Nuova Matematica a colori [3, Verde ed.] 9788849462814, 9788849420227

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Simboli utilizzati nel testo B INSIEMI NUMERICI insieme dei numeri naturali, compreso lo zero Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali þ Z (Z
) insieme dei numeri interi positivi (negativi) Qþ (Q
) insieme dei numeri razionali positivi (negativi) Rþ (R
) insieme dei numeri reali positivi (negativi) Zþ insieme dei numeri interi 0 positivi, compreso lo zero Q0þ insieme dei numeri razionali positivi, compreso lo zero Rþ insieme dei numeri reali 0 positivi, compreso lo zero C insieme dei numeri complessi

Edizione VERDE - Volume 3

B LOGICA o e se... allora (implicazione) se e solo se (doppia implicazione)

N

_ ^ ) ,

B FUNZIONI f : A ! B funzione da A a B f
1 funzione inversa di f g  f funzione composta di f e g y ¼ f ðxÞ espressione analitica di una funzione da R a R

B INTERVALLI [a, b] intervallo chiuso (a, bÞ intervallo aperto [a, bÞ intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra (a, b] intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra 1 infinito

B INSIEMI 2 appartiene 2 = non appartiene j tale che : tale che 9 esiste 9 non esiste 8 per ogni x insieme vuoto  e` contenuto  e` strettamente contenuto [ unione \ intersezione n differenza AU complementare dell’insieme A rispetto all’insieme U (a, bÞ coppia ordinata  prodotto cartesiano

B ALGEBRA uguale diverso circa uguale minore maggiore minore o uguale maggiore o uguale piu` o meno valore assoluto di x numero di Nepero logaritmo decimale logaritmo in base e potenza n-esima di a radice n-esima di a

¼ 6 ¼ ’ < >    jxj e log ln an ffiffiffi p n a

C.E.
i z

condizioni di esistenza discriminante unita` immaginaria coniugato di z

B GEOMETRIA parallelo perpendicolare coincidente congruente equivalente simile misura della grandezza A vettore

k ? ffi : ¼  A ! v

B TRIGONOMETRIA seno di x coseno di x tangente di x secante di x cosecante di x cotangente di x arcoseno di x arcocoseno di x arcotangente di x

sin x cos x tan x sec x csc x cot x arcsin x arccos x arctan x

Formulario - I B DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 8 < AðxÞ  0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ < BðxÞ , BðxÞ > 0 : AðxÞ < B2 ðxÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ > BðxÞ ,



AðxÞ  0 _ BðxÞ < 0



B DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI jAðxÞj < k, con k > 0 ,
k < AðxÞ < k

BðxÞ  0 AðxÞ > B2 ðxÞ

jAðxÞj > k, con k > 0 , AðxÞ <
k _ AðxÞ > k   AðxÞ  0 AðxÞ < 0 _ jAðxÞj < BðxÞ , AðxÞ < BðxÞ
AðxÞ < BðxÞ

jAðxÞj < jBðxÞj , A2 ðxÞ < B 2 ðxÞ

(prosegue in terza di copertina)

Leonardo Sasso

Nuova

Matematica a colori

• Equazioni, disequazioni e funzioni • Piano cartesiano, retta e trasformazioni • Coniche • Funzioni esponenziali e logaritmiche • Trigonometria

3 con elementi di Informatica

Edizione VERDE per la riforma. Secondo biennio

internet: www.petrini.it e-mail: [email protected]

Redattore responsabile: Redazione: Tecnico responsabile: Progetto grafico: Copertina: Ricerca iconografica per la copertina: Impaginazione: Disegni:

Monica Martinelli Giovanni Malafarina Gian Battista Vivalda Carla Devoto Simona Corniola, Simona Speranza Cristina Colombo M.T.M. Leprechaun

Art Director:

Nadia Maestri

L’autore ringrazia i professori Stefano Moretti, Giuseppe Vasta e Mariangela Garozzo per il contributo dato alla stesura degli esercizi.

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Proprietà letteraria riservata © 2012 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: gennaio 2012 Printed in Italy Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Archivio Dea Picture Library. Foto copertina: iStockphoto L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l’autorizzazione scritta dell’Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le fotocopie effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano – e-mail: [email protected] e sito web www.clearedi.org. Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento di funzionamento tecnico dei supporti multimediali del corso o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica [email protected]

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Ristampa: Anno:

0 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Indice Prima di cominciare...

TEMA

VII

A Equazioni, disequazioni

TEMA

e funzioni Unita` 1 2 3

del trinomio di secondo grado dal punto di vista algebrico

4 5 6 7 8

Le disequazioni intere di grado superiore al secondo Le disequazioni frazionarie I sistemi di disequazioni Le equazioni e le disequazioni irrazionali Le equazioni e le disequazioni con valori assoluti ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita` 1 2 3 4 5

geometriche

1 Equazioni e disequazioni

Introduzione alle disequazioni Le disequazioni intere di primo grado Le disequazioni intere di secondo grado Approfondimento Lo studio del segno

Unita` 5 6

9 10 15 18 20 25 33 33 34 62 65

Introduzione alle funzioni Prime proprieta` delle funzioni reali di variabile reale Funzioni iniettive, suriettive, biiettive Funzione inversa L’algebra delle funzioni e le funzioni composte Matematica nella storia La nascita e lo sviluppo

66

del concetto di funzione

87 88

1 2 3

Richiami sul piano cartesiano Distanza tra due punti Punto medio di un segmento e baricentro di un triangolo 4 La funzione lineare 5 L’equazione della retta nel piano cartesiano 6 Rette parallele e posizione reciproca di due rette 7 Rette perpendicolari 8 Come determinare l’equazione di una retta 9 Distanza di un punto da una retta 10 Fasci di rette ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita`

82 84

88 88 109 113 115 119 122

124 125 128 131 134 139 141 143 147 148 154 154 154 182 187

4 Trasformazioni geometriche

73 78

3 Richiami e complementi sulla retta

2

2 Funzioni

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

B Retta e trasformazioni

1 2 3 4 5

Simmetrie centrali Simmetrie assiali Traslazioni Dilatazioni e omotetie Le trasformazioni e i grafici delle funzioni ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

188 191 196 198 202 210 210 210 226 228 229 232 235

III Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEMA

C

Unita`

Le coniche Unita` 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

380

256

dell’iperbole

260

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

402 403

240

3 4

243 250

5

263 267 269 269 270 295 299

393 396 399

403 404 418 421 422 425 431

300 305

Unita`

9 Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

312

1

317 319

2

322 322 323 346 350

3 4

7 Ellisse

L’equazione dell’ellisse L’ellisse e la retta Come determinare l’equazione di un’ellisse L’ellisse e le funzioni Matematica nella realta` Alcune applicazioni

351

dell’ellisse

364 365

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

387

TEMA D Funzioni esponenziali e logaritmiche

6 Circonferenza

L’equazione della circonferenza La circonferenza e la retta Come determinare l’equazione di una circonferenza Fasci di circonferenze La circonferenza e le funzioni ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita`

L’equazione dell’iperbole L’iperbole equilatera e la funzione omografica L’iperbole e la retta Come determinare l’equazione di un’iperbole L’iperbole e le funzioni Matematica nella realta` Alcune applicazioni

5 Parabola

Le parabole con vertice nell’origine Le parabole con asse parallelo a uno degli assi cartesiani La parabola e la retta Come determinare l’equazione di una parabola Fasci di parabole La parabola e le funzioni Matematica nella realta` Modelli parabolici ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita`

1 2

8 Iperbole

357

L’insieme dei numeri reali e le potenze a esponente irrazionale La funzione esponenziale Matematica nella storia Il numero e Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita`

436 440 444 445 449 452 452 453 467 472

10 Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

360 361

365 365 375 379

1 2 3

4

La funzione logaritmica Proprieta` dei logaritmi Equazioni logaritmiche ed equazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi Disequazioni logaritmiche e disequazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi

IV Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

473 477

481

485

5

Modelli di crescita e di decadimento

490

Unita`

Matematica nella storia La nascita e lo sviluppo dei logaritmi

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

TEMA

494 495 495 496 514 518 519 522 526

goniometriche 1 2 3 4 5

E Funzioni goniometriche,

trigonometria e numeri complessi Unita`

13 Equazioni e disequazioni

11 Gli angoli e le funzioni

Equazioni goniometriche elementari Equazioni riconducibili a equazioni goniometriche elementari Equazioni lineari in seno e coseno Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno Disequazioni goniometriche elementari o a esse riconducibili ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

605 616 620 625 627 637 637 638 660 668

goniometriche 1 2 3 4 5 6

Angoli e loro misure Le definizioni delle funzioni goniometriche Le prime proprieta` delle funzioni goniometriche Angoli associati Grafici delle funzioni goniometriche Funzioni goniometriche inverse Matematica nella storia Le origini dei termini

530

seno, coseno e tangente

559 560

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

Unita`

536 541 547

4

1 2 3 4

551 556

560 561 575 577

Teoremi sui triangoli rettangoli Teoremi sui triangoli qualunque Applicazioni della trigonometria Problemi con equazioni o disequazioni Matematica nella storia Nascita e sviluppi

669

della trigonometria

691 693

Unita`

675 682 686

693 693 715 719

15 Numeri complessi e coordinate polari

1 2 3

720

583

L’insieme dei numeri complessi Operazioni in C Coordinate polari e forma trigonometrica di un numero complesso Potenze e radici in C Approfondimento Struttura algebrica

585

degli insiemi numerici

735

Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione e bisezione Formule parametriche, di Werner e di prostaferesi Le formule goniometriche e le funzioni Matematica nella realta` L’analisi armonica

578

e le sue applicazioni

589 591

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

14 Trigonometria

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

12 Formule e identita` goniometriche

1 2 3

Unita`

580

4

722 725 732

Matematica nella storia Nascita e sviluppi

591 591 602 604

del concetto di numero complesso

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

737 739 739 739 748 751 V

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

752 754 757

Idee e metodi della matematica Il linguaggio e il ragionamento matematico Verso l’Universita` Risposte alle prove di autoverifica Indice analitico

Risorse multimediali Esercizi interattivi Materiali per il volume 3: Complementi e approfondimenti – – – –

Complementi sulle disequazioni con valori assoluti Semipiani, segmenti, semirette, angoli e poligoni nel piano cartesiano Complementi di logica Glossario

Figure dinamiche Materiali per il Laboratorio di informatica

Da www.scuola.com l’accesso al portale studente di zonaMatematica consente di cimentarsi autonomamente con prove di autoverifica costantemente aggiornate e implementate, oppure di eseguire le prove personalizzate che il docente assegnera` alla classe.

VI Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

759 768 777 782

Prima di cominciare... Uno

sguardo

sulla matematica di oggi

Da dove nasce tanto interesse nei confronti della matematica? La risposta e` semplice: essa fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia.

Prima di cominciare...

Negli ultimi cent’anni si sono dimostrati piu` teoremi che nell’intero corso della storia; molte teorie matematiche sono state riprese e hanno avuto notevoli applicazioni pratiche, mentre celebri problemi, irrisolti da secoli, hanno trovato una soluzione.

Per esempio, la matematica ha un ruolo fondamentale:  in aeronautica: la matematica e` stata essenziale per la costruzione degli aerei di nuova generazione 767, 777 e Airbus;  in informatica: software di generazioni recenti sono basati su teorie algebriche e logiche avanzate;  in meteorologia: le previsioni del tempo sono fondate su complessi modelli matematici;  in medicina: la matematica e` stata impiegata per la realizzazione di nuovi strumenti di indagine diagnostica quali per esempio la TAC (tomografia assiale computerizzata); la statistica, inoltre, e` alla base dell’analisi di dati medici ed epidemiologici e del monitoraggio di dati farmacologici;  in biologia: lo studio dell’evoluzione di popolazioni appartenenti a varie specie e` basato su modelli matematici;  in economia e finanza: la matematica gioca un ruolo di primo piano nell’ottimizzazione di risorse e investimenti, nella pianificazione di processi produttivi, nel calcolo dei contratti finanziari e dei premi di assicurazioni. La scienza e la tecnologia utilizzano, dunque, teorie matematiche sempre piu` sofisticate. Per questo motivo, negli ultimi anni sono nate nuove figure professionali, in grado di utilizzare la matematica per scopi diversi. Tali figure sono richieste per esempio:  nei centri di ricerca di tutte le grandi banche;  nelle assicurazioni;  nelle imprese che sviluppano software;  nei centri di ricerca di piccole e grandi industrie. Sembra proprio che la matematica sia il linguaggio del terzo millennio, senza il quale non sara` possibile comprendere la scienza e le tecnologie del futuro!

VII Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Prima di cominciare...

Qualche consiglio per «studiare matematica» e per utilizzare questo libro Questo testo ha diversi scopi:  continuare lo sviluppo delle competenze matematiche che hai acquisito nei corsi precedenti;  farti scoprire alcune applicazioni della matematica nel mondo in cui viviamo;  contribuire a farti acquisire quegli strumenti scientifici sempre piu` essenziali per partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacita` critica. Per raggiungere questi scopi, ti diamo qualche consiglio su come studiare matematica.

1 2

Lo studio della matematica, come hai gia` avuto modo di constatare, richiede impegno e partecipazione. Non puoi imparare molto limitandoti ad assistere alle lezioni: devi partecipare, porti domande e confrontarti, anche da solo, con problemi ed esercizi.

E` importante che studi matematica con regolarita`: potrai cosı` assimilare piu` agevolmente i concetti e il tuo insegnante potra` piu` facilmente aiutarti a superare le difficolta`. Dovresti leggere le lezioni di questo libro e cercare di capire cio` che hai letto. A questo proposito ti diamo alcuni suggerimenti: leggi lentamente, prestando attenzione a ogni parola e ai simboli; rileggi le parti che non ti risultano chiare; prova a rifare da solo gli esempi che compaiono svolti nel testo; alla fine di ogni paragrafo, prima di proseguire, controlla se hai capito cio` che hai letto, cercando di rispondere ai quesiti che ti sono proposti nella rubrica prova tu.

3    

4

Risolvi gli esercizi che trovi al termine di ciascuna Unita`, suddivisi in paragrafi, con l’aiuto degli esercizi svolti e guidati.

5 6

Alla fine di ogni tema trovi una serie di esercizi sulle competenze da acquisire sugli argomenti trattati nel tema stesso; cerca di risolvere anche gli esercizi di verso le prove Invalsi, strutturate secondo la nuova tipologia di test d’esame.

Sfrutta i materiali multimediali relativi al libro disponibili on-line: potrai trovare figure dinamiche per visualizzare meglio i concetti fondamentali presentati nella teoria, test autocorrettivi che si affiancano alle prove di autoverifica proposte nel libro, file di supporto alle attivita` del Laboratorio di informatica, ulteriori complementi e approfondimenti.

7 8

Quando risolvi un problema, non limitarti a scrivere la tua soluzione: sforzati di illustrare cio` che stai facendo e di giustificare i vari passaggi, con spiegazioni sintetiche ma esaurienti.

Se non riesci a rispondere a una domanda o a risolvere un esercizio immediatamente, non preoccuparti! Rileggi la lezione e gli esempi. Se puoi, abbandona momentaneamente la questione e affrontala in un secondo tempo. Quando qualcosa non ti e` chiaro, poni domande e parlane con altri.

9

Cerca di studiare con spirito critico: la matematica non e` solo calcolo, ma soprattutto una forma di pensiero. Nell’epoca di innovazioni tecnologiche in cui viviamo, questo secondo aspetto e` sempre piu` essenziale: i calcoli si possono spesso demandare alle macchine, mentre e` essenziale saper ragionare in modo corretto, risolvere e porsi problemi, unire fantasia e razionalita`.

A tutti auguro buon lavoro! L’Autore

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TEMA

Equazioni, disequazioni e funzioni Proseguiamo il nostro percorso nella matematica riprendendo e approfondendo alcuni argomenti che hai certamente gia` incontrato nel primo biennio.

Riprendiamo anzitutto lo studio di equazioni e disequazioni, poi approfondiamo un concetto fondamentale che costituira` il «filo rosso» di tutto il nostro corso: quello di funzione. L’idea guida che ci accompagnera` sara` infatti quella di introdurre via via nuove classi di funzioni e imparare a trattarle, fino ad arrivare ad acquisire gli strumenti che consentono di dominare in generale qualunque funzione reale di variabile reale.

A

PREREQUISITI

3Equazioni, disequazioni

e sistemi di primo e secondo grado

COMPETENZE

3Individuare strategie appropriate per risolvere problemi che hanno come modello equazioni e disequazioni (anche irrazionali o con valori assoluti) oppure funzioni

Equazioni, disequazioni e funzioni non costituiscono soltanto una base fondamentale per gli sviluppi successivi del corso di matematica; esse sono anche tra i modelli matematici piu` utilizzati per risolvere problemi reali, provenienti dalle scienze o dall’ingegneria.

Unita` 1 Equazioni e disequazioni

Unita` 2 Funzioni

I modelli matematici vengono ormai utilizzati nei settori piu` svariati. Nel 2003 e nel 2007, per esempio, la Coppa America di vela e` stata vinta dall’imbarcazione svizzera Alinghi, finalista anche nell’edizione 2010. Nella sua progettazione sono stati utilizzati sofisticati modelli matematici che hanno consentito di disegnare ogni sua parte in modo da ottimizzare le prestazioni (minimizzare la resistenza sott’acqua, massimizzare la spinta indotta dalle vele ecc.). Alinghi deve quindi le sue vittorie anche alla matematica!

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Unita`

1

Equazioni e disequazioni

Tema A

1. Introduzione alle disequazioni In questa Unita` ripasseremo i concetti fondamentali relativi alle disequazioni, approfondendone alcuni aspetti. Inizieremo dalle disequazioni di primo grado, per arrivare alle disequazioni (precedute dalle relative equazioni) irrazionali e con modulo.

Che cos’e` una disequazione? DISEQUAZIONE

Una disequazione e` una disuguaglianza contenente almeno una incognita, cioe` almeno una variabile di cui si cercano i valori per cui la disuguaglianza e` vera. Esempi

Controesempi

1 x
xþ1 2

5 < 3 pffiffiffi pffiffiffi 5þ1> 3 sono disuguaglianze ma non sono disequazioni perche´ in esse non compaiono incognite.

x 2 þ x < 1 sono disequazioni nell’incognita x.

 Una disequazione in cui l’incognita non compare in alcun denominatore si dice intera.  Una disequazione non intera si dice frazionaria (o fratta).  Una disequazione in cui compaiono, oltre all’incognita, altre variabili, dette parametri, prende il nome di disequazione letterale o parametrica. ESEMPI

a. 3x < 0,2x þ 1 e x  b. x >

1 2 x sono disequazioni intere nell’incognita x. 3

1 x2
x sono disequazioni frazionarie nell’incognita x. þ1e 2 x 1 x

c. La disequazione 2x > x þ a nell’incognita x e` letterale, dipendente dal parametro a. Risolvere una disequazione significa determinare i numeri che, sostituiti al posto delle incognite, la trasformano in una disuguaglianza vera: questi numeri costituiscono l’insieme delle soluzioni della disequazione. ESEMPI Disequazione

Numero

E` una soluzione?

x2  1 > 0

2

Sı`: infatti, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene la disuguaglianza 22  1 > 0, ossia 3 > 0 che e` vera.

9  x2 > 0

3

No: infatti, sostituendo 3 al posto di x, si ottiene la disuguaglianza 9  32 > 0, ossia 0 > 0 che e` falsa.

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Unita` 1

Gli intervalli

Equazioni e disequazioni

L’insieme delle soluzioni di una disequazione in una incognita si puo` generalmente descrivere tramite particolari insiemi, o loro unioni, detti intervalli, che ora definiamo. INTERVALLI LIMITATI

Siano a e b due numeri reali, con a < b.  Un intervallo limitato chiuso, indicato con ½a, b, e` l’insieme dei numeri reali x tali che a  x  b.  Un intervallo limitato aperto, indicato con ða, bÞ, e` l’insieme dei numeri reali x tali che a < x < b.  Un intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra, indicato con ½a, bÞ, e` l’insieme dei numeri reali x tali che a  x < b.  Un intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra, indicato con ða, b, e` l’insieme dei numeri reali x tali che a < x  b. Attenzione!

INTERVALLI ILLIMITATI

Sia a un numero reale.  Un intervallo chiuso, illimitato a destra, indicato con ½a, þ1Þ, e` dei numeri reali x tali che x
a.  Un intervallo aperto, illimitato a destra, indicato con ða, þ1Þ, e` dei numeri reali x tali che x > a.  Un intervallo chiuso, illimitato a sinistra, indicato con ð1, a, e` dei numeri reali x tali che x  a.  Un intervallo aperto, illimitato a sinistra, indicato con ð1, aÞ, e` dei numeri reali x tali che x < a.

l’insieme l’insieme l’insieme l’insieme

Un intervallo e` rappresentato sulla retta reale da una semiretta o da un segmento, a seconda che sia illimitato oppure limitato. Per la sua rappresentazione utilizzeremo le seguenti convenzioni:  una linea continua indica l’intervallo che vogliamo rappresentare;  una linea tratteggiata rappresenta l’insieme dei numeri che non appartengono all’intervallo che vogliamo rappresentare;  un punto vuoto indica l’estremo di un intervallo quando esso non appartiene all’intervallo stesso;  un punto pieno indica l’estremo di un intervallo quando esso appartiene all’intervallo stesso.

I simboli þ1 (da leggere «piu` infinito») e 1 (da leggere «meno infinito») non rappresentano un numero: sono soltanto simboli impiegati per indicare che un intervallo e` illimitato, rispettivamente, nel verso delle ascisse positive o nel verso delle ascisse negative sulla retta reale.

Ricorda Per «retta reale» si intende una retta orientata, sulla quale sono stati fissati un verso di percorrenza, un’origine e un’unita` di misura.

Le tabb. 1.1 e 1.2 riassumono tutti i possibili intervalli e le loro rappresentazioni grafiche. Tabella 1.1 Intervalli limitati Notazione con le parentesi

Notazione algebrica

½a, b

axb

ða, bÞ

a 3x  2  3x SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA PER LE DISEQUAZIONI

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una disequazione equivalente a quella data, a condizione di: a. mantenere lo stesso verso della disequazione se il numero per cui si moltiplica o si divide e` positivo; b. invertire il verso della disequazione se il numero per cui si moltiplica o si divide e` negativo.

ESEMPI

a. Moltiplicando per 2 (che e` positivo) entrambi i membri della disequazione 2x  1 > 3x  2, otteniamo la disequazione equivalente: 2ð2x  1Þ > 2ð3x  2Þ b. Moltiplicando per 2 (che e` negativo) entrambi i membri della disequazione 2x  1 > 3x  2, per ottenere una disequazione equivalente dobbiamo invertire il verso della disequazione: 2x  1 > 3x  2

e` equivalente a

2ð2x  1Þ < 2ð3x  2Þ

4 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 1

Osserva che il secondo principio di equivalenza per le disequazioni riguarda la moltiplicazione o la divisione per un numero e non per un’espressione algebrica. L’estensione del secondo principio alle espressioni algebriche e` possibile solo in un caso particolare: quando l’espressione algebrica risulta sempre positiva o sempre negativa.

Equazioni e disequazioni

ESEMPI

a. La disequazione x > 2x þ 1 non e` equivalente alla disequazione seguente, ottenuta dalla precedente moltiplicando i suoi membri per x2  1: xðx2  1Þ > ð2x þ 1Þðx2  1Þ

Il secondo principio di equivalenza, infatti, non si puo` applicare perche´ l’espressione x2  1 non si mantiene, al variare di x in R, ne´ sempre positiva ne´ sempre negativa (per esempio: per x ¼ 0 e` negativa, mentre per x ¼ 2 e` positiva). b. La disequazione x > 2x þ 1 e` equivalente alla disequazione seguente, ottenuta dalla precedente moltiplicando i suoi membri per x2 þ 1: xðx2 þ 1Þ > ð2x þ 1Þðx2 þ 1Þ

In questo caso possiamo utilizzare il secondo principio di equivalenza (in particolare senza invertire il segno) perche´ l’espressione x2 þ 1 e` positiva per ogni x 2 R.

Il grado di una disequazione Una qualsiasi disequazione intera nell’incognita x puo` sempre venire ricondotta, svolgendo gli eventuali calcoli, portando tutti i termini al primo membro e riducendo gli eventuali termini simili, alla forma normale della disequazione, ossia a una delle forme P ðx Þ < 0

P ðxÞ > 0

P ðxÞ  0

P ðx Þ
0

dove l’espressione PðxÞ non contiene termini simili. Si definisce grado di una disequazione intera il grado dell’espressione PðxÞ.

Prova tu

ESERCIZI a p. 34

1. Rappresenta graficamente i seguenti intervalli. a. b. c. d.

fx 2 R j x  2g fx 2 Rj 1  x < 1g fx 2 Rj x > 3g fx 2 Rj 2  x  3g

2. Associa a ogni intervallo della prima colonna la sua rappresentazione nella notazione con le parentesi della seconda colonna. a. b. c. d. e. f.

x
1 2 x þ 3 2

Il m.c.m. dei denominatori e` 6

  1 1 6  ðx  2Þ > 6  x þ 3 2

Moltiplicando i due membri per il m.c.m.

2x  4 > 6x þ 3

Proprieta` distributiva

4x > 7

Portando i termini con la x al 1 membro e gli altri al 2

x 0

con a 6¼ 0

o a forma analoga dove il simbolo > e` sostituito con 0, moltiplicando i due membri per 1 e cambiando il verso della disequazione. Pertanto, nel prossimo sottoparagrafo, supporremo che sia a > 0.

Il modello della parabola Consideriamo il trinomio di secondo grado: 6

ax2 þ bx þ c

con a 6¼ 0

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Unita` 1

Per poter determinare le soluzioni di una disequazione di secondo grado, dobbiamo sapere in corrispondenza di quali valori di x il trinomio ax2 þ bx þ c risulta positivo, nullo o negativo: in questa ricerca consiste lo studio del segno del trinomio. Possiamo dedurre il segno del trinomio dal grafico della funzione y ¼ ax2 þ bx þ c che, come sai dai tuoi studi precedenti, e` una parabola: il trinomio sara`:

Equazioni e disequazioni

 positivo per i valori di x in corrispondenza dei quali y > 0;  nullo in corrispondenza dei valori di x per cui y ¼ 0;

 negativo in corrispondenza dei valori di x per cui y < 0. Nell’ipotesi che sia a > 0, si possono presentare i tre casi di tab. 1.3, a seconda della posizione della parabola rispetto all’asse x, cioe` del segno di
. Tabella 1.3 Segno del trinomio ax 2 þ bx þ c quando a > 0

y

+

y

y

+

O −

x1


0

x2

x

x1 = x2

+ O

V

V

V

+

+

x

Il trinomio risulta:

Il trinomio risulta:

Il trinomio risulta:

 positivo negli intervalli «esterni» a x1 e x2 , cioe` quando:

 positivo per ogni valore reale di x diverso da x1  nullo per x ¼ x1

 sempre positivo

x < x1 _ x > x2

+ x

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c

+ O

 nullo per: x ¼ x1 _ x ¼ x2  negativo nell’intervallo «interno» a x1 e x2 , cioe` quando: x1 < x < x2

Possiamo dunque enunciare i seguenti tre teoremi. S e g n o de l t r i n o m i o d i s e c o n d o g r a d o c o n a > 0 e
> 0

TEOREMA 1.1

2

Dato il trinomio ax þ bx þ c, con a > 0, supponiamo che l’equazione associata, ax 2 þ bx þ c ¼ 0, abbia due soluzioni distinte, che chiamiamo x1 e x2 , con x1 < x2 . Allora il trinomio risulta: a. positivo negli intervalli esterni alle soluzioni, cioe` per: x < x1 _ x > x2 b. nullo per x ¼ x1 _ x ¼ x2 c. negativo nell’intervallo interno alle soluzioni, cioe` per: x1 < x < x2 7 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

TEOREMA 1.2

S e g n o de l t r i n o m i o d i s e c o n d o g r a d o c o n a > 0 e
¼ 0

Dato il trinomio ax 2 þ bx þ c, con a > 0, supponiamo che l’equazione associata, ax 2 þ bx þ c ¼ 0, abbia due soluzioni coincidenti, x1 ¼ x2 . Allora il trinomio risulta: a. positivo per ogni x 2 R, con x 6¼ x1 b. nullo per x ¼ x1 TEOREMA 1.3

S e g n o de l t r i n o m i o d i s e c o n d o g r a d o c o n a > 0 e
< 0

Dato il trinomio ax 2 þ bx þ c, con a > 0, supponiamo che l’equazione associata, ax 2 þ bx þ c ¼ 0, non abbia soluzioni reali. Allora il trinomio risulta positivo per ogni x 2 R.

Risoluzione di una disequazione di secondo grado Dai teoremi sul segno del trinomio di secondo grado si possono dedurre le soluzioni di qualsiasi disequazione di secondo grado. Per risolvere una disequazione di secondo grado, seguiremo lo schema logico qui riportato. SINTESI

Schema logico per la risoluzione di una disequazione di secondo grado 1o passo: se il coefficiente di x 2 e` negativo, si cambiano i segni e il verso della disequazione; 2o passo: si calcolano il discriminante e le eventuali radici dell’equazione associata, in modo da capire a quale dei tre teoremi sul segno del trinomio si deve fare riferimento; o 3 passo: facendo riferimento al teorema opportuno, si deduce qual e` l’insieme delle soluzioni della disequazione. ESEMPIO

Il discriminante e` positivo e a > 0

Risolviamo la disequazione x 2 þ x  2 > 0. o

31 32

o

o

passo Il coefficiente di x2 e` gia` positivo. passo L’equazione associata x2 þ x  2 ¼ 0 ha due soluzioni distinte:

x1 ¼ 2, x2 ¼ 1

passo La disequazione x2 þ x  2 > 0 e` soddisfatta quando il trinomio x þ x  2 e` positivo. In base al teorema 1.1, cio` si verifica negli intervalli aperti esterni alle soluzioni, cioe` per:

33

2

x < 2 _ x > 1 –2 ESEMPIO

1

x

Il discriminante e` positivo e a < 0

Risolviamo la disequazione x 2 þ 6x
0. o

31

passo Cambiamo i segni dei coefficienti e il verso della disequazione, in modo da ricondurci a una disequazione in cui il coefficiente di x2 e` positivo. Otteniamo la disequazione equivalente: o

32

o

x2  6x  0

passo L’equazione associata, x2  6x ¼ 0, ha due soluzioni distinte:

x1 ¼ 0, x2 ¼ 6

passo La disequazione x2  6x  0 e` soddisfatta in corrispondenza dei valori di x per cui il binomio x2  6x e` negativo o nullo. In base al teorema 1.1, cio` si verifica nell’intervallo chiuso interno alle soluzioni, cioe` per:

33

0x6 0

6

x

8 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Il discriminante e` nullo

Unita` 1

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione 4x 2 þ 4x  1
0. o

31

Equazioni e disequazioni

passo Cambiando i segni e il verso della disequazione, otteniamo la disequazione equivalente: 4x2  4x þ 1  0

passo Riconoscendo che 4x2  4x þ 1 ¼ ð2x  1Þ2 , deduciamo che l’equazione associata, 4x2  4x þ 1 ¼ 0, ha discriminante
¼ 0 e le sue due soluzio1 ni coincidono con x ¼ . 2 o

32

o

passo In base al teorema 1.2, il trinomio 4x2  4x þ 1 e` sempre positivo, 1 per cui si annulla: pertanto la disequazione eccetto che per il valore x ¼ 2 1 4x2  4x þ 1  0 e` soddisfatta solo quando x ¼ . 2

33

x

1 2 ESEMPIO

Il discriminante e` negativo

Risolviamo la disequazione x 2  x þ 1 < 0 . o

passo Il coefficiente di x2 e` gia` positivo.

o

passo L’equazione x2  x þ 1 ¼ 0 ha come discriminante
¼ 3 < 0.

31 32 33

o

passo Per il teorema 1.3, il trinomio sara` sempre positivo, quindi la disequazione x2  x þ 1 < 0 non e` mai soddisfatta. L’insieme delle soluzioni e` S ¼ x. x

Lo studio del segno del trinomio di secondo grado dal punto di vista algebrico APPROFONDIMENTO

In questa scheda vogliamo mostrare come sia possibile dedurre con considerazioni puramente algebriche i teoremi sul segno del trinomio di secondo grado che nel precedente paragrafo abbiamo dedotto graficamente. Consideriamo dunque il trinomio: ax2 þ bx þ c Supponiamo a > 0 e distinguiamo tre casi. o

31x

caso: l’equazione associata al trinomio ha due soluzioni distinte, x1 e x2 , con < x2 In base alle regole di scomposizione del trinomio di secondo grado, il trinomio si fattorizza come segue: 1

ax2 þ bx þ c ¼ aðx  x1 Þðx  x2 Þ Poiche´ stiamo supponendo a > 0, il segno del trinomio dipende solo da quello dei due fattori: ðx  x1 Þ e ðx  x2 Þ. Studiamo dunque il segno dei fattori: x  x1 > 0 ) x > x1 x  x2 > 0 ) x > x2 Riportiamo i risultati ottenuti nella tabella qui a fianco, nella quale sull’ultima riga abbiamo indicato il segno del prodotto dei due fattori.

x1 segno di (x – x1)

−

segno di (x – x2)

−

segno di (x – x1)(x – x2)

+

0 0

x2 +

+ −

0

+

−

0

+

x

Ô

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9

Equazioni, disequazioni e funzioni

Ô

Dalla tabella segue che il trinomio, nell’ipotesi a > 0 e
¼ 0, risulta:

 positivo per x < x1 _ x > x2 ;  nullo per x ¼ x1 _ x ¼ x2 ;  negativo per x1 < x < x2 . o

32

caso: l’equazione associata al trinomio ha due soluzioni coincidenti x1 ¼ x2

In questo caso
¼ 0 e la scomposizione del trinomio e` della forma: ax2 þ bx þ c ¼ aðx  x1 Þ2

Osserviamo che: ðx  x1 Þ2 > 0 per ogni x 6¼ x1

ðx  x1 Þ2 ¼ 0

e

per x ¼ x1

Tema A

Ne segue che il trinomio, nell’ipotesi a > 0 e
¼ 0, risulta:

 positivo per ogni x 2 R, con x 6¼ x1 ;  nullo per x ¼ x1 . o

caso: l’equazione associata al trinomio non ha soluzioni reali 3In3 questo caso
< 0 e il trinomio ax þ bx þ c non e` scomponibile in R. 2

Tuttavia in base a quanto visto nel Paragrafo 2 dell’Unita` 5, il trinomio puo` essere scritto nella forma canonica: " # "  #   b 2 b2  4ac b 2
ax þ bx þ c ¼ a x þ ¼a xþ  þ  2 2a 4a2 2a 4a 2

positivo o nullo

positivo nell’ipotesi
< 0

L’espressione all’interno della parentesi quadra, come abbiamo messo in evidenza, e` la   b 2
somma di due addendi tali che: x þ
0 e  2 > 0 per ogni x 2 R. 2a 4a

Ne segue che, nell’ipotesi a > 0 e
< 0, il trinomio e` positivo per ogni x 2 R.

Prova tu

ESERCIZI a p. 36

1. Risolvi le seguenti disequazioni: a. x2 þ 9x
0

[x  9 _ x
0]

b. x2 þ 25 > 0 2

c. x þ 2x þ 5  0 2

d. x þ 5x þ 4 < 0

[5 < x < 5] pffiffiffi pffiffiffi [x  1  6 _ x
1 þ 6] [4 < x < 1]

e. x2  4x þ 4 > 0 2

f. x þ x  4 > 0

[ 8x 2 R  f2g]

g. 4x2  12x þ 9
0 2

h. x þ 6x  9
0

[Impossibile]

[ 8x 2 R] [x ¼ 3]

2. Stabilisci se le disequazioni x2 þ 3x þ 6 > 0 e x2 þ 2x  3  0 sono equivalenti.

4. Le disequazioni intere di grado superiore al secondo Disequazioni monomie Si chiamano monomie le disequazioni che si possono ricondurre a una delle seguenti forme, con a 6¼ 0 e n 2 N  f0g:

Osserva Al primo membro delle disequazioni delle forme [1.1] c’e` un monomio; di qui il nome di disequazioni monomie.

10

axn < 0

axn > 0

axn  0

axn
0

Queste disequazioni si possono risolvere facilmente ricordando che:  una potenza di esponente pari e` sempre positiva o nulla;  una potenza di esponente dispari ha sempre lo stesso segno della base.

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[1.1]

Unita` 1

ESEMPI

Disequazioni monomie

Risolviamo le disequazioni: b. 8x 5  0

Equazioni e disequazioni

a. 3x 4 > 0

a. Il primo membro e` sempre positivo, eccetto che per il valore x ¼ 0 per cui si annulla. Di conseguenza la disequazione e` verificata per ogni x 2 R, con x 6¼ 0. b. Poiche´ una potenza di esponente dispari (5, in questo caso) ha sempre lo stesso segno della base, la disequazione equivale a x  0, che da` l’insieme delle soluzioni. Tenendo conto delle stesse considerazioni sugli esponenti pari/dispari e sul corrispondente segno della potenza, si possono risolvere anche le disequazioni della forma [1.1] dove la base della potenza, anziche´ essere x, e` un polinomio di cui sappiamo studiare il segno. ESEMPI

Disequazioni riconducibili a equazioni monomie

Risolviamo le disequazioni: a. ðx  1Þ4
0

b. ð4x 2  1Þ3 < 0

c. ð3x  1Þ6  0

a. La base, in questo caso, e` un binomio, ma si applicano le stesse considerazioni precedenti: poiche´ una potenza di esponente pari (qui e` 4) e` sempre positiva o nulla, la disequazione e` verificata per ogni x 2 R.

b. La base e` un binomio; poiche´ una potenza di esponente dispari (qui e` 3) ha sempre lo stesso segno della base, la disequazione equivale a 4x2  1 < 0, 1 1 che e` soddisfatta per  < x < . 2 2 c. Poiche´ una potenza di esponente pari (qui e` 6) e` sempre positiva o nulla, la disequazione e` verificata solo quando la base della potenza, ossia 3x  1, e` 1 nulla, cioe` per x ¼ . 3

Disequazioni binomie Si chiamano binomie le disequazioni che si possono ricondurre a una delle seguenti forme, con a 6¼ 0, b 6¼ 0 e n 2 N  f0g: axn þ b < 0

axn þ b > 0

axn þ b  0

axn þ b
0

La risoluzione di queste disequazioni, similmente a quanto visto per le equazioni binomie, cambia a seconda che n sia pari o dispari.

Osserva Al primo membro delle disequazioni qui a fianco compare un binomio; di qui l’appellativo di disequazioni binomie.

Caso in cui n e` dispari Se n e` dispari, occorre ricordare che una disuguaglianza tra due numeri reali equivale a quella nello stesso verso tra le loro radici n-esime; per esempio: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi 3 < 5 , 3 3 < 3 5 oppure 3 > 5 , 5 3 > 5 5 Tenendo conto di questa proprieta`, la risoluzione di una disequazione binomia con n dispari si puo` effettuare facilmente, come mostrano i seguenti esempi. ESEMPI

Disequazioni binomie con n dispari

Risolviamo le disequazioni: a. 3x 5 þ 1 > 0

b. 8x 3 þ 1 > 0

Ô

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11

Equazioni, disequazioni e funzioni

Ô

1 a. 3x þ 1 > 0 ) 3x > 1 ) x >  ) x > 3 5

5

5

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 5  3

In base alla proprieta` dei numeri reali poc’anzi ricordata la disequazione rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi 1 1 5 5 x 5 >  equivale a x 5 >  3 3

1 )x< b. 8x þ 1 > 0 ) 8x > 1 ) x < 8 3

3

3

rffiffiffiffiffi 1 3 1 )x< 8 2

Tema A

In base alla proprieta` dei numeri reali poc’anzi ricordata la disequazione rffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi 1 3 1 3 x 3 < equivale a x 3 < 8 8

Caso in cui n e` pari Se n e` pari, la risoluzione di una disequazione binomia o e` immediata oppure si puo` effettuare facilmente mediante la sostituzione xn ¼ t, come mostrano i seguenti esempi. ESEMPI

Disequazioni binomie con n pari

Risolviamo le disequazioni: a. 10x 4 þ 1 > 0

b. 100x 4  1
0

c. x 4 þ 16
0 d. 2x 6 þ

pffiffiffi 20

a. Il primo membro e` sempre positivo (e` la somma di un termine, 10x4 , sempre non negativo, e di 1), quindi la disequazione e` verificata per ogni x 2 R.

b. Ponendo x2 ¼ t, quindi x4 ¼ t 2 , otteniamo la seguente disequazione in t, che risolviamo: 1 1 _t
100 t 2  1
0 ) t   10 10 Ricordando che t ¼ x2 , concludiamo che la disequazione originaria e` soddisfatta in corrispondenza dei valori di x per cui: 1 1 _ x2
x2   10 10 disequazione impossibile

disequazione perffi rffiffiffiffiffiffiffiffi verificata rffiffiffiffiffiffiffi 1 1 _x
x 10 10

rffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 _x
. Pertanto la disequazione data e` soddisfatta per x   10 10 c. Ponendo x2 ¼ t, quindi x4 ¼ t 2 , otteniamo la seguente disequazione in t, che risolviamo: t 2 þ 16
0 ) t 2  16  0 ) 4  t  4

Ricordando che t ¼ x2 , concludiamo che la disequazione originaria e` soddisfatta in corrispondenza dei valori di x per cui: 4  x2  4

Osserviamo che e` sempre 4  x (perche´?), quindi la [1.2] equivale a x2  4, che e` soddisfatta per 2  x  2.

Osserva La condizione a > 0 non e` restrittiva, poiche´ possiamo sempre ricondurci a essa cambiando eventualmente i segni dei coefficienti e il verso della disequazione.

12

[1.2] 2

d. Il primo membro e` sempre positivo (perche´?) quindi la disequazione non e` soddisfatta da alcun valore reale di x. Le tecniche applicate per risolvere le disequazioni degli esempi precedenti possono essere applicate per risolvere una generica disequazione binomia del tipo: axn þ b < 0

axn þ b > 0

con a > 0 e b 6¼ 0

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Unita` 1

Si ottengono cosı` gli schemi risolutivi riassunti in tab. 1.4. Tabella 1.4 Soluzioni della disequazione ax n þ b < 0 con a > 0 e b 6¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b n x<  a

b>0

8x 2 R

Impossibile

b 0 e b 6¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b n x>  a

Per le disequazioni del tipo axn þ b  0 e axn þ b
0, con a > 0 e b 6¼ 0, vale una tabella del tutto analoga dove i simboli vanno sostituiti, rispettivamente, con ,
.

Disequazioni trinomie Le disequazioni trinomie sono quelle che si possono ricondurre a una delle seguenti forme: ax

2n

n

þ bx þ c < 0 o

ax2n þ bxn þ c  0 o

ax

2n

n

þ bx þ c > 0

ax2n þ bxn þ c
0

La strategia risolutiva consiste nel porre xn ¼ t. Ci si riconduce cosı` a una disequazione di secondo grado in t. Se questa disequazione e` impossibile o sempre verificata, anche la disequazione originaria lo e`. Altrimenti la si risolve, poi si sostituisce xn al posto di t nelle soluzioni trovate e si esprimono le soluzioni in funzione di x, risolvendo le disequazioni che ne scaturiscono. ESEMPI

Osserva Il primo membro di una disequazione trinomia e` caratterizzato dall’essere un trinomio in cui il grado del primo termine e` il doppio del grado del secondo.

Disequazioni trinomie

Risolviamo le disequazioni: a. x 4  3x 2 þ 4  0

b. x 6  3x 3 þ 2
0

a. Ponendo x2 ¼ t, quindi x4 ¼ t 2 , otteniamo la disequazione: t 2  3t þ 4  0 Il discriminante dell’equazione corrispondente e` negativo (uguale a 7), quindi in base al teorema 1.3 la disequazione non e` mai verificata. Ne segue che anche la disequazione originaria e` impossibile. b. Ponendo x3 ¼ t, quindi x6 ¼ t 2 , otteniamo la disequazione: t 2  3t þ 2
0 che e` verificata per: t 1_t
2 Ritorniamo ora alla variabile x, ricordando che abbiamo posto x3 ¼ t. La disequazione originaria sara` soddisfatta in corrispondenza dei valori di x per cui: x3  1 _ x 3
2 La prima pffiffiffi disequazione e` soddisfatta per x  1 e la seconda e` soddisfatta per x
3 2. Quindi la disequazione originaria e` soddisfatta per: pffiffiffi x1_ x
32 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

13

Equazioni, disequazioni e funzioni

Disequazioni scomposte o scomponibili in fattori Se una disequazione intera di grado superiore al secondo non e` di uno dei tipi che abbiamo appena visto (monomia, binomia o trinomia), potremo ancora risolverla se, ricondotta la disequazione alla forma normale: PðxÞ > 0

o

PðxÞ < 0

o

PðxÞ
0

o

PðxÞ  0

il polinomio PðxÞ e` scomponibile in fattori di primo o secondo grado o eventualmente di grado superiore, purche´ ne sappiamo studiare il segno; per esempio: ðx  1Þ4 , ðx  1Þ3 o 4x3 þ 1. Il procedimento risolutivo consiste in tal caso nello studiare il segno di ciascun fattore, costruire la tabella riassuntiva dei segni dei fattori e dedurre da essa le soluzioni della disequazione.

Tema A

ESEMPIO

Disequazione di terzo grado scomponibile in fattori

Risolviamo la disequazione x 3  x 2  4x  4. o

31

o

Osserva Al 2o passo avremmo anche potuto procedere ulteriormente nella scomposizione in fattori e ottenere la disequazione scomposta: ðx  1Þðx þ 2Þðx  2Þ  0 In questo caso, per risolvere la disequazione, avremmo dovuto studiare il segno dei tre fattori: ðx  1Þ, ðx þ 2Þ e ðx  2Þ.

passo Riportiamo la disequazione in forma normale: x3  x2  4x þ 4  0

passo Scomponiamo il polinomio a primo membro in fattori di 1 o 2 grado:

32

x2 ðx  1Þ  4ðx  1Þ  0 o

33

o

34

ðx  1Þðx2  4Þ  0

passo Studiamo il segno dei fattori: 1o fattore 2o fattore

x1>0)x>1 x2  4 > 0 ) x < 2 _ x > 2

passo Costruiamo la tabella dei segni: –2 segno di x – 1 segno di x 2 – 4

− +

segno di (x – 1)(x 2 – 4)

−

2

1 0

0

− −

0

+

0

+ −

0

+ +

−

0

+

x

o

passo La disequazione ðx  1Þðx2  4Þ  0 e` soddisfatta quando il prodotto ðx  1Þðx2  4Þ e` negativo o nullo, cioe` per:

35

Attenzione! 1. Gli eventuali fattori sempre positivi che compaiono nella disequazione ridotta in forma normale e scomposta possono essere trascurati (perche´ non influiscono sul segno del prodotto). 2. Nella costruzione della tabella finale dei segni e` importante ordinare correttamente sulla retta reale gli zeri dei fattori. 3. Il simbolo (>, 0, x1

x  2x, x1

x3 1 
0 x2 x

Disequazioni frazionarie in forma normale Cominciamo ad affrontare il caso delle disequazioni frazionarie che si presentano in forma normale, cioe` in una delle seguenti forme: AðxÞ 0 BðxÞ

AðxÞ 0 BðxÞ

AðxÞ
0 BðxÞ

dove AðxÞ e BðxÞ sono due polinomi in x. La prima osservazione da fare e` che, a differenza di quanto accadeva per le equazioni frazionarie, non e` possibile, in generale, «liberare» la disequazione dal denominatore, moltiplicando i due membri per BðxÞ. Cio` e` dovuto al fatto che il segno del denominatore contribuisce in modo essenziale al segno della frazione algebrica al primo membro: il segno della frazione e` positivo se numeratore e denominatore sono concordi, mentre e` negativo se sono discordi. Constatato dunque che, in generale, il denominatore di una disequazione frazionaria in forma normale non si puo` «eliminare», come si puo` procedere per risolvere una tale disequazione? Come apparira` chiaro dai prossimi esempi, il procedimento risolutivo e` del tutto analogo a quello che abbiamo presentato nel paragrafo precedente per risolvere le disequazioni di grado superiore al secondo. ESEMPIO

Disequazione frazionaria in forma normale

Risolviamo la disequazione

x5  0. 4  x2

 Studiamo il segno del numeratore e quello del denominatore: Numeratore

x5>0)x>5

Denominatore 4  x2 > 0 ) 2 < x < 2  Costruiamo la tabella dei segni: –2 segno di x – 5 segno di 4 – x 2

− −

x –5 segno di 4 – x2

+

5

2

0

− +

E

−

0

0

− −

+ −

E

+

0

−

x

Attenzione! Osserva che, sulla riga che riporta il segno della frazione algebrica, compare il simbolo di non esistenza, 6 9, in corrispondenza dei valori x ¼ 2 e x ¼ 2. Esso serve a indicare che, per x ¼ 2 e x ¼ 2, la frazione non e` definita, perche´ si annulla il denominatore; il valore x ¼ 5, invece, e` un valore che annulla la frazione, perche´ annulla il numeratore, quindi e` indicato con il simbolo 0. Ricorda di porre sempre il simbolo di non esistenza in corrispondenza di tutti i valori che annullano il denominatore di una frazione algebrica!

Ô Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

15

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Ô

 Concludiamo analizzando i risultati dello schema. x5 x5 La disequazione e`  0 e` verificata quando la frazione algebrica 4  x2 4  x2 negativa o nulla. Dalla tabella dei segni vediamo che cio` accade per: 2 < x < 2 _ x
5 Nota che 2 e 2 sono estremi esclusi perche´, per x ¼ 2, la frazione non e` definita; invece 5 e` un estremo incluso, perche´, per x ¼ 5, la frazione e` nulla: 2

–2

x

5

Se il numeratore e/o il denominatore della frazione algebrica di cui si vuole studiare il segno sono di grado maggiore al secondo, bisogna anzitutto scomporli in fattori di grado inferiore, di cui si sa studiare il segno; poi, invece di studiare il segno del numeratore e del denominatore, si studia il segno di ciascun fattore. Disequazione frazionaria con numeratore di grado superiore al secondo

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione:

x 3  4x
0. x 2  25

 Scomponiamo il numeratore in fattori di 1 e 2 grado: xðx2  4Þ
0 x2  25  Studiamo il segno di ciascun fattore. 1o fattore o

2 fattore o

3 fattore

x>0)x>0

x2  4 > 0 ) x < 2 _ x > 2

x2  25 > 0 ) x < 5 _ x > 5

 Costruiamo la tabella dei segni. –5 segno di x

−

segno di x 2 – 4 segno di x 2 – 25

+ +

+ −

0

0

x 3 – 4x x 2 – 25

−

E

+

0

segno di

0

–2 −

−

2 +

0

− − −

0

5 +

− −

0

+

0

+

+ −

0

+ +

−

E

+

x

x3  4x
0 e` verificata quando la frazione x2  25 algebrica al primo membro e` positiva o nulla, cioe` per:

 Concludiamo. La disequazione

5 < x  2 _ 0  x  2 _ x > 5 –5

–2

Attenzione agli estremi inclusi ed esclusi!

0

2

5

x

Disequazioni frazionarie non in forma normale Puo` succedere che una disequazione frazionaria non si presenti in forma normale. Per esempio, rientra in questo caso la disequazione: 2x 1 1< xþ2 2x þ 4 In tali situazioni occorre preliminarmente ricondursi alla forma normale, mediante i principi di equivalenza per le disequazioni e il calcolo algebrico. 16 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 1

Disequazione frazionaria non in forma normale

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione

 Riportiamo la disequazione alla forma normale

Equazioni e disequazioni

1 3 2  þ 2 . x x  2x 2x AðxÞ  0. BðxÞ

1 3 2  þ 2 x x  2x 2x

Disequazione da risolvere

1 3 2 þ  0 x xðx  2Þ 2x

Portando tutti i termini al 1 membro e scomponendo i denominatori

1 3 2 þ þ 0 x xðx  2Þ x2

Cambiando segno al denominatore dell’ultima frazione algebrica

x  2 þ 3 þ 2x 0 xðx  2Þ

Calcolando la somma algebrica al 1 membro

3x þ 1 0 xðx  2Þ

Semplificando il numeratore

 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore della frazione algebrica al primo membro. Numeratore

3x þ 1 > 0 ) x > 

1 3

Denominatore xðx  2Þ > 0 ) x < 0 _ x > 2  Costruiamo la tabella riassuntiva dei segni. −1 3

segno di 3x + 1 segno di x(x – 2)

− +

0

segno di 3x + 1 x(x – 2)

−

0

 Concludiamo. La disequazione

2

0 + + +

0

+ −

0

+ +

E

−

E

+

x

3x þ 1  0, equivalente a quella data, e` xðx  2Þ

verificata in corrispondenza dei valori di x per cui la frazione al primo membro e` negativa o nulla. Dalla tabella vediamo che cio` accade per: x

1 _00

SINTESI

Schema logico per la risoluzione di un sistema di disequazioni 1o passo: si risolvono le singole disequazioni del sistema; 2o passo: aiutandosi con uno schema grafico si individua l’ intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni; o 3 passo: si scrive l’insieme delle soluzioni del sistema, dato dall’intersezione individuata al passo precedente. ESEMPIO

Sistema di disequazioni

8 5x > >
0 < xþ2 Risolviamo il sistema > > : 1 x2 þ x > 4 2 o

31

passo Risolviamo la prima disequazione del sistema, che e` una disequazione fratta. Segno del numeratore Segno del denominatore

5  x > 0 ) x > 5 ) x < 5

x þ 2 > 0 ) x > 2

Possiamo dunque costruire la seguente tabella dei segni: 5

−2 segno di 5 − x segno di x + 2

+ −

segno di 5 − x x +2

−

0

0

+ +

− +

E

+

0

−

x

5x e` positiLa prima disequazione e` verificata quando la frazione algebrica xþ2 va o nulla, cioe` per: 2 < x  5

Insieme delle soluzioni S1

Risolviamo ora la seconda disequazione del sistema. 1 2 x þ x > 4 ) x2 þ 2x > 8 ) 2 ) x2 þ 2x  8 > 0 18 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 1

L’equazione associata, x2 þ 2x  8 ¼ 0, ha come soluzioni: x ¼ 4 _ x ¼ 2

x < 4 _ x > 2

Equazioni e disequazioni

La seconda disequazione e` dunque verificata negli intervalli esterni alle soluzioni, cioe` per: Insieme delle soluzioni S2

o

32

passo Costruiamo lo schema riassuntivo e troviamo l’intersezione delle singole soluzioni. Rappresentiamo in un unico schema l’insieme S1 delle soluzioni della prima disequazione e l’insieme S2 delle soluzioni della seconda. L’insieme S delle soluzioni del sistema corrisponde all’intervallo dove, su tutte le righe blu, c’e` una linea continua (tale intervallo e` colorato in giallo). –4

2

–2

5 x

S1 S2 S o

33

passo Concludiamo che il sistema e` soddisfatto per: 2 < x  5

Un sistema in cui una disequazione e` sempre verificata ( ðx þ 1Þ2 þ x 2
0 Risolviamo il sistema ðx 2  3xÞ3 < 0

ESEMPIO

Osserva la prima disequazione del sistema: il primo membro e` la somma di due quadrati, quindi e` certamente non negativo per ogni valore di x. Ne segue che la prima disequazione e` sempre verificata, percio` puo` essere trascurata, perche´ non influisce sulle soluzioni del sistema (sai giustificare perche´?). Il sistema e` allora equivalente alla seconda disequazione, che risolviamo: ðx2  3xÞ3 < 0 ) x2  3x < 0 ) 0 < x < 3 Concludiamo che il sistema e` soddisfatto per 0 < x < 3. Un sistema impossibile  3 x þx1
0 Risolviamo il sistema x2  x þ 1 < 0

ESEMPIO

Rifletti Gli ultimi due esempi mostrano che: 1. se una disequazione di un sistema e` sempre verificata, essa puo` essere trascurata; 2. se una disequazione di un sistema e` impossibile, anche il sistema e` impossibile.

Non farti ingannare del fatto che la prima disequazione e` di terzo grado e dunque potenzialmente difficile da risolvere. In realta` questo sistema si puo` risolvere con pochissimi calcoli! Osservando che la seconda disequazione del sistema non e` mai verificata (perche´ il discriminante dell’equazione corrispondente, x2  x þ 1 ¼ 0, e` negativo), possiamo concludere senza fare altri calcoli che il sistema e` impossibile (sai giustificare perche´?).

Prova tu

ESERCIZI a p. 48

Risolvi i seguenti sistemi. 8 2 < x  6x > 0 [x < 1 _ x > 6] 1. : 5x 0 xþ1

2.

(

x4 þ 4x2  5 > 0 pffiffiffi ðx þ 1Þ2  1  5

[Impossibile]

3.

(

x3 þ 2 > 0 2

x  3x þ 5 > 0

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pffiffiffi [x >  3 2]

19

Equazioni, disequazioni e funzioni

7. Le equazioni e le disequazioni irrazionali EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Un’equazione o una disequazione si chiama irrazionale quando contiene almeno un radicale nel cui radicando compare l’incognita.

Tema A

Nella seguente tabella sono mostrati alcuni esempi e controesempi. Esempi

Controesempi

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2¼ x 2 ffiffiffi 1p 3 x x¼ 2 sono equazioni irrazionali pffiffiffi x
xþ2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi p x < 4x2

pffiffiffi 1 2¼ x 2 p ffiffiffi 3 1  2 x ¼ x2

sono disequazioni irrazionali

x

non sono equazioni irrazionali pffiffiffi p ffiffiffi 3 2
xþ 2 ffiffiffi p pffiffiffi x 3
x32

non sono disequazioni irrazionali

Equazioni irrazionali La tecnica risolutiva di un’equazione irrazionale consiste nel ricondursi a un’equazione razionale mediante opportuni elevamenti a potenza. A tale proposito occorre ricordare le seguenti proprieta`.  Se si elevano entrambi i membri di un’equazione a una potenza di esponente dispari si ottiene un’equazione equivalente a quella originaria.  Se si elevano entrambi i membri di un’equazione a una potenza di esponente pari la nuova equazione che si ottiene, in generale, non e` equivalente a quella assegnata, poiche´ puo` avere piu` soluzioni rispetto a essa. L’equivalenza tra le due equazioni e` garantita solo nel caso in cui i due membri dell’equazione originaria siano non negativi. Tenendo conto di queste proprieta`, possiamo passare in rassegna le tecniche per risolvere le equazioni irrazionali che si incontrano piu` di frequente. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1. L’equazione si puo` ricondurre alla forma AðxÞ ¼ BðxÞ

Facciamo alcune considerazioni, che ci porteranno a scrivere un sistema equivalente all’equazione data.  Una soluzione dell’equazione pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ ¼ BðxÞ [1.3]

deve anzitutto essere tale che AðxÞ
0, in modo che sia definito il radicale al primo membro (condizione di esistenza).  Una soluzione dell’equazione [1.3] deve rendere uguali i suoi due membri: poiche´ al primo membro c’e` una radice quadrata, che e` non negativa quando e` reale, la soluzione deve rendere non negativo anche il secondo membro, quindi deve essere tale che: BðxÞ
0

Attenzione! Con la scrittura B2 ðxÞ si intende l’espressione BðxÞ elevata al quadrato.

20

(condizione di concordanza di segno tra i due membri dell’equazione).  Se AðxÞ
0 e BðxÞ
0, i due membri dell’equazione [1.3] sono definiti e non negativi: quindi, elevandoli al quadrato, otteniamo un’equazione equivalente. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Possiamo allora concludere che x e` una soluzione dell’equazione AðxÞ ¼ BðxÞ se e solo se soddisfa il sistema: 8 < AðxÞ
0 BðxÞ
0 : AðxÞ ¼ B2 ðxÞ

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2. L’equazione si puo` ricondurre alla forma

Equazioni e disequazioni

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Equazione del tipo AðxÞ ¼ BðxÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risolviamo l’equazione x 2 þ 4 ¼ 2x  2. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Equazione da risolvere x2 þ 4 ¼ 2x  2  2x  2
0 Sistema equivalente, per la [1.4] x2 þ 4 ¼ ð2x  2Þ2  x
1 Svolgendo i calcoli 3x2  8x ¼ 0 8

: x3
0 che e` verificato per x
3. o

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi passo Riconduciamo l’equazione alla forma AðxÞ ¼ BðxÞ, quindi risolviamola. Per evitare che, negli elevamenti al quadrato, sipintroducano delle soluzioni ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi estranee, riscriviamo l’equazione portando  x  3 al primo membro e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x þ 5 al secondo: pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ x3¼ xþ5 I due membri ora sono non negativi quindi, elevandoli al

32

quadrato, otteniamo un’equazione equivalente

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð x þ x  3 Þ2 ¼ ð x þ 5 Þ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ x  3 þ 2 x2  3x ¼ x þ 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x2  3x ¼ 8  x 

Svolgendo i quadrati, presta attenzione a non dimenticare il doppio prodotto al 1 membro! pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  x  x  3 ¼ 2 x 2  3x

Isolando il radicale al 1 membro, ci siamo ricondotti alla forma voluta (a meno del fattore 2 al 1 membro, che non comporta cambiamenti nello schema risolutivo)

8x
0 4ðx2  3xÞ ¼ ð8  xÞ2

x¼

Elevando i due membri al quadrato

16 _x¼4 3

Sistema equivalente all’equazione

Risolvendo il sistema

o

33

passo Concludiamo accettando solo le soluzioni che soddisfano le condizioni di esistenza. 16 non soddisfa la condizione di esistenza, x
3, quindi La soluzione x ¼  3 e` da scartare; la soluzione x ¼ 4 invece soddisfa tale condizione. In conclusione, l’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` S ¼ f4g.

Disequazioni irrazionali Come per le equazioni irrazionali, anche la tecnica risolutiva delle disequazioni irrazionali prevede di riportarsi a una disequazione razionale mediante elevamenti a potenza. Abbiamo visto qual e` il comportamento di un’equazione rispetto all’elevamento a potenza pari o dispari, ma qual e` l’analogo comportamento di una disuguaglianza? Si potrebbe dimostrare che:  elevando entrambi i membri di una disuguaglianza a potenza di esponente dispari si ottiene una disuguaglianza nello stesso verso: 22

a < b , an < bn

8a; b 2 R e 8n 2 N con n dispari

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Equazioni e disequazioni

a < b , an < bn

Unita` 1

 elevando entrambi i membri di una disuguaglianza a potenza di esponente pari in generale non e` detto che si ottenga una disuguaglianza nello stesso verso (per esempio: 3 <  2 ma ð3Þ2 > ð2Þ2 ); se pero` i due membri della disuguaglianza sono non negativi, allora si ottiene una disuguaglianza nello stesso verso: 8a, b 2 Rþ 0 e 8n 2 N  f0g con n pari

Sulla base di questi principi, possiamo ora passare in rassegna le tecniche per risolvere le disequazioni irrazionali che si incontrano piu` di frequente. 1. La disequazione si puo` ricondurre alla forma

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ < BðxÞ

Facciamo alcune considerazioni, che ci porteranno a scrivere un sistema equivalente alla disequazione data.  Osserviamo anzitutto che il radicale al primo membro e` definito nell’insieme dei numeri reali a condizione che sia AðxÞ
0 (condizione di esistenza).  Il primo membro, quando e` reale, e` certamente non negativo, quindi, affinche´ la disequazione sia verificata, il secondo membro deve essere positivo. Deve quindi risultare BðxÞ > 0.  Se AðxÞ
0 e BðxÞ > 0, i due membri della disequazione sono non negativi, quindi, elevandoli al quadrato, otteniamo una disequazione equivalente: AðxÞ < B2 ðxÞ. In conclusione: I valori di x che soddisfano la disequazione sistema: 8 AðxÞ
0 > > < BðxÞ > 0 > > : AðxÞ < B2 ðxÞ Disequazione della forma pffiffiffi Risolviamo la disequazione x < x  2.

ESEMPIO

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ < BðxÞ sono le soluzioni del [1.5]

Attenzione! 1. La disequazione pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi AðxÞ  BðxÞ ha uno schema risolutivo analogo a quello qui a fianco: con ragionamenti del tutto simili a quelli effettuati poc’anzi si conclude che essa equivale al sistema: 8 > < AðxÞ
0 > :

BðxÞ
0

AðxÞ  B2 ðxÞ

2. Le disequazioni irrazionali del tipo pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ < BðxÞ in cui BðxÞ e` un numero negativo sono impossibili perche´ la condizione BðxÞ > 0 non e` verificata. Per esempio, e`pimpossibile la ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi disequazione x þ 1 < 3.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ < BðxÞ

La disequazione e` equivalente al sistema: 8 > 0 > : x < ðx  2Þ2

cioe`, risolvendo le singole disequazioni: 8 > 2 > : x4

Dallo schema seguente, dove le soluzioni delle singole disequazioni sono inserite dall’alto in basso nello stesso ordine in cui compaiono nel sistema, puoi dedurre che il sistema (e percio` la disequazione assegnata) e` soddisfatto per x > 4. 0

1

2

4 x

23 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni

2. La disequazione si puo` ricondurre alla forma

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ > BðxÞ

Facciamo anche in questo caso alcune considerazioni, che ci porteranno a scrivere un sistema equivalente alla disequazione data.  Se BðxÞ < 0 e il primo membro e` reale (cioe` se AðxÞ
0Þ, la disequazione e` certamente soddisfatta; dunque sono soluzioni della disequazione le soluzioni del sistema: ( AðxÞ
0 BðxÞ < 0

Tema A

 Se BðxÞ
0, una eventuale soluzione della disequazione dovra` anzitutto essere tale che il primo membro esista, cioe` tale che AðxÞ
0; se queste due condizioni (AðxÞ
0 e BðxÞ
0Þ sono verificate, i due membri della disequazione sono non negativi, quindi, elevandoli al quadrato, otteniamo una disequazione equivalente. Sono dunque soluzioni della disequazione assegnata anche le soluzioni del sistema: 8 AðxÞ
0 > < BðxÞ
0 > : AðxÞ > B2 ðxÞ

Osservando le tre disequazioni del sistema, si puo` pero` notare che la prima e` superflua, poiche´ AðxÞ risultera` certamente non negativo se deve essere maggiore di un quadrato, come e` richiesto dalla terza disequazione. In conclusione: Attenzione! 1. La disequazione pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi AðxÞ
BðxÞ ha uno schema risolutivo analogo a quello qui a fianco: con ragionamenti del tutto simili a quelli effettuati poc’anzi si conclude che essa equivale al sistema:  AðxÞ
0 _ BðxÞ < 0  BðxÞ
0 _ AðxÞ
B2 ðxÞ 2. Le disequazioni irrazionali del tipo pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ > BðxÞ in cui BðxÞ e` un numero negativo equivalgono alla condizione AðxÞ
0. Per esempio, pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi la disequazione x þ 1 > 5 e` verificata per ogni x
1.

I valori di x che soddisfano la disequazione ( ( AðxÞ
0 BðxÞ
0 _ BðxÞ < 0 AðxÞ > B2 ðxÞ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ > BðxÞ sono quelli per cui: [1.6]

Presta attenzione al fatto che, come indica pffiffiffiffiffiffiffiffiffila ffi presenza del connettivo _, l’insieme delle soluzioni della disequazione AðxÞ > BðxÞe` l’unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi scritti. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Disequazione della forma AðxÞ > BðxÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risolviamo la disequazione 9  x 2 > x þ 3.

ESEMPIO

I valori di x che sono soluzioni della disequazione assegnata sono quelli per cui:   xþ3
0 9  x2
0 _ 9  x2 > ðx þ 3Þ2 xþ3 BðxÞ o 3 AðxÞ  BðxÞ o 3 AðxÞ
BðxÞ

x < x3

Equazioni e disequazioni

In questo caso, avendo a che fare con radicali di indice dispari (e precisamente di indice 3), la disequazione equivale a quella che si ottiene elevando i suoi due membri al cubo, senza necessita` di porre particolari condizioni. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E S E M P I O Disequazione della forma 3 AðxÞ < BðxÞ pffiffiffi Risolviamo la disequazione 3 x < x. ffiffiffi p 3 x0

Riscrivendo in forma normale

2

xðx  1Þ > 0

Raccogliendo x al primo membro

Studiando il segno dei due fattori otteniamo il seguente schema: 0

–1 segno di x segno di x 2 – 1

− +

segno di x(x 2 – 1)

−

1

0

0

− −

+ −

0

+ +

0

+

0

−

0

+

x

Da esso deduciamo che la disequazione e` soddisfatta per: 1 < x < 0 _ x > 1 ` di un radicale quadratico 4. L’incognita compare in piu In questo caso per risolvere la disequazione occorre procedere similmente a quanto visto per le equazioni dello stesso tipo. Ti proporremo alcuni esempi nella parte di esercizi.

Prova tu

ESERCIZI a p. 51

1. Risolvi le seguenti equazioni irrazionali.

b. c.

p ffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2x ¼ 2 3 x þ 2

pffiffiffiffiffiffi # 9  21 2   8  3 " pffiffiffi # 3 þ 2 3 3 "

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. 1þx¼4x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ1þ x¼ xþ2

2. Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali.   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 a. 1  x2 < 2x þ 2  7   pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 c. 2x þ 1 > x  2  x< 6þ3 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d. x þ 5 < 8 [Impossibile]

8. Le equazioni e le disequazioni con valori assoluti Introduzione In questo paragrafo vogliamo affrontare le equazioni e le disequazioni contenenti almeno un valore assoluto nel cui argomento compare l’incognita. Ricordiamo, anzitutto, la definizione di valore assoluto di un numero reale. VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE

Dato un numero reale x, si chiama valore assoluto (o modulo) di x, e si indica con il simbolo jxj, il numero reale cosı` definito:  x se x
0 jxj ¼ [1.7] x se x < 0 25 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Se rappresentiamo il numero x sulla retta reale, jxj e` la distanza dall’origine del punto corrispondente a x: |x| x

|x| O

O

se x < 0

x

se x > 0

Osserva che, per come e` definito, il valore assoluto di un numero reale e` sempre non negativo. ESEMPI Attenzione! Poiche´, come e` noto, i numeri interi positivi vengono spesso scritti omettendo il segno þ, si puo` anche scrivere: j þ 3j ¼ 3

e j4j ¼ 4

Valore assoluto di un numero

a. jþ3j ¼ þ3

Perche´ þ3 > 0

b. j4j ¼ ð4Þ ¼ þ4 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi c. j 2  5 j ¼ ð 2  5Þ ¼ 5  2

Perche´ 4 < 0 pffiffiffi pffiffiffi Perche´ 2  5 < 0

La definizione di valore assoluto di un’espressione algebrica f ðxÞ e` la naturale estensione della definizione di valore assoluto data per un numero reale. VALORE ASSOLUTO DI UN’ESPRESSIONE ALGEBRICA

Data un’espressione algebrica f ðxÞ, si chiama valore assoluto (o modulo) di f ðxÞ, e si indica con il simbolo jf ðxÞj, l’espressione cosı` definita:  f ðxÞ se f ðxÞ
0 [1.8] jf ðxÞj ¼ f ðxÞ se f ðxÞ < 0

Quando e` data un’espressione del tipo jf ðxÞj, si dice che f ðxÞ e` l’argomento del valore assoluto. ESEMPI

Valore assoluto di un’espressione algebrica

Riscriviamo le seguenti espressioni in base alla definizione di valore assoluto: a. jx þ 1j

b. jx 2  2xj

a. In base alla definizione di valore assoluto:  xþ1 se x þ 1
0 jx þ 1j ¼ ðx þ 1Þ se x þ 1 < 0 ossia:  xþ1 se x
1 jx þ 1j ¼ x  1 se x < 1 b. In base alla definizione di valore assoluto:  2 x  2x se x2  2x
0 jx2  2xj ¼ 2 ðx  2xÞ se x2  2x < 0 ossia, risolvendo le disequazioni:  2 se x  0 _ x
2 x  2x jx2  2xj ¼ x2 þ 2x se 0 < x < 2 Il valore assoluto gode di alcune proprieta` importanti, che elenchiamo di seguito. Proprieta` del valore assoluto 1.

j  xj ¼ jxj

per ogni x 2 R

2.

jxj2 ¼ x 2 pffiffiffiffiffi x 2 ¼ jxj

per ogni x 2 R

3.

26

per ogni x 2 R

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per ogni x, y 2 R

5.

jx  yj ¼ jxj  jyj   x   ¼ jxj y  jyj

per ogni x, y 2 R

6. 7.

Attenzione!

per ogni x, y 2 R, con y 6¼ 0

j5 þ ð3Þj 6¼ j5j þ j3j

per ogni x, y 2 R

jxj ¼ jyj , x ¼ y

2

Equazioni con valori assoluti Consideriamo ora le tipologie di equazioni in cui all’interno di qualche valore assoluto compare l’incognita. Per esempio, rientrano in questa casistica le equazioni: jx þ 1j ¼ 5

jx2 þ 2xj ¼ jxj

Non e` vero che il valore assoluto di una somma coincide con la somma dei valori assoluti degli addendi; per esempio:

8

Di conseguenza, un’espressione come jxj þ jx þ 1j non puo` essere semplificata sommando gli argomenti; per esempio:

Equazioni e disequazioni

jx þ yj  jxj þ jyj

Unita` 1

4.

jxj þ jx þ 1j 6¼ jx þ x þ 1j

jx þ 1j ¼ 5x

Di seguito presentiamo le tecniche risolutive per le equazioni di questo tipo che si incontrano piu` frequentemente. 1. L’equazione si puo` ricondurre alla forma jAðxÞj ¼ k, con k numero reale Si possono presentare tre casi: a. se k < 0, l’equazione jAðxÞj ¼ k non ha soluzioni, poiche´ il valore assoluto di un numero (nel nostro caso, il valore assoluto del valore assunto da AðxÞÞ e` sempre non negativo; b. se k ¼ 0, l’equazione jAðxÞj ¼ 0 equivale a AðxÞ ¼ 0, poiche´ il valore assoluto di un numero e` zero se e solo se il numero stesso e` zero; c. se k > 0, poiche´ il valore assoluto di un numero e` k se e solo se il numero e` uguale a k, l’equazione jAðxÞj ¼ k equivale a: AðxÞ ¼ k _ AðxÞ ¼ k ESEMPI

Equazioni della forma jAðxÞj ¼ k

Osserva

Risolviamo le equazioni:

b. jx 2 þ 2xj ¼ 0

a. jx 2 þ xj ¼ 2

c. jx  5j ¼ 4

a. Il valore assoluto di un’espressione non puo` mai essere negativo, quindi l’equazione e` impossibile. b. L’equazione equivale a x2 þ 2x ¼ 0, che ha per soluzioni:

Gli esempi qui a fianco rappresentano ciascuno dei tre casi possibili: a. nel primo e` k ¼ 2 < 0, b. nel secondo e` k ¼ 0, c. nel terzo e` k ¼ 4 > 0.

x ¼ 2 _ x ¼ 0 Percio` l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` S ¼ f2, 0g. c. L’equazione jx  5j ¼ 4 equivale, per la proprieta` 7 del valore assoluto, a: x  5 ¼ 4 _ x  5 ¼ 4 x¼54_x¼5þ4 x¼1_x¼9

Percio` l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` S ¼ f1, 9g. 2. L’equazione si puo` ricondurre alla forma jAðxÞj ¼ BðxÞ Le soluzioni di un’equazione del tipo jAðxÞj ¼ BðxÞ, in base alla definizione di valore assoluto, sono i valori di x per cui: ( ( AðxÞ
0 AðxÞ < 0 _ AðxÞ ¼ BðxÞ AðxÞ ¼ BðxÞ 27 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni

Presta attenzione al fatto che, come indica la presenza del connettivo _, l’insieme delle soluzioni dell’equazione jAðxÞj ¼ BðxÞ e` l’unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi scritti.

Tema A

Il primo sistema ammette la soluzione x ¼ 1 (la soluzione dell’equazione, 1 x ¼ 1, e` accettabile perche´ soddisfa la condizione x
 Þ. 2 Il secondo sistema non ammette soluzioni (poiche´ la soluzione dell’equazio1 1 ne, x ¼  , non soddisfa la condizione x <  Þ. 5 2 Complessivamente, l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` costituito dalla sola soluzione del primo sistema: S ¼ f1g.

ESEMPIO

Equazioni della forma jðAðxÞj ¼ BðxÞ

Risolviamo l’equazione j2x þ 1j ¼ 3x.

L’equazione j2x þ 1j ¼ 3x equivale a: 

2x þ 1
0 _ 2x þ 1 ¼ 3x



2x þ 1 < 0 2x  1 ¼ 3x

8 8 1 > > > >

> > :x ¼ 1 :x ¼  1 5

3. L’equazione si puo` ricondurre alla forma jAðxÞj ¼ jBðxÞj Poiche´ due numeri hanno lo stesso valore assoluto se e solo se sono uguali od opposti, l’equazione jAðxÞj ¼ jBðxÞj equivale a: AðxÞ ¼ BðxÞ _ AðxÞ ¼ BðxÞ ESEMPIO

Equazioni della forma jðAðxÞj ¼ jBðxÞj

Risolviamo l’equazione jx 2  1j ¼ j2x  1j.

L’equazione data e` del tipo jAðxÞj ¼ jBðxÞj, con AðxÞ ¼ x2  1 e BðxÞ ¼ 2x  1, quindi equivale a: x2  1 ¼ 2x  1 _ x2  1 ¼ ð2x  1Þ x2  2x ¼ 0 _ x2 þ 2x  2 ¼ 0 pffiffiffi x ¼ 0 _ x ¼ 2 _ x ¼ 1  3

Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` S ¼ f0, 2, 1 

pffiffiffi 3g.

` di un valore assoluto e non si puo` 4. L’incognita compare all’interno di piu ricondurre alla forma jAðxÞj ¼ jBðxÞj In questo caso, per risolvere l’equazione, occorre procedere come nel seguente esempio. ESEMPIO

Equazione con due valori assoluti

Risolviamo l’equazione jxj þ 2jx þ 1j ¼ 2x þ 3. o

31

passo Studiamo il segno degli argomenti dei due valori assoluti x e x þ 1 e riportiamolo in una tabella analoga a quella che siamo soliti costruire per risolvere una disequazione frazionaria. 0

–1 segno di x segno di x + 1

− −

0

− +

0

+ +

x

28 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

passo Tenendo conto dello studio del segno degli argomenti e della definizione di valore assoluto, possiamo riscrivere l’equazione originaria in ciascuno dei tre intervalli:  1  x < 0;

x
0

in modo che non compaiano valori assoluti. Per x < 1, gli argomenti dei due valori assoluti sono negativi, quindi: jxj ¼ x

jx þ 1j ¼ x  1

e

L’equazione jxj þ 2jx þ 1j ¼ 2x þ 3 diventa: ðxÞ þ 2ðx  1Þ ¼ 2x þ 3 x  2x  2 ¼ 2x þ 3

Equazioni e disequazioni

x < 1;

Unita` 1

o

32

x ¼ 5

Questa soluzione e` accettabile perche´ verifica la condizione x < 1. Per 1  x < 0, l’argomento del primo valore assoluto e` negativo e quello del secondo e` positivo, quindi: jxj ¼ x

jx þ 1j ¼ x þ 1

e

L’equazione jxj þ 2jx þ 1j ¼ 2x þ 3 diventa: ðxÞ þ 2ðx þ 1Þ ¼ 2x þ 3 x þ 2x þ 2 ¼ 2x þ 3 1 3x ¼ 1 ) x ¼ 3

Quest’altra soluzione non e` accettabile perche´ non verifica la condizione 1  x < 0. Per x
0, gli argomenti dei due valori assoluti sono positivi, quindi: jxj ¼ x

e

jx þ 1j ¼ x þ 1

L’equazione jxj þ 2jx þ 1j ¼ 2x þ 3 diventa: x þ 2ðx þ 1Þ ¼ 2x þ 3 x þ 2x þ 2 ¼ 2x þ 3 5x ¼ 1 ) x ¼

1 5

Questa soluzione e` accettabile perche´ verifica la condizione x
0. o

33

passo Concludiamo. Le soluzioni dell’equazione originaria sono le soluzioni accettabili ottenute nel passo precedente. 1 Le soluzioni accettabili che abbiamo trovato sono x ¼ 5 e x ¼ , quindi l’in5   1 . sieme delle soluzioni dell’equazione originaria e` S ¼ 5, 5

Disequazioni con valori assoluti Presentiamo, infine, le tecniche risolutive delle disequazioni in cui all’interno di qualche valore assoluto compare l’incognita, selezionando le tipologie che si incontrano piu` frequentemente. 1. La disequazione si puo` ricondurre a una delle seguenti forme: jAðxÞj < k o jAðxÞj > k o jAðxÞj  k o jAðxÞj
k con k numero reale Se k  0, la disequazione si puo` risolvere in base alla definizione di valore assoluto, come mostriamo nei prossimi esempi. 29 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni

ESEMPI

Disequazioni della forma jAðxÞj
k e jAðxÞj  k, con k  0

Risolviamo le disequazioni: c. jx 3  1j  1 

b. jx 2  2j  0

a. jx þ 2j
2

pffiffiffi 2

a. Poiche´ il valore assoluto di un numero e` sempre positivo o nullo, la disequazione e` verificata per ogni x 2 R.

Tema A

b. Poiche´ il valore assoluto di un numero non e` maip negativo, la disequazione ffiffiffi e` verificata se e solo se jx2  2j ¼ 0, cioe` per x ¼  2. pffiffiffi c. Osserviamo che 1  2 < 0. Poiche´ il valore assoluto di un numero non e` mai minore pffiffiffi di zero, a maggior ragione non potra` essere ne´ uguale ne´ minore di 1  2. La disequazione non e` verificata da alcun valore reale di x.

Se k > 0, trattiamo separatamente il caso della disequazione del tipo jAðxÞj < k e quello della disequazione del tipo jAðxÞj > k. Attenzione! Le disequazioni del tipo jAðxÞj  k e jAðxÞj
k si risolvono in modo del tutto analogo, ma i simboli < e > andranno sostituiti, rispettivamente, con  e
.

jAðxÞj < k

jAðxÞj > k

Poiche´ il valore assoluto di un numero e` minore di k se e solo se il numero appartiene all’intervallo (k, k), la disequazione equivale a:

Poiche´ il valore assoluto di un numero e` maggiore di k se e solo se il numero appartiene all’intervallo (1, k) o all’intervallo (k, þ1), la disequazione equivale a:

k < AðxÞ < k

ESEMPI

AðxÞ < k _ AðxÞ > k

Disequazioni della forma jAðxÞj  k e jAðxÞj > k, con k > 0

Risolviamo le disequazioni: b. jx 2  1j > 2

a. jx þ 3j  4

a. La disequazione equivale a: 4  x þ 3  4

da cui segue:

7  x  1

b. La disequazione equivale a: x2  1 < 2 _ x2  1 > 2 da cui segue: x2 þ 1 < 0 disequazione impossibile

_

x2  3 > 0 disequazione pffiffiffisoddisfatta pffiffiffi per x   3 _ x
3

Concludiamo che la disequazione originaria e` soddisfatta per: pffiffiffi pffiffiffi x 3_x
3 2. La disequazione si puo` ricondurre a una delle seguenti forme: jAðxÞj < BðxÞ o jAðxÞj > BðxÞ o jAðxÞj  BðxÞ o jAðxÞj
BðxÞ In questi casi, si puo` risolvere la disequazione ricordando la definizione di valore assoluto. Per esempio, la disequazione jAðxÞj < BðxÞ equivale a: ( ( AðxÞ
0 AðxÞ < 0 _ AðxÞ < BðxÞ AðxÞ < BðxÞ Analogamente per gli altri casi. 30 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 1

Disequazione della forma jAðxÞj < BðxÞ

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione jx  1j < 2x.

Equazioni e disequazioni

La disequazione equivale a: ( ( x1
0 x1, ,
) possono essere risolte piu` rapidamente senza «sciogliere» il valore assoluto, secondo uno schema risolutivo analogo a quello utilizzato per le disequazioni in cui BðxÞ e` un numero, vale a dire: j AðxÞj < BðxÞ jAðxÞj > BðxÞ

equivale a equivale a

Figure dinamiche Un approfondimento sulle disequazioni con piu` valori assoluti e` disponibile on-line.

BðxÞ < AðxÞ < BðxÞ

AðxÞ < BðxÞ _ AðxÞ > BðxÞ

Analoghe equivalenze valgono se vengono sostituiti rispettivamente con ,
. Per esempio, la disequazione poc’anzi risolta, jx  1j < 2x, in base alla prima equivalenza avrebbe potuto essere risolta piu` rapidamente risolvendo semplicemente il sistema:  x  1 < 2x x  1 > 2x

3. La disequazione si puo` ricondurre a una delle seguenti forme: jAðxÞj < jBðxÞj o jAðxÞj > jBðxÞj o jAðxÞj  jBðxÞj o jAðxÞj
jBðxÞj Poiche´ i due membri della disequazione sono non negativi, elevandoli al quadrato si ottiene una disequazione equivalente, in cui non compaiono valori assoluti. 31 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni

ESEMPIO

Tema A

` di un valore assoluto e la disequa4. L’incognita compare all’interno di piu zione non rientra in una delle forme del punto precedente

Disequazione della forma jAðxÞj > jBðxÞj

Risolviamo la disequazione jx þ 1j
j2xj. jx þ 1j
j2xj

Disequazione da risolvere

jx þ 1j2
j2xj2

Elevando i due membri al quadrato otteniamo una disequazione equivalente

ðx þ 1Þ2
ð2xÞ2

Per la proprieta` 2 dei valori assoluti

3x2  2x  1  0

Sviluppando i quadrati e riscrivendo la disequazione in forma normale



Risolvendo la disequazione di secondo grado

1 x1 3

In questo caso per risolvere la disequazione occorre procedere similmente a quanto visto per le equazioni dello stesso tipo. Ti proporremo degli esempi negli esercizi.

Prova tu

ESERCIZI a p. 57

1. Risolvi le seguenti equazioni contenenti valori assoluti. a. jx2  3j ¼ 10

[Impossibile]

2

b. jx  2j ¼ 7

[3]

2

c. jx þ 2j ¼ 3x

d. jx þ 1j ¼ j3x  2j e. jxj þ j2x  3j ¼ 2



[1, 2]  3 1 , 2 4   5 1, 3

2. Risolvi le seguenti disequazioni contenenti valori assoluti. a. j2x þ 1j < 0

[Impossibile] pffiffiffi pffiffiffi [ 2  1 < x < 2 þ 1]   1 x < 3 _ x > 3

2

b. jx  1j < 2x c. j3x þ 4j > 5 d. jx3 þ 5j > 10 e.

1 jxj > x2 2

f. jx2  1j < 3

[8x 2 R]   1 1  0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Schema risolutivo per l’equazione AðxÞ ¼ BðxÞ ( pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ ¼ B2 ðxÞ AðxÞ ¼ BðxÞ , BðxÞ
0 Schemi risolutivi per alcune disequazioni irrazionali 8 AðxÞ
0 ( > < pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ
0 AðxÞ < BðxÞ , BðxÞ > 0 AðxÞ > BðxÞ , > BðxÞ < 0 : AðxÞ < B2 ðxÞ

_

(

BðxÞ
0

AðxÞ > B2 ðxÞ

Schema risolutivo per alcune equazioni con valore assoluto 8 impossibile se k < 0 > < jAðxÞj ¼ k , AðxÞ ¼ 0 se k ¼ 0 > : AðxÞ ¼ k _ AðxÞ ¼ k se k > 0 jAðxÞj ¼ jBðxÞj , AðxÞ ¼ BðxÞ _ AðxÞ ¼ BðxÞ

jAðxÞj ¼ BðxÞ ,

(

AðxÞ
0 AðxÞ ¼ BðxÞ

_

(

AðxÞ < 0 AðxÞ ¼ BðxÞ

Schema risolutivo per alcune disequazioni con valore assoluto jAðxÞj < k, con k > 0 , k < AðxÞ < k jAðxÞj > k, con k > 0 , AðxÞ < k _ AðxÞ > k jAðxÞj < BðxÞ ,

(

jAðxÞj < jBðxÞj

,

AðxÞ
0 AðxÞ < BðxÞ

_

(

AðxÞ < 0 AðxÞ < BðxÞ

A2 ðxÞ < B2 ðxÞ 33

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Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione alle disequazioni

TEORIA a p. 2

Il concetto di disequazione 1 Þ

Stabilisci quali delle seguenti disuguaglianze sono disequazioni:

a. 10 > 7

b. x2 þ y 2 < 5

c. 3x  1 ¼ 5x

d.

5 > x2  1 x

e. ð5  1Þ2


pffiffiffi 3

Per ciascuna delle seguenti disequazioni stabilisci se il numero indicato a fianco e` una sua soluzione. 2 Þ

2x > 10;

5

3 Þ

2x  5 < 10;

2

4 Þ

2ðx þ 1Þ > 6;

1

5 Þ

2x  1 > 10x þ 9;

2

6 Þ

1 1 x
x; 2 3

6

7 Þ

x2  1 > 0;

1

8 Þ

x3
x2 ;

0

9 Þ

Completa la seguente tabella. Se la risposta alla domanda in essa contenuta e` affermativa, specifica in base a quale principio di equivalenza; se e` negativa, fornisci un controesempio. Prima disequazione

Seconda disequazione

Sono equivalenti?

x
1

3x
3

Sı`, in base al ................................................................................................

5x  2 > 0

5x þ 2 < 0

Sı`, in base al ................................................................................................

3x  1 > x

xð3x  1Þ > x2

Sı`, in base al ................................................................................................

x 1g ¼ ::::::::::::::: [

:::::::::::::::

c. fx 2 Rjx
3 ^ x < 1g ¼ :::::::::::::::

d. fx 2 Rj  3 < x  2 _ x > 0g ¼ ::::::::::::::: [ :::::::::::::::

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Unita` 1

13 Rappresenta sia con la notazione algebrica, sia graficamente, sia con la notazione delle parentesi, i seguenti Þ intervalli descritti a parole.

a. L’insieme dei numeri reali minori di 4. c. L’insieme dei numeri reali compresi tra 2 e 3, inclusi 2 e 3. d. L’insieme dei numeri reali compresi tra 1 e 2, incluso 1 ed escluso 2. e. L’insieme dei numeri reali che non superano 6.

f. L’insieme dei numeri reali negativi minori o uguali a 3. 14 Þ

Rappresenta sia con la notazione algebrica, sia graficamente, sia con la notazione delle parentesi, i seguenti intervalli descritti a parole.

Equazioni e disequazioni

b. L’insieme dei numeri reali maggiori o uguali a 1.

a. L’insieme dei numeri reali minori o uguali a 1. b. L’insieme dei numeri reali negativi. c. L’insieme dei numeri reali non negativi. d. L’insieme dei numeri reali compresi tra 1 e 5, inclusi 1 e 5. e. L’insieme dei numeri reali compresi tra 3 e 3, esclusi 3 e 3. f. L’insieme dei numeri reali positivi maggiori di 4.

2. Le disequazioni intere di primo grado

TEORIA a p. 5

15 Þ

Vero o falso? pffiffiffi pffiffiffi a. 2ðx  1Þ
2 equivale a ðx  1Þ
2 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi b. ðx  1Þð 2  1Þ
2  2 equivale a ðx  1Þ
2 pffiffiffi pffiffiffi c. ðx  1Þð2  5Þ
2  5 equivale a ðx  1Þ
1 pffiffiffi pffiffiffi d.  3ðx  1Þ
 3 equivale a ðx  1Þ  0

Risolvi le seguenti disequazioni intere di primo grado.   15 16 2x  3 > 5x  ðx  12Þ x ðx þ 2Þ  ðx  3Þðx þ 1Þ Þ

2



x 3 2 6

[8x 2 R]

Esercizi con parametri 45 Þ

Data l’equazione xða  1Þ  aðx þ 1Þ ¼ 1  3a, determina per quali valori di a la sua soluzione e` maggiore del[a < 1] la soluzione dell’equazione ðx  1Þa  ða  1Þðx þ 1Þ ¼ a þ 1. Data l’equazione ðx  aÞ2  ðx þ aÞ2 ¼ 4a  2a2 , determina per quali valori di a la sua soluzione e` maggiore di   0,1. 11 a> 5

46 Þ

k1 ¼ 0 ha due soluzioni reali distinte. 2

47 Þ

Determina per quali valori di k l’equazione x2  6x þ

48 Þ

Determina per quali valori di k l’equazione x2  2x þ k  1 ¼ 0 non ha soluzioni reali.

49 Þ

Determina per quali valori di a la disequazione

50 Þ

[k < 19] [k > 2]

xa ax 1 þ
 e` soddisfatta per x ¼ 1. 2 3 6

Determina per quali valori di a la disequazione 0,2x  0,3 a  0,1 a þ 2x e` soddisfatta per x ¼ 1.

3. Le disequazioni intere di secondo grado



[a  2]  9 a
2

TEORIA a p. 6

Esercizi preliminari 51 Þ

Vero o falso?

a. la disequazione ðx  1Þ2
ðx þ 1Þ2 e` di primo grado

V

F

V

F

c. l’insieme delle soluzioni di una disequazione di secondo grado varia a seconda del segno del discriminante dell’equazione associata

V

F

d. se l’equazione associata a una disequazione di secondo grado e` impossibile, anche la disequazione e` impossibile

V

F

b. la disequazione xðx  1Þ
2x equivale a x  1
2

2

e. l’insieme delle soluzioni di una disequazione del tipo ax þ bx þ c > 0, con
> 0, e` costituito dagli intervalli esterni alle soluzioni x1 e x2 dell’equazione associata, V F qualsiasi sia il segno del coefficiente a [2 affermazioni vere e 3 false] 36 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 1

52 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Senza fare calcoli, risolviamo la disequazione 5 þ ð3 þ xÞ2
4.

Senza fare calcoli, risolvi le seguenti disequazioni, giustificando la risposta. 53 Þ

ð2x  1Þ2 < 0

59 Þ

3ðx þ 2Þ2  5x2 < 10

54 Þ

ð5x þ 10Þ2  0

60 Þ

ðx þ 1Þ2 þ ð2  xÞ2
0

55 Þ

10
ð2 þ xÞ2

61 Þ

7 þ ð2x þ 6Þ2 > 4

2ðx þ 4Þ2
0 pffiffiffi 57 4 þ 2x2 > 3 Þ

62 Þ

5 < 4 þ 3x2

56 Þ

58 Þ

Equazioni e disequazioni

Poiche´ l’espressione al 1 membro e` la somma di un numero positivo, 5, e di un quadrato (che e` certamente non negativo), essa sara` sempre maggiore o uguale a 5. A maggior ragione, l’espressione al 1 membro sara` allora sempre maggiore o uguale a 4. Quindi l’insieme delle soluzioni della disequazione e` R.

ðx  2Þ2  ðx þ 1Þ2 pffiffiffi 2 64 ð1  3Þð7x  1Þ
ð5x2 þ 1Þ Þ 63 Þ

2x2 þ 5 > 2 þ x2

Disequazioni per le quali l’equazione associata ha discriminante positivo 65 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi le seguenti disequazioni: a. 2x2  3x  2 > 0

b. x2  5x þ 6 > 0

a. Osserva anzitutto che il coefficiente di x2 e` positivo. Inoltre, l’equazione associata, 2x2  3x  2 ¼ 0 , ha due soluzioni reali distinte: x ¼ ::::: _ x ¼ 2

Per il teorema 1.1 la disequazione e` soddisfatta negli intervalli esterni alle soluzioni: x < ::::: _ x > :::::

b. Il coefficiente di x2 e` negativo. Cambia allora i segni e il verso della disequazione; ottieni la disequazione equivalente: x2 þ 5x  6 < 0

L’equazione associata, x2 þ 5x  6 ¼ 0, ha due soluzioni reali distinte: x ¼ ::::: _ x ¼ 1

Per il teorema 1.1 la disequazione e` soddisfatta nell’intervallo interno alle soluzioni: :::::

0

68 Þ

3  x2 > 0

69 Þ

x2  7x > 0

[x < 4 _ x > 4] pffiffiffi pffiffiffi [ 3 < x < 3]

70 Þ

x2 þ 3x
0

[0  x  3]

71 Þ

x2  10x  0

72 Þ

x2 þ 2x  5
0

73 Þ

x2  x þ 2 < 0

[0  x  10] pffiffiffi pffiffiffi [x  1  6 _ x
1 þ 6]

74 Þ

25  x2
0

75 Þ

2

5x þ 4x  0

[x < 0 _ x > 7]

[ x < 2 _ x > 1] 

[5  x  5]  4  x0 5



76 4x2  9 < 0 Þ 77 Þ 78 Þ 79 Þ 80 Þ

x2 þ 7x  8
0 pffiffiffi x2 þ x 2  0

x2  4x þ 1
0 2x2 þ 4x þ 6  0 

83 Þ

3x2  2x  1 > 0

84 Þ

5x2 þ 3x  8 < 0

85 Þ

x2  x  20 < 0

3 3 0 Þ 81 Þ



Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[x  1 _ x
3]   2 2  x 3 3 pffiffiffi [x < 0 _ x > 6]   1 x1 3   8  0

[6  x  6]

90 Þ

3x þ 0,3x > 0



[x < 4 _ x > 1]

91 Þ

x2  6x þ 7 > 0

[7 < x < 1]

0,5x2  2
0 pffiffiffi 93 x2 þ 2 6x  3 > 0 Þ

[x  2 _ x
2] pffiffiffi pffiffiffi [x <  6  3 _ x >  6 þ 3]

[1  x  10] [x < 10 _ x > 10]

2

92 Þ

1 0 0

b. x2  10x þ 25  0

a. Osserva che il coefficiente di x2 e` positivo e che l’equazione associata, x2 þ 16x þ 16 ¼ 0, equivale a ðx þ 4Þ2 ¼ 0, quindi ha la soluzione doppia x ¼ ::::: Il trinomio al primo membro e` quindi sempre positivo, eccetto che per il valore x ¼ ::::: per cui si annulla. Ne puoi dedurre che la disequazione e` soddisfatta per ogni ::::: tale che x 6¼ ::::: Risolvi le seguenti disequazioni. 9 95 x2  3x þ
0 Þ 4 96 Þ

4x2  20x þ 25  0

97 Þ

4x2 þ 12x  9  0

[8x 2 R]

4x  x2  4 < 0 pffiffiffi 99 x2  2 3 x þ 3 < 0 Þ 98 Þ

100 Þ

[8x 2 R]   5 2 [8x 2 R  f2g]

b. Osserva che il coefficiente di x2 e` positivo e che l’equazione associata, x2  10x þ 25 ¼ 0, equivale a ðx  5Þ2 ¼ 0, quindi ha la soluzione doppia x ¼ ::::: Il trinomio al primo membro e` quindi sempre positivo, eccetto che per il valore x ¼ ::::: per cui si annulla. Ne puoi dedurre che la disequazione e` soddisfatta solo per x ¼ :::::

101 Þ 102 Þ 103 Þ 104 Þ

x2 þ 18x  81 < 0 pffiffiffi x2 þ 2 5x þ 5 > 0 pffiffiffi 6x2  2 6x þ 1 < 0 4x2 þ 4x  1 < 0 25 0 4

[Impossibile]

105 Þ

x2  5x þ

[5]

106 Þ

x2 þ 14x  49 > 0

x2  10x þ 25  0

[8x 2 R  f9g] pffiffiffi [8x 2 R  f 5g] 

[Impossibile]   1 8x 2 R  2   5 2 [Impossibile]

Disequazioni per le quali l’equazione associata ha discriminante negativo 107 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi le seguenti disequazioni: a. x2  3x þ 4 > 0

b. 2x2 þ 5x  7
0

a. Osserva che il coefficiente di x2 e` positivo e il discriminante dell’equazione associata, x2  3x þ 4 ¼ 0, e` uguale a ::::: Per il teorema 1.3 il trinomio al primo membro e` sempre positivo, quindi la disequazione e` verificata ::::::::::::::: b. Il coefficiente di x2 e` negativo. Cambiando il segno e il verso della disequazione, ottieni la disequazione equivalente: 2x2  5x þ 7  0

Il discriminante dell’equazione associata, 2x2  5x þ 7 ¼ 0, e` uguale a ::::: Per il teorema 1.3 il trinomio al primo membro e` sempre positivo, quindi la disequazione non e` verificata in corrispondenza di alcun ::::::::::::::: Risolvi le seguenti disequazioni.

38

108 Þ 109 Þ

2x2 þ 1
0 2

x  4x þ 5 < 0

[8x 2 R]

[Impossibile]

110 Þ 111 Þ

x2 þ 3x þ 6  0 2

2x  5x þ 6
0

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[Impossibile] [8x 2 R]

x2  7 > 0 2

3x  x  6
0 2

2

x þ x  3 < 0

[Impossibile] [8x 2 R]

[8x 2 R]

116 Þ 117 Þ 118 Þ 119 Þ

x2 þ 5x  7  0 pffiffiffi x2  2x þ 5  0

[8x 2 R]

[Impossibile]

2

x  0,5x þ 0,25  0 pffiffiffi x2  3 2x  5  0

[Impossibile] [8x 2 R]

Esercizi riassuntivi sulle disequazioni di secondo grado Test Una disequazione di secondo grado, del tipo ax þ bx þ c  0, non e` soddisfatta da alcun valore reale di x. Una sola delle seguenti affermazioni e` vera; quale? A Necessariamente a > 0 e
> 0. B Necessariamente a < 0 e
¼ 0. C Necessariamente a > 0 e
< 0. D Necessariamente a < 0 e
< 0. E Le informazioni date non sono sufficienti a determinare ne´ il segno di a ne´ il segno di
.

126 Þ 127 Þ 128 Þ

x2  3x  6  0 pffiffiffi x2 3 þ 6x  0

129 Þ

2x2 þ 8x þ 8  0

130 Þ

x2  10x  5 > 0

131 Þ

2x2 þ 5x  3
0

132 Þ

121 Una disequazione di secondo grado, del tipo Þ ax2 þ bx þ c
0, non e` soddisfatta da alcun valore reale di x. Una sola delle seguenti affermazioni e` vera; quale? A Necessariamente a > 0 e
< 0. B Necessariamente a < 0 e
< 0. C Necessariamente a > 0 e
> 0. D Necessariamente a < 0 e
> 0. E Le informazioni date non sono sufficienti a determinare ne´ il segno di a ne´ il segno di
.

x2 þ 4x þ 6  0

133 Þ

x2 þ 6x  9  0

134 Þ

x2 

135 Þ

x2  3x  3  0

120 Þ 2

122 Þ

Una disequazione di secondo grado, del tipo ax2 þ bx þ c  0, e` verificata in corrispondenza di uno e un solo valore reale di x. Una sola delle seguenti affermazioni e` vera; quale? A Necessariamente a < 0 e
¼ 0. B Necessariamente a < 0 e
< 0. C Necessariamente a > 0 e
¼ 0. D Necessariamente a < 0 e
> 0. E Le informazioni date non sono sufficienti a determinare ne´ il segno di a ne´ il segno di
. 123 Þ

Una disequazione di secondo grado, del tipo ax þ bx þ c  0, e` verificata in corrispondenza di due intervalli disgiunti, chiusi e illimitati. Una sola delle seguenti affermazioni e` vera; quale? A Necessariamente a > 0 e
< 0. B Necessariamente a < 0 e
< 0. C Necessariamente a > 0 e
> 0. D Necessariamente a < 0 e
> 0. E Le informazioni date non sono sufficienti a determinare ne´ il segno di a ne´ il segno di
. 2

Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado. 124 Þ 125 Þ

2

3x þ 27x
0 2

3x  x þ 2 < 0

[0  x  9] [Impossibile]

[8x 2 R] pffiffiffi [2 3  x  0]

2x2  4x þ 6 < 0

[x < 3 _ x > 1]

[2] pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [x < 5  30 _ x > 5 þ 30]   3 1x 2 [Impossibile] [8x 2 R]    4 8x 2 R  5 " pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi # 3  21 3 þ 21 x 2 2

8 16 xþ >0 5 25

4x2 þ 12x þ 9 < 0 pffiffiffi 2 137 3ðx þ 1Þ  7 Þ 136 Þ

138 Þ

[Impossibile] [8x 2 R]

1 2 x  8x > 0 2

[x < 0 _ x > 16]

x2 þ 3x  5  0 pffiffiffi pffiffiffi 3 2 x þ 2x  3 < 0 140  Þ 3 2 pffiffiffi x 141 pffiffiffi þ x 2 > 0 Þ 2 139 Þ

x2 þ 3x þ 9 < 0 pffiffiffi 143 x2  2 5x þ 6  0 Þ 142 Þ

[8x 2 R] pffiffiffi [8x 2 R  f 3g] [x < 2 _ x > 0] [Impossibile] [Impossibile]

1 2 x þ 3x  9
0 4 pffiffiffi 145 x2  7x þ 2  0 Þ 144 Þ

Equazioni e disequazioni

x  5x þ 10 > 0

[Impossibile]

Unita` 1

112 Þ 113 Þ 114 Þ 115 Þ



[6] [Impossibile] pffiffiffi pffiffiffi [1  3  x  1 þ 3]

0,5x2  x  1  0 pffiffiffiffiffiffi 147 3x2  17x þ 1 < 0 Þ " pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi # 17  5 17 þ 5 0

150 Þ

2

ðx  1Þ2




2 1 x1 2

pffiffiffi [x   3 _ x
1]

[8x 2 R]   4 x0_x
3 39

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A



2

151 x2  ð2x þ 1Þ Þ 2

2

152 ð2x  3Þ  ðx þ 6Þ
0 Þ 153 Þ

ð6  xÞ > 12

154 Þ

ðx  3Þ2
0,3x  1

155 Þ

Rapido 10 þ ðx  7Þ < 2 5

156 Þ

1 xþ2 x x
x2 þ 2 3 6

157 Þ

ðx  1Þ2 

pffiffiffi

"





[Impossibile]  10 x3_x
3

[Impossibile] pffiffiffi pffiffiffi # 6 6 _x
x 3 3

1 ðx þ 2Þ2  0 3

[8x 2 R]

1 x2  2x 1 158 ðx  1Þ þ < x2  ð2x  3Þ2 Þ 2 4 2 159 Þ

1 3

[x  1 _ x
9]

2

2

1  x  

ðx þ 2Þ2 þ x2  3x þ 5  0



 4 1 þ 2x2

[Impossibile]

162 Þ

ðx þ 3Þ2  2xðx þ 2Þ
6

[1  x  3]

1 163 ð1  xÞ2 > 2  xðx  3Þ Þ 2 175 Þ 176 Þ 177 Þ 178 Þ 179 Þ



 1 x3 3

164 Þ 165 Þ

xþ2 xþ1  > x2 þ 0,25 4 2

[Impossibile] 3

ðx þ 1Þðx  1Þðx  2Þ  ðx  2Þ  0



 5 x2 4

pffiffiffi 2 pffiffiffi pffiffiffi 2Þ > ðx þ 2Þðx  2Þ pffiffiffi [2 2 < x < 0] pffiffiffi pffiffiffi x 1 2x 2 167 x þ pffiffiffi  pffiffiffi  pffiffiffi þ 22 Þ 21 2þ1 2 " # pffiffiffi 3 2  2 x0 2 166 Þ

x2  ðx þ

Completa la disequazione a sinistra in modo che risulti di secondo grado e abbia l’insieme delle soluzioni indicato a destra, o viceversa. pffiffiffi pffiffiffi 168 x2  ::::::::::
0; x 5_x
5 Þ 169 Þ 170 Þ 171 Þ 172 Þ 173 Þ 174 Þ

2x2  ::::::::::  0; :::::

 x2
0;

4  x  4 pffiffiffi  3  x  ::::::::::

x2 þ 3x  :::::::::: > 0; x2 þ :::::::::: < 0;

x < 5 _ x > ::::::::::

x6

x2  2x  ::::: < 0; 1 < x < ::::: pffiffiffi ð1  2Þð::::::::::Þ
0; 2  x  2

Determina per quali valori di k l’equazione x2  2ðk  1Þx þ 5 ¼ 0 ha due soluzioni reali distinte. pffiffiffi pffiffiffi [k < 1  5 _ k > 1 þ 5] Determina per quali valori di a l’equazione x2  2ax þ a þ 2 ¼ 0 non ha soluzioni reali.

[1 < a < 2]

Determina per quali valori di k l’equazione x2  ðk þ 5Þx þ k þ 5 ¼ 0 ha soluzioni reali.

[k  5 _ k
1]

Determina per quali valori di a la disequazione x2  ða þ 1Þx þ 5a > 0 e` soddisfatta per ogni x 2 R. pffiffiffi pffiffiffi [9  4 5 < a < 9 þ 4 5]

Determina per quali valori di k la disequazione x2 þ 2ðk þ 4Þx  1 > 0 non e` soddisfatta da alcun x 2 R. [5  k  3]

4. Le disequazioni intere di grado superiore al secondo

TEORIA a p. 10

Disequazioni monomie Risolvi le seguenti disequazioni. 1 7 x
0 2 pffiffiffi 181 ð 3  3Þx4
0 Þ pffiffiffi 182 ð3  5Þx20
0 Þ 180 Þ



3

183 ð2x  1Þ
0 Þ

40

2

5

184 Þ

ðx  2Þ < 0

185 Þ

ðx2  1Þ4 < 0

[x  0] [x ¼ 0] [8x 2 R]   1 x
2 pffiffiffi pffiffiffi [ 2 < x < 2] [Impossibile]

186 Þ

ð10x  2x2 Þ5  0

187 Þ

ðx3  3xÞ2  0

188 Þ

3ðx2 þ 5x  6Þ3 > 0

189 Þ

4ðx4 þ x2  8Þ2  0

1 ð2x2  3x  5Þ3 > 0 2 pffiffiffiffiffiffi 2 191 ð3  10Þðx2  xÞ < 0 Þ 190 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[x  0 _ x
5] pffiffiffi [x ¼ 0 _ x ¼  3]

[6 < x < 1]

[8x 2 R]   5 x < 1 _ x > 2 [8x 2 R  f0,1g]

192 Þ

Unita` 1

Disequazioni binomie ESERCIZIO GUIDATO

a. Poni x2 ¼ t; la disequazione 16x4  1
0 diventa: 16t 2  1
0 che e` soddisfatta per: t  

1

:::::

_t


Equazioni e disequazioni

Risolvi le seguenti disequazioni: pffiffiffi pffiffiffi b. x6  3 þ 5 > 0 a. 16x4  1
0 1 :::::

Sostituisci in queste ultime disequazioni x2 al posto di t; ottieni le disequazioni: x2  

1 :::::

_ x2


1 :::::

La prima disequazione e` impossibile, mentre la seconda e` soddisfatta per :::::::::::::::, quindi la disequazione originaria e` soddisfatta per ::::::::::::::: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi b. La disequazione x6  3 þ 5 > 0 equivale a x6 > 3  5. Osserva che 3  5 < 0, quindi puoi immediatamente concludere che la disequazione e` soddisfatta per ::::::::::::::: Risolvi le seguenti disequazioni. 193 Þ

27x3 þ 8 > 0

194 Þ

2x4 þ 1 > 0

195 Þ

8x3 þ 1 < 0

196 Þ

197 Þ 198 Þ 199 Þ



2 x> 3



[8x 2 R]   1 x 4 5] pffiffiffi pffiffiffi 220 x8 þ x4  6 < 0 [ 4 2 < x < 4 2] Þ pffiffiffi pffiffiffi 221 x12  10x6 þ 9 < 0 [ 3 3 < x < 1 _ 1 < x < 3 3] Þ pffiffiffi 222 x10  30x5  64 < 0 [ 5 2 < x < 2] Þ

[8x 2 R]

2

pffiffiffi [x   3 7 _ x
1] pffiffiffi [x   3 2 _ x
2]

x6 þ 6x3  7
0

2

Disequazioni scomposte o scomponibili in fattori

Individua l’insieme delle soluzioni esatto, eseguendo i calcoli a mente, per le seguenti disequazioni. 223 Þ A

224 Þ A

225 Þ A

226 Þ A

227 Þ A

228 Þ

xðx þ 1Þ2 > 0: x>0

x4 ðx þ 1Þ2  0:

x>0

ð9  x2 Þ3 ðx2 þ 1Þ < 0: 3 < x < 3

x5 ð2x2  1Þ
0:

x>0

B

x > 1

C

x < 1 _ x > 0

D

Nessuno dei precedenti

B

x

C

x < 1 _ x > 0

D

R

B

x < 3 _ x > 3

C

1 < x < 1

D

R

B

x0

C

x
0

D

Nessuno dei precedenti

B

x


1 3

1 3

5 1 _x> 3 3

  1 3

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi la disequazione ð2x þ 1Þð16  x2 Þ < 0.  Studia il segno dei due fattori: 1 fattore 2x þ 1 > 0 ) x > ::::: 2 fattore 16  x 2 > 0 ) ::::: < x < :::::  Completa la seguente tabella dei segni dei fattori.

…

segno di 2x + 1 segno di 16 – x

2

segno di (2x + 1)(16 – x ) 2

…

… x

0 0

0 0

0

 Dalla tabella puoi dedurre che la disequazione e` verificata per :::::::::::::::::::::::::

0

  1 4 < x <  _ x > 4 2

42 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ðx  1Þ3 ðx2 þ 2xÞ > 0

231 Þ

ð2x2  8Þð3x þ 1Þ > 0

232 Þ

ðx  1Þðx2 þ 3x þ 2Þ > 0

233 Þ

ð2x2  x  1Þð9  x2 Þ
0

234 Þ

ðx2  1Þ3 ðx2  4Þ2 > 0

235 Þ

xð4x2  1Þ3 > 0

[2 < x < 0 _ x > 1]

ðx  2Þðx2  9Þ > 0

[3 < x < 2 _ x > 3]   1 2 < x <  _ x > 2 3 [2 < x < 1 _ x > 1]   1 3  x   _ 1  x  3 2 [x < 1 _ x > 1, con x 6¼ 2]   1 1 x 0 Se svolgi correttamente i calcoli, troverai che la disequazione e` soddisfatta per: pffiffiffi pffiffiffi  22 240 Þ

pffiffiffi pffiffiffi [x <  2 _ 0 < x < 2]

x3  2x < 0

241 Þ 242 Þ

x5  9x3
0

243 Þ 244 Þ 245 Þ

x3 þ 5x2  6x < 0

x3 þ x2 þ 2x  0 3

2

x  4x þ 4x
0

[3  x  0 _ x
3] [1  x  0 _ x
2]

[x < 6 _ 0 < x < 1] [x
0]

ðx2  1Þðx  3Þ > 2ðx þ 1Þðx  3Þ2 [x < 1 _ 3 < x < 5]

246 Þ 247 Þ

x5 þ x2  4x3  4 > 0 3

2x  x  1 > 0

"

[x > 1] pffiffiffi pffiffiffi # 1 5 1þ 5 0

249 Þ 250 Þ 251 Þ

x3  x2  10x  8  0

x4  2x3 þ x2  2x  0 3

[2 < x < 1 _ x > 2]

[x  2 _ 1  x  4] [0  x  2]

2

x x 40

[x  2]

Esercizi riassuntivi sulle disequazioni di grado superiore al secondo Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo. pffiffiffi pffiffiffi 2 2 252 ðx2  1Þ < 25 [ 6 < x < 6] 258 ðx3  1Þ
16 Þ Þ 253 Þ 254 Þ 255 Þ 256 Þ

x4  3x2 þ 5 < 0 6

x þ8
0 x3  3x þ 2  0 x4  312
0

257 2x3 þ Þ

1 1] pffiffiffi pffiffiffi [x  2 3 2 _ x
2 3 2]

43

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

264 Þ

x3  2x2  2x þ 4
0

265 Þ

ð9x4  4Þ3 > 0

pffiffiffi pffiffiffi [ 2  x  2 _ x
2] " rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi # 2 2 x 3 3 ffiffiffi p 3 [x  2 _ x
2]

x6  10x3 þ 16
0 1 5 267  ðx  210 Þ5
0 Þ 2 266 Þ

268 Þ 269 Þ 270 Þ 271 Þ 272 Þ 273 Þ 274 Þ 275 Þ

[x  4]

x6  2x3 þ 1 < 0

[Impossibile] p ffiffiffi pffiffiffi x4 þ 2x2  8 < 0 [ 2 < x < 2] pffiffiffi x10  4x5  3  0 [x   5 3 _ x
1]   1 1 2 2 2 ð2x þ 1Þ  x þ 2  x 2 2   1 2 3 3 ð25  x Þ ð8x þ 1Þ
0 x  5 _   x  5 2 p ffiffiffi p ffiffiffi pffiffiffi ðx8 þ 2Þðx7 þ 2Þ < 0 [x <  14 2] pffiffiffi pffiffiffi ðx2  1Þðx2  2Þ þ x4  4
0 [x   2 _ x
2] ðx þ 1Þðx  2Þ þ x
2ðx þ 1Þ2 ðx  1Þ2  16 [2  x  2]

276 Þ 277 Þ

278 Þ

ð8  x3 Þðx4  81Þ3 > 0

[x < 3 _ 2 < x < 3]

x2 þ 1 ðx2  1Þ2 3]

Determina per quali valori di t l’equazione x2  2ðt 2  1Þx þ 9 ¼ 0 ha due soluzioni reali distinte. [t < 2 _ t > 2]

279 Þ

Determina per quali valori di k l’equazione x2  6x þ 4k5  3 ¼ 0 ha almeno una soluzione reale. pffiffiffi [k  5 3]

280 Þ

Determina per quali valori di k l’equazione x2  2ðk3  1Þx þ 4 ¼ 0 non ha soluzioni reali. pffiffiffi [1 < k < 3 3]

281 Þ

Determina per quali valori di a il numero 1 appartiene all’insieme delle soluzioni della seguente disequazione nell’incognita x: a4 x6 þ 5a2 x3 þ 4
0. [a  2 _ 1  a  1 _ a
2]

5. Le disequazioni frazionarie

TEORIA a p. 15

Esercizi preliminari 282 Þ

Vero o falso? x3 1
2 equivale a x  3
1 a. 2 x 1 x 1

b.

x3 1
2 equivale a x  3
1 x2 þ 1 x þ1

1 1 þ
1 equivale a ðx1Þþx
xðx1Þ x x1

V

F

c.

V

F

d. 

V

F

4 2 2 1 þ
12 equivale a  6 V F x x1 x x1 [2 affermazioni vere e 2 false]

1
1 nel seguente modo: x2 «Moltiplico i due membri per ðx  2Þ. Ottengo la disequazione equivalente 1 > x  2. Risolvendo questa disequazione, ottengo: 283 Þ

Caccia all’errore. Barbara risolve la disequazione

1 > x  2 ) x  2 < 1 ) x < 3» Quale errore ha commesso Barbara? Individua l’insieme delle soluzioni esatto, eseguendo i calcoli a mente, per le seguenti disequazioni. 284 Þ A B

285 Þ A B

286 Þ A B

44

x2  9  0: x4 x  3 _ x
3 3  x  3

x2 þ 2
0: x2 x
2

x>2

x2  x þ 1  0: x7 x
0

x0

287 Þ C D

3  x  3 ^ x 6¼ 0

Nessuno dei precedenti

A B

288 Þ C

x 0:

x2

C

x 0: xþ1 x > 1

x
1

D

C D

Nessuno dei precedenti

x < 1

Nessuno dei precedenti

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

AðxÞ AðxÞ AðxÞ AðxÞ 0o 0o
0 BðxÞ BðxÞ BðxÞ BðxÞ

ESERCIZIO GUIDATO

Equazioni e disequazioni

290 Þ

Unita` 1

Disequazioni nella forma

5  x
0. x2  9

Risolvi la disequazione

 Studia il segno del numeratore e del denominatore Numeratore

5  x > 0 ) x > ::::: ) x < :::::

Denominatore x 2  9 > 0 ) x < ::::: _ x > :::::

 Completa la seguente tabella dei segni: –5 segno di –5 – x segno di x 2 – 9 segno di –52 – x x –9

… 0 …

… …

0

…

…

3

–3 0 E

… …

… 0 …

…

E

x

…

 La disequazione e` verificata dai valori di x che rendono la frazione positiva o nulla, cioe` per: x  ::::: _ ::::: < x < ::::: Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie. 1 291 
0 Þ x4 pffiffiffi 1 3 >0 292 Þ 4  2x 293 Þ 294 Þ

[x < 4] [x > 2]

x1 0 3x þ 6 2x
0 xþ1

299 Þ

x1 0 2  0,5x

300 Þ

1  ðx þ 2Þ >0 0,3x  1 2

[1 < x < 3]

2

4x  ð2x þ 1Þ >0 x2 x 0 302 Þ x2  16

305 Þ

5x
0 x2  2x  4

3x 5] [x  1 _ x > 4]

301 Þ

304 Þ

1 2

[1 < x  0]

2ðx  2Þ þ 3ðx þ 2Þ 298
0 Þ x5

303 Þ

x < 2 _ x >



x 0  x  12

[x < 1 



 1  0 309 Þ

[x < 4 _ x > 2] [x < 2 _ 0 < x
2]

311 Þ

x3
0 x2  4

[2 < x  0 _ x > 2]

312 Þ

25  x2 5]

313 Þ 314 Þ

x2 0 þxþ6

[2 < x  2 _ x > 3]

x2 x2

9  x2
0  2x  6

[3  x < 1 

x2  4ðx  1Þ2 0 315 Þ 2x  x2 316 Þ

ðx þ 1Þ2  9x2 >0 2x  x2  2

317 Þ

x3  4x2 0 25  x2

318 Þ

8x  2x3

x2 þ 2x  3

0

pffiffiffi pffiffiffi 7 _ 3  x < 1 þ 7]





x 5] [3 < x  2 _ 0  x < 1 _ x
2]

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45

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

319 Þ

x3  x
0 [3 < x  1 _ 0  x  1 _ x > 2] x2 þ x  6

324 Þ

320 Þ

x4  1 0 x3  5x2

325 Þ

321 Þ

x2  4x 0 ð3  xÞðx2 þ x þ 2Þ

322 Þ

ðxþ3Þ3
0 [x  3_2 < x < 0_1 < x < 2] ðx2 xÞð4x2 Þ

323 Þ

[x  1 _ 1  x < 5] [0  x < 3 _ x
4]

ðx þ 2Þ3  ðx2  4Þðx þ 1Þ 0 x5  4x4 x  2 _ 

6  x < 4, con x 6¼ 0 5

Disequazioni riconducibili alla forma 327 Þ



x4 þ 4x2  5 >0 x3 ð9x  x2 Þ

[x < 1 _ 1 < x < 9]

Stabilisci per quali valori di a l’equazione ðx  aÞ2 þ ðx þ aÞ2 ¼ ð2x  aÞðx þ 1Þ e` determinata e la   sua soluzione e` non negativa. 1 a

2

_0a 2 Denominatore x  1 > 0 ) x > ::::: Numeratore

 Costruisci la tabella dei segni:

…

segno di 2x –5x + 2

…

segno di x – 1 2 segno di 2x –5x + 2 x –1

…

2

…

0 0

1 …

… …

…

0

…

…

E

…

 La disequazione e` verificata per i valori di x che rendono la frazione :::::

46

 x < ::::: _ x
:::::

0

…

x

… 0

…

2x2  5x þ 2 positiva o nulla, cioe` per: x1

Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie (che portano a risolvere disequazioni di primo o secondo grado).     1 3 x 1 4 328 334 x < > 2 _ x > 2  1
 x < 1 Þ x2 Þ 2  2x 2 3x  3 9   2 xþ1 1 1 329 [x < 3 _ x > 1]

1 335  x  Þ 3x  3 2  2x xþ3 2   1 1 pffiffiffi 1 1 1 330  x _x>1 2 Þ pffiffiffi
pffiffiffi þ 336 [ 2 < x  2] x1 2 Þ 2 x 2 x 22 pffiffiffi 1 1 1   p ffiffiffi [0 < x < 2  2 ] 331  > Þ x 2 x 2 x 1 3 7 337 x < 2 _ x

þ Þ x þ 2 2x þ 4 2 þ x 2 1 1 2 332 
[x > 1] Þ 2x  2 1  x 3x  3 xþ1 1 338 [x > 1] 1
  Þ x1 2  2x 1 x1 1 333  x < 2 _ x > < Þ 2x þ 4 xþ2 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x 1 xþ1   4x  12 12 6  2x

341 Þ

ðx  2Þ2  ðx þ 2Þ2 1
1 4  2x 3x  6

x2  ðx þ 2Þ2 ðx þ 1Þ2  ðx  1Þðx þ 1Þ  4  2x 3x  6   1 1 x2 343 21  1  ð1  31 Þ  Þ x x 4x 342 Þ

344 Þ

x3 4   7 x _x>2 9



[x  1 _ x > 2]   4 x x x2

[0 < x < 2]

x2 < 0,5 345 Þ xþ1 346 Þ 347 Þ 348 Þ 349 Þ 350 Þ 351 Þ 352 Þ 353 Þ 354 Þ 355 Þ 356 Þ 357 Þ 358 Þ 359 Þ 360 Þ

  1 x < 1 _  < x < 1 2   5 7 4 2 2 pffiffiffi pffiffiffi [1  2 < x < 0 _ x > 1 þ 2]

1 2x  7 1 x2> x 4
3x xþ2 x 2  xþ1 x 1 1 2 
x2  x x x1 x2 þ 3x  4 1 þ
1 2 x x xþ1 2  x 3  2x x3>

xþ1 3 > 2 2x þ x 8 1 1 pffiffiffi < pffiffiffi xþ 2 x 22 2 1
 1x xþ2 1 1 2 þ
2 x x2 x  2x 1 x  1,6  x xþ1

1 1 xþ4 
 2x þ 4 2x 2x þ 4 x2

Equazioni e disequazioni

340 Þ

"

Unita` 1

1 1 339 þ1> Þ xþ2 1x

1 1 1 pffiffiffi  pffiffiffi  2 x 2 x 2þ2

[2 < x  1 _ x
2]

[1 < x < 0] 2  x < 1] 3 pffiffiffi pffiffiffi [x  1  3 _ x
1 þ 3]   3 3  x 0]  3 1 x < 1 _   x < 0 _ x
4 2 [x  6 _ 2 < x  1 _ x > 2]

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [2  2 2  x <  2 _ x > 2]

Determina per quali valori di a il numero 1 appartiene all’insieme delle soluzioni della disequazione nell’inpffiffiffi pffiffiffi x 1 þ 2
x. [a  1  2 _ 1 < a < 0 _ a
1 þ 2] cognita x: 2 a  ax x þa

361 Þ

Determina per quali valori di k la differenza tra la somma e il prodotto delle soluzioni (reali e distinte) dell’e[1 < k < 0] quazione ðk þ 1Þx2  2kx  1 ¼ 0, con k 6¼ 1, e` minore di 1. 362 Þ

Determina per quali valori di k la differenza tra il reciproco della somma e il prodotto delle soluzioni (reali e distinte) dell’equazione kx2  2ðk  1Þx  k  1 ¼ 0, con k 6¼ 0 e k 6¼ 1, e` non negativa. " # pffiffiffi pffiffiffi 6 6 _01 k 3 3 47 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie (che portano a risolvere anche disequazioni di grado superiore al secondo). 363 Þ 364 Þ 365 Þ

1 1 2 þ 2  x2  1 x x x þ x2

[x < 1 _ 0 < x < 1]

2 x 1  2
x2  4x x  16 xþ4

[x < 4 _ 1  x < 0]

3 xþ2 6 þ  2 x2  1 x  x2 x þx

[1 < x < 0 _ 1 < x  2 _ x
4] 

 5 x < 2 _   x < 1 _ x > 1 3 pffiffiffi pffiffiffi [x  2 _  2 < x  1 _ x > 2]

1 2
 2 366 Þ x2 þ x  2 x 1 367 x2
Þ

x3 2  x2

368 Þ

1 1 1 þ
x x1 x2

369 Þ



370 Þ

1 1 1 >  xþ2 x xþ1

[0 < x  2 

1 1  x2 þ x  6 1  x2

[x < 3 _ 1 < x < 1 _ 2 < x  5] pffiffiffi pffiffiffi [2 < x <  2 _ 1 < x < 0 _ x > 2] 

 6 x < 3 _  x < 3 5   1 x < 2 _ 0 < x  _ x > 2 2

1 1 2  2
3 371 Þ x2 þ 3x x 9 x þ 3x2 372 Þ 373 Þ 374 Þ 375 Þ 376 Þ 377 Þ

1 2 1 þ 2
x2  2x x þ 2x 4  x2

1 1 1  2 > 2 x2  1 x  2x  3 x þ 3x  4



x 1 7  2 > x2  1 x þ 3x þ 2 3x þ 6

1 1 1 1  2 >  x2  4x þ 4 x 4 xþ2 x2 x

x3 þ 2x2  x  2

þ

pffiffiffi pffiffiffi 2 _ 1 < x < 2 _ x
2 þ 2]

[4 < x < 1 _ 1 < x < 3]  5 x < 2 _  < x < 1 _ 1 < x < 2 4 [x < 2 _ x > 1, con x 6¼ 2]



 3  x < 1 _ 0  x < 1 2 " pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi # pffiffiffi pffiffiffi 3  21 3 þ 21 _10 ðx  5Þ3
0 : 379 380 : Þ Þ ðx  2Þ5 < 0 ðx  5Þ5  0 A

48

x

B

x2

A

x

B

x5

C

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f5g

D

x
5

B

382 Þ A B

ðx  5Þ5  0

:

x x5 (

8 3 2 > < x ðx  3Þ  0 : 383 x5 Þ >
0 : 2 2 ðx þ 1Þ

x2  3x þ 2 > 0

5x2  2
0

C D

R x
5

C R x D 0x3 x0_x
3 ( ðx  1Þ2 þ ðx  2Þ2
0 : 384 Þ ðx þ 2Þ2 < 3 A B

:

x x2

C D

Equazioni e disequazioni

A

ðx  5Þ4
0

Unita` 1

381 Þ

(

R 1 0 Risolvi il sistema 5x :
0 x2  x þ 1

 Risolvi la prima disequazione del sistema: x2  9 > 0 ) x < ::::: _ x > :::::  Risolvi la seconda disequazione del sistema. Osserva che il denominatore, x2  x þ 1, e` positivo per ogni x 2 R (perche´?), quindi la disequazione equivale a: 5  x
0 ) x  :::::  Nel seguente schema abbiamo rappresentato gli insiemi delle soluzioni S1 ed S2 delle due disequazioni del sistema. Completa lo schema rappresentando (sulla riga corrispondente a S) gli intervalli che corrispondono alle soluzioni del sistema. … … … x S1 S2 S

 In conclusione, il sistema e` verificato per: x < ::::: _ ::::: Risolvi i seguenti sistemi. 8 2 < x  4x
0 386 Þ :1  1 x < 0 3 8 2 < x  5x
0 387 Þ : 2  1 x2 > 0 2 8 < 1 ðx  1Þ  x 2 5 388 Þ : 2 x þ 5x  6
0 389 Þ

(

2x2 þ 8 < 0

x2  x  6
0

8 2 < 2x þ 3x  5  0 390 Þ : 1 < 1 3x 2

[x
4]

[2 < x  0]

391 Þ

392 Þ

  5 x  6 _ 1  x  3

393 Þ

[x < 2 _ x
3]

394 Þ



 5  x < 1 2 >0 x2 > : 2 x þ 5x þ 6  0 8 2 < x 4
0 x2 þ 2 : 5x  x2  0 8 x1 > > 0 > < 4x pffiffiffi > x 3 x > > < pffiffiffi : 3 3 8 < 1
2 x : 2 x þ 2x  3 < 0 8 2 > < ðx  1Þ > 9 3 > : x
x2

[3  x  2]

[x  2 _ x
5]

"

# pffiffiffi 3þ 3  4 2

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0 0

x
0 x2  1 : 2 2x  3x  5  0 8 < 5x  x2
0 x2  4 : x2  9 > 0 8 2 2 > < x > 4ðx þ 1Þ pffiffiffi 1 > : x 2
pffiffiffi x 2 8 2 < xx 3
0 2x2  5x : x2 þ 7x  8
0 8 2 > < x þ 8 > ð2x þ 1Þ 8
:

1 3 < x < 2



[3 < x  5] "

# pffiffiffi 2 2  x 2 x 8 > < 1
1 x1 403 Þ pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi > : ðx þ 2Þ2  ðx  2Þ2 >  2ðx þ 1Þ 



1 1 5

1 1   2 1 x x 1 < x < 0 _ 1 < x  404 Þ> > : 0,3ðx  2Þ  1  x 2 8 >  ð3  xÞ2 < pffiffiffi 5x
x  1  3 _ 1  x  405 x Þ > : 2 x  2x þ 2  0 8 > >
> < x2 þ 1 <  5 406 Þ > > :x < 1 4x



8 2 < x þ 6x þ 4 < 0 407 Þ : 1
x x xþ2

[2 < x
0 408 Þ :1 3x
x x2

pffiffiffi 5  3]

[0 < x < 2]

8 pffiffiffi 2 > < x þ 5x < 6 pffiffiffi pffiffiffi 409 Þ x 2 2x 2 > : > 2 xþ1 x þ 3x þ 2 "

pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi # 29  5 2 < x < 1 _ 0 < x < 2



Sistemi di due disequazioni, anche di grado superiore al secondo Risolvi i seguenti sistemi. 8 2 > < 9
ðx  1Þ 410 Þ

411 Þ

2 2 > : ðx  3Þ  0 4 5 3x  x

8 < :

3 1  xþ1 x

ðx  1Þð9x  x3 Þ  0

8 3 2 > < ðx  2xÞ
0 412 Þ x2 > : pffiffiffi 0 x2 þ 2 2x  2 8 2 > < 1
x þ2 3 x1 x 1 413 Þ > : 2 x < ðx þ 1Þ2 8 3 < x  8  0 2 414 Þ : xðx  x þ 1Þ
0 x2  2

50

8 4 < x  16 < 0 415 1 Þ :3
x3 þ 1

pffiffiffi [3 < x  4 _ x ¼  3] 

x  3 _ 0 < x 

[2 

1 2



pffiffiffi 2 < x  0] 

1 x> 2



pffiffiffi pffiffiffi [ 2 < x  0 _ x > 2]

[2 < x < 1 _ 1 < x < 2]

8 3 2 0 419 x x Þ :  xþ2 2 ( x3  3x þ 2 > 0 420 Þ

# p ffiffiffiffiffiffi 3 18 x 4

7. Le equazioni e le disequazioni irrazionali

TEORIA a p. 20

Equazioni irrazionali 435 Test. Soltanto una delle seguenti equazioni e` irraÞ zionale; quale? ffiffiffi p ffiffiffi pffiffiffi p 3 3 C A 2x 5 ¼ 6 2 ¼ 5x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi p 1 3 D 2x þ 3 5 ¼ B 2x 2 ¼ 3 1þ 5 436 Þ

Spiega perche´, senza eseguire calcoli, si puo` affermare che le seguenti equazioni sono impossibili. pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. x  2 ¼ 107 b. x þ 2 ¼ 1  2

437 Þ

Spiega perche´, senza eseguire calcoli, si puo` afferpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mare che l’equazione x2 þ 3 ¼ x2  1 e` impossibile.

Senza eseguire elevamenti a potenza individua, se esistono, le soluzioni delle seguenti equazioni. p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2x2 ¼ x þ 3 438 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x2 þ x ¼  1 þ 2x 439 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2x2 þ 1 þ 3 x þ 1 ¼ 0 440 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 5  3x ¼ 3x  5 441 Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 x2  x þ x2  x þ 1 ¼ 0 442 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 2x þ 1 ¼ 2 1 þ x 443 Þ

Risolvi le seguenti equazioni, in cui l’incognita compare sotto un solo segno di radice quadrata. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 444 xþ1¼4 [15] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 2 x 5¼3 445 [ 14] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  2x þ 4 ¼ 2 446 [0, 2] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 ¼ 2 447 [Impossibile] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [11] 3  2x ¼ 5 448 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3x ¼ 0 449 [3, 0] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x2 þ x ¼ 2 5 450 [5, 4] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x2  2x þ 2 ¼ 3 451 [1  2 2] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [10] x1¼3 452 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [1] 3x þ 6 þ x ¼ 4 453 Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 13 2 þ 8x  4  x ¼ 3 x 454 Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1þx ¼ x 455 [1, 3] Þ 2 2

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51

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 5 ¼ 3 þ 2x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 6x þ 3  x ¼ 2 457 Þ 456 Þ

463 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1  x2  x ¼ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2  1  x ¼  459 Þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ1¼x1 460 Þ 458 Þ

461 Þ 462 Þ

464 Þ 465 Þ

[Impossibile]   5 3 [3]   7  6 pffiffiffi [ 2]   1  6   5 4 " pffiffiffiffiffiffi # 2 þ 19 5

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 2 ¼ x þ 3

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x2  3 ¼ x2  1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  4x ¼ x þ 1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1 ¼ 2x  1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4  x2 ¼ 2x þ 1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x2 þ 1 ¼ x  2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  x ¼ x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  3x þ 2 1 ¼ 468 Þ x2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 469 ¼3 Þ x2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2x 470 ¼ Þ x2 xþ2 466 Þ 467 Þ

[1]   1 2

[Impossibile] [2] pffiffiffi # 62 3 3   9 4 " pffiffiffi # 6þ4 3 0, 3 "

Risolvi le seguenti equazioni, in cui l’incognita ` di un segno di radice quadrata. compare sotto piu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [3] 2x  5 ¼ x  2 471 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [Impossibile] 3x  5 ¼ 5x  3 472 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [7] 2x  1 ¼ 6 þ x 473 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x  7 ¼ 2 x  3 [5] 474 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 ¼ 2  2x 475 [3, 1] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x2  5 ¼ x2 þ 3 476 [2] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [2] x2þ x1¼1 477 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi [1] 2xþ xþ4¼2 3 478 Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  ,2 1 þ x þ 5  x ¼ 10 þ x 479 Þ 5   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7 1, 2  x þ 4 þ x ¼ 11  x 480 Þ 5   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 1  x þ 1 þ x ¼ 2 481 Þ 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 1 2x þ 2  x þ 482 ¼  Þ 4 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [1] x þ 2  2 x þ 5 ¼ 3 483 Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 484 xþ2þ x¼2 Þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [Impossibile] x1 x¼ 3x 485 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 486 [4] x  3x  3 ¼  x  3 Þ

Disequazioni irrazionali in cui l’incognita compare sotto un solo segno di radice 487 Þ

Spiega perche´, senza effettuare calcoli, si puo` affermare che le seguenti disequazioni sono impossibili. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. x  2 < 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. x2 þ 1 < 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. x2 þ 1 < x2

489 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi la disequazione

488 Þ

Spiega perche´, senza eseguire calcoli, si puo` affermare che le seguenti disequazioni sono verificate per ogni x 2 R. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. x4 þ 2
2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. x2 þ 1 > 1  x2 pffiffiffiffiffiffi c.  jxj  x2  x þ 1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  3x < x þ 5.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  La disequazione e` del tipo AðxÞ < BðxÞ, con AðxÞ ¼ x2  3x e BðxÞ ¼ x þ 5, quindi e` equivalente al sistema: 8 2 x  3x
0 > AðxÞ
0 > < BðxÞ > 0 xþ5>0 > > 2 : 2 x  3x < ðx þ 5Þ2 AðxÞ < B ðxÞ

 Risolvi tale sistema; se svolgi i calcoli correttamente troverai che esso e` soddisfatto per: 

25 1]

" # pffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x xþ2 2 74 536 4 < x < 1 _ x > > Þ xþ1 xþ4 3

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi la disequazione: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 x3  x2  3 > x  1  Ricorda che elevando entrambi i membri di una disequazione a una potenza di esponente dispari si ottiene una disequazione equivalente. Percio`, elevando i due membri della disequazione data al cubo, ottieni la disequazione equivalente: x3  x2  3 > :::::  Se risolvi correttamente tale disequazione troverai che essa e` verificata per x < 

1 _ x > 2. 2

Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali, in cui l’incognita compare sotto qualche segno di radice cubica. p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 538 541 [x > 4] 3  x < 1 x2  1 > 2 [x < 3 _ x > 3] Þ Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffi ffi 3 539 542 3 x < 2x  1 [x > 1] x3  x > x þ 2 [Impossibile] Þ Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 3 540 x3 þ 1 < x þ 1 [x < 1 _ x > 0] Þ

Disequazioni irrazionali con piu` di una radice e disequazioni irrazionali frazionarie Determina le condizioni di esistenza per le seguenti disequazioni. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 3 3 2 [1  x  2] 543 545 x1þ xþ1 4x xþ1þ > x2  2 Þ Þ 1x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 2 4x  3x  1 þ 81  x2 < 1 546 Þ x  1 þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > x2  2 544 [ 2  x < 3] Þ  3x

9  x  

547 Þ

[0  x < 1] 1 _1x9 4



ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi la disequazione

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x  1  x < 2  x.

