitos de maneira original, que, em geral, não correspondem ao que esperamos. Por isso, precisamos ser claros sobre o que de fato desejamos. Além disso, ao contrário do que se possa pensar, o trabalho do professor e seu real papel não perdem importância. O professor passa a ter outras funções, que descrevemos a seguir. • Organizador da aprendizagem: o professor deve, além de conhecer as reais condições socioculturais dos alunos, ter em mente as expectativas deles. Um ponto importante nessa função é a escolha de situações e problemas que possibilitarão a construção do conhecimento. • Consultor do processo: cabe ao professor fornecer informações necessárias para que o aluno, com autonomia, construa o conhecimento. • Mediador: deve promover as condições para que haja a intervenção de cada aluno, a fim de que ele exponha sua solução, questione, quando necessário, e conteste, se for o caso. • Controlador e incentivador: o professor deve estabelecer condições e prazos

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Em resumo, procurou-se desenvolver uma educação matemática crítica, proporcionando, além da habilidade de lidar com noções matemáticas, a habilidade de aplicar essas noções em diferentes contextos e a capacidade de refletir sobre suas aplicações, exercendo uma postura crítica, desenvolvida com base no diálogo e que favorece uma aprendizagem significativa.

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para a realização das atividades, sem se esquecer de dar o tempo necessário aos alunos. Quanto ao papel de incentivador da aprendizagem, ele deve estimular a cooperação entre os alunos. A “sala de aula” se torna, portanto, um importante ambiente de aprendizagem. O Pnaic (2014) nos oferece uma reflexão sobre este espaço formativo. [...] a sala de aula deve ser vista como um ambiente de aprendizagem pautado no diálogo, nas interações, na comunicação de ideias, na mediação do professor e, principalmente, na intencionalidade pedagógica para ensinar de forma a ampliar as possibilidades das aprendizagens discentes e docentes. Tal intencionalidade requer um planejamento consistente do professor, uma sala de aula concebida como uma comunidade de aprendizagem e uma avaliação processual e contínua do progresso dos alunos, bem como dos vários fatores intervenientes no processo como: a prática do professor, o material e a metodologia utilizados, dentre outros (Pnaic, 2014, p. 5).

2.4 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas

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2.4.1 A LEITURA, A ESCRITA E A ORALIDADE EM MATEMÁTICA

Objeto educacional digital

Sabemos que a escrita é um dos recursos básicos de comunicação nas aulas de Matemática e, para tal, utilizamos a língua materna. Mas, muito mais do que simplesmente ser utilizada para decodificar os enunciados das atividades, a língua materna facilita a interpretação do que se ouve, ou seja, serve de suporte para a troca de informações. Segundo Fonseca (2013, p. 9): As práticas sociais envolvendo quantificação, medição, or ientação, ordenação ou classificação compõem os modos de usar a língua escrita e são por eles constituídas, não só porque representações matemáticas aparecem nos textos escritos ou porque

nossa herança cultural nos legou modos escritos de fazer Matemática, mas porque a própria cultura escrita, que permeia e constitui as práticas matemáticas das sociedades grafocêntricas, é, em geral, permeada também por princípios calcados numa mesma racionalidade, que forja ou parametriza essas práticas matemáticas e que é por elas reforçada.

Cândido apud Smole (2001, p. 17) diz que: [...] a tarefa do professor em relação à linguagem matemática deve desdobrar-se em duas direções; na direção do trabalho com os processos de escrita e representação, sobre a elaboração dos símbolos, sobre o esclarecimento das regras e em segundo, em direção ao trabalho sobre o desenvolvimento de habilidades de raciocínio que se inicia com o apoio da linguagem oral e, com o tempo, incorpora a esta os textos e as representações mais elaboradas.

Neste projeto, inúmeras vezes o aluno é convidado a contar para os colegas suas hipóteses e percursos. Acreditamos que a oralidade, no início, ajuda o aluno a demonstrar toda a complexidade do que foi pensado.

2.4.2 COMUNICAÇÃO EM MATEMÁTICA Anteriormente, trouxemos a fala de Chevallard (1991) para nos ajudar a refletir sobre o papel do professor no processo de ensino e também de aprendizagem da Matemática. Um dos pontos essenciais descritos na fala do autor foi a construção do saber. Segundo ele, “o saber” é “objetivado” somente pela atividade de troca crítica entre os seres humanos, assim a comunicação se torna essencial para a aprendizagem matemática. Mas o que entendemos por comunicação? Como ocorre essa comunicação nas aulas de Matemática? Acreditamos que tentar responder a essas indagações nos possibilitará, inclusive, desvelar concepções e crenças sobre esse assunto. Cândido apud Smole (2001) diz que a comunicação tem um papel fundamental nas aulas de Matemática, pois ajuda os alunos a

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2.5 Interdisciplinaridade

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A aprendizagem está intimamente ligada à habilidade de compreensão e, dessa forma, aprender o significado de um objeto pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos. Como garantir, portanto, a aprendizagem em um ambiente no qual os conteúdos são compartimentados e estanques e apresentados em uma sucessão rígida e linear? Será possível estabelecer relações e conexões? A construção dos significados feita pelo aluno será resultado das conexões que ele conseguiu estabelecer entre a Matemática e as demais disciplinas, entre a Matemática e

seu cotidiano e entre os próprios conteúdos matemáticos. Pensando nisso, trouxemos para a coleção entrevistas com profissionais de diferentes áreas, pesquisas e atividades que incentivam a percepção de como o mesmo conteúdo é abordado por outras disciplinas e contextos, e momentos de socialização em que há o estímulo para que os alunos expressem as relações apreendidas e, junto com os colegas, percebam e estabeleçam novas relações e conexões.

2.6 Resolução de problemas

Objeto educacional digital

O que é um problema? Quais são os principais tipos de problema? Quais são as principais formas de trabalhar com a resolução de problemas em sala de aula? Iniciamos este subitem propondo aos educadores que respondam a esses questionamentos. Provavelmente, veremos que não há apenas uma resposta possível, e nossa intenção aqui não é classificar as respostas como certas ou erradas, verdadeiras ou falsas. Gostaríamos apenas de trazer algumas reflexões que julgamos fundamentais. Vamos relembrar alguns pontos importantes. Vimos anteriormente que o “resolvedor” do problema é o grande responsável por dimensioná-lo, ou seja, o tamanho do desafio dependerá da pessoa que o está resolvendo. O que pode ser problema para uma pessoa pode não ser para outra. Uma condição imprescindível é que essa pessoa sinta vontade de encontrar uma solução para o problema e não tenha, de imediato, caminhos óbvios a seguir. É importante que esse indivíduo pare para pensar e buscar ideias, pois, se ele resolver o problema ofertado com precisão e rapidez, isso não lhe representará um desafio. Não podemos deixar de mencionar que situações em que os alunos resolvem os problemas utilizando processos automáticos, muitas

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construírem um vínculo entre suas noções informais e intuitivas e a linguagem abstrata e simbólica da Matemática. Segundo ela, se os alunos forem encorajados a se comunicar matematicamente com os colegas, o professor e até mesmo os pais, terão a oportunidade de explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre o mesmo assunto. A comunicação será, portanto, um recurso que permitirá ao aluno estabelecer conexões entre suas concepções espontâneas e o que está aprendendo de novo, promovendo assim uma aprendizagem significativa. Neste projeto, professor e alunos encontrarão diferentes situações cujo princípio é estimular e favorecer a comunicação nas aulas de Matemática. Por meio delas, os alunos são encorajados a explorar individualmente ou em parceria uma grande diversidade de ideias matemáticas não apenas numéricas como também as relativas à Geometria, às medidas e às noções estatísticas. Em nossas propostas, eles são convidados a descrever suas observações, justificar suas soluções ou estratégias de resolução e ainda registrar seus pensamentos e aprendizagens. Cada uma dessas ações certamente os ajudará a esclarecer, refinar e organizar pensamentos, fazendo com que se apropriem tanto dos conhecimentos específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo.

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vezes o processo “siga o modelo”, não serão por nós consideradas problemas. Acreditamos que a prática de resolução de problemas oferece aos alunos a oportunidade de “fazer Matemática”, ou seja, de desenvolver habilidades de construção e reconstrução de propriedades matemáticas, bem como comunicar ideias, resultados e experiências. Um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas foi George Polya (1994). Em sua publicação A arte de resolver problemas , apresenta um modelo teórico em que classifica as etapas que ocorrem na resolução de um problema, que são: compreensão do problema, elaboração de um plano para resolução, execução do plano e a última fase foi por ele chamada de retrospecto ou exame da solução produzida. Nesta obra, também são identificadas tipologias de procedimentos (analogia, observação, experimentação e indução) e de problemas (determinação e demonstração).

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Pensando na importância da resolução de problemas nas aulas de Matemática e na necessidade de oferecer aos alunos uma diversidade deles, foram inseridos ao longo dos volumes problemas tidos como não rotineiros, entre eles, alguns com excesso de dados, sem solução, com mais de uma solução possível, com falta de dados etc. Cabe salientar que em momento algum dissemos que o treino do algoritmo e a fixação do conteúdo sejam prejudiciais à criatividade do aluno. Acreditamos que o problema reside em ficar apenas nisso, e não avançar para outras atividades como as sugeridas anteriormente.

2.7 Avaliação Mudanças nos objetivos de ensino e nos procedimentos metodológicos implicam mudanças na avaliação. Parece simples, mas será que toda essa simplicidade pode ser facilmente observada na prática? Que informações as avaliações fornecem ao professor? Um dado numérico?

Nossa primeira reflexão está pautada na obtenção de dados sobre as competências dos alunos. Muitas vezes, as avaliações fornecem ao professor informações restritas, deixando de lado importantes dados, por exemplo, saber se os alunos utilizam adequadamente a linguagem matemática para comunicar ideias ou ainda obter informações sobre as competências de cada aluno para resolver problemas. Acreditamos que as avaliações devem contemplar também as explicações, justificativas e argumentações, e estas poderão ser realizadas por meio da escrita de pequenos textos ou da linguagem oral. Ao longo do projeto, será possível encontrar situações nas quais os alunos são convidados a “falar”, “argumentar” e “justificar”. Esses momentos poderão servir, inclusive, para a captação desses dados. Diante desses apontamentos, é perceptível a necessidade do planejamento. Uma avaliação precisa ser planejada com o máximo de cuidado prevendo-se, inclusive, os possíveis tipos de interpretação e solução dos alunos. Para isso, é sugerido ao professor que, no momento da elaboração das avaliações, ele faça algumas perguntas, como: De que forma meu aluno poderá tentar resolver este problema? O enunciado está claro? Que tipos de resposta poderão aparecer? Qual será o tempo utilizado para resolvê-lo? O que estou tentando verificar com esta questão?

2.8 Recursos didáticos

Objeto educacional digital

Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita). Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão – em última instância, à base da atividade matemática.

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Entendemos que a escola desempenha um papel decisivo na formação dos cidadãos e, nesse sentido, deve incorporar e adequar-se às inovações tecnológicas do mundo real, contribuindo para a formação de pessoas preparadas para atuar com igualdade de participação na vida em sociedade. Nessa perspectiva, de acordo com Guinther (2009, p. 69), A sociedade atual exige cada vez mais o desenvolvimento de competências em todas as áreas da atividade humana e a escola pode contribuir muito com esse desenvolvimento oferecendo uma educação de qualidade que forme um indivíduo consciente, aberto à aprendizagem e capaz de utilizar as tecnologias que s ão coloc adas à sua disposição. [...] A utilização da calculadora em sala de aula deve ser bem planejada, tendo um conhecimento prévio de suas possibilidades e limitações. Os alunos devem saber por que as atividades serão desenvolvidas com o uso dessa ferramenta e com quais objetivos.

propostas sugeridas nesta obra. Você pode também buscar caminhos alternativos e formas inovadoras de inserir o uso da calculadora em sala de aula e explorar seus recursos e possibilidades, contribuindo para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

2.8.2 COMPUTADOR E INTERNET Nos últimos anos, é inegável a presença dos computadores no cotidiano das pessoas. Seu uso não é mais uma alternativa, e sim uma necessidade para a participação nas diversas atividades humanas. A escola, como interface dessas transformações, deve buscar alternativas para inserir os alunos nesse contexto, desempenhando seu papel mediador para a inclusão digital. Já é significativo o número de escolas que contam com esse recurso para uso no ambiente escolar como instrumento de apoio pedagógico. De acordo com o Pnaic (2014, p. 5), [...] o jogo1 pode propiciar a construção de conhecimentos novos, um aprofundamento do que foi trabalhado ou ainda a revisão de conceitos já aprendidos, servindo como um momento de avaliação processual pelo professor e de autoavaliação pelo aluno. Trabalhado de forma adequada, além dos conceitos, o jogo possibilita aos alunos desenvolver a capacidade de organização, análise, reflexão e argumentação, uma série de atitudes como: aprender a ganhar e a lidar com o perder, aprender a trabalhar em equipe, respeitar regras, entre outras. No entanto, para que o ato de jogar na sala de aula se caracterize como uma metodologia que favoreça a aprendizagem, o papel do professor é essencial. Sem a intencionalidade pedagógica do professor, corre-se o risco de se utilizar o jogo sem explorar seus aspectos educativos, perdendo grande parte de sua potencialidade.

Sendo a calculadora um dos recursos tecnológicos presentes nas diferentes atividades da população, julgamos importante introduzir esse recurso como uma proposta pedagógica auxiliar no processo de ensino e aprendizagem da Matemática nos dois ciclos (6o ao 9o ano). Do ponto de vista didático, o uso orientado da calculadora, de acordo com Carvalho e Lima (2002), contribui para a compreensão, o desenvolvimento de diferentes formas de raciocínio e a resolução de problemas. Procuramos sugerir, ao longo da obra, o uso da calculadora como incentivo a experimentações, quando a aplicação de cálculos mais complexos e sua resolução não forem o foco do estudo, possibilitando verificações e formulações de novas conjecturas, bem como a descoberta de novos conceitos. Cabe a você, professor, avaliar qual é a melhor forma de utilizar e adaptar as

Além dos jogos, não podemos esquecer

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2.8.1 CALCULADORA

Utilizamos a palavra jogo para referenciar até mesmo jogos disponibilizados em softwares.

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que o computador possibilita acesso a informações de diversas áreas, transpondo as barreiras físicas por meio da internet. O advento da internet gerou fortes impactos em diversas áreas de atuação profissional. As novas formas de produção, divulgação e armazenamento de conhecimentos e informações são possíveis pela interconexão dos computadores mundiais, que tem provocado profundas rupturas nos processos pedagógicos tradicionais. A respeito dos novos rumos da educação, Lévy (1999, p. 172) afirma: A grande questão da cibercultura [...] é a transição de uma educação e uma formação estritamente institucionalizadas (a escola, a universidade) para uma situação de troca generalizada dos saberes, o ensino da sociedade por ela mesma, do reconhecimento autogerenciado, móvel e contextual das competências.

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Julgamos importante que o professor estimule o uso consciente da internet, bem como um olhar crítico para as informações obtidas por meio desse recurso, por isso, é importante que você sugira aos alunos a busca de informações em fontes seguras, por exemplo, instituições de estudos reconhecidas, centros de pesquisas, universidades ou instituições reconhecidas como especialistas em determinado assunto, para assegurar e garantir a confiabilidade dos dados obtidos. O papel do professor como orientador não se limita a incentivar um olhar crítico para a origem das fontes pesquisadas. É necessário propor ainda atividades com base nos conteúdos obtidos, levando os alunos a interpretar tais informações, estimulando a leitura e a análise desses conteúdos e propondo sua interpretação, discussão e debate em sala de aula, ou seja, eles não podem se limitar à reescrita por meio de recursos como o de “copiar e colar as informações que encontraram.

2.8.3 SOFTWARES MATEMÁTICOS Conforme já abordado, o bom uso do computador em sala de aula também depende da

escolha de softwares, que deve estar de acordo com os objetivos que se pretende alcançar e a concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo. Como proposta auxiliar para o ensino e a aprendizagem da Matemática, sugerimos atividades com o uso de diferentes softwares voltados a essa temática, como os de Geometria Dinâmica e Álgebra, as planilhas eletrônicas e outros aplicativos disponíveis on-line2 e off-line3. É significativo o número de contribuições que o uso de softwares oferece para o ensino e a aprendizagem da Matemática, já que é um recurso visual capaz de validar as propriedades estudadas em sala de aula. Julgamos importante avaliar as possibilidades experimentais disponíveis nesses softwares e sua contribuição para a elaboração de conjecturas, bem como sua verificação pelos alunos. No que se refere à investigação matemática, Zulatto (2002) afirma que ela é apontada como uma das principais potencialidades dos softwares. No bloco “Estatística e Probabilidade” e na resolução de situações-problema, a construção de gráficos e tabelas é um recurso necessário para a organização e análise dos dados, e o uso de planilhas eletrônicas pode incentivar e facilitar esse estudo. Antes do início da utilização dos softwares em sala de aula, ou seja, antes de utilizá-los como ferramenta de ensino, julgamos interessante uma exploração prévia dos recursos disponíveis em cada um deles. Além da sugestão de softwares direcionados ao ensino e à aprendizagem dos tópicos abordados, apresentamos alguns de seus recursos com orientações passo a passo para o uso adequado.

2.8.4 O USO DE PARADIDÁTICOS NESTA OBRA O governo federal tem adotado medidas de enriquecimento e ampliação de acervos Requer acesso à internet.

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Não requer o uso da internet.

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Obras literárias de variados gêneros têm sido distribuídas, propiciando ao aluno o acesso democrático à leitura e à informação, que contribuem para sua formação crítica e o exercício da cidadania.

Aproveite a situação explorada na obra para propor uma pesquisa sobre as influências e contribuições dos gregos para a Matemática. Cite, como exemplo, os nomes Pitágoras, Euclides e Arquimedes, para auxiliá-los nesse trabalho. Peça que coletem, também, informações sobre a vida deles, os lugares onde viviam, o que estudavam, entre outros detalhes. Pode-se, ainda, criar um laço com a disciplina de História.

Indicamos a seguir alguns livros paradidáticos que podem ser encontrados nas bibliotecas da escola. Esses títulos possibilitam o trabalho com leitura e o desenvolvimento de atividades com abordagens interdisciplinares.

Contos e lendas da Amazônia, de Reginaldo Prandi. São Paulo: Cia das Letras, 2011.

Tá falando grego? Tá falando Grego?, de Ricardo Hofstetter. Rio de Janeiro: Editora Rocco, 2012. O livro conta a história de três adolescentes que, depois de resolverem equações do

A distância das coisas, de Flávio Carneiro. São Paulo: Edições SM, 2008. A obra conta a história de Pedro, um adolescente de 14 anos que, órfão do pai, recebe a notícia de que sua mãe morreu em um acidente de carro. Porém, o restante da família impede o garoto de acompanhar o velório. Desconfiado, ele vai atrás dos fatos para descobrir se realmente sua progenitora faleceu. Uma das lições que o personagem principal compartilha com o leitor é que é preciso comparar sempre, para não perder o sentido das coisas, e não esquecer como é relativa a distância das coisas. São por meio de metáforas desse tipo que o enredo se conecta à Matemática. Para ir além dessas explorações, peça aos alunos que elenquem situações em que precisamos medir distâncias. Comente sobre a importância das estimativas e da criação de um sistema de unidades padronizadas.

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Essa obra também possibilita trabalho interdisciplinar com História, Geografia e Língua Portuguesa.

A distância das coisas

Edições SM

Cia das Letras

Contos e lendas da Amazônia

Este livro apresenta 25 contos sobre a Amazônia, que envolvem animais, plantas e histórias sobre coragem, todos com um principal objetivo: incentivar a preservação dessa floresta. Converse com os alunos sobre essa atitude importante e, depois, oriente-os a fazer um levantamento sobre informações do local, indicando, por exemplo, quais espécies de animais e plantas vivem na região. Dados sobre educação e saúde da população que reside nessa área também podem ser coletados. Por fim, peça que apresentem os resultados obtidos em forma de gráficos e tabelas.

Editora Rocco

1º grau encontradas num livro enigmático e antigo, acabam “presos” no passado. Nessa viagem, eles vão parar na Grécia Antiga, e lá conhecem o filósofo Sócrates.

de bibliotecas de escolas públicas, com o objetivo de oferecer materiais de apoio à educação dos alunos e à prática docente.

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2.9 Informações úteis para a formação continuada do professor Trazemos a seguir algumas sugestões de sites e livros que poderão ampliar as temáticas e reflexões principiadas neste manual. Sugestões de livros: • Aprendizagem em Matemática, de Silvia Dias Alcântara Machado. Campinas: Editora Papirus, 2003. • A arte de resolver problemas, de George Polya. São Paulo: Editora Interciência, 1995. • Introdução ao estudo das situações didáticas – conteúdo e métodos de ensino, de Guy Brousseau. São Paulo: Editora Ática, 2008. • Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática, de Kátia Cristina Stocco Smole e Maria Ignez Diniz (Org.). Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. • Recontextualização e transposição didática, de Miriam Soares Leite. Araraquara: Editora Junqueira&Marin, 2007.

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• Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais , de Raymond Duval. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. (Coleção Contexto da Ciência). Sugestões de sites (acessos em: abr. 2015): • Ministério da Educação: . • Sociedade Brasileira de Educação Matemática: . • Sociedade Brasileira de Matemática: . • Educação Matemática e Tecnologia Informática: .

3. Estrutura e organização do Projeto Cada um dos quatro livros deste Projeto está dividido em unidades. Cada unidade, por sua vez, está organizada em capítulos. Os livros do primeiro ciclo (6º e 7º anos) contêm sete unidades e os livros do segundo ciclo (8º e 9º anos), oito unidades. Na abertura de cada unidade, os alunos encontrarão um pequeno texto que os despertará para o assunto a ser desenvolvido e, junto com ele, questionamentos que propiciam reflexões sobre o conteúdo a ser trabalhado e questões para conduzir uma pequena discussão. Descrevemos a seguir as seções existentes nos volumes da coleção e lembramos que algumas delas serão fixas, ou seja, aparecerão em todas as unidades e volumes, e outras estarão distribuídas de forma aleatória ao longo dos volumes. Junto com a descrição das seções, você encontrará um breve resumo com as informações sobre a intencionalidade idealizada para cada uma dessas seções.

AGORA É COM VOCÊ Nessa seção são propostas atividades de exploração, averiguação e sistematização. Esse é um importante momento para o aluno colocar em prática o que aprendeu ao longo da unidade.

TRABALHO EM EQUIPE Algumas atividades são elaboradas para o trabalho coletivo. Nessa seção, deseja-se que os alunos cooperem entre si na busca de solução para as situações propostas. Além disso, espera-se que os alunos consigam adquirir o hábito de expressar o próprio pensamento, compreender o pensamento do

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BAGAGEM CULTURAL Aqui são apresentados textos e imagens sobre curiosidades por meio das quais os alunos perceberão a Matemática em outros contextos, que relacionam conteúdos de duas ou mais disciplinas. Assim, esperamos que eles passem a ver a Matemática não mais de forma isolada, e sim dinâmica, ou seja, presente em outras áreas do conhecimento.

DIVERSIFICANDO LINGUAGENS A disciplina de Matemática tem linguagem própria, símbolos, formas e representações peculiares. Por sua vez, revistas e jornais – em geral, presentes na vida dos alunos – apresentam diversidade no tratamento de informações. Ao propormos algumas atividades com tirinhas ou mesmo diagramas de palavras, por exemplo, queremos evidenciar também os conteúdos e as situações matemáticas que são apresentados por essas formas de expressão. Do aluno, em tais momentos, é exigida a interpretação e a compreensão do que a tirinha ou o diagrama apresenta.

CONEXÕES Essa seção é reservada para a história dos conteúdos e dos personagens que os construí­ram, para explorar curiosidades que envolvam a Matemática e para a leitura de textos de reflexão. Sugerimos que ela seja trabalhada coletivamente, a fim de que todos conheçam os aspectos relevantes que estão sendo apontados.

MATEMÁTICA E CIDADANIA Nessa seção são apresentados textos amplamente ilustrados, que proporcionam leitura agradável e rica em informações, relacionando várias áreas do conhecimento. É uma oportunidade ímpar de ampliar o conhecimento dos alunos sobre a necessidade de aprender Matemática a fim de poderem interpretar e buscar soluções para situações diversas. Para exercer a cidadania, é adequado saber calcular, efetuar medidas, argumentar, raciocinar, compreender informações estatísticas e tomar decisões.

COM A PALAVRA, O ESPECIALISTA O conhecimento de qualquer disciplina ocorre também pelo contato com o trabalho de diversos profissionais. Experiências de vida, de trabalho e de estudo precisam ser transmitidas aos alunos como exemplos a serem seguidos e referências a serem consideradas. Essa seção amplia a visão de mundo dos alunos.

Explorando Depois que os conteúdos são desenvolvidos, o aluno encontra algumas referências de entretenimento – livros, filmes e sites – relacionadas aos assuntos abordados na unidade. Em cada referência, uma pequena resenha explica do que trata cada item. Explorar diferentes modos de abordagem de conteúdos matemáticos é uma forma de estimular a leitura, a visualização e até a brincadeira.

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outro, discutir possíveis e esperadas dúvidas e incorporar soluções alternativas, reestruturando e ampliando procedimentos adotados no enfrentamento de problemas diversos.

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SUPERANDO DESAFIOS Uma das características do aluno do Ensino Fundamental II é o prazer de ser desafiado. Nessa seção, ele é convidado a ir além das atividades propostas no livro e resolver questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo. A Matemática representa um contexto rico de ideias, problemas diversos, desafios e enigmas instigantes que deixam o aluno diante de situações completamente diferentes e que exigem soluções muitas vezes inesperadas e extremamente criativas. Essa é uma maneira de valorizar a capacidade e as potencialidades dele.

