Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung [Reprint 2022 ed.] 9783112676080, 9783112676073

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1. Formats Theorem. Die descente infinie
2. Beispiel von Fermat; nach Legendres Darstellung
3. Unmöglichkeit der Gleichungen x4 + y4 =λ 2
4. Folgerungen. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + 1 = q2. Die Gleichung x2n + y2n = z2
5. Reduktion des Fermatschen Theorems auf die Gleichung xP + yP + xP = 0. Abelsche Formeln; Fall I und II
6. Gemeinsame Grundlage der Beweise für p = 3 und p = 5
7. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + y3 = x3, nach Euler und Legendre
8. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + y3 = 2x3 und Folgerungen
8a. Die Gleichung x3 + y3 = A • z3, nach Legendre
9. Unmöglichkeit der Gleichung x5 + y5 = z5, nach Dirichlet. Die Gleichung x5 +y5= Az5. Die Gleichung x14 + y14=z14
10. Neue Grundlage der Untersuchung. Formeln für (x + y +z)l' - xP - yP - xP und (x + y)P - xP - yP. Bemerkung von Caucliy
11 und 12. Ein zweiter Ausdruck für (x + y)p - xp - yp
13. Anderer Ausdruck für (x + y + x)p - xp - yp - xp, und Folgerungen
14 und 15. Die Ausdrücke y2 + yz + z2, x2 — yz und ihre analog gebildeten, ihr größter gemeinsamer Teiler
16. Die Wendtsehen Formeln, insbesondere up + u'p + u"p = 2puu'u"∙P
17. Formeln für den Rest von 2p-2/p, 3p-3/p (mod. p)
18. Neue Grundlage der Betrachtung. Die Kongruenz xp + yp + zp = 0 (mod. p), und Folgerungen
19. Bedingungen für die Lösbarkeit der Gleichung xp + yp+ xp = 0 im Falle I
20. Die Kongruenz xp + yp + xp = 0 (mod. π = 2 hp + 1). Lcgendres Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung xP + yP + zp= 0 Falle I. Andere Formulierung durch Wendt
21. Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung im Falle II, nach Wendt
22. Sätze von Legendre über ihre Unmöglichkeit im Falle I
23 und 24. Dicksons bezügliche Untersuchungen
25 und 26. Dicksons Beweis, daß die Anzahl der Primzahlen π = 2hp + 1, für welche xp + yp + zp = 0 (mod. n) in Zahlen, prim zu π, unmöglich ist, nur endlich ist
27. Beweis von J. Schur, Hilfssatz aus der Kombinationslehre
28—31. Hurwitz' bezügliche Untersuchung der allgemeineren Kongruenz axP + b yp + czp = 0 (mod. π)
32. Kummers neue Behandlung und Verallgemeinerung des Fermatproblems
33. Grundbetrachtungen über Zahlenkörper und ihre Ideale
34. Gauss' Beweis für die Unmöglichkeit von x3 + y3 + z3 = 0
35. Hilfsbetrachtungen aus der Theorie des Kreisteilungskörpers
36 und 37. Kummers Beweis des verallgemeinerten Fermatschen Theorems für reguläre Primzahlexponenten
38 und 39. Herleitung der Kummerschen Kongruenzbedingungen für die Fermatsche Gleichung im Falle I
40 und 41. Die Funktionen Pi(x,y) oder Pi(t). Sätze von Mirimanoff und Kummer
42. Mirimanoffs Funktionen φi(t), Ψi(t)
43. Seine Umformung der Kummerschen Kongruenzbedingungen
44. Das Wieferichsche Kriterium 2p-2/p=0 (mod. p); bezügliche Bemerkungen von Mirimanoff und Frobenius
45. Ein Satz über die Wurzeln von φp-1(t) = 0
46. Mirimanoffs Verallgemeinerung der Untersuchungen von Wieferich, und sein Kriterium 3p - 3/p = 0 (mod.p)
47 und 48. Vereinfachung und Fortsetzung der Untersuchungen von Mirimanoff durch Frobenius. Weitere Kriterien von Frobenius und Vandiver
49. Neue Begründung solcher Kriterien durch Furtwängler
50. Furtwänglers neue Formulierung der Kummerschen Kongruenzbedingungen. Untersuchungen von Bernstein und von Hecke
51. Maillets Verallgemeinerungen des Fermatproblems, Studien über die Gleichung xp + yp = C • zp
52. Rückblick und Ausschau. Fueters Problemstellung
Bemerkung zu Nr. 8a

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Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung dargestellt

von

Prof. Dr. Paul Bachmann

B e r l i n und Leipzig 191i> Ve r e i n ig u n g

w issen sc h a f t l i c h e r

Walter de Gruyter & Co.

Verleger

vormals G . J . G ö s c h e n ' s c h c Verlagshandlong :: J . Gnttenta.^, V c i U ^ s b u c h h a m l h i n g : : G e o r g R e i m e r :: K a r l f. T r i i b n e v : : V e i t & C o m p .

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten

Druck von Metzger A Wittig in Leipzig.

FELIX KLEIN zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum in Verehrung' g e w i d m e t

Vorwort Der Gegenstand dieses Werkes hat in neuer Zeit, nicht eben auü den lautersten Beweggründen,

in weiten Kreisen großen Anteil er-

weckt, hat aber auch für den ernsten

Forscher

ungewöhnlich

deutendes geschichtliches wie wissenschaftliches Interesse.

be-

Der Ver-

fasser hofft daher, daß sein Buch freundliche Aufnahme finden werde. Er schrieb es in der schmerzlichsten Zeit, die Deutschland jemals erlebte, zur eigenen Stärkung, zum Trotz wider den Feind, zu einem Zeichen,

daß d e u t s c h e

Wissenschaft

nichtungswillen u n b e z w i n g l i c h

seinem rachsüchtigen

widersteht.

Ver-

Ist doch gerade in der

Zahlentheorie die V o r h e r r s c h a f t Deutschlands unbestritten über alle Länder der Welt; und sie hat sich auch an dem Probleme bewährt, dem diese Blätter gewidmet sind, und dessen wichtigste Fortschritte d e u t s c h e n Forschern zu danken sind. wie es dem Verfasser

zum Tröste

So möge denn dies Büchlein,

gedient,

dem

deutschen

Léser*

gleichermaßen zur Freude, der Wissenschaft selber aber, wenn mög* lieh, zur Förderung gereichen! Weimar,

November

litis.

Inhaltsverzeichnis Seit»

Einleitung . 1.

t

F o r m a t s Theorem.

Die descente iiifinie

2

2.

Beispiel von F e r m a t ; nach L e g e n d r e s Darstellung

4

3.

Unmöglichkeit der Gleichungen x* ± ?/ =

G

4.

Folgerungen.

Unmöglichkeit

Gleichung :v'ln + y!n

der

Gleichung

• • + 1 = (f.

S

5.

Reduktion

des

F ermatschen

x1' + yv

+ xp

6.

Gemeinsame Grundlage der Beweise für p = 3 und p = 5

7.

Unmöglichkeit

= 0. der

Die

= xTheorems

auf

die

Gleichung

A b e l s c h e Formeln; Fall I und I I x3 + y' = x3,

Gleichung

nach

. . . .

Euler

.

12 .

und

Legendre 8.

1!)

Unmöglichkeit der Gleichung x3 + »/•'' = 2

und Folgerungen

.

Sa. Die Gleichung x% + y3 = A • x3, nach L e g e n d r e 9.

Neue Grundlage — x1' — yv — xp

Die Gleichung x " + yu

der Untersuchung. und (x + y)p — xp

--

Die .

.

26

(x + y -f *)''

Formeln

für

— yp.

Bemerkung

von

Caucliy

«!>,

Ein zweiter Ausdruck für (x + y)1' — x1' — yv

. . . .

11

und 12.

13.

Anderer Ausdruck für (% + y + x)p — x1' — y1' — x.1', und

14

und 15.

10.

Die W e n d t s e h e n Formeln, insbesondere uv + u'p + u"1' — 2pun'u"-1'

32

Folge-

rungen

35 Die Ausdrücke

yl + yx

x'2 — yx

+

und ihre analog

gebildeten, ihr größter gemeinsamer Teiler

2P — 2

38

31' — 3

18.

(inod. p) . . . P Neue Grundlage der Betrachtung. Die Kongruenz xr + y1' + x1' = 0

19.

Bedingungen für die Lösbarkeit der Gleichung x1' + yv

20.

Die Kongruenz x1' + yp + %p =•= 0 (.mod. TT = 2 hp

17.

22 24

Unmöglichkeit der Gleichung x* + y* = xr', nach D i r i c h 1 et. Gleichung » 5 -t- y" — Ax5.

10.

17

Formeln für den Rest von

P

,

(mod. p), und Folgerungen

44 47

53 4- x'1 = 0

im Falle I

5fi + 1).

Lcgen-

d r e s Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung x1' + y'' + im Falle I. 21.

Bedingung Wendt

Andere Formulierung durch W e n d t

für die Lösbarkeit der Gleichung

60

im Falle I I , nach 04

ym

Inhaltsverzeichnis. Seife

Nr. 22. „ 23 „ 25

„ „

Sätze von L e g e n d r e über ihre Unmöglichkeit im Falle I . . und 24. D i c k s o n s bezügliche Untersuchungen und 2fi. D i c k s o n s Beweis, daß die Anzahl der Primzahlen 7i = 2 hp + 1, für welche xp 4- y1' + xp ^ 0 (mod. n) in Zahlen, prim zu ;r, unmöglich ist, nur endlich ist 27. Beweis von J. S c h u r , Hilfssatz aus der Kombinationslehre . . 28—31. l l u v w i t z ' bezügliche Untersuchung der allgemeineren Kongruenz a x1' +• b yv + e x1' ^ 0 (mod. /i) 32. K u m m e r s neue Behandlung und Verallgemeinerung des Fermatproblems . 33. Grundbetrachtungen über Zahlenkörper und ihre Ideale . . . 84. Gauss' Beweis für die Unmöglichkeit von x3 + y3 + K' = 0 . . 35. Hilfsbetrachtungen aus der Theorie des Kreisteilungskörpers. . 36 und 37. K u m m e r s Beweis des verallgemeinerten F e r m a t schen Theorems für reguläre Primzahlexponenten 38 und 39. Herleitung der Kummerschen Kongruenzbedingungen für die Fermatsche Gleichung im Falle I 40 und 41. Die Funktionen P,(x,y) oder Pt(i). Sätze von M i r i m a n o f f und K u m m e r 42. M i r i m a n o f f s Funktionen j,—i (t) = 0 M i r i m a n o f f s "Verallgemeinerung der Untersuchungen 1 W i e f e r i c h , und sein Kriterium 3 ' — 3 ^ 0 (mod. p) .

,, „ „ „ „ „ „ ,, ,,

2P -

76 83 86 95 97 98 101 104 111 117 123 126

2

— 0 (mod. p)\ bezüg-

liche Bemerkungen von M i r i m a n o f f und F r o b e n i u s .

.

.

129 136

von

. . und 48. Vereinfachung und Fortsetzung der Untersuchungen von M i r i m a n o f f durch F r o b e n i u s . Weitere Kriterien von F r o b e n i u s und V a n d i v e r . . „ 49. Neue Begründung solcher Kriterien durch F u r t w ä n g l e r ,, 50. F u r t w ä n g l e r s neue Formulierung der Kummerschen Kongruenzbedingungen. Untersuchungen von B e r n s t e i n und von H e c k e . . . , „ 51. M a i l l e t s Verallgemeinerungen des Fermatproblems, Studien über die Gleichung x1' -f- y1' - C • % p „ 52. Bückblick und Ausschau. Fue.lers Problemstellung . . . . Bemerkung zu Nr. 8 a . . „

68 70

137

47

143 150

154 156 158 160

P i e r r e F e r m â t , unstreitig der größte französische Mathematiker des 17. Jahrhunderts und zugleich, nach dem Urteil seiner Zeitgenossen1, ein ganz ungewöhnlich reiches und vielseitiges Genie, hat mit einer großen Fülle arithmetischer Sätze, die er aufgestellt hat, meist ohne ihren Beweis mitzuteilen, und arithmetischer Aufgaben, die er seinen Zeitgenossen zur Lösung vorgelegt, sowie Methoden, welche zur Lösung derartiger Aufgaben geeignet seien, der zahlentheoretischen Forschung einen so wichtigen Antrieb gegeben, daß er füglich als der Urheber der höheren Arithmetik unserer Zeit angesehen werden kann. In der Tat ist aus den Bemühungen späterer Forscher, die Rätsel seiner Angaben zu lösen, die heutige Zahlentheorie erst erwachsen. Unter jenen Sätzen hat besonders einer, nämlich der Satz, d a ß die G l e i c h u n g x" + i/n = x"

(1)

f ü r n > 2 in ganzen Zahlen x, y, x unlösbar sei, von dem F e r m â t angibt, einen „wunderbaren" Beweis zu besitzen, eine große Bedeutung erlangt, da die größten Mathematiker nach F e r m â t , wie JEuler, L e g e n d r e , Gauss, D i r i c h l e t , K u m m e r und andere, neuerdings eine Unzahl unberufener mathematischer Dilettanten sich vergeblich bemüht haben, seine Behauptung vollständig zu begründen. So ist eine ganze auf ihn bezügliche Literatur entstanden, deren Ergebnisse zum Teil auch unabhängig von ihm einen Wert und wissen1

Kein Geringerer als P a s c a l nennt ihn — freilich in einem an Fermât selbst gerichteten Briefe vom 10. 8. 1660 — celui de toute l'Europe, que je tiens pour le p l u s g r a n d g é o m è t r e , und schreibt sogar ferner: vos enfants, qui portent le nom du premier homme du monde.

Bachmann, Das Fermatprobïeni.

