Matematica blu 2.0. Vol.4 (2011)

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Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.blu 2.0

4

6

7

Trova il numero mancante in base alla relazione tra i 4 numeri di ciascun triangolo

?

8

3

4

9

4

36

90

6

5

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.blu 2.0

Le funzioni goniometriche La prima relazione fondamentale x2 + y2 = 1

sen2 ␣ ⫹ cos2 ␣ ⫽ 1 La seconda relazione fondamentale tg a =

y B

sen α = yB cos α = xB

yB

α O xB A

sen a cos a

1

x y tg α = —B xB xB cotg α = — yB

Seno, coseno, tangente e cotangente di angoli notevoli Radianti

Gradi

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

0

0

0

1

0

non esiste

r 6

30°

1 2

3 2

3 3

r 4

45°

2 2

2 2

1

r 3

60°

3 2

1 2

r 2

90°

1

0

3 non esiste

3 1 3 3 0

4

Copyright © 2011 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6283] www.zanichelli.it I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell’ingegno (AIDRO) Corso di Porta Romana, n. 108 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltàdi cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/

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Copertina: – Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna – Realizzazione: Roberto Marchetti – Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna Prima edizione: gennaio 2011

L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B. File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo: [email protected] Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicati nella sezione errata corrige del sito dell’opera (www.online.zanichelli.it/bergaminitriennio) Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001: 2008

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.blu 2.0

4

SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

IX

Realtà e modelli Problemi e modelli della probabilità

XIII

CAPITOLO 10 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. 2. 3. Come funziona una rotella misuratrice? 䉴 La risposta a pag. 662

4. 5. 6. 7. 8.

La misura degli angoli Le funzioni seno e coseno La funzione tangente Le funzioni secante e cosecante La funzione cotangente Le funzioni goniometriche di angoli particolari Le funzioni goniometriche inverse Le funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche ESPLORAZIONE

Suoni e moti armonici

LABORATORIO DI MATEMATICA

634 639 643 646 650 652 654 658 661

667 672 675 680 681 684 685 688 663

Le funzioni goniometriche

700 701

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO 11 LE FORMULE GONIOMETRICHE 1. 2. 3. Com’è possibile trovare tg 35° senza strumenti di calcolo e tavole? 䉴 La risposta a pag. 720

4. 5. 6.

Gli angoli associati Le formule di addizione e sottrazione Le formule di duplicazione Le formule di bisezione Le formule parametriche Le formule di prostaferesi e di Werner ESPLORAZIONE

L’inafferrabile pi greco

LABORATORIO DI MATEMATICA

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

IV

Le formule goniometriche

706 708 713 715 716 717 719

724 735 741 746 749 749 721 757 758

SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

762 766 769 773 775 776 781

790

CAPITOLO 12 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE 1. Come si devono collocare i pannelli solari in modo che il loro rendimento sia massimo? 䉴 La risposta a pag. 785

Le equazioni goniometriche elementari ESPLORAZIONE

Le fibre ottiche

Le equazioni lineari in seno e coseno Le equazioni omogenee in seno e coseno 4. I sistemi di equazioni goniometriche 5. Le disequazioni goniometriche 6. Le equazioni goniometriche parametriche 2. 3.

LABORATORIO DI MATEMATICA

806 809 819 822 840 786

Le equazioni goniometriche

844 845

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO 13 LA TRIGONOMETRIA 1. 2.

I triangoli rettangoli Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli ESPLORAZIONE

In assenza di apparecchiature tecnologiche sofisticate, come si può, dalla Terra, stimare la distanza della Luna? 䉴 La risposta a pag. 861

3.

Astri, seni, coseni, tangenti

I triangoli qualunque Le applicazioni della trigonometria LABORATORIO DI MATEMATICA

850 853 854 856

865 876 880 903 862

La trigonometria

911 912

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO 14 I NUMERI COMPLESSI. LE COORDINATE POLARI 1. 2. Da un punto di vista geometrico, come si può descrivere la relazione tra mouse e cursore? 䉴 La risposta a pag. 944

3. 4. 5. 6.

I numeri complessi Il calcolo con i numeri immaginari Il calcolo con i numeri complessi in forma algebrica Vettori e numeri complessi Le coordinate polari Le coordinate polari e le equazioni delle curve ESPLORAZIONE

Da quantità silvestri a numeri immaginari

La forma trigonometrica di un numero complesso Operazioni fra numeri complessi in forma trigonometrica 9. Le radici n-esime dell’unità 10. Le radici n-esime di un numero complesso 7. 8.

918 922 924 926 928 930 933 934 935 937 940

949 952 953 958 959 960 964 965 970 971

V

SOMMARIO

11.

La forma esponenziale di un numero complesso LABORATORIO DI MATEMATICA

TEORIA

ESERCIZI

942

977 945

I numeri complessi

982 983

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO 15 LO SPAZIO 1. 2. Che tipo di figure si ottengono sezionando un cubo con un piano? 䉴 La risposta a pag. 1036

3. 4. 5. 6. 7.

Punti, rette e piani nello spazio Le trasformazioni geometriche I poliedri I solidi di rotazione Le aree dei solidi notevoli L’estensione e l’equivalenza dei solidi I volumi dei solidi notevoli ESPLORAZIONE

Arte al cubo

LABORATORIO DI MATEMATICA

986 996 999 1008 1010 1017 1025 1034

1043 1045 1046 1047 1048 1055 1056 1037

Problemi di geometria solida

1071 1072

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO 16 LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO Come poteva Cartesio descrivere il volo di una mosca? 䉴 La risposta a pag. 1100

1. 2. 3. 4. 5.

Le coordinate cartesiane nello spazio Il piano La retta Alcune superfici notevoli Le funzioni di due variabili Debito, deficit e PIL LABORATORIO DI MATEMATICA La geometria analitica dello spazio ESPLORAZIONE

1082 1083 1086 1089 1094 1099

1104 1105 1109 1114 1122 1101 1126 1127

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO 17 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE 1. 2. 3. Se esponiamo ai raggi solari una figura che illustra il teorema di Pitagora, che cosa accade alla sua ombra? 䉴 La risposta a pag. 1164

VI

4. 5. 6.

Le trasformazioni geometriche La traslazione La rotazione La simmetria centrale La simmetria assiale Le isometrie

1130 1135 1138 1141 1143 1148

Trasformazioni geometriche e tassellazioni del piano

1149

ESPLORAZIONE

1170 1175 1180 1187 1193 1201

SOMMARIO

L’omotetia La similitudine 9. Le affinità 7. 8.

LABORATORIO DI MATEMATICA

TEORIA

ESERCIZI

1152 1156 1159

1207 1211 1214 1165

Le trasformazioni geometriche

1226 1227

■ Realtà e modelli ■ Verso l’esame di Stato

CAPITOLO ␣1 IL CALCOLO COMBINATORIO 1. 2. 3. 4. Come fa un commesso viaggiatore a stabilire il percorso più breve per raggiungere i suoi clienti?

5.

䉴 La risposta a pag. ␣17

7.

6.

I raggruppamenti Le disposizioni semplici Le disposizioni con ripetizione Le permutazioni semplici Le permutazioni con ripetizione La funzione n! ESPLORAZIONE

Uno, cento, mille racconti

Le combinazioni semplici 8. Le combinazioni con ripetizione 9. I coefficienti binomiali LABORATORIO DI MATEMATICA

␣2 ␣3 ␣5 ␣6 ␣8 ␣9

␣22 ␣22 ␣25 ␣26 ␣28 ␣29

␣11 ␣12 ␣13 ␣14

␣30 ␣32 ␣32 ␣18

Il calcolo combinatorio

■ Realtà e modelli

␣43

■ Verso l’esame di Stato

␣44

CAPITOLO ␣2 IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1. 2. 3. Come si possono bloccare le e-mail di spam? 䉴 La risposta a pag. ␣72

4. 5. 6. 7. 8.

Gli eventi La concezione classica della probabilità La concezione statistica della probabilità La concezione soggettiva della probabilità L’impostazione assiomatica della probabilità La probabilità della somma logica di eventi La probabilità condizionata La probabilità del prodotto logico di eventi ESPLORAZIONE

9. 10.

Siamo soli nell’Universo?

Il problema delle prove ripetute Il teorema di Bayes LABORATORIO DI MATEMATICA

␣50 ␣51 ␣54 ␣56 ␣57 ␣59 ␣60 ␣63

␣77 ␣77 ␣81 ␣81 ␣82 ␣83 ␣86 ␣88

␣65 ␣66 ␣67

␣92 ␣93 ␣73

Il calcolo della probabilità

■ Realtà e modelli

␣105

■ Verso l’esame di Stato

␣106

Indice analitico

I1

VII

FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI IX: Ryan Carter/Shutterstock; X: Molodec/Shutterstock; XI: Allison/Shutterstock; XII: Irin-k/Shutterstock; XIII: fantasista/Shutterstock; XIV: Oleksiy_Mark/Shutterstock; XV (a): Alhovik/Shutterstock; XV (b): TryBy/Shutterstock; XVI: IMaster/Shutterstock; 633, 662 (a): Pialr Echevarria/Shutterstock, Marek Cech/ Shutterstock; 662 (b): Liquiditty, 2005; 700 (a): Billyhoiler/Shutterstock; 700 (b): EuToch/Shutterstock; 700 (c): Jiri Hera/Shutterstock; 705, 720 (a): tychobrahe.com; 757: www.laverderosa.it; 761, 785 (a): Prism_68/Shutterstock; 766: Olga Kushcheva/Shutterstock; 785: Panzer3fan, 2006; 849, 861 (a): Carolina K. Smith, M.D./Shutterstock, Jonathan Larsen/Shutterstock; 854: Foto Giraudon, 1991; 911 (a): Nik Niklz/Shutterstock; 911 (b): Michal Duriník/Shutterstock; 917, 944 (a): Kevin O’Mara, 2005; 944 (b): Paul Fleet/Shutterstock;

VIII

944 (c): Sharply-done/iStockphoto; 985, 1036 (a): Peter Kirillov/Shutterstock; 1071: Algecireño/Shutterstock; 1081, 1100 (a): Rafaelo/iStockphoto; 1100 (b): Steeve Reed/Shutterstock; 1126 (a): Shutterstock; 1126 (b): Roel Driever; 1129, 1164 (a): Mike Flippo/Shutterstock; 1129, 1164 (b): Feng Yu/Shutterstock; 1149 (a): Eva Madrazo/Shutterstock; 1149 (b): Jennifer Stone/Shutterstock; 1226: Norman Pogson/Shutterstock; ␣1, ␣17 (a): Bill Lawson/Shutterstock; ␣11 (a): Jerry Bauer; ␣17 (b): Martin Groetschel, 1977; ␣17 (c): Manfred W. Padberg e Giovanni Rinaldi, 1987; ␣43 (a): Poznyakov/Shutterstock; ␣43(b): humb/Shutterstock; ␣43(c): Perrush/Shutterstock; ␣43 (d): Rob Pitman/Shutterstock; ␣49, ␣72 (a): Alexey Stiop/Shutterstock; ␣65: Webphoto; ␣72 (b): Felix Moeckel/iStockphoto; ␣72 (c): Chris Browning, 2007; ␣105 (a): Kiselev Andrey Valerevich/Shutterstock; ␣105 (b): Zentilia/Shutterstock.

● Linguaggio matematico e previsioni L’uso del linguaggio matematico è fondamentale per passare da una descrizione qualitativa a una quantitativa della situazione e per fare previsioni accurate. Nell’oscillatore armonico avresti potuto afermare, con considerazioni qualitative, che la massa oscilla tra due posizioni simmetriche rispetto al punto di equilibrio; però solo l’equazione F = - kx, combinata con la seconda legge della dinamica e le equazioni del moto uniformemente accelerato, ha consentito di prevedere la posizione della massa oscillante in ogni istante.

Il rapporto fra modello e realtà

I

n Le città invisibili Calvino parla del rapporto fra realtà e modello come problema di verità, descrivendo la città di Eudossia.

«

A Eudossia, che si estende in alto e in basso, con vicoli tortuosi, scale, angiporti, catapecchie, si conserva un tappeto in cui puoi contemplare la vera forma della città. [...] se ti fermi a osservarlo con attenzione, ti persuadi che a ogni luogo del tappeto corrisponde un luogo della città e che tutte le cose contenute nella città sono comprese nel disegno [...] Sul rapporto misterioso di due oggetti così diversi come il tappeto e la città fu interrogato un oracolo. Uno dei due oggetti, – fu il responso, – ha la forma che gli dei diedero al cielo l stellato t ll t e alle ll orbite bit su cuii ruotano t i mondi; l’altro ne è l’approssimativo riflesso, come ogni opera umana. Gli àuguri già da tempo erano certi che l’armonico disegno del tappeto fosse di natura divina; in questo senso fu interpretato l’oracolo, senza dar luogo a controversie. Ma nello stesso modo tu puoi trarne la conclusione opposta: che la vera mappa dell’universo sia la città d’Eudossia così com’è, una macchia che dilaga senza forma, con vie tutte a zig-zag, case che franano una sull’altra nel polverone, incendi, urla nel buio. (Italo Calvino, Le città invisibili, Mondadori, 1996)

»

● Dalla corrispondenza biunivoca… Nel Seicento, grazie anche ai risultati ottenuti nel secolo precedente nel campo dell’algebra, si pongono le basi per un uso della matematica come strumento di conoscenza, descrizione e previsione dei fenomeni naturali. Celebre è il passo del Saggiatore di Galileo Galilei del 1623: «La ilosoia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre igure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola». Non c’è alcun dubbio che queste parole individuino nella matematica la disciplina privilegiata per costruire una descrizione razionale del mondo, fondata, come precisava Galileo, sulle sensate esperienze e sulle certe dimostrazioni. XI

Problemi e modelli della probabilità

?