8 > < 2x  1
0  Poni le condizioni di esistenza: x
0 > : 2x
0

)

1  x  ::::: 2

 Osserva che la disequazione data equivale alla seguente, i cui due membri sono non negativi: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x  1 < x þ 2  x

Puoi quindi elevare al quadrato i due membri, giungendo alla seguente equazione equivalente a quella data: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2x  x2 > 2x  3 pffiffiffi 5þ 7  Risolvendo quest’ultima disequazione troverai che essa e` verificata per 0  x < . 4  Poni a sistema le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza poste all’inizio; troverai che il sistema e` verifipffiffiffi 1 5þ 7 : queste sono dunque le soluzioni della disequazione originaria. x< cato per 4 2 54 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

550 Þ

pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ x2< xþ4



 3 x 2x  3 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo la disequazione

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  4x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0. 3 5x

 Poniamo le condizioni di esistenza: 8 x2  4x
0 > > < ) x  0 _ 4  x  5; con x 6¼ 4 5x
0 > > : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5  x 6¼ 3

 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Numeratore x 2  4x > 0 ) x 2  4x > 0 ) x < 0 _ x > 4  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5x
0 Denominatore 3  5  x > 0 ) 5  x < 3 ) 5x 0 Þ 6x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  3x þ 2 [0  x  1 _ 2  x  6] 561 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0 Þ xþ 6x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  4 5] Þ 5x  x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 xþ1 0 563 Þ x2  4

[1  x < 2 _ x
3]

  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 x2  1  x  2
0   x  1 _ 1  x < 2 x2 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x  1 < pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 565 [1 < x < 2] Þ x1 564 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1 þ 3x þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 x þ 1  3x þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x13 pffiffiffi  0 567 Þ 2x  x 566 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x2  1  3 pffiffiffi
0 568 Þ 2 x

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  2 1  x0 569  1
2 Þ x 7 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 570 [x < 3 _ x > 0] x2 þ 3x þ 1 > 1 Þ pffiffiffi 571 2  x
x  4 [0  x  4] Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2  3x þ 2  x þ 1 572  x  1 _ x
2 x Þ 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 573 2  x2 þ 1 > x þ 1 [x < 0] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 574 [8x 2 R] x2 þ x þ 1 > 2  5 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 575 [Impossibile] x2 þ 2 <  x2 þ 1 Þ ffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3
x  2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3þx 577
2x2  x þ 3 Þ 2 pffiffiffi 2 x1 p ffi 0 578 Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 576 Þ

579 Þ 580 Þ



1

xðx  2Þ 2
3 1

3

x 2  2x 2
0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0 581 Þ x2  9

[x  1]   3 x1 7   1 0x 4

[2  x  3 _ x
6]   1 0x 2 [3 < x  5]

2x2  8x
0 582 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ 2 x  1  2x  2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 583 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x  2 Þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 584 3x2 þ 2x þ 1
0 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 585 x  2x2 þ 9x þ 4
2x  2 Þ 8 x1

[x < 1 _ 1  x  4] [x
3] 

 1  x1 3

  1 13  x  4 _   x  0 2

[2 < x < 0]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   3 4x2 þ x þ 1  2x  2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  
0 587 Þ 7 x2 þ x þ 1 8 1 1 >   < < 5 2  2x 2 x 4  x 588   x < 1 _ 1  x < 2 Þ > pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 : 2 x 1x3 " pffiffiffi # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3þ 6 2 2 2 589 x  x  2x
ðx þ 1Þ x Þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x11 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0 590 [2  x < 5] Þ 5x  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x  1
2  x 591 [1  x  5] Þ x2  5x  0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3x < 2x þ 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 593 x3  2x < 0 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x2  1  x 594 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0 Þ xþ 5x 592 Þ

595 Þ 596 Þ 597 Þ 598 Þ 599 Þ 600 Þ

[0  x < 1] pffiffiffi pffiffiffi [x <  2 _ 0 < x < 2] " pffiffiffi # 2 3 x5 3

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x2  2x
1  3 [x  0 _ x
2] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x  2x2 þ 6x þ 4  x  2 [x  2 _ x
0] ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 x3  1
x  1 [x  0 _ x
1] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [Impossibile] x4 þ 1 < 106   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 ð2  x þ 1Þð2x  xÞ
0 1  x < 0 _  x  3 2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx þ 1Þ2  ðx  1Þ2  x [x ¼ 0 _ x
4]

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 xþ5
0 2 x  6x ( pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x2  1 < 2 2 602 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x2 þ 2x > x þ 1 601 Þ

[5  x < 0 _ x > 6] [3 < x  2]

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2x2  x  1 603 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0 Þ xþ x3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 3 3 1
604  Þ x x2 x3  4x

[x
3]

  5   x < 2 _ 0 < x < 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 605 10  x > x12 Þ

"

pffiffiffi # 25  3 5 5x< 2

606 Þ

Determina per quali valori di a il numero 2 appartiene all’insieme delle soluzioni dellaffi seguente dipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sequazione nell’incognita x: ax  x  a2
a. pffiffiffi [1  a  2]

607 Þ

Dai una giustificazione del perche´, per ogni k 2 R, l’equazione x2  2kx  k2  1 ¼ 0 ammette due soluzioni reali distinte, di cui una positiva e una negativa. Determina per quali valori di k la soluzione positiva di tale equazione e` maggiore di 3. pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [k < 3  17 _ k > 3 þ 17]

608 Dai una giustificazione del perche´, se l’equazione Þ x2 þ 2kx þ k2 þ k þ 2 ¼ 0 ammette due soluzioni reali distinte, esse sono sempre positive. Determina poi per quali valori di k l’equazione ha due soluzioni reali di" # pffiffiffi stinte, entrambe minori di 3. 7 þ 5 < k < 2 2

56 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 1

8. Le equazioni e le disequazioni con valori assoluti

TEORIA a p. 25

Equazioni con valori assoluti

616 Þ

Giustifica perche´, senza effettuare calcoli, si puo` affermare che le seguenti equazioni sono impossibili. pffiffiffi a. 2jxj  jx þ 1j ¼ 10 b. jxj þ jx2  4xj ¼ 2  2

Senza eseguire calcoli trova, se esistono, le soluzioni delle seguenti equazioni. 617 Þ

jxj þ jx  1j ¼ 2

618 jx3  2x2 j þ j2x  4j ¼ 0 Þ 619 Þ

2jx4 j þ jxj þ jx5 þ 1j ¼ 0

620 Þ

j2x3  2xj þ jx2  1j ¼ 0 2

jx  3x  10j þ jx þ 2xj ¼ 0

622 Þ

jx2  2x  1j ¼ 2jxj

623 Þ

jxj þ jx  3j ¼ ð10Þ7

624 Þ

jx7 j þ jx6 j ¼ 0

625 Þ 626 Þ

630 Þ 631 Þ 632 Þ

jx  1j ¼ 3

jx2  5x þ 4j ¼ 0 jx3 þ x þ 1j ¼ 4 jx2  1j ¼ 8

636 Þ 637 Þ

jx2  2xj ¼ 1

jðx  1Þ þ ðx  2Þ2 j ¼ 13    x2  2  638 ðx þ 1Þ  ¼7 Þ 2    1   639 x  Þ  x¼2

[2, 0, 1, 3]   1  ,1 3 pffiffiffi [1, 1  2] [2, 5]

[6, 2] [1 

pffiffiffi pffiffiffi 2, 1  2]   1  3   4 2, 3   2  3

640 Þ

jx  2j ¼ 2x þ 3

641 Þ

j2x  1j ¼ 3  x

642 Þ

1 jxj ¼ ðx þ 1Þ 2

643 Þ

jx2  2xj ¼ 3x

[0, 5]

644 Þ

jx2  3j ¼ 2x

[1, 3]

645 Þ

jx  2j ¼ x2  x  2

646 Þ

jx2  2x þ 3j ¼ x þ 1

647 Þ

jx2  2xj ¼ x  4

648 Þ

jx2  4j ¼ x2  x  2

[2, 2] [1, 2] [Impossibile]   3  ,2 2 [0, 5] [2] [1]

652 Þ

jx3  1j þ jx2  2x  1j ¼ 0

x1 1 629 j j¼ Þ 3 2

j3x2  2xj ¼ 1

j3  x2 þ xj ¼ 3

pffiffiffi 5]

Risolvi le seguenti equazioni del tipo jAðxÞj ¼ jBðxÞj.

pffiffiffi jx2  2j ¼ j3x  3 2j

j2x  1j ¼ 3

635 Þ

[1 

j2x2  2xj ¼ x2 þ 3x    2   650 1 þ  ¼ x Þ x   x1  651 Þ  x þ 3  ¼ 2 þ x

Risolvi le seguenti equazioni, in cui l’incognita e` contenuta all’interno di un solo valore assoluto. 627 Þ 628 Þ

jx2  2xj ¼ 4

649 Þ

2

621 Þ

633 Þ 634 Þ

Equazioni e disequazioni

Completa le seguenti scritture, in base alla definizione di valore assoluto.  :::::::::: se x
:::::::::: 609 j3xj ¼ Þ :::::::::: se x < ::::::::::  3x  1 se x
:::::::::: 610 j3x  1j ¼ Þ :::::::::: se x < ::::::::::  5  x se :::::::::: 611 j5  xj ¼ Þ :::::::::: se ::::::::::  x2  4 se x  2 _ x
2 612 jx2  4j ¼ Þ :::::::::: se :::::::::: < x < ::::::::::  :::::::::: se x  :::::::::: _ x
:::::::::: 613 jx2  3xj ¼ Þ :::::::::: se :::::::::: < x < ::::::::::   ( x2 x2 se x < :::::::::: _ x
:::::::::: ¼ 614  Þ x x  :::::::::: se :::::::::: < x < ::::::::::  :::::::::: se :::::::::: 615 jx2  3x þ 2j ¼ Þ :::::::::: se ::::::::::



jx  2j ¼ j1  2xj   x3    ¼ jxj 653  x Þ 3  654 Þ

jx2  3j ¼ 2jxj

[2, 4]

655 Þ

jx2  2j ¼ jx2  x þ 2j

[1, 2]  1 5  , 2 2

656 Þ

jx3 j ¼ jx3  1j

657 Þ

jx2 þ 3xj ¼ jx2  4xj

658 Þ

j2x þ 1j ¼ jðx þ 1Þ2  ðx  1Þ2 j

[1, 4] [Impossibile] [3]

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[1, 1]  3  ,3 5

[1,  3]   1 0, ,4 2   ffiffiffi 1p 3 4 2   1 0, 2   1 1  , 6 2

57

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

659 Þ

jx þ

2 j ¼ j2xj x

660 Þ

2

4

661 Þ

h pffiffiffii  2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 17  3 41,  2,  5 2

j3x  2j ¼ jx j 4

2

pffiffiffi # 6  2

"

2

jx j ¼ jðx  3Þ j

Risolvi le seguenti equazioni, in cui l’incognita ` di un valore assoluto. compare in piu   1 5 662 jx  1j þ jx  2j ¼ 2 , Þ 2 2 663 Þ 664 Þ 665 Þ

jxj þ j2x  3j ¼ 3

[0, 2]

jx  2j þ jx  4j ¼ x  1

[3, 5]

jxj þ j1  xj ¼ x þ 1

[0, 1]

666 Þ

jxj þ j3 þ xj ¼ 1  x

667 Þ

jxj þ jx þ 1j ¼ 2  x2

668 Þ

jxj þ x  2 ¼ ðx  2Þjx  2j  1

669 Þ

j1  xj þ jx  3j ¼ x2

670 Þ

jxj þ jx2  2j ¼ 4

671 Þ

jx  1j þ jx2  4j ¼ 2  x

[4, 2] pffiffiffi [1 þ 2, 1]

[5] pffiffiffi pffiffiffi [1  5, 2]

[2, 2] pffiffiffi pffiffiffi [ 5,  3]

672 Þ

j3  jx  2jj ¼ 1 (Suggerimento: l’equazione si puo` risolvere rapidamente considerandola un’equazione del tipo jAðxÞj ¼ k, [2, 0, 4, 6] dove AðxÞ ¼ 3  jx  2j e k ¼ 1)

673 Þ

jjx  2j  3j ¼ 4 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) [5, 9]

Disequazioni con un solo valore assoluto 674 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi le seguenti disequazioni: a. jx2  1j < 1

b. jx9  x8 j  0

c. jx  1j < 3

d. jx2  1j > 4

a. Il valore assoluto di un numero e` sempre positivo o nullo, percio` la disequazione non e` verificata da nessun .........................

b. Il valore assoluto di un numero e` sempre positivo o nullo, percio` la disequazione e` verificata se e solo se x9  x8 ¼ 0, cioe` per .........................  x1 3 d. La disequazione e` soddisfatta in corrispondenza dei valori di x per cui: x2  1 < 4 _ x2  1 > 4 La prima disequazione e` impossibile, mentre la seconda e` verificata per ......................... La disequazione originaria e` quindi soddisfatta per ......................... Risolvi le seguenti disequazioni del tipo jAðxÞj < k, jAðxÞj > k, jAðxÞj  k, jAðxÞj
k. 675 Þ

jx2  1j < 1

676 Þ

jx5 þ 6xj > 4

677 Þ

jx2  2xj > 0

[8x 2 R  f0,2g]

687 Þ

678 Þ

jx  1j
2

[x  1 _ x
3]

688 Þ

679 Þ

jx þ 3j  0

[3]

689 Þ

680 Þ

jx þ 6x2 j < 4

681 Þ

jx þ 4j
0

682 Þ

jx2  9j  0 5

[8x 2 R]

[Impossibile] [8x 2 R] [3]

683 Þ

jx þ 9j  2

[Impossibile]

684 Þ

jx2  2xj > 3

[x < 1 _ x > 3]   1 5 x 2 2

3 685 jx  1j > Þ 2 58

[Impossibile]

686 Þ

jx2 þ 4xj
2

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [x   6  2 _  2  2  x  2  2 _ x
6  2]

jx2  4xj < 3

[2 

jx2  1j  8

pffiffiffi pffiffiffi 7 < x < 1 _ 3 < x < 2 þ 7]

[3  x  3]

jx2 þ 5x þ 6j  2    2x þ 1  1  690 Þ  2  > 4 691 Þ

jx2 þ 2x  2j
1

692 Þ

jx2  x þ 1j > 1

693 Þ

jx3  1j < 7

694 Þ

jx4  2x2 j > 1



[x  3 _ 1 

[4  x  1]  3 1 x 4 4

pffiffiffi pffiffiffi 2  x  1 þ 2 _ x
1]

[x < 0 _ x > 1] pffiffiffi [ 3 6 < x < 2] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi pffiffiffiffi [x <  1 þ 2 _ x > 1 þ 2]

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ESERCIZIO SVOLTO

Risolvi la disequazione jx þ 1j
6] Þ 2     706 jx2 þ 2xj > x2 Þ 1  10 x
698  x  1
4  x Þ 2 3 707 jx2  3xj  2x Þ 699 Þ

j2x þ 1j > 2x  2

700 Þ

jx2  1j < x þ 1

[8x 2 R ]

701 2x  jx þ 1j > x  2 Þ

708 Þ

jx2  1j
2  x2

[0 < x < 2]   3 x> 2

709 Þ

jx þ 3j
x2

702 Þ

1 x  jx  0,25j
2 2

[Impossibile]

710 Þ

xjxj
2x2  1

703 Þ

jx2  8j > x2

[2 < x < 2]

711 Þ

xjxj < x2 þ x  1

[1  x  1 _ x ¼ 2] [8x 2 R  f3g] [x > 1, con x 6¼ 0]

[x ¼ 0 _ 1  x  5] pffiffiffi pffiffiffi # 6 6 _x
x 2 2 " pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi # 1  13 1 þ 13 x 2 2 " pffiffiffi # 3 x1  3 "

[ x < 1 _ x > 1]

Disequazioni con piu` di un valore assoluto 712 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi la disequazione jx þ 1j < j2x þ 3j.  Elevando al quadrato i due membri della disequazione trovi la disequazione equivalente: ðx þ 1Þ2 < ð2x þ 3Þ2

 Risolvi tale disequazione; se svolgi i calcoli correttamente troverai che essa e` soddisfatta per: x < 2 _ x >  ::::: Risolvi le seguenti disequazioni. 713 jx  2j
j2x  1j Þ 714 Þ

[1  x  1]

jxj  jx  2j

715 Þ

2jxj > jx þ 1j

716 Þ

j2x  1j > 3jxj



[x  1]  1 x1 3   1 1 < x < 5

717 Þ

   1 1 jxj
x   2 2

718 Þ

jx2  xj < 2jxj

719 Þ

jx2  2x þ 3j < jx2  3xj

720 Þ

jx2  1j < 2jx þ 2j



 1 x1 3

[1 < x < 3, con x 6¼ 0]   3 x < 3 _ 1 < x < 2 pffiffiffi pffiffiffi [1  6 < x < 1 þ 6]

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59

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

721 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi la disequazione jxj þ jx  1j < 2.  Studiando il segno degli argomenti dei valori assoluti, puoi costruire la seguente tabella: 0 − −

segno di x segno di x − 1

0

1 + −

::::::::::::::::::::

+ +

0

x

e

jx  1j ¼ ðx  1Þ ¼ 1  x

che e` soddisfatto per 

e

1 < x < ::::: 2

726 Þ

j2xj  jx  3j
0]

jx  1j þ j3  xj  2

jx  1j ¼ x  1

 L’insieme delle soluzioni della disequazione proposta e` l’unione degli insiemi delle soluzioni dei tre sistemi risolti, quindi e` l’intervallo: 

jx  1j ¼ ðx  1Þ ¼ 1  x

jx þ 1j þ jx  1j > 2  x

e

che e` soddisfatto per :::::::::::::::::::: 1  x < :::::

Risolvi le seguenti disequazioni.  9 722 jx þ 2j þ jx þ 3j
4 x _x
 Þ 2  2 723 jxj þ j2x  1j < 3  0 x4

[8x 2 R]   2 x _x
1 3

ðx  2Þðx þ 1Þ  ðx  2Þðx þ 2Þ
2x  4 

805 Þ

814 Þ



1þ

[x < 0]

# pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 17  1 17 x 2 þ 2] 2x  1 < x  1 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  1  x < 1 [x > 2] 819 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 820 [x ¼ 2 _ x
1] x2 þ 3x þ 2  x þ 2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 821  x2  2x
2 2 [Impossibile] Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 822 x  2 _ 0  x  x þ 2x
3x Þ 4   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 2x  x  1 þ 1
x 823 x _x
1 Þ 2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 2 2 2 824 ðx  1Þ  x þ 4x þ 5
ðx þ 1Þ  3x x Þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 825  x2  1  ðx  1Þ  ðx  1Þðx þ 1Þ Þ 826 Þ 827 Þ 828 Þ 829 Þ 830 Þ 831 Þ

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 3 2

[1  x < 0 _ x
15]

pffiffiffi pffiffiffi x2 þ 2x  4 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  0 [x  1  5 _ 1 þ 5  x < 2] 3 x11 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3  x  1 pffiffiffi 833 [0 < x  1]
0 Þ ðx þ 2Þ x " # pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 5 _x
1 834 x x  2 x þ 1
0 0x Þ 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x3 x10 [x
1] 835 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffi 2 836 [x
0] x  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi < x þ 2 Þ xþ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 837 2x2 þ 1 > x2  4x þ 3 Þ 832 Þ

[x < 2 

pffiffiffi pffiffiffi 6 _ 2 þ 6 < x  1 _ x
3]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x2 þ 1
x2 þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  1 þ x2  1
0 839 Þ x2 þ 5x 838 Þ

[Impossibile] [x
1]

jx þ 1j < 6   1   x  1
2 841 Þ 2  pffiffiffi 842 jx2  1j  2  2 Þ 843 Þ 844 Þ 845 Þ 846 Þ

jx2  2xj > 3x

847 Þ

jx  1j þ jx  2j > 3x

848 Þ 849 Þ

jjx þ 1j  xj  3

850 Þ

jx2  3j > 6

[7 < x < 5] [x  2 _ x
6] [Impossibile] [x < 0 _ x > 5] [x < 3 _ x > 3]

j3x  1j > 2x  1

[8x 2 R]

jx þ 1j
2x  jx  1j

[8x 2 R]   3 x< 5

2

ðjxj  1Þ  jxj  1  0

Equazioni e disequazioni

pffiffiffi x6  3x3 þ 2
0 [x  1 _ x
3 2] x4 þ x2 þ 1 x 1 3 þ 2
2 817 Þ x3 þ 2x2  x  2 x þx2 x þ 3x þ 2 816 Þ

840 Þ

Unita` 1

815 Þ

[x
2] [3  x  3]

jxj3  1
0 3x

[x  1 _ 1  x < 3]

jx  1j  2
0 4x

[x  1 _ 3  x < 4]

jx  1j  1 [x < 2 _ x > 4, con x 6¼ 0] >0 x2  4x 1 852  jx þ 4j Þ jxj pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [x  2  5 _ 2  3  x  2 þ 3 _ x
2 þ 5] 851 Þ

853 Þ

  pffiffiffi pffiffiffi 1 1 x 2
0 Þ jxj  2 3 854 Þ

856 Þ

2jxj  1 jxj  2 [0  x < 4] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi jx2  3j
x 2 861 [x  1] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 862 [x
2] jxj  1
3  x Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 2  1  j2x  2j 863 x  1 _ x ¼ 1 _ x
x Þ 3 " pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  17 1 þ 17 _x
x þ 1  2jxj 1  x  864 Þ 8 8 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 865 x  2
j2x þ 1j [Impossibile] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 866 [2  x  1] jx  2j
jxj Þ

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63

Equazioni, disequazioni e funzioni

867 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jxj  2  jx  4j

868 Þ

pffiffiffiffiffiffi jxj  jx  1j

Tema A

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.  pffiffiffi 2 pffiffiffi 2 ðx  2 Þ < ðx þ 2Þ 872 [x
3] Þ ðx  1Þðx þ 3Þ
12 8 2 >   < ðx  1Þ
3x  5 24 873 < x  2 _ x
3  Þ> 1 1 5 : x < x þ 4 2 3 8 3 > < ðx  3Þ > 0 4 [3 < x < 4] 874 ðx þ 5Þ Þ > : x2 þ x  20 < 0  100  x2
0 875 [10  x  4 _ 0  x  10] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x2 þ 4x
x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi jx þ 1j  2 [x  5 _ 1 < x < 3 5 _ x
3]
0 869 Þ 6 3 x  4x  5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jx  1j  1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 870 [1 < x  0 _ x
2]
0 Þ 3 xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   3 x2 þ 1  x  2 871 1 < x   _ x > 3 0 Þ 4 jx  1j  2



4

2

x  4x þ 3  0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 4 > x  1 8 < x2
1 877 Þ : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi  x xþ3>xþ1 8 1 > <
0 ðx  3Þ3 878 Þ > : jxj þ jx  1j  10 876 Þ

879 Þ

880 Þ 881 Þ

882 Þ

883 Þ

64

[x  2 _ 2  x  3 _ x
6] " pffiffiffi pffiffiffi # 3 5 3þ 5 _x
x 2 2

pffiffiffi pffiffiffi [ 3  x  1 _ 1  x  3]

pffiffiffi # 1 5 3  x  2

"



3 > > p >   < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2  3x  jx  1j   x  0   > 2 > x  >   2jxj  > :  xþ1 8 1 > > > > x þ x
2 " pffiffiffiffiffiffi # > < pffiffiffi 7 þ 13 x>x3 0 2 > > 2 > x > : < jxj xþ2

884 Þ

Stabilisci se le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti: x4  3x 1  2 ; x4  3x  1 a. 2 x  2x þ 6 x  2x þ 6 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. x  x þ 1 < 1; x2 þ x < 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0
0; c. x1 x1

[a. Sı`, lo si puo` affermare senza risolverle: in base a quali considerazioni?; b. no: la prima disequazione pffiffiffi 51 , la seconda e` soddisfatta per 0  x < pffiffiffi pffiffiffi 2 1þ 5 51 < x  1 _ 0  x < ; per  2 2 c. no, la prima disequazione e` soddisfatta per x  0 _ x > 1, la seconda soltanto per x > 1]

885 Þ

Stabilisci se le seguenti disequazioni sono equiva-

lenti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  x þ 8 > 4  x e ð x  x þ 8Þ2 > ð 4  xÞ2

[No: la prima e` impossibile ` mentre la seconda e soddisfatta per 0  x  4]

886 Þ

Stabilisci se le seguenti disequazioni sono equivalenti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  2x þ 2  x  x2  4x þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e ð x2  2x þ 2  xÞ2  ð x2  4x þ 3Þ2 .

[Sı`, lo si puo` affermare senza risolverle; in base a quali considerazioni?]

887 Þ

Stabilisci se le seguenti disequazioni sono equivalenti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x  1  x < 2  x  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Sı`, entrambe e ð 2x  1  xÞ2 < ð 2  xÞ2 pffiffiffi  1 5þ 7 le disequazioni sono soddisfatte per x< 4 2

888 Þ

Fornisci una giustificazione del perche´, per ogni k 2 R, l’equazione x2  2kx  k2 þ k  1 ¼ 0 ammette due soluzioni reali distinte, di cui una positiva e una negativa. Determina per quali valori di k la soluzione negativa e` minore di 1 e quella positiva e` maggiore " # pffiffiffiffiffiffi di 2. 3 þ 21 k3

Determina per quali valori di a l’equazione

x2  2ðjaj  2Þx þ a2  3jaj ¼ 0 ammette soluzioni reali e distinte, non nulle e concordi. [4 < a < 3 _ 3 < a < 4] 890 Þ

Determina per quali valori di a l’equazione

4

x  2ax2  a þ 2 ¼ 0

ammette quattro soluzioni reali e distinte. [1 < a < 2] 891 Þ

Determina per quali valori di a l’equazione

4

x þ 2ða þ 2Þx2 þ 4a þ 5 ¼ 0 non ammette soluzioni reali.

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  5 a> 4

Sia x 2 R; considera i tre numeri reali 1, 3, 2x e determina per quali valori di x: a. essi rappresentano le misure dei lati di un triangolo non degenere; pffiffiffi b. tale triangolo ha area minore di 2. pffiffiffi pffiffiffi [a. 1 < x < 2; b. 1 < x < 2 _ 3 < x < 2]

895 Þ

Uno dei due cateti di un triangolo rettangolo non degenere misura 4. Quali valori deve assumere la misura dell’altro cateto perche´ il raggio della circonfe3 renza inscritta nel triangolo misuri meno di ?   2 15 Indicata con x la misura dell’altro cateto, 0 < x < 2

Equazioni e disequazioni

893 Un triangolo non degenere ABC, isoscele sulla Þ base AB, e` inscritto in una circonferenza di raggio 1. Indica con x la misura dell’altezza del triangolo relativa alla base. Determina per quali valori di x la somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati del triangolo e` " pffiffiffi pffiffiffi # 17 . almeno 6 2 6þ 2 2 x 4 4

894 Þ

Unita` 1

892 Data una semicirconferenza di diametro AB ¼ 4, Þ considera su di essa un punto P tale che, detta H la proiezione di P su AB, sia HB ¼ x. Per quali valori di x   risulta PH < 3HB? 2 2x Þ jx2  4j > 3 jx  1j  2x
0 10 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ 4  x2 þ jx þ 3j 9 Þ

Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

Punteggio

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h

3Risposte in fondo al volume Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

65

Unita`

Funzioni

2

Tema A

1. Introduzione alle funzioni Che cos’e` una funzione? In questa Unita` riprendiamo e approfondiamo un tema fondamentale gia` introdotto nel primo biennio e che ci accompagnera` in tutto il nostro corso: quello delle funzioni. Per poter definire il concetto di funzione dobbiamo anzitutto definire quello di relazione. RELAZIONE

Una relazione e` una legge che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi di un insieme di partenza A uno o piu` elementi di un insieme di arrivo B. ESEMPI

a. Nella fig. 2.1 abbiamo rappresentato tramite un diagramma a frecce la relazione che associa a ogni citta` dell’insieme A la regione dell’insieme B cui tale citta` appartiene. b. Nella fig. 2.2 abbiamo rappresentato tramite un diagramma a frecce la relazione che associa a ogni regione dell’insieme A le citta` dell’insieme B che appartengono a tale regione. B

A Milano Torino Bologna Roma

A

Lombardia

Liguria

Genova

Piemonte

Toscana

Firenze

Emilia Romagna Lazio Sicilia

Figura 2.1

B

Pisa Campania Puglia

Napoli Bari

Figura 2.2

La relazione rappresentata in fig. 2.1 ha una particolare caratteristica, che non possiede la relazione in fig. 2.2: da ogni elemento di A parte una e una sola freccia verso qualche elemento di B. Cio` significa che ogni elemento di A e` in relazione con un unico elemento di B. Le relazioni che hanno questa proprieta` si dicono funzioni. Modi di dire

FUNZIONE

Poiche´ una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, viene detta anche corrispondenza univoca. Un altro sinonimo di funzione e` applicazione.

Siano A e B due insiemi non vuoti; si dice funzione da A a B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

L’insieme di partenza A si chiama dominio della funzione, l’insieme di arrivo B si chiama codominio. Esempio

Controesempio

In un insieme di persone, la relazione che associa a ciascuna di esse la sua eta` definisce una funzione.

In un insieme di persone, la relazione che associa a ciascuna di esse i suoi figli, in generale, non definisce una funzione.

Infatti a ogni persona resta associata un’unica eta`.

Infatti qualcuno potrebbe non avere figli o averne piu` di uno.

66 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

che si legge: «f e` una funzione da A a B»

Funzioni

f :A!B

Unita` 2

Le funzioni vengono indicate con lettere dell’alfabeto, generalmente minuscole, come f , g, ::::: Per indicare che f e` una funzione di dominio A e di codominio B si scrive:

Quando e` data una funzione f , l’immagine di un elemento x appartenente al dominio della funzione, cioe` l’elemento nel codominio che tramite f corrisponde a x, viene indicata con il simbolo: f ðxÞ

che si legge «f di x»

Se l’elemento y e` l’immagine di x tramite una certa funzione f , si puo` anche dire, simmetricamente, che x e` la controimmagine di y. In particolare, l’insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio A e` chiamato (insieme) immagine della funzione, e lo si indica con f ðAÞ.

Altre notazioni L’insieme immagine di una funzione f viene talvolta indicato con il simbolo Im ðf Þ.

Funzioni reali di variabile reale e loro classificazione Fra i vari tipi di funzioni, giocano un ruolo di primo piano le funzioni che hanno come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali: queste funzioni sono chiamate funzioni reali di variabile reale e saranno l’oggetto principale del nostro corso. La legge che definisce una funzione f , reale di variabile reale, viene solitamente assegnata mediante un’equazione del tipo: y ¼ f ðxÞ dove f ðxÞ e` un’espressione nella variabile x, detta espressione analitica della funzione, oppure mediante una scrittura del tipo: f ðxÞ ¼ :::::::::: dove al posto dei puntini vi e` appunto l’espressione analitica della funzione. ESEMPI

a. La funzione f , da R a Rþ 0 , che associa a ogni numero reale il suo quadrato, puo` venire assegnata, in modo equivalente, in una delle seguenti due forme: y ¼ x2

oppure

f ðxÞ ¼ x2

b. La funzione f , da R a R, che associa a ogni numero reale il numero stesso, detta funzione identita`, puo` venire assegnata, in modo equivalente, in una delle seguenti due forme: y¼x

oppure

f ðxÞ ¼ x

Se la funzione e` assegnata tramite l’equazione: y ¼ f ðxÞ si dice che x e` la variabile indipendente, perche´ a essa puo` venire assegnato un valore arbitrariamente scelto nel dominio, mentre y e` la variabile dipendente, perche´ il valore assunto da y dipende da quello assegnato alla x. ESEMPIO

Valori assunti da una funzione

Data la funzione f definita da y ¼ 3x 2
2x, determiniamo i valori assunti da y quando: a. x ¼ 4

b. x ¼
2

Ô

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67

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Ô

a. Il valore assunto da y quando x ¼ 4 si puo` determinare sostituendo 4 al posto di x nell’equazione che definisce f : y ¼ 3
42
2
4 ¼ 3
16
8 ¼ 40 b. Analogamente, il valore assunto da y quando x ¼
2 e`: y ¼ 3
ð
2Þ2
2
ð
2Þ ¼ 3
4 þ 4 ¼ 16 Si puo` anche scrivere: f ð4Þ ¼ 40 e f ð
2Þ ¼ 16.

Attenzione! Non e` detto che l’espressione analitica di una funzione numerica possa sempre venire espressa tramite una sola espressione algebrica. Per esempio, una funzione potrebbe essere definita da:  2 x se x  0 f ðxÞ ¼ x3 se x < 0 Non e` nemmeno detto che la legge che definisce una funzione numerica possa sempre venire espressa tramite una «formula». Per esempio, la funzione f : N ! N che associa a ogni x 2 N il numero dei numeri primi minori di x e` ben definita, ma non esiste «formula» in grado di esprimere la legge che la definisce.

In base all’espressione analitica di una funzione, si puo` effettuare una prima semplice classificazione delle funzioni reali di variabile reale. Se nell’espressione analitica della funzione la variabile indipendente (tipicamente xÞ e` soggetta soltanto a un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale o estrazione di radice si dice che la funzione e` algebrica, altrimenti si dice che e` trascendente. Esempio

Controesempio Non sono funzioni algebriche:

Sono funzioni algebriche: 4

a. y ¼ 3xþ1

a. y ¼ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. y ¼ 3 x 2 þ 1 1 c. y ¼ x þ x2

b. y ¼ x
6x 1 c. y ¼ x x 2

Nell’insieme delle funzioni algebriche si distinguono: le funzioni intere (o polinomiali), nelle quali la variabile indipendente non compare in alcun denominatore, da quelle frazionarie (o fratte); le funzioni razionali, nelle quali la variabile indipendente non compare sotto alcun segno di radice, da quelle irrazionali. Funzioni algebriche

ESEMPI

trascendenti

intere

frazionarie

razionali irrazionali

razionali irrazionali

Classificazione di una funzione algebrica

a. La funzione y ¼ x4
x2 e` intera razionale. 1 e` frazionaria razionale.
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. La funzione y ¼ x2 þ 3x e` intera irrazionale.

b. La funzione y ¼

x4

1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e` frazionaria irrazionale. d. La funzione y ¼ p 3 xþ1

Il dominio di una funzione reale di variabile reale Una funzione reale di variabile reale, chiamiamola f , viene di solito assegnata tramite la sua espressione analitica, senza specificarne il dominio e il codominio (come abbiamo fatto negli esempi precedenti, dopo i primi). 68 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESEMPI

Il dominio di una funzione di variabile reale, definita dalla formula y ¼ f ðxÞ, e` detto anche insieme di definizione o, se stabilito come indicato qui a lato, campo di esistenza.

Funzioni

Quando x appartiene (non appartiene) al dominio della funzione diremo anche che f e` definita (non definita ) in x. Per determinare il dominio di una funzione algebrica occorre imporre che:  gli eventuali denominatori che compaiono nella sua espressione analitica siano diversi da zero;  i radicandi degli eventuali radicali di indice pari che compaiono nella sua espressione analitica siano maggiori o uguali a zero.

Modi di dire

Unita` 2

In tal caso si assume per convenzione:  come dominio, l’insieme costituito da tutti i numeri reali x per cui esiste il corrispondente valore f ðxÞ (tale insieme viene anche detto dominio naturale della funzione);  come codominio, l’insieme R.

Dominio di una funzione algebrica

Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni: 1 b. y ¼ 4 a. y ¼ x 4
x 2 x
x2 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d. y ¼ p e. y ¼ x þ 5
x 3 xþ1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 þ 3x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
2 f. y ¼ 2 x þxþ1 c. y ¼

a. La funzione e` definita per ogni valore reale di x, quindi il dominio e` R. b. La funzione e` definita purche´ il denominatore sia diverso da zero: x4
x2 6¼ 0 ) x2 ðx2
1Þ 6¼ 0 ) x 6¼ 0 ^ x 6¼ 1 Il dominio della funzione e` l’insieme R
f0,  1g. c. La funzione e` definita purche´ il radicando del radicale sia maggiore o uguale a zero: x2 þ 3x  0 ) x 
3 _ x  0 Il dominio della funzione e` l’insieme ð
1,
3Š [ ½0, þ 1Þ. d. Poiche´ un radicale di indice dispari e` sempre definito, l’unica condizione da porre e` che il denominatore sia diverso da zero: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 x þ 1 6¼ 0 ) x þ 1 6¼ 0 ) x 6¼
1 Il dominio della funzione e` l’insieme R
f
1g.

e. La funzione e` definita purche´ i radicandi di entrambi i radicali siano maggiori o uguali a zero:  x0 )0x5 5
x0 Il dominio della funzione e` l’intervallo [0, 5]. f. La funzione e` definita purche´ il radicando sia maggiore o uguale a zero e il denominatore sia diverso da zero:  x
20 x2 þ x þ 1 6¼ 0 Osserviamo che la seconda condizione e` sempre verificata (perche´ il discriminante del trinomio x2 þ x þ 1 e` negativo, quindi il trinomio non si annulla mai). Pertanto il sistema e` verificato per x  2. Il dominio della funzione e` dunque l’intervallo ½2, þ 1Þ. Quando una funzione esprime una grandezza in funzione di un’altra, puo` essere necessario «restringere» il suo dominio naturale, in base a particolari condizioni fisiche o geometriche, legate al contesto da cui scaturisce la funzione. 69 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

ESEMPIO

Dominio di una funzione proveniente da un problema geometrico

Un rettangolo non degenere e` inscritto in una circonferenza di raggio 1. Esprimiamo l’area del rettangolo in funzione della misura 2x della base del rettangolo e determiniamo il dominio della funzione cosı` scaturita, in relazione al problema geometrico. D

C

1 O

x

H B

A 2x

Figura 2.3

 Espressione analitica della funzione che esprime l’area in funzione di x Facciamo riferimento alla fig. 2.3 che rappresenta il problema. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHC, dove H e` il punto medio di BC, si puo` ricavare: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi CH ¼ 1
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ne segue che BC ¼ 2CH ¼ 2 1
x2 . Percio`, detta AðxÞ l’area del rettangolo, si ha: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ ¼ AB
BC ¼ ð2xÞð2 1
x2 Þ ¼ 4x 1
x2

 Dominio della funzione Determinare il dominio della funzione AðxÞ scaturita, in relazione al problema geometrico, significa determinare quali valori puo` assumere la variabile x, relativamente al problema. Osserviamo intanto che x potra` variare tra 0 e 1 perche´ la misura 2x della base AB puo` variare tra 0 e 2. Il valore x ¼ 0 corrisponde al caso limite in cui A  B e C  D (fig. 2.4), mentre il valore x ¼ 1 corrisponde al caso limite in cui A  D e B  C (fig. 2.5). C≡D

O

Figura 2.4

A≡B x=0

A≡D

Figura 2.5

O

B≡C

x=1

Escludendo i due casi limite, x ¼ 0 e x ¼ 1, poiche´ in questi casi il rettangolo ABCD degenera in un segmento (come mostrato nelle figg. 2.4 e 2.5), concludiamo che il dominio della funzione, in relazione al problema, e` l’intervallo (0, 1). Osserva che il dominio naturale della funzione, indipendentemente dal problema geometrico, sarebbe invece l’intervallo [
1, 1].

Il grafico di una funzione Data una funzione f : A ! B, si chiama grafico della funzione l’insieme: fðx, f ðxÞÞ j x 2 Ag

70

Se f e` una funzione reale di variabile reale, si usa «tracciare il grafico» della funzione, cioe` rappresentare nel piano cartesiano l’insieme dei punti di coordinate (x, yÞ tali che y ¼ f ðxÞ. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni

ESEMPI

Unita` 2

Cio` che contraddistingue, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione e` il fatto che nessuna retta verticale (parallela all’asse y) puo` intersecarlo in due punti distinti (cio` infatti violerebbe la definizione di funzione, perche´ significherebbe che allo stesso valore di x sono associati due valori di y). Riconoscere il grafico di una funzione

Riconosciamo se le seguenti curve rappresentano il grafico di una funzione: a

b

y

O

y

x

x

O

a. La curva tracciata in fig. a rappresenta il grafico di una funzione perche´, comunque si tracci una retta verticale, essa interseca il grafico della funzione in un unico punto. b. Poiche´ ciascuna delle rette tratteggiate in fig. b interseca la curva in due punti distinti, non si tratta del grafico di una funzione. Almeno nei casi piu` semplici, il grafico di una funzione di cui sia data l’equazione puo` essere tracciato per punti. ESEMPIO

Tracciare il grafico di una funzione per punti

Tracciamo per punti il grafico della funzione y ¼
1o passo: costruiamo una tabella di valori per x e y x

y


4

1
ð
4Þ2 ¼
8 2


3

1 9
ð
3Þ2 ¼
2 2


2




1 ð
2Þ2 ¼
2 2


1




1 1 ð
1Þ2 ¼
2 2

0




1 ð0Þ2 ¼ 0 2

1




1 1 ð1Þ2 ¼
2 2

2




1 ð2Þ2 ¼
2 2

3




1 9 ð3Þ2 ¼
2 2

4




1 ð4Þ2 ¼
8 2

1 2 x . 2

2o passo: rappresentiamo i punti corrispondenti sul piano cartesiano

3o passo: congiungiamo i punti con una linea continua

y

y

O

O x

x

y = – 1 x2 2

71 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni

L’uguaglianza di due funzioni Due funzioni si dicono uguali se hanno lo stesso grafico. Pertanto possiamo dare la seguente definizione piu` particolareggiata. FUNZIONI UGUALI

Due funzioni f e g sono uguali se hanno lo stesso dominio A e inoltre risulta: f ðxÞ ¼ gðxÞ per ogni x 2 A

Esempio

Controesempio Le due funzioni

Tema A

Le due funzioni definite da: f ðxÞ ¼ x 2
1 e gðxÞ ¼

4

x
1 x2 þ 1

f ðxÞ ¼ x þ 1 e gðxÞ ¼

x2
1 x
1

sono uguali.

non sono uguali.

Infatti hanno lo stesso dominio, R, e per ogni x 2 R risulta:

Infatti non hanno lo stesso dominio: la funzione f e` definita in R mentre la funzione g e` definita in R
f1g. Si puo` tuttavia verificare che per ogni x 6¼ 1 risulta f ðxÞ ¼ gðxÞ, quindi il grafico delle due funzioni differisce solo per un punto (fig. 2.6).

gðxÞ ¼

x4
1 ðx 2
1Þ ðx 2 þ 1Þ ¼ ¼ ðx 2 þ 1Þ x2 þ 1

¼ x 2
1 ¼ f ðxÞ

y

y

O

x

O

x

2 g(x) = x –1 x –1

f(x) = x + 1

Figura 2.6 Il grafico della funzione g differisce da quello della funzione f per il fatto che non vi appartiene il punto di coordinate (1, 2).

Prova tu

ESERCIZI a p. 88

1. Stabilisci se le seguenti relazioni definiscono delle funzioni: a. la relazione che associa a ogni regione d’Italia i suoi capoluoghi di provincia (considera come dominio e codominio, rispettivamente, l’insieme delle regioni e dei capoluoghi di provincia d’Italia); b. la relazione che associa a ogni persona il suo anno di nascita (considera come dominio un insieme di persone e come codominio N); 2. Data la funzione f ðxÞ ¼ x4
x2 , determina: pffiffiffi a. f ð 2Þ b. f ð
2Þ c. f ð2xÞ þ f ðxÞ

3. Classifica le seguenti funzioni e individua il loro dominio: x2 a. y ¼ c. y ¼ x7
x5 x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 3x2 d. y ¼ 5x
x2 þ 3 x b. y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
1 4. Traccia per punti il grafico delle seguenti funzioni, dopo aver individuato il dominio di ciascuna: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 c. y ¼ x þ 1 a. y ¼ x þ 1 b. y ¼
x2 2 5. Stabilisci se le seguenti funzioni f e g sono uguali: x4
16 f ðxÞ ¼ 2 ; gðxÞ ¼ x2 þ 4 x
4

72 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 2

2. Prime proprieta` delle funzioni reali di variabile reale

Funzioni

Come abbiamo anticipato, lo studio delle funzioni reali di variabile reale sara` il «filo rosso» che, a volte esplicitamente, a volte implicitamente, leghera` tutti gli argomenti che affronteremo. Abbiamo gia` visto, nel paragrafo precedente, come determinare il dominio di una funzione reale di variabile reale. Man mano che approfondiremo le nostre conoscenze acquisiremo strumenti matematici sempre piu` «sofisticati» che, al termine del percorso, ci metteranno in grado di determinare tutte le piu` importanti caratteristiche di una funzione reale di variabile reale. In questo paragrafo vogliamo cominciare a riflettere su alcune di queste caratteristiche.

Il segno di una funzione Dopo aver determinato il dominio di una funzione y ¼ f ðxÞ, la «seconda fase» di uno studio elementare della funzione consiste nello studio del segno della funzione. Si tratta cioe` di stabilire per quali valori di x del dominio risulta f ðxÞ < 0,

f ðxÞ ¼ 0

o

f ðxÞ > 0

Il grafico di y ¼ f ðxÞ:  e` «al di sopra» dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ > 0; per questi valori di x la funzione si dice positiva;  incontra l’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ ¼ 0; questi valori di x si dicono zeri della funzione e si dice che la funzione si annulla in corrispondenza di essi;  e` «al di sotto» dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ < 0; per questi valori di x la funzione si dice negativa. ESEMPIO

Deduzione del segno e degli zeri dal grafico y

Consideriamo la funzione y ¼ f ðxÞ, il cui grafico e` tracciato in figura, e stabiliamo dove essa e` positiva, dove e` negativa e quali sono i suoi zeri. Possiamo osservare che:  per x <
4 e per 1 < x < 3 il grafico della funzione e` al di sotto dell’asse x, quindi la funzione e` negativa;  per x ¼
4, per x ¼ 1 e per x ¼ 3 la funzione si annulla, quindi la funzione ha tre zeri:
4, 1 e 3;  per
4 < x < 1 e per x > 3 il grafico della funzione e` al di sopra dell’asse x, quindi la funzione e` positiva.

y = f (x)

y >0 A –4

B C O 1

3

x y 0;  per determinare gli zeri della funzione occorre risolvere l’equazione f ðxÞ ¼ 0;  per stabilire quando la funzione e` negativa bisogna risolvere la disequazione f ðxÞ < 0. ESEMPIO

Studio del segno di una funzione polinomiale

Determiniamo il dominio e il segno della funzione y ¼ x 3 ðx 2
4Þ e rappresentiamo graficamente le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il suo grafico.  Dominio Si tratta di una funzione polinomiale, quindi e` definita in R.  Studio del segno y > 0 ) x3 ðx2
4Þ > 0 )
2 < x < 0 _ x > 2

Risolvendo la disequazione

Ô

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73

Equazioni, disequazioni e funzioni

Ô

y ¼ 0 ) x3 ðx2
4Þ ¼ 0 ) x ¼
2 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2 y < 0 ) x3 ðx2
4Þ < 0 ) x <
2 _ 0 < x < 2

Risolvendo l’equazione. La funzione ha tre zeri:
2, 0, 2 Basta determinare il complementare rispetto al dominio dell’insieme dei valori di x per cui y  0

 Rappresentazione delle regioni del piano cui appartiene il grafico Dalle informazioni acquisite deduciamo che il grafico della funzione appartiene alla regione di piano cartesiano colorata in fig. 2.7. Nel grafico, abbiamo indicato con un punto pieno gli zeri.

Tema A

y

Figura 2.7 Per x <
2 e per 0 < x < 2, la funzione `e negativa, quindi il suo grafico e` al di sotto dell’asse x: abbiamo percio` evidenziato in azzurro la corrispondente parte al di sotto dell’asse x ed «escluso» con un tratteggio la parte al di sopra dell’asse x. Analogamente negli intervalli
2 < x < 0 e x > 2 dove la funzione e` positiva.

–2

O

2

x

Studio del segno di una funzione irrazionale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Determiniamo il dominio e il segno della funzione y ¼ x 2
1
2 e rappresentiamo graficamente le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il suo grafico.

ESEMPIO

Attenzione! Invece di risolvere la disequazione, per determinare i valori di x per cui y < 0 si poteva determinare il complementare rispetto al dominio (non a tutto R come nell’esempio precedente) dell’insieme dei valori di x per cui y  0.

 Dominio La funzione e` definita per x2
1  0, cioe` per x 
1 _ x  1.  Studio del segno pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi y > 0 ) x2
1
2 > 0 ) x 2
1 > 4 ) x <
5 _ x > 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi y ¼ 0 ) x2
1
2 ¼ 0 ) x 2
1 ¼ 4 ) x ¼  5 Ci sono 2 zeri  2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffi pffiffiffi x
10 y < 0 ) x2
1
2 < 0 ) )
5 < x 
1 _ 1  x < 5 2 x
1 0 si ha che f ðxÞ esiste mentre f ð
xÞ non esiste: percio` la funzione data non e` ne´ pari ne´ dispari.

Ô

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75

Equazioni, disequazioni e funzioni

Ô

c. Sostituiamo
x al posto di x in f ðxÞ ¼ f ð
xÞ ¼

ð
xÞ3

ð
xÞ2 þ 1

¼


x3 . Abbiamo: þ1

x2

x3 ¼
f ðxÞ x2 þ 1

Concludiamo che la funzione assegnata e` dispari. d. Sostituiamo
x al posto di x in f ðxÞ ¼ x5
1. Abbiamo: f ð
xÞ ¼
x5
1

E` chiaro che risulta f ð
xÞ 6¼ f ðxÞ; essendo anche f ð
xÞ ¼ 6
f ðxÞ (poiche´
f ðxÞ ¼
x5 þ 1Þ, la funzione data non e` ne´ pari ne´ dispari.

Tema A

Funzioni crescenti e funzioni decrescenti Terminiamo questo paragrafo introducendo un’altra importante caratteristica che puo` presentare il grafico di una funzione. Osserva il grafico della funzione in fig. 2.11. y

D

E

B

A

2 –4

–7

O

5

10 x

C

Figura 2.11

Se immaginiamo che un punto mobile «percorra» il grafico a partire dal punto A fino ad arrivare al punto E, nel verso indicato dalle frecce, ci accorgiamo che:  da A a B il punto si muove nel verso delle ordinate positive, cioe` «sale»;  da B a C il punto si muove nel verso delle ordinate negative, cioe` «scende»;  da C a D il punto torna a «salire»;  da D ad E il punto percorre un tratto «costante» (ne´ in salita ne´ in discesa). Per descrivere questi tre possibili comportamenti del grafico di una funzione, introduciamo alcune definizioni, illustrate in fig. 2.12 e formalizzate a pagina seguente. y

f (x2) a

f (x1)

f (x1) x1

y

y

O

x2 b

x

I = a, b

a

x1

f(x2) x2 O

f(x1) b

x

a

x1

b. Per ogni x1 < x2 risulta f ðx1 Þ > f ðx2 Þ: la funzione e` strettamente decrescente in [a, b].

O

x2

x

c. Per ogni x1 , x2 risulta f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ: la funzione e` costante in [a, b].

Figura 2.12

76

b

I = a, b

I = a, b

a. Per ogni x1 < x2 risulta f ðx1 Þ < f ðx2 Þ: la funzione e` strettamente crescente in [a, b].

f(x2)

Per esempio, la funzione il cui grafico e` tracciato in fig. 2.11 e`:  strettamente crescente nell’intervallo ½
7,
4Š e nell’intervallo ½2, 5Š;  strettamente decrescente nell’intervallo ½
4, 2Š;  costante nell’intervallo ½5, 10Š. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

a. f si dice strettamente crescente in I se:

x1 < x2 ) f ðx1 Þ < f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I b. f si dice strettamente decrescente in I se:

Funzioni

L’insieme I puo` coincidere con il dominio della funzione o essere un suo sottoinsieme proprio.

Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y ¼ f ðxÞ.

Unita` 2

Osserva

FUNZIONI STRETTAMENTE CRESCENTI, DECRESCENTI E COSTANTI

x1 < x2 ) f ðx1 Þ > f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I

c. f si dice costante in I se:

f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I

Nell’intervallo [2, 10] la funzione in fig. 2.11 non e` strettamente crescente, perche´ e` costante in [5, 10], pero` non decresce. Per descrivere anche questo comportamento si introducono le seguenti definizioni. FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI IN SENSO LATO

Modi di dire

Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y ¼ f ðxÞ.

Alcuni testi chiamano funzioni crescenti (decrescenti) quelle che noi abbiamo chiamato strettamente crescenti (strettamente decrescenti), e non crescenti (non decrescenti) le funzioni che noi abbiamo chiamato decrescenti in senso lato (crescenti in senso lato).

a. f si dice crescente in senso lato in I se:

x1 < x2 ) f ðx1 Þ  f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I b. f si dice decrescente in senso lato in I se: x1 < x2 ) f ðx1 Þ  f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I

Possiamo allora dire, per esempio, che la funzione rappresentata in fig. 2.11 e` crescente in senso lato nell’intervallo [2, 10]. ESEMPI

Stabilire dal grafico gli intervalli in cui una funzione e` crescente o decrescente

Stabiliamo gli intervalli dove le funzioni, i cui grafici sono tracciati nelle figure seguenti, sono crescenti o decrescenti, in senso stretto o in senso lato. y

y (2, 6) (5, 6)

2

(7, 3) (–7, 0)

–3

(–1, 0) O

O –2

x

3

x

(–4, –3)

a

b

a. La funzione il cui grafico e` tracciato in fig. a e` strettamente decrescente negli intervalli [
7,
4] e [5, 7], costante nell’intervallo [2, 5] e strettamente crescente nell’intervallo [
4, 2]. Nell’intervallo [2, 7] la funzione e` decrescente in senso lato. b. La funzione e` strettamente decrescente in ciascuno dei due intervalli ð
1, 0Þ e ð0, þ 1Þ, ma non e` strettamente decrescente in tutto il suo dominio, cioe` in R
f0g. Infatti puoi osservare per esempio che:
3 < 3

ma

f ð
3Þ ¼
2 < f ð3Þ ¼ 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

77

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Nel prosieguo, quando parleremo semplicemente di funzione «crescente» o «decrescente», senza specificare se in senso stretto o in senso lato, converremo di riferirci a funzioni crescenti o decrescenti in senso stretto. ` NA FUNZIONE MONOTO

Una funzione crescente o decrescente (in senso stretto o lato) in un insieme I viene detta monoto`na in I.

Prova tu

ESERCIZI a p. 98

1. Determina il dominio e il segno delle seguenti funzioni e rappresenta le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il grafico di ciascuna. Stabilisci inoltre se ciascuna funzione e` pari o dispari. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi x2
1 a. y ¼ 1
x b. y ¼ x2
4x c. y ¼ x2 þ 2x
3 d. y ¼ e. y ¼ jxj
1 f. y ¼ x2
jxj x

2. In riferimento alla funzione il cui grafico e` rappresentato nella figura qui sotto, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. la funzione e` strettamente crescente y in [
5, 3] V F (2, 6) b. la funzione e` pari V F c. la funzione e` strettamente decrescente in [2, 7] V F (5, 3) (7, 3) d. la funzione e` costante in [5, 7] V F (–2, 0) e. la funzione e` decrescente in senso lato x O in [2, 7] V F f. la funzione e` dispari V F g. la funzione ha un solo zero V F (–5, –3) h. la funzione e` strettamente crescente in [
5, 2] V F

3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive Abbiamo visto, nelle pagine precedenti, una classificazione delle funzioni reali di variabile reale (algebrica razionale, irrazionale, intera o frazionaria oppure trascendente), in base alle caratteristiche dell’espressione f ðxÞ che compare nell’equazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione. Un’altra classificazione delle funzioni si basa invece sul comportamento della funzione rispetto all’insieme di arrivo, cioe` al codominio. In questo paragrafo vediamo come si possono classificare le funzioni secondo quest’altro punto di vista.

Funzioni iniettive Introduciamo anzitutto la seguente definizione. In simboli

FUNZIONE INIETTIVA

Possiamo scrivere che f e` iniettiva quando si verifica che 8x1 , x2 2 A: x1 6¼ x2 ) f ðx1 Þ 6¼ f ðx2 Þ.

Una funzione f : A ! B si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine in A.

In modo equivalente, si puo` dire che una funzione e` iniettiva se manda elementi distinti in elementi distinti. Data una funzione reale di variabile reale (per cui, salvo diversa indicazione, si assume come codominio R), essa sara` iniettiva se e solo se ogni elemento di R ha al massimo una controimmagine: cio` equivale a dire che ogni retta orizzontale deve intersecare il grafico della funzione al massimo in un punto.

78 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Stabilire se una funzione di cui e` dato il grafico e` iniettiva

Unita` 2

ESEMPI

Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono iniettive.

Funzioni

y

y

y = g(x) y = f(x)

O

x

x

O

a

b

a. La funzione in fig. a e` iniettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in al massimo un punto. b. La funzione in fig. b non e` iniettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale che giace nel primo e nel secondo quadrante interseca il grafico della funzione in due punti. Data una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðxÞ:  per dimostrare che non e` iniettiva basta esibire una coppia di elementi distinti x1 , x2 , appartenenti al dominio della funzione, tali che f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ;  per provare invece che f e` iniettiva occorre mostrare che, per ogni x1 , x2 appartenenti al dominio, vale l’implicazione: f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) x1 ¼ x2 . ESEMPI

Stabilire se una funzione di cui e` data l’equazione e` iniettiva

Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive: a. y ¼

1 xþ3 2

b. y ¼ x 2
2x

a. La funzione e` iniettiva. Infatti: f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) 1 1 x1 þ 3 ¼ x2 þ 3 ) 2 2 1 1 ) x1 ¼ x2 ) 2 2 )

Essendo f ðxÞ ¼

1 xþ3 2

Sottraendo dai due membri 3 (1o principio di equivalenza delle equazioni) Moltiplicando i due membri per 2 (2o principio di equivalenza delle equazioni)

) x1 ¼ x2

b. Basta osservare, per esempio, che f ð0Þ ¼ f ð2Þ ¼ 0 per concludere che la funzione non e` iniettiva.

Funzioni suriettive Definiamo ora che cosa si intende per funzione suriettiva. FUNZIONE SURIETTIVA

Una funzione f : A ! B si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A:

In modo equivalente, si puo` dire che una funzione e` suriettiva se la sua immagine coincide con il codominio.

In simboli Possiamo scrivere che f e` suriettiva quando si verifica che 8y 2 B: 9 x 2 A j f ðxÞ ¼ y.

79 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni

Data una funzione reale di variabile reale (per cui, salvo diversa indicazione, si assume come codominio R), essa sara` suriettiva se e solo se ogni elemento di R ha almeno una controimmagine: cio` equivale a dire che ogni retta orizzontale deve intersecare il grafico della funzione in almeno un punto. ESEMPI

Stabilire se una funzione di cui e` dato il grafico e` suriettiva

Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono suriettive. y

y

y = g(x) O

x

Tema A

O

x

y = f (x)

a

b

a. La funzione in fig. a e` suriettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un punto. b. La funzione in fig. b non e` suriettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale che giace nel terzo e nel quarto quadrante non ha alcun punto in comune con il grafico della funzione. Per rendere la funzione suriettiva, occorrerebbe restringere il codominio all’intervallo ½0, þ 1Þ. Algebricamente, data una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðxÞ, essa e` suriettiva se e solo se, per ogni y 2 R, l’equazione f ðxÞ ¼ y (nell’incognita xÞ ha almeno una soluzione reale. ESEMPI

Stabilire se una funzione di cui e` data l’equazione e` suriettiva

Stabiliamo se le seguenti funzioni sono suriettive: a. y ¼ Suggerimento Immagina che x sia l’incognita e y rappresenti un parametro.

1 xþ3 2

b. y ¼ x 2
2x

1 a. L’equazione y ¼ x þ 3 e` di primo grado rispetto all’incognita x e, per ogni 2 y 2 R, ammette come soluzione x ¼ 2y
6. Possiamo quindi affermare che si tratta di una funzione suriettiva. b. L’equazione y ¼ x2
2x, equivalente a x2
2x
y ¼ 0, e` di secondo grado rispetto all’incognita x e ammette soluzioni reali se e solo se
 0; la condizione di realta` delle soluzioni equivale alla seguente disequazione, che risolviamo: 4 þ 4y  0 ) y 
1 Vediamo cosı` che l’equazione x2
2x
y ¼ 0 (nell’incognita xÞ non ammette soluzioni per ogni y 2 R ma solo se y appartiene all’intervallo ½
1, þ1Þ. Non si tratta quindi di una funzione suriettiva.

Funzioni biiettive Si da` un nome particolare alle funzioni che sono sia iniettive sia suriettive. FUNZIONE BIIETTIVA

Una funzione f : A ! B che e` sia iniettiva sia suriettiva si dice biiettiva (o corrispondenza biunivoca o corrispondenza uno a uno). 80 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Controesempi

La funzione che ha il grafico riportato in figura e` biiettiva.

La funzione che ha il grafico riportato in figura non e` biiettiva.

y

Funzioni

Esempi

Unita` 2

In modo equivalente, si puo` dire che una funzione f : A ! B e` biiettiva se ogni elemento di B ha una e una sola controimmagine in A. Data una funzione reale di variabile reale, essa sara` biiettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in uno e un solo punto.

y Rifletti

y = g(x)

y = f(x) x

O

x

O

Infatti ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in uno e un solo punto.

Infatti non e` iniettiva: ci sono rette orizzontali che intersecano il grafico della funzione in piu` di un punto.

1 x þ 3 e` biiettiva. 2 Abbiamo visto negli esempi precedenti che e` iniettiva e suriettiva.

La funzione y ¼ x 2
2x non e` biiettiva.

La funzione y ¼

Le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva si possono interpretare come illustrato qui di seguito in relazione alla teoria delle equazioni. Una funzione f : A ! B e`: a. iniettiva quando, per ogni b 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ b ha al massimo una soluzione in A; b. suriettiva quando, per ogni b 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ b ha almeno una soluzione in A; c. biiettiva quando, per ogni b 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ b ha una e una sola soluzione in A.

Abbiamo visto negli esempi precedenti che non e` ne´ iniettiva ne´ suriettiva.

Funzioni

Una funzione puo` essere: iniettiva ma non suriettiva, suriettiva ma non iniettiva, ne´ iniettiva ne´ suriettiva, biiettiva. Riassumendo, la classificazione delle funzioni in base al comportamento rispetto al codominio si puo` quindi rappresentare mediante il diagramma di Venn in fig. 2.13.

iniettive biiettive suriettive

né iniettive né suriettive Figura 2.13

Prova tu

ESERCIZI a p. 102

1. Nelle seguenti figure sono riportati i grafici di alcune funzioni. Stabilisci se si tratta di funzioni iniettive, suriettive o biiettive.

y

y

y

x O

2. Stabilisci se le funzioni seguenti, di cui e` data l’equazione, sono iniettive, suriettive o biiettive: ffiffiffi 1 1p 3 c. y ¼ x2
1 b. y ¼ x a. y ¼
x
2 2 2

O

x

O

x

3. Una funzione strettamente crescente (o strettamente decrescente) nel suo dominio e` sempre suriettiva? E` sempre iniettiva?

81 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

4. Funzione inversa Attenzione! Alcuni testi pongono il problema dell’invertibilita` di una funzione in modo leggermente diverso: si definisce inversa di una funzione f : A ! B (se esiste) la funzione f
1 : B ! A che a ogni elemento di B associa la sua controimmagine nella f (mentre noi abbiamo definito come funzione inversa la funzione f
1 : f ðAÞ ! A che a ogni elemento di f ðAÞ associa la sua controimmagine nella f ). Con questa impostazione una funzione f risulta invertibile se e solo se e` biiettiva. La piu` recente letteratura scientifica tende a seguire l’impostazione che noi abbiamo proposto.

Attenzione!

Consideriamo la funzione f , rappresentata nella fig. 2.14, e costruiamo la relazione g, definita fra l’immagine I ¼ f ðAÞ di f e l’insieme A, che si ottiene invertendo il verso delle frecce (fig. 2.15). f

A a b

g

A

B l

B

a

l

b

m

m

c

c d e

n

n I

d

o

e

Figura 2.14

o

Figura 2.15

La relazione g associa, a ciascun elemento di I, le sue controimmagini tramite f . La relazione g non e` una funzione, perche´ ci sono elementi di I da cui parte piu` di una freccia. Come deve essere f affinche´ g sia una funzione? In base a come abbiamo definito la relazione g, occorre che da ogni elemento di I esca una e una sola freccia verso A, ovvero ogni elemento di I deve avere un’unica controimmagine nella f . Cio` equivale a dire che la funzione f deve essere iniettiva. In tal caso, la relazione g definisce una nuova funzione, che si chiama funzione inversa di f . Queste osservazioni giustificano la seguente definizione. FUNZIONE INVERTIBILE

In questo contesto il simbolo f
1 indica solo la funzione inversa di f , non ha il significato di «f elevato 1 alla
1», cioe` di . f

Una funzione f si dice invertibile se e solo se e` iniettiva: in tal caso, si chiama funzione inversa di f , e si indica con il simbolo f
1 , la funzione che associa a ciascun elemento dell’immagine di f la sua (unica) controimmagine.

Nota che il dominio di f
1 e` l’immagine di f e l’immagine di f
1 e` il dominio di f . Supponiamo che y ¼ f ðxÞ sia una funzione invertibile, reale di variabile reale. C’e` qualche relazione che lega il grafico della funzione f e quello della sua funzione inversa f
1 ? Proviamo a riflettere: sia Pða, bÞ un punto appartenente al grafico della funzione f . Cio` significa che f ðaÞ ¼ b, vale a dire f
1 ðbÞ ¼ a. Dunque se Pða, bÞ appartiene al grafico di f , allora P0 ðb, aÞ appartiene al grafico di f
1 . y P'(b, a)

y=x

P(a, b)

Figura 2.16

O

x

Poiche´ scambiare l’ascissa con l’ordinata nelle coordinate di un punto equivale a effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (fig. 2.16), deduciamo che: Il grafico della funzione f
1 , inversa della funzione f , e` il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 82 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESEMPIO

Unita` 2

Dunque, una volta che e` noto il grafico di f , per ottenere il grafico di f
1 basta effettuare una simmetria rispetto alla suddetta bisettrice. Tracciare il grafico dell’inversa di una funzione

Funzioni

In fig. 2.17 e` tracciato il grafico di una funzione invertibile. Tracciamo il grafico della funzione inversa. Osserviamo che il grafico in fig. 2.17 passa per i punti di coordinate (
5,
5), (1,
2), (3, 1) e (7, 3). Il grafico della funzione inversa passera` per i simmetrici di questi punti rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Quindi dovra` passare per i punti di coordinate (
5,
5), (
2, 1), (1, 3) e (3, 7). Il grafico della funzione inversa sara` allora quello in fig. 2.18. y

y

(3, 7) y=x

(1, 3)

(7, 3) (3, 1)

y = f(x) x

O

(7, 3)

(–2, 1) y = f −1(x)

(1, –2)

(3, 1) O

y = f(x) (1, –2)

x

(–5, –5)

(–5, –5) Figura 2.17

Figura 2.18

Il legame che abbiamo scoperto tra il grafico di una funzione invertibile e quello della sua inversa suggerisce anche come ricavare l’equazione che definisce la funzione inversa: basta effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, cioe` scambiare nell’equazione della funzione x con y. In altre parole, se f e` definita dall’equazione y ¼ f ðxÞ

allora f
1 e` definita dall’equazione: x ¼ f ð yÞ Quest’ultima equazione non e` pero` espressa nella forma esplicita y ¼ f ðxÞ: risolvendola rispetto a y, otterremo l’equazione esplicita di f
1 . Determinare l’espressione analitica dell’inversa di una funzione pffiffiffi La funzione f ðxÞ ¼ 3 x
1 e` invertibile. Determiniamo l’espressione analitica della funzione inversa.

ESEMPIO

 1o passo Consideriamo l’equazione y ¼ f ðxÞ: pffiffiffi y ¼ 3x
1

e sostituiamo in essa x al posto di y e y al posto di x: pffiffiffi x¼ 3y
1

 2o passo Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y. pffiffiffi x¼ 3y
1 Equazione da risolvere rispetto a y p ffiffiffi 3 Proprieta` simmetrica dell’uguaglianza y
1¼x p ffiffiffi 3 y ¼xþ1 Isolando il radicale al 1o membro y ¼ ðx þ 1Þ3

Elevando i due membri al cubo si ottiene un’equazione equivalente

Concludiamo che: f
1 ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ3 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

83

Equazioni, disequazioni e funzioni

SINTESI

Procedimento per ricavare l’equazione della funzione inversa di una funzione data 1. Nell’equazione y ¼ f ðxÞ, si sostituisce y al posto di x e x al posto di y, ottenendo cosı` l’equazione: x ¼ f ð yÞ 2. Se possibile, si risolve l’equazione x ¼ f ð yÞ rispetto a y in modo da ottenere l’equazione esplicita di f
1 .

Tema A

E` importante infine osservare che a volte una funzione puo` risultare non invertibile nel suo dominio, ma invertibile se la consideriamo definita in un opportuno sottoinsieme del dominio. Quando si considera una funzione definita su un sottoinsieme del suo dominio si parla di restrizione della funzione. ESEMPIO

Restrizione di una funzione

La funzione y ¼ x2 non e` invertibile perche´ non e` iniettiva (fig. 2.19). E` invece invertibile la sua restrizione all’intervallo x  0, e la sua inversa e` pffiffiffi y ¼ x (fig. 2.20). y

y

y = x2

y = x2 con x ≥ 0

y= x

O

x

x

O

Figura 2.19 Ogni retta orizzontale che giace nel primo e nel secondo quadrante incontra il grafico della funzione in due punti distinti, quindi la funzione non `e iniettiva, ` nemmeno invertibile. percio

Figura 2.20 Il grafico della restrizione di y ¼ x 2 all’intervallo x  0 e della sua funzione inversa.

Prova tu

ESERCIZI a p. 104

1. Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 5x
6 non e` invertibile.

2. Le funzioni seguenti sono invertibili. Dopo aver giustificato perche´ lo sono, determina l’espressione analitica della funzione inversa. a. f ðxÞ ¼ 3x
2 b. f ðxÞ ¼



x
3 2x þ 1

a. f
1 ðxÞ ¼

1 2 xþ3 x þ ; b. f
1 ðxÞ ¼ 3 3 1
2x



5. L’algebra delle funzioni e le funzioni composte L’algebra delle funzioni Nell’insieme delle funzioni reali di variabile reale possiamo introdurre delle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, del tutto analoghe a quelle che conosci per gli elementi degli insiemi numerici. Le definizioni sono le seguenti. 84 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 2

SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO E QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI

Date due funzioni f e g:

Funzioni

 la funzione somma f þ g e` la funzione definita da: ðf þ gÞðxÞ ¼ f ðxÞ þ gðxÞ  la funzione differenza f
g e` la funzione definita da: ðf
gÞðxÞ ¼ f ðxÞ
gðxÞ  la funzione prodotto f  g e` la funzione definita da: ðf  gÞðxÞ ¼ f ðxÞ  gðxÞ f  la funzione quoziente e` la funzione definita da: g   f f ðxÞ ðxÞ ¼ g gðxÞ

Le funzioni f þ g, f
g e f  g sono definite in corrispondenza dei valori di x per cui sono definite sia la funzione f sia la funzione g, quindi il loro dominio e` l’intersezione del dominio di f e del dominio di g. f Il dominio di e` costituito da tutti i valori di x per cui, oltre a essere definite le g funzioni f e g, e` anche gðxÞ 6¼ 0, quindi e` costituito da tutti i valori di x, appartenenti all’intersezione del dominio di f e di quello di g, tali che gðxÞ 6¼ 0. ESEMPI

Operazioni tra funzioni

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Date le funzioni f e g definite da f ðxÞ ¼ x e gðxÞ ¼ x
2, determiniamo l’espressione analitica delle seguenti funzioni e il loro dominio: f a. f þ g b. f
g c. f  g d. g a. La funzione f þ g e` definita da: pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf þ gÞðxÞ ¼ x þ x
2

La funzione f ha come dominio l’intervallo ½0, þ1Þ, la funzione g ha come dominio l’intervallo ½2, þ1Þ. Il dominio di f þ g e` allora l’intervallo ½2, þ1Þ, intersezione degli intervalli che costituiscono il dominio di f e il dominio di g.

b. La funzione f
g e` definita da: pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf
gÞðxÞ ¼ x
x
2

Il dominio di f
g e` ancora l’intervallo ½2, þ1Þ.

c. La funzione f  g e` definita da: pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf  gÞðxÞ ¼ x  x
2

Il dominio di f  g e`, come nei due esempi precedenti, l’intervallo ½2, þ1Þ. f e` definita da: g pffiffiffi   f x ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g x
2

d. La funzione

f e` l’intervallo ð2; þ1Þ: esso e` l’intersezione degli intervalli g che costituiscono il dominio di f e il dominio di g, privata del valore x ¼ 2 per cui si annulla la funzione g. Il dominio di

Attenzione! La funzione prodotto pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð f  gÞðxÞ ¼ x x
2 non e` uguale alla funzione pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hðxÞ ¼ xðx
2Þ. Infatti, in base alla definizione di uguaglianza di funzioni data nel Paragrafo 1, perche´ due funzioni siano uguali devono in particolare avere lo stesso dominio. Invece il dominio di f  g e` ½2, þ 1Þ mentre il dominio della funzione h e` ð
1, 0 [ ½2, þ 1Þ. Per ragioni analoghe la funzione quoziente pffiffiffi   f x ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi non g x
2 e` uguale alla funzione rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x . zðxÞ ¼ x
2

85 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Composizione di funzioni Nell’insieme delle funzioni e` possibile definire anche un nuovo tipo di operazione, diversa dalle usuali operazioni algebriche: l’operazione di composizione, definita come segue. FUNZIONE COMPOSTA

Date due funzioni f e g, si dice funzione composta di f e g, e si indica con il simbolo g f (che si legge: «g composto f »), la funzione definita da: ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ

Graficamente:

Attenzione!

x

f(x)

f

La funzione f , pur essendo scritta nel simbolo g f per seconda, e` la prima che viene applicata.

g

g(f(x))

g°f

Affinche´ sia possibile calcolare gðf ðxÞÞ, f ðxÞ deve appartenere al dominio di g. Percio` il dominio di g f e` costituito da tutti gli elementi appartenenti al dominio di f tali che f ðxÞ appartiene al dominio di g. Determinare la funzione composta di due funzioni assegnate pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Sono date le funzioni f ðxÞ ¼ x
1 e gðxÞ ¼ x þ 3. Determiniamo l’espressione analitica di g f e di f g, specificando il dominio di tali funzioni.

ESEMPIO Osserva Potevamo determinare il dominio della funzione composta g f anche senza determinare la sua espressione analitica. Sappiamo infatti che esso e` costituito dai valori di x appartenenti al dominio di f (cioe`, in questo caso, a R) tali che f ðxÞ ¼ x
1 appartiene al dominio di g (cioe`, in questo caso, all’intervallo ½
3, þ1ÞÞ. Pertanto il dominio di g f e` l’insieme dei valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

Determiniamo l’espressione analitica di g f : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ gðx
1Þ ¼ ðx
1Þ þ 3 ¼ x þ 2 Definizione di funzione composta

f ðxÞ ¼ x
1

gðxÞ ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ3

Il dominio della funzione g f e` costituito dai valori di x per cui x þ 2  0, quindi e` l’intervallo ½
2, þ 1Þ. Ragioniamo analogamente per determinare l’espressione analitica di f g: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼ f ð x þ 3Þ ¼ x þ 3
1

x
1 
3 ) x 
2

Il dominio della funzione f g e` l’intervallo ½
3, þ1Þ (coincide con il dominio della funzione gÞ.

Ritroviamo cosı` che il dominio di g f e` l’intervallo ½
2, þ1Þ.

L’esempio precedente mostra che puo` essere g f 6¼ f g: la composizione di funzione non e` quindi una operazione commutativa. Si potrebbe invece provare che la composizione di funzioni e` un’operazione associativa, cioe` che: ðf gÞ h ¼ f ðg hÞ

Prova tu

ESERCIZI a p. 106

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1. Date le funzioni f ðxÞ ¼ x
1 e gðxÞ ¼ 5
x, scrivi l’espressione analitica delle seguenti funzioni e determina il dominio di ciascuna di esse: a. f þ g

c. f  g

b. f
g

d.

f g

2. Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x e gðxÞ ¼ ðx þ 1Þ2 . a. Calcola l’immagine di
1 tramite g f e tramite f g. b. Determina l’espressione analitica di g f e di f g. pffiffiffiffiffiffi 3. Date le tre funzioni f ðxÞ ¼ 2x, gðxÞ ¼ jxj e hðxÞ ¼ x2 , verifica che ðf gÞ h ¼ f ðg hÞ.

86 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 2

MATEMATICA NELLA STORIA

Funzioni

La nascita e lo sviluppo del concetto di funzione E` difficile tracciare un profilo accurato ed esauriente dello sviluppo storico del concetto di funzione, perche´ ha avuto un’evoluzione piuttosto lenta e discontinua. Esso infatti e` comparso, a volte implicitamente, a volte esplicitamente, in problemi e tipi di rappresentazioni differenti. Ci limitiamo percio` a gettare uno sguardo su alcune delle «tappe» piu` importanti.

Leibniz, Bernoulli e Newton La parola «funzione» compare per la prima volta in un manoscritto di Leibniz (16461716) del 1673, dal titolo Methodus tangentium inversa seu de functionibus, e si trova ripetutamente nella corrispondenza con il matematico svizzero Johann Bernoulli (16671748). Leibniz sviluppo`, indipendentemente ma parallelamente rispetto a Newton (1642-1727), una parte importantissima della matematica che studieremo nel proseguimento di questo corso, il calcolo infinitesimale. Come vedremo, il calcolo infinitesimale riguarda sostanzialmente lo studio delle proprieta` delle funzioni reali di variabile reale. Nelle loro originali elaborazioni, tuttavia, Leibniz e Newton non si riferirono a funzioni, ma a «curve», intese come luogo di punti del piano che soddisfano un’equazione del tipo Pðx, yÞ ¼ 0, dove Pðx, yÞ e` un polinomio nelle variabili x e y.

Leibniz.

Eulero E` con il matematico svizzero Eulero (1707-1783) che il concetto di funzione comincia a definirsi piu` compiutamente. La definizione data da Eulero all’inizio del suo trattato Introductio in analysis infinitorum (1748) e` la seguente: «un’espressione analitica qualsiasi in cui siano coinvolte una quantita` variabile e un numero qualsiasi di costanti». Il concetto di funzione che emerge da questa definizione e` ancora lontano da quello moderno: essa richiede infatti che una funzione sia descrivibile per mezzo di una singola espressione analitica. Solo piu` tardi Eulero dara`, nelle Institutiones calculi differentialis (1755), una definizione piu` ampia e significativamente diversa: «se alcune quantita` dipendono dalle altre in modo tale da subire delle variazioni quando queste ultime sono fatte variare, allora si dice che le prime sono funzioni delle seconde». A Eulero e` anche dovuta la notazione f ðxÞ per indicare una funzione di x.

Eulero.

Dirichlet Per arrivare a una buona definizione del concetto di funzione, occorre aspettare il diciannovesimo secolo. Il matematico tedesco Dirichlet (1085-1859) introduce una definizione di funzione simile alla seguente, che delinea ormai in modo chiaro il concetto di corrispondenza univoca: «una variabile y si dice funzione della variabile x in un certo intervallo quando esiste una legge che faccia corrispondere a ogni valore dato alla x uno e un solo valore di y».

Bourbaki La moderna definizione di funzione, che usa il linguaggio degli insiemi, e` riconducibile a un gruppo di matematici francesi che pubblicava nel 1939 sotto lo pseudonimo di Nicolas Bourbaki: «siano E ed F due insiemi, distinti oppure no; una relazione tra una variabile x di E e una variabile y di F e` detta funzione se per ogni x 2 E esiste uno e un solo y 2 F che sia nella relazione data con x».

Dirichlet.

87 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Tema A

Unita`

2

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e proprieta` importanti Classificazioni delle funzioni Funzioni

Funzioni algebriche

trascendenti iniettive biiettive suriettive

intere

frazionarie

razionali irrazionali

razionali irrazionali

né iniettive né suriettive

Funzioni pari e dispari f e` pari f e` dispari

,

,

f ðxÞ ¼ f ð
xÞ

8x 2 dominio di f

f ð
xÞ ¼
f ðxÞ 8x 2 dominio di f

Funzioni crescenti e decrescenti in un sottoinsieme I del dominio di una funzione f f e` crescente in senso stretto in I

,

x1 < x2 ) f ðx1 Þ < f ðx2 Þ

,

x1 < x2 ) f ðx1 Þ  f ðx2 Þ

f e` decrescente in senso stretto in I ,

f e` crescente in senso lato in I

f e` decrescente in senso lato in I

,

x1 < x2 ) f ðx1 Þ > f ðx2 Þ

x1 < x2 ) f ðx1 Þ  f ðx2 Þ

Funzione composta

ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ

Funzione inversa

y ¼ f ðxÞ , x ¼ f
1 ðyÞ

8x1 , x2 2 I

8x1 , x2 2 I

8x1 , x2 2 I

8x1 , x2 2 I

ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ

Il grafico di f
1 e` il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Procedimento per determinare l’equazione dell’inversa di una funzione (invertibile)  

Scambiare x con y nell’equazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione. Risolvere l’equazione ottenuta rispetto a y.

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione alle funzioni

TEORIA a p. 66

Definizione di funzione 1 Þ

Vero o falso?

a. ogni relazione e` una funzione V F b. ogni funzione e` una relazione V F c. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora ogni elemento di A non puo` avere piu` di V F un’immagine in B d. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci due elementi di A che V F hanno la stessa immagine in B e. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci elementi di A che non V F hanno immagini in B [3 affermazioni vere e 2 false] 88 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Stabilisci se le relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce rappresentano funzioni da A a B, giustificando la risposta. B

A

b

a b

y z

d

x

b

y

y

c z

d

w

e

3 Þ

a

c

c

B

A

x

Funzioni

a

B

A

x

Unita` 2

2 Þ

w

e

z

d

w

e

Stabilisci quali delle seguenti relazioni definiscono delle funzioni, giustificando la risposta.

a. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola i suoi insegnanti. b. La relazione che associa a ogni cittadino italiano le auto che possiede. c. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola la propria madre. d. La relazione che associa a ogni regione d’Italia le sue province. e. La relazione che associa a ogni cittadino italiano il suo comune di nascita.  x þ 1 se x  1 4 La formula f ðxÞ ¼ non definisce una funzione f : R ! R. Chiarisci questa affermazione. Þ 5
x se x  1  x þ 1 se x  1 5 La formula f ðxÞ ¼ definisce una funzione f : R ! R? Þ 3
x se x  1 6 Þ

Spiega perche´ la formula f ðxÞ ¼

una funzione f : R
f
2g ! R?

x non definisce una funzione f : R ! R. La medesima formula definisce xþ2

n definisce una funzione f : N ! N? 2 x 8 La formula f ðxÞ ¼ definisce una funzione f : N ! Q? Definisce una funzione f : N ! Z? Definisce una Þ xþ4 funzione f : Z ! Q? 7 Þ

La formula f ðnÞ ¼

Immagini e controimmagini 9 Facendo riferimento alla funzione rappresentata Þ nella figura, completa le seguenti affermazioni:

B

A

a

x

a. Il dominio della funzione e` l’insieme ............... b. Il codominio della funzione e` l’insieme ............... c. L’immagine della funzione e` l’insieme ...............

b

y

c

z

d

w

d. Le controimmagini di x sono ............... e. L’immagine di c e` ...............

Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina il valore indicato a fianco. 10 Þ

f ðxÞ ¼ x2
3x
1

11 Þ

f ðxÞ ¼ x4
x2
1

1 12 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x
1

f ð
3Þ pffiffiffi f ð
2Þ f ð101Þ

xþ2 13 f ðxÞ ¼ Þ xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
xþ1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14 f ðxÞ ¼ Þ xþ xþ1

  3 f
2 f ð1Þ

[17] 

[1] 

1 10

[
1] pffiffiffi [2 2
3]

15 Þ

1

2

f ðxÞ ¼ x
2
x
3

f ð64Þ

16 Þ



1 16



Considera la funzione cosı` definita: 8 2 > < x se x  2 x2 þ 2 f ðxÞ ¼ > p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 2 x þ x þ 1 se x > 2 pffiffiffi pffiffiffi Determina f ð
2Þ, f ð0Þ, f ð 2Þ, f ð2Þ, f ð3Þ.  pffiffiffi pffiffiffi 1 1 f ð
2Þ ¼ , f ð0Þ ¼ 0, f ð 2Þ ¼ , 2 2  pffiffiffiffiffiffi 2 f ð2Þ ¼ , f ð3Þ ¼ 13 3

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

89

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3x
1, scrivi l’espressione analitica di f ð2xÞ, 2f ðxÞ, f ðx þ 1Þ e f ðxÞ þ 1. 17 Þ

[8x2 þ 6x
1; 4x2 þ 6x
2; 2x2 þ 7x þ 4; 2x2 þ 3x]

x
2 18 Data la funzione f ðxÞ ¼ , scrivi l’espressioÞ xþ1

ne analitica di f ðx þ 2Þ, f ðxÞ þ 2, f ð2xÞ, 2f ðxÞ.   x 3x 2x
2 2x
4 ; ; ; xþ3 xþ1 2x þ 1 xþ1 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2
5, quali sono le con[
5 e 5] troimmagini di 20? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 20 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 1
x, qual e` la Þ   controimmagine di 10? 99
20 19 Þ

2

21 Data la funzione f ðxÞ ¼ x
2x, quali sono le Þ pffiffiffi [ 1  7] controimmagini di 6? 22 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼ troimmagine di 6?

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 8
x, qual e` la con[
4]

23 Þ

Considera la funzione f : N ! N definita da [4] f ðxÞ ¼ x2 þ x. Qual e` la controimmagine di 20?

24 Þ

Determina, per ciascuna delle seguenti funzioni, le controimmagini di 6. a. f : Q ! Q definita da f ðxÞ ¼ x2
2x;

b. f : N ! N definita da f ðxÞ ¼ 2x2 þ x þ 3. [a. Non ci sono controimmagini di 6; b. 1]

25 Þ

Considera la funzione f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ n þ 2. Dopo aver calcolato f ð0Þ; f ð1Þ; f ð2Þ; f ð3Þ, stabilisci qual e` l’insieme immagine della funzione. 26 Þ

Determina l’insieme immagine di ciascuna delle seguenti funzioni, dopo aver calcolato f ð0Þ; f ð1Þ; f ð2Þ; f ð3Þ: a. f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ 2n; b. f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ 2n þ 2.

27 Þ

Date le due funzioni f ðxÞ ¼

x
1 e gðxÞ ¼ 2x, rixþ1

solvi la disequazione 2f ðx þ 1Þ  2gðx
1Þ
3.   7 x <
2 _
 x  2 4

Date le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x2
1 e gðxÞ ¼ 2x
1, risolvi la disequazione f ð2x
1Þ  gðx2 þ 1Þ.   4 x0_x 3 28 Þ

Classificazione e dominio di funzioni reali di variabile reale Test 29 Þ A

30 Þ A

31 Þ A

32 Þ A

33 Þ A

34 Þ

Quale delle seguenti funzioni non e` razionale? x3
x B y ¼ y ¼ x3
x
2 x2 þ 1

C

y ¼ x2
x 3

Quale delle seguenti funzioni e` razionale frazionaria? 1 B y ¼ x
3
x2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y¼ p 3 xþ1

C

y¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x3
x2

C

y¼

1 1 þ x2 x3 2

C

y ¼ x 2
x3

C

y¼

Quale delle seguenti funzioni e` irrazionale intera? ffiffiffi 1 pffiffiffi 1 p x 3 B y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y¼ xþ x 2 3 x2 þ 1 Quale delle seguenti funzioni non e` irrazionale? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi B y ¼ x2
2 y ¼ x
2
x
1 Quale delle seguenti funzioni e` trascendente? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 B y ¼ x2
2x y ¼ 2x
2x

1

1

1 x2
2x



1 x2

3

D

y¼

D

y ¼ x20
x2

D

y ¼ x
4 þ x
3

D

y¼

D

y ¼ ðx2
2xÞ
3

1

1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 x2 þ 1 1

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffi 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5
x þ x2
4 x 2 b. y ¼ 4x
x c. y ¼ a. y ¼ jxj
1 x2 þ x þ 1 a. Poiche´ una radice cubica e` sempre definita, l’unica condizione da imporre e` che il denominatore sia diverso da zero: jxj
1 6¼ 0 ) jxj 6¼ 1 ) x 6¼ 1 Pertanto il dominio della funzione e` R
f1g. 90 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Risolvendo la disequazione di 2 grado

Pertanto il dominio della funzione e` l’intervallo [0, 4]. c. Dobbiamo imporre che i radicandi delle radici quadrate siano maggiori o uguali a zero e che il denominatore sia diverso da zero: 8 5
x0 > < x2
4  0 > : 2 x þ x þ 1 6¼ 0

Funzioni

4x
x2  0 ) x2
4x  0 ) 0  x  4

Unita` 2

b. Una radice quadrata e` definita purche´ il radicando sia maggiore o uguale a zero. Dobbiamo quindi imporre la condizione:

Osserviamo che la terza condizione, x2 þ x þ 1 6¼ 0, e` sempre verificata, poiche´ il discriminante del trinomio x2 þ x þ 1 e` negativo e il trinomio non si annulla mai. Resta allora da risolvere il sistema: 

5
x0

x2
4  0

che fornisce come soluzione: x 
2 _ 2  x  5 Pertanto il dominio della funzione e` l’insieme ð
1,
2 [ ½2, 5. Determina il dominio delle seguenti funzioni. x [R
f
1, 1g] 35 y ¼ 2 Þ x
1   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 36 y ¼ 2x þ 1 x
Þ 2 1 37 y ¼ 1
[R
f0g] Þ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 38 y ¼ 2
x þ 3 [x 
3] Þ 4

39 Þ

y¼

40 y ¼ Þ

x
1 x2 þ 5x
6

[R
f
6, 1g]

1 3x2
2x
1

1 1 þ 2 5
x2 x
6x þ 9 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 42 y ¼ x
x4 Þ 8 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x
x2 43 y ¼ Þ x 41 Þ

y¼

1 x 44 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ 2x
3 10
2x 45 Þ

y

46 Þ

y

47 Þ

y

48 Þ

y

   1 R

,1 3 pffiffiffi [R
f 5, 3g] 



1 0x 2



[0 < x  3]

 3 1] 

 1 1] [
2  x < 0 _ 0 < x  2] [
3  x <
2 _ x >
2] [
1  x  0 _ x  1] [R]

x jx þ 3j
4

[R
f
7, 1g]

1 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
x4

[
1 < x < 1 ^ x 6¼ 0]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 85 y ¼ jx2
14j
2 Þ 86 Þ

87 Þ

92

pffiffiffi pffiffiffi [x 
4 _
2 3  x  2 3 _ x  4]

x y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5
xþ xþ2 y¼

x3

x2 þ 1
x2
x þ 1

x2 þ 1 88 y ¼ 2 Þ jx
1j þ 1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
9 þ 10
jxj [
10  x 
3 _ 3  x  10]

[R]

[
2  x  5] [R
f1g] [R]

91 Þ

92 Þ

1

1

x3 þ 1 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi xþ x y¼

 1 x
_x>2 2 [x > 0]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1
x2
3

pffiffiffi [ 3  x  2]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jx
1j
j2x
1j jx
1j þ j2x
1j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
x2 þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 94 y ¼ Þ 2x þ x2 þ 1

  2 0x 3 " ( pffiffiffi )# 3 R

3

93 y ¼ Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2
x ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 96 y ¼ x þ 3
2x Þ 95 Þ

97 Þ

y¼

98 y ¼ Þ 99 Þ

[0  x  4]

y¼

y¼

[
3  x  1]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2
3xþ3



x jx
2j
2x

102 Þ

y¼

y¼

[x 
5 _ x 
3]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x4
9x

[x  0 _ x  

1

3

y¼

  2 3

pffiffiffi  [R
1, 1  3 ]

103 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ 104 Þ

R


pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jx2
8j
1 pffiffiffi pffiffiffi [x 
3 _
7  x  7 _ x  3]

x x3
3x2 þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 101 y ¼ jx þ 4j
1 Þ 100 Þ

[x  5]

jxj
j2x
1j

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x
jxj

ffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 105 y ¼ 1
x
x Þ

"

R




ffiffiffi p 3 9]

1 ,1 3



[x  0]

pffiffiffi # 3þ 5 x¼0_1x 2

106 Þ

Determina per quali valori di k la funzione   1 9 e` definita per ogni x 2 R. k <
y¼ 2 kx
3x
1 4

107 Þ

Determina per quali valori di k la funzione   1 1 k¼ ha come dominio R
f2g. y¼ kx
1 2

108 Determina per quali valori di k la funzione Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

y ¼
x2 þ kx
3 e` definita in corrispondenza di uno pffiffiffi e un solo valore reale di x. [k ¼ 2 3]

109 Determina per quali valori di k la funzione Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

y ¼ x
2 þ k2
x2 non e` definita in corrisponden[
2 < k < 2] za di alcun valore reale di x.

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110 Þ

Unita` 2

Immagine di una funzione reale di variabile reale ESERCIZIO SVOLTO

 L’immagine della funzione e` l’insieme dei valori di y che hanno almeno una controimmagine in R. Quindi l’immagine della funzione e` costituita dai valori di y per cui la seguente equazione nell’incognita x ha almeno una soluzione reale:

Funzioni

Determiniamo l’immagine della funzione definita da y ¼ x2 þ 2x.

x2 þ 2x ¼ y

 Questa equazione, equivalente a x2 þ 2x
y ¼ 0, ha almeno una soluzione reale se e solo se il suo discriminante e` maggiore o uguale a 0, ossia se e solo se e` verificata la disequazione: 4 þ 4y  0

da cui

y 
1

 Concludiamo che l’immagine della funzione e` l’intervallo ½
1, þ1Þ. Determina l’immagine di ciascuna delle seguenti funzioni. 111 Þ

y ¼ 2x
1

112 Þ

y ¼ x2
4x þ 1

[y 
3]

113 Þ

y¼

2x x
1

[R
f2g]



x 114 y ¼ 2 Þ x þ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 115 y ¼ x2 þ 1
x Þ

[R]

116 Þ

y¼

1 1
y 2 2



[y > 0]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1

[y  1]

y ¼ x4
4x2 (Suggerimento: affinche´ l’equazione (nell’incognita xÞ x4
4x2
y ¼ 0 abbia soluzioni reali, l’equazione di secondo grado t 2
4t
y ¼ 0 (ottenuta ponendo x2 ¼ tÞ deve avere soluzioni reali di cui almeno una non negativa) [y 
4] 117 Þ

118 Þ

y¼

x4 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) x2 þ 2

[y  0]

Il grafico di una funzione Nota Nelle figure relative ai seguenti esercizi sono riportati i grafici di diverse funzioni: il tratteggio agli estremi del grafico indica che esso prosegue indefinitamente; il punto pieno che il punto appartiene al grafico della funzione e il punto vuoto che non vi appartiene; in tutti i grafici si intende che l’unita` di misura coincide con il lato dei quadratini della quadrettatura.

Stabilisci se le seguenti curve sono grafici di funzioni. 119 Þ

y

y

y

O x

O

120 Þ

x

y

y

O

x

O

y

x O

x

O

x

93 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

121 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha il grafico mostrato qui di seguito. y

x

O

Il dominio e` l’insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione: geometricamente, per individuare il dominio possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull’asse x.

L’immagine e` l’insieme dei valori assunti dalle ordinate dei punti che appartengono al grafico della funzione. Geometricamente, per individuare l’immagine possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull’asse y.

y

y

O

O

x

Proiettando sull’asse x, otteniamo la semiretta colorata in rosso, compresa l’origine della semiretta, che ha coordinate (3, 0). Percio` il dominio della funzione e` l’insieme:

x

Proiettando sull’asse y, otteniamo la semiretta colorata in blu, compresa l’origine della semiretta, che ha coordinate ð0,
4Þ. Percio` l’immagine della funzione e` l’insieme: I ¼ fy 2 R j y 
4g ovvero l’intervallo ½
4, þ1Þ

D ¼ fx 2 R j x  3g ovvero l’intervallo ð
1, 3

Stabilisci se le seguenti curve sono grafici di funzioni e, in caso affermativo, determina il dominio e l’immagine. 122 Þ

y

O

123 Þ

y

x

y

y

O

x

y

O

x

O

O

x

y

x

94 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

O

x

y

y

Unita` 2

124 Þ

y

Funzioni

O O

125 Þ

y

O

x

x

y

O

126 Þ

x

x

y

O

O

x

x

ESERCIZIO GUIDATO

Traccia approssimativamente il grafico della funzione y ¼


1 x þ 1. 2

Devi anzitutto costruire una tabella, per determinare le coordinate di alcuni punti appartenenti al grafico della funzione. Completa, per esempio, la tabella riportata qui a destra: nota che abbiamo scelto di attribuire a x valori pari, in modo da ottenere per y valori non frazionari e quindi punti piu` facili da rappresentare. Rappresenta nel piano cartesiano i punti le cui coordinate hanno i valori di x e y della tabella e congiungili con una linea continua: otterrai come grafico una retta.

x

y


4

.....


2

.....

0

.....

2

..... .....

Traccia approssimativamente il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni. 2 127 y ¼ 2x
2 139 y ¼
xþ1 Þ Þ 3 1 pffiffiffi 128 y ¼ xþ1 140 y ¼ 2 x Þ Þ 2 129 Þ

y ¼
x2

141 Þ

y ¼ x2
4x

130 Þ

y¼


142 Þ

y¼

131 Þ

y¼

143 Þ

132 Þ

y ¼ x2
4

y¼


144 Þ

y ¼ 3
x2

145 Þ

y¼

133 Þ

6 x

3 x
3 2

y¼x

3

1 2 134 y ¼
x Þ 2 3 135 y ¼
xþ2 Þ 2 136 Þ

y ¼ 3x
4

137 Þ

y¼

138 Þ

y ¼
4x þ 3

1 3 x 2

8 x 1 3 x 4

1 3 x 2

146 Þ

y ¼
2x þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 147 y ¼ x2 þ 1 Þ 148 Þ

y ¼
2x2 þ 3

1 2 x 2 pffiffiffi 150 y ¼ 3 x Þ 149 Þ

y¼


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95

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

151 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo k in modo che il grafico della funzione y ¼ x3
kx2 þ k
1 passi per il punto Pð
2,
1Þ. Dobbiamo imporre che l’equazione che definisce la funzione sia soddisfatta in corrispondenza delle coordinate di Pð
2,
1Þ. Sostituiamo percio`
2 al posto di x e
1 al posto di y nell’equazione della funzione e risolviamo l’equazione nell’incognita k che otteniamo:
1 ¼ ð
2Þ3
kð
2Þ2 þ k
1 )
1 ¼
8
4k þ k
1 )
3k ¼ 8 ) k ¼


8 3

Determina k in modo che il grafico della funzione y ¼ kx2
x þ k
1 passi per il punto di coordinate    1 2
, 0 . k¼ 2 5

152 Þ



Determina b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x2 þ bx þ c passi per l’origine e per il punto di coordinate ð
1, 2Þ. [b ¼
1, c ¼ 0] 153 Þ

Determina b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x2 þ bx þ c passi per i punti di coordinate (0, 2) e   9 (4, 0). b¼
,c¼2 2 154 Þ

Uguaglianza di funzioni Stabilisci se le seguenti coppie di funzioni sono uguali. 155 Þ

y¼

x6
1 x3
1

e

y ¼ x3 þ 1

156 Þ

y¼

x3
1 x
1

e

y ¼ x2 þ x þ 1

e

y ¼x
1

3

157 Þ

y¼

x
1 x2 þ x þ 1

x3 þ 1 x2 þ x þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 159 y ¼ Þ xþ3 158 Þ

y¼

e

e

y ¼xþ1 y¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
2 xþ3

160 Þ

1 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi xþ1þ x

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 xþ1 p 161 y ¼ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x
1 162 Þ

y ¼ j
x2 þ x
1j

163 y ¼ Þ

jx
1j x
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi xþ1
x

e

y¼

e

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x þ 1 y¼ x
1

e

y ¼ x2
x þ 1

e

y¼



1 se x  1
1 se x < 1

Il dominio di funzioni che scaturiscono da problemi 164 Þ

Noleggio di biciclette. Un negozio noleggia biciclette applicando la seguente tariffa: a. una quota fissa di 1 euro da versare al momento del noleggio; b. una quota variabile in base alla durata del noleggio (2 euro all’ora) da versare al momento della restituzione della bicicletta. Il negozio affitta le biciclette «a ore», cioe` non e` possibile, per esempio, noleggiare la bicicletta per un’ora e mezza o per due ore e un quarto. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di ore. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema? [CðxÞ ¼ 1 þ 2x; il dominio della funzione, dal momento che il negozio affitta le biciclette «a ore», e` l’insieme N dei numeri naturali]

165 Noleggio di auto. Per il noleggio di un’automoÞ bile, una compagnia di noleggio applica una tariffa in base al numero di giorni:

a. 25 euro al giorno fino al settimo giorno; b. 15 euro al giorno dall’ottavo giorno in poi. La compagnia affitta le auto «a giorni», cioe` non e` possibile, per esempio, noleggiare l’auto per un giorno e mezzo. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di giorni. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema? 166 Þ

Torneo. In un torneo sportivo ogni squadra incontra esattamente una volta ciascuna delle altre squadre. Supponi che al torneo partecipino n squadre. Esprimi il numero di partite giocate complessivamente

96 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Esprimi in funzione di n il numero delle diagonali del poligono. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema?

172 Þ

Un cilindro non degenere, il cui raggio di base misura x, e` inscritto in una sfera di raggio 1. Esprimi, in funzione di x, il volume del cilindro e stabilisci qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico.

168 Þ

Un cerchio il cui raggio misura r e` inscritto in un quadrato. a. Esprimi l’area del quadrato in funzione di r. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico? b. Esprimi il perimetro del quadrato come funzione di r. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico?

Funzioni

167 Indica con n il numero dei lati di un poligono. Þ

minio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico?   2x2 þ 2x pðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , con x > 1 x2
1

Unita` 2

in funzione di n. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema?  nðn
1Þ ; il dominio della funzione f ðnÞ ¼ 2  e` l’insieme N dei numeri naturali

x 1

173 Þ

Un cilindro non degenere, il cui raggio di base misura x, e` inscritto in un cono il cui raggio di base misura r e la cui altezza misura h. Esprimi, in funzione di x, il volume del cilindro e stabilisci qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico.

r O



169 Þ

Un rettangolo non degenere, la cui altezza misura x, e` inscritto in un semicerchio il cui raggio misura 2. a. Esprimi l’area del rettangolo in funzione di x. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico? b. Esprimi il perimetro del rettangolo in funzione di x. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico?

VðxÞ ¼


h 2 x ðr
xÞ; r

il dominio e` l’intervallo  0 1; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 1; y < 0 per x <
1 _ 0 < x < 1]

x2
1

[D ¼ R
f1g; y > 0 per x <
1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0; y < 0 per
1 < x < 1]

x2

 3 3 D ¼ R

, 1 ; y > 0 per
< x <
1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼
1 _ x ¼ 0; 2 2  3 y < 0 per x <
_
1 < x < 0 _ 0 < x < 1 2 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [D ¼ R; y > 0 per x > 1 þ 2; y ¼ 0 per x ¼
1 _ x ¼ 1 þ 2; y < 0 per x < 1 þ 2 ^ x 6¼
1] 

x3 þ x2 183 y ¼ Þ 2x2 þ x
3

184 Þ

y ¼ xjxj
2x
1

185 Þ

y ¼ j2x2
8xj

186 Þ 187 Þ 188 Þ 189 Þ 190 Þ 191 Þ



[D ¼ R; y > 0 per x 2 R
f0, 4g; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 4; y < 0 per nessuna x 2 D]   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 9 9 y ¼ x2 þ 2x
x
3 D ¼ ð
1,
2 [ ½0, þ1Þ; y > 0 per x <
; y ¼ 0 per x ¼
; y < 0 per
< x 
2 _ x  0 4 4 4 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 [D ¼ R; y > 0 per
1 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 1; y < 0 per x <
1 _ 0 < x < 1] y ¼ x3
x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼
x2 þ 7x
6 [D ¼ ½1, 6; y > 0 per 1 < x < 6; y ¼ 0 per x ¼ 1 _ x ¼ 6; y < 0 per nessun x 2 D] pffiffiffi x [D ¼ ½0, 5Þ [ ð5, þ 1Þ; y > 0 per 0  x < 5; y ¼ 0 per x ¼ 0; y < 0 per x > 5] y¼ 5
x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
1 y¼ [D ¼ ð
1;
2Þ [ ð
2;
1 [ ½1;þ1Þ; y > 0 per
2 < x <
1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x <
2] xþ2 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 10
x [D ¼ ½0; 3Þ [ ð3; 10; y > 0 per 3 < x  10; y = 0 per nessuna x 2 D; y < 0 per 0  x < 3] y¼ x2
9

x3
1 jxj þ jx
1j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jxj þ 1
2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 193 y ¼ Þ 4x2 þ 4x þ 1 192 Þ

[D ¼ R; y > 0 per
11 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼
11 _ x ¼ 0 _ x ¼ 1; y < 0 per x <
11 _ 0 < x < 1]

[D ¼ R; y > 0 per x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x < 1]

y¼



  1 D¼R

; y > 0 per x <
3 _ x > 3; y ¼ 0 per x ¼ 3; 2  1 y < 0 per
3 < x < 3 ^ x 6¼
2     jxj
1 1 1 1 194 y ¼ ; y > 0 per
1 < x < _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x <
1 _ < x < 1 D ¼R
Þ jxj
jx
1j 2 2 2 p ffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi    qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3
17 1 3 þ 17 3 2 0 per Þ 2 2 2 2 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  3  17 3
17 3 þ 17 y ¼ 0 per x ¼ ; y < 0 per x < _x> 2 2 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

99

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Funzioni pari e funzioni dispari 196 Þ

Dal grafico alle sue proprieta`. Stabilisci se le funzioni aventi i seguenti grafici sono pari o dispari. y

y

y

x

O

x

O

O

x

Stabilisci se le seguenti funzioni di cui e` data l’equazione sono pari o dispari. 2x 197 y ¼ 3x5 Þ 204 y ¼ 4 Þ
1 x 198 y ¼ 3x6
2x4 Þ 3x3 205 y ¼ 2 Þ 199 y ¼
2x
3 jxj þ 1 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 200 y ¼ 3x þ 4 206 y ¼ x2
x þ 1 þ x2 þ x þ 1 Þ Þ p ffiffi ffi 1 3 201 y ¼ 207 y ¼ jxj
3x2 x Þ Þ 4 208 y ¼ 3xjxj 202 y ¼ x
jxj Þ Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 3 209 y ¼ jx
1j þ jx þ 1j 203 y ¼ 2
x2 Þ Þ

Funzioni crescenti e funzioni decrescenti

210 In riferimento al grafico qui a fianco, stabilisci se le seguenti affermazioni Þ sono vere o false. V F a. la funzione e` strettamente crescente nell’intervallo ½
7,
4

b. la funzione e` costante nell’intervallo ½
4,
1

y (–7, 6)

(1, 5)

V

F

c. la funzione e` strettamente crescente nell’intervallo ½
1, 1

V

F

V

F

(–4, 2) (–1, 2)

e. la funzione e` strettamente crescente nell’intervallo ½
1, 7

V

F

O

V

F

V

F

d. la funzione e` strettamente decrescente nell’intervallo ½1, 7

f. la funzione e` crescente in senso lato nell’intervallo ½
4, 1

g. la funzione e` strettamente decrescente nell’intervallo ½
7,
1

211 Þ

x (7, –1)

ESERCIZIO SVOLTO

Dimostriamo che la funzione f ðxÞ ¼
3x þ 1 e` strettamente decrescente in R. Per ogni x1 , x2 2 R risulta:

x1 < x2 )
3x1 >
3x2 )
3x1 þ 1 >
3x2 þ 1 ) f ðx1 Þ > f ðx2 Þ

Pertanto la funzione e` strettamente decrescente. 212 Þ

Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼
2x þ 1 e` strettamente decrescente in R. 1 213 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ x
1 e` strettaÞ 3 mente crescente in R. Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2x3 þ 1 e` strettamente crescente in R. 214 Þ

Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼
3x5 þ 2 e` strettamente decrescente in R. pffiffiffi 216 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 3 x e` strettaÞ mente crescente nel suo dominio. 215 Þ

100

pffiffiffi Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2 3 x e` strettamente crescente in R. 217 Þ 218 Þ

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½
4, 4, che sia strettamente crescente nell’intervallo ½
4, 0 e strettamente decrescente nell’intervallo ½0, 4. 219 Þ

Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½
6, 6, che sia decrescente, ma non in senso stretto, nel suo dominio.

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Unita` 2

Esercizi riassuntivi sulle proprieta` delle funzioni da R a R 220 Þ

b. f ð
2Þ e` positivo o negativo?

c. Qual e` il dominio della funzione f ?

Funzioni

In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande. a. Quanto vale f ð0Þ? E f ð6Þ?

y (3, 5)

(–3, 3)

d. Qual e` l’immagine della funzione f ? e. Quanti sono gli zeri della funzione f ? f. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼
5?

g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼
1?

h. In quali intervalli la funzione f e` crescente in senso stretto?

(–5, 0)

O (1, 0)

(5, 0) x

(0, –2) (–6, –4)

i. In quali intervalli la funzione f e` decrescente in senso stretto? j. La funzione f e` pari? E` dispari?

(6, –6)

221 Þ

In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande. a. Quanto vale f ð
2Þ? E f ð4Þ? y (–7, 6) b. f ð
1Þ e` positivo o negativo? (2, 4) c. Qual e` il dominio della funzione f ? ` d. Qual e l’immagine della funzione f ? e. Quali sono gli zeri della funzione f ? (4, 0) (–4, 0) O f. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼
5? x g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 7? h. In quale intervallo la funzione f e` crescente in senso stretto? (–2, –4) i. In quali intervalli la funzione f e` decrescente in senso stretto? (5, –5) ` j. La funzione f e` pari? E dispari?

222 Þ

In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande. a. Quanto vale f ð1Þ? E f ð
1Þ? y (–7, 6) b. f ð0Þ e` positivo o negativo? c. Qual e` il dominio della funzione f ? d. Qual e` l’immagine della funzione f ? (–1, 2) (–4, 2) (2, 1) e. Quali sono gli zeri della funzione f ? (3, 0) f. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 2? O x (1, 0) g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼
2? h. In quale intervallo la funzione f e` crescente in senso stretto? i. In quale intervallo la funzione f e` decrescente in senso stretto? (–1, –5) j. Ci sono intervalli in cui la funzione f e` costante? E in cui f e` crescente in (5, –7) senso lato? E in cui f e` decrescente in senso lato?

223 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½
6, 6, che soddisfi le seÞ guenti caratteristiche: a. abbia due zeri; b. la sua immagine sia l’intervallo ½
4, 4; c. sia strettamente decrescente in ½
6, 0 e strettamente crescente in ½0, 6. 224 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½
6, 6, che soddisfi le seÞ guenti caratteristiche: a. non abbia zeri; b. la sua immagine sia l’intervallo ½2, 5; c. sia crescente, ma non in senso stretto, nel dominio. 225 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½
6, 6, che soddisfi le seÞ guenti caratteristiche: a. sia dispari; b. la sua immagine sia l’intervallo ½
5, 5; c. sia decrescente, ma non in senso stretto, nel dominio.

101 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive 226 Þ

TEORIA a p. 78

Vero o falso?

a. se una funzione e` suriettiva, allora e` biiettiva

V

F

b. se una funzione e` biiettiva, allora e` suriettiva

V

F

c. se una funzione non e` iniettiva, allora non e` biiettiva

V

F

d. se c’e` una retta orizzontale che non interseca il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ in alcun punto, allora la funzione non e` iniettiva

V

F

V

F

e. una funzione y ¼ f ðxÞ, pari e avente come dominio R, non puo` essere biiettiva

[3 affermazioni vere e 2 false]

227 Þ

Stabilisci se ciascuna delle funzioni da A a B rappresentate nei seguenti diagrammi a frecce e` iniettiva, suriettiva o biiettiva. B

A

B

A a

e

a

e

f

b

f

b

f

a

b

c

c g

g d c

B

A

e

h

e

g d

h

e

h

228 Sia A l’insieme dei punti appartenenti a una circonferenza e B l’insieme dei punti di un suo diametro; la funÞ zione f : A ! B che associa a ogni punto della circonferenza la sua proiezione su tale diametro e` iniettiva? E` suriettiva? 229 Sia A l’insieme delle circonferenze e B l’insieme dei punti del piano; la funzione f : A ! B che associa a ogni Þ circonferenza il suo centro e` iniettiva? E` suriettiva? 230 Þ

Sia A l’insieme dei punti appartenenti a una semicirconferenza e B l’insieme dei punti del suo diametro; la funzione f : A ! B che associa a ogni punto della semicirconferenza la sua proiezione sul diametro e` iniettiva? E` suriettiva? 231 Þ

Sia A l’insieme delle circonferenze aventi centro in un punto O (fissato) del piano e B l’insieme dei numeri reali positivi; la funzione f : A ! B che associa a ogni circonferenza la misura del suo raggio e` iniettiva? La funzione f e` suriettiva? 232 Þ

Sia A ¼ f
27,
8,
1, 0, 1, 8, 27g; determina l’insieme B in modo che la funzione f : A ! B definita da pffiffiffi f ðxÞ ¼ 3 x risulti suriettiva.

233 Dati gli insiemi A ¼ fa, bg e B ¼ fc, d, eg, non e` possibile definire alcuna funzione suriettiva f : A ! B. ChiariÞ sci questa affermazione. 234 Dati gli insiemi A ¼ fa, b, cg e B ¼ fd, eg non e` possibile definire alcuna funzione iniettiva f : A ! B. Chiarisci Þ questa affermazione. 235 Þ

Sia A ¼ fa, bg e B ¼ fc, dg. Definisci tutte le possibili funzioni suriettive da A a B. [Si possono definire due funzioni suriettive]

236 Sia A ¼ fa, b, cg e B ¼ fd, eg. Definisci tutte le possibili funzioni suriettive da A a B. Qualcuna di queste funzioÞ ni e` anche biiettiva? [Si possono definire sei funzioni suriettive da A a B]

102 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

237 Þ

Dal grafico alle sue proprieta`. Stabilisci, per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva. y

O

x

O

Funzioni

y

y

O

x

Unita` 2

Esercizi riguardanti le funzioni reali di variabile reale

x

238 Þ

Dal grafico alle sue proprieta`. Stabilisci, per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva. y

y

y

x

O

x

O

239 Þ

x

O

ESERCIZIO SVOLTO

Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive o biiettive: a. f ðxÞ ¼ x2 þ 3x

b. gðxÞ ¼ x3

Osserviamo preliminarmente che le funzioni date sono definite per ogni x 2 R, quindi il loro dominio e` R. Inoltre, come convenuto, in assenza di indicazioni diverse, si assume come codominio R. a. La funzione f non e` iniettiva: per esempio, f ð
3Þ ¼ f ð0Þ ¼ 0. La funzione f non e` suriettiva: per esempio,
4 non ha alcuna controimmagine perche´ l’equazione x2 þ 3x ¼
4 non ha alcuna soluzione reale (l’equazione equivale a x2 þ 3x þ 4 ¼ 0 e
¼
7 < 0Þ. Pertanto f non puo` essere biiettiva. b. La funzione g e` iniettiva; infatti: gðx1 Þ ¼ gðx2 Þ ) x31 ¼ x32 ) x1 ¼ x2

La funzione g e` suriettiva; infatti, comunque scelto y 2 R, l’equazione x3 ¼ y ammette come soluzione x ¼ dunque ogni elemento di R ha come controimmagine nella g la sua radice cubica. Poiche´ g e` iniettiva e suriettiva, e` anche biiettiva.

p ffiffiffi 3 y,

Stabilisci se ciascuna delle seguenti funzioni e` iniettiva, suriettiva o biiettiva. 240 Þ 241 Þ 242 Þ

f ðxÞ ¼ 2x
1

249 Þ

f ðxÞ ¼

f ðxÞ ¼ 2
x f ðxÞ ¼ x2
2x x x2 þ 1

f ðxÞ ¼
x2 1 2 244 f ðxÞ ¼ x Þ 2 pffiffiffi 245 f ðxÞ ¼ x Þ 243 Þ

x2 x
1

y¼

251 Þ

f ðxÞ ¼ xjxj

f ðxÞ ¼

(Suggerimento: per stabilire se e` suriettiva, cerca se esistono controimmagini di 1;

per stabilire se e` iniettiva, verifica che f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ , 250 Þ

1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 247 f ðxÞ ¼ x2 þ 1
1 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 248 f ðxÞ ¼ x þ 2 Þ 246 Þ

x1 x2 ¼ 2 , ðx2
x1 Þðx1 x2
1Þ ¼ 0 quindi...) x21 þ 1 x2 þ 1

(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)

103 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEORIA a p. 82

252 Þ

Vero o falso? V F a. se g e` la funzione inversa di f , allora il dominio di f e` lo stesso di g b. se g e` la funzione inversa di f , allora il grafico di g e` il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice V F del primo e del terzo quadrante c. se il dominio di una funzione invertibile e` ½0, þ1Þ, l’immagine della sua inversa e` ð
1, 0 V F d. se f e` una funzione invertibile e f ð3Þ ¼ 4, allora, detta f
1 la funzione inversa, risulta f
1 ð4Þ ¼ 3 V F [2 affermazioni vere e 2 false]

253 Þ

Dal grafico alle sue proprieta`. Per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, stabilisci se e` invertibile. y

y

y

Tema A

Equazioni, disequazioni e funzioni

4. Funzione inversa

x

O

O

254 Þ

x

O

x

Dal grafico alle sue proprieta`. Per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, stabilisci se e` invertibile. y

y

y

O O

x

x

O

x

255 Nella figura e` rappresentato (in rosso) il grafico di una funzione invertiÞ bile y ¼ f ðxÞ. Traccia il grafico della funzione inversa e completa:

y

(3, 6) y=x

a. f
1 ð
4Þ ¼ :::::::::: b. f ð
1Þ ¼ :::::::::: c. f
1 ð6Þ ¼ ::::::::::

(–1, 2) x

O

y = f (x) (–4, –4)

256 Þ

Nella figura e` rappresentato (in rosso) il grafico di una funzione invertibile y ¼ f ðxÞ. Traccia il grafico della funzione inversa e completa: a. f
1 ð2Þ ¼ :::::::::: b. f ð
7Þ ¼ :::::::::: c. f
1 ð6Þ ¼ ::::::::::

y

(3, 6) y=x

(–7, 1)

(–1, 2) y = f (x) O

104 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x

ESERCIZIO GUIDATO

Verifica che la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ 1 e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.

Unita` 2

257 Þ

Funzioni

 Per verificare che la funzione e` invertibile, verifica che e` iniettiva: f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) 2x1 þ 1 ¼ 2x2 þ 1 ) 2x1 ¼ 2x2 ) x1 ¼ x2  Per determinare l’espressione analitica della funzione inversa, scambia anzitutto x con y nell’equazione y ¼ f ðxÞ, cioe` in y ¼ 2x þ 1; ottieni l’equazione: x ¼ 2y þ 1 Ora risolvi questa equazione rispetto a y: x ¼ 2y þ 1 ) 2y ¼ ::::::::::::::: ) y ¼ ::::::::::::::: Puoi concludere che: f
1 ðxÞ ¼

::::::::::

2

Nei seguenti esercizi sono assegnate alcune funzioni. Verifica che sono invertibili e determina l’espressione analitica dell’inversa.   h 1
x 2x
1 x i
1 258 f ðxÞ ¼ 1
3x f ðxÞ ¼ 265 f ðxÞ ¼ f
1 ðxÞ ¼ þ1 Þ Þ 3 xþ1 3
x " # ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 3
1 1 1
1 259 f ðxÞ ¼ x
1 [ f ðxÞ ¼ x þ 1] Þ ffiffiffi
2 266 f ðxÞ ¼ p f ðxÞ ¼ Þ 3 x ðx þ 2Þ3 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 3   260 f ðxÞ ¼ x þ 1 [ f
1 ðxÞ ¼ x3
1] Þ 1 1
1   ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 267 f ðxÞ ¼ p ðxÞ ¼ f Þ 1 1 8x3 23xþ1 261 f ðxÞ ¼ 4x
2 f
1 ðxÞ ¼ x þ Þ 4 2   1 1
1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ðxÞ ¼ 268 f ðxÞ ¼ þ 1, con x > 0 f Þ 262 f ðxÞ ¼ x3
2 [ f
1 ðxÞ ¼ 3 x þ 2] x2 Þ x
1   pffiffiffi 4 4
1 xþ1 263 f ðxÞ ¼ f ðxÞ ¼
2 Þ 269 f ðxÞ ¼ pffiffiffi xþ2 x Þ xþ2       1
2x 2 1
1 1 2x þ 7
1 , con ðxÞ ¼  x < 1 f 264 f ðxÞ ¼ f ðxÞ ¼
3 Þ x
1 2 x
2 xþ3 270 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Dopo aver verificato che la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 1, con x  0, e` invertibile, determiniamo l’espressione analitica dell’inversa.  Per verificare che la funzione e` invertibile, verifichiamo che e` iniettiva; per ogni x1 , x2 , con x1  0 e x2  0: f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) x21 þ 1 ¼ x22 þ 1 ) x21 ¼ x22 ) x1 ¼  x2 ) x1 ¼ x2

Non puo` essere x1 ¼
x2 a causa della condizione x1  0 e x2  0

 Scambiando x con y nell’equazione che definisce la funzione f , cioe` y ¼ x2 þ 1 con x  0, otteniamo l’equazione che definisce la funzione inversa: x ¼ y 2 þ 1 con

y0

Attenzione a sostituire y al posto di x non solo nell’equazione y ¼ x 2 þ 1 ma anche nella condizione x  0

 Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y, tenendo conto della condizione y  0: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼ y2 þ 1 ) y2 ¼ x
1 ) y ¼  x
1 ) y ¼ x
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  Concludiamo quindi che f
1 ðxÞ ¼ x
1.

La soluzione con il meno e` da scartare a causa della condizione y  0

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105

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

Nei seguenti esercizi sono assegnate alcune funzioni. Verifica che sono invertibili e determina l’espressione analitica dell’inversa. " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # x2
2 2
1 271 f ðxÞ ¼ f ðxÞ ¼ , con x > 0 Þ 2 3x 1
3x 272 Þ

f ðxÞ ¼ x2 þ 2, con x  0

"

1 273 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , con x > 0 Þ x2 þ 2x

f

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [f
1 ðxÞ ¼
x
2]


1

# rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ðxÞ ¼
1 þ 1 þ 2 con x > 0 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [f
1 ðxÞ ¼
x2
1, con x  0]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1, con x  0

274 Þ

f ðxÞ ¼

275 Þ

Verifica che le seguenti funzioni sono invertibili e che ciascuna coincide con la sua inversa: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x a. y ¼ b. y ¼
c. y ¼ 4
x2 , con 0  x  2 x xþ1

5. L’algebra delle funzioni e le funzioni composte

TEORIA a p. 84

L’algebra delle funzioni Date le funzioni f e g, scrivi l’espressione analitica f e determina il lodelle funzioni f þ g, f
g, f  g, g ro dominio. 276 Þ

f ðxÞ ¼ 2x
1 pffiffiffi 277 f ðxÞ ¼ x Þ

f ðxÞ ¼ x2
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 279 f ðxÞ ¼ x2
1 Þ 278 Þ

gðxÞ ¼
2x þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ 5
x

gðxÞ ¼ 2x2 þ 3x
5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ x þ 1

x
2 x2
1

280 Þ

f ðxÞ ¼

281 Þ

Date le funzioni

gðxÞ ¼

2x
1 xþ1

1 x, 2 determina l’espressione analitica della funzione g.   1 f x
1 282 Date le funzioni f ðxÞ ¼
e , ðxÞ ¼ Þ x g xþ1 determina l’espressione analitica della funzione g. f ðxÞ ¼ 2x þ 3 e ðf þ gÞðxÞ ¼ 4


Composizione di due funzioni 283 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Sia f ðxÞ ¼ x2 þ 1 e gðxÞ ¼ 2x þ 4.

Senza determinare l’espressione analitica di f g e g f , calcola: a. ðf gÞð
1Þ

b. ðg f Þð3Þ

a. ðf gÞð
1Þ ¼ f ðgð
1ÞÞ ¼ f ð2Þ ¼ :::::::::: gð
1Þ ¼ 2ð
1Þ þ 4 ¼ 2

f ð2Þ ¼ 22 þ 1 ¼ :::::

b. ðg f Þð3Þ ¼ gðf ð3ÞÞ ¼ gð::::::::::Þ ¼ :::::::::: Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 þ x e gðxÞ ¼ x þ 1. Senza determinare l’espressione analitica di f g e g f , calcola ðf gÞð
1Þ e ðg f Þð3Þ. [ðf gÞð
1Þ ¼ 0, ðg f Þð3Þ ¼ 13] p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffiffiffiffi 3 285 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x e gðxÞ ¼ x2 þ 2. Senza determinare l’espressione analitica di f g e Þ pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi g f , calcola ðf gÞð 6Þ e ðg f Þð8Þ. [ðf gÞð 6Þ ¼ 2, ðg f Þð8Þ ¼ 3 18] 284 Þ

1 Siano f ðxÞ ¼ pffiffiffi e gðxÞ ¼ ðx2 þ 1Þ
1 . Senza determinare l’espressione analitica di f g e g f , calcola x   pffiffiffi 4 ðf gÞð
1Þ ¼ 2, ðg f Þð4Þ ¼ ðf gÞð
1Þ e ðg f Þð4Þ. 5 286 Þ

106

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ESERCIZIO SVOLTO

Consideriamo le due funzioni f ðxÞ ¼

senza determinare la sua espressione analitica.

Per determinare il dominio di ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ, osserviamo intanto che dovra` essere x 6¼ 2 affinche´ la funzione g sia definita. Inoltre, la funzione f e` definita per x 6¼
1, quindi gðxÞ dovra` essere diverso da
1:

Funzioni

1 5 e gðxÞ ¼ . Determiniamo il dominio della funzione f g, xþ1 x
2

Unita` 2

287 Þ

5 6¼
1 ) 5 6¼
x þ 2 ) x 6¼
3 x
2

In conclusione, dovra` essere x 6¼ 2 e x 6¼
3, quindi il dominio di f g sara` R
f
3, 2g. x
1 2 e gðxÞ ¼ . Determina il dominio della funzione f g, senza dexþ1 xþ3 [R
f
5,
3g] terminare la sua espressione analitica. 288 Þ

Considera le due funzioni f ðxÞ ¼

x
1 2 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ e gðxÞ ¼ . Determina il dominio della funzione g f , senza determixþ1 xþ3    nare la sua espressione analitica. 1 R

1,
2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1 2 290 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ x
2x
3 e gðxÞ ¼ . Determina il dominio della funzione f g senÞ   x 1 1 za determinare la sua espressione analitica.
x  < 2x
2 se x  2 ; f gÞðxÞ ¼ > 1 > :
2x se x < 2

gðxÞ ¼ 2x



ðg f ÞðxÞ ¼

8 1 > > < 2x þ 2 se x  2 ; ðf gÞðxÞ ¼ > 1 > : 4x se x < 2

(

ðg f ÞðxÞ ¼

2x
4

se x  1


2x

se x < 1

(

2x þ 4 se x  1 4x

se x < 1





Determina le espressioni analitiche di due funzioni f e g tali che f g ¼ z, essendo z la funzione assegnata (le funzioni f e g non sono uniche). 305 Þ 306 Þ 309 Þ

zðxÞ ¼ ð3x
2Þ4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zðxÞ ¼ x2 þ 4

307 Þ 308 Þ

zðxÞ ¼ jx2
xj

zðxÞ ¼ ð1 þ x2 Þ3

Esplorazione. E` data la funzione definita da f ðxÞ ¼ 2x. Determina l’espressione analitica di:

a. f f

b. f f f

c. f f f f

Formula una congettura sull’espressione analitica della funzione f f ::::: f f , ottenuta componendo n
1 volte la funzione f con se stessa. n volte [ðf f ÞðxÞ ¼ 4x; ðf f f ÞðxÞ ¼ 8x; ðf f f f ÞðxÞ ¼ 16x] pffiffiffiffiffiffi 310 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼ jxj. Determina le espressioni analitiche di f g e g f e stabilisci se Þ f g ¼ g f. Considera le funzioni f ðxÞ ¼ jxj e gðxÞ ¼ x4
x2 þ 2. Determina le espressioni analitiche di f g e g f e stabilisci se f g ¼ g f .

311 Þ

Esercizi riassuntivi su funzioni composte e funzioni inverse 2x
1 , determina ðf f ÞðxÞ e stabilisci per quali valori di x risulta ðf f ÞðxÞ  0. xþ2   3 4 x <
_ x  , con x 6¼
2 4 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 313 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x2 þ 4x
5 e gðxÞ ¼ x2
1, determina il dominio della funzione f g. Þ pffiffiffi pffiffiffi [x 
2 _ x  2] 312 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼

314 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼

2x , determina ðf f ÞðxÞ e stabilisci per quali valori di x risulta ðf f ÞðxÞ  0. xþ2 [x <
1 _ x  0, con x 6¼
2]

315 Þ

Date le funzioni f ðxÞ ¼ 2x þ 1 e gðxÞ ¼ jx
1j, determina per quali valori di x risulta ðf gÞðxÞ ¼ ðg f ÞðxÞ.   3 x¼ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 316 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x þ k e gðxÞ ¼ x
1, determina k in modo che il grafico della funzione g f interseÞ chi l’asse y nel punto di coordinate (0, 4). [k ¼ 25] Date le funzioni f ðxÞ ¼ 3x2
x e gðxÞ ¼ 2x
a, determina a in modo che il grafico della funzione f g incon  tri l’asse y nel punto di coordinate (0, 4). 4 a¼
_a¼1 3

317 Þ

Date le funzioni f ðxÞ ¼ 3x2
x e gðxÞ ¼ 2x
a, determina a in modo che il grafico della funzione g f incontri l’asse y nel punto di coordinate (0, 4). [a ¼
4]

318 Þ

108 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x
1 e gðxÞ ¼ x þ k, determina k in modo che il grafico della funzione f g incontri xþ1 x
1 e gðxÞ ¼ x þ k, determina k in modo che il grafico della funzione g f incontri xþ1

Funzioni

Date le funzioni f ðxÞ ¼

Unita` 2

319 Þ

[k ¼
3]

l’asse y nel punto di coordinate (0, 2). 320 Þ

Date le funzioni f ðxÞ ¼

[k ¼ 3]

l’asse y nel punto di coordinate (0, 2). 321 Þ

Determina almeno due coppie diverse di funzioni f e g tali che f g ¼ z, essendo z la funzione definita da zðxÞ ¼ ðx2
1Þ20 .

322 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼ 2x
1; determina f f , f f f . Determina per quali valori di x risulta ðf f ÞðxÞ ¼ ðf f f ÞðxÞ. [ðf f ÞðxÞ ¼ 4x
3, ðf f f ÞðxÞ ¼ 8x
7; x ¼ 1]

323 Þ

Considera le funzioni f : N ! Z e g : Z ! N definite da f ðxÞ ¼ x e gðxÞ ¼ jxj. Verifica che g f e` biiettiva ma che f e g non sono biiettive. 324 Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ 3 e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. VeriÞ fica che ðf f
1 ÞðxÞ ¼ ðf
1 f ÞðxÞ ¼ x.

Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ x3 þ 1 e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. Verifica che ðf f
1 ÞðxÞ ¼ ðf
1 f ÞðxÞ ¼ x. 325 Þ

Sono date le funzioni f ðxÞ ¼ x
1, gðxÞ ¼ x3 . Giustifica perche´ sono invertibili e determina l’espressione analitica di ciascuna delle seguenti funzioni: f
1 , g
1 , f g, ðf gÞ
1 . Verifica che risulta ðf gÞ
1 ¼ g
1 f
1 .

326 Þ

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 327 Þ

Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle relazioni rappresentate, individua il dominio e l’insieme immagine. Stabilisci quindi se si tratta del grafico di una funzione e in caso affermativo determina i suoi eventuali zeri e stabilisci se si tratta di una funzione invertibile. y

y

y

O O

y

x

x O

x

x

O

328 Þ

Interpretazione di grafici. Considera la funzione il cui grafico e` tracciato qui sotto e rispondi alle seguenti domande. a. Qual e` il dominio della funzione?

y

b. Qual e` l’immagine della funzione?

(7, 4)

c. f ð2Þ e` positivo o negativo?

d. Si tratta di una funzione strettamente crescente o strettamente decrescente nel suo dominio?

(3, 1)

e. Quanti zeri ammette la funzione? f. Si tratta di una funzione invertibile? In caso affermativo, traccia il grafico dell’inversa.

x

O (1, –2) (–4, –4)

109 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A 110

1 x þ 3. 2 a. Classifica la funzione e determina il suo dominio. b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Traccia, per punti, il grafico della funzione. e. Determina l’immagine della funzione. f. Verifica che si tratta di una funzione invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.

329 Þ

Considera la funzione y ¼


[a. D ¼ R; b. ne´ pari ne´ dispari; c. y > 0 per x < 6, y ¼ 0 per x ¼ 6, y < 0 per x > 6; e. I ¼ R; f. y ¼ 6
2x] 6 . x2 a. Classifica la funzione e determina il suo dominio. b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Traccia, per punti, il grafico della funzione. e. Determina l’immagine della funzione. f. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile. g. Verifica che la restrizione della funzione all’intervallo ð0, þ1Þ e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   6 a. D ¼ R
f0g; b. pari; c. y  0 per nessun valore di x, y < 0 per ogni x 2 D; e. I ¼ ð
1; 0Þ; g. y ¼
x 6 331 Considera la funzione y ¼
. Þ x a. Classifica la funzione e determina il suo dominio. b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Traccia, per punti, il grafico della funzione. e. Determina l’immagine della funzione. f. Verifica che si tratta di una funzione invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. [a. D ¼ R
f0g; b. dispari; c. y > 0 per x < 0, y ¼ 0 per nessun valore di x, y < 0 per x > 0; e. I ¼ R
f0g; f. l’inversa coincide con la funzione stessa] 1 2 332 Considera la funzione y ¼
x þ 1. Þ 2 a. Classifica la funzione e determina il suo dominio. b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Traccia, per punti, il grafico della funzione. e. Determina l’immagine della funzione. f. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile. g. Verifica che la restrizione della funzione all’intervallo ð
1, 0Þ e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [a. D ¼ R; b. pari; c. y > 0 per
2 < x < 2, y ¼ 0 per x ¼  2, y < 0 per x <
2 _ x > 2; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e. I ¼ ð
1, 1; g. y ¼
2
2x] 330 Þ

Considera la funzione y ¼


333 Þ

Considera la funzione y ¼ ðx
2Þ2 ðx2 þ 3xÞ3 .

a. Classificala e determina il suo dominio. b. Determina f ð
1Þ. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile. [a. D ¼ R; b.
72; c. y > 0 per x <
3 _ x > 0, con x 6¼ 2; y ¼ 0 per x ¼
3 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2; y < 0 per
3 < x < 0] Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Considera la funzione y ¼

xþ2 . x
6

336 Þ

Funzioni

a. Classificala e determina il suo dominio.   1 b. Determina f ð
4Þ e f . 2 c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Giustifica perche´ la funzione data e` invertibile e scrivi l’espressione analitica della funzione inversa.    1 1 5 ; ¼
a. D ¼ R
f6g; b. f ð
4Þ ¼ , f 5 2 11  6x þ 2 c. y > 0 per x <
2 _ x > 6, y ¼ 0 per x ¼
2, y < 0 per
2 < x < 6; d. y ¼ x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 335 Considera la funzione y ¼ x
1
2x. Þ a. Classificala e determina il suo dominio. b. Determina la controimmagine di 2. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. d. Senza determinare l’espressione analitica di f f , determina il suo dominio. [a. D ¼ ð
1,
1 [ ½1, þ1Þ; b. x ¼
1; c. y > 0 per x 
1, y ¼ 0 per nessun valore di x; y < 0 per x  1; d. ð
1,
1 [ ½1, þ1Þ]

Unita` 2

334 Þ

xþ2 Considera la funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi . 2x
1
x

a. Classificala e determina il suo dominio. b. Determina f ð2Þ. c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione. x þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2x
1 þ x . d. Stabilisci se la funzione data e` uguale alla funzione y ¼ x
1    pffiffiffi pffiffiffi 1 a. D ¼ , 1 [ ð1,þ1Þ; b. f ð2Þ ¼ 4 3 þ 4 2; 2  1 c. y > 0 se x > 1, y ¼ 0 per nessun valore di x, y < 0 se x 0 per x <
3 _ x >
1, y ¼ 0 per x ¼
3 _ x ¼
1, y < 0 per
3 < x <
1]

338 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼ mx þ q, determina m e q in modo che risulti f ð0Þ ¼ 3 e f ð
2Þ ¼ 0. Considera la funzione ottenuta in corrispondenza dei valori di m e q trovati. Giustifica perche´ e` invertibile e determina l’espressio  ne analitica della funzione inversa. 3 2
1 m ¼ , q ¼ 3; f ðxÞ ¼ x
2 2 3 xþa 339 Data la funzione f ðxÞ ¼ , determina a e b in modo che risulti f ð
2Þ ¼ 0 e f ð0Þ ¼ 2. Considera la funzioÞ xþb ne ottenuta in corrispondenza dei valori di a e b trovati. Giustifica perche´ e` invertibile e determina l’espressione analitica della funzione inversa.   x
2 a ¼ 2, b ¼ 1; y ¼ 1
x x , determina h e k in modo che il suo dominio sia R
f
3g. [k ¼ 6, h ¼ 9] 340 Data la funzione f ðxÞ ¼ 2 Þ x þ kx þ h

xþa Data la funzione f ðxÞ ¼ , determina a e b in modo che il suo dominio sia R
f
3g e inoltre risulti xþb f ð0Þ ¼ 6. [a ¼ 18, b ¼ 3] 341 Þ

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111

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

342 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼ na per quali valori di a:

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
ax þ 10, determi-

a. il suo dominio e` R; b. il grafico della funzione ha un unico punto di intersezione con l’asse x; c. uno dei due punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse x ha coordinate (2, 0). pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [a.
2 10  a  2 10; b. a ¼ 2 10; c. a ¼ 7]

343 Þ

Siano date le due funzioni: 1 f ðxÞ ¼ 2x
1 e gðxÞ ¼ x þ k 2 Determina: a. per quale valore di k il grafico della funzione f g interseca l’asse x nel punto di coordinate ð2, 0Þ; b. per quale valore di k il grafico della funzione g f interseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 2Þ.   1 5 a. k ¼
; b. k ¼ 2 2 347 Þ

1 x þ k, verifica che e` in2 vertibile per ogni k 2 R. Determina per quale valore di k il grafico della funzione inversa di f interseca l’asse y nel punto di coordinate (0, 4). [k ¼
2] 344 Þ

Data la funzione f ðxÞ ¼

345 Þ

Dopo aver determinato il dominio della funzione pffiffiffi definita da f ðxÞ ¼ x þ 1, giustifica perche´ e` invertibile e determina l’espressione analitica della funzione inversa. Traccia, per punti, il grafico della funzione f e quello della sua inversa. [f
1 ðxÞ ¼ ðx
1Þ2 , con x  1] 346 Þ

Date le funzioni f ðxÞ ¼ x
1, gðxÞ ¼ x3 :

a. determina f g e g f ; b. giustifica perche´ sono invertibili e determina l’espressione analitica di f
1 e di g
1 ; c. verifica che risulta ðf gÞ
1 ¼ g
1 f
1 .

Considera le funzioni: 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e gðxÞ ¼ x2 þ b f ðxÞ ¼ p 3 xþa

1 e gð2Þ ¼ f ð
12Þ. 2 Considerate le funzioni f e g corrispondenti ai valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. b. Determina l’espressione analitica di f g e di g f . c. Determina il dominio di g f e di f g. d. Individua quale delle due funzioni f e g e` invertibile (giustificando la risposta) e scrivi l’espressione analitica  dell’inversa. 1 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , gðf ðxÞÞ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5; c. R, R
f
11g; a. a ¼ 11, b ¼
5; b. f ðgðxÞÞ ¼ p 3 2 3 x þ6 ðx þ 11Þ2  1 d. e` invertibile la funzione f e l’inversa e` f
1 ðxÞ ¼ 3
11 x 348 Considera la funzione: Þ 2x þ a f ðxÞ ¼ 3x þ b a. Determina a e b in modo che il dominio della funzione sia R
f2g e f ð
4Þ ¼ 0. a. Determina a e b in modo che f ð
3Þ ¼

112

In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. b. Studia il segno della funzione. c. Determina per quali valori di x risulta f ðx
1Þ  f ðxÞ þ 1. d. Verifica che la funzione f e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.  a. a ¼ 8, b ¼
6; b. f ðxÞ > 0 per x <
4 _ x > 2, f ðxÞ ¼ 0 per x ¼
4, f ðxÞ < 0 per
4 < x < 2; pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  5
17 5 þ 17 2ð3x þ 4Þ x 1, f ðxÞ ¼ 0 per x ¼  ; 3 3 2 2 2  5 1 1 d. non e` invertibile; e. f g e` definita per x  0 ^ x 6¼ 1, g f e` definita per x <
_
 x  _ x > 1 3 2 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

350 Þ

E

3x þ 4 2x

2x e f ðgðxÞÞ ¼ x; allora gðxÞ ¼ 3x þ 4

B

3x 2x þ 4

C

2x þ 4 4x

D

352 Þ

4x 2
3x [D]

¼ x for all x not equal to 0 or 1.

1 4

B

3 4

C

5 4

y

(High School Math Contest, Texas 2009)

4

354 Þ

O

4

x

–3

f
4, 0g f
8,
4, 0g f
12,
8,
4, 0g

D E

7 4

D

E

9 4

[5]

Solve math in English A real valued function f defined for nonzero real numbers satisfies   1 1 f ð
xÞ þ f ¼ 4x. What is the value of f ð2Þ? x x   7 (High School Math Contest, Texas 2009)
2

–4 –2

C



353 Solve math in English Suppose that f ðxÞ ¼ ax þ b, Þ where a and b are real numbers. Given that f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 8x þ 21, what is the exact value of a þ b?

2

B

1 1
x

(High School Math Contest, University of South Carolina, 2006) [D]

Il grafico della funzione f , illustrato in figura, e` formato da un segmento e da due semirette. Qual e` l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 0?

–7



What is the value of f ð2Þ? A

351 Þ

A

that f ðxÞ þ f

altra funzione

(Kangourou 2007)

Solve math in English Let f ðxÞ be a function such

Funzioni

A

Siano f ðxÞ ¼

Unita` 2

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese

L’insieme vuoto f
16,
12,
8,
4, 0g

(Kangourou 2003)

PROVA DI AUTOVERIFICA

Funzioni 1 Dopo aver dato la definizione di funzione, stabilisci quale dei seguenti non e` il grafico di una funzione: Þ Per ciascuno degli altri grafici, stabilisci il dominio e l’immagine della corrispondente funzione e specifica se si tratta di una funzione pari o dispari.

y

O

a 2 Þ

y

O

x

y

O x

b

c

y

x

O

x

d

Data la funzione f ðxÞ ¼ x4
2x2 , determina

a. l’immagine di 2;

b. le controimmagini di 2.

3 Þ

Determina il dominio della funzione: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 100
x2 1 þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y¼ 2 x þxþ2 ðx2
4xÞ3

4 Þ

Per quali valori di a la funzione y ¼

3x2 þ 1 e` definita in tutto R? x2
3x þ a

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

113

Equazioni, disequazioni e funzioni Tema A

5 Þ

In riferimento alla funzione y ¼ f ðxÞ il cui grafico e` rappresentato in figura, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false: a. il dominio della funzione e` ½0, þ1Þ b. l’immagine della funzione e` ½0, þ1Þ c. la funzione e` decrescente in senso lato in R d. la funzione e` strettamente crescente in ð
1, 0Þ e strettamente decrescente in ð0, þ1Þ e. l’equazione f ðxÞ ¼ 1 non ha soluzioni f. l’equazione f ðxÞ ¼
1 non ha soluzioni g. la funzione non ammette zeri

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

y

O

x

6 Definisci i concetti di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Stabilisci, motivando le risposte, se le funzioni Þ da R a R che hanno i seguenti grafici sono iniettive, suriettive o biiettive e se sono invertibili.

y

y

O

x

a

y

x

O

x

O

b

c

7 Þ

Nella seguente figura e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ, che ha come dominio l’intervallo ½
6, þ1Þ. Traccia il grafico di y ¼ f
1 ðxÞ, specificando il dominio e l’immagine di f
1 . y y = f (x)

–6

x

O –3

8 Þ

Date le funzioni f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼

valori di x risulta ðf gÞðxÞ ¼ ðg f ÞðxÞ.

1 , scrivi l’espressione analitica di f g e di g f . Determina per quali xþ1

Date le funzioni f ðxÞ ¼ x þ a e gðxÞ ¼ x2 þ b. Determina quali condizioni devono soddisfare a e b in modo che risulti f g ¼ g f . 9 Þ

2x þ 1 Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ e` invertibile e determina l’espressione analitica della funzione inx
1 versa.

10 Þ

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

Punteggio

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h e 30 min

114

3Risposte in fondo al volume

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

A

Laboratorio di informatica

Tema

Tema A

` GUIDATE ATTIVITA Attivita` 1 GeoGebra, foglio elettronico

Un cane e` fermo in un punto C, che dista 15 m dalla riva di un fiume, ad andamento rettilineo, e deve raggiungere un’isola situata nella posizione A, in mezzo al fiume, la quale dista 20 m dalla riva. Detti H la proiezione di A sulla riva e K la proiezione di C sulla riva, la distanza fra H e K e` di 100 m. Volendo raggiungere l’isola, il cane deve percorrere due tratti:

Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line.

 un tratto rettilineo sul terreno fino a giungere alla riva del fiume (CP), dove il cane corre con velocita` costante v1 ¼ 4 m/s;

Laboratorio di informatica

Percorso a due velocita`

 un tratto nell’acqua (PA), dove il cane nuota con velocita` costante v2 ¼ 1,5 m/s.

Verso quale punto P deve dirigersi il cane per compiere il percorso da A a C in un minuto?

fiume

isola A 20 m

K P

15 m cane

H

C 100 m

a. Costruzione del modello algebrico del problema

Riassumendo, i dati di partenza forniti dal testo sono: la distanza cane-riva (CK ¼ 15 m); la distanza isola-riva (AH ¼ 20 m); la lunghezza del tratto di riva interessato (HK ¼ 100 m); v1 (¼ 4 m/s) la velocita` del cane durante il tratto di corsa; v2 (¼ 1,5 m/s) la velocita` del cane durante il tratto a nuoto.

Il punto P resta univocamente individuato una volta che se ne conosca, per esempio, la distanza (in metri) da K; poni percio`: PK ¼ x Devi ora ricavare, in funzione dei dati e di x, i tempi di percorrenza. A tale scopo procedi come segue. 1. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PKC, puoi ricavare la misura di PC: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 PC ¼ x2 þ CK ¼ x2 þ ::::

2. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHA, puoi ricavare la misura di PA: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 PA ¼ AH þ ðHK
xÞ2 ¼ ::::::2 þ ð:::::
xÞ2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO

    

115

Laboratorio di informatica Tema A

3. Ricordando la legge oraria del moto rettilineo uniforme, in base alla quale s t ¼ , puoi esprimere i tempi t1 e t2 per percorrere i tratti PC e PA: v t1 ¼

PC ::::::::::::::::::: ¼ v1 :::::::::::::::

t2 ¼

PA ::::::::::::::::::: ¼ v2 :::::::::::::::

4. Puoi quindi scrivere l’equazione che costituisce il modello del problema (esprimi il minuto in secondi): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ::::::2 þ ð:::::
xÞ2 x þ :::: ¼ 60 þ ::::::::: 4 Si tratta di un’equazione irrazionale, che non sei in grado di risolvere algebricamente perche´ conduce a un’equazione di grado superiore al secondo non risolvibile con i metodi che conosci. Per cercare di trovare una soluzione approssimata del problema, possiamo seguire un approccio di tipo grafico (per esempio con GeoGebra) o di tipo numerico (con il foglio elettronico). b. Approccio grafico (con GeoGebra)

1. Traccia con GeoGebra il grafico della funzione che esprime il tempo complessivo (in secondi) del percorso e il grafico della retta di equazione y ¼ 60. 2. Deduci un’approssimazione della soluzione dell’equazione. 3. Rispondi alla domanda posta dal problema. c. Approccio numerico (con il foglio elettronico)

Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO

Tramite un foglio Excel e` possibile studiare il problema calcolando il tempo necessario a effettuare il percorso, in corrispondenza di tutte le posizioni di P che si desiderano, comprese tra il caso limite in cui P coincide con K (PK ¼ 0 m) e il caso limite in cui P coincide con H (PK ¼ 100 m). A questo scopo puoi costruire un foglio come quello qui sotto.

116

Puoi costruire tale foglio seguendo le istruzioni qui indicate. 1. Prepara le celle che contengono del testo (come A1, A3, A4, . . .); 2. immetti nelle celle C4, C5, C6, F4, F5 i dati forniti dal problema; 3. le celle della colonna A, a partire da quella sulla riga 9, contengono le distanze PK in corrispondenza delle posizioni di P che si ottengono partendo dal punto K e immaginando di muoversi lungo la riva, verso il punto H, a «passi» di 5 m. Per costruire tale colonna basta che immetti nella cella A9 il numero 0 (corrispondente alla distanza di P da K nel caso limite in cui P  KÞ e nella cella A10 la formula =A9+5 che andra` poi copiata nelle righe sottostanti fino alla 29 (corrispondente alla posizione limite in cui P  HÞ. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

che dovrai poi copiare nelle celle sottostanti della colonna B (fino alla riga 29). 5. Nella cella C9 dovrai inserire la formula: =B9/$F$4 6. Con ragionamenti analoghi a quelli dei punti precedenti non dovresti trovare difficolta` a completare il foglio con le formule da inserire nelle colonne D, E, F, G, H.

Laboratorio di informatica

=RADQ($C$4^2+A9^2)

Tema A

4. Nella cella B9 devi inserire la formula che fornisce la distanza CP in funzione della distanza PK; tenendo conto dell’espressione di PC ricavata nella fase iniziale di modellizzazione del problema, dovresti comprendere che in B9 devi inserire la formula

Per interpretare meglio i dati della tabella puoi ricorrere a un grafico a dispersione, come quello della figura seguente, che rappresenta il tempo di percorrenza del tratto CP + PA (asse y, intervallo H9:H29) in funzione della lunghezza di PK (asse x, intervallo A9:A29).

Utilizza ora il foglio che hai costruito:

Un approfondimento Un ulteriore problema che si puo` porre e` il seguente: verso quale punto P deve dirigersi il cane, per fare in modo che il tempo impiegato per compiere il percorso da A a C sia minimo? A prima vista la risposta alla domanda potrebbe sembrare ovvia e facile: il percorso piu` veloce sara` anche il piu` breve (cioe` quello che rende minima la somma della lunghezza di CP e di PA), dunque sara` quello rettilineo ... Ma e` proprio cosı`? Allo stato delle tue conoscenze, cercare di rispondere a questa domanda senza l’aiuto di strumenti informatici non sarebbe facile (perche´ la funzione che esprime il tempo complessivo impiegato dal cane per compiere il percorso da A a C e` una funzione irrazionale, che per il momento non sei in grado di studiare con carta e penna). Tuttavia puoi cercare una risposta approssimata anche all’ultima domanda posta, utilizzando il grafico costruito con GeoGebra o il foglio Excel che hai poc’anzi predisposto.

Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO

 in base ai dati che puoi leggere, deduci in quale intervallo e` da cercare la distanza PK che rende il tempo complessivo uguale a 1 minuto;  cerca di migliorare l’approssimazione, modificando opportunamente il contenuto delle celle A9:A29, fino ad arrivare a ricavare un’approssimazione della distanza PK a meno di un decimo.