1

2

Das Fermatproblem.

schaftliches Interesse besitzen. Ich habe es unternommen, diese gesamte Forschung sowohl nach den Methoden, die sie befolgt, als nach dem geschichtlichen Gange, den sie genommen hat, soweit ihren Ergebnissen wirklich wissenschaftliche Bedeutung zuerkannt werden kann, in ihren wesentlichen Zügen hier zur Darstellung zu bringen. Es konnte mir hierbei nicht beikommen, die Unmasse verfehlter Beweisversuche in. Betracht zu ziehen, mit denen neuerdings aus Anlaß des Wolffskehl-Preises die mathematische Literatur überschwemmt worden ist; denn auch von der übrigen bezüglichen Literatur konnte ich das nur bei meiner Darstellung berücksichtigen, was wirklich dazu gedient hat, die Lösung des Fermatproblems oder nahe damit verwandter oder verbundener ähnlicher Aufgaben zu fördern. Da ferner dies Buch nicht nur für den Zahlentheoretiker, sondern für das Interesse weiterer mathematischer Kreise, insbesondere für Studierende bestimmt ist, durften zu weitgehende zahlentheoretische Kenntnisse nicht vorausgesetzt, und mußte deshalb an manchen Stellen nur andeutungsweise verfahren und der Leser nur auf die Originalarbeiten verwiesen werden. Man findet einen großen Teil der einschlägigen Literaturangaben in einer kleinen Schrift von Benno L i n d , in den Abh. zur Geschichte der math. Wissenschaften von M. Cantor, Heft 26, 2. —

l. Im Jahre 1670 veröffentlichte der Sohn P i e r r e F e r m a t s , S a m u e l F e r m a t , eine Ausgabe des Diophant unter dem Titel: Diophanti Alexandrini arithmeticoram libri sex et de numeris multangulis liber unus, cum commentariis C. G. B a c h e t i et observationibus D. P. d e F e r m a t , senatoris Tolosani. In diesem Werk findet sich bei der Diophantischen Aufgabe, eine Quadratzahl in die Summe zweier Quadratzahlen zu zerlegen, die F e r m a t sehe Bemerkung: Cubum autem in duos eubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Man kann gegenwärtig Zweifel hegen, ob F e r m a t sich über die Beweiskraft seiner Schlüsse nicht getäuscht haben mag; an der Wahrhaftigkeit seiner Aussage darf man es nicht. In einem Briefe an

1. Die descente infinie. F r é ni cl e 1 erklärt er:

3

car par avance je vous avertis que, comme je

ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec même franchise ce que je ne sais pas. zutreffende)

Aussage,

Primzahl sei,

daß

jede

Zahl

von der er schreibt : 2

Und seine (bekanntlich nicht von der

Form

22' + 1

eine

c'est que je suis persuadé, be-

gleitet er mit den Worten: J e n'en ai pas la démonstration exacte, und gibt damit einen gültigen Beleg für die im vorigen Zitat ausgesprochene Gesinnung.

Aber

daß F e r m â t

es bleibt zu bedauern,

den „gewiß wunderbaren"

wie es verwunderlich ist, Beweis

seiner Behauptung

auch nirgend anderwärts, soweit ersichtlich ist, niedergeschrieben, oder auch in seinem ausgebreiteten wissenschaftlichen Briefwechsel niemals sonst erwähnt hat. Dagegen hat er sich in einem Briefe an C a r c a v i 3 sehr ausführlich über eine Methode ausgesprochen, die er descente infinie ou indéfinie nennt,

und welche

er mit Erfolg

bei der Behandlung der-

artiger Aussagen verwendet habe, und weist auf eine derselben hin, von der wir gleich weiter unten zu handeln haben werden. wohl anzunehmen, Satzes seiner nahme Fermât

daß ihn

diese Methode

Randbemerkung

Es ist

auch beim Beweise des

geleitet haben

wird.

In

bestärkt uns eine weitere Stelle desselben Briefes.

dieser AnNachdem

darin erwähnt, wie er gelernt habe, seine Methode, die er

zunächst nur zum Beweise negativer Aussagen verwendet habe, auch für affirmative Sätze zu gebrauchen, fährt er fort:

J'ai ensuite con-

sidéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse . . . und als eine dieser Fragen nennt er auch die Frage nach der Auflösbarkeit der Gleichung xs + y3 = r 3 .

Dies

ist so ziemlich die einzige Stelle, wo F e r m â t noch einmal, wenigstens auf einen besonderen

Fall

seines allgemeinen

Satzes

zurückkommt,

aber sie gibt nicht den geringsten Anhalt über den Ansatz seines Beweises, noch über die Richtung, in welcher die descente infinie dabei zur Anwendung gekommen sein mag. 1 Correspondance de F e r m â t in Œuvres do Fermât, ed. P. T a n n e i y et Ch. H e n r y , t. II, p. 207. 8 Ebendas. p. 205. s Ebendas. p. 431.

1*

Das Fermatproblem.

4

2. Als ein vollständig ausgeführtes Beispiel zur Erläuterung der Methode der descente infinie kann die schon eben erwähnte Aussage dienen, welche die 45 te der Randbemerkungen zum Diophant enthält. Ihr Wortlaut ist der folgende: L'aire d'un triangle rectangle en nombres ne peut être un carré. Je vais donner la démonstration de ce théorème que j'ai découvert, je ne l'ai pas trouvé au reste sans une pénible et laborieuse méditation, mais ce genre de démonstration conduira à des progrès merveilleuses dans la science des nombres. — Si l'aire d'un triangle était un carré, il y aurait 2 bicarrés dont la différence serait un carré; il s'ensuit qu'on aurait également deux carrés, dont la somme et la différence seraient des carrés. Par conséquent on aurait un nombre carré, somme d'un carré et du double d'un carré, avec la condition que la somme des deux carrés qui servent à, le composer s.oit également un carré. Mais si un nombre est somme d'un carré et du double d'un carré, sa racine est également somme d'un carré et du double d'un carré, ce que je puis preuver sans difficulté. Qn conclura de là que cette racine est la somme des deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont l'un des carrés composant formera la base et le double de l'autre carré la hauteur. Ce triangle rectangle sera donc formé par deux nombres carrés, dont la somme et la diffé* rence seront des carrés. Mais on prouvera, que la somme de ces deux carrés est plus petite que celle des deux premiers, dont on a également supposé que la somme et la différence soient des carrés. Donc si on donne deux carrés dont la somme et la différence soient des- carrés, on donne par là même en nombres entiers deux carrés jouissant de la même propriété et dont la somme est inférieure. Par le même raisonnement on aura ensuite une autre somme plus petite que celle déduite de la première, et en continuant indéfiniment on trouvera toujours des nombres entiers de plus en plus petits satisfaisant aux mêmes conditions. Mais cela est impossible, puisqu'un nombre entier étant donné il ne peut y avoir une infinité de nombres entiers qui soient plus petits. . . . Par le même procédé j'ai découvert et démontré, qu'il n'y a aucun nombre triangulaire, sauf l'umité, qui soit un bicarré. Wir wollen zunächst diesen F er mat sehen Beweis mit L e g e n d r e 1 1

Essai sur la th. des nombres, 2. éd. p. 340

5

2. L e g o n d r e s Deutung.

in die moderne mathematische Zeichensprache übertragen und in folgendem wiedergeben. Seien x, y die Maßzahlen der Katheten, * diejenige der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, so daß die Gleichung besteht x

2

+

y2 =

z

2

.

Hier darf ein etwaiger gemeinsamer Teiler von x, y, x unterdrückt werden, weil dadurch die Maßzahl für den Inhalt des Dreiecks nur einen quadratischen Faktor verlöre, also, wenn sie eine Quadratzahl wäre, es immer auch noch verbliebe. Alsdann sind x, y, % zu je zweien teilerfremde Zahlen und eine der Zahlen x, y gerade, die andere ungerade, da sonst die Quadratzahl * 2 == 2 (mod. 4) würde, was nicht angeht. Es treten also die sogenannten indischen Formeln für Pythagoreische Dreiecke in Kraft, denen zufolge etwa x = 2 mn, y — m — n , % = m + n 2

2

2

2

ist, unter m, n ganze, teilerfremde und (mod. 2) inkongruente Zahlen verstanden. Der Inhalt des Dreiecks wird so gleich mn

— n 2) .

• (m 2

Soll er eine Quadratzahl sein, so müssen die Faktoren, da sie teilerfremd sind, jeder für sich eine Quadratzahl sein, also m =

n 2,

n =

b 2,

a*

— b* =

c. 1.

d. i. («

Aber auch wieder (2'

also (3)

2

-

b*) • {a 2 +

b 2) =

c 3.

hier sind die Faktoren teilerfremde Zahlen, a2 — h2 = p p2

+

2

,

2h 2

a2 +

=

b2 =

also muß

q 2,

q 2,

p und q aber teilerfremde, ungerade Zahlen sein. H i e r g r e i f t n u n in d e n w e i t e r e n B e w e i s g a n g die T h e o r i e d e r q u a d r a t i s c h e n F o r m e n o d e r die des q u a d r a t i s c h e n Z a h l e u k ö r p e r s ein. Unter dem aus ]/ — 2 gebildeten Zahlenkörper versteht man bekanntlich die Gesamtheit der Zahlen, die aus ]/— 2 und ganzen Zahlen durch rationale Operationen entstehen; seine algebraisch ganzen Zahlen sind u + v ]' — 2 mit ganzzahligen u, nt und für sie gilt das Gesetz der eindeutigen Zerlegbarkeit in einfachste

Das Fermatproblem.

6

oder Primfaktoren von derselben Form. wenn ihr die Gestalt (3a)

Da nun in Gleichung (3),

(p + b V - 2) (p - b y"—2) = q2

gegeben wird, die Faktoren, wie leicht zu sehen, keinen gemeinsamen Faktor jener Form besitzen, so müssen sie jeder für sich das Quadrat einer solchen Zahl sein, also etwa p +

b

y - 2 = (r + s f - 2 )

2

,

folglich p = r2 — 2s 2 , •/•, .9 teilerfremd, r ungerade sein.

i = 2rs,

Aus Gleichung (2) aber folgt dann

a2 = p2 + b2 = r* + 4s 4 , d. h. das Vorhandensein eines andern Pythagoreischen Dreiecks mit den Katheten r2, 2 s2, dessen Inhalt also gleich r2s2, d. i. eine Quadratzahl wäre, aber mit wesentlich kleineren Katheten, als das ursprünglich angenommene. Aus ihm ergäbe sich in gleicher Weise wieder ein neues solches Dreieck mit noch kleineren Seiten usw. ohne Ende, was doch, da die Seiten ganzzahlige Werte haben, unsinnig ist. Daher kann es überhaupt ein Dreieck von der angegebenen Art nicht geben. 3. D u r c h diese B e t r a c h t u n g ist z u g l e i c h der N a c h w e i s g e l i e f e r t , daß es u n m ö g l i c h i s t , die G l e i c h u n g (4)

x* — yl — xl

in g a n z e n Z a h l e n x, y, z zu lösen. Denn gäbe es eine solche Lösung x a, y = b, z = c, so dürfte man a, b, c zu je zweien teilerfremd voraussetzen; von den Zahlen a, b wäre also eine gerade, die andere ungerade, wenn sie nicht beide ungerade sind. Im ersteren Falle erhielte man aber eine Gleichung (5)

« 4 - b * = e2

von derselben Beschaffenheit wie in voriger Nummer, deren Bestehen durch die Schlüsse derselben als unmöglich erwiesen ist. Im zweiten Falle würde e eine gerade Zahl sein; wenn dann die Gleichung in der Gestalt b* + c2 - a*

3. Die Gleichungen x* ± y* = x,-,

7

genommen wird, so ergibt sich nach den indischen Formeln b2 = m2 — n2,

c, = 2mn,

a2 = m2 +

n2,

also m* - n* = [a b f , wo nun

m, n

teilerfremde,

(mod. 2) inkongruente Zahlen

sind,

die

Gleichung also von derselben Beschaffenheit und deshalb ebenso unzulässig ist, wie die Gleichung (5). In

gleicher Weise

Nachweise,

daß

Quadratzahl

auch

sein

ihm L e g e n d r e .

führt

— eine

kann.

zweier

infinie

zu

Biquadrate

dem keine

Dies hat zuerst L. E u l e r 1 gezeigt, nach

Angenommen nämlich, es sei

(6)

x* + y* =

so dürften

descente

die S u m m e

wieder x,

y, % als

z2,

zu zweien

teilerfremd

vorausgesetzt

werden, also müßte von den Zahlen x, y eine gerade, die andere ungerade

sein,

da,

wenn

beide ungerade wären,

« gerade würde und

.sich die unmögliche Kongruenz 2 == o (mod. 4) herausstellte.

Dem-

nach muß nach den indischen Formeln etwa ,r.2 == 2mn,

y2 = m2 — n2,

sein, unter m, n zwei teilerfremde, und zwar muß

m

z = m2 +

n2

ungleichartige Zahlen verstanden,

die ungerade, n die gerade Zahl sein,

y" = — 1 (mod. 4) wäre, was unmöglich ist. so daß

da sonRt

Setzt man daher n =

2ri,

x2 = 4 rn n

wird, so müssen die Faktoren einzeln Quadratzahlen, also m = a2,

n'^fi2,

n =

2ß2

und u* -

4ß* = y2

oder

y2 + 4fi* = a*

sein, daher nach den indischen Formeln ß2 = (iv,

y = fi2 — v*,

ce2 — fi2 +

v2

E u 1 e r , Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes, Comment, arithm. coll. I, p. 26 (1788). L e g e n d r e , Essai sur la théorie des nombres (1798), 2. éd. (1808) p. 343. 1

Das Fermatproblem.

8

mit teilerfremden (i, v. Der ersten dieser Gleichungen müssen diese Zahlen einzeln Quadratzahlen sein, also etwa fi =

,

v

=

zufolge

if,

wodurch dann die letzte der Gleichungen in I 4 + ij* = a 2 übergeht. Besteht also die Gleichung (6), so ergibt sich eine Gleichung derselben Gestalt, aber in offenbar kleineren ganzen Zahlen; also aus flieser aufs neue eine solche in noch kleineren ganzen Zahlen usw., was wieder auf eine Unsinnigkeit hinausläuft. — 4. Aus den beiden Sätzen der vorigen Nummer hat E u l e r noch eine größere Beihe ähnlicher Sätze gefolgert, und unter anderm gezeigt, daß die Ausdrücke sr4 + 4y*,

x* — 4yl,

4x* — yi,

2x*+2yi,

.r* +

2y*

2x'i-2yi

keine Quadratzahl sein können; allgemeiner gilt dies für die Ausdrücke mx* + m*y*,

2mx* + 2m 3 »/ 4 ,

worin m eine ganze Zahl, und in denen alle vorigen als spezielle Fälle enthalten sind. Dagegen hat die Gleichung x* — 2y*

= x -

unendlich viel Auflösungen in ganzen Zahlen 1 . Auch bewies E u l e r in einfacher Weise noch den Satz, welchen F e r m â t am Schlüsse seiner 45 ten Eandbemerkung erwähnt, und seinerseits mit einer descente infinie gewonnen zu haben scheint, daß nämlich eine Trigonalzahl

x(x + 1) u

—'

niemals eine B i q u a d r a t z a h l sein

k a n n , a u ß e r f ü r x = 1. Denn wäre sie es, so müßten die offenbar teilerfremden Faktoren für sich es sein, also wenn x gerade: =?/• 1

* + l

2 y* + 1 =

t

\

E u l e r , a . a . O . p. 30; später auch in seiner Algebra (1770); t'ranzös. Übersetzung (1774), 2. édition (1798) t. II, Chap. 13. S. auch L e g e n d r e , Essai sur la th. des nombres, 2. éd. p. 343/5; verschiedene andere Fälle un möglicher Gleichungen von der Form ax* + by* = %2 hat P e p i n gegeben, Comptes Rendus de l'Acad. de Paris, 78, p. 144; 91, p. 100; 94. p. 122.

4. Die Gleichung

+ 1 — ql.