RESGATANDO CONTEÚDOS

TECLA_MATEMÁTICA Nessa seção, os alunos terão a oportunidade de vivenciar a Matemática utilizando recursos tecnológicos. Por meio dessas explorações, eles terão mais possibilidades de construir o conhecimento, ganhando, inclusive, mais agilidade na realização de tarefas. Lembramos que as ferramentas sugeridas estão a serviço do conteúdo, ou seja, devem favorecer a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

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Sugerimos um grupo de atividades no final de cada unidade. A ideia é que, com a resolução dos exercícios, os alunos possam verificar, com autonomia, a compreensão

dos conteúdos apresentados na unidade. Esse é também um modo de relacionar os assuntos tratados separadamente nos capítulos. Sugerimos que as atividades sejam encaminhadas apenas após a conclusão da unidade. É importante também que os alunos sejam motivados a fazê-las e que organizem as resoluções no caderno, discutindo entre eles possíveis respostas antes da resolução coletiva.

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4. Quadros de conteúdos Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de Matemática.

6o ano UNIDADE

1. Números e sistemas de numeração

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Os números naturais

ƒƒ Números naturais ƒƒ Introdução histórica dos números ƒƒ Números naturais e sequências numéricas ƒƒ Números consecutivos ƒƒ Noções de conjuntos ƒƒ Conjunto dos números naturais

O uso dos números

ƒƒ Contagem, ordenação e códigos ƒƒ Valores monetários

Sistema de numeração decimal

ƒƒ Sistema de numeração decimal ou indo-arábico ƒƒ Noções de sistema de numeração posicional ƒƒ Antecessor e sucessor de um número natural ƒƒ Arredondamentos

Adição e subtração

ƒƒ Adição e subtração de números naturais ƒƒ Propriedades da adição de números naturais ƒƒ Expressões numéricas ƒƒ Cálculo mental

Multiplicação e divisão

ƒƒ Multiplicação e divisão de números naturais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números naturais e expressões numéricas ƒƒ Divisão com resto e expressões numéricas

Potenciação e radiciação

ƒƒ Noções de potenciação ƒƒ Noções de radiciação ƒƒ Expressões numéricas

Percebendo a Geometria

ƒƒ Noções iniciais de Geometria ƒƒ Introdução histórica do conhecimento geométrico ƒƒ Conceito de reta, semirreta e ponto ƒƒ Reconhecer figuras planas e não planas

Formas geométricas planas e não planas

ƒƒ Paralelepípedos ou bloco retangular ƒƒ Cubo ƒƒ Vistas de um objeto não plano ƒƒ Identificar formas geométricas planas

Divisibilidade e números primos

ƒƒ Noções de divisibilidade ƒƒ Números primos ƒƒ Critérios de divisibilidade

Divisores de um número natural

ƒƒ Divisores de um número natural ƒƒ Encontrar os divisores de um número pela decomposição em números primos ƒƒ Máximo divisor comum ƒƒ Reconhecer números primos ƒƒ Crivo de Eratóstenes ƒƒ Decomposição em fatores primos ƒƒ Estimativa

Múltiplos de um número natural

ƒƒ Multiplicação de números naturais ƒƒ Mínimo múltiplo comum

Tratamento da informação: contagem e estimativa

ƒƒ Noções iniciais de contagem ƒƒ Construir árvore de possibilidades

2. Geometria: primeiras noções

3. Múltiplos e divisores

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Tratamento da informação: organização de dados em tabelas ƒƒ Interpretação e organização de dados em tabelas

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UNIDADE

CAPÍTULO A ideia de ângulo

ƒƒ Noções iniciais de ângulo ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Posição relativa entre retas

Polígonos

ƒƒ Linha poligonal ƒƒ Definição de polígono ƒƒ Polígonos regulares ƒƒ Quadriláteros

A ideia de fração

ƒƒ Noções iniciais de fração ƒƒ Classificação de frações ƒƒ Fração de quantidade

Equivalência e comparação entre frações

ƒƒ Frações equivalentes ƒƒ Simplificação de frações ƒƒ Comparação de frações

Adição e subtração de frações

ƒƒ Adição e subtração de frações com mesmo denominador ƒƒ Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Fração de fração

ƒƒ Multiplicação de frações ƒƒ Divisão de frações

Frações decimais e números decimais

ƒƒ Número decimal e fração decimal ƒƒ Frações centesimais ƒƒ Multiplicação de decimais por potência de 10 ƒƒ Divisão de decimais por potência de 10 ƒƒ Comparação entre números decimais

Operações com números decimais

ƒƒ Adição com números decimais ƒƒ Subtração com números decimais ƒƒ Multiplicação com números decimais ƒƒ Divisão entre números naturais com quociente decimal ƒƒ Divisão com números decimais

Tratamento da informação: noção de porcentagem, gráficos e tabelas

ƒƒ Porcentagem ƒƒ Descontos e acréscimos ƒƒ Interpretação de dados organizados em tabelas e gráficos

Unidades de comprimento e de massa

ƒƒ Unidades de comprimento ƒƒ Conversão de unidades de medida de comprimento ƒƒ Perímetro de figuras geométricas planas ƒƒ Unidades de massa ƒƒ Conversão de unidades de medidas de massa

Unidades de área

ƒƒ Unidades de área ƒƒ Conversão de unidades de medidas de área ƒƒ Áreas de figuras geométricas planas

Unidades de volume e de capacidade

ƒƒ Unidades de volume ƒƒ Conversão de unidades de medidas de volume ƒƒ Volume do cubo ƒƒ Volume do paralelepípedo ƒƒ Unidade de capacidade ƒƒ Conversão de unidades de medidas de capacidade

Medida de tempo

ƒƒ Medida de tempo ƒƒ Conversão de unidades de medidas de tempo

Tratamento da informação: probabilidade e média aritmética

ƒƒ Noções iniciais de probabilidade ƒƒ Noções iniciais do conceito de média aritmética

4. Formas geométricas planas

5. Frações

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6. Números decimais

CONTEÚDO

7. Grandezas e medidas

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7o ano CAPÍTULO O números inteiros

ƒƒ Números positivos e números negativos ƒƒ Números inteiros ƒƒ Exemplos de aplicações dos números inteiros

Adição e subtração de números inteiros

ƒƒ Adição de números inteiros ƒƒ Propriedades da adição de números inteiros ƒƒ Subtração de números inteiros

Multiplicação de números inteiros

ƒƒ Multiplicação de números inteiros ƒƒ Propriedades da multiplicação de números inteiros

Divisão de números inteiros

ƒƒ Divisão de números inteiros ƒƒ Expressões numéricas com números inteiros

O plano cartesiano

ƒƒ Introdução ao plano cartesiano

Tratamento da informação: gráfico de barras e de linhas

ƒƒ Informações em gráfico de barras ƒƒ Informações em gráfico de linhas ƒƒ A construção de gráficos estatísticos ƒƒ Interpretação de dados com base em gráficos de linhas e colunas

Ângulos

ƒƒ Retomada da ideia de ângulos ƒƒ Unidade de medida de ângulos ƒƒ Frações do grau

Operações com medidas de ângulo

ƒƒ Adição e subtração de ângulos ƒƒ Multiplicação e divisão por um número natural

Ângulos e retas

ƒƒ Classificação de ângulos ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes

Números racionais

ƒƒ Formação do conjunto ƒƒ Reta numérica ƒƒ Representação decimal e representação fracionária de números racionais ƒƒ Comparação entre números racionais ƒƒ Exemplos de aplicações dos números racionais

Adição e subtração de números racionais

ƒƒ Adição de números racionais ƒƒ Subtração de números racionais

Multiplicação e divisão de números racionais

ƒƒ Multiplicação de números racionais ƒƒ Propriedades da multiplicação de números racionais ƒƒ Divisão de números racionais

Potenciação e radiciação de números racionais

ƒƒ Potenciação de números racionais ƒƒ Radiciação de números racionais ƒƒ Expressões numéricas

Tratamento da informação: gráfico de setores

ƒƒ Construção de gráfico de setores ƒƒ Interpretação de dados com base em gráfico de setores

O conceito de áreas

ƒƒ Medida de superfície ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do retângulo

Área do triângulo e área do paralelogramo

ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo

Área do losango e do trapézio

ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

1. Os números inteiros

2. Geometria: ângulos

3. Números racionais

4. Geometria: áreas

CONTEÚDO

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

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UNIDADE

5. Álgebra

6. Razões e proporções

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Iniciando a Álgebra

ƒƒ Noções iniciais de Álgebra ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Soma algébrica de termos semelhantes

Equações

ƒƒ Equações ƒƒ Resolução de uma equação

Resolução de problemas

ƒƒ Resolução de problemas com uma incógnita

Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

ƒƒ Resolução de sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

Inequações

ƒƒ Desigualdades ƒƒ Inequações

Razões e proporções

ƒƒ Conceito de razão ƒƒ Conceito de proporção

Grandezas proporcionais

ƒƒ Grandezas diretamente proporcionais ƒƒ Grandezas inversamente proporcionais ƒƒ Regra de sociedade ƒƒ Problemas de regra de três ƒƒ Problemas de regra de três composta

Tratamento da informação: média aritmética simples e média aritmética ponderada

ƒƒ Média aritmética simples ƒƒ Média aritmética ponderada ƒƒ Retomada do cálculo com porcentagens ƒƒ Juros simples

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7. Introdução à matemática financeira Porcentagem e juros simples

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8o ano

1. Números reais

2. Potenciação e radiciação

3. Geometria: triângulos

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Números racionais

ƒƒ Números racionais e obtenção de medidas ƒƒ Números racionais ƒƒ Dízimas periódicas

Os números reais

ƒƒ Números irracionais ƒƒ Números reais ƒƒ Comprimento da circunferência e o número irracional .

Tratamento da informação: média, mediana e moda

ƒƒ Conceito de média ƒƒ Conceito de mediana ƒƒ Conceito de moda

Potenciação com expoentes inteiros

ƒƒ Potenciação ƒƒ Propriedades da potenciação ƒƒ Potências de base 10

Radiciação: raiz quadrada

ƒƒ Raiz quadrada aritmética ƒƒ Cálculo de raiz quadrada pela decomposição em fatores primos ƒƒ Cálculo de raiz quadrada por aproximação ƒƒ Notação científica

Tratamento da informação: análise combinatória – princípio fundamental da contagem

ƒƒ Análise combinatória ƒƒ Princípio fundamental da contagem

Segmentos, ângulos e retas

ƒƒ Segmentos ƒƒ Reta ƒƒ Ponto médio ƒƒ Ângulos entre retas concorrentes ƒƒ Ângulos formados entre duas retas paralelas e uma transversal

Triângulos

ƒƒ Classificação de triângulos quanto aos lados ƒƒ Condição de existência de um triângulo

Soma das medidas dos ângulos de um triângulo

ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo

Congruência de triângulos

ƒƒ Congruência de triângulos ƒƒ Casos de congruência de triângulos ƒƒ Construção de triângulos

Expressões algébricas

ƒƒ Expressão algébrica e valor numérico ƒƒ Monômios ƒƒ Termos semelhantes ƒƒ Polinômios de uma variável

Operações com polinômios de uma variável

ƒƒ Adição e subtração de polinômios ƒƒ Multiplicação de polinômios ƒƒ Divisão de polinômios

Tratamento da informação: análise de gráficos

ƒƒ Análise de gráficos

Produtos notáveis

ƒƒ Quadrado da soma de dois termos ƒƒ Quadrado da diferença de dois termos ƒƒ Produto da soma pela diferença de dois termos

Fatoração de polinômios

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Simplificação de frações algébricas

4. Álgebra: cálculo algébrico

5. Produtos notáveis e fatoração

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

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UNIDADE

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Quadriláteros

ƒƒ Quadriláteros: conceito e elementos ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ƒƒ Soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero

Quadriláteros notáveis

ƒƒ Trapézio, paralelogramo, losango, retângulo e quadrado ƒƒ Propriedades dos paralelogramos ƒƒ Propriedades dos casos particulares de paralelogramos

Equações do 1o grau

ƒƒ Resolução de problemas que envolvem equações do 1o grau ƒƒ Resolução de equações literais ƒƒ Resolução de equações fracionárias

Sistema de equações

ƒƒ Sistema de equações do 1o grau ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da substituição ƒƒ Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da adição

Interpretação geométrica da solução de sistemas

ƒƒ Representação de pontos no plano cartesiano ƒƒ Interpretação geométrica da solução de um sistema de equações

Tratamento da informação: probabilidade

ƒƒ Probabilidade

Circunferência e círculo

ƒƒ Construção da circunferência ƒƒ Identificação de elementos de uma circunferência ƒƒ Partes do círculo ƒƒ Posições relativas de retas e circunferências ƒƒ Posições relativas entre circunferências

Segmentos e quadriláteros

ƒƒ Propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência ƒƒ Circunferência inscrita num quadrilátero

Ângulos e arcos na circunferência

ƒƒ Arco e ângulo central ƒƒ Medida do ângulo inscrito ƒƒ Quadrilátero inscrito numa circunferência

6. Geometria: quadriláteros

7. Álgebra: equações

MANUAL DO PROFESSOR

8. Geometria: circunferência

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9o ano

1. Potenciação, radiciação e cálculo algébrico

2. Tratamento da informação: gráficos, frequências e probabilidade

3. Geometria: semelhança de triângulos

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Potenciação

ƒƒ Potenciação com expoentes inteiros ƒƒ Notação científica ƒƒ Propriedades da potenciação

Radiciação

ƒƒ Raiz quadrada exata e aproximada ƒƒ Potência com expoente racional ƒƒ Raiz cúbica ƒƒ Propriedades da radiciação e simplificação de radicais

Cálculo com radicais

ƒƒ Adição e subtração ƒƒ Multiplicação e divisão ƒƒ Potenciação e radiciação

Cálculo algébrico

ƒƒ Retomada dos três casos de produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois termos ƒƒ Racionalização de denominadores ƒƒ Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos

Fatoração

ƒƒ Fatoração por fator comum ƒƒ Fatoração por agrupamento ƒƒ Fatoração por produtos notáveis

Gráficos

ƒƒ Interpretação de gráficos de linhas, colunas, setores, pictóricos ou pictogramas ƒƒ Tratamento da informação, tabelas e gráficos

Distribuição de frequências

ƒƒ Conceito de frequência absoluta ƒƒ Conceito de frequência relativa ƒƒ Conceito de variáveis discretas ƒƒ Conceito de variável contínua ƒƒ Distribuição de frequência por classes ƒƒ Construção de gráficos histograma

Contagem e probabilidade

ƒƒ Princípio fundamental da contagem ƒƒ Noções iniciais de probabilidade

Teorema de Tales

ƒƒ Conceito de razão e proporção ƒƒ Teorema de Tales

Semelhança de triângulos

ƒƒ Semelhança de triângulos ƒƒ Casos de semelhança de triângulos

O triângulo retângulo

ƒƒ Relações métricas no triângulo retângulo ƒƒ Teorema de Pitágoras

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

ƒƒ Seno ƒƒ Cosseno ƒƒ Tangente ƒƒ Razões trigonométricas para ângulos notáveis

MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE

299 299 pom7_mp_275_301_comum.indd 299

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UNIDADE

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Equações do 2o grau

ƒƒ Resolução de equações incompletas ƒƒ Resolução de equações por trinômio do quadrado perfeito ƒƒ Resolução de equações por fórmula de Bháskara

Propriedade de raízes e coeficientes

ƒƒ Possíveis soluções de equação do 2o grau por análise do discriminante da fórmula de Bháskara ƒƒ Relação entre a soma e produto das raízes e os coeficientes de uma equação do 2o grau

Equações redutíveis ao 2o grau e problemas

ƒƒ Resolução de problemas por meio de equações do 2o grau ƒƒ Equações biquadradas ƒƒ Equações irracionais

Medidas de tendência central

ƒƒ Média ƒƒ Média ponderada ƒƒ Mediana ƒƒ Moda

Áreas de quadriláteros e triângulos

ƒƒ Área do retângulo ƒƒ Área do quadrado ƒƒ Área do paralelogramo ƒƒ Área do triângulo ƒƒ Área do losango ƒƒ Área do trapézio

Polígonos convexos

ƒƒ Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo ƒƒ Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Polígonos regulares

ƒƒ Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares ƒƒ Polígonos regulares inscritíveis e circunscritíveis em uma circunferência

Círculo e circunferência

ƒƒ Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência ƒƒ Área do círculo e de um setor circular

Relações métricas na circunferência

ƒƒ Relação entre ângulos e arcos ƒƒ Relação entre cordas e entre secantes ƒƒ Relação entre secante e tangente e potência de um ponto

Introdução às funções

ƒƒ Conceito de função ƒƒ Relação de dependência de variáveis ƒƒ Representação gráfica de funções ƒƒ Função crescente e decrescente ƒƒ Conjunto domínio, contradomínio e imagem

Noções de função afim

ƒƒ Função afim ƒƒ Gráfico de uma função afim

4. Álgebra: equações do 2o grau

MANUAL DO PROFESSOR

5. Geometria: polígonos e circunferências

6. Introdução às funções e função afim

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UNIDADE

7. Noções de função quadrática

CAPÍTULO

CONTEÚDO

Noções de função quadrática

ƒƒ Função quadrática ƒƒ Gráfico de uma função quadrática ƒƒ Coordenadas do vértice da parábola ƒƒ Problemas de máximo e mínimo ƒƒ Comportamento do gráfico da parábola em relação à variação dos coeficientes

Lei dos cossenos

ƒƒ Lei dos cossenos ƒƒ Demonstração da Lei dos cossenos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos cossenos

Lei dos senos

ƒƒ Lei dos senos ƒƒ Demonstração da Lei dos senos ƒƒ Problemas de aplicação da Lei dos senos

MANUAL DO PROFESSOR

8. Geometria: triângulos quaisquer

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5. Orientações didáticas do volume Unidade 1 – Números inteiros OBJETIVOS DA UNIDADE • Compreender que a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural. • Constatar que o conjunto dos números inteiros é formado pelos números naturais, seus opostos e o zero. • Comparar dois números inteiros. • Associar a cada número inteiro um ponto na reta numérica. • Representar e identificar o módulo ou valor absoluto de um número inteiro.

• Fazer inferências relacionando dados estatísticos com a realidade. • Relacionar a Estatística com outros conteúdos matemáticos.

CAPÍTULO 1 – OS NÚMEROS INTEIROS Objetivos do capítulo • Compreender que a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural. • Constatar que o conjunto dos números inteiros é formado pelos números naturais, seus opostos e o zero. • Comparar dois números inteiros.

• Representar e identificar o simétrico ou oposto de um número inteiro.

• Associar a cada número inteiro um ponto na reta numérica.

• Compreender como efetuar a adição de dois números inteiros.

• Representar e identificar o módulo ou valor absoluto de um número inteiro.

• Utilizar as propriedades da adição de números inteiros.

• Representar e identificar o simétrico ou oposto de um número inteiro.

• Compreender como efetuar a subtração de números inteiros. • Resolver problemas relacionados à adição e à subtração de números inteiros. • Efetuar a multiplicação de números inteiros. • Identificar e empregar propriedades da multiplicação de números inteiros.

MANUAL DO PROFESSOR

• Interpretar as informações de um ­grá­fico.

• Identificar o sinal resultante da multiplicação de dois números inteiros. • Efetuar a divisão de números inteiros. • Compreender a resolução de situações relacionadas à divisão de números inteiros. • Resolver expressões numéricas com números inteiros. • Localizar pontos em um plano cartesiano. • Praticar o pensamento estatístico. • Praticar o pensamento analítico.

Algumas explorações Sugerimos inicialmente a leitura do texto que introduz a unidade, na página 10, para que os alunos percebam a necessidade de ampliar o domínio dos números naturais a fim de atender às demandas do cotidiano, como as relacionadas a finanças e medidas de temperaturas. Após a leitura, com o auxílio das questões da página 11, nossa proposta é levá-los a argumentar e conjecturar acerca da compreensão de números negativos e suas funções operatórias e a entender que o conjunto dos números inteiros é formado pelos números naturais, seus opostos e o zero. Caso julgue conveniente, utilize as perguntas iniciais do texto da página 12 (Você já ouviu falar em números negativos? Normalmente eles são utilizados para representar que situações?), como meio para investigar os conhecimentos prévios dos alunos sobre os números negativos. Motive-os a compartilhar

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Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito dos números inteiros com base nos exercícios da seção Agora é com você, da página 13. Destacamos que todas as atividades dessa seção servirão de norteadores para

Atividade 2 É provável que os alunos utilizem diferentes estratégias como resposta. Peça a eles que socializem suas soluções, registrem-nas e validem cada uma delas. Para ampliar a exploração da atividade e introduzir o conteúdo sobre funções operatórias com os números inteiros, sugerimos solicitar aos alunos a representação matemática da operação realizada.

23 22 21

0

1

2

3

4

°C

17°

Representação matemática: 23 1 7 5 14 ou 4

Atividades 7 e 8 Essas atividades exploram a percepção dos alunos em identificar a generalização de padrões e regularidades, o que contribui para o desenvolvimento e a mobilização do pensamento algébrico e, sobretudo, para a compreensão das variáveis e equações. A seguir apresentamos a resolução da atividade 15 da seção Agora é com você, da página 18, que trabalha o conceito de números inteiros no contexto das finanças. Atividade 15 Pretendemos no item f dessa atividade motivar os alunos a refletir sobre questões que envolvam finanças. Uma educação financeira adequada contribuirá para a formação de consumidores conscientes e capazes de gerenciar com prudência seus recursos: saber como ganhar, com o que gastar e como poupar. Faça uma sondagem com os alunos para verificar se têm conhecimentos sobre o vocabulário comum da área financeira e sua relação com a representação matemática: crédito, credor, débito, devedor, saldo positivo, saldo credor, saldo negativo, saldo devedor, dívida, depósito, saque, juro, entre outros.

MANUAL DO PROFESSOR

As noções iniciais no domínio dos números inteiros de antecessor e sucessor, ordem crescente e decrescente, apresentadas nas páginas 15 e 16, podem ser trabalhadas com o auxílio da reta numérica. Peça aos alunos que estabeleçam a relação entre tais conceitos e a posição dos números inteiros na reta numérica. É importante que os alunos percebam que um número posicionado à esquerda de outro será menor que ele, mas, quando posicionado à direita, será maior. Essa percepção evitará erros comuns como considerar 223 maior que 219, por exemplo. Os conceitos de valor absoluto ou módulo, simétrico ou oposto também poderão ser introduzidos por meio da reta numérica.

que os alunos construam seu conhecimento acerca dos números negativos.

DAE

Eduardo Belmiro

suas ideias iniciais sobre os números negativos. Em seguida, amplie os conhecimentos dos alunos sobre os números negativos por meio de tarefas interdisciplinares, por exemplo, com as aulas de Ciências. Para isso, propomos uma conversa sobre as estações meteorológicas e questionamentos como: quais são os instrumentos utilizados para medição de temperatura? É importante destacar a forma como esses instrumentos, em versão não digital, registram temperaturas positivas e negativas. Nesse momento, seria interessante estabelecer uma relação entre o mostrador de um termômetro (temperaturas negativas e positivas) e os pontos da reta numérica (números positivos e negativos).

303 303 pom7_mp_302_339_especifica.indd 303

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Para saber mais • Sugerimos ampliar a ideia de fusos horários para uma visão global, mostrando sua relação com a posição ocupada em cada continente no globo terrestre. Amplie os conceitos matemáticos aplicados para localizar os continentes, fale sobre os hemisférios, as linhas imaginárias e os sistemas de coordenadas. Segue uma sugestão de site com mapas para explorar esses conceitos: (acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 2 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Objetivos do capítulo • Compreender como efetuar a adição de dois números inteiros. • Utilizar as propriedades da adição de números inteiros. • Compreender como efetuar a subtração de números inteiros. • Resolver problemas relacionados à adição e à subtração de números inteiros.

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas explorações Sugerimos ler o texto introdutório do Capítulo 2, página 19, com os alunos. É importante que qualquer dúvida seja esclarecida no decorrer da leitura, pois o texto norteará os conceitos iniciais das operações de subtração e adição com números inteiros. A escolha de situações relacionadas às finanças, como associar saques ou retiradas com a operação de subtração e depósitos com a operação de adição ou soma, tem como objetivo levar os alunos a entender melhor as operações de adição e subtração dos números inteiros, pois relaciona tais conceitos com atividades cotidianas. Trabalhe as definições da página 19 com os alunos de forma intuitiva e dê outros exemplos numéricos. Por exemplo, inicie uma conversa estabelecendo um valor de saldo bancário inicial,

sugira valores de saques, retiradas ou depósitos e peça aos alunos que calculem os valores de saldo atual. Registre passo a passo as respostas dos alunos e, em seguida, peça que socializem o que perceberam. Para auxiliá-los, sugerimos os seguintes questionamentos: O que vocês percebem na soma de dois números positivos? E na soma de dois números negativos? Isso se aplica a qualquer situação? E quando temos dois valores: um negativo e outro positivo? Isso se aplica a qualquer situação? Ao final, institucionalize as definições dessa página. O objetivo da atividade da seção Trabalho em equipe da página 21 é também introduzir o desenvolvimento da adição e da subtração de números inteiros. Ao final da tarefa, discuta com os alunos os resultados obtidos. Solicite a entrega de um relatório no qual os alunos deverão registrar todos os passos e estratégias que utilizaram para chegar ao resultado. Esse procedimento facilitará a avaliação do entendimento dos alunos acerca dos conceitos trabalhados e dará um suporte adicional para interpretar possíveis dificuldades apresentadas. Sugerimos pedir aos alunos que copiem e completem a tabela da página 23, para que possam validar os conceitos institucionalizados anteriormente. Vale ressaltar que não temos a intenção de trabalhar conceitos de Álgebra. A atribuição das letras x e y é uma opção utilizada somente para indicar qual operação será efetuada com os valores atribuídos a x e y.

x

23 28

4

5

0 235 6 212 20

y

226 32

14

25 212 50

61

70 287

x 1 y 229 24

18

30 212 15

67

58 267

Apresente aos alunos as diferentes funções exercidas pelos sinais 1 e 2 (sinais operatórios e sinais numéricos). Tomaremos como exemplos os dois primeiros cálculos da tabela e, para facilitar a visualização, utilizaremos a legenda de cores a seguir. Sinais numéricos Sinais operatórios 23 1 (226) 5 229 28 1 (132) 5 124

304 pom7_mp_302_339_especifica.indd 304

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O Trabalho em equipe da página 28 é im­portante para o aluno verificar que as propriedades da adição (comutativa, associativa e elemento neutro) não são válidas para a subtração. Veja os exemplos a seguir.