117 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Laboratorio di informatica Tema A

1. Osservando il grafico che hai tracciato con GeoGebra, quale ti sembra essere approssimativamente l’ascissa del punto della funzione avente ordinata minima? 2. Analizzando attentamente il foglio Excel che hai costruito, in quale intervallo ti sembra da cercare la lunghezza PK che rende il tempo totale minimo? Come puoi migliorare la precisione? Sei in grado di determinare un’approssimazione a meno di un decimo della distanza PK che rende il tempo totale minimo? 3. I risultati ottenuti con GeoGebra ed Excel concordano tra loro? 4. In corrispondenza della lunghezza PK che rende minimo il tempo totale di percorrenza (colonna H nel foglio Excel), e` minimo anche lo spazio percorso (colonna G)? La congettura inizialmente formulata circa il fatto che il percorso piu` veloce fosse anche il piu` breve si e` rivelata corretta?

` PROPOSTE ATTIVITA 1 Þ

Supponiamo di avere un foglio di cartone di forma rettangolare, i cui lati sono lunghi 100 cm e 80 cm. Da questo foglio si ritagliano, agli angoli, quattro quadrati uguali, il cui lato misura x (in cm) e si ripiega il pezzo di cartone rimanente in modo da ottenere una scatola aperta superiormente, come indicato in figura.

x

x

x

x x

80 – 2x x

x x

x

80 – 2x 100 – 2x

100 – 2x Come occorre scegliere x in modo da ottenere una scatola di volume uguale a 20 dm3 ? Scrivi l’equazione che formalizza il problema, quindi deduci le sue soluzioni approssimate interpretando graficamente l’equazione con GeoGebra. Le soluzioni dell’equazione sono anche soluzioni del problema?

Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO

2 Þ

Considera il seguente problema: «Tra tutti i triangoli isosceli di perimetro uguale a 40 cm, determina le lunghezze dei lati del triangolo che ha area uguale a 60 cm2 ». a. Cerca di risolverlo secondo diversi approcci (similmente a quanto fatto nell’attivita` guidata), sia utilizzando il grafico di un’opportuna funzione, che potrai tracciare con GeoGebra, sia costruendo un opportuno foglio Excel. b. Utilizza il grafico e il foglio Excel costruito per rispondere a questa ulteriore domanda: «tra tutti i triangoli isosceli di perimetro uguale a 40 cm, determina le lunghezze dei lati del triangolo di area massima».

118 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Verso le competenze

A

Tema

Tema A

UTILIZZARE LE TECNICHE DEL CALCOLO ALGEBRICO, RAPPRESENTANDOLE ANCHE SOTTO FORMA GRAFICA Vero o falso? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. l’equazione x4 þ x3 þ 1 ¼
2 non ha soluzioni in R pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi b. l’equazione x2
1 ¼ x e` equivalente a x2
1 ¼ x c. comunque scelti a, b 2 R si ha che: a ¼ b se e solo se a3 ¼ b3 d. comunque scelti a, b 2 R si ha che: a ¼ b se e solo se a2 ¼ b2 1 1 1 1 e.
¼
3 2 3 2

V

F

rffiffiffiffiffi 1 1 9 ¼
1 Þ x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 10 4þ x¼3 Þ 11 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x
6¼6
x

12 Þ

2ðx
2Þ 4 ¼ ð2x þ 1Þ 4

13 Þ 14 Þ

1

2

1

ðx
2Þ 3 ¼ 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ 5
x¼3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
xþ1 1 ffi ¼ p 15 Þ x þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 xþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 xþ1þ 2þx¼ 5þx Þ 17 Þ

20 Þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
4¼ xþ2
1

[3] "

[ 1, 4] pffiffiffiffiffiffi # 7 þ 21 2

V

F

V

F

21 Þ

V

F

V

F

Risolvi le seguenti equazioni contenenti valori assoluti.

f. l’equazione jxj ¼
2jx
1j e` impossibile V F g. l’equazione jxj ¼ 2x
1 e` equivalente a V F x2 ¼ ð2x
1Þ2 h. l’equazione jxj ¼ j2x
1j e` equivalente a V F x2 ¼ ð2x
1Þ2 [4 affermazioni vere e 4 false]

Risolvi le seguenti equazioni irrazionali. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ 4x ¼ x
1 2 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 x
1¼x
1 Þ pffiffiffiffiffiffi 4 2x þ 1 ¼ 3 Þ pffiffiffi 5 xþ1¼ xþ3 Þ 1 pffiffiffi 6 x¼5
x Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7 x4
2x2 ¼ x2
2 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 8 4x
5 ¼ 5 Þ

pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2þ 5
x¼ 5þx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 19 x2 4
x ¼ 4
x Þ 18 Þ

[6] [0, 1, 2] [2] [4] [4] pffiffiffi [ 2]   65 2 " pffiffiffi # 3
5 2 [25]   49 4   33 14 [
62, 66] [1, 4]

[3] " pffiffiffiffiffiffi # 2 13
8 3   1 2 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2x
3
3 x
x2
1 x þ x2
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
x2
1 ¼ x þ 2

22 Þ

j2x
1j ¼ 5 3x þ 1 23 Þ 3 ¼ 2 24 Þ 25 Þ



j2
x2 j ¼ 7

jx2 þ 1j þ 6 ¼ 3

j3x2
3j þ j2x þ 2j ¼ 0

31 Þ

j2x
1j ¼ j3x
2j 1 2 32 x
x ¼ jx þ 5j Þ 2 33 Þ

j5x
1j ¼ x

34 Þ 35 Þ

j3x2
3xj þ jx þ 2j ¼ 0

[
2, 3]  7 5
, 3 3 [
3, 3]

2

jx þ x
2j ¼ 0 x
1 26 Þ x þ 3 ¼ 2 pffiffiffi 27 jx þ xj ¼
1 Þ pffiffiffi pffiffiffi 28 jx þ x 2
1j ¼ 1
5 Þ 29 Þ 30 Þ

  17
1,
15

Verso le competenze

1 Þ



[
2, 1]  5
,
7 3

[Impossibile] [Impossibile] [Impossibile] [
1]   3 1, 5 pffiffiffiffiffiffi [2  14]   1 1 , 4 6 [Impossibile]

jx2 þ 3xj ¼ 2x [No] pffiffiffi pffiffiffi 1 36 j x
1j ¼ 2
[4] x Þ 2 1 2 37 jxj ¼ [ 3, 0] x Þ 3 1 38 x þ 1 þ 1 ¼ x [4] Þ 2 1 39 jx2
1j ¼
[Impossibile] jxj Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ` data l’equazione: x þ a ¼ x. Per quali valori di 40 E Þ a 2 R ammette due soluzioni reali distinte?   1
3] lori di k 2 R non ammette soluzioni? 41 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

119

42 Þ

Determina le coordinate del punto di intersezione pffiffiffi P tra il grafico della funzione radice quadrata, y ¼ x, e quello della retta colorata in azzurro in figura.

43 Þ

Determina le coordinate dei punti di intersezione A e B tra il grafico della funzione valore assoluto e quello della parabola colorata in azzurro in figura. y

y

8

4

y= x

y= x

P

Tema A

Verso le competenze

Risolvi le seguenti equazioni, dopo averle interpretate graficamente.

O

x

2

A –2



pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  33
1 17
33 , 4 8

B O

x

2

pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi   pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi    1
65
1þ 65
1þ 65
1þ 65 , , ;B A 4 4 4 4

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI 44 Þ

Problemi nella storia Risolvi il seguente problema, dovuto al matematico indiano Bhaskara (1114-1185): «La radice quadrata della meta` del numero delle api dello sciame e` volata fino alla siepe di gelsomino. Otto noni sono rimasti indietro, mentre la regina volava in direzione di un maschio, che girava intorno a un fior di loto. Da quante api era composto lo sciame?» [72]

r

46 Þ

Fai riferimento alla figura qui sotto. Il triangolo ABC e` rettangolo isoscele ed e` stata tracciata la semicirconferenza di diametro BC esterna al triangolo. La misura di BC e` 6a. Determina x in modo che il rettangolo PQRS sia un quadrato. R C 45°

H

r H x

R r

S x

K

S

O'

x

O

K

Q

x

45 Fai riferimento alla figura qui sotto. Le due cirÞ conferenze di centri O e O0 sono congruenti e hanno raggi di misura r. ABCD e` un rettangolo, avente i lati AB e CD paralleli alla retta OO0 , due vertici su una circonferenza e due sull’altra. Determina la misura x dei due segmenti HK e RS, in modo che il perimetro del 26 r. rettangolo ABCD misuri 5 A B

45°

D

h

C

HK ¼ RS ¼

r 8 o HK ¼ RS ¼ r 5 5

A

P

B





6 a 5



47 In un triangolo rettangolo ABC il cateto AB misura 4a e il cateto AC misura 2a. Traccia una retta r, passante Þ per A ed esterna al triangolo ABC, e indica con B0 e C0 le proiezioni di B e C su tale retta. Determina la misura di AB0 pffiffiffi   in modo che risulti B0 C0 ¼ 3a 2. pffiffiffi 14 pffiffiffi AB0 ¼ 2a 2 o AB0 ¼ a 2 5 48 Un ragazzo parte con la sua barca dal punto A, sulla riva di un lago, con l’obiettivo di raggiungere il punto B, Þ posto sulla riva opposta. Le due rive possono considerarsi approssimativamente rettilinee, parallele e distanti 3 km. Il ragazzo ha tre possibilita`:

1. puo` raggiungere il punto C sulla riva opposta, distante 7 km da B, e poi camminare fino a B; 2. puo` raggiungere direttamente in barca il punto B; 3. puo` raggiungere con la barca un punto D posto tra B e C e proseguire camminando fino a B. 120 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Verso le competenze Tema A

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Þ A B C D

2 Þ

le?

A B C D

3 Þ A B C D

Quale delle seguenti equazioni e` impossibile? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x4 þ 10 ¼ 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x4 þ 0,25 ¼ 10
1
20
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x4 þ 0,25 ¼ 1
2
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x4 þ 0,5 ¼ 3
1

B

6 Þ A B

7 Þ A B

8 Þ A B

9 Þ

L’equazione  x þ 1 ¼ x2 x0 x þ 1 ¼
x2  x þ 1 ¼ x2 x0

nessuna delle precedenti risposte e` esatta

Una sola delle seguenti uguaglianze e` falsa; quale? pffiffiffi pffiffiffi C j þ 3j ¼ þ 3 j
3j ¼ þ3 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi D j 2
1j ¼ 2
1 j1
3j ¼ 1
3

x2 x
1 x0

C

D

per
1 < x < 0 per ogni x 2 R

Quale delle seguenti equazioni e` impossibile? jxj ¼
x pffiffiffi jx
1j ¼ 3

C D

jxj ¼
0,5 jxj ¼ x þ 1

a. x
5 > 2 b. x
2 > 5 14 Þ

B

4

C

Osserva la figura seguente.

C

D

A

y

1

O

B

x

8

Quali sono le coordinate dei punti P dell’asse x tali che la distanza di P da A e` il doppio della distanza di P da B? a. Risposta:

.................................................................................................

b. Scrivi i calcoli svolti per giungere alla risposta: ..............................................................................................................................

D

16

11 Siano x e y due numeri reali e non negativi. Þ pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Quando e` vera l’uguaglianza x þ y ¼ x þ y?

Mai Sempre

c. jx
5j < 2 d. jx
5j > 2

..............................................................................................................................

C jx
1j ¼ 2x jx
1j ¼
2x D jx2 j ¼ x þ 2 jx þ 2j ¼ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi 10 Se 2 3 a ¼ 2, quanto vale a? Þ

122

Delle mine per matite hanno un diametro dichiarato di 5 mm. Una mina di diametro x (in mm) viene scartata se la misura del suo diametro differisce da quella dichiarata per piu` di 2 mm. Quale delle seguenti disequazioni esprime la condizione in base a cui una mina viene scartata?

per ogni x 2 R solo per x ¼ 2

L’uguaglianza jxj þ 1 ¼ jx þ 1j e` valida per:

2

x

O

L’uguaglianza j2
xj ¼ x
2 e` valida per:

B

B

y

13 Þ

A

A

d. jxj ¼
2x2 þ 4

b. jxj ¼
2x2 þ 1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1 ¼
x equivale a:

Quale delle seguenti equazioni non ammette come soluzione x ¼
1?

A

c. jxj ¼
x2 þ 4

a. jxj ¼
x2
4

pffiffiffi L’equazione 3 x ¼ x þ 1 e` equivalente a x ¼ ðx þ 1Þ3 pffiffiffi L’equazione 5 x ¼ x þ 1 e` equivalente a x ¼ ðx þ 1Þ5 L’equazione x ¼ x þ 1 e` equivalente a x3 ¼ ðx þ 1Þ3 L’equazione x ¼ x þ 1 e` equivalente a x2 ¼ ðx þ 1Þ2

Quale delle seguenti equazioni non ammette come soluzione x ¼ 1? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi C A x
1¼x
1 x¼x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi D B x ¼
x x
1¼1
x A

Quale delle seguenti equazioni consente di determinare le ascisse dei punti d’intersezione delle curve rappresentate in figura?

Una sola delle seguenti affermazioni e` falsa; qua-

4 Þ

5 Þ

12 Þ

Se e solo se xy ¼ 0 Se e solo se x ¼ y

15 Þ

Considera il seguente problema, dovuto al matematico indiano Brahmagupta (598-628): «Un quarto di un branco di cammelli e` stato visto aggirarsi nella foresta. Il doppio della radice quadrata del numero degli animali era invece partito per la montagna. Quindici animali erano rimasti in riva al fiume. Da quanti cammelli era composto il branco?». a. Risposta:

.................................................................................................

b. Scrivi i calcoli svolti per giungere alla risposta: .............................................................................................................................. ..............................................................................................................................

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Retta e trasformazioni geometriche Nello studio della geometria hai incontrato i concetti di punto e di retta, che ti sono stati presentati come primitivi, cioe` come concetti intuitivi che vengono posti alla base della costruzione razionale della geometria euclidea, senza darne una definizione.

In algebra hai invece visto che, grazie al concetto di piano cartesiano, introdotto da Cartesio e Fermat nel XVII secolo, si puo` identificare un punto con una coppia ordinata di numeri reali. Nelle Unita` che seguono riprendiamo e sviluppiamo questa importantissima idea, che permette di gettare un vero e proprio «ponte» tra algebra e geometria. Scopriremo cosı` come possono essere caratterizzate algebricamente le rette, le semirette, i piani, i semipiani, gli angoli e le piu` semplici trasformazioni geometriche che hai incontrato in precedenza, quali le simmetrie e le traslazioni.

TEMA

B

PREREQUISITI

3Funzioni 3Equazioni, disequazioni e sistemi algebrici

3Nozioni di base di geometria euclidea

COMPETENZE

3Individuare strategie appropriate

per risolvere problemi che hanno modelli lineari

3Individuare invarianti e relazioni tra figure geometriche e utilizzare trasformazioni per risolvere problemi

Avremo anche modo di approfondire il concetto di funzione, studiando le funzioni lineari: esse sono tra i modelli matematici piu` semplici, ma ricorrono molto frequentemente nelle piu` varie applicazioni pratiche.

Unita` 3 Richiami e complementi sulla retta

Unita` 4 Trasformazioni geometriche

I modelli lineari sono alla base della cosiddetta programmazione lineare, una parte della matematica che si occupa di trovare la migliore distribuzione di un certo numero di risorse, secondo un determinato criterio di ottimizzazione, che puo` consistere nel minimizzare un costo o massimizzare un profitto. Tecniche di programmazione lineare sono state utilizzate per esempio da molte compagnie aeree sia per minimizzare i costi del carburante, sia per ottimizzare la gestione degli equipaggi.

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Unita`

Richiami e complementi sulla retta

3

1. Richiami sul piano cartesiano Tema B

Il piano cartesiano Nell’Unita` 12 del volume Algebra 1 abbiamo gia` esposto il procedimento per fissare, in un piano, un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Ricordiamo rapidamente i punti essenziali. Consideriamo, in un piano, due rette perpendicolari: chiamiamo O il loro punto di intersezione e orientiamo la retta che appare orizzontale verso destra e quella che appare verticale verso l’alto. La retta orizzontale si chiama asse x o asse delle ascisse, quella verticale asse y o asse delle ordinate e il punto O si chiama origine (fig. 3.1). y

asse y

y

origine

P(x, y) O

x

y

asse x O Figura 3.1

Figura 3.2

x

x

Generalmente sceglieremo sull’asse x e sull’asse y la stessa unita` di misura: in questo modo si ottiene un sistema di riferimento monometrico (nei problemi applicativi, tuttavia, e` spesso comodo utilizzare sistemi dimetrici, cioe` sistemi di riferimento dove le unita` di misura sui due assi sono diverse).

Attenzione «Distanza con segno» significa che si attribuisce alla distanza di P dall’asse y (dall’asse x) segno positivo o negativo a seconda che il punto P si trovi a destra o a sinistra dell’asse y (sopra o sotto l’asse x).

Un piano, dove sono stati fissati un asse x, un asse y e un’unita` di misura su ciascun asse si dice piano cartesiano. Fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate dell’insieme R  R e` possibile instaurare una corrispondenza biunivoca: a ogni punto P del piano cartesiano corrisponde un’unica coppia ordinata ðx, yÞ, costituita dalle coordinate di P, cioe` dalle distanze «con segno» di P, rispettivamente, dall’asse x e dall’asse y. Viceversa, a ogni coppia ordinata ðx, yÞ corrisponde un unico punto del piano cartesiano che ha quelle coordinate (fig. 3.2). I numeri reali x e y che costituiscono le coordinate di P vengono detti, rispettivamente, ascissa e ordinata di P; per indicare che il punto P ha coordinate ðx, yÞ scriveremo Pðx, yÞ. Nella fig. 3.3 sono rappresentati alcuni punti e le relative coordinate. y

2 1

–3 2 O

–4

–2 Figura 3.3

A

3

B

C

2 x D –3

Il piano resta diviso dagli assi in quattro angoli; ciascuno di questi quattro angoli, esclusi i punti appartenenti agli assi stessi, viene detto quadrante. 124 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 3

I quadranti sono convenzionalmente numerati dal primo in alto a destra procedendo in senso antiorario (fig. 3.4). y

Richiami e complementi sulla retta

II quadrante x < 0, y > 0

I quadrante x > 0, y > 0 x

O III quadrante x < 0, y < 0

IV quadrante x > 0, y < 0 Figura 3.4

Simmetrie rispetto agli assi e all’origine Le coordinate dei punti simmetrici di un punto P rispetto all’asse x, all’asse y e all’origine degli assi hanno lo stesso valore assoluto delle coordinate di P ma segni diversi. Osserva le seguenti figure. Simmetria rispetto all’asse x

Simmetria rispetto all’asse y

y

2

y

y P(3, 2) P(3, 2)

P'(–3, 2)

–3 –3

O

3

x

O

P'(3, –2)

Due punti simmetrici rispetto all’asse y hanno la stessa ordinata e ascissa opposta.

3

x

–2

P'(–3, –2)

Due punti simmetrici rispetto all’asse x hanno la stessa ascissa e ordinata opposta.

P(3, 2)

2

x

O –2

Simmetria rispetto all’origine

Due punti simmetrici rispetto all’origine hanno coordinate opposte.

Generalizzando queste osservazioni possiamo dire che:  il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’asse x e` il punto P 0 ðx,

yÞ;

0

 il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’asse y e` il punto P ð x, yÞ;

 il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’origine e` il punto P 0 ð x,

yÞ.

Prova tu

ESERCIZI a p. 154

1. Rappresenta in un piano cartesiano i punti di coordinate ð 4, in quale quadrante e` situato.

2Þ; ð 5, 1Þ; ð3,

3Þ;




 1 5 , . Per ciascuno specifica 2 2

2. Determina i simmetrici del punto Pð 2, 3Þ rispetto agli assi cartesiani e all’origine.

2. Distanza tra due punti Consideriamo nel piano cartesiano due generici punti: Aðx1 , y1 Þ

e

Bðx2 , y2 Þ

Vogliamo ricavare una formula che esprima la distanza fra A e B in funzione delle coordinate di A e B. 125 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche

Distanza tra due punti aventi la stessa ascissa Cominciamo ad analizzare che cosa accade nel caso particolare in cui i due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ hanno la stessa ascissa, cioe` quando x1 ¼ x2 . Consideriamo, per esempio, i due punti Að2, 2Þ e Bð2, 6Þ rappresentati nella fig. 3.5. y

B

6

y 5

A

4

Tema B

2

Figura 3.5

3 2

A x

O

Figura 3.6

B

O

x

E` chiaro che la distanza tra A e B e` uguale alla differenza tra l’ordinata di B e l’ordinata di A: AB ¼ 6

2¼4

Si potrebbe allora pensare che la distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx1 , y2 Þ sia data dalla formula: AB ¼ y2

y1

In realta`, questa formula non e` sempre valida: infatti, se consideriamo, per esempio, i due punti Að3, 5Þ e Bð3, 2Þ in fig. 3.6 e applichiamo la formula precedente, otteniamo: AB ¼ 2

5¼

3

Abbiamo trovato un risultato errato perche´ la distanza tra due punti deve essere un numero positivo! Osservando la fig. 3.6 si vede chiaramente che: AB ¼ 3

y

La formula ha prodotto il risultato sbagliato per quanto riguarda il segno. Per ottenere ancora il risultato corretto, basta considerare il valore assoluto del numero trovato calcolando la differenza tra l’ordinata di B e l’ordinata di A:

B

y2

AB ¼ j2 y2 – y1

y1

In generale: La distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx1 , y2 Þ aventi la stessa ascissa e` uguale al valore assoluto della differenza tra le loro ordinate; vale, cioe`, la formula:

A

O

5j ¼ j 3j ¼ 3

AB ¼ jy2

x

x1

y1 j

La formula AB ¼ y2 y1 si puo` utilizzare quando si sa che y2 > y1 , cioe` quando l’ordinata di B e` maggiore dell’ordinata di A (il che assicura che la loro differenza sia un numero positivo). Analogamente, la formula AB ¼ y1 y2 si puo` utilizzare quando si sa che y1 > y2 (cioe` quando l’ordinata di A e` maggiore dell’ordinata di B). y

Distanza tra due punti aventi la stessa ordinata

x2 – x1 y1

O

Con ragionamenti del tutto analoghi al caso precedente si deduce che: B

A

x1

x2

La distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y1 Þ aventi la stessa ordinata e` uguale al valore assoluto della differenza tra le ascisse dei due punti: x

AB ¼ jx2

x1 j

126 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 3

Anche in questo caso, la formula senza valore assoluto, AB ¼ x2 x1 , si puo` utilizzare quando x2 > x1 ; la formula AB ¼ x1 x2 si puo` utilizzare quando x1 > x2 .

Determiniamo la distanza tra A e B, nei seguenti casi: a. Að 1, 3Þ

e

Bð4, 3Þ

b. Að2, 2Þ

e

Bð2,

c. Að1, 1Þ

e

Bðx, 1Þ, con x 2 R

3Þ y

a. I due punti hanno la stessa ordinata. Possiamo osservare che l’ascissa di B e` maggiore dell’ascissa di A e applicare la formula senza valore assoluto: AB ¼ x2

x1 ¼ 4

ð 1Þ ¼ 5

Oppure possiamo applicare la formula generale, senza preoccuparci dell’ordine delle ascisse: AB ¼ j x2

x1 j ¼ j4

–1

y2 ¼ 2

ð 3Þ ¼ 5

y1 j ¼ j 3

2j ¼ j 5j ¼ 5

x

A

x

O

–3

c. I due punti A e B hanno la stessa ordinata ma, in questo caso, essendo l’ascissa di B una variabile, non sappiamo a priori quale dei due punti A e B avra` ascissa maggiore: dobbiamo quindi utilizzare la formula generale, con il valore assoluto: AB ¼ jx

4

y 2

Oppure possiamo applicare la formula generale, senza preoccuparci dell’ordine delle ordinate: AB ¼ j y2

O

ð 1Þj ¼ j5j ¼ 5

b. I due punti hanno la stessa ascissa. Possiamo osservare che l’ordinata di A e` maggiore dell’ordinata di B e applicare la formula senza valore assoluto: AB ¼ y1

B

A

Richiami e complementi sulla retta

ESEMPI

B

1j

Caso generale Affrontiamo ora il caso generale in cui Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ sono due punti qualsiasi del piano. Tracciamo da A la parallela all’asse x e da B la parallela all’asse y (fig. 3.7): tali parallele si incontrano nel punto Hðx2 , y1 Þ. y B

y2

y2 – y1

A y1

H x 2 – x1

O

x2

x1

x

Figura 3.7

Dal momento che AH e` parallelo all’asse x e BH e` parallelo all’asse y, sappiamo calcolare le misure di AH e BH: AH ¼ jx2

x1 j,

BH ¼ jy2

y1 j

[3.1]

Ora, per determinare la misura di AB, basta utilizzare il teorema di Pitagora. 127 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche

AB ¼ ¼ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 AH þ BH ¼

Teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo AHB

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jx2 x1 j2 þ jy2 y1 j2 ¼

In base alle formule [3.1]

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2

Osserva che, per ogni a 2 R, jaj2 ¼ a2

DISTANZA TRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO

Tema B

Nel piano cartesiano, la distanza tra due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ e` data dalla formula: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2

Tale formula «contiene» come casi particolari le formule delle distanze tra due punti aventi la stessa ascissa o la stessa ordinata. Per esempio, se x1 ¼ x2 la formula si riduce a: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi AB ¼ ðy2 y1 Þ2 ¼ jy2 y1 j Per ogni a 2 R, risulta a2 ¼ jaj

Abbiamo cosı` ottenuto di nuovo la formula che fornisce la distanza tra due punti aventi la stessa ascissa. Analogamente, se prendiamo y1 ¼ y 2 riotteniamo la formula che fornisce la distanza tra due punti aventi la stessa ordinata. ESEMPIO

Determiniamo la distanza tra Að 2, þ2Þ e Bðþ3,

2Þ.

Applichiamo la formula della distanza tra due punti con: x1 ¼

2, y1 ¼ þ2

x2 ¼ þ3, y2 ¼

2

Abbiamo che: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ ½þ3 ð 2ފ2 þ ½ 2 ðþ2ފ2 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi ¼ ðþ5Þ2 þ ð 4Þ2 ¼ 25 þ 16 ¼ 41

y A

+2 +3 x

O

–2

–2

Prova tu

B

ESERCIZI a p. 155

Determina la distanza tra le seguenti coppie di punti: a. Að 1,

1Þ, Bð 1,

5Þ;

b. b. Að3, 2Þ, Bð 4, 2Þ;

c. Að 1,

2Þ, Bð3,

3Þ

[a. 4; b. 7; c.

pffiffiffiffiffiffi 17]

3. Punto medio di un segmento e baricentro di un triangolo Affrontiamo in questo paragrafo altri due problemi di geometria analitica:  dati due punti, trovare delle formule che esprimano le coordinate del punto medio del segmento avente per estremi tali punti;  dati i tre vertici di un triangolo, trovare delle formule che esprimano le coordinate del baricentro del triangolo. 128 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

A0 M 0 ¼ x M

x1

M 0 B0 ¼ x2

e

xM

Poiche´ AM ¼ MB, dal teorema di Talete segue che e` anche A0 M 0 ¼ M 0 B0 . Questa condizione si traduce nell’equazione: xM

x1 ¼ x2

xM

y

M

yM y1

Risolvendo questa equazione rispetto a xM , ricaviamo che: x1 þ x2 xM ¼ 2

B

y2 A A' O

x1

xM e` la media aritmetica di x1 e x2

M' xM

B' x2

x

Figura 3.8

Ricorda Il teorema di Talete afferma che, dato un fascio di rette parallele tagliate da due rette trasversali, a due segmenti in un dato rapporto su una trasversale corrispondono due segmenti nello stesso rapporto sull’altra trasversale. In particolare, a due segmenti congruenti su una trasversale corrispondono due segmenti congruenti sull’altra trasversale.

Richiami e complementi sulla retta

Consideriamo due generici punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ e proponiamoci di determinare le coordinate del punto medio M di AB. Facciamo riferimento, per semplicita`, alla fig. 3.8, in cui x1 < x2 (ma ragionando in modo analogo nel caso in cui x1 > x2 si perverrebbe allo stesso risultato). Proiettiamo A, M e B sull’asse x e osserviamo che, poiche´ stiamo supponendo x1 < x2 , sara` x1 < xM < x2 ; quindi:

Unita` 3

Punto medio di un segmento

Ragionando in modo analogo, ma proiettando A, M e B sull’asse y, otteniamo: yM ¼

y1 þ y2 2

yM e` la media aritmetica di y1 e y2

Concludiamo come segue. PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO NEL PIANO CARTESIANO

Siano Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ due punti del piano ed M il punto medio del segmento AB. L’ascissa e l’ordinata di M sono, rispettivamente, la media aritmetica delle ascisse di A e B e la media aritmetica delle ordinate di A e B. In simboli: x þx y1 þ y 2  1 2 , M 2 2 ESEMPI

Punto medio di un segmento

a. Il punto medio del segmento AB, di estremi A(3, 4) e B(5, 3) ha coordinate: xM ¼

x1 þ x2 3þ5 ¼ ¼4 2 2

e

yM ¼

y1 þ y2 4þ3 7 ¼ ¼ 2 2 2

b. Dato il punto A(3, 4) e sapendo che M(1, 2) e` il punto medio del segmento AB, possiamo determinare le coordinate dell’estremo BðxB , yB Þ risolvendo le equazioni: 3 þ xB ¼1 2

e

Si ricava che xB ¼

4 þ yB ¼2 2 1 e yB ¼ 0, quindi Bð 1, 0Þ.

Baricentro di un triangolo Con ragionamenti simili a quelli svolti per determinare le coordinate del punto medio di un segmento possiamo determinare le coordinate del baricentro di un triangolo. Facciamo riferimento, per semplicita`, al triangolo in fig. 3.9 a pagina seguente, in cui x1 < x2 < x3 (ma se l’ordine delle ascisse fosse diverso si potrebbe ragionare in modo analogo e si perverrebbe allo stesso risultato).

Ricorda Il baricentro di un triangolo e` il punto di intersezione delle mediane del triangolo.

129 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche

y

B M G

yG

C A

Figura 3.9 Abbiamo tracciato le mediane del triangolo, colorandole in azzurro, e abbiamo indicato con G il baricentro.

O

B' G' M' x1 xG xM

A' x1

C' x3

x

Tema B

Consideriamo la mediana AM del triangolo. Poiche´ il baricentro divide ciascuna mediana in due segmenti, di cui quello contenente il vertice del triangolo e` doppio dell’altro, sara`: AG ¼ 2GM Indicate con A0 , G 0 , M 0 le proiezioni di A, G ed M sull’asse x, per il teorema di Talete deve anche essere: A0 G 0 ¼ 2G 0 M 0 Questa condizione si traduce nell’equazione: xG

x1 ¼ 2ðxM

xG Þ

da cui: 3xG ¼ 2xM þ x1

Poiche´ M e` il punto medio del segmento BC, e` 2xM ¼ x2 þ x3 , da cui segue: xG ¼

y1 þ y2 þ y3 3

xG e` la media aritmetica di x1 , x2 e x3

Ragionando analogamente, ma considerando questa volta le proiezioni di A, G e M sull’asse y, si ricava: yG ¼

y1 þ y2 þ y3 3

yG e` la media aritmetica di y1 , y2 e y3

Concludiamo come segue. BARICENTRO DI UN TRIANGOLO NEL PIANO CARTESIANO

Sia ABC un triangolo di vertici Aðx1 , y1 Þ, Bðx2 , y2 Þ e Cðx3 , y3 Þ e G il suo baricentro. L’ascissa e l’ordinata di G sono, rispettivamente, la media aritmetica delle ascisse e la media aritmetica delle ordinate dei vertici del triangolo. In simboli: x þx þx y1 þ y2 þ y3  1 2 3 , G 3 3 ESEMPIO

Baricentro di un triangolo

Dato il triangolo ABC, di vertici Að 2, baricentro di ABC.

2Þ, Bð3,

1Þ e Cð 4, 3Þ, determiniamo il

y

C

In base alla formula poc’anzi ricavata abbiamo:

x

G B A

xG ¼

2 þ 3 þ ð 4Þ ¼ 3

yG ¼

2 þ ð 1Þþ3 ¼0 3

1

x1 ¼ y1 ¼

2, x2 ¼ 3, x3 ¼ 2, y2 ¼

4

1, y3 ¼ 3

quindi il baricentro del triangolo e` il punto Gð 1, 0Þ. 130 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESERCIZI a p. 158 3. Qual e` il baricentro del triangolo di vertici Að 4, 2Þ, 
 Bð0, 3Þ e Cð5, 1Þ? 1 ,0 G 3

2. Dato il punto Að 3, 5Þ e sapendo che Mð 1, 2Þ e` il punto medio del segmento AB, determina le coordinate [Bð1, 1Þ] di B.

4. Dati i punti Að 3, 2Þ e Bð0, 2Þ e sapendo che Gð1, 3Þ e` il baricentro del triangolo ABC, determina le [Cð6, 9Þ] coordinate di C.

4. La funzione lineare Ricordiamo anzitutto che una funzione viene detta lineare se e` definita da un’equazione del tipo:

Richiami e complementi sulla retta

1. Qual e` il punto medio del segmento di estremi Að 4, 5Þ 
 e Bð3, 7Þ? 1 M ,6 2

Unita` 3

Prova tu

y ¼ mx þ q

Abbiamo gia` visto, nell’Unita` 12 del volume Algebra 1, che il grafico di una funzione lineare e` una retta. Ora riprendiamo e approfondiamo questi concetti.

Il grafico della funzione lineare Per tracciare il grafico di una funzione lineare basta determinare alcuni suoi punti (in linea di principio ne basterebbero due, dal momento che una retta e` univocamente individuata da due suoi punti) e tracciare la retta che passa per essi. ESEMPI

Tracciamo i grafici delle funzioni: a. y ¼ 2x

b.y ¼

1

1 xþ2 3

a. Per determinare alcuni punti del grafico della funzione, diamo dei valori a scelta alla variabile x e calcoliamo i corrispondenti valori di y. Per esempio, sostituendo 2 al posto di x nell’equazione y ¼ 2x 1, otteniamo: y ¼ 2ð 2Þ

1¼

5

Attribuendo a x i valori 2, 1, 0, 1 e 2, otteniamo la tabella indicata qui sotto a sinistra. Rappresentando i punti corrispondenti e congiungendoli, otteniamo la retta che costituisce il grafico di y ¼ 2x 1 (fig. 3.10). x

O (0, –1)

(2, 3) y = 2x –1 (1, 1) x

y

2

5

1

3

0

y

(–1, –3) (–2, –5)

1

1

1

2

3

Figura 3.10

b. Osserviamo che, in questo caso, e` conveniente scegliere, come valori da attribuire a x, numeri interi multipli di 3, in modo da evitare di introdurre frazioni nel calcolo di y. Per esempio, se attribuiamo a x il valore 6, otteniamo: y¼

1 ð 6Þ þ 2 ¼ þ2 þ 2 ¼ 4 3

Ô

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131

Retta e trasformazioni geometriche

Ô

Attribuendo a x i valori 6, 3, 0, 3 e 6, otteniamo la tabella indicata qui sotto a sinistra. Rappresentando i punti corrispondenti e congiungendoli, otteniamo la retta in fig. 3.11. x

y

y

(–6, 4) 6

4

3

3

0

2

3

1

6

0

(–3, 3) (0, 2)

y = –1 x +2 3

(3, 1) (6, 0) x O

Tema B

Figura 3.11

Punti di intersezione con gli assi Spesso si e` interessati a determinare i punti di intersezione del grafico di una funzione lineare con gli assi cartesiani (fig. 3.12).

y

x=0

y = mx + q x

O y=0 Figura 3.12

 I punti dell’asse x hanno ordinata uguale a 0. Quindi, per determinare l’ascissa del punto di intersezione del grafico di y ¼ mx þ q con l’asse x, basta porre y ¼ 0 nell’equazione y ¼ mx þ q e risolvere l’equazione ottenuta.  I punti dell’asse y hanno ascissa uguale a 0. Quindi, per determinare l’ordinata del punto di intersezione del grafico di y ¼ mx þ q con l’asse y, basta porre x ¼ 0 nell’equazione y ¼ mx þ q. ESEMPIO

Tracciamo il grafico della funzione lineare y ¼ 2x suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani.

4, dopo avere determinato i

Intersezione con l’asse x

Intersezione con l’asse y

Per determinare l’ascissa del punto di intersezione del grafico con l’asse x, poniamo y ¼ 0 nell’equazione y ¼ 2x 4. Otteniamo l’equazione:

Per determinare l’ordinata del punto di intersezione del grafico con l’asse y, poniamo x ¼ 0 nell’equazione y ¼ 2x 4. Abbiamo:

2x

y ¼2
0

4 ¼ 0 ) 2x ¼ 4 ) x ¼ 2

Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto Að2, 0Þ. Il grafico di y ¼ 2x

4¼

4

Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto Bð0, 4Þ.

4 e` la retta passante per A e per B: y

y = 2x – 4 A(2, 0) x

O

intersezione asse x

intersezione asse y

B(0, –4)

Il significato dei coefficienti m e q Nell’equazione y ¼ mx þ q, il coefficiente m si chiama coefficiente angolare e il coefficiente q termine noto. Per esempio, nella funzione lineare di equazione: 132 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y termine noto (0, q)

Il termine noto q e` l’ordinata del punto di intersezione del grafico di y ¼ mx þ q con l’asse y: infatti, ponendo x ¼ 0 nell’equazione y ¼ mx þ q, otteniamo y ¼ q; q prende anche il nome di ordinata all’origine (fig. 3.13). Il coefficiente angolare m da` invece informazioni sulla «inclinazione» rispetto all’asse x della retta che costituisce il grafico della funzione: per questo motivo m viene anche chiamato pendenza della retta. I legami fra m e il grafico di y ¼ mx þ q sono esposti in dettaglio nella seguente tabella. Se m < 0

La retta grafico di y ¼ mx þ q forma con l’asse x un angolo acuto.

La retta grafico di y ¼ mx þ q forma con l’asse x un angolo ottuso.

y

m>0

m 0

y

y = mx + q

Richiami e complementi sulla retta

il termine noto e` þ 3

il coefficiente angolare e` 2

Unita` 3

y ¼ 2x þ 3

Figure dinamiche Esplora il grafico delle funzioni lineari tramite le figure dinamiche disponibili on-line.

Osserviamo infine che, se m ¼ 0, il grafico di y ¼ mx þ q e` una retta parallela all’asse x (fig. 3.14).

y y=q

Funzioni lineari a tratti O

Le funzioni il cui grafico e` costituito dall’unione di segmenti e/o semirette sono dette funzioni lineari a tratti.

x

Figura 3.14

133 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche

ESEMPIO

8 se x  0 > < 1 Tracciamo il grafico della funzione y ¼ x 1 se 0 < x < 2 > : 3 x se x  2

 La funzione e` definita in tre modi diversi nel suo dominio; per tracciarne il grafico dobbiamo tracciare: – il grafico della funzione y ¼

– il grafico della funzione y ¼ x

1, limitatamente all’intervallo x  0;

1, limitatamente all’intervallo 0 < x < 2;

– il grafico della funzione y ¼ 3  Osserva le seguenti figure.

Tema B

y

x, limitatamente all’intervallo x  2. y

y

x

O

O y = x –1

x

x

O

y = –1

y=3–x

Grafico della funzione costante y ¼ 1: la parte da considerare e` la semiretta tracciata in linea continua, definita dall’ulteriore condizione x  0

Grafico della funzione y ¼ x 1: la parte da considerare e` il segmento (privo degli estremi), definito dall’ulteriore condizione 0 5]

359 Dato il fascio di rette di equazione ðk þ 1Þx ðk þ 2Þy þ 2 ¼ 0, individuane il centro e le generatrici, quindi Þ determina k in modo che la corrispondente retta del fascio:

a. passi per il punto Pð 2, 4Þ; b. sia parallela all’asse y; c. sia parallela alla retta di equazione 4x þ 2y 3 ¼ 0; d. sia perpendicolare all’asse y; e. sia perpendicolare alla retta di equazione x 5y 3 ¼ 0; f. intersechi l’asse x in un punto di ascissa negativa e l’asse y in un punto di ordinata positiva.  4 5 ; b. k ¼ 2; c. k ¼ ; d. k ¼ 1; e. k ¼ a. k ¼ 3 3 360 Þ

ðk

11 ; f. k > 6

 1

Data la retta di equazione 2Þx þ ðk þ 1Þy

k

4¼0

determina per quali valori di k e`: a. parallela all’asse x; b. parallela all’asse y; c. interseca l’asse x nel punto di coordinate (4, 0); d. interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva; e. e` parallela alla retta di equazione 6x 2y 1 ¼ 0; f. e` perpendicolare alla retta di equazione 6x 2y 1 ¼ 0  a. k ¼ 2; b. k ¼ 1; c. k ¼ 4; d. k


1; e. k ¼

180 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

1 7 ; f. k ¼ 4 2



362 Þ

Determina la retta comune ai fasci di rette di equazioni:

ðk þ 2Þx

ky

1 ¼ 0;

x

hy

[y ¼ 3x

h¼0

363 Þ

Nel fascio di rette generato dalle rette di equazioni x secano gli assi in due punti A e B tali che AB ¼ 4.

2y þ 4 ¼ 0, 2x þ y

1]

2 ¼ 0, determina le rette che inter" # pffiffiffi 3 xþ2 y¼ 3

Richiami e complementi sulla retta

Considera la retta di equazione ðk 1Þx þ ðk 2Þy þ 3 k ¼ 0. Determina per quali valori di k: a. e` parallela all’asse x; b. parallela all’asse y; c. passa per l’origine; d. passa per il punto Pð1, 2Þ; e. e` parallela alla retta che passa per Að 2, 3Þ e Bð2, 1Þ; f. e` perpendicolare alla retta che passa per Að 2, 3Þ e Bð2, 1Þ; g. interseca l’asse x in un punto di ascissa positiva; h. interseca l’asse y in un punto di ordinata negativa.   5 a. k ¼ 1; b. k ¼ 2; c. k ¼ 3; d. k ¼ 1; e. k ¼ 0; f. k ¼ ; g. k < 1 _ k > 3; h. 2 < k < 3 3

Unita` 3

361 Þ

364 Nel fascio di rette generato dalle rette di equazioni x þ y þ 1 ¼ 0, 2x þ y þ 2 ¼ 0, determina quella che interseÞ ca gli assi in due punti A e B tali che il baricentro del triangolo AOB (essendo O l’origine) appartenga alla retta di equazione 3x þ 3y 5 ¼ 0. [y ¼ 6x þ 6] 365 Þ

ð4

Dati i fasci di rette di equazioni: kÞx

4y þ 3k þ 4 ¼ 0

e

ðk þ 2Þx þ 4y þ 2

3k ¼ 0

siano C1 e C2 , rispettivamente, i loro due centri. Indica con P il punto di intersezione di due rette del fascio corrispondenti allo stesso valore di k e verifica che, al variare di k, il triangolo C1 PC2 ha area costante. ` dato il fascio proprio di rette di equazione x þ ðk 2Þy þ k þ 1 ¼ 0. Dopo averne determinato centro e gene366 E Þ   ratrici, determina per quali valori di k si ottengono rette la cui distanza dall’origine e` 3. 11 k¼2_k¼ 4 ` dato il fascio di rette di equazione 367 E Þ x þ ðk þ 2Þy þ 1 ¼ 0 Determina: a. il centro e le generatrici; b. la retta r del fascio passante per Pð1, 2Þ; c. la retta s del fascio parallela alla retta di equazione 3x

y ¼ 0.

Detto E il punto di intersezione della retta s con l’asse y, determina i vertici del rettangolo EFGH, con F nel primo quadrante, avente la diagonale EG sulla retta s e la diagonale FH sulla retta r. [a. ð 1, 0Þ, y ¼ 0, x þ 2y þ 1 ¼ 0; b. y ¼ x þ 1; pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi c. y ¼ 3x þ 3; Eð0, 3Þ, Fð 1 þ 5, 5Þ, Gð 2, 3Þ, Hð 1 5, 5Þ] ` dato il fascio di rette di equazione 368 E Þ kx þ y þ k

2¼0

Determina: a. il centro C e le generatrici; b. la retta r del fascio parallela alla retta di equazione x þ 2y ¼ 0; c. la retta s del fascio passante per l’origine degli assi. Detto P il punto di intersezione della retta r con l’asse x, determina i vertici del rettangolo CDEF, con D nel primo quadrante, avente un vertice in C, punto di intersezione delle diagonali coincidente con il punto P e un lato sulla retta s.  a. Cð 1, 2Þ, x þ 1 ¼ 0, y 2 ¼ 0; b. x þ 2y 3 ¼ 0;

 19 22 11 22 , , ; Eð7, 2Þ; F c. 2x þ y ¼ 0; Pð3, 0Þ; D 5 5 5 5 181 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 369 Þ

Vero o falso? V F a. i punti A(0, 2), B(4, 4), C(6, 0), D(2, 2) sono i vertici di un quadrato b. non esiste il coefficiente angolare della retta di equazione y ¼ 2 V F pffiffiffi pffiffiffi c. la retta di equazione ð 2 3Þx y 3 ¼ 0 forma con l’asse x un angolo acuto V F d. la retta di equazione y ¼ 3x þ 3 interseca l’asse x in ð 1, 0Þ V F e. la retta di equazione y ¼ 4x 2 interseca l’asse y in (0, 2) V F pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi f. il punto Pð 2, 3Þ appartiene alla retta di equazione x 3y 2þ3¼0 V F g. la retta passante per i punti A(10, 18) e B(11, 17) e` parallela alla retta di equazione y ¼ x þ 1 V F pffiffiffi pffiffiffi h. le rette di equazioni y ¼ ð1 2Þx þ 1 e ð1 þ 2Þx y 2 ¼ 0 non sono perpendicolari V F [5 affermazioni vere e 3 false]

370 Þ

Calcola la misura del perimetro e dell’area del quadrilatero disegnato nella figura. y A D O x

B

371 Þ

Considera il punto Pðk þ 3, 2

C

kÞ. Determina per quali valori di k:

[Perimetro ¼ 10 þ

pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 20 þ 40; Area ¼ 26]

a. appartiene all’asse x;

[k ¼ 2]

b. appartiene al secondo quadrante;

[k
3; h. 2 < k < 3 3 390 Þ

Dati i punti Að 3, 2Þ e M




1 , 2

 3 , determina: 2

a. il punto B, tale che M sia il punto medio di AB; b. l’equazione della retta AB; c. l’equazione dell’asse di AB e il suo punto di intersezione C con l’asse x; d. il perimetro e l’area del triangolo ABC.   pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 21 a. Bð4, 5Þ; b. y ¼ x 1; c. y ¼ x 2, Cð2, 0Þ; d. Perimetro ¼ 2 29 þ 7 2; Area ¼ 2 391 Þ

184

Data la retta r, di equazione x þ 2y

6 ¼ 0, determina:

a. il punto P, appartenente a r, tale che la sua ascissa supera di 1 il triplo dell’ordinata; b. l’equazione della retta s, passante per Qð2, 4Þ e perpendicolare a r;
   c. il punto di intersezione H delle rette r ed s; 6 12 14 , ; d. Area ¼ d. l’area del triangolo PHQ. a. Pð4, 1Þ; b. y ¼ 2x; c. H 5 5 5 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 3

392 Þ

Dati i punti Að 2, 3Þ, Bð4, 1Þ, determina:

a. l’equazione della retta AB;

c. l’equazione della retta s, passante per il punto medio M di AB, perpendicolare alla retta di equazione 4x þ 2y þ 1 ¼ 0. d. Il valore di k per cui il punto Pð2k, k

1Þ appartiene alla retta r;

e. In corrispondenza al valore di k di cui al punto precedente, la distanza di P dalla retta AB. pffiffiffiffiffiffi   10 1 7 1 3 a. y ¼ x þ ; b. y ¼ 4 2x; c. y ¼ x þ ; d. k ¼ 1; e. 2 3 3 2 2 393 Determina la retta parallela alla retta di equazione y ¼ 2x, che interseca gli assi cartesiani in due punti A e B Þ   tali che il punto medio di AB appartenga alla retta r: 8x 8y þ 3 ¼ 0. 1 y ¼ 2x þ 2 394 Þ

Considera il triangolo ABC di vertici Að 2, 2Þ, Bð4, 2Þ, Cð0,

Richiami e complementi sulla retta

b. l’equazione della retta r passante per il punto medio M di AB, parallela alla retta di equazione 4x þ 2y þ 1 ¼ 0;

4Þ determina:

a. l’area del triangolo; b. le equazioni delle rette che contengono i lati del triangolo; c. le misure delle mediane del triangolo; d. le equazioni delle rette che contengono le mediane; e. le coordinate del baricentro del triangolo. 

a. Area ¼ 18; b. y ¼ 2, y ¼ 3x

395 Þ

4, y ¼

3 x 2

4; c. 5,

pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 34, 37; d. y ¼

3 1 3 xþ , y ¼ x 4 2 5

2 , y ¼ 6x 5

4; e.




 2 ,0 3

Determina l’espressione analitica delle funzioni lineari a tratti di cui e` rappresentato il grafico. y

–2

1

y

y 5 3

3 O –1 –3

x

–4

1

2 O 23 –2

x

–5

3 O

1

4

x

396 Dati i punti A(2, 1), B( 2, 3) e C(0, 1), scrivi le equazioni degli assi dei lati del triangolo ABC e verifica che pasÞ sano tutti per il punto H(1, 4) (circocentro). Verifica che tale punto e` equidistante dai tre vertici del triangolo. 397 Þ

Dati i punti A( 1, 1), B( 2, 2), C(3, 3), scrivi le equazioni delle rette cui appartengono le mediane del triangolo ABC e verifica che passano tutte per il punto G(0, 2) (baricentro). Verifica che tale punto divide le tre mediane in due segmenti, di cui uno e` doppio dell’altro.

398 Determina la retta parallela alla retta r: y ¼ 2x, che interseca l’asse x e l’asse y in due punti A e B tali che l’asse Þ   di AB passi per P(0, 1). 8 y ¼ 2x 3 399 Þ

Determina due punti P e Q, sul segmento AB di estremi A(0, 2) e B(5, 4), in modo che AP ¼ PQ ¼ QB. 
 
5 8 10 10 ;Q , , P 3 3 3 3

400 Þ

Considera un trapezio isoscele ABCD, in cui la base maggiore misura a e la base minore misura b. Riferisci la figura a un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dimostra, analiticamente, che il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui e` parallelo alle basi e congruente alla loro semisomma. 185 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Nella figura qui sotto, ABCD e` un quadrato, M e` il punto medio di AB ed N e` il punto medio di BC. Riferisci la figura a un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dimostra che AN e` perpendicolare a DM. D

C

N

A

M

B

Tema B

Retta e trasformazioni geometriche

401 Þ

402 Þ

Determina i punti P, appartenenti y, tali
all’asse  4 o b che AP B ¼ 90 , essendo A( 3, 0) e B ,0 . 3 [ P1 ð0, 2Þ, P2 ð0,

2Þ]

403 Þ

Considera il triangolo ABC di vertici A(0, 0), B(0, 4) e C(3, 0). Determina: a. le equazioni delle rette che contengono i lati del triangolo; b. la misura del perimetro e dell’area; c. il baricentro H e il circocentro K del triangolo.  a. x ¼ 0, y ¼ 0, 4x þ 3y 12 ¼ 0;

 4 3 ,K ,2 b. Perimetro ¼ 12, Area ¼ 6; c. H 1, 3 2

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 404 I vertici di un quadrilatero ABCD hanno coordiÞ nate Að0, 0Þ, Bðh, 0Þ, Cðh þ k, lÞ, Dðk, lÞ, dove h 6¼ 0 e l 6¼ 0. Allora ABCD e`: A

un quadrato

B

un rettangolo

C

un parallelogramma

D

un rombo

E

un trapezio scaleno [C]

(Giochi di Archimede 1994)

405 In un piano cartesiano sono dati i seguenti punti: Þ Að0, 15Þ; Bð20, 0Þ; Cð0, 0Þ. Qual e` la larghezza minima di una striscia rettilinea che contiene tutti e tre i punti? A

8

B

10

C

12

D

15

E

407 Þ

Solve math in English Let m be a costant. The graphs of the lines y ¼ x 2 and y ¼ mx þ 3 intersect at a point whose x-coordinate and y-coordinate are both positive if and only if: 3 A m¼1 D

: y0 ¼ y k

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Unita` 4

Possiamo «leggere» sulle equazioni [4.15] le sostituzioni da operare nell’equazione di una curva per determinare l’equazione della sua corrispondente in una dilatazione.

Trasformazioni geometriche

EQUAZIONE DELLA CORRISPONDENTE DI UNA CURVA IN UNA DILATAZIONE

Per determinare l’equazione della curva corrispondente in una dilatazione con centro nell’origine e rapporti h e k di una curva data occorre effettuare nella sua equazione le sostituzioni: x!

x h

ESEMPIO

e

y!

y k

[4.16]

Corrispondente di una retta in una dilatazione

Determiniamo l’equazione della retta r 0 corrispondente, nella dilatazione  di 8 < x0 ¼ 1 x 2 , della retta r di equazione y ¼ 2x
1. equazioni : 0 y ¼ 2y

Per determinare l’equazione di r 0 dobbiamo effettuare nell’equazione di r le sostituzioni: x ! 2x

e

y!

y 2

Sostituzioni [4.16] con h ¼

1 ek¼2 2

Si ottiene cosı` l’equazione della retta r 0 : y ¼ 2  2x
1 2 ossia: y ¼ 8x
2.

Omotetie con centro nell’origine Le dilatazioni con centro nell’origine che ingrandiscono o riducono una figura secondo la medesima scala lungo entrambi gli assi, cioe` le dilatazioni in cui h ¼ k, di equazioni:
0 x ¼ hx y 0 ¼ hy sono omotetie. Le omotetie, come ricorderai per averle studiate in geometria, sono particolari similitudini e trasformano una figura in una figura simile a quella originaria. Due figure che si corrispondono in un’omotetia di rapporto h hanno rapporto di similitudine uguale ad jhj. ESEMPI

Determiniamo i triangoli corrispondenti del triangolo ABC, dove Að0, 2Þ, Bð3, 0Þ, Cð2, 4Þ, nelle omotetie di equazioni: 8 3 > >
0 < x0 ¼
x x ¼ 2x 2 b. a. > y 0 ¼ 2y > : y0 ¼
3 y 2 Determiniamo inoltre il rapporto tra il perimetro di ciascun triangolo corrispondente di ABC e il perimetro del triangolo ABC stesso. Facciamo lo stesso per i rapporti tra le aree.

Ricorda Si definisce omotetia di centro O e rapporto di omotetia k, essendo k un numero reale diverso da zero, la trasformazione che lascia fisso O e trasforma ogni punto P del piano diverso da O nel punto P 0 tale che:  se k > 0, P 0 appartiene alla semiretta OP;  se k < 0, P 0 appartiene alla semiretta opposta a OP;  OP0 ffi jkjOP Una similitudine e` la trasformazione composta di un’omotetia e di un’isometria.

Ô

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199

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

Ô




x0 ¼ 2x ha centro nell’origine e rapporto di y 0 ¼ 2y omotetia h ¼ 2. Determiniamo i corrispondenti di A, B e C nell’omotetia:

a. L’omotetia ! di equazioni

Að0, 2Þ
! A0 ð0, 4Þ !

Bð3, 0Þ
! B0 ð6, 0Þ !

Cð2, 4Þ
! C0 ð4, 8Þ !

Il triangolo ABC e il suo corrispondente C' y A0 B0 C0 sono disegnati in figura: come puoi osservare, il triangolo A0 B0 C0 risulta «ingrandito del doppio» rispetto ad ABC. Il rapporto tra i perimetri di A0 B0 C0 e di C ABC e` uguale al rapporto di similitudine A' dei due triangoli, ossia al valore assoluto del rapporto di omotetia, che in questo A caso e` 2. Il rapporto tra le aree di A0 B0 C0 e di ABC e` x O B' uguale al quadrato del rapporto di similiB tudine dei due triangoli, ossia a 4. 8 3 > > < x0 ¼
x 2 ha centro nell’origine e rapporto b. L’omotetia !0 di equazioni > 3 > 0 :y ¼
y 3 2 di omotetia h ¼
. 2 Determiniamo i corrispondenti di A, B e C nell’omotetia: A00 ð0,
3Þ Að0, 2Þ
! !0   9 00 B
,0 Bð3, 0Þ
! !0 2 C00 ð
3,
6Þ Cð2, 4Þ
! 0 !

Il triangolo ABC e il suo corrispondente A00 B00 C00 nell’omotetia !0 sono disegnati in figura. Poiche´ il rapporto di omotetia e` negativo, il triangolo A00 B00 C00 , rispetto ad ABC, ha subı`to, oltre che un ingrandimento, anche una simmetria rispetto all’origine. C Il rapporto tra i perimetri di A00 B00 C00 e di y ABC e` uguale al rapporto di similitudine dei due triangoli, ossia al valore assoluto A del rapporto di omotetia, che in questo B" 3 x O B caso e` . 2 Il rapporto tra le aree di A00 B00 C00 e di ABC A" e` uguale al quadrato del rapporto di simi9 litudine, ossia a . 4 C" SINTESI

Dilatazioni e omotetie con centro nell’origine  Il corrispondente di un punto Pðx, yÞ in una dilatazione avente centro nell’origine e di rapporti h e k e` il punto P 0 ðhx, kyÞ. Se h ¼ k la dilatazione e` un’omotetia.  Per determinare l’equazione della curva corrispondente, nella dilatazione avente centro nell’origine di rapporti h e k, di una curva data occorre effettuare nell’equazione di quest’ultima le sostituzioni: x!

x h

e

y!

y k

200 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 4

PER SAPERNE DI PIU`

Dilatazioni con centro diverso dall’origine

Trasformazioni geometriche

Una dilatazione di rapporti h e k, avente centro in un punto del piano Cðx0 , y0 Þ diverso dall’origine, si puo` pensare ottenuta dalla composizione, nell’ordine:  della traslazione che porta il punto C nell’origine;  della dilatazione di rapporti h e k, con centro nell’origine;  della traslazione che riporta l’origine in C. Scrivendo le equazioni di queste tre trasformazioni e componendole, si verifica che una dilatazione di rapporti h e k, con h 6¼ 0 e k 6¼ 0, e centro in Cðx0 , y0 Þ ha equazioni:


x0 ¼ hx þ x0 ð1
hÞ y 0 ¼ ky þ y0 ð1
kÞ

Poiche´ le due espressioni x0 ð1
hÞ e y0 ð1
kÞ rappresentano due generici numeri reali, che possiamo indicare con a e b, una generica dilatazione con centro diverso dall’origine ha equazioni del tipo:


x0 ¼ hx þ a

[4.17]

y0 ¼ kx þ b

Una generica omotetia con centro diverso dall’origine ha equazioni della forma [4.17], con h ¼ k.

Alcune proprieta` delle dilatazioni A proposito delle dilatazioni, si potrebbero dimostrare le seguenti proprieta`.  Le dilatazioni conservano l’appartenenza a un segmento e il punto medio del segmento. In altre parole, se il punto C appartiene al segmento AB, detti rispettivamente A0 , B0 , C0 i punti corrispondenti di A, B, C in una dilatazione, allora C0 appartiene ad A0 B0 ; inoltre, se C e` il punto medio AB, allora C0 e` il punto medio di A0 B0 .  Le dilatazioni conservano l’incidenza e il parallelismo. Comunque si scelga una coppia di rette, incidenti o parallele, le loro corrispondenti in una dilatazione sono ancora una coppia di rette rispettivamente incidenti o parallele.  Le dilatazioni conservano il rapporto fra le aree. Detta A l’area di una qualsiasi figura e A0 l’area della sua corrispondente in una dilatazione di equazioni [4.17], si ha sempre che A0 ¼ jhkj A Le omotetie, in quanto particolari dilatazioni, godono di tutte le proprieta` precedenti; inoltre, come e` noto dalla geometria, le omotetie conservano le direzioni, gli angoli e il rapporto tra i segmenti.

Prova tu

ESERCIZI a p. 218

1. Scrivi l’equazione dell’omotetia con centro nell’origine che trasforma il punto Pð2, 4Þ nel punto P 0 ð3, 6Þ. Determina le coordinate dei vertici del triangolo A0 B0 C0 , corrispondente in questa omotetia del triangolo ABC di vertici Að
4, 0Þ, Bð2,
2Þ, Cð4, 4Þ. Rappresenta i due triangoli e determina il rapporto tra i loro perimetri e il rapporto tra le loro aree.
0 x ¼ 2x þ 3 2. Determina il centro della dilatazione di equazioni: y 0 ¼ 4y
5 3. Scrivi l’equazione dell’omotetia che ha centro nel punto Pð
1,1Þ e ha rapporto di omotetia uguale a 3.

201 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

5. Le trasformazioni e i grafici delle funzioni I grafici di alcune funzioni di base Concludiamo questa Unita` presentando delle tecniche, basate sull’utilizzo delle trasformazioni geometriche, che consentono di dedurre i grafici di molte funzioni a partire dai grafici di alcune funzioni «di base» che conosciamo. Le funzioni «di base» che costituiranno il nostro punto di partenza sono le funzioni lineari e le funzioni i cui grafici sono riassunti nella seguente tabella. Funzione valore assoluto x

y ¼ jxj


3

3


2

2


1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

Funzione reciproca

y

y= x (–3, 3)

(3, 3) (2, 2)

(–2, 2) (–1, 1)

x

O

4


1

1

0

0

1

1

2

4

y = x2

(–2, 4)

(2, 4)

(–1, 1)


2


8


1


1

0

0

1

1

2

8


1

y

1 2

(1, 1) 2, 1  2


1

1

1

2

1 2

y¼

pffiffiffi x

0

0

1

1

4

2

9

3

–2,– 1  2 (–1, –1)

x

O 1 y= x

y

y= x (9, 3) (4, 2) (1, 1)

(1, 1)

x

O

x

Funzione cubo y ¼ x3




x

y

O (0, 0)

x


2

1 x

Funzione radice quadrata

y ¼ x2


2

y¼

(1, 1)

Funzione quadrato x

x

Funzione radice cubica

y

x

(2, 8) y = x3

O (1, 1) (–1, –1) (0, 0)

x

y¼

p ffiffiffi 3 x


8


2


1


1

0

0

1

1

8

2

y

(8, 2)

(1, 1) O

x

(0, 0) (–8, –2)

(–1, –1)

y= x 3

(–2, –8)

Attenzione!

202

pffiffiffi Ricorda che la funzione y ¼ x e` l’inversa della restrizione della funzione y ¼ x2 all’insieme dei numeri reali non negativi, quindi il suo grafico e` il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del ` terzo quadrante del grafico di y ¼ x2 per x  0. La stessa simmetria si puo pffiffiffiriconoscere tra il grafico della funzione cubo, y ¼ x3 , e il grafico della sua funzione inversa, y ¼ 3 x.

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Data la funzione y ¼ f ðxÞ, mediante l’utilizzo di opportune simmetrie rispetto agli assi cartesiani possiamo dedurre i grafici delle funzioni di equazioni: y ¼ f ð
xÞ

e

Osserviamo infatti che:  l’equazione y ¼
f ðxÞ equivale a
y ¼ f ðxÞ, quindi puo` essere ottenuta dall’equazione y ¼ f ðxÞ effettuando le sostituzioni: x!x

y !
y

e

 l’equazione y ¼ f ð
xÞ puo` essere ottenuta dall’equazione y ¼ f ðxÞ effettuando le sostituzioni: x !
x

e

y!y

Trasformazioni geometriche

y ¼
f ðxÞ

Unita` 4

Le simmetrie e i grafici

Riconoscendo che tali sostituzioni corrispondono alle simmetrie rispetto all’asse x e all’asse y, possiamo concludere quanto segue. GRAFICI DI y ¼
f ðxÞ E y ¼ f ð
xÞ

 Il grafico della funzione y ¼
f ðxÞ e` il simmetrico rispetto all’asse x del grafico di y ¼ f ðxÞ.  Il grafico della funzione y ¼ f ð
xÞ e` il simmetrico rispetto all’asse y del grafico di y ¼ f ðxÞ.

Dal grafico di y ¼ f ðxÞ ai grafici di y ¼
f ðxÞ e y ¼ f ð
xÞ pffiffiffi A partire, rispettivamente, dai grafici di y ¼ x 2 e y ¼ x , deduciamo i grafici delle seguenti funzioni: pffiffiffiffiffiffiffi a. y ¼
x 2 b. y ¼
x

ESEMPI

y

a. La funzione alla quale fare riferimento e` y ¼ f ðxÞ ¼ x2 . Tracciare il grafico di y ¼
x2 equivale a tracciare il grafico di y ¼
f ðxÞ, quindi il grafico di y ¼
x2 e` il simmetrico rispetto all’asse x del grafico di y ¼ x2 .

b. Notiamo anzitutto che la funzione e` definita in corrispondenza di tutti i numeri reali x tali che
x  0, ossia per x  0. Partiamo dal grafico della funzione pffiffiffi y ¼ f ðxÞ ¼ x. Tracciare il grafico di pffiffiffiffiffiffiffi y ¼
x equivale a tracciare il grafico di pffiffiffiffiffiffiffi y ¼ f ð
xÞ, quindi il grafico di y ¼
x e` il simmetrico rispetto all’asse y del grapffiffiffi fico di y ¼ x.

y = x2

x

O

y = –x 2

y = –x

y

O

y= x

x

Mediante opportune simmetrie e` possibile dedurre, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, anche i grafici delle funzioni di equazioni (contenenti valori assoluti): y ¼ jf ðxÞj

e

y ¼ f ðjxjÞ

Consideriamo anzitutto il caso della funzione y ¼ jf ðxÞj; in base alla definizione di valore assoluto si ha:
f ðxÞ se f ðxÞ  0 y ¼ jf ðxÞj ¼
f ðxÞ se f ðxÞ < 0 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

203

Retta e trasformazioni geometriche

Possiamo allora concludere quanto segue.

Tema B

Dunque il grafico di y ¼ jf ðxÞj:

ESEMPIO

 coincide con quello di y ¼ f ðxÞ quando f ðxÞ  0, cioe` quando il grafico di y ¼ f ðxÞ ha ordinate positive o nulle;  coincide con il grafico di y ¼
f ðxÞ (simmetrico del precedente rispetto all’asse xÞ quando f ðxÞ < 0, cioe` quando il grafico di y ¼ f ðxÞ ha ordinate negative.

GRAFICO DI y ¼ jf ðxÞj

Il grafico della funzione y ¼ jf ðxÞj si puo` ottenere tracciando:

a. la parte del grafico di y ¼ f ðxÞ che ha ordinate positive o nulle; b. la simmetrica rispetto all’asse x della parte del grafico di y ¼ f ðxÞ che ha ordinate negative.

Dal grafico di y ¼ f ðxÞ a quello di y ¼ jf ðxÞj

Tracciamo il grafico della funzione y ¼ jx
2j.

Dobbiamo tracciare il grafico di y ¼ jf ðxÞj, dove f ðxÞ ¼ x
2. Disegniamo anzitutto il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, cioe` di y ¼ x
2, e da esso deduciamo il grafico di y ¼ jx
2j, come indicato nelle didascalie delle seguenti figure. y

y y = x –2

O

2

y = x –2

x

Il grafico della funzione y ¼ x
2: in linea continua la parte del grafico avente ordinate positive o nulle, in linea tratteggiata quella avente ordinate negative.

O

2

x

Il grafico della funzione y ¼ jx
2j e` costituito dalla parte del grafico di y ¼ x
2 i cui punti hanno ordinate positive o nulle (cioe` la semiretta in linea continua nella prima figura) e dalla simmetrica rispetto all’asse x della semiretta i cui punti hanno ordinate negative (quella in linea tratteggiata nella prima figura).

Esaminiamo infine il caso della funzione di equazione y ¼ f ðjxjÞ. Ricordando che jxj ¼ x se x  0, mentre jxj ¼
x se x < 0, deduciamo che: ( f ðxÞ se x  0 y ¼ f ðjxjÞ ¼ f ð
xÞ se x < 0 Tenendo ora presente, come detto, che il grafico di y ¼ f ð
xÞ e` il simmetrico rispetto all’asse y del grafico di y ¼ f ðxÞ, possiamo concludere quanto segue. GRAFICO DI y ¼ f ðjxjÞ

Il grafico della funzione y ¼ f ðjxjÞ si puo` ottenere tracciando: a. la parte del grafico di y ¼ f ðxÞ che ha ascisse positive o nulle; b. la simmetrica rispetto all’asse y della parte del grafico di y ¼ f ðxÞ tracciata al punto precedente. 204 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 4

ESEMPIO

Dal grafico di y ¼ f ðxÞ a quello di y ¼ f ðjxjÞ

Tracciamo il grafico della funzione:

Dobbiamo tracciare il grafico di y ¼ f ðjxjÞ, dove f ðxÞ ¼ 2x
1. Tracciamo anzitutto il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, cioe` di y ¼ 2x
1, e da esso deduciamo il grafico di y ¼ 2jxj
1, come indicato nelle didascalie delle seguenti figure.

y

y y = 2x –1

y = 2 x –1

Trasformazioni geometriche

y ¼ 2jxj
1

O

O –1

x

Il grafico della funzione y ¼ 2x
1: in linea continua la semiretta i cui punti hanno ascisse x  0 e in linea tratteggiata quella i cui punti hanno ascisse x < 0.

–1

x

Il grafico della funzione y ¼ 2jx j
1 e` costituito dalla semiretta i cui punti hanno ascisse x  0 nel grafico di y ¼ 2x
1 e dalla sua simmetrica rispetto all’asse y.

Le traslazioni e i grafici Consideriamo anzitutto il caso di una funzione di equazione: y ¼ f ðx þ aÞ, con a > 0 L’equazione y ¼ f ðx þ aÞ si puo` ottenere da y ¼ f ðxÞ mediante le sostituzioni: x!xþa

e

y!y

Riconoscendo che queste sostituzioni corrispondono alla traslazione di vettore ! v ð
a, 0Þ e tenendo conto che stiamo supponendo a > 0, possiamo concludere che il grafico della funzione y ¼ f ðx þ aÞ si puo` ottenere da quello della funzione y ¼ f ðxÞ mediante una traslazione orizzontale di a unita` a sinistra. Ragionamenti analoghi si possono effettuare a proposito della funzione di equazione y ¼ f ðx
aÞ, con a > 0 L’unica differenza e` che questa volta bisognera` traslare il grafico di y ¼ f ðxÞ di a unita` a destra. GRAFICI DI y ¼ f ðx þ aÞ E y ¼ f ðx
aÞ, CON a > 0

a. Il grafico di y ¼ f ðx þ aÞ, con a > 0, e` traslato orizzontalmente di a unita` a sinistra rispetto al grafico di y ¼ f ðxÞ. b. Il grafico di y ¼ f ðx
aÞ, con a > 0, e` traslato orizzontalmente di a unita` a destra rispetto al grafico di y ¼ f ðxÞ. 205 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

ESEMPIO

Dal grafico di y ¼ f ðxÞ a quello di y ¼ f ðx
aÞ

A partire dal grafico di y ¼ x 2 deduciamo il grafico della funzione y ¼ ðx
2Þ2 . In base a quanto abbiamo osservato poc’anzi, il grafico della funzione y ¼ ðx
2Þ2 e` traslato di 2 unita` a destra rispetto al grafico di y ¼ x2 .

y

y = (x –2)2

y = x2

x

O 2 unità a destra

Anche i grafici delle funzioni di equazione y ¼ f ðxÞ þ b, con b > 0 possono essere dedotti da quello di y ¼ f ðxÞ mediante un’opportuna traslazione. L’equazione y ¼ f ðxÞ þ b equivale infatti a y
b ¼ f ðxÞ, quindi la si puo` ottenere da y ¼ f ðxÞ mediante le sostituzioni: x!x

e

y !y
b

Riconoscendo che queste sostituzioni corrispondono alla traslazione di vettore ! v ð0, bÞ e tenendo conto che stiamo supponendo b > 0, possiamo concludere che il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ þ b si puo` ottenere da quello della funzione y ¼ f ðxÞ mediante una traslazione verticale di b unita` verso l’alto. Ragionamenti analoghi si possono effettuare a proposito della funzione di equazione y ¼ f ðxÞ
b, con b > 0 L’unica differenza e` che questa volta bisognera` traslare il grafico di y ¼ f ðxÞ di b unita` verso il basso. Riassumiamo i risultati ottenuti. GRAFICI DI y ¼ f ðxÞ þ b E y ¼ f ðxÞ
b, CON b > 0

a. Il grafico di y ¼ f ðxÞ þ b, con b > 0, e` traslato verticalmente di b unita` verso l’alto rispetto al grafico di y ¼ f ðxÞ. b. Il grafico di y ¼ f ðxÞ
b, con b > 0, e` traslato verticalmente di b unita` verso il basso rispetto al grafico di y ¼ f ðxÞ. ESEMPIO

Dal grafico di y ¼ f ðxÞ a quello di y ¼ f ðxÞ þ b

A partire dal grafico di y ¼ x 2 deduciamo il grafico della funzione y ¼ x 2 þ 3. In base a quanto abbiamo osservato poc’anzi, il grafico della funzione y ¼ x2 þ 3 e` traslato verticalmente di 3 unita` verso l’alto rispetto al grafico di y ¼ x2 .

y

y = x2+ 3

y = x2

3 unità verso l’alto O

206 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x

Unita` 4

Le dilatazioni e i grafici Supponiamo di voler tracciare, a partire dal grafico di y ¼ f ðxÞ, il grafico di una funzione di equazione:

L’equazione y ¼ k f ðxÞ equivale a

Trasformazioni geometriche

y ¼ k f ðxÞ, con k 2 R e k 6¼ 0

y ¼ f ðxÞ, quindi si puo` ottenere da y ¼ f ðxÞ k

mediante le sostituzioni: x!x

y!

e

y k

Queste sostituzioni corrispondono a una dilatazione verticale di rapporto k. GRAFICO DI y ¼ k f ðxÞ

Il grafico di y ¼ k f ðxÞ e` dilatato verticalmente di un fattore k rispetto al grafico di y ¼ f ðxÞ.

Ragionamenti analoghi si possono effettuare a proposito di una funzione di equazione y ¼ f ðhxÞ, con h 2 R e h 6¼ 0 L’equazione y ¼ f ðhxÞ si puo` ottenere da y ¼ f ðxÞ mediante le sostituzioni: x ! hx

e

y!y

che corrispondono a una dilatazione orizzontale di rapporto

1 . h

GRAFICO DI y ¼ f ðhxÞ

Il grafico di y ¼ f ðhxÞ e` dilatato orizzontalmente di un fattore

1 rispetto al grah

fico di y ¼ f ðxÞ.

Dal grafico di y ¼ f ðxÞ a quelli di y ¼ k f ðxÞ e y ¼ f ðhxÞ

ESEMPI

Dato il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ disegnato in figura, deduciamo i grafici delle due funzioni: a. y ¼

1 f ðxÞ 2

b. y ¼ f ð2xÞ y

y = f(x)

2 x

–4 O

6

–6

a. In base a quanto abbiamo osservato, il grafico della funzione y¼

1 f ðxÞ 2

si puo` ottenere dal grafico di y ¼ f ðxÞ effettuando su quest’ultimo una dila1 tazione verticale di rapporto . 2

Ô

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

207

Retta e trasformazioni geometriche

Ô

Si tratta, in pratica, di dimezzare le ordinate dei punti del grafico di y ¼ f ðxÞ e costruire il grafico che passa per i punti aventi «ordinata dimezzata» (fig. 4.9). b. In base a quanto abbiamo osservato, il grafico della funzione y ¼ f ð2xÞ si puo` ottenere dal grafico di y ¼ f ðxÞ effettuando su quest’ultimo una dila1 tazione orizzontale di rapporto . 2

Tema B

Si tratta, in pratica, di dimezzare le ascisse dei punti del grafico di y ¼ f ðxÞ e costruire il grafico che passa per i punti aventi «ascissa dimezzata» (fig. 4.10). y 4

y = f(x) –4

y 4 y = f(x)

2 1 O

x 6 –3

1 y = f (x) 2

2

–4 –2 O 1 2 –1 3

6 x

–2 y = f(2x)

–6 Figura 4.9

–6 Figura 4.10

Uno sguardo d’insieme Figure dinamiche Puoi esplorare gli effetti delle trasformazioni sul grafico di una funzione tramite le figure dinamiche disponibili on-line.

Per tracciare il grafico di .....

Traccia il grafico di y ¼ f ðxÞ e .....

y ¼
f ðxÞ

simmetrizza il grafico rispetto all’asse x.

y ¼ f ð
xÞ

simmetrizza il grafico rispetto all’asse y.

y ¼ jf ðxÞj

simmetrizza rispetto all’asse x la parte del grafico che ha ordinate negative.

y ¼ f ðjxjÞ

simmetrizza rispetto all’asse y la parte del grafico che ha ascisse positive.

y ¼ f ðx þ aÞ, con a > 0

trasla orizzontalmente il grafico di a unita` a sinistra.

y ¼ f ðx
aÞ, con a > 0

trasla orizzontalmente il grafico di a unita` a destra.

y ¼ f ðxÞ þ b, con b > 0

trasla verticalmente il grafico di b unita` verso l’alto.

y ¼ f ðxÞ
b, con b > 0

trasla verticalmente il grafico di b unita` verso il basso.

y ¼ k  f ðxÞ, con k 6¼ 0

dilata verticalmente il grafico del fattore k.

y ¼ f ðhxÞ, con h 6¼ 0

dilata orizzontalmente il grafico del fattore

1 . h

A volte per tracciare il grafico di una funzione occorre combinare molte di queste tecniche, come mostriamo nel prossimo esempio. 208 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 4

ESEMPIO

Grafico deducibile applicando piu` trasformazioni

Tracciamo il grafico della funzione y ¼ j2
jx þ 1jj.

Trasformazioni geometriche

Il grafico della funzione data si puo` ottenere mediante opportune trasformazioni dal grafico di y ¼ jxj. Le trasformazioni da eseguire sono, nell’ordine, le seguenti:  dal grafico di y ¼ jxj si puo` dedurre il grafico di y ¼ jx þ 1j, mediante una traslazione orizzontale di una unita` a sinistra;  dal grafico di y ¼ jx þ 1j si puo` dedurre il grafico di y ¼
jx þ 1j, mediante una simmetria rispetto all’asse x;  dal grafico di y ¼
jx þ 1j si puo` dedurre il grafico di y ¼ 2
jx þ 1j, mediante una traslazione verticale di 2 unita` verso l’alto;  dal grafico di y ¼ 2
jx þ 1j si puo` dedurre il grafico di y ¼ j2
jx þ 1jj simmetrizzando rispetto all’asse x le parti aventi ordinate negative. y

y y = x +1 y = x +1

y= x O

x

x

O

y = − x +1

Traslando di 1 unita` a sinistra.

Effettuando una simmetria rispetto all’asse x.

y

y y = 2 − x +1

y = 2 − x +1 x

O

O y = − x +1

x

y = 2 − x +1

Traslando di 2 unita` verso l’alto.

Simmetrizzando rispetto all’asse x le parti aventi ordinate negative.

Prova tu

ESERCIZI a p. 221

A partire dai grafici delle funzioni: y ¼ jxj, y ¼ x2 , y ¼ x3 , y ¼

pffiffiffi 1 , y¼ x x

deduci i grafici delle seguenti funzioni: 1. y ¼ 3
jxj 5. y ¼


1 jxj

e

y¼

p ffiffiffi 3 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jxj
5

2. y ¼ ðx
2Þ2
1

3. y ¼

6. y ¼ 2
ðx
2Þ3

7. y ¼ j3
jx
2jj

4. y ¼

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x
2
1

209 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Tema B

Unita`

4

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e proprieta` importanti Trasformazione

Equazioni della trasformazione

Simmetria rispetto al punto Cðx0 , y0 Þ




x0 ¼ 2x0
x y 0 ¼ 2y0
y

x ! 2x0
x

y ! 2y0
y

Simmetria rispetto alla retta y ¼ y0




x0 ¼ x y 0 ¼ 2y0
y

x!x

y ! 2y0
y

Simmetria rispetto alla retta x ¼ x0




x0 ¼ 2x0
x y0 ¼ y

x ! 2x0
x

y!y

Simmetria rispetto alla retta y ¼ x




x0 ¼ y y0 ¼ x

x!y

y!x

Simmetria rispetto alla retta y ¼
x




x0 ¼
y y 0 ¼
x

x !
y

y !
x




x0 ¼ x þ a y0 ¼ y þ b

x!x
a

Dilatazione con centro nell’origine di rapporti h e k




x0 ¼ hx y 0 ¼ ky

x!

x h

Dilatazione con centro in un punto generico




x0 ¼ hx þ a y 0 ¼ ky þ b

x!

x
a h

Traslazione di vettore ! v ða, bÞ

Sostituzioni da effettuare nell’equazione di una curva per ottenere l’equazione della curva corrispondente nella trasformazione

y !y
b y!

y k

y!

Se h ¼ k, la dilatazione e` un’omotetia. y
b k

Se h ¼ k, la dilatazione e` un’omotetia.

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Simmetrie centrali

TEORIA a p. 188

Le equazioni della simmetria centrale Test 1 Quale delle seguenti equazioni non rappresenta Þ una simmetria centrale?
0
0 x ¼1þx x ¼
x C A 0 y0 ¼ 2
y y ¼2
y
0
0 x ¼
x þ 3 x ¼1
x D B 0 y0 ¼ 2
y y ¼
y 2 Quale delle seguenti equazioni rappresenta una Þ

210

simmetria centrale avente centro nel punto Pð
1, 1Þ?
0
0 x ¼
2
x x ¼2
x A C y0 ¼ 2
y y 0 ¼
2
y
0
0 x ¼
2 þ x x ¼2
x B D y0 ¼ 2
y y 0 ¼
2 þ y

3 Þ

Vero o falso?

a. il simmetrico del punto Pð
3,
4Þ rispetto all’origine ha coordinate Pð4, 3Þ b. la simmetria avente centro in Pð2,
3Þ
0 x ¼2
x \left ha equazioni y0 ¼
3
y c. ogni simmetria centrale e` un’isometria d. la trasformazione di equazioni
0 x ¼
x non e` una simmetria centrale y0 ¼ 6
y
0 x ¼4
x e. la simmetria di equazioni y 0 ¼
y ha centro nel punto di coordinate (2, 0)

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 3 false]

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

5 Determina le equazioni della simmetria centrale Þ che trasforma il punto Að1,
3Þ nel punto Bð2, 1Þ. 
0  x ¼3
x y 0 ¼
2
y

Il punto A0 ð3, 4Þ e` il corrispondente di Að
1, 0Þ in una simmetria centrale. Determina le equazioni del
0  la simmetria. x ¼2
x

Di un parallelogramma ABCD si conoscono i tre vertici A(
3,
4), B(0,
1), C(2, 5). Determina il verti[Dð
1, 2Þ] ce D del parallelogramma.

Determina il triangolo A0 B0 C0 , simmetrico rispetto al punto P del triangolo ABC di cui sono dati i vertici. Rappresenta ABC e A0 B0 C0 e verifica che hanno lo stesso perimetro e la stessa area. 13 Þ

6 Þ

y0 ¼ 4
y

Determina il punto A0 simmetrico del punto A rispetto a P.   1 3 7 A(
1, 5); P , [A0 ð2,
2Þ] Þ 2 2   1 3 8 A(1, 3); P
,
[A0 ð
2,
6Þ] Þ 2 2 9 Þ

A(2,
3);

10 Þ

A(
3, 4);

Pð3,
1Þ   5 P
4,
2

[A0 ð4, 1Þ] [A0 ð
5,
9Þ]

11 Þ

Di un parallelogramma ABCD si conoscono i due vertici A(0, 1), B(3, 2) e il punto di intersezione delle   3 5 diagonali, M , . Determina i vertici C e D del 2 2

parallelogramma.

[Cð3, 4Þ; Dð0, 3Þ]

14 Þ 15 Þ 16 Þ

A(
1, 1), B(1, 0), C(2, 2) PO   pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 5 Perimetro ¼ 2 5 þ 10; Area ¼ 2 A(
2, 0), B(4, 0), C(2, 2) P(0, 1) pffiffiffi pffiffiffi [Perimetro ¼ 2 5 þ 2 2 þ 6; Area ¼ 6]

Trasformazioni geometriche

y0 ¼ 8
y

12 Þ

Unita` 4

4 Determina le equazioni della simmetria centrale Þ che trasforma il punto Að
1, 3Þ nel punto Bð4, 5Þ. (Suggerimento: il centro della simmetria e` il punto me 
0 dio di AB) x ¼3
x

A(
3, 0), B(2, 1), C(
1, 2) P(1, 1) pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [Perimetro ¼ 2 2 þ 10 þ 26; Area ¼ 4]

A(
2, 0), B(2, 3), C(2,
2) P(
1, 2) pffiffiffi [Perimetro ¼ 2 5 þ 10; Area ¼ 10]

E` dato il punto A(1, 2). Sia B il simmetrico di A rispetto all’origine e C il simmetrico di A rispetto al punto P(
1, 3). Determina perimetro e area del triangolo pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ABC. [Perimetro ¼ 4 5 þ 2 10; Area ¼10]

17 Þ

18 Þ

Dato il punto A(
2, 3), sia B il simmetrico di A rispetto a P(2, 0) e C il simmetrico di A rispetto al punto Q(
1, 1). Determina perimetro e area del triangolo pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ABC. [Perimetro ¼ 2 5 þ 2 10 þ 10; Area ¼ 10]

I triangoli ABC e A0 B0 C0 ; di vertici A(
2, 6), B(0, 1), C(2,
1) e A0 (1,
4), B0 (
1, 1), C0 (
3, 3), si corrispondono in una simmetria centrale?
0   x ¼
1
x Sı`, nella simmetria di equazioni: y0 ¼ 2
y

19 Þ

L’equazione della curva simmetrica di una curva assegnata Determina l’equazione della curva 0 , simmetrica di rispetto al punto P.

23 Þ

20 Þ 21 Þ

24 Þ

:xþy
1¼0

P(
1, 4)

: x þ 2y
3 ¼ 0 P(1,
2)   1 1 2 22

: y ¼ x P
, Þ 2 2 25 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

[x þ y
5 ¼ 0]

[x þ 2y þ 9 ¼ 0] [y ¼
x2
2x]

: x2 þ y 2 ¼ 4

Pð
1, 1Þ [x2 þ y 2 þ 4x
4y þ 4 ¼ 0]

Sia r la retta di equazione y ¼ 4x þ 1 ed s la sua simmetrica rispetto al punto A(
1, 3); verifica che r ed s sono parallele e calcola la loro distanza. pffiffiffiffiffiffi   12 17 s: 4x
y þ 13 ¼ 0; 17

Determiniamo il punto P appartenente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante rispetto al quale sono simmetriche le rette r: x þ y þ 1 ¼ 0 ed s: x þ y
3 ¼ 0.  Sia Pðx0 , x0 Þ un generico punto appartenente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (i cui punti sono caratterizzati dall’avere ascissa e ordinata uguali). Affinche´ le due rette r e s siano simmetriche rispetto a P, la simmetrica di r rispetto a P deve coincidere con s.  La retta simmetrica di r, di equazione x þ y þ 1 ¼ 0, rispetto al punto Pðx0 , x0 Þ ha equazione: ð2x0
xÞ þ ð2x0
yÞ þ 1 ¼ 0

Effettuando le sostituzioni x ! ð2x0
xÞ; y ! ð2x0
yÞ

ossia: x þ y
4x0
1 ¼ 0. 1  Questa retta coincide con la retta s, di   equazione x þ y
3 ¼ 0, se e solo se
4x0
1 ¼
3, da cui x0 ¼ 2 . 1 1 , Pertanto il punto cercato e` P . 2 2 211 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

26 Determina il punto P, appartenente alla retta di equazione y ¼ 2x, rispetto al quale sono simmetriche la retta Þ    r di equazione x þ y
1 ¼ 0 e la retta s di equazione x þ y þ 5 ¼ 0. 2 4 P
,
3 3 27 Þ

Verifica che non esiste alcun punto rispetto al quale sono simmetriche le rette di equazioni x þ y
1 ¼ 0 e x
y þ 3 ¼ 0.

28 Þ

2

Determina il punto P rispetto al quale sono simmetriche le parabole di equazioni y ¼ x e y ¼
x2 þ 4x þ 3.    7 P 1, 2

Verifica che non esiste alcun punto rispetto al quale sono simmetriche le parabole di equazioni y ¼ x2 e y ¼ x
6x þ 1. 29 Þ

2

Verifica che la curva di equazione x2 þ 4y 2
2x
8y þ 1 ¼ 0 ha centro di simmetria nel punto Pð1, 1Þ. (Suggerimento: devi dimostrare che applicando la simmetria di centro P all’equazione della curva, essa si trasforma in se stessa) 30 Þ

31 Þ

Verifica che la curva di equazione xy þ 3y
2x ¼ 0 ha centro di simmetria nel punto Pð
3, 2Þ.

32 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Individua il centro di simmetria della curva di equazione xy
3x þ 2y þ 1 ¼ 0.  Considera un punto Pðx0 , y0 Þ e determina l’equazione della curva simmetrica di quella data rispetto a Pðx0 , y0 Þ. Se svolgi correttamente i calcoli troverai che e` la curva di equazione: xy þ ð3
2y0 Þx þ 2ð
1
x0 Þy þ 4x0 y0
6x0 þ 4y0 þ 1 ¼ 0

[*]

 Perche´ Pðx0 , y0 Þ sia il centro di simmetria della curva, l’equazione [*] deve coincidere con l’equazione originaria. Affinche´ cio` si verifichi deve essere soddisfatto il seguente sistema, dal quale ricavi le coordinate di P: 8 < 3
2y0 ¼
3
1
x0 ¼ 1 [(
2, 3)] : 4x0 y0
6x0 þ 4y0 þ 1 ¼ 1 33 Þ 34 Þ 35 Þ

Individua il centro di simmetria della curva di equazione xy þ 2y
x þ 1 ¼ 0. Individua il centro di simmetria della curva di equazione x2 þ 4y 2
4x þ 3 ¼ 0. 2

2

Individua il centro di simmetria della curva di equazione x
y
6x
2y þ 7 ¼ 0.

[(
2, 1)] [(2, 0)] [(3,
1)]

Esercizi riassuntivi sulle simmetrie centrali 36 Þ

Determina per quali  valori dia il simmetrico del pffiffiffi 1 3 punto Aða, aÞ rispetto a P , dista 2 5 dall’ori2 2 gine del sistema di riferimento. [a ¼
1 _ a ¼ 5]

Determina per quale valore di a la retta r 0 , simmetrica della retta r di equazione x þ 2y
1 ¼ 0 rispetto   al punto Aða, aÞ, passa per il punto P(4, 4). 13 a¼ 6 37 Þ

38 Þ

Determina per quale valore di m la retta simmetrica rispetto al punto P(
1, 1) della retta di equazione   y ¼ mx þ 1 passa per il punto Q(3, 3). 2 m¼ 5

39 Dato il fascio di rette di equazione x þ y þ k ¼ 0, Þ trova la relazione che deve sussistere tra k1 e k2 in modo che le due rette del fascio corrispondenti a tali valori di k siano simmetriche rispetto al punto Pð
1, 2Þ. [k1 þ k2 ¼
2]

Determina le equazioni delle due rette r ed r 0 , papffiffiffi rallele alla retta di equazione y ¼ 2x e distanti 2 5 dall’origine. Individua poi un punto P rispetto al quale le due rette r ed r 0 sono simmetriche. Il punto P e` unico o ne esistono infiniti? [r ed r 0 : y ¼ 2x 10; si puo` scegliere per esempio P  O, ma ci sono infiniti altri punti rispetto ai quali r ed r 0 sono simmetriche: quali?] 40 Þ

41 Þ

Dato il triangolo ABC, di vertici A(
3, 0), B(3, 0) e C(0, 6), siano A0 ; B0 ; C0 rispettivamente i simmetrici di A, B, C rispetto al baricentro G del triangolo ABC. L’intersezione dei due triangoli ABC e A0 B0 C0 e` un esagono. Determina l’area e il perimetro dell’esagono. pffiffiffi [Perimetro ¼ 4 þ 4 5; Area ¼ 12]

212 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 4

2. Simmetrie assiali

TEORIA a p. 191

Simmetrie assiali con assi paralleli agli assi cartesiani o coincidenti con le bisettrici 42 Þ A

43 Þ A

44 Þ

Quale delle seguenti equazioni non rappresenta una simmetria assiale?
0
0
0 x ¼1
x x ¼
x x ¼x C B 0 0 y0 ¼ y y ¼2
y y ¼2
y

D




Trasformazioni geometriche

Test x0 ¼
y y0 ¼
x

Quale delle seguenti equazioni rappresenta la simmetria rispetto alla retta di equazione y ¼ 1?
0
0
0
0 x ¼2
x x ¼x x ¼2
x x ¼
x D C B y 0 ¼
y y0 ¼ 2
y y0 ¼ y y0 ¼ 2
y Vero o falso?

a. il simmetrico del punto Pð3,
2Þ rispetto alla retta di equazione y ¼ b. esistono delle simmetrie assiali che non sono isometrie

c. ogni retta parallela all’asse y e` unita nella simmetria di equazioni




3 e` il punto P 0 ð3, 5Þ 2

x0 ¼ x y 0 ¼
2
y

V

F

V

F

V

F

d. il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante e` P 0 ð
y, xÞ V F
0 x ¼
4
x rappresentano la simmetria rispetto alla retta di equazione x ¼
2 V F e. le equazioni y0 ¼ y [3 affermazioni vere e 2 false] Scrivi le equazioni della simmetria che trasforma il punto Pð
2,
1Þ nel punto P0 ð
2, 3Þ, sapendo che l’asse [x0 ¼ x, y 0 ¼ 2
y] di simmetria e` parallelo all’asse x. 45 Þ

Scrivi le equazioni della simmetria che trasforma il punto Pð
3, 4Þ nel punto P 0 ð6, 4Þ, sapendo che l’asse di simmetria e` parallelo all’asse y. [x0 ¼ 3
x, y 0 ¼ y]   1 3 47 Determina le coordinate del punto simmetrico di P , rispetto: Þ 2 2 1 d. alla retta di equazione y ¼
2 a. all’asse x b. all’asse y c. alla retta di equazione x ¼ 2 e. alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante            1 3 1 3 1 3 1 11 3 1 ,
, ,
a. ; b.
, ; c. ; d. ; e.
,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 46 Þ

48 Þ

Determina le coordinate del punto simmetrico di Pð
1, 2Þ rispetto:

a. all’asse x b. all’asse y c. alla retta di equazione x ¼
3 d. alla retta di equazione y ¼ 2 [a. ð
1,
2Þ; b. ð1, 2Þ; c. (
5, 2); d. (
1, 2); e. (2,
1)] e. alla bisettrice del primo e del terzo quadrante E` dato il triangolo di vertici A(
1, 0), B(1,
1), C(2, 3). Determina le coordinate dei vertici del corrispondente di ABC: 49 Þ

a. nella simmetria rispetto all’asse x b. nella simmetria rispetto all’asse y c. nella simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante Disegna il triangolo ABC e i suoi corrispondenti nelle simmetrie considerate. [a. A0 ð
1, 0Þ, B0 ð1, 1Þ, C0 ð2,
3Þ; b. A00 ð1, 0Þ, B00 ð
1,
1Þ, C00 ð
2, 3Þ; c. A000 ð0,
1Þ, B000 ð
1, 1Þ, C000 ð3, 2Þ] E` dato il triangolo di vertici A(1, 0), B(
1, 1), C(
2, 3). Determina le coordinate dei vertici del corrispondente di ABC: a. nella simmetria rispetto alla retta di equazione x ¼
2 b. nella simmetria rispetto alla retta di equazione y ¼
3 c. nella simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante 50 Þ

Disegna il triangolo ABC e i suoi corrispondenti nelle simmetrie considerate. [a. A0 (
5, 0), B0 (
3, 1), C0 (
2, 3); b. A00 (1,
6), B00 (
1,
7), C00 (
2,
9); c. A000 (0,
1), B000 (
1, 1), C000 (
3, 2)] E` dato il punto P(2, 1). Siano A, B e C il simmetrico di P rispetto all’asse x, rispetto all’asse y e rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Determina il perimetro e l’area del triangolo ABC. pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi [Að2,
1Þ, Bð
2, 1Þ, Cð1, 2Þ; Perimetro ¼ 2 10 þ 2 5; Area ¼ 5] 51 Þ

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213

Retta e trasformazioni geometriche

E` dato il punto P(2, 1). Siano A, B e C il simmetrico di P rispetto alla retta di equazione x ¼
1, rispetto alla retta di equazione y ¼
1 e rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Determina il perimetro e l’area pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [Að
4, 1Þ, Bð2,
3Þ, Cð1, 2Þ; Perimetro ¼ 2 26 þ 2 13; Area ¼ 13] del triangolo ABC. 52 Þ

Considera il triangolo ABC di vertici A(
2, 1), B(1, 1) e C(3, 2). Determina i vertici del triangolo A0 B0 C0 corrispondente di ABC nella simmetria rispetto all’asse x e i vertici del triangolo A00 B00 C00 corrispondente di A0 B0 C0 nella simmetria rispetto all’asse y. In quale simmetria centrale si corrispondono i due triangoli ABC e A00 B00 C00 ? 53 Þ

Considera il triangolo ABC di vertici A(2,
1), B(
1,
1) e C(
3,
2). Determina i vertici del triangolo A0 B0 C0 corrispondente di ABC nella simmetria rispetto alla retta di equazione y ¼ 2 e i vertici del triangolo A00 B00 C00 corrispondente di A0 B0 C0 nella simmetria rispetto alla retta di equazione x ¼ 1. In quale simmetria centrale si corrispondono i due triangoli ABC e A00 B00 C00 ? 54 Þ

Tema B

Equazione della curva corrispondente in una simmetria assiale di una curva assegnata 55 Determina l’equazione della retta simmetrica di Þ quella di equazione 2x
y ¼ 0 rispetto:

a. all’asse x b. all’asse y c. alla retta di equazione y ¼ 1 d. alla retta di equazione x ¼
1 e. alla bisettrice del primo e del terzo quadrante [a. 2x þ y ¼ 0; b. 2x þ y ¼ 0; c. 2x þ y
2 ¼ 0; d. 2x þ y þ 4 ¼ 0; e. 2y
x ¼ 0]

57 Þ

56 Þ

Determina l’equazione della parabola simmetrica di quella di equazione y ¼ x2 rispetto:

a. all’asse x b. all’asse y c. alla retta di equazione y ¼ 2 d. alla retta di equazione x ¼
3 e. alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante [a. y ¼
x2 ; b. y ¼ x2 ; c. y ¼
x2 þ 4;

d. y ¼ ðx þ 6Þ2 ; e. x ¼
y 2 ]

Determina l’equazione della curva simmetrica di quella di equazione x2 þ y 2
2x
1 ¼ 0 rispetto:

a. all’asse x b. all’asse y c. alla retta di equazione y ¼
1 d. alla retta di equazione x ¼ 2 [a. x2 þ y 2
2x
1 ¼ 0; b. x2 þ y 2 þ 2x
1 ¼ 0; e. alla bisettrice del primo e del terzo quadrante c. x2 þ y 2
2x þ 4y þ 3 ¼ 0; d. x2 þ y 2
6x þ 7 ¼ 0; e. x2 þ y 2
2y
1 ¼ 0] 58 Þ

Verifica che la curva di equazione 2x2
8x
y ¼ 0 e` simmetrica rispetto alla retta di equazione x ¼ 2.

59 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo rispetto a quale retta parallela all’asse y e` simmetrica la curva di equazione x2
2x þ y ¼ 0.  Consideriamo una generica retta parallela all’asse y, di equazione x ¼ x0 . La curva simmetrica di quella data rispetto a tale retta ha equazione: ð2x0
xÞ2
2ð2x0
xÞ þ y ¼ 0

Eseguendo le sostituzioni x ! 2x0
x; y ! y

ossia: x2
2ð2x0
1Þx þ y
4x0 þ 4x20 ¼ 0

[*]

 Affinche´ la curva data sia simmetrica rispetto alla retta di equazione x ¼ x0 , la [*] deve coincidere con l’equazione originaria, quindi deve essere: ( 2x0
1 ¼ 1 4x20
4x0 ¼ 0

Questo sistema e` verificato per x0 ¼ 1, quindi la curva data e` simmetrica rispetto alla retta di equazione x ¼ 1. 60 Þ

Determina rispetto a quale retta parallela all’asse x e` simmetrica la curva di equazione y2
5y
x ¼ 0.   5 y¼ 2

61 Þ

Verifica che la curva di equazione x2 y
2xy þ y
1 ¼ 0 e` simmetrica rispetto alla retta di equazione x ¼ 1.

62 Þ

Verifica che la curva di equazione xy
x
y ¼ 0 non e` simmetrica rispetto ad alcuna retta parallela agli assi cartesiani.

214 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Determina il punto P 0 , simmetrico di P(
1, 2) rispetto alla retta di equazione x þ 4y ¼ 0.   31 22 ,

17 17

64 Þ

65 Þ

Determina le equazioni della simmetria assiale ri28 3 1 3 4 > < x0 ¼ x þ y spetto alla retta r: y ¼ x. 6 7 2 5 5 4 5 > : y0 ¼ 4 x
3 y 5 5

66 Þ

Determina le equazioni della simmetria assiale ri
0  x ¼yþ1 spetto alla retta r: y ¼ x
1. y0 ¼ x
1 Scrivi l’equazione della retta r 0 , simmetrica della retta r: y ¼
2x þ 3 rispetto alla retta  di equazione 1 2 15 y¼ x
y ¼
x. 2 11 11

67 Þ

Scrivi l’equazione della retta r 0 , simmetrica della retta r: y ¼ 3x
2 rispetto alla retta di equazione   y ¼ 2x. 13 10 xþ y¼ 9 9

68 Þ

Trasformazioni geometriche

63 Determina le coordinate del punto simmetrico Þ dell’origine rispetto alla retta di equazione y ¼ 2x
1.   4 2 ,
5 5

Unita` 4

Simmetrie rispetto a una retta generica

Esercizi riassuntivi sulle simmetrie assiali Sia r la retta di equazione y ¼
2x e siano r 0 ed r 00 le rette simmetriche di r, rispettivamente, rispetto alle rette di equazione y ¼ 1 e x ¼ 1. Sia A il punto di intersezione di r 0 con l’asse y e siano B, C i punti di intersezione di r, rispettivamente, con r 0 ed r 00 . Determina il quarto vertice D del parallelogramma ABCD.      1 3 ,
1 A(0, 2); B
, 1 ; C(1,
2); D 2 2 69 Þ

Sia r 0 la retta simmetrica di r : y ¼
2x þ 1 rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Depffiffiffi termina sulla retta r 0 un punto P tale che PQ ¼ 2 5, essendo Q il punto di intersezione di r ed r 0 .      11 7 13 5 , ,
P1
, P2 3 3 3 3 70 Þ

71 Þ

Considerato il fascio di rette di equazione:

kx þ ð1
kÞy
2 ¼ 0 determina quale relazione deve sussistere tra k1 e k2 in modo che le due rette del fascio corrispondenti a questi valori di k risultino simmetriche rispetto alla generatrice del fascio parallela all’asse x. [2k1 k2 ¼ k1 þ k2 ] 72 Scrivi le equazioni delle due rette, passanti per Þ P(0, 2) e simmetriche rispetto alla retta di equazione y ¼ 2, che formano con la retta di equazione x ¼ 4 un   triangolo di area 8. 1 y ¼ xþ2 2 73 Considerato il fascio di rette di equazione Þ ðk þ 1Þx
2ky þ k
3 ¼ 0, individua la retta del fascio la cui simmetrica rispetto alla generatrice parallela all’asse y passa per il punto Pð
2, 4Þ. [2x
5y þ 4 ¼ 0]

pffiffiffi Determina le equazioni delle due rette r ed r 0 che intersecano l’asse y nel punto P(0, 1) e distano 5 dal punto Q(3, 0). Le due rette r ed r 0 si corrispondono in due simmetrie assiali; determina le equazioni degli assi di tali sim  metrie. 1 r ed r 0 : y ¼
2x þ 1 e y ¼ x þ 1; assi delle simmetrie: x þ 3y
3 ¼ 0 e 3x
y þ 1 ¼ 0 2 74 Þ

3. Traslazioni

TEORIA a p. 196

Equazioni di una traslazione 75 Þ

Completa:




x0 ¼ x þ ::::: y 0 ¼ y þ ::::: b. il corrispondente di P(1, 3) nella traslazione di vettore ! v ð
1, 0Þ e` il punto P 0 ð:::::,

a. la traslazione di vettore ! v ða, bÞ ha equazioni

:::::Þ

c. per determinare l’equazione della curva corrispondente di una curva data nella traslazione di vettore ! v ða, bÞ occorre effettuare nell’equazione della curva le sostituzioni: x ! :::::::::::::::

e

y ! :::::::::::::::

d. la traslazione di equazioni




x0 ¼ x
2 trasforma il punto P(1, 3) nel punto P 0 ð:::::, y0 ¼ y þ 3

:::::Þ

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215

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

76 Þ


0 Vero o falso? x ¼x
2 ! a. la traslazione di vettore v ð
2, 1Þ ha equazioni y0 ¼ y þ 1
0 x ¼2þx e` una traslazione di vettore ! v ð2,
2Þ b. la trasformazione di equazioni y0 ¼ 2
y

V

F

V

F

c. la traslazione che trasforma il punto Að
2,
1Þ nel punto A0 ð2,
1Þ trasforma il punto Bð
3, 1Þ nel V F punto B0 ð1, 1Þ     3 7 d. il corrispondente di P
1, V F nella traslazione di vettore ! v (
1, 2) e` P 0 0, 2 2 [2 affermazioni vere e 2 false]

77 Scrivi le equazioni della traslazione che trasforma il punto A(1,
1) nel punto Bð
2, 4Þ. Determina poi il corÞ 
0  rispondente nella traslazione del punto P(
6,
11). x ¼x
3 0 ; P ð
9,
6Þ y0 ¼ y þ 5

Scrivi le equazioni della traslazione che trasforma il punto A(2, 3) nel punto A0 , simmetrico di A rispetto all’o
0  rigine. x ¼x
4 y0 ¼ y
6 78 Þ

Scrivi le equazioni della traslazione che trasforma il punto A(
3,
5) nel punto B(
2,
8). Il punto P 0 ð11, 11Þ 
0  e` il corrispondente nella traslazione di un punto P; quali sono le coordinate di P? x ¼xþ1 0 ; P ð10, 14Þ y0 ¼ y
3 79 Þ

Scrivi le equazioni della traslazione di vettore ! v (2,
3) e determina il corrispondente in tale traslazione del segmento AB, avente gli estremi nei punti A(
2, 1) e B(3,
1). Verifica che il punto medio di A0 B0 e` il corrispondente nella traslazione del punto medio di AB. 80 Þ

Determina i vertici del triangolo A0 B0 C0 , corrispondente del triangolo ABC nella traslazione di vettore ! v, e disegna i due triangoli ABC e A0 B0 C0 . Verifica che ABC e A0 B0 C0 hanno lo stesso perimetro e la stessa area. pffiffiffiffiffiffi ! 81 A(
1, 2); B(1,
1); C(3, 2) v (
2, 1) [Perimetro ¼ 2 13 þ 4; Area ¼ 6] Þ   pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 7 ! Perimetro ¼ 13 þ 10 þ 5 ; Area ¼ 82 A(0, 2); B(2,
1); C(3, 1) v (1,
2) Þ 2 pffiffiffi ! 83 A(
1, 2); B(
3,
2); C(0, 2) v (3, 0) [Perimetro ¼ 2 5 þ 6; Area ¼ 2] Þ p ffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi ! 84 A(
1, 3); B(2, 0); C(0,
2) v (0,
1) [Perimetro ¼ 5 2 þ 26; Area ¼ 6] Þ

E` dato il quadrilatero ABCD di vertici A(
1, 0), B(0, 1), C(0, 2), D(
1, 1). Dopo aver verificato che e` un paralv (2,
2). Verifica che lelogramma, determina i vertici del suo corrispondente A0 B0 C0 D0 nella traslazione di vettore ! il centro del parallelogramma A0 B0 C0 D0 e` il corrispondente, nella traslazione, del centro di ABCD. [A0 ð1,
2Þ, B0 ð2,
1Þ, C0 ð2, 0Þ, D0 ð1,
1Þ] 85 Þ

86 Þ

Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A(0, 1), B(3, 0), C(4, 1), D(1, 2) e` un parallelogramma. Determina i vertici del parallelogramma che si ottiene traslando ABCD mediante la traslazione che manda il punto di intersezione delle diagonali di ABCD nel vertice A. [A0 ð
2, 1Þ, B0 ð1, 0Þ, C0 ð2, 1Þ, D0 ð
1, 2Þ]

L’equazione di una curva corrispondente in una traslazione di una curva assegnata Determina l’equazione della retta corrispondente della retta r nella traslazione di vettore ! v. ! ! 87 r: y ¼ x
1 v (
1, 2) [y ¼ x þ 2] 89 r: y ¼
2x
1 v (
2,
3)

Þ 88 Þ

216

r: x
2y þ 3 ¼ 0

! v (2, 3)

[x
2y þ 7 ¼ 0]

Þ 90 Þ

r: 2x
3y þ 1 ¼ 0

! v (1,
2)

[y ¼
2x
8] [2x
3y
7 ¼ 0]

Determina l’equazione della curva corrispondente nella traslazione di vettore ! v della curva . ! ! 2 2 91 : y ¼ 1
x v (1,
2) 94 : y ¼ x þ 2x þ 1 v (0, 3) [y ¼ x2 þ 2x þ 4] Þ Þ 2 [y ¼
x þ 2x
2] ! 95 : x2
xy þ y 2
1 ¼ 0 v (
1, 1) Þ ! 2 2 2 92 : x þ y ¼ 1 v (1,
2) [x
xy þ y 2 þ 3x
3y þ 2 ¼ 0] Þ 2 2 [x þ y
2x þ 4y þ 4 ¼ 0] ! 96 : x2
2y 2
1 ¼ 0 v (
1, 1) Þ ! 2 2 2 93 : y ¼ x
2x v (2, 0) [y ¼ x
6x þ 8] [x
2y 2 þ 2x þ 4y
2 ¼ 0] Þ Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESERCIZIO GUIDATO

 Una traslazione di vettore ! v ða, bÞ trasforma la curva di equazione x2
y ¼ 0 nella curva di equazione: ðx
aÞ2
ðy
bÞ ¼ 0

Effettuando le sostituzioni x ! x
a; y ! y
b

ossia, svolgendo i calcoli: x2
2ax
y þ a2 þ b ¼ 0

 Questa equazione coincide con l’equazione di 0 , x2
2x
y
3 ¼ 0 , se e solo se a e b soddisfano il sistema:

2a ¼
2 a2 þ b ¼ :::::

Trasformazioni geometriche

Determina la traslazione che trasforma la curva di equazione x2
y ¼ 0 nella curva 0 di equazione x2
2x
y
3 ¼ 0.

Unita` 4

97 Þ

da cui: a ¼ :::::, b ¼
4.

 Pertanto, la traslazione richiesta e` quella di equazioni x0 ¼ x þ :::::, y 0 ¼ y
::::: Determina le equazioni della traslazione che trasforma la curva nella curva 0 . 98 : y ¼ x2

0 : y ¼ x2
2x Þ 99 Þ 100 Þ 101 Þ 102 Þ

: xy ¼ 1

: 2x2
2x
y ¼ 0

: x2 þ y 2
4 ¼ 0

0 : xy
x þ 2y
3 ¼ 0

0 : 2x2
6x
y þ 6 ¼ 0

[x0 ¼ x þ 1; y 0 ¼ y
1]

[x0 ¼ x
2; y 0 ¼ y þ 1]

[x0 ¼ x þ 1; y 0 ¼ y þ 2]

0 : x2 þ y 2 þ 6x þ 5 ¼ 0

[x0 ¼ x
3; y 0 ¼ y]

Verifica che non esiste alcuna traslazione che trasforma la curva di equazione x2
2x
y ¼ 0 nella curva 0 di equazione 3x2
y ¼ 0.

Verifica che non esiste alcuna traslazione che trasforma la curva di equazione x2
3xy
1 ¼ 0 nella curva

di equazione x2
3xy
3x
3y
1 ¼ 0. 103 Þ 0

Esercizi riassuntivi sulle traslazioni pffiffiffi Data la retta r: y ¼ 2x
4, scrivi le equazioni delle rette parallele a r e distanti 5 da r. Delle due rette trovate, indica con s quella che ha ordinata all’origine positiva. Determina i punti A 2 r, B 2 s, aventi ascissa 1 e i punti P 2 r, Q 2 s, aventi ordinata 1. Scrivi le equazioni della traslazione 1 che manda A in B e le equazioni della traslazione 2 che manda P in Q. Verifica analiticamente che sia 1 sia 2 trasformano la retta r nella retta s. Quante traslazioni esistono che trasformano (
0    5  la retta r nella retta s? 5 x ¼x x0 ¼ x
;  : , 1 , Qð0, 1Þ; 1 : s : y ¼ 2x þ 1; Að1,
2Þ, Bð1, 3Þ; P 2 y0 ¼ y þ 5 2 2 y0 ¼ y 104 Þ

105 Þ

Scrivi le equazioni delle rette r edps,ffiffiffiparallele alla 1 6 5 dall’origine retta di equazione y ¼ x e distanti 5 2 (indica con r la retta avente ordinata all’origine negativa). Una traslazione rispetto alla quale la bisettrice del secondo e del quarto quadrante e` una retta unita trasforma la retta r nella retta s; scrivi le equazioni di questa traslazione.
0   1 1 x ¼x
4 r: y ¼ x
3; s: y ¼ x þ 3; y0 ¼ y þ 4 2 2 Dati i punti A(
1,
2) e B(3, 2), siano A0 e B0 i corrispondenti di A e di B in una traslazione. Determina tale traslazione in modo che il parallelogramma pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi ABB0 A0 abbia area 16 e perimetro 8 2 þ 4 10. 106 Þ

[Ci sono quattro traslazioni possibili, quelle di vettori: ! ! ! v4 ð
6,
2Þ] v1 ð2, 6Þ; v2 ð
2,
6Þ; v3 ð6, 2Þ; !

107 Þ

Dato il segmento AB, di estremi Að
7,
2Þ e Bð
4,
3Þ, determina il segmento A0 B0 , corrispondente di AB nella simmetria rispetto alla retta di equazione x ¼
2, e il segmento A00 B00 , corrispondente di A0 B0 nella simmetria rispetto alla retta di equazione x ¼ 1. Determina la traslazione che fa corrispondere al segmento AB il segmento A00 B00 . Verifica analiticamente che, in generale, la trasformazione che si ottiene componendo due simmetrie assiali con assi paralleli all’asse y e` una traslazione. 108 Dato il segmento AB, di estremi Að
2, 2Þ e Þ Bð3, 4Þ, determina il segmento A0 B0 , corrispondente di AB nella simmetria di centro P(1, 0), e il segmento A00 B00 , corrispondente di A0 B0 nella simmetria di centro Q(
3,
3). Determina la traslazione che fa corrispondere al segmento AB il segmento A00 B00 . Verifica analiticamente che, in generale, la trasformazione che si ottiene componendo due simmetrie centrali e` una traslazione.

217 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

4. Dilatazioni e omotetie

TEORIA a p. 198

Equazioni di dilatazioni e omotetie 109 Þ

Completa:

a. l’omotetia avente centro nell’origine e rapporto 3 ha equazioni




x0 ¼ :::::::::: x y 0 ¼ :::::::::: y

b. per determinare l’equazione della corrispondente di una curva in un’omotetia avente centro nell’origine e rapporto k occorre eseguire nell’equazione della curva le sostituzioni: x ! :::::::::: e y ! ::::::::::
0 x ¼ 2x
3 c. la dilatazione di equazioni ha centro nel punto Cð:::::::::: , ::::::::::Þ y 0 ¼ 2y
3 d. il punto corrispondente di P(1,
1) in un’omotetia avente centro nell’origine e rapporto
2 e` P0 ð:::::::::: , 110 Þ

Vero o falso?

a. la trasformazione di equazioni




x0 ¼ 2x y 0 ¼ 3y

non e` un’omotetia

b. le dilatazioni conservano il rapporto fra i segmenti
0 x ¼ 2x
1 c. il centro dell’omotetia di equazioni e` il punto Cð
1, 1Þ y 0 ¼ 2y þ 1 d. le omotetie sono particolari dilatazioni e. le omotetie sono similitudini f. le dilatazioni sono similitudini

::::::::::Þ

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[3 affermazioni vere e 3 false] 28 3 1 < 0 ¼ x x 4 111 Trova le equazioni della dilatazione con centro l’origine che manda Að
4, 2Þ in A0 ð
2, 6Þ. 2 5 Þ : 0 y ¼ 3y 112 Þ 113 Þ

114 Þ

Stabilisci se esiste un’omotetia con centro nell’origine che manda Að
4, 2Þ in A0 ð
2, 2Þ.

[Non esiste]

0

Stabilisci se esiste un’omotetia con centro nell’origine che manda Að
4, 2Þ in A ð2,
1Þ.   1 Sı`, l’omotetia avente rapporto di omotetia uguale a
2 ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo le equazioni dell’omotetia avente rapporto di omotetia uguale a 2 e centro in C(
3, 1).  Un’omotetia di rapporto 2 ha equazioni del tipo:




x0 ¼ 2x þ a y 0 ¼ 2y þ b

 Affinche´ il centro sia il punto C(
3, 1), l’omotetia deve trasformare il punto C in se stesso, quindi deve essere soddisfatto il sistema:

3 ¼ 2  ð
3Þ þ a da cui segue a ¼ 3, b ¼
1 1¼21þb
0 x ¼ 2x þ 3 .  In conclusione, l’omotetia cercata ha equazione y 0 ¼ 2y
1 115 Þ

Determina l’equazione dell’omotetia avente rapporto di omotetia uguale a 3 e centro in C(
2, 1). [x0 ¼ 3x þ 4, y 0 ¼ 3y
2]
0 x ¼ 2x
3 , determina il suo centro e l’immagine P 0 di P(
1, 4). 116 Data la dilatazione di equazioni Þ y 0 ¼ 3y
2 [C(3, 1); P 0 ð
5, 10Þ] 117 Scrivi le equazioni della dilatazione, avente centro in C(1,
1), che trasforma il punto P(0, 1) nel punto Þ "( 0 # P 0 (2, 0). x ¼
x þ 2 1 1 y0 ¼ y
2 2

218 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

E` dato il segmento AB, di estremi Að2, 2Þ e Bð6, 5Þ. Determina il corrispondente A0 B0 nell’omotetia avente cen1 e disegna AB e A0 B0 . Verifica che il rapporto fra A0 B0 e AB e` tro nell’origine e rapporto di omotetia uguale a
2     5 5 uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia. A0 ð
1,
1Þ, B0
3,
, AB ¼ 5, A0 B0 ¼ 2 2 119 Þ

I due segmenti AB e A0 B0 , di estremi Að
2,
1Þ, Bð3, 2Þ e A0 ð4,
3Þ; B0 ð
6, 6Þ possono corrispondersi in un’omotetia avente centro nell’origine? E in una dilatazione avente centro nell’origine?
0   x ¼
2x Non si possono corrispondere in un’omotetia; si corrispondono nella dilatazione di equazioni y0 ¼ 3y

120 Þ

Trasformazioni geometriche

E` dato il segmento AB, di estremi Að
2, 1Þ e Bð4,
1Þ. Determina il corrispondente A0 B0 nella dilatazione di 1 equazioni x0 ¼ x, y 0 ¼
2y e disegna AB e A0 B0 . Verifica che il punto medio di A0 B0 e` il corrispondente nella dila2 [A0 ð
1,
2Þ, B0 ð2, 2Þ] tazione del punto medio di AB. 118 Þ

Unita` 4

Corrispondenti di figure tramite dilatazioni e omotetie

E` dato il triangolo di vertici Að0, 1Þ, Bð2, 2Þ, Cð1, 0Þ. Determina il corrispondente A0 B0 C0 del triangolo ABC nel
0 x ¼
2x . Rappresenta i due triangoli e calcola i loro perimetri e le loro aree. la dilatazione di equazioni y0 ¼ 3y  pffiffiffi pffiffiffi 3 A0 ð0, 3Þ, B0 ð
4, 6Þ, C0 ð
2, 0Þ; PerimetroðABCÞ ¼ 2 5 þ 2; AreaðABCÞ ¼ ; 2  p ffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi PerimetroðA0 B0 C0 Þ ¼ 2 10 þ 13 þ 5; AreaðA0 B0 C0 Þ ¼ 9 121 Þ

E` dato il triangolo ABC, di vertici Að0, 1Þ, Bð2, 2Þ, Cð1, 0Þ. Determina il triangolo A0 B0 C0 , corrispondente del triangolo ABC nell’omotetia avente centro nell’origine e rapporto di omotetia
2; disegna i due triangoli e calcola  pffiffiffi pffiffiffi i loro perimetri e le loro aree. 3 A0 ð0,
2Þ, B0 ð
4,
4Þ, C0 ð
2, 0Þ; PerimetroðABCÞ ¼ 2 5 þ 2; AreaðABCÞ ¼ ; 2 p ffiffiffi p ffiffiffi PerimetroðA0 B0 C0 Þ ¼ 4 5 þ 2 2; AreaðA0 B0 C0 Þ ¼ 6 122 Þ

E` dato il rettangolo ABCD di vertici Að
1,
1Þ, Bð2, 2Þ, Cð0, 4Þ, Dð
3, 1Þ. Determina il corrispondente
0 x ¼ 2x . A0 B0 C0 D0 di ABCD nella dilatazione di equazioni y 0 ¼
y a. Verifica che A0 B0 C0 D0 non e` un rettangolo ma e` un parallelogramma. b. Determina l’area e il perimetro di ABCD e di A0 B0 C0 D0 . pffiffiffi [A0 ð
2, 1Þ, B0 ð4,
2Þ, C0 ð0,
4Þ, D0 ð
6,
1Þ; PerimetroðABCDÞ ¼ 10 2; AreaðABCDÞ ¼ 12; pffiffiffi 8 PerimetroðA0 B0 C0 D0 Þ ¼ 10 5; AreaðA0 B0 C0 D0 Þ ¼ 24] 1 > > < x0 ¼ x 2 ` . Determina il triangolo A0 B0 C0 , corrispondente in tale omotetia del 124 E data l’omotetia di equazioni Þ > 1 > 0 :y ¼ y 2 123 Þ

triangolo ABC di vertici A(
2, 2), B(2,
2), C(2, 0). Rappresenta i due triangoli e calcola i loro perimetri e le loro pffiffiffi pffiffiffi aree. [A0 ð
1, 1Þ, B0 ð1,
1Þ, C0 ð1, 0Þ; PerimetroðABCÞ ¼ 4 2 þ 2 5 þ 2; AreaðABCÞ ¼ 4; pffiffiffi pffiffiffi PerimetroðA0 B0 C0 Þ ¼ 2 2 þ 5 þ 1; AreaðA0 B0 C0 Þ ¼ 1]

E` data la dilatazione, avente centro nell’origine, di rapporto orizzontale
2 e rapporto verticale 3. Determina il triangolo A0 B0 C0 corrispondente nella dilatazione del triangolo ABC, di vertici Að
1, 2Þ, Bð1,
1Þ, Cð1, 0Þ. Rappresenta i due triangoli e calcola i loro perimetri e le loro aree. [A0 ð2, 6Þ, B0 ð
2,
3Þ, C0 ð
2, 0Þ; pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi PerimetroðABCÞ ¼ 13 þ 2 2 þ 1; AreaðABCÞ ¼ 1; PerimetroðA0 B0 C0 Þ ¼ 97 þ 2 13 þ 3; AreaðA0 B0 C0 Þ ¼ 6] 125 Þ

Corrispondente di una curva in una dilatazione o in un’omotetia

Determina l’equazione della curva corrispondente di nella dilatazione di cui sono date le equazioni. 8
0 < x0 ¼ 1 x x ¼ 2x [6x þ 2y
9 ¼ 0] 126

: y ¼ 2x þ 1 [y ¼ 3x þ 3] 128

: x þ 2y
3 ¼ 0 2 Þ Þ y 0 ¼ 3y : 0 y ¼ 3y
0
0 x ¼ 2x x ¼x 127

: x þ y
1 ¼ 0 [x
y
2 ¼ 0] 0 Þ 129

: y ¼
2x þ 1 [y ¼ 6x
3] y ¼
2y Þ y 0 ¼
3y Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

219

Retta e trasformazioni geometriche Tema B




  1 2 x0 ¼ 2x 130 : y ¼ x y¼
x Þ y 0 ¼
y 4
0 x ¼ 2x 131 : y ¼ x2
2x [y ¼ x2
4x] Þ y 0 ¼ 4y 8 1 >   < x0 ¼
x 1 2 2 4 y ¼ 8x þ 132 : y ¼ x þ 1 Þ > 2 : y0 ¼ 1 y 2 133 Determina, in ciascuno Þ
0 dei seguenti casi, l’equazione della curva che si ottiene trasformando mediante la x ¼
2x dilatazione di equazioni : y0 ¼ 2y
1   x2 2 2 2 2 2 a. : x
2y ¼ 0 b. : y ¼ x
1; c. x þ y þ 2y
3 ¼ 0 c. : x þ y ¼ 1. a. x þ 2y þ 2 ¼ 0; b. y ¼ 2 2

134 Þ




Determina la retta r 0 , corrispondente della retta r: 2x
y
1 ¼ 0 nella dilatazione di equazioni:

x0 ¼
2x
1 y0 ¼ 3y
2

[3x þ y þ 8 ¼ 0]

Data la retta r : x
y þ 2 ¼ 0, sia r 0 la retta corrispondente di r nell’omotetia avente centro nell’origine e rappffiffiffi [2 2] porto di omotetia 3; determina la distanza fra r ed r 0 .

135 Þ

136 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Sono date le due rette r: 2x
3y
1 ¼ 0 ed s: 2x
3y þ 12 ¼ 0. Determiniamo l’equazione dell’omotetia, avente centro nell’origine, che trasforma r in s.
0 x ¼ kx  Una generica omotetia avente centro nell’origine ha equazioni e trasforma la retta r: 2x
3y
1 ¼ 0 y 0 ¼ ky nella retta di equazione: x y x y Eseguendo le sostituzioni x ! e y !
3
1¼0 2 k k k k ossia, svolgendo i calcoli: 2x
3y
k ¼ 0  Questa retta coincide con s: 2x
3y þ 12 ¼ 0 se e solo se k ¼
12, pertanto l’omotetia cercata ha equazioni: x0 ¼
12x, y 0 ¼
12y Determina l’omotetia avente centro nell’origine che trasforma la retta r di equazione y ¼ 2x þ 2 nella retta r 0 , 3 28 3 parallela ad r, che interseca l’asse y in P(0, 3). > < x0 ¼ x 6 2 7 5 4 > : y0 ¼ 3 y 2

137 Þ

138 Þ

Determina le dilatazioni orizzontali e le dilatazioni verticali, aventi centro nell’origine, che trasformano la "
( 0 #
0 x2 x ¼x x0 ¼ 2x x ¼
2x . parabola di equazione y ¼ x2 nella parabola di equazione y ¼ 1 , ; 4 y0 ¼ y y0 ¼ y y0 ¼ y 4

Esercizi riassuntivi su omotetie e dilatazioni ` dato il triangolo ABC, di vertici A(
1, 0), 139 E Þ B(2, 0), C(3, 1). Un’omotetia avente centro nell’origine trasforma il triangolo ABC in un triangolo A0 B0 C0 di area 6, con C0 nel terzo quadrante. Determina l’equazione dell’omotetia e le coordinate di A0 , B0 , C0 . "( 0 # x ¼
2x ; A0 ð2, 0Þ, B0 ð
4, 0Þ, C0 ð
6,
2Þ y 0 ¼
2y

` dato il triangolo ABC, di vertici A(
1, 0), B(1, 1), 140 E Þ C(1, 3). Una dilatazione avente centro nell’origine trasforma ABC in un triangolo A0 B0 C0 equivalente, con A0 ð3; 0Þ e C0 nel secondo quadrante. Determina l’equazione della dilatazione e le coordinate di A0 , B0 , C0 . "( 0 #   x ¼
3x 1 1 ; A0 ð3, 0Þ, B0
3, , C0 ð
3, 1Þ y0 ¼ y 3 3

220 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Trasformazioni geometriche

Dato il segmento AB, di estremi Að
2,
2Þ e Bð4, 2Þ, determina il segmento A0 B0 , corrispondente di AB nell’o1 e centro Cð4, 4Þ, e il segmento A00 B00 , corrispondente di A0 B0 nell’omotetia di rapporto 2 e motetia di rapporto 2 centro C0 ð
1,
1Þ. Determina la traslazione che fa corrispondere al segmento AB il segmento A00 B00 . Verifica analiticamente che, in generale, la trasformazione che si ottiene componendo due omotetie aventi rapporti reciproci e` una traslazione (eventualmente coincidente con l’identita`). pffiffiffiffiffiffi 143 Determina le equazioni delle rette parallele alla retta r: 2x
3y
1 ¼ 0 e distanti 13 da essa; delle due rette Þ trovate indica con s la retta che interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva e con t l’altra. Determina l’equazione dell’omotetia avente centro nell’origine che trasforma r in s e l’equazione dell’omotetia avente centro nell’o" rigine che trasforma s in t. 142 Þ

Unita` 4

Dato il segmento AB, di estremi Að
1, 3Þ e Bð4,
1Þ, determina il segmento A0 B0 , corrispondente di AB nell’o1 motetia di rapporto 2 e centro Cð4, 4Þ e il segmento A00 B00 , corrispondente di A0 B0 nell’omotetia di rapporto
e 2 centro C0 ð2, 2Þ. Determina la simmetria centrale che fa corrispondere al segmento AB il segmento A00 B00 . Verifica analiticamente che, in generale, la trasformazione che si ottiene componendo due omotetie aventi rapporti antireciproci e` una simmetria centrale. 141 Þ

s: 2x
3y þ 12 ¼ 0, t : 2x
3y
14 ¼ 0; l’omotetia che trasforma r in s 3 8 7 >
0 < x0 ¼
x 7 x ¼
12x 6 7 e quella che trasforma s in t ha equazioni ha equazioni 5 y0 ¼
12y > : y0 ¼
7 y 6

5. Le trasformazioni e i grafici delle funzioni

TEORIA a p. 202

Le simmetrie e i grafici Partendo dai grafici delle funzioni «elementari» pffiffiffi pffiffiffi 1 y ¼ jxj, y ¼ x2 , y ¼ x3 , y ¼ , y ¼ x e y ¼ 3 x, dedux ci i grafici delle seguenti funzioni. pffiffiffi 144 y ¼
x Þ pffiffiffiffiffiffiffi 145 y ¼
x Þ y ¼
x2 1 147 y ¼
Þ x ffiffiffi p 3 148 y ¼
x Þ 146 Þ

149 Þ 150 Þ 151 Þ 152 Þ

3

y ¼
x pffiffiffiffiffiffiffi y ¼

x y ¼
jxj

Nella figura qui sotto e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. Deduci i grafici delle funzioni y ¼ f ð
xÞ, y ¼
f ðxÞ, y ¼
f ð
xÞ. y

y = f(x)

x

O 2

–4 –2

5

7

Traccia i grafici delle seguenti funzioni della forma y ¼ j f ðxÞj. 153 Þ 154 Þ 155 Þ

y ¼ jx
2j pffiffiffi y ¼ j 3 xj

157 Þ 158 Þ

y ¼ jx3 j

y ¼ jx2
4j



1



156 y ¼ 1
x Þ

2

y ¼ jx2
3xj



1

159 y ¼



Þ x



x
4



160 y ¼

Þ 2

Traccia i grafici delle seguenti funzioni della forma y ¼ f ðjxjÞ. 161 Þ 162 Þ 163 Þ 164 Þ

y ¼ jxj þ 2 pffiffiffiffiffiffi y ¼ 3 jxj y ¼ 3
jxj

y ¼
x2 þ 4jxj 1 165 y ¼ jxj
1 Þ 2 y ¼ jxj3 pffiffiffiffiffiffi y ¼ jxj 1 168 y ¼ Þ jxj 166 Þ 167 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

221

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

169 Þ

y ¼3


1 jxj 2

170 Þ

y ¼ x2 þ 2jxj þ 1

171 Nella figura qui sotto e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. Deduci i grafici delle funzioni y ¼ jf ðxÞj e Þ y ¼ f ðjxjÞ.

y y = f (x) 2

–5

x

O

4

6

–2

172 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Tracciamo il grafico della curva di equazione jxj þ jyj ¼ 4.  Osserviamo che la curva e` simmetrica sia rispetto all’asse x, sia rispetto all’asse y. Infatti sia le sostituzioni x !
x, y ! y, sia le sostituzioni x ! x, y !
y lasciano invariata l’equazione della curva data.

 Possiamo allora tracciare il grafico della curva nel primo quadrante, cioe` per x  0 e y  0 e dedurre per simmetria il grafico della curva negli altri quadranti: – quando x  0 e y  0 (primo quadrante) risulta jxj ¼ x e jyj ¼ y, quindi l’equazione della curva diventa x þ y ¼ 4 , che rappresenta una retta (fig. a a pagina seguente); – quando x  0 e y  0 (secondo quadrante) il grafico della curva assegnata sara` il simmetrico, rispetto all’asse y, del grafico tracciato per x  0 e y  0 (fig. b); – infine, per y  0 (terzo e quarto quadrante) il grafico di jxj þ jyj ¼ 4 sara` il simmetrico rispetto all’asse x del grafico tracciato per y  0 (fig. c). y

y

y

4

4

4

x+y=4 O

4

x

–4

O

x + y =4 x ≥ 0, y ≥ 0

a

4

x

–4

x + y =4 y ≥0

b

O

x + y =4

4

x

–4

c

Traccia i grafici delle curve di cui e` data l’equazione. 173 Þ

x
jyj þ 3 ¼ 0

177 Þ

jxj þ jy j ¼ 5

174 Þ

jxj
y þ 3 ¼ 0

178 Þ

jxj
jy j ¼ 4

175 Þ

jxj ¼ 2jyj
4

179 Þ

2jxj þ 3jyj ¼ 6

176 Þ


jxj ¼ 3
jyj

180 Þ

2jxj
5jyj ¼ 10

Le traslazioni e i grafici pffiffiffi pffiffiffi 1 Dai grafici delle funzioni «elementari» y ¼ jxj, y ¼ x2 , y ¼ x3 , y ¼ , y ¼ x e y ¼ 3 x, deduci i grafici delle sex guenti funzioni. 181 Þ

222

y ¼ ðx
1Þ2

182 Þ

y ¼ jx
2j

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

184 Þ

y ¼ jx
2j
1

185 Þ

y ¼ x2 þ 1

200 Þ 201 Þ

188 Þ

y ¼ x3 þ 9x2 þ 27x þ 27 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) 202 Þ

y¼

x
1 x
2 (Suggerimento: sottrai e aggiungi 1 al numeratore) 203 Þ

y ¼ ðx þ 2Þ2
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ4

y¼

191 Þ

y ¼ x2
1

192 Þ

y¼

xþ3 xþ2 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) 204 Þ

189 y ¼ jxj
3 Þ 190 Þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 x
2
1

y ¼ x3
6x2 þ 12x
8 (Suggerimento: riconosci il cubo di un binomio)

1 þ1 x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 187 y ¼ x þ 2 Þ 186 Þ

y¼

y¼

205 Þ

Nella figura qui sotto e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. Deduci i grafici delle funzioni y ¼ f ðx
2Þ þ 1 e y ¼ f ðx þ 3Þ
2.

y ¼ ðx
1Þ2 þ 1

y ¼ ðx þ 2Þ2 pffiffiffi 194 y ¼ 3 x
1 Þ 193 Þ

195 Þ

y¼

y

1
1 x
2

–4

y ¼ x2
2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 197 y ¼ x
5
2 Þ 196 Þ

198 Þ

y ¼ ðx þ 3Þ2
1

199 Þ

y ¼ ðx
1Þ3 þ 1

y = f(x)

–1 O

Trasformazioni geometriche

y¼

Unita` 4

1 xþ1

183 Þ

2

x

4

Le dilatazioni e i grafici Partendo dai grafici delle funzioni «elementari» pffiffiffi pffiffiffi 1 y ¼ jxj, y ¼ x2 , y ¼ x3 , y ¼ , y ¼ x e y ¼ 3 x, dedux ci i grafici delle seguenti funzioni. pffiffiffi 206 y ¼ 2 x Þ rffiffiffiffiffi x 207 y ¼ Þ 2 208 Þ

Deduci, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ tracciato in figura, il grafico della funzione x . y ¼2f 2 y y = f(x) –3

y ¼
2jxj

209 Þ

y

210 Þ

y

211 Þ

y

212 Þ

y

213 Þ

y

1 ¼ x2 4 ffiffiffi 1p 3 ¼
x 3  x 3 ¼ 2 rffiffiffiffiffi x ¼3 2 ffiffiffiffiffiffi 1p 3 ¼ 2x 2

6 x rffiffiffiffiffi 3 x 215 y ¼ Þ 2 214 Þ

218 Þ

O –2

219 Þ

Deduci, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ tracciato in figura, il grafico della funzione y ¼ 3  f ð2xÞ. y

y¼

y = f (x) –4

–1

1 jxj 2

x



217 y ¼



Þ 3 216 Þ

x

2 3

O

2

4

x

y¼

223 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

221 Þ

Deduci, a partire dal grafico della funzione y ¼ f ðxÞ tracciato in figura, il grafico della funzione 1 y ¼  f ð2xÞ. 2

y

y 6

y = f(x)

5 y = f(x) –3 O

Tema B

Retta e trasformazioni geometriche

220 Deduci, a partire dal grafico della funzione Þ y ¼ f ðxÞ tracciato in figura, il grafico della funzione x . y ¼
f 2

2

x

–6

x

O

–4

5

–4

Esercizi in cui occorre applicare piu` trasformazioni Partendo dai grafici delle funzioni «elementari» pffiffiffi pffiffiffi 1 y ¼ jxj, y ¼ x2 , y ¼ x3 , y ¼ , y ¼ x e y ¼ 3 x, dedux ci i grafici delle seguenti funzioni. 222 Þ

y ¼ 4
jx þ 2j

223 Þ

y ¼ x2
4jxj þ 4

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 224 y ¼ j x þ 2
1j Þ 2

225 Þ

y ¼
jx
4j

226 Þ

y ¼ 1
jxj3

y ¼ ðjxj þ 1Þ2
4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 228 y ¼ 1
jx þ 2j Þ 227 Þ

229 y ¼ 3
j2x
4j Þ



1



230 y ¼

Þ xþ1

231 Þ

y ¼ j4
x2 j
1

6 jxj pffiffiffiffiffiffi 233 y ¼ jxj þ 1 Þ 232 Þ

y ¼2


234 Þ

y ¼ j1
x3 j





1



235 y ¼ 3
jxj Þ 2

236 Þ

224

y ¼1


ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 jxj
2





4



237 y ¼ 1


Þ x

238 Þ

y ¼
2jjxj þ x
2j

239 Þ

y ¼ jx2
1j
1

240 Þ

y ¼ jjxj
1j
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 241 y ¼ 1
jxj þ 3 Þ 242 Þ

y ¼ jjx þ 1j
1 j

4
1 jx þ 2j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 244 y ¼ j x2 þ 4x þ 4
1j Þ 243 Þ

245 Þ 246 Þ

y¼

jx þ 1j y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jx þ 1j

Traccia il grafico della funzione: 8 < 1 x 
1 jxj y¼ : jx þ 3j x <
1

Traccia i grafici delle curve di cui e` data l’equazione. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 247 jx
1j þ jyj ¼ 1 Þ (Suggerimento: parti dal grafico della curva di equaziopffiffiffiffiffiffi ne jxj þ jyj ¼ 1, che puoi dedurre per simmetria dal suo grafico nel primo quadrante, e poi applica un’opportuna traslazione) 248 Þ

jx
1j þ jy
1j ¼ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 249 3 jx
3j
jyj ¼ 2 Þ 250 Þ

jx þ 3j þ j2y
4j ¼ 6

251 Þ

1
jyj ¼ 1 jxj

252 Þ

jx2
1j þ jyj ¼ 3

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

253 Þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 jx
1j e y ¼ 3
jxj. Deduci da tali grafici il numero delle soluzioni

Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ ðx
1Þ3 e y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dell’equazione jx þ 2j ¼ ðx
1Þ3 .

254 Þ

255 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jx þ 2j. Deduci da tali grafici il numero delle soluzioni

Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ jjxj
2j e y ¼


dai grafici, risolvi la disequazione jjxj
2j 


4 . x

4 . Tenendo conto delle informazioni che puoi dedurre x pffiffiffi [x 
1
5 _ x > 0]

Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ jjxj
1j e y ¼ j4
x2 j. Tenendo conto delle informazioni che puoi dedurre qp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi " ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi # jjxj
1j
j4
x2 j þ x. dai grafici, determina il dominio della funzione y ¼
1 þ 21 1 þ 13 x 2 2

256 Þ

257 Þ

Trasformazioni geometriche

Traccia il grafico delle due funzioni y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dell’equazione 3 jx
1j ¼ 3
jxj.

Unita` 4

Esercizi riassuntivi su grafici e trasformazioni

ESERCIZIO SVOLTO

Discutiamo graficamente il numero delle soluzioni dell’equazione jjx
3j
1j ¼ k, al variare di k 2 R.  Le soluzioni dell’equazione sono le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione y ¼ jjx
3j
1j e quello della retta di equazione y ¼ k. Al variare di k l’equazione y ¼ k rappresenta un fascio improprio di rette parallele all’asse x, quindi discutere graficamente l’equazione significa determinare, al variare di k, il numero dei punti di intersezione tra il grafico della funzione e le rette del fascio.  Utilizzando opportune trasformazioni e` facile tracciare il grafico della funzione y ¼ jjx
3j
1j a partire da quello di y ¼ jxj. Dalla figura qui a fianco si puo` vedere che: – se k < 0, non ci sono punti di intersezione, quindi l’equay zione non presenta soluzioni; – se k ¼ 0 ci sono due punti di intersezione, quindi l’equazione ha due soluzioni (dal grafico possiamo anche dedurre y = x –3 –1 che le soluzioni sono x ¼ 2 e x ¼ 4Þ; – se 0 < k < 1 ci sono quattro punti di intersezione, quindi k>1 l’equazione ha quattro soluzioni; – se k ¼ 1, ci sono tre punti di intersezione, quindi l’equaziok=1 0
1: due soluzioni]

260 Þ

Discuti graficamente, al variare di m 2 R, il numero delle soluzioni dell’equazione jx
3j ¼ mx þ 1.  1 1 Se m <
1 _ m ¼
_ m  1: una soluzione: se
1  m <
: nessuna soluzione; 3 3  1 se
< m < 1: due soluzioni 3

261 Þ

Discuti graficamente, al variare di m 2 R, il numero delle soluzioni dell’equazione jx þ 2j ¼ mx
2m.

[Se m 
1 _ m ¼ 0 _ m > 1: una soluzione; se
1 < m < 0: due soluzioni; se 0 < m  1: nessuna soluzione]

225 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 262 Þ

E` data la retta r: y ¼ 3x þ 1. Determina l’equazione della retta corrispondente di r:

a. nella simmetria rispetto all’asse x; b. nella traslazione che trasforma A(2,
3) in A0 (3,
2); c. nell’omotetia avente centro nell’origine e rapporto di omotetia 2; d. nella dilatazione avente centro nell’origine che trasforma P(1,
3) in P0 (
2,
1).   1 1 a. y ¼
3x
1; b. y ¼ 3x
1; c. y ¼ 3x þ 2; d. y ¼
x þ 2 3 Determina l’equazione della parabola corrispondente di quella di equazione y ¼ x2 mediante: a. la traslazione  di vettore ! v (
1, 1); b. la simmetria  rispetto all’asse x; [a. y ¼ x2 þ 2x þ 2; b. y ¼
x2 ; c. y ¼
x2
2x] c. la trasformazione   .

263 Þ

264 Þ

Un parallelogramma ABCD ha un vertice in A(2, 0), il vertice B sull’asse x; centro di simmetria in P(4, 3) e area 18. Determina le coordinate di B, C e D. [Due soluzioni: B1 ð5, 0Þ; C1 ð6, 6Þ; D1 ð3, 6Þ oppure B2 ð
1, 0Þ; C2 ð6, 6Þ; D2 ð9, 6Þ] 265 Þ

Dato il triangolo ABC, di vertici A(
2, 1), B(1, 0), C(2, 3), determina:

a. il corrispondente A0 B0 C0 nella simmetria rispetto all’asse x; b. il corrispondente A00 B00 C00 nella traslazione di vettore ! v (3,
1); c. il corrispondente A000 B000 C000 nell’omotetia con centro nell’origine che manda C(2, 3) in C0 (
4,
6).