9

wenn x ungerade: 2y* — l = s;1 r und demnach 2^ + 2 = 4^, d. i. gleicli einer Quadratzahl sein, was den obigen Sätzen zuwider. Endlich beweist E u l e r in der gleichen Abhandlung mittels einer descente infinie d e n S a t z , d a ß d e r A u s d r u c k z3 + 1 f ü r k e i n e n r a t i o n a l e n W e r t von z, a u s g e n o m m e n % = — 1, 0, 2 e i n e Q u a d r a t z a h l s e i n k a n n . Ohne Hilfe dieser Methode läßt sich dies aus seiner eigentlichen Quelle, der Theorie des aus ]/ — 3 gebildeten Zahlenkörpers, auf folgende Weise erlangen. Angenommen, für % = " mit teilerfremden a, b sei der Ausdruck eine Quadrratzahl, so müßte auch b (o8 + b3) eine solche sein. Es wäre dann b(a + b) (a2 — n b + b\ oder, wenn a + b = t: gesetzt wird, der Ausdruck b • c -(c2 - 3eb + Bb2) ein Quadrat. Hier dürfen b, c positiv gedacht werden und sind teilerfremd, infolgedessen ist auch der dritte Faktor zu b teilerfremd, desgleichen auch zu e, sobald c durch 3 nicht teilbar ist. In diesem Falle müßte also jeder Faktor für sich eine Quadratzahl sein, insbesondere also (7) c2 - Bob +' 3b2 = q2. Wenn aber « durch 3 aufgeht-, e. = 3 ' ergibt. II. Wenn y, % nicht, aber x durch p teilbar ist. die anderen Formeln: y + % =tp>nP"l.ul>, (17b)

y?

+

= p • V» ,

%p + x? — v'p. % + x xP + yi>

% + X — M>, x + y — u"p,

x + y

woraus —pmi"-l-u»

u'p + U"P

(18b)

y

-1 • u» — u » 2 pmp - 1 . up u'p _ U"P u"P +

=

"2

X = — pm • U V , y — — k' v ,

Das Ferinatproblem.

IG

Für die Zahlen »«.', u, v bzw. vi", u", v" gelten die gleichen Bedingungen, wie sie für die Zahlen m, u, v angegeben worden sind. Diese Formeln gab L e g e n d r e 1 , gleichzeitig aber Abel 2 , nach welchem sie gewöhnlich als die Ab e i s c h e n F o r m e l n benannt werden. Eine noch nähere Bestimmung der Zahl v verdankt man nach der Aussage von L e g e n d r e 3 S o p h i e G e r m a i n . Ihre Primteiler n, von denen wir schon zeigten, daß sie die Form 2hp + \ haben müssen, sind g e n a u e r von der F o r m 2kpi+\, d . h . h muß durch p t e i l b a r sein. In der Tat linden wir in beiden Fällen 1 und II die Kongruenzen x~0,

y == U'P ,

x, = u'i',

y» + z» = u'f1 + u"f' s s 0 (mod. n) ;

ist nun u2 der Sozius von m" (mod. «), so gibt die letzte Kongruenz die andere: (mod. n)\ (19) {u'u^y + 1 = 0 wenn aber g eine primitive Wurzel (mod. n) und etwa u u2 = g> ist, so kann i nicht durch h teilbar sein, da sonst nach der Gleichung n = 2hp + 1 sich [u uzy 1, also entweder [u u2y* + 1 = 2, oder u'p + u"» = y + ;; = 0 (mod. n) ergäbe, was beides nicht sein kann. Aus der Kongruenz (19) aber folgt g 1 ^ + 1 = 0, also g 2 i p ! ^ 1 (mod. jt), was 2 ip2 teilbar durch n — 1 = 2 hp, also ip teilbar durch h erfordert, und nur sein kann, wenn h durch p aufgeht Ferner muß in den Formeln (17 b), (18 b) die Zahl m > 1 sein, d . h . die d u r p h p t e i l b a r e d e r Z a h l e n x, y, x g e h t m i n d e s t e n s durch p2 auf 4 . Denn aus jenen Formeln folgt u'>' + «"'.' = 2 x + y + « = 0 , 1 Mém. cle l'Acad. des sciences, Institut de France 1823 [1827], p. 1. Herr L i n d e m a n n irrt, wenn er in den Sitzungsber. der Münchener Akademie Bd. 31, S. 495 meint, sich den ersten Beweis dieser Formeln zuschreiben zu dürfen, sie sind schon in der L e g e n d r e s c h e n Abhandlung bewiesen. 2 In einem an H o l m b o e gerichteten Briefe vom 24. 6. 1823; s. A b e l , œuvres complètes, 2. éd. II, p. 264/5. 8 L e g e n d r e , a. a. 0. p. 17. 4 Auch diese Bemerkung schreibt L e g e n d r e a. a. 0. S o p h i e GrerII] ain zu.

6. Formel aus der Kreisteilung.

17

d. h. u + u" == 0 (mod. p), mithin 1

u'p + u"p = (u' + u'y = 0 (mod. p2), und demnach wegen der ersten der drei Formeln (18 b) auch x = 0 2 (mod. p ). 6. In den Formeln zu I und II haben wir Bedingungen erhalten, denen die ganzen Zahlen x, y, x notwendig genügen müßten, wenn die Gleichung (12) in ganzen Zahlen auflösbar sein sollte. Bei der weiteren Behandlung des Fermatproblems werden nun die genannten beiden Fälle I und II stets gesondert zu betrachten sein, wie sich dies bei sämtlichen Beweisen, durch welche es bisher gelungen ist, die Fermatsche Behauptung für besondere Fälle zu begründen, durchweg herausgestellt hat. Es war nur natürlich, daß die ersten Mathematiker, welche diese Begründung versuchten, mit den einfachsten Fällen der Gleichung (12), d. h. mit den kleinsten Werten des Exponenten p den Anfang machten. So ist der Satz für Kuben, d. i. für p = 3, zuerst von E u l e r 2 bewiesen, dessen Beweis dann L e g e n d r e 3 etwas übersichtlicher wiedergegeben hat; für p = 5 gaben den Beweis L e g e n d r e und L e j e u n e Dirichlet 4 , der den Satz auch für p = 14 begründet hat; dann bewies ihn Lamé, darauf L e b e s g u e 6 für den Exponenten p — 7. Wie verschieden die Beweise für p = 3 und p — 5 in ihrem übrigen Gange auch sind, so begründen sie doch zuletzt sich auf das gleiche Prinzip, das in einer bekannten Formel aus der Lehre von der Kreisteilung seinen Ausdruck findet. Nach dieser Formel ist yP

(20)

+

%P

= \

— ep Z2),

1

Zufolge einer Relation, die wir später erhalten werden; s. Formel (31) und die bezügliche Anmerkung. 2 L. E u l e r s Algebra, französ. Übersetzung 2. éd. II, no. 243. 3 L e g e n d r e , essai sur la théorie des nombres, no. 328/30. * L e g e n d r e , Mém. de l'Acad. des Sciences 1823 [1827], p. 31. L e j e u n e D i r i c h l e t , mém. sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du 5. degré, lu à l'Acad. des Se. (Institut de France) le 11. juillet 1825, siehe im Journ. f. Mathem. 3 (1828), S. 354/75; ebendas. 9 (1832), S. 390/3. 6 L a m é , Journ. des Mathém. 5 (1840), S. 195/211; L e b e s g u e , ebendas. S. 276/9, 348/9. B a c h m a n n , Das Fermatproblem.

2

18

Das Fermatproblem.

wenn unter F, Z gewisse ganze und ganzzahlige Funktionen von y, % p-1

und unter « der Wert (— 1) 2 verstanden wird. Die Zusammensetzung von Y, Z aus den Elementen y, % ist sehr kompliziert1 und daher einer allgemeinen Betrachtung sehr unzugänglich, jedenfalls sind aber Y, Z zugleich mit y, x ganze Zahlen. Da nun im Falle I. der Ausdruck zur Linken in (20) eine pte Potenz •»'> sein muß, so ergibt sich die Gleichung vP =

(21)

\{Y*-epZ*)-,

ferner, da tp == 1 (mod. 4) ist, die Kongruenz 0 = F2 -

Z 2 = ( F + Z) ( F - Z)

(mod. 4),

deren beide Faktoren zugleich gerade oder zugleich ungerade sind, also die Kongruenz Y= Z (mod. 2). Hiernach sind

zwei algebraisch ganze Zahlen des aus gebildeten quadratischen Zahlenkörpers. Schreibt man also die Gleichung (21) unter der Form (22)

Z-fa), pte

so müssen die beiden Faktoren für sich Potenzen von Zahlen der gleichen Art sein, sobald sich erweisen läßt, daß sie in dem genannten Zahlenkörper teilerfremd sind, und so oft in diesem Körper das Gesetz der eindeutigen Zerlegbarkeit in seine Primzahlen in Geltung ist Beides ist nun der Fall für p = 3 und p = 5, und damit lassen sich in ihnen der Gleichung (22) zwei Beziehungen entnehmen, welche dann den Ansatz zur Methode der descente infinie darbieten. Der Fall I I führt offenbar zu denselben Betrachtungen, denn die in diesem Fall statt der Gleichung (21) geltende Beziehung (21a)

p-vP

=

\{Y2

-

sp Z2)

geht, da ihr zufolge F eine durch p teilbare Zahl sein muß, etwa Y = p-Z', wenn Z = F ' gesetzt wird, in die folgende über:

die nur unwesentlich von (21) verschieden ist. 1 S. darüber L e g e n d r e , M6m. de l'Aead. des Sc. 1823; von Journ. f. Mathem. von Crelle 67, S. 205.

Staudt,

1. Die G-leichung x3 + iß = x3.

19

7. Wir wollen dies nun zunächst an dem Eulerschen Beweise für den Fall p = 3 im einzelnen näher verfolgen. Zuerst muß gezeigt werden, daß der Fall I unmöglich ist, d. h., daß eine der zu je zweien teilerfremden Zahlen x, y, % durch 8 teilbar sein muß. Dies ist hier sehr einfach; denn eine durch 8 nicht teilbare Zahl 3 k ± 1 läßt im Kubus (3 k ± l) 3 = 27 k 3 ± 27 k* + 9 k ± 1 den Rest ± 1 (mod. 9), daher gäbe die Gleichung x3 + ys =

z3,

wenn keine der Zahlen x, y, % durch 3 aufginge, die unzulässige Kongruenz + 1 =S ± 1 ± 1 d. i. 0 oder + 2 (mod. 9). Anderseits müssen von den Zahlen x, y, z zwei ungerade, die dritte gerade sein, und man darf die gerade Zahl für sich auf die eine Seite der Gleichung gebracht, d. h. % als gerade voraussetzen. Dann kann man x = a + b,

y —a —b

setzen, unter a, b zwei ganze (mod. 2) ungleichartige und offenbar teilerfremde Zahlen verstanden. So erhält man die Gleichung (28)

z3=2a{a2

+

3b2),

während nach dem Fermatschen Lehrsatze » = aj + .i/ = 2ffl (mod. 3) sein müßte, weshalb a gleichzeitig mit % durch 3 teilbar oder nicht teilbar sein würde; da o2 + 3 b2 zudem ungerade, % aber gerade ist, so folgt noch aus (23), daß a notwendig gerade sein muß. Nunmehr hat E u l e r und zuerst auch L e g e n d r e nach ihm die beiden Fälle eines durch 3 teilbaren und durch 3 nicht teilbaren a durch je eine besondere Analyse erledigt. Genau besehen, führt aber die für den ersten Fall gültige auf den zweiten zurück, aber die Methode der descente infinie richtet sich in ihm nicht sowohl auf eine stete Verkleinerung der Zahlen x, y, z, sondern erfaßt ein anderes Element der Betrachtung, nämlich den Exponenten der höchsten Potenz von 3, der in z enthalten ist, und vollzieht sich an ihm; vielleicht ist dies der Sinn der bezüglichen Äußerung F e r m a t s in seinem von uns 2*

20

Das Fermatproblem.

angeführten Briefe an Carcavi. Später hat L e g e n d r e 1 dies auch erkannt und demgemäß geschlossen. Man setze nämlich, wenn a oder x durch 3 teilbar ist, 2k-3h-z1,

z =

wo z 1 ungerade und durch 3 nicht teilbar ist. die Gestalt über 2a(a2+3b2) = 23*- 3 3 A -*j 3

Dann geht (23) in

und erfordert, da a2 + 3 b2 ungerade und einmal durch 3 teilbar ist, das Bestehen von Gleichungen, wie diese: 3

1

3

a a + 3ö 2 = 3£ 3 ,

2a = 2*k- 3 ' - • a ,

in denen a, ß als Faktoren von x1 nicht durch 3 teilbar sein könnet). Schreibt man die letztere in der Form (a +

-{a-b

b

]/^3) = (]/^3)2 • ( - ß f ,

so folgt aus der eindeutigen Zerlegbarkeit der Zahlen des aus ]/ — 3 gebildeten Zahlenkörpers, oder, was auf dasselbe hinauskommt, aus dem, aus der Lehre von den quadratischen Formen mit der Determinante — 3 her bekannten Satze, daß jeder Teiler der Form sc2 + 3 y% wieder die gleiche Form hat, weil die beiden Faktoren links die Zahl y — 3 des Körpers zum größten gemeinsamen Teiler haben, daß a + b ]/ — 3 = ]/ -

also

y^3)3,

(r + s

a = 9 s ( s + r){s - r),

r{r2-9s2]

b =

sein würde, unter r, s ganze Zahlen verstanden. 2s (s + r){s -r)=

S

2 *•3

Folglich wird-

3A 3

- • ces.

Aber r, s sind, da a, b teilerfremd sind, auch ohne gemeinsamen Teiler und, da b ungerade, ist r ungerade, s gerade; da infolgedessen die drei Faktoren zur Linken der Gleichung teilerfremd sind, ergeben sich Gleichungen von einer der beiden Formen: 2 s = 23* • f 3 ,

oder:

s ± r = 3 3 Ä - 3 • £3,

2s = 2 3 *. 3 3 " - 3 • £ 3 , 1

s ± r = |3,

s i r

=

s + r =

ä

i

3

V

L e g e n d r e , Zahlentheorie, deutsch von Maser, 2. 8. 348.

.

7. Die Gleichung ajs + y3 = x3.

21

Die ersteren führen zu einer Gleichung ( 8 » - 1 • |)3 + y 3 = ( 2 k Q s , in welcher der durch 2 teilbare der drei Kuben n i c h t durch 3 aufgeht,

also unmittelbar

zurück.

auf den

zweiten der unterschiedenen

Fälle

Die zweiten geben die Gleichung | 3 + n3 = ( 2 * - •

C)3,

in welcher die durch 3 teilbare Zahl, deren Kubus zur Rechten steht, eine um 1 geringere Potenz von 3 enthält, als in der ursprünglichen Gleichung, und welche nun eine Wiederholung der gleichen Betrachtung

gestattet,

und so endlich wieder auf den zweiten Fall zurück-

führen muß. Es

bleibt also noch übrig,

Unmöglichkeit

nachzuweisen.

In

auch diesen zu erledigen und seine ihm sind die beiden Faktoren 2 a

und a? + 3 6 2 in der Gleichung (28) teilerfremd, da a1 + 3 b 2 ungerade, und weil jeder gemeinsame Teiler von a und a 2 + 3 6 a auch in 3 ä 2 aufgehen müßte, also nur 3 sein kann, gegen die Voraussetzung eines nicht durch 3 teilbaren a.

Somit folgert man

2a = «8, während cc, ß

a2 + 3 6 2 =

ß3,

zwei teilerfremde, nicht durch 3 teilbare Zahlen sind,

deren erste gerade, deren zweite ungerade sein muß.

