Nuova Matematica a colori [5, Verde ed.] 9788849462838, 9788849420241

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Sasso_VERDE_fr_5 10/02/12 11:45 Pagina 1

Leonardo Sasso

Nuova

Matematica

a colori

• Misure di superfici e di volumi • Complementi di calcolo integrale • Complementi di probabilità e statistica

5 con elementi di Informatica

Edizione VERDE per la riforma. Quinto anno

internet: www.petrini.it e-mail: [email protected]

Redattore responsabile: Redazione: Tecnico responsabile: Progetto grafico: Copertina: Ricerca iconografica per la copertina: Impaginazione: Disegni:

Monica Martinelli Giovanni Malafarina Gian Battista Vivalda Carla Devoto Simona Corniola, Simona Speranza Cristina Colombo M.T.M. Leprechaun

Art Director:

Nadia Maestri

L’autore ringrazia i professori Stefano Moretti, Giuseppe Vasta e Mariangela Garozzo per il contributo dato alla stesura degli esercizi.

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Proprietà letteraria riservata © 2012 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: gennaio 2012 Printed in Italy Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Archivio Dea Picture Library. Foto copertina: iStockphoto L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l’autorizzazione scritta dell’Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le fotocopie effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano – e-mail: [email protected] e sito web www.clearedi.org. Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento di funzionamento tecnico dei supporti multimediali del corso o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica [email protected]

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Ristampa: Anno:

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2 3

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10 11

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Indice Prima di cominciare...

TEMA

V

L Area della superficie

Unita`

e volume di un solido Unita` 1 2 3 4 5

1 2

1 Misure di superfici e di volumi

Introduzione alla misura di superfici e di volumi nello spazio Misura della superficie e del volume di parallelepipedi e prismi Misura della superficie e del volume di una piramide e di un tronco di piramide Misura della superficie e del volume di un cilindro, di un cono e di un tronco di cono Misura della superficie e del volume di una sfera e delle parti della sfera ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

sull’integrale definito

Richiami sugli integrali definiti Applicazioni geometriche degli integrali definiti Approfondimento Lunghezza di un arco di curva e area di una superficie di rotazione

2

3 7 9

3 Complementi

4 5 6

13

Altre applicazioni del concetto di integrale definito Funzioni integrabili e integrali impropri La funzione integrale L’integrazione numerica Matematica nella storia Nascita e sviluppo del concetto di integrale

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

16 21 21 23 39 48 49 51 54

TEMA TEMA

1 2 3 4

M

Unita`

2 Complementi sull’integrale indefinito

Richiami sugli integrali indefiniti Integrazione per sostituzione Integrazione per parti Integrazione di funzioni razionali frazionarie ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

102 108 111 116 122 126 131 132 132 133 165 173 174 176 180

N

Dati e previsioni

Complementi sul calcolo integrale Unita`

99

1 2

4 Complementi sul calcolo della probabilita`

Richiami di calcolo della probabilita` Probabilita` composte ed eventi indipendenti Il teorema della probabilita` totale e il teorema di Bayes Matematica nella storia La nascita

184

65

e gli sviluppi del calcolo della probabilita`

76

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica

195 197

58 61 62

76 77 92 98

3

186 190

197 198 208 210

III

Unita`

1 2 3

5 Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

Variabili aleatorie e distribuzioni continue di probabilita` Distribuzioni uniforme, esponenziale e normale Introduzione alla statistica inferenziale Approfondimento Il concetto di modello matematico

211

ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilita` Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi

230

Idee e metodi della matematica Verso la terza prova dell’esame di Stato Verso l’Universita` Risposte alle prove di autoverifica Formulario Indice analitico

249 265 286 289 291 297

214 222 228

Risorse multimediali Esercizi interattivi Materiali per il volume 5: Complementi e approfondimenti – Integrazione di funzioni goniometriche e irrazionali – La distribuzione di Poisson – Glossario

Materiali per il Laboratorio di informatica

Da www.scuola.com l’accesso al portale studente di zonaMatematica consente di cimentarsi autonomamente con prove di autoverifica costantemente aggiornate e implementate, oppure di eseguire le prove personalizzate che il docente assegnera` alla classe.

IV

230 231 239 241 242 244 246

Prima di cominciare... Uno

sguardo

sulla matematica di oggi

Da dove nasce tanto interesse nei confronti della matematica? La risposta e` semplice: essa fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia.

Prima di cominciare...

Negli ultimi cent’anni si sono dimostrati piu` teoremi che nell’intero corso della storia; molte teorie matematiche sono state riprese e hanno avuto notevoli applicazioni pratiche, mentre celebri problemi, irrisolti da secoli, hanno trovato una soluzione.

Per esempio, la matematica ha un ruolo fondamentale:  nella ricerca spaziale: molti matematici contribuiscono in modo determinante ai programmi della NASA e dell’ESA;  in aeronautica: la matematica e` stata essenziale per la costruzione degli aerei della nuova generazione Boeing 767, 777 e Airbus;  nelle telecomunicazioni: la trasmissione veloce e sicura di dati digitali e` possibile grazie ai cosiddetti «codici correttori d’errori», costruiti utilizzando tecniche tratte da algebra, probabilita`, analisi combinatoria, geometria algebrica;  nell’ambito del riconoscimento delle immagini: l’F.B.I. utilizza, per il suo archivio di impronte digitali, tecniche derivate da una teoria matematica avanzata, nota come «teoria delle ondine»;  in ingegneria: i modelli per lo sviluppo e la produzione di prodotti tecnologici consistono nella descrizione matematica dei fenomeni esaminati; nei processi decisionali che riguardano scelte manageriali, in cui sono coinvolti gli ingegneri, vengono ampiamente utilizzate tecniche di indagine statistica e considerazioni probabilistiche;  in informatica: software di generazioni recenti sono basati su teorie algebriche e logiche avanzate;  in meteorologia: le previsioni del tempo sono fondate su complessi modelli matematici;  in medicina: la matematica e` stata impiegata per la realizzazione di nuovi strumenti di indagine diagnostica quali per esempio la TAC (tomografia assiale computerizzata); la statistica, inoltre, e` alla base dell’analisi di dati medici ed epidemiologici e del monitoraggio di dati farmacologici;  in biologia: lo studio dell’evoluzione di popolazioni appartenenti a varie specie e` basato su modelli matematici;

V

Prima di cominciare...

 in economia e finanza: la matematica gioca un ruolo di primo piano nell’ottimizzazione di risorse e investimenti, nella pianificazione di processi produttivi, nel calcolo dei contratti finanziari e dei premi di assicurazioni;  nelle tecniche che garantiscono la sicurezza dei dati riservati: alcune di esse si basano sull’utilizzo dei numeri primi;  nella costruzione dei CD musicali e delle memorie dei computer: metodi matematici sofisticati sono alla base delle tecniche per la compressione dei dati;  nella computer vision: la geometria e` lo strumento che permette la costruzione di modelli tridimensionali usati nei sistemi CAD e nei videogiochi;  nella «mappatura» del genoma umano: una parte della statistica, la cosiddetta «teoria statistica delle grandi deviazioni», ha permesso di sviluppare i programmi a prova di errore per la lettura delle sequenze di DNA. La scienza e la tecnologia utilizzano, dunque, teorie matematiche sempre piu` sofisticate. Per questo motivo, negli ultimi anni sono nate nuove figure professionali, in grado di utilizzare la matematica per scopi diversi.  Nei centri di ricerca di tutte le grandi banche, per esempio, lavorano squadre di matematici.  Nelle assicurazioni il ruolo dei matematici, che e` sempre stato importante, e` in costante crescita.  Le imprese che sviluppano software cercano collaboratori anche fra i laureati in matematica, cosı` come le societa` che lavorano nell’ambito delle telecomunicazioni, che devono pianificare in modo ottimale le «rotte» su cui instradare le chiamate telefoniche.  I centri di ricerca delle grandi industrie impiegano matematici per risolvere i problemi piu` vari, dall’elaborazione delle immagini alla creazione di codici per garantire la sicurezza di dati riservati, dallo sviluppo di nuovi materiali alla bioinformatica e all’ingegneria civile. Sembra proprio che la matematica sia il linguaggio del terzo millennio, senza il quale non sara` possibile comprendere la scienza e le tecnologie del futuro!

VI

per «studiare matematica» e per utilizzare questo libro Questo testo ha diversi scopi:  continuare lo sviluppo delle competenze matematiche che hai acquisito nei corsi precedenti;  farti scoprire alcune applicazioni della matematica nel mondo in cui viviamo;  contribuire a farti acquisire quegli strumenti scientifici sempre piu` essenziali per partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacita` critica;  prepararti all’esame dell’ultimo anno e ai corsi di matematica che dovrai frequentare, se sceglierai di proseguire i tuoi studi in una facolta` scientifica.

Prima di cominciare...

Qualche consiglio

Per raggiungere questi scopi, ti diamo qualche consiglio su come studiare matematica.

1 2

E` importante che studi matematica con regolarita`: potrai cosı` assimilare piu` agevolmente i concetti e il tuo insegnante potra` piu` facilmente aiutarti a superare le difficolta`.

3

   

4 6

Dovresti leggere le lezioni di questo libro e cercare di capire cio` che hai letto. A questo proposito ti diamo alcuni suggerimenti: leggi lentamente, prestando attenzione a ogni parola e ai simboli; rileggi le parti che non ti risultano chiare; prova a rifare da solo gli esempi che compaiono svolti nel testo; alla fine di ogni paragrafo, prima di proseguire, controlla se hai capito cio` che hai letto, cercando di rispondere ai quesiti che ti sono proposti nella rubrica prova tu.

Risolvi gli esercizi che trovi al termine di ciascuna Unita`, suddivisi in paragrafi, con l’aiuto degli esercizi svolti e guidati.

5

Alla fine di ogni tema trovi una serie di esercizi sulle competenze da acquisire sugli argomenti trattati nel tema stesso; cerca di risolvere anche gli esercizi di verso le prove Invalsi, strutturate secondo la nuova tipologia di test d’esame.

Sfrutta i materiali multimediali relativi al libro disponibili on-line: potrai trovare test autocorrettivi che si affiancano alle prove di autoverifica proposte nel libro, file di supporto alle attivita` del Laboratorio di informatica, ulteriori complementi e approfondimenti.

7 8

Lo studio della matematica, come hai gia` avuto modo di constatare, richiede impegno e partecipazione. Non puoi imparare molto limitandoti ad assistere alle lezioni: devi partecipare, porti domande e confrontarti, anche da solo, con problemi ed esercizi.

Quando risolvi un problema, non limitarti a scrivere la tua soluzione: sforzati di illustrare cio` che stai facendo e di giustificare i vari passaggi, con spiegazioni sintetiche ma esaurienti.

Se non riesci a rispondere a una domanda o a risolvere un esercizio immediatamente, non preoccuparti! Rileggi la lezione e gli esempi. Se puoi, abbandona momentaneamente la questione e affrontala in un secondo tempo. Quando qualcosa non ti e` chiaro, poni domande e parlane con altri.

9

Cerca di studiare con spirito critico: la matematica non e` solo calcolo, ma soprattutto una forma di pensiero. Nell’epoca di innovazioni tecnologiche in cui viviamo, questo secondo aspetto e` sempre piu` essenziale: i calcoli si possono spesso demandare alle macchine, mentre e` essenziale saper ragionare in modo corretto, risolvere e porsi problemi, unire fantasia e razionalita`.

A tutti auguro buon lavoro! L’Autore

VII

Area della superficie e volume di un solido Le forme geometriche di cui facciamo quotidianamente esperienza nella realta` non si estendono nel piano (ambiente in cui abbiamo studiato finora la geometria) bensı` nello spazio. Basta pensare per esempio a edifici che ci ricordano la forma del parallelepipedo, a strutture architettoniche quali quelle delle tombe egizie che ci ricordano la forma della piramide, alle comuni lattine contenenti bibite che ci richiamano la forma del cilindro o alle immagini dei pianeti che ci suggeriscono la forma della sfera. Sapere dominare la

TEMA

L

PREREQUISITI

3Geometria euclidea e analitica nel piano

COMPETENZE

3Confrontare e analizzare figure

geometriche nello spazio, individuando invarianti e relazioni

geometria nello spazio e` fondamentale in svariati settori, in

particolare per riuscire a rappresentare la realta` tridimensionale nel piano: problema che si incontra per esempio nella progettazione di auto o aerei, ma anche nella preparazione di videogiochi o di film nella nuova tecnologia «3D». Nella prossima Unita` ci occuperemo proprio di estendere

lo studio della geometria dal piano allo spazio,

muovendoci secondo entrambi gli approcci, sintetico e analitico, che ci hanno fin qui guidato: prima studieremo le proprieta` delle figure geometriche nello spazio euclideo e poi ci occuperemo di tradurre tali proprieta` analiticamente, assumendo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

Unita` 1

Misure di superfici e di volumi

pallone da calcio

fullerene

Il comune pallone da calcio, quando e` ben gonfiato, sembra una vera e propria sfera ma se lo osserviamo piu` attentamente scopriamo che la sua superficie e` in realta` formata da pentagoni ed esagoni regolari cuciti insieme. Per questo motivo Il modello geometrico del pallone non e` la sfera, ma un particolare solido, detto icosaedro troncato, costituito da 32 facce, di cui 20 esagoni e 12 pentagoni. Curiosamente l’icosaedro troncato e` anche il modello geometrico di una particolare molecola di carbonio, il fullerene (C60 Þ: gli atomi di carbonio sono disposti ai vertici dell’icosaedro mentre i suoi spigoli rappresentano i legami (vedi la figura a fianco del pallone).

Unita`

1

Misure di superfici e di volumi

Tema L

1. Introduzione alla misura di superfici e di volumi nello spazio In questo primo paragrafo dell’Unita` ci proponiamo di introdurre i concetti fondamentali necessari per affrontare il problema della misura dell’area della superficie e del volume di un solido.

Superfici e sviluppi Assumeremo come primitivo il concetto di superficie di un solido. Nello studio di alcuni solidi notevoli nei quali sono presenti una o piu` basi, parleremo di superficie totale per indicare appunto la superficie complessiva del solido e di superficie laterale per indicare la superficie che si ottiene sottraendo dalla superficie totale quella delle basi. Indicheremo la misura dell’area della superficie totale con il simbolo St e la misura dell’area della superficie laterale con il simbolo Sl . La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, la si puo` distendere completamente su un piano senza deformarla. La figura piana ottenuta si chiama sviluppo (in piano) del solido originario; in fig. 1.1 sono rappresentati per esempio gli sviluppi dei cinque poliedri regolari.

cubo

tetraedro

icosaedro

ottaedro

dodecaedro

Figura 1.1 Sviluppi dei cinque poliedri regolari.

Se un solido e` sviluppabile, il problema di misurare l’area della sua superficie si puo` ricondurre a un problema di geometria piana: basta misurare l’area del suo sviluppo; come vedremo nei prossimi paragrafi, questo caso si verifica sia per i poliedri (quindi in particolare per prismi e piramidi), sia per i cilindri e per i coni. Se invece un solido non e` sviluppabile (come accade per esempio nel caso della sfera e delle sue parti), il problema di misurare l’area della sua superficie puo` avvenire solo con metodi riconducibili all’analisi infinitesimale, una parte della matematica che studierai nel proseguimento dei tuoi studi. Per questo motivo, quando alla fine di questa unita` tratteremo il problema di misurare l’area della superficie della sfera e delle sue parti ci limiteremo a un approccio prevalentemente intuitivo. 2

Unita` 1

L’equivalenza tra solidi e il principio di Cavalieri

1. Il primo criterio e` quello di equiscomponibilita`: si dimostra che se due solidi sono equiscomponibili, cioe` se sono scomponibili in poliedri rispettivamente congruenti, allora sono equivalenti. E` evidente che si tratta di una condizione sufficiente, ma non necessaria per l’equivalenza di due solidi: per esempio, un cubo e una sfera possono essere equivalenti senza tuttavia essere, ovviamente, equiscomponibili. 2. Il secondo criterio e` il cosiddetto principio di Cavalieri, che ora introduciamo con alcune considerazioni intuitive. Consideriamo una pila di monete (fig. 1.2 a sinistra) e immaginiamo di spostarle in modo da ottenere la configurazione della fig. 1.2 a destra.

Attenzione!

Misure di superfici e di volumi

Intuitivamente diciamo che due solidi realizzati con lo stesso materiale sono equiestesi se hanno lo stesso peso (anche se hanno forma diversa), oppure che due recipienti sono equivalenti se contengono la stessa quantita` di acqua. Come nel piano abbiamo assunto come primitivo il concetto di estensione di una superficie, cosı` nello spazio assumeremo come primitivo il concetto di estensione di un solido. Assumeremo inoltre, come assioma, che la relazione di equiestensione sia una relazione d’equivalenza, cioe` che goda delle proprieta` riflessiva, simmetrica e transitiva. Due solidi che hanno la stessa estensione si dicono equivalenti; per indicare l’e: quivalenza di due solidi A e B scriveremo A ¼ B. Sussistono due importanti criteri che forniscono condizioni sufficienti per poter affermare che due solidi sono equivalenti.

Nel piano la condizione di equiscomponibilita` e` necessaria e sufficiente per l’equivalenza nell’ambito dei poligoni, mentre nello spazio l’equiscomponibilita` e` una condizione sufficiente ma non necessaria per l’equivalenza, non solo nell’ambito generale delle figure solide, ma anche nell’ambito piu` ristretto dei poliedri: e` stato dimostrato infatti dal matematico Max Dehn, nel 1903, che esistono piramidi equivalenti, ma non equiscomponibili.

Figura 1.2

Confrontiamo ora le due pile: a ogni moneta nella pila di sinistra corrisponde nella pila di destra una moneta uguale posta alla stessa altezza: siamo quindi portati ad affermare, senza ombra di dubbio, che le due pile di monete hanno la stessa estensione. Un ragionamento analogo puo` ripetersi anche nel caso in cui le monete non siano tutte uguali. Per esempio, consideriamo le due pile di monete in fig. 1.3: anche in questo caso saremo portati ad affermare che hanno la stessa estensione perche´ a ogni moneta nella pila di sinistra corrisponde nella pila di destra una moneta uguale, posta alla stessa altezza. EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT

EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT

Figura 1.3

Immaginiamo ora di applicare queste medesime considerazioni a due solidi, pensati come «pile di fogli» di spessore sottilissimo: cosı` come nelle pile di monete considerate poc’anzi, se a ogni foglio che forma il primo solido corrisponde nel secondo solido un foglio uguale posto alla stessa altezza, potremo dire che i due solidi sono equivalenti. Il principio di Cavalieri (che assumeremo come assioma) scaturisce dalla generalizzazione e formalizzazione di queste idee intuitive. 3

Area della superficie e volume di un solido Tema L

ASSIOMA 1.1

Pri ncipio di C aval ieri

Dalla storia

Se due solidi possono essere disposti, rispetto a un piano
, in modo che ogni piano parallelo ad
che interseca uno dei due solidi intersechi anche l’altro e individui su di essi sezioni equivalenti, allora anche i due solidi sono equivalenti.

Il principio di Cavalieri deve il suo nome al matematico Bonaventura Cavalieri (1598 circa-1647), allievo di Galileo Galilei e titolare della cattedra di matematica all’universita` di Bologna. La sua fama e` dovuta soprattutto al trattato Geometria degli indivisibili, in cui si occupa del problema della misura di aree e volumi, anticipando molte idee che portarono successivamente allo sviluppo dell’analisi infinitesimale, branca della matematica che studierai nel proseguimento dei tuoi studi.

E` importante fare alcune osservazioni:
il principio di Cavalieri consente di ricondurre un problema nello spazio, quello dell’equivalenza di due solidi, a un problema nel piano: quello dell’equivalenza delle loro sezioni;
puoi renderti conto che il principio di Cavalieri e` una condizione sufficiente ma non necessaria per l’equivalenza considerando i due solidi in fig. 1.4.

Figura 1.4 I due solidi rappresentati, ciascuno unione di quattro cubetti azzurri congruenti, sono evidentemente equivalenti perche´ equiscomponibili, ma non e` soddisfatta la condizione espressa dal principio di Cavalieri: infatti, comunque siano disposti, le sezioni con piani paralleli alle basi non risultano sempre equivalenti.

Vediamo subito alcuni teoremi che si dimostrano facilmente applicando il principio di Cavalieri. TEOREMA 1.1

Equivalenza tra due prismi

Due prismi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. DIMOSTRAZIONE

Disponiamo i due prismi in modo che le basi B e B0 appartengano allo stesso piano
e i due solidi si trovino dalla stessa parte rispetto a esso. Tracciamo un generico piano , parallelo ad
, che intersechi i due prismi e indichiamo con S e S0 le sezioni del piano  con i due prismi (fig. 1.5).

S

S'

B

B'

β

α Figura 1.5

Osserviamo che:
la sezione S e` congruente alla base B (infatti si corrispondono in una traslazione), quindi in particolare S e` equivalente alla base B;
la base B e` equivalente, per ipotesi, alla base B0 ;
la base B0 e` congruente alla sezione S0 (infatti si corrispondono in una traslazione), quindi in particolare B0 e` equivalente a S0 . 4

Unita` 1

In modo del tutto analogo si potrebbe dimostrare il seguente teorema. Equivalenza tra prisma e cilindro

TEOREMA 1.2

Un cilindro e un prisma aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti (fig. 1.6).

Misure di superfici e di volumi

Per la proprieta` transitiva della relazione di equivalenza, ne segue che anche le due sezioni S ed S0 sono equivalenti. Osserviamo ora che, poiche´ i due prismi hanno per ipotesi la stessa altezza, ogni piano  che interseca uno dei due prismi interseca anche l’altro. Inoltre, per quanto poc’anzi dimostrato, le due sezioni sono equivalenti. Pertanto, per il principio di Cavalieri, i due prismi sono equivalenti.

β

α Figura 1.6 L’equivalenza delle basi del prisma e del cilindro implica l’equivalenza delle sezioni per ogni piano  parallelo ad
che intersechi entrambi i solidi. Da cio` segue l’equivalenza dei due solidi, per il principio di Cavalieri. Equivalenza tra cono e piramide

TEOREMA 1.3

Un cono e una piramide aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. DIMOSTRAZIONE

Disponiamo i due solidi in modo che la base B della piramide e la base B0 del cono appartengano allo stesso piano
e si trovino dalla stessa parte rispetto a esso; tracciamo poi un generico piano , parallelo ad
, che intersechi i due solidi. Indichiamo con S e S0 le rispettive sezioni con il piano  (fig. 1.7). V

K β

V'

H Figura 1.7

K' S'

S

B

H'

B'

α

La sezione della piramide (del cono) e` la corrispondente della base della piramide
 VK V 0 K 0 (del cono) nell’omotetia di centro V ðV 0 Þ e rapporto di omotetia . Ne VH V 0 H 0 segue che: B : S ¼ VH : VK

e

B0 : S0 ¼ V 0 H 0 : V 0 K 0

Dalle ipotesi e dalla costruzione discende inoltre che: VH ffi V 0 H 0 quindi:

e

VK ffi V 0 K0

VH : VK ¼ V 0 H 0 : V 0 K 0

Pertanto: B : S ¼ B0 : S0

ovvero B : B0 ¼ S : S0 : : Poiche´ per ipotesi B ¼ B0 , ne segue che S ¼ S0 .

Ô

5

Area della superficie e volume di un solido Tema L

Ô

Osserviamo ora che, poiche´ piramide e cono hanno per ipotesi la stessa altezza, ogni piano  che interseca uno dei due solidi interseca anche l’altro. Inoltre, per quanto appena dimostrato le due sezioni sono equivalenti. Pertanto, in base al principio di Cavalieri, la piramide e il cono sono equivalenti.

In modo del tutto analogo si potrebbe dimostrare il seguente teorema. TEOREMA 1.4

Equivalenza tra due piramidi

Due piramidi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.

Il volume di un solido e la sua misura Abbiamo assunto, come assioma, che la relazione di equiestensione sia una relazione di equivalenza. Tale relazione permette dunque di suddividere l’insieme dei solidi in classi di equivalenza; a ognuna di esse si da` un nome particolare.

VOLUME

Si chiama volume di un solido la classe di equivalenza cui il solido appartiene, rispetto alla suddivisione in classi operata dalla relazione di equiestensione.

Ricorderai che per le ampiezze, le lunghezze e le aree, anch’esse definite come classi di equivalenza, si era definito il concetto di misura di un’ampiezza, di una lunghezza e di un’area. Si puo` definire in modo analogo il concetto di misura di un volume. Intuitivamente si tratta di scegliere un’unita` di misura per i volumi e poi confrontare il volume che vogliamo misurare con quella unita` di misura e vedere quante volte l’unita` di misura e` contenuta in esso. Come unita` di misura per i volumi si sceglie di solito il cubo avente come spigolo il segmento che si assume come unita` di misura per le lunghezze. La misura di un volume, come le misure delle lunghezze e delle aree, sara` espressa da un numero reale non negativo. Nel seguito indicheremo la misura del volume di un solido con la lettera V. ESEMPIO

Consideriamo come unita` di misura per le lunghezze il centimetro e, di conseguenza, come unita` di misura per i volumi il cubo di spigolo 1 cm, e la indichiamo con il simbolo cm3 . Allora un parallelepipedo come quello in fig. 1.8, di dimensioni 3 cm, 4 cm e 2 cm, contiene esattamente 24 cubetti di spigolo 1 cm, pertanto la misura del volume del parallelepipedo, rispetto al cm3 , e` 24. In alternativa, possiamo dire che il volume del parallelepipedo e` 24 cm3 .

2 cm

4 cm 1 cm Figura 1.8

6

1 cm3

3 cm

Unita` 1

Attenzione!

Misure di superfici e di volumi

Osserva la differenza: a.la misura di un volume e` un numero, percio` abbiamo detto che la misura del volume del parallelepipedo e` 24, non che e` 24 cm3 ; b. possiamo invece dire che il volume del parallelepipedo e` 24 cm3 , poiche´ cio` significa che il parallelepipedo appartiene alla stessa classe di equivalenza (rispetto alla relazione di equiestensione) cui appartiene una figura solida che e` l’unione di 24 cubi congruenti al cm3 . Sebbene questo sia il linguaggio piu` corretto, si puo` osservare che, scelta un’unita` di misura per i volumi, a ogni misura corrisponde uno e un solo volume e a ogni volume corrisponde una e una sola misura. Per questo motivo nella pratica, per brevita`, a volte non si distinguono i due concetti e si trovano espressioni del tipo «la misura del volume del parallelepipedo e` 24 cm3 » oppure «il volume del solido e` 24».

Si definisce rapporto tra due volumi il rapporto tra le loro misure, rispetto a una data unita` di misura: questa definizione e` ben posta, nel senso che, come si potrebbe dimostrare, tale rapporto non dipende dall’unita` di misura scelta.

Omotetie e volumi E` importante infine mettere in rilievo qual e` il comportamento delle omotetie rispetto al volume di un solido. Si puo` dimostrare che un’omotetia trasforma un solido in un solido simile al primo e tale che il rapporto dei loro volumi e` uguale al cubo del valore assoluto del rapporto di omotetia. Pertanto, se V e` il volume di un solido, il suo corrispondente in un’omotetia di rapporto k avra` volume V 0 ¼ jkj3 V.

Prova tu

ESERCIZI a p. 23

1. Rappresenta lo sviluppo di una piramide quadrangolare regolare.

2. Dimostra, utilizzando il principio di Cavalieri, assioma 1.1: due piramidi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.

2. Misura della superficie e del volume di parallelepipedi e prismi Misura della superficie di parallelepipedi e prismi Poniamoci il problema di calcolare la misura dell’area della superficie laterale e totale di un prisma. Fissiamo l’attenzione per esempio sul prisma retto a base pentagonale in fig. 1.9, in cui gli spigoli di base misurano a, b, c, d, e e l’altezza misura h. L’area della superficie laterale e` la somma delle aree delle cinque facce laterali, che sono rettangoli di altezza uguale a quella del prisma (vedi lo sviluppo del prisma in fig. 1.10), quindi: Sl ¼ a  h þ b  h þ c  h þ d  h þ e  h ¼ ða þ b þ c þ d þ eÞ  h a

e

b a

d

c

b

d

e

h h c a b

e c

Figura 1.9

d

b d Figura 1.10

a

e

7

Sl ¼ 2p  h Detta Sb la misura dell’area di ciascuna base del prisma, sara` infine: St ¼ Sl þ 2  Sb ¼ 2p  h þ 2Sb Analoghi ragionamenti valgono per un prisma retto qualsiasi. TEOREMA 1.5

Area della superficie di un prisma retto

La misura dell’area della superficie laterale di un prisma retto il cui perimetro di base misura 2p e la cui altezza misura h e` data dalla formula: Sl ¼ 2p  h Detta Sb la misura dell’area di ciascuna delle due basi, la superficie totale del prisma ha misura espressa dalla formula:

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

Ma la somma a þ b þ c þ d þ e rappresenta la misura del perimetro, 2p, della base del prisma, quindi:

St ¼ 2p  h þ 2Sb

Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, i cui spigoli di base misurano a e b e la cui altezza misura c, risulta: 2p ¼ 2ða þ bÞ e Sb ¼ a  b quindi avremo: Sl ¼ 2ða þ bÞ  c St ¼ 2ða þ bÞ  c þ 2a  b ¼ 2ðab þ bc þ acÞ Infine, se il parallelepipedo e` un cubo il cui spigolo misura l, le formule assumono la forma: Sl ¼ 4l2

St ¼ 6l2

Misura del volume di parallelepipedi e prismi Con considerazioni analoghe a quelle sviluppate nello studio della geometria del piano per dedurre la formula che fornisce la misura dell’area di un rettangolo, si giunge al seguente teorema, che certamente gia` conosci dai tuoi studi precedenti. TEOREMA 1.6

Volume di un parallelepipedo

La misura del volume di un parallelepipedo rettangolo e` uguale al prodotto delle misure a, b, c delle tre dimensioni: Vparallelepipedo ¼ a  b  c

c b a Figura 1.11

Osserviamo ora che il prodotto delle misure di due delle tre dimensioni di un parallelepipedo rappresenta la misura Sb dell’area di una faccia (fig. 1.11); se assumiamo questa faccia come base del parallelepipedo, la misura della terza dimensione rappresenta l’altezza h relativa a questa faccia, quindi la formula che fornisce la misura del volume di un parallelepipedo puo` esprimersi nella forma equivalente Vparallelepipedo ¼ Sb  h Nel caso particolare di un cubo il cui spigolo misura l, la formula diventa: Vcubo ¼ l3 Osserviamo infine che, come conseguenza del teorema 1.1, un prisma e` equivalente a un parallelepipedo di base equivalente e altezza congruente; pertanto, indicata con Sb la misura dell’area della base del prisma e con h la misura della sua altezza, anche per un prisma qualsiasi, come per i parallelepipedi, vale la formula: Vprisma ¼ Sb  h

8

ESERCIZI a p. 26

3. Misura della superficie e del volume di una piramide e di un tronco di piramide

Misure di superfici e di volumi

3. Determina l’area della superficie totale e il volume di un prisma esagonale regolare, avente altezza congruente agli spigoli di base, sapendo che questi ultimi   pffiffiffi 3 pffiffiffi misurano a. 3a2 ð2 þ 3Þ; a3 3 2

1. Determina l’area della superficie totale e il volume di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni 4 cm, 5 cm e 6 cm. [148 cm2 ; 120 cm3 ] 3 2. Il volume di un parallelepipedo rettangolo e` 120 pffiffiffi cm e la sua base e` un quadrato di diagonale 4 2 cm. Qual e` la lunghezza dell’altezza del parallelepipedo rettangolo? [7,5 cm]

Unita` 1

Prova tu

Misura della superficie di una piramide e di un tronco di piramide Poniamoci anzitutto il problema di calcolare la misura dell’area della superficie laterale di una piramide retta. Siano l1 , l2 ,..., ln le misure dei lati della base della piramide e a la misura dell’apotema. L’area della superficie laterale e` la somma delle aree delle facce laterali, che sono triangoli aventi come altezze (relative agli spigoli di base) l’apotema della piramide (vedi la fig. 1.12, in cui abbiamo considerato come esempio una piramide retta a base triangolare); pertanto: 1 1 1 1 l1  a þ l2  a þ ::: þ ln  a ¼ ðl1 þ l2 þ ::: þ ln Þ  a 2 2 2 2 1 Ma l’espressione ðl1 þ l2 þ ::: þ ln Þ rappresenta la misura del semiperimetro, p, 2 della base, quindi: E Sl ¼

Sl ¼ p  a

V

a apotema l3

C

B

a l1

l3

C l1

l2

B a

l2

A

A

a

F Figura 1.12 Una piramide triangolare retta e il suo sviluppo.

D

Questi ragionamenti valgono per una piramide retta qualsiasi, quindi in particolare per le piramidi regolari. Area della superficie di una piramide retta

TEOREMA 1.7

La misura dell’area della superficie laterale di una piramide retta il cui perimetro di base misura 2p e il cui apotema misura a e` data dalla formula: Sl ¼ p  a

[1.1]

Detta Sb la misura dell’area della base della piramide, l’area della superficie totale della piramide ha misura espressa dalla formula: St ¼ p  a þ Sb 9

Ricorda Come per le piramidi non rette, anche per i tronchi di piramide non retti l’area della superficie laterale va calcolata come somma delle aree delle singole facce.

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

Nel caso di piramidi non rette, le facce laterali non hanno tutte la stessa altezza, quindi la formula [1.1] non puo` essere utilizzata e l’area della superficie laterale va calcolata come somma delle aree delle singole facce. Consideriamo ora un tronco di piramide retta e supponiamo che i perimetri della base maggiore e della base minore del tronco misurino rispettivamente 2p e 2p0 . Le facce laterali sono trapezi aventi tutti la stessa altezza, di misura a, uguale all’apotema del tronco (fig. 1.13); chiamiamo l1 , l2 , ..., ln le misure delle basi maggiori di questi trapezi e l01 , l02 , ..., l0n le misure delle basi minori; l’area della superficie laterale del tronco e` la somma delle aree di questi trapezi, quindi: Sl ¼ ¼

1 1 1 ðl1 þ l01 Þ  a þ ðl2 þ l02 Þ  a þ ::: þ ðln þ l0n Þ  a ¼ 2 2 2

1 ðl1 þ ::: þ ln þ l01 þ ::: þ l0n Þ  a ¼ 2 2p

2p0

1 ¼ ð2p þ 2p0 Þ  a ¼ ðp þ p0 Þ  a 2

l1'

a

l1

Figura 1.13

Vale quindi il seguente teorema. TEOREMA 1.8

A r e a d e l l a s u p e r f i c i e di un t r o n c o d i p i r a m i d e r e t t a

La misura dell’area della superficie laterale di un tronco di piramide retta, avente basi i cui perimetri misurano 2p e 2p0 e apotema di misura a, e` espressa dalla formula: Sl ¼ ðp þ p0 Þ  a La misura dell’area della superficie totale del tronco, dette B e b le misure delle aree delle sue basi, e` data da: St ¼ ðp þ p0 Þ  a þ B þ b

Misura del volume di una piramide e di un tronco di piramide Il calcolo della misura del volume di una piramide si fonda sul seguente teorema di equivalenza. TEOREMA 1.9

Equivalenza tra piramide e prisma

Ogni piramide e` equivalente a un terzo di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza della piramide. DIMOSTRAZIONE

Osserviamo anzitutto che possiamo effettuare la dimostrazione limitandoci al caso di una piramide a base triangolare; infatti ogni piramide puo` essere scomposta nella somma di piramidi di base triangolare tracciando le diagonali uscenti da un vertice del poligono di base della piramide e considerando i tetraedri che hanno come basi i triangoli ottenuti e come vertice quello della piramide originaria (fig. 1.14). 10

Figura 1.14

F E D

C B Figura 1.15

Misure di superfici e di volumi

Data una piramide avente come base il triangolo ABC e come vertice D, costruiamo il prisma che ha come basi il triangolo ABC e il triangolo DEF, corrispondente di ! ABC nella traslazione di vettore AD (fig. 1.15). Il prisma cosı` costruito ha la base ABC in comune con la piramide e la stessa altezza della piramide (uguale alla distanza di D dal piano ABC).

Unita` 1

COSTRUZIONE PRELIMINARE

A

Suddividiamo poi il prisma nelle tre piramidi evidenziate nelle seguenti figure. F

F

F

E

E

D

E D

D C

C

C

B

B

A

A

Figura 1.16 Piramide originaria

Figura 1.17 Piramide con la faccia CDB in comune con la piramide di fig. 1.16

B A Figura 1.18 Piramide con la faccia DBF in comune con la piramide di fig. 1.17


Dimostriamo che la prima e la seconda piramide sono equivalenti Queste due piramidi, considerate sulle basi ACD e CDF, hanno: – basi equivalenti poiche´ ciascuno dei due triangoli ACD e CDF e` la meta` del parallelogramma ADFC; – stessa altezza, coincidente con la distanza di B dal piano che contiene la faccia ADFC. Pertanto le due piramidi sono equivalenti in base al teorema 1.4.
Dimostriamo che la prima e la terza piramide sono equivalenti Queste due piramidi, considerate sulle basi ABC e DEF, hanno: – basi congruenti, in quanto basi di un prisma; – altezze congruenti, coincidenti con la distanza tra i due piani paralleli ABC e DEF. Pertanto le due piramidi sono equivalenti in base al teorema 1.4.
Concludiamo Per la proprieta` transitiva della relazione di equivalenza, le tre piramidi sono tutte equivalenti fra loro, quindi equivalenti a un terzo del prisma di basi ABC e DEF, prisma che ha, per costruzione, la stessa base e la stessa altezza della piramide originaria. Dal teorema precedente segue immediatamente che, data una piramide la cui base ha area di misura B e la cui altezza misura h, risulta: Vpiramide ¼

1 1 Vprisma ¼ Bh 3 equivalente 3

Vale quindi il seguente teorema. 11

Area della superficie e volume di un solido

TEOREMA 1.10

Volume della piramide

La misura del volume di una piramide la cui base ha area di misura B e la cui altezza misura h e` espressa dalla formula: 1 Vpiramide ¼ B  h 3

Non e` difficile a questo punto ricavare la formula che fornisce il volume di un tronco di piramide. TEOREMA 1.11

Volume del tronco di piramide

La misura del volume di un tronco di piramide le cui basi hanno aree di misure B e b e la cui altezza misura h e` espressa dalla formula: pffiffiffiffiffiffi 1 Vtronco ¼ ðb þ B þ bB Þ  h 3

Tema L

DIMOSTRAZIONE

V

Consideriamo la piramide cui il tronco appartiene e indichiamo con h0 la distanza del vertice V della piramide dalla base minore del tronco (fig. 1.19).

Base di area b

h' H' h H

Figura 1.19

Base di area B


Esprimiamo il volume del tronco Il volume del tronco e` la differenza tra i volumi delle due piramidi di vertice V che hanno come basi, rispettivamente, la base maggiore e la base minore del tronco, quindi: 1 1 1 1 1 1 1 Vtronco ¼ Bðh þ h 0 Þ  bh 0 ¼ Bh þ Bh 0  bh 0 ¼ Bh þ ðB  bÞ h 0 3 3 3 3 3 3 3 [1.2]

Ricorda Il rapporto tra le aree di due figure simili e` uguale al quadrato del loro rapporto di similitudine.


Esprimiamo h0 in funzione di B, b e h La base minore del tronco e` la corrispondente della base maggiore nell’omotetia VH 0 . Ne segue che le basi del tronco sono simili, di rapdi centro V e rapporto VH porto di similitudine uguale al rapporto tra le rispettive distanze dal vertice V; possiamo quindi scrivere la seguente equazione, che risolviamo rispetto a h0 , limitandoci alla ricerca della radice positiva: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi B B B b B ðh þ h 0 Þ2 h þ h0 h h pffiffiffi ) ) pffiffiffi ¼ ) pffiffiffi ¼ 0 þ 1 ) 0 ¼ ¼ 2 0 0 h b h h b b b ðh Þ pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi h b h b ð B þ bÞ 0 0 ) h ¼ pffiffiffi pffiffiffi ) h ¼ [1.3] Bb B b
Concludiamo Sostituendo infine l’espressione di h 0 fornita dalla [1.3] nella [1.2] otteniamo la formula che volevamo dimostrare: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 1 1 1 1 h bð B þ bÞ 0 ¼ Vtronco ¼ Bh þ ðB  bÞ h ¼ Bh þ ð B  bÞ Bb 3 3 3 3 h0

1 1 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 1 1 pffiffiffiffiffiffi 1 ¼ Bh þ h b ð B þ bÞ ¼ Bh þ h bB þ hb ¼ 3 3 3 3 3 pffiffiffiffiffiffi 1 ¼ ðb þ B þ bBÞ h 3 12

ESERCIZI a p. 28

Considera una piramide regolare, la cui base e` un quadrato di lato 2a, avente altezza di misura 6a. a. Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide. b. Un piano distante 2a dal vertice della piramide data, parallelo alla base della piramide stessa, la divide in due parti: un tronco di piramide e una piramide avente co-

b. V ¼

pffiffiffiffiffiffi 208 3 8 a ; Area ¼ a2 ð5 þ 4 37Þ 27 9



4. Misura della superficie e del volume di un cilindro, di un cono e di un tronco di cono

Misure di superfici e di volumi

me base la sezione della piramide con il piano. Determina il volume e l’area della superficie totale del tronco di  piramide. pffiffiffiffiffiffi a. V ¼ 8a3 ,Area ¼ 4a2 ð1 þ 37Þ;

Unita` 1

Prova tu

Misura della superficie e del volume di un cilindro La determinazione della misura dell’area della superficie di un cilindro e, piu` in generale, dei solidi rotondi quali il cono e la sfera, pone problemi nuovi rispetto ai poliedri: nel caso dei solidi rotondi ci si trova infatti davanti al problema di misurare una superficie curva, rispetto all’unita` di misura scelta per le aree, che e` piana. Per semplicita`, eviteremo una trattazione rigorosa del problema, limitandoci a un approccio intuitivo. Nel caso del cilindro, l’approccio intuitivo e` particolarmente semplice perche´ la superficie di un cilindro e` sviluppabile; in fig. 1.20 abbiamo riportato lo sviluppo di un cilindro avente raggio di base di misura r e altezza di misura h.

Osserva Si tratta di problemi analoghi a quelli che si sono posti per la determinazione della lunghezza di una circonferenza e dell’area di un cerchio.

r 2πr h

Figura 1.20

In particolare, la superficie laterale del cilindro ha come sviluppo un rettangolo i cui lati misurano 2r e h, quindi assumeremo come area della superficie laterale di un cilindro l’area di questo rettangolo, che misura 2r  h. Per ottenere l’area della superficie totale bisogna aggiungere all’area della superficie laterale le aree delle due basi, ciascuna delle quali misura r 2 . Vale quindi il seguente teorema. Area della superficie di un cilindro

TEOREMA 1.12

La misura dell’area della superficie laterale di un cilindro la cui base ha raggio di misura r e la cui altezza misura h e` espressa dalla formula: Sl ¼ 2r  h La misura dell’area della superficie totale del cilindro e` data da: St ¼ 2r  h þ 2r 2

Per quanto riguarda invece il calcolo della misura del volume di un cilindro, basta ricordare il teorema 1.2, per il quale un cilindro e` equivalente a un prisma avente base equivalente a quella del cilindro e stessa altezza. Dunque un cilindro avente 13

TEOREMA 1.13

Volume di un cilindro

Se un cilindro ha raggio di base di misura r e altezza di misura h, allora la misura del volume del cilindro e` espressa dalla formula: Vcilindro ¼ r 2  h

Misura della superficie e del volume di un cono Anche la superficie del cono, come quella del cilindro, e` sviluppabile. In fig. 1.21 abbiamo rappresentato lo sviluppo di un cono avente raggio di base di misura r e apotema di misura a. a

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

raggio di base di misura r e altezza di misura h e` equivalente a un prisma la cui base ha area di misura r 2 e la cui altezza misura h. Vale quindi il seguente teorema.

2πr Figura 1.21

r

In particolare, la superficie laterale del cono ha come sviluppo un settore circolare, avente come raggio l’apotema del cono, delimitato da un arco avente la stessa lunghezza della circonferenza di base del cono. Ricordando che un settore circolare e` equivalente a un triangolo avente base della stessa lunghezza dell’arco che delimita il settore e come altezza il raggio del settore, deduciamo che l’area della superficie laterale del cono misura: 1  2r  a ¼ ra 2 Per ottenere l’area della superficie totale bisogna aggiungere, all’area della superficie laterale, l’area della base del cono, che misura r 2 . Vale quindi il seguente teorema. TEOREMA 1.14

Area della superficie di un cono

La misura dell’area della superficie laterale di un cono la cui base ha raggio di misura r e il cui apotema misura a e` espressa dalla formula: Sl ¼ ra La misura dell’area della superficie totale del cono e` data da: St ¼ ra þ r 2

Per quanto riguarda invece il calcolo della misura del volume di un cono basta ricordare il teorema 1.3, per il quale un cono e` equivalente a una piramide avente base equivalente a quella del cono e stessa altezza. Dunque un cono avente raggio di base di misura r e altezza di misura h e` equivalente a una piramide la cui base ha area di misura r 2 e la cui altezza misura h. Vale quindi il seguente teorema. TEOREMA 1.15

Volume di un cono

Se un cono ha raggio di base di misura r e altezza di misura h, allora la misura del volume del cono e` espressa dalla formula Vcono ¼

14

1 2 r  h 3

Unita` 1

Misura della superficie e del volume di un tronco di cono Circa il problema di misurare l’area della superficie di un tronco di cono sussiste il seguente teorema. TEOREMA 1.16

La misura dell’area della superficie laterale di un tronco di cono le cui basi hanno raggi di misura r ed r 0 e il cui apotema misura a e` espressa dalla formula: Sl ¼ aðr þ r 0 Þ La misura dell’area della superficie totale e` data da: St ¼ aðr þ r 0 Þ þ r 2 þ ðr 0 Þ2 DIMOSTRAZIONE

Consideriamo il cono di vertice V cui il tronco appartiene e indichiamo con a0 l’apotema del cono che ha come base la base minore del tronco e come vertice V (fig. 1.22). V

Misure di superfici e di volumi

Area della superficie del tronco di cono

a' O'

r'

A' a

O

r

A

Figura 1.22


Esprimiamo l’area della superficie laterale del tronco L’area della superficie laterale del tronco e` la differenza tra le aree delle superfici laterali dei due coni di vertice V aventi come basi, rispettivamente, la base maggiore e la base minore del tronco: Sl ¼ rða þ a0 Þ  r 0 a0 ¼ ra þ a0 ðr  r 0 Þ

[1.4]


Esprimiamo a0 in funzione di a, r ed r 0 I due triangoli rettangoli VOA e VO0 A0 sono simili (perche´ sono rettangoli e hanno l’angolo di vertice V in comune). Ne segue la seguente equazione, che risolviamo rispetto ad a0 : a þ a0 a0 ar 0 ¼ 0 ) ar 0 þ a0 r 0 ¼ a0 r ) a0 ðr  r 0 Þ ¼ ar 0 ) a0 ¼ r r r  r0

[1.5]


Concludiamo Sostituendo l’espressione di a0 fornita dalla [1.5] nella [1.4] otteniamo la formula che volevamo dimostrare: Sl ¼ ra þ a0 ðr  r 0 Þ ¼ ¼ ra þ 

ar 0 ð r  r 0 Þ ¼ ra þ r 0 a ¼ aðr þ r 0 Þ r  r0 a0

La formula per calcolare la misura dell’area della superficie totale del tronco si ottiene in modo ovvio aggiungendo alla misura dell’area della superficie laterale quelle delle due basi. 15

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

Per quanto riguarda il calcolo del volume di un tronco di cono, con una dimostrazione del tutto simile a quella effettuata per il tronco di piramide si giunge alla seguente formula: Vtronco ¼ cono

pffiffiffiffiffiffi 1 ðB þ b þ bBÞh 3

dove B e b sono le misure delle aree delle basi e h e` quella dell’altezza. Se i raggi delle basi misurano r ed r 0 , risulta B ¼ r 2 e b ¼ r 0 2 , quindi: Vtronco ¼ cono

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 ðr 2 þ r 0 2 þ r 2  r 02 Þh ¼ ðr 2 þ r 0 2 þ rr 0 Þh 3 3

Vale quindi il seguente teorema. TEOREMA 1.17

Volume del tronco di cono

La misura del volume di un tronco di cono le cui basi hanno raggi di misura r ed r 0 e la cui altezza misura h e` espressa dalla formula: Vtronco ¼ cono

1 hðr 2 þ r 02 þ rr 0 Þ 3

Prova tu

ESERCIZI a p. 33

Considera un cono di raggio 2 cm, vertice V e altezza VO ¼ 4 cm. a. Determina il volume e l’area della superficie totale del cono. b. Traccia il piano parallelo alla base del cono e passante per il punto medio di VO. Considera il tronco di cono che ha come basi la sezione del cono dato con il piano e

la base del cono stesso. Determina il volume e l’area della superficie totale del tronco di cono.  pffiffiffi 16 a. V ¼  cm3 , Area ¼ 4ð1 þ 5Þ cm2 ; 3  pffiffiffi 14 b. V ¼  cm3 , Area ¼ ð5 þ 3 5Þ 3

5. Misura della superficie e del volume di una sfera e delle parti della sfera Misura della superficie e del volume di una sfera Il calcolo della misura della superficie di una sfera non si puo` affrontare in modo rigoroso con metodi elementari, perche´ la sfera non e` sviluppabile sul piano. E` possibile tuttavia ricavare intuitivamente la misura della superficie della sfera, a partire dalla formula che ne fornisce il volume. Per questo motivo, a differenza del percorso seguito nei paragrafi precedenti, ci proponiamo preliminarmente di calcolare il volume della sfera, poi ragioneremo sul problema della misura della sua superficie. Il calcolo del volume della sfera si base su un importante teorema di equivalenza tra una sfera e la sua corrispondente anticlessidra, che e` cosı` definita: ANTICLESSIDRA

Data una sfera, consideriamo il cilindro circoscritto alla sfera e i due coni che hanno le basi coincidenti con quelle del cilindro e vertice nel centro della sfera. Si chiama anticlessidra corrispondente alla sfera il solido costituito dalla differenza tra il cilindro e i due coni (fig. 1.23). 16

Unita` 1

E q u i v a l e n z a t r a sf e r a e a n t i c l e s s i d r a

TEOREMA 1.18

Una sfera e` equivalente alla sua anticlessidra.

Misure di superfici e di volumi

Figura 1.23 Dalla sfera alla sua anticlessidra.

DIMOSTRAZIONE

Disponiamo una sfera e la sua corrispondente anticlessidra su un piano
, in modo che stiano dalla stessa parte rispetto a esso, che la sfera sia tangente al piano e la base dell’anticlessidra giaccia sul piano (fig. 1.24). Sezioniamo quindi la sfera e la sua corrispondente anticlessidra con un piano parallelo ad
. Area sezione = πr 2 – πh2 Area sezione = π(r 2 – h2)

r' = r 2 – h2 A h O

B r r

r

H A'

h

Dalla storia Il calcolo della misura del volume della sfera e` dovuto ad Archimede, il grande matematico Greco che visse a Siracusa fra il 287 e il 212 a.C.

K B'

h O'

Area cerchio = πr 2

r Area cerchio = πr 2

α Figura 1.24 Le sezioni della sfera e dell’anticlessidra sono equivalenti.


1 caso: il piano passa per il centro della sfera In questo caso le sezioni del piano con la sfera e la sua anticlessidra sono due cerchi il cui raggio misura r (colorati in viola in fig. 1.24), entrambi di area r 2 e quindi equivalenti.


2 caso: il piano non passa per il centro della sfera In questo caso: – la sezione della sfera con il piano e` il cerchio in rosa in fig. 1.24; – la sezione dell’anticlessidra con il piano e` la corona circolare in rosa nella stessa figura. Indichiamo con h la distanza del piano secante da O (distanza uguale a quella tra il piano secante e O0 Þ e calcoliamo le aree di queste due sezioni. a. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAB,psiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ottiene che il raggio del cerchio sezione con la sfera (AB in fig. 1.24) misura r 2  h2 , quindi l’area del cerchio sezione misura: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð r 2  h2 Þ2 ¼ ðr 2  h2 Þ

Ô

17

Area della superficie e volume di un solido

Ô

b. Esaminiamo ora la corona circolare. La circonferenza di raggio maggiore che la delimita ha raggio r; la circonferenza di raggio minore (A0 B0 in fig. 1.24) ha raggio di b K ¼ 90 e misura h: infatti il triangolo O0 HK e` rettangolo isoscele (poiche´ OH 0 0 0 0 0 O H ¼ HK ¼ rÞ, quindi anche O A B , simile a O HK, deve essere tale. Ne segue che l’area della corona circolare misura: r 2  h2 ¼ ðr 2  h2 Þ


Concludiamo Ogni piano parallelo ad
che interseca la sfera interseca anche la sua anticlessidra e, per quanto mostrato sopra, le due sezioni del piano con la sfera e con la sua anticlessidra sono sempre equivalenti, pertanto per il principio di Cavalieri la sfera e l’anticlessidra sono equivalenti.

Tema L

Dal teorema 1.18 possiamo facilmente dedurre la formula che fornisce la misura del volume della sfera. Abbiamo: Vsfera ¼ Vanticlessidra ¼ Vcilindro  2  Vcono ¼ ¼ r 2  2r  2  TEOREMA 1.19

1 2 4  r 2  r ¼ 2r 3  r 3 ¼ r 3 3 3 3

Volume della sfera

La misura del volume di una sfera il cui raggio misura r e`

4 3 r . 3

Come anticipato all’inizio del paragrafo, vediamo ora come, a partire da quest’ultimo teorema, si possa dedurre intuitivamente la formula che fornisce la misura dell’area della superficie di una sfera. Data una sfera di raggio r, consideriamo un poliedro a essa circoscritto, avente cioe` tutte le facce tangenti alla sfera (fig. 1.25 a sinistra); questo poliedro fornisce chiaramente un’approssimazione per eccesso del volume della sfera. Osserviamo ora che, se congiungiamo i vertici delle facce del poliedro con il centro della sfera, otteniamo delle piramidi che hanno vertice nel centro della sfera; le basi di queste piramidi sono tangenti alla sfera, quindi perpendicolari al raggio r nel punto di tangenza: pertanto tutte queste piramidi hanno altezza di misura r (fig. 1.25 a destra). O

O

Poliedro circoscritto a una sfera che ne approssima il volume per eccesso

r

Ogni faccia del poliedro e` la base di una piramide con il vertice nel centro della sfera di altezza r

Figura 1.25

Il volume del poliedro puo` pensarsi come somma dei volumi di queste piramidi. Indicate con S1 , S2 , ..., Sn le misure delle aree delle basi delle piramidi, avremo percio`: Vpoliedro ¼ 18

1 1 1 1 S1 r þ S2 r þ ::::: þ Sn r ¼ rðS1 þ S2 þ ::: þ Sn Þ 3 3 3 3

[1.6]

Misure di superfici e di volumi

da cui si ricava:

Unita` 1

Immaginiamo ora di far crescere il valore di n, cioe` che le basi delle piramidi siano sempre «piu` piccole» e approssimino quindi sempre meglio la superficie della sfera. Nell’ipotesi che il valore di n cresca indefinitamente, il volume del poliedro tendera` ad avvicinarsi sempre di piu` al volume della sfera e la somma delle aree delle basi delle piramidi tendera` ad avvicinarsi sempre piu` all’area della superficie della sfera; pertanto, in questa situazione «limite», dalla [1.6] segue: 1 [1.7] Vsfera ¼ r  Ssfera 3 4 Ma noi sappiamo che Vsfera ¼ r 3 ; dalla [1.7] segue quindi che: 3 4 3 1 r ¼ r  Ssfera 3 3 Ssfera ¼ 4r 2

Si potrebbe dimostrare questo risultato, dedotto in modo intuitivo, rigorosamente. Area della superficie della sfera

TEOREMA 1.20 2

La misura dell’area della superficie di una sfera il cui raggio misura r e` 4r .

Misure della superficie e del volume delle parti della superficie sferica o della sfera Le formule che forniscono la misura dell’area delle parti di superficie sferica e la misura del volume delle parti della sfera sono riassunte nella seguente tabella. Parte della superficie sferica o della sfera

Figura

Calotta sferica e segmento sferico a una base

h

Ricorda che la calotta sferica `e una parte della superficie sferica, il segmento sferico a una base e` una parte della sfera.

h

h

Volume del segmento sferico a una base: V¼

r1

r

V¼

Area della superficie del settore: S ¼ Rð2h þ r Þ

R O

1 2 h ð3R  hÞ 3

Volume del segmento sferico a due basi:

R

O

Settore sferico

Area della calotta: S ¼ 2Rh

Area della zona: S ¼ 2Rh

r2

Ricorda che la zona sferica `e una parte della superficie sferica, mentre il segmento sferico a due basi e` una parte della sfera.

Volume

R

O

Zona sferica e segmento sferico a due basi

Ricorda che il settore sferico `e una parte della sfera.

r

Area

1 1 hðr12 þ r22 Þ þ h3 2 6

Volume del settore: V¼

2 2 R h 3

Questa formula vale solo per settori sferici come quelli in figura generati dalla rotazione di un settore circolare intorno al suo asse di simmetria.

19

Figura

Fuso e spicchio sferico Ricorda che il fuso `e una parte della superficie sferica, lo spicchio e` una parte della sfera.

α R

O

Area

Volume

Area del fuso:

Volume dello spicchio:

S ¼ 2
r 2

V¼

se
e` misurato in radianti

se
e` misurato in radianti

S¼


r 2 90

se
e` misurato in gradi

V¼

2 3
r 3 
r 3 270

se
e` misurato in gradi

Non forniamo le dimostrazioni di queste formule, limitandoci ad alcune osservazioni. a. La formula che fornisce il volume del segmento sferico a una base si puo` derivare con un ragionamento analogo a quello fatto per giungere alla formula del volume della sfera; nel caso particolare in cui l’altezza di una calotta sferica o di un segmento sferico a una base sia h ¼ 2R si ritrovano le formule che forniscono la misura della superficie e del volume della sfera. b. Le formule che forniscono l’area della zona sferica e il volume del segmento sferico a due basi si possono ottenere da quelle dell’area della calotta e del volume del segmento sferico a una base, osservando che l’area di una zona sferica e` la differenza delle aree di due opportune calotte, cosı` come il volume di un segmento sferico a due basi si puo` ottenere come differenza di due opportuni segmenti sferici a una base; nel caso particolare in cui h ¼ 2R la formula che fornisce l’area della zona fa ricadere nella formula che fornisce l’area della superficie sferica e, analogamente, nel caso in cui h ¼ 2R ed r1 ¼ r2 ¼ 0 la formula che fornisce il volume del segmento sferico a due basi fa ricadere nella formula che fornisce il volume della sfera. c. Un settore sferico si puo` ottenere come somma o differenza di segmenti sferici (a una o due basi) e di solidi di rotazione noti: per esempio, il settore sferico della figura in tabella e` la somma di un segmento sferico a una base e di un cono. d. Le formule relative all’area di un fuso si possono ricavare dalle seguenti proporzioni, che esprimono la proporzionalita` tra l’area di un fuso e la sua ampiezza:

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

Parte della superficie sferica o della sfera

Sfuso : Ssuperficie sferica ¼
: 360 Sfuso : Ssuperficie sferica ¼
: 2

se
e` misurato in gradi se
e` misurato in radianti

Da analoghe proporzioni si possono ricavare le formule che forniscono il volume di uno spicchio sferico.

Prova tu 1. Determina area della superficie e volume di una sfera di raggio 6a. [144a2 , 288a3 ] 2 2. Una sfera ha superficie di area 36a . Qual e` il volume della sfera? [36a3 ] 3. Determina l’area di una calotta di altezza a, appartenente a una sfera di raggio 2a. [4a2 ]

20

ESERCIZI a p. 37 4. Data una sfera di raggio 5a, determina i volumi dei due segmenti sferici, appartenenti alla sfera, aventi  come base un cerchio di raggio 3a.  14 a3 ; 162a3 3 5. Determina il volume di uno spicchio appartenente a h i una sfera di raggio r e di ampiezza 30 . r3 9

1

Esercizi

In più: esercizi interattivi

Unita` Unita` 1

SINTESI Proprieta` e teoremi importanti Se due solidi possono essere disposti rispetto a un piano
in modo che ogni piano parallelo ad
che interseca uno dei due solidi intersechi anche l’altro e individui su di essi sezioni equivalenti, allora anche i due solidi sono equivalenti. Area della superficie e volume dei principali poliedri Solido

Figura

Parallelepipedo rettangolo

Area della superficie

Volume

Sl ¼ 2ða þ bÞ  h

V ¼ abh

Misure di superfici e di volumi

Principio di Cavalieri

St ¼ 2ab þ 2ða þ bÞh

h

d

a

b

Nota pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ a2 þ b2 þ c2 Sl ¼ 2p h

Prisma retto

V ¼ Sb  h

St ¼ Sl þ 2Sb

h essendo: 2p il perimetro di base

Sb

h l’altezza Sb l’area di base Sl ¼ pa

Piramide retta

S t ¼ Sl þ Sb

a

h

V¼

1 Sb  h 3

V¼

pffiffiffiffiffiffi 1 hðB þ b þ Bb 3

essendo: p il semiperimetro di base a l’apotema e

r

Sb l’area di base Sl ¼ ðp þ p0 Þa

Tronco di piramide retta

S t ¼ Sl þ B þ b

b

a h

B

essendo: p e p0 i semiperimetri delle basi a l’apotema B e b le aree delle due basi del tronco

21

Solido

Figura

Cilindro

Area della superficie

Volume

Sl ¼ 2rh

V ¼ r 2 h

St ¼ 2rh þ 2r 2

h r

Sl ¼ ra

Cono

St ¼ ra þ r 2

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

Area della superficie e volume dei principali solidi di rotazione

V¼

1 2 r h 3

V¼

1 hðr 2 þ R2 þ rRÞ 3

V¼

4 3 r 3

a

h

r

Tronco di cono

Sl ¼ ðR þ rÞa St ¼ ðr þ RÞa þ ðr þ R Þ 2

2

r a

h R

Sfera

S ¼ 4r 2

r

Area delle parti di superficie sferica e volumi delle parti della sfera Parte della superficie sferica o della sfera Calotta sferica e segmento sferico a una base Ricorda che la calotta sferica e` una parte della superficie sferica, il segmento sferico a una base e` una parte della sfera.

22

Figura

h

O

Area

Volume

Area della calotta:

Volume del segmento sferico:

S ¼ 2Rh

r

R

V¼

1 h2 ð3R  hÞ 3

Area della zona:

r2 h

r

Area della superficie del settore:

Volume del settore:

S ¼ Rð2h þ rÞ

V¼

Area del fuso:

Volume dello spicchio:

2 R2 h 3

R O

Fuso e spicchio sferico Ricorda che il fuso e` una parte della superficie sferica, lo spicchio e` una parte della sfera.

1 1 hðr12 þ r22 Þ þ h3 2 6

R

O

Settore sferico Ricorda che il settore sferico e` una parte della sfera.

V¼

r1

h

Volume del segmento sferico:

Misure di superfici e di volumi

Ricorda che la zona sferica e` una parte della superficie sferica, il segmento sferico a due basi e` una parte della sfera.

S ¼ 2Rh

Unita` 1

Zona sferica e segmento sferico a due basi

S ¼ 2
r

se
e` misurato in radianti

α R

2

O

 S¼
r 2 90

V¼

se
e` misurato in radianti V¼

se
e` misurato in gradi

2 3
r 3 
r 3 270

se
e` misurato in gradi

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione alla misura di superfici e di volumi nello spazio

TEORIA a p. 2

Sviluppi 1 Þ

Quali dei seguenti sono sviluppi di un cubo?

a

b

c

d

e

2 Þ

Ciascuna delle seguenti figure e` costituita dall’unione di un quadrato e di quattro triangoli equilateri. Individua quali delle figure possono rappresentare lo sviluppo di una piramide e, per ciascuna di queste, rappresenta la piramide corrispondente e stabilisci se e` retta e/o regolare.

23

Completa ciascuna delle seguenti figure in modo che possa risultare un possibile sviluppo di un cubo.

4 Þ

Nella figura qui sotto ABCDEFGH e` un cubo. Rappresenta uno sviluppo della piramide evidenziata nel disegno, avente come base ABCD e come vertice il punto F.

5 Þ

In riferimento al cubo rappresentato qui sotto, in cui M ed N sono i punti medi degli spigoli EH e FG, rappresenta lo sviluppo del prisma che ha come basi BCGN e ADHM.

H

M

G E

H N

E

F

G

F

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

3 Þ

D

D

C

C

A

A B 6 Þ

B

ESERCIZIO SVOLTO

` breve, sulla superficie del cubo rappresentato nella figura qui sotto, per andare dal Qual e` il cammino piu vertice A al vertice B? B

A


Per individuare il cammino piu` breve richiesto riconduciamo il problema dallo spazio al piano, considerando uno sviluppo della superficie del cubo. Al vertice A del cubo corrisponde, nello sviluppo rappresentato nella seconda figura, il punto A; al vertice B del cubo corrispondono nello sviluppo i due punti B1 e B2 .

B2

B1

M N A


Il problema e` cosı` ricondotto a quello di trovare, tra i cammini che consentono di andare da A a B1 o da A a B2 , quello piu` corto. Il cammino piu` breve per andare da A a B1 e` evidentemente il segmento AB1 ; analogamente, il cammino piu` breve per andare da A a B2 e` il segmento AB2 . Poiche´ i due segmenti AB1 e AB2 sono congruenti, ciascuno dei due rappresenta un possibile cammino ‘‘minimo’’.
Interpretiamo ora il risultato trovato sulla superficie del cubo. Osserviamo anB M zitutto che i due punti M ed N corrispondono sul cubo ai punti medi degli spigoli cui appartengono (sai giustificare perche´?). Concludiamo che due possibili cammini sulla superficie del cubo che consentono di andare da A a B nel modo piu` breve possibile sono AMB e ANB. Altri cammini analoghi si possono individuare considerando sviluppi diversi del cubo. 24

N A

Considera il parallelepipedo rappresentato qui sotto, in cui la base e` un quadrato di lato a e la cui altezza misura h. Al variare di a e di h, qual e` il cammino minimo sulla superficie del parallelepipedo per andare da A a G? G E F

[Se a < h, un possibile cammino minimo e` AMG, con M punto medio di BF; se a > h, un possibile cammino minimo e` ANG,

h D A

a

con N punto di EF tale che NF ¼

C

a2 ; aþh

se a ¼ h, i due cammini AMG e ANG rappresentano entrambi cammini minimi] B

8 Considera la piramide regolare rappresentata qui sotto, in cui tutte le facce laterali sono triangoli equilateri. Il Þ lato del quadrato di base della piramide misura a e M e` il punto medio dello spigolo VC. Qual e` la lunghezza del cammino piu` breve, sulla superficie della piramide, che consente di andare dal vertice A al punto M?

Misure di superfici e di volumi

H

Unita` 1

7 Þ

V M D

C

 A

a

B

a 2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffi 7þ2 3

Principio di Cavalieri ed equivalenze notevoli 9 Þ

Vero o falso? a. se due solidi sono equiscomponibili, V F allora sono equivalenti b. se due solidi sono equivalenti, allora sono V F certamente equiscomponibili c. due prismi hanno le basi poste sullo stesso piano e giacciono dalla stessa parte rispetto a esso; se le sezioni dei due prismi con un piano parallelo alle loro basi sono poligoni aventi aree diverse, i due solidi non V F possono essere equivalenti d. se due prismi sono equivalenti, la loro equivalenza puo` sempre essere provata con V F il principio di Cavalieri e. due piramidi sono equivalenti se e solo se V F hanno altezze congruenti e basi equivalenti f. due prismi aventi altezze congruenti e basi non congruenti possono essere V F equivalenti [2 affermazioni vere e 4 false]

10 Mostra con un esempio che il principio di CavaÞ lieri fornisce una condizione sufficiente, ma non necessaria, per l’equivalenza di due solidi. 11 Þ

Un cono e una piramide hanno le basi complanari e le altezze congruenti. Le sezioni dei due solidi con un piano parallelo alle basi sono un cerchio e un poligono equivalenti. Possiamo affermare che il cono e la piramide sono equivalenti?

12 Þ

Due parallelepipedi aventi le basi complanari sono equivalenti. E` vero che le sezioni dei due parallelepipedi con un piano parallelo alle basi sono certamente equivalenti?

13 Þ

Considera un prisma retto a base triangolare. Il piano perpendicolare alla base del prisma e contenente una mediana del triangolo di base divide il prisma originario in due prismi: dimostra che questi due prismi sono equivalenti.

14 Þ

Considera un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, e un punto V, non appartenente al piano che contiene il trapezio. Dimostra che le due piramidi aventi come basi i triangoli ABC e ABD e come vertice V sono equivalenti.

15 Þ

Considera un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, e sia O il punto di intersezione delle sue diagonali. Dimostra che due prismi, aventi come basi i triangoli BOC e AOD e aventi la stessa altezza, sono equivalenti.

16 Þ

Considera una piramide regolare, con base il triangolo ABC e vertice V. Sia G il baricentro del triangolo ABC. Dimostra che le tre piramidi che hanno come basi i triangoli AGB, BGC, AGC e come vertice V sono equivalenti.

25

Area della superficie e volume di un solido Tema L

2. Misura della superficie e del volume di parallelepipedi e prismi

TEORIA a p. 7

Esercizi preliminari 17 Þ

Vero o falso? a. se due prismi retti hanno la stessa altezza e lo stesso perimetro di base, allora l’area della superficie V F laterale dei due prismi e` la stessa b. se due prismi retti hanno la stessa altezza 19 Un parallelepipedo rettangolo ha superficie lateÞ 2 2 e lo stesso perimetro di base, allora l’area rale di area 72 cm e base quadrata di area 9 cm . Qual e` la lunghezza dell’altezza del parallelepipedo? della superficie totale dei due prismi V F e` la stessa A 2 cm B 3 cm C 6 cm D 9 cm c. se due prismi hanno la stessa altezza e 20 Un parallelepipedo rettangolo ha base quadrata, Þ aree di base equivalenti, allora hanno lo il cui lato misura 2a; la diagonale del parallelepipedo V F stesso volume pffiffiffiffiffiffi misura a 17. Qual e` il volume del parallelepipedo? d. raddoppiando lo spigolo di un cubo, A 11a3 B 12a3 C 13a3 D 14a3 V F raddoppia anche la sua diagonale e. raddoppiando lo spigolo di un cubo, 21 Un prisma regolare di base triangolare ha altezza Þ V F raddoppia anche la sua superficie totale doppia dello spigolo di base, che misura a. Qual e` il f. raddoppiando lo spigolo di un cubo, volume del prisma? V F raddoppia anche il suo volume a3 pffiffiffi a3 pffiffiffi [3 affermazioni vere e 3 false] A C 3 3 2 6 Test a3 pffiffiffi a3 pffiffiffi B D 3 3 18 Un cubo ha spigolo di misura a. Considera il cu4 9 Þ bo avente diagonale tripla del cubo precedente. Il vo22 Un prisma retto ha altezza lunga 10 cm e come Þ lume di quest’ultimo rispetto al volume del cubo origibase un triangolo rettangolo i cui cateti sono lunghi nario e`: 3 cm e 4 cm. Qual e` l’area della superficie totale del A il doppio prima? B il triplo A 120 cm2 C 140 cm2 C il quadruplo 2 B 124 cm D 144 cm2 D nessuna delle precedenti risposte e ` esatta

Problemi sui prismi 23 Un prima triangolare regolare ha altezza congruente allo spigolo di base. Sapendo che quest’ultimo misura a, Þ  
pffiffiffi  calcola l’area della superficie totale e il volume del prisma. a3 pffiffiffi 3 þ 3 a2 ; Volume ¼ 3 Area ¼ 2 4

4 Un prisma retto ha come base un triangolo equilatero. L’altezza del prisma e` del lato del triangolo di base. 3 pffiffiffi Sapendo che il volume del prisma e` 72 3 cm3 , determina l’area della superficie totale del prisma. pffiffiffi [ð144 þ 18 3Þ cm2 ] 24 Þ

pffiffiffi Un prisma retto ha come base un triangolo rettangolo di area 9a2 , la cui ipotenusa misura 3a 5. Il volume pffiffiffi del prisma e` 54a3 . Calcola l’area della superficie laterale del prisma. [18a2 ð3 þ 5Þ]

25 Þ

26 Considera un prisma esagonale regolare, in cui l’altezza e` il doppio del lato dell’esagono di base. Sapendo che Þ pffiffiffi pffiffiffi [12ð4 þ 3Þ cm2 ] il volume del prisma e` 24 3 cm3 , determina l’area della superficie totale. 27 Un prisma regolare a base esagonale, in cui tutte le facce laterali sono quadrati, ha area della superficie lateraÞ pffiffiffi [96 3 cm3 ] le uguale a 96 cm2 . Qual e` il volume del prisma?

bB ¼ 120 . L’altezza del priUn prisma retto ha come base un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, tale che AC pffiffiffi sma e` il doppio dei lati obliqui del triangolo ABC. Sapendo che il volume del prisma e` 4 3 cm3 , determina l’area pffiffiffi della superficie totale del prisma. [ð16 þ 10 3Þ cm2 ] 28 Þ

26

31 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Considera il parallelepipedo di basi ABCD ed EFGH rappresentato in figura. Supponi che AB ¼ 6 cm, BC ¼ BF ¼ 4 cm, HP ¼ 1 cm.

H P E

a. Dimostra che il quadrilatero BFPQ, sezione del parallelepipedo con il piano BFP, e` un rettangolo. b. Determina il volume e l’area della superficie totale del prisma retto di basi BCQ e FGP.