Il calcolo della probabilità: una matematica nata dai giochi d’azzardo. Ma la Natura gioca a dadi?

Partendo dalle scommesse Tentare la fortuna

È«

attribuita a Tacito la frase: La speranza di diventare ricchi è una delle più diffuse cause di povertà .

»

Il calcolo della probabilità nacque da alcuni problemi che i giocatori d’azzardo posero ai matematici, nella speranza di trarne vantaggio; oggi può farci capire, in modo razionale, che con il gioco accanito non ci si arricchisce, ma piuttosto si può cadere in disgrazia. Per esempio, nel gioco del lotto non ha senso puntare somme sempre più ingenti su numeri «ritardatari», perché ogni estrazione non dipende dalle precedenti. Il matematico Vinicio Villani ha persino proposto che si affiggano in tutte le ricevitorie del lotto avvertenze del tipo:

«

Diffidate da chiunque vi proponga un metodo sicuro per vincere @@@IMMAGINE ALLEGATA@@@ al lotto .

»

Ecco alcuni problemi legati al gioco da cui iniziò l’interesse dei matematici per lo studio di fenomeni casuali. I dadi di Firenze Perché nel lancio di tre dadi è più vantaggioso puntare sull’usci-

ta di un 10 invece che sull’uscita di un 9? Il fenomeno era stato osservato da scommettitori fiorentini e fu spiegato da Galileo. Il problema del Cavaliere di Méré Perché se si lanciano 24 volte due dadi per ot-

tenere almeno un 12 (ossia due 6) si ha una probabilità di vincere che è minore di quella che si ha quando si lancia 4 volte un dado per ottenere almeno un 6? Basandosi sulle sue osservazioni, il Cavaliere di Méré, accanito giocatore, pose il problema a Pascal. Nel 1657 Christiaan Huygens, nel suo De ratiociniis in ludo aleae (Sui ragionamenti nel gioco dei dadi), ispirandosi alla corrispondenza che Pascal ebbe con Fermat per risolvere il problema, calcolò che la probabilità di vincere puntando sull’uscita di almeno un 6 su 4 lanci di un dado è leggermente 1 1 maggiore di , mentre con 24 lanci di due dadi è di poco minore di . 2 2 XIII

Problemi e modelli della probabilità Probabilità e particelle

N

el 1820 Pierre Simon de Laplace, nel suo Théorie analytique des probabilités, scriveva:

«

Noi dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un’intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui è animata la natura […] abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi .

»

Laplace riteneva che il calcolo delle probabilità fosse utile in tutte quelle situazioni in cui è difficile ottenere informazioni molto precise sulle grandezze in gioco, ma che sarebbe possibile conoscere con esattezza posizione e velocità di ogni singola particella dell’universo. Nel 1927 Werner Heisenberg enunciava il principio di indeterminazione, affermando che il prodotto delle incertezze di due grandezze coniugate (per esempio, posizione e quantità di moto) non può essere minore del rapporto fra la costante di Planck e 2r. Nel mondo macroscopico gli effetti di questo principio sono irrilevanti, perché la costante di Planck è molto piccola. Nel mondo atomico e subatomico, invece, le conseguenze sono significative e sorprendenti. Per esempio, affermare che non è possibile conoscere con la precisione voluta sia la quantità di moto sia la posizione di una particella, implica che perde significato il concetto di traiettoria. Non ha quindi senso parlare di traiettoria di un elettrone, ma solo di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione. A differenza di ciò che affermava Laplace, l’approccio probabilistico non è allora un utile stratagemma per ovviare alla nostra ignoranza, ma una necessità per comprendere la natura del mondo.

Attività La nascita del concetto di probabilità. Approfondisci questo tema e sintetizza i risultati della tua ricerca in una presentazione multimediale.

Da leggere: ● Keith Devlin , La lettera di Pascal. Storia dell’equazione che ha fondato la teoria della probabilità, Rizzoli, 2008;

● Carla Rossi, La matematica dell’incertezza, Zanichelli, 1999.

Cerca nel Web: probabilità storia, Aristotele, dadi astragali giochi aleatori, gioco zara

XVI

CAPITOLO

10

[numerazione i araba] b ]

[numerazione [ i devanagari] d i]

[[numerazione i cinese] i ]

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

ROTOLARE PER MISURARE I tecnici che misurano la lunghezza delle strade usano uno strumento chiamato rotella misuratrice. Nei negozi specializzati in carte e atlanti è anche possibile comperare piccole rotelle multiscala da far correre su una carta geografica in modo da convertire in kilometri reali i centimetri rappresentati.

Come funziona una rotella misuratrice?

La risposta a pag. 662

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

1. LA MISURA DEGLI ANGOLI Gli angoli e la loro ampiezza ● «Trigonometria» deriva dal greco trigonos, che significa «triangolo» e métron, ossia «misura».

● Un angolo si dice convesso quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati, concavo quando li contiene. In genere, quando si parla dell’angolo aVW b , senza altra indicazione, ci si riferisce all’angolo convesso. angolo concavo b angolo convesso a

V

angolo giro V angolo nullo angolo piatto

La trigonometria ha lo scopo di studiare i procedimenti di calcolo che permettono di determinare, con l’approssimazione che si vuole, la misura degli elementi di un triangolo (lati e angoli), noti alcuni di essi. Trova applicazione, in particolare, in astronomia, meccanica, navigazione aerea e marittima, topografia. Lo studio della trigonometria è preceduto da quello della goniometria, ossia di quella parte della matematica che si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni. Richiamiamo la definizione di angolo. DEFINIZIONE

Angolo Un angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b che hanno origine comune V. Il punto V si chiama vertice dell’angolo e le semirette a e b si chiamano lati. Quando i lati di un angolo sono coincidenti, l’angolo è nullo se è formato dalla sola semiretta dei lati, è giro se è formato da tutti i punti del piano. Se i lati di un angolo sono uno il prolungamento dell’altro, l’angolo è piatto. Se due rette incontrandosi formano quattro angoli congruenti, ognuno degli angoli è un angolo retto. Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza, che si può misurare rispetto a un’unità di misura assegnata. È usuale indicare con le lettere greche minuscole a, b, c, … sia gli angoli sia la misura della loro ampiezza. Le unità di misura più usate sono: • il grado sessagesimale; • il radiante.

La misura in gradi

V

angolo retto V

Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360a parte dell’angolo giro. Il grado sessagesimale viene indicato con un piccolo cerchio in alto a destra della misura: 1o =

1 dell’angolo giro. 360

Nel sistema sessagesimale, il grado viene suddiviso a sua volta in 60 primi, che vengono indicati con un apice (l): 1o = 60l. ● Un angolo di 32 gradi,

10 primi e 47 secondi viene scritto così: 32o 10l 47m.

634

Ogni primo viene suddiviso a sua volta in 60 secondi, indicati con due apici (m): 1l = 60m. Queste suddivisioni in 60 parti danno il nome al sistema di misura.

PARAGRAFO 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI

●

TEORIA

Perché la suddivisione in 360 parti?

Pare che la suddivisione del cerchio in 360 parti risalga ai Babilonesi (circa 2000 a.C.), i quali contavano il ciclo delle stagioni, ossia l’anno solare, in 360 giorni. Per lungo tempo, tuttavia, la misura degli angoli in gradi non venne adottata sistematicamente. Soltanto nel II secolo d.C. Tolomeo d’Alessandria ne fece un uso regolare, introducendo i sottomultipli del grado, in latino partes minutae primae e partes minutae secundae, che noi oggi chiamiamo «primi» e «secondi».

● La scelta di dividere in 60 parti può essere giustificata dal fatto che il numero 60 ha molti divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi e secondi è il più antico, ma presenta il problema di non basarsi su un sistema decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo complicati.

● Le calcolatrici scientifiche usano anche il sistema sessadecimale, in cui accanto ai gradi si usano decimi, centesimi, millesimi, f di grado. Per esempio, nel sistema sessadecimale, 37,25o significa

ESEMPIO

Per ottenere:

30o 20l 54m + 2o 45l 24m

dobbiamo prima sommare i secondi:

54m + 24m = 78m,

trasformare il risultato in primi e secondi:

78m = 1l 18m,

sommare i primi:

20l + 45l + 1l = 66l,

trasformare il risultato in gradi e primi:

66l = 1o 6l,

sommare i gradi:

30o + 2o + 1o = 33o,

e ottenere così il risultato finale:

33o 6l 18m.

37 o + b

2 lo b 5 lo . + 10 100

Se invece si suddivide l’angolo retto in cento parti, si ottiene il sistema centesimale. Il grado centesimale, definito come la centesima parte dell’angolo retto, si indica con grad o gon.

La misura in radianti Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante. Per definirlo, consideriamo due circonferenze di raggi r e rl e i due archi l e ll, sottesi da angoli al centro della stessa ampiezza a, sulle due circonferenze (figura a lato). Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava l ⬊ ao = 2rr ⬊ 360o l=

ao r r 180o

e

ll ⬊ ao = 2rrl ⬊ 360o,

e

ll =

r O

ao r l r, 180o

da cui, dividendo membro a membro, si ottiene l ⬊ ll = r ⬊ rl

"

α ᐉ

l ⬊ r = ll ⬊ rl

"

r'

l ll = l, r r

O'

α

l non varia al r variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a. Se ogni volta che si misura un arco l si usa come unità di misura il raggio della circonferenza cui appartiene, si ottiene un numero che non dipende dalla circonferenza considerata, ma solo dall’angolo a che sottende l’arco. l Il rapporto viene quindi assunto come misura, in radianti, di a: r

cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto

a=

l . r

635

ᐉ'

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Come definizione di radiante si può allora dare la seguente. radiante

DEFINIZIONE

Radiante Data una circonferenza, si chiama radiante l’angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.

r r

L’unità di misura viene indicata con rad, ma generalmente, se si esprime un angolo in radianti, si è soliti trascurare l’indicazione dell’unità di misura. 2rr = 2r . Poiché sottende l’intera circonferenza, l’angolo giro misura r L’angolo piatto, che corrisponde a metà circonferenza, misura r, l’angolo retto r ecc. misura 2 Lunghezza di un arco di circonferenza l Dalla relazione a = , ricaviamo che, se a è misurato in radianti, la lunghezza r di un arco è:

l = ar.

α r

settore circolare ᐉ

Area del settore circolare Esprimiamo anche l’area di un settore circolare. Dalla proporzione: Asettore : Acerchio = a : 2r ,

ricaviamo: o, tenendo conto che a = ● Nelle calcolatrici si può operare sia con i gradi sia con i radianti. I simboli corrispondenti sono DEG, che sta per degree, e RAD. Di solito, è presente anche il sistema centesimale, con il simbolo GRAD.

● In particolare, 1 radiante corrisponde a circa 57o. Infatti: 180 o 180 o 1$ = b 57 o . 3,1415f r

l : r

Asettore =

1 a a r r2 = ar2, $ Acerchio = 2r 2 2r

Asettore =

1 l 2 1 $ r = lr. 2 r 2

Dai gradi ai radianti e viceversa Date le misure di un angolo a in gradi sessagesimali e in radianti, vale la proporzione ao ⬊ arad = 360o ⬊ 2r, da cui ricaviamo le due formule che convertono la misura di un angolo da radianti a gradi e viceversa: ao = arad $

180o , r

arad = ao $

ESEMPIO

1 radiante

y

57°… O

636

x

2 r radianti corrisponde: 3 60c 2 180o 2 ao = r $ = $ 180 o = 120o. 3 31 r

1. A

2. A 60o corrisponde: 1 r r arad = 60 o $ = . o 3 1803

r . 180o

PARAGRAFO 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI

Riportiamo in una tabella le misure in radianti e in gradi di alcuni angoli. Misure degli angoli gradi

0o

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

radianti

0

r 6

r 4

r 3

r 2

2 r 3

3 r 4

5 r 6

r

Gli angoli orientati La definizione di angolo che abbiamo dato non è adatta per descrivere tutte le situazioni. Per esempio, nell’avvitare o svitare una vite si descrive un angolo che può essere maggiore di un angolo giro. È più utile quindi collegare il concetto di angolo a quello di rotazione, cioè al movimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro.

La rotazione è univoca solo quando ne viene specificato il verso, orario o antiorario. Nella figura a lato il senso adottato è quello antiorario.

B α O

A

Consideriamo la semiretta OA che ruota in senso antiorario intorno al vertice O, W . La semiretta fino a sovrapporsi alla semiretta OB, generando l’angolo a = AOB OA si chiama lato origine dell’angolo a, la semiretta OB si chiama lato termine. DEFINIZIONE

Angolo orientato Un angolo si dice orientato quando sono stati scelti uno dei due lati come lato origine e un senso di rotazione. Un angolo orientato si dice positivo quando è descritto mediante una rotazione in senso antiorario; si dice negativo quando la rotazione è in senso orario.