Aus dem zuvor

aus der Theorie der quadratischen Formen mit der Determinante — 3 erwähnten Satze erschließt man jetzt (« + & ] / - 3 )

=

(r +

sf-3)3,

also die Gleichungen a = r(r2

-

9s2),

b = 3s(r2 -

s2),

demnach 2 a = 2 r { r + 3s)(r -

3s) =

a3.

Die Zahlen r, s müssen aber zugleich mit a, b teilerfremd und zwar, wie diese, die erste gerade und durch 3 nicht teilbar, gerade

die zweite un-

sein; daher sind alle drei Faktoren zur Linken vorstehender

Gleichung ohne gemeinsamen Teiler, so daß jeder für sich ein Kubus sein muß, also etwa 2r = £ 3 ,

r + 3,s = | 3 ,

r -

3s =

y3,

22

Das Fermatproblem.

woraus dann I3 + V3 =

hervorgeht, also eine Gleichung derselben Art, wie die im zweiten Falle vorausgesetzte Gleichung, da £ gerade und durch 3 nicht teilbar ist. Offenbar sind aber rj, £ wesentlich kleiner als die Zahlen x, y, >, in jener Gleichung. Nun kann man die gleichen Schlüsse unbegrenzt wiederholen, was doch sich des eben erwähnten Umstandes wegen als unzulässig erweist. Die G l e i c h u n g x3 + y3 = x3

ist also in ganzen Zahlen unlösbar. 8. Ganz ähnlich beweist man, abgesehen von den trivialen Losungen x = y — x, = ± 1;

a = +l,

«/ = + 1,

*= 0

die U n m ö g l i c h k e i t der G l e i c h u n g x3 + ys = also auch der G l e i c h u n g 3 x3 — y3 = 2 % , die im Grunde auf die vorige zurückkommt, indem man einfach ys statt (— y'f setzt 1 . Wäre nämlich (24)

x3

y3 =

2%a,

so könnte man zunächst wieder x, y, z zu je zweien teilerfremd voraussetzen, also x, y als ungerade, und zwei ganze, teilerfremde Zahlen a, b durch die Gleichungen (25)

x = a + b,

y •= a — b

bestimmen, wodurch die Gleichung in die Gestalt übergeht: a (a2 + 3 b2) = %3. Ist nun zuerst a nicht durch 3 teilbar, so sind die beiden Faktoren zur Linken teilerfremd, also müßte jeder Faktor für sich, insbesondere a? + 3 62 ein Kubus sein. Wäre dieser gleich 1, so ergäbe sich a — ± 1 , b = 0, also die teilerfremden Zahlen x, y gleich + 1, und 1 E u l e r , Algebra, franz. Übersetzung Bd.II, S.243; L e g e n d r e , Essai s. 1. th. d. nombres, 2. ¿d. p. 847.

8. Die Gleichung x3 + y* = 2 xs.

23

somit die Lösungen x = y = z = ± 1 der Gleichung (24). Andernfalls müßte a2 + 3 b2 = (r2 + 3s 2 ) 3 oder a + b ]/— 3 = (r + s V - 3 ) 3 , also a = r 3 - 9rs 2 = r(r + 3s){r - 3 s ) , b = 3s{r 2 - sa) sein; und da die drei Faktoren von a teilerfremd sind, weil r durch 3 nicht teilbar, r und s relativ prim sind, und r + 3 s, r — 3 s auch den Faktor 2 nicht gemeinsam haben können, indem dazu r, s ungerade, also die teilerfremden a, b beide gerade sein müßten, findet man wieder, daß jeder für sich ein Kubus ist: r - | - 3 s = Z3,

r — 3s = m3,

r = n3,

woraus sich die Gleichung l 3 + m 3 = 2w3 von gleicher Art wie die Gleichung (24), aber mit kleineren ganzen Zahlen herausstellt. So gelangt man wieder zu einer unbegrenzten Fortsetzung, wie sie doch unzulässig ist. Ist nun aber z w e i t e n s a teilbar durch 3, a = 3a', aber nicht gleich Null, in welchem Falle sich aus den Gleichungen (25) die teilerfremden Zahlen x, y gleich ± 1 , ^ 1 bzw., also die Lösung ® = ± 1 > y = -F 1 > » — 0 der Gleichung (24) ergäbe, so wäre 9a'(3a' 2 + b2) = «3, und 9 a, 3 a' 2 -f- b2 wären Kuben, insbesondere 3a' 2 + b2 = ( r 2 + 3s 2 ) 3 , also

b = r3 — 9 r s 2 ,

a ~ 3s(r 2 - s2) = 3s(r + s)(r -

s),

woraus 9a' = 27s(r + «)(r -

s),

d. i. s (r + s) (r — s) als ein Kubus hervorgeht; wegen der offenbar teilerfremden Faktoren müßte dann r + s » l3, r — s « m3, s 0 an-

kann.

Wäre dann für ein von 0 und 1 verschiedenes x = y3

+

x {x + 1) = 2 y 3 ,

oder

so müßte entweder x

= 2m 3 ,

x +

1 =

n3

oder x

+ 1 = 2m 3 ,

x =

n

3

,

mithin w3 ± 1 = 2 m 3 sein, was nach dem Vorigen unmöglich ist, außer für n = 1, m = 1, d. i. x = 1, bzw. n — 1, m = 0, d. h. x = 0. Da die Gleichung x(x + 1) = 2y % mit der andern (2® + l) 2 = 8 y

1

+

3

gleichbedeutend ist, so ist auch diese in ganzen Z a h l e n unlösbar, wenn man von den trivialen Lösungen x = 0, y •= 0; x — \, y — 1 absieht, in Übereinstimmung mit dem letzten Satze in Nr. 4, in welchem die Aussage über diese Gleichung als besonderer Fall enthalten ist. 8a. Nach

den

gleichen Prinzipien hat L e g e n d r e 1

U n l ö s b a r k e i t der a l l g e m e i n e r e n x3

in

ganzen

Zahlen

+

y3 — 2

bewiesen,

auch die

Gleichung m

• %3

sowie

verschiedene

Werte

des

K o e f f i z i e n t e n A angegeben, f ü r welche die G l e i c h u n g (24a)

x3

+

y3 — A • z

3

in ganzen Z a h l e n unlösbar sei; er erwähnt die Werte A — 3,5,6, doch den letzteren mit Unrecht, denn die Gleichung x3 + 1

y3

= 6 •

M6m. de l'Acad. des Sciences 1823 [1827].

8a. Die Gleichung x' + ya = 3 x3.

25

hat ganzzahlige Lösungen, z. B. x = 37, y = 17, % = 21. Hat aber eine Gleichung (24a) eine ganzzahlige Auflösung, so hat sie deren u n e n d l i c h viele. Denn sei a, b, e eine derselben, so ist bekanntlich a3 + b3 = a3 +

wenn man , _

a(26ä + a3)

a

a3-b3

b'3, _

¿>(2a3 + b3) a3 -

'

¿3

setzt; daher ergibt sich sofort eine neue Auflösung der Gleichung (24 a) in den ganzen Zahlen a{2b3 + a*),

-b{2as

+ b9),

e{a3-b3),

und nach derselben Regel aus jeder neu erhaltenen wieder eine neue Auflösung. Der einfache, von L e g e n d r e gegebene Beweis für die Unm ö g l i c h k e i t der G l e i c h u n g (25a)

x3 + y3 = S%3

in ganzen Zahlen x, y, die teilerfremd gedacht werden dürfen, sei hier noch mitgeteilt, da er keine anderen Grundlagen hat, als die Beweise der vorigen Nummern. Die evidente Auflösung % = 0, x = — y wird hier ausgeschlossen, also % von Null verschieden vorausgesetzt. Zunächst muß dann « durch 3 teilbar sein, denn die beiden Faktoren der linken Seite (26a)

x + y,

X

= x * - x y + y \

x + y

deren einer durch 3 aufgehen müßte, haben diesen Faktor nach Nr. 5 nur, wenn x + y ihn hat, und dann hat ihn auch der zweite Faktor und zwar genau einmal; da somit die linke Seite wenigstens durch 9 teilbar ist, muß « durch 3 aufgehen. Demnach kann, da sonst beide Faktoren teilerfremd sind, nur a; + y = (3a)8,

x2 - xy + y2 = Sb3

sein, wo nun z = Sab, b aber offenbar ungerade und prim zu 3a ist. Die zweite Gleichung schreibt sich wie folgt: (x - yf + 3 •

=

- yf + 3 • ( 9 a 3 f =

Ab3.

26

Das Fermatproblem.

Ist nun zuerst a u n g e r a d e , so ist's auch x — y\ b aber als Teiler eines Ausdrucks von der Form pz + Sq2 selbst von dieser Form; setzt man also (p + 9 V-3)3

= P +

QV^3,

wo P = p(p*-9q*),

3q(p*-q2),

Q =

so muß x - y + 9 a ' -

= (1 ±

also

3) ,

+

9a3 = Q ± P

sein, was jedoch nicht möglich, da Q durch 3 teilbar ist, P aber so wenig wie p durch 3 teilbar sein kann. Es m u ß also a gerade sein, daher auch x — y. Dann ist aber 9 a3

2

/

\ 2

und man erhält durch die gleiche Betrachtung wie zuvor 9a 8 also

2 ~ 9S

|

+ = Q = Bq • (p + q)(p -

q),

wo die Faktoren, da p, q ungleichnamig (mod. 2) sein müssen, teilerfremd sind; dieser Gleichung zufolge muß etwa 8

q = 12a ,

p + q = ß3,

p - q

=

ys,

a = 2a ßy sein, wo a, ß, y teilerfremd; daraus ergibt sich die Gleichung ß» -

y* = 3 • (2 a)

8

von derselben Art, wie die vorausgesetzte Gleichung und mit gerader rechter Seite, so daß eine descente infinie eintritt, welche die Unzulässigkeit der Voraussetzung erweist. 9. F ü r die U n m ö g l i c h k e i t der G l e i c h u n g (26)

x 5 + «/6 =

in ganzen Zahlen gaben L e g e n d r e und D i r i c h l e t Beweise.

9. Die Gleichung xs + y'° = x5.

27

Es ist auch hier leicht zu zeigen, daß eine der Zahlen x, y, % durch 5 teilbar sein müßte, der Fall I also unzulässig ist; wir werden dies später einer besonderen Quelle entnehmen. D i r i c h l e t s Beweis beschränkte sich nun anfangs nur auf den Fall, daß dann die durch 5 teilbare Zahl % zugleich die gerade Zahl sei. Darauf ergänzte L e g e n d r e 1 denselben durch eine besondere auf diesen Fall angelegte Analyse auch für den Fall eines ungeraden In einem Zusätze zu seiner ersten Arbeit zeigte dann D i r i c h l e t , wie auch dieser Fall auf die gleiche Grundlage wie der erste zurückgeführt werden kann. Diese besteht in zwei H i l f s s ä t z e n , welche er durch eine längere Reihe von einfachen Schlußfolgerungen gewinnt. E r s t e n s muß nämlich, um den Ausdruck p2 — 5 q2 mittels teilerfremder (mod. 2) inkongruenter Zahlen p, q, deren letztere durch 5 teilbar ist, zu einer durch 5 nicht teilbaren fünften Potenz zu machen, P + 9 V 5 = (r + « ß y

gesetzt werden, wobei r, s teilerfremd, (mod. 2) inkongruent, und r durch 5 nicht teilbar zu denken sind. Zweitens muß, wenn derselbe Ausdruck zum Vierfachen einer solchen Potenz werden soll, während p, q teilerfremde und ungerade Zahlen, q durch 5 teilbar sind, P + j J J

=

+

s/5j6

gesetzt werden, mit teilerfremden, ungeraden Zahlen r, s, deren erste durch 5 nicht teilbar ist. Diese Sätze sind ihrer Natur nach solche aus der Theorie des aus ]/5 gebildeten Zahlenkörpers und ergeben sich leicht aus ihr. Die ganzen Zahlen desselben sind nämlich die Zahlen

U

•

mit ganzen (mod. 2) kongruenten u, v, und der

¿t

Körper gehört noch wieder zu denjenigen quadratischen Zahlenkörpern, für welche das Gesetz der eindeutigen Zerlegbarkeit seiner Zahlen in Primfaktoren in Geltung ist. Soll also p

1

t^y^ 2

p

2

= -

pi-f>Q% 4

L e g e n d r e , th. des nombres, 2. Supplement.

28

Das Fermatproblem.

wo P, Q teilerfremd und ungerade, und Q = 0 (mod. 5), eine nicht durch 5 teilbare fünfte Potenz werden, so muß, da die Faktoren keinen gemeinsamen Faktor haben, indem ein solcher auch in Q ]/5 und in P aufgehen müßte, was nach den Voraussetzungen nicht der Fall ist, jeder Faktor für sich eine fünfte Potenz sein, also P+

QV 5

=

| r + s ]/5 j 6

mit den im zweiten Hilfssatze angegebenen Eigenschaften der Zahlen r, s. Ebenso ergibt sich der erste Hilfssatz, wenn P = 2p, Q — 2q, und p, q teilerfremd und ungleichnamig, und q durch 5 teilbar vorausgesetzt werden. Bei D i r i c h l e t s Beweis wird nun die G-leichung (26) als ein besonderer Fall der Gleichung (26a) x i + y i = Ax,i betrachtet, deren Unmöglichkeit für ganze Kategorien von Werten des Koeffizienten A dargetan w i r d u n d gezeigt, daß (26) auf einen dieser Fälle zurückführt. Jene Unmöglichkeit erhellt aber, indem D i r i c h l e t mittels der erwähnten zwei Hilfssätze aus der vorausgesetzten Gleichung (26 a) folgert, daß eine gewisse Form i 4 + 1 0 | V + 5»?4 eine fünfte Potenz sein müßte, und hieraus wieder, daß dann dieselbe Form, aber für wesentlich kleinere ganze Zahlen aufs neue eine solche Potenz werden muß, wodurch wieder ein unbegrenzter Fortgang hergestellt ist, der zu einem Widerspruch führt. Nach D i r i c h l e t hat dann L e b e s g u e 2 dieselbe Gleichung (26) behandelt und, gestützt auf die gleichen Hilfssätze, deren jener sich bedient hat, noch andere Kategorien von Werten des Koeffizienten A angegeben, für welche die Gleichung (26 a) unmöglich ist. Der Beweis, den D i r i c h l e t f ü r die U n m ö g l i c h k e i t der Gleichung x14 + y14 = x14 1 In einer Anmerkung zu seiner Abhandlung in Mem. de l'Acad. des Sciences [1827] gibt L e g e n d r e an, daß ein Herr L e j e u n e D i e t e r i c h (sie!) über Fälle der Unmöglichkeit der Gleichung (26 a) der Akademie Mitteilung gemacht habe; jedenfalls sind hier die Sätze der erwähnten Arbeit D i r i c h l e t s gemeint. * L e b e s g u e , Journ. des Math6m. 2, p. 49.

