Nuova Matematica a colori [4, Verde ed.] 9788849462821, 9788849420234

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Sasso_VERDE_fr_4 10/02/12 11:45 Pagina 1

Leonardo Sasso

Nuova

Matematica

a colori

• Limiti e continuità • Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale • Statistica • Probabilità e calcolo combinatorio

4 con elementi di Informatica

Edizione VERDE per la riforma. Secondo biennio

internet: www.petrini.it e-mail: [email protected]

Redattore responsabile: Redazione: Tecnico responsabile: Progetto grafico: Copertina: Ricerca iconografica per la copertina: Impaginazione: Disegni:

Monica Martinelli Barbara De Bernardis Gian Battista Vivalda Carla Devoto Simona Corniola, Simona Speranza Cristina Colombo M.T.M. Leprechaun

Art Director:

Nadia Maestri

L’autore ringrazia i professori Stefano Moretti, Giuseppe Vasta e Mariangela Garozzo per il contributo dato alla stesura degli esercizi.

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Proprietà letteraria riservata © 2012 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: gennaio 2012 Printed in Italy Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Archivio Dea Picture Library. Foto copertina: iStockphoto L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l’autorizzazione scritta dell’Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le fotocopie effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano – e-mail: [email protected] e sito web www.clearedi.org. Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento di funzionamento tecnico dei supporti multimediali del corso o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica [email protected]

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Ristampa: Anno:

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4 5

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8 9

10 11

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Indice Prima di cominciare...

TEMA

Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

VI

F

Limiti e continuita` Unita` 1 2 3 4

Che cos’e` l’analisi matematica? L’insieme R: richiami e complementi Funzioni reali di variabile reale: dominio e studio del segno Funzioni reali di variabile reale: prime proprieta` ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita` 1 2 3 4

1 Introduzione all’analisi

Unita` 2 6 13

3

19

4

28 28 28 50 56

di variabile reale

Introduzione al concetto di limite Dalla definizione generale alle definizioni particolari Teoremi di esistenza e unicita` sui limiti Le funzioni continue e l’algebra dei limiti Approfondimento Una dimostrazione

57

7

del concetto di limite

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

70 75

1 2 3 4

90 97 104 105 105 106 140 145

3 Limiti di successioni

Introduzione alle successioni Progressioni aritmetiche e geometriche Limiti di successioni Principio di induzione ESERCIZI Sintesi

178

e le coniche

200 203

TEMA

181 186 192

203 204 226 232 233 235 241

146 148 152 156 160 160

G Calcolo differenziale

e introduzione al calcolo integrale Unita` 1 2 3 4 5 6 7

Unita`

Funzioni continue Punti di discontinuita` e loro classificazione Proprieta` delle funzioni continue e metodo di bisezione Asintoti e grafico probabile di una funzione Approfondimento I grafici di funzioni

62

83 Forme di indecisione di funzioni algebriche 85

Forme di indecisione di funzioni trascendenti Infinitesimi e infiniti Matematica nella storia Nascita e sviluppo

4 Continuita`

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

2 Limiti di funzioni reali

sull’algebra dei limiti

5 6

1 2

160 173 177

5 La derivata

Il concetto di derivata Derivate delle funzioni elementari Algebra delle derivate Derivata della funzione composta e della funzione inversa Classificazione e studio dei punti di non derivabilita` Applicazioni geometriche del concetto di derivata Applicazioni del concetto di derivata nelle scienze Approfondimento Il differenziale Matematica nella storia Nascita e sviluppo

246

del concetto di derivata

280 281

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

252 256 261 267 272 274 277

281 282 313 319 III

Unita` 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

e l’approssimazione delle radici di un’equazione

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita` 1 2 3 4 5

IV

320 329 335 342 348 354

Unita` 1 2 3 4 5

357 357 358 401 407

7 Lo studio di funzione

Schema per lo studio del grafico di una funzione. Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Funzioni con valori assoluti Grafici deducibili Applicazioni dello studio di funzione alle equazioni Approfondimento Il metodo di Newton

9 Richiami e complementi di statistica

Introduzione alla statistica Indici di posizione e di variabilita` Tabelle a doppia entrata Dipendenza e indipendenza statistica Correlazione e regressione ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

528 531 534 538 542 548 548 549 563 566 567 572 575

408 417 424

TEMA

I

427

Calcolo combinatorio e probabilita`

431

Unita`

434 438

1 2 3 4

438 439 469 479

8 Introduzione al calcolo integrale

Primitive e integrale indefinito Integrali immediati e integrazione per scomposizione Integrazione di funzioni composte Dalle aree al concetto di integrale definito Le proprieta` dell’integrale definito e il suo calcolo ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

H

Statistica

derivabili

I teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange Funzioni crescenti e decrescenti e criteri per l’analisi dei punti stazionari Problemi di ottimizzazione Funzioni concave e convesse, punti di flesso ˆ pital I teoremi di Cauchy e di de l’Ho La formula di Taylor ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita`

TEMA

6 Teoremi sulle funzioni

Introduzione al calcolo combinatorio Disposizioni e permutazioni Combinazioni Il teorema del binomio di Newton ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

480

Unita`

483

1 2

485 488 491 495 495 496 510 514

3 4 5

10 Calcolo combinatorio 578 580 584 589 593 593 593 604 608

11 Calcolo delle probabilita`

Introduzione al calcolo delle probabilita` Valutazione della probabilita` secondo la definizione classica I primi teoremi sul calcolo delle probabilita` Variabili aleatorie e distribuzioni discrete Distribuzione binomiale ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita`

609 615 619 622 627 630 630 631

Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

652 658 659 663 666

Idee e metodi della matematica Cardinalita` degli insiemi infiniti

669

Verso l’Universita` Risposte alle prove di autoverifica Indice analitico

671 680 685

Risorse multimediali Esercizi interattivi Materiali per il volume 4: Complementi e approfondimenti – Introduzione alle distribuzioni di probabilita` continue e distribuzione normale – Glossario

Figure dinamiche Materiali per il Laboratorio di informatica

Da www.scuola.com l’accesso al portale studente di zonaMatematica consente di cimentarsi autonomamente con prove di autoverifica costantemente aggiornate e implementate, oppure di eseguire le prove personalizzate che il docente assegnera` alla classe.

V

Prima di cominciare...

Prima di cominciare...

Uno

sguardo

sulla matematica di oggi

Negli ultimi cent’anni si sono dimostrati piu` teoremi che nell’intero corso della storia; molte teorie matematiche sono state riprese e hanno avuto notevoli applicazioni pratiche, mentre celebri problemi, irrisolti da secoli, hanno trovato una soluzione. Da dove nasce tanto interesse nei confronti della matematica? La risposta e` semplice: essa fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia. Per esempio, la matematica ha un ruolo fondamentale:  nella ricerca spaziale: molti matematici contribuiscono in modo determinante ai programmi della NASA e dell’ESA;  in aeronautica: la matematica e` stata essenziale per la costruzione degli aerei della nuova generazione Boeing 767, 777 e Airbus;  nelle telecomunicazioni: la trasmissione veloce e sicura di dati digitali e` possibile grazie ai cosiddetti «codici correttori d’errori», costruiti utilizzando tecniche tratte da algebra, probabilita`, analisi combinatoria, geometria algebrica;  nell’ambito del riconoscimento delle immagini: l’F.B.I. utilizza, per il suo archivio di impronte digitali, tecniche derivate da una teoria matematica avanzata, nota come «teoria delle ondine»;  in ingegneria: i modelli per lo sviluppo e la produzione di prodotti tecnologici consistono nella descrizione matematica dei fenomeni esaminati; nei processi decisionali che riguardano scelte manageriali, in cui sono coinvolti gli ingegneri, vengono ampiamente utilizzate tecniche di indagine statistica e considerazioni probabilistiche;  in informatica: software di generazioni recenti sono basati su teorie algebriche e logiche avanzate;  in meteorologia: le previsioni del tempo sono fondate su complessi modelli matematici;  in medicina: la matematica e` stata impiegata per la realizzazione di nuovi strumenti di indagine diagnostica quali per esempio la TAC (tomografia assiale computerizzata); la statistica, inoltre, e` alla base dell’analisi di dati medici ed epidemiologici e del monitoraggio di dati farmacologici;  in biologia: lo studio dell’evoluzione di popolazioni appartenenti a varie specie e` basato su modelli matematici;

VI

 nelle tecniche che garantiscono la sicurezza dei dati riservati: alcune di esse si basano sull’utilizzo dei numeri primi;  nella costruzione dei CD musicali e delle memorie dei computer: metodi matematici sofisticati sono alla base delle tecniche per la compressione dei dati;

Prima di cominciare...

 in economia e finanza: la matematica gioca un ruolo di primo piano nell’ottimizzazione di risorse e investimenti, nella pianificazione di processi produttivi, nel calcolo dei contratti finanziari e dei premi di assicurazioni;

 nella computer vision: la geometria e` lo strumento che permette la costruzione di modelli tridimensionali usati nei sistemi CAD e nei videogiochi;  nella «mappatura» del genoma umano: una parte della statistica, la cosiddetta «teoria statistica delle grandi deviazioni», ha permesso di sviluppare i programmi a prova di errore per la lettura delle sequenze di DNA. La scienza e la tecnologia utilizzano, dunque, teorie matematiche sempre piu` sofisticate. Per questo motivo, negli ultimi anni sono nate nuove figure professionali, in grado di utilizzare la matematica per scopi diversi.  Nei centri di ricerca di tutte le grandi banche, per esempio, lavorano squadre di matematici.  Nelle assicurazioni il ruolo dei matematici, che e` sempre stato importante, e` in costante crescita.  Le imprese che sviluppano software cercano collaboratori anche fra i laureati in matematica, cosı` come le societa` che lavorano nell’ambito delle telecomunicazioni, che devono pianificare in modo ottimale le «rotte» su cui instradare le chiamate telefoniche.  I centri di ricerca delle grandi industrie impiegano matematici per risolvere i problemi piu` vari, dall’elaborazione delle immagini alla creazione di codici per garantire la sicurezza di dati riservati, dallo sviluppo di nuovi materiali alla bioinformatica e all’ingegneria civile. Sembra proprio che la matematica sia il linguaggio del terzo millennio, senza il quale non sara` possibile comprendere la scienza e le tecnologie del futuro!

VII

Prima di cominciare...

Qualche consiglio per «studiare matematica» e per utilizzare questo libro Questo testo ha diversi scopi:  continuare lo sviluppo delle competenze matematiche che hai acquisito nei corsi precedenti;  farti scoprire alcune applicazioni della matematica nel mondo in cui viviamo;  contribuire a farti acquisire quegli strumenti scientifici sempre piu` essenziali per partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacita` critica. Per raggiungere questi scopi, ti diamo qualche consiglio su come studiare matematica.

1 2

E` importante che studi matematica con regolarita`: potrai cosı` assimilare piu` agevolmente i concetti e il tuo insegnante potra` piu` facilmente aiutarti a superare le difficolta`.

3

   

4 6

Lo studio della matematica, come hai gia` avuto modo di constatare, richiede impegno e partecipazione. Non puoi imparare molto limitandoti ad assistere alle lezioni: devi partecipare, porti domande e confrontarti, anche da solo, con problemi ed esercizi.

Dovresti leggere le lezioni di questo libro e cercare di capire cio` che hai letto. A questo proposito ti diamo alcuni suggerimenti: leggi lentamente, prestando attenzione a ogni parola e ai simboli; rileggi le parti che non ti risultano chiare; prova a rifare da solo gli esempi che compaiono svolti nel testo; alla fine di ogni paragrafo, prima di proseguire, controlla se hai capito cio` che hai letto, cercando di rispondere ai quesiti che ti sono proposti nella rubrica prova tu.

Risolvi gli esercizi che trovi al termine di ciascuna Unita`, suddivisi in paragrafi, con l’aiuto degli esercizi svolti e guidati.

5

Alla fine di ogni tema trovi una serie di esercizi sulle competenze da acquisire sugli argomenti trattati nel tema stesso; cerca di risolvere anche gli esercizi di verso le prove Invalsi, strutturate secondo la nuova tipologia di test d’esame.

Sfrutta i materiali multimediali relativi al libro disponibili on-line: potrai trovare figure dinamiche per visualizzare meglio i concetti fondamentali presentati nella teoria, test autocorrettivi che si affiancano alle prove di autoverifica proposte nel libro, file di supporto alle attivita` del Laboratorio di informatica, ulteriori complementi e approfondimenti.

7 8

Quando risolvi un problema, non limitarti a scrivere la tua soluzione: sforzati di illustrare cio` che stai facendo e di giustificare i vari passaggi, con spiegazioni sintetiche ma esaurienti.

Se non riesci a rispondere a una domanda o a risolvere un esercizio immediatamente, non preoccuparti! Rileggi la lezione e gli esempi. Se puoi, abbandona momentaneamente la questione e affrontala in un secondo tempo. Quando qualcosa non ti e` chiaro, poni domande e parlane con altri.

9

Cerca di studiare con spirito critico: la matematica non e` solo calcolo, ma soprattutto una forma di pensiero. Nell’epoca di innovazioni tecnologiche in cui viviamo, questo secondo aspetto e` sempre piu` essenziale: i calcoli si possono spesso demandare alle macchine, mentre e` essenziale saper ragionare in modo corretto, risolvere e porsi problemi, unire fantasia e razionalita`.

A tutti auguro buon lavoro! L’Autore

VIII

Simboli utilizzati nel testo B INSIEMI NUMERICI N insieme dei numeri naturali, compreso lo zero Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali Zþ (Z
) insieme dei numeri interi positivi (negativi) Qþ (Q
) insieme dei numeri razionali positivi (negativi) Rþ (R
) insieme dei numeri reali positivi (negativi) þ insieme dei numeri interi Z0 positivi, compreso lo zero þ Q0 insieme dei numeri razionali positivi, compreso lo zero insieme dei numeri reali Rþ 0 positivi, compreso lo zero C insieme dei numeri complessi B INSIEMI 2 appartiene 2 = non appartiene j tale che : tale che 9 esiste non esiste 9 8 per ogni x insieme vuoto  e` contenuto  e` strettamente contenuto [ unione \ intersezione n differenza

B FUNZIONI f : A ! B funzione da A a B f
1 funzione inversa di f g  f funzione composta di f e g y ¼ f ðxÞ espressione analitica di una funzione da R a R B ALGEBRA ¼ uguale 6 ¼ diverso ’ circa uguale < minore > maggiore  minore o uguale  maggiore o uguale  piu` o meno jxj valore assoluto di x e numero di Nepero log logaritmo decimale ln logaritmo in base e n potenza n-esima di a a p ffiffiffi n a radice n-esima di a C.E. condizioni di esistenza
discriminante i unita` immaginaria z coniugato di z

AU

B INTERVALLI [a, b] intervallo chiuso (a, bÞ intervallo aperto [a, bÞ intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra (a, b] intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra 1 infinito

B LOGICA _ o ^ e ) se... allora (implicazione) , se e solo se (doppia implicazione)

B GEOMETRIA k parallelo ? perpendicolare coincidente ffi congruente : ¼ equivalente  simile A misura della grandezza A ! v vettore

complementare dell’insieme A rispetto all’insieme U (a, bÞ coppia ordinata  prodotto cartesiano

Edizione VERDE - Volume 4

B TRIGONOMETRIA sin x seno di x cos x coseno di x tan x tangente di x sec x secante di x csc x cosecante di x cot x cotangente di x arcsin x arcoseno di x arccos x arcocoseno di x arctan x arcotangente di x B CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA` n!  n  fattoriale di n combinazioni di n Cn,k o k elementi di classe k Dn,k disposizioni di n elementi di classe k permutazioni di n elementi Pn pðEÞ probabilita` di un evento E B STATISTICA x o
media varianza 2  deviazione standard XY covarianza di due caratteri XeY r coefficiente di correlazione lineare f ðxi Þ frequenza assoluta della modalita` xi del carattere X B ANALISI MATEMATICA lim f ðxÞ limite della funzione f x!x0 per x che tende a x0 D f ðxÞ derivata della funzione f df derivata della funzione f dx derivata della funzione f f 0 ðxÞ ðb f ðx Þ dx integrale definito della a funzione f ð f ðx Þ dx integrale indefinito della funzione f n X ak sommatoria, indica la k¼1 somma a1 þ a2 þ ::: þ an

Formulario

Edizione VERDE - Volume 4

B LIMITI NOTEVOLI sin x 3 lim ¼1 x!0 x 1
cos x 1 3 lim ¼ x!0 x2 2
x k ¼ ek 3 lim 1 þ x!1 x ax
1 3 lim ¼ ln a x!0 x loga ð1 þ x Þ 1 3 lim ¼ x!0 x ln a

8k 2 R 8a 2 Rþ , con a 6¼ 1 8a 2 Rþ , con a 6¼ 1

In particolare:
 1 x 3 lim 1 þ ¼e x!1 x 3 3

lim

ln ð1 þ x Þ ¼1 x

lim

ex
1 ¼1 x

x!0

x!0

D tan x ¼ 1 þ tan2 x ¼

3

D log a x ¼

3

1 D ln x ¼ x x D a ¼ a x  ln a D ex ¼ ex

3 3


6¼
1

B CALCOLO COMBINATORIO n! ¼ nðn
1Þðn
2Þ  :::  1 Dn,k ¼ n  ðn
1Þ  :::  ðn
k þ 1Þ n

B DERIVATE NOTEVOLI 3 Dc ¼ 0 ðc 2 RÞ 3 Dx ¼ 1 3 D x
¼
x

1 3 D sin x ¼ cos x 3 D cos x ¼
sin x 3

B INTEGRALI NOTEVOLI ð x
þ1 þ c, 3 x
dx ¼
þ1 ð 1 3 dx ¼ ln jxj þ c x ð 3 cos x dx ¼ sin x þ c ð 3 sin x dx ¼
cos x þ c ð 3 e x dx ¼ e x þ c ð ax 3 a x dx ¼ þc ln a

k

1 cot2 x

1 1  x ln a

B REGOLE DI DERIVAZIONE 3 D ½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ þ g0 ðxÞ 3

D ½c  f ðxÞ ¼ c  f 0 ðxÞ

3

D ½ f ðxÞ  gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  gðxÞ þ f ðxÞ  g0 ðxÞ

3

D

3

D f ðgðxÞÞ ¼ f 0 ðgðxÞÞ  g0 ðxÞ

f ðxÞ f 0 ðxÞ  gðxÞ
f ðxÞ  g0 ðxÞ ¼ gðxÞ g2 ðxÞ

k fattori decrescenti ¼

Dn, k n! ¼ k! k!ðn
kÞ!

B PROBABILITA` 3 pðAÞ ¼ 1
pðAÞ 3 pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ
pðA \ BÞ 3 A e B sono indipendenti , pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBÞ pðA \ BÞ 3 pðAjBÞ ¼ pðBÞ B DISTRIBUZIONE BINOMIALE Sia X  Bðn, pÞ; allora: n 3 pðX ¼ kÞ ¼ pk ð1
pÞn
k k 3 EðXÞ ¼ np 3 VðXÞ ¼ np ð1
pÞ

F

TEMA

Limiti e continuita` In questo Tema iniziamo lo studio di una nuova parte della matematica: il calcolo infinitesimale, o analisi matematica. Essa ha delle caratteristiche che la differenziano in modo sostanziale dalla matematica che hai studiato finora: possiamo dire che e` «meno statica»

e «piu` dinamica». Infatti, mentre sin qui ci siamo occupati di problemi «statici» (quali per esempio contare, misurare, studiare proprieta` di figure geometriche), ora, con lo studio del calcolo infinitesimale, introdurremo gli strumenti adatti ad affrontare problemi legati al

PREREQUISITI

3Gli insiemi numerici 3Equazioni e disequazioni COMPETENZE

3Utilizzare i primi strumenti

dell’analisi per affrontare situazioni problematiche, elaborando opportune soluzioni

movimento e al cambiamento. Problemi di questo tipo si incontrano in tutte le scienze, per cui sono vasti e numerosi i campi in cui il calcolo infinitesimale ha trovato applicazioni: lo studio del moto dei pianeti, della dinamica dei fluidi, dell’espansione dei gas, del diffondersi di epidemie, della fluttuazione dei mercati e cosı` via. Alla base di tutti gli argomenti di cui si occupa l’analisi c’e` un concetto cardine, quello di limite, che sara` l’oggetto principale delle prossime Unita`.

Unita` 1 Introduzione all’analisi

Unita` 2 Limiti di funzioni reali di variabile reale

Unita` 3 Limiti di successioni

Unita` 4 Continuita`

1 4 1 2 1 8

1 16 1 32

1 64

Dividendo un quadrato di lato unitario secondo il procedimento illustrato in figura e immaginando di continuare indefinitamente otteniamo infiniti rettangoli. L’intuizione geometrica suggerisce che la somma delle loro aree sia uguale all’area del quadrato, che e` 1: 1 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ þ ::: ¼ 1 2 4 8 16 32 64 Possiamo dunque dire che la somma di infiniti numeri puo` essere un numero finito? Nelle prossime Unita` saremo in grado di dare una risposta a questa domanda.

Unita`

1

Introduzione all’analisi 1. Che cos’e` l’analisi matematica?

Tema F

Questo volume e` dedicato allo studio dell’analisi matematica (detta anche calcolo infinitesimale). Cerchiamo di capire di che cosa si tratta, partendo dai problemi che storicamente hanno portato alla nascita di questo importantissimo ramo della matematica.

I problemi matematici del XVII secolo L’analisi matematica nasce nel XVII secolo in concomitanza con lo studio di problemi scientifici di grande rilevanza, che fecero sorgere la necessita` di introdurre nuove tecniche nell’ambito del calcolo. I problemi che piu` stimolarono le ricerche furono sostanzialmente di tre tipi:
la ricerca di soluzioni ottimali;
la ricerca della retta tangente a una curva;
il calcolo di aree di superfici a contorni curvilinei. Molti di questi problemi erano gia` noti ai grandi matematici Greci, in formulazioni diverse ma sostanzialmente equivalenti; essi pero` non riuscirono a superarli, sia per un certo timore ad avvicinarsi al concetto di «infinito» (di cui avevano svelato alcuni paradossi), sia perche´ non disponevano ancora dei simboli e delle scritture adeguate, fornite dal linguaggio dell’algebra. Di seguito vediamo piu` in dettaglio quali furono i piu` importanti problemi di ciascuno dei tre gruppi elencati che i matematici del Seicento si trovarono ad affrontare, e le geniali intuizioni che essi ebbero per cercare di risolverli.

Il problema della ricerca di soluzioni ottimali Durante il nostro corso di Matematica abbiamo incontrato varie volte problemi di ottimizzazione, cioe` problemi in cui si chiede di trovare il valore di una grandezza che rende minima o massima una certa quantita`. Per esempio, abbiamo risolto alcuni problemi di questo tipo in geometria analitica studiando la parabola e, successivamente, in trigonometria. Ai matematici del XVII secolo si erano presentati vari problemi di ottimizzazione. Per esempio, un problema classico che li aveva a lungo interessati consisteva nel trovare l’angolo di lancio di una palla di cannone, rispetto al suolo, in corrispondenza del quale si ottiene la gittata massima. Galileo (1564-1642) riuscı` a risolvere il problema, dimostrando che la gittata massima (nel vuoto) si ottiene in corrispondenza di un angolo di lancio di 45 (fig. 1.1).

Figura 1.1 Ottimizzazione della gittata balistica in funzione dell’angolo di lancio.

2

45°

gittata massima

Unita` 1

Altri problemi di ottimizzazione nascevano dallo studio dell’ottica. Gia` nel 1626 Willebrord Snell (1580-1626) scoprı` la famosa legge di rifrazione:

Introduzione all’analisi

sin ˆı v1 ¼ v2 sin rˆ nella quale ˆı e` l’angolo che un raggio luminoso incidente sulla superficie di separazione fra due mezzi forma con la retta perpendicolare a tale superficie, rˆ e` l’angolo di rifrazione con cui il raggio prosegue nel secondo mezzo e v1 e v2 sono rispettivamente le velocita` di propagazione della luce nei due mezzi. La legge scoperta da Snell era pero` stata dedotta solo sperimentalmente, senza essere inserita in un contesto teorico piu` generale. Il primo a cercare di trovarne una giustificazione fu Cartesio (1596-1650), ma la sua spiegazione, espressa in un linguaggio piuttosto oscuro, fece sorgere varie perplessita`. Successivamente Pierre de Fermat (1601-1665) mise in luce le lacune nelle argomentazioni di Cartesio e riuscı` a derivare la legge di rifrazione dal proprio principio di minimo cammino ottico: «in un mezzo non omogeneo, un raggio luminoso che passa da un punto a un altro segue un cammino per cui il tempo impiegato e` minimo rispetto a tutti i cammini che congiungono i due punti» (fig. 1.2). Per dimostrare la sua legge del cammino minimo Fermat si trovo` dunque di fronte a un problema di ottimizzazione. Per risolvere questo problema, e altri analoghi, Fermat ideo` nuovi metodi di calcolo, su cui ora non possiamo soffermarci, ma che effettivamente precorrono alcune idee fondamentali dell’analisi matematica. raggio riflesso

P

retta tangente mezzo 1 ˆi

retta normale raggio rifratto

v1

O

v2

raggio incidente lente

ˆr

mezzo 2 Q

Figura 1.2 Il segmento PQ ha lunghezza minore

Figura 1.3 Un raggio luminoso che incide su una lente

della poligonale POQ ma la luce impiega piu` tempo a percorrere il segmento che la poligonale.

viene in parte riflesso e in parte rifratto. Gli angoli di incidenza e di rifrazione sono quelli che esso forma con la normale alla superficie curva.

Il problema della ricerca della retta tangente Il problema di determinare la retta tangente a una curva in un punto dato si era presentato ai matematici del Seicento in svariati ambiti. Anzitutto in ambito puramente geometrico, in relazione al rinnovato interesse nei confronti della geometria che era stato stimolato dalla nascita della geometria analitica, a opera di Cartesio e Fermat. Anche alcuni problemi di ottica, pero`, portavano in modo naturale alla questione della retta tangente. Per studiare il passaggio della luce attraverso una lente era infatti necessario conoscere l’angolo con cui il raggio colpiva la superficie della lente, per poter applicare la legge di rifrazione. L’angolo che interessava era quello formato dal raggio luminoso e dalla normale alla superficie curva della lente nel punto di incidenza (fig. 1.3); poiche´ la normale a una curva in un punto e` definita come perpendicolare alla retta tangente alla curva passante per quel punto, il problema si riconduceva in ultima analisi alla ricerca della retta tangente. 3

Limiti e continuita`

Un altro problema che riconduceva alla tangente, anche se in modo meno esplicito, era infine quello di dare un senso al concetto di velocita` istantanea. Non c’erano problemi a definire la velocita` media di un corpo in un intervallo di tempo ½t0 , t1  come rapporto tra lo spazio percorso in quell’intervallo,
s, e la variazione di tempo corrispondente,
t ¼ t1  t0 :

Tema F

vmedia ¼


s
t

Tuttavia, nel momento in cui si volesse definire, seguendo questa via, la velocita` istantanea, sarebbe
s ¼
t ¼ 0, quindi ci troveremmo di fronte a un rapporto 0 del tipo , che non ha significato! La chiave per risolvere il problema fu quella 0
s di osservare che il rapporto non e` altro che il coefficiente angolare della retta
t passante per i due punti P0 ðt0 , sðt0 ÞÞ e P1 ðt1 , sðt1 ÞÞ (fig. 1.4), secante la traiettoria. Emerse allora l’idea di definire la velocita` istantanea in t0 come il coefficiente angolare della retta tangente in P0 , rappresentando tale retta la posizione «limite» cui tendono le rette secanti quando l’intervallo
t diventa sempre piu` piccolo (fig. 1.5). Come vedremo, sara` proprio sulla base di questa intuizione che il problema della retta tangente verra` definitivamente risolto, sia per quanto riguarda una definizione del tutto generale di retta tangente, sia per quanto riguarda il calcolo della sua equazione. s

s P1

s(t1)

retta secante

P1

… la retta secante tende alla tangente

∆s = s(t1) – s(t0) s(t0)

P0

P0 ∆t = t1 – t0

O

Figura 1.4

t0

t1

t

O

Figura 1.5

t0

t1

t

Al tendere di t1 a t0 …

Il problema della misura I problemi di misura hanno interessato i matematici fin dall’antichita`; notevoli risultati erano gia` stati ottenuti dai Greci, in particolare da Archimede (287 a.C. 212 a.C.), che era riuscito a determinare la lunghezza di una circonferenza, l’area di un segmento parabolico e il volume di una sfera. Archimede si era avvalso del cosiddetto metodo di esaustione; per esempio, per dimostrare la formula che fornisce l’area del segmento parabolico aveva ragionato cosı`: aveva dimostrato che 4 l’area del segmento parabolico non poteva essere ne´ minore ne´ maggiore dei 3 dell’area del triangolo di area massima inscritto nel segmento parabolico e aveva concluso quindi, per esclusione, che le aree dovevano essere uguali. Questo metodo, seppur rigoroso dal punto di vista logico, richiedeva pero` di conoscere preventivamente il risultato: come aveva fatto Archimede a intuire che 4 dell’area del triangolo di area massima in l’area del segmento parabolico fosse 3 esso inscritto? Nel Rinascimento si diffuse la convinzione che Archimede posse4

b16

b1

b2

b3 b4

b15

ossia: 1 r ðb1 þ ::: þ bn Þ 2

Introduzione all’analisi

1 1 1 b1 r þ b2 r þ ::: þ bn r 2 2 2

Unita` 1

desse un metodo «segreto» che gli consentiva di scoprire i risultati che successivamente dimostrava. Un gruppo di matematici, tra cui Keplero (1571-1630), Bonaventura Cavalieri (1598-1647) ed Evangelista Torricelli (1608-1647), si mise cosı` alla ricerca di un metodo «pratico» che consentisse di calcolare aree e volumi, evitando le sottigliezze logiche del metodo di esaustione; le loro ricerche culminarono nell’elaborazione del cosiddetto metodo degli indivisibili. L’area del cerchio, per esempio, venne trovata da Keplero immaginando di dividere un cerchio in triangoli isosceli infinitamente «sottili» aventi il vertice nel suo centro e gli estremi delle basi sulla circonferenza. Indichiamo con b1 , b2 , :::, bn le misure delle basi (vedi la fig. 1.6, in cui n ¼ 16). Se immaginiamo che le misure b1 , b2 , ..., bn siano infinitamente piccole, allora possiamo assumere che l’altezza h di ciascuno dei triangolini sia assimilabile al raggio r del cerchio. L’area del cerchio, cioe` la somma delle aree dei triangoli, sara` allora:

b14

b5

O

b6

b13 b12

h b11

b7

r b10

b9

b8 Figura 1.6

Poiche´ la somma delle basi (immaginandole infinitamente piccole e percio` identificabili con un archetto di circonferenza) e` la lunghezza C della circonferenza, si avra`: Area ¼

1 rC 2

Il metodo degli indivisibili per il calcolo delle aree e dei volumi era basato su un modo di ragionare simile a quello appena descritto per il calcolo dell’area del cerchio. Le aree venivano calcolate immaginando di dividere le figure piane in «fili» (cioe` considerandole come costituite da un numero indefinito di segmenti paralleli ) e i volumi in «fogli» (cioe` considerandoli come costituiti da un numero indefinito di figure piane parallele). Questi metodi vennero descritti da un allievo di Galileo, Bonaventura Cavalieri, in un libro intitolato appunto Geometria degli indivisibili, stampato nel 1635. Il metodo degli indivisibili, pur non essendo fondato su una teoria rigorosa, fu decisivo per la nascita del moderno calcolo infinitesimale ed esercito` una forte influenza sui matematici che successivamente ne delinearono i contorni in modo piu` netto. Isaac Newton (1642-1727) riprese da Cavalieri alcune nozioni e i nomi di «fluenti» e «flussioni» (che nel linguaggio moderno vengono chiamate «derivate»); Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716), per definire un particolare oggetto del calcolo infinitesimale che studieremo piu` avanti, l’integrale, utilizzo` una «esse» allungata, simile a quella utilizzata da Cavalieri per indicare la somma degli indivisibili.

Verso l’analisi matematica Le idee sviluppate dai matematici del Seicento, grazie al contributo di piu` scuole scientifiche (inglese, tedesca, francese, italiana), permisero il delinearsi dei concetti fondamentali dell’analisi e culminarono con le opere di Newton e di Leibniz. I risultati ottenuti, pur non ancora fondati su una teoria coerente e rigorosa, erano di tale portata e sintonia con l’esperienza fisica da far intuire che si era di fronte a idee di straordinaria profondita`. La fondazione rigorosa dell’analisi passo` 5

Limiti e continuita` Tema F

Per la precisione In realta` l’analisi matematica non si occupa solo delle funzioni da R a R, ma anche di altri oggetti matematici che ancora non conosci, quali serie, funzioni definite su insiemi piu` generali di R ecc. Noi pero` ci limiteremo a studiare la parte dell’analisi che si occupa delle funzioni da R a R.

successivamente attraverso una revisione critica dei concetti di numero reale e di funzione e sfocio` alla fine del XVIII secolo nella formulazione del concetto di limite. Possiamo infatti definire l’analisi matematica come quella parte della matematica che studia le proprieta` delle funzioni reali di variabile reale sulla base del concetto di limite. Anche noi inizieremo lo studio dell’analisi proprio a partire dal concetto di limite; prima pero` e` bene riprendere e approfondire gli altri due concetti fondamentali che, come abbiamo detto, sono alla base del calcolo infinitesimale: il concetto di numero reale e di funzione reale di variabile reale.

Prova tu

ESERCIZI a p. 28

Durante il tuo corso di Matematica hai gia` incontrato esempi di problemi di ottimizzazione, di problemi relativi alla determinazione dell’equazione della retta tangente e al calcolo di aree di figure a contorno curvilineo. Inventa un problema di ciascuno di questi tre tipi e risolvilo.

2. L’insieme R: richiami e complementi La struttura di R Nei tuoi studi precedenti hai gia` visto come sono definiti i numeri reali e quali siano le principali proprieta` della struttura dell’insieme di tali numeri, R. Richiamiamo brevemente i punti salienti. 1. In R e` definita un’operazione di addizione che e` commutativa, associativa e possiede elemento neutro (0); inoltre ogni elemento di R ammette inverso rispetto all’addizione (l’opposto). 2. In R e` definita un’operazione di moltiplicazione che e` commutativa, associativa e possiede elemento neutro (1); inoltre ogni elemento di R diverso da 0 ammette inverso rispetto alla moltiplicazione (il reciproco). Inoltre le operazioni di addizione e moltiplicazione sono legate dalla proprieta` distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. 3. In R e` definita una relazione d’ordine, , compatibile con la struttura algebrica, cioe` tale che: se a  b, allora a þ c  b þ c

per ogni a, b, c 2 R

se a  b e c > 0, allora ac  bc per ogni a, b 2 R Ricorda Due insiemi (non vuoti) di numeri reali A e B si dicono formare una coppia di classi contigue quando sono separati (ossia risulta a < b per ogni a 2 A, b 2 BÞ e indefinitamente ravvicinati (ossia comunque si scelga un numero reale positivo ", esistono a 2 A e b 2 B tali che b  a  ").

4. Per ogni coppia A e B di classi di contigue di numeri reali, esiste un unico numero reale s, detto elemento separatore di A e B, tale che: asb

per ogni a 2 A, b 2 B

Le proprieta` 1 e 2 descrivono la struttura algebrica di R, cioe` le proprieta` da cui discendono le ordinarie regole di calcolo; le proprieta` 3 descrivono invece la struttura d’ordine di R. Le proprieta` 1, 2 e 3 si riassumono dicendo che R e` un campo ordinato; sono possedute anche dall’insieme Q. L’ulteriore proprieta` che caratterizza l’insieme R e` la 4, quella di completezza. La struttura di R e` dunque univocamente determinata affermando che R e` un campo ordinato completo. La struttura di R puo` essere ulteriormente arricchita definendo in R una distanza, che conferisce a R anche una struttura metrica. Identificando i numeri reali con i punti della retta, possiamo definire la distanza tra due numeri reali x e y come la distanza tra i punti che li rappresentano sulla retta reale; ossia: dðx, yÞ ¼ jx  y j distanza tra x e y

6

Unita` 1

In questo paragrafo ci soffermeremo inizialmente su alcune questioni legate alla struttura d’ordine di R. Successivamente introdurremo alcuni concetti legati invece alla sua struttura metrica.

Introduzione all’analisi

Massimo e minimo, estremo inferiore ed estremo superiore Prima di introdurre alcune nuove definizioni, legate alla struttura d’ordine di R, ricordiamo tramite la seguente tabella le notazioni utilizzate per indicare alcuni particolari sottoinsiemi di R, gli intervalli limitati, che utilizzeremo di frequente nei prossimi esempi. Intervalli limitati Tipo di intervallo

Notazione con le parentesi

Notazione algebrica

Rappresentazione grafica

Intervallo chiuso

½a, b

axb

a

b

Intervallo aperto

ða, bÞ

a 0, se l 2 R

jf ðxÞ
lj < "

ðM, þ1Þ

con M > 0, se l ¼ þ1

f ðxÞ > M

ð
1,
MÞ

con M > 0, se l ¼
1

f ðxÞ <
M

Un intorno V di x0 e` della forma...

x appartiene all’intorno V se e solo se soddisfa la disequazione:

ðx0

, x0 þ
Þ

con
> 0, se x0 2 R

jx
x0 j <


ðN, þ1Þ

con N > 0, se x0 ¼ þ1

x>N

ð
1,
NÞ

con N > 0, se x0 ¼
1

x <
N

Prima definizione particolare: x0 ed l sono finiti La definizione generale di limite assume la seguente forma particolare. DEFINIZIONE DI LIMITE NEL CASO IN CUI x0 ED l SONO FINITI

Diciamo che una funzione f (x) tende al limite l 2 R per x che tende a x0 2 R e scriviamo: Attenzione! In tutte le definizioni «particolari» supporremo sempre, senza ripeterlo ogni volta, che la funzione di cui si parla sia definita in un intorno di x0 eccetto al piu` x0 (cosı` come assunto nella definizione generale del Paragrafo 1).

Attenzione! La disequazione 0 < jx
x0 j <
rappresenta tutti i punti dell’intorno ðx0

, x0 þ
Þ con x 6¼ x0 .

62

lim f ðxÞ ¼ l

x!x0

quando si verifica che: a. per ogni " > 0 (fig. 2.2a a pagina seguente) b. esiste
> 0, dipendente da " (fig. 2.2b) c. tale che per ogni x 2 ðx0

, x0 þ
Þ, con x 6¼ x0 , si ha f ðxÞ 2 ðl
", l þ "Þ (fig. 2.2c).

Questa definizione si puo` riscrivere simbolicamente in termini di disequazioni come segue: lim f ðxÞ ¼ l , 8" > 0 9
> 0 : 0 < jx
x0 j <
) jf ðxÞ
lj < "

x!x0

[2.1]

l+ε

l+ε

l l−ε

l l−ε

l+ε f (x) l l−ε

O

x0

x

O x0 − δ

f ( x) – l < ε

y

x0

x0 + δ

x

O x0 − δ

x0 x

x0 + δ

x

x – x0 < δ a. Per ogni " > 0 (con la scelta di " scegliamo un arbitrario intorno di l sull’asse y)...

b. ... esiste
> 0 (il quale individua un opportuno intorno di x0 sull’asse x)...

c. ... tale che per ogni x 2 ðx0

, x0 þ
Þ con x 6¼ x0 risulta: f ðxÞ 2 ðl
", l þ "Þ.

Figura 2.2

Facciamo alcune considerazioni.

Limiti di funzioni reali di variabile reale

y

Unita` 2

y

a. La [2.1] non ci permette di calcolare un limite, ma ci consente di verificare se un certo valore l e` effettivamente il limite di una funzione per x ! x0 . b. In pratica, per verificare che lim f ðxÞ ¼ l; bastera` risolvere la disequazione: x!x0

j f ðxÞ
lj < " e controllare che essa sia verificata in un intorno (non necessariamente circolare) di x0 (escluso al piu` x0 Þ. c. Nella verifica del limite, se cio` risultasse comodo, potremo limitarci a dimostrare che la [2.1] e` verificata per i valori di " minori di un numero positivo fissato «piccolo a piacere»: cio` implica infatti che la [2.1] sia soddisfatta per ogni " > 0 (prova a dimostrarlo per esercizio). Verifica di un limite nel caso in cui x0 ed l sono finiti
 1 x þ 3 ¼ 5. Verifichiamo, in base alla definizione, che lim x!4 2

ESEMPIO

 Schema logico Dobbiamo verificare che la disequazione:   1   x þ 3
5 < " 2 

Osserva 1 j f ðxÞ
lj < " con f ðxÞ ¼ x þ 3 e l ¼ 5 2

e` verificata in un intorno di 4 (il valore cui tende x) per ogni " > 0.

Parliamo di «intorno di 4» senza escludere x ¼ 4 perche´ in questo caso la funzione f e` definita anche per x ¼ 4.

 Calcoli

    1 1      La disequazione  x þ 3
5 < ", ossia  x
2 < ", con " > 0, equivale al 2 2 seguente sistema: 8 1 > > < 2 x
2 >
" > > : 1 x
2 0, percio` il limite e` verificato.

Osserva La definizione [2.1] e` soddisfatta scegliendo
¼ 2".

63

Limiti e continuita`

Seconda definizione particolare: x0 e` finito ed l e` infinito La definizione generale di limite assume la seguente forma particolare. DEFINIZIONE DI LIMITE NEL CASO IN CUI x0 E` FINITO ED l E` INFINITO

Diciamo che una funzione f ðxÞ tende a þ1 per x che tende a x0 2 R e scriviamo: lim f ðxÞ ¼ þ1

x!x0

Tema F

quando si verifica che: a. per ogni M > 0 (fig. 2.3a) b. esiste
> 0, dipendente da M (fig. 2.3b) c. tale che, per ogni x 2 ðx0

, x0 þ
Þ, con x 6¼ x0 , si ha f ðxÞ 2 ðM, þ1Þ (fig. 2.3c). y

y

y

M

M

f (x) M

O

x0

x

a. Per ogni M > 0 (con la scelta di M scegliamo un arbitrario intorno di þ1 sull’asse y)...

O x0 − δ x0 x0 + δ

x

O

x0 − δ

x0 x

x

x0 + δ

x – x0 < δ

b. ... esiste
> 0 (il quale individua un opportuno intorno di x0 sull’asse x)...

c. ... tale che per ogni x 2 ðx0

, x0 þ
Þ con x 6¼ x0 risulta: f ðxÞ 2 ðM, þ1Þ.

Figura 2.3

Questa definizione si puo` riscrivere simbolicamente in termini di disequazioni come segue: lim f ðxÞ ¼ þ1 , 8M > 0 9
> 0 : 0 < jx
x0 j <
) f ðxÞ > M

x!x0

[2.2]

E` bene fare alcune considerazioni. a. La definizione di lim f ðxÞ ¼
1 e` analoga alla [2.2], ma la disequazione x!x0

f ðxÞ > M va sostituita con f ðxÞ <
M: lim f ðxÞ ¼
1 , 8M > 0 9
> 0 : 0 < jx
x0 j <
) f ðxÞ <
M

x!x0

[2.3]

b. La definizione [2.2] (rispettivamente [2.3]) consente di verificare se una funzione tende a þ1 ð
1Þ per x ! x0 : la verifica consiste nel risolvere la disequazione f ðxÞ > M ðf ðxÞ <
MÞ e controllare se per ogni M > 0 essa e` soddisfatta in un intorno di x0 (escluso al piu` x0 Þ. c. Nella verifica del limite, se risultasse comodo, potremo limitarci a dimostrare che la [2.2] (la [2.3]) e` soddisfatta per i valori di M maggiori di un numero scelto «grande a piacere»: cio` implica infatti che la [2.2] (la [2.3]) sia soddisfatta per ogni M > 0 (prova a dimostrarlo per esercizio). ESEMPIO

Verifica di un limite nel caso in cui x0 e` finito ed l e` infinito

Verifichiamo, in base alla definizione, che lim

x!0

1 ¼ þ1. x2

 Schema logico Dobbiamo verificare che, per ogni M > 0, la disequazione: 1 1 >M f ðxÞ > M con f ðxÞ ¼ 2 2 x x e` soddisfatta in un intorno di 0 (escluso lo 0). 64

Unita` 2

 Calcoli Per ogni M > 0 e per ogni x 6¼ 0 risulta: 1 1 1 1 > M , x2 < ,
pffiffiffiffiffi < x < pffiffiffiffiffi x2 M M M Poiche´ l’intervallo trovato come soluzione e` evidentemente un intorno di 0 per ogni M > 0, il limite e` verificato.

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Osserva La definizione [2.2] e` verificata pur di scegliere 1
¼ pffiffiffiffiffi . M

In alcune circostanze diremo che una funzione f ammette 1 come limite per x ! x0 (senza specificare il segno dell’infinito). Per capire quando utilizzeremo questa espressione facciamo riferimento alla fun1 zione f ðxÞ ¼ ed esaminiamo il comportamento nell’intorno dell’origine x 1 (fig. 2.4). Osserviamo che lim non esiste, tuttavia: x!0 x

y y=

 se facciamo tendere x a 0 per valori positivi (ossia «da destra») intuiamo che f ðxÞ ! þ1

1 x

O

x

 se facciamo tendere x a 0 per valori negativi (ossia «da sinistra») intuiamo che f ðxÞ !
1 Esistono dunque il limite destro e il limite sinistro: lim

x!0


1 ¼
1 x

e

lim

x!0þ

Figura 2.4

1 ¼ þ1 x

Quando, come in questo caso, non esiste il limite per x ! x0 di una funzione, ma i limiti «destro» e «sinistro» esistono e valgono uno þ1 e l’altro
1, compendieremo a volte le due scritture (quella relativa al limite destro e quella relativa al limite sinistro) nell’unica scrittura: lim f ðxÞ ¼ 1

x!x0

Per la precisione Si potrebbe definire formalmente il lim f ðxÞ ¼ 1 x!x0

in modo del tutto simile alla [2.2], dove la disequazione f ðxÞ > M viene sostituita con j f ðxÞj > M.

Siamo ora in grado di precisare la nozione di asintoto verticale, che finora abbiamo utilizzato in modo intuitivo. ASINTOTO VERTICALE PER UNA FUNZIONE

Se, al tendere di x a x0 , con x0 2 R, una funzione tende a
1 o a þ1 o a 1, si dice che la retta di equazione x ¼ x0 e` un asintoto verticale per la funzione (figg. 2.5, 2.6 e 2.7).

y

y

x = x0

y lim f (x) = ∞

x → x0

x

O

lim f (x) = +∞

x → x0

x

O lim f (x) = –∞

O

x → x0

Figura 2.5

Figura 2.6

x = x0

x x = x0 Figura 2.7

65

Limiti e continuita`

Terza definizione particolare: x0 e` infinito ed l e` finito La definizione generale di limite assume la seguente forma particolare. DEFINIZIONE PARTICOLARE DI LIMITE NEL CASO IN CUI x0 E` INFINITO ED l E` FINITO

Diciamo che una funzione f ðxÞ tende a l 2 R per x che tende a þ1 e scriviamo: lim f ðxÞ ¼ l

x!þ1

Tema F

quando si verifica che: a. per ogni " > 0 (fig. 2.8a) b. esiste un N > 0, dipendente da " (fig. 2.8b) c. tale che per ogni x 2 ðN, þ1Þ si ha f ðxÞ 2 ðl
", l þ "Þ (fig. 2.8c). y

y

l+ε

l+ε

l+ε f (x) l l−ε

l

l

l−ε

l−ε x

O a. Per ogni " > 0 (con la scelta di " scegliamo un arbitrario intorno di l sull’asse y)...

f ( x) – l < ε

y

O

N

b. ... esiste N > 0 (il quale individua un opportuno intorno di þ1 sull’asse x)...

x

O

x

N

c. ... tale che per ogni x 2 ðN,þ1Þ risulta: f ðxÞ 2 ðl
", l þ "Þ.

Figura 2.8

Questa definizione si puo` riscrivere simbolicamente in termini di disequazioni come segue: lim f ðxÞ ¼ l , 8" > 0 9 N > 0 : x > N ) j f ðxÞ
lj < "

x!þ1

[2.4]

Facciamo alcune considerazioni. a. La definizione di lim f ðxÞ ¼ l e` analoga alla [2.3], ma la disequazione x > N x!
1

va sostituita con x <
N: lim f ðxÞ ¼ l , 8" > 0 9 N > 0 : x <
N ) j f ðxÞ
lj < "

x!
1

[2.5]

b. Le definizioni [2.4] e [2.5] consentono di verificare se per x ! þ1 (x !
1Þ la funzione ammette come limite l: la verifica consiste nel risolvere la disequazione j f ðxÞ
lj < " e stabilire se essa e` soddisfatta in un intorno di þ1 ð
1Þ. Come gia` osservato in precedenza, nella verifica potremo supporre, se cio` si rivelasse comodo, che " sia un numero (positivo) minore di un numero scelto «piccolo a piacere». ESEMPIO

Verifica di un limite in cui x0 e` infinito ed l e` finito

Verifichiamo, in base alla definizione, che lim

x!
1

1 ¼ 0. x2

 Schema logico Dobbiamo verificare che per ogni " > 0 la disequazione:   1  1   j f ðxÞ
lj < " con f ðxÞ ¼ 2 e l ¼ 0  x2
0  < " x e` soddisfatta in un intorno di
1. 66

x

Unita` 2

 Calcoli

Osserva La definizione [2.5] e` soddisfatta pur di scegliere 1 N ¼ pffiffiffi . "

La verifica effettuata nell’esempio precedente consente di dire non solo che lim

x!
1

1 1 ¼ 0, ma anche che lim 2 ¼ 0 (sai dire perche´?). Quando, come in x!þ1 x x2

questo caso, i limiti di una funzione f sono uguali a un numero l sia per x ! þ1, sia per x !
1, compendieremo talvolta queste due scritture dicendo che f ammette come limite l per x ! 1, senza precisare il segno dell’infinito, e scriveremo: lim f ðxÞ ¼ l.

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Possiamo supporre x 6¼ 0, dato che stiamo studiando il comportamento della funzione per x !
1. Sotto questa ipotesi risulta:   1   < " , " x2 > 1 , x2 > 1 , x <
p1ffiffiffi _ x > p1ffiffiffi  x2  " " " 
1 L’insieme delle soluzioni contiene l’intervallo
1,
pffiffiffi che evidente" mente e`, per ogni " > 0, un intorno di meno infinito, quindi il limite e` verificato.

x!1

Siamo ora in grado di precisare la nozione di asintoto orizzontale, che abbiamo gia` utilizzato piu` volte in precedenza in modo intuitivo. Attenzione!

ASINTOTO ORIZZONTALE PER UNA FUNZIONE

Se, al tendere di x a
1 o a þ1 o a 1, una funzione tende a un numero reale l, si dice che la retta di equazione y ¼ l e` un asintoto orizzontale per la funzione (figg. 2.9, 2.10 e 2.11).

Se la retta y ¼ l e` asintoto solo per x ! þ1 ðx !
1Þ si parla piu` precisamente di asintoto orizzontale destro (sinistro).

y

y

y

y=l O

x

x

O

y=l x

O y=l

lim f (x) = l

lim f (x) = l

Figura 2.9

lim f (x) = l

x →+∞

x → –∞

Figura 2.10

x→ ∞

Figura 2.11

Quarta definizione particolare: x0 ed l sono infiniti La definizione generale di limite assume la seguente forma particolare. DEFINIZIONE DI LIMITE NEL CASO IN CUI x0 ED l SONO INFINITI

Diciamo che una funzione f ðxÞ tende a þ1 per x che tende a þ1 e scriviamo: lim f ðxÞ ¼ þ1

x!þ1

quando si verifica che: a. per ogni M > 0 (fig. 2.12a) b. esiste un N > 0, dipendente da M (fig. 2.12b) c. tale che per ogni x 2 ðN, þ1Þ si ha f ðxÞ 2 ðM, þ1Þ (fig. 2.12c) 67

Limiti e continuita` Tema F

y

y

y f (x)

M

O

M

x

M

O

a. Per ogni M > 0 (con la scelta di M scegliamo un arbitrario intorno di þ1 sull’asse y)...

N

x

O

b. ... esiste N > 0 (il quale individua un opportuno intorno di þ1 sull’asse x)...

N

x

x

c. ... tale che per ogni x 2 ðN, þ1Þ risulta: f ðxÞ 2 ðM, þ1Þ.

Figura 2.12

Questa definizione si puo` riscrivere simbolicamente in termini di disequazioni come segue: lim f ðxÞ ¼ þ1 , 8M > 0 9N > 0 : x > N ) f ðxÞ > M

x!þ1

[2.6]

Facciamo alcune considerazioni. a. La definizione di lim f ðxÞ ¼
1 e` analoga alla [2.6], ma la disequazione x!þ1

f ðxÞ > M va sostituita con f ðxÞ <
M: lim f ðxÞ ¼
1 , 8M > 0 9N > 0 : x > N ) f ðxÞ <
M

x!þ1

[2.7]

Ti invitiamo a formulare le analoghe definizioni nelle rimanenti possibili combinazioni di segni per gli infiniti presenti. b. Le definizioni [2.6] e [2.7] e le analoghe che si possono formulare per x !
1 consentono di verificare se il limite di una funzione per x ! þ1 (x !
1Þ e` þ1 ð
1Þ. Per esempio, per verificare che lim f ðxÞ ¼ þ1 dovremo risolvere x!þ1

la disequazione f ðxÞ > M e verificare che, per ogni M > 0, e` soddisfatta in un intorno di þ1. Come gia` osservato in precedenza, nella verifica potremo supporre, se cio` si rivelasse comodo, che M sia maggiore di un numero scelto «grande a piacere». ESEMPIO

Verifica di un limite nel caso in cui x0 ed l sono infiniti

Verifichiamo, in base alla definizione, che lim ð1
x 3 Þ ¼
1. x!þ1

 Schema logico Dobbiamo verificare che, per ogni M > 0, le soluzioni della disequazione: 1
x3 <
M

f ðxÞ <
M con f ðxÞ ¼ 1
x 3

contengono un intorno di þ1.  Calcoli Osserva La definizione [2.7] e` soddisfatta ffi di scegliere pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffipur N ¼ 3 1 þ M.

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1þM pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L’insieme delle soluzioni e` l’intervallo ð 3 1 þ M , þ1Þ che, evidentemente e`, per ogni M > 0, un intorno di piu` infinito, quindi il limite e` verificato. 1
x3 <
M , x3 > 1 þ M , x >

Limite destro e limite sinistro, limite per difetto e limite per eccesso La definizione generale di limite puo` essere particolarizzata anche ai casi di limite destro e sinistro che abbiamo introdotto intuitivamente nel Paragrafo 1. Le defi68

Unita` 2

nizioni sono analoghe a quelle che abbiamo presentato in questo paragrafo, si tratta solo di sostituire l’intorno completo di x0 con un intorno sinistro, oppure destro di x0 . Per esempio, nel caso in cui x0 2 R ed l 2 R, otterremo le seguenti definizioni. Attenzione!

Diciamo che una funzione f ðxÞ ammette limite destro l 2 R al tendere di x a x0 2 R da destra, e scriviamo:

Come al solito supponiamo implicitamente che la funzione f sia definita in un intorno destro (o sinistro) di x0 eccetto al piu` x0 .

lim f ðxÞ ¼ l

x!xþ 0

quando si verifica che: 8" > 0, 9
> 0 : x0  x < x0 þ
) j f ðxÞ
lj < " (eccetto al piu` x0 Þ

LIMITE SINISTRO

Diciamo che una funzione f ðxÞ ammette limite sinistro l 2 R al tendere di x a x0 2 R da sinistra, e scriviamo:

Limiti di funzioni reali di variabile reale

LIMITE DESTRO

lim f ðxÞ ¼ l

x!x
0

quando si verifica che: 8" > 0, 9
> 0 : x0

< x  x0 ) j f ðxÞ
lj < " (eccetto al piu` x0 Þ

Lasciamo a te formulare le analoghe definizioni nel caso in cui l sia infinito. Verifica di un limite destro pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Verifichiamo che limþ x
3 ¼ 0.

ESEMPIO

x!3

Osserviamo anzitutto che la funzione e` definita solo per x  3, quindi non avrebbe senso il calcolo del limite per x che tende a 3 da sinistra.  Schema logico Dobbiamo verificare che, per ogni " > 0, le soluzioni della disequazione: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jf ðxÞ
lj < " con f ðxÞ ¼ x
3, l ¼ 0 j x
3
0j < " contengono un intorno destro di 3.  Calcoli  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x3  x
3 < " ) x
3 < " ) ) 3  x < 3 þ "2 x
3 < "2 L’insieme delle soluzioni ottenuto e` un intorno destro di 3, quindi la definizione e` soddisfatta (precisamente, la definizione precedente e` soddisfatta scegliendo
¼ "2 ). Similmente possiamo parlare di limite per eccesso e limite per difetto. Per esempio, osservando il grafico della funzione f indicata in fig. 2.13, vediamo che:  per x !
1 la funzione f ha asintoto orizzontale y ¼ 2; poiche´ il grafico della funzione sta al di sopra della retta y ¼ 2 per x <
1, diremo che il limite 2 e` un limite per eccesso e scriveremo: lim f ðxÞ ¼ 2þ

y

y=2

 per x ! þ1 la funzione f ha asintoto orizzontale y ¼ 2; poiche´ il grafico della funzione sta al di sotto della retta y ¼ 2 per x >
1, diremo che il limite 2 e` un limite per difetto e scriveremo lim f ðxÞ ¼ 2


x!þ1

x

O

x!
1

x = –1

f (x) =

2x –2 x +1

Figura 2.13

69

Limiti e continuita`

Le definizioni rigorose di questi casi particolari si ottengono dalle definizioni che abbiamo presentato nei sottoparagrafi precedenti sostituendo l’intorno completo di l (anziche´ di x0 come per i limiti da destra e da sinistra!) con un intorno sinistro oppure destro di l. A titolo di esempio, riportiamo le definizioni di limite «per difetto» e «per eccesso» per x ! þ1.

Tema F

LIMITE PER ECCESSO E LIMITE PER DIFETTO

Diciamo che una funzione f ðxÞ ammette limite l 2 R per eccesso (oppure per difetto) per x ! þ1, e scriviamo: lim f ðxÞ ¼ lþ

x!þ1

(oppure lim f ðxÞ ¼ l
Þ x!þ1

quando: 8" > 0, 9 N > 0 : x > N ) l  f ðxÞ < l þ " (oppure l
" < f ðxÞ  lÞ Attenzione!

y

Ci sono funzioni che ammettono limite, senza che questo sia per eccesso o per difetto. Per esempio si puo` dimostrare che per x ! þ1 la funzione

y=

sin x x

sin x tende a 0, tuttavia questo limite non e` ne´ per eccesso ne´ per x difetto, perche´ il grafico della funzione oscilla indefinitamente al di sopra e al di sotto dell’asse x per x ! þ1 (fig. 2.14). f ðxÞ ¼

x

O Figura 2.14

Prova tu

ESERCIZI a p. 109

1. Scrivi quale limite esprime ciascuna delle seguenti proposizioni: a. 8M > 0 b. 8" > 0

9 N > 0 : x <
N ) f ðxÞ > M 9 N > 0 : x > N ) jf ðxÞ
3j < "

c. 8M > 0 d. 8" > 0

2. Verifica, in base alla definizione, i seguenti limiti: 1 b. lim ¼ þ1 a. lim x3 þ 1 ¼ þ1 x!þ1 x!1 ðx
1Þ2

c. lim

x!þ1

9
> 0 : 0 < jx
2j <
) f ðxÞ > M 9
> 0 : 0 < jx
3j <
) jf ðxÞ þ 2j < "

xþ2 ¼1 x

3. Fornisci degli esempi di funzioni che soddisfano le seguenti condizioni: a. lim f ðxÞ ¼
1 x!þ1

b. lim f ðxÞ ¼ 2 x!
1

c. lim f ðxÞ ¼ 1 x!1

d. lim f ðxÞ ¼ 4 x!2

3. Teoremi di esistenza e unicita` sui limiti jxj nell’inx torno dell’origine, abbiamo osservato intuitivamente che il limite di una funzione per x ! x0 non esiste se i due limiti destro e sinistro sono diversi fra loro. Un altro semplice caso di non esistenza del limite proviene dalla funzione f ðxÞ ¼ sin x; non esiste, per esempio, il limite di f per x ! þ1, come puoi facilmente riconoscere dal suo grafico (fig. 2.15): quando x diventa indefinitamente grande il grafico della funzione seno continua infatti a oscillare assumendo valori compresi tra
1 e 1 senza convergere a una posizione «limite». E` opportuno quindi porsi il problema y dell’esistenza di un limite e, se questo esiste, della sua unicita`, prima di porsi il y = sinx problema del suo calcolo. x O I teoremi che presentiamo in questo paragrafo forniscono alcune riposte ai proFigura 2.15 blemi di esistenza e unicita`. Nel Paragrafo 1, analizzando il comportamento della funzione f ðxÞ ¼

70

Unita` 2

Teoremi del confronto

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Presentiamo anzitutto alcuni teoremi che, oltre a garantire l’esistenza del limite (sotto opportune ipotesi), permettono anche di calcolarlo. L’idea alla base del primo teorema che esponiamo e` illustrata in fig. 2.16: se il grafico di una funzione f ðxÞ e` compreso tra quello di due funzioni gðxÞ e hðxÞ in un intorno di x0 e le due funzioni gðxÞ e hðxÞ hanno lo stesso limite per x ! x0 , allora anche la funzione f ðxÞ ammette lo stesso limite per x ! x0 . y h(x) f (x) g(x) O

Figura 2.16

x0

x

Formalmente, l’enunciato del teorema e` il seguente. Teorema del confronto 1

TEOREMA 2.1

Consideriamo tre funzioni f ðxÞ, gðxÞ e hðxÞ tali che:  esiste un intorno V di x0 2 R per ogni x del quale (eccetto al piu` x0 Þ tutte e tre le funzioni sono definite e risulta: gðxÞ  f ðxÞ  hðxÞ  lim gðxÞ ¼ lim hðxÞ ¼ l, con l 2 R x!x0

x!x0

Allora esiste lim f ðxÞ e risulta lim f ðxÞ ¼ l. x!x0

x!x0

DIMOSTRAZIONE

a. Dall’ipotesi relativa al limite della funzione g segue che, per ogni " > 0, esiste un intorno I1 di x0 tale che: l
" < gðxÞ < l þ "

per ogni x 2 I1 con x 6¼ x0

b. Dall’ipotesi relativa al limite della funzione h segue che, per ogni " > 0, esiste anche un intorno I2 di x0 tale che: l
" < hðxÞ < l þ "

per ogni x 2 I2 con x 6¼ x0

c. Nell’intorno di x0 dato da I1 \ I2 \ V, tenendo conto delle disuguaglianze gðxÞ  f ðxÞ  hðxÞ (vere per ipotesi in VÞ, risulta allora (con x 6¼ x0 Þ: l
" < gðxÞ  f ðxÞ  hðxÞ < l þ " ossia: l
" < f ðxÞ < l þ " d. Abbiamo quindi trovato un intorno di x0 , I1 \ I2 \ V, per ogni x del quale, escluso al piu` x0 , f ðxÞ si discosta da l meno di ". Cio` equivale a dire che per x ! x0 la funzione f ammette come limite l.

Calcolo di un limite tramite il teorema del confronto 1
 1 ¼ 0. Verifichiamo che lim x sin x!0 x    1   La funzione seno assume valori compresi tra
1 e 1; ne segue che sin   1 x per ogni x 6¼ 0. Moltiplicando i due membri di questa disuguaglianza per jxj otteniamo:

ESEMPIO

Ô

71

Limiti e continuita`

Ô

    x sin 1   jxj  x

y y= x

quindi (vedi la fig. 2.17):
jxj  x sin

1  jxj x

Tema F

Poiche´ (come puoi intuire dai grafici e verificare in base alle definizioni):

O

lim jxj ¼ 0 e limð
jxjÞ ¼ 0 x!0

Figura 2.17 «Zoom» sul grafico della funzione 1 nell’intorno y ¼ x sin x dell’origine.

x 1 y = x sin x

x!0

dal teorema 2.1 segue che: lim x sin x!0

y=– x

1 ¼0 x

In modo analogo si potrebbero dimostrare i seguenti teoremi che, similmente al teorema 2.1, permettono di dedurre l’esistenza e il valore del limite di una funzione f tramite un confronto tra funzioni. Essi esprimono le seguenti idee intuitive:  se il grafico di f sta «al di sopra» di quello g e g tende a þ1, allora anche f tende a þ1;  se il grafico di f sta «al di sotto» di quello g e g tende a
1, allora anche f tende a
1. TEOREMA 2.2

Teorema del confronto 2

Siano f ðxÞ e gðxÞ due funzioni definite in un intorno di x0 2 R tali che, per ogni x di questo intorno (eccetto al piu` x0 Þ, risulta f ðxÞ  gðxÞ. Se lim gðxÞ ¼ þ1, allora anche lim f ðxÞ ¼ þ1. x!x0

TEOREMA 2.3

x!x0

Teorema del confronto 3

Siano f ðxÞ e gðxÞ due funzioni definite in un intorno di x0 2 R tali che, per ogni x di questo intorno (eccetto al piu` x0 Þ, risulta f ðxÞ  gðxÞ. Se lim gðxÞ ¼
1, allora anche lim f ðxÞ ¼
1. x!x0

ESEMPIO

x!x0

Calcolo di un limite tramite il teorema del confronto 2

Verifichiamo che: lim ðx þ sin xÞ ¼ þ1. x!þ1

Per ogni x 2 R e` sin x 
1, quindi: x þ sin x  x
1 Poiche´ (come puoi verificare in base alla definizione o intuire dal grafico, facilmente realizzabile): lim ðx
1Þ ¼ þ1

x!þ1

dal teorema 2.2 segue che lim ðx þ sin xÞ ¼ þ1. x!þ1

Teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone Un altro teorema di esistenza per i limiti riguarda le funzioni monotone (crescenti o decrescenti). 72

TEOREMA 2.4

a. se f ðxÞ e` crescente (fig. 2.18): lim f ðxÞ ¼ inf f ðxÞ

x!aþ

x2ða, bÞ

e

lim f ðxÞ ¼ sup f ðxÞ

x!b


x2ða, bÞ

b. se f ðxÞ e` decrescente (fig. 2.19): limþ f ðxÞ ¼ sup f ðxÞ

x!a

e

x2ða, bÞ

x2ða, bÞ

y

y sup f(x)

sup f(x)

x∈(a, b)

x∈(a, b)

y = f(x)

y = f(x) inf f(x)

inf f(x)

x∈(a, b)

x∈(a, b)

O

a

b

x

Figura 2.18 Funzione (strettamente) crescente in (a, bÞ.

La scrittura inf f ðxÞ x2ða, bÞ

indica l’estremo inferiore dell’insieme dei valori assunti da f ðxÞ quando x 2 ða, bÞ. Analogamente va interpretata la scrittura sup f ðxÞ. x2ða, bÞ

lim
f ðxÞ ¼ inf f ðxÞ

x!b

Attenzione!

O

a

b

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Sia f ðxÞ una funzione monotona (in senso stretto o lato) in un intervallo (a, bÞ; allora esistono sempre, finiti o infiniti, i limiti di f ðxÞ per x ! aþ e per x ! b
. Precisamente:

Unita` 2

Teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone

x

Figura 2.19 Funzione (strettamente) decrescente in (a, bÞ.

DIMOSTRAZIONE

Ci limitiamo a svolgere la dimostrazione del teorema nel caso del limite per x ! b
, supponendo che la funzione f sia crescente in senso lato e che l’estremo superiore: S ¼ sup f ðxÞ x 2 ða, bÞ

sia finito. Lasciamo a te per esercizio le opportune varianti negli altri casi.  Scelto ad arbitrio un numero " > 0, poiche´ S e` l’estremo superiore dell’insieme f f ðxÞ : x 2 ða, bÞg, nell’intervallo ðS
", S deve cadere almeno un elemento dell’insieme, ovvero deve esistere x1 2 ða, bÞ tale che: S
" < f ðx1 Þ  S  D’altra parte, f e` crescente in (a, bÞ, quindi per ogni punto x dell’intervallo ðx1 , bÞ si avra`: S
" < f ðx1 Þ  f ðxÞ  S  In corrispondenza di un arbitrario " > 0 abbiamo quindi trovato un intorno sinistro di b, l’intervallo ðx1 , bÞ, i cui punti soddisfano la doppia disuguaglianza: S
" < f ðxÞ  S Cio` implica che lim
f ðxÞ ¼ S. x!b

E` importante fare alcune osservazioni. a. Si puo` dimostrare che il teorema vale anche per intervalli illimitati a destra o a sinistra, ovvero quando a ¼
1 o b ¼ þ1. b. Se x0 2 ða, bÞ, applicando il teorema ai due intervalli ða, x0 Þ e ðx0 , bÞ possiamo dedurre l’esistenza dei due limiti: lim f ðxÞ

x!x
0

e

lim f ðxÞ

x!xþ 0

73

Limiti e continuita`

quindi possiamo dire che se f e` monotona in (a, bÞ, per ogni x0 2 ða, bÞ esistoþ no i limiti di f per x ! x
0 e x ! x0 . Non e` detto invece che esista il limite per x ! x0 (vedi per esempio la funzione che ha il grafico di fig. 2.20). y

Tema F

sup f

y = f(x)

f(x0)

inf f O

x a

x0

b

Figura 2.20 La funzione f e` definita in (a, bÞ e strettamente crescente ma non esiste il limite della funzione per x ! x0 .

Teorema di unicita` del limite e teorema di permanenza del segno Una volta accertato che il limite esiste, la sua unicita` e` garantita dal seguente teorema. TEOREMA 2.5

` del limite T e o r e m a d i u n i c i ta

Se una funzione f ðxÞ ammette limite per x ! x0 con x 2 R*, questo limite e` unico. DIMOSTRAZIONE

a. Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che sia: lim f ðxÞ ¼ l1

x!x0

e

lim f ðxÞ ¼ l2

x!x0

con l1 ed l2 finiti e l1 6¼ l2 (il caso di due limiti infiniti e` analogo). Osserva Affinche´ U1 e U2 siano disgiunti basta scegliere i loro raggi sufficientemente piccoli.

b. Poiche´ stiamo supponendo l1 6¼ l2 , possiamo scegliere un intorno U1 di l1 e un intorno U2 di l2 fra loro disgiunti. c. Poiche´ lim f ðxÞ ¼ l1 , in base alla definizione di limite dovrebbe esistere un inx!x0

torno V1 di x0 tale che: f ðxÞ 2 U1

Osserva Due intorni dello stesso punto, di raggi r1 e r2 , hanno come intersezione l’intorno avente raggio uguale al minimo tra r1 e r2 .

per ogni x 2 V1 , con x 6¼ x0

d. Analogamente, poiche´ lim f ðxÞ ¼ l2 , dovrebbe esistere un intorno V2 di x0 tale x!x0 che: f ðxÞ 2 U2

per ogni x 2 V2 , con x 6¼ x0

e. Poiche´ V1 e V2 sono entrambi intorni di x0 , la loro intersezione non e` vuota; prendendo x 2 V1 \ V2 (con x 6¼ x0 Þ dovrebbe essere contemporaneamente: f ðxÞ 2 U1 e f ðxÞ 2 U2 , il che e` assurdo, perche´ abbiamo scelto U1 e U2 disgiunti.

Per le funzioni che ammettono limite per x ! x0 sussiste poi il seguente teorema, che permette di stabilire il segno della funzione in un intorno di x0 . TEOREMA 2.6 Attenzione! Supponiamo implicitamente che la funzione f ðxÞ sia definita in un intorno di x0 eccetto al piu` x0 .

74

Teorema della permanenza del segno

Se per x ! x0 , con x0 2 R*, la funzione f ðxÞ ammette limite finito l, positivo (negativo), allora esiste un intorno di x0 per ogni x del quale, eccetto al piu` x0 , f e` positiva (negativa).

Unita` 2

DIMOSTRAZIONE

 Supponiamo che sia l > 0 (il caso di limite negativo e` analogo).

l
" < f ðxÞ < l þ "

Limiti di funzioni reali di variabile reale

 Dalla definizione di limite segue che, per ogni " > 0, esiste un intorno I di x0 tale che: per ogni x 2 I con x 6¼ x0

 Il valore " > 0 puo` essere scelto arbitrariamente. Possiamo scegliere, in particolare, " ¼ l, quindi dalla precedente disuguaglianza segue: 0 < f ðxÞ < 2l

per ogni x 2 I con x 6¼ x0

 Abbiamo quindi trovato un intorno di x0 , I, per tutti i punti del quale, eccetto al piu` x0 , la funzione e` positiva.

Il teorema 2.6 si puo` estendere in modo naturale anche nel caso in cui il limite sia þ1 o
1. Il teorema non e` invece invertibile, se non modificando leggermente l’enunciato; infatti, se una funzione e` positiva in un intorno di x0 (con x 6¼ x0 Þ ed esiste il limite per x ! x0 , non e` detto che il suo limite sia positivo. Basta pensare alla funzione f ðxÞ ¼ x2 : risulta f ðxÞ > 0 in ogni intorno dello 0 (con x 6¼ 0Þ, ma il limite di f ðxÞ per x ! 0 non e` positivo, bensı` nullo. Si comprende allora come si debba modificare l’enunciato del teorema inverso per renderlo valido: se una funzione e` positiva (negativa) in un intorno di x0 (con x 6¼ x0 Þ ed esiste il limite per x ! x0 , allora esso e` positivo (negativo) o nullo.

Prova tu

ESERCIZI a p. 113

Verifica, mediante i teoremi del confronto, che: a. lim x sin x ¼ 0

b. lim ðx þ sin xÞ ¼
1 x!
1

x!0

4. Le funzioni continue e l’algebra dei limiti Nei paragrafi precedenti abbiamo introdotto e definito l’operazione di limite e abbiamo presentato alcuni teoremi di esistenza e unicita`. Il problema che ci poniamo adesso e` invece quello del calcolo dei limiti. L’obiettivo del calcolo di un limite verra` raggiunto attraverso quattro momenti: 1. la definizione di continuita`; 2. la determinazione dei limiti delle funzioni elementari agli «estremi» del loro insieme di definizione; 3. la ricerca di teoremi che esprimono come si comporta il limite rispetto alle operazioni tra funzioni; 4. la risoluzione di quelle che, come vedremo, vengono chiamate forme di indecisione. In questo paragrafo ci dedichiamo ai primi tre punti di questo «programma», mentre i prossimi paragrafi dell’Unita` saranno dedicati all’ultimo punto, cioe` alla risoluzione delle forme di indecisione.

La continuita` Osserva le seguenti figure, che illustrano alcuni possibili comportamenti di una funzione f ðxÞ per cui lim f ðxÞ ¼ l nell’intorno di un punto x0 . x!x0

75

Limiti e continuita` Tema F

y

y

y = f (x)

l

y

y = f (x)

l

l = f (x0) y = f (x)

f (x0) O

x

x0

O

Figura 2.21 La funzione f non e` definita in x0 ma esiste il suo limite per x ! x0 ed e` uguale a l.

x

x0

O

x0

x

Figura 2.23 La funzione f e` definita in x0 e il suo limite l per x ! x0 e` uguale a f ðx0 Þ.

Figura 2.22 La funzione f e` definita in x0 , ma il suo limite l per x ! x0 e` diverso da f ðx0 Þ.

La circostanza rappresentata in fig. 2.23, cioe` il caso in cui f ðx0 Þ ¼ l, e` particolarmente importante; si riserva percio` a essa una particolare definizione. Attenzione!

CONTINUITA` IN UN PUNTO

Se la funzione fosse definita soltanto in un intorno destro (sinistro) di x0 , la condizione lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ andrebbe

Una funzione f si dice continua nel punto x0 quando lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ.

x!x0

modificata considerando il
limite per x ! xþ 0 ðx ! x0 Þ

x!x0

Si puo` dimostrare che: Tutte le funzioni elementari (cioe` le funzioni potenza, la funzione valore assoluto, le funzioni esponenziali e logaritmiche, le funzioni goniometriche e le loro inverse) sono continue nei punti dove sono definite.

Infatti, in base alle definizioni di limite, e` possibile verificare che valgono i limiti riassunti nella seguente tab. 2.1.

Tabella 2.1 Continuita` delle funzioni elementari lim x n ¼ x0n

x!x0

lim

x!x0

p ffiffiffi p ffiffiffiffiffi n x ¼ n x0



8a > 0,

lim jxj ¼ jx0 j

8x0 2 R

lim loga x ¼ loga x0

8x0 > 0,

lim sin x ¼ sin x0

8x0 2 R

lim cos x ¼ cos x0

8x0 2 R

lim tan x ¼ tan x0

8x0 6¼

lim arcsin x ¼ arcsin x0

8x0 2 ½
1, 1

lim arccos x ¼ arccos x0

8x0 2 ½
1, 1

lim arctan x ¼ arctan x0

8x0 2 R

x!x0

x!x0

x!x0

x!x0

x!x0

x!x0

x!x0

x!x0

8x0 2 R

8n 2 N
f0g,

lim ax ¼ ax0

x!x0

76

8n 2 N
f0g,

8 x0 2 R 8 x0  0

se n e` dispari se n e` pari

8x0 2 R

8a > 0,

 þ k 2

con a 6¼ 1

Unita` 2

Nel caso di funzioni continue il calcolo del limite per x ! x0 , con x0 appartenente al dominio della funzione, si riduce quindi semplicemente a sostituire x0 al posto di x nell’espressione analitica della funzione. Per esempio:  lim 2x ¼ 23 ¼ 8; lim sin x ¼ sin ¼ 1; lim ln x ¼ ln 1 ¼ 0 x! 2 x!3 x!1 2

Limiti di funzioni reali di variabile reale

I limiti delle funzioni elementari Continuiamo il nostro «programma», mettendo in evidenza in tab. 2.2 alcuni limiti importanti delle funzioni elementari agli estremi del loro insieme di definizione. Tali limiti, intuitivamente evidenti dall’analisi dei grafici, potrebbero essere dimostrati in base alla definizione o dedotti dall’applicazione del teorema 2.4 sulle funzioni monotone. Tabella 2.2 Limiti di alcune funzioni elementari agli estremi dell’insieme di definizione. Categoria

Grafici e limiti

Funzioni potenza

y

y

x

O y=x n ∈ N – {0} 2n

x

O lim x 2n ¼ þ1

lim x 2n ¼ þ1

x!
1

Funzioni radice

y = x 2n+1 n ∈N

x!þ1

lim x 2nþ1 ¼
1

lim x 2nþ1 ¼ þ1

x!
1

x!þ1

y

y y=

2n

x

n ∈N– {0} O

x y=

lim

x!0þ

pffiffiffi x¼0

2n

Funzioni esponenziali

lim

x!þ1

pffiffiffi x ¼ þ1

2n

lim

x!
1

pffiffiffi x ¼
1

2nþ1

y

lim ax ¼ þ1

x!
1

lim ax ¼ 0

x!þ1

pffiffiffi x ¼ þ1

2nþ1

lim

x!þ1

y

y = ax a >1

y = ax 0 1

77

y

y

y = loga x a>1

y = loga x 0 1

x!0þ

π 2

y

π 2

y = arctan x

x

x

O y =–

y = tan x lim tan x ¼
1 x!ð
2 Þþ

lim arctan x ¼


x!
1

lim tan x ¼ þ1

lim arctan x ¼

x!ð 2 Þ


x!þ1

 2

π 2

 2

(Ci siamo limitati a considerare la funzione tangente in un intervallo di ampiezza uguale al suo periodo.) Attenzione! Non esistono i seguenti limiti: lim sin x, lim cos x e lim tan x. x!1

x!1

x!1

Limiti di funzioni elementari agli estremi dell’insieme di definizione
x 1 a. lim x3 ¼
1 d. lim ¼0 x!
1 x!þ1 2

ESEMPI

b. lim x4 ¼ þ1 x!þ1 pffiffiffi c. lim x ¼ þ1 x!þ1

e. limþ ln x ¼
1 x!0

f. lim 3x ¼ 0 x!
1

L’algebra dei limiti Ci chiediamo ora: e` possibile, a partire dai limiti elencati nelle tabb. 2.1 e 2.2, determinare i limiti di funzioni piu` complicate, costruite a partire dalle funzioni elementari mediante operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione? Per esempio: sappiamo, in base alla continuita` delle funzioni potenza, che lim x3 ¼ 8 e che lim x2 ¼ 4; possiamo dire che lim ðx3 þ x2 Þ e` la loro somma? x!2

x!2

x!2

In altre parole, vogliamo studiare il comportamento dell’operazione di limite rispetto alle operazioni tra funzioni. 1. Regole di calcolo nel caso in cui i due limiti siano finiti Se due funzioni f e g hanno limiti finiti per x ! x0 , l’operazione di limite si comporta «bene» rispetto alle ordinarie operazioni, come espresso dal seguente teorema. 78

TEOREMA 2.7

Supponiamo che le due funzioni f e g siano entrambe definite in un intorno di x0 , eccetto al piu` x0 , e che sia: x!x0

dove l1 , l2 2 R e x0 2 R . Allora risulta: a. lim ðf ðxÞ þ gðxÞÞ ¼ l1 þ l2 x!x0

b. lim ðf ðxÞ
gðxÞÞ ¼ l1
l2 x!x0

c. lim ðk  f ðxÞÞ ¼ k  l1 per ogni k 2 R x!x0

d. lim ðf ðxÞ  gðxÞÞ ¼ l1  l2 x!x0

e. lim

x!x0

f ðxÞ l1 ¼ l2 gðxÞ

se l2 6¼ 0

Conseguenze del teorema 2.7

C O R O L L AR I O 2 . 1

Limiti di funzioni reali di variabile reale

lim f ðxÞ ¼ l1 e lim gðxÞ ¼ l2

x!x0

Unita` 2

A l g e b r a d e i l i m i t i , n e l c a s o d i l i mi t i f i n i t i

Nelle ipotesi del teorema precedente, risulta: a. lim ½f ðxÞn ¼ l n1

per ogni n 2 N
f0g

x!x0

b. lim

x!x0

1 1 ¼ f ðxÞ l1

se l1 6¼ 0

Rinviamo la dimostrazione (piuttosto elaborata) del teorema 2.7 alla scheda di approfondimento alla fine di questo paragrafo e mostriamo subito alcuni esempi di applicazioni di questo teorema. ESEMPI

Limiti di somme, prodotti e quozienti, nel caso di limiti finiti

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim ðx 3 þ x 2 Þ

b. lim ðsin x cos xÞ

x!2

x!0

a. limðx3 þ x2 Þ ¼

c. lim tan2 x x! 3

d. lim

x!1

Limite da calcolare

x!2

¼ lim x3 þ lim x2 ¼

Poiche´ i due limiti di x 3 e di x 2 per x ! 2 sono finiti, possiamo utilizzare il teorema 2.7 (punto a)

¼ 8 þ 4 ¼ 12

Per la continuita` delle funzioni potenza

x!2

ln x x2

x!2

Ragionando similmente possiamo calcolare gli altri limiti. b. limðsin x  cos xÞ ¼ lim sin x  lim cos x ¼ 0  1 ¼ 0 x!0

x!0


c. lim tan2 x ¼ x! 3

d. lim x!1

x!0

2 lim tan x

x! 3

¼

pffiffiffi2 3 ¼3

lim ln x ln x ln 1 0 x!1 ¼ ¼ 2 ¼ ¼0 x2 1 1 lim x2 x!1

Come conseguenza del teorema 2.7 si ha anche che: f Se f e g sono due funzioni continue in x0 , anche f þ g, f  g e sono continue in g x0 , supponendo per il quoziente che gðx0 Þ 6¼ 0.

2. Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due limiti sia infinito Vediamo ora che cosa accade nei casi esclusi dal teorema 2.7, ossia quando almeno uno dei due limiti l1 o l2 e` infinito oppure in un quoziente il denominatore tende a 0. A proposito di questi casi, si potrebbero dimostrare i risultati riassunti nelle seguenti tre tabelle, che ci limitiamo a enunciare. 79

Limiti e continuita`

Tabella 2.3 Regole per la somma. Se lim f ðxÞ e`:

e lim gðxÞ e`:

allora lim ðf ðxÞ þ gðxÞÞ e`:

l2R

þ1

þ1

l2R


1


1

þ1

þ1

þ1


1


1


1

Se lim f ðxÞ e`:

e lim gðxÞ e`:

allora lim ðf ðxÞ  gðxÞÞ e`:

l 2 R con l 6¼ 0

1

1 secondo la regola dei segni

1

1

1 secondo la regola dei segni

Tema F

x!x0

x!x0

x!x0

Tabella 2.4 Regole per il prodotto. x!x0

x!x0

x!x0

Tabella 2.5 Regole per il quoziente. Se lim f ðxÞ e`:

e lim gðxÞ e`:

x!x0

x!x0

l2R

x!x0

f ðxÞ e`: gðxÞ

1

0

0

1 secondo la regola dei segni

l2R

1 secondo la regola dei segni

l 2 R con l 6¼ 0 1

allora lim

E` importante fare alcune osservazioni. a. Riguardando attentamente le tabelle, ti accorgerai che esse non danno informazioni nel caso in cui il limite si presenti in una delle seguenti forme, dette forme di indecisione (o forme indeterminate): Attenzione! 1. Il simbolo 0  1 e` un modo abbreviato per indicare le forme indeterminate del tipo 0  þ1, 0 
1, þ1  0,
1  0. Analogamente, il 1 e` un modo simbolo 1 abbreviato per indicare le forme indeterminate del tipo þ1 þ1
1
1 , , , . þ1
1
1 þ1 2. Le tabb. 2.3-2.4-2.5, oltre che nei casi delle forme di indecisione, non danno informazioni anche nei casi in cui uno almeno dei due limiti di f e g per x ! x0 non esiste. Anche in questi casi non si puo` dire nulla a priori del limite della somma, del prodotto e del quoziente di f e di g; nel proseguimento non ci occuperemo pero` di questi casi.

þ1
1, 0  1,

Cio` non significa che in questi casi il limite sia indeterminato o non si possa calcolare, ma solo che il risultato del limite puo` essere qualsiasi e non esiste nessun teorema che permetta di stabilirlo a priori: occorre analizzare la situazione caso per caso. Come abbiamo gia` anticipato, vedremo le piu` comuni tecniche per risolvere le forme di indecisione nei prossimi paragrafi dell’Unita`. b. I risultati espressi nelle tabb. 2.3-2.4-2.5 si possono riassumere nelle «uguaglianze» della tab. 2.6 a pagina seguente. Esse possono interpretarsi come regole di calcolo algebrico per svolgere operazioni che coinvolgono i simboli di 1 e prendono pertanto il nome di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito («parziale» perche´ le regole di calcolo cosı` definite soddisfano solo parzialmente le ordinarie proprieta` delle operazioni aritmetiche). c. In tutte le scritture della tab. 2.6 il segno dell’infinito va determinato in base all’ordinaria regola dei segni, tenendo conto che in questo contesto si attribuisce un segno anche a 0: lo 0 viene considerato «positivo», e indicato con 0þ , se una funzione tende a 0 per eccesso, mentre viene considerato «negativo», e indicato con 0
, se una funzione tende a 0 per difetto; avremo, per esempio: 2 ¼ þ1 0þ

80

1 0 , 1 0

þ1 ¼
1 0



1 ¼ þ1 0


Unita` 2

Tabella 2.6 Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito
1
1 ¼
1

Limiti di funzioni reali di variabile reale

þ1 þ 1 ¼ þ1 ð1Þ  ð1Þ ¼ 1 l  1 ¼ 1

8l2R

l  ð1Þ ¼ 1

8 l 2 R, con l 6¼ 0

l ¼ 1 0

8 l 2 R, con l 6¼ 0

l ¼0 1

8l2R

1 ¼ 1 l

8l2R

Limiti di somme, prodotti e quozienti nel caso in cui qualcuno dei limiti sia infinito e non si presentino forme di indecisione

ESEMPI

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim

x!þ1


b. limþ x þ

1 x5

x!1

d. limþ ðx 2
1Þ ln x

1 x
1



e. lim x ln x x!þ1

x!0


 1 c. limþ ln x
x!0 x f. lim
x!0

cos x x

g. limþ x!0

x ln x

Utilizzeremo dapprima la continuita` delle funzioni elementari e i limiti agli estremi del loro insieme di definizione per calcolare i limiti delle funzioni la cui somma (o prodotto o quoziente) definisce la funzione data, quindi concluderemo grazie alle regole di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito spiegate poc’anzi. 1

a. lim

x!þ1

¼

x5

1 ¼ 0þ þ1

l ¼ 0 1 secondo la regola dei segni Ricorda che

! þ1

x þ

b. limþ x!1

! 1 per continuit`a

x
1

x!0

¼ 1 þ 1 ¼ þ1

1 ¼ þ1 e 0þ l þ 1 ¼ þ1

¼
1
1 ¼
1

Ricorda che

Ricorda che

! 0þ

1 ln x
x

c. limþ

!

1

! 1 ¼ þ1 0þ

!
1 ! 0þ vedi tab: 2:2

 d. limþ x!0

ðx
1Þ  ln x 2

¼ ð
1Þ  ð
1Þ ¼ þ1

!
1 per !
1 continuita` vedi tab. 2.2

e. lim

x!þ1

x ! þ1 tab. 2.2

 ln x ! þ1 tab. 2.2

¼ þ1

Ricorda che l  ð1Þ ¼ 1 secondo la regola dei segni

Ricorda che ðþ1Þ  ðþ1Þ ¼ þ1

Ô

81

Limiti e continuita`

Ô

! 1 per continuita`

cos x 1 ¼
¼
1 x 0

f. lim
x!0

l ¼ 1, con l 6¼ 0, 0 secondo la regola dei segni Ricorda che

! 0
per continuita` ! 0þ per continuita`

x 0þ ¼ 0
¼
1 ln x

Tema F

g. limþ x!0

l ¼ 0 1 secondo la regola dei segni Ricorda che

!
1 vedi tab. 2.2

3. Cambiamento di variabile nei limiti Resta infine da esaminare il comportamento dell’operazione di limite rispetto alla composizione di funzioni. A questo proposito vale il seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare. TEOREMA 2.8

Limite di funzioni composte

Siano f e g due funzioni componibili e definite in un intorno di x0 (eccetto al piu` x0 Þ; si voglia calcolare lim f ðgðxÞÞ. x!x0

Supponiamo che siano verificate le seguenti ipotesi: a. lim gðxÞ ¼ l e lim f ðtÞ ¼ L x!x0

t!l

con x0 , l, L 2 R

b. esiste un intorno di x0 per ogni x del quale (con x 6¼ x0 Þ e` gðxÞ 6¼ l. Allora e` anche: lim f ðgðxÞÞ ¼ lim f ðtÞ ¼ L

x!x0

Controesempio Consideriamo le due funzioni:  2 f ðtÞ ¼ 1
t se t 6¼ 0 2 se t ¼ 0 gðxÞ ¼ 0

t!l

L’ipotesi b. e` necessaria (vedi il controesempio a lato), ma e` quasi sempre soddisfatta, a meno di casi molto particolari di cui non ci occuperemo. Esclusi questi casi, il teorema precedente ci autorizza ad eseguire cambi di variabile per il calcolo di un limite. Cio` significa che per calcolare lim f ðgðxÞÞ potremo porre: x!x0

t ¼ gðxÞ

e, ammesso che t ¼ gðxÞ ! l per x ! x0 , ricondurci al calcolo del seguente limite:

Abbiamo: lim gðxÞ ¼ 0 x!0

lim f ðtÞ t!l

e lim f ðtÞ ¼ 1 t!0

Calcolo di limiti mediante cambi di variabile

ESEMPI

Calcoliamo i seguenti limiti:

Tuttavia: lim f ðgðxÞÞ ¼ x!0

¼ 2 6¼ lim f ðtÞ ¼ 1 t!0

Come puoi controllare, non e` soddisfatta l’ipotesi b. del teorema 2.8.

a. lim e
x

1

2

b. limþ e x

x!þ1

x!0

1

c. lim
e x x!0

a. Poniamo t ¼
x2 e osserviamo che, quando x ! þ1, allora t !
1 (poiche´ lim
x2 ¼
1Þ. Dunque: x!þ1

lim e
x ¼ lim et ¼ 0 2

x!þ1

t!
1

1 e osserviamo che, quando x ! 0þ , allora t ! þ1 (poiche´ b. Poniamo t ¼ x 1 lim ¼ þ1Þ. Dunque: x!0þ x 1

lim e x ¼ lim et ¼ þ1

x!0þ

t!þ1

1 c. Poniamo t ¼ e osserviamo che, quando x ! 0
, allora t !
1 (poiche´ x 1 lim ¼
1Þ. Dunque: x!0
x 1

lim
e x ¼ lim et ¼ 0

x!0

82

t!
1

Unita` 2

Si potrebbe dimostrare che il teorema 2.8 sussiste anche senza l’ipotesi b., nel caso in cui f sia continua in l. Supposto che cio` si verifichi abbiamo allora: lim f ðgðxÞÞ ¼ lim f ðtÞ ¼ f ðlÞ ¼ f ð lim gðxÞÞ x!x0 " t!l "

Limiti di funzioni reali di variabile reale

x!x0

Continuita` di f

Teorema 2.8

ossia, compattando la scrittura: lim f ðgðxÞÞ ¼ f ð lim gðxÞÞ

x!x0

[2.8]

x!x0

In pratica possiamo dire, in linguaggio un po’ impreciso ma efficace, che il simbolo di limite si puo` «portare dentro» al simbolo f di una funzione continua. Per esempio: lim

1

1

lim e xþ1 ¼ e x!þ1 xþ1 ¼ e0 ¼ 1

x!þ1

Osserviamo infine che se g e` continua in x0 , dalla [2.8] segue che: lim f ðgðxÞÞ ¼ f ðgðx0 ÞÞ

x!x0

quindi: la composizione di due funzioni continue e` continua.

Una dimostrazione sull’algebra dei limiti

APPROFONDIMENTO

In questa scheda presentiamo la dimostrazione del teorema 2.7 (che ripetiamo per comodita` qui sotto). Prima di iniziare, ricordiamo alcune proprieta` dei valori assoluti che utilizzeremo ripetutamente: jx þ yj  jxj þ jyj

per ogni x 2 R, y 2 R

jxyj ¼ jxjjyj   x   ¼ jxj y jyj

per ogni x 2 R, y 2 R

Disuguaglianza triangolare

per ogni x 2 R, y 2 R0

A l g e b r a d e i l i m i t i , n e l c a s o d i l i mi t i f i n i t i

TEOREMA 2.7

Supponiamo che le due funzioni f e g siano entrambe definite in un intorno di x0 , eccetto al piu` x0 , e che sia: lim f ðxÞ ¼ l1

x!x0

e

lim gðxÞ ¼ l2

x!x0

dove l1 2 R, l2 2 R e x0 2 R . Allora risulta: a. lim ðf ðxÞ þ gðxÞÞ ¼ l1 þ l2 x!x0

b. lim ðf ðxÞ
gðxÞÞ ¼ l1
l2 x!x0

c. lim ðk  f ðxÞÞ ¼ k  l1 x!x0

per ogni k 2 R

d. lim ðf ðxÞ  gðxÞÞ ¼ l1  l2 x!x0

e. lim

x!x0

f ðxÞ l1 ¼ l2 gðxÞ

se l2 6¼ 0

DIMOSTRAZIONE

Osserviamo preliminarmente che per dimostrare il teorema e` sufficiente dimostrare la a, la d e la e: infatti la c e` chiaramente un caso particolare della d e la b segue da a e da c osservando che f ðxÞ
gðxÞ ¼ f ðxÞ þ ½
1  gðxÞ. 83

Limiti e continuita` Tema F

1. Dimostriamo che lim ðf ðxÞ þ gðxÞÞ ¼ l1 þ l2 x!x0

 Poiche´ lim f ðxÞ ¼ l1 , per ogni " > 0 esiste un intorno I1 di x0 tale che: x!x0

jf ðxÞ
l1 j < "

per ogni x 2 I1 , con x 6¼ x0

[2.9]

 Analogamente, poiche´ lim gðxÞ ¼ l2 , esiste un intorno I2 di x0 tale che: x!x0

jgðxÞ
l2 j < "

per ogni x 2 I2 , con x 6¼ x0

[2.10]

 Allora per ogni x 2 I1 \ I2 (con x 6¼ x0 Þ risulta: jf ðxÞ þ gðxÞ
l1
l2 j ¼ ¼ jðf ðxÞ
l1 Þ þ ðgðxÞ
l2 Þj  jf ðxÞ
l1 jþ jgðxÞ
l2 j < 2" "

"

Disuguaglianza triangolare

[2.9] e [2.10]

 Per ogni " > 0 abbiamo trovato un intorno di x0 , I1 \ I2 , per ogni x del quale (eccetto al piu` x0 Þ i valori assunti dalla funzione f þ g si discostano da l1 þ l2 per una quantita` arbitrariamente piccola (infatti 2" e` arbitrario tanto quanto "Þ. Pertanto, per x ! x0 la funzione f þ g tende a l1 þ l2 . 2. Dimostriamo che lim ðf ðxÞ  gðxÞÞ ¼ l1  l2 x!x0

 Poiche´ lim f ðxÞ ¼ l1 , per ogni " > 0, esiste un intorno I1 di x0 tale che: x!x0

jf ðxÞ
l1 j < "

per ogni x 2 I1 , con x 6¼ x0

[2.11]

 Poiche´ lim gðxÞ ¼ l2 , esiste anche un intorno I2 di x0 tale che x!x0

jgðxÞ
l2 j < "

per ogni x 2 I2 , con x 6¼ x0

[2.12]

 Sempre dal fatto che lim gðxÞ ¼ l2 , fissando " ¼ 1 segue che esiste un intorno I3 di x!x0 x0 tale che: jgðxÞ
l2 j < 1

per ogni x 2 I3 , con x 6¼ x0

[2.13]

In tale intorno, per la disuguaglianza triangolare sara` anche: jgðxÞj ¼ jgðxÞ
l2 þ l2 j  jgðxÞ
l2 j þ jl2 j < 1 þ jl2 j

[2.14]

 Allora per ogni x 2 I1 \ I2 \ I3 (con x 6¼ x0 Þ risulta: jf ðxÞ  gðxÞ
l1  l2 j ¼ jf ðxÞ  gðxÞ þ l1  gðxÞ
l1  gðxÞ
l1  l2 j ¼ Sommando e sottraendo l1  gðxÞ

¼ jgðxÞ  ðf ðxÞ
l1 Þ þ l1 ðgðxÞ
l2 Þj 

Raccogliendo parzialmente

 jgðxÞj  jf ðxÞ
l1 j þ jl1 j  jgðxÞ
l2 Þj
0 abbiamo trovato un intorno di x0 , I1 \ I2 \ I3 , per ogni x del quale (eccetto al piu` x0 Þ i valori assunti dalla funzione f  g si discostano da l1  l2 per una quantita` arbitrariamente piccola (osserva infatti che "ð1 þ jl1 j þ jl2 jÞ e` arbitrario tanto quanto ", poiche´ 1 þ jl1 j þ jl2 j e` una costante). Pertanto, per x ! x0 la funzione f  g tende a l1  l2 . 3. Dimostriamo che lim

x!x0

f ðxÞ l1 ¼ , se l2 6¼ 0 l2 gðxÞ

 Osserviamo che e` sufficiente mostrare che lim

x!x0

segue osservando che lim

x!x0

84

1 1 ¼ . Dimostrato cio`, la tesi gðxÞ l2

f ðxÞ 1 ¼ lim f ðxÞ  e applicando il punto d. x!x0 gðxÞ gðxÞ

Unita` 2

 Per ogni " > 0, poiche´ lim gðxÞ ¼ l2 , esiste un intorno I1 di x0 tale che: x!x0

jgðxÞ
l2 j < "

per ogni x 2 I1 , con x 6¼ x0

[2.15]

x!x0

torno I2 di x0 tale che: jgðxÞ
l2 j
0 abbiamo trovato un intorno di x0 , I1 \ I2 , per ogni x del quale (eccetto al piu` x0 Þ i valori assunti dalla funzione

1 1 per si discostano da g l2

2" e` arbitrario tanto quanto ", l22 2 1 1 6 0, essendo 2 una costante). Pertanto, lim ¼ . se l2 ¼ x!x0 gðxÞ l2 l2

una quantita` arbitrariamente piccola (infatti

Prova tu Calcola i seguenti limiti. 1 1. limþ 2 x!1 x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2. lim ðx
x2 þ 1Þ x!
1

3. lim x!0

sin x þ 1 cos x

4. lim ð2x þ 3
x Þ x!
1

ESERCIZI a p. 115

[þ1] [
1] [1] [þ1]

1

5. lim e x2 x!þ1
x 1 6. lim x!þ1 3 ln x 7. limþ pffiffiffi x!0 x 1 8. lim x!þ1 1 þ x5

[1] [0] [
1] [0]

5. Forme di indecisione di funzioni algebriche In questo paragrafo presentiamo le piu` comuni tecniche per risolvere le forme di indecisione che si presentano quando si lavora con funzioni algebriche.

Limiti di funzioni polinomiali Le funzioni polinomiali sono definite e continue in R, quindi si puo` incorrere in forme di indecisione solo nel calcolo di limiti per x ! 1. In questi casi, ci si puo` imbattere in una forma di indecisione del tipo þ1
1. Per esempio, cio` accade se si vuole calcolare: lim ðx3
x2 Þ

x!þ1

La risoluzione di queste forme di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Sia: PðxÞ ¼ a0 xn þ a1 xn
1 þ a2 xn
2 þ ::: þ an , con a0 6¼ 0 85

Limiti e continuita` Tema F

Raccogliendo a0 xn si ha: 
 a1 a2 an þ þ ::: þ lim PðxÞ ¼ lim a0 xn 1 þ x!1 x!1 a0 x a 0 x2 a0 xn Tutti i termini dopo 1 tendono a 0 per x ! 1, quindi il fattore tra parentesi tende a 1; in base ai teoremi sul limite del prodotto di due funzioni ne segue che: lim PðxÞ ¼ lim a0 xn

x!1

x!1

In conclusione: per calcolare il limite di un polinomio per x ! 1 basta calcolare il limite del suo termine di grado massimo. ESEMPI

Calcolo di limiti per x ! 1 di funzioni polinomiali

a. lim ðx
4xÞ ¼ lim x2 ¼ þ1 2

x!þ1

x!þ1

  b. lim ðx
2x þ x þ 1Þ ¼ lim
2x3 ¼
1 2

3

x!þ1

x!þ1

c. lim ðx4
2x2 þ xÞ ¼ lim x4 ¼ þ1 x!
1

x!
1

Limiti di funzioni razionali fratte Consideriamo ora una funzione razionale fratta, cioe` una funzione del tipo: f ðxÞ ¼

Pn ðxÞ Qm ðxÞ

essendo Pn ðxÞ e Qm ðxÞ polinomi di gradi rispettivamente n ed m, cioe` polinomi del tipo: Pn ðxÞ ¼ a0 xn þ a1 xn
1 þ ::: þ an Qm ðxÞ ¼ b0 x þ b1 x m

m
1

con a0 6¼ 0

þ ::: þ bm con b0 6¼ 0

Le funzioni razionali fratte hanno come dominio l’insieme R privato degli eventuali valori di x che annullano il denominatore e sono continue nel loro dominio. Nel calcolo dei limiti di queste funzioni si puo` incorrere in due tipi di forme di 1 0 indecisione: nel calcolo di limiti per x ! 1 oppure nel calcolo di limiti 1 0 per x ! x0 , essendo x0 un punto dove la funzione non e` definita. Analizziamo separatamente i due casi. 1 1 La risoluzione delle forme di indecisione di questo tipo per le funzioni razionali fratte si basa sul seguente ragionamento: 1. Forme di indecisione del tipo

Pn ðxÞ a0 xn þ a1 xn
1 þ ::: þ an ¼ lim ¼ x!1 Qm ðxÞ x!1 b0 xm þ b1 xm
1 þ ::: þ bm
 a1 an þ ::: þ a 0 xn 1 þ a0 x a 0 xn
 ¼ lim x!1 b1 bm b 0 xm 1 þ þ ::: þ b0 x b 0 xm lim

86

Tutti gli addendi dopo 1, sia all’interno delle parentesi al numeratore sia all’interno delle parentesi al denominatore, tendono a 0 per x ! 1, quindi i due fattori tra parentesi tonde tendono entrambi a 1; ne segue che: 8 1 se n > m > >

> : 0 0 se n < m

a. lim

2x3
1 2x3 ¼ lim ¼ lim 2x ¼ þ1 x!þ1 x2 x!þ1 x2 þ 1

b. lim

x4
1 x4 1 ¼ lim 8 ¼ lim 4 ¼ 0 8 x!þ1 x x!þ1 x x þ1

c. lim

x4
1 x4 1 ¼ lim ¼
4 4 x!þ1
2x 1
2x 2

x!þ1

x!þ1

2. Forme di indecisione del tipo

0 0

Se il limite del rapporto di due polinomi

PðxÞ si presenta nella forma indetermiQðxÞ

0 per x ! x0 2 R, deve essere Pðx0 Þ ¼ Qðx0 Þ ¼ 0, quindi i due polinomi PðxÞ 0 e QðxÞ devono essere divisibili per ðx
x0 Þ. L’indeterminazione si rimuove scomPðxÞ ponendo PðxÞ e QðxÞ in fattori e semplificando la frazione . QðxÞ

nata

Calcolo del limite del rapporto di due polinomi che si presenta nella forma 0/0

ESEMPIO

Calcoliamo lim

x!1

Osserva Il limite della funzione ottenuta dopo la semplificazione del fattore ðx
x0 Þ coincide con quello della funzione originaria: infatti le due funzioni sono uguali per x 6¼ x0 e, ai fini del calcolo del limite, e` ininfluente il valore della funzione in x0 .

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Calcolo di limiti per x ! 1 del rapporto di due polinomi

ESEMPI x!þ1

Unita` 2

In conclusione: per calcolare il limite del rapporto di due polinomi per x ! 1 basta calcolare il limite del rapporto dei loro termini di grado massimo.

x3
1 . x2
1

Osserviamo che: lim ðx3
1Þ ¼ 0 x!1

e

lim ðx2
1Þ ¼ 0 x!1

0 quindi il limite si presenta nella forma . Per risolvere la forma di indecisione 0 procediamo come segue. lim x!1

x3
1 ¼ x2
1

Limite da calcolare

¼ lim

ðx
1Þðx2 þ x þ 1Þ ¼ ðx
1Þðx þ 1Þ

Scomponendo numeratore e denominatore e semplificando il fattore in comune

¼ lim

x2 þ x þ 1 3 ¼ xþ1 2

La funzione ottenuta dopo la semplificazione e` continua in x ¼ 1

x!1

x!1

Limiti di funzioni algebriche irrazionali Nel calcolo dei limiti di funzioni algebriche irrazionali ci si puo` imbattere in for0 1 o . Le tecnime di indecisione di ciascuno dei quattro tipi þ1
1, 0  1, 0 1 che piu` comuni per rimuovere le forme di indecisione consistono nell’effettuare opportuni raccoglimenti o moltiplicare numeratore e denominatore per il fattore razionalizzante. ESEMPI

Calcolo di limiti di funzioni irrazionali

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim

x!þ1

1þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 x

pffiffiffi x
1 b. lim 2 x!1 x
3x þ 2

Ô

87

1 a. Il limite si presenta nella forma indeterminata . 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ x2 þ 1 Limite da calcolare lim ¼ x!þ1 x sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
 1 1 þ x2 1 þ 2 x ¼ lim ¼ Raccogliendo x 2 nel radicando x!þ1 x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Il termine x che e` stato portato fuori dalla radice 1 1þx 1þ 2 dovrebbe essere posto in valore assoluto, ma poiche´ x ¼ lim ¼ stiamo calcolando il limite per x ! þ1 possiamo x!þ1 x supporre x > 0, quindi jxj ¼ x

Tema F

Limiti e continuita`

Ô

¼ lim

x!þ1

1 þ x !0

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! 1 1 1 þ 2 ¼ 1 Ricorda che ¼0 þ1 x !1

0 b. Il limite si presenta nella forma indeterminata . 0 pffiffiffi x
1 lim 2 ¼ Limite da calcolare x!1 x
3x þ 2 pffiffiffi
pffiffiffi  x
1 xþ1 ¼  pffiffiffi ¼ lim 2 Moltiplicando e dividendo per il fattore x!1 x
3x þ 2 xþ1 che razionalizza il numeratore
 x
1 1 ¼  pffiffiffi ¼ lim 2 Nel primo fattore si presenta ancora la forma x!1 x
3x þ 2 xþ1 0 

x
1 1  pffiffiffi ¼ lim x!1 ð x
1Þðx
2Þ xþ1 ¼ lim x!1

indeterminata ma ora sappiamo risolverla 0 perche´ riguarda una funzione razionale

¼

1 1 pffiffiffi ¼
2 ðx
2Þð x þ 1Þ

Scomponendo e semplificando

La funzione cui ci siamo ricondotti e` continua in x ¼ 1

I limiti e i problemi Concludiamo con un’applicazione dell’operazione di limite a un problema geometrico. PROBLEMA

1 Limiti e geometria analitica

Si consideri la circonferenza  avente centro nell’origine O e raggio r e la circonferenza  0 avente centro nel punto di coordinate ð2, 0Þ e passante per l’origine. Siano:  A il punto in cui  interseca il semiasse delle ordinate positive;  B il punto di intersezione tra  e  0 di ordinata positiva;  C il punto di intersezione della retta AB con l’asse x. Calcolare il limite cui tende OC quando r ! 0þ . FIGURA E ANALISI PRELIMINARE

Costruiamo una figura che costituisca il modello geometrico del problema assegnato (fig. 2.24). Il parametro che descrive il problema e` il raggio r di ; ovviamente dovra` essere r > 0; inoltre dovra` essere r < 4, altrimenti  e  0 non avrebbero punti in comune: supponiamo quindi 0 < r < 4.

y A

B C

(2, 0)

x

O (r, 0) γ

γ' Figura 2.24

88

A B γ

O

(r, 0)

C

x

(2, 0) γ'

Figura 2.25 ESPRESSIONE DI OC IN FUNZIONE DI r

E` facile ricavare che l’equazione di  e` x2 þ y2 ¼ r 2 e quella di  0 e` x2 þ y2
4x ¼ 0. Ovviamente sara` Að0, rÞ. Per determinare le coordinate di B, risolviamo il sistema: 8 r2 > >  

x2 þ y2
4x ¼ 0 r
4x ¼ 0 > : y ¼  r 16
r 2 4

Limiti di funzioni reali di variabile reale

y

Unita` 2

Al tendere di r a 0þ il raggio della circonferenza  diventa sempre piu` piccolo, quindi la circonferenza «rimpicciolisce». Contestualmente i punti A e B si avvicinano sempre piu`, fino a confondersi nel grafico (fig. 2.25); diventa percio` difficile, sulla base della figura, riuscire a formulare una congettura sul corrispondente comportamento del punto C e, quindi, della distanza OC. Per fare luce sulla questione dobbiamo fare uso del nuovo strumento che abbiamo acquisito: quello di limite.

[2.17]

Tenendo conto che stiamo supponendo yB > 0, concludiamo che:
2  r r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi 16
r , B 4 4 L’equazione della retta AB e` y ¼ mx þ r, essendo: mAB

r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16
r
r 16
r 2
4 yB
yA 4 ¼ ¼ ¼ 2 xB
xA r r 4

[2.18]

r  , 0 , ossia, tenendo conto dell’espressione di m fornita dalLa retta AB interseca l’asse x nel punto di coordinate
m la [2.18]:
 r2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , 0 C Osserva che xC > 0 se 0 < r < 4 4
16
r 2 Ne segue che:

OC ¼ xC
xO ¼

r2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
16
r 2

CALCOLO DEL LIMITE

Dobbiamo calcolare limþ OC, ossia limþ r!0

r!0

r2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . 4
16
r 2

0 ; per rimuovere l’indeterminazione razionalizziamo il denominatore: 0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 4 þ 16
r 2 r2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ limþ

lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ r!0þ 4
16
r 2 r!0 4
16
r 2 4 þ 16
r 2

Esso si presenta nella forma di indecisione

¼ limþ r!0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 4 þ 16
r 2 r2

¼8

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Il calcolo del limite ci permette di concludere che al tendere di r a 0þ il punto C tende al punto di coordinate ð8, 0Þ.

89

Limiti e continuita`

Prova tu

ESERCIZI a p. 119

Calcola i seguenti limiti. 1. lim ðx3 þ x2 þ 1Þ

[þ1]

5. lim

2. lim ðx3 þ 2xÞ

[
1]

6

x!þ1

Tema F

x!
1

3. lim x!1



x3
1 x2
1

4. lim

x!þ1



x3 þ 1 2x3
1

3 2 1 2

x!
1

x3 þ 1 x
1

[þ1]

x x2
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ8
3 7. lim x!1 x2
1



[0]

lim

x!
1

8. lim

x!þ1



pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x þ 1
x

1 12  1 2

6. Forme di indecisione di funzioni trascendenti In questo paragrafo presentiamo le piu` comuni tecniche per risolvere le forme di indecisione che si presentano quando si lavora con funzioni trascendenti.

Limiti di funzioni goniometriche Per risolvere le forme di indecisione delle funzioni goniometriche si cerca solitamente di ricondursi ai limiti notevoli del prossimo teorema. TEOREMA 2.9

Limiti notevoli di funzioni goniometriche

a. lim

sin x ¼1 x

[2.19]

b. lim

1
cos x 1 ¼ x2 2

[2.20]

x!0

x!0

DIMOSTRAZIONE

a. Osserviamo anzitutto che la funzione f ðxÞ ¼ f ð
xÞ ¼

sin x e` pari, infatti: x

sin ð
xÞ
sin x sin x ¼ ¼ ¼ f ðxÞ
x
x x

Per dimostrare che il limite della funzione per x ! 0 e` 1, e` allora sufficiente  mostrare che e` 1 il limite per x ! 0þ ; pertanto possiamo supporre 0 < x < . 2 Consideriamo ora la fig. 2.26. y

y

y

C

x O

a

Figura 2.26

90

B

B

B

A 1

x x

A 1

O

b

x x

A 1

O

c

x

Unita` 2

Il triangolo OAB (fig. 2.26a) e` contenuto nel settore circolare OAB (fig. 2.26b), il quale a sua volta e` contenuto nel triangolo OAC (fig. 2.26c); pertanto: area triangolo OAB < area settore OAB < area triangolo OAC Ricorda

1 1 1 2  OA  OB  sin x < OA  x < OA  AC 2 2 2

1. Se due lati di un triangolo misurano a e b e l’angolo fra essi compreso ha ampiezza , l’area del triangolo e` data 1 da ab sin . 2

da cui (tenendo conto che OA ¼ OB ¼ 1): sin x < x < tan x  Dividendo per sin x (che e` positivo perche´ stiamo supponendo 0 < x < Þ otte2 niamo: 1
> >

> > 0 > : 0 se n < m Limiti notevoli lim

sin x ¼1 x

lim

ax
1 ¼ ln a x

8a 2 Rþ , con a 6¼ 1

lim

1
cos x 1 ¼ x2 2

lim

loga ð1 þ xÞ 1 ¼ x ln a

8a 2 Rþ , con a 6¼ 1

lim

ð1 þ xÞk
1 ¼k x

x!0

x!0

lim

x!1


x k ¼ ek 1þ x

In particolare:
 1 x ¼e lim 1 þ x!1 x

x!0

x!0

8k 2 R

lim x!0

ln ð1 þ xÞ ¼1 x

x!0

lim x!0

8k 2 R

ex
1 ¼1 x

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione al concetto di limite

TEORIA a p. 57

Approccio numerico al concetto di limite Completa le seguenti tabelle, con l’aiuto di una calcolatrice, e formula una congettura sul valore del limite indicato. x3
8 ex
1 1 lim f ðxÞ, dove f ðxÞ ¼ 2 2 lim f ðxÞ, dove f ðxÞ ¼ Þ Þ x!2 x!0 x
4 x

106

x

f ðxÞ

x

f ðxÞ

1,9

.....


0,1

.....

1,99

.....


0,01

.....

1,999

.....


0,001

.....

1,9999

.....


0,0001

.....

x

f ðxÞ

x

f ðxÞ

2,1

.....

0,1

.....

2,01

.....

0,01

.....

2,001

.....

0,001

.....

2,0001

.....

0,0001

.....

x

f ðxÞ

x

f ðxÞ


0,1

.....


10

.....


0,01

.....


102

.....

.....


10

3

.....


0,0001

.....


10

4

x

f ðxÞ

x

f ðxÞ

0,1

.....

10

.....

0,01

.....

102

x!0


0,001

0,001

.....

0,0001 5 Þ

.....

10

3

10

4

lim f ðxÞ e lim f ðxÞ, dove f ðxÞ ¼

x!
1

x!þ1

x2 þ 1 2x2
1

Limiti di funzioni reali di variabile reale

4 Þ

lim f ðxÞ, dove f ðxÞ ¼

Unita` 2

sin x x2

3 Þ

.....

..... ..... .....

1

lim f ðxÞ e limþ f ðxÞ, dove f ðxÞ ¼ e x

x!0


x!0

x

f ðxÞ

x

f ðxÞ


0,5

.....

0,5

.....


0,4

.....

0,4

.....


0,3

.....

0,3

.....


0,2

.....

0,2

.....


0,1

.....

0,1

.....


0,01

.....

0,01

.....

x3
1 . Calcola i valori assunti da f in corrispondenza di opportuni valori di x, x2
1 che ti permettano di formulare una congettura sul valore dei seguenti limiti: lim f ðxÞ e lim f ðxÞ.

6 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼

x!1

x!þ1

1
cos x 7 Considera la funzione f ðxÞ ¼ . Calcola i valori assunti da f in corrispondenza di opportuni valori di Þ x2 x, che ti permettano di formulare una congettura sul valore dei seguenti limiti: lim f ðxÞ e lim f ðxÞ. x!0

x!þ1

8 Considera la funzione f ðxÞ ¼ 2 . Calcola i valori assunti da f in corrispondenza di opportuni valori di x, Þ che ti permettano di formulare una congettura sul valore dei seguenti limiti: lim
f ðxÞ e limþ f ðxÞ. 1 2
x

x!2

x!2

ex
1 . Calcola i valori assunti da f in corrispondenza di opportuni valori di x, 9 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x Þ e þ1 che ti permettano di formulare una congettura sul valore dei seguenti limiti: lim f ðxÞ e lim f ðxÞ. x!
1

x!þ1

Approccio grafico al concetto di limite 10 Completa le seguenti uguaglianze, deducendo Þ dal grafico il valore dei seguenti limiti, se esistono.

a. lim f ðxÞ ¼ :::::::::: x!0

b. lim
f ðxÞ ¼ ::::::::::

Completa le seguenti uguaglianze, deducendo dal grafico il valore dei seguenti limiti, se esistono. a. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

y

x!
1

y

b. lim
f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!1

y = f(x)

x!
2

c. limþ f ðxÞ ¼ ::::::::::

6

d. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

4 3

c. limþ f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!1

x!1

11 Þ

x!
2

d. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

y = f(x)

y=1 x

O

x!0

e. lim
f ðxÞ ¼ ::::::::::

e. lim f ðxÞ ¼ :::::::::: x!þ1

x!1

O

1

x

f. limþ f ðxÞ ¼ :::::::::: x!1

g. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x = –2

x=1

x!þ1

107

Limiti e continuita` Tema F

12 Completa le seguenti uguaglianze, deducendo Þ dal grafico il valore dei seguenti limiti, se esistono.

13 Þ

Completa le seguenti uguaglianze, deducendo dal grafico il valore dei seguenti limiti, se esistono.

a. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

a. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

b. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

b. lim
f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!
1

x!
1

x!
1

x!
1

c. lim
f ðxÞ ¼ ::::::::::

c. limþ f ðxÞ ¼ ::::::::::

y

x!1

d. limþ f ðxÞ ¼ ::::::::::

d. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

y = f(x)

x!1

x!
1

e. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

y = f(x)

e. lim
f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!1

x!1

2

f. lim f ðxÞ ¼ :::::::::: x!þ1

f. limþ f ðxÞ ¼ :::::::::: x!1

O

g. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x

1

–1

x!1

h. lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

–2 14 Þ

y

x!
1

x!þ1

y=2 x = –1 O

x=1

x

2

x

ESERCIZIO SVOLTO

Tracciamo il grafico della funzione f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ e

x!2


lim f ðxÞ

x2
2x e deduciamo da esso i valori dei seguenti limiti: jx
2j

x!2þ

 Osserviamo anzitutto che la funzione data e` definita per x 6¼ 2, quindi il suo dominio e` R
f2g.  In base alla definizione di valore assoluto: 8 2 x
2x xðx
2Þ > > > se x > 2 < x
2 ¼ x
2 ¼x x2
2x ¼ f ðxÞ ¼ > jx
2j x2
2x xðx
2Þ y > > : ¼ ¼
x se x < 2
ðx
2Þ
ðx
2Þ 2 In definitiva dobbiamo tracciare il grafico della funzione cosı` definita:  x se x > 2 O f ðxÞ ¼
x se x < 2 –2 2  Dal grafico in figura si deduce che il lim f ðxÞ non esiste, mentre: –2x x x!2 f (x) = x –2 lim
f ðxÞ ¼
2 e limþ f ðxÞ ¼ 2 x!2

15 Þ

Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼ 2

lim f ðxÞ

x!0


16 Þ

lim f ðxÞ

lim f ðxÞ

18 Þ

lim f ðxÞ

lim f ðxÞ

x!3þ

lim f ðxÞ

2x
4 e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: x
3

lim f ðxÞ

x!þ1

x2
4 e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: jx
2j

lim f ðxÞ

x!2þ

x2
2x
3 e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: jx
3j

lim f ðxÞ

x!3þ

Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼

x!
1

108

lim f ðxÞ

x!3


Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼

x!3


19 Þ

lim f ðxÞ

Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼

x!2


jxj e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: x

x!0þ

Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼

x!
1

17 Þ

x!2

lim f ðxÞ

x!
1


lim f ðxÞ

x!
1þ

2x
2 e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: jx2
1j

lim f ðxÞ

x!1


lim f ðxÞ

x!1þ

lim f ðxÞ

x!þ1

Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼

lim f ðxÞ

x!
1

lim f ðxÞ

lim f ðxÞ

x!0þ

x!2


lim f ðxÞ

lim f ðxÞ

x!2þ

x!þ1

Limiti di funzioni reali di variabile reale

21 Þ

lim f ðxÞ

x!0


x2
4 e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: jx2
2xj

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione che abbia le seguenti proprieta`:

lim f ðxÞ ¼
2

lim f ðxÞ ¼ 1

x!
1


x!
1

22 Þ

lim f ðxÞ ¼
1

x!
1þ

lim f ðxÞ ¼ 0

x!þ1

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione che abbia le seguenti proprieta`:

lim f ðxÞ ¼
1

lim f ðxÞ ¼ þ1

x!
1


x!
1

23 Þ

lim f ðxÞ ¼
1

x!
1þ

lim f ðxÞ ¼ 1

x!þ1

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione che abbia le seguenti proprieta`:

lim f ðxÞ ¼ 0

x!
1

lim f ðxÞ ¼ þ1

lim f ðxÞ ¼ 0

x!0


x!0þ

Unita` 2

20 Þ

lim f ðxÞ ¼ 3

x!þ1

2. Dalla definizione generale alle definizioni particolari

TEORIA a p. 62

Esercizi preliminari Test 24 Þ

Quale delle seguenti scritture equivale a lim f ðxÞ ¼ 1? x!0

8" > 0, 9 8" > 0, 8 8" > 0, 9 8" > 0, 8

A B C D

Quale delle seguenti scritture equivale a lim f ðxÞ ¼ 2?

x!
1

B C D

28 Þ A

A

30 Þ A

A

32 Þ

A B C D

8" > 0, 9 N > 0 : x > N ) jf ðxÞ þ 2j < " 8N > 0, 9
> 0 : 0 < jx
2j <
) f ðxÞ > N 8" > 0, 9 N > 0 : x > N ) jf ðxÞ
2j < " 8N > 0, 9
> 0 : 0 < jx þ 2j <
) f ðxÞ > N

27 Þ

Quale delle seguenti scritture equivale a lim f ðxÞ ¼ þ1?

x!
1

A B C D

8M 8M 8M 8M

> 0, 9 > 0, 9 > 0, 9 > 0, 9

N N N N

> 0 : x <
M ) f ðxÞ > N > 0 : x <
N ) f ðxÞ > M > 0 : x > M ) f ðxÞ <
N > 0 : x > N ) f ðxÞ <
M

La scrittura «8" > 0 9 N > 0 : x <
N ) jf ðxÞj < "» significa: lim f ðxÞ ¼
1

B

lim f ðxÞ ¼ 0

x!
1

lim f ðxÞ ¼ 0

C

D

x!
N

lim f ðxÞ ¼
N x!0

La scrittura «8M > 0 9
> 0 : 3 < x < 3 þ
) f ðxÞ > M» significa: lim f ðxÞ ¼ 3

x!þ1

B

lim f ðxÞ ¼ 3

C

x!M

lim f ðxÞ ¼ M

D

x!3

lim f ðxÞ ¼ þ1

x!3þ

La scrittura «8" > 0 9
> 0 : 0 < jxj <
) jf ðxÞ þ 1j < "» significa: lim f ðxÞ ¼ 1

B

x!0

31 Þ

x!þ1

8" > 0, 9 N > 0 : x > N ) jf ðxÞ
2j < " 8N > 0, 9
> 0 : 0 < jx
2j <
) f ðxÞ <
N 8" > 0, 9 N > 0 : x <
N ) jf ðxÞ
2j < " 8N > 0, 9
> 0 : 0 < jx
2j <
) f ðxÞ > N

x!0

29 Þ

Quale delle seguenti scritture equivale a lim f ðxÞ ¼
2?


> 0 : 0 < jx
1j <
) jf ðxÞj < "
> 0 : 0 < jx
1j <
) jf ðxÞj < "
> 0 : 0 < jxj <
) jf ðxÞ
1j < "
> 0 : 0 < jxj <
) jf ðxÞ
1j < "

25 Þ

A

26 Þ

lim f ðxÞ ¼ 0

C

x!1

lim f ðxÞ ¼
1

D

x!0

lim f ðxÞ ¼ 0

x!
1

La scrittura «8M > 0 9 N > 0 : x > N ) f ðxÞ <
M» significa: lim f ðxÞ ¼ þ1

x!þ1

B

lim f ðxÞ ¼ þ1

x!
1

C

lim f ðxÞ ¼
1

x!
1

D

lim f ðxÞ ¼
1

x!þ1

Associa a ogni limite la sua definizione formale.

a. lim f ðxÞ ¼
1

A. 8" > 0 9 N > 0 : x > N ) jf ðxÞj < "

b. lim f ðxÞ ¼ 0

B. 8M > 0 9
> 0 : 0 < x <
) f ðxÞ > M

x!0

x!þ1

c. limþ f ðxÞ ¼ þ1 x!0

d. lim f ðxÞ ¼ 0 x!
1

C. 8" > 0 9 N > 0 : x <
N ) jf ðxÞj < " D. 8M > 0 9
> 0 : 0 < jxj <
) f ðxÞ <
M 109

Limiti e continuita` Tema F

33 Þ

Associa a ogni limite la sua definizione formale.

a. lim f ðxÞ ¼
1

A. 8" > 0 9
> 0 : 0 < jx þ 1j <
) jf ðxÞ
1j < "

b. lim f ðxÞ ¼ 1

B. 8M > 0 9
> 0 : 0 < jx
1j <
) f ðxÞ > M

c. lim f ðxÞ ¼ þ1

C. 8" > 0 9
> 0 : 0 < jx
1j <
) jf ðxÞ þ 1j < "

d. lim f ðxÞ ¼ 1

D. 8" > 0 9 N > 0 : x > N ) jf ðxÞ
1j < "

x!1

x!
1

x!1

x!þ1

34 Þ 35 Þ

Spiega perche´ non ha senso calcolare il lim

x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2 .

Spiega perche´ non ha senso calcolare il lim
ln x. x!0

Verifica di limiti: caso di limite finito per x che tende a un valore finito 36 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Verifica che limð2x
1Þ ¼ 3. x!2

Devi risolvere la disequazione jð2x
1Þ
3j < ", con " > 0, e verificare che e` soddisfatta in un intorno di 2. " " Se svolgi i calcoli correttamente troverai che la disequazione e` soddisfatta per 2
< x < 2 þ , che evidente2 2 mente e` un intorno di 2. Verifica i seguenti limiti per x che tende a x0 finito. Nelle soluzioni e` riportato l’intorno di x0 che soddisfa la definizione.  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi " " 37 lim ð2x
1Þ ¼
1
41 lim x2 ¼ 4 [ 4
" < x < 4 þ "] < x < Þ x!0 Þ x!2 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  42 limðx2
1Þ ¼ 3 [ 4
" < x < 4 þ "] " " Þ x!2 38 lim ð3x þ 1Þ ¼
2
1
< x <
1 þ Þ x!
1 3 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 43 lim x þ 5 ¼ 2 pffiffiffi Þ 2 2 x!
1 39 lim x ¼ 2 [4 þ "
4" < x < 4 þ " þ 4"] Þ [
1 þ "2
4" < x <
1 þ "2 þ 4"] x!4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 40 lim x3 ¼ 1 [ 3 1
" < x < 3 1 þ "] Þ x!1

44 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Verifichiamo che lim x!2

x ¼ 2. x
1

   Dobbiamo risolvere la disequazione 

 x 
2 < ", con " > 0, e verificare che e` soddisfatta in un intorno di 2. x
1

 La disequazione equivale al sistema: 8 x >
2 >
" < x
1 > : x
2 0. Cio` ci consente di concludere la risoluzione del sistema, dividendo i due membri della prima disequazione per 1
" senza dover cambiare il verso della disequazione, grazie all’ipotesi 1
" > 0. Si trova cosı` che il sistema e` soddisfatto per: 2þ" 2
"

1 1 68 lim 2 Þ x!þ1 p ffiffi ffi 63 lim ¼ 0 x > x þ 1 " Þ x!þ1 x3 3 " 

   x 64 lim e ¼ 0 [x < ln "] 69 lim arctan x ¼ x > tan
" Þ Þ x!
1 x!þ1 2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   1 1

¼0 x> 1þ 65 lim 2   Þ x!þ1 x
1 70 lim arctan x ¼
x < tan "
" Þ x!
1 2 2

Verifica di limiti: caso di limite infinito per x che tende a infinito 71 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Verifichiamo che lim x2 þ 1 ¼ þ1. x!þ1

 Dobbiamo verificare che la disequazione x2 þ 1 > M, con M > 0, e` soddisfatta in un intorno di þ1.  La disequazione equivale a x2 > M
1. Ai fini della verifica del limite non e` limitativo supporre M arbitrariamente grande; possiamo quindi supporre M > 1, cosicche´ M
1 > 0 e la disequazione e` soddisfatta per: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x M
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  L’insieme delle soluzioni contiene in particolare l’intervallo x > M
1, che e` un intorno di þ1, quindi il limite e` verificato. Verifica i seguenti limiti per x che tende a 1. Nelle soluzioni e` riportato l’intorno di 1 che soddisfa la definizione.  1
M 72 lim ð2x
1Þ ¼
1 x < 78 lim ex ¼ þ1 [x > ln M] Þ x!
1 Þ x!þ1 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 79 lim ln x ¼ þ1 [x > eM ] 73 lim ðx2
1Þ ¼ þ1 [x > 1 þ M ] Þ Þ x!þ1 x!þ1  pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1 74 lim x3 ¼
1 [x <
3 M ] Þ ¼ þ1 x > 80 lim ðM þ M 2 þ 4M Þ x!
1 Þ x!þ1 x þ 1 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 75 lim ð1
x2 Þ ¼
1 [x > 1 þ M ]
 Þ x!þ1 1 81 lim ln 2 þ x þ ¼ þ1 Þ x!þ1 x 76 lim e
x ¼ þ1 [x <
ln M] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x!
1 eM
2 þ e2M
4eM pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x> 77 lim x þ 1 ¼ þ1 [x > M 2
1] Þ 2 x!þ1 112

82 Þ

Interpretazione di grafici. Data la funzione ðx
2Þ2

, risulta lim f ðxÞ ¼ þ1. Cio` significa, x!2

in base alla definizione, che 8M > 0 9
> 0 tale che 0 < jx
2j <
) f ðxÞ > M. Fissato M ¼ 9, deduci dal grafico il massimo valore di
che soddisfa la definizione di limite. y y=9

Verifica, in base alla definizione, i seguenti limiti.  4 M 84 lim ð 3x þ 4 Þ ¼
1 x <

Þ x!
1 3 3 85 Þ

O 5 3

2

1 ( x – 2)2 x

7 3

83 Þ

Interpretazione di grafici. Data la funzione pffiffiffi f ðxÞ ¼ x, risulta lim f ðxÞ ¼ 2. Cio` significa, in base alx!4

la definizione, che 8" > 0 9
> 0 tale che 0 < jx
4j <
) jf ðxÞ
2j < ". In figura e` rappresentata l’interpretazione geometrica di tale definizione, in corrispondenza di un particolare valore di ". Deduci dal grafico qual e` il valore di " che e` stato fissato e qual e` il corrispondente massimo valore di
che soddisfa la definizione di limite.

x!þ1

87 Þ

x!0þ

O

  lim x3 þ 1 ¼ 0

89 Þ

x!þ1

lim

lim x!2

x 361 100

441 100

3x
1 ¼3 xþ1

x2
4 ¼4 x
2

91 Þ

x!þ1

92 Þ

x!þ1

93 Þ

x!
1

lim

x2
1 ¼ þ1 x

lim e2xþ3 ¼ þ1 lim e1þ2x ¼ 0

1 ¼0 ln x 3x
1 95 lim ¼3 Þ x!
1 x
 3 96 lim 2 þ ¼2 Þ x!
1 x   97 lim x2
4 ¼ 5 Þ 94 Þ

lim

x!þ1

x!3

98 Þ

lim ln ðx þ 2Þ ¼ þ1

x!þ1

lim ð10
x2 Þ ¼
1

x!þ1

lim

x2 1 ¼ 2x2 þ 1 2

lim

x2 ¼
1 xþ1

x!þ1

101 Þ

x!
1

102 Þ

x!þ1

y= x 4

1 ¼0 x3 þ 2

103 Þ

[2
e" < x < 2
e
" ] " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # 1 3 x >
2 þ " [0 < x < e
3
M ]

lim ð3 þ ln xÞ ¼
1

x!
1

100 Þ

2,1 2 1,9

lim

88 Þ

99 Þ

y

x!1

86 Þ

90 Þ

f (x) =

lim ln ð2
xÞ ¼ 0

lim e
x ¼ 0 2

lim x!1

x2
1 ¼2 x
1

3. Teoremi di esistenza e unicita` sui limiti

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [ 3
1
" < x < 3
1 þ " ]  4 x >
1 þ " "

[2
" < x < 2 þ "] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # M þ M2 þ 4 x> 2  1 x > ðln M
3Þ 2  1 x < ðln "
1Þ 2

Limiti di funzioni reali di variabile reale

f ðxÞ ¼

1

Unita` 2

Esercizi riassuntivi sulla definizione di limite

1

[x > e " ]  1 x
2 þ eM ] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [x > M þ 10] " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # 1 1 x>
4" 2 " pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi #
M
M 2
4M x< 2 " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # 1 x > ln " [1
" < x < 1 þ "]

TEORIA a p. 70

Teorema di unicita`, permanenza del segno e del confronto 104 Þ

Vero o falso? a. lim f ðxÞ esiste per ogni valore di x0 appartenente al dominio della funzione f

V

F

b. se lim f ðxÞ esiste, certamente e` unico

V

F

x!x0

x!x0

113

Limiti e continuita` Tema F

c. siano f e g due funzioni definite in R tali che 0  f ðxÞ  gðxÞ per ogni x 2 R; se lim gðxÞ ¼ 0, allora x!0 esiste anche lim f ðxÞ ed e` uguale a 0 x!0

V

F

d. siano f e g due funzioni definite in R tali che 0  f ðxÞ  gðxÞ per ogni x 2 R; se lim gðxÞ ¼ 1, allora x!0 V F esiste lim f ðxÞ ed e` uguale a 1 x!0 [2 affermazioni vere e 2 false] 105 Vero o falso? Þ Sia f una funzione definita in R.

a. se lim f ðxÞ ¼ 10, esiste
> 0 tale che per ogni x 2 ð

,
Þ, con x 6¼ 0, risulta f ðxÞ > 0

V

F

b. se f ðxÞ > 0 per ogni x 2 R ed esiste lim f ðxÞ, allora tale limite e` maggiore di zero

V

F

c. se lim f ðxÞ ¼
10, esiste M > 0 tale che per ogni x > M, risulta f ðxÞ < 0

V

F

V

F

x!0

x!0

x!þ1

d. se f ðxÞ < 0 per ogni x 2 R ed esiste lim f ðxÞ, allora tale limite e` minore di zero x!
1

[2 affermazioni vere e 2 false]

106 Þ

Sapendo che f e` una funzione definita in ð
1, 1Þ e che 0  f ðxÞ  sin x per ogni x 2 ð
1, 1Þ, abbiamo informazioni sufficienti per calcolare lim f ðxÞ? x!0

(Suggerimento: ricorda che sin x ! 0 per x ! 0) 107 Þ

Sapendo che f e` una funzione definita in ð
1, 1Þ e che sin x  f ðxÞ  1 per ogni x 2 ð
1, 1Þ, abbiamo informazioni sufficienti per calcolare lim f ðxÞ? x!0

108 Þ

Sapendo che f e` una funzione definita in ð
1, 1Þ e che 0  f ðxÞ  cos x per ogni x 2 ð
1, 1Þ, abbiamo informazioni sufficienti per calcolare lim f ðxÞ? x!0

(Suggerimento: ricorda che cos x ! 1 per x ! 0) 109 Þ

Sapendo che f e` una funzione definita in ð
1, 1Þ e che cos x  f ðxÞ  1 per ogni x 2 ð
1, 1Þ, abbiamo informazioni sufficienti per calcolare lim f ðxÞ? x!0

110 Sapendo che f e` una funzione definita in R, che f ðxÞ  gðxÞ per ogni x  0 e che lim gðxÞ ¼ þ1, abbiamo Þ x!þ1 informazioni sufficienti per calcolare lim f ðxÞ? x!þ1

111 Sapendo che f e` una funzione definita in R, che f ðxÞ  gðxÞ per ogni x  0 e che lim gðxÞ ¼
1, abbiamo Þ x!þ1 informazioni sufficienti per calcolare lim f ðxÞ? x!þ1

112 Þ

Utilizzando il teorema del confronto, dimostra che se lim j f ðxÞj ¼ 0, allora lim f ðxÞ ¼ 0. x!x0

x!x0

Teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone 113 Þ

Test. Sia f una funzione definita in R, strettamente crescente. Quale delle seguenti affermazioni e` certamente

vera? A

114 Þ

lim f ðxÞ ¼ þ1

x!þ1

B

lim f ðxÞ ¼
1

x!
1

C

Esiste il limþ f ðxÞ x!0

D

Esiste il lim f ðxÞ x!10

Sia f una funzione definita in R, strettamente decrescente per x  0.

a. Il limite della funzione per x ! 0
esiste certamente o puo` non esistere? b. Il limite della funzione per x !
1 esiste certamente o puo` non esistere? c. Il limite della funzione per x !
100þ esiste certamente o puo` non esistere?

Giustifica le risposte oppure traccia il grafico di una funzione che costituisca un controesempio. 115 Þ

Tenendo presente il grafico della funzione f ðxÞ ¼ ax , con a > 1, e il fatto che e` strettamente crescente in R, deduci in base al teorema sull’esistenza del limite per le funzioni monotone i limiti della funzione per x !
1 e per x ! þ1. 116 Þ

Tenendo presente il grafico della funzione f ðxÞ ¼ ax , con 0 < a < 1, e il fatto che e` strettamente decrescente in R, deduci in base al teorema sull’esistenza del limite per le funzioni monotone i limiti della funzione per x !
1 e per x ! þ1.

117 Þ

Tenendo presente il grafico della funzione f ðxÞ ¼ loga x, con a > 1, e il fatto che e` strettamente crescente in R, deduci in base al teorema sull’esistenza del limite per le funzioni monotone i limiti della funzione per x ! 0þ e per x ! þ1. 114

120 Tenendo presente il grafico della funzione f ðxÞ ¼ arctan x e il fatto che e` strettamente crescente in R, deduci Þ in base al teorema sull’esistenza del limite per le funzioni monotone i limiti della funzione per x !
1 e per x ! þ1.

4. Le funzioni continue e l’algebra dei limiti

TEORIA a p. 75

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Tenendo presente il grafico della funzione f ðxÞ ¼ loga x, con 0 < a < 1, e il fatto che e` strettamente decrescente in R, deduci in base al teorema sull’esistenza del limite per le funzioni monotone i limiti della funzione x ! 0þ e per x ! þ1.

  119 Tenendo presente il grafico della funzione f ðxÞ ¼ tan x e il fatto che e` strettamente crescente in
, , Þ 2 2 þ e deduci in base al teorema sull’esistenza del limite per le funzioni monotone i limiti della funzione per x !
2 
. per x ! 2

Unita` 2

118 Þ

Esercizi preliminari Test 121 Þ A

122 Þ A

132 Þ

Quanto vale lim x3 ? x!2

2

B

4

C

6

D

8

Quanto vale lim x3 ?