α O β

angolo positivo A lato origine angolo negativo

Un angolo orientato può anche essere maggiore di un angolo giro. ESEMPIO

Poiché 750o = 30o + 2 $ 360o, l’angolo di 750o si ottiene con la rotazione della semiretta OA di due giri completi e di ulteriori 30o.

●

750 30

360 2

750° = 30° + 2 . 360° B O

A 䉳 Figura 1 L’angolo di 750° si ottiene

con una rotazione della semiretta OA di 30° e 2 angoli giro.

637

TEORIA

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

La forma sintetica È possibile scrivere in forma sintetica un qualunque angolo a, minore di un angolo giro, e tutti gli infiniti angoli orientati che da a differiscono di un multiplo dell’angolo giro nel seguente modo: ● In seguito, se non daremo altre indicazioni, sarà sempre vero che k ! Z . Inoltre, per brevità, utilizzeremo il termine «angolo» anche per indicare un angolo maggiore di un angolo giro.

in gradi: a + k360o, con k ! Z ;

in radianti: a + 2kr, con k ! Z .

Quando k = 0, otteniamo l’angolo a. ESEMPIO

La scrittura

r + 2kr indica gli angoli: 4

r r r r , ! 2r, ! 4r, ! 6r, … 4 4 4 4

La circonferenza goniometrica Nel piano cartesiano, per circonferenza goniometrica intendiamo la circonferenza che ha come centro l’origine O degli assi e raggio di lunghezza 1, ossia la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1. 䉳 Figura 2 La circonferenza goniometrica.

● Essendo la lunghezza di

y

un arco l = ar , poiché il raggio della circonferenza è 1, se l’angolo è misurato in radianti la lunghezza $ dell’arco EB è uguale alla W . misura dell’angolo EOB

B α

E(1; 0) x

O

( 0)) si dice d origine i i degli d li archi. h Il punto E(1; Utilizzando la circonferenza goniometrica, si possono rappresentare gli angoli orientati, prendendo come lato origine l’asse x. In questo modo, a ogni angolo corrisponde un punto di intersezione B fra la circonferenza e il lato termine. ESEMPIO

Rappresentiamo gli angoli a1 =

5 r r , a = r, a3 =- . 6 2 4 3

Essi individuano sulla circonferenza i punti B1, B2 e B3 della figura 3.

䉲 Figura 3

y

y

y

B1 α1= π – 6 O

E

O

x –π α2= 5 4

a

b

638

E

O

x

E α3=– π – 3

B2 c

B3

x

PARAGRAFO 2. LE FUNZIONI SENO E COSENO

TEORIA

2. LE FUNZIONI SENO E COSENO Introduciamo alcune funzioni goniometriche che alla misura dell’ampiezza di ogni angolo associano un numero reale. DEFINIZIONE

Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato a, e sia B il punto della circonferenza associato ad a. Definiamo coseno e seno dell’angolo a, e indichiamo con cos a e sen a, le funzioni che ad a associano, rispettivamente, il valore dell’ascissa e quello dell’ordinata del punto B:

y B

yB α

xB E

O

x

r=1 cos α = xB sen α = yB

● Nel linguaggio scientifico internazionale il seno di a si indica anche con sin a.

cos a = x B " B (cos a; sen a). sen a = y B

Seno e coseno di un angolo a sono funzioni che hanno come dominio R, perché per ogni valore di a ! R esiste uno e un solo punto sulla circonferenza.

Le variazioni delle funzioni seno e coseno Supponiamo che un punto B percorra l’intera circonferenza goniometrica, a partire da E, in verso antiorario. W , come variano sen a e cos a al variare della posizione di B? Basta Se a = EOB osservare che cosa succede all’ascissa di B (ossia il coseno) e alla sua ordinata (ossia il seno).

y

y F yB O

(+; +) B α xB E x

(–; +) B

y

yB

G

xB O

y

α

α

α

xB E x

xB O

B

E x

yB

(–; –) H a. Finché B percorre il primo quarto di circonferenza, la sua ascissa xB e la sua ordinata yB sono positive. Man mano che B si avvicina al punto F, l’ascissa diminuisce e l’ordinata aumenta. In F, xF = 0, yF = 1.

䉲 Figura 4

b. Quando B percorre la circonferenza nel secondo quadrante, la sua ordinata è ancora positiva, mentre l’ascissa diventa negativa. Quando B si avvicina a G, sia l’ascissa sia l’ordinata diminuiscono. In G, xG = – 1, yG = 0.

c. Se B si trova nel terzo quadrante, la sua ordinata e la sua ascissa sono negative. Man mano che B si avvicina a H, l’ascissa aumenta e l’ordinata diminuisce. In H, xH = 0, yH = –1.

O yB

E x B (+; –)

d. Quando B percorre l’ultimo quarto di circonferenza, la sua ordinata è ancora negativa, mentre l’ascissa è positiva. Avvicinandosi a E, sia l’ascissa sia l’ordinata di B aumentano. In E, xE = 1, yE = 0.

639

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Qualunque sia la posizione di B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compresi fra -1 e 1, quindi: -1 # sen a # 1

e

-1 # cos a # 1.

Il codominio delle funzioni seno e coseno è quindi [-1; 1].

● Poiché cos a = cos(- a) (figura 5a), allora il coseno è una funzione pari, mentre, essendo sen(- a) = -sen a (figura 5b), il seno è una funzione dispari. 䉴 Figura 5

y

y

α O

α O

x

–α

–α

sen α x sen (–α)

cos α = cos(–α)

sen (–α) = –sen α

a

b

I grafici delle funzioni y = sen x, y = cos x ● Studiando il grafico della funzione nel riferimento cartesiano Oxy, indichiamo l’angolo con x.

Possiamo costruire il grafico della funzione y = sen x in [0; 2r] riportando sull’asse x i valori degli angoli e, in corrispondenza, sull’asse y le ordinate dei punti che stanno sulla circonferenza goniometrica (figura 6). Analogamente, per ottenere il grafico della funzione coseno, riportiamo sulle ordinate di un piano cartesiano le ascisse dei punti della circonferenza goniometrica in corrispondenza degli angoli (figura 7).

䉲 Figura 6

y 2π — 3 3π — 4 5π — 6 π

y = sen x

π — 2

1 3π — 2

0 O

3π — 2 Grafico di y = sen x in [0; 2π].

640

–1

π — π π — — 6 4 3

π — 2

2π — 3π — 5π — 3 4 6

π

2π x

PARAGRAFO 2. LE FUNZIONI SENO E COSENO

TEORIA

y y = cos x

π — 3

π π — 6 — 4

2π

11π —— 6 7π — 4 5π — 3

π — 2

1 2π — 3π — 5π — 3 4 6

3 π — 2

O

π — π — π — 6 4 3

7π — 5π — 4π — 6 4 3

π

π — 2

x

11π 2π 3π — 7π — —— — 5π 2 3 4 6

–1

π Grafico di y = cos x in [0; 2π].

䉱 Figura 7

Il periodo delle funzioni seno e coseno

y

Dopo aver percorso un giro completo, il punto B può ripetere lo stesso movimento quante volte si vuole.

B α

Le funzioni sen a e cos a assumono di nuovo gli stessi valori ottenuti al «primo giro», ossia:

O

sen a = sen (a + 2r) = sen (a + 2 $ 2r) = f cos a = cos (a + 2r) = cos (a + 2 $ 2r) = f

E x

α + 2π

● In generale, una funzione y = f (x) è detta periodica di periodo p (con p 2 0) se per ogni x e per qualsiasi numero k intero si ha f (x) = f (x + kp).

Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2r. Possiamo scrivere, in modo sintetico: sen (a + 2kr) = sen a, cos (a + 2kr) = cos a, con k ! Z.

䉲 Figura 8 Grafici completi

La sinusoide e la cosinusoide

di y = sen x e y = cos x. Le funzioni sono periodiche di periodo 2r, quindi i grafici si ottengono ripetendo ogni 2r i grafici relativi all’intervallo [0; 2r].

Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide (figura 8a), quello della funzione coseno cosinusoide (figura 8b).

y y = sen x 1 –3π

–2π

–π

O –1

π

2π

3π

4π

x

4π

x

periodo 2π

a. Grafico di y = sen x. y

y = cos x 1 –3π

–2π

O

–π –1

b. Grafico di y = cos x.

π

2π

3π

periodo 2π

641

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

I grafici delle due funzioni sono sovrapponibili con una traslazione di vetr tore parallelo all’asse x e di modulo . 2

y y = sen x

O

π – 2

π x

y = cos x 䉴 Figura 9

In sintesi • La funzione y = sen x ha per dominio R e per codominio l’intervallo [-1; 1], ossia: sen x: R " [- 1; 1]. Pertanto si ha sen x # 1. È una funzione dispari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. • La funzione y = cos x ha per dominio R e per codominio [-1; 1], ossia: cos x: R " [- 1; 1]. Si ha quindi cos x # 1. È una funzione pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

La prima relazione fondamentale Poiché il punto B(cos a; sen a) appartiene alla circonferenza goniometrica, le sue coordinate soddisfano l’equazione x2 + y2 = 1: cos 2 a + sen 2 a = 1 prima relazione fondamentale della goniometria. 䉳 Figura 10 cos2 a + sen2 a = 1. La relazione

esprime il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OAB.

y B 1 O

α cos α A

sen α

x

Da questa relazione è possibile ricavare sen a conoscendo cos a e viceversa.

642

Infatti, se è noto cos a, si ha:

sen a = ! 1 - cos 2 a .

Viceversa, se si conosce sen a, si ha:

cos a = ! 1 - sen2 a .

PARAGRAFO 3. LA FUNZIONE TANGENTE

TEORIA

3. LA FUNZIONE TANGENTE La tangente di un angolo DEFINIZIONE

Tangente di un angolo Consideriamo un angolo orientato a e chiamiamo B l’intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniometrica di centro O. Definiamo tangente di a la funzione che ad a associa il rapporto, quando esiste, fra l’ordinata e l’ascissa dal punto B: y tg a = B . xB

y B yB O

α xB A

x

yB tg α = —– x B

yB r non esiste quando x B = 0 , ossia per a = + kr . 2 xB Il dominio della funzione tangente è quindi:

Il rapporto

a!

r + kr , con k ! Z . 2

● Nel linguaggio scientifico internazionale la tangente di a si indica con tan a. ● La tangente di un angolo non esiste quando B si trova sull’asse y, ossia quando r l’angolo è uguale a oa 2 3 r o a un altro valore che 2 r ottieni da aggiungendo 2 multipli interi dell’angolo piatto.

Un altro modo di definire la tangente Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto E, origine degli archi. Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto T (figura a lato). La tangente dell’angolo a può anche essere definita come il valore dell’ordinata del punto T, ossia:

● «Tangente» deriva dal latino tangere, che significa «toccare». y yT

α

T B tg α

O

E

y

T

x

tg a = yT. Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti. DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i due triangoli rettangoli OAB e OET. Essi sono simili, quindi: TE : BA = OE : OA "

yT : y B = 1 : x B ,

da cui yT =

B

O

yB $ 1 , xB

ossia yT =

A

yB . xB

Pertanto: tg a =

yB = yT . xB

643

E x

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Le variazioni della funzione tangente Studiamo come varia yT al variare dell’angolo a.

䉲 Figura 11

y

y

+

B

F B T α O

y

y

+

E x

α G

O

α

T

α E x B T

a. Finché B percorre il primo quarto di circonferenza, l’ordinata di T è positiva e aumenta man mano che B si avvicina al punto F. Quando B ≡ F, la tangente non esiste.

B T

H

–

b. Quando B percorre la circonferenza nel secondo quadrante, l’ordinata T è negativa, e aumenta fino a quando B ≡ G, in cui yT = 0.

E x

O

E x

O

–

d. Quando B percorre l’ultimo quarto di circonferenza, l’ordinata di T ritorna negativa e aumenta fino allo 0.

c. Se B si trova nel terzo quadrante, l’ordinata di T è di nuovo positiva e va aumentando fino a quando B ≡ H e T non esiste più. La tangente di 3π — non esiste. 2

y

● A differenza delle funzioni seno e coseno, la funzione tangente può assumere qualunque valore reale. Il suo codominio è quindi R, mentre, come abbiamo visto, il r suo dominio è: a ! + kr . 2 Essendo tg (- a) = - tg a (figura 12), la tangente è una funzione dispari. 䉴 Figura 12

tg α α O

x

–α

tg (–α)

tg (–α) = –tg α

Il grafico della funzione y = tg x Tracciamo il grafico della funzione y = tg x nell’intervallo [0; r], riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le ordinate dei punti corrispondenti sulla retta tangente alla circonferenza goniometrica. 䉴 Figura 13

y T' 2 –π 3 3 –π 4 5 –π 6

π – 2

π – 3 π – 4

T 2 –π –π 3 –π 5 3 4 6

π – 6 O

644

π – π – π – 6 4 3

π – 2

π

x

PARAGRAFO 3. LA FUNZIONE TANGENTE

TEORIA

r Notiamo come, man mano che x si avvicina a : 2 r , il valore della funzione tende a diventare sem• con valori minori di 2 pre più grande; diremo che tende a + 3 ; r , il valore della funzione, che è negativo, tende a • con valori maggiori di 2 diventare sempre più grande in valore assoluto; diremo che tende a - 3 . r Il grafico della tangente, per valori di x che si approssimano a , si avvicina sempre 2 r più alla retta di equazione x = , che viene detta asintoto verticale del grafico. 2 y

Il periodo della funzione y = tg x

F

B' T

La tangente è una funzione periodica di periodo r, cioè qualunque sia l’angolo a, è: G

tg a = tg(a + k $ r), con k ! Z.