Atividade 4 Nessa atividade sugerimos a forma tabular para representar os dados do exercício. A representação de dados em tabelas, ou em planilhas, é uma forma organizada de apresentação dos dados amplamente utilizada na área de Finanças. Data

Retirada (saque)

Depósito



Elemento neutro: 0 2 (23)  (23) 2 0

Saldo atual

2R$ 275,00 ?

Comutativa: (12) 2 (27)  (27) 2 (12) Associativa: [(12) 2 (27)] 2 (15)   (12) 2 [(27) 2 (15)]

Taxa

2 2R$ 15,00

R$ 2.750,00

2275,00 1 (?) 2 15,00 5 2 750,00 2275,00 2 15,00 1 (?) 5 2 750,00

Algumas resoluções

2290 1 (?) 5 2 750,00

Apresentamos algumas resoluções referentes à seção Agora é com você da página 29, que trabalha o conceito de subtração de números inteiros.

(?) 5 2 750,00 1 290,00 5 3 040,00 (salário)

Atividade 3 Veja a seguir outra sugestão para trabalhar com diferentes representações (expressões numéricas e reta numérica).

Veja a tabela completa com os valores calculados; a confecção da tabela final é importante para a validação dos cálculos realizados: Data

Retirada (saque)

Depósito

Taxa

Considere: 3o subsolo 5 23

2R$ 275,00

Expressão numérica: 120 2 (2 3) 5 120 1 3 5 123

R$ 3.040,00

DAE

Associação com a reta numérica: 20o andar

Saldo atual

R$ 2.675,00 2R$ 15,00

R$ 2.750,00

20

Atividade 6 15

10 Total de andares 5 3 5

Térreo

0

3o subsolo

23

Essa atividade poderá ser resolvida com o auxílio da calculadora. Sugerimos organizar os dados obtidos por meio do gráfico em uma tabela. Permita que os alunos estruturem a tabela e distribuam os dados da forma mais conveniente. Essa tabela deverá conter as informações mês a mês, indicando se ocorreu aumento ou diminuição das despesas e seu valor. Apresentamos a seguir uma possível resolução.

MANUAL DO PROFESSOR

No item Subtração de números inteiros, da página 27, trabalhamos o conceito de subtração de números inteiros como a soma do oposto. A amplitude térmica já havia sido proposta como exploração no capítulo anterior e foi trabalhada de forma intuitiva com o auxílio da reta numérica. Agora ela será retomada para auxiliar os alunos a compreender a regra operatória de subtração entre números inteiros.

305 305 pom7_mp_302_339_especifica.indd 305

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Setup

Faturamento da empresa

Faturamento (mil reais) 5.000

4.171

4.000

Objetivos do capítulo • Efetuar a multiplicação de números inteiros.

3.000 2.000

2.128

2.397

2.050

• Identificar e empregar propriedades da multiplicação de números inteiros.

1.000 nov.

0 ago.

set.

out.

dez.

Mês

682

1.000

Mês

Faturamento (mil reais)

ago.–set.

2 397 2 2 128 5 269 (aumento)

set.–out.

2 050 2 2 397 5 2347 (diminuição)

out.–nov.

2682 2 2 050 5 22 732 (diminuição)

nov.–dez.

4 171 2 (2682) 5 4 853 (aumento)

Para saber mais • Recomendamos como leitura completar o artigo Números negativos: uma traje­ tória histórica. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

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CAPÍTULO 3 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

• O material Educação financeira nas escolas, fornecido para download no site do Ministério da Educação, destina-se a alunos do Ensino Médio, mas é possível adaptar as informações fornecidas para aplicar em aulas com alunos do 7o ano. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

• Identificar o sinal resultante da multiplicação de dois números inteiros.

Algumas explorações Sugerimos uma argumentação com base na reta numérica: Multiplicar números de sinais contrários sempre nos leva para o lado esquerdo do zero, ou seja, multiplicação para resultados negativos. Se multiplicarmos números de sinais iguais, mesmo que estejamos à esquerda do zero, vamos procurar o oposto, que estará do lado direito. Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

Aqui propomos outra argumentação para auxiliar a introduzir a multiplicação de números inteiros. Partimos do pressuposto de que, não importa quantas vezes eu multiplico algo, intuitivamente só poderá resultar em um valor positivo. Logo, quando temos uma expressão aritmética em que um número é positivo e o outro é negativo, tomamos o número positivo para indicar quantas vezes podemos multiplicar ou efetuar somas sucessivas de um número negativo. Entretanto, quando nos deparamos com uma expressão em que no cálculo tivermos os dois números negativos, qual deles indicará quantas vezes eu terei de fazer a multiplicação? Nesse caso, pegamos um dos números negativos e o representamos

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essa informação ao obtermos o resultado da multiplicação, ou seja, o resultado será o oposto do resultado da multiplicação. A tabela a seguir exemplifica a argumentação proposta.

Expressão

Quem será multiplicado?

Quem indicará quantas vezes multiplicar? (não vale valor negativo – caso seja negativo, utilizar o oposto)

Resultado

22  3 5 26

22

13

(22) 1 (22) 1 (22) 5 26 ou 22  3 5 26

22  3 5 26

13

22 5 2(12)

2 [(13) 1 (13)] 5 2[6] 5 26 ou 2 [3  2] 5 2[6] 5 26

22  (23) 5 6

22

23 5 2(13)

2 [(22) 1 (22) 1 (22)] 5 2[26] 5 6 ou 2 [22  3] 5 2[26] 5 6

22  (23) 5 6

23

22 5 2(12)

2 [(23) 1 (23)] 5 2[26] 5 6 ou 2 [23  2] 5 2[26] 5 6

Ao apresentar as propriedades da multiplicação de números inteiros, é importante esclarecer aos alunos que elas valem para todos os elementos desse conjunto. Para indicar essa característica, em Matemática, utilizamos as letras ou a representação literal. Podemos também dizer que essa é uma forma de indicar a generalização das propriedades enunciadas para todos os inteiros.

Outras atividades 1. Nessa primeira atividade exploraremos a multiplicação e a divisão de números inteiros. Sabendo que a, b e c são números inteiros, sendo a 5 22, b 5 23 e c 5 5, preencha a tabela ao lado efetuando as multiplicações e divisões das expressões sugeridas para saber qual sinal será obtido, conforme o exemplo da primeira linha.

Expressão

Ex.: a  b aaa aa 2a 2b 2c ab ac b a c c a b a b b c c a b 2( 2(aa))  b 2c  b 2[2(c)]  b

Operação

(22)  (23) 5 16

Sinal

1

MANUAL DO PROFESSOR

em forma de oposto; assim, obtemos um número positivo para indicar quantas vezes a multiplicação deve ser feita, mas não podemos desprezar a informação de que estamos utilizando o oposto; utilizaremos

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Resolução: Expressão

Sinal

Ex.: a  b

(22)  (23) 5 16

1

aaa

(22)  (22)   (22) 5 28

2

aa

(22)  (22) 5 14

1

2a

2(22) 5 12

1

2b

2(23) 5 13

1

2c

2(15) 5 25

2

5 [240]  (212) 5

ac

(22)  (15) 5 210

2

5 240  (212) 5 480

b a c

(23) 6 (22)  51 (15) 5

1

(15) 5 (23) (210) 10 51 (23) 3

1

a b

(22) 2 51 (23) 3

1

b c

(23) 3 =− (15) 5

2

c a

(15) 5 =− (22) 2

a

(22) 

c b

(aa))  22( 2c  b

MANUAL DO PROFESSOR

Operação

de números inteiros são explorados de forma abstrata, sem a utilização de números, pois a finalidade é verificar a compreensão dos alunos sobre as propriedades sem o uso de argumentos numéricos.

b b

22 ( 2) 

(23) 5 12 (23)

2(15) 3 (23) 5 115

2[2(c)]  b 2[2(15)] 3 (23) 5 215

Atividade 3 Apresentamos outra possível maneira de obter o valor da expressão mostrada na atividade 3, realizada em dupla: [(25)  (10 2 2)]  (212) 5 5 [(25)  8]  (212) 5

Leve os alunos a perceber que é mais trabalhoso utilizar a propriedade distributiva da multiplicação na adição, por isso deve-se primeiro realizar o cálculo da expressão dentro dos parênteses.

CAPÍTULO 4 – DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS Objetivos do capítulo • Efetuar a divisão de números inteiros.

2

• Compreender a resolução de situações relacionadas à divisão de números inteiros.

1

• Resolver expressões numéricas com números inteiros.

1 2

Algumas resoluções Apresentamos aqui a resolução das atividades 2 e 3 da seção Agora é com você da página 35. Atividade 2 Peça aos alunos que compartilhem as estratégias utilizadas para a resolução da atividade 2, em que os conceitos de multiplicação

Algumas explorações Atividade 8 (em dupla) – página 39 O objetivo desse exercício é proporcionar a oportunidade de explorar a noção de conjunto. Caso julgue conveniente, explique aos alunos que todo conjunto apresenta determinadas propriedades e, para que um elemento pertença a esse conjunto, deverá atender a todas essas propriedades. Propomos também, se possível, destacar as convenções e os símbolos utilizados para a representação dos conjuntos. No Trabalho em equipe da página 39, é pro­p osto aos alunos verificar se as

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No item Expressões numéricas com nú­meros inteiros, da página 40, enfatize a importância dos sinais de associação em expressões numéricas para determinar a ordem das operações. Por exemplo, as calculadoras eletrônicas são dispositivos programados para efetuar primeiro a multiplicação e a divisão para depois realizar a adição e a subtração em expressões numéricas. Para verificar essa característica, peça aos alunos que digitem na calculadora a seguinte sequência: 4 1 3 3 2 5 (Obs.: só pressione a tecla de igualdade no final, para que a calculadora processe a expressão inteira). O resultado será 10; logo, a calculadora primeiro multiplicou 3 3 2 e depois somou 4 ao resultado. A única forma de alterar essa ordem é utilizando os sinais de associação. Algumas calculadoras contêm teclas com esses sinais. Já outras calculadoras, mais antigas, podem não dispor dessa função, o que acaba levando o aluno a encontrar um resultado igual a 14, pois elas efetuam 3 1 4 primeiro e, em seguida, multiplicam o resultado (7) por 2. Nesse caso, seria interessante utilizar um equipamento que atende a essa necessidade. Apresentamos a seguir algumas sugestões para ampliar a exploração dos conteúdos abordados nas atividades da seção Agora é com você da página 41. Atividade 1 Caso julgue relevante, oriente os alunos para que, quando se depararem com expressões que tenham vários números sem sinais de associação, que estabeleçam uma ordem, calculem os números dois a dois, a fim de evitar erro na atribuição dos sinais. a) 3  (25)  (22) 5 215  (22) 5 30

b) (27)  (21)  3 5 7  3 5 21 c) (24)  (12)  5 5 28  5 5 240 d) (22)  (210)  (21) 5 20  (21) 5 –20 e) 6  (23)  (22)  0 5 0 (Para evitar cálculos desnecessários, mostre aos alunos que qualquer multiplicação por zero terá o resultado igual a zero). Nesse capítulo espera-se que os alunos já estejam familiarizados com as regras de sinais trabalhadas no capítulo anterior com o conteúdo sobre a multiplicação de números inteiros. Sugerimos, ao introduzir os números racionais, pedir aos alunos que efetuem algumas divisões com os números inteiros e questioná-los se os números obtidos são elementos do conjunto dos números inteiros. Ressalte que matemáticos do passado depararam-se com esses tipos de questões. Como ocorreu com os números naturais, os números inteiros já não eram suficientes para resolver os problemas do cotidiano, daí o surgimento dos números racionais.

Outras atividades Apresentamos no capítulo anterior uma atividade que poderá ser explorada também nesse capítulo. Consulte o item Outras atividades do capítulo Multiplicação de números inteiros deste manual.

CAPÍTULO 5 – O PLANO CARTESIANO Objetivo do capítulo • Localizar pontos em um plano cartesiano.

Algumas explorações Para trabalhar o plano cartesiano, sugerimos a seguinte atividade, que pode ser, inicialmente, realizada em papel quadriculado e, depois, ampliada usando-se o software gratuito GeoGebra. a) No plano cartesiano a seguir, marque os seguintes pontos: A(2, 2); B(5, 22); C(7, 3); D(21, 3); E(26, 21); F(28, 3), G(8, 22); H(1, 22).

MANUAL DO PROFESSOR

propriedades da multiplicação com números inteiros são válidas também para a divisão. Peça aos alunos que apresentem um contraexemplo como justificativa quando constatarem que determinada propriedade não se aplica à divisão. Lembramos que, na Matemática, a lógica é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstre; se for falsa, basta apenas dar um contraexemplo.

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DAE

F

D

C

3 A

2 1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2

B

H

G

3

b) Dê os pares ordenados que identificam os pontos representados no plano cartesiano a seguir. R

3 2 M

9

8

7

6

5

1

4

3

N

2

1 O

0

Q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3

P

c) Abra o software GeoGebra; na caixa Entrada, digite um a um os pontos do item a e depois pressione ENTER. Eles serão inseridos na malha. Verifique se você identificou de forma correta os pontos no plano cartesiano.

Agora clique na ferramenta Novo ponto. Dotta

MANUAL DO PROFESSOR

M(24, 1); N(24, 21); O(21, 21); P(1, 23); Q(1, 1); R(6, 3)



Insira os pontos indicados no item b; para isso, basta clicar no local onde o ponto será inserido e exibir as coordenadas do ponto conforme orientações a seguir. Verifique se sua resposta referente a esse item está correta.

Para exibir as coordenadas do ponto, posicione o mouse sobre o ponto, clique com o botão direito, selecione Propriedades, marque a caixa Exibir Rótulo, selecione Valor e clique em Fechar. Veja a seguir o resultado da representação do ponto com coordenadas (1, 1):

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Dotta

As atividades propostas na seção Agora é com você, da página 44, têm como objetivo introduzir as noções iniciais de localização de pontos no plano por meio da analogia com as coordenadas geográficas. As orientações norte, sul, leste e oeste e suas combinações, já estudadas nas aulas de Geografia, serão a base para a compreensão dos conceitos de plano cartesiano e par ordenado. Propomos um trabalho com mapas que leve os alunos a localizar pontos no globo terrestre para posteriormente associar essas ideias iniciais com a localização e a representação de pontos em um plano cartesiano.

Para saber mais • Sugerimos assistir aos vídeos A história da Matemática, partes I, II, III e IV, indicados no site a seguir, que contam a história da Matemática, sua importância e o desenvolvimento das ideias matemáticas, como, por exemplo, dos números como forma de compreender

melhor o mundo que nos cerca. Visite: (acesso em: abr. 2015). • Sugerimos também a leitura do texto Plano cartesiano, que fala sobre o sistema de coordenadas criado por René Descartes. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 6 – TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: GRÁFICO DE BARRAS E DE LINHAS Objetivos do capítulo • Identificar e construir gráficos de barras simples e duplas. • Analisar gráficos de barras. • Relacionar gráficos estatísticos com situações reais.

MANUAL DO PROFESSOR

Algumas resoluções

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Algumas explorações

Objeto educacional digital

Esse capítulo tem como principal objetivo relacionar gráficos estatísticos com situações reais, como podemos ver no mapa do Brasil apresentado na página 45. Além de explorações matemáticas, é possível estabelecer relações com outras áreas do conhecimento. Note que a finalidade desse mapa é também servir de infográfico (recurso muito utilizado por jornais para apresentar uma grande quantidade de informações de forma visual). Se possível, realize uma abordagem conjunta com educadores de outras áreas disciplinares. Para obter mais informações e exemplos de infográficos, acesse: (acesso em: abr. 2015).

MANUAL DO PROFESSOR

Para construir gráficos estatísticos sobre situações reais do Brasil, como taxa de natalidade, índice de desemprego, dentre outras, são feitas pesquisas que baseiam-se no Censo Demográfico do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). O Censo ocorre a cada dez anos e o último ocorreu em 2010. Até o momento, são os dados mais confiáveis disponíveis para comparação de dados sobre a população brasileira. A diferença entre um censo e uma pesquisa amostral é que o primeiro tem a intenção de realizar a pesquisa com todos os cidadãos do país. Já uma pesquisa amostral é feita com apenas uma parcela da população. Para ampliar e sistematizar a informação dada no primeiro parágrafo da página 45, solicite aos alunos que identifiquem em jornais ou revistas informações transmitidas por meio de gráficos. Em sala de aula, poderão realizar uma análise das informações existentes no gráfico coletado para posterior socialização. É conveniente fazê-los refletir sobre a estrutura dos gráficos, observando, por exemplo, título e nome dados aos eixos. Cabe salientar que, além das informações diretas transmitidas nos gráficos, é importante questioná-los sobre a provável intenção da pesquisa realizada, o possível público a quem se destina e a importância dos resultados coletados.

Ao final dessa atividade, os alunos poderão perceber que existem diferentes tipos de gráficos e que são utilizados para diferentes fins. Como exemplos, podemos citar os gráficos utilizados para fins acadêmicos, que, em geral, têm uma estrutura diferente dos gráficos utilizados pela mídia, e estes, por sua vez, têm uma estrutura diferente de um gráfico processual. A ideia é fazê-los perceber que, apesar de estabelecermos passos para a construção de um gráfico, esse é um tema abrangente e flexível. No segundo parágrafo da página 46, os alunos são convidados a pensar sobre o porte das empresas (pequeno, médio ou grande). Se quiser ampliar essa abordagem, consulte o site (acesso em: abr. 2015). Nesse site é possível encontrar as classificações oficiais designadas pelo Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES). Segue abaixo a reprodução de uma tabela retirada do endereço eletrônico do BNDES citado acima. Porte de empresa A classificação de porte de empresa adotada pelo BNDES e aplicável a todos os setores está resumida no quadro a seguir: Classificação

Receita operacional bruta anual

microempresa

menor ou igual a R$ 2,4 milhões

pequena empresa

maior que R$ 2,4 milhões e menor ou igual a R$ 16 milhões

média empresa

maior que R$ 16 milhões e menor ou igual a R$ 90 milhões

média-grande empresa

maior que R$ 90 milhões e menor ou igual a R$ 300 milhões

grande empresa

maior que R$ 300 milhões

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Ao final dessas atividades, é interessante incentivar os alunos a realizar uma pesquisa na própria comunidade escolar ou em seu entorno. Para isso, sugerimos que eles se organizem em trios e trabalhem orientados pelos seguintes passos:

• Para saber mais informações sobre o uso de gráficos na Estatística, sugerimos as seguintes leituras:

1. Definir um tema a ser investigado por meio da pesquisa.

• Estatística aplicada, 3. ed., de Douglas Downing e Jeffrey Clark. São Paulo: Saraiva, 2010. Série Essencial.

3. Coletar os dados. 4. Organizar os dados coletados em uma tabela simples ou em uma tabela de mais de uma entrada.

Unidade 2 – Geometria: ângulos OBJETIVOS DA UNIDADE • Retomar a ideia de ângulo.

5. Apresentar os resultados utilizando gráficos de barras (não esquecer as partes que os compõem).

• Aprender a usar o transferidor.

6. Apresentar o gráfico e explicar as etapas e conclusões.

• Compreender o minuto como fração do grau e o segundo como fração do minuto.

Algumas sugestões de temática a serem investigadas: meio ambiente, mobilidade urbana, preços da cantina, limpeza da escola etc. Oriente os trios a escolherem, cada um, um tema diferente. Converse também com os alunos sobre como funciona uma pesquisa e quais técnicas podem ser seguidas. Oriente-os a obterem mais informações antes de iniciarem a atividade. O controle dos dados coletados e a escolha do tipo de gráfico mais adequado para cada situação são fatores importantes. Fale, ainda, que deve-se respeitar as proporções e que a clareza com que as informações são apresentadas torna o gráfico mais organizado e fácil de ser compreendido.

Para saber mais • Para saber mais informações sobre as últimas pesquisas de cunho social realizadas no Brasil, visite: (acessos em: abr. 2015). • Para saber mais informações sobre o censo do IBGE, acesse: .

• Utilizar o grau como unidade de medida de ângulo.

• Efetuar a adição e a subtração de medidas de ângulos apresentados em graus, minutos e segundos. • Efetuar a multiplicação e a divisão de medidas de ângulos apresentados em graus, minutos e segundos por números naturais. • Retomar as ideias sobre a classificação dos ângulos. • Obter medidas de ângulos entre duas retas concorrentes. • Identificar ângulos suplementares e ângulos complementares.

CAPÍTULO 7 – ÂNGULOS Objetivos do capítulo • Retomar a ideia de ângulo. • Aprender a usar o transferidor. • Utilizar o grau como unidade de medida de ângulo. • Compreender o minuto como fração do grau e o segundo como fração do minuto.

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2. Elaborar a pergunta investigativa, ou seja, o que pretendem descobrir.

• Estatística básica, 8. ed., de Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussad. São Paulo: Saraiva, 2013.

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Algumas explorações Com base no parágrafo introdutório da página 58, sugerimos apresentar como exemplo o relógio analógico, pela possibilidade que esse objeto apresenta em estabelecer uma relação entre seus ponteiros e a medida de ângulos. Peça aos alunos que observem a relação entre os ponteiros das horas, dos minutos e dos segundos e a medida de ângulos. Para guiá-los durante essas explorações, propomos alguns questionamentos: Quando o ponteiro dos segundos dá uma volta completa, quantos graus percorre o ponteiro dos minutos? Quantos graus percorre o ponteiro dos minutos em 15 minutos? Quantos graus percorre o ponteiro das horas em uma hora? O transferidor é apresentado na página 62 como instrumento para medida de ângulos. Verifique o conhecimento dos alunos acerca desse instrumento questionando-os sobre sua função, o que indicam suas escalas e como deve ser utilizado.

MANUAL DO PROFESSOR

É comum que os alunos apresentem dúvidas quanto à forma correta da manipulação do transferidor e, para auxiliá-los nessa tarefa, sugerimos assistir ao vídeo Como usar um transferidor, disponível no site a seguir: (acesso em: abr. 2015). Para despertar o interesse dos alunos acerca dos padrões adotados na medida de ângulos, questione-os sobre a razão pela qual o círculo é dividido em 360 partes e peça a eles que socializem suas ideias. Para conduzir as discussões, sugerimos a seguinte leitura complementar: Minutos e segundos são unidades de medida usadas no sistema sexagesimal, criado pelos babilônios por volta de 1800 antes de Cristo. “O sistema usa como base o número 60, diferente do arábico ou decimal adotado hoje, baseado no 10”, diz o matemático Jairo

Z. Gonçalves, da Universidade de São Paulo. Os babilônios criaram o sistema porque 60 é divisível por diversos números como 2, 3, 4, 5, e 12, diminuindo o uso de frações, com as quais os antigos tinham dificuldade. Adotar 360 graus – que é 60 multiplicado por 6 – para medir o círculo foi influência do movimento circular aparente do Sol no céu, que leva 365 dias. Ele percorre, em relação aos astros, cerca de 1 grau por dia. Um grau é formado por 60 minutos e 1 minuto por 60 segundos. A medida das horas do relógio também usa o sistema sexagesimal. Disponível em: . Acesso em: maio 2015.

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de ângulos com base nas atividades da seção Agora é com você da página 64. Atividade 1 Proponha aos alunos que compartilhem as estratégias utilizadas para indicar a medida do ângulo formado pelas semirretas. Ao final, peça a eles que elejam as estratégias que mais facilitaram a execução dessa tarefa. Atividades 3 e 4 Para a solução dessas atividades será necessário retomar os termos: ângulo agudo (menor do que 90°), reto (90°), obtuso (menor do que 180°), raso (180°) e congruente (ângulos de mesma medida). Atividade 5 Essa atividade poderá ser explorada destacando a importância da indicação de medidas precisas de ângulos quando há a necessidade de se traçar uma rota, para que, ao sair de um ponto inicial, possa se alcançar o destino desejado. A seção Trabalho em equipe da página 66 poderá ser utilizada para promover uma discussão coletiva, levando os alunos a perceber que tanto a medida de ângulo quanto

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Apresentamos a seguir algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de ângulos com base nas atividades da seção Agora é com você da página 67. Atividade 1 Essa atividade explora a habilidade dos alunos em representar de maneiras distintas as partes de uma circunferência: fração (parte/todo) e medida de graus. Sugerimos propor situações em que é dada a medida em graus e pedir a representação em fração, para que o aluno seja capaz de interpretar tais representações em diferentes contextos. Atividade 2 Se possível, proponha aos alunos que executem o movimento indicado nessa atividade. O movimento de girar está relacionado com a noção de ângulo. Futuramente, essa percepção será trabalhada em Geometria, com o tema Transformações geométricas, e o movimento de girar será definido como movimento de rotação. Faça uma associação entre os termos de sentido horário, como virar ou girar para a direita, e o de sentido anti-horário, como virar ou girar para a esquerda, que são muito utilizados para indicar direções em Matemática e em outras disciplinas. Aborde com os alunos a soma dos ângulos internos de um triângulo (180°) e amplie a atividade apresentando imagens

Sugerimos trabalhar o conteúdo propos­to na seção Bagagem cultural das páginas 68 e 69 de forma interdisciplinar com as aulas de Geografia. É importante que os alunos percebam a necessidade das referências angulares por causa da forma esférica da superfície. Além das explicações expostas nesse item sobre a definição dos fusos horários, seria interessante mencionar que, para localizar qualquer ponto da Terra com precisão, são necessárias as coordenadas geográficas formadas pelas referências angulares em conjunto com as localizações geográficas (latitude: norte e sul e longitude: leste e oeste). Dê como exemplo o Global Positioning System (GPS), dispositivo que informa a localização de um ponto qualquer utilizando as coordenadas geográficas.