G F

D A

C

Q

Misure di superfici e di volumi

30 Un prisma retto ha come base un triangolo rettangolo isoscele. L’altezza del prisma e` congruente all’ipotenuÞ pffiffiffi sa del triangolo di base. L’area della superficie totale del prisma e` ð75 þ 50 2Þa2 . Determina il volume del prisma. " pffiffiffi # 125 2 3 a 2

Unita` 1

pffiffiffi Un prisma regolare ha come base un esagono regolare il cui lato misura a. Il volume del prisma e` 6a3 3. Depffiffiffi termina l’area della superficie totale del prisma. [ð24 þ 3 3Þa2 ] 29 Þ

B

a. I piani ABCD ed EFGH sono paralleli, quindi le loro intersezioni con il piano BFP sono rette parallele (teorema 8.12). Ne segue che BQ k ::::: Analogamente, i piani ABFE e DCGH sono paralleli, quindi le loro intersezioni con il piano BFP sono rette ::::::::::::::::::::; ne segue che BF k ::::: . Pertanto il quadrilatero BFPQ e` un parallelogramma. D’altra parte la retta FB e` perpendicolare al piano ABC, quindi in particolare e` perpendicolare alla retta :::::, dunque F BbQ e` ::::::::::::::: . Ma allora il parallelogramma BFPQ, avendo un angolo retto, e` un :::::::::::::::::::: . b. Determina anzitutto le lunghezze dei lati del triangolo BCQ: CQ ¼ GP ¼ HG  HP ¼ :::::::::: . BC ¼ 4 cm pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 42 þ 52 cm ¼ :::::::::: cm

BQ ¼

In base ai dati Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BCQ

A questo punto puoi facilmente ricavare l’area della superficie totale e il volume del prisma. Se svolgi i calcoli corpffiffiffiffiffiffi rettamente troverai che il volume e` 40 cm3 e l’area della superficie e` ð56 þ 4 41Þ cm2 . 32 Un prisma e` stato ottenuto sezionando un cubo con un piano passante per due spigoli non appartenenti alla Þ pffiffiffi stessa faccia. Se il volume del prisma e` 32 cm3 , qual e` l’area della superficie totale del prisma? [ð48 þ 16 2Þ cm2 ] 33 Un prisma retto ha come base un trapezio isoscele ABCD circoscrivibile a una circonferenza, in cui la base Þ maggiore AB misura 8a e la base minore CD misura 4a. L’altezza del prisma e` uguale a 3a. Determina:

a. il volume e l’area della superficie totale del prisma; b. i volumi dei due prismi in cui il prisma originario resta diviso dal piano che contiene la diagonale AC del trapezio ABCD e che e` perpendicolare al piano che contiene il trapezio stesso. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [a. Volume ¼ 72a3 2, Area ¼ 24a2 ð2 2 þ 3Þ; b. 24a3 2; 48a3 2]

Problemi sui parallelepipedi 34 In un parallelepipedo rettangolo il rettangolo di Þ base ha lati lunghi 8 cm e 4 cm e l’altezza del parallelepipedo e` lunga 4 cm. Determina:

a. la lunghezza delle diagonali del parallelepipedo; b. l’area della sua superficie totale; c. il suo volume.

pffiffiffi [a. 4 6 cm; b. 160 cm2 ; c. 128 cm3 ] pffiffiffi 35 Un cubo ha diagonale lunga 6 3 cm. Determina Þ l’area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo avente lo stesso volume del cubo, sapendo che la base del parallelepipedo ha diagonali lunghe 10 cm e un lato lungo 6 cm. [222 cm2 ]

36 Þ

In un parallelepipedo retto a base quadrata, la cui altezza e` il triplo dello spigolo di base, le diagonali sopffiffiffiffiffiffi no lunghe 3 11 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume del parallelepipedo. [Area superficie ¼ 126 cm2 ; Volume ¼ 81 cm3 ]

37 Þ

Un parallelepipedo retto a base quadrata ha area della superficie totale uguale al quadruplo dell’area della superficie laterale. Inoltre il volume del parallelepipedo e` 288 cm3 . Determina la misura della diagonapffiffiffiffiffiffi le del parallelepipedo. [2 73 cm] pffiffiffi 38 Un cubo ha diagonale di misura 3a 2. DetermiÞ na il volume del parallelepipedo avente come base un quadrato di lato a, e la cui superficie totale e` equiva  lente alla superficie totale del cubo. 17 3 a 2 27

Area della superficie e volume di un solido Tema L

39 Þ

a. Determina l’area della superficie totale e il volume del parallelepipedo. b. Condotto il piano BFP, sia PFBQ la sezione del parallelepipedo con questo piano. Qual e` la natura del quadrilatero PFBQ? c. Determina l’area della superficie totale e il volume del prisma di basi BCQ ed FGP.

Un recipiente ha la forma di un parallelepipedo rettangolo, in cui i lati di base sono lunghi 6 cm e 10 cm e in cui l’altezza e` lunga 4 cm. Nel recipiente e` contenuta dell’acqua, che raggiunge un’altezza di 2 cm. Si inserisce nel recipiente un cubo pesante di lato 3 cm. Quando il cubo e` completamente immerso, quale sara` l’altezza dell’acqua nel recipiente? [2,45 cm] Considera un parallelepipedo di base ABCD, con pffiffiffiffiffiffi AB ¼ 2 cm e BC ¼ 4 cm, e diagonale lunga 2 14 cm. Un piano contenente lo spigolo BC, che forma un angolo di 60 con il piano che contiene la base ABCD, divide il parallelepipedo in due parti, di cui si chiede il pffiffiffi pffiffiffi volume. [8 3 cm3 ; ð48  8 3Þ cm3 ] 41 Þ

In un parallelepipedo di basi ABCD ed EFGH, e spigoli laterali AE, BF, CG e DH, la base ABCD e` un pffiffiffi quadrato e la diagonale CE, di lunghezza 8 2 cm, forma con il piano che contiene la base ABCD un angolo di 60 . Determina il volume e l’area della superficie topffiffiffi pffiffiffi tale del parallelepipedo. [64 6 cm3 ; 32ð1 þ 2 6Þ cm2 ]

P

H

40 Þ

G F

E D

B

A

C

[a. Area ¼ 248a2 , Volume ¼ 240a3 ; c. Area ¼ 84a2 ; Volume ¼ 36a3 ] 43 Þ

Un parallelepipedo ha come base un rettangolo di perimetro 2p e uno dei due spigoli di base e` il doppio dell’altezza del parallelepipedo. Determina: a. le dimensioni del parallelepipedo per cui e` massima l’area della sua superficie totale; b. il volume del parallelepipedo di cui al punto a.   p 3 3 9 3 p a. Spigoli di base: , p, altezza: p; b. 4 4 8 128

42 Þ

Il parallelepipedo rappresentato qui sotto e` tale che AB ¼ 10a, BC ¼ 4a, BF ¼ 6a. Il punto P, appartenente allo spigolo GH, e` tale che GP ¼ 3a.

3. Misura della superficie e del volume di una piramide e di un tronco di piramide

TEORIA a p. 9

Esercizi preliminari 44 Þ

Vero o falso?

a. il rapporto tra i volumi di due piramidi aventi la stessa altezza e` uguale al rapporto tra le aree delle rispettive basi

V

F

b. per qualsiasi piramide, l’area della superficie laterale ha misura uguale al prodotto del semiperimetro della base per la misura dell’apotema

V

F

c. una piramide avente come vertice il centro di una faccia di un cubo e come base la faccia opposta ha 1 volume uguale a del volume del cubo V F 3 d. se il volume di una piramide misura V e l’area della base misura A, allora l’altezza relativa alla base 3V misura V F A e. il volume V di un tronco di piramide avente altezza h e basi di aree A e A0 e` espresso dalla formula 1 V ¼ hðA þ A0 Þ V F 3 [3 affermazioni vere e 2 false] 45 Þ

Fornisci l’esempio di una piramide e di un prisma equivalenti.

Test 46 Due piramidi regolari a basi quadrate sono tali che una ha altezza e spigolo di base doppi dell’altra. Allora il Þ volume della piramide di maggiore altezza, rispetto al volume dell’altra piramide, e`: A

il doppio

B

il quadruplo

C

il triplo

D

nessuno dei precedenti

47 Una piramide ha come base un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti misurano a e altezza di misura 6a. Þ Qual e` il volume della piramide? A

28

a3

B

2a3

C

3a3

D

4a3

Due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti. Allora i volumi delle due piramidi: sono certamente uguali;

B

sono uguali se e solo se le due piramidi sono regolari;

C

sono uguali se e solo se le due piramidi sono rette;

D

potrebbero non essere uguali, anche se le due piramidi fossero rette o regolari.

49 Una piramide regolare ha come base un quadrato di lato 6 cm e altezza di 4 cm. Qual e` l’area della superficie Þ laterale? A 20 cm2 B 30 cm2 C 40 cm2 D 60 cm2 50 In una piramide regolare di base esagonale lo spigolo di base misura a e l’apotema e` congruente allo spigolo Þ di base. Qual e` il volume delle piramide? a3 a3 pffiffiffi A C 3 2 8 a3 pffiffiffi B D Non si puo ` stabilirlo senza ulteriori informazioni 3 4

Misure di superfici e di volumi

A

Unita` 1

48 Þ

Problemi sulla piramide 51 Þ

L’apotema di una piramide regolare a base quadrata e` lungo 13 cm, mentre l’altezza e` lunga 12 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume della piramide. [Area ¼ 360 cm2 , Volume ¼ 400 cm3 ] pffiffiffi 52 Determina il volume di una piramide triangolare regolare, sapendo che lo spigolo di base misura 6a 3 e che Þ p ffiffiffi pffiffiffi l’area della superficie laterale della piramide e` 45a2 3. [36a3 3] 53 Þ

Una piramide triangolare regolare e` tale che:

a. gli spigoli laterali misurano 5a; b. la base ha perimetro 18a. Determina l’area della superficie totale e il volume della piramide.

[Area ¼ 9a2 ð4 þ

pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 3Þ, Volume ¼ 3a3 39]

54 Þ

In una piramide triangolare regolare, di altezza 2 cm, il rapporto tra l’area di una faccia laterale e l’area della pffiffiffi 2 pffiffiffi base e` 3. Determina il volume della piramide. [24 3 cm3 ] 9 2 2 pffiffiffi 55 Una piramide esagonale regolare ha base di area a 3 e superficie laterale di area 8a2 . Determina il volume Þ 3 2 3 pffiffiffiffiffiffi a 47 della piramide. 9 3 56 Una piramide retta ha come base un rombo ABCD e vertice E. La diagonale BD del rombo e` della diagonale Þ 4 3 AC. L’altezza della piramide e` della diagonale BD. Sapendo che il volume della piramide e` 14,4 cm3 , determina 10 l’area della superficie totale della piramide. [54 cm2 ] 57 Una piramide ha come base un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, in cui AB ¼ 12a e AC ¼ BC ¼ 10a. Il verÞ tice D della piramide appartiene alla perpendicolare in C al piano della base e lo spigolo CD e` congruente all’altezza relativa alla base del triangolo ABC. Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide. pffiffiffi [Volume ¼ 128a3 ; Area ¼ ð128 þ 48 2Þa2 ] 58 Þ

Considera un rettangolo ABCD, in cui AB ¼ 4a e BC ¼ 6a. Sia M il punto medio di AD. Sulla perpendicolare in M al piano del rettangolo ABCD indica con E un punto tale che EM ¼ 4a. Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide che ha come base il rettangolo ABCD e come vertice il punto E. pffiffiffi [Volume ¼ 32a3 ; Area ¼ 4ð14 þ 3 2Þa2 ] 59 Þ

In una piramide quadrangolare tutte le facce laterali sono triangoli equilateri di lato a.

a. Dimostra che la piramide e` regolare. b. Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide.



pffiffiffi  pffiffiffi a3 2 2 ; Area ¼ a ð1 þ 3Þ b. Volume ¼ 6 29

ESERCIZIO GUIDATO

In una piramide di base ABC e vertice V le facce AVB, BVC e AVC sono triangoli rettangoli isosceli, retti in V. Lo spigolo AV della piramide misura a. a. Stabilisci se la piramide e` regolare. b. Determina il volume della piramide. c. Determina la misura dell’altezza VH della piramide relativa alla base ABC. a. Osserva anzitutto che le tre facce laterali della piramide sono triangoli congruenti; ne segue in particolare che AB ffi ::::: ffi :::::, quindi il triangolo ABC e` equilatero. Anche i triangoli rettangoli VHA, VHB, VHC sono :::::::::::::::::::::::::::::: perche´ ::::::::::::::::::::; ne segue in particolare che AH ffi ::::: ffi :::::, quindi H e` il circocentro del triangolo. Ma il triangolo ABC e` :::::::::::::::::::::::::, quindi il circocentro coincide con ::::::::::::::::::::::::: . Poiche´ la base della piramide e` un poligono :::::::::::::::::::: e il piede dell’altezza cade nel :::::::::::::::::::::::::::::::::::, puoi concludere che la piramide e` ::::::::::::::: . V

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

60 Þ

C A

H B

b. Osserva che la retta AV, in base alle ipotesi, e` perpendicolare sia alla retta VB, sia alla retta VC: pertanto la retta AV e` perpendicolare al piano BVC. Dunque, considerando la piramide sulla base BVC, l’altezza relativa a BVC e` ::::::::::; tenendo conto di cio` puoi facilmente calcolare il volume della piramide. c. Il volume della piramide e` dato anche dalla formula: 1 Vpiramide ¼  AreaðABCÞ  VH 3 Sostituisci in essa il valore del volume ricavato al punto b e il valore dell’area di ABC, quindi ricava"VH. pffiffiffi # a3 a 3 ; c: b: 3 6 61 In una piramide triangolare di base ABC e vertice V le facce laterali sono tutte triangoli rettangoli in V. InolÞ tre BC ¼ 2a, la faccia AVC e` un triangolo isoscele e l’angolo Bb del triangolo CBV e` di 30 . Determina volume e area   pffiffiffi pffiffiffi della superficie totale della piramide. 1 pffiffiffi a2 ð1 þ 2 3 þ 7Þ Volume ¼ a3 3; Area ¼ 2 6 62 Determina il volume di una piramide triangolare regolare, il cui spigolo di base misura a, in ciascuno dei seÞ guenti casi: a. sapendo che l’angolo diedro formato da una faccia della piramide e dalla base e` di 30 ; b. sapendo che l’angolo diedro formato da una faccia della piramide e dalla base e` di 45 ; c. sapendo che l’angolo diedro formato da una faccia della piramide e dalla base e` di"60 . pffiffiffi pffiffiffi # a3 3 a3 a3 3 ; b: ; c: a: 72 24 24 63 Una piramide quadrangolare regolare e` tale che ciascuna faccia laterale forma con la base un angolo diedro di Þ 45 . Sapendo che lo spigolo di base misura 2a, determina il volume e l’area della superficie totale del solido.   pffiffiffi 4 Volume ¼ a3 ; Area ¼ 4a2 ð1 þ 2Þ 3 64 Þ

Una piramide retta ha come base un trapezio isoscele ABCD di base maggiore AB ¼ 8 cm e base minore CD ¼ 2 cm. L’altezza della piramide e` lunga 1,5 cm. Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide. [Volume ¼ 10 cm3 ; Area ¼ 45 cm2 ]

30

65 Una piramide retta di vertice V ha come base un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto a una circonferenza Þ di raggio 2a, il cui lato obliquo BC misura 5a. Il piano che contiene la faccia BVC forma con il piano di base un angolo di 45 . Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide. pffiffiffi [Volume ¼ 12a3 ; Area ¼ 18a2 ð1 þ 2Þ]

68 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Considera il parallelepipedo in figura, in cui AB ¼ BC ¼ 3a e AE ¼ 4a, e calcola la distanza del punto A dal piano DBE.

H

G

Misure di superfici e di volumi

67 Una piramide ha come base un rettangolo ABCD, in cui AB ¼ 2a e BC ¼ a. Il vertice E della piramide apÞ partiene alla perpendicolare in A al piano che contiene la base ABCD. La sezione della piramide con un piano a2 . Determina il volume e l’area della superficie totale della parallelo alla base e distante a dal vertice ha area 8   piramide. pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 8 3 2 Volume ¼ a ; Area ¼ a ð8 þ 5 þ 17Þ 3

Unita` 1

66 Una piramide ha per base un rettangolo ABCD, in cui il lato maggiore supera di 1 cm il lato minore. L’altezza Þ VA della piramide e` il doppio del lato minore del rettangolo di base. Conducendo il piano parallelo alla base e distante 4 cm da V, il quadrilatero sezione della piramide con il piano ha area uguale a 4,8 cm2 . Determina il volume della piramide. [100 cm3 ]

F

E


La distanza AH del punto A dal piano DBE si puo` interpretare come altezza relativa alla faccia DBE della piramide che ha come base ABD e come vertice E. Osserva che: Vpiramide ¼

H

1  AreaðBDEÞ  AH 3


Quindi, se riesci a ricavare il volume della piramide e l’area di BDE, poi dalla [*] puoi ricavare il valore di AH.

[*] C

D B

A


Determina il volume della piramide, considerandola sulla base ABD, cosicche´ l’altezza relativa alla base e` AE.
Calcola l’area del triangolo BDE, dopo aver verificato che e` isoscele sulla base BD.
Sostituisci i valori del volume pffiffiffiffiffiffi e dell’area trovati nella [*] e risolvi rispetto a AH. Se svolgi i calcoli correttamente, 12a 41 . troverai che AH ¼ 41 69 Þ

Considera una piramide regolare avente vertice V, come base un quadrato ABCD di lato a e altezza di misura 2a. Qual e` la distanza del punto A dalla faccia BCV?
Suggerimento: la distanza richiesta si puo` interpretare come altezza di un opportuno tetraedro; si trova che la dipffiffiffiffiffiffi  8a 17 stanza richiesta vale 17

70 Þ

Considera il cubo rappresentato qui sotto, il cui spigolo misura a. M e` il punto medio dello spigolo EF. H

G M

E

F

C

D A

a

B

a. Calcola i volumi dei tetraedri AEMH e BFMG. b. Deduci qual e` il volume della piramide che ha come base ABGH e come vertice il punto M. c. Stabilisci qual e` la natura del quadrilatero ABGH. d. Calcola la distanza del punto M dal piano che contiene il quadrilatero ABGH.

"

pffiffiffi # a3 a3 a 2 a: ; b: ; c: 2 12 3 31

Area della superficie e volume di un solido Tema L

71 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Una piramide regolare ha come base un quadrato di lato a e altezza di misura 4a. Traccia un piano parallelo alla base della piramide e considera il parallelepipedo che ha come basi la sezione della piramide con il piano e la proiezione della sezione stessa sul piano di base. a. A quale distanza dal vertice della piramide va condotto il piano, in modo che l’area della superficie totale del parallelepipedo sia massima? b. Qual e` il rapporto tra il volume del parallelepipedo di cui al punto precedente e il volume della piramide?


Indica con x la distanza del piano dal vertice V della piramide. In riferimento alla figura qui a fianco, poni cioe` VH 0 ¼ x, cosicche´ HH 0 ¼ 4a  x.
Devi ora esprimere in funzione di x l’area St della superficie totale del parallelepipedo. A tale scopo devi calcolare l’area Sb della base del parallelepipedo e l’area Sl della sua superficie laterale.
La sezione della piramide con il piano e` un quadrato simile a quello della base x della piramide, con rapporto di similitudine , pertanto: 4a  x 2  :::::::::: ¼ :::::::::: Sb ðxÞ ¼ 4a
Sempre tenendo conto della similitudine tra la sezione e la base, puoi dedurre che il perimetro della sezione e`: x  ð:::::Þ ¼ ::::: 4a quindi l’area della superficie laterale e`:

V

x

H'

4a

4a – x

D H a A

B

C

Sl ðxÞ ¼ :::::  ð4a  xÞ ¼ ::::::::::
Pertanto risulta:

St ðxÞ ¼ 2Sb ðxÞ þ Sl ðxÞ ¼ ::::::::::


La funzione ottenuta rappresenta nel piano cartesiano una parabola con la concavita` rivolta verso il basso. Il massimo dell’area della superficie totale del parallelepipedo viene raggiunto in corrispondenza dell’ascissa del vertice della parabola, cioe` per x ¼ :::::   16 144 a; b:
Puoi infine calcolare il rapporto tra i volumi richiesto. a: 7 343 72 Una piramide ha come base un rettangolo ABCD, Þ in cui AB ¼ 2a e BC ¼ a. Il vertice V della piramide appartiene alla perpendicolare in A al piano che contiene la base ABCD e risulta VA ¼ 4a. Traccia un piano parallelo alla base della piramide e considera il parallelepipedo che ha come basi la sezione della piramide con il piano e la proiezione della sezione stessa sul piano di base.

a. A quale distanza dal vertice della piramide va condotto il piano, in modo che l’area della superficie del parallelepipedo sia massima? b. Qual e` il rapporto tra il volume del parallelepipedo di cui al punto a e il volume della piramide?   12 54 a; b: a: 5 125 73 Considera una piramide quadrangolare regolare Þ il cui spigolo di base misura a e la cui altezza misura h. a. Determina la misura dello spigolo del cubo inscritto nella piramide, avente una faccia sulla base della piramide stessa.

32

b. Determina il rapporto tra il volume del cubo inscritto nella piramide e il volume della piramide " # stessa. ah 3ah2 ; b: a: aþh ða þ hÞ3

Problemi sul tronco di piramide 74 Þ

Considera un tronco di piramide quadrangolare regolare, in cui gli spigoli delle basi misurano 8a e 2a, di altezza 4a. Determina: a. il volume del tronco; b. l’area della sua superficie totale; c. la misura delle diagonali del tronco; d. la misura degli spigoli laterali del tronco. pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [a. 112a3 ; b. 168a2 ; c. a 66; d. a 34]

75 Þ

Gli spigoli della base di un tronco di piramide regolare quadrangolare sono uno doppio dell’altro. L’altezza del tronco e` il triplo dello spigolo della base minore. Il volume del tronco e` 7a3 . Determina l’area delpffiffiffiffiffiffi la superficie totale del tronco. [a2 ð5 þ 3 37Þ]

della piramide la divide in due parti: un tronco di piramide e una piramide piu` piccola di quella originaria. Determina a quale distanza dal vertice della piramide bisogna condurre il piano in modo che il tronco di piramide abbia volume uguale alla meta` del volume delpffiffiffi la piramide data. [6a 3 4]

77 Þ

79 Þ

Considera una piramide quadrangolare regolare, 5 di altezza 12 cm, in cui l’apotema e` dello spigolo 6 di base. Determina a quale distanza dal vertice della piramide bisogna condurre un piano parallelo alla base in modo che il tronco di piramide che ha come basi la sezione della piramide con il piano e la base della piramide stessa abbia superficie laterale di 480 cm2 . [4 cm] 78 Þ

Considera una piramide regolare, la cui base e` un triangolo equilatero con lato di misura a. L’altezza della piramide misura 12a. Un piano parallelo alla base

Una piramide ha come base un triangolo isoscele ABC, rettangolo in B, i cui lati obliqui misurano a. Il vertice V della piramide appartiene alla perpendicolare in A al piano della base e la distanza di V dal punto A e` uguale ad a. Sia M il punto medio di AV; traccia il piano passante per M e parallelo alla base della piramide e considera il tronco di piramide che ha come basi la sezione della piramide con il piano e la base della piramide stessa. Determina il volume e l’area della superficie totale del tronco.
  7 3 3 pffiffiffi 2 a ; Area ¼ a 1 þ 2 Volume ¼ 48 4

Misure di superfici e di volumi

Un tronco di piramide ha come basi due quadrati di lati rispettivamente 2a e a, e altezza 4a. Determina il volume di ciascuna delle due parti in cui il piano parallelo alle basi e passante per il punto medio dell’al  tezza divide il tronco. 19 3 37 3 a ; a 6 6

Unita` 1

76 Þ

4. Misura della superficie e del volume di un cilindro, di un cono e di un tronco di cono

TEORIA a p. 13

Esercizi preliminari 83 Þ

Test 80 Þ

Qual e` il raggio di base di un cono equilatero la cui superficie laterale ha area 18 cm2 ? A B

1 cm 2 cm

C D

3 cm 4 cm

81 Qual e` il volume di un cilindro inscritto in un cuÞ

bo il cui spigolo misura 2a? A B

a3 2a3

D

4a3 6a3

Qual e` l’area della superficie laterale di un cono equilatero il cui raggio di base misura r? B

r 2 pffiffiffi r 2 2

84 Þ

Qual e` l’altezza di un cilindro avente superficie totale di area 20a2 e raggio di base di misura 2a? A

C

82 Þ

A

Qual e` il volume di un cono il cui raggio di base misura r e la cui altezza e` congruente al diametro di base? 1 3 2 3 4 3 A B C r 3 D r r r 3 3 3

C D

2r 2 pffiffiffi r 2 5

a

B

2a

C

3a

D

4a

85 Þ

Fornisci l’esempio di un cono e di un cilindro equivalenti, tali che il raggio del cono sia il doppio del raggio del cilindro.

86 Þ

Fornisci l’esempio di un cono e di un cilindro equivalenti, tali che l’altezza del cono sia il doppio dell’altezza del cilindro.

Problemi sul cilindro 87 Þ

Facendo ruotare un quadrato di un giro completo intorno a un suo lato si ottiene un cilindro di volume

27 3 a . Determina la superficie totale del cilindro. 8

[9 a2 ]

88 Þ

Facendo ruotare un quadrato di un giro completo intorno a un suo lato si ottiene un cilindro di superficie to[27 a3 ] tale 36 a2 . Determina il volume del cilindro. 89 Þ

Un cilindro ha superficie totale di area 37 a2 e la sezione del cilindro con un piano passante per il suo asse [10 a3 ] ha area 5a2 . Determina il volume del cilindro.

90 Le aree delle sezioni di un cilindro con un piano passante per l’asse e con un piano perpendicolare all’asse Þ valgono rispettivamente 48 cm2 e 9  cm2 . Determina volume e superficie totale del cilindro. [72  cm3 ; 66  cm2 ]

33

Area della superficie e volume di un solido Tema L

91 Þ

Un cilindro ha volume uguale a 6 a3 e superficie laterale di area 6 a2 . Calcola la misura dell’altezza del cilin  3 dro e l’area della superficie totale. a; 14 a2 2 92 Un cilindro ha superficie totale di area uguale a 70  cm2 e altezza lunga 2 cm. Determina: Þ a. il volume del cilindro; b. la lunghezza delle diagonali del rettangolo che risulta dallo sviluppo del cilindro, arrotondando il risultato a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi meno di un decimo. [a. 50  cm3 ; b. 2 1 þ 25 2 ’ 31,5 cm 93 Þ

Considera un cilindro la cui base e` un cerchio di raggio r e la cui altezza e` il doppio del raggio di base. Determina la misura della diagonale del quadrilatero che si ottiene come sezione del cilindro con un piano parallelo al pffiffiffi suo asse e la cui distanza da esso e` uguale alla meta` del raggio. [r 7] 94 Þ

Considera un cilindro la cui base e` un cerchio di raggio r e la cui altezza misura h. A quale distanza dall’asse del cilindro bisogna condurre un piano parallelo a tale asse affinche´ il quadrilatero che si ottiene come sezione  del 6 4 r cilindro con tale piano abbia area hr? 5 5

95 Un rettangolo ABCD ha la base AB doppia dell’altezza BC. Facendo ruotare il rettangolo di un giro completo Þ intorno ad AB si ottiene un cilindro C1 . Facendo ruotare il rettangolo di un giro completo intorno a BC si ottiene un cilindro C2 . La somma dei volumi di C1 e C2 e` 162  cm3 . Determina le aree delle superfici totali dei due cilindri. [108  cm2 ; 54  cm2 ] 96 Considera un prisma regolare, di base triangolare, avente altezza congruente allo spigolo di base. Sapendo Þ  3 che lo spigolo di base misura a, qual e` il volume del cilindro inscritto nel prisma? a 12

Problemi sul cono 97 Þ

pffiffiffi [9 3  cm3 ]

L’area della superficie laterale di un cono equilatero e` 18 cm2 . Calcola il volume del cono.

98 Þ

La sezione di un cono con un piano passante per l’asse del cono e` un triangolo rettangolo isoscele. Sapendo pffiffiffi   64 che l’area della superficie laterale del cono e` 16  2 cm2 , calcola il volume del cono. cm3 3 99 Þ

Un cono ha raggio di base di misura 2a e volume 2  a3 . Determina l’area della superficie totale del cono. [9 a2 ] 100 Un cono ha apotema lungo 10 cm e raggio di base lungo 6 cm. Traccia il piano parallelo alla base del cono e Þ distante 2 cm dal vertice del cono e determina i volumi delle due parti in cui il piano divide il cono.   3 189  cm3 ,  cm3 2 2 pffiffiffi 2 101 In un cono, avente altezza doppia del raggio di base, l’area della superficie laterale e` 4 5a . Determina il voÞ   16 3 lume del cono. a 3 102 Un cono ha raggio di base lungo 2 cm e altezza lunga 6 cm. Þ

a. Calcola il volume e la superficie laterale del cono. b. Lo sviluppo della superficie totale del cono e` un settore circolare; determina l’ampiezza (in gradi) di tale pffiffiffiffiffiffi settore, arrotondando il risultato a meno di un grado. [a. Volume ¼ 8  cm3 , Area ¼ 4 ð1 þ 10Þ cm2 ; b. 114 ] 103 La sezione di una sfera di diametro AB ¼ 13 cm con un piano e` un cerÞ chio di centro O0 e di raggio 6 cm. Determina il volume e l’area della superficie del solido formato dai due coni che hanno come base il cerchio di centro O0 e come vertici A e B.

A O'

O

pffiffiffiffiffiffi [Volume ¼ 156  cm3 ; Area ¼ 30  13 cm2 ] 34

B

Determina il volume di un cono di altezza h, inscritto in una sfera di raggio r.

105 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

h 3

i

Misure di superfici e di volumi

Un cono ha apotema di misura 10a e raggio di base di misura 6a. Calcola a quale distanza dal vertice del cono bisogna condurre un piano parallelo alla base, in modo che tale piano divida il cono in due parti equivalenti.

ð2rh2  h3 Þ

C

10a A'


Puoi anzitutto calcolare l’altezza del cono applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BOC; troverai CO ¼ 8a.
Poni CO0 ¼ x e indica con V il volume del cono originario.

A

O'

B'

O

B

0


Il cono di vertice C e cerchio di base di centro O e` il corrispondente CO0 x , ossia . Pertandel cono originario nell’omotetia di rapporto CO 8a to, il suo volume sara`:

Unita` 1

104 Þ

6a

 x 3 V 8a
Affinche´ il piano divida il cono in due parti equivalenti, il volume del cono avente come base il cerchio di centro O0 deve essere la meta` del volume del cono avente come base il cerchio di centro O, quindi deve essere:  x 3 V V¼ 8a 2
Risolvendo quest’ultima equazione rispetto a x troverai la distanza richiesta. Se svolgi i calcoli correttamente otpffiffiffi terrai x ¼ 4a 3 4. 106 Þ

Un cono ha apotema triplo del raggio di base e superficie laterale di area 12  cm2 . Determina:

a. il volume del cono; b. l’area della sezione del cono con un piano parallelo alla base che lo divide in due parti equivalenti. pffiffiffi   pffiffiffi 16 2 cm3 ; b. 2 3 2 cm2 a. 3 107 Þ

Considera un cono il cui raggio di base misura r e la cui altezza e` il doppio del raggio di base. Determina il vo3  3 lume del cilindro inscritto nel cono, avente superficie totale di area r 2 . r 2 4 108 Il cono rappresentato qui sotto, di vertice V e cerchio di base di diametro AB, ha raggio r e altezza h. DetermiÞ na il raggio del cilindro inscritto, in modo che il volume di tale cilindro sia il doppio del volume del cono avente come vertice V e come base il cerchio di diametro CD.

V

h

C

D

A

B r



3 r 5

 35

Area della superficie e volume di un solido Tema L

Problemi sul tronco di cono 109 Un tronco di cono ha raggi di base lunghi rispettivamente 2 cm e 1 cm, e altezza lunga 1 cm. Determina il voÞ   pffiffiffi lume e l’area della superficie totale del tronco. 7 3 2 Volume ¼  cm ; Area ¼ ð5 þ 3 2Þ cm 3 110 Un tronco di cono ha raggi di base lunghi rispettivamente 9 cm e 3 cm, e apotema lungo 10 cm. Determina il Þ volume del tronco. [312  cm3 ] 111 Þ

Un tronco di cono ha altezza lunga 3 cm. Si sa che il raggio della base maggiore e` il doppio del raggio della base minore e che il volume del tronco e` 28 cm3 . Determina l’area della superficie totale del tronpffiffiffiffiffiffi co. [ð20 þ 6 13Þ cm2 ] pffiffiffi 112 Un cono ha superficie laterale di area 36 a2 5 e base di area 36 a2 . Determina il volume del tronco di cono Þ che si viene a determinare conducendo il piano parallelo alla base del cono e distante 8a dal vertice del cono.   304 3 a 3 113 Þ

Considera un cono di altezza h e raggio di base r. A quale distanza dal vertice del cono va condotto un piano 4
, parallelo alla base del cono, affinche´ la sezione del cono con il piano sia della base? Qual e` il rapporto tra il  9 2 19 h; volume del tronco di cono e quello del cono in cui il cono originario resta scomposto dal piano
? 3 8 114 Considera un cono equilatero di altezza 2a e vertice V. A quale distanza da V bisogna condurre un piano paÞ rallelo alla base del cono, in modo che il tronco di cono avente come basi la sezione del cono con il piano e la base pffiffiffi del cono stesso sia equivalente alla meta` del cono? [a 3 4] 115 Un tronco di cono ha apotema di 5 cm e altezza di 4 cm. Il cono cui il tronco appartiene ha apotema di 15 Þ cm. Qual e` il volume del tronco di cono? [228  cm3 ]

Problemi sui solidi generati dalla rotazione di figure 116 Data una circonferenza di raggio r, centro O e diametro AB, prolunga AB dalla parte di B di un segmento BC, Þ congruente al raggio della circonferenza. Traccia da C una retta tangente alla circonferenza, indicando con T il punto di contatto con la circonferenza stessa. Determina il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa  3 del triangolo OTC intorno alla retta AC. r

2 pffiffiffi 117 Nel triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, risulta BC ¼ 5a e AB ¼ a 5. Determina l’area della superficie Þ totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo: a. intorno al cateto AC;  b. intorno al cateto AB; pffiffiffi 10 3 pffiffiffi a 5; c. intorno all’ipotenusa BC. a. Area ¼ 5a2 ð1 þ 5Þ, Volume ¼ 3  pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 20 20 3 b. Area ¼ 10a2 ð2 þ 5Þ, Volume ¼  a3 5; c. Area ¼ 6a2 5, Volume ¼ a 3 3 118 Considera un rettangolo ABCD, in cui il lato AB misura a e il lato BC misura 2a. Traccia la retta r, simmetrica Þ della retta AD rispetto alla retta BC. Determina il volume e l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del rettangolo ABCD intorno alla retta r. [Volume ¼ 6a3 ; Area ¼ 18a2 ] 119 Þ

Un trapezio isoscele ABCD e` tale che la base maggiore AB e` lunga 8 cm, la base minore CD e` lunga 2 cm e i lati obliqui sono lunghi 5 cm. Determina il volume e l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio ABCD intorno alla base maggiore AB. [Volume ¼ 64 cm3 ; Area ¼ 56 cm2 ]

120 Þ

Un trapezio isoscele ABCD e` tale che la base maggiore AB e` lunga 8 cm, la base minore CD e` lunga 2 cm e i lati obliqui sono lunghi 5 cm. Determina il volume e l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio ABCD intorno alla base minore CD. [Volume ¼ 96 cm3 ; Area ¼ 104 cm2 ]

Considera un trapezio isoscele ABCD, in cui gli angoli adiacenti alla base maggiore AB hanno ampiezza 45 e la base minore CD e` congruente all’altezza. Facendo ruotare il trapezio di un giro completo intorno alla base magpffiffiffi giore AB si ottiene un solido di volume 45a3 . Qual e` l’area della superficie totale di questo solido? [18ð1 þ 2Þa2 ] 121 Þ

36

bC e` di 120 . I lati obliqui del Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, il cui angolo al vertice BA triangolo misurano a. Determina il volume del solido ottenuto: " # pffiffiffi a. ruotando di un giro completo il triangolo intorno alla base BC;  3 3 a3 a ; b: b. ruotando di un giro completo il triangolo intorno a uno dei due lati obliqui. a: 4 12 124 Þ

5. Misura della superficie e del volume di una sfera e delle parti della sfera

Misure di superfici e di volumi

123 Un trapezio isoscele ABCD, circoscrivibile a una circonferenza, e` tale che la base maggiore AB misura 8a e la Þ base minore CD misura 2a. Determina il volume e l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione [Volume ¼ 28a3 ; Area ¼ 42a2 ] di 180 del trapezio intorno all’asse di AB.

Unita` 1

pffiffiffi Un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa AB ¼ 5a, e` tale che il cateto AC misura a 5. Traccia la retta r, passante per C e parallela ad AB. Determina il volume e l’area della superficie del solido generato dalla rotazione com  pffiffiffi 2 pleta del triangolo ABC intorno alla retta r. 40 3 a ; Area ¼ ð20 þ 6 5Þa Volume ¼ 3

122 Þ

TEORIA a p. 16

Esercizi preliminari 128 Þ

Test 125 Una sfera ha raggio 1 cm. Qual e` l’area della suÞ perficie della sfera? A

2 cm2

C

6 cm2

B

4 cm2

D

8 cm2

126 Þ

Qual e` il volume di una sfera inscritta in un cubo il cui lato misura a? A

a3

C

a3 3

B

a3 2

D

a3 6

127 Þ

Qual e` il raggio di una sfera la cui superficie ha area 400 cm2 ? A

10 cm

C

40 cm

B

20 cm

D

80 cm

Se il raggio di una sfera raddoppia, allora l’area della sua superficie: a. raddoppia; b. quadruplica; c. diventa otto volte l’area della superficie della sfera originaria; d. diventa sedici volte l’area della superficie della sfera originaria.

129 Þ

Se il raggio di una sfera raddoppia, allora il suo volume: a. raddoppia; b. quadruplica; c. diventa otto volte il volume della sfera originaria; d. diventa sedici volte il volume della sfera originaria.

130 Þ

Fornisci l’esempio di un cono e di una sfera equivalenti.

131 Þ

Fornisci l’esempio di un cilindro e di una sfera equivalenti.

Problemi sulla sfera 132 Þ

Determina l’area della superficie e il volume di una sfera di raggio 3 cm. [36 cm2 ; 36 cm3 ] 133 Determina il volume di una sfera, sapendo che Þ   l’area della sua superficie e` 9a2 . 9 3 a 2 134 Þ

L’area della superficie di una sfera e` S. Verifica che il suo volume V,r espresso in funzione di S, e` dato ffiffiffiffiffi S S dalla formula V ¼ . 6 

135 Determina l’area della superficie e il volume della Þ pffiffiffi sfera inscritta in un cubo di diagonale 4 3 cm.   32 16 cm2 ,  cm3 3

136 Þ

Il volume di una sfera e` 36 a3 . Di quanto si deve aumentare il suo raggio affinche´ l’area della sua super[2a] ficie aumenti di 64 a2 ? 137 Þ

L’area della superficie di una sfera e` 16 a2 . Di quanto si deve aumentare il suo raggio affinche´ il suo 61 3 1 a ? a volume aumenti di 6 2 138 La somma dei volumi di due sfere, aventi una il Þ raggio doppio dell’altra, e` 324  cm3 . Determina le aree delle superfici delle due sfere. [36 cm2 144 cm2 ] 139 Þ

Un piano distante 1 cm dal centro di una sfera individua con la sfera una sezione di area 35 cm2 . Determina l’area della superficie totale della sfera e il suo volume. [144 cm2 ; 288 cm3 ] 37

Area della superficie e volume di un solido Tema L

140 Þ

Un recipiente a forma di sfera, di raggio 60 cm, ha una cavita` sferica. Il recipiente, quando e` completamente riempito, contiene 40 litri di acqua. Determina la misura in centimetri del raggio della cavita`, arrotondando il risultato a meno di un decimo. [59,1 cm]

Problemi sulle parti della sfera 141 Þ

Conducendo a una distanza di 2 cm dal centro di una sfera un piano, la superficie sferica viene suddivisa in due calotte. Sapendo che il raggio della sfera e` lungo 5 cm, determina il rapporto tra la maggiore e la mino  re delle aree delle due calotte. 7 3 142 La sezione di una sfera con un piano distante 3 Þ cm dal centro della sfera stessa ha area 16 cm2 . Determina i volumi dei due segmenti sferici in cui il piano   divide la sfera. 52 3 448 3  cm ;  cm 3 3 143 Þ

L’altezza di una calotta, appartenente a una sfera 1 di raggio r, e` del raggio della base della calotta. De3   termina l’area della calotta. 2 2 r 5 144 Un segmento sferico a una base ha altezza 6 cm e Þ volume 360 cm3 . Determina il raggio della sfera cui appartiene. [12 cm] 145 Þ

L’area di una zona sferica e` 36 cm2 . Calcola il volume della sfera alla cui superficie appartiene la zo-

na, sapendo che l’altezza della zona e` la meta` del raggio della sfera. [288  cm3 ] Un fuso sferico, il cui angolo ha ampiezza 60 , ha area 24  cm2 . Calcola il volume della sfera alla cui superficie appartiene il fuso. [288  cm3 ] 146 Þ

147 Þ

Una sfera ha superficie di area 144  cm2 . Determina il volume dello spicchio appartenente a tale sfera [48 cm2 ] di ampiezza 60 .

148 Þ

Determina l’ampiezza in gradi dell’angolo di apertura di uno spicchio sferico, sapendo che esso e` 1 equivalente a del volume della sfera cui appartiene. 5 [72 ]

149 Þ

Un segmento sferico di altezza 3 cm ha volume 27  cm3 . Determina l’area della superficie della sfera 2 cui il segmento sferico appartiene. [25  cm2 ]

150 Þ

Data una sfera di raggio 5 cm, conduci due piani paralleli
e , distanti rispettivamente 2 cm e 4 cm dal centro della sfera. Determina il volume del segmento sferico che ha come basi i cerchi sezione della sfera con
e . [126  cm3 ]

Problemi su solidi inscritti e circoscritti a una sfera 151 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Determina il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r.
Osserva che si puo` ricondurre il problema dallo spazio al piano considerando la sezione della sfera con un piano passante per l’asse del cilindro. D

K

C

K

D

O

O

r A

C

r H

B

A

x

H

B


Poni AH ¼ x, cosicche´ AB ¼ 2x. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo AHO, puoi ricavare che: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi HK ¼ 2OH ¼ 2 :::::::::::::::
Affinche´ il cilindro sia equilatero deve essere AB ¼ HK; imponi questa condizione e ricava x dall’equazione che ottieni.
Ora conosci il raggio e l’altezza del cilindro equilatero inscritto, quindi puoi ricavare il suo volume. Se svolgi i pffiffiffi r 3 2 . calcoli correttamente, troverai che il volume e` 2 38

ESERCIZIO GUIDATO

Determina l’area della superficie della sfera inscritta in un cono il cui apotema misura 10a e il cui raggio di base misura 6a.

C

C T

T

10a

x

O A

A

B

H

6a

H

6a

B

Misure di superfici e di volumi


Si puo` ricondurre il problema dallo spazio al piano considerando la sezione del cono e della sfera con un piano passante per l’asse del cono.

Unita` 1

152 Þ


Il raggio della sfera inscritta nel cono non e` altro che il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC. Per determinare tale raggio puoi seguire almeno due vie diverse: a. Porre OT ¼ x e scrivere un’equazione da cui ricavare x, tenendo conto del fatto che i due triangoli CHB e OTC sono simili. S b. Utilizzare la formula che fornisce il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, r ¼ , essendo S l’area p del triangolo e p il suo semiperimetro.
Noto il raggio della sfera inscritta, puoi facilmente calcolarne l’area della superficie. Se svolgi i calcoli correttamente, troverai che l’area della superficie e` 36a2 . 153 Determina l’altezza di un cono inscritto in una Þ sfera di raggio r, avente altezza congruente al diametro   del cerchio che costituisce la base del cono. 8 r 5 154 Þ

Determina il rapporto tra il volume della sfera circoscritta a un cubo il cui spigolo misura a e il volu pffiffiffi  me del cubo stesso.  3 2 155 Determina il rapporto tra il volume della sfera inÞ scritta in un cubo il cui spigolo misura a e il volume hi del cubo stesso.

6

156 Þ

Considera una sfera di raggio r e il cubo in essa inscritto. Determina il rapporto tra il volume del cubo  pffiffiffi  e il volume della sfera. 2 3 3

157 Þ

Considera una cilindro circolare retto, avente raggio di base r e altezza h. Determina l’area della superficie della sfera circoscritta al cilindro. 
 h2 4 r 2 þ 4

158 Þ

Un tronco di cono, inscritto in una sfera di raggio 5a, ha basi di aree 16 a2 e 9 a2 . Determina il volu  me del tronco di cono. 259 3 a 3

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 159 Considera il cubo rappresentato in figura, il cui Þ spigolo misura a. Sia P un punto appartenente allo spigolo BF e Q il punto in cui il piano PEH interseca lo spigolo CG.

H G E

F

D

Q

P C

A

a

B

a. Determina la natura del quadrilatero EPQH. b. Determina la distanza di P da F in modo che il prisma avente come basi EPF e HQG abbia volume 1 uguale a del volume del cubo. 3 c. Determina la distanza di P da F in modo che il prisma avente come basi EPF e HQG abbia superficie totale di area 3a2 . pffiffiffi   2 ð4  7Þa a. Rettangolo; b. PF ¼ a; c. PF ¼ 3 3 39

Area della superficie e volume di un solido

bC ¼ 120 e AB ¼ AC ¼ a. Sulla retta perpendicoConsidera un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, in cui BA lare al piano ABC, passante per A, considera un punto D. 160 Þ

a. Determina la distanza di D da A in modo che il triangolo BDC sia rettangolo di ipotenusa BC. b. In corrispondenza del punto D individuato al passo a, calcola l’area della superficie totale e il volume della pffiffiffi pffiffiffi   piramide ABCD. pffiffiffi pffiffiffi a 2 1 a3 6 ; b. Area ¼ a2 ð2 2 þ 3 þ 3Þ; Volume ¼ a. AD ¼ 2 24 4 Il settore circolare rappresentato qui sotto, di raggio 9 cm e ampiezza 120 , rappresenta lo sviluppo della superficie laterale di un cono circolare retto. 161 Þ

a. Determina il volume del cono. b. Considera un cilindro inscritto nel cono e determina quale deve essere il raggio di base del cilindro pffiffiffi in modo S 5 2 0 . che, dette S e S rispettivamente le aree delle superfici laterali del cilindro e del cono, risulti: 0 ¼ 27 S A m

Tema L

9c

9c

m

120°

C

B

pffiffiffi [a. 18 2 cm3 ; b. 0; 5 cm _ 2; 5 cm] 162 Considera il parallelepipedo rettangolo rappresentato qui sotto, le cui basi ABCD ed EFGH sono quadrati. Si Þ sa che AB ¼ a e BF ¼ 2a. H G

E

F

2a

D A

C

a

B a. Determina i volumi dei tetraedri ABDE, EBGF, BCGD, EHGD. b. Deduci il volume del tetraedro EGBD, evidenziato in figura. c. Determina la distanza del vertice D dal piano BEG.

  1 3 2 3 4 a: a ; b: a ; c: a 3 3 3

163 In un parallelepipedo rettangolo i lati del rettangolo di base sono tali che il maggiore supera di 2 cm il minoÞ re. L’altezza del parallelepipedo ha lunghezza uguale al lato minore del rettangolo di base. Sapendo che la superficie totale del parallelepipedo ha area 128 cm2 , determina:

a. il volume del parallelepipedo; b. il volume e l’area della superficie della sfera circoscritta al parallelepipedo.   68 pffiffiffiffiffiffi  17 cm3 a: 96 cm3 ; b: Area ¼ 68 cm2 , Volume ¼ 3 164 Þ

Considera una sfera di raggio r e centro O e un punto P sulla superficie sferica. Sia Q il punto del raggio OP ta4 le che OQ ¼ r. 5 a. Conduci il piano
passante per Q e perpendicolare ad OP e calcola il volume del cono che ha come base il   cerchio sezione della sfera con il piano
e come vertice il punto P. 3 a: r 3 ; b:3 cm3 b. Se l’area della superficie della sfera e` 100 cm2 , quanto vale il volume del cono? 125 165 Considera il parallelepipedo rettangolo rappresentato in figura, avente come basi due quadrati ABCD ed Þ EFGH di lato a. L’altezza AE misura 2a. Siano inoltre P, Q, R, S, rispettivamente i punti medi degli spigoli AB, AD, EF ed EH.

a. Dimostra che i punti B, F, H, D sono complanari, cosı` come i punti P, R, S, Q, e che il piano contenente i punti B, F, H e D e` parallelo al piano contenente i punti P, R, S e Q. 40

H

S E

Unita` 1

b. Determina il volume e l’area della superficie totale del prisma avente come basi PBDQ ed RFHS. G F

2a D C

Q A

a P

B



3 b: Volume ¼ a3 ; Area ¼ 4




  pffiffiffi 2 11 þ3 2 a 4

166 Una piramide ha come base un rettangolo ABCD tale che AB ¼ 8 cm e BC ¼ 6 cm. Il vertice V della piramide Þ appartiene alla retta perpendicolare alla base, passante per il centro O del rettangolo ABCD.

Misure di superfici e di volumi

R

a. Dimostra che gli spigoli laterali della piramide sono tutti congruenti. b. Supposto che gli spigoli laterali siano lunghi 13 cm, calcola il volume e l’area della superficie totale della piramide. c. Determina l’ampiezza dell’angolo diedro formato dalla faccia VBC con la base ABCD, arrotondando il risultato a meno di un grado. d. Determina a quale distanza dal vertice Voccorre tracciare un piano parallelo alla base, in modo che, indicati con A0 B0 C0 D0 i punti in cui il piano incontra gli spigoli VA, VB, VC, VD, l’area del quadrilatero A0 B0 C0 D0 sia 3 cm2 . e. In corrispondenza del piano di cui al punto d, determina il volume del tronco di piramide di basi ABCD e pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A0 B0 C0 D0 . [b. Volume ¼ 192 cm3 , Area ¼ 24ð2 þ 10 þ 17Þ cm2 ; c. 72 ; d. 3 cm; e. Volume ¼ 189 cm3 ] 167 Þ

In un tetraedro di base ABC e vertice V:


la faccia ACV e` un triangolo isoscele sulla base AV, rettangolo in C;
la faccia BCV e` un triangolo rettangolo in C, con V BbC ¼ 30 ;
la faccia AVB e` un triangolo rettangolo in A. a. Dimostra che il triangolo ABC e` rettangolo. b. Supposto VC ¼ a, determina l’area della superficie totale e il volume del tetraedro.   pffiffiffi pffiffiffi a2 a3 pffiffiffi ð3 þ 2 þ 3Þ; Volume ¼ 2 b: Area ¼ 2 6 168 Þ

Considera una sfera l’area della cui superficie sia 25a2 .

a. Determina il volume della sfera. b. Determina l’area della superficie totale e il volume del cono inscritto nella sfera, avente altezza di misura 4a. c. Determina a quale distanza dal vertice del cono bisogna condurre un piano parallelo alla base del cono, in modo che la corona circolare limitata dalle circonferenze sezione del piano con le superfici della sfera e del   pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 5 125 3 16 3 2 2 a: a ; b: Area ¼ 4a ð1 þ 5Þ, Volume ¼ a ; c: ð2  2Þa _ ð2 þ 2Þa cono abbia area  a . 2 6 3 pffiffiffiffiffiffi 169 La diagonale del cubo rappresentato nella figura seguente misura a 12. M e` il punto medio dello spigolo AB, Þ O e` il punto di intersezione delle diagonali della faccia EFGH. Considera la piramide di base DMC e vertice O e rispondi ai seguenti quesiti. G H a. Stabilisci se la piramide e` retta. O F b. Determina il volume della piramide. E c. Verifica che tutte le facce della piramide sono triangoli isosceli. d. Determina la distanza del punto D dalla faccia OMC. e. Determina la distanza del punto M dalla faccia DOC. f. Determina l’area della superficie totale della piramide.

D

C

B# M A pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi p ffiffiffiffiffiffi p ffiffiffi 4 3 8a 21 4a 5 ; e: ; f: a2 ð2 þ 5 þ 21Þ a: non e` retta; b: a ; d: 21 5 3

"

41

a. il rapporto tra il volume del solido generato dalla rotazione completa del triangolo intorno ad AB e il volume del solido generato dalla rotazione completa del triangolo intorno a BC; b. il rapporto tra l’area della superficie totale del solido generato dalla rotazione completa del triangolo intorno ad AB e l’area della superficie totale del solido generato dalla rotazione completa del triangolo intorno a BC. pffiffiffi   1 3 5 Entrambi i rapporti si possono determinare: il primo vale , il secondo vale 2 2 171 Una piramide ha come base un rombo ABCD, unione dei due triangoli equilateri ABD e CBD. Come mostrato Þ nello sviluppo della piramide riportato qui sotto, anche due delle facce laterali della piramide sono triangoli equilateri, mentre le altre due facce sono triangoli rettangoli. Sapendo che i lati del rombo ABCD misurano a, determina l’area della superficie totale e il volume della piramide.

C

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

170 Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB doppio del cateto BC. Conoscendo soltanto questa informazione Þ stabilisci se e` possibile determinare:

D

B

90°

90°



 pffiffiffi a3 pffiffiffi 2 Area ¼ a ð1 þ 3Þ; Volume ¼ 6 2

A

Risolvi i seguenti problemi di massimo o minimo di secondo grado. 172 Un parallelepipedo retto ha come base un rettangolo ABCD di perimetro 2p. L’altezza del parallelepipedo e` la Þ meta` di AB.

a. Determina la misura di AB in modo che l’area della superficie totale del parallelepipedo sia massima. In corrispondenza di questa misura di AB, determina il volume del parallelepipedo. b. Determina la misura di AB in modo che le diagonali del parallelepipedo abbiano la minima lunghezza possibile. In corrispondenza di questa misura di AB, determina il volume del parallelepipedo.   3 9 3 4 40 3 p ; b. p, p a. p, 4 128 9 729 173 Considera un cono il cui raggio di base misura a e la cui altezza misura 6a. Þ a. Determina il raggio del cilindro inscritto nel cono avente area della superficie laterale massima. b. Il cilindro di cui al punto precedente ha anche area della superficie totale massima? In caso negativo, determina anche il raggio del cilindro inscritto nel cono di massima superficie totale.   a 3 a. ; b. il cilindro di superficie totale massima ha raggio a 2 5 pffiffiffiffiffiffi 2 2 174 Una piramide quadrangolare regolare ha superficie laterale di area 16 10 cm e base di area 16 cm . Þ a. Determina l’altezza e il volume della piramide. b. Determina a quale distanza dal vertice della piramide bisogna condurre un piano parallelo alla base, in modo che il prisma avente come basi la sezione della piramide con il piano e la sua proiezione sulla base della piramide stessa abbia superficie totale di area massima. [a. 6 cm, 32 cm3 ; b. 4,5 cm] ` dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, con AB ¼ 6 cm e AC ¼ BC ¼ 5 cm. Traccia una retta r paralle175 E Þ

la ad AB, che intersechi i lati AC e BC rispettivamente in E e in F; indica con E 0 e F 0 le proiezioni di E e F su AB e considera il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa del rettangolo EE 0 F 0 F intorno alla retta AB. Determina a quale distanza da C deve essere condotta la retta r affinche´ la superficie laterale del cilindro abbia area massima. [2 cm] 176 Þ

Un tetraedro ha come base un triangolo equilatero ABC, il cui lato misura a. Il vertice D appartiene alla retta passante per A e perpendicolare al piano ABC, ed e` tale che AD ffi AB. Considera un punto P, interno ad AC, e conduci il piano
passante per P e parallelo alle rette BC e AD. Indica con Q il punto in cui
interseca AB, con R il punto in cui interseca BD e con S il punto in cui interseca CD. a. Dimostra che PQRS e` un rettangolo. b. Posto AP ¼ x, esprimi in funzione di x l’area di PQRS e determina per quale valore di x l’area di PQRS e` massima.

42

R

A

Q

C

P

 b. x ¼

B

 a a3 pffiffiffi 3 ; c. ciascuna delle due parti ha volume 24 2

Risolvi i seguenti problemi con l’aiuto della trigonometria.

Misure di superfici e di volumi

S

Unita` 1

c. In corrispondenza del valore di x di cui al punto b, determina il volume delle due parti in cui il tetraedro resta diviso dal piano
. D

Considera un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC ¼ a, in cui ABbC ¼ x. Determina x in modo che il rapporto tra il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo ABC intorno ad AC e il volume del pffiffiffi hi solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo ABC intorno ad AB sia uguale a 3. 6 3 bC ¼ . Determina il volume e l’a178 Un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, e` tale che BC ¼ 10a e cos AB Þ 5 rea della superficie totale del cono ottenuto dalla rotazione di un giro completo del triangolo intorno alla retta AC. [Volume ¼ 96a3 ; Area ¼ 96a2  177 Þ

179 Þ

Un triangolo ABC e` tale che AB ¼ 4a, BC ¼ 6a e AC ¼ 8a: a. Calcola cos ABbC e deduci che il triangolo e` ottusangolo. b. Determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa del triangolo intorno al lato AB.   1 a: cos ABbC ¼  ; b: 45a3 4

180 Þ

Considera il cubo rappresentato in figura, il cui spigolo misura a. Un piano passante per lo spigolo BC del cu bo forma con la base ABCD un angolo x, con 0  x  , e interseca gli spigoli AE e DH in P e Q. Esprimi in funzio4 ne di x il volume VðxÞ e l’area SðxÞ del prisma colorato, di basi ABP e DCQ. H E

G F

a

Q P A

D

a

C a

x B

 VðxÞ ¼


 1 3 1 a tan x; SðxÞ ¼ a2 1 þ 2tan x þ 2 cos x

181 Una piramide regolare ha base quadrata di lato a. Inoltre gli spigoli laterali della piramide formano con il piaÞ no di base un angolo
. Esprimi, in funzione di a e di
, l’area della superficie totale e il volume della piramide.  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 pffiffiffi Volume ¼ a3 2tan
; Area ¼ a2 ð1 þ 1 þ 2tan 2
Þ 6 182 Þ

Una piramide di vertice V ha come base un rettangolo ABCD, in cui AB ¼ 4a e BC ¼ 2a. Il vertice V appartiene alla perpendicolare al piano di base passante per il centro del rettangolo ABCD. Inoltre la faccia laterale BCV della piramide forma con il piano di base un angolo
. Esprimi, in funzione di a e di
, l’area della superficie totale 
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e il volume della piramide. 16 3 1 a tan
; Area ¼ 4a2 2 þ þ 1 þ 4tan 2
Volume ¼ 3 cos


Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 183 Þ

Versando 40 cm3 di acqua in un recipiente a forma di parallelepipedo rettangolo avente un lato della base lungo 4 cm, i livello del liquido raggiunge 5 cm. Versandone una quantita` incognita in un altro recipiente paral43

184 Þ

Da un vertice A di un cubo si tracciano degli archi di cerchio con centro in A e raggio pari al lato del cubo su ciascuna delle tre facce aventi un vertice in A. Qual e` la frazione della superficie del cubo evidenziata? 1 3   A B C D E dipende dal 4 8 8 6 lato del cubo

A

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

lelepipedo rettangolo che ha quel lato della base lungo 6 cm e l’altro inalterato, il liquido raggiunge un livello di 15 cm. Quanti cm3 di acqua sono stati versati la seconda volta? 80 A 180 B 80 C 40 D 20 E 9 (Giochi di Archimede 2000) [A]

[C]

(Giochi di Archimede 2002) 185 Þ

Due oggetti omogenei, fatti di due materiali diversi, hanno lo stesso volume, ma il primo pesa 242 g piu` del secondo. Sapendo che il materiale di cui e` fatto il primo oggetto ha densita` 8,9 g/cm3 e quello di cui e` fatto il secondo oggetto ha densita` 7,8 g/cm3 , qual e` il volume di ciascuno degli oggetti? A B C

120 cm3 150 cm3 220 cm3

D E

300 cm3 I dati sono insufficienti [C]

(Giochi di Archimede 2002) 186 Þ

E` ben noto che l’area di un triangolo equilatero di lato unitario non puo` essere espressa come un numero razionale. Esistono tetraedri che hanno come base tale triangolo e il cui volume si esprime come numero razionale? pffiffiffi A Non ne esistono. D Solo i tetraedri con altezza 6 3. B Ne esistono infiniti. E Solo se il tetraedro e ` retto. C Solo il tetraedro regolare. [B]

(Giochi di Archimede 2002)

1 Un parallelepipedo a base quadrata e` inscritto in una sfera. Se il lato di base e` dell’altezza, quanto vale il 4 rapporto tra la superficie della sfera e la superficie totale del parallelepipedo?  A  D 2  B E Dipende dal raggio della sfera 4 C 2 187 Þ

[A]

(Giochi di Archimede 2003)

188 Sul triangolo ABC si costruisce una piramide di vertice V e base ABC. P e` un punto sullo spigolo VA tale che Þ BP e CP siano fra loro ortogonali e siano altezze rispettivamente dei triangoli BAV e CAV. Sapendo che P divide VA in due segmenti di lunghezza 1 cm e 2 cm e che le altezze BP e CP sono lunghe rispettivamente 3 cm e 4 cm, determina il volume, in cm3 , della piramide. A B C

I dati non sono sufficienti per calcolare il volume. 6 9

(Giochi di Archimede 2003)

44

D E

12 Non esiste una piramide siffatta. [B]

Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguale al lato di Q. Il volume dell’intersezione tra Q e S e`: A C

E

un quarto del volume del cubo. meta` del volume del cubo. [A]

(Giochi di Archimede 2006)

190 C e T sono rispettivamente un cono e un cilindro circolari retti, che hanno lo stesso asse e hanno le basi nello Þ stesso piano (e sono rivolti dalla stessa parte rispetto a questo piano). L’area di base di C misura 400  cm2 mentre il raggio di base di T misura 10 cm. Inoltre le altezze di C e T misurano entrambe 20 cm. Quale percentuale del volume di C e` contenuta dall’intersezione tra C e T? pffiffiffi pffiffiffi A 20 2% B 40% C 50% D 60% E 50 2%

Misure di superfici e di volumi

B

D

un ottavo del volume della sfera. un quarto del volume della sfera. un sesto del volume del cubo.

Unita` 1

189 Þ

[C]

(Giochi di Archimede 2008)

191 Un cubo di lato 1 m e una sfera hanno lo stesso centro e la superficie della sfera passa per i punti medi di tutti Þ i lati del cubo. Quanto misura l’area della superficie del cubo esterna alla sfera?

 3 4 A B ð8  2Þm2 C D ð12  3Þm2 E  m2 6   m2 6   m2 2 3

[A]

(Giochi di Archimede 2009)

192 La scultura astratta che si vede nella figura qui sotto e` stata ottenuta asportando un parallelepipedo rettangoÞ lo da un solido che originariamente era un cubo. Il volume del cubo originale era di 512 dm3 . Qual e` l’area della superficie totale della scultura? A

320 dm2

B

336 dm2

C

384 dm2

D

468 dm2

[C]

(Kangourou 2002) 193 Þ

Osserva la figura. Nella tanica 1, la cui base ha una superficie di 2 dm2 , l’acqua raggiunge l’altezza di 5 cm. La tanica 2, alta 7 cm e la cui base ha una superficie di 1 dm2 , viene immersa, vuota, nella tanica 1 fino a essere ancorata sul fondo di questa. A questo punto una parte dell’acqua si riversa nella tanica 2. Che altezza raggiunge l’acqua nella tanica 2? Considera trascurabile lo spessore delle taniche. A

B

1 cm

C

2 cm

E

4 cm

5 cm

7 cm

5 cm tanica 1 (Kangourou 2004)

D

3 cm

tanica 2

[C] 45

A

540 g

B

C

570 g

3 cm

D

600 g

630 g

E

660 g

1 cm

Tema L

Area della superficie e volume di un solido

194 Un cubo di materiale omogeneo, il cui spigolo misura 3 cm, pesa 810 grammi. Se operiamo tre fori come moÞ strato in figura, ciascuno dei quali sia un parallelepipedo rettangolo di dimensioni 1 cm, 1 cm e 3 cm, il peso del solido residuo sara`:

3 cm 1 cm 3 cm

[C]

(Kangourou 2005) 195 Þ

Due palline di mercurio con superficie di 2 mm2 ciascuna si uniscono a formare un’unica pallina. Qual e` la superficie della nuova pallina? A

2 mm2

B

3

2 2 mm2

C

5

2 3 mm2

D

4 mm2

E

5

2 2 mm2 [C]

(Kangourou 2005)

196 Un tetraedro (non regolare) ha un vertice tale che le tre facce che vi confluiscono hanno aree 3, 4 e 6 e gli anÞ goli di queste facce, relativi a quel vertice, misurano tutti 90 . Qual e` il volume di quel tetraedro? A

4

B

5

C

6

D

8

E

12 [A]

(Kangourou 2005) 197 Þ

In un tetraedro regolare la distanza tra due spigoli che non si toccano e` 6 cm. Qual e`, in cm3 , il volume del tetraedro? A

18

B

36

C

48

D

72

E

14 [D]

(Kangourou 2007) 198 Una faccia di un cubo e` tagliata lungo le sue due diagonali. Quali dei seguenti non sono sviluppi Þ piani di tale cubo? A

1e3

(Kangourou 2008)

46

B

1e5

C

3e4

D

3e5

E

2e4

[D]

120

B

188

C

D

350

500

E

Nessuna [E]

200 Þ

Una formica e` libera di muoversi sulla superficie di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni 1  1  2 m, ma non di entrarvi all’interno. Partendo da un vertice, vuole raggiungere il vertice anipodale (cioe` quello da esso piu` lontano) muovendosi lungo il cammino piu` breve possibile: quanta strada deve percorrere? Il vertice opposto e` il punto del parallelepipedo piu` lontano dal vertice di partenza (sempre se si e` vincolati a muoversi sulla superficie)? pffiffiffi (Kangourou 2009) [ 8 m; non e` il punto del parallelepipedo piu` lontano al vertice di partenza] 201 Þ

Solve math in English A cylindrical can is six inches tall and its base is four inches in diameter. A bug crawls

from a point P on the upper rim of the can once around the can to a point Q which is four inches directly below P. Then the bug crawls from Q once around the can to a point R on the bottom rim of the can directly below P (so the distance from Q to R is two inches). What is the length of the shortest path in inches that the bug could have made from P to R? 4" pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A 4 2 þ 1 þ 2 42 þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P B 2 þ 2 þ 2 þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C 4 2 þ 2 þ 2 2 þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D 42 þ 2 þ 22 þ 4 4" pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E 2 2 þ 1 þ 4 42 þ 1 6" Q

Misure di superfici e di volumi

A

(Kangourou 2008)

Unita` 1

199 Le lunghezze degli spigoli di un parallelepipedo rettangolo, misurate in centimetri, sono numeri interi e forÞ mano una progressione geometrica di ragione q ¼ 2. Quale delle seguenti misure, in centimetri cubi, puo` rappresentare il volume del solido?

2"

R

[A]

(Mathematics Contest, University of South Carolina 1998) 202 Þ

Solve math in English A cylinder is sliced by a plane to form the solid shown. The

base edge of the solid is a circle of radius 3. The top edge is an ellipse. The highest point on the ellipse is 6 units above the base. The lowest point on the ellipse is 2 units above the base. What is the volume, in cubic units, of the solid? A B C

D

24 30 36

E

42 48 [C]

(Mathematics Contest, University of South Carolina 2007)

203 Solve math in English In a cube with side length 6, what is the volume of the tetrahedron formed by any verÞ tex and the three vertices connected to that vertex by edges of the cube? (Harvard-MIT math tournament 1999) [36] 204 Þ

Solve math in English Take a clay sphere of radius 13 and drill a circular hole of radius 5 through its center. Take the remaining ‘‘bead’’ and mold it into a new sphere. What is this sphere’s radius? (Harvard-MIT math tournament 2003) [12] 205 Þ

Solve math in English Let ABCD be a regular tetrahedron with side length 2. The plane parallel to edges AB and CD and lying halfway between them cuts ABCD into two pieces. Find the surface area of one of these pieces. pffiffiffi (Harvard-MIT math tournament 2005) [1 þ 2 3] 206 Solve math in English Þ pffiffiffiffiffiffi

A sphere is inscribed inside a regular pyramid with a square as a base whose height is

15 times the length of one edge of the base. A cube is inscribed inside the sphere. What is the ratio of the volu2 h 25pffiffiffi me of the pyramid to the volume of the cube? 3i (Harvard-MIT math tournament 2000)

6

47

Misure di superfici e volumi 1 Þ

Data una piramide P, viene condotto un piano parallelo alla sua base, la cui distanza dal vertice della piramide e` il doppio della distanza del piano stesso dalla base. Il piano divide la piramide data in due parti: una nuova piramide P 0 e un tronco di piramide. I dati sono sufficienti per stabilire il rapporto tra il volume della piramide P 0 e il volume del tronco?

7 Þ

Nella figura qui sotto ABCD e` un quadrato di lato 2a, M ed N sono i punti medi dei lati AD e CD, MN e` un arco della circonferenza con centro in D passante per M ed N. Determina l’area della superficie totale e il volume del solido che si ottiene dalla rotazione completa intorno alla retta AD della regione colorata in giallo.

Area della superficie e volume di un solido Tema L

PROVA DI AUTOVERIFICA

2 Un recipiente a forma di tetraedro regolare ha Þ spigolo che, in cm, misura s. Determina il valore di s in modo che il recipiente, completamente riempito di acqua, ne contenga esattamente un litro. 3 Un prisma triangolare regolare con l’altezza conÞ gruente al doppio dello spigolo di base ha volume pffiffiffi uguale a 32 3 cm3 . Determina l’area della superficie totale.

H

G

E

A

B

8 Þ

La sezione di una sfera con un piano distante 4 cm dal suo centro ha area 9 cm2 . Determina l’area della superficie e il volume della sfera. Un rettangolo ABCD ha base AB che misura a e altezza BC che misura b. Sia S1 il solido ottenuto da una rotazione completa del rettangolo intorno ad AB ed S2 il solido ottenuto da una rotazione completa del rettangolo intorno a BC. Determina il rapporto: a. tra il volume di S1 e il volume di S2 ; b. tra l’area della superficie totale di S1 e l’area della superficie totale di S2 .

M

C B

A

2a

9 Þ

F

D

C

2a

M

4 Nel cubo rappresentato qui sotto, M e` il punto Þ

medio dello spigolo HD, che misura a. Determina il volume di ciascuna delle due parti in cui il cubo e` diviso dal piano passante per F, G e M.

N

D

5 Þ

Due piramidi hanno le basi complanari e le rispettive altezze congruenti. Le sezioni delle piramidi con un piano parallelo alle basi sono poligoni equivalenti. Possiamo affermare che le piramidi hanno lo stesso volume? 6 Þ

Due recipienti hanno l’uno la forma di un cilindro equilatero e l’altro la forma di un cono equilatero. Sia il cilindro sia il cono hanno cerchio di base di raggio r. Il recipiente di forma conica e` pieno d’acqua, mentre quello di forma cilindrica e` vuoto. Tutta l’acqua contenuta nel recipiente di forma conica viene versata nel recipiente vuoto a forma cilindrica; quale altezza raggiunge l’acqua nel recipiente a forma cilindrica?

Sotto quali condizioni il volume di S1 e` maggiore del volume di S2 ? Sotto quali condizioni l’area della superficie totale di S1 e` maggiore dell’area della superficie totale di S2 ? 10 Þ

Un parallelepipedo ha spigoli di base lunghi 1 cm e 2 cm e spigolo laterale lungo 3 cm. Determina il rapporto tra l’area della superficie della sfera circoscritta al parallelepipedo e l’area della superficie totale del parallelepipedo stesso.

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

Punteggio

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 30 min

48

3Risposte in fondo al volume

Laboratorio di informatica

L

Tema Tema L

` GUIDATE ATTIVITA Attivita` 1 GeoGebra

Attenzione!

H

G

I

E 2 A

F D 4

Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line.

4

C

B

a. Esplorazione

Per svolgere questa attivita` devi utilizzare GeoGebra 5, di cui al momento della pubblicazione di questo volume e` disponibile una versione beta (cioe` non ancora definitiva), che puoi trovare all’indirizzo: http://www.geogebra.org/ webstart/5.0/geogebra50.jnlp

Laboratorio di informatica

Considera il parallelepipedo rettangolo rappresentato in figura, in cui la base e` un quadrato di lato 4 e l’altezza misura 2. Qual e` la minima lunghezza possibile di un cammino sulla superficie del parallelepipedo che consente di andare dal vertice A al vertice G?

Costruisci anzitutto un parallelepipedo che soddisfa le condizioni date, seguendo i passi qui di seguito. 1. Accedi, dal menu Visualizza, alla Vista Grafica 3D; utilizza i pulsantini in alto a destra nella Vista Grafica 3D per farla comparire, se necessario, nella finestra del programma di GeoGebra anziche´ in una finestra separata. 2. Crea, utilizzando la riga di inserimento, i punti A, B, C, D rispettivamente di coordinate (2, 2, 0), (2, 2, 0), (2, 2, 0), (2, 2, 0). 3. Crea, con lo strumento Poligono, il quadrato ABCD (base del parallelepipedo che vogliamo costruire). 4. Crea il parallelepipedo, mediante lo strumento Prisma retto, selezionando prima il poligono ABCD e poi immettendo il valore 2 nella finestra di dialogo che si apre e che richiede di definire la quota.

Informatica – GEOGEBRA 49

Tema L

Laboratorio di informatica

Comincia con l’esplorare il problema scegliendo cammini lungo le due facce ABFE ed EFGH. A tale scopo, devi definire un punto I sullo spigolo EF e studiare come varia AI þ IG al variare di I. 1. Crea un punto I sullo spigolo EF e i due segmenti AI e IG (che GeoGebra chiama f e g, rispettivamente). 2. Immetti nella riga di inserimento l’espressione f+g, che fornisce la somma delle misure dei segmenti AI e IG: GeoGebra indica tale somma valore con la lettera h e la mostra nella Vista Algebra. 3. Trascinando il punto I sullo spigolo EF e osservando come varia corrispondentemente il valore di h, formula una congettura sulla posizione del punto I in corrispondenza della quale risulta minima la somma AI þ IG. Rifletti Il cammino di minima lunghezza sulla superficie del parallelepipedo e` unico? In caso negativo, quanti ne esistono?

Similmente ai passi precedenti, continua l’esplorazione considerando cammini sulle seguenti coppie di facce del parallelepipedo: ABFE e BCGF; ABCD e BCGF; ABCD e CGHD; ADHE ed EFGH; ADHE e CGHD. Formula una congettura sulla minima lunghezza possibile di un cammino sulla superficie del parallelepipedo che va da A a G. b. Dimostrazione

Ti guidiamo ora a risolvere il problema poc’anzi esplorato tramite GeoGebra con considerazioni puramente geometriche. 1. Considera lo sviluppo piano del parallelepipedo riprodotto qui sotto.

E

F

A

B

Informatica – GEOGEBRA

2. Individua i due punti G1 e G2 dello sviluppo corrispondenti al vertice G del parallelepipedo. 3. Qual e` il cammino minimo per andare dal punto A al punto G1 sullo sviluppo? 4. Qual e` il cammino minimo per andare dal punto A al punto G2 sullo sviluppo? 5. E` piu` corto il cammino AG1 o il cammino AG2 ? 6. Dalle risposte alle domande precedenti, deduci un cammino di minima lunghezza sul parallelepipedo che consente di andare da A a G. 7. Qual e` la lunghezza di tale cammino? Verifica che tale lunghezza sia coerente con la lunghezza minima congetturata tramite l’esplorazione con GeoGebra.

50

` PROPOSTE ATTIVITA Costruisci un cubo di basi ABCD ed EFGH. Crea tre punti I, J e K, rispettivamente sugli spigoli AE, EF ed FG. Con lo strumento Piano per tre punti, disegna il piano passante per i punti I, J, K e osserva la sezione che il piano individua sul cubo. Trascina quindi i punti I, J e K e stabilisci se esistono posizioni del piano in corrispondenza delle quali si ottiene: a. b. c. d.

un triangolo; un quadrilatero; un pentagono; un esagono.