α+π

α O

Questo si può vedere usando la definizione di tangente (figura a lato). Il grafico completo della tangente si chiama tangentoide.

y

E

B H

y = tg x

periodo −2π

−3 π 2

−π

−π 2

O

π 2

π

3π 2

In sintesi

r La funzione y = tg x ha per dominio R - & + kr, k ! Z0 e codominio R, ossia: 2 r tg x: R - & + kr, k ! Z0 " R . 2 r Ha infiniti asintoti verticali di equazione x = + kr, k ! Z . 2 È una funzione dispari, quindi è simmetrica rispetto all’origine.

2π

x

䉱 Figura 14 Rappresenta-

zione della tangentoide.

Il significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta Tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y = mx (figura 15), da cui: m=

y . x 645

x

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

In particolare, se x = 1, y = tg a e m=

y y = mx

tg a = tg a . 1

O

α 1

tgα x

䉴 Figura 15

y r // r'

r' r

α'

α x

O

Il coefficiente angolare della retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x. Dalla geometria analitica sappiamo che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare e, inoltre, rette parallele formano angoli congruenti con l’asse x. Ciò permette di estendere il risultato ottenuto anche a rette che non passano per l’origine (figura a lato).

La seconda relazione fondamentale α = α', m = m' => m' = tg α' y yB

B 1

O

α xB

Consideriamo la circonferenza goniometrica. Per definizione: yB tg a = , xB y B = sen a e x B = cos a . Sostituiamo sen a e cos a nell’espressione della tangente:

x

tg a =

sen a . cos a

Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria: la tangente di un angolo è data dal rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo.

4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE DEFINIZIONE

● Secante e cosecante, come seno e coseno, sono funzioni periodiche di periodo 2r.

Secante e cosecante di un angolo Dato un angolo a, si chiama: • secante di a la funzione che associa ad a il reciproco del valore di cos a, purché cos a sia diverso da 0. Si indica con sec a: 1 r sec a = , con a ! + kr ; cos a 2 • cosecante di a la funzione che associa ad a il reciproco del valore di sen a, purché sen a sia diverso da 0. Si indica con cosec a: 1 cosec a = , con a ! 0 + kr . sen a

Un altro modo di definire la secante e la cosecante Consideriamo la circonferenza goniometrica, l’angolo a e la tangente in B che intersechi gli assi x e y rispettivamente in S e Sl (figura 16). 646

PARAGRAFO 4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE

Essendo simili i triangoli OBA e OBS, si ha

䉳 Figura 16

y S'

OA : OB = OB : OS "

α

" cos a : 1 = 1 : OS , B

da cui:

α

OS =

O

1 = sec a . cos a

A

Sx

Analogamente, essendo simili i triangoli OAB e OBSl, si ha BA : OB = OB : OSl " sen a : 1 = 1 : OSl, da cui: OSl =

1 = cosec a . sen a

La secante di a è quindi l’ascissa del punto S, intersezione della retta tangente nel punto B, associato ad a sulla circonferenza goniometrica, con l’asse x. Analogamente, la cosecante di a è l’ordinata del punto Sl, intersezione della retta tangente in B con l’asse y.

I grafici della secante e della cosecante ●

Il grafico del reciproco di una funzione

Dal grafico di una funzione y = f (x) è possibile ricavare l’andamento della funzione: 1 y = g (x) = . f (x) 1. Se il grafico di f(x) interseca l’asse x in x0, ossia se f(x0) = 0, per valori di x che tendono a x0, il valore del reciproco è: • positivo e con valori sempre più grandi, man mano che ci si avvicina a x0, se f (x) 2 0 ; diremo che g (x) tende a + 3 ; • negativo e con valori sempre più grandi in valore assoluto, se f (x) 1 0 ; diremo che g(x) tende a - 3 . Avvicinandosi al punto x0 il grafico della funzione g(x) si avvicina a quello della retta x = x0, che viene detta asintoto verticale del grafico di g(x). Per esempio, considerata la funzione y = x + 1, f (x 0) = 0 se x 0 = - 1. 1 Il suo reciproco y = tende a + 3 quando x tende a - 1 e x 2 - 1, cioè x è x+1 «a destra» di - 1, perché f(x) assume valori sempre più grandi. Analogamente, il reciproco tende a - 3 per x che tende a - 1 «da sinistra». La retta x = - 1 è asintoto verticale (figura 17). 2. Quando f(x) tende a + 3 o a - 3 , il suo reciproco g(x) si avvicina sempre più a 0, cioè g(x) tende a 0 (figura 18). 1 1 = = 1. a è allora ascissa di un punto di inter3. Se f(a) = 1, è vero anche che g (a) = f (a) 1 sezione dei grafici della funzione e del suo reciproco.

1

1

Analogamente, se f (b) =- 1, g (b) = = =- 1, cioè b è ascissa di un punto di -1 f (b) intersezione (figura 19a).

647

TEORIA

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

y

y 1 y = –––– x+1

y=x+1

y

x = –1 y=x+1

1

y=x+1

1 x

–1 O

–1

1 x

O

–1

1 y = –––– x+1

x = –1 1 b. Tendenza a + ⬁ di y = –––––, x+1 quando x tende a –1 da destra.

a. Grafico di y = x + 1.

x

O

1 c. Tendenza a – ⬁ di y = –––––, x+1 quando x tende a –1 da sinistra.

䉱 Fi Figura 17

y

y

1

1 y = –––– x+1 x

O

–1

1

1 a. Tendenza a 0 di y = –––––, quando y = x + 1 tende x+1 a + ⬁.

x

O

–1

1 y = –––– x+1

1 b. Tendenza a 0 di y = –––––, quando y = x + 1 tende x+1 a – ⬁.

䉱 Figura 18

y

y y=x+1

1 -2 –1

O -1

y=x+1

1

1 y = –––– x+1

–2 x

a. La funzione e il suo reciproco hanno in comune i punti (0; 1) e (–2; –1).

䉱 Fi Figura 19

648

–1

1 y = –––– x+1

O –1

b. Le informazioni raccolte permettono di tracciare 1 il grafico «probabile» di y = –––––. x+1

x

PARAGRAFO 4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE

TEORIA

I grafici delle funzioni secante e cosecante sono rappresentati in figura 20. y

1 π – –– 2

䉳 Figura 20 I grafici delle

y = sec x

O

funzioni secante e cosecante.

y = cos x π –– 2

π

3π –– 2

2π

x

–1

a. Grafico della secante.

y

y = cosec x

1 π – –– 2

O

y = sen x π –– 2

π

3π –– 2

2π

x

–1

b. Grafico della cosecante.

Il grafico di una funzione si ottiene da quello dell’altra con una traslazione di vetr tore parallelo all’asse x e modulo . 2 I domini delle due funzioni sono deducibili dalla loro definizione. Quindi: y = sec x ha dominio R - &

r + kr, k ! Z0 ; 2

y = cosec x ha dominio R - "0 + kr, k ! Z, ; Dalla figura 20 si deduce che il codominio, sia della funzione secante, sia della funzione cosecante, è R -] - 1; 1[. Sono asintoti verticali le rette di equazione: r x = + kr per il grafico della secante; 2 x = 0 + kr per il grafico della cosecante. Come il coseno, la secante è una funzione pari, mentre la cosecante è una funzione dispari, come il seno. 649

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

5. LA FUNZIONE COTANGENTE La cotangente di un angolo DEFINIZIONE

Cotangente di un angolo Consideriamo un angolo orientato a e chiamiamo B l’intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniometrica. Definiamo cotangente di a la funzione che associa ad a il rapporto, quando esiste, fra l’ascissa e l’ordinata del punto B: cotg a = ● La cotangente di a si può indicare anche con cotan a.

y B yB O

α xB A

x

xB cotg α = —– yB

xB . yB

La cotangente di un angolo non esiste quando il punto B si trova sull’asse x, ossia quando l’angolo misura 0, r e tutti i multipli interi di r. Il dominio della funzione cotangente è quindi: a ! k $ r, con k ! Z . Poiché tg a =

● L’uguaglianza vale in un

insieme più ristretto rispetto al dominio della cotangente.

● L’uguaglianza vale in

tutto il dominio della cotangente, quindi è equivalente alla definizione formulata in precedenza.

yB x e cotg a = B , risulta tg a $ cotg a = 1, da cui: xB yB

cotg a =

1 r , con a ! k . tg a 2

1 La condizione posta deriva dal fatto che consideriamo , quindi occorre scartg a r tare gli angoli in cui non esiste tg a, cioè a = + kr , e quelli in cui tg a = 0, cioè 2 r a = 0 + kr , perciò: a ! k . 2 Dalla definizione di cotangente deriva anche che: cotg a =

cos a , con a ! kr. sen a

Un altro modo di definire la cotangente Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto F. Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto Q. La cotangente dell’angolo a può anche essere definita come l’ascissa del punto Q, ossia: cotg a = xQ .

650

䉴 Figura 21

y F cotg α Q B α O

E

xQ x

PARAGRAFO 5. LA FUNZIONE COTANGENTE

y F

O

Infatti, i due triangoli rettangoli OAB e OFQ sono simili, essendo FQ ⲐⲐ OA e quindi a , al perché alterni interni di rette parallele tagliate da una trasversale.

Q B α

TEORIA

α' x

A E

䉳 Figura 22

Scriviamo la proporzione fra le misure dei cateti corrispondenti, FQ : OA = FO : BA

" xQ : x B = 1 : y B

" xQ =

xB . yB

Pertanto: cotg a =

xB = xQ . yB

Il grafico della funzione y = cotg x Come la tangente, anche la funzione cotangente può assumere qualunque valore reale. Il codominio della cotangente è quindi R, mentre il suo dominio è: x ! k $ r. Le rette di equazione x = kr sono asintoti verticali del suo grafico. 䉳 Figura 23 Il grafico della

y

–3π

5π –2π ––– 2

– 3π –– 2

π –π – –– 2

O

y = cotg x

π –– 2

π

funzione cotangente.

3π –– 2

2π

x

5π –– 3π 2

Il periodo della funzione cotangente In analogia con la tangente, la funzione cotangente risulta periodica di periodo r: cotg (a + kr) = cotg a ,

cotg α = cotg (π + α) y

con k ! Z . π+α

α O

x

䉴 Figura 24

651

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

6. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI Mediante le proprietà delle figure geometriche, riusciamo a calcolare il valore delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari. ●

r radianti = 30o; 6 r radianti = 60o. 3

r 6 Consideriamo la circonferenza goniometrica e il triangolo OAB, rettangolo in A, W = r e OB = 1. con a = AOB 6 r Poiché in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari, OBV A = . 3 Prolungando il lato BA, otteniamo sulla circonferenza il punto C. r Il triangolo OBC è equilatero, poiché ha gli angoli di , quindi BC = 1. 3 1 AB è la metà di BC, ossia AB = . 2 L’angolo

䉳 Figura 25

y

B π — 6

π — 3

O

A x

π — 3 3 — 2

r 1 = , 6 2 r per determinare cos 6 potremmo anche utilizzare direttamente la prima relazione fondamentale: r r sen 2 + cos 2 = 1. 6 6 ● Noto sen

● Possiamo ricavare anche secante e cosecante: r 1 = sec = r 6 cos 6 1 2 2 = = = 3. 3 3 3 2 1 r = 2. cosec = r 6 sen 6

C

Ricaviamo OA applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB: OA =

OB 2 - AB 2 =

Pertanto: sen

1 r = 6 2

e cos

12 - b

r sen r 6 = = tg r 6 cos 6 cotg

r = 6

1 = r tg 6

1 l2 = 2

r : 6

1 2 = 1 = 3 ; 3 3 3 2 1 3 = = 3 3 3

Pertanto: 3 r = 6 3

3 3 = . 4 2

r 3 . = 6 2

Ricaviamo la tangente e la cotangente di

tg

652

1 — 2

e cotg

r = 6

3.

3.