Outras atividades Sugerimos uma atividade em grupo, cujo objetivo será explorar a noção de ângulo para traçar rotas. A atividade consiste em traçar uma rota para que um dos integrantes do grupo caminhe de um ponto de partida a um ponto de chegada. No trajeto serão colocados obstáculos para impedir que a rota traçada seja uma linha reta. No trajeto será obrigatório passar por todos os obstáculos. Para que os alunos tenham uma referência dos ângulos, propomos construir um quadrado de papel com 20 cm de lado. Para isso, dobre o quadrado ao meio, definindo a

MANUAL DO PROFESSOR

Para os alunos, o conhecimento prévio sobre conversão de medida de tempo (horas, minutos e segundos) pode facilitar o trabalho com conversão de medida de ângulo (graus, minutos e segundos), pois, como mencionado anteriormente, ambos têm como base o sistema sexagesimal, mas é importante chamar a atenção dos alunos para o fato de que, apesar da coincidência entre os nomes, eles são utilizados em contextos diferentes.

de polígonos como a ilustração apresentada abaixo, em que os alunos deverão perceber a propriedade dos triângulos, dos ângulos e do somatório destes.

Ilustração: DAE

a medida de tempo são baseadas no sistema sexagesimal (base 60).

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referência para o ângulo de 180°; dobre mais uma vez ao meio, definindo a referência para o ângulo de 90°; por fim, dobre no sentido das diagonais, definindo a referência para 45°. Os alunos poderão efetuar mais dobras caso necessitem de outras medidas de ângulo. A figura a seguir ilustra o que foi descrito anteriormente.

90°

135°

180°

45°

Ilustração: DAE

Dobrar

0° 360°

225° 270°

315°

MANUAL DO PROFESSOR

Recomendamos realizar essa atividade, se possível, na quadra de esportes da escola, e os obstáculos poderão ser formados por qualquer objeto. Os grupos deverão anotar a rota traçada, a qual conterá as instruções: avançar (indicando o número de passos), virar à direita e virar à esquerda (com a medida do ângulo). Sugerimos trocar as rotas entre os grupos, para que as instruções sejam validadas. Vencem os grupos que registrarem as rotas corretamente.

Para saber mais • Sugerimos o uso do software livre SuperLogo para explorar os conceitos de ângulos por meio de construção de figuras e traçado de rotas. Sua manipulação é feita com o uso de uma linguagem de programação simples e interativa. Veja a seguir um dos sites disponíveis para download: (acesso em: abr. 2015). • Sugerimos a leitura a seguir dedicada ao ensino das noções de ângulos no domínio da Geometria para o Ensino Fundamental. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

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CAPÍTULO 8 – OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULO Objetivos do capítulo • Efetuar a adição e a subtração de medidas de ângulos apresentados em graus, minutos e segundos. • Efetuar a multiplicação e a divisão de me­didas de ângulos dados em graus, minutos e segundos por números naturais.

Algumas explorações Com base na tabela de localizações geográficas de capitais brasileiras do Trabalho em equipe da página 72, é possível retomar o conceito de coordenadas geográficas por meio da localização de pontos no globo terrestre. Estabeleça a relação entre os quadrantes e as linhas imaginárias: a Linha do Equador define os hemisférios norte e sul, e o Meridiano de Greenwich define os hemisférios leste e oeste. Apresente um mapa com as coordenadas geográficas a fim de facilitar a visualização para os alunos de que as capitais apresentadas na tabela estão no terceiro quadrante; logo, têm latitude e longitude negativas. 150°O

120°O

90°O

60°O

2o quadrante: latitude: (1) longitude: (2)

0°

30°O

30°L

60°L

90°L

120°L

150°L

180° 90°N

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

Círculo Polar Ártico

75°N

60°N

1o quadrante: latitude: (1) longitude: (1)

60°N

45°N

45°N

30°N

30°N

Trópico de Câncer

OCEANO PACÍFICO

15°N

OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO PACÍFICO

N

15°S

0°

OCEANO ÍNDICO

15°S

Trópico de Capricórnio 30°S

O

Meridiano de Greenwich

3o quadrante: latitude: (2) longitude: (2)

15°N

Equador

0°

L

45°S

S 60°S

Círculo Polar Antártico

30°S

0 OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO

45°S

5 800 km

2 900

1:290 000 000

75°S

60°S

75°S 90°S

180°

150°O

120°O

90°O

60°O

30°O

0°

30°L

60°L

90°L

120°L

150°L

© DAE/Sonia Vaz

90°N 180° 75°N

180°

4o quadrante: latitude: (2) longitude: (1)

90°S

Na página 73, os alunos são convidados a explorar a imagem de um polígono (octógono). Sugerimos que eles descubram quantos triângulos é possível formar internamente e, com base no conceito da soma dos ângulos internos de um triângulo, descubram também o valor da soma dos ângulos internos desse polígono (6 × 180° = 1 080°). F

E

Objeto educacional digital

DAE

D

45° 135°

C

MANUAL DO PROFESSOR

Outras atividades

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Para saber mais • O vídeo A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é igual a 360° apresenta, de forma construtiva, uma demonstração da propriedade ma­temática. Visite: (acesso em: abr. 2015). • O vídeo A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180° também traz, de forma construtiva, uma demonstração da propriedade matemática. Disponível em: (aces­so em: abr. 2015).

CAPÍTULO 9 – ÂNGULOS E RETAS Objetivos do capítulo • Retomar ideias sobre a classificação de ângulos. • Obter medidas de ângulos entre duas retas concorrentes. • Identificar ângulos suplementares e ângulos complementares.

Algumas explorações Na seção Trabalho em equipe da página 78 foram apresentadas algumas placas com diferentes sinalizações.

MANUAL DO PROFESSOR

Ilustrações: DAE

Veja a seguir as placas de advertência que aparecem no Livro do Aluno e seus significados, que vão auxiliar nas discussões com os alunos sobre a importância dessas placas e suas associações com a representação de ângulos.

1. via lateral à direita

2. bifurcação em “T”

3. entroncamento oblíquo à esquerda

4. confluência à direita

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Outras atividades

Dica: é importante destacar com um ponto os vértices do triângulo, para que, no momento da montagem, os vértices possam ser alinhados corretamente.

Propomos uma atividade concreta para verificar duas propriedades matemáticas trabalhadas nessa unidade.

Apresente para os alunos as imagens a seguir e peça que as observem e tentem calcular o valor dos ângulos que aparecem representados por letras.

1. Em retas concorrentes os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Peça aos alunos que desenhem, em uma folha à parte, duas retas concorrentes. Marque o ponto em comum das duas retas. Com o auxílio de uma tesoura, corte sobre as retas traçadas, mas sem ultrapassar o ponto de encontro entre elas. O resultado será a folha dividida em quatro partes, cada uma delas representando um dos ângulos, unidas pelo ponto de encontro das duas retas. Peça aos alunos que dobrem o papel de forma que sobreponha os ângulos opostos pelo vértice, verificando a congruência entre eles. Recortar

Caso julgue conveniente, peça a eles que socializem as estratégias utilizadas para indicar as medidas dos ângulos solicitadas nessa atividade. Dessa forma, será possível verificar os conhecimentos adquiridos sobre ângulos no âmbito das formas geométricas. Veja a seguir a resolução dessa atividade.

1

y 70°

70°

70°

y

80° z x

30° y

x

z

70°

y

w70°

80°

x

2. A soma dos ângulos internos deyqualquer x triângulo é igual a 180°.

x

Peça aos alunos que construam um triânz wy z em uma w folha à parte. gulo qualquer Faça um 100° ponto em cada vértice do triângulo. Recorte o triângulo e, depois, seus vértices.y Solicite aos alunos que unam os vértices recortados y x x e veriy x 90° fiquem o ângulo obtido, que deverá medir 180°. Recortar

3

z

90°

x

5

y

w

u 100° y

y

7

y

90°

90°

36°

x

36°

x x

36°

36°

y

36°

108°

36° x

zx

x

36°

y 72°

108°

x

z

36°

z

z

x

36°

72°

108° 36° 108°

z 36°

x

36°

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z

36°

36°36° 36°

36°

36° z

x

xx

108°

36°

90°

z

36°

72°

y

90°

w

z

72°

w

w y

36°

y

108°

90°z

x

x

3

36° 90°

y

72° w

30°90° 90°

72°

x

100°

x

36°

y

90°

y

u

uv

v

y

x

72°

x 36°

w

6v

y y 90°

z

u

30°

y

xx

x

y y 30°

x

90°

y y 100° 100°

4

u

xyx

x

x

w

x

90°

y y

w

x xx

v

z

u v y

w

100°

80°

100°

x

x

z

v

x

80° 80°

y

80°

w

y

y

70°

70°

2

x

x

MANUAL DO PROFESSOR

Ilustrações: DAE

80°

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36°

• a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°;

D

C

• a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360°; • a soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 180° (n 2 2), em que n é igual ao número de lados.

x 5 180° 2 (70° 1 80°) 5 180° 2 150° 5 1.  5 30° 2.  x 5 90°; y 5 180° 2 (90° 1 30°) 5 5 180° 2 120° 5 60° 3. x 5 y 5 z 5 w 5 90°

y 5 90°; x 5 360° 2 (90° 2 90° 2 100°) 5 4.  5 360° 2 280° 5 80° 5.  w 5 y 5 90°; u 5 v 5 x 5 z 5 5 90°  2 5 45° 6. Se o triângulo for isósceles: x 5 y 5 5 90°  2 5 45° 7.  y 5 72°; x 5 180° 2 (2 3 72°) 5 5 180° 2 144° 5 36°; z 5 108°

Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de operações com medidas de ângulos com base na atividade 7 da seção Agora é com você da página 80.

MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 7 – item b Peça aos alunos que compartilhem suas soluções. Julgamos conveniente a análise das estratégias utilizadas e dos conhecimentos mobilizados, pois ainda não há uma conceituação formal dos conhecimentos de Álgebra. Uma maneira de solucionar essa atividade sem o uso da representação algébrica seria dividindo 90° por 3; sendo um o dobro do outro, um dos ângulos seria 1 3 30° 5 30°, e o outro 2 3 30° 5 60°. Na página 81, no item Ângulos entre retas concorrentes, apresentamos retas coplanares e sugerimos apresentar para os alunos uma imagem de retas reversas (que não estão no mesmo plano), para que eles possam perceber a diferença entre retas coplanares e retas reversas. Veja a sugestão a seguir.

G

F

Pontos a destacar:

E

As retas verde e vermelha são reversas.

A

H

B

Apresentamos agora algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de operações com medidas de ângulos com base nas atividades da seção Agora é com você da página 84. Atividade 6 Essa atividade explora os conceitos de ângulos suplementares e complementares. Veja a resolução dos itens b, c e e: b) O suplemento do ângulo procurado é igual a: 90° 4 3 5 30°; logo, o ângulo é igual a 90° 2 30° 5 60°. c) O complemento do ângulo procurado é igual a: 16° 4 2 5 8°; logo, o ângulo é igual a 90° 2 8° 5 82°. e) Observando a imagem do quadrado, temos quatro triângulos, em que dois de seus ângulos medem 45°; logo, o ângulo entre as diagonais será 90°. Atividade 9 Sendo os ângulos opostos pelo vértice congruentes, teremos dois ângulos de medidas iguais a 55°, logo, a soma dos quatro ângulos é 360°. Para obter o valor dos outros dois ângulos, subtrai-se 110° de 360°, 360° 2 (55° 3 2) 5 5 360° 2 110° 5 250°. Como os dois ângulos são congruentes, o valor de cada um será obtido dividindo-se 250° por 2: 250° 4 2 5 125°. Logo, teremos dois ângulos medindo 55° e dois medindo 125°.

Para saber mais • Caso deseje saber mais informações sobre as placas de sinalização, acesse o site do Departamento de Infraestrutura de Transporte (DNIT): (acesso em: abr. 2015).

320 pom7_mp_302_339_especifica.indd 320

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OBJETIVOS DA UNIDADE • Compreender e identificar um número racional. • Representar um número racional na forma fracionária. • Representar um número racional na forma decimal. • Comparar dois números racionais quaisquer. • Associar a cada número racional um ponto na reta numérica. • Efetuar a adição e a subtração de números racionais nas formas fracionária e decimal. • Resolver problemas por meio da adição e da subtração de números racionais. • Efetuar a multiplicação e a divisão de números racionais nas formas fracionária e decimal. • Resolver problemas por meio da multiplicação e da divisão de números racionais. • Compreender ideias iniciais a respeito da potenciação de números racionais com expoentes inteiros. • Compreender ideias iniciais sobre a radiciação de números racionais. • Desenvolver o pensamento estatístico. • Desenvolver o pensamento analítico. • Interpretar as informações de um gráfico. • Fazer inferências relacionando dados estatísticos com situações reais. • Relacionar a Estatística com outros con­teú­dos matemáticos.

CAPÍTULO 10 – NÚMEROS RACIONAIS Objetivos do capítulo

• Compreender e identificar um número racional. • Representar um número racional na forma fracionária. • Representar um número racional na forma decimal. • Comparar dois números racionais quaisquer. • Associar a cada número racional um ponto na reta numérica.

Algumas explorações Para embasar os questionamentos introdutórios da página 91, apresentamos algumas definições para o termo racional em diferentes contextos. racional adj.2g. 1 dotado de ou conforme à razão 2 que demonstra bom senso;  insensato 3 em que há coerência, lógica;  incoe­rente 4 mat cuja expressão exata é a razão entre dois números (diz-se de número); s.m. 5 mat número racional ~ racionalidade s.f. HOUAISS, A.: Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. 4. ed. Rio de Janeiro: Objetiva, 2010.

Nesta unidade, é importante que os alunos reconheçam a necessidade de uma nova ampliação do sistema numérico, pois a divisão de dois números inteiros nem sempre é um número inteiro. Um número é considerado “racional” quando pode ser representado como a "razão" de dois números inteiros.

Outras atividades É comum os alunos apresentarem dificuldade em comparar números na forma fracionária ou decimal. Um recurso auxiliar para introduzir esse conceito poderá ser realizado por meio da visualização de um mesmo número em diferentes registros. A atividade a seguir explora essa característica, na qual serão trabalhados três tipos de registro para um mesmo número: fracionário, decimal e figural.

MANUAL DO PROFESSOR

Unidade 3 – Números racionais

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1. Complete a tabela abaixo e, na sequência, coloque os números na forma decimal em ordem crescente. Representações Fracionária

Decimal

3 4 7 8 2 10

0,875

2 3

0,666...

6 8

0,75

1 2

0,5

4 8

0,5

5 6

0,8333...

Parte/todo

0,75

0,2

MANUAL DO PROFESSOR

E os números na forma decimal em ordem crescente ficam: 0,2; 0,5; 0,5; 0,666...; 0,75; 0,75; 0,8333...; 0,875. 2. Sugerimos também uma atividade que poderá ser realizada em grupos. O objetivo é visualizar de forma concreta a posição dos números racionais na reta numérica. Para isso, os grupos deverão organizar uma série de números racionais, preestabelecidos, respeitando sua posição na reta. Os materiais necessários são: barbante, tesoura, cartões ou pedaços de papel com os números e clipes. De posse dos números, os alunos deverão organizá-los, prendendo-os com os clipes no barbante, mas de forma que possibilite sua movimentação. Números iguais ou frações equivalentes deverão ser posicionados no mesmo clipe. Veja a seguir uma proposta de sequência de números a serem utilizados.

27 9 5 3

2

0,25

22 1 4 1 2 3

10 23 2

8 4

5 2 2 8 2,5

31 2 27 21

15

7 2 32 2

2

49 14 100 10

2

A organização final deverá ser a seguinte: 7 49 27 8 ; –  ; –3 ; –2; –  ; –7; –  ; –  2 14 9 4 1 1 2 5 5 –1;–  ; ; ; 0,25 ; ; ; 2,5 ; 3 4 8 3 2 10; – 

100 31 32 ; 15; ; 10 2 2

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de números racionais com base nas atividades da seção Agora é com você da página 96. As atividades 2 e 6 exploram o conceito de que todo número racional pode ser representado como a razão entre dois inteiros. É importante que os alunos percebam que, na forma decimal, esses números poderão ser representados como forma decimal exata e forma decimal periódica. A forma decimal não periódica não permite sua representação como razão entre inteiros; este é o caso dos números irracionais, que serão abordados mais adiante. Na atividade 6, o aluno poderá questionar se o item b é ou não uma dízima perió­dica, pois o número apresentado no visor da calculadora poderá ser o seguinte: 1,1666666667. Explique aos alunos que o número 7 indica o arredondamento feito pelo dispositivo por causa da limitação em exibir as próximas casas decimais.

Para saber mais • Se possível, sugerimos apresentar aos alunos o vídeo Pontos em uma reta numérica para facilitar o entendimento sobre o posicionamento dos números racionais na reta numérica e sua

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ordenação. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 11 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS • Efetuar a adição e a subtração de números racionais nas formas fracionária e decimal. • Resolver problemas por meio da adição e da subtração de números racionais.

Petrobras Distribuidora

Objetivos do capítulo

Algumas explorações

Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

MANUAL DO PROFESSOR

Com base na pesquisa proposta para a comparação dos preços da gasolina em diferentes postos de abastecimento, na página 101, apresentamos a seguir algumas informações complementares para que os alunos possam compreender quais fatores influenciam a composição do preço final aplicado ao consumidor. Caso julgue conveniente, amplie a discussão sobre as diferentes cargas tributárias (municipal, estadual e federal) como justificativa para os diversos preços aplicados em diferentes regiões e localidades do Brasil.

323 323 pom7_mp_302_339_especifica.indd 323

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Na página 102, são apresentadas as propriedades da adição de números racionais. Caso seja necessário, retome tais propriedades com os alunos para os outros conjuntos numéricos. As propriedades de adição dos números racionais valem para os inteiros, mas é importante ressaltar que, para os números naturais, não é válida a propriedade do oposto ou simétrico, o que justifica a necessidade de ampliação do domínio dos naturais para os inteiros. A seguir, apresentamos uma forma de estruturar o que se pede para verificar a validade das propriedades da adição na subtração de números racionais. É importante destacar que talvez seja necessário apresentar contraexemplos, caso a propriedade não seja válida.

Logo: 3 1 4 3 1 4 5 2 2 62 2 2 2 2 3 5 2 3 5 Obs.: a propriedade associativa só será válida na subtração quando: a 5 b 5 c. • Elemento neutro: a 2 0 5 0 2 a 5 a Não existe elemento neutro na subtração. Segue contraexemplo. Sendo a 5

3 3 205 , 4 4 3 3 mas 0 2 52 ; 4 4 logo,

• Comutativa: a 2 b 5 b 2 a A comutativa não é válida para a subtração. Segue contraexemplo.

1 1 Sendo a 5 e b 52 , temos que: 2 5 1 1 7 5 2 2 2 5 10 1 1 7 52 2 5 2 10 Logo: 2

3 , temos que: 4

3 3 2002 4 4

• Oposto ou simétrico: a 1 (2 a) 5 0 Não é necessário verificar essa propriedade para a operação de subtração, pois ela é válida somente para a adição.

Outras atividades Veja a seguir algumas sugestões de atividades para esse capítulo. Atividade Observe a pirâmide a seguir.

1 1 1 1 2 2 2 2 2 5 5 2

MANUAL DO PROFESSOR

• Associativa: a 2 (b 2 c) 5 (a 2 b) 2 c A associativa não é válida para a subtração. Segue contraexemplo.

3 1 4 Sendo a 5 , b 52 e c 5 , 2 3 5 temos que:

3 1 4 3 17 5 2 2 5 2 2 2 2 3 5 2 15 5 5

3 17 79 1 5 2 15 30

3 1 4 3 1 4 2 2 2 62 5 1 5 2 3 5 2 3 5

5

11 4 31 2 5 6 5 30

24 27

27 3

5

212

29

11

a) Com base nas operações de adição e subtração de números inteiros, descubra qual operação foi efetuada para obter o resultado a seguir. 24 27

3

Foi efetuada uma adição. b) Com base na resolução do item a, preen­cha a pirâmide:

324 pom7_mp_302_339_especifica.indd 324

5/26/15 5:55 PM

Resolução

mas os resultados deverão ser representados na forma decimal e fracionária. Veja a resolução.

296

25 4

227 1

8

24 27

274

3

247 228

27 5

219 2

221 212

29

11

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de adição e de subtração de números racionais com base em atividades da seção Agora é com você das páginas 103 e 105. Na atividade 8 da página 103, os alunos depararão com a falta de dados para resolver o problema. É importante fazê-los vivenciar esse tipo de situação, pois se conscientizarão da necessidade de realizarem uma leitura crítica e atenciosa dos enunciados propostos antes de resolverem o problema. Atividade 8

Sílvia tinha os seguintes registros em sua conta bancária (o sinal “1” representa um depósito, e o sinal “2“ representa uma retirada):

28/11

2550,00

30/11

11.253,25

2/12

2300,25

5/12

12.356,98

10/12

21.586,95

12/12

2987,69

1 3 520,5; b 5 5 0,6; 2 5 23 c 52 52 2,3 10

a 52

Qual era seu saldo em 12/12? Resolução: não há dados suficientes para informar o saldo neste período (falta o valor do saldo inicial). Já na atividade 8 da página 105, os alunos podem escolher com qual representação vão trabalhar. Veja uma sugestão de resposta. Atividade 8 Aqui optamos por realizar os cálculos com os números a, b e c na forma decimal,

a) a 1 b 1 c 5 20,5 1 0,6 2 2,3 5 5 22,2 5 2

11 5

b) a 2 b 2 c 5 20,5 2 0,6 1 2,3 5 1,2 5

6 5

c) a 1 (c 2 b) 5 20,5 1 (22,3 2 0,6) 5 5 20,5 2 2,9 5 23,4 5 2

17 5

d) 2  a 2 (b 1 c) 2 (a 1 c) 5 5 0,5 2 (0,6 2 2,3) 2 (20,5 2 2,3) 5 5 0,5 2 (21,7) 2 (22,8) 5 50 5 0,5 1 1,7 1 2,8 5 5 5 10

Para saber mais • Assista à entrevista com o especialista no ensino da Matemática, o professor Horácio Itzcovich, da Universidade de Buenos Aires, que fala sobre os erros cometidos pelos alunos na aprendizagem dos números racionais. A palestra foi realizada durante a Semana da Educação 2010. Disponível em: (acesso em: maio 2015).

CAPÍTULO 12 – MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS Objetivos do capítulo • Efetuar a multiplicação e a divisão de números racionais nas formas fracionária e decimal. • Resolver problemas por meio da multiplicação e da divisão de números racionais.

MANUAL DO PROFESSOR

222

325 325 pom7_mp_302_339_especifica.indd 325

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Algumas explorações No conjunto dos números racionais, é possível que o resultado obtido na multiplicação seja menor do que o inicial e, ao dividirmos, o valor poderá ser maior. Para os alunos, que já vinham trabalhando com os números naturais e inteiros, essa inversão de conceitos – multiplicar diminui e dividir aumenta – pode suscitar vários questionamentos. Veja a seguir outra maneira de facilitar a compreensão dos alunos sobre essas características.

1 unidade

1 unidade 3 1 5 1

apresentadas na página 108, na divisão de números racionais por meio de exemplos. Apresentamos a seguir uma forma de estruturar o que se pede, a fim de verificar a validade das propriedades da multiplicação para a divisão de números racionais. É importante lembrar a necessidade de apresentar contraexemplos, caso a propriedade não seja válida.

a b 5 b a

• Comutativa:

A comutativa não é válida para a divisão. Segue um contraexemplo: Sendo a 5

1 1 e b 52 , temos que: 2 5 1

1 1 5 4 2 2 5

1 unidade 3 1 unidade

1 1 5 unidade 2 2

(ao multiplicarmos, temos como resultado metade de 1 unidade)



2 1 5

1 5 3 (25) 5 2 2 2 1

1      5 5  2 1 1

2

1 unidade

1 1 1 unidade 3 5 unidade 3 3 (ao multiplicarmos, temos como resultado um terço de 1 unidade)



1 5

 2 

2 5

Logo:

1  1 1  1 4 2   2 4   2  5 5  2 Obs.: a propriedade comutativa só será válida na divisão quando: a 5 b.