133 Þ

x!þ1

0

B

1

A

C


1

D


1

D

þ1

123 Quanto vale lim x ? Þ

A

3

x!
1

A

124 Þ A

125 Þ A

126 Þ A

127 Þ A

128 Þ A

0

B

1

C

þ1

Quanto vale lim x4 ? x!þ1

0

B

1


1

D

þ1

C


1

D

þ1

C


1

D

þ1


1

D

Quanto vale lim x4 ? x!
1

0

B

1

Quanto vale lim sin 3x? x! 2

1

B

0

Quanto vale lim 10x ? x!þ1

0

B

1

C

þ1

Quanto vale lim 10
x ? x!þ1

0

B

1

C


1

D

þ1

0

B

1

C


1

D

þ1


x 1 ? x!
1 4

131 Þ A

0

B

1

C


1

D

þ1

1


1

D

þ1


1

D

þ1


1

D

þ1

x!þ1

 2

B




 2

C

Quale delle seguenti non e` una forma indeterminata? 0 0

B

0 1

C

1 1

D

01

135 Þ

Il limite per x ! 0 di quale delle seguenti funzioni non si presenta sotto forma indeterminata? x A f ðxÞ ¼ x ln x C f ðxÞ ¼ ln x x B f ðxÞ ¼ tan x  ln x D f ðxÞ ¼ tan x

136 Þ

Vero o falso?
x 1 a. lim ¼0 x!þ1 4
x 1 b. lim ¼
1 x!
1 4 pffiffiffi c. lim x ¼ þ1

V

F

V

F

V

F

pffiffiffi d. lim x non ha senso

V

F

e. lim log 1 x ¼ þ1

V

F

f. lim
x10 ¼ 0


V

F

g. limþ x
10 ¼ þ1

V

F

h. lim x10 ¼ þ1

V

F

V

F

x!þ1

2

x!0

i. lim x10 ¼ þ1 C

C

Quanto vale lim arctan x?

x!
1

x!0

B

1

x!0

Quanto vale limþ log5 x? 0

B

x!
1

130 Quanto vale lim Þ A

0

5

x!þ1


x 1 129 Quanto vale lim ? Þ x!þ1 4 A

x!0

134 Þ

A C

Quanto vale limþ log 1 x?

x!þ1

[6 uguaglianze vere e 3 false] 115

Limiti e continuita` Tema F

137 Associa a ciascun limite scritto nella prima colonna il suo risultato, scelto fra uno di quelli scritti nella seconÞ da colonna.
x 1 1 1 1 c. limþ log2 x d. lim sin x e. lim b. limþ f. lim a. limþ x!
1 x x!þ1 3 x! 2 x!0 x x!0 log2 x x!0

B. þ1

A. 0 138 Þ

C. 1

D.
1

Sapendo che lim f ðxÞ ¼ 2, lim gðxÞ ¼ 4, calcola, se possibile, i valori dei seguenti limiti: x!1

x!1

a. lim½2f ðxÞ
gðxÞ

b. lim f ðxÞ gðxÞ

x!1

139 Þ

Sapendo che lim

140 Þ

Sapendo che lim

x!3

x!0

a. lim f ðxÞ x!0

c. lim

x!1

x!1

f ðxÞ ðgðxÞ
4Þ2

d. lim x!1

f ðxÞ
2 gðxÞ
4

f ðxÞ
5 ¼ 2 e che lim f ðxÞ esiste, si puo` stabilire il valore di quest’ultimo? x!3 x
3 f ðxÞ ¼ 6, si possono determinare i risultati dei seguenti limiti, supponendo che esistano? x2 f ðxÞ b. lim x!0 x

Continuita` e algebra dei limiti 141 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim x!0

1 þ cos2 x log2 ðx þ 8Þ

b. lim x!3

x
5 x2
6x þ 9

c. lim ð2x þ 2
x Þ x!
1

a. La funzione data e` continua in x ¼ 0, in quanto rapporto di funzioni continue; ne segue che: lim x!0

1 þ cos2 x 1 þ cos2 0 1 þ 12 2 ¼ ¼ ¼ 3 log2 ðx þ 8Þ log2 ð0 þ 8Þ 3 " " cos 0 ¼ 1 log2 8 ¼ log2 23 ¼ 3

continuita`

b. Le due funzioni al numeratore e al denominatore sono continue in x ¼ 3; pertanto: lim ðx
5Þ ¼ 3
5 ¼
2 x!3

lim ðx2
6x þ 9Þ ¼ 32
6  3 þ 9 ¼ 0þ x!3

Per stabilire se il risultato e` 0þ o 0
basta osservare che x 2
6x þ 9 ¼ ðx
3Þ2 e` sempre non negativo

In base a quanto visto sulla parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito: x
5
2 ¼ þ ¼
1 lim 2 x!3 x
6x þ 9 0 c. La funzione e` la somma di due funzioni elementari di cui sappiamo calcolare il limite: lim 2x ¼ 0 e lim 2
x ¼ þ1 x!
1

x!
1

In base a quanto visto sulla parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito: lim ð2x þ 2
x Þ ¼ 0 þ ðþ1Þ ¼ þ1

x!
1

Nota Rifletti sugli esempi proposti: le proprieta` che ci hanno consentito il calcolo del limite sono state la continuita` di alcune funzioni in gioco, i limiti di alcune funzioni elementari, i teoremi sull’algebra dei limiti e sulla parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Utilizzando questi strumenti e` possibile calcolare la maggior parte dei limiti che non si presentano sotto forme indeterminate. 142 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola i seguenti limiti: a. lim x!3

xþ1 2

ðx
3Þ

¼

:::

0þ

¼ :::

b. lim ðx þ ln xÞ ¼ ::: þ ð
1Þ ¼ ::: x!0

116

c. lim ð1
xÞex ¼ ð
1Þ  ð:::Þ ¼ ::: x!þ1

 sin sin x 2 ¼ ::: d. lim ¼ x! 2 cos 2x cos 

lim x!0

2 þ cos2 x log3 ðx þ 27Þ x2 tan x
1

146 lim Þ x! 4

147 Þ 148 Þ 149 Þ

3

lim x!0

e
x x2 þ 1

lim ½x3 ð1
2x Þ

x!þ1

ex
8 ex4
16 x2 þ 1

lim

sin x ln x

[0]

lim

jx
2j x2
2x

[0]

157 Þ

x!0þ

[1]

158 Þ

x!0þ

159 Þ



lim 4x2 ½sin ðx
2Þ þ 3 cos ðx2
4Þ x!2

x!þ1

[1]

161 Þ

x!þ1

[
1]

162 Þ

lim


x2 þ 1 x2
1

[1]

163 Þ

lim

sin x þ 2x x þ cos x

lim lim

x!1

3

150 Þ

lim x!2

151 Þ

x!2


152 Þ

x!
1

153 Þ 154 Þ 155 Þ

lim

[
1]

ðx
2Þ3 lim ðex þ 2xÞ

[
1]

sin x
cos x tan x þ cos 2x pffiffiffi lim ð x ln x2 Þ

lim

[1]

x!

[þ1]

x!þ1

lim x!2

x
3 x2
4x þ 4

ln x arctan x þ 

160 Þ

[þ1]

x!þ1

[0]

x! 2

[1]

lim ðx þ x Þ 2

x tan x

156 Þ

164 Þ

x!0

[48] [þ1]

1 þ e
x x2 þ 1

lim ð3x þ 3
x þ 1Þ

x!
1

cos ðxÞ log2 ðx þ 3Þ

165 Þ

lim

166 Þ

lim ðe x ln xÞ

x!1

[
1]

x!0

[0] [
1] [0]

Limiti di funzioni reali di variabile reale

145 Þ

lim

[þ1]

Unita` 2

Calcola i seguenti limiti. 5 143 lim 2 Þ x!0 x 5 144 lim Þ x!þ1 x e x

[þ1]  1
2 [
1]

[
1]

Calcolo di limiti mediante cambi di variabile 167 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Calcoliamo i seguenti limiti: 1
 4
x 1 a. lim ln ð4
x2 Þ b. limþ x!2 x!4 3

c. lim
x!4

1
 4
x 1 3

a. Poniamo 4
x2 ¼ t e osserviamo che quando x ! 2 allora t ! 0 (infatti lim ð4
x2 Þ ¼ 0). Quindi: x!2

lim ln ð4
x2 Þ ¼ lim ln t ¼
1 x!2

t!0

1 1 1 ¼ t e osserviamo che quando x ! 4þ allora t !
1 (infatti limþ ¼
¼
1). Quindi: b. Poniamo x!4 4
x 4
x 0 1
 4
x
t 1 1 ¼ lim ¼ þ1 limþ t!
1 3 x!4 3 1 1 1 ¼ t e osserviamo che quando x ! 4
allora t ! þ1 (infatti lim
¼ þ ¼ þ1). Quindi: x!4 4
x 4
x 0 1
 4
x
t 1 1 ¼ lim ¼0 lim
t!þ1 3 x!4 3

c. Poniamo


t 1 ha comportamenti diversi a seconda che t !
1 o t ! þ1, per 3 calcolare correttamente i limiti e` stato essenziale stabilire il segno dell’infinito cui tende la variabile t. Una situazione analoga si ritrova ogni qualvolta si incontrano limiti di tipo esponenziale, in cui un esponente tende all’infinito: per calcolarli correttamente devi ricordare di prestare attenzione al segno dell’infinito.

Nota Rifletti sugli ultimi due esempi. Poiche´ la funzione esponenziale

Calcola i seguenti limiti. 168 lim ln ðx þ 2Þ Þ x!
2

169 Þ 170 Þ

lim e

1 x

x!0þ

lim e

x!0


1 x

[
1] [þ1] [0]

171 Þ 172 Þ 173 Þ

1

limþ 3 2
x

[0]

1 2
x

[þ1]

x!2

lim 3

x!2


lim ln ð9
x2 Þ

x!
3

[
1] 117

Limiti e continuita` Tema F

174 Þ

x!1þ

175 Þ

x!1


lim e

x x2
1

[þ1]

x

lim e x2
1

176 Þ

x!
3

177 Þ

x! 2

[0]

lim ½x ln ðx
9Þ

[þ1]

[0]  1
2

1

ex
1

185 lim Þ

1

ex þ 2 186 lim sin x  log tan x Þ 
x!0


2

[þ1]

x! 2

lim tan2 x

[þ1]

1
 x
5 1 178 lim Þ x!5þ 2 1
 x
5 1 179 lim Þ x!5
2

180 Þ

x! 2


181 Þ

limþ arctan

[0] [þ1]

lim ½ð1
xÞ tan x

x!0

1 x


 1x
x 5 x!þ1 2
 12
1 5 x 183 lim Þ x!þ1 2 182 Þ


 1x
x2 5 184 lim Þ x!
1 2

[
1]   2

lim

[0] 

2 5



187 Þ 188 Þ 189 Þ 190 Þ

lim x!0

cos ðcos xÞ sin ðsin xÞ

[1]

arctan x x2 þ 2

[0]

lim

x!þ1

sin x

lim

[0]

1

x!0

e x2

lim etan x

[0]

lim etan x

[þ1]   2

x! 2 þ

191 Þ

x! 2


192 Þ

x!þ1

lim arctan ln x

ln ð2 þ e
x Þ x!þ1 x2 h i 2 194 lim log ð9
x Þ 1 Þ
193 Þ

lim

x!3

[0] [þ1]

2

Esercizi riassuntivi sul calcolo di limiti che non presentano forme di indecisione Calcola i seguenti limiti.
 1 2 195 lim x þ Þ x!
1 x
 1 1 196 lim 3 þ
Þ x!
1 x x2 x 197 lim Þ x!5
x
5 
 1 1 x 198 lim þ
2Þ ðe Þ x!0þ x2 x3 sin x þ 1 x!0 cos x  2  200 lim x ð1
ex Þ Þ 199 Þ

lim

x!þ1

201 Þ

x!0þ

lim

ln x sin x
1

202 Þ

limþ

ln x x

x!0

2x2
1 x!1 x3 þ 1
 1 1 204 lim þ 2 Þ x!þ1 x x þ2 203 Þ

lim

[þ1] 211 Þ

[3]

213 Þ

x!
1

[1]

214 Þ

x! 2

[
1]

215 Þ

x!
1

[þ1]

216 Þ

x!þ1

217 Þ

x!þ1

[
1]  1 2 [0]

207 Þ

[1]  1 2

208 Þ 209 Þ

1

lim
ðe x þ e x Þ

x!0

log2 x
log4 x logx 16 pffiffi lim e
x

lim x!4

x!þ1

[0]

[þ1] 

lim

lim

2x x

sin x
cos x sin 2x

[0]

lim cos ðe
x Þ 

arctan x
1 arctan x þ 1

[1] 
2 þ2

222 Þ

lim

[0]

x!0þ

lim

1
cos x ln x

lim

ex
1 1
e
x

x!0þ

x!
1



[1]

lim sin ðe x Þ

lim

1 2

[0]

1 ln x 3x 219 lim 2 Þ x!3 x
6x þ 9 218 Þ

221 Þ

x!0þ

x3 þ 1 1 þ1 x

[
1]

[þ1]

1

x!þ1

[
1]

x!0

206 lim ðe x þ e x Þ Þ

x!4þ

lim

tan x 2x þ 

2 212 lim 22x
1 Þ

220 Þ

log2 x 2
log2 x

lim

x!
2 þ

[
1]

[
1]

205 lim Þ

118

210 Þ

[þ1] [0]




Per quali valori di k risulta lim

x!þ1

2 k2 þ 1

x

[0] ¼ 0?

[k <
1 _ k > 1] 223 Þ

2

Per quali valori di k risulta lim ðx2 Þk x!þ1

þ2k
3

¼ 0? [
3 < k < 1]


225 Per quali valori di k risulta lim Þ

x!þ1

1 x2

x

2k2 þ4k

¼ þ1? ¼ 0?

226 Quale valore deve avere a affinche´ il risultato di lim Þ x!1

227 Þ

Quale valore deve avere a affinche´ il risultato di lim

pffiffiffi pffiffiffi [
2 < k < 2] [k <
2 _ k > 0]

Limiti di funzioni reali di variabile reale

x!þ1

k2 þ 3 2k2 þ 1

Unita` 2


224 Per quali valori di k risulta lim Þ

x2 þ 2ax þ a þ 1 sia un numero reale? x2
1

x!
1

ax2 þ 3ax þ 4a
1 sia un numero reale? x2
1

5. Forme di indecisione di funzioni algebriche

 2 a¼
3  1 a¼ 2

TEORIA a p. 85

Esercizi preliminari Test 228 Þ A

229 Þ A

230 Þ A

231 Þ A D

232 Þ A D

233 Þ

A che cosa e` uguale lim ðx3
4x2
10x þ 1Þ? x!þ1

3

lim x

B

x!þ1

lim
4x2

C

x!þ1

lim
10x

D

Nessuno dei precedenti

lim 10x2

D

Nessuno dei precedenti

D

Nessuno dei precedenti

x!þ1

A che cosa e` uguale lim ðx3
4x4 þ 10x2 þ 1)? x!þ1

3

lim x

B

x!þ1

A che cosa e` uguale lim

x!
1

lim

x!þ1


10x2 4x2

lim
4x4

C

x!þ1

x!þ1

2x4
10x2 þ 1 ? 4x2 þ 1 B

lim

x!þ1

2x4 4x2

C

lim

x!þ1

1 4x2

Se PðxÞ e` un polinomio di grado 4 e QðxÞ e` un polinomio di grado 5, quanto vale lim

x!þ1

B þ1 C
1 0 `E finito, ma le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore.

Se PðxÞ e` un polinomio di grado 5 e QðxÞ e` un polinomio di grado 4, quanto vale lim

x!þ1

PðxÞ ? QðxÞ

B þ1 o
1 C 1 0 E` finito, ma le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore.

Se PðxÞ e` un polinomio di grado 4, e QðxÞ e` un polinomio tale che lim

x!þ1

A

minore di 4

D

le informazioni non sono sufficienti a dire qualcosa sul grado di PðxÞ

234 Þ

PðxÞ ? QðxÞ

B

uguale a 4

C

PðxÞ ¼ þ1 allora il grado di QðxÞ e`: QðxÞ

maggiore di 4

Vero o falso?

a. lim

2x2 þ 1 ¼2 x2 þ 1

V

F

b. lim

2x2 þ 1 ¼ þ1 x3 þ 1

V

F

c. lim

10x3 ¼0 x5 þ 1

V

F

V

F

x!þ1

x!þ1

x!þ1

d. lim x!1

x2
1 0 si presenta nella forma indeterminata e la forma di indecisione si puo` risolvere 3 x
1 0

scomponendo numeratore e denominatore e semplificando il fattore ðx
1Þ

119

Limiti e continuita` Tema F

pffiffiffi 0 x
1 si presenta nella forma indeterminata e per risolvere la forma di indecisione e` utile x!1 x
1 0 pffiffiffi moltiplicare numeratore e denominatore per x
1 V F pffiffiffi 0 x
2 f. lim si presenta nella forma indeterminata e per risolvere la forma di indecisione e` utile x!4 x
4 0 pffiffiffi moltiplicare numeratore e denominatore per x þ 2 V F pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g. lim ðx
x2 þ 1Þ si presenta nella forma indeterminata þ1
1 V F x!
1 [4 affermazioni vere e 3 false] e. lim

Forme indeterminate di funzioni razionali Calcola i limiti delle seguenti funzioni polinomiali. 235 Þ

lim ðx2
48x
100Þ

[þ1]

lim ðx3
5x
1Þ

[
1]

lim ðx4
5x2
1Þ

[þ1]

x!þ1

236 Þ

x!
1

237 Þ

x!þ1

238 Þ

x!þ1

lim

x!
1

x2
16 x!þ1 5x3 þ 1 x3 þ 6x þ 5 258 lim Þ x!
1 xþ4 x2 þ 6x þ 5 259 lim Þ x!
1 x5 þ 4 257 Þ

[þ1]

1
10x2 x!þ1 4x2
1 ðx þ 1Þ2 261 lim Þ x!þ1 x þ 4

241 Þ

lim ðx2
1Þ2

x!þ1

[þ1]

262 Þ

x!þ1

242 Þ

x!
1

lim ðx
1Þ2

[þ1]

263 Þ

x!þ1

243 Þ

x!þ1

lim ð2
x2 Þ2

[þ1]

lim ðx
1Þ3

264 Þ

x!
1

[þ1]

lim ðx þ 1Þ3

[
1]

lim ð1
xÞ3

[
1]

244 Þ

x!þ1

245 Þ

x!
1

246 Þ

x!þ1

Calcola i seguenti limiti, che si presentano sotto la 1 forma indeterminata . 1 2 x
1 247 lim [þ1] Þ x!þ1 x þ 1 2x2
1 [2] 248 lim Þ x!þ1 x2 þ x 1
x2 249 lim Þ x!
1 2x þ 1 1
x3 250 lim Þ x!þ1 2x4 þ 1

253 Þ 254 Þ 255 Þ

lim

x2 þ 6x þ 5 xþ4

[
1]

lim

10x
x þ 1 5x4
x
1

lim

x4 þ 6x þ 5 x2 þ 4

x!þ1

x!
1

4

x!þ1

x!þ1

lim lim lim

[2] [þ1]

ð4x
1Þ2 ð1
x3 Þ2

[0] 5
2

[þ1]  1 4 [1]

ðx2 þ 1Þ3 ð1
4x3 Þ2

[2]

ð2x2 þ 1Þ3

4x
x3 x
2

lim

267 Þ

lim

2x2 þ 4x x2 þ 4x þ 4

lim

9
x2 x2 þ 3x

268 Þ

x!2

x!
2

x!
3

269 Þ

lim

270 Þ

lim

271 Þ

lim

x!4 x2

x!9

[
8] [1] [
2]

x2
16
8x þ 16

[1]

x2
81 x
9

x!2 x2

[18]

x2
4
3x þ 2

x2
x
2 x!
1 x2
1 1 1
2 þ x 2 273 lim Þ x!0 x 1
1 ðx þ 1Þ2 274 lim Þ x!0 x 272 Þ

3

ð2x þ 1Þ2

266 Þ

[
1] [1]



Calcola i seguenti limiti, che si presentano sotto la 0 forma indeterminata . 0 x2
25 [2] 265 lim 2 Þ x!5 x
5x

[0]

x2
x þ 1 x2
3x þ 2

lim

[þ1]

lim

[þ1]

1
x2 251 lim Þ x!þ1 x 252 Þ

260 Þ

[0]

lim

[þ1]

[
1]

 3 2

6x2
x þ 1 4x2
x
1

lim ðx2
5x3
1Þ
 1 3 2 239 lim
þ 5x
1 x Þ x!
1 2 pffiffiffi 240 lim ½ð1
2Þx3
5x2
1 Þ x!
1

120

256 Þ

[4]  3 2

lim




1 4



[
2]

lim

x3
8

[þ1]

3

ðx
2Þ ðx þ 2Þ2
4 278 lim Þ x!0 x2 þ 2x x!2

[2]

x2
4x þ 4 x!2 x2 þ 4x
12 x3
8 280 lim 2 Þ x!2 x
4 279 lim Þ

[0] [3]

x7
x6 x!1 x5
x4 x4
16 282 lim 2 Þ x!2 x
2x 281 Þ

283 Þ 284 Þ

lim

x2
1 þ 3x þ 1 2 x
1 288 lim Þ x!1 2x2
x
1 287 Þ

[0]  3 4

289 lim Þ

[2]  2 3  5 3 [5]  1 4

lim

x!
1 2x2

3x2 þ x
2 x!
1 2x2 þ x
1 x5
1 290 lim Þ x!1 x
1

lim

[1]

291 Þ

lim

x3
5x2 þ 8x
4 x2 þ 2x
3

292 Þ

lim

x4
5x2 þ 4 x2
2x þ 1

lim

3x
1 27x3
1

293 Þ

lim

x3
2x2 þ 2x
4 x2 þ 3x
10

 6 7

lim

3x þ 2x þ x 4x2
x4
x6

[16]  1 3  3 4

294 Þ

lim

x þ ðn
1Þxnþ1
nxnþ2 ,n2N x2
1

[
n]

x! 13

2

x!0

3

4

x!1

x!1

x!2

x!1

[1]

Limiti di funzioni reali di variabile reale

277 Þ

[50]

x3 þ 10x5 x!0 4x þ x2 þ 5x3 x3
1 286 lim 4 Þ x!1 x
1 285 Þ

Unita` 2

 5 4

x2
x
6 275 lim 2 Þ x!3 x
2x
3 x3
25x 276 lim Þ x!5 x
5

Forme indeterminate di funzioni irrazionali 295 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Calcoliamo i seguenti limiti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffi 3 xþ9
3 x
2 b. lim a. lim x!0 x!8 x
8 x 0 a. Il limite si presenta nella forma . Per «rimuovere» l’indeterminazione razionalizziamo il numeratore. 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ9
3 Limite da calcolare lim ¼ x!0 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ9
3 xþ9þ3  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ¼ lim Moltiplicando per il fattore razionalizzante x!0 x xþ9þ3 ¼ lim x!0

¼ lim x!0

ðx þ 9Þ
9 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ xð x þ 9 þ 3Þ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ xð x þ 9 þ 3Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 2 Osserva che ð x þ 9
3Þð x þ 9 þ 3Þ ¼ x þ 9
3

Semplificando il fattore x (cio` e` lecito perche´ nel calcolo di un limite per x ! 0 si puo` supporre x 6¼ 0)

1 1 ¼ lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x!0 6 xþ9þ3 0 b. Il limite si presenta nella forma indeterminata . Per «rimuovere» l’indeterminazione poniamo anzitutto 0 ffiffiffi p 3 x ¼ t, da cui segue che x ¼ t 3 . Quando x ! 8, allora t ! 2, quindi siamo ricondotti al seguente limite, che calcoliamo: lim t!2

t
2 ¼ t3
8

¼ lim

t
2 ¼ ðt
2Þðt 2 þ 2t þ 4Þ

¼ lim

1 1 ¼ t 2 þ 2t þ 4 12

t!2

t!2

Limite cui ci siamo ricondotti con la sostituzione Scomponendo il denominatore come differenza di cubi, ricordando l’identita` a3
b3 ¼ ða
bÞða2 þ ab þ b2 Þ

Nota Quest’ultimo esercizio poteva essere risolto anche senza operare la sostituzione, scomponendolo il denominatore come differenza di cubi pffiffiffi pffiffiffi (dopo avere osservato che x
8 puo` essere scritto nella forma ð 3 x Þ3
23 ) e semplificando il fattore 3 x
2.

121

Limiti e continuita` Tema F

Calcola i seguenti limiti, che si presentano sotto la forma indeterminata pffiffiffi x
5 296 lim Þ x!25 x
25 297 Þ 298 Þ 299 Þ 300 Þ 301 Þ 302 Þ 303 Þ 304 Þ 305 Þ

314 Þ



x
9 lim pffiffiffi x!9 x
3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
5
2 lim x!9 x
9 pffiffiffi x
2 lim 2 x!4 x
8x þ 16 pffiffiffi xþ x pffiffiffi lim x!0þ x
x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
4 limþ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!2 x
2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1þx
1
x lim x!0 x x
3 lim pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!3 x
6
x pffiffiffi x
2 lim 2 x!4 x
16 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8
x
2 lim x!4 2x
8

1 10



0 . 0

x
8 ffiffiffi lim p [12] x!8 3 x
2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
3 [þ1] 307 lim 2 Þ þ x!3 x
9 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi x þ 6
3x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 308 lim [0] Þ x!3þ x
3 " pffiffiffi # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi x þ 2
2x 2
309 lim pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x!2 4 x
4
x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x
2
x
2 ffi 310 lim Þ x!2þ x
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
2 (Suggerimento: raccogli a numeratore e denominatore il termine di grado minimo) [
1] 306 Þ

[6]  1 4 [1] [
1] [2]

1

[1] pffiffiffi [ 3] 

1 32




1 8



311 lim Þ

3

1

[0]

5

x þ x 3 þ 5x 4

x!0þ

312 lim Þ

2

x 2 þ 2x 3 þ 4x 4 1

2

1

2

ðx
1Þ 2
ðx
1Þ 3

x!1þ

ðx
1Þ 2 þ ðx
1Þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x
31
x 313 lim Þ x!0 x (Suggerimento: poni 1
x ¼ t 6 )

[1]




1 6



ESERCIZIO SVOLTO

Calcoliamo i seguenti limiti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. lim ð x2 þ x þ 1 þ xÞ a. lim ð x2 þ 1
2xÞ x!þ1

x!
1

a. Il limite si presenta nella forma indeterminata þ1
1. Per rimuovere l’indeterminazione procediamo come segue, operando opportuni raccoglimenti. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lim ð x2 þ 1
2xÞ ¼

x!þ1

¼ lim

x!þ1

¼ lim

x!þ1

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !
 1 2 x 1 þ 2
2x ¼ x ! rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 jxj 1 þ 2
2x ¼ x

Limite da calcolare

Raccogliendo x 2 nel radicando

Trasportando fuori dal segno di radice occorre ricordare di porre il valore assoluto

! rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ¼ lim x 1þ 2
2 ¼ x!þ1 x

Osservando che jxj ¼ x per x  0, quindi jxj ¼ x per x ! þ1, e raccogliendo x

¼
1

Il limite si presenta ora nella forma þ1  ð
1Þ

b. Il limite si presenta anche in questo caso nella forma indeterminata þ1
1. Se procedessimo come nell’esempio precedente operando soltanto dei raccoglimenti (prova a farlo per esercizio) non riusciremmo pero` a rimuovere l’indeterminazione, ma soltanto a trasformarla nella forma 0  1. In questo caso occorre operare una razionalizzazione. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Limite da calcolare lim ð x2 þ x þ 1 þ xÞ ¼ x!
1

122

#

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2þxþ1
x x ¼ ¼ lim x2 þ x þ 1 þ x  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!
1 x2 þ x þ 1
x


 1 x 1þ x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ lim ¼ x!
1 1 1 jxj 1 þ þ 2
x x x
 1 x 1þ x ! ¼ ¼ lim rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!
1 1 1
x 1þ þ 2 þ1 x x 1 1þ 1 x ¼
¼ lim
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!
1 2 1 1 1þ þ 2 þ1 x x

Osserva che ffi

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x þ 1
x2 ð x 2 þ x þ 1 þ xÞð x 2 þ x þ 1
xÞ ¼

Eseguendo opportuni raccoglimenti

Trasportando fuori dal segno di radice occorre ricordare di porre il valore assoluto

Limiti di funzioni reali di variabile reale

ðx2 þ x þ 1Þ
x2 ¼ ¼ lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!
1 x2 þ x þ 1
x
 1 x 1þ x ¼ ¼ lim sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi x!
1 1 1 2 x 1þ þ 2
x x x

Moltiplicando per il fattore razionalizzante

Unita` 2

"

Osservando che jxj ¼
x per x < 0, e quindi jxj ¼
x per x !
1, e raccogliendo
x

Semplificando e osservando che

1 ! 0 per x !
1 x

Nota Rifletti in questi esercizi sull’utilizzo del valore assoluto quando si effettua un trasporto fuori dal segno di radice nel calcolo dei limiti: jxj ¼ x per x ! þ1 e jxj ¼
x per x !
1.

Calcola i seguenti limiti, che si presentano sotto la forma indeterminata þ1
1.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [0] x2
4
x2 þ 3 315 lim Þ x!
1

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [
1] 316 lim x þ 2
4x2
3x
1 Þ x!þ1 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 2 317 lim x þxþ1
x Þ x!þ1 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [
1] 318 lim x2
2x þ 2
x2 þ 2 Þ x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  319 lim [3] x2 þ 6x
x Þ x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  320 lim [
2] x2 þ 4x þ x Þ x!
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 321 lim x
2x2
x
1 [
1] Þ x!þ1 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 2þxþ1þx 322 lim
x Þ x!
1 2 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2
2x þ 2
4x2 þ 1
323 lim 4x Þ x!þ1 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 3 2þx
1þx 324 lim Þ x!þ1  Suggerimento: ricorda l’identita`  [0] a3
b3 ¼ ða
bÞða2 þ ab þ b2 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 325 lim x3 þ 2x2
x Þ x!þ1  2 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) 3

Calcola i seguenti limiti, che si presentano sotto la 1 . forma indeterminata 1 pffiffiffi x xþ1 [0] 326 lim Þ x!þ1 x2
1 pffiffiffi  x xþ1 1 p ffiffiffiffiffi ffi 327 lim Þ x!þ1 x 9x
1 3 pffiffiffi x x
1 328 lim [þ1] Þ x!þ1 x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1
1 p ffi 329 lim [1] Þ x!þ1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1þ1 2x þ 1 330 lim pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [þ1] Þ x!þ1 xþ xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 x2 þ 1
331 lim Þ x!
1 2x þ 1 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 x2 þ x þ 1 332 lim Þ x!þ1 2x þ 1 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x
1 333 lim [
1] Þ x!þ1 1
x pffiffiffi x x
1 334 lim [þ1] Þ x!þ1 x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2 þ x þ 1 [2] 335 lim Þ x!þ1 xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2 þ x þ 1 [
2] 336 lim Þ x!
1 xþ1

123

Limiti e continuita`

337 Þ

x!þ1

338 Þ

x!
1

339 Þ

x!
1

Tema F

340 Þ 341 Þ

lim lim lim lim

x!þ1

lim

x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2
1
x2
1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x4
1
x4
1 x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2
1
x2
1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
1
x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
1 þ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x2
1
2x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2
1 þ 2x

342 Þ

x!
1

343 Þ

x!þ1

[
1]

344 Þ

x!þ1

[0]

345 Þ

x!
1

346 Þ

x!
1

[1] pffiffiffi [ 2
1]

 1 4

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x2
1
2x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2
1 þ 2x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1 2 x þxþ2 pffiffiffiffiffiffi 4x þ 1 pffiffiffi 1
x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 þ x3 þ 5 1 þ x5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ x2 þ 1 þ 4x2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 þ x3 þ 4 1 þ x4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ x2 þ 1 þ 4x2

lim lim lim lim

lim

[
1] [0] [
2] 


2 3



[0]

Esercizi riassuntivi sul calcolo dei limiti di funzioni algebriche Calcola i seguenti limiti. 1 347 lim Þ x!1þ 1
x
 1 1 348 lim
Þ x!þ1 x x2 ð2x
1Þ2 x!þ1 x2 þ 1 pffiffiffi 1
2 x p ffiffi ffi 350 lim Þ x!þ1 x
1 349 Þ

351 Þ 352 Þ 353 Þ 354 Þ 355 Þ 356 Þ

360 Þ 361 Þ 362 Þ 363 Þ

124

[0]

365 Þ

[4]

366 Þ

[
2]

367 Þ

[0]

368 Þ

[
1]

369 Þ

lim

x2
6x þ 9 lim x!3 2x2
6x pffiffiffi p ffiffiffi x
3x ffiffi ffi lim p 3 x!0 x
x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
4x2 þ x lim x!
1 x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 25
5 lim x!0 x pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lim ð x
x2 þ 9Þ x!þ1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2
1 lim x!
1 x2 þ 1

x5
3 x!þ1 x2 þ x þ 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 358 lim Þ x!þ1 x
x þ 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x3
1 359 lim Þ x!þ1 xþ1 357 Þ

[
1]

lim

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi xþ2
2 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!0 xþ4
2
2  x þ1 x2 þ 2 lim
x!þ1 xþ1 xþ2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lim 2x
x2 þ 1 x!
1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 lim x  x!þ1 4x þ 1

364 Þ

[2] 

1 10



[
1] [2] [þ1] [0]

pffiffiffi 1
3x ffiffiffiffiffi lim p x!
1 3 x2 þ 5 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 lim
2 x!þ1 x x
2  x x3 þ 1
2 lim x!þ1 xþ1 x
1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lim x!þ1 x þ x þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 12
4 lim x!4 x
4 xþ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lim x!
1 x þ x2 þ 1

x2
5x þ 6 370 lim Þ x!2 x3
4x
 2x þ 1 x 371 lim
Þ x!þ1 x
2 2x
1 x3 þ 1000 x!
10 x2
100 pffiffiffi x
10 373 lim Þ x!100 x
100 372 Þ

374 Þ

lim

lim

x!þ1

375 lim Þ y!3

[1]

376 Þ

pffiffiffi [ 2]

377 Þ

[1] [
1]  1 2

ðx
1Þ2
x2 ðx
1Þ2 þ x2

y2
y
6 y 2 þ y
12

x lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!0 3
x
3þx

x2
81 lim pffiffiffi x!9 x
3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x2
1 1
378 lim Þ x!þ1 x2 þ 1 x
 1 x2 þ x
2 þ 379 lim Þ x!1 x2 þ 1 x2
x 380 Þ

lim

t!
1

2t 2 þ 2t 2t 2 þ 3t þ 1

[0] [0] [
1] [0]  1 8 [
1] 

1
8  3 2

[
15] 

1 20



[0]  5 7 pffiffiffi [
3] [108] [3]  7 2 [2]

381 Þ



 1 2  2 3  2
3

2x þ 1 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!þ1 9x2 þ 1

2x þ 1 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!
1 9x2 þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ 2h
1 384 lim Þ h!0 h
2  x þ1 x2 þ 1 385 lim
Þ x!þ1 x þ 2 x
2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  4x2 þ 1
2x
1 386 lim Þ 383 Þ

x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ7
3 387 lim Þ x!2 2x
x2 388 Þ



2t 2
8

lim

ð2t
3Þ
1 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 1 þ x þ 4x ffi 389 lim Þ x!þ1 2 þ pffiffiffiffiffi 9x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x2 þ 2x þ 4
2x 390 lim Þ

407 Þ

x!3

3x2
xjxj þ x þ 1 x2
1

[4]

lim

2x2 þ jx2
4j 2x2
jx2
4j

[3]

lim

2x2 þ jx2
4j 2x2
jx2
4j

[3]

x!
1

399 Þ

lim

401 Þ

lim

[
2] [0]  3 5

x
9 2

lim

lim

x!þ1

x!
1



2 11  1 4  3 2  3
2  2 3

x2
2x x!2 x3
x
6 p ffiffiffi 4 x
1 400 lim Þ x!1 x
1

x!1

x6
1 x4
1

x3 þ x2 þ 2x þ 2 x!
1 x2
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 403 lim x3 þ 2x2 þ 1
x Þ 402 Þ

lim

x!þ1

x!þ1

393 Þ

 1 6 [2]

[
1]



3x2
xjxj þ x þ 1 x2
1

398 Þ

1
12

1 6 pffiffiffi
x
9 x
3

lim

x!þ1

[
4]

[
1]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2 þ 5 391 lim Þ x!
1 x þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 392 lim ð x2 þ 16
x2
16Þ Þ

396 Þ

x!9

397 Þ

[1]

x!þ1

395 Þ

lim

[1]

[2]

2

t!2


394 Þ

ð2x
1Þ2
ðx þ 2Þ2

Determina, al variare di n 2 N, lim x!2

ðx
2Þn . x2 þ 3x
10

404 Þ

lim

ðx þ 2aÞ2
9x2 , con a 6¼ 0 x2
a2

[
6]

405 Þ

lim

x2 þ 2ax
3a2 , con a 6¼ 0 x2
3ax þ 2a2

[
4]

406 Þ

lim

x!a

x!a

Limiti di funzioni reali di variabile reale

382 Þ

lim

x!þ1

1 x þ 2x3 þ 4x3 þ x þ 1 x
2

Unita` 2




ðx þ kÞ3
k3 x

[7k2 ]  1 Se n ¼ 0, il limite vale 1, se n ¼ 1, vale , se n > 1, vale 0 7 x!k

 ðx
2Þn . Se n < 2, il limite vale 0, se n ¼ 2, vale 1, se n > 2, vale þ1 408 Determina, al variare di n 2 N, lim 2 Þ x!þ1 x þ 3x
10 409 Þ

Determina k in modo che lim x!k

x2
4x
5 esista finito. In corrispondenza di questi valori di k, calcola il limite. x
k [k ¼
1 _ k ¼ 5; per k ¼
1 il limite vale
6, per k ¼ 5 il limite vale 6]

x2
5x þ k esista finito. In corrispondenza di questo valore di k, calcola il limite. x!2 x2
4  1 k ¼ 6; il limite vale
4
2   x þxþ1 1 7 411 Determina a e b in modo che lim
ax
b ¼
1. a¼ ,b¼ Þ x!þ1 2x
1 2 4

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 412 Determina k in modo che lim [k ¼ 6] x2 þ 1 x2 þ k
x ¼ 3. Þ 410 Þ

Determina k in modo che lim

x!þ1

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
1 x2 þ k þ x ¼ 4. x!
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a
a2
x2 414 Determina a > 0 in modo che lim ¼ 2. Þ x!0 x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ ax þ x2
a2
ax þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3. 415 Determina a > 0 in modo che lim Þ x!0 aþx
a
x 413 Þ

[k ¼ 8]

Determina k in modo che lim

 a¼

1 4



[a ¼ 9] 125

Limiti e continuita` Tema F

Problemi che conducono al calcolo del limite di una funzione algebrica PROBLEMI DI GEOMETRIA

pffiffiffi bB ¼ 60 e AB ¼ 3. Sulla semiretta di origine A, Sia ABC un triangolo rettangolo, di ipotenusa BC, in cui AC contenente B, considera un punto P e indica con x la sua distanza da A. Calcola il limite cui tende la differenza 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  PC
PA quando x ! þ1. 2 Si giunge a dover calcolare lim x þ1
x ;0 416 Þ

x!þ1

417 Un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ha i lati obliqui che misurano 2a e l’angolo al vertice di ampiezza Þ 120 . Considera un punto P sul lato BC e indica con x la sua distanza da B. Calcola il limite cui tende il rapporto pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffi pffiffiffi  2
2a 3x þ 4a2 AB
AP 3 2a
x quando il punto P tende a B. ; Si giunge a dover calcolare lim BP x!0 2 x 418 Le misure dei cateti di un triangolo rettangolo sono x e 2. Determina il limite cui tende il raggio della circonÞ  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ferenza inscritta nel triangolo, quando x ! þ1. 1 ðx þ 2
x2 þ 4Þ; 1 Si giunge a dover calcolare lim x!þ1 2

bB ¼ 135 e i lati obliqui misurano a. Considera un Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB, in cui AC AP
AC quando il punto punto P sul lato BC e indica con x la sua distanza da C. Calcola il limite del rapporto PC pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P tende a C. pffiffiffi pffiffiffi  x2 þ a 2x þ a2
a 2 ; Si giunge a dover calcolare lim x!0 2 x 419 Þ

420 Þ

Dato un quadrato ABCD, di lato a, sia P un punto sul prolungamento di AB dalla parte di B. Indica con x la distanza di P da B e calcola il limite cui tende la differenza PD
PC quando x ! þ1.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [Si giunge a dover calcolare lim x2 þ 2ax þ 2a2
x2 þ a2 ; a] x!þ1

PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA

421 Þ

Considera la parabola di equazione y ¼ x2
2x. a. Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P di ascissa 4. b. Considera sulla parabola un punto Q di ascissa positiva ed esprimi in funzione di x il coefficiente angolare mPQ della retta PQ. c. Calcola lim mPQ . Come si puo` interpretare il risultato ottenuto in relazione a quanto ricavato al punto a.? x!4  x2
2x
8 ; c. 6 a. y ¼ 6x
16; b. mPQ ¼ x
4 Scrivi l’equazione della parabola  con asse parallelo all’asse y, con asse parallelo all’asse y, passante per i 

422 Þ

punti Oð0, 0Þ, Að4, 0Þ e Bð5, 5Þ. Sia r la retta OB e s la retta parallela all’asse x passante per B. Sull’arco OB della parabola , considera un punto P di ascissa x e indica con H la sua proiezione sulla retta r e con K la sua proiezione pffiffiffi PH 2 al tendere di P a B. sulla retta s. Calcola il limite del rapporto PK  5x
x2 5 ` a. y ¼ x2
4x; b. r: y ¼ x, s: y ¼ 5, si giunge a dover calcolare lim , che e uguale a x!5 5
x2 þ 4x 6 423 Þ

Considera le due parabole:

 : x ¼ y2
2y

 0 : x ¼ y 2
4y

Considera la retta r di equazione y ¼ mx, con m > 0; sia P il punto, diverso dall’origine O, in cui la retta r interseca OP , al tendere della  e Q il punto, diverso dall’origine O, in cui la retta r interseca  0 . Calcola il limite del rapporto OQ retta r all’asse y. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (Suggerimento: per il calcolo delle distanze conviene ricordare la formula jx2
x1 j 1 þ m2 Þ 

 2m þ 1 2m þ 1 4m þ 1 4m þ 1 P , , , Q ; m2 m m2 m 2m þ 1 1 si giunge a dover calcolare il limite lim , che e` uguale a m!þ1 4m þ 1 2 126

425 Þ



Considera la parabola con asse parallelo all’asse y, passante per Að
1, 0Þ, Bð1, 0Þ e Cð2, 6Þ. a. Scrivi l’equazione della parabola. b. Considera un punto P di ascissa x sull’arco AC di parabola e calcola il limite del rapporto tra l’area del triangolo APB e l’area del triangolo APC, al tendere di P ad A.  2jx2
1j 4 ` , il risultato e a. y ¼ 2x2
2; b. si giunge a dover calcolare lim x!
1 3ðx
x2 þ 2Þ 9

426 Þ

Considera la retta r, di coefficiente angolare m, che interseca l’asse y nel punto Pð0, 3Þ. Esprimi in funzione di m la distanza dðmÞ della retta dal punto Qð2, 4Þ. Calcola: a. il limite di dðmÞ per m ! þ1;  j2m
1j b. il limite di dðmÞ per m !
1. Si giunge a dover calcolare lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , il risultato e` 2 in entrambi i casi m!1 m2 þ 1 2 2 x y
¼ 1. Sia r l’asintoto dell’iperbole che giace nel primo e nel terzo 427 Considera l’iperbole di equazione Þ 4 9 quadrante. Indica con P un punto dell’iperbole di ascissa x appartenente al primo quadrante e con Q il punto dell’asintoto r avente la stessa ascissa di P. Calcola il limite della lunghezza del segmento PQ quando x ! þ1.  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3

x
x2
4 , che e` uguale a 0 Si giunge a dover calcolare lim x!þ1 2 428 Þ

Limiti di funzioni reali di variabile reale

Data la parabola di equazione y ¼ x2 , considera su di essa un punto P, di ascissa a, con a > 0. a. Scrivi l’equazione della retta t, tangente alla parabola in P, e della retta n, normale alla parabola in P. b. Indica con A il punto in cui la tangente interseca l’asse x e con B il punto in cui la normale interseca l’asse y. Detta O l’origine degli assi, calcola il limite del rapporto tra l’area del triangolo PAB e l’area del triangolo AOB,   quando a ! þ1.

a 
1 1 1 x þ a2 þ ; b. A , 0 , B 0, a2 þ ; a. t: y ¼ 2ax
a2 , n: y ¼
2a 2 2 2 4a2 þ 1 si giunge a dover calcolare lim , uguale a 2 a!þ1 2a2 þ 1

Unita` 2

424 Þ

Considera la circonferenza , avente centro nell’origine e passante per il punto Pð4, 3Þ.

a. Scrivi l’equazione di . b. Scrivi l’equazione della retta r, tangente alla circonferenza in P. c. Considera un punto Q sulla circonferenza , appartenente al primo quadrante, di ascissa x ed esprimi in funzione di x il coefficiente angolare mPQ della retta PQ. d. Calcola lim mPQ . Come si puo` interpretare il risultato ottenuto in relazione a quanto ricavato al punto b.? x!4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  4 25 4 25
x2
3 2 2 ; c. mPQ ¼ a. x þ y ¼ 25; b. y ¼
x þ ; d.
3 3 3 x
4

429 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per Að
2, 0Þ e Bð2, 0Þ, tangente in B alla Þ retta di equazione y ¼
4ðx
2Þ. Sia V il vertice della parabola e P un punto di ordinata t appartenente all’asse della parabola. Calcola i seguenti limiti:

a. lim ðPB
PVÞ t!þ1

b. lim ðPB
PVÞ t!
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [y ¼ 4
x2 ; a. si giunge a dover calcolare lim ð t 2 þ 4
t þ 4Þ, che e` uguale a 4; t!þ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. si giunge a dover calcolare lim ð t 2 þ 4 þ t
4Þ, che e` uguale a
4] t!
1

430 Þ

Data la circonferenza di equazione x þ y ¼ 4, scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y tangente alla circonferenza nel punto in cui quest’ultima interseca il semiasse positivo delle ordinate e passante per il punto di coordinate (1, 1). Considerata la retta di equazione y ¼ t: 2

2

a. determina per quali valori di t interseca sia la parabola sia la circonferenza; b. supposta verificata la condizione espressa al punto precedente, determina le coordinate dei punti di intersezione A e B della retta con la circonferenza e dei punti di intersezione C e D della retta con la parabola; AB quando la retta tende alla posizione nella quale e` tangente sia alla c. calcola il limite cui tende il rapporto CD  circonferenza sia alla parabola. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2
x2 ; a.
2  t  2; b. ð 4
t 2 , tÞ e ð 2
t , tÞ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
t2 c. si giunge a dover calcolare lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , che e` uguale a 2 t!2 2
t 127

Considera la parabola y ¼ ðk
1Þx2
2kx þ 1, con k 6¼ 1. Dopo aver verificato che, per ogni k 2 R, essa interseca l’asse x in due punti distinti, di ascisse x1 e x2 , calcola: a. lim ðx1 þ x2 Þ k!1

b. lim x1 x2 k!1

c. i limiti cui tendono le due soluzioni per k !
1 e per k ! þ1. [a. 2; b. 0; c. 0, 2]

432 Scrivi l’equazione dell’ellisse, avente centro nell’origine O, che ha due vertici nei punti A(4, 0) e B(0, 2). Sia P Þ un punto dell’ellisse appartenente al suo arco AB contenuto nel primo quadrante, H la proiezione di P sulla tangente all’ellisse in A e K la proiezione di P sull’asse x. Calcola il limite cui tende il rapporto tra l’area del trapezio OPHA e l’area del triangolo BPH al tendere di P ad A.
  2 x y2 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi þ ¼ 1; ponendo P t; 16
t , si giunge a dover calcolare 16 4 2



Limiti e continuita` Tema F

431 Þ

lim t!4

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð8
tÞ 16
t 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , che e` uguale a þ1 ð4
tÞð4
16
t 2 Þ

1 1 e y ¼ þ 1; indica con P e Q, rispettivamente, i due punti del primo quax x drante che i loro grafici hanno in comune con la retta di equazione y ¼ mx, essendo m > 0. Calcola, al tendere della retta all’asse y: 433 Þ

Considera le due funzioni y ¼

a. il limite del rapporto

OP OQ

b. il limite della differenza OQ
OP

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (Suggerimento: per il calcolo delle misure di OP e OQ utilizza la formula jx2
x1 j 1 þ m2 ) pffiffiffiffiffi  2 m pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , che e` uguale a 1; a. Si giunge a dover calcolare lim m!þ1 1 þ 1 þ 4m pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffi 1 þ m2 1 ` b. si giunge a dover calcolare lim 1 þ 1 þ 4m
2 m , che e uguale a m!þ1 2m 2 434 Þ

Considera le due parabole di equazioni y ¼ ax2
4a e y ¼ ax2
2x
a, con a 6¼ 0. Dopo aver verificato che per ogni a 2 R
f0g entrambe intersecano l’asse x in due punti distinti, calcola il rapporto tra le aree dei segmenti parabolici che ciascuna di esse individua con l’asse x e determina il limite cui tende tale rapporto quando a ! þ1. [8] 435 Þ

Considera la parabola di equazione y ¼ x2
2x. Sia t la retta tangente alla parabola nell’origine. Traccia una retta r, secante la parabola e parallela alla retta t, indicando:  con A e B (xA < xB Þ i suoi punti di intersezione con la parabola stessa;  con C il punto in cui interseca l’asse x. Calcola il limite cui tende il rapporto

AC : BC

a. quando l’ordinata all’origine della retta r tende a 0; b. quando l’ordinata all’origine della retta r tende a þ1. 436 Þ

[a. 1; b. 1]

Matematica e fisica La funzione sðtÞ ¼
4,9t 2 þ 200 esprime l’altezza (in metri) di un oggetto lasciato cadere

da un’altezza di 200 m in funzione del tempo t (in secondi). La velocita` nell’istante t ¼ t0 e` data, per definizione, dalla formula: vðt0 Þ ¼ lim t!t0

sðt0 Þ
sðtÞ t0
t

Calcola, in base a questo limite, la velocita` dell’oggetto dopo 2 secondi. 437 Þ

[
19,6 m/s]

Matematica e fisica La funzione sðtÞ ¼
4; 9t 2 þ 10t þ 1 esprime l’altezza (in metri) di un oggetto lanciato ver-

ticalmente verso l’alto da un’altezza di 1 m con una velocita` iniziale v0 ¼10 m/s in funzione del tempo t (in secondi). La velocita` nell’istante t ¼ t0 e` data, per definizione, dalla formula: vðt0 Þ ¼ lim t!t0

sðt0 Þ
sðtÞ t0
t

Calcola, in base a questo limite, la velocita` dell’oggetto dopo 1 secondo. 128

[0,2 m/s]

Unita` 2

6. Forme di indecisione di funzioni trascendenti

TEORIA a p. 90

Esercizi preliminari sin x 438 Quanto vale lim ? Þ x!0 x A 0 B
1 439 Þ A

A

D

cos x
1 ? x!0 x 1 1 B
C 2 2

0

x!0

441 Þ

1

443 Þ A

log2 ðx þ 1Þ x sin x c. lim x!þ1 2x x2 d. lim x!0 1
cos x 2x
1 e. lim x!0 x b. lim

0

B

Quanto vale lim x!0

0

B

D

e

B

þ1

3x
1 ? x

1

C

ln 3

D

1 ln 3

log3 ðx þ 1Þ ? x

1

C

e2

C

D

1 ln 3

e
2

D

2 e

0

D

þ1

ln 3

C

D.

1 ln 2

E. e2

446 Þ

Spiega in base a quale ragionamento a partire dal
 1 x ¼ e si puo` dedurre: limite notevole lim 1 þ x!þ1 x
 1 x ¼ e
1 lim 1
x!þ1 x

1


e

1 2

Spiega in base a quale ragionamento a partire dal sin x limite notevole lim ¼ 1 si puo` dedurre: x!0 x sin 4x ¼4 lim x!0 x

x!0

B

C.

445 Þ

Quanto vale limð1 þ xÞ x ? e

B. 2

x!0


 2 x 442 Quanto vale lim 1 þ ? Þ x!þ1 x A

þ1

Quanto vale lim

440 Quanto vale lim Þ A

C

Associa a ogni limite nella prima colonna il suo risultato, scelto tra quelli della seconda.
 1 2x A. ln 2 a. lim 1 þ x!þ1 x

Limiti di funzioni reali di variabile reale

444 Þ

Test

Forme indeterminate di funzioni goniometriche sin x 1
cos x 1 ¼ . ¼ 1 e lim 2 x!0 x!0 x x 2 1
cos x 454 lim Þ x!0 sin x x 455 lim Þ x!0 cos 2x
cos x sin 2x  sin 5x 456 lim Þ x!0 sin x2 tan 2x 457 lim Þ x!0 tan 3x

Calcola i seguenti limiti, ricordando i limiti notevoli lim sin2 x x!0 x x cos x 448 lim Þ x!0 sin x tan x 449 lim Þ x!0 x 1
cos x 450 lim Þ x!0 x 447 Þ

lim

[0] [1] [1] [0]  3 2  1
2

x þ sin 2x 3x
sin x cos2 x
cos x 452 lim Þ x!0 x2 451 Þ

lim x!0

sin 7x x

453 Þ

lim

461 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

x!0

[7]

sin 4x ð1
cos xÞ x3 3 x 459 lim Þ x!0 1
cos2 x sin x2 460 lim Þ x!0 x3 458 Þ

lim x!0

[0] [1] [10]  2 3 [2] [0] [1]

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim tan x ð1
sin xÞ x! 2

b. lim x!

cos x þ cos 2x ð
xÞ2

a. Si ottiene la forma indeterminata 0  1. Riportiamo anzitutto il limite nella forma lim tan x ð1
sin xÞ ¼

x! 2

¼ lim x! 2

sin x ð1
sin xÞ ¼ cos x

0 . 0

Limite da calcolare Riscrivendo la tangente come rapporto tra seno e coseno

129

Limiti e continuita` Tema F

Per eliminare l’indeterminazione, cerchiamo di eseguire delle «manipolazioni» che ci consentano di mettere in evidenza il termine «cos x» anche al numeratore in modo da poterlo semplificare con il denominatore. A tale scopo moltiplichiamo numeratore e denominatore per ð1 þ sin xÞ. ¼ lim

sin x ð1
sin xÞð1 þ sin xÞ ¼ cos x ð1 þ sin xÞ

Moltiplicando numeratore e denominatore per ð1 þ sin xÞ

¼ lim

sin x  cos2 x ¼ cos x ð1 þ sin xÞ

Ricorda che 1
sin2 x ¼ cos2 x

¼ lim

sin x  cos x ¼ 1 þ sin x

Semplificando cos x

x! 2

x! 2

x! 2

¼

10 ¼0 1þ1

b. Per il calcolo del limite dato conviene operare la sostituzione 
x ¼ t, da cui: x¼
t Quando x ! , allora t ! 0, quindi siamo ricondotti al seguente limite, che calcoliamo. cos ð
tÞ þ cos ð2
2tÞ ¼ t2
cos t þ cos 2t ¼ lim ¼ t!0 t2 1
cos t þ cos 2t
1 ¼ lim ¼ t!0 t2
 1
cos t 1
cos 2t ¼ lim
¼ t!0 t2 t2
 1
cos t 1
cos 2t ¼ lim
 4 ¼ t!0 t2 4t 2 1 1 3 ¼
4¼
2 2 2

lim t!0

462 Þ 463 Þ

lim



x! 2

lim


x tan x

2 1 þ cos 2x

ð2x
Þ2 sin 10x 464 lim Þ x!1 sin 5x x2
16 465 lim Þ x!4 sin ðx
4Þ x! 2

1 þ sin x 3 cos x x! 2  1 þ cos x 467 lim Þ x! sin x 466 lim Þ

sin 2x 468 lim Þ x! cos x þ 1 475 Þ


lim x!0

Limite cui siamo ricondotti con la sostituzione Ricordando le relazioni tra il coseno di angoli opposti e supplementari Aggiungendo e sottraendo 1 al numeratore Riscrivendo in modo da ricondursi al limite di

Osservando che

[1]  1 2 [
2]

1
cos 2t 1
cos 2t 1 ¼ ! per t ! 0 4t 2 2 ð2tÞ2

x! 4

470 Þ

x! 2

471 Þ

x! 2

472 Þ

lim

x! 2

2 sin2 x
3 sin x þ 1 cos x

473 Þ

lim

2sin x
1 pffiffiffi 2 cos x
3

[0]

lim

x3 tan x
sin x

[1]

474 Þ

cos 3x
cos 4x x2

lim

pffiffiffi 2 cos x
2

lim

1
sin x cos x

lim

x! 6

x!0

[1]

ð2x
Þ2

[0] pffiffiffi [
3] [2]







7 2

1 2





lim ð1 þ tan xÞ tan 2x

x!
4

(Suggerimento: ricorda la formula di duplicazione della tangente) 130

[0]

sin x þ sin 3x

1
cos x 1 ¼ Suggerimento: somma e sottrai 1 al numeratore e cerca di ricondurti al limite lim x!0 x2 2 2 x sin 2 476 lim Þ x! 1
cos3 x
 Suggerimento: ricorda la formula di bisezione e la scomposizione della differenza di due cubi 477 Þ

pffiffiffi [ 2]

cos 2x

469 Þ

[8] [0]

1
cos x x2

[
1]

arcsin 2x x (Suggerimento: poni arcsin 2x ¼ t)

[2]

479 Þ

x!0

lim x!0

sin x
sin  x
 (Suggerimento: dopo aver operato la sostituzione x
 ¼ t, applica la formula di addizione del seno e cerca di ricondurti ai limiti notevoli) 480 Þ

481 Þ

lim x!

lim x!



sin ðx
Þ , con  6¼ 0 sin2 x
sin2 

[cos ] 1 sin 2

Forme indeterminate di funzioni esponenziali e logaritmiche 482 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Limiti di funzioni reali di variabile reale

[1]

lim

Unita` 2

arctan x x (Suggerimento: poni arctan x ¼ t)

478 Þ

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim

x!þ1

a. lim

x!þ1

ln x3
1 1 þ ln 2x

b. lim

x!þ1

ln x3
1 ¼ 1 þ ln 2x

ln ð3x þ 1Þ ln ð2x þ 1Þ Limite da calcolare

¼ lim

3 ln x
1 ¼ 1 þ ln x þ ln 2

Ricordando le proprieta` dei logaritmi

¼ lim

3t
1 ¼ 1 þ t þ ln 2

Ponendo ln x ¼ t; se x ! þ1, allora t ! þ1

x!þ1

t!þ1

¼3

Il limite e` il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo del numeratore e del denominatore

ln ð3x þ 1Þ ¼ ln ð2x þ 1Þ 
 1 ln x 3 þ x 
 ¼ ¼ lim x!þ1 1 ln x 2 þ x
 1 ln x þ ln 3 þ x
 ¼ ¼ lim x!þ1 1 ln x þ ln 2 þ x 2
3 1 ln 3 þ 4 x 5 ln x 1 þ 2
ln x  3 ¼ ¼ lim x!þ1 1 ln 2 þ 4 x 5 ln x 1 þ ln x

b. lim

x!þ1

¼1

Limite da calcolare

Raccogliendo x negli argomenti dei logaritmi

Ricordando le proprieta` dei logaritmi

Raccogliendo ln x

Osservando che i rapporti all’interno delle parentesi quadre tendono a zero


485 Þ

Calcola i seguenti limiti. 483 Þ 484 Þ

lim

x!þ1

lim

x!þ1

ln 4x ln 2x ln2 x
ln x ln x þ 1

[1] [þ1]

lim ln

x!þ1

x3 þ 1 x3
1

lim

1 þ ln x2 1 þ ln x

lim

ln 3x ln 6x2

486 Þ

x!þ1

487 Þ

x!þ1

 [0] [2]  1 2 131

Limiti e continuita` Tema F

488 Þ

lim

x!þ1

ln ð5x
6Þ ln ð2x þ 3Þ

[1]

ln ðx þ 2Þ 489 lim Þ x!þ1 ln x 490 Þ

x!þ1

491 Þ

x!þ1

lim

[1]  3 2

ln ðx3 þ 2Þ ln ð2x2
1Þ

lim ½ln ðe2x þ 1Þ
2x

(Suggerimento: osserva che 2x ¼ ln e2x e ricorda le proprieta` dei logaritmi) 492 Þ

[0]

lim ½ln ðexþ2 þ 1Þ
x

x!þ1

(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)

[2]

Calcola i seguenti limiti, ricordando i limiti notevoli: ex
1 ax
1 ln ð1 þ xÞ lim , lim , lim , x!0 x!0 x!0 x x x lim x!0

loga ð1 þ xÞ , x

lim x!0

ln ð1 þ 2xÞ x 3x e
1 494 lim Þ x!0 x 493 Þ

lim x!0

ð1 þ xÞk
1 x

[3]

ln ð1 þ x Þ 495 lim [0] Þ x!0 x  x 1 496 lim 2x Þ x!0 e
1 2 ð1 þ 3xÞ5
1 497 lim [15] Þ x!0 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 1 þ 2x
1 2 498 lim Þ x!0 e3x
1 9 pffiffi pffiffiffi ð1 þ 2xÞ 3
1 499 lim [2 3] Þ x!0 x ln ð1 þ xÞ2 [2] 500 lim Þ x!0 x ln ðx
1Þ 501 lim (Suggerimento: poni x
2 ¼ t) [1] Þ x!2 x
2 e x
e 2x 502 lim Þ  x!0 ln ð1 þ 3xÞ 1
(Suggerimento: raccogli ex al numeratore) 3 e3x
e x 503 lim Þ x!0 x (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) [2] 504 Þ

lim x!0

2x
1
2 þ 4x
12 (Suggerimento: scomponi il denominatore) 505 Þ

lim

x!2 x2

ln ðx þ e2 Þ
2 x!0 x (Suggerimento: raccogli e2 nell’argomento del logaritmo) ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 1þx
31
x 507 lim Þ x!0 x (Suggerimento: somma e sottrai 1 al numeratore e riconduciti a un limite notevole) 506 Þ

[2] 

ln 2 4



lim

[e
2 ]



2 3



Risolvi le seguenti forme indeterminate, del tipo 00 , ðþ1Þ0 , 11 .
 1 x Ricorda il limite notevole lim 1 þ e quelli a x!1 x esso collegati.
 1 2x 508 lim 1 þ [e2 ] Þ x!þ1 x

[2]

4

2
2 2x
1 3x

(Suggerimento: scomponi il numeratore)

x

509 Þ

1

limð1 þ xÞ x


510 Þ

[e]

x!0

lim

x!þ1

1þ

2 x

3x [e6 ]

 3x lim 1
[e
3 ] x!þ1 x
 x
1 2x 512 lim Þ x!þ1 x þ 1
  x
1 xþ1
2 2 ¼ ¼1
Suggerimento: e
4 xþ1 xþ1 xþ1
 2x
1 xþ1 513 lim [e
2 ] Þ x!þ1 2x þ 3 
1

x  x
3 1 1 514 lim ¼ t ½e 3  Suggerimento: poni Þ x!3 3 x
3 511 Þ

515 Þ

lim ð3 þ xÞ
ln x 1

x!þ1

(Suggerimento: ricorda che ½ f ðxÞgðxÞ ¼ e gðxÞln ½f ðxÞ ) 1

516 Þ

x!0þ

517 Þ

x!þ1

518 Þ

x!0þ

519 Þ

x!0þ

lim x 1þ3 ln x 1

lim x x

lim x

1 ln3 x

lim ðsin xÞtan x

[e
1 ] 1

[e 3 ] [1] [1] [1]

Esercizi riassuntivi sul calcolo di limiti di funzioni trascendenti Calcola i seguenti limiti. ln ð1 þ 3xÞ 520 lim Þ x!0 4x 521 Þ

132

lim x!0

e
x
1 3x

 3 4  1
3

sin 2x 522 lim Þ x!0 sin 3x 523 Þ

x

lim 2 x
1

x!1þ

 2 3 [þ1]

525 Þ

x

lim 2 x
1

[0]

x!1


  lim log2 ð1 þ xÞ
log2 ð1 þ 2xÞ

x!þ1

528 lim Þ x!0

529 Þ 530 Þ 531 Þ 532 Þ

lim x!0

lim x!0

pffiffiffi [ e]

[4]

1

[0]

ln2 x

ln ð1 þ 2 sin xÞ 533 lim Þ x!0 x

[2]

1
cos ðx
2Þ 534 lim Þ x!2 x2
4x þ 4   535 lim log2 ð4x þ 8Þ
log2 x Þ x!2

536 Þ 537 Þ

sin ð3x þ 2Þ 3x


lim

x! 3

lim x!0

540 Þ

x tan x x2

541 Þ 542 Þ

lim x!0

x!0

2 sin x
sin 2x x3

 3 2  2 3 [1]

e2x
ex x2 þ 2x

 1 2

lim ln ðe3x þ eÞ

[1]

lim x!0

x!
1

ln x x!0 x
 1 2x 544 lim 1
Þ x!þ1 x
2 1 x 545 lim 1
Þ x!þ1 x 543 Þ

[3]

[1] 2

lim

 1 2

[
1]

1 þ cos x
2 cos x x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin t t 2 þ 4 539 lim Þ t!0 3t 538 Þ

limþ




1 1þ x

551 Þ

lim


x!0

x!0

[
1] [e
2 ] [0]

x2

tan 2x 4jxj
x

553 Þ

1
3 ln 2 x 1 þ 2 ln 2 x

limþ

x!0

554 Þ

lim

log2 ð1 þ 2x þ x2 Þ 4x

555 Þ

limþ

1 þ ln x7
ln x3 1 þ ln x2 þ ln x3

556 Þ

x!0

x!0

lim t!0

560 Þ 561 Þ

lim

lim x!0

lim ½log2 ð4xÞ
log2 ðsin xÞ

sin 3x ex
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ sin x
1
sin x 563 lim Þ x!0 sin 2x 562 Þ

lim x!0

ln ð4x2 þ 1Þ x!0 x sin 2x
xþ2 2x 565 lim Þ x!þ1 x þ 1 564 Þ

lim

sin x þ tan2 x 566 lim Þ x!0 2x þ tan x 1
cos3 x x!0 x tan x
 sin 3x xþ2 568 lim Þ x!0 x 567 Þ

569 Þ

lim

lim x!0



[0] [
1]  2 3  3
2  1 2ln 2  4 5  3 2  3 2 hi 4 h i
6 [1] [2] [3]  1 2 [2] [þ1]  1 3  3 2 [9] [1]

[ln 3]

x!0þ

limþ e1 þ ln x

[0]

572 Þ

x!2þ

x!0

5 2

lim ½ln ðsin 3xÞ
ln x

571 Þ

548 Þ




 5 8

[þ1]

x!0þ

e x
e
x sin 2x



x ðsin 3x þ sin 2xÞ 1
cos 4x

lim e1
ln x

547 Þ

lim

sin x ln ð1 þ xÞ

x!0þ

[þ1]

x!þ1

4t þ 2t
2 4t
1

sin ð3Þð1
cos Þ !0 3 1 x arctan x 558 lim Þ x!0þ sin 2x 1 x arctan x 559 lim Þ x!0
e3x
1 557 Þ

570 lim Þ

546 Þ

sin x jxj

552 lim Þ

[2]

x þ sin 3x 3x
sin 2x

lim

32x
2  3x þ 1 27x
1

[
1]

1
cos 2x sin 2 x

x!0þ

lim

x!0þ

[5]

tan x 3x2

x!0

550 Þ

x!0

[
1] [0]

e5x
1 x2 þ x

lim


2 cos2 x þ cos x
3 sin2 x

x!0

lim

ln ðx
2Þ ln ðex
e2 Þ

Limiti di funzioni reali di variabile reale

e2x þ ex 526 lim Þ x!0þ ln x
 1 x 527 lim 1 þ Þ x!þ1 2x

549 lim Þ

Unita` 2

524 Þ

[1] 133

Limiti e continuita` Tema F

573 Þ

lim ½tan x ð1 þ cos 2xÞ

[0]

x! 2

lim x

1 x2
4

lim x

1 x2
4

574 Þ

x!2


575 Þ

x!2þ

[0]

576 Þ

lim

2
3 4x
5x

577 Þ

lim

4x þ sin2 x e2x
1

x

x!0

x!0

[þ1] 2 3 3 ln 6 2 7 4 5 5 ln 4

x

[2]

lim

[1]

587 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

x!0

[2]

2sin x
1 x

lim

x!1

582 lim Þ x!0

1
cos ðx2
1Þ e x
1
1

[0]  1 2

1
cos x ln ð1 þ sin2 xÞ

ln cos x x2 (Suggerimento: somma e sottrai 1 nell’argomento  del logaritmo, poi moltiplica e dividi 1 per un termine opportuno)
2  2 1 x 584 lim cos x Þ 583 Þ

lim x!0

2

x! 2

580 Þ

lim

x!0

sin 2x 1 þ cos 2x
 2 579 lim x ln 1 þ Þ x!þ1 x 578 Þ

581 Þ

[ln 2]

(Suggerimento: riscrivi il limite sotto forma esponenziale e vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) [e
1 ] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !x 1 þ 1 þ x2 585 lim [1] Þ x!0 x 586 Þ

1

1

[e
2 ]

lim ð2 þ xÞ x
1 2

x!
1

Calcoliamo i seguenti limiti, utilizzando il teorema del confronto. a. lim ðe x þ cos xÞ x!þ1

b. lim ðe x  sin2 xÞ x!
1

a. Osserviamo che per ogni x 2 R risulta: e x þ cos x  e x
1 Poiche´ lim ðe x
1Þ ¼ þ1, dal teorema del confronto segue che lim ðe x þ cos xÞ ¼ þ1. x!þ1

x!þ1

b. Osserviamo che per ogni x 2 R risulta: 0  e x  sin2 x  e x Poiche´ lim e x ¼ 0, dal teorema del confronto segue che lim ðe x  sin2 xÞ ¼ 0. x!
1

x!
1

Calcola i seguenti limiti, utilizzando il teorema del confronto. 588 Þ

lim ðe x þ sin xÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 þ sin x 589 lim Þ x!þ1 x2 þ 1 1 590 lim x2 sin 3 Þ x!0 x 1 591 lim pffiffiffi Þ x!þ1 xð5
cos xÞ

[þ1]

592 Þ

x!þ1

[þ1]

593 Þ

x!
1

lim ln ðx þ 5 sin xÞ 2

lim 8x

þ cos3 x

597 Þ 598 Þ

limþ

595 Þ 596 Þ

[0] [0] [0]

[þ1]

x

sin e lim x!þ1 x x þ cos x lim x!1 x þ sin x pffiffiffi lim 3 x sin ln x x!0
 1 1 limþ 3 þ sin x!0 x x

594 Þ

134

x!þ1

x!0

3 þ cos ðx4
xÞ x3

[0] [1] [0] [þ1] [þ1]

lim

x þ 3 sin x 5x

 1 5

lim

2x þ sin x x ln x

[0]

599 Þ

x!þ1

600 Þ

x!þ1

Calcola, al variare di  2 Rþ 0 , il valore del seguente limite: lim ln ðe3þx þ 1Þ
x. x!þ1 [Se 0   < 1, il limite e` þ1, se  ¼ 1, il limite e` 3, se  > 1, il limite e`
1] 601 Þ

602 Þ

Determina k in modo che lim

603 Þ

x!0

sin kx þ x ¼ 2. sin kx þ 2x [k ¼
3]

Determina a > 0 in modo che: pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 lim a xð x þ2
x þ1Þ ¼ 2

x!
1

604 Þ

 a¼

1 4



Determina per quali valori di k risulta
 k22
k 1 x
1 ¼ þ1 [0 < k < 1] limþ x!1 2
 xþ x 605 Determina per quali valori di  il lim Þ x!þ1 x þ 1 pffiffiffi e` un numero maggiore di e.  3 > 2

PROBLEMI DI TRIGONOMETRIA

607 Þ

In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale AC, di misura a, e` perpendicolare al lato obliquo CD. Indica bB e calcola il limite cui tende il rapporto AD
BC quando x tende a zero. con x la misura dell’angolo AC [0] CD 608 Þ

Data una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r, sia t la semiretta tangente alla semicirconferenza in A, che giace, rispetto alla retta AB, dalla stessa parte della semicirconferenza. Considera un punto C sulla bO ¼ x. Indica con D il punto di intersezione del segmento OC con la semicirconferenza e con semiretta t e poni AC CD quando il punto C tende ad A. E la proiezione di D su AB. Calcola il limite cui tende il rapporto DE  1
sin x Si giunge a dover calcolare lim ;0 x! 2 sin x cos x

Limiti di funzioni reali di variabile reale

bC ¼ x, ABbC ¼ 2x e AB ¼ a. Calcola il limite dell’espressione AB þ BC quando Sia ABC un triangolo in cui BA  BC AC x tende a zero. 7 2 606 Þ

Unita` 2

Problemi che conducono al calcolo del limite di una funzione trascendente

609 Þ

Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB ¼ 2r, considera su di essa un punto C tale che b ABC ¼ x e traccia la tangente t alla semicirconferenza in C. Siano D ed E, rispettivamente, le proiezioni di A e B sul la retta t. Calcola il limite cui tende il rapporto tra le aree dei quadrilateri OBEC e OCDA quando C tende a B. 1 3 bP ¼ P O bQ ¼ x e OA ¼ r, determina il limite del rapporto tra l’area del trianIn riferimento alla figura, in cui AO b golo OHQ e l’area del settore circolare OAP (colorato in arancione), al tendere di P ad A. 610 Þ

Q P x O

x H

A

[2]

Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC, in cui ABbC ¼ x. Sia V1 il volume del cono che si ottiene nella rotazione completa del triangolo ABC intorno al cateto AC e V2 il volume del cono che si ottiene nella rotazione V1 completa del triangolo ABC intorno al cateto AB. Calcola il limite del rapporto , al tendere di x a 0þ . [þ1] V2 611 Þ

612 Data una semicirconferenza di diametro AB e centro O e raggio 1, sia C un punto della semicirconferenza tale Þ bB ¼ x. Indica con D il punto di intersezione della retta OC con la retta tangente alla semicirconferenza in B. che CA Calcola: AC BC al tendere di C a B; b. il limite del rapporto al tendere di C a B. a. il limite del rapporto BD BD [a. þ1; b. 1] 613 Þ

Data una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r, sia P un suo punto e t la tangente alla semicirconferenza in P. Siano inoltre H la proiezione di P su AB e K il punto di intersezione della retta t con la retta AB. bB e calcola il limite cui tende il rapporto BK quando P tende a B. Indica con x la misura di P A HK  1
cos 2x 1 ; Si giunge a dover calcolare lim x!0 ðsin 2xÞ2 2

bb un angolo di misura  e sia c la semiretta perpendicolare ad a che giace, rispetto ad a, dalla stessa parSia aO 4 bb, tale che aO br ¼ x e P il punto di tale sete della semiretta b. Sia r una semiretta di origine O, interna all’angolo aO miretta distante 1 da O. Indica con H, K ed R, rispettivamente, le proiezioni di P sulla semiretta a, sulla semiretta c PK
PH quando la semiretta r tende alla semiretta b. e sulla semiretta b. Calcola il limite cui tende il rapporto PR # " cos x
sin x pffiffiffi

 ; 2 Si giunge a dover calcolare lim x! 4 sin
x 4 614 Þ

135

Limiti e continuita` Tema F

Considera un triangolo rettangolo (non degenere) ABC, di ipotenusa BC, tale che AB ¼ 1 e ABbC ¼ x. Traccia la circonferenza di centro B e raggio AB, indicando con P il punto in cui interseca l’ipotenusa BC. Siano H la proiezione di P su AB e K la proiezione di H su BC. Determina, quando x ! 0, il limite cui tende:  AP PC 1 b. il rapporto a. il rapporto a. 1; b. AC PK 2 615 Þ

616 Þ

Considera una semicirconferenza di diametro AB e raggio r. Sia AP una corda della semicirconferenza e AQ la bP. Indica con P 0 e Q 0 rispettivamente le proiezioni di P e Q sul diametro AB. Calcola corda bisettrice dell’angolo BA P0 Q 0 quando P tende a B. [3] il limite cui tende il rapporto BQ 0 617 Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r e traccia la retta t, tangente alla semicirÞ conferenza in A. Sia P un punto della semicirconferenza e Q il punto in cui la tangente alla semicirconferenza in P incontra la retta t. Calcola:

a. il limite del prodotto tra l’area del triangolo AOP e l’area del quadrilatero AOPQ, al tendere di P a B; b. il limite del quoziente tra l’area del triangolo AOP e l’area del quadrilatero AOPQ al tendere di P ad A. [a. r 4 ; b. 1] PROBLEMI SU FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

618 Data la funzione y ¼ ln x, sia A il suo punto di intersezione con l’asse x ed r la retta di equazione x ¼ k, con Þ 0 < k < 1. Detta r 0 la retta simmetrica di r rispetto al punto A, indica con P e Q, rispettivamente, i punti di intersezione delle due rette r ed r 0 con il grafico della funzione y ¼ ln x. Calcola il limite cui tende il coefficiente angolare della retta PQ quando la retta r tende alla retta di equazione x ¼ 1.  ln ð2
kÞ
ln k ;1 Si giunge a dover calcolare lim k!1 2
2k 619 Þ

In un sistema di assi cartesiani, di origine O, traccia i grafici delle due funzioni y ¼ ex e y ¼ e1
x . Supposto k > 0, indica rispettivamente con:  A1 e A2 i punti di intersezione di tali grafici con la retta di equazione y ¼ k;  B1 e B2 i punti di intersezione di tali grafici con l’asse y.

Calcola il limite del rapporto tra le aree dei triangoli A2 OB2 e A1 OB1 quando k ! 0þ .     eðln k
1Þ  ; e Si giunge a dover calcolare limþ   k!0 ln k 620 Þ

In un sistema di assi cartesiani, di origine O, traccia i grafici delle due funzioni y ¼ ln x e y ¼ ln x2
1. Supposto k > 0, indica rispettivamente con:  A1 e A2 i punti di intersezione di tali grafici con la retta di equazione x ¼ k;  B1 e B2 i punti di intersezione di tali grafici con l’asse x. Calcola il limite del rapporto tra le aree dei triangoli A1 OB1 e A2 OB2 , quando k ! 0þ .  1 Si giunge a dover calcolare limþ e
2 k!0

   ln k  1
1  ; e 2  ln k2
1  2

621 Þ

Considera la funzione y ¼ ex e la retta r di equazione y ¼ x þ 1. Sia P un punto appartenente al grafico della funzione y ¼ ex di ascissa t, H la proiezione di P sulla retta r e K la proiezione di P sull’asse y. Calcola i seguenti limiti: 

a. lim

t!
1

PH PK

b. lim

t!þ1

PH PK

c. lim
t!0

PH PK

d. limþ t!0

PH PK

Ricorda che la retta r e` tangente al grafico della funzione esponenziale nel suo punto di intersezione con l’asse y; pffiffiffi t pffiffiffi PH 2 e
t
1 2 ; b. þ1; c. 0; d. 0 ¼ ; a. 2 2 jtj PK 622 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼ eaxþb .


 1 a. Trova a e b in modo che il suo grafico passi per i punti A 0, 2 e Bð1, 1Þ. e

In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. b. Traccia il grafico della funzione f . 136

Considera la funzione f ðxÞ ¼ ln ðax þ bÞ2 , con a > 0 e b > 0.

1 a. Trova a e b in modo che il suo grafico ammetta come asintoto verticale la retta di equazione x ¼
e passi 2 per l’origine O degli assi.

In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. b. Traccia il grafico della funzione f . c. Considera sul grafico di f un punto P di ascissa x, con x > 0. Indica con H la sua proiezione sull’asse x e con K PH al tendere di P a O. la sua proiezione sull’asse y. Calcola il limite del rapporto PK  2 ln ð2x þ 1Þ , il risultato e` 4 a. a ¼ 2, b ¼ 1; b. osserva che f ðxÞ ¼ 2 ln j2x þ 1j; c. si giunge a dover calcolare lim x!0 x

7. Infinitesimi e infiniti

Limiti di funzioni reali di variabile reale

623 Þ

Unita` 2

c. Considera un punto P di ascissa x, appartenente al grafico di f , e indica con H la sua proiezione sulla retta PH al tendere di P a B. y ¼ 1 e con K la sua proiezione sulla retta x ¼ 1. Calcola il limite del rapporto PK  2x
2   e
1   ` a. a ¼ 2, b ¼
2; c. si giunge a dover calcolare lim , il risultato e 2 x!1 x
1 

TEORIA a p. 97

Esercizi preliminari 624 Þ

Vero o falso?

a. f ðxÞ ¼ e
x e` un infinito per x ! þ1

V

F

e` un infinito per x !
1

V

F

c. f ðxÞ ¼ ln x e` un infinito per x ! þ1

V

F

V

F

V

F

V

F


2

b. f ðxÞ ¼ x


x

d. f ðxÞ ¼ e

e` un infinito per x !
1

e. f ðxÞ ¼ x e` un infinito per x ! þ1 5

f. f ðxÞ ¼ arctan x e` un infinito per x !
1

[3 affermazioni vere e 3 false] 625 Þ

Vero o falso?

a. f ðxÞ ¼ e
x e` un infinitesimo per x ! þ1

V

F

b. f ðxÞ ¼ x
2 e` un infinitesimo per x ! 0þ

V

F

þ

V

F

V

F

e. f ðxÞ ¼ x e` un infinitesimo per x ! 0

V

F

f. f ðxÞ ¼ arctan x e` un infinitesimo per x ! 0

V

F

1

c. f ðxÞ ¼ ln x e` un infinitesimo per x ! 0
x

d. f ðxÞ ¼ e

e` un infinitesimo per x !
1

6

[3 affermazioni vere e 3 false] 626 Þ

Vero o falso?

a. f ðxÞ ¼ x3 e` un infinito di ordine superiore a gðxÞ ¼

pffiffiffi x per x ! þ1

b. f ðxÞ ¼ x e` un infinito di ordine superiore a gðxÞ ¼ e per x ! þ1 ffiffiffi p 3 c. f ðxÞ ¼ x e` un infinito di ordine inferiore a gðxÞ ¼ ln x per x ! þ1 pffiffiffi d. f ðxÞ ¼ x e` un infinitesimo di ordine inferiore a gðxÞ ¼ sin x per x ! 0 100

x

e. f ðxÞ ¼ sin x e` un infinitesimo dello stesso ordine di gðxÞ ¼ e x
1 per x ! 0

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

f. f ðxÞ ¼ 1
cos x e` un infinitesimo di ordine superiore a gðxÞ ¼ sin x per x ! 0 [4 affermazioni vere e 2 false] Test 627 Þ

Qual e` l’ordine di infinitesimo di f ðxÞ ¼ sin x per x ! 0? A C

0 2

B D

1 Non e` un infinitesimo.

628 Þ

Qual e` l’ordine di infinitesimo di f ðxÞ ¼ cos x per x ! 0? A C

0 2

B D

1 Non e` un infinitesimo. 137

Limiti e continuita` Tema F

629 Qual e` l’ordine di infinitesimo di f ðxÞ ¼ 1
cos x Þ per x ! 0? A

0

1

B

C

2

D

Non e` un infinitesimo.

630 Þ

Qual e` l’ordine di infinito di f ðxÞ ¼ x2
1 per x ! þ1? A

0

1

B

C

2

D

Non e` un infinito.

631 Þ

Qual e` l’ordine di infinito di f ðxÞ ¼ ðx2
1Þ2 per x ! þ1? A 1 B 2 C 4 D Non e ` un infinito. pffiffiffi pffiffiffi 632 Qual e` l’ordine di infinito di f ðxÞ ¼ x þ 3 x per Þ x ! þ1? A C

1 2 1 6

B

1 3

D

Non e` un infinito.

633 Þ

Quale dei seguenti e` l’infinito di ordine superiore per x ! þ1? pffiffiffi A B x2 C ln x D ex x

634 Þ

Quale dei seguenti e` l’infinito di ordine inferiore per x ! þ1? pffiffiffi A B x2 C ln x D ex x

635 Þ

Quale dei seguenti e` l’infinitesimo di ordine superiore per x ! 0? pffiffiffi A sin x B 1
cos x x C e
1 D ln ðx3 þ 1Þ

636 Þ

Quale dei seguenti e` l’infinitesimo di ordine inferiore per x ! 0? pffiffiffi A sin x B 1
cos x C ex
1 D ln ðx3 þ 1Þ

Calcolo dell’ordine di infinitesimo o infinito Determina, se possibile, l’ordine di infinitesimo delle seguenti funzioni. pffiffiffi 637 f ðxÞ ¼ sin x3 per x ! 0 [3] 644 f ðxÞ ¼ x sin x Þ Þ 638 Þ 639 Þ 640 Þ 641 Þ 642 Þ 643 Þ

f ðxÞ ¼ e

2x


1

f ðxÞ ¼ 1
cos x 3 2

f ðxÞ ¼ ðsin x Þ f ðxÞ ¼ x sin x

per x ! 0

[1]

per x ! 0

[2]

per x ! 0

[6]

per x ! 0

[3]

f ðxÞ ¼ ð1
cos xÞ

per x ! 0

[6]

f ðxÞ ¼ x ðe
1Þ

per x ! 0

[2]

2

3

x

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 645 f ðxÞ ¼ sin x2 Þ 646 f ðxÞ ¼ x2 Þ 647 Þ

1

f ðxÞ ¼ e x

Determina, se possibile, l’ordine di infinito delle seguenti funzioni. 648 f ðxÞ ¼ x3 þ x þ 1 Þ

per x ! þ1

[3]

649 Þ

per x ! þ1

[2] 1 2  1 2

pffiffiffi p ffiffiffi x þ 3 x þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 650 f ðxÞ ¼ x þ 1 þ 3 x Þ f ðxÞ ¼

651 f ðxÞ ¼ Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ1
1

x3 þ 1 652 f ðxÞ ¼ 2 Þ x þ1 653 Þ

f ðxÞ ¼

x5 þ 1 x2 þ x þ 1

per x ! þ1 per x ! þ1



per x ! þ1

[1]

per x ! þ1

[3]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ex
1

654 f ðxÞ ¼ Þ

per x ! 0  per x ! 0  per x ! 0

x5 þ x xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 656 f ðxÞ ¼ x2 þ 1 þ x Þ f ðxÞ ¼ x ln x

3 2 2 3 5 2



per x ! 0
[Non determinabile]

pffiffiffi p ffiffiffi pffiffiffiffiffi x þ 3 x þ x3

655 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ

657 Þ



 per x ! þ1 

3 2



per x ! þ1

9 2

per x ! þ1

[1]

per x ! þ1 [Non determinabile]

Stabilisci se la funzione f e` un infinito di ordine inferiore, uguale o superiore alla funzione g. 658 Þ 659 Þ 660 Þ 661 Þ 662 Þ

f ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ3 pffiffiffi f ðxÞ ¼ 3 x þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ x þ 1 f ðxÞ ¼ x2

f ðxÞ ¼ ðx
1Þ 1 663 f ðxÞ ¼ 2 Þ x 2

3

gðxÞ ¼ x3 þ 1 pffiffiffi gðxÞ ¼ x þ 1

per x ! þ1

[Inferiore]

gðxÞ ¼ ln x

per x ! þ1

[Superiore]

gðxÞ ¼ e
x

per x !
1

[Inferiore]

gðxÞ ¼ x
1 1 gðxÞ ¼ 4 x þ x2

per x ! þ1

[Superiore]

4

per x ! þ1

per x ! 0

[Uguale]

[Uguale]

Stabilisci se la funzione f e` un infinitesimo di ordine inferiore, uguale o superiore alla funzione g.

138

664 Þ 665 Þ

f ðxÞ ¼ sin x f ðxÞ ¼ x
1 3

gðxÞ ¼ x3 gðxÞ ¼ x
1 2

per x ! 0

[Inferiore]

per x ! 1

[Uguale]

f ðxÞ ¼ 1
cos x
x

per x ! 0

[Superiore]

per x ! þ1

[Superiore]

per x ! 1

[Inferiore]

per x ! 1

[Uguale]

670 Þ

Mediante reciproco confronto fra di essi, disponi in ordine di infinito crescente: pffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi 3 x , x3 , x, x2 , e x , x ln x, ln x, x ex per x ! þ1 2

671 Þ

x,

Mediante reciproco confronto fra di essi, disponi in ordine di infinitesimo crescente: pffiffiffi 4 x, x , sin x, 1
cos x, ðe x
1Þ3 , ðsin x2 Þ4 per x ! 0

672 Þ

Determina per quale valore del parametro k 2 R la funzione f ðxÞ ¼ ðsin xÞ2 ð1
cos xÞk e` infinitesima di ordine 8 per x ! 0. [k ¼ 3]

673 Þ

Determina per quale valore del parametro k 2 R la funzione f ðxÞ ¼ ðsin x3 Þ2 ðe x
1Þk e` infinitesima di ordine 10 per x ! 0. [k ¼ 4]

674 Þ

Determina per quale valore del parametro k 2 R la funzione f ðxÞ ¼ x5 ðe x
1Þk ha lo stesso ordine di infinite[k ¼ 2] simo della funzione gðxÞ ¼ ðsin xÞ3 ð1
cos x3 Þ per x ! 0. ðx2
1Þk 675 Determina per quale valore del parametro k 2 R la funzione f ðxÞ ¼ e` infinito di ordine 4 per Þ ðx3 þ 1Þ4 x ! þ1. [k ¼ 8] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xk
1 676 Determina per quale valore del parametro k 2 R la funzione f ðxÞ ¼ e` infinito di ordine 2 per Þ ðx5 þ 1Þ2 x ! þ1. [k ¼ 24] pffiffiffi xk 3 x 677 Determina per quale valore del parametro k 2 R la funzione f ðxÞ ¼ e` infinito di ordine 3 per Þ ðx3 þ 1Þ3  x ! þ1. 35 k¼ 3 2

Applicazioni al calcolo dei limiti

Calcola i seguenti limiti, ricordando le «gerarchie» sugli infiniti e i limiti notevoli a essi collegati. 678 Þ 679 Þ 680 Þ

lim ðx þ 1Þe
2x

[0]

2 x

[0]

x!þ1

lim x e

x!
1

lim x e

x

[0]

x!
1

ex 681 lim Þ x!þ1 x7 ln x ffiffiffi 682 lim p Þ x!þ1 3 x pffiffiffi 683 lim x ln x Þ þ

[þ1] [0] [0]

x!0

x

7 x xþ5 685 lim Þ x!þ1 ln x x3 þ 1 686 lim Þ x!þ1 e x þ 1 x 687 lim Þ x!þ1 1 þ 2e x 684 Þ

[þ1]

lim

x!þ1

688 Þ

x!þ1

689 Þ

x!þ1

690 Þ

x!þ1

lim ðe x
xÞ

[þ1] [0] [0] (Suggerimento: raccogli x)

[þ1]

lim ðe x
ln xÞ pffiffiffi lim ðln x
xÞ

[þ1]

lim ðe
x þ x3 Þ
 1 692 lim ln x þ Þ x!0þ x

[þ1]

691 Þ

x!
1

[
1]

[þ1]


693 Þ 694 Þ

lim arctan

x!þ1

lim arctan

x!þ1




x3 ln x ex ex x ln2 x

Limiti di funzioni reali di variabile reale

f ðxÞ ¼ e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 668 f ðxÞ ¼ x
1 Þ pffiffiffi 669 f ðxÞ ¼ x
1 Þ

gðxÞ ¼ e x
1 1 gðxÞ ¼ 2 x gðxÞ ¼ ln x pffiffiffi gðxÞ ¼ x x
x

Unita` 2

666 Þ 667 Þ

 [0] 

hi 2

Calcola i seguenti limiti, tenendo presenti i principi di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti. ln x þ x2 695 lim [0] Þ x!þ1 x þ ex pffiffiffi x þ x2 696 lim [þ1] Þ x!þ1 1 þ p3 ffiffixffi pffiffiffi x þ ln x 697 lim [0] Þ x!þ1 x þ ex 1 þ ln x [0] 698 lim Þ x!þ1 x10 þ x 2e x þ ln x [2] 699 lim Þ x!þ1 e x þ x2 þ 1 pffiffiffi sin x þ x [þ1] 700 lim Þ x!0þ 1
cos x sin2 x þ ð1
cos xÞ2 701 lim [1] Þ x!0 x2 þ x5 ex
1 þ x2 702 lim [1] Þ x!0 ðsin xÞ2 þ x3 sin x3 þ x2 pffiffiffi [0] 703 lim Þ x!0 sin x þ x pffiffiffi 1 þ ln x þ x p ffiffi [0] 704 lim Þ x!þ1 x2 þ 2 xffi  1 þ ln x þ 2x2 1 p ffiffi ffi 705 lim Þ x!þ1 4x2 þ x þ 1 2

139

Limiti e continuita` Tema F

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Calcola i seguenti limiti. x2
1 706 lim Þ x!þ1 3x2 707 Þ

 1 3

lim ð2
ex Þ

[2]

x!
1


x 1 708 lim Þ x!þ1 5
x 1 709 lim Þ x!
1 5 2x þ 1 710 lim x
1 Þ x!0 2
1 711 Þ 712 Þ 713 Þ

1 ln 2 x

lim

x!þ1

lim x!2

x2
4x þ 4 2x2
4x

  lim x
x3

x!þ1

x2 þ x þ 1 x!0 x2 þ 2x þ 3
 2x2 x
715 lim Þ x!þ1 x2 þ 1 xþ1 714 Þ

lim

716 Þ

x!þ1

717 Þ

x!0þ

lim

x2 ln x

  lim 2 þ log2 x

719 lim Þ x!3

720 Þ 721 Þ

lim 3x
x

2

pffiffiffi lim 1
3 x

3x þ x x3 þ 1 x 723 lim x Þ x!þ1 e 722 Þ

5

725 lim Þ x!1

726 Þ

728 Þ

x!þ1

140

x3 x2
2 x þ1 xþ1

lim x e

[0]

735 Þ

lim

sin 4x x

[
1]

736 Þ

 1 3

737 Þ

lim

e3x
1 x

[3]

[1]

738 Þ

lim

ex ln x

[0]

[þ1]

739 Þ

 2 5

  lim 2x2
x
1

x!
1

x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2
xþ3

[þ1]

x2
1 2 x þ 3x
4

x!þ1

lim

lim

x!þ1

x!1

x!0

lim

x!
1

x!0

x!0


2x

[0] 

x
x2 2 2x þ x þ 1






1 þ 2x 2x
2




lim

745 lim Þ 746 Þ 747 Þ

[1]

749 Þ 750 Þ

ln ðx þ 6Þ ex
1 log2 ð1 þ xÞ 3x

ln2 x x!0 x pffiffiffi pffiffiffi x
3 lim x!3 x
3 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 þ 3x
1 lim x!0 x
 1þ4x 1 1
x limþ x!1 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
x
xþ4 lim x!0 x limþ

1 2



[
1] [0]  1 2

sin 2x x!0 sin 4x
 3 x 742 lim 1 þ Þ x!þ1 x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x
36 743 lim Þ x!4þ x x!0þ



[4]

741 lim Þ

744 Þ

1 2

[
4]

x!þ1

748 Þ

[
1]

1 þ ex

3x4 þ 1 x!
1 x3
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  9x2 þ 1
3x 740 lim Þ

[þ1] 

e2x

[4]

lim

x!0

2

lim

734 Þ

[0]

log 1 x


727 Þ

[0]

[þ1]

lim

x!0þ

[
4]

lim

x!þ1

2

x!þ1

724 lim Þ

x
4 lim pffiffiffi x!4 x
2

733 Þ

[
1]

x!þ1

[þ1]

732 Þ

[0]



x lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ1

x!þ1

[þ1]

 2 9

x!þ1

730 Þ 731 Þ

[0]

2x
6 2 x þ 3x
18

x!3

 6 7

x2
9 2 x þ x
12

[0]

[
1]

xþ1 718 lim 2 Þ x!þ1 x þ 6

729 lim Þ

[e3 ] [0] [þ1] 

1 3 ln 2



[þ1] " pffiffiffi # 3 6  3 4 [þ1]  1
2

[
2]

e2xþ6
1 753 lim Þ x!
3 xþ3 1

ex
e x 754 lim Þ x!
1 ex þ 2

x4
x2 755 lim Þ x!
1þ x3 þ 3x2 þ 3x þ 1 1
cos ðx þ 1Þ 756 lim Þ x!
1 x2 þ 2x þ 1

760 Þ 761 Þ

lim x!0

tan x x3

limþ

x!0

764 lim Þ !0

cos 
1 sin 2

8
2t 2 t!
2 2t 2 þ t
6 pffiffiffi 1
x p ffiffi 766 lim Þ x!þ1 3 xffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ9
3 767 lim Þ x!0 x lim

lim ½log3 ðx2
4Þ
log3 ð9x2
1Þ

x!þ1

ln ð3x2 þ 1Þ x!0 x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2 þ 1 770 lim Þ x!
1 xþ1 769 lim Þ

772 Þ 773 Þ 774 Þ 775 Þ

[
1]  1 2

2 lim e3x
x x!þ1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

lim

x!þ1

8x2 þ 1 4x2 þ x þ 1

lim ðe2x þ ex þ 1Þ

x!
1

lim e

1
x2 x

lim

[0] [e6 ]

 1 2  1 4  1
2  8
7 [
1] 

1 6



[
2] [3] [
2] [0] pffiffiffi [ 2]

777 Þ

x!þ1

778 Þ

x!0þ

lim e

1þx2 1
x2 1

lim e sin x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 779 lim x
x2 þ 2x þ 3 Þ x!
1

lim

781 Þ

lim ln jsin xj

782 Þ

lim

x!0 x!

x!1 x3

x4
1 þ 4x2
5x

1
ln x2 x!0 1 þ ln x
2  x þ1 784 lim ln Þ x!þ1 x2
1 783 Þ

785 Þ

limþ

lim arctan ln x
 sin x 2 786 lim Þ x!
3 x þ 3 787 Þ

x!0þ

lim x!0

6 1

3 þ ex

[2]

[e
1 ] [þ1] [
1]

sin x
cos x þ 1 x

780 Þ

sin 3x þ sin x x

[1] [
1]  2 3 [
2] [0]  
2 [þ1] [4] 

788 lim 3x Þ x!0 e
1 789 Þ 790 Þ 791 Þ 792 Þ 793 Þ

794 Þ 795 Þ

lim log 13 ð4
x2 Þ

x!2


2xþ1
1 þ 2x þ 1
 x2xþ1 1 lim x!þ1 2
 3x þ 1 x lim x!
1 x
2
 3x
1 x lim x!þ1 x
1

 1 sin x þ
6 2 lim x!0 x cos x
2  x x3
2 lim x!þ1 x þ 1 x þ1 lim

x!
1 x2

796 lim Þ x!3

sin ðx
3Þ x2
9

e2x
2ex
1 797 lim Þ x!þ1 3 þ e2xþ1 798 Þ 799 Þ

lim

x!
1

800 Þ

e2x
2ex
1 3 þ e2xþ1

2 3



[þ1] [1] [0] [0] [þ1]  pffiffiffi 3 2 [
1]  

1 6 1 e



 1
3

lim

ln ð1 þ 2x2 Þ sin x2

[2]

lim

sin x
1 2x


[0]

x!0

[1] [0]

x!þ1 x!0


[
2]

[0]

sin jxj 763 lim Þ x!0
3jxj
x

771 Þ



[1]

x!0

e2x
1

sin x 3jxj
x

x!0þ

768 Þ

1
2

[þ1]

sin x tan x

lim

x! 2

762 lim Þ

765 Þ



2

sin x cos x
1
2 2 x 758 lim 1
Þ x!þ1 x
 3 2x 759 lim 1 þ Þ x!þ1 x 757 Þ

[2]

1

limð1 þ x2 Þ x

x! 2

801 lim Þ

x! 3 2

sin x þ 1 ð2x
3Þ2

Limiti di funzioni reali di variabile reale

 5 9

sin 2x þ 3x 752 lim Þ x!0 5x þ sin 4x

776 Þ

Unita` 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x2
5 751 lim Þ x!
1 xþ2



1 8

141

Limiti e continuita` Tema F

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ8
3 802 lim Þ x!1 x2
1 x sin2 2 803 lim Þ x! 1
cos3 x 804 Þ 805 Þ 806 Þ

lim



1 12 

1 þ sin x 1

lim e cos x þ

[0]

x! 2

1 cos x

lim e

x! 2


[0]

x!0

ðe

812 lim Þ

x!


819 Þ

x!þ

lim e sin x

[
1] [
1] [þ1]

1

lim e sin x

820 Þ

x!0þ

821 Þ

x!þ1

[0]

lim ð1
sin xÞ

824 lim Þ

[0]

1 x

[e
1 ]

x!0þ

1 þ ex

[
1] [0] [0] 

1

2e x

1 2



1

825 Þ

[
1]

x3 þ 1 810 lim 3 Þ x!
1 x þ 3x2 þ 3x þ 1 lim

1

818 Þ

1

lim

2x

limþ

lim ½log2 ðx2 þ x þ 1Þ
log2 ð2x2 þ 1Þ  1 1 x þ 2Þ
822 lim ln ðe Þ x!0þ x x3 823 lim Þ x!0þ sin x ln2 x

[þ1]

x2
1 x!þ1 x2 þ ex
2  x þ1 809 lim ln Þ x!þ1 x4 þ 1

811 Þ



e x2

x2 þ 5x þ 4 807 lim Þ x!
4 x2
8x þ 16 808 Þ

ln ðx2
9Þ x!3 x
3 x 817 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x!þ1 3 þ x
x2 þ 1 816 Þ

[0]

1

x!0

1 2



826 Þ

[þ1]

2


1Þ ln ð1 þ xÞ x3

[2]

ðx
Þ sin x

ð1 þ cos xÞ2 ffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi
pxþ1
x2
1 1 813 lim Þ x!þ1 2
 x
2 1 x þ4xþ4 814 lim Þ x!2 16
 x
2 1 2x þ4xþ4 815 lim Þ x!
1 16

[þ1]

2

2

lim x

2e

[þ1]

1 x

1 ln x2

1

[e 2 ]

x!1

827 Þ

x!þ1

828 Þ

x!0


829 Þ

x!0þ

lim x ½ln ðx þ 4Þ
ln x

[4]

1

lim ð5  3x
3  5x Þ x

[0]

1

[þ1] [
1] pffiffiffi [
2 2]

sin ð4xÞ x! 4 sin x
cos x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 8þx
38
x 832 lim Þ x!0 x 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p  3 1 þ x sin x 833 lim Þ 831 Þ

 pffiffiffi 2 2  1 4

2

2

x!0

1 þ ex

lim ð5  3x
3  5x Þ x

  cos x 3 ffi 830 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x!3
9
x2

[
1]

x!

lim


lim



1 6



1

[e 3 ]

x!0

834 Data la funzione f ðxÞ ¼ Þ

ða
3Þx2 þ 8 , determina a e b in modo che risulti f ð0Þ ¼ 4 e lim f ðxÞ ¼ 2. x!þ1 ax2 þ b [a ¼
3, b ¼ 2]

835 Þ

ða
2Þx2 þ 1 , determina a e b in modo che lim f ðxÞ ¼ 4 e lim f ðxÞ ¼ 1. x!1 x!2 3x2 þ b [a ¼ 14, b ¼
12]

Data la funzione f ðxÞ ¼

ð2a
3Þx2 þ ðb
2Þx þ c , determina a, b, c in modo che lim f ðxÞ ¼ 1 e f ð0Þ ¼ 3. x!þ1 xþ3  3 a ¼ , b ¼ 3, c ¼ 9 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 þ kx
1 837 Determina k in modo che risulti lim ¼ 2. [k ¼ 6] Þ x!0 x 836 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼

838 Þ

Determina k in modo che risulti lim x!0

ln ð1 þ 6xÞ ¼ 2. x2 þ kx

839 Þ

Dopo aver tracciato il grafico della funzione f ðxÞ ¼ in caso affermativo, calcolane il valore: a. lim
f ðxÞ

b. limþ f ðxÞ

g. lim
f ðxÞ

h. limþ f ðxÞ

x!
1

x!1

142

x!
1

x!1

c. lim f ðxÞ x!
1

i. lim f ðxÞ x!1

[k ¼ 3]

jx2
xj þ jx2 þ xj , stabilisci se esistono i seguenti limiti e, x

d. lim
f ðxÞ x!0

e. limþ f ðxÞ x!0

f. lim f ðxÞ x!0

[a.
2; b.
2; c.
2; d.
2; e. 2; f. non esiste; g. 2; h. 2; i. 2]

Dopo aver tracciato il grafico della funzione f ðxÞ ¼ in caso affermativo, calcolane il valore: a. lim f ðxÞ

b. lim
f ðxÞ

841 Þ

c. limþ f ðxÞ

x!0

Data la funzione f ðxÞ ¼

re:

a. lim f ðxÞ

x!0

[a.
2; b.
1; c. þ1; d. 2]

x!þ1

sin x , stabilisci se esistono i seguenti limiti e, in caso affermativo, calcolane il valoex
1

b. lim f ðxÞ x!þ1

x!0

d. lim f ðxÞ

c. lim f ðxÞ

[a. ; b. 0; c. non esiste]

x!
1

y

4 . Siano P x e Q due punti del ramo di iperbole contenuto nel primo quadrante, simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Le rette r ed s sono le tangenti all’iperbole in P e Q e i triangoli colorati sono formati dalle rette r ed s con gli assi cartesiani. Determina il limite cui tende la regione di piano colorata quando l’ascissa di P tende a piu` infinito.

842 Þ

Considera l’iperbole di equazione y ¼

y=

4 x y=x

P

s

Limiti di funzioni reali di variabile reale

x!
1

jx
1j þ jx þ 2j , stabilisci se esistono i seguenti limiti e, x

Unita` 2

840 Þ

Q O

x r

 Indicata con t l’ascissa del punto P, si giunge a dover calcolare lim

t!þ1

16jt 2
4j ; il risultato e` 16 t2 þ 4



843 Þ



Data la parabola di equazione y ¼ x2
4, siano A il suo punto d’intersezione con l’asse y e B il suo punto d’intersezione con il semiasse delle ascisse positive. Detta t la retta tangente alla parabola nel suo punto B, considera

un punto P sull’arco AB di parabola e indica con H la proiezione di P sulla retta t. Calcola il limite cui tende il rap2 pffiffiffiffiffiffi PB quando P tende a B. [17 17] porto PH



844 Considera le circonferenze 1 e 2 , aventi centri rispettivamente in C1 ð
1, 0Þ e C2 ð1, 0Þ, tangenti all’asse y, e Þ un punto P appartenente al semiasse delle ordinate positive. Indica: a. con r1 il raggio della circonferenza avente centro in P, tangente esternamente sia a 1 sia a 2 ; b. con r2 il raggio della circonferenza avente centro in P, tangente internamente sia a 1 sia a 2 . r1 quando la distanza di P dall’origine degli assi tende a þ1. Calcola il limite del rapporto pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  r2 1 þ t2
1 Ponendo P(0, t) con t > 0, si giunge a dover calcolare lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; il risultato e` 1 t!þ1 1 þ t2 þ 1 845 Þ









Data una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r, indica con M il punto medio di AB. Traccia pffiffiffi la corda CD, parallela ad AB e tale che CD ¼ r 3 (con C 2 AM e D 2 BM). Considera quindi i due punti P e Q, apparPQ bP ¼ D O bQ ¼ x. Calcola il limite del rapporto al tentenenti rispettivamente a CM e aDM, tali che CO AB
CP
DQ dere di P e Q a M.

  pffiffiffi  sin
x 2 3 3 ` Si giunge a dover calcolare lim ; il risultato e x x! 3 3 1
2 sin 2 846 In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, la base BC misura 2. Sia P il punto in cui la bisettrice dell’angolo Þ ABbC incontra il lato AC. a. Determina il limite cui tende la misura di BP quando la misura dell’altezza relativa a BC tende a 0. b. Riferito il triangolo a un conveniente sistema di riferimento cartesiano, determina l’equazione cartesiana del luogo descritto dal punto P al variare di A.  2 sin 2 4 , il risultato e` ; a. Posto ABbC ¼ 2, si giunge a dover calcolare lim !0 sin 3 3 b. rispetto a un sistema di riferimento in cui Bð
1, 0Þ; Cð1, 0Þ e A appartiene al semiasse positivo delle y, 1 2 2 il punto P descrive l’arco di iperbole di equazione 3x
y þ 2x
1 ¼ 0 con < x < 1 e y > 0 3

143

Limiti e continuita` Tema F

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 847 Þ

Calcola lim x!0

10x2 sin2 ð3xÞ



(Stanford Math Tournament 2009) 848 Þ



1

Quale dei seguenti e` il risultato del limite limð1
3xÞ x ? x!0

A

e3

B

e
3

C

1

D

þ1

E

Nessuno dei precedenti [B]

(Gainesville College, mathematics tournament 2005) 849 Þ

10 9

Due funzioni lineari f e g hanno grafici del tipo in figura. Allora il limite lim x!a

A

e` uguale a 2

B

non esiste

C

pffiffiffi e` uguale a 2

D

e` uguale a 3

E

dipende da a

f ðxÞ : gðxÞ

y

6

y = f (x)

y = g(x) 3

a

x

O

[A]

(Gainesville College, Mathematics Tournament 2009)

Calcola lim

x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 x3 þ x2
x3
x2

 2 3

:

(Harvard-MIT Math Tournament 2004) 850 Þ

Due cerchi hanno centri distanti d unita` e ciascuno ha diametro di misura AðdÞ raggio minimo che contiene i due cerchi dati. Calcola lim . d!þ1 d 2

pffiffiffi d . Sia AðdÞ l’area del cerchio di hi 4

(Harvard-MIT Math Tournament 2002) 851 Þ

Determina a e b in modo che lim x!1

ln2 ð2
xÞ ¼ 1. x2 þ ax þ b

[a ¼
2, b ¼ 1]

(Harvard-MIT Math Tournament 2008) 852 Solve math in English Given that lim Þ x!0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b
2 ¼ 1, what is a þ b? x [8]

(High school math contest, Texas 2008) 853 Þ

Solve math in English Sketch the graph of a function f such that:

lim f ðxÞ ¼
1;

x!
1

lim f ðxÞ ¼
1;

x!1


lim f ðxÞ ¼
1; x!2

lim f ðxÞ ¼ 0

x!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1 ¼ 2.

854 Þ

Solve math in English Use the formal definition of limit to prove that lim

855 Þ

Solve math in English State whether the inequality provides sufficient information to determine lim f ðxÞ and,

x!3

x!1

if so, find the limit. a. 2x
3  f ðxÞ  x2 b. x þ 1  f ðxÞ  2x 2

8x 2 R 2

8x 2 R

c. ln x  f ðxÞ  x
1 8x > 0 2

144

lim f ðxÞ ¼ þ1;

x!1þ

Unita` 2

PROVA DI AUTOVERIFICA

Limiti di funzioni reali di variabile reale Completa le seguenti uguaglianze, deducendo dal grafico il valore dei seguenti limiti, se esistono.

Limiti di funzioni reali di variabile reale

1 Þ

a. lim f ðxÞ ¼ :::::

y

x!
1

y = f(x)

b. lim
f ðxÞ ¼ ::::: x!
1

c. limþ f ðxÞ ¼ :::::

y =2 O

x!
1

d. lim f ðxÞ ¼ :::::

x

x!0

e. lim
f ðxÞ ¼ ::::: x!1

f. limþ f ðxÞ ¼ ::::: x!1

x = –1

x =1

g. lim f ðxÞ ¼ ::::: x!þ1

2 Þ

Vero o falso?

a.

0 e` una forma indeterminata þ1

V

F

b.

0 e` una forma indeterminata 0

V

F

c. se PðxÞ e` un polinomio di grado 2 e QðxÞ e` un polinomio di grado 3, allora lim

PðxÞ ¼0 QðxÞ

V

F

d. se PðxÞ e` un polinomio di grado 2 e QðxÞ e` un polinomio di grado 3, allora lim

QðxÞ ¼1 PðxÞ

V

F

e. se lim f ðxÞ ¼ 3 e lim gðxÞ ¼ þ1, allora lim ½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ 3

V

F

f. se lim f ðxÞ ¼
3 e lim gðxÞ ¼ 3, allora lim ½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ 0

V

F

x!þ1

x!þ1

x!þ1

x!þ1

x!þ1

x!þ1

x!þ1

x!þ1

Calcola i seguenti limiti. 3 Þ

3x3 þ 2x þ 1 lim x!þ1 x2 þ 1

4 Þ

lim

5 Þ 6 Þ 7 Þ

8 Þ

x2
2x þx
6

9 Þ

x!2 x2

  lim 3 þ ex þ e2x

10 Þ

x!0


x 2 lim x!þ1 5

11 Þ

6x
x þ 1 2x2 þ x þ 1 2

lim

x!þ1

12 Þ


x 2 lim x!
1 5
 2x 1 lim
x!þ1 x þ 1 x lim x!0

sin x 3x

lim

x!þ1

lim x!0

ex 3x

xþ4 ln x

Valutazione Esercizio Punteggio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Totale

1,25

1,25

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

0,75

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 45 min

3Risposte in fondo al volume 145

Unita`

3

Limiti di successioni

Tema F

1. Introduzione alle successioni Definizione di successione e di grafico di una successione Attenzione!

SUCCESSIONE

Salvo avviso contrario, conveniamo che il dominio di una data successione sia tutto N. Nel caso in cui il dominio sia per esempio soltanto n
1, verra` specificato.

Una successione e` una funzione che ha come dominio l’insieme N dei numeri naturali (eventualmente privato di qualche suo elemento).

Altre notazioni In alcuni testi vengono utilizzati due simboli diversi per indicare una successione e il suo termine generale; precisamente, per indicare la successione di termine generale an si utilizza il simbolo fan g.

I numeri reali corrispondenti degli elementi di N in una successione si dicono termini della successione e vengono indicati con i simboli: a0 , a1 , a2 , :::, an , ::: essendo a0 il corrispondente di n ¼ 0, a1 il corrispondente di n ¼ 1, a2 il corrispondente di n ¼ 2 e cosı` via. L’n-esimo termine della successione, an , e` chiamato termine generale della successione. Una successione viene spesso assegnata dando la formula che esprime il termine generale an in funzione di n. ESEMPI

a. Si puo` assegnare la successione dei quadrati dei numeri naturali tramite la formula an ¼ n2 . I primi termini della successione sono: a0 ¼ 0, a1 ¼ 1, a2 ¼ 4, a3 ¼ 9, ::: b. Si puo` assegnare la successione dei numeri dispari tramite la formula an ¼ 2n þ 1. I primi termini della successione sono: a0 ¼ 1, a1 ¼ 3, a2 ¼ 5, a3 ¼ 7, ::: Il grafico di una successione an e` l’insieme formato dai punti di coordinate: ð0, a0 Þ, ð1, a1 Þ, ð2, a2 Þ, ð3, a3 Þ, ESEMPIO

:::,

ðn, an Þ,

:::

Grafico di una successione

1 , n con n
1, sono quelli mostrati in fig. 3.1. Si tratta, come puoi vedere, di punti 1 «isolati», che formano un insieme discreto; il grafico di an ¼ e` la restrizione n 1 all’insieme dei punti aventi ascisdel grafico dell’iperbole di equazione y ¼ x sa intera positiva (fig. 3.2).

I punti che rappresentano i primi quattro termini della successione an ¼

Osserva Nella rappresentazione grafica di una successione l’asse verticale e` indicato con an e quello orizzontale con n.

an 5

an 5

4

4

3

3

2

2

1 O

(1, 1)  1   1  2, 2  3, 3

1

Figura 3.1

146

2

3

 1 4, 4 

4

5 n

1

(1, 1)  1   1  1 2, 2  3, 3 4,   4

O

1

Figura 3.2

2

3

4

5 n

Limiti di successioni

ESEMPIO

Unita` 3

Una successione puo` essere assegnata, oltre che tramite la formula che ne esprime il termine generale, in forma ricorsiva, cioe` dando il primo termine (i primi termini) della successione e la legge che permette di determinare ciascun termine in funzione del precedente (dei precedenti). Successione definita ricorsivamente

Determiniamo i primi cinque termini della successione definita ricorsivamente da:
a1 ¼ 1 , con n
1 anþ1 ¼ 3  an Il primo termine e` dato: a1 ¼ 1 Dalla relazione ricorsiva (ponendo n ¼ 1) otteniamo: a2 ¼ 3  a1 ¼ 3  1 ¼ 2 Procediamo analogamente per gli altri termini: a3 ¼ 3  a2 ¼ 3  2 ¼ 1 a4 ¼ 3  a3 ¼ 3  1 ¼ 2 a5 ¼ 3  a4 ¼ 3  2 ¼ 1 :::::

Ci rendiamo cosı` conto che la successione assegnata ha una particolare caratteristica: ha termini di indice dispari uguali a 1 e termini di indice pari uguali a 2. Il termine generale della successione potrebbe dunque essere cosı` espresso:
1 se n e` dispari an ¼ 2 se n e` pari

Attenzione! Per brevita` scriveremo spesso «successione an », intendendo «successione avente come termine generale an ».

Alcune proprieta` delle successioni Le proprieta` di limitatezza e monotonia, gia` definite per le funzioni, possono essere definite in modo del tutto analogo per le successioni. PROPRIETA` DI LIMITATEZZA DELLE SUCCESSIONI

Una successione an si dice: a. limitata inferiormente se esiste un numero reale m tale che an
m per ogni n 2 N per cui la successione e` definita; b. limitata superiormente se esiste un numero reale M tale che an  M per ogni n 2 N per cui la successione e` definita; c. limitata, se lo e` sia inferiormente sia superiormente, vale a dire se esistono due numeri reali m e M tali che m  an  M per ogni n 2 N per cui la successione e` definita. ESEMPI

Successioni inferiormente o superiormente limitate

a. La successione an ¼ n þ 3 e` limitata inferiormente (an
3Þ, ma non superiormente. b. La successione an ¼ 1  n2 e` limitata superiormente (an  1Þ, ma non inferiormente.
1 se n e` dispari n e` limitata. c. La successione an ¼ ð1Þ ¼ 1 se n e` pari
2n se n e` dispari n d. La successione an ¼ ð2Þ ¼ non e` limitata ne´ infe2n se n e` pari riormente ne´ superiormente (perche´?). 147

Limiti e continuita`

PROPRIETA` DI MONOTONIA DELLE SUCCESSIONI

Una successione an si dice: a. crescente se an  anþ1 per ogni n 2 N per cui la successione e` definita; b. strettamente crescente se an < anþ1 per ogni n 2 N per cui la successione e` definita; c. decrescente se an
anþ1 per ogni n 2 N per cui la successione e` definita;

Tema F

d. strettamente decrescente se an > anþ1 per ogni n 2 N per cui la successione e` definita. Una successione crescente o decrescente (strettamente oppure no) e` detta monoto`na. ESEMPI

Successioni monoto`ne

a. La successione an ¼ n2 e` strettamente crescente. Infatti, sappiamo che la funzione f ðxÞ ¼ x2 e` strettamente crescente nell’intervallo ½0, þ1Þ; in particolare, sara`: f ðnÞ < f ðn þ 1Þ per ogni n 2 N, ossia an < an þ 1 . b. La successione an ¼

1 e` strettamente decrescente. Infatti, sappiamo che la n

1 e` strettamente decrescente nell’intervallo ð0, þ1Þ; in x particolare, sara`: f ðnÞ > f ðn þ 1Þ per ogni n 2 N  f0g, vale a dire an > anþ1 . funzione f ðxÞ ¼

Prova tu

ESERCIZI a p. 160

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. n a. la successione an ¼ e` strettamente crescente nþ1
a1 ¼ 1 , risulta a4 ¼ 29 b. data la successione definita da anþ1 ¼ 3 þ 2an pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. la successione an ¼ n þ 4 e` limitata d. la successione an ¼ 1  2

n

e` limitata superiormente ma non inferiormente

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 2 false]

2. Progressioni aritmetiche e geometriche Due classi di successioni particolarmente importanti sono quelle delle progressioni aritmetiche e geometriche, che ora definiamo. PROGRESSIONE ARITMETICA

Una successione in cui la differenza tra un termine (a partire dal secondo) e il suo precedente si mantiene costante si dice progressione aritmetica.

La differenza costante fra un termine e il precedente si chiama ragione della progressione aritmetica e viene indicata generalmente con la lettera d. PROGRESSIONE GEOMETRICA

Una successione in cui il rapporto tra un termine (a partire dal secondo) e il suo precedente si mantiene costante, diverso da zero, si dice progressione geometrica.

Il rapporto costante fra un termine e il precedente si chiama ragione della progressione geometrica e viene indicato generalmente con la lettera q. 148

Controesempi

 an ¼ 2 þ 3n e` una progressione aritmetica.

 an ¼ 2n þ 1 non e` una progressione aritmetica.

2, 3, 5, 9, :::

an  an1 ¼ ð2 þ 3nÞ  ½2 þ 3ðn  1Þ ¼ an

e si constata subito, per esempio, che:

an1

32¼1

¼ 2 þ 3n  2  3n þ 3 ¼ 3

mentre

53¼2

La ragione della progressione e` 3.

Limiti di successioni

Infatti i primi termini della successione sono:

Infatti la differenza tra un termine e il suo precedente e` costante:

Unita` 3

Esempi

 an ¼ n2 þ 1 non e` una progressione geometrica.

 an ¼ 3n1 , con n
1, e` una progressione geometrica. Infatti il rapporto tra un termine e il precedente e` costante:

Infatti i primi termini della progressione sono: 1, 2, 5, 10, 17, :::

an 3n1 ¼ n2 ¼ 3 an1 3

e si constata subito, per esempio, che: 2 ¼ 2 mentre 1

La ragione della progressione e` 3.

5 ¼ 2,5 2

I termini di una progressione aritmetica (geometrica) si possono ottenere a partire dal primo per successive addizioni (moltiplicazioni) della ragione (figg. 3.3 e 3.4) ·qn – 1

+(n – 1)d +d +d +d a1

a2

a3

·q

+d +d a4

Figura 3.3

an – 1 an

x

a1

·q a2

·q a3

·q a4

·q

an – 1 an

x

Figura 3.4

Sempre dall’osservazione delle figure, puoi intuire le formule presentate nei seguenti teoremi, che esprimono il termine generale di una progressione aritmetica o geometrica in funzione del primo termine e della ragione. Termine g en erale di un a progressione a ritmetica

TEOREMA 3.1

L’n-esimo termine di una progressione aritmetica il cui primo termine e` a1 e la cui ragione e` d e` dato dalla formula: an ¼ a1 þ ðn  1Þd

[3.1]

Termine g en erale di un a progressione geometri ca

TEOREMA 3.2

L’n-esimo termine di una progressione geometrica il cui primo termine e` a1 e la cui ragione e` q e` espresso dalla formula: an ¼ a1 qn1 ESEMPI

[3.2]

Termine generale di una progressione

Determiniamo: a. il dodicesimo termine della progressione aritmetica il cui primo termine e` a1 ¼ 3 e la cui ragione e` d ¼ 2; b. l’ottavo termine della progressione geometrica il cui primo termine e` a1 ¼ 3 e la cui ragione e` q ¼ 2.

Attenzione! Nei teoremi 3.1 e 3.2 (e nei successivi 3.3 e 3.4) si suppone che il primo termine della successione sia a1 ; ricorda pero` che in generale una successione e` definita in N e che il primo termine puo` risultare a0 . In tal caso le formule [3.1] e [3.2] si modificano rispettivamente come segue: an ¼ a0 þ nd an ¼ a0 qn .

a. Utilizzando la formula [3.1] otteniamo: a12 ¼ 3 þ ð12  1Þ  2 ¼ 3 þ 22 ¼ 25 b. Utilizzando la formula [3.2] otteniamo: a8 ¼ 3  ð2Þ8  1 ¼ 3  ð2Þ7 ¼ 384 149

TEOREMA 3.3

Somma d ei primi n t e rm in i di una pr og re s s ion e ar it m e ti ca

La somma Sn dei primi n termini di una progressione aritmetica e` espressa dalla formula: Sn ¼

Tema F

Limiti e continuita`

La somma dei termini di una progressione aritmetica o geometrica

n ða1 þ an Þ 2

[3.3]

dove a1 e` il primo termine e an e` l’n-esimo termine della progressione. DIMOSTRAZIONE

Osserviamo che per come e` definita una progressione aritmetica, i suoi termini si possono ricavare, alternativamente:  a partire dal primo termine, a1 , aggiungendo successivamente la ragione d,  a partire dall’n-esimo, an , sottraendo successivamente d. Questa osservazione consente di riscrivere la somma Sn in due modi diversi. Sn ¼ a1 þ ða1 þ dÞ þ ða1 þ 2dÞ þ ::: þ an

La somma e` stata scritta a partire dal primo termine, continuando ad aggiungere d, fino al termine n-esimo

Sn ¼ an þ ðan  dÞ þ ðan  2dÞ þ ::: þ a1

La somma e` stata scritta a partire dal termine n-esimo, continuando a sottrarre d, fino al primo termine

Sommando queste due equazioni membro a membro otteniamo: Sn ¼ ða1 þ an Þ þ ða1 þ an Þ þ ða1 þ an Þ þ ::: þ ða1 þ an Þ Al secondo membro di quest’ultima equazione ci sono n addendi uguali a a1 þ an , quindi l’equazione equivale a: n da cui: Sn ¼ ða1 þ an Þ 2Sn ¼ nða1 þ an Þ 2

TEOREMA 3.4

Somma d ei primi n termini di una progressione geometrica

La somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica, il cui primo termine e` a1 e la cui ragione e` q, con q 6¼ 1, e` espressa dalla formula: Sn ¼ a1

1  qn 1q

[3.4]

DIMOSTRAZIONE

I primi n termini di una progressione geometrica in cui il primo termine e` a1 e la ragione e` q si possono esprimere nella forma: a1 , a1 q, a1 q2 , :::, a1 qn2 , a1 qn1 Indicata con Sn la somma di tali termini avremo allora: Sn ¼ a1 þ a1 q þ a1 q2 þ ::: þ a1 qn2 þ a1 qn1

[3.5]

Per trovare una formula piu` semplice per Sn , moltiplichiamo i due membri della [3.5] per q: qSn ¼ a1 q þ a1 q2 þ ::: þ a1 qn1 þ a1 qn Sottraendo membro a membro dalla [3.5] la [3.6] otteniamo l’equazione: Sn  qSn ¼ ða1 þ a1 q þ a1 q2 þ ::: þ a1 qn2 þ a1 qn1 Þ   ða1 q þ a1 q2 þ ::: þ a1 qn1 þ a1 qn Þ

150

[3.6]

Unita` 3

Osservando che ciascun termine all’interno della prima coppia di parentesi, eccetto il primo, si puo` elidere con un termine all’interno della seconda coppia di parentesi ed effettuando le semplificazioni, otteniamo: )

Sn ð1  qÞ ¼ a1 ð1  qn Þ

Limiti di successioni

Sn  qSn ¼ a1  a1 qn

Poiche´ stiamo supponendo q 6¼ 1, possiamo dividere i due membri per 1  q, ottenendo cosı` la [3.4]: Sn ¼ a 1

1  qn 1q

ESEMPIO

Somma dei termini di una progressione aritmetica

Determiniamo la somma dei primi 50 numeri naturali (escluso lo zero). I primi 50 numeri naturali, escludendo lo zero: 1, 2, 3, 4, 5, :::, 50 si possono pensare come i primi 50 termini di una progressione aritmetica il cui primo termine e` a1 ¼ 1 e la cui ragione e` d ¼ 1. In base alla formula [3.3] abbiamo allora: S50 ¼

50 ð1 þ 50Þ ¼ 1275 2

ESEMPIO

Formula [3.3] con n ¼ 50, a1 ¼ 1, a50 ¼ 50

Somma dei termini di una progressione geometrica

Determiniamo la somma dei primi 6 termini della progressione geometrica defini n1 1 ta da an ¼ 3 , con n
1. 2 1 La ragione della progressione e` q ¼ , e a1 ¼ 3. In base alla formula [3.4] ab2 biamo allora:  6 1   1 1 189 2 1 ¼ Formula [3.4] con n ¼ 6, a1 ¼ 3, q ¼ S6 ¼ 3 ¼6 1 2 1 64 32 1 2

Problemi che hanno come modello progressioni Molti problemi tratti dalla realta` hanno come modello una progressione. Ne presentiamo uno come esempio, rinviando per altri esempi agli esercizi. PROBLEMA

Deprezzamento di un’auto

Un’auto viene acquistata al prezzo di 16 000 euro. A partire dall’anno successivo l’auto subisce ogni anno un deprezzamento del 25% rispetto al valore dell’anno precedente. In quale anno il valore sara` inferiore a 1000 euro? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA

Il primo anno (quello in cui l’auto viene acquistata) l’auto vale 16 000 euro. Il secondo anno, a causa del deprezzamento del 25%, l’auto vale: 16 000  0,25  16 000 ¼ 16 000 ð1  0,25Þ ¼ 16 000  0,75 Ogni anno il prezzo e` 0,75 volte quello dell’anno precedente. Quindi il prezzo al terzo anno sara` 0,75 volte 16 000  0,75, ovvero 16 000  ð0,75Þ2 e cosı` via... I prezzi per i primi cinque anni sono riportati nella seguente tabella: Primo anno

Secondo anno

Terzo anno

Quarto anno

Quinto anno

16 000

16 000  0,75

16 000  ð0,75Þ2

16 000  ð0,75Þ3

16 000  ð0,75Þ4

151

Limiti e continuita` Tema F

COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA

Dalla tabella costruita nel punto precedente possiamo riconoscere che i prezzi seguono una progressione geometrica, in cui il primo termine e` a1 ¼ 16 000 e la ragione e` q ¼ 0,75. Quindi il prezzo an dell’auto, all’n-esimo anno, e` dato da: an ¼ 16 000 ð0,75Þn1 Stabilire in quale anno il valore dell’auto diventa inferiore a 1000 euro equivale a trovare il piu` piccolo valore di n 2 N per cui an < 1000. ESEGUIAMO I CALCOLI

1o modo Procediamo «per tentativi», calcolando i valori di an per valori di n via via crescenti, fino a individuare il primo valore di n per cui an < 1000 (questo puo` essere fatto velocemente, per esempio, con un foglio elettronico). I valori che si ottengono, arrotondati ai decimi, sono riportati nella tabella a lato, dalla quale risulta che il piu` piccolo valore di n per cui an < 1000 e` n ¼ 11. 2o modo Trattiamo momentaneamente n come una variabile continua (anche se, in realta`, nel nostro problema la variabile n assume valori in N, quindi e` discreta) e risolviamo l’equazione: 1000 ¼ 16 000 ð0,75Þn1 . ð0,75Þn1 ¼

1 16

ln ð0,75Þn1 ¼ ln

Dividendo i due membri per 16 000

1 16

ðn  1Þln 0,75 ¼ ln

1 16

1 16 ’ 10,64 n¼1þ ln 0,75

n

an

1

16 000

2

12 000

3

9000

...

...

10

1201,4

11

901,00

Prendendo i logaritmi naturali dei due membri Proprieta` dei logaritmi

ln

Risolvendo rispetto a n e arrotondando ai centesimi, con una calcolatrice

Poiche´ il prezzo decresce al crescere di n, esso sara` superiore a 1000 euro per n < 10,64, circa uguale a 1000 euro per n ’ 10,64, inferiore a 1000 euro per n > 10,64; il piu` piccolo valore intero di n per cui an < 1000 e` n ¼ 11. RISPONDIAMO

Il valore dell’auto scende sotto i 1000 euro l’undicesimo anno.

Prova tu

ESERCIZI a p. 163

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. la successione an ¼ n2 þ 1 e` una progressione aritmetica V F  n 3 b. la successione an ¼ e` una progressione geometrica V F 2 c. la somma dei primi dieci termini della progressione aritmetica definita da an ¼ 2 þ 3n, con n
1, e` 185 V F  n1 2 d. la somma dei primi cinque termini della progressione geometrica definita da an ¼ , 3 211 V F con n
1, e` 81 [3 affermazioni vere e 1 falsa]

3. Limiti di successioni Le definizioni e i teoremi fondamentali

152

Essendo le successioni particolari funzioni, possiamo anche per esse definire l’operazione di limite. La situazione risulta semplificata rispetto al caso delle funzioni definite in R, poiche´ l’insieme N ammette un solo punto di accumulazione, þ1.

Unita` 3

Di conseguenza, l’operazione di limite per una successione an puo` essere definita solo per n ! þ1. Possono presentarsi tre casi: 1. se il limite della successione e` un numero reale l, diremo che la successione e` convergente e scriveremo:

Limiti di successioni

lim an ¼ l

n!þ1

2. se il limite della successione e` þ1 oppure 1, diremo che la successione e` divergente e scriveremo: lim an ¼ þ1

n!þ1

oppure

lim an ¼ 1

n!þ1

3. se il limite della successione non esiste, diremo che la successione e` irregolare (o indeterminata). Studiare il carattere di una successione significa stabilire se essa e` convergente, divergente o irregolare. Adattando la definizione generale di limite presentata nell’Unita` 2, possiamo dare le seguenti definizioni.

Modi di dire In alcuni testi le successioni irregolari vengono chiamate oscillanti.

LIMITE DI UNA SUCCESSIONE CONVERGENTE

Diciamo che la successione an converge al limite finito l 2 R quando, in corrispondenza di ogni " > 0, e` possibile determinare un numero N > 0 (dipendente da "Þ tale che per ogni n > N risulta: jan  lj < "

L’illustrazione geometrica della definizione di successione convergente e` riportata in fig. 3.5: per n > N i punti appartenenti al grafico della successione (colorati in rosso) non «escono piu`» dalla striscia individuata dalle rette di equazioni y ¼ l  " e y ¼ l þ ". an y=l+ε y=l y=l–ε O

1

2

3

N

n Figura 3.5

LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DIVERGENTE

Diciamo che la successione an diverge a þ1 (oppure a 1Þ quando, in corrispondenza di ogni M > 0, e` possibile determinare un numero N > 0 (dipendente da MÞ tale che, per ogni n > N, risulta: an > M

(oppure an < MÞ

Per i limiti di successioni sussistono teoremi analoghi a quelli gia` visti per i limiti di funzioni; ci limitiamo a enunciare qui di seguito i vari teoremi, «adattati» al caso delle successioni. Nel seguente enunciato utilizzeremo la locuzione «definitivamente», che significa per n abbastanza grande, ossia per n maggiore di un opportuno numero N. Per esempio, la successione definita da an ¼ 2n  50 e` definitivamente positiva perche´ per n > 25 risulta an > 0. Teorema del confronto per le successioni

TEOREMA 3.5

Siano an , bn , cn tre successioni per cui risulta definitivamente an  bn  cn . Se an e cn convergono a l 2 R, allora anche bn converge a l. 153

Limiti e continuita` Tema F

TEOREMA 3.6

Esistenza del limite per successioni monotone

Osserva

a. Una successione crescente e superiormente limitata e` convergente. b. Una successione decrescente e inferiormente limitata e` convergente.

Dal teorema 3.6 segue che ogni successione monotona e limitata e` convergente.

TEOREMA 3.7

L’ultimo teorema che enunciamo non e` un «adattamento» di analoghi teoremi per le funzioni, ma un teorema nuovo che mette in relazione i limiti di funzioni e i limiti di successioni. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni

Consideriamo una funzione f , definita in un intorno I di x0 , eccetto al piu` x0 . Allora risulta: con l 2 R

lim f ðxÞ ¼ l,

x!x0

se e solo se, per ogni successione an convergente a x0 (a valori in I  fx0 g), risulta: lim f ðan Þ ¼ l

n!þ1

Per saperne di piu` Sia x0 2 R il limite cui converge la successione an ; per la continuita` della funzione f sara` lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ x!x0

e per il teorema 3.7 lim f ðan Þ ¼ f ðx0 Þ. Da n!þ1

quest’ultima uguaglianza, tenendo conto che x0 ¼ lim an , segue n!þ1

lim f ðan Þ ¼ f ð lim an Þ

n!þ1

n!þ1

E` opportuno fare alcune osservazioni. Dal teorema 3.7 segue come corollario che se f e` una funzione continua in R e an e` una successione convergente, allora (vedi nota qui a fianco): lim f ðan Þ ¼ f ð lim an Þ

n!þ1

n!þ1

Il teorema 3.7 e` utile per dimostrare rigorosamente la non esistenza del limite di una funzione. Precisamente, per mostrare che lim f ðxÞ non esiste, e` sufficiente x!x0

trovare due successioni an e bn entrambe convergenti a x0 e tali che le due successioni f ðan Þ e f ðbn Þ abbiano limiti diversi per n ! þ1. ESEMPIO

Dimostrazione della non esistenza di un limite

Dimostriamo che lim sin x!0

1 non esiste. x

Consideriamo le successioni:

an ¼

1 2
n

e

1 bn ¼
þ 2
n 2

Entrambe convergono a 0 per n ! þ1; se si prende in considerazione la fun1 zione f ðxÞ ¼ sin , risulta: x 
 lim f ðan Þ ¼ lim sin 2n
¼ 0 e lim f ðbn Þ ¼ lim sin þ 2n
¼ 1 n!þ1 n!þ1 n!þ1 n!þ1 2 Dunque avvicinandoci a 0 in due modi diversi, tramite le successioni an e bn , 1 le successioni dei corrispondenti valori assunti da f ðxÞ ¼ sin , f ðan Þ e f ðbn Þ, x hanno due comportamenti diversi (infatti f ðan Þ ! 0 mentre f ðbn Þ ! 1): per il teorema 3.7, possiamo concludere che il limite per x ! 0 della funzione f non esiste.

Il calcolo del limite di una successione Tutte le regole valide per le funzioni, relative al calcolo dei limiti di somme, prodotti, quozienti ecc. valgono anche per le successioni. In particolare, dai limiti notevoli sulle funzioni si deducono (in forza del teorema 3.7, prendendo an ¼ nÞ i seguenti limiti notevoli per le successioni: 154



an ¼ þ1 nb

lim

ðloga nÞb ¼0 nc

n!þ1

n!þ1

per ogni a > 1, b > 0

  k n 1þ ¼ ek n!þ1 n lim

Limiti di successioni



lim

Unita` 3



per ogni a > 1, b > 0, c > 0

per ogni k 2 R

Presentiamo infine due limiti notevoli, non provenienti come i precedenti dalla «restrizione» a N dei limiti notevoli per le funzioni, che forniscono esempi di infiniti di ordine superiore agli esponenziali:  

lim

an ¼0 n!

lim

n! ¼0 nn

n!þ1

n!þ1

ESEMPI

per ogni a > 1

n! e` un infinito di ordine superiore a qualsiasi esponenziale di base maggiore di 1

Ricorda n! ¼ n  ðn  1Þ  ðn  2Þ  :::  1

nn e` un infinito di ordine superiore a n!

Studio del carattere di una successione

Stabiliamo il carattere delle successioni cosı` definite: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n2 þ 1 b. an ¼ n þ 2  n þ 1 a. an ¼ c. ð1Þn 2n þ 1

d. an ¼

ð1Þn n

a. Con le ordinarie tecniche di calcolo dei limiti che si presentano sotto forma di rapporti di polinomi si vede che: lim

n!þ1

n2 þ 1 ¼ þ1 2n þ 1

La successione e` quindi divergente. b. Calcoliamo il limite di an per n ! þ1 con le tecniche di calcolo gia` viste per le funzioni. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi nþ2  nþ1 nþ2 þ nþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lim an ¼ lim nþ2  nþ1 ¼ lim ¼ n!þ1 n!þ1 n!þ1 nþ2 þ nþ1 forma indeterminata þ1 1

1 ¼ lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0 n!þ1 nþ2þ nþ1 Dunque la successione converge a 0.
1 se n e` pari , e` intuitivo che i valori della succ. Poiche´ an ¼ ð1Þn ¼ 1 se n e` dispari cessione oscillano tra –1 e 1, dunque la successione e` irregolare. Piu` formalmente, si potrebbe dimostrare che se una successione tende a un limite l, finito o infinito, per n ! þ1, allora anche ogni sua sottosuccessione (cioe` ogni successione ottenuta da quella originaria togliendone alcuni elementi, senza modificare la posizione dei rimanenti) tende allo stesso limite l. In questo caso le due sottosuccessioni di an formate dai termini di indice pari e dai termini di indice dispari hanno limiti diversi per n ! þ1 (la prima tende a 1 e la seconda a 1Þ: ne segue che la successione an non puo` ne´ convergere ne´ divergere, quindi e` irregolare. ð1Þn d. Osserviamo preliminarmente che la successione an ¼ e` il rapporto n tra la successione bn ¼ ð1Þn che abbiamo visto nell’esempio precedente es-

Ô

155

Limiti e continuita`

Ô

Tema F

Rifletti Ragionando in modo simile all’esempio d si potrebbe dimostrare, piu` in generale, che se una successione e` il prodotto di una successione convergente a 0 e di una successione limitata, allora la successione data converge a 0.

sere irregolare, e la successione cn ¼ n, che e` divergente. Gli ordinari teoremi sul limite di un rapporto non possono essere applicati, perche´ bn e` irregolare; percio` occorre seguire una via alternativa. Osserviamo che: ð1Þn  1 per ogni n
1 0 n n 1 ! 0 per n ! þ1, quindi per il teorema del confronto anche n ð1Þn n ¼ jan j ! 0 per n ! þ1. D’altra parte, dalla definizione di limite

e che

di una successione convergente segue subito che an ! 0 se e solo se jan j ! 0, dunque possiamo concludere che anche la successione originaria converge a 0.

Prova tu

ESERCIZI a p. 169

Studia il carattere delle seguenti successioni.

 n2 þ 1 1 1. an ¼ Convergente a 4n2 þ n þ 1 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi [Convergente a 0] 2. an ¼ n þ 1  n 3. an ¼

n! n5

[Divergente a þ1]

4. an ¼

ð1Þn ðn þ 3Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n2 þ 1

5. an ¼

ð1Þn ln n

[Irregolare] [Convergente a 0]

4. Principio di induzione In questo paragrafo introduciamo una nuova tecnica di dimostrazione, il cosiddetto principio di induzione, e ne presentiamo alcune applicazioni alle successioni.

Che cos’e` il principio di induzione? Il principio di induzione e` un tipo di ragionamento utilizzato per dimostrare che una proprieta` vale per ogni numero naturale n; esso e` fondato sui seguenti passi: 1. si considera una proposizione, diciamo PðnÞ, dipendente da n 2 N, che si vuole dimostrare essere vera per ogni n 2 N; 2. si dimostra che la proposizione PðnÞ e` vera per n ¼ 0; 3. si dimostra che, per ogni k
0, se e` vera la proposizione PðkÞ, ottenuta per n ¼ k, allora e` vera anche la proposizione successiva Pðk þ 1Þ, ottenuta per n ¼ k þ 1. A questo punto siamo nella seguente situazione: dal passo 2 sappiamo che Pð0Þ e` vera; dal passo 3 applicato con k ¼ 0 possiamo dedurre che anche Pð1Þ e` vera; possiamo poi applicare ancora la 3 con k ¼ 1 e dedurre, a partire dalla verita` di Pð1Þ, che anche la proposizione P(2) e` vera; poi da P(2), applicando sempre la 3, deduciamo che anche P(3) e` vera, e cosı` via; deduciamo in questo modo che PðnÞ e` vera per ogni n 2 N. Il principio di induzione rende rigoroso questo «e cosı` via». Questo ragionamento puo` partire, invece che da n ¼ 0, da un opportuno n ¼ n0 2 N, percio` il principio di induzione puo` essere enunciato in forma piu` generale come segue. 156

Allora possiamo dedurre che la proposizione PðnÞ e` vera per ogni n
n0 .

Limiti di successioni

Consideriamo una proposizione PðnÞ (in particolare una formula), dipendente dalla variabile n, con n 2 N. Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni: a. la proposizione sia vera per un certo n ¼ n0 , con n0 2 N; b. comunque fissato un intero k con k
n0 , supposto che la proposizione PðnÞ sia vera per n ¼ k, allora e` possibile dimostrare che la proposizione PðnÞ e` vera anche per n ¼ k þ 1.