PARAGRAFO 6. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI

r 4 Consideriamo la circonferenza goniometrica e il triangolo OAB, rettangolo in A, W = r e OB = 1. con a = AOB 4 V = r e il triangolo OAB è Poiché l’angolo in B è complementare di a, risulta OBA 4 anche isoscele. L’angolo

●

TEORIA

r radianti = 45o. 4

䉳 Figura 26

y B 1

π 4

O π A 4

x

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo AOB: OA 2 + AB 2 = OB 2 . Poiché OA = AB e OB = 1:

● Poiché sen

2OA 2 = 1 " OA 2 = sen

1 2

" OA =

otteniamo: r r sec = cosec = 4 4 1 2 = = = 2 2 2

1 1 2 = = . 2 2 2

2 r 2 r = e cos = . 4 2 4 2

Calcoliamo tangente e cotangente di r r 4 = tg = 4 r cos 4 sen

r : 4

2 2 = 1; 2 2

=

cotg

r = 4

2. y π cotg 4 1

1 = 1. r tg 4

tg

r r = cotg = 1. 4 4

r 3 Nel cerchio goniometrico, consideriamo il triangolo OAB, rettangolo in W = r e, di conseguenA, con a = AOB 3 r za, OBV A = . 6 Congiungendo B con E, otteniamo il triangolo OEB che ha i tre lati congruenti. BA è l’altezza del triangolo OEB e OA 1 è la metà di OE, quindi OA = . 2 L’angolo

y π –– 6

B

1

O

π –– 3 1 –– A 2

π 4 x

O

Pertanto: tg

r r = cos , 4 4

3 — 2

E x

䉳 Figura 27

653

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Ricaviamo AB applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB: AB = ● sec

r = 3

1 r cos 3

1 = 2. 1 2 r cosec = 3

cos

=

=

OB 2 - OA 2 =

12 - b

1 l2 = 2

1 r r 3 = e sen = . 3 2 3 2 r . 3

Ricaviamo la tangente e la cotangente di 1 sen

r 3

=

1 2 = = = 3 3 2 2$ 3 = . 3

r sen r 3 = = tg 3 r cos 3 cotg

3 3 = . 4 2

r = 3

3 2 = 3 $2 = 1 2 2

3;

1 1 3 = = . 3 r 3 tg 3

Pertanto: r e di 6 r i valori di seno e coseno, 3 di tangente e cotangente e di secante e cosecante sono scambiati. Per esempio: ● Per gli angoli di

r r 1 sen = cos = . 6 3 2

tg

r = 3

3 e cotg

3 r = . 3 3

7. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE La funzione inversa di y = sen x Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa, solo se è biiettiva. La funzione y = sen x non è biiettiva perché non è iniettiva. Infatti, se consideriamo una retta y = k, parallela all’asse x, con -1 # k # 1, essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, quindi ogni valore del codominio [- 1; 1] di y = sen x è immagine di infiniti valori del dominio R.

䉴 Figura 28 La retta y = k,

con -1 # k # 1, interseca il grafico di y = sen x in infiniti punti, quindi la funzione seno non è iniettiva.

y

1 –2π

–π

–π 2

O –1

π 2

π

2π

x

La restrizione del dominio r r Se restringiamo il dominio della funzione seno all’intervallo ;- ; E, la funzio2 2 ne y = sen x risulta biiettiva e dunque invertibile.

La funzione inversa del seno si chiama arcoseno. 654

PARAGRAFO 7. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

TEORIA

DEFINIZIONE

Arcoseno Dati i numeri reali x e y, con r r -1 # x # 1 e - # y # , 2 2 diciamo che y è l’arcoseno di x se x è il seno di y .

D = [−1; 1]

y = arcsen x

π — π C = −—; 2 2

[

]

x = sen y

● L’arcoseno di x si può indicare anche con sen- 1 x o arcsin x o sin- 1 x .

Scriviamo: y = arcsen x. ESEMPIO

arcsen 1 =

r r ) sen = 1; 2 2

arcsen

1 r r 1 = ) sen = . 2 6 6 2

Per ottenere il grafico della funzione y = arcsen x, basta costruire il simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante del grafico della funzione y = sen x, r r considerata nell’intervallo ;- ; E. 2 2 y π — 2

π –1 –— 2

y π — 2

y=x y = sen x

1

O

1

● Con D indichiamo il dominio, con C il codominio.

π x — 2

–1

y = arcsen x

O

1

● Data una qualsiasi funzione f invertibile, il grafico della funzione inversa f -1 si ottiene da quello di f per simmetria rispetto alla retta bisettrice del I e III quadrante, che ha equazione y = x.

x

–1 π –— 2 π π a. Dato il grafico di y = sen x in 冤– – ; –冥, 2 2 tracciamo il simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante ottenendo il grafico della funzione inversa.

π –— 2 b. Grafico della funzione y = arcsen x.

䉳 Figura 29

Le considerazioni fatte per la funzione inversa di y = sen x valgono anche per le funzioni inverse delle altre funzioni goniometriche.

La funzione inversa di y = cos x Se consideriamo [0; r] come dominio, la funzione coseno è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa del coseno si chiama arcocoseno. DEFINIZIONE

Arcocoseno Dati i numeri reali x e y, con - 1 # x # 1 e 0 # y # r , diciamo che y è l’arcocoseno di x se x è il coseno di y. Scriviamo: y = arccos x .

y = arccos x

D = [−1; 1] C = [0; π]

x = cos y

● L’arcocoseno di x si può indicare anche con cos- 1 x .

655

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

ESEMPIO

arccos (- 1) = r ) cos r =- 1; 3 r r 3 . = ) cos = 2 6 6 2

arccos

La figura 30 illustra il grafico della funzione arcocoseno. 䉴 Figura 30

y π

y π y=x

π — 2 1

π — 2

O

–1 –1

π 1 — 2

π

x

–1

y = arccos x

O

x

1

y = cos x

a. Dato il grafico di y = cos x in [0; π], tracciamo il simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, ottenendo il grafico della funzione inversa.

b. Grafico della funzione y = arccos x.

La funzione inversa di y = t g x Se consideriamo E-

r r; ; come dominio, la funzione tangente è biunivoca e 2 2

quindi invertibile. La funzione inversa della tangente si chiama arcotangente. DEFINIZIONE

● L’arcotangente di x si può indicare anche con tg- 1 x o arctan x o tan- 1 x .

Arcotangente Dati i numeri reali x e y, con x ! R r r e - 1 y 1 , diciamo che y è 2 2 l’arcotangente di x se x è la tangente di y. Scriviamo: y = arctg x.

ESEMPIO

arctg 1 = arctg

656

r r ) tg = 1; 4 4

3=

r r ) tg = 3 3

3.

y = arctg x

D=⺢ π — π C = −—; 2 2

]

x = tg y

[

PARAGRAFO 7. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

TEORIA

Studiamo il grafico della funzione arcotangente. 䉳 Figura 31 y

y y=x

π –— 2

π — 2

π — 2

y = arctg x π O — 2 π –— 2

O

x

x

π –— 2

y = tg x π π a. Dato il grafico di y = tg x in 冥– – ; – 冤, 2 2 tracciamo il simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, ottenendo quello della funzione inversa.

b. Grafico della funzione y = arctg x.

La funzione inversa di y = cotg x DEFINIZIONE

Arcocotangente Dati i numeri reali x e y, con x ! R e 0 1 y 1 r, diciamo che y è l’arcocotangente di x se x è la cotangente di y. Scriviamo: y = arccotg x.

y = arccotg x

D=⺢ C = ]0; π[

x = cotg y

● L’arcocotangente di x si può indicare anche con cotg- 1 x o arccot x o cotan- 1 x .

ESEMPIO

r r ) cotg = 0; 2 2 r r 3 3 arccotg ) cotg . = = 3 3 3 3 arccotg 0 =

Disegniamo il grafico della funzione arcocotangente. 䉳 Figura 32 y

y y=x π π — 2

y = arccotg x π O— 2

π

x

π π — 2

O

x

y = cotg x a. Considerato il grafico di y = cotg x in ]0; π[, per ottenere quello della funzione inversa tracciamo il simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

b. Grafico della funzione y = arccotg x.

657

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

●

Le funzioni goniometriche e la calcolatrice

Per determinare il valore di una funzione goniometrica di un angolo possiamo impiegare la calcolatrice. I tasti da utilizzare sono per la funzione seno, per il coseno e per la tangente. Se la misura dell’angolo è in gradi sul display deve comparire la scritta DEG (dall’inglese degree). È possibile scegliere anche l’opzione RAD per la misura in radianti. Le funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente si indicano, rispettivamente, con sin-1, cos-1, tan-1. Per ottenerle, di solito deve essere premuto prima il tasto relativo alla «seconda funzione», indicato a volte con , e poi il tasto della funzione seno, coseno o tangente.

8. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ● Ricordiamo che il grafico di una funzione del tipo x y = nf b l , rispetto a m quello di y = f (x), ha: • contrazione orizzontale se m 1 1; • dilatazione orizzontale se m 2 1; • contrazione verticale se n 1 1; • dilatazione verticale se n 2 1. ● La funzione

y = 3 sen b2x +

Le funzioni sinusoidali La funzione y = 3 sen b2x + è della forma y = nf b

rl è nul3

con m =

rl 3

x l : m

1 1 1; n = 3 2 1 . 2

Applichiamo al grafico di y = sen x le seguenti trasformazioni: 1 • contrazione orizzontale con m = ; 2 r • traslazione di vettore v b- ; 0l ; 6 • dilatazione verticale con n = 3.

r = 0, 3 r cioè in x = - . 6 la in 2x +

䉲 Figura 33 Grafico di

y = 3 sen b2x +

Dai grafici delle funzioni goniometriche si ottengono grafici di altre funzioni mediante traslazioni, simmetrie, dilatazioni e contrazioni. Ne proporremo alcuni negli esercizi, mentre qui ci occupiamo soltanto delle funzioni sinusoidali.

rl . 3

y

y

冠

π y = sen 2x + — 3

y = sen 2x 1

冡

π y = 3 . sen 2x + — 3

2π y = sen x

x

O

x

O

x

y = sen 2x

冠

π y = sen 2x + — 3 a. Grafico di y = sen 2x.

658

冡

3

1

π O

冠

y

冠

冡

π . b. Grafico di y = sen 2x + — 3

冠

冡

π . c. Grafico di y = 3 sen 2x + — 3

冡

PARAGRAFO 8. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TEORIA

Una funzione di questo tipo è detta sinusoidale e viene applicata molto spesso nello studio di fenomeni fisici. In generale, sono dette funzioni sinusoidali le funzioni del tipo: y = A sen (~x + {), y = A cos (~x + {), con A, ~, { ! R . Studiamo il grafico di y = A cos (~x + {). y

y

–1

O

O

x

1 2π

2π T=— ω

y = A . cos (ωx + ϕ)

y = cos (ωx + ϕ)

y = cos x

1

y |A|

y = cos ωx

x

ϕ O –— ω –1

ϕ 2π − — ω

x

y = cos ωx – |A|

a. Il cambiamento di ω modifica il periodo della funzione.

b. Il cambiamento di ϕ produce una traslazione orizzontale.

2π T=— ω y = cos (ωx + ϕ)

c. Il cambiamento di |A| genera una dilatazione o contrazione verticale.

Il codominio della funzione è 6- A ; A @ . Il numero A è detto ampiezza della funzione sinusoidale, il numero ~ pulsazione e { sfasamento o fase iniziale.

䉱 Figura 34 Il grafico di una

funzione sinusoidale del tipo: y = A cos (~x + {) .

Se è ~ 2 0 , il periodo è: T=

2r . ~

● Se ~ 1 0 , è T =

2r . ~

Infatti: f (x) = A sen (~x + {) = A sen (~x + { + 2kr) = A sen [(~x + 2kr) + {] = = A sen ;~ b x +

2kr l + {E = f b x + k 2r l = f (x + kT), ~ ~

● La funzione seno ha periodo 2r e cioè: sen a = sen (a + 2kr) .

quindi, poiché una funzione f(x) è periodica di periodo T quando f (x) = f (x + kT), 2r . nel nostro caso si ha T = ~

Il periodo delle funzioni goniometriche Nella tabella riassumiamo i periodi delle principali funzioni goniometriche che abbiamo studiato. Funzione

Periodo

sen x, cos x

2r

sen (~x + {), cos (~x + {)

2r ~

tg x, cotg x

r

tg (~x + {), cotg (~x + {)

r ~

659

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

●

Il grafico di y = f 2(x)

Dato il grafico della funzione y = f(x), cerchiamo di ricavare da esso l’andamento di quello di y = f 2(x). Tenendo conto che elevando al quadrato un numero, sia positivo sia negativo, si ottiene un numero positivo che non dipende dal segno del numero iniziale ma soltanto dal suo valore assoluto, consideriamo y = f (x) . Abbiamo le seguenti informazioni: 1. se 2. se 3. se 4. se

f (x) = 1, f 2 (x) = 1; f (x) = 0, f 2 (x) = 0 ; f (x) 1 1, f 2 (x) 1 f (x) ; f (x) 2 1, f 2 (x) 2 f (x) .