L

Verso le competenze

Tema

2 Þ

Determina il volume e l’area della superficie totale del solido che si ottiene dalla rotazione intorno alla base   pffiffiffi pffiffiffi maggiore AB del trapezio isoscele ABCD in fig. B. Volume ¼ ð36 2 þ 144Þ cm3 ; Area superficie ¼ 66 2 cm2 3 Il solido in fig. C e` l’unione di due coni aventi la base in comune. Þ Il volume del cono di vertice V1 e` 18 cm3 e la sua altezza e` 6 cm. L’area della superficie laterale del cono di vertice [10 cm] V2 e` 15 cm2 . Qual e` la distanza tra i vertici dei due coni?

Verso le competenze

1 Determina il volume e l’area della superficie totale del solido che si ottiene dalla rotazione intorno alla retta Þ   pffiffiffiffiffiffi CH del triangolo isoscele ABC in fig. A. 160 cm3 ; Area superficie ¼ 8ð2 þ 29Þ Volume ¼ 3

Tema L

CONFRONTARE E ANALIZZARE FIGURE GEOMETRICHE

C D

8 cm

C 6 cm

6 cm

10 cm

45° A

V1

45° H

K

H

h2

V2

r

B

Fig. B

A

r

h1

Fig. C

B

8 cm Fig. A 4 La prima figura rappresentata qui sotto e` stata ottenuta togliendo un rettangolo da un settore circolare di cenÞ tro O e ampiezza 90 ; la seconda figura e` un parallelogramma con due angoli opposti di 45 .

8 cm 3 cm 45° 3 cm O

5 cm asse

45°

4 cm

asse

a. Disegna e descrivi il solido che si ottiene da una rotazione completa di ciascuna delle due figure rappresentate intorno all’asse di rotazione (colorato in rosso). b. Calcola il volume di ciascuno dei solidi ottenuti. [Volume generato dalla prima figura ¼ 126 cm3 ; volume generato dalla seconda figura ¼ 200 cm3 ] 5 In figura e` rappresentato un solido ottenuto togliendo un cubo da un Þ parallelepipedo rettangolo. Determina il volume e l’area della superficie totale del solido.

E

D

F

N 6 cm

M

L I

G

H

10 cm C B

A

[Volume ¼ 312 cm3 ; Area ¼ 304 cm2 ]

8 cm

m

4c

51

Verso le competenze

6 Una piramide ha come base un rettangolo ABCD Þ avente la diagonale BD lunga 10 cm e il lato AB lungo 8 cm. Il vertice V della piramide giace sulla perpendicolare al piano che contiene il rettangolo ABCD passante per il punto d’intersezione delle diagonali del rettangolo. L’altezza della piramide ha la stessa lunghezza di AB. Determina il volume e l’area della superficie totale della piramide.

Tema L

pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi [Volume ¼ 128 cm3 ; Area ¼ 8ð6 þ 3 5 þ 73Þ cm2 ]

8 Þ

7 Þ

Un cubo e un cilindro sono tali che sia la sfera inscritta nel cilindro, sia la sfera inscritta nel cubo hanno raggio r. a. Disponi in ordine crescente i volumi dei tre solidi (cilindro, cubo, sfera). b. Disponi in ordine crescente le aree delle superfici totali dei tre solidi (cilindro, cubo, sfera).

G

H

Considera il parallelepipedo rettangolo in figura.

a. Giustifica perche´ il triangolo DBF e` rettangolo. bF, arrotondando b. Determina l’ampiezza dell’angolo BD il risultato a meno di un grado.

E

F D

4 cm

C B

A

m

5c

10 cm 9 Þ

[b. 20 ]

3 . Determina il volume e 5

Un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, e` tale che BC ¼ 10 cm e cos ABbC ¼

l’area della superficie totale del cono ottenuto dalla rotazione di un giro completo del triangolo intorno alla retta AC. [Volume ¼ 96 cm3 ; Area ¼ 96 cm2 ] 10 Considera il cubo rappresentato in figura, il cui spigolo misura a. Un piaÞ no passante per lo spigolo BC del cubo forma con la base ABCD un angolo x,  con 0  x  , e interseca gli spigoli AE e DH in P e Q. Esprimi in funzione di 4 x il volume VðxÞ e l’area SðxÞ della superficie totale del prisma colorato, di basi

H E

G F

a

Q

ABP e DCQ. P




 1 1 VðxÞ ¼ a3 tan x; SðxÞ ¼ a2 1 þ 2tan x þ 2 cos x

A

D

a

C a

x B

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI 11 Þ

Tre bicchieri contengono tutti la stessa quantita` d’acqua. 7,5 cm

7,5 cm

h1

7,5 cm

h2

La parte piena del primo bicchiere ha la forma di una semisfera, quella del secondo e` cilindrica e la terza e` a forma [h1 ¼ 2,5 cm; h2 ¼ 7,5 cm] di cono. Calcola le altezze h1 e h2 dell’acqua nel secondo e nel terzo bicchiere. 52

13 Þ

crosta 30 m

24 m 32 m

[50 m]

Verso le competenze

La Terra ha una «buccia» chiamata crosta, il cui spessore medio e` di 24 km. Supponi che la Terra sia perfettamente sferica e che il suo raggio sia di 6375 km. Approssimativamente, quale percentuale del volume della Terra e` occupato dalla crosta?

Tema L

12 Un pilone alto 30 m e` posto in un vertice di un Þ campo rettangolare i cui lati sono lunghi 32 m e 24 m. Nel vertice opposto del campo e` ancorato un cavo metallico collegato con la cima del pilone. Quanto e` lungo il cavo metallico?

[Circa 1,13%]

14 Þ

La piscina. Una piscina ha la forma di un prisma retto come quello rappresentato in figura. Le basi del prisma sono due pentagoni (ABCDE e A0 B0 C0 D0 E0 in figura). 10 m D' C' a. Quanti litri di acqua puo` contenere la piscina? b. Una pompa immette nella piscina 50 litri di acqua al minuto. E' C D Quanto tempo (espresso in giorni e ore ) e` necessario per riempire 5m 2 m la piscina con quella pompa? E A' B' 6m A

4m

B

[a. 246 000 litri; b. 3 giorni e 10 ore] 15 Þ

Metano. La molecola del metano e` formata da quattro atomi di idrogeno e un atomo di carbonio. I quattro atomi di idrogeno sono disposti in modo tale da occupare quattro vertici di un cubo di cui l’atomo di carbonio rappresenta il centro, come illustrato nel modello geometrico qui sotto (le sfere rappresentano gli atomi). bB in figura e` circa 109,5 . a. Verifica che l’ampiezza dell’angolo AO b. Sapendo che la distanza tra due atomi di idrogeno e` circa ˚ ? (ossia 1,78  1010 m), determina la distanza dell’atomo 1,78 A di carbonio da ciascuno dei quattro atomi di idrogeno.

H

H

C

D O B

C

H

metano CH4 A H

16 Þ

[b. Circa 1,09 A˚]

Distanze tra localita`. Come certamente gia` sai:


la latitudine di un punto P sulla superficie terrestre misura di quanti gradi a sud ðÞ o a nord ðþÞ dall’Equatore si trova quel punto; per esempio, il Polo nord si trova a una latitudine di þ90 N, Milano a þ45 290 , Sydney a 33 550 .
la longitudine di un punto P sulla superficie terrestre misura di quanti gradi a ovest ðÞ o a est ðþÞ dal meridiano fondamentale (di Greenwinch) si trova il meridiano passante per P: per esempio, Milano si trova a þ9 110 , New York a 70 150 ; inoltre due punti hanno la stessa longitudine se e solo se appartengono allo stesso meridiano;
la distanza tra due punti X e Y sulla superficie terrestre, corrisponde alla lunghezza dell’arco di circonferenza massima (cioe` avente centro e raggio uguali a quelli della sfera che rappresenta la Terra) che contiene i due punti X e Y. 53

rid Me

Latitudine Sud

Latitudine Nord

i Greenwich iano d 0°

Verso le competenze Tema L

Assumendo che il raggio della Terra sia 6373 km, rispondi ai seguenti quesiti, arrotondando i risultati al numero intero piu` vicino. Asse Meridiano a. Qual e` la distanza tra il polo Nord e una localita` situata Parallelo 90° all’Equatore? b. Due localita` hanno la stessa longitudine e quella piu` a A P nord si trova a una latitudine di 1 in piu` dell’altra. Qual e` B la distanza tra le due localita`? c. Roma si trova a una latitudine di þ45 280 . Quanto dista 0° Roma dal Polo nord? C d. Otranto e Stoccolma si trovano approssimativamente D Equatore alla stessa longitudine di þ18 ; Otranto e` a una latitudine Longitudine di þ40 90 e Stoccolma alla latitudine di þ59 190 . Qual e` la Longitudine Ovest Est distanza tra Otranto e Stoccolma? 90°

[a. Circa 10 011 km; b. circa 111 km; c. circa 4953 km; d. circa 2132 km]

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE 17 Þ

21 Þ

18 Date due rette sghembe r ed s, descrivi e giustifica Þ un procedimento per costruire un piano che contenga la retta r e sia parallelo alla retta s.

22 Þ

Siano AB e CD due rette incidenti nello spazio. Stabilisci se le due rette AC e BD possono essere sghembe, giustificando la risposta.

19 Þ

Su un piano
e` dato un triangolo ABC. Sia M il punto medio di AB ed N il punto medio di BC. Sia infine D un punto non appartenente al piano
. Dimostra che la retta MN e` parallela al piano che contiene i punti A, C e D.

Considera un parallelogramma ABCD, appartenente a un piano
, e un punto P 2 =
. Sia r la retta intersezione dei due piani APD e BPC ed s la retta passante per i punti medi dei lati AB e CD del parallelogramma. Dimostra che le due rette r ed s sono complanari. Il solido rappresentato qui sotto e` costituito dall’unione di due tetraedri regolari, aventi una faccia in comune. Stabilisci se questo solido e` un poliedro regolare, giustificando la risposta.

20 Considera due punti Ae B appartenenti a un piaÞ no
e un punto C non appartenente ad
. Una retta r interseca il segmento AC in P, il segmento BC in Q e il piano
in R. Dimostra che R e` allineato con A e con B.

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Þ

Il piccolo fermacarte della figura e` realizzato nel seguente modo. Si prende un cubo di spigolo 4 cm e su una 3 faccia si realizza una cavita` a forma di piramide con la stessa base del cubo e altezza di quella del cubo. 4 Qual e` il volume del solido cosı` ottenuto?

4 cm 4 cm 4 cm A

54

46 cm3

B

48 cm3

C

50 cm3

D

52 cm3

sono equivalenti

B

non hanno mai superficie laterale di uguale area

C

hanno sempre superficie totale di uguale area

D

e` possibile sia che abbiano la stessa area laterale, sia che l’area laterale sia diversa

3 Gli spigoli di un parallelepipedo rettangolo hanÞ no lunghezza a, b, c. Quale tra le seguenti e` l’espressione dell’area della superficie totale S del parallelepipedo? A

S ¼ ð2a þ 2bÞc

C

S ¼ 2bc þ að2b þ 2cÞ

B

S ¼ ða þ bÞc

D

S ¼ ð2a þ 2bÞc þ ab

4 Siano A, B, C tre vertici di un cubo, come in figuÞ ra. Quanto misura l’angolo ABbC?

A

A

B

Dimezzando il raggio di una sfera: sia l’area della superficie della sfera sia il volume della sfera diventano la meta` l’area della superficie della sfera diventa la meta` e 1 il volume della sfera diventa del volume della 4 sfera originaria

C

l’area della superficie della sfera diventa la meta` e 1 il volume della sfera diventa del volume della 8 sfera originaria

D

nessuna delle precedenti risposte e` esatta

Verso le competenze

A

8 Þ

Tema L

2 Un cilindro e un cono che hanno basi congruenÞ ti e altezze congruenti:

9 Þ

Una piramide retta ha come base un quadrato il cui lato misura 20 cm e apotema di misura 40 cm. Quanto misura l’altezza della piramide? pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A 10 15 cm C 17 15 cm pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi B 12 15 cm D 20 15 cm

10 Þ

La diagonale di un cubo misura 15 cm. Qual e` l’area della superficie totale del cubo?

B

A B

400 cm2 420 cm2

C D

440 cm2 450 cm2

11 Þ

C A

5 Þ A

60

B

90

C

120

D

150

Quante sono le diagonali di un parallelepipedo? Due

B

Tre

C

Quattro

D

Cinque

6 In un recipiente cilindrico contenente acqua vieÞ ne inserita una sfera di acciaio. L’acqua, come mostrato in figura, ricopre la sfera a filo. Qual era l’altezza h dell’acqua nel recipiente prima di inserire la sfera?

8 cm

6 cm

12 Þ

h A

3,5 cm

B

3,75 cm

C

4 cm

D

I dati sono insufficienti per determinarlo.

7 La sfera di ferro che viene usata per il lancio del Þ peso nell’atletica leggera ha una massa di 7,25 kg per le competizioni maschili. Sapendo che la densita` del ferro e` di 7,8 g/cm3 , qual e` approssimativamente l’area della superficie di tale sfera? A C

461 cm2 481 cm2

B D

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. nello spazio, se la retta r e` parallela a s V F ed s e` parallela a t, allora r e` parallela a t b. nello spazio, se le due rette r ed s sono perpendicolari alla retta t, allora r V F ed s sono parallele c. nello spazio, se la retta r e` complanare alla retta s e la retta s e` complanare alla retta V F t, allora le rette r e t sono complanari d. nello spazio, se la retta r e` parallela alla retta s e la retta s e` perpendicolare al piano
, allora anche la retta r V F e` perpendicolare al piano
e. nello spazio, se la retta r e` incidente alla retta s e la retta s e` parallela alla retta t, V F allora le rette r e t sono complanari

471 cm2 491 cm2

Barbara vuole stabilire se una moneta, apparentemente d’oro, lo sia effettivamente. Inizialmente pesa la moneta e verifica che ha una massa di 2624 g. Poi la inserisce in un contenitore graduato contenente acqua, a forma di parallelepipedo, avente come base un quadrato di 10 cm di lato. Prima di inserire la moneta l’acqua nel contenitore raggiungeva un’altezza di 42 cm; dopo avere inserito la moneta il livello dell’acqua raggiunge un’altezza di 43,5 cm. A questo punto Barbara, ricordando che la densita` dell’oro e` di 19,3 g/cm3 , afferma di poter stabilire che la moneta non e` d’oro. Sei d’accordo con la conclusione di Barbara? Sı`

No

Giustifica la tua risposta:

...................................................................

..............................................................................................................................

55

Verso le competenze Tema L

13 Dato il piano di equazione 2x þ 3y  6z ¼ 6, sia A il suo punto d’intersezione con l’asse x e B il suo punto Þ d’intersezione con l’asse z. Qual e` la distanza tra A e B? A

pffiffiffi 2 2

B

3

C

pffiffiffiffiffiffi 10

D

pffiffiffiffiffiffi 11

14 Þ

Il parallelepipedo di basi ACDF e GILN rappresentato in figura e` l’unione di due cubi, di spigolo 1, aventi la faccia BEMH in comune. a. Che cosa e` possibile affermare a proposito del triangolo BIN?

1

E` acutangolo. E` rettangolo.

G

E` ottusangolo.

1

N

L

M I

H

1

F

b. Giustifica la tua risposta. A

1

D

E B

1

C

1

................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................

15 Þ

Considera una lattina cilindrica, di altezza 12 cm e diametro di base di 6 cm.

12 cm

6 cm

a. Quanta aranciata puo` contenere la lattina? Risposta (in litri, approssimata a meno di un decimo):

..........................

.................................................................................................................................................................................................................................................................

Scrivi i calcoli che hai effettuato per giungere al risultato:

.............................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................

b. Si immerge nella lattina una cannuccia lunga 18 cm. Di quanti centimetri fuoriesce la cannuccia, se la si immerge il piu` possibile senza piegarla? Risposta (in cm, approssimata a meno di un decimo): ......................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................

Scrivi i calcoli che hai effettuato per giungere al risultato:

.............................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................

56

Complementi sul calcolo integrale Nel volume precedente, dopo avere presentato i piu` importanti elementi del calcolo differenziale, abbiamo introdotto l’altro fondamentale ramo dell’analisi infinitesimale: il calcolo integrale. Abbiamo visto che

il concetto di integrale definito nasce dall’esigenza di trovare metodi per il calcolo delle aree di regioni a contorno curvilineo e che il problema del calcolo di un integrale definito porta a scoprire un nesso profondo tra il calcolo differenziale e il calcolo integrale, espresso dal teorema fondamentale del calcolo integrale.

TEMA

M

PREREQUISITI

3Conoscenze di base di geometria nel piano e nello spazio

3Limiti e continuita` 3Calcolo differenziale COMPETENZE

3Utilizzare gli strumenti del calcolo integrale nella descrizione e modellizzazione di fenomeni di varia natura

Nelle prossime Unita` approfondiremo questi aspetti e vedremo numerose altre applicazioni del calcolo integrale, sia in ambito geometrico (per esempio nel calcolo di volumi), sia nelle altre discipline (per esempio in fisica). La velocita` del sangue in un vaso sanguigno cilindrico di raggio interno R e lunghezza l in un punto che dista r dall’asse del cilindro e` data da:  P
2 R
r2 4
l dove P e` la differenza di pressione tra i due estremi del vaso e
e` la viscosita` del sangue. Il calcolo integrale permette di calcolare la portata, cioe` il volume di sangue che passa per una sezione del vaso nell’unita` di tempo, espressa dalla legge di Poiseuille:

Unita` 2

Complementi sull’integrale indefinito

Unita` 3

Complementi sull’integrale definito

PR 4 8
l Una variazione di R provoca quindi significative variazioni della portata: se per esempio il calibro di un vaso sanguigno si riduce della meta` a causa di depositi di colesterolo, la portata del sangue si riduce addirittura a un sedicesimo.

Unita`

2

Complementi sull’integrale indefinito 1. Richiami sugli integrali indefiniti

Tema M

Richiamiamo in questo primo paragrafo i principali concetti relativi agli integrali indefiniti, gia` presentati nel volume 4.

Il concetto di primitiva e di integrale indefinito di una funzione PRIMITIVA

Una funzione FðxÞ si dice primitiva di una funzione f ðxÞ in un intervallo I se e` derivabile in I e per ogni x 2 I la sua derivata e` uguale a f , cioe` se: F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ

per ogni x 2 I

Per esempio, la funzione FðxÞ ¼ x2 e` una primitiva in R della funzione f ðxÞ ¼ 2x perche´ risulta: F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ

per ogni x 2 R

Le primitive di una funzione su un intervallo sono infinite e differiscono l’una dall’altra per una costante, in base al teorema seguente. TEOREMA 2.1

Caratterizzazione delle primitive su un intervallo

Se F ðxÞ e` una primitiva della funzione f ðxÞ in un intervallo I, allora le primitive di f ðxÞ in I sono tutte e sole le funzioni GðxÞ cosı` definite: GðxÞ ¼ FðxÞ þ c dove c puo` essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio, l’insieme delle infinite primitive in R della funzione f ðxÞ ¼ 2x e` costituito dalle funzioni definite da GðxÞ ¼ x2 þ c, al variare di c 2 R. Ricorda

INTEGRALE INDEFINITO

Quando e` dato un integrale indefinito, la funzione f ðxÞ si dice funzione integranda.

L’insieme di tutte le primitive di una funzione f si dice integrale indefinito della funzione f e si indica con il simbolo: ð f ðxÞ dx (che si legge «integrale indefinito di f ðxÞ in dx»).

L’integrale indefinito gode delle seguenti proprieta` di linearita`: ð ð ð 1. ½ f ðxÞ þ gðxÞ dx ¼ f ðxÞ dx þ gðxÞ dx ð 2.

ð k  f ðxÞ dx ¼ k  f ðxÞ dx

per ogni k 2 R

Il calcolo di un integrale indefinito Il punto di riferimento per il calcolo di un integrale indefinito e` la tab. 2.1:  nella prima colonna sono riportati gli integrali immediati di alcune funzioni elementari, direttamente verificabili derivando la funzione al secondo membro e verificando che coincide con la funzione integranda; 58

Unita` 2

 nella seconda colonna sono riportate le formule che generalizzano quelle nella prima colonna, ricavabili come conseguenza del teorema di derivazione delle funzioni composte.

Complementi sull’integrale indefinito

Rispetto agli integrali immediati gia` introdotti nel volume precedente, abbiamo qui completato la tabella inserendo anche gli integrali immediati relativi alle funzioni goniometriche inverse (ultime 4 righe). Tabella 2.1 Integrali immediati

Integrali immediati di funzioni composte

ð

ð

x þ1 þ c,  2 R con  6¼
1 þ1 ð In particolare: dx ¼ x þ c ð

x  dx ¼

ð

ð cos x dx ¼ sin x þ c

ð

ð sin x dx ¼
cos x þ c

ð ð

ð

1 dx ¼ tan x þ c cos2 x 1 sin2 x

ð

ð ax dx ¼

ð

ð ð

f 0 ðxÞ cos f ðxÞ dx ¼ sin ðf ðxÞÞ þ c f 0 ðxÞ sin f ðxÞ dx ¼
cos ðf ðxÞÞ þ c f 0 ðxÞ dx ¼ tan f ðxÞ þ c cos2 f ðxÞ f 0 ðxÞ sin2 f ðxÞ

ex dx ¼ ex þ c

ð

f 0 ðxÞ dx ¼ ln jf ðxÞj þ c f ðxÞ

ð dx ¼
cot x þ c

ð

ð

ax þc ln a

dx ¼
cot f ðxÞ þ c

f 0 ðxÞ  e f ðxÞ dx ¼ e f ðxÞ þ c f 0 ðxÞ  af ðxÞ dx ¼

ð

1 dx ¼ arctan x þ c x2 þ 1

f 0 ðxÞ ½f ðxÞ2 þ 1

ð

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin x þ c 1
x2

f 0 ðxÞ ½f ðxÞ2 þ k2

ð

1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin þc 2 2 k k
x

af ðxÞ þc ln a

dx ¼ arctan f ðxÞ þ c

f 0 ðxÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin f ðxÞ þ c 1
½f ðxÞ2

ð

1 1 x dx ¼ arctan þc x 2 þ k2 k k

½f ðxÞ þ 1 þ c, þ1

 2 R con  6¼
1 ð

1 dx ¼ ln jxj þ c x

f 0 ðxÞ  ½f ðxÞ dx ¼

dx ¼

1 f ðxÞ arctan þc k k

f 0 ðxÞ f ðxÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin þc k 2 k2
½f ðxÞ

Vediamo ora alcuni esempi di integrali che possono essere calcolati riconducendoli alle forme notevoli in tabella. ESEMPI

Integrali riconducibili a quelli notevoli della tabella

Calcoliamo i seguenti integrali:  ð 4 ð x
1 x a. dx b. dx x5 3x 2 þ 4 ð d. sin2 x cos x dx

ð e.

x dx 1 þ x4

ð c. ð f.

e 2x
1 dx ex x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4
x2

Ô

59

ð a.

x4
1 x5

ð ¼ ð Osserva Nel caso dell’esempio b il valore assoluto non e` necessario perche´ l’argomento del logaritmo e` sempre positivo.

Tema M

Complementi sul calcolo integrale

Ô

b.



ð dx ¼

x4 1
5 x5 x



ð dx ¼

1 1
5 x x



ð dx ¼

ð

x 1 dx ¼ 2 3x þ 4 6

f 0 ðxÞ

ð

6x 1 dx ¼ ln ð3x2 þ 4Þ þ c þ4 6

3x2

ð

f 0 ðxÞ dx ¼ ln jf ðxÞj þ c f ðxÞ

f 0 ðxÞ e f ðxÞ

ð

sin3 x þc 3 ð

d. sin2 x cos x dx ¼ cos x  ðsin xÞ2 dx ¼ f 0 ðxÞ

ð

1 dx ¼ x5

ð ð ð ð e2x
1 x
x x
x x dx ¼ ðe
e Þ dx ¼ e dx
e dx ¼ e þ ð
1Þ e
x dx ¼ ex þ e
x þ c ex

ð

e.

ð

ð 1 x
4 1 þ c ¼ ln jxj þ þc dx
x
5 dx ¼ ln jxj

4 x 4x4

f ðxÞ

c.

1 dx
x

x dx ¼ 1 þ x4

ð

x 1þ

ðx2 Þ2

½f ðxÞ2

dx ¼

1 2

f 0 ðxÞ  ½f ðxÞa dx ¼

½f ðxÞaþ1 þc aþ1

f 0 ðxÞ

ð

2x 1þ

ðx2 Þ2

dx ¼

1 arctan x2 þ c 2

1 þ ½f ðxÞ2 ð

ð f.

x
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 4
x2

ð

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx
4
x2

ð

f 0 ðxÞ 1 þ ½f ðxÞ2

dx ¼ ðxÞ þ arctan f ðxÞ þ c

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 4
x2

ð ð ð ð 1 1 1 1 1
2xð4
x2 Þ
2 dx
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ ¼ xð4
x2 Þ
2 dx
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼
2 2 4
x 4
x2
1=2 f 0 ðxÞ

¼



12 þ1

1 ð4
x2 Þ 1 2
þ1 2


arcsin

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼
4
x2
arcsin þc 2

Prova tu Calcola i seguenti integrali indefiniti: ð x
1 1. dx x ð 3 dx 2. 2x þ 1 ð x2 dx 3. 2 x þ4 ð e2x dx 4. 2x e þ1 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5. x x2 þ 9 dx

60

x þc ¼ 2

½f ðxÞ

8ð > ½f ðxÞaþ1 > a > þc > f 0 ðxÞ  ½f ðxÞ dx ¼ < aþ1 ð > 1 x > > ffi dx ¼ arcsin þ c > pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : k k2
x2

ESERCIZI a p. 77

[x
ln jxj þ c]  h

3 ln j2x þ 1j þ c 2



i x þc 2   1 ln ðe2x þ 1Þ þ c 2  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 ðx2 þ 9Þ3 þ c 3

x
2 arctan

ð (dove g
1 indica la funzione inversa di gÞ. Il significato della [2.1] e` il seguente: se non sappiamo calcolare f ðxÞ dx, ma troð viamo una sostituzione x ¼ gðtÞ per cui sappiamo calcolare f ðgðtÞÞ g 0 ðtÞ dt, pos-

Attenzione! Stiamo implicitamente supponendo che gðtÞ sia una funzione derivabile, con derivata continua e invertibile.

siamo «scaricare» il calcolo su quest’ultimo integrale, e poi tornare alla variabile x sostituendo g
1 ðxÞ al posto di t nelle primitive di f ðgðtÞÞ g 0 ðtÞ. E` importante notare che se x ¼ gðtÞ, allora il differenziale di x, per definizione, e`: dx ¼ dðgðtÞÞ ¼ g 0 ðtÞ dt

Complementi sull’integrale indefinito

Uno dei metodi di integrazione basato sul teorema di derivazione delle funzioni composte e` il cosiddetto metodo di integrazione per sostituzione. Esso si basa sulla seguente formula: ð ð f ðxÞ dx ¼ f ðgðtÞÞ g 0 ðtÞ dt con t ¼ g
1 ðxÞ [2.1]

Unita` 2

2. Integrazione per sostituzione

quindi la [2.1] si puo` rileggere come segue: nell’eseguire un cambio di variabile all’interno di un integrale si deve operare come se i simboli dx e dt fossero differenziali: un cambio di variabile x ¼ gðtÞ all’interno di un integrale prevede anche la sostituzione all’interno del simbolo dx di «differenziale». Tenendo conto anche di quest’ultima osservazione, il metodo di integrazione per sostituzione si puo` cosı` riassumere. Rifletti

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

ð

Per calcolare gue:

f ðxÞ dx mediante il metodo di sostituzione si procede come se-

1. si pone x ¼ gðtÞ e si calcola dx ¼ g 0 ðtÞ dt; 2. si riscrive l’integrale in termini di t, sostituendo gðtÞ al posto di x e g 0 ðtÞ dt al posto di dx, e si calcola l’integrale nella variabile t cosı` ottenuto; 3. si ritorna infine alla variabile x, eseguendo sul risultato la sostituzione inversa t ¼ g
1 ðxÞ.

Integrazione per sostituzione ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Calcoliamo x x
1 dx.

ESEMPIO

31

o

Il simbolo dx, come abbiamo precisato quando abbiamo introdotto il simbolo di integrale indefinito, non ha alcun particolare significato, se non quello di indicare la variabile di integrazione. Il fatto di poter operare come se dx fosse un differenziale e` un puro artificio di calcolo (che getta luce pero` sul motivo per cui negli integrali si utilizza la notazione con il dx).

passo

Scelta della sostituzione pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Poniamo x
1 ¼ t, ossia x
1 ¼ t 2 , da cui: x ¼ 1 þ t2

gðtÞ ¼ 1 þ t 2

Ne segue che: dx ¼ 2t dt

dx ¼ g0 ðtÞ dt

3 2 ðpasso o

Riscriviamo l’integrale in termini di t e calcoliamolo ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x
1 dx ¼ ð1 þ t 2 Þ  t  2t dt ¼ ð

x

ð

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1

ð

dx

¼ ð2t 2 þ 2t 4 Þ dt ¼ 2 t 2 dt þ 2 t 4 dt ¼

2 3 2 5 t þ t þc 3 5

33

o

passo Ritorniamo alla variabile x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ricordiamo che abbiamo posto x
1 ¼ t. ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 2 x x
1 dx ¼ t 3 þ t 5 þ c ¼ ðx
1Þ3 þ ðx
1Þ5 þ c 3 5 3 5

61

Sostituzioni particolari

Esistono delle particolari sostituzioni, talvolta utili per l’integrazione di funzioni goniometriche o irrazionali. Elenchiamo queste sostituzioni nella tabella seguente; ne potrai trovare alcuni esempi di utilizzo negli esercizi. Suggerimento Le sostituzioni indicate nella tabella qui a fianco portano di solito a calcoli piuttosto laboriosi, quindi e` conveniente utilizzarle solo quando non si trova alcuna altra via per risolvere l’integrale.

Tema M

Complementi sul calcolo integrale

PER SAPERNE DI PIU`

L’integrazione di una funzione... ... che dipende in modo razionale da sin x e cos x   sin x
cos x per esempio: y ¼ sin x þ cos x

...puo` essere eseguita ponendo: x t ¼ tan 2 (e impiegando le formule parametriche sin x ¼

2t 1
t2 e cos x ¼ per 2 1 þ t2 1þt

esprimere sin x e cos x in funzione di t) x ¼ a sin t con


... irrazionale che contiene un solo radicale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi del tipo a2
x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (per esempio: y ¼ 9
x 2 Þ

  t 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2  a2 ¼ t
x

... irrazionale che contiene un solo radicale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi del tipo x 2  a2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (per esempio: y ¼ x 2 þ 9Þ

Prova tu

ESERCIZI a p. 80

Calcola i seguenti integrali indefiniti. 

ð 4

1.

ð3x
1Þ dx ð

2.

ln3 x dx x

 1 5 ð3x
1Þ þ c 15   1 ln 4 x þ c 4



ð 3. 4.

xe

3x2

dx

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1
x dx

 1 3x2 e þc 6   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2
ð3x þ 2Þ ð1
xÞ3 þ c 15

3. Integrazione per parti Nel paragrafo precedente abbiamo visto le regole di integrazione che corrispondono al teorema di derivazione delle funzioni composte. In questo paragrafo presentiamo invece la regola di integrazione corrispondente al teorema di derivazione del prodotto di due funzioni. In base alla regola di derivazione del prodotto di due funzioni, si ha: D½ f ðxÞ  gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  gðxÞ þ f ðxÞ  g 0 ðxÞ Questa uguaglianza equivale alla seguente, in termini di integrali indefiniti: ð ½ f 0 ðxÞ  gðxÞ þ f ðxÞ  g 0 ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ ossia:

ð

ð f 0 ðxÞ  gðxÞ dx þ f ðxÞ  g 0 ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ

da cui: ð

62

ð f ðxÞ  g 0 ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ
f 0 ðxÞ  gðxÞ dx

[2.2]

La [2.2] esprime la cosiddetta regola di integrazione per parti; la funzione f ðxÞ nel primo membro della [2.2] viene tradizionalmente chiamata fattore finito,

Unita` 2

mentre l’espressione g 0 ðxÞ dx viene chiamata fattore differenziale. Nell’applicare la [2.2], la funzione f ðxÞ che costituisce il fattore finito va derivata (perche´ per sviluppare il secondo membro occorre conoscere f 0 ðxÞÞ, mentre la funzione g 0 ðxÞ che compare nel fattore differenziale va integrata (perche´ per sviluppare il secondo membro occorre conoscere gðxÞÞ. Vediamo subito un esempio per comprendere come viene utilizzata in pratica la [2.2].

Scegliamo: f ðxÞ ¼ x

e

g 0 ðxÞ ¼ e2x

da cui:

x e` il fattore finito, e 2x dx il fattore differenziale

ð

0

f ðxÞ ¼ 1

e

gðxÞ ¼ e2x dx ¼

1 2x e 2

Osserva

Applichiamo ora la regola di integrazione per parti: ð ð 1 2x 1 2x 2x x  e dx ¼ x  e
1  e dx ¼ 2 2 f ðxÞ g0 ðxÞ

¼

f ðxÞ

1 2x 1 xe
2 2

f 0 ðxÞ

gðxÞ

ð e2x dx ¼

Utilizzando la [2.2]

Per gðxÞ possiamo scegliere qualsiasi primitiva; sceglieremo per semplicita` quella con costante nulla.

Complementi sull’integrale indefinito

Integrazione per parti ð Calcoliamo xe 2x dx.

ESEMPIO

gðxÞ

1 2x 1 1 2x 1 1 xe
 e þ c ¼ xe2x
e2x þ c 2 2 2 2 4

E` importante la seguente osservazione. Lo scopo dell’applicazione del metodo di integrazione per parti e` di ricondursi a un integrale piu` semplice ð di quello di partenza: per esempio, nell’esercizio precedente siamo partiti da xe2x dx e ci siamo ð ricondotti al calcolo di un integrale quasi immediato, e2x dx. Per raggiungere questo scopo e` particolarmente importante scegliere opportunamente il fattore finito e il fattore differenziale. Per esempio, se nel medesimo esercizio avessimo scelto come fattore differenziale x dx e come fattore finito e2x , avremmo ottenuto: ð ð ð 1 2 1 2 1 2 2x 2x 2x 2x x
2e  x dx ¼ x e
x2 e2x dx e  x dx ¼ e  2 2 2 f ðxÞ

g0 ðxÞ

f ðxÞ

f 0 ðxÞ

gðxÞ

gðxÞ

Sebbene la formula [2.2] sia stata applicata correttamente, il nuovo integrale cui ð siamo giunti, x2 e2x dx, non e` piu` semplice, ma piu` difficile di quello iniziale (il grado della potenza infatti e` salito)! Non e` possibile dare regole generali per la scelta del fattore finito e del fattore differenziale, tuttavia possono essere utili le indicazioni di tab. 2.2. Tabella 2.2 Per il calcolo degli integrali del tipo... ð ð ð x n ex dx x n sin x dx x n cos x dx ð

ð x n ln x dx

ð x n arcsin x dx

x n arctan x dx

si considera... x n come fattore finito

Attenzione! In tab. 2.2 si suppone che n indichi un intero positivo.

x n come fattore differenziale

Il metodo di integrazione per parti puo` essere applicato anche in presenza di una sola funzione, come mostriamo nel prossimo esempio. 63

Complementi sul calcolo integrale Tema M

Integrazione per parti con una sola funzione ð Calcoliamo ln x dx.

ESEMPIO

Possiamo pensare ln x ¼ ln x  1 e assumere: f ðxÞ ¼ ln x e Ne segue: f 0 ðxÞ ¼

1 x

e

g 0 ðxÞ ¼ 1 ð gðxÞ ¼ 1 dx ¼ x

Pertanto: ð ð ð 1  x dx ¼ ln x dx ¼ ln x  1 dx ¼ ln x  x
x f ðxÞ

ð

g0 ðxÞ

f ðxÞ

gðxÞ

f 0 ðxÞ

gðxÞ

¼ x ln x
1 dx ¼ x ln x
x þ c Talvolta il metodo di integrazione per parti va utilizzato ripetutamente. Anche in questo caso consideriamo un esempio. Integrazione per parti ripetuta ð Calcoliamo x 2 sin x dx.

ESEMPIO

ð Osserviamo che si tratta di un integrale del tipo xn sin x dx. Come suggerito in tab. 2.2, assumiamo come fattore finito x2 : f ðxÞ ¼ x2 da cui:

e

g 0 ðxÞ ¼ sin x

f 0 ðxÞ ¼ 2x

e

ð gðxÞ ¼ sin x dx ¼
cos x

Abbiamo allora: ð ð 2 2 x sin x dx ¼ x ð
cos xÞ
2xð
cos xÞ dx ¼ ð ¼
x2 cos x þ 2 x cos x dx

[2.3]

L’integrale ottenuto e` piu` semplice di quello di partenza perche´ la potenza si e` abbassata di grado, ma va ancora calcolato per parti; assumiamo: f ðxÞ ¼ x da cui:

e 0

g 0 ðxÞ ¼ cos x

f ðxÞ ¼ 1

e

ð

gðxÞ ¼ cos x dx ¼ sin x

Ne deduciamo il seguente sviluppo della [2.3], che conclude il calcolo del nostro integrale: ð 2
x cos x þ 2 x cos x dx ¼   ð 2 ¼
x cos x þ 2 x sin x
1  sin x dx ¼ ¼
x2 cos x þ 2x sin x
2ð
cos xÞ þ c ¼ ¼
x2 cos x þ 2x sin x þ 2 cos x þ c Tieni presente infine che la regola di integrazione per parti e` spesso utile per integrare il prodotto di due funzioni, ma non e` sempre utile. In molti casi l’integrazione va effettuata con i metodi presentati nei paragrafi precedenti. Ecco di seguito un esempio esplicativo. 64

Un caso in cui il metodo di integrazione per parti non e` utile ð 3 Calcoliamo x 2 e x dx.

Unita` 2

ESEMPIO

Prova tu

ESERCIZI a p. 82

Calcola i seguenti integrali, utilizzando il metodo di integrazione per parti.   ð ð 1 1. x sin x dx [sin x
x cos x þ c] 2. arctan x dx x arctan x
ln ðx2 þ 1Þ þ c 2

ð 3.

x2 ex dx

[ðx2
2x þ 2Þex þ c]

Complementi sull’integrale indefinito

In questo caso il metodo di integrazione per parti non e` di alcuna utilita`; l’integrale si risolve immediatamente riconoscendo che la funzione integranda e` riconducibile alla forma f 0 ðxÞ e f ðxÞ : ð ð 1 1 3 3 2 x3 x e dx ¼ 3 x2 ex dx ¼ ex þ c 3 3

4. Integrazione di funzioni razionali frazionarie Premesse In questo paragrafo presentiamo le tecniche di integrazione delle funzioni razionali frazionarie, ossia i metodi per calcolare integrali del tipo: ð AðxÞ dx BðxÞ essendo AðxÞ e BðxÞ due polinomi. La prima osservazione importante e` che e` sempre possibile ricondursi a un integrale in cui il grado del numeratore e` minore del grado del denominatore. Infatti, se questa condizione non fosse verificata, detti QðxÞ ed RðxÞ il quoziente e il resto della divisione di AðxÞ per BðxÞ, avremmo: AðxÞ ¼ BðxÞ  QðxÞ þ RðxÞ, quindi: ð

AðxÞ dx ¼ BðxÞ

ð

con grado di RðxÞ < grado di BðxÞ

BðxÞ  QðxÞ þ RðxÞ dx ¼ BðxÞ

ð QðxÞ

þ

polinomio

RðxÞ BðxÞ

 dx

il grado di RðxÞ e` ora minore di quello di BðxÞ

In conclusione: la funzione integranda puo` sempre essere riscritta come somma di un polinomio e di una funzione razionale frazionaria in cui il grado del numeratore e` minore di quello del denominatore. E S E M P I O Decomposizione della funzione integranda nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore di quello del denominatore ð x4 Calcoliamo dx. 2 x þ1

 Effettuiamo la divisione tra numeratore e denominatore La divisione tra x4 e x2 þ 1, svolta qui a fianco, fornisce: QðxÞ ¼ x2
1

e

RðxÞ ¼ 1

Ne segue che: x4 ¼ ðx2
1Þ ðx2 þ 1Þ þ 1 AðxÞ

QðxÞ

BðxÞ

RðxÞ

[2.4]

x4 x2 þ 1
x 4
x 2 x2
1 2
x x2 þ 1 1

Ô

65

Complementi sul calcolo integrale

Ô

 Riscriviamo l’integrale e calcoliamolo [2.4]

ð

4

x dx ¼ 2 x þ1

ð

ð ðx2
1Þðx2 þ 1Þ þ 1

dx ¼

x2 þ 1

RðxÞ

 1 x
1 þ 2 dx ¼ x þ1 2

QðxÞ

ð

ð

¼ ðx2
1Þ dx þ

Tema M

polinomio

¼

1 dx x2 þ 1

BðxÞ

¼

funzione razionale con numeratore di grado minore del denominatore

x3
x þ arctan x þ c 3

Nell’esempio precedente la decomposizione della funzione integranda ci ha condotti a un polinomio e a una funzione razionale frazionaria di integrazione immediata; non sempre pero` cio` accade, pertanto occorre stabilire delle tecniche generali per integrare le funzioni razionali in cui il grado del numeratore e` minore di quello del denominatore. Distinguiamo vari a casi, a seconda del grado del denominatore. Osserva Stiamo supponendo il numeratore di grado minore del denominatore, quindi se il denominatore e` di primo grado, il numeratore deve essere di grado 0, ossia una costante k.

Il denominatore e` di primo grado

ð

In questo caso l’integrale si presenta nella forma

k dx. ax þ b

Un integrale di questo tipo si puo` sempre ricondurre alla forma le primitive sono funzioni logaritmiche.

ð

f 0 ðxÞ dx, quindi f ðxÞ

ESEMPIO

ð

1 dx ¼ 2x þ 3

ð

1 2 1  dx ¼ 2 2x þ 3 2

ð

f 0 ðxÞ

2 1 dx ¼ ln j2x þ 3j þ c 2x þ 3 2 f ðxÞ

Osserva Stiamo supponendo il numeratore minore del denominatore, quindi se il denominatore e` di secondo grado, il numeratore deve essere di primo grado o di grado 0.

Il denominatore e` di secondo grado In questo caso l’integrale si presenta nella forma

ð

mx þ n dx. þ bx þ c

ax2

Le tecniche di integrazione sono diverse a seconda del discriminante del trinomio ax2 þ bx þ c. 1 caso: il discriminante e` maggiore di 0 In questo caso il trinomio ax2 þ bx þ c ha due radici reali distinte, x1 e x2 . La tecnica di integrazione consiste nel trovare due numeri reali A e B tali che: mx þ n A B ¼ þ ax2 þ bx þ c x
x1 x
x2

[2.5]

Trovati A e B, il secondo membro della [2.5] e` la somma di due funzioni razionali il cui denominatore e` di primo grado, che sappiamo integrare in base a quanto detto nel sottoparagrafo precedente. 66

Il denominatore e` di secondo grado e ha discriminante positivo ð x dx. Calcoliamo 2 x
3x þ 2

Unita` 2

ESEMPIO

x2
3x þ 2 ¼ ðx
1Þðx
2Þ  Riscriviamo opportunamente la funzione integranda Cerchiamo due numeri A e B in modo che: x A B ¼ þ x2
3x þ 2 x
1 x
2

[2.6]

La [2.6] implica, moltiplicando i due membri per ðx
1Þðx
2Þ: x ¼ Aðx
2Þ þ Bðx
1Þ

[2.7]

ossia: x ¼ ðA þ BÞx
2A
B

[2.8]

I due polinomi al primo e secondo membro della [2.8] sono uguali se e solo se hanno lo stesso coefficiente di x e lo stesso termine noto, da cui il sistema: n AþB¼1
2A
B ¼ 0 che risolto fornisce A ¼
1, B ¼ 2. Pertanto: x 1 2 ¼
þ x2
3x þ 2 x
1 x
2  Calcoliamo l’integrale  ð ð x 1 2 dx ¼
þ dx ¼ x2
3x þ 2 x
1 x
2 ð ð 1 1 ¼
dx þ 2 dx ¼
ln jx
1j þ 2 ln jx
2j þ c x
1 x
2

Suggerimento

Complementi sull’integrale indefinito

 Scomponiamo il denominatore, dopo aver verificato che il discriminante e` positivo `E facile verificare che il discriminante del denominatore e` positivo e riconoscere che:

Per il calcolo dei coefficienti A e B, una volta giunti alla [2.7], anziche´ impostare e risolvere il sistema si poteva procedere piu` rapidamente ragionando come segue. Dovendo la [2.7] risultare un’identita`, deve essere soddisfatta per ogni valore di x, in particolare deve essere soddisfatta per x ¼ 2 e per x ¼ 1 (valori che annullano i coefficienti di A e di BÞ. Sostituendo nella [2.8] questi valori di x si giunge direttamente ai valori di A e B:  per x ¼ 2 la [2.7] diviene 2 ¼ B, da cui B ¼ 2;  per x ¼ 1 la [2.7] diviene 1 ¼ Að
1Þ, da cui A ¼
1.

2 caso: il discriminante e` uguale a 0 In questo caso il trinomio ax2 þ bx þ c e` un quadrato, diciamo ðpx þ qÞ2 . La tecnica di integrazione prevede due sottocasi: a. se il numeratore della ð funzione da integrare e` un numero, l’integrale si puo` rin dx ed e` immediato; scrivere nella forma ðpx þ qÞ2 b. se il numeratore della funzione integranda e` un binomio di primo grado, si determinano due numeri A e B tali che: mx þ n A B þ ¼ [2.9] ax2 þ bx þ c px þ q ðpx þ qÞ2 Trovati A e B, l’integrale del secondo membro della [2.9] e` la somma di due integrali immediati. Il denominatore e` un quadrato e il numeratore e` un numero ð 1 dx. Calcoliamo 4x 2
12x þ 9

ESEMPIO

 Scomponiamo il denominatore E` immediato riconoscere che: 4x2
12x þ 9 ¼ ð2x
3Þ2

Ô

67

Complementi sul calcolo integrale Tema M

Ô

 Calcoliamo l’integrale ð ð 1 1 dx ¼ dx ¼ 4x2
12x þ 9 ð2x
3Þ2 ¼

1 2

ð

2ð2x
3Þ
2 dx ¼

1 ð2x
3Þ
1 1 þc ¼
þc
1 2 2ð2x
3Þ

Il denominatore e` un quadrato e il numeratore e` di primo grado ð xþ2 dx. Calcoliamo x 2
6x þ 9

ESEMPIO

 Scomponiamo il denominatore E` immediato riconoscere che: x2
6x þ 9 ¼ ðx
3Þ2  Riscriviamo opportunamente la funzione integranda Cerchiamo A e B in modo che: xþ2 A B ¼ þ x2
6x þ 9 x
3 ðx
3Þ2 Con le stesse tecniche viste in uno degli esempi precedenti si ricava A ¼ 1, B ¼ 5. Dunque: xþ2 1 5 ¼ þ x2
6x þ 9 x
3 ðx
3Þ2  Calcoliamo l’integrale # ð" ð ð ð xþ2 1 5 1 5 dx ¼ dx ¼ dx ¼ þ dx þ 2 x2
6x þ 9 x
3 x
3 ðx
3Þ ðx
3Þ2 ð ¼

ð 1 ðx
2Þ
1 þc ¼ dx þ 5 ðx
3Þ
2 dx ¼ ln jx
3j þ 5
1 x
3

¼ ln jx
3j


5 þc x
2

3 caso: il discriminante e` minore di 0 In questo caso il trinomio ax2 þ bx þ c e` irriducibile. La tecnica di integrazione prevede due sottocasi: a. se il numeratore della funzione da integrare e` un numero, la strategia e` quella di ricondurre l’integrale, con la tecnica del completamento del quadrato, alla forma seguente: ð 1 1 xþm dx ¼ arctan þc [2.10] 2 2 k k ðx þ mÞ þ k b. se il numeratore della funzione integranda e` di primo grado, la strategia e` invece quella di scrivere la funzione integranda come somma di due addendi, uno avente al numeratore la derivata del denominatore (che, integrato, porta a una funzione logaritmica) e uno avente al numeratore un numero (che, integrato con la strategia indicata nel sotto-caso precedente, porta a una funzione arcotangente). Il modo di procedere apparira` piu` chiaro dai prossimi esempi. 68

Il denominatore e` irriducibile e il numeratore e` un numero ð 1 dx. Calcoliamo x 2 þ 3x þ 4

Unita` 2

ESEMPIO

Complementi sull’integrale indefinito

Per ricondurci alla forma [2.10] dobbiamo scrivere il denominatore come somma di due quadrati. A tale scopo si puo` utilizzare la tecnica del completamento del quadrato; consideriamo i primi due termini che compaiono al denominatore (cioe` x2 þ 3xÞ e ricordiamo che se aggiungiamo a questi due termini il  2 3 ` ` , otteniamo un quadrato; quadrato della meta del coefficiente di x, cioe 2 infatti:  2   3 9 3 2 2 ¼ x þ 3x þ ¼ x þ x þ 3x þ 2 4 2 2

9 Pertanto sommiamo e sottraiamo al denominatore della funzione integran4 da: ð ð 1 1 dx ¼ dx ¼ Completando il quadrato 9 9 x2 þ 3x þ 4
þ4 x2 þ 3x þ 4 4 quadrato

¼

ð

1 dx ¼   3 2 7 xþ þ 2 4

ð

1 pffiffiffi !2 dx ¼ Mettendo in evidenza  2 la somma di quadrati 3 7 þ xþ al denominatore 2 2

3 xþ 1 2 2x þ 3 ¼ pffiffiffi arctan pffiffiffi2 þ c ¼ pffiffiffi arctan pffiffiffi þ c 7 7 7 7 ð 2 2 1 Ricordando che

ðx þ mÞ2 þ k2

dx ¼

1 xþm arctan þc k k

Il denominatore e` irriducibile e il numeratore e` di primo grado ð xþ5 dx. Calcoliamo x 2 þ 2x þ 3

ESEMPIO

L’obiettivo, come abbiamo spiegato all’inizio, e` di riscrivere la funzione integranda come somma di due addendi, di cui uno avente al numeratore la derivata del denominatore, e l’altro avente come numeratore una costante. ð xþ5 dx ¼ Integrale da calcolare: osserva che la derivata del denominatore 2 x þ 2x þ 3 e` 2x þ 2 1 ¼ 2

ð

2x þ 10 dx ¼ Moltiplicando e dividendo per 2, per fare comparire al numeratore x2 þ 2x þ 3 2x (il primo termine della derivata del denominatore)

derivata del denominatore

¼

1 2

ð

2x þ 2 þ 8 dx ¼ Scriviamo 10 ¼ 2 þ 8 in modo da far comparire 2x þ 2 x2 þ 2x þ 3 denominatore

1 ¼ 2

ð

2x þ 2 dx þ x2 þ 2x þ 3

ð

 8 dx ¼ Utilizzando la linearita` x2 þ 2x þ 3 dell’integrale

Ô

69

¼

ð

1 2

2x þ 2 dx þ 4 x2 þ 2x þ 3

questo integrale porta a una funzione logaritmo

Osserva Nell’espressione 1 ln ðx2 þ 2x þ 3Þ e` inutile 2 porre il valore assoluto nell’argomento del logaritmo, perche´ il trinomio x2 þ 2x þ 3 risulta positivo per ogni x 2 R.

Tema M

Complementi sul calcolo integrale

Ô

ð

1 dx ¼ x2 þ 2x þ 3

questo integrale porta a una funzione arcotangente

ð

¼

1 ln ðx2 þ 2x þ 3Þ þ 4 2

1

¼

1 ln ðx2 þ 2x þ 3Þ þ 4 2

¼

1 1 xþ1 ln ðx2 þ 2x þ 3Þ þ 4  pffiffiffi arctan pffiffiffi þ c 2 2 2

ðx þ 1Þ2 þ 2 ð

dx ¼

Completando il quadrato al denominatore del secondo integrale

1

pffiffiffi dx ¼ ðx þ 1Þ þ ð 2Þ2

Mettendo in evidenza la somma di quadrati al denominatore

2

ð

Ricordando che

1 2

ðx þ mÞ þ

k2

dx ¼

1 xþm arctan þc k k

Attenzione! Nel passaggio iniziale, per far comparire al numeratore 2x þ 2, avremmo potuto essere tentati di scrivere: ð

xþ5 dx ¼ x2 þ 2x þ 3

ð

2x þ 2
ðx
3Þ dx ¼ x2 þ 2x þ 3

ð

2x þ 2 dx
x2 þ 2x þ 3

ð

x
3 dx x2 þ 2x þ 3

Questi passaggi, sebbene corretti, sono pero` inconcludenti perche´ il secondo integrale ha ancora al numeratore un binomio di primo grado, anziche´ un numero, come richiesto dalla tecnica risolutiva.

Il denominatore e` di grado superiore al secondo ð

AðxÞ dx nel caso in cui BðxÞ abbia grado superiore al secondo (e BðxÞ AðxÞ abbia grado minore di BðxÞÞ, si procede come segue: Per calcolare

1. si scompone anzitutto BðxÞ nel prodotto di fattori di primo grado o di fattori irriducibili di secondo grado (un teorema di algebra garantisce che, almeno teoricamente, cio` e` sempre possibile); 2. si riscrive la funzione integranda come somma di frazioni (dette frazioni semplici) aventi come denominatori i fattori di BðxÞ; 3. si applicano alla funzione cosı` decomposta le tecniche di integrazione viste in precedenza. La decomposizione della funzione integranda in frazioni semplici si effettua secondo le corrispondenze riassunte nella seguente tabella.

70

Fattore nella scomposizione di BðxÞ

AðxÞ Addendo corrispondente nella scomposizione di BðxÞ in frazioni semplici

ax þ b

A ax þ b

ðax þ bÞr

A1 A2 Ar þ ::: þ þ ax þ b ðax þ bÞr ðax þ bÞ2

ax 2 þ bx þ c

Ax þ B ax 2 þ bx þ c

ðax 2 þ bx þ cÞr

A1 x þ B1 A2 x þ B2 A r x þ Br þ þ ::: þ 2 2 þ bx þ cÞr 2 ax 2 þ bx þ c ðax ðax þ bx þ cÞ

...cercheremo una scomposizione in frazioni semplici del tipo

1 xðx
1Þðx
2Þ

A B C þ þ x x
1 x
2

x2 þ 1 ðx
1Þ

A B C þ þ 2 x
1 ðx
1Þ ðx
1Þ3

3

2x
1 ðx þ 1Þðx 2 þ 2Þ

A Bx þ C þ 2 xþ1 x þ2 A B C Dx þ E þ 2 þ þ xþ2 x
1 x þ1 ðx
1Þ2

1 ðx þ 2Þðx
1Þ2 ðx 2 þ 1Þ

Integrazione di una funzione con denominatore di terzo grado ð xþ1 dx. Calcoliamo 3 x þ 4x 2 þ 4x

ESEMPIO

Complementi sull’integrale indefinito

Per integrare...

Unita` 2

Per esempio:

 Scomponiamo il denominatore x3 þ 4x2 þ 4x ¼ x ðx2 þ 4x þ 4Þ ¼ x ðx þ 2Þ2  Riscriviamo opportunamente la funzione integranda Cerchiamo A, B e C in modo che risulti: xþ1 x ðx þ 2Þ

2

¼

A B C þ þ x xþ2 ðx þ 2Þ2

[2.11]

La [2.11] implica: x þ 1 ¼ Aðx þ 2Þ2 þ Bx ðx þ 2Þ þ Cx

[2.12]

La [2.12] deve essere vera in particolare per x ¼
2 e per x ¼ 0. Per x ¼
2 si ottiene
1 ¼
2C, Per x ¼ 0

si ottiene 1 ¼ 4A,

1 2

da cui C ¼

da cui A ¼

1 4

1 1 e C ¼ , sostituendo nella [2.12] il valore Infine, tenendo conto che A ¼ 4 2 x ¼
1 otteniamo: 0¼

1 1 1  1 þ Bð
1Þ1 þ ð
1Þ, da cui B ¼
4 2 4

Pertanto: xþ1 x ðx þ 2Þ

2

¼

1 1 1
þ 4x 4ðx þ 2Þ 2ðx þ 2Þ2

 Calcoliamo l’integrale ð" # ð xþ1 1 1 1 dx ¼
þ dx ¼ x3 þ 4x2 þ 4x 4x 4ðx þ 2Þ 2ðx þ 2Þ2 1 ¼ 4 ¼

ð

1 1 dx
x 4

ð

1 1 dx þ xþ2 2

ð

1 ðx þ 2Þ2

dx ¼

1 1 1 ln jxj
ln jx þ 2j
þc 4 4 2ðx þ 2Þ 71

Complementi sul calcolo integrale

SINTESI

Metodo di integrazione delle funzioni razionali Il procedimento per calcolare un integrale del tipo: ð AðxÞ dx, con AðxÞ e BðxÞ due polinomi BðxÞ si puo` riassumere come segue. 1. Si osservano anzitutto i gradi di AðxÞ e di BðxÞ: se il grado di AðxÞ e` maggiore o uguale a quello di BðxÞ, si effettua la divisione di AðxÞ per BðxÞ e si riscrive l’integrale nella forma:  ð RðxÞ QðxÞ þ dx BðxÞ

Tema M

essendo QðxÞ e RðxÞ il quoziente e il resto della divisione. 2. In ogni caso si e` ricondotti a integrare una funzione razionale frazionaria avente il numeratore di grado minore del denominatore. La tecnica di integrazione e` diversa, a seconda del grado del denominatore:  se il grado del denominatore e` 1, l’integrale e` immediato;  se il grado del denominatore e` 2, occorre stabilire se il discriminante del denominatore e` maggiore, minore o uguale a zero, quindi procedere come indicato negli esempi precedenti;  se il grado del denominatore e` maggiore di 2, occorre scomporre il denominatore in fattori di primo grado o di secondo grado irriducibili, riscrivere la funzione da integrare come somma di frazioni semplici, quindi integrare queste ultime (che hanno denominatori di primo o secondo grado) mediante le tecniche viste ai punti precedenti.

Un approfondimento sull’integrazione di funzioni goniometriche e di funzioni irrazionali e` disponibile on-line.

Prova tu

ESERCIZI a p. 86

Calcola i seguenti integrali. ð 1 dx 1. x2 þ 4x
5 ð x
2 dx 2. x2
6x þ 9 ð x dx 3. x2 þ 2x þ 3 ð x5 dx 4. 4 x
1



 1 1 ln jx
1j
ln jx þ 5j þ c 6 6   1
þ ln jx
3j þ c x
3   1 1 xþ1 ln ðx2 þ 2x þ 3Þ
pffiffiffi arctan pffiffiffi þ c 2 2 2   1 1 1 ln jx2
1j
ln ðx2 þ 1Þ þ x2 þ c 4 4 2

COLLEGHIAMO I CONCETTI

I vari metodi di integrazione Abbiamo visto nei paragrafi precedenti vari metodi per integrare una funzione. Il metodo piu` opportuno dipende dell’integrale da calcolare; l’abilita` nella scelta dei procedimenti e nella combinazione di questi ultimi puo` essere acquisita solo con l’esercizio. Possiamo comunque dare delle utili «linee guida» per calcolare un integrale.

31. Semplifica, se possibile, la funzione integranda o cerca di riscriverla

in un’opportuna forma equivalente Molti integrali si riducono alla somma di integrali immediati con opportune manipolazioni algebriche o utilizzando qualche formula goniometrica. Per esempio: ð ð ð xð1 þ xÞ2 dx ¼ xð1 þ 2x þ x2 Þ dx ¼ ðx þ 2x2 þ x3 Þ dx

72

ð

x3 þ x2 dx ¼ x4

ð

1 1 þ 2 x x



ð dx ¼

1 dx þ x

ð

1 dx x2

ð 2 sin x cos x dx ¼ 2 cos x dx sin x

Complementi sull’integrale indefinito

sin 2x dx ¼ sin x

ð

Unita` 2

ð

32. Osserva se la funzione integranda puo` essere ricondotta all’integrale

immediato di una funzione composta, cioe` a una delle forme della tab. 2.1 (seconda colonna) Tieni presente che se riconosci nella funzione integranda la presenza sia di una funzione f ðxÞ sia della sua derivata f 0 ðxÞ, c’e` buona probabilita` che l’integrale sia risolvibile secondo questa via. Ricorda che per ricondurre l’integrale alla forma desiderata puo` essere utile moltiplicare e dividere per un numero opportuno, oppure sommare e sottrarre un termine opportuno. ð ð x2 1 3x2 dx ¼ dx 3 3 x þ1 3 x þ1 ð

2x dx ¼ 2 x
2x þ 1

ð

2x
2 þ 2 dx ¼ x2
2x þ 1

ð

2x
2 dx þ x2
2x

ð x2

2 dx
2x þ 1

33. Cerca di classificare la funzione integranda e di applicare le relative

tecniche di integrazione a. Se si tratta di una funzione razionale frazionaria, applica i metodi di integrazione visti nel Paragrafo 3. b. Se si tratta di una funzione goniometrica, cerca di applicare qualche formula x goniometrica oppure utilizza la sostituzione t ¼ tan . 2 c. Se si tratta di una funzione che e` il prodotto di una potenza di x (o di un polinomio) per una funzione trascendente (esponenziale, logaritmica o goniometrica), cerca di applicare il metodo di integrazione per parti. Ricorda che il metodo di integrazione per parti e` efficace anche per integrare le funzioni ln x, arcsin x, arctan x (quando esse compaiono da sole). d. Se si tratta di una funzione irrazionale, valuta se puo` essere utile una razionalizzazione; inoltre osserva quale tipo di radicale compare e prova a utilizzare, se possibile, le sostituzioni suggerite alla fine del Paragrafo 2.

34. Se i passaggi 1, 2 e 3 non hanno portato alla risoluzione, prova a cercare un’opportuna sostituzione che possa semplificare l’integrale ` tecniche di integrazione o ad applicare la combinazione di piu (per parti, per sostituzione ecc.).

Proponiamo ora alcuni esempi in cui applichiamo queste linee guida. Non risolviamo completamente tutti gli integrali, ma ci soffermiamo a ragionare su quale puo` essere una possibile «strategia di attacco». Ricerca di una strategia per risolvere un integrale

ESEMPI

ð

a.

1 x ln3 x

dx

L’integrale non e` immediato e non ci sono apparenti semplificazioni o manipolazioni possibili, percio` passiamo a vedere se e` riconducibile a uno di quelli ð 1 ðln xÞ
3 dx, ossia della tab. 2.1; riconosciamo allora che e` della forma ð x f 0 ðxÞ½f ðxÞ dx, con f ðxÞ ¼ ln x e  ¼
3, quindi a questo punto l’integrazione e` immediata.

Ô

73

Complementi sul calcolo integrale Tema M

Ô

ð pffiffiffi b. ð x
1Þ2 dx Sviluppando ilð quadrato (suggerimento 1 delle precedenti linee guida), l’intepffiffiffi grale diventa: ðx þ 1
2 xÞ dx, quindi e` la somma di integrali immediati. ð c.

x2
1 dx x2
4

La funzione integranda e` una funzione razionale frazionaria, quindi puo` essere integrata secondo la strategia esposta nel Paragrafo 3. ð d.

1 dx 1
cos x

Non si tratta di un integrale immediato e all’apparenza non e` facilmente riconducibile a essi; essendo la funzione integranda una funzione goniometrica razionale di cos x, la via piu` «meccanica» per risolverlo e` di applicare la sostix tuzione t ¼ tan . In alternativa, con le manipolazioni algebriche che mo2 striamo qui di seguito, l’integrale puo` essere ricondotto a integrali immediati (o quasi immediati): ð ð ð 1 1 þ cos x 1 þ cos x dx ¼ dx ¼ dx ¼ 1
cos x ð1
cos xÞð1 þ cos xÞ sin2 x ð ð 1 cos x dx þ dx ¼ sin2 x sin2 x ð e.

e 3x dx e 3x
1

L’integrale non e` immediato e non ci sono apparenti semplificazioni o manipolazioni possibili, percio` passiamo a vedere se e` riconducibile a uno di quelli della tab. 2.1; riconosciamo cosı` che puo` essere ricondotto alla forma ð 0 f ðxÞ dx, quindi e` facilmente risolvibile; abbiamo infatti: f ðxÞ ð ð e3x 1 3e3x 1 dx ¼ dx ¼ ln je3x
1j þ c 3x 3x e
1 3 e
1 3 ð f.

e

pffiffiffiffiffiffiffi x
1

dx

Non si tratta di un integrale immediato ne´ riconducibile a uno di quelli della tab. 2.1; l’idea piu` ragionevole e` tentare anzitutto una pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi sostituzione, in modo da ricondurci a un integrale razionale. Ponendo x
1 ¼ t si verifica che: ð pffiffiffiffiffiffiffi ð e x
1 dx ¼ 2 t et dt A questo punto abbiamo un integrale che e` il prodotto di una potenza e di una funzione esponenziale, quindi si puo` concludere integrando per parti. ð g. x cos x 2 dx ðPossiamo osservare che si tratta di un integrale che e` riconducibile alla forma f 0 ðxÞ cos f ðxÞ dx, quindi e` facilmente risolvibile; infatti: ð ð 1 1 2 2x cos x2 dx ¼ sin x2 þ c x cos x dx ¼ 2 2 74

Unita` 2

ð h. x cos x dx

Complementi sull’integrale indefinito

Questo integrale non e` immediato e non puo` essere ricondotto alla forma ð 0 f ðxÞcos f ðxÞ dx come nel caso precedente; passiamo allora a classificare la funzione da integrare, secondo il suggerimento 3 delle precedenti linee guida: poiche´ la funzione integranda e` il prodotto di una potenza e di una funzione goniometrica, puo` essere integrata per parti. ð i.

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 9
x2

Si tratta di un integrale immediato, che da` come risultato arcsin ð j.

x þ c. 3

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 9
x2

ð ` L’integrale e riconducibile alla forma f 0 ðxÞ½ f ðxÞ dx, quindi facilmente risolvibile; infatti: ð ð 1 x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼

2xð9
x2 Þ
2 dx 2 9
x2

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k. 9
x 2 dx L’integrale non e` immediato e non e` riconducibile alle forme della tab. 2.1; trattandosi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi di una funzione irrazionale in cui compare un radicale del tipo a2
x2 , possiamo risolverlo mediante la sostituzione x ¼ 3 sin t.

Prova tu Calcola i seguenti integrali di vario tipo. ð 1.

x2 sin x3 dx ð

2.

ð1
ð

3.

pffiffiffi pffiffiffi xÞð2 þ xÞ dx

ex dx 1 þ 2ex

  1
cos x3 þ c 3   p ffiffiffi 1 2
x2
x x þ 2x þ c 2 3   1 ln ð2ex þ 1Þ þ c 2

ð 4. ð 5.

x sin 2x dx ð

6.

x3 dx 2 x
4

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx xþ5

  1 2 ln jx2
4j þ x2 þ c 2   1 1
x cos 2x þ sin 2x þ c 2 4   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ðx
10Þ x þ 5 þ c 3

75

Tema M

Unita`

2

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e teoremi importanti Tabella delle primitive: integrali immediati e quasi immediati Integrali immediati

Integrali immediati di funzioni composte

ð

ð

xþ1 þ c,  2 R con  6¼
1 þ1 ð In particolare: dx ¼ x þ c ð

x dx ¼

1 dx ¼ ln jxj þ c x

ð

ð ð

cos x dx ¼ sin x þ c ð

ð sin x dx ¼
cos x þ c

ð

ð

1 dx ¼ tan x þ c cos2 x 1 dx ¼
cot x þ c sin2 x

ð

ð

ð ð

e x dx ¼ e x þ c ð ax dx ¼ ð

ð

ð

ð

ax þc ln a

1 dx ¼ arctan x þ c x2 þ 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin x þ c 1
x2

1 1 x dx ¼ arctan þc x2 þ k2 k k 1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin þc 2 2 k k
x

Linearita` dell’integrale indefinito ð ð ð ½f ðxÞ þ gðxÞ dx ¼ f ðxÞ dx þ gðxÞ dx

ð

ð

f 0 ðxÞ ½f ðxÞ dx ¼

f 0 ðxÞ dx ¼ ln jf ðxÞj þ c f ðxÞ f 0 ðxÞ cos f ðxÞ dx ¼ sin ðf ðxÞÞ þ c f 0 ðxÞ sin f ðxÞ dx ¼
cos ðf ðxÞÞ þ c f 0 ðxÞ dx ¼ tan f ðxÞ þ c cos2 f ðxÞ f 0 ðxÞ dx ¼
cot f ðxÞ þ c sin2 f ðxÞ f 0 ðxÞ e f ðxÞ dx ¼ e f ðxÞ þ c

f 0 ðxÞ af ðxÞ dx ¼ f 0 ðxÞ ½f ðxÞ2 þ 1

ð

ð

f 0 ðxÞ ½f ðxÞ þ

ð

af ðxÞ þc ln a

dx ¼ arctan f ðxÞ þ c

f 0 ðxÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin f ðxÞ þ c 1
½f ðxÞ2

2

ð

½f ðxÞþ1 þ c,  2 R con  6¼
1 þ1

k2

dx ¼

1 f ðxÞ arctan þc k k

f 0 ðxÞ f ðxÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin þc k 2 k2
½f ðxÞ

ð k  f ðxÞ dx ¼ k  f ðxÞ dx

per ogni k 2 R

Integrazione per sostituzione ð ð Ponendo x ¼ gðtÞ, si ha: f ðxÞ dx ¼ f ðgðtÞÞ  g 0 ðtÞ dt, con t ¼ g
1 ðxÞ supponendo che f sia continua e g derivabile con continuita` e invertibile. 76

Unita` 2

Integrazione per parti ð ð f ðxÞ  g 0 ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ
f 0 ðxÞ  gðxÞ dx

1. si osservano anzitutto i gradi di AðxÞ e di BðxÞ: se il grado di AðxÞ e` maggiore o uguale a quello di BðxÞ, si effettua la divisione di AðxÞ per BðxÞ e si riscrive la funzione integranda come somma di un polinomio e di una funzione razionale frazionaria in cui il grado del numeratore e` minore di quello del denominatore; 2. si osserva quindi il grado del denominatore della funzione razionale frazionaria cui ci si e` ricondotti dopo aver svolto il passo 1: – se e` 1, l’integrale e` immediato; – se e` 2, occorre stabilire se il discriminante del denominatore e` maggiore, minore o uguale a zero, quindi procedere secondo la relativa tecnica risolutiva; – se il grado del denominatore e` maggiore di 1, occorre scomporre il denominatore in fattori di primo grado o di secondo grado irriducibili, riscrivere la funzione da integrare come somma di frazioni semplici, quindi integrare queste ultime secondo le tecniche precedenti.

Complementi sull’integrale indefinito

Metodo di integrazione delle funzioni razionali frazionarie ð AðxÞ dx, con AðxÞ e BðxÞ due polinomi: Per calcolare BðxÞ

Sostituzione per integrare funzioni goniometriche che dipendono in modo razionale da sin x e cos x Si pone: t ¼ tan

x 2 dt. , da cui x ¼ 2 arctan t e dx ¼ 2 1 þ t2

Si fruttano le formule parametriche sin x ¼

2t 1
t2 e cos x ¼ . 2 1 þ t2 1þt

Sostituzioni per integrare particolari funzioni irrazionali pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  Per le funzioni che contengono un solo radicale del tipo n ax þ b, si pone n ax þ b ¼ t. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi    Per le funzioni che contengono un solo radicale del tipo a2
x2 , si pone x ¼ a sin t, con
 t  . 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  Per le funzioni che contengono un solo radicale del tipo x2 þ a2 o x2
a2 , si pone x2  a2 ¼ t
x.

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Richiami sugli integrali indefiniti

TEORIA a p. 58

Esercizi preliminari 1 Þ

Interpretazione di grafici. Nelle figure qui sotto sono riportati: il grafico di una funzione f , il grafico della sua derivata f 0 e il grafico della sua primitiva F. Associa a ogni grafico la funzione corretta. y

y

O O

x

y

x

O

x

77

Complementi sul calcolo integrale Tema M

2 Interpretazione di grafici. Nelle figure qui sotto sono riportati: il grafico di una funzione f , il grafico della Þ sua derivata f 0 e il grafico della sua primitiva F. Associa a ogni grafico la funzione corretta.

y

O

y

x

y

x

O

O

x

3 Interpretazione di grafici. Nelle figure qui sotto sono riportati: il grafico di una funzione f , il grafico della Þ sua derivata f 0 e il grafico della sua primitiva F. Associa a ogni grafico la funzione corretta.

y

O

y

x

y

O

O

x

x

4 Þ

Determina a, b e c in modo che FðxÞ ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ 1 sia una primitiva di f ðxÞ ¼ 3x2 þ x þ 4.   1 a ¼ 1, b ¼ , c ¼ 4 2

5 Þ

Determina a e b in modo che FðxÞ ¼ a sin 2x þ b cos 3x sia una primitiva di f ðxÞ ¼ 6 cos 2x þ 15 sin 3x. [a ¼ 3, b ¼
5]   1
5x 4x
5x 4x Determina a e b in modo che FðxÞ ¼ ae þ be sia una primitiva di f ðxÞ ¼ 10e
2e . a ¼
2, b ¼
2

6 Þ 7 Þ

Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ 2x2
3x þ 1 che passa per il punto Pð1,
1Þ.   2 3 7 FðxÞ ¼ x3
x2 þ x
3 2 6 x che passa per l’origine e verifica che l’espressione 8 Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ 2 Þ x þ4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 4 . analitica di FðxÞ puo` essere scritta nella forma FðxÞ ¼ ln 2 9 Þ

Stabilisci se le due funzioni f ðxÞ ¼ sin2 x þ 2 cos2 x e gðxÞ ¼ cos 2x þ sin2 x possono essere entrambe primitive di una stessa funzione f . 10 Þ

Stabilisci se le due funzioni f ðxÞ ¼ 1 þ sin2 x e gðxÞ ¼ 1 þ cos2 x possono essere entrambe primitive di una stessa funzione f .