10. Neue Grundlage der Untersuchung.

29

gegeben hat, beruht auf ganz analoger Grundlage, nämlich auf dem (aus der Theorie des aus ]/— 7 gebildeten Körpers zu entnehmenden) Satze, daß, um P 2 + 7 Q 2 zu einer 14 ten Potenz zu machen, welche durch 7 nicht aufgeht und ungerade ist, P + Q V ^

= [r + s / ^ 7 )

1 4

zu setzen und r, s teilerfremd und ungleichnamig (mod. 2), r nicht durch 7 teilbar anzunehmen sind. Wollte man nun den allgemeinen Fall der Fermatschen Gleichung auf gleicher Grundlage wie für p = 3 und p = 5 (oder p = 14), also auf Grund der Formel (20) zu erledigen versuchen, so dürfte man wegen der komplizierten Zusammensetzung der Größen Y, Z aus den Zahlen y, x, die kaum allgemeine Schlüsse auf die zahlentheoretische Natur dieser Größen zulassen, wohl auf unüberwindliche Schwierigkeiten stoßen. Aber es tritt noch ein anderer Umstand hinzu, welcher diese Betrachtungsweise erschwert und ganz neue Erwägungen erfordern würde, der Umstand, daß für den allgemeinen Fall eines beliebigen Primzahlexponenten p der aus ^tp gebildete Zahlenkörper die Eigenschaft verliert, der zufolge eine eindeutige Zerlegbarkeit seiner Zahlen in Primfaktoren gleicher Art für ihn besteht; später werden wir Veranlassung haben, die hierdurch eintretenden Schwierigkeiten eingehend zu erörtern. Aus den angeführten Gründen hat man seither die ursprüngliche Richtung der Beweisversuche der Fermatschen Behauptung nicht weiter verfolgt. 10. Bei der Behandlung der allgemeinen Fermatschen Gleichung (27)

x» + yP + ZP = 0

für einen beliebigen Primzahlexponenten p w e r d e n wir n u n bis auf w e i t e r e s uns d u r c h w e g auf den F a l l i b e s c h r ä n k e n , also v o r a u s s e t z e n , daß die zu je zweien t e i l e r f i e m d e n Zahlen x, y, » durch p n i c h t t e i l b a r seien. Die beiden, schon sehr umständlichen Beweise, welche für den Exponenten p = 7 Lamé und Lebesgue gegeben haben, beruhen wieder auf einer gemeinsamen, aber anderen Grundlage, wie die Beweise von E u l e r und D i r i c h l e t für p = 3 und p = 5. Ihr Ausgangspunkt ist eine sehr allgemeine Formel, welche auch später mehrfach als Quelle verwertet ist, um Anhaltspunkte zur Erledigung des

30

Das Fermatproblem.

Fermat-Problems zu gewinnen, und aus der auch manche andere Ergebnisse fließen, die unabhängig von diesem ihren Wert haben. Sind nämlich i], f Unbestimmte und p z u n ä c h s t eine b e l i e b i g e u n g e r a d e Z a h l , so ist nach dem polynomischen Lehrsatze (i + v + & - ( - 1 + v + op - (i - v + ¥

=

- (i + v -

S" 0 - ( - 1 ) 0 -

!

- w -

er •

(a + ß + y = p) Da nun von den Zahlen a, ß, y, wenn sie nicht alle drei ungerade sind, zwei gerade sein müssen, verschwinden die Glieder der Summe, in denen dies der Fall ist, und die Gleichung geht in die folgende über:

=

(28)

l)!(2r + l)! • S " - 1 » 2 " - ^ * '

J2)i,+ l)l{2n+

welches die a l l g e m e i n e F o r m e l ist, die vorher gemeint war. Versteht man u n t e r x, y, % b e l i e b i g e ganze Z a h l e n und bestimmt | , rj, £ durch die Beziehungen x = - g + V + C,

?y = |

+

*= ! +

aus denen y + z

z + x

S - — 2 ~ '

2

„

'

x + y

~2

'

also i + t] + C = x + y + x hervorgeht, so gewinnt man aus der Formel die neue Gleichung [x + y + z)p —

= (29)

•(* + y)

+

+

xp — yf — %t m

+1),

g

j

,

(2

10. Ausdrücke für (x + y +

— xp — yp — xp .

31

oder kurz f

I|

(30)

+ y + %)p — x* — yp — %p 4p - 2T • (® + + *)(* +

x)-F{x,y,z),

wo F(x, y, x) eine homogene ganze Funktion von x, y, x vom Grade p — 3 ist. Aus ihr folgt, wenn * = 0 gesetzt wird, die andere Gleichung 4p p ¡yj«a;1" — y — (31) \x + y) -— x" - y» = ~ • «»(* + v) • A®»»)» 1 worin

^

- 2 * (2 A + 1)! ( ^ + 1 ! ) ! ( 2 , + 1)! • P-3

•

•

+

^

eine homogene Funktion von x, y vom Grade p — 3 ist. Hieraus ergeben sich speziell für p = 3, 5, 7 die Formeln {x + yf — x3 - y3 = 3 xy{x + y), {x + yf - x6 - y5 = bxy{x (a, + «/)' - s 7 - if = 7

+ y){x2 + xy + y2),

(» + «/) (a;2 + xy + i/ 2 ) 2 .

Hier zeigt sich ein Gesetz, welches Cauchy als allgemeingültig nachgewiesen hat, indem er folgende geistreiche Bemerkung gemacht hat 2 . Die Funktion

2

+ 2) 2

2

2

2

9 ^(p)

^ij» - 2) "

2

2

und durch Addition derselben, wenn man mit 2

die Summe der Koeffizienten in der Entwicklung (37) bezeichnet, die folgende Rekursionsgleichung: (38)

Nun findet man nach den Gleichungen (34) für @3, @6 die Werte - 3, 0, also @7 = 0, ©„ = - 3, @ n = 0, @13 = 0, 3 , so ist ©„ = 0, d. h. nach der Bedeutung der Koeffizienten

p-i 2

2

h

T1)-0'

12.

also auch

Ausdrücke für (x + y)p - %p - yp.

35

p-1

w

¿(-»-•i-Cr-r 1 )-®-

h = l

ß i e c k e , der iu einer in der Zeitschrift für Math. u. Physik, Bd. 34, S. 238 enthaltenen Notiz diese Beziehungen gegeben hat, hat auch darauf a ufmerksam gemacht, daß, wenn die Zahlen oc, y der Kongruenz (40)

(x + y)2 = xy

(mod. p)

genügen, die Gleichung (36) in die Kongruenz j>-i 2

f{x, y) = ^

. (* + y ) v - ( Ii = 1 ^ d. h. wegen (39) in

w - X

f(x, y) — 0

(mod. p)

übergeht.

(P ~hh_ 7

1

)

(mod.

P

U n t e r d i e s e r V o r a u s s e t z u n g ist also stets (x + y)p — xp — yP = 0

(mod. p2).

Ohne eine weitere Rechnung, wie die ß i e c k e sehen Betrachtungen sie in sich schließen, findet man aber dasselbe Resultat viel einfacher unmittelbar aus dem oben gegebenen Gesetze von Cauchy, denn die vorausgesetzte Kongruenz (40) ist identisch mit der anderen: x2 + x y + y2 s= 0

(mod. p),

und wenn dieser Ausdruck, der, mit p multipliziert, als Faktor von (X.+ y)P — x>' — yv erscheint, durch p aufgeht, so geht eben diese Größe selbst sogar durch p2 auf. 13. Wie die algebraischen Entwicklungen der letzten Nummern sich an die Gleichung (31) anschließen, so kann man an die allgemeinere Gleichung (29) ähnliche anfügen. Denkt man sich die drei Zahlen x, y, % als Wurzeln einer kubischen Gleichung so daß

u3 - Lu2 + Alu - N= L = x + y + «,

0,

M = yx + xx + xy,

N = xy x 3*

36

Das Fermatproblem.

zu setzen ist, so lassen sich die Summen gleicher Potenzen derselben: S. = a* + yi + x;, nach den Newtonschen Formeln berechnen, nach denen S^-L-S^+M-S^-N.St-O ist, und man erhält so einen neuen Ausdruck für [x + y + xY-xP-yv-

%r = L» -

Sp;

insbesondere ergeben sich die Gleichungen L - Sx = 0, L3 -

= 3{LM — N),

h

L - S6 = 5{LM-N){L*

-

M),

V - S7 = 7 [LM - N) ((L2 - M f - L N). Da nun L M - N = {x + y) {y + *) (* + x) Lz

M =

L* + x* + y* + z*

gefunden wird, so nehmen die drei letzten Gleichungen die Gestalt an: L s - Ä 3 = 3 (x + y) (y + *)(* + «), (41)

[-L2±*-+t±t

X » - S6 - 5 { x + y)iy + *).(* + *) U - 8, = 7 [x + y)(y + *)(* + «)

+

+

+

— Lxyx

Soweit g e l t e n die a l g e b r a i s c h e n E n t w i c k l u n g e n der l e t z t e n N u m m e r n f ü r i r g e n d w e l c h e ganze W e r t e von x, y, x. Von n u n an setzen wir a b e r x, y, z als eine m ö g l i c h e L ö s u n g der F e r m a t s c h e n G l e i c h u n g (42)

x* + y» +

- 0

in g a n z e n zu je zweien t e i l e r f r e m d e n , d u r c h p n i c h t t e i l b a r e n Z a h l e n v o r a u s , so daß nicht nur diese Gleichung, sondern

13. Algebraische Formeln und Folgerungen.

37

alle Abelachen Formeln des Falles I und ihre sämtlichen Konsequenzen für sie Bestand haben. Dann ist

und da aus der Gleichung (42) nach dem Fermatschen Lehrsätze '48)

X» + yt + z* ==xy

+ z

0

(mod. p)

gefolgert wird, erschließt man speziell für p = 3, 5, 7, daß die Ausdrücke L

3

- S3,

L5 - Ss,

L7 — S,

bzw. durch 33, 55, 77 aufgehen, daß also nach den Formeln (41) die Ausdrücke (x + y){y + x)(z + x)> (« + y)(y + %){x + x)-

L2 + x2 + y2 + z2 2

L 2 + a;2 + y2 + s 2 j — Lxyz 2

(« + y)(y + *)(* + «) • ((•

jedenfalls noch bzw. durch 3, 5, 7 teilbar sein müssen. Hier haben wir die oben erwähnte Quelle, aus der wir entnehmen können, daß der Fall I, falls p — 3 oder 5 ist, nicht möglich ist; denn der erste der Ausdrücke könnte nur dann durch 3 teilbar werden, wenn einer der Faktoren es wäre, was nach der Kongruenz (43) nur möglich ist, wenn bzw. z, x, y es wäre, gegen die Voraussetzung; aus gleichen Gründen könnte der zweite Ausdruck nur dann durch 5 teilbar sein, wenn entweder eine der Zahlen x, y, z durch 5 aufginge, was gegen die Voraussetzungen ist, oder wenn L* + x2 + y2 + z2, d. h. wegen L = 0 (mod. 5) wenn xl + y2 + x? durch 5 teilbar wäre, was, wie leicht zu sehen ist, wieder nur geschähe, wenn eine der Zahlen x, y, % durch 5 aufginge. Doch versagt diese Schlußweise schon für den Exponenten 7, in welchem man zu der Folgerung käme, daß der Ausdruck

durch 7 aufgehen müßte, was wegen L = 0 (mod. 7) auf die Teilbarkeit von x2 + y2 + z2 durch 7 hinausläuft; aber diese ist möglich,

38

Das Fermatproblem.

auch wenn alle x, y, x durch 7 nicht teilbar sind, z. B. für x = 1, y = 2, % = 3, Werte, die freilich aus anderen Gründen nicht zulässig wären. Daß aber auch für p = 7 der Fall I nicht statthaben kann, hat L e g e n d r e 1 mit Benutzung der Formel (20) aus der Kreisteilung gezeigt, welche für p = 7 2

4v7 = F + 7 • Z2

ergibt, worin, wie leicht gefunden wird, 7 = 2(y3 + *») - yz(y

+ «),

Z=

- *)

sind; da Z gerade ist, muß auch Y gerade sein, also

Da hiernach v ein Teiler der quadratischen Form A2 + 7 B2 ist, muß es bekanntlich die gleiche Form haben; setzt man also v = a2 + Tb2, so ergibt sich

aus welcher Gleichung sich Z als durch 7 teilbar findet. Da nun im Falle I yx durch 7 unteilbar, so kommt y = * (mod. 7), und ebenso findet sich x = x und x = y (mod. 7), demnach auch L = x + y + x = 3x = Sy = 3x

(mod. 7),

also, wegen L sss 0 (mod. 7) alle drei Zahlen x, y, x teilbar durch 7. Die gleiche Betrachtung ist aber für größere Primzahlen p im allgemeinen nicht mehr anwendbar. 14. Setzen wir R = x-v + y2f + Z?P,

so können wir diesem Ausdrucke gesetzten G l e i c h u n g

v e r m i t t e l s t der

xP + y» + xt = 0 1

Mim. de l'Acad. des Sc. 1823, p. 13.

voraus-

14. Der Ausdruck R = x 2 '' + y2p +

verschiedene Gestalten geben 1 . 2p

a?p 4. y*p + x

also

=

Zunächst ist

p p

{x" + y" + z )

7Í = — 2 (yp zp

39

- 2 [y* zp + x» y*

zp xp

+

x" yp)

p

yp).

xp yp).

Da zp xp + xp yv = ají xp yf + ypzp yp %p

x») = — x2p ,

= yv (xp +

= — y2p,

z?xp = zP (xp + y*) = — «2j'

igt, so erhält man ferner (44)

2

2

= 2 (z2p - x

R = 2 (a # - y» **) = 2 (j/ * -

Endlich, da x*p = (y* + x p f , y2p = [zp + xp)2,

z2p = (a¡* + ypf

ist, so findet sieh auch noch (45) R=2{y 2 p-j-y p xr+z 2 '>) = 2(z2p + z p x p + x2p) = 2(x 2 p j rx'>y p + y 2p ). Den Formeln (44) zufolge ist R teilbar durch jeden der drei Ausdrücke x% — y %, y2 — zx,

(46)

x'1 — xy,

nach den Formeln (45) aber auch durch jeden der drei Ausdrücke (47) y2 + yz + z2, x2 + zx x2, x2 -f xy + y2; um dies für den ersten von ihnen zu zeigen, genügt die Identität yZp

yPXP + Z2p — (yP + l _ xp + l}(yV-l __ xp-l) + yV-^ . zP-l . (y» + yx + Z2)-,

denn, sehen wir von dem Falle p = 3 gänzlich ab, so ist p = ± 1 (mod. 3), also einer der Faktoren des Produkts zur Rechten durch y* - x3 = {y - x)(y2 + y» + z2), die ganze Seite also durch y2 -f yx + x2 teilbar; in gleicher Weise bestätigt man die Aussage durch die beiden andern Formen (45) der 1 Vgl. zu dieser und der folgenden Nr. A. F l e c k , Miscellen zum großen Permatschen Theorem, in Sitzungsberichten der Berliner Math. Gesellschaft, 8. Jahrg. S. 133; desgl. auch 9. Jahrg. S. 50.

40

Das Fermatproblem.