Esaminiamo un esempio. y

y

y

4 3

4 3

4 3

2

2

2

1

1 O

y = f(x)

a

1

O

x

O

x

y = f(x)

b

y = f2(x)

c

Ricaviamo anche l’andamento del grafico di y = tg 2 x in D-

䉱 Figura 35

y

1 –π – 2

O

–π 2

–1

r r: ; . 2 2

y

y

1

1

–π – 2

x

O

–π 2

–π – 2

x

–1 y = tgx

a

O

–π 2

x

–1 y = tgx

b

x

y = tg2 x

c

䉱 Figura 36

●

䉲 Figura 37

y = tg(x)

y

y = tg(x) 1

O

π – 2

x

Il grafico di y =

f (x)

Dato il grafico della funzione y = f(x), ricaviamo l’andamento di quello di y = Sfruttiamo queste informazioni: 1. se f (x) 1 0, f (x) non esiste; 2. se f (x) = 0, f (x) = 0 ; 3. se f (x) = 1, f (x) = 1; 4. se 0 1 f (x) 1 1, f (x) 1 f (x) 1 1; 5. se f (x) 2 1, 1 1 f (x) 1 f (x) . A fianco, come esempio, riportiamo il grafico di y =

660

tg x in D-

r r: ; . 2 2

f (x) .

ESPLORAZIONE SUONI E MOTI ARMONICI

TEORIA

ESPLORAZIONE

Suoni e moti armonici Il moto oscillatorio armonico

Il moto armonico di una particella

Le vibrazioni di una sorgente sonora e quelle delle particelle di un mezzo di propagazione sono descrivibili come movimenti periodici oscillatori attorno a una posizione di equilibrio.

Per descrivere l’andamenH to di un moto oscillatorio P y armonico, consideriamo E' α ϕ il moto uniforme di un E O punto P su di una circonferenza di raggio A. Tracciamo il diametro verticale e supponiamo che il d d moto sia in senso antiorario, partendo dall punto El. La proiezione H di P sul diametro verticale descrive un moto armonico attorno al centro della circonferenza. La sua distanza y da O è y = A sen (a + {) " y = A sen (~t + {) , a è la velocità angolare costante che è dadove ~ = t 2r . ta dalla relazione ~ = T Abbiamo così ottenuto che l’equazione che descrive il moto armonico di una sorgente sonora, o di una particella del mezzo di propagazione, è una funzione sinusoidale. Di solito, per descrivere il moto, si considera anche 1 ~ , che indica il numero di la frequenza f = = T 2r oscillazioni per unità di tempo.

t0 +T t0

C

A

B

t0 + T 2

䉳 La vibrazione di una lamina

che genera un suono. Ogni corpo che vibra genera compressioni e rarefazioni delle molecole del mezzo di propagazione. Esse si propagano sotto forma di onde di pressione, mettendo in vibrazione le particelle del mezzo.

Se un oggetto in vibrazione viene riportato nella posizione di equilibrio da una forza proporzionale allo spostamento rispetto a quella posizione, si parla di forza elastica e di moto armonico. Un’oscillazione completa, cioè quella che riporta l’oggetto nella posizione di partenza, viene sempre compiuta nello stesso tempo T, detto periodo.

Attività Onde e suoni compressione

rarefazione

pressione

Se esaminiamo la propagazione di un suono nei vari punti del mezzo che circonda la sorgente, troviamo che essa può ancora essere descritta mediante una funzione sinusoidale, come nella figura. Al variare del tempo la funzione sinusoidale si sposta e le rarefazioni e le compressioni delle molecole si propagano nel mezzo. Fai una ricerca sul legame fra le caratteristiche dell’onda sinusoidale e i caratteri distintivi del suono.

patm

posizione 䉱 Grafico che rappresenta la pressione dell’aria in funzione

della posizione rispetto alla sorgente sonora.

Cerca nel Web: suono, caratteristiche onda sinusoidale, timbro, strumenti musicali

661

TEORIA

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

ROTOLARE PER MISURARE Come funziona una rotella misuratrice?

Il quesito completo a pag. 633

Per le strade Un tecnico che camminando spinge una rotella misuratrice misura la lunghezza di un tratto di strada. Lo strumento è composto da una ruota gommata che gira sul terreno e da un contatore che conta i giri, o le parti di giro, che la ruota compie. In realtà, il tecnico non legge sul contatore il numero di giri compiuti, ma direttamente una lunghezza in metri. Il funzionamento della rotella si basa sulla proporzionalità tra angoli al centro e lunghezze dei corrispondenti archi. Il contatore misura in radianti gli angoli che la ruota spazza girando e li converte in lunghezze.

L’angolo evidenziato in azzurro corrisponde a 10 km se la scala è di 1: 50 000 1: 50 000

1: 25 000 Lo stesso angolo corrisponde a 5 km se la scala è di 1: 25 000

Su una carta geografica Nelle rotelle multiscala per leggere le carte geografiche il funzionamento è lo stesso: il contatore è dato da un ago che si muove man mano che la rotella corre sulla carta. La rotella in questo caso è molto più piccola per seguire meglio i particolari della mappa. C’è quindi bisogno di un demoltiplicatore di giri che trasformi i numerosi giri della rotellina in frazioni di angolo giro sul quadrante. Sul disco della rotella sono tracciate circonferenze colorate: ognuna corri-

sponde a una delle possibili scale in cui sono disegnate le mappe. Su ogni circonferenza sono riportate le misure espresse in kilometri. La circonferenza che corrisponde alla scala della carta che stiamo leggendo indica i kilometri del percorso che ci interessa. In corrispondenza di un certo movimento della rotella, l’ago spazza lo stesso angolo per tutte le diverse circonferenze, ma ogni arco di circonferenza rappresenta una misura diversa letta nella scala opportuna.

Onde e sinusoidi La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione seno. Questa descrive molti fenomeni ondulatori presenti in natura, come per esempio il suono o le onde generate dalla caduta di un sasso nell’acqua. Quando si sommano due o più sinusoidi, spesso si trova una curva che non è più una sinusoide, ma che continua a essere periodica. Nell’esempio della figura, se, punto per punto, sommi algebricamente le ordinate delle tre sinusoidi, ottieni l’onda disegnata in rosso. Viceversa, si dimostra che è possibile scomporre un’onda periodica complessa in una somma di sinusoidi più semplici da analizzare.

662

y

x

LABORATORIO DI MATEMATICA Le funzioni goniometriche

TEORIA

LABORATORIO DI MATEMATICA LE FUNZIONI GONIOMETRICHE ESERCITAZIONE GUIDATA

Per studiare l’influenza che il coefficiente b ha sull’andamento delle funzioni definite dalla legge da R r a R f: x 7 2 sen bbx + l , costruiamo un foglio da disegno di GeoGebra che ne mostri i grafici in 6 relazione ai valori assegnati a b. • Apriamo GeoGebra e attiviamo una slider, alla quale diamo il nome b, e stabiliamo l’intervallo di variazione di b da 1 a 4 con incremento 1. • Nella riga di inserimento digitiamo l’espressione delle funzioni, dipendente dal parametro b: f(x) = 2*sin(b*x + r/6).

• Con invio la immettiamo nella finestra algebrica e il sistema contemporaneamente ne mostra il grafico nell’area del disegno (figura 1). 2r 2r , inseriamo la retta p: x = . • Per delimitare un periodo della funzione sinusoidale, dato da T = b b In figura 1 vediamo il caso b = 3 . • Per confrontarlo con il periodo fondamentale 2r, immettiamo la retta t: x = 2r .

䉲 Figura 1

• Se spostiamo con il mouse il corsoio della slider, vediamo che la funzione sinusoidale forma b periodi all’interno del periodo fondamentale [0; 2r [ .

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata 䉴 4 esercitazioni in più

Esercitazioni Con l’aiuto del computer traccia i grafici delle funzioni in relazione ai valori assegnati ai coefficienti letterali. 1

f (x) = a cos (bx + c)

5

f (x) = a tg (bx + c)

2

f (x) = (ax + b) sen x

6

f (x) = arcsen (ax + b)

3

f (x) = a arccos x - b

7

f (x) = a arctg x + b

4

f (x) = a sen x + b cos x

8

f (x) = a sen x + b sen 2x

663

ESERCIZI

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

LA TEORIA IN SINTESI LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI 䡲 Un angolo può essere misurato in gradi oppure in radianti.

Un grado è la 360a parte dell’angolo giro. Un radiante è l’angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Vale la proporzione ao : arad = 360o : 2r , che permette di passare da gradi a radianti e viceversa. r o ESEMPIO: 30 equivale a radianti, perché: 6 30o $ 2r r = . 30o : a = 360o : 2r " a = 6 360o 䡲 Se in una circonferenza a è la misura in radianti di un angolo al centro e r la

misura del raggio: • la lunghezza dell’arco è l = ar ; 1 1 • l’area del settore circolare è A = ar 2 = lr. 2 2

ᐉ

α r A

2. 3. 4. 5. LE FUNZIONI SENO, COSENO, TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE, COSECANTE 䡲 Consideriamo un angolo orientato a e chiamiamo B l’intersezione fra il suo lato termine e la circonferenza gonio-

metrica. Si dice: • seno di a (sen a) il valore dell’ordinata di B; • coseno di a (cos a) il valore dell’ascissa di B; • tangente di a (tg a) il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa r di B; è definita per a ! + kr (k ! Z); 2 • cotangente di a (cotg a) il rapporto fra l’ascissa e l’ordinata di B; è definita per a ! kr (k ! Z). 䡲 Relazioni fondamentali della goniometria:

sen2 a + cos2 a = 1, tg a =

1 sen a e cotg a = . tg a cos a

䡲 Secante di a

sec a =

1 r , con a ! + kr . cos a 2

䡲 Cosecante di a

cosec a =

664

1 , con a ! 0 + kr . sen a

x2 + y2 = 1

y B

α

sen α = yB cos α = xB

yB

O xB A

1

x y tg α = —B xB xB cotg α = — yB

LA TEORIA IN SINTESI

y

SINUSOIDE

1

3π — 2 O

−1

π — 2

y y = sen x

1

2π x

O −1

ESERCIZI

COSINUSOIDE

π

π

π — 2

y = cos x

3π — 2

2π x

Grafici delle funzioni seno e coseno. Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π.

TANGENTOIDE

y

π — 2 π −— 2

COTANGENTOIDE

y

5π — 2

3π — 2

O

−π

x

π

O

2π x

y = cotg x

y = tg x

Grafici delle funzioni tangente e cotangente. Le funzioni tangente e cotangente sono periodiche di periodo π.

6. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI y

y π — 61

O

3 — 2

1 —— 3 x 1 — 2

1 3 r r ; = ; cos = 6 2 6 2 r 1 . tg = 6 3

sen

y 1

O

sen tg

π — 4

2 — 2

3

1 2 — 2

x

r 2 r 2 = ; cos = ; 4 2 4 2

r = 1. 4

1 π — 3 O 1 — 2

sen tg

3 — 2

x

r 3 r 1 = ; cos = ; 3 2 3 2

r = 3

3.

7. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE 䡲 Le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente sono, rispettivamente, le seguenti (con D

indichiamo il dominio, con C il codominio):

665

ESERCIZI

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

• arcoseno: y = arcsen x r r D : [- 1; 1]; C : :- ; D ; 2 2 y π — 2

• arcocoseno: y = arccos x D : [- 1; 1]; C : [0; r]; y π

y = arcsen x

π — 2 O

–1

y = arccos x

x

1

–1

O

1

x

π –— 2 Grafico della funzione y = arcsen x.

• arcotangente: y = arctg x D : R ; C : D-

Grafico della funzione y = arccos x.

• arcocotangente: y = arccotg x

r r :; ; 2 2

D : R ; C : ] 0; r [ .

y

y π — 2

y = arccotg x

y = arctg x O

x

π π — 2 O

x

π –— 2

Grafico della funzione y = arctg x.

Grafico della funzione y = arccotg x.

䡲 I loro grafici si ottengono da quelli delle funzioni di cui sono le inverse, tracciando i simmetrici rispetto alla biset-

trice del primo e terzo quadrante.

8. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE 䡲 Dai grafici delle funzioni goniometriche si possono ottenere i grafici di altre funzioni mediante traslazioni, sim-

metrie, dilatazioni e contrazioni. 䡲 Funzioni sinusoidali: sono funzioni del tipo

y = A sen (~x + {), y = A cos (~x + {), con A, ~, { ! R . 䡲 Si dice:

• • • •

ampiezza della funzione sinusoidale il numero A ; pulsazione il numero ~; sfasamento o fase iniziale il numero {; 2r . periodo della funzione sinusoidale il numero T = ~

666

PARAGRAFO 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI

1. LA MISURA DEGLI ANGOLI

ESERCIZI

䉴 Teoria a pag. 634

Gli angoli e la loro misura Dai gradi sessagesimali ai gradi sessadecimali 1

ESERCIZIO GUIDA

Esprimiamo 25o 32l 40m in forma sessadecimale. Poiché 1l = b

1 lo , scriviamo: 60 1 lo . 32l = b32 $ 60

Poiché 1m = b

Trasformiamo la misura: 25o 32l 40m = 25o + b

1 ll b 1 lo = , scriviamo: 60 3600

1 lo . 40m = b40 $ 3600

32 lo b 40 lo + = 60 3600 = 25o + 0, 53o + 0, 01o - 25, 54o . La trasformazione richiesta è la seguente: 25o 32l 40m - 25, 54o .

Esprimi in forma sessadecimale le seguenti misure di angoli. 2

0o 59l 59m;

0o 30l.

[1o; 0,5o]

—

3

1o 59l 30m;

2o 40m.

[1,99o; 2,01o]

—

4

5

15o 30l 30m;

30o 30l 30m.

[15,5o; 30,5o]

44o 59l 32m;

45o 59l 60m.