Rappresenta ABC e i suoi corrispondenti e determina i loro perimetri e le loro aree. pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi [Perimetro(ABC) ¼ Perimetro(A0 B0 C0 Þ ¼ Perimetro(A00 B00 C00 Þ ¼ 2 10 þ 2 5; Area(ABC) ¼ Area(A0 B0 C0 Þ ¼ pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Area(A00 B00 C00 Þ ¼ 5; Perimetro(A000 B000 C000 Þ ¼ 4 10 þ 4 5; Area(A000 B000 C000 Þ ¼ 20]

266 Þ

Date le due rette r: x þ y
2 ¼ 0 e s: x þ y
4 ¼ 0, determina le equazioni di due rette passanti per l’origine e simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, in modo che esse individuino con le rette r ed   s un trapezio isoscele di area 3. 1 y ¼ 3x, y ¼ x 3 Dato il triangolo OAB, di vertici O(0, 0), A(4, 0) e B(2, 6), sia O0 A0 B0 il simmetrico di OAB rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. L’intersezione dei due triangoli OAB e O0 A0 B0 e` un quadrilatero. Determina l’area   di questo quadrilatero. 36 5 267 Þ

268 Determina le equazioni delle due rette del fascio ðk þ 1Þx þ y
1 þ 2k ¼ 0, simmetriche rispetto alla generaÞ trice parallela all’asse y, che formano con l’asse x un triangolo di area 6. [3x þ 2y ¼ 0; 3x
2y þ 12 ¼ 0] 269 In un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy considera la retta r passante per l’origine O e per P(
1, 2) e la Þ retta r 0 , simmetrica della retta r rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Sia t una generica retta passante per Q(
4, 0); indicati con A e B; rispettivamente, i punti di intersezione di t con r ed r 0 , determina l’equazione di t in modo che AOB sia un triangolo isoscele sulla base AB, specificando le coordinate dei vertici A e B.       4 8 8 4 t : y ¼ x þ 4 con A
, eB
, oppure t : y ¼
x
4 con Að4,
8Þ e Bð
8, 4Þ 3 3 3 3

Sono dati i triangoli ABC e A0 B0 C0 , di vertici A(
2, 1), B(1,
1), C(
2, 3) e A0 ð0; 2Þ, B0 ða; bÞ, C0 ð0; cÞ. Determina, se possibile, i valori di a, b e c in modo che A0 , B0 , C0 siano rispettivamente i corrispondenti di A, B e C: 270 Þ

a. in una simmetria centrale; b. in una traslazione; c. in una dilatazione avente centro nell’origine. 271 Þ

226

[a ¼
3, b ¼ 4, c ¼ 0] [a ¼ 3, b ¼ 0, c ¼ 4] [Impossibile]

Determina le equazioni delle due rette r ed s; simmetriche rispetto al punto P(1, 1), sapendo che r passa per l’origine degli assi ed s passa per il punto Q (1, 3). [x þ y ¼ 0; x þ y
4 ¼ 0] Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Considera i seguenti punti: A(0, 0), B(1, 0), C(0, 2), A0 ð1,
1Þ; B0 ð2,
1Þ; C0 ð1,
3Þ. Verifica che ABC e` congruente al triangolo A0 B0 C0 e determina l’equazione di un’isometria che trasforma il triangolo ABC nel triangolo A0 B0 C0 . (Suggerimento: considera l’isometria che si ottiene dalla composizione di un’opportuna simmetria assiale e di una [Una possibile isometria e` x0 ¼ x þ 1, y 0 ¼
y
1] traslazione) 274 Þ

Trasformazioni geometriche

Sia ! l’omotetia di centro l’origine e rapporto di omotetia 2 e  la traslazione di vettore ! v (1,
2). Determina le equazioni delle trasformazioni composte !  ,   !. Riconosci che le trasformazioni composte sono omotetie e
0
0   individua i centri di tali omotetie. x ¼ 2x þ 1 x ¼ 2x þ 2 , centro in (
2, 4);   !: , centro in (
1, 2) !  : y 0 ¼ 2y
4 y 0 ¼ 2y
2 273 Þ

Unita` 4

Sia  la simmetria rispetto al punto P(1,
1) e  la traslazione di vettore ! v (1,
1). Determina le equazioni delle trasformazioni composte    e   . Riconosci che le trasformazioni composte sono simmetrie centrali e individua i centri di tali simmetrie. 
0
0     x ¼1
x x ¼3
x 1 1 3 3 ,
,
  : , simmetria di centro , simmetria di centro ;   : 2 2 2 2 y 0 ¼
3
y y 0 ¼
1
y

272 Þ

Sono dati i punti A(0, 0), B(1, 0), C(0, 3), A0 ð
1, 1Þ, B0 ð
1, 2Þ, C0 ðk, 1Þ. Per quali valori di k i triangoli ABC e A B C0 sono congruenti? Determina, in ciascuno di questi casi, l’equazione di un’isometria che trasforma ABC in [k ¼ 2 _ k ¼
4; se k ¼
4, una possibile isometria e` x0 ¼
y
1, y 0 ¼ x þ 1 (ottenuta componendo A0 B0 C0 . due opportune simmetrie assiali e una traslazione); se k ¼ 2 una possibile isometria e` x0 ¼ y
1, y 0 ¼ x þ 1 (ottenuta componendo un’opportuna simmetria assiale e una traslazione)] 275 Þ 0 0

276 Þ

Traccia i grafici delle due funzioni f e g, rispettivamente di equazioni:

y ¼ f ðxÞ ¼ jx þ 1j e y ¼ gðxÞ ¼ 3


3 jxj 2

Determina l’area del quadrilatero ABCD che ha come vertici: i punti di intersezione A e C dei grafici delle due funzioni (con xA < xC Þ; il punto B in cui il grafico di f interseca l’asse x e il punto D in cui il grafico di g interseca [3] l’asse y.

Esercizi in inglese 277 Þ

Solve math in English Suppose that the x-inter-

cepts of the graph of y ¼ f ðxÞ are
5 and 1. a. Find the x-intercepts of the graph of y ¼ f ðx þ 4Þ. b. Find the x-intercepts of the graph of y ¼
f ðx
3Þ. x . c. Find the x-intercepts of the graph of y ¼ 2f 2 d. Find the x-intercepts of the graph of y ¼ 3f ð
xÞ. 278 Þ

Solve math in English Use transformations to graph

each function. a. y ¼
ðx þ 1Þ3
2

b. y ¼ jjx þ 1j
3j

279 Solve math in English Find the equation of the liÞ ne containing points A(2, 1), B(
2, 5) and the equation of its reflection through the line of equation y ¼
2x. [y ¼
x þ 3; y ¼
7x
15]

281 Þ

gðxÞ ¼

A0 (0, 2), B0 ðk
h, 0Þ, C0 ð3, k þ h þ 2Þ 0 0

0

find k and h so that A B C is the image of ABC under   the translation that maps A to A0 . 5 3 k¼ ,h¼
2 2

1 2 x . 4

a. Under what horizontal scale change is g the image of f ? b. Under what vertical scale change is g the image of f ? c. Under what size change is g the image of f ? 282 Solve math in English Classify each geometric transÞ formation and find its center: ( x0 ¼
2x þ 3 a. y0 ¼
2y þ 4

b.

(

x0 ¼ 4
x

c.

(

x0 ¼ 2x

280 Solve math in English Given points Þ

A(
2, 3), B(2, 1), C(1, 4)

Solve math in English Graph f ðxÞ ¼ x2 and

y0 ¼ 5
y y 0 ¼ 3y

      4 5 a. 1, ; b. 2; ; c. (0, 0) 3 2

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227

Retta e trasformazioni geometriche Tema B

PROVA DI AUTOVERIFICA

Trasformazioni geometriche 1 Una sola delle seguenti quattro trasformazioni Þ non e` un’isometria; individua quale. Per ciascuna delle tre isometrie specifica se si tratta di una simmetria centrale o assiale o di una traslazione e individua l’asse o il centro di simmetria o il vettore che definisce la traslazione.
0
0 x ¼x
1 x ¼1
x c. a. 0 y0 ¼ y
4 y ¼4
y

b.




x0 ¼ 1
2x

d.

y0 ¼ 4
y




x0 ¼ 2
x

y0 ¼ y

2 Þ

Stabilisci quale relazione deve sussistere tra m ed m0 in modo che le due rette di equazioni y ¼ mx e y ¼ m0 x siano simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

7 Þ

Determina k in modo che la retta corrispondente della retta di equazione 4x
3y þ k ¼ 0 nella dilatazione di equazioni 8 < x0 ¼ 1 x 2 : 0 y ¼ 3y

passi per il punto P(2, 3). 8 Þ

Nella figura qui sotto e` rappresentato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. Deduci il grafico della funzione x þ 3. y ¼
f 2 y 3

3 Determina l’equazione della retta r 0 , simmetrica Þ

O 1 –3 –1

della retta r di equazione x þ y
1 ¼ 0 rispetto al punto P(1, 3). Verifica che r ed r 0 sono parallele e determina la loro distanza.

Due punti P e P 0 , con yP > yP0 , hanno entrambi ascissa 2 e sono simmetrici rispetto alla retta di equazione y ¼ 3. Determina le coordinate di P e P 0 , sapendo che PP 0 ¼ 5.

3 x y = f(x)

–3

4 Þ

5 Scrivi l’equazione della retta r 0 corrispondente Þ

nella traslazione di vettore ! v ð1,
2Þ della retta r di equazione x
2y þ 1 ¼ 0. Determina l’area del trapezio che ha come vertici i punti di intersezione di r e di r 0 con gli assi cartesiani.

Dati i due punti Að
2, 1Þ e A0 ð
1, 2Þ, scrivi l’equazione: a. della simmetria centrale che trasforma A in A0 ; b. della simmetria assiale che trasforma A in A0 ; c. della traslazione che trasforma A in A0 .

6 Þ

9 Þ

Un’omotetia con centro nell’origine trasforma il triangolo ABC, di vertici A(
4, 4), B(0,
2) e C(6, 2), in 1 di quella del trianun triangolo A0 B0 C0 , la cui area e` 4 golo ABC. Determina l’equazione dell’omotetia e le coordinate dei vertici del triangolo A0 B0 C0 . Rappresenta graficamente i due triangoli ABC e A0 B0 C0 . 10 Þ

Deduci, a partire dal grafico di y ¼ jxj, mediante opportune trasformazioni, il grafico di y ¼ j3
jx
1jj.

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

Punteggio

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h

3Risposte in fondo al volume

228 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

B

Laboratorio di informatica

Tema

Tema B

` GUIDATE ATTIVITA Attivita` 1 Foglio elettronico, GeoGebra

Per organizzare la partecipazione delle proprie squadre giovanili a una serie di tornei, una societa` sportiva vuole noleggiare un furgone per il trasporto di persone. Chiede pertanto il preventivo a due agenzie di noleggio, che chiamiamo A e B, in modo da poter scegliere l’offerta piu` conveniente. Le condizioni di noleggio praticate dalle due agenzie sono le seguenti: – Agenzia A: costo iniziale di 300 euro e costo giornaliero costante di 40 euro; – Agenzia B: costo iniziale nullo, costo giornaliero di 80 euro per i primi 5 giorni di noleggio e costo giornaliero di 60 euro per i giorni successivi.

Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line.

Laboratorio di informatica

Noleggio di un furgone con confronto tra due diverse offerte

 Qual e` l’offerta piu` conveniente per un noleggio di 4 giorni? E per un noleggio di 12 giorni?  Per quanti giorni di noleggio l’offerta dell’agenzia A risulta piu` conveniente?  Per quanti giorni di noleggio, invece, conviene scegliere l’offerta dell’agenzia B? a. Costruzione del modello del problema

Indicato con x il numero di giorni di noleggio, il costo corrispondente puo` essere espresso in funzione di x tramite le seguenti due funzioni (la prima lineare, la seconda lineare a tratti), aventi come dominio l’insieme N: – Agenzia A: – Agenzia B:

fa ðxÞ ¼ 300 þ 40x
80x fb ðxÞ ¼ 80  5 þ 60  ðx
5Þ

se x  5

se x > 5

Per rispondere alle domande poste dal problema, seguiamo due approcci diversi. b. Approccio numerico (con Excel)

Puoi impostare un foglio Excel come quello qui sotto.

1. nelle celle in giallo vanno inseriti i dati da parte di chi usa il foglio (i dati del problema sono dunque modificabili); 2. la colonna A contiene la sequenza dei giorni di noleggio, da 0 a 30; 3. nella cella B8 va inserita la seguente formula che traduce, in linguaggio Excel, l’espressione analitica della funzione fa : =$B$4+A8*$B$5

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA

Non dovresti avere difficolta` a costruire il foglio, tenendo presente quanto segue:

Tale formula andra` poi copiata nelle celle sottostanti della colonna B; 229 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Laboratorio di informatica

4. nella cella C8 va inserita la seguente formula che traduce, in linguaggio Excel, l’espressione analitica della funzione fb : =SE(A8 > > > 

> > > > 5 65 :
tþ 6 6

0t x rappresenta, nel piano cartesiano: y <
x

un semipiano

B

una striscia

C

un angolo convesso

D

un angolo concavo

23 Þ

La frontiera del semipiano colorato in figura e` la retta di equazione 2x
y þ 1 ¼ 0; la disequazione che rappresenta tale semipiano, inclusa la retta r, e`:

Tema B

y

x

O r A

24 Þ

2x
y þ 1  0

B

2x
y þ 1 < 0

C

2x
y þ 1  0

D

2x
y þ 1 > 0

La tabella qui a fianco rappresenta i valori assunti da una funzione lineare f .

a. Determina il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della funzione f : Coefficiente angolare ¼ ..............................

Ordinata all’origine ¼ ................................... b. Completa la tabella.

238 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x

y

1

..........

..........

2

3

7

4

..........

5

13

..........

16

TEMA

C

Le coniche Ci sono alcune curve, dette PREREQUISITI coniche, che fanno la loro comparsa in moltissimi 3Funzioni ambiti, apparentemente diversi fra loro; per esempio: – le coniche descrivono le traiettorie dei pianeti; – le superfici delle antenne paraboliche per la ricezione dei canali televisivi satellitari sono paraboloidi di rotazione, cioe` superfici ottenute dalla rotazione di una conica intorno al suo asse di simmetria; – la costruzione di molti fari e telescopi sfrutta alcune proprieta` delle coniche.

Le coniche furono studiate gia` piu` di 2000 anni fa dagli antichi Greci, in particolare da Apollonio (III secolo a.C.) che ne scoprı` numerose proprieta`, utilizzando i metodi della geometria euclidea. Nelle prossime Unita` ci occuperemo anche noi dello studio delle coniche, utilizzando pero` il metodo della geometria analitica, che abbiamo gia` applicato allo studio della retta.

3Il piano cartesiano e la retta nel piano cartesiano

3Principali trasformazioni geometriche

3Equazioni, disequazioni e sistemi algebrici

COMPETENZE

3Affrontare problemi geometrici sia con un approccio sintetico, sia con un approccio analitico

3Rappresentare e studiare

le proprieta` di semplici luoghi geometrici, in particolare delle coniche, utilizzando queste ultime come modelli geometrici in contesti reali

Unita` 5 Parabola

Unita` 6 Circonferenza

Unita` 7 Ellisse

Unita` 8 Iperbole

Il telescopio spaziale Hubble fu lanciato in orbita il 24 aprile 1990. La sua orbita e` una conica, cosı` come le orbite di tutti i satelliti. Anche i suoi due specchi, uno parabolico e uno iperbolico, sfruttano alcune proprieta` di riflessione delle coniche che scopriremo nelle prossime Unita`. Dopo una missione del 1993 che riuscı` a correggere alcuni problemi iniziali, Hubble ha regalato enormi quantita` di dati e immagini, che hanno contribuito a nuove scoperte e a straordinari risultati scientifici.

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita`

5

Parabola

Tema C

1. Le parabole con vertice nell’origine La parabola come luogo geometrico Nelle Unita` precedenti abbiamo imparato a scrivere le equazioni nel piano cartesiano di alcuni luoghi geometrici che gia` conoscevamo dalla geometria euclidea, l’asse di un segmento o le bisettrici degli angoli formati da due rette. Ora ci occupiamo di un’altra curva che certamente gia` conosci, la parabola. Essa ti e` stata presentata in passato come grafico di una funzione di secondo grado; tuttavia anche la parabola puo` essere definita come luogo geometrico, secondo la definizione che vedremo fra poco. In questo paragrafo studieremo la parabola da questo nuovo punto di vista. PARABOLA

Dati nel piano una retta d e un punto F 2 = d, si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d.

Un metodo per costruire i punti della parabola avente fuoco in F e come direttrice la retta d e` illustrato in fig. 5.1.

parabola

B

F fuoco A

direttrice

A'

B' s r d

Figura 5.1 Tracciamo una retta r , parallela alla direttrice d, nel semipiano di origine d che contiene F. Tracciamo poi la circonferenza che ha centro in F e raggio uguale alla distanza di r dalla direttrice. I punti A e A0 in cui la circonferenza incontra la retta r sono equidistanti dal fuoco e dalla direttrice, quindi appartengono alla parabola che ha fuoco in F e come direttrice la retta d. Tracciando un’altra retta parallela a r , per esempio s, e ripetendo un’analoga costruzione, si possono costruire altri due punti della parabola, B e B 0 , e cosı` via. Congiungendo con una linea continua i punti cosı` costruiti otteniamo una curva che rappresenta con buona approssimazione la parabola.

E` importante fare alcune osservazioni.  La retta che passa per il fuoco ed e` perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola; si potrebbe dimostrare, come si intuisce dalla figura, che l’asse della parabola e` per quest’ultima un asse di simmetria.  Il punto dell’asse che appartiene alla parabola si chiama vertice della parabola: per come e` definita una parabola, il vertice e` equidistante dal fuoco e dalla direttrice, quindi e` il punto medio del segmento che congiunge il fuoco e la sua proiezione sulla direttrice (fig. 5.2).

240 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 5

asse

parabola

F

Parabola

P

fuoco V vertice

H K

direttrice

Figura 5.2 Gli elementi fondamentali di una parabola: il fuoco, la direttrice, il vertice e l’asse. Ogni punto P della parabola e` tale che PF ¼ PH. V e` il punto medio del segmento FK.

Equazione di una parabola con vertice nell’origine Ora che abbiamo definito la parabola come luogo geometrico, ci proponiamo di scriverne l’equazione che la identifica in un piano cartesiano. Ci limiteremo a considerare parabole con asse parallelo a uno dei due assi cartesiani. Iniziamo dal caso piu` semplice, cioe` da quello di una parabola con vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y. Poiche´ il fuoco di una parabola appartiene al suo asse, le coordinate del fuoco saranno ð0, kÞ, con k 6¼ 0. Facciamo riferimento, per semplicita`, alla fig. 5.3, in cui k > 0. y

P(x, y) F(0, k) x

V(0, 0) direttrice

H(x, –k)

y = –k

Figura 5.3

La distanza tra il fuoco e il vertice e` k; poiche´ anche la distanza tra il vertice e la direttrice deve essere k, la direttrice avra` equazione y ¼ k. Consideriamo ora un generico punto Pðx, yÞ del piano; P appartiene alla parabola avente fuoco in F e avente come direttrice la retta di equazione y ¼ k se e solo se: PF ¼ PH

PF esprime la distanza di P dal fuoco e PH la distanza di P dalla direttrice

Questa condizione si traduce nella seguente equazione, che risolviamo: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ ðy  kÞ2 ¼ j y þ kj Ricorda la formula che fornisce la distanza tra due punti nel piano cartesiano

x2 þ y 2  2ky þ k2 ¼ ð y þ kÞ

2

I due membri dell’equazione precedente sono non negativi, quindi elevandoli al quadrato otteniamo un’equazione equivalente. Ricorda inoltre che, per ogni a 2 R, jaj2 ¼ a2

x2 þ y 2  2ky þ k2 ¼ y 2 þ 2ky þ k2 4ky ¼ x2 y¼

1 2 x 4k 241 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEOREMA 5.1

Equazione di una parabola con vertice nell’origine

L’equazione della parabola avente vertice nell’origine, fuoco nel punto di coordinate (0, kÞ, con k 6¼ 0, e direttrice y ¼ k e`:

Tema C

Le coniche

Abbiamo cosı` dimostrato il seguente teorema.

y¼

1 2 x 4k

[5.1]

1 , otteniamo che l’equazione di una ge4k nerica parabola avente vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y e` del tipo:

Se nell’equazione [5.1] poniamo a ¼

y ¼ ax2

dove a e` un numero reale non nullo

Avendo posto a ¼ TEOREMA 5.2

[5.2]

1 1 , cioe` k ¼ , possiamo dedurre il seguente teorema. 4k 4a

F u o c o e d i r e t t r i c e d i u n a pa r a b o l a c o n v e r ti c e n e l l ’ o r i g i n e

L’equazione y ¼ ax 2 , con a 6¼ 0, rappresenta una parabola che ha: a. vertice nell’origine;

  1 b. fuoco nel punto di coordinate 0, ; 4a c. per direttrice la retta di equazione y ¼  ESEMPIO

1 . 4a

Studio di una parabola con vertice nell’origine

1 Determiniamo fuoco e direttrice della parabola di equazione y ¼  x 2 e traccia2 mone il grafico.  Fuoco e direttrice 1 L’equazione e` del tipo y ¼ ax2 , con a ¼  . In base al teorema 5.2, l’ordinata 2 del fuoco sara`: 1 1   ¼ yF ¼ 1 2 4  2   1 e avra` per direttrice la retta di quindi la parabola avra` fuoco in F 0,  2 1 equazione y ¼ . 2
Grafico

Per tracciare il grafico della parabola, attribuiamo a x alcuni valori a scelta e calcoliamo i corrispondenti valori di y, poi rappresentiamo nel piano cartesiano i punti aventi le coordinate cosı` y determinate e i loro simmetrici ri1 spetto all’asse della parabola; infine y= 2 congiungiamo i punti segnati (oltre O al vertice) con una linea continua. y ¼

x

1 2 x 2

1



1 2 1 1 ¼ 2 2

2



1 2  2 ¼ 2 2

3

1 9   32 ¼  2 2

1) F(0, –  2

1 y = – x2 2

242 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 5

Legami tra il grafico della parabola di equazione y ¼ ax 2 e il coefficiente a

a=1 y

a=2

y = ax 2 a 0 Figura 5.4

Parabola

Fissiamo ora l’attenzione sulle figg. 5.4 e 5.5, in cui abbiamo rappresentato alcune parabole di equazione y ¼ ax2 , rispettivamente con a > 0 e a < 0.

Figura 5.5

Osservando le figg. 5.4 e 5.5, puoi notare alcuni fatti importanti.
Se a > 0, il grafico della parabola corrispondente e` contenuto nel semipiano delle ordinate non negative: si dice in questo caso che la parabola ha la concavita` rivolta verso l’alto. Se invece a < 0, il grafico della parabola e` contenuto nel semipiano delle ordinate non positive: in questo caso si dice che la parabola ha la concavita` rivolta verso il basso.
Il vertice di una parabola di equazione y ¼ ax2 (cioe` l’origine) e` il punto della parabola di ordinata minima se a > 0, mentre e` il punto della parabola di ordinata massima se a < 0.
Il coefficiente a influenza «l’apertura» della parabola. Sia nel caso in cui a > 0, sia nel caso in cui a < 0, al crescere del valore assoluto di a si ottengono parabole sempre meno «aperte».
Se le due parabole di equazioni y ¼ ax2 e y ¼ a0 x2 hanno la stessa concavita`, esse sono congruenti se e solo se a0 ¼ a (altrimenti non avrebbero la stessa «apertura»); se hanno concavita` opposte, sono congruenti se e solo se sono simmetriche rispetto all’asse x, ossia se e solo se a0 ¼ a. In conclusione, le due parabole di equazioni y ¼ ax2 e y ¼ a0 x2 sono congruenti se e solo se ja0 j ¼ jaj.

Prova tu

ESERCIZI a p. 270

1. Se una parabola ha vertice nell’origine e per direttrice la retta di equazione y ¼ 4, qual e` il suo fuoco?   3 . Traccia poi il grafico di tale pa2. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nell’origine e il fuoco in F 0, 4   1 rabola. y ¼ x2 3 3. Determina fuoco e direttrice di ciascuna delle parabole di equazioni y ¼ x2 e y ¼

1 2 x . Determina poi qualche 4

punto appartenente ai grafici delle parabole e traccia il grafico di ciascuna di esse.

2. Le parabole con asse parallelo a uno degli assi cartesiani Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y Consideriamo una generica parabola avente vertice in un punto Vðxv , yv Þ, con asse parallelo all’asse y. Quale sara` la sua equazione? Sappiamo che se la stessa parabola avesse vertice nell’origine, la sua equazione sarebbe del tipo y ¼ ax2 . Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

243

Le coniche

Possiamo allora pensare che la parabola data sia la corrispondente di quest’ultima parabola nella traslazione di vettore ! v ðxV , yV Þ (fig. 5.6).

Tema C

y

y = ax 2 V(xv, yv)
v (xv , yv) x

O(0, 0)

Figura 5.6

Tale traslazione ha equazioni:  0 x ¼ x þ xV y 0 ¼ y þ yV

[5.3]

Effettuando nell’equazione y ¼ ax2 le sostituzioni: x ! x  xV

e

y ! y  yV

otteniamo l’equazione della parabola traslata: y  yV ¼ aðx  xV Þ2 TEOREMA 5.3

Parabola di vertice dato con asse parallelo all’asse y

Una parabola che ha vertice in V ðxV , yV Þ e asse parallelo all’asse y ha equazione del tipo: y  yV ¼ aðx  xV Þ2 ,

con a 6¼ 0

[5.4]

Svolgendo i calcoli possiamo scrivere la [5.4] nella forma equivalente: y ¼ ax2  2axV x þ ax2V þ yV Se ora poniamo: 2axV ¼ b

e

ax2V þ yV ¼ c

[5.5]

otteniamo l’equazione: y ¼ ax2 þ bx þ c

[5.6]

Pertanto, ogni parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione del tipo [5.6], con a 6¼ 0. Viceversa, l’equazione [5.6] si puo` scrivere nella forma [5.4], dove xV e yV sono le soluzioni delle equazioni [5.5]: xV ¼ 

b 2a

e

yV ¼ c  ax2V ¼ c  a 

b2 4ac  b2 b2  4ac ¼  ¼ 4a2 4a 4a

Dunque la [5.6] rappresenta la parabola corrispondente della parabola di equa  b b2  4ac ! 2 zione y ¼ ax nella traslazione di vettore v  , . 2a 4a Per determinare vertice, fuoco e direttrice della parabola di equazione [5.6] bastera` allora determinare i corrispondenti in questa traslazione del vertice, del fuoco 244 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEOREMA 5.4

Ogni equazione del tipo y ¼ ax 2 þ bx þ c, con a 6¼ 0, rappresenta una parabola avente (fig. 5.7):   b
, ; [5.7] a. vertice in V  2a 4a b b. per asse di simmetria la retta di equazione x ¼  ; [5.8] 2a   b 1
c. fuoco in F  , ; [5.9] 2a 4a 1þ
. [5.10] d. per direttrice la retta di equazione y ¼  4a

y = ax 2 + bx + c

x =−

y

b 2a

Suggerimento Poiche´ il vertice e` un punto della parabola, per determinarne l’ordinata non e` necessario utilizzare la
: basta formula  4a sostituire, nell’equazione b al posto della parabola,  2a di x e calcolare il corrispondente valore di y. Questo procedimento e` generalmente preferibile perche´, oltre a non richiedere l’utilizzo di una formula mnemonica, sveltisce in molti casi il calcolo.

Parabola

Parabola di equazione y ¼ ax 2 þ b x þ c

Unita` 5

e della direttrice della parabola di equazione y ¼ ax2 . Si ottengono cosı` i risultati espressi dal seguente teorema, dove abbiamo indicato con
il discriminante b2  4ac dell’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 associata alla parabola.

 b 1− ∆ − 2a , 4a   b − ∆ − 2a , 4a direttrice

F

y=−

V O

1+ ∆ 4a

x

Figura 5.7

ESEMPIO

Studio di una parabola con asse parallelo all’asse y

Tracciamo il grafico della parabola di equazione y ¼ x 2  4x þ 2 e individuiamone il fuoco, la direttrice e i punti di intersezione con gli assi cartesiani.
Grafico della parabola

Per tracciare il grafico della parabola, determiniamo il vertice e qualche altro punto. L’ascissa xV del vertice della parabola, per il teorema precedente, e`: xV ¼ 

b ð4Þ ¼ ¼2 2a 21

a ¼ 1, b ¼ 4

Per determinare l’ordinata del vertice, sostituiamo dunque 2 al posto di x nell’equazione y ¼ x2  4x þ 2; otteniamo: yV ¼ 22  4  2 þ 2 ¼ 2 Pertanto il vertice e` Vð2, 2Þ e l’asse della parabola ha equazione x ¼ 2. Determiniamo altri due punti della parabola. Per x ¼ 4 otteniamo

Per x ¼ 5 otteniamo

y ¼ 42  4  4 þ 2 ¼ 2 y ¼ 52  4  5 þ 2 ¼ 7

Dunque la parabola passa per i punti A(4, 2) e B(5, 7) e per i suoi simmetrici A0 e B0 rispetto all’asse della parabola.

y B'

B

A'

A x

O

y = x 2 – 4x + 2 V

Ô

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

245

Le coniche Tema C

Ô


Fuoco e direttrice

Il discriminante
dell’equazione associata e`
¼ b2  4ac ¼ ð4Þ2  4  1  2 ¼ 8

a ¼ 1, b ¼ 4, c ¼ 2

L’ascissa e l’ordinata del fuoco sono: y

xF ¼ xV ¼ 2

B'

1
18 7 ¼ ¼ 4a 4 41   7 . L’equazioQuindi il fuoco e` F 2,  4 ne della direttrice e`:

B

yF ¼

y¼

y = x 2 – 4x + 2 A' O

A x

F

direttrice

1þ
1þ8 9 ¼ ¼ 4a 4 41

V


Punti di intersezione con gli assi

Per determinare le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l’asse x, poniamo y ¼ 0 nell’equazione y ¼ x2  4x þ 2. Otteniamo l’equazione: pffiffiffi x2  4x þ 2 ¼ 0 ) x ¼ 2  2 Pertanto il grafico della parabola interseca l’asse x nei punti di coordinate: pffiffiffi pffiffiffi ð2  2, 0Þ e ð2 þ 2, 0Þ y

2 2– 2

2+ 2 O

x

y = x2 – 4x + 2 V

Per determinare l’ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y, poniamo x ¼ 0 nell’equazione y ¼ x2  4x þ 2. Abbiamo: y ¼ 02  4  0 þ 2 ¼ 2 quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 2Þ. In base a quanto visto in questo paragrafo, date due parabole di equazioni y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ a0 x2 þ b0 x þ c0 , le traslazioni che mandano i rispettivi vertici nell’origine le trasformano nelle parabole di equazioni y ¼ ax2 e y ¼ a0 x2 . Quindi le parabole assegnate sono congruenti se e solo se lo sono queste ultime, ovvero se e solo se jaj ¼ ja0 j.

Caratteristiche del grafico della parabola di equazione y ¼ ax 2 þ bx þ c

Vogliamo ora mettere in evidenza alcune caratteristiche del grafico della parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c. Il grafico e` influenzato anzitutto dai valori assunti dai coefficienti a, b e c, come illustrato nella seguente tabella. 246 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Il coefficiente c

Per ora ci limitiamo a osservare che la parabola di equazione y ¼ ax 2 þ bx þ c ha come asse l’asse y se e solo se b ¼ 0: questa e` una diretta b conseguenza della formula x ¼  , 2a che fornisce l’equazione dell’asse della parabola. Approfondiremo il significato del coefficiente b nel prossimo paragrafo.

Il coefficiente c rappresenta l’ordinata del punto di intersezione di una parabola con l’asse y: infatti, se poniamo x ¼ 0 nell’equazione y ¼ ax 2 þ bx þ c, otteniamo y ¼ c. Ne segue che una parabola di equazione y ¼ ax 2 þ bx þ c passa per l’origine se e solo se c ¼ 0.

y

y

a>0

b=0

V

y l’asse della parabola coincide con l’asse y

c>0 (0, c)

c=0

x

O

x

O a 0, la concavita` e` rivolta verso l’alto; se invece a < 0, la concavita` e` rivolta verso il basso. Al crescere del valore assoluto di a l’apertura della parabola diminuisce.

Il coefficiente b

Unita` 5

Il coefficiente a

O

c 0.
Dalla figura si vede che l’asse della parabola e` una retta del tipo x ¼ k con b k < 0. Dal momento che l’equazione dell’asse e` x ¼  , ne deduciamo 2a b che  < 0: ma a < 0 (per quanto osservato al primo punto), quindi de2a ve essere b < 0. Un ulteriore elemento che influenza il grafico di una parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c e` il discriminante dell’equazione associata, ax2 þ bx þ c ¼ 0. Tale equazione fornisce le ascisse degli eventuali punti dove il grafico della parabola interseca l’asse x (di equazione y ¼ 0), quindi il discriminante influenza la posizione della parabola rispetto all’asse x:
se
¼ b2  4ac > 0, l’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 ha due soluzioni reali distinte, x1 e x2 , quindi la parabola interseca l’asse x in due punti distinti;
se
¼ b2  4ac ¼ 0, l’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 ha due soluzioni coincidenti, x1 ¼ x2 , e la parabola e` tangente all’asse x;


se
¼ b2  4ac < 0, l’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 non ha soluzioni reali, quindi la parabola non ha punti di intersezione con l’asse x. 247 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

a>0

a0

V

x1

x2

x2

x1

x

O

x

O

V y

y

O

V x1 = x2

x

V

x


¼0

O

V x1 = x2

x

y

y

O


0 ta retta

∆= Figura 5.9

O

0

∆
> > < 1 þ 4ac ¼ 2 > > 4a > : 4a þ c ¼ 2

Ô

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257

Le coniche Tema C

Ô

Risolvendo il sistema si trovano due soluzioni: 8 8 1 1 > > > > > >

b¼0 b¼0 > > > > : : c ¼ 1 c ¼ 3

y y=

O

Ci sono quindi due parabole che soddisfano le condizioni richieste: 1
quella di equazione y ¼  x2  1 4
quella di equazione y ¼

ESEMPIO

1 4

x2 −3

x F

P

1 2 x 3 4

1 y = − x2 −1 4

Parabola con asse parallelo all’asse x, dato il vertice e una retta tangente

Scriviamo l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse x, che ha vertice in V ð1, 2Þ ed e` tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Poiche´ la parabola deve avere asse parallelo all’asse x, la sua equazione deve essere del tipo x ¼ ay 2 þ by þ c. Per imporre che il vertice sia Vð1, 2Þ potremmo imporre che l’ascissa del vertice sia 1 e l’ordinata sia 2. Ma imporre che l’ascissa sia 1 fornirebbe un’equazione di secondo grado. E` piu` semplice imporre che l’ordinata del vertice sia 2 e che la parabola passi per il punto V. 

b ¼ 2 ) b ¼ 4a 2a

L’ordinata del vertice deve essere uguale a 2

1 ¼ a  22 þ b  2 þ c ) 4a þ 2b þ c ¼ 1 Imponendo il passaggio per V (1, 2) Per la tangenza alla bisettrice del primo e del terzo quadrante bisogna imporre che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:  x ¼ ay 2 þ by þ c y¼x L’equazione risolvente e`: ay 2 þ ðb  1Þy þ c ¼ 0 quindi la condizione di tangenza si traduce nell’equazione: ðb  1Þ2  4ac ¼ 0

Il discriminante dell’equazione deve essere uguale a 0

I coefficienti della parabola richiesta devono quindi soddisfare il sistema: 8 < b ¼ 4a 4a þ 2b þ c ¼ 1 : ðb  1Þ2  4ac ¼ 0

Risolvendo questo sistema si trova come soluzione: 8 1 >

:b ¼ 1 c¼0

y

1 x = − y2 + y 4

Pertanto, la parabola richiesta e` quella 1 di equazione x ¼  y 2 þ y. 4

258 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

V O x=y

x

Unita` 5

COLLEGHIAMO I CONCETTI

I vari metodi per determinare l’equazione di una parabola

Parabola

Sebbene il procedimento che abbiamo esposto in questo paragrafo sia del tutto generale, esistono altri approcci per scrivere l’equazione di una parabola che in alcuni casi possono essere piu` convenienti. Rifletti sugli esempi seguenti.

3Supponiamo di voler scrivere l’equazione della parabola che ha fuoco in

Fð1, 2Þ e per direttrice la retta di equazione y ¼ 2. Invece di impostare e risolvere il sistema e` piu` semplice scrivere l’equazione della parabola ricordando la definizione di parabola (analogamente a quanto abbiamo fatto nel primo paragrafo). Un punto Pðx, yÞ appartiene alla parabola se e solo se e` equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Questa condizione (fig. 5.13) si traduce nell’equazione: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx  1Þ2 þ ðy þ 2Þ2 ¼ j y  2j y Elevando al quadrato e semplificando, otteniamo l’equazione della parabola, che e` 1 1 1 y ¼  x2 þ x  8 4 8 In generale, tutte le volte in cui di una parabola sono dati fuoco e direttrice conviene scriverne l’equazione in base alla definizione di parabola come luogo.

y =2

H(x, 2)

O

V P(x, y)

x

F(1, −2)

Figura 5.13

3Supponiamo di voler scrivere l’equazione della parabola avente vertice in

Vð1, 1Þ e fuoco in Fð1, 3Þ. Dal momento che conosciamo il vertice, possiamo scrivere l’equazione della generica parabola passante per V (teorema 5.5), ossia y  1 ¼ aðx  1Þ2 , e poi determinare il parametro a imponendo che l’ordinata del fuoco sia 3. Si trova cosı` che la parabola cercata ha equazione: y¼

1 2 1 9 x  xþ 8 4 8

In generale, tutte le volte che si vuole scrivere l’equazione di una parabola di cui si conosce il vertice, conviene scrivere l’equazione della generica parabola avente vertice in quel punto e poi determinare il parametro «a» in base all’ulteriore condizione.

Prova tu

ESERCIZI a p. 281

1. Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che passa per i punti Að1, 0Þ, Bð0, 4Þ, Cð2, 6Þ. [y ¼ x2 þ 3x  4] 2. Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x che passa per i punti Að2, 0Þ, Bð0, 2Þ,   Cð0,  3Þ. 1 5 x ¼ y2 þ y þ 2 3 3 3. Scrivi le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y che passano per A(1, 1) e B(4, 4) e sono tan  genti all’asse x. 1 y ¼ ðx  2Þ2 e y ¼ ðx þ 2Þ2 9

4. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice in V(2, 1) e ha come direttrice la retta di equazione   y ¼ 1. 1 1 3 y ¼ x2  x þ 8 2 2 5. Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in F(2, 0) e ha come direttrice la retta di equazione   y ¼ 1. 1 3 y ¼  x2  2x  2 2

259 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche

5. Fasci di parabole Fascio generato da due parabole

Tema C

Analogamente a quanto gia` visto per i fasci generati da due rette, possiamo definire il concetto di fascio generato da due parabole. FASCIO GENERATO DA DUE PARABOLE

Date due parabole e 0 di equazioni y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ a0 x2 þ b0 x þ c0 , si dice fascio di parabole generato da e 0 l’insieme costituito dalla parabola 0 e da tutte le parabole che si ottengono dall’equazione: y  ax2  bx  c þ kðy  a0 x2  b0 x  c0 Þ ¼ 0

[5.19]

al variare di k 2 R.

La [5.19] e` detta equazione del fascio generato da e 0 . Le due parabole e 0 vengono dette generatrici del fascio. La prima generatrice del fascio, la parabola

, si ottiene dalla [5.18] in corrispondenza del valore k ¼ 0; la seconda generatrice del fascio, la parabola 0 , non si ottiene invece in corrispondenza di alcun valore di k e percio`, nella definizione, e` stata considerata a parte. Gli eventuali punti di intersezione delle due generatrici sono chiamati punti base del fascio. Sviluppando i calcoli e raccogliendo in modo opportuno, l’equazione [5.19] si puo` riscrivere nella forma: ðk þ 1Þy ¼ ða þ ka0 Þx2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc0

[5.20]

Si nota cosı` che l’equazione del fascio rappresenta sempre una parabola, eccetto che nei seguenti due casi: Ricorda Le parabole degeneri di un fascio sono quelle che si ottengono in corrispondenza dei valori di k che annullano il coefficiente di y o il coefficiente di x2 .

Attenzione! La condizione a 6¼ a0 implica che l’equazione risolvente il sistema formato dalle equazioni delle due generatrici sia di secondo grado; le tre possibilita` descritte si hanno a seconda che il discriminante dell’equazione sia maggiore, uguale o minore di zero.


per k ¼ 1 si annulla il coefficiente di y e l’equazione [5.20] si riduce a un’equazione di secondo grado nella sola variabile x: se tale equazione ha discriminante non negativo, il luogo dei punti Pðx, yÞ che la soddisfano e` considerato una parabola degenere del fascio e puo` essere rappresentato nel piano cartesiano da una retta verticale o da due rette verticali (a seconda che il discriminante dell’equazione di secondo grado sia uguale o maggiore di zero); a
per k ¼  0 si annulla il coefficiente di x2 e l’equazione [5.20] diventa di pria mo grado in x e y, quindi rappresenta una retta; anch’essa e` considerata una parabola degenere del fascio. La reciproca posizione delle generatrici determina la natura del fascio. Se le due parabole generatrici non sono congruenti oppure sono congruenti ma hanno concavita` opposta, cioe` se a 6¼ a0 , si possono verificare le seguenti tre possibilita`. 1. Le generatrici sono secanti in A e B: il fascio ha due punti base (A e BÞ ed e` costituito da tutte le parabole passanti per A e per B (fig. 5.14a); il fascio contiene due parabole degeneri: la retta AB e la coppia di rette verticali passanti per A e per B (nelle figure le parabole degeneri sono tratteggiate). 2. Le generatrici sono tangenti in un punto A alla retta t: il fascio ha due punti base coincidenti in A ed e` costituito da tutte le parabole tangenti in A alla retta t (fig. 5.14b); il fascio contiene due parabole degeneri: la retta t e la retta verticale passante per A. 3. Le due generatrici non hanno punti in comune: il fascio non ha punti base e due qualsiasi parabole del fascio non hanno punti in comune (fig. 5.14c); il fascio contiene una parabola degenere: una retta che non interseca alcuna parabola del fascio.

260 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y

Unita` 5

y

y

A

B O

A O

x

a. Fascio di parabole con due punti base.

x

O

b. Fascio di parabole con un punto base doppio (ovvero due punti base coincidenti).

x

Parabola

t

c. Fascio di parabole non congruenti privo di punti base.

Figura 5.14

Se le due parabole generatrici sono congruenti e hanno la stessa concavita`, cioe` se a ¼ a0 , si possono verificare le seguenti due possibilita`. 1. Le generatrici hanno un solo punto in comune A (non doppio): il fascio ha un solo punto base, A, ed e` costituito da parabole congruenti e con la stessa concavita` passanti per A (fig. 5.15a); inoltre contiene una parabola degenere: la retta verticale passante per A. 2. Le generatrici non hanno punti in comune: il fascio e` privo di punti base ed e` costituito da parabole congruenti e con la stessa concavita`, con il medesimo asse di simmetria (fig. 5.15b); il fascio non contiene in questo caso parabole degeneri. y

Osserva La condizione a ¼ a0 implica che l’equazione risolvente il sistema formato dalle equazioni delle due generatrici sia di primo grado; le due possibilita` descritte si hanno a seconda che tale equazione risulti determinata o impossibile. Non consideriamo il caso in cui l’equazione e` indeterminata, supponendo che le due parabole generatrici siano distinte.

y

A

x

O

O

a. Fascio di parabole con un punto base (non doppio).

x

b. Fascio di parabole congruenti privo di punti base.

Figura 5.15

Studio di fasci di parabole, di cui sono date le generatrici

ESEMPI

Studiamo il fascio di parabole che ha come generatrici le parabole : y ¼ x 2 e

0 : y ¼ 2x 2  2x. Il fascio generato da e 0 ha equazione: 2

y

y = x2

2

y  x þ kðy  2x þ 2xÞ ¼ 0 ossia: yðk þ 1Þ ¼ ð2k þ 1Þx2  2kx Il sistema formato dalle due generatrici  y ¼ x2 y ¼ 2x2  2x fornisce le soluzioni (0, 0) e (2, 4).

A

y = 2x2 – 2x O

x

Ô

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

261

Le coniche Tema C

Ô

Pertanto il fascio generato da e 0 ha due punti base, l’origine O e il punto A(2, 4), ed e` costituito dalle parabole che passano per tali punti. Per k ¼ 1 (valore per cui si annulla il coefficiente di yÞ l’equazione del fascio diventa x2  2x ¼ 0 e si ottiene cosı` la parabola degenere che e` rappresentata graficamente dalle due rette di equazioni x ¼ 0 e x ¼ 2. 1 Per k ¼  (valore per cui si annulla il coefficiente di x2 ) l’equazione del fascio 2 diventa y ¼ 2x e fornisce l’equazione della parabola degenere nella retta OA.

Fascio di equazione y ¼ ða þ ka 0 Þx 2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc 0

Si puo` provare che se si sostituiscono le generatrici di un fascio di parabole con due qualsiasi parabole del fascio, si ottiene lo stesso fascio di parabole. In particolare, si possono assumere come generatrici di un fascio delle parabole degeneri del fascio. Per esempio, un fascio puo` essere generato dalla parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c e da una parabola degenere, di equazione a0 x2 þ b0 x þ c0 ¼ 0 ; in questo caso il fascio avra` equazione y ¼ ax2 þ bx þ c þ kða0 x2 þ b0 x þ c0 Þ ossia: y ¼ ða þ ka0 Þx2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc0

[5.21]

Un fascio di parabole viene di solito assegnato proprio mediante un’equazione del tipo [5.21], cioe` mediante un’equazione del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c, dove i coefficienti a, b e c dipendono linearmente da un parametro k. In questi casi, per studiare il fascio, occorre anzitutto sviluppare le moltiplicazioni e raccogliere k, in modo da mettere in evidenza le generatrici e determinare i punti base. L’eventuale parabola degenere (a parte la generatrice) del fascio di equazione [5.21] e` una retta che si ottiene in corrispondenza del valore di k che annulla il coefficiente di x2 . ESEMPIO

Studio di fasci di parabole, di cui e` data l’equazione

Studiamo il fascio di parabole di equazione y ¼ ðk þ 1Þx 2  3x  k, determinando le generatrici, i punti base e la parabola degenere del fascio.
Generatrici

Scriviamo l’equazione del fascio raccogliendo il parametro k: y ¼ x2  3x þ kðx2  1Þ

Riconosciamo cosı` che le generatrici sono la parabola di equazione y ¼ x2  3x e la parabola degenere di equazione x2  1 ¼ 0, rappresentata nel piano cartesiano dalle due rette parallele all’asse y di equazione x ¼ 1 e x ¼ 1.
Punti base e caratteristiche del fascio

Per determinare i punti base, risolviamo il sistema formato dalle equazioni delle generatrici:  y ¼ x2  3x x2  1 ¼ 0 Le soluzioni del sistema sono ð1, 4Þ e ð1,  2Þ, quindi il fascio ha due punti base, Að1, 4Þ e Bð1,  2Þ, ed e` costituito da tutte le parabole secanti in A e B.

y y = x2– 3x A x = –1

x=1


Parabola degenere del fascio

262

x

O B

L’unica parabola degenere del fascio (a parte la generatrice) e` la retta AB che corrisponde al valore k ¼ 1 che annulla il coefficiente di x2 : tale retta ha equazione y ¼ 3x þ 1. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESERCIZI a p. 287

y ¼ ðk  1Þx2  3kx þ 2

Parabola

2. Determina i punti base, le generatrici e le caratteristiche delle parabole del fascio di equazione:

1. Scrivi l’equazione del fascio di parabole generato dalle due parabole : y ¼ 2x2  1 e 0 : y ¼ x2 þ 3, determina i punti base e specifica le caratteristiche del fascio.

Unita` 5

Prova tu

6. La parabola e le funzioni Sappiamo che una parabola con asse parallelo all’asse y rappresenta il grafico di una funzione di secondo grado. Non tutte le parabole, pero`, rappresentano il grafico di una funzione. Consideriamo, per esempio, la parabola di equazione x ¼ y 2  1 (fig. 5.16). La retta colorata in blu, parallela all’asse y, interseca la parabola in due punti. Cio` significa che esistono dei valori di x cui corrispondono due valori di y: quindi la parabola di equazione x ¼ y 2  1, cosı` come tutte le parabole con asse parallelo all’asse x, non rappresenta il grafico di una funzione. Se pero` consideriamo, per esempio, solo l’arco della parabola di equazione x ¼ y 2  1 avente ordinate positive o nulle, allora esso rappresenta il grafico di una funzione. y

x = y2 − 1 O

x

Figura 5.16

Ci sonopinfatti funzioni ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffialcune particolari p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi irrazionali, definite da equazioni del tipo y ¼ ax þ b þ c oppure y ¼  ax þ b þ c, il cui grafico e` costituito da un arco di parabola con asse parallelo all’asse x. Vediamo tramite alcuni esempi come si puo` tracciare il grafico di queste funzioni. ESEMPI

Funzioni irrazionali che hanno come grafico archi di parabole

Tracciamo il grafico delle seguenti funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. y ¼ x  2 b. y ¼ 1  x  1

a. Osserviamo anzitutto che la funzione data e` definita purche´ il radicando della radice quadrata sia non negativo, cioe` per x  2. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Per tracciare il grafico della funzione, notiamo che l’equazione y ¼ x  2 e` equivalente al sistema: 

y0 2

y ¼x2

ossia:



y0

2

x¼y þ2

L’equazione x ¼ y 2 þ 2 rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse x di vertice Vð2, 0Þ, mentre la disequazione y  0 ci dice che di tale parabola dobbiamo considerare solo l’arco i cui punti hanno ordinata non negativa. Il grafico della funzione data e` quindi l’arco di parabola non tratteggiato nella figura qui a fianco.

y y = x –2 V O

Ô

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x

263

Le coniche Tema C

y

y=1 x

O

b. Lapfunzione e` definita per x  1. L’equazione y ¼ 1  ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x  1 ¼ 1  y e percio` al sistema: (

1y 0

x  1 ¼ ð1  yÞ

2

ossia:



pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  1 e` equivalente

y1

x ¼ y 2  2y þ 2

Il grafico della funzione data e` quindi l’arco della parabola di equazione x ¼ y 2  2y þ 2 i cui punti hanno ordinata minore o uguale a 1, cioe` l’arco non tratteggiato nella figura qui a fianco.

y = 1– x –1

Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali Saper tracciare i grafici delle funzioni irrazionali che hanno come grafico archi di parabola consente di interpretare graficamente alcune equazioni e disequazioni irrazionali. Vediamo alcuni esempi. Interpretazione grafica di un’equazione irrazionale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Interpretiamo graficamente e risolviamo l’equazione 2  x ¼ x  1.

ESEMPIO


Interpretazione grafica

Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2x e y ¼x1

y y = 2– x P O y = x −1

xP

x

Il grafico della prima funzione e` un arco di parabola, che si puo` tracciare con il procedimento degli esempi precedenti. La seconda funzione ha come grafico una retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Le soluzioni dell’equazione corrispondono alle ascisse dei punti di intersezione tra l’arco di parabola e la retta. Dal grafico puoi vedere che c’e` un solo punto di intersezione, P. Pertanto possiamo prevedere che l’equazione avra` una sola soluzione, l’ascissa di P, e che 1 < xP < 2. Per determinare l’ascissa di P occorre procedere algebricamente.
Calcolo algebrico

Eleviamo al quadrato i due membri dell’equazione e risolviamo l’equazione ottenuta: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  x ¼ x  1 ) 2  x ¼ ðx  1Þ2 ) 2  x ¼ x2  2x þ 1 ) pffiffiffi 1 5 ) x2  x  1 ¼ 0 ) x ¼ 2 In base all’analisi grafica che abbiamo effettuato, possiamo affermare che, p delffiffiffi 1þ 5 . le due soluzioni trovate, quella accettabile e` quella positiva, cioe` x ¼ 2 Coerentemente con quanto previsto, risulta x ’ 1,6. Risoluzione grafica di una disequazione irrazionale pffiffiffi Risolviamo graficamente la disequazione x > x  4.

ESEMPIO


Interpretazione grafica

pffiffiffi Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni y ¼ x e y ¼ x  4. Risolvere graficamente la disequazione significa determinare per quali valori pffiffiffi di x il grafico della funzione y ¼ x e` «al di sopra» della retta. Dalla figura puoi vedere che cio` accade per: 264

0  x < xP Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 5

y P

y= x


Calcolo algebrico pffiffiffi x ¼ x  4 ) x ¼ ðx  4Þ2 ) x ¼ x2  8x þ 16 ) x2  9x þ 16 ¼ 0 ) pffiffiffiffiffiffi 9  17 ) x¼ 2

O

x

xP y = x −4

Parabola

essendo xP l’ascissa del punto di intersezione tra l’arco di parabola e la retta. Per completare la risoluzione della disequazione dobbiamo determinare xP , pffiffiffi cioe` risolvere algebricamente l’equazione x ¼ x  4.

Dall’analisi grafica si vede che xP > 6. Possiamo affermare che, delle due solupffiffiffiffiffiffi 9 þ 17 . Concluzioni trovate, quella accettabile e` quella maggiore, cioe` x ¼ 2 pffiffiffiffiffiffi 9 þ 17 . diamo quindi che la disequazione e` soddisfatta per 0  x < 2

La funzione di secondo grado e i problemi di massimo e di minimo Conoscere le proprieta` delle funzioni di secondo grado e saper tracciare il grafico di funzioni irrazionali rappresentate da archi di parabola amplia la classe di problemi che siamo in grado di rappresentare tramite il modello matematico delle funzioni. In particolare, mediante il modello costituito dalle funzioni di secondo grado possiamo risolvere alcuni problemi in cui si chiede di determinare il massimo o il minimo valore che puo` assumere una grandezza. Il problema seguente ne e` un esempio. PROBLEMA

Minimizzare un’area

Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC rispettivamente di misura 4 e 3. Considerati i punti E, F e G, rispettivamente su AB, BC e AC, in modo che AE ¼ BF ¼ CG, determinare la misura dei tre segmenti AE, BF e CG in modo che l’area del triangolo EFG sia minima. FIGURA E SCELTA DELL’INCOGNITA

Il testo del problema suggerisce di porre uguale a x la misura dei tre segmenti congruenti AE, BF e CG. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi Per il teorema di Pitagora, BC ¼ 32 þ 42 ¼ 25 ¼ 5, quindi si possono dedurre le misure dei segmenti annotati in fig. 5.17.

C x G

5–

x

3– x

F 4–x

A x E

x B

Figura 5.17

LIMITI GEOMETRICI DELL’INCOGNITA

La misura x dei tre segmenti deve essere un numero non negativo, quindi x  0; inoltre deve essere un numero che non supera la misura di ciascun lato del triangolo (perche´ i punti E, F, G appartengono per ipotesi ai lati), quindi dovra` essere x  3. Analizziamo i due casi limite x ¼ 0 e x ¼ 3:

a. se x ¼ 0, allora A  E, B  F e C  G (fig. 5.18), quindi il triangolo EFG coincide con il triangolo ABC, che ha area uguale a 6; b. se x ¼ 3, allora A  G, quindi il triangolo EFG coincide con il triangolo EFA (fig. 5.19).

C≡G

C 2 F 3

Figura 5.18

A≡E

B≡F

Figura 5.19

A≡G

3

3

E 1 B

265 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

Poiche´ in entrambi i casi limite il triangolo EFG e` ben definito, accettiamo i casi limite e assumiamo come dominio dell’incognita l’intervallo 0x3 ESPRESSIONE DELL’AREA DEL TRIANGOLO EFG IN FUNZIONE DI x

Osserviamo che l’area del triangolo EFG si puo` ottenere come differenza fra l’area del triangolo ABC e le aree dei triangoli AEG, EBF e FCG (fig. 5.20). Esprimiamo in funzione di x le aree dei triangoli ABC, AEG, EBF e FCG. 1 AreaðABCÞ ¼  3  4 ¼ 6 2 AreaðAEGÞ ¼

C x G

x

3– x

1 1  x  ð3  xÞ ¼ ð3x  x2 Þ 2 2

F

K A x E

1 1 3 3 AreaðEFBÞ ¼  EB  HF ¼  ð4  xÞ  x ¼ ð4x  x2 Þ 2 2 5 10 Dalla similitudine dei triangoli ABC e HBF segue che BC : AC ¼ BF : HF , da cui HF ¼

AreaðFCGÞ ¼

5–

4–x

H

x B

Figura 5.20

3 x 5

1 1 4 2  CG  FK ¼  x  ð5  xÞ ¼ ð5x  x2 Þ 2 2 5 5

Dalla similitudine dei triangoli ABC e KFC segue che BC : AB ¼ FC : FK, da cui FK ¼

4 ð5  xÞ 5

Pertanto: AreaðEFGÞ ¼ AreaðABCÞ  AreaðAEGÞ  AreaðEFBÞ  AreaðFCGÞ ¼ ¼6

1 3 2 6 47 ð3x  x2 Þ  ð4x  x2 Þ  ð5x  x2 Þ ¼ x2  xþ6 2 10 5 5 10

GRAFICO DELLA FUNZIONE E DEDUZIONE DEL MINIMO

Indichiamo con y l’area del triangolo EFG. L’espressione di y in funzione di x, in base a quanto ricavato nel punto precedente, e`: y¼

6 2 47 x  xþ6 5 10

6

La funzione di secondo grado definita da questa equazione ha come grafico una parabola con la concavita` rivolta verso l’alto (fig. 5.21), quindi il valore minimo di y si ottiene in corrispondenza dell’ascissa del vertice della parabola, cioe` per 47 . x¼ 24 L’area di EFG e` minima quando: AE ¼ BF ¼ CG ¼

y

y=

O

6 2 47 x– x +6 5 10

x

47 3 24

47 ’ 1,96 24

Figura 5.21

Prova tu

ESERCIZI a p. 290

1. Traccia i grafici delle seguenti funzioni. a. y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4  2x;

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ xþ2

b. y ¼ 3 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  x;

y ¼1þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ3

2. Interpretando graficamente le seguenti equazioni, stabilisci il numero delle loro soluzioni e cerca di darne una stima. Risolvi poi le equazioni algebricamente. " pffiffiffiffiffiffi # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1  13 a. 4x¼ xþ2 [0, 4] b. x þ 3 ¼ x 2 2

3. Risolvi graficamente le seguenti disequazioni.   pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a. 2x þ 1 > x  2  x< 6þ3 2

b.

pffiffiffi x  1 < 2x

266 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[x  0]

Unita` 5

MATEMATICA NELLA REALTA`

Modelli parabolici

Parabola

Osservando i getti d’acqua nella seguente fotografia, puoi riconoscere una parabola, proprio come quelle che hai imparato a tracciare in questa Unita`: infatti i getti d’acqua cadendo al suolo seguono traiettorie paraboliche. Piu` in generale, si puo` dimostrare che la traiettoria di un oggetto lanciato in aria in direzione non verticale e` sempre parabolica.

La presenza di parabole nelle situazioni reali appena descritte si potrebbe spiegare in base ad alcune leggi della fisica in cui trovano applicazione le funzioni quadratiche. Tali applicazioni sono note fin da quando, nel XVII secolo, lo scienziato inglese Isaac Newton (1642-1727) descrisse le leggi del moto dei corpi e la legge di gravitazione universale. Secondo queste leggi, un oggetto lanciato verticalmente verso l’alto, con velocita` iniziale v0 (in metri al secondo), da una altezza h0 (in metri), t secondi dopo il lancio si trova a un’altezza espressa dalla seguente funzione quadratica: hðtÞ ¼  4,9t 2 þ v0 t þ h0

–4,9t 2 + v0t h

Altezza raggiunta da una palla lanciata verticalmente verso l’alto con velocità v0 da una altezza h0 dopo t secondi dal lancio

h0

Il grafico di questa funzione, in un sistema di assi dove i valori di t sono posti in ascissa e quelli di h in ordinata, e` una parabola. Presta attenzione, pero`: l’equazione hðtÞ ¼  4,9t 2 þ v0 t þ h0 rappresenta l’altezza della palla all’istante t e non descrive la traiettoria della palla. In astronomia, alcune comete che non appartengono al sistema solare hanno traiettorie paraboliche. Un altro settore dove si incontrano le parabole e` quello della disposizione dei cavi portanti nei punti sospesi: i ponti, cioe`, in cui l’impalcato e` sospeso e viene sostenuto mediante tiranti in acciaio, collegati ai cavi portanti. Il Golden Gate, sulla baia di San Francisco, e` uno dei ponti piu` lunghi di questo tipo; e` stato costruito negli anni Trenta ed e` lungo circa 2,7 km: i cavi d’acciaio del Golden Gate hanno 93 cm di diametro, pesano da soli circa 15 000 tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal mare.

267 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

L’interesse a calcolare lungo quale tipo di curva si dispongono i cavi portanti non e` solo una questione matematica, ma un’esigenza di progettazione: conoscere la curva lungo cui si dispongono tali cavi, infatti, permette di calcolare la lunghezza dei tiranti prima di aver iniziato la costruzione del ponte. Un cavo, fissato ai due estremi e non soggetto ad alcuna altra forza che non sia il proprio peso, si dispone lungo una curva simile a una parabola, ma matematicamente diversa: questa curva si chiama catenaria. I cavi portanti dei ponti sospesi, invece, non sono semplicemente adagiati sui due piloni ma sono soggetti alle forze esercitate dai tiranti: queste forze di tensione fanno sı` che la curva lungo cui si dispongono i cavi non sia una catenaria ma un arco di parabola. Infine, le proprieta` geometriche della parabola e dei solidi che da essa si ottengono per rotazione hanno importanti applicazioni in elettromagnetica e in ottica, per esempio nella costruzione di antenne e di fari. La proprieta` alla base di queste applicazioni e` la seguente: consideriamo un punto P di una parabola avente fuoco in F; tracciamo la retta t, tangente alla parabola in P, e la retta n perpendicolare alla tangente in P (fig. 5.22). Comunque venga scelto P, si puo` dimostrare che la retta n risulta bisettrice dell’angolo APbF, essendo A un punto appartenente alla semiretta tracciata in fig. 5.22 parallela all’asse della parabola.

n

A

F

F V

P

t Figura 5.22

Figura 5.23

Questa proprieta` fa sı` che una superficie riflettente parabolica (cioe` ottenuta dalla rotazione di una parabola intorno al suo asse di simmetria), in base alle leggi della riflessione, rifletta i raggi luminosi paralleli all’asse di rotazione in raggi passanti per il fuoco (fig. 5.23). Per questo motivo molte antenne per ricevere segnali satellitari o dallo spazio sono costituite da superfici paraboliche: i segnali, provenendo da grandi distanze, sono approssimativamente paralleli e vengono riflessi nel ricevitore, posto nel fuoco dell’antenna, aumentando cosı` la loro potenza.

268 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

5

Esercizi

In più: esercizi interattivi

Unita`

Unita` 5

SINTESI Formule e proprieta` importanti

Direttrice y ¼  Asse x ¼ 

x =− y = ax + bx + c 2

b 2a

Parabola

Parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c   b 1
, Fuoco F  2a 4a

y

 b 1− ∆ − 2a , 4a 

1þ
4a

b 2a

 b ∆ − 2a , − 4a 

  b
, Vertice V  2a 4a

F

y=−

V

1+ ∆ 4a

direttrice

x

O

Posizione reciproca tra retta e parabola
0

retta esterna retta tangente retta secante

Rette tangenti alla parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c passanti per Pðx0 , y0 Þ y

y

y

P(x0, y0)

P(x0, y0) x

O

O

x

O

x

P(x0, y0) Per un punto P esterno alla parabola passano due rette distinte tangenti alla parabola. I coefficienti angolari di tali rette si possono determinare imponendo che sia nullo il discriminante dell’equazione risol y ¼ ax 2 þ bx þ c vente il sistema: y  y0 ¼ mðx  x0 Þ

Se il punto P appartiene alla parabola, esiste un’unica retta passante per P e tangente alla parabola. Il coefficiente angolare m di tale retta e` dato dalla formula: m ¼ 2ax0 þ b.

Per un punto P interno alla parabola non passano rette tangenti alla parabola.

Area del segmento parabolico di base AB 2 E` uguale a dell’area del rettangolo AA0 B0 B, essendo A0 ; B0 le proiezioni ortogonali di A e B sulla retta tangente alla 3 parabola e parallela ad AB. Equazione di un fascio di parabole di generatrici y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ a0 x2 þ b0 x þ c0 y  ax2  bx  c þ kðy  a0 x2  b0 x  c0 Þ ¼ 0

Caratteristiche del fascio A seconda del numero dei punti base, si possono presentare le seguenti situazioni:
se ci sono due punti base distinti A e B, il fascio e` costituito da parabole secanti passanti per A e per B;
se ci sono due punti basi coincidenti, A  B, il fascio e` costituito da parabole tangenti fra loro in A;
se c’e` un solo punto base A (non doppio), il fascio e` costituito da parabole congruenti passanti per A;
se non ci sono punti base, il fascio puo` essere costituito o da parabole congruenti aventi il medesimo asse di simmetria o da parabole non congruenti che non si intersecano fra loro. 269 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Le parabole con vertice nell’origine

TEORIA a p. 240

La definizione di parabola come luogo 1 Þ

Caccia all’errore. «La parabola e` il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante d da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice». Quale errore contiene questa definizione di parabola?

2 Þ

Vero o falso? Considera una parabola di fuoco F, vertice V e direttrice d, e sia H la proiezione di V sulla direttrice. a. F e` il punto medio di VH b. V e` il punto medio di FH c. la retta passante per V e per F e` l’asse della parabola d. la retta passante per V e per H e` perpendicolare alla direttrice e. ogni retta perpendicolare alla direttrice e` un asse di simmetria per la parabola

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[3 affermazioni vere e 2 false] 3 In ciascuna delle seguenti figure sono assegnati due elementi fra vertice, fuoco e direttrice di una parabola. Þ Determina il terzo elemento e l’equazione dell’asse della parabola.

y

y

y y =2

V V O(0, 0)

x y = −2

O(0, 0)

x F

Direttrice: y ¼ :::::::::: Asse: x ¼ ::::::::::

Fuoco: F ð:::::, :::::Þ Asse: x ¼ ::::::::::

x

O(0, 0)

F

Vertice: V ð:::::, :::::Þ Asse: x ¼ ::::::::::

Determina l’equazione della parabola che ha come fuoco il punto F e come direttrice la retta d.       1 2 1 1 3 2 2 1 1   4 Fð0, 1Þ d: y ¼ 2 y ¼ 7 F y ¼ x , 0 d: y ¼  x x  Þ Þ 6 2 4 4 3 3 3     1 15 17 5 Fð1, 1Þ d: y ¼ 0 y ¼ x2 þ x þ 1 Þ 8 F 1,  [y ¼ x2  2x  3] d: y ¼  2 Þ 4 4   1 1 4 6 Fð1, 0Þ d: y ¼ 3 y ¼  x2  x þ Þ 6 3 3 9 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Consideriamo due parabole e 0 secanti in A e B, aventi la medesima retta r come direttrice e fuochi, rispettivamente, in F ed F0 . Dimostriamo che i punti di intersezione di e 0 appartengono all’asse di FF 0 . In riferimento alla figura qui a fianco consideriamo, per esempio, il punto A. Osserviamo che:
AF ¼ AH

per definizione di parabola avente fuoco in F e direttrice r


AF 0 ¼ AH

per definizione di parabola avente fuoco in F 0 e direttrice r

AF 0 ,

0

Ne segue che AF ¼ quindi A appartiene all’asse di FF . Con un ragionamento del tutto analogo possiamo dimostrare che anche B appartiene all’asse di FF 0 .

y asse di FF'

γ'

A

γ

F direttrice

270 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

F'

B O

H

r x

Sia una circonferenza tangente alla retta r e passante per il punto P; dimostra che il centro di appartiene alla parabola avente come direttrice la retta r e fuoco in P.

12 Þ

Considera una parabola avente fuoco in F. Traccia la retta parallela alla direttrice di e passante per F, indicando con A e B i suoi punti di intersezione con . Dette A0 , B0 le proiezioni di A e B sulla direttrice, dimostra che il perimetro del rettangolo AA0 B0 B e` il triplo di AB.

Parabola

Considera due circonferenze e 0 , secanti in A e B, tangenti entrambe alla retta r e aventi centri, rispettivamente, in C e C0 . Dimostra che C e C0 sono i punti di intersezione delle parabole aventi come direttrice la retta r e aventi fuochi, rispettivamente, in A e B. 11 Þ

Unita` 5

10 Þ

Parabole con vertice nell’origine Test 13 Nella figura qui sotto sono tracciati i grafici delle Þ parabole di equazioni y ¼ a1 x2 , y ¼ a2 x2 e y ¼ a3 x2 . Quale delle relazioni tra i coefficienti a1 , a2 e a3 e` corretta? A

a3 < 0 < a1 < a2

B

a3 < 0 < a2 < a1

C

0 < a1 < a2 < a3

D

a1 < a2 < 0 < a3

y = a2 x 2

y

y = a1 x

2

x

O y = a3 x 2

Traccia il grafico delle seguenti parabole, dopo avere determinato le coordinate di almeno cinque punti di ciascuna di esse. Determina fuoco e direttrice di ciascuna parabola. 15 Þ

y ¼ x2

20 Þ

y ¼ 2,5 x2

16 Þ

y¼

21 Þ

y¼

17 Þ

y¼

22 Þ

y ¼ 2x2

23 Þ

y¼

2 2 x 3

1 2 x 3

3 2 x 2 1 2 19 y ¼  x Þ 3 18 Þ

y¼

1 2 x 4

3 2 x 4

24 Þ 14 Nella figura qui sotto sono tracciati i grafici delle Þ parabole di equazioni y ¼ a1 x2 , y ¼ a2 x2 e y ¼ a3 x2 . Quale delle relazioni tra i coefficienti a1 ; a2 e a3 e` corretta? A

0 < a3 < a2 < a1

B

a2 < a3 < a1 < 0

C

a2 < a3 < 0 < a1

D

a3 < a2 < 0 < a1

y y = a1 x 2

Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nell’origine e come direttrice la retta di  equazione 1 1 y ¼  x2 y ¼ , quindi tracciane il grafico. 2 2

25 Þ

Scrivi l’equazione della parabola  che ha  vertice 3 nell’origine e come fuoco il punto F 0,  , quindi 8   tracciane il grafico. 2 y ¼  x2 3

26 Þ

O x y = a2 x 2

Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nell’origine e come direttrice la retta di equazione   y ¼ 1, quindi tracciane il grafico. 1 2 y¼ x 4

27 Þ

y = a3 x 2

Scrivi l’equazione della parabola che ha  vertice 3 nell’origine e come fuoco il punto F 0, , quindi 2   tracciane il grafico. 1 2 y¼ x 6

2. Le parabole con asse parallelo a uno degli assi cartesiani

TEORIA a p. 243

Grafico e proprieta` della parabola con asse parallelo all’asse y 28 Þ

Vero o falso?

a. la parabola di equazione y ¼ x2 þ 2x passa per l’origine b. la parabola di equazione y ¼ x2  4 passa per l’origine c. l’asse della parabola di equazione y ¼ 2x2 þ 1 e` l’asse y pffiffiffi d. la parabola di equazione y ¼ ð 3  2Þx2 þ 1 ha la concavita` rivolta verso l’alto

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 2 false]

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

271

Le coniche Tema C

Associa alle parabole disegnate nella figura qui sotto, ciascuna di equazione del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c, i rispettivi valori di a: y 1 a ¼ 3; a¼ ; 2 1 a¼ ; a¼2 3 x O 29 Þ

Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle seguenti parabole, la cui equazione e` del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c, poni una crocetta sulle caselle che esprimono il segno dei coefficienti a, b e c. 30 Þ

y

y

y

V

O x

O

x

O V

a>0 b>0 c>0

a¼0

a0

b0

c¼0

c0

b¼0

Traccia i grafici delle parabole aventi le seguenti equazioni, dopo aver determinato di ciascuna il vertice V, l’asse e altri quattro suoi punti.    3 7 2 31 y ¼ x  3x þ 4 V , Þ 2 4 32 Þ

y ¼ x2  4x þ 5

33 Þ

y ¼ x  2x

½Vð1, 1Þ

34 Þ

y ¼ x2 þ 4

½Vð0, 4Þ

35 Þ

y ¼ x2  2x þ 1

36 Þ

y ¼ x2  6x þ 9

½Vð3, 0Þ

37 Þ

2

y ¼ x þ 6x  5

½Vð3, 4Þ

38 Þ

y ¼ 2x2 þ 4x  1

39 Þ

y ¼ 2x2  6x

½Vð1, 2Þ

1 2 x  2x 2 1 2 41 y ¼ x  3x þ 2 Þ 2 40 Þ

272

y¼

V

a¼0

a0

b0

c¼0

c0

b¼0

43 y ¼ x2 þ Þ 44 Þ

y¼

45 Þ

y¼

½Vð2, 1Þ

2

½Vð1, 1Þ    3 9 V ; 2 2 ½Vð2, 2Þ    5 V 3,  2

Determina vertice, fuoco e direttrice delle parabole aventi le seguenti equazioni.     15 17 2 42 y ¼ x þ 2x þ 3 Vð1, 4Þ; F 1, ; y ¼ Þ 4 4

x

3 2

a¼0

a > L’ascissa di V e` 3 ¼ 3 >  < 2a Passaggio per V > 9a  3b þ c ¼ 2 > > : 25a  5b þ c ¼ ::::: Passaggio per P

V

Parabola

Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice in Vð3, 2Þ e passa per ð5, 2Þ.

2

−5 −3

x

O −2

P

Risolvendo il sistema trovi che a ¼ :::::, b ¼ ::::: e c ¼ ::::: Quindi la parabola cercata ha equazione ...................................
¼ 2 (l’ordinata del vertice e` 2), ti abbiamo suggerito di porre la condizione equivalente del passaggio 4a per V , perche´ cosı` ottieni un’equazione di primo grado anziche´ di secondo.

Nota Invece di porre la condizione 


2o modo Ricorda che una parabola di vertice Vðxv , yv Þ ha equazione del tipo y  yv ¼ aðx  xv Þ2

Poiche´ la parabola in figura ha vertice in Vð3, 2Þ, la sua equazione sara` del tipo: y  2 ¼ a½x  ð3Þ2 ossia: y ¼ aðx þ 3Þ2 þ 2 Imponi ora il passaggio per il punto Pð5, 2Þ. Otterrai l’equazione: 2 ¼ að5 þ 3Þ2 þ 2 [y ¼ x2  6x  7]

da cui a ¼ ::::: Quindi l’equazione della parabola e` y ¼ :::::::::::::::::::: 185 Þ

Dal grafico all’equazione. Determina le equazioni delle parabole disegnate nelle seguenti figure. y

y

y 2 O

3

x 4

−2

O O

x

x

−3 −5



 1 2 2 y ¼ 2ðx þ 2Þ  3; y ¼  ðx  3Þ þ 2; y ¼ ðx  4Þ  5 2 2

Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che ha vertice in V e passa per P.     2 2 3 2 186 V(0, 0); P(3, 2) y ¼ 190 V(2,–3); P(0,0) y ¼  3x x x Þ Þ 9 4       3 1 9 2 2 187 V(1, 1); P(2, 3) [y ¼ 2x  4x þ 3] Þ þ 6x  191 V y ¼ 2x , 0 ; P , 2 Þ 2 2 2   188 V(2, 0); P(3, 2) [y ¼ 2x2  8x þ 8] Þ 1 2 192 Vð2, 1Þ; P(0, 3) y ¼ þ 2x þ 3 x 2 Þ 189 V(0, 3); P(1, 2) [y ¼ x þ 3] 2 Þ Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

283

Le coniche Tema C

Equazione di una parabola, dati due elementi scelti fra vertice, fuoco e direttrice 193 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel punto Vð0, 2Þ e fuoco nel punto Fð0,  1Þ. Dai dati segue che l’asse della parabola e` l’asse y. Puoi risolvere l’esercizio in vari modi.

y


1o modo Considera l’equazione generica della parabola, y ¼ ax2 þ bx þ c, e imposta il sistema: 8 b > > > ¼0  > > 2a < c¼2 > > > > 1  ðb2  4acÞ > : ¼ 1 4a

V O(0, 0) x

F

L’ascissa di V e` 0 Passaggio per V L’ordinata del fuoco e` 1

Risolvendolo trovi i coefficienti a, b e c della parabola cercata.
2o modo Poiche´ il vertice deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice, la direttrice dovra` essere la retta di equazione y ¼ 5. Grazie a questa osservazione, puoi scrivere la parabola come luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ ðy þ 1Þ2 ¼ jy  5j Elevando al quadrato e risolvendo rispetto a y trovi l’equazione della parabola.


3o modo La parabola, avendo vertice in Vð0, 2Þ, deve avere un’equazione del tipo: y ¼ ax2 þ 2 Esprimi l’ordinata del fuoco di questa parabola in funzione di a e imponi che tale ordinata sia uguale a 1. Risol  vendo l’equazione trovi il coefficiente a incognito. 1 2 x þ2 y¼ 12 194 Þ

Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle parabole che hanno come vertice, fuoco o direttrice i punti e le rette rappresentati in ciascuna figura. y

y

y

F y =2

V O(0, 0) y = −3

direttrice

x

x

O(0, 0)

x

O(0, 0) V

F

direttrice



y¼

1 2 1 1 1 1 2 1 15 x  xþ ; y ¼  x2 ; y ¼ x  x 12 6 12 8 16 8 16

195 Scrivi l’equazione della parabola avente vertice in Vð1, 1Þ e come direttrice l’asse x. Þ



196 Scrivi l’equazione della parabola avente il fuoco in F(0, 0) e per direttrice la retta y ¼ 1. Þ

284 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y¼

1 2 1 5 x  xþ 4 2 4 

y¼

 

 1 2 ðx  1Þ 2

Parabola

 1 2 197 Scrivi l’equazione della parabola avente il fuoco in Fð1, 1Þ e per direttrice l’asse x. y ¼  ðx  2x þ 2Þ Þ 2   1 2 198 Scrivi l’equazione della parabola avente il vertice in V(0, 0) e per direttrice la retta y ¼ 1. y ¼ x Þ 4   1 2 199 Scrivi l’equazione della parabola avente il vertice in V(2, 1) e fuoco in F(2, 0). y ¼ x þx Þ 4

Unita` 5



Equazione di una parabola, data una condizione di tangenza 200 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della parabola tangente alla retta di equazione y ¼ x þ 1 nel suo punto P di ascissa 2, passante per il punto Qð1, 3Þ. y Considera l’equazione generica della parabola y ¼ ax2 þ bx þ c e imposta il sistema: 8 Passaggio per P > < 4a þ 2b þ c ¼ 3 abþc ¼3 > : 2a  2 þ b ¼ 1

Q

Passaggio per Q

3

P

Il coefficiente angolare della retta tangente in P e` 1

–1 O 2

x

Risolvendolo trovi i coefficienti a, b e c della parabola cercata. Nota Dal momento che e` noto il punto di contatto tra la retta tangente e la parabola, invece di imporre che il discriminante dell’equazione risolvente il sistema tra la generica parabola e la retta sia nullo, abbiamo utilizzato la formula m ¼ 2ax0 þ b e abbiamo imposto che il coefficiente angolare della retta tangente in P sia 1. Cio` e` piu` conveniente perche´ comporta calcoli meno complessi e fornisce una condizione di primo grado (anziche´ di secondo come nel caso del discriminante). Se non e` noto il punto di contatto, ma solo l’equazione di una retta tangente, questa «scorciatoia» non e` praticabile e occorre considerare il sistema formato dall’equazione della parabola e della retta e imporre   che il discriminante dell’equazione risolvente sia nullo.

y¼

1 2 1 7 x  xþ 3 3 3

201 Þ

Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle parabole rappresentate nelle seguenti figure. La prima e` tangente in P alla retta r e passa per Q. La seconda e` tangente in P alla retta r ed e` ulteriormente tangente alla retta s. y 1 P O 1 −2

y

r

r

4 x Q

s

2

P

O −1

x

3 2

202 Scrivi le equazioni delle parabole, aventi asse di Þ simmetria parallelo all’asse y, tangenti alla retta di equazione y ¼ 2x e passanti per Að0, 1Þ e Bð2, 5Þ. [y ¼ x2 þ 1; y ¼ 4x2 þ 6x þ 1 203 Scrivi l’equazione della parabola tangente in Þ Að1, 1Þ alla retta di equazione y ¼ 2x  1 e passante   per Bð3, 0Þ. 5 2 9 9 y ¼ x þ x 4 2 4 204 Scrivi l’equazione della parabola tangente in Þ Að1, 2Þ alla retta di equazione y ¼ 2x e passante per il   punto Bð2, 3Þ. y ¼ x2 þ 4x  1



y¼

2 2 7 2 5 x þ x  ; y ¼ x2  x þ 3 3 3 4



205 Þ

Scrivi l’equazione della parabola avente vertice in Vð1, 2Þ e che e` tangente alla retta di equazione   y ¼ x2 þ 2x þ 3 y ¼ 2x þ 3.

206 Þ

Scrivi le equazioni delle parabole tangenti all’asse x, alla retta di equazione y ¼ 2x e che passano per     1 1 1 2 2 P 1, y ¼x þxþ ; y ¼ x þxþ1 . 4 4 4

207 Þ

Scrivi l’equazione della parabola tangente in Að0, 1Þ alla retta di equazione y ¼ 2x þ 1 e tangente ulteriormente alla retta di equazione y ¼ 3x.   1 2 y ¼ x þ 2x þ 1 4

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

285

Le coniche Tema C

Parabole con asse parallelo all’asse x 208 Scrivi l’equazione della parabola con asse paralleÞ lo all’asse x, passante per i punti Að2, 0Þ, Bð1, 1Þ,   1 2 7 Cð0, 3Þ. x¼ y  yþ2 6 6

211 Þ

Scrivi l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse x, sapendo che il vertice e` il punto   Vð0, 2Þ e che passa per Pð1, 0Þ. 1 x ¼ y2 þ y þ 1 4

209 Scrivi l’equazione della parabola con asse paralleÞ lo all’asse x, avente vertice in Vð0, 1Þ e passante per   1 2 1 Pð2, 1Þ. x¼ y þyþ 2 2

212 Þ

Scrivi l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse x, tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante nel punto Pð1, 1Þ e passante per   x ¼ y2  y þ 1 Qð3, 2Þ.

210 Scrivi l’equazione della parabola passante per i Þ punti Oð0, 0Þ e Að1, 1Þ, avente come asse la retta di  x ¼ y 2 þ 2y equazione y ¼ 1.

Esercizi riassuntivi sulla ricerca dell’equazione di una parabola

213 Þ

Scrivi le equazioni delle parabole rappresentate nelle seguenti figure. Nella seconda figura la retta AB e` tangente alla parabola in A.

−2

y

y

y

9

V

A O

−6

3

x

O

x

3

−1

−6 B

 214 Scrivi l’equazione della parabola con asse paralleÞ lo all’asse y, passante per Að1, 1Þ, Bð0, 0Þ e Cð2, 3Þ.   1 2 7 y¼ x  x 6 6

215 Scrivi l’equazione della parabola con asse paralleÞ lo all’asse x, passante per Að0, 2Þ, Bð0, 1Þ e Cð3, 0Þ.   3 3 x ¼  y2 þ y þ 3 2 2

216 Scrivi l’equazione della parabola passante per Þ Að0, 3Þ e per Bð2, 2Þ e avente come asse di simmetria  1 1 1 y ¼  x2 þ x þ 3 la retta di equazione x ¼ . 2 2 2 217 Scrivi l’equazione della parabola passante per Þ Að2, 1Þ, tangente all’asse x e avente come asse di sim  metria la retta di equazione x ¼ 1. y ¼ x2  2x þ 1 218 Þ

Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, avente vertice in Vð0, 1Þ e passante per   y ¼ 1 þ 3x2 Pð1, 4Þ. 219 Scrivi l’equazione della parabola che ha come asÞ se di simmetria l’asse x e passa per i punti Að0, 2Þ e   Bð4, 0Þ. x ¼ 4  y2

220 Scrivi le equazioni delle parabole con asse paralÞ lelo all’asse y, passanti per il punto Pð3, 4Þ e aventi il   fuoco nell’origine. 1 2 1 2 9 x þ y ¼ ðx  1Þ, y ¼  2 18 2

O 2

5

x

 2 2 y ¼ ðx þ 2Þðx  3Þ; y ¼ x  2x; y ¼ ðx þ 1Þðx  5Þ 3 221 Scrivi l’equazione della parabola avente come diÞ rettrice la retta di equazione y ¼ 3 e fuoco in   1 Fð0, 1Þ. y ¼ x2  2 4 222 Þ

Scrivi l’equazione della parabola avente per diret5 trice la retta di equazione y ¼  e vertice in 2  Vð2, 2Þ. 1 2 y ¼ x  2x 2 223 Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice Þ in Vð0, 2Þ e come direttrice la retta di equazione   1 2 x ¼ 1. x¼ y yþ1 4 224 Scrivi l’equazione della parabola avente per diretÞ 5 trice la retta di equazione y ¼  e vertice in 4   Vð0, 1Þ. y ¼ x2  1

225 Scrivi le equazioni delle parabole con asse paralleÞ lo all’asse y, che intersecano l’asse x nei punti Að2, 0Þ e Bð4, 0Þ e che sono tangenti alla retta di equazione   y ¼ 3x þ 4. 1 9 y ¼ x2  3x þ 4; y ¼ x2  27x þ 36 2 2 226 Scrivi l’equazione della parabola, il cui asse e` paÞ rallelo all’asse x, avente fuoco nell’origine Oð0, 0Þ e vertice appartenente alla retta di equazione:   1 2 3 4x  2y þ 3 ¼ 0 x¼ y  3 4

286 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

lelo all’asse y, passanti per Að0, 2Þ e per Bð4, 18Þ e   tangenti all’asse x. 1 y ¼ 2ðx þ 1Þ2 ; y ¼ ðx  2Þ2 2 229 Scrivi l’equazione della parabola, con asse paralÞ lelo all’asse y, che passa per Að1, 3Þ e per Bð0, 4Þ ed e` tangente alla retta parallela ad AB e passante per l’ori  y ¼ 16x2 þ 17x þ 4 gine.

230 Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in Þ   Fð1, 2Þ e vertice in Vð1, 0Þ. 1 y ¼ ðx  1Þ2 8

231 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse paralÞ lelo all’asse y, aventi fuoco in Fð2, 0Þ e passanti per l’o  rigine. 1 1 y ¼  x2 þ x; y ¼ x2  x 4 4

233 Þ

Scrivi le equazioni delle parabole aventi per diret5 trice la retta di equazione y ¼  , passanti per il pun2 to Pð2,  2Þ e per l’origine.   1 2 2 y ¼ x  3x; y ¼ x  2x 2

Parabola

228 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse paralÞ

232 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse paralÞ lelo all’asse y, passanti per il punto Pð4, 2Þ e aventi   fuoco in Fð0,  1Þ. 1 1 2 x þ3 y ¼ x2  2; y ¼  4 16

Unita` 5

227 Scrivi l’equazione della parabola, con asse paralÞ lelo all’asse y, che ha vertice in Vð2,  1Þ ed e` tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.   1 y ¼ x2 þ x 4

234 Þ

Scrivi le equazioni delle parabole aventi per diret5 trice la retta di equazione y ¼  , passanti per i punti 4   y ¼ x2  1; y ¼ 2x2  x  1 Að0,  1Þ e Bð1, 0Þ. 235 Scrivi l’equazione della parabola, con asse paralÞ lelo all’asse y, avente vertice in Vð0, 1Þ e tangente alla   y ¼ 1 þ 3x2 parabola di equazione y ¼ x2 þ 4x.

5. Fasci di parabole

TEORIA a p. 260

Fascio generato da due parabole 236 Þ

Vero o falso? a. il fascio generato dalle due parabole di equazioni y ¼ x2 þ 1 e y ¼ x2 þ 1 e` un fascio di parabole V F secanti, che ha due punti base distinti b. un fascio che ha come generatrici due parabole congruenti non puo` avere piu` di un punto base V F c. il fascio di parabole di equazione y ¼ ðk  1Þx2  2x þ 1 non contiene parabole degeneri V F d. l’equazione y ¼ x2  3x þ k þ 1 rappresenta un fascio di parabole tangenti V F 2 e. tutte le parabole del fascio di equazione y ¼ ðk  1Þx  ðk þ 3Þx þ 4 passano per i punti di coordinate V F (1, 0) e (0, 4) [2 affermazioni vere e 3 false]

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y ¼ x2 e y ¼ 2x2  3x  4 e descrivi le sue caratteristiche. ½Fascio di parabole secanti nei punti di coordinate ð1, 1Þ, ð4, 16Þ 237 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y ¼ x2  5x þ 6 e y ¼ 2x2  x þ 10 e descrivi le sue caratteristiche. ½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate ð2, 20Þ 238 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y ¼ x2 þ 2x  8 e y ¼ 2x2  2x  4. Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio che passa per l’origine degli assi cartesiani. ½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate ð2, 0Þ; la parabola richiesta ha equazione y ¼ 3x2  6x 239 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni x ¼ y2 e x ¼ y2 þ 4. Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del che passa per il fascio pffiffiffi

½Fascio di parabole secanti nei punti di coordinate 2,  2 ; x ¼ 2y 2  2 punto Pð2, 0Þ. 240 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y ¼ x2 þ 6x  9 e y ¼ 2x2 . Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio che ha come asse la retta di equazione x ¼ 1. ½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate ð3, 18Þ; la parabola richiesta ha equazione y ¼ 3x2  6x þ 9] 241 Þ

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287

Le coniche Tema C

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni x ¼ y2  1 e x ¼ 2y 2  y. Descrivi le caratteristiche del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio passante per il punto P(2, 1). ½Fascio di parabole non congruenti, privo di punti base; la parabola richiesta ha equazione x ¼ 3y 2  2y þ 1 242 Þ

3 . 2 Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio tangente all’as     se x. 1 7 3 9 , Fascio di parabole secanti nei punti di coordinate  , ; ; 2 4 2 4  243 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazione y ¼ x2  3x e y ¼ x2  x þ

non esiste alcuna parabola del fascio tangente all’asse x

Il fascio di parabole di equazione y ¼ ða þ ka 0 Þx 2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc 0

Studia i seguenti fasci di parabole, individuando i punti base, le rette appartenenti al fascio e le caratteristiche delle parabole del fascio (nelle risposte sono indicati i punti base e le eventuali rette del fascio). 244 Þ 245 Þ 246 Þ 247 Þ 248 Þ 249 Þ 250 Þ 251 Þ 252 Þ 253 Þ

y ¼ x2 þ ðk  1Þx þ 1

254 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

[(0, 1) e` l’unico punto base, non doppio; non contiene rette

y ¼ kx2  ðk þ 1Þx  2

½ð0,  2Þ, ð1,  3Þ; y ¼ x  2

2

y ¼ ðk þ 1Þx  2x þ k  2

½Nessun punto base; y ¼ 2x  3

2

y ¼ kx þ k  3

½Nessun punto base; y ¼ 3

y ¼ kx2 þ ð1  2kÞx þ k  3

½ð1, 2Þ e` punto base doppio; y ¼ x  3

y ¼ kx2 þ ð1  3kÞx þ 2k  5

½ð1, 4Þ, ð2, 3Þ; y ¼ x  5

2

y ¼x þxþk2

[Nessun punto base; non contiene rette]

2

y ¼ kx þ 3x  k

½ð1, 3Þ, ð1, 3Þ; y ¼ 3x

2

½ð0, 3Þ e` punto base doppio; y ¼ x  3

y ¼ kx  x  3

y ¼ 2x2  ðk þ 3Þx þ k þ 1

½ð1, 0Þ e` l’unico punto base, non doppio; nessuna retta

Consideriamo il fascio di parabole di equazione y ¼ x2  ðk þ 1Þx þ k. Determiniamo: a. i punti base e le caratteristiche del fascio; b. la parabola del fascio passante per il punto Að2, 1Þ; c. la parabola del fascio avente come asse di simmetria la retta di equazione x ¼ 2; d. la parabola del fascio tangente all’asse x; e. le parabole del fascio aventi fuoco appartenente all’asse x.

a. Si tratta di un fascio di parabole congruenti, aventi un unico punto base (non doppio): il punto di coordinate (1, 0). Tutte le parabole del fascio passano per questo punto. b. Imponendo il passaggio per il punto Að2,  1Þ si ottiene l’equazione: 1 ¼ 4  ðk þ 1Þ  2 þ k

da cui si ricava k ¼ 3. Sostituendo questo valore di k nell’equazione del fascio si ottiene la parabola di equazione y ¼ x2  4x þ 3.

c. L’asse di simmetria di una generica parabola del fakþ1 scio e` la retta di equazione x ¼ . Dunque l’asse e` 2 kþ1 la retta di equazione x ¼ 2 se e solo se ¼ 2, da 2 cui k ¼ 3: sostituendo questo valore di k nell’equazione del fascio si ottiene la parabola di equazione: y ¼ x2  4x þ 3

d. Dobbiamo imporre che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:  y ¼ x2  ðk þ 1Þx þ k y¼0 L’equazione risolvente e` x2  ðk þ 1Þx þ k ¼ 0. La condizione
¼0 equivale all’equazione ðk þ 1Þ2  4k ¼ 0, da cui k ¼ 1. In corrispondenza di questo valore di k si ottiene la parabola di equazione y ¼ x2  2x þ 1.

e. Ricordando la formula che esprime l’ordinata del fuoco, si deduce che la condizione da imporre e` che il discriminante dell’equazione x2  ðk þ 1Þx þ k ¼ 0 sia 1; si perviene cosı` all’equazione ðk þ 1Þ2  4k ¼ 1, che ha come soluzioni k ¼ 0 e k ¼ 2. In corrispondenza di questi valori di k si ottengono le parabole di equazioni: y ¼ x2  x

e

y ¼ x2  3x þ 2

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259 Þ

Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 þ 5x þ k þ 5; determina:

c. y ¼ 

256 Þ

Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ x2  2kx  k  1; determina: a. i punti base e le caratteristiche del fascio; b. la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (1, 1); c. la parabola del fascio avente come asse la retta di equazione x ¼ 3; d. le parabole del fascio tangenti alla retta di equazione y ¼ 1; e. la parabola del fascio avente il vertice sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante.  a. Fascio di parabole congruenti, passanti   1 3 ; per l’unico punto base, di coordinate  ,  2 4 2 2 b. y ¼ x2 þ x  ; c. y ¼ x2  6x  4; 3 3  d. y ¼ x2  1, y ¼ x2 þ 2x; e. y ¼ x2 þ 2x E` dato il fascio di parabole di equazione x ¼ ky2  2y þ k  2. Determina: a. i punti base del fascio; b. la parabola del fascio passante per l’origine; c. la parabola del fascio avente come asse la retta di 1 equazione y ¼ ; 3 d. le parabole del fascio aventi come direttrice l’as se y. a. Non ci sono punti base; b. x ¼ 2y 2  2y; 257 Þ

c. x ¼ 3y 2  2y þ 1;  1 5 5 1 d. x ¼  y 2  2y  , x ¼ y 2  2y þ 2 2 2 2

258 Considera il fascio di parabole di equazione Þ y ¼ kx2  2x  k þ 1; determina: a. i punti base e le caratteristiche del fascio; b. la parabola del fascio passante per l’origine; c. la parabola del fascio tangente alla retta di equazione y ¼ 2x  1; d. la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione x þ y ¼ 3. ½a. Fascio di parabole passanti per ð1, 1Þ e ð1, 3Þ; b. y ¼ x2  2x; c. y ¼ 2x2  2x  1; d. y ¼ 2x2  2x þ 3

Parabola

a. i punti base e le caratteristiche del fascio; b. la parabola del fascio passante per l’origine; c. la parabola del fascio che ha come asse la retta di 15 ; equazione x ¼ 2 d. le parabole del fascio che hanno il fuoco sull’asse x; e. le parabole del fascio che individuano sull’asse x pffiffiffiffiffiffi un segmento di misura 41.  a. Fascio privo di punti base; b. y ¼ 5x2 þ 5x;

Unita` 5

255 Considera il fascio di parabole di equazione Þ y ¼ kx2  4kx þ 3; determina: a. i punti base e le caratteristiche del fascio; b. la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (1, 1); c. la parabola del fascio avente vertice sulla retta di equazione y ¼ 5; d. le parabole del fascio tangenti alla retta y ¼ 2x.  a. Fascio di parabole secanti, 2 8 punti base: (0, 3), (4, 3); b. y ¼ x2  x þ 3;  3 3 c. y ¼ 2x2  8x þ 3; d. non esistono

1 2 14 x þ 5x þ ; 3 3

d. y ¼ x2 þ 5x þ 6, y ¼ 6x2 þ 5x  1;  5 50 e. y ¼ x2 þ 5x þ 4, y ¼ x2 þ 5x þ 9 9 260 Þ

Considera il fascio di parabole di equazione:

y ¼ ðk  1Þx2  2x þ 3 Dopo aver determinato i punti base e studiato le caratteristiche delle parabole del fascio, determina le parabole del fascio congruenti alla parabola di equazione y ¼ 2x2 . ½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate ð0, 3Þ alla retta y ¼ 2x þ 3; y ¼ 2x2  2x þ 3 e y ¼ 2x2  2x þ 3 261 Þ

Considera il fascio di parabole di equazione:

y ¼ kx2 þ ðk þ 1Þx  2k þ 1 Dopo averne determinato i punti base A e B, scrivi le equazioni delle parabole del fascio aventi vertici rispettivamente in A e B e verifica che sono simmetriche rispetto al punto medio di AB. 

Að1, 2Þ, Bð2, 1Þ;  1 4 1 1 2 5 y ¼ x2 þ x þ , y ¼  x2 þ x þ 3 3 3 3 3 3

262 Þ

Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 þ ð1  2kÞx  2  3k.

a. Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base. b. Determina l’equazione della retta r contenuta nel fascio. c. Determina la parabola del fascio avente come 3 asse di simmetria la retta di equazione x ¼ . 4 d. Determina l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dalla retta r.  a. Punti base: ð1, 3Þ, ð3, 1Þ;

b. y ¼ x  2;  64 c. y ¼ 2x2  3x  8; d. 3

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289

Le coniche Tema C

Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2  x þ 1  9k. a. Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base. b. Determina l’equazione della retta r contenuta nel fascio. c. Determina la parabola del fascio passante per il punto di coordinate ð2, 4Þ.

263 Þ

d. Determina l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dalla retta r. [a. Punti base: ð3, 4Þ, ð3,  2Þ; b. y ¼ x þ 1; c. y ¼ x2  x þ 10; d. 36]

6. La parabola e le funzioni

TEORIA a p. 263

Esercizi preliminari 264 Þ

Associa a ciascun grafico l’equazione corrispondente, scelta tra le seguenti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. y ¼  4  x c. y ¼ 2 þ 4  x a. y ¼ 4  x y

y

d. y ¼ 2  y

y

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x

2

2 x O

A

4

x O

4

4

B

x x

O

C

O

4

D

Test 265 Þ A B C D

y ¼ j4  x2 j

A

y

y ¼ 4  xjxj

B

y ¼ 4jxj  x2

C

y ¼ j4x  x2 j

D

O

266 Þ A B C D

267 Þ

Il grafico in figura e` quello della funzione:

A

y ¼ 4  xjxj

B

y ¼ 4jxj  x2

C

y ¼ j4x  x2 j

D

x O

y

y ¼ 4  xjxj

y ¼ 4jxj  x2

y ¼ j4x  x2 j

4

–2

268 Þ

y

–4

y ¼ j4  x2 j

x

4

Il grafico in figura e` quello della funzione: y ¼ j4  x2 j

Il grafico in figura e` quello della funzione:

O

2

x

Il grafico in figura e` quello della funzione: y ¼ j4  x2 j

y

y ¼ 4  xjxj

y ¼ 4jxj  x2

y ¼ j4x  x2 j

4

4 x O

Grafici di funzioni Traccia il grafico delle seguenti funzioni irrazionali. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 269 y ¼ 4x  6 Þ 270 Þ

290

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ xþ2

271 Þ

y ¼2

272 Þ

y¼

pffiffiffi x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ21

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2

pffiffiffiffiffiffi jxj  3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 279 y ¼ 2 j2x  4j Þ pffiffiffiffiffiffi 280 y ¼ 2 jxj  1 Þ  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4  2x se x  2 281 y ¼ Þ x2  4x þ 4 se x > 2 278 Þ

y¼

Parabola

282 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2 x þ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 3  2x  4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼  jx  2j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 1  jxj pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 1 þ x  jxj

Unita` 5

273 Þ 274 Þ 275 Þ 276 Þ 277 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Tracciamo il grafico delle funzioni: a. y ¼ 2x þ jx2  4j

b. y ¼ jx2  4jxjj

a. In base alla definizione di valore assoluto l’equazione della funzione data si puo` riscrivere come segue:  2x þ ðx2  4Þ se x  2 _ x  2 y¼ se  2 < x < 2 2x þ ð4  x2 Þ  2 2x  4 se x  2 _ x  2 ossia: y ¼ x þ 2 2 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. 4x x2 < 4 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 8 þ 2x x2 < x þ 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 e. 6x x  x þ 6 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 f. x2 2x þ 3  ðx 2 d.

d. e. f.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x2 ¼



1 xþ1 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2 ¼ x þ 1

6 ,2 5



[ 1, 0] " pffiffiffi # 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2 ¼ x



"

2x
r

interno alla circonferenza esterno alla circonferenza appartenente alla circonferenza

Rð0; 2Þ

CR ¼ :::::

CR < r CR ¼ r CR > r

interno alla circonferenza esterno alla circonferenza appartenente alla circonferenza

pffiffiffi Considera i punti Pð
1, 4Þ, Qð0, 0Þ, Rð
1, 0Þ, Sð2, 2Þ. Stabilisci se ciascuno di essi e` interno, esterno o appartiene alla circonferenza di equazione x2 þ y 2
3x
3y
4 ¼ 0. 22 Þ

Analisi dell’equazione di una circonferenza Test 23 Þ A B C D

24 Þ A B C D

25 Þ

Quale delle seguenti equazioni non rappresenta una circonferenza? x2 þ y 2
6x
2y ¼ 0

2x2 þ 2y 2
3x
y ¼ 0

x2 þ y 2
6x
2 ¼ 0

x2 þ 2y 2
5x
8 ¼ 0 Quale delle seguenti equazioni non rappresenta una circonferenza? 2x2 þ 2y 2
x
y ¼ 0

x2 þ y 2
6xy
2 ¼ 0 pffiffiffi x2 þ y 2
8 2 ¼ 0

x2 þ y 2
4x
12 ¼ 0 Associa all’equazione di ciascuna circonferenza l’affermazione corrispondente.

a. x2 þ y 2
6x
2y ¼ 0

A. Ha il centro sull’asse x e non passa per l’origine.

c. x2 þ y 2
6y
1 ¼ 0

C. Ha il centro sull’asse x e passa per l’origine.

2

2

b. x þ y
2x ¼ 0

d. 2x2 þ 2y 2
x
1 ¼ 0 2

2

e. x þ y
8y ¼ 0:

B. Ha il centro sull’asse y e non passa per l’origine. D. Ha il centro sull’asse y e passa per l’origine. E. Passa per l’origine ma non ha il centro ne´ sull’asse x ne´ sull’asse y. 325

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Le coniche

In ognuna delle seguenti figure e` rappresentata una circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0. Associa a ciascuna circonferenza i valori corretti di a, b e c. 26 Þ

y

Tema C

y

y C

C

O

x

O a.

b.

A. b ¼ 0

c.

y

y C

C

x

O

y

C≡O

x O

x d.

C x

O x

e.

f.

D. a ¼ b ¼ 0

B. c ¼ 0

E. b ¼ c ¼ 0

C. a ¼ 0

F. a ¼ c ¼ 0

Stabilisci se ciascuna delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza. In caso affermativo, rappresentala graficamente, dopo averne individuato centro e raggio.  2 2 27 2x þ 2y
4x
2y þ 1 ¼ 0 Dividendo i due membri per 2 ottieni l’equazione di una circonferenza Þ pffiffiffi    3 1 che ha centro in C 1, e raggio 2 2 28 4x2 þ 4y 2
8y
5 ¼ 0 Þ 29 Þ

2x2 þ 2y 2
4x
2y þ 3 ¼ 0

30 Þ

4x2 þ 4y 2
12x
7 ¼ 0 2

[Non rappresenta una circonferenza]    1 C ,1 ;r ¼2] 2

2

31 Þ

4x þ 4y
4x
8y
11 ¼ 0

32 Þ

2x2 þ 2y 2
x
2x
4 ¼ 0

33 Þ

2x2 þ 3y 2
2x
2x
5 ¼ 0

34 Þ

4x2 þ 4y 2
12xy
7 ¼ 0

35 Þ

Vero o falso?

[Non rappresenta una circonferenza]

a. l’equazione x2 þ y 2 þ ax ¼ 0 rappresenta, per ogni a 6¼ 0, una circonferenza con il centro sull’asse y

b. l’equazione x2 þ y 2 þ ax þ by ¼ 0, con a 6¼ 0 e b 6¼ 0, rappresenta sempre una circonferenza con centro nell’origine 2

V

F

V

F

V

F

V

F

2

c. l’equazione x þ y þ ax þ c ¼ 0, con a 6¼ 0 e c 6¼ 0, rappresenta sempre una circonferenza con il centro sull’asse y 2

2

2

2

d. l’equazione mx þ ny þ ax þ by ¼ 0, con m 6¼ n, non rappresenta mai una circonferenza

e. l’equazione mx þ ny þ ax þ by þ c ¼ 0, con m ¼ n, rappresenta sempre una circonferenza V F [2 affermazioni vere e 3 false]

Esercizi riassuntivi sull’equazione della circonferenza Verifica che l’equazione ðk2
1Þx2 þ 3y 2 þ kx þ 2y þ 3k ¼ 0 rappresenta una circonferenza se e solo se k ¼
2. Determina centro e raggio di tale circonferenza e rappresentala graficamente. 36 Þ

Verifica che l’equazione ða2 þ 2Þx2 þ 3ay 2
6x
6y þ 4 ¼ 0 rappresenta una circonferenza se solo se a ¼ 1. Determina centro e raggio di tale circonferenza e rappresentala graficamente.

37 Þ

Verifica che l’equazione ða2 þ 2Þx2 þ ða2
2aÞxy þ 2y 2
6x
6y þ 4 ¼ 0 rappresenta una circonferenza se e solo se a ¼ 0. Determina centro e raggio di tale circonferenza e rappresentala graficamente. 38 Þ

326 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 6

39 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo gli eventuali valori di k per cui l’equazione x2 þ y2

Circonferenza

a. rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere);

2kx þ 3 ¼ 0:

b. rappresenta una circonferenza con il centro sull’asse y; c. rappresenta una circonferenza passante per il punto Pð1, 1Þ. a. Dobbiamo imporre la condizione a2 þ b2 ð2kÞ

2

4
3  0 ) 4k

2

4c  0, che si traduce nella disequazione: pffiffiffi pffiffiffi 12  0 ) k  3_k 3

[*]

b. Dobbiamo imporre che il coefficiente di x sia uguale a 0. Otteniamo l’equazione: 2k ¼ 0 ) k ¼ 0

Presta attenzione: in corrispondenza di questo valore di k l’equazione data non rappresenta una circonferenza poipffiffiffi pffiffiffi che´ non e` soddisfatta la condizione [*] (infatti 0 e` compreso tra 3 e 3Þ. Pertanto non esiste alcun valore di k per cui l’equazione assegnata rappresenta una circonferenza con il centro sull’asse y. c. Dobbiamo imporre il passaggio per il punto Pð1, 1Þ. Otteniamo l’equazione: 5 12 þ 12 2k
1 þ 3 ¼ 0 ) k ¼ 2 Per tale valore di k l’equazione data rappresenta effettivamente una circonferenza poiche´ e` soddisfatta la condiziopffiffiffi 5 ne [*] (infatti > 3 ). 2 Determina gli eventuali valori di k per cui l’equazione x2 þ y 2
2x þ 2y þ k þ 3 ¼ 0: a. rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere); b. rappresenta una circonferenza con il centro sull’asse x; c. rappresenta una circonferenza passante per l’origine; [a. k  1; b. nessun valore di k; c. k ¼ d. rappresenta una circonferenza di raggio 2.

40 Þ

3; d. k ¼

Determina gli eventuali valori di k per cui l’equazione x2 þ y 2 þ 2kx þ 2ðk 2Þy þ 2k þ 4 ¼ 0: a. rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere); b. rappresenta una circonferenza con il centro sull’asse x; c. rappresenta una circonferenza passante per l’origine. [a. k  0 _ k  3; b. nessun valore di k; c. k ¼

5]

41 Þ

2]

E` data l’equazione: x2 þ y 2 2kx 2ðk 1Þy þ k þ 2 ¼ 0; determina, se esistono, i valori di k per cui: a. rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere); b. rappresenta una circonferenza passante per l’origine; c. rappresenta una circonferenza con il centro sull’asse x; pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi   3 17 3 þ 17 _k ; b. k ¼ 2; c. nessun valore di k a. k  4 4

42 Þ

2. La circonferenza e la retta

TEORIA a p. 305

Posizione reciproca di una retta e di una circonferenza 43 Þ

Completa le seguenti affermazioni.

a. Una retta si dice secante una circonferenza se ....................................................... b. Se la retta di equazione y ¼ mx þ q e` tangente alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0, allora il discriminante dell’equazione risolvente il sistema formato dalle equazioni della retta e della circonferenza e` uguale a ......................... c. Se la distanza del centro di una circonferenza da una retta e` maggiore del raggio, allora la retta e` .............................. rispetto alla circonferenza. d. Se l’equazione risolvente il sistema formato dalle equazioni di una retta e di una circonferenza ha discriminante maggiore di 0, allora la retta e` ......................... rispetto alla circonferenza. 327 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

44 Þ

Vero o falso? a. una retta verticale non puo` essere tangente a una circonferenza

V

F

b. esistono sempre due rette orizzontali tangenti a una circonferenza

V

F

c. se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x2 þ y 2
4x ¼ 0 e` 3, allora la retta e` esterna alla circonferenza

V

F

d. se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x2 þ y 2
4x
5 ¼ 0 e` 3, allora la retta e` tangente alla circonferenza

V

F

e. se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x2 þ y 2
9 ¼ 0 e` 4, allora la V F retta e` secante la circonferenza [3 affermazioni vere e 2 false] ` ) rette di 45 Ciascuna delle circonferenze di cui e` data l’equazione nella prima colonna e` tangente a una (o piu Þ cui e` data l’equazione nella seconda colonna. Fai le associazioni corrette. a. x2 þ y 2 ¼ 4 b. x2 þ y 2
2x ¼ 0 c. x2 þ y 2
2y ¼ 0 d. x2 þ y 2
2x
2y þ 1 ¼ 0 46 Þ

A. x ¼ 0 B. y ¼ 0 C. y ¼
2 D. x ¼
2

ESERCIZIO GUIDATO

Stabilisci se le rette: t: x
y þ 2 ¼ 0

s: y þ 5 ¼ 0 u: x þ y þ 1 ¼ 0

sono esterne, tangenti o secanti rispetto alla circonferenza di equazione x2 þ y2
2x þ 4y
4 ¼ 0.  Determina il centro C e il raggio r della circonferenza: Cð:::::, :::::Þ

e

r ¼ :::::

 Determina le distanze di C dalle tre rette e confrontale con il raggio: Distanza di C dalla retta

dðC, tÞ ¼

j::::::::::j pffiffiffi ¼ :::::::::: 2

dðC, sÞ ¼ :::::::::: dðC, uÞ ¼

j::::::::::j pffiffiffi ¼ :::::::::: 2

Confronto con il raggio

Posizione della retta rispetto alla circonferenza

dr

t e` ....................

dr

s e` ....................

dr

u e` ....................

Discuti, al variare di r, la posizione reciproca tra la circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ r 2 e la retta di equa  zione 4x
3y þ 1 ¼ 0. 1 1 1 La retta e` esterna se r < , tangente per r ¼ , secante per r > 5 5 5

47 Þ

In ciascuno dei seguenti casi stabilisci se la retta r e` secante, tangente o esterna rispetto alla circonferenza di cui e` data l’equazione. 48 Þ 49 Þ 50 Þ 51 Þ 52 Þ 53 Þ

328

x2 þ y 2
4x
5 ¼ 0

r: y ¼ x

[Secante]

x þ y
2x
2y
3 ¼ 0

r: x
2y þ 1 ¼ 0

[Secante]

x2 þ y 2
2x þ 4y ¼ 0

r: y ¼ 2x þ 1

2

2

2

2

[Tangente]

x þy
9¼0

r: 3x
y
10 ¼ 0

[Esterna]

x2 þ y 2
3x
4 ¼ 0

r: 3x
4y þ 8 ¼ 0

[Tangente]

x2 þ y 2
4x ¼ 0

r: x
y þ 2 ¼ 0 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[Esterna]

56 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Rappresenta graficamente la retta r di equazione 2x termina le coordinate dei loro punti di intersezione.

y ¼ 0 e la circonferenza di equazione x2 þ y2 ¼ 9. De-

 Rappresenta nella figura qui a fianco la retta e la circonferenza. Dal grafico puoi vedere che la retta e la circonferenza hanno in comune due punti distinti: chiamali A e B (con xA < xB Þ.  Per determinare le coordinate di A e B risolvi il sistema:  2 x þ y2 ¼ 9 2x y ¼ 0

Circonferenza

Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 6y ¼ 0 e parallele alla pffiffiffi [x 2y þ 6  3 5 ¼ 0] retta AB, essendo Að 2, 0Þ e Bð0, 1Þ. 55 Þ

Unita` 6

54 Determina le equazioni delle rette parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, tangenti alla cirÞ [y ¼ x  2] conferenza di equazione x2 þ y 2
2x
2y ¼ 0.

y

x

O(0, 0)

 Dalle soluzioni del sistema puoi dedurre che: pffiffiffi pffiffiffi ! 3 5 6 5 , e Bð:::::, :::::Þ A 5 5

Determina le coordinate degli eventuali punti in cui le seguenti circonferenze intersecano gli assi cartesiani. 57 Þ

x2 þ y 2 þ 4x

6y þ 5 ¼ 0

58 Þ

x2 þ y 2 þ 3x

6y ¼ 0

59 Þ

x2 þ y 2 þ 2x

4y

60 Þ

x2 þ y 2 þ 8x

5¼0

61 Þ

2x2 þ 2y 2

62 Þ

x2 þ y 2

x 4x

[ð0, 1Þ, ð0, 5Þ] [ð0, 0Þ, ð0, 6Þ, ð 3, 0Þ] pffiffiffi [ð0, 1Þ, ð0, 5Þ, ð 1  6, 0Þ] pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi [ð0,  5Þ, ð 4  21, 0Þ]     3 ð0, 1Þ, ð0, 3Þ, , 0 , ð2, 0Þ 2

5¼0

4y

6¼0

4y þ 7 ¼ 0

[Nessun punto di intersezione]

Rappresenta la retta r e la circonferenza di cui sono date le equazioni e determina le coordinate dei loro eventuali punti di intersezione. 63 Þ

2x

64 Þ

xþy ¼0

65 Þ

x

yþ1¼0

y

66 Þ

y¼

67 Þ 68 Þ

y¼x

69 Þ

y¼x

1¼0 2x þ 6

x2 þ y 2 þ 8x

6y ¼ 0

x2 þ y 2

2x

2y ¼ 0

x2 þ y 2

6x ¼ 0

2

x þy

2

x2 þ y 2 2

[ð 1,

"

4x

x2 þ y 2 þ 2x

2y ¼ 0 3¼0

Verifica che la retta di equazione y ¼ x e trova le coordinate del punto di tangenza.

[ð0, 0Þ] pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi !# 4  14 2  14 , 2 2 

4x ¼ 0

1Þ; ð1, 3Þ]

ð2, 2Þ;



18 , 5

6 5



[ð0, 0Þ; ð3, 3Þ] [Nessun punto di intersezione]

2 e` tangente alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ 2x

2y ¼ 0 [ð 2, 0Þ]

Trova il valore di k tale per cui la circonferenza di equazione x2 þ y 2 primo e del terzo quadrante.

70 Þ

3x þ k ¼ 0 e` tangente alla bisettrice del   9 k¼ 8 ` 71 Trova il valore di k tale per cui la retta di equazione y ¼ kx e tangente alla circonferenza di equazione Þ   x2 þ y 2 2x 3y ¼ 0. 2 k¼ 3 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

329

Le coniche Tema C

72 Determina l’area del quadrilatero avente per vertici i punti di intersezione della circonferenza di equazione Þ [Area ¼ 10] x2 þ y 2
3x
4 ¼ 0 con gli assi cartesiani.

Determina i vertici del rettangolo inscritto nella circonferenza di equazione x2 þ y 2
4x
2y ¼ 0 e avente      un lato sulla retta di equazione x þ 2y ¼ 0. 12 6 8 16 ð0, 0Þ; ,
; ; ð4, 2Þ; 5 5 5 5 73 Þ

74 Dopo aver determinato i punti di intersezione A e B della retta r: x þ y
2 ¼ 0 con la circonferenza di equaÞ zione x2 þ y 2 þ x
3y ¼ 0, determina i punti P della circonferenza che formano con A e B un triangolo isoscele sul la base AB. Að1, 1Þ; Bð
1, 3Þ; determinare P equivale a determinare i punti di intersezione pffiffiffi pffiffiffi !
1  5 3  5 , tra la circonferenza e l’asse di AB: si trova: P 2 2 75 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo la misura della corda individuata dalla retta r di equazione 2x di equazione x2 þ y2 2x 2y 4 ¼ 0.

y

2 ¼ 0 sulla circonferenza

Calcoliamo anzitutto il centro e il raggio della circonferenza data: pffiffiffi Cð1, 1Þ e r ¼ 6

y

La rappresentazione grafica della circonferenza e della retta e` quella nella figura qui a fianco. Ci sono due modi per risolvere il problema. 1 modo

r B

C H

O

Calcoliamo la distanza di C dalla retta r: pffiffiffi j2
1 1
1 2j 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ dðC, rÞ ¼ 2 2 5 2 þ1

x A

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB otteniamo: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 29 BH ¼ r 2 d 2 ¼ 6 ¼ 5 5 rffiffiffiffiffiffiffiffi 29 . Quindi la misura della corda AB, che e` il doppio di BH, e` 2 5 2 modo Risolvendo il sistema formato dalle equazioni della circonferenza e della retta, si determinano le coordinate di A e B, quindi si calcola la distanza tra A e B. Questo secondo metodo, pero`, e` piu` laborioso ai fini dei calcoli. Lasciamo a te risolvere l’esercizio per questa via.

Dopo aver verificato che la retta r: 2x y 1 ¼ 0 e` secante rispetto alla circonferenza x2 þ y 2 determina la misura della corda individuata dalla retta r sulla circonferenza. 76 Þ

2x

4 ¼ 0, " rffiffiffiffiffi # 6 4 5

Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2 4x 4 ¼ 0 e indica con C il suo centro. Detti A e B i punti in cui la circonferenza interseca la retta di equazione y ¼ 2x, calcola l’area del triangolo ACB.  pffiffiffi  8 6 (Suggerimento: non e` necessario determinare A e B) 5 77 Þ

78 Determina l’area del trapezio isoscele le cui basi sono le corde individuate sulla circonferenza di equazione Þ   x2 þ y 2 2x 3 ¼ 0 dalle rette rispettivamente di equazione 2x y ¼ 0 e 2x y 6 ¼ 0. 36 5

330 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

79 Þ

Unita` 6

Tangenti a una circonferenza da un punto esterno a essa ESERCIZIO GUIDATO

 Osserva che la circonferenza ha centro in Cð
2, 0Þ e raggio r ¼ 2. La rappresentazione della circonferenza e del punto P e` quella indicata nella figura qui a fianco. Per verificare algebricamente che P e` esterno alla circonferenza puoi calcolare la distanza CP e controllare che e` maggiore di r.  Traccia nella figura le due rette tangenti. Sai prevedere qual e` l’equazione di una delle due tangenti? ...................................  Scrivi l’equazione di una generica retta passante per P non parallela all’asse y:

y

Circonferenza

Dopo aver verificato che il punto Pð1, 2Þ e` esterno alla circonferenza di equazione x2 þ y2 þ 4x ¼ 0, determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, passanti per P.

P

C

O

x

y
2 ¼ mðx
1Þ e ponila in forma implicita: mx
y
m þ 2 ¼ 0 Imponendo che la distanza di tale retta dal centro Cð
2, 0Þ sia uguale al raggio ottieni l’equazione: j
2m
m þ 2j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼2 m2 þ 1

che, elevando al quadrato e semplificando, e` equivalente a 5m2
12m ¼ 0. Questa equazione ha per soluzioni m ¼ ::::: e m ¼

12 . 5

 Le tangenti passanti per P hanno allora equazioni: y
2 ¼ :::::  ðx
1Þ e y
2 ¼ ossia: y ¼ ::::: e y ¼

12  ðx
1Þ 5

12 x
::::: 5

Verifica che il punto P e` esterno alla circonferenza di cui e` data l’equazione e determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza passanti per P. 80 Þ

x2 þ y 2
2x þ y ¼ 0;

81 Þ

x2 þ y 2 ¼ 2;

Pð0,
2Þ

82 Þ

x2 þ y 2 þ 8x ¼ 0;

83 Þ

x2 þ y 2 þ 2x

Pð2, 4Þ

8 ¼ 0;

[ y ¼ 2x; y ¼ 4
2x]

Pð1, 2Þ

Pð2, 1Þ

[ y ¼ x

2]  12 4 y ¼ 4; y ¼ x 5 5   4 11 x ¼ 2; y ¼ x 3 3 

Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2 2x þ 4y ¼ 0. Dopo aver verificato che il punto Pð2, 5Þ e` esterno a tale circonferenza, conduci da P le tangenti alla circonferenza e determina: a. i punti di tangenza R ed S delle tangenti con la circonferenza;     b. l’area del triangolo RPS. 16 8 27 , 2x y þ 1 ¼ 0, 11x þ 2y 32 ¼ 0; a. ð 1, 1Þ, ; b. 5 5 2 84 Þ

Conduci dal punto Pð3, 1Þ le tangenti alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 2x 2y þ 1 ¼ 0. Indica con Q ed R i punti di contatto delle tangenti con la circonferenza e verifica che il triangolo PQR e` equilatero. 85 Þ

Determina i punti P e Q appartenenti alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 12x þ 4y þ 20 ¼ 0 tali che le tangenti condotte da P e Q alla circonferenza si intersechino nell’origine. (Suggerimento: il problema equivale a determinare le coordinate dei punti di contatto [ð4, 2Þ; ð2, 4Þ] tra la circonferenza e le rette ....................) 86 Þ

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331

Le coniche Tema C

Tangente a una circonferenza in un suo punto 87 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Verifica che il punto Pð
1, 1Þ appartiene alla circonferenza di equazione x2 þ y2 þ 4x þ 6y
4 ¼ 0 e determina la retta tangente alla circonferenza in P.  La rappresentazione grafica della circonferenza, che ha centro in Cð
2,
3Þ, e della retta tangente e` quella qui a fianco.  Verifica che il punto P appartiene alla circonferenza stabilendo che le sue coordinate soddisfano l’equazione della circonferenza.  La tangente in P alla circonferenza e` la retta passante per P e perpendicolare alla retta CP. Il coefficiente angolare della retta CP e`: mCP ¼

yP
y C ¼ xP
xC

:::::::::: ::::::::::

y P O

x

C

¼ :::::

Quindi il coefficiente angolare della retta tangente in P e` quazione della retta tangente e` allora: y
1 ¼ ::::: ðx þ 1Þ ossia y ¼


..............................

L’e-

x 2 + y 2 + 4x +6y – 4 = 0

1 3 xþ 4 4

Verifica che il punto P appartiene alla circonferenza di cui e` data l’equazione e determina l’equazione della retta tangente alla circonferenza passante per P.   4 2 2 88 x þ y
4x þ 7y ¼ 0; Pð0, 0Þ y ¼ x Þ 7 89 Þ

x2 þ y 2
2x
3 ¼ 0; 2

2

90 Þ

x þ y
3x þ 4y
3 ¼ 0;

91 Þ

x2 þ y 2
2x
4y ¼ 0;

92 Þ

x2 þ y 2
5x þ y
2 ¼ 0;

½x ¼
1]

Pð
1, 0Þ Pð1, 1Þ





[y ¼ 9
2x]

Pð3, 3Þ Pð1, 2Þ

1 5 y¼ xþ 6 6



y¼

3 7 xþ 5 5



Determina l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2 þ y 2
2x þ 3y
4 ¼ 0 nel suo punto di in  tersezione con il semiasse negativo delle ordinate. 2 ð0,
4Þ; y ¼
x
4 5 93 Þ

94 Determina le coordinate dei due punti A e B (xA < xB Þ nei quali la circonferenza avente equazione Þ x2 þ y 2
4x
2y þ 3 ¼ 0 interseca l’asse x e scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza in questi punti. Indicato con C il punto di intersezione di tali tangenti, determina l’area del triangolo ABC. [Að1, 0Þ, Bð3, 0Þ; y ¼ 1
x, y ¼ x
3; Cð2,
1Þ; Area ¼ 1] 95 Þ

Determina i vertici del triangolo individuato dalle rette tangenti alla circonferenza avente equazione x þ y 2
2x
2y
8 ¼ 0 nei suoi punti di intersezione con l’asse x e nel suo punto di intersezione con il semiasse positivo delle ordinate. [Rette tangenti: 3x þ y þ 6 ¼ 0, x
3y þ 12 ¼ 0, 3x
y
12 ¼ 0; ð
3, 3Þ, ð1,
9Þ, ð6, 6Þ] 2

96 Þ

Sia P il punto del secondo quadrante di ordinata 1 appartenente alla circonferenza avente equazione x þ y 2 þ 2x
4 ¼ 0. Scrivi l’equazione della retta r tangente alla circonferenza in P e determina le coordinate dei due punti A e B in cui la retta r interseca, rispettivamente, l’asse y e l’asse x. Determina infine il vertice C del trian   golo ABC circoscritto alla circonferenza. 7 Pð
3, 1Þ, r: y ¼ 2x þ 7; Að0, 7Þ, B
, 0 ; 2  11 x þ 7; Cð4,
15Þ ulteriori tangenti da A e da B (oltre a rÞ: y ¼
2x
7, y ¼
2 2

332

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEORIA a p. 312

Circonferenza, dato il centro e un punto 97 Þ A

Qual e` il raggio di una circonferenza avente centro in Cð3, 2Þ e passante per Pð2, 3Þ? pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi B C D Nessuno dei precedenti 2 3 5

Quale delle seguenti condizioni esprime il passaggio della circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 per il punto Pð1,
1Þ? 98 Þ

A B C D

Circonferenza

Test

Unita` 6

3. Come determinare l’equazione di una circonferenza

a
bþc ¼2

a þ b þ c ¼
2 a
b
c ¼2

a
b þ c ¼
2

Quale delle seguenti condizioni, se verificata, fa sı` che la circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 abbia centro nel punto Cð1,
1Þ? 99 Þ

A




a b ¼1 ^ ¼
1 2 2

B




a b ¼
1 ^
¼ 1 2 2

C

a b ¼
1 ^ ¼1 2 2

D

a b ¼
1 ^
¼
1 2 2

100 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della circonferenza rappresentata, che ha centro in C e passa per P. Dalla figura puoi vedere che Cð2, :::::Þ e Pð
1, :::::Þ. 1 modo Applicando il teorema di Pitagora, per esempio al triangolo colorato in figura, puoi ricavare il raggio r della circonferenza: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi r ¼ ::::: þ ::::: ¼ :::

Ora conosci il centro C e il raggio r, quindi puoi scrivere l’equazione della circonferenza:

y 1

P

2 O –1

x C

ðx
2Þ2 þ ð y þ :::::Þ2 ¼ ð:::::Þ2 L’equazione della circonferenza in forma normale e`: ...................................

2 modo Imponi che la circonferenza abbia centro in C e passi per P. Ottieni il sistema: 8 > a > >
¼2 L’ascissa di C e` 2 > > > 2 > > < b
¼
1 L’ordinata di C e`
1 > 2 > > > > > 2 > 2 > : ð
1Þ þ 1
a þ ::::: ¼ 0 Passaggio per P

Risolvendo il sistema trovi a ¼ :::, b ¼ ::: e c ¼ ::: La circonferenza cercata ha quindi equazione ::::::::::::::::::::: 333 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche

101 Þ

Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate, che hanno centro in C e passano per P. y

y 3

Tema C

1 P O

C 2

x

y P C

1 O

x

O –2 C x

2

–5 P

Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro in C e passa per P, e rappresentala graficamente. [x2 þ y 2 þ 4x
36 ¼ 0]

102 Þ

Cð
2, 0Þ; Pð4, 2Þ

103 Þ

Cð0,
3Þ; Pð1,
1Þ

104 Þ

Cð
3, 3Þ; P  Oð0, 0Þ

105 Þ

Cð3,
2Þ; Pð0,
2Þ

[x2 þ y 2 þ 6y þ 4 ¼ 0] [x2 þ y 2 þ 6x
6y ¼ 0] [x2 þ y 2
6x þ 4y þ 4 ¼ 0]

106 Þ 107 Þ

Cð2, 5Þ; Pð4,
1Þ

[x2 þ y 2
4x
10y
11 ¼ 0]

Scrivi l’equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza di equazione x2 þ y 2
4x þ 6y
3 ¼ 0 e passante per Pð2,
2Þ. Rappresentala graficamente. [x2 þ y 2
4x þ 6y þ 12 ¼ 0]

Circonferenza, dato il diametro 108 Þ

Qual e` il centro della circonferenza avente come diametro il segmento AB, di estremi Að
2; 0Þ e Bð0; 4Þ? A

Cð
1, 2Þ

B

Cð1,
2Þ

C D

110 Þ

Cð
1,
2Þ

Le informazioni date sono insufficienti

109 Þ

Qual e` il raggio della circonferenza avente come diametro il segmento AB, di estremi Að
2, 0Þ e Bð0, 4Þ? pffiffiffi A 2 pffiffiffi B 3 pffiffiffi C 5 D

Nessuno dei precedenti

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della circonferenza rappresentata nella figura qui sotto, che ha come diametro AB. Il centro C della circonferenza e` il punto medio di AB. Quindi:

y

Cð
1, 1Þ B

A questo punto puoi procedere in due modi. C

1 modo

O

Calcola il raggio r della circonferenza: r¼

x

A

1 pffiffiffiffi AB ¼ ::: 2

Ora conosci il centro C e il raggio r, quindi puoi scrivere l’equazione della circonferenza: ðx
ð
1ÞÞ2 þ ðy
:::::Þ2 ¼ ð:::::Þ2 L’equazione della circonferenza in forma normale e`: ::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 modo Imponi che la circonferenza abbia centro in C e passi per A o per B. Per semplificare i calcoli, in questo caso conviene imporre il passaggio per B. 8 a > > L’ascissa di C e`
1
¼
1 > > 2 > > > > < b
¼1 L’ordinata di C e` 1 > 2 > > > > > > 02 þ 32 þ a  0 þ ::::: ¼ 0 > Passaggio per B : Risolvendo il sistema trovi a ¼ :::, b ¼ ::: e c ¼ ::: Quindi la circonferenza cercata ha equazione ::::::::::::::::::

334 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle figure qui sotto, che hanno diametro AB (l’unita` di misura e` il lato di un quadretto). y

y B

B

B

A

A

O

112 Þ 113 Þ 114 Þ

[x2 þ y 2
2x
2y
8 ¼ 0]

Að
2, 0Þ; Bð4, 2Þ

[x2 þ y 2
2x
2y
8 ¼ 0]

Að0, 4Þ; Bð2,
2Þ

[x2 þ y 2
8y þ 11 ¼ 0]

Að
2, 3Þ; Bð2, 5Þ

x

O

x

O

x

Scrivi le equazioni delle circonferenze di diametro AB e rappresentale graficamente.

Circonferenza

y

Unita` 6

111 Þ

A

115 Þ 116 Þ 117 Þ

Að1,
3Þ; Bð4,
1Þ Að2,
3Þ; Bð
6, 5Þ

[x2 þ y 2
5x þ 4y þ 7 ¼ 0]

[x2 þ y 2 þ 4x
2y
27 ¼ 0]

Scrivi l’equazione della circonferenza che ha come diametro il segmento AB individuato sugli assi cartesiani dalla retta di equazione 2x
3y
6 ¼ 0. [x2 þ y 2
3x þ 2y ¼ 0]

Circonferenza, dati tre punti 118 Associa a ciascun punto nella prima colonna l’eÞ quazione della seconda che esprime il passaggio della circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 per tale punto.

a. P  Oð0, 0Þ

A. 4 þ 2a þ c ¼ 0

c. Pð
2, 2Þ

C. 4
2b þ c ¼ 0

b. Pð0,
2Þ

d. Pð2, 0Þ 120 Þ

B. c ¼ 0

D. 8
2a þ 2b þ c ¼ 0

119 Þ

Dati tre punti A, B e C non allineati, il centro della circonferenza che passa per A, B e C e` il punto di intersezione di quali delle seguenti coppie di rette? a. dell’asse di AB e di BC b. dell’asse di AC e di BC c. dell’asse di AB e di AC d. di nessuna delle coppie precedenti e. di ciascuna delle coppie precedenti

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della circonferenza rappresentata nella figura qui sotto. Dalla figura puoi vedere che la circonferenza passa per i tre punti Pð
2, 0Þ, Qð0, 3Þ e Rð3, 0Þ. Per scrivere l’equazione della circonferenza che passa per P, Q e R puoi seguire due metodi. 1 modo Il centro della circonferenza e`, per esempio, il punto di intersezione degli assi di PR e di QR. Costruisci tali assi in figura. E` facile dedurre che le equazioni degli assi sono x ¼ ::::: e y ¼ :::::; il loro punto di intersezione, cioe` il centro della circonferenza, e`: Cð::::: ,

y 3R

P –2

O

Q 3

x

:::::Þ

Il raggio della circonferenza si puo` ottenere calcolando la distanza di C da uno qualsiasi dei tre punti P, Q ed R. Trovi cosı` che: r ¼ ::::::::::::::: Ora puoi scrivere l’equazione della circonferenza di centro C e raggio r:   1 2  þ y
:::::Þ2 ¼ ::::: x
2 335 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

Se hai svolto correttamente i calcoli, sviluppando i quadrati e semplificando troverai che l’equazione in forma normale della circonferenza e` x2 þ y 2
x
y
6 ¼ 0. 2 modo Imponi che la generica circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 passi per i tre punti P, Q ed R. Le tre condizioni da imporre sono: 8 ð
2Þ2 þ 02 þ a  ð
2Þ þ b  0 þ c ¼ 0 > > > < 02 þ 32 þ a  0 þ b  3 þ c ¼ 0 > > > : 2 3 þ 02 þ a  3 þ b  0 þ c ¼ 0

Passaggio per Pð
2, 0Þ Passaggio per Qð0, 3Þ Passaggio per Rð3, 0Þ

Risolvendo il sistema trovi a ¼ :::, b ¼ ::: e c ¼ ::: Quindi la circonferenza cercata ha equazione: ..............................

121 Þ

Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle figure qui sotto. y

y

y 2

4 –2

4 x

O

O

–1 O –1

2

x

3

x

–2

–4

Scrivi, se esiste, l’equazione della circonferenza passante per i punti A, B e C e rappresentala graficamente. 122 Þ 123 Þ 124 Þ 125 Þ

Að
1, 0Þ, Bð2, 0Þ, Cð1, 1Þ [x2 þ y 2
x þ y
2 ¼ 0] Að
1, 1Þ, Bð2, 2Þ, Cð0,
2Þ [x2 þ y 2
2x
4 ¼ 0] Að0, 0Þ, Bð3, 0Þ, Cð2,
2Þ

[x2 þ y 2
3x þ y ¼ 0]

Að
1, 2Þ, Bð1, 0Þ, Cð2, 2Þ

[x2 þ y 2
x
3y ¼ 0]

126 Þ 127 Þ 128 Þ

Að
1, 0Þ, Bð3, 0Þ, Cð0, 1Þ [x2 þ y 2
2x þ 2y
3 ¼ 0] Að
2, 0Þ, Bð2, 4Þ, Cð2, 0Þ

[x2 þ y 2
4y
4 ¼ 0]

Að0, 1Þ, Bð2,
2Þ, Cð4,
5Þ

[Non esiste]

129 Þ

Sono dati i punti Að
2, 0Þ e Bð4, 0Þ. Individua il vertice C del triangolo isoscele ABC, sulla base AB, sapendo 3 che il vertice C appartiene alla retta di equazione y ¼
ðx þ 2Þ. Scrivi poi l’equazione della circonferenza circo2     scritta al triangolo ABC. 9 5 C 1,
; x2 þ y 2
2x þ y
8 ¼ 0 2 2 130 Þ

Determina l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele ABC, sulla base AB, sapendo che Að
1, 1Þ, Bð3, 3Þ e che C appartiene all’asse x. [Cð2, 0Þ; x2 þ y 2
2x
4y ¼ 0]

131 Þ

Per quali valori di k esiste una e una sola circonferenza passante per Að
1, 1Þ, Bð2, 1Þ e Cð0, kÞ?

[k 6¼ 1]

Circonferenza, dati due punti e un’ulteriore condizione 132 Þ

Vero o falso? a. se una circonferenza passa per due punti A e B, allora il suo centro appartiene alla retta AB

V

F

b. se una circonferenza passa per due punti A e B, il suo centro appartiene alla retta perpendicolare ad AB e passante per il punto medio di AB

V

F

c. esiste una circonferenza che passa per Að
2, 0Þ, Bð3, 0Þ e che ha il centro sull’asse y

V

F

d. se una circonferenza ha il centro sulla retta r e passa per due punti distinti A e B, il suo centro e` il V F punto di intersezione tra r e l’asse di AB [2 affermazioni vere e 2 false] 336 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della circonferenza rappresentata in figura, che passa per A e B e che ha il centro sulla retta r.

Circonferenza

Dalla figura puoi vedere che Að
1, 0Þ, Bð3, 0Þ e che r e` la bisettrice del primo e del terzo quadrante, quindi la sua equazione e` y ¼ x.

y r



1 modo Traccia l’asse del segmento AB. Il centro C e` il punto di intersezione di tale asse con la retta r, quindi:

A –1

Cð::::, ::::Þ

O

B 3

Unita` 6

133 Þ

x

Il raggio r puo` essere determinato, per esempio, calcolando la distanza di C da A. Troverai che: pffiffiffi r¼ 5 L’equazione della circonferenza richiesta e` quindi: ðx
:::::Þ2 þ ðy
:::::Þ2 ¼ 5 ossia, svolgendo i calcoli: x2 þ y 2
2x
2y
3 ¼ 0. 2 modo Imponi che la circonferenza passi per A e B e abbia il centro sulla retta r. Ottieni il sistema: 8 > ð
1Þ2 þ 02 þ a  ð
1Þ þ ::::: ¼ 0 > > > < 32 þ 02 þ a  3 þ ::::: ¼ 0 > > > a > :
¼
b 2 2

Passaggio per Að
1, 0Þ Passaggio per Bð3, 0Þ Il centro appartiene alla retta di equazione y ¼ x

Risolvendo il sistema trovi a ¼ :::, b ¼ ::: e c ¼ ::: La circonferenza cercata ha quindi equazione: ...................................

134 Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle seguenti figure, sapendo che passano per A, per B e Þ che hanno il centro sulla retta r.

y

y

r

r 4B

A

B

3 O

1 O

–1

x

–1 –2

1 A

x

Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A e B e avente il centro sulla retta r e rappresenta graficamente la circonferenza e la retta. 135 Þ 136 Þ 137 Þ 138 Þ 139 Þ 140 Þ

[x2 þ y 2
2x
4y
3 ¼ 0]

Að
1, 0Þ, Bð3, 0Þ

r: 2x
y ¼ 0

Að1, 1Þ, Bð
3,
3Þ

r: x
y þ 2 ¼ 0

Að0, 0Þ, Bð2, 0Þ

r: x
2y
1 ¼ 0

Að
2, 0Þ, Bð3, 0Þ

r: x þ 4 ¼ 0

Að
2, 0Þ, Bð0, 2Þ

r: y ¼
2x þ 3

[x2 þ y 2
6x þ 6y
16 ¼ 0]

Að0, 2Þ, Bð4, 2Þ

r: y ¼ 2x

[x2 þ y 2
4x
8y þ 12 ¼ 0]

[x2 þ y 2 þ 4x
6 ¼ 0] [x2 þ y 2
2x ¼ 0] [Non esiste]

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

337

Le coniche Tema C

Determina le equazioni delle circonferenze passanti per i punti A e B e aventi raggio r e rappresentale graficamente. pffiffiffi 141 Að
1, 0Þ, Bð3, 0Þ r¼2 2 [x2 þ y 2
2x þ 4y
3 ¼ 0; x2 þ y 2
2x
4y
3 ¼ 0] Þ pffiffiffiffiffiffi 142 Að
2,
1Þ, Bð2, 1Þ r ¼ 10 [x2 þ y 2
2x þ 4y
5 ¼ 0; x2 þ y 2 þ 2x
4y
5 ¼ 0] Þ 1 pffiffiffiffiffiffi 143 Að0, 0Þ, Bð3, 0Þ r¼ [x2 þ y 2
3x þ 2y ¼ 0; x2 þ y 2
3x
2y ¼ 0] 13 Þ 2 pffiffiffi pffiffiffi 144 Að
2, 0Þ, Bð2, 0Þ r¼4 [x2 þ y 2 þ 4 3y
4 ¼ 0; x2 þ y 2
4 3y
4 ¼ 0] Þ

Circonferenza, data una condizione di tangenza 145 Vero o falso? Þ Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0. a. se a ¼ c ¼ 0 la circonferenza e` tangente all’asse x b. se b ¼ c ¼ 0 la circonferenza e` tangente all’asse y

c. se la circonferenza e` tangente all’asse x allora a ¼ c ¼ 0 d. se la circonferenza e` tangente all’asse y allora b ¼ c ¼ 0

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 2 false]

146 Þ

Vero o falso? a. se una circonferenza di centro C e` tangente a una retta r, allora il raggio della circonferenza e` la distanza di C da r b. se una circonferenza e` tangente in P a una retta r, allora il suo centro appartiene alla retta passante per P e perpendicolare a r c. se una circonferenza e` tangente all’asse x, la distanza del centro dall’asse x e` uguale all’ordinata del centro d. se una circonferenza e` tangente all’asse y, la distanza del centro dall’asse y e` uguale all’ascissa del centro

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 2 false] 147 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro in Cð
1, 3Þ ed e` tangente all’asse x. 1 modo Dalla figura a fianco puoi notare che il raggio della circonferenza, uguale alla distanza di C dall’asse x, deve essere 3. Quindi la circonferenza ha equazione

y

ðx þ :::::Þ2 þ ð y
:::::Þ2 ¼ ::::: ossia, svolgendo i calcoli: .........................

r

2 modo Le ascisse degli eventuali punti di intersezione della generica circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 con l’asse x sono le soluzioni dell’equazione x2 þ ax þ c ¼ 0 (ottenuta ponendo y ¼ 0 nell’equazione della circonferenza). Affinche´ la circonferenza sia tangente all’asse x, deve essere nullo il discriminante di questa equazione, cioe` deve essere: a2
4c ¼ 0 Puoi allora impostare il sistema: 8 a >
¼
1 > > > 2 > < b
¼3 > > 3 > > > : 2 a
4c ¼ 0

C

L’ascissa del centro e`
1 L’ordinata del centro e` 3 Condizione di tangenza

Risolvendo il sistema trovi a ¼ :::, b ¼ ::: e c ¼ ::: La circonferenza cercata ha quindi equazione: .............................. 338 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

O

x

[x2 þ y 2 þ 2x ¼ 0]

Cð
1, 0Þ r: asse y

152 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Cð1, 3Þ

[x2 þ y 2
2x
6y þ 1 ¼ 0]

r: asse x

Cð2,
3Þ r: y ¼ 2x

[5x2 þ 5y 2
20x þ 30y þ 16 ¼ 0]

Cð
2, 4Þ r: y ¼
x

[x2 þ y 2 þ 4x
8y þ 18 ¼ 0]

Circonferenza

148 Þ 149 Þ 150 Þ 151 Þ

Unita` 6

Scrivi le equazioni delle circonferenze che hanno centro in C e sono tangenti alla retta r.

Determina l’equazione della circonferenza tangente nel punto Pð1, 1Þ alla retta r: y ¼ x e avente il centro sulla retta di equazione y ¼ 2x
7. 1 modo Il centro C della circonferenza e` il punto di intersezione tra la retta di equazione y ¼ 2x
7 e la retta passante per Pð1, 1Þ e perpendicolare a r (vedi la figura a fianco). Dal grafico puoi prevedere che

y y=x

Cð3,
1Þ

y = 2x – 7

Per determinare algebricamente le coordinate di C, ricava anzitutto l’equazione della retta passante per P e perpendicolare a r. Troverai che l’equazione di questa retta e` y ¼
x þ 2, quindi le coordinate di C sono le soluzioni del sistema: ( y ¼ 2x
7 y ¼
x þ 2

P O

x

C

r

Il raggio della circonferenza e` la distanza di C da P: r ¼ CP ¼ ::::: L’equazione della circonferenza richiesta e` allora ðx
3Þ2 þ ð y þ 1Þ2 ¼ ð:::::Þ2 , cioe`: ............................................. 2 modo Affinche´ la retta di equazione y ¼ x sia tangente alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 basta imporre che il discriminante dell’equazione risolvente il sistema: ( x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 y¼x sia uguale a zero. L’equazione risolvente e`: 2x2 þ ða þ bÞx þ c ¼ 0 e
¼ ða þ bÞ2
8c quindi la condizione di tangenza e` ða þ bÞ2
8c ¼ 0. Puoi allora impostare il sistema: 8 Passaggio per il punto Pð1, 1Þ a þ b þ c ¼
2 > > > > < ða þ bÞ2
8c ¼ 0 Condizione di tangenza > >   > b a > :
¼2
Appartenenza del centro alla retta di equazione y ¼ 2x 7 2 2

7

Risolvendo il sistema trovi a ¼ :::, b ¼ ::: e c ¼ :::

La circonferenza cercata ha quindi equazione: :::::::::::::::::::::::::::::: Scrivi le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta r nel punto P e aventi il centro sulla retta s. 153 Þ 154 Þ 155 Þ 156 Þ

r: y ¼

2

Pð2,

2Þ

r: y ¼ x þ 2

Pð 1, 1Þ

s: 2x

r: y ¼ x þ 3

Pð 3, 0Þ

s: y ¼ x

r: y ¼

2x þ 2

Pð 1, 4Þ

[x2 þ y 2

s: y ¼ x

s: 2x

y

3¼0 1

yþ3¼0

4y

8 ¼ 0]

2x þ 2y

6 ¼ 0]

[x2 þ y 2 þ 2x þ 4y

3 ¼ 0]

2

[x þ y 2

[x þ y

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

2

4x

2

2x

10y þ 21 ¼ 0]

339

Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate qui sotto, che sono tangenti in P alla retta r e passano per Q. y

y r

Tema C

Le coniche

157 Þ

r 2

2 Q –2

Q –2

P O

P

O

2

(Suggerimento: il problema e` equivalente a determinare l’equazione della circonferenza avente il centro sull’asse di PQ e tangente in P alla retta r, quindi lo si puo` risolvere similmente all’Esercizio guidato 152.)

x

x

2

Scrivi le equazioni delle circonferenze che sono tangenti in P alla retta r e passano per Q. 158 Þ

Pð1, 1Þ

r: y ¼ x

Qð
2, 0Þ

[x2 þ y 2 þ 3x
7y þ 2 ¼ 0]

159 Þ

Pð
1,
1Þ

r: x
y ¼ 0

Qð2, 0Þ

[x2 þ y 2
3x þ 7y þ 2 ¼ 0]

160 Þ

Pð2, 2Þ

r: x
2y þ 2 ¼ 0

Qð0, 0Þ

[x2 þ y 2
8x þ 4y ¼ 0]

[x2 þ y 2
4x
4 ¼ 0] pffiffiffi 162 Determina le equazioni delle circonferenze tangenti nel punto Að1, 1Þ alla retta r: y ¼ x e aventi raggio 2. Þ [x2 þ ðy
2Þ2 ¼ 2; ðx
2Þ2 þ y 2 ¼ 2] 161 Þ

Pð0, 2Þ

r: y ¼ x þ 2

Qð0,
2Þ

Þ p ffiffiffi 2.