Unita` 3

PRINCIPIO DI INDUZIONE

Particolare attenzione va prestata alla condizione b; non bisogna dimostrare che la proposizione Pðk þ 1Þ e` vera, ma bisogna provare che Pðk þ 1Þ e` deducibile da PðkÞ, cioe` che Pðk þ 1Þ e` vera tutte le volte che lo e` PðkÞ. In questo passo dell’applicazione del principio di induzione l’ipotesi, detta ipotesi di induzione, e` quindi che PðnÞ sia vera per n ¼ k, mentre la tesi e` che PðnÞ sia vera anche per n ¼ k þ 1. Alcuni esempi chiariranno meglio le cose. ESEMPIO

Dimostrazione per induzione di una disuguaglianza

Dimostriamo che 2n > n per ogni n 2 N. La proposizione PðnÞ che vogliamo dimostrare essere vera per ogni n 2 N e` in questo caso la disuguaglianza «2n > n».

31

passo Dimostriamo che Pð0Þ e` vera Si tratta di dimostrare che 2n > n e` vera per n ¼ 0. Cio` e` ovvio poiche´ 20 ¼ 1 > 0. o

32

passo Dimostriamo che se PðnÞ e` vera per n ¼ k, allora e` vera anche per n¼kþ1 Sia k
0 fissato. Assumiamo che PðkÞ sia vera, cioe` che: o

2k > k

Ipotesi induttiva

Vogliamo dimostrare che allora Pðk þ 1Þ e` vera, cioe` che 2kþ1 > k þ 1. A questo scopo procediamo come segue, a partire dall’ipotesi di induzione: 2k > k )

Ipotesi di induzione

) 2 k þ 2k > k þ 2k )

Aggiungendo ai due membri 2k

) 2 k  2 > k þ 2k )

Osservando che 2k þ 2k ¼ 2k ð1 þ 1Þ ¼ 2k  2

) 2kþ1 > k þ 2k

Proprieta` delle potenze

[3.7]

Ora, osserviamo che per k
0 e` 2k
1, quindi k þ 2k
k þ 1, pertanto: 2kþ1 > k þ 2k
k þ 1 ) 2kþ1 > k þ 1 ½3:7

Pðk þ 1Þ

Dunque Pðk þ 1Þ e` vera se e` vera PðkÞ.

33

o

passo Concludiamo Essendo verificate entrambe le condizioni previste dal principio di induzione, possiamo concludere che 2n > n per ogni n 2 N.

157

Limiti e continuita` Tema F

ESEMPIO

Dimostrazione per induzione di un’uguaglianza

Dimostriamo per induzione che 12 þ 22 þ 32 þ ::: þ n2 ¼

1 n ðn þ 1Þð2n þ 1Þ 6

per ogni n 2 N, con n
1. La proposizione PðnÞ che vogliamo dimostrare essere vera per ogni n
1 e` in questo caso l’uguaglianza «12 þ 22 þ 32 þ ::: þ n2 ¼

31

o

1 n ðn þ 1Þð2n þ 1Þ» 6

passo Dimostriamo che Pð1Þ e` vera

Per n ¼ 1 l’uguaglianza che vogliamo dimostrare fornisce: 12 ¼

1 1  1  ð1 þ 1Þ  ð2 þ 1Þ ) 1 ¼  2  3 ) 1 ¼ 1 6 6

dunque e` vera.

32

passo Dimostriamo che se PðnÞ e` vera per n ¼ k, allora e` vera anche per n¼kþ1 o

Sia k
1 fissato. Assumiamo che PðkÞ sia vera, cioe` che: 12 þ 22 þ 32 þ ::: þ k2 ¼

1 k ðk þ 1Þð2k þ 1Þ 6

Ipotesi induttiva

Vogliamo dimostrare che allora Pðk þ 1Þ e` vera, cioe` che: 12 þ 22 þ 32 þ ::: þ k2 þ ðk þ 1Þ2 ¼

1 ðk þ 1Þðk þ 1 þ 1Þ½2ðk þ 1Þ þ 1 6

ossia: 12 þ 22 þ 32 þ ::: þ k2 þ ðk þ 1Þ2 ¼

1 ðk þ 1Þðk þ 2Þð2k þ 3Þ 6

Pðk þ 1Þ

A questo scopo scriviamo la seguente catena di uguaglianze: 12 þ 22 þ 32 þ ::: þ k2 þ ðk þ 1Þ2 ¼ ¼

1 kðk þ 1Þð2k þ 1Þ þ ðk þ 1Þ2 ¼ 6

Per ipotesi di induzione

¼

1 ðk þ 1Þ½kð2k þ 1Þ þ 6ðk þ 1Þ ¼ 6

Raccogliendo

¼

  1 ðk þ 1Þ 2k2 þ 7k þ 6 ¼ 6

¼

1 ðk þ 1Þðk þ 2Þð2k þ 3Þ 6

Svolgendo i calcoli all’interno della parentesi quadra Scomponendo il trinomio di secondo grado

Dunque Pðk þ 1Þ e` vera se e` vera PðkÞ.

33

o

passo Concludiamo Essendo verificate entrambe le condizioni previste dal principio di induzione, possiamo concludere che l’uguaglianza data e` vera per ogni n
1.

158

Unita` 3

PER SAPERNE DI PIU`

Alcune somme notevoli

E` bene riflettere su alcune uguaglianze notevoli che abbiamo avuto occasione di incontrare in questa Unita`.

1 þ 2 þ ::: þ n ¼

1 nðn þ 1Þ 2

Limiti di successioni

1. Nel Paragrafo 2 abbiamo ricordato la formula per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica; da essa segue in particolare la formula per calcolare la somma dei primi n numeri naturali, a partire da 1: [3.8]

2. Nell’esempio precedente abbiamo dimostrato per induzione la formula che esprime la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali, a partire da 1: 12 þ 22 þ 32 þ ::: þ n2 ¼

1 nðn þ 1Þð2n þ 1Þ 6

[3.9]

3. Sempre per induzione si potrebbe provare la seguente formula, che esprime la somma dei cubi dei primi n numeri naturali, a partire da 1:

2 1 [3.10] 13 þ 23 þ 33 þ ::: þ n3 ¼ n ðn þ 1 Þ 2 Le tre uguaglianze notevoli [3.8], [3.9] e [3.10] si possono esprimere in forma compatta utilizzando il simbolo di sommatoria, definito come segue: n P

n P

ak ¼ a1 þ a2 þ ::: þ an

ak indica la somma dei termini della successione ak

k¼1

k¼1

a partire dal termine a1 fino al termine an

Con questa notazione, la [3.8], la [3.9] e la [3.10] si scrivono rispettivamente: n X

k¼

k¼1 n X

k2 ¼

k¼1 n X

nð n þ 1Þ 2 1 nðn þ 1Þð2n þ 1Þ 6

k3 ¼

k¼1

1 nðn þ 1Þ 2

2

Prova tu

ESERCIZI a p. 172

1. Dimostra per induzione che 1 þ 2 þ 22 þ ::: þ 2n ¼ 2nþ1  1, per ogni n
1.

159

3

Tema F

Unita`

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e teoremi importanti Termine generale di una progressione aritmetica avente come primo termine a1 e ragione d an ¼ a1 þ ðn  1Þd Somma dei primi n termini (a partire da a1 ) di una progressione aritmetica Sn ¼

n ða1 þ an Þ 2

Termine generale di una progressione geometrica avente come primo termine a1 e ragione q an ¼ a1  qn1 Somma dei primi n termini (a partire da a1 ) di una progressione geometrica di ragione q Sn ¼ a1

1  qn , con q 6¼ 1 1q

Limiti notevoli relativi alle successioni lim

n!þ1

an ¼ 0 per ogni a > 1 n!

lim

n!þ1

n! ¼0 nn

Principio di induzione Consideriamo una proposizione PðnÞ dipendente dalla variabile n, con n 2 N. Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni: a. la proposizione sia vera per un certo n ¼ n0 , con n0 2 N; b. comunque fissato un intero k con k
n0 , supposto che la proposizione PðnÞ sia vera per n ¼ k, allora e` possibile dimostrare che la proposizione PðnÞ e` vera anche per n ¼ k þ 1. Allora possiamo dedurre che la proposizione PðnÞ e` vera per ogni n
n0 . Somme notevoli n X

k¼

k¼1

nðn þ 1Þ 2

n X

k2 ¼

k¼1

nðn þ 1Þð2n þ 1Þ 6

n X

k3 ¼

k¼1

nðn þ 1Þ 2

2

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione alle successioni

TEORIA a p. 146

Rappresentazione tramite il termine generale Determina i primi cinque termini delle successioni di cui e` dato il termine generale. Supponi n
1. 1 Þ

an ¼ n2  3n  2

2 Þ

an ¼ 3n  2

3 an ¼ Þ 4 Þ 5 Þ

160

[a1 ¼ 4, a2 ¼ 4, a3 ¼ 2, a4 ¼ 2, a5 ¼ 8]

n2  1 n

n2  1 nþ1   1 n1 an ¼  2

a1 ¼ 0, a2 ¼

3 8 15 24 , a3 ¼ , a4 ¼ , a5 ¼ 2 3 4 5

a1 ¼ 1, a2 ¼ 

1 1 1 1 , a3 ¼ , a4 ¼  , a5 ¼ 2 4 8 16



an ¼





an ¼

7 Þ

Data la successione definita da an ¼ 3n  2, per quale n risulta an ¼ 46?

9 Þ

[n ¼ 10] [n ¼ 8]

Grafico di una successione 10 Rappresenta il grafico della funzione y ¼ 2  3x e quello della successione an ¼ 2  3n. Quali differenze sussiÞ stono tra i due grafici?  x1  n1 1 1 11 Rappresenta il grafico della funzione y ¼ e quello della successione an ¼ . Quali differenze Þ 2 2 sussistono tra i due grafici?

Limiti di successioni

8 Þ

[n ¼ 16]

n1 3 Data la successione definita da an ¼ , per quale n risulta an ¼ ? nþ2 4  n1 1 1 Data la successione definita da an ¼ 2  , per quale n risulta an ¼ ? 2 64

Unita` 3

ð1Þn n

6 Þ

Rappresenta il grafico delle seguenti successioni, di cui e` dato il termine generale. Supponi n
1. n

12 Þ

an ¼ n2  2n

16 Þ

13 Þ

an ¼ 2n  2

14 Þ

an ¼

15 Þ

an ¼ 3  n

20 Þ

Interpretazione di grafici. Scrivi un possibile termine generale delle successioni di cui e` dato il grafico.

an ¼ 2 2  1   1 n 17 a ¼  Þ n 2

6 n

18 Þ

an ¼ ð1Þn  n

19 an ¼ Þ

an

an

an

n

O

O

ð2Þn n

n

a

O

n

c

b

Rappresentazione per elencazione Rappresenta per elencazione le seguenti successioni descritte a parole. 21 Þ

La successione dei numeri dispari.

24 Þ

22 La successione dei numeri naturali, diversi da zeÞ ro, che sono multipli di 6.

25 Þ

23 Þ

26 Þ

La successione delle potenze, con esponente in1 tero positivo, di . 3

La successione dei cubi dei numeri naturali.

La successione dei quadrati dei reciproci degli interi positivi. La successione degli opposti dei quadrati degli interi positivi.

Determina un possibile termine generale per ciascuna delle seguenti successioni. 27 Þ

1 2 3 4 , , , , ... 2 3 4 5

32 Þ

1 1 1 1 , , , , ... 2 6 18 54

28 Þ

2, 2, 2, 2, 2, 2, ...

33 Þ

1, 8, 27, 64, ...

34 Þ



35 Þ

2, 1,

1 1 1 29 1, , , , ... Þ 3 9 81 30 Þ

1, 4, 3, 16, 5, 36, 7, ...

31 Þ

2, 4, 8, 16, ...

1 1 3 5 , , , , ... 2 2 2 2 2 1 2 1 , , , , ... 3 2 5 3 161

Limiti e continuita` Tema F

Rappresentazione per ricorsione 36 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Determina i primi cinque termini della successione cosı` definita ricorsivamente: a1 ¼ 1, an ¼ 3 þ an1 Il primo termine, a1 , e` assegnato: a1 ¼ 1 Devi determinare il secondo, il terzo, il quarto e il quinto termine: a2 ¼ 3 þ a1 ¼ 3 þ ::: ¼ :::

Sostituendo n ¼ 2 nella relazione an ¼ 3 þ an1

a3 ¼ 3 þ a2 ¼ 3 þ ::: ¼ :::

Sostituendo n ¼ 3 nella relazione an ¼ 3 þ an1

a4 ¼ 3 þ a3 ¼ 3 þ ::: ¼ :::

Sostituendo n ¼ 4 nella relazione an ¼ 3 þ an1

a5 ¼ 3 þ a4 ¼ 3 þ ::: ¼ :::

Sostituendo n ¼ 5 nella relazione an ¼ 3 þ an1

Determina i primi cinque termini di ciascuna delle seguenti successioni definite ricorsivamente. 

1 7 15 31 37 a ¼ 2, a ¼ 2 þ ¼ 3, a ¼ ¼ ¼ a , a , a a n n1 2 3 4 5 Þ 1 2 2 4 8 38 Þ

a1 ¼ 1, an ¼ 2  an1



1 an1  1 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi an1 40 a1 ¼ 2, an ¼ Þ 2 39 a1 ¼ 3, an ¼ Þ

a2 ¼

1 3 11 27 , a3 ¼  , a4 ¼  , a5 ¼  2 4 8 16

41 Þ

a1 ¼ 1, a2 ¼ 1, an ¼ an1  an2

42 Þ

a1 ¼ 1, a2 ¼ 2, an ¼

43 Þ

Sai trovare il termine generale della successione definita ricorsivamente da a1 ¼ 2, an ¼ 2 þ an1 ?

44 Þ

Sai trovare il termine generale della successione definita ricorsivamente da a1 ¼ 3, an ¼ 1 þ an1 ?

45 Þ

Sai trovare il termine generale della successione definita ricorsivamente da a1 ¼ 1, an ¼ 3an1 ?

46 Þ

Sai trovare il termine generale della successione definita ricorsivamente da a1 ¼ 4, an ¼



[a3 ¼ 2, a4 ¼ 1, a5 ¼ 1]

an1 an2

1 an1 ? 2

Successioni monoto`ne e limitate 47 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Per ciascuna delle seguenti successioni rappresenta il grafico e stabilisci se e` monoto`na e se e` inferiormente o superiormente limitata: a. an ¼ 2 

1 , n

n
1

b. an ¼ 4  n2 ,

n
0

1 a. Osserva che il grafico della successione e` la restrizione del grafico della funzione omografica y ¼ 2  ai punti x 1 aventi ascissa intera positiva. Tenendo conto del fatto che la funzione y ¼ 2  e` strettamente crescente nell’inx tervallo ð0, þ1Þ e ammette come asintoto orizzontale la retta y ¼ 2, puoi dedurre che la successione e` strettamente crescente e limitata. b. Osserva che il grafico della successione e` la restrizione del grafico della funzione quadratica y ¼ 4  x2 ai punti aventi ascissa intera positiva o nulla. Tenendo conto che la parabola rappresentata dalla funzione quadratica e` strettamente decrescente nell’intervallo ½0, þ1Þ e che tende a 1 per x ! þ1, puoi dedurre che la successione e` strettamente decrescente e limitata superiormente ma non inferiormente. 162

49 Þ

1 , n
1 n

53 an ¼ Þ

ð1Þn , nþ1

n
0

n
0

54 Þ

an ¼ ln n, n
1

an ¼ n2  4n, n
0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 51 an ¼ n þ 4, n
0 Þ

55 Þ

an ¼

an ¼ 2  2 n ,

50 Þ

52 Þ

Limiti di successioni

48 an ¼ 1 þ Þ

n2 , n
0 nþ1

56 Þ

an ¼ sin n, n
0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 57 an ¼ 1 þ n2 , n
0 Þ

n

an ¼ ð1Þ n, n
0

Unita` 3

Per ciascuna delle seguenti successioni rappresenta il grafico e stabilisci se e` monoto`na e se e` inferiormente o superiormente limitata.

2. Progressioni aritmetiche e geometriche

TEORIA a p. 148

Esercizi preliminari 58 Þ

Vero o falso? V F a. la somma di due termini consecutivi di una progressione aritmetica e` costante ` b. la successione 3, 9, 81, ... non puo essere una progressione aritmetica V F c. la ragione di una progressione aritmetica non puo` essere negativa V F d. la successione dei multipli di 3 e` una progressione aritmetica e ha ragione uguale a 3 V F e. la successione dei quadrati degli interi e` una progressione aritmetica e ha ragione uguale a 2 V F [2 affermazioni vere e 3 false] 59 Vero o falso? Þ V F a. due termini consecutivi di una progressione geometrica hanno prodotto costante b. la successione 6, 12, 24, ... non puo` essere geometrica V F c. in una progressione geometrica e` sempre an > an1 > ::: > a3 > a2 > a1 V F d. la successione delle potenze di 5 e` geometrica e ha ragione 5 V F e. la successione dei quadrati degli interi non e` geometrica V F [2 affermazioni vere e 3 false] 60 Þ A

61 Þ A

62 Þ A

63 Þ A

64 Þ A

65 Þ A

Una delle seguenti successioni non puo` essere una progressione aritmetica; quale? pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 1 3 B 1, 2, 4, 8, ... C 0, 3, 12, 27, 48, ... , 1, , 2, ... 2 2

D

2, 4, 6, 8, ...

Quale delle seguenti successioni e` una progressione aritmetica la cui ragione e` uguale a 5? 5, 25, 125, 625, ...

B

5, 10, 20, 40, ...

C

5, 0, 5, 10, ...

D

1, 4, 9, 14, ...

Qual e` il decimo termine della progressione aritmetica in cui a1 ¼ 2 e la ragione e` d ¼ 2? 18

B

20

C

22

D

I dati sono insufficienti per rispondere.

Una delle seguenti successioni non puo` essere una progressione geometrica; quale? pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 3 3 3 3 B C 2, 4, 8, 16, ... D 2, 6, 18, 54, ... , , , , ... 3, 3, 27, 9, ... 2 4 8 16 Quale delle seguenti successioni e` una progressione geometrica di ragione uguale a 2? 5, 10, 20, 40, ...

B

2, 4; 8, 16, ...

C

2, 4, 8; 16; :::

D

5; 10, 10; 40, ...

Qual e` l’ottavo termine della progressione geometrica in cui a1 ¼ 0,5 e la ragione e` 2? 32

B

128

C

64

D

I dati sono insufficienti per rispondere.

Progressioni aritmetiche Di ciascuna delle seguenti progressioni aritmetiche determina la ragione, il termine generale e il decimo termine. 66 Þ

3, 9, 15, 21, ...

69 Þ

67 Þ

3, 5, 7, 9, ...

70 Þ

68 Þ

3, 7, 11, 15, ...

10, 5, 0, 5, ...

1 3 , 1, , 2, ... 2 2 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 71 2, 8, 18, 32, ... Þ

163

Limiti e continuita` Tema F

Individua quali delle seguenti successioni sono progressioni aritmetiche. Di quelle che lo sono determina l’ottavo termine e la ragione della progressione. Supponi n
1.

79 Þ

72 Þ

an ¼ n2  1

81 Þ

73 Þ

an ¼

74 Þ

an ¼ 5  n1

Definisci ricorsivamente la progressione aritmetica il cui primo termine e` a1 ¼ 5 e la cui ragione e` 2.

80 Þ

Definisci ricorsivamente la progressione aritmetica il cui termine generale e` an ¼ 3n  4. Interpretazione di grafici. Scrivi il termine generale delle progressioni aritmetiche di cui e` rappresentato il grafico; per ciascuna di esse specifica qual e` il primo termine e qual e` la ragione.

3 n1 2

an

an

75 an ¼ 5  n Þ 76 Þ

an ¼ 3n

77 Þ

an ¼ ðn þ 1Þ2  n2

78 Considera la progressione aritmetica definita dal Þ termine generale an ¼ 2n  1. In corrispondenza di quale n risulta an ¼ 103?

O

n

a

n

O b

Date le informazioni assegnate, relative a una progressione aritmetica, determina l’elemento richiesto. 82 Þ 83 Þ 84 Þ

Trova a16 , dati a1 ¼ 5 e d ¼ 4.

85 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

[a16 ¼ 65]

Trova a20 , dati a1 ¼ 2 e d ¼ 2.

[a20 ¼ 36]

Trova n, sapendo che a1 ¼ 2, d ¼ 3 e an ¼ 65.

[n ¼ 22]

Troviamo il primo termine a1 di una progressione aritmetica, dati a5 ¼ 5 e d ¼ 4. Per n ¼ 5, la formula an ¼ a1 þ ðn  1Þd fornisce: a5 ¼ a1 þ ð5  1Þd Sostituiamo i valori noti, cioe` a5 ¼ 5, d ¼ 4. Otteniamo l’equazione: 5 ¼ a1 þ ð5  1Þ  4

da cui risulta:

a1 ¼ 11.

86 Þ 87 Þ 88 Þ

Trova a15 , dati a8 ¼ 2 e d ¼ 2.

[a15 ¼ 12]

Trova a10 , dati a5 ¼ 12 e d ¼ 3.

[a10 ¼ 3]

89 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Trova n, dati a3 ¼ 7, d ¼ 1 e an ¼ 4.

[n ¼ 14

Troviamo il primo termine a1 e la ragione d di una progressione aritmetica, dati a8 ¼ 11 e a15 ¼ 25. Affinche´ sia a8 ¼ 11; deve essere: 11 ¼ a1 þ ð8  1Þd

Dalla formula an ¼ a1 þ ðn  1Þd, con n ¼ 8 e a8 ¼ 11

[*]

Analogamente, affinche´ sia a15 ¼ 25; deve essere: 25 ¼ a1 þ ð15  1Þd

Dalla formula an ¼ a1 þ ðn  1Þd, con n ¼ 15 e a15 ¼ 25

[**]

Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni [*] e [**] rispetto alle incognite a1 e d, si trova a1 ¼ 3 e d ¼ 2.

164

90 Þ

Trova a1 e d, dati a2 ¼ 2 e a5 ¼ 17.

91 Þ

Trova a1 e d, dati a5 ¼ 6 e a9 ¼ 12.

92 Þ

Trova n, dati a3 ¼ 2, a6 ¼ 8 e an ¼ 22.

[a1 ¼ 3, d ¼ 5]

 3 a1 ¼ 0, d ¼ 2 [n ¼ 13]

93 Þ

3, 9, 27, 81, ...

94 Þ

2, 4, 8, 16, ...

95 Þ

1, 3, 9, 27, ...

96 Þ

10, 5,

5 5 , , ::: 2 4

1 1 1 , , , 2 6 18 pffiffiffi pffiffiffi 2 2 , 1, , 98 Þ 2

1 , ::: 54

97 Þ

1 , ::: 2

Stabilisci se le seguenti successioni sono progressioni geometriche. Di quelle che lo sono, determina il quinto termine e la ragione della progressione. Supponi n
1. 99 Þ

an ¼ 3n2

103 Þ

an ¼ 5  n 2

100 Þ

an ¼ 3ðn  2Þ

104 Þ

an ¼ 2  ð3Þn

101 Þ

an ¼ 2nþ1

105 Þ

an ¼ n3

102 Þ

an ¼ 3  2n

106 Þ

an ¼ 2nþ1  2n

107 Þ

Considera la progressione geometrica definita da an ¼ 3  2 2 . In corrispondenza di quale n risulta an ¼ 48?

108 Þ

Definisci ricorsivamente la progressione geometrica il cui primo termine e` 4 e la cui ragione e` 2.

109 Þ

Definisci ricorsivamente la progressione geometrica il cui termine generale e` an ¼ 3  2n2 .

Limiti di successioni

Di ciascuna delle seguenti progressioni geometriche determina la ragione, il termine generale e il quinto termine.

Unita` 3

Progressioni geometriche

n

110 Interpretazione di grafici. Scrivi il termine generale delle progressioni geometriche di cui e` rappresentato il Þ grafico; per ciascuna di esse specifica qual e` il primo termine e qual e` la ragione.

an

an

n

O

O

n

b

a

Date le informazioni assegnate, relative a una progressione geometrica, determina l’elemento richiesto. 111 Þ

Trova a5 , dati a1 ¼ 5 e q ¼ 2.

113 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Troviamo a2 , dati a5 ¼

[a5 ¼ 80

112 Þ

Trova a7 , dati a1 ¼ 2 e q ¼ 2.

[a7 ¼ 128]

4 1 eq¼ . 9 3

Per n ¼ 5, la formula an ¼ a1 qn1 fornisce: a5 ¼ a1 q51 ¼ a1 q4 Sostituiamo i valori noti, cioe` a5 ¼

 4 4 1 4 1 da cui risulta a1 ¼ 36. , q ¼ . Otteniamo l’equazione: ¼ a1 9 3 9 3

Il termine generale della progressione e` dunque an ¼ 36 1 1 eq¼ . 2 2

114 Þ

Trova a1 , dati a5 ¼

115 Þ

Trova a3 , dati a4 ¼ 6 e q ¼ 3.

 n1  21 1 1 e a2 ¼ 36 ¼ 12. 3 3 2 8 e an ¼  . 3 3 [n ¼ 4]

[a1 ¼ 8]

116 Þ

Trova n sapendo che a1 ¼ 9, d ¼ 

[a3 ¼ 2]

117 Þ

Trova n sapendo che a3 ¼ 2, q ¼ 2 e an ¼ 512. [n ¼ 11] 165

Limiti e continuita` Tema F

118 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Troviamo a1 e q, dati a4 ¼ Affinche´ sia a4 ¼ 5 ¼ a1 q4 1 2

5 5 e a6 ¼ . 2 8

5 , deve essere: 2 Dalla formula an ¼ a1 qn1 , con n ¼ 4 e a4 ¼

Analogamente, affinche´ sia a6 ¼ 5 ¼ a1 q6 1 8

5 2

[*]

5 8

[**]

5 , deve essere: 8

Dalla formula an ¼ a1 qn1 , con n ¼ 6 e a6 ¼

Per trovare a1 e q dobbiamo risolvere il sistema formato dalle due equazioni [*] e [**].  Dividendo membro a membro le due equazioni [*] e [**], troviamo: 5 3 1 1 2 ¼ a1 q ) 4¼ 2 ) q¼ 5 5 a1 q q 2 8 1  Sostituendo al posto di q nella [*] e risolvendo l’equazione ottenuta troviamo a1 ¼ 20. 2 1  Sostituendo  al posto di q nella [*] e risolvendo l’equazione ottenuta troviamo a1 ¼ 20. 2 1 1 oppure a1 ¼ 20, q ¼  . Il problema ammette quindi due soluzioni: a1 ¼ 20, q ¼ 2 2

 1 , q ¼ 4 16

 1 a1 ¼ 20, q ¼  2

119 Trova a1 e q, dati a4 ¼ 4 e a5 ¼ 16. Þ 120 Þ

Trova a1 e q, dati a3 ¼ 5 e a5 ¼

a1 ¼

5 . 4

Somma dei termini di una progressione aritmetica o geometrica 121 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Troviamo la somma dei numeri pari compresi tra 2 e 150, inclusi 2 e 150. La successione dei numeri pari diversi da zero: 2, 4, 6, 8, ... puo` essere definita dalla formula: an ¼ 2n, con n
1. Osserviamo che:  2 e` il primo termine di questa successione;  150 e` il settantantacinquesimo termine (infatti a75 ¼ 2  75 ¼ 150Þ;  la successione dei numeri pari e` una progressione aritmetica di ragione 2. Pertanto il problema dato equivale a determinare la somma dei primi 75 termini di questa progressione. Abbiamo: S75 ¼

75 ð2 þ 150Þ ¼ 75  76 ¼ 5700 2

Formula Sn ¼

n ða1 þ an Þ, con n ¼ 75, a1 ¼ 2 e a75 ¼ 150 2

Pertanto, la somma dei numeri pari compresi tra 2 e 150, inclusi 2 e 150, e` uguale a 5700.

166

122 Þ 123 Þ 124 Þ 125 Þ

Trova la somma dei primi 120 numeri naturali, escluso lo zero.

[7260]

Trova la somma dei numeri dispari compresi tra 1 e 99, inclusi 1 e 99.

[2500]

Trova la somma di tutti i multipli di 5 compresi tra 10 e 200, inclusi 10 e 200.

[4095]

Trova la somma dei primi 40 termini della progressione aritmetica: 1, 5, 9, 13, ...

[3160]

126 Þ 127 Þ

3 þ 6 þ ::: þ 120

[2460]

1 þ ð2Þ þ ::: þ ð100Þ

[5050]

128 Þ 129 Þ

10 þ 4 þ ð2Þ þ ð8Þ þ ::: þ ð68Þ 1 þ 5 þ 9 þ ::: þ 81

[406] [861]

Interpretazione di grafici. Determina la somma dei primi 20 termini delle progressioni aritmetiche il cui grafico e` rappresentato in figura. an

an

n

O a 131 Þ 132 Þ 133 Þ

Limiti di successioni

130 Þ

Unita` 3

Determina le seguenti somme.

n

O

[a. 410; b. 380]

b

La somma dei primi n numeri pari (escluso lo zero) e` 110. Quanto vale n?

[10]

La somma dei primi n numeri dispari e` 169. Quanto vale n?

[13]

ESERCIZIO SVOLTO

Troviamo la somma delle prime dieci potenze di 2, con esponente diverso da zero. La successione delle potenze di 2, con esponente diverso da zero: 2, 4, 8, 16, ... e` una progressione geometrica di ragione 2. Pertanto, il problema dato equivale a determinare la somma dei primi dieci termini di questa progressione. Abbiamo: S10 ¼ 2

1  210 ¼ 12

Formula Sn ¼ a1

¼ 2ð210  1Þ ¼ 2046

1  qn , con n ¼ 10, a1 ¼ 2 e q ¼ 2 1q

Utilizzando una calcolatrice

La somma delle prime dieci potenze di 2, con esponente diverso da zero, e` quindi 2046. 134 Þ 135 Þ 136 Þ 137 Þ

Trova la somma delle prime cinque potenze di 3, con esponente diverso da zero.

[363]

Trova la somma delle prime sei potenze di 4, a partire da quella con esponente 0.

[1365]

Trova la somma dei primi sei termini della successione 3, 6, 12, 24, ...

[63]

Trova la somma dei primi sei termini della successione 2, 6, 18, 54, ...

[728]

2 2 2 138 Trova la somma dei primi sei termini della successione 2, , , , ... Þ 10 100 1000

[2,22222]

Determina le seguenti somme. 139 Þ

1 þ 3  9 þ 27  :::  38  6 2 4 2 140 1 þ ::: þ þ þ Þ 3 9 3

[4921]

 2059 729

2 2 2 þ þ ::: þ n 3 9 3

141 Þ

2þ

142 Þ

3 þ 6 þ 12 þ ::: þ 3  2n

[3  3n ] [3ð2nþ1  1Þ]

143 Þ

Interpretazione di grafici. Determina la somma dei primi dieci termini delle progressioni geometriche il cui grafico e` rappresentato in figura. an

an

O O a

n

n b

[a. 511,5; b. 341] 167

Limiti e continuita` Tema F

1 255 , con esponente diverso da zero, e` . Quanto vale n? 2 256

144 Þ

La somma delle prime n potenze di

145 Þ

La somma delle prime n potenze di 

[8]

2 266 , con esponente diverso da zero, e`  . Quanto vale n? 3 729

[6]

Somma dei termini di una progressione aritmetica o geometrica 146 Retribuzioni/1. Una compagnia offre una retriÞ buzione di 25 000 euro per il primo anno e un incremento di 2500 euro all’anno per gli anni successivi. Se si accetta questa offerta, quanto si incassera` complessivamente in 10 anni? [362 500 euro] 147 A teatro. I teatri sono spesso costruiti in modo Þ che il numero di posti per fila cresca via via che ci si allontana dalla prima fila. Un teatro ha 28 posti a sedere nella prima fila, 30 nella seconda, 32 nella terza e cosı` via (2 posti in piu` per ogni fila). Nel teatro ci sono complessivamente 30 file. Quanti posti a sedere ci sono in teatro? [1710] 148 Risparmi. Paolo nel mese di novembre risparmia Þ 10 centesimi il primo giorno, 20 centesimi il secondo, 30 centesimi il terzo, 40 centesimi il quarto, e cosı` via. Quanto ha risparmiato complessivamente in novembre? [46 euro e 50 centesimi]

151 Þ

Aumento della retribuzione. Supponi di aver firmato un contratto in cui ti viene riconosciuto un compenso di 16 000 euro per il primo anno e un incremento del 5% per ciascuno degli anni successivi. Quale sara` il compenso che riceverai il quinto anno? [Circa 19 448 euro]

152 Þ

Oscillazioni di un pendolo. Un pendolo descrive inizialmente, in una sua prima oscillazione, un arco di 20 cm. A ogni oscillazione successiva la lunghezza dell’arco diminuisce del 10% rispetto alla precedente. Qual e` la somma delle lunghezze degli archi descritti dal pendolo dopo dieci oscillazioni? [Circa 130,26 cm]

153 Þ

Quadrati. Dopo aver colorato, secondo il processo indicato in figura, 10 quadrati, quale frazione del quadrato piu` grande resta colorata?

149 Un mosaico. Un mosaico ha la forma di un Þ triangolo equilatero, il cui lato e` lungo 20 cm. Ogni piastrella del mosaico e` a forma di triangolo equilatero, il cui lato e` lungo 1 cm. Le piastrelle, gialle e azzurre, si alternano come indicato in figura. Quante piastrelle di ciascun colore ci sono nel mosaico?

[Circa il 33,3%]

20

cm

154 Þ

20

cm

20 cm

[190 gialle e 210 azzurre] 150 Retribuzioni/2. Due compagnie offrono due difÞ ferenti contratti, della durata di 10 anni. La compagnia A offre una retribuzione per il primo anno di 18 000 euro e un aumento di 2800 euro all’anno per gli anni successivi. La compagnia B offre per il primo anno una retribuzione di 26 000 euro e un aumento, negli anni successivi, di 1200 euro all’anno. Quale delle due offerte e` piu` conveniente, ovvero permette di incassare complessivamente la cifra maggiore nei 10 anni di durata del contratto? [L’offerta della compagnia B]

168

La leggenda dell’inventore degli scacchi. Si racconta che il monarca Shiram, ammirato dal gioco degli scacchi, promise a Sissa, l’inventore del gioco, qualunque cosa gli avesse chiesto come ricompensa. Sissa rispose: «Vostra maesta`, mi dia un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due per la seconda, quattro per la terza e cosı` via, fino alla 64-esima, raddoppiando ogni volta la ricompensa precedente». Il re non capı` subito che non gli sarebbe bastato il grano contenuto in tutti i granai del mondo per soddisfare una cosı`... modesta richiesta! Sai spiegare perche´?

gnie offrono due contratti diversi: la prima offre una retribuzione di 23 000 euro per il primo anno e un incremento del 5% all’anno per gli anni successivi; la seconda offre una retribuzione di 25 000 euro per il primo anno e un incremento del 4% per gli anni successivi. Quale compagnia offre, in un periodo di 10 anni, la maggiore retribuzione complessiva? [La seconda] 157 Una paga... interessante. Ti viene offerto un laÞ voro per il mese di luglio sotto le seguenti particolari condizioni: il primo giorno verrai pagato 1 centesimo, il secondo 2 centesimi, il terzo 4 centesimi, e cosı` via: ogni giorno ti viene pagato il doppio del giorno precedente. Ti sembra un’opportunita` di lavoro interessante? Alla fine del mese quanto avrai guadagnato? [10 737 418,23 euro]

Deprezzamento. Un’auto viene acquistata al prezzo di 15 000 euro. Il primo anno il prezzo dell’auto resta invariato; a partire dal secondo anno, invece, il prezzo diminuisce ogni anno del 20% rispetto all’anno precedente. Quanto varra` l’auto il quinto anno? Qual e` il primo anno in cui il valore dell’auto sara` inferiore a 1000 euro?#[Il 5 anno l’auto vale 6144 euro; il 14 anno vale meno di 1000 euro]

159 Þ

Scelta fra due tipi di contratto/3. Un giocatore di calcio deve firmare un contratto per 7 anni che prevede 2 000 000 di euro per il primo anno, e deve scegliere tra le seguenti possibilita`: a. un incremento del 4% all’anno, a partire dal secondo anno, rispetto alla retribuzione dell’anno precedente; b. un incremento fisso di 100 000 euro all’anno, a partire dal secondo anno. Quale opzione gli consiglieresti di scegliere? Perche´? [La seconda]

Limiti di successioni

156 Scelta fra due tipi di contratto/2. Due compaÞ

158 Þ

Unita` 3

155 Scelta fra due tipi di contratto/1. Due compaÞ gnie offrono due diversi contratti: la prima offre una retribuzione di 20 000 euro per il primo anno e un incremento del 6% all’anno per gli anni successivi; la seconda offre una retribuzione di 25 000 euro per il primo anno e un incremento del 3% per gli anni successivi. Quale compagnia offre, in un periodo di 10 anni, la maggiore retribuzione complessiva? [La seconda]

160 Una promessa. Il primo giorno dell’anno ti vieÞ ne regalata la somma di 1000 euro e ti viene promessa, per ogni giorno successivo, una cifra pari al 90% di quella che ti e` stata data il giorno precedente. Qual e` il primo giorno in cui riceverai meno di 1 euro? Quanto hai ricevuto complessivamente dall’inizio quando cio` accade? [Il 67 giorno; circa 9991,40 euro]

3. Limiti di successioni

TEORIA a p. 152

Esercizi preliminari Test 161 Þ A

162 Þ A

163 Þ A

164 Þ A

Quale delle seguenti successioni e` convergente? n3 þ 1 nþ1 B an ¼ an ¼ n2 n Quale delle seguenti successioni e` divergente? n1 2n  3 B an ¼ an ¼ 2 n 3n þ 5 Quale delle seguenti successioni e` irregolare? 2 2n B an ¼ ð1Þ an ¼ n

C

an ¼

n4 þ 1 n2

D

an ¼

n2 þ 1 nþ1

C

an ¼

n2 þ 1 n4 þ 1

D

an ¼

n2 þ 1 nþ1

C

an ¼

n 2

D

an ¼ 2  ð1Þn

C

an ¼ 1  sin n

D

an ¼ 1 

Quale delle seguenti successioni e` divergente? an ¼ 1  en

B

an ¼ 1  ln n

1 n

165 Þ

Vero o falso? a. se una successione e` superiormente limitata e strettamente decrescente, allora e` convergente b. se an  100 per ogni n 2 N e an e` strettamente crescente, allora an e` convergente c. se an e` limitata e monotona, allora non puo` essere divergente d. se lim f ðxÞ ¼ 1 e an ! 0 per n ! þ1, allora lim f ðan Þ ¼ 1 x!0

n!þ1

V

F

V

F

V

F

V

F

e. se an ! 0 e bn ! 0 per n ! þ1 e inoltre lim f ðan Þ ¼ 1, lim f ðbn Þ ¼ 1, allora non puo` esistere il n!þ1 n!þ1 V F limite per x ! 0 della funzione f f. se la successione an e` irregolare, allora, qualsiasi sia il carattere di bn , anche la successione an bn e` V F irregolare [4 affermazioni vere e 2 false] 169

Limiti e continuita` Tema F

166 Þ

Inventa tu. Fornisci l’esempio: a. di una successione divergente e superiormente limitata; b. di una successione convergente e inferiormente limitata; c. di una successione convergente non monotona; d. di una successione divergente non monotona.

Calcolo di limiti di successioni Calcola i seguenti limiti di successioni. 5n  3 167 lim Þ n!þ1 n þ 2 168 Þ

n!þ1

169 Þ

n!þ1

170 Þ 171 Þ 172 Þ

lim

3n2 þ 2n  3 2n2 þ 7

175 Þ

lim ð2n3 þ 2n2  1Þ

[þ1]

n!þ1

lim

n!þ1

lim

n!þ1

ðn þ 3Þ2  n2 ðn þ 3Þ2 þ n2 18n þ 5 6n þ 1

lim

184 Þ 185 Þ 186 Þ

170

n!þ1

194 Þ

n!þ1

n2 þ 1 3n3 þ 4

[0]

195 Þ

lim

n2 þ n3 þ 2 3n2  1

[þ1]

196 Þ

[2]

197 Þ

 1 2

198 Þ

1  4n2 n!þ1 1 þ 2n2   3n  2 n 179 lim  Þ n!þ1 2n nþ5   2n  1 n3 þ 1 180 lim  2 Þ n!þ1 4n þ 1 n 2

183 Þ

193 Þ

lim

n!þ1

lim

lim

ð2n  1Þ2  n2 2

ð3n  1Þ    2n þ 5 2 lim n!þ1 n6   1  n3 lim ð1  n2 Þ 2 n!þ1 n þ2  2  2n  1 1 lim  n!þ1 nþ1 n    2n 2n2 lim n!þ1 n þ 1 1n   1 3n  1 lim 2 n!þ1 n 2n þ 1 n!þ1

n2

n!þ1

[0]

 1 3

n!þ1

lim

3n þ 1 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n2 þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi nþ2 n p ffi pffiffiffi 192 lim Þ n!þ1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi nþ2þ n

n2  1 3n2 þ n

177 Þ

182 Þ

[þ1]

187 Þ

lim

n!þ1

181 Þ

191 Þ

[1]

176 Þ

178 Þ

[3]

 3 2

lim ð5  7n3 Þ

2n4  n2 n!þ1 n3 þ 1   n2 n 174 lim  Þ n!þ1 n n2 173 Þ

[0]

 n 4 n!þ1 5  n 5 188 lim Þ n!þ1 4   3 n 189 lim 2 þ Þ n!þ1 2n rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 10n n 190 lim  Þ n!þ1 nþ1 nþ2

[5]

[1]

 3 8 [4] [þ1]

[þ1]

[1]

[0]

lim

n2 ln n

200 Þ

3n e2n   2n  1 lim ln n!þ1 2n þ 1  2  n þ1 lim ln n!þ1 n rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9n  5 lim n!þ1 nþ2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n2 þ 5 lim n!þ1 nþ1  
n þ 2 lim sin n!þ1 6n þ 5  
n þ 2 lim cos n!þ1 5n

201 Þ

n!þ1

199 Þ

lim

lim e13n   2 202 lim ln 1 þ Þ n!þ1 n2

[þ1] [0]

[3] [3]

[0] [þ1] [0] [0] [þ1]

[3] [þ1

 1 2 [1 [0] [0]

lim

en þ 1 en  1

[1

lim

en þ 1 en þ 3

[1]

203 Þ

n!þ1

204 Þ

n!þ1

nþ2 lim pffiffiffi nþ1   n n p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 206 lim  Þ n!þ1 n þ 2 nþ1 205 Þ

[0]

n!þ1

[þ1 [0]

208 Þ

210 Þ 211 Þ 216 Þ

 1 4 [e3  [2] [0]

215 Þ

lim

n!þ1

n! ðn þ 2Þ!  ðn þ 1Þ!

[þ1

 9 2



1 2



[0]

Limiti di successioni

209 Þ

[0]

n 3n2 þ 1 212 lim Þ n!þ1 2n2 þ n þ 2   3 2 213 lim n 1  cos Þ n!þ1 n   1 nþ2 214 lim Þ n!þ1 2n þ 1 nþ1 n n! (Suggerimento: ricorda che ¼ ) k k!ðn  kÞ!

Unita` 3

207 Þ



pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  lim 9n2 þ 1  3n n!þ1 ! rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 4þ 2 2 lim n n!þ1 n  3n 1 lim 1 þ n!þ1 n   2 lim n ln 1 þ n!þ1 n  n 2n2 þ 1 lim n!þ1 3n2 þ n þ 2 ESERCIZIO GUIDATO

Calcola i seguenti limiti, se esistono, utilizzando il criterio del confronto, oppure dimostra la non esistenza del limite. 2 cos n þ 1 n cos n
a. lim b. lim n!þ1 n!þ1 n þ 1 n a. Osserva che 0  2 cos n þ 1  3, quindi: 0

2 cos n þ 1 3  n n

e applica il teorema del confronto. Puoi concludere che il limite dato e` uguale a ..... b. Osserva anzitutto che cos n
¼ ð1Þn , quindi il limite dato equivale a: lim

n!þ1

ð1Þn n nþ1

ð1Þn n costituite, rispettivamente, dai termini di posto pari e da nþ1 quelli di posto dispari; dimostra che tali sottosuccessioni convergono a due limiti diversi per n ! þ1 e deduci che il limite proposto non esiste. Considera quindi le due sottosuccessioni di an ¼

Calcola i seguenti limiti, se esistono, utilizzando il criterio del confronto, oppure dimostra la non esistenza del limite. 217 Þ 218 Þ 219 Þ

lim

sin n þ cos n n

[0]

lim

ð1Þn ðn4 þ 1Þ n5

[0]

lim

n2 cos
n n2 þ 1

n!þ1

n!þ1

n!þ1

[Non esiste]

ð1Þn n!þ1 en þ 1

n ð1Þn 221 lim 1 þ Þ n!þ1 n 220 Þ

222 Þ

[Non esiste]

lim

lim

n!þ1

[Non esiste]

 1 2

n þ cos n
2n2 þ 1 sn . n2

223 Þ

Considera la successione an ¼ 4n; posto sn ¼ a1 þ ::: þ an , calcola lim

224 Þ

Considera la successione an ¼ 5n þ 3; posto sn ¼ a0 þ a1 þ ::: þ an , calcola lim

n!þ1

n!þ1

n2

sn . þ1

sn Considera la successione an ¼ 3n ; posto sn ¼ a0 þ a1 þ ::: þ an , calcola lim n . n!þ1 3  n1 3 226 Considera la successione an ¼ 8 ; posto sn ¼ a1 þ ::: þ an , calcola lim sn . Þ n!þ1 4 225 Þ

[2]

 5 2

 3 2 [32]

Successioni e funzioni 227 Þ

Dimostra che lim ðx sin xÞ non esiste.

228 Þ

Dimostra che lim cos x2 non esiste.

x!þ1

x!þ1

1 non esiste. x   1 1 230 Dimostra che lim sin non esiste. Þ x!0 x x 229 Þ

Dimostra che lim cos x!0

171

Limiti e continuita`

4. Principio di induzione

Tema F

 Dimostra che l’uguaglianza e` vera per n ¼ 1.  Sia k
1; supponi che l’uguaglianza sia vera per n ¼ k, cioe` che:

TEORIA a p. 156

Applicazioni del principio di induzione 231 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Dimostra per induzione che: 2 þ 4 þ 6 þ ::: þ 2n ¼ nðn þ 1Þ, per ogni n 2 N  f0g.

2 þ 4 þ 6 þ ::: þ 2k ¼ kðk þ 1Þ

Ipotesi di induzione

e dimostra che allora l’uguaglianza e` vera per n ¼ k þ 1, cioe` che: 2 þ 4 þ 6 þ ::: þ 2k þ 2ðk þ 1Þ ¼ ðk þ 1Þðk þ 2Þ

Cio` che devi dimostrare

 In base al principio di induzione puoi allora concludere che l’uguaglianza e` vera per ogni n
1. Dimostra per induzione le seguenti uguaglianze. 232 Þ

1 þ 3 þ 5 þ ::: þ ð2n  1Þ ¼ n2

233 Þ

4 þ 8 þ 12 þ ::: þ 4n ¼ 2nðn þ 1Þ

234 Þ

3 þ 4 þ 5 þ ::::::: þ ðn þ 1Þ ¼

235 Þ

3 þ 7 þ 11 þ ::: þ ð4n þ 3Þ ¼ 2n2 þ 5n þ 3

236 Þ

4 þ 8 þ 12 þ ::::: þ 4n ¼ 2nðn þ 1Þ

per ogni n 2 N  f0g per ogni n 2 N  f0g

1 2 ðn þ 3n  4Þ 2

per ogni n 2 N  f0, 1g

per ogni n 2 N

per ogni n 2 N  f0g

1 n ð4  1Þ per ogni n 2 N  f0g 3 1 238 1  2 þ 2  3 þ ::: þ nðn þ 1Þ ¼ nðn þ 1Þðn þ 2Þ per ogni n 2 N  f0g Þ 3 237 Þ

1 þ 4 þ 42 þ :::: þ 4n1 ¼

239 Þ

1  1! þ 2  2! þ 3  3! þ ::: þ n  n! ¼ ðn þ 1Þ!  1

240 Þ

1 þ x þ ::: þ xn ¼

1x 1x

nþ1

per ogni n 2 N  f0g

per ogni n 2 N, con x 6¼ 1

Dimostra per induzione le seguenti disuguaglianze. 241 Þ 242 Þ 243 Þ 244 Þ 245 Þ

2n
n þ 1

per ogni n
0

3n
n þ 2

per ogni n
1 2

3
ðn þ 2Þ

per ogni n
3

n!
2n1

per ogni n
1

n

Dimostra che il numero 4n þ 5 e` multiplo di 3 per ogni n
0.

246 Þ

Determina il minimo intero positivo n maggiore di 2 per cui risulta 2n
n2 . Dimostra quindi che la disuguaglianza e` verificata per ogni valore di n maggiore o uguale al valore trovato all’inizio.

247 Þ

Determina il minimo intero positivo n per cui risulta 5n
3n þ 4n . Dimostra quindi che la disuguaglianza e` verificata per ogni valore di n maggiore o uguale al valore trovato all’inizio.

248 Þ

Disuguaglianza di Bernoulli. Dimostra che:

ð1 þ xÞn
1 þ nx; con x > 1, per ogni n 2 N 249 Þ

Sottoinsiemi di un insieme. Dimostra che un insieme di n elementi ha esattamente 2n sottoinsiemi.

250 Þ

Dimostra che il numero 42nþ1 þ 3nþ2 e` divisibile per 13 per ogni n
0.

Applicazioni alle successioni definite ricorsivamente 251 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Data la successione

(

a1 ¼ 1 anþ1 ¼

1 , dimostra che e` convergente e calcolane il limite. an þ 2 3

 Calcolando i primi termini della successione (per esempio i primi cinque) puoi congetturare che la successione e` strettamente crescente e superiormente limitata da 3. 172

Poiche´ se an ! l anche anþ1 ! l, dalla [*] segue che: l¼

1 lþ2 3

Limiti di successioni

1  Deduci che la successione e` convergente. Indica con l il limite della successione. Dalla relazione anþ1 ¼ an þ 2 3 segue che:   1 1 [*] an þ 2 ¼ lim an þ 2 lim anþ1 ¼ lim n!þ1 n!þ1 3 3 n!þ1

Unita` 3

 Dimostra per induzione cio` che hai congetturato, cioe` che e` strettamente crescente e che an < 3.

Risolvendo questa equazione puoi trovare il valore di l. ( 252 Þ

Considera la successione

a1 ¼ 2 anþ1 ¼




1 . Dimostra che la successione e` convergente e calcola il suo limite. an þ 1

 3 3 Converge a 2

a1 ¼ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . Dimostra che la successione e` convergente e calcola il suo limite. anþ1 ¼ 20 þ an [Converge a 5] 8 < a1 ¼ 4 1 254 Considera la successione Þ : anþ1 ¼ pffiffiffi an þ 3 2 n 253 Þ

Considera la successione

a. Dimostra che 0 < an  6 per ogni n
1. b. Dimostra che la successione e` convergente e calcolane il limite. [b. Prova che la successione e` strettamente decrescente per n
2; il limite e` 3]
255 Considera la successione Þ

a1 ¼ 2 anþ1 ¼ a2n

a. Dimostra che e` strettamente crescente. b. Dimostra che an
n2 per ogni n
1. c. Studia il carattere della successione.
a1 ¼ 1 256 Considera la successione . Dimostra per induzione che: Þ anþ1 ¼ 5  an
1 se n e` dispari an ¼ 6 se n e` pari Deduci che si tratta di una successione irregolare.

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 257 Þ

Trova: pffiffiffi a. il quindicesimo termine della successione 3, pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 3, 5 3, 7 3, ... [29 3] pffiffiffi b. l’undicesimo termine della successione 1, 3, 3, 3 [243] 3 2 , ...

3 258 In una progressione aritmetica di ragione e` Þ 2 a5 ¼ 8. Scrivi il termine generale della progressione e determina il decimo termine.

 3 1 31 an ¼ n þ , a10 ¼ 2 2 2

1 e 3 a4 ¼ 9. Scrivi il termine generale della progressione e 

determina il sesto termine. 1 an ¼  3n1 , a6 ¼ 81 3 259 Þ

In una progressione geometrica e` a1 ¼

260 Þ

Scrivi il termine generale della progressione arit[an ¼ 18n  80] metica in cui a5 ¼ 10 e a10 ¼ 100.

261 Þ

Scrivi il termine generale della progressione geo4 "  n1 # metrica in cui a3 ¼ 4 e a6 ¼ . 1 125 an ¼ 100 5 173

Tema F

Limiti e continuita`



262 La somma del primo e del secondo termine di Þ una progressione aritmetica e` 5, la somma del secondo e del terzo termine e` 5. Determina il primo termine della progressione e la ragione. [a1 ¼ 5, d ¼ 5]

283 Þ

263 Þ

La somma del primo e del secondo termine di una progressione geometrica e` 1100, la somma del secondo e del terzo termine e` 110. Determina il primo termine della progressione e la ragione. 

1 a1 ¼ 1000, q ¼ 10

285 Þ

287 Þ

n!þ1

Determina le seguenti somme.

288 Þ

n!þ1

264 Þ 265 Þ

2 þ 4 þ 6 þ 8 þ ::: þ 150



1 3 32 33 3n1 þ þ ::: þ þ þ 5 5 5 5 5

266 1 þ 3 þ 5 þ ::: þ 61 Þ 267 Þ

1  2  4  8  :::  218

268 2 þ 5 þ 8 þ ::: þ ð1 þ 3nÞ Þ 269 Þ



[961]

290 Þ

[4080]

271 Þ

Determina per quale valore di a i tre numeri a, 6  a, 2a  12 sono i primi tre termini di una progressione geometrica. Calcola inoltre la somma dei primi otto termini di tale progressione. [a ¼ 6; S8 ¼ 510] Calcola i seguenti limiti, se esistono.   nþ3 n 272 lim  Þ n!þ1 n nþ3

[0]

lim

3n  1 nþ2

[3]

lim

3 nþ2

[0]

273 Þ

n!þ1

274 Þ

n!þ1

 1 2

3n2  1 275 lim Þ n!þ1 6n2 þ 2  n 6 276 lim Þ n!þ1 7

[0]

4n4 þ n2 þ 1 n!þ1 6n2 þ 2   6n þ 7 4n 278 lim þ Þ n!þ1 2n  1 n þ 1 277 Þ

279 Þ

lim

lim ð5  2n  n Þ 3

n!þ1

2n  n2 þ 1 280 lim Þ n!þ1 nþ4 

 2  3n  1 4  2n 281 lim Þ n!þ1 n2 4n  5 282 Þ

lim ðn þ 2ln nÞ

n!þ1

286 Þ

289 Þ

[524 287]  1 ð3n2 þ nÞ 2

ð15Þ þ ð 9Þ þ ð3Þ þ 3 þ 9 þ ::: þ 219

284 Þ

[5700]  3n  1 10

270 Determina per quale valore di a i tre numeri a, Þ 2a  1, a þ 2 sono i primi tre termini di una progressione aritmetica. Calcola inoltre la somma dei primi dieci termini di tale progressione. [a ¼ 2; S10 ¼ 65]

174

 3 n3 lim  2 n!þ1 n n 1  n 5 lim n!þ1 4   10n þ 7 3n lim  n!þ1 2n  1 nþ1  2  n þ6 3 lim  n!þ1 n1 nþ1

[þ1] [7] [1] [1]

3  2



[þ1]

lim

n  2n2 4n2 þ 1

n!þ1



3 nþ1

   5 þ 6n  1 þ 7n

lim

n!þ1

lim

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  n2 þ n þ 2  n

n!þ1

n2 ln n3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi nþ5 nþ4 295 lim Þ n!þ1  2 3 n þ1 296 lim Þ n!þ1 ð2n3 Þ2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  n 297 lim 1 Þ n!þ1 nþ1 294 Þ

lim

n!þ1

cos n n pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n n2 þ 1 299 lim Þ n!þ1 3n2 þ 1   1 2 300 lim n 1  cos Þ n!þ1 n h i 2 301 lim n2 ð1  e3=n Þ Þ n!þ1 
 302 lim n sin Þ n!þ1 n

  4 303 lim n ln 1 þ Þ n!þ1 n 298 Þ

lim

n!þ1

n3 þ 2n2 þ 1 n!þ1 n!   3 2n 305 lim 1 þ Þ n!þ1 n 304 Þ

lim

n ð1Þn n!þ1 n þ 1

  n2 2 ln 1 þ 307 lim Þ n!þ1 3n þ 1 n 306 Þ

lim

[2] [þ1]

1 2



[0]

ð4n2 Þ2 n!þ1 2n4 þ 1   1 n 291 lim 2 þ þe Þ n!þ1 n h  2 i 292 lim n e n  1 Þ 293 Þ

[þ1]



lim e2n lim

[1]

[0] [8] [þ1] [2]

 1 2 [þ1 [0]

 1 4 [0] [0]

 1 3

 1 2 [3] [
 [4] [0] [e6  [Non esiste]

 2 3

312 Þ

lim

n!þ1

1 þ 4 þ ::: þ n2 n3

311 Þ

lim

n!þ1

1 þ 2 þ 22 þ ::: þ 2n 2nþ3 þ 1

Risolvi i seguenti quesiti.

a. Determina il termine generale della progressione aritmetica an , sapendo che a1 ¼ 1 e a3 ¼ 5. b. Determina il termine generale della progressione geometrica bn , sapendo che b1 ¼ 8 e b2 ¼ 6.

c. Studia il carattere delle successioni an e bn dei punti a e b. 2sn . d. Sia sn ¼ a1 þ ::: þ an ; calcola lim n!þ1 4n2 þ 1

 n1 e. Sia Sn ¼ b1 þ ::: þ bn ; calcola lim Sn . 3 n!þ1 ; c. an diverge a þ1, bn converge a 0; a. an ¼ 3n  4; b. bn ¼ 8 4

  n  3 5 3 3 d. sn ¼ n2  n, il limite e` ; d. Sn ¼ 32 1  , il limite e` 32 2 2 4 4

Limiti di successioni

309 Þ

 1 2

 1 4

ðn þ 1Þ!  n! 310 lim Þ n!þ1 ð2n þ 3Þn!

Unita` 3

 1 2

 1 3

1 þ 2 þ ::: þ n 308 lim Þ n!þ1 n2

313 Þ

In riferimento alla figura qui sotto, il segmento AB misura 2r. Sia a1 , a2 , :::, an , ::: la successione in cui a1 e` la misura dell’area del semicerchio di diametro AM1 , a2 e` la misura del semicerchio di diametro M1 M2 , :::, an e` la misura del semicerchio di diametro Mn1 Mn , e cosı` via, essendo M1 il punto medio di AB, M2 il punto medio di M1 B, M3 il punto medio di M2 B, e cosı` via. a. Determina il termine generale an della successione. b. Esprimi in funzione di n la somma delle aree dei semicerchi di diametri AM1 , M1 M2 , M2 M3 , Calcola il limite di tale somma per n ! þ1.

A

M1

a. an ¼

M2 M3 B


r 2 8

:::,

Mn1 Mn .

  n1 1
r 2
r 2 ð1  4n Þ, Sn ! per n ! þ1 ; b. Sn ¼ 6 6 4

314 Þ

Sia A0 B0 C0 D0 un quadrato. Tracciamo i quattro segmenti cosı` definiti: il segmento che congiunge A0 con il punto medio di B0 C0 , il segmento che congiunge B0 con il punto medio di C0 D0 , il segmento che congiunge C0 con il punto medio di A0 D0 e il segmento che congiunge D0 con il punto medio di A0 B0 . Questi quattro segmenti, intersecandosi a due a due, individuano quattro punti A1 , B1 , C1 , D1 , vertici di un nuovo quadrato A1 B1 C1 D1 . D0

C0 C1 D1

C2 D2

B2 A2

B1

A1

A0

B0

a. Supposto che il lato del quadrato A0 B0 C0 D0 misuri 2, determina la misura del lato di A1 B1 C1 D1 . b. Ripetendo al quadrato A1 B1 C1 D1 la stessa costruzione effettuata su A0 B0 C0 D0 si ottiene un nuovo quadrato, A2 B2 C2 D2 . Sul quadrato A2 B2 C2 D2 puo` essere nuovamente ripetuta la costruzione, ottenendo cosı` un quadrato A3 B3 C3 D3 , e cosı` via. Sia a0 , a1 , :::, an la successione delle aree dei quadrati A0 B0 C0 D0 , A1 B1 C1 D1 , :::, An Bn Cn Dn . Dimostra che e` una progressione geometrica e determina il suo termine generale. c. Sia sn la somma delle aree dei quadrati A0 B0 C0 D0 , A1 B1 C1 D1 , :::, An Bn Cn Dn . Determina il limite di sn per pffiffiffi   n

n ! þ1. 2 5 1 ; b. an ¼ 4 ; c. sn ¼ 5  5n , lim sn ¼ 5 a. n!þ1 5 5 175

Limiti e continuita` Tema F

315 Þ

Problemi nella storia Risolvi il seguente problema proposto nel Liber Abaci di Fibonacci (1202): «Un uomo pos-

siede inizialmente 100 denari e spende ogni giorno

316 Þ

1 di cio` che ha. Con quanto rimane dopo 12 giorni?». 10 [Circa 28,24 denari]

Problemi nella storia Risolvi il seguente problema proposto per la prima volta dal matematico cinese Zhang

Qiujian nel 468: «Un cavallo ha percorso 700 miglia in 7 giorni, dimezzando la sua velocita` ogni giorno. Quanto ha percorso il primo giorno?». [Circa 352,76 miglia]

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 317 Þ

Un aereo ideale vola da Milano nella direzione di Mosca. Esso parte con una velocita` di 1 metro al secondo ma raddoppia la sua velocita` a ogni metro percorso. Dopo quanto tempo dalla partenza sara` sulla verticale di Mosca? (Mosca dista da Milano circa 2800 kilometri.) a. Mai b. Piu` di 2 anni c. Un periodo compreso fra due mesi e tre mesi d. Un periodo compreso fra 3 e 4 ore e. Meno di 2 secondi (Kangourou, 2002) 318 Þ

Calcola la somma:

1002  992 þ 982  972 þ ::: þ 22  12 (Kangourou, 2003) 319 Þ

[5050]

In una successione geometrica a1 , a2 , a3 , ... valgono le disuguaglianze a3 < a2 < a4 . Allora sicuramente: a. a3  a4 > 0 b. a2  a3 < 0 c. a2  a4 < 0 d. a2 < 0 e. a2  a3 > 0 (Kangourou, 2004)

176

320 Þ

Solve math in English The eighth term of an arith-

metic sequence is 10, and the twentieth term is 30. What is the n-th term of this sequence?

 5 10 an ¼ n  3 3 321 Þ

Solve math in English Find the sum of all multiples of 3 between 14 and 101. [1653]

322 Þ

Solve math in English Find x so that x, 2x+1 and

x  3 are: a. consecutive terms of an arithmetic sequence; b. consecutive terms of a geometric sequence. pffiffiffiffiffiffi 

5 7  37 a.  ; b. 6 2 323 Solve math in English A ping-pong ball is dropped Þ from a height of 24 m and always rebounds three fourths of the distance fallen. How high does it rebound the n-th time? Find n so that the height of the n-th rebound is less than 1 m. [n
12]

Unita` 3

PROVA DI AUTOVERIFICA

Limiti di successioni In una progressione aritmetica an , con n
1, e` a3 ¼ 8, d ¼ 6. Determina:

Limiti di successioni

1 Þ

a. il termine generale della progressione; b. il decimo termine; c. la somma dei primi dieci termini; d. il limite di an per n ! þ1 e il carattere della successione. 2 Þ

In una progressione geometrica an , con n
1, e` a1 ¼ 6, q ¼

2 . Determina: 3

a. il termine generale della progressione; b. il quinto termine; c. la somma dei primi cinque termini; d. il limite di an per n ! þ1 e il carattere della successione. 3 Þ 4 Þ

Trova x in modo che x þ 2, 2x  1 e 5x þ 4 siano i termini consecutivi di una progressione aritmetica.

5 Þ

Calcola

6 Þ

Risolvi la disequazione

Determina x in modo che i tre numeri x, x  4 e x þ 2 siano i primi tre termini di una progressione geome-

trica. 1 þ 3 þ 5 þ ::: þ 99 . 2 þ 4 þ 6 þ ::: þ 100 1 2 22 2n1 31 þ ::: þ
þ þ . 4 4 4 4 4

7 Þ

Considera la progressione aritmetica an tale che a1 ¼ 3 e a4 ¼ 15. Determina il termine generale an e calcola an . lim n!þ1 n

 2  6n  1 8 Calcola lim ð2  en Þ . Þ n!þ1 1  2n2 9 Þ

Quale delle due scelte seguenti e` piu` conveniente?

a. Ricevere, per 1 mese, 1 centesimo il primo giorno, 2 centesimi il secondo, 4 centesimi il terzo, 8 centesimi il quarto e cosı` via ::: b. Ricevere, per 1 anno, 1 euro il primo giorno, 2 euro il secondo, 3 euro il terzo, 4 euro il quarto e cosı` via ::: Supponi che un 1 mese abbia 31 giorni e 1 anno 365 giorni. 10 Þ

Dimostra per induzione che, per ogni n
1, 3 þ 6 þ 9 þ ::: þ 3n ¼

3 nðn þ 1Þ. 2

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

Punteggio

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 45 min

3Risposte in fondo al volume

177

Unita`

4

Continuita`

Tema F

1. Funzioni continue In questa Unita` riprendiamo e approfondiamo il concetto di funzione continua e introduciamo i temi a esso correlati.

Continuita` in un punto Abbiamo visto nell’Unita` 2 la definizione di funzione continua in un punto, che richiamiamo per comodita`. CONTINUITA` IN UN PUNTO

Sia f una funzione definita in un intorno (completo) di x0 ; se lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ, la x!x0 funzione f si dice continua in x0 .

E` importante fare alcune osservazioni.
Mentre l’operazione di limite riguarda il comportamento di una funzione in un intorno di x0 , disinteressandosi di cio` che accade nel punto x0 , la definizione di continuita` richiede invece l’analisi del comportamento della funzione sia in un intorno di x0 sia nel punto x0 , e impone che i due comportamenti non siano difformi.
Intuitivamente, la condizione lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ si puo` interpretare dicendo che x!x0

«se x e` vicino a x0 », allora «f ðxÞ e` vicino a f ðx0 Þ» (fig. 4.1). Osserva che questa condizione puo` non essere verificata se f non e` continua in x0 (fig. 4.2). y

y

f (x1)

f(x1)

f (x0)

f(x0)

y = f(x)

y = f(x)

O

x0 x1

x

O

x0 x1

x

Figura 4.1 La funzione f e` continua in x0 .

Figura 4.2 La funzione f non e` continua

Spostandoci di poco da x0 , per esempio in x1 , il valore f ðx1 Þ si discosta di poco da f ðx0 Þ.

in x0 . Spostandoci di poco da x0 , per esempio in x1 , il valore f ðx1 Þ si discosta in modo significativo da f ðx0 Þ.

Se solo uno dei due limiti, da destra o da sinistra, di una funzione f per x ! x0 coincide con f ðx0 Þ, si parla di continuita` da destra o da sinistra:
f e` continua da destra in x0 se limþ f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ; x!x0


f e` continua da sinistra in x0 se lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ. x!x0

Le definizioni di continuita` da destra e da sinistra ci permettono di estendere la definizione di funzione continua in un punto x0 nel caso in cui la funzione, anziche´ essere definita in un intorno completo di x0 , e` definita soltanto in un intorno destro o sinistro di x0 . 178

Unita` 4

CONTINUITA` IN UN PUNTO DOVE LA FUNZIONE E` DEFINITA SOLO A DESTRA O A SINISTRA

Continuita`

Una funzione f , definita soltanto in un intorno destro (sinistro) di x0 , si dice continua in x0 se e` continua da destra (sinistra) in x0 .

Di conseguenza, quando si considerano funzioni definite su un intervallo ½a, b, si parla di continuita` in a e in b intendendo continuita` da destra in a e da sinistra in b.

Funzioni continue Se una funzione f di dominio D e` continua in tutti i punti di un insieme A  D, diremo che f e` continua in A: Se f e` continua in tutti i punti del suo dominio, diremo semplicemente che f e` una funzione continua. Come abbiamo visto nell’Unita` 2, tutte le funzioni elementari sono continue. ESEMPI

a. Le funzioni potenza y ¼ xn , con n 2 N  f0g, sono continue in R. b. La funzione y ¼

1 e` continua in R  f0g. x

c. Le funzioni esponenziali y ¼ ax , con a > 0 e a 6¼ 1, sono continue in R. d. Le funzioni logaritmiche y ¼ loga x, con a > 0 e a 6¼ 1, sono continue in ð0, þ1Þ. e. Le funzioni y ¼ sin x e y ¼ cos x sono continue in R. n
o f. La funzione y ¼ tan x e` continua in R  þ k
. 2

Comportamento delle funzioni continue rispetto alle operazioni tra funzioni Come abbiamo gia` osservato nell’Unita` 2, dal teorema 2.7 sul comportamento dei limiti rispetto alle quattro operazioni segue immediatamente il seguente teorema. ` e operazioni algebriche tra funzioni Continuita

TEOREMA 4.1

Siano f e g due funzioni continue in x0 ; allora: a. la funzione somma f þ g e` continua in x0 ; b. la funzione prodotto f  g e` continua in x0 ; c. la funzione quoziente

f e` continua in x0 purche´ sia gðx0 Þ 6¼ 0. g

Inoltre, in base al teorema 2.8 e alle osservazioni che abbiamo fatto relativamente a esso alla fine del Paragrafo 4 dell’Unita` 2, possiamo enunciare il seguente teorema. ` e c omposizione di funzioni Continuita

TEOREMA 4.2

Siano f e g due funzioni tali che f  g esiste in un intorno di x0 ; se la funzione g e` continua in x0 e la funzione f e` continua in gðx0 Þ, allora anche la funzione composta f  g e` continua in x0 .

Dai teoremi 4.1 e 4.2 segue che tutte le funzioni che si possono ottenere come somma, prodotto, quoziente o composizione da funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione. 179

Limiti e continuita`

ESEMPI

a. La funzione y ¼ x2 þ e x e` continua poiche´ e` la somma delle due funzioni continue f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼ e x . b. La funzione y ¼ sin ðx2 þ 1Þ e` continua poiche´ e` composta delle due funzioni continue f ðxÞ ¼ sin x e gðxÞ ¼ x2 þ 1. 1

Tema F

c. La funzione y ¼ e x e` composta della funzione f ðxÞ ¼ e x che e` continua in R 1 e della funzione gðxÞ ¼ , che e` continua in R  f0g, quindi e` continua in x R  f0g.

Continuita` e funzione inversa Concludiamo l’analisi del comportamento della continuita` rispetto alle operazioni tra funzioni studiando le relazioni che sussistono tra la continuita` di una funzione e la continuita` della sua funzione inversa, supposto che quest’ultima esista. Osserviamo subito che se f : D ! R e` continua e invertibile, non e` detto che la sua funzione inversa f 1 sia continua. Per esempio, consideriamo la funzione
x 0x3 f ðxÞ ¼ 10  x 5  x < 7 rappresentata in fig. 4.3. La funzione f ha come dominio l’insieme D ¼ ½0, 3 [ ½5, 7Þ ed e` continua e invertibile in D (sai spiegare perche´?). La sua inversa e` la funzione f 1 , rappresentata in fig. 4.4, il cui grafico e` il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante; e` evidente che f 1 non e` continua in x ¼ 3 perche´: lim f 1 ðxÞ ¼ 3 mentre

lim f 1 ðxÞ ¼ 7

x!3

x!3þ

y

y 7

5

y = f(x)

y = f –1(x)

3

O

3 x 3

5

O

7

Figura 4.3 La funzione f e` continua in ½0, 3 [ ½5, 7Þ.

3

5

x

Figura 4.4 La funzione f 1 e` discontinua in

x ¼ 3.

E` importante osservare che la funzione f rappresentata in fig. 4.3 e` definita su un insieme, D ¼ ½0, 3 [ ½5, 7Þ, che non e` un intervallo, bensı` l’unione di due intervalli. La continuita` della funzione inversa di una funzione continua e` invece garantita nell’ipotesi che il dominio di quest’ultima sia un intervallo, in base al seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare. TEOREMA 4.3

` e f u n z i o n e in v e rs a Continuita

Sia I un intervallo (limitato o illimitato) ed f : I ! R una funzione continua avente come dominio I; se f e` invertibile, allora f 1 e` continua.

Un altro importante teorema che riguarda le funzioni continue afferma l’equivalenza tra le seguenti due proprieta`: la monotonia stretta e l’invertibilita`. 180

TEOREMA 4.4

Continuita`

` per funzioni continue Condizione di invertibilita

Unita` 4

In generale la monotonia stretta e` una condizione sufficiente, ma non necessaria, perche´ una funzione sia invertibile (per esempio la funzione rappresentata in fig. 4.3 e` invertibile pur non essendo monotona nel suo dominio). Se pero` aggiungiamo l’ipotesi che la funzione sia continua e definita su un intervallo, allora la monotonia stretta e` una condizione non solo sufficiente, ma anche necessaria per l’invertibilita`. Sussiste infatti il seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare.

Sia I un intervallo (limitato o illimitato) ed f : I ! R una funzione continua avente come dominio I; allora f e` invertibile se e solo se e` strettamente monotona.

Prova tu

ESERCIZI a p. 204

1. Determina l’insieme dei valori di x per cui sono continue le funzioni: y¼

x2 ; x2  1

y¼

sin x sin x  1

2. Giustifica in base ai teoremi enunciati in questo paragrafo perche´ si puo` affermare che la funzione: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ jsin ð x6 þ x2 þ 1Þj e` continua in R.

2. Punti di discontinuita` e loro classificazione Definizione di punto di discontinuita` In questo paragrafo analizzeremo i possibili comportamenti che puo` avere una funzione nell’intorno di particolari punti, che ora definiamo. PUNTO DI DISCONTINUITA` DI UNA FUNZIONE

Attenzione!

Diremo che una funzione e` discontinua in un punto x0 2 R (o che x0 e` un punto di discontinuita`) in ciascuno dei seguenti due casi: a. se il punto x0 appartiene al dominio della funzione, ma la funzione non e` continua in x0 ; b. se il punto x0 non appartiene al dominio della funzione, ma e` di accumulazione per esso.

Non c’e` uniformita` nella letteratura scientifica sulla definizione di punto di discontinuita`. Alcuni chiamano punti di discontinuita` solo i punti in cui la funzione e` definita ma non e` ivi continua, escludendo il caso b. della definizione qui a fianco, cioe` i punti non appartenenti al dominio ma di accumulazione per esso.

ESEMPI




a. Data la funzione f ðxÞ ¼

1 x0 , il punto x ¼ 0 appartiene al dominio 1 x < 0

della funzione, ma la funzione non e` continua in x ¼ 0 poiche´ lim f ðxÞ x!0

non esiste, mentre f ð0Þ ¼ 1. Il punto x ¼ 0 e` un punto di discontinuita` della funzione. 1

b. La funzione f ðxÞ ¼ 2 x3 e` definita in R  f3g; il punto x ¼ 3 non appartiene al dominio della funzione ma e` di accumulazione per esso: diremo che x ¼ 3 e` un punto di discontinuita` della funzione. Quale comportamento puo` avere una funzione nell’intorno di un punto di discontinuita`? Per rispondere a questa domanda e` utile anzitutto soffermarsi a riflettere su quali condizioni possono far venir meno la continuita` di una funzione in un punto. 181

Limiti e continuita`

Se una funzione f e` definita in un intorno completo di x0 , la definizione di continuita` in x0 equivale alla seguente: lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ

x!x 0

x!x0

Tema F

quindi richiede che siano verificate tre condizioni: 1. i due limiti lim f ðxÞ e limþ f ðxÞ devono esistere finiti,

[4.1]

2. devono essere uguali tra loro,

[4.2]

3. devono essere uguali a f ðx0 Þ.

[4.3]

x!x0

x!x0

Si possono allora avere tre tipi diversi di punti di discontinuita`, a seconda di quale di queste tre condizioni viene a cadere; analizziamo singolarmente ciascuno di questi tre casi.

Discontinuita` eliminabili Osserva

DISCONTINUITA` ELIMINABILE

Le discontinuita` eliminabili corrispondono al caso in cui cade la condizione [4.3].

Diremo che un punto di discontinuita` x0 per una funzione f e` eliminabile in ciascuno di questi due casi: a. se esiste finito lim f ðxÞ ma f non e` definita in x0 (fig. 4.5); x!x0

b. se esiste finito lim f ðxÞ ma il valore del limite e` diverso da f ðx0 Þ (fig. 4.6). x!x0

y

y

l

l y = f (x)

y = f(x) f(x0) x0

O

x

Figura 4.5 La funzione f presenta una discontinuita` eliminabile in x0 ; infatti il suo limite per x ! x0 esiste finito (e` uguale a l) ma la funzione non e` definita in x0 . ESEMPI

x0

O

x

Figura 4.6 La funzione f presenta una discontinuita` eliminabile in x0 ; infatti il suo limite per x ! x0 esiste finito (e` uguale a l) ma e` diverso da f ðx0 Þ.

Discontinuita` eliminabili

Studiamo i punti di discontinuita` delle seguenti funzioni: 8 2 > < x 1 x1 a. f ðxÞ ¼ > : 0 y

182

b. f ðxÞ ¼ e  x2 1

se x ¼ 1

a. La funzione data e` definita in tutto R ed e` continua per x 6¼ 1. Analizziamo il comportamento della funzione in un intorno di 1: lim f ðxÞ ¼ lim

2 O

se x 6¼ 1

x 1

 x 2 –1 se x ≠1  f (x) =  x –1 0 se x =1

x!1

x!1

x2  1 ðx  1Þðx þ 1Þ ¼ lim ¼ lim ðx þ 1Þ ¼ 2 x!1 x!1 x1 x1

Pertanto, il limite della funzione f per x ! 1 esiste finito ma e` diverso da f ð1Þ ¼ 0. La funzione presenta in x ¼ 1 un punto di discontinuita` eliminabile (caso b. della definizione).

Unita` 4 Continuita`

Osserva che non e` difficile modificare la definizione della funzione nel punto x ¼ 1 in modo da ottenere una nuova funzione continua anche in 1; precisamente, la funzione: 8 2 > < x  1 se x 6¼ 1 x1 gðxÞ ¼ > : 2 se x ¼ 1 (che coincide con f eccetto che per x ¼ 1) risulta continua anche in 1 perche´ lim gðxÞ ¼ gð1Þ ¼ 2. x!1

b. La funzione data e` definita e continua in R  f0g. Analizziamo il comportamento della funzione in un intorno di 0: 

lim e

1 x2

x!0

y

¼0

! e 1

x

O

Dunque il limite di f per x ! 0 esiste ed e` finito (uguale a 0) , ma la funzione non e` definita in x ¼ 0; la funzione presenta quindi in x ¼ 0 un punto di discontinuita` eliminabile (caso a. della definizione). Come nel caso precedente, possiamo definire una nuova funzione che coincide con f per x 6¼ 0 ed e` continua anche in 0. Basta considerare la funzione:
1 x2 se x 6¼ 0 gðxÞ ¼ e 0 se x ¼ 0

f (x) = e

–

1 x2

Quando una funzione f presenta in x0 un punto di discontinuita` eliminabile, ragionando come abbiamo visto negli ultimi due esempi si puo` sempre definire una nuova funzione, che viene detta prolungamento continuo di f , coincidente con la funzione data per x 6¼ x0 e continua anche in x0 . In un certo senso si puo` quindi «rimuovere» la discontinuita`: ecco perche´ si parla di discontinuita` eliminabile.

Punti di salto (o discontinuita` di prima specie) PUNTO DI SALTO (O DISCONTINUITA` DI PRIMA SPECIE)

Osserva

Diremo che un punto di discontinuita` x0 di una funzione f e` un punto di salto þ (o di discontinuita` di prima specie) se i limiti di f per x ! x 0 e x ! x0 esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso la differenza limþ f ðxÞ  lim f ðxÞ si dice salto di f in x ¼ x0 .

Le discontinuita` di prima specie corrispondono al caso in cui cade la condizione [4.2].

x!x0

x!x0

Una classe di funzioni che presenta di frequente punti di salto e` quella delle funzioni definite per casi. ESEMPI

Discontinuita` di tipo salto

Studiamo i punti di discontinuita` delle seguenti funzioni:
1 x < 0 a. f ðxÞ ¼ b. f ðxÞ ¼ ½x 1 x>0 a. La funzione data e` definita e continua in R  f0g. E` immediato verificare (vedi fig. 4.7) che: lim f ðxÞ ¼ 1

x!0

mentre

lim f ðxÞ ¼ 1

x!0þ

Percio` i limiti dalla destra e dalla sinistra di f per x ! 0 esistono e sono finiti ma sono diversi fra loro. La funzione presenta in x ¼ 0 un punto di salto; precisamente, il salto vale 2.

Ô

183

Limiti e continuita`

Ô

b. Ricordiamo che con il simbolo ½x si indica la parte intera del numero reale x, ossia il numero intero minore o uguale piu` vicino a x; per esempio: ½1,7 ¼ 1

½0,2 ¼ 0

½1,5 ¼ 2

Tema F

Il grafico della funzione parte intera e` rappresentato in fig. 4.8. E` immediato notare che il punto x ¼ 0 (per esempio) e` un punto di salto, poiche´: lim f ðxÞ ¼ 1

lim f ðxÞ ¼ 0

mentre

x!0

x!0þ

Analogamente anche x ¼ 1, 2, 3, 4, ::: cosı` come x ¼ 1, 2, 3, 4, :::, sono punti di salto. Precisamente, tutti i punti della forma x ¼ k, con k 2 Z, sono punti di salto. La funzione parte intera e` quindi un esempio di funzione che presenta infiniti punti di discontinuita`. y

y

y = [x]

y =1 x

O y = –1

O

x

1

–1 x < 0 f (x) =  1 x > 0

Figura 4.7 Esempio a.

Figura 4.8 Esempio b.

Discontinuita` di seconda specie Osserva

DISCONTINUITA` DI SECONDA SPECIE

Le discontinuita` di seconda specie corrispondono al caso in cui cade la condizione [4.1].

Diremo che un punto di discontinuita` x0 per una funzione f e` di seconda specie se almeno uno dei due limiti lim f ðxÞ, limþ f ðxÞ non esiste o e` infinito. x!x0

ESEMPI

x!x0

Discontinuita` di seconda specie

Studiamo i punti di discontinuita` delle seguenti funzioni:


1 a. f ðxÞ ¼ x

b.f ðxÞ ¼

se x 6¼ 0 se x ¼ 0

c. f ðxÞ ¼ sin

1 x

a. La funzione e` definita e continua in R  f0g. Osserviamo che i limiti della funzione per x ! 0 e per x ! 0þ sono infiniti; precisamente risulta:

y

lim f ðxÞ ¼ 1

x!0

x

O

f (x) =

1 x

e

lim f ðxÞ ¼ þ1

x!0þ

quindi x ¼ 0 e` un punto di discontinuita` di seconda specie per la funzione. Osserva che la retta x ¼ 0 (cioe` l’asse y) risulta un asintoto verticale per la funzione. b. La funzione e` definita in R e certamente continua in R  f0g. Abbiamo: 1

lim f ðxÞ ¼ lim e x ¼ 0

x!0

x!0

! e1 1

lim f ðxÞ ¼ limþ e x ¼ þ1

x!0þ

x!0

! eþ1

184

1

ex 0

Unita` 4

Poiche´ il limite per x ! 0 e` finito, mentre il limite per x ! 0þ e` infinito, il punto x ¼ 0 e` un punto di discontinuita` di seconda specie. Osserva che, poiche´ risulta:

y

Continuita`

 1x f (x) = e se x ≠ 0 0 se x = 0

lim f ðxÞ ¼ f ð0Þ ¼ 0

x!0

la funzione f e` continua da sinistra in x ¼ 0; l’asse y risulta invece un asintoto verticale destro per la funzione.

x

O

c. La funzione e` definita e continua in R  f0g. Sia lim f ðxÞ sia limþ f ðxÞ non esix!0

y

x!0

stono (lo abbiamo dimostrato nel primo esempio del Paragrafo 2 dell’Unita` 3), quindi anche questa funzione presenta per x ¼ 0 un punto di discontinuita` di seconda specie. In questo caso pero` il grafico della funzione in un intorno di 0 non e` facilmente rappresentabile; infatti, come puoi vedere dalla figura a lato, in un intorno di 0 la funzione presenta infinite oscillazioni tra 1 e 1.

y =1

f (x) =sin

Attenzione!

1 x x

O

y = –1

Gli esempi a fianco indicano alcuni possibili comportamenti di una funzione in un punto di discontinuita` di seconda specie, ma non esauriscono tutti i casi possibili: per esempio, potrebbe non esistere uno solo dei due limiti, dalla destra o dalla sinistra, mentre l’altro potrebbe essere finito o infinito.

SINTESI

I punti di discontinuita` Sia x0 un punto di discontinuita` di una funzione f . Si dice che:
x0 e` un punto di discontinuita` eliminabile se esiste finito lim f ðxÞ ma questo e` x!x0 diverso da f ðx0 Þ oppure f non e` definita in x0 ;
x0 e` un punto di salto (o di discontinuita` di prima specie) se i due limiti lim f ðxÞ e x!x0 limþ f ðxÞ esistono finiti e sono diversi tra loro; x!x0


x0 e` un punto di discontinuita` di seconda specie se almeno uno dei due limiti lim f ðxÞ e limþ f ðxÞ non esiste o e` infinito. x!x0

x!x0

Prova tu

ESERCIZI a p. 206

Classifica gli eventuali punti di discontinuita` delle seguenti funzioni. 1. f ðxÞ ¼

x2 x2  4 1

2. f ðxÞ ¼ 2 x1 3. f ðxÞ ¼

jx  3j x3

[x ¼ 2: eliminabile; x ¼ 2: seconda specie] [x ¼ 1: seconda specie] [x ¼ 3: punto di salto]

8 x < e 1 x 4. f ðxÞ ¼ : 2 5. f ðxÞ ¼

1 1

e  ex

x 6¼ 0

[x ¼ 0: eliminabile]

x¼0 [x ¼ 1: seconda specie; x ¼ 0: punto di salto]

185

Limiti e continuita`

3. Proprieta` delle funzioni continue e metodo di bisezione

Tema F

Cominciamo da un teorema che, come vedremo, ha importanti applicazioni al problema della risoluzione di un’equazione.

In questo paragrafo presentiamo alcuni teoremi che illustrano le proprieta` di cui godono le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato.

Il teorema di esistenza degli zeri e il metodo di bisezione

TEOREMA 4.5

La dimostrazione del teorema 4.5 e` presentata in un approfondimento disponibile on-line.

T e o r e m a (d i es i s t e n z a ) d e g l i z e r i

Sia f una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato ½a, b. Se f ðaÞ f ðbÞ < 0, allora la funzione ammette almeno uno zero in ða, bÞ, ossia esiste un punto x0 2 ða, bÞ tale che f ðx0 Þ ¼ 0.

Il teorema afferma un fatto intuitivo: se una funzione continua f assume agli estremi dell’intervallo ½a, b valori discordi, il suo grafico deve avere almeno un punto di intersezione con l’asse x (fig. 4.9). Il punto d’intersezione puo` non essere unico (fig. 4.10); inoltre la condizione espressa dal teorema e` sufficiente, ma non necessaria, affinche´ esista uno zero della funzione nell’intervallo considerato (fig. 4.11). y

y

a

x0

O

y

b

x

Figura 4.9 La funzione assume valori discordi agli estremi dell’intervallo ½a, b e si annulla in un solo punto.

a

x0

O

x1

x2

b

x

Figura 4.10 La funzione assume valori discordi agli estremi dell’intervallo ½a, b e si annulla in tre punti.

ESEMPI

a

O

x1

x2 b

x

Figura 4.11 La funzione non assume valori discordi agli estremi dell’intervallo ½a, b, ma ammette ugualmente due zeri.

Applicazione del teorema degli zeri

Data la funzione f ðxÞ ¼ x  2 ln jxj, in quale dei seguenti intervalli e` possibile applicare il teorema degli zeri?   1 c. ½1, 2 a. ½1, 0 b. 1,  2 a. Nell’intervallo ½1, 0 la funzione data non e` continua, perche´ non e` definita in x ¼ 0. Non e` quindi possibile applicare il teorema degli zeri alla funzione in questo intervallo.   1 la funzione e` continua; inoltre f ð1Þ ¼ 1 e b. Nell’intervallo 1,  2   1 ’ 0,89. Poiche´ la funzione e` continua nell’intervallo dato e assume f  2 valori discordi agli estremi, possiamo applicare il teorema degli zeri e affermare deve avere almeno uno zero appartenente all’interval che la funzione  1 lo  1,  . 2 c. Nell’intervallo ½1, 2 la funzione e` continua ma non assume valori discordi agli estremi; infatti f ð1Þ ¼ 1 e f ð2Þ ’ 0,61, quindi non possiamo applicare il teorema degli zeri. 186

Necessita` delle ipotesi del teorema degli zeri Osserva

y

x

O

f (x) =

b. Nell’intervallo ½2, 2 la funzione:
1 se x  0 f ðxÞ ¼ 1 se x < 0

1 x

Nello studio dell’analisi, l’enunciato di un teorema e` di solito accompagnato, oltre che dalla dimostrazione, anche dalla discussione della necessita` delle ipotesi. Si fa cioe` vedere, mediante opportuni controesempi, che se cade una delle ipotesi del teorema, allora la tesi puo` non essere piu` vera.

Continuita`

1 e` definita e continua x nell’insieme R  f0g, assume sia valori negativi sia valori positivi, ma non si annulla mai. Rispetto al teorema degli zeri cade l’ipotesi che la funzione sia definita in un intervallo chiuso e limitato.

a. La funzione f ðxÞ ¼

Unita` 4

CONTROESEMPI

y

e` definita ma non e` continua in x ¼ 0; assume valori discordi agli estremi dell’intervallo (f ð2Þ ¼ 1 e f ð2Þ ¼ 1Þ, tuttavia non si annulla nell’intervallo ½2, 2. Rispetto al teorema degli zeri cade l’ipotesi che la funzione sia continua nell’intervallo considerato.

–2

O

2

x

1 se x ≥ 0 f (x) =  –1 se x < 0

Soffermiamoci ora sulle ricadute del teorema degli zeri sul problema della risoluzione di un’equazione della forma: f ðxÞ ¼ 0 dove f e` una funzione continua. Abbiamo gia` visto in varie occasioni che, quando l’equazione f ðxÞ ¼ 0 non e` risolvibile algebricamente, si puo` cercare di stabilire se esistono soluzioni, e in caso affermativo di localizzarle, mediante metodi grafici. Ora il teorema 4.5 ci consente di fare alcuni passi avanti:
anzitutto, dopo aver localizzato graficamente un intervallo dove esiste una soluzione, ci consente di dimostrare rigorosamente quanto intuito dal grafico;
inoltre, applicando un procedimento noto come metodo di bisezione, fondato sull’applicazione ripetuta del teorema 4.5, possiamo determinare delle approssimazioni delle soluzioni dell’equazione con la precisione desiderata. Spieghiamo in che cosa consiste il metodo di bisezione mediante un esempio. ESEMPIO

Il metodo di bisezione

Consideriamo l’equazione 2x þ x ¼ 0. Dopo aver verificato graficamente che ammette una soluzione e aver trovato un intervallo cui appartiene, determiniamo una sua approssimazione con una cifra decimale esatta.
Interpretazione grafica dell’equazione L’equazione 2x þ x ¼ 0 equivale a 2x ¼ x, quindi le sue eventuali soluzioni sono le ascisse dei punti d’intersezione tra i grafici delle funzioni y ¼ 2x e y ¼ x. Dalla figura si vede che i due grafici hanno in comune un solo punto, la cui ascissa x0 e` compresa tra 1 e 0. Possiamo quindi prevedere che l’equazione data avra` una soluzione, appartenente all’intervallo ½1, 0.

y y = –x

–1 x0


Dimostrazione dell’esistenza della soluzione

y = 2x

O

x

Dimostriamo rigorosamente quanto intuito dal grafico. Consideriamo la funzione: f ðxÞ ¼ 2x þ x. Osserviamo che essa e` continua e calcoliamo i valori assunti dalla funzione agli estremi dell’intervallo ½1, 0: f ð1Þ ¼ 21  1 ¼ 

1 0

Ô

187

Limiti e continuita`

Ô

Poiche´ tali valori sono discordi, per il teorema degli zeri possiamo affermare che esiste x0 2 ½1, 0 tale che f ðx0 Þ ¼ 0, cioe` che esiste una soluzione dell’equazione 2x þ x ¼ 0 appartenente all’intervallo ½1, 0. Osservando che la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ x e` strettamente crescente (in quanto somma di due funzioni strettamente crescenti), possiamo anche affermare che la soluzione dell’equazione e` unica.

Tema F


Il metodo di bisezione Possiamo localizzare piu` accuratamente la soluzione dell’equazione ragionando come segue.     1 1 1. Consideriamo i due intervalli 1,  e  , 0 in cui l’intervallo 2 2 ½1, 0 resta suddiviso dal suo punto medio. 2. Osserviamo che uno di essi deve certamente contenere la soluzione dell’equazione; per stabilire quale, calcoliamo il valore della funzione per 1 x ¼  . Con l’aiuto di una calcolatrice possiamo verificare che: 2   1 1 1 ¼ 2 2  ’ 0,21 > 0 f  2 2 3. Poiche´ sappiamo che f ð1Þ < 0 (lo abbiamo calcolato in precedenza) e ab  1 biamo appena visto che f  > 0, riconosciamo che la funzione f assu2   1 , quindi la soluziome valori discordi agli estremi dell’intervallo 1,  2 ne dell’equazione appartiene a esso. Il metodo di bisezione consiste nel ripetere questo processo finche´ non si giunge a un intervallo «sufficientemente piccolo» che consenta di determinare x0 con la precisione voluta. Questo esempio chiede di determinare la soluzione con una cifra decimale esatta, quindi dobbiamo ripetere il procedimento fino a determinare un intervallo i cui estremi coincidono fino alla prima cifra decimale. I vari passi da svolgere sono schematizzati nella seguente tabella. Intervallo

  1 1,  2

Punto medio



3 4

Valori della funzione

 f 

3 4

 ’ 0,16 0   3 f  ’ 0,16 4

>0

0

Possiamo quindi applicare alla funzione g nell’intervallo ½x1 , x2  il teorema degli zeri e affermare che deve esistere x0 2 ðx1 , x2 Þ tale che gðx0 Þ ¼ 0, ossia tale che f ðx0 Þ ¼ k. Cio` dimostra la tesi.

L’interpretazione grafica del teorema dei valori intermedi e` la seguente: se f e` una funzione continua in ½a, b, detti m ed M, rispettivamente, il minimo e il massimo valore assunto da f in questo intervallo, ogni retta di equazione y ¼ k, con m < k < M, interseca il grafico della funzione f almeno in un punto (fig. 4.19).

y M y = k2 y = k1 m

Figura 4.19

190

a

O

b

x

Unita` 4

ESEMPIO

Applicazione del teorema dei valori intermedi

Applichiamo il teorema dei valori intermedi alla funzione f ðxÞ ¼ x þ 2x nell’intervallo ½0, 3.

Continuita`

Nell’intervallo ½0, 3 la funzione e` continua, in quanto somma di funzioni continue. Possiamo quindi applicare il teorema dei valori intermedi. Per determinare il minimo e il massimo di f in ½0, 3 osserviamo che la funzione f e` strettamente crescente, perche´ e` somma di funzioni strettamente crescenti, quindi: min f ðxÞ ¼ f ð0Þ ¼ 1

x2½0, 3

max f ðxÞ ¼ f ð3Þ ¼ 11

x2½0, 3

Per il teorema dei valori intermedi possiamo allora affermare che la funzione f assume nell’intervallo ½0, 3 tutti i valori compresi tra 1 e 11. In altre parole, l’equazione: x þ 2x ¼ k ammettera` (almeno) una soluzione nell’intervallo ½0, 3 per ogni k tale che 1 < k < 11. Necessita` delle ipotesi del teorema dei valori intermedi
1 se x  0 a. La funzione f ðxÞ ¼ , nell’intervallo ½2, 2, assume valore 1 se x < 0

CONTROESEMPI

minimo uguale a 1 e massimo uguale a 1 ma non assume nessun valore compreso fra 1 e 1 (fig. 4.20). Rispetto alle ipotesi del teorema dei valori intermedi cade l’ipotesi di continuita` nell’intervallo ½2, 2 (la funzione non e` continua per x ¼ 0). b. La funzione f ðxÞ ¼ x e` continua nell’insieme X ¼ ½0, 2 [ ½3; 5; in questo insieme la funzione ha minimo uguale a 0 e massimo uguale a 5 ma non assume alcun valore compreso tra 2 e 3 (fig. 4.21). Rispetto alle ipotesi del teorema dei valori intermedi cade l’ipotesi che il dominio della funzione sia un intervallo. y

y –2

O

2

x

 1 se x ≥ 0 f (x) =  –1 se x < 0

O

Figura 4.20

3

5

x

Figura 4.21

Prova tu

8 < x sin x ex  1 1. Considera la funzione f ðxÞ ¼ : 1 vallo ½1, 1.

2

ESERCIZI a p. 212 x 6¼ 0

e stabilisci se si puo` applicare a essa il teorema degli zeri nell’inter-

x¼0

2. Dopo aver dimostrato, in base al teorema degli zeri, che la funzione f ðxÞ ¼ 2 sin x  x ha almeno uno zero nell’intervallo ½1, 2, determina tale zero con una cifra decimale esatta, utilizzando il metodo di bisezione. [1,8] 3. Quali delle seguenti funzioni ammettono senz’altro massimo e minimo nell’intervallo ½1, 0, in base al teorema di Weierstrass? p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 b. f ðxÞ ¼ log j 2x þ 1j c. f ðxÞ ¼ etan x  x a. f ðxÞ ¼ x7 þ x6 þ sin x

191

Limiti e continuita`

4. Asintoti e grafico probabile di una funzione

Tema F

In questo paragrafo vedremo che le nuove conoscenze acquisite circa i limiti e la continuita` ci consentono notevoli passi avanti nella risoluzione del problema di tracciare il grafico di una funzione reale di variabile reale. A tale scopo e` opportuno anzitutto riprendere le nozioni sugli asintoti che abbiamo gia` introdotto e ampliarle, introducendo il concetto di asintoto obliquo.

Asintoti orizzontali e verticali Nell’Unita` 2 abbiamo gia` definito gli asintoti verticali e orizzontali di una funzione. Una retta di equazione x ¼ x0 , con x0 2 R, e` un asintoto verticale per una funzione se il limite della funzione per x ! x0 e` 1 o þ1 o 1. þ Se il limite della funzione e` infinito solo per x ! x 0 o per x ! x0 si parla, rispettivamente, di asintoto verticale sinistro o di asintoto verticale destro. Alcuni casi sono rappresentati nelle figg. 4.22-23-24. y

y

y y = f(x)

y = f (x)

x

O

y = f (x)

x

O

x = x0

x

O

x = x0

Figura 4.22 Grafico di una funzione che ammette la retta di equazione x ¼ x0 come asintoto verticale bilatero (cioe` sia a destra sia a sinistra).

x = x0

Figura 4.23 Grafico di una funzione che ammette la retta di equazione x ¼ x0 come asintoto verticale sinistro.

Figura 4.24 Grafico di una funzione che ammette la retta di equazione x ¼ x0 come asintoto verticale destro.

Una retta di equazione y ¼ l, con l 2 R, e` un asintoto orizzontale per una funzione se il limite della funzione per x ! þ1 o per x ! 1 o per x ! 1 e` l. Se il limite e` l solo per x ! þ1 si parla piu` precisamente di asintoto orizzontale destro; se il limite e` l solo per x ! 1 si parla piu` precisamente di asintoto orizzontale sinistro. Alcuni casi sono rappresentati nelle figg. 4.25-26-27. y

y

y y = f(x) y=l

y=l

y=l

y = f (x) O

x

O

x

x

O y = f(x)

Figura 4.25 Grafico di una funzione che ammette la retta di equazione y ¼ l come asintoto orizzontale bilatero (cioe` sia a destra sia a sinistra).

Figura 4.26 Grafico di una funzione che ammette la retta di equazione y ¼ l come asintoto orizzontale sinistro.

Figura 4.27 Grafico di una funzione che ammette la retta di equazione y ¼ l come asintoto orizzontale destro.

Per determinare gli eventuali asintoti verticali e orizzontali di una funzione f di equazione y ¼ f ðxÞ bisogna anzitutto determinare il dominio D della funzione e poi calcolare i limiti cui tende la funzione agli estremi degli intervalli dove e` definita. Il procedimento apparira` piu` chiaro dopo l’esame dei prossimi esempi. 192

Unita` 4

Ricerca di asintoti verticali e orizzontali

ESEMPI

Continuita`

Ricerchiamo gli eventuali asintoti verticali e orizzontali delle seguenti funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 x2 þ 1 1 b. y ¼ c. y ¼ e x d. y ¼ ln x a. y ¼ 2 x 1 xþ2 a. La funzione e` definita per x 6¼ 1, quindi il suo dominio e`: ð1, 1Þ [ ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ Per ricercare eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dovremo calcolare i limiti per x ! 1 e per x ! 1.


x2 þ 1 ¼ 1, quindi x ¼ 1 e` un asintoto verticale x2  1

lim

x!1

Piu` precisamente, studiando il segno della funzione si vede che: lim

x!1




lim x!1

x2 þ 1 ¼ þ1 x2  1

x2 þ 1 ¼ 1, x2  1

e

limþ

x!1

x2 þ 1 ¼ 1 x2  1

quindi x ¼ 1 e` un asintoto verticale

Piu` precisamente, studiando il segno della funzione, si vede che: lim

x!1

x2 þ 1 ¼ 1 x2  1

e

limþ

x!1

x2 þ 1 ¼ þ1 x2  1

Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi infiniti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dovremo calcolare i limiti per x ! 1 e per x ! þ1.


lim

x! 1

x2 þ 1 ¼ 1, x2  1

quindi y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale (bilatero)

b. La funzione e` definita per x 6¼ 2 (osserva che x2 þ 1 e` sempre positivo quindi non occorre porre nessuna condizione per l’esistenza del radicale). Il dominio della funzione e` dunque: ð1, 2Þ [ ð2, þ1Þ Per la ricerca degli eventuali asintoti verticali calcoliamo il limite per x ! 2: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 ¼ 1, quindi x ¼ 2 e` un asintoto verticale
lim x!2 x þ 2




Per la ricerca degli eventuali asintoti orizzontali calcoliamo i limiti per x ! 1 e per x ! þ1: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jxj 1 þ 2 x 1 þ 2 x2 þ 1 x x  ¼ lim   ¼ lim ¼ lim  x!1 x þ 2 x!1 x!1 2 2 x 1þ x 1þ x x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  1þ 2 x ¼ 1 ¼ lim x!1 2 1þ x

quindi y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale sinistro.

Osserva Nell’esempio b., e` stato essenziale calcolare separatamente i limiti per x ! 1 e per x ! þ1, essendo diversi tra loro. Un altro esempio di funzione che ha comportamenti diversi per x ! 1 e per x ! þ1 e` y ¼ arctan x, che ha come asintoto orizzontale
e come destro la retta y ¼ 2 asintoto orizzontale sinistro
la retta y ¼  . 2 Nel primo esempio invece abbiamo potuto compattare la scrittura, calcolando il limite per x ! 1, poiche´ il comportamento della funzione x ! 1 e per x ! þ1 era il medesimo.

Ô

193

Limiti e continuita` Tema F

Ô


rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jxj 1 þ x 1 þ 1þ 2 2 2 x2 þ 1 x x x  ¼ lim   ¼ lim ¼ lim  lim ¼1 x!þ1 x þ 2 x!þ1 x!þ1 x!þ1 2 2 2 1þ x 1þ x 1þ x x x

quindi y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale destro. c. La funzione e` definita per x 6¼ 0, quindi il suo dominio e`: ð1, 0Þ [ ð0, þ1Þ Vediamo se esistono asintoti verticali:


1

lim e x ¼ 0

x!0

e

1

lim e x ¼ þ1

x!0þ

quindi x ¼ 0 e` un asintoto verticale destro per la funzione. Osserva che e` essenziale calcolare separatamente i limiti per x ! 0 e per x ! 0þ , essendo questi diversi tra loro. Vediamo se esistono asintoti orizzontali: 1

quindi y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale (bilatero)
ln x  0 d. La funzione e` definita purche´ sia , cioe` per x  1; il dominio e` x>0 quindi l’intervallo ½1, þ1Þ. Osserviamo che la funzione data e` continua nel suo dominio (in quanto composta di funzioni continue), per cui: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
lim ln x ¼ ln 1 ¼ 0


lim e x ¼ e0 ¼ 1;

x! 1

x!1

pertanto non ci sono asintoti verticali. Per vedere se esistono asintoti orizzontali, studiamo il comportamento della funzione quando x ! þ1; poiche´: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
lim ln x ¼ þ1 x!þ1

non ci sono nemmeno asintoti orizzontali. Osserva che in questo caso non ha senso il calcolo del limite per x ! 1 poiche´ il dominio della funzione non e` inferiormente illimitato. Concludiamo osservando che se una funzione e` periodica (non costante) non esistono i limiti per x ! 1, quindi non esistono asintoti orizzontali. Per esempio, le funzioni seno, coseno e tangente non hanno asintoti orizzontali.

Asintoti obliqui Se una funzione non presenta asintoti orizzontali, puo` accadere che ammetta asintoti obliqui. Intuitivamente, cio` significa che puo` esistere una retta, non orizzontale, alla quale il grafico della funzione si avvicina indefinitamente. La definizione rigorosa di asintoto obliquo e` la seguente. ASINTOTO OBLIQUO

Una retta di equazione y ¼ mx þ q, con m 6¼ 0, si dice asintoto obliquo per una funzione y ¼ f ðxÞ per x ! 1 quando: lim jf ðxÞ  ðmx þ qÞj ¼ 0

x!1

[4.4]

Se la condizione [4.4] e` verificata solo per x ! 1 o per x ! þ1, si dice, rispettivamente, che y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo sinistro o un asintoto obliquo destro.

La [4.4] equivale alla richiesta che la distanza tra il un punto P del grafico di f e il punto Q sulla retta y ¼ mx þ q avente la stessa ascissa di P tenda a 0 quando x ! 1 (fig. 4.28) 194

Unita` 4

y

y = f (x) y = mx + q

Q

Figura 4.28 La retta y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo per f se e solo se la distanza PQ tende a 0 quando x tende a infinito.

Continuita`

P f(x) – (mx + q)  x

O

La definizione precedente non e` pero` operativa, nel senso che, data una funzione, non ci permette di stabilire se esistono asintoti obliqui e, in caso affermativo, di determinarli; per risolvere questi problemi e` utile il seguente teorema. Esistenza e calcolo dell’asintoto obliquo

TEOREMA 4.8

La retta di equazione y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo per la funzione y ¼ f ðxÞ se e solo se: f ðxÞ ¼m x

[4.5]


lim ½ f ðxÞ  mx ¼ q

[4.6]


lim

x!1

x!1

essendo m, q 2 R, con m 6¼ 0. Se le condizioni [4.5] e [4.6] sono verificate solo per x ! þ1 oppure per x ! 1, l’asintoto obliquo sara` soltanto destro o sinistro. DIMOSTRAZIONE

1. Supponiamo che la retta y ¼ mx þ q sia un asintoto obliquo per la funzione e dimostriamo che allora sono soddisfatte le condizioni [4.5] e [4.6] Poiche´ y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo, in base alla definizione deve essere:    f ðxÞ q   m  0 ¼ lim j f ðxÞ  ðmx þ qÞj ¼ lim jxj x!1 x!1 x x Poiche´ il primo fattore dell’ultimo limite scritto tende a 1 e il risultato del limite e` 0, l’unica possibilita` e` che il limite del secondo fattore esista e valga 0. q ! 0 per x ! 1, cio` implica: Poiche´ x lim

x!1

f ðxÞ ¼m x

E` quindi soddisfatta la [4.5]

D’altra parte deve essere anche: 0 ¼ lim j f ðxÞ  ðmx þ qÞj ¼ lim jðf ðxÞ  mxÞ  qj x!1

x!1

da cui: lim ½ f ðxÞ  mx ¼ q

E` quindi soddisfatta la [4.6]

x!1

2. Supponiamo che siano verificate le condizioni [4.5] e [4.6] e dimostriamo che allora la retta y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo L’ipotesi che valga la [4.6] implica che: lim j f ðxÞ  ðmx þ qÞj ¼ lim jðf ðxÞ  mxÞ  qj ¼ jq  qj ¼ 0

x!1

x!1

Quindi, in base alla definizione [4.4], la retta di equazione y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo per la funzione. 195

Limiti e continuita` Tema F

In pratica, il teorema 4.8 si utilizza cosı`: 1. si controlla anzitutto se esistono asintoti orizzontali; se ci sono asintoti orizzontali, il problema della ricerca dell’asintoto obliquo non si pone, altrimenti f ðxÞ si passa a calcolare lim ; x!1 x 2. se questo limite non esiste oppure e` infinito o nullo, non esistono asintoti obliqui; se invece esiste, finito e diverso da zero, lo si indica con m e si passa a calcolare lim ½ f ðxÞ  mx; x!1

3. se quest’ultimo limite non esiste o e` infinito, non esiste asintoto obliquo; se invece esiste, finito, lo si indica con q e l’asintoto obliquo e` la retta di equazione y ¼ mx þ q. Ricerca di asintoti obliqui

ESEMPI

Calcoliamo gli eventuali asintoti obliqui delle seguenti funzioni: a. y ¼

x3 þ 1 x 2 þ 2x

b. y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1  x

c. y ¼ x þ ln x

a. Osserviamo che il dominio della funzione e` R  f2, 0g, quindi, essendo inferiormente e superiormente illimitato, ha senso indagare sul comportamento della funzione sia per x ! 1 sia per x ! þ1. Abbiamo che: x3 þ 1 lim 2 ¼ lim x ¼ 1 x! 1 x þ 2x x! 1 quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui. Abbiamo: lim

x! 1

f ðxÞ x3 þ 1 ¼1 ¼ lim 3 x! 1 x þ 2x2 x

m¼1

Poiche´ tale limite e` finito, ha senso continuare:    3  x þ1 lim f ðxÞ  1  x ¼ lim x ¼ x! 1 x! 1 x2 þ 2x f ðxÞ  mx

¼ lim

x! 1

forma indeterminata þ1  1

x3 þ 1  xðx2 þ 2xÞ 1  2x2 ¼ lim 2 ¼ 2 2 x! 1 x þ 2x x þ 2x

q ¼ 2

Concludiamo che l’asintoto obliquo esiste e ha equazione y ¼ x  2. b. Il dominio della funzione e` R. Controlliamo anzitutto se esistono asintoti orizzontali: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
lim ð x2 þ 1  xÞ ¼ þ1 x!1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð x2 þ 1  xÞð x2 þ 1 þ xÞ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1  x ¼ lim
lim ¼ x!þ1 x!þ1 x2 þ 1 þ x forma indeterminata þ1  1

1 ¼0 ¼ lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x!þ1 x þ1þx Quindi y ¼ 0 e` un asintoto orizzontale destro, mentre per x ! 1 potrebbe rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi esistere asintoto obliquo sinistro. 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jxj 1 þ 2  x f ðxÞ x2 þ 1  x x ¼ ¼ lim ¼ lim lim x!1 x x!1 x!1 x x ¼ lim

x!1

196

! rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  1 þ 2  1 ¼ 2 x

jxj ¼ x per x ! 1

m ¼ 2

f ðxÞ  mx

Unita` 4

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 þ1 þxÞð x2 þ1 xÞ ð x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ1 þx ¼ lim ¼ lim ½ f ðxÞþ2x ¼ lim x!1 x!1 x!1 x2 þ1 x

1 ¼0 ¼ lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x!1 x2 þ 1  x

Continuita`

forma indeterminata þ1  1 q¼0

Pertanto, la retta y ¼ 2x e` un asintoto obliquo sinistro. c. Il dominio della funzione e` ð0, þ1Þ. Ha percio` senso la ricerca di asintoti orizzontali od obliqui destri. Poiche´: lim ðx þ ln xÞ ¼ þ1

x!þ1

non ci sono asintoti orizzontali; vediamo se esiste un asintoto obliquo:   f ðxÞ x þ ln x ln x ¼ lim ¼ lim 1 þ ¼1 m¼1 lim x!þ1 x x!þ1 x!þ1 x x lim ½ f ðxÞ  x ¼ lim ln x ¼ þ1

x!þ1

x!þ1

q non esiste finito

Poiche´ l’ultimo limite e` infinito, concludiamo che non esiste asintoto obliquo. E` importante fare alcune osservazioni.
Per le funzioni razionali frazionarie, ovverosia per le funzioni di equazione PðxÞ y¼ , dove PðxÞ e QðxÞ sono due polinomi, e` un facile esercizio verificare QðxÞ che l’asintoto obliquo esiste se e solo se il grado di PðxÞ supera di 1 quello di QðxÞ.
Se l’espressione analitica di una funzione si presenta nella forma f ðxÞ ¼ mx þ q þ "ðxÞ dove "ðxÞ ! 0 per x ! 1 (o 1 o þ1Þ, e` intuitivo che il grafico della funzione, per x ! 1 (o 1 o þ1Þ, tende «ad avvicinarsi sempre piu`» a quello della retta di equazione y ¼ mx þ q. In effetti, applicando il teorema 4.8 si puo` verificare che in tale ipotesi la retta di equazione y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo per la funzione. Questa osservazione consente spesso di riconoscere «a colpo d’occhio» l’esistenza di un asintoto obliquo. Per esempio, consideriamo la funzione: 1 f ðxÞ ¼ x þ x 1 ! 0 per x ! 1, possiamo immediatamente affermare che y ¼ x e` un Poiche´ x asintoto obliquo per la funzione. PER SAPERNE DI PIU`

Asintoti curvilinei

L’osservazione effettuata poc’anzi suggerisce la via per una possibile generalizzazione del concetto di asintoto a curve diverse dalle rette: se l’espressione analitica di una funzione si presenta nella forma:

y

f ðxÞ ¼ gðxÞ þ "ðxÞ dove "ðxÞ ! 0 per x ! 1, il grafico della funzione f tendera` ad avvicinarsi indefinitamente al grafico della funzione g per x ! 1, quindi la funzione g potra` definirsi un asintoto curvilineo per la funzione f . Per esempio, consideriamo la funzione: 1 y ¼ x2 þ x 1 Poiche´ ! 0 per x ! 1, possiamo immediatamente affermare che la parabola di equax zione y ¼ x2 svolge il ruolo di «asintoto curvilineo» per la funzione considerata (fig. 4.29).

y = x2

y = x2+

1 x

O

x

Figura 4.29

197

Limiti e continuita` Tema F

Grafico probabile di una funzione Alla luce delle nuove conoscenze che abbiamo acquisito circa gli asintoti, riprendiamo il problema di tracciare il grafico di una funzione. Data una funzione, fino a questo punto eravamo in grado (almeno nei casi piu` semplici) di: 1. determinarne il dominio; 2. riconoscerne eventuali simmetrie evidenti (cioe` rispetto all’asse y o all’origine); 3. determinare gli eventuali punti d’intersezione del suo grafico con gli assi; 4. studiarne il segno; Ora possiamo arricchire la nostra analisi con un quinto punto: 5. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli dove la funzione e` definita. Cio` consente di studiare eventuali punti di discontinuita` della funzione e di scoprire l’esistenza di eventuali asintoti verticali e/o orizzontali; se non esistono asintoti orizzontali, siamo inoltre in grado di ricercare eventuali asintoti obliqui. L’insieme delle informazioni ricavate dai cinque punti indicati consente in molti casi di tracciare il grafico di una funzione con buona approssimazione, come mostriamo nel prossimo esempio. Parleremo di grafico probabile, perche´ alcuni elementi rimangono ancora incerti (per esempio la determinazione degli eventuali punti di minimo o di massimo). ESEMPIO

Grafico probabile di una funzione razionale frazionaria

Tracciamo il grafico probabile della funzione y ¼

2x 2  2x  4 . x2  9


Dominio La funzione che dobbiamo studiare e` razionale frazionaria ed e` definita per i valori di x che non annullano il denominatore, cioe` per x 6¼ 3. Percio` il dominio della funzione e`: D ¼ ð1, 3Þ [ ð3, 3Þ [ ð3, þ1Þ
Simmetrie E` facile verificare che f ðxÞ 6¼ f ðxÞ e f ðxÞ 6¼ f ðxÞ, quindi la funzione non presenta simmetrie evidenti.
Punti di intersezione con gli assi Asse x 8 ( 2x2  2x  4 < 2x2  2x  4 ¼ 0 y¼ ) ) x2  9 : y ¼ 0 y¼0


2ðx þ 1Þðx  2Þ ¼ 0 x ¼ 1 x¼2 ) ) _ y¼0 y¼0 y¼0 Il grafico interseca quindi l’asse x nei punti di coordinate ð1, 0Þ e ð2, 0Þ. Asse y 8
0) >0 x2  9 x2  9 x2  9 Otteniamo lo schema seguente. –3 0

−

+

E

−

segno di x – 9 2

2(x 2– x –2) segno di x2– 9

–1

+ +

segno di x – x – 2 2

+

0

2 −

0

− 0

+

0

3 +

+

−

0

+

−

E

+

x

Le informazioni fin qui raccolte sul grafico della funzione sono rappresentate in fig. 4.30.
Limiti agli estremi dell’insieme di definizione e asintoti Ricordiamo che D ¼ ð1, 3Þ [ ð3, 3Þ [ ð3, þ1Þ. lim

x! 1

2x2  2x  4 ¼2 x2  9

quindi y ¼ 2 e` un asintoto orizzontale. lim

x!3

2x2  2x  4 ¼ þ1 x2  9

limþ

x!3

2x2  2x  4 ¼ 1 x2  9

Per determinare il segno dell’infinito tieni conto del segno della funzione

quindi x ¼ 3 e` un asintoto verticale. lim

x!3

2x2  2x  4 ¼ 1 x2  9

limþ

x!3

2x2  2x  4 ¼ þ1 x2  9

quindi anche x ¼ 3 e` un asintoto verticale. Ai fini di tracciare con maggior precisione il grafico della funzione e` utile ricercare eventuali suoi punti di intersezione con l’asintoto orizzontale, risolvendo il sistema: 8
0 o k < 0, deve essere: y  dx  e  0

o y  dx  e  0

[4.9]

Sotto questa condizione si possono elevare al quadrato i due membri della [4.8], ottenendo un’equazione di secondo grado nelle incognite x e y, rappresentata quindi da una conica; il grafico della funzione originaria sara` allora la parte di questa conica che soddisfa la condizione [4.9]. Facciamo alcune osservazioni. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Se d ¼ 0, ricadiamo in una funzione di equazione y ¼ k ax2 þ bx þ c þ e, di cui avevamo gia` imparato a tracciare il grafico nello studio della geometria analitica (parte di conica con gli assi paralleli agli assi cartesiani).
Le funzioni in cui d 6¼ 0 generano nell’elevamento al quadrato un termine in xy, quindi la conica corrispondente ha gli assi non paralleli agli assi cartesiani.
Sapere che le funzioni di equazione [4.7] sono parti di coniche e` utile ai fini di tracciare il grafico probabile in quanto, capito di quale conica si tratta, possiamo prevedere in anticipo la forma del grafico della funzione.

Funzione irrazionale il cui grafico e` una parte di iperbole pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Tracciamo il grafico della funzione y ¼ x þ x 2  4.

ESEMPIO

Il dominio della funzione e` ð1, 2 [ ½2, þ1Þ. Osserviamo che: f ð2Þ ¼ 2

e

f ð2Þ ¼ 2

Calcolando i limiti per x ! 1 e per x ! þ1, troviamo che:
y ¼ 0 e` asintoto orizzontale per x ! 1;
non esistono asintoti orizzontali per x ! þ1. Potrebbe dunque esistere un asintoto obliquo destro; in effetti, calcolando gli opportuni limiti, si verifica che un tale asintoto esiste e ha equazione y ¼ 2x. Poiche´ sappiamo che il grafico della funzione deve essere una parte di conica e abbiamo trovato degli asintoti, deve trattarsi di una parte di iperbole. Tenendo conto di cio`, possiamo gia` tracciare il grafico probabile della funzione in figura. y

y = 2x

2 –2 O 2 –2

202

x

Esercizi

In più: esercizi interattivi

4

Unita` Unita` 4

SINTESI Definizioni e teoremi importanti

Continuita`

Continuita` delle funzioni elementari Le funzioni elementari (le funzioni potenza, la funzione esponenziale e logaritmica, le funzioni goniometriche e le loro inverse) sono continue nel loro dominio. Continuita` e operazioni Se f e g sono due funzioni continue in x0 , allora anche f þ g e f  g sono continue in x0 ; se e` gðx0 Þ 6¼ 0, anche la f funzione e` continua in x0 . g Continuita` e composizione di funzioni Siano f e g due funzioni tali che g  f esista in un intorno di x0 ; se la funzione f e` continua in x0 e la funzione g e` continua in f ðx0 Þ, allora anche la funzione composta g  f e` continua in x0 . Classificazione dei punti di discontinuita` Sia x0 un punto di discontinuita` della funzione f : a. se lim f ðxÞ esiste finito ma questo e` diverso da f ðx0 Þ oppure f non e` definita in x0 , si dice che x0 e` un punto di x!x0

discontinuita` eliminabile; þ ` un punb. se i limiti della funzione f per x ! x 0 e x ! x0 esistono finiti ma sono diversi tra loro, si dice che x0 e to di salto (o di discontinuita` di prima specie); c. negli altri casi si dice che x0 e` un punto di discontinuita` di seconda specie. Teorema degli zeri Sia f una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ½a, b. Se la funzione f assume valori discordi agli estremi dell’intervallo ½a, b, allora f ammette almeno uno zero appartenente all’intervallo ða, bÞ. Teorema di Weierstrass Sia f una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ½a, b; allora f ammette massimo e minimo (assoluti) in ½a, b. Teorema dei valori intermedi Sia f una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ½a, b; allora f assume tutti i valori compresi fra il suo minimo m e il suo massimo M in ½a, b. Metodo di bisezione Sia f una funzione continua in un intervallo [a, b], tale che f ðaÞ  f ðbÞ < 0; allora f ha almeno uno zero x0 in [a, b] per il teorema degli zeri; il metodo di bisezione consiste nel seguente procedimento e permette di approssimare lo zero: a. si considera il punto medio di [a, b], diciamolo c, e si calcola f ðcÞ: se f ðcÞ ¼ 0 si e` trovato lo zero, altrimenti la funzione f assume segno discorde agli estremi dell’intervallo ½a, c o agli estremi di ½c, b; b. individuato a quale dei due intervalli, ½a, c o ½c, b, appartiene lo zero, si ripete il procedimento del passo precedente a partire dal nuovo intervallo trovato; c. si continua fino a giungere a un intervallo che consenta di approssimare lo zero con la precisione voluta. Asintoto obliquo La retta di equazione y ¼ mx þ q e` un asintoto obliquo per la funzione y ¼ f ðxÞ se e solo se: lim

x!1

f ðxÞ ¼m e x

lim ½ f ðxÞ  mx ¼ q

x!1

essendo m, q 2 R, con m 6¼ 0

203

Limiti e continuita` Tema F

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Funzioni continue

TEORIA a p. 178

Esercizi preliminari

8 2 > < x 1 x1 1 Verifica che la funzione f ðxÞ ¼ Þ > : e` continua nel punto x ¼ 1. 2

x 6¼ 1 x¼1

1 non e` Spiega perche´ la funzione f ðxÞ ¼ 3 x x continua per x ¼ 1. 8 > < jx  1j x 6¼ 1 x1 3 Spiega perche´ la funzione f ðxÞ ¼ Þ > : non e` continua nel punto x ¼ 1. 1 x¼1 2 Þ

4 Þ

Spiega perche´ la funzione f ðxÞ ¼ ln ðx3 þ 1Þ e` continua. x2  1 e` continua? E la fun5 La funzione f ðxÞ ¼ 2 Þ x þ1 zione gðxÞ ¼ log ðcos xÞ? 9 Þ

Traccia il grafico di una funzione f che soddisfi le proprieta` indicate. 6 Þ

f non e` continua in x ¼ 2 ma limþ f ðxÞ e x!2

lim f ðxÞ esistono finiti e sono uguali fra loro.

x!2

7 Þ

f e` continua da destra, ma non e` continua, in x ¼ 2 ed e` continua da sinistra, ma non e` continua, in x ¼ 4.

8 Þ

f non e` continua ne´ da destra ne´ da sinistra in x ¼ 3 e i limiti lim f ðxÞ e limþ f ðxÞ esistono finiti ma x!3

x!3

sono diversi tra loro.

Vero o falso?

a. se f e g sono due funzioni continue in R, anche la funzione f  g e` continua in R

V

F

V

F

c. se f e` una funzione definita su un insieme D R, continua e invertibile in D, anche la sua inversa e` una funzione continua

V

F

d. se una funzione e` invertibile, allora e` strettamente monotona

V

F

e. se una funzione e` strettamente monotona allora e` invertibile

V

F

f. se una funzione definita in un intervallo e` invertibile e continua, allora e` strettamente monotona

V

F

g. se una funzione e` strettamente monotona allora e` invertibile e continua

V

F

b. se f e` continua e invertibile in R, anche f

1

lo e`

[3 affermazioni false e 4 vere]

Continuita` in un punto e funzioni continue 10 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo l’insieme dei punti in cui le seguenti funzioni sono continue: 8
< sin 2x x2  2x þ 3 sin x x  0 b. f ðxÞ ¼ c. f ðxÞ ¼ a. f ðxÞ ¼ x cos x x > 0 : x2  4 2

x 6¼ 0 x¼0

a. La funzione f e` ottenuta dal quoziente di due funzioni continue, quindi e` continua in ogni punto del suo dominio. Poiche´ f e` definita per x 6¼ 2, possiamo dire che f e` continua nell’insieme R  f 2g. b. La funzione f e` continua nell’intervallo ð1, 0Þ (perche´ ivi coincide con sin x, che e` una funzione continua) e nell’intervallo ð0, þ1Þ (perche´ ivi coincide con cos x, che e` una funzione continua). L’unico punto in cui la funzione potrebbe non essere continua e` il punto x ¼ 0. Per x ¼ 0 la funzione f e` definita e risulta f ð0Þ ¼ sin 0 ¼ 0; tuttavia: lim f ðxÞ ¼ lim sin x ¼ 0

x!0

x!0

mentre

lim f ðxÞ ¼ limþ cos x ¼ 1

x!0þ

x!0

quindi f non e` continua in 0. L’insieme dei punti dove f e` continua e` allora R  f0g. c. La funzione f e` continua per ogni x 6¼ 0 (perche´?). L’unico punto in cui la funzione potrebbe non essere continua e` il punto x ¼ 0. Per x ¼ 0 la funzione f e` definita e risulta f ð0Þ ¼ 2; inoltre, lim f ðxÞ ¼ lim x!0

lim f ðxÞ ¼ f ð0Þ ¼ 2, la funzione f e` continua anche in 0, quindi e` continua in R. x!0

204

x!0

sin 2x ¼ 2. Poiche´ x

Unita` 4 [R  f1g]

Continuita`

Determina l’insieme dei punti in cui le seguenti funzioni sono continue. 8 x3  1 > x2  1 [R  f1,3g] 11 f ðxÞ ¼ 2 > Þ > x x þ 2x  3 > > < x1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 12 f ðxÞ ¼ x2  1 [ð1, 1 [ ½1, þ1Þ] 26 f ðxÞ ¼ 1 x¼1 Þ Þ > > > > x  1 2 > x þ1 > x>1 : pffiffiffi [R  f 1, 0g] 13 f ðxÞ ¼ 3 Þ x1 x x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 8 2 3 14 f ðxÞ ¼ x þ 1 [R] x  1 x > Þ > < p ffiffi ffi 27 f ðxÞ ¼ 2x þ 3 1 < x < 0 x4  x Þ > [½0, þ1Þ] 15 f ðxÞ ¼ 2 > Þ : x þ 2x þ 1 4 x0 ffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 2 x þ x2  1 x  1 x > [½1, 2Þ [ ð2, þ1Þ] 16 f ðxÞ ¼ > Þ 4 < x  16 28 f ðxÞ ¼ 2x þ 1 1 < x < 0 Þ > > 17 f ðxÞ ¼ log ðx2  1Þ [ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ] : Þ xþ2 x0 18 f ðxÞ ¼ log jx2  1j [R  f1, 1g] Þ 8 sin 2x 1 > > x x Þ < x 29 f ðxÞ ¼ 1 Þ 1 x¼0 > 20 f ðxÞ ¼ [R  fk
g] > Þ > sin x : cos x þ 1 x > 0 h n
oi sin x pffiffiffi 21 f ðxÞ ¼ R þ k
Þ 8 3 sin x  3 cos x < sin 2x x 0  
5

23 f ðxÞ ¼ ln ð2 sin x  1Þ þ 2k
< x < þ 2k
Þ x x0 6 6 32 f ðxÞ ¼ Þ ð2 þ xÞ x >0 log h
i 2
24 f ðxÞ ¼ ln ð2 cos x  1Þ  þ 2k
< x < þ 2k
Þ 8 3 3 1 > x > x
Þ > x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > > : 2x þ 1 x  1 > < x1 2 [R] 25 f ðxÞ ¼ 2 x¼1 Þ ( > > > x2 þ 1 x x1 > > 34 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : pffiffiffi x>1 Þ x1 2x þ 1 x  2

[R  f0g]

[R  f1, 0g]

[R  f0g]

[R]

[R] [R  f0g]

[R]

[R  f2g]

Esercizi con i parametri 35 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo per quali valori di a e b la seguente funzione e` continua in R: 8 < ln ðx2 þ 1Þ þ a x  0 f ðxÞ ¼ cos x 0

La funzione data e` definita in R ed e` certamente continua in R  f0,
g perche´ in ciascuno degli intervalli ð1, 0Þ, ð0,
Þ, ð
, þ1Þ coincide con una funzione continua. Affinche´ f sia continua in R basta quindi determinare a e b in modo che f sia continua anche in x ¼ 0 e in x ¼
.
Studiamo il comportamento della funzione in un intorno di x ¼ 0; abbiamo: lim f ðxÞ ¼ lim ½ln ðx2 þ 1Þ þ a ¼ a f ð0Þ ¼ a

x!0

x!0

lim f ðxÞ ¼ limþ cos x ¼ 1

x!0þ

x!0

f sara` continua in 0 se e solo se: lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ ¼ f ð0Þ, da cui a ¼ 1 x!0

x!0

205

Limiti e continuita` Tema F


Studiamo il comportamento della funzione in un intorno di x ¼
; abbiamo: f ð
Þ ¼ 1 limþ f ðxÞ ¼ limþ ðb  cos xÞ ¼ b þ 1 lim f ðxÞ ¼ lim cos x ¼ 1 x!


x!


x!


x!


Analogamente al caso precedente, deduciamo che f e` continua in x ¼
se e solo se b þ 1 ¼ 1, cioe` se b ¼ 2.
In definitiva, f e` continua in R se e solo se a ¼ 1 e b ¼ 2.

Determina i valori dei parametri in modo che le seguenti funzioni risultino continue. (   8 x2  k x < 4 8 cos 2x x 36 f ðxÞ ¼ k¼ > Þ   < 3 2x þ 2k x  4 1 a x¼0 a ¼ 1, b ¼ 44 f ðxÞ ¼ Þ
> 2 log ð1 þ 2xÞb ax þ 4 x  2 > : x>0 37 f ðxÞ ¼ [a ¼ 4] Þ x ax2  4 x > 2 8 8 1  ekx > > > < 2 cos ða þ xÞ x  0 >   x x þ 2 ðbxÞ x1 log > 2 : x0 2 h i x þ4
a ¼ þ 2k
, b ¼ 2 8 3x 3 e 1 > > 8 x > > x < sin x þ a 
 x 
< 46 Considera: f ðxÞ ¼ cos x
< x  2
. [a ¼ 3, b ¼ 6] 39 f ðxÞ ¼ a x¼0 Þ Þ : > > b  cos x 2
< x < 3
> > > ln ð1 þ bxÞ : x>0 Determina a e b in modo che risulti continua nell’in2x 8 sieme dove e` definita, quindi traccia il grafico della 2 < sin x funzione in corrispondenza dei valori di a e b trovati. x 6¼ 0 40 f ðxÞ ¼ [k ¼ 0] x Þ : [a ¼ 1, b ¼ 2] k x¼0
2 8 x  a2 þ 4 x > a
. 47 Considera: f ðxÞ ¼ > Þ < sin x x  2 h i jx þ 2j xa
a¼1 41 f ðxÞ ¼ Þ > 2 Determina per quali valori reali di a e` continua in R, :x þ a x >
2 quindi traccia il grafico delle funzioni corrispondenti 8
ai valori di a trovati. [a ¼ 6 _ a ¼ 2] >   ax þ tan x x  < 4 8
p ffiffi ffi a¼ 42 f ðxÞ ¼ Þ x xa
>
: ax þ 2 48 Considera: f ðxÞ ¼ , con a  0. Þ x> 6x xa 2 4 8 Determina a in modo che sia continua in R, quindi < arctan 1 x < 0 h
i x 43 f ðxÞ ¼ k ¼  traccia il grafico della funzione f corrispondente al vaÞ : 2 2x þ k x0 lore di a trovato. [a ¼ 4]

2. Punti di discontinuita` e loro classificazione

TEORIA a p. 181

Esercizi preliminari 49 Þ

Interpretazione di grafici. Classifica i punti di discontinuita` delle funzioni f e g che hanno i grafici riportati nelle seguenti figure. y y y = g(x) y = f(x)

O

206

x =1

x

x = –1

x

O

x =1



a. f ðxÞ ¼ 2 2 b. f ðxÞ ¼ x jxj c. f ðxÞ ¼ x

1 x2

A. discontinuita` eliminabile

Vero o falso? a. se una funzione ha una discontinuita` nel punto x ¼ 0, allora lim f ðxÞ e` diverso x!0 da limþ f ðxÞ x!0

b. se una funzione ha una discontinuita` in un punto x ¼ x0 , puo` sempre essere ridefinita in x ¼ x0 , in modo da renderla continua in x ¼ x0 c. se la retta di equazione x ¼ x0 e` un asintoto per la funzione f, allora il punto x0 e` un punto di discontinuita` di seconda specie per la funzione d. sapendo che f ð0Þ ¼ 0 e lim f ðxÞ ¼ 1,

V

F

V

F

V

F

V

F

Continuita`

51 Associa a ogni funzione il tipo di discontinuita` Þ che presenta nel punto x ¼ 0:

52 Þ

Unita` 4

50 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione che Þ possieda le seguenti caratteristiche: a. presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuita` eliminabile e nel punto x ¼ 2 un punto di salto; b. presenta in x ¼ 0 un punto di salto ma e` continua da destra in x ¼ 0 e presenta un punto di discontinuita` di seconda specie in x ¼ 3; c. presenta in x ¼ 0 un punto di salto ma e` continua da sinistra per x ¼ 0 e presenta un punto di discontinuita` di seconda specie in x ¼ 3.

x!0

B. punto di salto

si puo` affermare che per x ¼ 0 la funzione f presenta un punto di discontinuita` eliminabile

C. discontinuita` di seconda specie

e. sapendo che lim f ðxÞ ¼ 1 e che x!0

limþ f ðxÞ ¼ 1, si puo` affermare che per x ¼ 0

x!0

la funzione f presenta un punto di salto V F [2 affermazioni vere e 3 false]

Classificazione dei punti di discontinuita` 53 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Individuiamo e classifichiamo i punti di discontinuita` della funzione f ðxÞ ¼

x3  1 . x2  1


La funzione e` definita e continua per x 6¼ 1. Per classificare i punti di discontinuita`, studiamo il comportamento della funzione in un intorno di 1 e in un intorno di 1.
In un intorno di 1 si ha: lim

x!1

x3  1 ¼ 1 x2  1

limþ

x!1

x3  1 ¼ þ1 x2  1

quindi x ¼ 1 e` un punto di discontinuita` di seconda specie (e la retta di equazione x ¼ 1 e` un asintoto verticale).
In un intorno di 1 si ha: lim x!1

x3  1 ðx  1Þðx2 þ x þ 1Þ x2 þ x þ 1 3 ¼ lim ¼ lim ¼ 2 x!1 x!1 x 1 ðx  1Þðx þ 1Þ xþ1 2

forma indeterminata del tipo 0=0

quindi x ¼ 1 e` un punto di discontinuita` eliminabile. Individua e classifica gli eventuali punti di discontinuita` delle seguenti funzioni algebriche. 2x  4 54 f ðxÞ ¼ [x ¼ 2: eliminabile] Þ x2 x2  9 55 f ðxÞ ¼ [x ¼ 3: eliminabile] Þ xþ3 x2  2x [x ¼ 2: eliminabile; x ¼ 2: seconda specie] 56 f ðxÞ ¼ 2 Þ x 4 x2  1 [x ¼ 1: eliminabile; x ¼ 4: seconda specie] 57 f ðxÞ ¼ 2 Þ x þ 3x  4 x2  2x þ 1 [x ¼ 4: seconda specie; x ¼ 1: eliminabile] 58 f ðxÞ ¼ 2 Þ x þ 3x  4 x2  3x þ 2 [x ¼ 1, x ¼ 4: seconda specie] 59 f ðxÞ ¼ 2 Þ x  3x  4 x2  4 [x ¼ 1: seconda specie; x ¼ 2: eliminabile] 60 f ðxÞ ¼ Þ ðx  1Þðx2  3x þ 2Þ 207

Limiti e continuita` Tema F

x3  1 x4  1 x2  2x þ 1 62 f ðxÞ ¼ 3 Þ x  2x2 þ 2x  1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ12 63 f ðxÞ ¼ Þ x2  9 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 64 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Þ 2 x 1 3 61 Þ

½x ¼ 1: eliminabile; x ¼ 1: seconda specie

f ðxÞ ¼

65 Þ

x3 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ12

66 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

[x ¼ 1: eliminabile] [x ¼ 3: eliminabile] [x ¼ 2: seconda specie] [x ¼ 3: eliminabile]

Individuiamo e classifichiamo i punti di discontinuita` della funzione f ðxÞ ¼

1 . ln x

La funzione e` definita e continua purche´ sia x > 0 e ln x 6¼ 0, cioe` per x > 0 ^ x 6¼ 1. Il suo dominio e` quindi ð0, 1Þ [ ð1, þ 1Þ e i punti di discontinuita` sono x ¼ 0 e x ¼ 1. 1 ¼ 0, quindi il punto x ¼ 0 e` di discontinuita` eliminabile
limþ x!0 ln x 1 1

!


lim x!1

!

1 ¼ 1 e ln x

lim

x!1þ

1 0

!

1 ¼ þ1, quindi il punto x ¼ 1 e` di discontinuita` di seconda specie ln x

1 0þ

Individua e classifica gli eventuali punti di discontinuita` delle seguenti funzioni trascendenti. 67 Þ

f ðxÞ ¼ x ln x 1 68 f ðxÞ ¼ Þ ln x  1 69 Þ

[x ¼ 0 eliminabile] [x ¼ 0: eliminabile; x ¼ e: seconda specie]

1

f ðxÞ ¼ 2 x3

[x ¼ 3: seconda specie]

x1 x2 4

70 Þ

f ðxÞ ¼ e  tan x 1 71 f ðxÞ ¼ Þ 2

208

[x ¼ 2: seconda specie] 
x ¼ þ k
: seconda specie 2  


x ¼ þ k
e x ¼ þ k
: seconda specie; x ¼  þ k
: eliminabili 4 2 4  

x ¼ þ k
: eliminabili; x ¼ þ k
: seconda specie 4 2 

72 Þ

f ðxÞ ¼

tan x þ 1 cos 2x

73 Þ

f ðxÞ ¼

tan x  1 sin x  cos x

74 Þ

f ðxÞ ¼

75 Þ

f ðxÞ ¼ 2 ln x

76 Þ

f ðxÞ ¼

77 Þ

f ðxÞ ¼ ln ðarctan xÞ

78 Þ

f ðxÞ ¼

79 Þ

f ðxÞ ¼ arctan

80 Þ

f ðxÞ ¼ arctan

1

[x ¼ 0: salto]

1

1  ex 1

1 log2 ð1  cos xÞ

1

[x ¼ 0: eliminabile; x ¼ 1: seconda specie] 
x ¼ 2k
: eliminabili; x ¼ þ k
: seconda specie 2 [x ¼ 0: seconda specie] [x ¼ k
: salti]

1

1  e sin x



1

ðx  1Þ2 1 x3  x2

[x ¼ 1: eliminabile] [x ¼ 0: eliminabile; x ¼ 1: salto]

Unita` 4

81 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Individua e classifica i punti di discontinuita` della funzione f ðxÞ ¼

jx2  1jðx2  xÞ . x2  1


Studia il comportamento della funzione in un intorno di x ¼ 1. Osserva che, per il calcolo del limite per x ! 1 , puoi supporre x < 1, quindi jx2  1j ¼ x2  1, mentre per il calcolo del limite per x ! 1þ puoi supporre 1 < x < 1, quindi jx2  1j ¼ 1  x2 : lim f ðxÞ ¼ lim

x!1

x!1

ðx2  1Þðx2  xÞ ¼ ::: x2  1

limþ f ðxÞ ¼ limþ

x!1

x!1

Continuita`


Osserva che la funzione e` definita e continua per x 6¼ 1.