[44,99o; 46o]

92o 20l 36m;

140o 26l 55m. [92,34o; 140,45o]

—

6 —

20o 30l;

60o 20l.

[20,5o; 60,3o]

—

7 —

Dai gradi sessadecimali ai gradi sessagesimali 8

ESERCIZIO GUIDA

Trasformiamo 28,07o (forma sessadecimale) in gradi, primi e secondi. Possiamo scrivere 28,07o = 28o + 0,07o. Trasformiamo 0,07o in primi, moltiplicando 0,07 per 60 (poiché 1o = 60l): 0,07o = (0,07 $ 60)l = 4,2l. Scriviamo 4,2l = 4l + 0,2l. Trasformiamo 0,2l in secondi, moltiplicando 0,2 per 60 (poiché 1l = 60m): 0,2l = (0,2 $ 60)m = 12m . Pertanto: 28,07o = 28o 4l 12m. Esprimi in gradi, primi e secondi le seguenti misure di angoli, espresse in forma sessadecimale (arrotondando eventualmente i secondi). 9

2,234o

[2o 14l 2m]

—

10

22,52o

[22o 31l 12m]

—

11 —

12

1,567o

[1o 34l 1m]

—

13

90,05o

[90o 3l]

—

120,360o

[120o 21l 36m]

14 —

15

90,5o

[90o 30l]

—

16

60,46o

[60o 27l 36m]

100,252o

[100o 15l 7m]

—

25,251o

[25o 15l 4m]

17 —

667

ESERCIZI

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Le operazioni fra angoli espressi in gradi 18

ESERCIZIO GUIDA

Eseguiamo la seguente sottrazione: 90o - 32o 46l 22m. Per poter eseguire la sottrazione, scriviamo 90o in termini di primi e secondi.

Ora è possibile eseguire la sottrazione in colonna, fra gradi, primi e secondi: 89o 59l 60m 32o 46l 22m =

Poiché 1o = 60l, possiamo scrivere: 90o = 89o 60l.

57o 13l 38m

Poiché 1l = 60m, possiamo scrivere: 90o = 89o 59l 60m. Esegui le seguenti operazioni fra le misure di angoli. 19

15o 32l 52m + 2o 12l 8m

[17o 45l]

—

20

185o 2l + 6o 59l 12m

[192o 1l 12m]

—

21

27o 2l 3m + 42o 12l 56m + 1o 2l 4m

[70o 17l 3m]

[149o 30l 28m]

25

360o - 322o 40l 50m

[37o 19l 10m]

26

90o - 82o 48l 32m

[7o 11l 28m]

—

102o 50l 18m + 3o 9l 42m

[106o]

—

23

270o - 120o 29l 32m

—

—

22

24 —

27

26o - 1o 1l 1m

[24o 58l 59m]

18o 30l 15m $ 2

[37o 0l 30m]

—

180o - 28o 30l 58m

[151o 29l 2m]

—

28 —

Dai gradi sessagesimali ai radianti e viceversa 29

COMPLETA la seguente tabella scrivendo la misura mancante, in gradi o in radianti.

—

90o

Gradi

0o

180o r 3

Radianti

30o 3 r 4

270o 2 r 3

5 r 3

5 r 4

Trasforma in radianti le misure dei seguenti angoli, espresse in gradi sessagesimali. 30

15o,

36o,

210o,

300o.

: r ; r ; 7 r; 5 r D 3 12 5 6

16o,

27o,

102o,

315o.

[0,28; 0,47; 1,78; 5,50]

25o,

35o,

72o,

155o.

[0,44; 0,61; 1,26; 2,71]

—

31 —

32 —

33

121o 3l,

200o 36l,

15o 12l 58m.

[2,11; 3,50; 0,27]

—

Trasforma in gradi sessagesimali le misure dei seguenti angoli, espresse in radianti. 34 —

4 r, 5

668

5 r, 12

7 r, 9

5 r. 3

[144o; 75o; 140o; 300o]

PARAGRAFO 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI

35 —

36

2 , 3

2 r, 3

37 —

38

9 r, 5

3 r. 2

[38o 11l 50m; 120o; 324o; 270o]

5 r. 2

[720o; 229o 11l; 143o 14l 22m; 450o]

4r,

4,

5 , 2

3 r, 8

3,405,

5 r, 16

—

ESERCIZI

[67o 30l; 195o 5l 32m; 56o 15l; 160o 49l 45m]

2,807.

COMPLETA la seguente tabella inserendo la misura mancante.

—

Gradi sessagesimali

22o 30l

31o 12l 3 r 8

Radianti

8

Forma decimale 39 —

18o 1l 2m

12,5o

120,34o

Un angolo a misura 0,725 radianti. Trova la misura del suo supplementare in radianti e in gradi. [138o 39l 21m; 2,42]

In un triangolo rettangolo trova le misure in gradi degli angoli acuti a e b utilizzando la condizione indicata. 40 —

41

a=

1 b 3

[a = 22o 30l, b = 67o 30l]

a = b - 20o

[a = 35o, b = 55o]

a supera il doppio di b di 15o.

[a = 65o, b = 25o]

—

42 —

43 —

44 —

45 —

46

In un triangolo isoscele ciascun angolo alla base misura 27o. Trova la misura in radianti dell’angolo al vertice. [2,2] 2 Un angolo di un triangolo misura 32o, un secondo angolo è r radianti. Calcola la misura del terzo angolo 3 in gradi e in radianti. [28o; 0,49] Un triangolo ha un angolo doppio di un altro e il terzo angolo misura 24o. Trova la misura in radianti dei tre angoli del triangolo. [0,42; 0,91; 1,82] Un triangolo ha gli angoli a, b, c tali che a =

—

47 —

1 b e b = c . Trova la misura in radianti degli angoli a, b, c. 3 :a = r ; b = c = 3 r D 7 7

7 3 r e gli altri due sono uno i dell’altro. Scrivi le 15 5 misure degli angoli del quadrilatero in gradi e in radianti. :148o, 84o, 80o, 48o; 37 r, 7 r, 4 r, 4 r D 45 15 9 15

Un quadrilatero ha due angoli che misurano 148o e

Trova la misura, in gradi o in radianti, di due angoli supplementari a e b, utilizzando la condizione indicata. 48 —

a - 3b = 27o [a = 141o 45l, b = 38o 15l]

49 —

b - 2a = 80o [a = 33o 20l, b = 146o 40l]

50 —

a = b+

r 3

:a = 2 r, b = r D 3 3

669

ESERCIZI

51 —

52 —

53 —

54 —

55 —

56 —

57 —

58 —

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Calcola la misura, in gradi e in radianti, di un angolo al centro di una circonferenza il cui raggio è uguale a 5 cm e che sottende un arco lungo 23 cm. [263o 33l 38m; 4,6] Calcola la lunghezza di un arco di circonferenza, con il raggio lungo 7 cm, che sottende un angolo uguale a 4,2 radianti. [29,4 cm] Due archi l1 e l2 di due circonferenze, che hanno i raggi r1 e r2 rispettivamente uguali a 2 cm e 3,5 cm, sottendono [7,88 cm] lo stesso angolo. Trova la misura di l2, sapendo che l1 misura 4,5 cm. Trova l’area di un settore circolare individuato da un arco lungo 22 cm di una circonferenza che ha il raggio lungo 5,2 cm e determina la misura in gradi dell’angolo sotteso dall’arco. [57,2 cm2; 242o 21l 40m] Due settori circolari appartengono allo stesso cerchio e hanno area uguale a 12 cm2 e 15,4 cm2. Trova le lunghezze degli archi da essi determinati, sapendo che il primo sottende un angolo di 1,5 radianti. [6 cm; 7,7 cm] Un settore circolare ha l’angolo al centro che misura 96o e l’area uguale a 60r. Determina la misura del raggio della circonferenza e dell’arco che è definito dal settore. [15; 8r] Un settore circolare ha area uguale a 12 e perimetro 14. Quanto misurano il raggio e l’angolo al centro corrispondente? :3, 8 rad; 4, 3 rad D 2 3 VERO O FALSO?

9 r , allora a = 45o. 4 5 r. b) Se a = 300o, allora a = 3 c) La misura l di un arco di circonferenza di raggio r che corrisponde a 1 un angolo al centro di a radianti è l = ar . 2 d) L’arco l di una circonferenza di raggio 5 cm, che sottende un angolo a = 32o, è lungo l = 32 $ 5 = 160 cm. a)

59

Se a =

V

F

V

F

V

F

V

F

Trova il perimetro e l’area delle zone colorate.

——

12 12

8

2π

4

60°

45°

12

90°

a

8 4

b

c

d

[a) 12 + 4r, 24r - 36 3 ; b) 2r + 4 2 , 4r - 8; c) 2r + 8, 8r - 16; d) 18 + 6 3 , 18 3 ]

60

Quanto vale l’area della zona colorata?

——

61 ——

Trova perimetro e area della zona colorata.

60° 6

4

4

670

[8(r - 2)]

: 2 r (3 + 2 3 ); 2 (3 3 - r)D 3

PARAGRAFO 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI

ESERCIZI

Gli angoli orientati 62 —

63

Disegna i seguenti angoli orientati facendo riferimento alla circonferenza goniometrica. L’angolo RW rappresenta l’angolo retto. 3 5 1 + RW ; - RW . - 2RW ; b) + 3RW ; - RW . a) + RW ; 2 2 2 Disegna i seguenti angoli, facendo riferimento alla circonferenza goniometrica.

—

390o; 64

765o;

-420o;

450o;

1200o.

Scrivi in forma sintetica gli angoli rappresentati in figura.

—

y

y

y

y

y

70°

135°

30° O

O

x

30° + 2 $ 360°

O

x

......................

a

b

O

x

...................... c

O

x

......................

x

...................... e

d

Disegna alcuni degli angoli corrispondenti a ogni scrittura sintetica. 65

k360o; k180o; k90o; k45o.

66

—

60o + k360o;

45o + k180o;

300o + k60o.

—

Disegna sul cerchio goniometrico i seguenti angoli, misurati in radianti. 67 —

r ; 4

3 11 r; r; 4 4

r . 8

68 —

3 r; 2

r ; 2

r 17 ; r. 3 6

Disegna alcuni degli angoli corrispondenti a ogni scrittura sintetica. 69

r + kr . 2

2kr; kr;

—

71 —

70 —

r r +k$ ; 4 2

r r +k$ . 4 4

indicando tutti gli angoli che hanno il lato termine che passa per i punti segnati nelle seguenti figure, con la scrittura più sintetica possibile (come nel caso a).

COMPLETA

y

y π –– 4

O

a

π + k— π — 4 2

y π –– 6

O

x

O

x

...................... b

y π –– 2

π –– 3

O

x

...................... c

...................... d

671

x

ESERCIZI

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

2. LE FUNZIONI SENO E COSENO 72 —

VERO O FALSO? a) b) c) d) e)

73 —

a)

c) d) e) 74

75 —

Il seno di un angolo orientato è un segmento. Se sen a 1 0 e cos a 1 0, allora a appartiene al IV quadrante. sen2 135o = sen 135o. Se cos a 2 0, allora sen a 2 0. Se cos a 2 cos b, allora a 2 b. Se - 1 # cos a # 1, allora 0 # cos 2 a # 1. cos2 a # cos a, 6a ! R . r Se sen a = cos a , allora può essere solo a = . 4 8 Se sen a =- , allora a appartiene al III quadrante oppure al IV. 9 2 a 2 a + cos = 1. sen 4 4

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

VERO O FALSO?

cos 10o = cos 350o b) sen 3 1 sen 4 a)

V

F

V

F

sen 3o 1 sen 4o d) sen 8o 1 sen 8 c)

COMPLETA la tabella e disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, il coseno e il seno degli angoli assegnati, indicando se sono positivi o negativi.

30°

a

cos a

+

sen a

+

76

V

VERO O FALSO?

b)

—

䉴 Teoria a pag. 639

TEST Se

145°

cos x =

—

220°

- 28°

1 si ha: 4

r . 6

A

01x1

B

r r 1x1 . 6 4

380°

460°

77 ——

C

r r 1x1 . 4 2

D

r r 1x1 . 3 2

(Università di Modena, Corso di laurea in Matematica, Test propedeutico, 2003)

r 2

13 r 6

-

r 8

17 r 3

TEST Supponi che ABC sia un triangolo W , BV e CW . Allora il punto con tre angoli acuti A V V W W ) può trovarsi: (cos B - sen A; sen B - cos A A solo nel I quadrante o nel II quadrante. B solo nel III quadrante o nel IV quadrante. C solo nel II quadrante o nel III quadrante. D solo nel II quadrante. E in uno qualsiasi dei quattro quadranti.

(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 1993) 78

VERO O FALSO?

—

La funzione f (x) = 4 sen (5x) - 5 nell’insieme dei numeri reali non è definita.