Calcolo di un integrale indefinito Calcola i seguenti integrali indefiniti.   ð 1 4 2 3 2 11 x
x þc x ðx
2Þ dx Þ 4 3   ð pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 3 2 12
2x x
x þ c x 3x
9x
1 dx Þ 2 78

13 Þ 14 Þ

ð ðsin 3x
e Þ dx 2x

ð

xex
e2x
1 dx ex

  1 1 2x
cos 3x
e þ c 3 2   1 2 x
ex
1 þ c 2

16 Þ

18 Þ 19 Þ 20 Þ

21 Þ

22 Þ 23 Þ 24 Þ 25 Þ 26 Þ 27 Þ 28 Þ 29 Þ 30 Þ 31 Þ 32 Þ 33 Þ 34 Þ 35 Þ 36 Þ

½
e
x þ c]

e2x
1  e1
3x dx ð 3


2 x



2




dx

4 þ 9x
12 ln jxj þ c x



   3 1
cos 2x dx 3 ln jxj
sin 2x þ c x 2 pffiffiffi 2   ð ð2
xÞ 8 4 p ffiffi ffi dx ln jxj þ
þ c x2 x x     ð 1 1 x þc 1
2 dx x
arctan x þ9 3 3  ð 1 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2x2 þ 2 9
x2   1 x arctan x
arcsin þc 2 3 ð
2  x
2cos x
e
x
3 dx  3  x
2 sin x þ e
x
3x þ c 3   ð 1 5 4 3 x
x þ 4x þ c ðx2
2Þ2 dx 5 3    ð 2 3 3
2 dx 2 ln jxj þ þ c x x x   ð du 2 pffiffiffi
pffiffiffi þ c u u u   ð 3 4x
1 1 2 dx 2x þ þ c x2 x pffiffiffi   ð 1
x 2 1 p ffiffi ffi dx
þ c x2 x x   ð 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx arcsin 4x þ c 4 1
16x2   ð
2x e 1
3x
1 dx
þ c e exþ1 3   ð x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx
1
3x þ c 3 1
3x2  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ðex þ 1Þ3 þ c ex ex þ 1 dx 3   ð 2x xe
1 1 2x dx e
ln jxj þ c x 2 ð 2 2 sin x þ 3 cos x dx ½tan x þ 2x þ c] cos2 x   ð ðx þ 1Þ2 1 dx 2 ln jxj þ x
þ c x2 x ð ð2 tan2 x þ 3 sin xÞ dx ½2 tan x
3 cos x
2x þ c]

37 Þ 38 Þ

ð

ð

pffiffiffi pffiffiffi ð2
xÞð1 þ xÞ dx

ð 2

cos

x dx 2



 1 2 pffiffiffi
x2 þ x x þ 2x þ c 2 3   1 1 x þ sin x þ c 2 2

39 Þ 40 Þ 41 Þ 42 Þ 43 Þ 44 Þ 45 Þ 46 Þ 47 Þ 48 Þ 49 Þ 50 Þ 51 Þ 52 Þ

ð ð ð

x2
2 dx x2 þ 1

½x
3 arctan x þ c] h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 x þ 2 þ c]

3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx xþ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin x cos x dx

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x2 þ 2 dx ð

tan3 x dx cos2 x

ð 21
2x dx ð ð ð

l x ln4 x

dx

1 dx 5x þ 2 sin x cos4 x dx

ð ð4x þ 5Þ4 dx ð ð

x2 þ 8 dx x2 þ 9 2

3xex ð ð ð


2

dx

sin x
3 sin 2x dx sin x e3x dx e3x
1 sin x e1þ2cos x dx

ð

2x2 dx þ9

x3

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x
2 dx 53 Þ 54 Þ 55 Þ 56 Þ 57 Þ 58 Þ 59 Þ 60 Þ

ð sin 2x cos2 x dx ð ðsin 11Þðcos 11Þ d ð ð ð ð

ln x4 dx x

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 cos x cos x þ c 3  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 ðx2 þ 2Þ3 þ c 3   1 4 tan x þ c 4   2
2x þc
ln 2   1
þ c 3 ln3 x   1 ln j5x þ 2j þ c 5   1
cos5 x þ c 5   1 ð4x þ 5Þ5 þ c 20   1 x x
arctan þc 3 3   3 x2
2 þc e 2


½x
6 sin x þ c] 

 1 3x ln je
1j þ c 3   1
e1þ2 cos x þ c 2   2 ln jx3 þ 9j þ c 3  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 3 4 ðx
2Þ þ c 4   1
cos4 x þ c 2   1 cos 22 þ c
44 h i 2 ln2 jxj þ c hpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i x2 þ 7 þ c

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x2 þ 7



x dx 1 þ x4



x sin ð3x þ 1Þdx 2

ð



x2 ð3ex
4e
x Þ dx 3

Complementi sull’integrale indefinito

17 Þ

ð

Unita` 2

15 Þ

3

1 arctan x2 þ c 2



 1 2
cos ð3x þ 1Þ 6   4 3 3 ex þ e
x þ c 3 79

Complementi sul calcolo integrale Tema M

2. Integrazione per sostituzione

TEORIA a p. 61

Esercizi preliminari 61 Associa a ogni integrale della prima colonna, eseÞ guendo la sostituzione indicata a fianco, quello nella seconda colonna che ne deriva. ð ð a. f ðxÞ dx x ¼ 2t A. f ðt
2Þ dt

x ¼ t2, t  0

ð B.
f ð2
tÞ dt

x¼t þ2

ð C. 2 t f ðt 2 Þ dt

ð b. f ðxÞ dx ð f ðxÞ dx

c. ð

ð

d. f ðxÞ dx

x¼t
2

ð f ðxÞ dx

x¼2
t

Vero o falso? ð a. sin x3 dx ¼
cos x3 þ c

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 b. f 0 ðxÞ f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ f ðxÞ þ c 3 ð ð f ðln tÞ c. f ðxÞ dx ¼ dt, con x ¼ ln t t ð ð pffiffi d. f ðxÞ dx ¼ f ð 3 t Þ dt, con x3 ¼ t

D. 2 f ð2tÞ dt

ð e.

62 Þ

ð e.

E. f ðt þ 2Þ dt

f 0 ðxÞe
f ðxÞ dx ¼
e f ðxÞ þ c

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 uguaglianze vere e 3 false]

Calcolo di integrali per sostituzione 63 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

ð Calcola l’integrale x ð2x þ 1Þ4 dx.  Poni 2x þ 1 ¼ t e ricava x in funzione di t. 1  Verifica che dx ¼ dt. 2 ð ð ð t
1 4 1 1  Verifica che xð2x þ 1Þ4 dx ¼ t  dt ¼ ðt 5
t 4 Þ dt. 2 2 4 ð 1  Calcola ðt 5
t 4 Þ dt. 4  Ritorna alla variabile x e verifica che il risultato dell’integrale indefinito originario e`: 1 1 ð2x þ 1Þ6
ð2x þ 1Þ5 þ c 24 20

Calcola i seguenti integrali eseguendo opportune sostituzioni.     ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 3 4 5 2 2 64 69 ðx þ 1Þ dx ð15x
5x þ 1Þ þ c ðx þ 2Þ ðx þ 1Þ ð3x
4Þ þ c x x þ 2 dx x Þ Þ 15 105     ð ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 xþ1 3 3 5 6 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi dx 65 dx ð6x þ 1Þ þ c 70 ðx
1Þ ðx þ 2Þ ð2x
1Þ þ c xðx
1Þ Þ Þ 3xþ2 42 10   ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 66 71 dx ½arctan e x þ c ðx þ 2Þ x
1 þ c Þ Þ x þ e
x 3 e x
1   ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 1 4 6 5 e x
1 dx 67 dx þ þ c 72 2 e x
1
2 arctan ðe x
1Þ þ c ðx
1Þ ðx
1Þ xðx
1Þ Þ Þ 6 5    qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 4 3 3 3 3 4 3 5 7 4 dx dx 68 73 ðx
1Þ ðx þ 2Þ ðx þ 2Þ ð5x þ 4Þ þ c
þ c x x
1 x x þ 2 Þ Þ 45 7 2 74 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola l’integrale

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
x2 dx.

 Poni x ¼ 2 sin t, con
80

  x  t  , ossia t ¼ arcsin . 2 2 2

Unita` 2

 Osserva che dx ¼ 2cos t dt, quindi l’integrale dato si trasforma cosı`: ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4
x2 dx ¼ 4
4 sin2 t  2 cos t dt ¼ dx

ð ð ¼ 4 cos2 t dt ¼ 2ð1 þ cos 2tÞ dt ¼ ::::::::::::::: formula di bisezione: cos2 t ¼

1 þ cos2t 2

x al posto t, e semplifica l’espressione ottenuta osservando che: 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x x2 2 sin arcsin  cos arcsin ¼x 1
4 2 2

 Torna infine alla variabile x, sostituendo arcsin  x sin 2 arcsin 2

¼ "

formula di duplicazione

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1
4

x 2

 Se svolgi correttamente i calcoli troverai come risultato 2 arcsin

x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ x 4
x2 þ c. 2 2

Calcola i seguenti integrali indefiniti. ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16
x2 dx 75 Þ 76 Þ 77 Þ 78 Þ



 x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ x 16
x2 þ c 4 2   25 x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 arcsin þ 25
x þ c 2 5 2   x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 arcsin
x 4
x2 þ c 2 2   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arcsin x
x ð1
x2 Þ3 þ x 1
x2 þ c 8 4 8 8 arcsin

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 25
x2 dx ð ð

Complementi sull’integrale indefinito

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 sin2 t ¼ p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2 cos2 t ¼ 2cos t

x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4
x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1
x2 dx

Esercizi riassuntivi sull’integrazione per sostituzione Calcola i seguenti integrali. ð 79 e2x  exþ1 dx Þ 80 Þ 81 Þ 82 Þ

ð ð

e sin ðe þ 2Þ dx x

ð

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx xþ1

87 Þ

ð

tan2 x dx cos2 x

ð 2 ð

3rþ1

dr

ln3 x dx x

1 3xþ1 þc e 3

1 arcsin 6x þ c 6

 

½
cos ðe þ 2Þ þ c

x

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 84 Þ x x2 þ 3 dx

86 Þ



1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 1
36x2

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin x cos x dx 83 Þ

85 Þ



x



 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ðx
2Þ x þ 1 þ c 3   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sin x sin x þ c 3  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 ðx2 þ 3Þ3 þ c 3   1 tan3 x þ c 3  3rþ1  2 þc 3 ln 2   1 4 ln x þ c 4

88 Þ 89 Þ 90 Þ 91 Þ 92 Þ 93 Þ 94 Þ 95 Þ 96 Þ

ð

1 dx 3x
1

ð sin x cos5 x dx ð ð2x þ 3Þ4 dx ð cos x e1
2 sin x dx ð

x2 dx þ4

x3 ð x

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x
2 dx

ð sin 2x cos x dx ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k k þ 4 dk ð x2

1 dx þ9



 1 ln j3x
1j þ c 3   1
cos6 x þ c 6   1 ð2x þ 3Þ5 þ c 10   1
e1
2 sin x þ c 2   1 ln jx3 þ 4j þ c 3   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 ð2x þ 3Þ ðx
2Þ4 þ c 14   2
cos3 x þ c 3   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ð3k
8Þ ðk þ 4Þ3 þ c 15   1 x arctan þc 3 3 81

Complementi sul calcolo integrale Tema M

ð

97 Þ

ð

98 Þ

ð

99 Þ

ð

100 Þ

ð

101 Þ

ð

102 Þ

ð

103 Þ



x3 e
x dx 4




sin x þ sin 2x dx sin x e2x dx 2x e þ1



1 ln ðe2x þ 1Þ þ c 2

105 Rapido Þ

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x2 þ 5



½2
tan  þ c 

ln x7 dx x

7 2 ln x þ c 2



hpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i x2 þ 5 þ c 

ð3x
1Þ4 dx ð



½2 sin x þ x þ c

cos 2 d cos2 

104 Rapido Þ

1
x4 þc e 4

4 sin x cos x dx 3 cos2 x þ 3 sin2 x

 1 ð3x
1Þ5 þ c 15   1
cos 2x þ c 3

113 Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ Þ

ð

e3xþ1 þ e3x dx exþ1 þ ex

ð

e2x þ e3x dx e4x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð x þ 1 þ 4x þ 4 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 107 dx Þ xþ1 ð 1þpffiffix e 108 Þ pffiffixffi dx ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð p 3 arctan x 109 dx Þ 1 þ x2 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 110 Þ t 3 1 þ t 4 dt 106 Þ

111 Þ 112 Þ

ð ð



sin x
cos x dx sin x þ cos x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln x tale che FðeÞ ¼ 1. x

1 2x e þc 2



 1
2x þc e 2  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 ðx þ 1Þ3 þ 2x þ c 3
e
x


h

pffiffi x

2e1þ

þc

i



 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3p 3 arctan4 x þ c 4  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 ðt 4 þ 1Þ3 þ c 6

1 dx e x þ e
x

x Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tale che Fð0Þ ¼ 1. x2 þ 4

114 Þ



½arctan e x þ c ½
ln jsin x þ cos xj þ c] 

ffi 1 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln 3 x þ 3 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [FðxÞ ¼ x2 þ 4
1

FðxÞ ¼

115 Þ

Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ ex sin e x che ha come asintoto orizzontale sinistro la retta di equazione y ¼ 2. [FðxÞ ¼ 3
cos e x ] 2x e che ha come asintoto orizzontale sinistro l’asse x. 116 Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ 2x Þ   e þe 1 1 FðxÞ ¼ ln ðe2x þ eÞ
2 2     1 1 117 Una funzione f e` tale che f 00 ðxÞ ¼ e2x
1 , f 0 ¼0ef ¼ 3. Determina l’espressione analitica di f . Þ   2 2 1 1 f ðxÞ ¼ e2x
1
x þ 3 4 2   118 Una funzione f e` tale che f 00 ðxÞ ¼ tan2 x, f 0 ¼
e f ð0Þ ¼ 4. Determina l’espressione analitica di f . Þ   4 4 1 f ðxÞ ¼
ln jcos xj
x2
x þ 4 2

3. Integrazione per parti

TEORIA a p. 62

Esercizi preliminari Test 119 Þ A

B

120 Þ ð

Quale delle seguenti identita` esprime il metodo di integrazione per parti? ð ð ð ð C f ðxÞ  g 0 ðxÞ dx ¼ f 0 ðxÞ  g 0 ðxÞ
f 0 ðxÞ  gðxÞ dx f ðxÞ  gðxÞ dx ¼ f ðxÞ  g 0 ðxÞ
f 0 ðxÞ  gðxÞ dx ð ð ð ð 0 0 0 0 D f ðxÞ  g ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ
f ðxÞ  gðxÞ dx f ðxÞ  g ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ
f 0 ðxÞ  gðxÞ dx ð Paolo imposta il calcolo dell’integrale xe
x dx come segue: ð xe
x dx ¼
xe
x
ð
e
x Þ dx

Quale fattore finito ha considerato? 82

A

A

123 Þ A

Per calcolare x2 ln x dx quale fattore finito conviene scegliere? x2

B

x

C

ln x

D

x ln x

D

xe x

ð Per calcolare x2 e x dx quale fattore finito conviene scegliere? x2

B

x

C

ex

Complementi sull’integrale indefinito

122 Þ

Unita` 2

121 Þ

ð

Per calcolare quale dei seguenti integrali e` utile utilizzare il metodo di integrazione per parti? ð ð ð ð B C D x sin x dx sin x cos x dx x sin x2 dx sin x cos2 x dx

Calcolo di integrali mediante il metodo di integrazione per parti 124 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola i seguenti integrali: ð ð ln x dx a. x cos 2x dx b. x2

ð c. arcsin x dx

a. Poni: f ðxÞ ¼ x

g 0 ðxÞ ¼ cos 2x

e

da cui:

ð 1 gðxÞ ¼ cos 2x dx ¼ sin 2x 2 ð ð 1 1 Ora calcola l’integrale: x cos 2x dx ¼ x  sin 2x
1  sin 2x dx ¼ :::::::::: 2 2 0 0 f 0 ðxÞ ¼ 1

e

f ðxÞ g ðxÞ

f ðxÞ

f ðxÞ

gðxÞ



1 1 x sin 2x þ cos 2x þ c 2 4



gðxÞ

b. Poni: f ðxÞ ¼ ln x

e

g 0 ðxÞ ¼

e

gðxÞ ¼

da cui: f 0 ðxÞ ¼

1 x

1 x2 ð

ð Ora calcola l’integrale:

1 1 dx ¼
x2 x

ð ln x dx ¼ ln x x2 f ðxÞ

  ð   1 1 1 1 dx ¼ ln x 


dx ¼ :::::::::: x2 x x x g0 ðxÞ

f ðxÞ

c. Poni: f ðxÞ ¼ arcsin x

e

g 0 ðxÞ ¼ 1

e

ð gðxÞ ¼ 1 dx ¼ x

da cui: 1 f 0 ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2 Ora calcola l’integrale:

ð

f 0 ðxÞ

gðxÞ




1 ln x
þc x x



gðxÞ

ð ð 1 arcsin x dx ¼ arcsin x  1 dx ¼ arcsin x  x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x dx ¼ :::::::::: 1
x2 0 f ðxÞ

g ðxÞ

f ðxÞ

gðxÞ

f 0 ðxÞ

gðxÞ

 x arcsin x þ

Calcola i seguenti integrali indefiniti.   ð 1 1 125 x sin 2x þ cos 2x þ c x cos 2x dx Þ 2 4

126 Þ 127 Þ

ð

xe
x dx

ð ln ð2x
3Þ dx

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
x2 þ c



½
e x ðx þ 1Þ þ c   1 ð2x
3Þ ln ð2x
3Þ
x þ c 2 83

Complementi sul calcolo integrale Tema M

128 Þ 129 Þ 130 Þ 131 Þ 132 Þ 133 Þ 134 Þ 135 Þ 136 Þ 144 Þ



ð xe

2x

dx

ð

x 2  e ðx
2x þ 1Þ þ c

ðx2
1Þe x dx

    x 1 3x
2 þc ln 3 ln 3   1 3 1 x ln x
x3 þ c 3 9

ð 3x x dx ð x2 ln x dx ð

h i pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x arcsin x þ 1
x2 þ c

arcsin x dx ð

arctan ð ð



ln x dx x3

ð

  1 1 2x x
e þc 2 4

1 dx x

 xarctan

t dt e2t x dx cos2 x

ln x 1

þc 2 2x 4x2

137 Þ 138 Þ 139 Þ 140 Þ



141 Þ



142 Þ

1 1 þ ln ðx2 þ 1Þ þ c x 2   1
2t
ð2t þ 1Þe þ c 4

½ln jcos xj þ x tan x þ c

143 Þ



ð arctan 2x dx ð ð

1 x arctan 2x
ln ð4x2 þ 1Þ þ c 4

ðx2
2xÞe
x dx 

ln y 2 dy y2

ð

x dx ln x
2



2 2
ln j yj
þ c y y





 1 x x ln
2 ln þc x
2 x
2

ð ðx2 þ 1Þe x dx ð


x2 e
x þ c

h i x ln2 x
2x ln x þ 2x þ c

ln2 x dx ð



x 2  e ðx
2x þ 3Þ þ c

x3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 1 þ x2

(Suggerimento: prendi come fattore finito x2 )   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 ðx
2Þ x2 þ 1 þ c 3

ESERCIZIO SVOLTO

ð Calcoliamo e x cos x dx.  Applichiamo il metodo di integrazione per parti, scegliendo: f ðxÞ ¼ e x e g 0 ðxÞ ¼ cos x. e gðxÞ ¼ sin x quindi: f 0 ðxÞ ¼ e x Otteniamo: ð ð e x cos x dx ¼ e x sin x
e x sin x dx ð  Abbiamo ottenuto un nuovo integrale, e x sin x dx, che non appare ne´ piu` facile ne´ piu` difficile di quello di partenza. Proviamo ad applicare nuovamente il metodo di integrazione per parti prendendo: f ðxÞ ¼ e x

e

g 0 ðxÞ ¼ sin x

e gðxÞ ¼
cos x quindi: f 0 ðxÞ ¼ e x Otteniamo: ð ð e x sin x dx ¼
e x cos x þ e x cos x dx  In definitiva abbiamo:  ð ð ð e x cos x dx ¼ e x sin x
e x sin x dx ¼ e x sin x

e x cos x þ e x cos x dxÞ ¼ ð ¼ e x sin x þ e x cos x
e x cos x dx Apparentemente siamo tornati allo stesso integrale da cui siamo partiti! Con un po’ piu` di riflessione ci accorgiamo pero` di potere concludere; infatti, nella relazione ottenuta l’integrale compare all’ultimo membro preceduto dal segno meno; portandolo al primo membro otteniamo: ð 2 e x cos x dx ¼ e x sin x þ e x cos x da cui, dividendo per 2 e aggiungendo la costante d’integrazione: ð 1 e x cos x dx ¼ ðe x sin x þ e x cos xÞ þ c 2 Nota Ogni qualvolta, applicando ripetutamente il metodo di integrazione per parti, si «ritorna all’integrale iniziale» si puo` utilizzare una tecnica simile a quella illustrata in questo esercizio.

84

147 Þ 148 Þ



ð e x sin x dx ð



  dt et sin t
3

  1 th   i e sin t

cos t
þc 2 3 3 

ð

1 x e ðsin x
cos xÞ þ c 2

cos ln x dx ð

1 1 x cos ln x þ x sin ln x þ c 2 2







pffiffiffi sin ð xÞ dx effettuando dapprima un’opportuna sostituzione e appffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi plicando quindi all’integrale ottenuto il metodo di integrazione per parti. [2 sin x
2 x cos x þ c

149 Þ

` metodi. Calcola Combinazione di piu

150 Þ

Il metodo di integrazione per parti e` sempre utile/1? Occorre non «abusare» del metodo di integrazione per parti. Sebbene esso sia spesso utile per integrare il prodotto di funzioni, ci sono funzioni prodotto per cui il metodo per parti non e` efficace oppure e` piu` laborioso rispetto ai metodi visti nei paragrafi precedenti. Per ciascuno dei seguenti integrali stabilisci se e` opportuno utilizzare il metodo di integrazione per parti o se l’integrale e` calcolabile con i metodi visti in precedenza. Calcola quindi gli integrali.   ð ð ð 1 1 4 2 4 2 b. x2 e
x dx c. x3 ex dx a.
e
x þ c; b.
ðx2 þ 2x þ 2Þe
x þ c; c. e x þ c a. xe
x dx 2 4

Complementi sull’integrale indefinito

146 Þ

Unita` 2

Calcola i seguenti integrali, tenendo presente la tecnica presentata nell’esercizio svolto precedente.   ð 1 1 145 x sin ln x
x cos ln x þ c sin ðln xÞ dx Þ 2 2

151 Þ

Il metodo di integrazione per parti e` sempre utile/2? Svolgi un esercizio analogo al precedente con i seguenti integrali. ð ð ð b. x3 sin x2 dx c. sin x ecos x dx a. x2 sin x3 dx   1 1 1 a.
cos x3 þ c; b. sin x2
x2 cos x2 þ c; c.
ecos x þ c 3 2 2

152 Þ

Formule di riduzione. Dimostra che per ogni n 2 N, con n  2, vale la formula: ð ð 1 n
1 sinn
2 x dx sinn x dx ¼
cos x sin n
1 x þ n n ð ð 2 Utilizzando tale formula, calcola sin x dx e sin4 x dx.

Applicazioni 153 Þ

Tra le primitive della funzione f ðxÞ ¼ xe2x individua quella per cui l’ ordinata del punto di minimo e` uguale a 1.     x 1 5 FðxÞ ¼ e2x
þ 2 4 4

154 Þ

Tra le primitive della funzione f ðxÞ ¼ ln x2 determina quella il cui grafico passa per il punto di coordinate (1, 1). [FðxÞ ¼ 2x ln jxj
2x þ 3

155 Þ

Tra le primitive della funzione f ðxÞ ¼ x sin x determina quella che interseca l’asse x nel punto di ascissa

 . 2 [FðxÞ ¼
x cos x þ sin x
1

156 Þ

Tra le primitive della funzione f ðxÞ ¼ arctan x determina quella per cui l’ordinata del punto di minimo e`   uguale a 1. 1 FðxÞ ¼ x arctan x
ln ðx2 þ 1Þ þ 1 2 157 Þ

Determina le primitive della funzione f ðxÞ ¼ x ln x che non hanno punti di intersezione con l’asse x.   1 1 1 FðxÞ ¼ x2 ln x
x2 þ c, con c > 2 4 4 85

Complementi sul calcolo integrale Tema M

4. Integrazione di funzioni razionali frazionarie

TEORIA a p. 65

Esercizi preliminari Test 158 Þ A

159 Þ

ð Qual e` il risultato dell’integrale 1 ðx
1Þ

þc

2

B

1 dx? x
1

ln jx
1j þ c ð

Qual e` il risultato dell’integrale

ðx
1Þ2

161 Þ A

162 Þ A

163 Þ

B

1




2

ðx
1Þ

C

C

3 ðx
1Þ

1 þc jx
1j

D

ln

D

1 þc 1
x

D

1 arctan 5x þ c 5

ð D

1 ðx
2Þ3

dx

Quale dei seguenti integrali ha primitive che contengono una funzione arcotangente? ð ð ð ð 1 1 1 1 B C D dx dx dx dx 2 2 2 2 x þ 2x
5 x þ 4x þ 4 x þxþ4 x þ 4x
5 Vero o falso? A B þ , x
3 xþ3

b.

x2 þ 9 puo` essere espresso nella forma xðx2
9Þ

e.

þc

Quale dei seguenti integrali ha come primitive funzioni logaritmiche? ð ð ð 1 1 1 B C dx dx dx x2
4 x2 þ 4 ðx
2Þ2

xðx2 þ 9Þ puo` essere espresso nella forma x2
9

d.

3

1 x arctan þc 5 5

a.

c.

þc

dx?

1 ln ðx
1Þ2 þ c 2 ð 1 dx? 160 Qual e` il risultato dell’integrale Þ x2 þ 25 x A arctan ðx þ 25Þ þ c B 5 arctan 5 A

1 þc x
1

1

C

con A, B 2 R

V

F

A B C þ þ , con A, B, C 2 R x x
3 xþ3

V

F

x2 ðx

x2 þ 9 puo` essere espresso nella forma þ 3Þ

A B þ , x2 xþ3

con A, B 2 R

V

F

x2
9 puo` essere espresso nella forma xðx2 þ 9Þ

A B , þ 2 x x þ9

con A, B 2 R

V

F

V

F

x2
9 ðx2

2

þ 9Þ

puo` essere espresso nella forma

Ax þ B Cx þ D þ , x2 þ 9 ðx2 þ 9Þ2

con A, B, C, D 2 R

[2 affermazioni vere e 3 false]

Il numeratore ha grado maggiore del denominatore 164 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

ð

Calcola

x3 þ 1 dx. xþ2

 Dividi x3 þ 1 per x þ 2 e verifica che: QðxÞ ¼ x2
2x þ 4, RðxÞ ¼
7  Ne segue che: x3 þ 1 7 ¼ x2
2x þ 4
xþ2 xþ2 86

 Pertanto:  ð ð 3 x þ1 7 2 dx ¼ x
2x þ 4
dx ¼ :::::::::: xþ2 xþ2  3  x 2
x þ 4x
7 ln jx þ 2j þ c 3

169 Þ

171 Þ 172 Þ

ð ð ð



x4
2x3
1 dx x
2 

x3 þ 2x2
x
1 dx xþ2

ln jx þ 2j þ 

x3
4x2 þ 4x
1 dx x2
4x þ 4 x3
x2
x þ 2 dx x2
2x þ 1

1 4 x
ln jx
2j þ c 4



1 3 x
xþc 3

1 1 þ x2 þ c x
2 2

1 2 1 x þx
þc 2 x
1

   

Il denominatore e` di secondo grado e ha discriminante positivo 173 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

ð

Calcola

1 dx. x2
5x þ 4

 Osserva che x2
5x þ 4 ¼ ðx
1Þðx
4Þ.  Determina A e B in modo che: 1 A B ¼ þ x2
5x þ 4 x
1 x
4 e verifica che A ¼


1 1 ,B¼ . 3 3

 Pertanto: ð

1 dx ¼
5x þ 4 ð ð 1 1 1 1 ¼
dx þ dx ¼ :::::::::: 3 x
1 3 x
4 x2

Calcola i seguenti integrali. ð 1 dx 174 Þ x2
4 ð 1 175 Þ x2 þ 3x dx ð 1 176 Þ x2
2 dx 177 Þ 178 Þ 179 Þ 180 Þ 181 Þ 182 Þ 183 Þ 184 Þ 185 Þ

ð ð ð ð ð ð ð

1 dx 2x2
x
1

ð

  

2x þ 1 dx x2
4x x dx x2
2x

x
7 dx þx
6

xþ3 dx 2x2
x
1 x
1 dx x2 þ 5x
14

1 1 ln jx
1j
ln jx þ 4j þ c 5 5 1 1 ln jx
3j
ln jx
1j þ c 2 2

 

 1 1 ln jx
1j
ln j2x þ 1j þ c 3 3   9 1 ln jx
4j
ln jxj þ c 4 4 ½ln jx
2j þ c 

2x þ 3 dx x2 þ 4x
5 x2

ð

 x
2 1 ln þc 4 xþ2   1 1 ln jxj
ln jx þ 3j þ c 3 3 " pffiffiffi # x
pffiffiffi 2 2 pffiffiffi þ c ln xþ 2 4 

1 dx 2 x þ 3x
4 1 dx x2
4x þ 3

Complementi sull’integrale indefinito

170 Þ

ð

Unita` 2

Calcola i seguenti integrali.   ð 2 x
3x
1 1 2 165
ln jx
3j þ c dx x Þ x
3 2   ð 2 2x þ x 1 1 2 166 þ x þ c dx ln j2x
1j þ x Þ 2x
1 2 2   ð 2 2x þ 3x
1 1 2 1 167 dx x
ln j2x þ 3j þ c Þ 2x þ 3 2 2   ð 3 x þ x2 þ x þ 2 1 3 168 þ x þ c dx ln jx þ 1j þ x Þ xþ1 3

7 5 ln jx þ 5j þ ln jx
1j þ c 6 6



½2 ln jx þ 3j
ln jx
2j þ c 

 4 5 ln jx
1j
ln j2x þ 1j þ c 3 6   8 1 ln jx þ 7j þ ln jx
2j 9 9 87

Complementi sul calcolo integrale Tema M

Il denominatore e` di secondo grado e ha discriminante nullo 186 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola i seguenti integrali: ð ð 1 xþ1 dx b. dx a. x2 þ 10x þ 25 x2
6x þ 9 ð

1 dx ¼ x2 þ 10x þ 25

a.

ð

1 ðx þ 5Þ2

dx ¼ ::::::::::

b. Osserva che x2
6x þ 9 ¼ ðx
3Þ2 e trova A e B tali che: x2

xþ1 A B ¼ þ
6x þ 9 x
3 ðx
3Þ2

Verificato che A ¼ 1, B ¼ 4, puoi scrivere: # ð" ð xþ1 1 4 dx ¼ dx ¼ :::::::::: þ x2
6x þ 9 x
3 ðx
3Þ2

Calcola i seguenti integrali. ð 1 dx 187 Þ x2 þ 4x þ 4 188 Þ 189 Þ 190 Þ 191 Þ 192 Þ

ð

ð

ð

ð

ð





1 dx 4x2
4x þ 1



1 dx 4x2
12x þ 9



2x þ 3 dx x2 þ 6x þ 9

1 þc 3
x

1 þc 2ð1
2xÞ 1 þc 2ð3
2xÞ 

1 dx x2 þ 8x þ 16

a.


1
þc xþ2 

1 dx x2
6x þ 9



1
þc xþ4

3 2 ln jx þ 3j þ þc xþ3

 193 Þ











194 Þ 195 Þ 196 Þ

ð ð ð ð

1 4 þ c; b. ln jx
3j
þc xþ5 x
3

2x
1 dx x2
2x þ 1 3x þ 1 dx x2
10x þ 25 4x þ 3 dx x2 þ 8x þ 16

  



1 2 ln jx
1j
þc x
1 16 3 ln jx
5j
þc x
5 13 4 ln jx þ 4j þ þc xþ4

  

xþ1 dx 4x2
12x þ 9 

 1 5 ln j2x
3j
þc 4 4ð2x
3Þ   ð x 2 dx ln jx
2j
197 þc Þ x2
4x þ 4 x
2   ð x
2 1 7 dx 198 ln j3x þ 1j þ þc Þ 9x2 þ 6x þ 1 9 9ð3x þ 1Þ

Il denominatore e` di secondo grado e ha discriminante negativo 199 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola i seguenti integrali: ð ð 1 x
2 dx b. dx a. x2 þ 2x þ 5 x2
2x þ 2 ð

1 dx ¼ 2 x þ 2x þ 5

ð

1

88

2

dx ¼

1

:::::

þc ::::: ::::: ðx þ 1Þ þ ::: ð ð ð x
2 1 2x
4 1 2x
2
2 dx ¼ dx ¼ dx ¼ b. x2
2x þ 2 2 x2
2x þ 2 2 x2
2x þ 2 ð ð ð 1 2x
2 1
2 1 ¼ dx þ dx ¼ ::::::::::
dx ¼ 2 x2
2x þ 2 2 x2
2x þ 2 ðx
1Þ2 þ :::::   ¼ :::::::::: 1 xþ1 1 2 arctan þ c; b. ln ðx
2x þ 2Þ
arctan ðx
1Þ þ c a. 2 2 2 a.

arctan

209 Þ

211 Þ 212 Þ

213 Þ

214 Þ

ð ð ð

xþ1 dx x2 þ 4



2 2x þ 3 pffiffiffi arctan pffiffiffi 7 7

1 x 1 arctan þ ln ðx2 þ 4Þ þ c 2 2 2

2x þ 1 dx x2 þ 1

 

arctan x þ ln ðx2 þ 1Þ þ c



2x þ 1 dx x2 þ 4x þ 5

 ln ðx2 þ 4x þ 5Þ
3 arctan ðx þ 2Þ þ c

ð x2

ð



1 dx x2 þ 3x þ 4

xþ1 dx
2x þ 3   pffiffiffi x
1 1 2 2 arctan pffiffiffi þ ln ðx
2x þ 3Þ þ c 2 2

Complementi sull’integrale indefinito

210 Þ

ð

Unita` 2

Calcola i seguenti integrali.   ð 1 1 x dx 200 arctan þ c Þ x2 þ 25 5 5   ð 1 1 x pffiffiffi arctan pffiffiffi þ c dx 201 Þ x2 þ 5 5 5   ð 1 1 x dx 202 arctan þc Þ x2 þ 16 4 4   ð 1 1 x dx 203 arctan þ c Þ 4x2 þ 16 8 2   ð 1 1 dx 204 arctan 3x þ c Þ 9x2 þ 1 3 " pffiffiffi # ð 1 2x 3 p ffiffiffi arctan dx 205 þc Þ 6 4x2 þ 3 3   ð 1 1 xþ1 p ffiffiffi p ffiffiffi dx 206 arctan þ c Þ x2 þ 2x þ 4 3 3 ð 1 dx ½arctan ðx þ 3Þ þ c 207 Þ 2 x þ 6x þ 10   ð 1 2 2x þ 1 pffiffiffi arctan pffiffiffi þ c dx 208 Þ x2 þ x þ 1 3 3

x
1 dx x2
3x þ 3   1 2x
3 1 2 pffiffiffi arctan pffiffiffi þ ln ðx
3x þ 3Þ þ c 2 3 3

Il denominatore non e` di secondo grado 215 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

ð

Calcola:

1 dx. x3 þ 4x

 Scomponi il denominatore della funzione integranda:

x3 þ 4x ¼ xðx2 þ 4Þ

 Determina A, B e C tali che: 1 A Bx þ C ¼ þ 2 x3 þ 4x x x þ4 1 ,B¼
4 ð ð 1 1 1 dx ¼ dx
 x3 þ 4x 4 x e verifica che A ¼

Calcola i seguenti integrali. ð 1 dx 216 Þ x3
x ð 1 dx 217 Þ x3 þ x ð 1 218 dx Þ xðx
2Þ2 ð 1 219 Þ x4
x3 dx ð 1 220 Þ ðx þ 2Þðx2 þ 1Þ dx ð xþ1 221 Þ x3
3x2 þ 2x dx

1 , C ¼ 0. 4 ð 1 x dx ¼ :::::::::: 4 x2 þ 4



1 1 ln jxj
ln ðx2 þ 4Þ þ c 4 8

 

1 ln jx2
1j
ln jxj þ c 2

1 ln jxj
ln ðx2 þ 1Þ þ c 2



 



 1 1 1 ln jxj
ln jx
2j
þc 4 4 2ðx
2Þ   1 1 ln jx
1j
ln jxj þ þ þ c x 2x2   2 1 1 arctan x
ln ðx2 þ 1Þ þ ln jx þ 2j þ c 5 10 5   1 ln jxðx
2Þ3 j
2 ln jx
1j þ c 2 89

Complementi sul calcolo integrale Tema M

222 Þ 224 Þ 225 Þ

ð ð ð

1 dx x4 þ 4x2 þ 4

 x
1 1 1 ln þ þc 2 xþ1 x " pffiffiffi # pffiffiffi x 2 x 2 þ arctan þc 2 8 4ðx2 þ 2Þ

1 dx x4
8x2 þ 16

  x
2 1 x

þ c ln 32 x þ 2 8ðx2
4Þ



x2 dx x4
16

 x
2 1 x 1 arctan þ ln þc 4 2 8 xþ2

223 Þ

ð

1 dx x4
x2



Integrali di funzioni goniometriche e irrazionali riconducibili con particolari sostituzioni a integrali di funzioni razionali 226 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

ð

Calcola l’integrale  Poni tan

1 dx. cos x

x 2 dt. ¼ t, ossia x ¼ 2 arctan t e dx ¼ 2 1 þ t2

 Ricorda che, in base alle formule parametriche, cos x ¼

1
t2 1 þ t2 ð

 Verifica che con queste sostituzioni l’integrale si trasforma in

2 dt. 1
t2

 Calcola quest’ultimo integrale, quindi ritorna alla variabile x ricordando la sostituzione operata; se svolgi corret x x tamente i calcoli troverai come risultato ln tan þ 1
ln tan
1 þ c. 2 2 Calcola i seguenti integrali. ð 1 227 Þ sin x dx 228 Þ

229 Þ

230 Þ 231 Þ 232 Þ

ð

ð

ð ð

1 dx cos2 x

1 dx 1 þ sin x 1 dx 5 cos x
3 1 dx 1 þ sin x þ cos x

h i x ln tan þ c 2 2 3 x 2 tan 6 2 þ c7 4 5 2 x 1
tan 2 2 3 6 4


7 x þ c5 1 þ tan 2   1 x x 1 ln 2tan þ 1
ln 2tan
1 þ c 4 2 4 2 h i x ln tan þ 1 þ c 2 2

ESERCIZIO GUIDATO

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 4 dx. Calcola l’integrale  Poni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 4 ¼ t
x; cioe` t ¼ x2 þ 4 þ x  Ricava x in funzione di t e calcola come si trasforma dx: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t2
4 t2 þ 4 dt e dx ¼ x2 þ 4 ¼ t
x ) x2 þ 4 ¼ ðt
xÞ2 ) x2 þ 4 ¼ t 2
2tx þ x2 ) x ¼ 2t 2t 2 ð 2 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðt þ 4Þ2 2 x þ 4 dx si trasforma in dt.  Verifica che con queste sostituzioni l’integrale 4t 3  Calcola quest’ultimo integrale, quindi ritorna alla variabile x ricordando la sostituzione operata; se svolgi corretpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tamente i calcoli troverai come risultato 2 ln j 4 þ x2 þ xj þ x x2 þ 4 þ c. 2 90

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 16 dx 234 Þ ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
25 dx 235 Þ ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 9 dx 236 Þ 237 Þ

ð

x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x2 þ 1

Esercizi riassuntivi sugli integrali di funzioni razionali frazionarie Calcola i seguenti integrali. 238 Þ 239 Þ 240 Þ 241 Þ 242 Þ 243 Þ 244 Þ 245 Þ

246 Þ 247 Þ

248 Þ 249 Þ

250 Þ

ð ð

1 ð2x
1Þ3

ð ð ð ð ð ð



 1 þc 3ð1
3xÞ " # 1
þc 4ð2x
1Þ2   5 ln jx
3j
þc x
3

1 dx 9x2
6x þ 1 dx

xþ2 dx x2
6x þ 9 

x4 dx x2
4

 x
2 1 3 þc x þ 4x þ 4 ln 3 xþ2 

x dx x2
4

1 ln jx2
4j þ c 2



x2 þ 1 dx x2
1

[ln jx
1j
ln jx þ 1j þ x þ c]

x2
1 dx x2 þ 1

[x
2arctan x þ c]

x2 þ 4x dx þ 5x
6   12 5
ln jx þ 6j þ ln jx
1j þ x þ c 7 7

x2

ð ð

x
1 dx x2
6x þ 9

x2

ð

2 ln jx
3j
þc x
3



x3 dx x2
4x þ 3   27 1 1 ln jx
3j
ln jx
1j þ x2 þ 4x þ c 2 2 2

ð ð



x
1 dx þ 3x þ 2

1 dx x3 þ 4x2 

x dx 4x2
1

[3ln jx þ 2j
2ln jx þ 1j þ c]

 1 1 1 ln jx þ 4j
ln jxj
þc 16 16 4x   1 ln j4x2
1j þ c 8

ð

Complementi sull’integrale indefinito

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 x x
16
8 ln x
16 þ x þ c 2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 8 ln ðx þ x þ 16Þ þ x x þ 16 þ c 2  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 25 2 2 x x
25
ln x
25 þ x 2 2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 ln x þ x2 þ 9 þ x2 þ 9 þ c] 2 2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x2 þ 1
ln ð x2 þ 1 þ xÞ þ c 2 2

Unita` 2



ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2
16 dx 233 Þ

x dx x2 þ 4x þ 5   1 ln ðx2 þ 4x þ 5Þ
2arctan ðx þ 2Þ þ c 2   ð 2 x
1 3 252 dx x
4 ln jx þ 2j
þ c Þ ðx þ 2Þ2 xþ2 ð

 xþ2 dx arctan x
ln ðx2 þ 1Þ þ 2 ln jxj þ c 253 Þ 3 x þx ð 1 dt ½arctan ðt þ 3Þ þ c 254 Þ 2 t þ 6t þ 10   ð x 1 þ c 255 dx Þ ðx2
1Þ2 2ð1
x2 Þ   ð x
2 1 3 dx
256 ln jx
1j þ ln jx þ 1j þ c Þ x2
1 2 2   ð xþ4 3 5 dx 257 ln jx þ 7j þ ln jx
1j þ c Þ x2 þ 6x
7 8 8 251 Þ

  x
2 1 x
þc 258 dx
ln Þ 32 x þ 2 8ðx2
4Þ ðx2
4Þ2   ð 1 1 1 1 259 dx ln jx
4j
ln jxj þ þ c Þ x3
4x2 16 16 4x ð

260 Þ 261 Þ

ð

1

x
1 dx x2 þ 9

ð x3

1 dx þ 4x



 1 1 x ln ðx2 þ 9Þ
arctan þc 2 3 3   1 1 ln jxj
ln ðx2 þ 4Þ þ c 4 8

ð

x2 þ 2x þ 1 dx x2 þ 3x
4   4 9 x þ ln jx
1j
ln jx þ 4j þ c 5 5   ð 3 x þ1 1 3 2 263
x þ 4x
7 ln jx þ 2j þ c dx x Þ xþ2 3   ð 1 1 x dx þ c 264 arctan x þ Þ x4 þ 2x2 þ 1 2 2ðx2 þ 1Þ 262 Þ

91

Complementi sul calcolo integrale Tema M

265 Þ 266 Þ 267 Þ 268 Þ

ð ð ð



1 dx x3 þ 8 x2
4 ðx2 þ 1Þ2

dx

u5 du
1

u4 ð

1 dx x3
2x2 þ x

 1 1 1 x
1 ln jx þ 2j
ðx2
2x þ 4Þ þ pffiffiffi arctan pffiffiffi þ c 12 24 3 4 3   3 5x þ c
arctan x
2 2ðx2 þ 1Þ   1 1 1 ln ju2
1j
ln ðu2 þ 1Þ þ u2 þ c 4 4 2   1 ln jxj
ln jx
1j
þc x
1

Calcola i seguenti integrali, riconducibili mediante sostituzione o integrazione per parti a integrali di funzioni razionali.   ð ð ffiffiffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi p p 1 1 3p 3 3 3 x 4 p ffiffiffi 269 dx ½x
ln ð1 þ e Þ þ c 273 dx 3 ln j x
1j þ x þ3 xþc Þ Þ 3 1 þ ex 2 x
1   ð ð ln x x ln x arctan x 270 dx
ln ðx þ 1Þ þ c 274 dx Þ ðx þ 1Þ2 Þ xþ1 x2   arctan x 1   ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ln ðx2 þ 1Þ þ ln jxj þ c 1 1 x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 271 ln j x þ 4
2j
ln jxj þ c Þ 2 x xþ4 ð sin x   ð dx 275 1 1 Þ 2x 2 2 cos x
cos x 272 dx x
ln ðe þ 1Þ þ c Þ 1 þ e2x 2 ½ln jcos xj
ln j2 cos x
1j þ c 276 Þ

ð e2x

ex dx
3e x þ 2

½ln je x
2j
ln je x
1j þ c] x2 þ 1 che interseca l’asse x nel punto di coordinate (2, 0). x2 þ 4   3 x 3 þ
2 FðxÞ ¼ x
arctan 2 2 8

277 Þ

Determina la primitiva della funzione f ðxÞ ¼

278 Þ

Determina la primitiva della funzione f ðxÞ ¼

279 Þ

Determina la primitiva della funzione f ðxÞ ¼

280 Þ

Determina la primitiva della funzione f ðxÞ ¼

y ¼ x þ 2.

x2

x2
1 che ha come asintoto obliquo la retta di equazione x2
4   x
2 3 þxþ2 FðxÞ ¼ ln 4 xþ2 x2
4 che passa per il punto di coordinate (2, 1).
2x þ 1   3 þx
4 FðxÞ ¼ 2 ln jx
1j þ x
1

ex
1 che ha un punto di minimo nell’origine. ex þ 1 [FðxÞ ¼ 2 ln ðe x þ 1Þ
x
2 ln 2]

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Calcola i seguenti integrali. ð 1 281 Þ x2 þ 9 dx ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 þ 2x dx 282 Þ 283 Þ 284 Þ 285 Þ

92

ð ð ð

1 dx 4x þ 3 x dx xþ6 1 þ cos2 x dx cos2 x



 x 1 arctan þc 3 3  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 3 ð2x þ 1Þ4 þ c 8   1 ln j4x þ 3j þ c 4

286 Þ 287 Þ

½
ln jx þ 6j þ x þ c

288 Þ

½tan x þ x þ c

289 Þ

ð ð

ð ð

1 dx 2 x
9 x dx 4x2
12x þ 9 




 e10x
1
e dx

cos x dx 1 þ 2 sin x



 x
3 1 þc ln 6 xþ3

 1 3 ln j2x
3j
þc 4 4ð2x
3Þ   1 10x
1
ex þ c e 10   1 ln j2sin x þ 1j þ c 2

291 Þ

293 Þ 294 Þ

x2
4 dx xþ1

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 3 1 þ x dx ð ð

ð

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x
4

 

1
þc 2ð2x þ 1Þ



 1 2 x
xþc 2   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 ð4x
3Þ ðx þ 1Þ4 þ c 28 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 2 x
4þc


3 ln jx þ 1j þ

pffiffiffi ð2u
1Þðu
uÞ du   2 3 4 2 pffiffiffi 1 2 2 pffiffiffi u
u u
u þ u uþc 3 5 2 3

x2
1 dx
3x
10   24 3 ln jx
5j
ln jx þ 2j þ x þ c 7 7 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ð h i pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1
3xþ2 dx ln jx þ 2j
3 3 x þ 2 þ c 296 Þ xþ2   ð x 1 2 dx 297 ln ð4x þ 1Þ þ c Þ 4x2 þ 1 8 ð 1 ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 298 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ3þ xþ2  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 ðx þ 3Þ3
ðx þ 2Þ3 þ c 3 3 ð h i 2 x x dx x
2 arctan 299 þc Þ 2 x þ4 2   ð 1 7 1 4 2 3 300
1Þ dx
þ x þ c x x ðx Þ 7 2   ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 2 2
x2 dx, a > 0 2
x2 þ c
301
x Þ a ða x a Þ 3 " # ð ex 1 302 dx
þc Þ ðe x þ 1Þ4 3ðe x þ 1Þ3   ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 303 ð1 þ cos 3xÞ þ c sin 3x 1 þ cos 3x dx
Þ 9   ð 3y
1 e 1 3
2y 304 dy
þ c e Þ e5y
4 2   ð 2 ðx
1Þ 1 305 dx
2 ln jxj þ x
þ c Þ x2 x   ð 1 4 5 5 306 cos x dx þ c sin x x Þ 5  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2
9 dx 2
9Þ3 þ c 307 ðx x x Þ 3   ð 5 6 8 x þx þx 1 2 1 308 dx ln jxj þ x
þ c Þ x7 2 x ð 1 h i ex 1 x þ c 309 dx
e Þ x2   ð 1 1 þ c d
310 Þ cos2  tan3  2 sin2    ð 1 311 cos x ð2 sin x
1Þ dx
cos 2x
sin x þ c Þ 2 295 Þ

x2

  1 1 1 dx
ln jx þ 6j þ ln jx
1j þ c 312 Þ x2 þ 5x
6 7 7
 p ffiffi ffi   ð pffiffiffi sin 3 x 2 pffiffiffi 313 dx
cos ð3 xÞ þ c Þ 3 x ð hpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i t pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dt t2 þ 4 þ c 314 Þ t2 þ 4   ð 3 x þ1 1 1 2 2 dx arctan x
315 þ 1Þ þ þ c ln ðx x Þ x2 þ 1 2 2   ð 1 2x 2 x x 316 e þ 2e þ x þ c ðe þ 1Þ dx Þ 2   ð 1 3 10 12 11 317 dx
þ c ðx þ 3Þ ðx þ 3Þ xðx þ 3Þ Þ 12 11 ð 2 x dx 318 Þ x2
4x þ 5

 3 arctan ðx
2Þ þ 2 ln ðx2
4x þ 5Þ þ x þ c   ð 1 319 tan 4 d
ln jcos 4j þ c Þ 4   ð 1 5 1 5 4 320 ln x dx ln x
þ c x x x Þ 5 25  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ tan x 2 3 dx 321 ð2 þ tan xÞ þ c Þ cos2 x 3   ð x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ c 322 dx
1
2x Þ 2 1
2x2 ð 1 dx ½arctan ðx þ 1Þ þ c 323 Þ x2 þ 2x þ 2 ð

sin t  324 e þc esin t cos t dt Þ ð

325 Þ 326 Þ 327 Þ 328 Þ 329 Þ 330 Þ 331 Þ 332 Þ 333 Þ 334 Þ 335 Þ

ð ð ð

h pffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 2 ln x þ c

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x ln x



x3 dx 1 þ x4 sin x cos4 x dx

ð ð

x
1 dx xþ3

 1 ln ðx4 þ 1Þ þ c 4   1
cos5 x þ c 5

½
4 ln jx þ 3j þ x þ c 

3

x2 ex dx ð ð ð ð

1 þ 2 cos x dx x þ 2 sin x

x sin 3x dx ð ð



1 dx x2
6x þ 9

1 pffiffiffi dx xþ2 x

x3 dx 10 þ x4 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 9
4x2

Complementi sull’integrale indefinito

292 Þ

ð

1 dx 4x2 þ 4x þ 1

Unita` 2

290 Þ

ð

1 x3 e þc 3

1 þc 3
x

 

½ln j2 sin x þ xj þ c




 pffiffiffi 2 ln ð x þ 2Þ þ c

 1 1 x cos 3x þ sin 3x þ c 3 9   1 ln ðx4 þ 10Þ þ c 4     1 2 arcsin x þc 2 3 93

Complementi sul calcolo integrale Tema M

336 Þ 337 Þ 338 Þ 339 Þ 340 Þ 341 Þ 342 Þ 343 Þ 344 Þ 345 Þ 346 Þ 347 Þ 348 Þ 349 Þ 350 Þ

351 Þ 352 Þ 353 Þ 354 Þ 355 Þ 356 Þ

357 Þ

94

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln x dx x ð x dx, a > 0 2 x
a2 ð x e þ e
x dx e x
e
x ð x2 dx 1 þ x6 ð 2x þ 5 dx x2 þ 5x þ 6 ð x 2x dx



 ffi 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 ln x þ c 3   1 ln jx2
a2 j þ c 2 ½ln je x
e
x j þ c 



1 arctan x3 þ c 3



ln jx2 þ 5x þ 6j þ c



    x 1 2x
2 þc ln 2 ln 2   ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9
x2 dx arcsin þ x 9
x2 þ c 2 3 2   ð 1 4 1 4 x ln x
x þc x3 ln x dx 4 16  pffiffiffiffiffi  qffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 4 4 7 4p 4 x
x3 þ c 1
x x dx x 7 3   ð 2 x þ4 1 dx 20 ln jx þ 4j þ x2
4x þ c xþ4 2 ð pffiffiffiffiffi hpffiffiffiffiffi i 3 x 3 e x dx e x ð3x
9Þ þ c 

ð u5 ln u3 du ð ð

x
2 dx x2 þ 2x
3 x
2 dx x2 þ 4x þ 4



1 6 1 6 u ln u
u þc 2 12

sin x cos x dx

1 1 sin3 x
sin5 x þ c 3 5

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e x
2 dx "

pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 e x
2
2 2 arctan

ð

1 pffiffiffi dx xþ x



361 Þ 362 Þ 363 Þ 364 Þ 365 Þ 366 Þ 367 Þ



369 Þ

5 1 ln jx þ 3j
ln jx
1j þ c 4 4   4 ln jx þ 2j þ þc xþ2

 3

360 Þ

368 Þ

x
2 dx x2 þ 2x þ 3   3 xþ1 1
pffiffiffi arctan pffiffiffi þ ln ðx2 þ 2x þ 3Þ þ c 2 2 2   ð 1 ð3x
1Þ e3x þ c xe3x dx 9   ð 7 þ arctan x 1 2 dx x þ 7 arctan x þ c arctan 1 þ x2 2  x  ð x x 6 þ 12 3 6x þ þ c dx 2x ln 3 ln 6 ð pffiffi h i p ffiffi p ffiffiffiffiffi pffiffiffi 3 3 3 3e x ð x2
2 3 x þ 2Þ þ c e x dx 2

359 Þ



ð

ð

358 Þ



# rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ex
2 þc 2

 pffiffiffi 2 ln ð x þ 1Þ þ c

ð ð

ex pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 1
e2x x3 dx x2 þ 9

ð x arctan x dx ð

ex dx ex þ 4

½arcsin e x þ c   9 1 2 2
ln ðx þ 9Þ þ x þ c 2 2   1 2 1 ðx þ 1Þ arctan x
x þ c 2 2 ½ln ðe x þ 4Þ þ c 

 1 3
sin 2x þ 2cos x þ x þ c ðsin x
1Þ dx 4 2   ð 1 1 1 dy ln jy
4j
jy þ 3j þ c y2
y
12 7 7   ð 1 2x e ð2 sin x
cos xÞ þ c e2x sin x dx 5   ð pffiffiffi 1 4 1 4 x ln x
x þc x3 ln x dx 8 32 " # ð 1 1 dx
þc ð3x þ 1Þ3 6ð3x þ 1Þ2   ð 1 1 1 sin 2x þ x sin2 x
x þ c x sin x cos x dx 8 2 4   ð ðln x
1Þ2 1 3 dx ln x
ln2 x þ ln x þ c x 3 ð h i x ln2 x
4x ln x þ 5x þ c ðln x
1Þ2 dx ð

2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð p 3 arctan x dx 1 þ x2 ð sin x 371 Þ 1 þ cos x dx ð cos x 372 dx Þ 1 þ cos x ð 373 ðtan x þ 2cot xÞ2 dx Þ



370 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 arctan x 3 arctan x þ c 4



½
ln ðcos x þ 1Þ þ c h i x x
tan þc 2 ½
4 cot x þ tan x
x þ c

  x 1 dx
þ c x4
4x2 þ 4 2ðx2
2Þ   ð x5 1 1 2 2 þ 375 dx ln jx
1j
þ c x Þ ðx2
1Þ2 2x2
2 2 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 376 ln ð1 þ x þ 1Þ dx Þ   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x ln ð1 þ x þ 1Þ þ x þ 1
x þ c 2 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h i pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x
1 dx
2 arctan x
1 þ 2 x
1 þ c 377 Þ x x   ð e
1 1 1 dx þ c 378 ln Þ e x
2e
x þ 1 ex þ 2 3 ð

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 379 sin x dx
2 x cos x þ 2 sin x þ c] Þ 374 Þ

380 Þ

ð

ð pffiffiffi x
1 pffiffiffi dx xþ1



pffiffiffi pffiffiffi 4 ln ð x þ 1Þ þ x
4 x þ c]

382 Þ

Determina la primitiva della funzione y ¼ x2
6x tale che l’ordinata del suo punto di flesso e` 2.   1 3 2 y ¼ x
3x þ 20 3

383 Þ

Determina la primitiva della funzione y ¼ 3x2 þ 3x tale che la tangente nel suo punto di flesso passa per il   punto di coordinate (0, 1). 3 9 y ¼ x3 þ x2 þ 2 8 x 384 Determina la primitiva della funzione y ¼ la cui tangente nel punto di ascissa 2 interseca l’asse y nel Þ x
1 punto di coordinate (0, 4). [y ¼ ln jx
1j þ x þ 6] 2x Determina la primitiva della funzione y ¼ che ha come asintoto orizzontale la retta di equazione   ðx2 þ 1Þ2 y ¼ 2. 2x2 þ 1 y¼ 2 x þ1

385 Þ

Complementi sull’integrale indefinito

Determina la primitiva della funzione y ¼ 12
3x2 tale che l’ordinata del suo punto di minimo e` 5. [y ¼
x3 þ 12x þ 21]

Unita` 2

381 Þ

386 Þ

Determina la primitiva della funzione f ðxÞ ¼ e2x
2ex tale che la tangente nel suo punto di flesso passa per il   punto di coordinate (1, 2). 1 2x 9 x FðxÞ ¼ e
2e þ 2 2

387 Þ

Una funzione f e` tale che:

a. f 00 ðxÞ ¼ cos 2x;

b. la tangente al grafico di f nel punto di ascissa x ¼

 e` orizzontale; 4

c. il grafico di f passa per l’origine.



Determina l’espressione analitica della funzione f . 388 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼

f ðxÞ ¼


1 1 1 cos 2x
x þ 4 2 4



2x2 þ 3 . x2

a. Determina la sua primitiva FðxÞ che ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ¼ 2x þ 1. b. Traccia il grafico della funzione FðxÞ. c. Determina le equazioni delle rette tangenti al grafico di FðxÞ nei suoi punti di intersezione con l’asse x.   3 10 xþ5 a. FðxÞ ¼ 2x
þ 1; c. y ¼ 5x
5, y ¼ x 3 389 Þ

Scrivi l’equazione della funzione che soddisfa le seguenti proprieta`:

390 Þ

Risolvi i seguenti quesiti.

a. f 00 ðxÞ ¼ 2x
1; b. la retta tangente nel suo punto di ascissa 0 e` parallela alla retta y ¼
2x; c. f ð0Þ ¼ 3: Tracciane quindi il grafico, scrivendo l’equazione della retta a esso tangente nel suo punto di intersezione con l’as se x la cui ascissa e` compresa tra 1 e 2. pffiffiffi 1 1 3 y ¼ x3
x2
2x þ 3; intersezioni con l’asse x per x ¼  6 _ x ¼ , 3 2 2  1 5 15 massimo per x ¼
1, minimo per x ¼ 2, flesso per x ¼ ; tangente: y ¼
x þ 2 4 8 a. Determina la funzione f ðxÞ tale che: f 0 ðxÞ ¼


2x ðx2 þ 3Þ2



 1 il cui grafico passa per il punto di coordinate 1, . 4 b. Traccia il grafico della funzione f ottenuta, determinando anche i punti di flesso. c. Tra i rettangoli aventi due vertici sull’asse x e gli altri due vertici sul grafico di f , determina quello di area  massima. 1 a. f ðxÞ ¼ 2 ; b. asintoto: y ¼ 0, massimo per x ¼ 0 e flessi per x ¼ 1; x þ3  1 c. il rettangolo avente un lato sulla retta di equazione y ¼ 6

95

Complementi sul calcolo integrale Tema M

391 Þ

Considera la funzione: xþa FðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ b 4x þ 8 a. Determina a e b in modo che sia una primitiva della funzione f ðxÞ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . ðx2 þ 8Þ3

b. Traccia il grafico della funzione FðxÞ in corrispondenza dei valori di a e b trovati, determinando in particolare i punti di flesso. c. Scrivi l’equazione della tangente alla funzione FðxÞ nel suo punto di flesso di ascissa positiva.  a. a ¼
4, b ¼ 8; b. asintoti: y ¼ 1 per x ! þ1 e y ¼
1 per x !
1;  4 13 minimo per x ¼
2 e flessi per x ¼
4 _ x ¼ 1; c. y ¼ x
9 9 392 Determina la funzione che soddisfa le seguenti condizioni: Þ a. f 00 ðxÞ ¼ x2
1;   b. e` pari; 1 4 1 2 2 x
x þ c. interseca l’asse x nel punto di coordinate (2, 0). f ðxÞ ¼ 12 2 3 exþ1 393 Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼
1 che ha come asintoto orizzontale per x ! þ1 Þ 1 þ exþ1 la retta di equazione y ¼ 3. Traccia il grafico della funzione ottenuta. [FðxÞ ¼ ln ð1 þ exþ1 Þ
x þ 2; per tracciarne il grafico, osserva che per x !
1 la funzione ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ¼
x þ 2 2 ln x 394 Considera la funzione f ðxÞ ¼ . Þ x a. Determina la sua primitiva FðxÞ che passa per il punto di coordinate ðe, 0Þ. b. Traccia il grafico della funzione FðxÞ. c. Determina per quale valore di a e` possibile applicare il teorema di Rolle alla funzione FðxÞ nell’intervallo ½a, e. d. Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico di FðxÞ nel suo punto di flesso.   2 a. FðxÞ ¼ ln2 x
1; b. minimo per x ¼ 1, flesso per x ¼ e; c. a ¼ e
1 ; d. y ¼ x
2 e 395 Þ

Determina la funzione che soddisfa le seguenti condizioni:

a. f 00 ðxÞ ¼ sin x
cos 2x;

b. il suo grafico passa per il punto di coordinate equazione y ¼ 2x. 396 Þ



, 0 e ha ivi per tangente una retta parallela a quella di 2   1 3 f ðxÞ ¼
sin2 x
sin x þ 2x þ
 2 2

Tra le primitive della funzione f ðxÞ ¼ ln ðx þ 2Þ determina la primitiva FðxÞ tale che limþ FðxÞ ¼ 3. x!
2

[FðxÞ ¼ ðx þ 2Þ ln ðx þ 2Þ
x þ 1 1 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ ðx2
1Þ2 e gðxÞ ¼ . x Determina: a. la primitiva di f che passa per il punto di coordinate (0, 1): b. la primitiva di g che passa per il punto di coordinate (e, 2); c. la primitiva di f ðgðxÞÞ il cui punto di flesso di ascissa positiva ha ordinata 0. d. la primitiva di gðf ðxÞÞ che ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y ¼ 2.   x
1 1 5 2 3 2 1 8 1 x
þ 2 a. x
x þ x þ 1; b. ln jxj þ 1; c. x þ

; d.
ln x þ 1 2ðx2
1Þ 5 3 x 3x3 3 4 p ffiffi ffi 398 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ e2x
1 e gðxÞ ¼ x. Þ Determina: a. la primitiva di f il cui punto di minimo ha ordinata 1; b. la primitiva di g che passa per il punto di coordinate (4, 0); c. la primitiva di f ðgðxÞÞ che passa per l’origine; pffiffiffi d. la primitiva di gðf ðxÞÞ che interseca l’asse x nel punto di coordinate ðln 2; 0Þ.   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 1 2 pffiffiffi 16 1 pffiffi pffiffiffi 1 a. e2x
x þ ; b. x x
; c. e2 x ð2 x
1Þ
x þ ; d.
arctan e2x
1 þ e2x
1 þ
1 2 2 3 3 2 2 4 397 Þ

96

( Data la funzione f ðxÞ ¼

ð
3,
6Þ.

x > < e
x
6 2 401 Determina la primitiva della funzione f ðxÞ ¼ je2x
1j che passa per l’origine. 6 Þ 4f ðxÞ ¼ > > : x
1 e2x þ 2 2

1 2 1 2

3 x  07 7 5 x e  2] 174 Considera il rettangolo ABCD di vertici Að0, 0Þ, Bð3, 0Þ, Cð3, 6Þ, Dð0, 6Þ. Determina le equazioni delle paraboÞ le (con asse verticale), aventi il vertice sul semiasse delle ordinate positive, che passano per il punto Cð3, 6Þ e divi
 dono il rettangolo ABCD in due parti, l’una il doppio dell’altra. 2 1 y ¼ x2 , y ¼ x2 þ 3 3 3 a  bx2 , determina i valori di a, b, c per i quali ha un asintoto obliquo di equazione 175 Data la funzione y ¼ Þ xþc pffiffiffi y ¼ 2x þ 8 e un punto di massimo di ascissa x ¼ 4 þ 2 3. Calcola quindi l’area della regione finita di piano li
mitata dal grafico della funzione e dall’asse x. 8  2x2 ; 32  24 ln 3 y¼ xþ4 4 176 Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ e y ¼ 2x2 , quindi determina l’area della regione finita di piano Þ
 1 þ x2 da essi delimitata. 4 2
 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 177 Considera la funzione y ¼ x x þ 4. Tracciane il grafico (tralascia lo studio di y 00 Þ e considera la regione di piaÞ na limitata da quest’ultimo e dall’asse x. a. Determina l’area della regione. b. Determina il volume del solido che si ottiene dalla rotazione completa della regione intorno all’asse x. 
128 64 ; b.
a. 15 3 178 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x3 . Þ a. Tracciane il grafico. 
b. Scrivi l’equazione della retta r, tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa 1. 27 c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dal grafico di f e dalla retta r. b. y ¼ 3x  2; c. 4 ex . 179 Considera la funzione y ¼ x Þ e þ2 a. Tracciane un grafico probabile. b. Determina l’area della regione di piano limitata dal grafico della funzione, dall’asse x, dall’asse y e dalla retta di equazione x ¼ ln 4.

[a. Funzione strettamente crescente, avente come asintoti y ¼ 1 ðper x ! þ1Þ e y ¼ 0 ðper x ! 1Þ; b. ln 2] 147

Complementi sul calcolo integrale Tema M

180 Þ

Considera la funzione y ¼

4 . 1 þ x2

a. Tracciane il grafico. b. Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa 1. c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dal grafico della funzione e dalla retta tangente. [b. y ¼ 4  2x; c.
 3] x

181 Þ

Considera la funzione esponenziale f di equazione y ¼ e 2 . a. Determina l’equazione della funzione g, simmetrica di f rispetto alla retta y ¼ 1. b. Determina il punto A in cui il grafico di g interseca l’asse x. c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dai grafici di f , di g e dalla retta parallela all’asse y pasx sante per A. [a. y ¼ 2  e 2 ; b. Að2 ln 2, 0Þ; c. 4  4 ln 2]

182 Þ

Considera la funzione logaritmica f di equazione y ¼ ln x. a. Determina l’equazione della funzione g, simmetrica di f rispetto alla retta x ¼ 1. b. Determina il punto A in cui il grafico di g interseca l’asse y. c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dai grafici di f , di g e dalla retta parallela all’asse x passante per A. [a. y ¼ ln ð2  xÞ; b. Að0, ln 2Þ; c. 2  2 ln 2]

183 Þ

Calcola l’area della regione di piano colorata in figura, limitata dai due rami nel primo quadrante delle curve 1 4 di equazioni y ¼ , y ¼ e dalle rette di equazioni y ¼ x, y ¼ 4x. [3 ln 2] x x y y = 4x y=x

y=

y=1 x

4 x x

O

184 Þ

Considera la funzione y ¼ sin2 x þ cos x  sin x. a. Determina il suo periodo T. b. Tracciane il grafico nell’intervallo [0, T]. c. Calcola l’area della regione di piano limitata dal grafico della funzione e dall’asse x.


a. T ¼
; c.


þ1 4

1 , verifica che l’area della regione colorata in figura e` costante, qualunque x sia il punto P appartenente al ramo di iperbole del primo quadrante. La retta r e` tangente all’iperbole in P, Q e` il punto di intersezione della retta r con l’asse x e R e` il punto dell’iperbole avente la stessa ascissa di Q.

185 Þ

Data l’iperbole di equazione y ¼

y y=

1 x

r

P R O

148

Q

x


ln 2 

1 2



Determina le aree delle due parti in cui la parabola divide il cerchio che ha come frontiera la circonferenza . 
4 4
 ; 3
þ 3 3 187 Le funzioni y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ hanno come grafici due Þ iperboli equilatere; di ciascuna iperbole e` rappresentato in figura un ramo. Determina, in base ai dati in figura, le espressioni analitiche di y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ e calcola l’area della regione colorata in giallo.

y

y=2 y = f(x)

–1 O –1

–2 y = g(x)

Complementi sull’integrale definito

Considera: a. la circonferenza  che ha centro nell’origine e raggio 2; b. la parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice nel punto in cui la circonferenza interseca il semiasse positivo delle x, passante per il punto in cui la circonferenza interseca il semiasse positivo delle y.

Unita` 3

186 Þ

x

y = –2




2x þ 4 2x 27 , gðxÞ ¼  ; Area ¼ 2 ln f ðxÞ ¼ x1 x1 16 

188 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice in V 0, Þ

14 3



 e passa per P(1, 4).

Determina quindi l’equazione dell’iperbole equilatera, avente come asintoti gli assi cartesiani, passante per P. Calcola l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola e dall’iperbole. 
2 14 28 ; xy ¼ 4; Area ¼  4 ln 2 y ¼  x2 þ 3 3 9 189 Þ

Due parabole congruenti a y ¼ x2 e aventi asse parallelo all’asse y e concavita` rivolta verso l’alto sono tangenti alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, rispettivamente, nei punti di ascissa 1 e 4. Determina le equazioni delle due parabole e l’area della regione finita di piano limitata da esse e dalla bisettrice stessa. 
9 y ¼ x2  x þ 1; y ¼ x2  7x þ 16; 4

190 In figura sono riportati i grafici delle due funzioni Þ y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ. La funzione y ¼ f ðxÞ e` polinomiale di terzo grado e ha un minimo nell’origine e un massimo in M(2, 2), mentre la funzione y ¼ gðxÞ rappresenta una parabola con asse verticale, che ha in comune con il grafico di y ¼ f ðxÞ i tre punti M, N e O. Determina le espressioni analitiche di y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ e calcola le aree delle due regioni colorate in verde e in viola.

y y = g(x)

N

–1


f ðxÞ ¼ 

2

O

M y = f(x)

2

x

1 3 3 2 5 4 x þ x , gðxÞ ¼ x2  x; Area verde ¼ ; Area viola ¼ 2 2 24 3



149

Complementi sul calcolo integrale Tema M

191 Sia O l’origine del sistema di riferimento e A(4, 0). Determina il punto B, nel primo quadrante, che forma con Þ O e A un triangolo equilatero. Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro nell’origine e passa per A e per B, e l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y avente vertice in A e passante per B. Calcola le aree delle due parti in cui il cerchio avente come contorno la circonferenza resta diviso dalla parabola. pffiffiffi 
pffiffiffi 8
10 pffiffiffi 40
10 pffiffiffi 3 ðx  4Þ2 ;  3; þ 3 Bð2, 2 3Þ; x2 þ y 2 ¼ 16; y ¼ 2 3 3 3 3 8 a > > x  2 > 2 > x > < 192 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x2 2 < x < 2 Þ > > > > b > : x2 x

a. Determina a e b in modo che sia continua in R. b. Traccia il grafico della funzione, in corrispondenza dei valori di a e b determinati. c. Calcola l’area della regione di piano limitata dal grafico della funzione f , dall’asse x e dalle rette di equazioni
 x ¼ 4 e x ¼ 4. 28 a. a ¼ 16, b ¼ 8; b. þ 8 ln 2 3 193 Considera la funzione y ¼ xðjxj  2Þ. Tracciane il grafico e determina l’area della regione di piano limitata dal Þ
 grafico della funzione e dall’asse x. 8 3 194 Considera la funzione f ðxÞ ¼ e2x þ 4ex . Þ a. Studiala e tracciane il grafico. b. Considera la regione finita di piano limitata dal grafico della funzione, dagli assi cartesiani e dalla retta di 19 . equazione x ¼ a, con a > 0. Determina per quale valore di a l’area di tale regione di piano e` uguale a 8 [b. a ¼ ln 2] 4 195 Considera l’iperbole di equazione y ¼ e la regione di piano D limitata dal grafico dell’iperbole, dall’asse x, Þ x dalla retta di equazione x ¼ 1 e dalla retta di equazione x ¼ k, con k > 1. Determina per quale valore di k il solido che si ottiene da una rotazione completa della regione D intorno all’asse x ha volume uguale al solido che si ottiene da una rotazione completa della regione D intorno all’asse y. [k ¼ 2] 

196 Data la circonferenza di raggio e centro in , 0 , considera la regione finita di piano, contenuta nel priÞ 2 2 mo quadrante, limitata da questa circonferenza e dal grafico della funzione y ¼ sin x. Determina il volume del soli
4  do generato dalla rotazione completa di tale regione di piano intorno all’asse x.

2  6 2

197 Data la funzione y ¼ tan x, con  < x < , considera la regione di piano limitata dal suo grafico, dall’asse Þ 2 2 y e dalla retta di equazione y ¼ 1. Determina il volume del solido che si ottiene dalla rotazione di tale regione di
2  piano intorno all’asse x.

2 pffiffiffi 198 a. Scrivi l’equazione dell’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate ð2 3, 0Þ e semiasse maggiore di lunÞ ghezza uguale a 4. b. Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, che ha vertice in Vð1, 1Þ e passa per l’origine. c. Considera la regione finita di piano, contenuta nel primo quadrante, limitata dall’ellisse, dalla parabola, dall’asse y e dalla retta di equazione x ¼ 2. Determina il volume del solido generato da tale regione di piano in una rota
zione completa intorno all’asse x. x2 y2 94
þ ¼ 1; b. y ¼ x2 þ 2x; c. a. 16 4 15 199 Determina l’equazione della parabola, avente asse parallelo all’asse y e concavita` rivolta verso il basso, che inÞ terseca l’asse x nell’origine O e nel punto Að3, 0Þ, tale che il segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse
 9
1 . y ¼  x2 þ x x, in una rotazione completa intorno all’asse x stesso, generi un solido di volume 10 3 200 Þ

Determina l’equazione dell’ellisse che ha due vertici in ð2, 0Þ e in una rotazione completa intorno all’asse y
2  genera un solido di volume 16
. x y2 þ ¼1 4 9 150

202 Þ

Area minima. Determina per quale valore di a > 0 l’area della regione di piano limitata dall’asse x, dal grafico pffiffiffi 1 della funzione y ¼ x þ e dalle rette di equazioni x ¼ a e x ¼ a þ 2 e` minima. [a ¼ 2  1
x 203 Þ

Volume minimo. Considera:

y

– la regione di piano D limitata dagli assi cartesiani e dall’arco della parabola di equazione y ¼ 1  x2 contenuto nel primo quadrante; – una retta r di equazione y ¼ a, con 0  a  1.

1 y = 1 – x2

Determina per quale valore di a il solido ottenuto da una rotazione completa della regione D intorno alla retta r ha volume minimo.