ð1  x2 Þðx2  xÞ ¼ ::: x2  1

Poiche´ lim f ðxÞ 6¼ limþ f ðxÞ, puoi concludere che la funzione presenta in x ¼ 1 un punto di ............... x!1

x!1


Studia il comportamento della funzione in un intorno di x ¼ 1. Svolgendo considerazioni simili al caso precedente per quanto concerne il valore assoluto, si ha: lim f ðxÞ ¼ lim

x!1

x!1

ð1  x2 Þðx2  xÞ ¼ ::: x2  1

limþ f ðxÞ ¼ limþ

x!1

x!1

ðx2  1Þðx2  xÞ ¼ ::: x2  1

Dunque per x ¼ 1 la funzione presenta un punto di discontinuita` ............... Individua e classifica gli eventuali punti di discontinuita` delle seguenti funzioni contenenti termini in valore assoluto. 82 f ðxÞ ¼ Þ

jx2  1j x2  x

83 Þ

f ðxÞ ¼

jx  1j x2  1

84 Þ

f ðxÞ ¼

jxj  1 x3  3x2  4x

[x ¼ 0, x ¼ 4: seconda specie; x ¼ 1: eliminabile]

85 Þ

f ðxÞ ¼

jx þ 1j x3  3x2  4x

[x ¼ 0, x ¼ 4: seconda specie; x ¼ 1: salto]

86 f ðxÞ ¼ Þ

pffiffiffi x1 jx  1j

87 Þ

f ðxÞ ¼

jx3  1jðx2 þ x  2Þ x2 þ 2x  3

88 Þ

f ðxÞ ¼ log

[x ¼ 0: seconda specie; x ¼ 1: salto] [x ¼ 1: seconda specie; x ¼ 1: salto]

[x ¼ 1: salto]

[x ¼ 3: seconda specie; x ¼ 1: eliminabile]

jx  1j x2 þ 1

89 f ðxÞ ¼ Þ

1 log jxj  log j2x  1j

90 Þ

f ðxÞ ¼

sin2 x jcos x  1j

91 f ðxÞ ¼ Þ

sin x j2x2 
xj

[x ¼ 1: seconda specie]  x ¼ 0, x ¼

1 1 : eliminabili; x ¼ 1, x ¼ : seconda specie 2 3



½x ¼ 2k
: eliminabili  x ¼ 0: salto; x ¼


: seconda specie 2



92 Þ

f ðxÞ ¼ arctan ðlnjxjÞ

[x ¼ 0: eliminabile]

93 Þ

f ðxÞ ¼

1 1  ln jsin xj

[x ¼ k
: eliminabili] 209

Limiti e continuita` Tema F

94 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Individua e classifica le eventuali discontinuita` delle seguenti funzioni: 8 2 8 x > x xþ1 x0 > > < < e  1 x 6¼ 0 sin x x a. f ðxÞ ¼ b. f ðxÞ ¼ 0 > 0 x¼0 : xþ2 x1 a. L’unico punto dove la funzione potrebbe non essere continua e` x ¼ 0. lim f ðxÞ ¼ lim x!0

x!0

ex  1 ¼ ::: x

e f ð0Þ ¼ :::

quindi x ¼ 0 e` un punto di discontinuita` .......... b. Gli unici punti dove la funzione potrebbe non essere continua sono x ¼ 0 e x ¼ 1. sin x ¼ 1 e f ð0Þ ¼ 1
lim f ðxÞ ¼ lim ðx2  x þ 1Þ ¼ 1, limþ f ðxÞ ¼ limþ x!0 x!0 x!0 x!0 x quindi la funzione f e` .......... in x ¼ 0. sin x lim f ðxÞ ¼ limþ x þ 2 ¼ ::: ¼ :::, x!1þ x!1 x quindi x ¼ 1 e` un punto di ..........


lim f ðxÞ ¼ lim x!1

x!1

Individua e classifica gli eventuali punti di discontinuita` delle seguenti funzioni definite per casi. ( ( 1 e x4 x 6¼ 0 x2  1 x < 1 95 f ðxÞ ¼ 104 f ðxÞ ¼ [x ¼ 1: salto] [Continua anche in 0] Þ Þ 2x x1 0 x¼0 ( 2 8 2x 2x  1 x > 96 f ðxÞ ¼ [Continua in R] x Þ > x < x2 þ 3x  3 x  1 [x ¼ 0: eliminabile] 105 f ðxÞ ¼ 1 x¼0 Þ 8 > > 1 > < > x 0 x2 [x ¼ 2: seconda specie] 97 f ðxÞ ¼ Þ x : x2 x2 8 x1 > 8 > pffiffiffi x > < x þ 2 x < 2 > < x1 2 x 4 [x ¼ 2: salto] 98 f ðxÞ ¼ Þ 106 f ðxÞ ¼ : x2  1 Þ > xþ2 x  2 1 > > x1 > : ( 1 xþ4 x>2 e x1 x < 1 [Continua in R] 99 f ðxÞ ¼ Þ [x ¼ 1: eliminabile; x ¼ 2: salto] x1 x1 8 1 ( 1 > ex x > 1x e x : arctan x x1 8 2 > > x 1 > [x ¼ 0: eliminabile; x ¼ 1: salto] x < 1 > > xþ1 > > < 8 cos x  1 < sin x x < 0 101 f ðxÞ ¼ 1  x < 0 Þ 2 > x x > 108 f ðxÞ ¼ > Þ > : 1 > > > e ln x x>0 : 1 x>0 2 [x ¼ 0: eliminabile, x ¼ 1: seconda specie] [x ¼ 1: salto; x ¼ 0: eliminabile] ( 8 sin x x2  2x þ 1 x  1 > > x [Continua in R] 102 f ðxÞ ¼ < x Þ sin ð
xÞ x>1 109 f ðxÞ ¼ Þ x¼0 > >1 ( 1 > : 1 x>0 e ln x e x4 x 6¼ 0 103 f ðxÞ ¼ [Seconda specie] Þ 0 x¼0 [x ¼ 1: seconda specie; continua in x ¼ 0] 210

(

e classifica i suoi punti di discontinuita`. [x ¼ 1: salto]

Unita` 4

8 sin x 
 x  0 > < 111 Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼ x 0 : cos x
< x  2


e classifica i suoi punti di discontinuita`. [Continua in x ¼ 0; x ¼
: salto]

Continuita`

x2  2x þ 1 x  1 x>1

110 Þ

112 Þ

Traccia il grafico della funzione f ðxÞ ¼

Stabilisci se la funzione f ðxÞ ¼

113 Verifica che la funzione f ðxÞ ¼ Þ

il prolungamento continuo.

2x

x2  3x  4 puo` essere prolungata con continuita` nel punto x ¼ 4. jx  4j x2  3x  4 puo` essere prolungata con continuita` nel punto x ¼ 4 e definisci x4

Esercizi con i parametri 114 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Classifichiamo, al variare di k 2 R, gli eventuali punti di discontinuita` della funzione: 8 x0 0 xk
La funzione f e` definita in R ed e` certamente continua in R  f0g; l’unico punto in cui puo` essere discontinua e` x ¼ 0.
Studiamo il comportamento della funzione in un intorno di 0: 8 0 k < sin x sin x ¼ limþ x1k  ¼ 1 k¼1 lim f ðxÞ ¼ 0 e limþ f ðxÞ ¼ limþ > x!0 x!0 x!0 x!0 xk x : þ1 k > 1 !1
Abbiamo allora che: – se k < 1 risulta lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ ¼ f ð0Þ ¼ 0, quindi f e` continua anche in x ¼ 0; x!0

x!0

– se k ¼ 1 risulta lim f ðxÞ ¼ 0 6¼ limþ f ðxÞ ¼ 1, quindi f presenta in x ¼ 0 un punto di salto; x!0

x!0

– se k > 1 risulta limþ f ðxÞ ¼ þ1, quindi f presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuita` di seconda specie. x!0

Classifica, al variare del parametro reale k, i punti di discontinuita` delle seguenti funzioni. 8 x0 0 xk se k > 1 c’e` un punto di discontinuita` di seconda specie in x ¼ 0] 116 Þ

f ðxÞ ¼

jxjk (

117 f ðxÞ ¼ Þ

[Se k < 1 c’e` un punto di discontinuita` eliminabile in x ¼ 0; se k ¼ 1 c’e` un punto di salto in x ¼ 0; se k > 1 c’e` un punto di discontinuita` di seconda specie in x ¼ 0]

e2x  1

1

e x1

x < ðsin xÞ 118 f ðxÞ ¼ 1  cos x Þ > : 2

[Se k 6¼ 0 c’e` un punto di salto in x ¼ 0; se k ¼ 0 la funzione e` continua in R]

x 6¼ 2h
x ¼ 2h


,

h2Z

[Se k < 1 i punti x ¼ 2h
sono di discontinuita` di seconda specie; se k ¼ 1 la funzione e` continua in R; se k > 1 i punti x ¼ 2h
sono di discontinuita` eliminabile] 211

Limiti e continuita` Tema F

3. Proprieta` delle funzioni continue e metodo di bisezione

TEORIA a p. 186

Teorema degli zeri e il metodo di bisezione 119 Þ

Vero o falso? a. sia f una funzione continua nell’intervallo ½1, 1; se f ð1Þ > 0 e f ð1Þ > 0, allora f non puo` avere zeri V F appartenenti all’intervallo ½1, 1 b. se f e` una funzione definita nell’intervallo ½1, 1 ed e` tale che f ð1Þ > 0 e f ð1Þ < 0, allora f ha V F almeno uno zero appartenente all’intervallo ½1, 1 c. sia f una funzione continua nell’intervallo ½1, 1; se f ð1Þ < 0 e f ð1Þ > 0, allora f ha almeno uno V F zero appartenente all’intervallo ½1, 1 d. se f e` una funzione continua e strettamente crescente nell’intervallo ½1, 1 ed e` tale che f ð1Þ < 0 e V F f ð1Þ > 0, allora f ha un unico zero appartenente all’intervallo ½1, 1 e. se f e` una funzione continua nell’intervallo ½1, 1 e tale che f ð1Þ > 0 e f ð1Þ < 0, allora f ha un V F unico zero appartenente all’intervallo ½1, 1 [2 affermazioni vere e 3 false]

120 Þ A

Test. In quale dei seguenti intervalli la funzione f ðxÞ ¼ 3 ln x  x soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri? ½0, 1

B

½1, 2

C

½2, 3

D

½3, 4

121 Þ

L’enunciato inverso del teorema degli zeri «Se f e` una funzione continua in ½a, b e se ammette uno zero nell’intervallo ða, bÞ, allora f ðaÞ e f ðbÞ sono discordi» e` falso. Mostralo tracciando il grafico di una funzione che costituisca un controesempio. Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema degli zeri nell’intervallo indicato, motivando adeguatamente la risposta. 122 Þ 123 Þ

f ðxÞ ¼ x3  x þ 1

[0, 2]

128 Þ

f ðxÞ ¼ e 1x  x þ 1

[1, 2]

f ðxÞ ¼ x4  x  1

[1, 2]

129 Þ

f ðxÞ ¼ sin x  cos x

[0,
]

[1, 2]

130 Þ

124 Þ

f ðxÞ ¼

jx  1j þ x4 x3  1

125 Þ

f ðxÞ ¼

jx3  1j þ x4 x3  1

126 Þ

f ðxÞ ¼ x þ log2 x

[2, 4]   1 ,1 2

127 Þ

f ðxÞ ¼ 2x þ log2 x

[1, 4]

3

x

f ðxÞ ¼ sin x  cos x ( 1 2 jxj  2x x 6¼ 0 131 f ðxÞ ¼ Þ 0 x¼0 ( 1 e x  x x 6¼ 0 132 f ðxÞ ¼ Þ 0 x¼0

[
,
] [1, 1]

[1, 1]

Dimostra, utilizzando il teorema degli zeri, che l’equazione ln x ¼ ex ha almeno una soluzione nell’intervallo ð1, 2Þ. 133 Þ 134 Þ

Dimostra, utilizzando il teorema degli zeri, che l’equazione x4 þ x3  4x2  5x  5 ¼ 0 ha almeno una soluzione nell’intervallo ð2, 3Þ. 135 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Dopo avere individuato un intervallo cui appartiene la soluzione dell’equazione x3 þ x  1 ¼ 0, determina una sua approssimazione con una cifra decimale esatta.
Osserva che l’equazione x3 þ x  1 ¼ 0 equivale a x3 ¼ 1  x, quindi le sue eventuali soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico di y ¼ x3 e quello della retta di equazione y ¼ 1  x. Traccia i grafici delle due funzioni. Dall’analisi dei grafici puoi prevedere che l’equazione ha una sola soluzione, appartenente all’intervallo [0, 1].
Dimostra cio` che hai intuito dall’analisi dei grafici, applicando il teorema degli zeri alla funzione f ðxÞ ¼ x3 þ x  1 nell’intervallo [0, 1].
Applica ora il metodo di bisezione, completando la tabella predisposta qui sotto. Tieni presente che f ð0Þ ¼ 1 < 0 e f ð1Þ ¼ 1 > 0. 212

Intervallo

Punto medio

I

[0, 1]

1 2

Valore della funzione nel punto medio   1 f ¼ 0,375 < 0 2

.....

...................................

 II

1 ,1 2



Conclusione Poiche´ f ð1Þ ¼ 1 > 0, la soluzione   1 appartiene all’intervallo , 1 ¼ ½0,5, 1 2   1 Poiche´ f < 0, la soluzione appartiene 2   1 all’intervallo , ::::: ¼ ½0,5, 0,75 2

III

.....

.....

...................................

............................................................

IV

.....

.....

...................................

............................................................

Continuita`

Passo

Unita` 4


Inoltre, dovendo trovare la soluzione x0 con una cifra decimale esatta, dovrai continuare fino a individuare un intervallo i cui estremi hanno la prima cifra decimale uguale.

Giunto al quarto passo, se hai svolto correttamente i calcoli, troverai che 0,625 < x0 < 0,687; puoi quindi affermare che x0 ’ ::::: con la prima cifra decimale esatta. Per ciascuna delle seguenti equazioni, stabilisci il numero delle soluzioni e determina un intervallo cui appartiene ogni soluzione; determina quindi un’approssimazione di ciascuna soluzione con due cifre decimali esatte, mediante il metodo di bisezione. 136 Þ 137 Þ 138 Þ 139 Þ 140 Þ 141 Þ

[x ’ 0,45]

142 Þ

2ex  x ¼ 0

[x ’ 0,85]

[x1 ’ 1,35; x2 ¼ 1]

143 Þ

ln x þ x ¼ 0

[x ’ 0,56]

144 Þ

ln x2 þ x  2 ¼ 0

[x ’ 1,37]

145 Þ

sin x ¼ x2

146 Þ

cos x ¼ x2  2x

x3 þ 2x þ 1 ¼ 0 x þx2¼0 4

x3 þ x2 þ 1 ¼ 0 pffiffiffi x ¼ x2  1

[x ’ 1,46]

þx¼0

[x ’ 0,42]

e

2x

[x ’ 1,49]

e2x þ x  2 ¼ 0

[x1 ’ 0, 44; x2 ’ 1, 98]

[x1 ¼ 0, x2 ’ 0,87] [x1 ¼ 0,38, x2 ’ 1,85]

Teorema di Weierstrass 147 Þ

Vero o falso? a. se f e` una funzione continua nell’intervallo ½0, 2, allora ammette certamente massimo e minimo V F assoluti in tale intervallo b. se f e` una funzione definita nell’intervallo ½0, 2, ma discontinua in qualche punto di questo V F intervallo, allora certamente non ammette massimo e minimo assoluti in tale intervallo c. se f e` una funzione continua in un sottoinsieme D  R, allora certamente f ammette massimo e V F minimo assoluti in D d. se f e` una funzione continua nell’insieme ½0, 2 [ ½4, 5, allora ammette certamente massimo e V F minimo assoluti in questo insieme [2 affermazioni vere e 2 false] x2 þ 1 soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass? 148 Test. In quale dei seguenti intervalli la funzione f ðxÞ ¼ 2 Þ x 2 A

½0, 2

B

½1, 2

C

½2,  1

D

½1, 1

149 L’enunciato inverso del teorema di Weierstrass «Se una funzione f ammette massimo e minimo nell’intervallo Þ ½a, b allora e` continua in ½a, b» e` falso. Mostralo tracciando il grafico di una funzione che costituisca un controesempio.

Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Weierstrass nell’intervallo indicato, motivando la risposta. x [0, 1] 150 f ðxÞ ¼ x5 þ x4 þ sin x [10, 20] 152 f ðxÞ ¼ 4 Þ Þ x  x2  2   x5  1 1 x [1, 2] 151 f ðxÞ ¼ 4 1;  153 f ðxÞ ¼ 4 Þ Þ 2 x x 2 x  x2  2 213

Limiti e continuita` Tema F

1 pffiffiffi 2 x 1 pffiffiffi 155 f ðxÞ ¼ Þ 2 x 154 Þ

156 Þ

f ðxÞ ¼

[2, 4]

f ðxÞ ¼ log jsin xj

157 f ðxÞ ¼ Þ

160 Þ

[1, 2]

[1, 4]   1 ,1 2

sin x

pffiffiffi xð2 sin x  2Þ

8 >

: x1 x1

159 f ðxÞ ¼ Þ

x1 x>1

8 >

pffiffiffi : 2 x

x>4

[1, 2]

[2, 6]

ESERCIZIO SVOLTO

Stabiliamo se le seguenti funzioni ammettono massimo e minimo assoluto nell’intervallo ½1, 1.  3  x 1 1  a. f ðxÞ ¼ 2 b. gðxÞ ¼ log  x  6x þ 8 x  a. La funzione f e` definita purche´ sia: x2  6x þ 8 6¼ 0

)

x 6¼ 2 e x 6¼ 4

quindi il suo dominio e` D ¼ R  f2, 4g. In D la funzione f e` continua, quindi in particolare f e` continua nell’intervallo ½1, 1, che e` contenuto in D. In base al teorema di Weierstrass possiamo allora concludere che f ammette minimo e massimo assoluto nell’intervallo assegnato. b. La funzione g e` definita purche´ sia: x 6¼ 0 e x 6¼ 1

Perche´?

quindi il suo dominio e` R  f0, 1g. Nell’intervallo ½1, 1 la funzione g ha due punti di discontinuita`, 0 e 1, quindi non e` possibile applicare il teorema di Weierstrass. Per stabilire se la funzione ammette massimo o minimo assoluto dobbiamo allora analizzare in modo piu` approfondito il comportamento della funzione. In questo caso e` immediato osservare che: lim f ðxÞ ¼ þ1 e x!0

lim f ðxÞ ¼ 1 x!1

Possiamo dunque concludere che f non ammette ne´ minimo ne´ massimo assoluto in ½1, 1.

Per ciascuna delle seguenti funzioni, stabilisci se ammette massimo e minimo assoluto nell’intervallo indicato. 161 Þ

f ðxÞ ¼ x10 þ x5

162 Þ

f ðxÞ ¼

x2 þ 1 x2  4

[7, 8] [1, 3]

f ðxÞ ¼

x jex  1j  1

[0, 1]

164 f ðxÞ ¼ Þ

x jex  1j  1

[1, 0]

163 Þ

165 Þ

f ðxÞ ¼

x log jxj

8 x 1; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0] 241 y ¼ 2 Þ x 1 1 [D ¼ R  f0, 2g; y > 0 per x < 0 _ x > 2; asintoti: x ¼ 0, x ¼ 2, y ¼ 0] 242 y ¼ 2 Þ x  2x x2 [D ¼ R  f1, 5g; y > 0 per x < 1 _ x > 5; asintoti: x ¼ 1, x ¼ 5; y ¼ 1] 243 y ¼ 2 Þ x  4x  5 1 244 y ¼ x  [D ¼ R  f0g; f e` dispari e y > 0 per 1 < x < 0 _ x > 1; asintoti: x ¼ 0, y ¼ x] Þ x x [D ¼ R  f1g; y > 0 per x > 0 ^ x 6¼ 1; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0] 245 y ¼ 2 Þ x  2x þ 1 y¼

247 Þ

y¼

x2 þ 2x þ 1 x2 þ x  2

[D ¼ R  f2, 1g; y > 0 per x < 2 _ x > 1; asintoti: x ¼ 1, x ¼ 2, y ¼ 1]

248 Þ

y¼

x3 x2  2x þ 1

[D ¼ R  f1g; y > 0 per x > 0 ^ x 6¼ 1; asintoti: x ¼ 1, y ¼ x þ 2]

249 Þ

y¼

x3 þ 1 x2  4

250 Þ

y¼

251 Þ

y¼

ðx  2Þ2

x2

x3 þ 1 þ 2x  3

x3 þ 1 x2

x2

x jx2  1j jxj 253 y ¼ 2 Þ x 1 252 Þ

218

x2  x

246 Þ

y¼

[D ¼ R  f2g; y > 0 per x < 0 _ x > 1, con x 6¼ 2; asintoti: x ¼ 2, y ¼ 1]

[D ¼ R  f 2g; y > 0 per 2 < x < 1 _ x > 2; asintoti: x ¼ 2, y ¼ x] [D ¼ R  f1, 3g; y > 0 per 3 < x < 1 _ x > 1; asintoti: x ¼ 1, x ¼ 3, y ¼ x  2] [D ¼ R  f1, 2g; y > 0 per x > 2; x ¼ 1 e` un punto di discontinuita` eliminabile; asintoti: x ¼ 2, y ¼ x þ 1] [D ¼ R  f 1g; dispari; y > 0 per x > 0 ^ x 6¼ 1; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0] [D ¼ R  f 1g; pari; y > 0 per x < 1 _ x > 1; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0]

Unita` 4

254 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Tracciamo il grafico della funzione y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 . xþ2

Continuita`


Dominio ed eventuali simmetrie La funzione e` definita purche´ x2  1  0 e x þ 2 6¼ 0, cioe` per: x  1

_

x  1, con x 6¼ 2

Quindi il dominio della funzione e`: D ¼ ð1, 2Þ [ ð2, 1 [ ½1, þ 1Þ E` facile riconoscere che la funzione non e` ne´ pari ne´ dispari.
Intersezioni con gli assi 8 ( ( >

y¼0 x 1¼0 :y ¼ xþ2 Dunque il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti di coordinate ð1, 0Þ e ð1, 0Þ. Per x ¼ 0 la funzione non e` definita, quindi non ha senso cercare punti di intersezione con l’asse y.
Segno ( pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 > 0 x2  1 >0 ) ) 2 < x < 1 _ x > 1 xþ2 xþ2>0
Limiti agli estremi degli intervalli che formano il dominio e studio degli asintoti rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 x 1 lim ¼ lim  1  2 ¼ 1 ) y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale sinistro x!1 x þ 2 x!1 xþ2 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 x2  1 lim ¼ 1, limþ ¼ þ1 ) x ¼ 2 e` un asintoto verticale x!2 x!2 xþ2 xþ2 lim f ðxÞ ¼ f ð1Þ ¼ 0 ) f e` continua da sinistra in 1

x!1

lim f ðxÞ ¼ f ð1Þ ¼ 0 ) f e` continua da destra in 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 x 1 lim ¼ lim 1  2 ¼ 1 ) y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale destro x!þ1 x þ 2 x!þ1 x þ 2 x x!1þ

Le ascisse degli eventuali punti di intersezione del grafico della funzione con l’asintoto orizzontale sinistro, pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 y ¼ 1, si ottengono risolvendo l’equazione ¼ 1 che, come si puo` verificare, non fornisce alcuna soxþ2 luzione: quindi non ci sono punti di intersezione. Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asintoto orizzontale x = –2 y pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 ¼ 1 che, codestro, y ¼ 1, si ottengono risolvendo l’equazione xþ2 5 me si puo` verificare, ha la sola soluzione x ¼  , quindi c’e` un solo 4 y =1   5 O punto di intersezione con l’asintoto destro, di coordinate  , 1 . x y = –1 –1 1 4
Grafico Un grafico probabile della funzione, in base alle informazioni raccolte, e` quello tracciato in figura.

y=

x 2 –1 x +2

219

Limiti e continuita` Tema F

Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni irrazionali. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 [D ¼ R  f0g; dispari; y > 0 per x > 0; asintoti: y ¼ 1 (sinistro); y ¼ 1 (destro); x ¼ 0] 255 y ¼ Þ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 256 y ¼ x2 þ 3x  4  2x Þ   3 3 D ¼ ð1, 4 [ ½1, þ 1Þ; y > 0 per x  4; asintoti: y ¼ x þ (destro); y ¼ 3x  (sinistro) 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 ¼ x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 ¼ x2  3x pffiffiffi xþ1 ¼ pffiffiffi x1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ1 ¼x x1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  4 ¼ xþ4

257 Þ

y

258 Þ

y

259 Þ

y

260 Þ

y

261 Þ

y

262 Þ

y¼

[D ¼ ð1, 1 [ ½1, þ1Þ; dispari; y > 0 per x > 1; asintoti: y ¼ 1(sinistro); y ¼ 1 (destro)]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3 þ 2x

[D ¼ ð0, 2 [ ð3, þ1Þ; y  0 per ogni x 2 D; asintoti: x ¼ 0, x ¼ 3, y ¼ 0] [D ¼ ½0, 1Þ [ ð1, þ1Þ; y > 0 per x > 1; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 1] [D ¼ ð1, 1 [ ð1, þ1Þ; y > 0 per x > 1; asintoti: x ¼ 1 (destro), y ¼ x þ 1] [D ¼ ð1,4Þ [ ð4,2 [ ½2, þ1Þ; y > 0 per 4 < x < 2 _ x > 2; asintoti: x ¼ 4, y ¼ 1 (destro) e y ¼ 1 (sinistro)] [D ¼ R; y > 0 per x > 1; asintoti: y ¼ x (sinistro), y ¼ 3x (destro)]

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 263 y ¼ Þ x2  1 264 Þ

y¼

[D ¼ ð1, 0 [ ð1, þ1Þ; y  0 per ogni x 2 D; asintoti: x ¼ 1(destro), x ¼ 1 (destro) e y ¼ 0 (destro)]   1 3 D ¼ R; y > 0 per x < 0; asintoti: y ¼  (destro), y ¼ 2x  (sinistro) 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x þ 1  x  1

Grafico probabile di funzioni trascendenti 265 Þ

ESERCIZIO SVOLTO x

Tracciamo il grafico probabile della funzione y ¼ e x2 1 .


Dominio ed eventuali simmetrie La funzione e` definita purche´ x2  1 6¼ 0, cioe` per x 6¼ 1. Percio` il dominio della funzione e`: D ¼ ð1, 1Þ [ ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ E` facile riconoscere che la funzione non e` ne´ pari ne´ dispari.
Intersezioni con gli assi ( y¼0 x ) e x2 1 ¼ 0 ) impossibile x y ¼ e x2 1 Pertanto, non esistono punti di intersezione con l’asse x: ( ( ( x¼0 x¼0 x¼0 ) ) x y ¼ e x2 1 y ¼ e0 y¼1 Il grafico della funzione interseca quindi l’asse y nel punto di coordinate (0, 1).
Segno x

e x2 1 > 0 per ogni x 2 D 220

Un esponenziale e` sempre positivo

Unita` 4


Limiti agli estremi del dominio e studio degli asintoti x

lim

x

lim e x2 1 ¼ ex!1 x2 1 ¼ e0 ¼ 1

x!1

x

x!1

x

x

lim e x2 1 ¼ 0, limþ e x2 1 ¼ þ1

x!1

x!1

x

lim

x

lim e x2 1 ¼ ex!þ1 x2 1 ¼ e0 ¼ 1

x!þ1

) x ¼ 1 e` un punto di discontinuita` di seconda specie; la retta x ¼ 1 e` un asintoto verticale destro ) x ¼ 1 e` un punto di discontinuita` di seconda specie; la retta x ¼ 1 e` un asintoto verticale destro

Continuita`

x

lim e x2 1 ¼ 0, limþ e x2 1 ¼ þ1

x!1

) y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale sinistro

) y ¼ 1 e` un asintoto orizzontale destro y

Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asintoto orizzontax le, y ¼ 1, si ottengono risolvendo l’equazione e x2 1 ¼ 1 che, come si puo` verificare, ha la sola soluzione x ¼ 0, quindi c’e` un solo punto di intersezione con l’asintoto orizzontale, di coordinate ð0, 1Þ.
Grafico Un grafico probabile della funzione, in base alle informazioni raccolte, e` quello tracciato in figura.

y =1 –1

266 Þ

O 1

x

ESERCIZIO SVOLTO

Tracciamo il grafico probabile della funzione y ¼ ln

2x . x2


Dominio ed eventuali simmetrie 2x > 0, cioe` per x < 2 con x 6¼ 0. Il dominio della funzione e` quindi: La funzione e` definita purche´ sia x2 D ¼ ð1, 0Þ [ ð0, 2Þ E` facile riconoscere che la funzione non e` ne´ pari ne´ dispari.
Intersezioni con gli assi 8 8 8 ( < y ¼ ln 2  x < ln 2  x ¼ 0 < 2x ¼1 x ¼ 2 _ x ¼ 1 2 2 2 x x x ) ) ) : : : y¼0 y¼0 y¼0 y¼0 Pertanto, il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti di coordinate ð2, 0Þ e ð1, 0Þ. Per x ¼ 0 la funzione non e` definita, quindi non ha senso cercare punti di intersezione con l’asse y.
Segno 2x 2x ln >0 ) > 1 ) 2  x > x2 ^ x 6¼ 0 ) 2 < x < 1 ^ x 6¼ 0 x2 x2
Limiti agli estremi del dominio e studio degli asintoti 2x ¼ 1 x2 2x lim ln ¼ þ1 ) x ¼ 0 e` un asintoto verticale x!0 x2 2x lim ln ¼ 1 ) x ¼ 2 e` un asintoto verticale sinistro x!2 x2 f ðxÞ Si puo` inoltre verificare che lim ¼ 0, quindi non esistono asintoti x!1 x obliqui. lim ln

x!1


Grafico

y = ln

y

x =2

–2 O 1

x

2– x x2

Un grafico probabile della funzione, in base alle informazioni raccolte, e` quello tracciato in figura. 221

Limiti e continuita` Tema F

Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni trascendenti esponenziali e logaritmiche. ex 267 y ¼ [D ¼ R  f0g; y > 0 per x < 0; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 0 (sinistro), y ¼ 1 (destro)] Þ 1  ex   2x  1 1 268 y ¼ (sinistro) D ¼ R  f1g; y > 0 per x < 0 _ x > 1; asintoti: x ¼ 1; y ¼ 1 (destro), y ¼ Þ 2x  2 2 ex ex  1

269 Þ

y¼

270 Þ

y ¼ e x2 þx2 [D ¼ R  f2, 1g; y > 0 per ogni x 2 D; x ¼ 2 e x ¼ 1 sono punti di discontinuita` di seconda specie; asintoti: x ¼ 2 (destro), x ¼ 1 (destro), y ¼ 1]

271 Þ

y ¼ e x2

272 Þ

y ¼ ln

273 Þ

y¼

274 Þ

y ¼ ln ðx2  1Þ

275 Þ

y ¼ ln

276 Þ

y¼

x

x2

[D ¼ R  f2g; y > 0 per ogni x 2 D; x ¼ 2: discontinuita` di seconda specie; asintoti: x ¼ 2 (destro); y ¼ 0 (sinistro)] xþ1

[D ¼ ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ; y > 0 per 0 < x < 3 con x 6¼ 1; asintoti: x ¼ 1 (destro) e x ¼ 1]

ðx  1Þ2

ln x 1  ln x

[D ¼ ð0, eÞ [ ðe, þ1Þ, y > 0 per 1 < x < e; x ¼ 0 e` un punto di discontinuita` eliminabile; asintoti: y ¼ 1 (destro), x ¼ e] pffiffiffi pffiffiffi [D ¼ ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ; y > 0 per x <  2 _ x > 2; asintoti: x ¼ 1]

x2 þ 1 x2  1

2  log2 x log2 x

   3x    277 y ¼ ln  Þ 2x2  2  278 Þ

[D ¼ R  f0g; y > 0 per x > 0; asintoti: x ¼ 0; y ¼ 1 (destro), y ¼ 0 (sinistro)]

[D ¼ ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ; y > 0 per ogni x 2 D; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0] [D ¼ ð0, 1Þ [ ð1, þ1Þ; y > 0 per 1 < x < 4; x ¼ 0: discontinuita` eliminabile; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 1 (destro)]  1 1 D ¼ R  f1, 0, 1g; pari; y > 0 per ogni 2 < x <  _ < x < 2, con x 6¼ 1;  2 2 asintoti: x ¼ 1, x ¼ 0

ESERCIZIO SVOLTO

Tracciamo il grafico probabile della funzione y ¼ f ðxÞ ¼

1 . sin x  cos x


Periodo La funzione data e` periodica di periodo 2
, percio` ci limitiamo a studiarla, per esempio, nell’intervallo ½0, 2
.
Dominio La funzione e` definita purche´ il denominatore sia diverso da zero: sin x  cos x 6¼ 0 ) tan x 6¼ 1 ) x 6¼


5
e x 6¼ 4 4

Limitatamente all’intervallo ½0, 2


Pertanto, nell’intervallo prescelto la funzione e` definita in:      

5
5
[ , [ , 2
0, 4 4 4 4
Intersezioni con gli assi L’equazione y ¼ 0 e` evidentemente priva di soluzioni, quindi non esistono punti di intersezione con l’asse x. Per x ¼ 0 si ha f ð0Þ ¼ 1, quindi la funzione interseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 1Þ.
Segno 1 > 0 ) sin x  cos x > 0 ) sin x > cos x sin x  cos x 222

Unita` 4

y

y = sin x O

π 4

5π 4

x 2π

Continuita`

Possiamo risolvere quest’ultima disequazione graficamente, per esempio confrontando i grafici di y ¼ sin x e di y ¼ cos x, e tenendo presente che le ascisse dei loro punti di intersezione sono i valori di x per cui
5
ex¼ . sin x  cos x ¼ 0, cioe` x ¼ 4 4 Vediamo cosı` che la funzione e` positiva per:
5


> < x f ðxÞ ¼ > x2  ðk þ 1Þx þ 3k  4 > > : xþ2

x > x0 > < ex þ 2 f ðxÞ ¼ > > > : ln ðkx þ 1Þ x > 0 3x

a. Determina k in modo che sia continua in R. b. In corrispondenza del valore di k trovato, determina tutti gli eventuali asintoti della funzione.

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Studia gli eventuali punti di discontinuita` delle seguenti funzioni. 306 Þ

f ðxÞ ¼

x2 þ 5x  14 x2  4

[x ¼ 2: eliminabile; x ¼ 2: seconda specie] 

307 f ðxÞ ¼ Þ

tan x x

308 Þ

f ðxÞ ¼

jx2  1j x2  x

309 Þ

f ðxÞ ¼ 2 x2 þ2x3

310 Þ

f ðxÞ ¼ x ln x þ ln jx2  1j

311 Þ

f ðxÞ ¼

1 1  e x2 2x

312 Þ

f ðxÞ ¼

jx þ 1j x3 þ 2x2 þ x

x ¼ 0: eliminabile; x ¼

x3 1

f ðxÞ ¼ arctan

[x ¼ 1: eliminabile; x ¼ 3: seconda specie] [x ¼ 0: eliminabile; x ¼ 1: seconda specie] [x ¼ 0; x ¼ 2: seconda specie] [x ¼ 0; x ¼ 1: seconda specie]  x ¼ k
: eliminabili; x ¼ ln jxj x2

8 x log x2 > > > < 0 316 f ðxÞ ¼ Þ > x1 > 1 > :e x1


þ k
: seconda specie 2



[x ¼ 0: eliminabile; x ¼ 2: salto]

8 arctan x > > > < 1
arctan þ 315 f ðxÞ ¼ Þ x 2 > > > : 1 ex

226



[x ¼ 1: salto; x ¼ 0: seconda specie]

313 f ðxÞ ¼ e lnjtan xj Þ 314 Þ


þ k
: seconda specie 2

x  1 1 < x < 0

[Continua in x ¼ 1; x ¼ 0: seconda specie]

x>0

x1

[Continua in x ¼ 0; x ¼ 1: salto]

y ¼ ln ðe2x þ e x þ eÞ

321 Þ

y ¼ 3x  arctan x

Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni. x 322 y ¼ 3 Þ x 1

[x ¼ 1, x ¼ 3, y ¼ 1 (sinistro), y ¼ 1 (destro)]

Continuita`

320 Þ

 1 x1 2

Unita` 4

Determina gli asintoti delle seguenti funzioni. x3  2x2  x þ 4 317 y ¼ Þ 2x2  2 x 318 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ 2 x  4x þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 319 y ¼ x2 þ 2  x  1 Þ

 x ¼ 1, y ¼

[y ¼ 1 (destro), y ¼ 2x  1 (sinistro)] 

[y ¼ 1 (sinistro), y ¼ 2x (destro)] 

y ¼ 3x  (destro), y ¼ 3x þ (sinistro) 2 2

337 Þ

x1 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1

323 Þ

y¼

x2 þ 2x  3 x2 þ 3x  4

338 Þ

y ¼ e x 1

324 Þ

y¼

x3  8 x2

339 Þ

y¼

325 Þ

y¼

x1 x2  9

340 Þ

y ¼ e x2 2x

326 Þ

y¼

x2  6x þ 5 x2  2x  3

341 Þ

y¼

327 Þ

y ¼xþ1

342 Þ

y ¼ ln

328 Þ

y¼

343 Þ

y ¼ log2

329 Þ

y¼

344 Þ

y¼

345 Þ

y¼

346 Þ

y ¼ ln jx2  1j

347 Þ

  y ¼ ln 

348 Þ

y¼

sin x  1 cos x  1

349 Þ

y¼

1 1  ln sin x

350 Þ

y¼

1 cos2 x  sin2 x

330 y ¼ Þ 331 Þ

y

332 Þ

y

333 Þ

y

334 Þ

y

335 Þ

y

336 Þ

y

2 x2

x3  1 x4  1 x2  2x þ 2x  3

x2

3

ðx  1Þ x2  4

xjxj ¼ xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x þ 1 ¼ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x2  4  x pffiffiffi x pffiffiffi ¼ 1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x2 þ 3x  4  2x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 ¼x x

1

ex  1 ex  e2 x1

1  log2 x 1 þ log2 x x x1 x x2  1

log2 x  1 log22 x þ log2 x 1  ln jxj 1 þ ln jxj

x   x2

351 Þ

Considera la funzione: ax2  16 f ðxÞ ¼ 2 x  6x þ 8

a. Determina a in modo che presenti una discontinuita` eliminabile per x ¼ 2. b. In corrispondenza del valore di a trovato, determina k in modo che la funzione gðxÞ, definita da:
f ðxÞ x 6¼ 2 gðxÞ ¼ k x¼2 risulti continua in x ¼ 2. c. Traccia il grafico della funzione gðxÞ, in corrispondenza del valore di k trovato al punto precedente. [a. a ¼ 4; b. k ¼ 8] 227

Limiti e continuita` Tema F

352 Þ

Considera la funzione:

f ðxÞ ¼

x2 þ a xþb

a. Determina a e b in modo che il suo grafico passi per il punto di coordinate (2, 4) e abbia come asintoto obliquo una retta avente ordinata all’origine uguale a 1. In corrispondenza dei valori di a e b determinati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. b. Traccia il grafico probabile della funzione. c. Traccia il grafico della funzione: 8 f ðxÞ x > > > > < f ðxÞ 0x f ðxÞ 1 > > : f ðxÞ  2 x  2 Studia in particolare se la funzione g e` continua nei punti x ¼ 0, x ¼ 1, x ¼ 2 e classifica gli eventuali punti di di   scontinuita`. 1 3 d. Stabilisci se e` applicabile il teorema di Weierstrass alla funzione g nei due intervalli 2,  e ,4 , 2 2 giustificando le risposte.  a. a ¼ 0, b ¼ 1; c. e` continua in x ¼ 0, presenta un punto di discontinuita` di seconda specie   1 per x ¼ 1 e un punto di salto per x ¼ 2; d. il teorema e` applicabile solo nell’intervallo 2, 2 353 Þ

Considera la funzione: 8 2x þ a x  
> > > > > < sin x 
< x < 0 f ðxÞ ¼ > x 0x2 > > > > : 2x þb x>2 2

a. Determina a e b in modo che sia continua in R. b. Traccia il grafico della funzione in corrispondenza dei valori di a e b determinati al punto precedente. c. Giustifica perche´ e` applicabile il teorema di Weierstrass alla funzione f nell’intervallo ½
, 3 e individua il   massimo e il minimo di cui il teorema garantisce l’esistenza. 5 a. a ¼ 2
, b ¼ 3; c. max ¼ 1, min ¼  2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 < 1  ax2 þ 1 x 6¼ 0 354 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x Þ : b x¼0 a. Determina a e b in modo che sia continua in R e abbia come asintoto orizzontale sinistro la retta di equazione y ¼ 2. b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari. c. Traccia il grafico probabile della funzione corrispondente. d. Dimostra che l’equazione f ðxÞ ¼ x þ 1 ha almeno una soluzione nell’intervallo [1, 0]. [a. a ¼ 4, b ¼ 0; b. dispari; c. asintoti: y ¼ 2 (destro) e y ¼ 2 (sinistro); d. utilizza il teorema degli zeri] 8 xþa x < 2 > < pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 355 Considera la funzione f ðxÞ ¼  a x 2  x  2 Þ > pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 2 x>2 2þ x 4 a. Determina a 2 R in modo che sia continua per x ¼ 2. b. Traccia il grafico della funzione, studiando in particolare eventuali punti di discontinuita` e determinando eventuali asintoti. c. Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero di soluzioni dell’equazione f ðxÞ ¼ k. d. Stabilisci in quali dei seguenti intervalli la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass: ½3, 1 ½1, 1 ½1, 3 ½2, 4 228

gðxÞ ¼

Continuita`

a. Determina il grafico probabile della funzione f , dopo aver determinato in particolare le equazioni degli asintoti. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. Sfruttando anche il grafico tracciato, determina il dominio della funzione y ¼ f ðxÞ  2. c. Determina a e b in modo che l’asintoto obliquo (sinistro) della funzione f sia un asintoto anche per la funzione:

Unita` 4

e determina il minimo e il massimo della funzione in tali intervalli. Stabilisci infine se, negli intervalli dove le ipotesi del teorema non sono soddisfatte, la funzione ammette minimo e/o massimo. [a. a ¼ 2; b. x ¼ 2: punto di salto; y ¼ x þ 2: asintoto obliquo destro; c. una soluzione per k < 2 _ k > 2, tre soluzioni per 2  k < 0 (di cui due coincidenti per k ¼ 2); due soluzioni per k ¼ 0; nessuna soluzione per 0 < k  2] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 356 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x2  4  x  1. Þ

ax2 þ bx  3 2x

d. Traccia il grafico probabile di g. e. Applicando il teorema degli zeri a un’opportuna funzione, dimostra che l’equazione f ðxÞ ¼ gðxÞ ha una  soluzione nell’intervallo ½2, 3.  13 ; c. a ¼ 2, b ¼ 3 a. Asintoti: y ¼ 1 (destro), y ¼ 2x  1 (sinistro); b. x   6 357 Þ

Considera la funzione y ¼ f ðxÞ ¼ x þ e x .

a. Traccia il suo grafico probabile, dopo aver individuato in particolare gli asintoti. b. Dimostra che la funzione ammette un unico zero, appartenente all’intervallo ½1, 0. c. Determina un’approssimazione dello zero, con una cifra decimale esatta, applicando il metodo di bisezione. d. A quale delle seguenti funzioni e` applicabile il teorema di Weierstrass nell’intervallo ½2, 0? 1 1 A g1 ðxÞ ¼ B g2 ðxÞ ¼ ln jf ðxÞj C g3 ðxÞ ¼ f ðxÞ  1 f ðx  1Þ [a. Asintoto obliquo sinistro: y ¼ x; b. utilizza il teorema degli zeri; c. 0,5; d. alla funzione g3 (perche´?)] 358 Þ

Considera la funzione y ¼ ln ðe x þ hÞ þ k con h, k 2 R.

a. Determina per quali valori dei parametri la funzione e` definita in R. b. Supposta verificata la condizione di cui al punto precedente, determina h e k in modo che la funzione abbia l’asse x come asintoto orizzontale sinistro e la retta di equazione y ¼ x  1 come asintoto obliquo destro. c. Traccia il grafico probabile della funzione in corrispondenza dei valori di h e k trovati al punto precedente. d. Stabilisci se la funzione di cui hai tracciato il grafico e` invertibile e, in caso affermativo, determina l’equazione dell’inversa. [a. h  0, k 2 R; b. h ¼ e, k ¼ 1; d. e` invertibile e l’equazione dell’inversa e` y ¼ ln ðexþ1  eÞ]



E` dato un settore circolare AOB di centro O, raggio 1 e ampiezza 90 . Considera un punto P appartenente all’arco AB tale che la sua distanza da OB sia x; traccia la tangente in P all’arco AB e indica con Q il punto d’intersezione della tangente con la semiretta OA. 359 Þ

2

a. Determina l’equazione della funzione y ¼ PQ . b. Traccia il grafico probabile della funzione nel suo dominio naturale, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, studiandone in particolare il segno e gli asintoti, e metti in evidenza il tratto del grafico che   rappresenta il problema. 1  x2 ; b. asintoti: x ¼ 0, y ¼ 1 a. y ¼ x2 360 Þ

Sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura 2. Sia P un punto sul lato BC la cui distanza da B e` x.

a. Determina l’equazione della funzione y ¼

2

PA þ PB

2

. 2 PC b. Traccia il grafico probabile della funzione nel suo dominio naturale, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, studiandone in particolare il segno e gli asintoti, e metti in evidenza il tratto del grafico che rappresenta il problema.  2x2  2x þ 4 ; b. asintoti: x ¼ 2, y ¼ 2 per tracciare un grafico probabile accurato ricerca le eventuali a. y ¼ ð2  xÞ2 intersezioni del grafico con l’asintoto orizzontale] 229

Limiti e continuita` Tema F

361 Þ

Considera una semicirconferenza di diametro AB e raggio 1. Sia C il punto della semicirconferenza tale che
b BAC ¼ e P il punto del diametro AB la cui distanza da A e` uguale a x. 6 a. Determina l’equazione della funzione y ¼ AP þ PC. b. Traccia il grafico probabile della funzione indipendentemente dalle limitazioni geometriche, studiandone in particolare il segno e gli asintoti, e metti in evidenza il tratto del grafico che rappresenta il problema.   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 per x ! 1 e y ¼ 2x  per x ! þ1 a. y ¼ x þ x2  3x þ 3; b. asintoti: y ¼ 2 2 362 Þ

Considera la parabola di equazione y ¼ x2 e la retta r di equazione y ¼ mx, con m 6¼ 0. Indica con A il punto in cui la retta r incontra la parabola (oltre all’origine) e con B il punto (diverso da AÞ in cui la perpendicolare alla retta r passante per A incontra la parabola. Determina l’espressione analitica della funzione f ðmÞ ¼ AB e tracciane il grafico probabile in un sistema di assi mOy. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   ð2m2 þ 1Þ 1 þ m2 ; asintoti: m ¼ 0, y ¼ 2m (destro) e y ¼ 2m (sinistro) f ðmÞ ¼ m2 bC ¼ x e ABbC ¼
. Sia ABC un triangolo in cui AB ¼ 1, BA 4 pffiffiffi a. Determina l’equazione della funzione y ¼ AC þ 2 BC.

363 Þ

b. Traccia il grafico probabile della funzione nell’intervallo 0  x  2
, studiandone in particolare il segno e gli asintoti, e metti in evidenza il tratto del grafico che rappresenta il problema.   2 sin x þ 1 3
7
a. y ¼ ; b. asintoti: x ¼ ,x¼ sin x þ cos x 4 4

bP ¼ x, Sull’arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio 1, considera un punto P tale che AO
con 0 < x < . Da P traccia la tangente all’arco di circonferenza, indicando con Q il punto d’intersezione della 2 tangente con il prolungamento del raggio OA, dalla parte di A. 364 Þ

a. Determina l’equazione della funzione y ¼

PQ . AQ

b. Traccia il grafico probabile della funzione nell’intervallo dove la funzione e` definita in base alle limitazioni geometriche, studiandone in particolare gli eventuali asintoti e gli eventuali punti di discontinuita`.  tan x

, con 0 < x < ; b. x ¼ 0: discontinuita` di seconda specie, x ¼ : a. y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 1 þ tan 2 x  1  discontinuita` eliminabile, la retta di equazione x ¼ 0 e` un asintoto verticale destro

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 365 Þ

Determina gli eventuali punti di discontinuita` della funzione: 8 3 x > > > > < x2 0x > 2x  1 1x > > : 2 x  2x þ 3 2  x

(Calculus Competition 1990) 366 Determina tutti gli asintoti della funzione y ¼ Þ (Calculus Competition 1995) 367 Þ

[x ¼ 1, y ¼ x þ 1]

Determina tutti gli asintoti del grafico dell’equazione xy þ 3jxj  y ¼ 0. [x ¼ 1, y ¼ 3 (sinistro), y ¼ 3 (destro)]

(Calculus Competition 1993)

230

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x4 þ 1 . x1

Solve math in English Find the constants a and b such that the following function is continuous on the entire

A B C D E

if x  1 Continuita`

real number line. 8 >

: 2

Unita` 4

368 Þ

if 1 < x < 3 if x  3

a ¼ 1, b ¼ 1 a ¼ 1, b ¼ 1 a ¼ 1, b ¼ 1 a ¼ 1, b ¼ 1 None of the above

(Gainesville College, Mathematics Tournament 2010)

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ kx þ 1 . Identify the interval(s) of all possible values of k for which f is 369 Solve math in English Let f ðxÞ ¼ Þ x2  k continuously defined over ð1, þ1Þ. A B C D E

ð1, 0Þ ð1, 0Þ [ ð0, þ1Þ ð0, 2 ½2, 0Þ None of the above

(Gainesville College, Mathematics Tournament 2004)

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  x2 is continuous. 370 Solve math in English Tell where the function given by f ðxÞ ¼ Þ 4  x2 A ½1, 1 B ð1, 2Þ [ ð2, þ1Þ C ð1, 2Þ [ ð1, 1Þ [ ð2, þ1Þ D ð1, 2Þ [ ½1, 1 [ ð2, þ1Þ E None of the above

[D]

(Gainesville College, Mathematics Tournament 2005) 371 Þ

Solve math in English Find the number of discontinuity points of the function

8 xþ1 > > > > > >

> > 2 x > > > : ð2  xÞ2 A B C D E

x0 0 49 Per quali valori di k la funzione y ¼ Þ 2x2  3x þ k 8 48 Þ

Determina a e b in modo che due asintoti della funzione y ¼

50 Þ

Determina per quali a 2 R la funzione y ¼

a. ammette un asintoto obliquo; b. ammette un asintoto orizzontale; c. ammette un asintoto verticale.

ða2  1Þx5  2ða þ 1Þx4  x3 þ 2 : x3  1

In ciascun caso, supposta verificata la condizione trovata, specifica l’equazione dell’asintoto. [a. a ¼ 1, asintoto obliquo: y ¼ 4x  1; b. a ¼ 1, asintoto orizzontale: y ¼ 1; pffiffiffi c. a 6¼ 1 3, asintoto verticale: x ¼ 1] 51 Þ

Determina, se esistono, a 2 R e b 2 R tali che la funzione 8 a  a cos x > x > > x2 > < 0 > > 2x2 > 1 > :e x>1 x1 [a ¼ 2, b ¼ 1]

sia continua in R.

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI 52 Þ

236



Scrivi l’equazione della parabola  con asse parallelo all’asse y, passante per i punti Oð0, 0Þ, Að4, 0Þ e Bð5, 5Þ. Sia r la retta OB e s la retta parallela all’asse x passante per B. Sull’arco OB della parabola, considera un punto P di ascissa x epindica con H la sua proiezione sulla retta r e con K la sua proiezione sulla retta s. Calcola il limite del rapffiffiffi PH 2 al tendere di P a B. porto PK   5x  x2 5 2 a. y ¼ x  4x; b. r: y ¼ x, s: y ¼ 5, si giunge a dover calcolare lim , che e` uguale a x!5 5  x2 þ 4x 6

Tema F

53 Þ

Considera le due parabole:

 : x ¼ y2  2y

 0 : x ¼ y 2  4y

Verso le competenze

Considera la retta di equazione y ¼ mx, con m > 0; sia P il punto, diverso dall’origine O, in cui la retta r interseca  OP , al tendere della e Q il punto, diverso dall’origine O, in cui la retta r interseca  0 . Calcola il limite del rapporto OQ retta r all’asse y. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (Suggerimento: per il calcolo delle distanze conviene ricordare la formula jx2  x1 j 1 þ m2 Þ      2m þ 1 2m þ 1 4m þ 1 4m þ 1 , , P , Q ; m2 m m2 m  2m þ 1 1 , che e` uguale a si giunge a dover calcolare il limite lim m!þ1 4m þ 1 2 54 Þ

Data la parabola di equazione y ¼ x2 , considera su di essa un punto P, di ascissa a, con a > 0. a. Scrivi l’equazione della retta t, tangente alla parabola in P, e della retta n, normale alla parabola in P. b. Indica con A il punto in cui la tangente interseca l’asse x e con B il punto in cui la normale interseca l’asse y. Detta O l’origine degli assi, calcola il limite del rapporto tra l’area del triangolo PAB e l’area del triangolo AOB,   quando a ! þ1.

a   1 1 1 2 2 2 x þ a þ ; b. A , 0 , B 0, a þ a. t: y ¼ 2ax  a , n: y ¼  ; 2a 2 2 2  4a2 þ 1 , uguale a 2 si giunge a dover calcolare lim a!þ1 2a2 þ 1

55 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per Að2, 0Þ e Bð2, 0Þ, tangente in B alla Þ retta di equazione y ¼ 4ðx  2Þ. Sia V il vertice della parabola e P un punto di ordinata t appartenente all’asse della parabola. Calcola i seguenti limiti:

a. lim ðPB  PVÞ t!þ1

b. lim ðPB  PVÞ t!1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [y ¼ 4  x2 ; a. si giunge a dover calcolare lim ð t 2 þ 4  t þ 4Þ, che e` uguale a 4; t!þ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. si giunge a dover calcolare lim ð t 2 þ 4 þ t  4Þ, che e` uguale a 4] t!1

56 Un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ha i lati obliqui che misurano 2a e l’angolo al vertice di ampiezza Þ 120 . Considera un punto P sul lato BC e indica con x la sua distanza da B. Calcola il limite cui tende il rapporto pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffi  pffiffiffi  AB  AP 2a  x2  2a 3x þ 4a2 3 quando il punto P tende a B. Si giunge a dover calcolare lim ; BP x!0 2 x 57 Þ

Dato un quadrato ABCD, di lato a, sia P un punto sul prolungamento di AB dalla parte di B. Indica con x la distanza di P da B e calcola il limite cui tende la differenza PD  PC quando x ! þ1.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [Si giunge a dover calcolare lim x2 þ 2ax þ 2a2  x2 þ a2 ; a] x!þ1

bC ¼ x, ABbC ¼ 2x e AB ¼ a. Calcola il limite dell’espressione AB þ BC quando Sia ABC un triangolo in cui BA   BC AC x tende a zero. 7 2 58 Þ

59 Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB ¼ 2r, considera su di essa un punto C tale che Þ ABbC ¼ x e traccia la tangente t alla semicirconferenza in C. Siano D ed E, rispettivamente, le proiezioni di A e B sul  la retta t. Calcola il limite cui tende il rapporto tra le aree dei quadrilateri OBEC e OCDA quando C tende a B. 1 3 60 Crescita di una popolazione. Si stima che il numero di abitanti di una citta` (in migliaia), trascorsi t anni a Þ partire da adesso, sia bene interpretato dalla funzione:

f ðtÞ ¼

300t 2 þ 120t þ 420 10t 2 þ 5t þ 20

a. Quanti sono attualmente gli abitanti della citta`? b. Quanti saranno, secondo questo modello, gli abitanti della citta` tra 1 anno? c. A lungo andare, quanti diverranno gli abitanti della citta`? Secondo il modello assunto, possono crescere indefinitamente? [a. 21 000; b. 24 000; c. tendono ad avvicinarsi a 30 000] 237

Verso le competenze Tema F

61 Þ

Temperatura di raffreddamento. Un oggetto prodotto industrialmente, la cui temperatura iniziale e` di 220 C, e` posto a raffreddare in un ambiente la cui temperatura e` costante, uguale a 20  C. In base alla legge di raffreddamento di Newton, la temperatura yðtÞ dell’oggetto dopo t ore e` espressa dalla funzione: 

yðtÞ ¼ 200e 2 þ 20 t

a. Stabilisci qual e` la temperatura dell’oggetto dopo 30 minuti. b. Calcola il limite di yðtÞ per t ! þ1 e interpreta il risultato in relazione al problema. c. Stabilisci dopo quanto tempo la temperatura sara` diventata il 50% di quella iniziale. Esprimi il risultato sia in forma esatta, sia in modo approssimato, arrotondato ai minuti.   20  , ovvero circa 1 ora e 36 minuti a. Circa 175,8 C; b. 20; c. t ¼ 2 ln 9 62 Capitalizzazione nel continuo. Un capitale C0 , applicato in regime di capitalizzazione composta per t anni Þ a un tasso di interesse annuo i, genera un capitale finale C, detto montante, assegnato dalla formula:

C ¼ C0 ð1 þ iÞt Supponiamo ora che la capitalizzazione avvenga ogni 6 mesi anziche´ ogni anno. Dopo 6 mesi riscuoteremmo un capitale   i C ¼ C0 1 þ 2 Se, subito dopo avere riscosso il capitale, lo reinvestissimo immediatamente per altri 6 mesi otterremo alla fine un montante:       i i i i 2 þ C0 1 þ ¼ C0 1 þ C ¼ C0 1 þ 2 2 2 2 montante ottenuto dopo 6 mesi

interesse generato nei 6 mesi successivi

E cosı` via, se ritirassimo il capitale ottenuto dopo 1 anno e lo reinvestissimo nuovamente per altri 6 mesi otterremmo dopo 1 anno e mezzo (3 semestri) un montante:   i 3 C ¼ C0 1 þ 2 Dopo, per esempio, 3 anni (6 semestri) avremmo un montante:     i 6 i 23 C ¼ C0 1 þ ¼ C0 1 þ 2 2 In generale un capitale C0 , investito a un tasso annuo i, composto n volte in un anno, genera dopo tanni un montante C espresso dalla formula:   i nt C ¼ C0 1 þ n Supponiamo di portare al limite estremo il numero n di volte in cui l’interesse viene composto in un anno, cioe` di fare tendere n a infinito. Cio` significa che gli interessi iniziano a loro volta a produrre interesse in un istante immediatamente successivo a quello in cui sono maturati. Si parla in questo caso di capitalizzazione nel continuo, perche´ non vi e` soluzione di continuita` nella capitalizzazione: a ogni istante matura interesse e questo viene aggiunto al capitale per produrre, a sua volta, nuovo interesse. a. Dimostra che un capitale C0 , investito in regime di capitalizzazione continua a un tasso annuo i, genera dopo t anni un montante C espresso dalla formula: C ¼ C0 eit b. Supponi che un capitale di 10 000 euro venga investito per 5 anni al tasso annuo del 4%, composto annualmente; quale montante si otterrebbe dopo 5 anni? Quale montante si otterrebbe se la capitalizzazione, anziche´ essere annuale, fosse ogni 3 mesi? E se fosse continua? [b. Circa 12 167 euro; circa 12 202 euro; circa 12 214 euro] 238

Matematica e fisica Un punto materiale inizialmente fermo alla sommita` di un piano inclinato, considerato

INTERPRETARE GRAFICI E DATI 64 Þ

In figura e` rappresentato il grafico di una funzione la cui equac zione e` della forma y ¼ ax þ b þ . In figura sono stati rapprexþd sentati, tratteggiati, gli asintoti.

y

In base alle informazioni che puoi dedurre dal grafico, determina i valori di a, b, c, d.

Verso le competenze

privo di attrito, inizia a scivolare lentamente percorrendo nel primo secondo 3 mm, nel secondo successivo 9 mm, nel terzo secondo 15 mm, nel quarto secondo 21 mm e cosı` via. Sapendo che il punto materiale percorre l’intero piano inclinato in 19 s, determina la lunghezza del piano in due modi diversi: a. utilizzando direttamente le appropriate formule del moto rettilineo uniformemente accelerato; b. osservando che gli spazi percorsi nei successivi intervalli di tempo formano una progressione aritmetica. [1083 mm]

Tema F

63 Þ

y = f(x)

O –1

2

x

–2

  1 a ¼ , b ¼ 1, c ¼ 2, d ¼ 2 2 65 Cloro in una piscina. Ogni giorno vengono dissolti 500 g di cloro in una piscina. In figura e` mostrato il graÞ fico che rappresenta la quantita` f ðtÞ di cloro presente nella piscina dopo t giorni.

f(t) 2000 1500 1000 500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

a. La funzione f ðtÞ e` continua? In caso di risposta negativa, stabilisci in quali punti e` discontinua e il tipo di discontinuita`. b. Qual e` il significato in relazione al problema del lim f ðtÞ? E del limþ f ðtÞ? t!2

t!2

c. Qual e` approssimativamente la quantita` di cloro presente nella piscina alla fine del terzo giorno? E all’inizio del quarto? 66 Aliquote irpef. Nella tabella qui sotto sono riportate le aliquote IRPEF (imposta sui redditi delle persone fisiÞ che) relative al 2010.

Scaglioni di reddito (r )

Aliquota

0  r  15 000

23%

15 000 < r  28 000

27%

28 000 < r  55 000

38%

55 000 < r  75 000

41%

r > 75 000

43%

239

Verso le competenze Tema F

a. Rappresenta graficamente la funzione aðrÞ che esprime l’aliquota in funzione del reddito rin un sistema di assi cartesiani dove il reddito e` posto in ascissa e l’aliquota e` posta in ordinata. La funzione aðrÞ e` continua? In caso negativo, precisa in quali punti e` discontinua e classifica i punti di discontinuita`. b. In base alla tabella, calcola l’imposta lorda (l’imposta netta si ottiene da quella lorda sottraendo le detrazioni d’imposta) relativa a un reddito r ¼ 35 000 euro. Presta attenzione: l’imposta va calcolata sommando le imposte relative ai vari scaglioni, cioe` sommando il 23% sul primo scaglione (ossia su 15000 euro), piu` il 27% sul secondo scaglione (ossia su 13000 euro), piu` il 38% sul reddito eccedente i 28000 euro (ossia in questo caso su 7000 euro). c. Verifica che l’espressione analitica della funzione IðrÞ che esprime l’imposta lorda relativa a un reddito r e`: 8 23 > > r > > > 100 > > > > > > 27 > > ðr  15 000Þ 3450 þ > > 100 > > > > < 27 IðrÞ ¼ 6960 þ ðr  28 000Þ > 100 > > > > > > 27 > > ðr  55 000Þ > 17 220 þ > > 100 > > > > > > > : 25 420 þ 27 ðr  75 000Þ 100

0  r  15 000 15 000 < r  28 000 28 000 < r  55 000 55 000 < r  75 000 r > 75 000

La funzione IðrÞe` continua? In caso negativo, precisa in quali punti e` discontinua e classifica i punti di discontinuita`.

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE 67 Þ

Traccia il grafico e fornisci l’espressione analitica di una funzione definita e continua su tutto R tale che lim f ðxÞ ¼ 2 e lim f ðxÞ ¼ 3.

x!1

x!þ1

68 Þ

Traccia il grafico e fornisci l’espressione analitica di una funzione che presenti un punto di discontinuita` eliminabile per x ¼ 0, un punto di salto per x ¼ 3 e come asintoto per x ! þ1 la retta di equazione y ¼ 1. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffi 69 Considera la funzione f ðxÞ ¼ 1  ex  e x e spiega se ha senso calcolare il lim f ðxÞ. Þ þ x!0

70 Þ

Sapendo che lim f ðxÞ ¼ 0, e` possibile calcolare lim ½cos x  f ðxÞ? E sapendo che lim f ðxÞ ¼ 1? x!0

x!0

x!0

71 Sia f una funzione dispari, definita e continua in R. Sapendo che f ð5Þ > 80, possiamo affermare che esiste Þ x 2 R per cui f ðxÞ ¼ 50? 72 Þ

Stabilisci se le seguenti affermazioni relative a due funzioni f e gsono vere o false; se sono vere giustificale, altrimenti fornisci un controesempio. a. Se f e` continua in x0 , allora jf j e` continua in x0 . b. Se jf j non e` continua in x0 , allora f non e` continua in x0 . c. Se f e` continua in x0 e g e` continua in x0 anche la funzione f þ g e` continua in x0 . d. Se f þ g e` continua in x0 , allora f e` continua in x0 e g e` continua in x0 .

73 Þ

Sia f una funzione continua tale che l’equazione f ðxÞ ¼ 5 ha una e una sola soluzione, appartenente all’intervallo [1, 2]. Dimostra che se f ð2Þ ¼ 7, allora f ð3Þ > 5.

240

3 nðn þ 1Þ. 2

74 Þ

Dimostra per induzione che, per ogni n  1, 3 þ 6 þ 9 þ ::: þ 3n ¼

75 Þ

Dimostra per induzione che, per ogni n  1, n3 þ 2n e` divisibile per 3.

Tema F

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Þ

6

B

5

3

C

D

24

2 Da una serie di censimenti vengono tratti i seguenti dati, che riguardano il numero di persone (in milioni) Þ che vivono da sole negli USA.

1970

10,9

1980

18,3

1985

20,6

1990

23,0

20

1995

24,7

15

2000

26,7

10

30

Verso le competenze

A

Date le funzioni f ðxÞ ¼ x þ 3 e g ðxÞ ¼ x2  1, il valore di f ðg ð2ÞÞ e`:

25

5 0

1970

1980

1985

1990

1995

2000

pffiffiffi La funzione f ðxÞ ¼ 2,6  x þ 11, dove x e` il numero degli anni dopo il 1970 ed f ðxÞ il corrispondente numero di persone che vivono sole, costituisce un buon modello che interpreta i dati ricavati. Secondo questo modello, in che anno ci saranno 35 milioni di americani a vivere soli? A

3 Þ A

4 Þ A

5 Þ

All’incirca nel 2055

B

All’incirca nel 2065

C

All’incirca nel 2045

C

f 1 ðxÞ ¼

D

þ1

Mai

D

f 1 ðxÞ ¼

La funzione inversa di f ðxÞ ¼ 2x  3 e`: f 1 ðxÞ ¼

xþ3 2

B

Qual e` il risultato del limite lim

x!þ1

0

B

x3 2

f 1 ðxÞ ¼

4

x2 3

xþ2 3

ð2x  1Þð6x þ 4Þ ? 3x2 þ 5 6

C

In relazione alla figura, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a. la funzione e` pari

V

F

b. la funzione e` invertibile

V

F

c. la funzione e` continua in tutto R

V

F

d. lim f ðxÞ ¼ 0

V

F

e. lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ

V

F

f. lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ

V

F

g. limþ f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ

V

F

V

F

x!0

x!1

x!1

x!1

x!1

x!þ1

x!1

h. il dominio della funzione y ¼ 6 Þ

D

pffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ e` ð1, 1Þ [ ð1, þ1Þ

Qual e` il dominio della funzione y ¼

a. Risposta:

y y = f(x)

O

x

ln ð5  xÞ ? ln ðx  2Þ

.....................................................................................................................................................................................................................................

b. Calcoli svolti per giungere al risultato: .................................................................................................................................................................................................................................................................

241

Verso le competenze

7 Þ

La forza gravitazionale esercitata dalla Terra su una massa unitaria posta a distanza r dal centro della Terra e` espressa della funzione: 8 GMr > > se r < R < 3 R FðrÞ ¼ > > : GM se r  R r2

Tema F

dove G e` la costante di gravitazione universale, R e` il raggio della Terra e M e` la massa della Terra. La funzione FðrÞ: A B

8 Þ

e` continua presenta una discontinuita` eliminabile per r ¼ R

C D

presenta un salto per r ¼ R presenta un asintoto per r ¼ R

Considera la funzione cosı` definita:

8 x  1 > > > < xþ1 f ðxÞ ¼ > x þ 1 > > : x1

se

2 < x  1

se

1 < x  0

se

0 1

k ¼ 1

C

k¼

3 2

15 Þ

Secondo la legge di Boyle, in condizioni di temperatura costante la pressione P di un gas perfetto e` inversamente proporzionale al suo volume V. Quando V ! 0þ , che cosa accade a P? C Tende a þ1. Tende a 1. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 36x2 þ 2x  7 e`: 16 Il risultato del limite lim Þ x!1 4x A

Tende a 0.

A



17 Þ A

B

3 2

B

9

C

9

D

Le informazioni sono insufficienti per stabilirlo.

D

3 2

Quale delle seguenti funzioni non presenta alcun asintoto verticale? y¼

1 x2 þ 3x þ 5

B

y¼

1 x2 þ 3x  5

C

y¼

1 x2 þ 5x þ 3

D

y¼

1 x2 þ 5x  3

18 Þ

Ciascuna delle tre affermazioni nella prima riga della tabella e` falsa. Disegna nella figura predisposta sottostante il grafico di una funzione che costituisca un controesempio. Se una funzione f , definita in R, e` tale che f ð0Þ ¼ 0 e lim f ðxÞ ¼ 1, allora

Se una funzione f e` strettamente crescente allora lim f ðxÞ ¼ þ1

x!1

la funzione e` negativa per x  0.

x!þ1

y

O

y

x

O

Se una funzione f , definita in R, e` tale che f ð0Þ ¼ 1, allora la funzione f e` continua in x ¼ 0.

y

x

O

x

243

Scrivi l’espressione analitica di una possibile funzione il cui grafico e` simile a quello in figura. y

y=1

O

x

Tema F

Verso le competenze

19 Þ

x = –2

Espressione analitica della funzione:

x=2

..................................................................................................................................................................................

 1 La funzione vðtÞ ¼ 98 1  e 10 t costituisce un buon modello per descrivere la velocita` v(tÞ (in m/s) di un paracadutista di 70 kg, che si lancia da un aereo con velocita` nulla prima di aprire il paracadute. Assumendo questo modello, rispondi alle seguenti domande. 20 Þ

a. Quale sara` la velocita` del paracadutista dopo 20 s? Arrotonda il risultato a un numero intero. .................................................................................................................................................................................................................................................................

b. Quale velocita` limite non potra` mai superare il paracadutista? .................................................................................................................................................................................................................................................................

c. Dopo quanto tempo la velocita` del paracadutista sara` il 90% della velocita` limite di cui al punto precedente? Arrotonda il risultato a un numero intero. .................................................................................................................................................................................................................................................................

244

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Dopo avere studiato il fondamentale concetto di limite, in questo Tema lo metteremo a frutto introducendo tramite esso uno strumento del tutto nuovo: quello di derivata di una

funzione. Dal punto di vista geometrico, il concetto di derivata nasce dal problema della ricerca

della retta tangente a una curva in un suo punto, mentre dal punto di vista

TEMA

G

PREREQUISITI

3Il concetto di limite 3Il calcolo dei limiti 3Il concetto di continuita` COMPETENZE

3Utilizzare gli strumenti del calcolo differenziale nella descrizione e modellizzazione di fenomeni di varia natura

applicativo la derivata e` lo strumento che serve ` con cui varia per descrivere la velocita una grandezza. Studiando le derivate e le loro applicazioni, intraprenderemo lo studio di quella parte dell’analisi infinitesimale chiamata calcolo

Unita` 5 La derivata

Unita` 6 Teoremi sulle funzioni derivabili

Unita` 7 Lo studio di funzione

Unita` 8 Introduzione al calcolo integrale

differenziale.

Il calcolo differenziale permette di stabilire metodi generali per risolvere problemi di ottimizzazione, problemi cioe` in cui si cerca l’eventuale minimo o massimo valore che puo` assumere una grandezza. Le leggi fisiche vengono spesso espresse mediante principi di minimo. Anche in natura si trovano sovente dei comportamenti spiegabili sulla base di un analogo principio. Le api, per esempio, dovendo costruire un nido di cellette tutte uguali, utilizzano istintivamente la migliore configurazione possibile, cioe` quella esagonale. Tra le forme possibili, infatti, la forma esagonale e` quella di perimetro minimo e, quindi, permette il minimo consumo possibile di cera.

Unita`

5

La derivata

Tema G

1. Il concetto di derivata Dalla storia Furono principalmente Leibniz (1646-1716) e Newton (1642-1727) a sviluppare le idee che diedero origine, tra la fine del Seicento e l’inizio del Settecento, al calcolo differenziale, cioe` al calcolo con le derivate. Vedi in proposito la scheda Matematica nella storia alla fine di questa Unita`.

Problemi che conducono al concetto di derivata Nelle Unita` precedenti, con l’introduzione del concetto di limite, abbiamo posto le basi concettuali necessarie a presentare una delle nozioni piu` importanti dell’analisi: quella di derivata. Ci avviciniamo al concetto di derivata prendendo le mosse dai due problemi che, anche storicamente, condussero alla sua nascita. Il problema della retta tangente Nello studio della geometria analitica abbiamo parlato di retta tangente a una conica in un suo punto e ne abbiamo scritto l’equazione. Ma che cos’e` la retta tangente a una curva in un suo punto P? Come primo tentativo, potremmo essere portati a rispondere: e` l’unica retta passante per P che non interseca la curva in altri punti. Tuttavia e` facile rendersi conto che questa definizione non si adatta, per esempio, alle curve disegnate in fig. 5.1 e in fig. 5.2. y

y

y = f (x)

O

y= x

P x

Figura 5.1 La retta tangente alla curva in P interseca la curva in un altro punto.

O

x

Figura 5.2 Ci sono infinite rette passanti per O che intersecano la curva in un solo punto, ma intuitivamente non siamo disposti a ritenere tali rette tangenti alla curva.

Un altro tentativo potrebbe essere quello di ripetere la definizione vista per le coniche: una retta tangente a una curva in un punto P e` la retta che ha una intersezione doppia con la curva in P. Ma anche in questo caso, passando dall’ambito delle coniche a una curva generica, sorgono problemi. Per esempio, supponiamo di voler determinare la retta tangente al grafico della funzione y ¼ sin x nell’origine e tentiamo di applicare il procedimento che utilizzavamo per le coniche. Poniamo dunque a sistema il fascio di rette passanti per l’origine con l’equazione della curva; otteniamo il sistema:
y ¼ sin x y ¼ mx la cui equazione risolvente e`: sin x ¼ mx Questa equazione pero` non e` polinomiale, dunque il metodo cui eravamo abituati dalla geometria analitica crolla nel presupposto teorico, perche´ non c’e` modo di contare la molteplicita` delle soluzioni di questa equazione, quindi di imporre che la soluzione x ¼ 0 sia doppia. 246

Unita` 5

Ci rendiamo conto percio` che, sebbene geometricamente il concetto di retta tangente sembri intuitivo, non e` cosı` ovvio definirlo rigorosamente per una generica curva. Abbandonata la speranza di poter definire il concetto di retta tangente in base al numero dei punti di intersezione con la curva, ci rendiamo conto che, per risolvere il problema, dobbiamo introdurre qualche idea nuova. L’elemento chiave per fare emergere queste nuove idee e` guardare il problema della retta tangente da un punto di vista dinamico. Data la funzione y ¼ f ðxÞ e un punto Pðx0 , f ðx0 ÞÞ appartenente al suo grafico, per definire la retta tangente al grafico di f in P consideriamo anzitutto una retta passante per P e secante la curva in un ulteriore punto Q, «vicino» a P, di ascissa x0 þ h (fig. 5.3).

La derivata

Figure dinamiche

y

rette secanti

y = f(x)

Puoi visualizzare la costruzione rappresentata nella figura a lato tramite le figure dinamiche disponibili on-line.

Q

f (x0 + h)

f(x0 + h) − f(x0) retta tangente P

f (x0) O

x0 + h

x0

x

h

Figura 5.3

Sappiamo che il coefficiente angolare della retta PQ e` espresso dalla formula: mPQ ¼

yQ
yP f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ ¼ ¼ xQ
xP ðx0 þ hÞ
x0 h

e che la retta PQ ha equazione: y
f ðx0 Þ ¼ mPQ ðx
x0 Þ Immaginiamo ora che h tenda a 0. Il punto Q si muove sul grafico di f e si avvicina a P, fino a sovrapporsi a esso quando h ¼ 0. Contestualmente la retta secante ruota intorno a P, fino ad avvicinarsi a una posizione «limite» che intuitivamente possiamo identificare con quella della retta tangente. Consideriamo allora il limite cui tende il coefficiente angolare della retta PQ quando h tende a 0: lim mPQ ¼ lim h!0

h!0

f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h

Se questo limite tende a un valore finito, possiamo definire la retta tangente come la retta passante per P e avente questo coefficiente angolare. Grazie al concetto di limite, siamo cosı` finalmente riusciti a trovare una buona definizione di retta tangente a una curva. Il problema della velocita` istantanea Consideriamo un oggetto, lasciato cadere da una certa altezza. La velocita` dell’oggetto cambia a ogni istante. Ma che cos’e` la velocita` dell’oggetto in un dato 247

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

istante? Questo e` un altro concetto che sembra ovvio, ma che sarebbe difficile definire rigorosamente senza gli strumenti dell’analisi. Supponiamo di conoscere la legge oraria sðtÞ dell’oggetto, cioe` lo spazio percorso in funzione del tempo. Sappiamo che il modulo della velocita` media dell’oggetto in un intervallo di tempo ½t0 , t0 þ h e` dato dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato, cioe` dal rapporto: sðt0 þ hÞ
sðt0 Þ h Come possiamo definire la velocita` dell’oggetto all’istante t0 ? E` chiaro che la velocita` media calcolata nell’intervallo di tempo ½t0 , t0 þ h sara` un’approssimazione tanto migliore della velocita` istantanea in t0 quanto piu` l’intervallo temporale e` piccolo. E` ragionevole allora considerare il limite al quale tende il modulo della velocita` media quando h tende a 0: lim h!0

sðt0 þ hÞ
sðt0 Þ h

Se questo limite tende a un valore finito, possiamo definire questo valore come il modulo della velocita` istantanea dell’oggetto in t0 .

La derivata in un punto Riflettendo sui problemi esaminati, ci accorgiamo che essi hanno alcuni aspetti in comune.  Abbiamo considerato i rapporti: f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h

sðt0 þ hÞ
sðt0 Þ h

tra l’incremento subito dalla funzione: f ðxÞ

sðtÞ

quando la variabile indipendente passa: dal valore x0 al valore x0 þ h

dal valore t0 al valore t0 þ h

e l’incremento h.  Siamo stati indotti a considerare i limiti di tali rapporti quando h ! 0. Svincolandoci dai problemi da cui sono scaturiti questi limiti, possiamo costruire e studiare un limite analogo per una funzione qualsiasi. 1. Consideriamo una funzione f e fissiamo un punto x0 , interno al dominio di f . 2. Consideriamo un piccolo incremento h di x0 e il punto x0 þ h (con h 6¼ 0 e h piccolo a sufficienza perche´ x0 þ h continui ad appartenere al dominio di f Þ. 3. Definiamo il rapporto incrementale della funzione nel punto x0 , relativo all’incremento h, come il rapporto tra l’incremento registrato dalla funzione quando la variabile indipendente passa dal valore x0 al valore x0 þ h e l’incremento stesso (fig. 5.4): f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h 248

Unita` 5

y

y = f(x)

f (x0 + h)

f(x0 + h) − f(x0) incremento corrispondente subìto dalle ordinate

P

f (x0) O

La derivata

Q

x0

h

x0 + h

x

incremento subìto da x0

Figura 5.4

4. calcoliamo il limite per h ! 0 del rapporto incrementale: la derivata e` precisamente questo limite. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO

Una funzione di equazione y ¼ f ðxÞ si dice derivabile in un punto x0 , appartenente al suo dominio, se f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h

lim h!0

[5.1]

esiste ed e` finito. Questo limite prende il nome di derivata prima (o semplicemente derivata) di f in x0 e si indica con il simbolo: 0

f ðx0 Þ

Altre notazioni Per indicare la derivata di f in x0 , oltre a f 0 ðx0 Þ sono in uso anche le seguenti notazioni:  df  ; D f ðx0 Þ; f_ðx0 Þ dx x¼x0 df , e` dx detta notazione di Leibniz.

La prima notazione,

Come abbiamo visto analizzando i problemi all’inizio di questo paragrafo, il rapporto incrementale puo` rappresentare per esempio il coefficiente angolare di una retta secante o una velocita` media, mentre la derivata della funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto, oppure, se la funzione esprime la legge oraria di un moto, la velocita` in un dato istante. In generale possiamo dire che il rapporto incrementale rappresenta un tasso di variazione medio, mentre la derivata rappresenta un tasso di variazione istantaneo. ESEMPI

Calcolo della derivata di una funzione in un punto in base alla definizione

Calcoliamo la derivata della seguente funzione nel punto indicato: f ðxÞ ¼ x 2

in x0 ¼ 2

Dobbiamo calcolare il limite [5.1] con x0 ¼ 2 e f ðxÞ ¼ x2 ; abbiamo: lim h!0

f ð2 þ hÞ
f ð2Þ ¼ h

¼ lim

ð2 þ hÞ2
22 ¼ h

¼ lim

4 þ h2 þ 4h
4 ¼ h

h!0

h!0

¼ lim ðh þ 4Þ ¼ 4 h!0

Limite [5.1] con x0 ¼ 2

In questo caso f ðxÞ ¼ x 2

Ô

249

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Ô

Dunque la funzione e` derivabile in x0 ¼ 2 e risulta f 0 ð2Þ ¼ 4. Ne possiamo dedurre l’interpretazione grafica riportata in fig. 5.5. y y = x2

P

y = 4x − 4 O

x

Figura 5.5 Il coefficiente angolare della tangente alla parabola di equazione f ðxÞ ¼ x 2 nel suo punto di ascissa 2 e` f 0 ð2Þ ¼ 4. PER SAPERNE DI PIU`

Una definizione alternativa di derivata

Tema G

Ponendo x ¼ x0 þ h il rapporto incrementale di una funzione f nel punto x0 , ossia f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ f ðxÞ
f ðx0 Þ . , puo` essere espresso nell’altra forma equivalente h x
x0 Osservando poi che quando h ! 0 allora x ! x0 , si puo` concludere che la derivata di una funzione in un punto x0 puo` essere definita, oltre che dal limite [5.1], dal limite equivalente: f ðxÞ
f ðx0 Þ lim x!x0 x
x0

Continuita` e derivabilita` Un risultato importante e` che la derivabilita` implica la continuita`, come espresso dal seguente teorema. TEOREMA 5.1 Rifletti Dal punto di vista geometrico, dire che una funzione e` derivabile in x0 significa che esiste la retta tangente in x0 e che essa non e` verticale (in conseguenza del fatto che il limite del rapporto incrementale deve esistere finito). Studieremo la natura dei punti di non derivabilita` nel Paragrafo 5.

` e c ont i nui t a ` Derivabilita

Se f e` una funzione derivabile in x0 , allora f e` continua in x0 . DIMOSTRAZIONE

 Dobbiamo provare che f e` continua in x0 , ovvero che risulta: lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ

x!x0

Se poniamo x ¼ x0 þ h e percio` scriviamo h ! 0 al posto di x ! x0 , la tesi diventa: lim f ðx0 þ hÞ ¼ f ðx0 Þ h!0

ossia: lim ½ f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ ¼ 0 h!0

 Abbiamo: lim ½ f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ ¼ lim h  h!0

h!0

f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h

Poiche´ f e` derivabile in x0 , per h ! 0 il secondo fattore dell’ultimo limite scritto tende a f 0 ðx0 Þ 2 R, mentre il primo fattore tende ovviamente a 0. Poiche´ i due fattori tendono a due limiti finiti, possiamo applicare il teorema sul limite di un prodotto e continuare la catena di uguaglianze come segue: lim h  h!0

250

f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ ¼ lim h  lim ¼ 0  f 0 ðx0 Þ ¼ 0 h!0 h!0 h h

CONTROESEMPIO

Unita` 5

Il teorema precedente non e` invertibile: non e` vero cioe` che se una funzione e` continua in x0 allora e` ivi derivabile. Funzione continua ma non derivabile in un punto

La derivata

Dimostriamo che la funzione f ðxÞ ¼ jxj e` continua ma non derivabile in x0 ¼ 0. La funzione f ðxÞ ¼ jxj e` continua in tutto R, quindi in particolare in x ¼ 0. Tuttavia non e` derivabile in 0; infatti: lim h!0

f ð0 þ hÞ
f ð0Þ ¼ Limite [5.1] con x0 ¼ 0 h

¼ lim h!0

e lim h!0

jhj
0 jhj ¼ lim h!0 h h

y y= x

O

jhj jhj jhj non esiste poiche´ limþ ¼ 1 mentre lim
¼
1. h!0 h!0 h h h

Graficamente la non derivabilita` in x ¼ 0 si traduce nel fatto che in x ¼ 0 non e` definita la retta tangente al grafico di f ðxÞ ¼ jxj (fig. 5.6).

x

Figura 5.6 Non esiste alcuna retta passante per l’origine e tangente al grafico della funzione f ðxÞ ¼ jxj.

Derivata destra e derivata sinistra Nell’ultimo esempio abbiamo visto che la funzione f ðxÞ ¼ jxj non e` derivabile in x ¼ 0 perche´ non esiste il limite del suo rapporto incrementale per h ! 0, tuttavia esistono i limiti per h ! 0þ e per h ! 0
. Sebbene non esista la derivata in x ¼ 0, si dice che esistono la derivata destra e la derivata sinistra, come precisato nella seguente definizione. DERIVATA DESTRA E DERIVATA SINISTRA

Una funzione di equazione y ¼ f ðxÞ si dice derivabile a destra o a sinistra in un punto x0 , appartenente al suo dominio, rispettivamente se: limþ

h!0

f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h

o

lim


h!0

f ðx0 þ hÞ
f ðx0 Þ h

esistono e sono finiti. Questi limiti prendono rispettivamente il nome di derivata destra e derivata sinistra di f in x0 e si indicano con i simboli: fþ0 ðx0 Þ e

ESEMPIO

f
0 ðx0 Þ

Derivata destra e derivata sinistra

Nel caso della funzione f ðxÞ ¼ jxj, possiamo scrivere: jhj jhj ¼ 1 e f
0 ð0Þ ¼ lim
¼
1 fþ0 ð0Þ ¼ limþ h!0 h!0 h h Se una funzione e` definita soltanto in un intorno destro (sinistro) di x0 , si dice derivabile in x0 se e` derivabile a destra (sinistra) in x0 . Di conseguenza, dire che f e` derivabile nell’intervallo ½a, b significa dire che f e` derivabile per ogni x 2 ða, bÞ e che e` derivabile a destra in a e a sinistra in b.

Per saperne di piu` Il teorema 5.1 si puo` estendere in modo naturale alla derivabilita` a destra e a sinistra: se f e` derivabile in x0 a destra (a sinistra), allora f e` continua in x0 a destra (a sinistra).

Funzione derivata e derivate successive Data una funzione f , possiamo definire una nuova funzione f 0 , detta funzione derivata (prima) di f , che associa a ogni punto in cui f e` derivabile la sua derivata. Formalmente, se D e` il dominio della funzione f e D0 e` il sottoinsieme di D in cui f e` derivabile, la funzione f 0 sara` cosı` definita: f 0 : D0 ! R; tale che x 7! f 0 ðxÞ

251

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

ESEMPIO

Derivata di una funzione in base alla definizione

Sia f ðxÞ ¼ x 2 ; determiniamo la funzione derivata di f . Calcoliamo la derivata della funzione f nel generico punto di ascissa x 2 R; abbiamo: lim h!0

f ðx þ hÞ
f ðxÞ ¼ h

Limite [5.1] con x0 ¼ x

¼ lim

ðx þ hÞ2
x2 ¼ h

¼ lim

x2 þ h2 þ 2hx
x2 ¼ lim ðh þ 2xÞ ¼ 2x h!0 h

h!0

h!0

In questo caso f ðxÞ ¼ x 2

Dunque la funzione e` derivabile per ogni x 2 R e risulta: f 0 ðxÞ ¼ 2x. Altre notazioni Per indicare la derivata seconda di f , oltre a f 00 , sono in uso anche le seguenti notazioni: D2 f ;

d2 f ; f dx2



Analogamente, per la derivata n-esima: Dn f ;

dn f dxn

Una volta calcolata la funzione f 0 , derivata di una funzione f , possiamo determinare l’insieme dove f 0 e` a sua volta derivabile e determinare la derivata di f 0 , che si chiama derivata seconda di f e che indicheremo con il simbolo f 00 . In modo del tutto analogo potremo definire la derivata di ordine n, o derivata n-esima, che indicheremo con il simbolo f ðnÞ . Una funzione f si dice:  derivabile due volte in x0 se f e f 0 sono derivabili in x0 ;  derivabile tre volte in x0 se f , f 0 ed f 00 sono derivabili in x0 ;  derivabile n volte in x0 se f , f 0 , :::, f ðn
1Þ sono derivabili in x0 .

Prova tu

ESERCIZI a p. 282

1. Calcola, in base alla definizione, la derivata della funzione f ðxÞ ¼ ex nel punto x0 ¼ 0. 2. La funzione f ðxÞ ¼ jx
1j e` continua nel punto x0 ¼ 1? E` derivabile in tale punto? 3. Determina, in base alla definizione, la derivata della funzione f ðxÞ ¼ x3 .

2. Derivate delle funzioni elementari Il calcolo delle derivate non viene generalmente effettuato tramite la definizione (come limite del rapporto incrementale), perche´ sarebbe troppo laborioso. Si ricorre invece alla tabella delle derivate delle funzioni elementari, cui giungeremo alla fine di questo paragrafo, e ad alcune regole di derivazione, che saranno oggetto dei prossimi paragrafi.

La derivata delle funzioni costanti e delle funzioni potenza TEOREMA 5.2

Deri vata di una f unzi one costante

La funzione costante f ðxÞ ¼ c, con c 2 R, e` derivabile per ogni x 2 R e la sua derivata e` la funzione nulla: f 0 ðxÞ ¼ 0 DIMOSTRAZIONE

In base alla definizione, la derivata della funzione costante e` per ogni x 2 R: f 0 ðxÞ ¼ lim h!0

252

f ðx þ hÞ
f ðxÞ c
c ¼ lim ¼ lim 0 ¼ 0 h!0 h!0 h h

TEOREMA 5.3

La funzione identica f ðxÞ ¼ x e` derivabile per ogni x 2 R e la sua derivata e` la funzione costante uguale a 1:

La derivata

f 0 ðxÞ ¼ 1 DIMOSTRAZIONE

In base alla definizione, la derivata della funzione identica e` per ogni x 2 R: f 0 ðxÞ ¼ lim h!0

Unita` 5

Derivata della funzione identica

f ðx þ hÞ
f ðxÞ ðx þ hÞ
x ¼ lim ¼ lim 1 ¼ 1 h!0 h!0 h h

Il teorema 5.3 puo` essere interpretato come teorema che fornisce la derivata della funzione f ðxÞ ¼ xn nel caso particolare in cui n ¼ 1. Studiamo ora le derivate delle funzioni potenza f ðxÞ ¼ xn , con n > 1. Derivata di una f unzi o n e p o t e n z a a es p o n e n t e i n t e r o p o s i t i v o

TEOREMA 5.4

La funzione potenza f ðxÞ ¼ x , con n 2 N e n > 1, e` derivabile per ogni x 2 R e risulta: n

f 0 ðxÞ ¼ n x n
1 DIMOSTRAZIONE

 Supponiamo inizialmente x 6¼ 0: f 0 ðxÞ ¼ lim h!0

¼ lim h!0

f ðx þ hÞ
f ðxÞ ¼ h

ðx þ hÞn
xn ¼ h  1þ

¼ lim x  n

h!0

h x h

n
1 ¼

 ¼ lim xn  h!0

1  x

x n
1

Definizione di derivata nel punto x

1þ

h x h x

Raccogliendo x n al numeratore; questo passaggio e` lecito poiche´ stiamo supponendo x 6¼ 0

n
1 ¼ nxn
1

1 per ricondurci x al limite notevole [2.27] (teorema 2.12) Moltiplicando e dividendo per

!n

 Nel caso in cui sia x ¼ 0, in base alla definizione: f 0 ð0Þ ¼ lim h!0

f ðhÞ
f ð0Þ hn ¼ lim hn
1 ¼ 0 Stiamo supponendo n > 1, ¼ lim h!0 h h!0 h quindi n
1 > 0

 La formula f 0 ðxÞ ¼ nxn
1 , pur essendo stata ricavata nell’ipotesi x 6¼ 0, fornisce anche per x ¼ 0 il valore corretto della derivata ð f 0 ð0Þ ¼ 0Þ: vale quindi per ogni x 2 R.

ESEMPI

a. La derivata di f ðxÞ ¼ x2 e` f 0 ðxÞ ¼ 2x2
1 , cioe` f 0 ðxÞ ¼ 2x. b. La derivata di f ðxÞ ¼ x3 e` f 0 ðxÞ ¼ 3x3
1 , cioe` f 0 ðxÞ ¼ 3x2 . Con una dimostrazione simile a quella del teorema 5.4 si potrebbe dimostrare il seguente teorema, che estende la regola di derivazione delle funzioni potenza anche al caso in cui l’esponente non sia un numero naturale. 253

D e r i v a t a d i u n a f u n z i o n e potenza a esponente reale

Attenzione!

Per ogni valore di x per cui la funzione potenza f ðxÞ ¼ x
, con
2 R, e` derivabile risulta:

Una funzione potenza puo` non essere derivabile in x ¼ 0; per esempio, puoi verificare in base alla definizione che pffiffiffi 1 f ðxÞ ¼ 3 x ¼ x 3 non e` derivabile in x ¼ 0 poiche´ il limite per h ! 0 del rapporto incrementale e` þ1. Per questa ragione l’insieme dei valori di x per cui una funzione potenza e` derivabile puo` variare: per esempio, e` R per la funzione f ðxÞ ¼ x4 , e` Rp
ffiffiffif0g per la funzione f ðxÞ ¼ 3 x, e` Rþ per pffiffila ffi funzione f ðxÞ ¼ x.

f 0 ðxÞ ¼
x

1

La formula fornita dal teorema 5.5 permette di calcolare le derivate di tutte le funzioni che possono essere scritte sotto forma di potenza, quali per esempio: pffiffiffi x

p ffiffiffi 3 x

1 x

1 x2

Derivate di funzioni potenza

ESEMPI

Calcoliamo la derivata delle seguenti funzioni: 1 x

a. f ðxÞ ¼

b.f ðxÞ ¼

pffiffiffi x

1 ffiffiffi c. f ðxÞ ¼ p 3 x

a. Osserviamo che f ðxÞ ¼ x
1 , dunque: f 0 ðxÞ ¼
1  x
1
1 ¼
x
2 ¼

x

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

TEOREMA 5.5



1

1 x2


¼
1

1

b. Osserviamo che f ðxÞ ¼ x 2 , dunque: f 0 ðxÞ ¼

1 1 1 1 1  x 2
1 ¼ x
2 ¼ pffiffiffi 2 2 2 x


¼

1 2


x

1

c. Osserviamo che f ðxÞ ¼ x
3 , dunque: 1

f 0 ðxÞ ¼


1
1
1 1 1 4 ffiffiffiffiffi  x 3 ¼
x
3 ¼
p 3 3 3 3 x4


¼


1 3


x

1

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche TEOREMA 5.6

Derivata della funzione esponenziale

La funzione esponenziale f ðxÞ ¼ a x , con a > 0 e a 6¼ 1, e` derivabile per ogni x 2 R e la sua derivata e` la funzione f 0 ðxÞ ¼ a x ln a. DIMOSTRAZIONE

f ðx þ hÞ
f ðxÞ ¼ h

Definizione di derivata

¼ lim

axþh
ax ¼ h

f ðxÞ ¼ ax

¼ lim

ax ðah
1Þ ¼ h

Raccogliendo ax al numeratore

f 0 ðxÞ ¼ lim h!0

h!0

h!0

¼ ax  lim h!0

TEOREMA 5.7

ah
1 ¼ ax  ln a h

Limite notevole [2.26], vedi teorema 2.12

Derivata della funzione logaritmica

La funzione logaritmica f ðxÞ ¼ loga x, con a > 0 e a 6¼ 1, e` derivabile per ogni x > 0 e la sua derivata e` la funzione f 0 ðxÞ ¼ 254

1 1  . x ln a

Unita` 5

DIMOSTRAZIONE

f 0 ðxÞ ¼ lim h!0

f ðx þ hÞ
f ðxÞ ¼ h

Definizione di derivata

f ðxÞ ¼ loga x

h!0

!

¼

La derivata

loga ðx þ hÞ
loga x ¼ h   h loga 1 þ x ¼ lim ¼ h!0 h   h loga 1 þ 1 x ¼ ¼ lim  h h!0 x x ¼ lim

Ricorda che loga b
loga c ¼ loga

b c

Moltiplicando e dividendo il denominatore per x, in modo da ricondurci al limite notevole [2.25] (teorema 2.11)

1 ln a

1 1  x ln a

Il limite e` stato calcolato eseguendo implicitamente h la sostituzione ¼ t x

ESEMPI

a. La derivata di f ðxÞ ¼ 2x e` f 0 ðxÞ ¼ 2x ln 2. b. La derivata di f ðxÞ ¼ log3 x e` f 0 ðxÞ ¼

Osserva

1 . x ln 3

Dai teoremi 5.6 e 5.7 seguono, nel caso particolare in cui a ¼ e, le formule: D ðex Þ ¼ ex

D ðln xÞ ¼

1 x

La semplicita` della derivata della funzione esponenziale e della funzione logaritmica quando la base e` il numero e e` il motivo per cui in analisi tale numero e` la base privilegiata di esponenziali e logaritmi.

Le derivate delle funzioni seno e coseno Concludiamo questo paragrafo presentando le derivate delle funzioni seno e coseno (le derivate della funzione tangente e delle funzioni goniometriche inverse saranno ricavate piu` avanti). Derivata della funzione seno

TEOREMA 5.8

La funzione seno f ðxÞ ¼ sin x e` derivabile per ogni x 2 R e la sua derivata e` la funzione f 0 ðxÞ ¼ cos x. DIMOSTRAZIONE

sin ðx þ hÞ
sin x ¼ h

Definizione di derivata

¼ lim

sin x cos h þ cos x sin h
sin x ¼ h

Formula di addizione del seno

¼ lim

sin x ðcos h
1Þ þ cos x sin h ¼ h

Raccogliendo parzialmente sin x

f 0 ðxÞ ¼ lim h!0

h!0

h!0

  cos h
1 sin h ¼ lim sin x  þ cos x  ¼ h!0 h h ¼ cos x

!0

Ricorda i limiti notevoli del teorema 2.9

!1

In modo del tutto analogo, si potrebbe dimostrare il seguente teorema. 255

Derivata della funzione coseno

La funzione coseno f ðxÞ ¼ cos x e` derivabile per ogni x 2 R e la sua derivata e` la funzione f 0 ðxÞ ¼
sin x. SINTESI

Derivate di funzioni elementari  Riassumiamo anzitutto nella seguente tabella tutte le formule che derivano dai teoremi che abbiamo dimostrato. Funzione

Derivata

c (costante), c 2 R

0

x

1

x
,
2 R


x

1

loga x, a x,

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

TEOREMA 5.9

1 x ln a

a > 0 ^ a 6¼ 1

a > 0 ^ a 6¼ 1

a x ln a

sin x

cos x

cos x


sin x

 Vale la pena di mettere in evidenza alcuni casi particolari che si utilizzano di frequente. Funzione

Derivata

x2

2x

1 x pffiffiffi x




1 x2

1 pffiffiffi 2 x

ln x

1 x

ex

ex

Prova tu

ESERCIZI a p. 285

Calcola la derivata delle seguenti funzioni: pffiffiffi 1 b. f ðxÞ ¼ x x c. f ðxÞ ¼ 2 a. f ðxÞ ¼ x10 x

1 d. f ðxÞ ¼ pffiffiffi x 

a. f 0 ðxÞ ¼ 10x9 ; b. f 0 ðxÞ ¼

3 pffiffiffi 2 1 x; c. f 0 ðxÞ ¼
3 ; d. f 0 ðxÞ ¼
pffiffiffi 2 x 2x x



3. Algebra delle derivate In questo paragrafo esaminiamo le relazioni tra l’operazione di derivazione e le operazioni algebriche tra funzioni. L’obiettivo sara` quello di stabilire delle regole di derivazione che, note le derivate di due funzioni f e g, ci consentano di dedurre le derivate delle funzioni: f g 256

f g

f g

Unita` 5

La linearita` della derivata L’operazione di derivazione si comporta «bene» rispetto all’addizione di due funzioni e alla moltiplicazione per una costante. Vale infatti il seguente teorema. TEOREMA 5.10

Siano f e g due funzioni derivabili in x; allora anche la funzione f þ g e` derivabile in x e vale la formula: D½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ þ g0 ðxÞ

La derivata

` della derivata Linearita

[5.2]

Inoltre, se c e` una costante, anche la funzione c  f e` derivabile in x e risulta: D½c  f ðxÞ ¼ c  f 0 ðxÞ

[5.3]

DIMOSTRAZIONE

 Dimostriamo la [5.2]. D½ f ðxÞ þ g ðxÞ ¼ ¼ lim

f ðx þ hÞ þ gðx þ hÞ
½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ h

Definizione di derivata

¼ lim

½ f ðx þ hÞ
f ðxÞ þ ½ gðx þ hÞ
gðxÞ ¼ h

Riordinando i termini

h!0

h!0

  f ðx þ hÞ
f ðxÞ gðx þ hÞ
gðxÞ ¼ lim þ ¼ h!0 h h Osserviamo ora che i due addendi di quest’ultimo limite, grazie all’ipotesi che f e g siano derivabili in x, hanno limiti finiti per h ! 0, uguali rispettivamente a f 0 ðxÞ e g 0 ðxÞ. Possiamo pertanto applicare il teorema sul limite di una somma e concludere la catena di uguaglianze come segue: ¼ lim h!0

f ðx þ hÞ
f ðxÞ gðx þ hÞ
gðxÞ þ lim ¼ f 0 ðxÞ þ g 0 ðxÞ h!0 h h

 La dimostrazione della [5.3] e` pressoche´ immediata: D[c  f ðxÞ ¼ lim h!0

c  f ðx þ hÞ
c  f ðxÞ f ðx þ hÞ
f ðxÞ ¼ c lim ¼ c  f 0 ðxÞ h!0 h h

Conseguenza del teorema 5.10 e` che la derivata della combinazione lineare di funzioni derivabili e` la combinazione lineare delle derivate; cio` si esprime dicendo che l’operazione di derivazione e` lineare. ESEMPI

Derivate di combinazioni lineari di funzioni elementari

Calcoliamo la derivata delle seguenti funzioni: a. y ¼ x 3 þ 2 sin x

b. y ¼

1
ln x x

Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proprieta` di linearita` della derivata.  a. y 0 ¼ Dðx3 þ 2 sin xÞ ¼ D x3 þ 2  Dðsin xÞ ¼ 3x2 þ 2 cos x linearita` della derivata

b. y 0 ¼ D



1
ln x x

 ¼D

derivate delle funzioni elementari

  1 1 1
Dðln xÞ ¼
2
x x x

linearita` della derivata

derivate delle funzioni elementari

257

Rispetto al prodotto di funzioni l’operazione di derivazione non si comporta bene come rispetto alla somma: la derivata del prodotto di due funzioni, infatti, non e` il prodotto delle derivate dei due fattori, come ci si puo` rendere conto considerando le due funzioni f ðxÞ ¼ gðxÞ ¼ x. Abbiamo infatti f ðxÞ  gðxÞ ¼ x2 , quindi: ½ f ðxÞ  gðxÞ0 ¼ ðx2 Þ0 ¼ 2x

mentre

f 0 ðxÞ  g 0 ðxÞ ¼ 1  1 ¼ 1

Il legame esistente fra la derivata del prodotto e le derivate dei fattori e` espresso nel seguente teorema. TEOREMA 5.11

Derivata del prodotto

Siano f , g due funzioni derivabili in x; allora la funzione f  g e` derivabile in x e vale la formula: D½ f ðxÞ  gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  gðxÞ þ f ðxÞ  g0 ðxÞ

[5.4]

DIMOSTRAZIONE

Per definizione:

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

La derivata del prodotto di due funzioni

D½ f ðxÞ  gðxÞ ¼ lim h!0

f ðx þ hÞ  gðx þ hÞ
f ðxÞ  gðxÞ ¼ h

Sottraiamo e sommiamo al numeratore il termine gðx þ hÞ  f ðxÞ ed eseguiamo opportuni raccoglimenti: termine sottratto e aggiunto

¼ lim

f ðx þ hÞ  gðx þ hÞ
gðx þ hÞ  f ðxÞ þ gðx þ hÞ  f ðxÞ
f ðxÞ  gðxÞ ¼ h

¼ lim

gðx þ hÞ  ½f ðx þ hÞ
f ðxÞ þ f ðxÞ  ½gðx þ hÞ
gðxÞ ¼ h

h!0

h!0



 f ðx þ hÞ
f ðxÞ gðx þ hÞ
gðxÞ ¼ lim gðx þ hÞ  þ f ðxÞ  ¼ h!0 h h Osserviamo ora che i fattori di entrambi gli addendi hanno tutti limiti finiti per h ! 0, precisamente: Ricorda

 gðx þ hÞ ! gðxÞ 2 R perche´ g e` continua in x (essendo derivabile)

Se g e` una funzione continua, l’operazione di limite puo` essere «portata dentro» al simbolo di funzione g, quindi:



f ðx þ hÞ
f ðxÞ ! f 0 ðxÞ 2 R perche´ f e` derivabile in x h



gðx þ hÞ
gðxÞ ! g 0 ðxÞ 2 R perche´ g e` derivabile in x h

lim gðx þ hÞ ¼ h!0   ¼ g limðx þ hÞ ¼ gðxÞ h!0

Possiamo allora applicare il teorema sul limite di una somma e il teorema sul limite di un prodotto e continuare la catena di uguaglianze come segue: ¼ lim gðx þ hÞ  lim h!0

h!0

f ðx þ hÞ
f ðxÞ gðx þ hÞ
gðxÞ þ lim f ðxÞ  lim ¼ h!0 h!0 h h

¼ gðxÞ  f 0 ðxÞ þ f ðxÞ  g 0 ðxÞ

Nella pratica il teorema 5.11 si utilizza secondo il seguente «slogan»: «la derivata del prodotto di due funzioni e` uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda, piu` la prima funzione moltiplicata per la derivata della seconda». 258

Unita` 5

ESEMPI

Derivata del prodotto di funzioni

a. y 0 ¼

3x2



ln x þ

derivata seconda della prima funzione funzione, cioe` di x 3

b. y 0 ¼

cos x



prima funzione

pffiffiffi x

þ

derivata seconda della prima funzione funzione, cioe` di sin x

1 x



x3

La derivata

Calcoliamo la derivata delle seguenti funzioni: pffiffiffi a. y ¼ x 3 ln x b. y ¼ ðsin xÞ x ¼ 3x2 ln x þ x2

derivata della seconda funzione, cioe` di ln x

sin x  prima funzione

1 pffiffiffi 2 x

¼

pffiffiffi sin x x cos x þ pffiffiffi 2 x

derivata della seconda pffiffiffi funzione, cioe` di x

La derivata del quoziente di due funzioni Anche la derivata del quoziente di due funzioni non e` il quoziente delle derivate (sai trovare un controesempio?). Per giungere a scoprire il legame tra le derivate di f e di g e la derivata di

f dimostriamo preliminarmente il seguente teorema, g

che fornisce la regola per calcolare la derivata della funzione reciproca. Derivata della funzione reciproca

Sia f una funzione derivabile in x; allora la funzione per cui f ðxÞ 6¼ 0 e vale la formula:   1 f 0 ðxÞ D ¼
2 f ðxÞ f ðxÞ

TEOREMA 5.12

1 e` derivabile per tutti i valori di x f

[5.5]

DIMOSTRAZIONE

1 1  
1 f ðx þ hÞ f ðxÞ D ¼ lim ¼ h!0 f ðxÞ h

Definizione di derivata

f ðxÞ
f ðx þ hÞ   f ðx þ hÞ
f ðxÞ 1 f ðxÞ  f ðx þ hÞ ¼ lim ¼ ¼ lim
 h!0 h!0 h f ðxÞ  f ðx þ hÞ h Osserviamo ora che i due fattori dell’ultimo limite scritto hanno entrambi limiti finiti per h ! 0, precisamente: 


f ðx þ hÞ
f ðxÞ !
f 0 ðxÞ 2 R h

1 1 2R ! 2 f ðxÞ  f ðx þ hÞ f ðxÞ

Poiche´ f e` derivabile in x

f e` continua in x (essendo ivi derivabile), quindi f ðx þ hÞ ! f ðxÞ per h ! 0, inoltre f ðxÞ 6¼ 0

Possiamo allora applicare il teorema sul limite di un prodotto e continuare la catena di uguaglianze come segue:   f ðx þ hÞ
f ðxÞ 1 1 f 0 ðxÞ ¼
2  lim ¼
f 0 ðxÞ  2 ¼ lim
h!0 h!0 f ðxÞ  f ðx þ hÞ h f ðxÞ f ðxÞ 259

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

ESEMPIO

Derivata della funzione reciproca 1 . x3 þ 1

Calcoliamo la derivata della funzione y ¼

In base al teorema precedente, abbiamo: derivata del denominatore

Dðx3 þ 1Þ

y0 ¼


ðx3 þ 1Þ

2

¼


3x2 ðx3 þ 1Þ2

quadrato del denominatore

Possiamo ora facilmente dimostrare il teorema sul quoziente. TEOREMA 5.13

Deri vata del quozi en te

f Siano f e g due funzioni derivabili in x; allora la funzione e` derivabile per tutti valori g di x per cui gðxÞ 6¼ 0 e risulta:   f ðxÞ f 0 ðxÞ  gðxÞ
f ðxÞ  g0 ðxÞ ¼ D gðxÞ g2 ðxÞ

[5.6]

DIMOSTRAZIONE

La funzione

f ðxÞ puo` essere vista come il prodotto di due funzioni: gðxÞ

f ðxÞ 1 ¼ f ðxÞ  gðxÞ gðxÞ Pertanto possiamo dimostrare il teorema utilizzando il teorema sulla derivata del prodotto e il teorema sulla derivata del reciproco. Abbiamo:   f ðxÞ 1 ¼ D f ðxÞ  ¼ D gðxÞ gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ 

  1 1 þ f ðxÞ  D ¼ gðxÞ gðxÞ

¼ f 0 ðxÞ 

  1 g 0 ðxÞ ¼ þ f ðxÞ 
2 gðxÞ g ðxÞ

¼

Teorema 5.11

Teorema 5.12

f 0 ðxÞ f ðxÞ  g 0 ðxÞ f 0 ðxÞ  gðxÞ
f ðxÞ  g 0 ðxÞ ¼
2 gðxÞ g ðxÞ g 2 ðxÞ

ESEMPIO

Derivata di un quoziente x3 .
1

Calcoliamo la derivata della funzione y ¼

x2

Applichiamo la regola di derivazione del quoziente: derivata del numeratore

y0 ¼

Dðx3 Þ

denominatore



ðx2
1Þ

numeratore

derivata del denominatore



Dðx2
1Þ




x3

ðx2
1Þ2 quadrato del denominatore

260

¼

Formula [5.6]

¼

ðx2
1Þ2 x2 ð3x2
3
2x2 Þ ðx2
1Þ2

¼

¼

x2 ðx2
3Þ

Calcolando le derivate

Raccogliendo x 2

La derivata

¼

3x2  ðx2
1Þ
x3  2x

Unita` 5

¼

E` sempre bene cercare di scrivere la derivata scomposta in fattori

ðx2
1Þ2

Grazie alla formula sulla derivata del quoziente, possiamo determinare le derivate della funzione tangente e della funzione cotangente. Si ricava che: D tan x ¼

1 ¼ 1 þ tan2 x cos2 x

D cot x ¼


1 ¼
ð1 þ cot2 xÞ sin2 x

Verifichiamo come esempio la formula relativa alla tangente e lasciamo a te per esercizio la verifica della formula relativa alla cotangente. ESEMPIO

Verifica della formula relativa alla tangente

sin x Poiche´ tan x ¼ , per il teorema 5.13 abbiamo: cos x   sin x cos x  cos x
sin x  ð
sin xÞ cos2 x þ sin2 x ¼ ¼ D tan x ¼ D cos x cos2 x cos2 x L’espressione ottenuta si puo` esprimere nelle due forme equivalenti: 1 o 1 þ tan2 x cos2 x

Prova tu

ESERCIZI a p. 287

Calcola la derivata delle seguenti funzioni. 1. y ¼ 3x4 þ 4x2

[ y 0 ¼ 12x3 þ 8x]

2. y ¼ x ln x

0

2

3. y ¼

1 x2 þ 1

4. y ¼

x2
2x x2
1

[ y ¼ xð2 ln x þ 1Þ] " # 2x y0 ¼
ðx2 þ 1Þ2 " # 2ðx2
x þ 1Þ 0 y ¼ ðx2
1Þ2

4. Derivata della funzione composta e della funzione inversa In questo paragrafo studieremo le relazioni tra l’operazione di derivazione e le operazioni di composizione e inversione di funzioni.

Il teorema di derivazione delle funzioni composte Consideriamo la funzione: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ x2 þ 1 261

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

Le regole di derivazione che abbiamo imparato finora non consentono di calcolarne la derivata. Possiamo tuttavia osservare che la funzione puo` essere vista come funzione composta, f  g, delle due funzioni: pffiffiffi f ðuÞ ¼ u e gðxÞ ¼ x2 þ 1 e che sappiamo calcolare le derivate di f e di g. Per calcolare la derivata della funzione originaria basterebbe allora conoscere quali relazioni sussistono tra la derivata della funzione composta, f  g, e le derivate delle funzioni componenti, f e g. Tali relazioni sono espresse nel prossimo teorema, che ci limitiamo a enunciare. TEOREMA 5.14

Deri vata di una f unzi one composta

Altre notazioni

Sia g una funzione derivabile in x e f una funzione derivabile in gðxÞ; allora la funzione composta f  g e` derivabile in x e vale la formula:

Se utilizziamo la notazione di Leibniz per le derivate, ponendo:

D½f ðgðxÞÞ ¼ f 0 ðgðxÞÞ  g0 ðxÞ

[5.7]

y ¼ f ðuÞ e u ¼ gðxÞ possiamo riscrivere la [5.7] nella forma: dy df du ¼  dx du dx

Nella pratica la formula [5.7] si applica secondo lo schema indicato nelle note in rosso qui di seguito: f0

D½ f ðgðxÞÞ ¼ derivata della funzione f  g

ðgðxÞÞ

g 0 ðxÞ



derivata della valutata sulla derivata della funzione funzione funzione «esterna» «interna» interna

Derivate di una funzione composta

ESEMPIO

Calcoliamo la derivata della funzione y ¼ sin ðx 2 þ 1Þ. y 0 ¼ D½

sin

funzione «esterna»

ðx2 þ 1Þ ¼ funzione «interna»

cos

ðx2 þ 1Þ

derivata della funzione «esterna»

valutata sulla funzione «interna»



2x derivata della funzione «interna»

Ragionando similmente a quest’ultimo esempio, sulla base del teorema di derivazione della funzione composta si possono ottenere le seguenti regole di derivazione, che generalizzano le regole di derivazione delle funzioni elementari nel caso in cui l’argomento sia diverso da x. Generalizzazione delle formule delle derivate delle funzioni elementari D½f ðxÞ
¼
 ½f ðxÞ

1  f 0 ðxÞ D loga f ðxÞ ¼ D ln f ðxÞ ¼

f 0 ðxÞ 1 f ðxÞ ln a

[5.8]

a > 0 ^ a 6¼ 1

[5.9]

f 0 ðxÞ f ðxÞ

[5.10]

D a f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  a f ðxÞ ln a

a > 0 ^ a 6¼ 1

[5.11]

D e f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  e f ðxÞ

[5.12]

D sin f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ cos f ðxÞ

[5.13]

D cos f ðxÞ ¼
f 0 ðxÞ sin f ðxÞ

[5.14]

D tan f ðxÞ ¼

f 0 ðxÞ cos2 f ðxÞ

D cot f ðxÞ ¼


262


2R

f 0 ðxÞ sin2 f ðxÞ

[5.15]

[5.16]

Unita` 5

ESEMPIO

Derivate di funzioni composte

Calcoliamo la derivata delle seguenti funzioni: b. y ¼ e sin 2x

c. y ¼ tan2 ð1 þ x 2 Þ

La derivata

a. y ¼ ðx 3 þ 1Þ4

a. Dobbiamo derivare la funzione: y ¼ ½f ðxÞ4 essendo f ðxÞ ¼ x3 þ 1 Abbiamo: y 0 ¼ 4½f ðxÞ4
1 f 0 ðxÞ ¼ 3

Per la [5.8] 3

¼ 4ðx þ 1Þ  3x ¼ 12x ðx þ 1Þ 3

2

2

3

b. Dobbiamo derivare la funzione: y ¼ e f ðxÞ

essendo f ðxÞ ¼ sin 2x

Abbiamo: y 0 ¼ f 0 ðxÞ  e f ðxÞ ¼ 0 sin 2x

¼ ½sinð2xÞ e

Per la [5.12]

¼

¼ 2 cos 2x  e

sin 2x

Per la [5.13]

c. Dobbiamo derivare la funzione: y ¼ ½ f ðxÞ2

essendo f ðxÞ ¼ tan ð1 þ x2 Þ

Abbiamo: y 0 ¼ 2  ½ f ðxÞ2
1  f 0 ðxÞ ¼

Per la [5.8]

0

¼ 2  f ðxÞ  f ðxÞ ¼ ¼ 2 tan ð1 þ x2 Þ  ½tan ð1 þ x2 Þ0 ¼ 2x ¼ 2 tan ð1 þ x2 Þ  2 cos ð1 þ x2 Þ

Per la [5.15]

Derivata della funzione inversa Concludiamo la presentazione delle regole di derivazione occupandoci dei legami tra la derivata di una funzione e quella della sua inversa. Il piu` importante risultato al riguardo e` espresso dal seguente teorema. Derivata della funzione inversa

TEOREMA 5.15

Sia f una funzione continua e invertibile in un intervallo I. Se f e` derivabile in un punto x 2 I e f 0 ðxÞ 6¼ 0, allora la funzione inversa g ¼ f
1 e` derivabile nel punto y ¼ f ðxÞ e vale la formula: g0 ðyÞ ¼

1 f 0 ðxÞ

[5.17]

DIMOSTRAZIONE

Per semplicita` ci limitiamo a effettuare la dimostrazione ammettendo che la funzione g sia derivabile in y. Supposta verificata questa condizione, osserviamo che, essendo g la funzione inversa di f , deve valere l’identita`: gðf ðxÞÞ ¼ x Derivando i due membri di questa equazione (al primo membro occorre applicare la regola di derivazione della funzione composta), otteniamo: g 0 ðf ðxÞÞ  f 0 ðxÞ ¼ 1 Poiche´ per ipotesi y ¼ f ðxÞ e f 0 ðxÞ 6¼ 0, ne segue: g 0 ðyÞ ¼

1 f 0 ðxÞ 263

Ricorda Due rette simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante hanno coefficienti angolari reciproci (sai giustificare perche´?).

a. La [5.17] ha una semplice interpretazione geometrica, che ne chiarisce il significato. Sappiamo che i grafici delle due funzioni f e g ¼ f
1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (fig. 5.7). Tale simmetria si conserva anche tra la retta tangente al grafico della funzione f nel punto di ascissa x e la retta tangente al grafico della funzione g nel punto di ascissa y (essendo y ¼ f ðxÞÞ; pertanto i coefficienti angolari delle due rette tangenti, uguali a f 0 ðxÞ e g 0 ðyÞ, devono essere reciproci, ossia: g 0 ðyÞ ¼

1 f 0 ðxÞ

b. Rifletti sul significato della [5.17]: 1 ¼ g 0 ð yÞ f 0 ðxÞ derivata dell’inversa di una funzione f nel punto y

reciproca della derivata di f valutata sulla controimmagine di y nella funzione f

Coefficiente angolare uguale a g'( y)

y

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

E` importante fare alcune osservazioni.

y=x ( y, x)

y = g (x)

(x, y) O

Figura 5.7 Interpretazione grafica del

Coefficiente angolare uguale a f '(x)

y = f (x)

x

legame tra derivata di una funzione e derivata della funzione inversa.

L’applicazione della [5.17] e` quindi subordinata al fatto di saper determinare la controimmagine di y nella f . ESEMPIO

Applicazione del teorema della funzione inversa

Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ ln x, giustifichiamo perche´ e` invertibile e, detta gðxÞ ¼ f
1 ðxÞ la sua inversa, calcoliamo g0 ð2Þ.  La funzione f ðxÞ ¼ 2x þ ln x e` la somma di due funzioni che sono strettamente crescenti; ne segue che e` strettamente crescente e percio` invertibile.  Per calcolare g 0 ð2Þ dobbiamo anzitutto determinare la controimmagine di 2 nella funzione f , ossia risolvere l’equazione: 2x þ ln x ¼ 2 Rifletti Siamo riusciti a determinare la derivata di g in un punto sebbene sia impossibile scrivere esplicitamente l’espressione analitica della funzione g (dal momento che l’equazione y ¼ 2x þ ln x non e` risolvibile algebricamente).

264

Questa equazione non e` risolvibile algebricamente ma e` immediato riconoscere (eventualmente tracciando i grafici delle due funzioni y ¼ ln x e y ¼ 2
2xÞ che la soluzione e` x ¼ 1. Pertanto la controimmagine di 2 nella f e` 1.  Ora conosciamo tutti gli elementi per poter applicare la formula [5.17]: 1 g 0 ð2Þ ¼ 0 f ð1Þ 1 1 Poiche´ f 0 ðxÞ ¼ 2 þ e, quindi, f 0 ð1Þ ¼ 3, concludiamo che g 0 ð2Þ ¼ . x 3

Unita` 5

Derivate delle inverse delle funzioni goniometriche

g 0 ðyÞ ¼

1 f 0 ðxÞ

¼

1 1 1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 cos x 1
y2 1
sin x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Nella formula cos x ¼  1
sin2 x non va preso in considerazione il segno meno poiche´ stiamo   supponendo
 x  , 2 2 quindi cos x  0

La derivata

Il teorema di derivazione della funzione inversa consente di determinare le derivate delle funzioni goniometriche inverse. Cominciamo con il ricavare la derivata della funzione arcoseno. Consideriamo la funzione f , restrizione della funzione goniometrica seno all’inh  i tervallo
, e, per ogni y 2 ð
1, 1Þ, sia x la controimmagine di y nella f ; al2 2 lora, detta g la funzione inversa di f , per il teorema 5.15: [5.18]

x `e la controimmagine di y nella restrizione della funzione seno, quindi sin x ¼ y

D’altro canto la funzione g, per come e` stata definita, non e` altro che la funzione arcoseno, quindi la [5.18] puo` essere riscritta in modo equivalente nella seguente forma: 1 D arcsin y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
y2

8y 2 ð
1, 1Þ

La lettera y con cui e` qui indicata la variabile indipendente della funzione arcoseno puo` naturalmente essere sostituita con qualsiasi altra; utilizzeremo come di consueto la lettera x e scriveremo: 1 D arcsin x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2

8x 2 ð
1, 1Þ

In modo del tutto analogo si possono dimostrare le seguenti formule. 1 D arccos x ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2 D arctan x ¼

1 1 þ x2

D arccot x ¼


1 1 þ x2

8x 2 ð
1, 1Þ

8x 2 R

8x 2 R

Prova tu 1. Calcola la derivata delle seguenti funzioni.   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x5 a. y ¼ x6 þ 1 y 0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x6 þ 1   3x2 y0 ¼ b. y ¼ tan ðx3 Þ cos2 ðx3 Þ   cos x
sin x c. y ¼ ln ðsin x þ cos xÞ y0 ¼ sin x þ cos x

ESERCIZI a p. 292  d. y ¼ arcsin ð2xÞ

2 y0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
4x2

e. y ¼ x arctan ð1 þ x2 Þ  y0 ¼ arctan ðx2 þ 1Þ þ

2x2 4 x þ 2x2 þ 2





2. Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ x þ arctan x þ 1 e` strettamente crescente e percio` invertibile. Detta g l’inversa  di  1 f , calcola g 0 ð1Þ. 2

265

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

COLLEGHIAMO I CONCETTI

Il calcolo delle derivate

3Con le regole di derivazione della funzione composta e della funzione inversa abbiamo concluso la presentazione delle regole di calcolo delle derivate. Riassumiamo pertanto nelle seguenti tabelle tutte le formule e le regole di derivazione che abbiamo incontrato; successivamente riflettiamo su alcuni aspetti operativi. Derivate fondamentali

Formule generalizzate ottenute in base al teorema di derivazione delle funzioni composte

Dc ¼ 0 ðc 2 RÞ, Dx ¼ 1, Dx
¼
x

1

D½f ðxÞ
¼
½f ðxÞ

1  f 0 ðxÞ

D sin x ¼ cos x

D sin f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  cos f ðxÞ

D cos x ¼
sin x

D cos f ðxÞ ¼
f 0 ðxÞ sin f ðxÞ

D tan x ¼ 1 þ tan2 x ¼ D loga x ¼ D ln x ¼

1 cos2 x

1 1  x ln a

1 x

D tan f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞð1 þ tan2 f ðxÞÞ ¼ D loga f ðxÞ ¼ D ln f ðxÞ ¼

f 0 ðxÞ 1  f ðxÞ ln a

f 0 ðxÞ f ðxÞ

D ax ¼ ax  ln a

D a f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  a f ðxÞ  ln a

D ex ¼ ex

D e f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  e f ðxÞ

1 D arcsin x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2

f 0 ðxÞ D arcsin f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
f 2 ðxÞ

1 D arccos x ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2

f 0 ðxÞ D arccos x ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
f 2 ðxÞ

D arctan x ¼

1 1 þ x2

f 0 ðxÞ cos2 f ðxÞ

D arctan f ðxÞ ¼

f 0 ðxÞ 1 þ f 2 ðxÞ

Principali regole di derivazione D½f ðxÞ þ gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ þ g0 ðxÞ D½c  f ðxÞ ¼ c  f 0 ðxÞ D½f ðxÞ  gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  gðxÞ þ f ðxÞ  g0 ðxÞ D

1 f 0 ðxÞ ¼
f ðxÞ ½f ðxÞ2

D

f ðxÞ f 0 ðxÞ  gðxÞ
f ðxÞ  g0 ðxÞ ¼ gðxÞ g2 ðxÞ

Df ðgðxÞÞ ¼ f 0 ðgðxÞÞ  g0 ðxÞ

3Prima di effettuare il calcolo della derivata di un quoziente e` bene osservare se

l’espressione analitica della funzione puo` essere espressa sotto forma di una somma, perche´ in questo caso il calcolo si puo` spesso pffiffiffi sveltire notevolmente. x4 þ x , invece di applicare la Per esempio, per calcolare la derivata di y ¼ x3 formula della derivata del quoziente conviene osservare: pffiffiffi x4 x 5 y ¼ 3 þ 3 ¼ x þ x
2 x x

266

5
7 5 pffiffiffi x 2 ¼1
2 2x3 x

conviene a volte trasformare preliminarmente l’espressione analitica della funzione in base alle proprieta` dei logaritmi. Per esempio: pffiffiffi – per calcolare la derivata di y ¼ ln 3 x, invece di applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte conviene scrivere l’equazione della funzio1 ne nella forma y ¼ ln x, da cui si ricava immediatamente: 3 1 0 y ¼ 3x  2  x
1 , invece di applicare il teorema – per calcolare la derivata di y ¼ ln x2 þ 1 di derivazione delle funzioni composte e la formula per la derivata di un quoziente, ci conviene scrivere l’equazione della funzione nella forma y ¼ ln ðx2
1Þ
ln ðx2 þ 1Þ, da cui si ricava immediatamente: y0 ¼

La derivata

3Per ragioni analoghe, nel calcolo delle derivate di alcune funzioni logaritmiche

Unita` 5

da cui si ricava immediatamente: y 0 ¼ 1


2x 2x
2 x2
1 x þ1

3La derivata di funzioni la cui espressione analitica e` della forma ½f ðxÞ

gðxÞ

, con f ðxÞ > 0, si puo` calcolare previa trasformazione dell’espressione analitica in forma esponenziale, similmente a quanto gia` visto nell’Unita` 2 a proposito del calcolo di alcuni limiti: ½ f ðxÞgðxÞ ¼ e ln ½f ðxÞ

gðxÞ

¼ e gðxÞln f ðxÞ

Per esempio: ln xx

Dx ¼ De x

¼ De

x ln x

e f ðxÞ

  1 e x ln x ¼ ðln x þ 1Þ e x ln x ¼ 1  ln x þ x  x f 0 ðxÞ

e f ðxÞ

3Quando nella funzione da derivare compare un valore assoluto, in generale

dobbiamo distinguere due casi, a seconda che l’argomento del valore assoluto sia positivo o negativo. Fa eccezione il caso delle funzioni di equazione y ¼ ln jf ðxÞj. Consideriamo per esempio la funzione y ¼ ln jxj; abbiamo: 8 1 > > ( x>0 > < ln x x>0 x y¼ quindi: y 0 ¼ > ln ð
xÞ x < 0 >
1 > : x 0 perche´ coincide con due funzioni derivabili, mentre nessun teorema ci garantisce a priori la derivabilita` nel punto di raccordo x ¼ 0. Gli esempi precedenti mostrano i tre casi piu` frequenti in cui capita di incontrare un punto x0 in cui le regole di derivazione non sono applicabili:

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

ESEMPI

a. quando x0 annulla l’argomento di un valore assoluto; b. quando x0 annulla l’argomento di una radice; c. quando x0 e` un punto di raccordo di una funzione definita per casi. Naturalmente, il fatto che gli ordinari teoremi non siano applicabili non significa che la funzione non sia derivabile in quel punto, ma soltanto che lo studio della derivabilita` va effettuato ricorrendo direttamente alla definizione oppure facendo uso del teorema sul limite della derivata che enunciamo qui di seguito (la dimostrazione verra` effettuata nella prossima Unita`, quando i nuovi strumenti nel frattempo acquisiti ci consentiranno di ottenerla piu` semplicemente). TEOREMA 5.16

Limite della derivata

Sia f una funzione continua in x0 e derivabile in un intorno di x0 , eccetto al piu` x0 ; sia f 0 la sua funzione derivata. Se esistono (finiti o infiniti) i limiti: lim f 0 ðxÞ ¼ l1

x!x0


e

lim f 0 ðxÞ ¼ l2

x!x0þ

allora risulta: f
0 ðx0 Þ ¼ l1

e fþ0 ðx0 Þ ¼ l2

In particolare, se l1 ¼ l2 2 R, allora f e` derivabile in x0 e f 0 ðx0 Þ ¼ l1 ¼ l2 . ESEMPI

Osserva Nei casi a e b abbiamo preferito ricorrere alla definizione anziche´ utilizzare il teorema sul limite della derivata perche´ il calcolo della derivata e del suo limite avrebbe comportato calcoli piu` complessi. Ti invitiamo a verificarlo per esercizio.

Studio della derivabilita` di una funzione

Studiamo gli eventuali punti di non derivabilita` delle seguenti funzioni:
x p ffiffiffi x 0. Per studiare il comportamento nel punto di raccordo utilizziamo il teorema 5.16. Abbiamo:
x x 0 e inoltre: lim f 0 ðxÞ ¼ lim
ex ¼ 1

x!0


x!0

lim f ðxÞ ¼ limþ ð2
sin xÞ ¼ 2

e

x!0þ

x!0

Concludiamo allora che f
0 ð0Þ ¼ 1 e fþ0 ð0Þ ¼ 2, dunque nel punto x ¼ 0 la funzione non e` derivabile e presenta un punto angoloso.

PER SAPERNE DI PIU`

Attenzione! Relativamente all’esempio a fianco, osserva che sebbene
x x 0. DETERMINIAMO LA FUNZIONE DA RENDERE MINIMA

L’area della superficie del cilindro e` data dalla formula: AðrÞ ¼

2
r 2 þ

area delle basi

2
rh area della superficie laterale

Poiche´, come abbiamo osservato, h ¼  AðrÞ ¼ 2
r 2 þ 2
r 

V
r 2

 ¼ 2
r 2 þ

V , l’area della superficie del cilindro e` espressa dalla funzione:
r 2 2V r

Il nostro problema equivale quindi a cercare, se esistono, minimo e massimo assoluto della funzione AðrÞ nell’intervallo ð0, þ1Þ.

339

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

RICERCA DEL MINIMO E DEL MASSIMO ASSOLUTO DELLA FUNZIONE

Nell’intervallo ð0, þ1Þ la funzione AðrÞ e` derivabile, con derivata data da: A0 ðrÞ ¼ 4
r 

2V r2

Cerchiamo i punti dove la derivata prima si annulla:

rffiffiffiffiffiffiffiffi 2V V 3 3 A ðrÞ ¼ 0 ) 4
r  2 ¼ 0 ) 4
r  2V ¼ 0 ) r ¼ r 2
rffiffiffiffiffiffiffiffi V 3 ; in corrispondenza di esso l’altezza misura: Pertanto, l’unico punto stazionario e` r ¼ 2
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi u V V u V3 3 4V 3 ¼ ¼ 2 ¼ 2r h ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ u 2 3 t
2
V 3 V2 3

4
2 4
2 0

Studiamo adesso il comportamento della funzione quando r ! 0þ e quando r ! þ1: lim AðrÞ ¼ þ1

r!0þ

lim AðrÞ ¼ þ1

r!þ1

Ne deduciamo che la funzione deve avere un minimo assoluto e, dovendo questo coincidere con un punto critico, non puo` che coincidere con il punto stazionario poc’anzi individuato. Non esiste invece il massimo assoluto della funzione, poiche´ come abbiamo visto essa tende a þ1 quando r tende agli estremi dell’intervallo ð0, þ1Þ. RISPOSTA

Il cilindro che rende minima l’area della superficie e` quello in cui h ¼ 2r. Non esiste invece un cilindro che rende l’area della superficie massima; piu` precisamente, in base a quanto abbiamo visto, possiamo dire che un cilindro di volume fissato puo` avere area della superficie arbitrariamente grande purche´ sia sufficientemente «stretto e alto» ( abbiamo visto infatti che per r ! 0þ , e quindi h ! þ1, risulta AðrÞ ! þ1Þ oppure «largo e basso» (abbiamo visto infatti che per r ! þ1, e quindi h ! 0, risulta AðrÞ ! þ1Þ. PROBLEMA

4 La deduzione della legge di Snell dal principio di Fermat

Quando un raggio luminoso passa da un mezzo omogeneo a un altro, la sua velocita` e la sua direzione cambiano. Indicando con v1 e v2 le due velocita`, con i l’angolo di incidenza e con r quello di riflessione, vale la legge della rifrazione di Snell: sin i v1 ¼ v2 sin r Dedurre tale legge dal principio del minimo cammino di Fermat secondo cui «un raggio luminoso che passa da un punto a un altro segue un cammino per cui il tempo impiegato e` minimo rispetto a tutti i cammini che congiungono i due punti». FIGURA E SCELTA DELL’INCOGNITA

Supponiamo che il raggio luminoso passi dal punto A al punto B, che la retta r rappresenti la linea di separazione dei due mezzi e che il raggio incidente tocchi r nel punto P (fig. 6.15). Inoltre, dette A0 e B0 le proiezioni di A e B su r, indichiamo con a la distanza tra A e A0 , con b la distanza tra B e B0 , con l la distanza tra A0 e B0 . I punti A e B sono da pensarsi assegnati, quindi a, b e l sono da intendersi come costanti. Scegliamo invece come variabile del nostro problema:

A

A0 P ¼ x Al variare di x, vengono descritti tutti i possibili cammini APB del raggio luminoso. Dobbiamo dimostrare che il cammino che richiede il tempo di percorrenza minimo e` quello che soddisfa la legge di Snell.

a

i i l – x B'

A'

x

P r

r b B

Figura 6.15

340

r

Unita` 6

LIMITAZIONI DELL’INCOGNITA

Poiche´ A0 B0 ¼ l, dovra` essere 0
x
l.

Per il teorema di Pitagora: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AP ¼ a2 þ x2 PB ¼ b2 þ ðl  xÞ2 e I tempi impiegati dalla luce per percorrere le distanze AP e PB sono dati dalle formule: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2 þ ðl  xÞ2 a2 þ x 2 e v2 v1 quindi il tempo totale impiegato dal raggio luminoso per andare da A a B e` espresso dalla funzione qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2 þ ðl  xÞ2 a2 þ x2 þ tðxÞ ¼ v2 v1 DEDUCIAMO LA LEGGE DI SNELL

In base al principio di Fermat, x deve essere tale da rendere tðxÞ minimo. Si potrebbe dimostrare (vedi la nota qui a fianco) che il minimo assoluto della funzione viene raggiunto in corrispondenza dell’unico punto stazionario della funzione. Poiche´: t 0 ðxÞ ¼

1 x 1 lx  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 v1 v a þx 2 b2 þ ðl  xÞ2

x dovra` allora soddisfare l’equazione: 1 x 1 lx  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0 v1 v2 a2 þ x 2 2 b þ ðl  xÞ2 Dato che il nostro obiettivo non e` determinare x, ma dedurre la legge di Snell, non risolviamo questa equazione, ma ci limitiamo a osservare che essa puo` essere riscritta nella forma equivalente:

Per saperne di piu` Conoscendo i concetti di funzione concava e convessa presentati nel prossimo paragrafo, per dimostrare che il minimo assoluto viene raggiunto in corrispondenza dell’unico punto stazionario della funzione si puo` procedere cosı`: a. si calcola la derivata seconda di tðxÞ e si verifica che e` positiva nell’intervallo [0, l], quindi in questo intervallo la funzione tðxÞ e` convessa e la funzione t 0 ðxÞ e` strettamente crescente; b. utilizzando il teorema degli zeri e il fatto che t 0 ðxÞ e` strettamente crescente si prova che esiste un unico punto stazionario c nell’intervallo [0, l]; c. dalla convessita` della funzione tðxÞ nell’intervallo [0, l] segue:

Teoremi sulle funzioni derivabili

DETERMINIAMO LA FUNZIONE DA RENDERE MINIMA

tðxÞ  tðcÞ þ t 0 ðcÞðx  cÞ quindi, essendo t 0 ðcÞ ¼ 0, tðxÞ  tðcÞ per ogni x appartenente a [0, l]. Pertanto, c e` il punto di minimo assoluto.

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 v1 a þ x2 ¼ lx v2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 b2 þ ðl  xÞ ossia, osservando la fig. 6.15: sin ˆı v1 ¼ v2 sin ^r

sin ˆı ¼

A0 P x PB0 l x ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e sin r^ ¼ 2 2 PB AP a þx b2 þ ðl  xÞ2

Dunque minimizzare il tempo di percorrenza equivale a richiedere che sia soddisfatta la legge di Snell.

Prova tu

ESERCIZI a p. 372

1. Determina i punti appartenenti al grafico della funzione y ¼ x2 che hanno minima distanza dal punto Að0, 2Þ. " !# pffiffiffi 6 3  , 2 2 2. Stabilisci se, fra i cilindri inscritti in una sfera di raggio 1, quello avente la massima superficie laterale e` anche quello di volume massimo. 3. Tra le rette passanti per Pð1, 2Þ che intersecano l’asse x in un punto A di ascissa positiva e l’asse y in un punto B di ordinata positiva, determina quella che individua il triangolo AOB di area minima, essendo O l’origine degli assi. [y ¼ 2x]

341

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

4. Funzioni concave e convesse, punti di flesso Nel Paragrafo 2 abbiamo visto quali legami sussistono tra il grafico di una funzione e la sua derivata prima. In questo paragrafo mostreremo i legami tra il grafico di una funzione e la sua derivata seconda. La derivata seconda e` in relazione con due proprieta` che abbiamo spesso osservato ma mai definito rigorosamente: la concavita` e la convessita`.

Concavita` e convessita` Ci limitiamo a definire i concetti di funzione concava e convessa per funzioni derivabili. Modi di dire

FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE

«Funzione con la concavita` verso l’alto (il basso)» e` espressione equivalente a «funzione convessa (concava)».

Sia f una funzione derivabile in un intervallo I. a. f e` convessa in I se e solo se, per ogni x0 2 I, il suo grafico si trova al di sopra della retta tangente a f nel punto x0 in tutto I, eccetto che in x0 (fig. 6.16); b. f e` concava in I se e solo se, per ogni x0 2 I, il suo grafico si trova al di sotto della retta tangente a f nel punto x0 in tutto I, eccetto che in x0 (fig. 6.17). y y − f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) (x − x 0 )

y y = f (x) y = f (x)

x0

O

x

y − f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) (x − x 0 )

x

x0

O

Figura 6.17 Funzione concava.

Figura 6.16 Funzione convessa. ESEMPI

a. La parabola di equazione y ¼ x2 e` convessa in tutto R (fig. 6.18). b. La parabola di equazione y ¼ x2 e` concava in tutto R (fig. 6.18). c. La funzione y ¼ sin x e` concava per esempio nell’intervallo ½0,
; e` convessa per esempio nell’intervallo ½
, 0 (fig. 6.19). y y=x

y y = sin x 0 ≤ x ≤π

2

O y = – x2

Figura 6.18

x

–π

O

π

x

y = sin x –π ≤ x ≤ 0

Figura 6.19

Le definizioni date si possono tradurre facilmente in forma analitica, utilizzando l’equazione della retta tangente: 342

Unita` 6

f convessa in I , 8x0 2 I, f ðxÞ > f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ 8x 2 I  fx0 g f concava in I , 8x0 2 I, f ðxÞ < f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ 8x 2 I  fx0 g TEOREMA 6.9

Sia f una funzione derivabile in un intervallo I. a. Se f 0 e` strettamente crescente in I, allora f e` convessa in I. b. Se f 0 e` strettamente decrescente in I, allora f e` concava in I. DIMOSTRAZIONE

Dimostriamo il punto a., essendo la dimostrazione del punto b. analoga.  Fissato arbitrariamente x0 2 I, dobbiamo dimostrare che per ogni x 2 I, con x 6¼ x0 , risulta:

Teoremi sulle funzioni derivabili

` e co n v e s s i t a ` per le funzioni derivabili Criterio di concavita

f ðxÞ > f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ  Supponiamo inizialmente x 2 I, con x > x0 . Nell’intervallo ½x0 , x  I, la funzione f e` derivabile, quindi per il teorema di Lagrange esiste c 2 ðx0 ; xÞ tale che: f ðxÞ  f ðx0 Þ ¼ f 0 ðcÞðx  x0 Þ

[6.2]

 Osserviamo ora che, poiche´ c > x0 ed f 0 e` strettamente crescente (per ipotesi), f 0 ðcÞ > f 0 ðx0 Þ. Moltiplicando i due membri di quest’ultima disuguaglianza per x  x0 (positivo perche´ stiamo supponendo x > x0 ) otteniamo: f 0 ðcÞðx  x0 Þ > f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ

[6.3]

 Dal confronto della [6.2] e della [6.3] segue che: f ðxÞ  f ðx0 Þ > f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ ossia: f ðxÞ > f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ che e` quanto volevamo dimostrare.  Se fosse x < x0 , la dimostrazione si potrebbe ripercorrere analoga, con le sole differenze seguenti: f 0 ðcÞ < f 0 ðx0 Þ, ma moltiplicando entrambi i membri per ðx  x0 Þ (ora negativo) occorre invertire il verso della disuguaglianza, quindi si giunge anche in questo caso alla [6.3], da cui segue la tesi. La tesi resta quindi provata per ogni x 2 I con x 6¼ x0 .

La condizione espressa dal teorema 6.9 diviene ancora piu` facilmente utilizzabile se la funzione f e` derivabile due volte; in tal caso infatti la condizione che f 0 sia strettamente crescente o strettamente decrescente puo` essere espressa in termini del segno di f 00, grazie al teorema 6.6. Possiamo quindi enunciare il seguente teorema. ` e convessita ` per funzioni derivabili due volte Criterio di concavita

TEOREMA 6.10

Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo I. a. Se f 00 ðxÞ > 0 per ogni x 2 I, allora f e` convessa in I. b. Se f 00 ðxÞ < 0 per ogni x 2 I, allora f e` concava in I. ESEMPI

Ricerca degli intervalli dove una funzione e` convessa o concava

Determiniamo gli intervalli aperti nei quali la seguente funzione e` convessa o concava: f ðxÞ ¼ x 3  3x 2

Ô

343

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda: f 0 ðxÞ ¼ 3x2  6x f 00 ðxÞ ¼ 6x  6 Poiche´: f 00 ðxÞ > 0 ) 6x  6 > 0 ) x > 1 f 00 ðxÞ < 0 ) 6x  6 < 0 ) x < 1 ne segue che f e` convessa nell’intervallo ð1, þ1Þ ed e` concava nell’intervallo ð1, 1Þ come puoi osservare in fig. 6.20, dove abbiamo riportato il grafico della funzione. y O

1

x

Tema G

Ô

y = x 3 – 3x 2

Figura 6.20 La funzione e` concava (ha la concavita` rivolta verso il basso) per x < 1 ed e` convessa (ha la concavita` rivolta verso l’alto) per x > 1.