Größe F. D e n A u s d r ü c k e n (47) sind wir s c h o n in Nr. 10 beg e g n e t : g e m ä ß der F o r m e l (31) d a s e l b s t und dem dort bew i e s e n e n G e s e t z e von C a u c h y sind die A u s d r ü c k e UP(P-1)

_

VV

= (y -)_ -IP-I _

t/P-i- %P .ä—L-* y+ * -4- X& — ,

u'P(P-1) — v'P = (z -4- x)P-1 v

U"P(P-D_

V"P =

,x ,

'

%+ x

v)P-i

_

x

" + y"

bzw. durch sie teilbar. Man n e n n e selben mit

n u n ® den

größten Teiler,

welchen

die-

L — x + y +% g e m e i n s a m haben, so daß man setzen kann ?/2 + y% +

I (48)

— © •a ,

z* + zx+x* '

und

= ®

B,

2

x* -(- xy + y = © • C L = x + y + x~®-S,

während A, B, G, S vier Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind. Dann ist aber auch jede einzelne der Zahlen A, B, C zu S teilerfremd, d. h. © i s t a u c h g r ö ß t e r g e m e i n s a m e r T e i l e r z w i s c h e n j e d e m e i n z e l n e n der A u s d r ü c k e (47) u n d L. In der Tat, hätten etwa A und S einen gemeinsamen Primteiler n, so folgte aus der Gleichung ®(A

-

B) = {y - x){x + y + «) = (y - x) • ©£,

d. i. aus A - B = («/ - x) • S, daß auch B diesen Primteiler % besäße, und in gleicher Weise aus - C) = [% - x){x + y + ») = (» - x)> ®S, daß ihn auch G hätte; demnach wäre nicht © der größte, sondern ©31 ein noch größerer gemeinsamer Teiler der Ausdrücke (47) und des Ausdrucks L, gegen die Voraussetzung.

15. Sätze von Fleck.

41

Aber A, B, C sind auch drei Zahlen ohne g e m e i n s a m e n Teiler, d. h. © ist auch der g r ö ß t e gemeinsame T e i l e r der drei A u s d r ü c k e (47). Denn hätten sie einen gemeinsamen Primteiler n, so würde, da dieser mit den Zahlen A, B, C selbst zu S prim sein müßte, aus den Gleichungen d. i. sich

®(J - B) = (y - x) • © S, A - B = (y - x) • S,

(49)

x=.y = z

®(A -

G) = (s - x) • ©S,

A — C — {z

-

x) • S

(mod. n)

ergeben, also nach der Gleichung x* + y? + xf = 0 auch 0 = 3 xf == 3

== 3

(mod. n),

d. h., da die teilerfremden Zahlen x, y, z nicht alle drei durch n aufgehen, sich % = 3 herausstellen. Aber auch dieser Wert des Primfabtors n ist unzulässig; denn da alsdann wegen (49) L = x + y + zaa 3x~

3y ss 3« — 0

(mod. 3)

würde, A, B, G aber zu i — 2° + 1 • » 2 ,

1 also Uf 4-, ,u'—' teilbar durch 2, ebenso u"P ——; die Kongruenz (mod. u u'u") u u besteht also auch noch (mod. 2 mm' m"), und damit ist die Gleichung (56) aufs neue begründet.

Könnte man nachweisen, daß es drei teilerfremde, durch p nicht teilbare Zahlen u, u , u" nicht gibt, für welche die Quotienten u'p

+ u"p

U"P

u

- UP

UP

-(- u'p

u

u

ganze Zahlen sind, so wäre damit die Unmöglichkeit der Fermatschen Gleichung im Falle I bewiesen. Aber auch wenn es solche Zahlen gibt, folgt daraus nicht ihre Möglichkeit. So ist in der Tat u = 1, u = 2, u" = 3 stets ein Tripel solcher Zahlen, da 2P + 1

'6P

3* + 1P 2

\P-\-2p 3

=

\P + (3 — 1)" 3

ganzzahlig sind; aber die Bedingung (54) erfordert 0=1? +2* +3f = 1 + 2 + 3 = 6

(mod. p),

also p = 3, und dann käme 1» + 2 3 + 3 S = 1 + 8 + 27 = 36 und nach den Formeln (52) x = - l + 18 = 17,

«/ = - 8 + 18 = 10,

für welche Zahlen offenbar die Gleichung xz + yz + nicht besteht.

= Q

« = - 2 7 + 18 = - 9 ,

17.

2P — 2 ,

D i e Quotienten

3P — 3

P

P

•

47

17. Setzt man in der allgemeinen Formel (28) g = y = £ = 1, so findet man die Gleichung 3 i

'-

3

,

p

(2A + l ) ! ( 2 p + 1 ) ! ( 2 » + 1)! A + (i + v = ^ p * J

und wenn man g = 2, 17 = £ = 1 einsetzt, die andere Gleichung: , - 2 p

2 k

;

_ 8 _ v [p - 1)! 2p ¿-1 (2 1 + l j ! ( 2 f i + 1)!(2 v + 1)!

=

die auch aus (29) hervorgeht durch eine jede der Substitutionen x = y = 1 oder x = y = i . Aus diesen Gleichungen lassen sich die bekannteren Ausdrücke für den Rest der genannten beiden Quotienten herleiten. Die Summe in (59) kann geschrieben werden wie folgt: V ¿s

(p-l)(p-2) V (p - 3)! 1-2-8 ' Z j ( 2 p + 1)1(2» + 1)1

(P ~ [2fi + 1 ) ! ( 2 » + 1)! P +

P — —2—j

I p —5 [? + * = 2

Vwm

(ff

1) (ff

2 ) (ff

3 ) (ff

4)

v

'¿Lj

1 2 - 3 - 4 - 5

+

(p - 5 ) ! {2 fi + 1)!(2» + p-7\

1)!

Nun ist aber für jede gerade Zahl n (61)

2- = (1 -

1)" - (1 -

lf = 2 - 2 '

\2(jl+

w!

1)!(2» n-2\

+ 1)! '

+ "= die vorige Summe also gleich der folgenden: 2 P

_

(ff-l)(ff-2)

2 +

1.2-3 (ff — l ) ( f f —

2)(p — 3 ) ( p — 4 ) •5

1 •2 • 3 • 4

+

48

Das Fermatproblem.

Faßt man daher die Gleichung (59) als Kongruenz (mod. p) auf, m> kommt: 3^—3 (62) — - — = 2* + | • + \• + • • • (mod. p), wo die Brüche in zahlentheoretischem Sinne zu deuten sind, nämlich die Socii (mod. p) ihrer Nenner bezeichnen. Ebenso ergibt sich aus (60) 2

*-

2

8

(p-i)(P-2) 1-2-3 ^ (p — l)(p — 2)(p — H)(p — 4) 1•2•3•4•5

,

2p

(63)

also die Kongruenz 2p o (64)

2 ( 1 + * + * + •..)

2p_6

+4

(mod. p),

wo bezüglich der Brüche das gleiche zu bemerken ist. Man kann diesen beiden Kongruenzen mannigfache andere Gestalt geben, worüber hier auf des Verfassers Niedere Zahlentheorie, Bd. I, S. 162/4 verwiesen sei. Wir führen nur zwei derselben noch an. Da in zahlen theoretischer Bedeutung

>+* + * + • • • +

s 0

(mod- f)

gefunden wird, folgt aus (64) sogleich der neue Ausdruck dieser Kongruenz (65)

---J— =

(mod. p).

+ 1

Da ferner SP = ( 2 + 1)*= 2 * +

(j)2*"a + ••• + {

^2 +1

ist, folgt — = — — - + 2* - 1 - i - 2* - 2 + • 2 (mod. p), p p p— 1 und aus dieser Beziehung zwischen den beiden Quotienten mit Rücksicht auf (62) noch folgende Kongruenz: 2P

(66)

'

~

2

=2?-' + |.2*-2+

•• •

'

p-

- • 2 1

(mod. p).

17. Ausdrucke des Quotienten

2P -

2

49

P

Diese Quotienten haben neuerdings für das Fermat-Problem besondere Bedeutung gewonnen durch einen Satz des Herrn W i e f e r i c h ; man hat deshalb versucht, für ihren Rest (mod. p) noch andere Ausdrücke zu gewinnen, um über ihre weitere Teilbarkeit durch p ein Urteil zu erhalten. Einen solchen, der auf die Kreisteilung führt, hat der Verfasser angegeben 1 . Man beachte die für jede ganze Zahl m göltige Beziehung: 2 hn

P— i sinw

2 h- i

— w - " - " sin P

2jzj

Um sie zu beweisen, setze man r = e * . wodurch die fragliche Summe gleich p~ 1 rmh — r - mh w-lii-l V = V >V».-l-2iW. ^¿¡J jßh y — h ft = 1 i^O ü = l wird; da hier die auf h bezügliche Summe, je nachdem m — 1 —2 i durch p teilbar ist oder nicht, gleich p — 1 oder gleich — 1, stets also s s — 1 (mod. p) ist, so läßt die Doppelsumme in der Tat den Rest — m (mod. p). Geht man nun aus von der Formel (65), der man mit Verwendung des Summenzeichens die Gestalt 2 * - 2

"-1

^ ( - l Y * = i

+

(mod. P )

geben kann, wo s' den Sozius (mod. p) zu s bedeutet, so wird . , 2hn />-i p-i sin« ..^izl« V(-i).. V t i=i h = i sm P

Da man aber in der auf h bezüglichen Summe diese Zahl irgend1

Journ. für Mathematik Bd. 142, S. 41.

Bachmano, Das Fennatproblem.

4

50

Das Fermatproblem.

ein Restsystem (mod. p) durchlaufen lassen kann, läßt sich dafür auch hs und . 2 A 7T sm 2»-2

h. sm • hn XT' • 2¿un

v v ^

p

P i-1)*

sm

2

hsn P

schreiben. Unterscheidet man jetzt die geraden Werte g und die ungeraden Werte u von s, so ist (-1)' ¿—t

*

.

sm

^ y

2 h s 7t

i

-¿J

.

_ y

2 hg n

g sm — - —

P

u sin

P

=

2

(

.

2I ho hg titi ~

..

g \v sm ——— p

= 2• y ^J

g

also wird

sm

2 h un P

2hlp — g)it 2h[p — — p —

— . 2hg 2h % sin p

X"1 . ¿un y sm

,.

i .

>

p

h

g

i — 2hgn sm .

oder (68)

{r

— — I'

"-

~

'mod- ^ •

*Tirzn 9

In dieser Formel ist die rechte Seite auf ihren reellen Bestandteil zu beschränken, indem der imaginäre von selbst verschwinden muß (mod.^). Die am angegebenen Orte gegebene Formel lautet (69)

— 2 !

( - 2 >'

i

'm0(L

ä

9

und scheint mit der vorigen nicht vereinbar; indessen ist auch sie richtig, aber ein neuer Ausdruck für eine andere der elementaren

2» - 2

17. Ausdrücke des Quotienten 2

— 1

Formeln, durch welche man den Rest von -— In der Tat kann man sie schreiben wie folgt: 21'- 1

r9i* — r ~

V

!>

=

- y r1' —

2

COS

r~h

ghn

~¿ j

'

p

g sm

.

-22 9

sm

hn P

sm

h

.

sm

*

sin

-*22 9

»

- cos 2

2

ghn P

ghn P

cos 2

sm

2

hn

hn P

[g' + .

p — 1

¿Lt

P

. 2 g'hn sin —

229

2

W — 1—h

-vi

2ghn

oder 1

P ghn

•«^"j

2 } / - 1

v^i

2ghn

2 •v^t r1' — r~k

-

f h

9

sm

2P->

- bestimmen kann.

V

1— 9 h

1

-

51

P

1) 2

2hn

hn

sin(' s= 0

(mod. p),

und nun aus (52) —

— u,

daher

Xß

y=—up~—u,

yp

also (77) oder auch

zis=—u"?

=== _ (Mi> _)_ u 'p +

(mod. p),

( m o d . p 2 ),

w '>)

u» + u'p + u"' = 0

(mod. p2),

L=x-\-y

(mod. p2).

+ x,= 0

u

Aus y + % == — x (mod. p2) folgt aber {y + %)* == — x" (mod. p3), d. h. 'mod. p3)

uf s s up v'

oder

[u p - ^

(mod. P3).

— Vi' == 0

Die linke Seite ist das Produkt S

L

Mf>-i

-

v),

dessen erster Faktor, wie aus Nr. 5 bekannt, nur dann durch p aufgehen kann, wenn es der zweite tut, und alsdann nur einmal; mithin schließt man aus der vorigen Kongruenz, und da v = 1 (mod. p2) ist, (78) also

(mod. p2),

u'-issvzsl u? == M

und

(mod. p*)

x 6p 8 , da sonst wegen x < 6j?3, y < z die Ungleichheit nicht bestünde. Die Zahlen x, y, z sind jedenfalls größer als Da ferner aus (82) (mod.i?3)

L = x + y + x,^ 0

folgt, so ist — + y (mod. also =& — (x + y)* (mod. p*) und statt (75) ergibt sich die genauere Kongruenz (x + y)p — x» — y f s 0

(mod. p*),

also der in Formel (31) auftretende Ausdruck f(x, y) durch pa teilbar. Der Symmetrie der Fermatschen Gleichung in bezug auf x, y, % wegen schließt man ebenso (y +

X)t'-Z"-

yP = 0 I } (mod. p*}. ( ; + xy> — X>' — %V r-z. o I Man erhält aus diesen Kongruenzen d e n ü b e r a u s w i c h t i g e n Satz: Sind x, y, % Z a h l e n des F a l l e s I, so l e i s t e n die sechs (mod. p3) „ x u x x y % . ... . genommenen Quotienten . sämtlich y x z x z y der K o n g r u e n z {t + 1)j> — f — 1 ss 0 (mod. p*) Genüge. 19. Aus den Kongruenzen (80) folgt (83)

yf~l - «J-1 =

P-I

y— %

Setzt man nun y — % = s, so ist yP-1 y— %

(z + s)?" 1 — ZP'1

_ «) == 0

(mod. p*).

19. Möglichkeit der F e r m a t s e h e n Gleichung.

57

G e h t y — z = s d u r c h j> a u f , so k a n n p in diesem Quotienten nicht es

aufgehen, da

rieht

tut, und ebensowenig x, weil sonst

gegen die Voraussetzungen auch y durch p teilbar wäre. Somit muß wegen (83) dann y s=z (mod. p3) sein, und da nach (79) auch x + y + % == 0 (mod. p3) ist, so folgt x= — 2», 0 = x" + yp + z* == (2 — 2p) %v (mod. p*), demnach 2>>-i — 1

(84)

= o

(mod. p3).