Complementi sull’integrale definito

Considera la regione di piano S del primo quadrante limitata dalla parabola di equazione y ¼ 4  x2 e dagli assi cartesiani. Determina il volume del solido: a. generato dalla rotazione della regione S di un giro completo intorno alla retta di equazione y ¼ 5; b. generato dalla rotazione della regione S di un giro completo intorno alla retta di equazione x ¼ 2. 
544
40
; b. a. 15 3

Unita` 3

201 Þ

y=a O

1

x


a¼

2 3



x e` invertibile nel suo dominio e trova l’exþ2 spressione analitica della sua inversa. Calcola l’area del trapezoide limitato dal grafico della funzione inversa, dal
l’asse x e dalle rette di equazioni x ¼ 1 e x ¼ 2. 2ex ; 2 ln ðe þ 1Þ f 1 ðxÞ ¼ 1e x 204 Þ

Funzione inversa e aree. Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ ln

205 Problemi nella storia Alcuni pionieri dell’analisi matematica, come Keplero e Newton, cercarono delle soluzioÞ ni a un problema antichissimo, di cui si era occupato gia` Archimede: il problema del calcolo del volume di una botte di vino. Keplero, in particolare, se ne occupo` nell’opera Nova stereometria doliorum del 1615. Supponiamo che la botte abbia altezza 2h, che sia delimitata inferiormente e superiormente da cerchi di raggio r e che la sezione mediana della botte sia un cerchio di raggio R. Tra le varie soluzioni proposte per il calcolo del volume, una si basa sul seguente modello geometrico: assunto un sistema di riferimento come quello nella figura qui sotto a destra, si considera la parabola che ha vertice in Vð0, RÞ e che passa per i punti Aðh, rÞ e Bðh, rÞ e si immagina la botte come generata da una rotazione completa intorno all’asse x della regione di piano limitata dalla parabola, dall’asse x e dalle rette x ¼ h e x ¼ h. a. Determina l’equazione della parabola. b. Verifica che il volume della botte e` espresso dalla formula:

V¼

2
h ð3r 2 þ 4rR þ 8R2 Þ 15

c. Supposto r ¼ 30 cm, R ¼ 40 cm, h ¼ 0,5 m, quanti litri di vino puo` contenere approssimativamente la botte? y r

V(0, R) B

A R

2h

r –h

r O

h

x

r




rR 2 x þ R; c. circa 425,2 litri a. y ¼ h2



151

Complementi sul calcolo integrale

Approfondimento: lunghezza di un arco di curva e area di una superficie di rotazione

207 y ¼ Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx þ 1Þ3

208 Þ

y¼

1 4 1 x þ 8 4x2

Tema M

209 Þ

y ¼ ln sin x

TEORIA a p. 108

Lunghezza di archi Calcola la lunghezza dell’arco di curva limitato dalle condizioni assegnate. pffiffiffiffiffi 0x2 206 y ¼ x3 Þ

210 y ¼ ln ðx2  1Þ Þ 211 Þ

y¼

1 2 x 2

1  x  0 1x2

x 6 2 2x4 0x1




 pffiffiffiffiffiffi 1 ð22 22  8Þ 27
 pffiffiffiffiffiffi 1 ð13 13  8Þ 27
 33 16 pffiffiffi 

ln ð2 þ 3Þ


 5 9 " pffiffiffi  pffiffiffi 1 2 ln ð1 þ 2Þ þ 2 2 2  ln

Aree di superfici di rotazione Calcola l’area della superficie ottenuta da una rotazione completa intorno all’asse x dell’arco di curva limitato dalle condizioni assegnate. h pffiffiffii 212 y ¼ x þ 2 1  x  3 16
2 Þ
 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 13
213 y ¼ x þ 1 1  x  1 Þ 3
 p ffiffiffi pffiffiffi 8
214 y ¼ 2 x 0x1 ð2 2  1Þ Þ 3 h
i pffiffiffiffiffiffi 215 y ¼ x3 0x1 ð10 10  1Þ Þ 27 h pffiffiffi pffiffiffi i 216 y ¼ sin x 0  x 
2
2 
ln ð3  2 2Þ Þ 217 Þ

y ¼ cos x





x 2 2

3. Altre applicazioni del concetto di integrale definito

h pffiffiffi pffiffiffi 2
2 þ 2
ln ð1 þ 2Þ]

TEORIA a p. 111

Applicazioni alla fisica 218 In un moto rettilineo la velocita` di un punto materiale, in metri al secondo, e` espressa in funzione del tempo Þ dalla legge vðtÞ ¼ t 2 þ 2t þ 3. Determina lo spazio percorso nell’intervallo di tempo compreso tra gli istanti t1 ¼ 1 s [45 m] e t2 ¼ 4 s. 219 In un moto rettilineo l’accelerazione di un punto materiale, in metri al secondo quadrato, e` espressa in funÞ zione del tempo dalla legge aðtÞ ¼ t 2  2t þ 3. Determina la velocita` dopo 9 secondi dall’istante iniziale t0 ¼ 0 s, sa[194 m/s] pendo che nell’istante iniziale e` v0 ¼ 5 m/s. 220 Þ

Sapendo che la legge con cui varia nel tempo la velocita` di un punto materiale P che si muove su una retta e` vðtÞ ¼ ðt þ 1Þet , determina la legge oraria, sapendo che nell’istante t ¼ 1 s il punto ha percorso 1 m. [sðtÞ ¼ 1 þ 3e1  et ðt þ 2Þ


221 Þ

Un punto materiale si muove lungo una retta con velocita` espressa dalla legge vðtÞ ¼ t 2  5t þ 4 (misurata in metri al secondo). Determina: a. lo spostamento del punto nell’intervallo di tempo compreso tra 0 e 6 s; b. lo spazio complessivamente percorso dal punto nell’intervallo di tempo compreso tra 0 e 6 s. [a. 6 m; b. 15 m] 152

223 Þ 224 Þ

Calcola il lavoro necessario per allungare una molla, di costante di elasticita` uguale a 800 N/m, da 10 a 15 cm. [ 5 J]

La distanza tra due sfere di masse, rispettivamente, m ed M (in kilogrammi) e` r1 (in metri). Ricordando che tra ~, di intensita` F ¼ G Mm , dove G ¼ 6,67  1011 Nm2 =kg2 , verifica che le due masse agisce la forza di gravitazione F r2 il lavoro (in joule) necessario per allontanare le due sfere, in modo da portarle a una distanza r2 > r1 , e` uguale a   1 1  . GMm r1 r2 225 Þ

In un circuito l’intensita` i di corrente, misurata in ampere, e` espressa in funzione del tempo t, misurato in secondi, dalla relazione iðtÞ ¼ 1  e2t . Calcola la quantita` di carica che attraversa una sezione del circuito nell’inter[Circa 2,93 C] vallo di tempo compreso tra gli istanti t1 ¼ 1 s e t2 ¼ 4 s. 226 In un circuito l’intensita` i di corrente, misurata in ampere, e` espressa in funzione del tempo t, misurato in seÞ condi, dalla relazione iðtÞ ¼ 2 þ 0,5t. Calcola la quantita` di carica che attraversa una sezione del circuito nell’inter[16 C] vallo di tempo compreso tra gli istanti t1 ¼ 2 s e t2 ¼ 6 s.

Complementi sull’integrale definito

Un punto materiale si muove su una retta, su cui e` stato fissato un sistema di ascisse, a causa di una forza la 6 cui intensita` (in newton) e` legata all’ascissa del punto dalla legge FðxÞ ¼ . Determina il lavoro compiuto ðx þ 2Þ2 dalla forza quando il punto si sposta dall’origine a una distanza di 8 m dall’origine. [2,4 J]

Unita` 3

222 Þ

227 Determina l’energia dissipata per effetto Joule in un circuito di resistenza R ¼ 8 , percorso da una corrente Þ alternata i la cui intensita`, in ampere, e` iðtÞ ¼ 80 sin 300
t nell’intervallo di tempo che va dall’istante t0 ¼ 0 a 1 t1 ¼ s. [2560 J] 10 228 Þ

Un punto materiale che all’istante t ¼ 0 s si trova nell’origine del sistema di riferimento si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con velocita` v ¼ 3 þ 2t per ogni t  0, con il tempo misurato in secondi e lo spazio in metri. Calcola con gli strumenti dell’analisi matematica la distanza percorsa dal punto materiale nei primi 5 s. [s ¼ 40 m] 229 Þ

Un punto materiale che all’istante t ¼ 0 s si trova nell’origine del sistema di riferimento si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione a ¼ 1,5 m/s2 . Determina l’espressione della velocita` istantanea, sapendo che all’istante t ¼ 4 s la velocita` e` v ¼ 15 m/s. Calcola inoltre, sempre con gli strumenti dell’analisi matematica, la distanza percorsa dal punto materiale nei primi 5 s. [v ¼ 21  1,5t; s ¼ 86,3 m] 230 Þ

Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione a ¼ 8 m/s2 . All’istante t ¼ 0 s il punto materiale si trova a 3 m dall’origine del sistema di riferimento nel verso positivo e ha velocita` iniziale v0 ¼ 7 m/s. Determina, con gli strumenti dell’analisi matematica, l’espressione della legge del moto e rappresenta graficamente le tre leggi che danno rispettivamente la velocita`, l’accelerazione e la posizione del punto materiale. [s ¼ 4t 2 þ 7t þ 3] 231 Þ

Una forza applicata a una molla di costante elastica k ¼ 25 N/m la allunga di 10 cm. Calcola il lavoro fatto dalla forza per allungare la molla. [0,125 J] 232 Calcola la quantita` di carica elettrica che attraversa la sezione di un circuito elettrico tra gli istanti di tempo Þ t1 ¼ 2 s e t2 ¼ 3 s se la corrente che scorre nel circuito (misurata in ampere) varia nel tempo con la legge [q ¼ 49 C] i ¼ 6t 2 þ 4t þ 1. 233 Þ

La f.e.m. indotta in un circuito elettrico (misurata in volt) varia nel tempo secondo la legge f.e.m. ¼ 3e2t . ! Determina la variazione
ð B ) del flusso del campo magnetico tra gli istanti t1 ¼ 1 s e t2 ¼ 3 s.
 3 6 ! 2
ð B Þ ¼ ðe  e Þ Wb 2

234 Þ

Una carica q1 ¼ þ2 C e` posta nel vuoto inizialmente a una distanza d1 ¼ 50 cm da una carica q2 ¼ þ4 C fissa nell’origine del sistema di riferimento. Determina il lavoro che la forza elettrostatica deve fare per spostare la carica q1 dal[71,9  109 J] la distanza iniziale d1 ¼ 50 cm alla distanza d2 ¼ 100 cm lungo la retta congiungente le due cariche. 235 Una trasformazione isoterma alla temperatura di 323 K fa passare 2 moli di gas perfetto dal volume iniziale Þ Vi ¼ 10 dm3 al volume finale Vf ¼ 15 dm3 . Calcola il lavoro W compiuto dal gas durante la trasformazione. 
ð Vf nRT dV ¼ 5371  ln 1,5  103 J W¼ V Vi 236 Þ

Determina l’espressione del valore efficace della corrente elettrica alternata i ¼ IM sin !t, dove IM e` il valore
 massimo della corrente alternata e ! la pulsazione. IM ieff ¼ pffiffiffi 2

153

Complementi sul calcolo integrale Tema M

237 Þ

La densita` lineare (misurata in kilogrammi per metro) di una sbarra lunga 4 m e` espressa dalla funzione pffiffiffi ðxÞ ¼ 5 þ 6 x, essendo x la distanza in metri da uno dei due estremi della sbarra. Calcola la massa totale della sbarra. [52 kg]

238 Þ

La densita` lineare (misurata in kilogrammi per metro) di una sbarra lunga 3 m e` espressa dalla funzione 12 , essendo x la distanza in metri da uno dei due estremi della sbarra. Calcola la massa totale della ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ2 sbarra. [9 kg]

Applicazioni alla realta` 239 Riempimento di un recipiente. Un recipiente, inizialmente vuoto, viene riempito di acqua a una velocita` di Þ 1 þ t 2 litri all’ora, essendo t il tempo (in ore) trascorso da quando si e` iniziato a riempire il recipiente. Dopo 3 ore, quanta acqua conterra` il recipiente? [12 litri] 240 Þ

Crescita di una popolazione di insetti. Una popolazione di insetti cresce alla velocita` di 20 þ 6t þ 3t 2 insetti al giorno, essendo t (in giorni) il tempo trascorso dall’inizio dell’osservazione dalla popolazione di insetti. Da quanti insetti sara` formata la popolazione dopo 4 giorni, assumendo che per t ¼ 0 ci siano 18 insetti? [210] 241 Þ

Densita` di una popolazione / 1. In una citta` la densita` di popolazione (ossia il numero di abitanti per kilo120 metro quadrato) dipende dalla distanza r dal centro della citta` secondo la legge ðrÞ ¼ . Determina il nuð1 þ r 2 Þ2 mero di abitanti della citta` che risiedono a meno di 2 km dal centro. (Suggerimento: dimostra preliminarmente che il numero di abitanti a meno di 2 km dal centro e` dato dall’integrale
 ð2 96
’ 302 abitanti 2
rðrÞ dr) 0

242 Þ

Densita` di una popolazione / 2. In una citta` la densita` di popolazione (ossia il numero di abitanti per kilo60 metro quadrato) dipende dalla distanza r dal centro della citta` secondo la legge ðrÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . Determina il nume1þr ro di abitanti della citta` che risiedono a meno di 3 km dal centro.#[320
’ 1005 abitanti]

Valore medio Determina il valore medio delle seguenti funzioni nell’intervallo dato. 243 Þ

f ðxÞ ¼ x3

244 Þ

f ðxÞ ¼ sin x

245 Þ

f ðxÞ ¼

1 xþ1

½0, 2


[2]

½0,




 2


½0, 1


½ln 2


1 x2 þ 1

246 Þ

f ðxÞ ¼

247 Þ

f ðxÞ ¼ sin2 x cos x

248 Þ

f ðxÞ ¼ xex

h
i

½1, 1




,
2



½0, 4


4
 2  3

 1 5  e4 4 4

pffiffiffi x. Determina il suo valore medio M nell’intervallo ½0, 4
e il
valore di x per cui 4 16 la funzione assume valore uguale a M. M¼ ,x¼ 3 9 pffiffiffi 250 Considera la funzione f ðxÞ ¼ x  x. Determina per quale valore di k il suo valore medio nell’intervallo [0, k], Þ 2 con k > 0, e` . [k ¼ 4] 3
 4r 251 Calcola il valore medio delle lunghezze delle corde di una circonferenza di raggio r. Þ
249 Þ

Considera la funzione f ðxÞ ¼

252 Þ

Matematica e fisica La temperatura (misurata in gradi centigradi) in una citta` varia in un giorno secondo la

legge TðtÞ ¼ 14  8 cos


 t , essendo t misurato in ore. Trova la temperatura media nell’intera giornata. [14  C] 12

253 Þ

Matematica e fisica Un oggetto, con velocita` iniziale nulla, accelera con accelerazione costante uguale a 10 [60 m/s] m=s2 . Trova il valore medio della velocita` nei primi 12 s.

254 Þ

Matematica e fisica Calcola il valore medio dell’intensita` di una corrente alternata i, espressa in funzione del

tempo dalla legge iðtÞ ¼ k sin !t, in un intervallo di tempo uguale alla prima meta` del suo periodo. 154




2k




Unita` 3

4. Funzioni integrabili e integrali impropri

TEORIA a p. 116

Esercizi preliminari

Complementi sull’integrale definito

Test 255 Þ A

256 Þ A

257 Þ A

258 Þ A

259 Þ

Quale dei seguenti integrali e` improprio? ð1 ð2 1 B ln x dx dx 0 2x þ 1 1

ð1 C 0

Quale dei seguenti integrali non e` improprio? ð1 ð1 1 ex B dx dx x 0 ln x 0 e þ1 Quale dei seguenti integrali converge? ð1 ð1 1 1 B pffiffiffi dx dx x 0 0 x

ð2 C 1

ð1 C 0

Quale dei seguenti integrali converge? ð þ1 ð þ1 1 1 B p pffiffiffi dx ffiffiffi dx 3 x x 1 1

ð1

1 dx 2x  1

D

1 dx ln x

D

1 dx x2

D

ð þ1 C 1

0

ð1 0

ð1 0

x dx ex

ex dx ex  1

1 dx x3

ð þ1

1 dx x

D 1

1 dx x2

Vero o falso?

Siano f e g due funzioni positive e continue in ½a, þ1Þ. ð þ1 ð þ1 gðxÞ dx converge, allora anche f ðxÞ dx converge a. se f ðxÞ  gðxÞ per ogni x 2 ½a, þ1Þ e b. se f ðxÞ  gðxÞ per ogni x 2 ½a, þ1Þ e ð þ1 c. se a ð þ1

d. se a ð þ1

e. se

f ðxÞ dx converge e f ðxÞ dx converge e f ðxÞ dx diverge e

a

F

f ðxÞ dx diverge

V

F

½f ðxÞ þ gðxÞ
dx converge

V

F

V

F

V

F

a ð þ1

gðxÞ dx diverge, allora anche a

ð þ1

V

a ð þ1

ð þ1

gðxÞ dx converge, allora anche a ð þ1

a ð þ1

gðxÞ dx diverge, allora anche

a ð þ1

a ð þ1

gðxÞ dx diverge, allora anche a

a

½f ðxÞ þ gðxÞ
dx diverge

½f ðxÞ þ gðxÞ
dx diverge

a

[3 affermazioni vere e 2 false]

Calcolo di integrali impropri 260 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Calcola i seguenti integrali, se convergenti: ð þ1 ð1 2 ln x 1 dx dx b. a. 3 x x x ln 0 e a. Osserva che la funzione integranda e` continua in ð0, 1
ma presenta un asintoto verticale per x ¼ 0, poiche´ ln2 x ¼ þ1. Pertanto: x!0 x
1 ð1 2 ð1 2 ln x ln x 1 3 dx ¼ limþ dx ¼ limþ ln x ¼ :::::::::: t!0 t!0 x x 3 0 t t limþ

Troverai che l’integrale dato diverge. b. Si tratta di un integrale su un intervallo illimitato. Osservato che la funzione integranda e` continua in ½e, þ1Þ, possiamo scrivere: ðt ðt ð þ1 h it 1 1 1 3 dx ¼ lim dx ¼ lim dx ¼ lim :::::::::: ¼ :::::::::: ðln xÞ t!þ1 e x ln3 x t!þ1 e x t!þ1 e x ln3 x e Se svolgi correttamente i calcoli, troverai che il valore dell’integrale e`

1 . 2 155

Complementi sul calcolo integrale Tema M

Calcola i seguenti integrali, se convergenti. ð þ1 1 ffi dx 261 [Diverge] Þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ2
 ð0 ffiffiffi 1 3p 3 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 262 4 Þ 3 2 xþ2 2 ð3 h
i 1 ffi dx 263 Þ 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 9  x2
 ð þ1 1 1 dx 264 Þ 3 2 x ln x e ð0 x e 265 dx [ln 2] Þ 1 þ ex 1 ð3 1 [Diverge] 266 Þ 0 x2  9 dx
 ð þ1 x 1 267 dx Þ 0 ðx2 þ 1Þ2 2 ð e3 268 ln x2 dx [4e3 ] Þ 0

269 Þ 270 Þ 271 Þ 272 Þ 273 Þ 274 Þ 275 Þ 276 Þ 277 Þ 278 Þ 279 Þ 280 Þ 281 Þ 282 Þ 283 Þ 284 Þ

156

ð þ1 1

ð þ1

1 dx x2 þ 2x ðx  2Þe

x

1

ð1 0

ð4

x þ1 dx x4 2

1þx pffiffiffi dx x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4x

2 ð þ1 1 ð1

 1 ln 3 2

dx

0

ð þ1




[1]
 4 3
 8 3 h pffiffiffii 2 2 h
i

1 dx 2 x þ4

2 ½1


ln x dx 0

ð þ1 x2

0

ð1

x dx þ1

1þx dx x

[Diverge]

3

0 ð þ1

[Diverge]

xex dx

0

ln6 x x

0

e x dx x2

ð1 ð1

[1]

x2 ln x dx

1

ð0 1

ð þ1 0

[Diverge]

1

0 ð þ1

x1 dx x2 þ 2x x2 e x 1 dx x2 þ 3x þ 2

286 Þ 287 Þ 288 Þ 289 Þ 290 Þ 291 Þ 292 Þ 293 Þ 294 Þ 295 Þ 296 Þ 297 Þ 298 Þ 299 Þ 300 Þ

ð þ1 0

ð2

e1




1 9





[Diverge] [2] ½ln 2


1 dx 2 x þ 4x þ 5




x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2 x 1 1 ð þ1 1 dx x ln x e ð þ1 1 pffiffiffi dx xð2 þ xÞ 0 ð þ1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x 3 ln x e ð0 x dx 4 1 1 þ x ð þ1 arctan x dx 1 þ x2 1 ð0 ln ðx þ 1Þ dx 1 ð þ1 0 ðe


1  arctan 4 3

pffiffiffi 3 [Diverge] " pffiffiffi #
2 2 [Diverge] h
i  4
 3 2
32 ½1


1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ex  1

½



1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x ln x

[2]

1

½2 ln 3


0

1 pffiffiffi dx xþ x

ð4

ð þ1


 1 2
 1 2

sin x ex dx

0

ð þ1 1

ð0 ð þ1 0

ð4 0

x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ðx2 þ 3Þ3


 1 2

x

1

cos x e dx

h
i

x dx ð1 þ xÞð1 þ x2 Þ

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx j4  x2 j

4 h
2

þ ln ð2 þ

pffiffiffi i 3Þ

301 Þ ð

Determina per quale valore di a risulta: 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 4 x þ1 1 a

0

ð1

285 Þ

[a ¼ 3]

302 Þ ð

Determina per quali valori di a risulta:
 1 1 dx ¼ 2
a ¼  2 2 2 1 x þ a þ1

303 Þ

Stabilisci per quali valori del parametro reale  ð1 l’integrale x ln x dx converge e, per tali valori di ,
 0 1 calcola l’integrale.  > 1;  ð þ 1Þ2 304 Þ

Stabilisci per quali valori del parametro reale  ð þ1 1 l’integrale dx converge e, per tali valori xðln xÞ
 e 1 di , calcola l’integrale.  > 1; 1

305 Þ

Unita` 3

Criteri di convergenza ESERCIZIO SVOLTO

a. La funzione integranda e` continua in ½1, þ1Þ. Poiche´ ex  1 per ogni x  0, sara` 1 þ ex  2 per ogni x  0. Ne segue che: ð þ1 ð þ1 1 þ ex 2 dx  dx 2 2 x x 1 1 ð þ1 2 Poiche´ dx converge, per i teoremi del confronto sugli integrali impropri converge anche l’integrale di par2 x 1 tenza. b. Osserviamo che la funzione integranda presenta un asintoto verticale per x ¼ 0. Poiche´ sin x  1 per ogni x 2 R, ne segue che 3 þ sin x  2 per ogni x 2 R. Ma allora: ð1 ð1 3 þ sin x 2 dx  dx x 0 0 x ð1 2 Poiche´ dx diverge, per i teoremi del confronto sugli integrali impropri diverge anche l’integrale di partenza. 0 x 306 Þ 307 Þ 308 Þ

ð þ1 Dimostra, applicando i teoremi del confronto per gli integrali impropri, che 1

ð
0

0

tan x dx diverge. x2

ð1 Dimostra, applicando i teoremi del confronto per gli integrali impropri, che

ð þ1

309 Þ

Dimostra, applicando i teoremi del confronto per gli integrali impropri, che

310 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

3 þ ex dx diverge. x

cos2 x p ffiffiffi dx converge. 3 x

Dimostra, applicando i teoremi del confronto per gli integrali impropri, che

1

Complementi sull’integrale definito

Studiamo la convergenza dei seguenti integrali: ð þ1 ð1 1 þ ex 3 þ sin x a. dx b. dx x2 x 1 0

arctan x dx converge. x4 þ 1

Utilizzando i criteri di convergenza sugli ordini di infinitesimo e di infinito, stabilisci per quali valori del parametro reale  i seguenti integrali impropri convergono. ð þ1 ð5 5 þ x3 1 þ x4 a. dx b. dx,  > 0  x x 1 0 a. Affinche´ l’integrale possa convergere la funzione integranda deve anzitutto essere infinitesima per x ! þ1, il che implica  > 3. Supposta verificata questa ipotesi, verifica che per x ! þ1 l’ordine di infinitesimo della funzione integranda e`   3; in base ai teoremi visti l’integrale e` convergente se e solo se   3 > :::, da cui :::::::::: b. Verifica che la funzione integranda e` infinita per x ! 0 di ordine . In base ai teoremi visti l’integrale e` convergente se e solo se ::::::::::, da cui :::::::::: Utilizzando i criteri di convergenza sugli ordini di infinitesimo e di infinito, stabilisci per quali valori del parametro reale  i seguenti integrali impropri convergono. ð þ1 ð1 1 þ x2 1  cos x 311 dx ½ > 3
315 dx,  > 0 ½0 <  < 3
Þ Þ  x x 1 0 ð þ1 ð1 1 1 þ x2 316 x sin dx ½ < 0
312 dx,  > 0 ½ 0 <  < 1
Þ Þ x 1 x 0
 ð þ1 ð1 x 1 1 e 1 dx,  > 0 0 <  < 317 313 dx,  > 0 ½0 <  < 2
Þ 0 x2 ð1 þ x2 Þ Þ 2 x 0 ð þ1 2 6 x ð þ1 ðx þ 1Þð1  e Þ 1 þ x 318 dx,  > 0 ½3 <  < 7
Þ 314 dx ½ < 1
Þ x 2 0 1þx 0

157

Complementi sul calcolo integrale Tema M

319 Þ

ð þ1 Considera l’integrale 0

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffin dx. x2 þ 1

320 Þ

a. Stabilisci per quali valori di n 2 N converge. b. Calcola il valore dell’integrale in corrispondenza del minimo valore di n per cui converge. [a. n  3; b. 1]

Determina per quale valore di k l’integrale:  ð þ1  x k  dx x2 þ 1 2x þ 1 0 converge. In corrispondenza di questo valore di k, calcola l’integrale. [k ¼ 2; ln 2]

Applicazioni al calcolo di aree e volumi 1 Determina l’area della regione di piano limitata dall’asse x, dalla retta x ¼ e dal grafico della funzione 2 1 1 [2] y ¼ 2 per x  . x 2 321 Þ

322 Þ

Stabilisci se l’area della regione di piano contenuta nel primo quadrante, limitata dal grafico della funzione x e dall’asse x, e` finita o infinita. [Infinita] y¼ 2 x þ4 323 Þ



Considera la regione dei punti del piano le cui coordinate (x, yÞ soddisfano il sistema: x0 0  y  ex

a. Determina la sua area. b. Determina il volume del solido ottenuto da una sua rotazione completa intorno all’asse x.



a. 1; b. 2

324 Þ

Considera la regione dei punti del piano le cui coordinate (x, yÞ soddisfano il sistema: 8 0, in modo che il grafico della funzione y ¼

a b þ 2 x x

2 intersechi l’asse x nel punto

di coordinate (2, 0) e l’area della regione di piano limitata dalla parte di esso con x  2 e dall’asse x sia uguale a

3 . 2

Traccia quindi il grafico della funzione in corrispondenza dei valori di a e b trovati. [a ¼ 3, b ¼ 6; la funzione corrispondente a questi valori di a e b ha come asintoti x ¼ 0 e y ¼ 0, un minimo per x ¼ 2 e un massimo per x ¼ 4] 158

Unita` 3

330 Þ

sia continua e derivabile in R. Traccia quindi il grafico della funzione e determina l’area della regione del primo 
quadrante limitata dal suo grafico, dall’asse x e dall’asse y. 8 a ¼ 0, b ¼ 2; Area ¼ 3 331 Considera la regione illimitata di piano, contenuta nel primo quadrante, limitata dall’asse x e dal grafico della Þ funzione y ¼ xex . Determina: 
a. la sua area;
b. il volume del solido che si ottiene da un sua rotazione completa intorno all’asse x. a. 1; b. 4 332 Considera la regione illimitata di piano, contenuta nel quarto quadrante, limitata dall’asse y, dall’asse x e dal Þ grafico della funzione y ¼ ln x. Determina: a. la sua area;
 b. il volume del solido che si ottiene da un sua rotazione completa intorno all’asse x;
c. il volume del solido che si ottiene da un sua rotazione completa intorno all’asse y. a. 1; b. 2
; c. 2 333 Þ

Complementi sull’integrale definito

Determina a e b in modo che la funzione: 8 2 < x þ ax þ b x < 1 y¼ : 1 x1 x2

Matematica e fisica Indichiamo con M, R, rispettivamente la massa e il raggio della Terra. La Terra esercita una

GMm su un oggetto di massa m, il cui baricentro e` posto a una distanza r r2 dal centro della terra (essendo G la costante di gravitazione universale).

forza gravitazionale di intensita` FðrÞ ¼

a. Verifica che il lavoro (in joule) necessario per portare un oggetto posto sulla superficie della Terra GMm . infinitamente lontano da essa e` uguale a R b. Un oggetto di massa m, lanciato dalla superficie della Terra con velocita` iniziale v0 , esce dal campo gravitazionale terrestre se la sua energia cinetica e` almeno uguale al lavoro necessario per portare l’oggetto infinitamente lontano dalla Terra: tenendo conto di cio` e del risultato ottenuto al punto a., verifica che rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2GM . v0  R c. Utilizzando i risultati ottenuti nei punti precedenti, calcola il lavoro necessario per portare un satellite di 1000 kg infinitamente lontano dalla Terra e la sua velocita` di fuga dalla superficie terrestre (cioe` la minima velocita` con cui deve essere lanciato il satellite dalla Terra per uscire dal campo gravitazionale). [c. Lavoro ’ 6,26  1010 J; vfuga ’ 11,2 km/s]

5. La funzione integrale Esercizi preliminari 334 Þ

Quanto vale Fð3Þ, se FðxÞ ¼

ðx

f ðtÞ dt?

3

Test 335 Þ

Quale delle seguenti funzioni e` la primitiva FðxÞ 2 di f ðxÞ ¼ ex tale che Fð1Þ ¼ 0? ðx 2 A FðxÞ ¼ et dt B

C

D

FðxÞ ¼ FðxÞ ¼ FðxÞ ¼

1 ðx

et dt 2

1 ð xþ1 1 ð x1 1

e

t 2

336 Þ

Data la funzione FðxÞ ¼ le F 0 ð0Þ?

ðx 1

et dt, quanto vat2 þ 1

A

1

C

1

B

0

D

2

337 Þ

Quale delle seguenti e` la derivata della funzione ð x3 FðxÞ ¼ sin ðt 2 Þ dt? 0

dt

et dt 2

TEORIA a p. 122

0

A

F ðxÞ ¼ sin x2

B

F 0 ðxÞ ¼ cos x2

C

F 0 ðxÞ ¼ 2x cos x2

D

F 0 ðxÞ ¼ 3x2 sin x6 159

Complementi sul calcolo integrale Tema M

338 Þ

Vero o falso? V F a. tutte le funzioni continue in [a, b] ammettono primitive in [a, b] b. tutte le primitive di una funzione continua in [a, b] sono esprimibili elementarmente V F c. la funzione integrale relativa a una funzione f integrabile in R e` continua in R, anche se f e` V F discontinua in qualche punto d. la funzione integrale relativa a una funzione f integrabile in R e` derivabile in R, anche se f non e` V F derivabile in qualche punto e. la funzione integrale di una funzione continua in [a, b] e` derivabile in [a, b] V F [3 affermazioni vere e 2 false]

Espressione analitica di una funzione integrale Determina l’espressione analitica delle seguenti funzioni integrali. ðx 339 FðxÞ ¼ sin t dt Þ

½FðxÞ ¼ 1  cos x


2





 2 pffiffiffi 16 FðxÞ ¼ x x  3 3
 1 FðxÞ ¼ ln x  1 2
 1 1 FðxÞ ¼  2 2x4 h i
FðxÞ ¼ 2 arctan x þ x þ  1 2

ð x pffiffi t dt 340 FðxÞ ¼ Þ 4

341 Þ

FðxÞ ¼

e

342 FðxÞ ¼ Þ 343 Þ 344 Þ

FðxÞ ¼

ð x2

FðxÞ ¼

ðx

1 dt, con x > e2 t 1 dt, con x > 1 t3

1

ðx 1

t2  1 dt t2 þ 1

ln ðt 2 þ 1Þ dt

 FðxÞ ¼ 2 arctan x þ x ln ðx2 þ 1Þ  2x

0

345 FðxÞ ¼ Þ 346 Þ

ð pxffiffi

FðxÞ ¼

ðx 1

ðx




t dt 2 t þ1

1

FðxÞ ¼


arctan t dt

347 Þ

Determina l’espressione analitica della funzione FðxÞ ¼ funzione di cui e` tracciato il grafico in figura.

ðx 1

1 x2 þ 1 ln 2 2

1 x2 þ 1
FðxÞ ¼ xarctan x  ln  2 2 4

 

f ðtÞ dt, con x 2 ½1, 6
, essendo f : ½1, 6
! R la

y 4 y = f (x)

( –1

O

2

x

6

348 Determina l’espressione analitica della funzione FðxÞ ¼ Þ zione di cui e` tracciato il grafico in figura.

ðx

FðxÞ ¼

4x þ 4 1  x2 þ 6x þ 2 2

1  x  2

#

2 > > : ð3t 2  4tÞdt þ b x  0

Considera la parabola di equazione y ¼ ax2 þ 2x.

a. Determina a in modo che sia concava e che l’area del segmento parabolico limitato da essa e dalla bisettrice 1 del primo e del terzo quadrante sia . 6 b. In corrispondenza del valore di a trovato, determina la corda del segmento parabolico parallela all’asse x di 
lunghezza massima. 3 a. a ¼ 1; b. la corda individuata dalla retta di equazione y ¼ 4 428 Þ

Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x4 þ 2x2 e gðxÞ ¼ 2  2x2 .

a. Traccia i grafici di f e g. b. Dimostra che le due funzioni f e g sono tangenti nei loro punti di intersezione. c. Determina l’area della regione finita di piano delimitata dai grafici di f e di g.
 32 b. punti in comune: ð1, 0Þ; c. 15 b 429 Considera la funzione y ¼ x þ a þ . Þ xþ1 a. Determina a e b in modo che abbia come asintoto obliquo la retta di equazione y ¼ x  2 e presenti un punto di massimo relativo per x ¼ 3. b. Traccia il grafico della funzione. c. Sia k > 0. Determina l’area della regione finita di piano limitata dal grafico della funzione, dal suo asintoto obliquo, dall’asse y e dalla retta di equazione x ¼ k. d. Stabilisci per quale valore di k l’area di cui al punto precedente e` uguale a 16. [a. a ¼ 2, b ¼ 4; b. massimo in ð3, 7Þ, minimo in ð1, 1Þ; c. 4 ln ðk þ 1Þ; d. k ¼ e4  1] 430 Þ

Considera la funzione y ¼

ax2 þ b . x2 þ 1

a. Determina a e b in modo che la curva  che la rappresenta passi per il punto (2, 0) e abbia ivi come tangente una retta parallela alla retta di equazione 8x  5y þ 1 ¼ 0. b. Traccia il grafico della funzione in corrispondenza dei valori di a e b trovati, determinando in particolare i punti di flesso. c. Scrivi l’equazione della curva  0 , simmetrica di  rispetto alla retta passante per i due punti di flesso. d. Determina l’area della regione finita di piano limitata da  e  0 .
a. a ¼ 2, b ¼ 8; b. asintoto orizzontale: y ¼ 2, minimo in ð0, 8Þ, flessi in

! pffiffiffi 3 11 ,  ; 3 2

 pffiffiffi 13x2 þ 3 20
; d.  10 3 c. y ¼  2 x þ1 3

167

Complementi sul calcolo integrale Tema M

431 Þ

Considera la funzione y ¼ f ðxÞ ¼

1 þ kx2 . x2

a. Determina k in modo che abbia come asintoto orizzontale la retta y ¼ 1. In corrispondenza del valore di k trovato: b. traccia il grafico della funzione ottenuta, indicando con A e B (con xA < xB Þ i suoi punti di intersezione con l’asse x; c. scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione f in A e B, indicando con C e D, rispettivamente, gli ulteriori punti che tali rette hanno in comune con il grafico di f ; d. determina l’area del quadrilatero mistilineo ABCD.
a. k ¼ 1; b. Að1, 0Þ, Bð1, 0Þ; c. tangente in A: y ¼ 2x þ 2, tangente in B: y ¼ 2x þ 2,      1 1 , 3 , D  , 3 ; d. 4 C 2 2 432 Þ

Considera il fascio di parabole con asse parallelo all’asse y che intersecano l’asse x nei due punti di coordinate ð1, 0Þ e ð1, 0Þ; sia S il segmento parabolico individuato da una generica parabola del fascio con l’asse x. Determina le equazioni delle parabole del fascio: a. che individuano con l’asse x un segmento parabolico S di area 4; b. che in una rotazione completa del segmento parabolico S intorno all’asse x generano un solido di volume 4
; 15 c. che in una rotazione completa del segmento parabolico S intorno all’asse y generano un solido di volume 2
. 
1 a. y ¼ 3ðx2  1Þ; b. y ¼  ðx2  1Þ; c. y ¼ 4ðx2  1Þ 2 433 Þ

Determina i coefficienti dell’equazione y ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ d in modo che la curva da essa rappresentata sia tangente all’asse delle ascisse nel punto Að1, 0Þ, incontri ulteriormente lo stesso asse nel punto Bð2, 0Þ e delimiti 27 . Traccia i grafici delle curve corrispondenti ai valori di a, b, c e d con il segmento AB una regione di piano di area 4 trovati. [a ¼ 1, b ¼ 0, c ¼ 3, d ¼ 2 _ a ¼ 1, b ¼ 0, c ¼ 3, d ¼ 2; la curva corrispondente ai valori a ¼ 1, b ¼ 0, c ¼ 3, d ¼ 2 ha massimo in (1, 4), minimo in (1, 0) e flesso in (0, 2); l’altra curva e` la simmetrica della precedente rispetto all’asse x] 434 Þ

Risolvi i seguenti quesiti.

a. Scrivi l’equazione della parabola  con asse parallelo all’asse y avente vertice in V(0, 4) e tale che la sua retta tangente nel punto di ascissa 1 sia parallela alla retta di equazione y ¼ 2x. b. Considera il segmento parabolico individuato dalla parabola  e dall’asse x e determina la retta parallela all’asse x che divide tale segmento parabolico in due parti aventi la stessa area. c. Determina il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all’asse x del segmento parabolico di cui al punto b. d. Determina il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all’asse y del segmento parabolico 
di cui al punto b. pffiffiffi 512
; d. 8
a. y ¼ 4  x2 ; b. y ¼ 4  2 3 2; c. 15





435 In un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, scrivi l’equazione della cubica (razionale Þ intera) passante per tre punti allineati A, B e C, con AB ¼ 2BC, e tale che il suo arco AB formi con la retta AB una re3 gione di piano la cui area supera di l’area della regione di piano formata dal suo arco BC con la retta BC. 4


Rispetto a un sistema di riferimento in cui Að2, 0Þ, B Oð0, 0Þ e Cð1, 0Þ, si trovano le due cubiche  1 di equazioni y ¼  xðx þ 2Þðx  1Þ 3 168

Considera la funzione y ¼ f ðxÞ ¼ ascissa positiva.

x2  1 e sia y ¼ FðxÞ la sua primitiva tangente all’asse x in un punto di x2

a. y ¼ x þ

 pffiffiffi pffiffiffi 1  2; c. 3 2  3  ln ð1 þ 2Þ x

437 Þ

Scrivi l’equazione del fascio di parabole con asse parallelo all’asse y, tangenti all’asse x nel punto A(1, 0), e indica con B il loro punto di intersezione con l’asse y. a. Esprimi in funzione del parametro che descrive il fascio l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dalla retta passante per B parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. b. Studia come varia tale area, determinandone gli estremi relativi.
j2a þ 1j3 ; la funzione area ha come asintoti: y ¼ aðx  1Þ2 ; funzione area: y ¼ 6a2  4 4 1 a ¼ 0, y ¼ a þ 2 (destro), y ¼  a  2 (sinistro) e presenta due minimi per a ¼  e a ¼ 1 3 3 2 pffiffiffi 438 Considera la funzione y ¼ f ðxÞ ¼ x x  1. Þ

Complementi sull’integrale definito

a. Determina l’equazione di y ¼ FðxÞ. b. Traccia il grafico delle due funzioni y ¼ f ðxÞ e y ¼ FðxÞ. c. Calcola l’area della regione finita di piano limitata dalle due curve.


Unita` 3

436 Þ

a. Tracciane il grafico. b. Indicati con A e B i punti in cui il suo grafico interseca l’asse x e l’asse y, rispettivamente, determina l’equazione della parabola, avente asse parallelo all’asse y, passante per B e avente vertice in A. c. Dimostra analiticamente che il grafico di f e la parabola di cui al punto precedente non hanno altri punti in comune oltre ad A e B. d. Calcola il volume del solido che la regione finita di piano delimitata dal grafico di f e dalla parabola genera in una rotazione completa intorno all’asse x. 

a. Funzione strettamente crescente; b. A(1, 0); B(0, 1), y ¼ x2 þ 2x  1; d. 4 439 Þ

Considera la famiglia di funzioni di equazione: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ x2 þ 2x þ a



a. Traccia, al variare del parametro a, un grafico qualitativo delle funzioni della famiglia, distinguendo i casi a < 1, a ¼ 1 e a > 1. b. Determina per quali valori di a le funzioni della famiglia hanno un punto stazionario e, supposta verificata questa condizione, scrivi l’equazione cartesiana del luogo dei punti stazionari. c. Determina la funzione f della famiglia che ha un punto di minimo di ordinata uguale a 2 e tracciane il grafico, determinando in particolare le equazioni degli asintoti. d. Determina una retta parallela all’asse x che intersechi il grafico di f in due punti distinti A e B, in modo che la regione finita di piano limitata dalla retta e dall’arco AB del grafico di f generi, in una rotazione completa 16
intorno alla retta x ¼ 1, un solido di volume . 3 [a. Se a < 1 il grafico e` costituito da due archi di iperbole, se a ¼ 1 e` l’unione di due semirette, se a > 1, il grafico e` un arco di iperbole; b. a > 1; il luogo e` la parte di retta di equazione x ¼ 1, con y > 0; c. la funzione corrispondente al valore a ¼ 5, che rappresenta un arco di iperbole di asintoti pffiffiffi y ¼ x þ 1 (destro) e y ¼ x  1 (sinistro); d. y ¼ 2 3] 440 Þ

Considera la curva  di equazione x2 þ 4y 2 þ 2x þ 8y þ 1 ¼ 0. a. Tracciane il grafico. b. Determina l’area della regione di piano racchiusa da . c. Determina il volume del solido generato dalla rotazione di  intorno al suo asse di simmetria parallelo all’asse x. d. Determina il volume del solido generato dalla rotazione di  intorno al suo asse di simmetria parallelo
all’asse y. a. Ellisse di centro ð1; 1Þ, asse maggiore di lunghezza 4 e asse minore di lunghezza 2;  8
16
; d. b. 2
; c. 3 3

169

Traccia i grafici delle due funzioni: f ðxÞ ¼ ln ð1  xÞ

e gðxÞ ¼ e x  1

a. Determina l’area della regione finita di piano limitata dai grafici di f e di g e dalla retta di equazione x ¼ 1. b. Stabilisci se l’area della regione di piano limitata dai grafici di f e di g e dalla retta di equazione x ¼ 1 e` finita e, in caso affermativo, calcolane il valore. [a. 2 ln 2 þ e1  1; b. e  1] 442 Þ

Considera la funzione y ¼ f ðxÞ ¼ a sin x þ b cos x, con 0  x  2
.


e la retta tangente al suo grafico nel a. Determina a e b in modo che abbia un punto di flesso di ascissa x ¼ 3

punto di ascissa x ¼ formi un angolo di con l’asse x. 6 6 In corrispondenza dei valori di a e b trovati: b. Traccia il grafico della funzione, indicando con A e B i suoi punti di intersezione con l’asse x. c. Scrivi le equazioni delle rette r ed s tangenti al grafico della funzione in A e B. d. Determina l’area della parte di piano limitata dalle rette r ed s e dall’arco AB del grafico di f . pffiffiffi  
3 1 2

 4
; b. y ¼ sin x  ;A ,0 , B ,0 ; a. a ¼ , b ¼  3 3 3 3 3 3 

Complementi sul calcolo integrale Tema M

441 Þ

c. y ¼ 443 Þ

Considera la funzione y ¼

cos x . 2 þ sin x

2 2
2 8

2 4  x ey ¼ xþ ; d. 6 3 9 3 9 3



a. Traccia il grafico della funzione nell’intervallo ½0, 2

. b. Supposto che y rappresenti l’intensita` di corrente, espressa in ampere, che percorre un filo e x il tempo, 3
e espresso in secondi, calcola la quantita` di carica che attraversa una sezione del filo tra gli istanti x ¼ 2 pffiffiffi ! pffiffiffi !   

 x ¼ 2
. 3 3 7
11
3
, max , flessi: , , ,0 e , 0 ; b. ln 2 C a. min 3 3 6 6 2 2 444 Þ

Considera la funzione y ¼ ðx  2Þ e x .

a. Tracciane il grafico. b. Considera la regione finita di piano limitata dal grafico della funzione e dagli assi cartesiani e calcola la sua area. c. Considera il solido ottenuto da una rotazione completa intorno all’asse x della regione di piano di cui al punto precedente e calcola il suo 
volume.
a. Asintoto: y ¼ 0 (sinistro), min (1, e), flesso: (0, 2); b. e2  3; c. ðe4  13Þ 4 445 Þ

Considera la funzione y ¼ x  2 þ e1x . a. Tracciane il grafico. b. Determina l’area SðaÞ della regione di piano limitata dal grafico della funzione, dal suo asintoto obliquo e dalle rette di equazioni x ¼ 0 e x ¼ a, con a > 0. c. Calcola il limite cui tende SðaÞ per a ! þ1 e interpreta geometricamente il risultato ottenuto. [a. Asintoto: y ¼ x  2 (destro); min (1, 0); b. e  e1a ; c. e]

Considera la funzione y ¼ xejx1j . a. Tracciane il grafico. b. Determina l’area della regione di piano limitata dal grafico della funzione e dall’asse x. [a. Asintoto: y ¼ 0; punto angoloso (che e` anche punto di massimo) per x ¼ 1; minimo per x ¼ 1; flessi per x ¼ 2; b. 2ðe1 þ 1Þ]

446 Þ

ex þ 1 . ex þ x a. Traccia il grafico di y ¼ f ðxÞ, tralasciando lo studio di y 00 . b. Calcola l’area della regione di piano contenuta nel piano quadrante, i cui punti hanno coordinate (x, yÞ soddisfacenti la condizione: f ðxÞ  y  1. [a. Dominio R  fg con  2 ð1, 0Þ, asintoti: x ¼ , y ¼ 1 (destro), y ¼ 0 (sinistro), minimo per x ¼  con  2 ð2, 3Þ; b. 1 þ ln ðe þ 1Þ]

447 Þ

170

Considera la funzione di equazione f ðxÞ ¼

1 1 þ 2 , con a 2 R  f0g. a a a. Scrivi l’equazione cartesiana del luogo  descritto dai vertici delle parabole della famiglia al variare del parametro a. b. Traccia il grafico del luogo . c. Determina l’area della regione finita di piano, contenuta nel secondo quadrante, limitata dal luogo , dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione y ¼ 2. 
2 4 a. y ¼ þ 2 ; b. minimo per x ¼ 4, flesso per x ¼ 6; c. 4  2 ln 2 x x ðx 450 Funzione integrale/1. Considera la funzione f ðxÞ ¼ ð4t 3  12tÞ dt. Þ 449 Þ

Luoghi/2. Considera la famiglia di parabole di equazione y ¼ x2  4ax þ 4a2 þ

Complementi sull’integrale definito

Luoghi/1. Considera la famiglia di funzioni di equazione y ¼ x3  3ax2 , dove a e` un parametro reale. a. Scrivi l’equazione del luogo  dei punti di minimo relativo delle funzioni della famiglia. b. Determina l’equazione della funzione della famiglia avente un punto di minimo relativo di ordinata 4. c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dal luogo  e dal grafico della funzione di cui al punto b. 
1 a. y ¼  x3 , con x  0; b. y ¼ x3  3x2 ; c. 2 2

Unita` 3

448 Þ

0

a. Determina l’espressione analitica della funzione. b. Traccia il grafico della funzione, determinando in particolare i due punti di flesso F1 ed F2 . c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dal grafico di f e dal segmento che congiunge F1 ed F2 .
 32 4 2 a. f ðxÞ ¼ x  6x ; b. F1 ð1, 5Þ, F2 ð1, 5Þ; c. 5 ð x pffiffi 3 451 Funzione integrale/2. Considera la funzione f ðxÞ ¼ t et dt. Þ 1

Senza cercare di determinare la sua espressione analitica, risolvi i seguenti quesiti. a. Giustifica perche´ il dominio della funzione e` R. b. Stabilisci se la funzione ammette asintoti orizzontali. c. Calcola e studia la derivata prima. La funzione f e` derivabile in R? d. Calcola e studia la derivata seconda. La funzione f e` derivabile due volte in R? e. Traccia un grafico qualitativo della funzione. f. Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 1. f ðxÞ . g. Calcola lim 2 x!1 x  1 
1 1 1 1 b. Ammette asintoto orizzontale per x ! þ1; c. minimo per x ¼ 0; d. flesso per x ¼ ; f. y ¼ ðx  1Þ; g. e 3 e 2

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 452 Þ

Determina il valore positivo di a tale che la parabola di equazione y ¼ x2 þ 1 divida il rettangolo i cui vertici pffiffiffi [a ¼ 3] hanno coordinate ð0, 0Þ; ða, 0Þ; ð0, a2 þ 1Þ; ða, a2 þ 1Þ in due parti equivalenti. (Harvard-MIT, Mathematics Tournament 2002) 453 Þ

Trova l’area della regione dei punti del piano che rappresenta le soluzioni della disequazione:

x  x2 þ y 2  0 6

(Harvard-MIT, Mathematics Tournament 2004) 454 Þ

ð a2 a

h
i 2

Per quale valore di a > 1 l’integrale

1 x1 ln dx assume valore minimo? x 32

½a ¼ 3]

(Harvard-MIT, Mathematics Tournament 2003) 455 Verifica che Þ

ð
0

ex
dx ¼ . x þe 2

e
x

(Calculus Competition, Youngstown University 2010)

171

Complementi sul calcolo integrale Tema M

456 Þ

ð x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t 3 þ 1 dt  x Calcola lim

0


 1 8

x4

x!0

(Calculus Competition, Youngstown University 2011) 457 Solve math in English Determine a value for C so that Þ

ð þ1  3

Cx 1  2 x þ1 3x þ 1



dx converges. Then evaluate


the integral for this value of C.

C¼

(Calculus Competition, Youngstown University 2011)

ð 4x2

1 1 10 ; ln 3 6 9



t 2  2t  3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dt. Find the intervals on which f is increasing. t2 þ 4 0 pffiffiffi pffiffiffi (Calculus Competition, Youngstown University 2009) [x <  5 _ 1 < x < 0 _ 1 < x < 5] 458 Solve math in English Let f ðxÞ ¼ Þ

459 Solve math in English Find the volume of the solid of revolution formed by revolving about the x-axis the reÞ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gion between the line y = 0 and f ðxÞ ¼ e 2 x 1 þ cos x with x  0: A

3
2

B




(Mathematics Tournament 2007) 460 Þ

C

3


D


2

E

None of the above [A]

Solve math in English A boat springs a leak at time t ¼ 0, with water coming in at constant rate. At a time t ¼  > 0 hours, someone notices that there is a leak and starts to record distance the boat travels. The boat’s speed is inversely related to the amount of water in the boat. If the boat travels twice as far in the first hour as in the se" pffiffiffi # cond hour, what is ? 51 (Stanford Math Tournament 2007) 2

172

Unita` 3

PROVA DI AUTOVERIFICA

Integrali indefiniti Vero o falso?

Calcola i seguenti integrali definiti. ð1 pffiffiffi 2 Þ ð3x  xÞ dx

Sia f una funzione continua. ð2 ð2 ð0 f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ dx a. 2

ðb b.

f ðxÞ dx þ

a

ðb c.

b

f ðxÞgðxÞ dx ¼

ðb

d.

f ðxÞ dx 

a

F

3 Þ

f ðxÞ dx ¼ 0

a

ðb

0

V

2

0

ða

V

F

4 Þ

ðb gðxÞ dx

V

F

a

5 Þ

½4f ðxÞ  3gðxÞ
dx ¼

a

¼4

ðb

f ðxÞ dx  3

a

6 Þ

ðb gðxÞ dx

V

F

a

ð2

e. se f e` pari, allora

2

Complementi sull’integrale definito

1 Þ

f ðxÞ dx ¼ 0

V

7 Þ

F

8 Þ 9 Þ

ð2 1

x3 þ x þ 1 dx x2

0

ex dx ex þ 1

ð ln 2

ð 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x2 þ 9 dx 0

ð1 1

x dx x2  1

1

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx xþ5

ð4 ð2

xe2x dx

0

Calcola il valore medio della funzione: f ðxÞ ¼ 5x4  4x3 þ 1

nell’intervallo [1, 1]. 10 Þ

Determina l’area della regione finita di piano limitata dalle due parabole di equazioni y ¼ x2  4x e y ¼ x2 þ 2x.

Valutazione Esercizio Punteggio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Totale

0,2 5 ¼ 1

0,5

0,5

0,5

0,75

0,75

1

1

2

2

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h

3Risposte in fondo al volume

173

Tema M

Laboratorio di informatica

Tema

M

Laboratorio di informatica ` GUIDATE ATTIVITA Attivita` 1 Foglio elettronico

Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line.

Il metodo dei rettangoli Costruiamo un foglio Excel per determinare, applicando il metodo dei rettangoli, l’in2 tegrale della funzione f ðxÞ ¼ e x su un intervallo [a, b], con a, b 2 R e a < b. a. Costruzione del foglio Excel

Ricorda che, in base al metodo dei rettangoli, vale la seguente formula di approssimazione: ðb f ðxÞ dx ’
x½ f ðc1 Þ þ f ðc2 Þ þ ::: þ f ðcn Þ
a

dove
x ¼ ci ¼

ba n

1 ðxi1 þ xi Þ ¼ punto medio di ½xi1 , xi
2

xi ¼ a þ i
x Costruisci quindi un foglio Excel, impostato come quello che puoi vedere qui sotto, che applica il metodo dei rettangoli per approssimare un integrale del tipo ðb 2 ex dx. Osserva che: a

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO

 le celle B2 e B3 sono preposte all’immissione degli estremia e b dell’intervallo di integrazione;  la cella D2 e` preposta all’immissione del numero di suddivisioni n dell’intervallo che si vuole considerare;  la zona A6:E9 serve a effettuare i calcoli preliminari necessari per applicare la formula [1];  nella cella E14 e` fornita l’approssimazione dell’integrale. Il foglio costruito riguarda il caso in cui si e` scelto n ¼ 4.

174

=EXP(-(D6^2))

Attenzione! Nelle formule da immettere in A6, B6 e C6, presta attenzione all’utilizzo dei riferimenti assoluti e relativi, in vista di copiare le formule sulle righe successive.

Laboratorio di informatica

1. immettere nella cella A6 il valore 1; 2. immettere nella cella B6 la formula di Excel che traduce la formula ba xi1 ¼ a þ ði  1Þ
x, essendo
x ¼ n 3. immettere nella cella C6 la formula Excel che traduce l’analoga formula xi ¼ a þ i
x; 4. immettere nella cella D6 la formula che calcola il punto medio dell’intervallo ½xi1 ; xi
; 5. immettere nella cella E6 la formula che calcola il valore della funzione 2 f ðxÞ ¼ ex in ci , nel nostro caso:

Tema M

Per costruire tale foglio devi in particolare:

6. immettere nella cella A7 la formula = A6+1; 7. copiare sulla riga 7 le celle della zona B6:E6; 8. copiare la riga 7 nelle due righe sottostanti (in modo da giungere fino al valore i ¼ 4, in accordo con la scelta di 4 suddivisioni); 9. immettere nella cella E14 la formula che traduce la formula [1]. Ritroverai cosı` il valore approssimato dell’integrale, gia` ricavato nello svolgimento dell’esercizio senza il foglio Excel. b. Utilizzo del foglio

Modifica il foglio in modo da ottenere un’approssimazione dell’integrale ð6 2 ex dx con il metodo dei rettangoli applicato con una suddivisione dell’inter2

vallo [2, 6] in 10 parti.

` PROPOSTE ATTIVITA ð2 

Considera l’integrale 1

x2 þ 1 x

 dx.

a. Calcola il valore esatto dell’integrale e arrotondalo alla seconda cifra decimale. b. Modifica il foglio costruito nell’attivita` guidata, in modo da calcolare un’approssima ð2  2 x þ1 dx con il metodo dei rettangoli applicato con una zione dell’integrale x 1 suddivisione dell’intervallo [1, 2] in 10 parti. c. Confronta i due risultati trovati e verifica la correttezza del risultato trovato in a.

Informatica – FOGLIO ELETTRONICO 175

M

Tema M

Verso le competenze

Tema

UTILIZZARE LE TECNICHE DELL’ANALISI Calcola i seguenti integrali, eventualmente generalizzati. 
 ð0 ð4  62 1 2 p ffiffi ffi 1 ð2x  1Þ dx 18 þ x dx Þ 2 Þ 0 3 x 2 Þ

3 Þ

4 Þ

5 Þ

6 Þ

7 Þ

8 Þ

9 Þ

10 Þ

11 Þ

12 Þ

13 Þ

14 Þ

15 Þ

16 Þ

17 Þ

176

Verso le competenze




ð0 2

ð2 

3x þ

1

ð9

2

ðx  1Þ dx 2

 2 þ 1 dx x


2 ln 2 þ

1

ð


22 Þ


ð3x þ sin 2xÞ dx


ð2 ðe23x  1Þ dx

0

ð 1 2

ð0 1

ð1

ð8x þ 2e2x Þ dx

x dx x2




ln x dx x 2

sin x cos x dx

0

ð
0

sin x dx cos x þ 2

ð0 1

ð e4 1

ð
0

x dx x2  4 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 3 x ln x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin x 1 þ cos x dx

21 8



" pffiffiffi # 3 8

ð


3

 1 sin 1 5

[1 þ 2ln 2]

2

pffi e

 e2 1 3

[e2  5]

0

ð e2




 1 2




3

3 2
2

x2  1 dx x2

x4 cos x5 dx

ð4

20 Þ

[2 ln 2 þ 3]

0

3



11 2

21 Þ

4

xþ1 dx x

19 Þ


 8 3

pffiffiffi ð x  2Þ dx

ð4



46 15

[ln 3]


1 3  ln 2 4



pffiffiffi [3 3 2] " pffiffiffi # 4 2 3

ð þ1  1

1

ð0 2

2




 2 3

dx


ð0

ð4

x2  1 x4

[12]

ðe2x  ex Þ2 dx xþ2 dx x2 þ 4x  5

xþ3 dx x2  2x þ 1







1 12

1 5 ln 2 9





 8 þ ln 3 3

23 Determina la primitiva FðxÞ della funzione Þ f ðxÞ ¼ 8x3  2x  1 che passa per il punto di coordinate ð1; 5Þ. [FðxÞ ¼ 2x4  x2  x þ 3] 24 Þ

Determina la primitiva FðxÞ della funzione f ðxÞ ¼ 4e2x  4ex che ammette un punto di minimo relativo di ordinata 4. Traccia il grafico di tale primitiva. [FðxÞ ¼ 2e2x  4ex þ 6] 25 Þ

Considera la funzione y ¼ 2x2 e la retta di equazione y ¼ 8. Determina l’area del segmento parabolico
 64 limitato dalla parabola e dalla retta. 3 x2  4 26 Considera la funzione y ¼ . Tracciane il Þ x grafico e determina l’area della regione finita di piano limitata da quest’ultimo, dall’asse x e dalla retta di equazione x = 4. [6  4 ln 2] Considera la funzione y ¼ 1 þ e2x e tracciane il grafico. Determina l’area della regione finita di piano limitata da quest’ultimo, dal suo asintoto
orizzontale, dall’asse y e dalla retta di equazione x ¼ 2. 1 ð1  e4 Þ 2 xþ4 28 Considera la funzione y ¼ . Tracciane il Þ x1 grafico e determina l’area della regione finita di piano limitata da quest’ultimo e dagli assi cartesiani. [5 ln 5  4] 27 Þ

29 Þ

Considera la regione finita di piano limitata dagli pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi assi cartesiani e dal grafico della funzione y ¼ 2 4  x. Determina: a. la sua area; b. il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di tale regione di piano intorno all’asse x. 
32 ; b. 32
a. 3

Considera la funzione y ¼ 2x3 . Tracciane il grafico e determina l’equazione della retta t, tangente a esso nel suo punto di ascissa 1.

31 Data la funzione y ¼ x4  2x2 þ 3, tracciane il Þ

grafico, quindi determina l’area della regione di piano limitata da tale grafico, dall’asse x e dalle rette di equazioni x ¼ a; x ¼ b, essendo a l’ascissa del punto di massimo relativo della funzione e b l’ascissa del punto di minimo relativo appartenente al primo qua
 drante. 38 15 32 Considera la regione finita di piano limitata dai Þ pffiffiffi grafici delle due funzioni y ¼ x3 e y ¼ x. a. Determina la sua area.

Determina a e b in modo che sia derivabile in tutto R. 
3 a ¼  , b ¼ 1 2

Verso le competenze

a. Calcola l’area della regione finita di piano contenuta nel quarto quadrante limitata dal grafico della funzione, dall’asse x e dalla retta t. b. Determina il volume del solido che si ottiene ruotando di un giro completo intorno all’asse x la regione di piano di cui hai calcolato l’area al punto 
precedente. 1 8
a. ; b. 6 63

b. Determina il volume del solido ottenuto dalla sua rotazione completa intorno all’asse x.
 5 5
; b. a. 12 14 33 Considera la funzione Þ 8ð 2x > < ð3t 2  aÞ dt x < 0 f ðxÞ ¼ 0 > : x e þ 2x þ b x0

Tema M

30 Þ

34 Þ

Il grafico di una funzione f passa per il punto di coordinate (2, 3). Il coefficiente angolare mðxÞ della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa x e` espresso per ogni x 2 R dalla funzione mðxÞ ¼ 6x  15. Qual e` l’espressione analitica della funzione f ? [f ðxÞ ¼ 3x2  15x þ 21]

35 Þ

Sia f una funzione continua e derivabile in [0, 2], tale che f ðxÞ > 0 per ogni x 2 ½0; 2
; sapendo che: ð2 0 ð2 e2  1 f ðxÞ f 0 ðxÞf ðxÞ dx ¼ e dx ¼ 1 8 0 0 f ðxÞ
 1 e f ð0Þ ¼ , f ð2Þ ¼ 2 2

calcola f ð0Þ e f ð2Þ.

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI Raffreddamento di un corpo. Un oggetto incandescente, alla temperatura di 200  C, viene posto a raffreddare in un ambiente in cui la temperatura e` costante. La velocita` (in  C/ora) con cui diminuisce la temperatura dell’oggetto e` espressa dalla funzione: 36 Þ

f ðtÞ ¼ 80e 2 t 1

dove t e` il tempo, misurato in ore, trascorso da quando l’oggetto e` stato posto a raffreddare. a. Di quanto diminuisce la temperatura dell’oggetto nelle prime due ore? b. Quale e` stata la temperatura media dell’oggetto nelle prime due ore?

[a. Circa 101  C; b. circa 141  C]

37 Þ

Il ponte. Un ponte a singola arcata, lungo 16 m, sovrasta una strada a doppio senso di circolazione, dotata in entrambi i sensi di marcia di una pista ciclabile e di un marciapiede per i pedoni. La parte superiore del ponte dista 5 m dalla strada, mentre il punto piu` alto dell’arco del ponte dista 4 m dalla strada. La figura a pagina seguente rappresenta una delle due facciate del ponte. La parte dell’asse delle ascisse compresa tra 8 e 8 rappresenta la strada. a. L’arco del ponte puo` essere modellizzato da una funzione del tipo: e 5 þ e 5 2 x

f ðxÞ ¼ k 

x

dove k e` un numero reale opportuno. Determina il valore di k in base alle informazioni che puoi leggere sul grafico. b. Stabilisci la massima altezza di un veicolo motorizzato che puo` passare al di sotto del ponte, volendo mantenere una distanza di sicurezza di 50 cm tra l’arco del ponte e il tetto del veicolo. c. Calcola l’area della facciata del ponte indicata in figura, fornendo sia il risultato esatto sia quello arrotondato alla seconda cifra decimale. 177

Verso le competenze

d. Si vogliono dipingere le due facciate del ponte. La pittura che si vuole utilizzare viene venduta in bidoni da 30 litri. Sapendo che si consuma 1 litro di vernice per ogni 0,3 m2 di superficie, quanti bidoni sono necessari per dipingere entrambe le facciate del ponte? y 6 5

Tema M

arco del ponte 4 3 2 1

–8

–7

–6

zona riservata ai pedoni

–5

–4

pista ciclabile

–3

–2 corsia

–1

O

1

2 corsia

zona riservata ai veicoli motorizzati

3

4

5

6

pista ciclabile

7

8

x

zona riservata ai pedoni

larghezza della strada

[a. k ¼ 5; b. circa 3,16 m; c. 5ðe 5  e 5 Þ ’ 23,76 m2 ; d. 6 bidoni] 8

8





38 La piscina. Il modello geometrico di una piscina e` y Þ rappresentato nella figura qui a fianco. Il perimetro della D y = f(x) piscina e` costituito da due semicirconferenze: l’arco A γ AB di centro O e raggio 3, e l’arco CD di centro O0 e raggio 4, uniti da due curve  e  0 , grafici nell’interR=4 r=3 vallo [0, 8] rispettivamente delle due funzioni O O' polinomiali di terzo grado y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ. x –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L’unita` di misura e` il metro e l’asse x rappresenta un asse di simmetria della piscina. y = g(x) a. Sapendo che le tangenti al grafico di f nei punti B γ' A e D sono orizzontali, determina l’espressione C

analitica della funzione f e quella della funzione g. b. Calcola l’area (in m2 ) della piscina, esprimendo il risultato sia in forma esatta, sia arrotondato alla prima cifra decimale. c. La profondita` dell’acqua della piscina e` costante, uguale a 2 m. Quanti litri d’acqua contiene la piscina? Esprimi il risultato arrotondato a un numero intero.
 1 3 3 2 1 3 3 2 25
2 a: f ðxÞ ¼  x þ x þ 3, gðxÞ ¼ x  x  3; b: þ 56 ’ 95; 3 m ; c: circa 190 540 litri 256 64 256 64 2 39 Þ

Matematica e fisica Due cariche q1 e q2 si respingono con una forza la cui intensita` F e` inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r, cioe`:

F¼

kq1 q2 r2

Supponendo che si trovino sull’asse x, rispettivamente nei punti A(–1, 0) e B(1, 0), e mantenendo fissa la carica q2 ,
 calcola il lavoro necessario per spostare la carica q1 dal punto A all’origine degli assi. kq1 q2 2 178

41 Þ

La figura sottostante rappresenta il grafico della velocita` di un punto materiale in funzione del tempo. Determina la distanza percorsa dal punto materiale nei primi 8 s in due modi diversi:

y

a. utilizzando le regole per il calcolo delle aree dei poligoni;

y = f(x)

b. utilizzando il calcolo integrale. A2 A1

O

v(m/s) x

A3

5

Calcola i valori dei seguenti integrali: ð2 ð5 ð5 a. f ðxÞ dx b. f ðxÞ dx c. f ðxÞ dx 3

Verso le competenze

40 In riferimento alla figura qui sotto, e` noto che le Þ aree delle due regioni A1 e A3 valgono 5,3 mentre l’area della regione A2 vale 1,2.

Tema M

INTERPRETARE GRAFICI E DATI

O

t(s)

8

3

0

[27 m]

[a. 4,1; b. 3,2; c. 4,1] 42 Þ

Due atleti corrono lungo una strada rettilinea; le funzioni v1 ðtÞ e v2 ðtÞ che esprimono le loro velocita` (in m/s) sono rappresentate nella figura qui a fianco.

v(m/s) 7 6 5 4 3 2 1

a. Scrivi l’integrale che esprime l’area della parte colorata. b. Spiega che cosa esprime, in relazione al problema, l’area della parte colorata. c. Supponendo che i due atleti siano partiti nello stesso istante e nello stesso punto, chi dei due e` in testa dopo 5 s? E dopo 15 s? E dopo 30 s?

v1(t) v2(t)

O

5

10

15

20

25

30 t(s)

43 Nel grafico qui sotto e` mostrata la funzione f ðtÞ che rappresenta il consumo (in migliaia di megawatt) di enerÞ gia elettrica di uno stato in un dato giorno, in funzione dell’ora del giorno. Ricorda che 1 megawatt ¼ 106 W ¼ 3,6  109 J/ora.

26

consumo (·103 MW)

25 24 23 22 21 20 19 18 00

02

04

06

08

10 12 14 16 ora del giorno

ð 14 a. Spiega che cosa rappresenta, in relazione al problema, numero che risulta dal calcolo dell’integrale.

18

20

22

24

f ðtÞ dt e quale unita` di misura va attribuita al

8

b. Scrivi un’espressione contenente opportuni integrali che esprima il consumo complessivo di energia elettrica tra 6 e le 8 del mattino e dopo le 22 della sera. c. Sai fornire una stima, in joule, dell’energia consumata tra le 8 e le 10 del mattino?

[c. Circa 1; 584  1011 J]

179

Verso le competenze Tema M

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE 44 Þ

ð2

Fornisci l’esempio di un solido di rotazione il cui volume e` dato dall’integrale


x6 dx.

0

45 Þ

Indica dei possibili valori di a e b per cui sono vere le proposizioni seguenti: ð1 ð4 ðb ðb ðb a. f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ d b. sin x dx ¼ 0 c. ln x dx < 0 2

1

a

a

a

46 Þ

Per ciascuna delle seguenti disuguaglianze, stabilisci se e` corretta, giustificando adeguatamente la risposta. ð1 ð1 ð1 ð1 2 2 a. ex dx > 1 b. ln x dx > 0 c. ex dx < 1 d. sin x3 dx < 0 0

47 Þ

0;1

Senza calcolare

Ð3 0

1

0

ex dx, giustifica perche´ 3e9  2

ð3

ex dx  3. 2

0

48 Þ

ðb a

Sia f una funzione continua nell’intervallo [a, b]. Mostra con un controesempio che in generale l’uguaglianza

ð b

jf ðxÞj dx ¼

f ðxÞ dx

e` falsa. Enuncia una condizione sufficiente sulla funzione f (sempre supposta continua) a

perche´ l’uguaglianza sia vera. 49 Sia f una funzione derivabile nell’intervallo [0, 5] tale che f ð0Þ ¼ 3 e Þ 0

Dimostra che esiste c 2 ð0; 5Þ tale che f ðcÞ ¼ 0.

VERSO LE PROVE INVALSI 1 Qual e` il risultato dell’integrale Þ A

e

3x1

3e

C

1 3x1 þc e 3

D

e3x1 dx?

þc

B

Qual e` l’area della regione di piano colorata in figura? 11 A y 3 2 y = 2x + 1 5 B 3 D

4

L’area della regione di piano limitata dal grafico della funzione y ¼ sin x e dall’asse x nell’intervallo ½
,

e` uguale a: 2

B

5 Quanto vale Þ

2 Þ

2

4 Þ

A

Un numero reale positivo

C

f ðxÞ dx ¼ 9.

2

ð

þc

3x1

ð5

y = –x 2 + 4 x O

C

4 ð3 3

D

6

x dx? x4 þ 1

A

0

B

D

Nessuna delle precedenti

C

1

2

6 Þ

Considera la regione finita di piano limitata dalla curva di equazione y ¼ e2x , dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione x ¼ ln 2. Qual e` il volume del solido che si ottiene dalla rotazione di questa regione di piano intorno all’asse x? 7
15
19
A B C D Non e ` finito 4 4 4 7 Þ

3 Qual e` la primitiva FðxÞ della funzione Þ f ðxÞ ¼ ð3x  1Þ2 che passa per il punto di coordinate (1, 2)?

180

2


Alcuni studi botanici hanno permesso di stabilire che la velocita` di crescita di un particolare albero (misurata in decimetri per anno) e` ben modellizzata dalla 1 8 þ 4 , dove t e` il tempo (misurato funzione f ðtÞ ¼ 10 t in anni) trascorso da quando l’albero e` stato piantato. Di quanto cresce l’albero tra il primo e il secondo anno di vita?

A

FðxÞ ¼ 3x3  3x2 þ x þ 1

B

FðxÞ ¼ 3x3  3x2

C

FðxÞ ¼ 3x3 þ x þ 1

A

D

FðxÞ ¼ 3x3  3x2 þ x þ 9

B

Circa 2,4 dm Circa 2 dm

C D

Circa 1,4 dm Circa 4 dm

A

A

B

C

D



B

6

12 Þ

dx ¼

ð3 L’integrale

C

7

D

8

9


x4 dx rappresenta:

0

il volume generato in una rotazione completa intorno all’asse x della regione di piano limitata dal grafico della funzione y ¼ x4 e dall’asse x nell’intervallo [0, 3] il volume generato in una rotazione completa intorno all’asse x della regione di piano limitata dal grafico della funzione y ¼ x3 e dall’asse x nell’intervallo [0, 3] il volume generato in una rotazione completa intorno all’asse x della regione di piano limitata dal grafico della funzione y ¼ x2 e dall’asse x nell’intervallo [0, 3] nessuna delle precedenti risposte e` corretta

10 In riferimento alla figura qui sotto possiamo afÞ fermare che: A B C D

la funzione f e` la derivata della funzione g la funzione f e` una primitiva della funzione g la funzione f e` l’inversa della funzione g nessuna delle precedenti

In riferimento alla figura qui sotto possiamo affermare che: A la funzione f e ` la derivata della funzione g B la funzione f e ` una primitiva della funzione g C la funzione f e ` l’inversa della funzione g D nessuna delle precedenti y y = f(x)

x

O y = g(x) 13 Þ

La velocita` di crescita di un’infezione virale (misurata in termini di numero di nuove infezioni al me50t , dove t e` il se) e` espressa dalla funzione f ðt Þ ¼ 2 t þ1 tempo (in mesi) trascorso da quando l’infezione e` comparsa. Dopo 4 mesi, quante persone dobbiamo aspettarci che siano state infettate? A B C

y

Verso le competenze

9 Þ

1

4 6x  2 x

Tema M

8 Þ

ð2 

D

Circa 41 Circa 51 Circa 61 Circa 71

14 Þ

Quale delle seguenti espressioni esprime l’area complessiva della regione colorata in figura? ð5 A f ðxÞ dx

y = g(x) y = f(x)

3

ð0

x

O

B 3

11 In riferimento alla figura qui sotto possiamo afÞ

fermare che: A la funzione f e ` la derivata della funzione g B la funzione f e ` una primitiva della funzione g C la funzione f e ` l’inversa della funzione g D nessuna delle precedenti

ð0 C

3

D



f ðxÞ dx 

ð2

f ðxÞ dx þ

0

f ðxÞ dx þ

ð0 3

ð2 0

f ðxÞ dx þ

ð5

f ðxÞ dx

2

f ðxÞ dx  ð2

ð5 2

f ðxÞ dx 

0

f ðxÞ dx ð5

f ðxÞ dx

2

y y = f(x)

y y = f(x)

O

O

x

x y = g(x)

15 Þ A

Quale dei seguenti integrali e` sicuramente espresso da un numero negativo? ð1 ð1 ð1 B C sin x dx ln x dx cos x dx 1 2

1 2

1 2

ð1 D

ex dx

12

181

Verso le competenze Tema M

16 Quanto vale l’area della regione di piano, contenuta nel primo quadrante, limitata dal grafico della funzione Þ f ðxÞ ¼ e2x e dagli assi cartesiani? A

1 3

B

1 2

C

2

D

E` infinita

17 Supponiamo che il prezzo di un litro di gasolio sia attualmente di 1,5 euro e che sia stato sviluppato un moÞ dello in base al quale tale prezzo crescera` con una velocita` di ð0,005 þ 0,015 tÞ euro al mese, essendo t il tempo (in mesi) trascorso da quando il prezzo era di 1,5 euro. Assumendo che il modello sia corretto, quanto costera` 1 litro di gasolio fra 4 mesi?