Punti di flesso Abbiamo gia` parlato di punti di flesso a tangente orizzontale e punti di flesso a tangente verticale. I concetti di funzione concava e convessa poc’anzi introdotti consentono di precisare la nozione di punto di flesso. PUNTO DI FLESSO

Data una funzione f , sia x0 un punto in cui f e` derivabile o al piu` f presenta tangente verticale. Il punto x0 si dice di flesso se esiste un intorno destro di x0 in cui f e` convessa (concava) e un intorno sinistro di x0 in cui f e` concava (convessa).

In altre parole, i punti di flesso di una funzione sono quelli in cui il grafico cambia la concavita`. Un punto di flesso si dice: obliquo se la tangente in esso non e` ne´ parallela all’asse x, ne´ parallela all’asse y; orizzontale se la tangente e` parallela all’asse x e verticale se la tangente e` parallela all’asse y (fig. 6.21). Si chiama inoltre discendente un punto di flesso tale che in un suo intorno la funzione e` strettamente decrescente (fig. 6.21a) e ascendente un punto di flesso tale che in un suo intorno la funzione e` strettamente crescente (fig. 6.21b).

x0

a. Flesso obliquo

Figura 6.21

344

x0

b. Flesso orizzontale

x0

c. Flesso verticale

TEOREMA 6.11

Sia f una funzione definita in un intervallo I e sia x0 un punto interno a I in cui f e` derivabile due volte. Se x0 e` un punto di flesso, allora f 00 ðx0 Þ ¼ 0.

Come puoi notare, questa condizione e` concettualmente analoga alla condizione espressa dal teorema di Fermat per i punti di estremo relativo. Per rendersi conto che la condizione espressa dal teorema 6.11 ð f 00 ðx0 Þ ¼ 0Þ non e` sufficiente a garantire che x0 sia un punto di flesso, basta considerare la funzione f ðxÞ ¼ x4 : risulta f 0 ðxÞ ¼ 4x3 e f 00 ðxÞ ¼ 12x2 , quindi e` immediato constatare che f 00 ð0Þ ¼ 0 ma x ¼ 0 e` un punto di minimo (fig. 6.22). y

Teoremi sulle funzioni derivabili

Condizione necessaria per l’esistenza di un punto di flesso

Unita` 6

Il prossimo teorema (che ci limitiamo a enunciare) esprime una condizione necessaria perche´ un punto sia di flesso.

y = x4

O

Figura 6.22

x

Per riconoscere quali tra i punti che annullano la derivata seconda sono effettivamente punti di flesso, si puo` osservare quanto segue.  Se x0 e` un punto in cui f 00 cambia segno, allora x0 e` un punto di flesso; infatti, se per esempio risulta f 00 < 0 in un intorno sinistro di x0 e f 00 > 0 in un intorno destro di x0 , allora per il teorema 6.10 f risulta concava in un intorno sinistro di x0 e convessa in un intorno destro, quindi x0 e` un punto di flesso (analogamente se fosse f 00 > 0 in un intorno sinistro di x0 e f 00 < 0 in un intorno destro di x0 Þ;  Se x0 e` un punto in cui f 00 non cambia segno, allora x0 non e` un punto di flesso: infatti esiste in tale caso un intorno di x0 in cui f e` concava o convessa. In pratica, il procedimento per la ricerca dei punti di flesso si puo` riassumere come segue. SINTESI

Procedimento per la ricerca dei punti di flesso di funzioni due volte derivabili 1. Si trovano gli zeri della derivata seconda, risolvendo l’equazione f 00 ðxÞ ¼ 0. 2. Si studia il segno di f 00 (risolvendo la disequazione f 00 ðxÞ > 0Þ e si determinano gli intervalli in cui la funzione f e` convessa e quelli in cui e` concava. 3. Gli eventuali punti di flesso si trovano tra gli zeri di f 00 : se in corrispondenza di uno di questi zeri f 00 cambia segno, allora tale zero e` un punto di flesso, altrimenti non lo e`.

ESEMPIO

Ricerca dei punti di flesso

Determiniamo gli eventuali punti di flesso della funzione f ðxÞ ¼ ðx 2  2xÞ4 .  Analisi preliminare Osserviamo che la funzione e` derivabile infinite volte in R, quindi il criterio precedente e` certamente applicabile.

Ô

345

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Ô

 Calcolo delle derivate f 0 ðxÞ ¼ 4 ðx2  2xÞ3 ð2x  2Þ f 00 ðxÞ ¼ 4 ½3ðx2  2xÞ2 ð2x  2Þ2 þ ðx2  2xÞ3  2 ¼ ¼ 4 ðx2  2xÞ2 ½3ð2x  2Þ2 þ ðx2  2xÞ  2 ¼ ¼ 8 ðx2  2xÞ2 ð7x2  14x þ 6Þ ¼ 8x2 ðx  2Þ2 ð7x2  14x þ 6Þ  Studio della derivata seconda e relative deduzioni sulla concavita` pffiffiffi pffiffiffi 7 7 7þ 7 00 _x¼ f ðxÞ ¼ 0 ) x ¼ 0 _ x ¼ 2 _ x ¼ 7 7 pffiffiffi pffiffiffi 7 7 7þ 7 _x> ; con x 6¼ 0 ^ x 6¼ 2 f 00 ðxÞ > 0 ) x < 7 7 Riassumiamo in uno schema il segno e gli zeri di f 00 e le deduzioni che si possono trarre circa la concavita`: 7− 7 7

0

Tema G

f"

+

0

+

0

7+ 7 7 −

0

2 +

0

+

f flesso

flesso

 Conclusione I punti x ¼

pffiffiffi pffiffiffi 7 7 7þ 7 e x¼ sono di flesso perche´ sono zeri di f 00 ed f 00 7 7

cambia segno nell’intorno di questi punti. Invece i punti x ¼ 0, x ¼ 2, pur essendo zeri di f 00 , non sono punti di flesso per f poiche´ f 00 ha segno costante negli intorni di questi punti; studiando il segno della derivata prima, si puo` dedurre che x ¼ 0 e x ¼ 2 sono punti di minimo relativo (vedi la figura a lato, in cui abbiamo tracciato il grafico probabile della funzione, arricchito delle informazioni deducibili dallo studio delle derivate).

y 4

f (x ) = (x 2− 2x)

x

O 7− 7 7+ 7 7 7

Un metodo alternativo allo studio del segno della derivata seconda, per stabilire la natura di un punto in cui essa si annulla, e` espresso dal seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare. TEOREMA 6.12

Test della derivata terza per i flessi

Sia f una funzione definita in un intervallo I e sia x0 un punto interno a I, in cui f e` derivabile tre volte. a. Se f 00 ðx0 Þ ¼ 0 e f 000 ðx0 Þ > 0, allora x0 e` un punto di flesso ascendente. b. Se f 00 ðx0 Þ ¼ 0 e f 000 ðx0 Þ < 0, allora x0 e` un punto di flesso discendente.

Il teorema non prende in considerazione l’eventualita` f 000 ðx0 Þ ¼ 0, poiche´ in questo caso la natura del punto varia da funzione a funzione. Per esempio, si puo` facilmente verificare che le funzioni y ¼ x4 e y ¼ x5 hanno entrambe derivate seconda e terza nulle per x ¼ 0, tuttavia l’origine non e` un punto di flesso per la prima funzione, mentre lo e` per la seconda. 346

Unita` 6

PER SAPERNE DI PIU`

E se la funzione non e` derivabile due volte?

1. Consideriamo la funzione f ðxÞ ¼ x jxj. Si ha:   2x x0 2 0 00 f ðxÞ ¼ e f ðxÞ ¼ 2 2x x < 0

Teoremi sulle funzioni derivabili

Il teorema 6.11 e il procedimento «pratico» per la ricerca dei punti di flesso che abbiamo esposto poc’anzi riguarda funzioni due volte derivabili. In assenza di questa ipotesi, possono esserci punti di flesso anche in punti in cui la derivata seconda non esiste oppure in punti a tangente verticale (in cui non esistono ne´ la derivata prima ne´ la derivata seconda), purche´ nell’intorno di questi punti cambi la concavita`. Osserva i seguenti esempi.

x>0 x 0Þ, quindi cambia la concavita`. Pertanto x ¼ 0 e` un punto di flesso (a tangente orizzontale poiche´ f 0 ð0Þ ¼ 0Þ pur non essendo nulla in tale punto la derivata seconda: vedi la fig. 6.23. pffiffiffi 2. Consideriamo la funzione f ðxÞ ¼ 3 x. Risulta: f 0 ðxÞ ¼

1 ffiffiffiffiffi p 3 3 x2

2 ffiffiffiffiffi f 00 ðxÞ ¼  p 3 9 x5

e

Nel punto x ¼ 0 la funzione f non e` derivabile e ha tangente verticale poiche´ lim f 0 ðxÞ ¼ þ1; ovviamente non esiste nemmeno f 00 ð0Þ, tuttavia in corrispondenza di x!0 x ¼ 0 la funzione f 00 cambia segno (infatti f 00 risulta positiva per x < 0 e negativa per x > 0Þ. Pertanto x ¼ 0 e` un punto di flesso (a tangente verticale poiche´ f 0 ð0Þ ¼ þ1Þ: vedi la fig. 6.24.

y

y y=x x

y=3 x O

Figura 6.23

x

O

x

Figura 6.24

Prova tu

ESERCIZI a p. 388

Determina gli intervalli aperti dove le seguenti funzioni sono convesse e gli eventuali punti di flesso.   3 2 1 1 1 4 1. y ¼ x  x Convessa per x <  _ x > ; punti di flesso in x ¼  2 2 2 2 2. y ¼ x ex

[Convessa per x > 2; punto di flesso in x ¼ 2]

ln x x

[Convessa per x > e 2 ; punto di flesso in x ¼ e 2 ]

3. y ¼

4. y ¼ sin3 x in ½0, 2
 pffiffiffi pffiffiffi  3 3 _
 arccos < x <
_
þ arccos Convessa per: 0 < x < arccos 3 3 pffiffiffi pffiffiffi 3 3 punto di flesso in x ¼ arccos _ x ¼
 arccos _ x ¼
_ x ¼
þ arccos 3 3

3

3

pffiffiffi pffiffiffi 3 3 < x < 2
 arccos ; 3 3 pffiffiffi pffiffiffi  3 3 _ x ¼ 2
 arccos 3 3

347

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

ˆ pital 5. I teoremi di Cauchy e di de l’Ho In questo paragrafo presenteremo uno strumento potente per la risoluzione delˆ pital. Per dimole forme di indecisione nel calcolo dei limiti, il teorema di de l’Ho strare questo teorema e` necessario pero` presentare preliminarmente il teorema di Cauchy.

Il teorema di Cauchy Il teorema di Cauchy e` una generalizzazione del teorema di Lagrange al caso in cui ci sono in gioco due funzioni f e g. TEOREMA 6.13

Teorema di Cauchy

Dalla storia

Siano f e g due funzioni continue in ½a, b e derivabili in ða, bÞ; allora:

Il teorema di Cauchy e` dovuto al matematico francese Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Egli diede importanti contributi all’analisi, soprattutto nell’ambito della sua sistematizzazione rigorosa, curando gli aspetti formali e il rigore delle dimostrazioni.

a. esiste un punto c 2 ða, bÞ, detto punto di Cauchy, tale che: ½gðbÞ  gðaÞ  f 0 ðcÞ ¼ ½f ðbÞ  f ðaÞ  g0 ðcÞ

[6.4]

b. se e` anche g0 ðxÞ 6¼ 0 per ogni x 2 ða, bÞ, allora la [6.4] si puo` scrivere nella forma: f ðbÞ  f ðaÞ f 0 ðcÞ ¼ 0 gðbÞ  gðaÞ g ðcÞ

[6.5]

DIMOSTRAZIONE

a. La strategia della dimostrazione e` analoga a quella del teorema di Lagrange. Considereremo infatti una opportuna funzione ausiliaria cui potremo applicare il teorema di Rolle e di qui seguira` immediatamente la tesi. La [6.4] suggerisce di considerare come funzione ausiliaria: hðxÞ ¼ ½ gðbÞ  gðaÞ f ðxÞ  ½ f ðbÞ  f ðaÞ gðxÞ La funzione h e` continua in ½a, b, dato che e` combinazione lineare di funzioni continue in ½a, b, e derivabile in ða, bÞ perche´ combinazione lineare di funzioni derivabili in ða, bÞ. Inoltre si verifica che: hðaÞ ¼ gðbÞ f ðaÞ  f ðbÞ gðaÞ ¼ hðbÞ

Effettua la verifica per esercizio

La funzione h soddisfa dunque tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo ½a, b. Ne segue che esiste c 2 ða, bÞ tale che: h0 ðcÞ ¼ ½gðbÞ  gðaÞ f 0 ðcÞ  ½ f ðbÞ  f ðaÞ g 0 ðcÞ ¼ 0 Il punto c soddisfa quindi la [6.4]. b. Se e` g 0 ðxÞ 6¼ 0 per ogni x 2 ða, bÞ, allora deve anche essere gðbÞ 6¼ gðaÞ. In caso contrario, infatti, la funzione g soddisferebbe nell’intervallo [a, b] tutte le ipotesi del teorema di Rolle, quindi la sua derivata dovrebbe annullarsi in almeno un punto dell’intervallo ða, bÞ, contro quanto supposto. Ne segue che: ½ gðbÞ  gðaÞ g 0 ðcÞ 6¼ 0 Siamo allora autorizzati a dividere entrambi i membri della [6.4] per ½ gðbÞ  gðaÞ g 0 ðcÞ, ottenendo cosı` la [6.5].

ESEMPIO

Applicazione del teorema di Cauchy

Verifichiamo che il teorema di Cauchy e` applicabile alle due funzioni f ðxÞ ¼ x 3  2x e gðxÞ ¼ x 3 þ 2x nell’intervallo ½0, 1 e determiniamo il punto c di cui il teorema garantisce l’esistenza. 348

Unita` 6

Entrambe le funzioni f e g sono derivabili in R, quindi in particolare nell’intervallo [0, 1]; sono dunque soddisfatte le ipotesi del teorema di Cauchy. Ne segue che esiste un punto c 2 ð0, 1Þ tale che:

Poiche´: gð0Þ ¼ 0,

gð1Þ ¼ 3

f ð0Þ ¼ 0,

Teoremi sulle funzioni derivabili

½ gð1Þ  gð0Þ f 0 ðcÞ ¼ ½ f ð1Þ  f ð0Þ g 0 ðcÞ

[6.6] f ð1Þ ¼ 1

la [6.6] fornisce la seguente equazione, che risolviamo: ð3  0Þð3c2  2Þ ¼ ð1  0Þð3c2 þ 2Þ ) 9c2  6 ¼ 3c2  2 ) pffiffiffi 1 3 2 2 ) 12c ¼ 4 ) c ¼ )c¼ 3 3 La soluzione negativa non appartiene all’intervallo [0, 1], quindi non e` da considerare; in conclusione esiste un unico punto c che soddisfa la tesi del pffiffiffi 3 teorema di Cauchy nell’intervallo [0, 1]: c ¼ . 3

ˆ pital Il teorema di de l’Ho ˆ pital. Siamo ora in grado di enunciare e dimostrare il teorema di de l’Ho ˆ pi tal Teorema di de l’ Ho

TEOREMA 6.14

Siano f e g due funzioni derivabili in un intorno I di x0 2 R, eccetto al piu` x0 , e siano verificate le seguenti ipotesi: a. lim f ðxÞ ¼ lim gðxÞ ¼ 0 x!x0

x!x0

oppure

lim f ðxÞ ¼ 1 e lim gðxÞ ¼ 1

x!x0

x!x0

b. g0 ðxÞ 6¼ 0 per ogni x 2 I, con x 6¼ x0 c. esiste lim

x!x0

f 0 ðxÞ g0 ðxÞ

Allora esiste anche lim

x!x0

lim

x!x0

f ðxÞ e si ha: gðxÞ

f ðxÞ f 0 ðxÞ ¼ lim 0 x!x0 g ðxÞ gðxÞ

Dalla storia ˆ pital Il teorema di de l’Ho deve il suo nome al matematico francese ˆ pital Guillaime de l’Ho (1661-1704), che lo pubblico` nel 1696 nel trattato Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes. Il risultato fu in realta` scoperto nel 1694 dal suo maestro, il matematico svizzero Johann Bernoulli (1667-1748).

DIMOSTRAZIONE

Ci limitiamo a fornire la dimostrazione nel caso in cui: lim f ðxÞ ¼ lim gðxÞ ¼ 0

x!x0

x!x0

 Osserviamo anzitutto che le funzioni f e g potrebbero non essere continue nel punto x ¼ x0 ma in tal caso, in base all’ipotesi a., il punto x ¼ x0 sarebbe di discontinuita` eliminabile. E` possibile quindi definire le funzioni F e G, prolungamenti continui di f e g:   gðxÞ x 6¼ x0 f ðxÞ x 6¼ x0 e GðxÞ ¼ FðxÞ ¼ 0 x ¼ x0 0 x ¼ x0 Le funzioni F e G sono continue in tutto l’intervallo I e derivabili in I eccetto al piu` x0 .  Per ogni x 2 I, con x 6¼ x0 , le funzioni F e G soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy nell’intervallo di estremi x0 e x (perche´?); sia cðxÞ uno dei punti di Cauchy. Si ha allora: FðxÞ  Fðx0 Þ F 0 ðcðxÞÞ ¼ 0 GðxÞ  Gðx0 Þ G ðcðxÞÞ

E` stato possibile scrivere la relazione del teorema di Cauchy sotto forma di quoziente grazie all’ipotesi b.

Ô

349

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Ô

Questa relazione, tenendo conto che si ha FðxÞ ¼ f ðxÞ per ogni x 6¼ x0 , GðxÞ ¼ gðxÞ per ogni x 6¼ x0 e Fðx0 Þ ¼ Gðx0 Þ ¼ 0, si puo` riscrivere: f ðxÞ f 0 ðcðxÞÞ ¼ 0 gðxÞ g ðcðxÞÞ da cui, passando al limite per x ! x0 , si ha: lim

x!x0

f ðxÞ f 0 ðcðxÞÞ ¼ lim 0 x!x0 g ðcðxÞÞ gðxÞ

[6.7]

 Valutiamo ora il limite al secondo membro della [6.7], utilizzando il teorema 2.8 sul limite delle funzioni composte. Poniamo cðxÞ ¼ t e osserviamo che quando x ! x0 anche t ¼ cðxÞ ! x0 , essendo cðxÞ compreso tra x e x0 ; inoltre e` sempre f 0 ðtÞ esiste per l’ipotesi c. Sono dunque soddisfatte le ipotesi per cðxÞ 6¼ x0 e lim 0 t!x0 g ðtÞ applicare il teorema 2.8 e si puo` concludere che: lim

x!x0

f 0 ðcðxÞÞ f 0 ðtÞ ¼ lim 0 0 t!x0 g ðtÞ g ðcðxÞÞ

[6.8]

Tema G

 Rimpiazzando al secondo membro della [6.8] la variabile t (che e` una variabile muta) con la consueta x e confrontando la [6.7] e la [6.8], segue la tesi.

E` importante fare alcune osservazioni. ˆ pital e` normalmente soddisfatta in tutti i casi  L’ipotesi b. del teorema di de l’Ho di cui ci occuperemo. Le ipotesi «importanti» cui bisogna prestare particolare attenzione sono la a. e la c.: – l’ipotesi a richiede in pratica che il limite si presenti nella forma indetermi0 1 ; nata o 0 1 f ðxÞ nel caso in cui non – l’ipotesi c impone che nulla si possa dire del lim x!x0 gðxÞ esista il limite del rapporto delle derivate.  Il teorema continua a valere anche per i limiti destri e sinistri (x ! x 0 o x ! xþ Þ e per x ! 1. 0 ˆ pital Calcolo di limiti mediante il teorema di de l’Ho

ESEMPI

Calcoliamo i seguenti limiti: a. lim

x!1

x2  1 ln x

b. lim

x!þ1

ln ðe x þ 1Þ x

0 a. Il limite si presenta nella forma indeterminata . Applicando il teorema di 0 ˆ pital, otteniamo: de l’Ho f 0 ðxÞ

f ðxÞ ¼ x 2  1

Attenzione! Il teorema richiede di calcolare il quoziente delle derivate, non la derivata del quoziente.

lim x!1

x2  1 ln x gðxÞ ¼ ln x

¼ lim x!1

2x 1 x

¼ lim 2x2 ¼ 2 x!1

g0 ðxÞ

þ1 b. Il limite si presenta nella forma indeterminata . Applicando il teorema þ1 ˆ di de l’Hopital, otteniamo: ex x x ln ðe þ 1Þ ex ¼ lim e þ 1 ¼ lim x lim x!þ1 x!þ1 x!þ1 e þ 1 1 x þ1 Il limite si presenta ancora nella forma indeterminata . Per risolvere þ1 l’indeterminazione possiamo seguire due vie. 350

Unita` 6

 Eseguiamo il cambio di variabile ex ¼ t, osservando che quando x ! þ1, anche t ! þ1; abbiamo allora: x!þ1 ex

ex t ¼ lim ¼1 t!þ1 t þ 1 þ1

Teoremi sulle funzioni derivabili

lim

ˆ pital; abbiamo allora:  Applichiamo nuovamente il teorema di de l’Ho lim

x!þ1 ex

ex ex ¼ lim x ¼ 1 x!þ1 e þ1

CONTROESEMPI

ˆ pital Necessita` delle ipotesi del teorema di de l’Ho

Verifichiamo che i seguenti limiti non possono essere calcolati mediante il teorema di de l’Hoˆpital: a. limþ x!1

x x2  1

b. lim

x!þ1

x þ sin x x

ˆ pital non puo` essere applicato perche´ il limite non si a. Il teorema di de l’Ho presenta in forma indeterminata; infatti, per x ! 1þ il numeratore tende a 1 e il denominatore a 0þ , quindi: x 1 ¼ þ1 Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito: þ ¼ þ1 limþ 2 0 x!1 x  1 ˆ pital non e` apOsserva che, se non ci accorgessimo che il teorema di de l’Ho plicabile perche´ cade l’ipotesi a., otterremmo un risultato errato; si avrebbe infatti: x 1 1 ¼ limþ ¼ Applicazione indebita del teorema di de l’Hoˆpital! lim x!1þ x2  1 x!1 2x 2 b. Il teorema si presenta nella forma indeterminata

þ1 (perche´?). þ1

ˆ pital otterremmo: Applicando il teorema di de l’Ho lim

x!þ1

x þ sin x 1 þ cos x ¼ lim ¼ lim ð1 þ cos xÞ x!þ1 x!þ1 x 1

ma l’ultimo limite non esiste! Non essendo verificata l’ipotesi c. del teorema, non siamo autorizzati a concludere nulla sul limite originario; in particolare non siamo autorizzati ad affermare che non esiste. In effetti abbiamo che:   x þ sin x sin x lim ¼ lim 1 þ ¼ 1 Applicando il teorema del confronto x!þ1 x!þ1 x x si dimostra che

sin x ! 0 per x ! þ1 x

ˆ pital, come abbiamo visto, si applica alle forme indeterminaIl teorema di de l’Ho 0 1 te e , tuttavia puo` essere utile anche per risolvere forme indeterminate di al0 1 tro tipo, previe opportune manipolazioni algebriche che consentono di ricon0 1 . Osserva i seguenti esempi. dursi alle forme e 0 1 ESEMPI

ˆ pital Limiti riconducibili all’applicazione del teorema di de l’Ho

Calcoliamo i seguenti limiti:  a. limþ x ln x x!0

b. limþ x!0

1 1  x sin x



1

c. lim ð1 þ sin xÞ x x!0

Ô

351

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Ô

a. Il limite si presenta nella forma indeterminata 0  ð1Þ. Tuttavia, possiamo 1 ln x osservando che x ln x ¼ . Abbiamo cosı`: 1 1 x 1 ln x lim x ln x ¼ limþ ¼ limþ x ¼ limþ ðxÞ ¼ 0 1 1 x!0þ x!0 x!0 x!0  2 x x

ricondurci alla forma

"

ˆ pital teorema di de l’Ho

b. Il limite si presenta nella forma indeterminata þ1  1. Tuttavia, possiamo 0 1 1 sin x  x ricondurci alla forma osservando che  ¼ . Abbiamo 0 x sin x x sin x cosı`:  lim

x!0þ

1 1  x sin x

 ¼ limþ x!0

sin x  x cos x  1 ¼ limþ x!0 sin x þ x cos x x sin x " ˆ pital teorema di de l’Ho

0 , ma applicando 0 ˆ pital si riesce a concludere; infatti: ancora una volta il teorema di de l’Ho

Tema G

Il limite si presenta ancora nella forma indeterminata

lim

x!0þ

cos x  1 sin x 0 ¼ limþ ¼ ¼0 x!0 2 cos x  x sin x sin x þ x cos x 2 " teorema di de l’Hoˆpital

c. Il limite si presenta nella forma indeterminata 11 . Come abbiamo gia` osservato nell’Unita` 2, per risolvere le forme indeterminate di tipo esponenziale e` utile utilizzare anzitutto l’identita`: ½ f ðxÞgðxÞ ¼ e gðxÞ ln f ðxÞ

Suggerimento Occorre non «affezionarsi troppo» all’utilizzo del ˆ pital. teorema di de l’Ho Quando i limiti possono essere risolti immediatamente tramite limiti notevoli o semplici sostituzioni di variabili, e` bene tenere sempre presente questi procedimenti, anche perche´ a volte l’applicazione ˆ pital del teorema di de l’Ho puo` rivelarsi inconcludente (alcuni esempi sono proposti negli esercizi).

in modo da «scaricare» l’indeterminazione sull’esponente. In questo caso abbiamo: 1

lim ð1 þ sin xÞ x ¼ lim e x!0

lnð1 þ sin xÞ x

x!0

lim

¼ ex!0

lnð1 þ sin xÞ x

Il limite all’esponente si presenta ora nella forma indeterminata ˆ pital abbiamo: landolo mediante il teorema di de l’Ho

0 . Calco0

cos x ln ð1 þ sin xÞ cos x ¼ lim 1 þ sin x ¼ lim ¼1 lim x!0 x!0 x!0 1 þ sin x x 1 Dunque: 1

lim

limð1 þ sin xÞ x ¼ e x!0 x!0

lnð1 þ sin xÞ x

¼ e1 ¼ e

ˆ pital Alcune applicazioni del teorema di de l’Ho ˆ pital siamo in grado di dimostrare agevolmente alcuGrazie al teorema di de l’Ho ni risultati che avevamo anticipato in precedenza. 1. Confronto tra infiniti Dimostriamo il seguente limite notevole: lim

x!þ1

352

ax ¼ þ1 xb

8a > 1, 8b > 0

¼  ¼

lim

x!þ1

Teoremi sulle funzioni derivabili

x

ab lim x!þ1 x

Unita` 6

þ1 Il limite si presenta nella forma indeterminata ; per risolvere la forma d’indeþ1 cisione procediamo come segue: !b x ax ab ¼ lim ¼ Manipolazioni algebriche lim x!þ1 xb x!þ1 x !b ¼

Il limite puo` essere portato «all’interno» della funzione potenza, essendo quest’ultima continua

b 1 x a b ln a ¼ b

Applicazione del teorema di de l’Hoˆpital

¼ þ1

Poiche´ per ipotesi a > 1 e b > 0

Per provare il secondo limite notevole che esprime le «gerarchie» degli infiniti: lim

x!þ1

ðlog a xÞb ¼0 xc

8a > 1, 8b > 0, 8c > 0

e` sufficiente eseguire il cambio di variabile loga x ¼ t e utilizzare il limite notevole dimostrato poco sopra (prova a effettuare i calcoli per esercizio). 2. Il teorema del limite della derivata Ricordiamo il teorema sul limite della derivata, di cui diamo ora la dimostrazione. Limite della derivata

TEOREMA 6.15

Sia f una funzione continua in x0 e derivabile in un intorno di x0 , eccetto al piu` in x0 ; sia f 0 la sua funzione derivata. Se esistono (finiti o infiniti) i limiti: lim f 0 ðxÞ ¼ l1

e

x!x0

lim f 0 ðxÞ ¼ l2

x!x0þ

allora risulta: f0 ðx0 Þ ¼ l1

e

fþ0 ðx0 Þ ¼ l2

DIMOSTRAZIONE

Dimostriamo la relazione relativa per esempio, alla derivata sinistra, potendosi dimostrare analogamente quella relativa alla derivata destra. Abbiamo: f0 ðx0 Þ ¼ lim x!x0

f ðxÞ  f ðx0 Þ ¼ x  x0

definizione di derivata sinistra

lim f 0 ðxÞ

x!x 0

applicazione del ˆ pital teorema di de l’Ho

Da cio` segue la tesi. ˆ pital perche´: Osserviamo che e` stato lecito applicare il teorema di de l’Ho 0 a. il limite si presenta sotto la forma indeterminata (per la supposta continuita` 0 di f Þ; f ðxÞ  f ðx0 Þ e` certamente diversa da b. la derivata del denominatore del rapporto x  x0 zero in un intorno di x0 , essendo uguale a 1; c. esiste per ipotesi lim f 0 ðxÞ. x!x0

353

ESERCIZI a p. 394

ˆ pital. 1. Calcola i seguenti limiti applicando, se possibile, il teorema di de l’Ho a. lim x!0

e2x  2x  1 sin x

[0]

x3 x!0 arctan x  x   1 1 c. lim 2  x!0 x x sin x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d. lim x2  x  x2 þ x

[3]

b. lim

 

e. limþ ðx þ 1Þ

1 6



[1]

x!þ1

1 x

[e]

x!0

ˆ pital: 2. Spiega perche´ i seguenti limiti non si possono calcolare con il teorema di de l’Ho a. limþ x!1

ln ðx  1Þ x1

b. lim

x!þ1

x þ sin x x  sin x

6. La formula di Taylor

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Prova tu

La formula di Taylor In questo paragrafo approfondiamo il problema dell’approssimazione locale di una funzione. Sappiamo che, data una funzione f derivabile in x0 , il grafico della funzione in un intorno di x0 puo` essere approssimato da quello della retta tangente nel punto x0 . Il problema che ci poniamo ora e` quello di cercare funzioni che approssimino la funzione f in prossimita` di x0 con una precisione migliore rispetto alla retta tangente. L’idea e` quella di «sostituire» la retta tangente con un polinomio di grado diciamo n, che abbia tutte le derivate fino all’ordine n uguali a quelle di f nel punto x ¼ x0 . Si dimostra che un tale polinomio esiste sempre ed e` unico, a patto che la funzione f che si vuole approssimare sia derivabile n volte in x0 . Precisamente vale il seguente teorema: TEOREMA 6.16

Polinomio di Taylor

Data una funzione f , derivabile n volte in x ¼ x0 , esiste uno e un solo polinomio Tn ðxÞ di grado minore o uguale a n, tale che: ðnÞ

Tn ðx0 Þ ¼ f ðx0 Þ, Tn0 ðx0 Þ ¼ f 0 ðx0 Þ, :::::, Tn ðx0 Þ ¼ f ðnÞ ðx0 Þ Questo polinomio, detto di Taylor di ordine n, e` espresso dalla formula: Tn ðxÞ ¼ f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þðx  x0 Þ þ

f 00 ðx0 Þ f ðnÞ ðx0 Þ ðx  x0 Þ2 þ ::::: þ ðx  x0 Þn 2! n!

Un caso particolarmente importante e` quello in cui x0 ¼ 0. In tal caso il polinomio di Taylor viene detto polinomio di MacLaurin della funzione f e la sua espressione e` semplicemente: Tn ðxÞ ¼ f ð0Þ þ f 0 ð0Þx þ

ESEMPIO

f 00 ð0Þ 2 f 000 ð0Þ 3 f ðnÞ ð0Þ n x þ x ::::: þ x 2! 3! n!

Polinomi di MacLaurin di funzioni notevoli

Determiniamo il polinomio di MacLaurin per le funzioni a. f ðxÞ ¼ e x

b. f ðxÞ ¼ sin x

a. Essendo f ðnÞ ðxÞ ¼ ex per ogni n 2 N con n  1, si ha f ðnÞ ð0Þ ¼ 1 per ogni n 2 N, quindi il polinomio di MacLaurin di f ðxÞ ¼ ex e` dato da: Tn ðxÞ ¼ f ð0Þ þ f 0 ð0Þx þ 354

f 00 ð0Þ 2 f ðnÞ ð0Þ n x2 xn þ ::: þ x þ ::::: þ x ¼1þxþ 2! n! 2! n!

Unita` 6

b. Osserviamo che: f 0 ðxÞ ¼ cos x; f 00 ðxÞ ¼ sin x; f 000 ðxÞ ¼ cos x

f ðxÞ ¼ sin x;

f ð4Þ ðxÞ ¼ sin x; f ð5Þ ðxÞ ¼ cos x; f ð6Þ ðxÞ ¼ sin x; f ð7Þ ðxÞ ¼ cos x;

Teoremi sulle funzioni derivabili

poi il ciclo si ripete: :::::

In generale se ne deduce che: f ð2nÞ ð0Þ ¼ 0

e

f ð2nþ1Þ ð0Þ ¼ ð1Þn

per ogni n 2 N

Quindi il polinomio di MacLaurin di f ðxÞ ¼ sin x e` dato da: Tn ðxÞ ¼ f ð0Þ þ f 0 ð0Þx þ ¼0þ1xþ þ

f 00 ð0Þ 2 f ðnÞ ð0Þ n x þ :::::: þ x ¼ 2! n!

0 2 1 3 0 4 1 5 x þ x þ x þ x þ 2! 3! 4! 5!

0 6 1 7 ð1Þn x2nþ1 ¼ x þ x þ ::::: þ ð2n þ 1Þ! 6! 7!

¼x

x3 x5 x7 x2nþ1 þ  þ ::::: þ ð1Þn 3! 5! 7! ð2n þ 1Þ!

Procedendo come negli ultimi due esempi si possono ricavare i polinomi di MacLaurin delle funzioni notevoli riportate in tabella. Funzione

Polinomio di MacLaurin

f ðxÞ ¼ ex

1þxþ

f ðxÞ ¼ sin x

x

x3 x5 x 2nþ1 þ þ ::::: þ ð1Þn 3! 5! ð2n þ 1Þ!

f ðxÞ ¼ cos x

1

x2 x4 x6 x 2n þ  þ ::::: þ ð1Þn 2! 4! 6! ð2kÞ!

ln ð1 þ xÞ

x

x2 x3 x4 xn þ  þ ::::: þ ð1Þnþ1 2 3 4 n

ð1 þ xÞ

1 þ x þ

x2 xn þ ::::: þ 2! n!

ð  1Þ 2 ð  1Þ ::::: ð  n þ 1Þ n x þ ::::: þ x 2 n!

La formula di Taylor con resto secondo Peano e relative applicazioni Definito il polinomio di Taylor, un problema fondamentale che si pone e` quello di valutare l’errore che si commette quando si sostituisce f ðxÞ con Tn ðxÞ; il problema e` cioe` quello di valutare la quantita`: Rn ðxÞ ¼ f ðxÞ  Tn ðxÞ detta resto n-esimo (o errore di approssimazione). Un primo importante risultato sul resto Rn ðxÞ e` espresso dal seguente teorema. Resto secondo Peano

TEOREMA 6.17

Sia f derivabile n volte in x0 e Tn ðxÞ il polinomio di Taylor di ordine n della funzione f con centro in x0 . Posto Rn ðxÞ ¼ f ðxÞ  Tn ðxÞ, il resto Rn ðxÞ e` un infinitesimo di ordine superiore a ðx  x0 Þn per x ! x0 , ossia: lim

x!x0

Rn ðxÞ ¼0 ðx  x0 Þn

[6.9] 355

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Per esprimere sinteticamente la [6.9] si utilizza solitamente la scrittura: Rn ðxÞ ¼ oððx  x0 Þn Þ per x ! x0

[6.10]

che si legge «Rn ðxÞ e` o-piccolo di ðx  x0 Þn per x ! x0 ». Tenendo conto che f ðxÞ ¼ Tn ðxÞ þ Rn ðxÞ e utilizzando la [6.10], possiamo scrivere la cosiddetta formula di Taylor di f (centrata in x0 e di ordine n) con il resto secondo Peano: f ðxÞ ¼ Tn ðxÞ þ oððx  x0 Þn Þ per x ! x0

[6.11]

Questa formula, che intuitivamente costituisce una «radiografia» del comportamento della funzione f in prossimita` di x0 , ha importanti conseguenze. Ci limitiamo a gettare uno sguardo sulla sua applicazione nella risoluzione delle forme di indecisione. Nel calcolo di un limite x ! x0 e` possibile sostituire infatti alla funzione il suo sviluppo di Taylor centrato in x0 di un ordine conveniente. Ci limiteremo a considerare limiti per x ! 0 e quindi a utilizzare i polinomi di MacLaurin delle funzioni notevoli in tabella. Attenzione! Per applicare la formula di MacLaurin nel calcolo dei limiti, e` utile tenere presente le seguenti considerazioni:

Tema G

1. In generale la scrittura oðxn Þ indica una funzione che, divisa per xn , tende a 0 per x ! x0 . Per esempio oðx3 Þ indica una funzione che divisa per x3 tende a 0 per x ! 0. Dunque risulta oðx3 Þ ¼ 0 per definizione del simbolo o-piccolo. lim x!0 x3 oðxn Þ 2. In generale potremo dire che m ! 0 per x ! 0 se m
n, mentre se m > n non potremo x oðxn Þ oðx3 Þ stabilire a cosa tende il rapporto m per x ! 0. Per esempio, possiamo dire che lim ¼0 x!0 x2 x oðx3 Þ oðx3 Þ oðx3 Þ poiche´ possiamo scrivere lim 2 ¼ lim 3  x ¼ lim 3  lim x ¼ 0  0 ¼ 0 x!0 x x!0 x x!0 x x!0 oðx3 Þ Non possiamo stabilire invece a cosa tende per x ! 0; infatti, scrivendo x4 oðx3 Þ oðx3 Þ 1 siamo condotti alla forma indeterminata 0  1. lim 4 ¼ lim 3  x!0 x x!0 x x !0

Attenzione! Se avessimo considerato il polinomio di MacLaurin arrestato al primo ordine, cioe` sin x ¼ x þ oðxÞ, oðxÞ avremmo ottenuto lim 3 . x!0 x A questo punto pero` sappiamo solo (per definizione di o-piccolo) che il numeratore tende a 0 se diviso per x; nulla possiamo dedurre del suo comportamento quando viene diviso per x3 e quindi non possiamo concludere. Lo sviluppo del seno al primo ordine non e` quindi sufficiente per il calcolo del limite.

ESEMPIO

!1

Calcolo di un limite con l’utilizzo della formula di MacLaurin

Calcoliamo: lim

x!0

sin x  x . x3

Utilizziamo la formula di MacLaurin della funzione seno del terzo ordine: x3 þ oðx3 Þ  x x  sin x  x 3! ¼ lim ¼ lim x!0 x!0 x3 x3 x3   þ oðx3 Þ  1 oðx3 Þ 1 3! ¼ ¼ lim  þ ¼ lim x!0 x!0 x3 3! x3 3 Nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato il fatto che lim x!0 zione di o-piccolo.

Prova tu 1. Scrivi il polinomio di Taylor di ordine 2 e centro x0 ¼ 1 1 per f ðxÞ ¼ xþ1   1 2 1 7 x  xþ 8 2 8

ESERCIZI a p. 399 2. Calcola i seguenti limiti utilizzando le formule di MacLaurin con il resto secondo Peano: a. lim

ex  1  x sin x  x

b. lim

sin x  x þ x2 log ð1 þ xÞ arctan x  x

x!0

x!0

356

oðx3 Þ ¼ 0 per definix3

  5 a: 1; b:  2

In più: esercizi interattivi

Esercizi

6

Unita`

Criteri e teoremi importanti Sia f una funzione definita in un intervallo I e sia c un punto interno a I, in cui f e` derivabile. Se f ha in c un punto di estremo relativo, allora f 0 ðcÞ ¼ 0. Teorema di Rolle Se una funzione f e` continua in ½a, b, derivabile in ða, bÞ ed e` tale che f ðaÞ ¼ f ðbÞ, allora esiste almeno un punto c 2 ða, bÞ per cui f 0 ðcÞ ¼ 0 Teorema di Lagrange Se una funzione f e` continua in ½a, b, derivabile in ða, bÞ, allora esiste almeno un punto c 2 ða, bÞ tale che: f 0 ðcÞ ¼

Teoremi sulle funzioni derivabili

Teorema di Fermat

Unita` 6

SINTESI

f ðbÞ  f ðaÞ ba

Teorema di Cauchy Se f e g sono due funzioni continue in ½a, b e derivabili in ða, bÞ, tali che g 0 ðxÞ 6¼ 0 per ogni x 2 ða, bÞ, allora esiste un punto c 2 ða, bÞ tale che: f ðbÞ  f ðaÞ f 0 ðcÞ ¼ 0 gðbÞ  gðaÞ g ðcÞ ˆ pital Teorema di de l’Ho Siano f e g due funzioni derivabili in un intorno I di x0 2 R, eccetto al piu` x0 , e supponiamo che: a. lim

x!x0

f ðxÞ 0 1 si presenti nella forma indeterminata o ; gðxÞ 0 1

b. g 0 ðxÞ 6¼ 0 per ogni x 2 I, con x 6¼ x0 ; c. esista lim

x!x0

f 0 ðxÞ . g 0 ðxÞ

Allora si ha: lim

x!x0

f ðxÞ f 0 ðxÞ ¼ lim 0 x!x0 g ðxÞ gðxÞ

Il teorema vale anche se x0 ¼ 1 e per limiti destri o sinistri. Criterio di monotonia Sia f una funzione derivabile in un intervallo I: a. se f 0 ðxÞ > 0 per ogni x 2 I, allora f e` strettamente crescente in I; b. se f 0 ðxÞ < 0 per ogni x 2 I, allora f e` strettamente decrescente in I. Criterio per la ricerca di punti di estremo relativo Sia f una funzione continua in un intorno completo I di x0 e derivabile in I tranne al piu` x0 : a. se esistono un intorno sinistro di x0 in cui f 0 > 0 e un intorno destro in cui f 0 < 0, allora x0 e` un punto di massimo relativo per f ; b. se esistono un intorno destro di x0 in cui f 0 > 0 e un intorno sinistro in cui f 0 < 0, allora x0 e` un punto di minimo relativo per f . 357

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Test dei punti stazionari mediante l’utilizzo della derivata seconda Sia x0 un punto stazionario di una funzione f e supponiamo che f sia derivabile due volte in x0 : a. se f 00 ðx0 Þ > 0, allora il punto x0 e` di minimo relativo per f ; b. se f 00 ðx0 Þ < 0, allora il punto x0 e` di massimo relativo per f . Criterio di convessita` Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo I. Allora: a. se f 00 ðxÞ > 0 per ogni x 2 I, f e` convessa in I; b. se f 00 ðxÞ < 0 per ogni x 2 I, f e` concava in I. Criterio per la ricerca di punti di flesso Sia f una funzione derivabile due volte in un intorno completo I di x0 , tranne al piu` in x0 , dove ammettiamo eventualmente che la funzione sia derivabile una sola volta oppure che sia continua e presenti un punto a tangente verticale. Se esistono un intorno sinistro (destro) di x0 in cui f 00 > 0 e un intorno destro (sinistro) in cui f 00 < 0, allora x0 e` un punto di flesso per f .

Tema G

Funzioni costanti su intervalli Sia f una funzione derivabile in un intervallo I, tale che f 0 ðxÞ ¼ 0 per ogni x 2 I; allora f e` costante in I.

` CONOSCENZE E ABILITA

1. I teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange

TEORIA a p. 320

Esercizi preliminari 1 Þ

Traccia il grafico di una funzione che soddisfi le seguenti proprieta`:  il punto x ¼ 0 e` di minimo assoluto e in tale punto la funzione non e` derivabile;  il punto x ¼ 2 e` di massimo assoluto e in tale punto la funzione e` derivabile.

2 Þ

Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle funzioni di cui e` stato tracciato il grafico, individua i punti di minimo e massimo relativo e stabilisci quali di essi sono anche punti di minimo e massimo assoluto. y y y x1 a

3 Þ

x1

x2

O x3

x4 b

x

a

x1

x2 O

x3

b

O

x2

x3

x

x

Mostra con un esempio che il teorema di Fermat non e` invertibile.

4 Þ

Vero o falso? a. il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ x4 nell’intervallo ½1, 1

V

F

b. il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ jxj nell’intervallo ½1, 1

V

F

c. il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ x3 nell’intervallo ½1, 1 V F pffiffiffiffiffiffi 2 d. il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ x jxj nell’intervallo ½1, 1 V F pffiffiffiffiffiffi e. il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ jxj nell’intervallo ½1, 1 V F [2 affermazioni vere e 3 false]

358

Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle funzioni di cui e` stato tracciato il grafico, individua graficamente i punti, se esistono, che soddisfano la tesi del teorema di Rolle nell’intervallo ½a, b.

O

6 Þ

a

b

x

a

y

x

O

O

b

b

a≡0

x

Vero o falso?

a. il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ x2 nell’intervallo ½1, 1 pffiffiffiffiffiffi b. il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ jxj nell’intervallo ½1, 1 pffiffiffi c. il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ 3 x nell’intervallo ½1, 1 d. il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ x jxj nell’intervallo ½1, 1

V

F

V

F

V

F

V

F

Teoremi sulle funzioni derivabili

y

y

Unita` 6

5 Þ

e. il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione f ðxÞ ¼ x5 nell’intervallo ½1, 1 V F [3 affermazioni vere e 2 false] 7 Þ

Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle funzioni di cui e` stato tracciato il grafico, individua graficamente i punti, se esistono, che soddisfano la tesi del teorema di Lagrange nell’intervallo ½a, b. y y

y

a b a

O

O x

b

x a

O

b

x

8 Spiega perche´, se una funzione f e` derivabile in ½a, b, certamente soddisfa in questo intervallo le ipotesi del Þ teorema di Lagrange. 9 Se f e` la funzione lineare f ðxÞ ¼ mx þ q, quali punti dell’intervallo ½a, b soddisfano la tesi del teorema di LaÞ grange? 10 Þ

Matematica e fisica La legge oraria di un corpo e` data da sðtÞ ¼ et  2t. In base a quale teorema possiamo affer-

mare che nell’intervallo di tempo ½t1 , t2 , essendo t1 ¼ 1 s e t2 ¼ 3 s, esiste un istante in cui la velocita` del corpo e` uguale alla sua velocita` media nell’intervallo considerato? Qual e` questo istante?

Il teorema di Fermat Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina, se esistono, i punti che possono essere estremi relativi della funzione in base al teorema di Fermat (ovvero i punti stazionari).   pffiffiffi 3 x2 2 [x ¼ 2  5] 11 f ðxÞ ¼ x  3x þ 1 x ¼ 15 f ðxÞ ¼ 2 Þ Þ 2 x þ1   2 3 1 2 1 x2 þ 1 12 f ðxÞ ¼ x¼ _x¼1 16 f ðxÞ ¼ x  x x ½x ¼ 1] Þ Þ 3 2 2 x   pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 4 3 13 f ðxÞ ¼ [x ¼ 0 _ x ¼  2] 17 f ðxÞ ¼ x2  3x þ 4 x¼ x  x2 Þ Þ 4 2   x2  4 xþ2 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi x ¼ [x] 14 f ðxÞ ¼ 18 f ðxÞ ¼ Þ Þ x2  3x 2 x2 þ 1

359

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

  2 x¼ _x¼2 5 pffiffiffi [x ¼ e]

2 pffiffiffi

19 Þ

f ðxÞ ¼ ðx  2Þ

20 Þ

f ðxÞ ¼ ln2 x  ln x

21 Þ

f ðxÞ ¼

22 Þ

f ðxÞ ¼ 4x  2x

[x ¼ 1]

23 Þ

f ðxÞ ¼ x e x

[x ¼ 1]

x

ln x x

[x ¼ e]

24 Þ

f ðxÞ ¼ x2 e2x

25 Þ

f ðxÞ ¼ 2 sin x  x

[x ¼ 0 _ x ¼ 1] h i
x ¼  þ 2k
3

26 Þ

f ðxÞ ¼ sin2 x  sin x  

5
þ 2k
x ¼ þ k
_ x ¼ þ 2k
_ x ¼ 2 6 6  
2
27 f ðxÞ ¼ tan x  4x x ¼  þ 2k
_ x ¼  þ 2k
Þ 3 3

Il teorema di Rolle Stabilisci se alle seguenti funzioni e` applicabile il teorema di Rolle nell’intervallo indicato e, in caso affermativo, determina i punti c di cui il teorema garantisce l’esistenza. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 28 f ðxÞ ¼ x2  2x þ 1 ½0, 2 [c ¼ 1] 38 f ðxÞ ¼ jxj þ 2 ½2, 2 [Non applicabile] Þ Þ   2 3 29 f ðxÞ ¼ x  2x ½1, 1 [Non applicabile] Þ 2 39 f ðxÞ ¼ jx  3xj ½0, 3 c ¼ Þ " pffiffiffi # 2 3 3 h i h 30 f ðxÞ ¼ x  x ½1, 1 c ¼ 

i Þ 3 40 f ðxÞ ¼ sin 2x 0, c¼ Þ 2 4 pffiffiffi   31 f ðxÞ ¼ x4  4x2 ½0, 2 [c ¼ 2] h Þ 3


i 41 f ðxÞ ¼ cos 2x  , c¼ Þ 4 4 4 2 32 f ðxÞ ¼ x  2x ½0, 2 [Non applicabile] Þ 33 Þ

f ðxÞ ¼

x2  4 x2 þ 1

½2, 2

[c ¼ 0]

34 Þ

f ðxÞ ¼

x2  4 x2

½2, 2

[Non applicabile]

35 Þ

f ðxÞ ¼ jx  2j

½1, 5

pffiffiffi 1 x x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 37 f ðxÞ ¼ 2x  x2 Þ 36 Þ

46 Þ

f ðxÞ ¼

[Non applicabile]

½0, 4

[c ¼ 1]

½0, 2

[c ¼ 1]

42 Þ

½e1 , e3 

f ðxÞ ¼ ln2 x  2 ln x

[c ¼ e]  3 ½0, ln 2 c ¼ ln 2

43 Þ

f ðxÞ ¼ e2x  3e x þ 2  2x2 þ x þ 1 44 f ðxÞ ¼ Þ 2x  45 f ðxÞ ¼ Þ

x
0 x>0

x2  2x x
0 2x2  2x x > 0



½1, 1 [Non applicabile] ½2, 1   1 c ¼ 1 _ c ¼ 2

ESERCIZIO SVOLTO

Determina i valori dei parametri a, b e c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione  2 x þ ax þ b x < 0 f ðxÞ ¼ nell’intervallo ½1, 1. cx þ 3 x0  Dobbiamo imporre che siano verificate le seguenti tre condizioni: f ð1Þ ¼ f ð1Þ

I valori agli estremi dell’intervallo devono essere uguali

lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ

La funzione f e` continua in ½1, 1 se e solo se e` continua in 0

lim f 0 ðxÞ ¼ limþ f 0 ðxÞ

La funzione f e` derivabile in ð1, 1Þ se e solo se e` derivabile in 0

x!0 x!0

x!0

x!0

 La prima condizione equivale a: ð1Þ2 þ að1Þ þ b ¼ c  ð1Þ þ 3 )

a  b þ c ¼ 2

La seconda condizione equivale a: b¼3 La terza condizione, tenendo conto che f 0 ðxÞ ¼ a¼c



2x þ a c

x0

 Risolvendo il sistema formato dalle tre equazioni ottenute: ( a  b þ c ¼ 2 b¼3 a¼c 1 1 otteniamo che deve essere: a ¼ , b ¼ 3, c ¼ . 2 2 360

Determina i valori dei parametri a, b e c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione  x2 þ ax þ b x < 0 nell’intervallo ½1, 1. [a ¼ 1, b ¼ 0, c ¼ 1] f ðxÞ ¼ x0 x2 þ cx Determina i valori dei parametri a, b e c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione  2   3 1 x þ ax þ b x < 1 nell’intervallo ½0, 2. a ¼  , b ¼ 3, c ¼ f ðxÞ ¼ cx þ 2 x1 2 2 49 Þ

Determina i valori dei parametri a, b e c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione  2   1 x þ ax þ b x < 0 nell’intervallo ½1, 2. a ¼ 0, b ¼ 1, c ¼ f ðxÞ ¼ cx2 þ 1 x0 4

Il teorema di Lagrange Stabilisci se alle seguenti funzioni e` applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo indicato e, in caso affermativo, determina i punti c di cui il teorema garantisce l’esistenza.  pffiffiffi  h

i
2 50 f ðxÞ ¼ x ½0, 4 [c ¼ 2] 61 f ðxÞ ¼ tan x  , c ¼ arccos Þ Þ 2 4 4 51 f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3x  1 ½1, 1 [c ¼ 0] Þ h
i " pffiffiffi # 62 f ðxÞ ¼ tan ð2xÞ 0, [Non applicabile] Þ 1 7 2 3 2 52 f ðxÞ ¼ x  x ½1, 0 c¼ Þ 3 63 f ðxÞ ¼ ln x ½1, e [c ¼ e  1] Þ " pffiffiffi # 2 3 53 f ðxÞ ¼ 3x3  4x ½0, 2 c¼ 64 f ðxÞ ¼ ln x2 ½1, e [Non applicabile] Þ Þ 3    x 1 3 x 54 f ðxÞ ¼ ½1, 4 [Non applicabile] 65 f ðxÞ ¼ 4 ½0, 1 c¼ ln Þ Þ x1 ln 4 ln 4 p ffiffiffi xþ1   2  55 f ðxÞ ¼ ½0, 2 [c ¼ 2 2  2] 1 e 1 Þ 2x1 xþ2 66 f ðxÞ ¼ e ½0, 1 c ¼ ln Þ   2 2 pffiffiffi 1 56 f ðxÞ ¼ 2 x  x ½0, 1 c ¼ Þ 4 67 Dimostra che se f ðxÞ ¼ x2 , allora il punto c che Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi soddisfa la tesi del teorema di Lagrange relativamente 57 f ðxÞ ¼ 2x  1 ½0, 1 [Non applicabile] Þ alla funzione f e all’intervallo ½a, b, con a, b 2 R, e` la " # pffiffiffi ffiffi ffi p 3 media aritmetica di a e b. 58 f ðxÞ ¼ 3 3 x  x ½1, 0 c¼ Þ 9 1 68 Dimostra che se f ðxÞ ¼ , allora il punto c che Þ   x 1 59 f ðxÞ ¼ jx2  9j ½1, 2 c¼ Þ soddisfa la tesi del teorema di Lagrange relativamente 2 alla funzione f e all’intervallo ½a, b, con a, b 2 Rþ , e` la   3 media geometrica di a e b. 60 f ðxÞ ¼ sin x ½
, 2
 c ¼
Þ 2 69 Þ

Teoremi sulle funzioni derivabili

48 Þ

Unita` 6

47 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Determina i valori dei parametri a e b in modo che sia applicabile il teorema di Lagrange alla funzione ( x2 þ ax þ 1 x < 1 nell’intervallo ½0, 2. f ðxÞ ¼ x2 þ x þ b x  1  Devi imporre che la funzione sia continua nell’intervallo [0, 2] e derivabile nell’intervallo (0, 2).  Queste condizioni sono verificate se e solo se la funzione e` continua e derivabile nel punto x ¼ 1. Devi quindi imporre le seguenti condizioni: lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ

x!1

x!1

e

lim f 0 ðxÞ ¼ limþ f 0 ðxÞ

x!1

x!1

 Risolvendo il sistema nelle incognite a e b che ne scaturisce, troverai che deve essere: a ¼ 3 e b ¼ 1 361

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

70 Þ

Determina i valori dei parametri a e b in modo che sia applicabile il teorema di Lagrange alla funzione  x 0

per ogni x 2 R

(infatti il discriminante del trinomio 6x2  6x þ 6 e` negativo); dunque f 0 ðxÞ non si annulla mai. Cio` porta a una contraddizione, dunque l’equazione non puo` avere piu` di una soluzione. 73 Þ

Dimostra, utilizzando il teorema di Rolle, che l’equazione x3 þ 6x þ 1 ¼ 0 non puo` avere piu` di una soluzione

in R. 74 Þ

Dimostra, utilizzando il teorema di Rolle, che l’equazione 3x  1  cos x ¼ 0 non puo` avere piu` di una soluzione in R.

75 Þ

Dimostra, utilizzando il teorema di Rolle, che l’equazione x3  3x þ 4 ¼ 0 non puo` avere piu` di una soluzione nell’intervallo ½1, 1. 76 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Supponiamo che f sia una funzione derivabile in R, tale che f ð0Þ ¼ 3 e f 0 ðxÞ
2 per ogni x 2 R. Applicando il ` in generale, riteorema di Lagrange nell’intervallo [0, 4], dimostra che f ð4Þ
11. Dimostra quindi che, piu sulta f ðxÞ
3 þ 2x per ogni x 2 R.  Per ipotesi la funzione f e` derivabile (quindi continua) in tutto R. In particolare, possiamo allora applicare il teorema di Lagrange all’intervallo [0, 4] ed affermare che esiste c 2 ð0, 4Þ tale che: f ð4Þ  f ð0Þ ¼ f 0 ðcÞ ) f ð4Þ  3 ¼ 4 f 0 ðcÞ ) f ð4Þ ¼ 3 þ 4f 0 ðcÞ 40 per ipotesi f ð0Þ ¼ 3

 Sappiamo inoltre che f 0 ðxÞ
2 per ogni x 2 R, quindi in particolare f 0 ðcÞ
2. Ne segue che: f ð4Þ ¼ 3 þ 4 f 0 ðcÞ
3 þ 4  2 ¼ 11 In definitiva, quindi, f ð4Þ
11, che e` quanto volevamo dimostrare.  Il ragionamento precedente puo` essere ripetuto, anziche´ sull’intervallo [0, 4], sull’intervallo di estremi 0 e x, essendo x un numero reale arbitrariamente fissato. Ne viene che: f ðxÞ ¼ 3 þ x  f 0 ðcðxÞÞ
3 þ 2x per ogni x 2 R. 362

Abbiamo scritto cðxÞ anziche´ c perche´ c e` funzione di x

Supponi che f sia una funzione derivabile in R, tale che f ð0Þ ¼ 5 e f 0 ðxÞ
4 per ogni x 2 R. Applicando il teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 6], dimostra che f ð6Þ
29. Dimostra quindi che, piu` in generale, risulta f ðxÞ
5 þ 4x per ogni x 2 R.

Unita` 6

Supponi che f sia una funzione derivabile in R, tale che f ð0Þ ¼ 2 e f 0 ðxÞ  4 per ogni x 2 R. Applicando il teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 3] dimostra che f ð3Þ  14. Dimostra quindi che, piu` in generale, risulta f ðxÞ  2 þ 4x per ogni x 2 R.

Teoremi sulle funzioni derivabili

77 Þ

78 Þ

Supponi che f sia una funzione derivabile in R, tale che f ð0Þ ¼ 4 e f 0 ðxÞ  3 per ogni x 2 R. Qual e` il minimo valore possibile che puo` assumere f ð5Þ? [11] 79 Þ

Dimostra che non puo` esistere una funzione, derivabile in R, tale che f ð0Þ ¼ 3, f ð2Þ ¼ 6 e f 0 ðxÞ
1 per ogni x 2 R. Se si fa cadere l’ipotesi che la funzione sia derivabile in R, esistono invece delle funzioni f tali che f ð0Þ ¼ 3, f ð2Þ ¼ 6 e f 0 ðxÞ
1 per ogni valore di x per cui f e` derivabile: sai trovare un esempio di funzione siffatta? 80 Þ

81 Þ

Dimostra, utilizzando il teorema di Lagrange, che jsin a  sin bj
ja  bj per ogni a, b 2 R.   1 t þ1 1 82 Dimostra, utilizzando il teorema di Lagrange, che < ln per ogni t > 0. < Þ t þ1 t t pffiffiffi x1 83 Dimostra che arccos ¼
 2arctan x per ogni x  0. Þ xþ1
x  arctan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi per ogni 1 < x < 1. 2 1  x2 1þx
85 Dimostra che arctan ¼ þ arctan x per ogni x < 1. Sai determinare una analoga identita` per x > 1? Þ 1x 4 84 Þ

Dimostra che arccos x ¼

Esercizi riassuntivi sui teoremi di Rolle e Lagrange 86 Þ

Considera la funzione y ¼ jx2  4x þ 3j.

a. Stabilisci se e` applicabile il teorema di Rolle nell’intervallo [1, 1] e nell’intervallo [1, 3]. b. Stabilisci se e` applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo [2, 4]. In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l’esistenza. [a. E` applicabile solo in [1, 3], x ¼ 2; b. non e` applicabile] ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 87 Considera la funzione y ¼ x3  4x2 . Þ a. Stabilisci se e` applicabile il teorema di Rolle nell’intervallo [1, 1]. b. Stabilisci se e` applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 4]. c. Stabilisci se e` applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo [2, 6]. In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l’esistenza.   8 a. Non e` applicabile; b. e` applicabile, x ¼ ; c. non e` applicabile 3 2 88 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x  2x. Þ a. Determina per quale valore di a il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione nell’intervallo [1, a], con a > 1. In riferimento a questo intervallo, determina il punto di cui il teorema garantisce l’esistenza. b. Determina il massimo valore di b per cui e` applicabile il teorema di Lagrange alla funzione y ¼ jf ðxÞj nell’intervallo [2, b]. In riferimento al corrispondente intervallo, determina il punto di cui il teorema garantisce l’esistenza. [a. a ¼ 3, x ¼ 1; b. b ¼ 0, x ¼ 1] 89 Þ

Considera la funzione: ( 2x3 þ 4x2 x < 1 f ðxÞ ¼ ax2 þ b x1

a. Determina per quali valori di a e b il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione nell’intervallo [0, 2]. In corrispondenza dei valori di a e b trovati, determina i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza. b. Determina per quale valore di k il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione nell’intervallo [0, k], con k > 0. pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi   4 þ 97 7 ; b. k ¼ a. a ¼ 7, b ¼ 1; x ¼ 6 7 363

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

90 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼ x3  3x þ 2.

a. Stabilisci se esiste un intervallo del tipo [a, a], con a > 0, in cui e` applicabile il teorema di Rolle. In caso affermativo, determina l’intervallo e i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza. b. Stabilisci se il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione y ¼ jf ðxÞj nell’intervallo [3, 1] e nell’intervalpffiffiffi pffiffiffi  lo [0, 2]. a. L’intervallo ½ 3, 3]; i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza sono x ¼ 1; b. il teorema  non e` applicabile in [3, 1] perche´ la funzione non e` derivabile per x ¼ 2, mentre e` applicabile in [0, 2]

91 Þ

Considera la funzione:  x e þ2 x>0 f ðxÞ ¼ x3 þ ax þ b x
0

a. Determina per quali valori di a e b il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione nell’intervallo [1, 1]. b. Stabilisci se il teorema di Rolle e` applicabile alla funzione nell’intervallo [1, 0] e in caso affermativo determina i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza. c. Stabilisci se il teorema di Lagrange e` applicabile alla funzione nell’intervallo [0, 1] e in caso affermativo determina i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza. pffiffiffi   3 ; c. e` applicabile, x ¼ 1  ln ðe  1Þ a. a ¼ 1, b ¼ 3; b. e` applicabile, x ¼  3

2. Funzioni crescenti e decrescenti e criteri per l’analisi dei punti stazionari

TEORIA a p. 329

Esercizi preliminari 92 Þ

Vero o falso?

Sia f una funzione derivabile in un intervallo I e sia x0 un punto interno a I. a. se f 0 ðx0 Þ ¼ 0, allora x0 o e` un punto di minimo relativo o e` un punto di massimo relativo

V

F

0

00

V

F

0

0

c. se f ðx0 Þ ¼ 0 e f ðxÞ > 0 per ogni x 2 I con x 6¼ x0 , allora x0 e` un punto di flesso a tangente orizzontale

V

F

d. se f 0 ðx0 Þ ¼ 0 e f 00 ðx0 Þ ¼ 0, allora necessariamente x0 non e` un punto di estremo relativo

V

F

b. se f ðx0 Þ ¼ 0 e f ðx0 Þ > 0, allora x0 e` un punto di minimo relativo

0

0

0

e. se f ðx0 Þ ¼ 0 ed esiste un intorno destro di x0 in cui f e` negativa e un intorno sinistro di x0 in cui f e` positiva, allora x0 e` un punto di massimo relativo V F [3 affermazioni vere e 2 false] 93 Þ

Interpretazione di grafici. In figura e` rappresentato il grafico di una funzione polinomiale y ¼ f ðxÞ. y

y = f(x)

94 Þ

Interpretazione di grafici. In figura e` tracciato il grafico della derivata di una funzione y ¼ f ðxÞ. Stabilisci quali sono i punti stazionari della funzione f e se essi sono di massimo o minimo relativo o di flesso orizzontale. y

–2

O 2

5

x

–2

Tenendo conto delle informazioni che puoi «leggere» sul grafico, risolvi le disequazioni: a. f 0 ðxÞ > 0 364

b. f 0 ðxÞ < 0

y = f'(x)

O 2

4

x

b. Supponendo che esso sia il grafico della funzione y ¼ f 0 ðxÞ, determina gli intervalli in cui y ¼ f ðxÞ e` crescente e quelli in cui e` decrescente. y

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione f derivabile in R la cui derivata sia tale che: a. f 0 ðxÞ > 0 per 1 < x < 2 b. f 0 ðxÞ < 0 per x < 1 _ x > 2 c. f 0 ðxÞ ¼ 0 , x ¼ 1 _ x ¼ 2

97 Þ

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione f derivabile in R la cui derivata sia tale che: a. f 0 ðxÞ > 0 per x < 1 b. f 0 ðxÞ < 0 per x > 1 ^ x 6¼ 2 c. f 0 ðxÞ ¼ 0 , x ¼ 1 _ x ¼ 2

98 Þ

–2

1 O – 2

1

7 2

Puo` esistere una funzione f , derivabile in R, tale che f ðxÞ < 0 per ogni x 2 R e f 0 ðxÞ > 0 per ogni x 2 R? Fornisci un esempio di funzione che possiede queste proprieta` oppure spiega perche´ non puo` esistere.

5

x

Teoremi sulle funzioni derivabili

a. Supponendo che esso sia il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, determina gli intervalli in cui y ¼ f 0 ðxÞ e` positiva e quelli in cui e` negativa.

96 Þ

Unita` 6

95 Interpretazione di grafici. Considera il grafico Þ in figura.

99 Þ

Puo` esistere una funzione f , continua in R, tale che f 0 ðxÞ < 0 in un intorno destro di 1, f 0 ðxÞ > 0 in un intorno sinistro di 1 e x ¼ 1 e` un punto di minimo relativo? La risposta cambierebbe in assenza dell’ipotesi di continuita` della funzione in R?

Monotonia, massimi e minimi Determina gli intervalli dove le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti e gli eventuali punti di massimo, di minimo relativo e di flesso a tangente orizzontale. (Nelle risposte sono indicati gli intervalli aperti dove la funzione e` crescente e le ascisse degli eventuali punti di minimo, massimo o flesso.)   3 3 2 100 y ¼ x  3x þ 2 x > ; minimo per x ¼ Þ 2 2 101 Þ

y ¼ x3  3x

102 Þ

y ¼ 2x3 þ 9x2

103 Þ

y ¼ x3 þ 12x

104 Þ

y ¼ 4x3 þ 9x2

105 Þ

y¼

106 Þ

y ¼ 2x3  15x2 þ 24x þ 3

107 Þ

y ¼ x4  2x2

108 Þ

y ¼ 2x3 þ 3x2 þ 6x

109 y ¼ Þ

4 3 x  9x 3

2 3 1 2 x  x x 3 2

[x < 1 _ x > 1; massimo per x ¼ 1 e minimo per x ¼ 1] [x < 3 _ x > 0; massimo per x ¼ 3, minimo per x ¼ 0] [2 < x < 2; minimo per x ¼ 2, massimo per x ¼ 2]   3 3 0 < x < ; minimo per x ¼ 0, massimo per x ¼ 2 2   3 3 3 3 x <  _ x > ; massimo per x ¼  , minimo per x ¼ 2 2 2 2 [x < 1 _ x > 4; massimo per x ¼ 1, minimo per x ¼ 4] [1 < x < 0 _ x > 1; minimi per x ¼ 1, massimo per x ¼ 0] [Crescente per ogni x 2 R]  x 1; massimo per x ¼  e minimo per x ¼ 1 2 2

110 Þ

y ¼ x4  2x2

111 Þ

y ¼ ðx  2Þ3 ðx þ 1Þ2

112 Þ

y¼

1 4 4 3 3 2 x  x þ x 4 3 2

113 Þ

y¼

1 5 10 3 x  x þ 9x [x < 3 _ 1 < x < 1 _ x > 3; massimi per x ¼ 3 _ x ¼ 1, minimi per x ¼ 1 _ x ¼ 3] 5 3

[x < 0, massimo per x ¼ 0]   1 1 x < 1 _ x > ; massimo per x ¼ 1, minimo per x ¼ , flesso per x ¼ 2 5 5 [0 < x < 1 _ x > 3; minimo per x ¼ 0 _ x ¼ 3, massimo per x ¼ 1]

365

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

114 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

x3 e` crescente o decrescente e gli eventuali punti di 4 massimo relativo, di minimo relativo e di flesso a tangente orizzontale. Determiniamo gli intervalli dove la funzione y ¼

x2

 La funzione e` definita, continua e derivabile per: x2  4 6¼ 0 ) x 6¼ 2  Calcoliamo la derivata prima: y0 ¼

3x2 ðx2  4Þ  2x  x3 ðx2  4Þ2

¼

x2 ðx2  12Þ ðx2  4Þ2

 Abbiamo:

pffiffiffi pffiffiffi y 0 ¼ 0 , x ¼ 2 3 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2 3 pffiffiffi pffiffiffi y0 > 0 , x2  12 > 0 , x < 2 3 _ x > 2 3

Possiamo allora costruire il seguente schema. –2 3 f'

+

0

–2 −

E

−

2 3

2

0 −

0

E

−

0

+

x

Tema G

f max

flesso

min pffiffiffi pffiffiffi Da esso deduciamo che la funzione e` crescente negli intervalli ð1, 2 3Þ e ð2 3, þ1Þ, mentre e` decrescente nepffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi gli intervalli ð2 3, 2Þ, ð2, 2Þ e ð2, 2 3Þ. Inoltre x ¼ 2 3 e` un punto di massimo relativo, x ¼ 0 e` un punto pffiffiffi di flesso a tangente orizzontale e x ¼ 2 3 e` un punto di minimo relativo. E

E

Nota Per non commettere errori nello studio della derivata prima, occorre prestare attenzione a tenere sempre in considerazione il dominio della funzione di partenza. Per esempio, nel caso della funzione precedente, le condizioni sul dominio hanno imposto di considerare in modo diverso i punti x ¼ 0 e x ¼ 2: – per x ¼ 0 la derivata non cambia segno e la funzione e` definita, quindi abbiamo un punto di flesso; – anche per x ¼ 2 la derivata non cambia segno, ma non abbiamo potuto dire in questo caso di essere in presenza di punti di flesso, perche´ la funzione non e` ivi definita (presenta degli asintoti verticali). 115 y ¼ 4x þ Þ

366

1 x

 x ; massimo per x ¼  , minimo per x ¼ 2 2 2 2



116 Þ

y ¼xþ

9 x

117 Þ

y ¼1

2 x x

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [ 2 < x < 2; minimo per x ¼  2, massimo per x ¼ 2]

118 Þ

y ¼xþ

1 xþ1

[x < 2 _ x > 0; massimo per x ¼ 2, minimo per x ¼ 0]

119 Þ

y¼

120 Þ

[x < 3 _ x > 3; massimo per x ¼ 3, minimo per x ¼ 3]

x þ9

[3 < x < 3; minimo per x ¼ 3, massimo per x ¼ 3]

y¼

x2  1 x2 þ 1

[x > 0; minimo per x ¼ 0]

121 Þ

y¼

x2  4 x2  1

[x > 0, con x 6¼ 1; minimo per x ¼ 0]

122 Þ

y¼

x2  4 x3

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [2 3 < x < 2 3, con x 6¼ 0; minimo per x ¼ 2 3 e massimo per x ¼ 2 3]

123 Þ

y¼

x2  2x x4

124 Þ

y¼

125 Þ

y¼

x2

ðx  1Þ2 ðx þ 1Þ3 x2  4 ðx þ 1Þ2

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [x < 4  2 2 _ x > 4 þ 2 2; minimo per x ¼ 4 þ 2 2 e massimo per x ¼ 4  2 2] [1 < x < 5; minimo per x ¼ 1, massimo per x ¼ 5 [x < 4 _ x > 1; massimo per x ¼ 4]

y¼

x3 1 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [x <  3 _ x > 3; massimo per x ¼  3, flesso a tangente orizzontale per x ¼ 0, minimo per x ¼ 3]

x2

y¼

129 Þ

pffiffiffi y ¼ ðx  3Þ x

130 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ ðx  2Þ x2  1

[x < 0 _ 1 < x < 2; minimo per x ¼ 1]  x
0; massimo per x ¼ 4, minimo per x ¼ 0]

e2x x 1

1 3 2 x  x2   ln x 3 x

[x > 1, minimo per x ¼ 1] pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [x < 1  5 _ x > 1 þ 5, massimo per x ¼ 1  5, minimo per x ¼ 1 þ 5]   1 1 x > ; minimo per x ¼ 2 2 [x < 1 _ x > 0; massimo per x ¼ 1] [x < e1 _ x > e1 ; massimo per x ¼ e1 , minimo per x ¼ e1 ] [0 < x < 1 _ x > 2; massimo per x ¼ 1, minimo per x ¼ 2]

165 Þ

y ¼ sin3 x in ½0, 2
 
3

< x < 2
; massimo per x ¼ , flesso a tangente orizzontale per x ¼
, minimo per x ¼ 0 e 2 ; minimo per x ¼ e 2  1

2

1

1 2 x 4 [x <  _  < x < , con  2 ð1, 0Þ,  2 ð0, 1Þ,  2 ð5, 6Þ; massimo per x ¼  _ x ¼ , minimo per x ¼ ]

y ¼ x ln jxj 

[1 < x < 0 _ x > , con  2 ð0, 1Þ; minimo per x ¼ 1]

Stabilisci, utilizzando se possibile il metodo della derivata seconda, se i punti stazionari della funzione f ðxÞ ¼ x5  5x3 sono punti di massimo o minimo relativo.  Calcola la derivata prima e la derivata seconda: f 0 ðxÞ ¼ 5x4  15x2 ¼ 5x2 ð::::::::::Þ f 00 ðxÞ ¼ 5  4x:::  15  :::::::::: ¼ 10xð::::::::::Þ  Determina i punti stazionari: pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi f 0 ðxÞ ¼ 0 , x ¼  ::::: _ x ¼ 0 _ x ¼ :::::  Applica il criterio della derivata seconda: pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi f 00 ð ::::: Þ ¼ :::::::::: < 0 ) x ¼  ::::: e` un punto di :::::::::: f 00 ð0Þ ¼ 0 ) il test della derivata seconda non consente di concludere pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi f 00 ð ::::: Þ ¼ :::::::::: > 0 ) x ¼ ::::: e` un punto di ::::::::::  Per determinare la natura del punto x ¼ 0, stabilisci se la derivata prima cambia segno nell’intorno di x ¼ 0; dall’analisi del segno di y 0 puoi concludere che x ¼ 0 e` un punto di :::::::::: Stabilisci, utilizzando se possibile il metodo della derivata seconda, se i punti stazionari delle seguenti funzioni sono di massimo o minimo relativo. 179 Þ 180 Þ 181 Þ

y ¼ x5  5x

182 Þ

y¼

183 Þ

y ¼ x6  3x3

184 Þ

y ¼ sin x 

185 Þ

y ¼ xe2x

186 Þ

y ¼ sin3 x þ 3 cos2 x

y ¼ x5  5x2 y ¼ x4  4x2 þ 2 1 5 5 3 x  x þ 4x 5 3

1 cos 2x 2

[Massimo per x ¼ 1, minimo per x ¼ 1] pffiffiffi [Massimo per x ¼ 0, minimo per x ¼ 3 2] pffiffiffi [Minimi per x ¼  2, massimo per x ¼ 0] [Massimi per x ¼ 2 _ x ¼ 1; minimi per x ¼ 1 _ x ¼ 2]   ffiffiffiffiffiffi 1p 3 12 Flesso per x ¼ 0, minimo per x ¼ 2  
7
11
Massimi per x ¼ þ k
; minimi per x ¼ þ 2k
_ x ¼ þ 2k
2 6 6   1 Massimo per x ¼ 2  
Massimi per x ¼ k
, minimi per x ¼ þ k
2

369

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

187 Þ

y ¼ x2 ln x

188 Þ

y ¼ x4 

189 Þ

y ¼ ln x þ ln ð9  x2 Þ

3

[Minimo per x ¼ e 2 ]   1 Massimo per x ¼ 16 pffiffiffi [Massimo per x ¼ 3] 1

3 x 2

2 3 3 2 x  x þ 4x e` invertibile. 3 2 (Suggerimento: e` sufficiente mostrare che la funzione e` strettamente monotona) 190 Þ

Dimostra che la funzione y ¼

191 Þ

Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ x þ 1 þ arctan x e` invertibile.

(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)

Esercizi con parametri su massimi, minimi, funzioni crescenti e decrescenti 192 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo a e b in modo che il grafico della funzione y ¼ x3 þ ax2 þ bx þ 1 abbia un punto di estremo relativo di coordinate ð1, 2Þ.  Per determinare a e b servono due condizioni; possiamo imporre: a. che il punto ð1, 2Þ appartenga al grafico della funzione; b. che x ¼ 1 sia un punto stazionario per la funzione.  Sostituendo x ¼ 1 e y ¼ 2 nell’equazione della funzione, la prima condizione si traduce nell’equazione: 2 ¼ ð1Þ3 þ að1Þ2 þ bð1Þ þ 1 ) a  b ¼ 2

[*]

 La derivata prima e` y 0 ¼ 3x2 þ 2ax þ b; la condizione che x ¼ 1 sia un punto stazionario, cioe` y 0 ð1Þ ¼ 0, si traduce nell’equazione: 0 ¼ 3ð1Þ2 þ 2að1Þ þ b ) 2a  b ¼ 3

[**]

 Risolvendo il sistema formato dalle equazioni [*] e [**]:  a  b ¼ 2 2a  b ¼ 3 otteniamo che deve essere a ¼ 5, b ¼ 7. 193 Þ

Determina a e b in modo che il grafico della funzione y ¼ x3 þ ax2 þ bx þ 1 abbia un punto stazionario di coordinate (1, 2). [a ¼ 3, b ¼ 3] 194 Þ

Determina a e b in modo che il grafico della funzione y ¼ x3 þ ax2 þ bx þ c abbia un punto di estremo relativo di coordinate ð1, 3Þ e intersechi l’asse y in ð0, 3Þ. [a ¼ 2, b ¼ 1, c ¼ 3] 195 Þ

Determina a, b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x3 þ ax2 þ bx þ c intersechi l’asse y nel punto di coordinate (0, 1), avendo in tale punto tangente parallela alla retta di equazione y ¼ 2x, e presenti per x ¼ 2 un   punto di estremo relativo. 5 a ¼  , b ¼ 2, c ¼ 1 2 2 x þ kx ha un punto stazionario per x ¼ 2. In corrispondenza 196 Determina per quale valore di k la funzione y ¼ 2 Þ   x þ1 4 del valore di k trovato, stabilisci la natura del punto stazionario x ¼ 2. k ¼ , x ¼ 2 e` un punto di massimo 3 197 Þ

Determina a e b in modo che la funzione y ¼

punto di minimo relativo per x ¼ 2.

x2 þ a abbia un punto di massimo relativo per x ¼ 1 e un   xþb 1 a ¼ 2, b ¼  2

x2 þ ax þ b . Determina a e b in modo che presenti un punto di estremo relativo x per x ¼ 2 e che il suo asintoto obliquo passi per il punto di coordinate (3, 8). [a ¼ 5, b ¼ 4] 198 Þ

370

Considera la funzione y ¼

Considera la funzione y ¼

Determina il valore del parametro k in modo che la funzione y ¼ k sin x  2 cos x  1 presenti un punto di pffiffiffi
estremo relativo per x ¼ . [k ¼ 2 3] 3 pffiffiffi 201 Considera la funzione y ¼ ðx þ kÞ x. Determina per quali valori di k: Þ a. ammette un punto stazionario; b. ammette un punto di estremo relativo di ascissa uguale a 2; c. ammette un punto di estremo relativo di ordinata uguale a 2. [a. k
0; b. k ¼ 6; c. k ¼ 3] xþa Considera la funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . Determina per quali valori di a: x2 þ 4 a. non ammette punti di estremo relativo; b. ammette un punto di minimo relativo; c. ammette un punto di massimo relativo; d. ammette un punto stazionario di ascissa x ¼ 8.

202 Þ

203 Þ

 a. a ¼ 0; b. a < 0; c. a > 0; d. a ¼

1 2

Teoremi sulle funzioni derivabili

200 Þ

Unita` 6

ax2 þ 4x þ b . Determina a e b in modo che presenti un punto di estremo relativo x per x ¼ 4 e che la tangente al suo grafico nel punto di ascissa x ¼ 2 sia parallela alla bisettrice del secondo e del   quarto quadrante. 1 16 a¼ ,b¼ 3 3

199 Þ



2

Data la funzione y ¼ axebx , determina a e b in modo che il suo grafico abbia un massimo nel punto di coordi  pffiffiffi nate ð1, 2Þ. 1 a ¼ 2 e, b ¼  2

204 Þ

Determina a e b sapendo che il grafico della funzione y ¼ a cos 2x þ 4 sin x þ b ha un minimo nel punto di 
coordinate  , 2 . [a ¼ 2, b ¼ 5] 6 205 Þ

Data la funzione y ¼ a ln2 x þ b ln x, determina a e b in modo che il suo grafico abbia un minimo nel punto di coordinate ðe, 2Þ. [a ¼ 2, b ¼ 4]

kx2  4x þ k þ 3 , verifica che per ogni k 2 R essa ha due punti di estremo relativo. Dex2 þ 1 termina per quali valori di k uno dei due punti di estremo relativo ha ordinata nulla. [k ¼ 4 _ k ¼ 1] 206 Þ

Data la funzione y ¼

a , determina per quale valore di a il minimo valore assunto dalla funzione e` 3. x [a ¼ e2 ] 3 1 2 a , determina per quali valori di a essa ha un punto di minimo relativo di ordi208 Data la funzione y ¼ x þ Þ x 2 nata uguale a 6. [a ¼ 2] 207 Þ

Data la funzione y ¼ ln x þ

209 Þ

Data la funzione y ¼ x3  kx2 þ 3x  1, determina per quali valori di k essa ammette punti stazionari e questi ultimi sono tutti punti di flesso. [k ¼ 3]

Determina a e b in modo che la funzione y ¼ e2x þ aex þ b presenti un punto di estremo relativo di coordinate ðln 3, 2Þ. [a ¼ 54, b ¼ 25] 210 Þ 211 Þ

Data la funzione y ¼ ax3 þ bx2 þ 2x  1, stabilisci quali condizioni devono soddisfare i parametri a e b in mo  do che la funzione presenti un punto di massimo relativo per x ¼ 1. 3a 2 þ1ea> b¼ 2 3 x2 þ a 212 Considera la funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . Determina per quali valori di a: Þ x2 þ 4 a. ammette un solo punto di estremo relativo; b. ammette un massimo relativo di ordinata 5;

c. ammette un minimo relativo nel punto di ascissa 2; d. ammette due minimi relativi di ordinata 8. [a. a
8; b. a ¼ 10; c. a ¼ 12; d. a ¼ 20]

ax3 þ bx2 þ cx Trova i valori dei parametri a, b, c tali che la funzione y ¼ abbia un punto di massimo per 3x  2   8 56 x ¼ 1, passi per il punto A 1,  . [a ¼ 2, b ¼ 4, c ¼ 2] e la tangente in A abbia coefficiente angolare 5 25 213 Þ

214 Determina per quale valore di a, con a > 0 e a 6¼ 1, il punto di massimo relativo della funzione y ¼ loga x  x Þ 1 ha ordinata nulla. [a ¼ e e ]

371

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

215 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo per quali valori di k la funzione y ¼ x3  kx2 þ 2x  2 e` strettamente crescente.  La funzione data soddisfa la condizione richiesta se e solo se risulta y0  0 per ogni x 2 R.  Quest’ultima condizione, essendo y0 ¼ 3x2  2kx þ 2, e` verificata quando il discriminante dell’equazione 3x2  2kx þ 2 ¼ 0 e` minore o uguale a zero, cioe` quando: k2  6
0

Abbiamo calcolato


, utilizzando la formula ridotta 4

pffiffiffi pffiffiffi  Ne deduciamo che deve essere  6
k
6. 216 Þ

pffiffiffi pffiffiffi Determina per quali valori di a 2 R la funzione y ¼ x3  ax2 þ x þ 1 e` strettamente crescente. [ 3
a
3]

1 3 [0
k
3] x þ k2 x  3kx e` strettamente decrescente. 3   1 1 2 2 3 ` 218 Determina per quali valori di k la funzione y ¼ ðk  1Þx  kx þ kx  x e strettamente decrescente. k
Þ 3 2 3 217 Þ

Determina per quali valori di k la funzione y ¼ 

219 Þ 220 Þ

Determina per quali valori di a 2 R la funzione y ¼ ex  ax e` strettamente crescente.

[a
0] pffiffiffi [a
2 2]

Determina per quali valori di a 2 R la funzione y ¼ e2x  aex þ x e` strettamente crescente. 4 221 Verifica che la funzione y ¼ x þ  k ln jxj ammette sia un punto di minimo relativo sia un punto di massiÞ x mo relativo per ogni k 2 R. 222 Þ

Considera la funzione y ¼ 3 sin 2x  kx þ 1 e determina per quali valori di k non ammette ne´ punti di minimo relativo, ne´ punti di massimo relativo. [k
6 _ k  6] 1 2 223 Determina per quali valori di a 2 R la funzione y ¼ ða  1Þ sin 2x  ða þ 5Þx  1 non ha ne´ massimi ne´ miÞ 2 nimi. [2
a
3]

3. Problemi di ottimizzazione

TEORIA a p. 335

Massimi e minimi assoluti 224 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Determina, se esistono, il minimo e il massimo assoluto delle seguenti funzioni nell’intervallo indicato: h p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
i ln x 3 b. y ¼ in ð0, þ1Þ a. y ¼ cos2 x in 
, 2 x h i
a. Osserva che l’intervallo 
, e` chiuso e limitato, quindi in base al teorema di Weierstrass e` garantita l’esi2 stenza del minimo e del massimo assoluto. Per determinarli segui i seguenti passi: 2 sin x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ;  calcola la derivata prima e verifica che y0 ¼  p 3 3 cos x h i
la funzione ha due punti stazionari (di cui uno coincidente con un estre deduci che nell’intervallo 
, 2 mo dell’intervallo considerato) e non e` derivabile per x ¼ :::::;  confronta i valori assunti dalla funzione in corrispondenza dei punti stazionari, dei punti di non derivabilita` e degli estremi dell’intervallo dato; troverai cosı` che il minimo assoluto della funzione nell’intervallo dato vale :::::::::: e il massimo assoluto vale :::::::::: b. Osserva che l’intervallo ð0, þ1Þ non e` chiuso e limitato, quindi non e` garantita l’esistenza del minimo e del massimo assoluto. Per stabilirlo segui i seguenti passi: 1  ln x ;  calcola anzitutto la derivata prima e verifica che: y0 ¼ x2  deduci che nell’intervallo ð0, þ1Þ la funzione e` sempre derivabile e ammette un unico punto stazionario, x ¼ :::::;  calcola limþ f ðxÞ e lim f ðxÞ; x!0

x!þ1

 dal confronto tra il valore assunto dalla funzione in corrispondenza del punto stazionario e i valori dei limiti, puoi concludere che nell’intervallo ð0, þ 1Þ la funzione non ammette :::::::::: assoluto (l’estremo inferiore e` ::::::::::), mentre ammette massimo assoluto, uguale a e1 . 372

y ¼ x3  3x  1

½2, 0

226 Þ

y¼

x þ1 x2

½3, 1

[min ¼ 3; max ¼ 1] pffiffiffi [min ¼ 2; max ¼ 4  2 5]

227 Þ

y ¼ x4  2x2

½0, 2   1 ,2 2

[min ¼ 1; max ¼ 8]   5 min ¼ 2, max ¼ 2

2

1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 229 y ¼ x 4  x2 Þ 228 Þ

y ¼xþ

½0, 2

230 Þ

y ¼ x  cos x

231 Þ

y¼

232 Þ

y ¼ jx2  4j

233 Þ

y¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x  x3

½0, 2

234 Þ

y¼

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x3  x2

½0, 2

235 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 3  2 jx þ 1j

½2, 0

236 Þ

y ¼ x3 þ 3jxj

½2, 0

237 Þ

y ¼ 2 sin x  x

½0, 2

238 Þ

y ¼ x3  3jxj

½1, 2

239 Þ

y ¼ sin2 x þ cos x

½0,


240 Þ

y ¼ tan x  2x

h
0, 2

241 Þ

y ¼ x2 þ

ln x x2

½
,


[min ¼ 1 
; max ¼ 1 þ
]   1 min ¼ 0, max ¼ 2e

½1, 3

1 x

x2  1 x2 þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 4 243 y ¼ Þ xþ2 242 Þ

[min ¼ 0, max ¼ 2]

y¼

½3, 1

ð0, þ1Þ ð1, þ1Þ

[min ¼ 0, max ¼ 5]  ffiffiffi 4p 4 min ¼ 0, max ¼ 3 3   ffiffiffi pffiffiffi 1p 3 min ¼  4, max ¼ 3 4 3 

[min ¼ 1, max ¼ 3] 

[min ¼ 2; max ¼ 2]  pffiffiffi
min ¼ 2 sin 2  2; max ¼ 3  3

[min ¼ 4; max ¼ 2]  5 min ¼ 1; max ¼ 4  
min ¼ 1  ; sup ¼ þ1, max non esiste 2   ffiffiffi 3p 3 min ¼ 2, sup ¼ þ1, max non esiste 2   min ¼ 1, sup ¼ 1, max non esiste 

 ½0, þ1Þ

244 Þ

y ¼ x ex

½0, þ1Þ

245 Þ

y ¼ ðarctan xÞ2

½1, þ1Þ

Teoremi sulle funzioni derivabili

225 Þ

Unita` 6

Determina, se esistono, il minimo e il massimo assoluto di ciascuna funzione, nell’intervallo indicato a fianco.

pffiffiffi  2 max ¼ 1, min ¼ 2

[min ¼ 0, max ¼ e1 ]  
2 , max non esiste min ¼ 0, sup ¼ 4

Problemi di massimo e di minimo numerici 246 Þ

Determina il numero reale positivo tale che la differenza tra il cubo del numero e il triplo del quadrato del numero stesso sia la minima possibile. [2] 247 Þ

Determina il numero reale positivo tale che la differenza tra il quadruplo del quadrato del numero e un terzo del cubo del numero stesso sia la massima possibile. [8] 248 Þ

Determina il numero reale positivo tale che la somma tra il numero stesso e il doppio del suo reciproco sia pffiffiffi minima. [ 2] 249 Þ

Determina il numero reale positivo tale che la somma tra il doppio del suo quadrato e il suo reciproco sia mi  ffiffiffi nima. 1p 3 2 2 373

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

250 Due numeri reali non negativi hanno somma 2. Determina i due numeri in modo che sia massimo il prodotÞ   to del primo per il quadrato del secondo. 2 4 , 3 3

Tema G

255 Verifica che, tra tutti i triangoli isosceli aventi perimetro assegnato, uguale a 2p, quello di area massima e` Þ  quello equilatero. Sia ABC il triangolo, isoscele sulla base AB; ponendo AB ¼ 2x,  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p la funzione che esprime l’area del triangolo risulta AðxÞ ¼ x p2  2px; massimo per x ¼ 3

251 Due numeri reali non negativi hanno somma 2. Determina i due numeri in modo che sia massimo il prodotÞ   to del primo per il cubo del secondo. 1 3 , 2 2 252 Due numeri reali non negativi hanno somma 3. Determina i due numeri in modo che sia massimo il prodotÞ   to del quadrato del primo per il cubo del secondo. 6 9 , 5 5

Problemi di massimo e di minimo di geometria nel piano 253 Þ

Tra i rettangoli di area 4a2 , trova quello di diagonale minima.

[Quadrato]

254 Þ

Tra i triangoli rettangoli di area a2 , dimostra che quello di ipotenusa minima e` quello isoscele. E` possibile determinare un triangolo di ipotenusa massima?  Ponendo uguale a x la misura di un cateto, la funzione che esprime la misura dell’ipotenusa rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffi 4a4 e` y ¼ x2 þ 2 ; minimo per x ¼ a 2, cui corrisponde un triangolo isoscele x

256 Verifica che, tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, quello di area massima e` Þ quello equilatero. 257 Verifica che, tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, quello di perimetro massimo Þ e` quello equilatero. 258 Þ

Tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, e` possibile individuarne uno di perimetro minimo? 259 Þ

Verifica che, tra tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza di raggio r, quello di area massima e` il quadrato.

260 Þ

Sia ABCD un quadrato il cui lato misura 1 e sia P un punto sul lato AB. Considera, sul prolungamento di BC dalla parte di C, il punto Q tale che AP ¼ CQ e indica con R il punto in cui la retta PQ incontra il lato CD del quadrato. Determina la distanza di P da A in modo che la lunghezza del segmento RC sia massima.  x  x2 ; Ponendo AP ¼ x, la funzione che esprime la lunghezza del segmento RC e` y ¼ 1þx  pffiffiffi il massimo si ha per x ¼ 2  1 pffiffiffi 261 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB ¼ 6a, i cui lati obliqui misurano 3a 5. Determina il punto P, sull’alÞ tezza CH del triangolo relativa ad AB, per cui la somma delle distanze di P dai tre vertici del triangolo e` minima. pffiffiffi [PH ¼ a 3] 262 Considera un triangolo equilatero ABC il cui lato misura l. Fra i rettangoli inscritti nel triangolo, aventi un laÞ to sulla base AB, determina:  a. quello di area massima; b. quello di diagonale minima. Indicata con x la misura del lato del rettangolo su AB, l’area  l 3l e` massima per x ¼ ; la diagonale e` minima per x ¼ 2 7 263 Sia PQRS un rettangolo in cui il lato PQ misura 4 e il lato QR misura 2. Verifica che, tra i triangoli isosceli ABC Þ circoscritti al rettangolo la cui base AB contiene PQ, quello di area minima ha l’altezza relativa ad AB congruente  alla meta` di AB. 2x2 ; Ponendo AB ¼ 2x, si trova che l’area del triangolo ABC e` espressa dalla funzione AðxÞ ¼ x  2

l’area e` minima per x ¼ 4; si verifica che in tal caso l’altezza e` la meta` della base 374

D

C r

A

B

O

h

2x E

F

x¼

i r pffiffiffiffiffiffi ð 73  1Þ 12

266 Determina la minima area di un triangolo isoscele circoscritto a una circonferenza di raggio r. Þ (Suggerimento: puo` essere utile indicare con x la distanza del centro della circonferenza dal vertice del triangolo pffiffiffi isoscele) [3r 2 3]

Teoremi sulle funzioni derivabili

265 In figura, CDEF e` un rettangolo. Determina x in moÞ do che l’area del pentagono BCDEF, inscritto nella circonferenza di diametro AB, centro O e raggio r, sia massima.

Unita` 6

264 Considera una semicirconferenza di diametro AB e raggio r. Considera poi un trapezio ABCD inscritto nella Þ semicirconferenza e determina la misura della base minore in modo che l’area del trapezio sia massima.   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 2 Ponendo CD ¼ 2x, la funzione che esprime l’area del trapezio e` AðxÞ ¼ ðr þ xÞ r  x ; l’area e` massima per x ¼ 2



267 Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r. Traccia una corda CE della semicirconÞ ferenza, parallela ad AB (con C piu` vicino a B che ad AÞ e indica con D il punto medio dell’arco CE. Determina la misura della corda EC in modo che l’area del pentagono ABCDE sia massima. pffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 2 2 , Ponendo CE ¼ 2x la funzione che esprime l’area e` AðxÞ ¼ r r  x þ rx; massimo per x ¼ 2  nel qual caso la corda CE e` il lato del quadrato inscritto nella circonferenza di centro O e raggio r 268 Þ

Considera un quadrato ABCD il cui lato misura 2 e indica con M il punto medio del lato CD. Indica con P un punto sul lato AD e con Q il punto di intersezione con il lato AB della retta passante per P e perpendicolare alla retta PM. Determina la posizione di P in modo che la somma delle aree dei triangoli APQ e PDM sia massima.  1 Posto PA ¼ x, la funzione che esprime la somma delle aree e` y ¼ ð2  xÞðx2 þ 1Þ; 2  la somma delle aree e` massima quando P coincide con il punto A o con il punto medio di AD

269 Þ

Le due circonferenze 1 e 2 in figura, rispettivamente di centri A e B, sono tangenti esternamente tra loro e ulteriormente tangenti alla retta r, rispettivamente in D e C. Supposto che il raggio di 1 sia x e che CD ¼ a, esprimi in funzione di x l’area del trapezio ABCD e determina per quale valore di x tale area e` minima.

D

a La funzione che esprime l’area del trapezio e` y ¼ 2

r

C

x A



a2 xþ 4x

B γ2

γ1



a



a e il minimo si ha per x ¼ 2



270 Þ

Problemi nella storia /1 Durante il periodo Edo (1603-1868), il Giappone visse una fase di isolamento, nel corso della quale gli studi di matematica non furono influenzati dai contemporanei sviluppi in Occidente. In questi anni, lo sviluppo della matematica giapponese fu comunque favorito dall’abitudine di incidere su tavolette di legno, dette sangaku, le proprieta` matematiche interessanti e le soluzioni ai problemi piu` impegnativi che venivano scoperte. Queste tavolette erano C F poi dedicate a un altare o a un tempio, e appese alle travi del soffitto. Per la E maggior parte i sangaku trattano argomenti di geometria euclidea. Un prox blema proposto in un sangaku, che ti invitiamo a risolvere, e` il seguente. «Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC che misurano rispettivaB A D mente a e x. Costruito il quadrato ACFD, nello stesso semipiano di origine AB in cui giace il triangolo, determina x in modo che sia massima l’area del a triangolo DBE tratteggiato».



x a ða  xÞ2 ; il massimo si ottiene quando x ¼ Indicata con y l’area del triangolo DBE, si trova che y ¼ 2a 3

 375

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

271 Þ

Problemi nella storia /2 Ecco un altro problema proposto in un sangaku (vedi l’esercizio precedente), che ti proponiamo di risolvere. «Un rombo ABCD ha lato obliquo di misura a e diaC gonale minore AC di misura 2x. Internamente al rombo viene costruito il quadrato AECF avente la diagonale AC in comune con il rombo. x Determina x in modo che l’area della regione colorata in verde F E D B sia massima». x a



qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  A  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi a 2 2 Indicata con y l’area della regione colorata, si trova che y ¼ 2 x a2  x2  x2 ; massimo per x ¼ 2

272 Þ

Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC, in cui il cateto AB misura 6 e il cateto AC misura 8. Sia P un punto sul lato AB la cui distanza da B e` uguale a x. a. Considerato un punto Q sull’ipotenusa BC, determina la distanza di Q da B (espressa in funzione di x) in modo che l’area del triangolo PBQ sia uguale a 4. b. Nell’ipotesi che Q sia il punto che soddisfa la condizione espressa in a., indica con M il punto medio del cateto AC e determina x in modo che l’area del triangolo PQM sia minima.   pffiffiffi pffiffiffi 10 ; b. l’area minima, uguale a 4 6  4, si ottiene quando x ¼ 6 a. QB ¼ x

273 Þ

Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, i cui lati obliqui misurano a. Indica: a. con H il piede dell’altezza relativa ad AB; b. con P la proiezione di H su AC; c. con Q la proiezione di H su BC;

Determina la misura della base AB in modo che la lunghezza di PQ sia massima.  2 Ponendo AB ¼ 2x, si trova che la funzione che rappresenta la lunghezza di PQ e` f ðxÞ ¼ 2 ða2 x  x3 Þ; a pffiffiffi pffiffiffi  a 3 2a 3 , quindi AB ¼ il massimo viene raggiunto quando x ¼ 3 3 274 Considera un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa AB ¼ a. Determina la misura x del cateto AC in modo Þ che, tracciata la circonferenza avente centro in A e passante per C e indicato con D il suo punto d’intersezione con AB, la misura del segmento CD sia massima. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   2x3 2 ; massimo per x ¼ a La funzione che esprime la misura del segmento e` y ¼ 2x2  a 3

Problemi di massimo e di minimo di geometria nello spazio 275 Þ

Considera un parallelepipedo rettangolo i cui spigoli di base misurano 8 e 6 e la cui altezza misura x. Da tale parallelepipedo viene tolto un cubo il cui spigolo misura x, come indicato in figura. Per quale valore di x il prisma che ne risulta ha volume massimo?

6 x

8

x

x

[x ¼ 4]

276 Una piramide regolare a base quadrata ha spigolo laterale di lunghezza a. Determina l’altezza della piramide Þ " pffiffiffi # in modo che abbia volume massimo. a 3 3



376

277 Þ

Determina il massimo volume di un cono retto inscritto in una sfera di raggio r.

278 Þ

Determina la massima area della superficie laterale di un cono retto inscritto in una sfera di raggio r. "

32 3
r 81



pffiffiffi # 8
r 2 3 9

 4 3 pffiffiffi
r 3 9

Determina il massimo volume di un cilindro retto inscritto in una sfera di raggio r.

280 Þ

Determina la massima area della superficie laterale di un cilindro retto inscritto in una sfera di raggio r.

281 Þ

Determina il minimo volume di un cono retto circoscritto a una sfera di raggio r.

282 Þ

Determina l’area minima della superficie laterale di un cono retto circoscritto a una sfera di raggio r. pffiffiffi [
r 2 ð3 þ 2 2Þ]

283 Þ

Determina l’area minima della superficie totale di un cono retto circoscritto a una sfera di raggio r.

284 Þ

Determina il minimo volume di un cono retto circoscritto a un cilindro retto avente raggio r e altezza h.   9 2
r h 4

285 Þ

Dato un cono retto, di raggio r e altezza h, determina raggio e altezza del cilindro inscritto avente:   r h 2 h a. , ; b. r, 2 2 3 3

[2
r 2 ]   8 3
r 3

[8
r 2 ]

Teoremi sulle funzioni derivabili

279 Þ

Unita` 6



a. area laterale massima; b. volume massimo.

286 Determina x in modo che la «clessidra», colorata in verde, inscritta Þ nella sfera di raggio r abbia volume massimo.

x r x

h r pffiffiffii 3 3 287 Determina x in modo che il volume del solido colorato in verde, Þ inscritto nella sfera avente raggio r, abbia volume massimo.

x r x

h r pffiffiffiffiffiffi i ð 13  1Þ 6 288 Sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura a. Considera un punto P sul lato AC e traccia da P la paralleÞ la ad AB e la parallela a BC. Indica con Q il punto in cui la parallela a BC interseca il lato AB e con R il punto in cui la parallela ad AB interseca il lato BC. Determina P in modo che il volume del solido generato da una rotazione completa del parallelogramma PQBR intorno alla retta AB sia massimo.  Ponendo AP ¼ x, il volume del solido e` espresso

dalla funzione VðxÞ ¼

3 2
ðax2  x3 Þ; il massimo si ottiene per x ¼ a 4 3



289 Sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura a. Considera un punto P sul lato AC e indica con Q la sua Þ proiezione ortogonale sul lato AB e con R il punto in cui la parallela ad AB passante per P incontra il lato BC. Determina P in modo che il volume del solido generato da una rotazione completa del quadrilatero PQBR intorno alla  retta AB sia massimo.
Ponendo AP ¼ x, il volume del solido e` espresso dalla funzione VðxÞ ¼ ð6ax2  5x3 Þ; 8  4 il massimo si ottiene per x ¼ a 5 290 Tra le piramidi quadrangolari regolari la cui superficie laterale ha area S, determina la misura dello spigolo di Þ 2sffiffiffiffiffiffiffi 3 base di quella avente volume massimo. 2 4 4 S 5 3

377

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

291 Þ

Tra le piramidi quadrangolari regolari aventi volume V, determina la misura dello spigolo di base dipquella ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 avente la superficie laterale di area minima. [ 18V 2 ]

292 Þ

Considera i prismi retti aventi come base un triangolo equilatero e di volume a3 . Determina la misura dello pffiffiffi spigolo di base in modo che l’area della superficie totale del prisma sia minima. [a 3 4]

293 Þ

Tra le piramidi rette a base quadrata circoscritte a una semisfera di raggio r, determina la misura dell’altezza di quella avente: a. la superficie totale di area minima;  b. il volume minimo. Indichiamo con x l’altezza della piramide; a. l’area della superficie totale 4rx2 e il minimo si ottiene per x ¼ 2r; xr  pffiffiffi 4x3 r 2 b. il volume e` espresso dalla funzione VðxÞ ¼ e il minimo si ottiene per x ¼ r 3 3ðx2  r 2 Þ e` espressa dalla funzione SðxÞ ¼

294 Þ

Tra i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, determina: a. quello che in una rotazione completa intorno all’altezza genera il cono di volume massimo; b. quello che in una rotazione completa intorno alla base genera il solido di volume massimo.  4 Ponendo uguale a x la misura dell’altezza del triangolo, nel caso a il massimo si ha per x ¼ r 3  5 e nel caso b per x ¼ r 3 4 3 295 Il volume di una piramide quadrangolare di altezza h e` h . Conduci un piano parallelo alla base, che interÞ 3 seca la piramide individuando un quadrilatero. Proietta ortogonalmente il quadrilatero sezione sulla base della piramide stessa, ottenendo cosı` un prisma retto. Determina la posizione del piano in modo che il prisma abbia volu  me massimo. h Indicata con x la distanza del piano dalla base della piramide, il volume e` massimo per x ¼ 3 296 Þ

E` data una piramide retta di base quadrata ABCD e vertice V. Il lato di base della piramide misura a e l’altezza della piramide misura 2a. Seziona la piramide con un piano  parallelo alla base della piramide e indica con  il cerchio inscritto nella sezione ottenuta. Costruisci il cilindro che ha per basi  e la proiezione di  sul piano che contiene il quadrato ABCD. a. Determina a quale distanza dal vertice V deve essere condotto il piano  in modo che il cilindro abbia volume massimo. b. Verifica che in corrispondenza del piano di cui al punto precedente e` massima anche la superficie totale del   cilindro. 4a a. 3 297 Dato un quadrato ABCD di lato 4a, indica con V il punto sulla perpendicolare in A al piano del quadrato, tale Þ che VA ¼ 3a. Considera quindi la piramide di base ABCD e vertice V. a. Determina l’area della superficie totale della piramide. b. Calcola l’angolo che ciascun spigolo laterale della piramide forma con il piano di base. c. Calcola l’angolo diedro che la faccia VBC forma con il piano di base. d. Traccia un piano  parallelo al piano di base della piramide e indica con A0 B0 C0 D0 la sezione che esso individua sulla piramide stessa. Proietta il poligono sezione sul piano di base in A00 B00 C00 D00 . Determina la distanza del piano  dalla base della piramide, in modo che sia massimo il volume del prisma che ha per basi i due poligoni A0 B0 C0 D0 e A00 B00 C00 D00 .  3 ’ 37 ; a. 48a2 ; b. lo spigolo VA forma con la base un angolo retto, lo spigolo VB un angolo di ampiezza arctan pffiffiffi 4 3 2 ’ 30 ; VD un angolo di ampiezza uguale a quello formato da VB; VC un angolo di ampiezza arctan 8  3 c. coincide con l’angolo formato dallo spigolo VB con la base, quindi ha ampiezza arctan ’ 37 ; d. distanza ¼ a 4

378

298 Þ

Determina la massima area della superficie totale di un cono retto inscritto in una sfera di raggio r.  2  pffiffiffiffiffiffi
r ð107 þ 51 17Þ 128

299 Þ

Determina la massima area della superficie totale di un cilindro retto inscritto in una sfera di raggio r. pffiffiffi [
r 2 ð1 þ 5Þ]

300 Þ

Determina il punto P appartenente alla curva di equazione y ¼ Að2, 0Þ.

2 aventi minima distanza dall’origine O. Detto x2 pffiffiffi P uno di tali punti, verifica che la retta OP e` perpendicolare alla tangente in P alla curva. [ð 2, 1Þ]

301 Þ

Determina i punti appartenenti alla curva di equazione y ¼

302 Þ

Considera una generica retta passante per Pð3, 4Þ, di coefficiente angolare negativo, e indica con A e B, rispettivamente, i suoi punti di intersezione con l’asse x e con l’asse y. Determina l’equazione della retta in corrispon" pffiffiffi  denza della quale e` minima la somma dell’ascissa di A con l’ordinata di B. pffiffiffi 2 3 xþ4þ2 3 y¼ 3 303 Þ

Determina il punto P appartenente alla parabola di equazione y ¼ x2 þ 1 che ha distanza minima dalla bisetpffiffiffi     trice del primo e del terzo quadrante. Qual e` la minima distanza? 1 5 3 2 P , ; distanza minima ¼ 8 2 4

Teoremi sulle funzioni derivabili

pffiffiffi x avente distanza minima dal punto " pffiffiffi !# 6 3 P ; 2 2

Unita` 6

Problemi di massimo e di minimo di geometria analitica

304 Fra le rette passanti per il punto P(2, 3) che intersecano l’asse x in un punto A di ascissa positiva e l’asse y in Þ un punto B di ordinata positiva, determina quella per cui e` minima l’area del triangolo AOB, essendo O l’origine degli assi. [Se si indica con m il coefficiente angolare della retta passante per P,  ð2m  3Þ2 3 , con m < 0; y ¼  x si trova che la funzione da rendere minima e` AðmÞ ¼  2m 2

1 5 Determina il punto P della curva di equazione y ¼ x7  4x4 þ , in cui la retta tangente ha coefficiente an7 7 golare minimo. [Pð2, 45Þ] 305 Þ 306 Þ

Considera la funzione y ¼

2x e tracciane il grafico. Sull’arco di curva contenuto nel primo quadrante, dexþ1

termina il punto P tale che, dette H e K rispettivamente le sue proiezioni sull’asse x e sull’asse y, il rettangolo OHPK pffiffiffi pffiffiffi abbia area massima, essendo O l’origine degli assi. [Pð 3  1, 3  1Þ] 307 Þ

Considera la funzione definita dall’equazione y ¼

ðk  1Þx  1 . kx þ 1

a. Determina per quali valori di k rappresenta un’iperbole. b. Supposta verificata la condizione di cui al punto precedente, determina k in modo che la distanza del centro   dell’iperbole dall’origine sia minima. 1 a. k 6¼ 0 ^ k 6¼ ; b. k ¼ 2 2 308 Þ

Data la parabola di equazione y ¼ 4x  x2 , considera il segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x. Fra i rettangoli inscritti nel segmento parabolico, con un lato sull’asse x, determina:  a. quello di perimetro massimo; b. quello di area massima. a. il rettangolo che ha un lato sulla retta di equazione y ¼ 3;  8 b. il rettangolo che ha un lato sulla retta di equazione y ¼ 3

309 Þ

Considera la parabola di equazione y ¼ 4  x2 e indica con A e B (con xA < xB ) i suoi punti di intersezione con l’asse x. Determina le coordinate dei vertici C e D del trapezio isoscele ABCD, inscritto nel segmento parabolico di base AB, di area massima.  Ponendo uguale a x l’ascissa di C, la funzione area del trapezio e` y ¼ ð2 þ xÞð4  x2 Þ;     2 32 2 32 C , ;D  , 3 9 3 9 310 Þ

Data la parabola di equazione y ¼ x2  2x, determina il punto P della parabola la cui distanza dal punto " pffiffiffi pffiffiffi !# Qð2, 1Þ e` minima. 3þ 3 3 , P 2 2 379

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

311 Fra le rette passanti per il punto Pð2, 4Þ che intersecano l’asse x in un punto A di ascissa positiva e l’asse y in Þ un punto B di ordinata positiva, determina quella per cui e` minima la lunghezza del segmento AB.  Indicando con m il coefficiente angolare di una generica retta passante per P, la funzione lunghezza  ffiffiffi p 2ðm  2Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 ` m þ 1, con m < 0; y ¼ x 2 da rendere minima e lðmÞ ¼ m 312 Þ

Considera la parabola 1 di equazione y ¼ x2 e la parabola 2 di equazione y ¼ 4x  x2 .

a. Determina per quali valori di t la retta di equazione y ¼ t interseca sia la prima sia la seconda parabola. b. Supposta verificata la condizione di cui al punto precedente, sia AB la corda staccata dalla retta su 1 e CD la corda staccata dalla retta su 2 . Determina la retta in corrispondenza della quale AB þ CD e` massima. [a. 0
t
4; b. t ¼ 2] 313 Þ

Data la parabola di equazione y ¼ x2 , traccia due rette perpendicolari, passanti per l’origine O, che intersechino la parabola rispettivamente in A e B (oltre a OÞ. Determina tali rette in modo che sia minima l’area del triangolo AOB. [y ¼ x]

314 Fra i punti di ascissa positiva appartenenti all’iperbole di equazione xy ¼ 4, determina il punto P avente diÞ stanza minima dalla retta r di equazione y ¼ 2x. Verifica che la tangente in P all’iperbole e` parallela alla retta r. pffiffiffi pffiffiffi [Pð 2, 2 2Þ] 315 Þ

Date le parabole di equazioni y ¼ x2 þ 4x þ 3 e y ¼ x2  2x þ 1, determina una retta parallela all’asse x che le interseca entrambe, in modo che la somma delle misure delle due corde staccate sulle parabole dalla retta sia   massima. 7 y¼ 2 316 Considera la parabola  con asse verticale, avente vertice in Vð2, 0Þ e passante per il punto Að0, 4Þ. Þ

317 Þ

Considera l’ellisse di equazione





a. Scrivi l’equazione di . b. Scrivi l’equazione della parabola  0 , simmetrica di  rispetto all’asse y, indicando con V 0 il vertice di  0 . c. Condotta una retta y ¼ t, che interseca l’arco AV in P e l’arco AV 0 in Q, indica con P0 e Q 0 , rispettivamente, le proiezioni di P e Q sull’asse x. Determina l’equazione della retta in modo che sia massima l’area del rettangolo   PQQ’P’. 16 a. y ¼ ðx þ 2Þ2 ; b. y ¼ ðx  2Þ2 ; c. y ¼ 9 x2 y2 þ ¼ 1 e su di essa un punto P, appartenente al primo quadrante. Trac16 4

cia la tangente all’ellisse in P, che interseca l’asse x e l’asse y rispettivamente in A e B. Determina P, in modo che pffiffiffi pffiffiffi sia minima l’area del triangolo AOB (O e` l’origine degli assi). [Pð2 2, 2Þ] 318 Þ

Considera le parabole passanti per il punto di coordinate (2, 1) che hanno concavita` rivolta verso il basso, asse verticale e vertice sull’asse y. Tra queste parabole, determina quella che individua con l’asse x il segmento para  bolico di area minima. 1 2 3 y¼ x þ 8 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 319 Data la semicirconferenza di equazione y ¼ 4  x2 , siano A e B i suoi punti d’intersezione con l’asse x (con Þ xA < xB Þ e siano C e D (xD < xC Þ i suoi punti d’intersezione con la retta di equazione y ¼ t, con t > 0. Determina la pffiffiffi retta in corrispondenza della quale l’area del trapezio ABQP sia massima. [y ¼ 3] 320 Considera l’ellisse di equazione Þ

x2 y2 þ ¼ 1. Siano A e B (con xA < xB Þ i vertici dell’ellisse appartenenti al16 4

l’asse x. Determina i vertici del trapezio ABCD, inscritto nell’ellisse e appartenente al semipiano y  0, avente area pffiffiffi pffiffiffi massima. [Cð2, 3Þ e Dð2, 3Þ] 321 Þ

Sia P un punto appartenente alla parabola di equazione y ¼ 4  x2 . Da P traccia la retta tangente alla parabola e indica con A e B i suoi punti d’intersezione con gli assi cartesiani. Determina P in modo che l’area del triangolo AOB, essendo O l’origine degli assi, sia minima. pffiffiffi    ðt 2 þ 4Þ2 2 3 8 2 , ; l’area e` minima quando P  Sia Pðt, 4  t Þ; la funzione area e` AðtÞ ¼ 3 4jtj 3 y2 ¼ 1 avente area Determina le misure dei lati del rettangolo inscritto nell’ellisse di equazione x2 þ pffiffiffi maspffiffiffi 4 sima. [ 2, 2 2] 322 Þ

380



Data la parabola di equazione y ¼ 

[Il fascio di parabola per A e B ha equazione y ¼ kx2  kx  2k; una generica parabola del fascio rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 2 stacca sulla bisettrice una corda di lunghezza 18 þ þ 2 ; la corda e` minima per k ¼ 1, k k 

Teoremi sulle funzioni derivabili

324 Tra le parabole con asse parallelo all’asse y passanti per Að1, 0Þ e Bð2, 0Þ, determina quella che stacca sulla Þ bisettrice del primo e del terzo quadrante la corda di lunghezza minima.

Unita` 6

1 2 x þ 2x, sia V il suo vertice. Traccia una retta parallela alla retta OV (es2 sendo O l’origine degli assi), che intersechi l’arco OV di parabola in due punti B e C (con xB > xC Þ in modo che l’area del trapezio OVBC sia massima.  1 e l’area del trapezio Sia y ¼ x þ k, con la retta parallela a OV; dovra` essere 0 < k < 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 e` espressa dalla funzione AðkÞ ¼ kð1 þ 1  2kÞ; il massimo viene raggiunto per k ¼ , 9  4 cioe` in corrispondenza della retta di equazione y ¼ x þ 9 323 Þ

quindi la parabola cercata ha equazione y ¼ x2 þ x þ 2 325 Þ

Data la funzione y ¼

4

, tracciane un grafico probabile. Considera quindi un punto P appartenente al ðx þ 2Þ2 grafico della funzione nel primo quadrante e traccia da P la retta tangente al grafico della curva, indicando con A e B i suoi punti d’intersezione con l’asse x e con l’asse y. Determina il punto P e l’equazione della retta tangente per cui l’area del triangolo AOB, essendo O l’origine degli     assi, e` massima. 1 1 1 P 2, ;y ¼ xþ 4 8 2 326 Þ

Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ 4 e indica con A il suo punto d’intersezione con il semiasse negativo delle ordinate. Tra le parabole che hanno vertice nel punto A e intersecano la circonferenza (oltre che in AÞ in altri due punti distinti B e C, determina quella che individua con la retta BC il segmento parabolico di area massima. [y ¼ x2  2] 2 x þ y 2 ¼ 1 e indica con A il suo punto d’intersezione con il semiasse delle 327 Considera l’ellisse di equazione Þ 4 ordinate negative. Tra le parabole che hanno vertice in A e intersecano l’ellisse (oltre che in AÞ in altri due punti di  stinti B e C, determina quella che individua il triangolo ABC di area massima. 1 2 y ¼ x 1 2 328 In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani di origine O, considera un triangolo OAB di area 2, tale che Þ il vertice A appartenga al semiasse delle ascisse positive e il vertice B sia un punto di ascissa positiva appartenente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Fra i triangoli OAB che soddisfano queste condizioni, determina quello per cui e` minima la lunghezza della mediana OM del triangolo.    4 4 , e che la misura della mediana OM e` espressa dalla funzione Ponendo Aðt; 0Þ, con t > 0, si ricava che B t t sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi    ffiffiffi p p ffiffiffi p ffiffiffi ffiffiffi p 2 t 2 4 4 4 4 4 þ 2 ; minimo per t ¼ 2 2, cui corrisponde il triangolo di vertici Að2 2, 0Þ e Bð 8, 8Þ þ f ðtÞ ¼ t 2 t

x2 y2 þ ¼ 1, con a > 0. Sia A il suo punto d’intersezione con il semiasse a2 4a2 delle ascisse positive e P un punto appartenente alla semiellisse di ordinate positive. Detta H la proiezione di P sull’asse x, determina: a. il punto P per cui e` massimo il volume del cono generato dalla rotazione completa del triangolo APH intorno     all’asse x; 16
a 4 pffiffiffi 3 . a. P  , a 2 ; b. a ¼ b. il valore di a per cui il volume massimo del cono e` 3 3 3 2 329 Þ

Considera l’ellisse di equazione

330 Dato il punto Að0, aÞ, con a > 0, determina, al variare del parametro a, la minima distanza tra il punto A e i Þ punti appartenenti alla parabola di equazione y ¼ x2 . Specifica inoltre quali sono i punti P della parabola che realizzano la minima distanza.  1 1 la minima distanza Se 0 < a
, la minima distanza e` a e viene raggiunta quando P Oð0; 0Þ; se invece a > 2 2 ! rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 e` a  e viene assunta quando P e` uno dei due punti di coordinate  a  , a  4 2 2

381

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

331 Þ

Data la parabola di equazione y ¼ k2  x2 , con k > 0, determina per quali valori di k:

a. il rettangolo di perimetro massimo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x e avente un lato sull’asse x e` un quadrato; b. il rettangolo di area massima inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x e avente pffiffiffi pffiffiffi un lato sull’asse x e` un quadrato. ½a. k ¼ 3; b. k ¼ 3 332 Þ

Matematica e fisica Considera un punto materiale P di massa m ¼ 1 kg, posto sulla parabola di equazione y ¼ x2 , unito con una molla di costante elastica k ¼ 50 N/m al punto Að0, 4Þ (l’unita` di misura assunta sugli assi e` il metro). Determina le posizioni del punto materiale in corrispondenza delle quali l’energia totale (somma dell’energia gravitazionale e dell’energia elastica) e` minima. Per semplicita` di calcolo, assumi g ¼ 10 m/s2 .

y y = x2

A P x

Tema G

O

"

!# rffiffiffiffiffiffiffiffi 17 17 P  , 5 5

Problemi di massimo e di minimo di trigonometria 333 Sia ABCD un trapezio isoscele, in cui i lati obliqui e la base minore misurano 1. Determina l’ampiezza degli Þ angoli adiacenti alla base maggiore del trapezio, in modo che la sua area sia massima. Qual e` il valore massimo delpffiffiffi   l’area?
3 3 ; area massima ¼ 3 4



334 Data una semicirconferenza di diametro AB e raggio r, sia P il punto della semicirconferenza tale che Þ bP ¼ x. Indicato con Q il punto del diametro AB tale che AP ¼ AQ, determina per quale valore di x l’area del BA pffiffiffi   triangolo PAQ e` massima. 2 2 2 La funzione area e` AðxÞ ¼ 2r sin x cos x; l’area e` massima per x ¼ arctan 2 335 Sia ABCD un quadrato il cui lato misura 1. Traccia l’arco AC di circonferenza avente centro in D e raggio 1 e Þ bP ¼ 2x. Tracciata la tangente all’arco di circonferenza in P, indica considera su tale arco un punto P tale che AD con Q ed R, rispettivamente, i punti in cui tale tangente incontra i lati AB e BC del quadrato. Determina x in modo  che la lunghezza del segmento QR sia minima. tan2 x þ 1 La funzione che esprime la lunghezza di QR e` y ¼ tan x þ 1  pffiffiffi
e il minimo viene raggiunto quando x ¼ arctan ð 2  1Þ ¼ 8



bP ¼ 2x e inData una semicirconferenza di diametro AB e raggio 1, considera su di essa un punto P tale che BA dica con M il punto medio dell’arco BP .

336 Þ



a. Determina per quale valore di x il perimetro del quadrilatero ABMP e` massimo. b. Verifica che in corrispondenza del valore di x per cui e` massimo il perimetro del quadrilatero ABMP e`  massima anche la sua area. a. La funzione perimetro e` y ¼ 2 cos 2x þ 4 sin x þ 2; 
b. la funzione area e` y ¼ sin 2x ð1 þ cos 2xÞ; sia il perimetro sia l’area sono massimi per x ¼ 6 pffiffiffi 337 In una circonferenza di raggio r, considera una corda BC di lunghezza r 3. Sul minore dei due archi BC deterÞ mina un punto P in modo che sia massima: a. la somma delle distanze di P da B e da C;   b. l’area del triangolo PBC. bB ¼ x, in entrambi i casi si ottiene il massimo per x ¼
Ponendo P C 6 382





340 Considera due semicirconferenze aventi come diametri i due segmenti AB e BC fra loro adiacenti, giacenti Þ dalla stessa parte rispetto alla retta AC ed entrambe di raggio 1. Traccia due semirette aventi come origine il punto 2
, che intersecano le due semicirconferenze di diametri AB e BC rispettivamente in P e B, formanti un angolo di 3 in Q. Determina ABbP ¼ x in modo che il segmento PQ abbia lunghezza massima.   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
La funzione lunghezza e` y ¼ 4 cos2 x þ 4 3 sin x cos x þ 3; massimo per x ¼ 6 pffiffiffi 341 Data una semicirconferenza di diametro AB e raggio r, traccia la corda AC tale che AC ¼ r 2. Determina il Þ punto P, sull’arco AC, per cui e` minima la somma PC þ 6PH, essendo H la proiezione di P sulla tangente alla semicirconferenza in A.   bC ¼ x, la funzione da minimizzare e` y ¼ r ð2 sin x  6 sin 2x þ 6Þ; minimo per x ¼ arccos 3 Ponendo P A 4

Teoremi sulle funzioni derivabili


E` dato un settore circolare AOB, di centro O, raggio 1 e ampiezza . Considera un punto P sull’arco AB tale 2 bP ¼ x. Determina x in modo che, detta H la proiezione di P sul raggio OA, il trapezio OHPB abbia area che AO   massima. 1
La funzione area e` y ¼ ð1 þ sin xÞcos x; massimo per x ¼ 2 6 339 Þ

Unita` 6

bB ¼ x. Nel semipiano di origine Nel triangolo non degenere ABC, isoscele sulla base BC, e` BC ¼ 2 e ABbC ¼ AC bD ¼ x. Siano R1 ed BC non contenente A, costruisci il triangolo rettangolo BCD, di ipotenusa CD, in modo che BC R2 , rispettivamente, i raggi delle circonferenze circoscritte ai due triangoli ABC e BCD. Determina x in modo che la 1 1 þ sia massima. somma R1 R2 ! pffiffiffiffiffiffi  33  1 La funzione che esprime la somma e` y ¼ sin 2x þ cos x; massimo per x ¼ arcsin 8 338 Þ

342 Þ

Sia AB un segmento di misura uguale a 2 ed M il punto medio di AB. Traccia una semiretta di origine A, che forma con la semiretta AB un angolo acuto di misura (in radianti) uguale a x, e indica con P la proiezione di M su tale semiretta. Determina x in modo che la somma AP þ PB sia massima. Qual e` la misura in gradi, primi e secondi  dell’angolo in corrispondenza del quale si ha il massimo? La funzione f ðxÞ ¼ AP þ PB ha espressione analitica pffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 0 00 2 ’ 54 44 8 f ðxÞ ¼ cos x þ 4  3 cos x; il massimo si ha quando x ¼ arccos 3 pffiffiffi 343 Sia ABC il triangolo tale che AB ¼ 2 7, BC ¼ 6, AC ¼ 2. Þ bB. a. Determina l’ampiezza dell’angolo AC AP b. Determina il punto P sul lato BC tale che il rapporto sia minimo. PC pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   2 bB ¼ 60 ; b. ponendo PC ¼ x, la funzione che esprime il rapporto e` y ¼ x  2x þ 4 , minimo per x ¼ 4 a. AC x pffiffiffi bC ¼ cos BA bC ¼ 5 . Considera un punto 344 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB tale che AB ¼ 2 e cos A B Þ 5 bH ¼ x. Determina x in modo che la somma AP þ 1 PC sia minima. P, sull’altezza CH relativa ad AB, tale che P A 2   1 1
 tan x þ 1; minimo per x ¼ La funzione che esprime la somma e` y ¼ cos x 2 6 Sia ABC un triangolo rettangolo, di ipotenusa BC ¼ a, in cui ABbC ¼ x. Sia A0 il simmetrico di A rispetto a BC. Determina x in modo che: 345 Þ

a. l’area del triangolo AA0 C sia massima; b. il volume del solido generato da una rotazione di 180 del triangolo AA0 C intorno alla retta BC sia massimo. 
a. La funzione area e` y ¼ a2 sin3 x cos x, massimo per x ¼ ; 3  pffiffiffi 1 b. la funzione volume e` y ¼
a3 sin4 x cos2 x, massimo per x ¼ arctan 2 3 383

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

346 Considera i punti Að0, 4Þ e Bð0, 2Þ. Determina il punto P, appartenente al semiasse delle ascisse positive, in Þ corrispondenza del quale e` massima l’ampiezza dell’angolo APbB. Qual e` la misura in gradi, primi e secondi, dell’angolo AP^B di ampiezza massima? (Suggerimento: sia Pðx, 0Þ con x > 0; esprimi in funzione di x la tangente di APbB: l’ampiezza massima di APbB pffiffiffi corrisponde al massimo valore della tangente) [Pð2 2, 0Þ e APbB ’ 19 280 1600 ] 347 In riferimento alla figura, determina il punto P in corrisponÞ denza del quale l’angolo BPbC e` massimo. (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)

2

D

P

C α

4

B

A

6 pffiffiffi [Ponendo AP ¼ x, il massimo si ha per x ¼ 6  2 6]

Un prisma retto ha come basi due parallelogrammi ABCD e A0 B0 C0 D0 e i segmenti AA0 , BB0 , CC0 , DD0 sono spigoli. Si sa che AB ¼ 2, BC ¼ 1, ABbC ¼ x e che il quadrilatero BB0 D0 D e` un quadrato. Determina per quale valore di x pffiffiffiffiffiffi   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi il volume del prisma e` massimo. 73  5 VðxÞ ¼ 2 sin x 5 þ 4 cos x; massimo per x ¼ arccos 12 348 Þ

349 Þ

Matematica e fisica

a. In riferimento alla figura qui a fianco, esprimi in funzione di x ! il modulo (in newton) della minima forza F necessaria per muovere una scatola di massa m (in kg), appoggiata su una superficie il cui coefficiente di attrito statico e` . b. Determina l’ampiezza dell’angolo x per cui e` minima la forza necessaria per muovere la scatola, supponendo  ¼ 0,5.  a. FðxÞ ¼


F m

x

 mg 1 , essendo g ¼ 9,8 m/s2 ; b. x ¼ arctan ’ 27 cos x þ  sin x 2



Problemi di massimo e minimo dalla realta` 350 Massimo ricavo. Una compagnia aerea decide di stabilire il prezzo del biglietto di un volo (per persona) nel Þ seguente modo: 200 euro piu` 10 euro per ogni posto che restera` libero. L’aereo dispone di 150 posti. Quanti posti devono restare liberi perche´ la compagnia ottenga il massimo ricavo? (Suggerimento: indica con x il numero di posti che rimangono liberi e con y il corrispondente ricavo e verifica che y ¼ ð200 þ 10xÞð150  xÞ, quindi cerca il massimo di questa funzione) [Il massimo ricavo si ha in corrispondenza di 65 posti liberi] 351 Þ

Costi e guadagni/1. Un’azienda fabbrica e vende una quantita` di x oggetti alla settimana. In una settimana l’azienda puo` produrre al massimo 21 pezzi. Il costo totale derivante dalla fabbricazione di x oggetti, in euro, e` espresso dalla funzione: CðxÞ ¼ 2x3  54x2 þ 470x þ 80

Ciascun oggetto viene venduto a 200 euro. a. Verifica che la funzione GðxÞ che esprime il guadagno derivante dalla vendita degli x oggetti prodotti in una settimana e`: GðxÞ ¼ 2x3 þ 54x2  270x  80 b. Quanti oggetti deve produrre (e vendere) l’azienda in una settimana per ottenere il massimo guadagno? [b. x ¼ 15] 384

Costi e guadagni/2. Un’azienda produce e vende una quantita` di x oggetti al giorno, essendo x un numero intero compreso tra 10 e 100. Il costo giornaliero, in euro, per la produzione degli x oggetti e` espresso dalla funzione: 1 2 x þ 8x þ 500 5

Il costo medio unitario di produzione di un oggetto e` espresso dalla funzione f ðxÞ ¼

CðxÞ . x

Determina l’espressione analitica di f ðxÞ e stabilisci per quale valore di x il costo medio unitario e` minimo.   1 500 f ðxÞ ¼ x þ 8 þ ; minimo per x ¼ 50 5 x 353 Þ

Costi e guadagni/3. Un’azienda produce dei sacchi. Indichiamo con x il numero di centinaia di sacchi prodotti in un anno dall’azienda. Il costo di fabbricazione di x centinaia di sacchi, espresso in migliaia di euro, e` ben approssimato dalla funzione:

Teoremi sulle funzioni derivabili

CðxÞ ¼

Unita` 6

352 Þ

1

CðxÞ ¼ 2x þ e 2 x Il ricavo, in migliaia di euro, ottenuto dalla vendita di x centinaia di sacchi e` espresso dalla funzione RðxÞ ¼ 10x. a. Determina l’espressione analitica della funzione GðxÞ che esprime il guadagno (in migliaia di euro) derivante dalla vendita di x centinaia di sacchi. b. Qual e` il massimo guadagno che l’azienda puo` realizzare in un anno e in corrispondenza di quale valore di x 1 si ottiene? [a. GðxÞ ¼ 8x  e 2 x ; b. la funzione assume massimo per x ¼ 8 ln 2 ’ 5,55, il che corrisponde alla produzione di circa 555 sacchi e a un guadagno massimo di circa 28631 euro] 354 Þ

Delimitare un campo. Si vuole delimitare un campo rettangolare di area 600 m2 . Si intendono delimitare tre lati del campo con una staccionata in legno, mentre il lato rimanente sara` delimitato da blocchi in cemento. La staccionata costa 10 euro al metro, mentre i blocchi in cemento hanno un costo di 20 euro al metro. Determina le misure dei lati del campo, in modo che il costo complessivo per la recinzione sia minimo.

x  Indicata con x la misura (in metri) del lato delimitato da blocchi di cemento e con y il costo complessivo   1200 per delimitare il campo, si ha y ¼ 10 3x þ ; il costo complessivo minimo si ottiene quando x ¼ 20, x  ovverosia quando i lati del campo sono lunghi 20 m e 30 m 355 Þ

Costruire una stanza. Si vuole costruire una stanza a forma di parallelepipedo di volume 96 m3 , la cui base sia un quadrato. Per rifinire la stanza e` necessario tappezzare la pareti laterali e costruire il pavimento. Per l’acquisto e la posa delle piastrelle del pavimento e` previsto un costo di 16 euro al m2 ; per l’acquisto e la posa della tappezzeria e` previsto un costo di 18 euro al m2 . Quali devono essere le dimensioni della stanza affinche´ il costo complessivo di rifinitura (sia per pavimentare sia per tappezzare) sia il minimo possibile? [6 m, 6 m, circa 2,7 m] 356 Dimensioni di una lattina. Una tipica lattina cilindrica ha un volume fissato, pari a 33 cl. Quali sono le diÞ mensioni della lattina (altezza e diametro) che minimizzano il costo del metallo necessario a produrla (ossia la su perficie totale della lattina)? Se indichiamo con r e h le misure, in cm, del raggio di base e dell’altezza, rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 165 3 165 eh¼2 ; le dimensioni che minimizzano il costo sono quelle per cui r ¼

 in tal caso h ¼ 2r, ovvero il cilindro ha il diametro uguale all’altezza

385

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

357 Dimensioni di un foglio di carta. Un foglio di carta rettangolare deve contenere un’area di stampa rettangoÞ lare di 200 cm2 , margini superiore e inferiore di 8 cm e margini laterali di 4 cm. Quali sono le dimensioni del foglio che consentono di minimizzare la quantita` di carta necessaria a produrlo?

8 cm

4 cm

4 cm

8 cm

[Un foglio di dimensioni 18 cm  36 cm] 358 Costruzione di una scatola. Supponiamo di avere un foglio di cartone i cui lati misurano 100 cm e 80 cm. Þ Da questo foglio si ritagliano, agli angoli, quattro quadrati uguali e si ripiega il pezzo di cartone rimanente in modo da ottenere una scatola aperta come indicato in figura. Quale deve essere la misura del lato dei quadrati che si sono ritagliati per ottenere la scatola di volume massimo?

x

x

x

x

x

x

x

x

80 cm

x

x x

x x

x

x x

x

x

x



100 cm

 Lato del quadrato ¼

359 Attraversamento di un lago. Un ragazzo si trova nel punto A sulla riva di Þ un lago circolare di raggio r km, e vuole raggiungere il punto B, diametralmente opposto ad A. Egli puo` percorrere un primo tratto (rettilineo) in barca e un secondo a piedi lungo la sponda del lago. Sia x l’angolo formato dal segmento AP percorso in barca con il diametro AB. Supponendo che il ragazzo riesca a remare a una velocita` di v1 km/h e a camminare a velocita` doppia, v2 ¼ 2v1 , quale angolo minimizza il tempo del suo tragitto?

 x¼

  10 pffiffiffiffiffiffi 21 cm 30  3 P

A

x

r

O

r

B


, ovvero al ragazzo conviene andare a piedi 2



360 Piega di un foglio / 1. Un angolo di un foglio rettangolare, di lati lunghi 12 cm e 6 cm, viene ripiegato come Þ indicato in figura, in modo da portare il vertice C sul lato AB. Determina x in modo che la lunghezza della piega sia minima.

D

Q

C pie ga

x

6 cm P B

A 12 cm

386

[x ¼ 4,5 cm]

Unita` 6

r

x

Teoremi sulle funzioni derivabili

361 Piega di un foglio / 2. Da un foglio di carta circolare, di Þ raggio r, si ritaglia un settore di ampiezza x (in radianti). Il pezzo di carta restante viene ripiegato in modo da formare un cono retto, di cui il settore rimasto dopo il taglio costituisce lo sviluppo della superficie laterale. Determina x in modo che il cono ottenuto abbia volume massimo.   pffiffiffi 2
ð3  6Þ 3

r

362 Scala di minima lunghezza. Una palizzata di 3 m di altezza e` costruiÞ ta parallelamente a un muro a una distanza di 0,5 m da esso. Qual e` la lunghezza minima di una scala che si appoggi al muro e tocchi la palizzata?

3m



1 2

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi 3 3 ð1 þ 36Þ m

0,5 m 363 Þ

Passaggio di un tubo in un corridoio. Un tubo di metallo viene trasportato lungo un corridoio largo 4 m; alla fine del corridoio c’e` un angolo di 90 e un altro corridoio largo 2 m. Qual e` la lunghezza del tubo piu` lungo che puo` essere trasportato orizzontalmente (cioe` senza inclinarlo) attraverso l’angolo formato dai due corridoi? Supponi trascurabile lo spessore del tubo. 

1 2

2m

tubo

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi 3 ð4 þ 16Þ3 m

364 Attraversamento di un fiume. Un ragazzo parte con la Þ sua barca dal punto A, sulla riva di un fiume, con l’obiettivo di raggiungere il punto B, posto sulla riva opposta. Le due rive possono considerarsi approssimativamente rettilinee, parallele e distanti 4 km. Il ragazzo puo` raggiungere il punto C sulla riva opposta, distante 7 km da B e poi correre fino a B, oppure puo` raggiungere direttamente in barca il punto B, oppure puo` raggiungere con la barca un punto D posto tra B e C e proseguire correndo fino a B. Supponendo che il ragazzo remi a una velocita` costante di 6 km/h e corra alla velocita` di 8 km/ h, quale tragitto deve seguire per raggiungere B nel minor tempo possibile?

4m

A

4 km

C x D

7 km

B



pffiffiffi  12 7 km ’ 4,5 km e poi proseguire correndo Deve dirigersi verso il punto D, la cui distanza da C e` 7 387

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

Problemi di probabilita` 365 Un’urna contiene palline bianche e palline nere. La probabilita` che, estraendo a caso una pallina dall’urna, Þ questa sia bianca e` uguale a p.

a. Si estraggono successivamente e con reimmissione 6 palline dall’urna; qual e` la probabilita` che esattamente 2 delle 6 palline estratte siano bianche? b. In corrispondenza di quale valore di p la probabilita` di cui al punto precedente e` massima?   1 a. 15p2 ð1  pÞ4 ; b. p ¼ 3 366 Un’urna contiene n palline, con n  10, di cui 9 sono rosse e le rimanenti sono blu. Si estraggono successivaÞ mente, senza reimmissione, 2 palline dall’urna. 18ðn  9Þ . a. Detta pn la probabilita` di estrarre 2 palline di colore differente, verifica che pn ¼ n2  n

b. Quante palline deve contenere l’urna perche´ la probabilita` pn sia la massima possibile?

[b. n ¼ 17 _ n ¼ 18]

367 Un’urna contiene 60 palline. Di queste, n sono bianche, n sono nere e le restanti sono rosse (con n < 30Þ. Si Þ estraggono dall’urna, simultaneamente, 3 palline. 1 ð30n2  n3 Þ. a. Detta pn la probabilita` di estrarre 3 palline di colore differente, verifica che pn ¼ 17 110

b. Quante palline bianche deve contenere l’urna affinche´ la probabilita` pn sia la massima possibile? [b. n ¼ 20] 368 Þ

Un dado viene lanciato n volte.

a. Qual e` la probabilita` che esca «6» esattamente una volta? b. In corrispondenza di quali valori di n la probabilita` che «6» esca esattamente una volta e` massima?     n 5 n1 3125 ; b. la probabilita` e` massima, uguale a a. , quando n ¼ 5 o n ¼ 6 6 6 1296 369 Þ

Stima di una popolazione di animali. Per stabilire il numero incognito n di animali che popolano una certa regione di montagna, un gruppo di ecologisti opera nel seguente modo: inizialmente catturano 20 animali, li marchiano e li liberano. Trascorso un tempo sufficiente perche´ questi animali marchiati si ridistribuiscano tra la popolazione, ne catturano 50, tramite 50 catture indipendenti l’una dall’altra, e osservano quanti di questi animali risultano marchiati: trovano che gli animali marchiati sono solo 4. Supponiamo che il numero totale di animali presenti sia rimasto invariato tra la cattura dei primi 20 animali e quella dei successivi 50 e che ogni animale, in ognuna di queste, potesse essere catturato con la stessa probabilita`. a. Determina, in funzione di n, la probabilita` pn dell’evento che si e` realizzato, cioe` la probabilita` che tra i 50 animali della seconda cattura solo 4 risultassero marchiati. b. Si decide di stimare il numero n, assumendo che questo sia uguale al valore di n per cui e` massima la probabilita` pn dell’evento che si e` realizzato. Procedendo in questo modo, da quanti animali possiamo stimare       essere popolata la regione di montagna presa in esame? 1 20 4 20 46 1 ; b. n ¼ 250 a. pn ¼ 230 300 n n

4. Funzioni concave e convesse, punti di flesso

TEORIA a p. 342

Esercizi preliminari 370 Þ

Vero o falso?