MANUAL DO PROFESSOR

• Associativa: a 4 (b 4 c) 5 (a 4 b) 4 c

4 unidades

1 4 unidades 4 5 8 unidades 2 (dividiu-se cada unidade ao meio, tendo agora 8 unidades, ou seja, o dobro da quantidade inicial)

Na seção Trabalho em equipe da página 111, pede-se para validar as propriedades da multiplicação de números racionais,

326 pom7_mp_302_339_especifica.indd 326

A associativa não é válida para a divisão. Segue um contraexemplo: Sendo a 5 temos que:

3 1 4 , b 52 e c 5 , 2 3 5

 1  2   3 4 2 1 4 4 5 3 4 3  5     2  3 5 2  4   5      5 3 4 2 1  5  5 3 4 2 5  5    2 3 4 2 12  3   2 5 5 3   2 12  52 18  5  2  5  5  2  12

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e

 3 3  2  1  4  4  2   4 5  3  5  2 21  3

Resolução

  4 4 5  5 

227

3  4 9 4 5   23  4 52 4 5 2 5 2  5 9 2 9 5 45 5 2 52  52 4 2 4 8 5

( )

3  1 4   3  1  4 4 2 4    4 2   4 2  3 5   2  3   5 Obs.: a propriedade associativa só será válida na divisão quando: a 5 b 5 c. • Elemento neutro: a 4 1 5 1 4 a 5 a Não existe elemento neutro na divisão, segue contraexemplo:

3 , temos que: 4

e

3 1 4 4 5 51  5 4 3 3 3 4

254

33

218

212

 3    2

Apresentamos a seguir algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de divisão de números racionais com base nas atividades da seção Agora é com você da página 112. Atividade 2 Nessa atividade, destaca-se o uso de números decimais. Incentive os alunos a perceber as permanências e alterações nos resultados observando as divisões solicitadas. Atividade 5 Apresentamos a seguir a resolução dessa atividade.

1 42312 3 4 5 8 5 8 3 3 2 2 1 4

3 3 41  1 4 4 4

Outras atividades Veja a seguir algumas sugestões de atividades para esse capítulo. 1. Sendo os retângulos reservados para as operações e os círculos para os resultados, substitua os sinais de interrogação tornando a sequência dada correta.  1  2   3

?

?

212

?

33

?

 3    2

• Sugerimos a leitura da reportagem Introdução aos números racionais , com sugestões para facilitar a familiarização dos alunos com o sistema numérico dos números racionais. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Para ampliar a pesquisa, segue sugestão de vídeo para exemplificar aos alunos a divisão de números decimais. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

MANUAL DO PROFESSOR

Para saber mais

Logo:

227

 4  2   3

1 3 2 1 2 8 3 2 3 2  5 8 3

3 3 41 5 4 4 14

9

Algumas resoluções

Logo:

Sendo a 5

 1  2   3

327 327 pom7_mp_302_339_especifica.indd 327

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CAPÍTULO 13 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS Objetivos do capítulo

a) 24 b)

Algumas explorações

MANUAL DO PROFESSOR

A seção Conexões da página 114 apresenta a história do cubo mágico. Se possível, com o objetivo de realizar um trabalho interdisciplinar com Geografia e História, peça aos alunos que localizem no mapa o local onde o cubo de Rubik foi criado e também façam uma pesquisa sobre o contexto histórico da época. Esta pode ser uma curiosidade dos alunos, o que possibilita a movimentação das peças do cubo.

d)

Alternativa e.

e) 9

5 4

(Fuvest) O valor de (0,2)3 1 (0,16)2 é:

• Compreender ideias iniciais sobre a potenciação de números racionais com expoentes inteiros. • Compreender ideias iniciais sobre a radiciação de números racionais.

1 9

c) 1



a) 0,0264

c) 0,1056

b) 0,0336

d) 0,2568

e) 0,6256

Alternativa b.

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de potenciação de números racionais com base nos exercícios da seção Agora é com você da página 116. Atividade 3 Nessa atividade é importante que os alunos percebam a diferença entre as notações e a manipulação dos sinais (2 / 1), e a seguinte regularidade: números negativos com expoentes ímpares resultam em números negativos, e números negativos com expoentes pares resultam em números positivos.

No item Expressões numéricas da página 118, é solicitada a resolução de uma expressão numérica com os números racionais, que 2  2  2  2 4 podem ser representados na forma decimal a) A 52  2  552   2    2   52 ou fracionária. Dependendo da operação que 25  5   5   5   será realizada, uma representação pode ser 2  2  2 4 mais vantajosa do que a outra. Por exemplo,  2  52  2  552   2    2   52 o cálculo com potências pode ser facilitado  5  25   5   5   colocando-se os números em forma fracio3  2  2  2  2 8 nária. Já as operações de adição e subtra B 5  2  5   2    2    2   52  5 ção de números racionais, em alguns casos, 125   5   5   5   podem ser facilitadas colocando os números 3 na forma decimal. Converse com os alunos e  2 2  5   2 2    2 2    2 2   52 8         125 peça a eles que relatem quais representações  5    5   5   5   e em quais contextos uma forma é mais van Resposta: A  B tajosa do que a outra. 3

 2  2  2  2 8 b) A 5 2 2  52   2    2    2   5   3  3   27   3   3  Apresentamos a seguir atividades que 3 envolvem o conceito de potenciação de  2  2  2 2 8 2 2  5 52 2  2  2 5 números racionais.   2      3   3   3   3   27 (UFRGS) O valor da expressão

Outras atividades

3

0

  (25) 2 4 1  1  5 (22) 3 11 2



2

é:

 2   2   2    2 8 B 5 2  5  −   −    −   52    3 27  3   3   3  

328 pom7_mp_302_339_especifica.indd 328

5/26/15 5:56 PM

auxiliá-los na tarefa de representação de números na forma de porcentagem, na forma decimal e na forma fracionária. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

3

 2   2   2    2 8  2  5  −    −    −   52 3 27  3   3   3   Resposta: A  B

Para saber mais • Sugerimos apresentar aos alunos o vídeo Representando um número em forma de decimal, porcentagem e fração para

CAPÍTULO 14 – TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: GRÁFICO DE SETORES Objetivos do capítulo • Identificar e construir gráficos de setores. • Analisar gráficos de setores. • Relacionar gráficos estatísticos com situações reais.

Algumas explorações Esse capítulo busca relacionar gráficos de setores a situações do cotidiano, a fim de apresentar uma importante ferramenta utilizada na visualização de informações. O gráfico de setores possibilita uma visão mais clara dos valores apresentados. 1

Ilustrações: DAE

27%

30%

2 15% 5%

3 4

23%

Esse tipo de gráfico também pode ser apresentado como um cilindro. Observe na figura a seguir que colocamos o valor que está à frente em perspectiva e perdemos parte da visualização da proporção. 1 27% 30%

2 15%

23%

5%

3 4

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5

5

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A impressão visual é de que o valor 23% é maior do que 30% e 27%, o que pode induzir as informações de maneira errada. Na página 122, o texto traz um problema que envolve a reforma agrária; para que os alunos compreendam melhor o texto, é interessante sugerir que façam uma pesquisa com o tema: O que é a reforma agrária e quais são os movimentos sociais que a defendem. Essa temática pode ser abordada com a campanha promovida pelo Greenpeace e outras entidades ambientais que preveem a possibilidade de recuperar terras improdutivas. Essas entidades ressaltam que, se houver planejamento e execução de ações de recuperação das terras improdutivas, não haverá necessidade de desmatamento no país para o aumento da produção agrícola e do setor pecuário.

Outras atividades No site a seguir há uma abordagem detalhada para a construção de um gráfico de setores no papel milimetrado que pode ser utilizada antes de os alunos serem conduzidos à sala de informática. Visite: (acesso em: abr. 2015).

Para saber mais

MANUAL DO PROFESSOR

• Para saber mais da campanha Desmatamento Zero, acesse: (acessos em: abr. 2015). • Para saber mais da Reforma Agrária, visite: . • Para saber mais do Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem Terra (MST), acesse: . • Para saber mais do uso de gráficos na Estatística, sugerimos as seguintes leituras: Estatística básica, 8. ed., de Wilton de O. Bussad e Pedro A. Morettin. São Paulo: Saraiva, 2013. E um título

da Série Essencial: Estatística aplicada, 3. ed., de Douglas Downing e Jeffrey Clark. São Paulo: Saraiva, 2010.

Unidade 4 – Geometria: áreas OBJETIVOS DA UNIDADE • Retomar a ideia de medida de superfície. • Calcular a área de quadrados com base na medida do lado. • Compreender procedimentos para o cálculo de área de retângulos. • Resolver problemas relacionados às áreas de quadrados e retângulos. • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um triângulo com base nas medidas da base e da altura. • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um paralelogramo. • Resolver situações de cálculo de áreas de triângulos e paralelogramos. • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um losango com base nas medidas de suas diagonais. • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um trapézio.

CAPÍTULO 15 – O CONCEITO DE ÁREAS Objetivos do capítulo • Retomar a ideia de medida de superfície. • Calcular a área de quadrados com base na medida do lado. • Compreender procedimentos para o cálculo de área de retângulos. • Resolver problemas relacionados às áreas de quadrados e retângulos.

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Inicialmente sugerimos uma pesquisa em jornais, revistas e internet sobre o preço do metro quadrado (m 2) – medida padrão utilizada pelo mercado imobiliário em áreas urbanas – de terrenos ou imóveis (área construída) em diferentes localidades. Em seguida, com base nos dados coletados, pergunte aos alunos o que pode influenciar as diferenças de preços de uma localidade para outra. Espera-se que os alunos percebam que fatores como infraestrutura, serviços oferecidos, localização, entre outros, influenciam a composição do preço total dos imóveis. No item Medida de superfície, da página 133, o metro quadrado é apresentado como unidade-padrão para medida de área. No item d do Trabalho em equipe da página 135, propomos o seguinte questionamento: Considerando que essa medição foi feita com as pessoas em pé, será que caberia a mesma quantidade de pessoas sentadas? Motive os alunos a compartilhar ideias e possibilidades para aprimorar o aproveitamento de espaços em áreas comuns, como em transportes públicos, estádios, praças, parques, entre outros. Converse com eles sobre os desafios das grandes cidades para administrar esses espaços públicos ocupados por um número cada vez maior de pessoas.

Outras atividades Sugerimos a seguir uma atividade que envolve os conceitos de medida de área e unidades de medida. 1. Se possível, sugerimos uma tarefa interdisciplinar com as aulas de Educação Física e Ciências. Proponha aos alunos uma pesquisa sobre os padrões de medidas adotados na construção de quadras de tênis, basquete, campos de futebol, entre outras. Motive os alunos a calcular a medida da área de diferentes superfícies, com base nos dados coletados na pesquisa, podendo ser utilizadas diferentes unidades de medida.



O texto disponibilizado no site abaixo com o título Futebol – medidas e curiosidades poderá ser discutido em sala de aula, pois aborda outras padronizações de medida, como o peso da taça, os aspectos técnicos das bolas utilizadas em algumas Copas (por exemplo: a “Brazuca”, bola utilizada na Copa sediada pelo Brasil, em 2014), a potência do chute, entre outras curiosidades que envolvem a metrologia no futebol. Fonte: (acesso em: abr. 2015).

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de medida de superfície com base nas atividades da seção Agora é com você da página 134. Atividade 7 Como a medida da área total é igual a 81 cm2, a medida de cada lado do quadrado será igual a

81 5 9 , ou seja, 9 cm, como

cada lado é formado por 9 quadrados, a medida de cada um dos lados dos quadrados menores será igual a 1 cm, com medida de área igual a 1 cm 2. Por meio de contagem verificamos que a área de cerâmica não pintada é composta de 18 quadrados, tendo como medida de área total 18 cm2; logo, para obter a medida da área de cerâmica pintada basta subtrair esse valor da área total: 81 cm2 2 18 cm2 5 63 cm2. Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de área do quadrado com base nas atividades da seção Agora é com você da página 138. Atividade 3 Se possível, peça aos alunos que registrem as estratégias utilizadas para resolver cada um dos itens dessa atividade, que poderão ser feitos por meio de texto e/ou desenhos. O objetivo é acompanhar o tipo de raciocínio utilizado. Proponha a eles que compartilhem

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Algumas explorações

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a) A medida de área total do terreno é igual a: (25m)2 5 625 m2. Como somente a metade será coberta por grama, a quantidade de grama suficiente para cobrir o terreno é igual a: 625 4 2 5 312,5. Ele encomendará 312,5 m2 de grama. b) Peça aos alunos que socializem as estratégias utilizadas e registrem os passos para obter o resultado. Nessa atividade, trabalhamos informalmente o conceito de perímetro.

A 2,25 cm2 Área: 2,25 cm2

2,5 cm2

1,5 cm2

1,5 cm2

1 cm2

2,5 cm2 6,25 cm2

3,5 cm2

3,5 cm2

1 cm2

1 cm2

Área: 12,25 cm2

11 m

11 m

2,25 cm2

Área: 6,25 cm2 D

C

6,25 cm2

B

Ilustrações: DAE

suas estratégias e, ao final, façam a institucionalização, estabelecendo a relação com o conteúdo matemático estudado.

Área: 20,25 cm2

11 m

Supondo que o quadrado A seja o quadrado 1, B o quadrado 2, e assim sucessivamente, teremos a seguinte expressão: [1,5 1 (número do quadrado o qual se deseja saber o valor da área 2 1)]2

11 m

A medida do lado do terreno foi obtida por: 121 5 11 m . Para obter o comprimento da tela para cercar o terreno, basta multiplicar o lado por 4; logo, serão necessários 44 m de tela.

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Algumas resoluções Na atividade 4 da página 138, peça aos alunos que procurem estabelecer uma relação entre o lado do quadrado e sua área para encontrar regularidades. Motive-os também a criar uma expressão que possibilite generalizá-la para qualquer quadrado nessa sequência. Em cada quadrado destacamos o valor da medida das áreas quando acrescido 1 cm de lado. Apresentamos a seguir uma possível solução para o que se pede.

Chamando de n o número do quadrado o qual se deseja saber o valor da área, então: 1,5 1 (n 2 1) equivale à medida do lado do quadrado cujo valor de sua área pretendemos encontrar. Como exemplo vamos calcular a área do quadrado 4, aqui representado pela letra D:

n54 lado D 5 1,5 1 (n 2 1) 5 1,5 1 (4 2 1) 5 5 1,5 1 (3) 5 4,5 Área D 5 l2 5 [4,5]2 5 20,25 cm2 No item c do Trabalho em equipe, comente com os alunos que, por decomposição do quadrado, temos que o quadrado maior tem sua área equivalente a duas vezes o quadrado menor; logo, a medida da área do quadrado maior é igual a: 9,56 3 2 5 19,12 cm2. Apresentamos agora algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito de área do retângulo com base nas atividades da seção Agora é com você da página 142.

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É interessante ampliar a atividade sistematizando com os alunos algumas notações com base em cada item do exercício, por exemplo:

c) Primeiro calcular a medida da área da garagem:

10 cm  3,6 cm 5 36 m2.

Calcularemos a área ocupada por cerâmica:

a) bh



b) h(b 1 1) 5 bh 1 h h representa o aumento de 8 cm²

É importante perceber que a unidade de medida da garagem é o m2 e a da cerâmica está em cm2. Para realizar o próximo cálculo, devemos padronizar as unidades de medidas. Optaremos por converter m2 para cm2:

c) (h 1 1) b 5 bh 1 b b representa o aumento de 10 cm² d) h(2b) 5 2(bh) e) (2h)b 5 2(bh) f) (2h)(2b) 5 4(bh) Atividade 6 a) Sabendo que a medida da área de um retângulo é igual a bh, temos: 45 5 x  7,5 Para descobrir o valor de x, divide-se 45 por 7,5. 45 4 7,5 5 6 Logo, x 5 6 cm. b) Como y é o dobro de x, temos que y 5 6 cm  2 5 12 cm. c) Por meio da seguinte expressão numérica, calculamos a área do retângulo amarelo: AAmarelo 5 y  h 5 12  7,5 5 90 AAmarelo 5 90 cm2 . Atividade 7 a) Para calcular a área do terreno de forma retangular, basta multiplicar a medida de seus lados: 12 m  25 m 5 300 m2. b) Primeiro calcular a medida da área do campo: 100 m  70 m 5 7 000 m2. Para calcular a quantidade de sacos de adubo, divide-se a medida da área por 250, pois cada saco de adubo tem a capacidade de preencher essa superfície:

30 cm  30 cm 5 900 cm2.

36 m2 5 36  10 000 cm2 5 360 000 cm2. Para calcularmos a quantidade de cerâmicas necessária para pavimentar a área da garagem, basta dividir o valor da medida da área da garagem pela medida de área de cada cerâmica, conforme a seguir:

360 000  900 5 400 cerâmicas.

d) A área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm é igual a: 9 cm  12 cm 5 108 cm2. Sabendo que o outro retângulo deverá ter a mesma medida de área, encontraremos o valor de seu lado dividindo o valor da medida da área pela medida do lado do retângulo informada, conforme a seguir:

108 cm2 4 10 cm 5 10,8 cm.

e) Primeiro vamos calcular a área ocupada pelo show:

240 m  45 m 5 10 800 m2.

 ara obter o número dos espaços que P serão ocupados pelas pessoas, fazemos o seguinte cálculo:

10 800 4 2 5 5 400.



7 000 4 250 5 28

Como em cada espaço cabem cinco pessoas, para calcularmos o número de pessoas esperadas no show, basta multiplicar o número de espaços que serão ocupados pelo número de pessoas que ocuparão esse espaço, conforme a seguir:



Logo, serão necessários 28 sacos.

5400  5 5 27 000 pessoas.

MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 5

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Atividade 11 Se possível, peça aos alunos que compartilhem o raciocínio utilizado na resolução do exercício. O registro poderá ser feito por meio de texto com a justificativa ou com a representação de figuras. Veja a seguir uma proposta de solução. Caso seja necessário, conceitue perímetro: perímetro é a medida do contorno de um objeto plano, ou seja, a soma da medida de todos os lados de uma figura geométrica.

Eduardo Belmiro

Chamaremos o lado menor do retângulo de a e o lado maior de b. Dessa forma, o perímetro do retângulo será: a 1 b 1 a 1 b 5 14 cm. a

b

a

b

Observando a figura, vemos que a soma da medida dos dois lados do quadrado maior é igual à medida do perímetro do retângulo (a 1 b 1 a 1 b). Como:

a 1 b 1 a 1 b 5 14 2a 12b 5 14

MANUAL DO PROFESSOR

a1b57 Logo, cada lado do quadrado maior medirá 7 cm. Sendo assim, a medida da área do quadrado maior será igual a: 7 cm  7 cm 5 49 cm2.

Para saber mais Sugerimos assistir ao vídeo NovoTelecurso: Aula de Matemática – Unidades de Medida, que apresenta exemplos de situações do cotidiano que envolvem medições e conversão de medidas de forma concreta. Disponível em:

(acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 16 – ÁREA DO TRIÂNGULO E DO PARALELOGRAMO Objetivos do capítulo • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um triângulo com base nas medidas da base e da altura. • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um paralelogramo com base nas medidas da base e da altura. • Resolver situações de cálculo de áreas de triângulos e paralelogramos.

Algumas explorações O assunto pode ser iniciado por meio de uma conversa com os alunos. Questione-os sobre como imaginam a forma como as cidades são organizadas. Algumas cidades no Brasil são planejadas, como é o caso de Brasília; outras surgem de forma espontânea, ou seja, não planejada. Peça aos alunos que realizem uma pesquisa sobre os impactos ambientais, sociais e econômicos causados por uma cidade não planejada. A seguir, sugerimos a leitura de um texto de apoio para facilitar essa conversa. O crescimento desordenado das cidades, que marcou o processo de desenvolvimento das sociedades desde os primórdios, trouxe consigo problemas que comprometem a qualidade de vida nos centros urbanos. Para tentar corrigir os efeitos negativos deste processo, foram criadas as chamadas ‘cidades planejadas’, pensadas a partir de um modelo estratégico, focado em aspectos que asseguram um funcionamento harmonioso e sustentável. Acredita-se que as primeiras cidades planejadas tenham surgido no Vale do Rio Indo, berço da civilização indiana. O crescimento e organização dessas cidades revelam a preocupação com o planejamento urbano, como a disposição dos assentamentos e a hierarquia das ruas, que dividiam-se em avenidas comerciais e vias residenciais, distanciando a população de problemas como a poluição sonora e a criminalidade.

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A construção de uma cidade planejada envolve questões referentes às configurações estruturais e organizacionais, tais como saneamento, transporte, vias públicas, policiamento e inúmeras outras, que são analisadas e estabelecidas através da criação de um projeto, ou Plano Diretor. Esse documento se preocupa, basicamente, em criar as condições necessárias para garantir a qualidade de vida aos cidadãos. No Brasil são consideradas cidades planejadas, Salvador, fundada em 1549; Teresina; Aracaju; Belo Horizonte; Goiânia; Brasília; Palmas e Curitiba, que, embora não tenha sido planejada, passou por um processo de reestruturação que se tornou referência mundial. Apesar do planejamento inicial, o crescimento que se verificou nessas cidades não acompanhou o que previa o projeto, tornando os problemas da urbanização parte da realidade destes locais. Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

Outras atividades O trabalho com composição de figuras pode auxiliar os alunos a desenvolver habilidades necessárias para a atividade de decomposição de figuras. A decomposição de figuras é um recurso auxiliar para cálculo de áreas. Sugerimos a atividade a seguir com o uso do Tangram, em que serão trabalhadas as habilidades dos alunos para a decomposição de figuras.

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DAE

Veja a seguir um molde para a confecção do Tangram de sete peças (sugerimos pintar cada parte do Tangram com uma cor diferente).

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Peça aos alunos que construam as seguintes figuras geométricas utilizando mais de uma peça do Tangram: quadrado, retângulo, triângulo e paralelogramo.

Ilustrações: DAE

Existem várias maneiras de compor as figuras utilizando as peças do Tangram. Peça aos alunos que compartilhem suas estratégias e criem uma tabela com as diferentes configurações, contribuindo assim para que a classe forme imagens mentais de diferentes formas de decomposição das figuras. Veja a seguir algumas sugestões de montagem.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir algumas resoluções das atividades 4 e 6 sobre o conceito de área do paralelogramo e do triângulo da seção Agora é com você da página 150. Atividade 4 Os alunos deverão contar os quadradinhos da base ( b ) e da altura ( h ) dos 3 triângulos. A: b 5 3 e h 5 4 B: b 5 3 e h 5 4 C: b 5 3 e h 5 4 Como os três triângulos têm as mesmas medidas de base e de altura, suas áreas terão o mesmo valor. Cada quadradinho tem lado igual a 1,5 cm, logo, os lados dos triângulos terão as seguintes medidas:

b 5 3  1,5 cm 5 4,5 cm h 5 4  1,5 cm 5 6 cm Calculando as áreas dos três triângulos, temos: A 5

4,5 cm  6 cm bh 5 13,5 cm2 5 2 2

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Atividade 6 O retângulo é dividido por suas diagonais em duas partes congruentes; logo, a altura dos triângulos A e B será igual à metade do valor do lado menor do retângulo, e a altura dos triângulos C e D será igual à metade do valor do lado maior do retângulo. Então, para obtermos as áreas dos triângulos, fazemos o seguinte cálculo: Área de A e B:

12 ⋅ (5 4 2) 5 15 cm2 2

Área de A e B 5 15 cm2

Área de C e D:

5 ⋅ (12 4 2) 5 15 cm2 2

Área de C e D 5 15 cm2

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Algumas resoluções

Sugerimos motivar os alunos a justificar o motivo pelo qual os triângulos apresentam a mesma medida de área e a compartilhar as estratégias utilizadas no cálculo. Veja a seguir uma demonstração que utiliza a decomposição de figuras.

Apresentamos a seguir algumas resoluções das atividades sobre o conceito de área do losango e do trapézio da seção Agora é com você das páginas 157 e 158. DAE

Atividade 3 Sabendo que a diagonal menor de um losango mede 9 cm e sua área 144 cm2, para encontrar o valor da diagonal maior, fazemos o seguinte cálculo: D⋅9 2 144 5 D ⋅ 4,5 D 5 144 4 4,5 5 32 cm 144 5

• Sugerimos assistir ao vídeo Matemática – Telecurso – Ensino Fundamental – Calculando a área, que apresenta exemplos do cotidiano que envolvem, por exemplo, o cálculo de áreas na construção civil. Disponível em: (aces­so em: abr. 2015).

CAPÍTULO 17 – ÁREA DO LOSANGO E DO TRAPÉZIO Objetivos do capítulo • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um losango com base nas medidas de suas diagonais. • Compreender o procedimento para o cálculo da área de um trapézio com base nas medidas de suas duas bases e da altura.

Algumas explorações O texto introdutório desse capítulo apresenta a bandeira do Brasil e suas dimensões oficiais. Amplie a discussão falando sobre a importância da padronização de medidas, pois, no momento em que uma imagem for reproduzida, mantendo sua dimensão, pode-se garantir que ela não sofreu distorções.

O valor da diagonal maior é 32 cm. Atividade 5 Sabendo-se que os lados paralelos de um trapézio medem 10 cm e 18 cm, sendo sua altura 6 cm, a medida de sua área é igual a:  10 cm 1 18 cm  A 5  10 cm 1 18 cm  ⋅ 6 cm A 5  10 cm 1 2 18 cm  ⋅ 6 cm A 5   ⋅ 6 cm  28 cm 2 2  A 5  28 cm  ⋅ 6 cm A 5  28 2cm  ⋅ 6 cm A 5  2  ⋅ 6 cm  cm 2 ⋅ 6 cm 5 84 cm2 A 5 14 A 5 14 cm ⋅ 6 cm 5 84 cm22 A 5 14 cm ⋅ 6 cm 5 84 cm Atividade 6 Sabendo que a diagonal menor de um losango mede 6 m e sua área 60 m 2, para encontrar o valor da diagonal maior, fazemos o seguinte cálculo: D⋅6 2 60 5 D ⋅ 3 D 5 60 4 3 5 20 D 5 20 m 60 5

As atividades 3 e 6 foram resolvidas por meio da Álgebra, mas, apesar de os alunos não terem trabalhado o conceito de incógnita, é possível introduzir o raciocínio algébrico nomeando as incógnitas. Nessa fase inicial, por exemplo, podemos fazer a

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Para saber mais

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Ainda nessa página, propomos uma atividade a ser realizada na sala de informática, por meio do acesso de alguns sites, como os que calculam nossa “pegada ecológica”. Veja a seguir uma sugestão de texto para iniciar o assunto “pegada ecológica”: Dorlies Fabri/Dreamstime.com

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Com base no texto da seção Matemática e cidadania da página 160, peça aos alunos que realizem uma pesquisa sobre a relação entre as áreas de preservação ambiental e educação ambiental, motivando-os a discutir o seu papel na preservação do meio ambiente. O objetivo dessa atividade é contribuir para formar cidadãos conscientes e aptos a tomar decisões sobre questões ambientais necessárias para o desenvolvimento de uma sociedade sustentável.