Eine Lösung, bei welcher die Kongruenz y = : (mod. p), oder allgemeiner eine der Kongruenzen (85)

y

x,

x s

x ~ x ,

y

(mod. p)

stattfindet, ist also nur möglich, wenn die Bedingung (84) erfüllt ist. Ist diese für die Primzahl p nicht erfüllt, so könnte demnach nur eine Lösung der F e r m a t s c h e n Gleichung vorhanden sein, bei welcher keine der Kongruenzen (85) stattfindet, und für eine solche müßten dann die drei Kongruenzen t/P-1 — Z»-1 — y — x

_ ai-1

. = 0,

— % — x

= 0,

XP-1 — UP'1 — x — y

3E 0

. , „, mod.p3)

zugleich erfüllt sein, deren dritte eine Folge der beiden ersten ist. Bestimmt man nun zwei Reste t. s (mod. ps) durch die Kongruenzen x = t • x.

y = s • ( m o d . p3),

wo nach den Voraussetzungen t, s weder Null noch Eins sein können, so müßten dieselben den Kongruenzen tp-1

1

-

t — 1

= 0,

SP-1

-

,

1

S -!-t 1

s O

(mod. p*)

genügen, oder von 1 verschiedene Wurzeln der Kongruenzen (86) sein.

fp

1

= 1,

s*-1 = 1

(mod. ps)

Da aber der F e r m a t s c h e n Gleichung zufolge 0

(p + s» + 1 == t + s + 1

(mod. p*)

58

Das Fermatproblem.

sein muß, ergibt sich, daß t eine gleichzeitige Wurzel der beiden Kongruenzen (86a)

i ^ s

(mod.i?3)

1,

oder eine Wurzel der folgenden Kongruenz {t

-f l)f -

f

1= 0

-

(mod.

p3)

sein muß, was auch aus dem Schlußsatze voriger Nummer hervorgeht, die aber weder 1, noch auch —1, — 2 , sein darf, da sonst bzw. s == 0, s s l , oder t == s würde, was letzteres gegen die Voraussetzung xss y (mod. p3) ergäbe. Die zweite der Kongruenzen (86 a) gibt entwickelt „ - ,

+

lr ~

i

und multipliziert mit t, t2. . ., t'J~2 mit Rücksicht auf die erste jener Kongruenzen die nachstehenden: p -

1

t*-* 2 J+

'p — 1 2

P p -

,-+

1 2

tP~

2

\P

1

(r-1).'-"+...+

+

_0,

( ' 7

1

l - o .

1

zu deren Bestehen zugleich mit der erstgenannten erforderlich ist, daß ihre Determinante •p

-

p -

1

\ P

l

-

l r

=

p - l

2

' p ( p - i

3

1

2 ir

p -

Ij, - 2 1

3 1

p -

4

1 i p - l

1

j>-

3

19. Möglichkeit der Fer matschen Gleichung.

durch p3 teilbar ist: (87)

PsO

59

(mod. p 3).

Der Wert dieser Determinante ist aber nach einem bekannten Satze, für welchen S t e r n 1 einen Beweis geliefert hat, gleich dem Produkte P = n (mod. w) vorhanden sein müssen, für welche (92)

r + 1

(>

(mod. %)

ist. Wenn daher irgendeine P r i m z a h l n = 2hp + 1 gefunden wird, für welche diese Tatsache nicht z u t r i f f t , so kann die Gleichung (90) keine g a n z z a h l i g e L ö s u n g besitzen, deren Elemente x, y, % durch % nicht t e i l b a r sind. Es bleibt also dann nur die Möglichkeit einer Lösung, bei welcher eins dieser Elemente durch n aufgeht. Unterscheiden wir nun wieder die beiden F ä l l e I und I I und bleiben zunächst in dem ersten von ihnen, in welchem die Zahlen x, y, % völlig symmetrisch auftreten, so dürfen wir etwa x als durch n teilbar voraussetzen. Diese Primzahl ginge dann entweder in u oder in v auf, und, wenn in v, so in keiner der Zahlen u, u', u", da sowohl u, v als auch x, y und x, z, also auch v, u und v, u" relative Primzahlen sind. Aus der ersten der Formeln (18a) folgt dann eine Kongruenz (93)

(-«)* +

+

U"

U"P

=s 0

(mod.

IT)

in nicht durch n teilbaren ganzen Zahlen — u, u, u", wie sie doch nach der Voraussetzung über die Primzahl % nicht möglich ist. Diese Annahme ist demnach unzulässig, und daher u als durch % teilbar vorauszusetzen. Nun ist aber

wenn y -f % = w = s gesetzt wird, und folglich 0p

'IjP I %,-P .= " - Z — ~ p - x,p-1

(mod. %),

}) + *

also auch op

• (z + x ) ^ - 1 s a p •

(mod. 7r),

woraus durch Erhebung zur 2 Aten Potenz ,,,'ihj,

ö

V.T-

1

1 — p2h . {U't-V}2ht =i

! l

• (u'P-1)"'

1

^ P2h

(mod-

Das Ferniatproblem.

62

hervorgeht. Man erschließt also als eine für das Vorhandensein einer der gedachten Lösungen notwendige Bedingung _p2Ä=l

(94)

(mod. n),

d. h. p m u ß P o t e n z r e s t der P r i m z a h l 7t sein. Und somit ergibt sich der wichtige Satz, welcher zuerst nach L e g e n d r e s Aussage von Sophie G e r m a i n , der ersten Frau, die in Zahlentheorie sich ausgezeichnet hat, ausgesprochen worden ist: Gibt es f ü r die P r i m z a h l p eine a n d e r e P r i m z a h l 7t = 2hp + l , f ü r welche keine der beiden K o n g r u e n z b e d i n g u n g e n (92), (94) e r f ü l l t ist, so ist die G l e i c h u n g (90) in g a n z e n , d u r c h p n i c h t t e i l b a r e n Zahlen u n l ö s b a r . Zu der Kongruenzbedingung (94) gelangt man leicht auch mit Hilfe der Relation (57). Ist nämlich n ein Primfaktor von u, so besteht die Kongruenz (93), welche sich auf die einfachere: u'n

reduziert und

-)- u"p == o

(mod. 7t) (mod. tt)

u'Zp^u"2"

ergibt. Die Relation (57) aber ergibt 1 , als Kongruenz (mod. n) aufgefaßt, da die Glieder der Summe zur Linken, welche u enthalten, unterdrückt werden können, und mit Beachtung vorstehender Kongruenz

+ *=

+ 1)! -

2

"~ 2 •

•

( m 0 d - «>'

'

d. h. nach den Ergebnissen in Nr. 17 einfacher u'i'(p~3)

= pp-i . pe

(mod.

Die Kongruenz zeigt zunächst, daß P nicht durch n aufgehen kann, und liefert daher durch Erhebung zur 2 h itsa Potenz 1 ==p2Mi.-l)

d. i.

p 2h==l 1

I (mod. 7t).

)

E. W e n d t , Journal f. Math. 113, S. 344.

20. Die Kongruenz xv + y1' + t p

-0

(mod. n = 2 hp +• 1).

63

Andererseits läßt sich die Kongruenzbedingung (92) durch eine anderslautende ersetzen. Aus (91) folgt nämlich, da g 2 '^ = g^- 1 hs 1,

(95}

v 2 k p = Tj"^ == 1 (mod. n)

sind, durch Erhebung zur 2 Aten Potenz 2 )p ( • * )

- * « — » -

-i- ( " » )

- •*•*-

2h

+

2 h

-

£" + 1 - 0 ,

1

aus welcher Kongruenz durch wiederholte Multiplikation mit mit Beachtung von (95) die folgenden hervorgehen: V

)

|(2/,-l,„ + | Q'J . + ( i i

+ ...+

1 . |P 12 h\

+ •••+

i

I

+

„

Ä

und 0,

I2h\

- f + U

zu deren Zusammenbestehen mit der ersteren notwendig ist, daß die Determinante l (?)•

C . V -

'

•

(?) 2A - 1

durch n teilbar ist, also (96) 1^ = 0

(mod. n).

Diese Bedingung folgt aus der Kongruenzbedingung (92), aber umgekehrt aus ihr auch die letztere, und daher sind sie einander äquivalent 1 . In der Tat ist nach einer Bemerkung in Nr. 19 der Wert der Determinante 2 h

1

S. E. W e n d t , a. a. 0 .

64

Das Fermatproblem.

wenn « eine primitive Wurzel der G l e i c h u n g et21' = 1 bezeichnet, und daraus folgt, daß auch A » = l | ( ( l + 7 f " ~ !)

(mod. TT)

ist, wenn y eine primitive Wurzel der K o n g r u e n z y'ih = 1, d. h. ein P o t e n z r e s t (mod. n) ist. Es muß daher, wenn (96) besteht, ein Fabtor dieses Produkts, (1 +

(mod. 7i),

d. h. 1 / ' ein _pter Potenzrest (mod. it) sein, und folglich ergibt sich zwischen zwei ptm Potenzresten r, + i v o r h a n d e n ist, welche in keiner der drei Zahlen n2h 1 A

h rß P — 11

a u f g e h t , so kann die F e r m a t s c h e G l e i c h u n g (90) keine anderen ganzzahligen L ö s u n g e n x, y, x h a b e n , als etwa eine solche, bei der eine der Zahlen, etwa x, gleichzeitig d u r c h % und p t e i l b a r ist, w ä h r e n d d a n n auch die S u m m e y + z der beiden a n d e r e n d u r c h n a u f g e h e n muß. 22. Der Legendresche (oder Sophie-Germainsche) Satz in Nr. 20 ergibt nun schon für eine ganze Reihe von Primzahlexponenten p die Unmöglichkeit der P e r matschen Gleichung unter den Voraussetzungen des Falles I. L e g e n d r e hat eine Tabelle gegeben, in welcher für jede Primzahl p < 100 eine Primzahl n = 2hp 4- 1 angegeben ist, welche die Voraussetzungen jenes Satzes erfüllt, so dab für alle solche Primzahlen p die Fermatsche Aussage im Falle I erwiesen ist. Aber L e g e n d r e hat noch mehr geleistet, nämlich gezeigt, daß, wenn für irgendeine Primzahl p eine der Linearformen 2/>+l,

4jp + 1 ,

8 ^ + 1,

10^ + 1,

14^5 + 1.

16p + 1

eine Primzahl % repräsentiert, die Fermatsche Gleichung im Falle 1 unlösbar ist; allerdings gilt sein Beweis, wie wir sehen werden, nicht in den Fällen 71 = 31 = 1 0 - 3 + 1 , n = 43 = 14 • 3 + 1, in welchen 2 10 - 1 durch 31, bzw. 2U - 1 durch 43

22. Folgerungen ans L e g e n d r e s Satz.

69

teilbar ist. Es genüge, die L e g e n d r e s c h e Aussage für die Linearformen 2 p 4 ^ + 1 zu erhärten; für die übrigen geschieht der Beweis in ganz analoger Weise. Ist n — 2 p + 1 Primzahl, so sind die pten Potenzreste (mod. n) die Wurzeln der Kongruenz y 2 = 1 (mod. a), also die Zahlen + 1 , — 1, deren keine, um 1 vermehrt, der. anderen kongruent ist; ebensowenig ist p einer dieser p t e n Potenzreste. Ist 71 = 4p + 1 Primzahl, so sind die pteu Potenzreste (mod. n) die Wurzeln der Kongruenz 1 oder (y2 — l)(y a + 1) = 0 (mod. n), 2 also, wenn 1 eine Wurzel von y + 1 = 0 bezeichnet, die vier Werte + 1, — 1, + A, — A, von denen keiner, um 1 vermehrt, einem anderen kongruent wird, außer wenn l = ± 2 und n = 5 ist, was für keine Primzahl p geschehen kann; außerdem ist p kein pteT Potenzrest (mod. 4p + 1), denn, da (4j>)*=1

(mod. 4p + 1).

so müßte, wenn p i = \ wäre, auch 4 4 = = 1 sein, oder 255 = den Primfaktor 4 p + 1 haben, was wieder nicht sein kann.

5-51

Dasselbe erkennt man auch auf Grund des letzten Satzes in Nr. 2 0 . wenn man für die Primzahlen 7t = 2p + 1 oder 4 p + 1 die zugehörige Determinante D2h bildet. Für die erstere ist sie

4 , 1, 4 , 6 1, 4 ,

6, 4

welche durch n = 4p + 1 nicht aufgeht, ebensowenig, wie p*-

1 = (/>* + 1)(P+

1)0» — 1),

Das Pennatprobleni.

70

was für die beiden letzten Faktoren einleuchtend ist, und für den ersten aus der Beziehung 16(j>»+ 1) + 2.(4 p + 1) = (4 p + lf + 17 hervorgeht. Infolge dieser Ergebnisse stellt man mit L e g e n d r e unschwer fest, daß die Fermatsche Gleichung für alle Primzahlexponenten p< 197 in ganzen, durch p nicht teilbaren Zahlen unlösbar ist. Aber in neuerer Zeit hat L. E. Dickson diese Grenze ganz erheblich erweitert, indem er die Konsequenzen der Legendreschen Kongruenzbedingungen tiefer verfolgte und a u s b e u t e t e W i r wollen von diesen Untersuchungen die leitenden Ideen und ihre wichtigsten Ergebnisse wenigstens hier anfügen. 23. Damit die Gleichung (90) eine Lösung in ganzen durch eine Primzahl % = 2hp + \ nicht teilbaren Zahlen besitze, ist. wie wir sahen, notwendig, daß die Kongruenz (91)

(mod. 7t)

in nicht durch n teilbaren

i/ bestehe.

|2hp==lt ist, so wird r =

( m o d. 5T)

die beiden Kongruenzen r2" == 1,

(99)

Da dann

[r + l)2'' = 1

(mod. n)

gleichzeitig befriedigen, also eine gemeinsame Wurzel derselben sein, welche weder Null noch — 1 sein kann, da weder | noch rj durch n aufgeht; und umgekehrt folgt aus jeder solchen gemeinsamen Lösung beider Kongruenzen ein Paar durch % nicht teilbarer Zahlen r„ welche der Kongruenz (91) genügen, und somit eine Auflösung der Kongruenz x p + y p + * p = 0 (mod. n) in ganzen durch % nicht teilbaren Zahlen. D em nach ist die Kong r u e n z b e d i n g u n g (91) und das System der b e i d e n Kong r u e n z e n (99) ä q u i v a l e n t . 1

Siehe zwei Arbeiten von D i c k s o n , On the least theorem of Fernuit, in the Messenger of Mathem., new series 1908, Nr. 445 und in Quarterly J. of Math. 1908, Nr. 157.

23. Untersuchungen von D i c k s o n .

71

Ist aber a e i n e solche Lösung von (99), so sind es gleich die s e c h s Ausdrücke (mod. n) (100) v

a,

- l - o ,

a

^ , —1 —a

- 1 - — ,

> a l + a

welche alle aus irgendeinem von ihnen hervorgehen, wenn man seinen reziproken Wert nimmt, oder sie von — 1 subtrahiert, und diese sechs Werte erweisen sich als inkongruent (mod. n), außer wenn a einen der Werte 1, — i , —2 hat, wenn also die Kongruenz 22" = 1

(101)

(mod. n)

stattfindet; denn die außerdem für die Kongruenz zweier derselben nur noch denkbare Beziehung a 2 + a + 1 ^ 0 (mod. n) oder a 3 = 1 würde, da a ein />ter Potenzrest, etwa as=gp ist, g 3 * == 1 ergeben, was in Verbindung mit | 2 a p = 1 wieder zu dem Werte « = 1 hinführt. Setzen wir also voraus, daß die Kongruenz (101) nicht erfüllt sei, d. h. 7i sei kein Primteiler der Zahl 22* -

(102)

1,

so müßten die Kongruenzen (99), wenn eine Gleichung (90) in ganzen durch n nicht teilbaren Zahlen bestünde, immer je sechs, wie bei (100) zusammengehörige Wurzeln besitzen. Der Ausdruck 6 t e n Grades, der sie zu Wurzeln hat, müßte ein Teiler von r11' — 1 (mod. n) sein, oder genauer von (108)

r3* — 1 r 2 - 1

I - ^ - 1 ^ - 1 + ^ - »+ . . . + ^

+

I

i _

i j,

da die Wurzeln von r 2 — 1 = 0 (mod. ji) sich nicht unter den Wurzeln (100) befinden. Für diesen Ausdruck erhält man aber, da er bei der Vertauschung von r mit bleiben muß, leicht die Form

1

r

und mit — 1 — r unverändert

r6 + 3 r 5 + br* + (2b - 5)r 3 + br2 + 3 r + 1 oder, wenn r + (104)

1

= o und ß = b — 3 gesetzt wird, die Form ^ + 3«* + ßg + 2 ß - 5 ,

72

Das Fermatproblem.

während durch dieselbe Substitution der Ausdruck (103) nach Abwerfen des Faktors rh ~ 1 in p*-t _

[h

_ 2)^-3 +

Z L Ä r ^ ^ - 6

+

...