Sia f una funzione due volte derivabile in R. a. se f 00 ðx0 Þ ¼ 0, allora x0 e` un punto di flesso della funzione f

V

F

V

F

c. se f ðxÞ > 0 per ogni x 2 R, allora f e` convessa in R

V

F

d. se f e` convessa in R, allora f 00 ðxÞ > 0 per ogni x 2 R

V

F

V

F

00

b. se f ha un punto di flesso in x0 , allora f ðx0 Þ ¼ 0 00

e. se f e` concava in R, allora non puo` avere minimo

[3 affermazioni vere e 2 false] 388

Interpretazione di grafici. Considera il grafico in figura.

y

a. Supposto che esso sia il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, individua, se esistono, i punti di flesso della funzione f e il piu` ampio intervallo aperto in cui f e` convessa. b. Supposto che esso sia il grafico della funzione y ¼ f 0 ðxÞ, individua, se esistono, i punti di flesso della funzione f e i piu` ampi intervalli aperti in cui f e` convessa. c. Supposto infine che esso sia il grafico della funzione y ¼ f 00 ðxÞ, individua, se esistono, i punti di flesso della funzione f e il piu` ampio intervallo aperto in cui f e` convessa.

O

Interpretazione di grafici. Considera il grafico in figura.

1

2 3

x

Teoremi sulle funzioni derivabili

372 Þ

Unita` 6

371 Þ

y

a. Supposto che esso sia il grafico della funzione y ¼ f 0 ðxÞ, individua, se possibile, i punti di estremo relativo e di flesso della funzione f e i piu` ampi intervalli aperti in cui f e` crescente, decrescente, concava o convessa. b. Supposto che esso sia il grafico della funzione y ¼ f 00 ðxÞ, individua, se possibile, i punti di estremo relativo e di flesso della funzione f e i piu` ampi intervalli aperti in cui f e` crescente, decrescente, concava o convessa.

0,7

2

O

2,8

4

x

373 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione f derivabile due Þ volte in R tale che:

a. f 0 ðxÞ < 0 , x < 1 b. f 0 ðxÞ ¼ 0 , x ¼ 1 c. f 00 ðxÞ > 0, x < 2 d. f 00 ðxÞ ¼ 0, x ¼ 2 374 Þ

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione f derivabile in R la cui derivata sia tale che:

a. f 00 ðxÞ > 0, x < 1 _ x > 2 b. f 00 ðxÞ < 0, 1 < x < 2

c. f 0 ðxÞ ¼ 0 , x ¼ 1 _ x ¼ 2

Studio della concavita` e dei punti di flesso 375 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Studia la concavita` della funzione y ¼

x e determina i punti di flesso. x2 þ 1

 Calcola la derivata prima e verifica che y 0 ¼

1  x2 ðx2 þ 1Þ2

 Calcola la derivata seconda e verifica che y00 ¼

.

2xðx2  3Þ ðx2 þ 1Þ3

.

 Studia il segno della derivata seconda: 2xðx2  3Þ ðx2

þ 1Þ

3

pffiffiffi > 0 ) xðx2  3Þ > 0 )  3 < x < ::::: _ x > :::::

e rappresenta in uno schema i risultati trovati e le deduzioni che puoi trarre sulla concavita`.  Puoi concludere che la funzione e` convessa negli intervalli ::::::::::::::::::::::::: e tervalli ::::::::::::::::::::::::: e ::::::::::::::::::::::::: Ci sono quindi tre punti di flesso: pffiffiffiffiffiffi x ¼  ::::: e x ¼ 0

:::::::::::::::::::::::::,

mentre e` concava negli in-

389

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

Studia la concavita` delle seguenti funzioni e determina i punti di flesso. (Nelle risposte sono riportati gli intervalli aperti dove la funzione e` convessa e le ascisse dei punti di flesso.) 376 Þ 377 Þ 378 Þ

y ¼ x3  3x2

379 Þ

y¼

380 Þ

y ¼ ðx  2Þ3 ðx þ 2Þ

[x > 1; flesso per x ¼ 1]

y ¼ x  4x 4

[x < 0 _ x > 2; flessi per x ¼ 0 _ x ¼ 2]

3

y ¼ 3x5 þ 5x4  20x3

381 Þ

y¼

382 Þ

y¼

383 Þ

y¼

1 4 1 3 1 2 x  x þ x 12 3 2

[Convessa per ogni x 2 R] [x < 0 _ x > 2; flessi per x ¼ 0 _ x ¼ 2] pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi  3 3 3



[x > 3 ln 2; flesso per x ¼ 3 ln 2] pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi  2 2 2 _x> ; flessi per x ¼  x ; flessi per x ¼  2 2 2 



2

396 y ¼ ðx  3Þ arctan x Þ

390

[2 < x < 0 _ x > 1; flessi per x ¼ 2 _ x ¼ 0 _ x ¼ 1]

" 

x > e 2 ; flesso per x ¼ e 2 1

pffiffiffi 1 1 3 _ x > ; flessi per x ¼  e; flesso per x ¼ e1 ]

402 Þ

y ¼ e2x  2ex

[x > ln 2; flesso per x ¼ ln 2]

403 Þ

y ¼ x ln x

1

[x > 1; flesso per x ¼ 1] [Convessa per ogni x 2 R] 

[0 < x < e; flesso per x ¼ e]  1 1 x >  , con x 6¼ 0; flesso per x ¼  2 2

[Convessa per ogni x > 0]

405 Þ

y ¼ x 2 ex

406 Þ

y ¼ e x2

407 Þ

y ¼ e2x

408 Þ

y ¼ ex sin x

409 Þ

y¼

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x e 1

410 Þ

y¼

1 3 x þ x  x ln x 6

411 Þ

y ¼ x e x3

x

[x > 1 ^ x 6¼ 2; flesso per x ¼ 1]   1 1 1 x <  _ x > ; flessi per x ¼  2 2 2  h


 þ 2k
< x < þ 2k
; flessi per x ¼  þ 2k
2 2 2

2

[x < 0 _ x > ln 3; flessi per x ¼ 0 (a tangente verticale) _ x ¼ ln 3] [x > 1; flesso per x ¼ 1] rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi  3 3 3 3 _ x > 0; flesso per x ¼  x 2 þ 2; flessi per x ¼ 2  2]

404 Þ

x < 2 _ x >

2 þ x2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 3 3 ð2x  1Þ2  x2

413 Þ

y¼

414 Þ

y ¼ 2 sin x þ sin2 x

415 Þ

y ¼ x þ sin x

416 Þ

y ¼ 1 þ cos x  2 sin x

417 Þ

y ¼ ln3 x

418 Þ

y ¼ tan3 x

419 Þ

p ffiffiffiffiffi 3 y ¼ ln j x2  1j

420 Þ

y ¼ x2

421 Þ

y ¼1þxþ

422 Þ

y ¼ xe 1 þ ln x

 2k
< x
0 ) x3  4x2 > 0 ) x2 ðx  4Þ > 0 ) x > 4 Lo schema del segno della funzione e` quindi il seguente. 0 y

414

−

0

4 −

0

+

x

Unita` 7

x!1

Lo studio di funzione

 Comportamento della funzione agli estremi del dominio La funzione e` definita in ð1, þ1Þ, dunque dobbiamo calcolare i limiti per x ! 1. Abbiamo: p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 lim x3  4x2 ¼ þ1 lim x3  4x2 ¼ 1 x!þ1

Non esistono quindi asintoti orizzontali; vediamo se esistono asintoti obliqui. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi x 1 3 x3 4x2 f ðxÞ 4 3 x ¼ lim 1 ¼1 ) m ¼1 ¼ lim lim ¼ lim x!1 x x!1 x!1 x!1 x x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 x3  4x2  x ¼ Forma indeterminata lim ½ f ðxÞ  x ¼ lim x!1

x!1

f ðxÞ  mx con m ¼ 1

! rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 3 ¼ lim x 1 1 ¼ x!1 x

Raccogliendo x



 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 p 3 ¼ lim   1þt 1 ¼ t!0 t

Ponendo 

4 4 ¼ t da cui x ¼  x t

1

ð1 þ tÞ 3  1 1 4 ¼ 4  ¼  ¼ 4  lim t!0 t 3 3

Ricorda il limite notevole [2.26] (teorema 2.12)

4 e` dunque un asintoto obliquo (sia a destra sia 3 a sinistra). Le informazioni fin qui raccolte sul grafico della funzione sono riassunte in fig. 7.5. ? La retta di equazione y ¼ x 

y

Figura 7.5 Rappresentazione delle regioni di piano cui appartiene il grafico della funzione e del comportamento della funzione agli estremi del dominio. I punti interrogativi indicano che non possiamo ancora stabilire a questo stadio in quale modo la funzione si avvicina all’asintoto obliquo (se da «sopra» o da «sotto»).

O y= x–

4 3

4

x

?

 Studio della derivata prima La funzione data e` senz’altro derivabile per ogni x 2 R con x 6¼ 0 e x 6¼ 4; per 1 derivare la funzione conviene scriverla nella forma y ¼ ðx3  4x2 Þ 3 ; si ha cosı`: y0 ¼ ¼

2 1 3 ðx  4x2 Þ 3 ð3x2  8xÞ ¼ 3

3x  8 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 xðx  4Þ2

3x2  8x xð3x  8Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 3 2 3 ðx3  4x2 Þ 3x xðx  4Þ2

Osserviamo che y0 non e` definita per x ¼ 0 e per x ¼ 4 e risulta: lim y0 ¼ þ1

x!0

lim y0 ¼ 1

x!0þ

quindi per x ¼ 0 la funzione non e` derivabile e presenta un punto di cuspide. Inoltre: lim y 0 ¼ þ1 x!4

Ô

415

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

Ô

quindi per x ¼ 4 la funzione non e` derivabile e presenta un punto di flesso a tangente verticale. Studiamo ora gli zeri e il segno di y 0 . y 0 ¼ 0 ) 3x  8 ¼ 0 ) x ¼ y0 > 0 )

8 3

3x  8 8 > 0 ^ x 6¼ 4 ) x < 0 _ x > , con x 6¼ 4 x 3 8 3

0 +

y'

−

E

4 +

0

+

E

x

y min

max cuspide

flesso verticale

Dunque la funzione ha: un punto di cuspide per x ¼ 0, con f ð0Þ ¼ 0 (cioe` nell’origine), che e` anche un punto di massimo relativo; un punto di minimo rela  ffiffiffi 8 8 4p 3 tivo per x ¼ , con f ¼ 4 ’ 2,1; un punto di flesso a tangente ver3 3 3 ticale per x ¼ 4 con f ð4Þ ¼ 0.  Studio della derivata seconda Osserviamo che, per il calcolo della derivata seconda, conviene partire dall’espressione di y 0 nella forma: y0 ¼

2 1 3 ðx  4x2 Þ 3 ð3x2  8xÞ 3

Derivando e semplificando, si ottiene: y 00 ¼ 

1 32  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 9 x4 ðx  4Þ5

Poiche´ non esistono valori di x per cui y 00 ¼ 0, non esistono altri punti di flessi oltre a quello a tangente verticale per x ¼ 4 gia` individuato dallo studio di y0 . Lo schema del segno di y 00 e` il seguente: 0 y"

+

E

4 +

x

−

E

y flesso

 Grafico Il grafico risultante dallo studio e` proposto in fig. 7.6. y

O

y= x–

8 3

4 3

4

y = 3 x 3– 4 x2 Figura 7.6

416

x

ESERCIZI a p. 439

Studia e traccia il grafico delle seguenti funzioni.

2. y ¼

x3 x2  1

3. y ¼ x

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x1 xþ1

Lo studio di funzione

 D ¼ R; min (1, 1); flessi a tangente orizzontale in (0, 0) e (2, 0), pffiffiffi  5 5 flessi a tangente obliqua per x ¼ 5    pffiffiffi 3 pffiffiffi D ¼ R  f1g; funzione dispari; asintoti: x ¼ 1, y ¼ x; min 3, 3 , 2    p ffiffiffi pffiffiffi 3 3 ; flesso in (0, 0) max  3,  2 pffiffiffi  1þ 5 D ¼ ð1, 1Þ [ ½1, þ1Þ; asintoti: x ¼ 1 e y ¼ x  1; massimo per x ¼  ; 2 p ffiffiffi   2 3 flesso in 2, 3

1. y ¼ ðx2  2xÞ3

Unita` 7

Prova tu

2. Funzioni trascendenti Funzioni esponenziali e logaritmiche Continuiamo gli esempi di studio di funzione, dedicandoci in questo paragrafo alle funzioni trascendenti, con particolare attenzione alle funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche. Studio di una funzione esponenziale

ESEMPIO

1

Studiamo la funzione y ¼ ðx þ 2Þe x e tracciamone il grafico.  Dominio La funzione data e` definita purche´ sia definito l’esponente, cioe` per x 6¼ 0; il dominio e` quindi: ð1, 0Þ [ ð0, þ 1Þ.  Simmetrie E` facile verificare che la funzione non e` ne´ pari ne´ dispari.  Zeri e segno Poniamo y ¼ 0 per determinare gli eventuali punti di intersezione con l’asse x: 1

y ¼ 0 ) ðx þ 2Þe x ¼ 0 ) x þ 2 ¼ 0 ) x ¼ 2 1

Ricorda che un esponenziale, quale e x , non si annulla mai

Pertanto, il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto di coordinate (2, 0). Per x ¼ 0 la funzione non e` definita, quindi non ha senso cercare punti di intersezione con l’asse y. Per quanto riguarda il segno abbiamo: 1

ðx þ 2Þe x > 0 ) x þ 2 > 0 ) x > 2

1

Poiche´ e x > 0 per ogni x 2 R

Lo schema del segno della funzione e` quindi: –2 y

−

0

0 +

+

E

x

 Comportamento agli estremi del dominio Ricordiamo che D ¼ ð1, 0Þ [ ð0, þ1Þ, quindi dobbiamo calcolare i limiti per x ! 1, x ! 0 , x ! 0þ , x ! þ1; abbiamo: 1

lim ðx þ 2Þe x ¼ 1

x!1

1

Poiche´ x þ 2 ! 1, e x ! 1 e 1  1 ¼ 1

Ô

417

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

Ô

1

Poiche´ x þ 2 ! 2 ed e x ! 0

1

Poiche´ x þ 2 ! 2 ed e x ! þ1

lim ðx þ 2Þe x ¼ 0

1

x!0

lim ðx þ 2Þe x ¼ þ1

1

x!0þ

1

lim ðx þ 2Þe x ¼ þ1

1

Poiche´ x þ 2 ! þ1 ed e x ! 1

x!þ1

Pertanto: x ¼ 0 e` un asintoto verticale destro; il punto x ¼ 0 e` un punto di discontinuita` di seconda specie. Non ci sono invece asintoti orizzontali; vediamo percio` se esistono asintoti obliqui. f ðxÞ xþ2 1 ¼ ex ¼ 1 ) m ¼ 1 x x



1 lim f ðxÞ  x ¼ lim ðx þ 2Þe x  x ¼ lim

x!1

x!1

x!1

f ðxÞ  mx con m ¼ 1

forma indeterminata

h 1 i 1 ¼ lim 2 e x þ x ðe x  1Þ ¼ x!1

  et  1 t ¼ lim 2e þ ¼ t!0 t

Raccogliendo opportunamente

Ponendo

¼2þ1¼3

1 ¼t x

Ricordando il limite notevole [2.25] (teorema 2.12)

Concludiamo che la retta di equazione y ¼ x þ 3 e` un asintoto obliquo per la funzione sia a destra sia a sinistra. In fig. 7.7 abbiamo riassunto le informazioni finora ricavate. ? y

y=x+3

Figura 7.7 I punti interrogativi indicano che non

O

possiamo ancora stabilire a questo stadio in quale modo la funzione si avvicina all’asintoto obliquo (se da «sopra» o da «sotto»).

x

?

 Studio della derivata prima La funzione e` derivabile nel suo dominio; si trova: 1

y0 ¼

e x ðx2  x  2Þ x2

Abbiamo: y 0 ¼ 0 ) x2  x  2 ¼ 0 ) ðx þ 1Þðx  2Þ ¼ 0 ) x ¼ 1 _ x ¼ 2 y 0 > 0 ) x2  x  2 > 0 ^ x 6¼ 0 ) x < 1 _ x > 2 Riassumiamo nel seguente schema il segno di y 0 . –1 y'

+

0

0 −

E

2 −

0

+

x

y max

E

min

Si deduce percio` che la funzione presenta un punto di massimo relativo per x ¼ 1, con f ð1Þ ¼ e1 ’ 0,4, e un punto di minimo relativo per x ¼ 2, con 1 f ð2Þ ¼ 4e 2 ’ 6,6. 418

Abbiamo visto che lim f ðxÞ ¼ 0; e` utile calcolare lim f 0 ðxÞ in modo da capire piu` precisamente x!0

x!0

il comportamento del grafico della funzione in un intorno sinistro di 0. Poiche´:

x!0

1

e x ðx2  x  2Þ ex ¼ 2 lim 2 ¼ 2 lim t 2 et ¼ 0 t!1 x!0 x x2 " ponendo 1=x ¼ t

si deduce che il grafico della funzione si avvicina a x ¼ 0 da sinistra con tangente orizzontale (figura sotto a sinistra). Quest’ultima informazione, unita al fatto che per x ¼ 1 la funzione ha un punto di massimo relativo, permette di prevedere l’esistenza di almeno un punto di flesso nell’intervallo (1, 0) (figura sotto a destra).

y

Lo studio di funzione

1

lim

Unita` 7

Attenzione!

y

x

O

–1

x

O

 Studio della derivata seconda Si trova: 1

y 00 ¼

e x ð5x þ 2Þ x4

Abbiamo: y 00 ¼ 0 ) 5x þ 2 ¼ 0 ) x ¼ 

2 5

y 00 > 0 ) 5x þ 2 > 0 ^ x 6¼ 0 ) x >  Lo schema del segno di y 00 e` allora il seguente.

2 ^ x 6¼ 0 5 y"

– −

2 5 0

0 +

E

x

+

y E

flesso

Il punto di flesso di cui si era prevista l’esistenza nell’intervallo (1, 0) si ha 2 quindi per x ¼  e non esistono altri punti di flesso. 5   2 8 5 ¼ e 2 ’ 0,1. Si verifica che f  5 5  Grafico Il grafico della funzione assegnata e` riportato in fig. 7.8. In fig. 7.9 e` mostrato invece uno «zoom» su un intorno sinistro di 0. y

(2, 4 e )

y y=x+3 1

y = (x +2)e

–1

(–1, e ) –

2 O 5

Figura 7.8 Grafico globale della funzione.

y = (x +2)e x

1 x

x

e–1

–1

–

2 5

O

x

Figura 7.9 Zoom sul grafico in un intorno sinistro di 0. Il grafico si avvicina a x ¼ 0 con tangente orizzontale e c’e` un punto di flesso.

419

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Studio di una funzione logaritmica

ESEMPIO

Studiamo la funzione y ¼ x ln2 x e tracciamone il grafico.  Dominio La funzione e` definita purche´ sia definito il logaritmo, cioe` per x > 0; il dominio e` quindi l’intervallo ð0, þ1Þ.  Simmetrie Essendo la funzione definita solo per x > 0, non puo` essere ne´ pari ne´ dispari.  Zeri e segno Poniamo y ¼ 0 per determinare gli eventuali punti di intersezione con l’asse x: y ¼ 0 ) x ln2 x ¼ 0 ) ln x ¼ 0 ) x ¼ 1

Non puo` essere x ¼ 0 perche´ per x ¼ 0 la funzione non e` definita

Non ha senso la ricerca dei punti di intersezione con l’asse y, poiche´ per x ¼ 0 la funzione non e` definita. Per quanto riguarda il segno abbiamo: x ln2 x > 0 ) x > 0 ^ ln x 6¼ 0 ) x > 0 ^ x 6¼ 1 Lo schema del segno della funzione e` quindi il seguente.

Tema G

0 y

1 +

E

0

x

+

 Comportamento agli estremi del dominio Il dominio e` ð0, þ1Þ, quindi dobbiamo calcolare i limiti della funzione per x ! 0þ e per x ! þ1. 1 ln2 1 2 t ¼ lim x ln x ¼ lim Ponendo ¼ t x t!þ1 x!0þ t ¼ lim

t!þ1

ln2 t ¼0 t

1 ¼ ½ln ðt 1 Þ2 ¼ ðln tÞ2 ¼ ln2 t e rit cordando le «gerarchie» degli infiniti Osservando che ln2

Quindi per x ¼ 0 la funzione presenta un punto di discontinuita` eliminabile. lim x ln2 x ¼ þ1

x!þ1

pertanto non esistono asintoti orizzontali; inoltre poiche´: lim

x!þ1

f ðxÞ ¼ lim ln2 x ¼ þ1 x!þ1 x

non esistono nemmeno asintoti obliqui. Le informazioni finora raccolte sono riassunte in fig. 7.10. +∞

y

1 O

x

Figura 7.10

 Studio della derivata prima La funzione data e` derivabile nel suo dominio e risulta: y 0 ¼ ln2 x þ 2 ln x 420

Unita` 7

Pertanto: y 0 ¼ 0 ) ln2 x þ 2 ln x ¼ 0 ) ln x ðln x þ 2Þ ¼ 0 )

Lo studio di funzione

) ln x ¼ 0 _ ln x ¼ 2 ) x ¼ 1 _ x ¼ e2 y 0 > 0 ) ln2 x þ 2 ln x > 0 ) ln x < 2 _ ln x > 0 ) 0 < x < e2 _ x > 1 Si puo` costruire il seguente grafico, che riassume il segno di y 0 : e–2

0 y'

+

E

1 −

0

0

x

+

y E

max

min

La funzione presenta dunque un punto di massimo relativo per x ¼ e2 , con f ðe2 Þ ¼ 4e2 , e un punto di minimo relativo per x ¼ 1, con f ð1Þ ¼ 0. Attenzione!

y

Poiche´ per x ¼ 0 la funzione assegnata presenta un punto di discontinuita` eliminabile, e` opportuno calcolare il limite di y0 per x ! 0þ , in modo da stabilire con maggiore precisione il comportamento della funzione in un intorno destro di zero. Dato che: lim ðln2 x þ 2 ln xÞ ¼ lim ðt 2 þ 2tÞ ¼ þ1

x!0þ

Ponendo ln x ¼ t

t!1

possiamo affermare che il grafico della funzione si avvicina al punto x ¼ 0 con tangente verticale.

O

x

 Studio della derivata seconda Si ricava facilmente che: 2 ðln x þ 1Þ x Tenendo conto che deve essere x > 0 (perche´ altrimenti la funzione non e` definita), abbiamo: y 00 ¼

y 00 ¼ 0 ) ln x þ 1 ¼ 0 ) ln x ¼ 1 ) x ¼ e1 y 00 > 0 ) ln x þ 1 > 0 ) ln x > 1 ) x > e1 Lo schema del segno di y 00 e` il seguente. e –1

0 y"

E

−

0

x

+

y E

flesso

La funzione presenta quindi un punto di flesso per x ¼ e1 , con f ðe1 Þ ¼ e1 .  Grafico Il grafico della funzione e` dunque quello di fig. 7.11. y

y = xln2 x Osserva

(e –2, 4e –2) O Figura 7.11

e–1 (1, 0)

x

Dal grafico della funzione ottenuto possiamo dedurre che il punto di minimo relativo e` anche punto di minimo assoluto.

421

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

Funzioni goniometriche Proponiamo infine un esempio di studio di funzione goniometrica, che rappresenta un esempio di funzione periodica. ESEMPIO

Funzione goniometrica

Studiamo la funzione y ¼ sin3 x e tracciamone il grafico.  Dominio La funzione seno e` definita per ogni valore reale di x, quindi il dominio e` R.  Periodo e simmetrie La funzione e` periodica di periodo 2
; inoltre e` dispari, perche´: f ðxÞ ¼ sin3 ðxÞ ¼ sin3 x ¼ f ðxÞ

Tema G

Possiamo allora limitarci a studiare la funzione in un intervallo di ampiezza 2
; una scelta conveniente e` l’intervallo ½
,
 (simmetrico rispetto all’origine), perche´ ci permette di sfruttare le proprieta` derivanti dal fatto che la funzione e` dispari: possiamo cioe` restringere ulteriormente lo studio della funzione all’intervallo ½0,
 e poi completare il grafico nell’intervallo ½
,
 in base alla simmetria rispetto all’origine. Proseguiremo dunque lo studio in ½0,
.  Zeri e segno Ponendo y ¼ 0, abbiamo: y ¼ 0 ) sin3 x ¼ 0 ) sin x ¼ 0 ) ) x ¼ k
) x ¼ 0 _ x ¼
limitatamente all’intervallo [0,
]

La funzione interseca dunque l’asse x nei punti di coordinate (0, 0) e ð
; 0Þ. Poiche´ il segno di sin3 x e` uguale a quello di sin x, deduciamo che:

y

sin3 x > 0 per ogni x 2 ð0,
Þ –π

O

π

x

 Comportamento agli estremi dell’intervallo ½0,
 La funzione e` continua nell’intervallo ½0,
, quindi: lim f ðxÞ ¼ f ð0Þ ¼ 0 x!0

e

lim f ðxÞ ¼ f ð
Þ ¼ 0 x!


Le informazioni fin qui raccolte, tenendo conto della simmetria della funzione rispetto all’origine, sono rappresentate in fig. 7.12. Figura 7.12

 Studio della derivata prima La funzione e` derivabile per ogni x 2 R e si ha: y 0 ¼ 3 sin2 x cos x Limitatamente all’intervallo ½0,
 risulta: y 0 ¼ 0 ) sin x ¼ 0 _ cos x ¼ 0 ) x ¼ 0 _ x ¼
2

y 0 > 0 ) cos x > 0 ^ sin x 6¼ 0 ) 0 < x
0 )  3 < x < ::::: _ x > ::::: Completa lo schema seguente sul segno della derivata seconda e sulle relative deduzioni circa la concavita` della funzione. – 3 y"

…

y

…

0

0 …

0

3 …

0

…

x

… flesso

flesso

flesso

 Traccia il grafico della funzione. Studia le seguenti funzioni e tracciane il grafico. 1 44 y ¼ 2 Þ x  4x 45 Þ

y¼

1 x2 þ 1

46 Þ

y¼

x2 x2

47 Þ

y¼

1 þ 4x x

48 Þ

y¼

6x  3 x2

49 Þ

y¼

x2 þ 9 x

2 þ x2 50 y ¼ 2 Þ x 9

444

51 Þ

y¼

2x x3

52 Þ

y¼

x2  4 3x2 þ 1

53 y ¼ Þ

x2  4 x2 þ 4

54 Þ

x2  1 x2 þ 3

y¼



  1 D ¼ R  f0, 4g; asintoti: x ¼ 0, x ¼ 4, y ¼ 0; max 2,  4   pffiffiffi  3 3 , D ¼ R; asintoti: y ¼ 0; max ð0, 1Þ; flessi:  3 4      1 1 D ¼ R  f0g; asintoti: y ¼ 0; x ¼ 0; max 4, , flesso 6, 8 9      1 1 D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 4x; max  ,  4 , min ,4 2 2    3 8 D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 0; max ð1, 3Þ, flesso , 2 3 ½D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ x; max ð3,  6Þ, min ð3, 6Þ 

  2 D ¼ R  f3g; asintoti: y ¼ 1, x ¼ 3; max 0,  9      1 1 D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 0; min 3,  , flesso 4,  27 32    1 1 35 D ¼ R; asintoti: y ¼ ; min ð0,  4Þ, flessi  ,  3 3 12 " !# pffiffiffi 2 3 1 D ¼ R; asintoti: y ¼ 1; min ð0,  1Þ, flessi  ,  3 2     1 D ¼ R; asintoti: y ¼ 1; min 0,  ; flessi: ð1, 0Þ 3

[D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2, y ¼ x þ 2; max ð0, 0Þ, min ð4, 8Þ]

y¼

y¼

x4 þ x2  2 x4

58 Þ

y¼

x2  1 x3 "

59 Þ

y¼

x3  4 x2

pffiffiffi ! pffiffiffi ! pffiffiffi 2 3 pffiffiffi 2 3 D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 0; min  3,  , max 3, ; flessi: 9 9

pffiffiffi !# pffiffiffi 5 6  6,  36

Lo studio di funzione

57 Þ

[D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 1; max ð0, 0Þ] !# rffiffiffiffiffiffiffiffi   9 20 221 D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 1; max  2, , , flessi:  8 3 200

"

Unita` 7

x2 x2 x2 56 y ¼ 2 Þ x 1 55 Þ

[D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ x; max ð2, 3Þ]

2x  5 x2  4 (Tralascia lo studio di y 00 ma precisa il minimo numero di flessi compatibile con le caratteristiche del grafico)     1 D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2, y ¼ 0; min ð1, 1Þ, max 4, ; deve esserci almeno un punto di flesso 4    3 x 9 D ¼ R; asintoti: y ¼ x; flessi: ð0, 0Þ e 3,  61 y ¼ 2 Þ x þ3 4 
    3 x 1 1 3 27 D¼R 62 y ¼ , ; asintoti: x ¼ ; min , flesso ð0, 0Þ Þ 2x  1 2 2 4 32      4x2  1 1 4 13 28 63 y ¼ D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2, y ¼ 4; min  ,  , flesso , Þ 8 15 16 135 ðx þ 2Þ2 60 Þ

y¼

ðx  4Þ2 (Tralascia lo studio di y00 , ma indica il numero di flessi)     ðx  2Þðx  3Þ 8 D ¼ R  f2, 3g; asintoti: y ¼ 1, x ¼ 2, x ¼ 3; max ,  8 , min ð4, 0Þ; un flesso 3      n p ffiffiffi pffiffiffi 1 1 1 ¼ 3 D ¼ R  0,  3g; asintoti: x ¼ 0, x ¼  3, y ¼ 0; min 1, , max 1,  x  3x 2 2    pffiffiffi 1 x3 ¼ 3 D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2, y ¼ 1; flessi: ð0, 0Þ e  3 4, x 8 3   2   1 xþ1 1 35 ¼xþ D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼ x þ ; min ð3, 5Þ; flesso 2,  2 x1 2 18     x3 27 ¼ D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼ x  2, max  3,  ; flesso ð0, 0Þ 4 ðx þ 1Þ2

64 y ¼ Þ

65 Þ

y

66 Þ

y

67 Þ

y

68 Þ

y

69 Þ

y¼

x3 4

x2

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2, y ¼ x; max ð2 3, 3 3Þ, min ð2 3, 3 3Þ; flesso ð0, 0Þ]

4x3 x4 þ 1 (Tralascia lo studio di y 00 ma precisa il minimo numero di flessi compatibile con le caratteristiche del grafico) pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [D ¼ R; asintoti: y ¼ 0; max ð 4 3, 4 27Þ, min ð 4 3,  4 27Þ; devono esserci almeno cinque punti di flesso di cui uno nell’origine, a tangente orizzontale]
       2  4x ðx  1Þ 3 3 1 1 16 6 8 71 y ¼ , , D ¼R ; asintoti: x ¼ , y ¼ x þ 1; max , min: ð1, 0Þ, 3, ; flesso Þ 2 2 2 8 3 7 189 ð2x  3Þ2 70 Þ

y¼

Studio di funzioni irrazionali Studia le seguenti funzioni e tracciane il grafico. 1 72 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ 2 x 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x1 73 y ¼ (Tralascia lo studio di y 00 Þ Þ xþ2

[D ¼ ð1,  1Þ [ ð1, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0] [D ¼ ð1,  2Þ [ ½1, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 2 ðsinistroÞ, y ¼ 1] 445

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

x y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 75 y ¼ x x  2 Þ 74 Þ

76 Þ

y

77 Þ

y

78 Þ

y

79 Þ

y

80 Þ

y

81 Þ

y

[D ¼ R; asintoti: y ¼ 1 ðdestroÞ e y ¼ 1 (sinistro); flessoð0,0Þ   8 8 pffiffiffi D ¼ ½2, þ 1Þ; punto a tangente verticale: x ¼ 2; flesso , 6 3 9     pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 00 2 ¼ 3x  x (Tralascia lo studio di y Þ D ¼ ½0, 3; max , ; punti a tangente verticale: x ¼ 0 e x ¼ 3 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x2 þ 4 [D ¼ R; asintoti: y ¼ x; min ð0,2Þ pffiffiffi ¼x2 x [D ¼ ½0, þ1Þ; min ð1, 1Þ; punto a tangente verticale per x ¼ 0] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [D ¼ ½2, 2; max ð 2, 2Þ; min ð 2, 2Þ; punti a tangente verticale: x ¼ 2; flesso ð0, 0Þ] ¼ x 4  x2 pffiffiffi  xþ1 ¼ pffiffiffi D ¼ ½0, 4Þ [ ð4, þ1Þ; asintoti: x ¼ 4, y ¼ 1; x2   4 5 , punto a tangente verticale per x ¼ 0; flesso 9 4 " pffiffiffi !# x1 4 3 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D ¼ ð2, þ1Þ; asintoti: x ¼ 2; min ð3, 2Þ; flesso 5, 3 x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9  x2 82 y ¼ Þ x



pffiffiffi !# 2 D ¼ ½3, 0Þ [ ð0, 3; asintoti: x ¼ 0; punti a tangente verticale: x ¼ 3; flessi: 2     pffiffiffi pffiffiffi 2 pffiffiffiffiffiffi D ¼ R; asintoti: y ¼ 1 (destro), y ¼ 1 (sinistro); max  , 10 ; flessi: ð2, 2 2Þ, ð1, 5Þ 3 "

6x y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 84 y ¼ x2  2x  x þ 1 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 85 y ¼ x2 2  x Þ 83 Þ

pffiffiffi  6, 

[D ¼ ð1, 0 [ ½2, þ1Þ; asintoti: y ¼ 0 (destro) e y ¼ 2x þ 2 (sinistro)]

(Tralascia lo studio di y00 ma precisa il minimo numero di flessi compatibile con le caratteristiche del grafico)    12 , ’ 1, 9 ; flesso a tangente verticale ð2, 0Þ; D ¼ R; non ci sono asintoti; min ð0, 0Þ; max 7  rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 86 y ¼ x Þ xþ2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 87 y ¼ x3  3x2 Þ

deve esserci almeno un altro punto di flesso pffiffiffi [D ¼ ð1, 2Þ [ ½0, þ1Þ; asintoti: x ¼ 2, y ¼ x  1; max ð3, 3 3Þ] pffiffiffi [D ¼ R; asintoti: y ¼ x  1; min ð2,  3 4Þ; cuspide in ð0, 0Þ; flesso (a tangente verticale) in ð3, 0Þ]

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 3x  x3 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [D ¼ R; asintoti: y ¼ x; min ð1,  3 2Þ; max ð1, 3 2Þ; flessi (a tangente verticale) in ð0, 0Þ e ð 3, 0Þ] sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi     ffiffiffiffiffiffi 1 3 ð3 þ xÞ5 1 5 5p 3 89 y ¼ x þ ; min 2, 50 D ¼ R  f 0 g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ ; flesso ð3, 0Þ Þ x2 3 3 3 6 88 Þ

y¼

90 Þ

y¼

ðx  2Þ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x2 þ x þ 1

(Tralascia lo studio di y 00 ma precisa il minimo numero di flessi compatibile con le caratteristiche del grafico) pffiffiffi    1 9 1 9 8 3 e min ð2, 0Þ; D ¼ R; asintoti: y ¼  x þ (sinistro), y ¼ x  (destro); min  2, 3 2 4 2 4 pffiffiffi    3 7 7 ; ci devono essere almeno due punti di flesso max  , 4 2

446

Le seguenti funzioni irrazionali rappresentano parti di coniche. Tracciane inizialmente il grafico con i metodi imparati negli anni precedenti. Ritrova quindi i risultati applicando i metodi dell’analisi. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 91 y ¼ 1  2 x þ 3 94 y ¼  x2  2x Þ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 95 y ¼ x2 þ 3x  4 92 y ¼  4x  x2 Þ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 96 y ¼ x2  4x þ 5 93 y ¼ x2  4 Þ Þ

97 Þ

x!1

98 Þ

x!þ1

Ha come dominio R  f2g, ha come asintoto l’asse x e interseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 3Þ.

99 Ha come dominio R, ha come asintoto la retta di equazione y ¼ 1, e` pari e uno dei suoi punti di intersezione Þ con l’asse x e` ð2, 0Þ. 100 Ha come dominio ð1, 3 [ ½3, þ1Þ, e` sempre negativa o nulla per ogni valore di x appartenente al domiÞ nio e ha come asintoti la retta y ¼ x per x ! 1 e la retta y ¼ x per x ! þ1.

Lo studio di funzione

Ha come dominio R, e` tangente all’asse x in ð2, 0Þ e interseca ulteriormente l’asse x in ð1, 0Þ; inoltre lim f ðxÞ ¼ þ1 e lim f ðxÞ ¼ 1.

Unita` 7

Traccia il grafico e determina l’espressione analitica di una funzione algebrica che possieda le proprieta` indicate.

Famiglie di funzioni 101 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Le funzioni razionali intere di terzo grado, di equazione y ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ d con a 6¼ 0, sono dette cubiche. Supposto a > 0, tracciamo, al variare dei parametri a, b, c e d, il grafico qualitativo di una cubica.

 Una cubica e` definita per ogni x 2 R.  La discussione del segno e del numero dei punti di intersezione e` complessa, dal momento che in generale non sappiamo risolvere algebricamente un’equazione di terzo grado. Soprassediamo percio` su questo punto; tuttavia, ricordando che un’equazione di terzo grado o ha una sola soluzione o ne ha tre, possiamo affermare che una cubica interseca l’asse x o in un unico punto oppure in tre punti.  Il calcolo dei limiti fornisce:

 lim ax3 þ bx2 þ cx þ d ¼ lim ax3 ¼ 1

Perche´ stiamo supponendo a > 0

 lim ax3 þ bx2 þ cx þ d ¼ lim ax3 ¼ þ1

Perche´ stiamo supponendo a > 0

x!1

x!1

x!þ1

x!þ1

Non ci sono asintoti.  La derivata prima e`: y 0 ¼ 3ax2 þ 2bx þ c Per lo studio degli zeri e del segno dobbiamo distinguere tre casi, a seconda che il discriminante del trinomio al
¼ b2  3ac, i casi da considerare sono i sesecondo membro sia minore, uguale o maggiore di zero. Poiche´ 4 guenti.
< 0 ) b2 < 3ac


¼ 0 ) b2 ¼ 3ac

y0 ¼ 0 ) mai

y0 ¼ 0 ) x ¼ 


> 0 ) b2 > 3ac

b 3a

y0 ¼ 0 ) x1 ¼

y0 > 0 ) per ogni x 2 R

y0 > 0 ) per ogni x 2 R, con x 6¼ 

y

+

x

y'

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2  3ac b þ b2  3ac _ x2 ¼ 3a 3a

y 0 > 0 ) x < x1 _ x > x2

b 3a

– y'

b 

+

b 3a 0

x2

x1 +

y

x

y'

+

0

−

0

+

x

y flesso orizzontale

max

min

447

y 00 ¼ 0 ) 6ax þ 2b ¼ 0 ) 6ax ¼ 2b ) x ¼ 

b 3a

y00 > 0 ) 6ax þ 2b > 0 ) 6ax > 2b ) x > 

b 3a

L’ultimo passaggio e` lecito perche´ a > 0

− −

y"

b 3a 0

x

+

y flesso

 Il grafico di una cubica con a > 0 puo` quindi essere di uno dei seguenti tre tipi. Se b2 < 3ac

y

Se b2 ¼ 3ac

Se b2 > 3ac

y

b2 < 3ac

y

b2 = 3ac

b2 > 3ac

flesso a tangente obliqua

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

 La derivata seconda e` y 00 ¼ 6ax þ 2b. Abbiamo:

x

O flesso orizzontale

x

O

x1 O

x2

x

Se b2 > 3ac la funzione puo` intersecare l’asse x tre volte (come nel caso in figura) oppure una sola volta.

102 Þ

Verifica che, al variare del parametro a, il grafico della funzione y ¼ x4 þ ax2 varia come indicato nelle figure. y

y

O

x

x

O

a 0]

y¼

1  ax þ 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax2  4a 108 y ¼ Þ x 107 Þ

y¼

[Considera i seguenti casi: jaj < 1, a ¼ 1, a ¼ 1, jaj > 1] [Considera i tre casi: a < 0, a ¼ 0, a > 0] [Considera i seguenti casi: jaj < 2, a ¼ 2, a ¼ 2, jaj > 2]

x2

[Considera i tre casi: a < 0, a ¼ 0, a > 0]

Lo studio di funzione

xþa (Tralascia lo studio di y 00 Þ x2  1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 106 y ¼ x2 þ a Þ 105 Þ

Unita` 7

Traccia, al variare del parametro a, il grafico delle seguenti funzioni.

Applicazioni ai problemi geometrici 109 Þ

Considera la parabola di equazione y ¼ 4x  x2 . Sia ABCD un rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse delle ascisse avente il lato AB sull’asse delle ascisse (con xA < xB Þ. Indica con y l’area del rettangolo ABCD ed esprimi y in funzione dell’ascissa x di A. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema. pffiffiffi pffiffiffi  62 3 6þ2 3 2 , minimo per x ¼ , flesso per x ¼ 2; y ¼ ð4  2xÞð4x  x Þ; massimo per x ¼ 3 3  il tratto relativo al problema e` quello per 0  x  2 110 Scrivi l’equazione della circonferenza passante per l’origine e per il punto Að2, 0Þ, avente il centro sulla retta Þ di equazione y ¼ 1. Una retta di coefficiente angolare m passante per l’origine interseca la circonferenza (oltre che 2

in OÞ nel punto P. Esprimi in funzione di m il rapporto y ¼ stema di assi mOy.

111 Þ



PO PA

2

e traccia il grafico della funzione ottenuta in un si-

  ðm þ 1Þ2 1 3 1 ; asintoti: m ¼ 0, y ¼ ; min ð1, 0Þ; flesso  , x þ y  2x  2y ¼ 0; y ¼ 2m2 2 2 18 2

2

Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ ax2  2ða  1Þx þ 1.

a. Determina i punti base del fascio. b. Scrivi l’equazione cartesiana del luogo dei vertici delle parabole del fascio. c. Traccia il grafico del luogo e verifica che i punti di estremo relativo del grafico del luogo coincidono con i   punti base del fascio. x2 þ x  1 ; c. asintoti: x ¼ 1, y ¼ x þ 2, min (2; 5) e max (0; 1) a. ð0, 1Þ, ð2, 5Þ; b. y ¼ x1 112 Þ

Considera l’ellisse di equazione x2 þ 4y 2 ¼ 4. Siano A e B (con xA < xB Þ i suoi punti di intersezione con l’asse x. Considera quindi un trapezio ABCD, inscritto nell’ellisse, avente i vertici C e D rispettivamente nel primo e nel secondo quadrante. Indica con y l’area del trapezio ABCD ed esprimi y in funzione dell’ascissa x del vertice C. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il  tratto relativo al problema. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 y ¼ ð2 þ xÞ 4  x2 ; massimo per x ¼ 1, flesso per x ¼ 1  3; 2  il tratto relativo al problema e` quello per 0  x  2 113 Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio 1. Sia P un punto della semicirconferenza Þ e H la sua proiezione su AB. Indica con x la misura di HB ed esprimi in funzione di x la differenza y tra il volume del solido generato da una rotazione completa del triangolo APH intorno alla retta AB e il volume del solido generato da una rotazione completa del triangolo BHP intorno alla stessa retta. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo successivamente in evidenza il tratto relativo al pffiffiffi pffiffiffi  problema. 2
3 3 3þ 3 ð2x  x2 Þð1  xÞ; massimo per x ¼ , minimo per x ¼ e flesso (1; 0); y¼ 3 3 3 

il tratto relativo al problema e` quello per 0  x  2 449

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

114 Þ

Considera un quadrato ABCD di lato unitario. Sul prolungamento della semiretta AC, dalla parte di C, consi2

dera un punto P la cui distanza dalla retta CD e` x. Determina l’equazione della funzione y ¼

PB þ PD

2

e tracciane 2 PC il grafico indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.    2x2 þ 2x þ 1 3 10 y¼ ; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 2; min ð1, 1Þ; flesso  , ; x2 2 9  il tratto relativo al problema e` quello per x
0 115 Þ

Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ ax2  2ða þ 1Þx þ 2. a. Verifica che le parabole del fascio intersecano sempre l’asse x in due punti A e B, di cui devi determinare le coordinate. b. Detto V il vertice della parabola, determina l’espressione analitica della funzione f che esprime l’area del qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   triangolo ABV in funzione di a. ða2 þ 1Þ3 a þ 1  a2 þ 1 , 0 ; b. f ðaÞ ¼ ; c. Traccia il grafico della funzione ottenuta. a. a a2   pffiffiffi 3 pffiffiffi c. funzione pari, y ¼ a (destro) e y ¼ a (sinistro); minimi per  2, 3 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 116 Dopo aver tracciato il grafico della funzione y ¼ x 3  x2 , indica con P un suo punto di ascissa x. Determina Þ 2 l’equazione della funzione y ¼ OP e traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo successivamente in evidenza il tratto relativo al problema.  pffiffiffi   pffiffiffi 6 20 2 4 , y ¼ 4x  x ; min (0; 0); max ð 2, 4Þ; flessi in  ; 3 9  pffiffiffi pffiffiffi il tratto relativo al problema e` quello per  3  x  3 Considera due circonferenze concentriche  e  0 , di raggi rispettivamente 1 e x, con x > 1. Da un punto P di  traccia le due corde PA e PB tangenti a . Indicato con y il seno dell’angolo APbB, esprimi y in funzione di x. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo successivamenpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  te in evidenza il tratto relativo al problema. pffiffiffi 2 x2  1 ; asintoti: y ¼ 0; max ð 2, 1Þ; y¼ 2 x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 1 i punti di ascissa x ¼ 1 sono a tangente verticale; flessi per x ¼  9 þ 33 ’ 1,9 2

117 Þ 0

bB, indica Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AC, con BC ¼ 2. Tracciata la bisettrice dell’angolo AC con D il punto in cui interseca AB. a. Dimostra che deve essere BD < 2. b. Poni BD ¼ x ed esprimi y ¼ AD in funzione di x. c. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo successivamente in evidenza il tratto relativo al problema.  x3 þ 4x b b. y ¼ ; c. asintoti: x ¼ 2, y ¼ x, (a. Suggerimento: osserva che deve essere BCD < 45 ) 4  x2  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi pffiffiffiffi minimo per x ¼ 2 2 þ 5 ’ 4,1 e max per x ¼ 2 2 þ 5 ’ 4,1; flesso ð0, 0Þ 118 Þ

2. Funzioni trascendenti

TEORIA a p. 417

Esercizi preliminari Test 119 Þ

450

Il grafico di funzione mostrato a fianco e` quello della funzione:

A

y ¼ 2x ln x

B

y ¼ 2xex

C

y ¼ x ln x2

D

y ¼ 2 x ex

y

O

x

A

y ¼ ln ðx2  1Þ

C

y¼e

D

y¼

121 Þ

y

x

O

1 x2 1

ex x2  1

Il grafico di funzione mostrato a fianco e` quello della funzione:

y

Lo studio di funzione

B

Il grafico di funzione mostrato a fianco e` quello della funzione: 1 y¼ 2 x 1

Unita` 7

120 Þ

2

A

y ¼ ex

B

y ¼ ln2 x

C

y¼

D

y ¼ ln x2

1 ln2 x x

O

122 Þ

Vero o falso? V F a. la funzione y ¼ x e x non ammette asintoti ne´ verticali ne´ orizzontali b. la funzione y ¼ x4 ln x ammette come asintoto verticale l’asse y V F c. la funzione y ¼ ln ðx2  4Þ incontra l’asse x nei punti di coordinate ð2, 0Þ V F d. le funzioni di equazione y ¼ e f ðxÞ non intersecano l’asse x in alcun punto e sono sempre positive V F e. le funzioni di equazione y ¼ ln f ðxÞ non sono mai definite in R V F n x f. le funzioni di equazione y ¼ x e con n 2 N, n
1, non ammettono asintoti obliqui V F 2 g. la funzione y ¼ 2x e` limitata V F 2 h. la funzione y ¼ 3x e` limitata V F i. la funzione y ¼ sin4 x e` limitata V F [4 affermazioni vere e 5 false]

123 Þ

Inventa tu. Fornisci l’esempio di una funzione esponenziale che abbia le seguenti caratteristiche: a. e` definita in R  f2g; b. ha come asintoto orizzontale y ¼ 1; c. ha come asintoto verticale sinistro, ma non destro, x ¼ 2.

124 Þ

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione logaritmica che abbia le seguenti caratteristiche:

a. ha come asintoti verticali l’asse y e le rette di equazioni x ¼ 1; b. ha asintoto orizzontale. 125 Þ

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione goniometrica che abbia le seguenti caratteristiche: a. ha periodo 2
; b. ha come asintoti verticali le rette di equazioni x ¼
þ 2k


Studio di funzioni esponenziali Studia le seguenti funzioni esponenziali e tracciane i grafici. " 126 Þ

y ¼ ex

127 Þ 128 Þ 129 Þ 130 Þ

y ¼ ex

131 Þ

y ¼ ð2x  1Þex (Tralascia lo studio di y 00 Þ

132 Þ 133 Þ

y ¼ xex

3

2

3x

D ¼ R; asintoti: y ¼ 0; max ð0, 1Þ; flessi (Tralascia lo studio di y 00 Þ

[D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (sinistro); max ð1, e2 Þ, min ð1, e2 Þ] [D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (destro); max ð1, 1Þ, flesso ð2, 2e1 Þ]

y ¼ xe1x y ¼ ð2  xÞex

[D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (sinistro); max ð1, eÞ; flesso ð0, 2Þ]

y ¼ ðx þ 1Þex 2

y ¼ ðx þ 1Þ e x

!# pffiffiffi 2 1 ,e 2  2

½D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (destro); max ð0, 1Þ; flesso ð1, 2e1 Þ]     1 1 D ¼ R; asintoto: y ¼ 0; min  ,  2e 4 , max ð1,e1 Þ 2 [D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (destro); max ð1, e1 Þ; flesso ð2, 2e2 Þ] [D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (sinistro); min ð2, e2 Þ; flesso ð3, 2e3 Þ] 451

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

134 Þ

141 Þ

y ¼ ex

142 Þ

y ¼ xe x

Tema G



143 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

2x

y¼e

135 Þ

y ¼ ðx2  3Þ e x

136 Þ

y ¼ ex þ x

137 Þ

y ¼ xe2x

138 Þ

y¼

 2e



2

ex x2

ex  2 ex  1 ex 140 y ¼ Þ x1 139 Þ



 3 D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (destro); min ð0, 1Þ; flesso ln 2,  4 pffiffiffi [D ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (sinistro); max ð3, 6e3 Þ, min ð1, 2eÞ; flessi per x ¼ 2  5]

x

[D ¼ R; asintoti: y ¼ x (destro); min ð0, 1Þ]     1 1 1 1 1 1 , e 2 ; D ¼ R; asintoti: y ¼ 0; min  ,  e 2 ; max 2 2 2 2 pffiffiffi   pffiffiffi pffiffiffi   pffiffiffi 3 3 3 3 3 3 2 2 , e , e , flessi: ð0, 0Þ,  2 2 2 2    e2 D ¼ R  f0g; asintoti: y ¼ 0 (destro); min 2, 4 [D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 1 (destro) e y ¼ 2 (sinistro)]

y¼



1

1

[D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0 (sinistro); min ð2, e2 Þ]   1 D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0 (destro), y ¼ 1; flesso  , e2 2

[D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0 (sinistro), y ¼ x  1; max ð1, eÞ]

x

Studia la funzione y ¼ e x2 1 . (Tralascia lo studio di y00 ma precisa il minimo numero di punti di flesso compatibile con le caratteristiche del grafico.)  Determina il dominio.  Calcola i limiti agli estremi del dominio, prestando attenzione a calcolare separatamente i due limiti da destra e da sinistra per x ! 1 e per x ! 1. Troverai infatti che x ¼ 1 e x ¼ 1 sono asintoti verticali, ma soltanto da destra.  Calcola e studia la derivata prima.  Calcola i limiti di y0 per x ! 1 e per x ! 1 e, tenendo conto dei risultati ottenuti, prevedi l’esistenza di almeno un punto di flesso. 

 3 2 ,e 2

 1 [D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0 (destro); y ¼ e ; flesso 1, e3 ]

1

144 y ¼ e x2 Þ



D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2 (destro); y ¼ 1; flesso

2x x

145 Þ

y¼e

146 Þ

y ¼ e x1

148 Þ

y ¼ ð1  xÞ e xþ1    3 8 3 3 2 2 D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1 (sinistro), y ¼ eð2  xÞ; max ð0, 1Þ; min ð3, 4e Þ; flesso  , e 5 5

149 Þ

y ¼ ðx  3Þ e x2

x2

(Tralascia lo studio di y 00 ma prevedi il minimo numero di flessi compatibile con le informazioni raccolte) [D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1 (destro), y ¼ 0 (sinistro); max ð0, 1Þ, min ð2, e4 Þ; calcolando lim y 0 si deduce che devono esserci almeno due punti di flesso] x!1 1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1x 147 y ¼ e 2 Þ pffiffiffi [D ¼ ð1, 1; asintoti: y ¼ 0 (sinistro); punto a tangente verticale: x ¼ 1; max (0; 1); flesso per x ¼  2] x

x1

[D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2 (destro), y ¼ e ðx  2Þ; flesso ð1, 2Þ]

Studio di funzioni logaritmiche Studia le seguenti funzioni logaritmiche e tracciane i grafici.

452

150 Þ

y ¼ ln ðx2  2xÞ

151 Þ

y ¼ ln ð9  x2 Þ

152 Þ

y ¼ ln ðx3  3xÞ (Tralascia lo studio di y 00 Þ pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [D ¼ ð 3,0Þ [ ð 3, þ 1Þ; asintoti: x ¼  3 (destro), x ¼ 0 (sinistro), x ¼ 3 (destro); max ð1, ln 2Þ]

[D ¼ ð1, 0Þ [ ð2, þ1Þ; asintoti: x ¼ 0 (sinistro), x ¼ 2 (destro)] [D ¼ ð3, 3Þ; asintoti: x ¼ 3; max ð0, ln 9Þ]

153 Þ

y ¼ ln

2x x

 [D ¼ ð0,2Þ; asintoti: x ¼ 0 (destro), x ¼ 2 (sinistro); flesso ð1, 0Þ] 

x 155 y ¼ Þ ln x

D ¼ ð0, 1Þ [ ð1, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0 (destro);   1 punto di discontinuit`a eliminabile per x ¼ 0; flesso e2 ,  2



156 Þ

y¼

ln x x

D ¼ ð0, 1Þ [ ð1, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 1; punto di discontinuit`a eliminabile per x ¼ 0;   e2 min ðe, eÞ, flesso e2 , 2    3 3 3 1 2 2 D ¼ ð0, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 0 (destro); y ¼ 0; max ðe, e Þ; flesso e , e 2

157 Þ

y ¼ ln2 x

[D ¼ ð0, þ1Þ; asintoti: x ¼ 0; min ð1, 0Þ; flesso ðe, 1Þ]

Lo studio di funzione

1 154 y ¼ Þ ln x

Unita` 7



[D ¼ ð0, þ1Þ; x ¼ 0: discontinuita` eliminabile; max ðe2 , 4e2 Þ; min ð1, 0Þ; flesso ðe1 , e1 Þ]     5  e1 5e 2 3  13  56 ` 159 y ¼ x ln x D ¼ ð0, þ1Þ; x ¼ 0: discontinuita eliminabile; min e ,  ,  ; flesso e Þ 3 6 pffi i ln2 x h 3 5 160 y ¼ D ¼ ð0, þ1Þ; asintoti: x ¼ 0 (destro), y ¼ 0 (destro); min ð1, 0Þ, max ðe2 , 4e2 Þ; flessi per x ¼ e 2 Þ x 158 Þ

y ¼ x ln2 x

161 Þ

y¼

x ln2 x      e2 e3 2 3 D ¼ ð0, 1Þ [ ð1, þ1Þ; x ¼ 0: discontinuita` eliminabile; asintoti: x ¼ 1; min e , ; flesso e , 4 9

162 y ¼ Þ

ln x x2

163 y ¼ Þ

ln x ln x  1

164 Þ

y¼

ln x  1 ln2 x

 D ¼ ð0, þ1Þ; asintoti: x ¼ 0, y ¼ 0 (destro); max

   pffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 5 6 ffiffiffiffi ffi e5 , p e, ; flesso 3 2e 6 e5

 D ¼ ð0, eÞ [ ðe, þ1Þ; asintoti: x ¼ e, y ¼ 1; x ¼ 0: punto di discontinuita` eliminabile;   1 flesso e1 , 2  D ¼ ð0, 1Þ [ ð1, þ1Þ; x ¼ 0: punto di discontinuita` eliminabile; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 0;    pffiffi 1 max e2 , ; flessi per x ¼ e 6 4 pffiffiffi [D ¼ ð2, 0Þ [ ð0, þ1Þ; asintoti: x ¼ 2, x ¼ 0; flesso per x ¼ 2 2  4]

xþ2 x2  2  pffiffiffi pffiffiffi x þ 2x þ 1 166 y ¼ ln [D ¼ ð0, þ1Þ; asintoto: x ¼ 0 (destro); min ð1, 2 ln 2Þ; flesso ð1 þ 2, ln ð2 þ 2 2ÞÞ] Þ x

3 2 167 y ¼ ln x  2x (Tralascia lo studio di y 00 Þ Þ pffiffiffi   pffiffiffi pffiffiffi 6 32 , ln D ¼ R  f0,  2g; asintoti: x ¼ 0, x ¼  2; max  3 27 165 Þ

y ¼ ln

168 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Studia la funzione y ¼

ln2 x þ 1 . ln x

 Osserva che la funzione e` definita per x > 0 e ln x 6¼ 0 e deduci il dominio della funzione.  Calcola i limiti della funzione agli estremi del dominio e deduci che ci sono due asintoti verticali.  Calcola e studia la derivata prima, verificando che la funzione presenta un massimo nel punto di coordinate ðe1 , 2Þ e un minimo nel punto di coordinate (e, 2).  Calcola la derivata seconda e verifica che y 00 ¼ 

ln3 x  ln x  2 x2 ln3 x

. Lo studio degli zeri va effettuato graficamente.

Poni ln x ¼ t e studia graficamente l’equazione t 3  t  2 ¼ 0, tracciando i grafici di y ¼ t 3 e di y ¼ t þ 2. Troverai che l’equazione ammette una soluzione con 1 < t < 2, quindi l’equazione originaria in x ammettera` una soluzione con e1 < x < e2 . Deduci l’esistenza di un punto di flesso  con  2 ðe, e2 Þ. 453

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

169 Þ

y¼x

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 ln x

[D ¼ ð0, þ1Þ; x ¼ 0: discontinuita` eliminabile; minimo per x ¼ e 3 ; 1

2

flessi per x ¼ 1 (a tangente verticale) e per x ¼ e 3 ] 170 Þ

y ¼ 1  e x ln x

2

(Tralascia lo studio di y 00 , supponendo che il numero dei punti di flesso sia il minimo compatibile) [D ¼ R  f0g; x ¼ 0: discontinuita` eliminabile; asintoti: y ¼ 1 (sinistro); minimo per x ¼ e1 , massimo per x ¼ e1 ; c’e` un punto di flesso nell’intervallo (1, 0) (la concavita` cambia anche per x ¼ 0, che pero` non e` un punto di flesso perche´ ivi la funzione non e` definita]

Studio di funzioni goniometriche Studia le seguenti funzioni goniometriche e tracciane i grafici.     
5 5
5 2 171 y ¼ sin x þ cos x in ½0, 2
 Min: ð0, 1Þ, ð
, 1Þ, ð2
, 1Þ; max: , , , ; Þ 3 4 3 4 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  1  33 1  33 e per x ¼ 2
 arccos flessi per x ¼ arccos 8 8   1
5
2 172 y ¼ Min: ð0, 1Þ, ð2
, 1Þ; max ð
, 1Þ; flessi per x ¼ sin x  cos x in ½0, 2
 e per x ¼ Þ 2 3 3         
3

1 5
1 2 173 y ¼ cos x  2 sin x in ½0, 2
 Min: , 2 ; max , 2 ; flessi: ,  ,  , Þ 2 2 6 4 6 4 174 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Studia la funzione y ¼ sin x cos3 x in ½0,
.  Calcola la derivata prima e verifica che puo` scriversi nella forma y 0 ¼ cos2 x ð1  4 sin2 xÞ. p Dallo ffiffiffi  studio della deri
3 3 e un minimo nel vata prima deduci pche ffiffiffi  nell’intervallo ½0,
 la funzione ha un massimo nel punto 6 , 16  5
3 3 , . punto 6 16  Calcola la derivata seconda e verifica che puo` scriversi nella forma y00 ¼ 2 sin x cos x ð3  8 cos2 xÞ. Dallo studio della derivata r seconda deduci che nell’intervallo ½0,
 la funzione ha tre punti di flesso, precisamente per ffiffiffiffiffi ! 3
e per x ¼ . x ¼ arccos  8 2 pffiffiffi  pffiffiffi  
3 3 2
3 3 175 y ¼ cos x sin x in ½0,
 Max: , , ð
, 0Þ; min: ð0, 0Þ, , ; Þ 16 3 16 3 rffiffiffiffiffi!  5
e per x ¼ flessi per x ¼ arccos  8 2      1
3

pffiffiffi 7
pffiffiffi 176 y ¼ þ 2 cos x in ½0, 2
 Asintoti: x ¼ , x ¼ ; min: , 2 2 , ð
, 3Þ, , 2 2 ; Þ cos x 2 2 4 4     pffiffiffi pffiffiffi 3
5
, 2 2 , , 2 2 , ð0, 3Þ, ð2
, 3Þ; ci sono quattro punti di flesso, max: 4 4 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  17  1 17  1 @ A @ di ascisse x ¼ arccos  e x ¼ 2
 arccos  4 4  cos x
3 177 y ¼ Asintoti: x ¼  , x ¼ 
; min ð0, 1Þ; max: ð
, 1Þ; in ½
,
 (Tralascia lo studio di y 00 Þ Þ cos 2x 4 4  vi sono almeno due punti di flesso 



3

178 y ¼ Þ 179 Þ

454

sin x þ cos x sin x  1



in ½0, 2


y ¼ tan x  2x in ½0, 2



; max ð
, 1Þ 2     
3


5
5
Asintoti: x ¼ , x ¼ ; min: , 1 , , 1 ; 2 2 4 2 4 2      3
3
7
7
max: , 1  , , 1  ; flesso ð
, 2
Þ 4 2 4 2

(Tralascia lo studio di y 00 )

Asintoti: x ¼

y ¼ x þ 2 cos x in ½0, 2


181 Þ

y ¼ x sin x in ½
,


182 Þ

y¼

Max 

4 cos2 x 1  2 cos x


pffiffiffi , þ 3 , min 6 6



 

  3
3
 5
5
pffiffiffi ,  3 , flessi: , , , 6 6 2 2 2 2

La derivata prima e la derivata seconda vanno studiate graficamente; 
 
 min ð0, 0Þ, max per x ¼  con  2 ,
; flessi per x ¼  con  2 0, 2 2     
5

3
Asintoti: x ¼ , x ¼ ; min: ,0 , ,0 ; 3 3 2 2       4 2
1 4
1 , ð2
, 4Þ; flessi: , , , max: ð0, 4Þ,
, 3 3 2 3 2

in ½0, 2


Lo studio di funzione

180 Þ




Unita` 7



Famiglie di funzioni 183 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Studiamo, al variare del parametro k, il grafico della famiglia di funzioni di equazione y ¼ e kx . 2

 Osserviamo anzitutto che, se k ¼ 0, la funzione coincide con la funzione costante y ¼ 1. Nel proseguimento supporremo dunque k 6¼ 0.  Il dominio della funzione e` R, qualsiasi sia il valore di k.  La funzione e` sempre positiva e non ha punti in comune con l’asse x; tutte le funzioni della famiglia intersecano l’asse y nel punto di coordinate (0, 1).  Il comportamento della funzione per x ! 1 dipende dal segno di k: 2

lim ekx ¼ 0 )

se k < 0:

se k > 0:

x!1

) la funzione ha come asintoto orizzontale l’asse x

2

lim ekx ¼ þ1 )

x!1

) la funzione non ha asintoti orizzontali; in tal caso e` facile verificare che non esistono nemmeno asintoti f ðxÞ ¼ þ1 obliqui poiche´ lim x!1 x

 La derivata prima e` y 0 ¼ 2kx ekx . Essa si annulla sempre per x ¼ 0; il segno dipende invece da k: 2

se k < 0, allora y 0 > 0 ) x < 0

se k > 0, allora y0 > 0 ) x > 0

Gli schemi del segno e i relativi comportamenti della funzione sono quindi i seguenti. Se k < 0:

Se k > 0:

0 +

y'

−

0

0

x

y'

−

+

0

x

y

y max

min

 La derivata seconda e` y 00 ¼ 2kekx ð2kx2 þ 1Þ. Abbiamo: 8 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > 1 < 1   se k < 0 )x¼ y 00 ¼ 0 ) 2kx2 þ 1 ¼ 0 ) x2 ¼  2k > 2k : impossibile se k > 0 2

Inoltre:

(

y0 > 0 )

2kx2 þ 1 < 0 2kx2 þ 1 > 0

8 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi >  1 2k 2k ) > se k > 0 : per ogni x 2 R se k < 0

se k < 0 se k > 0

Gli schemi del segno e i relativi comportamenti della funzione sono quindi i seguenti. Se k < 0:

Se k > 0: − −1 2k y"

+

0

−1 2k −

0

+

x

y"

+

x

y

y flesso

flesso

455

Se k < 0:

Se k ¼ 0:

Se k > 0:

y

y 1

O

x

1 x=− − 2k

y k=0

k0

1

x

O

184 Þ

Verifica che, al variare del parametro k, il grafico della funzione y ¼ xekx varia come indicato nelle figure. y

y

O O

185 Þ

y

k=0

k0

Verifica che, al variare del parametro k, il grafico della funzione y ¼ ln ðx2 þ kÞ varia come indicato nelle figure. y

y

x

O k0

Traccia, al variare del parametro a, il grafico delle seguenti funzioni. 186 Þ 187 Þ 188 Þ 189 Þ

y ¼ ðx þ 1Þeax y¼e

ax2x x1

[Distingui i casi: a < 0, a ¼ 0, a > 0] [Distingui i casi: a < 2, a ¼ 2, a > 2]

y ¼ ln ðx þ 2x þ aÞ

[Distingui i casi: a < 1, a ¼ 1, a > 1]

y ¼ ln x2 þ ax2

[Distingui i casi: a < 0, a ¼ 0, a > 0]

2

Applicazioni ai problemi 190 Þ

Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ e2x e gðxÞ ¼ 2ex  1. a. Tracciane il grafico e determina le coordinate del loro punto di intersezione A. b. Verifica che le due funzioni f e g sono tangenti in A (cioe` hanno in A la stessa retta tangente). c. Siano P e Q i due punti, appartenenti rispettivamente al grafico di f e al grafico di g, di ascissa x. Esprimi y ¼ PQ in funzione di x e traccia  il grafico della funzione ottenuta.   1 a. Að0, 1Þ; c. y ¼ ðex  1Þ2 , asintoto: y ¼ 1 (sinistro); min ð0, 0Þ; flesso ln 2; 4 Considera la famiglia di funzioni di equazione f ðxÞ ¼ ðx2 þ kÞex . a. Determina per quali valori di k ammette almeno un punto stazionario. b. Supposta verificata la condizione di cui al punto precedente, determina l’equazione del luogo dei punti stazionari e tracciane il grafico. [a. k  1; b. y ¼ 2xex , asintoti: y ¼ 0 (destro); max ð1; 2e1 Þ; flesso ð2, 4e2 Þ]

191 Þ

456

Dopo aver verificato che per ogni k 2 R la funzione y ¼ ln2 x  k ln x ha un punto di minimo relativo, determina l’equazione del luogo dei punti di minimo e tracciane il grafico. [y ¼ ln2 x; asintoto: x ¼ 0; max ð1, 0Þ; flesso ðe, 1Þ]

Unita` 7

193 Þ

Lo studio di funzione

192 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼ 2 ln x e tracciane il grafico. Sia P un suo punto di ascissa t e H la sua proiezione sull’asse x. a. Scrivi l’equazione della retta r tangente e della retta s normale in P al grafico di f e indica con R ed S, rispettivamente, i punti di intersezione di r ed s con l’asse x. b. Esprimi in funzione di t l’area A1 ðtÞ del triangolo PHR e traccia il grafico della funzione y ¼ A1 ðtÞ in un sistema di assi cartesiani ortogonali tOy. c. Esprimi in funzione di t l’area A2 ðtÞ del triangolo PHS e traccia il grafico della funzione y ¼ A2 ðtÞ in un sistema di assi cartesiani ortogonali tOy.  2 t t2 þ 2ln t; b. A1 ðtÞ ¼ t ln2 t, max ðe2 , 4e2 Þ; min ð1, 0Þ; a. r: y ¼ x  2 þ 2 ln t; s: y ¼  x þ 2 t 2  pffi 3 5 4ln2 t flesso ðe1 , e1 Þ; c. A2 ðtÞ ¼ , min ð1, 0Þ, max ðe2 , 16e2 Þ; flessi per t ¼ e 2 t

194 Þ

Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio 1. Detti P un punto sulla semicirconferenza tale che ABbP ¼ x e H la sua proiezione sul diametro, esprimi y ¼ BH  AP in funzione di x. Traccia il grafico della funzione ottenuta nell’intervallo ½0, 2
, mettendo in evidenza al problema.  il trattodel grafico relativo     
3
7
5 11
5 2 , 2 e ; 2 ; massimi in , e , ; y ¼ 2 cos x  2 sin x; minimi in 2 2 6 2 6 2 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 1 þ 33 1 þ 33 33  1 33  1 _ x ¼ 2
 arcsin flessi per x ¼ arcsin _ x ¼
 arcsin x ¼
þ arcsin 8 8 8 8 195 Þ

Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio 1. Detti P un punto sulla semicirconfe1 renza tale che ABbP ¼ x e H la sua proiezione sul diametro, esprimi y ¼ AP  AH in funzione di x. Traccia il grafi2 co della funzione ottenuta nell’intervallo ½0; 2
, mettendo in evidenza il tratto del grafico relativo al problema.         
3
7
5 11
5 2 ; 1 , min , 3 ; flessi: , e , y ¼ 2 sin x  sin x; max 2 2 6 4 6 4 196 In un trapezio rettangolo ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, la diagonale AC e` perpendicolare al Þ bC ¼ x. Sapendo che AC ¼ 1, scrivi l’equazione della funzione y ¼ BC  8AD. Traccia il grafico lato obliquo BC e BA della funzione ottenuta nell’intervallo relativo al problema.  ½0; 2
, mettendo in evidenza il tratto del grafico   
pffiffiffi
3
5
pffiffiffi ; min , 3 3Þ, max ;3 3 ; y ¼ tan x  8 sin x; asintoti: x ¼ ; x ¼ 2 2 3 3     1 1 p ffiffiffi ffiffiffi e x ¼ 2
 arccos  flessi per x ¼
, x ¼ arccos  p 3 3 4 4 b 197 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AB ¼ 1 tale che BAC ¼ x. Costruisci, da parte opposta al triangoÞ bD e` congruente a lo ABC rispetto alla retta AB, il triangolo ABD, isoscele sulla base BD, il cui angolo al vertice BA 2 bC. Esprimi y ¼ CD in funzione di x. Traccia il grafico della funzione ottenuta nell’intervallo ½0, 2
, mettendo BA

in evidenza il tratto del grafico relativo al problema (tralascia lo studio di y 00 Þ.     
7 5
7 , , ð
, 4Þ e , ; y ¼ 4 cos3 x þ cos2 x þ 2 cos x þ 1; max: 3 4 3 4         1 16 1 16 min: arccos  , e 2
 arccos  ; 3 27 3 27 198 Þ

In una circonferenza di centro O e raggio 1, sia:


; 2 bD ¼ 2
;  CD una corda sottesa a un angolo al centro CO 3 bF ¼ 2x.  EF una corda sottesa a un angolo al centro EO AB  EF in funzione di x. a. Esprimi y ¼ CD þ EF b. Traccia il grafico della funzione ottenuta nell’intervallo ½0, 2
 (tralasciando lo studio di y00 Þ e metti in evidenza il tratto del grafico relativo al problema. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi      4
5

3
2  2 sin x 22 2þ2 ex¼ ; min , pffiffiffi , pffiffiffi ; asintoti: x ¼ y ¼ pffiffiffi ; max 3 3 2 2 3 þ 2 sin x 3þ2 32

bB ¼  AB una corda sottesa a un angolo al centro AO

457

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

199 Þ

Considera una circonferenza , di diametro AB e raggio 1. Traccia: a. due semirette di origine A, simmetriche rispetto ad AB, tali che l’angolo formato dalle due semirette misuri 2x; b. la circonferenza  0 tangente a queste due semirette e tangente internamente a , indicando con O il suo centro.

Detti P e Q i punti di contatto delle semirette con la circonferenza  0 , esprimi l’area y del quadrilatero APOQ in funzione di x. Traccia il grafico della funzione ottenuta nell’intervallo ½0, 2
, mettendo in evidenza il tratto del grafico  relativo al problema. 2 sin 2x 3
; asintoto: x ¼ ; per lo studio della derivata prima della funzione e` utile y¼ 2 2 ð1 þ sin xÞ 4ð1  2 sin xÞ ; esprimere i suoi termini in funzione di sin x, troverai cosı` che y0 ¼ ð1 þ sin xÞ2 pffiffiffi ! pffiffiffi    
4 3 5
4 3
max , , min ; flesso ,0 , 6 9 6 9 2

3. Funzioni con valori assoluti

TEORIA a p. 424

Esercizi preliminari Test 200 Þ A

La funzione y ¼ x4  xjxj e`: pari

B

dispari

205 Þ C

ne´ pari ne´ dispari

A

201 Þ A

202 Þ A

203 Þ

La funzione y ¼ pari

B

xjxj e`: x4 þ 1

dispari

B C C

ne´ pari ne´ dispari

pari

B

dispari

C

y

¼ jx3  4xj ¼ x3  4jxj ¼ jxj3  4jxj ¼ jxj3  4x

O

x

ne´ pari ne´ dispari

Il grafico di funzione mostrato in figura e` quello

A

y ¼ jx3  4xj

B

y ¼ x3  4jxj

C

y ¼ jxj3  4jxj

D

y ¼ jxj3  4x

206 Þ

Vero o falso? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. il grafico della funzione y ¼ jxj x2 þ 1 e` pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi costituito dal grafico di y ¼ x x2 þ 1 per

y O

x

Il grafico di funzione mostrato in figura e` quello

x
0 e dal suo simmetrico rispetto all’asse y

V

F

x e` jx2  1j x per x
0 costituito dal grafico di y ¼ 2 x 1 e dal suo simmetrico rispetto all’origine

V

F

c. il grafico della funzione y ¼ jx3 þ xj e` costituito dal grafico di y ¼ x3 þ x per y
0 e dal suo simmetrico rispetto all’asse x per y < 0

V

F

d. il grafico della funzione y ¼ x jx  2j e` costituito dal grafico di y ¼ x2 ðx  2Þ per x
2 e dal simmetrico del grafico di y ¼ x2 ðx  2Þ rispetto all’asse x per x < 2

V

F

e. la derivata della funzione y ¼ ln jxj þ ln jx  1j e` una funzione nella cui equazione sono presenti termini in valore assoluto

V

F

b. il grafico della funzione y ¼

2

di:

A

y ¼ jx  4xj

B

y ¼ x3  4jxj

C

y ¼ jxj3  4jxj

D

y ¼ jxj3  4x

3

y

O

458

D

y y y y

La funzione y ¼ jsin xj þ cos x e`:

di:

204 Þ

Il grafico di funzione mostrato in figura e` quello

di:

x

f. una funzione di equazione y ¼ jf ðxÞj presenta sempre almeno un punto angoloso V F [3 affermazioni vere e 3 false]

207 Þ

Unita` 7

Studio di funzioni con valori assoluti ESERCIZIO GUIDATO

 Traccia il grafico della funzione y ¼ x3  4x.  Il grafico di y ¼ jx3  4xj e` costituito dalle parti del grafico della funzione tracciato per y > 0 e dalle simmetriche rispetto all’asse x delle parti in cui y < 0. 3  Troverai che pffiffiffila funzione y ¼ jx  4xj ha punti angolosi di coordinate ð0, 0Þ e ð2, 0Þ e punti di massimo di 2 3 . ascisse  3

208 Þ

Lo studio di funzione

Studia la funzione y ¼ jx3  4xj.

ESERCIZIO GUIDATO

Studia la funzione y ¼

x2 . jx  2j

 In base alla definizione di valore assoluto: y ¼

 Osserva che il grafico di y ¼

x2 2x

8 > > >
2

> > > :

x2 x 1 la funzione f e` strettamente decrescente, quindi f 0 e` ..........  Tenendo conto delle precedenti osservazioni, puoi tracciare un grafico plausibile di y ¼ f 0 ðxÞ. 464

Unita` 7

244 In figura e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. Þ Traccia un grafico plausibile per y ¼ f 0 ðxÞ sapendo che:

y

245 In figura e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. Þ Traccia un grafico plausibile per y ¼ f 0 ðxÞ sapendo che:

y = f (x)

–2

O

m = –3 5

x

5 6

x

(–1, –1)

y

a. i tratti per 4  x  0 e 3  x  5 sono segmenti; b. il tratto per 0  x  3 e` un arco di parabola; c. nel punto x ¼ 1 la funzione presenta un minimo relativo; d. nel punto x ¼ 5 la funzione presenta un punto angoloso e la tangente da destra e` verticale; e. nel punto x ¼ 6 la tangente e` orizzontale.

(2, 4) (3, 3)

Lo studio di funzione

a. il tratto per x < 0 e` una parabola; b. in x ¼ 0 la funzione e` derivabile; c. il tratto per 0 < x < 2 e` un segmento; d. in x ¼ 2 la funzione presenta un punto angoloso e la tangente da destra ha coefficiente angolare 3; e. in x ¼ 3 la funzione presenta un punto di flesso a tangente orizzontale.

y = f (x) 2

–4

O

1 2 3

Traccia il grafico della funzione f e deduci il grafico delle funzioni indicate a fianco. 246 Þ 247 Þ 248 Þ

f ðxÞ ¼ x2  2x þ 1

249 Þ

deduci il grafico di

y ¼ 1  f ðx þ 1Þ f ðxÞ

e y ¼ 1  e f ðxÞ

deduci il grafico di

y¼e

f ðxÞ ¼ 2x  x2

deduci il grafico di

y ¼ jf ðxÞj e

f ðxÞ ¼ x2  4x þ 4

deduci il grafico di

y¼

deduci il grafico di

y ¼ 1  f ðx þ 1Þ

deduci il grafico di

y ¼ e f ðxÞ

e y ¼ e f ðx1Þ e y ¼ ln f ðxÞ

250 Þ

f ðxÞ ¼ x2  2x x 251 f ðxÞ ¼ Þ x1

1 f ðxÞ

y ¼ ln jf ðxÞj

e y ¼ ln f ðxÞ

xþ1 x2 x2 253 f ðxÞ ¼ Þ x x 254 f ðxÞ ¼ Þ x2

deduci il grafico di

y ¼ e f ðxÞ

deduci il grafico di

y ¼ ln f ðxÞ e

deduci il grafico di

y¼

255 Þ

f ðxÞ ¼ x3 þ 3x þ 1

deduci il grafico di

y ¼ ln f ðxÞ e

256 Þ

f ðxÞ ¼ 3x  x3

deduci il grafico di

y ¼ e f ðxÞ

252 Þ

e y ¼ f ðxÞ þ 2

f ðxÞ ¼ 1  x

2

f ðxÞ ¼

1 f ðxÞ

e y ¼ ln f ðxÞ

y ¼ ln f ðxÞ

e y ¼ e f ðxÞ y ¼ jln f ðxÞj

e y ¼ e f ðxþ1Þ

257 Formula delle considerazioni per dedurre, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, il grafico della funzioÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ne y ¼ 3 f ðxÞ. Utilizzale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiper dedurre, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ tracciato qui a fianco, il grafico della funzione y ¼ 3 f ðxÞ.

y y = f(x)

–3

–2

O

2

3

x

465

Formula delle considerazioni per dedurre, a partire dal grafico 1 della funzione y ¼ f ðxÞ, il grafico della funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi . Utilizf ðxÞ zale per dedurre, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ traccia1 to qui a fianco, il grafico della funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi . f ðxÞ L’asse y e` un asintoto verticale per y ¼ f ðxÞ.

y y = f(x) 4

1 O

2

5

x

6

y 259 Formula delle considerazioni per dedurre, a partire dal grafico Þ

della funzione y ¼ f ðxÞ, il grafico della funzione y ¼ arctan f ðxÞ. Utilizzale per dedurre, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ tracciato qui a fianco, il grafico della funzione y ¼ arctan f ðxÞ.

y = f(x) 1 –1

O

x

1

Tema G

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale

258 Þ

5. Applicazioni dello studio di funzione alle equazioni

TEORIA a p. 431

Esercizi preliminari Test 260 Þ A

261 Þ A

A quale delle seguenti equazioni non e` equivalente l’equazione e x ðx2  1Þ ¼ 1? x2  1 ¼ ex

B

e x ðx2  1Þ  1 ¼ 0

C

e x ¼ 1  x2

D

ex ¼

1 x2  1

La discussione di quale dei seguenti sistemi equivale alla discussione dell’equazione x3  kx2  k  1 ¼ 0? 8 8 8 8 3 3 x2 þ 1 x3  1 4 2; tre soluzioni per 4 2  k  4 2]



[Una soluzione per k < 5; tre soluzioni per k
5] pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi  3 3 3 3 3 3 3 3 _k
; una soluzione per  2] [Due soluzioni pere 2  k  e 2 , con k 6¼ 0; una sola soluzione per k ¼ 0] 1

 

284 e kx  x ¼ 0 Þ

1

2 Una soluzione per k  0; due soluzioni per 0 < k  e Una soluzione per k  0; due soluzioni per 0 < k 

1 e

  467

Calcolo differenziale e introduzione al calcolo integrale Tema G

285 Þ

1 þ jx3  3x2 j ¼ k

286 Þ

jx  3j ¼ kex

288 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

[Tre soluzioni per k ¼ 1 (di cui due coincidenti); quattro soluzioni per 1 < k  5 (di cui due coincidenti per k ¼ 5Þ, due soluzioni per k > 5]

[Una soluzione per k ¼ 0; tre soluzioni per 0 < k  e (di cui due coincidenti per k ¼ e ; una soluzione per k > e2 ]  



287 2 arctan x  x  k ¼ 0 Tre soluzioni per  þ 1  k   1; una soluzione per k <  þ 1 _ k >  1 Þ 2 2 2 2 2

2

Discuti l’equazione x4  4x2  k ¼ 0 rispetto alle limitazioni 2  x  1.
 Il problema equivale a discutere il sistema misto

x4  4x2  k ¼ 0 2  x  1

 Traccia il grafico della funzione y ¼ x4  4x2 e considera solo l’arco del grafico i cui punti hanno ascissa x tale che 2  x  1. Studia quindi, al variare di k, il numero dei punti di intersezione tra tale arco e le rette del fascio di equazione y ¼ k.  Se svolgi i calcoli correttamente, troverai che il sistema misto ha due soluzioni per 4  k < 3 e tre soluzioni per 3  k  0.

Discuti le seguenti equazioni parametriche rispetto alle limitazioni indicate. 289 Þ

x3  3x2  k ¼ 0

290 Þ

sin2 x  cos x  k ¼ 0 0 < x 


291 Þ

tan x  2x ¼ k

292 Þ

x ¼ kex

293 Þ

ln x  x2  k ¼ 0

1  x  1



[Una soluzione per 4  k < 2; due soluzioni per 2  k  0]   5 Una soluzione per 1 < k < 1; due soluzioni per 1  k  4 

Tre soluzioni per  þ 1  k   1; 2 2 

una soluzione per k <  þ 1 _ k >  1 2 2   2 2 1 Una soluzione per 0  k < 2 ; due soluzioni per 2  k  e e e   1 Una soluzione per k < 1; due soluzioni per 1  k   ðln 2 þ 1Þ 2





> > > =Distribuzione

marginale di X > > > > ;

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Distribuzione marginale di Y

Numero complessivo di unita` del collettivo

Nel seguito indicheremo le frequenze (dette frequenze marginali) che costituiscono le distribuzioni marginali di X e Y rispettivamente con i simboli f ðx1 Þ; :::; f ðxk Þ e f ðy1 Þ; :::; f ðyh Þ. E` inoltre possibile ottenere le distribuzioni marginali relative di X e Y costruendo i rapporti tra le frequenze marginali e il numero complessivo di unita` del collettivo.

Distribuzioni condizionate Facciamo ancora riferimento alla tabella dell’ultimo esempio. Se per esempio fissiamo l’attenzione sulla riga corrispondente alla prima modalita` di X, x1 = 30, leggiamo come si distribuisce il carattere Y tra le unita` della popolazione che manifestano la modalita` x1 di X. Per questo motivo si dice che tale riga rappresenta la distribuzione condizionata di Y rispetto alla modalita` x1 di X.

Y

Torino

Roma

Totale

30

2

0

0

2

32

1

0

1

2

35

0

1

0

1

Totale

3

1

1

5

La distribuzione di X condizionata a una modalita` yj di Y si indica con il simbolo Xjyj . Analogamente va interpretato il simbolo Yj xi .

X

Piu` in generale, fissare l’attenzione su una sola riga (o colonna) della tabella (escludendo quelle delle modalita` e dei totali) significa restringersi alla sottopopolazione che presenta una data modalita` di X(o di YÞ: ciascuna di queste righe o colonne, singolarmente presa, rappresenta percio` una particolare distribuzione condizionata. E` anche possibile costruire le distribuzioni condizionate relative, ponendo a rapporto le frequenze congiunte che appartengono alla distribuzione condizionata considerata con i corrispondenti totali di riga o di colonna. Per esempio, in riferimento alla tabella sopra, la distribuzione condizionata di X rispetto a y1 e la corrispondente distribuzione condizionata relativa sono rappresentate qui sotto. X

Distribuzione condizionata Xjy1

Distribuzione condizionata relativa

30

2

2/3

32

1

1/3

35

0

0/3

Totale

3

1

Richiami e complementi di statistica

Milano

In simboli

Unita` 9

Distribuzione condizionata di Y rispetto alla modalita` x1 ¼ 30 di X

SINTESI


I dati grezzi raccolti in seguito alla rilevazione congiunta di due caratteri X e Y possono essere organizzati in una tabella a doppia entrata del tipo seguente, che rappresenta la distribuzione doppia di frequenze di X e Y : Frequenza assoluta con cui la modalita` xi si presenta congiuntamente alla modalita` yj

Y

y1

....

yj

:::::

yh

Totale

x1

....

....

....

....

....

f ðx1 Þ

....

....

....

....

....

....

....

xi

....

....

f ðxi , yj Þ

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

xk

....

....

....

....

....

f ðxk Þ

Totale

f ðy1 Þ

....

....

....

f ðyh Þ

n

X

Somme per colonna: forniscono la distribuzione marginale di Y

Somme per riga: forniscono la distribuzione marginale di X

Numero complessivo di unita` del collettivo


L’organizzazione dei dati in una tabella a doppia entrata permette di riassumere molti tipi di informazioni: 1. il comportamento congiunto di X e di Y : e` rappresentato nelle caselle della tabella non appartenenti ai bordi, dove sono riportate le frequenze congiunte di X e Y ;

Ô

537

2. il comportamento di X e Y , considerati singolarmente: e` rappresentato sull’ultima colonna e sull’ultima riga della tabella, dove sono riportate le frequenze marginali di X e Y ; 3. il comportamento di un carattere (X o Y Þ condizionatamente a una modalita` dell’altro: e` rappresentato sulle righe e sulle colonne interne alla tabella, considerate singolarmente.

Tema H

Statistica

Ô

Prova tu

ESERCIZI a p. 555

Sono stati intervistati i 20 studenti di una classe e su ciascuno sono stati rilevati congiuntamente due caratteri X: il sesso (M ¼ maschio, F ¼ femmina) e Y: il numero di ore che dedicano mediamente allo studio in una giornata. Si sono ottenuti i dati nella seguente tabella: X

M

M

F

M

M

F

M

F

M

F

F

M

F

M

F

M

F

M

M

F

Y

1

2

2

4

3

1

2

3

3

4

2

3

4

2

1

2

3

3

3

4

a. Costruisci una tabella a doppia entrata che organizzi i dati grezzi e individua le distribuzioni marginali dei due caratteri X e Y. b. Determina la distribuzione di X, condizionata alla modalita` «3 ore di studio al giorno» e la corrispondente distribuzione condizionata relativa. c. Determina la distribuzione di Y, condizionata alla modalita` «femmina» e la corrispondente distribuzione condizionata relativa.

4. Dipendenza e indipendenza statistica Come gia` anticipato, lo studio statistico di due caratteri X e Y, rilevati congiuntamente su una data popolazione, si pone tra i vari obiettivi anche quello di stabilire se sussiste qualche relazione di dipendenza tra X e Y. I metodi che esporremo in questo paragrafo per valutare l’eventuale dipendenza tra due caratteri possono essere applicati sia a caratteri quantitativi sia a caratteri qualitativi, perche´ faranno riferimento solo alle frequenze; tuttavia, nella pratica si utilizzano prevalentemente per caratteri di tipo qualitativo, poiche´ per caratteri quantitativi esistono strumenti statistici piu` adeguati (che presenteremo nel prossimo paragrafo).

Dipendenza e indipendenza Dati due caratteri X e Y, per stabilire se X dipende o meno da Y viene naturale l’idea di confrontare le distribuzioni di X condizionate alle modalita` di Y con la distribuzione marginale di X (che esprime il comportamento di X considerato singolarmente). Se c’e` indipendenza, c’e` da aspettarsi che il condizionamento di X alle modalita` di Y non abbia alcun effetto, ossia che le distribuzioni condizionate si mantengano uguali a quella marginale. Occorre pero` prestare attenzione a un aspetto: le frequenze marginali si riferiscono all’intera popolazione, mentre le frequenze condizionate si riferiscono soltanto alla sottopopolazione che presenta la modalita` rispetto cui stiamo condizionando. Non sarebbe percio` corretto eseguire il confronto tra le frequenze assolute: il confronto deve essere fatto tra frequenze relative. Queste considerazioni portano alla seguente definizione. INDIPENDENZA

Il carattere X si dice indipendente da Y se le distribuzioni condizionate relative di X rispetto alle modalita` di Y sono uguali alla distribuzione marginale relativa di X. 538

TEOREMA 9.1

Due caratteri X e Y , di cui sono state osservate rispettivamente le modalita` distinte x1 , ..., xk e y1 , .., yh , su una popolazione costituita da n unita`, sono indipendenti se e solo se risulta: f ðxi , yj Þ ¼

f ðxi Þf ðyj Þ per ogni i ¼ 1, ..., k e per ogni j ¼ 1, ..., h n

[9.1]

DIMOSTRAZIONE

Osserva La condizione di indipendenza [9.1] richiede in pratica che ogni frequenza congiunta sia uguale al prodotto delle corrispondenti frequenze marginali, diviso per n.

Facciamo riferimento per maggiore chiarezza alla generica tabella che rappresenta la distribuzione doppia di frequenze di X e Y. Y X

y2

y1

....

yj

f ðx1 , yh Þ

Totale

x1

f ðx1 , y1 Þ f ðx1 , y2 Þ

....

....

....

....

....

....

....

....

xi

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

xk

....

....

....

....

....

....

f ðxk Þ

Totale

f ðy1 Þ

f ðy2 Þ

....

f ðyj Þ

....

f ðyh Þ

n

....

f ðx1 , yj Þ

yh

..... ....

Richiami e complementi di statistica

Indipendenza tra due caratteri

Unita` 9

Ogni qualvolta due caratteri non sono tra loro indipendenti, si dira` che esiste una dipendenza tra di essi; in particolare, se i due caratteri sono qualitativi, la dipendenza si chiama connessione. Si puo` dimostrare che la relazione di indipendenza e` simmetrica: X e` indipendente da Y se e solo se Y e` indipendente da X.

f ðx1 Þ

Distribuzione di Y condizionata a x1

Distribuzione marginale di Y

Data la simmetria della relazione di indipendenza, possiamo imporre per esempio che Y sia indipendente da X, cioe` che le distribuzioni condizionate relative di Y siano uguali alla distribuzione marginale relativa di Y. Fissiamo l’attenzione sulla seconda riga della tabella, che rappresenta la distribuzione di Y condizionata alla modalita` x1 di X. La corrispondente distribuzione condizionata relativa si ottiene ponendo a rapporto le frequenze con il corrispondente totale di riga: f ðx1 , y1 Þ f ðx1 , y2 Þ f ðx1 , yh Þ , , ....., f ðx1 Þ f ðx1 Þ f ðx1 Þ Analogamente, la distribuzione marginale relativa di Y e` data da: f ðy1 Þ f ðy2 Þ f ðyh Þ , , ....., n n n Affinche´ queste due distribuzioni di frequenze relative siano uguali dovra` essere: f ðx1 , y1 Þ f ðy1 Þ f ðx1 ; y2 Þ f ðy2 Þ f ðx1 ; yh Þ f ðyh Þ ¼ ¼ ¼ , , ....., f ðx1 Þ n f ðx1 Þ n f ðx1 Þ n ossia: f ðx1 , y1 Þ ¼

f ðx1 Þf ðy1 Þ n

f ðx1 , y2 Þ ¼

f ðx1 Þf ðy2 Þ , ....., n

f ðx1 , yh Þ ¼

f ðx1 Þf ðyh Þ n

Altrettante analoghe uguaglianze scaturiscono condizionando Y rispetto alle modalita` x2 , ..., xk . In definitiva deve essere: f ðxi , yj Þ ¼

f ðxi Þf ðyj Þ per ogni i ¼ 1, ..., k e per ogni j ¼ 1, ..., h n 539

Statistica Tema H

E` importante fare alcune osservazioni. a. La formula [9.1] e` coerente con il fatto che la relazione di indipendenza statistica e` simmetrica. b. Le frequenze congiunte che realizzano la condizione di indipendenza statistica, ossia le frequenze che si ottengono tramite la formula [9.1], vengono chiamate frequenze teoriche di indipendenza, per distinguerle da quelle effettivamente osservate: per non confonderle con queste ultime, indicheremo le frequenze teoriche di indipendenza con un apice, con il simbolo f 0 ðxi , yj Þ. c. A ogni tabella che rappresenta una distribuzione doppia di frequenze osservate e` possibile affiancare la tabella teorica di indipendenza, che si costruisce mantenendo fisse le distribuzioni marginali e sostituendo le frequenze congiunte osservate con quelle teoriche di indipendenza. L’indipendenza tra i due caratteri in esame sara` verificata se e solo se la tabella teorica di indipendenza coincide con la tabella delle frequenze osservate. Indipendenza tra due caratteri

ESEMPIO

Consideriamo la tabella qui sotto a sinistra (che si riferisce a due caratteri qualitativi osservati su un collettivo di 50 unita`) e costruiamo la tabella teorica di indipendenza (a destra). y1

y2

Totale

x1

15

10

25

x1

x2

7

8

15

¼) x2

x3

8

2

10

x3

Totale

30

20

50

Totale

Y X

Y X

Tabella osservata

y1

y2

30  25 ¼ 15 50 30  15 ¼9 50 30  10 ¼6 50

20  25 ¼ 10 50 20  15 ¼6 50 20  10 ¼4 50

30

20

Totale 25 15 10 50

Tabella teorica di indipendenza

Poiche´ le due tabelle non coincidono, concludiamo che i due caratteri X e Y non sono statisticamente indipendenti. E` importante osservare che, mentre le frequenze congiunte osservate sono costituite da numeri interi, le frequenze teoriche di indipendenza in generale non lo sono (dal momento che sono ottenute come rapporto tra il prodotto delle corrispondenti frequenze marginali e il numero complessivo di unita` della popolazione). La situazione di perfetta indipendenza statistica puo` quindi realizzarsi solo nel caso fortuito in cui tutte le frequenze teoriche di indipendenza sono numeri interi. Anche ammettendo che si verifichi questa ipotesi, e` facile capire che e` comunque molto raro che la tabella delle frequenze osservate coincida esattamente con la tabella teorica di indipendenza. Quest’ultima va quindi interpretata come una situazione ideale dalla quale e` importante capire quanto i dati reali si trovano distanti.

La misura del grado di dipendenza Per misurare il grado di dipendenza di due caratteri X e Y dobbiamo quindi confrontare la tabella delle frequenze osservate con quella teorica di indipendenza: il grado di dipendenza sara` tanto piu` elevato quanto piu` la tabella delle frequenze osservate e` lontana dalla tabella delle frequenze teoriche di indipendenza. Gli indici statistici che misurano tale «lontananza» si basano sulle differenze tra le frequenze osservate e quelle teoriche; tali differenze sono dette contingenze e possono essere cosı` definite: 540

¼

contingenza della coppia ðxi , yj Þ

f ðxi , yj Þ

f 0 ðxi , yj Þ



frequenza congiunta della coppia ðxi , yj Þ

Unita` 9

cðxi , yj Þ

frequenza teorica di indipendenza della coppia ðxi , yj Þ

Rifletti

INDICE CHI-QUADRATO

Dati due caratteri X e Y, siano x1 , ..., xk e y1 , ..., yh le differenti modalita` con cui si manifestano, rispettivamente, X e Y; l’ indice chi-quadrato (o chi-quadro) e` cosı` definito: k X h X c2 ðxi , yj Þ [9.2] 2 ¼ f 0 ðxi , yj Þ i¼1 j¼1

L’indice 2 soddisfa le proprieta` che ragionevolmente ci aspettiamo da un indice che misuri la dipendenza di due caratteri; infatti:
e` uguale a 0 se e solo se X e Y sono indipendenti (infatti vale 0 se e solo se tutte le contingenze sono nulle);
cresce al crescere delle contingenze. L’indice 2 puo` essere calcolato piu` rapidamente tramite la formula seguente, che si dimostra essere equivalente alla [9.2] e ha il vantaggio di consentire di evitare il calcolo delle contingenze e delle frequenze teoriche di indipendenza. FORMULA ABBREVIATA DELL’INDICE CHI-QUADRATO

Dati due caratteri X e Y, siano x1 , ..., xk e y1 , ..., yh le differenti modalita` con cui si manifestano, rispettivamente, X e Y su una popolazione di n unita`; l’indice di connessione chi-quadrato puo` essere calcolato tramite la formula: 0 1 k X h 2 X f ðx , y Þ i j  1A [9.3] 2 ¼ n@ Þf ðy f ðx i jÞ i¼1 j¼1

Indice chi-quadrato

ESEMPIO

In riferimento alla tabella dell’esempio precedente, calcoliamo l’indice di connessione 2 . Y

y1

y2

Totale

x1

15

10

25

x2

7

8

15

X



¼) 2 ¼ 50

 152 102 72 82 82 22 þ þ þ þ þ 1 ¼ 30  25 20  25 30  15 20  15 30  10 20  10

n

x3

8

2

10

Totale

30

20

50

¼

Il significato della [9.2] e` il seguente. Per calcolare l’indice chi-quadrato di una distribuzione doppia di frequenze occorre: 1. per ogni frequenza congiunta, calcolare la contingenza, elevarla al quadrato e dividerla per la corrispondente frequenza teorica di indipendenza; 2. sommare tutti i risultati ottenuti. La doppia sommatoria nella formula [9.2] significa che la somma deve includere gli addendi provenienti da tutte le frequenze congiunte della distribuzione doppia.

Richiami e complementi di statistica

Si puo` dimostrare che la somma di tutte le contingenze e` sempre nulla. Pertanto, per sintetizzare in un unico indice tutte le differenze, non e` possibile basarsi semplicemente sulla somma delle contingenze. L’indice sintetico piu` noto, dovuto al matematico e statistico Karl Pearson (1857-1936), si basa (per ragioni analoghe a quelle viste quando abbiamo introdotto la varianza) sui quadrati delle contingenze e viene indicato con la lettera greca  (chi) elevata al quadrato.

Rifletti In pratica, per calcolare l’indice chi-quadrato di una distribuzione doppia di frequenze in base alla [9.3] si procede cosı`: 1. per ogni frequenza congiunta, la si eleva al quadrato e si divide il quadrato per il prodotto delle corrispondenti frequenze marginali; 2. si sommano tutti i risultati ottenuti, quindi si sottrae dalla somma 1 e si moltiplica il risultato per n. La doppia sommatoria nella formula [9.3] significa che la somma deve includere gli addendi provenienti da tutte le frequenze congiunte della distribuzione doppia.

25 ’ 2,8 9

Si pone ora il problema di interpretare l’indice chi-quadrato. Il valore trovato nell’esempio precedente e` tanto o poco? E` indice di una connessione forte o debole? Per rispondere a queste domande occorre normalizzare l’indice, cioe` trasformarlo in un numero compreso tra 0 e 1, in modo che sia facilmente interpretabile. Questo obiettivo si ottiene dividendo l’indice per il suo valore massimo. 541

Tema H

Statistica

Si dimostra che il valore massimo che puo` assumere l’indice 2 (cioe` il valore che assumerebbe nel caso di perfetta connessione) e` uguale al prodotto tra n (il numero complessivo di unita` del collettivo) e il minimo tra k  1 e h  1 (essendo k e h rispettivamente il numero di modalita` differenti manifestate da X e YÞ. Si giunge cosı` alla formula seguente: Indice 2 normalizzato ¼

2 n  min fk  1, h  1g

Indice chi-quadrato normalizzato

ESEMPIO

In riferimento all’ultimo esempio svolto, normalizziamo l’indice di connessione 2 . Indice 2 normalizzato ¼

2 ¼ n  min fk  1, h  1g

n ¼ 50, k ¼ 3, h ¼ 2

25 25 25 1 9 9 ¼ ¼ ’ 0,056 ¼ ¼ 50  9 18 50  min f3  1, 2  1g 50  min f2, 1g 1

Pertanto la connessione tra i due caratteri X e Y e` circa il 5,6% della massima possibile: un grado di connessione molto basso.

Prova tu

ESERCIZI a p. 558

Si sono rilevati due caratteri X (l’attuale posizione lavorativa) e Y (il sesso) su un collettivo di 100 persone. La distribuzione doppia di frequenze di X e Y che si e` ottenuta e` quella rappresentata in tabella. Verifica che X e Y sono connessi e valuta il grado di connessione, calcolando l’indice 2 e normalizzandolo. Sesso Attuale posizione lavorativa

F

Disoccupato

30

6

36

Occupato

34

30

64

Totale

64

36

100

M

Totale

[2 ’ 9,1; 2 normalizzato ’ 0,091]

5. Correlazione e regressione Come abbiamo anticipato nel paragrafo precedente, per indagare sull’esistenza di possibili relazioni tra due caratteri quantitativi X e Y e` possibile introdurre strumenti piu` adeguati di quelli appena visti, perche´ e` possibile lavorare anche sullemodalita` di X e Y (mentre per caratteri qualitativi e` necessario limitarsi alle frequenze). In questo paragrafo introduciamo questi nuovi strumenti.

Correlazione Premettiamo che la dipendenza tra due caratteri di tipo quantitativo viene chiamata correlazione (per distinguerla dalla dipendenza tra due caratteri qualitativi che, come abbiamo visto, viene chiamata invece connessione). 542

Siano X e Y due variabili statistiche di medie x e y, rilevate congiuntamente su un collettivo di n unita`. Siano x1 , x2 , ..., xn i valori osservati di X e y1 , y2 , ..., yn i corrispondenti valori osservati di Y. Si chiama covarianza di X e Y, e si indica con il simbolo XY , il numero cosı` definito: n P ðxi  xÞðyi  yÞ XY ¼ i¼1 [9.4] n

Il significato della covarianza appare chiaro se interpretiamo geometricamente la formula [9.4]. Immaginiamo di avere rappresentato in un piano cartesiano i punti di coordinate ðxi , yi Þ, con i ¼ 1, ..., n: si ottiene una «nuvola» di punti. Definiamo baricentro di questa nuvola il punto di coordinate ðx, yÞ e tracciamo le parallele agli assi cartesiani passanti per tale punto. Queste rette dividono il piano in quattro angoli retti, che numeriamo in senso antiorario come indicato in fig. 9.1 a partire da quello in alto a destra. A seconda che il punto ðxi , yi Þ sia interno all’angolo I, II, III o IV, gli scarti ðxi  xÞ e ðyi  yÞ hanno il segno illustrato in fig. 9.1 e di conseguenza il prodotto ðxi  xÞ ðyi  yÞ ha il segno illustrato in fig. 9.2. Y

II

X=x

( xi – x ) < 0 ( yi – y ) > 0

( xi – x ) > 0 ( yi – y ) > 0

III

IV

( xi – x ) < 0 ( yi – y ) < 0

Y

I

Y=y

( xi – x ) > 0 ( yi – y ) < 0

O Figura 9.1 Il segno degli scarti dei valori osservati dalle rispettive medie.

X

O

II

X=x

Richiami e complementi di statistica

COVARIANZA

Unita` 9

Un indice statistico molto utilizzato per valutare la correlazione tra due caratteri quantitativi e` la cosiddetta covarianza, cosı` definita.

I

–

+

III

IV

+

–

Y=y

X

Figura 9.2 I punti interni ai quattro angoli retti numerati contribuiscono al calcolo della covarianza secondo i segni indicati.

Tenendo conto di queste ultime considerazioni, possiamo giungere alle seguenti riflessioni. a. Se la covarianza e` positiva, la maggioranza dei prodotti ðxi  xÞðyi  yÞ sono positivi, quindi la maggior parte dei punti di coordinate ðxi , yi Þ deve cadere internamente ai due angoli retti I e III; la nuvola di punti deve percio` avere la forma in fig. 9.3 a pagina seguente: tale forma e` indicativa di una relazione di tipo lineare crescente tra le variabili X e Y. b. Se la covarianza e` negativa, la maggioranza dei prodotti ðxi  xÞðyi  yÞ sono negativi, quindi la maggior parte dei punti di coordinate ðxi , yi Þ deve cadere internamente ai due angoli retti II e IV; la nuvola di punti deve percio` avere la forma in fig. 9.4: tale forma e` indicativa di una relazione di tipo lineare decrescente tra le variabili X e Y. c. Se la covarianza e` nulla, i punti sono sparpagliati senza alcuna regolarita` oppure sono disposti secondo relazioni diverse e lontane da quella lineare (per esempio cio` accade nel caso di una relazione quadratica). 543

Statistica

Y

X=x

Tema H

Y

X=x

Y=y

O

X

Figura 9.3 Nuvola di punti che genera una correlazione positiva.

Y=y

O

X

Figura 9.4 Nuvola di punti che genera una correlazione negativa.

La covarianza si puo` calcolare piu` rapidamente rispetto alla definizione mediante la formula seguente, che si puo` dimostrare essere equivalente alla [9.4]. FORMULA «ABBREVIATA» PER IL CALCOLO DELLA COVARIANZA

Siano X e Y due variabili statistiche di medie x e y, rilevate congiuntamente su un collettivo di n unita`. Siano x1 , x2 , ..., xn i valori osservati di X e y1 , y2 , ..., yn i corrispondenti valori osservati di Y. La covarianza di X e Y e` espressa dalla formula: n P x i yi i¼1 xy XY ¼ n

Una volta appurata una correlazione tra due variabili statistiche X e Y, si pone il problema di stabilire se essa e` forte o debole. Questo obiettivo si raggiunge, similmente a quanto gia` visto per l’indice chi-quadrato, costruendo un indice relativo, ottenuto ponendo la covarianza a rapporto con il suo valore massimo. A quest’ultimo proposito vale il seguente teorema. TEOREMA 9.2

Minimo e m assimo della covarianza

La covarianza di due variabili X e Y puo` assumere valori appartenenti al seguente intervallo: X Y  XY  X Y dove X e Y sono le deviazioni standard di X e Y .

Tenendo conto del teorema 9.2, siamo in grado di introdurre l’indice relativo cercato. Altre notazioni 1. Il coefficiente di correlazione lineare e` stato proposto da Karl Pearson (18571936) e Auguste Bravais (1811-1863); per questo e` anche noto come indice di Bravais-Pearson. 2. Il coefficiente di correlazione lineare tra due variabili X e Y viene talvolta indicato con la lettera .

544

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

Si chiama coefficiente di correlazione lineare di due variabili X e Y, si indica con il simbolo r, il numero cosı` definito: XY r¼ X  Y

E` importante fare alcune osservazioni. a. Per come e` stato definito, risulta sempre 1  r  1. b. Il segno del coefficiente di correlazione lineare e` lo stesso della covarianza e da` informazioni analoghe: un coefficiente r > 0 indica una relazione lineare crescente, mentre un coefficiente r < 0 indica una relazione lineare decrescente. c. Si puo` dimostrare che l’indice di correlazione r e` uguale a 1 se e solo se tra Y e X sussiste una perfetta relazione lineare. Tanto piu` r e` vicino a 1, quanto

a. Tra X e Y sussiste una perfetta correlazione lineare positiva, ovvero i punti sono allineati su una retta con pendenza positiva.

b. Tra X e Y sussiste una forte correlazione lineare positiva.

r
–0,3

c. Tra X e Y sussiste una debole correlazione lineare positiva.

r
–0,8

e. Tra X e Y sussiste una debole correlazione lineare negativa.

ESEMPIO

r
0,3

r
0,8

r=0

d. Tra X e Y non sussiste alcun legame di correlazione lineare.

Richiami e complementi di statistica

r=1

Unita` 9

piu` il modello lineare interpreta bene la relazione che sussiste tra Y e X; tanto piu` r e` vicino a 0, quanto piu` il legame tra Y e X (se c’e`) e` distante da quello lineare, come illustrato nelle figure della seguente tabella.

r
–1

f. Tra X e Y sussiste una forte correlazione lineare negativa.

g. Tra X e Y sussiste una perfetta correlazione lineare negativa, ovvero i punti sono allineati su una retta con pendenza negativa.

Calcolo del coefficiente di correlazione lineare

In 4 supermercati di una nota catena sono stati rilevati la superficie di esposizioni, in migliaia di metri quadrati (X), e il fatturato settimanale, in migliaia di euro (Y ). Sono stati ottenuti i dati riassunti nella seguente tabella: xi

0,2

0,5

0,8

1

yi

50

120

150

200

Determiniamo il coefficiente di correlazione lineare di X e Y . Per determinare il coefficiente di correlazione lineare dobbiamo calcolare X , Y (le deviazioni standard di X e Y) e XY (la covarianza di X e Y). Al fine di agevolare i calcoli, e` utile organizzare il lavoro in una tabella come quella qui di seguito. xi

yi

xi yi

xi2

yi2

0,2

50

10

0,04

2500

0,5

120

60

0,25

14 400

0,8

150

120

0,64

22 500

1,0 P xi ¼2,5

200 P yi ¼520

200 P xi yi ¼390

1,00 P 2 xi ¼1,93

40 000 P 2 yi ¼79 400

Attenzione! Talvolta, come nell’esempio qui a fianco, per brevita` si omettono gli indici di sommatoria, sottintendendo che la somma va estesa a tutti gli indici i.

Ô

545

Tema H

Statistica

Ô

Possiamo ora comodamente determinare tutti gli elementi che ci servono: P P xi yi 2,5 520 ¼ ¼ x¼ y¼ ¼ 0,625 ¼ 130 4 4 4 4 P 2 xi 1,93 2  ð0,625Þ2 ¼ 0,091875  x2 ¼ X ¼ 4 4 P 2 yi 79 400 2  y2 ¼  1302 ¼ 2950 Y ¼ 4 4 P xi yi 390 xy ¼  0,625  130 ¼ 16,25 XY ¼ 4 4 Concludiamo che il coefficiente di correlazione lineare e` uguale a: XY 16,25 r¼ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ’ 0,987 X  Y 0,091875  2950

Regressione Dopo avere scoperto l’esistenza di una relazione lineare tra le due variabili X e Y, in base all’analisi di un diagramma cartesiano o al calcolo del coefficiente di correlazione (che deve essere vicino a 1Þ, ci proponiamo di determinare la funzione lineare che interpreta meglio tale legame, nel senso che ora precisiamo. 1. Consideriamo una generica funzione lineare di equazione y ¼ mx þ q e, per ogni punto Pi ðxi , yi Þ appartenente alla nuvola che rappresenta i dati, consideriamo il corrispondente punto Qi ðxi , y0i Þ di ascissa xi appartenente alla retta che costituisce il grafico della funzione y ¼ mx þ q. Costruiamo quindi i vari segmenti P1 Q1 , ..., Pi Qi , ...., Pn Qn (vedi la fig. 9.5, che visualizza il caso in cui n ¼ 5). y

Q5 P3 P1

Q2

Q4 Q3

P5

y = mx + q

P4

Q1 P2 O

x

Figura 9.5

2. Calcoliamo le lunghezze dei vari segmenti P1 Q1 , ..., Pi Qi , ...., Pn Qn ; in generale sara`: Pi Q i ¼ jyi  yi0 j 3. Eleviamo al quadrato tali lunghezze e le sommiamo: n X

ðyi  yi0 Þ2

[9.5]

i¼1

Modi di dire La retta di regressione e` chiamata anche retta dei minimi quadrati.

546

4. Questa somma esprime, tramite un unico numero, una misura della distanza complessiva fra i dati yi osservati e i valori teorici y 0i calcolati sul grafico della retta. Scegliamo, come funzione lineare che meglio approssima i dati, quella per cui la somma [9.5] risulta minima. La retta che costituisce il grafico di questa funzione si chiama retta di regressione e la sua equazione puo` essere determinata in base al teorema seguente, che ci limitiamo a enunciare.

TEOREMA 9.3

m¼

XY 2X

[9.6]

Osserva Il punto di coordinate ðx, yÞ e` quello che abbiamo definito baricentro della nuvola di punti che rappresenta i dati osservati.

Ne segue che l’equazione della retta di regressione e`: y  y ¼ mðx  xÞ

ESEMPIO

dove m ¼

XY 2X

Calcolo della retta di regressione

In 4 supermercati di una nota catena sono stati rilevati la superficie di esposizioni, in migliaia di metri quadrati (X) e il fatturato settimanale, in migliaia di euro (Y ). Sono stati ottenuti i seguenti dati: xi

0,2

0,5

0,8

1

yi

50

120

150

200

Richiami e complementi di statistica

Date due variabili X e Y , di valori medi rispettivamente x e y, la retta di regressione che esprime Y in funzione di X e` la retta che passa per il punto di coordinate ðx, yÞ e che ha come coefficiente angolare m il cosiddetto coefficiente di regressione, cosı` definito:

Unita` 9

Retta di regressione

Scriviamo l’equazione della retta di regressione che esprime Y in funzione di X.
Nell’esempio precedente abbiamo visto che il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y e` circa 0,987. Essendo questo coefficiente prossimo a 1, la retta di regressione e` certamente un modello che interpreta molto bene il legame tra X e Y.
Abbiamo gia` calcolato nell’esempio precedente i valori che servono a scrivere l’equazione della retta di regressione: x ¼ 0,625

y ¼ 130

2X ¼ 0,091875

XY ¼ 16,25


Il coefficiente angolare della retta di regressione e` uguale a: m¼

XY 16,25 ¼ ’ 176,87 0,091875 2X

Formula [9.6]

L’equazione della retta di regressione e` percio`: y  130 ¼ 176,87ðx  0,625Þ y y

[9.7]

xx

Se ne ricava che l’equazione esplicita della [9.7] e` approssimativamente: y ¼ 176,87x þ 19,46

Prova tu

ESERCIZI a p. 560

Si sono rilevati su cinque individui l’eta` (XÞ e la pressione arteriosa (YÞ, e si sono ottenuti i dati nella tabella seguente: Eta`

25

32

40

55

70

Pressione

124

130

135

145

170

a. Calcola il coefficiente di correlazione lineare e valuta se sussiste una relazione lineare tra X e Y. b. Determina l’equazione della retta di regressione che esprime Y in funzione di X. [a. r ’ 0,975; b. y ¼ 0,97x þ 97,74]

547

Tema H

Unita`

9

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e proprieta` importanti Media aritmetica di un carattere quantitativo X, di cui sono state osservate le modalita` x1 , x2 , ..., xn x
¼

x1 þ x2 þ ::: þ xn n

Mediana Ordinati i numeri x1 , x2 , ..., xn in senso crescente (o decrescente), la loro mediana e`:
il numero che occupa la posizione centrale, se n e` dispari;
la media aritmetica dei due numeri che occupano le posizioni centrali, se n e` pari. Varianza e deviazione standard ðx1  xÞ2 þ ::: þ ðxn  xÞ2 n oppure

V ¼ 2 ¼

¼

pffiffiffiffi V

x21 þ ::: þ x2n  x2 n Indipendenza statistica e indice di connessione chi-quadrato Consideriamo due caratteri X e Y e siano x1 , ..., xk e y1 , ..., yh le differenti modalita` con cui si manifestano, rispettivamente, X e Y su una popolazione costituita da n unita`. a. X e Y sono indipendenti se e solo se per ogni coppia ðxi , yj ) (con i ¼ 1, ..., k e j ¼ 1, ..., h) la frequenza congiunta di ðxi , yj ) e` uguale al prodotto delle rispettive frequenze marginali, diviso per n. b. se X e Y sono dipendenti, si puo` valutare la loro connessione tramite l’indice chi-quadrato: quadrati delle frequenze congiunte 0 1 k X h 2 X f ðx , y Þ i j  1A 2 ¼ n@ f ðxi Þf ðyj Þ i¼1 j¼1 prodotto delle rispettive frequenze marginali

Indice 2 normalizzato ¼

2 n  min fk  1, h  1g

Covarianza e coefficiente di correlazione lineare r di due caratteri quantitativi X e Y n X

ðxi  xÞðyi  yÞ

i¼1

n XY ¼

r¼

oppure n X

XY X  Y

xi yi

i¼1

n

xy

Equazione della retta di regressione che esprime Y in funzione di X y  y ¼ mðx  xÞ retta passante per il baricentro ðx, yÞ

548

dove m ¼

XY 2X

Unita` 9

` CONOSCENZE E ABILITA TEORIA a p. 528

Il linguaggio della statistica 1 Si osservano tutte le automobili che transitano dal casello autostradale di Firenze Sud in un dato periodo di Þ tempo e si registra la marca dell’automobile. Individua il collettivo, le unita` statistiche, il carattere e alcune possibili modalita` di questa indagine statistica. 2 Nello stabilimento Fiat di Mirafiori si rilevano gli stipendi mensili dei dipendenti. Individua il collettivo, le Þ unita` statistiche, il carattere e alcune possibili modalita` di questa indagine statistica. 3 Si rilevano i generi dei libri presenti in una biblioteca. Individua il collettivo, le unita` statistiche, il carattere e Þ alcune possibili modalita` di questa indagine statistica.

Richiami e complementi di statistica

1. Introduzione alla statistica

4 Þ

Si rilevano le eta` dei dipendenti di un’azienda. Individua il collettivo, le unita` statistiche, il carattere e alcune possibili modalita` di questa indagine statistica. 5 Þ

Indica alcune delle modalita` che possono assumere i seguenti caratteri:

a. voto finale all’esame di Stato; b. colore dei capelli; c. genere di un romanzo; d. numero di giorni di malattia di un lavoratore in un mese. Stabilisci inoltre quali caratteri sono quantitativi e quali sono qualitativi. 6 Þ

Stabilisci quali fra i seguenti caratteri quantitativi sono continui e quali discreti:

a. peso delle foglie dello stesso tipo in un giardino in un pomeriggio; b. numero di automobili per famiglia; c. famiglie per condominio; d. passeggeri per giorno all’aeroporto di Malpensa; e. lunghezza di un capello.

Le distribuzioni di frequenze 7 Vero o falso? Þ A un concorso fotografico e` stato assegnato un voto da 1 a 5 a ciascuna foto partecipante. La tabella che rappresenta la distribuzione delle frequenze dei voti e` la seguente.

Voto

1

2

3

4

5

Frequenza assoluta

6

2

8

3

1

Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false: a. le foto complessivamente in concorso sono 20

V

F

b. la frequenza relativa del voto 3 e` 0,4

V

F

c. la frequenza assoluta del voto 2 e` maggiore della frequenza assoluta del voto 4

V

F

d. la frequenza cumulata del voto 4 e` 11

V

F

V

F

e. la frequenza cumulata del voto 5 e` 20

[3 affermazioni vere e 2 false] 549

Statistica Tema H

8 Þ

Completa la seguente tabella (arrotonda le frequenze relative a meno di un decimo).

Modalita`

2

1,5

1,8

5

Totale

Frequenza assoluta

23

18

.....

15

80

Frequenza relativa

.....

.....

.....

.....

1

9 Þ

Completa la seguente tabella (arrotonda le frequenze relative a meno di un decimo).

Modalita`

1

2

3

4

Totale

Frequenza assoluta

.....

20

.....

.....

.....

Frequenza relativa

0,2

0,25

.....

0,5

1

10 Si sono rilevati gli stipendi mensili (in euro) degli impiegati di una piccola azienda e si sono ottenuti i seguenÞ ti dati grezzi:

1200

1100

1000

1400

1200

1500

2000

1800

2200

3200

2000

1200

1000

Costruisci la tabella che rappresenta la distribuzione delle frequenze assolute e relative degli stipendi rilevati. 11 Uno studente registra il tempo che impiega per svolgere quindici esercizi di matematica, simili a quelli che Þ deve affrontare nel compito in classe il giorno successivo. I tempi di svolgimento degli esercizi, espressi in minuti, sono i seguenti:

4

5

6

12

10

8

3

4

7

14

18

15

19

13

8

Supponi di suddividere i dati nelle cinque classi: 0t . Per esempio, per calcolare 2 8 

Le combinazioni (semplici) sono i modelli adatti a descrivere problemi in cui: – non e` importante l’ordine – gli oggetti non possono ripetersi.

10 8

ESEMPI



 ¼

10 2

 ¼

10
9 ¼ 45 2!

Problemi che hanno come modello combinazioni

a. Una grossa azienda deve inviare 2 dei suoi 8 ispettori a controllare una filiale lontana. In quanti modi possibili il capo dell’ufficio puo` determinare la delegazione di 2 ispettori? Determinare una delegazione equivale a determinare un sottoinsieme di 2 elementi dell’insieme formato dagli 8 ispettori. Quindi il capo dell’ufficio   8 ha possibilita` di scelta. Le delegazioni possibili sono quindi: 2   8 8
7 56 ¼ ¼ ¼ 28 2 2! 2

b. Quanti sono i possibili terni che si possono giocare al gioco del lotto? Un terno al gioco del lotto equivale a un sottoinsieme di 3 numeri dell’insieme f1, 2, 3,:::,90g. I possibili terni che si possono giocare sono dunque complessivamente:   90 90
89
88 ¼ ¼ 30
89
44 ¼ 117 480 3 3
2
1

Combinazioni con ripetizione Attenzione!

Riconsideriamo uno dei problemi proposti nel Paragrafo 1:

Stiamo assumendo implicitamente che le caramelle dello stesso gusto siano tutte uguali tra loro.

Quanti possibili tipi di confezioni diverse di 10 caramelle ai gusti di menta, fragola o limone si possono confezionare? Ogni possibile confezione si puo` assimilare a un raggruppamento di 10 lettere, scelte tra M, F, L (M ¼ menta, F ¼ fragola, L ¼ limone). Per esempio, una confezione contenente 5 caramelle alla menta, 2 al limone e 3 alla fragola potra` essere identificata dal raggruppamento: MMMMMLLFFF

[10.7]

Osserviamo che in ogni raggruppamento di lettere di questo tipo: 1. le lettere possono essere ripetute (perche´ in una confezione possono essere inserite piu` caramelle dello stesso tipo); 2. l’ordine delle lettere non ha importanza; per esempio il raggruppamento: MMMLLFFFMM rappresenta ancora una confezione contenente 5 caramelle alla menta, 2 al limone e 3 alla fragola, confezione da considerarsi uguale a quella rappresentata dal raggruppamento [10.7]. 586

Unita` 10

In sostanza si possono determinare tanti tipi di confezioni quanti i raggruppamenti di 10 lettere, ciascuna scelta nell’insieme fM, F, Lg, considerando uguali due raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine e ammettendo che sia possibile ripetere le lettere. Piu` in generale si pone il problema seguente: «dato un insieme di n elementi, quanti raggruppamenti di k elementi e` possibile costruire scegliendo gli elementi nell’insieme dato, ammettendo la possibilita` di ripetere gli elementi e considerando uguali due raggruppamenti che differiscono soltanto per l’ordine?». A questi raggruppamenti si da` un nome particolare.

Dati n oggetti distinti, si chiama combinazione con ripetizione degli n oggetti di classe k, ogni raggruppamento non ordinato di k oggetti, scelti tra quelli assegnati, ammettendo la possibilita` di ripetere gli oggetti.

Poiche´ e` ammesso ripetere gli oggetti, puo` essere k  n.

Calcolo combinatorio

Osserva

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE

Per stabilire quante sono le combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k, ritorniamo a ragionare sul problema da cui siamo partiti, che chiedeva in pratica di determinare le combinazioni con ripetizione di n ¼ 3 oggetti (le lettere M, F, L) di classe k ¼ 10. Osserviamo che una confezione resta univocamente individuata una volta che vengano stabiliti i numeri x1 , x2 e x3 , rispettivamente di caramelle alla menta, alla fragola e al limone che deve contenere. Poiche´ ogni confezione deve contenere 10 caramelle i numeri x1 , x2 e x3 devono soddisfare l’equazione: x1 þ x2 þ x3 ¼ 10

[10.8]

Dunque il problema di determinare il numero di tutti i possibili tipi di confezioni equivale a quello di stabilire il numero di terne ðx1 , x2 , x3 Þ, con x1 , x2 , x3 2 N, che soddisfano l’equazione [10.8]. Per risolvere quest’ultimo problema ragioniamo come segue. Sia ðx1 , x2 , x3 Þ una soluzione dell’equazione [10.8], per esempio (3, 2, 5). Rappresentiamo questa soluzione con una sequenza di asterischi e barre come segue: jj Gli * servono a rappresentare i valori di x1 , x2 , x3 e le barre a separarli x1

x2

x3

Viceversa, ogni sequenza costituita da 10 asterischi e 2 barre verticali individua una terna soluzione; per esempio la sequenza: jj individua la soluzione (0, 4, 6). Dunque l’insieme delle terne cercate e` in corrispondenza biunivoca con le permutazioni di 12 oggetti, di cui 10 uguali tra loro (gli asterischi) e 2 uguali tra loro e distinti dai precedenti (le barre). Le terne cercate sono dunque in totale:   12! 12 ¼ ¼ 66 10! 2! 10 Il ragionamento precedente si puo` generalizzare. Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k equivale al numero di n-uple ðx1 , x2 , :::, xn Þ, con x1 , x2 , :::, xn 2 N, che soddisfano l’equazione: x1 þ ::: þ xn ¼ k Le n-uple soluzioni di questa equazione sono in corrispondenza biunivoca con le permutazioni di k þ ðn  1Þ oggetti, di cui k uguali tra loro (gli asterischi) e ðn  1Þ uguali tra loro e distinti dai precedenti (le barre). Il numero totale di queste permutazioni e` uguale a:   ðn þ k  1Þ! nþk1 ¼ k!ðn  1Þ! k 587

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Possiamo quindi enunciare il seguente teorema. TEOREMA 10.6

Combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k

Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k, che indichiamo  , equivale al numero di n-uple di interi non negativi ðx1 ,:::,xn Þ soluzioni dell’econ Cn,k quazione:

x1 þ ::: þ xn ¼ k ed e` assegnato dalla formula:   nþk1 Cn,k ¼ k

Ricorda Le combinazioni con ripetizione sono i modelli adatti a descrivere problemi in cui: – non e` importante l’ordine – gli oggetti possono ripetersi.

ESEMPIO

Problemi che hanno come modello combinazioni con ripetizione

Supponiamo di sviluppare la potenza ða þ b þ cÞ4 e di ridurre i termini simili; quanti termini contiene il polinomio che ne risulta? Lo sviluppo ridotto di ða þ b þ cÞ4 e` un polinomio omogeneo, i cui termini hanno grado 4. Pertanto ogni termine del polinomio ridotto e` simile a un monomio della forma ax1 bx2 cx3 , dove x1 , x2 e x3 sono interi non negativi con: x1 þ x2 þ x3 ¼ 4

[10.9]

Viceversa, a ogni terna di numeri interi non negativi ðx1 , x2 , x3 Þ che risolve l’equazione x1 þ x2 þ x3 ¼ 4 corrisponde uno e un solo termine dello sviluppo ridotto. Pertanto, il problema proposto equivale a quello di stabilire il numero di terne ðx1 , x2 , x3 Þ, con x1 , x2 , x3 2 N, che soddisfano l’equazione [10.9]. In base al teorema 10.6 tali terne sono in totale: 

3þ41 4

 ¼

    6
5 6 6 ¼ 15 ¼ ¼ 2! 4 2

COLLEGHIAMO I CONCETTI

Formule e problemi di calcolo combinatorio

3Abbiamo via via trovato le formule di conteggio relative a tutti e quattro i modelli di riferimento introdotti nel Paragrafo 1.

Numero di «parole» di k caratteri costruite da un alfabeto di n simboli distinti

senza ripetizioni

con ripetizioni

ordinate

Dn,k ¼ nðn  1Þðn  2Þ
:::::
ðn  k þ 1Þ

Dn,k ¼ nk

prodotto di k fattori decrescenti

Nel caso particolare in cui n ¼ k: Dn,n ¼ Pn ¼ n! non ordinate

Cn,k ¼


n k

Cn,k ¼



nþk1 k



3Il numero di parole ordinate di n caratteri, costruite a partire da un alfabeto di n simboli non tutti distinti, di cui a1 uguali tra loro, a2 uguali tra loro (e distinti dai precedenti);.....; ak uguali tra loro (e distinti dai precedenti) con a1 þ a2 þ ::::: þ ak ¼ n, e` assegnato dalla formula delle permutazioni con ripetizione: n! a1 !
a2 !
:::
ak ! 588

Unita` 10

3Alcuni problemi di calcolo combinatorio richiedono l’esecuzione di vari con-

Esempio

Metodo

Supponiamo di estrarre 5 carte (una mano) da un mazzo di 32 carte: quante mani contengono esattamente due donne ed esattamente un fante?

Una mano come quella richiesta e` univocamente determinata effettuando le seguenti scelte successive: – 2 donne (tra le quattro disponibili); – 1 fante (tra i quattro disponibili); – 2 carte (tra quelli che restano escludendo le donne e i fanti)

Calcolo combinatorio

teggi «intermedi» per giungere alla soluzione. In questi casi occorre prestare attenzione a stabilire se i vari conteggi «intermedi» alla fine vanno moltiplicati o sommati. A questo proposito ti invitiamo a riflettere sui seguenti due esempi.

Le tre scelte possono avvenire rispettivamente in:       4 4 24 , , modi. 2 1 2 Per il principio fondamentale del calcolo combinatorio, il numero totale di mani che soddisfano le condizioni richieste e`:       4 4 24

¼ 6
4
276 ¼ 6624 2 1 2

Un mazzo di 32 carte contiene 8 carte di ogni seme: 7, 8, 9, 10 fante, donna, re e asso.

i conteggi iniziali vanno moltiplicati

Supponiamo di estrarre 5 carte (una mano) da un mazzo di 32 carte: quante mani contengono almeno tre re?

Una mano contiene almeno tre re se e solo se contiene esattamente 3 re o esattamente 4 re. Le mani che contengono esattamente 3 re (e quindi altre 2 carte che non sono re) sono:     28 4
3 2 Le mani che contengono esattamente 4 re (e quindi 1 altra carta che non sia un re) sono:     4 28
4 1 L’insieme A costituito dalle mani contenenti esattamente 3 re e l’insieme B costituito dalle mani contenenti esattamente 4 re, sono disgiunti, quindi il numero totale di mani che contengono almeno quattro re e` dato dalla somma degli elementi di A e di quelli di B:         4 28 4 28
þ
¼ 4
378 þ 1
28 ¼ 1540 3 2 4 1 i conteggi iniziali vanno sommati

Prova tu 1. Quanti sono i sottoinsiemi di 7 elementi di un insieme di 10 elementi? 2. Quanti sono i possibili ambi che si possono giocare al gioco del lotto?

ESERCIZI a p. 598 [120] [4005]

3. Quanti possibili tipi di confezioni diverse di 10 caramelle ai gusti di fragola o limone si possono confezionare? [11]

4. Il teorema del binomio di Newton Lo sviluppo della potenza del binomio con il triangolo di Tartaglia Hai gia` visto nei tuoi studi precedenti la regola per calcolare lo sviluppo della potenza di un binomio basata sul triangolo di Tartaglia e il modo in cui si costruisce tale triangolo. Ricordiamo brevemente i punti fondamentali. 589

Tema I

Calcolo combinatorio e probabilita`

1. Le prime righe del triangolo di Tartaglia sono riportate qui sotto: ← riga 0

1 1 1

2

1 1 1 1

3 4

5 6

← riga 1

1

← riga 2

1 3

← riga 3

1

6

4

10 10

← riga 4

1 5

15 20 15

← riga 5

1 6

← riga 6

1

2. Il procedimento per costruire il triangolo di Tartaglia e` molto semplice. Se indichiamo con x e y due numeri successivi posti su di una stessa riga, l’elemento posto fra di essi, nella riga immediatamente al di sotto e` la loro somma: y

x Dalla storia Sembra che il triangolo di Tartaglia sia apparso per la prima volta in lavori di matematici islamici e cinesi del secolo XI. Tuttavia esso e` diventato noto come «triangolo di Tartaglia», dal soprannome del matematico italiano Nicolo` Fontana (1500-1559) che primo lo uso` sistematicamente, o come «triangolo di Pascal», dal nome del matematico francese Blaise Pascal (16231662) che ne scoprı` molte proprieta`.

x+y

Per esempio, la riga 5 puo` essere dedotta dalla riga 4 come segue: 1 1 1

4

6

4

← riga 4

1

1+4

4+6

6+4

4+1

5

10

10

5

1 1

← riga 5

Continuando con questo procedimento si possono costruire tante righe quante si vogliono del triangolo di Tartaglia. Per esempio, puoi ricavare la settima riga e verificare che coincide con: 1

7

21

35

35

21

7

1

n

3. Lo sviluppo della potenza ða þ bÞ , puo` essere eseguito secondo la seguente regola, che chiede la costruzione della n-esima riga del triangolo di Tartaglia: POTENZA n-ESIMA DI UN BINOMIO

Lo sviluppo di ða þ bÞn e` un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a (a partire da quella di grado n) e crescenti di b (a partire da quella di grado 0), i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo di Tartaglia. ESEMPIO

Sviluppo di un binomio secondo la regola del triangolo di Tartaglia

Calcoliamo ða þ bÞ5 . Lo sviluppo della potenza sara` un polinomio omogeneo di quinto grado, ordinato secondo le potenze decrescenti di a (iniziando da quella di grado 5) e crescenti di b (a partire da quella di grado 0); si trattera` quindi di un polinomio del tipo: ::::: a

b þ ::::: a4 b1 þ ::::: a3 b2 þ ::::: a2 b3 þ ::::: ab4 þ :::::a0 b5

5 0

[10.10]

Restano da determinare i coefficienti che abbiamo provvisoriamente lasciato in sospeso ponendo dei puntini. In base alla regola enunciata poc’anzi, essi coincidono con i numeri della quinta riga del triangolo di Tartaglia. Dal momento che la quinta riga del triangolo di Tartaglia e`: 1

5

10

10

5

1

possiamo completare il polinomio [10.10], ottenendo cosı` che: ða þ bÞ5 ¼ 1
a5 b0 þ 5
a4 b1 þ 10
a3 b2 þ 10
a2 b3 þ 5
ab4 þ 1
a0 b5 590

Unita` 10

Lo sviluppo della potenza del binomio secondo la formula di Newton

Calcolo combinatorio

Il metodo dello sviluppo di ða þ bÞn basato sul triangolo di Tartaglia e` efficiente per piccoli valori di n, ma diventa scomodo al crescere del valore di n, perche´ la costruzione dell’n-esima riga del triangolo di Tartaglia richiede la costruzione di tutte le righe precedenti l’ennesima. Ora che abbiamo presentato le prime nozioni di calcolo combinatorio, possiamo introdurre un nuovo metodo, che permette di superare questo inconveniente. Cominciamo con il ragionare su un caso semplice, lo sviluppo di ða þ bÞ3 : ða þ bÞ3 ¼ a3 þ 3a2 b þ 3ab2 þ b3 Ciascun termine dello sviluppo di ða þ bÞ3 si ottiene dalla somma algebrica dei prodotti ottenuti scegliendo o a o b da ciascuno dei tre fattori: ða þ bÞða þ bÞða þ bÞ e moltiplicando tra loro le variabili scelte. Il coefficiente di a3 e` 1 perche´ a3 e` ottenuto solo dal prodotto aaa (corrispondente alla scelta della variabile a da ciascuno dei tre fattori). Il coefficiente di a2 b, invece, e` 3 perche´ a2 b si ottiene da tre prodotti: aab, aba e baa. In altre parole, i modi in cui puo` ottenersi a2 b sono tanti quante le permutazioni di 3 lettere, di cui due uguali ad a e una uguale a b: tali modi sono quindi 3! ¼ 3. 2!1! Questo ragionamento puo` essere generalizzato: lo sviluppo di ða þ bÞn ha come termini monomi di grado n, la cui parte letterale e` della forma ank bk , con k ¼ 0, 1,....., n: il coefficiente del monomio ank bk e` uguale al numero delle possibili permutazioni di n lettere, di cui n  k uguali ad a e k uguali a b, quindi e` uguale a:
n n! ¼ ðn  kÞ! k! k Ne segue il seguente teorema. Formula del binomio di Newton

TEOREMA 10.7

Sia n un numero intero positivo; allora per ogni a, b 2 R: ða þ bÞn ¼


n
n
n
n 
n an þ an1 b þ þ an2 b2 ::::: þ abn1 þ bn 0 1 2 n1 n [10.11]

L’uguaglianza [10.11] puo` essere espressa sinteticamente nella forma: n
 X n nk k b a k k¼0

La formula del binomio di Newton spiega perche´ il numeri


n

vengono chiak mati coefficienti binomiali: il motivo risiede nel fatto che questi numeri sono i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima del binomio (a þ bÞ. ESEMPIO

Osserva Il coefficiente del monomio
n , dove: ank bk e` uguale a k – n e` il grado del monomio; – k e` l’esponente di b. In modo equivalente, si sarebbe potuto sostituire k con l’esponente di a, in virtu` della proprieta`:
n
n  ¼ k nk

Sviluppo di un binomio secondo la formula del binomio di Newton

Calcoliamo ða þ bÞ5 , secondo la formula del binomio di Newton. ða þ bÞ5 ¼

            5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 5 5 a þ a bþ a b þ a b þ ab4 þ b ¼ 0 1 2 3 4 5

¼ 1 a5 þ 5a4 b þ 10a3 b2 þ 10a2 b3 þ 5 ab4 þ b5 591

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

La regola di costruzione del triangolo di Tartaglia puo` essere riletta in termini di coefficienti binomiali, come illustrato nel seguente schema. Esempio coefficiente di a 2

1 1

1 1

1 2

3

coefficiente di ab

riga n – 1 coefficiente (monomi del termine di grado n – 1) a n–kb k–1

1

riga n (monomi di grado n)

1 3

In generale

coefficiente di a 2b

Modi di dire L’uguaglianza [10.12] e` anche nota come «formula di Stifel» in omaggio al matematico tedesco Michael Stifel (1487-1567).

+

coefficiente del termine a n–k–1b k

coefficiente del termine a n – kb k

riga n – 1

riga n

 n – 1  k – 1

+

 n – 1  k 

 n  k 

Se ne deduce la seguente proprieta`, che ti invitiamo a dimostrare per esercizio, utilizzando la definizione di coefficiente binomiale:
n k

 ¼

n1 k1



 þ

n1 k

Prova tu Utilizzando la formula del binomio di Newton, calcola ða þ bÞ6 .

592

In termini di coefficienti binomiali

 [10.12]

ESERCIZI a p. 603

10

Esercizi

In più: esercizi interattivi

Unita` Unita` 10

SINTESI Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Disposizioni, permutazioni e combinazioni Disposizioni semplici di n oggetti di classe k

Disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k

nðn  1Þ
:::::
ðn  k þ 1Þ

nk

Permutazioni semplici di n oggetti

Permutazioni con ripetizione di n oggetti (di cui a1 uguali tra loro, a2 uguali tra loro e distinti dai precedenti, :::, ak uguali tra loro e distinti dai precedenti) con a1 þ a2 þ ::: þ ak ¼ n.

n!

n! a1 !
a2 !
:::
ak !

Combinazioni semplici di n oggetti di classe k

Combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k


n



k

nþk1 k

Calcolo combinatorio

Se un oggetto e` univocamente individuato da una sequenza di n scelte successive, tali che vi siano k1 possibilita` per la prima scelta, k2 per la seconda, ....., kn per la n-esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte e` il prodotto: k1
k2
:::::
kn .



Formula del binomio di Newton
n
n
n
n
n 
n ða þ bÞn ¼ an þ an1 b þ an2 b2 þ an3 b3 þ ::::: þ abn1 þ bn 0 1 2 3 n1 n oppure:

ða þ bÞn ¼

n
 X n nk k a b k k¼0

Proprieta` dei coefficienti binomiali
n
n
n  n! ¼ ¼ k k! ðn  kÞ! k nk


n k

 ¼

n1 k1



 þ

n1 k



` CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione al calcolo combinatorio

TEORIA a p. 578

Esercizi preliminari Per ciascuno dei seguenti problemi, stabilisci se si puo` assimilare al conteggio di parole ordinate o non ordinate, con o senza ripetizioni. Non e` richiesto di risolvere il problema. 1 Þ

Un club ha 50 membri, di cui 30 uomini e 20 donne. Si vuole costruire una delegazione di membri del club, costituita da 5 uomini e 5 donne. Quante sono le delegazioni possibili? 2 Þ

Quanti numeri interi ci sono, compresi tra 100 e 999, aventi cifre tutte distinte?

` essere un numero 3 La combinazione di una cassaforte e` costituita da cinque cifre (ciascuna delle quali puo Þ qualsiasi compreso tra 0 e 9). Quante combinazioni sono possibili? 4 Þ

Quanti sono i sottoinsiemi di 3 elementi di un insieme di 10 elementi? 593

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

5 Þ

Quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di significato) della parola «computer»?