Ao andarmos na praia, por exemplo, podemos criar diferentes tipos de rastro, conforme a maneira como caminhamos, o peso que temos, ou a força com que pisamos na areia. Se não prestamos atenção no caminho, ou aceleramos demais o passo, nossas pegadas se tornam bem mais pesadas e visíveis. Porém, quando andamos num ritmo tranquilo e estamos mais

atentos ao ato de caminhar, nossas pegadas são suaves. Assim é também a "Pegada ecológica". Quanto mais se acelera nossa exploração do meio ambiente, maior se torna a marca que deixamos na Terra. O uso excessivo de recursos naturais, o consumismo exagerado, a degradação ambiental e a grande quantidade de resíduos gerados são rastros deixados por uma humanidade que ainda se vê fora e distante da Natureza. Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

Veja a seguir sugestão de site para testar a “pegada ecológica” dos alunos. O site está no idioma inglês. Para obter as informações em português, selecione o país, Brazil, e depois o idioma, Portuguese. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Outras atividades O objetivo das atividades propostas é ampliar a exploração de cálculo de áreas e unidades de medida. 1. No quadriculado, a medida do lado de cada quadradinho é representada por 1 m. Observe o espaço ocupado pelas figuras desenhadas nesse quadriculado e calcule a sua área. E se cada lado do quadradinho representasse 1 cm?

DAE

leitura da expressão algébrica da atividade 3 como: "um número" que, multiplicado por 4,5, é igual a 144. Para encontrar a solução, mobilize os conhecimentos prévios de Aritmética utilizando exemplos fáceis, para que os alunos percebam qual operação utilizar com os números fornecidos para obter o resultado. Uma sugestão seria explicar o seguinte: sabendo que 8 5 4  2, imaginem que o 4 seja um número desconhecido. Qual operação devemos efetuar com os números conhecidos para encontrá-lo? Dessa forma, os alunos perceberão a necessidade de efetuar a operação de divisão para obter o resultado, pois 8 4 2 5 4; com essa operação, estamos introduzindo o raciocínio algébrico por meio dos conhecimentos aritméticos prévios dos alunos.

I III II

IV

V

As áreas das figuras são, respectivamente, I. 4 m2; II. 11 m2; III. 17 m2; IV. 19 m2; e V. 8 m2.

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Se o lado do quadradinho representasse 1 cm, as medidas das áreas seriam, respectivamente: I. 4 cm2; II. 11 cm2; III. 17 cm2; IV. 19 cm2; e V. 8 cm2.

DAE

2. Descubra a área de cada uma das partes representadas pelas letras A, B, C e D.

A

B

C

A 5 14

C 5 17

B 5 17

D 5 16

D

• Sugerimos acessar o site Arte & Matemática para explorar com os alunos os efeitos do uso das figuras geométricas na arte. Nesse site, há um jogo com mosaicos geométricos cujo objetivo é encontrar os pares de imagem formados por quadrados do mesmo padrão. Entretanto, apesar da presença de iguais na estrutura geométrica, cada quadrado parece muito diferente de seu par, pois é formado por peças de cores diferentes. Para acessar o jogo, basta selecionar o tema Geometria no endereço a seguir e, depois, clicar em Interação: (acesso em: abr. 2015).

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Para saber mais

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Unidade 5 – Álgebra OBJETIVOS DA UNIDADE • Compreender as ideias iniciais de Álgebra em situações de generalização. • Identificar termos semelhantes em expressões algébricas. • Efetuar a soma algébrica de termos semelhantes. • Compreender que uma igualdade se mantém verdadeira ao adicionar aos dois membros um mesmo número ou subtrair deles um mesmo número. • Identificar a incógnita de uma equação. • Compreender o significado de uma equação. • Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita. • Identificar os dados do enunciado de um problema. • Escrever, com base no enunciado de um problema, a equação correspondente. • Resolver problemas diversos por meio da resolução de equações do 1º grau. • Resolver problemas diversos por meio da resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. • Utilizar diferentes métodos na resolução do sistema de equações do 1o grau.

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• Identificar e representar desigualdades. • Resolver inequações do 1º grau.

CAPÍTULO 18 – INICIANDO A ÁLGEBRA Objetivos do capítulo • Compreender as ideias iniciais de Álgebra em situações de generalizações. • Identificar termos semelhantes em expressões algébricas. • Efetuar a soma algébrica de termos semelhantes.

Algumas explorações Por meio das questões introdutórias da página 165, que norteiam esse capítulo, o objetivo é levar os alunos a compreender que a elaboração de fórmulas é uma maneira convencional de generalizar um raciocínio. Aprendendo a elaborar expressões algébricas e entendendo o significado das letras que representam incógnitas e variáveis, os alunos compreenderão com mais facilidade os conceitos iniciais da Álgebra e sua utilidade. A princípio, sugerimos uma atividade em duplas que auxiliará os alunos a compreender o uso de fórmulas em que a letra representa uma incógnita, ou seja, um único valor. Com o auxílio da tabela com expressões algébricas do exemplo 3 da página 167, peça a cada aluno da dupla que pense em um número, monte uma expressão aritmética utilizando esse número, coloque um sinal de igualdade e, logo depois, dê o resultado da operação. Em seguida, será necessário reescrever a expressão aritmética criada, substituindo o número escolhido por uma letra. Cada aluno deverá realizar a leitura da expressão criada para seu colega. Na tabela do exemplo 3, essa tarefa também poderá ser utilizada. O objetivo é que cada aluno consiga descobrir o número pensado pelo colega por meio da expressão algébrica criada por este. A princípio, os alunos podem apresentar vários questionamentos e dificuldades em obter o valor das incógnitas, mas esse é um passo necessário para que compreendam a utilidade de conhecer os procedimentos utilizados em Álgebra para solucionar essas expressões. Veja a seguir um exemplo da sequência que o aluno deverá seguir para realizar a atividade proposta. 1. Pensar um número; por exemplo, 3. 2. Com base na tabela, elaborar a uma expressão aritmética: 3  3 2 15. 3. Acrescentar o sinal de igualdade colocando o resultado da expressão: 3  3 2 15 5 26.

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Some com o triplo de 3

Comece com 45

4. Reescrever a equação aritmética substituindo o número pensado por uma letra qualquer: 3a 2 15 5 26. 5. Fazer a leitura para o colega de dupla: o triplo de um número menos 15 é igual a menos 6. 6. O colega que ouviu a expressão deverá encontrar o número representado pela letra. Ao final, peça aos alunos que conseguiram encontrar o valor da incógnita que compartilhem sua estratégia de cálculo. Esse passo é importante para acompanhar os níveis de compreensão dos alunos e conhecimentos prévios trabalhados que contribuem para a construção do raciocínio algébrico. Na atividade 1 da página 168, apresentamos uma atividade que permitirá ao educador observar os conhecimentos e estratégias utilizados pelos alunos para descobrir a expressão algébrica que representa o perímetro de um retângulo, e qual é o valor desse perímetro quando se atribui um valor à incógnita x. Nesse momento, o objetivo é levantar os conhecimentos deles.

Outras atividades 1. Use as operações inversas para encontrar o número que falta em cada um dos diagramas. Depois, peça aos alunos que escrevam de maneira algébrica.

Comece com 2

Multiplique por 7

O resultado é 28

Some 14

x ? 7 1 14 5 28

Comece com 45

O resultado é 96 (45 1 3) ? x 5 96

Adicione 3

O resultado é 54 45 1 3y 5 54

Comece com 21

Divida por 3

O resultado é 2

Subtraia 5

(21 4 3) 2 n 5 2

Comece com 20

Divida por 4

O resultado é 1

Subtraia 4

(m 4 4) 2 4 5 1 Na atividade a seguir, os alunos encontrarão o valor das incógnitas de um quadrado mágico. Em um quadrado mágico, a soma dos números nas horizontais, verticais e diagonais é sempre a mesma. O quadrado mágico é um recurso pedagógico utilizado para o desenvolvimento do raciocínio algébrico, pois exige a utilização de operações matemáticas na busca dos resultados anteriormente definidos. 2. Sabendo que o quadrado a seguir é um quadrado mágico e que a soma dos números nas diagonais, horizontais e verticais é a mesma, encontre os valores das incógnitas x, y e z. Registre no caderno as estratégias utilizadas para encontrar esses valores.

4

11

y

x

7

5

8

3

z

Multiplique por 2

MANUAL DO PROFESSOR

Obs.: ao acrescentar o sinal de igualdade, passamos a ter uma equação aritmética.

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Resolução

4

11

6

9

7

5

8

3

10

A atividade a seguir visa apresentar uma situação-problema cujo objetivo é desenvolver o raciocínio algébrico. Assim como no quadrado mágico, o aluno deverá encontrar valores desconhecidos com a manipulação de operações inversas por meio de um resultado preestabelecido. 3. Matheus está sempre propondo problemas matemáticos para seus colegas de sala. Desta vez ele criou quatro situações em que os colegas deverão encontrar os valores desconhecidos. Tente resolver essas situações e registre a expressão que você utilizou para encontrar cada um dos resultados. Situação 1

MANUAL DO PROFESSOR

Em uma pequena biblioteca, havia determinado número de livros: dez livros foram emprestados e não foram devolvidos; posteriormente, a biblioteca adquiriu novos livros, e seu acervo quadriplicou. Após alguns meses, a biblioteca fechou e seu acervo foi dividido igualmente entre outras cinco bibliotecas. Cada uma das bibliotecas recebeu 64 livros. Quantos livros havia inicialmente na biblioteca? Resolução [(64  5) 4 4] 1 10 5 [320 4 4] 1 10 5 5 80 1 10 5 90 Resposta: Inicialmente havia 90 livros na biblioteca. Situação 2 Carolina gosta de divulgar suas ideias sobre como tornar o mundo mais sustentável. Para isso, formou um grupo de discussão na internet sobre esse tema. Em menos de uma semana, já faziam parte do grupo 58 pessoas. Atualmente, esse número passou a

ser de 208 pessoas. Sabendo-se que a soma do número inicial de pessoas com o quíntuplo de um número é igual ao número atual de pessoas. Qual é esse número? Resolução (208 2 58) 150 5 5 30 5 5 Resposta: O número é 30. Situação 3 Pensei em um número e o dividi por 8. Subtraindo 5, obtenho 20. Que número é esse? Resolução (20 1 5)  8 5 25  8 5 200 Resposta: Esse número é 200. Situação 4 Saí de casa com R$ 60,00 para fazer compras em uma feira. Dividi o dinheiro que tinha em três partes iguais: uma seria para comprar frutas, outra, verduras e a terceira, legumes. Antes de chegar às barracas de legumes, passei por uma barraca de pastel e comprei alguns pastéis para levar para casa. Sobraram R$ 12,00. Que valor gastei na barraca de pastel? Resolução 60 2 12 5 20 2 12 5 R$ 8,00 3 Resposta: Foram gastos R$ 8,00 na barraca de pastel.

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções e pontos de vista a serem ampliados sobre o conceito das ideias iniciais de Álgebra com base nos exercícios da seção Agora é com você da página 168. Atividade 7 A atividade 7 explora as bases iniciais do conhecimento algébrico. Observe regularidades nas sequências e padrões. Por meio dessa atividade, o aluno deve descobrir o padrão que leva de um número ao seguinte, ou seja, o padrão da sequência, para saber generalizá-lo na forma de uma expressão

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1. O primeiro padrão observado é que, para criar a sequência, basta acrescentar cinco unidades. 2. Mas como descobrir qual será o 20o valor? E o 50o? Nesse momento, a identificação do número torna-se uma variável da expressão, que vamos chamar de n. 3. Matematicamente, temos duas informações: 15 e n. 4. O próximo passo será a busca pelo padrão que rege a sequência. Vejamos a sequência: 0, 5, 10... Nesse ponto, podemos estabelecer a seguinte relação: se n 5 1, o número é 0; se n 5 2 o número é 5; se n 5 3 o número é 10. 5. Pretendemos agora encontrar uma expressão em que n 5 1 resulte em 0; n 5 2 resulte em 5; n 5 3 resulte em 10, e assim sucessivamente. Como, a cada número da sequência, são acrescidas 5 unidades, podemos pensar em múltiplos de 5, da seguinte forma: 5(1) 5 5; 5(2) 5 10; 5(3) 5 15... 6. A partir desse ponto, com base nos múltiplos de 5, podemos observar que será necessário realizar um pequeno ajuste para obter a expressão final. Observe que, quando n 5 1, o número é igual a 5, mas deveria ser igual a 0; quando n 5 2, o número é igual a 10, mas deveria ser igual a 5, e assim sucessivamente. Logo, a solução será subtrair 5 unidades do valor; portanto, a expressão final será: 5n 2 5. Apresentamos a seguir a resolução da atividade 5, sobre os conceitos da soma algébrica de termos semelhantes com base na seção Agora é com você da página 172. Atividade 5 a) Perímetro é a soma das medidas de todos os lados da figura; logo:

2x 1 1 1 2x 2 1 1 3x 1 3; agrupando os termos semelhantes, temos: 2x 1 2x 1 3x 1 1 2 1 1 3. A expressão algébrica que representa o perímetro do triângulo será: 7x 1 3. b) Para x 5 5 o perímetro será dado por: 7x 1 3 5 7 ? (5) 1 3 5 35 1 3 5 38

Para saber mais • Sugerimos a leitura da reportagem O ensino da Álgebra disponível no site a seguir. Nessa reportagem, especialistas recomendam que a introdução à Álgebra seja natural, sendo preciso questionar conhecimentos aritméticos e mostrar como eles são usados nas equações. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 19 – EQUAÇÕES Objetivos do capítulo

• Compreender que uma igualdade se mantém verdadeira ao adicionarmos aos dois membros um mesmo número ou subtrairmos deles um mesmo número. • Identificar a incógnita de uma equação. • Compreender o significado de uma equação. • Resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita.

Algumas explorações Esse capítulo introduz o conceito de equação algébrica. Ao igualarmos uma expressão algébrica a um valor, temos uma equação algébrica. As equações algébricas introduzem uma maneira diferente de interpretar a função de uma igualdade. Os alunos, em expressões aritméticas, estão acostumados a interpretar que o que está do lado esquerdo da igualdade são as parcelas do cálculo e o que vem do lado direito, logo depois do sinal de igualdade, é o resultado, geralmente expresso por um único número.

MANUAL DO PROFESSOR

algébrica. É importante que os alunos percebam que a expressão criada deverá considerar o número a ser obtido (primeiro, segundo, terceiro etc.) e qual será seu valor. A seguir, descreveremos uma possível estratégia para a solução dessa atividade.

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Em expressões algébricas, mais do que indicar um resultado, o sinal de igualdade representa a ideia de equilíbrio ou equivalência. Por esse motivo, nessa fase inicial do trabalho com equações algébricas, em que a igualdade é vista como uma noção de equilíbrio, pode-se fazer a analogia com o funcionamento da balança, o que pode contribuir para a construção desse novo conhecimento.

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções dos exercícios sobre o conceito de resolução de uma equação da seção Agora é com você da página 182. Atividade 1 a) x 1 10 5 25 (210) 1 x 1 10 5 25 1 (210) x 5 15 b) x 2 4,5 5 210 (14,5) 1 x 2 4,5 5 210 1 (14,5) x 5 25,5 c) 4x 5 200 4x (4 4) 5 200 (4 4) x 5 50 d)

MANUAL DO PROFESSOR



x 5 0,9 7 x ( 7) 5 0,9 ( 7) 7 x 5 6,3

Atividade 3 x 1 1 5 2x a) 2 x 1 1 2 2x 52 1 2 3 2 x 52 1 2  2 x 52 1   2   3 2 3 b) (x 1 1) 1 (x 1 2) 1 (x 1 3) 5 33 x 1 1 1 x 1 2 1 x 1 3 5 33 3x 1 6 5 33 27 x5 3 x59

x5

Logo, os três números são consecutivamente iguais a: (x 1 1) 5 10; (x 1 2) 5 11; (x 1 3) 5 12. x c) x 1 5 45 2 3 x 5 45 2 2 x 5 45  3 x 5 30 d) x 1 2x 5 45 3x 5 45 45 x5 3 x 5 15 e) Guilherme 5 x; André 5

x 12x 5 420 3 3x 1 x 1 6 x 5 420 3 10x 5 420 3 3 x 5 420  10 x 5 126

x ; Daniel 5 2x 3

x1

Guilherme 5 x ⇒ R$ 126,00; x 126 5 ⇒ R$ 42,00; André 5 3 3 Daniel 5 2x 5 2 ? 126 ⇒ R$ 252,00. Motive os alunos a validar o resultado que encontraram. Sabemos que o total em dinheiro recebido é igual a R$ 420,00. Logo, para verificarmos se o resultado obtido está correto, basta somá-lo: 126 1 42 1 252 5 5 420. Se possível, peça aos alunos que realizem a leitura do texto da seção Conexões da página 183, no qual há um registro histórico sobre a definição da palavra balança como sinônimo de igualdade e equilíbrio. Caso deseje ampliar o repertório dos alunos sobre o conteúdo do texto, proponha uma pesquisa para encontrar o uso da palavra balança em diferentes contextos, por exemplo, nas áreas econômica, médica, comercial, entre outras.

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d) A metade de um número diminuída de 7 é igual a 47. x 2 7 5 47 2 e) A razão entre dois números diferentes é igual 9. x 59 y 2. Elabore uma frase que descreva cada equação abaixo. a) 2x 1 3 5 13 Somando 3 ao dobro de um número, obtenho 13. b) 225 2 x 5 45 Diminuindo um número de 225, obtenho 45. c) 51 1 x 5 87 Somando 51 a um número, obtenho 87. x d) 5 100 3 A razão entre um número e 3 é igual a 100. As situações-problema que envolvem balanças são comumente utilizadas para desenvolver o conceito de igualdade em equações algébricas. Para isso, a atividade a seguir traz dois exemplos de como explorar esse recurso pedagógico. 3. Sabendo-se que uma balança está em equilíbrio e que, em um de seus pratos, existem três caixas idênticas, mas cujo peso

Resposta: O peso de cada caixa é igual a 4 kg. 4. Em um prato de uma balança, que está em equilíbrio, há dois sacos de açúcar e uma caixa de 10 quilos; no outro, há um saco de açúcar e uma caixa de 5 quilos; e outra de 10 quilos. Como você faria para descobrir o peso de cada saco de açúcar sem realizar cálculos? Dica: faça um desenho para melhor visualizar essa situação. Resolução

Para manter a balança em equilíbrio e descobrirmos o valor do peso de cada saco de açúcar, primeiramente retiramos dos dois lados o peso de 10 kg, depois um saco de açúcar de cada lado. Dessa forma, teremos a balança em equilíbrio: de um lado um saco de açúcar e de outro uma caixa de 5 kg, indicando assim o peso de cada saco de açúcar.

Para saber mais • Recomendamos assistir ao vídeo Introdução à Álgebra Matemática – Novo

MANUAL DO PROFESSOR

5x 5 105

2x 5 8 8 x5 2 x54

DAE

c) O quíntuplo de um número é igual a 105.

3x 2 x 5 18 2 10

10 kg

x 1 32 5 95

5 kg

b) Somando 32 a um número obtenho 95.

3x 1 10 5 x 1 18

Açúcar

a) A razão entre um número e 7 é igual a 53. x 5 53 7

10 kg

1. Escreva uma equação que represente cada uma das sentenças abaixo.

Açúcar

As atividades propostas a seguir têm como objetivo auxiliar no desenvolvimento da linguagem algébrica.

é desconhecido, com dois sacos de açúcar pesando 5 kg cada um, e que no outro prato da balança encontra-se mais uma caixa idêntica às outras três, com seis sacos de arroz pesando 3 kg cada um, monte a expressão que representa essa situação e encontre o valor desconhecido do peso de cada caixa. 3x 1 (2 ? 5) 5 x 1 (6 ? 3)

Açúcar

Outras atividades

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Telecurso – Ensino Fundamental, que poderá auxiliar os alunos a compreender o uso da linguagem algébrica, a elaborar equações algébricas e a resolvê-las. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 20 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Objetivos do capítulo

• Identificar os dados do enunciado de um problema. • Escrever, com base no enunciado de um problema, a equação correspondente. • Resolver problemas diversos por meio da resolução de equações do 1º grau. • Solucionar problemas diversos por meio da resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. • Utilizar diferentes métodos para a resolução de sistema de equações do 1º grau.

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Algumas explorações Nesse capítulo, os alunos utilizarão os conhecimentos algébricos já adquiridos para resolver problemas. Nessa fase da aprendizagem, é importante que o aluno seja motivado a trabalhar com diversas situações-problema, para que desenvolva diferentes estratégias e interpretações de um mesmo fato matemático, munindo-o das ferramentas necessárias para o trabalho com situações-problema. Destacamos a importância da promoção de discussões em grupo sobre as diferentes estratégias trabalhadas na resolução das situações-problema. Somente obter a resposta correta não é suficiente para a construção do conhecimento significativo; portanto, deve-se considerar também a análise da resposta em relação ao questionamento propriamente dito. Para isso, promova atividades

em grupo, dando aos alunos a oportunidade de ouvir as estratégias pensadas pelos outros colegas. Isso pode contribuir para levá-los a perceber os erros cometidos e a refletir sobre as diferentes estratégias, construindo assim as ferramentas significativas para o trabalho com resolução de problemas. Além do papel desempenhado pela Álgebra no desenvolvimento do raciocínio lógico para a resolução de situações-problema, propomos também a abordagem de algumas fórmulas utilizadas em outras áreas de conhecimento a fim de despertar o interesse dos alunos e levá-los a compreender a importância de seu estudo. Veja a seguir sugestões de algumas fórmulas que podem ser trabalhadas em sala de aula. • Fórmula para conversão de temperatura de graus Celsius em Fahrenheit, ou Fahrenheit em Celsius, com aplicação em Ciências: C5

5  (F 2 32) 9

Sendo: F a temperatura em graus Fahrenheit e C a temperatura em graus Celsius. • Densidade de um corpo, com aplicação em Ciências:  ensidade: relação entre a massa de D um corpo e o seu volume, padrão de medida g/cm3 (grama por centímetro cúbico). m d5 V Sendo: d 5 densidade m 5 massa V 5 volume • Índice de Massa Corpórea (IMC), com aplicação em Ciências: O IMC é calculado dividindo a massa (kg) da pessoa pelo quadrado da altura (m2). IMC 5

massa (altura)2

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IMC

Classificação

menor que 18,5

abaixo do peso

entre 18,5 e 24,9

peso normal

entre 25,0 e 29,9

sobrepeso (acima do peso desejado)

igual ou acima de 30,0 obesidade Fonte: . Acesso em: maio 2015.

• Consumo de energia elétrica, aplicação em Ciências: t 3P k5 1000 Sendo: k: kW/h mensais t: tempo em horas P: potência do aparelho em watts • Velocidade média, aplicado em Física (Ciências):  elação entre espaço percorrido e tempo R do percurso Vm 5 s t Sendo: Vm: velocidade média (pelo Sistema Internacional de Unidades (SI) é representada em metros por segundo – m/s) s: espaço percorrido (pelo SI é representado em metros – m) t: tempo (pelo SI é representado em segundos – s) O objetivo do problema 1 da seção Trabalho em equipe da página 189 é levar os alunos, por meio dos questionamentos propostos, a interpretar e a analisar a expressão algébrica 7  (n 2 2) 1 7  (4 2 n). Sugerimos resolver a expressão passo a passo, para que os alunos possam acompanhar toda a manipulação algébrica realizada e interpretar de forma correta os resultados obtidos. Por exemplo, no item a, após a aplicação da propriedade distributiva, os alunos poderão

constatar que, independentemente do valor atribuído a n, o cálculo sempre resultará em 14, pois: 7 (n 2 2) 1 7 (4 2 n) 5 7n 2 14 1 28 2 7n 5 14

CAPÍTULO 21 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Objetivos do capítulo • Resolver uma equação do 1o grau com duas incógnitas. • Utilizar diferentes métodos na resolução do sistema de equações do 1o grau. Na página 191 é proposta a seguinte situação-problema: Caio e Maria começaram a colecionar figurinhas e, depois de uma semana, obtiveram juntos 60 unidades. Sabendo que Caio tem 16 figurinhas a mais que Maria, como é possível determinar quantas figurinhas cada um possui? Nesse cenário, os alunos perceberão que a situação-problema proposta poderá ser resolvida utilizando duas equações do 1 o grau, pois, para solucioná-la, são requeridos dois valores: a quantidade de figurinhas de Caio e a quantidade de figurinhas de Maria. O problema admite duas incógnitas, ou seja, duas equações do 1o grau. É provável também que algum aluno pense na resolução do problema apenas com a utilização da equação x 1 (x 2 16) 5 60 Para facilitar o entendimento dos alunos, leve-os a perceber que, apesar de o problema apresentar duas incógnitas, os procedimentos para a resolução das equações do 1o grau que farão parte do sistema serão os mesmos. A diferença é que as incógnitas são independentes; sendo assim, cada uma deverá ser representada por uma letra diferente. Existem diferentes métodos para a resolução de sistemas de equações do 1 o grau. Portanto, em determinadas situações um método pode ser mais adequado do que outro. A seguir, destacamos as características dos dois métodos mais utilizados.