163 Determina le equazioni delle circonferenze tangenti nel punto Að
1, 1Þ alla retta r: y ¼ x þ 2 e aventi raggio

[x2 þ y 2 ¼ 2; ðx þ 2Þ2 þ ðy
2Þ2 ¼ 2]

164 Scrivi le equazioni delle circonferenze passanti per Að
1, 0Þ, Bð3, 2Þ e tangenti alla retta di equazione Þ x
4 ¼ 0. [x2 þ y 2 þ 2x
10y þ 1 ¼ 0; x2 þ y 2
3x
4 ¼ 0] 165 Þ

Scrivi le equazioni delle circonferenze passanti per Að2, 1Þ, aventi il centro sulla retta di equazione [x2 þ y 2 þ 2x
10y þ 1 ¼ 0; x2 þ y 2
2x
2y þ 1 ¼ 0] 2x þ y
3 ¼ 0 e tangenti all’asse x.

Esercizi riassuntivi sulla determinazione di circonferenze 166 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha cenÞ tro in Cð2, 3Þ ed e` tangente all’asse x. [x2 þ y 2
4x
6y þ 4 ¼ 0] 167 Þ

Scrivi l’equazione della circonferenza che ha come diametro il segmento AB di estremi Að2, 3Þ e Bð4, 1Þ. [x2 þ y 2
6x
4y þ 11 ¼ 0] 168 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha cenÞ tro in Cð
2, 3Þ e passa per l’origine. [x2 þ y 2 þ 4x
6y ¼ 0]

172 Scrivi l’equazione della circonferenza tangente Þ in Pð3, 3Þ alla bisettrice del primo e del terzo quadrante e passante per Qð
1, 3Þ. [x2 þ y 2
2x
10y þ 18 ¼ 0] 173 Scrivi l’equazione della circonferenza passante Þ per Að
2, 0Þ, Bð2, 4Þ e avente il centro sull’asse x. [x2 þ y 2
4x
12 ¼ 0] 174 Þ

Determina le equazioni delle circonferenze tan-

169 Scrivi l’equazione della circonferenza che passa Þ per i punti Að
3, 0Þ, Bð2, 0Þ e Cð0, 4Þ. [2x2 þ 2y 2 þ 2x
5y
12 ¼ 0]

genti nel punto Að2, 1Þ alla retta r di equazione pffiffiffi 1 y ¼ x e aventi raggio 5. 2 [x2 þ y 2
2x
6y þ 5 ¼ 0; x2 þ y 2
6x þ 2y þ 5 ¼ 0]

170 Scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta Þ al quadrato OABC di vertici Oð0, 0Þ, Að4, 0Þ, Bð4, 4Þ, [x2 þ y 2
4x
4y ¼ 0] Cð0, 4Þ.

175 Scrivi le equazioni della circonferenza che ha Þ centro in Cð3,
2Þ e che individua sull’asse x un segmento di misura 2. [x2 þ y 2
6x þ 4y þ 8 ¼ 0]

171 Þ

Scrivi l’equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza di equazione x2 þ y 2
6x
1 ¼ 0 e tangente alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. [2x2 þ 2y 2
12x þ 9 ¼ 0] 340 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 6

4. Fasci di circonferenze

TEORIA a p. 317

Fascio generato da due circonferenze Vero o falso? a. il fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2 ¼ 4 e x2 þ y 2
4x ¼ 0 ha due punti base

V

F

b. i punti base di un fascio sono punti per cui passano tutte le circonferenze del fascio

V

F

c. il fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2
4x ¼ 0 e x2 þ y 2 þ 4x ¼ 0 non ha punti base

V

F

d. ogni fascio di circonferenze ha almeno un punto base

V

F

e. dato un fascio generato da due circonferenze non concentriche, l’asse radicale delle due circonferenze si puo` considerare una circonferenza degenere del fascio

V

F

f. un fascio di circonferenze non contiene circonferenze degeneri se e solo se e` generato da due circonferenze concentriche

V

F

Circonferenza

176 Þ

[4 affermazioni vere e 2 false] Scrivi l’equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2 ¼ 4 e x2 þ y 2
2x
2y ¼ 0; individua i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. [Punti base: ð0, 2Þ, ð2, 0Þ; asse radicale: x þ y
2 ¼ 0; fascio di circonferenze secanti] 177 Þ

Scrivi l’equazione del fascio di circonferenze generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2
2x ¼ 0 e x2 þ y 2 þ 2x ¼ 0; individua i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. [L’unico punto base e` l’origine; asse radicale: x ¼ 0; fascio di circonferenze tangenti]

178 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2 þ 2x þ 2y
2 ¼ 0 e x2 þ y 2 þ 2x
4y þ 4 ¼ 0; individua i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Scrivi poi l’equazione della circonferenza del fascio passante per l’origine. [Punto base: ð
1, 1Þ; asse radicale: y ¼ 1; fascio di circonferenze tangenti; x2 þ y 2 þ 2x ¼ 0] 179 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2 ¼ 1 e x2 þ y 2
6x þ 8 ¼ 0; individua i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Scrivi poi l’equazione della circonferenza del fascio   passante per il punto Pð1, 1Þ. 3 2 2 Nessun punto base; asse radicale: x ¼ ; x þ y þ 2x
4 ¼ 0 2 180 Þ

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2
x
y ¼ 0 e x þ y 2
3x þ y þ 2 ¼ 0. Individua i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Scrivi poi l’equazione della circonferenza del fascio passante per il punto Pð1, 2Þ. [Punto base: ð1, 0Þ; asse radicale: x
y
1 ¼ 0; x2 þ y 2
2y
1 ¼ 0] 181 Þ 2

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 þ y 2 þ 2x ¼ 0 e 2 : x2 þ y 2
1 ¼ 0; individua i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Scrivi poi l’equazione della circonferenza del fascio avente il centro sulla retta di equazione y ¼ x þ 2. pffiffiffi !   1 1 2 3 ; asse radicale: x ¼ ; x þ y 2 þ 4x þ 1 ¼ 0 Punti base:
,  2 2 2 182 Þ

I fasci di circonferenze di equazioni ð1 þ kÞx 2 þ ð1 þ kÞy 2 þ ða þ ka 0 Þx þ ðb þ kb0 Þy þ c þ kc 0 ¼ 0 e x 2 þ y 2 þ ða þ ka 0 Þx þ ðb þ kb0 Þy þ c þ kc 0 ¼ 0 Studia i seguenti fasci di circonferenze, individuando i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche delle circonferenze del fascio. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 183 x2 þ y 2 þ 2kx ky 25 ¼ 0 [Punti base: ð 5, 2 5Þ, ð 5, 2 5Þ; asse radicale: y ¼ 2x] Þ 184 Þ

x2 þ y 2 þ ðk

2Þx þ k ¼ 0

185 Þ

x2 þ y 2

2y þ k

186 Þ

ð1 þ kÞx2 þ ð1 þ kÞy 2

2x

4kx þ 3k

x2 þ y 2

188 Þ

ð1 þ kÞx2 þ ð1 þ kÞy 2 þ 2ð1

1Þx

[Non esistono punti base ne´ asse radicale]

2¼0

187 Þ

2ðk

[Nessun punto base; asse radicale: x þ 1 ¼ 0]

4ky

1¼0 

1¼0 kÞx

1

k¼0

[Punto base: ð1, 0Þ; asse radicale: x ¼ 1]    2 1 Punti base: ð 2, 1Þ; , ; asse radicale: x þ 2y ¼ 0 5 5 [Punti base: ð0,1Þ; asse radicale: x ¼ 0]

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341

Le coniche Tema C

189 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Dato il fascio di circonferenze di equazione x2 þ y2 þ ðk
2Þy
k ¼ 0, determiniamo: a. i punti base e l’asse radicale;

b. la circonferenza del fascio passante per il punto Pð2,
1Þ;

c. la circonferenza del fascio tangente alla retta di equazione y ¼ 3. a. Raccogliendo k l’equazione del fascio si puo` riscrivere nella forma: x2 þ y 2
2y þ kðy
1Þ ¼ 0 da cui si vede che l’asse radicale e` la retta y ¼ 1. Risolvendo il sistema



delle generatrici, troviamo che i punti base hanno coordinate ð1, 1Þ. b. Imponiamo il passaggio per Pð2, zione: 22 þ ð 1Þ2 þ ðk 3 y 2

formato dalle equazioni

1Þ; sostituendo nell’equazione del fascio le coordinate di P si ottiene l’equa-

k¼0

2Þð 1Þ

che, risolta, fornisce la soluzione k ¼ zione x2 þ y 2 þ

x2 þ y 2
2y ¼ 0 y¼1

7 ¼ 0. 2

7 . In corrispondenza di questo valore di k si ottiene la circonferenza di equa2

c. Dobbiamo imporre che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:  2 x þ y 2 þ ðk 2Þy k ¼ 0 y¼3 L’equazione risolvente e` x2 þ 2k þ 3 ¼ 0; il suo discriminante
¼

4ð2k þ 3Þ e` nullo se e solo se k ¼

spondenza di questo valore di k si ottiene la circonferenza del fascio di equazione x2 þ y 2

3 . In corri2

7 3 y þ ¼ 0. 2 2

Nota In alternativa, per risolvere quest’ultimo quesito, avremmo potuto imporre che la distanza del centro della generica circonferenza di equazione x 2 þ y 2 þ ðk 2Þy k ¼ 0 dalla retta di equazione y ¼ 3 sia uguale al raggio. Procedendo in questo modo si sarebbe giunti all’e qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 k 1 3 quazione: 3 ¼ gia` trovato seguendo l’altra via. Questa via pero` ðk 2Þ2 þ 4k che fornisce come soluzione il valore k ¼ 2 2 2 e` piu` laboriosa, in quanto a calcoli, di quella qui proposta. 190 Þ

Studia il fascio di circonferenze di equazione:

ðk þ 1Þx2 þ ðk þ 1Þy 2

4x

k

1¼0

determinando le generatrici, i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi la circonferenza del fascio passante per il punto Pð1, 1Þ. [Punti base: ð0, 1Þ, ð0, 1Þ; asse radicale: x ¼ 0; x2 þ y 2 x 1 ¼ 0] 191 Þ

Studia il fascio di circonferenze di equazione:

x2 þ y 2 þ 2ðk

1Þx

ky

3¼0

determinando le generatrici, i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi le circonferenze del fascio tangenti alla retta di equazione x þ 2y 6 ¼ 0.     3 6 14 2 , xþ y 3¼0 ; asse radicale: 2x y ¼ 0; x2 þ y 2 þ 2x 2y 3 ¼ 0; x2 þ y 2 Punti base: ð1, 2Þ; 5 5 5 5 192 Þ

Studia il fascio di circonferenze di equazione:

x2 þ y 2 þ ðk

342

2Þx

ky ¼ 0

determinando le generatrici, i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi: a. la retta dei centri delle circonferenze del fascio; b. le circonferenze del fascio tangenti alla retta di equazione y ¼ 1. [Punti base: ð0, 0Þ, ð1, 1Þ; asse radicale: y ¼ x; a. y ¼ 1 x; b. x2 þ y 2 2x ¼ 0, x2 þ y 2 þ 6x Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

8y ¼ 0]

Studia il fascio di circonferenze di equazione:

2

x þ y 2 þ ðk
1Þx
ðk þ 3Þy þ 2 ¼ 0

194 Þ

Studia il fascio di circonferenze di equazione:

ðk þ 1Þx2 þ ðk þ 1Þy 2 þ 2ðk þ 2Þx
ðk þ 2Þy ¼ 0

Circonferenza

determinando le generatrici, i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina la circonferenza del fascio con il centro sull’asse x. [Punto base: ð1, 1Þ; asse radicale: y ¼ x; x2 þ y 2
4x þ 2 ¼ 0]

Unita` 6

193 Þ

determinando le generatrici, i punti base, l’asse radicale e le caratteristiche del fascio. Stabilisci per quali valori di k l’equazione del fascio rappresenta una circonferenza non degenere. [Fascio di circonferenze tangenti in ð0, 0Þ a y ¼ 2x; k 6¼
1, k 6¼
2] 195 Þ

Dato il fascio di circonferenze di equazione:

2

x þ y 2
2kx
2ðk
1Þy
4 ¼ 0 determina le generatrici, i punti base, l’asse radicale e specifica le caratteristiche delle circonferenze del fascio. Determina, se esistono, i valori di k per cui si ottiene: a. una circonferenza simmetrica rispetto all’asse x; b. una circonferenza simmetrica rispetto all’asse y; c. una circonferenza simmetrica rispetto all’origine. [Punti base: ð
1, 1Þ; ð2,
2Þ; asse radicale: x þ y ¼ 0; a. k ¼ 1; b. k ¼ 0; c. impossibile] 196 Þ

Dato il fascio di circonferenze di equazione:

x2 þ y 2
2x þ ky
k ¼ 0 a. determina i punti base; b. scrivi l’equazione della retta dei centri; c. determina le equazioni delle circonferenze del fascio di raggio 2; d. determina per quali valori di k la retta di equazione y
2 ¼ 0 interseca le circonferenze del fascio in due punti distinti. [a. ð1, 1Þ; b. x ¼ 1; c. x2 þ y 2
2x
6y þ 6 ¼ 0; x2 þ y 2
2x þ 2y
2 ¼ 0; d. k <
3] 197 Þ

Dato il fascio di circonferenze di equazione:

ðk þ 1Þx2 þ ðk þ 1Þy 2 þ 2x
4y
k þ 4 ¼ 0 a. verifica che e` privo di punti base; b. determina per quali valori di k l’equazione del fascio rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere); c. determina l’asse radicale e la retta dei centri; d. scrivi le equazioni delle circonferenze del fascio tangenti all’asse y. pffiffiffi pffiffiffi  3 5 3þ 5 _ k ; c. asse radicale: 2x 4y þ 5 ¼ 0, retta dei centri: 2x þ y ¼ 0; b. k   2 2 d. x2 þ y 2 þ 2x 4y þ 4 ¼ 0; 4x2 þ 4y 2 þ 2x 4y þ 1 ¼ 0

198 Þ

Dato il fascio di circonferenze di equazione:

x2 þ y 2

2x þ ky þ 2k ¼ 0

a. determina i punti base e le caratteristiche del fascio; b. determina per quali valori di k l’equazione del fascio rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere); c. stabilisci se esiste una circonferenza del fascio il cui centro appartiene alla retta di equazione y ¼ 1; d. determina la circonferenza del fascio che individua sull’asse x una corda di misura 6. pffiffiffi pffiffiffi [a. Nessun punto base; b. k  4 2 3 _ k  4 þ 2 3; c. non esiste; d. x2 þ y 2 2x 4y 8 ¼ 0]

Dopo aver studiato il fascio di circonferenze di equazione x2 þ y 2 2kx 4y ¼ 0, considera una generica circonferenza del fascio con k 6¼ 0. Indica: a. con C il suo centro; b. con A il punto, diverso dall’origine, che ha in comune con l’asse x; c. con P il punto di intersezione delle rette tangenti alla circonferenza nell’origine O e in A. 199 Þ

Determina per quali valori di k l’area del triangolo OAC e` maggiore o uguale all’area del triangolo OAP. [ 2  k  2, con k 6¼ 0] Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

343

Le coniche Tema C

5. La circonferenza e le funzioni

TEORIA a p. 319

Esercizi preliminari 200 Þ

Associa a ciascun grafico l’equazione corrispondente, scelta tra le seguenti:

a. y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9
x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. y ¼
9
x2

y

c. y ¼ 3 þ

3

3

x –3

O

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9
x2 y

3

x

O

d. y ¼ 3


y

y

–3

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9
x2

3 x

x –3 A

O

3

B

O

–3 C

3

D

Test 201 Þ

Il grafico in figura e` quello della funzione:

202 Þ

Il grafico in figura e` quello della funzione:

y

y

4 x

O

–4

A B

203 Þ A B

204 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼
4
x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼
4x
x2

1

O

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
3x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 4 þ 3x þ x2

B

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
3x þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 4 þ 3x
x2

e` una semicirconferenza di raggio 3

C

non e` una circonferenza

e` una semicirconferenza che passa per l’origine

D

nessuna delle risposte precedenti e` esatta

y¼

C D

y¼

Il grafico della funzione y ¼

Il grafico della funzione y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x
x2 : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3
x2 :

A

y¼

C D

y¼

A

e` una semicirconferenza di raggio 3

C

non e` una circonferenza

B

e` una semicirconferenza che passa per l’origine

D

nessuna delle risposte precedenti e` esatta

Grafici di funzioni

344

x

Traccia i grafici delle seguenti funzioni irrazionali. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 205 y ¼ 9
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 206 y ¼
16
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 207 y ¼
3x
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 208 y ¼ 4x
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 209 y ¼ 1
4x
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 210 y ¼
2x
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 211 y ¼ 6x
5
x2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 212 y ¼
6x
x2 Þ

213 Þ 214 Þ 215 Þ 216 Þ 217 Þ 218 Þ 219 Þ 220 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼
3
2x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 1
4
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2
25
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 3
2x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 1 þ 5
4x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 4x
x2
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2
6x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 1
3 þ 2x
x2

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Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle funzioni il cui grafico e` rappresentato nelle seguenti figure. y

y

y

Circonferenza

4

–3

3

3 O

Unita` 6

221 Þ

5

3

x

60° –3

O

3

6

x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A partire dal grafico di y ¼ 25
x2 deduci, mediante opportune trasformazioni, i grafici delle funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. y ¼ 25
x2
3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. y ¼ 2
25
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. y ¼ j3
25
x2 j

222 Þ

–4

x

–1 O 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A partire dal grafico di y ¼ 4x
x2 deduci, mediante opportune trasformazioni, i grafici delle funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. y ¼
4x
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. y ¼ 4jxj
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. y ¼ j 4x
x2
2j

223 Þ

Grafici di curve 224 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Tracciamo il grafico della curva di equazione x ¼
16
y2 .

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L’equazione x ¼
16
y 2 equivale a
x ¼ 16
y2 , quindi al sistema: (
x  0 x2 ¼ 16

y 4

x = – 16 – y 2

y2

L’equazione x2 ¼ 16 y 2 , ossia x2 þ y 2 ¼ 16, e` quella della circonferenza avente centro nell’origine e raggio 4; la disequazione x  0, ossia x  0, indica che dobbiamo considerare soltanto i punti della circonferenza di ascisse negative o nulle. La curva data e` quindi la semicirconferenza rappresentata in figura. Essa non rappresenta il grafico di una funzione (perche´?).

–4

x

O

–4

Traccia i grafici delle curve di equazione data. Per ciascuna curva, stabilisci se e` il grafico di una funzione. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 225 x ¼ 4y y 2 229 x ¼ 3 3 þ 2y y2 Þ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 226 x ¼ 3 þ 2y y2 230 x ¼ 3 3y y2 Þ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 227 x ¼ 2 þ 4 y 2 231 x ¼ 4jyj y 2 Þ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 228 x ¼ 2 2y y2 232 x ¼ 1 4 3jyj y 2 Þ Þ

Applicazioni alla risoluzione grafica di equazioni e disequazioni Interpretando graficamente le seguenti equazioni irrazionali, stabilisci il numero delle loro soluzioni e individua un intervallo al quale tali soluzioni appartengono; verifica poi le tue conclusioni risolvendo le equazioni algebricamente. " pffiffiffi # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 7 2 4 x ¼ xþ1 4 x2 ¼ x þ 2 [2, 0] 233 235 Þ Þ 2 " pffiffiffi #   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 x2 ¼ 236  2 ¼ 2x þ 2 Þ 1 x 234 1 Þ 2 2 5 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

345

Le coniche Tema C

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 4
x2 ¼
x þ 1 237 Þ 2 238 Þ



pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2 ¼ x

 6
,2 5 " pffiffiffi # 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5
4x
x2 ¼
x þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
x2 ¼ 1
jxj 240 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3
2x
x2 ¼ jx
1j 241 Þ 239 Þ

Risolvi graficamente le seguenti disequazioni irrazionali. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [0 < x < 1] 2x x2 > x 242 249 Þ Þ " # pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3þ 7 0

x

e

f

E. a < 0 e b > 0 F. a < 0 e b < 0

Supponi che l’equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 rappresenti una circonferenza (cioe` che a2 þ b2 4c  0Þ. Associa a ogni condizione espressa nella prima colonna la sua traduzione algebrica, posta nella seconda colonna. 256 Þ

a. passi per il punto Pð1, 1Þ b. abbia raggio 1 c. intersechi l’asse y in due punti distinti d. abbia il centro sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante e. sia tangente all’asse x f. sia tangente a entrambi gli assi cartesiani 346

A. a2 þ b2

4c ¼ 4

B. a þ b þ c ¼ 2

C. a

2

4c ¼ 0

D. ja j ¼ j b j e a2 ¼ 4c E. b2

4c > 0

F. a ¼ b

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Circonferenza

Considera l’equazione ð2k2
1Þx2 þ y 2
ðk þ 3Þx
2y
1 ¼ 0. Determina per quali valori di k essa rappre[k ¼ 1] senta una circonferenza e disegna il grafico di tali circonferenze. 258 Þ

Unita` 6

Dopo aver verificato che l’equazione x2 þ y 2 þ ðk
2Þx
ky ¼ 0 rappresenta una circonferenza per ogni valore di k 2 R, determina per quale valore di k si ha: a. una circonferenza che passa per il punto P(2, 0); pffiffiffiffiffiffi 10 ; b. una circonferenza di raggio 2 c. una circonferenza che ha il centro nel primo quadrante; d. una circonferenza tangente alla retta di equazione y ¼ x
1. [a. k ¼ 0; b. k ¼
1, k ¼ 3, c. 0 < k < 2, d. k ¼ 1]

257 Þ

Scrivi l’equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 4x 5 ¼ 0 e passante per il punto Pð0, 3Þ. Individua l’area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione di tale cirpffiffiffiffiffiffi conferenza con gli assi cartesiani. [x2 þ y 2 4x 9 ¼ 0; Area = 6 13] 259 Þ

260 Þ

y¼

Scrivi l’equazione della circonferenza avente centro in Cð 1, 0Þ e tangente alla retta r di equazione x þ 1. Determina le coordinate del punto di contatto P tra la circonferenza e la retta r. [x2 þ y 2 þ 2x 1 ¼ 0; Pð0, 1Þ]

261 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha come centro il punto di intersezione delle rette di equazioni Þ 2x þ y 3 ¼ 0 e 4x y ¼ 0 e che e` tangente all’asse x. [4x2 þ 4y 2 4x 16y þ 1 ¼ 0] 262 Determina le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta di equazione x ¼ 1, di raggio 2 e aventi il centro Þ sulla retta di equazione x 4y þ 5 ¼ 0. [x2 þ y 2 þ 2x 2y 2 ¼ 0, x2 þ y 2 6x 4y þ 9 ¼ 0] 263 Determina le equazioni delle circonferenze tangenti all’asse x, passanti per il punto Pð2, 3Þ e con centro sulÞ la retta di equazione 2x y 1 ¼ 0. [x2 þ y 2 þ 2x þ 6y þ 1 ¼ 0, x2 þ y 2 þ 14x þ 30y þ 49 ¼ 0]

Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2 4x 2y ¼ 0; dopo aver verificato che i punti Að0, 2Þ, Bð0, 0Þ e Cð3, 1Þ appartengono alla circonferenza, determina: a. le equazioni delle rette r, s e t, tangenti alla circonferenza rispettivamente nei punti A, B e C; b. l’area del triangolo individuato dalle rette r, s e t, dopo aver verificato che tale triangolo e` rettangolo.  a. 2x y þ 2 ¼ 0, 2x þ y ¼ 0, x 2y 5 ¼ 0;    1 15 , 1 ; Area ¼ b. vertici del triangolo: ð 3, 4Þ, ð1, 2Þ, 2 2 264 Þ

265 Determina per quali valori di k la retta di equazione x Þ in Cð2, 1Þ e passa per l’origine.

2y þ k ¼ 0 e` esterna alla circonferenza che ha centro [k < 5 _ k > 5]

266 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro in Cð0, 3Þ e passa per Pð2, 0Þ. Determina poi le rette tanÞ genti a tale circonferenza parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. pffiffiffiffiffiffi [x2 þ y 2 6y 4 ¼ 0; y ¼ x þ 3  26]

267 Scrivi l’equazione della circonferenza che passa per Að1, 2Þ, Oð0, 0Þ, Bð3, 1Þ. Determina le rette parallele all’asÞ pffiffiffiffiffiffi   se x e tangenti a alla circonferenza. 1  10 x2 þ y 2 3x y ¼ 0; y ¼ 2 268 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha come diametro il segmento AB, di estremi Að2, 0Þ e Bð 2, 6Þ e Þ l’equazione della sua simmetrica rispetto all’asse x. Determina le equazioni delle rette tangenti alle circonferenze nei loro punti di intersezione con l’asse x e l’area del rombo formato da tali tangenti.   16 x2 þ y 2 6y 4 ¼ 0, x2 þ y 2 þ 6y 4 ¼ 0; tangenti: 2x  3y þ 4 ¼ 0, 2x  3y 4 ¼ 0, Area ¼ 3 269 Þ

Considera i punti Að 2, 0Þ, Bð4, 0Þ e Cð2, 4Þ. Scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC e l’equazione della circonferenza passante per i punti medi dei lati del triangolo. [x2 þ y 2 2x 2y 8 ¼ 0; x2 þ y 2 3x 3y þ 2 ¼ 0]

270 Dopo aver scritto l’equazione della circonferenza avente centro nell’origine e tangente alla retta di equazione Þ 3x þ 4y 25 ¼ 0, determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenze condotte dal punto Pð0, 6Þ. pffiffiffiffiffiffi   11 2 2 xþ6 x þ y ¼ 25; y ¼  5

347 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

271 Þ

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per l’origine e per Að3, 0Þ, il cui centro appartiene alla retta di 1 equazione y ¼ x. Determina le equazioni delle rette r ed s tangenti alla circonferenza nei suoi punti di intersezio3 ne con l’asse x e calcola l’area del triangolo individuato dall’asse x e dalle rette r ed s.   27 x2 þ y 2
3x
y ¼ 0; 3x þ y ¼ 0, 3x
y
9 ¼ 0; 4 272 Þ

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per l’origine e tangente alla retta r: y ¼
2x
8 nel punto in cui r interseca l’asse x: Nel fascio di rette di centro Pð2, 0Þ determina: a. le rette del fascio tangenti alla circonferenza; b. le rette del fascio che individuano sulla circonferenza una corda di misura 4. pffiffiffiffiffiffi  
4  2 15 ðx 2Þ; b. y ¼ 0, 8x þ 15y 16 ¼ 0 x2 þ y 2 þ 4x
2y ¼ 0; a. y ¼ 11

273 Þ

Determina una retta parallela all’asse delle x che individua sulle due circonferenze di equazioni   x þ y 2 þ 4x ¼ 0 e x2 þ y 2 6x 4y þ 4 ¼ 0 due corde aventi la stessa misura. 1 y¼ 4 2

E` data la circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ 2x 6y þ 8 ¼ 0; fra le rette passanti per il punto Pð 1, 1Þ deterpffiffiffiffiffiffi mina: 10 dal centro C della circonferenza; a. le rette che distano 5 rffiffiffiffiffi b. le rette tangenti alla circonferenza; 6 c. le rette che individuano sulla circonferenza una corda di misura 2 . 5 274 Þ

[a. y

1 ¼ 3 ðx þ 1Þ; b. y

1 ¼ ðx þ 1Þ; c. y

1 ¼ 2 ðx þ 1Þ]

Data la circonferenza di equazione x2 þ y 2 6x ¼ 0, determina gli estremi della corda AB, che ha come punto " # pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi ! pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi ! medio Mð2, 1Þ e la misura di tale corda. pffiffiffi 4 14 2 14 4 þ 14 2 þ 14 ; B ; AB ¼ 2 7 , , A 2 2 2 2 275 Þ

276 Þ

Posizione reciproca di due circonferenze. Considera le seguenti coppie di circonferenze:

a. x2 þ y 2 2

b. x þ y

2

c. x2 þ y 2

d. x2 þ y 2 2

e. x þ y

2

x2 þ y 2

1¼0

2

4¼0

x þy

4¼0 2x

6x

6y þ 8 ¼ 0

2y þ 8 ¼ 0

2

x2 þ y 2

x2 þ y 2 2

x þy

2

4x 4x

6y þ 9 ¼ 0

21 ¼ 0

8x þ 7 ¼ 0 6x

7x

2y þ 8 ¼ 0

yþ8¼0

e rappresentale graficamente. Individua dal grafico la loro posizione reciproca e poi verifica i risultati ottenuti in due modi diversi: i. algebricamente, risolvendo il sistema formato dalle equazioni della coppia di circonferenze; ii. geometricamente, ricordando le relazioni che legano i raggi delle due circonferenze e la distanza dei loro centri alla loro posizione reciproca. Fra le coppie di circonferenze proposte una e` costituita da circonferenze secanti. Determina la misura della corda pffiffiffiffiffiffi   che tali circonferenze hanno in comune. 3 15 Misura della corda comune ¼ 4 277 Risolvi i seguenti quesiti. Þ a. Scrivi le equazioni delle circonferenze tangenti in Pð2, 1Þ alla retta di equazione x ¼ 2 e ulteriormente tangenti alla retta di equazione 4x þ 3y 13 ¼ 0; delle due circonferenze trovate, chiama 1 quella avente raggio maggiore. b. Scrivi l’equazione della circonferenza 2 , tangente all’asse y e di raggio 2, avente il centro in un punto del secondo quadrante appartenente alla retta di equazione x y þ 3 ¼ 0. c. Verifica che 1 e 2 sono secanti e determina la misura della corda che hanno in comune.     pffiffiffi 20 2 4 a. x þðy 1Þ2 ¼ , 1 : x2 þ y 2 2y 3 ¼ 0; b. 2 : x2 þ y 2 þ 4x 2y þ 1 ¼ 0; c. 2 3 9 81

348

278 Determina le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangenti alla retta di equazione y ¼ 2x 6, Þ che individuano sull’asse x una corda di misura doppia di quella individuata sull’asse y. [x2 þ y 2 þ 12x þ 6y ¼ 0, 2x2 þ 2y 2 6x 3y ¼ 0, 5x2 þ 5y 2 12x þ 6y ¼ 0]

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Circonferenza

In un piano riferito a un sistema di assi cartesiano ortogonali sono assegnati i punti Að4, 0Þ, Bð2, 0Þ e la retta 4 r per B di coefficiente angolare
. Scrivi le equazioni delle due circonferenze tangenti in A all’asse x e tangenti 3 alla retta r. Indicati con C e C0 i centri delle due circonferenze e con D e D0 i rispettivi punti di contatto di queste con la retta r, determina l’area e il perimetro del quadrilatero CDD0 C0 . Dimostra che i triangoli DAD0 e CBC0 sono simili e indica qual e` il rapporto di similitudine.      4 8 16 8 x2 þ y 2
8x
8y þ 16 ¼ 0, x2 þ y 2
8x þ 2y þ 16 ¼ 0, D , ,
,E , 5 5 5 5  4 Area ¼ 10, Perimetro ¼ 14, rapporto di similitudine ¼ 5

Unita` 6

279 Þ

280 Determina l’equazione della circonferenza, avente centro nell’origine degli assi, tale che il rettangolo inscritÞ pffiffiffi [x2 þ y 2 ¼ 25] to in essa, con i lati paralleli agli assi e il lato sull’asse x doppio dell’altro, abbia perimetro 12 5.

Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2
4x
2y ¼ 0. Determina: a. il punto appartenente alla retta y ¼ 2x þ 7 piu` vicino a ; b. il punto appartenente a piu` vicino alla retta y ¼ 2x þ 7.

281 Þ

[ð
2, 3Þ] [ð0, 2Þ]

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 282 Þ

Sia D la regione di piano individuata dal sistema di disequazioni 8 2 x þ y2  1 > > < ðx 1Þ2 þ ðy 1Þ2  1 > > : ðx þ 1Þ2 þ ðy þ 1Þ2  1 Qual e` l’area di D? pffiffiffi  B A  2 2

(Giochi di Archimede 1996)

C

2

D

pffiffiffi 2

E

4

284 Þ

dius 1 with center (0, 0), the circle of radius 2 with center (5, 0) and a line tangent to both circles, with (a, bÞ being the point of tangency with the smaller circle. Find a. y

 [C]

pffiffiffiffiffiffiffi La retta di equazione x þ y ¼ 2m e` tangente alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ m. Quale delle seguenti affermazioni e` esatta? 1 A m deve essere uguale a . 2 1 B m deve essere uguale a pffiffiffi . 2 pffiffiffi C m deve essere uguale a 2.

O

283 Þ

La retta e la circonferenza sono tangenti per qualsiasi valore di m reale positivo. (High School Math Contest, Texas 2007) [D] D

Solve math in English Pictured is the circle of ra-

(High School Math Contest, Texas 2007)

x

  3 5

285 Þ

Solve math in English What is the radius of the smallest circle that contains both of the circles " pffiffiffi # x2 þ y 2 ¼ 4 and ðx 3Þ2 þ ðy 3Þ2 ¼ 9? 3 2þ5 (High School Math Contest, Texas 2007) 2

349 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

PROVA DI AUTOVERIFICA

La circonferenza 1 Þ

Associa a ciascuna circonferenza la sua equazione: y

y

y x

O O

y x

O

O

x

a

b

x

d

c

C. x2 þ y 2 þ 4x þ 2y
1 ¼ 0 D. x2 þ y 2 þ 4x
2y
1 ¼ 0

A. x2 þ y 2
4x þ 2y
1 ¼ 0 B. x2 þ y 2
4x
2y
1 ¼ 0 2 Þ

Associa a ogni equazione la frase (o le frasi) che le corrispondono. A. E` una circonferenza con il centro sull’asse x. a. x2 þ y 2 þ 3y
1 ¼ 0 2 2 B. E` una circonferenza con il centro sull’asse y. b. x þ y þ 8x
5y ¼ 0 2 2 C. E` una circonferenza passante per l’origine. c. x þ y þ 3y þ 4x þ 4 ¼ 0 2 2 D. E` una circonferenza tangente all’asse x. d. x þ y
3x
1 ¼ 0 E. E` una circonferenza tangente all’asse y. e. x2 þ y 2
5x ¼ 0

3 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha coÞ me diametro il segmento AB, di estremi Að
2, 1Þ e Bð2, 3Þ.

7 Þ

4 Determina la misura della corda individuata dalla Þ retta di equazione y ¼ x þ 1 sulla circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ 4.

8 Þ

Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ 4, passanti per Pð0, 4Þ. Scrivi l’equazione della circonferenza rappresentata nella figura qui sotto. y

5 Scrivi l’equazione della circonferenza tangente in Þ

Pð
1, 2Þ alla retta di equazione y ¼
2x e il cui centro appartiene all’asse x.

3

6 Þ

Rappresenta graficamente la circonferenza di equazione x2 þ y 2
4x
3y ¼ 0, quindi determina: a. l’area del triangolo che ha come vertici i suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani; b. l’area del rombo avente tre lati sulle rette tangenti alla circonferenza nei suoi punti di intersezione con gli assi.

–2

x

O –2

Valutazione 1

2

3

4

5

6

7

8

Totale

0,25 4 ¼ 1

0,2 5 ¼ 1

1

1

1

1 þ 1,5 ¼ 2,5

1,5

1

10

Esercizio Punteggio Punteggio ottenuto Tempo massimo: 2 h

3Risposte in fondo al volume

350 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Ellisse Unita`

7

1. L’equazione dell’ellisse In questa Unita` introduciamo un nuovo luogo geometrico rappresentato, come la parabola e la circonferenza, da un’equazione di secondo grado: l’ellisse.

Tema C

L’ellisse come luogo

ELLISSE

Si dice ellisse il luogo dei punti del piano per cui e` costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Una semplice costruzione che chiarisce il significato della definizione precedente e permette di capire qual e` il grafico di un’ellisse e` la cosiddetta «costruzione del giardiniere», cosı` chiamata perche´ e` usata, in pratica, per costruire aiuole di forme ovali: si fissano gli estremi di un filo inestensibile in due punti F1 , F2 , poi si fa scorrere la punta di una matita in modo che essa si appoggi costantemente al filo e che questo si mantenga teso (fig. 7.1). La curva che si ottiene e` un’ellisse di fuochi F1 , F2 poiche´ la somma delle distanze della punta della matita da F1 e da F2 si mantiene uguale alla lunghezza del filo (che e` costante perche´ si e` supposto il filo inestensibile).

asse di simmetria P centro

F1

F2

asse di simmetria

Figura 7.1

Si potrebbe dimostrare che l’ellisse possiede due assi di simmetria: la retta passante per i due fuochi F1 , F2 e l’asse del segmento F1 F2 . Il punto di intersezione dei due assi di simmetria, cioe` il punto medio del segmento F1 F2 , e` il centro di simmetria dell’ellisse.

Equazione dell’ellisse Possiamo ora apprestarci a scrivere l’equazione dell’ellisse in un piano cartesiano. In tutta questa Unita` indicheremo con F1 e F2 i due fuochi e con 2c (c > 0Þ la misura del segmento F1 F2 (detta distanza focale). Consideriamo il caso piu` semplice, cioe` quello in cui il centro di simmetria dell’ellisse e` nell’origine degli assi e i fuochi appartengono all’asse x. Le coordinate dei fuochi saranno allora: F1 ð
c, 0Þ

F2 ðc, 0Þ

e

come mostrato in fig. 7.2. Posta uguale a 2a la somma costante delle distanze di un generico punto dell’ellisse dai fuochi, un punto Pðx, yÞ del piano apparterra` all’ellisse se e solo se PF1 þ PF2 ¼ 2a

Definizione di ellisse

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

351

Tema C

Le coniche

Questa condizione, utilizzando la formula della distanza, si traduce analiticamente nell’equazione: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx þ cÞ2 þ y2 þ ðx
cÞ2 þ y 2 ¼ 2a [7.1] y P F1(–c, 0) O

x

F2(c, 0)

PF1 + PF2 = 2a Figura 7.2

Attenzione! Si potrebbe dimostrare, anche se tralasciamo di farlo, che gli elevamenti al quadrato che abbiamo effettuato non hanno introdotto soluzioni estranee, quindi l’equazione ottenuta e` equivalente a quella originaria.

Effettuiamo ora alcuni passaggi per scrivere un’equazione equivalente alla [7.1] piu` semplice: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx þ cÞ2 þ y2 ¼ 2a
ðx
cÞ2 þ y2 Portando il 2 radicale al 2 membro qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx þ cÞ2 þ y 2 ¼ 4a2
4a ðx
cÞ2 þ y 2 þ ðx
cÞ2 þ y 2 Elevando i due membri al quadrato

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 2xcþ c2 þ y 2 ¼ 4a2
4a ðx
cÞ2 þ y 2 þ x2
2xcþ c2 þ y 2

Sviluppando i quadrati e semplificando

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4a ðx
cÞ2 þ y 2 ¼ 4a2
4xc a

Portando il radicale al 1 membro

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx
cÞ2 þ y 2 ¼ a2
xc

Dividendo per 4 i due membri

a2 ½ðx
cÞ2 þ y 2  ¼ ða2
xcÞ2

Elevando al quadrato

a2 ðx2
2cx þ c2 þ y 2 Þ ¼ a4
2a2 xc þ x2 c2

Sviluppando i quadrati

a2 x2
2a2 cx þ a2 c2 þ a2 y2 ¼ a4
2a2 xc þ x2 c2 ða2
c2 Þx2 þ a2 y2 ¼ a2 ða2
c2 Þ Ricorda La disuguaglianza triangolare afferma che in un triangolo un lato e` sempre minore della somma degli altri due lati.

Riordinando i termini e raccogliendo

[7.2]

Ora osserviamo che deve essere c < a. Esamina infatti la fig. 7.2: per la disuguaglianza triangolare applicata al triangolo PF1 F2 , deve essere: 2c < F1 F2

2a PF1 þ PF2

e dunque c < a. Da c < a segue c2 < a2 e quindi a2
c2 > 0 . Possiamo allora porre: b2 ¼ a2
c 2

con b > 0

Risultera` a > b e la [7.2] si puo` riscrivere nella forma: b 2 x2 þ a 2 y 2 ¼ a 2 b 2

ossia

x2 y2 þ ¼1 a2 b2

Dividendo i due membri per a2 b2

[7.3]

La [7.3] e` detta equazione dell’ellisse in forma normale (o canonica). TEOREMA 7.1

Equazione di un’ellisse con i fuochi sull’asse x

L’equazione in forma normale di un’ellisse con centro nell’origine e fuochi nei punti di coordinate ð
c, 0Þ e ðc, 0Þ e`: x2 y2 þ 2 ¼1 2 a b

con a > b > 0 e c 2 ¼ a2
b2

352 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[7.4]

TEOREMA 7.2

Ellisse

Equazione di un’ellisse con i fuochi sull’asse y

Unita` 7

Se i fuochi dell’ellisse fossero sull’asse y, cioe` se fosse F1 ð0,
cÞ e F2 ð0, cÞ, indicando questa volta con 2b la distanza costante di un punto dell’ellisse dai due fuochi e ripetendo calcoli del tutto analoghi a quelli appena svolti, si giungerebbe al seguente teorema.

L’equazione in forma normale di un’ellisse con centro nell’origine e fuochi nei punti di coordinate ð0,
cÞ e ð0, cÞ e`: x2 y2 þ 2 ¼1 2 a b

con 0 < a < b e c 2 ¼ b2
a2

[7.5]

Osserva attentamente le equazioni [7.4] e [7.5]. Sebbene i risultati cui si e` giunti siano del tutto simili, c’e` una piccola, ma sostanziale differenza! Nell’equazione [7.4] il numero maggiore, a2 , e` il denominatore di x2 , mentre nell’equazione [7.5] il numero maggiore, b2 , e` il denominatore di y2 . In sostanza, possiamo dire che ogni ellisse con centro nell’origine e fuochi su uno dei due assi cartesiani ha equazione del tipo: x2 y2 þ 2 ¼ 1, con a > 0 e b > 0 2 a b dove a > b se i fuochi dell’ellisse appartengono all’asse x e a < b se i fuochi appartengono all’asse y.

Studio dell’equazione

x2 y2 þ ¼1 a2 b2

Nel paragrafo precedente abbiamo dimostrato che un’ellisse avente i fuochi su uno degli assi cartesiani e centro nell’origine ha equazione del tipo: x2 y2 þ ¼1 a2 b2

[7.6]

con a > 0 e b > 0. Viceversa, si potrebbe dimostrare che ogni equazione di questo tipo rappresenta un’ellisse avente come assi di simmetria gli assi cartesiani, tale che:  se a > b ha i fuochi sull’asse x e risulta c2 ¼ a2
b2

 se a < b ha i fuochi sull’asse y e risulta c2 ¼ b2
a2 Vogliamo ora soffermarci a studiare le caratteristiche del grafico di questa ellisse. Tratteremo in parallelo, nella nostra analisi, il caso in cui a > b (i fuochi dell’ellisse appartengono all’asse xÞ e quello in cui a < b (i fuochi dell’ellisse appartengono all’asse yÞ. Vertici e assi I punti di intersezione dell’ellisse di equazione [7.6] con l’asse x si ottengono risolvendo il seguente sistema: 8 2 2 ( > < x þ y ¼1 x ¼ a 2 2 a b ) > y¼0 : y¼0

quindi l’ellisse interseca l’asse x nei punti A1 ð
a, 0Þ, A2 ða, 0Þ. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

353

Tema C

Le coniche

I punti di intersezione con l’asse y si ottengono risolvendo il sistema: 8 2  y2 0

pertanto, si puo` interpretare il parametro a come la distanza di un estremo dell’asse minore da un fuoco. Si puo` interpretare il parametro b per un’ellisse con i fuochi sull’asse y in maniera analoga.

354 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Dalla relazione c 2 ¼ a2
b2 si ricava: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼ a2
b2

Dalla relazione c 2 ¼ b2
a2 si ricava: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼ b2
a 2

Pertanto i fuochi sono i punti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð0,
b2
a2 Þ, F2 ð0, þ b2
a2 Þ

Pertanto i fuochi sono i punti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð
a2
b2 , 0Þ, F2 ðþ a2
b2 , 0Þ

y

y B2

(–

a c

O

F1

)

a2– b2, 0

(

B2

b

A1

Ellisse

Ellisse con i fuochi sull’asse y

Unita` 7

Ellisse con i fuochi sull’asse x

B1

A2

(+

)

a2– b2, 0

)

b

x

F2

F2 0, + b2– a2

c A1

a

O

B1

A2

(

x

F1 0, – b2– a2

)

Eccentricita` dell’ellisse Un’ellisse e` completamente determinata una volta che se ne conoscono la distanza focale e la misura dell’asse maggiore. Si da` un nome particolare al rapporto tra le misure di questi due segmenti, perche´ e` una misura di quanto l’ellisse risulta «schiacciata» sull’asse maggiore. ECCENTRICITA` DI UN’ELLISSE

Si definisce eccentricita` dell’ellisse (e si indica con eÞ il rapporto fra la distanza focale e la misura dell’asse maggiore: e¼

distanza focale misura asse maggiore

[7.7]

In riferimento all’ellisse di equazione [7.6], sara`: e¼

2c c ¼ 2a a

se l’ellisse ha i fuochi sull’asse x

[7.8]

e¼

2c c ¼ 2b b

se l’ellisse ha i fuochi sull’asse y

[7.9]

Poiche´ la distanza focale e` sempre minore della misura dell’asse maggiore, e` sempre 0 < e < 1. Una circonferenza (fig. 7.3a a pagina seguente) puo` essere vista come una particolare ellisse con i due fuochi coincidenti nel centro della circonferenza, quindi come una particolare ellisse avente eccentricita` uguale a 0 (perche´ la distanza focale e` nulla). Quanto piu` l’eccentricita` di un’ellisse e` prossima a 0, tanto piu` l’ellisse e` simile a una circonferenza; quanto piu` l’eccentricita` e` prossima a 1, tanto piu` l’ellisse risulta «schiacciata» (fig. 7.3b e c). La situazione limite in cui l’eccentricita` e` uguale a 1 corrisponde al caso in cui la distanza tra i due fuochi coincide con la misura dell’asse maggiore: in questa eventualita` l’asse minore e` il segmento nullo e l’ellisse degenera nel segmento F1 F2 (fig. 7.3d).

Osserva Abbiamo visto che per un’ellisse con i fuochi sull’asse x e` sempre c < a. Analogamente, per un’ellisse con i fuochi sull’asse y e` sempre c < b. Percio`, la distanza focale e` sempre minore della misura dell’asse maggiore.

355 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche

y

e=0

y

x

O

e=

y

2 ≃ 0, 47 3

e=

e=1

y

8 ≃ 0,94 3

Tema C

x

a

x

b

O

c

x

F1 ≡ A1 O

F2 ≡ A2

d

Figura 7.3 Come varia il grafico di un’ellisse al variare dell’eccentricita`.

ESEMPIO

Studio di un’ellisse, data l’equazione in forma normale

x2 y2 þ ¼ 1 e individuiamone vertici, fuoRappresentiamo l’ellisse di equazione 9 4 chi ed eccentricita`.  Vertici e rappresentazione

x2 y2 þ ¼ 1 si riconosce che a2 ¼ 9, b2 ¼ 4, quindi 9 4 le misure dei semiassi sono a ¼ 3, b ¼ 2 e i vertici dell’ellisse sono i punti di coordinate ð 3, 0Þ, ð0,  2Þ. Cio` e` sufficiente per tracciare approssimativamente un grafico dell’ellisse. Nell’ellisse di equazione

 Fuochi ed eccentricita` Poiche´ a > b, si tratta di un’ellisse con i fuochi sull’asse x. I fuochi sono i punti di coordinate ðc, 0Þ, con pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi c ¼ a2
b2 ¼ 32
22 ¼ 5 pffiffiffi ovvero i punti di coordinate ð 5, 0Þ. Infine, per la [7.8] e`: pffiffiffi 5 c ’ 0,75 e¼ ¼ a 3

ESEMPIO

y

2

O

–3

(

2 x2 y + =1 9 4

)

F1 – 5, 0

–2

3 F2

x

( 5, 0)

Studio di un’ellisse, data l’equazione non in forma normale

Rappresentiamo l’ellisse di equazione 4x 2 þ y 2 ¼ 4, dopo averne determinato i vertici, i fuochi e l’eccentricita`.  Vertici e rappresentazione

Dividiamo entrambi i membri dell’equazione per 4 in modo da riscrivere l’equazione dell’ellisse nella forma normale: x2 þ

y2 ¼1 4

Riconosciamo cosı` che a2 ¼ 1, b2 ¼ 4, quindi a ¼ 1, b ¼ 2 e i vertici dell’ellisse sono i punti ð1, 0Þ, ð0, 2Þ. Cio` e` sufficiente per tracciare approssimativamente un grafico dell’ellisse. 356 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

2

F2 0, 3

O

1

4x + y = 4 2

–1

x

(

–2

Ellisse

( )

y 2

Unita` 7

 Fuochi ed eccentricita` Poiche´ a < b, si tratta di un’ellisse con i fuochi sull’asse y. I fuochi sono i punti di coordinate ð0,  cÞ, con pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi c ¼ b2
a2 ¼ 22
12 ¼ 3 pffiffiffi ovvero i punti di coordinate ð0,  3Þ. Infine, per la [7.9] e`: pffiffiffi c 3 e¼ ¼ ’ 0,87 b 2

F1 0, – 3

)

Prova tu

ESERCIZI a p. 365

1. Un’ellisse ha centro nell’origine e fuochi sull’asse x: Quale puo` essere la sua equazione? A

x2 y2 þ ¼1 4 9

B

x2 y2 þ ¼1 7 5

C

x2 y2 þ ¼1 2 3

D

x2 y2 þ ¼1 10 16

2. Un’ellisse ha centro nell’origine e fuochi sull’asse y. Quale puo` essere la sua equazione? A

x2 y2 þ ¼1 14 9

B

x2 y2 þ ¼1 7 5

C

x2 y2 þ ¼1 2 4

D

x2 y2 þ ¼1 16 10

3. Rappresenta graficamente l’ellisse di equazione 4x2 þ 9y 2 ¼ 36 e determina i suoi fuochi e la sua eccentricita`. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2 4. Verifica che l’eccentricita` di un’ellisse con i fuochi sull’asse x e` data dalla formula e ¼ 1
2 . a Scrivi una formula analoga per un’ellisse con i fuochi sull’asse y.

2. L’ellisse e la retta Come per la parabola e la circonferenza, il problema di determinare la posizione reciproca tra una retta e un’ellisse si traduce algebricamente nell’impostazione del sistema formato dalle equazioni della retta e dell’ellisse. Una volta ricavata l’equazione risolvente il suddetto sistema, la retta risulta esterna, tangente o secante all’ellisse, rispettivamente se il discriminante di tale equazione e` minore, uguale o maggiore di zero (fig. 7.4). y

y

y P x

O

B O

O

x

x

A
< 0: la retta `e esterna


¼ 0: la retta `e tangente


> 0: la retta `e secante

Figura 7.4 Posizione reciproca di un’ellisse e di una retta.

Anche il problema di tracciare le rette tangenti a un’ellisse e passanti per un punto Pðx0 , y0 Þ assegnato si puo` risolvere in modo del tutto analogo a quanto gia` visto per la parabola e per la circonferenza. Passiamo percio` direttamente a un esempio. 357 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

ESEMPIO

Tangenti a un’ellisse da un punto esterno all’ellisse

Scriviamo le equazioni delle rette passanti per il punto Pð4, 0Þ e tangenti all’ellisse di equazione

x2 y2 þ ¼ 1. 9 4

 Analisi grafica

L’ellisse ha come vertici i punti di coordinate ð3, 0Þ e ð0,  2Þ. La sua rappresentazione grafica e` data nella figura a lato. Osserviamo che il punto P appartiene a uno degli assi di simmetria dell’ellisse, l’asse x, quindi ci aspettiamo che anche le due rette tangenti siano simmetriche rispetto a tale asse.

y

2 P –3

O

3

–2

x

2 x2 y + =1 9 4

 Ricerca delle tangenti

L’equazione della generica retta passante per Pð4, 0Þ e`: y
0 ¼ mðx
4Þ ) y ¼ mx
4m Impostiamo il sistema formato dall’equazione dell’ellisse e da quella della generica retta per P: 8 2 y2

: x¼2 Poiche´ P appartiene, in base ai dati, al primo quadrante, le sue coordinate corrispondono alla prima soluzione, quindi Pð2, 1Þ. Utilizzando il teorema precedente possiamo scrivere immediatamente l’equazione della tangente in P all’ellisse: x2 y1 þ ¼1 8 2

Formula [7.10] con x0 ¼ 2 e y0 ¼ 1

cioe`: y¼


1 xþ2 2 359 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

Prova tu

ESERCIZI a p. 369

1. Rappresenta l’ellisse di equazione punto Pð4, 1Þ.

x2 þ y2 ¼ 1 e scrivi le equazioni delle rette tangenti all’ellisse passanti per il   4 2 5 y ¼ x
; y ¼1 3 3

2. Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse di equazione x2 þ 4y 2 ¼ 16 nel suo punto del secondo pffiffiffi qua[ x
2 3y ¼
8] drante, di ascissa
2.

3. Ricava, dalla formula [7.10], il coefficiente angolare della retta tangente all’ellisse in un suo punto Pðx0 , y0 Þ. Sfrutx2 tando questa formula determina i punti appartenenti all’ellisse di equazione þ y2 ¼ 1 in cui la tangente all’el4 lisse stessa e` parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante.    4 1 p ffiffiffi p ffiffiffi ,  Le coordinate dei punti sono  5 5

3. Come determinare l’equazione di un’ellisse Attenzione! Per brevita`, nei testi dei problemi diremo «scrivere l’equazione dell’ellisse...» intendendo «scrivere l’equazione dell’ellisse avente come assi di simmetria gli assi cartesiani...».

Per determinare l’equazione di un’ellisse che soddisfi alcune condizioni assegnate procederemo in modo simile a quanto gia` fatto per la parabola e la circonferenza. A differenza delle equazioni della parabola e della circonferenza, che dipendevano da tre parametri, a, b e c, l’equazione di un’ellisse che ha come assi di simmetria gli assi cartesiani dipende da due soli parametri: le misure dei due semiassi, a e b. Per determinarla, saranno quindi sufficienti due informazioni indipendenti. Alcune possibili condizioni sono quelle espresse nei prossimi esempi. ESEMPIO

Ellisse, dati due punti

Scriviamo l’equazione dell’ellisse che passa per Pð1, 4Þ e Qð2, 2Þ. x2 y2 Affinche´ l’ellisse di equazione 2 þ 2 ¼ 1 soddisfi le condizioni richieste dea b ve essere: 8 1 16 > > þ 2 ¼1 Imponendo il passaggio per Pð1, 4Þ > > a2 b < 4 4 > > > þ 2 ¼1 > : a2 b

Imponendo il passaggio per Qð2, 2Þ

Osserviamo che, affinche´ l’equazione dell’ellisse sia univocamente determinata, e` sufficiente conoscere a2 e b2 , percio` risolviamo il sistema rispetto ad a2 e b2 (non rispetto ad a e bÞ. Per la risoluzione del sistema, conviene ricorrere a due incognite ausiliarie; poniamo: 1 ¼u a2

e

1 ¼v b2

Il sistema diventa:

8 1 > >

4u þ 4v ¼ 1 > :v ¼ 1 20 Ne segue che 

a2 ¼

1 ¼5 u

e

b2 ¼

1 ¼ 20 v

Pertanto l’ellisse cercata e` quella di equax2 y2 zione þ ¼ 1. 5 20 360 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y

P Q

O

x 2 x2 y + =1 5 20

Unita` 7

ESEMPIO

Ellisse, dati un vertice e un fuoco

Ellisse

Scriviamo l’equazione dell’ellisse che ha un vertice in V ð4, 0Þ e un fuoco in pffiffiffiffiffiffi F ð 10, 0Þ.

x2 y2 Affinche´ l’ellisse di equazione 2 þ 2 ¼ 1 soddisfi le condizioni richieste dea b ve essere: ( 2 a ¼ 16 Perche´ un vertice sia in V ð4, 0Þ, deve essere a ¼ 4, quindi a2 ¼ 16 a2
b2 ¼ 10

2 2 2 L’ellisse ha i fuochi sull’asse x, quindipaffiffiffiffiffi
ffi b ¼c . ´ Affinche uno dei due fuochi sia in F ð 10 , 0Þ deve essere pffiffiffiffiffiffi c ¼ 10 ossia c 2 ¼ 10

Ne segue che a2 ¼ 16 e b2 ¼ 6, pertanto l’ellisse cercata e` quella di equazione:

y

2 x2 y + =1 16 6

6

x2 y2 þ ¼1 16 6

P x

La sua rappresentazione e` data nella figura a lato.

O

–4

)

(

F1 – 10, 0 – 6

4

(

)

F2 10, 0

Prova tu

ESERCIZI a p. 371

1. Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha vertici nei punti di coordinate ð3, 0Þ e ð0, 4Þ. 

2. Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha un vertice in Vð
2, 0Þ e passa per Pð1, 2Þ. 3. Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha un vertice in Vð0, 2Þ e un fuoco in Fð0, 1Þ. 

 3 pffiffiffi 7 . 4. Scrivi l’equazione dell’ellisse che passa per i punti Pð2, 3Þ e Q
1, 2



x2 y2 þ ¼1 9 16

x2 þ 4  2 x 3  2 x 8

3 2 y ¼1 16 y2 þ ¼1 4 y2 þ ¼1 18









4. L’ellisse e le funzioni L’ellisse rappresenta il grafico di una funzione? La risposta e` negativa, cosı` come una parabola con asse parallelo all’asse x e una circonferenza non rappresentano il grafico di una funzione. Ci sono tuttavia alcune funzioni irrazionali che hanno come grafico un arco di ellisse. Vediamo alcuni esempi. ESEMPI

Funzioni che hanno come grafico un arco di ellisse

Tracciamo il grafico delle funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi a. y ¼ 9
4x 2 b. y ¼
4
x 2 a. La funzione y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9
4x2 e` definita in corrispondenza dei valori di x per

3 3  x  . Per tracciare il grafico della funzio2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ne, osserviamo che l’equazione y ¼ 9
4x2 e` equivalente al sistema:  2 y ¼ 9
4x2 y0 cui 9
4x2  0, cioe` per


Ô

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361

Le coniche Tema C

Ô

L’equazione che compare in questo sistema puo` essere scritta nella forma x2 y2 þ ¼ 1 e rappresenta un’ellisse con i y 9=4 9 3 y = 9–4x 2 3 fuochi sull’asse y e semiassi di misura a ¼ , 2 b ¼ 3; la disequazione indica che dobbiamo considerare soltanto i punti dell’ellisse di ordix 3 O 3 – nata maggiore o uguale a zero. 2 2 Pertanto, il grafico della funzione data e` la semiellisse rappresentata in figura con una linea continua. 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi 4
x e` definita in corrispondenza dei valori di 2 x per cui 4
x2  0, cioe` per
2  x  2. Per tracciare il grafico di questa funzione, osserviamo che l’equazione 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi y¼
4
x equivale a
y ¼ 4
x e quindi al sistema: 2 2 8 8 2 > > < y 2 ¼ 1 ð4
x2 Þ < x þ y2 ¼ 1 4 4 ovvero a > > : : y
y  0 y0

b. La funzione y ¼


L’equazione e` quella di un’ellisse con i fuochi sull’asse x e semiassi di misura a ¼ 2, b ¼ 1; la disequazione indica che dobbiamo considerare soltanto i punti dell’ellisse di ordinata minore o uguale a zero. Pertanto il grafico della funzione data e` la semiellisse rappresentata in figura in linea continua.

–2

O –1

2 y =–

x

1 4 – x2 2

Le nuove nozioni introdotte ci consentono di ampliare la classe delle equazioni e disequazioni irrazionali che siamo in grado di interpretare graficamente. Interpretazione grafica di un’equazione irrazionale rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 Interpretiamo graficamente e risolviamo l’equazione 9
¼
x. 4

ESEMPIO

 Interpretazione grafica

Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni definite dalle espressioni che compaiono al primo e al secondo membro dell’equazione: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 e y ¼
x y ¼ 9
4 Il grafico della prima funzione e` una semiellisse, che si puo` tracciare secondo il procedimento esposto nel primo esempio; la seconda funzione ha come grafico la bisettrice del secondo e del y quarto quadrante. Le soluzioni dell’equazione corri2 spondono alle ascisse dei punti di 3 P y = 9– x 4 intersezione tra il grafico della retta e quello della semiellisse. Dal grafico possiamo vedere che c’e` xP O –6 6 x un solo punto di intersezione, P, quindi possiamo prevedere che l’ey = –x quazione ha una sola soluzione, l’ascissa di P, e che
3 < xP <
2. 362 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 7

 Calcolo algebrico

) x2 ¼

Ellisse

Per determinare il valore di xP , risolviamo l’equazione algebricamente. Eleviamo al quadrato i due membri dell’equazione: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 x2 x2 5 ¼ ð
xÞ2 ) 9
¼ x2 ) x2 ¼ 9 ) 9
¼
x ) 9
4 4 4 4 36 6 ) x ¼  pffiffiffi 5 5

In base all’analisi grafica che abbiamo svolto, possiamo affermare (senza effettuare la verifica) che, delle due soluzioni trovate, quella accettabile e` quella 6 negativa, cioe` xP ¼
pffiffiffi . 5 Coerentemente con quanto previsto per via grafica, risulta xP ’
2,7. Interpretazione grafica di una disequazione irrazionale rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 
x þ 4. Risolviamo graficamente la disequazione 4
4

ESEMPIO

 Interpretazione grafica

Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 y ¼ 4
e y ¼
x þ 4 4 Il grafico della prima funzione e` una semiellisse; la seconda funzione ha come grafico 2 una retta parallela alla bisettrice del secondo y = 4– x e del quarto quadrante. 4 Risolvere graficamente la disequazione significa stabilire per quali valori di x il grafico –4 della semiellisse si trova «al di sopra» del grafico della retta. Dal grafico possiamo vedere che cio` accade per:

y

y = –x + 4 2

P x

O

xP

4

xP  x  4 Per completare la risoluzione della disequazione resta solo da determinare xP .  Calcolo algebrico

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 Per determinare xP , risolviamo l’equazione 4
¼
x þ 4. 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 x2 x2 ¼
x þ 4 ) 4
¼ ð
x þ 4Þ2 ) 4
¼ x2
8x þ 16 ) 4
4 4 4 )

5 2 12 x
8x þ 12 ¼ 0 ) x ¼ _x¼4 4 5

Dall’analisi grafica che abbiamo effettuato possiamo concludere che entrambe le soluzioni sono accettabili come ascisse delle intersezioni tra la semiellis12 . La disequazione e` quindi verificata per se e la retta; in particolare, xP ¼ 5 12  x  4. 5

Prova tu

ESERCIZI a p. 374

Traccia il grafico delle seguenti funzioni. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 b. y ¼
2 9
x2 a. y ¼ 1
16

363 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

MATEMATICA NELLA REALTA`

Alcune applicazioni dell’ellisse Le orbite dei pianeti Le ellissi hanno molte applicazioni nella realta` che ci circonda. Lo scienziato tedesco Johannes Kepler (Keplero, 1571-1630) mostro` che i pianeti del nostro sistema solare si muovono in orbite ellittiche, con il Sole in uno dei due fuochi (fig. 7.5). L’eccentricita` delle orbite dei pianeti del sistema solare e` generalmente molto piccola, il che significa che le orbite sono «quasi» circolari. Per esempio, l’eccentricita` dell’orbita della Terra e` 0,017. Le comete invece, quando hanno orbite ellittiche, hanno generalmente orbite molto «schiacciate», ossia con eccentricita` prossima a 1. Anche i satelliti artificiali si muovono intorno alla Terra seguendo traiettorie ellittiche, in cui la Terra e` posta in uno dei due fuochi.

Venere

Terra Marte

Mercurio

Figura 7.5 I pianeti si muovono in orbite ellittiche.

La riflessione ellittica Una proprieta` legata alla geometria dell’ellisse che ha molte applicazioni pratiche e` il principio della riflessione ellittica: un raggio di luce o un’onda sonora che hanno origine in uno dei due fuochi vengono riflessi da una superficie ellittica in modo che il raggio o l’onda riflessa passano per l’altro fuoco. Su questa proprieta` si basa un fenomeno acustico che si ha modo di sperimentare in antiche sale con il soffitto a volta a forma ellittica. Due interlocutori posti nei due fuochi possono udirsi chiaramente anche se parlano a voce bassissima (fig. 7.6), mentre nulla sentirebbe chi si trovasse in un altro punto della sala. La spiegazione e` semplice: la volta, essendo una superficie ellittica, riflette tutti i suoni provenienti da un fuoco nell’altro fuoco. Il principio della riflessione ellittica viene utilizzato anche in alcune procedure mediche finalizzate alla disintegrazione dei calcoli renali. Il paziente si appoggia a una parete ellittica in modo che il calcolo si trovi in corrispondenza di uno dei due fuochi (fig. 7.7). Una sorgente posta nell’altro fuoco genera quindi degli ultrasuoni. Gli ultrasuoni riflessi convergono nel calcolo, che viene cosı` frantumato.

F1

F2

Figura 7.6

Figura 7.7

364 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

7

Esercizi

In più: esercizi interattivi

Unita`

Unita` 7

SINTESI Formule e proprieta` importanti x2 y2 þ 2 ¼1 2 a b

Ellisse

Ellisse di equazione

Ellisse con i fuochi sull’asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse y

y

y B2

B2 A1 F1

F2

a

b c

O

A2

b x

F2

c A2

A1 B1

a

O Vertici

Fuochi

Relazione tra i parametri

x Vertici

A1 ð
a, 0Þ; A2 ða, 0Þ

B1 ð0,
bÞ; B2 ð0, bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð
a2
b2 , 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F2 ð a2
b2 , 0Þ

F1

a2
b2 ¼ c 2 a>b>0

Fuochi

B1 Relazione tra i parametri

A1 ð
a, 0Þ; A2 ða, 0Þ

B1 ð0,
bÞ; B2 ð0, bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð0,
b2
a2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F2 ð0, b2
a2 Þ b2
a2 ¼ c 2 00 aþ2 1 (perche´ l’equazione rappresenti un’ellisse), poi h
1 > 1 (perche´ i fuochi siano sull’asse xÞ: da queste condizioni si ricava che deve essere h > 2. c. Ragionando analogamente al punto b, si ricava che deve essere 1 < h < 2. d. Deve essere anzitutto h > 2 perche´ i fuochi siano sull’asse x (vedi punto b). In tale ipotesi e`: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼ a2
b2 ¼ ðh
1Þ
1 ¼ h
2

Pertanto, la condizione da imporre e`: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h
2¼2)h
2¼4)h¼6

Considera l’equazione ð2
hÞx2 þ y 2 ¼ 2
h. Determina per quali valori di h essa rappresenta: 25 Þ

a. un’ellisse; b. un’ellisse con i fuochi sull’asse x; c. un’ellisse con i fuochi sull’asse y; d. un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate ð0, 2Þ. [a. h < 2; b. 1 < h < 2; c. h < 1; d. h ¼
3] Considera l’equazione ðh
2Þx2 þ y 2 ¼ h
1. Determina per quali valori di h essa rappresenta: 26 Þ

a. un’ellisse;

Considera l’equazione hx2 þ ðh
1Þy2 ¼ 1. Determina per quali valori di h essa rappresenta un’ellisse e verifica che, per tutti questi valori di h, si ottengono ellissi che hanno i fuochi sull’asse y. Determina inoltre per quali valore di h l’equazione data rappresenta: a. un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate pffiffiffi ! 2 ; 0,  2 pffiffiffi 3 ` b. un’ellisse avente eccentricita . 3 [h > 1 ; a. h ¼ 2 ; b. h ¼ 3] 27 Þ

Considera l’equazione kx2 þ y 2 ¼ 1. Determina per quali valori di k essa: a. rappresenta un’ellisse; 1 b. rappresenta un’ellisse di eccentricita` . 2 Trova inoltre vertici e fuochi delle ellissi corrispondenti ai valori di k del punto b.   3 4 a. k > 0; b. k ¼ _ k ¼ 4 3 28 Þ

b. un’ellisse con i fuochi sull’asse x; c. un’ellisse con i fuochi sull’asse y; d. un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate ð0, 2Þ. pffiffiffi [a. h > 2; b. 2 < h < 3; c. h > 3; d. h ¼ 4 þ 5] 368

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TEORIA a p. 357

Intersezioni tra retta ed ellisse

Ellisse

Determina i punti di intersezione tra l’ellisse di equazione x2 þ 3y 2 ¼ 4 e la retta di equazione implicita x
3y þ 2 ¼ 0. [ð
2, 0Þ; ð1, 1Þ] x2 y2 þ ¼ 1 e determinane i punti di intersezione con la retta parallela alla 30 Considera l’ellisse di equazione Þ 4 3 " pffiffiffi pffiffiffi !# bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il fuoco di ascissa positiva. 4  6 2
3  6 2 , 7 7 29 Þ

Unita` 7

2. L’ellisse e la retta

x2 þ y 2 ¼ 1. Indica con r la retta passante per 4 A e parallela alla retta di equazione y ¼ 2x e con s la retta passante per A perpendicolare a r. Detti B e C, rispettiva  mente, i punti di intersezione (diversi da AÞ di r ed s con l’ellisse, calcola l’area del triangolo ABC. 10 17 x2 2 þ y ¼ 1. Indica con A e B i vertici dell’ellisse appartenenti ai semiassi po32 Considera l’ellisse di equazione Þ 4 sitivi delle ascisse e delle ordinate. Determina i vertici dei triangoli isosceli sulla base AB inscritti nell’ellisse. (Suggerimento: il problema equivale a determinare i punti di intersezione dell’ellisse con l’asse del segmento AB) " pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi !# 12  59
3  4 59 , 17 34 31 Þ

Sia A il punto di ascissa 2 appartenente all’ellisse di equazione

33 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo una retta parallela all’asse x che individui sull’ellisse di equazione x2 þ 16y2 ¼ 16 un segmento di misura 4. Una generica retta parallela all’asse x ha equazione y ¼ k e interseca l’ellisse nei punti le cui coordinate sono le soluzioni del sistema:  2 x þ 16y 2 ¼ 16 y y¼k A

B

y=k

x

O x 2 + 16y2 = 16

Risolvendo questo sistema, si trovano le soluzioni:   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼
4 1
k2 , x ¼ 4 1
k2 y¼k y¼k purche´ sia 1
k2  0, cioe`
1  k  1. In tale ipotesi l’ellisse e la retta si intersecano nei punti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Að
4 1
k2 , kÞ, Bð4 1
k2 , kÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e risulta AB ¼ 8 1
k2 . Pertanto sara` AB ¼ 4 se e solo se k verifica l’equazione: 8 1
k2 ¼ 4 che ha per soluzioni pffiffiffi pffiffiffi 3 3 k¼ . Le rette richieste hanno quindi equazione y ¼  . 2 2 y2 ¼ 1 un segmento di Determina le rette parallele all’asse x che individuano sull’ellisse di equazione x2 þ 4 " pffiffiffiffiffiffi # 1 misura . 15 2 y¼ 2 34 Þ

35 Determina le rette parallele all’asse y che individuano sull’ellisse di equazione x2 þ Þ

misura 2.

y2 ¼ 1 un segmento di 9 " pffiffiffi # 2 2 x¼ 3 369

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Le coniche Tema C

Tangenti all’ellisse passanti per un punto assegnato 36 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equazione 4x2 þ y2 ¼ 4, passanti per il punto Pð
2, 0Þ.  Scrivi l’equazione della generica retta passante per Pð
2, 0Þ:

y

y ¼ mðx þ 2Þ

4x 2 + y2 = 4

 Imposta il sistema formato dall’equazione dell’ellisse e della retta e ricava l’equazione risolvente.  Imponendo che il discriminante di questa equazione sia nullo, perverrai all’equazione:

P x

O

16m4
16ðm2 þ 4Þðm2
1Þ ¼ 0

2 che, risolta, fornisce le soluzioni m ¼  pffiffiffiffiffi :::::

 Le equazioni delle rette tangenti cercate sono allora .............................. x2 y2 þ ¼ 1 passanti per il punto Pð2, 1Þ. Indi4 9 ca con A e B i punti di contatto di tali tangenti con l’ellisse e determina l’area del triangolo APB.     8 9 1 ; Area ¼ , x ¼ 2, y ¼ 5
2x; Að2, 0Þ, B 5 5 5 37 Þ

Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equazione

38 Þ

Determina le rette tangenti all’ellisse di equazione 4x2 þ y 2 ¼ 1 e parallele alla retta di equazione y ¼ 2x. pffiffiffi [y ¼ 2x  2]

39 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

x2 3y2 þ ¼ 1 nel suo punto del quarto Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse di equazione 4 4 quadrante di ascissa 1.  Sostituisci 1 al posto di x nell’equazione dell’ellisse: 12 3y 2 þ ¼1 4 4

Risolvendo questa equazione rispetto a y, trovi y ¼ 1. Poiche´ il punto P, appartenendo al quarto quadrante, deve avere ordinata negativa, deve essere Pð1,
1Þ.  Poiche´ P e` un punto dell’ellisse, si puo` scrivere facilmente l’equazione della retta tangente all’ellisse in P sostituendo, nell’equazione dell’ellisse, x  xP al posto di x2 e y  yP al posto di y2 :

y

2

x2 3y + =1 4 4 x O P

x1 3y  ð
1Þ þ ¼ 1 xP ¼ 1, yP ¼
1 4 4 ossia, in forma esplicita: y ¼ ::::::::::::::: Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equazione x2 þ 4y 2 ¼ 5 nei suoi punti aventi ordinata 1. [x þ 4y
5 ¼ 0, x
4y þ 5 ¼ 0] 40 Þ

Scrivi l’equazione della retta t tangente all’ellisse di equazione 2x2 þ y 2 ¼ 6 nel suo punto P del primo quadrante di ascissa 1 e l’equazione della retta n, perpendicolare in P alla retta tangente t. Determina inoltre le coordinate dell’ulteriore punto che la retta n ha in comune con l’ellisse (oltre a PÞ.    5 2 x þ y
3 ¼ 0; x
y þ 1 ¼ 0;
,
3 3 41 Þ

Determina i punti dell’ellisse 2x2 þ y 2 ¼ 1 in cui la tangente e` parallela alla bisettrice del primo e del terzo " pffiffiffi pffiffiffi !# quadrante. 6 6 ,  6 3

42 Þ

370 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 7

3. Come determinare l’equazione di un’ellisse

TEORIA a p. 360

Ellisse, date due condizioni, tra cui vertici e/o fuochi Scrivi le equazioni dell’ellisse rappresentata nella figura qui a fianco.

Ellisse

43 Þ

y

44 Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha due vertici nei punti in cui la retta di Þ equazione x þ 2y
6 ¼ 0 interseca gli assi cartesiani.

3

– 5

5 x

O

45 Þ



 x2 y2 þ ¼1 36 9

–3

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo l’equazione dell’ellisse avente fuochi nei punti di coordinate ð2, 0Þ e un vertice in Vð0, 3Þ.  Poiche´ i fuochi appartengono all’asse x, l’equazione dell’ellisse sara` del tipo

x2 y2 þ 2 ¼ 1 , con a > b . 2 a b

 Dalla conoscenza del vertice V(0, 3) possiamo subito dedurre che b2 ¼ 9.

y

 Dalla conoscenza dei fuochi si ricava c ¼ 2, quindi c2 ¼ 4. Ricordando che per le ellissi con i fuochi sull’asse x vale la relazione c2 ¼ a2
b2 , si ottiene: a2 ¼ c2 þ b2 ¼ 4 þ 9 ¼ 13

3V F2

F1

Pertanto, l’ellisse cercata e` quella di equazione

–2

x2 y2 þ ¼1 13 9

O

2

x

2 x2 y + =1 13 9

46 Þ

Ricordando che a e b sono le misure dei semiassi, c e` la semidistanza focale ed e e` l’eccentricita`, scrivi le equazioni in forma normale delle ellissi aventi i fuochi sull’asse x, per le quali e`: a. a ¼ 4, b ¼ 1

b. a ¼ 3, c ¼ 2

c. b ¼ 4, c ¼ 2



a.

 x2 x2 y2 x2 y2 þ y 2 ¼ 1; b. þ ¼ 1; c. þ ¼1 16 9 5 20 16

47 Þ

Ricordando che a e b sono le misure dei semiassi, c e` la semidistanza focale ed e e` l’eccentricita`, scrivi le equazioni in forma normale delle ellissi aventi i fuochi sull’asse y, per le quali e`: a. a ¼ 1, b ¼ 4

b. a ¼ 3, c ¼ 2

b. b ¼ 4, c ¼ 2



 y2 x2 y2 x2 y2 ¼ 1; b. þ ¼ 1; c. þ ¼1 a. x þ 16 9 13 12 16 2

48 Þ

Scrivi l’equazione dell’ellisse avente due vertici nei punti di coordinate ð0, 3Þ e fuochi nei punti di coordina 2  te ð0, 1Þ. x y2 þ ¼1 8 9 pffiffiffi 49 Scrivi l’equazione dell’ellisse i cui fuochi hanno coordinate ( 5, 0Þ e il cui semiasse maggiore misura 3. Þ  2  x y2 þ ¼1 9 4 50 Determina l’equazione dell’ellisse che ha due vertici nei punti di coordinate ð2, 0Þ e i fuochi nei punti di Þ [3x2 þ 4y 2 ¼ 12] coordinate ð1, 0Þ. 51 Þ

Scrivi le equazioni delle ellissi aventi centro nell’origine, un vertice in Vð0, 3Þ e distanza focale uguale a 2.   x2 y2 x2 y2 þ ¼ 1, þ ¼1 Ci sono due soluzioni a seconda che i fuochi siano sull’asse x o sull’asse y: 10 9 8 9 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

371

Le coniche Tema C

Ellisse, date due condizioni, tra cui un punto 52 Þ

ESERCIZIO SVOLTO



 pffiffiffi 5 Scriviamo l’equazione dell’ellisse che passa per P , 2 3 e ha i fuochi nei punti di coordinate ð3, 0Þ. 2

 L’ellisse ha i fuochi sull’asse x, quindi vale la relazione c2 ¼ a2
b2 . Poiche´ c ¼ 3, segue che 9 ¼ a2
b2 , da cui b2 ¼ a2
9. Percio` l’equazione dell’ellisse deve essere del tipo: x2 y2 ¼1 þ 2 2 a a
9

 Imponendo che il punto P appartenga all’ellisse, otteniamo l’equazione: 25 12 ¼1 þ 2 4a2 a
9

y

che, risolta rispetto ad a2 , fornisce le soluzioni 9 _ a2 ¼ 25 4 9  La soluzione a2 ¼ e` da scartare dal momento che non fornisce l’equazio4 ne di un’ellisse (perche´?), mentre la soluzione a2 ¼ 25 fornisce l’equazione

P

a2 ¼

2 3 F2

F1 –3

O

5 2

dell’ellisse cercata: x2 y2 x2 y2 þ ¼1) þ ¼1 25 25
9 25 16

2 x2 y + =1 25 16

Scrivi l’equazione dell’ellisse che passa per P e ha fuochi in F.  2  pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi x y2 þ ¼ 1 53 Fð0,  2 Þ; Pð
1, 2 Þ 55 Fð0,  5 Þ; Pð1,
2 2Þ Þ Þ 2 4 pffiffiffi !  2    pffiffiffi 6 x y2 2 þ ¼1 54 Fð2, 0Þ; P pffiffiffi , 1 56 Fð 7, 0Þ; P 2, Þ Þ 2 9 5 5 57 Þ

x

3



 x2 y2 þ ¼1 5 10  2  x þ y2 ¼ 1 8

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione dell’ellisse passante per i punti Pð2, 1Þ e Q



 1 ,2 . 2

 Considera l’equazione in forma normale dell’ellisse che ha come assi gli assi cartesiani,

x2 y2 þ 2 ¼ 1, e imponi 2 a b

il passaggio per P e Q. Otterrai il sistema: 8 4 1 > > < 2 þ 2 ¼1 a b > > : 1 þ ::::: ¼ 1 ::::: a2 b2

1 1  Per risolvere questo sistema poni 2 ¼ u e 2 ¼ v. Il sistema si trasforma cosı` a b nel seguente: 8 < 4u þ v ¼ 1 : 1 u þ ::::: v ¼ 1 :::::

Risolvendolo trovi u ¼ ::::: e v ¼ :::::, quindi a2 ¼ ::::: e b2 ¼ :::::  Se hai svolto tutti i calcoli correttamente troverai che l’ellisse cercata ha equazione 4x2 þ 5y 2 ¼ 21 . 372 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y

1  Q  ,2 2  P(2, 1)

O

x 4x2 + 5y2 = 21

 

 x2 y2 þ ¼1 6 12

3x2 þ 4y 2 ¼ 13



Ellisse

rffiffiffiffiffi ! 3 60 Pð2, 2Þ; Q ,3 Þ 2   pffiffiffi 1 61 Pð 3, 1Þ; Q 2, Þ 2

Unita` 7

Scrivi le equazioni delle ellissi che passano per P e Q.  2  pffiffiffi pffiffiffi x y2 þ ¼1 58 Pð1, 6Þ; Qð 2, 2Þ Þ 4 8  2    pffiffiffi 2 x 2 þy ¼1 59 Pð
3, 0Þ; Q 5, Þ 9 3

Ellisse, date due condizioni, tra cui l’eccentricita` 62 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo l’equazione dell’ellisse avente fuochi sull’asse x, il semiasse maggiore di misura 2 ed eccentripffiffiffi 2 . cita` uguale a 2 x2 y2  Poiche´ i fuochi appartengono all’asse x, l’equazione dell’ellisse e` del tipo 2 þ 2 ¼ 1, con a > b. a b  Poiche´ il semiasse maggiore misura 2, si deduce che a ¼ 2, quindi: a2 ¼ 4. pffiffiffi misura y pffiffiffi c 2 semiasse e ricordando che a ¼ 2, deduciamo che c ¼ 2 , quindi  Essendo e ¼ ¼ maggiore 2 a c2 ¼ 2. Infine, in base alla relazione c2 ¼ a2
b2 , si ottiene: 2 b2 ¼ a2
c2 ¼ 4
2 ¼ 2  Pertanto l’equazione dell’ellisse cercata in forma normale e`: x2 y2 þ ¼1 4 2

O

x 2 x2 y + =1 4 2

63 Þ

Scrivi l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y, per la quale un vertice e` Vð0,
2Þ e l’eccentricita` vale  2  x y2 þ ¼1 3 4 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 21 . 64 Determina le equazioni delle ellissi aventi il semiasse maggiore di misura 7 ed eccentricita` Þ 7 [Bisogna distinguere due casi, a seconda che i fuochi siano sull’asse x o sull’asse y. Si trovano le ellissi di equazioni 4x2 þ 7y 2 ¼ 28, 7x2 þ 4y 2 ¼ 28] 1 . 2

  1 x2 y2 þ ¼1 . 4 3 2 pffiffiffi  2  x y2 3 . þ ¼1 66 Scrivi l’equazione dell’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate ð0, 1Þ ed eccentricita` Þ 3 2 3 pffiffiffi 3 . 67 Scrivi le equazioni delle ellissi aventi centro nell’origine, un vertice in ð2, 0Þ ed eccentricita` Þ 2  65 Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha i fuochi nei punti di coordinate ð1, 0Þ ed eccentricita` Þ

Bisogna distinguere due casi, a seconda che i fuochi siano sull’asse x o sull’asse y.  x2 x2 y2 2 þ y ¼ 1, þ ¼1 Si trovano le ellissi di equazioni 4 4 16

Ellisse, date due condizioni, tra cui una condizione di tangenza 68 Þ

Scrivi l’equazione dell’ellisse tangente alla retta di equazione x þ y
3 ¼ 0 nel suo punto di ascissa 1. [2x2 þ y 2
6 ¼ 0]

69 Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha i fuochi nei punti di coordinate ð2, 0Þ ed e` tangente alla retta di equaÞ  2  zione y ¼ 3. x y2 þ ¼1 13 9 70 Þ

Scrivi le equazioni dell’ellisse che ha due vertici nei punti di coordinate ð3, 0Þ ed e` tangente alla retta di  2  equazione y ¼ x
4. x y2 þ ¼1 9 7 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

373

Le coniche Tema C

Esercizi riassuntivi sulla determinazione dell’equazione di un’ellisse 71 Vero o falso? Þ Per determinare l’equazione di un’ellisse e` sufficiente conoscere:

a. i due fuochi b. un fuoco e un vertice c. due vertici non appartenenti allo stesso asse

V

F

V

F

V

F

d. due punti qualsiasi dell’ellisse V F e. un fuoco e l’eccentricita` V F f. i quattro vertici V F g. le misure dei semiassi V F [5 affermazioni vere e 2 false]

72 Þ

Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle ellissi rappresentate di seguito. Nella prima figura la retta interseca l’ellisse in due vertici, nella terza in un vertice e un fuoco. y

O

V2

x

y

y

2 2 B2

V

A1 –4

A2 4 x

O

O

x

F

V1 – 2 2 B1

3x – 4y = 12

4x + 3y = 12

 x y x y2 x2 y2 þ ¼ 1; þ ¼ 1; þ ¼1 16 9 16 8 25 16  2  pffiffiffi x y2 þ ¼ 1 73 Scrivi l’equazione dell’ellisse che passa per i punti Pð0, 3Þ e Qð2, 3 Þ. Þ 6 9  2  pffiffiffi pffiffiffi x y2 þ ¼1 74 Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha fuoco in Fð2 2, 0) e passa per Pð 5, 1Þ. Þ 10 2 75 Þ

0,5.



2

2

2

Scrivi l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y, in cui la semidistanza focale vale 1 e l’eccentricita` vale  2  x y2 þ ¼1 3 4

76 Þ

` vale Scrivi l’equazione dell’ellisse in cui l’asse maggiore, appartenente all’asse x, misura 2 e l’eccentricita  2 9 e¼ . x2 þ y 2 ¼ 1 3 5 rffiffiffiffiffi 2 77 Determina le equazioni delle ellissi aventi eccentricita` e tangenti alla retta di equazione 3x þ y ¼ 4. Þ 3 [3x2 þ y 2 ¼ 4; 7x2 þ 21y 2 ¼ 12]

4. L’ellisse e le funzioni 78 Þ

TEORIA a p. 361

Associa a ciascun grafico l’equazione corrispondente, scelta tra le seguenti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 a. y ¼ b. y ¼
16
x2 c. y ¼
16
x 16
x 2 2 y

y

y

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d. y ¼ 2 16
x2 y

8

4

–4 O

–4

x

2

4 O

x –4

O

4

x

–6 A

–4 B

C

O

–4

4 D

374 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x

Unita` 7

Traccia i grafici delle seguenti funzioni, costituite da archi di ellisse. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi 79 y ¼ 8
2x2 83 y ¼ 4
x Þ Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 80 y ¼
3 4
x2 Þ 84 y ¼
3 1
x2 Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 81 y ¼ 1
85 y ¼
16
x Þ Þ 4 2 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 86 y ¼
9
4x 82 y ¼ 2 4
x2 Þ Þ 3

Ellisse

Interpretando graficamente le seguenti equazioni, stabilisci il numero delle loro soluzioni e cerca di dare una stima delle soluzioni stesse. Risolvi poi le equazioni algebricamente. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   x2 2 x2 x 15 pffiffiffiffiffiffi 1
¼
xþ2 ¼
87 2 1
90 [0, 3]
34 Þ Þ 9 25 3 3 34 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16
4x2 ¼
x
2 [
2] 88 Þ x2 [Impossibile] ¼
x þ 4 91 3 1
Þ   4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 89 2 4
x2 ¼
x þ 4 0, Þ 5 Risolvi graficamente le seguenti disequazioni. " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi # x2 2 17 1
> 2x
2  x < 92 Þ 17 4   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 0xþ1 95
Þ 4 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1; b. 1 < k < 2; c. k > 2] 102 Þ

Determina la misura della corda individuata sulx2 y2 þ ¼ 1 dalla retta che pasl’ellisse di equazione 4 16 pffiffiffiffiffiffi [2 10] sa per l’origine e per Pð2, 4Þ.

103 La retta di equazione x þ 2y ¼ 4 incontra l’asse x Þ e l’asse y, rispettivamente, in un fuoco e in un vertice di un’ellisse. Scrivi l’equazione dell’ellisse.  2  x y2 þ ¼1 20 4

x2 y2 þ ¼ 1. 16 9 Un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani e` inscritto nell’ellisse e due suoi lati passano per i fuochi. Determina perimetro e area del rettangolo. pffiffiffi pffiffiffi [Perimetro ¼ 4 7 þ 9; Area ¼ 9 7] 104 Þ

Considera l’ellisse di equazione

105 Un’ellisse passa per i due punti A e B, apparteÞ nenti alla retta di equazione x þ y
4 ¼ 0 e aventi rispettivamente ascissa 2 e 4. Scrivi l’equazione dell’el 2  lisse. x 3y 2 þ ¼1 16 16

x2 y2 þ ¼ 1. 4 6 Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’ellisse pas" # pffiffiffi santi per il punto Pð
4, 0Þ. 2 ðx þ 4Þ y¼ 2 106 Þ

107 Þ

376

108 Þ

Determina l’eccentricita` di un’ellisse, sapendo b F2 ¼ 60 , dove V e` uno dei vertici dell’ellisse che F1 V appartenente all’asse minore ed F1 , F2 sono i due fuo  chi. 1 e¼ 2

109 Þ

Determina il perimetro e l’area del rettangolo che ha come vertici i punti che hanno in comune l’ellisse x2 y2 þ ¼ 1 e la circonferenza che ha di equazione 4 16 centro nell’origine e raggio 3.   4 pffiffiffiffiffiffi 8 pffiffiffiffiffiffi 8 pffiffiffiffiffiffi 21 þ 15; 35 3 3 3 110 Þ

Scrivi le equazioni delle rette parallele alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante, tangenti all’ellisse, avente i fuochi sull’asse x, i cui semiassi misupffiffiffiffiffiffi rano 2 e 4. [y ¼
x  20]

111 Þ

Determina i vertici del quadrato inscritto nell’elx2 y2 þ ¼ 1, con i lati paralleli agli lisse di equazione 16 9 assi cartesiani.   12 12 , e i suoi simmetrici rispetto 5 5 agli assi e all’origine Determina i punti dell’ellisse x2 þ 4y 2 ¼ 2 distanti 1 dall’origine del sistema di riferimento.  pffiffiffi pffiffiffi ! 6 3 ; e i suoi simmetrici rispetto 3 3 agli assi e all’origine 112 Þ

113 Þ

Determina le rette, parallele all’asse x, che indivix2 y2 þ ¼ 1 un segduano sull’ellisse di equazione 4 16 mento di misura uguale alla semidistanza focale.

Rappresenta l’ellisse di equazione

Determina i vertici del rettangolo, con i lati paralleli agli assi cartesiani, circoscritto all’ellisse di equazione x2 þ 4y 2 ¼ 4. Scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta al rettangolo. [x2 þ y 2 ¼ 5]

[y ¼ 2] 114 Þ

Siano F1 ed F2 i fuochi dell’ellisse di equazione

2

x þ 2y 2 ¼ 2. Determina i punti P dell’ellisse tali che 2

2

PF1 þ PF2 ¼ 5.



pffiffiffi ! 2 e i suoi simmetrici rispetto 1;  2 agli assi e all’origine

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Unita` 7 Ellisse

x2 y2 þ ¼ 1 il cui perimetro misura 12. Determina i vertici del rettangolo inscritto nell’ellisse 4 9    24 15 ; e i suoi simmetrici rispetto all’origine e agli assi 13 13 pffiffiffi 5 ` . Scrivi l’equazio116 Un’ellisse con i fuochi sull’asse x e centro nell’origine passa per A(0, 2) e ha eccentricita Þ 5 ne dell’ellisse e determina l’area del rettangolo circoscritto all’ellisse, con i lati paralleli agli assi cartesiani. pffiffiffi [4x2 þ 5y 2 ¼ 20, 8 5] pffiffiffi pffiffiffi 117 Scrivi l’equazione del luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze da F1 ð
5, 0Þ ed F2 ð 5; 0Þ Þ  2  sia uguale a 10. x y2 þ ¼1 25 20 115 Þ

118 Scrivi l’equazione del luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze da F1 ð0,
3Þ ed F2 ð0, 3Þ sia Þ  2  uguale a 12. x y2 þ ¼1 27 36 119 Scrivi l’equazione dell’ellisse, avente i fuochi sull’asse y, che ha due vertici nei punti di coordinate ð3, 0Þ e i Þ pffiffiffi  2  fuochi distanti 2 dalla bisettrice del primo e del terzo quadrante. x y2 þ ¼1 9 13 pffiffiffi 120 Scrivi l’equazione dell’ellisse, avente un vertice in Vð0, 2Þ, sapendo che la retta di equazione y ¼ 1 indiviÞ pffiffiffi dua sull’ellisse un segmento di misura 2 3. [x2 þ 3y 2 ¼ 6]

Considera l’ellisse di equazione x2 þ 4y 2 ¼ 8. Indica con A il suo punto del primo quadrante di ascissa 2 e scrivi l’equazione della circonferenza tangente all’ellisse in A e avente il centro sulla retta di equazione x þ y
6 ¼ 0. (Suggerimento: affinche´ la circonferenza sia tangente all’ellisse in A, in A la circonferenza e l’ellisse devono avere la stessa retta tangente) [ðx
3Þ2 þ ðy
3Þ2 ¼ 5] 121 Þ

Considera l’ellisse di equazione 4x2 þ 5y 2 ¼ 20 . Rappresentala graficamente dopo averne individuato fuochi, vertice ed eccentricita`. Indica con P il vertice appartenente al semiasse delle ordinate positive e, nel fascio di rette di centro P, determina: 122 Þ

a. la retta passante per il fuoco dell’ellisse di ascissa negativa; pffiffiffi 2 dal fuoco dell’ellisse di ascissa positiva. b. le rette che distano 2

[a. y ¼ 2x þ 2; b. y ¼
x þ 2, y ¼
7x þ 2] pffiffiffi 123 Scrivi l’equazione dell’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate ð 6, 0Þ e passante per il punto Þ pffiffiffi Pð0,
2Þ. Detto A il punto dell’ellisse di ordinata 1 appartenente al primo quadrante, scrivi l’equazione della retta t tangente in A all’ellisse e della retta n, perpendicolare a t in A. Indica con B l’ulteriore punto di intersezione di n con l’ellisse (oltre ad AÞ e calcola l’area del triangolo avente per vertici A, B e l’origine degli assi.     14 23 30 ,
; Area ¼ x2 þ 4y 2 ¼ 8; Að2, 1Þ; t: x þ 2y
4 ¼ 0; n: 2x
y
3 ¼ 0; B 17 17 17 pffiffiffi 124 Scrivi l’equazione dell’ellisse passante per Pð
5, 0Þ e Qð0, 2Þ. Determina le equazioni delle due rette r ed s, Þ parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, la cui distanza dal fuoco dell’ellisse di ascissa negativa e` pffiffiffi 2 . Calcola infine l’area del trapezio i cui vertici sono i punti di intersezione di r ed s con l’ellisse. pffiffiffi  2  2 x y2 20 þ 12 5 þ ¼ 1; y ¼ x þ 2, y ¼ x; Area ¼ 9 5 4 Considera l’ellisse di equazione 3x2 þ y 2 ¼ 4. Indica con A e B (xA < xB Þ, rispettivamente, i punti di intersezione dell’ellisse con la retta di equazione y ¼ 3x
2. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’ellisse in A e B e indica con C il loro punto di intersezione. Determina l’area del triangolo ABC e l’equazione della circonferenza circoscritta ad ABC. [Að0,
2Þ, Bð1, 1Þ; tangenti: 3x þ y
4 ¼ 0; y ¼
2, Cð2,
2Þ; Area ¼ 3; 3x2 þ 3y 2
6x þ 4y
4 ¼ 0] 125 Þ

126 Þ

Determina l’equazione dell’ellisse avente due vertici nei punti di coordinate ð2, 0Þ, sapendo che il lato del [x2 þ 15y 2 ¼ 4] quadrato inscritto nell’ellisse, con i lati paralleli agli assi cartesiani, misura 1.

127 Scrivi l’equazione dell’ellisse avente i fuochi sull’asse x, passante per il punto Pð2, 1Þ, sapendo che in tale Þ punto la tangente all’ellisse e` parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Detto A il punto di intersezione dell’ellisse con il semiasse positivo delle y, determina i vertici del triangolo equilatero ABC, inscritto nell’elpffiffiffi ! pffiffiffi !  2 lisse. pffiffiffi x y2 12 5 3 12 5 3 ,C þ ¼ 1, Að0, 3Þ, B
,
,
7 7 6 3 7 7

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377

Le coniche Tema C

128 Þ

Scrivi l’equazione dell’ellisse tangente alla retta di equazione y ¼
2x
3 e avente un fuoco in Fð
1, 0Þ. DetPF ¼ e, avendo indicato ta e l’eccentricita` dell’ellisse, verifica che l’ellisse e` il luogo dei punti P del piano tali che PH pffiffiffi   con H la proiezione di P sulla retta di equazione x ¼
2. 2 x2 þ 2y 2 ¼ 2; e ¼ 2 129 Siano A e B gli estremi di un diametro di un’ellisse (un diametro di un’ellisse e` un segmento avente per estreÞ mi due punti dell’ellisse simmetrici rispetto al centro dell’ellisse). Indica con r ed s le tangenti all’ellisse in A e B e con t e u le tangenti all’ellisse parallele alla retta AB. Dimostra che il quadrilatero formato da r, s, t e u e` un parallelogramma e che, al variare di A e B, l’area di tale parallelogramma si mantiene costante.

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese x2 y2 þ ¼ 1, nel suo punto di coordinate ða, bÞ. Determina per 9 4 quali valori positivi di b il punto di intersezione della retta n con l’asse y risulta esterno all’ellisse.   8 (High School Math Contest, Texas 2010) 0) la misura del segmento F1 F2 (detta distanza focale). Consideriamo il caso piu` semplice, cioe` quello in cui il centro dell’iperbole e` nell’origine degli assi cartesiani e i fuochi appartengono all’asse x. In questo caso le coordinate dei fuochi saranno (fig. 8.2): F2 ðc, 0Þ

P

F1

F2 PF1 –PF2 = 2a

iperbole

Figura 8.2

Indichiamo inoltre con 2a la differenza costante, in valore assoluto, delle distanze di un generico punto dell’iperbole dai fuochi. Allora un punto Pðx, yÞ del piano apparterra` all’iperbole se e solo se: jPF1
PF2 j ¼ 2a

Definizione di iperbole come luogo geometrico

Questa condizione, utilizzando la formula della distanza tra due punti, si traduce analiticamente nell’equazione: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi     ðx þ cÞ2 þ y 2
ðx
cÞ2 þ y 2  ¼ 2a   Con calcoli analoghi a quelli svolti per l’ellisse, si giunge all’equazione equivalente: ðc2
a2 Þx2
a2 y2 ¼ a2 ðc2
a2 Þ

[8.4]

Osserva ora la fig. 8.2: per la disuguaglianza triangolare applicata al triangolo PF1 F2 deve essere: 2c > F1 F2

2a jPF1
PF2 j

quindi c > a. Ne segue che c2 > a2 ossia c2
a2 > 0. Possiamo allora porre: b2 ¼ c2
a2 con b > 0 e riscrivere la [8.4] nella forma: b2 x2
a2 y 2 ¼ a2 b2 ossia

x2 y2
2 ¼ 1 Dividendo i due membri per a2 b2 [8.5] 2 a b

La [8.5] e` detta equazione in forma normale (o canonica) dell’iperbole con i fuochi sull’asse x. Equazione di un’iperbole con i fuochi sull’asse x

TEOREMA 8.1

L’equazione, in forma normale, di un’iperbole con centro nell’origine e fuochi nei punti di coordinate ð
c, 0Þ e ðc, 0Þ e`: x2 y2
¼1 a2 b2

con c 2 ¼ a2 þ b2

[8.6] 381

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Tema C

Le coniche

Se i fuochi dell’iperbole fossero sull’asse y, cioe` se fosse F1 ð0,
cÞ e F2 ð0, cÞ, indicando questa volta con 2b la differenza costante (in valore assoluto) delle distanze di un punto dell’iperbole dai due fuochi e ripetendo calcoli del tutto analoghi a quelli appena svolti, si giungerebbe al seguente teorema. TEOREMA 8.2

Equazione di un’iperbole con i fuochi sull’asse y

L’equazione, in forma normale, di un’iperbole con centro nell’origine e fuochi nei punti di coordinate ð0,
cÞ e ð0, cÞ e`: x2 y2
¼
1 a2 b2

con c 2 ¼ a2 þ b2

[8.7]

Osserva attentamente le equazioni [8.6] e [8.7]. Esse sono del tutto simili: l’unica piccola, ma sostanziale differenza e` che nell’equazione [8.6] il termine noto e` 1, mentre nell’equazione [8.7] e`
1.

Le equazioni del tipo

x2 y2 x2 y2
¼ 1 e
¼
1 a2 b2 a2 b2

Nel sottoparagrafo precedente abbiamo dimostrato che un’iperbole avente i fuochi sugli assi cartesiani e centro nell’origine ha equazione del tipo: x2 y2
¼1 a2 b2

x2 y2
¼
1 a2 b2

o

Viceversa, si potrebbe dimostrare che:  ogni equazione del tipo

x2 y2
¼ 1 rappresenta un’iperbole con i fuochi sula2 b2

l’asse x, tale che c2 ¼ a2 þ b2 ;  ogni equazione del tipo

x2 y2
¼
1 rappresenta un’iperbole con i fuochi a2 b2

sull’asse y, tale che c2 ¼ a2 þ b2 . Vogliamo ora soffermarci a studiare le caratteristiche delle iperboli definite da queste equazioni. Vertici I punti di intersezione dell’iperbole con l’asse x si ottengono risolvendo i seguenti sistemi, rispettivamente se i fuochi appartengono all’asse x o all’asse y: Fuochi sull’asse x

Fuochi sull’asse y

8 2 2 > < x
y ¼1 2 a b2 > : y¼0

8 2 2 > < x
y ¼
1 2 a b2 > : y¼0



x ¼ a y¼0

Il sistema e` impossibile

Dunque un’iperbole con i fuochi sull’asse x interseca tale asse nei punti A1 ð
a, 0Þ, A2 ða, 0Þ, mentre un’iperbole con i fuochi sull’asse y non interseca l’asse x in alcun punto. 382 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Fuochi sull’asse x 8 2 2 > < x
y ¼1 a2 b2 > : x¼0

Unita` 8

Analogamente, possiamo determinare i punti di intersezione con l’asse y:

Il sistema e` impossibile

Iperbole

Fuochi sull’asse y 8 2 2 > < x
y ¼
1 a2 b2 > : x¼0  x¼0 y ¼ b

Dunque un’iperbole con i fuochi sull’asse x non interseca l’asse y in alcun punto, mentre un’iperbole con i fuochi sull’asse y interseca tale asse nei punti B1 ð0,
bÞ, B2 ð0, bÞ. Fra i quattro punti: A1 ð
a, 0Þ,

A2 ða, 0Þ,

B1 ð0,
bÞ,

B2 ð0, bÞ

si dicono vertici reali dell’iperbole i due punti che appartengono all’asse di simmetria dell’iperbole che contiene i fuochi; si dicono vertici immaginari dell’iperbole i due punti che appartengono all’asse di simmetria che non contiene i fuochi. Si dicono inoltre:  asse trasverso dell’iperbole il segmento che ha come estremi i due vertici (reali) dell’iperbole;  asse non trasverso dell’iperbole il segmento che ha come estremi i due vertici immaginari. Iperbole con i fuochi sull’asse x

y

x = –a

Quando si parla di vertici dell’iperbole senza ulteriori specificazioni, si intende riferirsi ai suoi vertici reali.

Iperbole con i fuochi sull’asse y

y

x=a

B2(0, b)

asse non trasverso B (0, b) 2 A1(–a, 0)

Attenzione!

A2(a, 0) O asse trasverso B1(0, –b)

x

y=b asse non trasverso

asse trasverso A1(–a, 0) O

x

A2(a, 0) y = –b B1(0, –b)

2 x2 – y =1 2 2 a b

Vertici A1 e A2 Vertici immaginari B1 e B2

2 x2 – y – = 1 2 2 a b

Vertici B1 e B2 Vertici immaginari A1 e A2

In riferimento alle figure qui sopra, l’asse trasverso e` A1 A2 se i fuochi appartengono all’asse x, e in tal caso misura 2a; e` B1 B2 se i fuochi appartengono all’asse y, e in tal caso misura 2b. La misura dell’asse trasverso di un’iperbole, quindi, non e` altro che la costante che rappresenta la differenza, in valore assoluto, delle distanze di un punto dell’iperbole dai due fuochi. I numeri positivi a e b rappresentano evidentemente le misure dei semiassi dell’iperbole. Dai grafici dell’iperbole si puo` inoltre osservare che:  un’iperbole con fuochi sull’asse x non ha punti interni alla striscia di piano limitata dalle rette di equazioni x ¼
a, x ¼ a;  un’iperbole con fuochi sull’asse y non ha punti interni alla striscia di piano limitata dalle rette di equazioni y ¼
b, y ¼ b. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

383

Le coniche Tema C

Osserva

Asintoti dell’iperbole

Se dall’equazione x2 y2 dell’iperbole 2
2 ¼ 1 a b ricaviamo y in funzione di x, otteniamo: ffi b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
a2 , y¼ a da cui, raccogliendo e portando x fuori dal segno di radice, ricaviamo: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b a2 y ¼ x 1
2 x a (nel portare x fuori dal segno di radice si puo` omettere il valore assoluto perche´ l’espressione e` preceduta dal segno ). Osserva che quanto maggiore e` il valore assoluto di x, tanto piu` prossimo a 1 e` il valore del radicale. Percio`, quanto maggiore e` il valore assoluto di x, tanto piu` l’ordinata del punto di ascissa x dell’iperbole e` prossima all’ordinata del punto di ascissa x appartenente a uno b dei due asintoti, y ¼  x. a

Tracciamo il rettangolo (colorato in giallo nelle figure seguenti) che ha i lati paralleli agli assi cartesiani e passanti per i vertici (reali e immaginari) dell’iperbole. Le rette che contengono le diagonali (tratteggiate in rosso in figura) vengono dette asintoti dell’iperbole e hanno le seguenti proprieta`, che ci limitiamo a enunciare:  il grafico dell’iperbole e` contenuto negli angoli, individuati dagli asintoti, che contengono l’asse trasverso;  i punti del grafico dell’iperbole si avvicinano indefinitamente agli asintoti, quanto piu` ci si allontana dell’origine, senza tuttavia mai arrivare a intersecarli.

Queste considerazioni (che si potrebbero ripetere analoghe per un’iperbole con i fuochi sull’asse y) giustificano intuitivamente il fatto che i rami di un’iperbole si avvicinano indefinitamente agli asintoti, senza tuttavia mai intersecarli.

Iperbole con i fuochi sull’asse x

Iperbole con i fuochi sull’asse y

y

y B2(0, b)

B2(0, b) A1(–a, 0)

A1(–a, 0)

A2(a, 0)

A2(a, 0)

x

O B1(0, –b) b y =– x a

b y= x a

x

O b y= x a

2 x2 – y =1 2 2 a b

B1(0, –b)

b y =– x a

2 x2 y – 2 = –1 2 a b

Quali sono le equazioni degli asintoti? Per ragioni di simmetria, gli asintoti devono passare per l’origine, quindi la loro equazione sara` del tipo y ¼ mx. L’asintoto che giace nel primo e nel terzo quadrante deve passare inoltre per il punto Pða, b bÞ. Quindi deve essere b ¼ m  a, da cui m ¼ . Tale asintoto ha dunque equazioa b ne y ¼ x. L’altro asintoto e` il simmetrico di questo rispetto all’asse x, quindi a b avra` equazione y ¼
x. a Le equazioni degli asintoti dell’iperbole sono dunque:

y¼

b x a

[8.8]

Fuochi dell’iperbole Per studiare i fuochi dell’iperbole, dobbiamo distinguere due casi, a seconda che essi appartengano all’asse x o all’asse y. Osserva, per fissare le idee, il triangolo colorato in giallo nella figura relativa all’iperbole con i fuochi sull’asse x (vedi la tabella della pagina a fronte). In base al pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi teorema di Pitagora, la misura dell’ipotenusa di tale triangolo e` a2 þ b2 . Inoltre, in base ffialla relazione tra i parametri a, b e c di un’iperbole, sappiamo che pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 ¼ c. Percio`, il parametro c rappresenta la misura della semidiagonale del rettangolo tratteggiato. Si possono allora costruire i fuochi dell’iperbole tracciando la circonferenza che ha centro nell’origine e passa per uno dei vertici del rettangolo: tale circonferenza interseca la retta che contiene l’asse trasverso nei fuochi, come indicato in figura. Analoghe considerazioni valgono per l’iperbole con i fuochi sull’asse y. 384 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Dalla relazione c 2 ¼ a2 þ b2 si ricava: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼ a2 þ b2

Dalla relazione c 2 ¼ a2 þ b2 si ricava: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼ a2 þ b2

Pertanto i fuochi sono i punti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð0,
a2 þ b2 Þ, F2 ð0, þ a2 þ b2 Þ

Pertanto i fuochi sono i punti: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð
a2 þ b2 , 0Þ, F2 ðþ a2 þ b2 , 0Þ

y

y

c

(

)

O

F1 – a + b , 0 2

2

Iperbole

Iperbole con i fuochi sull’asse y

Unita` 8

Iperbole con i fuochi sull’asse x

b

(

F2 0, + a2 + b2

x

a

(

c

)

F2 + a + b , 0 2

2

2 x2 y – 2 = –1 2 a b

b a

O

2 x2 – y =1 2 2 a b

) x

(

F1 0, – a2 + b2

)

Eccentricita` dell’iperbole Un’iperbole e` completamente determinata una volta che se ne conoscano la distanza focale e la misura dell’asse trasverso. Si da` un nome particolare al rapporto tra le misure di questi due segmenti, perche´ e` una misura dell’«apertura» del grafico dell’iperbole. ECCENTRICITA` DI UN’IPERBOLE

Si definisce eccentricita` dell’iperbole (e si indica con e) il rapporto tra la distanza focale e la misura dell’asse trasverso: e¼

distanza focale misura asse trasverso

[8.9]

Poiche´ la distanza focale di un’iperbole e` sempre maggiore della misura dell’asse trasverso, e` sempre e > 1. Analogamente all’ellisse, l’eccentricita` di un’iperbole misura lo «schiacciamento» dell’iperbole sull’asse trasverso: man mano che l’eccentricita` cresce si ottengono iperboli piu` aperte (fig. 8.3). y

y

x O

2

x – y 2= 1 4

e=

x 2

2

x y – =1 4 4

5 1,12 2

y

O

e = 2 1,41

x 2

O

2

x y – =1 4 9

e=

13 2

1,8

Figura 8.3 Come varia l’apertura di un’iperbole al variare dell’eccentricita`.

385 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

In riferimento a un’iperbole la cui equazione e` in forma normale, sara`: 2c c ¼ se l’iperbole ha i fuochi sull’asse x e¼ 2a a 2c c e¼ ¼ se l’iperbole ha i fuochi sull’asse y 2b b ESEMPIO

[8.10] [8.11]

Studio di un’iperbole con i fuochi sull’asse x

x2 y2
¼ 1 e determiniamone i Tracciamo il grafico dell’iperbole di equazione 9 25 vertici, gli asintoti, i fuochi e l’eccentricita`.  Vertici, asintoti e grafico

x2 y2
¼ 1 si riconosce che a2 ¼ 9, b2 ¼ 25, 9 25 quindi le misure dei semiassi sono a ¼ 3, b ¼ 5. I vertici sono i punti di coordinate ð 3, 0Þ, mentre i vertici immaginari hanno coordinate ð0,  5Þ. Per tracciare il grafico dell’iperbole, costruiamo anzitutto il rettangolo i cui lati sono paralleli agli assi cartesiani e passano per i vertici dell’iperbole, nonche´ le rette che contengono le diagonali di tale rettangolo (fig. 8.4a). Cio` e` sufficiente per disegnare approssimativamente un grafico dell’iperbole: dovremo, a partire dai vertici, tracciare i rami di iperbole che si avvicinano indefinita5 mente a tali rette (fig. 8.4b). Gli asintoti hanno equazione y ¼  x. 3 Nell’iperbole di equazione

y

y

5

5

y 2 x2 – y =1 9 25

5 2 x2 – y =1 9 25

–3

O

3

x

–3

O

3

x

F1 –3

O

3

F2

x

–5 –5

–5

a. Disegno preparatorio b. Grafico dell’iperbole

c. Costruzione dei fuochi

Figura 8.4

 Fuochi ed eccentricita`

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi I fuochi hanno coordinatepffiffiffiffiffiffi ðc, 0Þ, dove c ¼ a2 þ b2 ¼ 25 þ 9 ¼ 34, quindi hanno coordinate ð 34, 0Þ. Li si puo` costruire tracciando la circonferenza che ha centro nell’origine e passa per il punto di coordinate (3, 5) e individuando i punti in cui tale circonferenza incontra l’asse x (fig. 8.4c). Infine, l’eccentricita` dell’iperbole vale: pffiffiffiffiffiffi c 34 e¼ ¼ 3 a ESEMPIO

Studio di un’iperbole con i fuochi sull’asse y

Tracciamo il grafico dell’iperbole di equazione 4x 2
y 2 ¼
4 e determiniamone i vertici, gli asintoti, i fuochi e l’eccentricita`.  Vertici, asintoti e grafico

Dividiamo entrambi i membri dell’equazione per 4 in modo da scrivere l’equazione dell’iperbole nella forma normale: x2


y2 ¼
1 4

386 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 8

y¼

Iperbole

Riconosciamo cosı` che si tratta dell’equazione di un’iperbole avente centro nell’origine e fuochi sull’asse y, i cui semiassi misurano a ¼ 1 e b ¼ 2. I vertici dell’iperbole sono percio` i punti di coordinate ð0, 2Þ, mentre i vertici immaginari hanno coordinate ð1, 0Þ. Per tracciare il grafico dell’iperbole procediamo come nell’esempio precedente. Anzitutto rappresentiamo il rettangolo i cui lati sono paralleli agli assi cartesiani e passano per i vertici dell’iperbole, nonche´ le rette che contengono le diagonali di tale rettangolo (fig. 8.5a), poi tracciamo il grafico dell’iperbole (fig. 8.5b). Gli asintoti sono le rette di equazione b x ¼ 2x a

 Fuochi ed eccentricita`

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2 2 I fuochi sono i punti pffiffiffi di coordinate ð0, cÞ, dove c ¼ a þ b ¼ 5, ovvero di coordinate ð0,  5Þ. Si possono costruire i fuochi tracciando la circonferenza che ha centro nell’origine e passa per il punto di coordinate (1, 2) e individuando i punti in cui tale circonferenza incontra l’asse y (fig. 8.5c). Infine, l’eccentricita` dell’iperbole vale: pffiffiffi c 5 e¼ ¼ b 2 y

y

y

2

x 2–

2 x

1

–1

F2

2

–2

y =–1 4

1

–1 –2

a. Disegno preparatorio

b. Grafico dell’iperbole

x 2–

y2 =–1 4 x

x F1

c. Costruzione dei fuochi

Figura 8.5

Prova tu

ESERCIZI a p. 404

1. Rappresenta graficamente le iperboli aventi le seguenti equazioni e, per ciascuna, individua i vertici, i fuochi, gli asintoti e l’eccentricita`. a. 4x2
9y 2 ¼ 36

b.

x2 y2
¼
1 4 16

2. Stabilisci se la seguente affermazione e` vera o falsa: «Due iperboli aventi centro nell’origine e fuochi sull’asse x hanno la stessa eccentricita` se e solo se hanno gli stessi asintoti».

2. L’iperbole equilatera e la funzione omografica Iperbole equilatera riferita ai propri assi Abbiamo visto che per tracciare il grafico di un’iperbole e` utile tracciare il rettangolo i cui lati passano per i vertici dell’iperbole e sono paralleli agli assi cartesiani. Questo rettangolo diventa un quadrato nel caso in cui i due assi, trasverso e non 387 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche

trasverso, hanno la stessa misura, cioe` quando, nell’equazione dell’iperbole in forma normale, e` a ¼ b (fig. 8.6). Alle iperboli che soddisfano questa condizione si da` un nome particolare.

Tema C

y

a

–a

a

x

–a Figura 8.6 IPERBOLE EQUILATERA

Si dice iperbole equilatera un’iperbole i cui assi trasverso e non trasverso hanno la stessa misura.

x2 y2
¼ 1, otteniamo l’equazione in forma a2 b2 normale di una generica iperbole equilatera avente i fuochi sull’asse x: Ponendo a ¼ b nell’equazione x2
y 2 ¼ a 2

[8.12]

x2 y2
¼
1, otteniamo l’equaa2 b2 zione in forma normale di una generica iperbole equilatera avente i fuochi sull’asse y:

Analogamente, ponendo a ¼ b nell’equazione

x2
y 2 ¼
a2

[8.13]

Dalle formule che gia` conosci circa asintoti, fuochi ed eccentricita` dell’iperbole si possono ricavare alcune importanti proprieta` delle iperboli equilatere, che riassumiamo nella seguente tabella. Iperbole equilatera con i fuochi sull’asse x

y = –x

y

Iperbole equilatera con i fuochi sull’asse y

y

y=x y = –x

(

)

)

a

a

–a

x

–a

a x ¼ x a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Semidistanza focale: c ¼ a2 þ a2 ¼ a 2 pffiffiffi Fuochi: ða 2, 0Þ pffiffiffi pffiffiffi a 2 ¼ 2 Eccentricita`: e ¼ a

388

x

–a x2 – y2 = –a2

Asintoti: y ¼ 

y=x

F2 a 2, 0

–a x2 – y2 = a2

(

)

a

a F1 – a 2, 0

(

F2 0, a 2

(

F1 0,–a 2

)

a x ¼ x a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Semidistanza focale: c ¼ a2 þ a2 ¼ a 2 pffiffiffi Fuochi: ð0,  a 2Þ pffiffiffi pffiffiffi a 2 ¼ 2 Eccentricita`: e ¼ a

Asintoti: y ¼ 

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[8.14]

Iperbole

x2
y 2 ¼ k

Unita` 8

Osserva che gli asintoti e l’eccentricita` sono costanti, per ogni iperbole equilatera. In particolare, gli asintoti di un’iperbole equilatera sono perpendicolari: si potrebbe dimostrare che questa e` una condizione necessaria e sufficiente affinche´ un’iperbole sia equilatera. Le equazioni [8.12] e [8.13] possono riassumersi nell’equazione:

dove k e` un numero reale diverso da zero. Tale equazione rappresenta un’iperbole equilatera che ha come assi di simmetria gli assi cartesiani e i cui fuochi appartengono:  all’asse x, se k e` positivo;  all’asse y, se k e` negativo. La [8.14] si dice anche equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri assi, per indicare che fornisce l’equazione di un’iperbole equilatera rispetto a un sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani coincidono con gli assi di simmetria dell’iperbole.

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti Se ruotiamo di 45 un’iperbole equilatera riferita ai propri assi, otteniamo una nuova iperbole: per esempio, le iperboli equilatere disegnate in azzurro nelle figg. 8.7 e 8.8 vengono trasformate dalle rotazioni in senso antiorario e orario di 45 intorno all’origine, rispettivamente, nell’iperbole colorata in rosso in fig. 8.7 e nell’iperbole colorata in rosso in fig. 8.8. y

y

45° x O

O

x

45°

Figura 8.7

Figura 8.8

Le iperboli corrispondenti di quelle date nella rotazione hanno come asintoti gli assi cartesiani e come assi di simmetria le bisettrici dei quadranti. Quale sara` l’equazione di queste iperboli? Supposto che la misura del semiasse trasverso dell’iperbole originaria sia a, si potrebbe dimostrare che le iperboli ottenute mediante le rotazioni hanno equazione del tipo: xy ¼ k

[8.15]

a2 , se l’iperbole giace nel primo e nel terzo quadrante (vedi l’iperbole 2 a2 in fig. 8.7), mentre k ¼
se l’iperbole giace nel secondo e nel quarto qua2 dove k ¼

drante (vedi l’iperbole in fig. 8.8). L’equazione [8.15] si dice equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, per indicare che fornisce l’equazione di un’iperbole equilatera rispetto a un sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani coincidono con gli asintoti dell’iperbole. 389 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche

Viceversa, ogni equazione del tipo [8.15] rappresenta un’iperbole equilatera, che giace nel primo e nel terzo quadrante se k > 0 (fig. 8.9), mentre giace nel secondo e nel quarto quadrante se k < 0 (fig. 8.10). y

Tema C

y xy = k k0

x x

O

O

Figura 8.9

Figura 8.10

k Osserva che la [8.15] rappresenta il grafico della funzione y ¼ , che costituisce x la legge della proporzionalita` inversa. ESEMPIO

Studio di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Tracciamo il grafico dell’iperbole di equazione xy ¼ 6 e determiniamone vertici e fuochi.  Grafico

Possiamo anzitutto osservare che si tratta di un’iperbole situata nel primo e nel terzo quadrante (perche´?). Per tracciare il grafico dell’iperbole, ricaviamo y in funzione di x: y¼

6 x

y y=x

Attribuendo qualche valore a scelta a x, ricaviamo le ordinate di alcuni punti dell’iperbole:

V2 O

x

V1 x


3


2


1

1

2

3

y


2


3


6

6

3

2

xy = 6

Tenendo conto che l’iperbole passa per i punti che hanno queste coordinate e che ha come asintoti gli assi cartesiani, possiamo tracciarne il grafico.  Vertici

I vertici possono venire determinati intersecando l’iperbole con l’asse di simmetria dell’iperbole che contiene i fuochi, cioe`, in questo caso, con la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Basta quindi risolvere il sistema:     pffiffiffi pffiffiffi xy ¼ 6 x2 ¼ 6 6 x ¼
pffiffiffi x ¼ p6 ffiffiffi _ ) ) y¼x y¼x y¼
6 y¼ 6 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi I vertici sono quindi i punti: V1 ð
6,
6Þ, V2 ð 6, 6Þ.  Fuochi

Per determinare i fuochi, osserva la figura della pagina a fronte. Considerando il triangolo OHV2 , deduciamo la misura a del semiasse trasverso: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi a ¼ OV2 ¼ OH  2 ¼ 6  2 ¼ 2 3 OH ¼ 6 per quanto ricavato al punto precedente

390

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 8

Considerando il triangolo OKF2 , abbiamo: pffiffiffi pffiffiffi OF2 c a 2 OK ¼ pffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ a ¼ 2 3 2 2 2

y y=x

Iperbole

V2

pffiffiffi Ricorda che in ogni iperbole equilatera c ¼ a 2

F2

45°

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi quindi:F1 ð
2 3,
2 3Þ, F2 ð2 3, 2 3Þ.

O

H K

x

V1 F1 y=

6 x

Funzione omografica Nel sottoparagrafo precedente abbiamo visto che l’equazione di un’iperbole equilatera che ha come asintoti gli assi cartesiani e` il grafico di una funzione di proporzionalita` inversa. Definiamo ora una piu` ampia classe di funzioni, che comprende le funzioni di proporzionalita` inversa come caso particolare. FUNZIONE OMOGRAFICA

Si dice funzione omografica la funzione definita dall’equazione: y¼

ax þ b cx þ d

dove a, b, c, d sono numeri reali, con c e d non entrambi nulli.

Sotto alcune condizioni espresse dal prossimo teorema, la funzione omografica ha come grafico un’iperbole equilatera avente asintoti paralleli agli assi cartesiani: un’iperbole, cioe`, che si puo` ottenere mediante una traslazione da un’iperbole equilatera di equazione xy ¼ k. Funzione omografica

La funzione y ¼

TEOREMA 8.3

ax þ b , con a, b, c, d 2 R, c 6¼ 0 e ad
bc 6¼ 0, ha come grafico un’icx þ d

perbole equilatera (fig. 8.11) avente per asintoti le rette di equazioni: x¼


d a ,y ¼ c c

  d a e centro di simmetria nel punto di coordinate
, . c c y

x =– d c

y=a c

C

Osserva Qual e` il significato delle condizioni c 6¼ 0 e ad
bc 6¼ 0? Se c ¼ 0, puoi facilmente renderti conto che la funzione omografica ha come grafico una retta. Se ad
bc ¼ 0, si potrebbe dimostrare che la funzione omografica ha come grafico una retta privata di un punto. Prova per esempio a considerare l’equazione 2x þ 4 y¼ xþ2 Verifica che ad
bc ¼ 0 e che, per x 6¼
2, si ha 2x þ 4 2ðx þ 2Þ ¼ ¼2 xþ2 xþ2 Percio`, l’equazione data rappresenta la retta parallela all’asse x di equazione y ¼ 2, privata del punto di ascissa
2. y¼

x

O y = ax + b cx + d

Figura 8.11

391 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

Si possono ricordare facilmente le formule che forniscono il centro di simmetria del grafico di una funzione omografica osservando quanto segue.

y¼

ax þ b cx þ d

d del centro di simmetria dell’iperbole c e` il valore per cui si annulla il denominatore, cioe` il valore di x per cui e` cx þ d ¼ 0. L’ascissa


a del centro di simmetria dell’iperbole e` uguale c al rapporto dei coefficienti dei termini in x che compaiono, rispettivamente, al numeratore e al denominatore.

L’ordinata

ax þ b y¼ cx þ d

ESEMPIO

Grafico di una funzione omografica

Tracciamo il grafico della funzione omografica y ¼

2x
4 . x
1

I coefficienti sono: a ¼ 2, b ¼
4, c ¼ 1, d ¼
1 Osserva che c 6¼ 0 e ad
bc 6¼ 0, quindi il grafico della funzione sara` un’iperbole equilatera. Per tracciare un grafico approssimativo dell’iperbole e` sufficiente determinare gli asintoti e qualche altro punto (per esempio i punti di intersezione con gli assi cartesiani).  Asintoti e centro di simmetria

Sappiamo che la funzione omografica assegnata ha per asintoti le rette di equazione x¼
y¼

d
1 ¼
¼1 c 1

a 2 ¼2 ¼ c 1

Asintoto verticale

Asintoto orizzontale

e centro di simmetria nel punto Cð1, 2Þ:  Punti di intersezione con gli assi e qualche altro punto E` facile ricavare le coordinare dei punti di intersezione con gli assi cartesiani: 8 < y ¼ 2x
4 x
1 )y ¼4 : x¼0

L’iperbole interseca l’asse y nel punto di coordinate (0, 4)

8 > < y ¼ 2x
4 x
1 ) 2x
4 ¼ 0 ) x ¼ 2 L’iperbole interseca l’asse x nel punto > : di coordinate (2, 0) y¼0

Assegnando poi a x, per esempio, i valori
3 e 5, puoi facilmente verificare     5 3 che l’iperbole passa per i punti di coordinate
3, e 5, . 2 2 392 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 8

 Grafico

Il grafico, che riassume tutte le condizioni fin qui dedotte, e` quello della figura seguente.

y=

x=1

Iperbole

y 2x – 4 x –1

y=2

C

x

O

Prova tu

ESERCIZI a p. 407

1. Rappresenta graficamente l’iperbole equilatera di equazione xy ¼ 12. Determina vertici e fuochi di tale iperbole equilatera. xþ3 2. Traccia il grafico dell’iperbole di equazione y ¼ , dopo averne determinato i punti di intersezione con gli assi x
2 cartesiani. 3. Dimostra che un’iperbole avente come assi di simmetria gli assi cartesiani e` equilatera se e solo se ha gli asintoti perpendicolari.

3. L’iperbole e la retta Posizioni reciproche fra retta e iperbole Il problema di determinare la posizione reciproca tra una retta e un’iperbole si riconduce, come abbiamo gia` visto per la parabola, la circonferenza e l’ellisse, alla risoluzione del sistema formato dall’equazione della retta e dall’equazione dell’iperbole. Se l’equazione risolvente e` di secondo grado si possono verificare i tre casi che gia` conosci: a seconda che il discriminante sia maggiore, uguale o minore di zero, la retta e` secante, tangente o esterna all’iperbole (fig. 8.12). y

O

y

y

B

O

x

P

O

x

x

A

∆>0 La retta è secante a

∆ > x2 > :
y2 ¼ 1 4

Sostituendo il valore di y espresso in funzione di x nella seconda equazione otteniamo l’equazione risolvente (di primo grado, appunto):  2 x2 1 x2 x2 5


2x
4 ¼ 1 ) x ¼
xþ2 ¼1) 4 4 4 2 2 5 3 Il valore di y corrispondente a x ¼
e` . Pertanto il punto di intersezione e`: 2 4   5 3 P
, 2 4

394 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Iperbole

Il problema di tracciare le rette tangenti a un’iperbole passanti per un punto P si risolve con la stessa tecnica gia` vista per la parabola e l’ellisse. E` importante tuttavia osservare che per l’iperbole sussiste un fatto nuovo, legato alla presenza degli asintoti: se P appartiene a uno di tali asintoti, applicando la procedura che conosci per trovare le rette tangenti si trova fra le equazioni delle tangenti anche l’asintoto stesso. Gli asintoti infatti sono considerati tangenti all’iperbole in un punto «all’infinito».

Unita` 8

Tangenti a un’iperbole

Tangenti a un’iperbole da un punto appartenente a un asintoto

ESEMPIO

Determiniamo le rette tangenti all’iperbole di equazione x 2
y 2 ¼ 4 passanti per il punto Pð1, 1Þ.  Analisi grafica L’iperbole e` equilatera, quindi ha come asintoti le bisettrici dei quadranti. Si riconosce subito che il punto P appartiene a una di tali bisettrici. Come abbiamo anticipato, tra le tangenti passanti per P troveremo anche l’asintoto passante per P.

y P

x 2– y 2 = 4 x

O

 Risoluzione algebrica

L’equazione della generica retta passante per P e`: y
1 ¼ mðx
1Þ

[8.16]

Impostiamo il sistema formato dalle equazioni di questa retta e dell’iperbole: ( x2
y2 ¼ 4 y ¼ mx þ 1
m L’equazione risolvente e`: ð1
m2 Þx2 þ 2mðm
1Þx
m2 þ 2m
5 ¼ 0 Imponendo che sia nullo il suo discriminante si ottiene l’equazione 3m2 þ 2m
5 ¼ 0 che fornisce due soluzioni: m¼


5 _m¼1 3

5 , la [8.16] fornisce l’equazione della retta tangente colorata in 3 rosso in figura:

Per m ¼


y¼


5 8 xþ . 3 3

Per m ¼ 1, la [8.16] fornisce l’equazione dell’asintoto passante per P, y ¼ x. Se il punto P da cui si vuole tracciare la tangente a un’iperbole appartiene all’iperbole stessa, sussiste un teorema analogo a quello gia` visto per l’ellisse, che consente di determinare rapidamente l’equazione della retta tangente. 395 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

T a n g e n t e a un ’ i p e r b o l e i n u n s u o p u n t o

Sia Pðx0 , y0 Þ un punto appartenente all’iperbole di equazione

x2 y2
2 ¼ 1; allora la 2 a b

retta tangente all’iperbole in Pðx0 ; y0 Þ ha equazione:

Tema C

Le coniche

TEOREMA 8.4

xx0 yy0
2 ¼1 2 a b

[8.17]

x2 y2 Analogamente, la retta tangente a un’iperbole di equazione 2
2 ¼
1 in un suo a b punto Pðx0 , y0 Þ ha equazione: xx0 yy0
2 ¼
1 a2 b

[8.18]

In pratica, per determinare l’equazione della tangente a un’iperbole riferita ai suoi assi in un suo punto, si deve semplicemente sostituire, nell’equazione dell’iperbole, xx0 al posto di x2 e yy0 al posto di y 2 (questa regola varrebbe anche se l’equazione dell’iperbole non fosse in forma normale, per esempio 3x2
2y 2 ¼ 1Þ. ESEMPIO

2 2 Scriviamo l’equazione della retta tangente all’iperbole di pffiffiffiequazione x
y ¼ 4 passante per il suo punto del primo quadrante di ascissa 5.

y

x 2– y 2 = 4 1 O

Tangente a un’iperbole in un suo punto

P

x 5

y = x 5–4

pffiffiffi Sostituendo 5 al posto di x nell’equazione dell’iperbole, otteniamo: pffiffiffi ð 5Þ2
y2 ¼ 4 ) y ¼ 1 pffiffiffi Poiche´ P deve appartenere al primo quadrante, sara` Pð 5, 1Þ. L’equazione della retta tangente in P, per la [8.17], e` allora: pffiffiffi x 5
y1¼4 pffiffiffi ovvero: y ¼ x 5
4.

Prova tu

ESERCIZI a p. 410

1. In quanti punti l’iperbole di equazione 4x2
y 2 ¼ 1 interseca la retta di equazione 4x
y
4 ¼ 0?

2. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equazione 3x2
y 2 ¼ 9, passanti per Pð1, 0Þ. "

# pffiffiffi 3 2 y¼ ðx
1Þ 2

3. Determina la retta tangente all’iperbole di equazione x2
4y2 ¼
3 nel suo punto di intersezione con la retta di 1 equazione y ¼ ðx þ 1Þ. [x
4y ¼
3] 2

4. Come determinare l’equazione di un’iperbole Sappiamo che un’iperbole con centro nell’origine e fuochi sugli assi cartesiani ha equazione del tipo: x2 y2
¼1 a2 b2

o

x2 y2
¼
1 a2 b2

Poiche´ in queste equazioni compaiono due parametri, a e b, per determinare l’equazione di un’iperbole in forma normale (cosı` come per determinare l’equazio396 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Per determinare l’equazione di un’iperbole equilatera (sia essa riferita agli assi o agli asintoti) e` sufficiente invece una sola condizione, dipendendo la sua equazione da un solo parametro. Tale condizione non puo` consistere nella conoscenza degli asintoti o dell’eccentricita` (essendo queste costanti per ogni iperbole equilatera), ma puo` essere, per esempio, il passaggio per un punto o la tangenza a una retta. ESEMPIO

Attenzione! Per brevita`, nei testi dei problemi diremo «scrivi l’equazione dell’iperbole...» intendendo «scrivi l’equazione dell’iperbole avente come assi di simmetria gli assi cartesiani...».

Iperbole

 il passaggio per due punti (non simmetrici ne´ rispetto agli assi ne´ rispetto all’origine);  la conoscenza di un asintoto e di un vertice (o di un fuoco o di un punto per cui passa l’iperbole);  la conoscenza dell’eccentricita` e di un vertice (o di un fuoco o di un punto per cui passa l’iperbole).

Unita` 8

ne di un’ellisse in forma normale) sono necessarie due condizioni indipendenti, per esempio:

Iperbole, dati due punti

Determiniamo pffiffiffi l’equazione pffiffiffiffiffiffi dell’iperbole, con i fuochi sull’asse x, che passa per i punti Pð2 2, 0Þ e Qð2 10, 4Þ.

L’iperbole ha i fuochi sull’asse x, quindi ha equazione soddisfi le condizioni richieste deve essere: 8 pffiffiffi > ð2 2Þ2 02 > >
¼1 > < a2 b2 pffiffiffiffiffiffi > > > ð2 10Þ2 42 > : ¼1
b2 a2

x2 y2
2 ¼ 1: Affinche´ 2 a b

pffiffiffi Imponendo il passaggio per Pð2 2, 0Þ pffiffiffiffiffiffi Imponendo il passaggio per Qð2 10, 4Þ

Dalla prima equazione si ricava subito a2 ¼ 8. Sostituendo questo valore nella seconda equazione otteniamo:

y=–

40 16
2 ¼1 8 b da cui b2 ¼ 4. Pertanto, l’iperbole cercata ha equazione: x2 y2
¼1 8 4

ESEMPIO

x 2

2 x2 – y =1 8 4

y

O

y=

x 2

x

Iperbole, dati asintoti e due vertici

Determiniamo l’equazione dell’iperbole che ha come asintoti le rette di equazioni y ¼ 2x e tale che i vertici hanno coordinate ð3, 0Þ. L’iperbole ha i fuochi sull’asse x, quindi ha equazione del tipo Affinche´ soddisfi le condizioni richieste deve essere: 8b > > < a ¼2 > > :a ¼ 3

x2 y2
2 ¼ 1. 2 a b

b Gli asintoti, che hanno equazione y ¼  x a devono coincidere con y ¼ 2x I vertici, che hanno coordinate ða, 0Þ devono coincidere con ð3, 0Þ

Ô

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397

Le coniche Tema C

Ô

Sostituendo il valore di a nella prima equazione, si ricava subito b ¼ 6, quindi:

y

a2 ¼ 9 e b2 ¼ 36

2 x2 y – =1 9 36

L’iperbole cercata ha equazione: O

(–3, 0)

x2 y2
¼1 9 36

y = 2x

ESEMPIO

x

(3, 0)

y = –2x

Iperbole, data l’eccentricita` e un fuoco

Determiniamo l’equazione dell’iperbole che ha eccentricita` e ¼ 2 sapendo che ha un fuoco nel punto di coordinate ð0, 2Þ. x2 y2 L’iperbole ha i fuochi sull’asse y, quindi ha equazione del tipo 2
2 ¼
1. a b Affinche´ soddisfi le condizioni richieste deve essere: 8 c > L’eccentricita` deve essere uguale a 2 > < b ¼2 Poiche´ uno dei due fuochi e` F ð0, 2Þ, la semidistanza focale deve essere uguale a 2

> > :c ¼ 2

Da questo sistema si ricava immediatamente b ¼ 1. Dalla relazione c2 ¼ a2 þ b2 segue poi 22 ¼ a2 þ 12 e, quindi, a2 ¼ 3. L’iperbole cercata ha equazione:

y y =–

F2(0, 2)

x 3

y=

x 3 x

O

2

x
y 2 ¼
1 3

ESEMPIO

x2 2 – y = –1 3

F1(0, –2)

Iperbole equilatera, dato un punto

Determiniamo l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi sapendo che passa per il punto Pð3, 4Þ. Un’iperbole equilatera riferita agli assi ha equazione del tipo x2
y 2 ¼ k. Affinche´ l’iperbole passi per Pð3, 4Þ, la sua equazione deve essere soddisfatta dalle coordinate di P, quindi deve essere:

y P(3, 4) y=x

y = –x

32
42 ¼ k ) k ¼
7 L’iperbole cercata ha percio` equazione:

x

O

x2
y 2 ¼
7 x 2 – y 2 = –7

398 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 8

Prova tu

ESERCIZI a p. 412

Iperbole

In ciascuno dei seguenti casi scrivi l’equazione dell’iperbole pffiffiffi pche ffiffiffiffiffiffi soddisfa le condizioni assegnate: a. ha i fuochi sull’asse y e passa per i punti Pð0, 2 2Þ e Qð2 10, 4Þ; b. ha come asintoti le rette di equazioni y ¼ 2x e i vertici immaginari hanno coordinate ð3, 0Þ; c. ha eccentricita` e ¼ 2 e un fuoco in Fð4, 0Þ; d. e` equilatera, ha come asintoti gli assi cartesiani e passa per Pð3, 4Þ.   x2 y2 x2 y2 x2 y2 a.
¼
1; b.
¼
1; c.
¼ 1; d. xy ¼ 12 40 8 9 36 4 12

5. L’iperbole e le funzioni Come abbiamo gia` fatto nelle precedenti Unita` per le altre coniche, vogliamo stabilire dei collegamenti tra l’iperbole e la teoria delle funzioni. Abbiamo gia` osservato che alcune iperboli sono il grafico di una funzione: le iperboli equilatere riferite ai propri asintoti rappresentano il grafico di una funzione di proporzionalita` inversa; le iperboli equilatere con asintoti paralleli agli assi cartesiani sono il grafico di una funzione omografica. Non rappresentano invece il grafico di una funzione le iperboli riferite ai propri assi (sai giustificare perche´?). Esistono pero` delle funzioni irrazionali che hanno come grafici alcuni archi di tali iperboli. Vediamo alcuni esempi. ESEMPI

Funzioni irrazionali che hanno come grafici degli archi di iperbole

Tracciamo i grafici delle seguenti funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. y ¼ x2 þ 1 b. y ¼
2 x2
1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. La funzione y ¼ x2 þ 1 e` definita per ogni x 2 R (sai giustificare pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi perche´?). Per tracciarne il grafico, osserviamo che l’equazione y ¼ x2 þ 1 e` equivalente al sistema: ( 2 ( 2 y ¼ x2 þ 1 x
y 2 ¼
1 ) y0 y0

y y = x 2 +1

L’equazione e` quella di un’iperbole equilatera avente i fuochi sull’asse y e asintoti coincidenti con le bisettrici dei quadranti; la disequazione ci vincola a considerare i punti dell’iperbole aventi ordinate positive o nulle. Pertanto il grafico della funzione data e` il ramo di iperbole non tratteggiato nella figura qui a fianco. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. La funzione y ¼
2 x2
1 e` definita purche´ sia x2
1  0, cioe` per x 
1 _ x  1. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Per tracciarne il grafico, osserviamo che l’equazione y ¼
2 x2
1 e` equipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi valente a
y ¼ 2 x2
1, ossia al sistema: 8 ( 2 < x2
y ¼ 1 y2 ¼ 4ðx2
1Þ 4 ovvero a :
y  0 y0 L’equazione del sistema e` quella di un’iperbole avente i fuochi sull’asse x e per asintoti le rette di equazione y ¼ 2x; la disequazione ci vincola a considerare i punti dell’iperbole aventi ordinate negative o nulle: pertanto il grafico della funzione data e` costituito dalla parte di iperbole non tratteggiata nella figura qui a fianco.

x

O

y

O

x

y = –2 x 2–1

399 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

Saper tracciare il grafico di nuove funzioni irrazionali ci consente di interpretare graficamente nuovi tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Interpretazione grafica di un’equazione irrazionale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Interpretiamo graficamente e risolviamo l’equazione 2 x 2 þ 1 ¼ x þ 2.

ESEMPIO

 Interpretazione grafica

Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2 x2 þ 1 e y ¼ x þ 2

Il grafico della prima funzione e` un ramo di iperbole, che puoi tracciare secondo il procedimento visto nell’esempio precedente; la seconda funzione ha come grafico una retta. y Le soluzioni dell’equazione corrispondono y = 2 x 2+1 alle ascisse deippunti ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi in cui il grafico della funzione y ¼ 2 x2 þ 1 interseca la retta. Daly = x +2 la figura puoi vedere che ci sono due punti di B intersezione, A e B. Il punto A ha ascissa 0, il punto B ha ascissa compresa tra 1 e 2. Quindi A possiamo prevedere che l’equazione avra` due soluzioni: una soluzione e` 0, l’altra soluzione x O e` un numero compreso tra 1 e 2.  Calcolo algebrico

Per determinare il valore della soluzione compresa tra 1 e 2, eleviamo al quadrato i due membri dell’equazione originaria e risolviamo l’equazione cosı` ottenuta: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x2 þ 1 ¼ x þ 2 ) 4ðx2 þ 1Þ ¼ ðx þ 2Þ2 ) 4x2 þ 4 ¼ x2 þ 4x þ 4 ) 4 ) 3x2
4x ¼ 0 ) x ¼ 0 _ x ¼ 3 In base all’analisi grafica che abbiamo effettuato possiamo concludere, senza effettuare la verifica, che entrambe le soluzioni sono accettabili e che le solu4 zioni dell’equazione data sono 0 e . 3 Risoluzione grafica di una disequazione irrazionale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risolviamo graficamente la disequazione x 2 þ 1 > 2x þ 1.

ESEMPIO

 Interpretazione grafica

Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ x2 þ 1 e y ¼ 2x þ 1

Il grafico della prima funzione e` un ramo di iperbole, che puoi tracciare secondo il procedimento visto in precedenza; la seconda funzione ha come grafico una retta. Risolvere graficamente la disequazione significa determinare perpquali di x il grafico ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffivalori ffi della funzione y ¼ x2 þ 1 e` «al di sopra» del grafico della retta. Dalla figura a lato puoi vedere che cio` accade (e quindi la disequazione e` verificata) per x < 0.

y y = x +1 2

O

x

y = 2x + 1

 Calcolo algebrico

In questo caso abbiamo potuto «leggere» completamente sul grafico le soluzioni della disequazione, quindi non e` necessario nessun calcolo algebrico. 400 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 8

Prova tu

ESERCIZI a p. 417

Iperbole

1. Traccia il grafico delle due funzioni: ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. y ¼ a. y ¼ 2 x2
1 x2 þ 9 3 COLLEGHIAMO I CONCETTI

Le coniche

asse

3La parabola, la circonferenza, l’ellisse e l’iperbole, come abbiamo visto, hanno

in comune la caratteristica di essere espresse da equazioni di secondo grado nelle variabili x e y. Esse sono chiamate coniche perche´ si possono ottenere sezionando una superficie conica con un piano. Per comprendere questo concetto, bisogna anzitutto prestare attenzione a non confondere il concetto di «superficie conica» con il concetto di «cono» (la figura geometrica solida che certamente gia` conosci dai tuoi studi precedenti). Chiamiamo superficie conica la superficie che si ottiene considerando due rette incidenti e facendo ruotare in un giro completo una di esse intorno all’altra (quest’ultima e` detta asse della superficie conica). Il punto in comune alle due rette si chiama vertice. La retta che si e` fatta ruotare e, ogni altra retta della superficie conica, si dice generatrice (fig. 8.14). Il vertice divide la superficie conica in due parti, dette falde. Consideriamo ora un piano, non passante per il vertice, che interseca la superficie conica; osservando la fig. 8.15, puoi renderti conto che la sezione e`: a. una circonferenza se il piano e` perpendicolare all’asse della superficie conica; b. un’ellisse se il piano non e` perpendicolare all’asse e non e` parallelo a una generatrice e interseca una sola falda della superficie conica; c. una parabola se il piano e` parallelo a una generatrice e interseca una sola falda della superficie conica; d. un’iperbole se il piano interseca entrambe le falde della superficie conica. asse

asse

asse

generatrici

vertice

Figura 8.14

asse

generatrice circonferenza

ellisse

a

iperbole

parabola

b

c

d

Figura 8.15

3Noi abbiamo studiato le coniche rimanendo nel piano, definendole come luo-

ghi di punti che soddisfano proprieta` legate alle distanze. In realta`, storicamente, i primi approfonditi studi sulle coniche, risalenti ai matematici Greci dell’eta` ellenistica e in particolare ad Apollonio di Perga (III secolo a.C.), furono collegati proprio al concetto di sezione conica, che viene dato nello spazio. L’equivalenza tra la definizione di conica data da Apollonio e la definizione di conica come luogo geometrico e` stata dimostrata, in tempi relativamente recenti, dal matematico belga Dandelin (1822). La varieta` dei metodi con cui storicamente sono state studiate le coniche fornisce un ulteriore esempio di come la matematica offra sempre una pluralita` di approcci a uno stesso problema, talvolta anche molto diversi fra loro. 401 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

MATEMATICA NELLA REALTA`

Alcune applicazioni dell’iperbole Tra le «forme» degli oggetti che possiamo osservare nella vita di tutti i giorni, l’iperbole certamente la si incontra meno frequentemente, per esempio, delle circonferenze e delle ellissi, che sono dovunque. Non bisogna tuttavia pensare per questo che l’iperbole sia una curva «poco interessante». Al contrario, l’iperbole e` una curva che compare in svariati contesti del mondo scientifico. Alcuni esempi?  Decine di leggi fisiche si rappresentano mediante equazioni che hanno come grafico un’iperbole: la legge di Boyle e quella di Ohm, tanto per citarne due (ricordi gli enunciati di queste leggi?).  Alcune comete passano dal sistema solare una sola volta, seguendo traiettorie iperboliche, aventi il Sole in uno dei due fuochi. Alcuni sistemi di radionavigazione sfruttano le iperboli. Per capire il perche´ occorre anzitutto osservare che l’iperbole puo` essere utilizzata per localizzare la posizione di un punto dove e` avvenuta l’emissione di un’onda sonora. Supponiamo (fig. 8.16) che in un punto ignoto S avvenga un’esplosione e che un osservatore, posto in O1 , senta l’esplosione 1 secondo dopo un osservatore posto in O2 . Siccome il suono si muove nell’aria a circa 342 m/s, segue che il punto S deve essere 342 metri piu` vicino a O2 che a O1 . Allora S appartiene a un ramo di iperbole avente fuochi in O1 e O2 . La misura dell’asse trasverso di tale iperbole e` la differenza delle distanze di S da O1 e O2 , cioe` 342. Se un terzo osservatore, posto in O3 , sente l’esplosione 2 secondi dopo O1 , allora S appartiene a un ramo di iperbole di fuochi O1 e O3 , il cui asse trasverso misura 684. Il punto in cui i due rami di iperboli si intersecano fornisce la posizione dove e` avvenuta l’esplosione.