V

F

(Università di Lecce, Facoltà di Scienze, Test di ingresso, 2001)

Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori. 1 2 1 1 79 80 sen a = ; cos a =- . sen a =- ; cos a =- . 3 5 3 4 — —

672

PARAGRAFO 2. LE FUNZIONI SENO E COSENO

81

cos b =

—

83 —

84

1 ; sen b =- 1. 2

82

sen b =-

—

ESERCIZI

1 1 1 ; cos c =- ; cos c =- . 2 4 2

Individua sulla circonferenza goniometrica i seguenti valori. r 5 7 cos b- l, sen r, sen (- 240o), cos r, sen 300o, cos 330o . 3 8 4 inserendo i segni 2, 1 o = (senza utilizzare la calcolatrice). 3 3 3 5 sen r f sen r; sen 240o f sen 330o ; sen r f sen r; 4 5 2 4 5 r cos 80 o f cos 110 o . cos 3r f sen b- rl ; sen f cos 4r; 2 8

COMPLETA

—

Trova quale condizione deve soddisfare il parametro affinché sia verificata l’uguaglianza. 85

cos x = k - 2

—

86

sen x =- 2a

—

87

4a cos x = a + 1

—

88

[1 # k # 3]

:- 1 # a # 2 :a # - 1 0 a $ 5

1D 2 1D 3 1 :k # D 2

(k - 1) sen x = k

—

92 —

89 ——

90 ——

91 ——

(2a - 3) cos x =- a + 4, con x ! 2o quadrante.

[a # - 1 0 a $ 4]

(k - 1) cos x = 3 - k, con x ! 4o quadrante.

[2 # k # 3]

6a sen x + a 2 + 9 = 0, con x ! 3o quadrante.

[a = 3]

VERO O FALSO?

3 1 Se cos a = 3 sen a , con r 1 a 1 r, allora sen a =- . 2 2 r r = cos x , allora x = . b) Se cos 6 6 4 3 c) Se sen a = , allora cos a = . 5 5 1 2 r d) Se cos a = , con 0 1 a 1 , allora cos a = sen a . 3 2 4 a)

93

V

F

V

F

V

F

V

F

ESERCIZIO GUIDA

Sapendo che sen a =

r 5 1 a 1 r, calcoliamo il valore di cos a. e che 2 13

Utilizziamo la prima relazione fondamentale della goniometria sen2 a + cos 2 a = 1, sostituendo a sen a 5 . Otteniamo così: il valore 13 25 25 144 12 . + cos 2 a = 1 " cos 2 a = 1 " cos 2 a = " cos a = ! 169 169 169 13 r Poiché 1 a 1 r e per tali angoli il coseno è negativo, allora: 2 12 cos a =. 13 Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite. 94

sen a =

—

95

cos a =-

—

96 —

7 r e 0 1 a 1 ; cos a? 2 25

sen a =

4 3 e r 1 a 1 r ; sen a? 5 2

1 r e 1 a 1 r ; cos a ? 3 2

: 24 D 25

—

:- 3 D 5

—

;- 2 2 E 3

—

97 98 99

sen a =-

2 3 21 E e r 1 a 1 2r ; cos a ? ; 5 2 5

cos a =-

4 r 1 a 1 r ; sen a? e 7 2

;

33 E 7

2 3 e r 1 a 1 2r ; sen a? 3 2

;-

5 E 3

cos a =

673

ESERCIZI

100

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

101

9 40 D e a ! 4o quadrante; cos a? : 41 41

—

45 28 e a ! 3o quadrante; sen a? :- D 53 53

—

sen a =-

—

cos a=-

—

102

103

cos a =

33 56 D e a ! 4o quadrante; sen a? :65 65

sen a=-

5 12 e a ! 3o quadrante; cos a? :- D 13 13

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 104 —

105 —

106 —

107 —

108 —

109 —

110 —

1 2 1 cos 540o + sen 720o - sen 450o + 6 sen (- 270o) 2 3 4

: 21 D 4

cos 4r + 2 sen b-

9 15 l 1 r + cos (- 3r) + sen r 2 2 3

: 11 D 3

1 sen 630o + 3 sen 540o 2 11 7 sen r - cos (- 7r) + 2 sen b- r l 2 2 3 5 2 sen b- r l + cos 4r - 4 cos r 2 2 5 4 bcos2 2r + sen2 rl + 8 cos 10r 2 3 [1 - 4 cos (- 4r)]

:7D 2

cos 720o + 2 cos 1080o -

a sen b-

5 l a a r + cos (8r) - b + 1l cos 0 2 2 2

2 2 ba cos 2r + b sen 7 rl - :a sen b- 3 rl + b cos (- 5r)D 2 2

11 3 r + 2 sen r $ [sen (- 3r) + cos 2r] 2 2 5 9 r 3 sen b- lbcos r + 2 sen rl 2 2 2

(- sen 5r + cos r) sen 111 —

112

r , calcola il valore della seguente espressione: 2 a sen a + b cos 2a . 7 r sen (- 4a) - a cos ba + l - b cos b r + al 2 2

a2 cos (5r - a) - b2 sen b

7 r - al 5 2 - a sen b r - al . r 2 a sen b - al + b cos (4r - a) 2

Se a =

——

9 r + al + sen (- r + a) + cos (a - 5r) 2 . r 7 3 2 cos b + 2al + sen b r - al + 4 cos ba - r l 2 2 2 115

[0]

:1D 6

[1]

[b]

3 r , calcola il valore della seguente espressione: 2 cos b

——

[- a - 1]

Se a = r , calcola il valore della seguente espressione:

——

114

:- 16 D 9

Se a =

—

113

:2D 3

:1D 2

Disegna il grafico di y = cos x nell’intervallo [- r; 4r]. Scrivi le ascisse dei punti di intersezione della 7 r funzione con l’asse x in tale intervallo e trova le ordinate dei punti di ascissa x = r, x =- , x = 3r . 2 2 Quali sono i valori di x in cui cos x =- 1 nell’intervallo considerato? :! r , ! 3 r, ! 5 r, ! 7 r; 0, 0, - 1; ! r, 3r D 2 2 2 2

674

PARAGRAFO 3. LA FUNZIONE TANGENTE

116 ——

ESERCIZI

7 5 Disegna il grafico di y = sen x nell’intervallo :- r; r D . Trova i punti di intersezione della funzione 2 2 3 r 7 con l’asse x e calcola le ordinate dei punti di ascissa x =- r, x =- r, x = 0, x = , x = r . Deter2 2 2 mina i valori di x per cui sen x =-1. 5 r :- 2r, -r, 0, r, 2r, 3r; 1, 0, 0, 1, -1; - r, - , 3 r, 7 r D 2 2 2 2

Trova il dominio delle seguenti funzioni. 117 —

y=

1+sen x : r x ! +kr D cos x 2

118

y=

—

2 sen x

[x ! kr]

119

y=

—

1 1-cos x

[x ! 2kr]

Trova il valore minimo e massimo delle seguenti funzioni, nell’intervallo indicato a fianco. 1 120 y =- cos x, R; y = 1 + 2 sen x, R. 2 — 2 :0; r D. 121 y =- sen x + 4, [0; r]; y = cos x - , 3 2 — 1 :r; 3 r D. 122 y = sen (x + r), R; y = cos x + 2, 4 2 — 1 : r ; r D. 123 y = 2 cos 2x - 1, R ; y= , 2 + cos x 2 — Semplifica le seguenti espressioni. 124 —

125

5 r 2 4 - 4 sen2 a + (cos a - sen a) 2 + 2 cos a (sen a + cos a)

[1 + 6 cos2 a]

sen2 a + (4 cos a + sen a) 2 + (4 sen a - cos a) 2 + 2 cos2 a

[18 + cos2 a]

[2a2]

(a sen a - 2 cos a) 2 + (a cos a + 2 sen a) 2 - 4 + a 2 sen

—

126 —

127 ——

Trova per quali valori di a le soluzioni dell’equazione x 2 - ax + a - 1 = 0 rappresentano il seno e il coseno dello stesso angolo. [a = 1]

3. LA FUNZIONE TANGENTE

䉴 Teoria a pag. 643

La tangente di un angolo Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli. 128 —

r r 5 r; 2r . ; ; 4 3 4

129

30o; 180o; 225o; 320o.

—

Per ogni angolo a in figura, individua tg a, quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza. 130

131

y

—

132

y

—

α

α

α O

y

—

x

O

x

x

O

675

ESERCIZI

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

133

134

y

—

α x

O

y

—

α

136

135

y

—

O

α x

x

O

Rappresenta gli angoli che soddisfano le seguenti uguaglianze.

—

tg a = 1; tg b = 3; tg c =- 2. Utilizzando la circonferenza goniometrica, individua l’angolo a che soddisfa le seguenti relazioni. 2 3 137 tg a = , r 1 a 1 r. 3 2 — 3 138 r 1 a 1 2r. tg a =- 3 , 2 — 1 r 139 tg a =- , 1 a 1 r. 2 2 — 140 —

Utilizzando la circonferenza goniometrica rappresenta gli angoli che verificano le seguenti condizioni. 3 tg a =- 3, a ! IV quadrante; tg b = , b ! III quadrante; tg c = 3 , c ! I quadrante. 2

Trova quale condizione deve soddisfare il parametro k affinché sia verificata l’uguaglianza. 141

tg x =

—

142

tg x =

—

143

1-k k2 - 9

[k ! ! 3]

4 - k2 k+1

[k # - 2 0 - 1 1 k # 2]

(k + 2) tg x = 2k, x ! I quadrante.

[k 1 - 2 0 k $ 0]

2-k , x ! IV quadrante. 4k 2 - 9

:- 3 1 k 1 3 0 k $ 2D 2 2

——

144

tg x =

——

145

tg x =

k - 3 - k, x ! IV quadrante.

[k $ 3]

——

Trova il dominio delle seguenti funzioni. 2 tg x y= 146 — 1 - sen x + 1 - tg x 147 y= sen x — 148

y=

—

ESERCIZIO GUIDA

Sapendo che sen a =

676

:x ! k r D 2 :x ! k r D 2

2 sen x - 1 3 tg x

Utilizziamo le relazioni fondamentali della goniometria 149

: x ! r + kr D 2

5 r e che 0 1 a 1 , calcoliamo il valore di tg a. 7 2

PARAGRAFO 3. LA FUNZIONE TANGENTE

ESERCIZI

Utilizziamo la prima relazione fondamentale della goniometria, sen2 a + cos2 a = 1, per determinare il valore di cos a: 24 25 + cos 2 a = 1 " cos 2 a = . 49 49 Poiché 0 1 a 1

r e per tali angoli il coseno è positivo, abbiamo: 2

2 6 . 7

cos a =

Sfruttiamo ora la seconda relazione fondamentale della goniometria, tg a = tg a =

5 7 2 6 7

=

5 5 = $ 2 6 2 6

sen a , per determinare tg a: cos a

6 5 6 . = 12 6

Calcola il valore di tg a, usando le informazioni fornite. 150

sen a =

—

151

cos a =-

—

154 ——

:- 4 D 3

4 r e 1 a 1 r. 5 2

:- 15 D 8

8 r e 1 a 1 r. 17 2

152

sen a =-

—

153

cos a =-

—

;-

13 3 e r 1 a 1 2r . 2 7

13 E 6

; 11 E 5

3 5 e r 1 a 1 r. 2 6

Utilizza le relazioni fondamentali per dimostrare le formule che permettono di trovare sen a e cos a in funzione di tg a: sen a =

tg a , ! 1 + tg 2 a

cos a =

1 . ! 1 + tg 2 a

Calcola il valore delle funzioni indicate, utilizzando le informazioni fornite. 155

5 r 1 a 1 r; sen a? cos a? e 2 2

tg a =-

—

156

:- 28 ; - 45 D 53 53

tg a =-

9 r e 1 a 1 r; sen a? cos a? 40 2

: 9 ; - 40 D 41 41

tg a =-

12 3 e r 1 a 1 2r; sen a? cos a? 5 2

:- 12 ; 5 D 13 13

sen a =

15 r 1 a 1 r; cos a? tg a? e 17 2

:- 8 ; - 15 D 17 8

cos a =

39 3 e r 1 a 1 2r; sen a? tg a? 89 2

:- 80 ; - 80 D 89 39

—

158 —

159 —

160 —

161 —

162 —

2 5 ;- E 3 3

3 28 e r 1 a 1 r; sen a? cos a? 45 2

tg a =

—

157

;

tg a =

15 3 e r 1 a 1 r; sen a? cos a? 8 2

:- 15 ; - 8 D 17 17

33 r 1 a 1 r; sen a? tg a? e 65 2

: 56 ; - 56 D 65 33

cos a =-

677

ESERCIZI

CAPITOLO 10. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Determina il valore delle seguenti espressioni. 163 —

164 —

tg b

r 5 7 + al + sen b r + 2al + 2 tg b r + al , 2 2 2

2 tg b

r a 5 + l + sen ba + r l - tg (2a + r), 2 2 2

con a =

r . 2

[1]

con a = r .

[- 1]

Trasforma le seguenti espressioni in funzione soltanto di cos a. 165 ——

166

tg a - 2 sen2 a + cos2 a + 2 , sen a

r1a1

sen2 a - 1 - 4 (tg 2 a + 1) sen2 a ,

con a !

2 1 - sen2 a - 2 , 1 + tg 2 a tg a

con a ! k

——

167 ——

168

sen a -

——

2 2 + , sen a tg a

;

3 r. 2

;- (cos a 2- 2) E cos a 2

r + kr . 2

169