Risposta: .......................................................................................... Scrivi i calcoli che hai eseguito per giungere alla risposta: ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................

18 Un’azienda produce capi di abbigliamento che necessitano di una rifinitura a mano. In base a delle statistiche Þ effettuate, si stima che un operaio riesce a rifinire i capi con una velocita` (misurata in numero di capi all’ora) espressa dalla funzione:

f ðtÞ ¼ 3t 2 þ 8t þ 10

con 0  t  4

dove t e` il tempo (in ore) trascorso a partire dall’inizio dell’orario di lavoro, alle 8 del mattino. Quanti capi ci si puo` aspettare che vengano rifiniti nelle prime due ore di lavoro, dalle 8 alle 10? A

B

28

30

C

32

D

34

2x e f ð0Þ ¼ 0, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. x2 þ 2 a. la funzione f e` dispari b. la funzione f non presenta ne´ asintoti verticali ne´ asintoti orizzontali c. la funzione f presenta un punto di minimo assoluto nell’origine d. la funzione f non presenta punti di flesso   1 2 e. risulta f ðxÞ ¼ ln x þ1 2

19 Þ

Sapendo che f 0 ðxÞ ¼

V

F

V

F

V

F

V

F

20 Þ

Si e` stabilito un modello in base al quale la velocita` di crescita di una popolazione batterica e` di 3e2t batteri al giorno, essendo t il tempo ( in giorni) trascorso dall’inizio dell’osservazione. a. Di quanto cresce la popolazione di batteri in 3 giorni? Arrotonda il risultato a un numero intero. Risposta:

...................................................................................

b. Si puo` affermare che dopo 3 giorni la popolazione di batteri e` costituita da meno di 700 unita`? A

Sı`

B

No

C

I dati sono insufficienti per stabilirlo.

c. Come cambierebbe la risposta alla domanda precedente se si sapesse che la popolazione era composta inizialmente da 200 batteri? .................................................................................................................................................................................................................................................................

d. Come cambierebbe la risposta alla domanda b., se si sapesse che la popolazione era composta inizialmente da 50 batteri? .................................................................................................................................................................................................................................................................

182

TEMA

N

Dati e previsioni Un concetto fondamentale che ti e` stato presentato fin dall’inizio di questo corso di matematica e che ti e` certamente familiare e` quello di variabile. Nel volume precedente ne abbiamo dato una nuova interpretazione, in termini probabilistici, introducendo il concetto di variabile

aleatoria, cioe` di variabile i cui valori sono determinati dall’esito di un esperimento casuale. Nelle prossime Unita` vedremo come estendere questo concetto, che avevamo presentato limitatamente al caso discreto,

PREREQUISITI

3Concetti fondamentali

di calcolo della probabilita`

3Combinazioni 3Integrali indefiniti, definiti e impropri

COMPETENZE

3Utilizzare modelli probabilistici

per risolvere problemi ed effettuare scelte consapevoli

in ambito continuo. Cio` ci permettera` di introdurre delle nuove e fondamentali distribuzioni

di probabilita`, che costituiscono modelli

matematici generali, utilizzati per descrivere numerosi fenomeni casuali. Tali modelli trovano applicazioni in svariati ambiti; per esempio, hanno un ruolo fondamentale in statistica, in relazione ai problemi relativi all’estensione dei risultati ottenuti su un campione all’intera popolazione.

Unita` 4

Complementi sul calcolo della probabilita`

Unita` 5

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

Alcuni componenti elettronici come i transistor non sono soggetti a usura, ossia il passare del tempo di per se´ non rende piu` o meno probabile il verificarsi di un guasto, che e` da attribuirsi a fattori accidentali (quali per esempio un sovraccarico esterno). Il modello matematico adatto a descrivere la durata di vita di componenti elettronici di questo tipo (cioe` il tempo di funzionamento senza guasti) e` una particolare variabile aleatoria che introdurremo nell’Unita` 4 e che scopriremo avere un legame con le funzioni esponenziali.

Unita`

4

Complementi sul calcolo della probabilita`

Tema N

1. Richiami di calcolo della probabilita` Richiamiamo sinteticamente in questo paragrafo i principali concetti di calcolo della probabilita` introdotti nel volume precedente.

Terminologia Spazio campionario

E` l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo .

Evento

Ogni sottoinsieme dello spazio campionario.

Evento certo

Si chiama cosı` un evento che coincide con lo spazio campionario.

Evento elementare

Un evento costituito da un solo elemento dello spazio campionario.

Evento impossibile

Un evento che coincide con l’insieme vuoto.

Evento unione

Si definisce evento unione di A e B, e si indica con A [ B, l’evento che si realizza quando si realizzano A o B (o entrambi).

Evento intersezione

Si definisce evento intersezione di A e B e si indica con A \ B l’evento che si realizza quando si realizzano simultaneamente entrambi gli eventi A e B.

Eventi incompatibili

Due eventi la cui intersezione e` l’evento impossibile.

Evento contrario

Si definisce evento contrario di A, e si indica con A, l’evento che si realizza quando non si realizza A, ossia l’evento rappresentato dal complementare di A

Il concetto di probabilita` Dato uno spazio campionario , la probabilita` di un evento A di e` un numero reale che misura il grado di fiducia riposto nel fatto che A si realizzi. Qualsiasi sia il modo in cui decidiamo di assegnare la probabilita` a un evento, deve risultare:
0  pðAÞ  1
pðxÞ ¼ 0 pð Þ ¼ 1
pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ In particolare, se lo spazio campionario e` finito e tutti i suoi eventi elementari sono equiprobabili, allora la probabilita` di un evento A si definisce in base alla nota formula: pðAÞ ¼

numero di casi favorevoli al realizzarsi di A Definizione classica di probabilita` numero di casi possibli

ESEMPIO

Calcolo di una probabilita` secondo la definizione classica

Estraiamo a caso un numero tra i numeri naturali compresi tra 1 e 90 (inclusi 1 e 90). Calcoliamo la probabilita` dei seguenti eventi: a. il numero estratto e` 12; b. la cifra delle unita` del numero estratto e` 7; c. il numero estratto ha due cifre uguali. Lo spazio campionario e` l’insieme f1, 2, :::, 90g ed e` lecito supporre che ciascun numero abbia la stessa probabilita` di essere estratto, quindi possiamo applicare la definizione classica. 184

1 . 90

Unita` 4

a. Abbiamo un solo caso favorevole, quindi la probabilita` richiesta e`

c. I casi favorevoli corrispondono all’estrazione di un numero appartenente all’insieme f11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88g. Abbiamo quindi 8 casi favorevoli, 8 4 dunque la probabilita` cercata e` uguale a ¼ . 90 45

I primi teoremi di calcolo della probabilita` Relativamente alla probabilita` dell’evento contrario e dell’evento unione, sussistono le regole espresse nel seguente teorema. Evento contrario ed evento unione

TEOREMA 4.1

a. Se A e` un evento e A e` il suo evento contrario, allora:

Complementi sul calcolo della probabilita`

b. I casi favorevoli corrispondono all’estrazione di un numero appartenente all’insieme f7; 17; 27; 37; 47; 57; 67; 77; 87g. Abbiamo quindi 9 casi favore9 1 ¼ . voli, dunque la probabilita` cercata e` uguale a 90 10

pðAÞ ¼ 1  pðAÞ b. Siano A e B due eventi, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ  pðA \ BÞ

ESEMPIO

Evento unione ed evento contrario

Si estrae una carta da un mazzo di 52. Calcoliamo la probabilita` che la carta estratta: a. sia un fante; b. sia rossa; c. sia un fante rosso; d. sia un fante o sia rossa; e. non sia ne´ un fante ne´ rossa. Indichiamo con A l’evento: «la carta estratta e` un fante» e con B l’evento: «la carta estratta e` rossa». 4 1 a. Poiche´ i fanti sono 4 in tutto, risulta pðAÞ ¼ ¼ . 52 13 b. Poiche´ la meta` delle carte sono rosse , risulta pðBÞ ¼

26 1 ¼ . 52 2

c. Si tratta di calcolare pðA \ BÞ; poiche´ i fanti rossi sono due (quello di cuori e quello di denari), risulta: pðA \ BÞ ¼

2 1 ¼ 52 26

d. Si tratta di calcolare pðA [ BÞ: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ  pðA \ BÞ ¼

1 1 1 7 þ  ¼ 13 2 26 13

e. Osserva che l’evento: «estrarre una carta che non e` ne´ un fante ne´ rossa» e` l’evento contrario di «estrarre una carta che e` un fante o rossa»; dunque la sua probabilita` e`: 1  pðA [ BÞ ¼ 1 

7 6 ¼ 13 13 185

Dati e previsioni Tema N

Prova tu

ESERCIZI a p. 198

1. Estraiamo a caso un numero tra i 90 della tombola. Calcola la probabilita` dei seguenti eventi: a. il numero estratto e` 13; b. la seconda cifra del numero estratto e` 0; c. il numero estratto ha due cifre distinte; d. il numero estratto e` pari;   e. il numero estratto e` multiplo di 9; 1 1 41 1 1 5 f. il numero estratto e` pari o multiplo di 9. a: ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. 90 10 45 2 9 9

2. Probabilita` composte ed eventi indipendenti Probabilita` condizionata Vogliamo introdurre ora un importante concetto, quello di probabilita` condizionata. Esso interviene ogni qualvolta si vuole calcolare la probabilita` di un evento A, sapendo che si e` verificato un evento B. L’informazione aggiuntiva che deriva dal sapere che si e` verificato B puo` modificare la probabilita` che si verifichi A, come mostra l’esempio seguente. ESEMPIO

Introduzione intuitiva al concetto di probabilita` condizionata

Supponiamo di avere lanciato per due volte consecutive una moneta non truccata. a. Sapendo che nel primo lancio e` uscita «testa», qual e` la probabilita` che sia uscita «testa» in entrambi i lanci? b. Sapendo che in almeno uno dei due lanci e` uscita «testa», qual e` la probabilita` che sia uscita «testa» in entrambi i lanci?

Attenzione! Il risultato ottenuto nel punto b. appare spesso controintuitivo, perche´ a un primo approccio viene naturale il seguente ragionamento: «sapendo che uno dei due lanci ha dato come risultato ‘testa’, vi sono due sole possibilita`: che sia uscita ‘testa’ in entrambi i lanci o che sia uscita ‘testa’ in uno solo dei due lanci. Ciascuno di questi ultimi due eventi puo` verificarsi con la stessa probabilita`, quindi la probabilita` che siano uscite due ‘testa’, sapendo che ne e` uscita 1 almeno una, e` ». L’errore 2 consiste nell’aver assunto indebitamente l’equiprobabilita`: infatti, come abbiamo visto, lo spazio campionario nel caso b. e`

00 ¼ f(T, T); (T, C); (C, T)g, dunque la probabilita` che sia uscita «testa» in uno dei due lanci e` il doppio della probabilita` che sia uscita «testa» in entrambi i lanci.

186

Lo spazio campionario che rappresenta i possibili esiti dell’esperimento consistente nel lancio per due volte consecutive di una moneta non truccata e`:

¼ fðT, T); (T, C); (C, T); (C, C)g e la probabilita` di ottenere «testa» due volte, ossia dell’evento fðT, TÞg, in as1 senza di ulteriori informazioni, e` . Le informazioni aggiuntive fornite nei 4 due casi a. e b. modificano tale probabilita`: vediamo come. a. Sapere che nel primo lancio e` uscita «testa» ci permette di «restringere» lo spazio campionario, eliminando le due coppie ordinate ðC, TÞ e ðC, CÞ. Possiamo quindi assumere come nuovo spazio campionario:

0 ¼ fðT, T); (T, CÞg I casi possibili sono ora soltanto 2, di cui uno solo favorevole, quindi la probabilita` che siano uscite due «testa», sapendo che nel primo lancio e` uscita 1 «testa», diviene . 2 b. Sapere che in almeno uno dei due lanci e` uscita «testa» ci permette ancora di «restringere» lo spazio campionario, ma questa volta possiamo eliminare soltanto la coppia ordinata ðC, CÞ. Possiamo quindi assumere come nuovo spazio campionario:

00 ¼ f(T, T); (T, C); (C, T)g I casi possibili sono ora 3, di cui uno solo favorevole, quindi la probabilita` che siano uscite due «testa», sapendo che in almeno uno dei due lanci e` 1 uscita «testa», diviene . 3

A: «e` uscita ‘testa’ in entrambi i lanci» B: «e` uscita ‘testa’ nel primo lancio»


assunto come spazio campionario 0 ¼ fðT, T); (T, CÞg, ossia l’evento B stesso;
contato il numero dei casi possibili, ossia il numero degli elementi di B;
contato il numero dei casi favorevoli, cioe` il numero degli elementi di B che realizzano A, ossia il numero degli elementi di A \ B;
costruito il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. In altre parole, e` risultato che: pðA j BÞ ¼

numero di elementi di A \ B jA \ Bj ¼ numero di elementi di B jBj

Dividendo numeratore e denominatore dell’ultima frazione scritta per il numero degli elementi dello spazio campionario , cioe` per j j , otteniamo: jA \ Bj ¼ pðA j BÞ ¼ jBj

Complementi sul calcolo della probabilita`

La probabilita` dell’evento A, sapendo che si e` verificato B, viene indicata con il simbolo pðA j BÞ. Per calcolare tale probabilita` abbiamo

Unita` 4

Per fissare le idee, concentriamoci sul caso a. dell’esempio precedente. Poniamo:

jA \ Bj pðA \ BÞ j j ¼ jBj pðBÞ j j

Questo risultato motiva la seguente definizione. PROBABILITA` CONDIZIONATA

Siano A e B due eventi, con B di probabilita` non nulla. Si definisce probabilita` condizionata dell’evento A dato l’evento B, e si indica con il simbolo pðA j BÞ, il rapporto tra la probabilita` di A \ B e la probabilita` di B (fig. 4.1): pðA j BÞ ¼

pðA \ BÞ pðBÞ

[4.1]

B

Figura 4.1 Supposto che si sia realizzato l’evento B, i soli casi che realizzano l’evento A sono quelli di A \ B. Inoltre, l’insieme B diviene lo spazio campionario. Pertanto la probabilita` condizionata di A dato B viene calcolata come rapporto tra la probabilita` di A \ B e quella di B.

A∩B A

Dalla definizione stessa di probabilita` condizionata segue l’uguaglianza seguente, detta formula delle probabilita` composte, che si rivela spesso molto utile per il calcolo della probabilita` dell’intersezione di due eventi: pðA \ BÞ ¼ pðBÞ  pðA j BÞ

[4.2]

Scambiando nella [4.1] i ruoli di A e B otteniamo: pðB j AÞ ¼

pðB \ AÞ pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðAÞ

percio` la probabilita` di A \ B puo` essere espressa anche mediante la seguente formula, simmetrica della [4.2]: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðB j AÞ

[4.3] 187

Dati e previsioni Tema N

ESEMPIO

Applicazione della formula delle probabilita` composte

Da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola si estraggono successivamente due numeri, senza rimettere nel sacchetto il primo numero estratto. Qual e` la probabilita` che il primo numero estratto sia divisibile per 10 e il secondo sia pari? Indichiamo con A l’evento: «il primo numero e` divisibile per 10» e con B l’evento: «il secondo numero e` pari»; dobbiamo calcolare pðA \ BÞ. Allo scopo di utilizzare la [4.3] osserviamo che: 9 1
pðAÞ ¼ ¼ 90 10
pðB j AÞ e` la probabilita` di estrarre un numero pari dopo che dal sacchetto e` stato tolto un numero divisibile per 10 (cioe` pari); dunque risulta 44 pðB j AÞ ¼ . 89 Possiamo ora applicare la [4.3], ottenendo cosı`: 1 44 22  ¼ pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðB j AÞ ¼ 10 89 445 La formula delle probabilita` composte puo` essere generalizzata al caso di piu` di due eventi. Per esempio, nel caso di tre eventi si puo` dimostrare che: pðE1 \ E2 \ E3 Þ ¼ pðE1 Þ  pðE2 j E1 Þ  pðE3 j E1 \ H2 Þ Piu` in generale, se un evento e` l’intersezione degli n eventi E1 , E2 , ..., En , la probabilita` che si verifichi E e` data dal prodotto che ha come fattori:
la probabilita` di E1 ;
la probabilita` di E2 , supposto verificato E1 ;
la probabilita` di E3 , supposti verificati E1 ed E2 ;
.........................
la probabilita` di En , supposti verificati gli n  1 eventi precedenti. In formule: pðE1 \ E2 \ ::::: \ En1 \ En Þ ¼ ¼ pðE1 Þ  pðE2 j E1 Þ  pðE3 j E1 \ E2 Þ  :::::  pðEn j E1 \ ::::: \ En1 Þ ESEMPIO

Applicazione della formula delle probabilita` composte generalizzata

Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono quattro successivamente (senza rimettere le carte estratte nel mazzo). Qual e` la probabilita` che le carte estratte siano quattro Assi? Si tratta di calcolare la probabilita` dell’evento pðE1 \ E2 \ E3 \ E4 Þ, essendo E1 , E2 , E3 , E4 rispettivamente gli eventi: «e` uscito un Asso alla prima estrazione», «e` uscito un Asso alla seconda estrazione», «e` uscito un Asso alla terza estrazione», «e` uscito un Asso alla quarta estrazione». Per applicare la formula delle probabilita` composte generalizzata, osserviamo che: 4 1
la probabilita` di estrarre un Asso alla prima estrazione e` ¼ ; 40 10
la probabilita` di estrarre un Asso alla seconda estrazione, se un Asso e` stato 3 1 gia` estratto nella prima estrazione, e` ¼ ; 39 13
la probabilita` di estrarre un Asso alla terza estrazione, se due Assi sono stati 2 1 gia` estratti nelle prime due estrazioni, e` ¼ ; 38 19
la probabilita` di estrarre un Asso alla quarta estrazione, se tre Assi sono stati 1 . gia` estratti nelle prime tre estrazioni, e` 37 1 1 1 1 1    ¼ . La probabilita` di estrarre quattro Assi e` quindi: 10 13 19 37 91 390 188

TEOREMA 4.2

Dati tre eventi A, B, H, con H di probabilita` non nulla, risulta:

Attenzione!

a. pð A j HÞ ¼ 1  pðA j HÞ

In generale non e` vero che: pðAjHÞ ¼

b. pðA [ B j HÞ ¼ pðA j HÞ þ pðB j HÞ  pðA \ B j HÞ

¼ 1  pðAjHÞ

errato!

In particolare, se A e B sono incompatibili: pðA [ B j HÞ ¼ pðA j HÞ þ pðB j HÞ

Eventi indipendenti Intuitivamente, due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non altera la probabilita` che si verifichi l’altro. Formalmente, utilizzando la definizione di probabilita` condizionata, possiamo dare la seguente definizione.

Complementi sul calcolo della probabilita`

` delle probabilita ` condizionate Proprieta

Unita` 4

Valgono infine le proprieta` espresse nel teorema seguente, che estendono alle probabilita` condizionate i teoremi relativi alla probabilita` dell’evento complementare e dell’unione di due eventi.

EVENTI INDIPENDENTI

Due eventi A e B (con B di probabilita` non nulla) si dicono indipendenti se la probabilita` condizionata dell’evento A, dato l’evento B, e` uguale alla probabilita` di A. In simboli, l’indipendenza tra A e B puo` esprimersi tramite la condizione: pðA j BÞ ¼ pðAÞ

[4.4]

La definizione di eventi indipendenti e` simmetrica, nel senso che puo` esprimersi in modo equivalente scambiando i ruoli di A e B; dunque si puo` dire, in modo equivalente, che due eventi A e B (con A di probabilita` non nulla) sono indipendenti se e solo se: pðB j AÞ ¼ pðBÞ Se A e B sono due eventi indipendenti, la formula delle probabilita` composte diventa: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBÞ

[4.5]

nota anche come regola del prodotto. Viceversa, se e` vera la [4.5], allora i due eventi A e B sono indipendenti. ESEMPI

Eventi dipendenti ed eventi indipendenti

a. Lanciamo per due volte consecutive un dado e consideriamo i due eventi A: «il primo numero uscito e` 2», B: «il secondo numero uscito e` 5». I due eventi sono indipendenti? b. Lanciamo per due volte consecutive un dado; siano A l’evento: «il primo numero uscito e` 2» e B l’evento: «la somma dei due numeri usciti e` 5». I due eventi sono indipendenti? a. E` intuitivo che il numero uscito nel lancio del dado la prima volta non influenza il numero che uscira` nel secondo lancio, quindi ci aspettiamo che i due eventi siano indipendenti. Verifichiamolo in base alla [4.5]. E` immediato che: pðAÞ ¼

1 6

e

pðBÞ ¼

1 6

Attenzione! Presta attenzione a non confondere i due concetti di eventi indipendenti e di eventi incompatibili. In particolare, e` un errore frequente ritenere che due eventi incompatibili siano anche indipendenti; in realta`, e` vero esattamente il contrario, cioe` che due eventi incompatibili (aventi probabilita` non nulla) non sono mai indipendenti. Infatti, in queste ipotesi la [4.5] non puo` essere verificata, essendo il primo membro uguale a zero (poiche´ A \ B ¼ x e pðA \ BÞ ¼ 0Þ e il secondo membro diverso da zero (perche´ stiamo supponendo pðAÞ 6¼ 0 e pðBÞ 6¼ 0Þ.

Ô

189

Dati e previsioni

Ô

Per calcolare pðA \ BÞ notiamo che, assumendo come spazio campionario

¼ X  X, con X ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6g, abbiamo 36 casi possibili (ed equi1 probabili) di cui 1 solo favorevole, quindi pðA \ BÞ ¼ . 36 E` facile a questo punto riconoscere che pðAÞ  pðBÞ ¼ pðA \ BÞ.

Tema N

b. Ragioniamo intuitivamente: la possibilita` di ottenere 5 come somma dei due numeri usciti dipende dal numero uscito nel lancio del primo dado; per esempio, se il primo numero uscito fosse 6, sarebbe impossibile ottenere 5 come somma dei due numeri usciti. Ci aspettiamo quindi che i due eventi non siano indipendenti. Verifichiamolo in base alla [4.5]. E` semplice calcolare la probabilita` dell’evento A: 1 pðAÞ ¼ 6 Per il calcolo della probabilita` di B assumiamo come spazio campionario

¼ X  X, essendo X ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6g. Allora j j ¼ 36 e l’evento B e` rappresentato dal seguente sottoinsieme di : fð1, 4Þ; ð2, 3Þ; ð3, 2Þ; ð4, 1Þg Dunque pðBÞ ¼

Attenzione! Non si estende alle probabilita` condizionate la regola del prodotto relativa a due eventi indipendenti, cioe` se due eventi A e B sono indipendenti, in generale non e` vero che: pðA \ BjHÞ ¼ ¼ pðAjHÞ  pðBjHÞ

errato!

4 1 ¼ . 36 9

L’evento A \ B, ossia «il primo numero uscito e` 2 e la somma dei due numeri usciti e` 5» e` rappresentato da fð2, 3Þg, quindi: 1 pðA \ BÞ ¼ 36 E` immediato a questo punto riconoscere che pðAÞ  pðBÞ 6¼ pðA \ BÞ. Si puo` dimostrare che, se A e B sono due eventi indipendenti, anche le coppie di eventi: A e B, A

e

B, A e B

sono indipendenti.

Prova tu

ESERCIZI a p. 199

1. Il 98% delle lampadine prodotte da una fabbrica sono prive di difetti. Se una lampadina e` difettosa, la probabilita` che venga scartata in base ai controlli di qualita` e` del 90%. Scelta a caso una lampadina prodotta, qual e` la probabilita` che sia difettosa e non venga scartata? [0,2%] 2. Si lancia un dado regolare. Gli eventi: «e` uscito un numero pari» ed «e` uscito un numero primo» sono indipendenti? [No]

3. Il teorema della probabilita` totale e il teorema di Bayes In questo paragrafo presentiamo alcuni importanti teoremi che derivano dall’applicazione del concetto di probabilita` condizionata.

Il teorema della probabilita` totale Consideriamo lo spazio campionario e supponiamo che H1 , H2 , ..., Hn siano una partizione di , cioe` che H1 , H2 , ..., Hn siano eventi di probabilita` non nulla di , a due a due disgiunti, la cui unione e` :

¼ H1 [ H2 [ ::::: [ Hn 190

Unita` 4

Considerato un qualsiasi evento A  , gli insiemi A \ H1 , A \ H2 , ..., A \ Hn risultano a loro volta a due a due disgiunti e la loro unione e` A (fig. 4.2, in cui n ¼ 4):

Complementi sul calcolo della probabilita`

A ¼ ðA \ H1 Þ [ ðA \ H2 Þ [ ::: [ ðA \ Hn Þ Ω A

H1

A ∩ H1 A ∩ H2

H4

A ∩ H4 A ∩ H3

H2

H3 Figura 4.2

Poiche´ gli eventi A \ H1 , A \ H2 , ..., A \ Hn sono disgiunti, abbiamo l’uguaglianza: pðAÞ ¼ pðA \ H1 Þ þ pðA \ H2 Þ þ ::: þ pðA \ Hn Þ che, in base alla formula delle probabilita` composte, si puo` scrivere nella forma: pðAÞ ¼ pðA j H1 Þ  pðH1 Þ þ pðA j H2 Þ  pðH2 Þ þ ::: þ pðA j Hn Þ  pðHn Þ ` totale Formula della probabilita

TEOREMA 4.3

Sia H1 , H2 ,..., Hn una collezione di insiemi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento A, vale l’uguaglianza: pðAÞ ¼ pðA j H1 Þ  pðH1 Þ þ pðA j H2 Þ  pðH2 Þ þ ::: þ pðA j Hn Þ  pðHn Þ

[4.6]

E` importante fare alcune osservazioni. 1. La piu` semplice applicazione del teorema 4.3 riguarda il caso in cui si considerano, come partizione dello spazio campionario, i due insiemi:

Attenzione! Il fatto che H1 , H2 , ..., Hn definiscano una partizione dello spazio campionario significa che H1 , H2 , ..., Hn : – hanno probabilita` non nulle; – sono a due a due disgiunti; – la loro unione e` lo spazio campionario.

H 1 ¼ B e H2 ¼ B dove B e` un qualunque evento di probabilita` non nulla; in tal caso la formula [4.6] diventa piu` semplicemente: pðAÞ ¼ pðA j BÞ  pðBÞ þ pðA j BÞ  pðBÞ 2. Gli eventi H1 , H2 ,..., Hn che costituiscono una partizione dello spazio campionario prendono anche il nome di alternative perche´ se ne puo` verificare uno e uno solo. L’utilita` del teorema 4.3 dipende dal fatto che spesso e` difficile calcolare pðAÞ mentre e` piu` facile calcolare pðA j Hi Þ, perche´ cio` significa calcolare pðAÞ con l’informazione aggiuntiva proveniente dal sapere che si e` verificato Hi . ESEMPIO

Applicazione del teorema della probabilita` totale

Un esperto di cavalli ritiene che il purosangue Furia sia piu` forte se corre con la pioggia. In particolare, l’esperto stima che Furia possa vincere con probabilita` 10% in caso di tempo asciutto e con probabilita` 25% in caso di pioggia. Il servizio meteorologico prevede, per l’ora della gara, tempo asciutto con una probabilita` del 30%. Qual e` la probabilita` che Furia vinca la sua gara?
Formalizziamo il problema Indichiamo con A l’evento «il giorno della gara il tempo e` asciutto» e con A l’evento «il giorno della gara piove»; sia inoltre V l’evento «Furia vince la gara».

Ô

191

Dati e previsioni Tema N

Ô

Sappiamo che: pðV j AÞ ¼ 0,1

Furia vince con probabilita` 10% se il tempo e` asciutto

pðV j AÞ ¼ 0,25

Furia vince con probabilita` 25% se piove

pðAÞ ¼ 0,3

Il tempo e` asciutto con probabilita` uguale al 30%

Dobbiamo calcolare pðVÞ.
Calcoliamo le probabilita` I due eventi A e A costituiscono un insieme di alternative (perche´ sono uno il complementare dell’altro) quindi possiamo applicare la formula della probabilita` totale: pðVÞ ¼ pðV j AÞ  pðAÞ þ pðV j AÞ  pðAÞ ¼ ¼ pðV j AÞ  pðAÞ þ pðV j AÞ  ð1  pðAÞÞ ¼ ¼ 0,1  0,3 þ 0,25  ð1  0,3Þ ¼ 0,205 ¼ 20,5% VISUALIZZIAMO I CONCETTI

Problemi di probabilita` e diagrammi ad albero Possiamo rappresentare il problema risolto nel precedente esempio con il diagramma ad albero in fig. 4.3. 0,1 0,3

0,7

V

A

p(A) 0,9

V

0,25

V p( A)

A 0,75

V

p(V | A)

V

p(V | A)

V

p(V | A)

V

p(A)⋅ p(V|A) = p(A ∩ V)

A

p( A) ⋅ p(V | A) = p( A ∩ V )

A

V

Figura 4.3

p(V|A)

Figura 4.4

Nel diagramma in fig. 4.4 abbiamo esplicitato il significato delle probabilita` rappresentate sui rami. E` importante osservare quanto segue. 1. La somma delle probabilita` corrispondenti ai rami che escono da un medesimo nodo e` sempre uguale a 1. Cio` dipende dal fatto che i rami che escono da un nodo rappresentano eventi incompatibili. 2. La probabilita` dell’evento rappresentato da un cammino (cioe` da una successione di rami) e` il prodotto delle probabilita` segnate sui rami da cui e` costituito. Questa proprieta` non e` altro che la «trasposizione» sul diagramma ad albero della regola delle probabilita` composte; per esempio, il cammino rappresentato in rosso in fig. 4.4 rappresenta l’evento A \ V e risulta: pðA \ VÞ probabilit`a dell’evento rappresentato dal cammino in rosso

¼

pðAÞ probabilit`a segnata sul primo ramo del cammino



pðV j AÞ probabilit`a segnata sul secondo ramo del cammino

3. La probabilita` di un evento e` la somma delle probabilita` di tutti i cammini che conducono a esso. Questa proprieta` non e` altro che la «trasposizione» sul diagramma ad albero della formula della probabilita` totale. Per esempio, nel diagramma riportato in fig. 4.4, ci sono due cammini (quello colorato in rosso e quello colorato in blu) che conducono all’evento V; la probabilita` di 192

Unita` 4

V e` la somma delle probabilita` dei due eventi rappresentati da questi due cammini; infatti: pðV j AÞ  pðAÞ

þ

e` la probabilit`a dell’evento A \ V , cio`e dell’evento rappresentato dal cammino in rosso

pðV j AÞ  pðAÞ

Complementi sul calcolo della probabilita`

pðVÞ ¼

e` la probabilit`a dell’evento A \ V , cio`e dell’evento rappresentato dal cammino in blu

La risoluzione di molti problemi di probabilita` puo` essere facilitata rappresentandoli con opportuni diagrammi ad albero e tenendo presente le regole 1, 2 e 3 enunciate sopra.

Il teorema di Bayes Abbiamo visto nel paragrafo precedente la formula delle probabilita` composte: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðB j AÞ

[4.7]

e la formula simmetrica che si ottiene invertendo i ruoli di A e B: pðB \ AÞ ¼ pðBÞ  pðA j BÞ

[4.8]

Poiche´ A \ B ¼ B \ A, dal confronto tra la [4.7] e la [4.8] si ottiene che: pðAÞ  pðB j AÞ ¼ pðBÞ  pðA j BÞ Dividendo i due membri di quest’ultima uguaglianza per pðAÞ (supposta diversa da zero), otteniamo la cosiddetta formula di Bayes che esprime un legame tra pðB j AÞ e pðA j BÞ. Formula di Bayes

TEOREMA 4.4

Dati due eventi A e B, tali che pðAÞ 6¼ 0, risulta: pðB j AÞ ¼

Dalla storia

pðA j BÞpðBÞ pðAÞ

La formula di Bayes viene spesso applicata congiuntamente al teorema delle probabilita` totali, che si rivela utile per il calcolo di pðAÞ. ESEMPIO

La formula di Bayes e` cosı` chiamata in omaggio al matematico Thomas Bayes (1702-1761).

Controllo qualita`

Una fabbrica di sacchetti di carta ha due linee di produzione: la prima linea produce 500 pezzi al giorno, di cui il 2% difettosi; la seconda linea produce 300 pezzi al giorno di cui l’1% difettoso. Facendo un controllo a caso su tutta la produzione giornaliera si trova un sacchetto difettoso; qual e` la probabilita` che esso provenga dalla prima linea?
Formalizziamo il problema Consideriamo gli eventi: L1 : «il sacchetto scelto proviene dalla linea 1»; L2 : «il sacchetto scelto proviene dalla linea 2»; D: «il sacchetto scelto e` difettoso». In base ai dati sappiamo che: 500 5 300 3 pðL1 Þ ¼ ¼ pðL2 Þ ¼ ¼ 800 8 800 8 pðD j L1 Þ ¼ 0,02

pðD j L2 Þ ¼ 0,01

Dobbiamo calcolare: pðL1 j DÞ

Ô

193

Dati e previsioni Tema N

Ô


Calcoliamo le probabilita` In base alla formula di Bayes: pðL1 j DÞ ¼

pðD j L1 Þ  pðL1 Þ pðDÞ

L’unica probabilita` che ci manca e` pðDÞ, che possiamo calcolare con la formula delle probabilita` totali: pðDÞ ¼ pðD j L1 Þ  pðL1 Þ þ pðD j L2 Þ  pðL2 Þ ¼ ¼ 0,02 

5 3 13 þ 0,01  ¼ 8 8 800

Pertanto:

5 0,02  pðD j L1 Þ  pðL1 Þ 8 ¼ 10 ¼ pðL1 j DÞ ¼ 13 pðDÞ 13 800

ESEMPIO

Test clinico

Un test clinico e` efficace nel 98% dei casi nell’individuare una data malattia nelle persone effettivamente malate (vale a dire: se una persona malata si sottopone al test, nel 98% dei casi il test risulta positivo). Il test tuttavia puo` generare anche dei «falsi positivi», cioe` dare esito positivo nell’1% delle persone sane che si sottopongono al test. E` noto inoltre che la malattia colpisce lo 0,5% della popolazione. Se una persona risulta positiva al test, qual e` la probabilita` che sia effettivamente malata?
Formalizziamo il problema Consideriamo i due eventi: M: «la persona e` malata» e T þ : «il test risulta positivo» I dati forniti dal problema si possono formalizzare cosı`: pðT þ j MÞ ¼ 0,98

pðT þ j MÞ ¼ 0,01

pðMÞ ¼ 0,005

L’obiettivo e` calcolare pðM j T þ Þ.
Calcoliamo le probabilita` Per la formula di Bayes: pðM j T þ Þ ¼

pðT þ j MÞ  pðMÞ pðT þ Þ

L’unica probabilita` che ci manca e` pðT þ Þ, che possiamo calcolare con la formula delle probabilita` totali: pðT þ Þ ¼ pðT þ j MÞ  pðMÞ þ pðT þ j MÞ  pðMÞ ¼ ¼ pðT þ j MÞ  pðMÞ þ pðT þ j MÞ  ð1  pðMÞÞ ¼ ¼ 0,98  0,005 þ 0,01  ð1  0,005Þ ¼ ¼ 0,01485 In definitiva: pðM j T þ Þ ¼

pðT þ j MÞ  pðMÞ 0,98  0,005 ¼ ’ 0,33 pðT þ Þ 0,01485


Commentiamo il risultato Il risultato ci dice quindi che una persona risultata positiva al test ha soltanto il 33% circa di probabilita` di risultare effettivamente malata! E questo nonostante il test abbia alta sensibilita`: infatti individua la malattia nel 98% dei malati. Questo apparente paradosso dipende dal fatto che la malattia considerata e` a bassa incidenza: la probabilita` che un individuo della popolazione sia 194

Unita` 4

Prova tu

ESERCIZI a p. 203

Due macchine A e B, producono rispettivamente il 30% e il 70% del numero totale di lampadine prodotte da una fabbrica. Il 3% delle lampadine prodotte dalla macchina A e` difettoso, mentre 1’% delle lampadine prodotte dalla macchina B e` difettoso. Si sceglie a caso una lampadina. Sapendo che e` difettosa, qual e` la probabilita` che sia stata prodotta   9 dalla macchina A? 16

Complementi sul calcolo della probabilita`

malato e` infatti solo lo 0,5%, cioe` solo 1 individuo su 200 risulta malato. La maggior parte dei positivi risultano falsi positivi proprio per questo motivo: perche´ la quasi totalita` della popolazione e` sana. Per esempio, supponiamo che 20 000 persone si sottopongano al test; ci aspettiamo allora che i malati siano lo 0,5%, cioe` 100, e di questi il 98% risulteranno veri positivi al test, cioe` 98. Nei restanti 19 900 sani, i falsi positivi saranno l’1%, cioe` 199: quindi in totale, tra i 98 þ 199 ¼ 297 positivi al test, soltanto 98 sono veramente malati, appunto circa il 33%.

MATEMATICA NELLA STORIA

La nascita e gli sviluppi del calcolo della probabilita` Sebbene i giochi d’azzardo fossero molto diffusi sia presso gli antichi Greci, sia presso i Romani, sia nel Medioevo, bisogna attendere il secolo XVI perche´ venga preso in considerazione il problema di una loro analisi tramite strumenti matematici. I primi documenti che testimoniano un interesse al riguardo sono un trattato di Girolamo Cardano (1501-1576), De ludo aleae, e uno scritto di Galileo Galilei (1564-1642), Sopra le scoperte dei dadi, stimolato da alcuni quesiti posti a Galileo da nobili fiorentini appassionati del «gioco della zara» (un gioco con tre dadi). La nascita vera e propria del calcolo della probabilita`, tuttavia, si fa comunemente risalire alla corrispondenza tra Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) a meta` del secolo XVII. Il carteggio tra Pascal e Fermat trae spunto dalla discussione di alcuni problemi che erano stati proposti a Pascal dal Cavalier de Me´re´, un accanito giocatore d’azzardo. Sebbene il loro scambio epistolare non venga pubblicato, riesce comunque a dare un notevole impulso allo sviluppo del calcolo della probabilita`. Il primo trattato vero e proprio di probabilita` e` dovuto a Christiaan Huygens (16291695), che nella sua opera, De Ratiociniis in Ludo Aleae (1657), ripropone in modo organico i risultati cui erano giunti Pascal e Fermat, integrandoli con alcuni contributi personali.

Le origini del calcolo della probabilita` si fanno risalire alla corrispondenza fra Pascal (a sinistra) e Fermat (a destra).

La legge dei grandi numeri viene scoperta da Jacob Bernoulli (1654-1705) e descritta nel suo trattato Ars Conjectandi, pubblicato postumo nel 1713.

195

Dati e previsioni Tema N

Nel XVIII secolo molti altri matematici come Leibnitz, Bayes e Lagrange danno importanti contributi al calcolo della probabilita`, ampliandone progressivamente i campi di applicazione (inizialmente limitati all’analisi dei giochi di azzardo) a vari problemi scientifici. Tutti questi studi trovano un punto di sintesi nel XIX secolo, nell’opera di Pierre de Laplace (1749-1827), The´orie analytique des probabilite´s. Laplace si rende conto in particolare che l’enorme complessita` di molti problemi reali non permetteva piu` di usare solo gli strumenti classici ma imponeva un nuovo approccio, di tipo probabilistico.

Nel XIX secolo, si devono a Laplace alcuni dei piu` importanti contributi all’evoluzione del calcolo della probabilita`.

Tra il XIX secolo e gli inizi del XX vari contributi allo sviluppo del calcolo della probabilita` vengono da numerosi matematici quali Legendre, Gauss, Poisson, Chebyshev, Markov, Richard von Mises. Agli inizi del XX secolo il problema dei fondamenti del calcolo della probabilita` (in particolare quello della definizione di probabilita`), posto ufficialmente da Hilbert nel 1900, resisteva ancora a una soluzione soddisfacente, nonostante i tentativi di molti grandi matematici quali von Mises, Poincare`, De finetti e altri. A questo proposito, nel 1927 Bertrand Russell affermava ironicamente che «il concetto di probabilita` e` il piu` importante della scienza moderna, soprattutto perche´ nessuno ha la piu` pallida idea del suo significato». La questione dei fondamenti viene definitivamente risolta, come abbiamo visto nel primo paragrafo, solo nel 1933, a opera del matematico russo Kolmogorov, con il suo rivoluzionario approccio assiomatico.

Kolmogorov risolve nel 1933 il problema dei fondamenti del calcolo della probabilita`, con un approccio assiomatico che rivoluziona il modo di intendere la materia.

Fra i risultati piu` importanti scoperti nella seconda meta` del secolo scorso citiamo i cosiddetti metodi Monte Carlo, che consistono grosso modo nella simulazione su un calcolatore dei problemi che risultano troppo complessi da trattare matematicamente. Tale approccio, nato da un’idea di Enrico Fermi e successivamente sviluppato da John Von Neumann (1903-1957) e Stanislaw Ulam (1909-1984), viene oggi comunemente utilizzato in svariati ambiti, dalla fisica all’analisi del rischio nella valutazione degli investimenti.

In libreria e in rete Amir Aczel, Chance. Dai giochi d’azzardo agli affari (di cuore), Raffaello Cortina Keith Devlin, La lettera di Pascal. Storia dell’equazione che ha fondato la teoria della probabilita`, Rizzoli Jeffrey S. Rosenthal, Le regole del caso: istruzioni per l’uso, Longanesi Leonard Mlodinow, La passeggiata dell’ubriaco, Rizzoli

196

In più: esercizi interattivi

Esercizi

4

Unita`

Formule e proprieta` importanti

a. 0  pðEÞ  1 qualunque sia l’evento E; b. se e` lo spazio campionario, allora: pð Þ ¼ 1; c. se A e B sono eventi incompatibili, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ. Probabilita` secondo la definizione classica Sia E un evento di uno spazio campionario , in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilita` di verificarsi. Supponiamo che l’evento E sia formato da k eventi elementari (brevemente detti «casi favorevoli») e lo spazio campionario sia formato da n eventi elementari (brevemente detti «casi possibili»). Si definisce probabilita` dell’evento E, e si indica con pðEÞ, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili: pðEÞ ¼

k n

Complementi sul calcolo della probabilita`

Assiomi di probabilita` La probabilita` pðEÞ di un evento E e` un numero reale che verifica i seguenti assiomi:

Unita` 4

SINTESI

Probabilita` dell’evento contrario Se A e` un evento e A e` il suo evento contrario, allora si ha: pðAÞ ¼ 1  pðAÞ Probabilita` dell’unione di due eventi Se A e B sono due eventi, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ  pðA \ BÞ Probabilita` condizionata Siano A e B due eventi, con B di probabilita` non nulla; allora: pðAjBÞ ¼

pðA \ BÞ pðBÞ

Eventi indipendenti Per due eventi indipendenti A e B vale la regola del prodotto: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBÞ Formula della probabilita` totale Sia H1 , H2 ,..., Hn una collezione di insiemi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento A, vale l’uguaglianza: pðAÞ ¼ pðAjH1 Þ  pðH1 Þ þ pðAjH2 Þ  pðH2 Þ þ ::: þ pðAjHn Þ  pðHn Þ Formula di Bayes Dati due eventi A e B, tali che pðAÞ 6¼ 0, risulta: pðBjAÞ ¼

pðAjBÞpðBÞ pðAÞ

197

Dati e previsioni Tema N

` CONOSCENZE E ABILITA

1. Richiami di calcolo della probabilita`

TEORIA a p. 184

Vero o falso? 1 Þ 2 Þ

3 2 2 la probabilita` di un evento puo` essere uguale a 3 la probabilita` di un evento puo` essere uguale a

V

F

V

F

3 Þ

un evento certo ha probabilita` uguale a 1

V

F

4 Þ

un evento impossibile ha probabilita` uguale a 0

V

F

5 Þ

se due eventi hanno probabilita` diversa da zero, non possono essere incompatibili

V

F

6 Þ

se un evento ha probabilita` uguale a

V

F

7 Þ

se due eventi sono disgiunti, allora sono incompatibili

V

F

8 Þ

la probabilita` dell’evento A [ B e` sempre uguale alla somma delle probabilita` di A e B

V

F

9 si lancia successivamente una moneta per 3 volte; lo spazio campionario di questo esperimento aleatorio Þ V e` costituito da esattamente 8 elementi

F

10 Þ

1 2 , allora il suo evento contrario ha probabilita` uguale a 3 3

comunque si scelgano due eventi A e B, vale la relazione: pðA \ BÞ þ pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ

V

F

Test ` di ottene11 Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Qual e` la probabilita Þ re un numero pari? 1 1 1 3 A B C D 3 2 5 10 ` di ottene12 Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Qual e` la probabilita Þ re un multiplo di 3? 1 1 1 3 A B C D 3 2 5 10 ` di ottene13 Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Qual e` la probabilita Þ re un multiplo di 4? 1 1 1 3 A B C D 3 2 5 10 14 Þ A

15 Þ A

Sia A un evento la cui probabilita` e` 1 3

B

1 2

1 . Qual e` la probabilita` dell’evento contrario A? 5 2 4 C D 5 5

Dati due eventi A e B tali che pðAÞ ¼ 1 6

B

5 6

1 1 1 , pðBÞ ¼ e pðA \ BÞ ¼ , qual e` la probabilita` dell’evento A [ B? 3 2 4 5 7 C D 12 12

Problemi 16 Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono 8 palline rosse e che la probabilita` Þ di estrarre una pallina rossa e` 0,16. Quante palline ci sono nell’urna? [50] 17 Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono esattamente 10 palline rosse e Þ che la probabilita` di estrarre una pallina rossa e` 0,2. a. Quante palline ci sono nell’urna?

198

Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono esattamente 12 palline rosse e che la probabilita` di estrarre una pallina rossa e` 0,4. a. Quante palline ci sono nell’urna? b. Supponendo ulteriormente che, tra le palline contenute nell’urna, ce ne siano esattamente 15 verdi, qual e` la   probabilita` di estrarre una pallina che non sia ne´ rossa ne´ verde? 1 a. 30; b. 10 19 Un’urna contiene 10 palline: 6 sono verdi e sono numerate da 1 a 6, mentre le altre 4 sono rosse e sono nuÞ merate da 1 a 4. Si estrae a caso una pallina dall’urna. Considera i seguenti eventi: V: «la pallina estratta e` verde» R: «la pallina estratta e` rossa» P: «la palline estratta ha impresso un numero pari». a. Determina la probabilita` dei tre eventi V, R, P. b. Determina la probabilita` degli eventi V \ R, V \ P, R \ P.   3 2 1 3 1 4 7 c. Determina la probabilita` degli eventi V [ R, V [ P, R [ P. ; ; c. 1, ; a. ; ; ; b. 0, 5 5 2 10 5 5 10

Complementi sul calcolo della probabilita`

18 Þ

Unita` 4

b. Supponendo ulteriormente che, tra le palline contenute nell’urna, ce ne siano esattamente 20 verdi, qual e` la   probabilita` di estrarre una pallina che non sia ne´ rossa ne´ verde? 2 a. 50; b . 5

20 Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza significato) della parola «cielo’’? Si sceglie a caso uno di queÞ sti anagrammi; qual e` la probabilita` che l’ultima lettera dell’anagramma sia una vocale? Qual e` la probabilita` che   l’ultima sia una consonante? 3 2 120; ; 5 5   21 Si lancia un dado per sei volte. Qual e` la probabilita` che nei sei lanci si ottengano facce tutte diverse? 5 Þ 324 22 Þ

Si scelgono simultaneamente sei carte da un mazzo di 40 (cioe` da un mazzo ottenuto da quello di 52 elimi  nando gli 8, i 9 e i 10). Qual e` la probabilita` che tra le sei carte estratte ci sia il fante di picche? 3 20   23 Giocando due numeri al lotto, qual e` la probabilita` di fare ambo? 2 Þ 801 ` presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. Scelto a caso un og24 Un oggetto prodotto da una macchina puo Þ getto prodotto dalla macchina, la probabilita` che presenti il difetto A e` 0,1; la probabilita` che presenti il difetto B e` 0,2 e la probabilita` che non presenti alcun difetto e` 0,75. Determina la probabilita` che l’oggetto: a. presenti almeno uno dei due difetti; b. presenti entrambi i difetti; c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B. [a. 0,25; b. 0,05; c. 0,15] ` presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. Scelto a caso un og25 Un oggetto prodotto da una macchina puo Þ getto prodotto dalla macchina, la probabilita` che presenti il difetto A e` 0,1; la probabilita` che presenti il difetto B e` 0,2 e la probabilita` che non presenti alcun difetto e` 0,85. Determina la probabilita` che l’oggetto: a. presenti almeno uno dei due difetti; b. presenti entrambi i difetti; c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B. [a. 0,15; b. 0,15; c. 0,05]

2. Probabilita` composte ed eventi indipendenti

TEORIA a p. 186

Esercizi preliminari 26 Þ

Vero o falso? a. pðA \ BÞ ¼ pðBÞ  pðAjBÞ b. pðA \ BÞ ¼ pðBÞ  pðBjAÞ c. pðAÞ  pðBjAÞ ¼ pðBÞ  pðAjBÞ d. due eventi incompatibili sono sempre indipendenti e. due eventi indipendenti sono sempre incompatibili

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 3 false] 199

Dati e previsioni

Test 1 1 27 Se pðAÞ ¼ e pðBjAÞ ¼ , allora pðA \ BÞ e` uguaÞ 2 3 le a: A

Tema N

D

28 Þ

1 4

B

1 5

C

e

2 3

pðBÞ ¼

Allora pðA \ BÞ e` uguale a: A D

1 2

B

1 3

1 1 1 B C 2 3 6 D le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore 1 30 Siano A e B due eventi. Si sa che pðAÞ ¼ , Þ 2 1 1 e pðA \ BÞ ¼ . Allora i due eventi A e B: pðBÞ ¼ 3 5 A

Siano A e B due eventi indipendenti tali che 1 2

Siano A e B due eventi indipendenti tali che 1 1 pðAÞ ¼ e pðBÞ ¼ 2 3

Allora pðA \ BÞ e` uguale a:

1 6

le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore

pðAÞ ¼

29 Þ

A C

1 6

B C

le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore

D

sono incompatibili sono indipendenti non sono ne´ incompatibili ne´ indipendenti le informazioni date non sono sufficienti per stabilirlo

Probabilita` condizionata e formula delle probabilita` composte 31 Þ

ESERCIZIO SVOLTO

I genitori di Claudio hanno due figli. Qual e` la probabilita` che Claudio abbia un fratello? 1 modo Per una coppia che ha due figli lo spazio campionario di riferimento e` = fff, fm, mf, mmg. Avendo la coppia descritta nell’esercizio un figlio maschio, bisogna passare a considerare come spazio campionario effettivo il sottoinsieme 0 ¼ ffm, mf, mmg. In 0 vi e` un solo evento che realizza il fatto che Claudio abbia un fra1 tello. Quindi la probabilita` richiesta e`: . 3

2 modo Sia A l’evento «i due figli della coppia sono entrambi maschi» e B l’evento «almeno uno dei due figli della coppia e` maschio». Si tratta di determinare pðAjBÞ. In base alla definizione: 1 pðA \ BÞ 1 ¼ 4 ¼ pðAjBÞ ¼ 3 pðBÞ 3 4

32 Þ

34 Þ

33 Si e` estratto un numero dal sacchetto della tomÞ bola. Sapendo che il numero estratto ha due cifre ed e`   pari, qual e` la probabilita` che esso sia il 50? 1

35 Þ

Si e` lanciato un dado regolare a sei facce e si sa che si e` ottenuto un numero pari. Qual e` la probabilita`   che il numero estratto sia maggiore di 2? 2 3

40 36 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Fra tutti i numeri naturali minori o uguali a 20 se ne estrae uno casualmente. Si sa che l’estratto e` un numero primo. Qual e` la probabilita` che sia minore o   uguale a 11? 5 8 Si lanciano due dadi regolari a sei facce e si ottiene una somma dei due punteggi maggiore di 7. Qual e`   la probabilita` di avere ottenuto due facce uguali? 1 5

La probabilita` che Marta sia scelta per la recita della sua scuola e` del 55%; se non viene scelta per la recita, Marta andra` al cinema con una probabilita` del 40%. Qual e` la probabilita` che Marta non venga scelta per la recita e vada al cinema?
Sia A l’evento «Marta viene scelta per la recita» e B l’evento «Marta va al cinema». In base ai dati del problema: pðAÞ ¼ 0,55 e pðBjAÞ ¼ 0,4
Devi calcolare pðA \ BÞ. In base alla regola delle probabilita` composte: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBjAÞ
Tenendo conto che: pðAÞ ¼ 1  pðAÞ ¼ ::::: e che pðBjAÞ e` data, puoi concludere. 200

[18%]

  a. Qual e` la probabilita` che l’indomani Maria si faccia interrogare in Italiano e prenda piu` di 7? 1 1 b. Qual e` la probabilita` che l’indomani Maria si faccia interrogare in Matematica e prenda piu` di 7? a. ; b. 3 6 38 Þ

Il 5% delle lampadine prodotte in una fabbrica sono difettose. La probabilita` che una lampadina difettosa venga scartata e` del 90%. Scelta a caso una lampadina, qual e` la probabilita` che sia difettosa ma non venga scartata? [0,5%]

39 Þ

Il 98% delle lampadine prodotte in una fabbrica sono prive di difetti. La probabilita` che una lampadina difettosa venga scartata e` del 40%. Scelta a caso una lampadina, qual e` la probabilita` che sia difettosa e venga scartata? [0,8%] 40 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Da un’urna contenente 6 palline rosse e 5 palline bianche si estraggono a caso successivamente 2 palline, senza rimpiazzo. Calcola la probabilita` di estrarre due palline rosse, in due modi diversi:

Complementi sul calcolo della probabilita`

Maria lancia una moneta e, se esce «testa», l’indomani si fara` interrogare in Italiano, altrimenti si fara` interro2 1 gare in Matematica. Maria stima che la probabilita` di prendere piu` di 7 nell’interrogazione e` in Italiano e in 3 3 Matematica.

Unita` 4

37 Þ

a. utilizzando la formula delle probabilita` composte; b. utilizzando la definizione classica e il principio fondamentale del calcolo combinatorio. a. Indichiamo con R1 l’evento «la prima pallina estratta e` rossa» e con R2 l’evento «la seconda pallina estratta e` rossa». Devi calcolare pðR1 \ R2 Þ. In base alla formula delle probabilita` composte: pðR1 \ R2 Þ ¼ pðR1 Þ  pðR2 jR1 Þ Poiche´ pðR1 Þ ¼

:::::

11

e pðR2 jR1 Þ ¼

[*] 5 :::::

, sostituendo nella [*] puoi concludere facilmente.

b. Calcola la probabilita` richiesta come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, ricordando il principio fondamentale del calcolo combinatorio per il calcolo dei casi favorevoli e di quelli possibili: pðR1 \ R2 Þ ¼

5  ::::: ¼ 11  :::::

::::: :::::

41 Da un’urna contenente 8 palline rosse e 6 palline bianche si estraggono a caso successivamente 2 palline, Þ senza rimpiazzo. Calcola la probabilita` di estrarre due palline bianche, in due modi diversi:   a. utilizzando la formula delle probabilita` composte; 15 b. utilizzando la definizione classica e il principio fondamentale del calcolo combinatorio. 91

Indipendenza e regola del prodotto 42 A e B sono due eventi tali che pðAÞ ¼ 20% e pðBÞ ¼ 30%. Quanto deve valere pðA \ BÞ perche´ A e B siano indiÞ pendenti? [6%] 43 Þ

A e B sono due eventi indipendenti. Se pðAÞ ¼ 50% e pðA \ BÞ ¼ 40%, quanto vale la probabilita` di B?

44 Þ

A e B sono due eventi. Si sa che pðAÞ ¼

[80%]

1 1 3 , pðBÞ ¼ , pðA [ BÞ ¼ . Gli eventi A e B sono indipendenti? 2 5 5 [Sı`; perche´?]

45 Si estrae una carta da un mazzo di quaranta, si rimette la carta nel mazzo e si estrae una seconda carta. I due Þ eventi: «la prima carta e` un Asso» e «la seconda carta e` un Asso» sono indipendenti? Dopo aver risposto intuitivamente, verifica la tua risposta in base alla regola del prodotto. [Sı`] 46 Si estrae una carta da un mazzo di quaranta, quindi, senza rimettere la carta nel mazzo, se ne estrae una seÞ conda. I due eventi: «la prima carta e` una Regina» e «la seconda carta e` un 2» sono indipendenti? [No] 47 Si estrae a caso una carta da una mazzo di 52. Gli eventi «la carta estratta e` un fante» e «la carta estratta e` di Þ cuori» sono indipendenti? [Sı`] 48 Si lancia un dado regolare a sei facce. Gli eventi: «e` uscito un numero dispari» ed «e` uscito un numero primo» Þ sono indipendenti? [No]

201

Dati e previsioni Tema N

49 Þ

Una famiglia possiede due automobili. Ciascuna delle due auto, indipendentemente dall’altra, puo` trovarsi 5 nella condizione di dover andare in officina con probabilita` . Qual e` la probabilita` che quella famiglia abbia  en- 12 25 trambe le macchine in officina? 144 50 Þ

Una famiglia possiede due televisori, il cui funzionamento e` indipendente uno dall’altro. Per ciascuno dei 1 due televisori, la probabilita` di un guasto e` . Qual e` la probabilita` che entrambi i televisori funzionino? 1000 [0,998001] 51 Þ

Due cacciatori, che colpiscono il bersaglio con probabilita` rispettive 85% e 75%, sparano contemporaneamente a una lepre. Qual e` la probabilita` che ha la lepre di sfuggire ai cacciatori, se ogni cacciatore ha sparato un so  lo colpo? 3 ¼ 3,75% 80 52 Þ

Per una persona bloccata sotto una valanga la probabilita` di sopravvivere dopo un’ora e` del 15%. Una squadra di soccorso raggiunge il luogo dove due escursionisti sono coperti da una valanga caduta un’ora prima. Supponendo che la sopravvivenza di ciascun escursionista sia indipendente dalla sopravvivenza dell’altro, qual e` la probabilita` di trovare in vita:   a. entrambi gli escursionisti; 9 111 ; b. b. almeno uno degli escursionisti. a. 400 400

` uguale al 95% e sceglie casualmente fra la piz53 Barbara il sabato sera va a mangiare in pizzeria con probabilita Þ zeria A e la pizzeria B. Paolo va a mangiare in pizzeria tutti i sabati sera, nella stessa ora di Barbara, scegliendo anche lui casualmente tra la pizzeria A e la pizzeria B. Qual e` la probabilita` che in un dato sabato Barbara e Paolo si in  contrino nella pizzeria A? 95 400 54 Þ

Una citta` ha una squadra di basket e una di calcio. Si stima che la probabilita` che la prima vinca il suo campionato e` del 25%, mentre la probabilita` che la seconda vinca il suo e` del 30%. Calcola la probabilita` che: a. entrambe le squadre vincono il campionato; b. nessuna delle due squadre vince il campionato;   c. almeno una delle due squadre vince il campionato; 3 21 19 2 ; b. ; c. ; d. d. solo una delle due squadre vince il campionato. a. 40 40 40 5

55 Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche, numerate da 1 a 6 e 4 nere, numerate da 1 a 4. Si estraggono Þ dall’urna due palline, simultaneamente. a. Determina la probabilita` dell’evento A: estrarre due palline bianche. b. Determina la probabilita` dell’evento B: estrarre due palline dello stesso colore. c. Determina la probabilita` dell’evento C: estrarre due palline che recano un numero dispari. d. Gli eventi A e B sono indipendenti? Gli eventi A e C? Gli eventi B e C?   1 7 2 ; c. ; d. nessuna delle tre coppie di eventi e` costituita da eventi indipendenti a. ; b. 3 15 9 4 3 56 Siano A e B due eventi indipendenti, tali che pðA [ BÞ ¼ e pðBÞ ¼ . Calcola la probabilita` dell’evento A. Þ   5 5 2 3 57 Þ

Paolo si reca in biblioteca per prendere in prestito due libri di suo interesse. La probabilita` che il primo libro che desidera Paolo sia gia` in prestito e` 0,4; la probabilita` che il secondo libro che desidera Paolo sia gia` in prestito e` 0,3. La probabilita` che almeno uno dei due libri sia gia` in prestito e` p. a. Esprimi in funzione di p la probabilita` che entrambi i libri siano gia` in prestito. b. Determina per quale valore di p i due eventi «il primo libro e` gia` in prestito» e «il secondo libro e` gia` in prestito» sono indipendenti. c. In corrispondenza del valore di p determinato al punto b., determina la probabilita` che esattamente uno dei due libri sia gia` in prestito. [a. 0,7  p; b. p ¼ 0,58; c. 0,46]

58 Un’urna contiene 20 palline bianche ed n palline nere, con n 2 N ed n  2. Un giocatore estrae per 10 volte, Þ consecutivamente, una pallina dall’urna, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna prima dell’estrazione successiva. Determina il minimo valore di n per cui la probabilita` di estrarre, nelle dieci estrazioni, almeno una pallina nera sia superiore al 99%. [n ¼ 12]

202

TEORIA a p. 190

Esercizi preliminari 59 Þ A

60 Þ A

61 Þ A

62 Þ A

63 Þ A

1 3 1 , pðX j AÞ ¼ e pðX j AÞ ¼ , quanto vale pðXÞ? 3 4 4 3 7 C D I dati sono insufficienti per determinarla. 4 12

Sapendo che pðAÞ ¼ 5 12

B

Sapendo che pðAÞ ¼ pðA j BÞ ¼ 2pðB j AÞ Se pðB j AÞ ¼ 1 3 Se pðXÞ ¼ 1 4

B

pðA j BÞ ¼ 3pðB j AÞ

C

pðA j BÞ ¼ 4pðB j AÞ

D

Nessuna delle precedenti

1 1 1 , pðAÞ ¼ e pðBÞ ¼ , allora pðA j BÞ e` uguale a: 3 2 4 2 1 3 B C D 3 4 4

13 1 1 , pðAÞ ¼ e pðX j AÞ ¼ , allora pðX j AÞ e` uguale a: 24 6 2 3 3 B C D i dati sono insufficienti per determinarla 8 4

Se pðA j BÞ ¼ 1 4

1 1 , pðBÞ ¼ , quale delle seguenti uguaglianze e` certamente vera? 2 4

Complementi sul calcolo della probabilita`

Test

Unita` 4

3. Il teorema della probabilita` totale e il teorema di Bayes

2 1 1 , pðB j AÞ ¼ e pðAÞ ¼ , allora pðBÞ e` uguale a: 3 3 2 3 3 B C D i dati sono insufficienti per determinarla 8 4

` . Completa il diagramma ad albero qui sotto, scrivendo al posto 64 Dal diagramma ad albero alle probabilita Þ dei puntini le probabilita` mancanti. Utilizzando il diagramma ad albero, determina poi la probabilita` degli eventi seguenti: B 0,4 a. A \ B A b. A \ B 0,6 … c. B B …

…

B

0,2

B

A

[a. 0,36; b. 0,32; c. 0,56]

` . Sapendo che A1 , A2 , A3 costituiscono una partizione dello spa65 Dal diagramma ad albero alle probabilita Þ zio campionario e pðA3 \ BÞ ¼ 0,06, completa il diagramma ad albero qui sotto, scrivendo al posto dei puntini le probabilita` mancanti. Utilizzando il diagramma ad albero, calcola poi la probabilita` degli eventi seguenti: a. A1 \ B b. A2 \ B c. A3 \ B d. B

0,6 A1

…

0,3 0,2 …

B

B B

A2 …

0,2

…

B B

A3 …

B

[a. 0,12; b. 0,4; c. 0,06; d. 0,34] 203

Dati e previsioni Tema N

Problemi sul teorema delle probabilita` totali 66 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Si hanno a disposizione due monete. Una delle due e` regolare, mentre l’altra e` truccata in modo che la pro1 babilita` che esca testa sia . Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia. Qual e` la probabilita` che esca 3 testa?
Considera gli eventi: A: «la moneta e` regolare»

B: «la moneta e` truccata»

T: «esce testa»

Devi calcolare pðTÞ
Per il teorema delle probabilita` totali: pðTÞ ¼ pðT j AÞ  pðAÞ þ pðT j BÞ  pðBÞ ¼ :::::::::::::::



5 12



67 Þ

Si hanno a disposizione due monete. Una delle due e` regolare, mentre l’altra e` truccata in modo che la proba2 bilita` che esca croce sia . Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia. Qual e` la probabilita` che esca testa?   5 11 20 68 Þ

In un’urna A sono contenute 5 palline bianche e 5 palline nere, mentre in un’urna B, sono contenute 4 palline bianche e 6 palline nere. Si sceglie a caso un’urna e si pesca una pallina. Qual e` la probabilita` che sia nera?   11 20 69 In un’urna A sono contenute 9 palline, numerate da 1 a 9. In un’urna B sono contenute 6 palline, numerate Þ   da 1 a 6. Scelta a caso un’urna, qual e` la probabilita` di estrarre una pallina che reca un numero multiplo di 3? 1 3 70 Due tenenti di polizia, Colombo e Sheridan, si alternano in maniera casuale nel servizio alla centrale di poliÞ zia: il primo e` di turno tre giorni su sette, il secondo quattro giorni su sette. Vale la regola che un poliziotto si occupa solo dei reati che si verificano durante il suo turno di servizio. Sapendo che Colombo risolve 8 casi su 10 e Sheri  dan 6 su 10, qual e` la probabilita`, per un malvivente che commette un reato, di restare impunito? 11 ’ 31,43% 35 71 Il pilota di formula 1 Alfonso partecipa a una gara. Secondo gli esperti, la probabilita` che Alfonso vinca la gara Þ e` dell’80% in caso di pioggia e del 60% nel caso che non piova. Il servizio meteorologico prevede che, sul circuito, per il periodo della corsa, la probabilita` di avere pioggia e` del 65%. Qual e` la probabilita` che ha Alfonso di vincere la gara? [73%] 72 Þ

Si hanno due urne; la prima contiene 10 palline bianche e 8 verdi, la seconda 6 bianche e 4 gialle. Si estrae un numero dal sacchetto della tombola: se questo e` minore o uguale a 50 si estrae una pallina dalla prima urna, in caso contrario si estrae una pallina dal secondo contenitore. a. Qual e` la probabilita` che la pallina estratta sia bianca?   b. Qual e` la probabilita` che la pallina estratta sia gialla? 233 8 20 ; b. ; c. c. Qual e` la probabilita` che la pallina estratta sia verde? a. 405 45 81 73 Si dispone di 3 scatole identiche A, B, C. La scatola A contiene 10 lampadine, 4 delle quali sono difettose. La Þ scatola B contiene 6 lampadine, 2 delle quali sono difettose. La scatola C contiene 8 lampadine, 3 delle quali sono difettose. Le lampadine difettose sono indistinguibili dalle altre. a. Da una delle scatole, scelta a caso, si estrae, anch’essa a caso, 1 lampadina. Qual e` la probabilita` che la lampadina estratta sia difettosa? b. Se invece di procedere come indicato in a. si estrae a caso una lampadina da ciascuna delle scatole, qual e` la   probabilita` che due delle lampadine estratte siano funzionanti e l’altra difettosa? 133 53 ; b. a. 360 120 74 Si hanno a disposizione: Þ – due urne A e B, tali che l’urna A contiene 3 palline bianche e 5 nere mentre l’urna B contiene 6 palline bianche e 4 nere; – una moneta truccata, per cui la probabilita` di ottenere testa in un lancio e` uguale a p.

204

Un gioco consiste nell’estrarre a caso una pallina da U1 , porre la pallina estratta in U2 ed estrarre una pallina da U2 . Il giocatore vince se la pallina estratta da U2 e` bianca. a. Calcola la probabilita` che il giocatore vinca. b. Determina il minimo valore di n per cui la probabilita` del giocatore di vincere e` superiore al 70%.   3n þ 6 ; b. n ¼ 13 a. 4n þ 12 76 Abbiamo due dadi cubici: il dado A presenta quattro facce bianche e due facce nere. Il dado B presenta una Þ faccia bianca, due facce nere e tre facce rosse. Si lancia il dado A: se la faccia ottenuta e` bianca, si lancia ancora il dado A, se la faccia ottenuta e` nera, si lancia il dado B.

Complementi sul calcolo della probabilita`

a. Determina la probabilita` che il giocatore vinca. b. In corrispondenza di quale valore di p la probabilita` di vincere e` uguale a quella di perdere?   9 2 4 p þ ; b. p ¼ a. 40 5 9 75 Si hanno due urne, U1 e U2 , tali che: Þ – l’urna U1 contiene n palline bianche e 3 nere; – l’urna U2 contiene 2 palline bianche e 1 pallina nera.

Unita` 4

Un gioco consiste nel lanciare la moneta truccata, quindi estrarre una pallina dall’urna A se e` uscita testa, dall’urna B se e` uscita croce. Il giocatore vince se la pallina estratta e` nera.

Calcola la probabilita`: a. di ottenere una faccia nera nel secondo lancio, sapendo che e` stata ottenuta una faccia nera nel primo;   b. di ottenere due facce nere; 1 1 1 c. di ottenere una faccia bianca al secondo lancio. a. ; b. ; c. 3 9 2 77 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Un’azienda acquista componenti elettronici da tre fornitori, diciamo A, B, C. La meta` dei componenti elettronici viene acquistata dal fornitore A, il 20% dal fornitore B e i restanti dal fornitore C. Si stima inoltre che: – l’1% dei componenti acquistati dal fornitore A e` difettoso; – il 4% dei componenti acquistati dal fornitore B e` difettoso; – il 3% dei componenti complessivamente acquistati dai tre fornitori sono difettosi. Scelto a caso un componente tra quelli complessivamente acquistati, calcola la probabilita` che: a. sia stato acquistato dal fornitore A e sia difettoso; b. sia stato acquistato dal fornitore B e sia difettoso; c. sia stato acquistato dal fornitore C e sia difettoso; d. sia stato acquistato dal fornitore A, sapendo che e` difettoso. e. sia stato acquistato dal fornitore A o dal fornitore B, sapendo che e` difettoso. Considera gli eventi: A: «il componente e` stato acquistato dal fornitore A» B: «il componente e` stato acquistato dal fornitore B» C: «il componente e` stato acquistato dal fornitore C» D: «il componente e` difettoso» In base ai dati e` noto che: pðAÞ ¼ 0,5

pðBÞ ¼ 0,2

pðCÞ ¼ ::::::::::

pðD j AÞ ¼ 0,01

pðD j BÞ ¼ 0,04

pðDÞ ¼ 0,03

a. Devi calcolare: pðA \ DÞ ¼ pðAÞ  pðD j AÞ ¼ :::::::::: b. Puoi procedere analogamente al punto a. c. Per la formula delle probabilita` totali: pðDÞ ¼ pðA \ DÞ þ pðB \ DÞ þ pðC \ DÞ Da questa relazione puoi ricavare il valore di pðC \ DÞ, tenendo conto che pðDÞ e` noto per ipotesi, mentre pðA \ DÞ e pðB \ DÞ sono state ricavate nei punti precedenti. 205

pðA \ DÞ ¼ :::::::::: pðDÞ

e. Devi calcolare: pðA [ B j DÞ ¼

Tema N

Dati e previsioni

d. Devi calcolare pðA j DÞ ¼

pððA [ BÞ \ DÞ pððA \ DÞ [ ðB \ DÞÞ pðA \ DÞ þ pðB \ DÞ ¼ ¼ ¼ ::::: pðDÞ pðDÞ pðDÞ " " Propriet`a distributiva dell’intersezione rispetto all’unione

Gli eventi A\D e B\D sono incompatibili



1 1 17 1 13 ; b. ; c. ; d. ; e. a. 200 125 1000 6 30



78 Il personale relativo al settore di produzione di un’azienda e` composto da ingegneri, tecnici e addetti alla maÞ nutenzione. Gli ingegneri e i tecnici costituiscono rispettivamente il 15% e il 75% del personale del settore di produzione. Tra gli ingegneri le donne sono il 50%, tra i tecnici le donne sono il 20% e tra gli addetti alla manutenzione le donne sono il 40%. Scelto a caso un dipendente dell’azienda del settore di produzione, qual e` la probabilita`:

a. che sia un addetto alla manutenzione; b. che sia una donna addetta alla manutenzione; c. che sia un tecnico di sesso maschile; d. che sia una donna; e. che sia un uomo.

  1 1 3 53 147 ; b. ; c. ; d. ; e. a. 10 25 5 200 200

Teorema di Bayes 79 Þ

ESERCIZIO GUIDATO

Nella dispensa sono disposte due ceste di mele. Nella prima cesta il 70% sono mature, mentre le altre sono acerbe; nella seconda cesta il 90% sono mature, mentre le altre sono acerbe. Si sceglie a caso una delle due ceste e si estrae da essa una mela a caso. a. Qual e` la probabilita` che la mela estratta sia matura? b. Sapendo che la mela e` risultata matura, qual e` la probabilita` che provenga dalla prima cesta?

Considera gli eventi: C1 : «ho scelto la prima cesta»

C2 : «ho scelto la seconda cesta»

M: «ho scelto una mela matura» In base ai dati e` noto che: pðM j C1 Þ ¼ 0,7

pðM j C2 Þ ¼ :::::

pðC1 Þ ¼ pðC2 Þ ¼ 0,5

la cesta viene scelta a caso, quindi ciascuna delle due ha la stessa probabilit`a di essere scelta

a. Per la formula delle probabilita` totali: pðMÞ ¼ pðM j C1 Þ  pðC1 Þ þ pðM j C2 Þ  pðC2 Þ ¼ ::::: b. Per la formula di Bayes: pðC1 j MÞ ¼



pðM j C1 Þ  pðC1 Þ ¼ ::::: pðMÞ

a.