S O3 684

O1

342

O2

Figura 8.16 Sistemi di navigazione come il LORAN (LOng RAnge Navigation), sviluppato dagli Stati Uniti durante la Seconda Guerra Mondiale, operano con una logica «inversa», ma che si basa su principi analoghi. Una coppia di stazioni A e B, una delle quali e` detta stazione principale, l’altra stazione secondaria, situate in un punto della costa, emettono simultaneamente segnali radio. Un’altra coppia di stazioni C e D, principale e secondaria, fanno la stessa cosa da un altro punto della costa. Una nave o un aereo che sorvola il mare, sulla base delle differenze di tempo con cui arrivano al ricevitore di bordo i segnali trasmessi simultaneamente dalle due coppie di stazioni, puo` tracciare due iperboli che si intersecano sulla mappa, in modo da determinare la propria posizione.

402 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

8

Esercizi

In più: esercizi interattivi

Unita`

Unita` 8

SINTESI Formule e proprieta` importanti

Iperbole

Iperbole con i fuochi sugli assi cartesiani Fuochi sull’asse y

Fuochi sull’asse x

y

y B2

)

(

F1 – a2 + b2 , 0 y=

b

c

x

a A 2

O

)

B2 c

A1

(

F2 0, + a2 + b2

(

)

F2 + a2 + b2, 0

B1

b y=– x a

b x a

A1 y=

b x a

b a A2

O

x b y=– x a

B1

(

F1 0, – a2 + b2

)

Equazione

x2 y2
2 ¼1 2 a b

Equazione

x2 y2
2 ¼
1 2 a b

Vertici

A1 ð
a, 0Þ; A2 ða, 0Þ

Vertici

B1 ð0,
bÞ; B2 ð0, bÞ

Vertici immaginari

B1 ð0,
bÞ; B2 ð0, bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð
a2 þ b2 , 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F2 ð a2 þ b2 , 0Þ

Vertici immaginari

A1 ð
a, 0Þ; A2 ða, 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 ð0,
a2 þ b2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F2 ð0, a2 þ b2 Þ

Fuochi

Asintoti

y ¼

b x a

Fuochi

Asintoti

Relazione tra i parametri

a2 þ b2 ¼ c 2

Relazione tra i parametri

Eccentricita`

e¼

Eccentricita`

c a

y ¼

b x a

a2 þ b2 ¼ c 2 c e¼ b

Equazione di un’iperbole equilatera Riferita agli assi: x2
y 2 ¼ k

Riferita agli asintoti: xy ¼ k

Funzione omografica La funzione definita dall’equazione y ¼ c 6¼ 0 e ad
bc 6¼ 0

ax þ b rappresenta un’iperbole purche´: cx þ d

  d a d a e ha per asintoti le rette di equazioni x ¼
e y ¼ . In tal caso ha centro in C
, c c c c Posizione reciproca tra retta e iperbole Data un’iperbole e una retta che non sia un asintoto dell’iperbole, l’equazione risolvente il sistema formato dall’equazione dell’iperbole e della retta puo` essere di primo o secondo grado. Se e` di secondo grado, indicato con
il suo discriminante, la retta risulta:  esterna all’iperbole se e solo se  tangente all’iperbole se e solo se  secante l’iperbole se e solo se


0

Se e` di primo grado, la retta risulta parallela a un asintoto e incontra l’iperbole in uno e un solo punto (senza essere tangente all’iperbole in quel punto). Equazione della retta tangente a un’iperbole in un suo punto Pðx0 , y0 Þ

Si ottiene effettuando, nell’equazione dell’iperbole, le seguenti sostituzioni: x2 ! xx0

e

y 2 ! yy0 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

403

Le coniche Tema C

` CONOSCENZE E ABILITA

1. L’equazione dell’iperbole

TEORIA a p. 380

Definizione e prime proprieta` 1 Þ

Completa le seguenti affermazioni:

a. l’iperbole e` il luogo dei punti del piano tali che la differenza, in .............................., delle distanze da due punti fissi detti ................................... e` .................... b. l’equazione in forma normale di un’iperbole con i fuochi sull’asse x e` .............................. c. l’equazione in forma normale di un’iperbole con i fuochi sull’asse y e` .............................. d. gli asintoti di un’iperbole sono rette che ................................................................. 2 Þ

a.

Associa a ogni equazione la frase che le corrisponde. x2 y2
¼1 5 4

A. Non rappresenta un’iperbole.

b. 3x2
3y 2 ¼ 1

B. Rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse y.

c. 9y 2
4x2 ¼ 1

C. Rappresenta un’iperbole con gli asintoti perpendicolari.

d.

x y
¼1 9 4

D. Rappresenta un’iperbole avente fuochi di coordinate ð3, 0Þ.

e. 9y 2 ¼ 1
4x2

E. Rappresenta un’iperbole avente vertici di coordinate ð3, 0Þ.

2

3 Þ

2

Sia P un punto di un’iperbole passante per Qð1, 3Þ e avente fuochi in F1 ð
2, 0Þ, F2 ð2, 0Þ. Quanto puo` valere

PF1
PF2 ? 4 Þ

I due vertici di un’iperbole sono i punti di coordinate ð3, 0Þ. Se P e` un punto dell’iperbole, quanto vale

jPF1
PF2 j, essendo F1 ed F2 i due fuochi? 5 Þ

Vero o falso? a. l’equazione y2
x2 ¼
1 rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse x b. l’iperbole di equazione y 2
x2 ¼ 1 ha l’asse trasverso sull’asse y 2

2

c. gli asintoti dell’iperbole di equazione 4x
y ¼ 1 sono le rette di equazione y ¼ 4x d. ogni iperbole ha eccentricita` minore di 1 2

2

e. l’iperbole di equazione x
3y ¼
3 ha fuochi di coordinate ð0, 2Þ 2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

2

f. l’iperbole di equazione 9x
25y ¼
1 ha i semiassi trasverso e non trasverso che misurano V F rispettivamente 5 e 3 [3 affermazioni vere e 3 false] Stabilisci quali dei seguenti punti appartengono all’iperbole di equazione 4x2
y 2 ¼
1:   pffiffiffi pffiffiffi 1 Að0,
1Þ; B
, 0 ; Cð
1, 5Þ; Dð2 2, 3Þ 2 x2 y2 ¼ 1 abbia i fuochi nei punti di coordina7 Sia a > 0; determina a in modo che l’iperbole di equazione 2
Þ pffiffiffi a 4 [a ¼ 2 3 ] te ð4, 0Þ. 6 Þ

8 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Sia a > 0; determiniamo a in modo che uno degli asintoti dell’iperbole di equazione 4x2
a2 y2 ¼ 1 sia la ret1 ta di equazione y ¼
x. 3 x2 y2
¼ 1. Se ne deduce che gli asintoti dell’iperbole sono le 1=4 1=a2 2 2 1 2 1 rette di equazioni: y ¼  x. L’asintoto di equazione y ¼
x coincide con y ¼
x se e solo se
¼
, da a a 3 a 3 cui a ¼ 6. L’equazione dell’iperbole, in forma normale, e`

404 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Sia a > 0; determina a in modo che uno degli asintoti dell’iperbole di equazione 4x2
a2 y 2 ¼ 1 sia la retta di 1 equazione y ¼
x. [a ¼ 4] 2

Unita` 8

10 Sia a > 0; determina per quali valori di a le iperboli che hanno le seguenti equazioni hanno eccentricita` uguaÞ le a 2.

Iperbole

9 Þ

a. 11 Þ

x2 y2 ¼1
a2 9

b.

x2 y2 ¼
1
a2 9

[a. a ¼

ESERCIZIO SVOLTO

Per quali valori di a la frazione algebrica

2a puo` rappresentare l’eccentricita` di un’iperbole? aþ1

L’eccentricita` di un’iperbole e` un numero maggiore di 1, percio` deve essere a <
1 _ a > 1 12 Þ

pffiffiffi pffiffiffi 3; b. a ¼ 3 3]

Per quali valori di a la frazione algebrica

2a > 1, ossia: aþ1

a2 puo` rappresentare l’eccentricita` di un’iperbole? aþ1 " pffiffiffi pffiffiffi # 1
5 1þ 5 _a>
1 < a < 2 2

Rappresentazioni grafiche 13 Þ

a.

Dal grafico all’equazione. Associa a ciascuna delle seguenti iperboli la sua equazione. x2 y2
¼1 4 9

b.

x2 y2 x2 y2 x2 y2
¼ 1 c.
¼
1 d.
¼
1 9 4 4 9 9 4 y

y

x

O

A 14 Þ

O

B

y

x

O

C

y

x

x

O

D

In relazione alla figura qui a fianco, completa le seguenti affermazioni:

y

a. i vertici dell’iperbole sono i punti di coordinate .........................

3

b. i vertici immaginari dell’iperbole sono i punti di coordinate .................... c. la misura dell’asse trasverso e`........... d. la misura dell’asse non trasverso e` ...............

x –4

O

4

e. gli asintoti hanno equazioni ................................... f. i fuochi hanno coordinate ...................................

–3

g. l’eccentricita` dell’iperbole e` ........................................ 15 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Rappresenta graficamente l’iperbole di equazione x2
4y2 ¼
4.  Dividi entrambi i membri dell’equazione per 4, in modo da riscrivere l’equazione in forma normale: x2
y 2 ¼
1 4

Puoi cosı` riconoscere che le misure dei semiassi sono a ¼ 2 e b ¼ 1. 405 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

 Disegna il rettangolo che passa per i vertici e per i vertici immaginari e che ha i lati paralleli agli assi cartesiani. Traccia le rette che contengono le diagonali di tale rettangolo. Che cosa rappresentano tali rette per l’iperbole? ....................... Qual e` la loro equazione? .............................................  Tenendo conto delle informazioni ricavate puoi gia` tracciare il grafico dell’iperbole.

 I fuochi sono i punti di coordinate ð0,  cÞ, dove: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c ¼ a2 þ b2 ¼ :::::::::: ¼ ::::: pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi Pertanto l’iperbole ha fuochi in F1 ð0,
::::: Þ e F2 ð0, ::::: Þ. Costruisci nella figura qui a fianco i fuochi con il compasso: devi tracciare la circonferenza che ha centro nell’origine e che passa, per esempio, per il punto di coordinate ð2, 1Þ e individuare i suoi punti di intersezione con l’asse y. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c ::::: ¼ :::::  Infine, l’eccentricita` dell’iperbole vale: e ¼ ¼ ::::: b Rappresenta le iperboli di cui e` data l’equazione, dopo averne determinato i vertici, gli asintoti, i fuochi e l’eccentricita`. 16 Þ

x2


y2 ¼ 1; 16

17 Þ

x2
4y 2 ¼
4;

18 Þ

8x2
y 2 ¼ 2;

4x2
25y 2 ¼ 100 2

19 Þ 20 Þ

y 2
9x2 ¼ 9;

x2 y2
¼
1; 16 9

y

O(0, 0)

x

y2 x2
¼1 36 25 16y 2
9x2 ¼ 144

E` vero che due iperboli aventi gli stessi asintoti sono congruenti? Se l’affermazione e` vera, giustificala, altrimenti mostra che e` falsa fornendo un opportuno controesempio.

21 Þ

2

x y
¼1 9 25

4x2 ¼ 4 þ y 2

Esercizi riassuntivi sulle prime proprieta` dell’iperbole 22 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo per quali valori di k l’equazione

x2 y2 þ ¼ 1: 2k 2
k

a. rappresenta un’iperbole; b. rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse x; c. rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse y.

a. Perche´ l’equazione rappresenti un’iperbole, i denominatori di x2 e y2 devono essere discordi. Deve quindi essere: 2kð2
kÞ < 0, cioe` k < 0 _ k > 2.

b. Perche´ l’equazione rappresenti un’iperbole con i fuochi sull’asse x, il denominatore di x2 deve essere maggiore di quello di y2 , ossia (per il primo punto) deve essere positivo mentre quello di y2 deve essere negativo. Deve quin 2k > 0 di essere: , da cui k > 2. 2
k0 23 Þ

Determina per quali valori di k l’equazione

x2 y2 þ ¼ 1: kþ2 2
k

a. rappresenta un’iperbole; b. rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse x; c. rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse y. 24 Þ

[a. k <
2 _ k > 2; b. k > 2; c. k <
2]

Determina per quali valori di k l’equazione ð2k
1Þx2 þ ðk
2Þy 2 ¼ k
1:

a. rappresenta un’iperbole;

b. rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse x; c. rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse y.



a.

 1 1 < k < 2 con k 6¼ 1; b. 1 < k < 2; c. 1; c.
1 < k < 0; d. k ¼ 4; e. k ¼ 2]

26 Þ

2. L’iperbole equilatera e la funzione omografica

TEORIA a p. 387

Iperbole equilatera 27 Þ

Completa le seguenti affermazioni:

a. un’iperbole equilatera riferita agli assi ha equazione del tipo ......................... b. un’iperbole equilatera riferita agli asintoti ha equazione del tipo ......................... c. gli asintoti di un’iperbole equilatera riferita agli assi hanno equazioni ......................... d. gli asintoti di un’iperbole equilatera riferita agli asintoti hanno equazioni ......................... e. l’eccentricita` di un’iperbole equilatera e` sempre uguale a ......................... 28 Þ

Dall’equazione al grafico. Associa a ciascuna delle seguenti equazioni il grafico corrispondente. b. x2
y 2 ¼ 9

a. xy ¼
4

c. xy ¼ 4

y

d. x2
y 2 ¼
9

y

y

y

x O

A 29 Þ

O

x

B

x

O

C

x

O

D

Vero o falso?

a. se k > 0, il grafico dell’iperbole di equazione xy ¼ k appartiene al primo e al terzo quadrante

b. se k < 0, il grafico dell’iperbole di equazione xy ¼ k appartiene al secondo e al terzo quadrante pffiffiffi pffiffiffi c. per ogni k 2 R, con k 6¼ 0, i vertici dell’iperbole di equazione xy ¼ k hanno coordinate ð k; kÞ e pffiffiffi pffiffiffi ð
k;
kÞ d. per ogni k 2 R, con k 6¼ 0, gli asintoti dell’iperbole di equazione xy ¼ k sono gli assi cartesiani

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 2 false] 407

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

30 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Traccia il grafico dell’iperbole di equazione xy ¼ 2. Determina inoltre i vertici e i fuochi dell’iperbole.  Osserva che y ¼ x

2 e completa la seguente tabella: x


4


2


1

1

2

y 4

y

O(0, 0)

x

Traccia il grafico dell’iperbole nella figura qui a fianco, tenendo conto che ha come asintoti gli assi cartesiani e passa per i punti le cui coordinate corrispondono ai valori di x e y ricavati nella tabella.  Si possono determinare i vertici intersecando l’iperbole con la retta che contiene l’asse trasverso, cioe` con la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Devi quindi risolvere il sistema:   pffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffi xy ¼ 2 x ¼
::::: x ¼ ::::: _ ) y¼x y ¼ ::::: y ¼ ::::: pffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffi I vertici sono dunque i punti V1
:::::, ::::: , V2 :::::, ::::: .

 Per determinare i fuochi, indica nella figura, con H e K rispettivamente, le proiezioni sull’asse x del vertice V2 e del fuoco F2 che appartengono al primo quadrante. Osserva che: pffiffiffi pffiffiffi a ¼ OV2 ¼ OH  2 ¼ :::::  2 ¼ ::::: pffiffiffi pffiffiffi OF2 c a 2 OK ¼ pffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ a ¼ ::::: Ricorda che in ogni iperbole equilatera c ¼ a 2 2 2 2 Quindi: F1 ð
2, :::::Þ, F2 ð2, :::::Þ.

Traccia i grafici delle iperboli aventi le seguenti equazioni. Determina inoltre i vertici e i fuochi di ciascuna iperbole. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 31 xy ¼ 6 [Vertici: ð 6,  6Þ, fuochi: ð2 3, 2 3Þ] Þ 32 Þ 33 Þ 34 Þ 35 Þ

xy þ 12 ¼ 0

pffiffiffi pffiffiffi [Vertici: ð 2,  2Þ, fuochi: ð2, 2Þ]

xy ¼
2

xy
10 ¼ 0

Determina per quale valore di k l’iperbole di equazione kx2
y 2 ¼ 4 e` equilatera. Traccia il grafico dell’iperbole pffiffiffi corrispondente a tale valore di k e determina i suoi vertici e i suoi fuochi. [k ¼ 1; vertici: ð2, 0Þ, fuochi: ð2 2, 0Þ]

Determina per quale valore di k l’iperbole di equazione x2
y 2 ¼ k passa per il punto Pð3, 4Þ. Traccia il grafico dell’iperbole corrispondente a tale valore di k e determina i suoi vertici e i suoi fuochi. pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [k ¼
7; vertici: ð0,  7Þ, fuochi: ð0,  14Þ] 36 Þ

La funzione omografica

37 Þ

Vero o falso?

3x þ 6 e` quella di un’iperbole xþ2 3þx b. uno degli asintoti dell’iperbole di equazione y ¼ e` l’asse y x 3 c. il centro di simmetria dell’iperbole di equazione y ¼ appartiene all’asse x xþ2 x þ 99 d. l’iperbole di equazione y ¼ ha la stessa eccentricita` dell’iperbole di equazione x2
99y 2 ¼
99 99x þ 2

a. l’equazione y ¼

e. le iperboli di equazioni y ¼ f. l’iperbole di equazione y ¼

xþ4 x
4 ey¼ hanno gli stessi asintoti x
2 xþ2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

x þ 99 V F ha la stessa eccentricita` dell’iperbole di equazione xy þ 99 ¼ 0 99x þ 2 [3 affermazioni vere e 3 false]

408 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Dall’equazione al grafico. Associa a ciascuna delle seguenti equazioni il grafico corrispondente.

a. y ¼

b. y ¼

2
x x
3

c. y ¼

xþ2 x
3

d. y ¼

xþ2 3
x

y

O

O

x

A

y

B

y

x

O

x

Iperbole

x
2 xþ3

y

39 Þ

Unita` 8

38 Þ

x

O

D

C

ESERCIZIO GUIDATO

Traccia il grafico dell’iperbole di equazione y ¼ punti di intersezione con gli assi cartesiani.

2x
4 , dopo averne determinato gli asintoti, il centro e i xþ1

 Identifica anzitutto i coefficienti: a ¼ 2, b ¼
4, c ¼ 1, d ¼ 1, e controlla che siano verificate le condizioni perche´ l’equazione data rappresenti un’iperbole.  Gli asintoti dell’iperbole hanno equazioni: x¼


y

d 1 a 2 ¼
¼
1; y ¼ ¼ ¼2 c 1 c 1

Il centro di simmetria e` percio` il punto Cð
1, 2Þ.  L’iperbole interseca l’asse x nel punto Að:::::, 0Þ e l’asse y nel punto Bð0, :::::Þ.

O(0, 0)

x

 Tenendo conto che l’iperbole passa per A e B, per i simmetrici di A e B rispetto al centro C e ha come asintoti le rette individuate, puoi tracciarne il grafico nella figura qui a fianco. Traccia i grafici delle seguenti funzioni, dopo averne determinato gli asintoti, il centro e i punti di intersezione con gli assi cartesiani. 40 Þ

y¼

x
1 ; xþ1

y¼

2x x
2

42 Þ

y¼

2
x ; x

y ¼1


41 Þ

y¼

2x
3 ; xþ3

y¼

3
x xþ2

43 Þ

y¼

x ; 2x þ 4

y¼

1 x

x þ1 x
1

Risolvi graficamente le seguenti disequazioni. 44 Þ

x
4 >0 xþ2

x
4 . Risolvere graficamente la disequazione significa xþ2 determinare per quali valori di x i punti del grafico hanno ordinate positive, ossia per quali valori di x [x <
2 _ x > 4] il grafico della funzione e` «al di sopra» dell’asse x)

(Suggerimento: traccia il grafico della funzione y ¼

45 Þ

x 0 xþ4

46 Þ

2x
1 >0 x

47 Þ

x
3 0 xþ3

[x <
4 _ x  0]

  1 x 2

48 Þ

2
3x >0 xþ2



49 Þ

4
2x 0 x
3

[x  2 _ x > 3]

2
2 < x < 3



[
3 < x  3] 409 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

x
2 Rappresenta graficamente l’iperbole di equazione y ¼ e scrivi le equazioni degli assi di simmetria del2x þ 4   l’iperbole. 5 3 y ¼ x þ , y ¼
x
2 2 x
2 51 Rappresenta graficamente l’iperbole di equazione y ¼ e determina le coordinate dei vertici e dei fuochi Þ x
1 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi dell’iperbole. [Vertici: ð0, 2Þ, ð2, 0Þ; fuochi: ð1
2, 1 þ 2Þ, ð1 þ 2, 1
2Þ] 50 Þ

ax þ 1 abbia centro nel punto Cð2, 3Þ. [a ¼ 3, b ¼ 1] bx
2

52 Þ

Determina a e b in modo che l’iperbole di equazione y ¼

53 Þ

Determina a, b e c in modo che l’iperbole di equazione y ¼

x¼
54 Þ

1 2 , y ¼ e passi per il punto Pð0,
1Þ. 3 3

ax þ b abbia per asintoti le rette di equazione cx þ 1

Determina per quali valori di a e b l’iperbole di equazione y ¼

ð2, 5Þ.

[a ¼ 2, b ¼
1, c ¼ 3] ax þ b ha un vertice nel punto di coordinate xþ2 [ða ¼ 1 ^ b ¼ 18Þ _ ða ¼ 9 ^ b ¼ 2Þ]

3. L’iperbole e la retta

TEORIA a p. 393

Posizione reciproca tra retta e iperbole Considera l’iperbole di equazione x2
4y 2 ¼ 4 e rappresentala graficamente. Stabilisci la posizione di ciascuna delle seguenti rette rispetto all’iperbole. pffiffiffi 1 a. x
2y
1 ¼ 0 b. x
4y ¼ 0 c. 4x
y ¼ 0 d. y ¼ x þ 3 e. y ¼ x 2 Prima analizza la situazione graficamente, poi verifica le tue conclusioni algebricamente e, se ci sono punti di intersezione, calcolane le coordinate. pffiffiffi pffiffiffi !    5 3 4 3 3 , ; c. esterna; , (la retta e` parallela a uno degli asintoti); b. secante in  a. Secante in 3 3 2 4 pffiffiffi pffiffiffi !  4 3 3 ,
; e. nessun punto di intersezione (la retta coincide con un asintoto) d. tangente in
3 3 55 Þ

Determina la misura della corda individuata sull’iperbole di equazione x2
y 2 ¼ 1 dalla retta di equazione   y ¼ 2x þ 2. 2 pffiffiffi 5 3 56 Þ

Verifica che la retta di equazione x
2y ¼
6 e` tangente all’iperbole di equazione x2
y 2 ¼
12 e trova le [ð2, 4Þ] coordinate del punto di contatto. 57 Þ

Sia A il punto del primo quadrante di ascissa 3 appartenente all’iperbole di equazione x2
y 2 ¼ 8. Scrivi l’equazione della retta r, passante per A e per il fuoco F1 dell’iperbole di ascissa negativa, e indica con B l’ulteriore punto di intersezione della retta r con l’iperbole . Determina infine l’area del triangolo AF2 B, essendo F2 l’altro fuo    co dell’iperbole. 1 17 1 10 , r: y ¼ ðx þ 4Þ; B
; 7 6 6 3 58 Þ

59 Þ

Siano A e B (xA < xB Þ i punti di intersezione della retta di equazione y ¼ x þ 2 con l’iperbole di equazione x2
4y 2 ¼ 4. Determina i punti dell’iperbole che formano con A e B un triangolo isoscele sulla base AB.    10 4 A
,
, Bð
2, 0Þ; i punti dell’iperbole che formano con A e B un triangolo isoscele 3 3 sono i punti di intersezione dell’iperbole con l’asse del segmento AB, pffiffiffiffiffiffi 
40  2 73 ossia i punti dell’iperbole aventi ascissa x ¼ 9 Considera il punto Pð0, 2Þ e l’iperbole di equazione x2
y 2 ¼ 1. Scrivi l’equazione della retta passante per P, di coefficiente angolare m, e determina per quali valori di m tale retta: a. e` esterna all’iperbole; c. interseca l’iperbole in due punti distinti; b. e` tangente all’iperbole; d. interseca l’iperbole in un solo punto. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [a. m <
5 _ m > 5; b. m ¼  5; c.
5 < m < 5 ^ m 6¼ 1; d. m ¼ 1]

60 Þ

410

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

61 Þ

Unita` 8

Tangenti all’iperbole passanti per un punto ESERCIZIO GUIDATO

Iperbole

Determina la retta tangente all’iperbole di equazione xy ¼ 2 passante per Pð0, 2Þ.  L’equazione della generica retta passante per P e` y ¼ mx þ 2.  Considera il sistema formato dall’equazione dell’iperbole e della retta: 

xy ¼ 2

y

y ¼ mx þ 2

xy = 2

La sua equazione risolvente e`: P

xð::::::::::Þ ¼ 2

x

O

 Imponi che il discriminante di tale equazione sia uguale a zero. Troverai l’equazione

:::::

þ 8m ¼ 0, da cui m ¼


equazione: y ¼
62 Þ

1 :::::

1 :::::

. Quindi la retta tangente ha

xþ2

Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto Pð
3, 0Þ tangenti all’iperbole di equazione x2
4y 2 ¼
3.   1 y ¼  ðx þ 3Þ 4

Determina le rette tangenti all’iperbole di equazione x2
4y 2 ¼ 1 parallele alla bisettrice del primo e del terzo " pffiffiffi # quadrante. 3 y ¼x 2

63 Þ

64 Þ

Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equazione xy ¼
6, passante per il punto Pð
2, 0Þ.

[Presta attenzione: una delle due rette che trovi coincide con un ....................; y ¼ 6x þ 12]

65 Þ

66 Þ

Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equazione 4x2
y 2 ¼ 16 passanti per il punto Pð0, 2Þ. pffiffiffi [y ¼  5x þ 2] ESERCIZIO GUIDATO

Determina la retta tangente all’iperbole di equazione x2
y2 ¼
3 nel suo punto P del primo quadrante, di ascissa 1.  Sostituendo x ¼ 1 nell’equazione dell’iperbole data ottieni l’equazione 1
y 2 ¼
3, da cui y ¼ ::::: Poiche´ il punto P appartiene al primo quadrante, sara` Pð1, :::::Þ.  Poiche´ P e` un punto dell’iperbole, l’equazione della retta tangente all’iperbole in P, in base alla formula di sdoppiamento, e`:

y

P O

x x 2 – y2 = –3

xx0
yy0 ¼
3 dove al posto di x0 e y0 devi sostituire, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata di P. Quindi l’equazione della tangente e` ...............

[x
2y ¼
3]

Determina la retta tangente all’iperbole di equazione x2
2y 2 ¼ 7 nel suo punto del secondo quadrante di ordinata 1. [3x þ 2y þ 7 ¼ 0] 67 Þ

Determina la retta tangente all’iperbole di equazione x2
y 2 ¼
4 nel suo punto del terzo quadrante di ascispffiffiffi sa
1. [x
5y ¼ 4] 68 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

411

Le coniche Tema C

4. Come determinare l’equazione di un’iperbole

TEORIA a p. 396

Iperbole, date due condizioni, tra cui vertici o fuochi 69 Þ

Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle iperboli rappresentate nelle figure qui sotto. y

y

2

2 3

–3 O

O

–2

70 Þ

3

–3

x

x

–2

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione dell’iperbole avente fuochi nei punti di coordinate ð2, 0Þ e un vertice in Vð1, 0Þ.  Poiche´ i fuochi dell’iperbole appartengono all’asse x, l’equazione dell’iperbole sara` del tipo

y

x2 y2
¼ 1. a2 b2

x 2–

 Dato che uno dei due vertici e` Vð1, 0Þ, puoi dedurre che a2 ¼ :::::

 Poiche´ i fuochi hanno coordinate ð2, 0Þ, la semidistanza focale e` c ¼ ::::: Dalla relazione c2 ¼ a2 þ b2 puoi allora ricavare che b2 ¼ c2
a2 ¼ :::::::::: ¼ :::::

V

F1 O

y2 =1 3 x

F2

 Se hai svolto i calcoli correttamente troverai che l’iperbole richiesta e` quella di y2 ¼ 1. equazione x2
3

71 Þ

Ricordando che a e b sono le misure dei semiassi e c e` la semidistanza focale, scrivi le equazioni in forma normale delle iperboli aventi i fuochi sull’asse x, per le quali: a. a ¼ 4, b ¼ 1

72 Þ

b. a ¼ 2, c ¼ 3

c. b ¼ 2, c ¼ 4

  x2 x2 y2 x2 y2
y 2 ¼ 1; b.
¼ 1; c.
¼1 a. 16 4 5 12 4

Scrivi l’equazione dell’iperbole avente un vertice in Vð2, 0Þe un fuoco in Fð3, 0Þ.



 x2 y2
¼1 4 5

73 Þ

Ricordando che a e b sono le misure dei semiassi e c e` la semidistanza focale, scrivi le equazioni in forma normale delle iperboli aventi i fuochi sull’asse y, per le quali: a. a ¼ 1, b ¼ 4

b. a ¼ 3, c ¼ 4

c. b ¼ 4, c ¼ 5



a. x2


 y2 x2 y2 x2 y2 ¼
1; b.
¼
1; c.
¼
1 16 9 7 9 16

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi, avente un vertice in Vð0, 3Þ.

[x2
y 2 ¼
9]

75 Þ

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi, avente un fuoco in Fð
3, 0Þ.



76 Þ

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti, avente un vertice in Vð
4, 4Þ.

77 Þ

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti, avente un fuoco in Fð
4, 4Þ.

74 Þ

412 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

9 x
y ¼ 2 2

2



[xy ¼
16] [xy ¼
8]

78 Þ

Unita` 8

Iperbole, date due condizioni, tra cui il passaggio per un punto ESERCIZIO GUIDATO

 Poiche´ i vertici dell’iperbole appartengono all’asse y (quindi anche i fuochi), l’equazione dell’iperbole e` del tipo

y

x2 y2
¼
1. a2 b2

 Dalla conoscenza dei vertici puoi dedurre che b2 ¼ ::::: Quindi l’equazione 2

P(1, 6) V2(0, 3)

2

x y ¼
1 . Imponendo il passaggio per P, ottieni
a2 ::::: 1 1 l’equazione 2
::::: ¼
1, da cui a2 ¼ . ::::: a dell’iperbole diventa

 Se hai svolto correttamente i calcoli, troverai che l’iperbole cercata ha equazione 3x2


Iperbole

Scrivi l’equazione dell’iperbole avente vertici nei punti di coordinate ð0,  3Þ e passante per il punto Pð1, 6Þ.

x

O V1(0, –3) y2 3x – = –1 9 2

y2 ¼
1. 9

79 Scrivi l’equazione dell’iperbole, con i fuochi sull’asse x, il cui asse trasverso misura 4, passante per il punto Þ [x2
3y 2 ¼ 4] Pð4, 2Þ. pffiffiffi 80 Scrivi l’equazione dell’iperbole avente fuochi nei punti di coordinate ð0, 2 2Þ e passante per Pð1, 3Þ. Þ  2  x y2
¼
1 2 6 81 Scrivi l’equazione dell’iperbole, con i fuochi sull’asse x, il cui asse non trasverso misura 4, passante per il punÞ  2  to Pð
4, 2Þ. x y2
¼1 8 4 82 Þ 83 Þ 84 Þ

[x2
y 2 ¼ 3]

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi passante per Pð2, 1Þ. Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti passante per Pð2,
1Þ.

[xy ¼
2]

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera passante per Pð
1,
3Þ:

a. riferita agli assi; b. riferita agli asintoti.

[a. x2
y 2 ¼
8; b. xy ¼ 3]

Iperbole, dati due punti 85 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

pffiffiffiffiffiffi Scrivi l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse x, che passa per i punti Pð 10, 1Þ e Qð5, 2Þ.

x2 y2  Considera l’equazione in forma normale dell’iperbole con i fuochi sull’asse x, 2
2 ¼ 1, e imponi il passaga b gio per P e Q: Otterrai il sistema: 8 10 > > > < a2
> > 25 > :
a2

y

1 ¼1 b2 4 ¼1 b2

P

 Per risolvere questo sistema, poni

1 1 ¼ u e 2 ¼ v. 2 a b

Il sistema si trasforma cosı` nel seguente:  10u
v ¼ 1

O

( 10,1) Q(5, 2) x

x2 – 5y2 = 5

25u
4v ¼ 1

Risolvendolo trovi che u ¼ :::: e v ¼ :::: Quindi a2 ¼ :::: e b2 ¼ ::::  Se hai svolto tutti i calcoli correttamente troverai che l’iperbole cercata ha equazione x2
5y 2 ¼ 5. 413 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Le coniche Tema C

Scrivi le equazioni delle iperboli con i fuochi sull’asse x che passano per i punti P e Q.   pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi y2 2 ¼ 1 86 Pð
1, 0Þ; Qð2, 2 3 Þ x
88 Pð3, 2Þ; Qð 5, 1Þ Þ Þ 4  2  pffiffiffi x y2
¼1 87 Pð2 2, 0Þ; Qð4,
2Þ 89 Pð
1, 2Þ; Qð2,
1Þ Þ Þ 8 4

Scrivi le equazioni delle iperboli con i fuochi sull’asse y che passano per i punti P e Q. pffiffiffiffiffiffi 90 Pð1, 2Þ; Qð2, 13Þ [3x2
y 2 ¼
1] 92 Pð
1, 2Þ; Qð2, 3Þ Þ Þ pffiffiffiffiffiffi 2 2 91 Pð1, 1Þ; Qð 11, 3Þ [4x
5y ¼
1] 93 Pð
1, 2Þ; Qð
2, 1Þ Þ Þ

[x2
4y 2 ¼ 1] [Impossibile]

[5x2
3y 2 ¼
7] [Impossibile]

pffiffiffi pffiffiffi Dati i punti Pð1, 1Þ e Qð 2, 3Þ, scrivi le equazioni delle iperboli che passano per P e Q, aventi i fuochi rispet[Sull’asse x: 2x2
y 2 ¼ 1; sull’asse y: impossibile] tivamente sull’asse x e sull’asse y.

94 Þ

Iperbole, date due condizioni, tra cui gli asintoti 95 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Scriviamo l’equazione dell’iperbole avente come asintoti le rette di equazioni y ¼ 2x e passante per il punto Pð1, 1Þ.  Poiche´ gli asintoti sono due rette passanti per l’origine e simmetriche rispetto all’asse x, si deduce che l’iperbole di cui stiamo cercando l’equazione ha come assi di simmetria gli assi cartesiani. Inoltre, poiche´ l’iperbole deve passare per il punto P, deve essere contenuta negli angoli individuati dagli asintoti che contengono l’asse x: x2 y2 Quindi i fuochi devono appartenere all’asse x e l’equazione dell’iperbole deve essere del tipo: 2
2 ¼ 1. a b  Affinche´ l’iperbole abbia come asintoti y ¼ 2x e passi per P deve essere soddisfatto il sistema: 8 y 8 2 b > 2 > Condizione sugli asintoti ¼ 2 b ¼ 4a < < a ) ) > 1 : 1
1 ¼1 1 > : 2 2 Passaggio per P
2 ¼1 a b a2 b P(1, 1) 8 2 8 2 x 2 2 O 1; b. 0 < k < 1]

153 Scrivi l’equazione dell’iperbole avente i fuochi in Þ F1 ð
5, 0Þ ed F2 ð5, 0Þ e un vertice in Vð4, 0Þ.  2  x y2
¼1 16 9

Iperbole

145 Þ

154 Þ

Unita` 8

144 Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera, avenÞ te come asintoti gli assi cartesiani, che passa per il punto Pð2, 3Þ. Determina le rette tangenti all’iperbole, perpendicolari alla retta che contiene i fuochi dell’ipffiffiffi [xy ¼ 6; y ¼
x  2 6] perbole.



  1 27 ,
2 , Area ¼ 2 8

158 Þ

Scrivi l’equazione dell’iperbole avente fuochi nei punti di coordinate ð2, 0Þ e passante per il punto Pð2, 3Þ. Determina sull’iperbole i vertici del rettangolo pffiffiffi con i lati paralleli agli assi cartesiani avente area 3 7. Verifica infine che i vertici di tale rettangolo sono i punti d’intersezione dell’iperbole con la circonferenza che ha come diametro il segmento che congiunge i " ! pffiffiffi fuochi dell’iperbole. 7 3 y2 2 , ¼ 1; x
2 3 2  e i suoi simmetrici rispetto agli assi e all’origine 159 Þ

Scrivi l’equazione dell’iperbole avente per asintopffiffiffi ti le rette di equazione y ¼ x 5 e passante per il punto Að
2, 4Þ. Verifica che anche il punto Bð
5,
11Þ appartiene a tale iperbole e scrivi le equazioni delle tangenti all’iperbole in A e in B, indicando con P il loro punto di intersezione. Calcola l’area del triangolo APB.  5 5x2
y 2 ¼ 4; tangenti in A e B: y ¼
x
1, 2    25 4 2 2 135 y¼ xþ , P
,
; Area ¼ 11 11 7 7 7

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

419

Le coniche Tema C

kx þ 3 , dove k e` un parametro reale. Determina: xþk
2 a. per quale valore di k si ottiene un’iperbole avente come asintoto la retta di equazione y ¼ 1; b. per quale valore di k si ottiene un’iperbole avente come asintoto la retta di equazione x ¼ 4.

160 Þ

Considera l’equazione y ¼

Traccia i grafici delle iperboli corrispondenti a tali valori di k e determina la misura del segmento AB, essendo A e B, con ðxA < xB Þ, i punti d’intersezione delle due iperboli.   pffiffiffi xþ3 3
2x ; b. k ¼
2: y ¼ ; c. Að
1,
1Þ, Bð3, 3Þ; AB ¼ 4 2 a. k ¼ 1: y ¼ x
1 x
4

161 Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera avente per asintoti gli assi cartesiani e passante per il punto Pð2, 1Þ Þ e determina l’equazione della retta t, tangente in P all’iperbole. Indica con H il punto d’intersezione con l’asse x della retta t e scrivi l’equazione della retta n, passante per H e perpendicolare a t. Detti A e B i punti d’intersezione della retta n con l’iperbole, verifica che il punto medio M di AB appartiene alla retta passante per P parallela all’asse y e che il triangolo APB e` rettangolo in P. Determina infine l’equazione della circonferenza circoscritta ad APB.   1 xy ¼ 2; y ¼
x þ 2; Hð4, 0Þ, n: y ¼ 2x
8; Mð2,
4Þ; ðx
2Þ2 þ ðy þ 4Þ2 ¼ 25 2

Considera l’equazione ða
2Þx2 þ 3ay 2 ¼ a
4. Determina , se esistono, i valori di a per cui rappresenta: rffiffiffiffiffi ! a. un’ellisse; 1 g. un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate  ,0 ; 2 b. un’iperbole; ! rffiffiffiffiffiffiffiffi c. un’ellisse con i fuochi sull’asse x; 14 ; 0 ; h. un’iperbole avente i fuochi nei punti di coordinate  d. un’iperbole con i fuochi sull’asse y; 3 pffiffiffi e. una circonferenza; i. un’iperbole avente per asintoti le rette di equazione x  3y ¼ 0; j. un’ellisse passante per il punto di coordinate ð2, 1Þ. f. un’iperbole equilatera;  a. a < 0 _ a > 4; b. 0 < a < 2; c. a <
1 _ a > 4; d. nessun valore di a; e. a ¼
1;  1 1 4 f. a ¼ ; g. a ¼
2 _ a ¼ 8; h. a ¼ _ a ¼ ; i. a ¼ 1; j. nessun valore di a 2 2 3 pffiffiffi 163 Determina le rette passanti per l’origine e aventi distanza uguale a 1 dal punto Fð 5, 0Þ. Scrivi quindi l’equaÞ zione dell’iperbole avente come asintoti tali rette e un fuoco in F. Determina il punto P dell’iperbole, appartenente al primo quadrante, tale che, condotta da P la tangente t all’iper   4 pffiffiffi 1 bole, la circonferenza con centro nell’origine e tangente a t abbia raggio . x  2y ¼ 0; x2
4y 2 ¼ 4; P 5, 3 2 ` 164 E data l’iperbole
di equazione xy ¼ 4. Determina: Þ a. l’equazione dell’iperbole
1 con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, avente centro in Cð
1, 2Þ e congruente a
; b. l’equazione dell’iperbole
2 avente i fuochi in Fð4, 0Þ e la stessa eccentricita` di
.   Dimostra che
1 e
2 sono congruenti. 2x þ 6 2 2 a. y ¼ ; b. x
y ¼ 8 xþ1 162 Þ

165 Verifica che il triangolo formato da una tangente qualsiasi a un’iperbole equilatera e dagli asintoti ha area coÞ stante e che il punto di contatto P della tangente e` punto medio del segmento di tangente avente gli estremi A e B sugli asintoti. (Maturita` scientifica 1988-89)

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 166 Þ

167 Þ

(Kangourou 2007)

(High School Math Contest, Texas 2007)

Traccia il grafico della funzione: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ jð1 þ xÞð1
jxjÞj

168 Þ

Solve math in English Find conditions on k so that the graph of the equation ðk
3Þx2 þ ð7
kÞy 2 ¼ k:

a. is a circle; 169 Þ

Determina tutti i punti aventi coordinate intere positive che appartengono all’iperbole di equazione [(138, 137); (30, 25); (18, 7)] x2
y 2 ¼ 275.

b. is an ellipse;

c. is a not degenerate hyperbola.

[a. k ¼ 5; b. 3 < k < 7; c. k < 3 _ k > 7, k 6¼ 0]

Solve math in English Find an equation of the hyperbola with center at the origin, one focus at (0, 5) and the li-

nes of equations y ¼ 

1 x as asymptotes. 2

420 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara



 x2 y2
¼
1 20 5

Solve math in English Find an equation of the hyperbola whose foci are two vertices of the ellipse

 x2 y2
¼1 9 16

171 Solve math in English Suppose ABC is an equilateral triangle with Að
1, 0Þ and with both points B and C on Þ the right half of the hyperbola defined by the equation x2
y 2 ¼ 1. What is the area of ABC? pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 3 A D 6 E 4 3 B 3 C 3 3 2 (High School Math Contest, University of South Carolina 2005) [C]

Iperbole



x2 y2 þ ¼ 1 and whose vertices are the foci of the ellipse. 25 16

Unita` 8

170 Þ

PROVA DI AUTOVERIFICA

L’iperbole 1 Þ

Vero o falso? a. l’iperbole e` il luogo dei punti del piano tali che la differenza, in valore assoluto, delle distanze da due punti fissati, e` costante x2 y2
¼ 1 ha i fuochi sull’asse y b. l’iperbole di equazione 5 7 c. se gli asintoti di un’iperbole hanno equazioni y ¼ 2x, l’iperbole non puo` essere equilatera d. le iperboli di equazione x2
y 2 ¼ 10 e xy ¼ 100 hanno la stessa eccentricita` e. ogni iperbole ha eccentricita` maggiore di 1 f. le rette che non incontrano un’iperbole in alcun punto sono dette asintoti dell’iperbole

2 Þ

a.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Associa a ogni equazione della prima riga le caratteristiche dell’iperbole che le corrispondono. x2 y2
¼1 16 5

b.

x2 y2
¼
1 16 8

c. 4x2
4y 2 ¼ 1

d. y 2
4x2 ¼ 4

A. Ha i fuochi sull’asse x. B. Ha i fuochi sull’asse y. C. L’asse trasverso misura 4. D. L’asse trasverso misura 8. 3 Þ

Considera le iperboli aventi le seguenti equazioni:

x2 y2
¼1 b. y 2
4x2 ¼ 16 9 16 Per ciascuna di esse dai la rappresentazione grafica dopo averne individuato vertici, asintoti, fuochi ed eccentricita`. 2x þ 4 4 Rappresenta il grafico della funzione y ¼ , dopo averne determinato Þ y xþ4 il centro, gli asintoti, e i punti di intersezione con gli assi cartesiani. 2 5 Scrivi l’equazione dell’iperbole rappresentata nella figura qui a fianco. Þ x 6 Scrivi le equazioni delle iperboli che hanno come asintoti le rette di equazio–4 4 O Þ pffiffiffi ne y ¼ 2x e fuochi nei punti di coordinate ð3 5, 0Þ. –2 7 Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera, avente come assi di simmetria gli Þ assi cartesiani, passante per Pð2, 3Þ. Determina l’equazione della tangente all’iperbole in P. a.

8 Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera, avente come asintoti gli assi cartesiani, che giace nel primo e nel Þ pffiffiffi terzo quadrante, il cui asse trasverso misura 4 6. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’iperbole perpendicolari alla retta cui appartengono i suoi fuochi.

Valutazione Esercizio Punteggio

1

2

3

4

5

6

7

8

Totale

0,25 6 ¼ 1,5

0,25 4 ¼ 1

0,75 2 ¼ 1,5

1

1

1

1,5

1,5

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h e 30 min

3Risposte in fondo al volume

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

421

C

Laboratorio di informatica ` GUIDATE ATTIVITA Attivita` 1 GeoGebra

Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line.

Una costruzione geometrica della parabola Realizza un file di GeoGebra che consenta di costruire la parabola di dato fuoco e direttrice. a. Costruzione

Esegui la seguente costruzione preliminare.

Tema C

Laboratorio di informatica

Tema

1. Crea un punto F nel piano (che rappresentera` il fuoco della parabola da costruire). 2. Traccia la retta r passante per F perpendicolare all’asse x. 3. Considera un punto A sulla retta r (per esempio al di sotto di FÞ e traccia la retta passante per A e perpendicolare alla retta r (che sara` la direttrice della parabola). Ricorda La parabola e` il luogo dei punti del piano equidistanti dal fuoco e dalla direttrice.

Devi ora costruire la parabola avente fuoco in F e come direttrice l’ultima retta tracciata. A tale scopo, puoi procedere come segue. 1. Considera un punto B sulla direttrice e traccia la retta s passante per B e perpendicolare alla direttrice stessa. 2. Traccia l’asse del segmento FB (seleziona lo strumento Asse di un segmento e fai clic sui punti F e BÞ e indica con C il suo punto di intersezione con la retta s. 3. Il punto C e` equidistante dal fuoco e dalla direttrice (perche´?), quindi e` un punto della parabola. La parabola e` il luogo generato dal punto C al variare del punto B sulla direttrice. Per generare tale luogo (ossia la parabola) puoi seguire due vie:

Informatica – GEOGEBRA

 selezionare lo strumento Luogo, quindi fare clic prima sul punto C (il punto che genera il luogo) e poi sul punto B (il punto al variare del quale si genera il luogo): GeoGebra rappresentera` immediatamente la parabola, luogo descritto dal punto C al variare di B;

422 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Tema C

 fare clic con il tasto desto del mouse sul punto C, attivare l’opzione Traccia attiva, quindi trascinare il punto B sulla direttrice: al variare del punto B, il punto C, lasciando la sua traccia, genera la parabola.

Laboratorio di informatica

b. Esplorazione

1. Mantenendo fisso il punto F, muovi la direttrice trascinando il punto A: man mano che la direttrice si allontana dal fuoco che cosa accade al grafico della parabola? Man mano che la direttrice si avvicina al fuoco che cosa accade al grafico della parabola? Quale relazione sussiste tra la posizione della direttrice rispetto al fuoco e la concavita` della parabola? 2. L’asse del segmento BF come risulta rispetto alla parabola? Questa proprieta` si mantiene al variare del fuoco e della direttrice?

Attivita` 2 GeoGebra

Determinare l’equazione di una circonferenza Risolvi con l’ausilio di GeoGebra il seguente problema di geometria analitica: «Rappresentare e determinare l’equazione della circonferenza passante per il punto A(2, 1) e tangente in B(4, 3) alla retta t di equazione y ¼ 2x
5». a. Costruzione

Inizia con il creare i punti A e B e la retta t. Ora devi, con un’opportuna costruzione, individuare il centro della circonferenza richiesta. 1. Poiche´ la circonferenza deve passare per A e B, il suo centro deve appartenere all’asse di AB: traccia quindi tale asse, con lo strumento Asse di un segmento. 2. Poiche´ la circonferenza deve essere tangente in B alla retta t, il suo centro deve appartenere alla retta passante per B e perpendicolare in B alla retta t: traccia tale retta, utilizzando lo strumento Retta perpendicolare. 3. Individua il centro C della circonferenza richiesta, come punto di intersezione delle due rette tracciate negli ultimi due passi (tratteggiate in figura). 4. La circonferenza richiesta e` quella di centro C, passante per esempio per A: traccia tale circonferenza con lo strumento Circonferenza di dato centro. 5. Nella Vista Algebra puoi leggere l’equazione di tale circonferenza. Prova a risolvere l’esercizio con carta e penna, verificando che l’equazione che ottieni coincide con quella fornita da GeoGebra.

Suggerimento Per creare il punto A devi immettere nella riga di inserimento A=(2,1). Analogamente per creare B.

Informatica – GEOGEBRA 423 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Laboratorio di informatica Tema C

b. Esplorazione

Mantenendo fisso il punto B e la retta t, trascina il punto A e cerca di formulare una congettura sulla risposta alla seguente domanda: esiste sempre una circonferenza tangente in B alla retta t e passante per A, qualsiasi sia la posizione di A? (Suggerimento: cerca di capire se ci sono posizioni di A per cui l’asse di AB e` parallelo alla retta passante per B e perpendicolare a t.)

` PROPOSTE ATTIVITA 1 Þ

2 Þ

3 Þ

Definisci tre slider a, b, c, quindi immetti l’equazione della generica parabola con asse parallelo all’asse y: y ¼ ax2 þ bx þ c. Muovendo gli slider, studia come varia il grafico della parabola al variare dei parametri a, b, c. Risolvi con GeoGebra il seguente problema: «Rappresentare e determinare l’equazione della circonferenza passante per i tre punti Að4, 4Þ, Bð1, 1Þ, Cð4, 3Þ». Risolvi poi il problema algebricamente, con carta e penna, verificando che i risultati ottenuti siano coerenti con la soluzione trovata con GeoGebra. Effettua con GeoGebra la costruzione descritta qui di seguito, volta a costruire l’ellisse
avente fuochi in F1 ð
3, 0Þ ed F2 ð3, 0Þ e asse maggiore di lunghezza uguale a 8:

Informatica – GEOGEBRA

a. crea i due punti F1 ð
3, 0Þ ed F2 ð3, 0Þ; b. traccia (con lo strumento Segmento di data lunghezza da un punto) un segmento AB di lunghezza uguale a 8 e considera un punto C su tale segmento; c. traccia con lo strumento Compasso la circonferenza di centro F1 e raggio AC e la circonferenza di centro F2 e raggio BC e individua i due punti di intersezione P e Q di tali circonferenze; d. determina (con lo strumento Luogo) i due luoghi descritti da P e Q al variare del punto C: tali luoghi sono due semiellissi, la cui unione fornisce l’ellisse
. e. Giustifica perche´ la costruzione effettuata consente di ottenere l’ellisse
.

424 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

C

Verso le competenze

Tema

1 Þ

x2
2y ¼ 2;

y2 x2
¼1 9 16

2 Þ

x2 ¼ 2y;

y¼


3 Þ

x2 þ y 2
2x
3 ¼ 0;

x2 ¼ y 2 þ 4

4 Þ

16x2 þ 9y 2 ¼ 144;

4x2 þ 4y 2
12x
7 ¼ 0

12 Þ 13 Þ 14 Þ

1 2 x þ 3x 2

8 Þ 9 Þ



10 Þ



11 Þ





xy ¼ 1 y ¼ 4x

x þ 4y ¼ 16 y ¼ x2 þ 2




3 4 , 5 5



[ð1, 3Þ; ð3, 1Þ] pffiffiffi pffiffiffi [ð2,
2Þ; ð 3
1,
2 3
2Þ; pffiffiffi pffiffiffi ð
3
1, 2 3
2Þ

xy ¼
4 y ¼ x2
6

16 Ellisse avente un fuoco in Fð3, 0Þ e un vertice in Þ  2  Vð4, 0Þ. x y2 þ ¼1 16 7 17 Þ

Iperbole avente un fuoco in Fð3, 0Þ e un vertice  2  in Vð2, 0Þ. x y2
¼1 4 5 18 Þ

Iperbole avente un vertice in Vð0, 3Þ e come asin 2  3 x y2 toti le rette di equazioni y ¼  x.
¼
1 4 9 2

19 Circonferenza passante per Að
4, 0Þ e Oð0, 0Þ, Þ avente il centro sulla retta di equazione y ¼
2x
3. [x2 þ y 2 þ 4x
2y ¼ 0] 20 Þ

Iperbole equilatera riferita ai suoi assi, passante per Pð3, 2Þ. [x2
y 2 ¼ 5]

[ð0, 2Þ]

xy ¼
2 y¼x

x2 þ y 2 ¼ 10 xþy ¼4



Parabola avente fuoco in Fð0,
1Þ e come direttri  ce l’asse x. 1 1 y ¼
x2
2 2

   1 1 , 2 ;
,
2 2 2

2



ð0,
1Þ;

15 Þ

y ¼ x2 þ 2x þ 3 2x
y þ 6 ¼ 0 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [ð 3, 2 3 þ 6Þ; ð
3,
2 3 þ 6Þ] 2





x2 þ y 2 ¼ 1 3x þ y þ 1 ¼ 0

Scrivi le equazioni, in forma normale, delle coniche descritte.

Interpretando graficamente i seguenti sistemi, stabilisci quante soluzioni ammettono e, se possibile, cerca di prevedere quali sono le soluzioni. Verifica poi algebricamente le tue conclusioni.     3 y ¼ 2x2
x
1 5 ,2 ð0,
1Þ; Þ y ¼ 2x
1 2  2 x þ y2 ¼ 4 [Impossibile] 6 Þ x
yþ3¼0  2 x þ y 2
4x þ 6y þ 9 ¼ 0 7 Þ x
y ¼3 [ð0,
3Þ; ð2,
1Þ] 



Verso le competenze

Per ciascuna delle seguenti equazioni, stabilisci se si tratta dell’equazione di una parabola, di una circonferenza, di un’ellisse o di un’iperbole e rappresentala graficamente.

Tema C

CONFRONTARE E ANALIZZARE FIGURE GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO

21 Þ

Parabola avente vertice in Vð
2, 0Þ e passante   3 per Pð0, 3Þ. y ¼ ðx þ 2Þ2 4

[Impossibile]

22 Þ

Scrivi il sistema che e` rappresentato in ciascuna delle seguenti figure (le curve disegnate sono rette, parabole, circonferenze o iperboli). y

y

y

P(–1, 3)

4

x O

2 O

4

4

–4 x

O

x

–4

425 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Scrivi il sistema che e` rappresentato in ciascuna delle seguenti figure (le curve disegnate sono rette, parabole, circonferenze, ellissi o iperboli). y

–3

y

y

4

2

Tema C

Verso le competenze

23 Þ

3 3

–2

O

O

x

–2 –1

O1

3

2

4

x

x

–2 –4

Dopo aver stabilito se il punto P appartiene alla conica di cui e` data l’equazione, scrivi l’equazione delle rette tangenti alla conica passanti per P. pffiffiffi 24 y ¼ x2
2x Pð0,
3Þ [y ¼ ð
2  2 3Þx
3] 26 xy ¼ 8 Pð2, 4Þ [y ¼
2x þ 8] Þ Þ " # pffiffiffi 27 x2 þ 4y 2 ¼ 8 Pð2, 1Þ [x þ 2y ¼ 4] Þ 2 5 2 2 ðx
3Þ 25 x þ y ¼ 4 Pð3, 0Þ y ¼  Þ 5 28 y ¼
3x2 þ 4x P  Oð0, 0Þ [y ¼ 4x] Þ Determina l’equazione dell’iperbole i cui fuochi sono due vertici dell’ellisse avente equazione 9x2 þ 4y 2 ¼ 36  2  e i cui vertici sono i fuochi di tale ellisse. x y2
¼
1 4 5 29 Þ

Considera la circonferenza avente equazione x2 þ y 2 ¼ 4. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel punto V in cui la circonferenza interseca il semiasse positivo delle ordinate e che passa per il punto Pð1, 0Þ. Determina la misura della corda, appartenente al terzo e al quarto quadrante, che la circonferenza e la parabola hanno pffiffiffi in comune. [y ¼
2x2 þ 2, 7] 30 Þ

31 Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha due vertici nei punti di coordinate ð2, 0Þ e ð0, 1Þ e l’equazione dell’iperboÞ le equilatera, riferita agli assi, che ha un vertice nel punto di coordinate ð0, 3Þ. Determina una retta parallela all’asse y, che individua sull’iperbole un segmento di misura quadrupla del segmento pffiffiffiffiffiffi   2 individuato dalla retta sull’ellisse. x 35 2 2 2 þ y ¼ 1; x
y ¼
9; x ¼  5 4 32 Þ

Dati i punti Að
2, 0Þ e Bð2, 0Þ, scrivi l’equazione della parabola che ha vertice in Vð0, 2Þ e passa per A e B, e l’equazione della circonferenza che ha centro nel vertice della parabola e passa per A e B. Determina l’area del quadrilatero che ha come vertici i punti d’intersezione della parabola e della circonferenza, il vertice della parabola e infine il punto d’intersezione della circonferenza con il semiasse negativo delle ordinate.   pffiffiffi 1 2 2 2 y ¼
x þ 2; x þ y
4y
4 ¼ 0; Area ¼ 4 2 2 33 Considera i tre punti Að
3, 0Þ, Bð1, 0Þ e Cð0, 3Þ. Scrivi le equazioni della parabola e della circonferenza passanÞ ti per essi e rappresentale graficamente. Verifica che l’asse della parabola e` anche un asse di simmetria della circonferenza e deduci, dal grafico, quali sono le coordinate dell’ulteriore punto D che la parabola e la circonferenza hanno in comune. Determina infine l’area del quadrilatero che ha come vertici tali punti d’intersezione.

[y ¼
x2
2x þ 3; x2 þ y 2 þ 2x
2y
3 ¼ 0; Area ¼ 9] 34 Þ

426

Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice in Vð2, 2Þ e che passa per l’origine. Indicato con P il punto in cui la parabola interseca l’asse x (oltre all’origine), scrivi l’equazione della retta r tangente alla parabola in P. Scrivi infine l’equazione della circonferenza tangente in P alla retta r e avente il centro sull’asse y.   1 y ¼
x2 þ 2x; r: y ¼
2x þ 8; x2 þ y 2 þ 4y
16 ¼ 0 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Determina la misura della corda AB, individuata dalla retta colorata in azzurro sulla circonferenza colorata in rosso.

36 Þ

Determina la misura della corda AB, individuata dalla retta colorata in azzurro sulla parabola colorata in rosso.

Verso le competenze

y y A –3

x –2

O

B

2

2 C

3

O –2

3

x

B

" rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # 101 2 13

Tema C

35 Þ

A V –9 2

pffiffiffi [4 3]

1 Determina le coordinate dei punti A e B (xA < xB Þ che la retta di equazione y ¼ x þ 1 ha in comune con la 2 pffiffiffi     parabola di equazione y ¼
x2
2x. Calcola poi la misura del segmento AB. 1 3 3 5 Að
2, 0Þ; B
, ; AB ¼ 4 2 4

37 Þ

Traccia il grafico della parabola di equazione y ¼ 3x2
8x þ 4 e determina perimetro e area del triangolo che   ha per vertici i punti d’intersezione della parabola con l’asse x e il vertice della parabola stessa. 8 9 38 Þ

39 Determina l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per i punti Að
2, 0Þ, Bð3, 0Þ e Þ    Cð1, 3Þ. Rappresentala graficamente, dopo averne determinato il vertice. 1 2 1 1 25 , y ¼
x þ x þ 3; V 2 2 2 8

Determina le coordinate dei punti d’intersezione A e B (xA < xB Þ della parabola di equazione y ¼ 4
x2 con la retta di equazione y ¼ x þ 2. Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola in A e B e determina il punto d’intersezione C di tali tangenti. Calcola infine l’area di ABC.     1 27 Að
2, 0Þ e Bð1, 3Þ; y ¼ 4x þ 8 e y ¼
2x þ 5; C
, 6 ; area ¼ 2 4 40 Þ

41 Þ

Dopo avere determinato le coordinate dei punti d’intersezione A e B della parabola di equazione y ¼ 2x2
2x
4 con l’asse delle x, determina l’area del trapezio isoscele inscritto nel segmento parabolico limitato pffiffiffi [area ¼ 3 þ 5] dalla parabola e dall’asse x, avente come base AB e la cui altezza misura 2. 42 Þ

Determina k in modo che la parabola di equazione y ¼ kx2
2x þ k:

a. passi per il punto Pð1, 1Þ



k¼

3 2



  1 k¼
_k¼2 2   1 k¼ 3 " pffiffiffi # 5 k¼ 2

3 b. abbia il vertice sulla retta di equazione y ¼ 2 c. abbia come asse la retta di equazione x ¼ 3 d. abbia come direttrice l’asse x e. sia tangente all’asse x

[k ¼ 1]

43 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro nell’origine e passa per Pð2,
1Þ e l’equazione della paraÞ bola che ha vertice nell’origine e passa per P. Scrivi poi le equazioni delle rette passanti per Qð0, 4Þ tangenti alla circonferenza, e le equazioni delle rette passanti per Q e tangenti alla parabola. pffiffiffiffiffiffi  1 55 x þ 4; x2 þ y 2 ¼ 5; y ¼
x2 ; tangenti alla circonferenza per Q: y ¼  5 4 

tangenti alla parabola per Q: y ¼ 2x þ 4

Scrivi l’equazione dell’ellisse i cui fuochi sono i vertici dell’iperbole di equazione x2
4y 2 ¼
4, avente due  2  vertici nei fuochi dell’ iperbole. x y2 þ ¼1 4 5

44 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

427

Verso le competenze Tema C

Sia s la retta tangente alla circonferenza di equazione x2 þ y 2
2x
3y
4 ¼ 0 nel suo punto d’intersezione con il semiasse negativo delle y. Determina la tangente t alla parabola di equazione y ¼ x2
2x parallela alla retta s.   2 2 16 s: y ¼
x
1, t: y ¼
x
5 5 25 46 Considera i punti Að
2, 0Þ, Bð0, 2Þ, Cð0, 4Þ; determina: Þ 45 Þ

a. l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC; b. l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, passante per A, B e C. Esiste una parabola con asse parallelo all’asse y passante per A, B e C?   1 2 2 x þ y þ 6x
6y þ 8 ¼ 0; x ¼
ðy
2Þðy
4Þ 4 2 2 x x þ y2 ¼ 1 e
y 2 ¼ 1 e traccia i loro grafici. Verifica che hanno gli stessi 47 Riconosci le curve di equazioni Þ 10 8 fuochi e che i loro punti d’intersezione appartengono a una stessa circonferenza, di cui devi determinare l’equazio[x2 þ y 2 ¼ 9] ne.   3 5 48 Considera la parabola con fuoco in F 1,
e avente per direttrice la retta di equazione y ¼
. Scrivi l’eÞ 4 4 quazione della circonferenza avente centro nel vertice della parabola e passante per i punti d’intersezione di que[y ¼ x2
2x; ðx
1Þ2 þ ðy þ 1Þ2 ¼ 2] st’ultima con l’asse x. 49 Þ

Sia
l’iperbole avente come asintoti le rette di equazioni x ¼ 1 e y ¼ 1, passante per Pð2, 4Þ. Scrivi l’equazione di
e traccia il suo grafico. Determina poi l’equazione della circonferenza passante per i punti d’intersezione di
  con gli assi cartesiani e per il punto P. xþ2 2 2 ; x þ y
2x
2y
8 ¼ 0 y¼ x
1

50 In un sistema di assi cartesiani sono dati i punti Oð0, 0Þ e Að2, 2Þ, e la circonferenza avente per diametro il Þ segmento OA. Determina l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per i due punti dati e tale che abbia in A come tangente la retta tangente alla circonferenza. [x2 þ y 2
2x
2y ¼ 0; y ¼
x2 þ 3x] 51 Þ

Scrivi le equazioni delle due parabole aventi, rispettivamente, asse parallelo all’asse x e all’asse y, passanti per Að
1, 0Þ, Bð0, 1Þ, Cð
2, 3Þ. Verifica quindi che tali parabole sono tangenti in B (cioe` che hanno in B la stessa retta   tangente). 2 5 x ¼
y 2 þ y
1; y ¼ 2x2 þ 3x þ 1 3 3 52 Siano: Þ  r la tangente alla parabola di equazione y ¼
x2
2x parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante;  s e t le tangenti alla circonferenza di equazione x2 þ y 2
2x
2y ¼ 0 parallele alla stessa bisettrice.

Determina la distanza di r da s e la distanza di r da t. pffiffiffi  pffiffiffi  9 17 2 2 , dðr, tÞ ¼ r: y ¼ x þ ; s: y ¼ x þ 2; t: y ¼ x
2; dðr, sÞ ¼ 8 8 4 53 Þ

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per Rð2,
3Þ e tangente alla retta di equazione y ¼ 2x þ 2 nel suo punto d’intersezione con l’asse x. Indica con r la retta tangente a tale circonferenza in R e con s la retta tangen1 te alla parabola di equazione y ¼ x2 parallela a r; quindi determina: 4 a. la distanza tra le rette r ed s; b. l’equazione della retta RS, essendo S il punto di contatto di s con la parabola. pffiffiffi     1 1 1 3 5 1 13 7 ; b. S 1, xþ x2 þ y 2
2x þ 2y
3 ¼ 0; r: y ¼ x
4; s: y ¼ x
; a. dðr, sÞ ¼ ,y¼
2 2 2 4 4 4 2

54 Þ

428

Considera i punti Að
1, 0Þ e Bð3, 2Þ. Determina:

a. l’equazione della circonferenza di diametro AB; b. l’equazione della parabola passante per A e B, tangente alla retta passante per l’origine e parallela alla retta AB, verificando che tale parabola e` tangente all’asse x; c. le equazioni delle tangenti alla parabola e alla circonferenza in A e B.  1 a. x2 þ y 2
2x
2y
3 ¼ 0; b. y ¼ ðx þ 1Þ2 ; c. tangenti in A: y ¼ 0, y ¼
2ðx þ 1Þ; 8  tangenti in B: y ¼ x
1, y ¼
2x þ 8

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56 Þ

Scrivi l’equazione: a. dell’ellisse avente un vertice in Vð0, 4Þ e fuochi nei punti Að
2, 0Þ, Bð2, 0Þ; b. della parabola passante per A, B e V. Determina l’area del triangolo avente per vertici i punti d’intersezione della parabola e dell’ellisse. pffiffiffi   x2 y2 216 5 2 þ ¼ 1; b. y ¼
x þ 4; a. 20 16 25

Verso le competenze

Verifica che il quadrilatero di vertici Að2, 0Þ, Bð6, 4Þ, Cð4, 6Þ, Dð0, 2Þ e` un rettangolo. Determina quindi: a. l’equazione della circonferenza circoscritta al rettangolo; b. l’equazione della parabola passante per A e D, tangente alla retta DC. [a. x2 þ y 2
6x
6y þ 8 ¼ 0; b. y ¼
x2 þ x þ 2]

Tema C

55 Þ

Determina l’equazione dell’iperbole i cui fuochi sono due vertici dell’ellisse avente equazione 9x2 þ 4y 2 ¼ 36  2  e i cui vertici sono i fuochi di tale ellisse. x y2
¼
1 4 5 57 Þ

Considera la circonferenza avente equazione x2 þ y 2 ¼ 4. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel punto V in cui la circonferenza interseca il semiasse positivo delle ordinate e che passa per il punto Pð1, 0Þ. Determina la misura della corda, appartenente al terzo e al quarto quadrante, che la circonferenza e la parabola hanno pffiffiffi in comune. [y ¼
2x2 þ 2, 7] 58 Þ

59 Þ

Scrivi l’equazione dell’ellisse che ha due vertici nei punti di coordinate ð2, 0Þ e ð0, 1Þ e l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita agli assi, che ha un vertice nel punto di coordinate ð0, 3Þ. Determina una retta parallela all’asse y, che individua sull’iperbole un segmento di misura quadrupla del segmento pffiffiffiffiffiffi   2 individuato dalla retta sull’ellisse. 35 x 2 2 2 þ y ¼ 1; x
y ¼
9; x ¼  5 4

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI 60 Þ

La campata principale (cioe` la distanza fra i piloni) del Golden Gate Bridge che collega l’Oceano Pacifico con la Baia di San Francisco e` lunga circa 1280 m. L’altezza di ciascuno dei due piloni rispetto alla strada e` 160 m. I cavi portanti che collegano i piloni hanno la forma di una parabola e ciascuno di essi tocca la strada nel punto a meta` tra i due piloni. A quale altezza rispetto alla strada si trovano i punti dei cavi portanti situati a 300 m di distanza da uno dei due piloni? Arrotonda il risultato a un numero intero. (Suggerimento: assumi un sistema di riferimento come quello indicato in figura e determina l’equazione della para[45 m] bola che rappresenta il cavo portante) y 300 m cavo 160 m ? strada pilone

x

O 1280 m

pilone

61 I segnali che incidono sulla superficie di un’antenna parabolica (cioe` su di un’antenna la cui superficie e` otteÞ nuta dalla rotazione di un arco di parabola intorno al suo asse) si riflettono nel fuoco della parabola, dove solitamente e` collocato il ricevitore. Un’antenna ha un diametro di 1 m e una profondita` di 10 cm. A quale distanza dal vertice della superficie parabolica si trova il ricevitore? (Suggerimento: assumi un sistema di riferimento come y quello indicato in figura e determina l’equazione della ricevitore parabola che nella rotazione genera la superficie dell’anetenna) ?

10 cm O 1m

x

[62,5 cm] 429

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Verso le competenze Tema C

62 A causa di un fenomeno di riflessione, negli edifici a volta ellittica, due interlocutori posti nei due fuochi rieÞ scono a sentirsi anche se parlano a voce bassissima. Paolo e Barbara si trovano in un edificio a pianta e volta ellittica e, per sperimentare tale fenomeno acustico, si posizionano nei due fuochi e sussurrano alcune parole. Il punto piu` alto del soffitto dell’edificio e` a 13 m di altezza e la lunghezza dell’edificio e` 170 m. A quanti metri dal centro O dell’edificio di trovano Paolo e Barbara?

13 m

O ?

?

[84 m]

170 m

63 Un camion alto 3,5 m e largo 4 m, sta percorrendo una strada a senso unico, esattamente a centro strada. La Þ strada entra a un certo punto in una galleria a volta semiellittica, alta 4 m e larga 16 m. Il camion riuscira` a entrare nella galleria? (Suggerimento: assumi un sistema di riferimento come quello indicato in figura) [il camion riesce ad attraversare la galleria]

y

3,5 m O 4m

4m

x

16 m 64 Matematica e fisica Un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato all’istante Þ t ¼ 0 si trova nell’origine del sistema di riferimento e ha una velocita` v0 ¼ 1,5 m/s e una accelerazione a ¼ 2 m/s. Disegna i grafici delle tre funzioni che esprimono l’accelerazione, la velocita` e lo spazio in funzione del tempo. 65 Þ

Matematica e fisica Un calciatore tira una punizione imprimendo al pallone una velocita` iniziale v0 ¼ 14 m/s con una inclinazione rispetto al terreno di 30 . In un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, traccia il grafico della traiettoria dopo averne determinato l’equazione. [Rispetto a un sistema di riferimento in cui l’origine e` posta nel punto in cui viene calciato il pallone e il terreno e` rappresentato dall’asse x, l’equazione della traiettoria, arrotondando i coefficienti alla seconda cifra decimale, e` y ¼
0,033x2 þ 0,58x]

1 1 1 þ ¼ , dove p e` la distanza dell’oggetto considerato p q f dal centro della lente, q e` la distanza dell’immagine dal centro della lente e f e` la distanza focale. Assumendo f ¼ 0,50 m e considerando p > 0 e q > 0, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali il grafico di q in funzione di p.

66 Þ

430

Matematica e fisica Per le lenti sottili vale la legge

67 Matematica e fisica La prima legge di Keplero afferma che ogni pianeta del Sistema Solare ruota attorno al Sole Þ descrivendo un’orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Per il pianeta Marte il semiasse maggiore e` a ¼ 22,8  1010 m e l’eccentricita` dell’orbita e` e ¼ 0,0935. Calcola la distanza massima tra Marte e Sole (afelio) e la distanza minima (perielio), espresse in unita` astronomiche (1 UA ¼ 1,50  1011 m). Scrivi quindi l’equazione dell’orbita di Marte, disegna l’orbita e individua la posizione occupata dal Sole. Il valore dell’eccentricita` quale infor  mazione fornisce? x2 y2 þ ¼1 Afelio ’ 1,7 UA; perielio ’ 1,4 UA; equazione dell’orbita in UA: ð1,52Þ2 ð1,51Þ2

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L’equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 rappresenta sempre una circonferenza per ogni valore reale di a, b e c? Se la risposta e` affermativa giustificala, altrimenti fornisci un controesempio e spiega quale condizione deve essere soddisfatta perche´ l’equazione rappresenti una circonferenza.  y ¼ ax2 þ bx þ c 70 Illustra l’interpretazione grafica del sistema e il numero delle possibili soluzioni che puo` Þ y ¼ mx þ q avere. 69 Þ

Verso le competenze

Spiega come i parametri a, b e c influenzano il grafico della parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c. Quale effetto ha sul grafico della parabola il discriminante dell’equazione associata ax2 þ bx þ c ¼ 0? 68 Þ

Tema C

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE

71 Þ

Illustra il concetto di retta tangente a una conica. Descrivi in particolare il procedimento per scrivere le equazioni delle rette tangenti a una conica, passanti per un punto esterno a essa.

72 Þ

Dati due punti distinti A e B e una retta r, cui non appartengono A e B, illustra sia il procedimento geometrico sia quello analitico per determinare l’equazione della circonferenza passante per A e B, avente il centro sulla retta r. Precisa quali condizioni devono essere verificate perche´ la circonferenza esista e sia unica.

73 Þ

Illustra il concetto di conica, mettendo in evidenza che puo` essere definito in tre modi diversi (sebbene tra loro equivalenti): come curva ottenuta dalla sezione di un cono, come curva luogo dei punti che soddisfano un’equazione di secondo grado in due incognite oppure come luogo dei punti del piano che soddisfano particolari proprieta` legate alle distanze.

74 Þ

Considera:

– un’ellisse avente fuochi in A, B e semiasse maggiore di misura a – un’iperbole avente fuochi in A, B e semiasse trasverso di misura b, con a > b. Dimostra che i punti d’intersezione dell’ellisse e dell’iperbole sono l’unione dei punti d’intersezione: – delle due circonferenze di centri A e B e raggi, rispettivamente, a þ b e a
b; – delle due circonferenze di centri A e B e raggi, rispettivamente, a
b e a þ b.

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Tra le parabole aventi le seguenti equazioni, qual Þ e` quella passante per l’origine? A

y ¼ x2
10

C

y ¼
ðx
3Þ2

B

y ¼ x2


D

y ¼ x2
2 þ 3x

2 Þ

1 x 3

Il grafico di una parabola avente equazione y ¼ ax2 þ bx þ c e` quello in figura. Quali sono i segni dei coefficienti a, b e c? A

a > 0, b < 0, c > 0

C

a > 0, b < 0, c < 0

B

a < 0, b > 0, c < 0

D

a < 0, b > 0, c > 0

L’equazione ðx þ 1Þ2 þ ðy
3Þ2 þ 4 ¼ 0:

A

rappresenta una circonferenza di centro Cð
1; 3Þ e raggio 4

B

rappresenta una circonferenza di centro Cð1,
3Þ e raggio 2

C

rappresenta una circonferenza di centro Cð
1; 3Þ e raggio 2

D

non rappresenta una circonferenza

3 Tra le parabole aventi le seguenti equazioni, qual Þ e` quella avente l’asse di simmetria coincidente con l’asse y? 2 2 C y ¼
A y ¼
2x2
4x
1 x
x 3 B

4 Þ

y ¼ x2
9

D

x ¼ y2
1

y

x

O

x2 y2 þ ¼ 1: 4 3

5 Þ

L’ellisse di equazione

A

ha i fuochi sull’asse y

B

ha i fuochi distanti ciascuno 1 unita` dall’origine

C

interseca la retta di equazione y ¼ 2 in due punti distinti

D

ha eccentricita` maggiore di 1

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431

Verso le competenze Tema C

6 Þ

Qual e` l’equazione dell’iperbole rappresentata in figura? A

x2 y2
¼1 4 16

B

x2 y2
¼
1 4 16

Considera l’equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0; quale delle seguenti affermazioni e` falsa? 10 Þ

y

A

B

C

x2 y2
¼1 16 4

D

x2 y2
¼
1 16 4

C

x

O

D

11 Þ

Quale delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza di raggio 1? A B

7 Un aereo si muove alla velocita` costante di 600 Þ

km/h. Alle 18:15 passa sopra Roma che, rispetto a un opportuno sistema di riferimento in cui l’unita` di misura sui due assi corrisponde a 1 km, e` rappresentata dal punto di coordinate (
65, 22). a. Proseguendo in linea retta, a che ora si trova all’incirca nei cieli di Praga le cui coordinate sono (135, 900)? A

19:30

B

19:45

C

20:00

D

20:15

b. Scrivi i calcoli tramite cui sei giunto alla risposta a.: ................................................................................................................. .......................................................................................................................

c. Sapendo che Praga e` circa a meta` del percorso tra Roma e Stoccolma, che coordinate ha Stoccolma? A B

(200, 922) (270, 1800)

C D

(300, 1500) (335, 1778)

d. Scrivi i calcoli tramite cui sei giunto alla risposta c.: ................................................................................................................. .......................................................................................................................

8 Þ

Considera la parabola avente equazione y ¼ x
4x þ 5; quale delle seguenti affermazioni e` falsa? A B C D

2

L’asse della parabola ha equazione x ¼ 2. L’ordinata del vertice della parabola e` 1. La parabola interseca l’asse x in due punti distinti. La retta tangente alla parabola nel suo nel suo punto d’intersezione con l’asse y e` parallela alla retta di equazione y ¼
4x.

9 Þ

Il secondo principio della dinamica afferma che F ¼ ma. Supponendo F costante, qual e` il grafico della funzione che esprime l’accelerazione a in funzione della massa m, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, in cui la massa e` posta in ascissa e l’accelerazione in ordinata? A B C D

Se c ¼ 0 l’equazione rappresenta una circonferenza passante per l’origine. L’equazione rappresenta una circonferenza per ogni a, b, c 2 R. Se a ¼ b ¼ 0 e c < 0, l’equazione rappresenta una circonferenza avente centro nell’origine. Se b ¼ c ¼ 0 l’equazione rappresenta una circonferenza tangente all’asse y.

Una semiretta Un arco di parabola Un ramo di iperbole equilatera Un arco di circonferenza

C D

x2 þ y 2
2x
2y
2 ¼ 0 x2 þ y 2
2x
4y
4 ¼ 0 x2 þ y 2
2x
2y þ 3 ¼ 0 x2 þ y 2
2x
4y þ 4 ¼ 0

12 Þ

Qual e` l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y ¼ x2 þ 5x
6 nel suo punto d’intersezione con il semiasse delle ascisse negative? A B

y ¼
7x y ¼
6x
12

C D

y ¼ 5x
40 y ¼
7x
42

13 Þ

Una nave segue una rotta iperbolica che, in un sistema di riferimento opportunamente scelto, e` descritta dall’equazione 5y 2
x2 ¼ 1. A un certo punto cambia rotta e segue un altro ramo di iperbole di equazione 5x2
y 2 ¼ 1. Sapendo che il punto nel quale ha cambiato rotta appartiene al primo quadrante, quale e` l’ascissa di questo punto? A

1

B

1 2

C

1 4

D

1 5

14 Þ

Sia
la parabola, con asse parallelo all’asse y, avente vertice nel punto V(2,0) e che passa per P(0,4). Qual e` l’ordinata del punto della parabola di ascissa 5? A

8

B

9

C

10

D

11

15 Þ

La traiettoria di un tappo di una bottiglia di champagne fatto saltare e` descritta dalla funzione sðt Þ ¼
2t 2 þ 4t þ 1, dove t sono i secondi dopo aver stappato la bottiglia ed s e` l’altezza (in metri) del tappo dal suolo. Qual e` la massima altezza dal suolo che viene raggiunta dal tappo? A

8m

B

3m

C

2m

D

9m

16 Þ

Una circonferenza di equazione x2 þ y 2 þ ax þ by þ c ¼ 0 ha il grafico in figura. Cosa si puo` dire dei coefficienti a, b, c? A B C D

a < 0, b > 0, c ¼ 0 a > 0, b < 0, c ¼ 0 a < 0, b < 0, c < 0 a > 0, b > 0, c < 0

432 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y O

x

Considera l’iperbole di equazione

false:

x2
y 2 ¼ 1 e stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali 4 V

F

b. ha come asintoti le rette di equazioni 2x  y ¼ 0 pffiffiffi c. ha asse maggiore di misura 2 5

V

F

V

F

V

F

V

F

x2 y2 þ ¼1 d. ha i fuochi coincidenti con quelli dell’ellisse di equazione 6 1 pffiffiffi 5 e. ha eccentricita` uguale a 2

18 Þ A B

L’iperbole di equazione y ¼

1
2x : xþ1

non e` equilatera ha come asintoto la retta di equazione y ¼
2

C D

Verso le competenze

a. ha i fuochi sull’asse y

Tema C

17 Þ

ha come asintoto la retta di equazione x ¼ 1 ha il centro nel punto di coordinate ð1,
2Þ

19 Þ

Quale delle seguenti e` l’equazione della semicirconferenza rappresentata nella figura qui a fianco? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A y ¼ 2x
x2 þ 8 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi B y ¼
2x
x2
8 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C y ¼ x2
2x þ 8 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D y ¼
x2
2x þ 8

y

–2

O

4

x

20 Un satellite descrive intorno alla Terra un’orbita ellittica, rispetto cui il centro della Terra occupa uno dei due Þ fuochi dell’ellisse. Rispetto a un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale, sui cui assi l’unita` di mix2 y2 þ ¼1 sura e` il kilometro, l’equazione dell’orbita del satellite e`: 2 ð6930Þ ð6920Þ2

a. Sapendo che il raggio terrestre misura circa 6380 km, a quale distanza dalla superficie terrestre si trova il perigeo (punto dell’orbita del satellite avente la minima distanza dal centro della Terra)? Arrotonda il risultato a un numero intero. A

158 km

B

165 km

C

b. Scrivi i calcoli tramite cui sei giunto alla risposta a.:

178 km

D

196 km

....................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................

y

F1

apogeo

C

F2

perigeo raggio terrestre 6380 km

distanza tra apogeo e superficie terrestre

x distanza tra perigeo e superficie terrestre

c. A quale distanza dalla superficie terrestre si trova l’apogeo (punto dell’orbita del satellite avente la massima distanza dal centro della Terra)? Arrotonda il risultato a un numero intero. A

824 km

B

922 km

d. Scrivi i calcoli tramite cui sei giunto alla risposta c.:

C

756 km

D

1040 km

....................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................

433 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEMA

Funzioni esponenziali e logaritmiche Nel corso dei tuoi studi di matematica hai incontrato

molti tipi di funzioni. Inizialmente hai incontrato le cosiddette funzioni algebriche, cioe` le funzioni che possono essere espresse in termini di somme, differenze, prodotti, quozienti, potenze o radici di polinomi, poi ti sono stati presentati i primi esempi di funzioni che non sono algebriche e vengono percio` dette trascendenti: le funzioni goniometriche. Nelle prossime Unita` introdurremo altre classi di funzioni trascendenti: le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche. Queste funzioni compaiono in moltissimi ambiti scientifici: dalla biologia alla chimica, all’economia, alle scienze sociali. La ragione della loro ubiquita` e` che esse costituiscono modelli matematici che consentono di descrivere una grandissima varieta` di fenomeni: vedremo per esempio che grazie al modello fornito dalle funzioni esponenziali e` possibile sia effettuare «previsioni sul futuro» (come prevedere quale sara` l’evoluzione di un’epidemia o quale sara` la crescita di una popolazione), sia «riscoprire il passato» (per esempio datare l’eta` di un fossile).

Unita` 9 Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Unita` 10 Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

D

PREREQUISITI

3Potenze a esponente razionale e relative proprieta`

3Funzioni e grafici 3Equazioni e disequazioni algebriche, con valori assoluti e irrazionali

COMPETENZE

3Utilizzare le tecniche del calcolo algebrico per risolvere semplici equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

3Saper costruire modelli di crescita o decrescita esponenziale

Lo space shuttle Challenger esplose la mattina del 28 gennaio 1986 dopo 73 secondi di volo, alla sua decima missione. All’istante del lancio la temperatura era di 2,2 oC, insolitamente bassa per la Florida, e la notte precedente la temperatura era scesa sotto lo zero. L’incidente avvenne a causa della rottura di un anello di guarnizione (O-ring) dei razzi a propellente solido. In seguito al disastro venne sviluppato un modello matematico per esprimere la relazione tra la temperatura e la possibilita` di un guasto agli O-ring. Il modello, costituito da una funzione esponenziale, mostro` che la probabilita` di guasti cresceva in modo estremamente rapido con il diminuire della temperatura. Si capı` cosı` che l’incidente, oltre che da errori di progettazione, fu causato anche dalle basse temperature alle quali avvenne la missione.

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Unita`

9

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Tema D

1. L’insieme dei numeri reali e le potenze a esponente irrazionale Nel tuo corso di matematica ti sei imbattuto varie volte nel concetto di potenza. Dapprima ti e` stato introdotto il concetto di potenza con esponente un numero naturale, poi questo concetto e` stato progressivamente esteso, introducendo le potenze con esponente un numero intero, prima, e un numero razionale, poi. L’ultimo passo che resta da compiere e` l’introduzione del concetto di potenza con esponente un numero irrazionale. Prima di affrontare questo problema, dobbiamo rivedere e approfondire alcuni concetti riguardo i numeri reali.

L’insieme dei numeri reali Come ricorderai, la necessita` di ampliare l’insieme Q dei numeri razionali e` stata legata sia a motivazioni di carattere algebrico (per esempio, per risolvere equazioni quali x2 ¼ 2Þ sia a motivazioni di carattere geometrico (per esempio, per esprimere il rapporto tra diagonale e lato di un quadrato). Abbiamo introdotto cosı` i numeri irrazionali. NUMERO IRRAZIONALE

Si chiama irrazionale ogni numero relativo la cui rappresentazione decimale e` illimitata e non periodica.

L’introduzione dei numeri irrazionali ci ha consentito di definire l’insieme dei numeri reali. INSIEME R

L’insieme formato dall’unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali viene chiamato insieme dei numeri reali; lo si indica con la lettera R.

Nell’insieme R sono state definite un ordinamento e le ordinarie operazioni che godono delle seguenti proprieta`. 1. Proprieta` dell’addizione In R e` definita un’operazione di addizione, indicata con il simbolo þ, che:

a. e` commutativa; b. e` associativa; c. possiede elemento neutro (0); d. e` tale che ogni suo elemento ammette inverso rispetto all’operazione di addizione (l’opposto). 2. Proprieta` della moltiplicazione In R e` definita un’operazione di moltiplicazione, indicata con il simbolo
, che:

a. e` commutativa; b. e` associativa; c. possiede elemento neutro (1); d. e` tale che ogni suo elemento diverso da 0 ammette inverso rispetto all’operazione di moltiplicazione (il reciproco); e. e` distributiva rispetto all’addizione. 436 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

3. Proprieta` relative all’ordine In R e` definito un ordinamento, indicato con il simbolo , che gode delle seguenti proprieta`:

Unita` 9

a. e` compatibile con la somma, ossia: se a  b, allora a þ c  b þ c per ogni a, b, c 2 R b. e` compatibile con il prodotto, ossia: se a  b e c > 0, allora ac  bc per ogni a, b 2 R

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Le proprieta` relative all’addizione, alla moltiplicazione e all’ordine valgono anche nell’insieme Q dei numeri razionali. L’insieme R gode pero` di una ulteriore proprieta` che lo caratterizza e che non sussiste invece in Q: quella di completezza. Per capire di cosa si tratta, dobbiamo introdurre il concetto di classi contigue di numeri reali, cui ci avviciniamo ragionando su un caso particolare. pffiffiffi 1. Consideriamo il numero 2 ¼ 1; 41421::: e costruiamo l’insieme A, costituito pffiffiffi dalle approssimazioni per difetto di 2 e l’insieme B, costituito dalle approssimapffiffiffi zioni per eccesso di 2: A ¼ f1; 1,4; 1,41; 1,414; ::::g B ¼ f2; 1,5; 1,42; 1,415; ::::g

2. Osserviamo che gli insiemi A e B hanno le seguenti proprieta`:  ogni elemento di A e` minore di ogni elemento di B: diciamo che i due insiemi sono separati;  e` sempre possibile determinare un elemento di B e un elemento di A, la cui differenza sia piccola quanto si vuole; per esempio, se vogliamo determinare due numeri b 2 B e a 2 A la cui differenza sia minore o uguale a 0,1 basta scegliere 1,5 e 1,4; se vogliamo determinare due numeri la cui differenza sia minore o uguale a 0,01 basta scegliere 1,42 e 1,41 e cosı` via: la differenza puo` essere resa piccola quanto si vuole pur di scegliere due elementi di A e B con un opportuno numero di cifre decimali. Per esprimere questa proprieta` si dice che i due insiemi sono indefinitamente ravvicinati; formalmente si scrive che, comunque scelto un numero " > 0, piccolo a piacere, possiamo trovare due elementi a 2 A e b 2 B tali che: b

a"

3. Ogni coppia di insiemi A, B di numeri reali che, come quelli considerati poc’anzi, sono separati e indefinitamente ravvicinati viene detta coppia di classi contigue di numeri reali. Siamo ora in grado di enunciare la proprieta` di completezza di R. COMPLETEZZA

Per ogni coppia di classi contigue A; B di numeri reali esiste un unico numero reale s, detto elemento separatore di A e B, tale che: asb

per ogni a 2 A, b 2 B

Per esempio, l’elemento separatore della coppia di classi contigue: e

A ¼ f1; 1,4; 1,41; 1,414; ::::g

B ¼ f2; 1,5; 1,42; 1,415; ::::g pffiffiffi considerate poc’anzi e` il numero 2. Si puo` dimostrare che ogni insieme in cui sono definiti un ordinamento, operazioni che soddisfano le proprieta` 1., 2., 3. e in cui vale la proprieta` di completezza, si puo` identificare con R: l’insieme R e` quindi univocamente individuato dall’insieme di tali proprieta`. 437 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

Le potenze a esponente irrazionale Ora che abbiamo ricordato le proprieta` dell’insieme R, vediamo come sia possibile fare l’ulteriore passo avanti che abbiamo annunciato: definire le potenze con esponente irrazionale. Ragioniamo inizialmente su un esempio: supponiamo di pffiffi voler dare un significato al simbolo 2 3 . pffiffiffi 1. Ricordiamo che il numero 3 e` un numero irrazionale, le cui prime cifre della rappresentazione decimale sono le seguenti: pffiffiffi 3 ¼ 1,7320508075::: I numeri irrazionali hanno parte decimale illimitata non periodica pffiffiffi 2. Consideriamo le approssimazioni razionali per difetto e per eccesso di 3: Approssimazioni per difetto

1

1,7

1,73

1,732

1,7320

.......

Approssimazioni per eccesso

2

1,8

1,74

1,733

1,7321

.......

e costruiamo le potenze pffiffiffi che hanno come base 2 e come esponente le approssimazioni razionali di 3, rispettivamente per difetto e per eccesso. Potenze di 2 che hanno come esponenti pffiffiffi le approssimazioni di 3 per difetto

21

21,7

21,73

21,732

21,7320

.......

Potenze di 2 che hanno come esponenti pffiffiffi le approssimazioni di 3 per eccesso

22

21,8

21,74

21,733

21,73321

.......

3. Cerchiamo ora un numero reale x che risulti p maggiore di tutte le potenze di 2 ffiffiffi aventi esponenti razionali che approssimano 3 per difetto epminore di tutte le ffiffiffi potenze di 2 aventi esponenti razionali che approssimano 3 per eccesso. Il numero x dovra` soddisfare le seguenti disuguaglianze: 21 < x < 22 21,7 < x < 21,8 21,73 < x < 21,74 21,732 < x < 21,733 21,7320 < x < 21,7321 ..........................................

Puoi verificare, per esempio con una calcolatrice, che 21,7320 ¼ 3,32188::::: e 21,7321 ¼ 3,32211:::::. Dall’ultima disuguaglianza scritta segue che: 3,32188::::: < x < 3,32211::::: quindi possiamo dire che x ¼ 3,32::::: (con le prime due cifre decimali esatte). Considerando le disuguaglianze successive (che provengono da approssimazioni pffiffiffi sempre migliori di 3Þ riusciamo a determinare quante cifre vogliamo di x.

4. In conclusione le due successioni costituite dalle potenze di 2 con esponenti pffiffiffi razionali che approssimano 3, rispettivamente per difetto e per eccesso, individuano uno e un solo p numero reale x che, per definizione, chiamiamo potenza pffiffi ffiffiffi di base 2 ed esponente 3 e che indichiamo con il simbolo 2 3 . Fin qui abbiamo ragionato a livello intuitivo; le proprieta` dei numeri reali che garantiscono la correttezza del ragionamento poc’anzi effettuato sono quelle viste

438 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 9

nel precedente sottoparagrafo. Formalmente il ragionamento sarebbe il seguente: si dimostra che le due pffiffifficlassi costituite dalle potenze di 2 con esponenti razionali che approssimano 3, rispettivamente per difetto e per eccesso, costituiscono una coppia di classi contigue di numeri reali; esse percio` individuano un unico elemento separatore che, per definizione, chiamiamo potenza di base 2 ed esponente pffiffiffi ` 3. E quindi in ultima analisi la proprieta` di completezza di R che garantisce la possibilita` di definire potenze con esponente irrazionale. Con un procedimento del tutto analogo si puo` arrivare a definire ogni potenza ax di un numero reale a  0, con esponente x irrazionale positivo; se l’esponente e` irrazionale negativo, si pone, come al solito:  x 1 a x¼ con x > 0 e a > 0 a

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

In particolare risultera` ancora 1x ¼ 1 per ogni x irrazionale e 0x ¼ 0 per ogni x irrazionale positivo. Si puo` dimostrare che per le potenze con esponente irrazionale continuano a valere le ordinarie proprieta` delle potenze. COLLEGHIAMO I CONCETTI

Le varie definizioni di potenza

3Riassumiamo nel seguente schema le varie definizioni di potenza che abbiamo via via dato. Potenza

Definizione

Con esponente un numero intero m non negativo

a0 ¼ 1 8a 2 R, con a 6¼ 0 a1 ¼ a 8a 2 R am ¼ a
a
a . . . a
a 8a 2 R, con m > 1 m volte

Con esponente un numero intero negativo Con esponente un numero razionale

m

a

m

ffiffiffiffiffiffi p n am   mn 1 ¼ a

an ¼ a

Con esponente un numero irrazionale

 m 1 ¼ a

ax

m n

8a 2 R, con a 6¼ 0 ed m 2 Zþ 8a 2 R, con a  0, m 2 N ed n 2 N

f0g

8a 2 R, con a > 0, m 2 N ed n 2 N

f0g

8a 2 R, con a  0, 8x irrazionale positivo

e` definito come elemento separatore della coppia di classi contigue costituite dalle potenze di a con esponenti razionali che approssimano x rispettivamente per difetto e per eccesso  x 1 a x¼ 8a 2 R, con a > 0, 8x irrazionale positivo a

3Poiche´ e` possibile definire il concetto di potenza per esponenti interi, raziona-

li e anche irrazionali, ha senso il concetto di potenza con esponenti reali. Rivedendo le definizioni riassunte in tabella ti accorgerai pero` che restano non definite: – le potenze con base zero ed esponente nullo o negativo: pffiffi 00 , 0 2 , 0 5 , :::::::

– le potenze aventi come base un numero negativo e come esponente un numero razionale o irrazionale: pffiffi 3 ð 2Þ 4 , ð 3Þ 5 , :::::::

Ô

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439

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

Ô

3Di conseguenza valgono le regole riassunte nella seguente tabella: Una potenza avente...

... ha significato a condizione che

... base variabile ed esponente costante irrazionale positivo

... la base sia positiva o nulla

... base variabile ed esponente costante irrazionale negativo

... la base sia positiva

Prova tu

Esempio pffiffi ðx 2Þ 2 ha significato per x  2 pffiffi ðx 2Þ 2 ha significato per x > 2

ESERCIZI a p. 453

1. Stabilisci se i seguenti simboli sono definiti e, in caso affermativo, calcolane il valore:   32   23 pffiffi 4 3 4 0 a. 3 b. 0 c. d. e. ð 2Þ 5 25 2 pffiffi 2 2. Per quali valori di a 2 R e` definita la potenza ða þ 2Þ ? Per quali valori di a 2 R e` definita la potenza ða þ 2Þ

pffiffi 2

?

2. La funzione esponenziale Consideriamo un numero reale positivo, che indichiamo con a. In base a quanto abbiamo visto nel Paragrafo 1, possiamo affermare che, per ogni x 2 R, esiste il numero ax . Dunque la funzione definita dall’equazione: y ¼ ax

con a > 0

[9.1]

ha come dominio tutto l’insieme R. Se a ¼ 1, la funzione definita dall’equazione [9.1] e` costante: y ¼ 1x ¼ 1

per ogni x 2 R

Se invece a 6¼ 1, la [9.1] definisce una funzione particolarmente importante perche´, come vedremo, e` il modello matematico adatto a rappresentare molte situazioni caratterizzate da una rapida crescita o decrescita (per esempio la crescita demografica di una popolazione, la diffusione di un’epidemia, il decadimento di una sostanza radioattiva). A questa funzione si da` un nome particolare. Osserva La condizione a > 0 dipende dal fatto che una potenza a esponente reale e` definita solo per basi positive, la condizione a 6¼ 1 serve a escludere il caso della funzione costante y ¼ 1.

FUNZIONE ESPONENZIALE

Chiamiamo funzione esponenziale (elementare) di base a, con a numero positivo diverso da 1, la funzione definita dall’equazione: y ¼ ax

con a > 0 e a 6¼ 1

Alcuni esempi di funzioni esponenziali sono i seguenti.  x 1 y ¼ 2x y¼4 y¼ 4 La base e` 2

La base e`

1 4

3x

La base e` 4

3

Vogliamo ora studiare le caratteristiche del grafico della funzione esponenziale: a tale scopo dobbiamo distinguere due casi, a seconda che la base sia maggiore di 1 oppure minore di 1 (e maggiore di 0). Lo facciamo tramite due esempi. 440 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 9

Grafico di una funzione esponenziale con base maggiore di 1 ESEMPIO

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Tracciamo il grafico della funzione definita dall’equazione y ¼ 2x . Si tratta di una funzione esponenziale in cui la base e` a ¼ 2. Tracciamo il grafico della funzione per punti, determinando dapprima i valori di y corrispondenti ai valori di x indicati in tabella e poi congiungendo con una linea continua i punti le cui coordinate corrispondono ai valori di x e y trovati. Si perviene cosı` al grafico mostrato in figura. y ¼ 2x

x 3

3

2

1 8 1 ¼ 4 1 ¼ 2

y

¼

2

2

2

1

2

1

0

20 ¼ 1

y = 2x

8

4

1

1

2 ¼2

2

22 ¼ 4

3

23 ¼ 8

2 1 –3 –2 –1

O 1 2 3

x

E` importante fare alcune osservazioni sulla funzione y ¼ 2x .  Il grafico della funzione e` tutto contenuto nel semipiano delle ordinate positive: infatti la potenza 2x e` maggiore di zero per ogni x 2 R.  Il grafico della funzione passa per il punto di coordinate (0, 1).  Al decrescere dei valori della variabile x, i corrispondenti valori di y diminuiscono avvicinandosi a 0, senza tuttavia mai raggiungere il valore 0; per esprimere questo fatto si dice che l’asse x e` un asintoto orizzontale per la funzione.  Al crescere dei valori della variabile x, i corrispondenti valori di y crescono, percio` diremo che la funzione y ¼ 2x e` crescente. La crescita dei valori di y e` molto «rapida»; per esempio: – per x ¼ 10 otteniamo per y il valore 210 ¼ 1024 (ordine di grandezza uguale a 103 Þ; – per x ¼ 20, otteniamo per y il valore 220 ¼ 1 048 576 (ordine di grandezza uguale a 106 Þ; – per x ¼ 30, otteniamo per y il valore 230 ¼ 1 073 741 824 (ordine di grandezza uguale a 109 Þ.

Grafico di una funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1 ESEMPIO

 x 1 Tracciamo il grafico della funzione definita dall’equazione y ¼ . 2 Si tratta di una funzione esponenziale in cui la base e` a ¼

1 . Tracciamo il gra2

fico della funzione per punti, determinando dapprima i valori di y corrispondenti ai valori di x indicati in tabella e poi congiungendo con una linea conti-

Ô

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441

nua i punti le cui coordinate corrispondono ai valori di x e y trovati. Si perviene cosı` al grafico mostrato in figura. x 3 2 1 0

Tema D

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Ô

1 2 3

 x 1 2   3 1 ¼8 2   2 1 ¼4 2   1 1 ¼2 2  0 1 ¼1 2  1 1 1 ¼ 2 2  2 1 1 ¼ 2 4  3 1 1 ¼ 2 8 y¼

y 8  1 y=   2

x

4 2 1 –3 –2 –1

E` importante fare alcune osservazioni sulla funzione y ¼

O 1 2 3

x

 x 1 . 2

 Il grafico della funzione e` tutto contenuto nel semipiano delle ordinate posi x 1 e` maggiore di zero per ogni x 2 R. tive: infatti la potenza 2

 Il grafico della funzione passa per il punto di coordinate (0, 1).

 Al crescere dei valori della variabile x, i corrispondenti valori di y diminuiscono avvicinandosi a 0, senza tuttavia mai raggiungere il valore 0; per esprimere questo fatto si dice che l’asse x e` un asintoto orizzontale della funzione.  Al crescere dei valori della variabile x, i corrispondenti valori di y decrescono, percio` diremo che la funzione e` decrescente.  x 1 Dalla fig. 9.1 si puo` vedere che i grafici delle due funzioni y ¼ 2x e y ¼ so2 no uno simmetrico dell’altro rispetto all’asse y. Infatti, dal momento che si  x  x 1 1 x puo` scrivere ¼ 2 , l’equazione della funzione y ¼ si puo` ottenere 2 2 dall’equazione di y ¼ 2x sostituendo metria rispetto all’asse y.

x al posto di x, ossia applicando una sim-

y

 1 y=   2 Figura 9.1

x

y = 2x

O

x

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Figure dinamiche

y  1 y=   3

 3 y=   4

Puoi esplorare come varia il grafico di una funzione esponenziale elementare al variare della base tramite la figura dinamica on-line.

y = 6x

x

y = 3x

x

x

O

Figura 9.2

Come puoi vedere, i grafici delle funzioni che hanno base maggiore di 1 hanno andamenti simili al grafico di y ¼ 2x , mentre quelli con base compresa tra 0 e 1  x 1 hanno andamenti simili al grafico di y ¼ , visti negli esempi precedenti. 2 Queste osservazioni valgono in generale e si possono riassumere come segue. Funzione esponenziale con base a maggiore di 1

Funzione esponenziale con base a compresa tra 0 e 1

y

y y = ax a>1

y = ax 0 0g

2. Il simbolo Rþ 0 rappresenta l’insieme dei numeri reali positivi o nulli: þ Rþ 0 ¼ R [ f0g 3. Il simbolo 8 significa «per ogni».

Dal fatto che la funzione esponenziale e` sempre crescente o sempre decrescente (rispettivamente se a > 1 o se 0 < a < 1Þ segue la proprieta`: ax1 ¼ ax2 , x1 ¼ x2 8a 2 R+

f1g, 8x1 , x2 2 R

[9.4]

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443

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Una base «speciale» Esiste un valore della base della funzione esponenziale che riveste particolare interesse, per ragioni che potrai capire nel proseguimento del tuo corso di matematica. Questa base «speciale» e` un numero irrazionale, che viene indicato con la lettera e, le cui prime cifre decimali sono: 2,7182818:::::

Tema D

Tale numero viene chiamato numero di Nepero, in onore di uno dei matematici che contribuirono alla sua scoperta. Il grafico della funzione y ¼ e x e` quello riportato in fig. 9.3, accanto alla tabella di valori per x e y (questi ultimi sono valori arrotondati a meno di un centesimo). Fra le funzioni esponenziali, il grafico di y ¼ ex ha un’importante proprieta` che sarai in grado di dimostrare piu` avanti: la retta a esso tangente nel punto di coordinate (0, 1) e` parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, avendo equazione y ¼ x þ 1. x

y ¼ ex

2

0,14

1

0,37

0

1

1

2,72

2

7,39

Figura 9.3

y

y = ex

y=x+1

O

x

MATEMATICA NELLA STORIA

Il numero e Non e` facile stabilire esattamente «la data di nascita» del numero e. Possiamo dire che essa si puo` collocare approssimativamente all’inizio del diciassettesimo secolo, e che i primi ad «avvicinarsi» a tale numero furono il matematico scozzese John Napier (1560-1617), nome italianizzato in Nepero, e il matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705). Le prime cifre del numero e potrebbero far pensare che si tratti di un numero razionale: e ¼ 2,718281828.....

La sequenza 1828 si ripete dopo la prima cifra decimale

ma la speranza cade immediatamente: dopo la prima ripetizione le cifre si susseguono in modo casuale. L’irrazionalita` del numero e e` stata dimostrata nel 1737 dal matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783), nome italianizzato in Eulero. Eulero fu anche il primo a utilizzare la lettera e per indicare tale numero e a scoprirne diverse proprieta`, che presento` nel suo libro Introductio in Analysis infinitorum, pubblicato nel 1748.

Eulero.

Il numero e, oltre a essere un numero irrazionale, e` anche un numero trascendente, ossia non esiste alcuna equazione polinomiale a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione.

444 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESERCIZI a p. 455

2. Vero o falso? a. la funzione definita dall’equazione y ¼ 32x e` una funzione esponenziale la cui base e` uguale a 3 b. ogni funzione esponenziale elementare ha come asintoto l’asse x c. il grafico di ogni funzione esponenziale elementare e` contenuto nel primo e nel secondo quadrante d. tutte le funzioni esponenziali elementari incontrano l’asse y nello stesso punto  x 3 e. la funzione definita da y ¼ e` crescente 4  x 7 [3 affermazioni vere e 3 false] e` decrescente f. la funzione definita da y ¼ 6

3. Equazioni esponenziali

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

1. Traccia, per punti, i grafici delle seguenti funzioni esponenziali.  x 1 a. y ¼ 3x c. y ¼ e 2x b. y ¼ 3

Unita` 9

Prova tu

Equazioni esponenziali elementari EQUAZIONE ESPONENZIALE

Un’equazione si dice esponenziale quando l’incognita compare nell’esponente di almeno una potenza. Esempi

Controesempi

Sono equazioni esponenziali:

Non sono equazioni esponenziali:

23x 5 ¼ 8 3x ¼ 7 10e0,6x ¼ 24

¼ 8x x 13 pffiffi x 2 ¼ 74 10e0,6 ¼ 24x

La piu` semplice equazione esponenziale, detta equazione esponenziale elementare, si presenta nella forma: ax ¼ b,

[9.5]

con a > 0 e a 6¼ 1

Quante soluzioni ammette un’equazione esponenziale elementare? Per rispondere a questa domanda, osserviamo che, graficamente, risolvere l’equazione [9.5] equivale a determinare, se esiste, l’ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione esponenziale y ¼ ax e la retta di equazione y ¼ b. y = ax 00

b=0 b 0. Pertanto, possiamo concludere che l’equazione [9.5]:

Tema D

c. L’equazione 7x ¼ 2 non ha soluzioni perche´ una potenza con base positiva (come 7x ) e` sempre positiva, qualsiasi valore si attribuisca all’esponente.  x 3 ¼ 1 ha come unica soluzione x ¼ 0. d. L’equazione 4

 non ha soluzioni se b  0;

 ha una e una sola soluzione se b > 0. Equazioni esponenziali elementari

ESEMPI

a. L’equazione 3x ¼ 9 ha come unica soluzione x ¼ 2.  x 1 ¼ 2 ha come unica soluzione x ¼ b. L’equazione 2

1.

e. L’equazione 5x ¼ 0 non ha soluzioni perche´ una potenza con base diversa da zero (come 5x ) non e` mai nulla.

Equazioni riconducibili alla forma a f ðxÞ ¼ a gðxÞ

Ora che abbiamo discusso, a livello teorico, l’esistenza e l’unicita` delle soluzioni di una generica equazione esponenziale elementare, sorge spontaneo chiedersi come si possono determinare, in pratica, le soluzioni di un’equazione esponenziale qualsiasi. Non esistono tecniche generali che consentono di risolvere ogni equazione esponenziale, ma esistono delle tecniche particolari che permettono di risolverne alcune. Una delle tecniche «base» consiste nel cercare di ricondurre l’equazione alla forma: [9.6]

a f ðxÞ ¼ a gðxÞ

cioe` all’uguaglianza di potenze con la stessa base. Infatti, poiche´ due potenze aventi la stessa base sono uguali se e solo se e` uguale l’esponente, l’equazione [9.6] e` equivalente all’equazione: f ðxÞ ¼ gðxÞ Risoluzione di equazioni riconducibili alla forma a f ðxÞ ¼ a gðxÞ

ESEMPI

Risolviamo le equazioni: a. 23x

5

¼8

pffiffiffi b.16x ¼ 2 2

c. 9x


pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x 1 ¼

1 32xþ3

Per risolvere ciascuna equazione, esprimiamo entrambi i membri come potenze della stessa base, poi uguagliamo gli esponenti. a. Poiche´ 8 ¼ 23 , possiamo esprimere i due membri dell’equazione in base 2. 23x 2

5

3x 5

3x

¼8

¼2

Equazione data 3

5¼3

Riscrivendo il secondo membro come potenza di 2 Uguagliando gli esponenti

3x ¼ 8

Portando tutti i termini numerici al 2 membro

x¼

Dividendo i due membri per 3

8 3

446 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

16 ¼ 24 e

1

24x ¼ 21þ 2 3 4x ¼ 2 3 x¼ 8

pffiffiffi 1 2 ¼ 22

Proprieta` delle potenze Uguagliando gli esponenti Dividendo i due membri per 4

c. Poiche´ 9 ¼ 32 , cerchiamo di ricondurci all’uguaglianza di potenze di base 3. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 Equazione data 9x
3x 1 ¼ 2xþ3 3 ð32 Þx
3 32xþ

x 1 2

x 1 2

2x þ

¼3

¼3

x

1

2

4x þ x

2x 3

¼

1¼

2x 4x

4x þ x þ 4x ¼ 9x ¼ x¼

ð2xþ3Þ

5

Ricorda le definizioni di potenza con esponente razionale e con esponente negativo Proprieta` delle potenze

3 6

6þ1

Uguagliando gli esponenti

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

1

ð24 Þx ¼ 2
2 2

Unita` 9

pffiffiffi 1 b. Poiche´ 16 ¼ 24 e 2 2 ¼ 2
2 2 , possiamo esprimere i due membri dell’equazione come potenze di 2. pffiffiffi Equazione data 16x ¼ 2 2

Moltiplicando i due membri per 2 Portando i termini con la x al 1 membro e gli altri al 2 Semplificando

5 9

Dividendo i due membri per 9

Equazioni riconducibili a equazioni elementari mediante sostituzioni Un’altra tecnica che puo` essere efficace per risolvere un’equazione esponenziale consiste nel cercare di ricondurla a equazioni elementari mediante opportune sostituzioni. Equazione risolvibile mediante una sostituzione

ESEMPIO

Risolviamo l’equazione 22x

3
2x

4 ¼ 0.

x 2

Poniamo 2 ¼ t e, quindi, 2 ¼ ð2 Þ ¼ t 2 . Con questa sostituzione l’equazione data si puo` riscrivere nella forma: x

t2

2x

4¼0

3t

che ammette come soluzioni t ¼ 1 e t ¼ 4. Rimpiazziamo ora 2x al posto di t nelle soluzioni in t. Otteniamo le equazioni in x: 2x ¼

1

e

2x ¼ 4

L’equazione 2x ¼ 1 non ammette soluzioni; l’equazione 2x ¼ 4 equivale a 2x ¼ 22 , quindi ammette come unica soluzione x ¼ 2. L’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` quindi S ¼ f2g.

Altri tipi di equazioni esponenziali Non sempre si riesce a ricondurre un’equazione esponenziale all’uguaglianza di potenze della stessa base; puo` capitare cioe` di trovarsi di fronte a equazioni del tipo: a f ðxÞ ¼ b gðxÞ

[9.7] 447 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche

dove a 6¼ b. Per risolvere queste equazioni e` necessario uno strumento nuovo, il logaritmo, che introdurremo nella prossima Unita`. Ritorneremo percio` su questo tipo di equazioni successivamente. Ci sono infine equazioni che non sono trattabili algebricamente, nel senso che non sono riconducibili a equazioni esponenziali elementari o a equazioni delle forme [9.6] o [9.7]. Cio` accade in particolare quando nell’equazione sono presenti sia termini esponenziali sia termini algebrici. In questi casi, interpretando l’equazione graficamente, possiamo comunque stabilire se l’equazione ha soluzioni, indicarne il numero e «localizzarle» con buona approssimazione.

Tema D

L’equazione e` equivalente a 2x ¼ x. Pertanto si possono interpretare graficamente le sue soluzioni, se esistono, come le ascisse dei punti d’intersezione tra il grafico della funzione y ¼ 2x e il grafico di y ¼ x (che coincide con la bisettrice del secondo e del quarto quadrante).

ESEMPIO

Equazione risolvibile graficamente

Interpretiamo graficamente l’equazione 2x þ x ¼ 0.

y y = 2x

y = –x

P xP

O

x

Dalla figura, dove abbiamo tracciato tali grafici, possiamo vedere che tale bisettrice ha in comune con il grafico della funzione y ¼ 2x uno e un solo punto, che abbiamo indicato con P, e che l’ascissa di P e` compresa tra 1 e 0. Pertanto possiamo concludere che l’equazione data ha un’unica soluzione, compresa tra 1 e 0.

Prova tu

ESERCIZI a p. 458

1. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali. a. 3x ¼

pffiffiffi 3

3

[Impossibile]

b. 3x ¼ 9 c. 3x ¼ d. 42x

1

pffiffiffi 3 ¼

[2]   1 2   1 4

1 16x

e. 32x 2
3x 3 ¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 p 3 ¼ x
52x 1 f. 25x 4 5



[1]  13 2

2. Interpretando graficamente l’equazione 2 x ¼ x þ 4, stabilisci quante soluzioni ammette e, per ciascuna soluzione, individua un intervallo cui essa appartiene.

448 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 9

4. Disequazioni esponenziali DISEQUAZIONE ESPONENZIALE

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Una disequazione si dice esponenziale quando l’incognita compare nell’esponente di almeno una potenza.

Per esempio, sono disequazioni esponenziali: 22x

1

>4

e

4

x

> 82x

Per la risoluzione delle disequazioni esponenziali valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le equazioni, ma bisogna prestare attenzione quando si passa da una disequazione fra potenze con la stessa base alla disequazione corrispondente fra gli esponenti. Per esempio, supponiamo di dover risolvere una disequazione della forma: a f ðxÞ < a gðxÞ Abbiamo che:  se a > 1 la funzione esponenziale di base a e` strettamente crescente, quindi: a f ðxÞ < a gðxÞ

()

f ðxÞ < gðxÞ

La disequazione data equivale a una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti

 se 0 < a < 1 la funzione esponenziale di base a e` strettamente decrescente, quindi: a f ðxÞ < a gðxÞ

()

f ðxÞ > gðxÞ

La disequazione data equivale a una disequazione di verso opposto tra gli esponenti

In generale, per risolvere una disequazione del tipo a f ðxÞ < a gðxÞ o una disequazione di forma analoga dove il simbolo < e` sostituito da >;  o  bisogna ricordare che essa equivale:  a una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti se a > 1;  a una disequazione di verso opposto tra gli esponenti se 0 < a < 1. Cominciamo con il risolvere alcune disequazioni esponenziali elementari, cioe` disequazioni nella forma ax < b e di forma analoga, dove il simbolo < e` sostituito da >,  o . ESEMPI

Disequazioni esponenziali elementari con base maggiore di 1

Risolviamo le disequazioni: a. 3x
1

1

a. Risolviamo la disequazione sia algebricamente sia graficamente. Risoluzione algebrica

Risoluzione grafica

Una potenza con base positiva, quale 3x , e` sempre positiva, qualsiasi sia l’esponente. Quindi la disequazione 3x < 1 non ha soluzioni: e` impossibile.

Tracciamo il grafico della funzione y ¼ 3x e quello della retta di equazione y ¼ 1. Il grafico della funzione y ¼ 3x non e` mai «al di sotto» di quello della retta y ¼ 1, quindi la disequazione e` impossibile.

y y = 3x

x

O y = –1

449 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

b. Risolviamo la disequazione sia algebricamente sia graficamente. Risoluzione algebrica

Risoluzione grafica

3x > 1 3x > 30

Tracciamo il grafico della funzione y ¼ 3x e quello della retta di equazione y ¼ 1. Dalla figura vediamo che il grafico della funzione y ¼ 3x e` «al di sopra» di quello della retta y ¼ 1 (quindi la disequazione e` verificata) per x > 0.

x>0

Disequazione data Scrivendo il 2 membro come potenza di 3 Passando agli esponenti il verso della disequazione si conserva perche´ la base e` maggiore di 1

y y = 3x

y=1 x

O

ESEMPI

Disequazioni esponenziali elementari con base compresa tra 0 e 1

Risolviamo le disequazioni:  x  x 1 1 a. >0 0 2 e` verificata per ogni x 2 R.

Tracciamo il grafico della funzione  x 1 y¼ e quello della retta di 2 equazione y ¼ 0 (l’asse x). Il grafico della funzione esponenziale e` sempre «al di sopra» dell’asse x, per cui la disequazione e` sempre verificata.

y

 1 y=   2

x

x

O

b. Risolviamo la disequazione sia algebricamente sia graficamente. Risoluzione algebrica

Risoluzione grafica

 x 1 2.

x>

2

Disequazione data 2

4¼

  1 2

2

Attenzione! La base

1 2

minore di 1, quindi la disequazione precedente equivale a quella di verso opposto tra gli esponenti

e`

y y=4  1 y=   2 –2

O

x

x

Vediamo ora una disequazione che puo` essere risolta riconducendola a una disuguaglianza tra potenze con la stessa base. 450 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 9

Disequazione riconducibile alla forma a f ðxÞ  a gðxÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risolviamo la disequazione 9x  3x 1 .

ESEMPIO

2x 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 3x 1 ) 32x  3 2 Proprieta` delle potenze e definizione di potenza

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

9x 

con esponente razionale

x

1

2

4x  x

1

La base delle potenze, 3, e` maggiore di 1, quindi la disequazione precedente equivale a quella con lo stesso verso tra gli esponenti Moltiplicando i due membri per 2

3x 

1

Portando i termini con la x al 1 membro

x

1 3

Dividendo i due membri per 3

Per risolvere alcune disequazioni e` utile ricorrere, come abbiamo gia` visto per le equazioni, a opportune sostituzioni. ESEMPIO

Disequazione risolvibile mediante sostituzione

Risolviamo la disequazione 22x

10
2x þ 16  0.

Poniamo 2x ¼ t. La disequazione diventa della forma: t 2 10t þ 16  0 Risolvendo questa disequazione di secondo grado, si trova che essa e` soddisfatta per: t  2 _ t  8. «Ritorniamo» ora alla variabile x, ricordando che t ¼ 2x ; la disequazione originaria e` soddisfatta in corrispondenza dei valori di x per cui: 2x  2 _ 2x  8. cioe` per: 2x  2 _ 2x  23 da cui: x  1 _ x  3 Ci sono infine disequazioni che non sono risolvibili algebricamente. Cio` accade per esempio quando nella disequazione sono presenti sia termini esponenziali sia termini algebrici. In questi casi, interpretando la disequazione graficamente, possiamo comunque individuare se la disequazione ha soluzioni e, in caso affermativo, «localizzare» con buona approssimazione gli intervalli dove e` verificata. ESEMPIO

Disequazione risolvibile per via grafica

Risolviamo graficamente la disequazione 2x þ x 2

y

3 > 0.

y = 2x

La disequazione e` equivalente a 2x > 3 x2 . Le sue soluzioni si possono interpretare graficamente come le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione y ¼ 2x e` «al di sopra» del grafico di y ¼ 3 x2 . Dalla figura possiamo vedere che il grafico di y ¼ 2x e` «al di sopra» del grafico di y ¼ 3 x2 nell’intervallo x < , essendo  un numero compreso tra 2 e 1, e nell’intervallo x > 1.

y = 3 – x2 α O

x

1

Pertanto possiamo concludere che la disequazione data e` soddisfatta per: x <  _ x > 1, con  2 ð 2,

1Þ

Prova tu

ESERCIZI a p. 464

Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali. 1. 2x  1  x 1 1 2.  2 8  2x 3 2 3.  2 3

[R] [x  3]  x

1 2



4. 4x  0

[Impossibile]

 x rffiffiffiffiffi 2 3 4 5.  3 9

6. 32x

8
3x

  2 x 3 90

[x  2]

451 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Tema D

Unita`

9

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Definizioni e proprieta` importanti Alcune definizioni sulle potenze am ¼ a
a
a . . . a
a

per ogni a 2 R, per ogni m 2 N, con m > 1

m volte

a a

m n

r

pffiffiffiffiffiffi ¼ n am

¼

per ogni a  0, m 2 N e n 2 N, con m 6¼ 0 e n 6¼ 0

1 ar

per ogni a 2 R, con a 6¼ 0, e per ogni r > 0

a0 ¼ 1

per ogni a 2 R, con a 6¼ 0

a1 ¼ a

per ogni a 2 R

Proprieta` delle potenze am
an ¼ amþn ;

am : an ¼ am n ;

ðam Þn ¼ am
n ;

ða
bÞm ¼ am
bm ;

ða : bÞm ¼ am : bm

La funzione esponenziale Funzione esponenziale con base maggiore di 1

Funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1

y

y y = ax a>1

y = ax 0 gðxÞ

per ogni a > 1 per ogni 0 < a < 1

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x

Unita` 9

` CONOSCENZE E ABILITA

1. L’insieme dei numeri reali e le potenze TEORIA a p. 436

Potenze a esponente razionale e reale Test 1 Þ A

2 Þ A

3 Þ A

4 Þ A

Uno solo dei seguenti simboli e` privo di significato; quale? pffiffi pffiffiffi  pffiffiffi0,5 B C 3 3 ð0,5Þ 3

1

Uno solo dei seguenti simboli e` privo di significato; quale?  pffiffiffi 3 C B ð 2Þ 3 ð 3Þ 2 pffiffiffiffiffi nþ1 n Il simbolo 3 , con n 2 N f0g, e` uguale a: 3

nþ1 n

B

n

3 nþ1

1 Il simbolo pffiffiffiffiffiffiffiffi , con n 2 N f0g, e` uguale a: 27n 3 2 n 2 B 27 n 3

5 Þ

0,5

2

D

ð0,5Þ

pffiffi 3 1

D

ð 2Þ

pffiffi 3

C

3n

2

þn

D

nessuno dei precedenti

C

3

1,5n

D

nessuno dei precedenti

Scrivi le seguenti potenze sotto forma di radicale:  12   1 3 1 3 3 a. 5 2 c. 9 2 b. d. 5 4 e. 2 2

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

a esponente irrazionale

2 3

6 Þ

Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di potenza con esponente razionale: rffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi ffiffiffi p 1 1 3 4 3 ffiffiffiffiffi c. p a. a d. a3 b. 5 2 a a7

7 Þ

Calcola il valore delle seguenti potenze:

a. 49

1 2

¼ ::::::::::

b. 16

3 4

¼ ::::::::::

4

c. 32 5 ¼ ::::::::::

d. 125

2 3

¼ ::::::::::

8 Þ

e.



27 8



1 3

f.

¼ ::::::::::



125 27

23

¼ ::::::::::

Con una calcolatrice, determina il valore delle seguenti potenze, arrotondato a meno di un centesimo: pffiffi pffiffiffiffi pffiffi b. 5 5 c. 52 10 d. 4 a. 2 3

9 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo per quali valori di a hanno significato le seguenti potenze: pffiffi pffiffi a. ð2aÞ 2 b. ð2a 3Þ 2

a. Una potenza con esponente reale positivo e` definita purche´ la base sia maggiore o uguale a zero. pffiffi Quindi la potenza ð2aÞ 2 ha significato purche´ sia 2a  0, cioe` a  0. b. Una potenza con esponente reale negativo e` definita purche´ la base sia maggiore di zero. pffiffi 3 Quindi la potenza ð2a 3Þ 2 ha significato purche´ sia 2a 3 > 0, cioe` a > . 2

Determina per quali valori di a hanno significato le seguenti potenze. pffiffi 2 10 ða 1Þ Þ pffiffi 5 11 ð1 þ 3aÞ Þ pffiffi 12 ða2 1Þ p2ffiffi Þ  2  5 13 a þ2 Þ   14 5a a2 Þ  2   15 a þ 4a þ 4 Þ pffiffi   aþ2 5 16 Þ 2 a pffi   23 2a a2 17 Þ 2a 1 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[a
1] 

[8a 2 R]

[0  a  5] [8a 2 R, con a 6¼



2]

[ 2  a < 2]  1 a x2 .

Pertanto:  p3ffiffi  3 1 1 > a. 2 2 3

perche´ a ¼

5

b. 4 4 < 4 2  2   5 5 > c. 2 2

pffiffiffi 1 < 1e 3 1 e 3

perche´ a ¼

5 >1e 2

3 5 < 4 2

2> 3 457

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

74 Þ

Completa, ponendo il simbolo opportuno scelto tra :   pffiffi5   5 3 3 3 4 a. b. 5 2 ::::: 5 3 ::::: 2 2

c.

  4 5

3

  4 5

:::::

2

75 Þ

Completa, ponendo il simbolo opportuno scelto tra :  4  8  2  3 1 1 7 7 b. a. ::::: ::::: 3 3 5 5

c. 7

3 4

3

:::::

74

76 Þ

Completa, ponendo il simbolo opportuno scelto tra :  5 pffiffi3  3 1 1 10 9 b. a. 4 ::::: 4 ::::: 2 2

77 Þ

c.

 12  13 7 7 ::::: 3 3

Tenendo conto delle proprieta` della funzione esponenziale, spiega perche´ 2 deve essere compreso tra 8 e 16.

3. Equazioni esponenziali

TEORIA a p. 445

Esercizi preliminari Test 78 Þ A

79 Þ A

80 Þ A

81 Þ

Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x non e` esponenziale? 1

ð2Þx

¼5

B

ðxÞ2

1

¼ 5x

exþ1 ¼ x

C

Quale delle seguenti equazioni, nell’incognita x, non e` esponenziale? pffiffiffi x pffiffiffi pffiffiffi C ð 2Þ ¼ 5 B x0,3 ¼ 5 5x ¼ 2 Quale delle seguenti equazioni e` impossibile? 13 B 2x ¼ 3x 2x ¼ 3

3x ¼ 1

C

Vero o falso?

pffiffiffi 3

a. l’equazione 2x ¼ 5 1 non ha soluzioni b. l’equazione 2x ¼ ð 5Þ2 ha una e una sola soluzione c. l’equazione 5x ¼ 0 ha come soluzione x ¼ 0 d. l’equazione 5xþ1 ¼ 1 ha come soluzione x ¼ 1 e. l’equazione 5xþ1 ¼ 1 non ha soluzioni 82 Þ

xe ¼

D

e3xþ1 ¼

D

2

a. 52x ¼ 25 ) 52x ¼ 5::::: ) 2x ¼ ::::: ) x ¼ ::::: x

¼

pffiffiffi 3)3

x

¼3

1 :::::

)

x¼

1 :::::

)x¼

1 :::::

1 ) ð22 Þx ¼ 2 3 ) 2::::: ¼ 2 3 ) 2x ¼ ::::: ) x ¼ ::::: 8 1 1 1 ) x þ ::::: ¼ d. 3x
92x ¼ pffiffiffi ) 3x
3::::: ¼ 1 ) 3x þ ::::: ¼ 3 3 3

c. 4x ¼

:::::

:::::

83 Þ

1 :::::

) ::::: x ¼

1 :::::

) x ¼ :::::

Caccia all’errore

E` stata svolta correttamente?

Equazione e risoluzione ð5x Þ2 ¼ 25 ) 5x 4x ¼ 16x possibile

1

2

pffiffiffi ¼ 5 2 ) x2 ¼ 2 ) x ¼  2

) 22x ¼ 42x

2

) 2x ¼ 2x

2)0¼

Sı` No, la soluzione corretta e` ..... 2 ) im-

x

¼

pffiffiffi e

pffiffiffi 3 V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[3 affermazioni vere e 2 false]

Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

b. 3

pffiffiffi e

D

Sı` No, la soluzione corretta e` .....

458 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 9

84 Þ

85 Þ

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Associa a ogni equazione la frase che le corrisponde: pffiffiffi A. L’equazione ha come soluzione x ¼ 2. a. 3x ¼ 3  x 3 1 1 ¼0 B. L’equazione ha come soluzione x ¼ . b. 3 2 1 C. L’equazione ha come soluzione x ¼ 2. c. 3x ¼ 9  x 2 1 ¼1 D. L’equazione e` impossibile. d. 3 pffiffiffi 1 3 x E. L’equazione ha come soluzione x ¼ . e. 3 ¼ 3 2 Associa a ogni equazione l’equazione a essa equivalente.

a. 3x 3 ¼ 9  x 3 1 ¼9 b. 3

A. 33

x

¼9

B. 3x

4

¼3

c. 32x

C. 32x 6 ¼ 3  3 x 1 D. ¼9 9

d. 9x

6 3

¼9

¼3

Equazioni riconducibili alla forma a f ðxÞ ¼ a gðxÞ 86 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le equazioni: pffiffiffi b. 5x ¼ 5 3 5

a. 32xþ1 ¼ 27

c. ð0,4Þx ¼

4

a. Riscriviamo il secondo membro come potenza di 3 e uguagliamo gli esponenti: 32xþ1 ¼ 27 ) 32xþ1 ¼ 33 ) 2x þ 1 ¼ 3 ) 2x ¼ 2 ) x ¼ 1 b. Riscriviamo il secondo membro come potenza di 5 e uguagliamo gli esponenti: p ffiffiffi 1 4 1 1 3 5x ¼ 5 5 ) 5x ¼ 5
5 3 ) 5x ¼ 51þ 3 ) x ¼ 1 þ ) x ¼ 3 3

c. Osserviamo che al secondo membro dell’equazione ð0,4Þx ¼ 4 compare un numero negativo. Poiche´ una potenza con base positiva e` sempre positiva, l’equazione e` impossibile. Risolvi le seguenti equazioni. 87 Þ 88 Þ 89 Þ

5x ¼ 25

[2]

2x ¼ 64

[6]   3 2

x

9 ¼ 27

pffiffiffi 90 8x ¼ 3 Þ

2

1 125 1 92 32x ¼ Þ 9 pffiffiffi x 93 4 ¼ 2 2 Þ 91 52 x ¼ Þ

94 Þ 95 Þ

1 9x ¼ pffiffiffi 3 4x ¼

96 9x ¼ Þ

2

1 81

97 Þ

252

x

98 Þ

3x

¼

99 Þ

ð5Þx

100 Þ

2xþ2 ¼

101 Þ

ð5x Þ2 ¼

102 Þ

x ¼ 1

[Impossibile] [5] [ 1]   3 4   1 4 [Impossibile] [ 2]

1

2

  1 2

¼ 125

1 9 pffiffiffi ¼ 5

[ 1] pffiffiffi # 2  2   5 3   1 4 [Impossibile] "

ffiffiffi p 3 2

pffiffiffi 5 

1 3xþ1 ¼  2x 9 3 4 ¼ 104 Þ 2 9   2x  3 105 ¼ Þ 4 103 Þ

[ 3] [ 1] 3 4



3

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[Impossibile] 459

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

2x

106 Þ

  3 4

107 Þ

22x
4xþ1 ¼ 16

108 Þ

3xþ1


109 Þ

ex

¼



pffiffiffi 3¼3

x 1 2

4 3

2



[ 1]   1 2   3 4

x

¼1 pffiffiffi 110 e ¼ e Þ pffiffiffi x 2 111 5 2 ¼ 5 Þ 117 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 22 x ¼ p 3 4xþ1

2 2

2 x 2

¼4

2 x 2

¼2

2

x 2

x¼

¼

pffiffiffi 2

Proprieta` della potenza di potenza

2x þ 2 3

Uguagliando gli esponenti

4x

Moltiplicando i due membri per 6

4

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi p ffiffiffi 1 3 3 ¼ 2
2 2 x 2

  9 5   8 7

pffiffiffiffiffi x 1 2x
8 ¼ 16

x ¼

[0]  

11 15



13 3



123 Þ

2xþ2


124 Þ

3x

125 Þ

4 xþ2

126 Þ

2x ¼

127 Þ

2x

5xþ1 þ 20
5x ¼ 3xþ3 x

x

3

5
ð5 þ 20Þ ¼ 3
ð3 5x
25 ¼ 3x
9  x 5
25 ¼ 9 3  x 5 9 ¼ 3 25  x   2 5 5 ¼ 3 3 2

2
3xþ2 2

2
3 Þ

1

x 1

1

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione 5xþ1 þ 20
5x ¼ 3xþ3

x¼

ð0,25Þx ¼

Riscrivendo 4 come potenza di 2

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 pffiffiffi 5x
52 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 25 3 5 122 Þ xþ1 5 128 Þ

116 Þ

¼8

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . 22 x ¼ p 3 4xþ1

1 2x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi 3 121 4x
2x 1 ¼ 16 Þ 120 Þ

[3]

x2

10

pffiffiffiffiffi 2x
118 Þ 119 Þ

25

Definizione di potenza con esponente razionale

xþ1 3

2xþ2 3

3x ¼

6

[2]

115 Þ

¼

 19 36 " pffiffiffi # 3 6 3 h pffiffiffii  2   1 4

1 2

8x



Equazione da risolvere

xþ1 3

¼ ð22 Þ

2 x 2

2x



5 2

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione

2

2

114 Þ

[1]

1 x



pffiffiffi 1 ¼9 3 x 3 pffiffiffi 23 2 2x ffiffiffi p 113 8 ¼ Þ 3 2 112 Þ

1

pffiffiffi 2¼

1 21

x

pffiffiffi 3¼




ffiffiffi p 3 2

1 pffiffiffi x 3
33 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ¼ 2 x2 4


p ffiffiffiffiffi 3 2x

1 ffiffiffi
2xþ1 ¼ p 3 2

2
3xþ2 .

Equazione da risolvere Raccogliendo 5x al 1 membro e 3x al 2 membro Svolgendo i calcoli nelle parentesi tonde Dividendo i due membri per 3x , sicuramente 6¼ 0 Dividendo i due membri per 25

Riscrivendo il numero al 2 membro come potenza di

5 3

Uguagliando gli esponenti.

460 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[Impossibile] 

 1 12 " pffiffiffi # 3 2 2 h pffiffiffii  3   1 6

3

2xþ2

x

þ7
3 ¼4

xþ1

x

þ5
4

2xþ1 ¼ 3xþ2

x

xþ1

2 þ2

132 Þ

5x
9

¼3
2

3 x

5xþ1 ¼ 52xþ1
4

[2]

133 Þ

[ 1]   3 2

134 Þ

[ 1]

2

xþ2

þ2

x

  3 2   1 3

3 x

þ2 ¼7
2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x ð3 þ 3xþ1 Þ ¼ 31 x 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 135 2xþ1 þ 2xþ3 ¼ 20 2x 5 Þ

[ 3]

Equazioni riconducibili a equazioni elementari mediante sostituzioni 136 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione 32xþ1

8
3x

3 ¼ 0.

Poniamo 3x ¼ t. Osserviamo che il primo termine dell’equazione, 32xþ1 , si puo` riscrivere in funzione di t nel seguente modo:

32xþ1 ¼ 32x
3 ¼ ð3x Þ2
3 ¼ t 2
3 ¼ 3t 2

Quindi l’equazione data diventa: 3t 2 8t 3 ¼ 0. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi ð 4Þ  ð 4Þ2 3
ð 3Þ 4  25 45 ¼ ¼ t¼ )t ¼ 3 3 3

1 _ t¼3 3

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

131 Þ

2
3xþ1

xþ1

Unita` 9

129 Þ 130 Þ

xþ2

Ora rimpiazziamo 3x al posto di t e risolviamo le equazioni ottenute: 1 e` impossibile 3  3x ¼ 3 ) x ¼ 1  3x ¼

137 Þ

Completa la seguente tabella, seguendo i passi suggeriti nella prima colonna e utilizzando l’esempio svolto nella seconda. Passi del procedimento

Risolvere l’equazione: 22xþ1 2xþ2 þ 2x þ 1 ¼ 0

Risolvere l’equazione: 4x þ 2x 2xþ3 8 ¼ 0

Poni 2 x ¼ t e trasforma l’equazione data in un’equazione in t.

Osserviamo che

Osserviamo che 4 x ¼ ð22 Þx ¼ ð2 x Þ2 ¼ t 2

2 2xþ1 ¼ 22x
2 ¼ ð2 x Þ2
2 ¼ 2t 2

2 xþ2 ¼ 2 x
22 ¼ 2 x
4 ¼ 4t

2 xþ3 ¼ 2x
2::::: ¼ 2 x
::::: ¼ ::::: t

quindi l’equazione diventa 2t 2

Risolvi l’equazione in t ottenuta.

2t 2

«Ritorna» alla variabile x.

2x ¼

quindi l’equazione diventa

4t þ t þ 1 ¼ 0 4t þ t þ 1 ¼ 0 )

) 2t 2

¼0

.................... ....................

1 3t þ 1 ¼ 0 ) t ¼ _ t ¼ 1 2

1 _ 2x ¼ 1 ) 2 ) 2 x ¼ 2 1 _ 2 x ¼ 20 ) x ¼

¼ 0 ) ............... ¼ 0 )

)t¼

1 _ t ¼ :::::

2x ¼

1 _ 2 x ¼ :::::

La prima equazione e` .......... La seconda ha come soluzione x ¼ :::::

1_x¼0

Risolvi le seguenti equazioni. 138 Þ

2x þ 2xþ2 ¼ 20

[2]

145 Þ

9x

139 Þ

25
5x

2

[0]

146 Þ

4xþ1 þ 2xþ2

140 Þ

2xþ3

2xþ2 þ 2x ¼

[ 3]

147 Þ

5

141 Þ

3x

[2]

148 Þ

52x

142 Þ

3xþ2

[ 1]

149 Þ

3

143 Þ

22x

[3]

150 Þ

10x

[ 1]

151 Þ

32x

1

þ 5xþ1 ¼ 6 5 8

þ 3x ¼ 12 3xþ1 ¼ 2 7
2x

144 52x þ 4
5x 1 Þ

8¼0

1 ¼0 5

3x

4
2

x

1

¼ 3xþ1 2x

x

1 1¼0

2x ¼ 0

5xþ2 þ 5xþ1

10 3 10xþ1 ¼ 10 1

[ 2] [0, 2]

125 ¼ 0

þ 3x ¼

2
3xþ 2

[ 1, 1]

9¼0

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[2] [ 1, 1] [Impossibile]   3 2

461

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

152 Þ 153 Þ 154 Þ

22xþ2 e

2x

33
2x ¼ xþ1

e

102x

þe

x

8

[ 2, 3]

e¼0

[1]

110
10x þ 1000 ¼ 0

1 3 ¼ 2x x 2 2 1 1 þ 2x ¼ 156 Þ 1 2x þ 1 2

[1, 2]

155 Þ

[1] 2 3

157 Þ

1 1 2 þ 2x ¼ 2x 2 þ 2x 3

[1]

ð2x 4Þ2 ¼ 16  x  xþ2  x 9 3 3 9 159 þ ¼0 Þ 4 2 2 4 158 Þ

[3] [0, 2]

[ 1]

Equazioni da risolvere graficamente 160 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Interpretando graficamente l’equazione 2x ¼ 1 x2 , stabilisci il numero delle sue soluzioni e, per ciascuna di esse, determina un intervallo cui essa appartiene.  Come primo passo devi rappresentare il grafico della funzione esponenziale y ¼ 2x e quello della parabola di equazione y ¼ 1 x2 . Completa la figura qui a fianco, dove abbiamo gia` rappresentato la parabola, tracciando il grafico della funzione y ¼ 2x . Presta attenzione all’unita` di misura: l’unita` corrisponde a due quadretti!  Le soluzioni dell’equazione sono le ascisse dei punti di intersezione dei due grafici.

y

1

y = 1 − x2 1

–1 O

x

Dalla figura puoi vedere che una delle due ascisse e` .........., mentre l’altra e` un numero compreso tra .......... e .......... Quindi l’equazione ha due soluzioni: una e` x ¼ ::::::::::, l’altra e` un numero compreso tra .......... e ..........