MANUAL DO PROFESSOR

Os valores de referência são:

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• Método da adição: consiste em realizar a soma dos respectivos termos de cada uma das equações a fim de obter uma equação com apenas uma incógnita. Esse método é adequado quando os coeficientes de uma mesma incógnita são simétricos (opostos). Caso não sejam, recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicar todos os termos de uma das equações por determinado valor, de forma que a equação equivalente resultante permita obter uma equação com uma única incógnita. • Método da substituição: consiste em eleger uma das equações e desta isolar uma das variáveis, que deve ser substituída na outra equação. Esse procedimento também resultará em uma equação com uma única incógnita.

Outras atividades As atividades propostas a seguir têm como objetivo explorar a resolução de problemas utilizando equações do 1o grau.

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1. Resolva as situações-problema a seguir utilizando seus conhecimentos sobre equações do 1o grau. a) Uma passagem de ônibus de ida para uma cidade A do Brasil custa x reais e para outra cidade B custa 40 reais a mais. Sabendo-se que nove passagens para a cidade A custa o mesmo que cinco passagens para a cidade B, calcule o preço de uma passagem para a cidade A e de uma passagem para a cidade B. Resolução 5(x 1 40) 5 9x 5x 1 200 5 9x 5x 2 9x 5 2200 24x 5 2200 2200 x5 24 x 5 50 Resposta: Uma passagem de ida para a cidade A custa R$ 50,00. Como a

passagem de ida para a cidade B custa R$ 40,00 a mais, custará R$ 90,00. b) O lado de um quadrado mede 5 cm mais um terço de lado. Qual é a medida do lado desse quadrado? Resolução Medida do lado do quadrado 5 x x x 551 3 x x 2 55 3 3x 2 x 55 3 2x 55 3 33 ? 555 3 3 xx 5 22 15 x5 2 x 5 7,5 Resposta: O lado do quadrado mede 7, 5 cm. c) O total de moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 que tenho é igual a 44. Sabendo-se que a quantidade de moedas de R$ 0,50 é o triplo das de R$ 1,00, quantas moedas eu tenho de cada uma? Quantidade de moedas de R$ 1,00: x. Quantidade de moedas de R$ 0,50: 3x. Resolução x 1 3x 5 44 4x 5 44 x 5 44  4 x 5 11 Resposta: Quantidade de moedas de R$ 1,00 5 x 5 11; quantidade de moedas de R$ 0,50 5 3x 5 3 ? (11) = 33. A atividade a seguir tem como objetivo apresentar o método geométrico para a resolução de problemas com sistemas de equações do 1o grau. Obs.: o gráfico pode ser confeccionado com papel quadriculado. 2. A soma de dois números é igual a 7 e a diferença é igual a 1. Que números são esses?

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a) Escreva o sistema de equações que representa essa situação-problema. x 1 y 5 7  x 2 y 5 1

Método da adição: 1o) Efetuamos a soma termo a termo das duas equações: x1x1y2y5711 2x 5 7 1 1 2x 5 8 x582 x54 2o) Substituímos o valor de x em uma das equações: x1y57 41y57 y5724 y53 Resolução: x 5 4 e y 5 3. c) Para cada equação do sistema, encontre os valores de y, quando x é igual 1 e 2, e informe o par ordenado que representa o resultado. Para x 5 1, na equação x 1 y 5 7: x1y57 11y57 y5721 y56 Par ordenado: (1,6) Para x 5 2, na equação x 1 y 5 7: x1y57 21y57 y5722 y55 Par ordenado: (2,5) Para x 5 1, na equação x 2 y 5 1: x2y51 2y 5 1 2 1 2y 5 1 y50 Par ordenado: (1,0)

d) Com o auxílio do papel quadriculado, desenhe dois eixos perpendiculares, identificando o eixo horizontal como x e o vertical como y. Marque os pontos que representam os pares ordenados encontrados no item c, utilizando cores diferentes para identificar os pares ordenados de acordo com cada equação. (1,6)

6

(2,5)

5 4 3 2

(2,1)

1 0

(1,0) 1

3

2

4

5

6

7

e) Una os pontos de mesma cor, obtendo duas retas. Trace-as de forma que se cruzem em um único ponto. (1,6)

6

(2,5)

5 4 3 2 (2,1)

1 0

(1,0) 1

2

3

4

5

6

7

MANUAL DO PROFESSOR

b) Resolva o sistema de equações utilizando o método que julgar conveniente.

Ilustrações: DAE



x2y51 22y51 2y 5 1 2 2 2y 5 21 y51 Par ordenado: (2,1)

Para x 5 2, na equação x 2 y 5 1:

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f) Determine as coordenadas do ponto de encontro das duas retas.

DAE

 Par ordenado do ponto de encontro: (4,3) (1,6)

6

d) Q  uantidade de notas de R$ 10,00 5 x Quantidade de notas de R$ 5,00 5 2x 10x 1 5(2x) 5 720 10x 1 10x 5 720 20x 5 720 x 5 720  20 x 5 36

(2,5)

5 4 3

(4,3)

2

Resposta: 36 notas de R$ 10,00 e 72 no­tas de R$ 5,00.

(2,1)

1 0

(1,0) 1

2

3

4

5

6

7

g) Compare o item b com o item f. O que você pode concluir? As coordenadas do ponto de encontro das duas retas trazem o mesmo resultado para os valores de x e y, obtidos pela resolução algébrica do sistema de equações.

Algumas resoluções Apresentamos aqui algumas resoluções das atividades sobre o conceito de resolução de problemas da seção Agora é com você da página 188. Atividade 5

MANUAL DO PROFESSOR

c) x 1 2(x 1 1) 5 104 x 1 2x 1 2 5 104 3x 5 104 2 2 3x 5 102 x 5 102  3 x 5 34

a) 2(x 2 1) 2 3 5 25 2x 2 2 2 3 5 25 2x 5 25 1 2 1 3 2x 5 30 x 5 30  2 x 5 15 b) 2x 1 2(x 2 36) 5 168 2x 1 2x 2 72 5 168 4x 5 168 1 72 4x 5 240 x 5 240  4 x 5 60 Resposta: Comprimento 5 60 m; Lar­ gura 5 60 2 36 5 24 m.

Apresentamos a seguir algumas resoluções das atividades sobre o conceito de sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas da seção Agora é com você da página 195. Atividade 2 A informação para um total de 100 veícu­ los, com a indicação de que nesse estacionamento estacionam motos e carros, possibilita definir as variáveis: x: quantidade de carros y: quantidade de motos E a equação x 1 y 5 100 Já a informação Um estacionamento cobra, por um período de 12 horas, R$ 5,00 por moto e R$ 12,00 por carro estacionado, com a indicação de que o valor arrecadado é de R$ 1.109,00, nos permite escrever a equação: 5y 1 12x 5 1 109 Essas duas equações dão origem ao sistema:  x 1 y 5 100  5 y 1 12x 5 1109 Isolando x na primeira equação, temos x 5 100 2 y Substituindo x na segunda equação, temos: 5y 1 12(100 2 y) 5 1 109 5y 1 1 200 2 12y 5 1 109

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Substituindo y na primeira equação, temos x 1 13 5 100 x 5 100 2 13 x 5 87 Logo, a resposta é: 13 motos e 87 carros.

3,5x 1 4 y 5 4 325   x 1 y 5 1 200  (24) 3,5x 1 4 y 5 4 325  24x 2 4 y 524800

y: quantidade de guaraná na versão diet.

Somando termo a termo temos como resultado uma equação com uma incógnia: 20,5x 5 2475 x 5 2475 4 (20,5) x 5 950 Substituindo o valor de x em uma das equações: x 1 y 5 1 200 950 1 y 5 1 200 y 5 1 200 2 950 y 5 250 Resposta: A quantidade de latas de produto tradicional é 950 e de produto diet é 250.

A primeira equação será: x 1 y 5 1 200.

Para saber mais

Atividade 3 A informação Ao final de uma semana haviam sido vendidas 1 200 latas de guaraná, com a indicação Uma cantina vende guaraná nas versões tradicional e diet, permite definir nossas incógnitas e uma das equações do sistema.

x: quantidade de guaraná na versão tradi­cional.

A informação O tradicional é vendido por R$ 3,50 a lata, e o diet por R$ 4,00, em conjunto com um faturamento de R$ 4.325,00, permite escrever a segunda equação do sistema, que será: Isolando x na primeira equação, temos: x 5 1 200 2 y. Substituindo x na segunda equação, temos: 3,5(1 200 2 y) 1 4y 5 4 325 4 200 2 3,5y 1 4y 5 4325 0,5y 5 4 325 2 4 200 0,5y 5 125 y 5 125  0,5 y 5 250 Substituindo y na primeira equação, temos: x 1 250 5 1 200 x 5 1 200 2 250 x 5 950 Logo, a resposta será: 950 latas do tradicional; 250 latas do diet. Utilizando o método da adição: 3,5x 1 4 y 5 4 325   x 1 y 5 1 200 Multiplicaremos uma das equações por um valor que permita anular um dos termos:

• Sugerimos assistir ao vídeo Matemática (Ensino Fundamental): Revisão IV - Álgebra - Novo Telecurso, em que a Álgebra é apresentada em situações cotidianas. Disponível em: (aces­so em: abr. 2015).

CAPÍTULO 22 – INEQUAÇÕES Objetivos do capítulo

• Identificar e representar desigualdades. • Resolver inequações do 1º grau.

Algumas explorações O texto introdutório das páginas 196 e 197 traz o conceito de desigualdade como a comparação entre dois valores que estão em desequilíbrio. Em Matemática, uma desigualdade entre números é representada por meio dos símbolos maior que () e menor que (). Esses símbolos são utilizados para indicar a comparação entre dois valores. A comparação de valores não é ferramenta exclusiva da Matemática. Dessa forma, é importante que os alunos reconheçam que em diversas circunstâncias do cotidiano efetuamos comparação

MANUAL DO PROFESSOR

27y 5 1 109 2 1 200 27y 5 291 y 5 (291)  (27) 5 13

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entre valores, pois, na maioria das vezes, ela nos norteia para tomar a melhor decisão. Sugerimos propor aos alunos que registrem algumas situações de seu cotidiano em que foi necessário realizar alguma comparação de valores para a tomada de decisão. Por exemplo, no supermercado realizamos várias comparações para fazer as escolhas. Peça aos alunos que registrem também os detalhes das escolhas feitas. Por exemplo, escolhemos comprar o arroz no supermercado X por apresentar um preço menor do que no supermercado Y. Ao final, solicite a representação matemática da situação. Permita que os alunos compartilhem suas respostas.

Outras atividades

MANUAL DO PROFESSOR

As atividades propostas a seguir têm como finalidade explorar o conceito de inequações na tomada de decisões em situações do cotidiano. 1. Um empreendedor resolveu vender cachorro-quente em uma praça movimentada de uma cidade, mas, antes de investir no negócio, decidiu equacionar alguns valores para verificar qual é a quantidade de cachorros-quentes que devem ser vendidos para obter lucro. O aluguel mensal do carrinho de cachorro-quente é R$ 400,00. Cada cachorro-quente tem um custo de R$ 0,50 e é vendido a R$ 2,50. A partir da venda de quantos cachorros-quentes mensais o empreendedor começará a obter lucro? (2,50 2 0,50)x  400 2x  400 x  400 4 2 x  200 Obs.: é importante observar que o lucro só ocorrerá a partir de 201 cachorros-quentes, ou seja, ao vender o cachorro-quente de número 200 só terá sido pago o valor do aluguel do carrinho, o empreendedor ainda não terá obtido lucro. Resposta: O empreendedor começará a obter lucro a partir de 201 cachorros-quentes mensais. 2. O preço de uma corrida de táxi é composto de uma taxa fixa, chamada bandeirada,

de R$ 4,10, mais R$ 2,50 por quilômetro rodado. Uma empresa contratou um táxi para levar um empregado de uma de suas unidades para outra, estipulando um gasto menor que R$ 100,00. A quantidade máxima de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer é: a) 20

c) 38

b) 40 2,5x 1 4,10  100 2,5x  100 2 4,10 x  95,90 4 2,5 x  38,36

d) 90

Alternativa c.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir uma proposta de resolução da atividade 1 sobre o conceito de inequações da seção Agora é com você da página 198. Atividade 1 Resolução com o auxílio da reta numérica: 245 244

210 29

23

0

2

9

15

a) 2  23 (V) b) 9  15 (F) c) 210  29 (F) d) 245  244 (V) e) 212  211 (F) f) 210  211 (V) g) 0  5 2 5 (F) h) 9 2 25  10 2 25 (V) i) 4 > 4 (V) j) 234 < 10 (V) Apresentamos abaixo uma proposta de resolução da atividade 4 sobre o conceito de inequações da seção Agora é com você da página 201. a) x 1 x 1 x 1 x  4 1 4 1 10 1 10 4x  2  4 1 2  10 4x  8 1 20 4x  28 28 x 4 x7

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c) 4x 1 10  2x 2 18 4x 2 2x  218 2 10 2x  228 228 x 2 x  214 d) 8 1 4 1 5 1 x  24 17 1 x  24 x  24 2 17 x  7

Para saber mais • Sugerimos assistir ao vídeo Inequação do 1º grau – Novo Telecurso, em que os conceitos de desigualdade e de inequação são apresentados em situações cotidianas. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Também sugerimos a leitura do livro GeoGebra: na produção do conhecimento matemático, de Celina A. A. P. São Paulo: Iglu, 2014. Nele, são explorados alguns conceitos matemáticos, por meio do uso do software livre GeoGebra.

Unidade 6 – Razões e proporções OBJETIVOS DA UNIDADE • Conceituar razão e proporção. • Identificar e utilizar a propriedade fundamental de uma proporção. • Resolver situações-problema diversas por meio de proporções. • Reconhecer grandezas diretamente proporcionais. • Reconhecer grandezas inversamente pro­ porcionais.

• Resolver problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais. • Resolver problemas que envolvem grandezas inversamente proporcionais. • Resolver problemas de regra de três simples e composta. • Praticar o raciocínio estatístico. • Praticar o raciocínio analítico. • Interpretar as informações de um gráfico. • Fazer inferências relacionando dados estatísticos com a realidade. • Conceituar a média aritmética e a média ponderada. • Relacionar a média aritmética com a média ponderada em situações reais. • Relacionar a Estatística com outros conteúdos matemáticos.

CAPÍTULO 23 – RAZÕES E PROPORÇÕES Objetivos do capítulo

• Conceituar razão e proporção. • Identificar e utilizar a propriedade fundamental de uma proporção. • Resolver situações diversas por meio de proporções.

Algumas explorações Esse capítulo introduz os conceitos matemáticos de razão e proporção, que podem ser explorados em diversas situações do dia a dia, desde as tarefas mais simples até as mais complexas, trabalhando com a interdisciplinaridade por meio das associações da razão com a velocidade média (Física), com a densidade absoluta (Química), com a densidade demográfica (Geografia) e com o consumo médio (História e, mais recentemente, a economia brasileira). Para definir o conceito de razão como o quociente entre dois números, utilizou-se a escala. Sugerimos conversar com os alunos sobre as funções das escalas, os conceitos de ampliação e redução de escalas, a forma de representá-las e como interpretá-las. Por exemplo:

MANUAL DO PROFESSOR

b) 8x  10  22 8x  220 220 x 8 x  27,5

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conversar com o grupo sobre esse tipo de ação e os benefícios que ela traz para a comunidade. Existem outros projetos que vislumbram a sustentabilidade e demonstram como pequenas ações podem render grandes frutos.

41 5 4 5 cada 4 unidades do desenho equivale a 1 unidade do original (ampliação). Para simplificar, podemos dizer que cada unidade do original está representada no desenho como 4 unidades.

Se achar conveniente, estimule os alunos a pensar em outras estratégias para resolver o problema da cisterna. Por exemplo, ao perceber que o tempo foi reduzido pela terça parte, poderíamos simplesmente dividi-lo por 3.

Para explorar a relação razão e escala, tomamos como referência plantas baixas de imóveis. Esse tipo de representação já foi abordado anteriormente no Capítulo 15, que trata do conceito de área.

Outras atividades

Também podemos definir o conceito de proporção por meio de escala. Sugerimos uma conversa inicial com os alunos, questionando-os: Como podemos garantir que o desenho de um objeto tenha a mesma forma que o objeto original?

MANUAL DO PROFESSOR

Espera-se que os alunos percebam que, para mantermos a forma de um objeto por meio de sua representação, é necessário haver a igualdade das razões entre as medidas do objeto original e seu desenho. Assim, definimos o conceito de proporção como a igualdade entre as razões. Se possível, amplie as discussões com os alunos propondo a eles pesquisas baseadas no exemplo 2 da página 210. Para facilitar o trabalho, as referências podem ser obtidas na própria escola, por exemplo: Qual é a razão entre o número de carteiras nas salas de aula do Ensino Fundamental e a quantidade de alunos? Para aprofundar as discussões, peça aos alunos que analisem criticamente a utilidade desse dado. Leve-os a conscientizar-se de que essa informação revela que mais de um aluno utiliza uma mesma carteira; por isso, é necessário conservá-la para que todos possam estudar com conforto e segurança. Na página 224, os alunos serão convidados a refletir sobre um sistema de coleta da água da chuva. Aproveite a oportunidade para

1. Para despertar a curiosi­ dade dos alunos em relação aos conceitos de razão e pro­ p orção, proponha uma pesquisa sobre o Homem vitruviano, desenho de Leonardo da Vinci que traz um estudo sobre as razões e proporções no corpo humano. Com base nos dados coletados em sala de aula, promova outras discussões com os alunos. Se possível, faça medições com alguns componentes da turma e compare-as com as proporções presentes no desenho.

Academia de Veneza, Itália

1100 5 0,001 5 cada unidade do desenho equivale a 100 unidades do original (redução). Para simplificar, podemos dizer que cada 100 unidades do original está representada no desenho como 1 unidade.

2. Com base na atividade 4 da página 215, proponha aos alunos uma pesquisa em estabelecimentos, na mídia impressa ou na internet, na qual obterão dados sobre razões em diferentes contextos. Por exemplo, podem ser pesquisadas: a razão entre diferentes embalagens de um mesmo produto; a razão entre candidato e vaga nos principais vestibulares (defina alguns cursos para a pesquisa); a razão da produção de lixo por habitante, entre outras. Por meio dos dados coletados, explore os conceitos de razão e proporção. 3. Para essa atividade, serão necessários os seguintes materiais: • mapas de diferentes estados, cidades ou guia de rua com escala (numérica e gráfica); • régua para realizar medições.

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Divida os alunos em grupos e peça que calculem a distância real entre dois ou mais pontos do mapa utilizando a escala.

exploração do conceito de razão da seção Agora é com você da página 211.

Explore as diferenças entre a escala numérica e a gráfica. Veja o texto de apoio a seguir.

Os valores das medidas das áreas dos retângulos serão obtidos pela multiplicação da medida de seus lados com base na quantidade de quadrados.

1o) Tomamos na carta a distância que pretendemos medir (pode-se usar um compasso). 2o) Transportamos essa distância para a Escala Gráfica. 3o) Lemos o resultado obtido. Escala 1:25.000 1 000 m

500

0

1 000

2 000 m

Escala 1:50.000 1 000 m

0

2 000 m

0

1 000

2 000

3 000 m

Escala 1:100.000 2 000

4 000

6 000 m

Escala 1:250.000 5 km

0

5

10

15

20 km

Disponível em: . Acesso em: abr. 2015.

a) A razão entre a área do retângulo ver6 melho e a área total da figura: . 85 b) A razão entre a área da figura verde e 24 . a área do retângulo amarelo: 35 c) A razão entre a área do retângulo ama35 . relo e a área do retângulo vermelho: 6 Caso julgue conveniente, explore com os alunos as diferentes formas de representação das razões, conforme a seguir: 6 5 6  85 5 0,071 a) 85 24 5 24  35 5 0,686 b) 35 35 5 35  6 5 5,834 c) 6 Apresentamos a seguir a resolução da atividade 3 sobre o conceito de proporção da seção Agora é com você da página 215. Atividade 3 Resolveremos cada item a seguir de duas maneiras: utilizando a propriedade da proporção e a manipulação algébrica. a) Propriedade da proporção x 21 16 5 3 24 x 21 2 5 3 3 3(x 2 1) 5 3 ? 2 3x 2 3 5 6 3x 5 6 1 3 3x 5 9 x53

Algumas resoluções



Apresentamos a seguir a resolução da atividade 3 e uma sugestão para ampliar a



Manipulação algébrica x 21 16 5 3 24 x 21 2 5 3 3

MANUAL DO PROFESSOR

Escala Gráfica É a representação gráfica de várias distâncias do terreno sobre uma linha reta graduada. É constituída de um segmento à direita da referência zero, conhecida como escala primária. Consis te também de um segmento à esquerda da origem denominada de talão ou escala de fracionamento, que é dividido em submúltiplos da unidade escolhida graduadas da direita para a esquerda. A Escala Gráfica nos permite realizar as transformações de dimensões gráficas em dimensões reais sem efetuarmos cálculos. Para sua construção, entretanto, torna-se necessário o emprego da escala numérica. O seu emprego consiste nas seguintes operações:

Atividade 3

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multiplicando os dois membros da equação por 3, temos:

x2152 x5211 x53

b) Propriedade da proporção 2 4 5 x 12 22x 2(2 2 x) 5 4(x 1 2) 4 2 2x 5 4x 1 8 22x 2 4x 5 8 2 4 26x 5 4 4 2 x 52 52 6 3

Manipulação algébrica 2 4 5 x 12 22x 2(2 2 x) 4(x 1 2) 5 (x 1 2)(2 2 x) (x 1 2)(2 2 x)

2(2 2 x) 5 4(x 1 2) 4 2 2x 5 4x 1 8 22x 2 4x 5 8 2 4 26x 5 4 4 2 x 52 52 6 3

MANUAL DO PROFESSOR

c) Propriedade da proporção

x 21 2 5 x 11 6



x 21 1 5 x 11 3

3(x 2 1) 5 (x 1 1) 3x 2 3 5 x 1 1 3x 2 x 5 1 + 3 2x 5 4 4 x 5 52 2

Manipulação algébrica x 21 2 5 x 11 6

x 21 1 5 x 11 3

3(x 2 1) (x 1 1) 5 3(x 1 1) 3(x 1 1) 3(x 2 1) 5 (x 1 1) 3x 2 3 5 x 1 1 3x 2 x 5 1 + 3 2x 5 4 4 x 5 52 2 d) Propriedade da proporção

2x 1 1 10 5 2x 2 1 9

9(2x 1 1) 5 10(2x 2 1) 18x 1 9 5 20x 2 10 22x 5 219

x5

19 219 5 2 22

Manipulação algébrica 2x 1 1 10 5 2x 2 1 9 9(2x 1 1) 10(2x 2 1) 5 9(2x 2 1) 9(2x 2 1)

9(2x 2 1) 5 10(2x 2 1) 18x 1 9 5 20x 2 10 22x 5 219

x5

19 219 5 2 22

Para saber mais • Se possível, sugira aos alunos que assis­ tam ao vídeo Matemática na vida: razão e proporção, da série TV Escola – Matemática – Conceito no dia a dia. Todos os vídeos dessa série estão disponíveis no site a seguir. Para acessar o vídeo indicado, é preciso refinar a pesquisa com os seguintes parâmetros: Tipo de mídia – vídeo – e Categoria – TV Escola – Matemática. Disponível em: (acesso em: abr. 2015). • Para mais informações sobre o conceito de planta baixa, acesse o site (acesso em: abr. 2015).

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Objetivos do capítulo • Reconhecer grandezas diretamente proporcionais. • Reconhecer grandezas inversamente proporcionais. • Resolver problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais. • Resolver problemas que envolvem grandezas inversamente proporcionais. • Resolver problemas de regra de três simples e compostas.

Algumas explorações Conforme discutido no texto introdutório do capítulo na página 217, podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medido. Além disso, as grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas, como área, volume, massa, superfície, comprimento, capacidade, velocidade, tempo, entre outras. Em situações do cotidiano, é comum estabelecermos relação entre duas grandezas, como, por exemplo, o tempo que passamos no trânsito (relação tempo e espaço percorrido), o tempo em que uma torneira ficará aberta para encher um balde (relação tempo de vazão da torneira e volume do balde), o trabalho das máquinas (relação quantidade de máquinas e tempo). Dependendo do comportamento da relação entre as grandezas, elas podem ser classificadas como diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Para os alunos, as ideias iniciais sobre esse conceito aplicadas a situações-problema podem suscitar alguns questionamentos. Por meio de situações do cotidiano, leve-os a refletir sobre essas relações e suas classificações. A seguir, apresentamos uma sugestão para definir esses conceitos. Quando m e n são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou

diminuem simultaneamente, e na mesma n proporção, ou seja, a razão 5 k é consm tante e resulta em n 5 mk (k é uma constante). Quando m e n são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o produto das duas permanece constante: m  n 5 k onde k n é uma constante, ou ainda 5k . 1 m Para que o trabalho com grandezas diretamente e inversamente proporcionais não se torne mecânico, peça aos alunos que justifiquem suas respostas validando-as com base nos conceitos estudados. Esse procedimento contribui para desenvolver o raciocínio proporcional, o que seria prejudicado caso o aluno faça uso somente da aplicação de regras, como a regra de três, cujo objetivo é apenas facilitar os cálculos, e não deve interferir no entendimento desse conceito. É interessante que os alunos busquem alternativas para resolver as situações propostas, elaborando estratégias pessoais como no exemplo 1 da página 223, em que é possível ter o seguinte raciocínio: se o relógio adianta 30 segundos em 5 dias, logo adianta 6 segundos por dia (30  5 5 6). Em um ano, adiantaria 2 190 segundos, pois 365 dias 3 6 segundos/dia 5 2 190 segundos.