6 Þ

A una gara partecipano 10 atleti, in quanti modi si puo` presentare la classifica dei primi tre?

7 In un torneo ogni squadra affronta ciascuna delle altre una e una sola volta. Nel torneo quante partite vengoÞ no disputate? 8 Si deve confezionare un sacchetto contenente 20 caramelle, ai gusti di limone, fragola o arancia. In quanti Þ modi si puo` confezionare il sacchetto, ammettendo che le caramelle in esso contenute possano essere sia di un solo gusto, sia di due gusti, sia di tutti e tre i gusti?

Risolvi i seguenti problemi, utilizzando un diagramma ad albero. 9 Per raggiungere una data localita` si ha a disposizione il treno o l’aereo. Nel primo caso, per arrivare a destinaÞ zione, alla stazione si puo` scegliere tra un pullman o il taxi o 2 km a piedi. Nel secondo caso all’aeroporto si puo` noleggiare un’auto o prendere un taxi. In quanti modi diversi si puo` giungere a destinazione? [5] 10 Il menu di una trattoria offre le seguenti possibilita` di scelta. Primi: penne al pesto, risotto ai funghi o gnocÞ chi di patate; secondi: frittura di pesce, braciola di maiale, pollo allo spiedo; infine come dessert si puo` scegliere tra torta o macedonia. Quanti sono i pranzi completi distinti che la trattoria offre? [18]

` 11 Il tenente Colombo ama i ragionamenti articolati. O il sospettato confessa o non confessa. Se confessa, si puo Þ arrestare; se non confessa, o si contraddice o e` coerente. Se si contraddice, si puo` arrestare; se e` coerente o ha un alibi o non ha un alibi. Se ha un alibi si puo` scagionare; se non ha un alibi si sottoporra` al test del DNA. Se questo e` positivo, il sospettato sara` arrestato, altrimenti sara` liberato. In quanti casi si arriva all’arresto? [3]

Problemi sul principio fondamentale del calcolo combinatorio 12 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Quante sono le password formate da 5 lettere dell’alfabeto italiano che iniziano con una consonante e finiscono con due vocali, ammettendo che le lettere possano essere ripetute? Puoi costruire la password con cinque scelte successive:     

per la prima scelta hai 16 possibilita` (le 16 consonanti) per la seconda scelta hai 21 possibilita` (le 21 lettere dell’alfabeto italiano) per la terza scelta hai ::: possibilita` per la quarta scelta hai ::: possibilita` per la quinta scelta hai ::: possibilita`

Per il principio fondamentale del calcolo combinatorio le parole che soddisfano le condizioni richieste sono in totale: 16
212
::::: ¼ 176 400 13 Þ

Il comandante di un plotone di 12 soldati deve garantire un turno di guardia all’ingresso principale, all’armeria, all’autorimessa e all’ingresso secondario. In quanti modi diversi puo` disporre i suoi uomini? [11 880] 14 Þ

Il signor Aristide, partendo per una gita, porta con se´ quattro magliette di colore diverso, due giacche e tre paia di pantaloni. In quanti modi diversi puo` vestirsi il sig. Aristide? [24] 15 Þ

La targa di un motorino e` costituita da due lettere, due numeri e due lettere. Supponendo che le lettere possono essere scelte a caso dalle 26 dell’alfabeto anglosassone e che ciascun numero possa essere una cifra qualsiasi tra 0 e 9, quanti motorini diversi si possono immatricolare? [45 697 600] 16 Quante password diverse di otto caratteri si possono generare utilizzando per ciascun carattere una cifra comÞ presa tra 0 (incluso) e 9 (incluso)? Aumentando il numero dei caratteri da 8 a 9, di quanto aumenta il numero delle password possibili? [108 ; 9
108 ]

594

17 Quante diverse password di otto caratteri si possono generare utilizzando per ciascun carattere una lettera Þ (scelta dalle 26 dell’alfabeto anglosassone) o una cifra (compresa tra 0 e 9, incluso 0 e 9)? Aumentando il numero dei caratteri da 8 a 9, di quanto aumenta il numero delle password possibili? [368 ; 35
368 ]

[5
63 ]

Quanti numeri di quattro cifre, tutte dispari, si possono scrivere?

20 Þ

Quanti numeri costituiti da sei cifre distinte possono essere scritti, utilizzando le cifre da 0 a 9?

21 Þ

Quanti numeri di cinque cifre, tutte pari e diverse da zero, si possono scrivere?

22 Þ

Quanti anagrammi che iniziano con la lettera «G» possono essere composti dalla parola «gesto»?

[625] [136 080] [1024] [24]

23 Þ

Una segretaria, che ha un’eta` compresa tra 45 e 50 anni (potendo anche essere uguale a 45 o a 50 anni), dice a tutti che e` del segno della Bilancia. Se usa la sua data di nascita come password, quanti tentativi al massimo bisogna fare per scoprirla? (Ricorda che cadono sotto il sengo della Bilancia i nati dal 23 settembre (incluso) al 22 ottobre (incluso)) [180]

Calcolo combinatorio

19 Þ

Unita` 10

18 Quanti numeri di quattro cifre puoi formare con le cifre 0, 1, 2, 3, 4 e 5? Þ (Suggerimento: presta attenzione al fatto che un numero non puo` iniziare per zero)

24 Si vuole scrivere un numero di tre cifre, con le seguenti caratteristiche: la prima cifra a partire da sinistra deve Þ essere dispari, la seconda pari (0 incluso) e l’ultima deve essere un multiplo di 3 (diverso da zero). Quanti numeri distinti si possono scrivere con queste caratteristiche? [75] 25 Þ

Il numero 189, scomposto in fattori primi, e` uguale a 33
7. Servendoti del principio fondamentale del calcolo combinatorio, indica quanti sono i divisori di 189. [8] 26 Þ

Il numero 3240, scomposto in fattori primi, e` uguale a 23
34
5. Servendoti del principio fondamentale del calcolo combinatorio, indica quanti sono i divisori di 3240. [40]

2. Disposizioni e permutazioni

TEORIA a p. 580

Esercizi preliminari Test 27 Þ

Vero o falso?

a. le disposizioni di n oggetti in n posti sono le permutazioni degli n oggetti

V

F

b. le disposizioni di 5 oggetti in 4 posti si indicano con il simbolo D5,4

V

F

c. gli anagrammi della parola «cielo» sono 5

V

F

d. gli anagrammi della parola «cielo» sono tanti quanti gli anagrammi della parola terra, perche´ entrambe le parole sono costituite da cinque lettere

V

F

e. n! ¼ nðn  1Þ!

V

F

V

F

g. 4!
4! ¼ ð42 Þ!

V

F

h. la scrittura D3;5 non ha significato

V

F

f.

10! ¼ 2! 5!

[4 affermazioni vere e 4 false] 28 Þ A

29 Þ A

30 Þ A

31 Þ A

Quanto vale D5,3 , ovvero quante sono le disposizioni di 5 oggetti in 3 posti? 15

B

30

C

60

D

120

B

30

C

60

D

120

Quanto vale 5!? 15

Sapendo che 9! ¼ 362 880, quanto vale 10!? 3 628 800 Quanto vale n1

B

725 760

C

36 288 000

D

nessuno dei precedenti

n

C

nþ1

D

2n

n! ? ðn  1Þ! B

595

Calcolo combinatorio e probabilita`

32 Þ

Tema I

a. D7,3 ¼ 7
6
5 ¼ 210

A

33 Þ A

Si sa che le disposizioni di 7 elementi a gruppi di k sono 840. Quanto vale k? k¼3

B

k¼4

C

k¼5

D

k¼6

In quanti modi diversi 4 persone possono sedersi sui 4 sedili di un’auto a quattro posti? 6

B

12

C

24

D

48

Le disposizioni e il fattoriale 34 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Calcoliamo i seguenti numeri: a. D7,3

b. D10,6

c. 3!

d. P4

3 fattori decrescenti

b. D10,6 ¼ 10
9
8
7
6
5 ¼ 151 200 6 fattori decrescenti

c. 3! ¼ 3
2
1 ¼ 6 d. P4 ¼ 4! ¼ 4
3
2
1 ¼ 24 Verifica le seguenti identita`.

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 35 Þ

D10,4

[5040]

36 Þ

D6,4

[360]

37 Þ

D10,3 : D6,2

[24]

38 Þ

P8 : P6

[56]

39 Þ

P4
P3

[144]

40 Þ

18! 16!

[306]

41 Þ

7! 5!2!

[21]

42 Þ

10! 6!4!

[210]

43 Þ

P6 D5,3

44 Þ

P6 : D6,2 P4

52 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

45 Þ

ðn þ 1Þ! ðn  1Þ!

46 Þ

ð2n  2Þ! 1 ¼ ð2n þ 1Þ! 2nð4n2  1Þ

47 Þ

ð2n þ 1Þ! ¼ 4n2 þ 2n ð2n  1Þ!

48 Þ

ðn  1Þ! ðn  1Þ! 1  ¼ n! ðn þ 1Þ! nþ1

49 Þ

ðn  1Þ! n! 1  ¼ 2 n! ðn þ 1Þ! n þn

[12]

50 Þ

ðn þ 2Þ! ðn þ 2Þ!  ¼ n2 þ 2n n! ðn þ 1Þ!

[1]

51 Þ

1 1 1 n2 þ 1 þ þ ¼ n! ðn  1Þ! ðn  2Þ! n!

¼

nðn þ 1Þ

Risolviamo l’equazione ðn þ 2Þ!  4ðn þ 1Þ! ¼ 8ðn þ 1Þ!.  Affinche´ siano definiti tutti i fattoriali che compaiono nell’equazione n deve essere un numero intero tale che n  1  In base alla definizione di fattoriale l’equazione equivale a: ðn þ 2Þðn þ 1Þ!  4ðn þ 1Þ! ¼ 8ðn þ 1Þ!  Poiche´ il fattoriale di un numero e` sempre diverso da zero, e` possibile dividere entrambi i membri dell’equazione per ðn þ 1Þ!, ottenendo l’equazione equivalente seguente, che risolviamo: ðn þ 2Þ  4 ¼ 8 ) n ¼ 10  La soluzione trovata e` accettabile, perche´ soddisfa la condizione n  1. 596

ðn þ 1Þ!  2n! ¼ 4n!

[n ¼ 5]

56 Þ

ðn þ 3Þ!  ðn þ 2Þ! ¼ 9ðn þ 2Þ!

[n ¼ 7]

54 Þ

n!  4ðn  1Þ! ¼ 10ðn  1Þ!

[n ¼ 14]

57 Þ

ðn þ 1Þ!  n! ¼ 16ðn  1Þ!

[n ¼ 4]

55 Þ

ðn þ 2Þ!  4ðn þ 1Þ! ¼ 4ðn þ 1Þ!

[n ¼ 6]

58 Þ

4ðn þ 1Þ!  8ðn  1Þ! ¼ 35n!

[n ¼ 8]

59 Þ

Si sa che le disposizioni di n elementi in 2 posti sono 132. Quanto vale n?

[n ¼ 12]

Problemi su disposizioni e permutazioni 60 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcolo combinatorio

53 Þ

Unita` 10

Risolvi le seguenti equazioni.

a. In quanti modi diversi possono essere sistemati su una libreria 6 libri, scelti tra 10, a disposizione? b. Abbiamo 8 palline, di colori tutti diversi tra loro, e altrettante scatole numerate da 1 a 8. In quanti modi si possono disporre le 8 palline nelle 8 scatole, in modo che ogni scatola contenga esattamente una pallina? c. Quanti numeri di 4 cifre, tutte dispari, si possono scrivere? d. Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono costruire con la parola «canotto»? a. Si tratta di disporre 10 libri in 6 posti, quindi il numero totale di disposizioni possibili e` dato da: D10,6 ¼ :::::::::: ¼ :::::::::: b. Disporre le palline nelle scatole equivale a definire un ordinamento delle 8 palline, in modo che la prima pallina sia inserita nella scatola 1, la seconda pallina sia inserita nella scatola 2, e cosı` via::: Quindi il numero totale di modi di disporre le palline e`: P8 ¼ 8! ¼ ::::: c. I numeri descritti si possono assimilare alle disposizioni con ripetizione dei cinque numeri 1, 3, 5, 7, 9 in quattro posti; quindi sono in totale:  ¼ 54 ¼ ::::: D5,4

d. Il problema equivale a calcolare il numero di permutazioni di 7 lettere, di cui la «o» e` ripetuta 2 volte, la «t» e` ripetuta 2 volte mentre le rimanenti compaiono una sola volta. Il numero totale di anagrammi e` dunque: 7! ¼ :::::::: 2!2! 61 In quanti modi quattro insegnanti possono coprire due ore di lezione in una classe (possono esserci anche Þ due ore dello stesso insegnante)? [16] 62 In una societa` di 30 persone si devono eleggere un coordinatore, un segretario e un tesoriere. Quante sono le Þ scelte possibili? [24 360] 63 Lanciando un dado per 5 volte consecutive, quante sono le possibili sequenze ordinate di numeri che si posÞ sono ottenere? [65 ] 64 Þ

Quante diverse classifiche finali puo` avere una gara ciclistica alla quale partecipano 8 atleti (escludendo che ci siano ex-aequo)? [40 320]

65 Þ 66 Þ 67 Þ 68 Þ 69 Þ

Trova il numero di anagrammi della parola «remo».

70 Þ 71 Þ

In quanti modi si possono sistemare quattro ospiti in un albergo che ha cinque stanze singole libere?

[24]

Trova il numero di anagrammi della parola «Milano».

[720]

Trova il numero di anagrammi della parola «Toronto».

[420]

Trova il numero di anagrammi della parola «Sandra».

[360]

In un cinema, una fila di poltrone ha 20 posti. Arrivano solo 6 persone a sedersi su quella fila. In quanti modi possono disporsi? [27 907 200]

Quanti numeri di 6 cifre, tutte pari e diverse da zero, si possono scrivere?

[120] [4096] 597

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

72 Þ 73 Þ

Quanti numeri di 4 cifre distinte, tutte pari e diverse da zero, si possono scrivere?

74 Þ

Quante funzioni biiettive si possono definire aventi come dominio e codominio l’insieme A ¼ f1, 2, 3, 4, 5g? [120]

[24]

Quante funzioni si possono definire aventi come dominio l’insieme A ¼ f1, 2, 3, 4g e come insieme delle immagini un sottoinsieme di B ¼ f1, 2, 3, 4, 5g? [625]

75 Una partita di calcio tra la squadra A e la squadra B e` finita 3 a 2. In quanti modi diversi possono essersi succeÞ dute le reti? [10] 76 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

5 italiani, 4 francesi e 2 tedeschi devono sedersi in fila. Le persone di stessa nazionalita` devono rimanere vicine. In quanti modi si possono disporre?  Ci sono 3! permutazioni possibili dei tre gruppi costituiti dagli italiani, dai francesi e dai tedeschi.  All’interno di ciascun gruppo, si devono poi ordinare le persone: ci sono 5! permutazioni degli italiani, 4! dei francesi e 2! dei tedeschi.  In totale i modi di disporsi sono: 3!
5!
4!
2! ¼ ::::::::::::::: 77 Þ

Tre italiani, due francesi e due inglesi devono sedersi in fila. In quanti modi possono farlo se le persone della stessa nazionalita` devono stare vicine? [144] 78 Barbara vuole sistemare su un ripiano vuoto della sua libreria 8 libri (tutti diversi tra loro). Fra gli otto libri ci Þ sono i tre libri della trilogia del Signore degli anelli. Determina in quanti modi Barbara puo` disporre i libri: a. se essi possono essere sistemati in ordine qualunque; b. se i tre libri della trilogia devono essere messi vicini tra loro ed esattamente nell’ordine della trilogia; c. se i tre libri della trilogia devono essere messi vicini tra loro, ma possono essere disposti in qualsiasi ordine. [a. 40 320; b. 720; c. 4320] 79 Paolo vuole sistemare su un ripiano vuoto della sua libreria 4 libri di letteratura, 3 libri di storia e 1 libro di Þ matematica. Determina in quanti modi puo` disporre i libri: a. se essi possono essere sistemati in qualunque ordine; b. se i libri di letteratura vanno messi vicini tra loro e i libri di storia vanno messi vicini tra loro; c. se i libri di letteratura vanno messi vicini tra loro, mentre gli altri libri possono essere sistemati in qualunque ordine. [a. 40 320; b. 864; c. 2880] 80 Þ

Un gioco per bambini e` costituito da 10 blocchi di legno. Determina in quanti modi il bambino puo` allineare i 10 blocchi: a. supponendo che sono tutti di colori diversi; b. supponendo che, tra i 10 pezzi di legno, 5 sono gialli, 3 sono rossi, 2 sono blu e che i pezzi dello stesso colore sono indistinguibili uno dall’altro; c. supponendo che i 10 pezzi siano dei colori descritti al punto b., e che i pezzi dello stesso colore debbano essere posti vicini tra loro; d. supponendo che i 10 pezzi siano dei colori descritti al punto b., e che soltanto i pezzi gialli debbano essere posti vicini tra loro. [a. 3 628 800; b. 2520; c. 6; d. 60]

3. Combinazioni

TEORIA a p. 584

Esercizi preliminari Test 81 Il numero Þ A

82 Þ A

598

  5 e` uguale a: 3

5
4
3
2
1 3!

B

5
4
3 3!

C

5
4 3!

D

5! 2!

Quale dei seguenti coefficienti binomiali e` uguale a n, per ogni n 2 N  f0g?       n n n B C D nessuno dei precedenti 0 1 n

A

85 Þ

n! ðn  kÞ!

B

C

D

se n > k, non e` definito

n! k!

D

n! ðn  kÞ!k!

Quale delle seguenti espressioni esprime il numero dei sottoinsiemi di 3 elementi di un insieme di 6 elemen-

ti?

A

n!ðn  kÞ! k!

se k ¼ 0, non e` definito

6! 3!

B

  6 3

C

6! 3

D

  3 6

Calcolo combinatorio

e` uguale a 1 se e solo se k ¼ n   n 84 Il coefficiente binomiale e` uguale a: Þ k B

C

Unita` 10

  n 83 Il coefficiente binomiale : Þ k A non e ` mai uguale a 0

86 Þ

Quante commissioni d’esame diverse formate da 3 professori si possono formare, scegliendo i professori da un insieme di cinque insegnanti? A

8

B

10

C

12

D

14

87 Þ

Vero o falso?   13 a. ¼0 0   n b. e` definito per ogni n 2 N e per ogni k 2 N k     8 8 c. ¼ 3 5   11 d. ¼ 11 10   7 7! e. ¼ 3 3!4!

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[3 affermazioni vere e 2 false]

Combinazioni semplici 88 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcoliamo:   6 a. 3 a.

b. C10,4

  6 D6,3 6
5
4 ¼ ¼ ¼ 20 3! 3 3
2

 b. C10,4 ¼

10 4

 ¼

D10,4 10
9
8
7 ¼ ¼ 210 4! 4
3
2
1 

Calcola il valore dei seguenti coefficienti binomiali.   8 89 [56] Þ 3   10 90 [210] Þ 6   12 91 [792] Þ 7   15 92 [3003] Þ 10   20 93 Rapido [1] Þ 0

94 Rapido Þ

 95 Þ 96 Þ 97 Þ 98 Þ

Rapido

30 30



1785 1784

[1] 

C8,2

[28]

C9,3

[84]

C12,5

[792]

Calcola il valore delle seguenti espressioni. C6,1
C7,3  C10;7 99 Þ C6,3 þ C8,4 100 Þ

[1785]

ðC4,2 Þ2 þ C5,3  C8,2 C6,2  C4,2

[1] [2] 599

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

        3 3 3 3 101 Rapido þ þ þ Þ 0 1 2 3 (Suggerimento: osserva che la somma data rappresenta il numero dei sottoinsiemi di un insieme di 3 elementi) [8]           5 5 5 5 5 102 Rapido þ þ þ þ [31] Þ 0 1 2 3 4           6 6 6 6 6 103 Rapido þ þ þ þ [57] Þ 2 3 4 5 6 108 Þ

Verifica le seguenti identita`.     n n1 104 3 ¼ n Þ 3 2       n n nþ1 105 þ ¼ Þ 2 3 3     nþ1 n 106 5 ¼ ðn þ 1Þ Þ 5 4       n1 n1 n 107 þ ¼ Þ 4 5 5

ESERCIZIO SVOLTO



Risolviamo l’equazione

n 2



 ¼

 n . 4

 Poniamo anzitutto le condizioni affinche´ l’equazione abbia significato: deve essere n 2 N e n  4, affinche´ siano definiti i due coefficienti binomiali.  In base alla definizione di coefficiente binomiale l’equazione si traduce nella seguente: nðn  1Þ nðn  1Þðn  2Þðn  3Þ ¼ 2! 4! Poiche´ deve essere n  4, possiamo supporre nðn  1Þ 6¼ 0 e dividere entrambi i membri dell’equazione per nðn  1Þ; siamo condotti cosı` all’equazione 1 ðn  2Þðn  3Þ ¼ 2! 4! che fornisce come soluzioni: n ¼ 1 _ n ¼ 6  Delle due soluzioni trovate, l’unica che soddisfa le condizioni iniziali e che risulta quindi accettabile e` n ¼ 6. Risolvi le seguenti equazioni.     n n 109 ¼5 Þ 3 2     n n 110 ¼2 Þ 3 4     n n1 111 ¼ Þ 5 4     n nþ2 112 5 ¼ Þ 3 3

 113 Þ

[n ¼ 17] [n ¼ 5] [n ¼ 5] [n ¼ 4]

nþ1 4



  n þ ¼ 3n2  6n 4

[n ¼ 7]

    n n1  ¼ 21 3 3

[n ¼ 8]

      n n n 115 þ ¼2 Þ 3 n3 4

[n ¼ 7]

    n n 116 Rapido þ ¼2 Þ 6 n6

[n ¼ 6]

114 Þ

Problemi sulle combinazioni semplici 117 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Un gruppo di 8 dipendenti di un’azienda decide di mandare una delegazione di 3 di loro a esporre delle lamentele alla direzione. a. Quante delegazioni diverse sono possibili? b. Supposto che debba fare parte della delegazione il rappresentante sindacale, che e` uno degli 8 dipendenti, quante delegazioni sono possibili? a. Scegliere una delegazione equivale a scegliere un sottoinsieme di 3 elementi dall’insieme degli otto dipendenti. Le delegazioni possibili sono quindi:   8 ¼ ::::: 3 600

b. La delegazione deve contenere, oltre al rappresentante sindacale, 2 dei restanti 7 dipendenti, quindi le   7 ` [a. 56; b. 21] possibilita sono in totale ¼ ::::: 2

125 Þ

119 Þ

126 Þ

Quante coppie non ordinate (ambi) puoi formare con i 90 numeri del lotto? [4005] Quante terne non ordinate (terni) puoi formare con i 90 numeri del lotto? [117 480]

127 Þ

Considera cinque punti distinti del piano A, B, C, D, E. Quanti segmenti distinti esistono aventi come estremi due dei cinque punti A, B, C, D, E? [10]

120 In quanti modi diversi e` possibile scegliere i due Þ rappresentanti degli studenti in una classe di 24 alunni? [276]

128 Þ

Quante sono le diagonali di un poligono avente 10 lati? [35]

121 A un’estrazione del lotto vengono estratti i nuÞ meri 5, 6, 8, 60, 74. Verifica che gli ambi vincenti (cioe` gli ambi che si possono formare con i numeri estratti) sono tanti quanti i terni vincenti. [10]

129 Þ

Considera un pentagono ABCDE. a. Quanti triangoli distinti esistono aventi come vertici tre dei vertici del pentagono? b. Quanti quadrilateri distinti esistono aventi come vertici quattro dei vertici del pentagono? [a. 10; b. 5]

122 Quanti diversi incontri di pugilato possono esseÞ re organizzati tra 6 pugili? [15] 123 Calcola il numero di strette di mano che possono Þ scambiarsi 8 persone, nell’ipotesi che ciascuno stringa la mano una e una sola volta a tutti gli altri. [28]

130 Þ

I 20 membri di uno sci club decidono di mandare una delegazione di 5 di loro a disputare una gara. a. Quante delegazioni diverse sono possibili? b. Supposto che debbano fare parte della delegazione il presidente e il vicepresidente dello sci club, che fanno parte dei 20 membri, quante delegazioni sono possibili? [a. 15 504; b. 816]

124 Una scuola organizza dei corsi pomeridiani di apÞ profondimento in italiano, inglese, matematica, elettronica, informatica e scienze. Se uno studente vuole seguire solo 3 corsi, in quanti modi puo` sceglierli? [20] 131 Þ

Calcolo combinatorio

Un professore decide di interrogare a caso 4 studenti in una classe di 20 studenti. Quanti diversi insiemi di studenti puo` interrogare? [4845]

Unita` 10

118 Quanti sono i sottoinsiemi di 3 elementi dell’inÞ sieme E ¼ fa, b, c, d, eg? [10]

ESERCIZIO GUIDATO

I 21 studenti di una classe devono essere divisi in 3 gruppi di 7 studenti, ciascuno dei quali lavorera` indipendentemente a una ricerca. In quanti modi diversi si possono costruire i tre gruppi?  Osserva che:



– il primo gruppo di studenti puo` essere scelto in

21



:::

modi

  – il secondo gruppo di studenti puo` essere scelto in

:::

modi 7 – il terzo gruppo dovra` essere costituito dagli studenti rimanenti  Per il principio fondamentale del calcolo combinatorio, le scelte possibili sono in tutto:     ::: 21
¼ ::::: ::: 7

[399 072 960]

132 Un equipaggio di un treno e` costituito da due macchinisti, un capotreno e un bigliettaio. In una certa unita` Þ operativa sono in forza 50 macchinisti, 30 capotreno e 80 bigliettai. Quanti equipaggi diversi si possono formare con il personale di quel compartimento? [2 940 000] 133 Þ

Due sposi devono scegliere quattro testimoni per il loro matrimonio: due per lui e due per lei. La sposa puo` scegliere tra 12 amici, lo sposo tra 10. In quanti modi possibili i due sposi possono scegliere i quattro testimoni? [2970] ` 134 In una compagnia di alpini sono a disposizione 4 ufficiali, 8 sottoufficiali e 20 soldati. In quanti modi si puo Þ scegliere un plotone da mandare a una manifestazione se questo deve essere costituito da 1 ufficiale, 2 sottoufficiali e 10 soldati? [20 692 672] 135 In una scuola vi sono 18 insegnanti di materie scientifiche e 30 insegnanti di materie letterarie. In quanti moÞ di si puo` costituire una commissione di cinque professori, due di materie scientifiche e tre di materie letterarie? [621 180] 136 Þ

Un lotto di 15 telefoni cellulari ne contiene 3 difettosi. Viene scelto a caso un campione di 4 telefoni tra i 15 del lotto. Quanti dei possibili campioni contengono almeno un pezzo difettoso? [870] 137 Supponiamo di estrarre 5 carte (una mano) da un mazzo di 32 carte: quante mani contengono almeno tre Þ fanti? [1540]

601

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Problemi sulle combinazioni con ripetizione 138 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

a. In quanti modi si possono assegnare 15 scrivanie uguali a 4 uffici (ammettendo anche il caso che a qualche ufficio non venga assegnato alcuna scrivania)? b. Come cambia la risposta al problema precedente se a ogni ufficio deve essere assegnata almeno una scrivania? a. Si tratta di determinare i numeri x1 , x2 , x3 , x4 di scrivanie che vengono assegnate a ciascun ufficio, ossia di determinare quante quaterne ðx1 , x2 , x3 , x4 Þ di interi non negativi soddisfano l’equazione: x1 þ x2 þ x3 þ x4 ¼ 15



La suddivisione delle scrivanie puo` quindi essere fatta in

18 15

 modi.

b. Poiche´ a ogni ufficio deve essere assegnata almeno una scrivania, si tratta ora di suddividere 11 scrivanie tra 4 uffici. [a. 816; b. 364] 139 Þ

Quanti possibili tipi di confezioni diverse di 20 caramelle ai gusti di menta, fragola o limone si possono confezionare, ammettendo il caso di confezioni costituite da caramelle di un solo gusto o di due gusti? [231] 140 Si lanciano contemporaneamente 5 dadi. Quante sono le possibili combinazioni di numeri che si possono otÞ tenere? [252] 141 Þ

Determina il numero di terne ðx1 , x2 , x3 Þ, con x1 , x2 , x3 2 N, che soddisfano l’equazione x1 þ x2 þ x3 ¼ 12. [91]

` avvenire la suddi142 Venti lavagne interattive uguali devono essere suddivise tra 10 scuole. In quanti modi puo Þ visione (ammettendo anche il caso che a qualche scuola non venga assegnata alcuna lavagna)? E se a ogni scuola deve essere assegnata almeno una lavagna? [10 015 005; 92 378] 143 Þ

Il signor Bianchi ha a disposizione la somma di 40 000 euro, che vuole investire, in tranche da 5000 euro, scegliendo tra quattro societa`. In quanti modi diversi possono essere investiti i soldi del sig. Bianchi, se almeno una tranche deve essere investita in ciascuna delle quattro societa`? (Suggerimento: si tratta di distribuire in sostanza 8 oggetti identici (le 8 tranche da 5000 euro) tra le 4 possibili societa`, con il vincolo che almeno 1 tranche deve andare a ciascuna societa`) [35] 144 Þ 145 Þ

Quanti termini puo` contenere al massimo un polinomio omogeneo di grado 8, nelle variabili a, b e c?

[45]

7

Supponiamo di sviluppare la potenza ða þ b þ c þ dÞ e di ridurre i termini simili. Quanti termini contiene il polinomio cosı` ottenuto? [120]

Esercizi riassuntivi sul calcolo combinatorio 146 In una societa` di 20 soci, devono essere scelti un presidente, un vicepresidente e un segretario. In quanti moÞ di si puo` fare la scelta? [6840] 147 Nonno Anselmo va al mare in treno: ricorda che dopo Firenze ci sono quattro fermate, ha in mente i nomi Þ delle stazioni, ma non ricorda in quale ordine si succedono. In quanti modi possibili nonno Anselmo puo` incontrare le quattro stazioni? [24] 148 Un’associazione ha 20 membri. Se tra essi deve essere formato un comitato di 5 persone, quanti comitati diÞ versi sono possibili? [15 504] 149 Considera i risultati di 14 partite di calcio: per ogni partita se vince la prima squadra si segna 1, se le due squaÞ dre pareggiano si segna X, se vince la seconda squadra si segna 2. Si ottiene, in questo modo, una sequenza di 14 segni che chiamiamo colonna. Quante colonne si possono ottenere? [314 ] 150 A una manifestazione si schierano sotto il palco 10 militari: 2 bersaglieri, 3 artiglieri, 2 avieri e 3 marinai. I miÞ litari che appartengono alla stessa specialita` hanno la stessa altezza e divise identiche, percio` si possono supporre indistinguibili uno dall’altro. In quanti modi i 10 militari si possono disporre? [25 200] 151 Si vogliono suddividere 22 ragazzi per formare due squadre di calcio (di 11 elementi ciascuno). In quanti moÞ di diversi lo si puo` fare? [705 432]

602

154 Nella prima fila di un’aula devono sedersi sei studenti: quattro ragazzi e due ragazze. Determina in quanti Þ modi possono disporsi: a. se possono sistemarsi in ordine qualunque; b. se i ragazzi devono stare vicini tra loro e le ragazze devono stare vicine tra loro; c. se le ragazze devono stare vicine tra loro, mentre i ragazzi possono disporsi in ordine qualunque. [a. 720; b. 96; c. 240]

Calcolo combinatorio

153 Dei 40 dipendenti di una piccola azienda, 20 sono laureati, 10 sono diplomati e 10 hanno la licenza di scuola Þ media. Per un’indagine interna si vuole utilizzare un campione in cui sia rappresentato casualmente il 10% di ognuno dei gruppi individuato dal titolo di studio. Quanti sono i possibili campioni distinti? [19 000]

Unita` 10

` sono principianti, per cui si 152 Otto alpinisti si legano in cordata per attraversare un ghiacciaio. Due di loro pero Þ vuole che non siano ne´ al primo ne´ all’ultimo posto. In quanti modi diversi puo` essere formata la cordata degli otto alpinisti? [21 600]

155 Una sede produttiva di una casa automobilistica ha nella propria catena produttiva 5 tipi diversi di automobiÞ li. In quanti modi diversi puo` giungere alla sede un ordine di 50 automobili? [316 251] 156 Si deve formare un comitato costituito da 2 uomini e 3 donne, scegliendone i componenti da un gruppo di 6 Þ uomini e 5 donne. a. In quanti modi si puo` formare il comitato? b. In quanti modi si puo` formare il comitato, se tra le cinque donne ce ne sono due che hanno litigato e percio` non vogliono appartenere al comitato insieme? [a. 150; b.105] 157 Þ

Considera dieci carte, cinque di cuori e cinque di picche, tutte di valori diversi. Quante sono le permutazioni di queste dieci carte tali che due carte consecutive comunque scelte hanno sempre colori differenti? [28 800] 158 Þ

Cinque amici devono ripartirsi 10 caramelle uguali. a. In quanti modi possono farlo (ammettendo anche il caso in cui qualcuno non riceva nessuna caramella)? b. In quanti modi possono farlo se ciascuno deve ricevere almeno una caramella? [a. 1001; b. 126]

159 Un vigile che vede un automobilista commettere una grave infrazione non riesce a fermare l’autoveicolo ma Þ si accorge che la macchina e` di colore grigio, che le prime due lettere della targa sono C e A e che gli ultimi due numeri della targa sono 3 e 5. La targa e` costituita da due lettere, seguite da tre cifre, seguite da altre due lettere; ciascuna lettera puo` essere una qualsiasi dell’alfabeto inglese di 26 lettere a eccezione di I, O, Q e U, mentre ciascuna delle cifre puo` essere un numero intero qualsiasi compreso tra 0 e 9 (inclusi 0 e 9). Supponendo che le macchine grigie siano un quarto del parco circolante, quanti sono approssimativamente i possibili colpevoli dell’infrazione? [1210]     15 5 ` 160 Inventa tu. Scrivi il testo di un problema che puo essere risolto calcolando
. Þ 5 3     10 7 ` 161 Inventa tu. Scrivi il testo di un problema che puo essere risolto calcolando
. Þ 3 2

4. Il teorema del binomio di Newton 162 Þ

TEORIA a p. 589

ESERCIZIO SVOLTO

Sviluppiamo la potenza ð2x þ yÞ4 . Utilizziamo la formula del binomio di Newton relativa ad ða þ bÞ4 , sostituendo 2x al posto di a e y al posto di b:           4 4 4 4 4 4 ð2xÞ4 þ ð2xÞ3 ðyÞ þ ð2xÞ2 ðyÞ2 þ ð2xÞy 3 þ y ¼ ð2x þ yÞ4 ¼ 0 1 2 3 4 ¼ 16x4 þ 32x3 y þ 24x2 y 2 þ 8xy3 þ y 4 Sviluppa le seguenti potenze di binomi. 163 ð2x  1Þ Þ 164 Þ

ðx þ 2Þ5

4

 165 Þ 166 Þ

1 2 x  y3 2

4

ðx  3yÞ5 603

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

167 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Calcoliamo il coefficiente di x8 y2 nello sviluppo di ðx  2yÞ10 .  Per la formula del binomio di Newton: ðx  2yÞ10 ¼

 10  X 10 k¼0

k

x10k ð2yÞk ¼

 10  X 10 k¼0

k

ð2Þk x10k y k

 Confrontando x8 y 2 con x10k y k , ci accorgiamo che siamo interessati a calcolare il coefficiente del termine corrispondente a k = 2. Il coefficiente di tale termine e` allora:   10 ð2Þ2 ¼ 180 2 168 Þ

Calcola il coefficiente di a6 b2 nello sviluppo di ða þ bÞ8 .

[28]

169 Þ

10

Calcola il coefficiente di a b nello sviluppo di ða þ bÞ .

[120]

170 Þ

Calcola il coefficiente di x6 nello sviluppo di ðx þ 3Þ8 .

[252]

171 Þ

Calcola il coefficiente di x3 nello sviluppo di ðx  1Þ10 .

7 3

[120]

172 Þ

Calcola il coefficiente di x4 y nello sviluppo di ð2x  3yÞ .

[240]

173 Þ

Calcola il coefficiente di x4 y 2 nello sviluppo di ð2x  3yÞ6 .

[2160]

5

174 Þ

Calcola il coefficiente numerico del termine x3 y 2 nello sviluppo di ð3x þ 4yÞ5 .       n n n 175 Utilizzando il teorema del binomio di Newton, verifica che: þ þ ::: þ ¼ 2n Þ 0 1 n 176 Utilizzando il teorema del binomio di Newton, verifica che: Þ

Determina il valore delle seguenti somme.   n P n k 177 x ð1  xÞnk Þ k k¼0   n P n kþ3 178 x ð1  xÞnk Þ k k¼0   n P k n 179 ð1Þ Þ k k¼0

[4320]

        n n n n  ¼0 þ  ::: þ ð1Þn 0 n 1 2

[1]

180 Þ

  n 3k k k¼0

[4n ]

[x3 ]

181 Þ

  n 5n k k¼0

[10n ]

n P

n P

[0]

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 182 Nel gioco del poker ogni giocatore riceve 5 carte, estratte da un mazzo di 32. In quanti modi diversi il giocatoÞ re puo` ricevere le carte? [201 376]

` essere una delle 21 lettere dell’alfabeto italia183 Una password e` costituita da sei caratteri, ciascuno dei quali puo Þ no. a. Quante password diverse si possono costruire, formate da lettere tutte distinte tra loro? b. Quante password diverse si possono costruire, ammettendo di poter ripetere le lettere? c. Quante password si possono costruire, che iniziano con una consonante, terminano con una vocale e sono formate da lettere tutte distinte tra loro? [a. 39 070 080; b. 216 ; c. 7 441 920] 184 Quanti sono i numeri di cinque cifre che si possono costruire scegliendo le cifre nell’insieme f0, 1, 2, 5, 6, 7g e Þ ammettendo di poter ripetere le cifre? [6480]

` i sottoinsiemi di 2 elementi in un insieme di 10 elementi oppure i sottoinsiemi di 4 elementi in 185 Sono di piu Þ un insieme di 8 elementi? [I sottoinsiemi di 4 elementi di un insieme di 8] 604

188 Þ

Quanti sono gli anagrammi della parola «anagramma»?

[7560]

189 Þ

Sette persone hanno a disposizione cinque sedie numerate da 1 a 5: cinque persone si siedono e due restano in piedi. In quanti modi diversi possono occupare le cinque sedie? [2520] 190 Þ

Una classe e` formata da 20 alunni. In quanti modi la classe puo` essere suddivisa in due gruppi (considerando irrilevante l’ordine dei due gruppi)? [92 378]

Calcolo combinatorio

187 Quanti sono i numeri di 3 cifre che si possono scrivere senza mai utilizzare lo zero? Fra di essi, sono in numeÞ ro maggiore quelli in cui compare almeno 1 volta la cifra 1 o quelli in cui non compare? [93 ; i numeri in cui compare la cifra 1 almeno una volta sono 217 e sono minori di quelli in cui non compare, che sono 512]

Unita` 10

186 Quattro amici partono per un viaggio con un’automobile a quattro posti. Solo tre dei quattro amici hanno la Þ patente. In quanti modi diversi possono disporsi i quattro amici all’interno dell’auto? [18]

191 In riferimento alla figura qui sotto, calcola il numero dei cammini lungo la quadrettatura che conducono dal Þ punto A al punto B, supponendo che sia possibile muoversi soltanto verso destra o verso il basso. Un possibile cammino e` per esempio quello indicato in verde in figura.

A

B

(Suggerimento: ci si puo` ricondurre al calcolo di una permutazione con ripetizioni)

[495]

192 Þ

Nel gioco del poker ogni giocatore riceve 5 carte (una «mano»), estratte da un mazzo di 32. a. Quante mani contengono esattamente tre fanti? b. Quante mani contengono 2 donne e 3 tre?

[a. 1512; b. 24 ]

193 Þ

L’investigatore Colombo, per concludere un’indagine su un omicidio, deve scoprire un certo numero di telefono. Due testimoni hanno sentito il numero, ma non concordano su di esso. Sono pero` entrambi d’accordo su quanto segue: a. il numero e` composto da cinque cifre e termina con la cifra 0; b. la seconda cifra e` dispari; c. tutte le cifre sono diverse; d. la cifra piu` grande e` 6. Quanti numeri telefonici deve controllare l’investigatore Colombo? [108] 194 Þ

Una cassetta contiene 20 mele, di cui 5 sono marce. a. Quanti campioni diversi di 3 mele possono essere presi dalla cassetta? b. Quanti campioni diversi di 3 mele possono essere presi, in cui tutte e tre le mele siano marce? c. Quanti campioni diversi di 3 mele possono essere presi, in cui 2 mele siano sane e 1 sia marcia? [a. 1140; b. 10; c. 525]

195 Þ

Anna ha dieci amici. a. In quanti modi puo` invitarne 5 a pranzo? b. In quanti modi puo` invitarne 5 a pranzo, se due dei dieci amici sono sposati e partecipano alla cena solo insieme? c. In quanti modi puo` invitarne 5 a pranzo, se due di essi hanno litigato e partecipano solo separatamente? [a. 252; b. 112; c. 196]

196 Si vuole formare una giuria composta da 6 persone. I membri della giuria sono da scegliere tra 6 uomini e 7 Þ donne. Una delle 7 donne e` la sig. Verdi. a. In quanti modi diversi e` possibile comporre la giuria? b. In quanti modi diversi e` possibile comporre la giuria, se essa deve essere composta da 3 uomini e 3 donne? c. In quanti modi diversi e` possibile comporre la giuria, se essa deve essere composta da 3 uomini e 3 donne e tra le tre donne deve necessariamente essere presente la sig. Verdi? [a. 1716; b. 700; c. 300] 197 Sia A un sottoinsieme di un insieme X. Supponiamo che jAj ¼ k e jXj ¼ n, con k  n. Quanti sono i sottoinsieÞ mi di X che contengono A? [2nk ]

605

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

198 In una classe di 24 studenti, di cui 10 femmine e 14 maschi, si deve formare un gruppo per una ricerca costiÞ tuito da 3 maschi e 3 femmine. In quanti modi puo` essere costituito il gruppo se tra i 14 maschi ci sono due gemelli e si decide che non possano stare insieme? [42 240] 199 Þ

In quanti modi e` possibile suddividere 12 penne in 6 cassetti, ammettendo che le 12 penne siano indistinguibili e che qualche cassetto possa restare vuoto? [6188] 200 In un gruppo di 26 persone, 10 donne e 16 uomini, deve essere scelto un comitato direttivo costituito da un Þ presidente, un vicepresidente e un segretario. Uno dei 16 uomini e` il sig. Bianchi. a. In quanti modi diversi e` possibile scegliere il comitato? b. In quanti modi diversi e` possibile scegliere il comitato, se il posto di segretario deve essere occupato da una donna? c. In quanti modi diversi e` possibile scegliere il comitato, se si decide di assegnare il posto di presidente al sig. Bianchi? d. In quanti modi diversi e` possibile scegliere il comitato, se si decide di assegnare il posto di presidente a un uomo e il posto di vicepresidente a una donna? e. In quanti modi diversi e` possibile scegliere il comitato, se si vuole che presidente e vicepresidente siano di sesso diverso? [a. 15 600; b. 6000; c. 600; d. 3840; e. 7680] 201 Un’urna contiene 10 palline: 5 nere numerate da 1 a 5, 3 rosse numerate da 6 a 8, e 2 bianche numerate 9 e Þ 10. Supponendo di estrarre dall’urna cinque palline, successivamente e rimettendo nell’urna l’ultima pallina estratta prima dell’estrazione successiva, determina: a. in quanti modi e` possibile estrarre le cinque palline; b. in quanti modi e` possibile estrarre cinque palline, di cui esattamente 2 rosse. Rispondi poi nuovamente alle domande a. e b., sia nel caso in cui le cinque palline siano estratte successivamente ma senza reimmissione sia nel caso in cui siano estratte contemporaneamente. [a. 105 ; b. 30 870; nel caso di estrazioni successive senza reimmissione le risposte ad a. e b. diventano rispettivamente 30 240 e 12 600; nel caso di estrazione contemporanea, le risposte ad a. e b. diventano rispettivamente 252 e 105] 202 Þ

Si estraggono contemporaneamente 5 carte da un mazzo di 32: un mazzo di questo tipo e` costituito da 8 carte per ciascuno dei quattro semi (cuori, quadri, picche e fiori): 7, 8, 9, 10, fante, donna, re, asso. In quanti modi diversi e` possibile estrarre 5 carte contenenti: a. nessun asso; e. 2 carte di un colore e 3 di un altro; b. esattamente 2 donne; f. almeno un fante; c. almeno 3 fanti; g. esattamente 3 carte di cuori ed esattamente 2 re. d. 2 carte di picche e 3 di cuori; [a. 98 280; b. 19 656; c. 1540; d. 1568; e. 134 400; f. 103 096; g. 1428] 203 Un’urna contiene 10 palline: tre bianche, numerate da 1 a 3 e sette nere, numerate da 4 a 10. Þ Si estraggono successivamente senza reimmissione 4 palline. In quanti modi diversi e` possibile estrarre: a. 4 palline nere; b. 3 palline nere e 1 bianca, in quest’ordine; c. 3 palline nere e 1 bianca, in ordine qualsiasi; d. 2 palline bianche e 2 palline nere, in ordine qualsiasi; e. almeno 3 palline nere; f. al massimo 3 palline nere. [a. 840; b. 630; c. 2520; d. 1512; e. 3360; f. 4200] 204 Þ

Vogliamo disporre 5 pennarelli di colori diversi (giallo, verde, rosso, blu, viola) in quattro cassetti vuoti numerati da 1 a 4. a. In quanti modi diversi e` possibile farlo (ammettendo anche i casi in cui uno o piu` cassetti rimangano vuoti)? b. In quanti modi diversi e` possibile farlo, se si vuole lasciare il quarto cassetto vuoto? c. In quanti modi diversi e` possibile farlo, se si vogliono lasciare vuoti sia il terzo che il quarto cassetto? d. In quanti modi diversi e` possibile farlo, se si vuole che il terzo o il quarto cassetto non siano vuoti? e. In quanti modi diversi e` possibile farlo, se si vuole che il terzo e il quarto cassetto non siano vuoti? f. In quanti modi diversi e` possibile farlo, se si vuole che nessun cassetto resti vuoto? [a. 45 ¼ 1024; b. 35 ¼ 243; c. 25 ¼ 32; d. 992; e. 570; f. 240] 205 Un’associazione di n persone deve eleggere un comitato direttivo di k persone (k fissato, con k  nÞ, una delle Þ quali fara` le veci di presidente dell’associazione. In quanti modi diversi l’associazione puo` eleggere il comitato direttivo e il presidente? Rispondi a questa domanda determinando nei due modi diversi seguenti il numero delle possibili scelte dell’associazione:

606

Calcolo combinatorio

206 Un’associazione di n persone deve eleggere un comitato direttivo formato da un numero qualunque di persoÞ ne e un presidente del comitato. In quanti modi diversi l’associazione puo` eleggere il comitato direttivo e il presidente? Rispondi a questa domanda determinando in due modi diversi il numero delle possibili scelte dell’associazione: a. supponendo che l’associazione scelga prima il comitato direttivo e poi il comitato direttivo elegga, all’interno di quest’ultimo, il presidente; b. supponendo che l’associazione elegga prima il presidente, poi il presidente scelga gli altri membri del comitato direttivo.     X n Quale identita` puoi dedurre dal confronto dei risultati ottenuti in a. e in b.? n n1 k ; b. n
2 a. k k¼1

Unita` 10

a. supponendo che l’associazione scelga prima il comitato direttivo e poi il comitato direttivo elegga, all’interno di quest’ultimo, il presidente; b. supponendo che l’associazione elegga prima il presedente, poi il presidente scelga gli altri membri del comitato direttivo. Quale identita` puoi dedurre dal confronto dei risultati ottenuti in a. e in b.? Dimostra questa identita` algebrica     mente. n n1 a. k ; b. n k k1

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 207 Þ

Carla si e` dimenticata la password di accesso al suo nuovissimo computer! Si ricorda pero` che e` una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui due sono maiuscole e due sono minuscole. Quante passwords diverse deve provare Carla, al massimo, per accedere al suo computer? A

3
54

B

55

C

6
54

D

56

E

3
56 [C]

(Giochi di Archimede 2009)

208 Dieci amici decidono di giocare una partita di calcetto, cinque contro cinque. Sapendo che vi sono due terne Þ di fratelli e che i tre fratelli Ambrosio desiderano giocare tutti nella squadra A mentre i tre fratelli Bianchi desiderano giocare tutti nella squadra B, in quanti modi si possono formare le due squadre? A

3

B

6

C

15

D

24

E

30 [B]

(Giochi di Archimede 2004) 209 Þ

Un ladro spia Marco mentre chiude la sua valigia con un lucchetto con una combinazione di 3 cifre (ciascuna cifra va da 0 a 9). Non ha potuto vedere la combinazione, ma e` riuscito a capire che due cifre consecutive sono uguali e la terza e` diversa. Qual e` il massimo numero di combinazioni che il ladro dovra` provare per aprire la valigia di Marco? A

180

B

190

C

200

D

210

E

220 [A]

(Giochi di Archimede 2000)

210 Quante parole di quattro lettere (anche prive di senso compiuto) si possono scrivere utilizzando solo le lettere Þ A, B, E, M, O (ammettendo che le lettere possano essere ripetute) in modo che nessuna delle lettere successive a una B (andando da sinistra verso destra) sia una M? (Quindi, per esempio, ABEB deve essere contata ma OBAM no). A

43
5

B

42
52

C

4
53

D

29

E

54 [D]

(Giochi di Archimede 2005)

211 In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare degli incontri di doppio (cioe` due contro due) in tutti i Þ modi possibili. Quanti incontri ci sono nell’intero torneo? A

1680

B

126

(Olimpiadi della Matematica, gara senior, 1993) 212 Þ

C

1260

D

210

E

64 [D]

Solve math in English Farmer John has 5 cows, 4 pigs and 7 horses. How many ways can he pair up the ani-

mals so that every pair consists of animals of different species? Assume that all animals are distinguishable from each other. (Harvard-mit mathematics tournament 2008) [100 800] 607

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

213 Solve math in English How many ways can you mark 8 squares of an 8  8 chessboard so that no two marked Þ squares are in the same row or column, and none of the four corner squares is marked? (rotations and reflections are considered different) [21 600] (Harvard-mit mathematics tournament 2004) 214 Solve math in English A committee of 5 is to be chosen from a group of 9 people. How many ways can it be Þ chosen, if Bill and Karl must serve together or not at all, and Alice and Jane refuse to serve with each other? (Harvard-mit mathematics tournament 2004) [41]

PROVA DI AUTOVERIFICA

Calcolo combinatorio 1 Þ

Vero o falso?   100 a. ¼ 100 99

b. 2 Þ

8! ¼ 2! 4!

V

F

V

F

c. D7,4 ¼ 28     12 12 d. ¼ 7 5 e. 6! : 3! ¼ 5!

V

F

V

F

V

F

    n2 n1 Risolvi l’equazione 3 ¼ . n4 n3

3 Ci sono dieci ambasciatori senza sede e tre posti da coprire: Citta` del Vaticano, Parigi e Vienna. In quanti moÞ di possibili i tre ambasciatori possono essere assegnati? 4 Un professore di storia non chiede le date degli eventi, ma e` molto severo nella richiesta dell’ordine cronoloÞ gico: per ogni domanda elenca cinque fatti e chiede che essi siano ordinati cronologicamente. Quante sono le risposte possibili per ogni domanda? 5 Þ 6 Þ

Quanti numeri di 6 cifre e` possibile costruire, aventi cifre tutte diverse da zero e multiple di 3?

L’insegnante di matematica vuole interrogare tre studenti, tra cui Paolo. Se la classe e` di 24 alunni, quanti sono i possibili gruppi di interrogati? ` essere una delle 21 lettere dell’alfabeto 7 Una password e` costituita da cinque caratteri, ciascuno dei quali puo Þ italiano oppure una delle cifre da 0 (incluso) a 9 (incluso). Quante password diverse si possono formare che iniziano con una vocale e terminano con un numero dispari, aventi caratteri tutti distinti? 8 Ogni colonna della schedina del Totocalcio e` costituita da 13 caselle, ciascuna delle quali deve essere riempita Þ con uno dei tre simboli 1, 2 o X. In quanti modi diversi si puo` riempire una colonna con sei segni 1, quattro segni X e tre segni 2?

` che 9 Un magazzino di una casa editrice ha in giacenza 10 titoli di libri (il numero di copie di ciascuno e` piu Þ sufficiente a far fronte a qualunque richiesta). In quanti modi possibili quel magazzino puo` ricevere un ordine di 15 volumi? 10 Un ristorante offre 5 primi, 7 secondi e 10 tipi di vino. Per un matrimonio si richiedono un tris di primi, 2 seÞ condi e 2 vini. L’antipasto e` a buffet e come dessert c’e` la torta nuziale. In quanti modi diversi si puo` predisporre il menu?

Valutazione Esercizio Punteggio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

0,2
5 ¼ 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 2 h

608

3Risposte in fondo al volume

Calcolo delle probabilita` Unita`

11

1. Introduzione al calcolo delle probabilita` Tema I

Molte situazioni che si presentano usualmente sono caratterizzate dall’incertezza su cio` che accadra` nel futuro. Il calcolo delle probabilita` e` la parte della matematica che si occupa di elaborare dei modelli per descrivere queste situazioni. Oggigiorno le tecniche proprie di questa disciplina, inizialmente nate dallo studio dei giochi d’azzardo, trovano applicazione in svariati settori: fisica, ingegneria, informatica, statistica, controllo della qualita`, gestione della sicurezza delle comunicazioni, affidabilita` dei sistemi ecc. Per addentrarci nello studio di questa nuova parte della matematica cominciamo con l’introdurre il linguaggio da essa adottato.

Esperimento aleatorio, spazio campionario ed eventi Il lancio di una moneta, l’estrazione di un numero al lotto, il lancio di un dado sono esempi di fenomeni il cui esito dipende in modo imprevedibile dal caso: fenomeni di questo tipo, il cui risultato non puo` essere previsto con certezza, vengono detti esperimenti aleatori (o casuali). A proposito degli esperimenti aleatori si introducono le seguenti definizioni. Attenzione!

SPAZIO CAMPIONARIO

Si dice spazio campionario (o spazio dei campioni o spazio degli eventi), e si indica con il simbolo
, l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio.

Nel prosieguo, talvolta parleremo per brevita` di «spazio» intendendo «spazio campionario».

EVENTO

Dato uno spazio campionario
, si chiama evento ogni sottoinsieme di
.

Osserva

Un evento viene solitamente indicato con una lettera maiuscola dell’alfabeto; oltre a essere rappresentato dal sottoinsieme di
che lo individua puo` essere descritto a parole, come messo in evidenza nei seguenti esempi.

Uno spazio campionario puo` essere finito (vedi i primi due esempi in tab. 11.1) o infinito (vedi il terzo esempio in tab. 11.1).

Tabella 11.1 Esperimento aleatorio

Lanciamo un dado regolare a sei facce e osserviamo quale numero esce.

Lanciamo una moneta regolare successivamente per due volte e prendiamo nota, in ciascuno dei due lanci, se esce «testa» (T) o «croce» (C).

Lanciamo una moneta regolare e osserviamo il numero del lancio in cui esce «testa» per la prima volta.

Spazio campionario

I possibili esiti dell’esperimento sono sei: Pertanto lo spazio campionario e` l’insieme:

L’esperimento ha quattro possibili esiti: esce testa entrambe le volte, esce testa la prima volta e croce la seconda, esce croce la prima volta e testa la seconda, esce croce in entrambi i lanci; quindi:

Il risultato di questo esperimento aleatorio puo` essere qualsiasi numero naturale diverso da zero, dunque lo spazio campionario e`:


¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6g


¼ fðT, TÞ, ðT, CÞ, ðC, TÞ, ðC, CÞg


¼ N
f0g

E: «esce un numero pari»

E: «esce ‘testa’ almeno una volta »

E: «esce ‘testa’ per la prima volta dopo il quinto lancio»

Rappresentazione insiemistica:

Rappresentazione insiemistica:

Rappresentazione insiemistica:

E ¼ f2, 4, 6g

E ¼ fðT, T), (T, C), (C, TÞg

E ¼ fx 2
j x > 5g

1, 2, 3, 4, 5, 6

Esempio di evento

609

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Ad alcuni particolari eventi si danno dei nomi specifici:  un evento rappresentato da un sottoinsieme dello spazio campionario costituito da un solo elemento e` detto elementare;  un evento rappresentato dall’intero spazio campionario e` detto evento certo;  un evento rappresentato dall’insieme vuoto e` detto evento impossibile. ESEMPI

Nell’esperimento che consiste nel lancio di un dado: a. l’evento «esce il numero 1» e` elementare, mentre «esce un numero dispari» non lo e`; b. l’evento «esce un numero minore di 7» e` un esempio di evento certo; c. l’evento «esce un numero maggiore di 8» e` un esempio di evento impossibile. Poiche´ abbiamo definito gli eventi come particolari insiemi (sottoinsiemi dello spazio campionario), possiamo definire, mediante le ordinarie operazioni tra insiemi, delle operazioni tra eventi. OPERAZIONI TRA EVENTI

Dati due eventi A e B appartenenti a uno spazio campionario
: a. si definisce evento unione di A e B, e si indica con A [ B, l’evento che si realizza quando si realizzano A o B (o entrambi); b. si definisce evento intersezione di A e B, e si indica con A \ B, l’evento che si realizza quando si realizzano entrambi gli eventi A e B; , l’evento che si realizza c. si definisce evento contrario di A, e si indica con A quando non si realizza A, ossia l’evento rappresentato dal complementare di  ¼

A. A: A ESEMPI

Operazioni tra eventi

Consideriamo l’esperimento che consiste nel lancio di un dado e i due eventi: A: «e` uscito un numero maggiore di 2» B: «e` uscito un numero minore di 4» Esprimiamo sia a parole sia con notazione insiemistica l’evento unione e l’evento intersezione di A e B e gli eventi contrari di A e di B. Lo spazio campionario e` chiaramente
¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6g. a. L’evento unione di A e B e` l’evento «e` uscito un numero maggiore di 2 o minore di 4». Un minimo di riflessione porta a comprendere che tale evento coincide con l’evento certo, vale a dire: A[B¼
b. L’evento intersezione di A e B e` l’evento «e` uscito un numero maggiore di 2 e minore di 4». Un minimo di riflessione porta a comprendere che tale evento coincide con l’evento «e` uscito il numero 3»; pertanto: A \ B ¼ f3g c. L’evento contrario di A e` l’evento «non e` uscito un numero maggiore di 2», vale a dire «e` uscito un numero minore o uguale a 2», quindi:  ¼ f1, 2g A d. L’evento contrario di B e` l’evento «non e` uscito un numero minore di 4», vale a dire «e` uscito un numero maggiore o uguale a 4», quindi: B ¼ f4, 5, 6g Due eventi tali che il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro si dicono incompatibili; tramite il linguaggio degli insiemi la definizione di eventi incompatibili puo` esprimersi rigorosamente come segue. 610

Unita` 11

EVENTI INCOMPATIBILI

Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione e` l’evento impossibile. Controesempi

Nel lancio di un dado, i due eventi «esce il numero 5» ed «esce un numero pari» sono incompatibili.

Nel lancio di un dado, i due eventi «esce un multiplo di 3» ed «esce un numero pari» non sono incompatibili.

Nel lancio successivo di due monete, i due eventi «esce due volte ‘testa’» ed «esce due volte ‘croce’» sono incompatibili.

Nel lancio successivo di due monete, i due eventi «esce almeno una volta ‘testa’» ed «esce almeno una volta ‘croce’» non sono incompatibili.

SINTESI

Calcolo delle probabilita`

Esempi

Il linguaggio in teoria degli insiemi e nel calcolo della probabilita`

Notazione

Teoria degli insiemi

Calcolo della probabilita`




Insieme universo

Spazio campionario

a2


a e` un elemento di


fag e` un evento elementare

A


A e` un sottoinsieme di


A e` un evento

A¼


A e` l’insieme universo

A e` l’evento certo

A¼;

A e` l’insieme vuoto

A e` l’evento impossibile

A

A e` il complementare di A

A e` l’evento contrario di A

X ¼A[B

X e` l’unione di A e B

X e` l’evento «A o B»

X ¼A\B

X e` l’intersezione di A e B

X e` l’evento «A e B»

A\B ¼;

A e B sono disgiunti

A e B sono incompatibili

Il concetto di probabilita` Ognuno di noi possiede un’idea, almeno vaga, del concetto di probabilita`. Intuitivamente, possiamo dire che la probabilita` di un evento E e` un numero che esprime il grado di fiducia attribuito al verificarsi di E. Resta pero` da capire come attribuire a un evento la sua probabilita`, cioe` come determinare il numero che esprime il suddetto «grado di fiducia». Nei casi piu` semplici il modo di attribuire la probabilita` a un evento e` in realta` del tutto naturale e intuitivo. ESEMPIO

Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte; qual e` la probabilita` di ottenere una figura? Sappiamo che in un mazzo di 52 carte ci sono in tutto 12 figure (3 per ogni seme), quindi abbiamo in tutto 12 possibilita` su 52 di estrarre una figura; supponendo che tutte le carte abbiano la stessa possibilita` di essere estratte, siamo portati intuitivamente ad affermare che la probabilita` di estrarre una figu12 3 , cioe` ’ 23%. ra e` uguale a 52 13 I casi concreti, pero`, non sono sempre cosı` facilmente abbordabili. ESEMPI

a. Immagina di essere il titolare di una societa` di assicurazioni. Devi stabilire quanto far pagare il rischio grandine, ai viticoltori che ne chiedono la co-

Ô

611

Tema I

Calcolo combinatorio e probabilita`

Ô

pertura, nella zona di Franciacorta, area del bresciano nota per la qualita` dei vini che vi si producono. Il premio assicurativo annuo dovra` comprendere, ovviamente, i costi di agenzia, le tasse, il profitto della societa`, ma sara` principalmente determinato da un numero: la probabilita` che grandini prima della vendemmia in quella particolare area geografica. Come si puo` calcolare un tale valore di probabilita`? Le previsioni del tempo sono attendibili, in vario grado, per periodi non superiori ai cinque giorni; l’unica possibilita` e` raccogliere i dati storici disponibili, verificare quante volte ha grandinato nel periodo oggetto di osservazione e, ragionevolmente, assumere come probabilita` il rapporto fra il numero degli anni con almeno una grandinata disastrosa e il numero degli anni presi in esame. Certo e` un valore empirico, ma non ci sono altre possibilita` per fare calcoli piu` attendibili, almeno fino a quando la meteorologia non fara` progressi oggi imprevedibili. b. In certe epoche storiche o in certe nazioni si trova una maggiore propensione a scommettere su avvenimenti di ogni tipo, tanto da far diventare nota la figura del bookmaker. Immagina di essere un bookmaker e di avere una proposta di scommessa di questo tipo: «il prossimo papa sara` un cardinale della Chiesa sudamericana». Come puoi valutare la probabilita` dell’evento (senza la cui valutazione non sai quali quote assegnare in caso di vincita)? In questo caso non e` possibile ne´ l’approccio matematico dell’esempio delle carte, ne´ quello statistico dell’esempio precedente. Puoi solo consultare un vero esperto della materia che, in base alle sue informazioni, potra` darti una sua previsione in termini percentuali che, in mancanza d’altro, diventera` la valutazione della probabilita` dell’evento. Riflettiamo sui tre esempi che abbiamo esaminato. 1. Nel primo caso (l’esempio dell’estrazione della carta) abbiamo potuto dare una valutazione della probabilita` dell’evento con strumenti matematici classici. 2. Nel secondo caso (l’esempio dell’assicuratore) non e` possibile l’impostazione con strumenti matematici classici, ma si puo` ricorrere al metodo statistico per dare una valutazione della probabilita` cercata. 3. Nel terzo caso (l’esempio del bookmaker) non e` possibile applicare ne´ il metodo razionale ne´ quello statistico: il grado di fiducia puo` essere assegnato solo con una valutazione che possiamo definire soggettiva (senza dare alcuna connotazione negativa al termine). Per descrivere questi tre tipi di approccio atti a valutare la probabilita` di un evento sono state formulate le seguenti tre definizioni di probabilita`, ciascuna delle quali si adatta rispettivamente ai tre esempi analizzati.

Modi di dire Per riferirsi alla probabilita` di un evento calcolata secondo la definizione classica si parla talvolta di probabilita` teorica o razionale dell’evento.

DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA`

Consideriamo un evento E relativo a uno spazio campionario
in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilita` di verificarsi; supponiamo che l’evento E sia formato da k eventi elementari (brevemente detti «casi favorevoli») e lo spazio campionario
sia formato da n eventi elementari (brevemente detti «casi possibili»). Si definisce probabilita` dell’evento E, e si indica con pðEÞ, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili: k pðEÞ ¼ n

L’aggettivo «classica» e` dovuto al fatto che questa definizione di probabilita` e` la piu` intuitiva e storicamente e` stata la prima a essere data, a opera del matematico francese Laplace. 612

Consideriamo un evento, relativo a un esperimento ripetibile nelle medesime condizioni quante volte si vuole. Si definisce probabilita` dell’evento la sua frequenza relativa, osservata in un numero sufficientemente grande di esperimenti.

La definizione frequentista data qui a fianco e` in realta` una versione «semplificata» della definizione introdotta da Richard von Mises nel 1928, che qui non abbiamo potuto proporre perche´ non abbiamo ancora studiato il concetto di limite (che vedrai nel proseguimento dei tuoi studi).

DEFINIZIONE SOGGETTIVA DI PROBABILITA`

Dato un evento E, si chiama probabilita` di E un numero compreso tra 0 e 1, che un individuo assegna a E come misura del grado di fiducia che egli ripone nel verificarsi di E. La probabilita` che l’individuo assegna a E puo` pensarsi come il prezzo p che e` disposto a pagare per ricevere l’importo 1 se l’evento E si verifica e l’importo 0 se l’evento E non si verifica.

Calcolo delle probabilita`

Per la precisione

Unita` 11

DEFINIZIONE FREQUENTISTA DI PROBABILITA`

Ciascuna di queste tre definizioni presenta pero` degli inconvenienti. 1. La definizione classica richiede che lo spazio degli eventi sia finito e che tutti gli eventi siano equiprobabili, il che porta a una notevole restrizione delle situazioni cui e` applicabile; inoltre parlare di eventi equiprobabili nella definizione stessa di probabilita` genera una circolarita` nella definizione che pone problemi logici. 2. La definizione frequentista richiede la ripetibilita` di un esperimento nelle stesse condizioni un gran numero di volte: ma cio` non sempre e` possibile (pensa per esempio a una partita di calcio); inoltre non e` precisato esattamente quante volte deve essere ripetuto l’esperimento per avere una valutazione attendibile della probabilita`, quindi la valutazione potra` differire in relazione al numero di esperimenti che vengono effettuati. 3. La definizione soggettiva e` stata criticata proprio per la soggettivita` insita in essa e per l’arbitrarieta` che lascia nel tradurre il «grado di fiducia» in un valore numerico. Queste considerazioni fanno emergere chiaramente che il problema di formulare una definizione unificante di probabilita` di un evento, che indichi esplicitamente come calcolarla e che possa adattarsi a tutte le variegate situazioni in cui interviene il concetto di probabilita`, appare di difficile soluzione. Le difficolta` sono insite nella questione e sono testimoniate, anche storicamente, dal fatto che il problema ha occupato a lungo i matematici ed e` stato risolto solo in tempi relativamente recenti, nel 1933, dal matematico russo Kolmogorov. Ma qual e` stata la chiave che ha consentito di superare le difficolta`? L’idea vincente di Kolmogorov e` stata quella di affrontare il calcolo della probabilita` secondo un approccio assiomatico che, come la geometria euclidea, si sviluppa a partire da un esiguo numero di assiomi. In questa impostazione il concetto di probabilita` diventa un concetto primitivo (come punto, retta, piano in geometria), che non viene definito esplicitamente, ma che e` implicitamente descritto dagli assiomi assunti a fondamento della teoria stessa. L’impostazione assiomatica permette cioe` a Kolmogorov di non esplicitare esattamente come valutare la probabilita` (lasciando quindi la liberta` di seguire l’approccio piu` adatto al caso in esame), ma di limitarsi solo a indicare quali sono le regole formali che una misura di probabilita` deve soddisfare per poter essere dichiarata tale. Queste regole, assunte appunto come assiomi, sono quelle caratteristiche che intuitivamente siamo portati ad attribuire a una misura di probabilita` di un evento:  la probabilita` di un evento deve essere un numero compreso tra 0 e 1;  la probabilita` dell’evento certo deve essere la massima possibile, cioe` 1;  la probabilita` dell’unione di due eventi incompatibili deve essere la somma delle probabilita` dei due singoli eventi. 613

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

ASSIOMA 11.1

Dato uno spazio campionario
, la probabilita` pðAÞ di un evento A di
e` un numero reale tale che: a. 0  pðAÞ  1; b. se A ¼
, allora pðAÞ ¼ 1. ASSIOMA 11.2 Osserva Dall’assioma 11.2 segue in particolare che la probabilita` di un evento e` la somma delle probabilita` degli eventi elementari da cui e` composto. Tenendo conto di questa osservazione e del fatto che pð
Þ ¼ 1, si deduce che la somma delle probabilita` di tutti gli eventi elementari che compongono
deve sempre essere uguale a 1.

Se A e B sono due eventi incompatibili, allora pðA [ B Þ ¼ pðAÞ þ pðBÞ.

Da qui in avanti, per fondare il calcolo della probabilita` su basi rigorose, assumeremo anche noi questi assiomi. Quando dovremo attribuire una probabilita` nei singoli casi concreti, cioe` stabilire il valore numerico che la esprime, saremo liberi di seguire l’approccio che riterremo piu` consono al caso in esame (classico, frequentista o soggettivo), con l’unico vincolo di rispettare sempre gli assiomi 11.1 e 11.2.

La legge dei grandi numeri Mediante l’approccio assiomatico e` possibile dimostrare un importante teorema che getta un ponte tra la definizione classica e la definizione frequentista, noto come «legge dei grandi numeri». In una sua formulazione discorsiva, questo teorema esprime quanto segue.

TEOREMA 11.1

Legge dei grandi numeri

Supponiamo che a un dato evento sia attribuibile una probabilita` sia secondo la definizione classica, sia secondo quella frequentista. Allora, in una serie di prove ripetute, l’evento si manifesta con una frequenza relativa che tende, al crescere del numero delle prove, a coincidere con il valore teorico della sua probabilita`.

Questo teorema e` alla base di un importante metodo per valutare la probabilita` di un evento, utilizzato in tutti i casi in cui l’approccio puramente matematico non e` conosciuto o risulta troppo complesso, il cosiddetto metodo Monte Carlo: esso consiste sostanzialmente nell’eseguire al computer un gran numero di simulazioni del fenomeno in esame e calcolare la frequenza relativa dell’evento di cui si vuole calcolare la probabilita`: in forza della legge dei grandi numeri, all’aumentare del numero di simulazioni si ottengono approssimazioni sempre migliori della probabilita` cercata. Vedremo alcuni semplici esempi di applicazione di questo metodo nelle schede di Laboratorio di informatica.

Prova tu

ESERCIZI a p. 631

1. Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori descrivi lo spazio campionario e fornisci un esempio di evento elementare, un esempio di evento non elementare, un esempio di evento impossibile, un esempio di evento certo: a. vengono estratte successivamente due palline da un’urna che ne contiene tre (una rossa, una gialla e una nera), senza rimettere la prima pallina estratta nell’urna, e viene annotato il colore delle due palline estratte; b. viene estratto un numero al lotto e viene annotato il numero estratto; c. viene misurato il tempo di vita (in giorni) di un pneumatico. 2. Quale definizione di probabilita` (classica, frequentista o soggettiva) ti sembra piu` adatta per valutare le probabilita` nelle seguenti situazioni? a. Calcolare la probabilita` che in una partita di calcio del campionato di serie A vinca una data squadra. b. Calcolare la probabilita` di vincere al superenalotto. c. Calcolare la probabilita` che un proprietario di automobile che vive in Toscana subisca un furto d’auto.

614

Unita` 11

2. Valutazione della probabilita` secondo la definizione classica

Calcolo delle probabilita`

Abbiamo gia` visto nel paragrafo precedente che, nel caso di uno spazio campionario finito, in cui tutti gli eventi elementari sono equiprobabili, per determinare la probabilita` di un evento e` intuitivo applicare la definizione «classica». In questo paragrafo: 1. faremo vedere che in uno spazio equiprobabile finito la definizione classica di probabilita` non e` solo quella piu` intuitiva, ma e` anche l’unico modo possibile per attribuire agli eventi una probabilita` che soddisfi gli assiomi introdotti; 2. discuteremo l’importanza di valutare con attenzione l’ipotesi di equiprobabilita`; 3. ci soffermeremo sulle tecniche di base per calcolare la probabilita` secondo la definizione classica.

Deduzione della definizione classica dagli assiomi Consideriamo un esperimento aleatorio che abbia come spazio campionario un insieme finito, diciamo:
¼ fe1 , e2 , :::, en g in cui tutti gli eventi elementari fe1 g, fe2 g, :::, fen g abbiano la stessa probabilita` di realizzarsi. Vogliamo assegnare una probabilita` agli eventi elementari che soddisfi gli assiomi 11.1 e 11.2; come possiamo procedere? Dal momento che tutti gli n eventi elementari che formano
devono avere la stessa probabilita` di realizzarsi e che la somma delle probabilita` di tutti questi eventi deve essere 1 (per gli assiomi 11.1 e 11.2), dobbiamo necessariamente attribuire a ciascun evento elementare una probabilita` uguale a: 1 n Se poi consideriamo un evento qualsiasi E 
, formato da m eventi elementari, allora, per l’assioma 11.2, dovra` essere: pðEÞ ¼

1 1 1 m þ ::: þ ¼ m  ¼ n n n n m volte

Abbiamo dunque ritrovato la definizione classica: pðEÞ ¼

numero degli elementi di E numero di casi favorevoli ¼ numero degli elementi di
numero di casi possibili

Dunque in uno spazio equiprobabile finito la definizione classica di probabilita` non e` solo quella che ci suggerisce naturalmente l’intuizione, ma e` anche l’unico modo possibile per attribuire agli eventi una probabilita` che soddisfi gli assiomi introdotti.

Modi di dire Uno spazio equiprobabile finito viene anche chiamato spazio di probabilita` uniforme.

L’ipotesi di equiprobabilita` Per indicare che in un dato problema si sta supponendo l’ipotesi di equiprobabilita` degli esiti dell’esperimento si usa di solito l’espressione «a caso» (per esempio: si estrae a caso una pallina da un’urna); inoltre, nei comuni giochi di estrazione di biglie e di lanci di monete o dadi, si specifica che i dadi o le monete si suppongono regolari (ossia non truccati) e che le palline estratte sono indistinguibili al tatto. Anche se queste parole «spia» devono subito farci pensare all’ipotesi di equiprobabilita`, occorre non dimenticarsi mai di valutare con attenzione se tale ipotesi e` effettivamente verificata in relazione allo spazio campionario scelto, cioe` se tutti gli eventi elementari sono effettivamente equiprobabili. Assumere indebitamente l’equiprobabilita` degli eventi elementari e` una delle piu` frequenti cause di errore. 615

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

ESEMPIO

Importanza dell’ipotesi di equiprobabilita`

Barbara sostiene che, lanciando due monete, la probabilita` che escano 2 «testa» e` 1 , in base al seguente ragionamento: ci sono tre casi possibili (escono 0 «testa» 3 oppure esce 1 «testa» oppure escono 2 «testa») e di questi tre casi uno solo e` quello favorevole (l’uscita di 2 «testa»). Quale errore sta commettendo Barbara? Barbara ha assunto come spazio campionario dell’esperimento l’insieme:
¼ f0, 1, 2g

[11.1]

costituito da tutti i possibili numeri di «testa» che possono uscire, quindi ha calcolato la probabilita` dell’evento richiesto secondo la definizione classica. Ma per poter applicare la definizione classica gli eventi elementari dello spazio campionario devono essere tutti equiprobabili, mentre in questo caso non lo sono! Infatti, immaginiamo per aiutare la nostra intuizione che le due monete siano di due colori diversi, per esempio una bianca e una nera: allora l’evento «esce 1 ‘testa’» puo` realizzarsi in due modi diversi (quando esce «testa» sulla moneta bianca e «croce» su quella nera oppure quando esce «testa» sulla moneta nera e «croce» su quella bianca), quindi ha una maggiore probabilita` di realizzarsi rispetto ai due eventi «escono 0 ‘testa’» ed «escono 2 ‘testa’» (ciascuno dei quali puo` realizzarsi in un solo modo). L’errore di Barbara e` stato quindi quello di non rendersi conto che, assunto come spazio campionario l’insieme [11.1], gli eventi elementari non sono equiprobabili, percio` la definizione classica non e` applicabile. Per procedere correttamente occorre assumere come spazio campionario:
¼ fðT, TÞ, ðT, CÞ, ðC, TÞ, ðC, CÞg Cosı` facendo gli eventi elementari sono equiprobabili e la definizione classica e` 1 applicabile; si conclude cosı` che la probabilita` che escano 2 «testa» e` . 4 Come e` emerso dall’esempio precedente, nella risoluzione di un problema di calcolo della probabilita` occorre prestare particolare attenzione nella scelta dello spazio campionario: se e` possibile, per evitare errori e facilitare i calcoli, conviene sempre scegliere spazi campionari i cui eventi elementari risultano equiprobabili.

Alcuni esempi di calcolo della probabilita` in spazi equiprobabili finiti La definizione «classica» traduce sostanzialmente problemi di probabilita` in problemi di conteggio: per determinare la probabilita` di un evento E dobbiamo calcolare il numero degli elementi di E, il numero degli elementi dello spazio campionario
e infine costruirne il rapporto. Per eseguire questi conteggi, almeno nei casi piu` semplici, puo` essere utile ricorrere a rappresentazioni tramite diagrammi ad albero o tabelle a doppia entrata. ESEMPIO

Utilizzo di un diagramma ad albero

Lanciamo una moneta regolare, successivamente, per tre volte. Determiniamo la probabilita` che esca «testa» esattamente due volte.  Analisi preliminare Lo spazio campionario e` chiaramente finito e l’ipotesi che la moneta sia regolare ci consente di affermare che siamo in una situazione in cui tutti gli esiti sono equiprobabili; possiamo quindi valutare la probabilita` richiesta come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. 616

Unita` 11

 Calcolo della probabilita` Per individuare tutti i casi possibili possiamo utilizzare il seguente diagramma ad albero: 2° lancio

Calcolo delle probabilita`

1° lancio

3° lancio

T

T

TTT

C

T TC

T

TC T

C

TCC

T

CTT

C

C TC

T

CC T

C

CCC

T C

T C C

Ne deduciamo che ci sono complessivamente 8 casi possibili, di cui 3 (colorati in rosso) favorevoli alla realizzazione dell’evento «esce ‘testa’ esattamente due volte». 3 La probabilita` di tale evento e` quindi . 8 ESEMPIO

Utilizzo di una tabella a doppia entrata

Lanciamo due dadi regolari, uno rosso e uno blu, ciascuno con le facce numerate da 1 a 6. Determiniamo la probabilita` che la somma dei due numeri ottenuti sia maggiore di 8.  Analisi preliminare e scelta dello spazio campionario Ecco un altro problema in cui occorre prestare particolare attenzione all’ipotesi di equiprobabilita`! Lanciando due dadi, la somma dei due numeri ottenuti puo` essere: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Si potrebbe quindi essere tentati di scegliere come spazio campionario l’insieme:
¼ f2; 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12g

[11.2]

quindi osservare che gli esiti favorevoli sono quattro (9, 10, 11, 12), quelli possibili in tutto 11 (gli elementi di
Þ, e concludere che la probabilita` richie4 sta e` . 11 Questa soluzione pero` e` errata; infatti gli eventi elementari dello spazio campionario [11.2] non sono tutti equiprobabili. Per esempio, la probabilita` di ottenere il numero 2 (che puo` ottenersi solo dall’uscita del numero 1 su entrambi i dadi) deve chiaramente essere inferiore alla probabilita` di ottenere il numero 6 (che puo` ottenersi in tanti modi diversi: sia dall’uscita di 1 e 5, sia dall’uscita di 2 e 4, sia dall’uscita di due 3). Per avere l’equiprobabilita` degli eventi elementari conviene scegliere come spazio campionario semplicemente l’insieme che rappresenta tutti i possibili esiti dei due lanci (senza considerare momentaneamente la somma dei numeri ottenuti); lo spazio campionario sara` quindi l’insieme:
0 ¼ fð1,1Þ,ð1,2Þ,ð1,3Þ,ð1,4Þ,ð1,5Þ,ð1,6Þ,ð2,1Þ,ð2,2Þ,ð2,3Þ,:::,ð6,4Þ,ð6,5Þ,ð6,6Þg e i suoi eventi elementari, essendo i dadi regolari, si possono considerare tutti equiprobabili. L’insieme
0 non e` altro che il prodotto cartesiano dell’insieme f1, 2, 3, 4, 5, 6g per se stesso, quindi j
0 j ¼ 36, ovvero ci sono in totale 36 casi possibili.

Ô

617

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Ô

 Calcolo dei casi favorevoli Possiamo rappresentare tutte le possibili somme ottenute dai numeri usciti nel lancio dei due dadi nella seguente tabella. Per esempio, la casella all’incrocio della seconda riga e della seconda colonna rappresenta la somma ottenuta in seguito all’uscita dei due numeri 1 e 1, quindi in corrispondenza di tale casella abbiamo scritto il numero 2 ¼ 1 þ 1. Dado rosso 1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Dado blu

In tabella abbiamo indicato in grassetto i casi in cui la somma dei numeri ottenuti e` maggiore di 8: deduciamo che abbiamo in tutto 10 casi favorevoli.  Conclusione Poiche´ ci sono 36 casi possibili e 10 favorevoli, la probabilita` richiesta e` ugua10 5 ¼ . le a 36 18 Esclusi casi particolarmente semplici, come quelli esaminati negli ultimi due esempi, per calcolare il numero dei casi favorevoli e di quelli possibili e` necessario fare ricorso alle regole del calcolo combinatorio, che abbiamo introdotto nell’unita` precedente. ESEMPIO

Calcolo di una probabilita` utilizzando il principio fondamentale del calcolo combinatorio

Un’urna contiene 10 palline, numerate da 1 a 10. Estraiamo a caso successivamente tre palline, rimettendo nell’urna, dopo ciascuna estrazione, la pallina estratta. Qual e` la probabilita` che la prima e la terza pallina estratta abbiano numeri pari?  Analisi preliminare Lo spazio campionario e` l’insieme delle terne ordinate ða; b; cÞ, dove a, b e c sono numeri naturali compresi tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Dal momento che le palline vengono estratte a caso, e` lecito supporre che ogni pallina abbia la stessa probabilita` di essere estratta, quindi che gli eventi elementari dello spazio campionario sono equiprobabili. Possiamo quindi calcolare la probabilita` richiesta come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili. Per calcolare correttamente il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili e` utile fare riferimento al principio fondamentale del calcolo combinatorio.  Calcolo dei casi possibili Quanti elementi contiene lo spazio campionario, ovvero quanti sono i casi possibili? Poiche´ dopo ogni estrazione si rimette la pallina nell’urna, in ciascuna delle tre estrazioni abbiamo 10 possibili scelte, quindi complessivamente possiamo estrarre le tre palline in: 10  10  10 modi diversi. 618

Unita` 11

 Calcolo dei casi favorevoli

Calcolo delle probabilita`

I casi «favorevoli» sono quelli in cui, nella prima e nella terza estrazione, si estrae una pallina di numero pari. Essi sono rappresentati dalle terne ordinate ða; b; cÞ dello spazio campionario in cui a e c sono numeri pari. Quante sono queste terne, ovvero quanti sono i casi favorevoli? Osserviamo che:  il numero a puo` essere scelto in 5 modi diversi (i numeri pari compresi tra 1 e 10 sono infatti 2, 4, 6, 8, 10);  il numero b puo` essere scelto in 10 modi (non abbiamo nessun vincolo, percio` possiamo scegliere qualsiasi numero tra 1 e 10);  il numero c puo` essere scelto (analogamente alla scelta di aÞ in 5 modi diversi. Quindi complessivamente ci sono 5  10  5 casi favorevoli.  Conclusione La probabilita` richiesta e` uguale a:

5  10  5 1 ¼ . 10  10  10 4

Prova tu

ESERCIZI a p. 633
 1 9

1. Se si sceglie a caso un numero di due cifre, qual e` la probabilita` che sia un multiplo di 9?

2. Due sacchetti contengono ciascuno 4 biglie numerate da 1 a 4. Si estraggono a caso una biglia dal primo sacchetto e
 una biglia dal secondo. Qual e` la probabilita` che la somma dei due numeri sulle due biglie estratte sia uguale a 6? 3 16 3. Un’urna contiene tre palline: una bianca, una nera e una rossa. Si estrae a caso una pallina dall’urna e se ne annota il colore. Dopo avere rimesso la pallina estratta nell’urna, si estrae una seconda pallina. Qual e` la probabilita` che del
 le due palline estratte almeno una sia rossa? 5 9 4. Devi inventare una password costituita da 5 caratteri che possono essere cifre (0, 1, . . ., 9) o lettere minuscole dell’alfabeto italiano, composto da 5 vocali e 16 consonanti. Cifre e lettere possono essere ripetuti. Se digiti una password a caso, qual e` la probabilita` che essa abbia come primi due caratteri delle lettere e come ultimi tre delle cifre?
2  21  103 ’ 1,54% 315

3. I primi teoremi sul calcolo delle probabilita` In questo paragrafo dimostreremo i primi teoremi sul calcolo della probabilita`. La dimostrazione di questi teoremi si fonda solo sugli assiomi introdotti nel Paragrafo 1, percio` tutti i teoremi sono applicabili, indipendentemente dall’approccio (classico, frequentista, soggettivo...) utilizzato per valutare la probabilita` dei singoli eventi. ` dell’evento contrario Probabilita

TEOREMA 11.2

Se A e` un evento e A e` il suo evento contrario, allora: pðAÞ ¼ 1
pðAÞ

[11.3] Ω

DIMOSTRAZIONE

Sia
lo spazio campionario cui appartiene l’evento A. Poiche´ A [ A ¼
, dall’assioma 11.2 segue che: pðAÞ þ pðAÞ ¼ pð
Þ

[11.4]

La probabilita` al secondo membro della [11.4] deve essere 1 per l’assioma 11.1, quindi:

A A

pðAÞ þ pðAÞ ¼ 1 da cui possiamo ricavare che pðAÞ ¼ 1
pðAÞ. 619

C O R O L L AR I O 1 1 .1

La probabilita` dell’evento impossibile e` zero: pðxÞ ¼ 0 ESEMPIO

Un individuo su 10000 e` allergico a un certo vaccino. Qual e` la probabilita` di assumere quel vaccino senza manifestare fenomeni di allergia? 1 ; la probabilita` di non pre10000 1 9999 sentare problemi dopo la somministrazione e` 1
¼ ¼ 99;99%. 10000 10000

La probabilita` di essere allergici al vaccino e`

Tema I

Calcolo combinatorio e probabilita`

Ponendo A ¼
nella [11.3] si ottiene immediatamente il seguente corollario.

Per calcolare la probabilita` di un dato evento E, in certi casi e` piu` facile calcolare la probabilita` dell’evento contrario E e poi risalire alla probabilita` di E tramite la [11.3]. Attenzione! In generale, in molti problemi di calcolo della probabilita` in cui compare la parola «almeno» e` conveniente passare all’evento contrario. Ogni qualvolta in un problema compare questa parola, quindi, chiediti se puo` essere utile seguire questa via.

Passaggio all’evento contrario

ESEMPIO

Si lancia successivamente per 6 volte una moneta non truccata; qual e` la probabilita` che esca «testa» almeno una volta?  Analisi preliminare Indichiamo con E l’evento: «esce ‘testa’ almeno una volta». Esso equivale a: «esce ‘testa’ esattamente una volta o esattamente due volte o esattamente tre volte o esattamente quattro volte o esattamente cinque volte o esattamente sei volte». Calcolare la probabilita` dell’evento E seguendo questa via e` possibile ma sarebbe laborioso: dovremmo calcolare la probabilita` di tutti gli eventi in cui abbiamo scomposto E, ossia «esce ‘testa’ esattamente una volta», «esce ‘testa’ esattamente due volte» ecc., quindi, dato che tali eventi sono incompatibili, sommare le loro probabilita`. Il problema si risolve molto piu` agevolmente se si considera l’evento contrario E: «non esce mai ‘testa’» e poi si deduce, mediante la [11.3], la probabilita` di E.  Calcolo Poiche´ la moneta non e` truccata, possiamo supporre che tutti gli esiti siano equiprobabili e dunque calcolare la probabilita` dell’evento E secondo la definizione classica: – ci sono 26 casi possibili: infatti effettuiamo 6 lanci e per ogni lancio ci sono 2 possibili esiti (T o C), quindi, per il principio fondamentale del calcolo combinatorio, i casi possibili sono complessivamente: 2  2  2  2  2  2 ¼ 26 – c’e` 1 solo caso favorevole: quello in cui esce «croce» in tutti i sei lanci. Concludiamo che: pðEÞ ¼

1 1 ¼ 26 64

quindi, per la [11.3]: 1 63 ¼ pðEÞ ¼ 1
pðEÞ ¼ 1
64 64 620

TEOREMA 11.3

Siano A e B due eventi tali che A  B. Allora risulta: pðB
AÞ ¼ pðBÞ
pðAÞ

Calcolo delle probabilita`

DIMOSTRAZIONE

B

Osserviamo (fig. 11.1) che:

B–A

B ¼ A [ ðB
AÞ A

Poiche´ B
A e A sono disgiunti, per l’assioma 11.2:

Unita` 11

` della differenza di due eventi Probabilita

pðBÞ ¼ pðAÞ þ pðB
AÞ da cui ricaviamo: pðB
AÞ ¼ pðBÞ
pðAÞ

Figura 11.1

` dell’unione di due e venti Probabilita

TEOREMA 11.4

Siano A e B due eventi; allora risulta: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ
pðA \ BÞ

[11.5]

DIMOSTRAZIONE

A

Osserviamo (fig. 11.2) che:

B

A [ B ¼ A [ ðB
ðA \ BÞÞ A∩B

B – (A ∩ B) Figura 11.2

Per l’assioma 11.2: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðB
ðA \ BÞÞ

[11.6]

Ma A \ B  B, quindi per il teorema 11.3: pðB
ðA \ BÞÞ ¼ pðBÞ
pðA \ BÞ

[11.7]

Sostituendo la [11.7] nella [11.6], si ottiene la tesi.

ESEMPIO

Probabilita` dell’unione di due eventi

Si sceglie a caso un numero appartenente all’insieme X = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12g. Qual e` la probabilita` che esso sia divisibile per 2 o per 3? Sia A l’evento: «il numero estratto e` divisibile per 2» e B l’evento: «il numero estratto e` divisibile per 3». Dobbiamo calcolare la probabilita` dell’evento A [ B. Al fine di applicare la formula [11.5], calcoliamo preliminarmente le probabilita` dei tre eventi: A, B e A \ B. Abbiamo: pðAÞ ¼

6 12

I numeri pari contenuti in X sono sei

pðBÞ ¼

4 12

I numeri divisibili per 3 contenuti in X sono: 3, 6, 9, 12

pðA \ BÞ ¼

2 12

I numeri divisibili per 2 e per 3, cioe` per 6, contenuti in X sono 6 e 12

Concludiamo che: pðA [ BÞ ¼

6 4 2 2 þ
¼ 12 12 12 3 621

Calcolo combinatorio e probabilita`

Indipendenza Intuitivamente, due eventi A e B si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno dei due non altera la probabilita` dell’altro. Si dimostra (lo vedremo nel prossimo volume) che vale la seguente regola: REGOLA DEL PRODOTTO

Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se pðA \ BÞ ¼ pðAÞpðBÞ

La proprieta` di indipendenza di alcuni eventi viene spesso assunta come ipotesi e utilizzata per il calcolo della probabilita` di altri eventi. ESEMPIO

Regola del prodotto

Tema I

Lanciamo per due volte un comune dado regolare a sei facce; qual e` la probabilita` di ottenere in entrambi i lanci un multiplo di 3? Chiaramente l’esito del primo lancio non influenza quello del secondo. Possiamo dunque assumere che i due eventi A: «nel primo lancio ho ottenuto un multiplo di 3» e B: «nel secondo lancio ho ottenuto un multiplo di 3» sono indipendenti. In base alla regola del prodotto la probabilita` dell’evento cercato, cioe` di A \ B, e` uguale a: pðAÞpðBÞ ¼

1 1 1  ¼ 3 3 9

L’evento A si realizza quando esce 3 o 6, dunque ha probabilita` 2 1 ¼ . Analogamente per l’evento B. 6 3

Prova tu

ESERCIZI a p. 640

1. Si lanciano due dadi non truccati. Determina la probabilita` che la somma dei numeri ottenuti sia diversa da 7.


 5 6

2. Nel gioco del lotto vengono estratti dei bussolotti da un’urna che ne contiene 90 e ogni bussolotto contiene all’interno un numero che va da 1 a 90. Considera l’estrazione del primo bussolotto e determina la probabilita` di
 estrarre un multiplo di 6 o di 8. 23 90

4. Variabili aleatorie e distribuzioni discrete Un nuovo concetto di variabile Nell’ambito del calcolo della probabilita` si introduce un nuovo concetto di «variabile», quello di variabile aleatoria, che e` fondamentale in svariate applicazioni. Consideriamo per esempio l’esperimento che consiste nel lancio di due dadi regolari, e indichiamo con X la somma dei due numeri ottenuti. La lettera X rappresenta una variabile, che puo` assumere i valori: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Osserva Le variabili aleatorie si indicano di solito con lettere maiuscole dell’alfabeto.

622

Essa e` l’esempio di una variabile aleatoria. Intuitivamente, una variabile aleatoria e` una variabile i cui valori sono numeri reali determinati dall’esito di un esperimento aleatorio. Per esempio, sono variabili aleatorie:  T che rappresenta il numero di «testa» uscite nel lancio di 100 monete;  H che rappresenta l’altezza di una persona scelta a caso nella popolazione;  N che rappresenta il numero di autovetture che giungono in un giorno a un casello autostradale.

Unita` 11

Una variabile aleatoria, tuttavia, si puo` anche interpretare come funzione; per esempio, riconsideriamo la variabile aleatoria X «somma dei due numeri ottenuti nel lancio di due dadi»: essa si puo` interpretare come la funzione che associa a ogni possibile esito del lancio la somma dei due numeri ottenuti. Questa osservazione consente di dare una definizione piu` formale di variabile aleatoria.

Calcolo delle probabilita`

VARIABILE ALEATORIA

Si chiama variabile aleatoria (o variabile casuale) una funzione che associa a ogni possibile esito di un esperimento aleatorio un numero reale.

Se
e` lo spazio campionario di un esperimento aleatorio e X e` una variabile aleatoria relativa all’esperimento, in base alla definizione data risulta X :
! R. ESEMPIO

La variabile aleatoria come funzione

Consideriamo l’esperimento che consiste nel lancio di 3 monete equilibrate, e indichiamo con X il numero di «testa» che si ottiene. Rappresentiamo la variabile aleatoria X, intesa come funzione. In base a quanto abbiamo detto poc’anzi, X non e` altro che la funzione che associa a ogni possibile esito del lancio delle tre monete il numero complessivo di «testa» ottenuto. Lo spazio campionario
e` l’insieme:
¼ fTTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCCg e i valori che puo` assumere la variabile aleatoria sono 0, 1, 2, 3. Quindi: X :
! f0, 1, 2, 3g La funzione X puo` essere rappresentata tramite il diagramma a frecce in fig. 11.3.

Ω

R TTT TTC TCT

0

T CC

1

CTT

2

CTC

3

CC T CCC Figura 11.3

Una variabile aleatoria X che assume un numero finito n di valori si dice discreta. L’evento: «X assume il valore xi » (dove i e` un intero qualsiasi compreso tra 1 e nÞ si rappresenta con il simbolo X ¼ xi . Possiamo anche calcolare la probabilita` dell’evento X ¼ xi : essa e` uguale alla somma delle probabilita` degli eventi elementari la cui immagine tramite X e` uguale a xi . ESEMPIO

Consideriamo la variabile aleatoria X che esprime il numero di «testa» uscite nel lancio di tre monete equilibrate. Determiniamo la probabilita` degli eventi:

Per la precisione Si chiamano discrete anche le variabili aleatorie che assumono una infinita` numerabile di valori, cioe` tali che l’insieme dei valori assunti dalla variabile puo` essere messo in corrispondenza biunivoca con N. Non ci occuperemo tuttavia di variabili aleatorie di questo tipo.

X ¼ 0, X ¼ 1, X ¼ 2 e X ¼ 3 Si tratta della variabile aleatoria che abbiamo rappresentato in fig. 11.3. Osserviamo che:  la probabilita` che sia X ¼ 0 e` uguale alla probabilita` dell’evento elementare 1 CCC, quindi vale ; 8  la probabilita` che sia X ¼ 1 e` la somma delle probabilita` dei tre eventi ele3 mentari TCC, CTC, CCT, quindi e` uguale a ; 8  la probabilita` che sia X ¼ 2 e` la somma delle probabilita` dei tre eventi ele3 mentari TTC, TCT, CTT, quindi e` uguale a ; 8

Ô

623

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Ô

 la probabilita` che sia X ¼ 3 e` uguale alla probabilita` dell’evento elementare TTT, quindi vale

1 . 8

Formalmente scriviamo: pðX ¼ 0Þ ¼

1 8

pðX ¼ 1Þ ¼

3 8

pðX ¼ 2Þ ¼

3 8

pðX ¼ 3Þ ¼

1 8

Distribuzioni di probabilita` Supponendo ancora che X sia una variabile aleatoria discreta che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , possiamo associare a ciascuno degli eventi X ¼ x1 , X ¼ x2 , ..., X ¼ xn la rispettiva probabilita`: si definisce cosı` una funzione, cui si da` un nome particolare. DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA` DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA

Sia X una variabile aleatoria che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , con probabilita` rispettive p1 , p2 , ..., pn ; si chiama distribuzione di probabilita` (o densita`) della variabile aleatoria X la funzione che associa a ciascun xi la rispettiva probabilita` pi .

La distribuzione di probabilita` di una variabile aleatoria discreta si rappresenta tramite una tabella del tipo mostrato qui sotto. xi

x1

x2

. . .. . .

xn

pðX ¼ xi Þ

p1

p2

. . .. . .

pn

Poiche´ gli eventi X ¼ x1 , X ¼ x2 , ..., X ¼ xn sono disgiunti e la loro unione e`
, ne segue che e` sempre p1 þ p2 þ ::: þ pn ¼ 1. ESEMPIO

Distribuzione di probabilita` di una variabile aleatoria discreta

Determiniamo la distribuzione di probabilita` della variabile aleatoria X che esprime il numero di «testa» uscite nel lancio di tre monete equilibrate. Si tratta ancora della variabile aleatoria che abbiamo rappresentato in fig. 11.3. Ricordiamo che X puo` assumere i valori: 0, 1, 2, 3. Nell’ultimo esempio abbiamo ricavato che le probabilita` degli eventi: X¼0

X¼1

X¼2

X¼3

1 3 3 1 , , . Pertanto la distribuzione di probabilita` sono rispettivamente: , 8 8 8 8 di X e`: xi

0

1

2

3

pðX ¼ xi Þ

1 8

3 8

3 8

1 8

Puoi verificare che:

624

1 3 3 1 þ þ þ ¼ 1. 8 8 8 8

Avrai notato la similitudine fra il concetto di distribuzione di probabilita` e quello di distribuzione di frequenze relative studiato in statistica. La similitudine continua anche nella definizione dei concetti di media, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria discreta.

Sia X una variabile aleatoria discreta che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , con probabilita` rispettive p1 , p2 , ..., pn .

1. Il simbolo standard EðXÞ utilizzato per indicare la media di una variabile aleatoria X deriva dall’inglese Expectation, che significa «valore atteso». 2. Continuano a valere, per la media di una variabile aleatoria, proprieta` analoghe a quelle viste per la media in statistica. In particolare, il valore medio di una variabile aleatoria e` lineare, vale a dire: se a e b 2 R, e X e` una variabile aleatoria, risulta: EðaX þ bÞ ¼ aEðXÞ þ b.

a. Si chiama media (o valore atteso o speranza matematica) della variabile aleatoria X, e si indica con il simbolo EðXÞ o con la lettera
, il numero:
¼ EðXÞ ¼ x1 p1 þ x2 p2 þ ::: þ xn pn b. Si definisce varianza di X, e si indica con il simbolo VðXÞ o con il simbolo 2 , il numero cosı` definito: 2 ¼ VðXÞ ¼ ½x1
EðXÞ2  p1 þ ½x2
EðXÞ2  p2 þ ::: þ ½xn
EðXÞ2  pn c. Si definisce deviazione standard (o scarto quadratico medio) di X, e si indica con il simbolo sðXÞ (o con la lettera ) la radice quadrata della sua varianza.

Calcolo delle probabilita`

Osserva

Unita` 11

MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA

Intuitivamente, la media di una variabile aleatoria fornisce un valore che approssima la media aritmetica dei valori assunti dalla variabile, quando si esegue un numero k di prove: l’approssimazione e` tanto migliore quanto piu` grande e` k; la varianza e la deviazione standard sono invece indici che forniscono una misura della «dispersione» dei valori della variabile aleatoria intorno alla sua media. Similmente a quanto visto in statistica, per il calcolo della varianza di una variabile aleatoria sussiste anche la seguente formula alternativa ridotta, che permette un minor numero di calcoli: VðXÞ ¼ x21 p1 þ x22 p2 þ ::: þ x2n pn
½EðXÞ2 ESEMPIO

Media, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria

Determiniamo media, varianza e deviazione standard della variabile aleatoria X che esprime il numero di «testa» uscite nel lancio di tre monete equilibrate. Ricordiamo la distribuzione di probabilita` della variabile aleatoria X che abbiamo calcolato nell’esempio precedente. xi

0

1

2

3

pðX ¼ xi Þ

1 8

3 8

3 8

1 8

In base alle definizioni date poc’anzi abbiamo: EðXÞ ¼ 0 

1 3 3 1 3 þ1 þ2 þ3 ¼ 8 8 8 8 2

1 3 3 1 VðXÞ ¼ 0  þ 12  þ 22  þ 32 
8 8 8 8 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sðXÞ ¼ VðxÞ ¼

rffiffiffiffiffi 3 ’ 0; 87 4

Valore medio

 2 3 3 ¼ 2 4

Utilizzando la formula ridotta per il calcolo della varianza Deviazione standard

Giochi equi Tramite il concetto di valore medio di una variabile aleatoria possiamo costruire un modello matematico che consente di valutare l’equita` di un gioco. Intuitivamente, un gioco e`:  equo se, alla fine di molte partite, il giocatore si trova circa nelle stesse condizioni di partenza, senza ne´ grandi vincite ne´ grandi perdite;  favorevole al giocatore se, alla fine di molte partite, il giocatore realizza una vincita;  sfavorevole al giocatore se, alla fine di molte partite, il giocatore si trova in perdita. 625

Calcolo combinatorio e probabilita`

Queste considerazioni intuitive si possono formalizzare considerando la variabile aleatoria X che rappresenta la somma complessiva vinta o persa da un giocatore dopo una partita (tenendo conto anche dell’eventuale cifra sborsata all’inizio del gioco per partecipare a esso) e calcolando il valore medio di tale variabile aleatoria:  se il valore medio di X e` nullo, il gioco e` equo;  se il valore medio di X e` positivo, il gioco e` favorevole al giocatore;  se il valore medio di X e` negativo, il gioco e` sfavorevole al giocatore.

Tema I

Sia X la variabile aleatoria che esprime la somma complessiva, in euro, vinta o persa da Tizio dopo una partita. Le possibilita` sono le seguenti:  esce un numero pari (ossia 2, 4 o 6): Tizio deve pagare 2 euro, quindi X ¼
2;  esce 1: Tizio vince 5 euro, quindi X ¼ 5;  esce 3: Tizio non vince e non perde nulla, quindi X ¼ 0;  esce 5: Tizio vince 1 euro, quindi X ¼ 1.

ESEMPIO

Gioco equo

In un gioco Tizio lancia un dado: se esce un numero pari deve pagare 2 euro; se esce la faccia 1 vince 5 euro, se esce 3 non succede nulla; se esce la faccia 5 vince 1 euro. Si tratta di un gioco equo?

I valori che puo` assumere la variabile aleatoria X sono dunque:
2, 0, 1, 5 La distribuzione di probabilita` di X e` rappresentata nella seguente tabella. Valori di X


2

0

1

5

Probabilita`

1 2

1 6

1 6

1 6

Il valore medio di X e`: EðXÞ ¼
2 

1 1 1 1 1 5 þ 0  þ 1  þ 5  ¼
1 þ þ ¼ 0 2 6 6 6 6 6

Si tratta quindi di un gioco equo. Giocando un gran numero di volte, si puo` supporre che alla fine Tizio si trovera` all’incirca nella condizione iniziale. ESEMPIO

Il gioco del lotto e` equo?

La probabilita` di realizzare un ambo al gioco del lotto (giocando due numeri) e` 2 . Se si punta 1 euro sull’uscita di un ambo, quale dovrebbe essere l’incasp¼ 801 so equo in caso di vittoria? Sia X la variabile aleatoria che esprime la somma complessiva in euro vinta o persa da un giocatore dopo un’estrazione del lotto. Si possono presentare due eventualita`:

Attenzione! Osserva che i due eventi: «il giocatore non realizza l’ambo» e: «il giocatore realizza l’ambo» sono contrari, quindi la probabilita` del primo e` 1 meno la probabilita` del secondo.

626

 se il giocatore non realizza l’ambo, perde l’euro che ha puntato, quindi X ¼
1;  se il giocatore realizza l’ambo, dopo avere pagato inizialmente 1 euro per la puntata, vince una somma V, quindi X ¼ V
1. La distribuzione di probabilita` di X e` dunque: Valori di X Probabilita`


1 1


2 801

V
1 2 801

Unita` 11 Calcolo delle probabilita`

Affinche´ il gioco sia equo il valore medio di X deve essere 0. Quindi deve risultare:   2 2 þ ðV
1Þ  ¼0
1  1
801 801 Risolvendo questa equazione nell’incognita V, si ricava: V ¼ 400,5 L’incasso equo, a fronte di una puntata di 1 euro, sarebbe dunque di 400,50 euro. In realta`, al gioco del lotto, l’ambo viene pagato solo 250 volte la posta giocata: non si tratta quindi di un gioco equo. Giocando un gran numero di volte, si puo` supporre che alla fine un giocatore si trovera` in perdita.

Prova tu

ESERCIZI a p. 643

1. Si lancia due volte una moneta. Determina la distribuzione di probabilita` della variabile aleatoria X: «numero di ‘testa’ ottenuto nei due lanci». Calcola quindi il valore medio, la varianza e la deviazione standard di X. rffiffiffiffiffi 
3 3 Valore medio ¼ 1, varianza ¼ , deviazione standard ¼ 2 2 2. Il biglietto di una lotteria costa 2 euro. Sapendo che il montepremi complessivo e` di 1 milione di euro, quanti biglietti si dovrebbero vendere per garantire un gioco equo? [500 000]

5. Distribuzione binomiale Il concetto di variabile aleatoria permette di costruire dei modelli generali, applicabili a vaste classi di problemi. Tra i modelli che fanno riferimento a variabili aleatorie discrete ci limiteremo a studiare uno dei piu` importanti: il cosiddetto processo di Bernoulli. Iniziamone lo studio con una definizione preliminare. ESPERIMENTO DI BERNOULLI

Si dice esperimento (o prova) di Bernoulli un esperimento aleatorio che puo` avere solo due possibili esiti. Conveniamo di chiamare «successo» l’esito che interessa e «insuccesso» l’altro esito possibile. La probabilita` p di successo in un esperimento di Bernoulli si dice parametro dell’esperimento. ESEMPI

Scritture equivalenti Talvolta «successo» e «insuccesso» vengono indicati rispettivamente con 1 e con 0.

Prove di Bernoulli

1. Si lancia una moneta e si vince se esce «testa». Questo esperimento aleatorio e` una prova di Bernoulli, dove si considera come «successo» l’esito «te1 sta»; il parametro di questa prova di Bernoulli e` p ¼ . 2 2. E` noto che mediamente il 5% dei pezzi prodotti in una giornata da un’azienda hanno dei difetti. La scelta a caso di un pezzo tra quelli prodotti e la verifica se sia difettoso si possono assimilare a una prova di Bernoulli, dove si considera come «successo» l’evento che consiste nell’aver trovato un pez5 1 zo difettoso. Il parametro di questa prova di Bernoulli e` p ¼ ¼ . 100 20 Supponiamo ora di eseguire ripetutamente n prove di Bernoulli identiche e indipendenti tra loro, vale a dire supponiamo che le prove si verifichino tutte nelle stesse condizioni (in modo, quindi, che la probabilita` di avere un successo sia la stessa in ogni prova) e che l’esito di un singolo esperimento non abbia influenza sull’esito degli altri esperimenti: il processo che ne risulta e` il modello adatto a descrivere moltissimi fenomeni, percio` gli si e` dato un nome specifico. 627

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Osserva

PROCESSO DI BERNOULLI

Il parametro n e` un numero intero positivo, mentre il parametro p e` un numero reale con 0 < p < 1.

Si chiama processo di Bernoulli l’esperimento aleatorio consistente nella ripetizione di n prove di Bernoulli identiche e indipendenti.

Per esempio, sono processi di Bernoulli il lancio ripetuto per n volte di una moneta, oppure l’estrazione con reinserimento, per n volte successive, di una pallina da un’urna che contiene palline di due soli colori. VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE

Consideriamo un processo di Bernoulli costituito da n prove di parametro p. La variabile aleatoria X che conta il numero complessivo di successi ottenuti nelle n prove si dice binomiale di parametri n e p. TEOREMA 11.5

D i s t r i b u z i o n e d i u n a v a r i a b i l e a l e a t o r i a bi n o m i a l e

Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p. La distribuzione di probabilita` di X e` data dalla formula: n k ¼ 0, 1, ..., n pðX ¼ kÞ ¼ pk ð1
pÞn
k k DIMOSTRAZIONE

1. Dobbiamo calcolare la probabilita` che sia X ¼ k, cioe` la probabilita` di avere k successi in n prove. 2. La probabilita` di ottenere, in n prove, una particolare sequenza di k successi e ðn
kÞ insuccessi, per l’indipendenza delle prove, e` uguale a pk ð1
pÞn
k . 3. Le diverse sequenze possibili costituite da k successi e n
k insuccessi sono in tutn to . Infatti una particolare sequenza di questo tipo e` individuata univocak mente una volta che sono note le k posizioni dei successi (perche´ ovviamente tutte le altre posizioni saranno occupate da insuccessi) e i modi in cui si posson no scegliere k posizioni tra n e` uguale a . k n 4. Poiche´ gli modi in cui possono realizzarsi k successi sono eventi incompak tibili, la probabilita` dell’evento X ¼ k e` la somma delle probabilita` di tutti questi n eventi incompatibili, quindi e` uguale a pk ð1
pÞn
k . k

Per indicare che una variabile aleatoria ha distribuzione binomiale di parametri n e p si utilizza la scrittura X  Bðn, pÞ, da leggere «X segue la distribuzione binomiale di parametri n e p». I diagrammi a barre in fig. 11.4 rappresentano le distribuzioni di probabilita` di alcune variabili aleatorie binomiali in cui n ¼ 10. y

y

n = 10, p = 0,3 0,2

0,2

0,1

0,1

a

n = 10, p = 0,8

0,3

0,2

O

y

n = 10, p = 0,5

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

O b

0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

c

n n Figura 11.4 Se p ¼ 0,5 la distribuzione e` simmetrica rispetto a (vedi fig. b in cui n ¼ 10, quindi ¼ 5), mentre se p < 0,5 2 2 ( p > 0,5Þ la densita` e` «sbilanciata» verso lo 0 (oppure verso n) come mostrano le figg. a e c.

628

M e d i a e v a r i a n z a d i u n a va r i a b i l e a l e a t o r i a b i n o m i a l e

Unita` 11

Circa la media e la varianza di una variabile aleatoria binomiale, si potrebbe dimostrare quanto segue. TEOREMA 11.6

Calcolo delle probabilita`

Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p. Allora la media e la varianza di X sono assegnate dalle formule: EðXÞ ¼ np

ESEMPIO

V ðXÞ ¼ np ð1
pÞ

Test a risposta multipla

In un compito in classe Paolo deve rispondere a 5 quesiti a risposta multipla: ogni quesito e` costituito da 4 risposte, di cui una sola e` quella esatta. Paolo risponde a caso a tutti i quesiti. a. Qual e` la probabilita` che dia 3 risposte esatte? b. Qual e` il numero medio di risposte esatte che Paolo puo` aspettarsi di avere dato? a. La risposta a un singolo quesito e` un esperimento di Bernoulli, con proba1 bilita` di successo uguale a p ¼ ; le risposte ai 5 quesiti costituiscono un 4 processo di Bernoulli di 5 prove, di parametro p. La variabile X che conta il numero complessivo di risposte esatte date e` 1 quindi una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 5, p ¼ . 4 La probabilita` che Paolo abbia dato tre risposte esatte e` allora:   3   5 1 1 2 1 9 45 pðX ¼ 3Þ ¼  ¼ ’ 0,088 ¼ 8,8% 1
¼ 10  3 4 4 64 16 512 b. Il numero medio di risposte che Paolo puo` aspettarsi di aver dato e` uguale al valore medio di X: EðXÞ ¼ n  p ¼ 5 

Prova tu

1 ¼ 1,25 4

ESERCIZI a p. 647

Da un’urna contenente 10 palline, di cui 4 bianche e 6 nere, si effettuano quattro estrazioni successive di una pallina,
 con reimmissione. Qual e` la probabilita` di estrarre esattamente 2 palline nere? 216 625

629

Tema I

Unita`

11

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e proprieta` importanti Assiomi di probabilita` La probabilita` pðEÞ di un evento E e` un numero reale che verifica i seguenti assiomi: a. 0  pðEÞ  1 qualunque sia l’evento E; b. se
e` lo spazio campionario, allora: pð
Þ ¼ 1; c. se A e B sono eventi incompatibili, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ. Probabilita` secondo la definizione classica Sia E un evento di uno spazio campionario
, in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilita` di verificarsi. Supponiamo che l’evento E sia formato da k eventi elementari (brevemente detti «casi favorevoli») e lo spazio campionario
sia formato da n eventi elementari (brevemente detti «casi possibili»). Si definisce probabilita` dell’evento E, e si indica con pðEÞ, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili: pðEÞ ¼

k n

Probabilita` dell’evento contrario Se A e` un evento e A e` il suo evento contrario, allora si ha: pðAÞ ¼ 1
pðAÞ Probabilita` dell’unione di due eventi Se A e B sono due eventi, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ
pðA \ BÞ Eventi indipendenti Per due eventi indipendenti A e B vale la regola del prodotto: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBÞ Valore medio, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria discreta Sia X una variabile aleatoria che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , con probabilita` rispettive p1 , p2 , ..., pn . Allora: EðXÞ ¼ x1 p1 þ x2 p2 þ ::: þ xn pn ½x1
EðXÞ2  p1 þ ½x2
EðXÞ2  p2 þ :::: þ ½xn
EðXÞ2  pn VðXÞ ¼

oppure x21  p1 þ x22  p2 þ :::: þ x2n  pn
½EðXÞ2

ðXÞ ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi VðXÞ

Distribuzione binomiale

630

Nome, simbolo e parametri

Densita`

Binomiale X  Bðn, pÞ n 2 N, 0 < p < 1

n k

pk ð1
pÞn
k

Media

Varianza

np

np ð1
pÞ

1. Introduzione al calcolo delle probabilita`

Unita` 11

` CONOSCENZE E ABILITA TEORIA a p. 609

Test Nei test 1-6 fai riferimento alla seguente situazione. In un giardino ci sono rose e tulipani; sia le rose sia i tulipani sono di due tipi: o rossi o gialli. Si sceglie a caso un fiore e si indica con S l’evento «il fiore e` giallo» e con R l’evento «il fiore e` una rosa». 1 Þ A

2 Þ A

3 Þ A

4 Þ A

5 Þ A

6 Þ A B

L’evento «il fiore e` una rosa gialla» e` rappresentato da: B R[S R\S

C

R

D

S

L’evento «il fiore e` rosso» e` rappresentato da: B R[S R\S

C

R

D

S

L’evento «il fiore e` un tulipano rosso» e` rappresentato da:   \ S B R[S C R R \ S

D

R [ S

L’evento «il fiore e` una rosa rossa» e` rappresentato da:  B R[S R \ S

R \ S

D

R [ S

L’evento «il fiore e` giallo o una rosa» e` rappresentato da:  B R[S C R\S R \ S

D

R[S

C

Calcolo delle probabilita`

Il linguaggio degli eventi

Quale delle seguenti e` una coppia di eventi incompatibili? «Il fiore e` rosso » e «il fiore e` un tulipano» «Il fiore e` una rosa » e «il fiore e` un tulipano»

C D

«Il fiore e` giallo » e «il fiore e` una rosa» «Il fiore e` rosso » e «il fiore e` una rosa»

7 Þ

Vero o falso? Fai riferimento all’esperimento che consiste nel lancio di un dado. a. l’evento «esce un numero dispari» e` elementare b. l’evento «esce un numero maggiore di 5» e` elementare c. l’evento «esce un numero minore di 5» e` elementare d. l’evento «esce un numero maggiore di 8» e` impossibile e. l’evento «esce un numero minore di 8» e` certo f. l’evento «esce un numero primo» e` impossibile g. l’evento «esce un numero primo o divisibile per 2» e` certo

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[3 affermazioni vere e 4 false] Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, individua uno spazio campionario. 8 Le estrazioni successive di due palline da un’urna Þ che ne contiene 2 bianche e 1 rossa. 9 Il lancio di una moneta, ripetuto successivamenÞ te per due volte. 10 La scelta, per due volte successive, di una carta Þ fra i quattro Assi (senza reimmissione del primo Asso estratto). 11 La scelta a caso di un numero reale compreso tra Þ 0 e 1, inclusi 0 e 1. 12 Þ 13 Þ

Il lancio di un dado a sei facce.

14 Þ 15 Þ 16 Þ

L’estrazione di un numero al lotto.

Il lancio di due dadi a sei facce e la registrazione della somma dei due numeri ottenuti. L’uscita di un numero alla roulette.

Il lancio successivo di una moneta e la registrazione del numero di volte necessario per ottenere per la prima volta «croce».

17 Þ

Un’urna contiene quattro biglie numerate da 1 a 4. Le biglie di numero pari sono rosse, quelle di numero dispari sono verdi. Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, individua uno spazio campionario. a. Si estrae una biglia e si annota il numero ottenuto. b. Si estrae una biglia e si annota il colore della biglia. c. Si estraggono, contemporaneamente, due biglie e si annotano i due numeri ottenuti. d. Si estraggono due biglie, una dopo l’altra, dopo aver rimesso la prima nell’urna, e si annotano i due numeri ottenuti. e. Si estraggono due biglie, una dopo l’altra, senza rimettere la prima nell’urna, e si annotano i due numeri ottenuti.

631

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

18 Þ

Una moneta regolare viene lanciata due volte.

a. Determina lo spazio campionario. b. Barbara vince se esce croce al primo lancio, mentre Stefano vince se esce testa al secondo lancio. Determina i sottoinsiemi dello spazio campionario che rappresentano i seguenti eventi: i. Barbara vince ii. Stefano perde iii. Barbara e Stefano vincono entrambi 19 Þ

iv. almeno uno dei due vince v. non vincono ne´ Barbara ne´ Stefano vi. Barbara vince e Stefano perde

ESERCIZIO GUIDATO

Considera l’esperimento che consiste nei lanci successivi, per cinque volte, di una moneta. a. Descrivi qual e` lo spazio campionario (non e` richiesto di elencare tutti gli esiti esplicitamente). b. Considera l’evento «si ottengono almeno tre ‘testa’» ed esprimilo, a parole, come unione di eventi incompatibili. a. Lo spazio campionario
e` l’insieme di tutte le 5-ple della forma ðx1 , x2 , x3 , x4 , x5 Þ dove x1 , x2 , x3 , x4 , x5 2 f..., ...g. b. L’evento «si ottengono almeno tre ‘testa’» equivale a «si ottengono esattamene tre ‘testa’ o esattamente o esattamente

...............»,

...............

quindi e` l’unione dei seguenti tre eventi a due a due incompatibili: «si ottengono esatta-

mente ..... ‘testa’», «si ottengono esattamente ..... ‘testa’» e «si ottengono esattamente ..... ‘testa’». 20 Considera l’esperimento che consiste nell’estrarre successivamente, per quattro volte, una carta da un mazzo Þ di 52 (eseguendo ogni estrazione senza rimettere nel mazzo la carta estratta). a. Descrivi qual e` lo spazio campionario (non e` richiesto di elencare tutti gli esiti esplicitamente). b. Considera l’evento «si estraggono al massimo due Assi» ed esprimilo, a parole, come unione di eventi incompatibili. 21 I connettivi e le operazioni insiemistiche/1. Da un’urna contenente 6 biglie rosse, 4 verdi e 2 gialle se ne Þ estrae una a caso. Sia A l’evento «la biglia estratta e` rossa» e B l’evento «la biglia estratta e` verde». Esprimi a parole i seguenti eventi:

a. A \ B

b. A [ B

c. A \ B

d. A [ B

22 I connettivi e le operazioni insiemistiche/2. Siano A, B e C tre eventi. Esprimi in notazione insiemistica i Þ seguenti eventi descritti a parole.

a. Si verifica l’evento A o l’evento B. b. Si verificano sia l’evento B sia l’evento C. c. Non si verifica l’evento B. d. Non si verifica ne´ l’evento A ne´ l’evento C.

e. Non si verifica nessuno dei tre eventi. f. Si verifica almeno uno dei tre eventi. g. Si verifica soltanto l’evento A. h. Si verificano esattamente due dei tre eventi.

Le varie definizioni di probabilita` e gli assiomi 23 Vero o falso? Þ Siano A e B due eventi di uno stesso spazio campionario
: V F a. la probabilita` di A non puo` essere zero b. la probabilita` di B e` sempre minore o uguale a 1 V F c. se A e` un evento certo, allora la probabilita` di A e` uguale a 1 V F d. comunque siano scelti A e B, la probabilita` dell’evento A [ B e` uguale alla somma delle probabilita` V F di A e di B e. se la probabilita` di A e` uguale alla probabilita` di B, allora A ¼ B V F [2 affermazioni vere e 3 false]

` adatta per assegnare la probabiliNei prossimi esercizi, indica quale definizione di probabilita` ti sembra piu ta` agli eventi relativi agli esperimenti aleatori descritti.

632

24 Þ 25 Þ 26 Þ 27 Þ

La probabilita` che il primo estratto sulla ruota di Napoli sia il numero 9. La probabilita` che, scelto un cittadino italiano, esso abbia piu` di 40 anni. La probabilita` che, lanciando un dado, esca un numero divisibile per 3. La probabilita` che il Milan vinca la prossima partita.

Unita` 11

La probabilita` che domani piova. La probabilita` che un fumatore fumi piu` di 20 sigarette al giorno. La probabilita` che Barbara passi l’esame. La probabilita` che una famiglia italiana scelta a caso abbia una connessione a Internet. La probabilita` che un farmaco sia efficace. La probabilita` che lanciando due dadi esca un doppio 6.

Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Quale probabilita` si puo` attribuire all’evento «e` uscito un Asso»? Quale definizione di probabilita` si e` utilizzata per assegnare la probabilita` all’evento? 35 Þ

Un individuo A e` disposto a scommettere 50 euro su un evento aleatorio, al verificarsi del quale si vincono 1000 euro; un altro individuo B e` disposto a puntare 60 euro sullo stesso evento. Quale probabilita` attribuisce ciascuno dei due individui a quell’evento aleatorio? Secondo quale definizione di probabilita`?

Calcolo delle probabilita`

28 Þ 29 Þ 30 Þ 31 Þ 32 Þ 33 Þ 34 Þ

36 Da una scatola che contiene 30 palline colorate si effettuano 250 estrazioni casuali, sempre con reinserimenÞ to. Nelle 250 estrazioni si osservano 23 volte palline verdi. Quale stima si puo` dare della probabilita` di estrarre una pallina verde dall’urna? Secondo quale definizione di probabilita`?

2. Valutazione della probabilita` secondo la definizione classica

TEORIA a p. 615

Esercizi preliminari Test 37 Þ A

38 Þ A

39 Þ A

Si lanciano due dadi regolari a sei facce a caso; qual e` la probabilita` di ottenere un doppio 6? 1 2

B

1 3

C

1 18

D

1 36

Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52; qual e` la probabilita` di estrarre una carta di picche? 3 8

B

3 52

C

1 4

La probabilita` di estrarre uno dei quattro Assi da un mazzo di carte e` 32

B

40

C

50

D

5 26

1 . Quante carte ha quel mazzo? 13 D 52

40 Þ

Quante password diverse di cinque caratteri si possono generare, se ogni carattere puo` essere soltanto un numero compreso tra 0 e 9 (inclusi 0 e 9)? A

59

B

5  10

C

95

D

105

41 Þ

Il numero di serie di una banconota e` formato da una lettera (appartenente all’alfabeto costituito da 26 lettere) seguita da 11 cifre. Quante banconote diverse si possono contrassegnare in questo modo? A

2611  10

B

26  11

C

26  1011

D

26  1110

42 Þ

Caccia all’errore. Barbara e` incinta di due gemelli e sa che sono dizigoti. Barbara ritiene che la probabilita` 2 che almeno uno dei due sia femmina sia di , in base al seguente ragionamento: il numero di femmine che puo` 3 nascere puo` essere 0 (se entrambi i gemelli sono maschi), oppure 1 oppure 2. Abbiamo dunque 3 casi possibili, di cui 2 favorevoli (la nascita di 1 femmina o di 2 femmine). Ritieni che il ragionamento di Barbara sia corretto?

Applicazioni della definizione classica 43 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Qual e` la probabilita` di estrarre a caso un numero naturale di due cifre e avere un quadrato perfetto? I numeri naturali di due cifre sono 90. I quadrati di due cifre sono: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Quindi si hanno 6 casi fa6 1 ¼ . vorevoli e 90 casi possibili. La probabilita` richiesta e`: 90 15 633

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

44 Dal 1973 al 2004 sono stati assegnati dal Ministero delle finanze 80 milioni di codici fiscali. Di questi, 14000 Þ non sono unici, cioe` sono stati dati a piu` di un individuo. Qual e` la probabilita` di essere lo sfortunato cui viene assegnato un codice doppione? [0,0175%] 45 Uno scaffale contiene libri di 5 diverse case editrici: 20 della De Agostini, 15 della Mondadori, 10 della RizzoÞ li, 8 della Zanichelli e 5 della Garzanti. Si prende a caso un libro, senza guardare. Qual e` la probabilita` che il libro
 non sia ne´ della Mondadori ne´ della Garzanti? 19 29 46 Þ

Dal sacchetto della tombola si estrae un numero. Calcola la probabilita` di estrarre un numero divisibile per
 10 ma non divisibile per 30. 1 15

47 Rapido Un sacchetto contiene dei dischetti con incisi i numeri primi di due cifre. Se ne estrae uno a caso. Þ Qual e` la probabilita` che il numero estratto sia dispari? 48 Þ

I nati dall’1 al 23 settembre sono del segno della Vergine; chi nasce fra il 24 settembre e il 23 ottobre e` del segno della Bilancia. Presa a caso una persona nata a settembre, qual e` la probabilita` che sia del segno della Bilancia?
 7 30 49 Þ

A una cena fra medici partecipano tre chirurghi, 2 pediatri e 4 internisti. Il cameriere sceglie a caso uno dei
 medici e ipotizza che sia un chirurgo. Qual e` la probabilita` che si sbagli? 2 3 50 Un barista sorteggia fra i suoi clienti un panettone del valore di 50 euro. Prepara 90 tagliandi numerati da 1 a Þ 90; vince il tagliando che riporta lo stesso numero del primo estratto al gioco del lotto sulla ruota di Milano del sabato prima di Natale. Il barista vende solo 30 biglietti. Qual e` la probabilita` che il panettone rimanga non assegna
 to? 2 3 51 Un sacchetto contiene dei biglietti, su ciascuno dei quali e` trascritto un numero primo minore di 100. Si Þ
 estrae un biglietto a caso; qual e` la probabilita` che esso sia pari? 1 25 52 Considera nel piano cartesiano l’insieme dei punti di coordinate ðx, yÞ, essendo x e y due numeri interi con Þ 0  x  5 e 0  y  5. Scegliendo a caso un punto appartenente a questo insieme, qual e` la probabilita` che appar
 tenga alla bisettrice del primo e del terzo quadrante? 1 6 53 Considera nel piano cartesiano l’insieme dei punti di coordinate ðx, yÞ, essendo x e y due numeri interi con Þ
2  x  2 e
2  y  2. Scegliendo a caso un punto appartenente a questo insieme, qual e` la probabilita` che ap
 partenga alla retta di equazione y ¼ 2x? 3 25 54 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

In un’urna ci sono 12 biglie rosse e n biglie nere. Estraendo a caso una biglia dalla scatola, la probabilita` che essa sia nera e` 0,4. Quante biglie nere ci sono nell’urna?  Dalle informazioni date si ottiene l’equazione nell’incognita n: n ¼ n þ 12  Risolvi questa equazione rispetto a n e concludi.

[8]

55 Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono 8 palline rosse e che la probabilita` Þ di estrarre una pallina rossa e` 0,25. Quante palline ci sono nell’urna? [32] 56 Þ

In un’urna ci sono complessivamente 50 biglie: alcune rosse e alcune nere. Estraendo a caso una biglia dalla scatola, la probabilita` che essa sia rossa e` 0,32. Determina: a. la probabilita` di estrarre una pallina nera; b. il numero di palline nere e il numero di palline rosse contenute nell’urna. 634

[a. 0,68; b. rosse ¼ 16, nere ¼ 34]

58 Þ

Si lancia una moneta regolare tre volte, consecutivamente. a. Rappresenta tramite un diagramma ad albero tutti i possibili esiti. b. Determina la probabilita` che si ottenga «testa» per la prima volta al primo lancio. c. Determina la probabilita` che si ottenga «testa» per la prima volta al secondo lancio. 
d. Determina la probabilita` che si ottenga «testa» per la prima volta al terzo lancio. 1 1 1 1 e. Determina la probabilita` che non si ottenga mai «testa». b. ; c. ; d. ; e. 2 4 8 8

59 Þ

Calcolo delle probabilita`

57 Costruisci il diagramma ad albero che rappresenta tutti i possibili esiti che si possono ottenere lanciando due Þ volte una moneta regolare; quindi calcola la probabilita` che esca: a. «croce» entrambe le volte; 
b. «croce» la prima volta e «testa» la seconda; 1 1 3 c. almeno una volta «testa». a. ; b. ; c. 4 4 4

Unita` 11

Utilizzo di diagrammi ad albero

Le tre bandiere italiana, francese e spagnola vengono disposte a caso, una a fianco all’altra.

a. Rappresenta, con l’aiuto di un diagramma ad albero, tutti i possibili modi in cui possono essere disposte le bandiere.
 b. Calcola la probabilita` che la bandiera italiana si trovi il mezzo alle altre due. 1 2 c. Calcola la probabilita` che la bandiera francese si trovi a uno dei due estremi. b. ; c. 3 3 60 Þ

Alberto, Barbara, Carlo e Donatella devono essere interrogati dal loro professore di matematica. Ciascuno di loro viene interrogato singolarmente e il loro professore sceglie a caso l’ordine in cui interrogarli. a. Rappresenta con un diagramma ad albero tutti i possibili ordini di interrogazione. b. Determina la probabilita` che i quattro ragazzi siano interrogati in ordine alfabetico. c. Determina la probabilita` che Alberto venga interrogato per primo. d. Determina la probabilita` che Donatella sia interrogata prima di Barbara. e. Determina la probabilita` che sia Donatella sia Carlo siano interrogati prima di Barbara. 
1 1 1 1 ; c. ; d. ; e. b. 24 4 2 3 61 Þ

Andrea vuole acquistare un nuovo televisore; puo` scegliere fra tre modelli, i cui schermi hanno dimensioni diverse, di prezzi 540 euro, 608 euro e 654 euro. Decide inoltre di comprare un decoder per il suo vecchio televisore; per il decoder ha due possibilita` di scelta: uno dal costo di 32 euro e uno dal costo di 48 euro. Andrea sceglie a caso sia il modello del televisore, sia quello del decoder. Determina: 
a. la probabilita` che Alberto spenda complessivamente meno di 700 euro; 5 1 b. la probabilita` che Alberto spenda complessivamente piu` di 650 euro. a. ; b. 6 2 62 Passeggiata aleatoria nel piano. Una pulce si trova sull’asse delle ascisse, precisamente nell’origine degli asÞ si. A ogni passo la pulce compie a caso un salto di una unita` in avanti (cioe` nella direzione e nel verso delle ascisse positive) o indietro (cioe` nella direzione e nel verso delle ascisse negative). Supponi che la pulce compia quattro salti. a. Rappresenta la situazione tramite un diagramma ad albero e deduci quali sono le ascisse dei punti in cui la pulce puo` trovarsi dopo i quattro salti. b. Per ciascuno dei punti in cui la pulce puo` trovarsi dopo i quattro salti, calcola la probabilita` che la pulce si trovi in quel punto.
a. Punti possibili: ð4, 0Þ; ð2, 0Þ; ð0, 0Þ; b. la probabilita` che la pulce si trovi nel punto ð
4, 0Þ

1 ed e` uguale alla probabilita` che si trovi in ð4, 0Þ; la probabilita` che la pulce si trovi in ð
2, 0Þ 16  1 3 ed e` uguale alla probabilita` che si trovi in ð2, 0Þ; la probabilita` che la pulce si trovi nell’origine e` e` 4 8 e`

635

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Utilizzo di tabelle a doppia entrata 63 Si lanciano successivamente due dadi regolari a sei facce e si considera il prodotto dei due numeri ottenuti. Þ Completa la seguente tabella, in modo da rappresentare il prodotto dei numeri ottenuti in corrispondenza di tutti i possibili esiti del lancio dei due dadi.

Dado 2

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Dado 1 1 2 3 4 5 6

Rispondi quindi alle seguenti domande. a. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia 6? b. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia 12? c. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia maggiore di 12? d. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia minore di 12? e. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia minore di 36? f. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia maggiore di 36? g. Qual e` la probabilita` che il prodotto dei due numeri ottenuti sia minore di 37? 
1 1 13 19 35 ; d. ; e. ; f. 0; g. 1 a. ; b. ; c. 9 9 36 36 36 64 Þ

Si lanciano successivamente due dadi regolari a sei facce e si considera lo scarto tra i due numeri ottenuti, ossia il valore assoluto della loro differenza.  Costruisci una tabella (simile a quella dell’esercizio precedente) che fornisca lo scarto dei due numeri ottenuti in corrispondenza di tutti i possibili esiti del lancio dei due dadi.  Tenendo conto della tabella, rispondi alle seguenti domande. a. Qual e` la probabilita` che lo scarto tra i due numeri sia 1? b. Qual e` la probabilita` che lo scarto tra i due numeri sia 2? c. Qual e` la probabilita` che lo scarto tra i due numeri sia 3?


 5 2 1 ; b. ; c. a. 18 9 6

65 Un sacchetto contiene cinque palline, numerate da 1 a 5. Si estrae a caso una pallina, quindi la si rimette nel Þ sacchetto e si estrae una seconda pallina. a. Costruisci una tabella in cui rappresenterai la somma dei due numeri ottenuti in corrispondenza di tutti i possibili esiti delle due estrazioni. b. Qual e` la probabilita` che i due numeri estratti abbiano somma uguale a 8? 
c. Qual e` la probabilita` che i due numeri estratti abbiano somma minore di 5? 3 6 9 ; c. ; d. d. Qual e` la probabilita` che i due numeri estratti abbiano somma divisibile per 3? b. 25 25 25 66 Si e` interrogato un gruppo di 100 persone, chiedendo loro se sono favorevoli all’energia nucleare. Il sondagÞ gio ha prodotto i risultati riportati (in parte) nella seguente tabella.

Eta`

Meno di 35 anni

Piu` di 35 anni

Totale

12

44

Opinione espressa Favorevoli Contrari Totale

636

52

100

Calcolo delle probabilita`

67 Un fiorista mette in svendita 200 fiori, in parte rose e in parte tulipani. Sia le rose sia i tulipani sono di due tiÞ pi: o di colore rosso o di colore giallo. Il 60% dei fiori in offerta sono rossi e il 35% sono tulipani. Inoltre le rose rosse sono 70. Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, calcola qual e` la probabilita`: a. che sia giallo; b. che sia una rosa; c. che sia un tulipano rosso; d. che sia una rosa gialla. (Suggerimento: puo` essere utile costruire una tabella tipo quella dell’esercizio precedente per rappresentare i dati) 
2 13 1 3 ; c. ; d. a. ; b. 5 20 4 10

Unita` 11

a. Completa la tabella. b. Tra le persone interrogate favorevoli al nucleare se ne sceglie una a caso: qual e` la probabilita` che abbia meno di 35 anni? c. Tra le persone interrogate che hanno meno di 35 anni se ne sceglie una a caso: qual e` la probabilita` che sia contraria all’energia nucleare? d. Tra le persone che hanno partecipato al sondaggio se ne sceglie una a caso; calcola la probabilita`:  che abbia piu` di 35 anni e sia contraria al nucleare;  che sia favorevole al nucleare; 
 che abbia meno di 35 anni e sia favorevole al nucleare; 8 5 9 11 8 12 ; c. ; d. , , ,  che abbia piu` di 35 anni. b. 11 13 25 25 25 25

Utilizzo delle regole del calcolo combinatorio 68 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Considera i numeri di cinque cifre aventi come cifre soltanto 1 o 2; per esempio: 21211, 11222 e cosı` via... Si sceglie a caso uno di questi numeri; qual e` la probabilita` che le prime due cifre siano uguali a 1?  Calcoliamo anzitutto quanti sono i numeri composti da cinque cifre, uguali a 1 o 2. Poiche´ per ogni cifra abbiamo 2 possibilita` di scelta, abbiamo in tutto: 2  2  2  2  2 ¼ 25 numeri siffatti.  Tra questi numeri, quanti sono quelli che hanno le prime due cifre uguali a 1? Pensiamo a come possiamo fare a costruirli: per le prime due cifre abbiamo 1 sola possibilita` di scelta (1); per le altre tre cifre abbiamo 2 possibilita` di scelta (1 o 2), quindi in definitiva tali numeri sono complessivamente: 1  1  2  2  2 ¼ 23  La probabilita` richiesta puo` essere calcolata come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili (perche´?), percio` e` uguale a

69 Þ

23 1 , cioe` a . 25 4

ESERCIZIO GUIDATO

Qual e` la probabilita` che 5 stazioni ferroviarie consecutive su una stessa linea, siano disposte nell’ordine alfabetico del nome della citta` (l’ordine puo` essere crescente o decrescente)?  I «casi possibili», tutti equiprobabili, sono i modi in cui le 5 stazioni possono essere disposte lungo la linea ferroviaria. Essi sono tanti quanti le permutazioni di 5 oggetti, cioe` 5!  I «casi favorevoli» sono solo 2: quello in cui le cinque stazioni sono ordinate in senso crescente e quello in cui le cinque stazioni sono ordinate in senso decrescente.  Ora puoi concludere, costruendo il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili. Troverai che la probabilita` ri1 . chiesta e` uguale a 60 637

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

70 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Qual e` la probabilita` di fare una «ambata» al lotto, cioe` che si giochi un singolo numero e che esso faccia parte dei cinque estratti?  I casi possibili, tutti equiprobabili, sono le cinquine non ordinate costruibili con i 90 numeri del lotto (1, 2,.., 90),   90 cioe` . 5  I casi favorevoli sono tanti quanti le cinquine (non ordinate) che contengono il numero giocato. Queste ultime sono tante quante le quaterne (non ordinate) costruibili utilizzando gli 89 numeri diversi da quello giocato,   89 cioe` . 4  Ora hai tutti gli elementi per calcolare la probabilita` cercata; se svolgi i calcoli correttamente, troverai che essa e` 1 . uguale a 18 71 Stefano digita a caso dieci cifre sulla tastiera del telefono, senza tenere conto del fatto che il numero telefoniÞ co deve iniziare per 0 e ammettendo la possibilita` di digitare piu` volte la stessa cifra. Qual e` la probabilita` che abbia
 composto il numero di sua zia Maria? 1 1010 72 Þ

Un bambino preme a caso sei tasti su una tastiera di 102 tasti (potendo anche premere lo stesso tasto piu` vol
 te). Qual e` la probabilita` che il bambino abbia scritto la parola «Parigi»? 1 1026 73 Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza significato) della parola «scuola»? Si sceglie a caso uno di queÞ sti anagrammi; qual e` la probabilita` che la terza lettera dell’anagramma sia una vocale e l’ultima una consonante?
 3 720; 10 ` 74 Il numero di serie di una banconota e formato da una lettera e da 11 numeri. Þ

a. Quanti numeri di serie distinti si possono generare, supponendo che la lettera possa essere una qualsiasi dell’alfabeto a 26 lettere e ogni numero possa essere una cifra qualsiasi tra 0 e 9? b. Scelto a caso un numero di serie fra tutti quelli possibili, qual e` la probabilita` che esso inizi con una vocale e
 termini con un numero pari diverso da zero? 1 a. 26  1011 ; b. 13 ` , e 80 clienti donne, di cui 20 75 Un’agenzia matrimoniale ha 70 clienti maschi, di cui 50 hanno 40 anni o piu Þ hanno 35 anni o piu`. Scelta a caso una coppia formata da un uomo e una donna clienti dell’agenzia, qual e` la pro
 babilita` che lui abbia 40 anni o piu` e lei abbia meno di 35 anni? 15 28 76 Una password e` formata da 6 caratteri, che possono essere cifre (0, 1, . . ., 9) o lettere minuscole dell’alfabeto Þ italiano composto da 5 vocali e 16 consonanti. Inoltre, cifre e lettere possono essere ripetuti.

a. Quante diverse password possono essere generate? b. Generando a caso una password, qual e` la probabilita` di comporne una che comincia con una vocale e finisce con una consonante? c. Generando a caso una password, qual e` la probabilita` di comporne una che ha due vocali nelle prime due posizioni, due cifre nelle successive e due consonanti nelle ultime due posizioni? 
80 52  102  162 ; c. a. 316 ; b. 316 312 77 Poniti nelle stesse condizioni dell’esercizio precedente ma lascia cadere l’ipotesi che cifre e lettere possano esÞ sere ripetuti. Rispondi, in questa nuova situazione, alle stesse domande dell’esercizio precedente.
 8 200 ; c. a. 530 122 320; b. 93 245 427

638

Anna e Barbara si recano al ristorante. Entrambe ordinano un antipasto, un primo e un dessert. E` possibile scegliere fra 6 antipasti, 8 primi e 4 dessert. Anna sceglie il suo menu, quindi lo sceglie Barbara, selezionando a caso fra gli antipasti, i primi e i dessert disponibili. Calcola le seguenti probabilita`:
a.