Interpretando graficamente le seguenti equazioni, stabilisci il numero delle loro soluzioni e, per ciascuna soluzione, determina un intervallo cui essa appartiene.  x 1 161 164 3x ¼ x2 4 Þ 2 2x ¼ 2 Þ x 165 2 ¼ x þ 2 Þ 162 2 x ¼ 2x2 Þ  x 166 x
3x ¼ 6 1 Þ þ x ¼ 0 163 Þ 3 (Suggerimento: dividi i due membri per x)

Esercizi riassuntivi sulle equazioni esponenziali 174 Þ

1 þ 3x ¼ 2 3x

175 Þ

2xþ1 þ 1 ¼ 2x 1

[1]

176 Þ

2x
8x

Risolvi le seguenti equazioni. 2x

  3 2

[0]

167 Þ

2

168 Þ

2xþ4 ¼ 32

169 Þ

3xþ2 ¼

1 9

[ 4]

177 Þ

ex

170 Þ

9 ¼ 81 3x

[ 2]

178 Þ

3x
91

171 Þ

102x

179 Þ

0,125
2x ¼

172 Þ

25
52x

[Impossibile]   1 3

180 Þ

2xþ1 þ 2

[2]

181 Þ

2xþ1 þ 2xþ2 ¼ 3

173 Þ

2

xþ2

8¼0

1

¼ 1

10 ¼

x 1

þ2

1 1
5 5 x

x

þ 2 ¼ 22

2

1

þ5x 6

2

pffiffiffi ¼2 2

¼1

x2

¼3

x

pffiffiffi 2

¼3

462 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[ 2]   9 8 [ 6, 1]   1 ,1 2   7 2 [ 1, 0] [ 1]

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 pffiffiffi 2x
2xþ1 ¼ 2 1 x 2

  1 2

184 Þ

2xþ1 þ 2

x

[ 1, 2]

¼3

4x 2x ¼ 12 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 5x 1 ¼ 125x 186 Þ

[ 1, 0]

185 Þ

187 Þ 188 Þ 189 Þ 190 Þ

 3  2 1 1 Rapido 25 þ 5 ¼ 5 5  ð2x 1Þ2 þ1 1 ¼1 Rapido 2  x   x 3 3 13 þ ¼ 2 2 6  x x 1 1 1 ¼ 2 1 x2 4 x

x

191 Þ

52x þ 3
5x þ 2 ¼ 0

192 Þ

9x ¼

193 Þ

103x

1 27x

[2]   5 8

2 3

10xþ1 ¼ 0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 194 3xþ1 þ 3x ¼ 4
3xþ1 Þ

[Impossibile] 206 Þ

[1] "

[1] pffiffiffiffiffiffi

 10

1 ¼ 9
3x 196 Þ 3x 22x

198 Þ

3 3xþ1

199 Þ

x

3

2x

[ 1]

2xþ3 2x pffiffiffi þ 3¼0

x2 2x

¼

1

þ4¼0

1

x2 þ3x

3

x 1

200 Þ

10

218 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

10

pffiffiffi # 1 3 2

þ 2
10

Risolviamo il sistema



x

2 ¼0 10

[ 1, 3] [Impossibile[   1 ,0 2 [ 1]

4x

22x

1

207 Þ 208 Þ 209 Þ 210 Þ 211 Þ 212 Þ

1

¼2

pffiffiffiffiffi 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8x ¼ p 3 2xþ1

pffiffiffi 24 5 5  xþ2  2x 1 2 5 ¼ 5 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 pffiffiffi 2x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 8 4xþ1 9 10xþ1 10x ¼ 100 2 1 þ x ¼2 x e þ1 e e2 2 e3 x
e2x ¼ 1 2x e    pffiffiffi 1 1 5 5 9 ¼0 52x 3x

204 5xþ2 Þ 205 Þ

1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 195 Þ 2 1 x 8 2 197 Þ

203 Þ

[Impossibile]

[Impossibile]   6 5   1 2

2

202 Þ

pffiffiffiffiffi 4x 2x ¼ 8x

1

2xþ2 ¼

e2x 1 Þð4x

5
2x þ 4Þ ¼ 0

21

215 Þ

8x

10
4x

216 Þ

ð1

e1

217 Þ

9x

32þx

x2

 

[ 2] [0]



pffiffiffi [ 2]  3 , 2 4



[1]  1 , 0,2 2

5

x
42x pffiffiffiffiffi ¼ 16 8x rffiffiffiffiffi 1 x 2xþ3 214 e
e ¼ Þ e

213 Þ



5x ¼

2x þ 2x ðe4x



[6Š   1 2  2 11  1 2  1 3  17 4

[2]   7 2

96
2x ¼ 0

[4]

e xÞ ¼ 0

½0,  1Š   1 ,2 2

Þðe2x

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

183 2xþ1 þ 22 x ¼ 9 Þ

201 Þ

Unita` 9

182 Þ

pffiffiffi 1 3xþ 2 þ 9 3 ¼ 0

x 2 ffiffiffiffiffi
4y ¼ 1 p x 2
2y ¼ 8

Mediante l’utilizzo delle proprieta` delle potenze, ci riconduciamo a un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite x e y. 8 8 8 8 < 2 x
4y ¼ 1 < 2 x
22y ¼ 1 < 2 xþ2y ¼ 20 < x þ 2y ¼ 0 ) ) ) pffiffiffiffiffi y : 2x
2 ¼ 8 : 2 12 x
2y ¼ 23 : 2 12 xþy ¼ 23 : 1 xþy ¼3 2 Risolvendo l’ultimo sistema cui siamo giunti con le tecniche ordinarie, otteniamo che la soluzione del sistema ori  3 ginario e` 3, . 2 Risolvi i seguenti sistemi.  pffiffiffi 2x
4xþy ¼ 2 219 Þ 4 y
2x ¼ 8  x y 2 ¼y 220 Þ 22x 2y ¼ 2y



5 17 , 4 8



[ð3, 2Þ]



2xþ1 ¼ y 2xþ2y ¼ 2y ffiffiffiffiffi 8p 3 < 3x
3y ¼ 9 xþ1 222 Þ : 3 ¼3 9y 221 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[ð 1, 1Þ] 

12 6 , 5 5

 463

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D



223 Þ



ex y ¼ 1 e x
e y ¼ e3

224 Þ



4x 4 y ¼ 1 4x þ 4 y ¼ 3

227 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

3 3 , 2 2



1 0, 2

8 > > < 3x

8 3 225 Þ > 10 > : 3x þ 3 y ¼ 3  x y 2 ¼4 226 Þ 4 y ¼ 22x
2

 

3y ¼

[ð 1, 1Þ] 

1 2

1,



Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni. a. y ¼

1 e xþ1

b. y ¼

2x 17
2x þ 16

4x

a. La funzione e` definita purche´ il denominatore sia diverso da zero: e Poiche´ e

x

x

e` positivo per ogni x 2 R, la condizione e

x

þ 1 6¼ 0 ) e

x

6¼

1

6¼ 1 e` sempre verificata, quindi il dominio della funzione e` R.

b. Anche questa funzione e` definita purche´ il denominatore sia diverso da zero: 4x

17
2x þ 16 6¼ 0 ) 22x

17
2x þ 16 6¼ 0 ) t 2

17t þ 16 6¼ 0 ) ðt

x

x

1Þðt

16Þ 6¼ 0 )

ponendo 2 ¼ t

x

) t 6¼ 1 ^ t 6¼ 16 ) 2 6¼ 1 ^ 2 6¼ 16 ) x 6¼ 0 ^ x 6¼ 4 poiche´ t ¼ 2x

quindi il dominio della funzione e` R

f0, 4g.

Determina il dominio delle seguenti funzioni. 228 Þ

y¼

1 ex

229 Þ

y¼e

230 Þ

y¼

231 Þ

y

232 Þ

y

233 Þ

y

234 Þ

y

pffiffi x

[R

1

f0g] [x  0]

1 exþ1 ex xþ1 þ xþ1 ¼ xþ1 e pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ¼e x 1 pffiffiffi 1 ¼ pffiffix þ 3 x e pffiffiffiffiffiffi x e xþ1 ¼ x

[R] [R [x 

f 1g]

1 _ x  1] [x  0]

[x
0]

y¼

8x

ex

4 pffiffiffi xþ1 e e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 x 238 y ¼ 2x Þ 2 3
2x þ 2 237 y ¼ Þ

239 Þ

y¼

e2x

240 Þ

y¼

4x

241 Þ

y¼

2xþ3

1 exþ0,5 þ e2,5

exþ2 1 3
2xþ2 þ 32 1 2xþ2 þ 2x

4. Disequazioni esponenziali 242 Þ



b. la disequazione 2x  0 e` verificata se e solo se x ¼ 0 x

 0 e` verificata per x

3



R

f5g]  1 2  1 2

1 _ x > 1] 

R [R

1 ,2 2



f2, 3g] [R]

243 Þ x

a. la disequazione 2  0 e` verificata per ogni x 2 R

R

[x  

[R 

TEORIA a p. 449

Vero o falso?

c. la disequazione e ogni x 2 R



V

F

V

F

V

F

d. la disequazione ð0; 2Þ  ð0, 2Þ e` V F verificata per ogni x  3 1 x e. la disequazione e  e` verificata per e V F ogni x  1 [2 affermazioni vere e 3 false]

Associa a ogni disequazione la frase sponde. pffiffiffi A. E` verificata per x  a. 3x  3  x 1  3 B. E` verificata per x  b. 3 c. 3x 

1 9

 x 1 9 3 pffiffiffi 3 x e. 3  3 d.

che le corri1 . 2 2.

C. E` verificata per ogni x 2 R. D. E` verificata per x 

1 . 2

E. E` verificata per x 

2.

464 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 9

244 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

x

 x 1 1 c.  5 25

pffiffiffi
2

a. La disequazione e` impossibile perche´ una potenza con base positiva (quale quella al primo membro) e` sempre positiva, quindi non puo` mai essere minore di 2. b. Riscriviamo i due membri sotto forma di potenze con base 2, quindi passiamo alla disuguaglianza tra gli esponenti: pffiffiffi 1 1 1 4x
16  22 x
2 ) 22x
24  22 x
2 2 ) 22xþ4  22 xþ 2 ) 2x þ 4  2 x þ ) 2 1 ) 4x þ 8  4 2x þ 1 ) 6x  3 ) x  2 1 c. Procediamo similmente al caso precedente, scrivendo i due membri come potenze di base . Poiche´ la base e` mi5 nore di 1, passando alla disuguaglianza tra gli esponenti bisognera` ricordare di cambiare il verso della disequazione:  x  x  2 1 1 1 1   )x2 ) 5 25 5 5 Risolvi le seguenti disequazioni. 245 4x  0 Þ 246 Þ 247 Þ 248 Þ 249 Þ

 x rffiffiffiffiffi 2 3 4  3 9  x 9 3 > 4 2 pffiffiffi 2 x
21 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x 1 1 4 > 4 16

256 Þ

259 Þ

4x

[x < 8]

260 Þ

pffiffiffiffiffi 1 2x > 4 x

250 3x
81  32 x Þ

[x 

 x 1 1 > 4 2 p ffiffiffi 252 6x < 6 Þ  x pffiffiffi 1 253
42x < 2 Þ 2



254 23x 1 > 4 Þ

x
1]

1 3

255 Þ

3

267 Þ

ESERCIZIO GUIDATO



1]

 1 2   1 x< 2   1 x< 6

251 Þ

x2 1

[Impossibile]

Risolvi la disequazione 32x

8
3x

 3 x 1 1 > 2 4  x2 7 3 9 257  Þ 2 4  x 1 258 52x  Þ 25

[Impossibile]   2 x 3   1 x> 2   1 x 2

261 Þ 262 Þ 263 Þ 264 Þ 265 Þ 266 Þ

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Risolviamo le disequazioni:  xþ3 1 < 2 b. 4x
16  22 a. 2

[x > 1] [x  3

3 _ x  3] 

2xþ3 > 0

3 x 2



[x > 3] [ 2 < x < 0 _ x > 2]

2

ð0, 25Þx 3x  16   2x 5 4  4 5 pffiffi pffiffiffiffiffi 2x  2 x  x2 þ2x 3 16  4 9 16 2xþ3  x 2 2 5x 2x 1 pffiffiffi < pffiffiffi 5 2 2

[1  x  2] [ 2  x < 0] [0  x  4] [Impossibile]   3 x 2   1 x< 2

9  0.

 Poni 3x ¼ t; la disequazione diventa cosı`: t2

8t

90

 Risolvendo questa disequazione troverai che essa e` soddisfatta per: t

1 _ t  :::::

 Ritorna ora alla variabile x, sostituendo 3x al posto di t, e risolvi in x le disequazioni che si ottengono: 3x 

1 _ 3x  :::::

La prima disequazione non ha soluzioni perche´ ::::::::::, mentre la seconda e` soddisfatta per ::::::::::  Pertanto la disequazione originaria e` soddisfatta per ::::::::::

[x  2] 465

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

Risolvi le seguenti disequazioni ricorrendo a opportune incognite ausiliarie. 268 Þ 269 Þ 270 Þ 271 Þ 272 Þ 273 Þ

2

2xþ1

2

2x

3

2xþ1

x

þ7
2

40

x

[x 

17
2 þ 16  0

[x  0 _ x  4]

x

10
3 þ 3 > 0

[x
0 ð0,1Þ

2x

1]

x

11
ð0,1Þ þ 10  0

1Þ2  49  x 1 10  274 3x þ Þ 3 3 p ffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi 3 3 2x x 275 3 3 6 Þ

[x 

ð4x

1 _ x > 1] [8x 2 R]

1 _ x  0] 3 x 2

[ 1  x  1] [x  3]



1 x

276 Þ

4
2

277 Þ

1 22x 4

278 Þ

2x

279 Þ

1 1 4 þ x > 1 22x 1 2 3

280 Þ

3

17
2 þ 4 > 0

1

1 2x þ

4

1

2x

2

>

1 2x þ 2



[ 1 < x < 1]

1 16  x þ4 16 4

1 < 3 þ 3x

3x

1 1

2   3 x> 10  3 x1 2 pffiffiffi pffiffiffi 3 _ x > 3]

2

10Šð10x 2

5xÞe x

5x



4 _ 3

1 1 x 2 2



1 _ x > 0]

[x
0 408 Þ 3 e x þ e2

x2

1 3 _x> 2 2

[R

1

x2 þ3 x 4

x
0

[x < 1 _ x > 2] [x
0 5x  x
0; b.

 1 0

dove t e` il tempo (in ore) trascorso a partire dalle 15. a. Quali sono i valori dei parametri a e b ? b. Quanti saranno i batteri della colonia alle 20?

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

Concentrazione di un farmaco nel sangue. In seguito all’assunzione di una compressa di un farmaco, la quantita` y di principio attivo (in milligrammi) presente nel sangue del paziente raggiunge un picco di 8 mg, dopo di che inizia a decrescere, secondo la legge descritta dalla funzione:  2t 1 y ¼8
2

Unita` 9

433 Þ

[a. a ¼ 500; b ¼ 2; b. 16 000]

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 435 Þ

Se 9x

9x

1

¼ 216, qual e` il valore di 2x ?

pffiffiffi [4 2]

(High School Math Contest, Texas 2007) 436 Þ

Trova le coordinate del punto d’intersezione dei grafici di y ¼ 2xþ2 e y ¼ 43x 4 .

[(2, 16)]

(High School Math Contest, Louisiana State University 2004) 437 Þ A

Se 9 x ¼ 7, allora qual e` il valore di 272xþ1 ? pffiffiffi 27 B 189 7 pffiffiffi 7 7

343 27

C

D

pffiffiffi 7 7 27

E

27 343 [E]

(High School Math Contest, University of South Carolina 2001) 438 Þ

Solve math in English Solve each equation.

1 e3

2

a. ex ¼ e4x
b. 916 c. 2

439 Þ

A

2x

¼ 27x xþ2

3
2



þ 32 ¼ 0

Solve math in English If 3x ¼ 2 what does 9

does 5 440 Þ

x

x




p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 252x equal?

2x

equal? If 2x ¼ 7 what does

 32 a. 1,3; b. ; c. 2; 3 5

2xþ1 2x equal? If 5x ¼ 27 what   4x 1 1 , ,3 16 7

Solve math in English If f ðxÞ ¼ 2x , then 168 is equal to:

f ð7Þ

B

f ð12Þ

C

f ðf ð5ÞÞ

D

f ðf ð3ÞÞ

(High School Math Contest, Louisiana State University 2007)

E

f ðf ðf ðf ð3ÞÞÞÞ [C]

471 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

PROVA DI AUTOVERIFICA

Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali 1 Þ

Vero o falso?

x ` a. la funzione definita da y ¼ ap ffiffie crescente per ogni a 2 R, con a 6¼ 1 b. la funzione definita da y ¼ x 2 e` esponenziale c. la funzione definita da y ¼ ax , con a 2 R e a 6¼ 1, ha come asintoto l’asse x  x 1 d. le due funzioni di equazioni y ¼ e y ¼ a x hanno lo stesso grafico per ogni a 2 R a   55 x e. le funzioni di equazioni y ¼ e y ¼ 105x intersecano l’asse y nello stesso punto 81

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

2 Þ

Inserisci il simbolo corretto scelto tra :  3  4 pffiffi 4 4 c. ..... a. 2 3 ..... 22 5 5  pffiffi3 pffiffi 13 d. e 4 ..... e 5 b. 5 3 ..... 2

3 Traccia, per punti, i grafici delle funzioni aventi Þ le seguenti equazioni, dopo aver completato le tabelle riportate qui sotto.

 x 1 a. y ¼ 2 x

Risolvi le seguenti equazioni.

1

b. y ¼ 2xþ1

y

x

2

y

2

0

1

1

0

2

1

3

2

4 Þ 5 Þ 6 Þ

3x

7 Þ

22x

e

2

2 x2

5

xþ1 x 1

¼ 81 ¼1

¼0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 ¼ 8xþ1

Risolvi le seguenti disequazioni.

3

1

 7  4 5 5 ..... 4 4  2pffiffi2 pffiffi 1 8 f. ..... 2 2

e.

8 Þ

22x

2xþ2 ¼ 2x

9 Þ

e1

10 Þ

52x

11 Þ

xð8x

2x2

12 Þ



4

1 ex

5xþ1 5x þ 5  0   pffiffiffi 1 16 >0 2Þ 2x

Stabilisci graficamente quante soluzioni ammette l’equazione 2x ¼ 2 x2 . Per ciascuna soluzione, individua un intervallo cui essa appartiene.

Valutazione Esercizio Punteggio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0,2
5 ¼ 1 0,25
6 ¼ 1,5 0,75 þ 0,75 ¼ 1,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75

Totale 10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 30 min

3Risposte in fondo al volume

472 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

Unita`

10

1. La funzione logaritmica Tema D

Definizione di logaritmo Abbiamo discusso, nella precedente Unita`, l’esistenza e il numero delle soluzioni dell’equazione esponenziale elementare ax ¼ b. Abbiamo visto che, se b > 0, tale equazione ammette un’unica soluzione, la quale non e` altro che il numero al quale bisogna elevare a per ottenere b. A tale numero si da` un nome particolare. LOGARITMO IN BASE a DI b

Dati due numeri positivi a e b, con a 6¼ 1, si chiama logaritmo in base a del numero b, e si indica con loga b, l’esponente al quale si deve elevare la base a per ottenere b. Il numero b si dice argomento del logaritmo.

In base alla definizione data, possiamo dire, per esempio, che la soluzione dell’equazione 5x ¼ 6 e` x ¼ log5 6 (e questo ci consentira`, come vedremo piu` avanti, di approssimare tale soluzione con una calcolatrice). Ora abbandoniamo momentaneamente il problema dell’applicazione dei logaritmi alla risoluzione di equazioni (lo riprenderemo piu` avanti) e ci soffermiamo sul concetto di logaritmo. ESEMPI

Ricorda log 5 6

argomento

base

Calcolo di un logaritmo

Calcoliamo i seguenti logaritmi, se esistono. log2 8;

log3 9;

log3 1;

log5

1 ; 5

log3 ð
2Þ;

log25 5;

log5 5;

1 ffiffiffiffiffiffi ; log10 p 3 10

log7 9

Logaritmo da calcolare

Domanda da porsi per calcolare il logaritmo

Valore del logaritmo

log2 8

A quale esponente dobbiamo elevare 2 per ottenere 8? La risposta e` 3; infatti 23 ¼ 8.

log2 8 ¼ 3

log3 9

A quale esponente dobbiamo elevare 3 per ottenere 9? La risposta e` 2.

log3 9 ¼ 2

log3 1

A quale esponente dobbiamo elevare 3 per ottenere 1? La risposta e` 0.

log3 1 ¼ 0

1 5

A quale esponente dobbiamo elevare 5 per 1 ottenere ? 5 La risposta e`
1.

log5

log3 ð
2Þ

A quale esponente dobbiamo elevare 3 per ottenere
2? Non esiste alcuna potenza di 3 che da` come risultato
2, perche´ tutte le potenze di 3 sono positive.

log5

1 ¼
1 5

log3 ð
2Þ non e` definito

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Ô

473

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Logaritmo da calcolare

Domanda da porsi per calcolare il logaritmo

log25 5

A quale esponente dobbiamo elevare 25 per ottenere 5? 1 La risposta e` . Ricorda infatti che pffiffiffiffiffiffi 2 1 25 2 ¼ 25 ¼ 5

log5 5 1 ffiffiffiffiffiffi log10 p 3 10

Tema D

Ô

log7 9

Valore del logaritmo log25 5 ¼

1 2

A quale esponente dobbiamo elevare 5 per ottenere 5? La risposta e` 1.

log5 5 ¼ 1

A quale esponente dobbiamo elevare 10 per 1 ffiffiffiffiffiffi ? ottenere p 3 10 1 La risposta e`
. Osserva infatti che: 3  13 rffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 1 3 ffiffiffiffiffiffi ¼ ¼ p 10
3 ¼ 3 10 10 10

1 1 ffiffiffiffiffiffi ¼
log10 p 3 3 10

A quale esponente dobbiamo elevare 7 per ottenere 9? Non esiste una potenza di 7 con esponente razionale che da` come risultato 9: il logaritmo

ESEMPI

cercato e` un numero irrazionale.

Semplificazione di espressioni contenenti logaritmi

Semplifichiamo le seguenti espressioni: a. 3log3 5

b. 52 log5 3

a. Poiche´ il logaritmo in base 3 di 5 e` l’esponente da dare a 3 per ottenere 5: 3log3 5 ¼ 5

b. Vale la seguente catena di uguaglianze:  2 Proprieta` delle potenze 52log5 3 ¼ 5log5 3 ¼ ¼ 32 ¼ 9

Definizione di logaritmo

Dagli esempi precedenti si possono trarre le prime proprieta` dei logaritmi, che seguono direttamente dalla definizione. Prime proprieta` dei logaritmi  loga b e` definito, per ogni a > 0 con a 6¼ 1, a condizione che sia b > 0

 loga a ¼ 1, per ogni a > 0 con a 6¼ 1  loga 1 ¼ 0, per ogni a > 0 con a 6¼ 1

 b ¼ aloga b , per ogni a > 0 e b > 0 con a 6¼ 1

Le calcolatrici solitamente calcolano i logaritmi in due sole basi: la base 10 e la base e. I logaritmi in base 10 vengono anche detti logaritmi decimali, quelli in base e vengono detti logaritmi naturali o neperiani. Utilizzeremo, come le calcolatrici, le seguenti notazioni:  con la scrittura log x indicheremo log10 x, cioe` il logaritmo decimale di x;  con la scrittura ln x indicheremo loge x, cioe` il logaritmo naturale di x. Prova, per esempio, a calcolare log 25 con la tua calcolatrice: devi digitare prima il numero 25 e poi premere il tasto LOG (attenzione, pero`: in alcune calcolatrici devi prima premere il tasto LOG e poi digitare il numero). Otterrai: log 25 ¼ 1,3979400:::: Vedremo piu` avanti come calcolare con una calcolatrice il logaritmo di un numero in una base qualsiasi. 474 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Fissato un numero reale a, con a > 0 e a 6¼ 1, abbiamo visto che, per ogni x > 0, e` definito il logaritmo in base a di x. Possiamo allora definire la funzione che associa a ogni numero reale positivo x il suo logaritmo in base a.

Si dice funzione logaritmica (elementare) ogni funzione avente come dominio R+, definita da un’equazione del tipo y ¼ loga x, con a > 0 e a 6¼ 1.

Qual e` il grafico della funzione logaritmica? Per rispondere a questa domanda, cominciamo con l’analizzare insieme un esempio, che mettera` in luce un’importante relazione tra il grafico della funzione logaritmica e il grafico della funzione esponenziale. Il grafico di una funzione logaritmica

ESEMPIO

Tracciamo, nello stesso piano cartesiano, il grafico di y ¼ 2x e di y ¼ log2 x. Costruiamo una tabella di valori per x e y sia per la funzione y ¼ 2x , sia per la funzione y ¼ log2 x: x


3


2


1

0

1

2

3

y ¼ 2x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

1 8

x

y ¼ log2 x
3

1 4

1 2

1

2

4

8


2


1

0

1

2

3

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

FUNZIONE LOGARITMICA

Unita` 10

La funzione logaritmica

Osserva che i punti appartenenti ai grafici delle due funzioni hanno ascissa e ordinata scambiate tra loro

Tracciamo i grafici delle due funzioni, rappresentando i punti le cui coordinate (x, yÞ corrispondono ai valori delle precedenti tabelle. Il fatto che a ogni punto del primo grafico (in blu) corrisponda un punto del secondo grafico (in rosso) che ha, rispetto al primo punto, l’ascissa e l’ordinata «scambiate» tra loro porta come conseguenza che i due grafici risultano simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (applicare una tale simmetria a un punto, infatti, equivale a scambiare l’ascissa con l’ordinata). y y = 2x

y=x

y = log2 x O

x

Le considerazioni emerse dall’esempio precedente hanno validita` generale. Si puo` infatti dimostrare che il grafico della funzione logaritmica y ¼ loga x

[10.1]

e` il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante del grafico della funzione esponenziale y ¼ ax

475 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

Possiamo allora dedurre, in forza di questa simmetria, come varia il grafico della funzione logaritmica al variare della base e quali sono le sue proprieta`. Grafico di y ¼ loga x con a > 1

y

Grafico di y ¼ loga x con 0 < a < 1

y

y = ax

y=x

y=a

y = logax 0< a < 1

x

y=x

logax2 logax1

asintoto orizzontalex per y = a

1 asintoto orizzontalex per y = a

O

asintoto verticale

x1

1

x2

x1

1

x

x2

O 1

y = logax a>1

x

logax1 logax2

asintoto verticale

Il dominio e` Rþ . L’immagine e` R.

Il dominio e` Rþ . L’immagine e` R.

Il grafico si avvicina al semiasse delle ordinate negative, man mano che x assume valori positivi sempre piu` prossimi a 0: l’asse y e` asintoto verticale.

Il grafico si avvicina al semiasse delle ordinate positive, man mano che x assume valori positivi sempre piu` prossimi a 0: l’asse y e` asintoto verticale.

Il grafico interseca l’asse x nel punto di coordinate (1, 0).

Il grafico interseca l’asse x nel punto di coordinate (1, 0).

La funzione e` (strettamente) crescente:

La funzione e` (strettamente) decrescente:

x1 < x2 , loga x1 < loga x2

Figure dinamiche Puoi esplorare come varia il grafico di una funzione logaritmica elementare al variare della base del logaritmo tramite la figura dinamica on-line.

8 x1 , x2 2 Rþ

[10.2]

x1 < x2 , loga x1 > loga x2

8 x1 , x2 2 Rþ

[10.3]

Dal fatto che la funzione logaritmica e` sempre strettamente crescente o sempre strettamente decrescente (rispettivamente se a > 1 o se 0 < a < 1Þ segue la proprieta`: loga x1 ¼ loga x2 , x1 ¼ x2

8 x1 , x2 2 Rþ

[10.4]

Il grafico di y ¼ ln x

In particolare, il grafico di y ¼ ln x, simmetrico di y ¼ ex rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, e` quello riportato nella fig. 10.1, costruita come al solito scegliendo alcuni punti opportuni. In essa sono tracciate anche le tangenti nel punto (0, 1) per la funzione esponenziale, e nel punto (1, 0) per la funzione logaritmo naturale. Attenzione I valori di ln x riportati in tabella sono arrotondati a meno di un centesimo.

x

ln x

1 2


0,69

1

0

2

0,69

3

1,10

6

1,79

y=x

y

y=x+1 y = ex y = x –1

x

O y = ln x

Figura 10.1

476 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 10

La funzione logaritmica come inversa della funzione esponenziale

PER SAPERNE DI PIU`

x ¼ ay che, in base alla definizione di logaritmo, equivale a: y ¼ loga x Dunque la funzione logaritmica e` effettivamente l’inversa della funzione esponenziale.

Prova tu

ESERCIZI a p. 496

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

L’avere osservato che i grafici di una funzione esponenziale e di una funzione logaritmica (con la stessa base) sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, suggerisce che queste due funzioni siano una l’inversa dell’altra. In effetti possiamo osservare quanto segue. 1. La funzione esponenziale e` invertibile: infatti ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al piu` in un punto (e quindi ogni elemento del suo insieme immagine ha un’unica contro immagine). 2. Sappiamo che per determinare l’equazione della funzione inversa di una funzione data basta scambiare x con y nella sua equazione e poi risolvere rispetto a y l’equazione ottenuta. Nel nostro caso, scambiando x con y nell’equazione y ¼ ax otteniamo l’equazione

1. Completa calcolando i seguenti logaritmi: a. log4 16 ¼ ::::::::::

b. log4 2 ¼ ::::::::::

d. log4

e. log4

1 ¼ :::::::::: 4

2. Completa: pffiffi a. 3log3 2 ¼ ::::::::::

1 ¼ :::::::::: 8

b. 5 ¼ 3log

:::::

c. log4 1 ¼ :::::::::: p ffiffiffi 3 f. log4 4 ¼ ::::::::::

:::::

3. Traccia, nello stesso piano cartesiano, i grafici di y ¼

 x 1 e y ¼ log 1 x. 2 2

2. Proprieta` dei logaritmi Proprieta` relative al logaritmo di un prodotto, di una potenza o di un quoziente Stante la definizione di logaritmo, le proprieta` delle potenze si traducono in altrettante proprieta` dei logaritmi, che esprimiamo nel seguente teorema. Logaritmo di un prodotto, di una p otenza e di un q uoziente

TEOREMA 10.1

Sia a un numero reale positivo, con a 6¼ 1; valgono le seguenti proprieta`. a. Il logaritmo in base a del prodotto di due numeri positivi b e c e` uguale alla somma dei logaritmi in base a di b e c; in simboli: loga ðbcÞ ¼ loga b þ loga c

8 b 2 Rþ, c 2 Rþ

[10.5]

b. Il logaritmo in base a di una potenza di un numero positivo b e` uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo in base a di b; in simboli: loga ðbc Þ ¼ c  loga b

8 b 2 Rþ, c 2 R

[10.6]

c. Il logaritmo in base a del quoziente di due numeri positivi b e c e` uguale alla differenza dei logaritmi in base a di b e c; in simboli:   b 8 b 2 Rþ, c 2 Rþ [10.7] ¼ loga b
loga c loga c 477 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

DIMOSTRAZIONE

a. Poniamo r ¼ loga b, s ¼ loga c. Queste uguaglianze, per la definizione di logaritmo, equivalgono a: ar ¼ b

e

as ¼ c

Ora, abbiamo che: loga ðbcÞ ¼ loga ðar  as Þ ¼ ¼ loga ða

rþs

¼rþs¼

Þ¼

Per le uguaglianze precedenti Per le proprieta` delle potenze Per la definizione di logaritmo

¼ loga b þ loga c b. Poniamo r ¼ loga b. Questa uguaglianza equivale ad ar ¼ b. Abbiamo che: loga ðbc Þ ¼ loga ðar Þc ¼ ¼ loga acr ¼ ¼ cr ¼

Per le uguaglianze precedenti Per le proprieta` delle potenze Per la definizione di logaritmo

¼ c loga b c. E` una conseguenza della [10.5] e della [10.6]. Infatti risulta:   b Per la definizione di quoziente ¼ loga ðbc
1 Þ ¼ loga c ¼ loga b þ loga c
1 ¼ ¼ loga b
loga c

Proprieta` [10.5] Proprieta` [10.6]

Le proprieta` espresse dalle uguaglianze [10.5], [10.6] e [10.7] possono essere utilizzate per scrivere il logaritmo di una espressione tramite somme o differenze di logaritmi. ESEMPIO

Da un logaritmo a una somma algebrica

x3 Supposto che x, y e z siano positivi, scriviamo l’espressione log come somma yz 2 algebrica di logaritmi di x, y e z. log

x3 ¼ log x3
log ð yz2 Þ ¼ yz2

Proprieta` [10.7]

¼ 3 log x
log ð yz2 Þ ¼

Proprieta` [10.6]

¼ 3 log x
ðlog y þ log z2 Þ ¼

Proprieta` [10.5] Attenzione alle parentesi: sono necessarie!

¼ 3 log x
log y
log z2 ¼

Togliendo le parentesi

¼ 3 log x
log y
2 log z

Proprieta` [10.6]

All’inverso, utilizzando le uguaglianze [10.5], [10.6] e [10.7] da «destra» verso «sinistra» e` possibile scrivere un’espressione contenente somme e/o differenze di logaritmi sotto forma di un unico logaritmo. ESEMPI

Da una somma algebrica a un logaritmo

Scriviamo, sotto forma di un unico logaritmo, le seguenti espressioni: a. ln 5 þ 2 ln 3 b. ln 25


1 ln 5 2

478 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 10

a. Vale la seguente catena di uguaglianze: ln 5 þ 2 ln 3 ¼ ¼ ln 5 þ ln 32 ¼

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

Proprieta` [10.6]

¼ ln 5 þ ln 9 ¼ ¼ ln ð5  9Þ ¼ ln 45

Proprieta` [10.5]

b. Vale la seguente catena di uguaglianze: ln 25


1 ln 5 ¼ 2 1

¼ ln 25
ln 5 2 ¼ ¼ ln 25
ln 25 ¼ ln pffiffiffi ¼ 5 pffiffiffi ¼ ln ð5 5Þ

Proprieta` [10.6]

pffiffiffi 5¼

Definizione di potenza con esponente razionale

Proprieta` [10.7]

Razionalizzando

Alcuni utili corollari del teorema 10.1 sono i seguenti:

A parole

1 loga ¼ loga b
1 ¼
loga b b

8 a > 0, b > 0 e a 6¼ 1

p ffiffiffi 1 n loga b ¼ loga b1=n ¼ loga b n

8 a > 0, b > 0 e a 6¼ 1, con n 2 N
f0g

1. Il logaritmo del reciproco di un numero e` l’opposto del logaritmo del numero. 2. Il logaritmo della radice n-esima di un numero e` uguale al logaritmo del numero, moltiplicato per il reciproco di n.

Attenzione! 1. Soffermati attentamente sulle uguaglianze espresse dal teorema 10.1: esse sono le sole proprieta` che potrai utilizzare nei calcoli con i logaritmi. Sono errate le seguenti uguaglianze:

loga ðb þ cÞ ¼ loga b þ loga c

Errato!

loga ðb
cÞ ¼ loga b
loga c

Errato!

loga ðb cÞ ¼ loga b  loga c

Errato!

loga

  loga b b ¼ loga c c

loga b ¼ loga b
loga c loga c

Errato!

Errato!

2. Per la validita` delle uguaglianze espresse nel teorema 10.1 e` essenziale che gli argomenti dei logaritmi siano positivi. Per esempio, non e` vero che: loga ½ð
3Þð
2ފ ¼ loga ð
3Þ þ loga ð
2Þ

Errata!

Infatti al primo membro abbiamo un’espressione che ha significato, loga 6, mentre non hanno senso i logaritmi al secondo membro, loga ð
3Þ e loga ð
2Þ, poiche´ hanno argomenti negativi. 3. Bisogna prestare particolare attenzione nell’esecuzione dei calcoli in presenza di logaritmi che hanno come argomenti delle espressioni letterali. Per non commettere errori occorre tenere sempre ben presente che le uguaglianze che si scrivono sono valide a condizione che gli argomenti di tutti i logaritmi siano positivi. Per esempio:  log ðx2
2xÞ ¼ log ½xðx
2ފ ¼ log x þ log ðx
2Þ 2

 log x ¼ 2 log x

a condizione che x > 2 a condizione che x > 0

Cambiamento di base Supponiamo di voler calcolare il valore di log3 7: poiche´ le calcolatrici solitamente permettono di calcolare soltanto i logaritmi in base 10 e in base e, si pone il problema di riuscire a esprimere log3 7 in funzione di logaritmi in base e o in base 10. Esiste a tale scopo una formula generale, che permette di trasformare un loga479 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

TEOREMA 10.2

Ca m bia me nt o di b as e di u n log ar it m o

Siano a, b e c tre numeri strettamente positivi, con a 6¼ 1 e c 6¼ 1; allora vale la seguente formula di trasformazione: logc b [10.8] loga b ¼ logc a DIMOSTRAZIONE

Poniamo loga b ¼ r. Allora: ar ¼ b

Tema D

Funzioni esponenziali e logaritmiche

ritmo in base a in un logaritmo in base c, a meno di un fattore di proporzionalita`: tale formula, detta formula del cambiamento di base nei logaritmi, e` espressa nel prossimo teorema.

Definizione di logaritmo

r

logc a ¼ logc b

Logaritmi di numeri uguali sono uguali (proprieta` [10.4])

r logc a ¼ logc b

Proprieta` [10.6]

r¼

logc b logc a

loga b ¼

logc b logc a

Risolvendo rispetto a r

Avevamo posto loga b ¼ r

Vediamo alcune applicazioni della formula [10.8]. ESEMPIO

Da una base all’altra

Determiniamo, con l’aiuto di una calcolatrice, un valore approssimato di log3 7. Per poter utilizzare la calcolatrice, dobbiamo trasformare il logaritmo di cui vogliamo determinare il valore approssimato in un logaritmo decimale o naturale. Trasformazione in un logaritmo decimale

log3 7 ¼

Trasformazione in un logaritmo naturale

log 7 log 3

A seconda della calcolatrice che possiedi dovrai digitare una delle due seguenti sequenze di tasti: 7 LOG  3 LOG ¼

log3 7 ¼

ln 7 ln 3

A seconda della calcolatrice che possiedi dovrai digitare una delle due seguenti sequenze di tasti: 7 LN  3 LN ¼

oppure

oppure

LOG 7  LOG 3 ¼

Arrotondando alla seconda cifra decimale, otterrai: log3 7 ’ 1,77

LN 7  LN 3 ¼

Arrotondando alla seconda cifra decimale, otterrai: log3 7 ’ 1,77

Semplificazione di una espressione contenente logaritmi pffiffiffi Calcoliamo il valore dell’espressione log3 ð9 7Þ
log9 7. pffiffiffi log3 ð9 7Þ
log9 7 ¼ pffiffiffi log3 7 log3 7 ¼ ¼ log3 ð9 7Þ
Formula [10.8], log9 7 ¼ log3 9 log3 9

ESEMPIO

480

pffiffiffi log3 7 ¼ log3 ð9 7Þ
¼ 2 pffiffiffi pffiffiffi ¼ log3 ð9 7Þ
log3 7 ¼ pffiffiffi 9 7 ¼ log3 pffiffiffi ¼ log3 9 ¼ 2 7

Definizione di logaritmo, log3 9 ¼ 2 log3 7 ¼ log3 7 2

1 2

per la proprieta` [10.6]

Proprieta` [10.7] e definizione di logaritmo

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

log 1 b ¼ a

logb b 1 ¼ logb a logb a loga b loga b ¼
loga b ¼ 1
1 loga a

Ne segue che la funzione y ¼ log 1 x ha lo stesso grafico di y ¼
loga x. Poiche´ il a grafico di y ¼
loga x e` il simmetrico rispetto all’asse x del grafico di y ¼ loga x, possiamo concludere che due funzioni logaritmiche aventi basi reciproche hanno grafici simmetrici rispetto all’asse x.

Prova tu

1. Scambiando tra di loro la base e l’argomento di un logaritmo, si ottiene il reciproco del logaritmo dato. 2. Considerando il logaritmo che ha la base reciproca di quella di un logaritmo dato, si ottiene l’opposto del logaritmo dato.

ESERCIZI a p. 502

1. Supponi che x, y e z rappresentino numeri positivi. Riscrivi l’espressione log

xy 2 come somma algebrica di logaritz4

mi di x, y e z. 1 log2 9 sotto forma di un unico logaritmo. 2 3. Calcola con la calcolatrice scientifica il valore di log5 4 arrotondato a meno di un millesimo.

2. Scrivi l’espressione log2 3
2 log2 3 þ

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

loga b ¼

A parole

Unita` 10

Alcuni utili corollari del teorema del cambiamento di base di un logaritmo sono i seguenti:

4. Scrivi una formula per convertire logaritmi decimali in logaritmi naturali.

3. Equazioni logaritmiche ed equazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi Ora che abbiamo introdotto il concetto di logaritmo e studiato le principali proprieta` dei logaritmi, possiamo affrontare il problema della risoluzione di una equazione logaritmica. EQUAZIONE LOGARITMICA

Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo. Esempi

Controesempi

Sono equazioni logaritmiche:

Non sono equazioni logaritmiche:

log2 ðx
1Þ ¼ log2 ð3
xÞ 2

ln ðx
1Þ ¼ 2x

x þ log2 3 ¼ log2 6 log2 2 ¼ x 2
1

Equazioni logaritmiche della forma loga f ðxÞ ¼ b

Le equazioni logaritmiche piu` semplici che si possono presentare sono quelle della forma: loga f ðxÞ ¼ b

[10.9]

In base alla definizione di logaritmo la [10.9] ci dice che b e` l’esponente da dare ad a per ottenere f ðxÞ, percio` la [10.9] equivale ad ab ¼ f ðxÞ. Ci possiamo quindi ricondurre a risolvere l’equazione algebrica: f ðxÞ ¼ ab

481 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

ESEMPI

Equazioni logaritmiche della forma loga f ðxÞ ¼ b

a. Risolviamo l’equazione log4 x ¼

1 . 2

Si tratta di un’equazione del tipo loga f ðxÞ ¼ b, con f ðxÞ ¼ x, a ¼ 4 e b ¼ In base a quanto abbiamo osservato: log4 x ¼

pffiffiffi 1 1 ) x ¼ 42 ¼ 4 ¼ 2 2

Graficamente, tale soluzione rappresenta l’ascissa del punto d’intersezione tra il grafico della funzione logaritmica y ¼ log4 x e la retta 1 di equazione y ¼ . 2

1 . 2

y y = log4 x

y =1 2 2

x

b. Risolviamo l’equazione log2 ðx 2
4x þ 4Þ ¼ 0. Si tratta di un’equazione del tipo loga f ðxÞ ¼ b, con f ðxÞ ¼ x2
4x þ 4, a ¼ 2 e b ¼ 0. Per risolverla, possiamo scrivere la seguente catena di equazioni equivalenti: log2 ðx2
4x þ 4Þ ¼ 0 2

x
4x þ 4 ¼ 2

0

2

x
4x þ 4 ¼ 1 x2
4x þ 3 ¼ 0 x¼1_x¼3

Equazione data Equazione equivalente in base alla definizione di logaritmo Ricorda che 20 ¼ 1 Forma normale dell’equazione precedente Risolvendo l’equazione di secondo grado

L’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` S ¼ f1, 3g.

Equazioni logaritmiche in cui l’incognita compare in piu` di un logaritmo Se l’equazione da risolvere presenta l’incognita nell’argomento di piu` di un logaritmo, il primo passo per risolverla consiste nel porre le condizioni di esistenza di tutti i logaritmi che compaiono nell’equazione, cioe` nell’imporre che tutti gli argomenti dei logaritmi siano positivi. Supposto che siano verificate le condizioni di esistenza, potremo utilizzare le proprieta` dei logaritmi presentate nel paragrafo precedente per cercare di ricondurre l’equazione a uno dei seguenti tipi:  loga f ðxÞ ¼ b

che abbiamo visto equivalere a f ðxÞ ¼ ab ;

 loga f ðxÞ ¼ loga gðxÞ , che, per la proprieta` [10.4], e` equivalente all’equazione algebrica f ðxÞ ¼ gðxÞ. Bisognera` infine discutere l’accettabilita` delle soluzioni trovate in relazione alle condizioni di esistenza. ESEMPIO

Equazione contenente piu` di un logaritmo

Risolviamo l’equazione log2 x þ log2 ð2
xÞ ¼ log2 ð2x
1Þ. o

31

482

passo Poniamo le condizioni di esistenza (C.E.) Dobbiamo porre a sistema le tre condizioni che impongono la positivita` degli argomenti dei tre logaritmi: ( x>0 1 < x < 2 (C.E.) ) 2
x>0 2 2x
1 > 0

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 10

o

32

passo Ci riconduciamo a un’equazione che sappiamo risolvere A patto che siano verificate le condizioni di esistenza, possiamo scrivere la seguente catena di equazioni equivalenti a quella data.

log2 ½xð2
xÞ ¼ log2 ð2x
1Þ

Proprieta` [10.5]

2

2x
x ¼ 2x
1 2

x ¼1

x ¼ 1

Passando all’uguaglianza degli argomenti

Osserva

Semplificando

Possiamo uguagliare gli argomenti perche´ le basi dei due logaritmi sono le stesse.

Risolvendo l’equazione pura

o

33

passo Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza Delle due soluzioni trovate, la soluzione x ¼
1 e` da scartare perche´ non soddisfa le condizioni di esistenza, mentre la soluzione x ¼ 1 e` accettabile. Quindi l’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` S ¼ f1g.

Equazioni logaritmiche «risolvibili» graficamente Se in un’equazione logaritmica l’incognita figura, oltre che nell’argomento di un logaritmo, anche in qualche termine algebrico, l’equazione non si puo` risolvere con metodi algebrici. Si puo` tuttavia individuare con metodi grafici il numero delle soluzioni dell’equazione e un intervallo cui appartiene ciascuna soluzione. ESEMPIO

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

log2 x þ log2 ð2
xÞ ¼ log2 ð2x
1Þ Equazione data

Interpretazione grafica di un’equazione logaritmica

Interpretando graficamente l’equazione x log2 x ¼ 4, determiniamo il numero delle sue soluzioni e un intervallo cui esse appartengono. Per l’esistenza del logaritmo deve essere x > 0. Sotto questa condizione possiamo dividere entrambi i membri dell’equazione per x; otteniamo l’equazione equivalente: 4 log2 x ¼ x Le soluzioni di questa equazione sono le ascisse degli eventuali punti d’intersezione tra il grafico della funzione y ¼ log2 x e quello dell’iperbole equilatera 4 di equazione y ¼ . x Dalla figura puoi vedere che i grafici di tali curve hanno uno e un solo punto d’intersezione, che abbiamo indicato con P, la cui ascissa e` compresa tra 2 e 3. Possiamo quindi concludere che l’equazione data ammette una e una sola soluzione, compresa tra 2 e 3. y 4 y= x y = log2x P xP

x

Equazioni esponenziali risolvibili tramite logaritmi Nell’Unita` precedente abbiamo imparato a risolvere le equazioni esponenziali che si possono ricondurre alla forma a f ðxÞ ¼ a gðxÞ . Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

483

Per risolvere le equazioni del tipo a f ðxÞ ¼ b gðxÞ si considerano di solito i logaritmi naturali o decimali dei due membri, perche´ cio` permette di approssimare facilmente i risultati con la calcolatrice. Noi utilizzeremo di solito i logaritmi naturali, ma si potrebbero utilizzare analogamente quelli decimali.

Ora che abbiamo introdotto i logaritmi siamo in grado di risolvere anche tutte le equazioni che si possono ricondurre alla forma: a f ðxÞ ¼ b gðxÞ con a 6¼ b Infatti, dal momento che due numeri reali positivi sono uguali se e solo se lo sono i loro logaritmi, questa equazione equivale, per esempio, a: ln a f ðxÞ ¼ ln b gðxÞ che, per le proprieta` dei logaritmi, equivale a sua volta all’equazione algebrica: f ðxÞ ln a ¼ gðxÞ ln b Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

ESEMPI

Tema D

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Osserva

a. Risolviamo l’equazione 3x ¼ 5. 3x ¼ 5

Equazione data

ln 3 ¼ ln 5

Considerando i logaritmi naturali di entrambi i membri

x ln 3 ¼ ln 5

Proprieta` del logaritmo di una potenza

x

x¼

ln 5 ln 3

x ’ 1,46

Risolvendo rispetto a x Arrotondando il risultato ai centesimi con la calcolatrice

b. Risolviamo l’equazione 5  3x ¼ 4. 5  3x ¼ 4

Equazione data

ln ð5  3x Þ ¼ ln 4

Considerando i logaritmi naturali di entrambi i membri. Attenzione alle parentesi: sono necessarie!

ln 5 þ ln 3x ¼ ln 4

Proprieta` del logaritmo di un prodotto

ln 5 þ x ln 3 ¼ ln 4

Proprieta` del logaritmo di una potenza

x ln 3 ¼ ln 4
ln 5

Portando i termini numerici al 2 membro

4 ln ln 4
ln 5 5 ¼ x¼ ln 3 ln 3 x ’
0,20

Risolvendo rispetto a x e applicando la proprieta` del logaritmo di un quoziente Arrotondando il risultato ai centesimi con una calcolatrice

COLLEGHIAMO I CONCETTI

I metodi per risolvere un’equazione esponenziale Rifletti Quale dei metodi riassunti qui a fianco utilizzeresti per risolvere le equazioni seguenti? a. b. c. d.

x

9  3 ¼ 27 4x
3  2x þ 2 ¼ 0 x ¼ 5xffi 2  3p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 5  5x
1 ¼ 25  5x
1

Possiamo cosı` riassumere le strategie per risolvere un’equazione esponenziale, che abbiamo presentato in parte nell’Unita` 9 e in parte in questo paragrafo:

3ricondursi, mediante il calcolo algebrico od opportune sostituzioni, a un’equazione elementare del tipo a x ¼ b;

f ðxÞ

3ricondursi a un’equazione del tipo a 3ricondursi a un’equazione del tipo a

¼ a gðxÞ , che equivale a f ðxÞ ¼ gðxÞ;

f ðxÞ

¼ b gðxÞ , che equivale, considerando i logaritmi naturali di entrambi i membri, all’equazione f ðxÞ ln a ¼ gðxÞ ln b.

Le equazioni esponenziali in cui l’incognita compare, oltre che in qualche esponente, anche in qualche termine algebrico, solitamente non sono risolvibili per via algebrica; per queste equazioni si possono determinare il numero delle soluzioni e delle loro approssimazioni per via grafica. 484 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 10

Prova tu

ESERCIZI a p. 505

Risolvi le seguenti equazioni. [4]

2

2. ln ðx2
3x þ eÞ ¼ 1

[0, 3]

3. 1
2 log2 ðx þ 4Þ ¼ log2 4. log2 x


1 2

1 log2 ð9
x2 Þ ¼ 1 2

[
2] " pffiffiffi # 6 5 5

2

 x 3 ¼5 5. 2

6 ln 5 4 3 ln 2 2 3 ln 6 5 4 4 ln 5

6. 3  5x
1 ¼ 4x

4. Disequazioni logaritmiche e disequazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi Disequazioni logaritmiche DISEQUAZIONE LOGARITMICA

3 7 5 3 7 5

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

1. log 1 x ¼
2

Una disequazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo.

Per esempio, sono disequazioni logaritmiche: log3 x  10

e

ln ðx
1Þ > ln x2

Per la risoluzione delle disequazioni logaritmiche valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le equazioni. Il procedimento per risolvere una disequazione logaritmica si puo` cosı` riassumere: 1. si determinano le condizioni di esistenza dei logaritmi che compaiono nella disequazione; 2. supposte verificate le condizioni di esistenza, si cerca di ricondurre la disequazione, mediante le proprieta` dei logaritmi, alla forma: loga f ðxÞ < loga gðxÞ (o a forma analoga dove al posto di < compare il simbolo , > o ) e si risolve la disequazione equivalente fra gli argomenti. Occorre prestare attenzione al fatto che la funzione logaritmica e` crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1; pertanto la disequazione cui si e` giunti e` equivalente:  a una disequazione dello stesso verso tra gli argomenti dei logaritmi se a > 1;  a una disequazione di verso contrario tra gli argomenti dei logaritmi se 0 < a < 1; 3. le soluzioni della disequazione di partenza si ottengono risolvendo il sistema formato dalle soluzioni della disequazione ottenuta passando agli argomenti dei logaritmi e dalle condizioni di esistenza. Disequazioni logaritmiche elementari

ESEMPI

Risolviamo le disequazioni: a. log 1 x 2 2

b. log3 x >

1 2

Ô Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

485

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Ô

a. Risolviamo la disequazione sia algebricamente sia graficamente. Risoluzione algebrica 1 passo Perche´ il logaritmo esista il suo argomento deve essere positivo, quindi deve essere: x>0

Condizione di esistenza

2 passo

 2 1 1 ¼ log 1 , si puo` scrivere la disequazione assegnata, 2 2 4 2

Osservando che 2 ¼ log 1 log 1 x 2 nella forma:

Tema D

2

1 4

log 1 x log 1 2

2

1 , e` minore di 1, questa disequazione equivale (a patto 2 che sia verificata la condizione di esistenza) a quella di verso opposto fra gli argomenti, cioe` a: Poiche´ la base dei logaritmi,

x

1 4

3 passo Le soluzioni della disequazione sono allora le soluzioni del sistema: 8 0 1 :x  4

da cui: 0 < x 

Condizione di esistenza Soluzioni trovate al 2 passo

1 4

Risoluzione grafica Tracciamo i grafici della funzione y ¼ log 1 x e della retta di equazione y ¼ 2. Dalla 2

figura vediamo che il grafico di y ¼ log 1 x e` «al di sopra» di quello della retta per 2

0 < x  x0 , essendo x0 l’ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta.

L’ascissa x0 e` la soluzione dell’equazione log 1 x ¼ 2, che ha soluzione 2

 2 1 1 ¼ x¼ 2 4 Pertanto, x0 ¼ 00

Condizione di esistenza

2 passo

pffiffiffi 1 1 ¼ log3 3 2 ¼ log3 3, si puo` riscrivere la disequazione 2 pffiffiffi nella forma log3 x > log3 3

Osservando che log3 x >

1 2

Poiche´ la base dei logaritmi, 3, e` maggiore di 1, questa disequazione equivale (a patto che sia verificata la condizione di esistenza) a quella nello stesso verso fra gli argomenti, cioe` a: pffiffiffi x> 3

3 passo Le soluzioni della disequazione sono allora le soluzioni del sistema:  pffiffiffi x>0 Condizione di esistenza da cui: x > 3 pffiffiffi Soluzioni trovate al 2 passo x> 3 Risoluzione grafica

1 . 2 Dalla figura vediamo che il grafico di y ¼ log3 x e` «al di sopra» di quello della retta per x > x0 , essendo x0 l’ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta. 1 L’ascissa x0 e` la soluzione dell’equazione log3 x ¼ , che ha soluzione: 2 pffiffiffi 1 x ¼ 32 ¼ 3 pffiffiffi Pertanto, x0 ¼ 3 e possiamo concludere che la disequazione proposta e` soddisfatta pffiffiffi per x > 3. Tracciamo il grafico della funzione y ¼ log3 x e quello della retta di equazione y ¼

y

y=1 2 O

x0

x

y = log 3 x

ESEMPIO

Disequazione logaritmica riconducibile alla forma loga f ðxÞ loga gðxÞ

Risolviamo la disequazione log3 ðx 2 þ 8xÞ 2. o

31

passo Determiniamo le condizioni di esistenza Il logaritmo che compare nella disequazione e` definito purche´ sia: x2 þ 8x > 0 cioe` per: x <
8 _ x > 0

Un trinomio di 2 grado e` positivo negli intervalli esterni alle radici

Ô

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

487

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

Ô

o

32

passo Riscriviamo la disequazione nella forma loga f ðxÞ loga gðxÞ e risolviamo la disequazione equivalente tra gli argomenti log3 ðx2 þ 8xÞ 2

Equazione data

x2 þ 8x 9

Poiche´ la base dei logaritmi e` maggiore di 1, la disequazione precedente equivale a quella nello stesso verso tra gli argomenti

x2 þ 8x
9 0 x 
9 _ x 1

Riscrivendo la disequazione in forma normale

log3 ðx2 þ 8xÞ log3 32

Osservando che 2 ¼ log3 32

Risolvendo la disequazione

o

33

passo Concludiamo, ponendo a sistema le C.E. con le soluzioni trovate al passo precedente ( x <
8 _ x > 0 Condizioni di esistenza Soluzioni trovate al 2 passo

x 
9 _ x 1

Il sistema (e quindi la disequazione di partenza) ha come soluzioni: x 
9 _ x 1 ESEMPIO

Disequazione logaritmica riconducibile alla forma loga f ðxÞ  loga gðxÞ

Risolviamo la disequazione log2 x þ log2 ð4
xÞ  log 1 2

1 . 3

o

31

passo Determiniamo le condizioni di esistenza Dobbiamo imporre che siano positivi gli argomenti di tutti i logaritmi che compaiono nella disequazione; le condizioni di esistenza sono percio` i valori di x che soddisfano il sistema:  x>0 ) 0 0, y > 0, z > 0, scrivi log ðxy4 z3 Þ sotto forma di somme algebriche di logaritmi di x, y e z. log ðxy 4 z3 Þ ¼ log x þ log y 4 þ ::::: ¼ ¼ log x þ ::::: log y þ ::::: log z

Ricorda che loga ðbcÞ ¼ loga b þ loga c Ricorda che loga ðbc Þ ¼ c  loga b

Supposto x > 0, y > 0, z > 0, scrivi sotto forma di somme algebriche di logaritmi di x, y o z i seguenti logaritmi.   ffiffiffiffiffi p 3 xy 1 1 3 2 115 log ðxy Þ [log x þ 2 log y] 121 log pffiffiffiffiffi log x þ log y
log z Þ Þ 3 3 2 z3 3 x pffiffiffi   [3 log x
log y] 116 log Þ 1 1 x y p ffiffi ffi 122 log log x
log y
log z Þ 2 3 y3z 117 log ð2x2 yÞ [log 2 þ 2 log x þ log y] Þ     1 1 ffiffiffi p 1 p ffiffi ffi 123 log
log x
log y
log z 3 Þ 118 log ðy zÞ log y þ log z Þ 2 xy z 3     x 1 1 x 1 p ffiffi ffi 124 log log x
log y
log z pffiffiffi 3 119 log pffiffiffi log x
log y Þ Þ 2 3 y z 2 y rffiffiffiffiffiffiffi   xy 1 120 log ðlog x þ log y
log zÞ Þ z 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

503

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

125 Þ

Stabilisci se i seguenti numeri sono positivi o negativi. 5 25 b. log5
log5 d. 1
log 5 35 c. log 1 3 þ 2 log 1 2 a. log2 3
1 2 2 3 2 2 (Suggerimento: scrivi prima ciascun numero sotto forma di un unico logaritmo, poi ricorda come varia il segno di un logaritmo al variare della base e dell’argomento)

Cambiamento di base 126 Þ

Completa le seguenti uguaglianze (il primo caso e` svolto come esempio).

a. log2 25 ¼ b. log5 7 ¼

log5 25 2 ¼ log5 2 log5 2

ln::::: ln:::::

c. log2 3 ¼

log::::: log:::::

d. log4 8 ¼

log2 ::::: ¼ log2 :::::

::::: :::::

127 Þ

Dopo aver trasformato i seguenti logaritmi in base e oppure in base 10, determina con una calcolatrice i valori di tali logaritmi arrotondati a meno di un centesimo: log3 7;

log5 17;

log6 20

Utilizzando la calcolatrice, disponi in ordine crescente i seguenti numeri (prima trasformali tutti in base e o in base 10). 128 Þ

log3 7; log5 17;

129 Þ

log3 7; log4 8; log 20;

130 Þ

log5 2; log 1 8;

131 Þ

log 1 4;

132 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

log6 20

log 5; ln 2

2

3

log4

ln 10

1 ; 8

log

1 ; 4

ln

1 3

Utilizzando anche la proprieta` del cambiamento di base, semplifichiamo l’espressione: 1
log3 5 log5 3 1 1 log5 5
log3 5 ¼
¼ log5 3 log5 3 log5 3 ¼

1 1
¼ log5 3 log5 3

Trasformando log3 5 in base 5

Osservando che log5 5 ¼ 1

¼0 Utilizzando anche la proprieta` del cambiamento di base, semplifica le seguenti espressioni. 133 Þ

log2 5  log5 8

[3]

134 Þ

log7 100  log 49

[4]

135 Þ

log3 18
log9 4

[2]

136 Þ

log5 27  log3 5

[3]

1 þ log25 9 15 pffiffiffi 138 log2 ð2 3Þ
log4 3 Þ pffiffiffi 139 log5 ð5 7Þ
log25 7 Þ 137 Þ

log5

1 140 ln 10
log e  ln 100
Þ log e

141 Þ

log3 5  log25 9 ffiffiffi p ffiffiffi p 3 3 142 log3 3
log9 ð3 3Þ Þ 143 Þ

1 þ log2 3
1

1

[1]

[0] 4 9 3 þ log 3 þ log 144 ðlog 1 1 3 þ log Þ 4 16 9Þ  ln 2 [
ln 3] 145 Þ

[1] [
2]

[1]  1
3

log4

2

[
1]



146 Þ

2

log 1 3 þ log2 9 2

log4 9

log5 3 þ log25 9 1 log 1 5 9

504 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[1]

[1]

risolvibili mediante logaritmi

Unita` 10

3. Equazioni logaritmiche ed equazioni esponenziali TEORIA a p. 481

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

Esercizi preliminari Test 147 Þ A

148 Þ A

149 Þ A

150 Þ A

151 Þ A

152 Þ A

153 Þ A

154 Þ

Quale delle seguenti equazioni non e` logaritmica? log2 x ¼
1

B

log2 x
log 2 ¼
1

C

x
log 2 ¼ 1

Quali sono le condizioni di esistenza dell’equazione log2 x þ log2 ðx þ 1Þ ¼
2? x>0

B

x >
1

C


1 < x < 0

Quali sono le condizioni di esistenza dell’equazione log2 ðx2 þ xÞ ¼
2?

x>0

B

x >
1

C


1 < x < 0

Quali sono le condizioni di esistenza dell’equazione log2 x þ log2 ðx2 þ 1Þ ¼
2?

x>0

B

x >
1

C


1 < x < 0

Quali sono le condizioni di esistenza dell’equazione log2 x2 þ log2 ðx þ 1Þ ¼
2?

x>0

B

x >
1

C


1 < x < 0

x>0

B

x0

B

x <
1

x <
1 _ x > 0

D

x <
1 _ x > 0

D

x <
1 _ x > 0

D

x <
1 _ x > 0

00

Si determinano le condizioni di esistenza. Si riconduce l’equazione a una delle due forme:

log2 ð2
xÞ þ log2 ð4
xÞ ¼ 3

log2 ðx
1Þ þ log2 ðx þ 1Þ ¼ 2

log2 ½ðx
1Þðx þ 1Þ ¼ 2 logaritmo

log2 ½ð2
xÞð::::::::::Þ ¼ 3

ðx
1Þðx þ 1Þ ¼ 22 loga f ðxÞ ¼ b )

x2
::::: ¼ 0 ) x ¼ ::::: _ x ¼ :::::

di un prodotto

loga f ðxÞ ¼ b

oppure

ð2
xÞð::::::::::Þ ¼ 2:::::

) f ðxÞ ¼ a b

loga f ðxÞ ¼ loga gðxÞ

e la si risolve

Si confrontano le soluzioni con le condizioni di esistenza, accettando come soluzioni dell’equazione originaria solo quelle che soddisfano le C.E. 160 Þ

Risolvere l’equazione: log2 ð2
xÞ þ log2 ð4
xÞ ¼ 3  2
x>0 ) ::::::::::::::: 4
x>0

pffiffiffi x 2
1 ¼ 4 ) x2 ¼ 5 ) x ¼  5

Delle due soluzioni trovate, quella positiva e` maggiore di 1, quindi soddisfa le C.E.; quella negativa invece e` da scartare (in quanto minore di 1). L’insieme pffiffiffi

delle soluzioni dell’equazione data e`: S ¼ 5 .

Delle due soluzioni trovate, x ¼ ::::: e` minore di ....., quindi soddisfa le C.E., mentre x ¼ ::::: e` da scartare (in quanto maggiore di .....). L’insieme delle soluzioni dell’equazione data e`: S ¼ f:::::g.

Completa la seguente tabella, seguendo i passi suggeriti nella prima colonna e l’esempio svolto.

Passi del procedimento

Risolvere l’equazione: log2 x
3 log x
4 ¼ 0

Risolvere l’equazione: 2 log2 x
log x
1 ¼ 0

Poni log x ¼ t e trasforma l’equazione data in un’equazione in t.

Osserviamo che

Osserviamo che

log2 x ¼ ðlog xÞ2 ¼ t 2

log2 x ¼ ðlog xÞ2 ¼ t 2

quindi l’equazione diventa:

quindi l’equazione diventa

t 2
3t
4 ¼ 0 161 Þ

2t 2
:::::
::::: ¼ 0

Completa:

a. 7 x ¼ 4 ) ln 7 x ¼ ln ::::: ) x ln ::::: ¼ ln ::::: ) x ¼

::::: :::::

b. 3x ¼ 5x
1 ) ln 3x ¼ ln ::::: ) x ln ::::: ¼ ðx
:::::Þln ::::: ) x ln ::::: ¼ x ln :::::
ln ::::: ) ) x ln :::::
x ln ::::: ¼
ln ::::: ) x ðln :::::
ln :::::Þ ¼
ln ::::: ) x ¼


ln ::::: ln ::::: ¼ ln :::::
ln ::::: ::::: ln :::::

c. 3x ¼ 2  5x ) ln 3x ¼ ln ð:::::  :::::Þ ) ln ::::: ¼ ln ::::: þln ::::: ) x ln ::::: ¼ ln ::::: þ x ln ::::: ) x ln :::::
x ln ::::: ¼ ln ::::: ) x ðln :::::
ln :::::Þ ¼ ln ::::: ) x ¼

ln ::::: ln ::::: ¼ ln :::::
ln ::::: ::::: ln :::::

Equazioni logaritmiche della forma loga f ðxÞ ¼ b o a esse riconducibili 162 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione log3 ðx þ 2Þ ¼ 2. log3 ðx þ 2Þ ¼ 2 2

ðx þ 2Þ ¼ 3

Equazione data Equazione equivalente, in base alla definizione di logaritmo

xþ2¼9

x¼7 506

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

163 Þ

log2 x ¼ 3

[8]

165 Þ

ln ð
xÞ ¼
2

166 Þ

log ðx
2Þ ¼ 2

167 Þ

[9]   1
2 e



log x ¼
2

177 Þ

log2 ðx2 þ xÞ ¼ 1

[102]

178 Þ

log2 ðx2
4Þ ¼ 3



179 Þ

log2 ðx2
2x
2Þ ¼ 0

180 Þ

log2 ðx
1Þ ¼ 2

1 100

168 log ðx þ 1Þ ¼ 0 Þ 169 Þ

[0]

ln ð2x
3Þ ¼ 0

[2]

170 Þ

log ð2x þ 7Þ ¼ 1

171 Þ


log ðx
1Þ ¼ 2

172 Þ

2 log2 ðx
2Þ ¼ 1

 2x þ 3 175 ln ¼0 Þ x
2   x
1 176 log ¼
1 Þ xþ1

  3 2   101 100 pffiffiffi [2 þ 2]

173 log3 Þ



1 1 xþ 2 6



¼
1

  1 3

174 log2 Þ



1 1 x
4 2



¼3

[34]

[
5] 

11 9



[
2; 1] pffiffiffi [2 3] [
1, 3] [5]

181 Þ

1 ¼1 log x

[10]

182 Þ

log4 ð10
xÞ ¼ 2

[
6]

183 Þ

log2 ðx þ 2Þ ¼ 4

[14]

184 Þ

log 1 ð2
xÞ ¼
2

[
2]

185 Þ

ln ðx
1Þ ¼ 0

186 Þ

log 1 ð3
xÞ ¼
3

187 Þ

log2 ðx2
1Þ ¼ 0

188 Þ

log ð3x2 þ 7xÞ ¼ 1

2

2

[2]

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

164 log3 x ¼ 2 Þ



Unita` 10

Risolvi le seguenti equazioni.

[
5] pffiffiffi [ 2]   10
,1 3

Equazioni logaritmiche in cui occorre applicare le proprieta` dei logaritmi 189 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione log2 ðx þ 3Þ þ log2 ðx þ 4Þ ¼ 1.  Condizioni di esistenza C.E.



xþ3>0 xþ4>0

) x >
3

 Risoluzione dell’equazione Supposto che siano verificate le C.E., possiamo scrivere la seguente catena di equazioni equivalenti. log2 ðx þ 3Þ þ log2 ðx þ 4Þ ¼ 1

Equazione data

log2 ½ðx þ 3Þðx þ 4Þ ¼ 1

Proprieta` del logaritmo di un prodotto

log2 ½ðx þ 3Þðx þ 4Þ ¼ log2 2

Riscrivendo 1 sotto forma di logaritmo in base 2

x2 þ 4x þ 3x þ 12 ¼ 2

Uguagliando gli argomenti

x2 þ 7x þ 10 ¼ 0

Riscrivendo l’equazione in forma normale

ðx þ 5Þðx þ 2Þ ¼ 0

Scomponendo il primo membro

x ¼
5 _ x ¼
2

Legge di annullamento del prodotto

 Conclusione Tra le due soluzioni trovate, x ¼
5 e` da scartare perche´ non soddisfa le C.E., mentre x ¼
2 e` accettabile. Quindi la soluzione dell’equazione data e`
2. 507 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

Risolvi le seguenti equazioni.

pffiffiffiffiffiffi 11]   4 3

190 Þ

log x þ log ðx
2Þ ¼ 1

191 Þ

log2 x
log2 ðx
1Þ ¼ 2

192 Þ

2 log2 x
log2 ð2x
4Þ ¼ 0

193 Þ

log3 ðx
4Þ þ log3 ðx þ 4Þ ¼ 2

[5]

194 Þ

log2 x þ log2 ðx þ 2Þ ¼ 3

[2]

195 Þ

log2 ð2x þ 1Þ
log2 ðx þ 1Þ ¼ 2

196 Þ

log3 ðx
4Þ ¼ 2 log3 ðx
4Þ

197 Þ

log3 ð4
xÞ þ log3 ðx þ 6Þ ¼ 2

198 Þ

log2 ð2
xÞ
2 log2 ðx þ 8Þ ¼ 1

199 Þ

log ð5
xÞ þ log ðx þ 5Þ ¼ 1

[1 þ

[Impossibile]

[Impossibile] [5] [
5,3] [
6] pffiffiffiffiffiffi [ 15]

200 Þ

log ðx þ 3Þ þ log ð1
xÞ ¼ 2 log 2 pffiffiffi 1 201 log2 x þ log2 x ¼ 2 Þ 3 202 Þ 203 Þ

log ð5
xÞ þ log x ¼ log ðx
2Þ þ log 2

207 Þ

log2 ð1
xÞ þ log2 ð
2xÞ ¼ 2

[
1] pffiffiffi [4 5 4] [4]

log x
log ð4
x2 Þ ¼ log ð3
xÞ
log ðx þ 2Þ pffiffiffi [3
3]   3 204 2 log x
log ðx þ 3Þ ¼ log ð2
xÞ Þ 2 " pffiffiffiffiffiffi # 1 9 þ 17 205 log2 x
log2 ðx
1Þ ¼ 1 Þ 8 2 " pffiffiffi # 2 206 log ð1
xÞ þ log ð1 þ xÞ ¼ 2 log ð
xÞ
Þ 2 [
1]

Equazioni logaritmiche risolvibili mediante sostituzioni 208 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione log22 x þ 3 log2 x
4 ¼ 0.  Utilizziamo un’incognita ausiliaria

Poniamo log2 x ¼ t e quindi ðlog2 xÞ2 ¼ t 2 . Con questa sostituzione l’equazione data si puo` riscrivere nella forma: t 2 þ 3t
4 ¼ 0

che ammette come soluzioni: t ¼
4

e

t¼1

 «Ritorniamo» alla variabile x

Rimpiazziamo log2 x al posto di t. Otteniamo le equazioni: log2 x ¼
4

log2 x ¼ 1

e

Risolviamo queste equazioni: log2 x ¼
4 ) x ¼ 2
4 ) x ¼

1 16

log2 x ¼ 1 ) x ¼ 21 ) x ¼ 2  Conclusione

Le soluzioni dell’equazione data sono x ¼

Risolvi le seguenti equazioni. 2 209 ln x
4 ¼ 0 Þ 2

ln x þ 3 ln x ¼ 0

211 Þ

log22 x þ log2 x
6 ¼ 0 log23 x
log3 x
2 ¼ 0 1

1 1 þ ¼ 213 Þ 2 x þ 1 log 1
log log2 x
1 2 2x 214 Þ

508

log x2 þ


2

2

[e , e ]
3

210 Þ

212 Þ

1 e x ¼ 2. 16

1 ¼3 log x

[e , 1]   1 ,4 8 

 1 ,9 3 " pffiffiffi # 2 2

pffiffiffiffiffiffi [ 10; 10]

215 Þ

log x
log x ¼ 0

216 Þ

log22 x þ 3 log2

217 Þ

1 2

log x
log x

pffiffiffi x¼1 þ

1

2

log x þ log x

218 Þ

1 1 þ 2 ¼2 ln x ln x

219 Þ

ln2 x
ln x
2 ¼ 0

220 Þ



3

1 1 þ ¼2 ln x 2 ln x
1

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

¼

 1 , 1, 10 10   1 pffiffiffi , 2 4

2 2

log x
1 [8 x 2 Rþ ]   1 pffiffiffi , e e [e
1 , e2 ] pffiffiffi [e, 4 e]

221 Þ

Unita` 10

Equazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le equazioni: b. 2x ¼ 3

ln 3 3 ln 3 b. 2x ¼ 3 ) ln 2x ¼ ln 3 ) xln 2 ¼ ln 3 ) x ¼ ln 2

a. e3x ¼ 3 ) ln e3x ¼ ln 3 ) 3x ¼ ln 3 ) x ¼

Nota Nel primo esempio, abbiamo risolto l’equazione considerando i logaritmi naturali di entrambi i membri, poiche´ e e` la base della potenza al primo membro e cio` facilita i calcoli. Nel secondo esempio, invece, e` indifferente utilizzare i logaritmi naturali, come abbiamo fatto, o i logaritmi decimali.

Risolvi le seguenti equazioni. 222 Þ



4x ¼ 5 

223 Þ

e2x ¼ 3

227 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

ln 5 ln 4



 1 ln 3 2

2x

x

224 Þ

2e

225 Þ

ln ðex þ 1Þ ¼ 2x

226 Þ


3e
5 ¼ 0

ex ¼2 ex
1



 5 ln 2 " pffiffiffi # 1þ 5 ln 2 [ln 2]

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

a. e3x ¼ 3

Risolviamo l’equazione 2x ¼ 3  5x . 2x ¼ 3  5x x

Equazione data x

ln 2 ¼ ln ð3  5 Þ x

Considerando i logaritmi naturali dei due membri x

ln 2 ¼ ln 3 þ ln 5

Proprieta` del logaritmo di un prodotto

xðln 2
ln 5Þ ¼ ln 3 ln 3 x¼ ln 2
ln 5

Portando i termini con la x al primo membro e raccogliendo x

x ln 2 ¼ ln 3 þ x ln 5

Proprieta` del logaritmo di una potenza

228 3x  5 ¼ 9x Þ

2

ln 5 ln 3



3 ln 3 4 3 5 ln 2 2 3 ln 4 4 75 5 ln 16

229 2x  3x
1 ¼ 4x Þ

230 Þ



pffiffiffiffiffi x 3x  5 ¼ 2  4x

231 2xþ2
2x ¼ 25  3x
16  3x Þ

(Suggerimento: raccogli 2x al primo membro e 3x al secondo) 232 3x
3xþ1 ¼ 5x
5xþ1 Þ

2

3 ln 3 4 2 5 ln 3 2

3 ln 2 4 3 5 ln 5

Esercizi riassuntivi sulle equazioni logaritmiche e sulle equazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi Risolvi le seguenti equazioni. 233 log2 ð6
2xÞ ¼ 4 Þ 234 Þ 235 Þ

[
5] pffiffiffi [ 5]   1
ln 3 2

ln ðx2
4Þ ¼ 0 e


2x

¼3

ln2 x
3 ln x ¼ 0 1 237 log2 x þ log2 ¼1 Þ 2 236 Þ

238 Þ

2x þ log2 8 ¼ 2

239 Þ

log3 x þ log3 27 ¼ 5

[1, e3 ] [4] [Impossibile] [9]

240 log ðx þ 2Þ
log x ¼ 1 Þ 241 Þ

2e
x ¼ 5

242 Þ 243 Þ 244 Þ

log23 x
2 log3 x ¼ 0

  2 9   2 ln 5 [1, 9]

log2 x3 ¼ log2 x

log ðx
2Þ þ log ðx þ 3Þ ¼ log ð10
xÞ

245 Þ

log ðx þ 2Þ
log ð2x þ 3Þ ¼ 0 2 246 ¼ ln x2 Þ ln x

[1 [
1 þ

pffiffiffiffiffiffi 17]

[
1]

[e
1 , e] 509

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Funzioni esponenziali e logaritmiche Tema D

xþ1 [2] ¼1 x
1 log x þ log ðx
1Þ ¼ log ðx þ 1Þ þ log ðx
2Þ [Impossibile]   1 1 3 log 1 x
log21 x ¼ 2 , 2 2 4 2 log ðx þ 7Þ [2] ¼2 log ðx þ 1Þ pffiffiffi e2ln x ¼ 3 [ 3]

247 log3 Þ 248 Þ 249 Þ 250 Þ 251 Þ 252 Þ

e

2x

x


2e
3 ¼ 0

253 Þ

2x  3x
1 ¼ 9x

254 Þ

log2 log 1 ðx
5Þ ¼ 0

255 Þ

ln lnðx2
1Þ ¼ 0

256 Þ

ðln x
1Þ½ln ðx
1Þ
1 ¼ 0

257 Þ

[ln 3] 3

2

6 ln 3 7 5 4
3 ln  2  16 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [ e þ 1]

3

[e, e þ 1]

3


3

ln x ¼ 9 ln x

3

[e , 1, e ]

" pffiffiffi # 2 5 5

258 Þ

2 ln x þ ln 5
ln 4 ¼ 0

259 Þ

2 ln x þ ln x3 ¼ 4 ln 25 þ 2 ln 5

260 Þ

ln ðx
4Þ ¼
ln x

261 Þ

lnð
xÞ þ lnðx þ 6Þ ¼ 2 lnðx þ 4Þ

pffiffi 22 log2 x
4log2 x ¼ 2 1 263 logx þ log 1 x ¼
logx 2 Þ x x 264 logx ðx
2Þ ¼
1 Þ 5 265 log2 x þ logx 2 ¼ Þ 2

262 Þ

266 Þ

log2 x þ log 1 ðx
1Þ ¼
1 2

pffiffiffi 1
log x ¼ 0 x

267 Þ

log2

268 Þ 269 Þ

log2 ð2x þ 1Þ ¼ x þ 1 xþ2

log2 ð2

þ 3Þ ¼ log2 4 þ x þ 2

[25] pffiffiffi [2 þ 5] " pffiffiffiffiffiffi # 17
7 2 [2] pffiffiffi [ 2] pffiffiffi [1 þ 2] pffiffiffi [ 2, 4]

[
1] pffiffiffiffiffiffi [1, 10] [0]

[
2]

4. Disequazioni logaritmiche e disequazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi

TEORIA a p. 485

270 Þ

Vero o falso? a. la disequazione log x < 10 e` soddisfatta per ogni x 2 R tale che x < 1010 b. la disequazione log x <
10 e` impossibile c. la disequazione log 1 x <
1 e` soddisfatta per x > 3

V

3

d. la disequazione log3 x > 0 e` soddisfatta per x > 0 e. la disequazione logp2ffiffi ð
xÞ < 0 e` verificata per ogni x 2 R f. la disequazione log0,25 x <
0,5 e` soddisfatta per x > 2

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 4 false]

271 Associa a ogni disequazione la disequazione a essa equivalente. Þ

a. log2 x > 1

A. log 0,5 x > 1

2

b. log 0,5 x < log 0,5 3

B. x2 > 1

c. log 3 x2 > 0

C. x2 < 3

d. log2 ðx2 þ 1Þ < 2

D. log 0,5 x <
1

2

E. x2 > 3

e. log2 x <
1

272 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo la disequazione log 1 ðx
1Þ
3. 2

 La condizione di esistenza e` x
1 > 0, cioe` x > 1.  Sotto questa condizione possiamo scrivere la seguente catena di disequazioni prestando attenzione, nel passaggio alla disuguaglianza tra gli argomenti, a cambiare il verso della disequazione poiche´ le basi dei logaritmi sono minori di 1:  
3  
3 1 1 ) x
1 )x
18)x9 log 1 ðx
1Þ
3 ) log 1 ðx
1Þ log 1 2 2 2 2 2  Le soluzioni dell’equazione originaria si ottengono ponendo a sistema le soluzioni trovate al punto precedente con la condizione di esistenza:  x>1 ) 1
2

278 Þ 279 Þ 280 Þ 281 Þ 282 Þ

log 1 x 0

294 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

[0 < x < 9]  1 0 100 [0 < x  1]

5

log3 x > 3

[x > 27]

log 1 x >
2

[0 < x < 9] pffiffiffiffiffiffi [0 < x  10]

3

2 log x  1 log5 x > 0

[x > 1]

ln x  1

log ðx
1Þ  0 2

log2 ðx
2xÞ 1 log2 ðx þ 3Þ  2

[0 < x  e]

[1 < x  2] pffiffiffi pffiffiffi [x  1
3 _ x 1 þ 3]

[
3 < x  1]

log4 ð6
xÞ 1

[x  2]

log2 ðx
2Þ < 3

[2 < x < 10]

[
7  x < 1]

log 1 ð1
xÞ
3 2

ln ðx
2Þ 0

[x 3]

[x <
6] pffiffiffi pffiffiffi log2 ðx
4Þ  0 [
5  x <
2 _ 2 < x  5]   5 2 293 log5 ð3x þ 2xÞ 1 x
_x 1 Þ 3 log 1 ð2
xÞ <
3 2

2

Risolvi la disequazione log2 x þ log2 ðx
2Þ < 1.  Poni le condizioni di esistenza dei logaritmi:  x>0 ) x > ::::: x
2>0

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche



283 Þ 284 Þ 285 Þ 286 Þ 287 Þ 288 Þ 289 Þ 290 Þ 291 Þ 292 Þ

Unita` 10

Risolvi le seguenti disequazioni.

 Nell’ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza, puoi scrivere la seguente catena di disequazioni equivalenti: log2 x þ log2 ðx
2Þ < log2 :::::

log2 ½ xðx
2Þ < log2 :::::

Ricorda che loga b þ loga c ¼ loga ðbcÞ

2

x
2x < ::::: pffiffiffiffi pffiffiffiffi 1
::::: < x < 1 þ :::::

 Le soluzioni della disequazione originaria si ottengono ponendo a sistema le soluzioni trovate al passo precedente con le condizioni di esistenza: ( x > ::::: pffiffiffi [2 < x < 1 þ 3] pffiffiffiffi pffiffiffiffi ) ::::::::::::::::::::::::: 1
::::: < x < 1 þ ::::: Risolvi le seguenti disequazioni, ricordando le proprieta` dei logaritmi. 295 Þ

log x 1 þ 2 log x

296 Þ

log2 x
log2 ðx
1Þ  2

297 Þ 298 Þ 299 Þ

2 log2 x
log2 ð2x
4Þ > 0

300 Þ

log ð5
xÞ þ log

301 Þ

log ðx
1Þ
log ð3 þ 2x
x2 Þ  log ð2
xÞ
log ðx þ 1Þ

302 Þ

2 log ðx þ 2Þ
log ðx þ 5Þ > log ð
xÞ

log2 ð3
xÞ þ log2 ð3 þ xÞ 1 log ðx þ 1Þ þ log ð3
xÞ > 2 log 2 x log ðx
2Þ 2

303 Þ

1 1 log2 x
log2 ðx
1Þ  2 2

304 Þ

log ð1
xÞ þ log ð1 þ xÞ > 2 log ð
xÞ

305 Þ

log2 ð1 þ xÞ þ log2 ð2xÞ 2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

  1 0 2] pffiffiffi pffiffiffi [
7  x  7] [Impossibile]

[2 < x  4] pffiffiffi [1 < x  3
2]   1
3]

325 Þ

[x > 0]  1 log x2 2 2 x 327 Þ : 2 ðlog2 xÞ  1 ( e2x þ 2ex
3 0

[0 < x  1]   1 9 0 1
log 1 x 3 pffiffiffi 444 3 þ log 1 ð x þ 4Þ  0 Þ 443 Þ

[0 < x  1 _ x 16]   1 01 3 [x 16]

2

1
2 ln x 
1 ln x

445 Þ 446 Þ

log2 jx
3j > 1 1 >1 447 Þ log2 ðx þ 1Þ 448 Þ

jlog2 ðx
1Þj < 2

449 Þ 450 Þ

log 1 ðx
1Þ  3
log2 ðx2
1Þ 2

438 Þ

log2 ð2x2
2Þ  2 log2 ðx þ 1Þ

[1 < x  3]

[x < 1 _ x > 5] 

[0 < x < 1]  5 2] Þ 4  x
6   1 3 x 30 8 x Þ 2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   1 5 3 x
1 31 4 x Þ 2xþ1 7 32 Þ 33 Þ 34 Þ

35 Þ

36 Þ

e2x þ ex
2  0 [x  0]  x  x 1 1 þ
2 < 0 [x > 0] 2 4 " !# pffiffiffi  x 5
1 1 1 x log2 x
1 2 2 4 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi 3 8x 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  [x  0] x
1 2 4x  2x
1 pffiffiffiffiffi 1 1 2x x
x [
2  x < 0] x 4
1 2
1 2 þ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [0  x  1] 2x
1 2xþ1
3

15 Þ

log3 ðx þ 2Þ ¼
1

16 Þ

1 1 ¼0 þ ln x ðln xÞ2

17 Þ

log2 ðx2 þ 2xÞ ¼ 3

[
4, 2]

Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche.

18 Þ

ln ðx2 þ x
1Þ ¼ 0

39 Þ

log5 x > 0

19 Þ

ðlog2 xÞ2
1 ¼ 0

40 Þ

log 1 x >
2

20 Þ

1 log2 ðx þ 1Þ
1 ¼ log2 ð4
xÞ 2

[
2, 1]   1 ,2 2

41 Þ

ln ð2xÞ < ln ðx þ 2Þ

21 Þ

log2 ðx
3Þ þ log2 ðx
1Þ ¼ 0

22 Þ

log2 x2
log2 ðx þ 1Þ ¼
1

2 23 log2 x þ log2 x2
3 ¼ 0 Þ

522

pffiffiffi # 3þ 5 25 Þ 2 " pffiffiffiffiffiffi # 13 þ 41 26 log2 ðx þ 2Þ
2 log2 ðx
3Þ ¼ 1 Þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 27 log ðx þ 1Þ
log 1 þ x ¼ log x þ log x
2 Þ " 2 pffiffiffiffiffiffi # 3 þ 13 2 "

1 log x ¼ log ðx
1Þ 2

24 Þ

ln2 x2
ln x3
1 ¼ 0


1

[e ]

[3] pffiffiffi [2 þ 2]   1
,1 2   1 ,2 8

1  e
4 , e

37 Þ 38 Þ

jex
e2 j 2ex

[x  2
ln 3]

[x > 1] [0 < x < 9]

3

42 Þ

log 1 ð2x
1Þ log 1 ðx þ 1Þ

43 Þ

log2 ðx
1Þ 

3

3

1 2

[0 < x < 2]  1 2]   1 52 jlog2 x þ 1j  2 x2 Þ 8 Determina il dominio delle seguenti funzioni. 1 53 y ¼ x Þ e
1

[R
f0g]

1 e2x
2ex
1

54 Þ

y¼

55 Þ

y ¼ ln ðe
2x
e2x
3 Þ

56 Þ

y¼

57 Þ

pffiffiffi [R
fln ð1 þ 2Þg]   3 x< 4   1 x 4

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi e2x
e

y ¼ ln



1

4
5x




e e2x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 58 y ¼ 2xþ1 þ 2xþ2
24 Þ

[x > 1] [x 2]

y ¼ ln ðe2x þ ex
2Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 60 y ¼ 2xþ1
8 þ 16
2x Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 22x
1 61 y ¼ Þ 4x
2xþ1
8 59 Þ

1

62 y ¼ Þ

ln ðe2x
1Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi e2x
3 e 63 y ¼ Þ e2x
2ex þ 1 64 Þ

y ¼ log ð2x þ 1Þ

65 y ¼ log Þ



xþ1 x
2



66 Þ

y ¼ log ðx2 þ 1Þ

67 Þ

y¼

1 ln x
1

[x > 0] [2  x  4] [x  0 _ x > 2] 

x > 0 ^ x 6¼ 

 1 ln 2 2 1 x 6



  1 x>
2 [x <
1 _ x > 2] [R] [x > 0 con x 6¼ e]

y ¼ log ðx2
xÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 69 y ¼ log ð1 þ xÞ Þ 68 Þ



x
1 x2
2



70 Þ

y ¼ log

71 Þ

y¼

72 Þ

y¼

73 Þ

y ¼ log2 ðlog2 ð1 þ xÞÞ

74 Þ

y ¼ log2 ðlog22 x
log2 xÞ

75 Þ

y¼

76 Þ

y¼

[x < 0 _ x > 1] [ x 0] pffiffiffi pffiffiffi [
2 < x < 1 _ x > 2]

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi log ðx2
1Þ 1 log ðx þ 1Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi log2 x2
log24 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
log2 ð1 þ jxjÞ

pffiffiffi pffiffiffi [x 
2 _ x 2] [x >
1, con x 6¼ 0] [x > 0]

Verso le competenze

47 log2 x
log2 x 0 Þ

pffiffiffi # 1þ 5 x> 2

Tema D

46 Þ

"

log ðx þ 1Þ 0 log x þ log ðx
1Þ

[0 < x < 1 _ x > 2] [ 1  x  256] [
1  x  1]

pffiffiffi 1 [R
f
1  2,
1g] 2 log2 jx þ 1j
1 " pffiffiffi # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5
1  x < 78 y ¼ log ð 1
x2
2xÞ Þ 5 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi log2 jxj [
1  x < 0 _ 0 < x  1 _ x > 3] 79 y ¼ Þ 3x
27 77 Þ

y¼

80 Þ

Considera l’equazione:

4x ¼
3  2x þ 4 a. Interpretala graficamente, tracciando i grafici delle due funzioni y ¼ 4x e y ¼
3  2x þ 4. [x ¼ 0] b. Risolvila algebricamente. 81 Þ

Considera l’equazione:


log2 x ¼ log2 ðx þ 2Þ

a. Interpretala graficamente, tracciando i grafici delle due funzioni y ¼
log2 x e y ¼ log2 ðx þ 2Þ. pffiffiffi b. Risolvila algebricamente. [x ¼ 2
1]

82 Þ

Traccia i grafici delle funzioni y ¼ log2 ðx þ 2Þ e y ¼ 2
log2 x e determina le coordinate del loro punto pffiffiffi pffiffiffi [ð
1 þ 5; log2 ð1 þ 5ÞÞ] d’intersezione.

Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 2xþ1 e y ¼ 7
3  2
x e determina le coordinate dei loro punti    d’intersezione. ln 3 ,6 ð
1, 1Þ; ln 2 83 Þ

84 Þ

Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ log4 x e y ¼ 1
2 log2 x e determina le coordinate del loro   ffiffiffi 1 p punto d’intersezione. 5 4, 5

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI 85 Þ

Crescita di una colonia di batteri. Il numero di batteri di una colonia cresce esponenzialmente. Alle 14 di ieri il numero di batteri era 1000 e alle 16 era 9000. Quanti batteri ci saranno alle 18? [81 000] 523 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Verso le competenze Tema D

86 Þ

Decadimento radioattivo. Un elemento radioattivo decade secondo la legge descritta dalla funzione:

y ¼ y0 e
kt

dove y e` la massa dell’elemento rimanente dopo t giorni e y0 e` il valore di y quando t ¼ 0. Trova il valore di k per un elemento il cui tempo di dimezzamento (cioe` il tempo necessario perche´ rimanga soltanto la meta` della massa   iniziale dell’elemento) e` di 30 giorni. ln 2 k¼ 30 87 Þ

Svuotamento di una botte. Una botte, nel corso di ogni giorno, si svuota di un decimo del suo contenuto; se oggi all’inizio della giornata e` piena, qual e` il primo giorno in cui (all’inizio della giornata) contiene meno della meta` di quanto conteneva quando era piena? [L’ottavo] 88 Þ

Crescita di una popolazione. Una popolazione A, che e` formata all’inizio del primo anno da 600 000 individui, cresce a un tasso annuo costante del 6%. Un’altra popolazione B, che e` formata all’inizio del primo anno da 1 800 000 individui, cresce invece a un tasso annuo costante del 2%. Qual e` il primo anno in cui la popolazione A risulta maggiore della popolazione B? [Il trentesimo]

89 Þ

Capitalizzazione composta. Un capitale C0 , applicato in regime di capitalizzazione composta per t anni a un tasso di interesse annuo i, genera un capitale finale C, detto montante, assegnato dalla formula: C ¼ C0 ð1 þ iÞt Supponiamo ora che la capitalizzazione sia semestrale anziche´ annuale. Dopo 6 mesi riscuoteremmo un capitale   i C ¼ C0 1 þ 2 Se, subito dopo avere riscosso il capitale, lo reinvestissimo immediatamente per altri 6 mesi otterremo alla fine un montante:       i i i i 2 ¼ C0 1 þ þ C0 1 þ C ¼ C0 1 þ 2 2 2 2 montante ottenuto dopo 6 mesi

interesse generato nei sei mesi successivi

E cosı` via, se ritirassimo il capitale ottenuto dopo 1 anno e lo reinvestissimo nuovamente per altri 6 mesi otterremmo dopo 1 anno e mezzo (3 semestri) un montante:   i 3 C ¼ C0 1 þ 2 Dopo 3 anni (6 semestri) avremmo un montante:     i 6 i 23 ¼ C0 1 þ C ¼ C0 1 þ 2 2 In generale, un capitale C0 , investito a un tasso annuo i, composto n volte in un anno, genera dopo t anni un montante C espresso dalla formula:   i nt C ¼ C0 1 þ n Tenendo conto di questa formula, completa la seguente tabella.

524

Capitale iniziale C0

Capitale finale (Montante C)

Tasso d’interesse annuo i

Frequenza della capitalizzazione

Durata complessiva dell’investimento t (in anni)

10 000 E

20 000 E

4%

annuale

.....

10 000 E

20 000 E

.....

annuale

10 anni

10 000 E

.....

4%

semestrale

5 anni

.....

15 000 E

3%

semestrale

5 anni

[t ’ 17,67 anni; i ’ 7%; C ’ 12 190 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

E;

C0 ’ 12 925

E

Matematica e fisica Il calore Q assorbito da un gas perfetto in una trasformazione isoterma e` dato dalla seguen-

te espressione: Q ¼ nRT ln

Vf , dove: Vi

e` il numero di moli del gas perfetto

R

e` la costante universale dei gas

T

e` la temperatura assoluta del gas

Verso le competenze

n

Vf e` il volume finale del gas Vi e` il volume iniziale del gas ln

Tema D

90 Þ

Vf Vf indica il logaritmo naturale del rapporto Vi Vi

a. Ricava l’espressione di Vf in funzione delle altre variabili



b. Ricava l’espressione di Vi in funzione delle altre variabili.

Q

Q

a. Vf ¼ Vi e nRT ; b. Vi ¼ Vf e
nRT



INTERPRETARE GRAFICI E DATI 91 Þ

Considera la funzione y ¼ f ðxÞ il cui grafico e` riportato nella figura qui sotto. Dal grafico deduci (se esistono) le soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni.

b. f ðxÞ > 1

–3

x =2

y =2

C O

y =1

d. ln f ðxÞ < 0 f. 1
e

y

y = f (x)

c. ln f ðxÞ ¼ 0

f ðxÞ

Calcola quanto vale la somma delle ascisse dei tre punti A, B, C in figura.

y

a. f ðxÞ ¼ 0

e. e f ðxÞ ¼ 0

92 Þ

O

4

B x

y = –1

A

x



y = log2(x – 2)

0

Il grafico in figura e` quello di una funzione la cui equazione e` del tipo y ¼ a  ex þ b.   1 , determina a e b a. Sapendo che le coordinate di D sono 0, 3
e x
1 e verifica che y ¼ 3
e .

23 2



93 Þ

b. Verifica che la somma delle ascisse dei punti A, B, C e` uguale a 3 þ ln 12.

y y =3 D

y =2

C B A

O

x

y = –1

94 Þ

Una citta` che conta nel 2010 e nel 2011 rispettivamente 3,15 e 3,30 milioni di abitanti, ha una crescita che segue un modello esponenziale, descritto da una funzione del tipo y ¼ aebx . Quale delle due tabelle seguenti rappresenta, nel modo piu` fedele possibile al modello, la crescita della popolazione nei cinque anni successivi?

Tabella 1 Anno

2012

2013

2014

2015

2016

3,46

3,62

3,79

3,97

4,16

2012

2013

2014

2015

2016

3,54

3,68

3,92

4,15

4,92

Tabella 2 Anno

525 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Verso le competenze Tema D

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE 95 Þ

Illustra la definizione di logaritmo in base a di b, specificando quali condizioni devono soddisfare a e b perche´ la definizione abbia significato. Spiega in particolare perche´ non esistono i logaritmi di numeri negativi.

96 Þ

Illustra brevemente come si definisce il concetto di potenza con esponente irrazionale e spiega perche´ e` stato necessario definire le potenze a esponente irrazionale, prima di introdurre la funzione esponenziale.

Spiega perche´ l’uguaglianza log x4 ¼ 2 log x2 e` vera per ogni x 2 R
f0g, mentre non vale altrettanto per l’uguaglianza log x2 ¼ 2 log x. Come occorre modificare quest’ultima uguaglianza perche´ sia vera per ogni numero reale diverso da 0? 97 Þ

þ 98 Sia a 2 R
f1g e n 2 N, con n > 1; fornisci degli opportuni controesempi che mostrino che in generale Þ n  n loga x 6¼ loga xn . Esistono valori di x per cui loga x ¼ loga xn , per ogni a e per ogni n che soddisfino le condizioni supposte? Se sı`, quali?

99 Þ

Giustifica perche´ log3 15 deve essere compreso tra 2 e 3.

100 Þ

Dimostra che log3 7 e` un numero irrazionale. (Suggerimento: ragiona per assurdo)

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Þ A

Il numero log2 ðlog3
1

B

1

pffiffiffi 3Þ e` uguale a:

C

1 2

D

2 3

2 Le funzioni esponenziali seguenti, dove t indica il numero di anni trascorsi a partire dal 2010, descrivono la Þ popolazione stimata PA , PB , PC , PD (in milioni) in quattro stati A, B, C, D.

PA ¼ 1003  e
0,01t

PB ¼ 204  e0,03t

PC ¼ 172  e0,0012t

Quale stato avra` la popolazione piu` numerosa nel 2023? A

3 Þ A

4 Þ A B C D

5 Þ A B

Stato A

B

Stato B

C

Stato C

D

Stato D

C

3

D

4

Il numero log3 6
log3 2 e` uguale a: 1

B

2

Il grafico in figura e` quello della funzione di equazione: y ¼ 2
x
1

y

y ¼ 2x
1

y ¼ 1
2
x

O

y ¼ 1
2x

x

L’uguaglianza log ðx
1Þ2 ¼ 2 log ð1
xÞ e` vera per ogni x 2 R

e` vera per ogni x 2 R
f1g

C

e` vera se e solo se x > 1

D

e` vera se e solo se x < 1

526 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

PD ¼ 86  e0,21t

B

Lineare

C

Esponenziale

D

Logaritmica

1

B

1 log4 2 log2 4
2 log2 16

2



C

pffiffiffi 2

Nel 1986 l’esplosione nella centrale nucleare di Chernobyl rilascio` circa 1000 kg di cesio-137 nell’atx mosfera. La funzione f ðxÞ ¼ 1000  ð0,5Þ 30 descrive la quantita` in kg di cesio-137 rimanenti nell’atmosfera di Chernobyl x anni dopo il disastro. Una quantita` di cesio-137 nell’atmosfera superiore ai 100 kg e` considerata non sicura. a. A settant’anni dal disastro la zona e` da considerarsi sicura? Sı` No b. Giustifica la tua risposta, senza utilizzare la calcolatrice: ....................................................................................................................... .......................................................................................................................

A

B

10 Þ

Una sola delle seguenti relazioni e` vera; quale? 1 C log0,5 5 > log0,5 25 ln > 0 2 1 5 D ln log0,5 1  2 A proposito dell’equazione 2x ¼ ln

1 , una sola 2

delle seguenti affermazioni e` vera, quale? A B C D

E` impossibile. Ha una e una sola soluzione. Ha esattamente due soluzioni. E` indeterminata.

11 La popolazione di uno stato sudamericano ha un Þ

modello di crescita che e` descritto dalla funzione P ¼ 105  e0,021t , dove t e` il tempo (misurato in anni) trascorso dal 2010 e P e` la popolazione, espressa in milioni. Secondo questo modello, in quale anno la popolazione sara` all’incirca il doppio di quella nel 2010? A B

12 Þ A B C D

2043 2033

60 50 40 30 20 0

8 Þ

9 Þ

70

10

7 Qual e` il valore dell’espressione 2 Þ A

numero di utenti (%)

Quadratica

80

Verso le competenze

A

Tema D

6 Il grafico qui riportato mostra la percentuale di utenti che Þ hanno sottoscritto un contratto con una compagnia telefonica dal 1990 al 2010. Si prevede che la percentuale di utenti continuera` a crescere dopo il 2010, ma con una velocita` decrescente. Quale tipo di funzione ti sembra il modello adeguato per descrivere la percentuale di utenti in funzione dell’anno?

C D

2053 2063

L’equazione log x þ log ðx
2Þ ¼ 0: e` priva di soluzioni ha una unica soluzione ha come soluzioni x ¼ 0 e x ¼ 2 pffiffiffi ha come soluzioni x ¼ 1  2



1990

1995

2000 anni

2005

2010

? D

pffiffiffi 2 2

Relativamente all’equazione ex þ x ¼ 0, una sola delle seguenti affermazioni e` vera, quale? ` impossibile. A E B Ha una e una sola soluzione e tale soluzione e` positiva. C Ha una e una sola soluzione e tale soluzione e` negativa. D Ha due soluzioni. 13 Þ

14 Þ

Le popolazioni di due stati A e B (espresse in milioni) hanno modelli di crescita descritti rispettivamente dalle funzioni PA ¼ 37  e0,004t e PB ¼ 12  e0,04t , dove t sono gli anni trascorsi a partire dal 2010. In base a questi modelli, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. nel 2010 lo stato A e` piu` popoloso dello V F stato B b. nel 2020 lo stato B avra` circa 20,6 milioni V F di abitanti in meno dello stato A ` c. la popolazione dello stato A cresce piu V F lentamente rispetto a quella dello stato B d. nel 2045 lo stato B sara` meno popoloso V F dello stato A e. le popolazioni dei due stati A e B non V F diverranno mai uguali dopo il 2010

15 Þ

per:

A B

La disequazione log2 ðx þ 1Þ  2 e` soddisfatta
1  x  3 x3


1 < x  3 x >
1

C D

16 Þ

Il grafico in figura e` quello della funzione di equazione: A

y ¼ log 1 x

y

2

B C

y ¼ log3 x

y ¼
log 1 x 2

D

y ¼
log3 x

1 O

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

x

527

Verso le competenze Tema D

 x 2 3 17 La disequazione e` soddisfatta per: Þ 3 2 A

x1

B

x
1

C

x 1

D

x 
1

18 Þ

Per calcolare la magnitudo R di un terremoto nelI la scala Richter si usa la relazione R ¼ log , dove I e` I0 l’intensita` del terremoto data come ampiezza massima dell’onda registrata sul sismografo e I0 e` un coefficiente che dipende dalla distanza del sismografo dall’epicentro del terremoto. Se I ¼ 10000  I0 , qual e` la magnitudo nella scala Richter? A

19 Þ A B

3

B

4

C

5

C

y ¼
log 1 x

y ¼ 3
x e` l’inversa di:

y ¼ log3 x

D

6

3

y ¼
log3 x

D

log 1 ð
xÞ 3

20 Þ

L’intensita` acustica I e` una grandezza fisica definita come il rapporto tra la potenza di un’onda sonora e l’area della superficie che da essa viene attraversata e misurata in W/m2 . Il livello L di intensita` acustica, misurato in decibel (dB), e` espresso dalla formula: L ¼ 10 log10

I I0

essendo I0 l’intensita` di riferimento, posta convenzionalmente uguale alla soglia di udibilita`:

22 Þ A

Sapendo che logx 3 ¼ 1

B

2

1 , quanto vale logx 81? 2 C

4

D

8

23 Þ

Qual e` il dominio della funzione  2  x y ¼ ln ? 4
x A

xÞ: a. sin 160


:::::

sin 170


b. cos 50


:::::

cos 60


c. tan

 7

tan

:::::

 8

1 3 e <
< 2, determina il seno e la tangente di
. 3 2 3 , determina il seno e il coseno di
. 4. Sapendo che tan
¼ 2 e  <
< 2 3. Sapendo che cos
¼

Gli angoli e le funzioni goniometriche

j 3j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 1 þ ð 3Þ2

Unita` 11

Utilizzando le formule [11.6] e [11.7] abbiamo: pffiffiffiffiffiffi 1 1 10 cos
¼ þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ þ pffiffiffiffiffiffi ¼ þ 10 10 1 þ ð 3Þ2

4. Angoli associati Dato un angolo
, si chiamano angoli associati ad
i seguenti angoli: 
,

 
, 2

 þ
, 2

 
,

 þ
,

3 
, 2

3 þ
, 2

2 


In questo paragrafo illustreremo le relazioni che sussistono tra le funzioni goniometriche di un angolo e le funzioni goniometriche degli angoli a esso associati.

Angoli opposti e angoli la cui somma o differenza e`  Facciamo riferimento alla fig. 11.14, in cui abbiamo indicato con P il punto associato ad
e con P1 , P2 e P3 i simmetrici di P, rispettivamente, rispetto all’asse y, rispetto all’origine e rispetto all’asse x. Poiche´ le simmetrie conservano l’ampiezza degli angoli, e` facile rendersi conto che, come e` stato annotato in figura, i punti P1 , P2 e P3 sono i punti associati rispettivamente agli angoli:  
 þ
 


Il supplementare di
L’angolo che differisce di  da
L’opposto di


y

π– α

P1

P α α x

O π+ α

P2

P3

–α

Figura 11.14

547 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Tenendo conto delle relazioni che sussistono tra le coordinate di punti simmetrici rispetto agli assi e all’origine, possiamo dedurre le relazioni riassunte nella seguente tabella. Angoli supplementari

Angoli che differiscono di 

P

sinα α

cosα

O

P

sinα

π –α –cosα

y

y

y P1

–cosα

x

π+α

I punti P e P1 si corrispondono nella simmetria rispetto all’asse y; ne segue che:

cosð

cos


cosð þ
Þ ¼

tanð


Þ ¼

sin
¼ cos


¼

sinð cosð

tanð þ
Þ ¼

tan


¼

x cosα P3

I punti P e P3 si corrispondono nella simmetria rispetto all’asse x; ne segue che:

sinð
Þ ¼

sin


sin


cosð
Þ ¼ cos


cos


A queste relazioni possiamo aggiungere quella che si deduce da esse per la tangente:

A queste relazioni possiamo aggiungere quella che si deduce da esse per la tangente:


Þ ¼
Þ

α –α

– sinα

– sinα

sinð þ
Þ ¼

A queste relazioni possiamo aggiungere quella che si deduce da esse per la tangente:

O

x

I punti P e P2 si corrispondono nella simmetria rispetto all’origine; ne segue che:


Þ ¼ sin

Þ ¼

cosα

P

sinα

α O

P2

sinð

Angoli opposti

sinð þ
Þ ¼ cosð þ
Þ

tanð
Þ ¼

sin
¼ tan
cos


¼

sinð
Þ ¼ cosð
Þ

sin
¼ cos


tan


Nota Osserva che la relazione tan ð þ
Þ ¼ tan
esprime un fatto gia` noto, cioe` che la funzione tangente e` periodica di periodo .

Angoli complementari e angoli la cui somma o differenza e` 3 2 y Q π −α 2

cosα

y=x P

sinα α O

sinα cosα

x

Per continuare a illustrare le relazioni tra angoli associati, facciamo riferimento alla fig. 11.15, in cui abbiamo indicato con P il punto associato ad
e con Q il simmetrico di P rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Poiche´ le simmetrie conservano l’ampiezza degli angoli, e` facile rendersi conto  che, come e` stato annotato in figura, Q e` il punto associato all’angolo
, cioe` 2 al complementare di
. Ricordando che il simmetrico di un punto di coordinate (x, yÞ rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ha coordinate ( y, xÞ, se ne deduce che Qðsin
, cos
Þ, quindi:

Figura 11.15

sin

548



2


¼ cos


cos



2


¼ sin


A queste relazioni tra seno e coseno di angoli complementari possiamo aggiungere quella che si deduce da esse per la tangente:    
sin cos
1 2  ¼
¼ ¼ tan  2 sin
tan
cos
2 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

tan




¼

2

Unita` 11

ossia: 1 tan


3 2

 þ
, 2


,

3 þ
, 2 2




ESEMPI

a. cos

b. sin






  þ
¼ cos 2 2

 ð
Þ ¼ sin ð
Þ ¼

relazioni tra angoli complementari

  3 þ
¼ sin 2 2

c. sinð2

periodicita` del seno

relazioni tra angoli opposti

   þ
¼ sin 2 periodicita` del seno


Þ ¼ sinð
Þ ¼

Come si dice

sin


   þ
¼ sin 2 2

relazioni tra angoli opposti


¼ cos


relazioni tra angoli complementari

Per brevita` scriveremo «relazioni tra angoli opposti», «relazioni tra angoli complementari» ecc. intendendo «relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli opposti», «relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli complementari» ecc.

Gli angoli e le funzioni goniometriche

Grazie alle relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli opposti e complementari, possiamo ricavare anche le relazioni tra le funzioni goniometriche di
e dei seguenti angoli associati ad
:

sin


relazioni tra angoli opposti

Riduzione al primo quadrante Grazie alle relazioni che abbiamo illustrato nel sottoparagrafo precedente, possiamo determinare i valori delle funzioni goniometriche degli angoli associati agli    e . Il procedimento, che illustriamo nei prossimi esempi, e` detto angoli , 6 4 3 di riduzione al primo quadrante perche´, per calcolare la funzione goniometrica di un angolo, ci ricondurremo all’angolo associato nel primo quadrante. ESEMPI

Riduzione al primo quadrante

Calcoliamo i valori delle seguenti funzioni goniometriche: a. sin 135




4 b. cos 3

8 c. tan 3




d. cos ð330 Þ

a. Osserviamo che 135
¼ 180
 45
, quindi: pffiffiffi 2 sin 135
¼ sinð180
 45
Þ ¼ sin 45
¼ 2


 5 e. sin  6

Relazioni tra angoli supplementari

y 2 2 45°

135°

O

x

Ô Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

549

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Ô

4 3 þ   ¼ ¼  þ , quindi: 3 3 3
   4  1 cos ¼ cos  þ ¼ cos ¼ 3 3 3 2

b. Osserviamo che

relazioni tra angoli che differiscono di 

y π 3 −1 2 O

x

1 2

4π 3

8 9   ¼ ¼ 3 , quindi: 3 3 3
     8  tan ¼ tan 3 ¼ tan ¼ tan ¼ 3 3 3 3

c. Osserviamo che

periodicita` della tangente

relazioni tra angoli opposti

pffiffiffi 3

y 3 8π 3 π 3 x

O

− 3

d. Osserviamo che 330
¼ 360
 30
, quindi:

pffiffiffi 3 cosð330 Þ ¼ cosð330 Þ ¼ cosð360  30 Þ ¼ cosð30 Þ ¼ cos 30 ¼ 2














periodicita` del coseno

relazioni tra angoli opposti

relazioni tra angoli opposti

y

− 330° O

30° 3 2

x

550 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara




sin

5 6



¼

relazioni tra angoli opposti

1 2

Gli angoli e le funzioni goniometriche




5 6   ¼ ¼ , quindi: 6 6 6
   5  sin ¼ sin  ¼ sin ¼ 6 6 6

Unita` 11

e. Osserviamo che

relazioni tra angoli supplementari

y 1 2 O

−

π 6 1 − 2

5π 6

3 2

x

Prova tu

ESERCIZI a p. 568

1. Verifica che: sinð


Þ þ cos

2. Calcola: a. sinð225
Þ


  3 þ
þ sinð þ
Þ þ cos þ
¼0 2 2




 4 b. tan 3


 11 c. cos  6

d. tanð330
Þ

e. sinð240
Þ

f. cos




11 4



5. Grafici delle funzioni goniometriche Abbiamo definito le funzioni goniometriche come funzioni che associano a un dato angolo in posizione normale un numero reale (il seno, il coseno o la tangente dell’angolo). In base a queste definizioni il dominio delle funzioni goniometriche e` quindi l’insieme formato dagli angoli in posizione normale, con l’esclu sione degli angoli di misura þ k per la funzione tangente. 2 Vogliamo ora staccarci da questa definizione geometrica e considerare le funzioni seno, coseno e tangente come funzioni reali di variabile reale. Il passaggio dagli angoli ai numeri reali e` naturale ed e` gia` stato implicitamente compiuto nei paragrafi precedenti, ogniqualvolta abbiamo identificato un angolo con la sua misura. Sappiamo infatti che per ogni numero reale x esiste uno e un solo angolo (orientato) la cui misura, in radianti, e` x. Possiamo quindi definire le tre funzioni: y ¼ sin x; y ¼ cos x; y ¼ tan x che, dato un numero reale x, associano a esso rispettivamente il seno, il coseno e la tangente dell’angolo la cui misura, in radianti, e` x. In questo paragrafo studiamo le proprieta` di queste funzioni e ne tracciamo il grafico nel piano cartesiano.

La funzione y ¼ sin x

Studiamo inizialmente la funzione y ¼ sin x. Sappiamo che il seno e` periodico di periodo 2, quindi e` sufficiente tracciare il grafico di y ¼ sin x nell’intervallo ½0, 2 e poi completare il grafico su tutto l’asse reale tenendo conto della periodicita`. 551 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

Costruiamo anzitutto la tabella seguente in cui, ricordando alcuni valori notevoli del seno, abbiamo elencato le coordinate di alcuni punti appartenenti al grafico della funzione. x

0

y ¼ sin x

0

 6 1 2

5 6 1 2

 2 1

7 6 1 2

 0

3 2 1

11 6 1 2

2 0

Tracciando la curva che passa per i punti le cui coordinate sono riportate in tabella otteniamo il grafico della funzione seno nell’intervallo ½0, 2Š (fig. 11.16). y

 π , 1  6 2  

y = sinx 0 ≤ x ≤ 2π  π,   2 1

5π , 1  6 2   2π

x

π

O

7π , 1  6 – 2  

Tema E

Figura 11.16

11π , 1  6 – 2  

 3π ,   2 –1  

Ripetendo il grafico di y ¼ sin x in tutti gli intervalli di lunghezza 2 precedenti e successivi a ½0, 2Š otteniamo il grafico della funzione seno (detto sinusoide) su tutto l’asse reale (fig. 11.17). y

Figure dinamiche  3π ,  – 2 1  

Puoi comprendere meglio la costruzione del grafico della funzione seno tramite le figure dinamiche disponibili on-line.

y = sinx

 π,   2 1 π

–π

2π

x

O

–2π  π,  – 2 –1

 3π ,   2 – 1  

Figura 11.17

PROPRIETA` DELLA FUNZIONE y ¼ sin x

a. La funzione y ¼ sin x e` definita per ogni valore reale di x, quindi il suo dominio e` R; e` periodica di periodo 2. b. La funzione y ¼ sin x interseca l’asse x in infiniti punti, di ascissa x ¼ k; la funzione seno ha quindi infiniti zeri. c. Il grafico della funzione y ¼ sin x e` simmetrico rispetto all’origine, quindi la funzione y ¼ sin x e` dispari.

d. La funzione y ¼ sin x ha come immagine l’intervallo [ 1, 1], quindi e` limitata.  e. Vi sono infiniti punti, di ascissa x ¼ þ 2k, in cui la funzione y ¼ sin x assu2 3 me valore massimo (uguale a 1) e infiniti, di ascissa x ¼  þ 2k, in cui as2 sume valore minimo (uguale a 1).

La funzione y ¼ cos x

Anche per tracciare il grafico della funzione y ¼ cos x ci limitiamo inizialmente a considerare l’intervallo ½0, 2Š. Costruiamo a questo proposito la tabella seguente in cui, ricordando alcuni valori notevoli del coseno, abbiamo riportato le coordinate di alcuni punti appartenenti al grafico della funzione. 552 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

 3

 2

2 3

y ¼ cos x

1

1 2

0

1 2



4 3

3 2

5 3

2

1 2

0

1 2

1

1

Gli angoli e le funzioni goniometriche

0

Unita` 11

x

Tracciando la curva che passa per i punti aventi le coordinate in tabella otteniamo il grafico della funzione coseno nell’intervallo ½0, 2Š (fig. 11.18). y

y = cos x 0 ≤ x ≤ 2π  5π , 1

 π 1  3 , 2

(0, 1)

 3 2

(2π, 1)

3π 2

x

π 2

O

 2 π 1 ,–  2  3

Figura 11.18

(π, –1)

 4 π 1 ,–  2  3

Ripetendo il grafico di y ¼ cos x in tutti gli intervalli di lunghezza 2 precedenti e successivi a ½0, 2Š otteniamo il grafico della funzione coseno (detto cosinusoide) su tutto l’asse reale (fig. 11.19). y (–2π,1)

–3 π 2

y = cosx (0, 1)

(–π, –1)

–π 2

O

π 2

Figure dinamiche

(2π,1) 3π 2

Puoi comprendere meglio la costruzione del grafico della funzione coseno tramite le figure dinamiche disponibili on-line.

x

(π, –1)

Figura 11.19 PROPRIETA` DELLA FUNZIONE y ¼ cos x

a. La funzione y ¼ cos x e` definita per ogni valore reale di x, quindi il suo dominio e` R; e` periodica di periodo 2.  b. La funzione y ¼ cos x interseca l’asse x in infiniti punti di ascissa x ¼ þ k, 2 quindi ha infiniti zeri. c. Il grafico della funzione y ¼ cos x e` simmetrico rispetto all’asse y, quindi la funzione y ¼ cos x e` pari. d. La funzione y ¼ cos x ha come immagine l’intervallo [ 1,1], quindi e` limitata. e. Vi sono infiniti punti, di ascissa x ¼ 2k, in cui la funzione y ¼ cos x assume valore massimo (uguale a 1) e infiniti punti, di ascissa x ¼  þ 2k, in cui assume valore minimo (uguale a 1).

La funzione y ¼ tan x

Tracciamo ora il grafico della funzione y ¼ tan x. Sappiamo che la tangente e` pe   riodica di periodo , quindi bastera` tracciarne il grafico nell’intervallo , 2 2 e completare poi tale grafico su tutto l’asse reale tenendo conto della periodicita`. Costruiamo anzitutto la tabella seguente in cui, ricordando alcuni valori notevoli della tangente, abbiamo determinato le coordinate di alcuni punti appartenenti al grafico della funzione y ¼ tan x nell’intervallo prescelto. x y ¼ tan x

 3 pffiffiffi 3

 4 1

 6 pffiffiffi 3 3

0 0

 6 pffiffiffi 3 3

 4 1

 3 pffiffiffi 3

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

553

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Come abbiamo osservato nel Paragrafo 3 studiando le variazioni della tangente di un angolo:  a 0 il valore di y ¼ tan x cresce da 1 a 0, percio` la ret quando x cresce da 2  ta di equazione x ¼ e` un asintoto verticale per la funzione; 2  il valore di y ¼ tan x cresce indefinitamente, da 0 a  quando x cresce da 0 a 2  þ1, percio` la retta di equazione x ¼ e` un asintoto verticale per la funzione. 2 Tenendo conto di queste osservazioni e dei punti per cui passa il grafico della funzione forniti dalla tabella (opportunamente approssimati), possiamo tracciarne il grafico (fig. 11.20). Ripetendo il grafico di y ¼ tan x in tutti gli intervalli di lunghezza  (precedenti e    , successivi a Þ otteniamo infine il grafico della funzione tangente (det2 2 to tangentoide) su tutto l’asse reale (fig. 11.21). y = tanx

y

y

– π< x < π 2 2

 π , 3 3   π , 1 4 

 π 3 – , –  3   6 – π , 1  4 – 

x O

 π 3   , 6 3 

x

–2π

–π

π

O

2π

– π , – 3   3 

x =–

π 2

x=

y = tanx

π 2 x = – 3π 2

Figura 11.20

x =–

π 2

x=

π 2

x = 3π 2

Figura 11.21

PROPRIETA` DELLA FUNZIONE y ¼ tan x

 a. La funzione y ¼ tan x e` definita per ogni x 6¼ þ k, quindi il suo dominio e` 2 n o þ k ; e` una funzione periodica di periodo . R 2 b. La funzione y ¼ tan x interseca l’asse x in infiniti punti, di ascissa x ¼ k, quindi ha infiniti zeri. c. La funzione y ¼ tan x presenta infiniti asintoti verticali, di equazioni  x ¼ þ k. 2 d. Il grafico della funzione y ¼ tan x e` simmetrico rispetto all’origine; ossia la funzione y ¼ tan x e` dispari. e. La funzione y ¼ tan x ha come immagine tutto R, quindi non e` una funzione limitata.

Le funzioni goniometriche e le trasformazioni A partire dai grafici delle funzioni goniometriche, e` possibile dedurre i grafici di molte altre funzioni periodiche, tramite l’utilizzo di opportune trasformazioni geometriche, come indicato nella tabella della pagina a fronte. 554 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

y¼

simmetrizza il grafico rispetto all’asse x

f ðxÞ

Figura

y

y y = sinx x

O

trasla orizzontalmente il grafico di a unita` verso destra

y ¼ f ðx þ aÞ con a > 0

trasla orizzontalmente il grafico di a unita` verso sinistra

y = –cosx

y

y 2π 3

2π 3

trasla verticalmente il grafico di b unita` verso il basso

y ¼ f ðxÞ þ b con b > 0

trasla verticalmente il grafico di b unita` verso l’alto

y ¼ k  f ðxÞ con k > 0

dilata o contrai verticalmente il grafico del fattore k, rispettivamente, a seconda che sia k > 1 o0 0

x

O

y = –sinx

y ¼ f ðx aÞ con a > 0

y = cosx

Gli angoli e le funzioni goniometriche

traccia il grafico di y ¼ f ðxÞ e . . .

Unita` 11

Per tracciare il grafico di . . .

y

0 < k 1

Le simmetrie, le traslazioni e le dilatazioni verticali non alterano il periodo delle funzioni, mentre le dilatazioni orizzontali «dilatano» o «contraggono» il periodo a seconda del rapporto di dilatazione. Per questo motivo:  le funzioni di equazioni y ¼ sin ðkxÞ e y ¼ cos ðkxÞ, con k 0, hanno periodo 2 ; k   la funzione di equazione y ¼ tan ðkxÞ, con k 0, ha periodo . k

Prova tu

0 < k 0

con ragionamenti analoghi a quelli effettuati poc’anzi si possono porre nella forma: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ a2 þ b2 sin ð!x þ ’Þ þ c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi La funzione ha ancora ampiezza uguale a a2 þ b2 e ha come immagine l’intervallo: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½c
a2 þ b2 , c þ a2 þ b2 

Cio` che cambia rispetto alla funzione y ¼ a sin x þ b cos x þ c e` soltanto il perio2 do, che non e` piu` 2, bensı` . ! PER SAPERNE DI PIU`

Funzioni goniometriche riconducibili a lineari in seno e coseno

Le funzioni la cui equazione e` del tipo: y ¼ a sin2 x þ b sin x cos x þ c cos2 x þ d

possono essere trasformate in funzioni lineari nel seno e nel coseno di 2x, cioe` in funzioni della forma: y ¼ A sin !x þ B cos !x þ C

con ! ¼ 2, utilizzando le formule: sin2 x ¼

1
cos 2x 2

Formula [12.12], dedotta dalla formula di duplicazione del coseno

sin x cos x ¼

1 sin 2x 2

Dalla formula di duplicazione del seno

cos2 x ¼

1 þ cos 2x 2

Formula [12.13], dedotta dalla formula di duplicazione del coseno

588 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

ESERCIZI a p. 599

2. Individua il periodo e l’immagine della funzione y ¼ sin2 x. MATEMATICA NELLA REALTA`

L’analisi armonica e le sue applicazioni Le funzioni periodiche giocano un ruolo fondamentale in tutte le applicazioni: basti pensare che la nostra vita e` regolata da fenomeni sostanzialmente periodici come il battito del cuore, l’alternarsi del giorno e della notte, l’alternarsi delle stagioni, i cicli delle maree, le fasi lunari ecc. In fisica si trovano vari esempi di fenomeni ondulatori, per esempio il suono e i fenomeni meccanici che implicano oscillazioni. I modelli matematici di molti tra tali fenomeni possono essere ricondotti alla somma, eventualmente infinita (preciseremo il concetto di «somma infinita» nel prossimo volume del corso), di funzioni sinusoidali di equazione:

Formule e identita` goniometriche

pffiffiffi 1. Traccia il grafico della funzione y ¼ 2 3 sin x
2 cos x; determina in particolare i punti di massimo e di minimo.

Unita` 12

Prova tu

y ¼ A sin ð!x þ ’Þ þ B dette armoniche fondamentali. La profondita` di questa affermazione sta nel fatto che ogni funzione periodica puo` essere rappresentata come somma di funzioni sinusoidali elementari: anche una funzione periodica come quella rappresentata in figura, che apparentemente sembra avere poco a che fare con le usuali funzioni goniometriche!

y

O

x

Le prime tracce di queste straordinarie intuizioni si trovano in un lavoro del 1753 del matematico elvetico Daniel Bernoulli, relativamente a problemi di acustica. Queste idee vennero poi sviluppate dal matematico francese Joseph Fourier (17681830), nei suoi studi sulla propagazione del calore, e infine perfezionate dal matematico di origine renana Dirichlet, allievo e amico di Fourier, che pose su basi solide la teoria del maestro. In omaggio a Fourier le somme (infinite) di funzioni trigonometriche elementari sono dette serie di Fourier, mentre il settore della matematica che si occupa del loro studio (e dello studio di altri oggetti matematici analoghi) e` l’analisi armonica. L’analisi armonica ha avuto un ruolo trainante in diversi settori della matematica, trovando un successo imprevedibile alla nascita nelle sue applicazioni, alla meta` del Settecento. Verra` infatti scoperto solo successivamente che vaste classi di fenomeni fisici, tra cui le radiazioni dello spettro elettromagnetico e il suono, hanno un modello ondulatorio. Tecniche di analisi armonica vengono oggigiorno applicate in quasi tutte le moderne branche delle scienze e dell’ingegneria. Vediamo alcuni esempi. La scoperta nel 1912 della natura ondulatoria dei raggi X permise l’introduzione, negli anni Sessanta, della TAC, la tomografia assiale computerizzata. Lo sviluppo di questa tecnica diagnostica e` stato possibile anche grazie alle tecniche di analisi armonica, che hanno permesso di risolvere il problema di ricostruire un’immagine a tre dimensioni di una parte del corpo a partire da varie immagini a due dimensioni.

589 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Le conoscenze che derivarono dalla formulazione della teoria dei quanti del 1920-1930 portarono negli anni Ottanta all’introduzione di un nuovo esame clinico: la risonanza magnetica nucleare. Anche questa tecnica si avvale della teoria di Fourier per la ricostruzione delle immagini.

Negli anni Trenta la scoperta che l’atmosfera terrestre e` trasparente per una certa banda di frequenze radio porto` allo sviluppo della radioastronomia, che ha consentito la scoperta di oggetti distanti anche centinaia di milioni di anni luce, come quasar e pulsar. Decisiva per queste scoperte fu l’introduzione della tecnica della interferometria che, grazie alla teoria di Fourier, ha permesso di ricostruire le immagini di molti corpi celesti. Nel mondo di Internet e dell’informatica in generale, possiamo ritrovare tecniche di analisi armonica alla base dello standard JPEG per la compressione delle immagini fotografiche. La riproduzione di musica tramite un CD e` resa possibile da un importante risultato di analisi armonica, noto come teorema del campionamento.

Vogliamo concludere con una curiosa e recente scoperta, nata nell’ambito di problemi di ricostruzione delle immagini usate in biologia, tramite la teoria delle serie di Fourier. Il fisico Veit Elser, della Cornell University, ha ideato un algoritmo che promette grandi progressi nell’elaborazione di immagini provenienti da microscopi a raggi X. Lo stesso algoritmo si e` rivelato inaspettatamente applicabile al sudoku, il popolarissimo gioco enigmistico! Ed e` estremamente «efficace»: permette di risolvere qualsiasi sudoku!

In libreria e in rete Elena Prestini, Applicazioni dell’analisi armonica, Hoepli

590 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

12

Esercizi

In più: esercizi interattivi

Unita`

Unita` 12

SINTESI Formule importanti sin ð
 Þ ¼ sin
cos   cos
sin  cos ð
 Þ ¼ cos
cos   sin
sin  tan ð
 Þ ¼

tan
 tan  1  tan
tan 

cos
¼

2t
, con t ¼ tan 2 1þt 2 1
t2
, con t ¼ tan 1 þ t2 2 2t
, con t ¼ tan 1
t2 2

Formule di Werner

sin 2
¼ 2 sin
cos


tan 2
¼

sin
¼

tan
¼

Formule di duplicazione

cos 2
¼ cos2

sin2
¼

Formule parametriche

Formule e identita` goniometriche

Formule di addizione e sottrazione



2 tan
1
tan2


1
2 sin2
2 cos2

1

1 ½cos ð

Þ
cos ð
þ Þ 2 1 cos
cos  ¼ ½cos ð
þ Þ þ cos ð

Þ 2 1 sin
cos  ¼ ½sin ð
þ Þ þ sin ð

Þ 2 sin
sin  ¼

Formule di prostaferesi
þ

 cos sin
þ sin  ¼ 2 sin 2 2

Formule di bisezione rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
cos
sin ¼ 2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ cos
¼ cos 2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
cos
¼ tan 2 1 þ cos


sin

sin  ¼ 2 sin cos
þ cos  ¼ 2 cos




þ cos 2 2
þ

 cos 2 2

cos

cos  ¼
2 sin


þ

 sin 2 2

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Formule di addizione e sottrazione

TEORIA a p. 578

Esercizi preliminari 1 Þ

Test

Completa:

a. sin ð
þ Þ ¼ sin
cos 

::::::::::

c. cos ð
þ Þ ¼ cos
cos 

::::::::::

cos
sin 

b. sin ð

Þ ¼ sin
cos 
::::::::::

4 Þ A

sin
sin 

d. cos ð

Þ ¼ cos
cos  þ ::::::::::

5 Þ A

2 Þ

Mostra con degli esempi che in generale

sin ð
þ Þ 6¼ sin
þ sin 

sin ð

Þ 6¼ sin

sin  3 Þ

Mostra con degli esempi che in generale

cos ð
þ Þ 6¼ cos
þ cos 

cos ð

Þ 6¼ cos

cos 

6 Þ

 sin 5 cos 25 þ cos 5 sin 25p ffiffiffi¼ 3 1 B 1 C 2 2  cos 50 cos 20 þ sin 50 sinp 20 ffiffiffi ¼ 1 3 B 1 C 2 2

Vero o falso?

a. tan 75 ¼ tan 45 þ tan 30 b. sin 40 cos 10
cos 40 sin 10 ¼ sin 30 c. tan 75 ¼

tan 45 þ tan 30 1 þ tan 45 tan 30

V

F

V

F

V

F

d. cos 75 ¼ cos 45 cos 30
sin 45 sin 30 V F [2 affermazioni vere e 2 false]

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591

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Calcolo di funzioni goniometriche mediante le formule di addizione e sottrazione 7 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola il valore delle seguenti funzioni goniometriche: 13 b. cos a. sin 105 12 a. Osserva che 105 ¼ 60 þ 45 e utilizza le formule di addizione del seno: sin 105 ¼ sin ð60 þ 45 Þ ¼ ..........

13 13 ha misura in gradi uguale a  180 ¼ 195 e che 12 12 195 ¼ 150 þ 45 ; puoi quindi usare le formule di addizione del coseno:

b. Osserva che un angolo la cui misura in radianti e`

cos

13 ¼ cos 195 ¼ cos ð150 þ 45 Þ ¼ .......... 12

Calcola il valore delle seguenti funzioni goniometriche. 
 1 pffiffiffi pffiffiffi  8 cos 105 2
6 Þ 4 pffiffiffi  9 tan 105 [
2
3] Þ  
1 pffiffiffi pffiffiffi  10 cos 75 6
2 Þ 4  
1 pffiffiffi pffiffiffi 11 sin 75 6þ 2 Þ 4   1
pffiffiffi pffiffiffi  12 sin 285 6þ 2
Þ 4 17 Þ

13 Þ

tan 75

14 Þ

cos 285

15 Þ

sin

13 12

16 Þ

tan

13 12

pffiffiffi 3]  
1 pffiffiffi pffiffiffi 6
2 4  pffiffiffi pffiffiffi  2
6 4 [2 þ

[2


pffiffiffi 3]

ESERCIZIO SVOLTO

Sapendo che sin
¼ a. cos ð
þ Þ

3  3  , con <
< , e che cos  ¼
, con <  < , calcoliamo: 5 2 4 2 b. sin ð

Þ

Per applicare le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno occorre conoscere il seno e il coseno sia di
sia di . Facciamo questi calcoli preliminari: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 4  Poiche´ <  <  e` cos  < 0 ¼
cos
¼
1
sin2
¼
1
2 25 5 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 7  2 sin  ¼ þ 1
cos  ¼ þ 1
Poiche´ <  <  e` sin  > 0 ¼þ 2 4 16 a. Tenendo conto di quanto appena stabilito e utilizzando la formula di addizione del coseno abbiamo: pffiffiffi pffiffiffi    4 3 3 3 3 7 7 ¼
cos ð
þ Þ ¼ cos
cos 
sin
sin  ¼


 20 4 5 4 5 5

b. Tenendo conto di quanto stabilito all’inizio e utilizzando la formula di sottrazione del seno abbiamo: pffiffiffi     pffiffiffi 3 3 4 9 7 7 sin ð

Þ ¼ sin
cos 
cos
sin  ¼ ¼

þ

 4 5 5 4 5 20 pffiffiffi pffiffiffi  

3    3 3 2 2 3 3 18 Sapendo che sin
¼


þ e cos
þ . , con
<
< 0, calcola sin

; Þ 10 5 5 2 6 6 5 10

2 3   e sin  ¼ , con 0 <
< e <  < , calcola sin ð
þ  Þ e cos ð

 Þ. 3 5 2 2 pffiffiffi   pffiffiffi 8 2 4 5 5
;
15 5 15 5 p ffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi  p ffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi 

1 3   2
3 14
2
3 14 ; 20 Sapendo che cos
¼
, con  <  < e cos 
. , calcola sin 
Þ 16 16 8 2 4 4 19 Þ

592

Sapendo che sin
¼

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Sapendo che cos
¼


24 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Semplifichiamo la seguente espressione: sin


  þ
þ sin

. 6 6


  þ
þ sin

¼ 6 6     ¼ sin cos
þ cos sin
þ sin cos

cos sin
¼ 6 6 6 6 sin







Formule e identita` goniometriche

Semplificazione di espressioni e identita`

Unita` 12

3 2 3  e sin  ¼ , con  <  < e <  < , calcola: 5 3 2 2 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi  pffiffiffi  sin ð
þ Þ; cos ð
þ  Þ; sin ð

 Þ; cos ð

 Þ 4 5
6 3 5þ8 4 5þ6 3 5
8 ; ; ; 15 15 15 15 pffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffi   3 10 10   22 Sapendo che tan
¼ 2, con 0 <
< ð Þ e cos ð
þ 45 Þ.
;
, calcola sin

135 Þ 10 10 2 3  3 23 Sapendo che tan
¼
2 e tan  ¼ , con 1, l’equazione e` impossibile. d. La soluzione appartenente all’interh

i 1 e non vallo
, e`  ¼ arcsin 2 2 3 corrisponde a un angolo noto. Nella

Y π – arcsin

scrittura delle soluzioni dovremo quindi lasciare indicato il simbolo 1 arcsin ; le soluzioni dell’equazione 3 sono: 1 1 x ¼ arcsin þ 2k
_ x ¼

arcsin þ 2k
3 3

1 3

1 3

O

arcsin 1 3 X

Ô

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607

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

Ô

Ricorrendo a una calcolatrice scientifica, possiamo ricavare un valore ap1 prossimato di arcsin . Operando in modalita` RAD (cioe` in radianti) e ar3 rotondando per esempio alla seconda cifra decimale si trovano le seguenti approssimazioni: x ’ 0,34 þ 2k
_ x ’ 2,8 þ 2k
Attenzione! 1. Anche se nella risoluzione delle equazioni goniometriche scriveremo sempre le soluzioni in radianti, esse possono venire espresse anche in gradi. Per esempio, le soluzioni approssimate dell’equazione 1 sin x ¼ risolta nell’ultimo degli esempi precedenti potrebbero essere espresse, operando con la cal3 colatrice in modalita` DEG, nella seguente forma: x ’ 19,47 þ k 360 _ x ’ 160,53 þ k 360 . 2. E` bene che ti abitui a riconoscere rappresentazioni diverse dello stesso insieme delle soluzioni di un’equazione. Per esempio, piu` sopra abbiamo rappresentato le soluzioni dell’equazione 1

sin x ¼
scegliendo nella [13.2], come convenuto,  ¼
. Se invece di  ¼
avessimo scelto 2 6 6 11
per esempio  ¼ , le soluzioni sarebbero state espresse in modo formalmente diverso, ma equi6 valente: x¼

11
11
þ 2k
_ x ¼

þ 2k
6 6

cioe`:

Tema E

x¼

11
5
þ 2k
_ x ¼
þ 2k
6 6

Equazioni del tipo cos x ¼ m

Consideriamo ora un’equazione del tipo: cos x ¼ m con m 2 R

[13.3]

Ricordando la definizione di coseno di un angolo, possiamo dire che gli angoli che soddisfano l’equazione [13.3] sono quelli il cui punto associato sulla circonferenza goniometrica ha ascissa uguale a m. Quindi, per discutere, al variare di m, il numero delle soluzioni dell’equazione [13.3], dobbiamo studiare il numero dei punti di intersezione della circonferenza goniometrica X2 þ Y 2 ¼ 1 con la retta di equazione X ¼ m. I casi che si possono presentare sono quelli rappresentati in tab. 13.3, piu` i casi m ¼ 1. Tabella 13.3
1 < m < 1

m <
1

m>1

Y

Y

Y P1

O

X

O

α –α

X

O

P2

X=m

X

X=m

X=m La retta di equazione X ¼ m non interseca la circonferenza goniometrica in alcun punto.

La retta di equazione X ¼ m interseca la circonferenza goniometrica in due punti, P1 e P2 , associati agli angoli  e
.

La retta X ¼ m non interseca la circonferenza goniometrica in alcun punto.

L’equazione cos x ¼ m non ha soluzioni: e` impossibile.

Le soluzioni dell’equazione cos x ¼ m sono  e
, a meno di multipli interi di 2
: x ¼  þ 2k


L’equazione cos x ¼ m non ha soluzioni: e` impossibile.

608 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 13

Vediamo ora, in tab. 13.4, i due casi non ancora esaminati, m ¼ 1, e il caso particolare in cui m ¼ 0. Tabella 13.4 m¼0

Y

Y

m¼1

Y P2 π 2 –π 2

π P O

O

X

P O

X

X

P1 X=1

X = –1

X=0

La retta di equazione X ¼
1 interseca la circonferenza goniometrica nel punto Pð
1, 0Þ, associato all’angolo di misura
.

La retta di equazione X ¼ 0 interseca la circonferenza goniometrica nei due punti:

La retta di equazione X ¼ 1 interseca la circonferenza nel punto Pð1, 0Þ, associato all’angolo nullo.

Equazioni e disequazioni goniometriche

m ¼
1

P1 ð0,
1Þ e P2 ð0, 1Þ

associati agli angoli di misura
L’equazione cos x ¼
1 ha come soluzioni: x ¼
þ 2k




e . 2 2

L’equazione cos x ¼ 0 ha come soluzioni:
x ¼
þ 2k
2
x ¼ þ 2k
2

L’equazione cos x ¼ 1 ha come soluzioni: x ¼ 0 þ 2k
¼ 2k


Osserva che le soluzioni possono essere descritte tutte dalla formula compatta:
x ¼ þ k
2

Riassumiamo dunque il procedimento risolutivo anche in questo secondo caso di equazione goniometrica elementare. SINTESI

risoluzione dell’equazione cos x ¼ m 1. Casi generali

 cos x ¼ m, con jmj > 1 , equazione impossibile  cos x ¼ m, con jmj  1 , x ¼  þ 2k


[13.4]

dove  e` una qualsiasi soluzione dell’equazione

2. Casi particolari  cos x ¼
1 , x ¼
þ 2k

 cos x ¼ 0 , x ¼ þ k
2  cos x ¼ 1 , x ¼ 2k


Similmente a quanto gia` visto nell’analisi dell’equazione sin x ¼ m, poiche´ nella [13.4]  puo` essere una soluzione qualsiasi dell’equazione, le soluzioni di un’equazione goniometrica possono essere rappresentate in forme diverse. Nella maggior parte dei casi noi adotteremo la convenzione di scegliere come angolo  quello appartenente all’intervallo ½0,
Š, vale a dire sceglieremo  ¼ arccos m. Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

609

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

ESEMPI

Equazioni goniometriche del tipo cos x ¼ m

Risolviamo le seguenti equazioni: pffiffiffi 2 b. cos x ¼ 3 a. cos x ¼
2

c. cos x ¼

a. La soluzione dell’equazione appartenente 3
. all’intervallo ½0,
Š e` 4 In base alla [13.4], le soluzioni dell’equazione sono: x¼

1 4 Y 3π 4

– 2 2

O 3 – π 4

3
þ 2k
4

X

b. L’equazione e` della forma cos x ¼ m con m ¼ 3. Poiche´ m > 1, l’equazione data e` impossibile. Y

1 4 O

1 . 4 Poiche´ non corrisponde a un angolo noto, dovremo lasciare indicato il sim1 bolo arccos nella formula che descrive le soluzioni dell’equazione: 4 1 x ¼  arccos þ 2k
4

c. La soluzione dell’equazione appartenente all’intervallo ½0,
Š e` arccos

1 arccos 4

X

– arccos

1 4

Ricorrendo a una calcolatrice scientifica, possiamo calcolare un valore appros1 simato di arccos . Operando in modalita` RAD (cioe` in radianti) e arroton4 dando per esempio alla seconda cifra decimale si trovano le seguenti approssimazioni: x ’ 1,32 þ 2k
Attenzione! pffiffiffi 2 potrebbero venire espresse per esemRifletti sul fatto che le soluzioni dell’equazione cos x ¼
2 pio anche nella forma: x¼

3
5
þ 2k
_ x ¼ þ 2k
4 4

Questa espressione delle soluzioni corrisponde a scegliere, come soluzioni a partire dalle quali generare tutte le altre in base alla periodicita`, quelle nell’intervallo ½0, 2
Š. Le soluzioni espresse nella forma: x¼

3
þ 2k
4

si ottengono invece descrivendo le soluzioni a partire da quelle nell’intervallo ½

,
Š.

Equazioni del tipo tan x ¼ m

Y

Consideriamo infine un’equazione del tipo: Y = mX P1 α

O

π + α P2 Figura 13.2

610

X

tan x ¼ m

con m 2 R

[13.5]

Ricordando la definizione di tangente di un angolo, possiamo dire che gli angoli che soddisfano l’equazione [13.5] sono quelli che hanno come punto associato sulla circonferenza goniometrica uno dei suoi punti di intersezione con la retta di equazione Y ¼ mX (fig. 13.2). Da cio` seguono subito alcune importanti osservazioni.  Poiche´ la retta di equazione Y ¼ mX interseca la circonferenza goniometrica in due punti distinti P1 e P2 qualsiasi sia il valore di m, possiamo affermare che l’equazione tan x ¼ m ammette soluzioni per ogni m 2 R.

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Questa formula genera le soluzioni  e
þ  per k ¼ 0 e per k ¼ 1

Equazioni e disequazioni goniometriche

x ¼  þ k


Unita` 13

 Se indichiamo con  l’angolo associato a P1 , l’angolo associato a P2 e`
þ . Poiche´ la funzione tangente e` periodica di periodo
, ne discende che le soluzioni dell’equazione possono essere espresse dalla formula:

 Nel caso particolare in cui m ¼ 0, dalla definizione di tangente segue che: tan x ¼ 0 ,

sin x ¼ 0 , sin x ¼ 0 , x ¼ k
cos x

Possiamo cosı` riassumere la discussione fin qui effettuata. SINTESI

risoluzione dell’equazione tan x ¼ m 1. Caso generale

 tan x ¼ m, con m 2 R , x ¼  þ k
dove  e` una qualsiasi soluzione dell’equazione.

[13.6]

2. Caso particolare  tan x ¼ 0 , x ¼ k


Converremo di considerare, nella maggioranza dei casi, come angolo  nella for


 mula [3.6], quello appartenente all’intervallo
, . Sceglieremo cioe` 2 2  ¼ arctan m. ESEMPI

Equazioni goniometriche del tipo tan x ¼ m

Risolviamo le seguenti equazioni: a. tan x ¼
1

b. tan x ¼ 2




, e`
. 2 2 4 In base alla formula [13.6], possiamo concludere che le soluzioni dell’equazione sono:

a. La soluzione dell’equazione appartenente all’intervallo

x¼








Y Y = –X


þ k
4

O



 , e` 2 2 arctan 2, che non corrisponde a nessun angolo noto. Scegliendo nella formula [13.6]  ¼ arctan 2, le soluzioni dell’equazione possono essere cosı` espresse:

b. La soluzione dell’equazione appartenente all’intervallo







x ¼ arctan 2 þ k


–π 4

X

–1

Y Y = 2X

Ricorrendo a una calcolatrice scientifica, possiamo calcolare un valore approssimato di arctan 2. Operando in modalita` RAD (cioe` in radianti) e arrotondando per esempio alla seconda cifra decimale si trova la seguente approssimazione:

2 arctan2 1 O

x ’ 1, 11 þ k


X

Equazioni del tipo sin f ðxÞ ¼ m, cos f ðxÞ ¼ m e tan f ðxÞ ¼ m

Le equazioni del tipo: sin f ðxÞ ¼ m

cos f ðxÞ ¼ m

tan f ðxÞ ¼ m

dove f ðxÞ e` un’espressione nell’incognita x, si possono risolvere eseguendo (esplicitamente o implicitamente) una sostituzione che le trasforma in equazioni goniometriche elementari, come mostriamo nei seguenti esempi. 611 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

ESEMPIO

Equazione del tipo sin f ðxÞ ¼ m

Risolviamo l’equazione sin ð2x
1Þ ¼ 1. sin ð2x
1Þ ¼ 1 2x
1 ¼ x¼

Equazione da risolvere


þ 2k
2

Risolvendo l’equazione come elementare nell’«incognita» 2x
1 oppure, piu` esplicitamente, ponendo 2x
1 ¼ t, risolvendo sin t ¼ 1 e poi ritornando alla variabile x

1
þ þ k
2 4

Risolvendo rispetto a x

Equazione del tipo cos f ðxÞ ¼ m pffiffiffi 2 . Risolviamo l’equazione cos 3x ¼ 2 pffiffiffi 2 cos 3x ¼ Equazione da risolvere 2

ESEMPIO

3x ¼ 


þ 2k
4

Risolvendo l’equazione come elementare nell’«incognita» 3x

Tema E

oppure, piu` esplicitamente, ponendo 3x ¼ t, risolvendo cos t ¼

e poi ritornando alla variabile x

x¼


2 þ k
12 3

pffiffiffi 2 2

Risolvendo rispetto a x

Equazioni del tipo sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ, cos f ðxÞ ¼ cos gðxÞ, tan f ðxÞ ¼ tan gðxÞ Le equazioni della forma: sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ

cos f ðxÞ ¼ cos gðxÞ

tan f ðxÞ ¼ tan gðxÞ

si possono risolvere tenendo conto delle seguenti considerazioni, che sono una naturale conseguenza delle proprieta` che abbiamo messo in evidenza analizzando le equazioni goniometriche elementari:  due angoli hanno lo stesso seno se e solo se sono uguali o supplementari, a meno di multipli interi dell’angolo giro (fig. 13.3);  due angoli hanno lo stesso coseno se e solo se sono uguali od opposti, a meno di multipli interi dell’angolo giro (fig. 13.4);  due angoli hanno la stessa tangente se e solo se sono uguali, a meno di multipli interi dell’angolo piatto (fig. 13.5). Y P2 β

O

tanα = tanβ P1

P1 π

Y

Y

sinα = sinβ

P1

cos α = cos β

α X

O

α β

α

π O

X

X

P2 P2

612

Figura 13.3 Gli angoli  e  hanno lo stesso seno se e solo se  ¼  þ 2k
_  ¼

 þ 2k


Figura 13.4 Gli angoli  e  hanno lo stesso coseno se e solo se  ¼  þ 2k


β Figura 13.5 Gli angoli  e  hanno la stessa tangente se e solo se  ¼  þ k


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 sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ , f ðxÞ ¼ gðxÞ þ 2k
_ f ðxÞ ¼

gðxÞ þ 2k
 tan f ðxÞ ¼ tan gðxÞ , f ðxÞ ¼ gðxÞ þ k


[13.8] [13.9]

Equazione del tipo sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ

 Risolviamo l’equazione sin 2x ¼ sin x
. 2

ESEMPIO

In base alla [13.7] l’equazione equivale a:


 þ 2k
2x ¼ x
þ 2k
_ 2x ¼

x
2 2

da cui, risolvendo rispetto a x: x¼
ESEMPIO


3



þ 2k
_ 3x ¼ þ 2k
) x ¼
þ 2k
_ x ¼ þ 2k 2 2 2 2 3

Equazioni e disequazioni goniometriche

 cos f ðxÞ ¼ cos gðxÞ , f ðxÞ ¼ gðxÞ þ 2k


[13.7]

Unita` 13

In simboli, gli schemi risolutivi delle precedenti equazioni sono dunque:

Equazione del tipo cos f ðxÞ ¼ cos gðxÞ

Risolviamo l’equazione cos x ¼ cos 3x.