4 7 ; b. 5 16



80 Þ

Un’azienda produce delle penne. La probabilita` che una penna sia difettosa e` uguale al 5%. Il controllo di qualita` accetta tutte le penne senza difetti e scarta il 90% delle penne difettose. Scelta a caso una penna, calcola la probabilita`: a. che superi il controllo di qualita`; b. che sia difettosa, sapendo che ha superato il controllo di qualita`.

206



191 1 ; b. a. 200 191



81 Due scatole A e B, all’apparenza indistinguibili, contengono diversi tipi di cioccolatini. In particolare, la A Þ contiene 10 gianduiotti, 8 boeri e 6 praline alla nocciola; nella B si trovano 5 gianduiotti, 6 boeri e 12 praline. Si sceglie a caso una delle due scatole e si pesca da essa un cioccolatino.

Unita` 4

a. Qual e` la probabilita` che il cioccolatino pescato sia un boero? b. Sapendo che il cioccolatino pescato e` un boero, qual e` la probabilita` di avere scelto la scatola B?   41 18 ; b. a. 138 41

Complementi sul calcolo della probabilita`

82 Una ditta ha due fornitori di componenti per personal computer. Il 30% dei componenti viene acquistato Þ dal fornitore A e il restante 70% dal fornitore B. In base alle passate esperienze, si stima che il 4% dei componenti acquistati dal fornitore A e il 5% dei componenti acquistati dal fornitore B sono difettosi.

a. Scelto a caso un componente, qual e` la probabilita` che sia difettoso? b. Avendo constatato che il componente scelto e` difettoso, qual e` la probabilita` che provenga dal fornitore A?   47 12 ; b. a. 1000 47 83 In un’universita` il 30% degli studenti ha frequentato il liceo classico. Il 70% degli studenti che hanno freÞ quentato il liceo classico e` di sesso femminile, mentre solo il 40% degli studenti che non hanno frequentato il liceo classico e` di sesso femminile. Scelto a caso uno studente di quella universita`, qual e` la probabilita`:

a. che sia una ragazza che ha frequentato il liceo classico? b. che sia di sesso femminile? c. scelta a caso una ragazza, qual e` la probabilita` che provenga dal liceo classico?



21 49 21 ; b. ; c. a. 100 100 49



1 . Se non piove, la probabilita` che stasera vada al cinema e` uguale 4 4 1 a ; se piove, la probabilita` che vada al cinema e` . Sapendo che stasera vado al cinema, qual e`, in percentuale, 5 10 la probabilita` che non piova? [96%]

84 Þ

La probabilita` che stasera piova e` uguale a

85 Þ

Due eventi A e B sono tali che:

pðAÞ ¼ 0,4

pðB j AÞ ¼ 0,6

pðB j AÞ ¼ 0,2

Sapendo che si e` verificato l’evento B, qual e` la probabilita` che si e` verificato l’evento A?

  1 3

86 Un’urna A contiene 4 palline rosse e 6 palline nere. Un’urna B contiene 2 palline rosse e 8 palline nere. Un Þ giocatore lancia un dado cubico regolare, le cui facce sono numerate da 1 a 6: se ottiene il numero 6, estrae una pallina a caso dall’urna A, altrimenti estrae una pallina a caso dall’urna B.

a. Quale e` la probabilita` che il giocatore estragga una pallina rossa? b. Sapendo che il giocatore ha estratto una pallina rossa, qual e` la probabilita` che essa provenga dall’urna A? c. Sapendo che il giocatore ha estratto una pallina rossa, e` piu` probabile che tale pallina provenga dall’urna A o   dall’urna B? 7 2 ; b. ; c. e` piu` probabile che provenga dall’urna B a. 30 7 87 Þ

Il 20% degli abitanti di un paese soffre di ipertensione. Tra le persone ipertese il 60% sono fumatori. Tra le persone che non sono ipertese, il 50% non sono fumatori. Scelto a caso un fumatore del paese, qual e` la probabilita`   che sia iperteso? 3 13 88 Il 10% di un gruppo di persone ha contratto una data malattia. Ciascun individuo del gruppo viene sottopoÞ sto a un test diagnostico per rilevare la malattia. Se un individuo e` malato, la probabilita` che il test risulti positivo e` uguale a p; se un individuo non e` malato, la probabilita` che il test risulti negativo e` ancora uguale a p.

a. Il test relativo a una persona del gruppo risulta positivo. Qual e` la probabilita` che abbia davvero contratto la malattia? b. Qual e` il valore della probabilita` calcolata al punto precedente, se p ¼ 95%? c. Affinche´ la probabilita` di cui al punto a. sia superiore al 90%, quali valori deve assumere p?   p 19 81 ; b. ’ 67,86%; c. p > , ossia circa p > 98,78% a. 9  8p 28 82 207

Dati e previsioni Tema N

RIEPILOGO Esercizi di riepilogo 89 Þ

Un dado cubico regolare ha una faccia bianca, due facce nere e tre facce rosse. Si lancia il dado consecutivamente per due volte e, in ciascuno dei due lanci, si prende nota del colore della faccia ottenuta. Calcola la probabilita` che: a. le due facce ottenute siano entrambe nere; b. le due facce ottenute siano entrambe bianche o entrambe nere; c. le due facce ottenute abbiano lo stesso colore; d. le due facce ottenute abbiano colori differenti; e. le due facce ottenute siano entrambe bianche, sapendo che hanno lo stesso colore.   1 5 7 11 1 ; c. ; d. ; e. a. ; b. 9 36 18 18 14 90 Þ

Un’urna contiene 20 palline bianche e 10 palline nere. Si estrae a caso una pallina dall’urna, quindi: – se la pallina estratta e` bianca, si rimette la pallina nell’urna e se ne aggiungono altre n bianche; – se la pallina estratta e` nera, si rimette la pallina estratta nell’urna e se ne aggiungono altre n nere. Si estrae quindi una seconda pallina dall’urna. a. Calcola la probabilita` che sia la prima sia la seconda pallina estratta siano bianche. b. Calcola la probabilita` che la seconda pallina estratta sia bianca. c. La seconda pallina estratta e` bianca. Qual e` la probabilita` che anche la prima pallina estratta sia bianca? d. Qual e` la probabilita` che le due palline estratte siano di colori differenti? e. Qual e` il minimo valore di n per cui la probabilita` di estrarre due palline di colori differenti e` inferiore  al 10%? 2ð20 þ nÞ 2 20 þ n ; b. ; c. ; a. 3ð30 þ nÞ 3 30 þ n  40 ; n ¼ 104 d. 3ð30 þ nÞ 91 Paolo si reca in biblioteca per prendere in prestito Þ due libri di suo interesse. La probabilita` che il primo libro che desidera Paolo sia gia` stato preso in prestito e` uguale alla probabilita` che il secondo libro sia gia` stato preso in prestito ; inoltre ciascuno dei due libri viene preso in prestito indipendentemente dall’altro. Sapendo che la probabilita` che almeno uno dei due libri sia gia` stato preso in prestito e` uguale a 0,36, determina la probabilita` che il primo libro sia gia` stato preso in pre  stito. 1

5 92 Un’azienda produce dei lettori MP3. Il 4% dei letÞ tori prodotti sono difettosi, percio`, prima di essere

208

commercializzati, tutti i lettori sono sottoposti a una unita` di controllo. Anche l’unita` di controllo e` tuttavia soggetta a dei margini di errore: riesce a scartare il 98% dei lettori MP3 difettosi, ma scarta erroneamente l’1% dei lettori MP3 funzionanti correttamente. Calcola la probabilita` che, scelto un lettore, esso: a. sia difettoso e non venga scartato; b. sia soggetto a un errore di controllo (cioe` sia funzionante e venga scartato oppure sia difettoso e venga accettato); c. non venga scartato. Esprimi tutti i risultati sotto forma di numeri decimali. [a. 0,0008; b. 0,0104; c. 0,9512] 93 Þ

In un gruppo di persone, il 30% conosce l’inglese, il 20% conosce il francese e il 10% conosce sia l’inglese sia il francese. a. Scelta a caso una persona del gruppo, qual e` la probabilita` che conosca l’inglese ma non il francese? b. Scelta a caso una persona tra coloro che non sanno l’inglese, qual e` la probabilita` che sappia il francese? c. Scelta a caso una persona tra coloro che sanno l’inglese, qual e` la probabilita` che questa sappia il   francese? 1 1 1 a. ; b. ; c. 5 7 3

94 Þ

Il sistema di produzione di una azienda e` dotato di un allarme, che scatta nel caso in cui si verifichino delle anomalie ai macchinari coinvolti nel processo produttivo. Il sistema di allarme e` tuttavia soggetto a piccoli difetti per cui, in casi rari, non rileva malfunzionamenti anche quando si verificano, oppure scatta anche in assenza di anomalie. In base a delle statistiche effettuate, si e` stimato che:

– la probabilita` che non ci siano malfunzionamenti e scatti l’allarme e` uguale a 0,002; – la probabilita` che ci sia un malfunzionamento e non scatti l’allarme e` uguale a 0,003; – la probabilita` che si verifichi un malfunzionamento e` uguale a 0,05. Calcola: a. la probabilita` che si verifichi un malfunzionamento e scatti l’allarme; b. la probabilita` che scatti l’allarme; c. la probabilita` che ci sia effettivamente un malfunzionamento, sapendo che e` scattato l’allarme.   47 49 47 ; b. ; c. a. 1000 1000 49

a. calcola la probabilita` che non sia vaccinato e si ammali; b. calcola la probabilita` che si ammali, se non e` sta  7 7 to vaccinato. ; b. a. 80 60 96 Þ

Considera tre eventi A, B, C tali che:


A e B sono indipendenti;
B e C sono incompatibili; 2 1
pðAÞ ¼ e pðCÞ ¼ 5 2 11 1 e pðA \ CÞ ¼
pðA [ BÞ ¼ 20 10

Stabilisci: a. se gli eventi B e C sono indipendenti; b. se gli eventi A e C sono indipendenti. Determina: c. la probabilita` dell’evento B; d. la probabilita` degli eventi A [ C e B [ C; e. la probabilita` degli eventi A \ C e B \ C; f. la probabilita` dell’evento A, supposto che si sia verificato C; g. la probabilita` dell’evento C, supposto che si sia verificato A.  a. non indipendenti; b. non indipendenti;  1 4 3 1 1 1 1 c. ; d. , ; e. , ; f. ; g. 4 5 4 5 4 5 4 97 Þ

Le camicie prodotte da un’azienda possono presentare due tipi di difetti, fra loro indipendenti: il difetto A e il difetto B. La probabilita` che una camicia di uno stock presenti il difetto A e` uguale a 0,02; la probabilita` che presenti il difetto B e` uguale a 0,01. Scelta a caso una camicia dello stock, determina la probabilita`: a. che presenti entrambi i difetti; b. che presenti almeno uno dei due difetti;

c. che non presenti alcun difetto; d. che presenti il difetto B, se presenta il difetto A.   1 149 4851 1 ; b. ; c. ; d. a. 5000 5000 5000 100 98 Þ

In un allevamento dove il 6% degli animali e` portatore di una data malattia, viene sperimentato un test diagnostico. In base ai dati rilevati, si e` trovato che: – se un animale e` portatore della malattia, il test e` positivo nel 90% dei casi; – se un animale e` sano, il test e` negativo nel 95% dei casi. Scelto a caso un animale dell’allevamento, determina la probabilita`: a. che sia portatore della malattia e risulti positivo al test; b. che sia portatore della malattia e risulti negativo al test; c. che risulti positivo al test; d. che sia portatore della malattia, sapendo che e` risultato positivo al test.   54 a. 0,054; b. 0,006; c. 0,101; d. 101

Complementi sul calcolo della probabilita`

Un quarto della popolazione e` vaccinata nei confronti di una malattia contagiosa. Si stima che il 95% della popolazione vaccinata non contrarra` la malattia e che il 10% della popolazione totale contrarra` la malattia. Scelto a caso un individuo della popolazione:

Unita` 4

95 Þ

99 Þ

Un’urna contiene delle palline indistinguibili al tatto. Il 40% hanno impresso il numero 1 e sono rosse; le restanti hanno impresso il numero 2 e, tra di esse, il 20% sono rosse e l’80% sono verdi. a. Si estrae una pallina a caso: qual e` la probabilita` che la pallina sia rossa? b. Si estrae una pallina a caso. Sapendo che e` rossa, qual e` la probabilita` che abbia impresso il numero 2? c. Sia n 2 N, con n  2. Si effettuano n estrazioni successive di una pallina con reimmissione (ovvero dopo ciascuna estrazione la pallina estratta viene rimessa nell’urna). Determina il minimo valore di n per cui la probabilita` di estrarre, nelle n estrazioni, almeno una pallina rossa con il numero 1 sia supe  riore al 99%. 13 3 ; b. ; c. n ¼ 10 a. 25 13

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese 100 Þ

Solve math in English Given that pðAÞ ¼ 0; 4 , pðBÞ ¼ 0; 3 and pðA \ BÞ ¼ 0; 1, find:

a. pðAjBÞ 101 Þ

b. pðBjAÞ

  1 1 a: ; b. 3 4

Solve math in English Bob can decide to go to work by one of three modes of transportation: car, bus or train.

Because of high traffic, if he decides to go bay car, there is a 40% chance he will be late. If he goes by bus the probability of being late is only 20%. The train is almost never late, with a probability of only 5% . Bob is late one day. His boss wishes to estimate the probability that Bob drove to work that day by car. Since he does not know which mode of transportation Bob usually use, he gives equal probability to each of the three possibilities. What   is the boss’ estimate of the probability that Bob drove to work? 8 13 209

Dati e previsioni Tema N

PROVA DI AUTOVERIFICA

Indipendenza, teoremi della probabilita` e di Bayes 1 Si lancia un dado regolare a sei facce. Stabilisci se i due eventi A: «esce un numero dispari» e B: «esce un nuÞ mero maggiore o uguale a 3» sono indipendenti. 2 Un’azienda acquista componenti elettronici presso tre fornitori, A, B e C. Un lotto e` costituito da 2000 comÞ ponenti elettronici, provenienti dai tre fornitori secondo le percentuali indicate nel grafico qui sotto a sinistra. I componenti acquistati dai tre fornitori risultano difettosi secondo le percentuali indicate nel grafico qui sotto a destra. Scelto a caso un componente del lotto, qual e` la probabilita` che sia difettoso?

Componenti difettosi per fornitore numero componenti (%)

numero componenti (%)

Provenienza dei componenti del lotto

50 40 30 20 10 0

fornitore A

fornitore B

fornitore C

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

fornitore A

fornitore B

fornitore C

3 Þ

Una ditta ha due fornitori di componenti per personal computer. Il 40% dei componenti viene acquistato dal fornitore A e il restante 60% dal fornitore B. In base alle passate esperienze, si stima che l’8% dei componenti acquistati dal fornitore A e il 6% dei componenti acquistati dal fornitore B sono difettosi. a. Scelto a caso un componente, qual e` la probabilita` che sia difettoso? b. Avendo constatato che il componente scelto e` difettoso, qual e` la probabilita` che provenga dal fornitore A? 4 Vero o falso? Þ Paolo e` solito frequentare la biblioteca della sua citta`. Egli e` appassionato di romanzi gialli o d’avventura. Il bibliotecario gli propone 200 titoli, di cui 150 gialli e 50 d’avventura. Tra i 200 titoli proposti, sono scritti da autori italiani il 40% di romanzi gialli e il 70% di quelli d’avventura. Paolo sceglie a caso un libro tra i 200 proposti.

a. La probabilita` che Paolo abbia scelto un libro giallo e` il 75% b. La probabilita` che Paolo abbia scelto un libro di un autore italiano, sapendo che ha scelto un libro 4 giallo e` 5 c. La probabilita` che Paolo abbia scelto un libro giallo di un autore italiano e` 0,3 d. La probabilita` che Paolo abbia scelto un libro giallo, sapendo che ha scelto un libro di un autore 12 italiano e` 19 e. La probabilita` che Paolo abbia scelto un libro di un autore italiano e` 0,475

V

F

V

F

V

F

V

F

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

Totale

Punteggio

2

2

1,5 þ 1,5 ¼ 3

0,6  5 ¼ 3

10

Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h

210

3Risposte in fondo al volume

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

Unita`

5

1. Variabili aleatorie e distribuzioni continue di probabilita` Tema N

Nel precedente volume ci siamo soffermati sulle variabili aleatorie discrete; tuttavia il tempo e lo spazio sono continui, percio` esistono moltissimi fenomeni reali per la cui descrizione le variabili aleatorie discrete non sono adatte. Per esempio, e` necessaria una variabile aleatoria continua (cioe` una variabile aleatoria che puo` assumere tutti i valori reali di un dato intervallo) per descrivere il tempo di vita di un apparecchio soggetto a guasti casuali oppure il tempo di attesa di un automobilista a un semaforo. Anche la misura di grandezze fisiche quali la temperatura, la velocita` ecc. e` sempre soggetta a degli errori, quindi e` da considerarsi una variabile aleatoria continua. Inoltre, proprio a causa degli inevitabili errori di misura, non e` utile chiedersi quanto vale la probabilita` che la misura di una data grandezza assuma un valore prefissato, ma piuttosto qual e` la probabilita` che l’errore commesso non superi una certa soglia: si e` interessati cioe` a stabilire la probabilita` che la misura della grandezza assuma valori in un determinato intervallo. Una situazione analoga si presenta con variabili aleatorie continue di altro tipo: nel continuo l’interesse e` quello di calcolare la probabilita` non di eventi rappresentati da singoli punti bensı` di eventi rappresentati da intervalli. Proprio per questo motivo una variabile aleatoria continua X e` definita assegnando una funzione che permette di calcolare la probabilita` che X assuma valori in un qualsivoglia intervallo.

Rifletti Dire, per esempio, che la misura di una lunghezza e` 10 cm con un errore dell’1% significa dire che la misura reale di quella lunghezza appartiene all’intervallo [9,9 cm, 10,1 cm].

DENSITA` DI UNA VARIABILE ALEATORIA CONTINUA

Una variabile aleatoria continua X viene definita assegnando una funzione f , detta densita` (di probabilita`) di X, che soddisfa le seguenti proprieta`: f ðxÞ
0 per ogni x 2 R ð þ1 1

[5.1]

f ðxÞ dx ¼ 1

[5.2]

La probabilita` che X assuma valori in un dato intervallo I e` data dall’integrale della sua densita` sull’intervallo I considerato ð pðX 2 IÞ ¼ f ðxÞ dx [5.3] I

Casi particolari I ¼ ½a, b pðX 2 IÞ ¼ ¼ pða  X  bÞ ¼

I ¼ ð1, a ðb a

pðX 2 IÞ ¼ f ðxÞ dx

¼ pðX  aÞ ¼

I ¼ ½a, þ1Þ ða 1

pðX 2 IÞ ¼ f ðxÞ dx

¼ pðX
aÞ ¼

I ¼ ð1, þ1Þ ð þ1

pðX 2 IÞ ¼ f ðxÞ dx

a

¼ pð1 < X < þ1Þ ¼ ð þ1 f ðxÞ dx ¼ 1

Nell’ultimo caso particolare esaminato, in cui I ¼ ð1, þ1Þ, l’evento X 2 I, ossia 1 < X < þ1, coincide chiaramente con l’evento certo, quindi la sua probabilita` deve essere uguale a 1: di qui la necessita` della condizione [5.2]. 211

Dati e previsioni Tema N

VISUALIZZIAMO I CONCETTI

Poiche´ la densita` di probabilita` f di una variabile aleatoria continua X e` non negativa (condizione [5.1]): ð þ1 a. l’integrale f ðxÞ dx rappresenta l’area del sottografico della funzione den1

sita` (fig. 5.1): tale area e` sempre uguale a 1 in base alla [5.2]; ðb b. l’integrale f ðxÞ dx, che esprime la probabilita` che risulti a  X  b, rapa

Modi di dire Data una funzione y ¼ f ðxÞ, si dice sottografico della funzione nell’intervallo [a, b] la parte di piano limitata dal grafico della funzione, dall’asse x e dalle rette di equazioni x ¼ a e x ¼ b.

presenta l’area del sottografico della funzione densita` nell’intervallo [a, b] (fig. 5.2). y

densità di probabilità di una variabile aleatoria X

y

y = f(x)

densità di probabilità di una variabile aleatoria X

y = f(x)

x

O

a

area = 1

O

b

x

p(a ≤ X ≤ b)

Figura 5.1

Figura 5.2

Nel caso di variabili aleatorie continue, la probabilita` che X assuma valori in un dato intervallo puo` quindi essere interpretata come area della regione di piano sottesa al grafico della densita` nell’intervallo considerato. E` importante fare alcune osservazioni. a. Se l’intervallo I ¼ ½a, b si riduce a un punto, cioe` se a ¼ b, risulta: ða pðX 2 IÞ ¼ pðX ¼ aÞ ¼ f ðxÞ dx ¼ 0 a

Percio`, se X e` una variabile aleatoria continua, la probabilita` che essa assuma un qualsivoglia valore reale prefissato e` sempre nulla; in simboli: Matematica e fisica

pðX ¼ aÞ ¼ 0

per ogni a 2 R

Il concetto di densita` di probabilita` e` analogo al concetto di densita` lineare (cioe` di massa per unita` di lunghezza di un filo rettilineo) che si incontra in fisica, precisamente in meccanica. La probabilita` che una variabile aleatoria X assuma valori in un intervallo [a, b] corrisponde, in questa analogia, alla massa del tratto di filo che ha lunghezza corrispondente a tale intervallo.

Nel continuo, dunque, un evento di probabilita` nulla non e` necessariamente un evento impossibile. Conseguenza di questo fatto e` che aggiungere o togliere un numero finito di punti a un intervallo non altera la sua probabilita`; per esempio: pða  X  bÞ ¼ pða < X  bÞ ¼ pða  X < bÞ ¼ pða < X < bÞ b. Data la densita` di probabilita` f di una variabile aleatoria X, il valore f ðaÞ da essa assunto quando x ¼ a non ha (come invece accade nel caso discreto) il significato di probabilita` dell’evento X ¼ a: infatti questa probabilita` e` sempre uguale a zero, mentre il valore assunto da f in x ¼ a, in generale, e` un numero positivo. Solo l’integrale della densita` su un intervallo ha il significato di probabilita` di un evento. Densita` di probabilita`
kx 2 se 0  x  3 : Data la funzione f ðxÞ ¼ 0 altrimenti

ESEMPIO

a. determiniamo per quale valore di k essa definisce la densita` di una variabile aleatoria X; b. in corrispondenza del valore di k trovato, determiniamo la probabilita` che risulti 1  X  2. 212

Unita` 5

1

Poiche´ la funzione f e` nulla al di fuori dell’intervallo 0  x  3 la condizione [5.4] equivale alla seguente equazione, che risolviamo:  3 3 ð3 ð3 x 1 2 2 kx dx ¼ 1 ) k x dx ¼ 1 ) k ¼ 1 ) 9k ¼ 1 ) k ¼ 3 0 9 0 0 Questo valore di k e` accettabile perche´ e` positivo. b. Per determinare la probabilita` che sia 1  X  2 basta integrare la densita` sull’intervallo [1, 2]:  2   ð ð2 1 2 1 2 2 1 x3 1 8 1 7 x dx ¼  ¼ x dx ¼ ¼ pð1  X  2Þ ¼ 9 9 1 9 3 1 9 3 3 27 1 densit`a di probabilit`a di X

Media e varianza di una variabile aleatoria continua La definizioni di media e varianza di una variabile aleatoria discreta si estendono al caso continuo sostituendo semplicemente la sommatoria con l’integrale. Matematica e fisica

MEDIA DI UNA VARIABILE ALEATORIA CONTINUA

Data una variabile aleatoria continua X, di densita` f , si dice media (o valore medio o valore atteso o speranza matematica) di X e si indica con il simbolo EðXÞ (o con la lettera
) il numero cosı` definito: ð þ1 x f ðxÞ dx [5.5]
¼ EðXÞ ¼ 1

La media di una variabile aleatoria continua X rappresenta il «centro» della distribuzione, cosı` come in meccanica il baricentro di un filo pesante rappresenta il punto di equilibrio del filo stesso.

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

a. Affinche´ la funzione f definisca una densita` di probabilita` devono essere soddisfatte le due condizioni [5.1] e [5.2]. Affinche´ la funzione sia sempre non negativa (condizione [5.1]) deve essere k
0; affinche´ sia soddisfatta anche la [5.2] deve essere: ð þ1 f ðxÞ dx ¼ 1 [5.4]

VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE ALEATORIA CONTINUA

Data una variabile aleatoria continua X, di densita` f e media
, si dice varianza di X e si indica con il simbolo VðXÞ (o con 2 ) il numero cosı` definito: ð þ1 2 ¼ VðXÞ ¼ ðx 
Þ2 f ðxÞ dx [5.6] 1

Si definisce deviazione standard di X (e si indica con ) la radice quadrata della varianza: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ¼ VðXÞ

Anche nel caso continuo, per il calcolo della varianza vale una formula «abbreviata» simile a quella vista nel caso discreto:  ¼ VðXÞ ¼ 2

ESEMPIO

ð þ1 1

x2 f ðxÞ dx 
2

[5.7]

Media e varianza di una variabile aleatoria continua

Calcoliamo media e varianza della varabile aleatoria X di densita`: 8 < 1 x 2 se 0  x  3 9 f ðxÞ ¼ : 0 altrimenti 213

La funzione dell’esempio qui a fianco definisce effettivamente una densita` di probabilita` in base a quanto visto nell’esempio precedente.

la densit`a e` nulla al di fuori dell0 intervallo ½0, 3, quindi sugli intervalli ð1, 0 e ½3, þ1Þ anche l0 integrale della densit`a e` nullo

Tema N

Dati e previsioni

In base alla [5.5]: ð ð3 ð3 1 1 3 1 3 3 x dx ¼ x dx ¼
¼ EðXÞ ¼ x  x2 dx ¼ 9 9 0 0 0 9

Osserva

1 ¼ 9



x4 4

3 ¼ 0

1 81 9  ¼ 9 4 4

Per calcolare la varianza, utilizziamo la formula «abbreviata» [5.7]:  3  2 ð3 ð 1 3 4 9 1 x5 81 2 1 2 2 VðXÞ ¼ x  x dx 
¼ ¼ x dx  ¼  5 9 9 4 9 16 0 0 0 ¼

Prova tu

1 35 81 27 81 27  ¼  ¼  9 5 16 5 16 80

ESERCIZI a p. 231


Considera la funzione f ðxÞ ¼

kx

0x2

e determina per quale valore di k essa e` una densita` di probabilita` di 0 altrimenti una variabile aleatoria X. In corrispondenza del valore di k trovato determina: a. la probabilita` che sia X > 1;

  1 3 4 2 2 k ¼ ; a. ; b.
¼ ,  ¼ 2 4 3 9

b. la media e la varianza di X.

2. Distribuzioni uniforme, esponenziale e normale Presentiamo in questo paragrafo le principali densita` di probabilita` continue.

La distribuzione uniforme DENSITA` UNIFORME

Una variabile aleatoria continua si dice avere distribuzione uniforme sull’intervallo [a, b], con a, b 2 R e a < b, se la sua densita` e` la funzione (fig. 5.3): 8 < 1 se a  x  b ba f ðxÞ ¼ : 0 altrimenti Per indicare che una variabile aleatoria X e` uniforme sull’intervallo [a, b] si utilizza la scrittura X  Uða, bÞ.

y 1 b–a

O Figura 5.3

214

a

b

x

La media e la varianza di una variabile aleatoria X uniforme sull’intervallo [a, b] sono espresse dalle formule: ðb  aÞ2 V ðXÞ ¼ 12

Il modello uniforme si applica a tutti quei fenomeni casuali che si possono assimilare alla scelta di un numero a caso in un intervallo (o equivalentemente alla scelta di un punto a caso su un segmento).

TEOREMA 5.1 Prova tu Puoi dimostrare la validita` delle formule qui a fianco verificando che: ðb x aþb dx ¼ EðXÞ ¼ 2 a ba VðXÞ ¼ ¼

ðb a

ESEMPIO

Tempo di attesa di un bus

Una linea di bus prevede una data fermata la prima volta alle 7.15 del mattino e successivamente ogni quindici minuti. Paolo tutti i giorni si presenta a quella fermata in un istante a caso tra le 7 e le 7.30 e prende il primo bus che passa. Qual e` la probabilita` che debba attendere piu` di cinque minuti?

¼

x2 dx  ba



aþb 2

ðb  aÞ2 12

Poiche´ l’arrivo di Paolo tra le 7 e le 7.30 alla fermata del bus e` del tutto casuale, possiamo assimilare l’ora di arrivo di Paolo alla scelta a caso di un numero nell’intervallo [0, 30]. Indichiamo con X la variabile aleatoria che rappresenta tale numero scelto a caso. Allora X e` una variabile aleatoria uniforme sull’intervallo [0, 30]. L’evento E: «Paolo deve attendere piu` di cinque minuti» si realizza se e solo se Paolo arriva tra le 7 e le 7.10 oppure se arriva tra le 7.15 e le 7.25. Dunque: pðEÞ ¼ pð0 < X < 10Þ þ pð15 < X < 25Þ ¼ ð 10 ð 25 1 1 1 1 1 1 2 ¼ dx þ dx ¼ ð10  0Þ þ ð25  15Þ ¼ þ ¼ 30 30 3 3 3 0 30 15 30

2 ¼

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

aþb EðXÞ ¼ 2

Unita` 5

M e d i a e v a r i a n z a d i u n a va r i a b i l e a l e a t o r i a u n i f o r m e

La distribuzione esponenziale DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

Una variabile aleatoria continua si dice avere distribuzione esponenziale di parametro reale , con  > 0, se la sua densita` e` la funzione (fig. 5.4):
x se x
0 e f ðxÞ ¼ 0 se x < 0 y f(x) = λ

O

λe –λx se x ≥ 0 0 se x < 0

x

Figura 5.4

Per indicare che una variabile aleatoria X e` esponenziale di parametro  si utilizza la scrittura X  EðÞ. Media e varianza di una variabile aleatoria esponenziale

TEOREMA 5.2

La media e la varianza di una variabile aleatoria X esponenziale di parametro  sono espresse dalle formule: EðXÞ ¼

1 

V ðXÞ ¼

1 2 215

Dati e previsioni Tema N

Prova tu Puoi verificare la validita` delle formule del teorema 5.2 verificando che: ð þ1 1 EðXÞ ¼ xex dx ¼  0 ð þ1 1 x2 ex dx  2 ¼ VðXÞ ¼  0 1 ¼ 2 

Le variabili aleatorie esponenziali sono utilizzate come modelli per descrivere il tempo di attesa di un accadimento; in particolare giocano un ruolo importante nella descrizione del tempo di vita (cioe` del tempo di attesa prima che si verifichi un guasto) di componenti elettronici; per capire il motivo di cio`, dobbiamo mettere in evidenza un’importante proprieta` della distribuzione esponenziale, cui ci avviciniamo ragionando inizialmente su un esempio. Consideriamo una variabile aleatoria X, che rappresenti il tempo di attesa prima che si verifichi il primo guasto di un apparecchio. Sapendo che e` gia` trascorso un tempo t senza che si sia verificato alcun guasto (cioe` che X > tÞ, qual e` la probabilita` che trascorra ulteriormente un tempo h prima che si verifichi un guasto (cioe` che X > t þ hÞ? Si dimostra che questa probabilita` condizionata (cioe` la probabilita` dell’evento X > t þ hjX > tÞ e` indipendente da t se la variabile X ha distribuzione esponenziale: precisamente, e` uguale alla probabilita` dell’evento X > h (cioe` e` uguale alla probabilita` che si aveva inizialmente di dovere attendere piu` di hÞ. Questa proprieta` puo` essere interpretata come se in ogni istante una variabile aleatoria esponenziale azzerasse la propria «memoria del passato». E` questo il motivo per cui si parla di « assenza di memoria» della distribuzione esponenziale. ASSENZA DI MEMORIA DELLE VARIABILI ALEATORIE ESPONENZIALI

Se X e` una variabile aleatoria esponenziale, vale la seguente proprieta`: pðX > t þ hjX > tÞ ¼ pðX > hÞ

per ogni t > 0, h > 0

[5.8]

L’assenza di memoria si puo` interpretare, in termini di tempo di vita di un’apparecchiatura, come mancanza di usura; infatti la [5.8] esprime quanto espresso nei commenti in rosso: pðX > t þ hjX > tÞ

¼

pðX > hÞ

la probabilit`a che il tempo di vita di una apparecchiatura vecchia, di et`a t, sia superiore ad h

e` uguale

alla probabilit`a che il tempo di vita di un apparecchio nuovo sia superiore ad h

Un ulteriore fatto notevole e` che l’assenza di memoria caratterizza la distribuzione esponenziale, nel senso che e` l’unica distribuzione continua che soddisfa questa proprieta`. Si puo` quindi comprendere l’importanza delle variabili aleatorie esponenziali ai fini della modellizzazione: sono l’unico modello adeguato a descrivere il tempo di vita di componenti (come i transistor) che non si usurano nel tempo e il cui guasto e` da attribuirsi a eventi puramente accidentali. ESEMPIO

Tempo di vita di un componente elettronico

Il tempo di vita (in ore) di un componente elettronico e` ben interpretato da una variabile aleatoria esponenziale X di parametro  ¼ 0,0005. Determiniamo: a. la probabilita` che il tempo di vita del componente sia inferiore alle 1000 ore; b. il tempo di vita medio del componente. a. Poiche´ X segue una distribuzione esponenziale di parametro  ¼ 0,0005, la sua densita` sara` la funzione:
0,0005e0,0005x se x
0 f ðxÞ ¼ 0 se x < 0 Dunque la probabilita` richiesta e` uguale a: ð 1000 ð 1000 f ðxÞ dx ¼ 0,0005e0,0005x dx ¼ ½e0,0005x 1000 ¼ pðX < 1000Þ ¼ 0 1 " 0 la densit`a e` nulla sull0 intervallo ð1, 0Þ quindi anche l0 integrale della densit`a su questo intervallo e` nullo

¼ e0,5 þ 1 ’ 0,3935 ¼ 39,35% 216

Unita` 5

b. Il tempo di vita medio del componente e` uguale alla media di X, che e` uguale a:

quindi la durata di vita media del componente e` 2000 ore.

La distribuzione normale DISTRIBUZIONE NORMALE

Dalla storia

Una variabile aleatoria continua si dice avere distribuzione normale (o gaussiana) di parametri
e 2 , con
2 R e  > 0, se la sua densita` di probabilita` e` la funzione:

La distribuzione gaussiana e` in realta` stata scoperta nel 1733 dal matematico Abraham De Moivre (16671754) e successivamente utilizzata nel 1797 da Gauss (1777-1855) nell’ambito della teoria degli errori.

ðx
Þ 1  f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 22  2

2

Per indicare che una variabile aleatoria X e` normale di parametri
e 2 si scrive: X  Nð
, 2 Þ. Il fatto che i parametri siano indicati con le lettere
e 2 non e` casuale, infatti sussiste il teorema seguente. Media e varianza di una distribuzione normale

TEOREMA 5.3

La media e la varianza di una variabile aleatoria X normale di parametri
e  sono espresse dalle formule: 2

EðXÞ ¼


V ðXÞ ¼ 2

e

Il grafico della densita` di probabilita` di una variabile aleatoria normale, rappresentato in fig. 5.5, ha le seguenti caratteristiche:  e` simmetrico rispetto alla retta di equazione x ¼
;  presenta un massimo nel punto x ¼
;  presenta due punti di flesso in x ¼
 . Una variabile aleatoria normale avente media
¼ 0 e varianza 2 ¼ 1 e` detta normale standard; la sua densita` e` rappresentata in fig. 5.6: x 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2 2

2

[5.9]

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

1 1 ¼ ¼ 2000  0,0005

In simboli Una variabile aleatoria normale standard viene di solito indicata con la lettera Z: Z  Nð0,1Þ

x=µ

y

y f (x) =

1 − e σ 2π

( x −µ )

2

2σ2

2

x f(x) = 1 e− 2 2π

0,1 O

µ–σ

µ+σ

x

–1

O

1

x

µ = 0, σ 2 = 1 Figura 5.5

Figura 5.6

Nel proseguimento del paragrafo vedremo: 1. come calcolare le probabilita` di una variabile aleatoria normale standard; 2. come calcolare le probabilita` di una variabile aleatoria normale di parametri qualsiasi, utilizzando le probabilita` della normale standard; 3. a quali fenomeni si applica il modello normale.

217

Ricorda Nel continuo risulta pðZ ¼ zÞ ¼ 0 percio` pðZ  zÞ ¼ pðZ < zÞ

Tema N

Dati e previsioni

1. Il calcolo delle probabilita` di una normale standard Il calcolo delle probabilita` di una variabile aleatoria Z normale standard (ossia di densita` [5.9]) si basa sulla seguente funzione, detta funzione di ripartizione della normale standard, convenzionalmente denotata con la lettera
: ðz 1 x2 pffiffiffiffiffiffi e 2 dx [5.10]
ðzÞ ¼ pðZ  zÞ ¼ pðZ < zÞ ¼ 2 1 I valori assunti dalla funzione [5.10] si possono ottenere (data la complessita` dei calcoli necessari a ricavarli) tramite le funzioni predefinite messe a disposizione dai fogli elettronici e dai software di calcolo, oppure facendo riferimento alla tab. 5.1, che ne riporta i valori per z
0. I valori per z < 0 si possono ricavare in base alle proprieta` di simmetria della densita` normale standard, come messo in evidenza nei prossimi esempi.

ESEMPIO

Come calcolare le probabilita` della normale standard

Sia Z una variabile aleatoria normale standard. Calcoliamo: a. pðZ < 1Þ b. pð0 < Z < 1,5Þ c. pðZ > 0,75Þ d. pðZ < 0,75Þ e. pðZ > 1Þ f. pð1,75 < Z < 0,5Þ Impostiamo il lavoro nelle seguenti tabelle. a. pðZ < 1Þ

b. pð0 < Z < 1,5Þ

c. pðZ > 0,75Þ

y

y

y

0,4

0,4

0,4

O

1

x

O

p(Z < 1) pðZ < 1Þ ¼ ¼
ð1Þ ¼ 0,84134

Tavole

d. pðZ < 0,75Þ

x 1,5 p(0 < Z < 1,5)

pð0 < Z < 1,5Þ ¼ ¼ pðZ < 1,5Þ  pðZ  0Þ ¼ ¼
ð1,5Þ 
ð0Þ ¼ ¼ 0,93319  0,5 ¼ ¼ 0,43319

Tavole

y

0,4

0,4

Tavole

y

0,4 x

–1 O p(Z > –1)

Utilizziamo la simmetria rispetto all’asse y della densita` normale standard: pðZ < 0,75Þ ¼ Simmetria ¼ pðZ > 0,75Þ ¼ Vedi punto c. ¼ 1  pðZ  0,75Þ ¼ ¼ 1 
ð0,75Þ ¼ 0,22663

Passaggio al complementare

¼ 1 
ð0,75Þ ¼ ¼ 1  0,77337 ¼ 0,22663 f. pð1,75 < Z < 0,5Þ

y

x

x p(Z > 0,75)

pðZ > 0,75Þ ¼ ¼ 1  pðZ  0,75Þ ¼

e. pðZ > 1Þ

–0,75 O p(Z < –0,75)

O 0,75

Utilizziamo la simmetria rispetto all’asse y della densita` normale standard: pðZ > 1Þ ¼ Simmetria ¼ pðZ < 1Þ ¼ ¼
ð1Þ ¼ 0,84134 Tavole

–1,75

x

–0,5 O p(–1,75 < Z < –0,5)

Utilizziamo la simmetria rispetto all’asse y della densita` normale standard: pð1,75 < Z < 0,5Þ ¼ Simmetria ¼ pð0,5 < Z < 1,75Þ ¼ ¼ pðZ < 1,75Þ  pðZ  0,5Þ ¼ ¼
ð1,75Þ 
ð0,5Þ ¼ ¼ 0,95994  0,69146 ¼ 0,26848

In particolare, ragionando come nel punto d., si puo` dedurre che in generale vale la relazione:
ðzÞ ¼ 1 
ðzÞ 218

per ogni z > 0

[5.11]

la prima cifra decimale; la prima riga riporta la seconda cifra decimale dei valori di z. All’incrocio della riga e della colonna che identificano un prefissato valore di z con due cifre decimali si legge il corrispondente valore di fðzÞ. Per esempio, all’incrocio della riga e della colonna evidenziate si legge il valore di fð1,24Þ ¼ 0,89251.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,50000

0,50399

0,50798

0,51197

0,51595

0,51994

0,52392

0,52790

0,53188

0,53586

0,1

0,53983

0,54380

0,54776

0,55172

0,55567

0,55962

0,56356

0,56749

0,57142

0,57535

0,2

0,57926

0,58317

0,58706

0,59095

0,59483

0,59871

0,60257

0,60642

0,61026

0,61409

0,3

0,61791

0,62172

0,62552

0,62930

0,63307

0,63683

0,64058

0,64431

0,64803

0,65173

0,4

0,65542

0,65910

0,66276

0,66640

0,67003

0,67364

0,67724

0,68082

0,68439

0,68793

0,5

0,69146

0,69497

0,69847

0,70194

0,70540

0,70884

0,71226

0,71566

0,71904

0,72240

0,6

0,72575

0,72907

0,73237

0,73565

0,73891

0,74215

0,74537

0,74857

0,75175

0,75490

0,7

0,75804

0,76115

0,76424

0,76730

0,77035

0,77337

0,77637

0,77935

0,78230

0,78524

0,8

0,78814

0,79103

0,79389

0,79673

0,79955

0,80234

0,80511

0,80785

0,81057

0,81327

0,9

0,81594

0,81859

0,82121

0,82381

0,82639

0,82894

0,83147

0,83398

0,83646

0,83891

1,0

0,84134

0,84375

0,84614

0,84849

0,85083

0,85314

0,85543

0,85769

0,85993

0,86214

1,1

0,86433

0,86650

0,86864

0,87076

0,87286

0,87493

0,87698

0,87900

0,88100

0,88298

1,2

0,88493

0,88686

0,88877

0,89065

0,89251

0,89435

0,89617

0,89796

0,89973

0,90147

1,3

0,90320

0,90490

0,90658

0,90824

0,90988

0,91149

0,91308

0,91466

0,91621

0,91774

1,4

0,91924

0,92073

0,92220

0,92364

0,92507

0,92647

0,92785

0,92922

0,93056

0,93189

1,5

0,93319

0,93448

0,93574

0,93699

0,93822

0,93943

0,94062

0,94179

0,94295

0,94408

1,6

0,94520

0,94630

0,94738

0,94845

0,94950

0,95053

0,95154

0,95254

0,95352

0,95449

1,7

0,95543

0,95637

0,95728

0,95818

0,95907

0,95994

0,96080

0,96164

0,96246

0,96327

1,8

0,96407

0,96485

0,96562

0,96638

0,96712

0,96784

0,96856

0,96926

0,96995

0,97062

1,9

0,97128

0,97193

0,97257

0,97320

0,97381

0,97441

0,97500

0,97558

0,97615

0,97670

2,0

0,97725

0,97778

0,97831

0,97882

0,97932

0,97982

0,98030

0,98077

0,98124

0,98169

2,1

0,98214

0,98257

0,98300

0,98341

0,98382

0,98422

0,98461

0,98500

0,98537

0,98574

2,2

0,98610

0,98645

0,98679

0,98713

0,98745

0,98778

0,98809

0,98840

0,98870

0,98899

2,3

0,98928

0,98956

0,98983

0,99010

0,99036

0,99061

0,99086

0,99111

0,99134

0,99158

2,4

0,99180

0,99202

0,99224

0,99245

0,99266

0,99286

0,99305

0,99324

0,99343

0,99361

2,5

0,99379

0,99396

0,99413

0,99430

0,99446

0,99461

0,99477

0,99492

0,99506

0,99520

2,6

0,99534

0,99547

0,99560

0,99573

0,99585

0,99598

0,99609

0,99621

0,99632

0,99643

2,7

0,99653

0,99664

0,99674

0,99683

0,99693

0,99702

0,99711

0,99720

0,99728

0,99736

2,8

0,99744

0,99752

0,99760

0,99767

0,99774

0,99781

0,99788

0,99795

0,99801

0,99807

2,9

0,99813

0,99819

0,99825

0,99831

0,99836

0,99841

0,99846

0,99851

0,99856

0,99861

3,0

0,99865

0,99869

0,99874

0,99878

0,99882

0,99886

0,99889

0,99893

0,99896

0,99900

3,1

0,99903

0,99906

0,99910

0,99913

0,99916

0,99918

0,99921

0,99924

0,99926

0,99929

3,2

0,99931

0,99934

0,99936

0,99938

0,99940

0,99942

0,99944

0,99946

0,99948

0,99950

3,3

0,99952

0,99953

0,99955

0,99957

0,99958

0,99960

0,99961

0,99962

0,99964

0,99965

3,4

0,99966

0,99968

0,99969

0,99970

0,99971

0,99972

0,99973

0,99974

0,99975

0,99976

3,5

0,99977

0,99978

0,99978

0,99979

0,99980

0,99981

0,99981

0,99982

0,99983

0,99983

3,6

0,99984

0,99985

0,99985

0,99986

0,99986

0,99987

0,99987

0,99988

0,99988

0,99989

3,7

0,99989

0,99990

0,99990

0,99990

0,99991

0,99991

0,99992

0,99992

0,99992

0,99992

3,8

0,99993

0,99993

0,99993

0,99994

0,99994

0,99994

0,99994

0,99995

0,99995

0,99995

3,9

0,99995

0,99995

0,99996

0,99996

0,99996

0,99996

0,99996

0,99996

0,99997

0,99997

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

z

Unita` 5

Tabella 5.1 Tavola della funzione di ripartizione della normale standard. La prima colonna della tavola riporta i valori di z con

219

Dati e previsioni

2. Il calcolo delle probabilita` di una normale di parametri qualsiasi Il calcolo delle probabilita` di una variabile aleatoria normale di parametri qualsiasi puo` sempre essere riportato al calcolo delle probabilita` di una normale standard. Infatti, se X  Nð
, 2 Þ, si dimostra che la variabile aleatoria Z cosı` definita:

Tema N

e` normale standard. Dunque:

Z¼

X
 

pðX  xÞ ¼ pðX < xÞ ¼ p

X
x
<  



 x
 x
 ¼p Z< ¼
 

Abbiamo quindi la formula: pðX  xÞ ¼ pðX < xÞ ¼


x


[5.12]



E` particolarmente interessante calcolare la probabilita` dei cosiddetti intervalli tipici della normale, ossia dei tre intervalli: ½
 ,
þ 

½
 2,
þ 2

½
 3,
þ 3

Iniziamo a fare i calcoli per il primo intervallo: pð
   X 
þ Þ ¼ pðX 
þ Þ  pðX <
 Þ ¼ " 
þ
 

 per la [5.12] ¼

¼   ¼
ð1Þ 
ð1Þ ¼
ð1Þ  ð1 
ð1ÞÞ ¼ 2
ð1Þ  1 ¼ 0,68268 " " per la [5.11]

tavole

Analogamente si trova che: pð
 2  X 
þ 2Þ ¼ 2
ð2Þ  1 ¼ 0,9545 pð
 3  X 
þ 3Þ ¼ 2
ð3Þ  1 ¼ 0,9973 In conclusione, i valori assunti da una variabile aleatoria normale cadono (fig. 5.7):  nell’intervallo ½
 ,
þ  con una probabilita` del 68,27% circa;  nell’intervallo ½
 2,
þ 2 con una probabilita` del 95,45% circa;  nell’intervallo ½
 3,
þ 3 con una probabilita` del 99,73% circa. Cio` significa che l’area sottesa al grafico della densita` normale e` quasi interamente contenuta nell’intervallo ½
 3,
þ 3, mentre l’area all’esterno di tale intervallo, ossia l’area sotto le «code» (fig. 5.7), e` trascurabile, essendo meno dello 0,27%: e` questo il motivo per cui di solito le tavole della normale standard non riportano valori superiori a 4. l’area sotto le “code” è trascurabile

µ – 3σ µ – 2σ µ – σ

µ 68,27% 95,45% 99,73%

Figura 5.7 Intervalli tipici della normale.

220

µ + σ µ + 2σ µ + 3σ

x

Un errore di misurazione puo` essere per eccesso o per difetto, quindi la variabile aleatoria che rappresenta tale errore puo` assumere valori positivi o negativi. Gli errori per eccesso e per difetto sono di solito distribuiti in modo simmetrico. Inoltre l’errore e` solitamente contenuto, quindi al crescere del valore assoluto dell’errore la probabilita` di avere commesso tale errore deve decrescere rapidamente. La densita` normale riassume proprio tutte queste caratteristiche.

Difetti di fabbricazione

Delle mine per matite prodotte da un’azienda devono avere diametro di 0,5 mm. Se la misura del diametro delle mine differisce da quella dichiarata al massimo del 4% le mine sono ugualmente utilizzabili, mentre se sussistono differenze superiori al 4% le mine vanno scartate. Il diametro delle mine e` una variabile aleatoria normale, di media 0,5 mm e deviazione standard 0,01 mm. Le mine vengono tutte controllate prima di essere immesse sul mercato. Qual e` la percentuale di mine che verranno scartate?  Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il diametro delle mine prodotte dall’azienda; X sara` una variabile aleatoria normale, di media
¼ 0,5 e deviazione standard  ¼ 0,01.  La percentuale di mine scartate si puo` interpretare come la probabilita` che, scelta a caso una mina, essa abbia diametro la cui misura, in millimetri, dif4 ferisce piu` del 4% da 0,5. Poiche´  0,5 ¼ 0,02, le mine da scartare sono 100 quelle il cui diametro e` inferiore a ð0,5  0,02Þ mm ¼ 0,48 mm o superiore a ð0,5 þ 0,02Þ mm ¼ 0,52 mm.  Si tratta quindi di calcolare:

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

ESEMPIO

Rifletti

Unita` 5

3. Le variabili normali nella modellizzazione Le variabili aleatorie normali sono il modello adatto a interpretare una vasta gamma di fenomeni; in particolare, il modello normale funziona bene quando la variabile aleatoria in esame tende ad assumere un valore prevalente
o valori per lo piu` vicini a
e lo scostamento da
dipende dalla somma di numerosi fattori aleatori indipendenti. Esempi tipici di variabili aleatorie che rientrano in queste ipotesi, per le quali si utilizza il modello normale, sono le seguenti:  la misura di una grandezza con uno strumento;
e` l’effettiva misura della grandezza mentre il valore ottenuto con lo strumento differisce dalla misura «vera» a causa di tanti piccoli errori, alcuni sistematici (dovuti per esempio allo strumento di misura) e altri casuali e indipendenti tra loro (dovuti per esempio a piccole variazioni della temperatura o della pressione);  l’effettiva dimensione di un oggetto prodotto da una macchina utensile (
e` il valore nominale della dimensione dell’oggetto mentre il valore effettivo, come nel caso precedente, ne differisce a causa di tanti piccoli errori);  la misura di caratteristiche quantitative di una popolazione (quali per esempio la statura o il peso) che presentino variazioni casuali (ma contenute) intorno a una media.

pðX < 0,48 _ X > 0,52Þ ¼ pðX < 0,48Þ þ pðX > 0,52Þ ¼ Formula [5.12] ¼ pðX < 0,48Þ þ 1  pðX  0,52Þ ¼     0,48  0,5 0,52  0,5 þ1
¼ ¼
0,01 0,01

On-line puoi trovare un approfondimento relativo alla distribuzione di Poisson.

¼
ð2Þ þ 1 
ð2Þ ¼ 1 
ð2Þ þ 1 
ð2Þ ¼ 2  2
ð2Þ ¼
ð2Þ

¼ 2  2  0,97725 ¼ 0,0455  Concludiamo che la percentuale di mine da scartare e` circa del 4,55%.

Prova tu

ESERCIZI a p. 233

1. Sia X una variabile aleatoria uniforme sull’intervallo [0, 5]. Calcola la probabilita` che risulti X
1. 2. Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro  ¼ 0,2. Calcola la probabilita` che risulti X
1.

  4 5 h 1i 5 e

3. Sia X una variabile aleatoria normale di parametri
¼ 70, 2 ¼ 25. Calcola la probabilita` che risulti 70 < X < 80. [Circa 0,48]

221

Dati e previsioni

3. Introduzione alla statistica inferenziale Premessa

Tema N

La distribuzione normale introdotta nel precedente paragrafo e` uno strumento fondamentale in un importante settore della statistica, la cosiddetta statistica inferenziale, cui accenniamo in questo paragrafo. Premettiamo che, data una variabile aleatoria Z normale standard, in molti problemi di statistica inferenziale si e` interessati a determinare il valore zk per cui risulta:
ðzk Þ ¼ pðZ < zk Þ ¼ k Si tratta in pratica di determinare il valore zk a sinistra del quale l’area sotto il grafico della densita` di Z risulta uguale a k (fig. 5.8), ovvero di determinare la controimmagine di k nella funzione di ripartizione della normale standard: zk ¼
1 ðkÞ Il valore zk si dice quantile di ordine k di Z. y

O area della parte colorata = p(Z < zk) = k

zk

x

Figura 5.8

I quantili di Z di uso piu` comune, ricavabili per esempio con un calcolatore, sono riportati nella tabella seguente. k

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

0,999

0,9995 0,99995

zk

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,090

3,291

3,891

0,999995 4,417

Che cos’e` la statistica inferenziale?

Rifletti Con il termine inferenza in generale si indica un processo che porta a trarre una conclusione, a partire da certe premesse. In particolare, l’inferenza induttiva procede dal particolare al generale; l’inferenza statistica e` una particolare inferenza induttiva (dal campione all’intera popolazione).

222

Finora, nello studio della statistica, ci siamo posti l’obiettivo di descrivere le caratteristiche di un fenomeno o di una coppia di fenomeni su una data popolazione, ovvero ci siamo occupati di statistica descrittiva. Ora vogliamo focalizzare la nostra attenzione sulla situazione in cui la rilevazione dei dati non avviene sull’intera popolazione, ma solo su un campione e occuparci del problema di studiare se e come sia possibile estendere all’intera popolazione i risultati ottenuti dalla rilevazione sul campione. La statistica inferenziale e` proprio la parte della statistica che ha per oggetto lo studio di queste problematiche. Un punto fondamentale dell’inferenza statistica e` la scelta del campione, che deve essere il piu` possibile rappresentativo della popolazione. Nella statistica inferenziale classica, si suppone che il campione venga scelto casualmente, riponendo fiducia nel fatto che la casualita` giochi a favore della produzione di un campione che non abbia caratteristiche speciali e quindi si possa ritenere un’immagine abbastanza fedele dell’intera popolazione.

tis

ti c

a

ca

campione

popolazione

in

nz f er e

as

ta

estensione dei risultati ricavati sul campione all’intera popolazione

Gli elementi di statistica inferenziale che presenteremo nel prosieguo si basano sul tipo piu` semplice di campionamento: il cosiddetto campionamento bernoulliano. Un campione bernoulliano di n unita`, estratto da una popolazione di N unita`, non e` altro che un campione ottenuto da n estrazioni indipendenti, quindi con reimmissione. Chiaramente sarebbe piu` naturale pensare a estrazioni senza reimmissione (per evitare di intervistare una stessa unita` statistica piu` volte); tuttavia, alcuni teoremi di probabilita` su cui non possiamo soffermarci garantiscono n che se n e` sufficientemente grande e allo stesso tempo il rapporto e` sufficienN temente piccolo, le due tecniche di campionamento con o senza reinserimento producono risultati equivalenti. Per questo motivo e per il fatto che in generale per un campione bernoulliano valgono proprieta` piu` comode ai fini dei calcoli, si preferisce in pratica riferirsi allo schema con reimmissione.

La stima di un parametro: stime puntuali e stime per intervallo

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

avviene tramite un’estrazione casuale ento nam pio m

Unita` 5

Il processo di scelta casuale del campione viene detto campionamento; esso e` da interpretare come un esperimento casuale e da affrontare, di conseguenza, con gli strumenti del calcolo della probabilita`:

Consideriamo un esempio di un tipico problema di statistica inferenziale. Problema Si sono osservate le lunghezze di 5 pezzi prodotti da un macchinario: 10,42 cm

10,12 cm

10,25 cm

10,34 cm

10,15 cm

E` noto che la precisione del macchinario, ossia la deviazione standard della lunghezza dei pezzi, e` 0,1 cm. Qual e` una stima attendibile della lunghezza media dei pezzi prodotti dal macchinario?

Focalizziamo l’attenzione sugli aspetti fondamentali del problema:  abbiamo un fenomeno X oggetto dell’indagine (la lunghezza dei pezzi prodotti dal macchinario );  poiche´ il fenomeno X e` ignoto sull’intera popolazione, possiamo interpretarlo come una variabile aleatoria;  un campione di n unita` fornisce solo n osservazioni x1 , x2 , ..., xn del fenomeno, ossia n dei possibili valori di X (nel caso del problema precedente n ¼ 5 e x1 , x2 , ..., x5 sono le cinque lunghezze osservate);  per rispondere alla domanda posta dal problema, occorre elaborare i dati campionari x1 , x2 , ..., x5 , in modo da ottenere una stima del valore medio di X sull’intera popolazione. Molti problemi di statistica inferenziale hanno per oggetto proprio la stima di un parametro incognito della popolazione (nel caso precedente la media della lunghezza dei pezzi). I due parametri da stimare piu` semplici e ricorrenti nelle applicazioni sono: – la media; – la proporzione di una popolazione che presenta una certa caratteristica. 223

Dati e previsioni

Ci sono due grandi classi di metodi per stimare parametri incogniti: a. stime puntuali; b. stime per intervalli.

Tema N

La stima puntuale di un parametro ignoto e` il risultato di un calcolo eseguito sui dati campionari x1 , x2 , ..., xn , che consente di ottenere un unico numero, stima del parametro. La stima puntuale di una media e di una proporzione si ottengono nel modo piu` naturale possibile:  la media
si stima tramite la media x dei dati campionari x1 , x2 , ..., xn ;  la proporzione p si stima tramite la proporzione pb del campione che soddisfa la caratteristica oggetto dell’indagine. La bonta` di questi metodi di stima puntuale e` garantita da proprieta` teoriche su cui, per semplicita`, non ci soffermiamo. ESEMPIO

Stima puntuale

In riferimento al problema introdotto all’inizio di questo sottoparagrafo, la stima puntuale della lunghezza media dei pezzi prodotti dal macchinario, si ottiene dalla media dei dati campionari; quindi: x ¼

10,42 þ 10,12 þ 10,25 þ 10,34 þ 10,15 ¼ 10,256 cm 5

La stima puntuale di un parametro ha il pregio della semplicita` ed e` sempre applicabile a partire dai dati campionari, senza richiedere ulteriori informazioni. Tuttavia e` evidente che e` molto rischiosa, nel senso che e` molto difficile avvicinarsi con un solo numero al vero valore del parametro incognito; inoltre ha il difetto di non fornirci strumenti in grado di «controllare» l’errore che si commette tramite la stima. Per questi motivi e` piu` interessante determinare un intervallo di possibili valori per il parametro incognito, da determinarsi in base a un prefissato grado di fiducia di fare bene, cioe` di costruire un intervallo che contenga effettivamente l’ignoto valore del parametro: in cio` consiste un procedimento di stima per intervallo. Il metodo di stima per intervallo su cui gettiamo uno sguardo nel proseguimento del paragrafo e` quello piu` noto e utilizzato: esso consiste nella costruzione dei cosiddetti intervalli di confidenza.

Intervallo di confidenza per la stima di una media di una popolazione normale, di cui e` nota la varianza

Osserva Fissato un livello di confidenza , il numero 1   indica la probabilita` di sbagliare, cioe` di estrarre un campione che produce un intervallo di confidenza non contenente il vero valore del parametro che vogliamo stimare.

224

Riprendiamo ancora in esame il problema del sottoparagrafo precedente sulle lunghezze dei pezzi prodotti da un macchinario e proponiamoci ora di costruire una stima intervallare della lunghezza media (incognita)
dei pezzi prodotti, nota la deviazione standard  ¼ 0,1 cm di tali lunghezze. Intuitivamente l’idea e` quella di costruire un intervallo avente come centro la stima puntuale x di
ottenuta dai dati campionari, in modo da avere un elevato grado di fiducia che il «vero» valore di
cada in questo intervallo. Nel linguaggio statistico , il «grado di fiducia» si chiama livello di confidenza ed e` espresso tramite un prefissato numero , solitamente scelto uguale al 90%, al 95% o al 99% . Il numero  rappresenta la probabilita` che i dati osservati su un campione casuale producano una stima intervallare contenente il vero valore
. Poiche´ il livello di confidenza e` garantito da una condizione basata su una probabilita`, per costruire un intervallo di confidenza non sono sufficienti i dati campionari, ma occorre anche conoscere la distribuzione di probabilita` della variabile aleatoria X che rappresenta il fenomeno in esame (oppure opportune condizioni che consentano di approssimare tale distribuzione di probabilita`). Assumendo che la distribuzione di probabilita` di X sia normale, l’intervallo di confidenza puo` essere costruito sulla base del teorema seguente.

TEOREMA 5.4

[5.13]

essendo:  x la stima puntuale della media
calcolata sul campione;  n la dimensione del campione. ESEMPIO

Stima intervallare per una media

Si sono osservate le lunghezze di 5 pezzi prodotti da un macchinario: 10,42 cm

10,12 cm

10,25 cm

10,34 cm

10,15 cm

E` noto che la precisione del macchinario, ossia la deviazione standard della lunghezza dei pezzi, e` 0,1 cm. Supponendo che la lunghezza dei pezzi abbia una distribuzione normale, determiniamo un intervallo di confidenza al 95% per la lunghezza media dei pezzi prodotti. Per costruire la stima richiesta in base alla [5.13] ci occorrono x, n,  e z þ1 : 2

 la stima puntuale x della lunghezza media e` stata calcolata in uno degli esempi precedenti e abbiamo visto che x ¼ 10,256 cm;  il campione e` costituito da n ¼ 5 pezzi;  il valore di  e` noto, uguale a 0,1 cm;  essendo richiesto un livello di confidenza  ¼ 95% ¼ 0,95 risulta: þ1 0,95 þ 1 ¼ ¼ 0,975 2 2 e dalla tabella dei quantili posta all’inizio del paragrafo si deduce che:

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

Sia X una variabile aleatoria normale, di media incognita
e varianza nota  . L’intervallo di confidenza al livello  per la media
e`:     x  z þ1  pffiffiffi , x þ z þ1  pffiffiffi 2 2 n n 2

Unita` 5

Intervallo di confidenza per la media

z þ1 ¼ z0,975 ¼ 1,96: 2

Pertanto l’intervallo di confidenza richiesto e`: # " 0,1 0,1 10,256  1,96  pffiffiffi ; 10,256 þ 1,96  pffiffiffi 5 5 z z   x

0,975

x

0,975

ossia circa: [10,16; 10,35]

Vedi l’Attenzione qui a fianco

Cio` significa che, a un livello di confidenza del 95%, possiamo ritenere che la lunghezza media dei pezzi prodotti sia compresa tra 10,16 cm e 10,35 cm (estremi inclusi). E` importante fare alcune osservazioni. 1. L’intervallo di confidenza per una media incognita
al livello  dipende dalla stima puntuale x e quindi dal campione estratto: al variare del campione, si ottengono intervalli di confidenza diversi. Il ragionamento che porta alla dimostrazione del teorema 5.4 (omessa per semplicita`), garantisce pero` che, se eseguissimo un gran numero di campionamenti, i corrispondenti intervalli di confidenza conterrebbero il valore incognito
in una percentuale all’incirca uguale ad  (per esempio se scegliessimo  ¼ 95% significherebbe che, eseguendo un numero molto elevato di campionamenti all’incirca il 95% dei corrispondenti intervalli di confidenza conterrebbero il valore incognito
Þ. Questa osservazione dovrebbe gettare maggiore luce sul senso con cui va inteso il concetto di «livello di confidenza». 225

Tema N

Dati e previsioni

2. L’intervallo di confidenza [5.13] puo` essere espresso anche nella forma:  x  z þ1  pffiffiffi 2 n Il termine:  z þ1  pffiffiffi 2 n

Rifletti La costruzione di un intervallo di confidenza richiede sempre maggiori informazioni rispetto a una stima puntuale: se non e` nota la distribuzione di X occorre avere molti dati, cioe` essere nel caso di grandi campioni (in modo da potersi appellare al teorema limite centrale).

indica l’errore massimo che si commette stimando
con x (nell’ipotesi, in cui confidiamo al livello , che
appartenga effettivamente all’intervallo di confidenza stabilito). 3. L’ampiezza dell’intervallo di confidenza e` uguale a:  [5.14] 2z þ1  pffiffiffi 2 n e definisce la precisione della stima, nel senso che un intervallo di confidenza e` tanto piu` preciso quanto piu` e` «stretto» e tanto piu` impreciso quanto piu` e` «largo». Dalla [5.14] appare chiaro che la precisione della stima dipende da tre elementi: il livello di confidenza , la dimensione n del campione e la deviazione standard . Quest’ultima e` una quantita` fissata, mentre il livello di confidenza  e la dimensione n del campione possono essere scelti a piacere. A parita` di livello di confidenza, aumentare la dimensione del campione diminuisce l’ampiezza dell’intervallo di confidenza e quindi migliora la precisione della stima; viceversa, a parita` di dimensione del campione, aumentare il livello di confidenza porta a un aumento del valore di z þ1 e quindi dell’ampiezza del2 l’intervallo di confidenza, peggiorando la precisione della stima. Si puo` quindi comprendere il motivo per cui non e` una buona idea fissare un livello di confidenza prossimo a 1 (per esempio a 0,999, in modo da garantirci quasi con certezza che l’intervallo di confidenza corrispondente al campione estratto contenga effettivamente il parametro da stimare): cosı` facendo aumenterebbe l’ampiezza dell’intervallo, in modo da contenere praticamente tutti i valori possibili e quindi l’informazione fornita dall’intervallo di confidenza non sarebbe piu` significativa. 4. L’enunciato del teorema 5.4 richiede che X abbia una distribuzione normale; un importante teorema di calcolo della probabilita`, il cosiddetto teorema limite centrale, che non presentiamo perche´ va oltre gli scopi di questo libro, garantisce pero` che l’intervallo [5.13] fornisca comunque una buona approssimazione dell’intervallo esatto di confidenza anche nel caso in cui non sia nota la distribuzione del carattere X, purche´ il campione sia sufficientemente numeroso: in genere l’approssimazione e` buona (e quindi si puo` continuare a utilizzare la [5.13]) per una dimensione campionaria n > 120.

Intervallo di confidenza per la proporzione Un problema di particolare importanza in statistica inferenziale riguarda la stima della proporzione (ossia della frequenza relativa o della percentuale) di una popolazione che soddisfa una certa caratteristica X. Un esempio tipico di questa situazione e` quello dei sondaggi d’opinione, in cui si vuole stimare la proporzione della popolazione complessiva che e` d’accordo con una certa opinione, sulla base della proporzione ottenuta su un campione di n individui. E` possibile costruire una stima intervallare della proporzione sulla base del teorema seguente. TEOREMA 5.5

Intervallo di confidenza per la proporzione

Ricorda

L’intervallo di confidenza al livello  per la proporzione p, nel caso di un campione bernoulliano sufficientemente numeroso e` approssimativamente: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pbð1  pbÞ pbð1  pbÞ pb  z þ1  , pb þ z þ1  [5.15] 2 2 n n

Il simbolo z þ1 indica il 2

quantile della normale þ1 . standard di ordine 2

226

essendo pb la stima puntuale della proporzione calcolata sul campione e n la dimensione del campione.

Unita` 5

npb > 5 e nð1  pbÞ > 5

ESEMPIO

Condizioni di validita` della [5.15]

Stima intervallare per una proporzione

Si effettua un controllo su 200 pezzi prodotti da una macchina e si trova che 16 di essi non sono conformi alle norme dichiarate. Costruiamo un intervallo di confidenza al livello del 90% per la percentuale di pezzi prodotti non conformi. Per costruire la stima richiesta, in base alla [5.15], ci occorrono pb, n e z þ1 : 2  la stima puntuale pb della percentuale di pezzi non conformi dedotta dal campione e`:

Osserva Poiche´:

8 ¼ 16 > 5 100   8 nð1  pbÞ ¼ 200  1  ¼ 100 ¼ 184 > 5

npb ¼ 200 

16 8 ¼ ¼ 0; 08 ¼ 8% 200 100  il campione e` costituito da n = 200 pezzi;  essendo richiesto un livello di confidenza  ¼ 90% ¼ 0,9, risulta:

sono soddisfatte le condizioni per potere applicare la [5.15].

þ1 0,9 þ 1 ¼ ¼ 0,95 2 2 e dalla tabella dei quantili posta all’inizio del paragrafo si deduce che: z þ1 ¼ z0,95 ¼ 1,645 2

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

L’intervallo di confidenza per la proporzione non e` un intervallo esatto, nel senso che viene costruito approssimando la distribuzione binomiale tramite la normale; per questo motivo nell’enunciato del teorema abbiamo specificato «approssimativamente». La richiesta che il campione sia sufficiente numeroso dipende dal fatto che solo sotto questa ipotesi l’approssimazione che viene utilizzata e` valida; nella pratica il campione si considera sufficientemente numeroso (quindi la [5.15] puo` essere utilizzata) se sono verificate le condizioni:

Pertanto l’intervallo di confidenza richiesto e`: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   0,08 ð1  0,08Þ 0,08ð1  0,08Þ ; 0,08 þ 1,645 0,08  1,645 200 200 pb

z0,95

pb

z0,95

ossia circa: [0,048 ; 0,112] Cio` significa che, a un livello di confidenza del 90%, possiamo ritenere la percentuale dei prodotti non conformi compresa tra il 4,8% e l’11,2% (estremi inclusi). L’intervallo di confidenza [5.15] puo` anche essere scritto nella forma: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1  pbÞ pb  z þ1  2 n

y 1 4

y = x(1 – x)

L’ampiezza dell’intervallo e`: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1  pbÞ 2z þ1  2 n

O 1 1 2

x

Figura 5.9

Poiche´ sappiamo che in ogni caso e` 0  pb  1, analizzando il grafico della parabola di equazione y ¼ xð1  xÞ, con 0  x  1 (fig. 5.9), si deduce che e` sempre 1 pbð1  pbÞ  . 4

227

Dati e previsioni

Dunque risultera` sempre: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1  pbÞ 1  2z þ1  2z þ1  2 2 n 4n

Tema N

Fissato  e` allora possibile determinare di conseguenza la dimensione n del campione in modo da ottenere una prefissata precisione, cioe` un intervallo di ampiezza minore o uguale a un dato numero k, determinando il minimo intero positivo n che soddisfa la disequazione:

1 ¼ z þ1  pffiffiffi 2 n

ampiezza dell’intervallo di confidenza della proporzione

1 z þ1  pffiffiffi  k 2 n

Prova tu

ESERCIZI a p. 237

1. La statura della popolazione maschile adulta di una data regione e` una variabile aleatoria normale di media
incognita e deviazione standard  ¼ 5 cm. Determina l’intervallo di confidenza per
al livello del 95%, sapendo che la statura media rilevata su un campione di 100 persone e` stata di 176,5 cm. [175,52 
 177,48] 2. In un campione casuale di 100 fatture, 15 contengono degli errori. Determina l’intervallo di confidenza al 90% della percentuale p di fatture che contengono errori. [9,1%  p  20,9%]

APPROFONDIMENTO

Il concetto di modello matematico

Durante il nostro corso abbiamo parlato piu` volte, spesso a livello intuitivo, di modello matematico. Vogliamo ora cercare di comprendere piu` a fondo il significato di questo concetto, prendendo spunto anche dalle nuove nozioni introdotte in questa Unita`. Nei casi concreti, l’analisi e la modellizzazione di un fenomeno casuale avviene solitamente secondo le fasi sintetizzate nello schema seguente.

esperimento casuale modello

osservazione

Calcolo delle probabilità

Statistica descrittiva

previsioni

confronto

analisi dati

validazione o correzione del modello La costruzione del modello del fenomeno casuale consiste nel definire alcune variabili aleatorie che descrivono il fenomeno in esame e assegnare a tali variabili aleatorie una distribuzione di probabilita`. Questa fase e` la piu` delicata perche´ comporta un certo grado di arbitrarieta` nella scelta della distribuzione piu` adeguata. Naturalmente, nella costruzione del modello non si procede arbitrariamente, ma si cerca di descrivere nel miglior modo possibile gli aspetti di interesse del fenomeno che si sta studiando. Tuttavia, dopo aver trovato un modello che, almeno a priori, sembra ragionevole, esso dovra` essere «messo alla prova», confrontando con i dati empirici le previsioni che esso consente di effettuare, cosı` da verificare se effettivamente descrive bene il fenomeno studiato. Nel caso si riscontrino delle significative discrepanze con i dati reali, occorre cercare di modificare il modello per renderlo piu` aderente alla realta`; nel caso in cui, invece, si abbia conferma di aver trovato un buon modello, non e` tuttavia detto che esso sia necessariamente l’unico valido o che non sia ulteriormente migliorabile. Si intravede cosı` la moderna concezione di modello matematico come rappresentazione formale di un fenomeno, che non pretende di spiegarlo o di scoprirne l’intima essenza, ma solo di darne un’immagine che descriva bene alcuni suoi aspetti. Un modello va dunque valutato soltanto in base alla sua efficacia e un buon modello non e` detto che sia l’unico possibile.

228

In libreria e in rete Giorgio Israel, Modelli matematici. Introduzione alla matematica applicata, Franco Muzzio Editore Primo Brandi, Anna Salvadori, Modelli matematici elementari, Bruno Mondadori

Distribuzioni continue di probabilita` e introduzione alla statistica inferenziale

«Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico e` soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni, cioe` che descriva correttamente i fenomeni di un’area ragionevolmente ampia.»