1 1 1 ; b. ; c. 6 48 192



79 Tre persone salgono sull’ascensore al piano terreno. L’ascensore si ferma a sei diversi piani. Supponi che ciaÞ scuna delle tre persone che hanno preso l’ascensore scenda a caso a uno di questi sei piani.

a. Qual e` la probabilita` che le tre persone scendano tutte al primo piano? b. Qual e` la probabilita` che le tre persone scendano tutte allo stesso piano? c. Qual e` la probabilita` che le tre persone scendano al quarto o al quinto piano (ammettendo sia la possibilita` che scendano tutte e tre allo stesso piano, sia la possibilita` che alcune scendano al quarto piano e le rimanenti al quinto)? d. Qual e` la probabilita` che le tre persone scendano o tutte e tre al quarto piano o tutte e tre al quinto piano? 
1 1 1 1 ; b. ; c. ; d. a. 216 36 27 108

Calcolo delle probabilita`

a. che Barbara abbia scelto lo stesso antipasto di Anna; b. che Barbara abbia scelto lo stesso antipasto e lo stesso primo di Anna; c. che Barbara abbia scelto lo stesso menu di Anna.

Unita` 11

78 Þ

80 Si scelgono simultaneamente sei carte da un mazzo di 40 (cioe` da un mazzo ottenuto da quello di 52 elimiÞ
 nando gli 8, i 9 e i 10). Qual e` la probabilita` che tra le sei carte estratte ci sia l’asso di cuori? 3 20 81 Si scelgono simultaneamente cinque carte da un mazzo di 40 (cioe` da un mazzo ottenuto da quello di 52 elimiÞ nando gli 8, i 9 e i 10). Qual e` la probabilita` che tra le cinque carte estratte ci siano l’asse di cuori e quello di fiori?
 1 78 82 Considera un mazzo di 52 carte. Þ a. Se si estrae a caso una carta dal mazzo, qual e` la probabilita` di estrarre una carta che non sia ne´ una figura, ne´ una carta di cuori? b. Se si estraggono a caso e simultaneamente due carte dal mazzo, qual e` la probabilita` che tra le due carte 
estratte non ci sia ne´ una figura ne´ una carta di cuori? 15 145 ; b. a. 26 442 83 Un’urna contiene 4 palline nere e 3 palline bianche. Si estraggono contemporaneamente due palline dall’urÞ na. Calcola la probabilita`: a. di estrarre due palline nere; b. di estrarre due palline bianche; 
c. di estrarre due palline dello stesso colore; 2 1 3 4 d. di estrarre due palline di colori differenti. a. ; b. ; c. ; d. 7 7 7 7 84 Þ

Qual e` la probabilita` di fare un «ambo» al lotto, cioe` che si giochino 2 numeri ed essi facciano parte dei cin
 que estratti? 2 801

85 Þ

Qual e` la probabilita` di fare un «terno» al lotto, cioe` che si giochino 3 numeri ed essi facciano parte dei cin
 que estratti? 1 11 748 4 86 Un’urna contiene n palline. Se si estrae una pallina, la probabilita` che essa sia gialla e` . Se invece si estraggoÞ 7 38 no contemporaneamente due palline, la probabilita` che esse siano gialle e` . Quanto vale n? Quante sono le 119 palline gialle contenute nell’urna? [n ¼ 35, 20 palline gialle] 87 Þ

Il numero 3240 e` uguale a 23  34  5.

a. Tenendo conto della scomposizione in fattori primi di 3240 e del principio fondamentale del calcolo combinatorio, determina quanti sono i divisori di 3240. b. Scelto a caso un divisore di 3240, qual e` la probabilita` che sia una potenza di 2 (con esponente positivo o
 nullo)? 1 a. 40; b. 10 639

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

3. I primi teoremi sul calcolo delle probabilita`

TEORIA a p. 619

Esercizi preliminari Test 88 Þ A

L’evento A ha probabilita` 1 5

2  e` uguale a: ; allora la probabilita` dell’evento A 5 2 3 B C 5 5

D

4 5

89 Due eventi A e B sono incompatibili e tali che pðAÞ ¼ 0,15 e pðBÞ ¼ 0,35; allora la probabilita` dell’evento Þ A [ B: A B

90 Þ A B

91 Þ A B

e` uguale a 0 e` uguale a 0,5

C D

e` uguale a 0,75 i dati sono insufficienti per determinarla

Due eventi A e B sono tali che pðAÞ ¼ 0,5, pðBÞ ¼ 0,3 e pðA \ BÞ ¼ 0,1; allora la probabilita` dell’evento A [ B: e` uguale a 0,5 e` uguale a 0,7

C D

e` uguale a 0,75 i dati sono insufficienti per determinarla

Siano A e B due eventi incompatibili; quale delle seguenti affermazioni e` falsa? A \ B e` vuoto la probabilita` di A \ B e` 0

C D

la probabilita` di A [ B e` 1 pðAÞ ¼ pðA [ BÞ
pðBÞ

92 Þ

Vero o falso? V F a. la probabilita` di un evento e quella del suo contrario sono sempre diverse tra loro b. la probabilita` di A [ B e` sempre maggiore della somma delle probabilita` di A e B V F c. due eventi contrari sono incompatibili V F d. due eventi incompatibili sono contrari V F e. pðA \ BÞ þ pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ V F [2 affermazioni vere e 3 false]

93 Þ

La negazione di una proposizione/1. a. Si estrae una carta da un mazzo di 40. Esprimi a parole gli eventi contrari dei seguenti, ossia le negazioni delle proposizioni che esprimono gli eventi, ricordando le leggi di de Morgan (vedi il volume Algebra 1, Unita` 3, Paragrafo 6): A: «e` stato estratto un Fante o un Re»

B: «e` stato estratto un Fante di cuori»

b. Si estraggono cinque carte da un mazzo di 40. Esprimi a parole gli eventi contrari dei seguenti, ossia le negazioni delle proposizioni che esprimono gli eventi, ricordando come si negano le proposizioni che contengono dei quantificatori: A: «tutte le carte estratte sono di cuori» B: «almeno una delle carte estratte e` di picche» 94 Þ

La negazione di una proposizione/2. a. Un’urna contiene 3 biglie verdi e 5 gialle. Si estraggono 4 biglie dall’urna e si considera l’evento A: «le quattro biglie estratte sono gialle». L’evento contrario di A e` «nessuna biglia estratta e` gialla» oppure «almeno una delle biglie estratte e` verde»? b. Sempre in relazione alla situazione descritta al punto precedente, considera l’evento B: «al massimo due delle biglie estratte sono gialle». L’evento contrario di B e` «tra le biglie estratte ce ne sono esattamente tre o quattro gialle» oppure «tra le biglie estratte ce ne sono due o piu` gialle»? c. Estraiamo un numero a caso dal sacchetto della tombola. Considera l’evento C: «il numero estratto e` dispari e multiplo di 10». L’evento contrario di C e` «il numero estratto e` pari o non e` multiplo di 10» oppure «il numero estratto e` pari e non e` multiplo di 10»?

Applicazioni dei teoremi sulle probabilita` dell’unione, dell’intersezione e dell’evento contrario Negli esercizi 95-98, A e B sono due eventi.

640

95 Þ 96 Þ

Sapendo che pðAÞ ¼ 0,5, pðBÞ ¼ 0,6 e pðA \ BÞ ¼ 0,2, quanto vale pðA [ BÞ? Sapendo che A e B sono incompatibili, pðAÞ ¼ 0,36 e pðBÞ ¼ 0,21, quanto vale pðA [ BÞ?

[0,9] [0,57]

Sapendo che pðAÞ ¼ 0,7, pðBÞ ¼ 0,6 e pðA [ BÞ ¼ 0,9, quanto vale pðA \ BÞ?

[0,2]

Sapendo che pðAÞ ¼ 0,2, pðA \ BÞ ¼ 0,1 e pðA [ BÞ ¼ 0,7, quanto vale pðBÞ?

[0,6]

Problemi sulla probabilita` dell’evento contrario 100 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Si lancia una moneta regolare per quattro volte. Calcola la probabilita`: a. che non esca mai «testa»; b. che esca almeno una volta «testa»;

c. che esca al massimo una volta «testa»; ` di una volta. d. che esca «testa» piu

Calcolo delle probabilita`

Siano A e B due eventi incompatibili tali che pðAÞ ¼ 0,4 e pðBÞ ¼ 0,3. a. Calcola la probabilita` dell’evento A [ B. b. Stabilisci se gli eventi A e B sono incompatibili. [a. 0,7; b. non sono incompatibili: infatti la probabilita` delle loro intersezione e` 0,3]

Unita` 11

97 Þ 98 Þ 99 Þ

a. La probabilita` che in quattro lanci non esca mai «testa» equivale alla probabilita` che in quattro lanci esca sempre «croce»: pertanto la probabilita` richiesta e` uguale a .......... b. L’evento «esce ‘testa’ almeno una volta» e` l’evento contrario di «non esce mai ‘testa’», pertanto la sua probabilita` e` data da 1 meno la probabilita` calcolata al punto a. c. L’evento E: «esce ‘testa’ al massimo una volta» equivale a «non esce mai ‘testa’ o esce ‘testa’ esattamente una volta» ossia all’unione dei due eventi incompatibili A: «non esce mai ‘testa’» e B: «esce ‘testa’ esattamente una volta», quindi la probabilita` di E e` uguale alla somma delle probabilita` di A e B. d. L’evento «esce ‘testa’ piu` di una volta» e` l’evento contrario di «esce ‘testa’ al massimo una volta», pertanto la
 sua probabilita` e` uguale a ......................... 1 15 5 11 ; b. ; c. ; d. a. 16 16 16 16 101 Scegli a caso un numero intero compreso tra 1 e Þ 10, inclusi 1 e 10.

a. Calcola la probabilita` dei seguenti eventi: A: «il numero scelto e` dispari» B: «il numero scelto e` maggiore o uguale a 8» C: «il numero scelto e` primo» b. Esprimi a parole gli eventi contrari e calcola le lo
 ro probabilita`. 1 3 2 1 7 3 , ; b. , , a. , 2 10 5 2 10 5 102 Ciascuna delle sei facce di un cubo viene colorata Þ a caso in bianco o in nero.

a. In quanti modi diversi puo` essere colorato il cubo? b. Qual e` la probabilita` che almeno due facce del cubo siano colorate con colori differenti? 
31 a. 64; b. 32 103 Þ

Si lanciano due dadi regolari a sei facce. Calcola:

a. la probabilita` che i due numeri usciti siano uguali; b. la probabilita` che i due numeri usciti siano di
 stinti. 1 5 a. , b. 6 6 107 Þ

104 Una password e` costituita da cinque numeri, ciaÞ scuno dei quali e` una delle dieci cifre (0, 1, 2, . . ., 9). E` consentito che le cifre siano ripetute.

a. Quante password di questo tipo si possono generare? b. Scelta a caso una di tali password qual e` la probabilita` che almeno due delle cifre della password sia
no uguali? 436 5 a. 10 ; b. 625 105 Þ

Da un’urna contenente 15 palline numerate da 1 a 15, si estraggono simultaneamente 4 palline. Qual e` la probabilita` che almeno una delle 4 palline estratte
 rechi un numero pari? 37 39

106 Þ

Si scelgono simultaneamente tre carte da un mazzo di 40 (cioe` da un mazzo ottenuto da quello di 52 eliminando gli 8, i 9 e i 10). Qual e` la probabilita` che fra le tre carte estratte ci sia almeno un Asso?
 137 494

Quattro amici discutono delle loro date di nascita.

a. Qual e` la probabilita` che almeno due di essi siano nati lo stesso mese? b. Sapendo che nessuno dei quattro amici e` nato il 29 febbraio, qual e` la probabilita` che almeno due di essi
 siano nati nello stesso giorno dell’anno? 41 795 341 a. ’ 43%; b. ’ 1,6% 96 48 627 125 641

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

Problemi sulla probabilita` dell’unione e dell’intersezione di eventi 108 Si estrae a caso una carta da un mazzo di 40. CalÞ cola la probabilita`: a. di estrarre una figura; b. di estrarre una carta di colore nero; c. di estrarre una figura di colore nero; d. di estrarre una figura o una carta di colore nero. 
3 1 3 13 ; b. ; c. ; d. a. 10 2 20 20

111 Þ

109 Þ

classe, il 60% degli allievi sono maschi e gli allievi ma-

Da un sacchetto che contiene 12 biglie numerate da 1 a 12 se ne estrae una a caso. Calcola la probabilita` che il numero sulla biglia estratta: a. sia pari; b. sia divisibile per 3;  c. sia pari e divisibile per 3;
1 1 1 2 d. sia pari o divisibile per 3. a. ; b. ; c. ; d. 2 3 6 3 110 Þ

Un’urna contiene 8 palline: 5 sono verdi e sono numerate da 1 a 5, mentre le altre 3 sono rosse e sono numerate da 1 a 3. Si estrae a caso una pallina dall’urna; considera i seguenti eventi: V: «la pallina estratta e` verde» R: «la pallina estratta e` rossa» P: «la pallina estratta ha impresso un numero pari» a. Determina la probabilita` dei tre eventi V, R, P. b. Determina la probabilita` degli eventi V \ R, V \ P, R \ P. c. Determina la probabilita` degli eventi V [ R,  V [ P, R [ P.
5 3 3 1 1 3 5 a. , , ; b. 0, , ; c. 1, , 8 8 8 4 8 4 8 114 Þ

Un ufficio bancario ha due sportelli, diciamo A e B, di cui almeno uno sempre aperto. La probabilita` che sia aperto lo sportello A e` 0,7 mentre la probabilita` che sia aperto lo sportello B e` 0,6. Qual e` la probabilita` che siano aperti entrambi gli sportelli? [0,3]

112 Þ

In un liceo,

1 degli allievi frequentano la prima 4

1 del numero 10 complessivo di allievi del liceo. Scelto a caso un allievo del liceo, qual e` la probabilita` che sia maschio o fre
 quenti la prima? 3 4 schi che frequentano la prima sono

113 Þ

Un circolo sportivo, avente 125 soci, organizza due tornei, uno di tennis e uno di calcetto; 60 soci partecipano al torneo di tennis, 45 al torneo di calcetto e 25 a entrambi i tornei. Si sceglie a caso uno dei soci del circolo; determina la probabilita` che tale socio partecipi: a. a entrambi i tornei; b. soltanto al torneo di tennis; c. soltanto al torneo di calcetto; d. ad almeno uno dei due tornei; e. a nessuno dei due tornei. 
1 7 4 16 9 ; c. ; d. ; e. a. ; b. 5 25 25 25 25

ESERCIZIO GUIDATO

Un ospedale ha due sale operatorie, diciamo X e Y, che hanno la stessa probabilita` di essere occupate. La probabilita` che almeno una delle due sale risulti occupata e` 0,8; la probabilita` che entrambe le sale operatorie siano occupate e` 0,4. a. qual e` la probabilita` che la sala operatoria X sia libera? b. qual e` la probabilita` che entrambe le sale operatorie siano libere? c. qual e` la probabilita` che almeno una delle due sale operatorie sia libera? d. qual e` la probabilita` che una sola delle due sale operatorie sia libera? a. Sia A l’evento «la sala operatoria X e` occupata» e B l’evento «la sala operatoria Y e` occupata». In base ai dati sai che: pðA [ BÞ ¼ 0,8

pðA \ BÞ ¼ 0,4

pðAÞ ¼ pðBÞ

Poni pðAÞ ¼ pðBÞ ¼ x e sostituisci le informazioni note nella relazione: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ
pðA \ BÞ Ottieni un’equazione in x che, risolta, fornisce la probabilita` che la sala operatoria X sia occupata. La probabilita` che X sia libera e` la probabilita` dell’evento contrario di A, quindi e` uguale a .......... b. Devi calcolare la probabilita` dell’evento A \ B. Ricorda che, per le leggi di de Morgan, risulta A \ B ¼ ðA [ BÞ, quindi pðA \ BÞ ¼ 1
pðA [ BÞ. 642

 \ BÞ, osserva che A \ B ¼ B
ðA \ BÞ e applica il Principio fondamentale del calcolo Per calcolare, per esempio, pðA [a. 0,4; b. 0,2; c. 0,6; d. 0,4] combinatorio. In modo analogo puoi calcolare pðA \ BÞ. 115 Il 70% degli studenti di una classe andranno in vacanza al mare, il 40% andranno in montagna e il 30% anÞ dranno sia al mare sia in montagna. Qual e` la probabilita` che uno studente scelto a caso in quella classe non andra` in vacanza ne´ al mare ne´ in montagna? [0,2]

Calcolo delle probabilita`

pðA \ BÞ þ pðA \ BÞ

Unita` 11

c. Devi calcolare la probabilita` dell’evento A [ B. Puoi procedere in modo simile al caso b.  \ BÞ [ ðA \ BÞ. Osserva che si tratta dell’unione di due eventi incomd. Devi calcolare la probabilita` dell’evento ðA patibili, quindi la probabilita` dell’evento ðA \ BÞ [ ðA \ BÞ e` uguale a:

116 In una data popolazione, la probabilita` che un individuo presenti il carattere genetico A e` il doppio di quella Þ che presenti il carattere genetico B; inoltre la probabilita` che un individuo presenti entrambi i caratteri genetici e` 0,2 e quella che presenti almeno uno dei due caratteri e` 0,7. Scelto a caso un individuo in quella popolazione, determina: a. qual e` la probabilita` che presenti il carattere A; b. qual e` la probabilita` che non presenti il carattere B; c. qual e` la probabilita` che presenti il carattere A ma non il carattere B. [a. 0,6; b. 0,7; c. 0,4]

` presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. 117 Un oggetto prodotto da una macchina puo Þ Scelto a caso un oggetto prodotto dalla macchina, la probabilita` che presenti il difetto A e` 0,2; la probabilita` che presenti il difetto B e` 0,3 e la probabilita` che non presenti alcun difetto e` 0,6. Determina la probabilita` che l’oggetto: a. presenti almeno uno dei due difetti; b. presenti entrambi i difetti; c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B. [a. 0,4; b. 0,1; c. 0,2] 118 Un’urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. Si estraggono successivamente dall’urna tre palline, senza riÞ mettere, a ogni estrazione, la pallina precedentemente estratta nell’urna. Considera i tre eventi: A: «e` uscita la pallina con il numero 2 nella prima estrazione» B: «e` uscita la pallina con il numero 3 nella seconda estrazione» C: «non e` uscita la pallina con il numero 4 in nessuna estrazione»

a. Calcola la probabilita` degli eventi A, B e C. b. Calcola la probabilita` degli eventi A \ B, B \ C e A \ C. c. Calcola la probabilita` degli eventi A [ B, B [ C e A [ C.


a.

1 1 1 1 1 1 3 17 17 , , ; b. , , ; c. , , 6 6 2 30 10 10 10 30 30



119 Þ

Una password e` costituita da due cifre, seguite da due lettere minuscole dell’alfabeto italiano. E` ammessa la possibilita` che le cifre o le lettere siano ripetute. a. Quante password distinte di questo tipo si possono costruire? b. Considera gli eventi A: «le due cifre della password sono diverse tra loro» e B: «le due lettere della password sono diverse tra loro» e determina la probabilita` degli eventi:
 9 20 6 209 , , , A, B, A \ B, A [ B a. 44 100; b. 10 21 7 210

4. Variabili aleatorie e distribuzioni discrete

TEORIA a p. 622

Esercizi preliminari ` rappresentare la distribuzione di probabilita` di una variabile alea120 Spiega perche´ la seguente tabella non puo Þ toria. xi


1

0

3

8

10

pðX ¼ xi Þ

1 12

1 6

0

5 12

1 6

643

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

121 Þ

La seguente tabella rappresenta la distribuzione di probabilita` di una variabile aleatoria. Qual e` il valore di k? xi pðX ¼ xi Þ


3


2

1 4

1 8

0

1

2

k

1 16

1 2




1 k¼ 16



122 La misura dei lati di un quadrato e` scelta a caso tra i numeri 2, 4, 5, 10. Considera la variabile aleatoria X che Þ rappresenta il perimetro del quadrato. Completa la seguente tabella, che rappresenta la distribuzione di probabilita` di X.

xi

8

16

.....

.....

pðX ¼ xi Þ

1 4

.....

.....

.....

Distribuzioni di probabilita` e calcolo di media, varianza e deviazione standard 123 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Considera la variabile aleatoria X che esprime il numero di figli femmine nelle famiglie con due figli. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Determina la media, la varianza e la deviazione standard di X. a. La variabile aleatoria X puo` assumere evidentemente i valori 0, 1 o 2. Assumi che la probabilita` della nascita di una figlia femmina sia uguale a quella di un figlio maschio, in modo che gli eventi elementari dello spazio campionario
¼ fMM, MF, FM, FFg siano equiprobabili. Allora: 1 pðX ¼ 0Þ ¼ pðMMÞ ¼ 4 pðX ¼ 1Þ ¼ pðMFÞ þ pðFMÞ ¼ ::::::: pðX ¼ 2Þ ¼ pðFFÞ ¼ ::::::: quindi la distribuzione di probabilita` di X e`: xi

0

1

2

pðX ¼ xi Þ

1 4

.....

.....

b. La media di X e` data da: EðXÞ ¼ 0 

1 1 1 þ1 þ2 ¼ :::::: 4 ::::: :::::

La varianza di X e` data da: VðXÞ ¼ 02 

1 1 1 þ 12  þ 22 
ðEðXÞÞ2 ¼ :::::::: 4 ::::: ::::::

La deviazione standard di X e` la radice quadrata della varianza: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðXÞ ¼ VðXÞ ¼ ::::::




pffiffiffi  1 2 b. 1, , 2 2

124 Da alcune rilevazioni e` risultato che a un certo incrocio stradale si fa una fila di 10 minuti una volta su due, Þ di 15 minuti una volta su quattro, di 1 minuto una volta su 4. Considera la variabile aleatoria X che esprime il tempo di attesa a quell’incrocio.

a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Determina il tempo medio di attesa all’incrocio. 
1 1 1 a. X puo` assumere i valori (in minuti) 1, 10, 15, rispettivamente con probabilita` , , ; b. 9 minuti 4 2 4 644

Una variabile aleatoria X assume i valori 1, 2, 3, 4, 5, ciascuno con probabilita` proporzionale al valore stesso. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Determina il valore medio di X.
 1 2 1 4 1 11 , , , , ; b. a. X assume i valori 1, 2, 3, 4, 5, rispettivamente con probabilita` 15 15 5 15 3 3

Calcolo delle probabilita`

126 Þ

Unita` 11

125 In un giorno, una ragazza riceve: telefonate della durata di 10 minuti 2 volte su 7; telefonate di 15 minuti 3 Þ volte su 7; telefonate di 20 minuti 2 volte su 7. Considera la variabile aleatoria X che esprime la durata delle telefonate ricevute dalla ragazza. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Determina la durata media di una telefonata. 
2 3 2 X puo` assumere i valori (in minuti) 10, 15, 20, rispettivamente con probabilita` , , ; b. 15 minuti 7 7 7

127 Þ

Un’urna contiene 2 palline rosse e 1 pallina verde. Si estraggono dall’urna, una alla volta, tre palline (senza rimettere nell’urna, a ogni estrazione, la pallina precedentemente estratta). Sia X la variabile aleatoria che esprime il numero di estrazioni necessarie a estrarre per la prima volta la pallina verde. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. 
b. Determina il valore medio di X. 1 ` a. X assume i valori 1, 2, 3, ciascuno con probabilita ; b. 2 3 128 Si lancia una moneta successivamente per quattro volte. Sia X la variabile aleatoria che esprime il numero di Þ «croce» ottenuto. Determina: a. la distribuzione di probabilita` di X; b. la media di X; c. la varianza e la deviazione standard di X. 
1 1 3 1 1 , , , , ; b. 2; c. 1,1 a. X assume i valori 0, 1, 2, 3, 4, rispettivamente con probabilita` 16 4 8 4 16 129 Si lanciano due dadi da gioco regolari a sei facce. Sia X la variabile aleatoria che esprime la somma dei due nuÞ meri ottenuti. Determina: a. la distribuzione di probabilita` di X; b. la media di X; c. la varianza e la deviazione standard di X.
a. X assume i valori 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, rispettivamente con probabilita` rffiffiffiffiffiffiffiffi  1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 35 35 , , , , , , , , , , ; b. 7; c. , 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 6 6 130 Þ

Un’urna contiene 6 palline bianche ed n palline nere, con n 1. Un gioco consiste nell’estrarre una pallina dall’urna, osservarne il colore, quindi estrarre una seconda pallina dall’urna, senza reimmissione della prima. In ciascuna delle due estrazioni, il giocatore vince 2 euro se estrae una pallina bianca, mentre ne perde 3 se estrae una pallina nera. Sia X la variabile aleatoria che esprime la somma complessiva vinta o persa dal giocatore dopo le due estrazioni. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Verifica che il valore medio di X e` espresso dalla formula: EðXÞ ¼

6ð4
nÞ nþ6




c. Determina per quali valori di n il gioco e` favorevole al giocatore.

rispettivamente con probabilita`

a. X puo` assumere i valori
6,
1, 4,

 n2
n 12n 30 , , ; c. 1  n  3 ðn þ 5Þðn þ 6Þ ðn þ 5Þðn þ 6Þ ðn þ 5Þðn þ 6Þ

131 Þ

Un’urna contiene 1 pallina nera e 9 palline bianche. Un gioco consiste nell’estrarre simultaneamente 4 palline dall’urna, quindi nel lanciare un dado cubico regolare con le facce numerate da 1 a 6. Se tra le palline estratte c’e` quella nera, il giocatore vince se nel lancio del dado esce un numero pari; se tra le palline estratte non c’e` quella nera, il giocatore vince se nel lancio del dado esce il numero 1. Per partecipare al gioco il giocatore deve sborsare m euro; se il giocatore vince, riceve come premio 10 euro, se il giocatore non vince ma tra le palline estratte c’e` quella 645

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

nera, il giocatore recupera la cifra spesa per giocare; se infine il giocatore non vince e tra le palline estratte non c’e` quella nera, il giocatore perde la cifra sborsata per giocare. Indica con X la variabile aleatoria che esprime la cifra guadagnata o persa dal giocatore dopo avere giocato. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Stabilisci per quale valore di m il gioco e` equo.
3 1 1 , , ; a. X puo` assumere i valori 10
m, 0,
m, rispettivamente con probabilita` 10 5 2  15
4m b. risulta EðXÞ ¼ , pertanto il gioco e` equo quando m ¼ 3,75 5 132 Un’urna contiene 60 palline, di cui 9 rosse e le rimanenti nere. Un giocatore pesca una pallina dall’urna, ne Þ osserva il colore, quindi rimette la pallina estratta nell’urna e pesca una seconda pallina. In ciascuna delle due estrazioni, il giocatore guadagna n euro, con n 2 N, se estrae una pallina rossa e perde 2 euro se estrae una pallina nera. Indica con X la variabile aleatoria che esprime la cifra complessiva guadagnata o persa dal giocatore dopo le due estrazioni. a. Determina la distribuzione di probabilita` di X.
b. Determina il valore medio di X. c. Stabilisci per quali valori di n il gioco e` favorevole al giocatore. a. X puo` assumere i valori 2n, n
2,
4,

rispettivamente con probabilita`

9 51 289 3 17 , , ; b. n
; c. n 12 400 200 400 10 5



Giochi equi e applicazioni del concetto di valore medio 133 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Si estrae a caso un numero compreso fra 1 e 90; se esce un multiplo di 10 si vince una somma S. Determina la somma S in modo che il gioco sia equo, sapendo che per partecipare si pagano 2 euro. Consideriamo la variabile aleatoria X che esprime la somma complessivamente vinta o persa dal giocatore dopo un’estrazione (tenendo conto anche della somma spesa per partecipare). X puo` assumere il valore S
2 (se esce un 9 1 ¼ Þ oppure il valore
2 (se esce un numero che non e` multinumero multiplo di 10, quindi con probabilita` 90 10 plo di 10, quindi con probabilita` .....). Affinche´ il gioco sia equo deve essere EðXÞ ¼ 0, ossia: ðS
2Þ 

1 :::::
2 ¼0 10 :::::

Risolvendo questa equazione nell’incognita S, si trova S ¼ :::::, quindi la vincita equa in caso di uscita di un multiplo di 10 e` di 20 euro.

134 Tizio partecipa a un gioco con le seguenti regole: si estrae una carta da un mazzo di quaranta. Se viene estratta Þ una carta di cuori Tizio vince 5 euro; se viene estratta una carta di quadri vince 3 euro; se viene estratta una carta di picche o di fiori paga 4 euro. Si tratta di un gioco equo? [Sı`] 135 Il biglietto di una lotteria costa 3 euro. Sapendo che il montepremi complessivo e` di 5 milioni di euro, quanti Þ biglietti si dovrebbero vendere per garantire un gioco equo? [1 666 667] 136 Un’urna contiene 3 palline gialle, 2 blu, 1 rossa e 4 verdi. Si estrae a caso una pallina dall’urna e se la pallina Þ estratta e` rossa si vincono S euro, se e` verde si perdono 2 euro, se e` gialla o blu si vince 1 euro. In corrispondenza di quali valori di S il gioco e` equo o favorevole al giocatore? [Se S e` maggiore o uguale a 3 euro] 137 Þ

646

Un’urna contiene 8 palline nere e n palline bianche, con n 1. Si estraggono successivamente dall’urna due palline (estraendo la seconda senza rimettere la prima pallina estratta nell’urna). Se le due palline estratte hanno lo stesso colore si vince 1 euro, se sono di colore diverso si perde 1 euro. Per quali valori di n il gioco e` favorevole al giocatore? [1  n  4 _ n 13]

ESERCIZIO GUIDATO

 Supponi di non comprare il tagliando per la sosta e immagina la situazione come un «gioco» in cui guadagni 1 euro (il prezzo che altrimenti avresti dovuto pagare per il tagliando) se il vigile non passa, mentre perdi 49 euro (la differenza tra la multa di 50 euro e il prezzo di 1 euro per il tagliando) se il vigile passa.  Considera la variabile aleatoria X che esprime i soldi guadagnati o persi dopo una sosta al parcheggio senza tagliando; la sosta senza biglietto risultera`, a lungo andare, vantaggiosa se la media di X e` positiva, svantaggiosa se e` negativa.  Se svolgi i calcoli correttamente troverai che la sosta senza biglietto non e` vantaggiosa e che, per esserlo, il tempo di sosta deve essere inferiore a 6 minuti.

Calcolo delle probabilita`

La probabilita` che un vigile urbano passi a controllare una macchina che sosta in un parcheggio a pagamen1 per ogni minuto di sosta. La tariffa prevista per il parcheggio e` 1 euro all’ora (soto, non custodito, e` di 300 ste inferiori a 1 ora vengono arrotondate a 1 ora); la multa per sosta senza tagliando e` di 50 euro. Supponiamo di effettuare spesso soste di 30 minuti a quel parcheggio: la strategia di non pagare il biglietto e`, a lungo andare, vantaggiosa? Come deve essere il tempo di sosta affinche´, a lungo andare, sia vantaggioso non pagare il biglietto?

Unita` 11

138 Þ

139 Prenotazione di un biglietto aereo. Una compagnia aerea pratica degli sconti del 50% sul costo del biglietto, Þ a condizione che si parta di lunedı` e che si prenoti almeno una settimana prima. La prenotazione del biglietto scontato non e` rimborsabile, ne´ rinviabile. Sono sempre disponibili, invece, biglietti a tariffa intera. Tizio, per ragioni di lavoro, deve comprare un biglietto tutte le settimane; nel momento in cui prenota (almeno una settimana prima) non e` pero` certo di poter partire il lunedı`: precisamente, valuta che egli potra` partire di lunedı` con una probabilita` dell’80%, e nei giorni successivi con una probabilita` del 20%. A lungo andare, gli conviene la strategia di prenotare sempre il biglietto scontato? (Suggerimento: ragiona in modo simile all’esercizio precedente) [La strategia di comprare sempre il biglietto scontato e` a lungo andare vantaggiosa] 140 Strategie produttive. Una ditta produce componenti elettronici. Ogni componente costa 8 euro. La probabiÞ lita` che un componente presenti un difetto e` del 5% e la riparazione di un componente difettoso prevede un costo aggiuntivo di 4 euro. A lungo andare, quale delle due strategie seguenti e` piu` conveniente per l’azienda? a. Vendere ogni componente al prezzo di 15 euro e riparare i componenti difettosi. b. Vendere ogni componente al prezzo di 16 euro ed eliminare i componenti difettosi, senza ripararli. (Suggerimento: indica con X e Y, rispettivamente, le variabili aleatorie che rappresentano il guadagno per ciascun pezzo venduto nel caso della strategia a. e nel caso della strategia b.; calcola i valori medi di X e Y e confrontali) [E` piu` conveniente la strategia b.] 141 Gioco a quiz. A un quiz, un concorrente deve rispondere a due domande, diciamo A e B, e deve decidere se riÞ spondere prima alla domanda A o prima alla domanda B. La probabilita` che il concorrente risponda correttamente alla domanda A e` 0,7, e in tal caso il concorrente vince 1000 euro. La probabilita` che il concorrente risponda correttamente alla domanda B e` 0,4, e in tal caso il concorrente vince 2000 euro. Se il concorrente sbaglia la risposta alla prima domanda non puo` tentare di rispondere alla seconda; se invece risponde correttamente alla prima domanda gli viene posta anche la seconda domanda. Qual e` la strategia piu` conveniente per il concorrente: rispondere prima alla domanda A o rispondere prima alla domanda B? (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) [La migliore strategia e` quella di rispondere prima alla domanda A]

5. Distribuzione binomiale

TEORIA a p. 627

Esercizi preliminari 142 Þ

Vero o falso? a. Si estraggono successivamente cinque carte da un mazzo, rimettendo dopo ciascuna estrazione la carta estratta nel mazzo prima dell’estrazione successiva. La variabile aleatoria X che conta il numero di Assi ottenuto complessivamente nelle cinque estrazioni ha una distribuzione binomiale.

V

F

647

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

b. Si estraggono successivamente cinque carte da un mazzo, senza rimettere dopo ciascuna estrazione la carta estratta nel mazzo prima dell’estrazione successiva. La variabile aleatoria X che conta il numero V F di Assi ottenuto complessivamente nelle cinque estrazioni ha una distribuzione binomiale. c. Si lancia successivamente per 10 volte un dado regolare. La variabile aleatoria X che conta il numero V F di «6» complessivamente ottenuto nei dieci lanci ha una distribuzione binomiale. d. Un sacchetto contiene 10 caramelle alla menta e 20 caramelle alla frutta. Paolo estrae a caso, successivamente, 3 caramelle dal sacchetto, e mangia ciascuna caramella estratta prima di estrarre la successiva. La variabile aleatoria X che conta il numero di caramelle alla menta V F che ha complessivamente mangiato Paolo ha una distribuzione binomiale. [2 affermazioni vere e 2 false] 143 Þ

Vero o falso? Viene lanciato per 20 volte successive un dado regolare. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di «6» ottenuto complessivamente nei 20 lanci. 1 V F a. X ha una distribuzione binomiale di parametri n ¼ 20 e p ¼ 6 b. X puo` assumere qualsiasi valore da 0 a 20, ciascuno con la stessa probabilita` V F   2  8 20 1 5 c. la probabilita` che sia X ¼ 2 e` uguale a V F 2 6 6 d. risulta pðX 1Þ ¼ 1
pðX ¼ 1Þ V F   20 20 5 e. la probabilita` che sia X ¼ 0 e` uguale a V F 0 6 [2 affermazioni vere e 3 false] Test   6 144 Quanto vale ? Þ 2 A

12

B

15

C

18

D

20

145 Si estraggono successivamente, con reimmissione nel mazzo, cinque carte da un mazzo di 52. La variabile Þ aleatoria X che conta il numero di Assi ottenuti: 1 A ha distribuzione binomiale di parametri n ¼ 4, p ¼ 12 1 B ha distribuzione binomiale di parametri n ¼ 5, p ¼ 13 1 C ha distribuzione binomiale di parametri n ¼ 6, p ¼ 15 D non ha distribuzione binomiale 146 Si lancia n volte successivamente un dado truccato a sei facce, in modo che in ciascun lancio la probabilita` di Þ ottenere «6» e` uguale a 0,4. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di «6» complessivamente ottenuto negli n lanci. Quale delle seguenti espressioni fornisce la probabilita` che sia X ¼ 5?         5 5 n n A B C D ð0,6Þ5 ð0,4Þn
5 ð0,4Þ5 ð0,6Þn
5 ð0,6Þ5 ð0,4Þn
5 ð0,4Þ5 ð0,6Þn
5 n n 5 5 147 Þ A

148 Þ A

149 Þ

Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 100 e p ¼ 0,4. Qual e` la media di X? 20

30

C

40

D

50

Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 100 e p ¼ 0,4. Qual e` la varianza di X? 21

B

22

C

23

D

24

Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 50 e p ¼

le a:

A

B

1


 50 1 3

B

1


 50 2 3

C

 50 2 3

1 . Allora la probabilita` che sia X 1 e` ugua3 D

nessuna delle precedenti

Parametri di una distribuzione binomiale 1 Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 6, p ¼ . Calcola la probabilita` che risulti X ¼ 4. Ar
 3 rotonda il risultato a meno di un centesimo. 20 ’ 0,08 243

150 Þ

648

1 . Determina: 4 b. la probabilita` che sia X 6. c. la probabilita` che sia X < 3.

Unita` 11

151 Þ

Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 8, p ¼

a. la probabilita` che sia X ¼ 5;

Esprimi i risultati arrotondati a meno di un millesimo.

b. la probabilita` e` massima per k ¼ 2 e per k ¼ 3 1 Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 6, p ¼ . 2 a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Per quale valore di k (con k 2 NÞ e` massima la probabilita` che sia X ¼ k?
1 3 15 5 15 3 1 , , , , , , ; a. X puo` assumere i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, rispettivamente con probabilita` 64 32 64 16 64 32 64  b. la probabilita` e` massima per k ¼ 3

153 Þ

Calcolo delle probabilita`

[a. 0,023; b. 0,004; c. 0,679] 1 152 Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 5, p ¼ . Þ 2 a. Determina la distribuzione di probabilita` di X. b. Per quale valore di k e` massima la probabilita` che sia X ¼ k?
1 5 5 5 5 1 , , , , , ; a. X puo` assumere i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, rispettivamente con probabilita` 32 32 16 16 32 32 

1 Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n ¼ 50 e p ¼ . Determina la media e la deviazione pffiffiffi 
10 standard di X. 3 2 EðXÞ ¼ 5, ðXÞ ¼ 2

154 Þ

155 Interpretazione di grafici. Nella figura qui sotto abbiamo rappresentato la distribuzione di probabilita` di Þ una variabile aleatoria binomiale X. Individua i parametri n e p della distribuzione e la media di X.

0,45

0,4096

0,4096

0,40 0,35 0,30 0,25 0,20

0,1536

0,15 0,10 0,05 0

0,0256 0

1

2

3

0,0016 4


n ¼ 4, p ¼

1 4 , EðXÞ ¼ 5 5



1 Sia X una variabile aleatoria binomiale, di parametri n ¼ 18 e p > . Sapendo che la varianza di X e` 4, deter
2 mina il valore di p e la media di X. 2 p ¼ , EðXÞ ¼ 12 3 pffiffiffiffiffiffi 30 . 157 Sia X una variabile aleatoria binomiale, avente media uguale a 30 e deviazione standard uguale a Þ 2 a. Determina i parametri n e p della variabile aleatoria.
 15 3 a. n ¼ 40, p ¼ b. Verifica che la probabilita` che sia X ¼ 1 e` uguale a 77 . 2 4 156 Þ

Problemi 158 Þ

Si lancia un comune dado regolare a sei facce e si vince se esce il «3» o il «6». a. Qual e` la probabilita` di vincere? b. Il dado viene lanciato successivamente per quattro volte. Indicata con X la variabile aleatoria che conta il numero complessivo di volte in cui si e` vinto nei quattro lanci, individua la distribuzione di probabilita` di X, precisandone i parametri. c. Calcola la probabilita` che, nei quattro lanci, si vinca esattamente 2 volte. d. Calcola la probabilita` che, nei quattro lanci, si vinca esattamente 3 volte. 
1 1 8 8 ; d. a. ; b. binomiale di parametri n ¼ 4, p ¼ ; c. 3 3 27 81 649

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

159 Si lancia una moneta regolare per 6 volte successivamente. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di Þ volte in cui e` uscita «testa» nei sei lanci. a. Individua la distribuzione di probabilita` di X, precisandone i parametri.  b. Calcola la probabilita` che siano uscite esattamente 4 «testa».
1 15 a. Binomiale di parametri n ¼ 6, p ¼ ; b. 2 64 160 Þ

Un’urna contiene 9 palline, di cui 6 bianche e 3 rosse. Si eseguono successivamente quattro estrazioni dall’urna, con reimmissione. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di palline bianche estratte complessivamente nelle quattro estrazioni. a. Individua la distribuzione di probabilita` di X, precisandone i parametri. b. Calcola la probabilita` di estrarre esattamente 2 palline bianche. c. Calcola la probabilita` di estrarre esattamente 3 palline bianche. 
2 8 32 ; c. a. Binomiale di parametri n ¼ 4, p ¼ ; b. 3 27 81 161 Da un’urna contenente 20 palline, di cui 5 bianche e 15 nere, si effettuano quattro estrazioni successive, con Þ
 reimmissione. Qual e` la probabilita` di estrarre esattamente 2 palline bianche? 27 128 162 Da un mazzo di 32 carte (contenente 8 carte di ogni seme) vengono estratte successivamente cinque carte, Þ 
con reimmissione. Qual e` la probabilita` di estrarre esattamente tre carte di cuori? 45 512 163 Menu al ristorante. Quattro persone sono sedute al tavolo di un ristorante, in procinto di ordinare un primo Þ piatto. Per ciascuna delle quattro persone, la probabilita` di scegliere il risotto ai funghi e` uguale a 0,2. Qual e` la probabilita` che esattamente due delle quattro persone scelgano il risotto ai funghi, supponendo che ciascuno scelga
 indipendentemente dagli altri? 96 625 164 Videogiochi. Paolo sta giocando a un videogioco e deve colpire il nemico. Ogni volta che spara un colpo, la Þ probabilita` di colpirlo e` uguale a 0,4. Se spara cinque colpi, qual e` la probabilita` di colpire il nemico esattamente
 tre volte? 144 625 165 Numero di figli maschi. Supponi che la probabilita` di avere un figlio maschio sia uguale alla probabilita` di Þ avere una figlia femmina. Scelta a caso una coppia che ha tre figli (il sesso di ciascuno dei quali si suppone indipendente da quello degli altri), sia X la variabile aleatoria che conta il numero di figli maschi della coppia. a. Individua la distribuzione di probabilita` di X, precisandone i parametri. b. Calcola la probabilita` che quella coppia abbia avuto esattamente due figli maschi. Si scelgono a caso, e in modo indipendente, quattro coppie, ciascuna delle quali ha tre figli; indicata con Y la variabile aleatoria che conta il numero di coppie che hanno esattamente due figli maschi, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. c. Individua la distribuzione di probabilita` di Y, precisandone i parametri. d. Calcola la probabilita` che almeno una delle quattro coppie abbia esattamente due figli maschi.   4
1 3 3 5 ’ 0,85 a. X binomiale di parametri n ¼ 3, p ¼ ; b. ; c. Y binomiale di parametri n ¼ 4, p ¼ ; d. 1
2 8 8 8 166 Semafori. Un automobilista incontra abitualmente tre semafori sul tragitto che compie per recarsi al lavoro. Þ Ciascun semaforo segue questo ciclo: resta verde per 50 secondi, quindi diventa giallo per 10 secondi e infine resta rosso per 60 secondi. Supponendo che ciascun semaforo sia indipendente dagli altri, indica con X, Y e Z, le variabili aleatorie che contano rispettivamente il numero di semafori verdi, gialli e rossi che incontra l’automobilista sul suo tragitto. a. Individua le distribuzioni di probabilita` di X, Y e Z. b. Calcola la probabilita` che l’automobilista trovi un solo semaforo verde. c. Calcola la probabilita` che l’automobilista trovi esattamente due semafori gialli. d. Calcola la probabilita` che l’automobilista trovi tutti e tre i semafori rossi.
5 1 1 , Y di parametri n ¼ 3, p ¼ , Z di parametri n ¼ 3, p ¼ ; a. X binomiale di parametri n ¼ 3, p ¼ 12 12 2  245 11 1 b. ; c. ; d. 576 576 8

650

Numero di partecipanti a una riunione. Il comitato di un’associazione e` composto da 8 persone. Ciascun membro del comitato partecipa alle riunioni, indipendentemente dagli altri, con una probabilita` del 50%. Calcola la probabilita` che alla prossima riunione: b. siano presenti al massimo sei membri del comitato;




c. sia presente almeno un membro del comitato.

a.

1 247 255 ; b. ; c. 256 256 256



168 Þ

Guasti su una linea ferroviaria. La probabilita` che in un mese si verifichi un guasto su una certa linea ferroviaria e` uguale a 0,1. Supponendo i guasti indipendenti gli uni dagli altri, calcola la probabilita` che in un anno: a. non si verifichi alcun guasto; b. si verifichi almeno un guasto;

Calcolo delle probabilita`

a. tutti i membri del comitato siano presenti;

Unita` 11

167 Þ

c. si verifichino esattamente due guasti. Per ciascuna probabilita`, scrivi l’espressione che la esprime, quindi, con l’aiuto di una calcolatrice, fornisci il risul
    tato arrotondato a meno di un centesimo. 9 12 9 12 22  321 ’ 0,28; b. 1
’ 0,72; c. ’ 0,23 a. 1012 10 10 169 Þ

Candidati a un concorso. Si stima che ciascun candidato che partecipa a un concorso abbia una probabilita` del 25% di superarlo. Considera un gruppo di 20 candidati scelti a caso. a. Qual e` la probabilita` che almeno un candidato del gruppo superi il concorso? b. Qual e` la probabilita` che al massimo due candidati del gruppo superino il concorso? c. Qual e` il numero medio di candidati del gruppo che possiamo aspettarci superino il concorso? Per ciascuna probabilita`, scrivi l’espressione che la esprime, quindi, con l’aiuto di una calcolatrice, fornisci il risul  20  20  19   tato arrotondato a meno di un millesimo.
3 3 3 95 3 18 ’ 0,997; b. þ5 þ ’ 0,091; c. 5 a. 1
4 4 4 8 4 170 Þ

Test a risposta multipla. Un compito in classe e` costituito da 10 quesiti, ciascuno con quattro risposte di cui una sola e` esatta. Il professore assegna 1 punto per ogni risposta esatta e nessun punto per ogni risposta sbagliata o non data. Paolo risponde a caso a tutti i quesiti. a. Qual e` la probabilita` che Paolo prenda la sufficienza, cioe` che dia almeno sei risposte esatte? Determina la formula che esprime tale probabilita`, quindi determinane un valore approssimato con l’aiuto di una calcolatrice. Arrotonda il risultato a meno di un centesimo ed esprimilo sotto forma di percentuale. b. Qual e` il voto medio che Paolo puo` aspettarsi di prendere dando tutte le risposte a caso? c. Supponiamo che il professore di Paolo decida di cambiare il metodo di valutazione: stabilisce di assegnare 1 punto per ogni risposta esatta, nessun punto per ogni risposta non data e di togliere p punti per ogni risposta sbagliata. Quale dovrebbe essere il valore di p, per fare sı` che il voto medio atteso, rispondendo a caso a tutte le  k  10
k 
X domande, sia 0? 10  10 1 3 1 ’ 0,02 ¼ 2%; b. 2,5; c. p ¼ a. k 4 4 3 k¼6

171 Þ

` piu` probabile Problemi nella storia Il cavaliere de Me´re´ pose nel 1654 a Blaise Pascal il seguente problema: «E

ottenere almeno un ‘6’ lanciando quattro volte un dado, oppure un doppio ‘6’ lanciando due dadi 24 volte?». a. Lanciamo un dado quattro volte. Indicata con X la variabile aleatoria che conta il numero complessivo di «6» ottenuto nei quattro lanci, qual e` la distribuzione di probabilita` di X? Qual e` la probabilita` che esca almeno un «6», cioe` che sia X 1? b. Lanciamo due dadi ventiquattro volte. Indicata con Y la variabile aleatoria che conta il numero complessivo di doppi «6» ottenuti nei ventiquattro lanci, qual e` la distribuzione di probabilita` di Y? Qual e` la probabilita` che esca almeno un doppio «6», cioe` che sia Y 1? Dai risultati ottenuti ai due punti precedenti deduci la risposta al problema del cavaliere de Me´re´.    4    
1 5 1 35 24 ; b. Y  B 24, ; ,1
,1
a. X  B 4, 6 6 36 36  c. e` piu` probabile ottenere almeno un «6» lanciando un dado quattro volte 651

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 172 Þ

Vero o falso?

2 1 Due eventi A e B sono tali che pðAÞ ¼ , pðBÞ ¼ , 5 2 3 pðA \ BÞ ¼ 10 a. pðA [ BÞ ¼ 1

V

F

b. pðAÞ ¼ pðA [ BÞ

V

F

c. pðBÞ ¼ pðBÞ

V

F

d. pðA \ BÞ ¼ pðAÞ
pðA \ BÞ

V

F

e. pðA \ BÞ ¼

1 10

V

F

f. pðA [ BÞ ¼

3 5

V

F

[4 affermazioni vere e 2 false] 173 Si estrae una pallina da un’urna che ne contiene Þ

20 bianche, 15 verdi, 10 rosse e 30 di altri colori. Calcola la probabilita` che essa: a. sia bianca o rossa; 
b. non sia ne´ bianca ne´ rossa; 2 3 4 c. non sia verde. a. ; b. ; c. 5 5 5 174 Da un mazzo di 52 carte se ne estrae una a caso; Þ calcola la probabilita` che: a. sia una carta di fiori; b. sia un fante; c. sia una carta di fiori o un fante; d. non sia una figura; e. sia una carta di cuori o di picche. 
1 1 4 10 1 ; c. ; d. ; e. a. ; b. 4 13 13 13 2 175 Calcola la probabilita` che estraendo una carta da Þ un mazzo di 40, questa sia: a. un Asso non di quadri; b. una figura non di cuori; c. una Regina di denari o un Re di quadri. 
3 9 1 ; b. ; c. a. 40 40 20 176 Þ

In un’urna ci sono 7 biglie rosse, 4 biglie nere e n biglie verdi. Estraendo a caso una biglia dall’urna, la probabilita` di estrarre una biglia che non sia nera e` 0,75. Quante biglie verdi ci sono nell’urna? [5] 177 Si lancia una moneta equilibrata tre volte, conseÞ cutivamente. Determina la probabilita`: a. che si ottenga «croce» esattamente una volta; b. che si ottenga «croce» esattamente due volte; c. che si ottenga «croce» tre volte; d. che si ottenga «croce» almeno una volta. 
3 3 1 7 a. ; b. ; c. ; d. 8 8 8 8

652

178 Þ

Dal sacchetto della tombola si estrae un numero. Calcola la probabilita` di estrarre un numero pari ma 
non divisibile per 4. 23 90

179 Þ

Calcola la probabilita` che, lanciando due dadi, si
 ottengano due facce con numeri consecutivi. 5 18

180 Þ

Da un sacchetto della tombola si prelevano tutti i dischetti con numeri divisibili per 5 e li si inserisce in un altro sacchetto della tombola, completo dei novanta numeri. Da quest’ultimo si estrae un dischetto: qual
 e` la probabilita` di estrarre un multiplo di 10? 1 6

181 Þ

Dal sacchetto della tombola si estrae un numero. Calcola la probabilita` che esso sia multiplo di 3 o di 7.
 19 45

182 Þ

Un’urna contiene 5 biglie rosse e 10 bianche. Si estraggono dall’urna, successivamente, due biglie, senza rimettere nell’urna la prima biglia estratta. Determina la probabilita`: a. di estrarre due biglie rosse; b. di estrarre due biglie dello stesso colore; c. di estrarre due biglie di colori diversi. 
2 11 10 ; b. ; c. a. 21 21 21

183 Þ

Un’urna contiene 5 biglie rosse e 10 bianche. Si estraggono dall’urna, successivamente, due biglie, rimettendo nell’urna la prima biglia estratta. Determina la probabilita`: a. di estrarre due biglie rosse; b. di estrarre due biglie dello stesso colore; c. di estrarre due biglie di colori diversi. 
1 5 4 a. ; b. ; c. 9 9 9

184 Þ

Un’urna contiene 25 palline bianche e 15 rosse. Si estraggono, successivamente, tre palline senza reinserire, dopo ciascuna estrazione, la pallina estratta nell’urna. Qual e` la probabilita` che: a. siano estratte tutte palline dello stesso colore; b. solo una delle palline estratte sia bianca. 
29 525 ’ 27,88%; b. ’ 26,57% a. 104 1976

185 Þ

Se lanci due dadi, qual e` la probabilita` che la somma dei due numeri ottenuti sia pari o uguale a 3?
 5 9

Si lancia quattro volte una moneta regolare. a. Qual e` la probabilita` di ottenere quattro «testa»?
 1 16

187 Þ

Una password e` costituita da cinque cifre, con la possibilita` che le cifre siano ripetute. Scegliendo a caso una password, determina la probabilita`: a. che non contenga alcuno 0; b. che contenga almeno uno 0; c. che contenga esattamente uno 0. [a. 0,59049; b. 0,40951; c. 0,32805]

188 Þ

Si lancia quattro volte un dado regolare. a. Qual e` la probabilita` che, in tutti e quattro i lanci, si ottenga il numero 6? b. Qual e` la probabilita` che, nei quattro lanci, esca 
sempre lo stesso numero? 1 1 ; b. a. 1296 216

189 In un compito in classe Alessandro deve risponÞ dere a tre quesiti del tipo «vero o falso». Supponi che Alessandro risponda a caso a tutti e tre i quesiti. Calcola la probabilita` che Alessandro: a. abbia riposto correttamente a tutti e tre i quesiti; b. abbia risposto correttamente a solo due quesiti; c. abbia dato almeno una risposta corretta; d. abbia dato almeno una risposta sbagliata. 
1 3 7 7 a. ; b. ; c. ; d. 8 8 8 8 190 Si lanciano successivamente due dadi regolari a Þ sei facce. Sia A l’evento «il numero uscito sul primo dado e` dispari»; sia B l’evento «la somma dei due numeri usciti sui due dadi e` 8». Calcola le probabilita` degli eventi: 
a. A [ B 7 5 ; b. b. A [ B a. 12 9 191 Un ragazzo ha a disposizione solo due telefonate; Þ sceglie a caso due numeri telefonici distinti da una lista che contiene il numero di telefono di tre ragazzi e di due ragazze. Qual e` la probabilita` che almeno una delle due telefonate vada a una delle due ragazze? 
7 10 192 Þ

Un’urna contiene n palline. Se si estrae una palli4 na, la probabilita` che essa sia gialla e` . Se invece si 7 estraggono successivamente due palline, senza rimettere la prima pallina estratta nell’urna prima di estrarre la seconda, la probabilita` che esse siano entrambe gial38 . Quanto vale n? Quante sono le palline gialle le e` 119 contenute nell’urna? [n ¼ 35, 20 palline gialle]

Un’urna A contiene 100 biglie, di cui 20 rosse e 80 bianche. Un’urna B contiene n biglie rosse e 85 bianche. Determina il minimo valore di n per cui la probabilita` di estrarre una biglia rossa dall’urna B sia maggiore della probabilita` di estrarre una biglia rossa dall’urna A. [n ¼ 22] 194 Þ

Da un mazzo di 52 carte se ne estrae una a caso. Considera i seguenti eventi: A: «e` uscito un Asso» B: «e` uscito un Fante» C: «e` uscita una carta di quadri» D: «e` uscita una carta rossa» E: «e` uscito un Asso o una figura»

Calcolo delle probabilita`

b. Qual e` la probabilita` di ottene 2 «testa» e 2 «cro
 ce»? 3 8

193 Þ

Unita` 11

186 Þ

a. Determina la probabilita` degli eventi A, B, C, D, E. b. Esprimi a parole gli eventi A \ C, A \ D, D \ E e calcola la loro probabilita`. c. Esprimi a parole gli eventi A [ C, A [ D e calcola la loro probabilita`. d. Esprimi a parole gli eventi E \ D e E [ D e calcola la loro probabilita`.
1 1 1 1 4 1 1 2 , , , , ; b. , , ; a. 13 13 4 2 13 52 26 13  4 7 2 17 , ; d. , c. 13 13 13 26 195 Þ

Un’urna contiene 50 palline numerate da 1 a 50. Si estrae a caso una pallina dall’urna. Considera i seguenti eventi: A: «e` uscito un numero dispari» B: «e` uscito un multiplo di 4» C: «e` uscito un multiplo di 5» a. Determina la probabilita` degli eventi A, B, C. b. Determina la probabilita` degli eventi A \ B, B \ C, A \ C. c. Determina la probabilita` degli eventi A [ B, A [ B. d. Determina la probabilita` degli eventi B [ C, B \ C. e. Determina la probabilita` degli eventi A \ C, A [ C.
1 6 1 1 1 37 , ; b. 0, , ; c. , 1; a. , 2 25 5 25 10 50  2 3 2 9 d. , ; e. , 5 5 5 10

196 Þ

Un’urna contiene tre biglie rosse e quattro biglie nere. Si estraggono a caso dall’urna due biglie, senza rimettere la prima biglia estratta nell’urna. Determina la probabilita` che: a. la prima biglia estratta sia rossa e la seconda nera; b. le due biglie estratte siano entrambe nere; c. almeno una delle due biglie estratte sia rossa; d. le due biglie estratte abbiano lo stesso colore; e. le due biglie estratte abbiano colori differenti. 
2 2 5 3 4 a. ; b. ; c. ; d. ; e. 7 7 7 7 7 653

Calcolo combinatorio e probabilita`

197 Þ

Tema I

199 Þ

Una variabile aleatoria discreta X ha la seguente distribuzione di probabilita`: xi

1

2

4

PðX ¼ xi Þ

1 2

1 4

k

a. Determina k.


a. k ¼

b. Determina il valore medio e la varianza di X.

1 3 ; b. 2, 4 2



198 Þ

Verifica che se una variabile aleatoria binomiale X, di parametri n e p, e` tale che la sua media e` uguale alla sua 1 . deviazione standard, allora p ¼ nþ1

Un’urna contiene una pallina bianca e due nere. Si estraggono successivamente dall’urna quattro palline, rimettendo dopo ciascuna estrazione la pallina estratta nell’urna. a. Qual e` la probabilita` di estrarre esattamente due palline bianche?


 8 65 a. ; b. 27 81

b. Qual e` la probabilita` di estrarre almeno una pallina bianca?

200 Un’urna contiene 10 palline, di cui 7 bianche e 3 nere. Si estraggono successivamente dall’urna cinque palliÞ ne, rimettendo dopo ciascuna estrazione la pallina estratta nell’urna. Qual e` la probabilita` di estrarre 3 palline nere
 e 2 bianche? 1323

10 000 201 Un giocatore lancia un dado regolare, successivamente, per cinque volte. In ciascuno dei cinque lanci, il gioÞ catore perde se esce «1» e vince altrimenti.

a. Qual e` la probabilita` che perda esattamente tre volte? b. Qual e` la probabilita` che vinca esattamente quattro volte?




125 3125 a. ; b. 3888 7776



202 Il 10% di una certa popolazione e` contagiato da un virus. Si scelgono a caso 4 persone dalla popolazione. SupÞ ponendo le scelte tra loro indipendenti, qual e` la probabilita` che almeno due delle quattro persone siano contagia
 te? 523

10 000 203 Abbiamo a disposizione due dadi regolari a forma di tetraedro, sulle cui facce sono presenti i numeri 0, 1, 2, Þ 3, e due dadi regolari a forma di cubo, sulle cui facce sono presenti i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se viene lanciata la coppia di dadi a forma di tetraedro, si vince se la somma dei due numeri sulle facce nascoste e` 5; se viene lanciata la coppia di dadi a forma di cubo, si vince se la somma dei due numeri sulle facce superiori e` 5. E` piu` probabile vincere lanciando i due dadi tetraedrici o i due dadi cubici? [I due dadi tetraedrici] 204 In un’urna sono contenute tre biglie, recanti impressi i numeri
1, 0 e 1. In una seconda urna sono presenti Þ altre tre biglie, recanti impressi gli stessi numeri. Si estrae a caso una biglia dalla prima urna e si annota il numero presente sulla biglia estratta, diciamolo x. Analogamente, si estrae a caso una biglia dalla seconda urna e si annota il numero presente sulla biglia estratta, diciamolo y. Si rappresenta quindi il punto di coordinate ðx, yÞ nel piano cartesiano. Qual e` la probabilita` che il punto:

a. appartenga alla circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio 1? b. appartenga al cerchio limitato dalla circonferenza di cui al punto a.? pffiffiffi 2?

c. appartenga alla circonferenza avente centro nell’origine e raggio

d. appartenga al cerchio limitato dalla circonferenza di cui al punto c.? e. appartenga alla circonferenza avente centro nell’origine e raggio 2? f. appartenga al cerchio limitato dalla circonferenza di cui al punto e.?


 4 5 4 a. ; b. ; c. ; d. 1; e. 0; f. 1 9 9 9

205 Considera tre urne X, Y e Z. Nell’urna X sono contenute due palline, numerate 1 e 2; nell’urna Y sono conteÞ nute tre palline, numerate 1, 2 e 3; nell’urna Z sono contenute due palline, numerate 1 e 3. Estraiamo a caso una pallina dall’urna X e indichiamo con x il numero della pallina estratta; quindi estraiamo a caso una pallina dall’ur-

654

a. Calcola la probabilita` degli eventi A, B, C e D. b. Calcola la probabilita` degli eventi A \ C, B \ D, B \ C. c. Calcola la probabilita` degli eventi A [ C, B [ D, B [ C.


a.

1 1 1 1 1 1 2 5 5 , , , ; b. , , 0; c. , , 2 6 4 3 12 12 3 12 12



206 Problemi nella storia Uno dei problemi proposti a Newton da Samuel Pepys (l’autore dei famosi diari), presiÞ dente della Royal Society, e` il seguente: e` piu` probabile ottenere almeno un 6 lanciando sei volte un dado o almeno due 6 lanciando dodici volte il dado? Sai risolvere questo problema? 
56 512 12  511 ’ 61,87% Le due probabilita` sono uguali a 1
6 ’ 66,51%, 1
12
6 6 612

Calcolo delle probabilita`

A: «x z» B: «x þ y þ z ¼ 7» C: «i tre numeri x, y e z sono tutti distinti» D: «y < z»

Unita` 11

na Y e indichiamo con y il numero della pallina estratta; infine estraiamo a caso una pallina dall’urna Z e indichiamo con z il numero della pallina estratta. Considera i seguenti eventi:

207 Passeggiata aleatoria nel piano. Una formica si trova nell’origine degli assi, in un piano cartesiano. A ogni Þ passo, la formica si muove a caso di una unita` nella direzione e nel verso dell’asse x oppure di una unita` nella direzione e nel verso dell’asse y. Supponi che la formica compia tre passi.

a. Rappresenta la situazione tramite un diagramma ad albero e deduci quali sono le coordinate dei punti in cui la formica puo` trovarsi dopo i tre passi. Determina quindi la probabilita` che la formica, nel suo percorso: b. passi per il punto A(1, 1); c. passi per il punto B(2, 1); d. passi per il punto A e per il punto B; e. passi per almeno uno dei due punti A o B. 
1 3 1 5 a. Possibili posizioni finali: (0, 3); (1, 2); (2, 1); (3, 0); b. ; c. ; d. ; e. 2 8 4 8

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 208 Il paradosso delle panchine. In un giardino pubblico ci sono tre panchine, ciascuna a due posti. Una persoÞ na arriva e si siede a caso su una panchina; successivamente arriva una seconda persona: anch’essa si siede a caso su una panchina. Qual e` la probabilita` che le due persone si trovino sedute sulla stessa panchina?

a. Andrea risolve il problema in questo modo. Immaginiamo di numerare i posti delle panchine:

1

2

3

4

5

6

La prima persona sceglie a caso uno dei posti disponibili: ha sei possibilita`; la seconda che arriva sceglie a caso tra uno dei cinque posti rimasti: abbiamo in tutto 6  5 modi diversi in cui le due persone possono sedersi, ciascuno dei quali puo` essere rappresentato da una coppia ordinata di numeri; per esempio, la coppia ð1, 3Þ indichera` che la prima persona ha scelto il posto 1 e la seconda il posto 2. I casi favorevoli, cioe` quelli in cui le due persone si trovano sedute sulla stessa panchina, sono quelli rappresentati dalle sei coppie ordinate: ð1, 2Þ; ð2, 1Þ; ð3, 4Þ; ð4, 3Þ; ð5, 6Þ; ð6, 5Þ 6 1 ¼ . 65 5 b. Barbara affronta invece il problema come segue. Indichiamo con le tre lettere A, B e C le tre panchine.

Avendo 6 casi favorevoli e 6  5 casi possibili, la probabilita` richiesta e` data da

A

B

C

655

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

La prima persona sceglie a caso una panchina: ha tre possibilita`; la seconda persona arriva e a sua volta sceglie a caso una panchina: anch’essa ha tre possibilita`, quindi le due persone possono fare in tutto 3  3 scelte diverse, ciascuna delle quali puo` essere rappresentata da una coppia ordinata di lettere; per esempio, la coppia ðA, BÞ indica che la prima persona ha scelto la panchina A e la seconda la panchina B. I casi favorevoli, cioe` quelli in cui le due persone si trovano sedute sulla stessa panchina, sono quelli rappresentati dalle tre coppie ordinate: ðA, AÞ; ðB, BÞ; ðC, CÞ Avendo 3 casi favorevoli e 3  3 casi possibili, la probabilita` richiesta e` data da

3 1 ¼ . 33 3

Andrea e Barbara hanno ottenuto due probabilita` differenti! Chi sta sbagliando e perche´? 209 Tira un dado tradizionale: qual e` la probabilita` che il prodotto dei numeri che compaiono sulle cinque facce Þ che rimangono visibili sia divisibile per 6? A

1 3

B

1 2

C

2 3

D

5 6

E

1 [E]

(Kangourou 2007) 210 Þ A

Qual e` la probabilita` che scegliendo a caso un numero di tre cifre esso sia pari e maggiore di 399? 1 2

B

1 3

C

1 6

D

2 3

E

1 9 [B]

(Kangourou 2001) 211 Þ

Tiriamo due dadi regolari, con le facce numerate da 1 a 6, osserviamo i punteggi sulle facce superiori e calcoliamone la differenza. Qual e` il valore piu` probabile per il valore assoluto di tale differenza? A

Tutti i numeri fra 0 e 5 sono equiprobabili

D

2

B

0

E

3

C

1 [C]

(Kangourou 2003) 212 Þ

Due gabbiani bianchi e otto gabbiani grigi volano su un fiume. All’improvviso atterrano su una delle sponde del fiume, disponendosi in linea retta in ordine casuale. Qual e` la probabilita` che i due gabbiani bianchi si trovino uno accanto all’altro? 1 1 1 1 1 A B C D E 5 6 7 8 9 (Kangourou 2003) [A] 213 In una scatola vengono inseriti 2003 biglietti numerati da 1 a 2003. Viene estratto a sorte un biglietto, quindi Þ ne viene estratto un secondo, senza che il primo estratto sia stato reinserito. A questo punto vengono letti nell’ordine i numeri di biglietti estratti. La probabilita` che il secondo dei due numeri sia superiore al primo e`: A

Piu` di

1 2

B

1 2

C

Fra

1 1 e 3 2

D

1 3

E

Meno di

1 3 [B]

(Kangourou 2003) 214 Þ

Carla si e` dimenticata la password di accesso al suo nuovissimo computer! Si ricorda pero` che e` una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui due sono maiuscole e due sono minuscole. Quante password diverse deve provare Carla, al massimo, per accedere al suo computer? A

3  54

B

55

C

6  54

D

56

E

3  56 [C]

(Giochi di Archimede 2009)

215 Quattro ragazzi vogliono telefonare tutti contemporaneamente alle rispettive ragazze. Ogni loro cellulare Þ puo` funzionare su quattro frequenze distinte. Se due cellulari si attivano sulla stessa frequenza, la comunicazione cade. Se ogni ragazzo non sa che frequenza scelgono gli atri tre, qual e` la probabilita` che tutti e quattro riescano a parlare con le loro ragazze? A

3 32

(Giochi di Archimede 2003)

656

B

3 64

C

1 256

D

1 16

E

9 129 [A]

Lanciando due dadi regolari con 12 facce, numerate da 1 a 12, la probabilita` che la somma dei valori delle facce sia 13 e` uguale a: A

B

1 12

C

13 144

D

1 6

E

13 72 [B]

(Giochi di Archimede 2001)

217 Dieci amici decidono di giocare una partita di calcetto, cinque contro cinque. Sapendo che vi sono due terne Þ di fratelli e che i tre fratelli Ambrosio desiderano giocare tutti nella squadra A mentre i tre fratelli Bianchi desiderano giocare tutti nella squadra B, in quanti modi si possono formare le due squadre? A

3

B

6

C

15

D

24

E

30 [B]

(Giochi di Archimede 2004)

Calcolo delle probabilita`

1 24

Unita` 11

216 Þ

218 Un ladro spia Marco mentre chiude la sua valigia con un lucchetto con combinazione di 3 cifre (ciascuna ciÞ fra va da 0 a 9). Non ha potuto vedere la combinazione, ma e` riuscito a capire che due cifre consecutive sono uguali e la terza e` diversa. Qual e` il massimo numero di combinazioni che il ladro dovra` provare per aprire la valigia di Marco? A

180

B

190

C

200

D

210

E

220 [A]

(Giochi di Archimede 2000)

219 Un comune dado con facce numerate da 1 a 6 viene lanciato tre volte e ogni volta si prende un bastoncino di Þ lunghezza pari al risultato del lancio. Qual e` la probabilita` che i tre bastoncini costituiscano i lati di un triangolo rettangolo? A

1 6

B

1 36

C

1 216

D

5 18

E

1 72 [B]

(Giochi di Archimede 2000) 220 Þ

Quante parole di quattro lettere (anche prive di senso compiuto) si possono scrivere utilizzando solo le lettere A, B, E, M, O (ammettendo che le lettere possano essere ripetute) in modo che nessuna delle lettere successive a una B (andando da sinistra verso destra) sia una M? (Quindi, per esempio, ABEB deve essere contata ma OBAM no). A

43  5

B

42  52

C

4  53

D

29

E

54 [D]

(Giochi di Archimede 2005)

221 La percentuale di femmine che nascono nei parti gemellari e` del 48,5%. Supponendo che nei parti gemellari Þ la probabilita` che i due nati siano di sesso differente sia del 33%, qual e` la probabilita` che in un parto gemellare nascano due femmine? A

32%

B

33%

C

33,33%

D

35%

E

50% [A]

(Giochi di Archimede 2002) 222 Þ

Solve math in English A group consists of four women and five men. Three people are selected to attend a con
 ference. Find the probability that the selected group will consist of all men. 5 42

223 Þ

Solve math in English If you are dealt 4 cards from a deck of 32 cards, find the probability of getting three

queens and one king.




2 4495



657

Calcolo combinatorio e probabilita` Tema I

PROVA DI AUTOVERIFICA

Calcolo delle probabilita` 1 Ho in tasca un mazzo con 10 chiavi, fra cui quella di casa, indistinguibili l’una dall’altra. Prendo a caso una Þ chiave; qual e` la probabilita` che non sia quella di casa? 2 Qual e` la probabilita` che un numero naturale di due cifre preso a caso abbia la cifra delle decine doppia di Þ quella delle unita`? 3 Da un mazzo di 40 carte si tolgono l’Asso di fiori, il 7 di quadri, il Re di picche e tutti i 2. Successivamente si Þ estrae una carta. Calcola la probabilita` che questa sia: a. un Re; b. un Asso; c. una carta di fiori; d. una figura. 4 Supponiamo che l’ordine con cui sei congressisti devono prendere la parola sia stabilito per sorteggio e che Þ ciascuno prenda la parola una e una sola volta. Qual e` la probabilita` che tale ordine coincida con quello alfabetico crescente (dalla A alla Z)? 5 Un sacchetto contiene 2 palline blu, 4 rosa e 3 nere. Si estrae una pallina. Qual e` la probabilita` che essa sia Þ blu o nera? 6 Un sacchetto contiene 2 palline blu, 4 rosa e 3 nere. Si estrae una pallina, la si rimette nell’urna e si esegue anÞ cora un’estrazione. Qual e` la probabilita` che la prima pallina estratta sia blu o la seconda estratta sia nera? 7 Þ

Un’urna contiene 20 palline, di cui 4 rosse, 10 blu e 6 verdi. Si estraggono simultaneamente 5 palline dall’urna. Qual e` la probabilita` che tra le palline estratte non ce ne sia nessuna rossa? 8 Þ

Si lancia un dado regolare per 3 volte. Stabilisci qual e` la probabilita`: a. che esca 6 almeno una volta; b. che esca 6 al massimo una volta.

9 Si lancia un dado regolare a sei facce. Stabilisci se i due eventi A: «esce un numero dispari» e B: «esce un nuÞ mero maggiore o uguale a 3» sono indipendenti. 10 Vero o falso? Þ Un’urna contiene 20 palline nere e 80 palline bianche. Si effettuano n estrazioni successive, con reimmissione. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di palline nere complessivamente estratte negli n lanci.   1 V F a. X ha una distribuzione binomiale del tipo B n, 4 3 b. pðX ¼ 0Þ ¼ n V F 4 c. pðX < 4Þ ¼ 1
pðX > 4Þ V F

d. EðXÞ ¼ 0,75n 45 e. Se n = 5, allora pðX ¼ 3Þ ¼ 512 ðn2
nÞ3n
2 f. pðX ¼ 2Þ ¼ 22nþ1

V

F

V

F

V

F

Valutazione Esercizio Punteggio

1

2

3

4

5

0,5

1

0,25  4 ¼ 1

1

0,5

6

7

8

1,25 1,25 0,75  2 ¼ 1,5

9

10

Totale

0,5

0,25  6 ¼ 1,5

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 2 h

658

3Risposte in fondo al volume

I

Laboratorio di informatica

Tema Tema I

` GUIDATE ATTIVITA Attivita` 1 Foglio elettronico

Un dado regolare a 6 facce viene lanciato 50 volte. a. Rappresenta, costruendo un opportuno foglio Excel, la distribuzione di probabilita` della variabile aleatoria X che conta il numero complessivo di «6» usciti in 50 lanci. b. In corrispondenza di quale valore di k la probabilita` che sia X ¼ k e` massima? c. Qual e` la probabilita` che risulti EðXÞ
ðXÞ < X < EðXÞ þ ðXÞ?

Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line.

a. Rappresentazione della distribuzione binomiale

Laboratorio di informatica

Rappresentazione di una distribuzione binomiale

Premettiamo che dovrai utilizzare la funzione predefinita DISTRIB.BINOM, che ha la seguente sintassi:

Á; DISTRIB.BINOM(numero di successi; prove; probabilita valore logico) dove:  numero di successi e` il numero k di successi corrispondente all’evento di cui si vuole valutare la probabilita`;  prove e` il numero complessivo di prove che vengono realizzate; Á indica la probabilita` di successo in una prova;  probabilita  valore logico determina la forma della funzione: nel nostro caso, se il valore logico e` FALSO la funzione predefinita di Excel ci restituira` la probabilita` che sia X ¼ k, mentre se e` VERO restituira` la probabilita` che sia X  k.

Modi di dire La funzione che associa a ogni k la probabilita` che sia X  k e` detta funzione di ripartizione della variabile aleatoria X.

Costruisci un foglio Excel come quello di cui in figura sono riportate le prime righe. Le prime due colonne rappresentano la distribuzione di probabilita` di X, mentre le celle E1, E2 ed E4 servono per rispondere alla domanda c.

Per costruire le prime due colonne del foglio segui i suggerimenti qui di seguito.

=DISTRIB.BINOM(A2; 60; 1/6; falso) 3. Copia la formula inserita in B2 nelle righe sottostanti (fino alla 52). 4. Rappresenta la distribuzione di probabilita` di X, tramite un istogramma. A tale scopo e` sufficiente che selezioni la colonna B appena costruita, attivi la barra multifunzione Inserisci e scegli prima Istogramma e poi il tipo di istogramma desiderato. Otterrai un diagramma simile a quello mostrato a pagina seguente.

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO

1. Nella cella A2 immetti il valore 0, nella cella A3 immetti la formula =A2+1, quindi copia la cella A3 nelle righe sottostanti (fino alla 52). 2. Nella cella B2 scrivi la formula che esprime la probabilita` che si verifichi un numero di successi uguale a quello indicato nella cella A2. Poiche´ X ha una 1 distribuzione binomiale di parametri n ¼ 60 e p ¼ , la formula da inserire 6 risulta:

659

Laboratorio di informatica Tema I

5. In base al diagramma a barre e ai dati numerici che puoi leggere nelle colonne A e B, deduci per quale valore di k la probabilita` che sia X ¼ k e` massima. b. Calcolo della probabilita` che risulti EðXÞ
ðXÞ < X < EðXÞ þ ðXÞ

1. Immetti nelle celle E1 ed E2 le formule opportune per il calcolo della media e della deviazione standard di X. 2. Osserva che risulta EðXÞ
ðXÞ < X < EðXÞ þ ðXÞ se e solo se 6  X  10. Per il calcolo della probabilita` che risulti EðXÞ
ðXÞ < X < EðXÞ þ ðXÞ e` sufficiente quindi inserire nella cella E4 una formula che sommi le probabilita` degli eventi X ¼ 6, X ¼ 7, X ¼ 8, X ¼ 9 e X ¼ 10.

Attivita` 2 Foglio elettronico

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO

Test a risposta multipla

660

Si vuole costruire un test a risposta multipla, costituito da n quesiti, con n 10. Ogni quesito e` costituito da quattro risposte, di cui una sola esatta. Il test sara` valutato assegnando 2 punti per ogni risposta esatta e togliendo 1 punto per ogni risposta sbagliata o non data. Uno studente avra` la sufficienza se otterra` un punteggio superiore alla meta` del punteggio massimo possibile; non avra` la sufficienza se otterra` un punteggio inferiore o uguale alla meta` del punteggio massimo possibile. Supponiamo che uno studente diligente abbia una probabilita` p di rispondere correttamente a ciascuna domanda e che uno studente negligente risponda a caso a tutte le domande. La risposta a ciascuna domanda e` supposta inoltre indipendente dalle risposte alle altre. Si vuole costruire il test in modo che la probabilita` che uno studente negligente prenda la sufficienza sia inferiore al 5% e che la probabilita` che uno studente diligente non prenda la sufficienza sia inferiore al 20%. Se p ¼ 0,8 qual e` il minimo numero di quesiti da cui deve essere costituito il test? a. Formalizzazione del problema

1. Indica con X il numero di risposte esatte date da uno studente negligente al test. Qual e` la distribuzione di probabilita` di X? 2. Indica con Y il numero di risposte esatte date da uno studente diligente al test. Qual e` la distribuzione di probabilita` di Y? 3. Indicato con ZX il punteggio ottenuto da uno studente negligente che ha dato X risposte esatte al test, verifica che ZX ¼ 3X
n e che lo studente 2 avra` la sufficienza se e solo se risulta X > n. 3

Tema I

4. Analogamente, indicato con ZY il punteggio ottenuto da uno studente diligente che ha dato Y risposte esatte al test, verifica che lo studente non avra` 2 la sufficienza se e solo se risulta Y  n. 3 5. Con queste notazioni, completa la scrittura seguente, che formalizza la condizione «la probabilita` che uno studente negligente prenda la sufficienza e` inferiore al 5%»:

Laboratorio di informatica

pðX > :::::Þ < ::::::: 6. In modo analogo formalizza la condizione «la probabilita` che uno studente diligente non prenda la sufficienza e` inferiore al 20%». b. Costruzione di un opportuno foglio di lavoro

Costruisci un foglio Excel come quello di cui sono riportate le prime righe in figura.

1. Nella cella A3 immetti il minimo numero di quesiti ammesso, cioe` 10. 2. Nella cella B3 devi immettere la formula che fornisce il minimo numero di risposte esatte per avere la sufficienza. In base a quanto visto nel punto pre2 cedente, questo numero e` uguale al minimo intero maggiore di n, essen3 do n il numero delle prove previste. Per tradurre questa condizione si puo` fare uso della funzione predefinita INT(). La formula da inserire, che devi completare, e` la seguente: =1+INT((...)/...) 3. Nella cella C3 devi immettere la formula che esprime la probabilita` per uno   2 studente negligente di prendere la sufficienza, cioe` p X > n , che e` ugua3   2 le a 1
p X  n . Completa la formula da inserire: 3

Osserva La cella C1 e` preposta all’immissione del dato che possiamo fare variare, cioe` la probabilita` p che uno studente diligente risponda correttamente a ciascun quesito.

Osserva La funzione predefinita INT(x) restituisce il massimo intero minore o uguale a x; per esempio: INT(5,4) restituisce 5. Pertanto 1+INT(5,4) restituisce 6, ovvero il minimo intero maggiore di 5.

=1-DISTRIB.BINOM(...;A3; ...;VERO)

5. Nella cella E3 devi immettere una formula che agisca cosı`: restituisca «sı`» se la probabilita` nella cella C3 e` inferiore al 5% e quella nella cella D3 e` inferiore al 20%; altrimenti restituisca «no». A questo punto, per completare la costruzione del foglio non ti resta che immettere nella cella A4 la formula =A3+1, copiare le celle della zona B3:E3 nella riga 4, quindi copiare la riga 4 nelle righe sottostanti.

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO

4. In modo analogo , nella cella D3 devi immettere la formula che esprime la probabilita` per uno studente diligente di non prendere la sufficienza, cioe`   2 p Y n . 3

661

Laboratorio di informatica Tema I

1 Þ

Test a risposta multipla. Un test a risposta multipla e` costituito da 20 quesiti. Ogni quesito ammette quattro risposte, di cui una sola esatta. Uno studente risponde a caso e in modo indipendente a tutte le domande. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero complessivo di risposte esatte date dallo studente. a. Rappresenta, costruendo un opportuno foglio Excel, la distribuzione di probabilita` della variabile aleatoria X. b. In corrispondenza di quale valore di k la probabilita` che sia X ¼ k e` massima? c. Qual e` la probabilita` che risulti EðXÞ
2ðXÞ < X < EðXÞ þ 2ðXÞ?

2 Þ

Overbooking. I voli lungo una certa tratta vengono effettuati da aerei aventi ciascuno 100 posti disponibili. Alcune statistiche effettuate riguardo questi voli hanno permesso di stabilire che, mediamente, solo il 90% dei passeggeri che hanno prenotato il biglietto si presentano effettivamente all’imbarco. a. Confidando che alcuni passeggeri non si presenteranno all’imbarco, la compagnia decide di accettare il 10% di prenotazioni in piu` dei posti effettivi sull’aereo (overbooking). Sia X il numero delle persone che hanno acquistato il biglietto che si presentano effettivamente all’imbarco. Supposto che ogni passeggero si presenti o meno all’imbarco indipendentemente dagli altri, costruisci un foglio Excel per rappresentare la distribuzione di probabilita` di X e, tramite di esso, rispondi alle seguenti domande:  Qual e` la probabilita` che sull’aereo non rimangano posti vuoti e nessun passeggero resti a terra?  Qual e` la probabilita` che almeno un passeggero che si e` presentato all’imbarco sia costretto a restare a terra? b. Costruisci un foglio Excel in modo da potere rispondere alla seguente domanda: «quante prenotazioni in piu` rispetto ai 100 posti disponibili puo` accettare al massimo la compagnia area, per fare in modo che al massimo una volta su 20 accada che un passeggero debba restare a terra?».

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO

c. Utilizzo del foglio di lavoro

662

1. Costruisci un foglio con un numero di righe sufficienti per permetterti di rispondere alla domanda del problema, cioe` per stabilire il minimo valore di n per cui sono soddisfatte le condizioni assegnate. 2. Come cambierebbe la risposta al problema se fosse p ¼ 0,85? E se fosse p ¼ 0,75?

` PROPOSTE ATTIVITA

I

Verso le competenze

Tema

1 Þ

5 Þ

Dispositivo di Galton. Una pallina scende lungo la guida rappresentata in figura. A ogni diramazione, la probabilita` di imboccare la via di sinistra e` uguale a quella di imboccare la via di destra. ingresso

Verso le competenze

In un condominio di quindici appartamenti, con un solo ascensore, l’ascensore si blocca mediamente 5 volte all’anno. Supponendo che ogni appartamento abbia tre inquilini e che ogni persona usi l’ascensore quattro volte al giorno, valuta la probabilita` che in un anno un inquilino del condominio rimanga bloccato
 nell’ascensore. 1 13 140

Tema I

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI

2 Una coppia di coniugi ha tre figli. Supponendo Þ che la probabilita` di avere un figlio maschio sia uguale a quella di avere una figlia femmina, calcola la probabilita`:

a. che i tre figli siano tutti dello stesso sesso; b. che i tre figli siano tre femmine; c. che dei tre figli almeno uno sia maschio; d. che la primogenita sia femmina. 
1 1 7 1 a. ; b. ; c. ; d. 4 8 8 2

uscita A

uscita B

uscita C

uscita D

3 In un liceo di 500 allievi si e` svolta un’indagine Þ sul numero delle assenze degli studenti in un dato anno scolastico. Si e` rilevato che:

a. Rappresenta con un diagramma ad albero tutti i possibili percorsi attraverso i quali la pallina puo` uscire dalla guida.

 il 45% degli allievi sono stati assenti almeno un giorno;  il 25% degli allievi sono stati assenti almeno due giorni;  il 10% degli allievi sono stati assenti almeno tre giorni;  il 5% degli allievi sono stati assenti almeno quattro giorni.

b. Da quali delle uscite A, B, C, D e` piu` probabile che la pallina esca dopo aver completato il suo percorso?

Scegliendo a caso uno studente di quel liceo, calcola la probabilita` che: a. lo studente sia stato assente almeno un giorno; b. lo studente non sia mai stato assente; c. lo studente sia stato assente esattamente un giorno; d. lo studente sia stato assente esattamente due o tre giorni; e. lo studente sia stato assente esattamente due giorni. Esprimi tutti i risultati tramite frazioni ridotte ai mini
mi termini. 9 11 1 1 3 ; b. ; c. ; d. e. a. 20 20 5 5 20 ` giovane e` 4 La famiglia Peterson ha tre figli. Il piu Þ un maschio, cosı` come almeno uno degli altri due. Qual e` la probabilita` che il figlio piu` vecchio sia
una 1 femmina? 3

c. Da quali delle uscite A, B, C, D e` meno probabile che la pallina esca dopo aver completato il suo percorso?
b. Dalle uscite B e C, da ciascuna delle quali 3 la pallina esce con probabilita` ; 8 c. dalle uscite A e D, da ciascuna delle quali  1 la pallina esce con probabilita` 8 1 delle perso4 ne presenti sulle piste da sci di una localita` di montagna praticano snowboard, mentre gli altri sono sciato2 di coloro che praticano snowboard hanri. Inoltre, 3 no meno di 25 anni, mentre la meta` delle persone presenti sulle piste hanno 25 anni o piu`. Si sceglie a caso una persona sulla pista; calcola la probabilita` che tale persona: a. pratichi snowboard e abbia 25 anni o piu`; b. sia uno sciatore con meno di 25 anni; c. sia uno sciatore con 25 anni o piu`. 
1 1 5 ; b. ; c. a. 12 3 12

6 Þ

In un dato giorno si e` rilevato che

663

Verso le competenze Tema I

7 Win for life. Il gioco del Win for life consiste nello scegliere 10 numeri tra 20. Ogni numero dei 10 scelti che Þ viene estratto (in una estrazione di 10 dei 20 numeri senza reimmissione) fornisce 1 punto.

a. Qual e` la probabilita` di fare 7 punti? b. Qual e` la probabilita` di fare 8 punti? c. Qual e` la probabilita` di fare 9 punti? d. Qual e` la probabilita` di fare 10 punti? e. Se hai giocato 1 euro e hai fatto 10 punti, devi controllare anche il «numerone» (che e` un numero, sempre tra 1 e 20, assegnato casualmente dal sistema): se e` uguale a quello estratto (in una seconda estrazione indipendente dalla prima, per cui il «numerone» puo` eventualmente coincidere con uno dei 10 numeri estratti nella prima estrazione), vinci la rendita di 6000 euro al mese per 20 anni (la rendita e` aumentata da 4000 a 6000 euro al mese dall’8 giugno 2010). Qual e` la probabilita` di vincere tale rendita? f. Se hai giocato 2 euro, vinci la rendita, oltre che nel caso descritto al punto precedente, anche se hai fatto 0 punti ed esce il «numerone» In tal caso qual e` la probabilita` di vincere la rendita?
 3600 1 2025 1 25 1 1 1 1 ’ ; b. ’ ; c. ’ ; d. ; e. ; f. a. 46 189 12,83 184 756 91,24 46 189 1847,56 184 756 3 695 120 1 847 560

INTERPRETARE GRAFICI E DATI 8 Þ

Osserva il diagramma qui sotto. Se nel 2008 si fosse scelto a caso un fumatore, qual era la probabilita`:

a. che fumasse al massimo 5 sigarette dal giorno? b. che fumasse piu` di 10 sigarette al giorno? c. che fumasse meno di 6 sigarette al giorno o piu` di 20 sigarette al giorno? Fumatori per numero di sigarette fumate al giorno nel 2008 oltre 20 8%

da 11 a 20

fino a 5 18%

43% 31% da 6 a 10




Esprimi tutti i risultati tramite frazioni ridotte ai minimi termini.

a.

9 51 13 ; b. ; c. 50 100 50

9 Þ



Le lampadine di una nota marca vengono prodotte in tre diversi stabilimenti: uno a Milano, uno a Bologna e uno a Roma. Si effettua un controllo sulla qualita` delle lampadine prodotte nel mese di giugno 2010 in ciascuno dei tre stabilimenti. I dati raccolti sono riportati, in parte, nella seguente tabella.

664

Sede dello stabilimento

Numero di lampadine difettose

Numero di lampadine funzionanti regolarmente

Totale

Milano

140

..........

3240

Bologna

..........

..........

1264

Roma

152

..........

..........

Totale

360

8200

..........

a. Completa la tabella. b. Scelta a caso una lampadina tra quelle prodotte nel giugno 2010, calcola la probabilita` dei seguenti eventi:  la lampadina e` stata prodotta a Milano;  la lampadina e` stata prodotta a Bologna o a Roma;

Un campione rappresentativo di 200 ragazzi dai 18 ai 25 anni viene interrogato sul numero medio di SMS che invia in una giornata. I risultati ottenuti sono riportati nella seguente tabella. Numero medio di SMS inviati in un giorno

0

1

2

3

4

Piu` di 4

Frequenza

10

30

64

36

40

20

Verso le competenze

10 Þ

Tema I

 la lampadina e` difettosa;  la lampadina e` stata prodotta a Milano ed e` difettosa;  la lampadina e` stata prodotta a Milano o e` difettosa. c. Quale dei tre stabilimenti sembra garantire una maggiore qualita` nella produzione?
 81 133 9 7 173 , , , , b. 214 214 214 428 428

Scegliendo a caso un ragazzo appartenente al campione considerato, qual e` la probabilita` che egli: a. non invii SMS; b. invii in media 1 SMS al giorno; c. invii almeno due SMS al giorno: d. invii al massimo due SMS al giorno. [a. 0,05; b. 0,15; c. 0,8; d. 0,52] 11 Þ

Osserva la seguente tabella (fonte: Italia in cifre, Istat, 2010).

SCUOLE, CLASSI E ALUNNI PER TIPO DI SCUOLA Anno scolastico 2008/2009

Dell’infanzia

Primarie

Secondarie di primo grado

Secondarie di secondo grado

Scuole

24 518

18 009

7 921

6 809

Classi*

72 889

150 345

82 751

130 784

Alunni

1 651 713

2 819 193

1 758 384

2 723 562

% femmine sul totale

48,1

48,3

47,9

49,0

% iscritti a scuole pubbliche

69,6

93,1

95,9

94,5

Stranieri per 1000 iscritti

75,7

83,1

79,6

48,0

Ripetenti per 100 iscritti




0,3

3,4

7,7

* Per le scuole dell’infanzia si fa riferimento alle sezioni.

Facendo riferimento alle scuole, classi e alunni dell’anno scolastico 2008/2009, rispondi alle seguenti domande. Esprimi i risultati sotto forma di percentuale. a. Scelta a caso una scuola, qual e` la probabilita` che essa sia una scuola primaria? b. Scelta a caso una classe, qual e` la probabilita` che appartenga alla scuola secondaria di primo o secondo grado? c. Scelto a caso un alunno della scuola secondaria di primo grado, qual e` la probabilita` che sia una femmina? d. Scelto a caso un alunno della scuola secondaria di secondo grado, qual e` la probabilita` che sia un maschio? e. Scelto a caso un alunno della scuola primaria, qual e` la probabilita` che sia iscritto a una scuola privata? f. Scelto a caso un alunno della scuola primaria, qual e` la probabilita` che sia straniero? g. Scelto a caso un alunno della scuola secondaria di primo o secondo grado, qual e` la probabilita` che sia ripetente? [a. Circa 31,45%; b. circa 48,89% ; c. 47,9%; d. 51%; e. 6,9% ; f. 8,31%; g. circa il 6%]

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE 12 Þ

Logica Siano A e B due eventi. Considera la proposizione «se A B, allora pðAÞ  pðBÞ».

a. Stabilisci se e` vera. b. Scrivi la proposizione inversa di quella data e stabilisci se e` vera. In ciascuno dei due casi, se la risposta e` che la proposizione e` vera, dimostrala, altrimenti trova un controesempio. 665

Verso le competenze Tema I

13 Þ

Da un’urna contenente n palline, numerate da 1 a n, se ne estraggono k, con k  n. Stabilisci in quanti modi si possono estrarre le k palline, nell’ipotesi che: a. le palline siano estratte successivamente, con reimmissione; b. le palline siano estratte successivamente, senza reimmissione;

c. le palline siano estratte simultaneamente. n n
1 n
1 14 Dimostra che ¼ þ nei seguenti due modi: Þ k k
1 k a. algebricamente, utilizzando la definizione di coefficiente binomiale; b. dal punto di vista insiemistico, osservando che, fissato un elemento, diciamo a, di un insieme A di n elementi, il numero di sottoinsiemi di A di k elementi e` uguale alla somma tra il numero di sottoinsiemi di k elementi di A che contengono l’elemento a e il numero di sottoinsiemi di k elementi di A che non contengono a.

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Þ

Un’urna contiene 40 palline. Marco ne estrae 20 senza rimetterle nell’urna e osserva che 5 sono nere e 15 sono rosse. Estraendo una 21-esima pallina, qual e` la probabilita` che questa sia nera? 1 A Meno di . 2 1 B Esattamente . 2 1 C Piu ` di . 2 D Le informazioni non sono sufficienti per stabilirlo. 2 Þ

La seguente figura rappresenta una roulette un po’ particolare: non ci sono numeri ma solo settori indicati con delle lettere.

A 60° B

D 60° C

Se la pallina si muove lungo il bordo, qual e` la probabilita` che si fermi sull’arco che delimita il settore B o sull’arco che delimita il settore D? 1 5 A C 3 6 2 D Un valore diverso dai precedenti. B 3 3 Un mazzo di carte da poker e` composto da 52 pezÞ zi, 12 dei quali sono figure. Pescando a caso una carta, qual e` la probabilita` che si verifichi l’evento «esce un Fante o un Asso di cuori o un Due di picche»? A

B

666

3 13 5 13

C

D

3 26 5 26

4 Þ

Si lancia un comune dado a 6 facce, non truccato, per 6 volte. Qual e` la probabilita` che al terzo lancio esca il numero 3? 1 A 3 1 B 6 3 C 4 5 D 8 5 Þ

Se si lanciano contemporaneamente due monete, qual e` la probabilita` che esca almeno una volta «croce»? 1 A 2 1 B 4 1 C 3 3 D 4 6 Þ

In un gioco vi sono tre sacchetti: A, B, C. I concorrenti sanno che:  il sacchetto A contiene 3 palline bianche e 1 pallina rossa;  il sacchetto B contiene 4 palline bianche e 1 pallina verde;  il sacchetto C contiene 5 palline bianche e 1 pallina nera. Per vincere un premio, il concorrente, dopo aver scelto uno dei sacchetti, deve estrarre una pallina bianca. Quale sacchetto conviene scegliere per avere la maggiore probabilita` di vincere? A B C D

Il sacchetto A. Il sacchetto B. Il sacchetto C. La scelta non influenza la probabilita` di vincere.

A B C D

L’urna contiene 6 palline bianche, 2 rosse e 3 nere. L’urna contiene 6 palline bianche, 1 rossa e 3 nere. L’urna contiene 3 palline bianche e 5 rosse. L’urna contiene 6 palline bianche e 10 rosse.

8 Þ

Si sceglie a caso un numero tra i multipli di 9 minori di 1 000 000. Qual e` la probabilita` che si verifichi l’evento: «esce il numero 111111»? 1 A 0 C 111111 1 B D 1 3 9 Si lanciano due dadi ed escono due numeri il cui Þ prodotto e` 6. Qual e` la probabilita` che uno dei due numeri usciti sia 3? 1 1 A C 2 9 2 3 B D 3 4 10 Si lanciano contemporaneamente due monete. Þ Qual e` la probabilita` che escano una «testa» e una «croce»? 1 1 A C 3 4 1 2 B D 2 3 11 Þ

Se lanci un dado una sola volta, qual e` la probabi` lita di ottenere un numero primo e maggiore di 2? 1 1 A C 6 2 1 2 B D 3 3 12 Un’urna contiene 20 gettoni numerati da 1 a 20. Þ Si estrae un gettone: e` un numero dispari. Senza reinserire il gettone, se ne estrae un secondo. Qual e` la probabilita` di estrarre un numero pari? A

B

9 10 9 19

C

10 19

D

9 20

13 La probabilita` che su cinque lanci di un comune Þ dado a sei facce non truccato si ottenga per cinque volte il numero 2 e`: 1 A minore di 6

1 6

B

uguale a

C

maggiore di

D

i dati sono insufficienti a stabilirlo

1 6

14 Þ

In un dado truccato avente le facce numerate da 1 a 6, la probabilita` di uscita di un numero e` direttamente proporzionale al numero stesso. Quanto vale la probabilita` che, lanciando un dado, esca il numero 3? A

1 3

C

1 6

B

1 5

D

1 7

15 Þ

Un’urna contiene 60 gettoni colorati. E` noto che 20 gettoni sono di colore verde, 18 sono di colore rosso e 12 sono di colore blu. Qual e` la probabilita` di pescare un gettone che non sia ne´ verde, ne´ rosso ne´ blu? A

1 3

C

2 3

B

1 6

D

5 6

Verso le competenze

La probabilita` di estrarre una pallina bianca da 3 un’urna e` . Quale delle seguenti affermazioni e` com5 patibile con la precedente?

Tema I

7 Þ

16 Þ

La probabilita` di estrarre una pallina nera da 1 un’urna che contiene 12 palline nere e` . Quante so5 no le palline contenute complessivamente nell’urna? A

50

B

60

C

70

D

Le informazioni date non sono sufficienti per stabilirlo.

17 Þ

Un’urna contiene 20 palline: 7 bianche, 8 rosse e 5 verdi. Quanto vale il rapporto tra la probabilita` di estrarre una pallina bianca o rossa e la probabilita` di estrarre una pallina rossa o verde? A

15 13

C

3 4

B

13 15

D

4 3

18 Þ

Viene lanciato un dado regolare a forma di ottaedro (solido regolare a otto facce), le cui facce sono numerate da 1 a 8. Qual e` la probabilita` che esca una faccia il cui numero e` multiplo di 4? 1 3 A C 8 8 B

1 4

D

1 2

19 Þ

Data un’urna contenente 30 palline, di cui 6 rosse, 9 verdi, 3 gialle e 12 blu, quale delle seguenti affermazioni e` falsa? La probabilita` di estrarre una pallina ... A

rossa o verde e` 0,5

B

gialla e` 0,1

C

rossa o gialla e` 0,3

D

verde o blu e` 0,6 667

In una lotteria i 4 premi sono assegnati per estrazioni successive, partendo dal 1 fino al 4 . Pietro ha acquistato uno solo dei 100 biglietti venduti. Egli e` presente all’estrazione dei premi, e le estrazioni del 1 e del 2 premio lo vedono perdente. Qual e` la probabilita` che Pietro vinca il 3 o il 4 premio?

Tema I

Verso le competenze

20 Þ

A

1 97

C

2 97

B

1 49

D

1 98

21 Þ

Quale dei seguenti numeri non puo` rappresentare la probabilita` di un evento? A

3 4

C

11 12

B

7 8

D

13 12

22 Þ

Quanti sono i possibili ambi che si possono giocare al gioco del lotto? A B

2000

C

4000

2005

D

4005

23 Þ

Uno studente in vacanza compra una scatola che contiene 7 ghiaccioli, di cui 3 alla menta, 2 all’arancia e 2 all’amarena. Nei 7 giorni successivi mangia un ghiacciolo al giorno; in quanti modi diversi puo` scegliere di mangiare i ghiaccioli, ritenendo indistinguibili i ghiaccioli dello stesso gusto? A

210

C

560

B

280

D

5040

24 Þ

Una password e` costituita da 3 lettere minuscole dell’alfabeto italiano e da 3 cifre da 1 a 9, inclusi 1 e 9. Le lettere e le cifre non sono ripetute. Scegliendo a caso una password, qual e` la probabilita` che inizi con una lettera? A

B

7 10

C

8 11

D

25 Þ

11 13 17 30

Un dado non truccato e` stato lanciato 70 volte di seguito. La seguente tabella riporta la frequenza con cui ciascun numero e` uscito.

668

Numero

Frequenza

1

11

2

10

3

11

4

16

5

9

6

13

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni e` vera o falsa. a. Poiche´ il 5 e` uscito meno volte, la probabilita` che esca 5 nel lancio successivo al settantesimo e` maggiore rispetto agli altri numeri. b. La probabilita` che esca 5 nel lancio successi-vo al settantesimo e` uguale a quella che esca 6. c. La probabilita` che nei due lanci successivi al settantesimo esca entrambe le volte 6 e` minore del 3%. d. Se al 71o lancio esce 3, la probabilita` che al 72o lancio esca il numero consecutivo a 3 e` superiore a 7% e. La probabilita` che nel settantaduesimo lancio esca un numero consecutivo a quello 5 . uscito nel settantunesimo e` uguale a 36

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

26 Þ

Elena compie gli anni in giugno. Di seguito e` riportato il calendario di giugno 2010, dove sono evidenziati in rosso i giorni festivi. Lu

Ma

Me

Gi

Ve

Sa

Do

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Riferendoti all’anno 2010, rispondi alle seguenti domande. a. Qual e` la probabilita` che Elena compia gli anni in un giorno non festivo? Risposta:

.................................................................................................

b. Giulia, amica di Elena, compie gli anni 5 giorni prima di Elena; qual e` la probabilita` che anche Giulia compia gli anni in giugno? Risposta:

.................................................................................................

c. Sapendo che sia Elena sia Maria compiono gli anni in giugno, qual e` la probabilita` che entrambe compiano gli anni di martedı`? Risposta:

.................................................................................................

Idee e metodi della matematica Il concetto di cardinalita` per insiemi infiniti Supponiamo che A sia un insieme formato da numero finito di elementi; rispondere alla domanda «Quanti sono gli elementi dell’insieme A?» puo` essere piu` o meno facile, ma il significato della domanda e` del tutto chiaro. Il problema si presenta invece piu` delicato quando si ha a che fare con insiemi infiniti; come possiamo dare un senso alla frase «l’insieme A ha piu` elementi dell’insieme B», se A e B sono infiniti? Per cercare di dare una risposta a questa domanda, riflettiamo piu` in profondita` sul problema nel caso finito; dire che due insiemi finiti A e B sono ugualmente numerosi, ovvero che hanno la stessa cardinalita`, equivale a dire che e` possibile stabilire tra di essi una corrispondenza biunivoca. Questa definizione di cardinalita` ha il pregio di potere essere estesa in modo naturale anche al caso infinito. Diremo allora che:

Idee e metodi della matematica

Cardinalita` degli insiemi infiniti

Due insiemi infiniti A e B hanno la stessa cardinalita` (o la stessa potenza) se e solo se fra A e B e` possibile definire una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione biiettiva). Per esempio, l’insieme Z puo` essere posto in corrispondenza biunivoca con N; infatti si puo` dimostrare che la funzione f : Z ! N definita da: 8 < 2jnj f ðnÞ ¼ 0 : 2n
1

se n < 0 se n ¼ 0 se n > 0

e` biiettiva, quindi realizza una corrispondenza biunivoca tra Z e N:
3
2
1

0

1

2

3

:::::

:::::

6

4

2

0

1

3

5

Pertanto, anche se dal punto di vista dell’inclusione Z ha «piu` elementi» di N, gli insiemi N e Z hanno la stessa cardinalita`.

Potenza del numerabile e potenza del continuo Ogni insieme avente la stessa cardinalita` di N si dice avere la potenza del numerabile. Da quanto detto poc’anzi, segue che Z e` numerabile. Intuitivamente, gli insiemi numerabili sono quelli i cui elementi possono essere contati; in modo piu` preciso, possiamo interpretare gli insiemi numerabili come quegli insiemi infiniti i cui elementi possono essere elencati come termini di una successione. Si potrebbe dimostrare che

L’unione di un’infinita` numerabile di insiemi numerabili e` ancora un insieme numerabile. Mediante questo teorema possiamo dimostrare che anche l’insieme Q e` numerabile, sulla base delle seguenti considerazioni.

1. Ogni numero razionale si puo` identificare con una unica frazione ridotta ai minimi termini, del tipo

p , con p 2 Z e q 2 Zþ ; in altre parole, l’insieme Q e` in corrispondenza q

biunivoca con l’insieme X delle frazioni descritte.

2. Le frazioni di X aventi denominatore 1 rappresentano gli elementi di Z, quindi formano un insieme numerabile, le frazioni aventi denominatore 2 sono pure numerabili (inp fatti la corrispondenza $ p definisce una corrispondenza biunivoca tra l’insieme da 2

669

Idee e metodi della matematica

esse formato e Z); analogamente sono numerabili le frazioni con denominatore 3, quelle con denominatore 4 e cosı` via.

3. L’unione di tutti gli insiemi descritti al punto precedente, ovverosia l’insieme X, e` numerabile per il teorema enunciato poc’anzi; dunque anche Q e` numerabile. Non bisogna tuttavia pensare che tutti gli insiemi infiniti siano «ordinabili» in una successione, ossia numerabili. Come controesempio, consideriamo l’intervallo (0, 1); e` abbastanza intuitivo che non sia possibile trovare un criterio per ordinare i suoi elementi in una successione: come possiamo infatti stabilire quale sia il primo o il secondo o il terzo elemento dell’intervallo? In effetti si puo` facilmente dimostrare che l’intervallo (0, 1) non e` numerabile, secondo il seguente ragionamento.  Supponiamo per assurdo che (0, 1) sia numerabile; allora tutti i suoi elementi, che supponiamo scritti in forma decimale, si potrebbero ordinare in una successione, diciamo a1 , a2 , :::, an , :::  Definiamo ora il numero reale b ¼ 0,b1 b2 b3 ::::: secondo il seguente procedimento: se la prima cifra decimale di a1 e` uguale a 1 poniamo b1 ¼ 2, altrimenti poniamo b1 ¼ 1; se la seconda cifra decimale di a2 e` uguale a 1 poniamo b2 ¼ 2, altrimenti poniamo b2 ¼ 1 e cosı` via: se la n-esima cifra decimale di an e` 1 poniamo bn ¼ 2, altrimenti bn ¼ 1.  Il numero b cosı` definito appartiene all’intervallo (0, 1) ma non puo` far parte della successione a1 , a2 , :::, an , ::: poiche´ differisce da a1 per la prima cifra decimale, da a2 per la seconda, da a3 per la terza e cosı` via. Dunque la successione a1 , a2 , :::, an , ::: non esaurisce tutti gli elementi di (0, 1), contro quanto supposto. Essendo giunti a una contraddizione, dobbiamo concludere che (0, 1) non e` numerabile. Avendo dimostrato che (0, 1) non e` numerabile, a maggior ragione possiamo affermare che anche l’insieme R non e` numerabile. Gli insiemi aventi la stessa cardinalita` di R si dicono avere la potenza del continuo. Per esempio, si potrebbe dimostrare che anche l’insieme dei punti di un segmento, l’insieme dei punti di un piano e l’insieme dei punti di una sfera hanno tutti la potenza del continuo.

Oltre la potenza del continuo Abbiamo cosı` stabilito due livelli «gerarchici» nell’ambito delle possibili cardinalita` degli insiemi infiniti: la potenza del numerabile e la potenza del continuo. Esistono insiemi infiniti aventi potenza maggiore del continuo, cioe` tali che sia possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra un loro sottoinsieme proprio ed R, ma non tra l’insieme stesso ed R? La risposta e` affermativa: si potrebbe dimostrare per esempio che l’insieme delle parti di R (cioe` l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di R) ha potenza maggiore del continuo.

670

Verso l’Universita` 1 Þ

Verso l’Universita`

` FUNZIONI, LIMITI E CONTINUITA L’insieme delle soluzioni della disequazione xjx
1j < 2 e` della forma:

A

ða, bÞ

B

ðb, þ1Þ

C

ð
1, aÞ [ ðb, þ1Þ

D

ð
1, aÞ

(Analisi matematica 1, novembre 2008, Ingegneria, Politecnico di Milano) 2 Þ

Determina l’insieme in cui la funzione f ðxÞ ¼

ln ðx þ 6Þ assume valori strettamente negativi. ln ðx
6Þ

(Istituzioni di matematiche, settembre 2010, Biologia, Universita` di Pavia)

[6 < x < 7]

3 Þ

Determina l’insieme in cui la funzione f ðxÞ ¼ ðe6x
ex Þð6x
2Þ assume valori strettamente negativi.
 1 (Istituzioni di matematiche, giugno 2010, Biologia, Universita` di Pavia) 0 : xþa2 9

x>0 x0

determina i valori di a 2 R per cui la funzione f e` continua in R. (Analisi 1, febbraio 2010, Informatica, Universita` di Torino) 14 Þ



x>0 x0

determina per quali valori di k la funzione f e` continua in x ¼ 0. (Istituzioni di matematiche 1, luglio 2011, Architettura, Universita` di Roma)

 Calcola lim

x!þ1


k¼

1 2



 1 þ 10x2 sin x 1 þ þ x sin . x þ x2 x x

(Analisi matematica 1, gennaio 2008, Ingegneria, Universita` di Pavia)

672

1 2

a¼0_a¼

Data la funzione:

8 < 2 sin x
sin 2x 2x3 f ðxÞ ¼ : 2 2k þ kx3
x

15 Þ




[11]

16 Þ

Calcola lim

x!
1

#   1 3x þ 2xln 1 þ þ 3e . x ð1
xÞ3 7x3
1

[2]

(Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Universita` di Pavia) 17 Þ

Prova per induzione che la proposizione

n P

k2 2k ¼ ðn2
2n þ 3Þ2nþ1
6 e` vera per ogni n  1.

k¼1

Verso l’Universita`

"

(Analisi matematica 1, novembre 2008, Ingegneria dei sistemi, Politecnico di Milano) 18 Þ

Prova per induzione che la disuguaglianza 6  5n  n  4nþ1 e` vera per ogni n maggiore o uguale di un numero naturale n
che devi determinare.

(Analisi matematica 1, novembre 2008, Ingegneria dei sistemi, Politecnico di Milano)

CALCOLO DIFFERENZIALE 19 Þ

1

La derivata della funzione f ðxÞ ¼ cos e xþ3 e`:

A




B




C

D

1

1

e xþ3 sin e xþ3

2

sin e xþ3

ðx þ 3Þ 1

1

ðx þ 3Þ 1

ðx þ 3Þ

1

2

2

1

1

1

1

e xþ3 sin e xþ3

ln jx þ 3je xþ3 sin e xþ3

(Analisi matematica 1, gennaio 2009, Ingegneria, Politecnico di Torino) 20 Þ

Data f ðxÞ ¼

ðx7 þ 7Þsin x þ 7x , calcola f 0 ð0Þ. x7 þ 7 [2]

(Istituzioni di matematiche, settembre 2010, Biologia, Universita` di Pavia) 2

21 Þ A

lim x!0

ex
ex ¼ sin 2x

e 2

B




e 2

C

1 2

D




1 2

(Calcolo 1, aprile 2004, Ingegneria, Universita` di Trento) 22 Þ

Sia f : R ! R una funzione derivabile tale che lim f 0 ðxÞ ¼ 2. Quale delle seguenti affermazioni e` sempre vex!þ1

ra? A

f ðxÞ ha un asintoto obliquo per x ! þ1

B

f ðxÞ ¼ 2x þ c

C

D

lim

f ðxÞ ¼2 x

lim

f ðxÞ ¼0 x

x!þ1

x!þ1

(Calcolo 1, aprile 2004, Ingegneria, Universita` di Trento) 23 Þ

Stabilisci per quali valori di a e b la funzione f ðxÞ ¼

che derivabile due volte in R?

(

a þ b sin x x < 0 x x  0 e` derivabile in R. Per tali valori e` an1 þ x2

(Analisi matematica 1, marzo 2009, Ingegneria dei sistemi, Politecnico di Milano)

[a ¼ 0, b ¼ 1; e` derivabile due volte]

24 Þ

Sia y ¼ gðxÞ l’equazione della retta tangente alla curva di equazione y ¼
6x2 þ ln x nel suo punto di ascissa 1. Qual e` il valore di gð0Þ? (Analisi matematica 1, gennaio 2008, Ingegneria, Universita` di Pavia) [5] 673

Verso l’Universita`

25 Þ

Sia data f ðxÞ ¼ 16 þ x þ x2 þ

x3 . Sia xM l’unico punto di massimo di f . Qual e` il valore di f ðxM Þ þ xM ? 4 [14]

(Analisi matematica 1, gennaio 2008, Ingegneria, Universita` di Pavia) 26 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼ e5x þ e
x , calcola le ascisse dei punti di estremo relativo di f .


x¼


(Istituzioni di matematiche, luglio 2010, Biologia, Universita` di Pavia)

 1 ln 5 6

27 Þ

Scrivi l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa 1 al grafico della funzione f ðxÞ ¼ ex
ln x (Istituzioni di matematiche, agosto 2010, Biologia, Universita` di Padova) [y ¼ xðe
1Þ þ 1] 

3 28 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 ln 6x
Þ 2

 , determina il piu` grande intervallo aperto in cui f e` convessa.


x>

(Istituzioni di matematiche, giugno 2010, Biologia, Universita` di Pavia)

1 6



29 Sia f una funzione definita su R e derivabile in 0. Di’ se la seguente implicazione e` vera o falsa (e dai una diÞ mostrazione oppure un controesempio):

f 0 ð0Þ ¼ 0 ) lim x!0

f ðxÞ ¼0 x

(Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Universita` di Pavia) 30 Þ

Sia g : R ! R una funzione due volte derivabile tale che gð0Þ ¼ 0, g 0 ð0Þ ¼ 1 e g 00 ð0Þ ¼
4. Allora il grafico di

1 vicino a x ¼ 0 e`: 1 þ gðxÞ y

y

O

O

x

A

y

y

x

O

B

C

x

O

x

D

(Analisi matematica 1, giugno 2006, Ingegneria, Universita` di Trento) 31 Þ

Sia data la seguente funzione f , reale di variabile reale, definita da:

f ðxÞ ¼

xjxj
1 þ1 xþ1

Traccia un grafico qualitativo della funzione f . La funzione f e` derivabile nel suo dominio? (Analisi matematica 1, marzo 2010, Ingegneria, Universita` di Brescia)

[La funzione coincide con la retta y ¼ x per x  0; per x < 0 ha come asintoti: x ¼
1 e y ¼
x þ 2 pffiffiffi e presenta un punto di minimo per x ¼
1
2; e` derivabile nel suo dominio] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Data la funzione f ðxÞ ¼ ln ð jx3
3xjÞ, determina l’insieme di definizione, studia i limiti agli estremi dell’insieme di definizione, stabilisci eventuali simmetrie, studia la monotonia e determina eventuali minimi e massimi. Disegna un grafico approssimativo di f . 32 Þ

(Analisi matematica 1, febbraio 2010, Ingegneria dei sistemi, Universita` di Roma)




33 Þ

  pffiffiffi pffiffiffi  1 ln 2 Dominio ¼ R
0,  3g; funzione pari; asintoti: x ¼ 0, x ¼  3, max: 1, 2

Sia f ðxÞ ¼ 4x3 ln ð
xÞ. Allora:

A

f e` invertibile in (
1, 0)

B

f e` invertibile in ð
1,
e
3 

C 1

(Analisi matematica 1, luglio 2003, Fisica, Universita` di Milano)

674

D


 1
1 3 ` f e invertibile in
1,
e 2 f non e` invertibile in alcun intervallo I  ð
1,
1Þ

Sia f ðxÞ ¼ ln ð1 þ jxjÞ. Quali delle seguenti proprieta` ha f in tutto il suo dominio?

A

e` continua

B

e` derivabile

C

e` superiormente limitata

D

e` inferiormente limitata

E

e` monotona

F

e` periodica

G

e` pari

H

e` dispari

Verso l’Universita`

34 Þ

(Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Universita` di Pavia)

[La funzione possiede in tutto il suo dominio tre delle proprieta` elencate] 35 Þ

Sia f ðxÞ ¼ x7 e
jxj
8. Quali delle seguenti proprieta` ha la funzione f in tutto R?

A

e` continua

B

e` derivabile

C D

e` limitata inferiormente e` dispari

E

e` limitata superiormente

F

e` pari

G

e` monotona

H

e` periodica

(Analisi matematica 1, febbraio 2007, Ingegneria, Universita` di Pavia)

[La funzione possiede in tutto R quattro delle proprieta` elencate] 36 Þ

Determina il massimo e il minimo della funzione f ðxÞ ¼ x þ 2jcos xj nell’intervallo ½0, 2
. 

min ¼ , max ¼ 2 þ 2
2

(Analisi matematica 1, febbraio 2005, Informatica, Universita` di Pisa)

37 Þ

Per quali valori delle costanti a, b, c, le due curve di equazioni:

y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ x
c ln x sono tangenti nel punto di coordinate (2, 0)? (Analisi matematica 1, gennaio 2009, Ingegneria, Politecnico di Milano)




Le due curve devono avere nel punto di coordinate (2, 0 la stessa retta tangente; cio` si verifica quando  1 1 2
1, c ¼ a¼ ,b¼
2 ln 2 ln 2 pffiffi 38 Verifica che la funzione f ðxÞ ¼ e
x
x e` decrescente nel suo dominio. Quindi calcola l’espressione dell’inversa Þ di f ðxÞ, precisandone il dominio. (Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Politecnico di Milano)




f
1 ðxÞ ¼

1 2

  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
2 ln x
1
4 ln xÞ, con 0 < x  1

39 Þ

Per quali valori del parametro reale  la funzione gðxÞ ¼ ex þ x e` invertibile sull’intervallo [0, 1]? (Analisi matematica 1, novembre 2005, Ingegneria, Universita` di Trento) [ 
e _  
1] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3 ¼ : 40 Studia, al variare di  2 R il numero di soluzioni dell’equazione Þ xþ1 (Analisi matematica 1, aprile 2004, Informatica, Universita` di Pisa)




41 Þ

pffiffiffi  3  1]

(Analisi matematica 1, gennaio 2006, Ingegneria, Universita` di Pisa)

675

Verso l’Universita`

STATISTICA 42 A un corso di laurea sono iscritti studenti di 4 nazioni. La composizione percentuale delle varie nazioni e` rapÞ presentata nel grafico a torta in figura. Si sa che i numeri degli iscritti provenienti da tre di queste nazioni sono 12, 36, 40 e che uno dei gruppi costituisce esattamente il 25% del totale. 3 2 Quanti sono gli studenti del gruppo 4? A

40

B

48

C

72

D

76

1

4

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2008) 43 Þ

Il seguente diagramma presenta i dati sulla mortalita` infantile in base a determinate caratteristiche socio-economiche. Le cifre riportate rappresentano la probabilita` di decesso prima del quinto anno di vita, stimate in base a dati raccolti in 63 Paesi in via di sviluppo (anni 1998-2006). mortalità infantile sotto i 5 anni (su 1000 nati) 120

107

105 100 80

96

93 67

69

40% più ricco

città

60 40 20 0

femmine

maschi campagna 60% più povero

Dall’esame del diagramma non si puo` dedurre che: A

in citta` la mortalita` infantile e` del 69 per mille

B

in un ambiente rurale la mortalita` infantile e` maggiore rispetto all’ambiente urbano

C

nei Paesi industrializzati si ha una diminuzione della mortalita` infantile: da 40 a 6 decessi annui

D

la mortalita` infantile sotto i 5 anni e` maggiore nei maschi rispetto alle femmine

E

la mortalita` infantile delle femmine e` del 9,3%

(Prova di ammissione, corso di laurea in Medicina 2008) 44 Uno studente ha avuto 5 e mezzo ai primi due compiti. Quale voto dovra` raggiungere al terzo compito per otÞ tenere la media del 6? A

7

B

5 e mezzo

C

6

D

6 e mezzo

E

Non ce la puo` fare

(Prova di ammissione, corso di laurea in Medicina 2009) 45 Þ

Il grafico rappresenta l’abitudine al fumo della popolazione di una regione d’Italia nel periodo luglio 1999-giugno 2000, secondo un’indagine ISTAT. Dall’analisi del grafico si puo` dedurre che: A

il numero di fumatori nella regione considerata e` inferiore percentualmente al resto d’Italia

B

la meta` della popolazione della regione considerata fuma

C

i fumatori rappresentano poco piu` del 21% della popolazione

D

la percentuale di ex fumatori e` maggiore della percentuale dei fumatori

E

il numero di fumatori e` quasi uguale in percentuale a quello delle fumatrici

(Prova di ammissione, corso di laurea in Medicina 2008)

676

21,4% fuma 20,6% non fuma più

58,0% non ha mai fumato

L’eta` media dei partecipanti a una festa e` di 24 anni. Se l’eta` media degli uomini e` 28 anni e quella delle donne e` 18 anni, qual e` il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? A

14 9

B

9 14

C

3 2

D

4 3

Verso l’Universita`

46 Þ

(Prova di ammissione, corso di laurea in Ingegneria 2006) 47 Agli studenti di un corso di laurea triennale e` stato chiesto di indicare quante lingue straniere sono in grado Þ di comprendere. I risultati dell’indagine sono riportati nella tabella seguente.

Nessuna

Una

Due o piu`

1 anno

45

51

10

2 anno

41

47

6

31

58

11



3 anno

Nel complesso degli studenti del primo e secondo anno, qual e` la percentuale di quelli che comprendono almeno una lingua straniera? A

61%

B

38%

C

49%

D

57%

(Test di ingresso per i corsi di laurea scientifici 2008) 48 Uno studente universitario, dopo aver superato tre esami, ha la media di 28. Nell’esame successivo lo studenÞ te prende 20. Qual e` la sua media dopo il quarto esame? A

26

B

24

C

22

D

I dati non sono sufficienti per determinare la risposta.

(Test di ingresso per i corsi di laurea scientifici 2008) 49 Þ

Per arrivare a una cima S si deve percorrere un ripido sentiero FR, con pendenza dell’80%, e poi un sentiero RS, che ha pendenza del 30%. Con riferimento alle misure indicate in figura, determina la pendenza media dell’intero percorso. S A 49% % 30 R B 55% % 80 C 40% F D 44% E

52%

(Prova di ammissione, Facolta` di Scienze 2010)

70 m

180 m

` PROBABILITA 50 Considera tutti gli anagrammi della parola FUNGHI, ovvero tutte le parole (anche prive di senso) che si otÞ tengono permutando le sei lettere. Tra esse, quante sono le parole che non cominciano per F? A

360

B

600

C

720

D

120

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2009)

677

Verso l’Universita`

51 Þ A

Utilizzando solo i caratteri «0» e «1», quante sequenze diverse di 5 caratteri si possono scrivere? 50

B

10

C

25

D

32

(Test di ingresso per i corsi di laurea scientifici, 2008) 52 Aldo, Bea, Carlo, Dario, Ebe, Franco vanno in treno e trovano uno scompartimento a sei posti libero. ConsiÞ derando che Aldo e Bea devono stare vicino al finestrino, quanti modi diversi hanno i sei amici di disporsi nello scompartimento? A

48

B

4

C

240

D

8

E

10

(Prova di ammissione, Ingegneria, 2007) 53 Il Circolo Canottieri Santerno e` formato da sei rematori, tutti ugualmente bravi e affiatati fra loro. Il circolo Þ deve mandare una rappresentanza di quattro atleti al campionato regionale. In quanti diversi modi puo` essere formata una tale rappresentanza? A

720

B

5

C

15

D

4

E

6

(Prova di ammissione, Ingegneria, 2009) 54 Durante una vacanza, sette amici prendono in affitto due automobili. Una di esse ha due posti, l’altra ne ha Þ cinque. In quanti modi differenti possono distribuirsi i sette amici sulle due automobili? A

21

B

14

C

28

D

35

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2009) 55 Þ A

B

C

D

E

Qual e` la probabilita` che lanciando 6 volte una moneta escano esattamente 4 «testa»? 15 64 1 64 15 16 1 16 5 32

(Prova di ammissione, Corso di laurea in Medicina 2008) 56 Sulle sei facce di un dado compaiono le cifre da 1 a 6. Si lancia un dado due volte; qual e` la probabilita` che il Þ 3 non esca al primo lancio ed esca al secondo? A

B

C

D

E

18 36 6 36 25 36 5 36 1 36

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2010)

678

A

Mario lancia quattro volte una moneta non truccata. Qual e` la probabilita` che esca «testa» in almeno tre lanci? 5 16

B

1 8

C

1 4

D

9 16

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2009) 58 Due sacchetti contengono ciascuno i numeri 1, 2, 3, 4, 5. Si estrae un numero da ciascun sacchetto. Qual e` la Þ probabilita` che i due numeri siano entrambi dispari? A

6 5

B

3 5

C

4 5

D

Verso l’Universita`

57 Þ

9 25

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2008) 59 Þ

Il codice per aprire un lucchetto e` costituito da una sequenza di quattro cifre (da 0 a 9). Ho dimenticato il codice, ma mi ricordo che le cifre sono tutte distinte e che tra le prime tre cifre ci sono sicuramente i numeri 6 e 9. Quante sequenze di quattro numeri dovrei provare per essere certo di aprire il lucchetto? A

100

B

118

C

336

D

600

D

1 36

(Test di ingesso, Facolta` di Scienze 2008) 60 Þ A

La probabilita` che, lanciando due dadi a 6 facce, si ottenga come somma 3 e`: 1 3

B

1 12

C

1 18

(Test di ingresso per i corsi di laurea scientifici, 2008)

679

Risposte alle prove di autoverifica

Risposte alle prove di autoverifica

Unita` 1

Unita` 2

1. a. f ð
2Þ ¼
4, f ð4Þ ¼ 0; b. f ð
1Þ < 0; c. ½
7, 5; d. ½
5, 6; e.
4, 0, 4; f. ½
2, 2; g. ½
7,
2 e ½2, 5; h. ne´ pari ne´ dispari; i. non e` invertibile.

1. a. lim f ðxÞ ¼ 2; b. lim
f ðxÞ ¼ þ1; x!
1

x!
1

c. lim þ f ðxÞ ¼
1; d. lim f ðxÞ ¼ 1; e. lim
f ðxÞ ¼
1; x!
1

x!0

x!1

f. limþ f ðxÞ ¼ þ1; g. lim f ðxÞ ¼ 2

2. R

  1 3. R

, 1 3

2. F, V, V, F, F, V

4. 3  x  5

3. þ1

5. x <
3 _ x > 2   1 6. R
8

4.

x!1

x!þ1

2 5

5. 5 6. 0

7. R

7. 3

8.
2 < x < 2

8. þ1

9. x > 0 ^ x 6¼ 8

9. 2

10. a. dispari; b. ne´ pari ne´ dispari; c. pari 11. B 12. ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞ ¼ 4x2 þ 2x
3

10.

1 3

11. þ1 12. 0

Unita` 3 1. a. an ¼ 10
6n; b. a10 ¼
50; c.
230; d.
1, la successione e` divergente.  n
1 2 32 422 2. a. an ¼ 6  ; b. ; c. ; d. 0, la successione e` convergente. 3 27 27 3. x ¼
4 4. x ¼ 5.

8 5

50 51

6. n  5 7. an ¼ 4n
1; quindi lim

n!þ1

an ¼ 4. n

8.
6 9. La scelta a. con cui si incassano 21 474 836,47 euro (la scelta b. porta a incassare 66 795 euro). 10. Per n ¼ 1 l’uguaglianza e` ovviamente vera (si ottiene 3 ¼ 3). Sia k  1 e supponiamo che l’uguaglianza sia vera per 3 n ¼ k, cioe` che 3 þ 6 þ 9 þ ::: þ 3k ¼ kðk þ 1Þ. 2 3 3 Allora 3 þ 6 þ 9 þ ::: 3k þ 3ðk þ 1Þ ¼ kðk þ 1Þ þ 3ðk þ 1Þ ¼ ðk þ 1Þðk þ 2Þ, quindi l’uguaglianza e` vera anche per n ¼ k þ 1. 2 2 ipotesi induttiva

abbiamo ottenuto il secondo membro dell’uguaglianza da dimostrare, con k þ 1 al posto di n

In base al principio di induzione possiamo concludere che l’uguaglianza e` vera per ogni n  1.

680

Unita` 6

1. F, F, F, V, F 2. x ¼
3: eliminabile; x ¼ 0: seconda specie 3. E` continua in tutto R. 4. x ¼ 4: punto di salto

4. Crescente per x < 0 _ x > 4; decrescente 0 < x < 4; massimo per x ¼ 0, minimo per x ¼ 4.

5. x ¼ 1: seconda specie 6. x ¼ 2, y ¼ 2x þ 3

3 < x <
1 _ x >
1; 2 3 decrescente per x <
; 2 3 minimo per x ¼
; 2 flesso a tangente orizzontale per x ¼ 0.

8. x ¼
1, y ¼ 0 (sinistro) 9. Vedi il grafico in figura.

– x = –1

y y=

x 2 +2x x 2 −1

y =1 x

O

x =1

Unita` 5 1. F, V, F, F 2. In base alla definizione: f ð2 þ hÞ
f ð2Þ f 0 ð2Þ ¼ lim ¼ h!0 h ð2 þ hÞ2
4 ¼ h

¼ lim

h2 þ4h h

h!0

3. x ¼
2: punto di non derivabilita` (flesso a tangente verticale); x ¼ 0: punto di discontinuita` (salto); x ¼ 1: punto di non derivabilita` (punto angoloso); x ¼ 3: punto di non derivabilita` (cuspide). 4. f 0 ðxÞ ¼ 12x2
4x þ 1 1 5. f 0 ðxÞ ¼ pffiffiffi
3 x 6 0 6. f ðxÞ ¼ 1
3 x 3x2 þ1

x3

2ðx
1Þ ðx þ 1Þ3

9. f 0 ðxÞ ¼ 2x3 ð4 ln x þ 1Þ 10. f 0 ðxÞ ¼ 2e2x þ 2xe1þx

2

11. f 00 ð0Þ ¼ 5 5 12. y ¼ x
1 4

8. Convessa per x > 2, concava per x < 2, flesso per x ¼ 2. 9. Convessa per x > 0, concava per x < 0, flesso per x ¼ 0. pffiffiffi pffiffiffi 10. Convessa per
2pffiffiffi3 < x < 0 _ xp> ffiffiffi 2 3; concava per x <
2 3 _p0ffiffiffi< x < 2 3; flessi per x ¼ 0 _ x ¼ 2 3. 3 . 5

12. Non e` applicabile (non e` una forma indeterminata!); la funzione e` continua per x ¼ 1 e il limite vale 1. 13. E` applicabile e il limite vale þ1. 14. Non e` applicabile (non e` una forma indeterminata!); il risultato e` 0.

Unita` 7

h!0

8. f 0 ðxÞ ¼

7. Crescente per x > 3, decrescente per x < 0. Non ci sono ne´ punti di estremo relativo ne´ punti di flesso a tangente orizzontale.

¼

¼ lim h þ 4 ¼ 4

7. f 0 ðxÞ ¼

6. Strettamente crescente in R.

11. E` applicabile, il limite e`

¼ lim

per

5. Crescente per


9 7. x ¼
, y ¼ 0 (destro) 4

h!0

1. V, F, V, F, F 4 2. E` applicabile alla prima funzione; x ¼ . 3 ` 3. E applicabile alla seconda funzione; x ¼ e
1.

Risposte alle prove di autoverifica

Unita` 4

1. a. R
f1g; b. x <
2;
1 < x < 1, x > 2; c.
2 < x <
1, 1 < x < 2; d. ð2, 0Þ; e. ð0, 2Þ; 1 f. x ¼ 1, y ¼ ; 2 g. 0 < x < 1, x > 1; h. x <
1,
1 < x < 0; i.
1 < x < 1; j. x <
1, x > 1; k. ð0, 2Þ; l. non ci sono punti di flesso. 2. E` impossibile che una funzione abbia tutte le caratteristiche descritte: infatti una funzione non puo` presentare contemporaneamente, per x ! þ1, sia un asintoto orizzontale sia un asintoto obliquo.     64 64 ; min 2,
; 3. Funzione dispari; max
2, 15 15 pffiffiffi flessi per x ¼ 0 (a tangente orizzontale) e per x ¼  2.

681

Risposte alle prove di autoverifica

1 x
1; max ð
3,
3Þ; min ð
1,
1Þ. 2 5. Dominio ¼ ð
1, 0 [ ð3, þ1Þ; asintoti: x ¼ 3 (destro), y ¼ 1. 4. Asintoti: x ¼
2, y ¼

  1 6. Dominio ¼ ð0, 1Þ [ ð1, þ1Þ; asintoti: x ¼ 1; punto di discontinuita` eliminabile: x ¼ 0; min ðe, eÞ; flesso e2 , e2 . 2

7. Dominio ¼ R; asintoti: y ¼ 0 (destro); max ð1, eÞ; flesso ð2, 2Þ.

Unita` 8 1.

2 5 x
x4
x þ c 5

4.

2 pffiffiffi xðx þ 3Þ þ c 3

2.

5.


7. FðxÞ ¼ x4
x2
x þ 5 10.

5 6

ln jxj


1 þc 3x3

1 2

2 ln jxj

þc

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ð3x2 þ 1Þ 3x2 þ 1 þ c 9

3. 6.

8. V, V, F, V, F

1 2x e þ ex þ c 2 9. e2
1

11. 2 þ ln 2

Unita` 9 1. a. Vedi l’ultima riga e l’ultima colonna della tabella qui sotto. Giudizio ðY Þ Eta` ðXÞ

Poco interessante

Abbastanza interessante

Molto interessante

Totale

(15, 25]

0

0

25

25

(25, 40]

0

22

30

52

(40, 70]

20

13

0

33

Totale

20

35

55

110

b. E` rappresentata dalla terza colonna della tabella qui sopra. c. E` rappresentata dalla quarta riga della tabella qui sopra. d.

801 ’ 36,4 anni 22

e. Vedi tabella qui sotto (le frequenze teoriche sono arrotondate alla seconda cifra decimale). Giudizio ðY Þ

Poco interessante

Abbastanza interessante

Molto interessante

(15, 25]

4,55

7,95

12,5

(25, 40]

9,45

16,55

26

(40, 70]

6

10,5

16,5

Eta` ðXÞ

f. Le frequenze della tabella data sono chiaramente molto lontane dalle frequenze della tabella teorica di indipendenza, dunque X e Y sono dipendenti. In effetti calcolando l’indice chi-quadrato e normalizzandolo si ricava che 2 ’ 86,63 e 2normalizzato ’ 0,394. La connessione tra X e Y e` dunque circa il 39,4% della massima connessione possibile: tra X e Y c’e` una discreta connessione.   361 2. a. G 35, ; b.
0,98; c. y ¼
0,82x þ 209,2; d. 156 2

Unita` 10 1. V, F, F, V, V 8. 60 060

682

2. n ¼ 4 9. 1 307 504

3. 720 10. 9450

4. 120

5. 729

6. 253

7. 548 100

1.

9 10

7.

2. I numeri naturali di due cifre con la cifra delle decine doppia di quella delle unita` sono 21, 42, 63 e 84. Se ne 2 deduce che la probabilita` richiesta e` uguale a . 45 1 1 8 1 3. a. ; b. ; c. ; d. 11 11 33 3 4. Ci sono 6  5  4  3  2  1 ¼ 720 modi diversi in cui i congressisti possono prendere la parola, quindi la proba1 . bilita` richiesta e` 720 5. I due eventi «si estrae una pallina blu» e «si estrae una pallina nera» sono incompatibili, quindi la probabilita` dell’evento «si estrae una pallina blu o nera» e` uguale a: 2 3 5 þ ¼ . 9 9 9 6. Sia A l’evento «la prima pallina estratta e` blu» e B l’evento «la seconda pallina estratta e` nera»; si verifica che pðAÞ ¼

2 3 1 23 2 , pðBÞ ¼ ¼ , pðA \ BÞ ¼ ¼ . 9 9 3 99 27

Se ne deduce che pðA [ BÞ ¼

91 323

8. a. Conviene utilizzare il passaggio all’evento contrario: si deduce cosı` che la probabilita` richiesta e` uguale a 53 91 1
3 ¼ . 6 216 b. Calcolare la probabilita` dell’evento «esce 6 al massimo una volta » equivale a calcolare la probabilita` dell’evento A [ B, essendo A l’evento «non esce mai 6» e B l’evento «esce 6 esattamente una volta» . Poiche´ A e B sono incompatibili, deduciamo che la probabilita` dell’evento A [ B e` uguale a pðAÞ þ pðBÞ ¼

Risposte alle prove di autoverifica

Unita` 11

53 3  52 25 þ ¼ 3 6 63 27

1 2 1 , pðBÞ ¼ e pðA \ BÞ ¼ . Poiche´ 2 3 3 pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBÞ, i due eventi A e B sono indipendenti.

9. Risulta pðAÞ ¼

10. V, F, F, F, V, V

2 1 2 13 þ
¼ . 9 3 27 27

683

Indice analitico

asintoto, 65, 67, 192, 194

C calcolo integrale, 480 carattere, 528 – qualitativo, 528 – quantitativo, 528 cardinalita` degli insiemi infiniti, 669 coefficiente binomiale, 585 coefficiente di correlazione lineare, 544 combinazioni con ripetizione, 587 combinazioni, 584 confronto tra infinitesimi, 99 confronto tra infiniti, 99 covarianza, 543

D derivabilita`, 250 derivata, 249, 251 – del prodotto, 258 – del quoziente, 260 – del reciproco, 259 – della funzione composta, 262 – della funzione inversa, 263 differenziale, 277 dipendenza statistica, 538 disposizioni con ripetizione, 582 disposizioni semplici, 581 distribuzione di probabilita`, 624

E esperimento di Bernoulli, 627 eventi – incompatibili, 611 – intersezione, 610 – regola del prodotto, 622 – unione, 610 evento, 609 – certo, 610 – contrario, 610 – elementare, 610 – impossibile, 610

F forme di indecisione, 80, 86 formula di Taylor, 354 funzione – composta, 26 – concava, 342 – continua, 76, 178 – convessa, 342 – crescente, 21 – decrescente, 21 – dispari, 22 – estremo inferiore, 20 – estremo superiore, 20

– flesso, 344 – grafico, 200 – invertibile, 24 – limitata, 20 – massimo, 20, 320, 321 – minimo, 20, 320, 321 – pari, 22 – periodica, 23 – punto di discontinuita`, 181 – punto di salto, 183 – teorema degli zeri, 186 – teorema dei valori intermedi, 190 – teorema di Cauchy, 348 ˆ pital, 349 – teorema di de l’Ho – teorema di Fermat, 322 – teorema di Lagrange, 326 – teorema di Rolle, 324 – teorema di Weierstrass, 189 funzione infinita, 97 funzione infinitesima, 97 funzione reale di variabile reale, 13 – classificazione, 13 – definizione, 13 – dominio, 14 – proprieta`, 19 – segno, 16 funzioni uguali, 16

Indice analitico

A

G gerarchie degli infiniti, 100

I indice chi-quadrato, 541 indipendenza statistica, 538 insieme R, 6 – campo ordinato, 6 – classi contigue, 6 – completezza, 6 – estremo inferiore, 8 – estremo superiore, 8 – intervallo limitato, 7 – intorno circolare di un punto, 10 – intorno di meno infinito, 11 – intorno di piu` infinito, 11 – intorno di un punto, 10 – massimo, 8 – minimo, 8 – punto di accumulazione, 11 integrale definito, 489 – calcolo, 492 – proprieta`, 491 integrale indefinito, 482

L legge dei grandi numeri, 614 limite di una funzione reale, 57 – calcolo, 101 – definizione, 61, 62, 64, 66, 67, 69, 70

685

Indice analitico

– delle funzioni composte, 82 – introduzione, 57 – teorema del confronto, 71, 72 – teorema della permanenza del segno, 74 – teorema di esistenza, 73 – teorema di unicita`, 74 limiti notevoli, 90

M metodo di Newton, 434 modalita`, 528

O ordine di infinitesimo, 97 ordine di infinito, 97

P permutazioni, 581 – con ripetizione, 583 popolazione, 528 potenza del continuo, 670 potenza n-di un binomio, 590 primitiva, 480 principio di induzione, 157 principio fondamentale del calcolo combinatorio, 579 probabilita`, 611 – definizione classica, 612 – definizione frequentista, 613 – definizione soggettiva, 613 – dell’evento contrario, 619 – dell’evento impossibile, 620 processo di Bernoulli, 628 progressione aritmetica, 148 progressione geometrica, 148 punto stazionario, 323, 330, 333

686

R retta di regressione, 547

S somma di Riemann, 489 spazio campionario, 609 studio di funzioni algebriche, 408 studio di funzioni con valori assoluti, 424 studio di funzioni trascendenti, 417 successioni, 146 – limite, 153 – proprieta`, 147

T tangenza tra due curve, 273 teorema di Bolzano-Weierstrass, 13

U unita` statistica, 528

V variabile aleatoria binomiale, 628 – media, 629 – varianza, 629 variabile aleatoria discreta – deviazione standard, 625 – distribuzione di probabilita`, 624 – media, 625 – varianza, 625 variabile aleatoria, 623 variabile continua, 529 variabile discreta, 529