In base alla [13.8] l’equazione equivale a: x ¼ 3x þ 2k
da cui, risolvendo rispetto a x: x ¼ 3x þ 2k
_ x ¼
3x þ 2k

2x ¼ 2k
_ 4x ¼ 2k

x ¼
k
_ x ¼ k 2

Attenzione! 1. La formula x ¼
k
descrive, al variare di k in Z, gli stessi angoli descritti da x ¼ k
. Pertanto, solitamente il segno
si omette e si scrive: x ¼ k
. 2. La formula x ¼ k
, al variare di k, rappresenta gli angoli: ...,
2
,

, 0,
, 2
, ... La formula x ¼ k ...,
2
,



, al variare di k, rappresenta gli angoli: 2

3


3
,

,
, 0, ,
, , 2
, ... 2 2 2 2

Vediamo cosı` che gli angoli descritti dalla formula x ¼ k
sono inclusi tra quelli descritti dalla for
mula x ¼ k . L’insieme delle soluzioni dell’equazione puo` pertanto essere rappresentato semplice2 n
o . mente da: S ¼ k 2

Equazione del tipo tan f ðxÞ ¼ tan gðxÞ


x . Risolviamo l’equazione tan x ¼ tan 4

ESEMPIO

In base alla [13.9] l’equazione equivale alla seguente, che risolviamo: x¼






x þ k
) 2x ¼ þ k
) x ¼ þ k 4 4 8 2 613 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

Osserva che, grazie alle relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli complementari e opposti, e` sempre possibile ricondurre a equazioni della forma [13.7], [13.8] o [13.9] anche le equazioni del tipo: sin f ðxÞ ¼
sin gðxÞ

cos f ðxÞ ¼
cos gðxÞ

sin f ðxÞ ¼ cos gðxÞ

cos f ðxÞ ¼ sin gðxÞ

tan f ðxÞ ¼ cot gðxÞ

Per esempio:  sin f ðxÞ ¼
sin gðxÞ

equivale a:

 sin f ðxÞ ¼ cos gðxÞ

equivale a:

sin f ðxÞ ¼ sin ½
gðxފ h
i sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ 2

VISUALIZZIAMO I CONCETTI

Equazioni e funzioni

3Le equazioni goniometriche che abbiamo risolto in questo paragrafo possono essere interpretate graficamente tracciando i grafici di opportune funzioni. Vediamo alcuni esempi, relativamente a tre equazioni che abbiamo risolto negli esempi precedenti. 1 . 2

3Consideriamo l’equazione sin x ¼ Le sue soluzioni:

Tema E

tan f ðxÞ ¼
tan gðxÞ

x¼


7
þ 2k
_ x ¼ þ 2k
6 6

[13.10]

si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione y ¼ sin x e 1 . quello della retta di equazione y ¼ 2 Per esempio, per determinare le ascisse dei punti di intersezione A, B, C e D in fig. 13.6, basta sostituire nelle formule [13.10] i valori di k (interi) che danno luogo a valori di x appartenenti all’intervallo ½
, 2
Š. Tali valori di k, come ci si puo` facilmente rendere conto, sono:

k ¼ 0 e k ¼ 1 per la formula: x ¼


k ¼
1 e k ¼ 0 per la formula: x ¼

k¼0


þ 2k
6

k¼1

k ¼
1

7
þ 2k
6

k¼0

x¼



þ20
¼
6 6

x¼



11
þ21
¼ 6 6

x¼

7
7
5
þ 2  ð
1Þ 
¼
2
¼
6 6 6

x¼

7
7
þ20
¼ 6 6

y – 5π 6 A

–π 6 O B

y = sin x

y =–

1 2

7π 6

11π 6

C

x

D

Figura 13.6

Concludiamo che:         5
1
1 7
1 11
1 ,
; B
,
; C ,
;D ,
A
6 2 6 2 6 2 6 2 614 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

xA ¼



5
þ ð
1Þ
¼
4 4

xB ¼




þ0
¼
4 4

xC ¼



3
þ1
¼ 4 4

k ¼
1 k¼0 k¼1

y

Equazioni e disequazioni goniometriche


þ k
[13.11] 4 si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione y ¼ tan x e quello della retta di equazione y ¼
1. Per esempio, per determinare le ascisse dei punti di intersezione A, B e C in fig. 13.7 basta sostituire nella formula [13.11] i valori di k (interi) che danno luogo a valori di x ap  3
3
partenenti all’intervallo
. Tali valori di k, come ci si puo` facilmente rendere conto, sono
1, , 2 2 0 e 1: x¼


Unita` 13

3Consideriamo l’equazione tan x ¼
1. Le sue soluzioni:

x A

B – 5π 4

O

C

–π 4

y = –1

3π 4 y = tanx

x = – 3π 2

x = 3π 2

Figura 13.7

Dunque:    

 5
3
A
,
1 ; B
,
1 ; C ,
1 4 4 4

3Consideriamo l’equazione sin 2x ¼ sin x¼





þ 2k
_ x ¼ þ 2k 2 2 3




x



 . Le sue soluzioni: 2

[13.12]

si possono interpretare come
le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione y ¼ sin 2x e
 quello della funzione y ¼ sin x
: 2

Per esempio, per determinare le ascisse dei punti di intersezione A, B, C e D in fig. 13.8 basta sostituire nelle formule [13.12] i valori di k (interi) che danno luogo a valori di x appartenenti all’intervallo ½0, 2
. Tali valori di k, come ci si puo` facilmente rendere conto, sono: k ¼ 1 per la formula: x ¼



þ 2k
k ¼ 1 2

x¼



3
þ21
¼ 2 2


þ20 2


k¼1 x¼ þ21 k ¼ 0, k ¼ 1, k ¼ 2 per: x ¼ þ 2k 2 3 2
k¼2 x¼ þ22 2 k¼0

x¼



¼ 3 2
7
¼ 3 6
11
¼ 3 6 615

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Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Sostituendo i valori delle ascisse nelle equazioni di una delle due curve si ottengono le ordinate dei punti corrispondenti e si conclude che: pffiffiffi ! pffiffiffi !  

 7
3
11
3 3 ,0 ; B , ,0 ; D ,
; C A 2 2 2 6 2 6 y y = sin 2x

O

π 2 A

B 3π 11π 6 2 7π 6

C

2π

x

D  π y = sin x –   2

Figura 13.8

Prova tu

ESERCIZI a p. 638

1. Risolvi le seguenti equazioni goniometriche: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 2 b. cos x ¼ c. tan x ¼ 3 a. sin x ¼
2 2

2. Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:

 pffiffiffi 1 x a. sin
x ¼ b. cos 2x ¼
1 c. tan ¼ 3 4 2 2

 
4


a.
þ 2k
, þ 2k
; b.  þ 2k
; c. þ k
3 3 4 3 

a.


7

2
þ 2k
,
þ 2k
; b. þ k
; c. þ 2k
12 12 2 3



3. Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:



 a. sin
x ¼ sin 4x b. tan x ¼
tan x þ c. sin x ¼
cos 2x 5 4  
2 4
2


2
a. þ k
, þ k
; b.
þ k ; c.
þ k
; þ 2k
25 5 15 3 8 2 6 3 2 4. Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ sin x e y ¼
sin 2x; determina le coordinate dei loro punti di intersezione nell’intervallo ½0, 2
.

2. Equazioni riconducibili a equazioni goniometriche elementari Equazioni di secondo grado in seno, coseno o tangente La prima classe di equazioni che esaminiamo e` quella delle equazioni di secondo grado in seno, coseno o tangente. Esse si possono ricondurre a equazioni elementari eseguendo, esplicitamente o implicitamente, una sostituzione. ESEMPIO Osserva L’equazione qui a fianco e` stata risolta eseguendo implicitamente la sostituzione cos x ¼ t; in alternativa si poteva eseguire la sostituzione esplicitamente, risolvere l’equazione in t e poi tornare alla variabile x.

616

Equazione di secondo grado in coseno

Risolviamo l’equazione 2 cos2 x
cos x
1 ¼ 0. Riconosciamo che si tratta di un’equazione di secondo grado in cos x; risolviamo allora tale equazione, considerando cos x come incognita: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 < 1
ð
1Þ  ð
1Þ2
4  2  ð
1Þ 13
¼ ¼ cos x ¼ 2 : 4 22 1

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Risolviamo l’equazione 4 sin2 x
1 ¼ 0. Riconosciamo che si tratta di un’equazione pura di secondo grado in sin x; risolviamo allora tale equazione, considerando sin x come incognita: 4 sin2 x
1 ¼ 0 sin2 x ¼

Equazione da risolvere

1 4

sin x ¼ 

1 2

sin x ¼


1 1 _ sin x ¼ 2 2

x¼


Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazione di secondo grado in seno

ESEMPIO

Unita` 13

L’equazione data equivale quindi a: 1 cos x ¼
_ cos x ¼ 1 2 Risolvendo queste due equazioni elementari troviamo che le soluzioni sono: 2
þ 2k
_ x ¼ 2k
x¼  3 2
L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: S ¼  þ 2k
, 2k
. 3

Risolvendo l’equazione pura in sin x


7
þ 2k
_ x ¼ þ 2k
6 6

Soluzioni dell’equazione sin x ¼


1 2

_ x¼


5
þ 2k
_ x ¼ þ 2k
6 6

Soluzioni dell’equazione sin x ¼

1 2

L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: 

5
7
S ¼
þ 2k
, þ 2k
, þ 2k
, þ 2k
6 6 6 6 Attenzione!
7
þ 2k
e x ¼ þ 2k
possono essere rappresentate in for6 6 ma piu` compatta tramite la sola formula: Le soluzioni espresse dalle formule x ¼

x¼


þ k
6

Vedi fig. 13.9

Analogamente, le soluzioni x ¼



5
þ 2k
e x ¼ þ 2k
possono essere rappresentate in forma 6 6

piu` compatta tramite la formula: x¼



þ k
6

Vedi fig. 13.10

In definitiva, quindi, l’insieme delle soluzioni dell’equazione puo` essere espresso nella forma compatta: n
o S ¼  þ k
6

Y

Y 5π 6

π 6

π O

O

X

X –π 6

7π 6 Figura 13.9

π

Figura 13.10

617 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Equazioni riconducibili a equazioni elementari mediante l’utilizzo delle relazioni fondamentali Alcune equazioni possono essere ricondotte a equazioni di secondo grado in seno, coseno o tangente utilizzando le relazioni fondamentali. Vediamo un esempio. ESEMPIO

Equazione riconducibile a equazione di secondo grado in seno

Risolviamo l’equazione 3 sin2 x þ 2 cos2 x
2 ¼ 2 sin x. La differenza tra questa equazione e quelle degli esempi precedenti e` che in quest’ultima compaiono due funzioni goniometriche: seno e coseno. Possiamo tuttavia ricondurci a un’equazione di secondo grado nella sola funzione goniometrica seno, utilizzando la relazione fondamentale cos2 x ¼ 1
sin2 x. 3 sin2 x þ 2 cos2 x
2 ¼ 2 sin x

Equazione da risolvere

sin2 x
2 sin x ¼ 0

Semplificando

2

2

Ricordando che cos2 x ¼ 1
sin2 x

3 sin x þ 2ð1
sin xÞ
2 ¼ 2 sin x sin x ðsin x
2Þ ¼ 0

Raccogliendo sin x

sin x ¼ 0 _ sin x ¼ 2

Legge di annullamento del prodotto

x ¼ k


Risolvendo le due equazioni elementari; osserva che sin x ¼ 2 non ha soluzioni

L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: S ¼ fk
g.

Equazioni riconducibili a equazioni elementari mediante l’utilizzo di formule goniometriche Alcune equazioni si possono ricondurre a equazioni goniometriche elementari mediante l’utilizzo di opportune formule goniometriche. Presentiamo qui qualche esempio; potrai trovarne altri negli esercizi. Equazione riconducibile a elementare mediante le formule di addizione e sottrazione



 þ x þ sin
x ¼ 1. Risolviamo l’equazione sin 4 4

ESEMPIO

Sviluppiamo il primo membro dell’equazione mediante le formule di addizione e sottrazione del seno e risolviamo l’equazione elementare che si ottiene. sin





cos x þ cos cos x
cos sin x þ sin sin x ¼ 1 4 4 4 4

pffiffiffi 2 cos x ¼ 1 pffiffiffi 2 cos x ¼ 2 x¼


þ 2k
4

Ricorda che sin 1 cos x ¼ pffiffiffi 2

pffiffiffi
2 ¼ 2 4

equivale a cos x ¼

pffiffiffi 2 2

Risolvendo l’equazione goniometrica elementare

n
o L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: S ¼  þ 2k
. 4 Le formule di bisezione e le formule di duplicazione possono essere utili per x affrontare equazioni goniometriche nei cui argomenti compaiono sia x sia , co2 me mostriamo nei prossimi esempi. 618 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Equazione riconducibile a elementare mediante le formule di bisezione

Unita` 13

ESEMPIO

x þ cos x ¼ 0. 2

Risolviamo l’equazione sin2

Equazioni e disequazioni goniometriche

Cio` che distingue questa equazione rispetto a quelle che abbiamo trattato finox ra e` la presenza di due funzioni goniometriche aventi argomenti diversi: e x. 2 Per risolvere le equazioni di questo tipo occorre eseguire delle trasformazioni che riconducano l’equazione a una equivalente in cui compaiono funzioni goniometriche aventi tutte lo stesso argomento. Nel nostro caso questo scopo puo` essere facilmente raggiunto utilizzando le formule di bisezione; ricordando infatti che: sin2

x 1
cos x ¼ 2 2

l’equazione data si trasforma nella seguente equazione elementare, che risolviamo: 1
cos x þ cos x ¼ 0 2 cos x ¼
1

)

x ¼
þ 2k


L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: S ¼ f
þ 2k
g. ESEMPIO

Equazione riconducibile a elementare mediante le formule di duplicazione

Risolviamo l’equazione cos

x þ sin x ¼ 0. 2

Anche in questo caso dobbiamo anzitutto ricondurci a un’equazione in cui compaiono funzioni goniometriche aventi tutte lo stesso argomento. Non conviene tuttavia utilizzare le formule di bisezione come nell’esempio x non e` elevato al quadrato, si precedente perche´ questa volta, dato che cos 2 introdurrebbero dei radicali. E` preferibile invece trasformare tutti gli argomenx ti in mediante le formule di duplicazione, come mostriamo qui di seguito. 2 cos

x þ sin x ¼ 0 2

Equazione da risolvere

cos

x x x þ 2 sin cos ¼0 2 2 2


x x x sin x ¼ sin 2  per la formula di du¼ 2 sin cos 2 2 2 plicazione del seno

cos

x
x 1 þ 2 sin ¼0 2 2

Raccogliendo cos

cos

x x 1 ¼ 0 _ sin ¼
2 2 2

Legge di annullamento del prodotto

x ¼
þ 2k
Soluzioni di cos

_ x¼


x ¼0 2

x 2


7
þ 4k
_ x ¼ þ 4k
3 3 Soluzioni di sin

x 1 ¼
2 2

L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: 
7
þ 4k
S ¼
þ 2k
,
þ 4k
, 3 3

Attenzione Riflettendo sugli ultimi due esempi, si possono trarre le seguenti indicazioni di carattere generale per risolvere un’equazione in cui le funzioni goniometriche seno e coseno compaiono x con argomenti x e : 2 1. quando le funzioni goniometriche aventi come x argomento sono tutte 2 elevate al quadrato, conviene trasformare l’equazione in una equivalente in cui gli argomenti sono tutti uguali a x mediante le formule di bisezione; 2. quando invece qualcuna delle funzioni goniometriche x aventi come argomento 2 non figura al quadrato, conviene trasformare l’equazione in una equivalente in cui gli argomenti sono tutti uguali x a mediante le formule 2 di duplicazione.

619 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Prova tu

ESERCIZI a p. 642

Risolvi le seguenti equazioni.

h


2

1. sin x þ sin x
2 ¼ 0 2

2

2

2. 2 cos x
sin x
2 ¼ 0

þ 2k


i

[k
]

pffiffiffi


 3
sin x
¼ 3. sin x þ 2 3 3 x 1 4. sin2
cos x ¼ 2 2


h
i  þ 2k
3 h
i þ k
2

3. Equazioni lineari in seno e coseno In questo paragrafo presentiamo le tecniche per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno, cioe` quelle equazioni goniometriche in cui l’incognita figura solo come argomento delle funzioni seno e coseno, queste ultime al primo grado. La loro forma generale e` dunque: [13.13]

a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 Caso particolare Se a ¼ 0 o b ¼ 0 l’equazione [13.13] diventa una equazione goniometrica elementare.

dove a, b, c sono numeri reali con a 6¼ 0 e b 6¼ 0. Le tecniche risolutive sono diverse a seconda che sia c ¼ 0, nel qual caso l’equazione si dice incompleta, oppure c 6¼ 0, nel qual caso l’equazione si dice completa.

Equazioni lineari incomplete Se c ¼ 0, l’equazione [13.13] assume la forma: [13.14]

a sin x þ b cos x ¼ 0

Osserviamo che questa equazione non puo` ammettere come soluzioni i valori di
x per cui cos x ¼ 0, cioe` x ¼ þ k
; infatti, sostituendo questi valori di x nella 2 [13.14] si ottiene l’uguaglianza: a  ð1Þ þ b  0 ¼ 0

sin





2

 þ k
¼ 1 a seconda che k sia pari o dispari

che e` certamente falsa, poiche´ per definizione di equazione lineare deve essere a 6¼ 0. Grazie a questa osservazione possiamo supporre cos x 6¼ 0 e dividere entrambi i membri dell’equazione [13.14] per cos x, riconducendoci cosı` all’equazione elementare equivalente: a tan x þ b ¼ 0 ESEMPIO

Risolviamo l’equazione sin x þ

pffiffiffi 3 cos x ¼ 0.

Dividendo entrambi i membri per cos x otteniamo la seguente equazione equivalente, che risolviamo: pffiffiffi pffiffiffi
tan x þ 3 ¼ 0 ) tan x ¼
3 ) x ¼
þ k
3

Equazioni lineari complete Se c 6¼ 0, l’equazione [13.13] puo` essere risolta con almeno tre tecniche diverse, che ora esponiamo. 1. Metodo grafico Questo metodo riconduce la risoluzione di un’equazione lineare in seno e coseno completa a un problema di geometria analitica. Esso consiste nei seguenti passi: 620 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[13.15]

In un sistema di assi cartesiani XOY risolvere il sistema [13.15] significa determinare i punti di intersezione tra la circonferenza goniometrica e la retta di equazione aY þ bX þ c ¼ 0. Si possono presentare i seguenti tre casi. La retta e` esterna alla circonferenza

La retta e` tangente alla circonferenza in un punto, che chiamiamo P

La retta e` secante la circonferenza in due punti, che chiamiamo P1 e P2

Y

Y

Y P1

P

O

O

X

Non ci sono punti di intersezione, percio` il sistema e` impossibile e l’equazione lineare originaria non ha soluzioni.

ESEMPIO

β α

P2

α

O

X

Detto  un angolo il cui punto associato sulla circonferenza goniometria e` P, le soluzioni dell’equazione originaria sono: x ¼  þ 2k


Equazioni e disequazioni goniometriche

 si pone sin x ¼ Y e cos x ¼ X; in questo modo il sistema diventa:  aY þ bX þ c ¼ 0 X2 þ Y 2 ¼ 1

Unita` 13

 si associa all’equazione [13.13] la relazione fondamentale sin2 x þ cos2 x ¼ 1; si ottiene cosı` il sistema:  a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 sin2 x þ cos2 x ¼ 1

X

Detti  e  due angoli i cui punti associati sulla circonferenza goniometria sono P1 e P2 , le soluzioni dell’equazione originaria sono: x ¼  þ 2k
_ x ¼  þ 2k


Risoluzione di un’equazione lineare con il metodo grafico

Risolviamo l’equazione sin x
2 cos x
1 ¼ 0.  Impostazione e risoluzione del sistema

Poniamo cos x ¼ X, sin x ¼ Y e risolviamo il sistema:  Y
2X
1 ¼ 0 X2 þ Y 2 ¼ 1 Abbiamo:    Y
2X
1 ¼ 0 Y ¼ 2X þ 1 Y ¼ 2X þ 1 ) ) ) X2 þ Y 2 ¼ 1 5X2 þ 4X ¼ 0 X2 þ ð2X þ 1Þ2 ¼ 1

)



Y ¼ 2X þ 1 ) ð5X þ 4ÞX ¼ 0



8 4 > >

3 > :Y ¼
5

Y P1

 Deduzione delle soluzioni dell’equazione

–4 5

La retta di equazione Y
2X
1 ¼ 0 interseca la circonferenza goniometrica nei punti: P1 ð0, 1Þ e P2



4 3
,
5 5



β

α= O

P2

Ô

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

π 2 X

–3 5

621

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

Ô

L’angolo , appartenente all’intervallo ½0, 2
, che ha come punto associato
P1 e` . 2 L’angolo , appartenente all’intervallo ½0, 2
, che ha come punto associato 3 P2 e`
þ arcsin . 5  Conclusione

L’equazione data e` soddisfatta per: x¼


3 þ 2k
_ x ¼
þ arcsin þ 2k
2 5

2. Metodo algebrico Un altro metodo per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno complete consiste nel ricorrere alle formule parametriche. I passi per risolvere l’equazione secondo questo procedimento sono i seguenti.

Tema E

 Ricordando che: 2t 1
t2 e cos x ¼ sin x ¼ 2 1 þ t2 1þt x dove t ¼ tan , l’equazione a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 si trasforma nell’equazio2 ne: 2t 1
t2 a þb þc ¼0 2 1 þ t2 1þt ossia, semplificando: ðc
bÞt 2 þ 2at þ b þ c ¼ 0

[13.16]

 Si risolve l’equazione [13.16].  Si «torna» all’incognita x ricordando la sostituzione fatta.

Osserva Per x ¼
þ 2k
l’equazione a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 si trasforma nell’uguaglianza: a  0 þ b  ð
1Þ þ c ¼ 0 che e` soddisfatta se e solo se b ¼ c.

L’unica cautela che bisogna avere riguarda il fatto che le formule parametriche x sono valide a condizione che tan esista, cioe` per x 6¼
þ 2k
; bisogna quindi 2 controllare separatamente se i valori x ¼
þ 2k
sono o meno soluzioni dell’equazione assegnata. Sostituendo direttamente i valori x ¼
þ 2k
nell’equazione a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 si verifica che essi sono soluzioni se e solo se b ¼ c, ovvero se e solo se la [13.16] risulta un’equazione di primo grado in t. Possiamo dunque dedurre la seguente regola «pratica».  Se la [13.16] e` di secondo grado, le soluzioni che si ottengono da essa sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione di partenza.  Se la [13.16] e` di primo grado, alle soluzioni che si ottengono da essa vanno aggiunte le soluzioni x ¼
þ 2k
. ESEMPIO

Risoluzione di un’equazione lineare con le formule parametriche

Risolviamo l’equazione sin x
2 cos x
1 ¼ 0 (gia` risolta nell’esempio precedente con il metodo grafico). x e risolviamo  Riscriviamo l’equazione in termini di t ¼ tan 2 l’equazione ottenuta In base alle formule parametriche, l’equazione data diventa: 2t 1
t2
2
1¼0 1 þ t2 1 þ t2

622

ossia:

t 2 þ 2t
3 ¼ 0

da cui:

t ¼
3 _ t ¼ 1

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[13.17]

Unita` 13

 Ritorniamo alla variabile x

x Poiche´ abbiamo posto t ¼ tan , i valori di x che verificano l’equazione data 2 sono quelli per cui:

 Conclusione Poiche´ la [13.17] e` di secondo grado, le soluzioni trovate sono tutte e sole quelle dell’equazione originaria. L’insieme delle soluzioni di questa equazione e` quindi: n o
þ 2k
S ¼ 2 arctan ð
3Þ þ 2k
, 2 ESEMPIO

Risoluzione di un’equazione lineare con le formule parametriche

Risolviamo l’equazione sin x
2 cos x
2 ¼ 0. x  Riscriviamo l’equazione in termini di t ¼ tan e risolviamo 2 l’equazione ottenuta

Osserva La rappresentazione delle soluzioni dell’equazione sin x
2 cos x
1 ¼ 0 ottenuta mediante il metodo algebrico e` diversa da quella ottenuta tramite il metodo grafico. Giustifica per esercizio perche´ la formula 3 þ 2k
x ¼
þ arcsin 5 descrive gli stessi angoli della formula x ¼ 2arctan ð
3Þ þ 2k


Equazioni e disequazioni goniometriche

x x ¼
3 _ tan ¼1 2 2 x x
¼ arctan ð
3Þ þ k
_ ¼ þ k
2 2 4
x ¼ 2arctan ð
3Þ þ 2k
_ x ¼ þ 2k
2

tan

In base alle formule parametriche, l’equazione data diventa: 2t 1
t2
2
2¼0 2 1 þ t2 1þt ossia: 2t
4 ¼ 0 da cui: t ¼ 2

[13.18]

 Ritorniamo alla variabile x x Poiche´ abbiamo posto t ¼ tan , i valori di x che verificano l’equazione data 2 sono quelli che verificano l’equazione seguente, che risolviamo: tan

x ¼2 2

x ¼ arctan 2 þ k
2

)

)

x ¼ 2 arctan 2 þ 2k


 Conclusione Poiche´ la [13.18] e` di primo grado, alle soluzioni trovate occorre aggiungere le soluzioni x ¼
þ 2k
. L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` quindi: S ¼ f2 arctan 2 þ 2k
,
þ 2k
g 3. Metodo dell’angolo aggiunto Questa tecnica si basa sulle trasformazioni, viste nella precedente Unita`, che consentono di scrivere l’espressione: a sin x þ b cos x nella forma: A sin ðx þ ’Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a b con A ¼ a2 þ b2 e ’ tale che cos ’ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e sin ’ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 a þb a þ b2

L’equazione lineare a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 puo` cosı` essere trasformata nell’equazione elementare: A sin ðx þ ’Þ þ c ¼ 0

[13.19]

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623

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Risoluzione di un’equazione lineare con il metodo dell’angolo aggiunto pffiffiffi Risolviamo l’equazione sin x
3 cos x
2 ¼ 0.

ESEMPIO

 Trasformazione dell’equazione nella forma [13.19] Osserviamo che: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2ffi pffiffiffi 2 2 2 A ¼ a þ b ¼ 1 þ ð
3Þ ¼ 4 ¼ 2 pffiffiffi 1
3 cos ’ ¼ e sin ’ ¼
)’¼
2 2 3

h

i Scegliendo ’ 2
, 2 2

Dunque l’equazione puo` essere riscritta nella forma:

 2 sin x

2¼0 3

 Risoluzione dell’equazione elementare cui ci siamo ricondotti






2 ¼ 0 ) sin x
¼ 1 ) x
¼ þ 2k
) 2 sin x
3 3 3 2 5
)x¼ þ 2k
6  Conclusione L’insieme delle soluzioni dell’equazione e` S ¼



5
þ 2k
. 6

COLLEGHIAMO I CONCETTI

Confronto tra i vari metodi risolutivi di un’equazione lineare in seno e coseno Abbiamo presentato piu` metodi per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno. Quale metodo e` «piu` conveniente» utilizzare? Vediamo di fare qualche considerazione di carattere generale che puo` essere da guida nella scelta del metodo.

3Il metodo grafico ha il vantaggio di non richiedere l’utilizzo di formule mne-

moniche ma puo` comportare a volte qualche calcolo in piu` rispetto al metodo algebrico, poiche´ richiede la soluzione di un sistema anziche´ di una equazione. E` utile osservare che e` il metodo piu` rapido quando i coefficienti a, b e c dell’equazione lineare hanno valore assoluto uguale a 1; in tal caso, infatti, la retta di equazione aY þ bX þ c ¼ 0 interseca la circonferenza goniometrica in due dei punti di intersezione di quest’ultima con gli assi cartesiani, quindi l’interpretazione grafica del sistema consente di «leggere» immediatamente sulla figura le soluzioni dell’equazione corrispondente. Per esempio, nel caso dell’equazione sin x
cos x
1 ¼ 0, interpretando graficamente il sistema corrispondente otteniamo la fig. 13.11, da cui possiamo dedurre immediatamente che le soluzioni dell’equazione sono: x¼


þ 2k
_ x ¼
þ 2k
2 Y P1 1 α= π 2

β= π –1 P2

O

X

Figura 13.11

624 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 13

3Il metodo algebrico ha lo svantaggio di richiedere l’utilizzo di formule mne-

3Il metodo dell’angolo aggiunto e` di solito vantaggioso quando l’angolo ’ e` un angolo notevole, altrimenti porta a una rappresentazione complicata delle soluzioni.

Prova tu

ESERCIZI a p. 648

` opportuno. Risolvi le seguenti equazioni con il metodo che ritieni piu pffiffiffi 1. 3 sin x þ cos x ¼ 0 2. sin x þ cos x


h

i
þ k
6 h
i þ 2k
4   4
þ 2k
, 2

arcsin þ 2k
5

pffiffiffi 2¼0

3. 2 sin x þ cos x þ 1 ¼ 0




Equazioni e disequazioni goniometriche

moniche e occorre prestare attenzione per non «dimenticare» soluzioni del tipo x ¼
þ 2k
. Tuttavia la «meccanicita`» del procedimento si presta bene, per esempio, alla traduzione in un algoritmo al calcolatore.

4. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno In questo paragrafo illustriamo le tecniche per risolvere le equazioni che si presentano nella forma: a sin2 x þ b sin x cos x þ c cos2 x ¼ 0

[13.20]

con a, b, c 2 R. Le equazioni di questo tipo, dove compaiono solo termini contenenti seno e/o coseno e solo al secondo grado, vengono dette omogenee di secondo grado in seno e coseno. Come per le equazioni lineari in seno e coseno, la tecnica risolutiva prevede piu` casi. 1o caso: a ¼ 0 _ c ¼ 0 Se a ¼ 0 l’equazione [13.20] assume la forma: b sin x cos x þ c cos2 x ¼ 0

[13.21]

Se c ¼ 0 l’equazione [13.20] assume la forma: a sin2 x þ b sin x cos x ¼ 0

[13.22]

Queste equazioni si possono risolvere eseguendo un opportuno raccoglimento (di cos x nel caso della [13.21] e di sin x nel caso della [13.22]) e applicando la legge di annullamento del prodotto. Equazione omogenea incompleta pffiffiffi Risolviamo l’equazione 3 sin x cos x
cos2 x ¼ 0.

ESEMPIO

Raccogliendo il termine cos x l’equazione si puo` riscrivere nella forma: pffiffiffi cos x ð 3 sin x
cos xÞ ¼ 0

che, per la legge di annullamento del prodotto, equivale a: pffiffiffi cos x ¼ 0 _ 3 sin x
cos x ¼ 0

Modi di dire Un’equazione omogenea in cui qualcuno dei coefficienti a, b o c e` nullo si dice incompleta.

Ô

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

625

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Ô


þ k
. 2 La seconda equazione e` lineare incompleta; dividendo entrambi i membri per cos x si ottiene l’equazione equivalente: pffiffiffi pffiffiffi
3 ) x ¼ þ k
3 tan x
1 ¼ 0 ) tan x ¼ 3 6 In definitiva l’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` n
o
þ k
, þ k
S¼ 2 6 La prima equazione fornisce le soluzioni: x ¼

2o caso: a 6¼ 0 ^ c 6¼ 0 In questo caso possiamo osservare che i valori di x per cui cos2 x ¼ 0, cioe`
x ¼ þ k
, certamente non sono soluzioni dell’equazione [13.20]; infatti sosti2 tuendo tali valori nell’equazione stessa otteniamo l’uguaglianza:







 a sin2 þ k
þ b sin þ k
cos þ k
þ c cos2 þ k
¼ 0 2 2 2 2 ossia: a  1 þ b  ð1Þ  0 þ c  0 ¼ 0 che certamente e` falsa; poiche´ siamo nell’ipotesi in cui a 6¼ 0. Per risolvere la [13.20] possiamo allora supporre cos2 x 6¼ 0 e dividere i suoi due membri per cos2 x, ottenendo l’equazione equivalente: a

sin2 x sin x cos x cos2 x þb þc ¼0 2 2 cos x cos x cos2 x

ossia: a tan2 x þ b tan x þ c ¼ 0 Questa equazione e` di secondo grado in tan x, quindi facilmente risolvibile. ESEMPIO

Equazione omogenea completa

Risolviamo l’equazione sin2 x
sin x cos x
2 cos2 x ¼ 0. Dividendo entrambi i membri per cos2 x otteniamo la seguente equazione equivalente, che risolviamo: tan2 x
tan x
2 ¼ 0

tan x ¼
1 _ tan x ¼ 2
x ¼
þ k
_ x ¼ arctan 2 þ k
4

Risolvendo l’equazione di 2 grado in tan x Risolvendo le equazioni goniometriche elementari

L’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` quindi: n
o S ¼
þ k
, arctan 2 þ k
4

Equazioni riconducibili a omogenee di secondo grado in seno e coseno Ogni equazione del tipo: a sin2 x þ b sin x cos x þ c cos2 x þ d ¼ 0 con a, b, c, d 2 R, dove compare un termine noto d, si puo` ricondurre a omogenea semplicemente osservando che: d ¼ d  1 ¼ d  ðsin2 x þ cos2 xÞ A quel punto si possono applicare le tecniche risolutive viste poco sopra. 626 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 13

ESEMPIO

Equazione riconducibile a omogenea

Risolviamo l’equazione 3 sin2 x
sin x cos x
2 ¼ 0.

Equazioni e disequazioni goniometriche

Ricordando che sin2 x þ cos2 x ¼ 1, l’equazione data si puo` riscrivere nella seguente forma: 3 sin2 x
sin x cos x
2  ðsin2 x þ cos2 xÞ ¼ 0 1

ossia, svolgendo i calcoli: sin2 x
sin x cos x
2 cos2 x ¼ 0 Ci siamo cosı` ricondotti all’equazione che abbiamo risolto nell’esempio precedente. Possiamo quindi concludere che l’insieme delle soluzioni dell’equazione assegnata e`: n
o S ¼
þ k
, arctan 2 þ k
4

Prova tu

ESERCIZI a p. 650

Risolvi le seguenti equazioni.

h


i
þ k
2 4    
1 þ k
, arctan
þ k
4 2 h
i pffiffiffi þ k
, arctan ð2 3Þ þ k
3

1. sin x cos x
cos2 x ¼ 0 2. 2 sin2 x
sin x cos x
cos2 x ¼ 0 pffiffiffi 3. 1
3 3 sin x cos x þ 5 cos2 x ¼ 0

þ k
,

5. Disequazioni goniometriche elementari o a esse riconducibili Dopo aver affrontato lo studio delle equazioni goniometriche, trattiamo le disequazioni goniometriche.

Disequazioni goniometriche elementari Partiamo dalle disequazioni goniometriche piu` semplici, le cosiddette disequazioni goniometriche elementari, cioe` quelle della forma: sin x > m

cos x > m

tan x > m

con m 2 R

e quelle di forma analoga dove il simbolo > e` sostituito da m, con m > 0

Risolviamo la disequazione sin x >

 1 metodo: utilizzando la circonferenza goniometrica 1. La funzione seno ha periodo 2
; possiamo percio` risolvere preliminarmente la disequazione, per esempio, nell’intervallo ½0, 2
.

Y 5π 6 Q

π 6

Y= 1 2

P O

1 . 2

X

2. Consideriamo la circonferenza goniometrica, X2 þ Y 2 ¼ 1, e tracciamo la 1 retta di equazione Y ¼ . Essa interseca la circonferenza in due punti P e 2
5
. Q, associati agli angoli di misura e 6 6 Gli angoli che soddisfano la disequazione sono quelli il cui punto associato 1 sulla circonferenza goniometrica ha ordinata maggiore di , ovvero quelli il 2 cui punto associato appartiene all’arco PQ colorato in rosso. La disequazione, nell’intervallo ½0, 2
, e` dunque soddisfatta per:
5


2 vallo ½0, 2
. 2. Tracciamo, nell’intervallo prescelto, il grafico di y ¼ sin x e quello della ret1 ta di equazione y ¼ . Essa interseca il grafico di y ¼ sin x in due punti P e 2 1 appartenenti alQ, le cui ascisse sono le soluzioni dell’equazione sin x ¼ 2 l’intervallo ½0, 2
, dunque: xP ¼


6

e

xQ ¼

5
6

y P

Q

O π 6

5π 6

y=

1 2

2π

x

Le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti appartenenti all’arco della sinusoide colorato in rosso, costituito dai punti aventi ordinata 1 maggiore di . 2 La disequazione, nell’intervallo ½0, 2
, e` dunque soddisfatta per:
5
m o disequazioni di forma analoga dove al posto del simbolo > compariva
2 e` verificata per ogni x 2 R;  la disequazione sin x < 1 e`

verificata per ogni n
o þ 2k
; infatti x2R
2 per ogni x 2 R e` sin x  1, ma nella disequazione data compare il simbolo di disuguaglianza stretta quindi vanno esclusi i
valori x ¼ þ 2k
per cui 2 sin x ¼ 1;

 la disequazione sin x  3 non ha alcuna soluzione.

3. In base alla periodicita` del coseno, possiamo concludere che in R le soluzioni della disequazione sono: 3
5
þ 2k
< x < þ 2k
4 4  2 metodo: utilizzando il grafico di y ¼ cos x

pffiffiffi 2 nel1. Come nel caso precedente, risolviamo la disequazione cos x <
2 l’intervallo ½0, 2
.

2. Tracciamo, nell’intervallo pffiffiffi prescelto, il grafico di y ¼ cos x e quello della ret2 ta di equazione y ¼
. Essa interseca il grafico di y ¼ cos x in due punti 2 P e Q, le cui pffiffiffi ascisse sono le soluzioni nell’intervallo ½0, 2
 dell’equazione 2 cos x ¼
; ne segue che: 2 xP ¼

3
4

e

xQ ¼

5
4

y

1 O

3π 4

5π 4

x 2π

P

630 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Q

y=– 2 2

3. Ritroviamo dunque, considerando la periodicita`, le seguenti soluzioni della disequazione in R: 3
5
þ 2k
< x < þ 2k
4 4

Disequazione del tipo tan x  m pffiffiffi Risolviamo la disequazione tan x  3.

ESEMPIO

Equazioni e disequazioni goniometriche

3
5
0 ) cos x > 2 6 6 y

y y=

O

Equazioni e disequazioni goniometriche

Disequazione frazionaria sin 2x pffiffiffi  0. Risolviamo la disequazione 2 cos x
3

ESEMPIO

π 2

π

3 2

2π 3π 2

x

O π 6

Figura 13.15 Grafico di y ¼ sin 2x nell’intervallo ½0, 2
.

11π 6

2π

x

Figura 13.16 Grafico di y ¼ cos x nell’intervallo ½0, 2
.

Riassumendo in uno schema lo studio del segno del numeratore e del denominatore e applicando la regola dei segni si deduce il segno completo dell’espressione: 0

segno di sin2x 0 + +0 segno di 2cosx – 3 segno di

π 2

π 6

sin2x 0+E 2cosx – 3

+

0

− −

−

0

− 0

3π 2

π

+

+

0

−

−

−0

− 0+

− 0

11π 6 2π

0

+

E−0

La disequazione e` soddisfatta quando il primo membro e` minore o uguale a 0, quindi in ½0, 2
 le soluzioni della disequazione sono:

3
11
0 (o in forma analoga dove il simbolo > e` sostituito da 3 1. sin x 

 
5
þ 2k
 x  2
þ 2k
2k
 x  þ 2k
_ 6 6 " # pffiffiffi pffiffiffi 3 3 þ 2k
_ 2

arccos þ 2k
< x  2
þ 2k
2k
 x < arccos 3 3

3. cos x >
3

[R] i


þ k
 x < þ k
4 2   4
5
þ 2k
 x  þ 2k
3 3 h

4. tan x 
1 pffiffiffi 3 5. sin x 
2 Risolvi le seguenti disequazioni riconducibili a elementari.

 6. sin 2x
0 4 7. sin2 x
cos2 x  0




5
þ k
 x  þ k
8 8  
3
5
7
þ 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  þ 2k
4 4 4 4

636 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Esercizi

In più: esercizi interattivi

13

Unita`

Unita` 13

SINTESI Formule e procedimenti risolutivi importanti sin x ¼ m con
1 < m < 1 cos x ¼ m con
1 < m < 1 tan x ¼ m con m 2 R

, , ,

x ¼  þ 2k
_ x ¼

 þ 2k
x ¼  þ 2k
x ¼  þ k


con  ¼ arcsin m con  ¼ arccos m con  ¼ arctan m

Equazioni che si presentano come uguaglianza di due funzioni goniometriche sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ

cos f ðxÞ ¼ cos gðxÞ

tan f ðxÞ ¼ tan gðxÞ

,

,

,

f ðxÞ ¼ gðxÞ þ 2k
_ f ðxÞ ¼

gðxÞ þ 2k


f ðxÞ ¼ gðxÞ þ 2k


f ðxÞ ¼ gðxÞ þ k


Equazioni lineari in seno e coseno Un’equazione del tipo a sin x þ b cos x þ c ¼ 0, con c 6¼ 0, si puo` risolvere in tre modi.

Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazioni goniometriche elementari

1. Utilizzando le formule parametriche, cioe` ponendo: sin x ¼

2t 1
t2 x e cos x ¼ , con t ¼ tan 2 1 þ t2 1þt 2

2. Ponendo sin x ¼ Y e cos x ¼ X e risolvendo il sistema:  aY þ bX þ c ¼ 0 X2 þ Y 2 ¼ 1

3. Trasformando l’equazione data nella forma A sin ðx þ ’Þ þ B ¼ 0 e risolvendo questa equazione. Se c ¼ 0, l’equazione si puo` risolvere piu` semplicemente dividendo entrambi i membri per cos x e risolvendo l’equazione elementare equivalente a tan x þ b ¼ 0. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno Un’equazione del tipo: a sin2 x þ b sin x cos x þ c cos2 x ¼ 0, con a 6¼ 0 e c 6¼ 0 si risolve dividendo i due membri per cos2 x e risolvendo l’equazione equivalente a tan2 x þ b tan x þ c ¼ 0 Se a ¼ 0 o c ¼ 0, l’equazione si risolve eseguendo opportuni raccoglimenti e applicando la legge di annullamento del prodotto. Disequazioni goniometriche elementari Si possono risolvere secondo questo procedimento:

Disequazioni frazionarie e disequazioni prodotto Si possono risolvere secondo questo procedimento:

1. si individua un intervallo di ampiezza uguale al periodo della disequazione;

1. si individua in un intervallo di ampiezza uguale al periodo della disequazione;

2. si risolve la disequazione in questo intervallo, utilizzando i grafici di opportune funzioni oppure la circonferenza goniometrica;

2. si risolve la disequazione in questo intervallo, procedendo in modo del tutto analogo alle disequazioni algebriche (costruendo cioe` la tabella dei segni);

3. si completano le soluzioni su tutto l’asse reale tenendo conto della periodicita`.

3. si completano le soluzioni su tutto l’asse reale, tenendo conto del periodo della disequazione. 637

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Equazioni goniometriche elementari

TEORIA a p. 605

Esercizi preliminari Test 1 Þ A

2 Þ

Indica, fra le seguenti equazioni, quelle che sono goniometriche:
C cos ðx2 þ 1Þ ¼
1 B x2 þ 1 ¼ 2 tan sin x ¼ 2 tan 30 4

D

x2 þ 1 ¼ cos ð
1Þ

Vero o falso?

a. l’equazione sin x ¼ 1 ha come soluzioni x ¼


þ 2k
2

V

F

V

F

c. l’equazione cos x ¼ 1 ha come soluzioni x ¼
þ k


V

F

d. l’equazione cos x ¼

V

F

V

F

V

F

b. l’equazione sin x ¼


non ha soluzioni reali 2


non ha soluzioni reali 2

e. l’equazione tan x ¼ 1 ha come soluzioni x ¼ f. l’equazione tan x ¼


non ha soluzioni reali 2


þ k
4

[4 affermazioni vere e 2 false]

h

i Sia  2
, una delle soluzioni di un’equazione della forma sin x ¼ m, con
1 < m < 1; quale dei se2 2 guenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell’equazione?

3 Þ

A

f þ 2k
g

B

f þ 2k
g

C

f þ 2k
,

 þ 2k
g

D

f þ k
g

4 Þ

Sia  2 ½0,
 una delle soluzioni di un’equazione della forma cos x ¼ m, con
1 < m < 1; quale dei seguenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell’equazione?

D f þ k
g C f þ 2k
,

 þ 2k
g B f þ 2k
g f þ 2k
g


 5 Sia  2
una delle soluzioni di una equazione della forma tan x ¼ m; quale dei seguenti insiemi , Þ 2 2 rappresenta tutte le soluzioni dell’equazione? A

A

f þ 2k
g

B

f þ 2k
g

C

f þ 2k
,

 þ 2k
g

6 Þ

Associa a ogni equazione l’insieme delle sue soluzioni. 1 d. sin x ¼ a. sin x ¼
1 A. farctan 0,5 þ k
g 2 1 e. tan x ¼
1 b. cos x ¼ B. f
þ 2k
g 2 n
o 1 f. tan x ¼ c. cos x ¼
1 C.
þ k
2 4

7 Þ

D

f þ k
g

n
o D.
þ 2k
2 
5
E. þ 2k
, þ 2k
6 6 n
o F.  þ 2k
3

Supponi che ciascuno degli insiemi elencati nella prima riga della tabella rappresenti l’insieme delle soluzioni di un’equazione; associa a ciascuno di essi l’insieme della seconda riga che rappresenta le stesse soluzioni. n o
þ k
a. k
, 2 n
o d.  þ 2k
3 A.




5
þ 2k
, þ 2k
3 3

D. fk
g






3
þ 2k
,  þ 2k
4 4 
7
e.
þ 2k
, þ 2k
6 6 b.





7
11
þ 2k
, þ 2k
6 6 n
o E. k 2 B.





n
o c.  þ 2k
2 f. f2k
;
þ 2k
g n
o C.  þ k
4 n
o F. þ k
2

638 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

8 Þ

Unita` 13

Equazioni goniometriche elementari ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi le seguenti equazioni: b. 2 cos x ¼ 1

c. 3 tan x ¼

pffiffiffi 3

1
1 a. L’equazione equivale a sin x ¼ ; ricordando che sin ¼ , puoi concludere che le soluzioni dell’equazione 2 6 2 sono:
x ¼ ::::: þ 2k
_ x ¼

þ 2k
¼ ::::: þ 2k
6 1
1 b. L’equazione equivale a cos x ¼ ; ricordando che cos ¼ , puoi concludere che le soluzioni dell’equazione 2 3 2 sono: x ¼ ::::: þ 2k


pffiffiffi pffiffiffi
3 3 ; ricordando che tan , puoi concludere che le soluzioni dell’equac. L’equazione equivale a tan x ¼ ¼ 3 3 ::::: zione sono: x ¼ ::::: þ k
Risolvi le seguenti equazioni. 9 Þ

10 sin x ¼ 0 Þ 11 Þ

sin x ¼


2

1 2

cos x ¼

15 Þ

cos x ¼
1 pffiffiffi 2 16 sin x ¼ Þ 2



17 Þ

5 sin x ¼ 6 pffiffiffi 3 18 sin x ¼
Þ 2 28 Þ

þ 2k


i

[k
]   7
11
þ 2k
, þ 2k
6 6   1 arccos þ 2k
3 h
i  þ 2k
6   1 þ k
arctan 2

1 3 pffiffiffi 3 13 cos x ¼ Þ 2 1 14 tan x ¼ Þ 2 12 Þ

h


sin x ¼ 1

½
þ 2k
 
3
þ 2k
, þ 2k
4 4

[Impossibile]   4
5
þ 2k
, þ 2k
3 3

19 Þ 20 Þ 21 Þ 22 Þ 23 Þ 24 Þ 25 Þ

h
i pffiffiffi 3 þ k
3 pffiffiffi   3
2  cos x ¼
þ 2k
2 4   1 1 1 sin x ¼

arcsin þ 2k
,
þ arcsin þ 2k
4 4 4 pffiffiffi   3 5
 cos x ¼
þ 2k
2 6 h i pffiffiffi
3 tan x ¼
3
þ k
6   1 2
cos x ¼
 þ 2k
2 3 h
i

sin x ¼ sin þ cos þ 2k
6 3 2 tan x ¼



þ tan 6 4

 2
27 tan x ¼ sin
þ cos Þ 6 3 26 Þ

Equazioni e disequazioni goniometriche

a. 2 sin x
1 ¼ 0

cos x ¼ sin

[Impossibile] h




i
þ k
4

ESERCIZIO SVOLTO

Determina le soluzioni dell’equazione sin x ¼
1 appartenenti all’intervallo [
, 5
].  Le soluzioni dell’equazione sono espresse dalla formula:
x ¼
þ 2k
, con k 2 Z 2  Le soluzioni appartenenti all’intervallo ½
, 5
 sono quelle che corrispondono ai valori interi di k per cui e` soddisfatta la seguente disequazione, che risolviamo:
3 11 k con k 2 Z ) k ¼ 1 _ k ¼ 2

þ 2k
 5
con k 2 Z ) 2 4 4  Pertanto le soluzioni richieste sono: x¼



3
þ 2
 1 ¼ 2 2

Soluzione corrispondente al valore k ¼ 1

x¼



7
þ 2
 2 ¼ 2 2

Soluzione corrispondente al valore k ¼ 2

639 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Determina le soluzioni delle seguenti equazioni appartenenti all’intervallo indicato a fianco. 29 cos x ¼ 0 Þ

[3
, 5
]

1 2

½
3
, 0

30 Þ

cos x ¼

pffiffiffi 2 31 cos x ¼
Þ 2 pffiffiffi 2 32 sin x ¼
Þ 2

½

, 3


1 33 sin x ¼ Þ 2

½
2
,


34 Þ

h
i
, 2
2

35 Þ

 7

,
3  3

, 4

½

, 2


tan x ¼ 0 tan x ¼
1





5

,
3 3 3
5
, 4 4

3

5
7

,
, , 4 4 4 4

11
7

5

,
, _ 6 6 6 6

5

3
7
11

,
, , , 4 4 4 4 4

Equazioni goniometriche del tipo sin f ðxÞ ¼ m, cos f ðxÞ ¼ m, tan f ðxÞ ¼ m

Risolvi le seguenti equazioni.   1
2 7
2 36 sin 3x ¼

þ k
, þ k
Þ 2 18 3 18 3   x 3
37 cos ¼0 þ 3k
Þ 3 2   pffiffiffi
2
2 38 2 sin 3x ¼ 2 þ k
, þ k
Þ 12 3 4 3   k
39 cos 10x ¼ 1 Þ 5 h pffiffiffi

i 40 tan 3x ¼ 3 þk Þ 9 3     5 3k
41 tan x ¼ 0 Þ 3 5     1 1 42 sin ¼0 Þ x k
pffiffiffiffiffiffi 43 sin x2 ¼ 0 ½ k
, con k 2 N] Þ  
2
þ k
18 3 h
i
þ k
6





 ¼1 4

 1 47 cos 2x
¼
Þ 3 2

 48 tan
2x ¼ 1 Þ 2

 pffiffiffi 49 3 tan 3x
¼ 3 Þ 6




57 cos 2x
Þ

h


8

þk

i

,
þ k
2 4




 ¼ cos x þ 2 4   3

2 þ 2k
, þ k
4 12 3

h


46 cos 2x
Þ

50 Þ 51 Þ



 pffiffiffi tan 2x
¼ 2 4

 cos x
¼0 6


52 tan 2x þ Þ 53 2 sin Þ





x

2


 ¼
1 6




8












 pffiffiffi ¼ 2 4


 1 ¼
3 2   pffiffiffi 2
55 tan x þ ¼ 3 Þ 3 54 cos 2x þ Þ



 tan 3x ¼ tan x þ 2



 59 cos
x ¼ cos x
Þ 2 3

60 sin x ¼ sin 2x
Þ 2



 61 tan x þ ¼ tan 2x
Þ 3 4 58 Þ

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

h




þ k


i

i
þ k
2 6  
1
k
8 2 h

i þk 9 3 " # pffiffiffi
arctan 2
þk þ 2 8 2   2
þ k
3   5

þk
24 2

Equazioni goniometriche del tipo sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ, cos f ðxÞ ¼ cos gðxÞ, tan f ðxÞ ¼ tan gðxÞ Risolvi le seguenti equazioni.

 56 sin x ¼ sin
3x Þ 2

7
9
, 2 2

[0,
, 2
] 

½
2
, 3




 44 sin 3x
¼
1 Þ 3

 45 sin x þ ¼0 Þ 6

640



þ k
,


½
þ 4k
, 2
þ 4k
 h
i

þ k
, þ k
2 6 h




h


i
þ k
3


i 4 2   5
þ k
12 h

i þ 2k 2 3   7
þ k
12 þk

ESERCIZIO SVOLTO

Unita` 13

62 Þ

Risolviamo l’equazione sin 3x ¼
cos 2x.

sin 3x ¼
cos 2x

 sin 3x ¼
sin
2x 2

 sin 3x ¼ sin 2x
2


 3x ¼ 2x
þ 2k
_ 3x ¼

2x
þ 2k
2 2
3

x ¼
þ 2k
_ x ¼ þ 2k 2 10 5 63 sin Þ





2




Equazione data Proprieta` degli angoli complementari Proprieta` degli angoli opposti Schema risolutivo dell’equazione sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ Risolvendo rispetto a x



 x ¼ cos
x 2 5

64 Þ

sin ð

xÞ ¼ cos ðx

Þ

65 Þ

sin x ¼ cos 2x



 sin x þ ¼
cos x 3

 67 sin 2x ¼
cos x þ Þ 4 66 Þ

68 Þ

tan ð
þ 6xÞ ¼
tan ð2xÞ



 sin x
¼
sin 2x 3

 x 70 sin þ x ¼
cos Þ 2 3

 71 sin 2x ¼ cos x þ Þ 3 69 Þ



 2
4 2
þ k
, þ 4k
15 3 5   3
þ k
4 h
i

þ 2k ,
þ 2k
6 3 2   7
þ k
12  
5

þ 2k
þ 2k
, 4 12 3 h
i k 8  

4
þ 2k ,
þ 2k
9 3 3   3
3
3
þ 3k
, þ k
2 4 2  

5
þ 2k , þ 2k
18 3 6

Equazioni e disequazioni goniometriche

L’equazione puo` essere ricondotta a un’equazione del tipo sin f ðxÞ ¼ sin gðxÞ, utilizzando le relazioni fra le funzioni goniometriche degli angoli opposti e complementari.

Esercizi riassuntivi sulle equazioni goniometriche elementari Risolvi le seguenti equazioni. 72 Þ

4 cos x þ 8 ¼ 0

73 Þ

8 cos x þ 4 ¼ 0

74 Þ

3 tan x þ

75 Þ

sec x ¼ 2

76 Þ

pffiffiffi csc x ¼
2

77 Þ 78 Þ

pffiffiffi 3¼0

4 cot x
4 ¼ 0 2ðsin 2x
1Þ ¼ 3ð1
2sin 2xÞ
1

1 5 ðsin x þ 4Þ ¼ sin x þ 2 2
80 sin x þ sin
¼ sin
cos
Þ 2 pffiffiffi pffiffiffi 81 2ð1 þ cos xÞ ¼ 2ð 2
1Þ Þ 79 Þ

[Impossibile]   2
 þ 2k
3 h
i
þ k
6 h
i  þ 2k
3  
5

þ 2k
, þ 2k
4 4 h
i þ k
4  
5
þ k
, þ k
12 12 h
i
þ 2k
2

Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

[Impossibile]   3
 þ 2k
4

641

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

82 Þ 83 Þ 84 Þ 85 Þ 86 Þ 87 Þ 88 Þ



 5
tan x þ ¼ tan

tan 4 4
x  pffiffiffi
x sin
¼ 2 þ sin 2 2   1 3
cos
x þ sin x ¼ 1 2 2

 sin þ x þ cos x ¼ 1 2  



 pffiffiffi 3
sin
x þ sin þ x þ tan
x ¼ 3 2 2 2

 sin ð
þ xÞ þ cos ð
þ xÞ þ sin þx ¼1 2

 sin ð
xÞ þ cos þx ¼1 2






h




i
þ k
2 


3
þ 4k
,
þ 4k
2 2

[Impossibile] h
i  þ 2k
3 h
i þ k
6 h
i
þ 2k
2  
7

þ 2k
, þ 2k
6 6

3 nell’intervallo 2 ½

, 2
 e deduci graficamente il numero dei loro punti di intersezione. Determina poi algebricamente le coordi    nate di tali punti.
3 5
3 ,
,
; 6 2 6 2 pffiffiffi 90 Traccia il grafico della funzione y ¼
cot x e quello della retta di equazione y ¼ 3 nell’intervallo ½

,
 e deÞ duci graficamente il numero dei loro punti di intersezione. Determina poi algebricamente le coordinate di tali 
  punti.
pffiffiffi 5
pffiffiffi , 3
, 3 ; 6 6 89 Þ

Traccia il grafico della funzione y ¼
3 sin x e quello della retta di equazione y ¼


91 Þ

Traccia il grafico delle due funzioni y ¼ 4 sin x e y ¼
2 sin x
3 nell’intervallo ½0, 2
 e deduci graficamente il numero dei loro punti di intersezione. Determina poi algebricamente le coordinate di tali punti.     7
11
,
2 ; ,
2 6 6

92 Þ

Traccia il grafico delle due funzioni y ¼
2 cos x e y ¼ 2 cos x
2 nell’intervallo ½0, 2
 e deduci graficamente il numero dei loro punti di intersezione. Determina poi algebricamente le coordinate di tali punti. 
   5

,
1 ; ,
1 3 3

2. Equazioni riconducibili a equazioni goniometriche elementari

TEORIA a p. 616

Equazioni di secondo grado in seno, coseno o tangente Risolvi le seguenti equazioni. 93 Þ

2 sin2 x
1 ¼ 0

94 Þ

sin2 x þ sin x
2 ¼ 0

97 Þ

sin2 x þ 3 sin x þ 3 ¼ 0

98 Þ

3 sin2 x
7 sin x þ 2 ¼ 0

99 Þ

2 tan2 x
tan x
1 ¼ 0

100 Þ

2 sin2 x
3 sin x ¼
1

101 Þ

pffiffiffi pffiffiffi 3 tan2 x
4 tan x þ 3 ¼ 0

102 Þ

642

2 tan2 x ¼ tan x

h
i  þ k
4 h
i þ 2k
2

95 Þ

2 cos2 x
3 cos x þ 1 ¼ 0

96 Þ

2 cos2 x þ cos x
1 ¼ 0 

h i
2k
,  þ 2k
3 h i

þ 2k
,  þ 2k
3

[Impossibile]  1 1 arcsin þ 2k
,

arcsin þ 2k
3 3  
1 þ k
,
arctan þ k
4 2  

5
þ 2k
, þ 2k
, þ 2k
2 6 6 h
i
þ k
, þ k
3 6   1 k
, arctan þ k
2

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Unita` 13

103 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi l’equazione 2 sin2 x þ 3 cos ð
þ xÞ ¼ 0. sin2 x ¼ 1
cos2 x e cos ð
þ xÞ ¼
cos x  Puoi quindi riscrivere l’equazione nella forma: 2ð1
cos2 xÞ
3 cos x ¼ 0

h

 Ottieni cosı` un’equazione di secondo grado in cos x che puoi risolvere ponendo cos x ¼ t. 104 Þ

sin2 x
cos x þ 1 ¼ 0

105 Þ

2 sin2 x þ sin ð
þ xÞ
1 ¼ 0

106 Þ

sin2 x
cos x
1 ¼ 0

107 Þ

2 cos2 x
sin





 þx
1¼0

2 pffiffiffi pffiffiffi 108 2 sin x
ð2 þ 3Þ cos x þ 2 þ 3 ¼ 0 Þ

 109 6 cos2 x
cos x þ
5¼0 Þ 2 2








5
1 þ 2k
, þ 2k
, arcsin
6 6 3





i
þ 2k
3

½2k
  7


þ 2k
,
þ 2k
, þ 2k
6 6 2 h
i þ k
,
þ 2k
2   2
2k
,  þ 2k
3 

þ 2k
,

arcsin


1 3



Equazioni e disequazioni goniometriche

 Osserva che:

½2k
  þ 2k


Equazioni contenenti termini in valore assoluto 110 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le seguenti equazioni: 1 b. jsin xj ¼ jcos 2xj a. jsin xj ¼ 2



 c. jsin xj ¼ cos x
4

a. Ricordiamo che: j f ðxÞj ¼ k , con k > 0 , f ðxÞ ¼
k _ f ðxÞ ¼ k 1 equivale a: Pertanto l’equazione jsin xj ¼ 2 1 1 sin x ¼
_ sin x ¼ 2 2 x¼



7

5
þ 2k
_ x ¼ þ 2k
_ x ¼ þ 2k
_ x ¼ þ 2k
6 6 6 6


Osservando che tutte queste soluzioni possono essere descritte dalla formula x ¼  þ k
, possiamo concludere 6 n
o che l’insieme delle soluzioni e` S ¼  þ k
. 6 b. Ricordiamo che: j f ðxÞj ¼ jgðxÞj , f ðxÞ ¼
gðxÞ _ f ðxÞ ¼ gðxÞ Pertanto l’equazione jsin xj ¼ jcos 2xj equivale a: sin x ¼ cos 2x _ sin x ¼
cos 2x Risolvendo queste ultime due equazioni si trova che l’insieme delle soluzioni dell’equazione assegnata e`: 

2
2 þ k
, þ k
S ¼  þ 2k
, 2 6 3 2 3 c. In base alla definizione di valore assoluto, l’equazione data equivale a: ( ( sin x  0 sin x < 0



_
sin x ¼ cos x
sin x ¼ cos x
4 4 643 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E



 3
L’equazione sin x ¼ cos x
ha come soluzioni x ¼ þ k
: fra queste soluzioni, pero`, le sole che verificano 4 8 la condizione sin x  0 sono quelle che si ottengono assegnando a k valori pari, quindi il primo sistema misto ammette come soluzioni: x¼

3
þ 2k
8

x¼

7
15
þ ð2k þ 1Þ
¼ þ 2k
8 8



 7
ha come soluzioni x ¼ þ k
: fra queste soluzioni, pero`, le sole che verificano L’equazione
sin x ¼ cos x
4 8 la condizione sin x < 0 sono quelle che si ottengono assegnando a k valori dispari, quindi il secondo sistema ammette come soluzioni:

In conclusione, l’insieme delle soluzioni dell’equazione assegnata e`: 3
15
þ 2k
, þ 2k
g 8 8

Risolvi le seguenti equazioni. 111 Þ

jsin x þ 1j
1 ¼ 0



1



112 cos x þ ¼1 Þ

2

113 Þ

j2 tan x
1j ¼ 1

pffiffiffi





3

117 cos 2x


¼ Þ 2 6 1 118 j3 cos x
1j ¼ Þ 2 119 Þ

jtan x
1j ¼ 2

120 Þ

j2 cos x
1j ¼ jcos xj

121 Þ

jtan x
3j ¼ j2 tan x
2j

122 Þ 123 Þ

jsin x þ 1j ¼ j2 sin x
1j

124 Þ

j3 cos x
1j ¼ 2
cos x

jtan x þ 2j ¼ 2 tan x þ 3

1 ðsin x þ 1Þ 2







126 jsin xj ¼ sin 2x


Þ 3

 127 jcos xj ¼ cos x þ Þ 3 125 Þ

jsin xj ¼

[k
 h
i  þ 2k
3 h
i þ k
, k
4

115 Þ







sin x


¼1 4

116 Þ

jsin x
1j ¼ 1

114 Þ



 3
þ k
4 h

i  þk 8 2

jtan 2xj ¼ 1

½k


h i


k
, þ k
, þ k
,
þ k
6 2 3  
1  þ 2k
,  arccos þ 2k
3 6 h
i
þ k
, arctan 3 þ k
4   1 2k
, arccos þ 2k
3  
5
þ k
, arctan þ k
4 3

½k
 h
i
þ k
4   2
3  þ 2k
,  arccos þ 2k
3 4    
1 1 þ 2k
, arcsin
þ 2k
þ 2k
,
þ arcsin 2 3 3  

2 4
2 þ k
, þ k
, þ k
3 9 3 9 3  
4

þ 2k
, þ 2k
6 3

Equazioni riconducibili a elementari mediante l’utilizzo delle formule goniometriche

644

Risolvi le seguenti equazioni, utilizzando anche le formule di addizione e sottrazione. pffiffiffi

3

 128 sin x þ þ sin x
¼ Þ 2 6 6 pffiffiffi



 3 129 cos
x + cos þx ¼
Þ 2 3 3



 130 cos x þ þ sin x þ ¼1 Þ 4 4 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara




5
þ 2k
, þ 2k
6 6   5
 þ 2k
6 h
i  þ 2k
4



131 Þ

tan

136 Þ

sin 2x cos x þ cos 2x sin x ¼ 1

4



 1 132 sin x
þ sin x þ ¼
Þ 3 3 2



3 133 sin x
þ cos x
¼ Þ 6 3 2 pffiffiffi



2 134 cos x þ þ cos x
¼ Þ 2 4 4

 135 tan x þ tan x
¼1 Þ 4



(Suggerimento: osserva che il primo membro e` lo sviluppo di ...) 137 Þ

tan 5x
tan 3x ¼
1 1 þ tan 3x tan 5x

138 Þ

ESERCIZIO GUIDATO



þ 2k 6 3



h

i
þk 8 2

Risolvi le seguenti equazioni:

Equazioni e disequazioni goniometriche

 3
þ k
arctan 2 þ k
, 4  
7

þ 2k
, þ 2k
6 6  
2
þ 2k
, þ 2k
3 3 h
i  þ 2k
3 h
i þ k
, arctan ð
2Þ þ k
4

 þ x þ tan x þ 1 ¼ 0

Unita` 13





x ¼0 2 a. Applicando la formula di duplicazione del seno, l’equazione sin 2x
2 cos x ¼ 0 si puo` riscrivere nella forma: a. sin 2x
2 cos x ¼ 0

b. sin x þ sin

2 sin x cos x
2 cos x ¼ 0 Raccogli 2 cos x al primo membro e concludi la risoluzione dell’equazione, applicando la legge di annullamento
þ k
g. del prodotto. Troverai che l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` 2 b. Osserva che per la formula di duplicazione del seno risulta:
x x x sin x ¼ sin 2  ¼ 2 sin cos 2 2 2 Pertanto l’equazione si puo` riscrivere nella forma: 2 sin

x x x cos þ sin ¼0 2 2 2

x al primo membro e concludi la risoluzione dell’equazione, applicando la legge di annullamento 2 4
þ 4k
g. del prodotto. Troverai che l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` S ¼ f2k
,  3

Raccogli sin

x Nota Rifletti sul procedimento suggerito per risolvere la seconda equazione. In generale, quando in un’equazione compare come argomen2 x x o cos Þ, conviene cercare di riconto di una funzione goniometrica non elevata al quadrato (cioe` quando compaiono termini quali sin 2 2 x mediante le formule di duplicazione. Puo` essere utile invece utilizzare le formule di bisedurre anche gli altri termini ad avere argomento 2 x come argomento di una funzione goniometrica elevata al quadrato (cioe` quando compaiono termini zione se in un’equazione compare 2 2 x 2 x o cos Þ. quali sin 2 2

Risolvi le seguenti equazioni, utilizzando anche le formule di duplicazione. pffiffiffi 139 sin 2x ¼ 2 cos x Þ 140 Þ

cos 2x
sin x ¼
2

141 Þ

4 sin x cos x ¼

142 Þ

sin 2x ¼ 2 cos x

143 Þ

3 sin x þ cos 2x ¼ 2

pffiffiffi 2





3
þ k
, þ 2k
, þ 2k
2 4 4 h
i þ 2k
2  
3
þ k
, þ k
8 8 h
i þ k
2  
5

þ 2k
, þ 2k
, þ 2k
6 6 2

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645

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

144 Þ 145 Þ 146 Þ 147 Þ 148 Þ 149 Þ 150 Þ

h
i
þ 2k
 þ 2k
,  2 6 h i
2k
,  þ 4k
3  
5

þ 2k
, þ 4k
, þ 4k
3 3 h i

þ 2k
,  þ 2k
2  
5
2k
, þ 4k
, þ 4k
3 3     3 4k
, 2 arccos
þ 4k
4

pffiffiffi 3 cos x
cos 2x ¼ þ1

pffiffiffi x 3 sin 2 x sin x ¼ cos 2 x x sin x  sin ¼ cos 2 2 x
x 1
cos x ¼ sin Suggerimento: osserva che cos x ¼ 1
2 sin2 2 2 x cos ¼ 2cos x
1 2 x cos x þ cos ¼2 2 sin x ¼

½4k


Risolvi le seguenti equazioni, utilizzando anche le formule di bisezione. x 151 sin2 x + cos2 ¼1 Þ 2 x 152 sin2 ¼ cos x þ 2 Þ 2 x 153 cos2 ¼ sin2 x
cos x Þ 2 154 Þ 155 Þ 156 Þ 157 Þ 158 Þ 159 Þ 160 Þ 161 Þ



"

x ¼ 1
cos x 2 x tan2 ¼ cos x 2 x sin x tan ¼1 2 x 1 cos x sin2 ¼ 2 8 x tan ¼ 1
cos x 2 x sin2 þ 2 cos2 x ¼ sin2 x þ 3 2 x x 7 sin2 þ 2 cos2 ¼ 2 2 4 tan2



2
þ 2k
, 2k
3



½
þ 2k
 ! # pffiffiffiffiffiffi 17
3 arccos þ 2k
4 h
i þ k
, 2k
2 h i pffiffiffi arccos ð 2
1Þ þ 2k
h
i þ k
2 h
i  þ 2k
3 h
i þ 2k
, 2k
2 ½
þ 2k
 h
i  þ 2k
3

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi l’equazione sin 4x þ sin x ¼ sin

5 x. 2

 Applica la formula di prostaferesi relativa alla somma di due seni al primo membro dell’equazione; ottieni:

4x þ x 4x
x ::::: ::::: cos cos ¼ 2 sin 2 2 2 2  Puoi quindi riscrivere l’equazione nella forma: sin 4x þ sin x ¼ 2 sin

2 sin

5x 3x 5x cos ¼ sin 2 2 2

5x  Porta tutti i termini a primo membro, raccogli sin e concludi la risoluzione dell’equazione applicando la leg2 ge di annullamento del prodotto.  2 2
4 k
,  þ k
.  Troverai che l’insieme delle soluzioni dell’equazione e` S ¼ 5 9 3 Risolvi le seguenti equazioni, utilizzando anche le formule di prostaferesi. 162 sin 2x
sin 4x ¼ cos 3x Þ

646

163 Þ

sin 5x þ sin x þ 2 sin2 x ¼ 1

164 Þ

sin x þ cos 3x ¼ sin





4


x






7
þ k ,
þ 2k
, þ 2k
6 3 6 6  


2 5
2 þk , þ k
, þ k
4 2 18 3 18 3  
7

þ k
, þ k
,
þ k
4 24 24

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166 Þ

sin 4x þ sin 2x ¼ sin 3x

167 Þ

cos 3x þ cos 5x ¼ sin 2x

168 Þ

sin x
cos x þ sin 3x ¼ 0

169 Þ

sin x
sin 2x þ sin 3x ¼ 0

Esercizi riassuntivi sulle equazioni riconducibili a goniometriche elementari 170 Þ

h


4 cos3 x ¼ 5 cos x

h


pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sin x þ 7 ¼ 3 171 Þ 172 Þ

4 sin x cos x þ 2 sin x
2 cos x
1 ¼ 0

x x
7 sin þ2¼0 2 2 pffiffiffi pffiffiffi 174 tan2 x þ ð1
3Þ tan x
3 ¼ 0 Þ 173 Þ

6 sin2

175 Þ

4 sin2 x cos x ¼ 2 cos x

x
2 cos x ¼ 3 2 x 177 tan ¼ sin x Þ 2 176 Þ

sin

178 Þ

j1
2 sin2 xj ¼ jcos xj

179 Þ

sin3 x
2 cos2 x
sin x ¼ 0

180 Þ

cos 2x þ sin2 x ¼ 0

181 Þ

sin 2x ¼ tan x

182 Þ

2 sin2 x tan x þ

183 Þ

1
ð1 þ cos xÞ2 ¼ sin2 x

184 Þ

sin2 x þ

185 Þ

sin3 x þ cos2 ð

xÞ ¼ sin ð

xÞ þ cos4 x

186 Þ

tan2 x þ sec x
1 ¼ 0

187 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sin x
3 sin x ¼
1

188 Þ 189 Þ

pffiffiffi pffiffiffi 3 ¼ tan x þ 2 3 sin2 x

1 tan2 x ¼ 2 cos2 x 2

2 sin x cos x
sin x
2 cos x þ 1 ¼ 0 tan2

x ¼ 1
cos x 2

pffiffiffi 3 tan 3x
tan x 190 ¼ Þ 3 1 þ tan 3x tan x 1 191 sin2 x cos2 x ¼ Þ 8

2

þ k


i

i þ 2k
2   2

5
 þ 2k
, þ 2k
, þ 2k
3 6 6  
5
2 2 þ 4k
, þ 4k
, 2 arcsin þ 4k
, 2

2 arcsin þ 4k
3 3 3 3 h
i

þ k
, þ k
4 3  
3
 þ 2k
,  þ 2k
, 2k
, k
4 4

Equazioni e disequazioni goniometriche

sin x
sin 5x ¼ cos 3x




7
þk ,
þ k
, þ k
6 3 12 12 h
i k 3 h




i þ k
, þ 2k ,
þ 2k 2 10 5 6 3  

5
þ k
, þ k
, þ k
2 12 12 h
i
k ,  þ 2k
2 3

Unita` 13

165 Þ



½
þ 4k
 h i
2k
, þ k
2  
2
 þ 2k
,  þ 2k
, k
3 3 h
i þ k
2 h
i þ k
2 h i
k
,  þ k
4  
3

 þ 2k
,  þ 2k
, þ k
4 4 3   2
 þ 2k
3 h
i  þ k
4 h
i k 2   2
2k
,  þ 2k
3  
1 1 þ 2k
, arcsin þ 2k
,

arcsin þ 2k
2 4 4 h
i
þ 2k
,  þ 2k
2 3 h i
2k
, þ k
2 h

i þk 12 2 h

i  þk 8 2 647

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Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

"





 192 sin x
þ sin x þ ¼1 Þ 6 6 193 Þ

sin x
2sin

x x ¼ cos
1 2 2

194 Þ

# pffiffiffi pffiffiffi 3 3 þ 2k
,

arcsin þ 2k
arcsin 3 3  
5
þ 4k
, þ 4k
, 4k
3 3

Determina le coordinate dei punti di intersezione con l’asse x del grafico della funzione y ¼ cos x þ cos 2x. h

i ð
þ 2k
, 0Þ;  þ 2k
, 0 3 195 Traccia il grafico delle due funzioni y ¼ cos x e y ¼ tan x nell’intervallo ½

,
 e deduci graficamente il numeÞ ro dei loro punti di intersezione. Calcola poi le coordinate di tali punti algebricamente e determina una loro approssimazione arrotondata alla prima cifra decimale mediante una calcolatrice. ffi1 ffi1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 20 3 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 5
1 5
1 5
1 5
1 A ’ ð0,7; 0,8Þ e @

arcsin A ’ ð2,5;
0,8Þ5 4@arcsin ; ;
2 2 2 2

x nell’intervallo ½0, 4
 e deduci graficamente il 2 numero dei loro punti di intersezione. Calcola poi le coordinate di tali punti algebricamente. 
    5

,1 ; , 1 ; ð3
,
2Þ 3 3 196 Þ

Traccia il grafico delle due funzioni y ¼ 2 cos x e y ¼ 2 sin

3. Equazioni lineari in seno e coseno

TEORIA a p. 620

Equazioni lineari in seno e coseno 197 Þ

Vero o falso? V F a. l’equazione a sin x þ b cos x ¼ 0 con a 6¼ 0 e b 6¼ 0 equivale a a tan x þ b ¼ 0 b. esiste un solo metodo risolutivo per risolvere un’equazione lineare in seno e coseno V F c. l’equazione a sin x þ b cos x þ c ¼ 0 ammette come soluzioni x ¼
þ 2k
se e solo se b ¼ c V F

 d. l’equazione sin x
V F þ 1 ¼ 0 non e` lineare in seno e coseno 3 e. l’equazione 3 sin x þ cos x
1 ¼ 0 non si puo` risolvere con il metodo dell’angolo aggiunto V F [2 affermazioni vere e 3 false]

198 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi l’equazione 3 sin x


pffiffiffi 3 cos x ¼ 0.

 Dividi i due membri dell’equazione per cos x e risolvi l’equazione ottenuta.
 L’equazione e` soddisfatta per x ¼ þ ::::: :::::

Risolvi le seguenti equazioni lineari incomplete. h
i pffiffiffi 3 sin x
cos x ¼ 0 199 þ k
Þ h6 i
200 sin x
cos x ¼ 0 þ k
Þ 4 204 Þ

201 Þ 202 Þ 203 Þ

pffiffiffi 3 sin x þ cos x ¼ 0 sin x þ cos x ¼ 0

sin x þ 3 cos x ¼ 0

h
i
þ k
6 h
i
þ k
4

½arctan ð
3Þ þ k


ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi, con tutti i metodi che conosci, l’equazione sin x þ cos x ¼
1. a. Metodo algebrico  Mediante le formule parametriche l’equazione diventa: 2t 1
t2 þ ¼
1 1 þ t2 1 þ t2

x ¼ t. 2  Osserva che al punto precedente hai ottenuto un’equazione di primo grado, quindi alle soluzioni trovate devi aggiungere x ¼
þ 2k
.  In definitiva l’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` ..........  Risolvi questa equazione in t e poi ritorna alla variabile x ricordando che tan

648 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

pffiffiffi pffiffiffi 2 sin x þ 1
2 ¼ 0

210 Þ

2 cos x


211 Þ

pffiffiffi 3 sin x þ cos x ¼ 1

212 Þ

sin x
2 cos x
2 ¼ 0

213 Þ

sin x þ 2 cos x
1 ¼ 0

214 Þ

pffiffiffi pffiffiffi sin x
ð 2
1Þ cos x þ 1
2 ¼ 0

215 Þ

4 sin x þ 4 cos x
3 ¼ 0

 Le soluzioni dell’equazione data sono quindi le soluzioni di questa equazione elementare. Risolvendola troverai che l’insieme delle soluzioni dell’equazione assegnata e` .......... h i
sin x
cos x þ 1 ¼ 0 2k
,
þ 2k
h2 i pffiffiffi
3 sin x þ cos x
2 ¼ 0 208 þ 2k
Þ 3   3 209 2sin x þ cos x þ 1 ¼ 0
þ 2k
,
arccos þ 2k
Þ 5 " ! # pffiffiffi
2
4 þ 2k
,
arccos þ 2k
4 6   2
þ 2k
2k
, 3     3 arccos
þ 2k
,
þ 2k
5    
1 þ 2k
, 2arctan
þ 2k
2 3 h
i þ 2k
,
þ 2k
4 " # pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 4
23 4 þ 23 þ 2k
, 2 arctan þ 2k
2 arctan 7 7 207 Þ

Equazioni e disequazioni goniometriche

Risolvi le seguenti equazioni lineari complete. h
i pffiffiffi 205 þ 2k
,
þ k
3 sin x
cos x
1 ¼ 0 Þ 3 h
i pffiffiffi
206 sin x þ 3 cos x
1 ¼ 0 þ 2k
,
þ 2k
Þ 2 6

c. Metodo dell’angolo aggiunto  L’equazione si puo` riscrivere nella forma: ! pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 2 2 sin x þ cos x ¼
1 2 2 2
pffiffiffi
 ossia: 2 sin x þ ¼
1 4

Unita` 13

b. Metodo grafico  Poni cos x ¼ X e sin x ¼ Y; ottieni l’equazione Y þ X ¼
1.  Associa questa equazione all’equazione della circonferenza goniometrica e risolvi il sistema ottenuto. Le due soluzioni del sistema rappresentano le coordinate di due punti, che chiamiamo P1 e P2 .  Le soluzioni dell’equazione originaria sono gli angoli il cui punto associato sulla circonferenza goniometrica e` P1 o P2 . Quindi l’insieme delle soluzioni dell’equazione data e` ..........

216 Þ

Barbara, Paolo, Anna e Luca risolvono l’equazione 2 sin x þ cos x
1 ¼ 0. Chi l’ha risolta correttamente?    3  Barbara trova come insieme delle soluzioni S ¼ 2k
, arccos
þ 2k
5  4  Paolo trova S ¼ 2k
,

arcsin þ 2k
5  Anna trova S ¼ f2k
, 2 arctan 2 þ 2k
g ( ) pffiffiffi 5 þ 2k
 Luca trova S ¼ 2k
,

2 arcsin 5

Equazioni riconducibili a lineari in seno e coseno e applicazioni Risolvi le seguenti equazioni. pffiffiffi 217 2 sin2 x þ sin 2x
2 sin x ¼ 0 Þ 218 Þ 219 Þ 220 Þ 221 Þ

sin2 x þ

pffiffiffi pffiffiffi 3 sin cos x
sin x cos x
3 cos2 x ¼ 0

pffiffiffi 1 sin 2x ¼ 3 cos2 x þ cos x 2

2 cot x
csc x ¼
1




7
k
,
þ 2k
, þ 2k
12 12 h
i
þ k
,
þ k
3  4  7

þ 2k
, þ 2k
6 2  
4 þ 2k
,
arccos þ 2k
2 5

tan x þ sec x ¼ 1 ½2k
  

 pffiffiffi


5
23
222 þ cos x
¼
1 (Suggerimento: poni x
¼ t) þ 2k
, þ 2k
3 sin x
Þ 4 4 4 4 12  



 pffiffiffi 7
223 sin 2x
þ cos 2x
¼ 2 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) þ k
Þ 3 3 24 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

649

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

224 Þ





 sin 2x
þ cos 2x
¼ 2 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) 3 3

[Impossibile] h




i 225 sin 4x
cos 4x ¼
1
þk , k Þ 8 2 2



 h
i 226 sin
x þ cos
x ¼ sin x þ k
Þ 3 6 3 h
i 227 jsin x
cos xj ¼ 1 k Þ 2i h
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 228 þ 2k
1
2cos x ¼ sin x
cos x Þ 2 pffiffiffi 229 Traccia il grafico della funzione y ¼
sin x þ 3 cos x þ 1 e determina le coordinate dei suoi punti di interseÞ 
    7
pffiffiffi
zione con gli assi cartesiani. þ 2k
, 0 ; þ 2k
, 0 ; ð0, 1 þ 3Þ 2 6 230 Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 2 sin x e y ¼ cos x þ 1 nell’intervallo ½0, 2
 e deduci graficamente il Þ numero dei loro punti di intersezione. Calcola poi le coordinate di tali punti algebricamente e determina una loro     approssimazione arrotondata alla seconda cifra decimale. 3 8 , ð
, 0 Þ ’ ð3,14, 0Þ e arccos ’ ð0,93, 1,6Þ 5 5

4. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

TEORIA a p. 625

Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno 231 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

pffiffiffi Risolvi l’equazione 3 cos2 x þ 3 cos x sin x ¼ 0.

 Raccogli cos x al primo membro; ottieni cosı` l’equazione: pffiffiffi cos x ð 3 cos x þ 3 sin xÞ ¼ 0

 Concludi la risoluzione applicando la legge di annullamento del prodotto e risolvendo le equazioni che ne derivano.  Se svolgi i calcoli correttamente troverai che l’insien
o
þ k
me delle soluzioni e`: S ¼
þ k
, 6 2 237 Þ

Risolvi le seguenti equazioni omogenee incomplete. h i
232 sin2 x
sin x cos x ¼ 0 k
, þ k
Þ 4 h i pffiffiffi
233 sin x cos x
3 sin2 x ¼ 0 k
, þ k
Þ 6 h
i p ffiffiffi
234 cos2 x
3 sin x cos x ¼ 0 þ k
, þ k
Þ 2 6  
1 2 235 cos x
2 sin x cos x ¼ 0 þ k
, arctan þ k
Þ 2 2 236 Þ

h i pffiffiffi pffiffiffi 2 sin2 x
2 sin x cos x ¼ 0 k
, arctan 2 þ k


ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi l’equazione 6 sin2 x


pffiffiffi 3 sin x cos x
cos2 x ¼ 0.

 Dividi per cos2 x entrambi i membri dell’equazione; ottieni cosı` l’equazione equivalente: pffiffiffi 6 tan2 x
3 tan x
1 ¼ 0

 Risolvi l’equazione di secondo grado in tan x ottenuta, secondo il procedimento visto nel Paragrafo 2. ( ) pffiffiffi !
3 þ k
 Se svolgi i calcoli correttamente troverai che l’insieme delle soluzioni e`: S ¼ þ k
, arctan
6 6

Risolvi le seguenti equazioni omogenee complete. 238 sin2 x
2 sin x cos x þ cos2 x ¼ 0 Þ 239 Þ 240 Þ 241 Þ 242 Þ

650

pffiffiffi 3 ðsin2 x
cos2 xÞ ¼ 2 sin x cos x sin2 x
sin x cos x
2 cos2 x ¼ 0

pffiffiffi sin2 x
3 3 sin x cos x þ 6 cos2 x ¼ 0

pffiffiffi sin2 x þ 3 cos2 x þ 2 3 sin x cos x ¼ 0

h
i þ k
4 h
i

þ k
, þ k
6 3 h
i
þ k
, arctan 2 þ k
4 h
i pffiffiffi þ k
, arctan ð2 3Þ þ k
3 h
i
þ k
3

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243 Þ

Unita` 13

Equazioni del tipo a sin2 x þ b sin x cos x þ c cos2 x þ d ¼ 0 ESERCIZIO GUIDATO

 Ricordando che sin2 x þ cos2 x ¼ 1, puoi riscrivere l’equazione nella forma: sin2 x þ 3 sin x cos x
2ðsin2 x þ cos2 xÞ ¼ 0  Risolvi l’equazione omogenea che si ottiene.  Se svolgi i calcoli correttamente troverai che l’insieme delle soluzioni e`: n
o þ k
, arctan 2 þ k
S¼ 4 Risolvi le seguenti equazioni. pffiffiffi 244 3 sin x cos x ¼ 1
sin2 x Þ

h


i
þ k
6 2 h
i
þ k
, þ k
4 3 h
i
þ k
, þ k
2 6

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3Þ sin2 x
ð1 þ 3Þ sin x cos x ¼
3

245 Þ

ð1


246 Þ

2 sin2 x þ

247 Þ

sin2 x þ 4 sin x cos x þ 5 ¼ 0

248 Þ

1
2 sin x cos x ¼ 4 cos2 x

249 Þ

2 sin2 x þ ð1 þ

250 Þ

1 þ 3 sin x cos x þ 3 cos2 x ¼ 0

pffiffiffi 3 sin x cos x þ cos2 x ¼ 2

h

pffiffiffi pffiffiffi 3Þsin x cos x þ ð1 þ 3Þcos2 x ¼ 1

þ k
,

[Impossibile] i

þ k
, arctan 3 þ k
4   2
3
þ k
, þ k
3 4 [Impossibile] h


pffiffiffi

251 1 þ 2 cos2 x
2 3 sin x cos x ¼ 0 Þ 252 Þ

Equazioni e disequazioni goniometriche

Risolvi l’equazione sin2 x þ 3 sin x cos x
2 ¼ 0.

3

1
2 sin x cos x
cos2 x ¼ 0

þ k


i

[k
, arctan 2 þ k
]

Equazioni di vario tipo riconducibili a omogenee e applicazioni Risolvi le seguenti equazioni. pffiffiffi pffiffiffi 253 3 sin2 x
3 sin cos x þ 3 sin 2x
2 3 cos2 x ¼ 0 Þ pffiffiffi pffiffiffi 3Þ sin 2x
4 3 cos2 x þ cos 2x
1 ¼ 0

254 Þ

ð2 þ

255 Þ

sin x þ cos x ¼

256 Þ

1 þ 2 sin 2x þ 3 cos2 x ¼ 0

257 Þ

2 þ sin 2x ¼ sin2 x
cos2 x

1 sin x


pffiffiffi
 258 ¼ sin2 x 2 sin 2x
Þ 4 259 Þ

jsin2 x
sin x cos xj ¼ jsin 2xj

260 Þ

ðsin x
cos xÞ2 þ ðsin x þ 2 cos xÞ2 ¼ 2

261 Þ

sin2 x þ

262 Þ

pffiffiffi 1 ðcos x
sin xÞðcos x þ sin xÞ þ cos 2x ¼ 2 3 sin x cos x
2

pffiffiffi 3 cos x ðsin x
cos xÞ ¼ sin x cos x

h

i
þ k
6 h i
arctan 2 þ k
, þ k
3 h
i
þ k
, þ k
2 4

arctan ð
2Þ þ k
,

½arctan ð
2Þ þ k


[Impossibile] 
1 þ k
, arctan þ k
2 2 h i
k
, arctan 3 þ k
,
þ k
4    
3 þ k
, arctan
þ k
2 2 h
i

þ k
, þ k
3 4 " # pffiffiffi !
5 3 þ k
þ k
, arctan
3 6 

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651

264 Þ

Traccia il grafico della funzione 2

Traccia il grafico della funzione

y ¼ 2 sin2 x
2 sin x cos x

2

y ¼ 2 sin x
6 cos x e determina le coordinate dei suoi punti di intersezioh

i ne con l’asse x.  þ k
, 0 3

e determina le coordinate dei suoi punti di intersezioh

i ne con l’asse x. ðk
, 0Þ; þ k
, 0 4

5. Disequazioni goniometriche elementari o a esse riconducibili

TEORIA a p. 627

Esercizi preliminari 265 Þ

Considera le disequazioni: pffiffiffi pffiffiffi 2 2 b. cos x  a. sin x  2 2

pffiffiffi 2 c. sin x  2

d. tan x  1

Associa a ogni figura la disequazione di cui gli archi colorati rappresentano le soluzioni. Y

Tema E

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

263 Þ

X= 2 2 π 4

O

Y 3π 4

π 4

O

X

Y π 2 Y= 2 2

π 4

5π 4

3π 4

Y=X

O

X

7π 4 A

Y π 4

O

X

Y= 2 2 X

3π 2

B

C

D

266 Þ

Interpretazione di grafici. Indica per ciascuna figura la disequazione di cui gli intervalli colorati in rosso sull’asse x rappresentano le soluzioni nell’intervallo ½0, 2
. y

y

1 y= 2 O π 6

5π 6

x 2π

y 2π 3

O

π

π 2

y =– 3

267 Caccia all’errore. Paolo, per risolvere una diseÞ quazione, costruisce la figura qui a fianco, che rappresenta correttamente l’insieme delle soluzioni della disequazione. Conclude a questo punto erroneamente che la
7
þ 2k
. disequazione e` soddisfatta per: þ 2k
 x  4 4 Quale errore ha commesso Paolo? 268 Þ

x O π 6

Y

1 2

x 2π

5π 6

X= 2 2 π 4

O

X 7π 4

Associa a ogni disequazione il suo insieme delle soluzioni.

1 2 pffiffiffi 3 b. cos x <
2 pffiffiffi c. tan x > 3

a. sin x >

652

y=

d. cos x > 2

A. Impossibile

e. sin x 
1

B. R C.


5
þ 2k
< x < þ 2k
6 6



þ k
< x < þ k
3 2 5
7
þ 2k
< x < þ 2k
E. 6 6 D.

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Vero o falso? a. la disequazione sin x  1 non e` soddisfatta da alcun x 2 R 1 1 b. la disequazione sin x > e` equivalente a cos x < 2 ffiffiffi 2 p c. la disequazione cos x  2 e` soddisfatta per ogni x 2 R

d. la disequazione tan x > 1 e` soddisfatta per þ 2k
< x < þ 2k
4 2 pffiffiffi

2 e` soddisfatta per
þ 2k
< x < þ 2k
e. la disequazione cos x > 2 4 4

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 3 false]

Equazioni e disequazioni goniometriche

270 Þ

Unita` 13

269 Ogni formula nella prima colonna rappresenta l’insieme delle soluzioni di una disequazione. Associa a ciascuÞ na di esse la formula della seconda che rappresenta lo stesso insieme, giustificando perche´ le due formule sono equivalenti.


3
A. 2k
 x < þ 2k
, þ 2k
< x  2
þ 2k
a.
þ k
< x < þ k
2 4 4 4
7


þ 2k
< x  2
þ 2k
B. k
 x < þ k
, þ k
< x 
þ k
b. 2k
 x < þ 2k
, 4 4 4 2
3


þ 2k
< x 
þ 2k
C.
þ 2k
< x < þ 2k
c.

þ 2k
 x < þ 2k
, 4 4 4 4

Disequazioni goniometriche elementari 271 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi le seguenti disequazioni con il metodo della circonferenza goniometrica. pffiffiffi pffiffiffi 1 2 b. cos x <
a. sin x 
c. tan x  3 2 2 a. In riferimento alla prima figura qui a fianco:

Y

 individua gli angoli del primo giro cui sono associati i punti P e Q;  rappresenta gli archi della circonferenza cui corrispondono le soluzioni della disequazione;  deduci le soluzioni nell’intervallo ½0, 2
: :::::

 x  :::::,

:::::

O

 x  :::::

:::::

Q

P

 tenendo conto della periodicita` della funzione seno, scrivi le soluzioni su tutto l’asse reale: 2k
 x  ::::: þ 2k
,

X Y =– 2 2

þ 2k
 x  ::::: þ 2k


b. In riferimento alla figura qui a fianco:

Y

 individua gli angoli del primo giro cui sono associati i punti P e Q;  rappresenta l’arco della circonferenza cui corrispondono le soluzioni della disequazione;  deduci le soluzioni nell’intervallo ½0, 2
:

P

O

< x < :::::  tenendo conto della periodicita` della funzione coseno, scrivi le soluzioni su tutto l’asse reale:

X

:::::

:::::

Q X=–

þ 2k
< x < ::::: þ 2k


Y

c. In riferimento alla figura qui a fianco:

P

O

 x < :::::  Tenendo conto della periodicita` della funzione tangente, scrivi le soluzioni su tutto l’asse reale: :::::

þ k
 x  ::::: þ k


Q

3

 individua l’angolo appartenente all’intervallo ½0,
 cui e` associato il punto P;  rappresenta gli archi della circonferenza cui corrispondono le soluzioni della disequazione;  deduci le soluzioni nell’intervallo ½0,
:

:::::

1 2

X X=1

Y=X 3

653 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

272 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi le seguenti disequazioni utilizzando i grafici delle funzioni goniometriche. pffiffiffi 3 1 b. cos x 
a. sin x  c. tan x 
1 2 2 a. In riferimento alla figura qui a fianco: y

 individua le ascisse di P e di Q: xP ¼ :::::

e xQ ¼ :::::

 rappresenta l’arco del grafico di y = sin x cui corrispondono le soluzioni della disequazione;  deduci le soluzioni della disequazione nell’intervallo ½0, 2
: :::::

P

y=

Q

3 2

2π O

xP

x

xQ

 x  :::::

y = sin x

 tenendo conto della periodicita` della funzione seno, scrivi le soluzioni su tutto l’asse reale: :::::

y

þ 2k
 x  ::::: þ 2k


b. In riferimento alla figura qui a fianco: y = cosx

 individua le ascisse di P e di Q xP ¼ :::::

e xQ ¼ :::::

xP

xQ

2π

P

Q

y =–

x

O

 rappresenta gli archi del grafico di y = cos x cui corrispondono le soluzioni della disequazione;

1 2

 deduci le soluzioni nell’intervallo ½0, 2
: :::::

 x  :::::,

:::::

 x  :::::

 tenendo conto della periodicita` della funzione coseno, scrivi le soluzioni su tutto l’asse reale: 2k
 x  ::::: þ 2k
,

:::::

y

þ 2k
 x  ::::: þ 2k


x=

π 2

c. In riferimento alla figura qui a fianco:  individua l’ascissa di P;  rappresenta l’arco del grafico di y ¼ tan x cui corrispondono le soluzioni della disequazione;  deduci le soluzioni nell’intervallo ½0,
: :::::

xP

< x  :::::

y = –1

y = tanx

þ k
< x  ::::: þ k


Risolvi le seguenti disequazioni. 1 273 sin x 
Þ 2 274 Þ

2 cos x þ 1  0 pffiffiffi 2 275 sin x <
Þ 2 276 3 sin x þ 6 > 0 Þ pffiffiffi 3 tan x  3 277 Þ

654

x P

 tenendo conto della periodicita` della funzione tangente, scrivi le soluzioni su tutto l’asse reale: :::::

π

O

pffiffiffi 2>0

278 Þ

2 cos x


279 Þ

4 sin x þ 2  0



 7
11
þ 2k
 x  þ 2k
6 6   2
4
þ 2k
 x  þ 2k
3 3   5
7
þ 2k
< x < þ 2k
4 4 [R] h
i
þ k
 x < þ k
3 2 h
i

þ 2k
< x < þ 2k
4 4   7
11
2k
 x  þ 2k
, þ 2k
 x  2
þ 2k
6 6

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281 Þ

sin x 

1 3

1 3 cos x þ < 0 2 4 pffiffiffi 284 2 cos x þ 3  0 Þ 283 Þ

½Impossibile  5
7
2k
 x  þ 2k
, þ 2k
 x  2
þ 2k
6 6   1 1
þ arcsin þ 2k
 x  2

arcsin þ 2k
3 3 h i
k
< x < þ k
2  
3
2k
 x < þ 2k
, þ 2k
< x  2
þ 2k
4 4   1 1
arccos þ 2k
 x  arccos þ 2k
3 3  
5
þ 2k
< x < þ 2k
3 3 h i
arctan 2 þ k
 x < þ k
2  
5
þ 2k
 x  2
þ 2k
2k
 x  þ 2k
, 3 3   7
11
þ 2k
 x  þ 2k
6 6



1 3

285 Þ

sin x 


286 Þ

tan x > 0

287 Þ

2 sin x


288 Þ

3 cos x
1  0

289 Þ

cos x
0

306 Þ

2 sin2 x þ sin x
1  0

307 Þ

tan2 x
3 tan x
4  0

308 Þ

pffiffiffi 2 sin2 x
3 2 sin x þ 2  0

309 Þ



 5
7
þ 2k
 x  þ 2k
4 4  3
5
þ 2k
 x  þ 2k
4 4 h
i

þ k
< x < þ k
4 4  
5
2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
6 6 h
i


þ k
< x 
þ k
_ arctan 4 þ k
 x < þ k
2  4 2 
3
2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
4 4 h
i


þ k
< x 
þ k
_ k
 x < þ k
2 2 4 
5
þ 2k
< x < þ 2k
3 3  
5
þ 2k
< x < þ 2k
, con x 6¼
þ 2k
3 3  
5
þ 2k
 x  þ 2k
6 6   2
4
þ 2k
 x  þ 2k
_ x ¼ 2k
3 3  
7
þ 2k
 x  þ 2k
4 4
3
þ 2k
 x  þ 2k
_ 4 4 


þ 2k
 x  þ 2k
_ 4 4

303 2 sin2 x
1  0 Þ

ðtan x þ 1Þðtan x
2Þ þ 2 tan x þ 2  0

310 Þ 311 Þ

2
2 cos2 x > 3 cos x

312 Þ

2 cos2 x þ 3 sin x  3

313 Þ

1
2 sin2 x
cos x  0

314 Þ

2 sin2 x


2 sin2 x
cos x
1 > 0 (Suggerimento: ricorda che sin2 x ¼ 1
cos2 x)

pffiffiffi 2 cos x  0

Disequazioni riconducibili a elementari mediante l’utilizzo di formule goniometriche

656

Risolvi le seguenti disequazioni, applicando anche le formule di addizione e sottrazione.  



 1 7
11
315 sin x þ þ sin x
<
þ 2k
< x < þ 2k
Þ 3 3 2 6 6

h
i

 3
316 sin x þ
þ 2k
< x < þ 2k
þ cos x þ > Þ 3 6 2 6 6 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

321 Þ

"





þ k
< x  arctan 2

 3
5
þ 2k
 x  þ 2k
4 4     1
arctan
þ k
< x < þ k
3 4 h i
k
< x < þ k
2 # pffiffiffiffiffiffi ! pffiffiffiffiffiffi ! 3
17
3 þ 17 þ k
_ þ k
< x  arctan þ k
4 4 4

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo la disequazione sin 2x þ 2 cos x  0. sin 2x þ 2 cos x  0

Disequazione data

2 sin x cos x þ 2 cos x  0

Applicando la formula di duplicazione del seno

2 cos x ðsin x þ 1Þ  0

Raccogliendo 2 cos x

cos x  0 _ sin x ¼
1

Dobbiamo includere tra le soluzioni i valori di x per cui si annulla il fattore sin x þ 1 perche´ nella disequazione compare il simbolo 

Osserviamo ora che il fattore sin x þ 1 e` sempre positivo o nullo poiche´, per come e` definito il seno di un angolo, risulta sin x 
1 per ogni x 2 R. Ne discende che l’ultima disequazione scritta equivale a:

In definitiva, dunque:
3
þ 2k
 x  þ 2k
2 2

Osserva che questa scrittura include anche i valori di x per cui sin x ¼
1

Risolvi le seguenti disequazioni, applicando anche le formule di duplicazione.



322 sin 2x
2 cos x  0 Þ 323 Þ

2 sin x
sin 2x  0

324 Þ

2 cos x
cos 2x
1  0

325 Þ

cos 2x
sin x < 0

326 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Equazioni e disequazioni goniometriche



 2 tan x þ >1 4

 1 319 sin2 x þ > Þ 4 2

 320 2tan x þ tan x þ 0 Þ 4 318 Þ



Unita` 13

pffiffiffi


 2 317 cos x þ þ cos x

Þ 2 3 3


Risolvi la disequazione cos x þ sin




3
þ 2k
 x  þ 2k
2 2



½2k
 x 
þ 2k
 
3
þ 2k
 x  þ 2k
_ x ¼ 2k
2 2  
5
þ 2k
< x < þ 2k
6 6

x < 0. 2

x  Utilizza la formula cos x ¼ 1
2 sin2 . Puoi cosı` ricondurti alla disequazione: 2 x x
1>0 2 sin2
sin 2 2 x troverai che essa e` soddisfatta per:  Risolvendo questa disequazione rispetto a sin 2 x x < :::::::::: _ sin >1 sin 2 2 x > 1 e` impossibile, quindi la condizione [*] equivale a:  Osserva che la disequazione sin 2 x < ::::: sin 2

[*]

che e` soddisfatta per :::::::::: þ 4k
< x < :::::::::: þ 4k
x
10 sin x

cos 2x 0 tan x þ 1 cos 2x 345 0 Þ 2 cos x þ 1 x sin 2 0. 2

Per risolvere una disequazione prodotto devi procedere in modo simile a quello adottato per una disequazione frazionaria.  Risolvi anzitutto la disequazione in un intervallo di ampiezza uguale al periodo della funzione: x f ðxÞ ¼ sin ð2 sin x
1Þ 2 definita dall’espressione al primo membro. Osserva che questa funzione ha periodo 4
(perche´?), quindi puoi risolvere la disequazione, per esempio, nell’intervallo ½0, 4
. 658 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Unita` 13

poi costruisci la tabella dei segni del prodotto. Da essa potrai dedurre che in ½0, 4
 la disequazione e` soddisfatta per: :::::

< x < ::::: _ ::::: < x < ::::: _ ::::: < x < :::::

 Tenendo conto, infine, del periodo della disequazione, 4
, puoi scrivere le soluzioni su tutto l’asse reale; se hai svolto i calcoli correttamente troverai che le soluzioni sono:
5
13
17
þ 4k
< x < þ 4k
_ 2
þ 4k
< x < þ 4k
_ þ 4k
< x < 4
þ 4k
6 6 6 6 Risolvi le seguenti disequazioni prodotto. 348 ð1
2 cos xÞ sin x < 0 Þ

pffiffiffi pffiffiffi 349 ð2 cos x þ 2Þð2 sin x
3Þ  0 Þ 350 cos xð2 sin x þ 1Þ < 0 Þ 351 Þ

cos 2xðsin2 x
3Þ  0

352 Þ

ð2 sin x


353 Þ

sin 2x
2 sin x > 0

354 Þ

ðcos x
1Þcos

355 Þ

ð2 sin x þ

356 Þ

cos xðtan x þ 1Þ > 0

357 Þ

sin 2xðtan x


358 Þ

sin

pffiffiffi 2Þð2 cos x
1Þ  0 x 0 ) ::::: < x < ::::: sin 2 2 sin x
1 > 0 ) ::::: < x < ::::: _ ::::: < x < :::::


7
3
11
þ 2k
< x < þ 2k
_ þ 2k
< x < þ 2k
2 6 2 6  
3
þ k
 x  þ k
4 4  

3
5
2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
4 3 4 3 ½
þ 2k
< x < 2
þ 2k


½

þ 4k
< x < 4k
_ 4k
< x <
þ 4k
 
4
3
5
2k
 x < þ 2k
_
þ 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
< x  þ 2k
2 3 2 3  


3

þ 2k
< x < þ 2k
_ þ 2k
< x < þ 2k
4 2 2 4 h
i

þ k
 x < þ k
_ þ k
< x 
þ k
3 2 2   3
5
11
13
4k
 x  þ 4k
_ þ 4k
 x  2
þ 4k
_ þ 4k
 x  þ 4k
4 4 4 4 

Disequazioni e grafici Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 2 sin2 x e y ¼ sin x þ 1 nell’intervallo ½0, 2
 e determina le coordinate 2 dei loro punti di intersezione. Deduci graficamente le soluzioni della disequazione 2 sin  x > sin x þ 1.  7
11
2 (Suggerimento: ricorda che y ¼ 2 sin x ¼ 1
cos 2x) þ 2k
< x < þ 2k
6 6 359 Þ

Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 2 cos2 x e y ¼ sin x þ 1 nell’intervallo ½0, 2
 e determina le coordinate dei loro punti di intersezione. Deduci graficamente le soluzioni della disequazione 2 cos2 x  sin x þ 1.  
5
3
þ 2k
 x  þ 2k
_ x ¼ þ 2k
6 6 2 x 361 Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 2 sin2 e y ¼ cos x þ 1 nell’intervallo ½0, 2
 e determina le coordinate Þ 2 x dei loro punti di intersezione. Deduci graficamente le soluzioni della disequazione 2 sin2 < cos x þ 1. 2   
x
3
2k
 x < þ 2k
_ þ 2k
< x  2
þ 2k
Suggerimento: ricorda che y ¼ 2 sin2 ¼ 1
cos x 2 2 2 2 x 362 Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 2 cos e y ¼ cos x þ 2 nell’intervallo ½0, 2
. Deduci graficamente le Þ 2 x [R] soluzioni della disequazione 2 cos2 < cos x þ 2. 2 360 Þ

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659

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Risolvi le seguenti equazioni di vario tipo. pffiffiffi pffiffiffi 3þ 3 2 2 363 sin x þ 3 3 cos x ¼ sin 2x Þ 2 364 Þ

sin x
cos x ¼ cos 2x

365 Þ

sin 3x þ sin 3 x ¼ 0

366 Þ

cot x þ cot2 x ¼ 1 þ tan x



 sin2 x
¼1 3  

 3
368 sin x
þ cos þ x ¼1 Þ 2 2

 pffiffiffi pffiffiffi 369 2 cos2 x þ ð4
2Þ sin
x ¼2 2 Þ 2 367 Þ

370 Þ

sin ðx þ Þ þ sin ðx
Þ ¼ 2 cos2 

371 Þ

sin 2x cos x þ cos 2x sin x ¼

372 Þ

tan x ¼ 2 sin2 x

373 Þ

sin 2x þ 2 cos x
sin x
1 ¼ 0

374 Þ

tan x þ cot x ¼ 2

375 Þ

ðsin x
cos xÞ2 þ ðsin x þ cos xÞ2 ¼ 4 sin 3x

376 Þ

3 cot x þ tan2

377 Þ

sin2 x þ cos

379 Þ

sin 2x þ cos x ¼ 0

380 Þ

cos 2x þ sin x þ cos x ¼ 0

381 Þ

sin x þ sin






x ¼0

2





1 2


x ¼ cos2 x

2



 pffiffiffi 378 sin x
þ sin x þ ¼ 2 Þ 4 4




2

 pffiffiffi
x ¼ 2



 tan x þ ¼1 3 3 pffiffiffi



 3 383 sin x
cos x þ ¼
Þ 2 3 3

660








382 Þ

tan x


384 Þ

sin 2x cos 3x þ cos 2x sin 3x ¼ cos x

385 Þ







 2 sin x þ cos x þ þ sin x þ ¼0 3 3 3

386 Þ

sin2 x þ sin x cos x
2 cos2 x ¼
1

h


þ k
, arctan 3 þ k


i

3 h
i

þ 2k
,
þ 2k
, þ k
2 4 h
i k 2 h
i  þ k
4   5
þ k
6 h
i þ 2k
,
þ 2k
2 h
i  þ 2k
4  


Se  ¼ þ k
: R; se  6¼ þ k
:   þ 2k
2 2 2  
2
5
2
þk , þk 18 3 18 3 h i
k
, þ k
4  
3
 þ 2k
, þ 2k
3 2 h
i þ k
4  

5

þ 2k , þ 2k 18 3 18 3    
1 þ k
, arctan
þ k
2 3  

5

þ 2k
, þ 2k
, þ 2k
2 6 6 h
i þ 2k
2 h


i
þ 2k
,
þ 2k 2 6 3 h
i

þ k
,
þ 2k
, þ 2k
4 2 h
i þ 2k
4 h
i  þ k
4  
2

þ k
, þ k
6 3 h



i þk , þk 12 3 8 2 h
i
þ 2k

þ k
,
þ 2k
, 3 3  
1
þ k
, arctan þ k
4 2

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389 Þ

tan

390 Þ

3 sin2 x þ sin x cos x
4 sin2 x cos2 x
4 cos 4 x ¼ 0

x ¼ sin x þ cos x 2

h

 pffiffiffi
i ðcos 2x þ sin2 xÞ tan x
þ 3 tan ¼0 3 6

 392 cos x þ ¼ tan x Þ 2 391 Þ

393 Þ

i
þ 2k
3   1
þ 2k
, arccos þ 2k
3 h
i  þ 2k
2    
4 þ k
, arctan
þ k
4 3 h
i
þ k
, þ k
2 12

½ k
 
2 k , k
4 3   3
þ k
4  
7
þ k
, þ k
4 12 h
i
þ k , k
4 2 

sin 3x þ sin 5x ¼ sin 2x þ sin 6x



 ¼1 4


 pffiffiffi
 395 tan2 x
¼ 3 tan x
Þ 4 4 394 sin2 x
Þ

1 sin 4x
cos2 2x þ cos 2x ¼ 0 2 x 397 sin2 ¼ cos x þ 2 Þ 2 1 x 398 sin 2x ¼ cos x cos Þ 2 2 396 Þ

1
cos 2 3

399 Þ

sin 2x cos 2x ¼

400 Þ

sin

401 Þ

sin 3 x
cos 3 x þ 1 þ

402 Þ

sin2

403 Þ

sin2 3x
sin 3x
2 ¼ 0


x
 ¼
cos x
2 3

x cos x ¼ cos2 x
1 2

404 sin2 x
cos2 x ¼ Þ 405 Þ

1 sin 2x ¼ 0 2

pffiffiffi 3 2

½
þ 2k
 h


i þ k
,
þ 4k
, þ 4k 2 3 3  

5

þk , þk 24 2 24 2   5


þ 4k
,
þ 4k 3 9 3 h i
2k
,
þ 2k
2     2 2k
,  arccos
þ 2k
3 h

i
þ 2k 6 3   5
 þ k
12 h
i
 þ k
, þ k
4 2 h

i
þk 12 3 h
i  þ k
4 h i
k
, þ 2k
2

sin2 2x ¼ 2 cos2 x

tan x þ tan 2x ¼
1 1
tan x tan 2x

 407 cos2
x þ sin2 ð

xÞ ¼ 1 Þ 2 406 Þ

2 sin2 x cos x
2 sin2 x
sin 2x þ 2 sin x ¼ 0


 sin x
3  ¼ cot

2x  409 Þ 4
2
x cos 3 408 Þ

410 Þ

1 1 þ ¼4 cos2 x sin2 x

411 Þ

sin 8x þ sin 4x ¼ cos 2x


þ 2k
, 

Equazioni e disequazioni goniometriche

cos2 x ¼ sin2

Unita` 13

h

x 2 x 388 cos2 x ¼ sin 4 Þ 2 387 Þ

h


9

þk

h


þk


i 3


i 4 2  



5

þk , þk , þk 4 2 36 3 36 3

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661

h
i k 2

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi

420 Þ

sin 2x cos 3x þ cos 2x sin 3x ¼1 cos 2x cos 3x
sin 2x sin 3x

Tema E

tan 4x
tan 2x ¼ tan 6x 1 þ tan 4x tan 2x

412 Þ

421 Þ

2 sin2 x cos2 x
2 sin2 x
cos2 x þ 1 ¼ 0

x x x x
sin2 ¼ cos2
cos 2 3 3 2 x 414 sin x
cos x þ 2 cos ¼1 Þ 2







415 jsin x þ 1j ¼ cos
x

Þ 2  
 pffiffiffi pffiffiffi 3
2 416 2 sin
x þ 2
4 cos x ¼ 2 2 Þ 2 413 Þ

417 Þ

½4k
,
þ 4k


sin



"

sin 2x
cos 2x ðtan x
cot xÞ ¼ 0 2




1  þ k
,  arccos 4 2

2 sin2 x
1 418 ¼ cos 4 x Þ cos x


 pffiffiffi



 pffiffiffi
 419 ¼ 4 cos
x þ 2 sin x þ
x þ 4 cos þx þ1 2 sin Þ 4 4 3 3

Determina il dominio delle seguenti funzioni. h n
oi x R
 422 y ¼ þ k
Þ 3 4 sin2 x
3 h n
oi 1 423 y ¼ R
k Þ tan x þ sin x 2 x ½R] 424 y ¼ Þ 3 sin2 x
4 h n
oi sin x þ cos x 425 y ¼ R
þ k
Þ sin x
cos x 4 h n oi 1
R
k
,
þ k
426 y ¼ Þ 2 4 sin 2x þ 2 sin x 427 Þ

y¼

1 1 2 cos2 x þ 3 cos  x þ

 2 R

þ 2k
,  k
þ 2k
3    1
5
428 y ¼ R
þ k
, þ k
Þ 1
4 sin x cos x 12 12

429 y ¼ Þ

433 Þ

y ¼ tan ðsin xÞ

434 Þ

2 sin2 x
sin x > 0

440 Þ

tan2 x 

pffiffiffi 3 tan x



2
þ 2k
3



h

i þk 20 5 h i
k
,  þ k
4 h

n
oi
R
k ,  þ k
2 4

h

y ¼ sin ðtan xÞ





437 Þ

439 Þ



1 sin x þ cos 4x h n



oi þ 2k ,
þ 2k R
6 3 10 5 1 431 y ¼ ½R
f0g Þ sin x þ x h n
oi 1 432 y ¼ R
þ k
Þ 1
jsin xj 2 y¼


pffiffiffi 436 1
cos x  cos x þ sin þ 2 Þ 2 pffiffiffi
2 tan x þ 2 3  tan
tan x 3
438 3 cos x þ 4 sin 7 Þ 6

! # pffiffiffi 5
1 þ k
2 ½k


1 2 tan x
2 sin2 x

430 Þ

Risolvi le seguenti disequazioni.
435 sin x  cos
 sin x
tan Þ 3

662

½4k
,
þ 2k
   7
11
þ 2k
, þ 2k
6 6   3
 þ 2k
4



R


n


2

½R] oi þ k


4
5
þ 2k
 x  þ 2k
3 3



 3
5 þ 2k
 x 
þ 2k
4 4  
5 þ k
< x 
þ k
2 6

[Impossibile] 
5
þ 2k
< x < þ 2k
_
þ 2k
< x < 2
þ 2k
6 6 h i
k
 x  þ k
3

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2 cos x <
cos x

442 Þ

2
2 cos2 x 

443 Þ

1
2 cos2 x
sin x  0

444 Þ





 1 sin x
þ sin x þ  3 3 2

445 Þ

Rapido

446 Þ

Rapido

pffiffiffi 2 sin x

cos x
2 0 sin x
3 sin x þ 2

0 ðcos x
1Þ2

447 sin x sin
cos x 0 Þ 3 448 Þ

[8 x 2 R]

pffiffiffi  cos x tan x
3  0

pffiffiffi 2cos x
2 0 449 Þ sin 2x

[8 x 2 R
f2k
g] 


11
þ 2k
 x 
þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
6 6  


4
þ 2k
 x < þ 2k
_ þ 2k
< x  þ 2k
3 2 2 3  

3
7
þ 2k
 x < þ 2k
_
þ 2k
< x < þ 2k
_ þ 2k
 x < 2
þ 2k
4 2 2 4

Risolvi le seguenti disequazioni con valori assoluti. 1 450 jcos xj  Þ 2 pffiffiffi 3 451 jcos xj > Þ 2 pffiffiffi 452 j2 sin xj > 3 Þ 453 Þ

jtan xj  1

454 Þ

j4 sin2 x
1j  2

455 Þ

jtan2 x
1j < 2

456 Þ

j2 sin xj < cos2 x

457 Þ

j2 sin2 x
1j > cos x

458 Þ

jsin x
1j  jcos xj

459 Þ

j2 sin x
1j  jcos xj


2
þ k
 x  þ k
3 3 h
i

þ k
< x < þ k
6 6  
2
þ k
< x < þ k
3 3 h
i



þ k
< x 
þ k
_ þ k
 x < þ k
2 4 4 2 h
i

þ k
 x  þ k
3 3 h
i

þ k
< x < þ k
3 3 h i pffiffiffi pffiffiffi k
 x < arcsin ð 2
1Þ þ k
_

arcsin ð 2
1Þ þ k
< x 
þ k
 
5
þ 2k
< x < þ 2k
, con x 6¼ 2k
3 3 

Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos 2x  sin x
cos x 460 Þ 461 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
sin x  cos x


pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
 1 þ sin2 x  2 sin x
4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 463 tan x < tan x
2 Þ 462 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3
cos2 x < 1 þ sin x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 3 1 465 þ cos2 x  3 sin x
Þ 4 2 464 Þ

Equazioni e disequazioni goniometriche

441 Þ


2
4
3
þ 2k
< x < þ 2k
_ þ 2k
< x < þ 2k
2 3 3 2  
3
þ 2k
 x  þ 2k
_
þ 2k
 x  2
þ 2k
4 4   7
11

þ 2k
 x  þ 2k
_ x ¼ þ 2k
6 6 2  
5
2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
6 6

Unita` 13



2



½2k
 x 
þ 2k
  4 4 arcsin þ 2k
 x 

arcsin þ 2k
_
þ 2k
 x  2
þ 2k
5 5 

3
þ 2k
 x 
þ 2k
4

h




i þ 2k
 x  2
þ 2k
2  
1 þ 2k
 x 
þ arctan þ 2k
2 4 h i
arctan 4 þ k
< x < þ k
2  
5
þ 2k
< x < þ 2k
6 6  
2
2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
3 3

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663

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

Risolvi le seguenti disequazioni, confrontando i grafici di opportune funzioni.  

 2

8
14
466 sin 2x > sin x þ þ 2k
< x < þ 2k
_ þ 2k
< x < þ 2k
Þ 3 9 3 9 9  


9
467 cos x  cos
x þ 2k
 x  þ 2k
Þ 4 8 8
h
i

468 tan x  tan x þ þ k
< x < þ k
Þ 4 4 2 h
i



469 tan x 
tan 2x
þ k
 x <
þ k
_ k
 x < þ k
_ þ k
 x < þ k
Þ 3 4 4 3 2 Risolvi graficamente le seguenti disequazioni. Se qualche estremo dell’insieme delle soluzioni non si puo` determinare algebricamente, localizzalo individuando un intervallo cui esso appartiene. 470 Þ 471 Þ

2 sin x  x

½x 
 _ 0  x  , con  2 ð1; 2Þ

2

½R
f0g

cos x < x þ 1 x 472 sin x Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
1  sin x 473 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 474 1
x  sin x Þ 475 Þ

½x  0  ½1  x  , con  2 ð1, 2Þ ½x  , con  2 ð0, 1Þ]

ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi il sistema:

(

x 0 2 2 sin x
1  0 sin

 Per risolvere un sistema di disequazioni goniometriche devi anzitutto risolvere il sistema in un intervallo di ampiezza uguale al periodo del sistema, cioe` al minimo comune multiplo dei periodi delle due disequazioni del sistema. Poi puoi completare le soluzioni su tutto l’asse reale tenendo conto della periodicita`. Eccetto che per questo fatto, il metodo risolutivo e` del tutto analogo a quello dei sistemi algebrici.  Il periodo del sistema e` 4
(perche´?), quindi puoi risolvere il sistema, per esempio, nell’intervallo ½0, 4
.  Risolvi nell’intervallo ½0, 4
 la prima disequazione del sistema (a tale scopo puo` essere utile rappresentare la x in questo intervallo): funzione y ¼ sin 2 x sin  0 ) :::::  x  ::::: 2  Risolvi nell’intervallo ½0, 4
 la seconda disequazione del sistema (a tale scopo puo` essere utile rappresentare la funzione y ¼ 2 sin x
1 in questo intervallo): 2 sin x
1  0 ) :::::  x  ::::: _ :::::  x  :::::  Rappresenta in uno schema gli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni e deduci la loro intersezione. Da esso potrai dedurre che in ½0, 4
 il sistema e` soddisfatto per: :::::

 x  :::::

 Tenendo conto, infine, del periodo del sistema, 4
, puoi scrivere le soluzioni su tutto l’asse reale; se hai svolto i calcoli correttamente troverai che le soluzioni sono: 13
17
þ 4k
 x  þ 4k
6 6 Risolvi i seguenti sistemi. ( ð1
2 sin xÞðcos2 x
2Þ  0 pffiffiffi 476 Þ 2 cos x
2  0 477 Þ

664

(

3
cos2 x  0

2 sin2 x
1  0

 


7
þ 2k
 x  2
þ 2k
2k
 x  þ 2k
_ 6 4




3
5
7
þ 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  þ 2k
4 4 4 4



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480 Þ

2 sin x þ 1 < 0



sin 2x > 0

 sin x þ

< tan x
3  0 pffiffiffi 483 Þ 2 > : cos 2x > 2 ( sin xðtan x
1Þ  0 484 Þ



7
5
3
11
þ 2k
< x < þ 2k
_ þ 2k
< x < þ 2k
6 4 2 6




2 cos2 x
3 cos x þ 1 > 0

8 < cos x þ sin x  1 485 Þ : 3 tan x  cos x 2 8 x < tan  2 sin x 2 486 Þ ffi : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
sin2 x  0

3
þ 2k
2



i



þ k
< x <
þ k
_ þ k
 x < þ k
2 4 3 2 




þ 2k
< x
3
> >  
x 3 2 > > : 3 sin x  1 sin 2x cos x 2 8 < sin x
cos x  0 2 488 Þ pffiffiffi : jtan xj  3  
4
10
11
4k
 x  þ 4k
_
þ 4k
 x  þ 4k
_ 3
þ 4k
 x  þ 4k
_ þ 4k
 x  4
þ 4k
3 3 3 3 489 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. y ¼ tan x 1
cos x b. y ¼ cos x
4 sin2 x
1 a. La funzione y ¼ tan x x 6¼


þ k
2

1
cos x  0

c. y ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin x þ cos ð

xÞ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
cos x e` definita purche´ siano soddisfatte le seguenti condizioni:

Per l’esistenza della tangente Per l’esistenza della radice

Osserviamo che la disequazione 1
cos x  0, ossia cos x  1, e` soddisfatta per ogni x 2 R, quindi il dominio della funzione e` semplicemente: n
o R
þ k
2 665 Nuova Matematica a colori - Petrini © 2012 De Agostini Scuola SpA - Novara

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. La funzione y ¼ cos x
4 sin2 x
1 e` definita purche´ il radicando della radice sia maggiore o uguale a zero; questa condizione si traduce nella disequazione: 4 sin2 x
1  0 che equivale a: sin x 


1 1 _ sin x  2 2

[*]

Con l’aiuto della figura, si vede che la [*] e` soddisfatta per:
5
7
11
þ 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  þ 2k
6 6 6 6 Puo` essere utile notare che questa scrittura puo` essere sostituita dalla seguente, «piu` compatta»:
5
þ k
 x  þ k
6 6

Questa scrittura comprende anche gli intervalli del tipo

L’unione (al variare di k) di questi intervalli costituisce il dominio della funzione. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. La funzione y ¼ sin x þ cos ð

xÞ e` definita purche´ i radicandi di entrambe le radici siano entrambi maggiori o uguali a zero; deve quindi essere soddisfatto il sistema:    sin x  0 sin x  0 sin x  0 ) ) cos ð

xÞ  0
cos x  0 cos x  0 L’unico quadrante in cui il seno e` positivo o nullo e il coseno e` negativo o nullo e` il secondo; ne segue che il sistema e` soddisfatto per:
þ 2k
 x 
þ 2k
2 Determina il dominio delle seguenti funzioni. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 490 y ¼ sin x þ cos x
1 Þ 491 Þ

y¼

h

i
þ 2k
2   2
2

þ 2k
 x  þ 2k
3 3 h i
þ k
k
< x < 2 h
i

þ k
 x  þ k
4 4  
3
þ k
 x  þ k
4 4

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ 2 cos x

1 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 493 y ¼ 1
tan2 x Þ 492 Þ

494 Þ

y¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin2 x
cos2 x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin2 x
2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 496 y ¼ sin x þ cos x Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 497 y ¼ 3
cos2 x Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 498 y ¼ 2 tan2 x
2 Þ 495 Þ

666

7
11
þ 2k
 x  þ 2k
6 6

y¼

h

2k
 x 

½Impossibile i
2k
 x  þ 2k
2

[R] i




þ k
< x 
þ k
_ þ k
 x < þ k
2 4 4 2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
5
7
¼ 2 cos2 x
1 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  þ 2k
_ þ 2k
 x  2
þ 2k
4 4 4 4   ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pp
11
¼ 1
cos x þ þ 2k
 x  þ 2k
3
2 cos x 6 6 " # pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5
1 2k
 x  arcsin ¼ cos x
sin x þ 2k
2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5
2k
 x  þ 2k
_ ¼ 2
8 sin x þ 2k
 x 
þ 2k
6 6

499 Þ

y

500 Þ

y

501 Þ

y

502 Þ

y

503 Þ

y ¼ ln ðln cos xÞ

pffiffiffi 504 y ¼ ln ð4 sin x cos x
3Þ Þ

h

½Impossibile i
þ k
< x < þ k
6 3

h


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y ¼ ln ðtan x
1Þ þ

507 Þ

y ¼ ln ðsin2 x
sin x cos xÞ

508 Þ

y ¼ ln ð1
2jsin xjÞ

4

þ k
< x
; 6  _ b. Q appartiene all’arco AP ed e` tale che P BbQ ¼ . 6 Determina la misura, approssimata in gradi, primi e secondi, di ABbP, in modo che l’area del triangolo APQ sia il doppio dell’area del triangolo BOP. 
 ¼ 2 sin x cos x, che nelle ipotesi del problema Si giunge all’equazione sin x sin x  6 pffiffiffi  pffiffiffi 5 3 ’ 70 530 3600 equivale a 3 tan x  5 ¼ 0; x ¼ arctan 3

pffiffiffi Data una semicirconferenza di diametro AB e raggio r, sia BC la corda di misura r 2. Determina un punto P, pffiffiffi 2 _ r, essendo H e K le proiezioni di P, rispettivamente, sulla corda BC sull’arco BC, in modo che risulti PH þ PK ¼ 2  e sulla retta AC.  1  b Ponendo P AB ¼ x si giunge all’equazione cos 2x ¼ ; il problema ha una sola soluzione: x ¼ 2 6 188 Þ

189 Þ

In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, i lati obliqui misurano a. Determina gli angoli alla base del trian1 golo, in modo che la distanza dell’incentro del triangolo da A (o da BÞ misuri a. 2 

bC ¼ 2x, si giunge all’equazione 4 cos2 x  cos x  2 ¼ 0; Ponendo ABbC ¼ BA pffiffiffiffiffiffi ! 1 þ 33 il problema ha una sola soluzione: x ¼ arccos 8

190 Þ

Considera un trapezio isoscele ABCD, inscritto in una semicirconferenza di diametro AB e raggio r. Determina gli angoli alla base del trapezio in modo che quest’ultimo risulti circoscrivibile a una circonferenza. ! pffiffiffi  51 2 b b Posto ABC ¼ DAB ¼ x, si perviene all’equazione cos x þ cos x  1 ¼ 0; x ¼ arccos 2

bB, di misura x; da A Data una circonferenza di centro O e raggio r, considera un angolo al centro convesso AO traccia la tangente alla circonferenza e indica con D la proiezione di B su tale tangente. Determina x in modo che pffiffiffi il perimetro del trapezio AOBD sia ð3 þ 2Þr.   pffiffiffi 3 Si ottiene l’equazione sin x  cos x  2 ¼ 0, con 0 < x < ; il problema ha una sola soluzione: x ¼ 4 191 Þ

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711

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

192 Þ

Nel trapezio rettangolo ABCD, di base maggiore AB, il lato obliquo BC misura a ed e` perpendicolare alla dia7 2 2 gonale AC. Posto ABbC ¼ x, determina x in modo che sia verificata la relazione AC þ BD ¼ a2 . 2    4 2 Si ottiene l’equazione 2 cos x þ 7 cos x  4 ¼ 0; il problema ha una sola soluzione: x ¼ 4

In un triangolo rettangolo ABC (non degenere) l’ipotenusa BC misura 2a e ABbC ¼ x. Detto P il punto medio di BC e Q il punto medio di AC, determina per quali valori di x il perimetro del trapezio ABPQ e` minore o uguale a pffiffiffi ð1 þ 2 2Þa.   pffiffiffi   x< Si ottiene la disequazione sin x þ 3 cos x  2 2; tenendo conto dei limiti geometrici, deve essere 4 2 193 Þ

Sul lato CD di un quadrato ABCD avente il lato di misura a, considera un punto P tale che APbD ¼ x e indica con Q il punto in cui la perpendicolare ad AP passante per P interseca il lato BC. Determina per quali valori di x l’a1 rea del triangolo PCQ e` minore o uguale a dell’area del triangolo ADQ. 8  Si giunge alla disequazione tan3 x  8 tan2 x þ 16 tan x  8  0; tenendo conto dei limiti geometrici,  pffiffiffi   si trova che la condizione richiesta e` verificata per  x  arctan 2 _ arctan ð3 þ 5Þ  x  4 2 194 Þ

195 Considera un segmento AB tale che AB ¼ 2 e traccia una semiretta r, di origine A, che forma con AB un angoÞ lo acuto di misura uguale a x. Sia P il punto di intersezione di tale semiretta con l’asse di AB e Q la proiezione di B pffiffiffi 3 ? sulla semiretta. Per quali valori di x risulta PQ  3



1

 (attenzione al valore assoluto: perche´ e` necessario?); con 0 < x < Risulta PQ ¼

2 cos x  cos x 2 pffiffiffi    3 x< la condizione richiesta e` verificata per 0 < x  _ arccos 3 6 2

Problemi con equazioni o disequazioni sui triangoli qualunque pffiffiffiffiffiffi In un triangolo ABC e` AB ¼ 4l e BC ¼ 3l. Determina ABbC ¼ x in modo che risulti AC ¼ l 13.   1  Posto ABbC ¼ x, con 0 < x < , si giunge all’equazione cos x ¼ . Il problema ha una sola soluzione: x ¼ 2 3  bB ¼ 197 In un triangolo ABC si ha AC e AB ¼ a. Determina la misura dell’angolo ABbC ¼ x in modo che l’area Þ pffiffiffi 3 2 a 3 . del triangolo sia 6   pffiffiffi   Si giunge all’equazione 3 sin x cos x þ sin2 x ¼ 1; il problema ha due soluzioni: x ¼ _ x ¼ 2 6 196 Þ

bB ffi 2BA bC e AC ¼ a. Nel semipiano di origine AC non contenente B costruisci il trianNel triangolo ABC e` AC bD ffi BA bC. Posto BA bC ¼ x, determina per quali valori di x risulta golo rettangolo ACD, di ipotenusa CD, tale che AC  BC ¼ AD. sin x  che, nell’ipotesi 0 < x < imposta dal problema, Si giunge all’equazione tan x ¼ sin 3x 3    equivale a sin 3x ¼ cos x; il problema ha due soluzioni: x ¼ _ x ¼ 8 4  bB ¼ . Costruisci, nel semipiano di origine AC non contenente B, il bC ¼ x, AC 199 In un triangolo ABC e` AB ¼ l, BA Þ 4 triangolo rettangolo ACD, isoscele sulla base AC e determina per quali valori di x l’area del quadrilatero ABCD e` l2 .    2 Si giunge all’equazione 2 sin x þ 4 sin x cos x  3 ¼ 0; il problema ha due soluzioni: x ¼ _ x ¼ arctan 3 4 198 Þ

bB ffi 2ABbC e BC ¼ l. Determina ABbC ¼ x in modo che il raggio della circonferenza In un triangolo ABC e` AC  circoscritta al triangolo misuri l.  1 Posto ABbC ¼ x, con 0 < x < , si giunge all’equazione sin 3x ¼ ; 3 2   5 _x¼ il problema ha due soluzioni: x ¼ 18 18 200 Þ

bB ¼ x. Nel semipiano di origine BC, non Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, si ha: AB ¼ 2a e ABbC ¼ CA contenente A, costruisci il triangolo rettangolo isoscele BCD, di ipotenusa BD. Determina x in modo che pffiffiffi AD ¼ 3a 2. [Si giunge all’equazione 1 þ 2 sin x cos x  9 cos2 x ¼ 0; il problema ha una sola soluzione: x ¼ arctan 2] 201 Þ

712

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bD. Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB misura 2a e la diagonale AC e` la bisettrice dell’angolo BA

 . Considera un punto P su BC e de6 bP ¼ x in modo che, detta H la proiezione di B sulla semiretta AP, sia verificata la relazione: termina BA 2 2 2 3BH þ 3CH ¼ 10AH . pffiffiffi   pffiffiffi  3 2 _x¼ Si giunge all’equazione 12  6 3 sin x cos x ¼ 10 cos x; il problema ha due soluzioni: x ¼ arctan 6 6

203 Þ

bB ¼ In un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, risulta AB ¼ a e AC

Trigonometria

a. Dimostra che AD ffi DC ffi BC. bD in modo che il perimetro del trapezio sia 5a. b. Determina l’angolo BA  bD ¼ 2x, si giunge all’equazione 2 sin x ¼ sin 3x, che nell’ipotesi 0 < x <  Ponendo BA 4   2 imposta dal problema equivale a 4 cos x  3 ¼ 0; l’unica soluzione del problema e` x ¼ 6

Unita` 14

202 Þ

 bC ¼ x. Indicata con H la proiezione di C su AB, In un triangolo acutangolo ABC risulta ABbC ¼ , AB ¼ a e BA 6 pffiffiffi determina x in modo che risulti: CH þ CB þ AH ¼ 2 2 CA.   pffiffiffi  Si giunge all’equazione 3sin x þ cos x ¼ 2 2; l’unica soluzione del problema e` x ¼ 4

204 Þ

2 La bisettrice CS del triangolo ABC misura 20 cm e forma con AB un angolo ASbC ¼ . Calcola la misura del3 bB sapendo che AC þ BC ¼ 72 cm. l’angolo AC bB ¼ 2x; si giunge all’equazione 12 cos2 x  5 cos x  3 ¼ 0) (Suggerimento: ponendo AC   3  ’ 41 Il problema ha la sola soluzione x ¼ arccos 4 pffiffiffi 206 Un rettangolo ha dimensioni AB ¼ 10 e BC ¼ 5 3. Traccia la circonferenza di diametro AB esterna al rettanÞ golo e indica con E il punto medio di DC. Considerato un punto P sulla semicirconferenza, determina ABbP ¼ x in 2 2 modo che sia verificata la relazione 3EP ¼ 7BP .   pffiffiffi  2 2 Si giunge all’equazione 3 sin x þ 3 3 sin x cos x  4 cos x ¼ 0; il problema ha la sola soluzione x ¼ 6 205 Þ

207 Þ

Un quadrilatero ABCD e` inscritto in una circonferenza. La diagonale AC coincide con il diametro della circonferenza e misura 2r. Il triangolo ABC e` un triangolo isoscele. Determina la posizione del vertice D sulla semicirpffiffiffi pffiffiffi conferenza che non contiene B in modo che AD þ CD þ 2 BD ¼ 2r 6.  pffiffiffi bC ¼ x, si giunge all’equazione 2 sin x þ 2 cos x ¼ 6; Ponendo DA   5 _x¼ il problema ammette due soluzioni: x ¼ 12 12 pffiffiffi 208 In un triangolo isoscele di base AB, il lato obliquo misura a e il rapporto tra il perimetro e l’altezza CH e` 2 3. Þ a. Verifica che il triangolo e` equilatero. b P ¼ x. b. Considera un punto P sul lato BC ed esprimi il perimetro del triangolo CPH in funzione di CH pffiffiffi  h i Determina x in modo che il perimetro di tale triangolo valga 3 þ 2 a. bP ¼  CH 6

209 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, i lati obliqui misurano 2a. Indica con M il punto medio di AC e Þ bB per cui siano H e K le sue proiezioni rispettivamente sulle rette CB e AB. Determina l’ampiezza di AC 2 2    2 AH þ MK ¼ 4a . bB ¼ x, si trovano le soluzioni x ¼  _ x ¼ arccos  1 Ponendo AC 3 3

 In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB misura 2l e l’angolo ABbC ha ampiezza . Determina 4 bB in modo che sia verificata la relazione AC 2 þ DB 2 ¼ 7l2 . l’angolo CA  bB ¼ x si giunge all’equazione 5 sin2 x  6 sin x cos x þ cos2 x ¼ 0; le soluzioni del problema Ponendo CA    1 sono x ¼ _ x ¼ arctan 4 5

210 Þ

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713

Funzioni goniometriche, trigonometria e numeri complessi Tema E

211 Þ

Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r. Sul prolungamento di AB dalla parte di B, sia C il punto tale che BC ¼ r. Considera un punto P sulla semicirconferenza e costruisci il triangolo rettangolo PCD, isoscele sulla base PC, il cui vertice D giace dalla parte opposta di A rispetto alla retta PC. Determina l’angolo pffiffiffi ! 7þ2 3 2 b r . P OC in modo che l’area del quadrilatero OCDP sia 4  pffiffiffi bC ¼ x, con 0  x  , si giunge all’equazione 2 sin x  2 cos x ¼ 1 þ 3; Posto P O  2 5 il problema ha due soluzioni: x ¼ _x¼ 3 6 212 Þ

Considera un punto P, appartenente a un quadrante AOB di circonferenza di centro O e raggio r, e indica con bP. Detta H la proiezione di P su OA, determina x in modo che sia verificata la relazione: x la misura di AO 7 2 2 2 2 BP þ OH ¼ ðPH þ OB Þ. 5    Si ottiene l’equazione 6 sin2 x þ 5 sin x  4 ¼ 0; il problema ha una sola soluzione: x ¼ 6 bB e` ottuso, Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, e` AB ¼ 8l e AC ¼ BC ¼ 5l. Dopo aver verificato che AC b considera un punto P sul lato BC, tale che BAP ¼ x. Dette H e K, rispettivamente, le proiezioni di P sul prolunga16 l. mento di AC e su AB, determina x in modo che sia verificata la relazione PH þ PK ¼ 5  3 Si giunge all’equazione 5 sin x  3 cos x ¼ 0, con 0  x  arctan ; 4  3 il problema ha la sola soluzione: x ¼ arctan 5 213 Þ

214 Þ

Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r e indica con M il suo punto medio. _ Considera un punto P interno all’arco BM e traccia da P la parallela ad AB; indica:

a. con Q l’ulteriore punto di intersezione della parallela tracciata con la semicirconferenza; b. con R il punto di intersezione delle corde AP e OQ. bB ¼ x in modo che risulti verificata la relazione: PR þ QR ¼ 2PQ. Determina P A    PR QR Si giunge all’equazione þ ¼2 Suggerimento: osserva che la relazione data equivale a PQ PQ sin 2x þ sin x ¼ 2 sin 3x, che si puo` risolvere sviluppando sin 2x e sin 3x ed eseguendo opportuni raccoglimenti;   3 tenendo conto che 0 < x < , si trova che l’unica soluzione del problema e` x ¼ arccos 4 4 215 Data una semicirconferenza di diametro AB ¼ 2r, considera un triangolo non degenere ABC in essa inscritto. Þ bB e indica con D il punto in cui interseca il segmento BC. Determina la misura x Traccia la bisettrice dell’angolo CA bD, in modo che risulti BD ¼ 2 BC. dell’angolo BA 3 Risolvi il problema in due modi diversi:

a. utilizzando il teorema dei seni; b. utilizzando soltanto i teoremi sui triangoli rettangoli e il teorema della bisettrice studiato in geometria  euclidea. 2 a. Si giunge all’equazione tan x ¼ sin 2x; b. osservando che la condizione data e` verificata 3 1 se e solo se AB ¼ 2AC, si giunge all’equazione cos 2x ¼ ; in entrambi i casi 2   si trova che l’unica soluzione del problema e` x ¼ 6

6 _ r. Sull’arco AC considera un punto 5 pffiffiffi bB ¼ x e determina per quali valori di x il perimetro del quadrilatero ABCD e` 2 ð9 þ 2 3Þr. D tale che DA 5  pffiffiffi 3  Si perviene all’equazione 4 sin x þ 2 cos x ¼ 1 þ 2 3, con arcsin x ; 5 2 ! pffiffiffi  4 33 il problema ha due soluzioni: x ¼ _ x ¼ arccos 3 10 216 Þ

714

In una semicirconferenza di diametro AB e` data la corda di misura BC ¼

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Trigonometria

E` data una semicirconferenza di diametro AB e raggio r. Prolunga AB, dalla parte di B, di un segmento BC ¼ r. bB ¼ x, determina x in modo che sia verificata la Considera quindi un punto P sulla semicirconferenza e, posto P A pffiffiffi relazione AP þ PC ¼ 2r 3. pffiffiffi   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi  3 2 Si ottiene l’equazione 9  8 cos x ¼ 2 3  2 cos x; il problema ha due soluzioni: x ¼ _ x ¼ arccos 6 6 218 Þ

Unita` 14

pffiffiffi Data una circonferenza di diametro AB, centro O e raggio r, traccia una corda AC di misura r 3. Considera bP ¼ x, e determina x in modo che, condotta da P la corda MN di cui P e` il un punto P sulla corda AC, tale che AO pffiffiffi punto medio, risulti MN ¼ r 2. pffiffiffi     5 2  7 2 , con 0  x  x ¼ ; il problema ha due soluzioni: x ¼ _x¼ Si ottiene l’equazione sin 2 6 3 12 12 217 Þ

219 In un triangolo ABC, il lato AB misura 2a e la mediana CM relativa ad AB misura 3a. Sia G il baricentro del Þ b C ¼ x. triangolo e BM 2 2 2 a. Verifica che, al variare di x, la somma AG þ BG þ CG e` costante. pffiffiffi pffiffiffi b. Determina x in modo che risulti AG þ 2BG þ 2 CG ¼ 5a 2.  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. E` costante, uguale a 8a2 ; b. si ottiene l’equazione 1 þ cos x þ 2 1  cos x ¼ 3;    24 il problema ha due soluzioni: x ¼ _ x ¼ arccos  2 25

bB ¼ x. Nel semipiano di origine BC, non conNel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, e` AB ¼ 2a e ABbC ¼ CA tenente A, costruisci il triangolo rettangolo isoscele BCD, di ipotenusa BD. Indicato con R1 il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC e con R2 il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo BCD, verifica che, per ogni valore di x, sussiste la relazione 2R21 R22  R42 ¼ a2 R21 . Determina poi gli eventuali valori di x per cui: pffiffiffi   a. R1 ¼ R2 b. R1 ¼ R2 2 c. 2R1 ¼ R2   a. x ¼ ; b. x ¼ ; c. nessun valore di x 4 6 220 Þ

bB ¼ x. Nel semipiano di origine Nel triangolo non degenere ABC, isoscele sulla base BC, e` BC ¼ 2a e ABbC ¼ AC bD ¼ x. Determina BC, non contenente A, costruisci il triangolo rettangolo BCD, di ipotenusa CD, in modo che BC x in modo che: a. siano uguali i raggi delle circonferenze circoscritte ai due triangoli ABC e BCD; b. la somma dei quadrati delle diagonali del quadrilatero ABDC valga 14a2 .     a. Si giunge all’equazione sin 2x ¼ cos x, x ¼ ; b. si giunge all’equazione 8 sin2 x  10 cos2 x þ 1 ¼ 0, x ¼ 6 4 221 Þ

bB ¼ x. Per quali valori Dato un quadrato ABCD, di lato a, considera sulla diagonale BD un punto P tale"che P A # pffiffiffi pffiffiffi di x risulta PA þ PB þ PC  2PD? 2 2þ 3  x arccos 5 2 222 Þ

bC ¼ x. Nel semipiano di origine BC, non contenente Nel triangolo (non degenere) ABC e` AB ¼ 1, AC ¼ 2 e BA A, costruisci il triangolo BCD, isoscele sulla base BD, avente gli angoli alla base di ampiezza uguale alla meta` di     bC. Per quali valori di x risulta BD < 3? BA  1 0 < x < _ arccos