Outras atividades 1. Em cada uma das alternativas a seguir, determine a relação entre os pares de grandezas apresentados. O que acontece com a quantidade de uma delas se a quantidade da outra for alterada? a) A quantidade de tinta utilizada para pintar a área de uma parede. b) O tempo que se leva para fazer uma viagem e a velocidade do veículo. c) Uma quantidade de livros a ser distribuída para uma quantidade de alunos. d) Os litros de combustível gastos por um automóvel e os quilômetros percorridos.

MANUAL DO PROFESSOR

CAPÍTULO 24 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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f) A quantidade de máquinas trabalhando na produção de peças e o número de peças produzidas. g) A quantidade comprada e o valor que deverá ser pago. Para a, c, d, f e g, quanto maior for a grandeza inicial, maior será a grandeza final. Para o restante dos itens, quanto maior for a grandeza inicial, menor será a grandeza final.

Algumas resoluções Apresentamos a seguir a resolução da atividade 6 e algumas explorações sobre o conceito de grandezas diretamente e inversamente proporcionais da seção Agora é com você da página 222.





y 5 4 ? 10 y 5 40 m Encontrando a medida do comprimento z: z 120 5 5 12 z 5 10 5 z 5 5 ? 10 z 5 50 m

Resposta: O comprimento de cada parte é, respectivamente: 30 m, 40 m e 50 m. A mesma situação pode ser representada por meio da figura a seguir. Corda dividida em 12 partes (3 1 4 1 5) 10m 10m 10m 10m 10m 10m 10m 10m 10m 10m 10m 10m DAE

e) A quantidade de máquinas trabalhando e o tempo gasto no trabalho.

Atividade 6

MANUAL DO PROFESSOR

a) Nessa atividade, constatamos a relação entre duas grandezas: comprimento da corda e partes em que foi dividida. Quanto menor for a parte da corda, menor será seu comprimento e quanto maior for a parte da corda, maior será seu comprimento; portanto, trata-se de grandezas diretamente proporcionais. Logo:

x y z 120 5 5 5 3 4 5 31 4 15



x y z 120 5 5 5 3 4 5 12

Encontrando a medida do comprimento x: x 120 5 3 12

x 5 10 3



x 5 3 ? 10 x 5 30 m



Encontrando a medida do comprimento y: y 120 5 4 12 y 5 10 4



120 metros 3 partes de 12 5 1 5 10 m, 12 3 logo 5 30 m 12

3 12

4 partes de 12 5 1 5 10 m, 12 4 logo 5 40 m 12

4 12

5 partes de 12 5 1 5 10 m, 12 5 logo 5 50 m 12

5 12

b) Sendo os números diretamente proporcionais, a razão entre eles é igual, logo: 6 x y 5 5 4 8 20

Para encontrar o valor de x, temos: 6 x y 5 5 4 8 20

4x 5 6 ? 8 x 5 12

Para encontrar o valor de y, temos: 6 y 5 4 20

4y 5 6 ? 20 y 5 30 Obs.: Para que esse procedimento não se torne mecânico, propomos que os alunos justifiquem suas respostas. Você pode ajudá-los com os seguintes questionamentos: Como você pode afirmar que os valores

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encontrados estão corretos? O que comprova que os valores obtidos são diretamente proporcionais? Estimule-os a relembrar os conceitos já estudados. Resposta: x 5 12 e y 5 30.  endo os números inversamente proc) S porcionais, temos:



x y z 62000 5 5 5 1 1 1 1 1 1   2 3 5 2 3 5



x y z 62000 5 5 5 31 1 1 1 2 3 5 30



Para obtermos o valor de x:

x 62000 5 1 31 2 30 2x 5 62000 ?

30 31



x 5 30 000



Para obtermos o valor de y:

30 31

60000 3

y 5 20 000



Para obtermos o valor de z:



z 62000 5 31 1 5 30 5z 5 62000 ?

3y 5 12 ? 30 = 10x



360 5 10x 360 x5 10

x 5 36



3y 5 360



y5



y 5 120

360 3

e) Por se tratar de grandezas diretamente proporcionais, temos: a b c 36 5 5 5 3 4 5 3 4 5







3 12 x 5 5 1 1 1 30 10 y

Resposta: x 5 36; y 5 120.

3y 5 60 000

d) Sendo os números inversamente proporcionais, o produto entre eles é igual, observe:

Para obtermos o valor de y:

y 62000 5 31 1 3 30

y5

Resposta: Os valores recebidos pelos sócios serão: R$ 30.000,00; R$ 20.000,00; R$ 12.000,00.







z 5 12 000

Para obtermos o valor de x:

60000 x5 2

3 y 5 62000 ?



60000 5

3y 5 360 5 10x

2x 5 60 000





z5

30 31

a b c 36 5 5 5 3 4 5 12

Encontrando a medida do comprimento a: a 53 3

a53?3



a59

MANUAL DO PROFESSOR



5y 5 60 000

359 359 pom7_mp_340_366_especifica.indd 359

5/26/15 6:11 PM

Encontrando a medida do comprimento b: b 36 5 4 12 b 53 4 b 5 4 ? 3 b 5 12 Encontrando a medida do comprimento c: c 36 5 5 12 c 53 5

DAE

c 5 5 ? 3 c 5 15 3

3

3

3

3 c

3

tes

3

3

b

3

3

P 5 a 1 b 1 c 5 36 cm

c 5 5  3 5 15 cm

MANUAL DO PROFESSOR

Resposta: as medidas dos três lados do triângulo são, respectivamente, 9 cm, 12 cm e 15 cm. Apresentamos a seguir a resolução e algumas explorações da atividade 8 sobre o conceito de problemas de regra de três da seção Agora é com você da página 226. Atividade 8

45

48 100 10

4

45

48 100 10

15

2

E utilizamos o mesmo procedimento para os próximos valores: 60a 5 360

a 5 360  60 a 5 6; 6 cm Base (cm)

90

60

Altura (cm)

4

6

45

48 100 10

15

2

Base (cm)

90

60

45

48 100

Altura (cm)

4

6

8

10

15

2

b 5 36

b 5 4  3 5 12 cm

4

Altura (cm)

60

b 5 360  10

a 5 3  3 5 9 cm

Altura (cm)

90

10b 5 360

36  12 partes (3 1 4 1 5) 5 3

60

Base (cm)

a 5 8; 8 cm

5 partes

Base (cm)

b 5 90; 90 cm

a 5 360  45

ar

3

b 5 360  4

45a 5 360

3p

s te ar 4p a

b  4 5 360

15

Base (cm)

90

60

45

36

48 100

Altura (cm)

4

6

8

10

15

2

15b 5 360

b 5 360  15 b 5 24; 24 cm Base (cm)

90

60

45

36

24

Altura (cm)

4

6

8

10

15

48 100 2

48a 5 360

2

O preenchimento do primeiro valor da tabela será feito pela fórmula de cálculo da área do triângulo, sendo a a altura do triângulo e b a base.

a 5 360  48 a 5 7,5; 7,5 cm Base (cm)

90

60

45

36

24

48 100

Altura (cm)

4

6

8

10

15

7,5

2

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100a 5 360

Se aumentarmos o número de digitadores, o número de dias para fazer a produção diminui. Assim, essas grandezas são inversamente proporcionais.

a 5 3,6; 3,6 cm Base (cm)

90

60

45

36

24

48 100

Altura (cm)

4

6

8

10

15

7,5 3,6

2

2b 5 360

b 5 360  2 b 5 180; 180 cm Base (cm)

90

60

45

36

24

48 100 180

Altura (cm)

4

6

8

10

15

7,5 3,6

2

Resposta: Com base nos valores da tabela, verificamos que a relação entre a base do retângulo e a altura é inversamente proporcional.

Logo, devemos compor a razão relativa aos dias no primeiro membro da equação e o produto das frações relativas ao número de páginas e ao número de digitadores no segundo membro da equação. Lembrando que a fração relativa aos digitadores deve ser invertida. 18 8 720 ? 5 6 800 x Fazendo as simplificações das frações, temos: 18 4 9 18 2 3 ⇒ ⇒ ? ? 5 5 3 10 1 5 x x

Ou seja, o produto entre a base e a altura sempre resulta em um mesmo valor.

18 6 90 ⇒ 6x 5 18 ? 5 ⇒ x 5 ⇒ 5 5 6 x

Recomendamos que a atividade da seção Trabalho em equipe das páginas 227 e 228 seja realizada com o auxílio do computador. Ele fornece várias funcionalidades para a manipulação de imagens, a inserção de linhas, além da possibilidade de realizar a tarefa com mais de uma figura para validar as propriedades apresentadas.

x 5 15

Apresentamos aqui a resolução e a exploração da atividade 7 sobre o conceito de grandezas diretamente e inversamente proporcionais da seção Agora é com você da página 232. Primeiramente, construímos uma tabela para organizar as grandezas: digitadores

dias

páginas

6

18

720

8

x

800

Comparando as grandezas dias e números de páginas: Se aumentarmos os dias trabalhados, a produção de páginas será maior. Assim, essas grandezas são diretamente proporcionais. Comparando as grandezas dias e números de digitadores:

Resposta: Eles digitariam 800 páginas em 15 dias.

Para saber mais • Sugerimos a leitura do livro paradidático Proporções – A invasão da Terra, da coleção Pra que serve Matemática?, 13. ed., de Luiz Marcio Pereira Imenes e Jose Jakubovic. São Paulo: Atual Editora, 2002. Nessa obra, os autores apresentam o conceito de proporção por meio de situações típicas do cotidiano, como compras a prazo e à vista, fórmulas químicas, densidade demográfica, cálculo da duração de viagens, pesquisas eleitorais etc. Apresentam também outras curiosidades, por exemplo: de que forma as proporções do corpo humano são utilizadas no trabalho de pintores e desenhistas; como calcular as horas observando a proporção entre ângulos dos ponteiros do relógio; como usar a sombra dos objetos para determinar sua altura; além do conceito de proporção ao longo da história – Arquimedes e a lei das alavancas (remos, abridores de garrafas, guindastes). Há ainda uma história em quadrinhos de ficção científica

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a 5 360  100

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sobre uma invasão da Terra por seres alienígenas, o divertido detetive Said Essa e o mistério das bolinhas coloridas, quebra-cabeças, charadas etc. • Sugerimos também a leitura do material que traz a proposta do experimento Câmara Escura, com o objetivo de motivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa por meio da observação de um fenômeno físico. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

CAPÍTULO 25 – TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Objetivos do capítulo • Conceituar a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. • Relacionar a média aritmética simples com a média aritmética ponderada em situações reais.

Algumas explorações

MANUAL DO PROFESSOR

O maior enfoque dessa unidade é levar os alunos a perceberem que conceitos como média aritmética simples e média aritmética ponderada já fazem parte de suas vidas mesmo que ainda não tenham percebido. Para permear esse trabalho, é possível utilizar jornais e revistas impressos ou a internet, assim como as publicações do IPEA e do IBGE. Outro ponto interessante é comentar o significado das medidas de dispersão. Um exemplo que pode ser explorado é a soma da altura de todos os alunos da sala. Pergunte o quanto essa medida realmente retrata a altura de toda a turma. Mas o que o aluno pode entender nesse momento? Pode ser explicado que a média é uma medida que, sozinha, é incompleta para retratar o comportamento de um conjunto de dados. Considere o seguinte exemplo: duas pessoas têm salários iguais a R$ 10.000,00 e uma terceira pessoa ganha

R$ 1.000,00. A média aritmética entre os três é R$ 7.000,00. Isso não retrata a realidade do terceiro elemento que ganha R$ 1.000,00. Essa percepção auxiliará o aluno a raciocinar de modo crítico, sendo capaz de julgar as informações que lhe são apresentadas.

Algumas resoluções Veja a seguir a resolução de algumas atividades da seção Agora é com você das páginas 238 e 239. Atividade 6 a) Para obter o faturamento no fim dos cinco meses, basta somar os valores da tabela: 220 000 1 180 000 1 380 000 1 440 000 1 1 300 000 5 1 520 000 b) Para obter a média do período, dividimos o valor somado pela quantidade de meses: 1520000 5 304 000 5 Atividade 10 b) Nessa turma há 15 meninos e 35 meninas. Como conhecemos as médias das notas dos meninos, podemos escrever: 15  7 1 35x 5 7,7 50

105 1 35x 5 50  7,7 35x 5 385 2 105

x5

280 35

Logo, a média das notas considerando apenas as meninas é igual a 8.

Outras atividades Atividades de pesquisa para serem desenvolvidas em paralelo a essa unidade. 1o Os alunos podem trazer jornais e revistas ou acessar sites sobre o clima para responder à seguinte pergunta: Qual é o significado da expressão “temperatura média”? A temperatura média é a média aritmética das temperaturas obtidas para determinado intervalo de tempo.

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Para saber mais • Para saber mais sobre os jogos paraolímpicos, visite o site (acesso em: abr. 2015). • Para saber mais sobre o uso de médias na Estatística, sugerimos as seguintes leituras: Estatística básica, 8. ed., de Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussad. São Paulo: Saraiva, 2013. E o título da Série Essencial: Estatística aplicada, 3. ed., de Douglas Downing e Jeffrey Clark. São Paulo: Saraiva, 2002.

Unidade 7 – Introdução à matemática financeira OBJETIVOS DA UNIDADE • Praticar o raciocínio estatístico. • Iniciar o desenvolvimento do raciocínio analítico. • Identificar tabelas e gráficos. • Interpretar informações de tabelas e gráficos. • Fazer inferências relacionando dados estatísticos com a realidade. • Relacionar a Estatística com outros conteúdos matemáticos.

CAPÍTULO 26 – PORCENTAGEM E JURO SIMPLES Objetivos do capítulo

• Desenvolver a habilidade de relacionar o cálculo de porcentagens com situações do cotidiano.

• Desenvolver a habilidade de aplicar o cálculo de porcentagens em situações de descontos, acréscimos e juros. • Perceber a utilização dos sistemas de juro em nossa sociedade.

Algumas explorações Iniciamos essa unidade situando os assuntos da matemática financeira que temos como intenção abordar. Para isso, retomamos os estudos de porcentagem com ênfase em dados reais relacionados a gráficos já estudados nas seções destinadas ao tratamento da informação. Para facilitar esse processo, pode-se apoiar em reportagens de jornais e revistas ou infográficos que tragam temas de relevância para os alunos. Nesses temas, em geral, as informações são transformadas em valores percentuais para facilitar o entendimento do conjunto das informações apresentadas. Para verificar se o entendimento dos alunos está de acordo com o esperado, solicite a eles que escrevam suas conclusões sobre a reportagem abordada. Na página 253, o termo poupança é mencionado. Converse com os alunos sobre o que é poupança, qual critério é adotado para definir seus rendimentos e, para ampliar a discussão no âmbito da educação financeira, inicie uma discussão comparando as taxas de juros de empréstimos bancários e financiamentos com as taxas de juros da poupança e questione os alunos: Vale mais a pena poupar e comprar um bem à vista ou financiá-lo? A seguir, apresentamos uma definição de poupança. A poupança é uma conta de depósitos remunerados pela TR (Taxa Referencial) acrescida de juros mensais para pessoas físicas e trimestrais para pessoas jurídicas. A poupança é o investimento mais popular e tradicional do país devido, principalmente, a sua simplicidade de aplicação e de resgate. É uma aplicação segura e suas regras de funcionamento são estipuladas pelo Banco Central, por isso existe uma padronização de taxas e de funcionamento em todas as instituições financeiras.

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2o Após o término das atividades propostas na seção Trabalho em equipe da página 237, proponha uma pesquisa sobre os jogos paraolímpicos, inclusive sobre a média de medalhas dos países da América do Sul nesses jogos, utilizando os pesos apresentados na seção Trabalho em equipe.

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A TR (Taxa Referencial) serve como referência para o juro praticado no mercado financeiro. Inicialmente foi criada para ser uma taxa básica dos juros praticada no mês. Atualmente, a TR é utilizada no cálculo do rendimento de vários investimentos, caderneta de poupança, empréstimos do SFH (Sistema Financeiro de Habitação), pagamentos a prazo e seguros em geral. Poupança. Banco do Brasil. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

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O gráfico apresentado na página 246 faz parte de uma reportagem disponível neste endereço: (acesso em: abr. 2015). É interessante acessar o site e abordar com os alunos o fato apresentado na reportagem de que o índice de desemprego entre mulheres tem caído desde 2012, pois, ao observar somente o gráfico, a conclusão poderá ser outra. Assim, pode-se fazer os alunos perceberem a importância de conhecer o contexto no qual os dados do gráfico estão envolvidos. Outro assunto possível de ser discutido em sala de aula é a formação desse índice, que leva em conta pessoas que estão à procura de emprego e, para isso, cadastram-se em diferentes instituições: donas de casa ou até mesmo pessoas que trabalham no mercado informal e não se enquadram nesse índice.

o aluno decida qual é a maneira de calcular mais conveniente ao observar o desafio a ser resolvido. Ao mesmo tempo, mostre à turma a importância de conhecer diversos métodos para que se possa efetivamente selecionar a opção mais eficiente. O exemplo 6 apresentado na página 249 pode ser utilizado para instruir os alunos a estimar um valor percentual, pois, como o número de questões ultrapassa a metade das questões da prova, é lógico pensar que seu valor percentual é superior a 50%. Todos os exemplos das páginas 247 e 250 também podem ser resolvidos com o auxílio da calculadora, assim como as atividades da seção Agora é com você da página 250. Se achar interessante, solicite em sala de aula que os alunos confiram as respostas das atividades que acabaram de executar utilizando a calculadora. Peça a eles que identifiquem os possíveis erros cometidos, reelaborem novos trajetos e reflitam sobre os processos vivenciados.

Essa unidade também aborda os descontos percentuais oferecidos pela Sabesp em 2014 para as regiões atendidas pelo Sistema Cantareira. Para saber mais sobre este e outros assuntos, consulte o site da Sabesp, que disponibiliza um simulador animado que calcula o desperdício de água. Disponível em: (acesso em: abr. 2015).

Na página 255, os alunos são convidados a refletir sobre situações que envolvem juro simples. Nessas atividades, são propostos alguns questionamentos com a intenção de despertar a curiosidade e o senso crítico dos alunos; portanto, não esperamos obter respostas "certas" ou "erradas". Um dos objetivos aqui é fazê-los refletir e principalmente justificar suas escolhas. Por exemplo, quando questionamos se é melhor economizar dinheiro e esperar para adquirir um produto ou parcelar e obter o produto imediatamente, estamos falando de questões culturais. As respostas a essas questões podem ser diferentes, dependendo da situação e do especialista consultado. Logo, os questionamentos dessa atividade devem ser norteados de acordo com o objetivo das finanças pessoais individuais. Aproveite o momento para propor reflexões que ajudem a evitar possíveis constrangimentos.

Nos cálculos de porcentagem abordados nessa unidade, procure valorizar a forma pela qual o aluno realiza o cálculo, pois, como sabemos, há várias maneiras de fazer um cálculo de porcentagem. É interessante deixar que

Além dessas reflexões, um tema importante a ser abordado é economizar de maneira consciente e responsável, evitando gastos desnecessários. Dessa forma, leve os alunos a refletir que é interessante pensar no equilíbrio

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Atividades resolvidas Veja a seguir algumas atividades resolvidas da seção Agora é com você da página 250. Atividade 2 a) Multiplicar por 0,2 é o mesmo que 20 multiplicar por , ou seja, estamos 100 multiplicando por 20 partes de 100, ou 20%. b) O produto 0,75 x é equivalente a  75    x , ou seja, são 75 partes de 100  100 de um inteiro. Ao pensarmos que temos 75% de um valor anterior, podemos justificar que multiplicar por 0,75 diminui o valor original em 25%. c) De 1 000 para 1 200 houve o aumento 1 de , que é equivalente a 200, como 5 1 20 5 , concluímos que o aumento 5 100 foi de 20%. d) De 4 000 para 3 000 houve uma diminuição de 1 000 unidades, que 1 de 4 000. Logo, se corresponde a 4 1 25 5 , podemos concluir que 4 100 hou­ve uma diminuição de 25%. Atividade 3 Essa atividade traz várias abordagens que podem ser exploradas. Concepção parte/todo: 5 1 5 5 0, 33333... 5 33,33% 15 3 Regra de três: 15 100   5 x

500 x  33,33% x

Pode-se ainda simplesmente perceber que 1 a figura pintada corresponde a do total. 3 Atividade 4 b) O foco dessa atividade é trabalhar de forma diferente do padrão estabelecido pelo senso comum, já que o percentual solicitado é o de reprovados. Como 312 foram aprovados, o número de reprovados é de 480 2 312 5 168. Uma das formas de encontrar o percentual de reprovados que pode ser apresentada para os alunos é: 168  100 5 35% 480 Atividade 5 Quando aumentamos em 40%, temos 140% do valor original. Para liquidar, foi dado um desconto posterior de 40%; logo, o preço final será 140 2 140  0,4, que resulta em 84% do valor original. Podemos comprovar isso com qualquer valor. Outra solução seria dizer que x era o valor inicial. Portanto, com o aumento:

x 1 0,4x 5 1,4x Com desconto posterior: 1,4x 2 1,4x 0,4 5 1,4x 2 0,56x 5 0,84x Logo, o preço seria 84% do valor original. Veja a seguir a resolução da atividade 5 da seção Agora é com você da página 255. Atividade 5 a) Primeiro, vamos separar os dados do problema: Capital 5 36 000 Tempo 5 1 (ano) Juros: 1 260 Taxa 5 ?  om a fórmula dos juros simples, C temos: j5Cit

MANUAL DO PROFESSOR

entre o que se deseja e o que é possível. Se desejar ampliar as discussões sobre o assunto, visite o site (acesso em: abr. 2015). O endereço traz diversos artigos que falam de educação financeira.

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 ubstituindo os valores e isolando a inS cógnita i, temos: 1 260 ⇒ 1 260 5 36 000 ? i ? 1 ⇒ i 5 36 000 ⇒ i 5 0,035 Ou 0,035 3 100, que resulta em 3,5%. Mostre aos alunos que também podemos resolver o problema com uma regra de três simples, como segue:

36 000 1260

100% taxa

capital 2 000

100% 4%

Daí, temos: capital 100% ⇒  2 000 4% 2 000  100% 4%

⇒

capital  50 000

36 000 100% ⇒  1 260 taxa 1 260  100% 36 000

Outras atividades Atividades de pesquisa ⇒

taxa  3,5% 1 200 é igual a taxa, 36 000 pois ela representa o quanto 1 260 é em relação a 36 000. Assim, para determinarmos a taxa de forma mais rápida, basta obter o número decimal da razão entre a parte e o todo. Note que a razão

b) Primeiro, vamos separar os dados do problema:

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Novamente podemos resolver o problema com uma regra de três simples, observe.

capital 

Daí, temos:

taxa 

Logo, o capital investido foi de R$ 50.000,00.

Capital 5 ? Tempo 5 1 (ano) Juros: 2 000 Taxa 5 4%, ou 0,04  om a fórmula dos juros simples, C temos: j5Cit  ubstituindo os valores e isolando a incógS nita C, temos: 2 000 ⇒ 2 000 5 C ? 0,04 ? 1 ⇒ C 5 4 ⇒ C 5 50 000

• Proponha uma pesquisa sobre a relação entre juro bancário e a taxa do Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic), que pode ser complementada com a pesquisa do juro do cheque especial, do juro do cartão de crédito, do juro de um financiamento bancário e do juro da poupança. Como fonte de pesquisa, sugerimos: (acesso em: abr. 2015). • Proponha uma pesquisa sobre o aumento do preço da gasolina e do álcool nos últimos cinco anos. Peça aos alunos que representem os resultados por meio de um gráfico de linhas.

Para saber mais • Para saber mais da situação da água em São Paulo, visite: (acessos em: abr. 2015). • Para saber mais de juros e aplicações, acesse: . • Para saber mais de educação fi­nan­cei­ra, acesse: .

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6. Referências BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas. Exame Nacional do Ensino Médio (Enem): fundamentação teórico-metodológica. Brasília, 2005. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, 2014. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília, 2013. CAMPOS, C. R. A educação estatística: uma investigação acerca dos aspectos relevantes à didática da estatística em cursos de graduação. Rio Claro, 2007. 242 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – UNESP-IGCE. CARVALHO, J. B. P.; LIMA, P. F. A avaliação pedagógica dos livros didáticos de Matemática: PNLD 1997 – 2004. Brasília: MEC, 2002. CHEVALLARD, Y. La transposition didactique: du savoir savant au savoir ensigné. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1992. D’AMBRÓSIO, B. S. Formação de  professores de  Matemática  para o século  XXI: o grande desafio. Pro-posições, v. 4, 1 [10], mar. 1993. FONSECA, M. C. F. R. Prefácio. In: NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Org.). Indagações, reflexões e práticas em leituras e escritas na educação matemática. Campinas: Mercado de Letras, 2013. GARFIELD, J.; GAL, I. Teaching and assessing statistical reasoning. In: Developing mathe­ matical reasoning in grades K-12 – National Council of Teachers of Mathematics. Reston: Ed. L. Staff, 1999.

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ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da Matemática. Curitiba: UFPR, 2007.

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