Unita` 5

Si tratta di un approccio opposto a quello della fisica classica: per Newton l’obiettivo fondamentale non era l’utilita` ma la ricerca della verita`, la scoperta delle cause di un fenomeno, la loro spiegazione, fino a giungere alla causa prima. Non e` un caso, quindi, che la moderna modellistica matematica e la diffusione dei modelli matematici anche nell’ambito di discipline diverse dalla fisica abbiano avuto origine proprio con la crisi di uno dei principi fondamentali della fisica classica: quello del determinismo, secondo cui la conoscenza della posizione e della velocita` di un punto materiale, nonche´ della legge del suo moto, determinano in modo univoco la sua evoluzione. A scardinare questo principio fu principalmente la scoperta, da parte di Werner Karl Heisenberg (1927), che a livello microscopico la posizione e la velocita` di una particella non possono essere determinate simultaneamente; si puo` soltanto determinare la probabilita` che la particella si trovi in un punto anziche´ in un altro, oppure che abbia una velocita` piuttosto che un’altra. Il comportamento della particella non puo` dunque essere previsto in modo certo, come normalmente accadeva nella fisica classica. Ne seguı` una progressiva crisi della concezione puramente deterministica, che lascio` gradualmente spazio a un approccio nuovo ai problemi, di tipo modellistico e probabilistico, ben sintetizzato dalle parole di uno dei massimi scienziati del novecento, John von Neumann (1903-1957):

229

Tema N

Unita`

5

Esercizi

In più: esercizi interattivi

SINTESI Formule e proprieta` importanti Proprieta` di una funzione di densita` di probabilita` ð þ1 f ðxÞ dx ¼ 1 f ðxÞ
0 per ogni x 2 R e 1

Calcolo delle probabilita` relative a una variabile aleatoria continua X di densita` f ðxÞ ðb pða < X < bÞ ¼ f ðxÞ dx a

dove a, b 2 R oppure a ¼ 1 e b 2 R oppure a 2 R; b ¼ þ1 Valore medio, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria continua ð þ1 ½x  EðXÞ2 f ðxÞ dx 1 ð þ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x f ðxÞ dx VðXÞ ¼ oppure ðXÞ ¼ VðXÞ EðXÞ ¼ 1 ð þ1 x2 f ðxÞ dx  ½EðXÞ2 1

Distribuzioni uniforme, esponenziale, normale Nome, simbolo e parametri Uniforme X  Uða; bÞ a0 Normale X  Nð
, 2 Þ
2 R,  > 0

Densita` 8 < 1 ba : 0


ex 0

a b, inseriti in due celle diverse. a. Costruzione del foglio

Un foglio che soddisfa le condizioni richieste puo` avere un aspetto simile al seguente:

Puoi costruire un foglio di questo tipo seguendo le istruzioni qui riportate. 1. Inserisci il testo che puoi vedere in figura nelle celle A1, A2 e D1. 2. Le celle B1 e B2 sono riservate ad acquisire i due numeri a e b di cui si vuole controllare la divisibilita`: immetti in esse due numeri a tuo piacere. 3. Nella cella E1 devi porre una formula che agisce cosı`: se il numero a e` divisibile per b, nella cella E1 viene scritto «Sı`», altrimenti viene scritto «No». Per costruire tale formula occorre fare preliminarmente alcune considerazioni.
Per affrontare le situazioni in cui e` necessario operare una scelta condizionata, cioe` scegliere tra due alternative in base al verificarsi o meno di una certa condizione, Excel mette a disposizione la funzione SE(), la cui sintassi e`: SE(test;se vero;se falso) Cio` significa che se la condizione denominata test e` vera, il risultato sara` il valore se_vero, altrimenti sara` il valore se_falso.
La condizione di divisibilita` tra due numeri a e b si puo` esprimere tramite il resto della divisione intera tra a e b: se tale resto e` nullo a e` divisibile per b, altrimenti a non e` divisibile per b. Excel mette a disposizione la funzione: RESTO(a;b) che restituisce il resto della divisione intera tra due numeri a e b. 260

Á";"No") =SE(RESTO(B1;B2)=0;"Sõ b. Utilizzo del foglio costruito

Considera le seguenti coppie di numeri: a ¼ 1313

b¼3

a ¼ 134 572

b¼4

a ¼ 19 365

b¼5

a ¼ 19 359

b¼9

a ¼ 11 111

b ¼ 11

Idee e metodi della matematica

Tenendo conto di queste considerazioni, puoi capire che la formula da inserire nella cella E1 e`:

In ciascun caso stabilisci, in base alla teoria che hai studiato, se a e` divisibile per b. Controlla quindi la tua risposta utilizzando il foglio Excel appena costruito.

Attivita` 2 Algoritmi

L’algoritmo di Euclide Scrivi un programma in Visual Basic che, immessi in due celle di un foglio Excel due numeri naturali a e b, con a > b, restituisca in un’altra cella il massimo comune divisore di a e b, calcolato mediante l’algoritmo euclideo. a. Interfaccia

Imposta un foglio Excel come illustrato nella figura qui sotto.

b. Pseudocodifica

L’algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore di due numeri naturali a e b, con a > b, puo` essere cosı` descritto: 1. si calcola il resto della divisione intera tra a e b; se il resto r1 della divisione e` 0,

allora il massimo comune divisore tra a e b e` b, altrimenti si procede con il passo 2; 2. si calcola il resto r2 della divisione intera tra b ed r1 ; se il resto r2 di quest’ultima

divisione e` 0, allora il massimo comune divisore tra a e b e` r1 , altrimenti si procede con il passo 3; 3. si ripete il ciclo, calcolando il resto della divisione in cui il dividendo e` il divi-

sore del passo precedente e il divisore e` il resto ottenuto al passo precedente. Il procedimento termina quando si ottiene un resto uguale a zero. L’ultimo resto diverso da zero e` il massimo comune divisore tra a e b. 261

Idee e metodi della matematica

Tenendo conto di cio`, completa la seguente pseudocodifica dell’algoritmo: Variabili Dichiara a, b, r come numeri interi Inizio Acquisisci a Acquisisci b Esegui Assegna r = resto della divisione intera tra a e b Se r = ..... allora Comunica "MCD ¼ ....." altrimenti Assegna a = b Assegna b = ..... Fine se Ripeti finche´ r = ..... Fine

c. Codice

Scrivi il codice Visual Basic corrispondente alla pseudocodifica dell’algoritmo. A tale proposito, ricorda che l’istruzione per calcolare in Visual Basic il resto della divisione intera tra due numeri a e b e` a Mod b. d. Utilizzo del foglio

Prova a calcolare a mano il massimo comune divisore tra le seguenti coppie di numeri: a ¼ 432, b ¼ 180

a ¼ 175, b ¼ 108

Controlla quindi, tramite il foglio che hai costruito, i risultati ottenuti.

Attivita` 3 Algoritmi

Ricerca dei divisori di un numero naturale Scrivi un programma in Visual Basic che, immesso un numero naturale in una cella di un foglio Excel, restituisca in una riga l’elenco di tutti i suoi divisori. a. Interfaccia

Imposta un foglio Excel come illustrato nella figura qui sotto.

In particolare, la cella B1 e` quella preposta all’immissione del numero n di cui si vogliono individuare i divisori, mentre le celle della riga 4 sono preposte alla comunicazione dei divisori da parte del programma. Oltre al pulsante che attiva il codice per il calcolo dei divisori, abbiamo previsto un secondo pulsante, Azzera il foglio, avente la funzione di attivare un codice che elimina automaticamente il numero immesso nella cella B1 e i risultati forniti nella riga 4. 262

Completa la seguente pseudocodifica di un algoritmo per il calcolo dei divisori di n. Variabili Dichiara n, i come numeri interi Inizio Acquisisci n Per i = 1 a n Se il resto della divisione intera tra n e i = ..... allora Comunica ..... Fine Se Ripeti Fine

Idee e metodi della matematica

b. Pseudocodifica

c. Codice del programma «Calcola i divisori»

Nella traduzione dell’algoritmo in codice Visual Basic occorre introdurre (oltre alla variabile n e alla variabile contatore i) una nuova variabile (la chiamiamo j) che serve a definire, per ogni divisore, la colonna della cella in cui si vuole che il programma comunichi il divisore stesso. Tenendo conto di queste osservazioni, completa il codice riportato qui di seguito. Private Sub Calcola_i_divisori_Click() Dim n, i, j As Long n = Cells(..., ...) j=1 For i = 1 To ... If n Mod ... = ... Then Cells(4, j) = ... j=j+1 End If Next i End Sub Qual e` il ruolo delle istruzioni j = 1 e, successivamente, j = j + 1? d. Codice del programma «Azzera il foglio»

Il codice e` costituito semplicemente dalle due istruzioni: Range("B1")= "" Rows(4)= "" che tolgono i numeri dalla cella B1 e dalla quarta riga. e. Utilizzo del foglio

Considera i seguenti numeri: 8

12

20

24

100

1. Scomponili in fattori primi. 2. Tenendo presente la scomposizione in fattori primi, prevedi, per ciascuno di essi, il numero complessivo di divisori (ricorda che se la scomposizione in fattori primi di un numero naturale e` pr11  pr22  :::  prnn , il numero dei divisori del numero e` dato da ð1 þ r1 Þð1 þ r2 Þ  :::  ð1 þ rn Þ). 3. Controlla, con il foglio Excel che hai costruito, i risultati ottenuti.

263

Idee e metodi della matematica

` PROPOSTE ATTIVITA 1 Þ

Scrivi, in linguaggio di pseudocodifica, un algoritmo per calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali, a partire da 1. Traduci quindi tale algoritmo in un programma Visual Basic che, immesso in una cella di un foglio Excel il numero n, restituisca in un’altra cella la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali.

2 Þ

Scrivi un algoritmo che calcoli la somma dei numeri naturali minori o uguali a un numero naturale k prefissato.

3 Þ

Dato un numero naturale n, scrivi un algoritmo che calcoli il fattoriale di n.

4 Þ

Esiste un algoritmo alternativo a quello di Euclide per il calcolo del M.C.D. Tale algoritmo e` detto algoritmo delle sottrazioni successive e puo` essere cosı` descritto: 1) Assegna a e b 2) Calcola il valore assoluto d della differenza tra a e b 3) Se d = 0 allora Comunica «MCD = b’’ altrimenti Poni b al posto di a Poni d al posto di b Ritorna al punto 2) a. Prova a calcolare, mediante l’algoritmo delle sottrazioni successive, il massimo comune divisore tra i due numeri a ¼ 48 e b ¼ 18. b. Scrivi un programma in Visual Basic che, immessi i due numeri a e b in due celle di un foglio Excel, restituisca in un’altra cella il massimo comune divisore tra a e b, calcolato mediante l’algoritmo delle sottrazioni successive.

5 Þ

Scrivi un algoritmo che calcoli, con il metodo di bisezione, la radice dell’equazione x3 þ x  4 ¼ 0 con un errore minore o uguale a un valore prefissato. Traducilo quindi in linguaggio Visual Basic, in relazione a un foglio Excel di cui devi definire opportunamente l’interfaccia.

6 Þ

Scrivi un algoritmo che calcoli, con il metodo dei rettangoli, un valore dell’integrale ð1 2 ex dx con un errore minore o uguale a un valore prefissato. Traducilo quindi in 0

linguaggio Visual Basic, in relazione a un foglio Excel di cui devi definire opportunamente l’interfaccia.

264

7 Þ

Considera il seguente problema: «Siano a e b due numeri interi positivi con una sola a cifra scelti a caso. Qual e` la probabilita` che la frazione sia riducibile?». Scrivi un opb portuno algoritmo che calcoli quante sono le coppie ordinate (a, b) di numeri con una a sola cifra per cui e` riducibile, quindi rispondi alla domanda posta dal problema. b

8 Þ

Risolvi il problema seguente, procedendo in modo simile a quanto indicato nell’esercizio precedente: «Siano a e b due numeri interi positivi con una sola cifra scelti a caso. Qual e` la probabilita` che l’equazione di primo grado ax  b ¼ 0 abbia soluzione intera positiva?».

Verso la terza prova dell’esame di Stato 1 Þ

Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ l’insieme:

x2  4x þ 3 e` x3

8 La funzione f ðxÞ ¼ 2  ln x e` positiva nell’interÞ vallo:

A

R  f0g

C

fx 2 Rjx < 1 _ x > 3g

A

ð0, e2 Þ

C

ð0, þ1Þ

B

R

D

R  f1g

B

ð1, 2Þ

D

ðe2 , þ1Þ

2 Þ

La derivata prima della funzione y ¼

A

y0 ¼

B

y0 ¼

3 Þ

20x3  15x2 þ 2 3

ðx þ 3Þ

8x3 þ 36x2 þ 15 ðx þ 3Þ2

C

y0 ¼ 0

D

y¼

4x3 þ 5x e`: xþ3

9 Þ

12x2 þ 5 1

La funzione y ¼ f ðxÞ ha il seguente grafico. y

A

y0 ¼ 

B

y0 ¼ 

O

x

y = f (x)

A B C D

4 Þ A

lim f ðxÞ ¼ 0 x!2

13 Þ

lim f ðxÞ ¼ 0 e limþ f ðxÞ ¼ 2 x!2

lim f ðxÞ ¼ 2 e limþ f ðxÞ ¼ 0

x!2

Il lim

x!þ1

þ1

x!2

x3  4x2  2 e` uguale a: x7 þ 3x3  3 4 B 1 C  3

B C D

6 Þ A

D

0

un punto di massimo relativo ma non assoluto un punto di massimo assoluto un punto di minimo relativo ma non assoluto un punto di minimo assoluto 3x þ 1 e` uguale a: Il lim 2 x!1 x þ 4 þ1

B

5

C

3

y0 ¼

ðx2  4Þ2

3x2 þ 12 ðx2  4Þ2

Data la funzione y ¼

2

B

x3 þ 3

C

4

D

4

x  5 _ x  0

x!þ1

5x2  2x þ 3 e`: 2x2 þ x þ 1

2

C

Il valore del lim þ1

D

B

5 2

D

0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ x 9  x2 e`: ð3, 3Þ

C

R  f3g

B

½3, 3

D

ð1, 3 [ ½3, þ1Þ

La derivata della funzione y ¼ ð2x3  1Þð3x þ 4Þ

e`:

x þ4 presenta nel Il grafico della funzione y ¼ 2 x þ2 punto di coordinate ð0, 2Þ: A

D

A

14 Þ

2

5 Þ

3ðx2 þ 4Þ

x < 5 _ x > 0

lim f ðxÞ ¼ 2 x!2

y0 ¼ 0

B

A

x!2

C

A

12 Þ

Possiamo affermare che:

3x2 x2  4

1 Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e`: x2 þ 5x C x>0 R

11 Þ

2

3x e`: x2  4

x4 þ 3x  4, la sua derivata 4 prima nel punto di ascissa x ¼ 1 e`: 10 Þ

A

2

La derivata della funzione y ¼

Verso la terza prova dell’esame di Stato

TEST

D

0

7 Per determinare il dominio di quale tra le seguenÞ ti funzioni occorre risolvere la disequazione AðxÞ  0 ? 1 A y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C y ¼ ln ½AðxÞ AðxÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D y ¼ 3 AðxÞ B y ¼ AðxÞ

A

y 0 ¼ 24x3  24x2  3

C

y 0 ¼ 24x3 þ 24x2  3

B

y 0 ¼ 24x3 þ 24x2 þ 3

D

y 0 ¼ 24x3 þ 24x2  3

xþ3 interseca l’asse delle La funzione y ¼ 2 x þ4 ascisse nel punto: 15 Þ

A

Að0, 3Þ

C

Að3, 0Þ

B

Að2, 0Þ

D

Að3, 0Þ

16 Þ

La funzione y ¼ x2  4x þ 1 ammette un punto di minimo di coordinate: A

ð2, 3Þ

C

ð2, 3Þ

B

ð2, 3Þ

D

ð2, 3Þ

17 Þ

La funzione y ¼

5x þ 2 ammette come asinx2  6x þ 8

toti le rette aventi le seguenti equazioni: A

x ¼ 2, x ¼ 4

C

x ¼ 2, x ¼ 4, y ¼ 5

B

x ¼ 2, x ¼ 4, y ¼ 0

D

x ¼ 2, x ¼ 4, y ¼ 4 265

Verso la terza prova dell’esame di Stato

18 Þ A B

Il lim

x!þ1

xþ2 : x2 þ 4

e` uguale a þ1 e` uguale a 1

C D

e` uguale a 0 non esiste

19 Þ

Alla funzione y ¼ 2x2  3x þ 1 nell’intervallo [0, 3]: A B

C

D

non e` applicabile il teorema di Lagrange e` applicabile il teorema di Lagrange ed esiste esattamente un punto che soddisfa il teorema e` applicabile il teorema di Lagrange ed esistono esattamente due punti che soddisfano il teorema e` applicabile il teorema di Lagrange ed esistono esattamente tre punti che soddisfano il teorema

3x2  2x þ 1 : x2  9 A ha uno e un solo asintoto verticale B non ha asintoti verticali C ha esattamente due asintoti verticali e non ammette asintoti orizzontali D ha esattamente due asintoti verticali e un asintoto orizzontale pffiffiffi 21 La funzione y ¼ x2 ln x  2 x ha come derivata Þ prima: 1 1 A y 0 ¼ 2x ln x  pffiffiffi C y 0 ¼ 2x ln x þ x  pffiffiffi x x 20 Þ

B

La funzione y ¼

1 y ¼ 2x ln x þ pffiffiffi x 0

D

1 y ¼ 2  pffiffiffi x

B

C

R R  f4g

D

A B

27 Þ A B C D

28 Þ

R  f2, 3g R  f2, 3, 4g

A

Að4, 0Þ e Bð0, 5Þ

B

Að4, 0Þ e Bð0, 5Þ
 4 Að4, 0Þ e B 0,  5
 4 Að4, 0Þ e B 0, 5

C

D

24 Þ A B C D

25 Þ A B C D

266

La funzione f ðxÞ ¼

B

30 Þ

per ogni x 2 R per x < 4 per x > 4 pffiffiffi pffiffiffi per x <  5 _ 5 < x < 4

x!4

B

0

C

þ1

C

x3 3 < x  0 _ x > 3

D

La funzione y ¼

x3 þ x : x2  x þ 3

A

ammette due asintoti verticali e non ammette asintoti ne´ orizzontali ne´ obliqui

B

ammette due asintoti verticali e un asintoto orizzontale ammette due asintoti verticali e un asintoto obliquo non ammette asintoti verticali e ammette un asintoto obliquo

C

D

31 Þ

B C

4x e` positiva: x2 þ 5

xþ4 e`: x4

Il valore del lim

0x0

C

0 1

C D

x2 þ x  2 e` 5x

x < 2 _ x > 1 x>0

Nella figura e` riportato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. x = –2

y y = f(x)

x

O

x=1

Quale delle seguenti affermazioni e` corretta? A

La funzione ha come dominio ð1, 2 [ ½1, þ1Þ e la sua derivata e` negativa in ð1, 2Þ e positiva in ð1, þ1Þ

B

La funzione ha come dominio ð1, 2 [ ½1, þ1Þ e la sua derivata e` positiva in ð1, 2Þ e negativa in ð1, þ1Þ

C

La funzione ha come dominio ð1, 2Þ [ ð1, þ1Þ e la sua derivata e` negativa sia in ð1, 2Þ sia in ð1, þ1Þ

D

La funzione ha come dominio ð1, 2Þ [ ð1, þ1Þ e la sua derivata e` positiva sia in ð1, 2Þ sia in ð1, þ1Þ 273

Verso la terza prova dell’esame di Stato

107 Þ A

x2  4x , si puo` affermare che: 3x la retta x ¼ 3 e` un suo asintoto verticale, non ammette asintoti ne´ orizzontali ne´ obliqui ma ammette un punto di minimo relativo e un punto di massimo relativo Data la funzione f ðxÞ ¼

B

la retta x ¼ 4 e` un suo asintoto verticale, ammette un asintoto orizzontale ma non ammette punti di estremo relativo

C

la retta x ¼ 3 e` asintoto verticale, e` strettamente crescente nel suo dominio e ammette un asintoto obliquo

D

ha come asintoti le rette di equazioni x ¼ 3 e y ¼ 1  x e non ammette punti di estremo relativo

108 Þ

La funzione f ðxÞ ¼

x4  1 : x3  x

A

ammette un solo asintoto verticale e un solo asintoto obliquo

B

ammette tre asintoti verticali e un asintoto obliquo

C

ammette tre asintoti verticali e nessun asintoto ne´ orizzontale ne´ obliquo

D

non ammette asintoti rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x þ 3 : 109 La funzione f ðxÞ ¼ Þ x4 A

e` razionale frazionaria e ha come dominio R

B

e` razionale intera e ha come dominio R  f4g

C

e` irrazionale frazionaria e ha come dominio ð1, 3 [ ð4, þ1Þ

D

e` irrazionale frazionaria e ha come dominio R  f4g

110 La funzione y ¼ ln Þ

5þx e` definita per: 5x


115 La funzione f ðxÞ ¼ ln Þ

1 x4

 e`:

A

x5

C

5  x < 5

A

strettamente crescente per x > 4

B

5 < x < 5

D

x < 5 _ x > 5

B

strettamente crescente per x < 4

C

strettamente decrescente per x > 4

D

strettamente decrescente per x < 4

111 Þ

Quale delle seguenti funzioni possiede un asintoto obliquo? A

y¼

x3 þ 1 x

C

y¼

x3 þ 1 x2

B

y¼

ex x

D

y¼

x ex

112 La derivata prima della funzione y ¼ x  ln Þ A

B

1 y 0 ¼ 1 þ pffiffiffi x

C

pffiffiffi 1 y 0 ¼ 1  ln x 2

D

116 Þ

Sia data una funzione y ¼ f ðxÞ, derivabile due volte in R. Per l’esistenza di un punto di flesso in x0 la condizione f 00 ðx0 Þ ¼ 0 e`: pffiffiffi x e`:

2x  1 y0 ¼ 2x 1 y0 ¼  2x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 113 L’insieme immagine della funzione y ¼ 2x e`: Þ A

R

C

½0, þ1Þ

B

ð0, þ1Þ

D

ð1, 0

A

necessaria e sufficiente

B

non necessaria

C

sufficiente ma non necessaria

D

necessaria ma non sufficiente

117 Þ

Il grafico di una funzione e` quello riportato qui sotto. y y = f(x)

114 Se risulta che lim f ðxÞ ¼ þ1 e lim f ðxÞ ¼ þ1, Þ

allora:

x!1

A

la funzione y ¼ f ðxÞ puo` presentare un asintoto obliquo

B

la funzione non presenta asintoti ne´ orizzontali ne´ obliqui

C

D

274

x!þ1

la funzione y ¼ f ðxÞ ha certamente un asintoto obliquo la funzione non presenta ne´ asintoti verticali ne´ orizzontali

O

3

x

Possiamo affermare che: A

la funzione e` discontinua per x ¼ 3

B

la funzione non e` derivabile per x ¼ 3

C

la funzione ha come dominio R  f3g

D

la funzione e` strettamente decrescente nel suo dominio

A

119 Þ

y¼

1 4 5 x  xþ1 4 4

B

y¼

1 4 5 x þ xþ1 4 4

C

y¼

1 4 5 x  x1 4 4

D

y¼

1 4 5 x þ x1 4 4

Una funzione e` continua in un punto c quando:

A

la funzione non e` definita nel punto c, ma esiste il limite della funzione per x ! c

B

la funzione e` definita nel punto c, ma non esiste il limite della funzione per x ! c

C

la funzione e` definita nel punto c ed esiste il limite della funzione per x ! c, ma il valore del limite e` diverso dal valore assunto dalla funzione in c

la funzione e` definita nel punto c, esiste il limite della funzione per x ! c e il valore del limite e` uguale al valore assunto dalla funzione in c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  4  x2 ? 120 Qual e` il risultato del lim Þ x!0 x D

A

1

B

C

0

D

1

Verso la terza prova dell’esame di Stato

118 Quale tra le seguenti funzioni ha il grafico passante per i punti di coordinate ð1, 0Þ e ð0, 1Þ e derivata seconÞ da y 00 ¼ 3x2 ?

þ1

121 Nella figura e` riportato il grafico di una funzione. In quale dei seguenti intervalli la funzione risulta decreÞ scente? y A 2 < x < 1 B

x > 2

C

x>1

D

y = f(x) 1

x < 2


122 Þ A

123 Þ A

124 Þ A B C D

125 Þ A

126 Þ

O

–2

La funzione f ðxÞ ¼ ln x4 La funzione y ¼ y ¼ 1

B

x4 x3

x

 e` positiva per:

x 0

B

e` dispari, per ogni a > 0

C

e` pari per ogni a > 0

D

e` dispari se 0 < a < 1 ed e` pari se a > 1

x0

Sapendo che lim f ðxÞ ¼ þ1 e lim x!þ1

x!þ1

non presenta ne´ asintoti orizzontali ne´ asintoti obliqui presenta un asintoto obliquo di equazione y ¼ 3x presenta un asintoto obliquo parallelo alla retta di equazione y ¼ 3x non presenta asintoti orizzontali per x ! þ1 e, se esiste l’asintoto obliquo, quest’ultimo deve avere coefficiente angolare uguale a 3

Data la funzione f ðxÞ ¼ e2x  1, quale delle seguenti affermazioni e` esatta? ` definita per ogni x 2 R e ha come derivata A E f 0 ðxÞ ¼ e2x ` strettamente decrescente in R e ha come deriB E vata f 0 ðxÞ ¼ 2e2x ` strettamente crescente in R e ha un asintoto C E orizzontale per x ! þ1 ` strettamente decrescente in R e non ha asintoti D E orizzontali 146 Þ

147 Þ

Per determinare il dominio della funzione pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ ln ðx2  4Þ þ 5  x, quale dei seguenti sistemi occorre risolvere?  x2  4 6¼ 0 A 5x0  2 x 4>0 B 5x>0  x2  4  0 C 5x0  2 x 4>0 D 5x0 277

Verso la terza prova dell’esame di Stato

148 Þ

152 Þ

La derivata prima della funzione f ðxÞ ¼ x2 e2x e`:

A

f 0 ðxÞ ¼ 2xe2x

C

f 0 ðxÞ ¼ xe2x ðx þ 1Þ

B

f 0 ðxÞ ¼ 4xe2x

D

f 0 ðxÞ ¼ 2xe2x ðx þ 1Þ

A

B C D

155 Þ A

0

2

B

156 Þ

B

e 5  2 6

C

2

e 5 þ 2 6

D

4

Esiste una unica funzione che risulta la derivata di f in R. B Esiste una unica funzione che risulta una primitiva di f in R. C Esiste una unica funzione che risulta la derivata seconda di f in R. D Esiste almeno una primitiva di f 0 in R. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 ` 154 Qual e il dominio della funzione y ¼ ? Þ ln x A x  1 _ x  1 C 01

Quale delle seguenti e` una primitiva della funziox ? ne f ðxÞ ¼ 2 x þ4 1 A FðxÞ ¼ lnðx2 þ 4Þ C FðxÞ ¼ ln ðx2 þ 4Þ 2 1 B FðxÞ ¼ D FðxÞ ¼ x ln ðx2 þ 4Þ x ln ðx2 þ 4Þ 2 ð1 pffiffiffi ` 151 Qual e il valore dell’integrale ðe2x þ 2 xÞ dx? Þ C

D

3

A

e` un punto di discontinuita` eliminabile e` un punto di salto e` un punto di discontinuita` di seconda specie e` un punto in cui la funzione e` continua

e 5 þ 2 6

C

2

Sia f una funzione derivabile due volte in R. Quale delle seguenti affermazioni e` falsa?

150 Þ

A

1

B

1

x3 þ 1 dx? x2

153 Þ

jx  1j 149 Data la funzione f ðxÞ ¼ , il punto di ascisÞ x1 sa x ¼ 1: A

ð2 Qual e` il valore dell’integrale

D

e 5  2 6

xþ1

La funzione y ¼ e x1 nel punto x ¼ 1: e` continua presenta un asintoto verticale, sia destro sia sinistro presenta un punto di salto presenta un punto di discontinuita` di seconda specie

Sia y ¼ f ðxÞ una funzione definita sull’intervallo ½2, 1 avente il seguente grafico: y

–2

O

y = f(x)

x

1

Quale dei seguenti rappresenta il grafico di y ¼ f 0 ðxÞ?

–2

y

y = f '(x)

O

x

1

y

–2

y = f'(x)

O

1

x

A B

158 Þ A B

278

–2 O

y = f'(x)

157 Þ

y

y

–2

O

1

x

La funzione f ðxÞ ¼ jx5 j: non e` continua in x ¼ 0 e` derivabile in tutto R

C D

e` derivabile solo per x ¼ 0 non e` derivabile nell’origine

2

Considera la funzione f ðxÞ ¼ e3x ; essa e`: monotona crescente in R convessa in R

C D

monotona decrescente in R concava in R

1

x

y = f'(x)

Sia f una funzione derivabile due volte in R e x0 2 R. Per poter affermare che x0 e` un punto di flesso per la funzione, la condizione f 00 ðx0 Þ ¼ 0 e`: A B

160 Þ A

161 Þ A

C

necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria

D

necessaria e sufficiente ne´ necessaria ne´ sufficiente

Per quale delle seguenti funzioni il punto x ¼ 1 e` di minimo relativo? y ¼ x2 þ 2x  1

B

y ¼ ðx  1Þ3

C

y ¼ ln2 x

D

y ¼ ðx  1Þ3 ex

D

y ¼ x sin x

Per quale delle seguenti funzioni il punto x ¼ 0 e` di massimo relativo? y ¼ x2  x3

B

y ¼ x3  x2

C

y ¼ x 2 ex

162 Quale delle seguenti e` l’ascissa di un punto di flesso avente tangente non orizzontale della funzione Þ y ¼ ln3 x5 ? A

163 Þ A

164 Þ A

x¼1

B

x¼e

C

x ¼ e2

D

Verso la terza prova dell’esame di Stato

159 Þ

La funzione non ha punti di flesso

Quale delle seguenti funzioni e` convessa in tutto R? y ¼ ex  x2

B

y ¼ x4  x2

C

y ¼ ex þ x2

D

y ¼ ln ðx2 þ 1Þ

D

y ¼ x4  x2 þ 1

Quale delle seguenti funzioni e` strettamente crescente in tutto R? y ¼ x3 þ x2 þ 1

B

y ¼ x3 þ x2 þ 2x þ 1

165 Þ

Il grafico qui sotto e` il grafico di una delle seguenti funzioni; quale? y 3 A y ¼ ðex  1Þ

C

y ¼ x4 þ x2 þ 1

168 Þ

ð3

A

y ¼ ln3 x

I < 1

B

y ¼ x 3 ex

1 < I < 0

C

C

0 100, possiamo affermare che esiste c 2 R per cui f ðcÞ ¼ 80? 176 Traccia il grafico e fornisci l’espressione analitica Þ di una funzione che presenti un punto di discontinuita` eliminabile per x ¼ 0 e un punto di salto per x ¼ 2. 177 Þ

Enuncia le ipotesi affinche´ il teorema di Rolle sia applicabile a una funzione y ¼ f ðxÞ nell’intervallo [0, 2] e, supposte verificate tali ipotesi, indica qual e` la tesi del teorema in riferimento al caso considerato, spiegandone anche il significato geometrico. Supponi poi che una data funzione soddisfi tutte le ipotesi del teorema tranne una (scegli tu quale) e mostra con un controesempio che allora la tesi del teorema di Rolle puo` non essere piu` soddisfatta. ` di cinque righe il significato 178 Illustra in non piu Þ geometrico della derivata di una funzione in un punto del suo dominio. 179 Sia f una funzione derivabile in R. Mediante un Þ opportuno controesempio mostra che la condizione f 0 ðcÞ ¼ 0 non e` sufficiente per l’esistenza in c di un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f .

180 Þ

Sia f una funzione derivabile due volte in R. Mediante un opportuno controesempio mostra che la condizione f 00 ðcÞ ¼ 0 non e` sufficiente per l’esistenza in c di un punto di flesso per la funzione f .

181 Þ

Stabilisci, in ciascuno dei seguenti due casi, se puo` esistere una funzione che soddisfa le caratteristiche indicate e, in caso affermativo, traccia il grafico di una funzione siffatta: a. f derivabile in R, f 0 ðxÞ  0 per ogni x 2 R, f 0 ðxÞ ¼ 0 se e solo se x ¼ 0 _ x ¼ 2; b. f derivabile due volte in R, f 0 ðxÞ > 0 se e solo se x < 0 _ x > 2, f 0 ðxÞ ¼ 0 se e solo se x ¼ 0 _ x ¼ 2, f 00 ð0Þ < 0 e g 00 ð2Þ < 0.

182 Þ

Il grafico di una funzione polinomiale di terzo grado f interseca l’asse x in tre punti di ascisse a, b, c con a < b < c. Considera le tre espressioni seguenti: ðc ðb a. f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx a

b

ðb

ðc

b.

f ðxÞ dx 

a

c. 

f ðxÞ dx

b

ðb

f ðxÞ dx þ

a

ðc

f ðxÞ dx

b

Stabilisci se o sotto quali condizioni rappresentano l’area della regione finita di piano limitata dall’asse x e dal grafico della funzione f . 183 Þ

Sia f una funzione continua in R. Spiega in non piu` di sei righe il significato dei seguenti simboli, mettendo in evidenza le differenze tra gli enti matematici che essi rappresentano: ð ðb f ðxÞ dx f ðxÞ dx a

ESERCIZI

280

Determina il dominio delle seguenti funzioni.    x2  1 5 R   ,1 184 y ¼ Þ 2x2 þ 3x  5 2 1 185 y ¼ 3 [R  f2, 0g] Þ x þ 2x2 1 [R  f3, 0, 3g] 186 y ¼ 3 Þ x  9x xþ1 [R] 187 y ¼ 2 Þ x þ9  x 1 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 188 y ¼  < x < Þ 2 2 1  4x2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x7 189 y ¼ [x < 2 _ x  7] Þ x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x þ 3

190 Þ

y¼

191 Þ

y ¼ ln x þ

192 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 6  x x3

[3 < x  6]

193 Þ

y ¼ ln ðx2 þ 10x  11Þ

[x < 11 _ x > 1]

194 y ¼ Þ 195 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  3x  4 x2  25 xþ2

y ¼ e x2 3

[R] [0 < x  5]

[x  1 _ x  4, con x 6¼ 5]  pffiffiffi pffiffiffi [R   3, 3 ]

x3 197 y ¼ 2 Þ x þ1

[y ¼ x] 

x5 2x  4

198 y ¼ Þ

x ¼ 2, y ¼

x1 199 y ¼ 2 Þ x 2 2x3 þ x 200 y ¼ Þ 1  x2 x3 þ 2x2  1 201 y ¼ Þ x2 6x2 þ 1 202 y ¼ Þ 2x2 þ 3x rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x  3 203 y ¼ Þ 2x þ 2 204 Þ

y ¼ ln ðx2  4xÞ

205 Þ

y ¼ e4x þ 1

1 2



210 Þ

lim

[x ¼ 1, y ¼ 2x]

214 Þ

lim

[x ¼ 0, y ¼ x þ 2]

215 Þ

207 Þ

limþ

x!1

208 Þ

x!þ1

lim

x2

x!1

lim

1  2x2 þ 3x3 x þ 6x3

lim

1  2x  x5 1  2x2 þ x3

x!1

pffiffiffi 2]

217 Þ

lim ln ðx2  1Þ

[x ¼ 0, x ¼ 4]

218 Þ

lim

9x x2  5

[0] [1]

x þ x3 x2 þ 1

[þ1]

[1]

x2 þ 5x  6

216 Þ

x3 þ 4 1x

lim

x!0

[0]

4x3  2x2 2x3 þ 2x2

3 [x ¼ 0, x ¼  , y ¼ 3] 2

[y ¼ 1 (destro)]

[0]

lim

213 Þ

Calcola i seguenti limiti. x!þ1

[þ1]

x!0

2x3 þ 1 x!þ1 3x5 þ 1
x2 x 1 212 lim Þ x!þ1 5 211 Þ

x!þ1

x!3

x2  9 x2  3x

lim x!1

[1]  1 2 [1] [1]

x!1

[2]

ln x ex  1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  x2 þ 1 220 lim Þ x!1 x
2  x þxþ1 221 lim log Þ x!þ1 2 4x2 þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð4x2 þ x þ 1Þ 9x þ 1 222 lim Þ x!þ1 ð2x2  x  1Þpffiffixffi 219 Þ

206 Þ

1

limþ 2 x

pffiffiffi [x ¼  2, y ¼ 0]

[x ¼ 1 (sinistro), y ¼

 2 3

x2  16 209 lim Þ x!4 3x2  12x

Verso la terza prova dell’esame di Stato

Determina tutti gli asintoti (verticali, orizzontali o obliqui) delle seguenti funzioni.  x3 1 1 196 y ¼ x ¼  , y ¼ Þ 2x þ 1 2 2

[0] [2] [2] [6]

Traccia un grafico probabile delle seguenti funzioni, dopo averne studiato: il dominio, gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani, il segno e l’esistenza di eventuali asintoti. 223 Þ

y¼

x2 þ 1 x1

224 Þ

y¼

x2  4x x2  1

[D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼ 1; y > 0 per x < 1 _ 0 < x < 1 _ x > 4]

225 Þ

y¼

1 4x  x2

[D ¼ R  f0, 4g; asintoti: x ¼ 0, x ¼ 4, y ¼ 0; y > 0 per 0 < x < 4]

226 Þ

y¼

x2  4x þ 3 x2  25

[D ¼ R  f5g; asintoti: x ¼ 5, y ¼ 1; y > 0 per x < 5 _ 1 < x < 3 _ x > 5]

227 Þ

y¼

2x2  8 x2 þ 2x þ 8

[D ¼ R; asintoti: y = 2; y > 0 per x < 2 _ x > 2]

228 y ¼ Þ

4 þ 2x  2x2 3  3x

229 Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ2

y¼

2x  1 230 y ¼ x Þ 2 4 231 Þ

y¼2

x2 x

[D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼ x þ 1; y > 0 per x > 1]

 D ¼ R  f1g; asintoti: x ¼ 1, y ¼

2 x; y > 0 per 1 < x < 1 _ x > 2 3

[D ¼ ½2, þ 1Þ; nessun asintoto; y  0 per ogni x 2 D] 

1 D ¼ R  f2g; asintoti: x ¼ 2, y ¼ 1 (destro), y ¼ (sinistro); y > 0 per x < 0 _ x > 2 4 [D ¼ R  f0g; asintoti: x ¼ 0 (sinistro), y ¼ 2,y > 0 per ogni x 2 D] 281

Verso la terza prova dell’esame di Stato

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ2 [D ¼ ½2, 0Þ [ ð3, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 0, x ¼ 3, y ¼ 0; y  0 per ogni x 2 D] 232 y ¼ Þ x2  3x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x  2 233 y ¼ Þ xþ4 [D ¼ ð1,  4Þ [ ð4,  2 [ ½1, þ 1Þ; asintoti: x ¼ 4, y ¼ 1 (sinistro), y ¼ 1 (destro); y > 0 per 4 < x < 2 _ x > 1] Calcola le derivate delle seguenti funzioni. 234 Þ

y ¼ 3x  5x þ 2

235 Þ

y¼

236 Þ

0

[y ¼ 6x  5] # 2ð3x2 þ 4x  3Þ

2

y¼

"

2x2  3x 3x þ 2

x3

y0 ¼

1 þ1

y0 ¼  "

2x  3 237 y ¼ Þ 3x  4

y ¼ x4 ðx þ 1Þ2

240 Þ

y ¼ ð4x þ 1Þ3

#

3x2 ðx3

2

þ 1Þ 1

#

0

y ¼

y ¼ x3 ln x þ x2

[y 0 ¼ 2x3 ðx þ 1Þð3x þ 2Þ]

246 Þ

y¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x3  1

247 y ¼ Þ

pffiffiffi x 2x2  2

2

2x2 þ 2x ð2x þ 1Þ2

xðx3 þ 3x  2Þ ðx3 þ 1Þ2

y 0 ¼ 3x2 þ 2x þ

2 x

#

#

h i 2 y 0 ¼ ð6x þ 1Þe3x þx1

þx1

245 Þ

[y 0 ¼ 12ð4x þ 1Þ2 ]

" 

[y 0 ¼ xe3x ð3x þ 2Þ]

ð3x  4Þ2

y ¼

243 y ¼ x3 þ x2 þ 2ln x Þ

y ¼ e3x

y ¼

0

x3  x2 242 y ¼ 3 Þ x þ1

244 Þ

0

238 y ¼ x2 e3x Þ 239 Þ

ð3x þ 2Þ

"

2

"

x2 241 y ¼ Þ 2x þ 1

 y 0 ¼ 3x2 ln x þ x2 þ 2x  3x2 0 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x3  1 " # 3x2 þ 1 0 y ¼  pffiffiffi 4 xðx2  1Þ2

Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico della funzione y ¼ f ðxÞ nel punto x0 indicato. 248 Þ

y ¼ x2  5x þ 2

249 y ¼ Þ

1 x2

x0 ¼ 2 x0 ¼ 1

½y ¼ x  2 ½y ¼ 2x þ 3

250 Þ 251 Þ 252 Þ

y ¼ x3  4x2

x0 ¼ 1

½y ¼ 2  5x

y ¼x x

x0 ¼ 2

½y ¼ 28x  44

y ¼ ln ðx  2Þ

x0 ¼ 3

½y ¼ x  3

4

2

ˆ pital. Calcola i seguenti limiti, applicando il teorema di de l’Ho pffiffiffi  2 2x  10x þ 12 1 2 x  253 lim 258 lim Þ x!2 Þ x!4 x3  64 x2  4 2 254 Þ 255 Þ

limþ

x!5

lim x!2

x2  4x  5  10x þ 25

x2

x3  8 x4  16

2x3 þ 3x  5 x!1 x2 þ x  2 pffiffiffi x1 257 lim Þ x!1 x3  1 256 Þ

lim

½þ1  3 8 [3]  1 6

259 Þ

lim x!0

260 lim Þ x!1

261 Þ

 

e2x  ex x

lim

x!þ1



[1]  1 5

ln x x5  1 ln x log2 ðx þ 1Þ

½ln 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9þx34xþ1 262 lim Þ x!0 x

263 Fai riferimento al grafico della funzione y ¼ f ðxÞ nella figura qui a Þ fianco e completa.

 

7 12

y

3 3

y = f(x)

O 3

282

1 192

x



b. La funzione e` negativa per ......................... e positiva per ......................... c. lim f ðxÞ ¼ ::::: e limþ f ðxÞ ¼ ::::: x!0

x!2

d. lim f ðxÞ ¼ ::::: e lim f ðxÞ ¼ ::::: x!1

x!þ1

e. La funzione ha come asintoto verticale la retta di equazione equazione ...............

...............

e come asintoto obliquo la retta di

f. La funzione e` crescente per ............... e per ............... g. La funzione e` decrescente per ................................... h. La funzione e` concava per ............... e convessa per .........................

Verso la terza prova dell’esame di Stato

a. Il dominio della funzione e` l’insieme dei valori di x tali che: .............................................

i. Qual e` l’insieme immagine della funzione? ................................... 264 Þ

Fai riferimento al grafico della funzione y ¼ f ðxÞ nella figura qui sotto e completa.

a. La funzione e`: pari

y

ne´ pari ne´ dispari

dispari

b. Il numero dei punti di intersezione del grafico con l’asse x e` ::::::::::

y = f(x)

–1

c. Gli intervalli dove la funzione e` crescente sono :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

–3

3 O1

x

d. Gli intervalli dove la funzione e` decrescente sono ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: e. La funzione presenta minimi relativi per x ¼ :::::::::: e per x ¼ :::::::::: f. La funzione presenta massimi relativi per x ¼ :::::::::: e per x ¼ :::::::::: g. Nell’intervallo ½3, 1, qual e` il punto di minimo assoluto? ::::::::::::::::::::::::: Nello stesso intervallo, qual e` il punto di massimo assoluto? ::::::::::::::::::::::::: h. Quanti punti di flesso presenta la funzione? :::::::::: 265 Þ

Fai riferimento al grafico della funzione y ¼ f ðxÞ nella figura qui sotto e completa. y y = f (x)

O –1 1 x = –3

y=

3 2

x

x=3

a. Il dominio della funzione e` l’insieme dei valori di x tali che: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: b. limþ f ðxÞ ¼ :::::::::: x!3

c. limþ f ðxÞ ¼ :::::::::: x!3

lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!1

lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!0þ

lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!1

lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!þ1

d. La funzione ha come asintoti verticali le rette di equazione :::::::::::::::::::::::::::::: e come asintoto orizzontale (destro) la retta di equazione ::::::::::::::: e. Esistono intervalli dove la funzione e` strettamente crescente? ::::::::::::::: f. I punti dove la funzione e` continua ma non derivabile sono :::::::::::::::::::::::::::::: g. Quanti punti di flesso deve presentare la funzione? ::::::::::::::: 283

Verso la terza prova dell’esame di Stato

266 Þ

Fai riferimento al grafico della funzione y ¼ f ðxÞ nella figura qui sotto e completa.

a. Il dominio della funzione e` l’insieme :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: b. lim f ðxÞ ¼ :::::::::: x!1

lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!1

y

lim f ðxÞ ¼ ::::::::::

x!þ1

c. La funzione ha come asintoto verticale la retta di equazione :::::::::: e come asintoto orizzontale la retta di equazione ::::::::::::::: d. Gli intervalli dove la funzione e` crescente sono l’intervallo dove la funzione e` decrescente e` ::::::::::::::::::::

:::::::::::::::

e

y = f(x)

::::::::::::::::::::,

y =2

e. Qual e` il punto di minimo assoluto della funzione nel suo dominio? :::::::::::::::

x = –1

O1 2

x

f. Il punto in cui la funzione e` continua ma non derivabile e` ::::::::::::::: g. Gli intervalli dove la funzione e` convessa sono Esistono punti di flesso?

::::::::::::::::::::,

l’intervallo dove la funzione e` concava e`

::::::::::

h. Qual e` l’insieme immagine della funzione? 2 1 Determina gli intervalli (aperti) dove la funzione f ðxÞ ¼  x3 þ x2 þ x þ 1 e` crescente o decrescente e gli 3 2 eventuali punti di massimo o minimo relativo.  1 1 1 Crescente per  < x < 1, decrescente per x <  _ x > 1, minimo per x ¼  , massimo per x ¼ 1 2 2 2 267 Þ

25 2 1 4 Determina gli intervalli (aperti) dove la funzione f ðxÞ ¼ x  x e` concava o convessa e gli eventuali 2 3  punti di flesso. 5 5 5 5 5 Convessa per  < x < ; concava per x <  _ x > ; flessi per x ¼  2 2 2 2 2

268 Þ

1 3 x  x2 þ 3x e` strettamente crescente in tutto R. 3

269 Þ

Verifica che la funzione y ¼

270 Þ

Verifica che la funzione y ¼ x4 þ 2x2 e` convessa in tutto R.

Studia le seguenti funzioni e tracciane il grafico. pffiffiffi [Asintoto: y = 0; minimo per x ¼ 1, massimo per x ¼ 1, flessi per x ¼ 0 e x ¼  3

3x þ1

271 Þ

y¼

272 Þ

y ¼ x3 ðx  2Þ

273 Þ

y¼

x2 þ 1 2x þ 4

274 Þ

y¼

ðx  3Þ2 x2  1

275 Þ

y¼

x2

3 , flessi per x ¼ 0 (a tangente orizzontale) e x ¼ 1] 2  pffiffiffi pffiffiffi 1 Asintoti: x ¼ 2, y ¼ x  1; massimo per x ¼ 2  5, minimo per x ¼ 2 þ 5 2  1 (Tralascia lo studio di y 00 Þ Asintoti: x ¼ 1, y ¼ 1, massimo per x ¼ , minimo per x ¼ 3 3 [Minimo per x ¼

pffiffiffi pffiffiffi [Asintoti: x ¼ 1, y ¼ x; massimo per x ¼  5, minimo per x ¼ 5, flesso per x ¼ 0]

x5 2

ðx2  1Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 276 y ¼ (Tralascia lo studio di y 00 Þ Þ xþ2 277 Þ

y ¼ ðx2  2x  3Þex pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [Asintoti: y ¼ 0 (destro), minimo per x ¼ 2  5, massimo per x ¼ 2 þ 5, flessi per x ¼ 3  6

278 Þ

Traccia un grafico qualitativo della funzione y ¼ f ðxÞ, sapendo che:

a. la funzione ha come dominio R

d. f 0 ð3Þ ¼ 0 e f 0 ð3Þ ¼ 0

b. f ð3Þ ¼ 4,

e. f 0 ðxÞ > 0 se e solo se x < 3 _ x > 3

f ð0Þ ¼ 0,

f ð3Þ ¼ 4

c. lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ 0 x!1

284

[Asintoti: x ¼ 2, y ¼ 1 (destro), y ¼ 1 (sinistro)]

x!þ1

f. f 0 ðxÞ < 0 se e solo se 3 < x < 3

1

280 Þ 281 Þ 282 Þ 283 Þ

ð2



ðx  2x  1Þ dx 2

1

ð1 1

ð2 1

ð1

[30]

ðx3  xÞ dx

xþ1 dx x ð2x þ ex Þ dx

5  3

285 Þ



286 Þ

[0]

287 Þ

½1 þ ln 2

288 Þ 289 Þ

½e

0



ð1 e

2xþ1

1 3 ðe  eÞ 2  119 6  21 8  28 3  1 ð1 þ 2e3 Þ 9  1 3  ln 2 4

dx

0

ð9

ðx 

pffiffiffi xÞ dx

4

ð e2

ln 2 x dx x

pffi e

ð5 1

ð1

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x1 xe3x dx

0

ð0 x2

1

x dx 4

Verso la terza prova dell’esame di Stato

284 Þ

Calcola i seguenti integrali definiti. ð4 279 ð2x þ 3Þ dx Þ

290 Þ

Calcola l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola di equazione y ¼ x2  2x e dalla retta di  equazione y ¼ 3x  4. 9 2 291 Calcola l’area della regione finita di piano limitata dalle due parabole di equazioni: Þ y ¼ x2 þ 2x e y ¼ x2 þ 4x þ 4.

[9]

Nei prossimi esercizi fai riferimento alla seguente figura. y

y = x2

4 A B O

2

x

 292 Þ

Calcola le aree di A e B.

293 Þ

Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione di B intorno all’asse x.

294 Þ

Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione di A intorno all’asse x.

16 8 Area di A ¼ , Area di B ¼ 3 3  32
5  128
5

285

Verso l’Universita`

Verso l’Universita` GEOMETRIA NELLO SPAZIO 1 Þ A B C

Di quale solido e` rappresentato lo sviluppo in figura? D

Di un ottaedro Di un esaedro Di un tetraedro

E

Di nessun solido Di un prisma a base triangolare

(Prova di ammissione, Corso di laurea in Architettura 2009) 2 Þ A B C D E

Quale affermazione e` falsa? Sezionando la superficie sferica con un piano si possono ottenere sia circonferenze sia ellissi. La sfera e` una figura simmetrica rispetto a infiniti piani. Sulla superficie di una sfera sono identificabili meridiani e paralleli. La superficie sferica non e` sviluppabile sul piano. La superficie sferica e` una superficie di rotazione.

(Prova di ammissione, Corso di laurea in Architettura 2010) 3 Dato un cono circolare retto, sezionato con un piano  inclinato coÞ me in figura, quale sezione piana si ottiene? A B C D E

Triangolo Ellisse Iperbole Circonferenza Parabola α

(Prova di ammissione, Corso di laurea in Architettura 2010) 4 Þ A

Il rapporto tra i volumi di due cubi e` 4. Qual e` il rapporto tra le loro superfici? B

2

C

4

2

D

43

3

E

22

1

43

(Prova di ammissione, Corso di laurea in Medicina 2010) 5 Dato un cono di altezza h, volume V e vertice P, Þ considera un secondo cono con vertice P, che si ottiene sezionando il primo cono con un piano parallelo h dal punto P. Il secondo cono ha alla base a distanza 3 volume: A

V 9

B

V 12

C

V 24

D

V 27

E

V 18

8 Þ

Un cocomero di forma sferica viene tagliato in 16 fette tutte uguali fra loro. Se il diametro del cocomero e` di 40 cm, il volume di ciascuna fetta e` di A

40
cm3 16

D

2000
cm3 3

B

403
cm3 16

E


cm3 16

C


3 cm3 16

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2010) 6 Þ

Un solido S e` costituito da due cubi sovrapposti, in modo che due facce dei cubi coincidano. Se lo spigolo di ciascun cubo misura 1, qual e` la massima lunghezza possibile di un segmento che unisce due punti di S? pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi A 2 2 B 2 3 C D 6 5

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2009) 7 Si vuole riempire completamente un parallelepiÞ pedo a base quadrata di lato 30 cm ed altezza 50 cm con dei cubi indeformabili uguali. Qual e` il minimo numero di tali cubetti? A

15

B

45

C

75

(Test di ingresso, Facolta` di Scienze, 2008)

286

D

150

(Prova di ammissione, Ingegneria, 2006) 9 Considera le due sfere S1 e S2 , la prima inscritta e Þ la seconda circoscritta al medesimo cubo. Allora tra i volumi V1 e V2 delle due sfere sussiste la seguente relazione: pffiffiffi pffiffiffi 2 3 A V1 ¼ D V2 V2 V1 ¼ 4 3 pffiffiffi 3 B V1 > V 2 E V1 ¼ V2 9 pffiffiffi C V2 ¼ V 1 2 (Prova di ammissione, Ingegneria, 2006)

A

Una sfera e` inscritta in un cubo; il rapporto fra il volume della sfera e quello del cubo e`:
4

B


6

C

2
3

D

4
3

E


2

(Prova di ammissione, Ingegneria, 2007) 11 Una quantita` di liquido che riempie una sfera di raggio K viene travasata in cilindri aventi diametro di base K Þ e altezza K. Qual e` il numero minimo di cilindri che occorrono per compiere questa operazione? A

B

5

C

6

D

3

E

9

Verso l’Universita`

10 Þ

4

(Prova di ammissione, Ingegneria, 2007) 12 Þ

A parita` di tutte le altre condizioni (materiale, rugosita`, stato di pulizia ecc.) serve meno quantita` di pittura per tinteggiare: A B C D E

un cono (circolare retto) di altezza 1 metro e base di raggio 1 metro una sfera di raggio 1 metro un cubo di lato 1 metro una piramide avente tutte le facce che sono triangoli equilateri (tetraedro) di lato 1 metro un cilindro (circolare retto) di raggio 1 metro e di altezza 1 metro

(Prova di ammissione, Ingegneria, 2009) 13 Date due sfere concentriche di raggio 1 e r (con r < 1) che valore deve assumere r affinche´ il volume della parÞ te esterna alla sfera minore sia la meta` del volume della sfera maggiore? 1 1 1 1 1 A r ¼ pffiffiffi B r ¼ pffiffiffi C r ¼ pffiffiffi D r ¼ E r ¼ pffiffiffi 3 3 2 3 3 2 2 (Prova di ammissione, Ingegneria, 2009) 14 Þ

Nel piano cartesiano e` dato un triangolo di vertici (1, 0); (0, 3); (3, 0). Qual e` il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo intorno all’asse y? A

B

8


C

12


D

16


24


(Prova di ammissione, Facolta` di Scienze, 2004)

COMPLEMENTI SUL CALCOLO INTEGRALE 15 Þ A

Una primitiva della funzione f ðxÞ ¼ e2þ3x e`: e2þ3x

B

1 2þ3x e 3

C

3e2þ3x

D

e3x

C

1 ð4 þ 3xÞ6 120

D

1 ð4 þ 3xÞ6 18

C

1

D

1  cos 2

(Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Politecnico di Torino) 16 Þ A

Una primitiva della funzione f ðxÞ ¼ ð4 þ 3xÞ5 su R e`: ð4 þ 3xÞ4

B

ð4 þ 3xÞ7

(Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Politecnico di Torino) 17 Þ A

ð pffiffi


x sin x2 dx e` uguale a:

0

B

0

sin

pffiffi


2

pffiffiffi


(Calcolo 1, giugno 2004, Ingegneria, Universita` di Trento) 18 Calcola Þ

ð


2

sin 11x cos 11x dx

0

(Istituzioni di matematiche, settembre 2010, Biologia, Universita` di Pavia) 19 Calcola lim Þ

ð Rþ4

R!þ1 R1

ð1 Calcola

1 22



x dx. xþ1

(Istituzioni di matematiche, settembre 2010, Biologia, Universita` di Pavia) 20 Þ



x ln ð1 þ xÞ dx.

0

(Analisi matematica 1, aprile 2004, corso di laurea in informatica, Universita` di Pisa)

[5]  1 4 287

Verso l’Universita`

ð4

x1



21 Calcola Þ

x þ 2 dx.



1

(Analisi matematica 1, febbraio 2009, Ingegneria, Politecnico di Milano)

3 1 þ 3 ln 2



22 Þ

Calcola il valore del seguente integrale improprio: ð þ1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx. x x5 5

" pffiffiffi #
5 5

(Analisi matematica 1, settembre 2009, Ingegneria, Politecnico di Milano) 23 Þ

Calcola l’area della regione finita di piano compresa tra le curve di equazioni y ¼ x3 e y ¼ x2 þ 2x.



(Istituzioni di matematiche 1, settembre 2011, Architettura, Universita` di Roma) 24 Þ

Calcola l’area della regione compresa tra le curve di equazioni y ¼ x2  6x þ 7 e y ¼ jx  3j.

(Istituzioni di matematiche 1, giugno 2008, Architettura, Universita` di Roma) 25 Þ

Calcola l’area della regione finita di piano compresa tra le curve di equazioni y ¼

(Istituzioni di matematiche 1, febbraio 2011, Architettura, Universita` di Roma) 26 Disegna la porzione di piano S, delimitata dai grafici delle funzioni f ðxÞ ¼ Þ

del solido ottenuto ruotando S intorno all’asse delle ascisse. (Istituzioni di matematiche, giugno 2003, Chimica, Universita` di Padova) 27 Þ

(



37 12 20 3





1 e y ¼ j4x þ 4j. x pffiffiffi pffiffiffi [ln ð1 þ 2Þ þ 2  2]

x2 e gðxÞ ¼ 4

rffiffiffiffiffi x e calcola il volume 2  3
5

Disegna la porzione di piano S formata dai punti (x, yÞ tali che: 6  x  6 pffiffiffiffiffiffi 6x jxj  y  5

e calcola il volume del solido che si ottiene ruotando S di un giro completo intorno all’asse delle ascisse. (Istituzioni di matematiche, luglio 2003, Chimica, Universita` di Padova)

[2
]

28 Sia f una funzione continua definita su [0, 1]. Di’ se la seguente implicazione e` vera oppure falsa (e dai una diÞ mostrazione oppure un controesempio): ð1 f ðxÞdx ¼ 1 ) f ðxÞ  0 8x 2 ½0, 1 0

(Analisi matematica 1, luglio 2008, Ingegneria, Universita` di Pavia)

288

Risposte alle prove di autoverifica 1. Indichiamo con V il volume della piramide P. La piramide P 0 e` la corrispondente della piramide P in un’omotetia di
3
3 2 2 2 rapporto , quindi il suo volume e` V. Il volume del tronco e` V  V. Il rapporto tra il volume di P 0 e il volu3 3 3 8 . I dati sono quindi sufficienti per stabilire il rapporto richiesto. me del tronco e` 19 1 3 pffiffiffi 103 3 pffiffiffi s 2. Poiche´ 1 dm3 ¼ 1 lis 2. Quindi il volume, in dm3 , misura 2. Il volume del tetraedro, in cm3 , risulta 12 12 3 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 10 tro, basta imporre che s3 2 ¼ 1, da cui s ¼ 10 6 72 ’ 20,4. La lunghezza dello spigolo del tetraedro deve quindi es12 sere circa 20,4 cm. pffiffiffi 3. ð96 þ 8 3Þ cm2 . 4. Il piano divide il cubo in due prismi, uno di base triangolare di volume

Risposte alle prove di autoverifica

Unita` 1

a3 3a3 e uno di base trapezoidale di volume . 4 4

5. Siano V e V 0 i vertici delle due piramidi, h la misura dell’altezza delle due piramidi, d la distanza del piano dai vertici e S l’area delle due sezioni delle piramidi con il piano. Le basi delle due piramidi sono le corrispondenti delle rispettive se
2 h h zioni nelle omotetie aventi centri in V e V 0 e rapporto , quindi sono equivalenti poiche´ hanno entrambe area S . d d Le due piramidi, avendo le basi equivalenti e le altezze congruenti, hanno lo stesso volume. pffiffiffi 3 r. 6. 3 7. Il solido che si ottiene dalla rotazione e` un cilindro con una cavita` a forma di semisfera; Area ¼ 17
a2 , Volume ¼

22 3
a . 3

8. 100
cm2 ,

500
cm3 . 3

b . Il volume di S1 e` maggiore del volua me di S2 se e solo se b > a. Analogamente per quanto riguarda le aree delle superfici.

9. Sia il rapporto dei volumi sia quello delle aree delle superfici totali e` uguale a

10. Il raggio della sfera circoscritta al parallelepipedo e` la meta` della diagonale; rapporto ¼

7
. 11

Unita` 2 1. F, V, F, V, F, F

2 5 x  x4  x þ c 5

2.

5.

2 pffiffiffi xðx þ 3Þ þ c 3

9.

1 1 ln jx  1j  ln jx þ 4j þ c 5 5

11. 

6. 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ðx þ 3Þ 3  2x þ c 3

1 2 ln2 jxj

3.

ln jxj 

1 þc 3x3

1 2x e þ ex þ c 2

4. 8.

þc

7.

10. x þ

3 3 ln jx þ 1j  ln jx  1j þ c 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ð3x2 þ 1Þ 3x2 þ 1 þ c 9

1 3 1 x ln x  x3 þ c 3 9

12. FðxÞ ¼ x4  x2  x þ 5

Unita` 3 1. V, V, F, V, F 7.

8 3

2.

8. e2  3

5 6

3. 2 þ ln 2 9. 2

4.

ln 3  ln 2

5.

98 3

6. 0

10. 9

289

Risposte alle prove di autoverifica

Unita` 4 1 2 1 , pðBÞ ¼ e pðA \ BÞ ¼ . Poiche´ pðA \ BÞ ¼ pðAÞpðBÞ, i due eventi A e B sono indipendenti. 2 3 3 8 3. a. 6,8%; b. ’ 47% 4. V, F, V, V, V 17

1. Risulta pðAÞ ¼ 2.

3 50

Unita` 5 1. La disequazione e` soddisfatta per x  1 _ x  3. Detta X la variabile aleatoria che rappresenta il numero arbitrariamente scelto, si tratta allora di calcolare PðX 2 ½0, 1 [ ½3, 4Þ. Tenendo conto che X ha la distribuzione uniforme sull’in1 tervallo [0, 4], si conclude che la probabilita` richiesta e` uguale a . 2 2. a. f ðxÞ ¼ 0,01 e0,01x per x  0 e f ðxÞ ¼ 0 per x < 0; b. 1 minuto e 40 secondi; c. e 3. a. k ¼

6 5

’ 0,3.

1 1 ; b. 2 4

4. Detta X la variabile aleatoria che rappresenta il peso reale dei barattoli, si tratta di calcolare PðX < 240Þ þ PðX > 260Þ La percentuale da scartare e` circa del 4,55%. 5. 68%  p  76% circa. 6. 7,95 cm    8,40 cm circa.

290

Formulario Formulario

Geometria nello spazio

291

292 Formulario

Formulario

293

294 Formulario

LIMITI NOTEVOLI

REGOLE DI DERIVAZIONE

sin x 3 lim ¼1 x!0 x 1  cos x 1 3 lim ¼ x!0 x2 2
x k ¼ ek 3 lim 1 þ x!1 x

3 D ½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ þ g0 ðxÞ

3 lim

x!0

3 lim

x!0

ax  1 ¼ ln a x a ð1

þ xÞ 1 ¼ x ln a

In particolare:
 1 x 3 lim 1 þ ¼e x!1 x 3 lim

x!0

ln ð1 þ x Þ ¼1 x

ex  1 3 lim ¼1 x!0 x DERIVATE NOTEVOLI

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Dc ¼ 0 ðc 2 RÞ Dx ¼ 1 D x  ¼  x 1 D sin x ¼ cos x D cos x ¼  sin x 1 D tan x ¼ 1 þ2 x ¼ 2 x 1 1 D loga x ¼  x ln a 1 D ln x ¼ x D a x ¼ a x  ln a D ex ¼ ex

Formulario

Calcolo differenziale e integrale

3 D ½c  f ðxÞ ¼ c  f 0 ðxÞ 3 D ½ f ðxÞ  gðxÞ ¼ f 0 ðxÞ  gðxÞ þ f ðxÞ  g0 ðxÞ f ðxÞ f 0 ðxÞ  gðxÞ  f ðxÞ  g0 ðxÞ ¼ gðxÞ g2 ðxÞ

8k 2 R

3 D

8a 2 Rþ , con a 6¼ 1

3 D f ðgðxÞÞ ¼ f 0 ðgðxÞÞ  g0 ðxÞ

8a 2 Rþ , con a 6¼ 1

INTEGRALI NOTEVOLI

ð

3 ð 3 ð 3

x  dx ¼

x þ1 þ c, þ1

 6¼ 1

1 dx ¼ ln jxj þ c x cos x dx ¼ sin x þ c

ð 3

sin x dx ¼  cos x þ c ð

3

e x dx ¼ e x þ c ð

3

a x dx ¼

ax þc ln a

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

3 Ponendo x ¼ gðtÞ, si ha: ð ð f ðxÞ dx ¼ f ðgðtÞÞ  g0 ðtÞ dt

INTEGRAZIONE PER PARTI

ð

3

ð f ðxÞ  g0 ðxÞ dx ¼ f ðxÞ  gðxÞ  f 0 ðxÞ  gðxÞ dx

295

Formulario

Probabilita` ` FORMULE RELATIVE ALLA PROBABILITA

3 pðAÞ ¼ 1  pðAÞ 3 pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ  pðA \ BÞ 3 A e B sono indipendenti , pðA \ BÞ ¼ pðAÞ  pðBÞ 3 pðAjBÞ ¼

pðA \ BÞ pðBÞ

3 Formula della probabilita` totale Sia H1 , H2 ,..., Hn formano una partizione dello spazio campionario: pðAÞ ¼ pðAjH1 Þ  pðH1 Þ þ pðAjH2 Þ  pðH2 Þ þ ::: þ pðAjHn Þ  pðHn Þ 3 Formula di Bayes pðBjAÞ ¼

pðAjBÞ pðBÞ pðAÞ

` CONTINUE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA

Sia X una variabile aleatoria continua di densita` f ; allora: ð 3 pðX 2 IÞ ¼ f ðxÞ dx ð

I

3 EðXÞ ¼ x f ðxÞ dx I

ð 3 V ðXÞ ¼ x 2 f ðxÞ dx  ½EðXÞ2 I

Statistica inferenziale INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA

Sia X una variabile aleatoria normale, di media incognita  e varianza nota 2 . L’intervallo di confidenza al livello  per la media  e`:    x
 z þ1  pffiffiffi , x
þ z þ1  pffiffiffi 2 2 n n essendo x
la stima puntuale della media  calcolata sul campione, n la dimensione del campione e z þ1 il quantile della 2 þ1 . normale di ordine 2 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA PROPORZIONE

L’intervallo di confidenza al livello  per la proporzione p, nel caso di un campione bernoulliano sufficientemente numeroso, e` approssimativamente: " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # pbð1  pbÞ pbð1  pbÞ b b p  z þ1  ; p þ z þ1  2 2 n n

296

essendo pb la stima puntuale della proporzione calcolata sul campione, n la dimensione del campione e z þ1 il quantile 2 þ1 . della normale di ordine 2

Indice analitico

algoritmo, 249 sgg. alternative, 191 anticlessidra, 16 area – con segno, 102 – della regione limitata dal grafico di due funzioni, 104 – di parti della superficie sferica, 19-20 – di un cilindro, 13 – di un cono, 14 – di un cubo, 8 – di un parallelepipedo, 8 – di un prisma retto, 8 – di un tronco di cono, 15 – di un tronco di piramide retta, 10 – di una piramide retta, 9 – di una superficie di rotazione, 110 – di una superficie sferica, 19 assenza di memoria delle variabili aleatorie esponenziali, 216

C calcolo – dei volumi, 105 sgg. – delle aree, 102 sgg. campionamento, 223 – bernoulliano, 223 codice, 255 contatore, 252 costanti, 249 criteri di integrabilita`, 120 criterio di integrabilita` – sugli ordini di infinitesimo, 122 – sugli ordini di infinito, 121

D densita` di probabilita`, 211 – uniforme, 214 derivate di funzioni integrali, 124 deviazione standard, 213 diagrammi – ad albero, 192 – di flusso, 254, 255 distribuzione – esponenziale, 215 – normale, 217 – uniforme, 214

E equiscomponibilita`, 3 equivalenza – tra cono e piramide, 5 – tra due piramidi, 6 – tra due prismi, 4 – tra piramide e prisma, 10 – tra prisma e cilindro, 5 – tra sfera e anticlessidra, 17 errori di misurazione, 221 esecutore, 249 estensione di un solido, 3

eventi – incompatibili, 184, 189 – indipendenti, 189 evento, 184 – certo, 184 – contrario, 184 – elementare, 184 – impossibile, 184 – intersezione, 184 – unione, 184 Excel, 255

Indice analitico

A, B

F, G, H fattore – differenziale, 63 – finito, 62 formula delle probabilita` composte, 187 – generalizzata, 188 formula di Bayes, vedi teorema di bayes frazioni semplici, 70 funzione – degli errori, 125 – di Dirichlet, 116 – di Gauss, 125 – integrabile, 116 – integrale, 122 – integranda, 58

I inferenza, 222 integrale – convergente, 117, 119 – definito, 99 – divergente, 117, 119 – generalizzato, 117, 119 – improprio, 117, 119 – indefinito, 58 integrali immediati, 59 – di funzioni composte, 59 integrali su intervalli illimitati, 118 sgg. integrazione di funzioni razionali frazionarie, 65 sgg. – denominatore di grado superiore al secondo, 70 – denominatore di primo grado, 66 – denominatore di secondo grado, 66 integrazione – numerica, 126 – per parti, 62 – per sostituzione, 61 intervallo di confidenza, 224 sgg. – per la media, 225 – per la proporzione, 226 iterazione – condizionale, 253 – enumerativa, 252

L lavoro di una forza, 113 linearita` dell’integrale indefinito, 58 linguaggio – di progetto, 249

297

Indice analitico

– di pseudocodifica, 249 lunghezza di un arco di curva, 109

M, N, O media – di una distribuzione normale, 217 – di una variabile aleatoria esponenziale, 215 – di una variabile aleatoria uniforme, 215 metodi di integrazione (sintesi), 72 metodo dei rettangoli, 126 – valutazione dell’errore, 130 metodo dei trapezi, 127 – valutazione dell’errore, 130 metodo della sostituzione di variabile, 101 metodo delle parabole, 129 – valutazione dell’errore, 130 metodo delle sezioni, 106 metodo di Simpson, 129 misura di un volume, 6 modello matematico, 228 omotetie, 7

P partizione, 190 poliedri regolari, 2 primitiva, 58 principio di Cavalieri, 4 probabilita` (definizione classica), 184 probabilita` condizionata, 187 programma, 255

Q quantile, 222 quantita` di carica, 112

R rapporto tra due volumi, 7 regola del prodotto, 189 ripetizione, 252 risolutore, 249

S selezione, 251 sequenza, 251 sezione – dichiarativa, 249 – esecutiva, 250 solidi – di rotazione, 107 – equivalenti, 3 somma di Riemann, 99 sottografico, 212 spazio campionario, 184 speranza matematica, 213 statistica

298

– descrittiva, 222 – inferenziale, 222 stima – per intervallo, 223 – puntuale, 223, 224 strutture di controllo, 251 superficie – di un solido, 2 – laterale, 2 – sviluppabile, 2 – totale, 2 sviluppo, 2

T tempo di vita, 216 teorema del confronto, 121 – primo, 121 – secondo, 121 teorema del valore medio per gli integrali, 115 teorema della probabilita` totale, 191 teorema di Bayes, 193 teorema fondamentale del calcolo integrale, – primo, 101 – secondo, 123 teorema sull’evento contrario e sull’evento unione, 185 teorema sulle proprieta` delle probabilita` condizionate, 187 trapezoide, 100 tronco di piramide retta, 10

V valore atteso, 213 valore medio – di una variabile aleatoria continua, 213 – di una funzione, 114 variabile aleatoria continua, 211 variabile aleatoria normale standard, 217 – tavola della funzione di ripartizione, 218 variabili, 249 varianza, 213 – di una distribuzione normale, 217 – di una variabile aleatoria esponenziale, 215 – di una variabile aleatoria uniforme, 215 velocita`, 111 Visual Basic, 255 Visual Basic for Application (VBA), 255 volume – di parti della sfera, 19-20 – di un cilindro, 14 – di un cono, 14 – di un parallelepipedo, 8 – di un solido, 6 – di un solido (integrazione), 106 – di un tronco di cono, 16 – di un tronco di piramide, 12 – di una piramide, 12 – di una sfera, 18

APPUNTI

299

300

APPUNTI

APPUNTI

301

302

APPUNTI

APPUNTI

303

304

APPUNTI

Simboli utilizzati nel testo B INSIEMI NUMERICI N insieme dei numeri naturali, compreso lo zero Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali Zþ (Z
) insieme dei numeri interi positivi (negativi) Qþ (Q
) insieme dei numeri razionali positivi (negativi) Rþ (R
) insieme dei numeri reali positivi (negativi) þ insieme dei numeri interi Z0 positivi, compreso lo zero þ Q0 insieme dei numeri razionali positivi, compreso lo zero insieme dei numeri reali Rþ 0 positivi, compreso lo zero C insieme dei numeri complessi

B FUNZIONI f : A ! B funzione da A a B f
1 funzione inversa di f g  f funzione composta di f e g y ¼ f ðxÞ espressione analitica di una funzione da R a R B INTERVALLI [a, b] intervallo chiuso (a, bÞ intervallo aperto [a, bÞ intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra (a, b] intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra 1 infinito

AU

B ALGEBRA ¼ uguale 6 ¼ diverso ’ circa uguale < minore > maggiore  minore o uguale  maggiore o uguale  piu` o meno jxj valore assoluto di x e numero di Nepero log logaritmo decimale ln logaritmo in base e n potenza n-esima di a a p ffiffiffi n a radice n-esima di a C.E. condizioni di esistenza
discriminante i unita` immaginaria z coniugato di z

B LOGICA _ o ^ e ) se... allora (implicazione) , se e solo se (doppia implicazione)

B GEOMETRIA k parallelo ? perpendicolare coincidente ffi congruente : ¼ equivalente  simile A misura della grandezza A ! v vettore

B INSIEMI 2 appartiene 2 = non appartiene j tale che : tale che 9 esiste non esiste 9 8 per ogni x insieme vuoto  e` contenuto  e` strettamente contenuto [ unione \ intersezione n differenza complementare dell’insieme A rispetto all’insieme U (a, bÞ coppia ordinata  prodotto cartesiano

Edizione VERDE - Volume 5

B TRIGONOMETRIA sin x seno di x cos x coseno di x tan x tangente di x sec x secante di x csc x cosecante di x cot x cotangente di x arcsin x arcoseno di x arccos x arcocoseno di x arctan x arcotangente di x B ANALISI MATEMATICA lim f ðxÞ limite della funzione f x!x0 per x che tende a x0 D f ðxÞ derivata della funzione f df derivata della funzione f dx derivata della funzione f f 0 ðxÞ ðb f ðx Þ dx integrale definito della a funzione f ð f ðx Þ dx integrale indefinito della funzione f n X ak sommatoria, indica la k¼1 somma a1 þ a2 þ ::: þ an

B PROBABILITA` X  Bðn, pÞ la variabile aleatoria X ha distribuzione binomiale di parametri n e p 2 X  Nð
,  Þ la variabile aleatoria X ha densita` normale di media
e varianza 2 X  EðÞ la variabile aleatoria X ha densita` esponenziale di parametro  X  Uða, bÞ la variabile aleatoria X ha densita` uniforme sull’intervallo (a, bÞ pðAjBÞ probabilita` dell’evento A condizionato a B quantile di ordine k zk della normale standard