(105) ^

1-2 ...Je

übergeht. Der letztere ist, wenn h ungerade ist, eine gerade, wenn h gerade ist, eine ungerade Funktion von o, also je nach diesen Fällen ein Ausdruck /"(p2) oder o • /(p 2 ); in ihm, oder vielmehr, wenn h gerade, in f((j2) müßte aber der Ausdruck (104) (mod. n) aufgehen, da (104) bei geradem

h

die Wurzel p nicht haben kann, denn aus

a

r +

-_-=()

8

ergäbe sich r = — 1, also (1 + r ) = 2r, und daraus 1 =(1 +

r

fh^22h-t2h,

also 22h = 1 (mod. n), gegen die Voraussetzung. auch der Ausdruck (106)

o3

- 3 p2 +

ß

p - (2 ß - 5)

Daher müßte in /"(p2)

(mod.

n)

als Faktor enthalten sein. Die Ausdrücke (104) und (106) haben aber nur dann einen gemeinsamen Teiler (mod. wenn ihn p2 +

ß

und

3 p2 + 2 ß - 5

haben, d.h. wenn ß = — 5 (mod. n) ist; aber alsdann zerfällt (104) in die beiden Faktoren (9* -

5)(p + 3),

welche demnach auch /'(p2) angehören müßten. weiter voraus, daß für die P r i m z a h l n — gruenz (107)

Setzen wir also 1 die Kon-

2hp-\-

A9) = (mod. n)

nicht s t a t t f i n d e , so sind die Ausdrücke (104) und (106) teilerfremd, und es ergibt sich als n o t w e n d i g e B e d i n g u n g für das Vorh a n d e n s e i n einer L ö s u n g der G l e i c h u n g (90) in g a n z e n

23. Untersuchungen von Dickaon.

73

daß /(»2)

durch n i c h t t e i l b a r e n Zahlen die B e d i n g u n g , durch das P r o d u k t [108)

V

+ (2/9 -

+ (ß* -

12/3 + 30) p 2 - (2/9 -

5)a

beider A u s d r ü c k e (104), (106) (mod. n) t e i l b a r sei. Auf dieser Grundlage kann man nun für jede Linearform n = 2 hp + 1, d. h. für jeden bestimmten Wert von h die Primzahlen p ermitteln, welche keine Lösung der Gleichung (90) in durch p nicht teilbaren Zahlen zulassen: es sind d i e j e n i g e n p, f ü r welche die L i n e a r f o r m eine P r i m z a h l wird, die n i c h t die eben gen a n n t e B e d i n g u n g e r f ü l l t , und auch die K o n g r u e n z (94) nicht b e f r i e d i g t , also kein Teiler von pih _ i

ist; die etwaigen Teiler dieser Art von (102) und (107) sind dabei auszuschließen. Die K o n g r u e n z (94) erweist sich noch als ä q u i v a l e n t mit der a n d e r n : (94 a)

(2 hf' = 1

(mod. n),

denn, da 2 äj» == — 1 (mod. n) ist, also (2 h)2h • p2h

1

(mod. 7i),

so ist jede der beiden Kongruenzen p2*==l,

(2 hf " = 1

(mod. n)

eine Folge der anderen. Ist insbesondere h gerade, also n = 1 (mod. 4), so ist nach dem quadratischen Reziprozitätsgesetze = n -1 also p 2 — p1' 1 (mod. n), und somit schon ph = 1 und (2 hf s 1

= 1,

(mod. n).

24. Sei z. B. h = 10, also die Linearform n = 20 p + 1, so wird 8

6

2

f{o*) = o - 8 (> + 21 Q* - 20 () + 5,

Das Fermatproblem.

74 also

f{ 9) = 5 - 1 1 - 4 1 und 2 2 0 — 1 = 3 • 5 2 • 1 1 • 31 • 4 1 . Um die Teiler von 20 1 0 — 1 zu finden, beachte man die Identität .°6 " f = („» + 3ab + 62)2 -5ab{a a — b

+ b)2.

aus welcher 205 _ i iy 205

+ it 1

1

= 461 2 — 1 0 0 - 2 1 2 = 251 - 1 1 • 6 1 , = 152381

hervorgeht; unter den Primteilern dieser' Zahlen kommt daher nur die eine Primzahl 61 = 20 • 3 + 1 von der betrachteten Linearform vor; mit Ausschluß dieser einen ist für alle Primzahlen von dieser Form die allgemeine Methode anwendbar und daher muß der Ausdruck (108) in f(Q2) (mod. n) aufgehen, oder der Rest der algebraischen Division, d. i. der Ausdruck (3 ßl - 8 ß) o 4 + (2 ß* - 21 ß2 + 52 ß - 25) (J2 + 5 - (2 ß - 1) (2 ß - 5)* (mod. n) gleich Null sein, es müßte also entweder ß = 0, also — 25 und 5 durch n teilbar sein, was nicht möglich, oder 3/9 = 8 (mod. %), was für den zweiten der Koeffizienten den Wert 61 und für den dritten den Wert 2 - 6 1 (mod. n) ergibt. Da die Primzahl 61 ausgeschlossen war, so erkennt man, daß die Teilbarkeit von f(o2) durch den Ausdruck (108) für keine der anderen Primzahlen der betrachteten Linearform möglich ist, und daß somit für alle Primzahlen p, für welche % = 2 0 ^ + 1 eine dieser Primzahlen wird, die Gleichung (90) in ganzen durch p nicht teilbaren Zahlen unmöglich ist. In analoger Weise, aber mit Anwendung mannigfacher besonderer Kunstgriffe und Hilfsmittel, die allgemeine Methode zu ergänzen oder zu ersetzen, hat D i c k s o n den Satz festgestellt: daß für jede Primzahl p, für welche eine der Linearformen:

24. Untersuchungen von D i c k s o n .

2p

1,

+

10j9 + 1

1,

16 p

8^+1,

(ausgen.

p

= 3,

n

75 +.

1,

= 31),

U p

+

1

1

V

p

= 3,

% —

43),

20 p

+

1

y

V

p

= 3,

71

61).

22 p

+

1

V V

p

= 3,

% = 67;

2 6 p +

1

\

p

= 3,5),

28 j» + 1

\

p

= 7),

V

= 3),

p

= 7),

p

= 5, 11, 1 7, 113, 227),

p

= 3. 7, 229, 337, 757)

3 2 p + 1

l

»

"

40 p + 1 56 je -f 1

l

64^ + 1

1

V

=

p = 31),

eine Primzahl ist, die Gleichung (90) in ganzen durch p nicht teilbaren Zahlen unlösbar ist. Da nun durch Rechnung sich weiter feststellen läßt, daß für alle 505 Primzahlen p < 1700 mit Ausnahme der folgenden elf: 197, 223, 257, 383, 389, 457, 569, 751, 1373, 1399, 1531 wenigstens eine Primzahl von einer der angegebenen Formen vorhanden ist, so gilt das F e r m a t s c h e Theorem im Falle I für alle Primzahlexponenten p < 1700, mit Ausnahme der elf angegebenen Werte. Aber auch für diese beweist es D i c k s o n teils nach der Methode von L e g e n d r e , teils mit Anwendung anderweitiger Kriterien, von denen wir noch zu sprechen haben werden. In der zweiten seiner oben angeführten Arbeiten hat er sodann seine Untersuchungen beträchtlich weiter geführt; doch sind sie trotz der erwähnten Hilfsmittel so kompliziert und umständlich, daß eine Kontrolle derselben äußerst mühevoll und beschwerlich ist. Als Gesamtergebnis derselben spricht D i c k s o n endlich den Satz aus: D a ß die G l e i c h u n g xp + yv + x» = 0 in g a n z e n d u r c h p n i c h t t e i l b a r e n Z a h l e n u n l ö s b a r ist f ü r a l l e P r i m z a h l e x p o n e n t e n p < 7000, a u s g e n o m m e n etwa f ü r p = 6857, wof ü r es n o c h zu e r w e i s e n b l e i b t .

76

Das Fermatprobleiu.

25. Könnte man nachweisen, daß es für jede Primzahl p unendlich viel Primzahlen n = 2h p + 1 gibt, welche nicht in der zugehörigen Determinante D 2 h aufgehen, oder, was dasselbe sagt, für welche die Kongruenzbedingungen (91) nicht erfüllt sind, so wäre damit der volle Beweis des F er matschen Theorems erbracht. Denn dann müßte bei einer etwaigen Lösung der Gleichung XP

+

+

yP

%P

=

0

nach dem Satze der Nr. 20 wenigstens eine der Zahlen x, y, % durch unendlich viel Primzahlen n teilbar sein, was ein Unding ist. Aber, wie schon L i b r i 1 ausgesprochen hat, ist im Gegenteil für jede Primzahl p nur eine endliche Menge solcher Primzahlen n vorhanden; in der Tat hat neuerdings D i c k s o n - den Beweis gegeben, daß f ü r jede Primzahl die K o n g r u e n z (109)

X» + y

+

z"

= 0

(mod.

n)

Lösungen in ganzen d u r c h n n i c h t t e i l b a r e n Zahlen zuläßt, daß also h ö c h s t e n s die P r i m z a h l e n u n t e r h a l b dieser Grenze zu den g e d a c h t e n P r i m z a h l e n n gehören. Es genügt für unser Vorhaben, dies für die Primzahlen % = 2hp + 1 zu erweisen; denn für Primzahlen n, welche diese Form nicht haben, d. h. für welche TT 1 und p teilerfremd sind, ist der Satz selbstverständlich3. Setzt man nämlich (n — 1) • r + p s = 1, so ist für jede durch n nicht teilbare Zahl x x = x(n - l l T +f = (x*y (mod. n); wählt man also drei durch n nicht teilbare Zahlen x, y, x so, daß x -f y + x == 0 (mod. n) wird, so besteht auch die Kongruenz (x-y + {y*)p

+

[z'Y

= 0

(mod. n).

1 L i b r i , Journ. f. Mathem. 9, S. 275. 'L D i c k s o n , Journ. f. Mathem. 135, S. 181. 3 Man darf h als nicht durch 3 teilbar voraussetzen, denn für eine Primzahl n = 6 k'p + 1 hat (109) die Lösung x = giw, y = g2'1', « = 1, wo g primitive Wurzel (mod. n).

77

25. Ein Satz von D i c k s o n .

Damit in jener Voraussetzung die Kongruenz (109) in ganzen durch n nicht teilbaren Zahlen lösbar sei, war Bedingung, daß für ebensolche Zahlen y die Kongruenz (109 a)

1+!* = ^

(mod. n)

oder, was dasselbe sagt, daß für zwei ganze Zahlen s, t, die der Reihe 0, 1, 2, . . . 2 h — 1 entnommen werden können, die Kongruenz (110)

1 +gp°==gpt

(mod. 7t),

in welcher g eine primitive Wurzel von n bedeutet, erfüllt sei. Diese Kongruenz ist ein spezieller Fall der allgemeineren: (111)

1 + gp'+i=sgpt+*

(mod. n),

in der i, k zwei Zahlen der Reihe 0, 1, 2 . . . p — 1 bezeichnen, und welche in der Lehre von der Kreisteilung eine wichtige Rolle spielt bei Aufstellung der Gleichungen, denen die Kreisteilungsperioden genügen 1 . Wir bezeichnen mit mf* die Anzahl der bezeichneten Wertsysteme s, t, für welche entsprechend dem bestimmten Wertsysteme i, k die Kongruenz (111) lösbar ist; m^) bezeichnet dann die Anzahl der gedachten Systeme s, t, welche der Kongruenz (110) genügen. U n s e r e A u f g a b e b e s t e h t also im Nachweise, wann immer «if) einen von Null v e r s c h i e d e n e n W e r t hat. Unter den Beziehungen, welche zwischen den m!k> bestehen, heben wir hier sogleich die folgenden heraus 2 : (112 1 )

+ m (k

(112 2) und

mir

+

...

=

+

2h.

= 1, 2, . . . p - 1)

+ mi0) + • • • +

, = 2h - 1 ,

_.(*) _ »Jjp-*)

also (112a) Auch ist leicht zu sehen, daß mf ] = m^

(113) 1 2

S. des Verfassers „Die Lehre von der Kreisteilung usw.", 15. Vorlesung. Ebendas. S. 201, Formel (6) und S. 203, Formel (11).

78

Das Fermatproblem.

ist. — Die Kreisteilungsperioden sind die Ausdrücke 2 h— 1 t ij, % = (= 0 (* = 0, 1, 2 , . . . p - l ) , wo r eine primitive Wurzel der Gleichung x1 = 1 bezeichnet; und wenn man, unter m eine primitive Wurzel der Gleichung x? = 1 verstehend, j>-i [ojm, r] = 2 c o k • •»/,, k=o setzt, so haben diese Ausdrücke die folgenden Eigenschaften: Wenn m + n ^ 0 (mod. p), so ist ) r] • ? r] [ « - + - , r]

^ LTO ind. p — im+n) ind. (1 + ^'

wo sich ind. fi auf den Modul n und seine primitive Wurzel g bezieht; wenn n $ 0 (mod. p) ist, so ist [ — 1 in einer gewissen Eeihenfolge an, und daher erhält m a n durch Summation über diese W e r t e von n 2

p 2

f —1 p — 1 ON0

= S

»1 = 1

S » ? "

p—l p—1 0

= (P -

. = 2 ,

d=l = 2h{p -

= 2A(p - 1) - 2(2A -

1) -

d=l

2

1 - »»(;)) = 2 h ( p - 3) + 2 » W + 2 ,

und durch Substitution in die voraufgehende Gleichung endlich n=l 3.0 = /> •

m( 0)

o +

2h

(p

-

3

) +

2

•

Wird nun auch die Ungleichheit (118) für alle Werte von n gebildet und die entstehenden Ungleichheiten addiert, so findet sich (p - l)(p - 2) • y ^ > (ff - 2)(p - 2) - P 2 • mW - 2 h p ( p - 3 1 - 2 p oder (120)

p2 •

> n - 3p + 1 - {p -

1 ){p -

2)Yn.

Aus dieser Ungleichheit zieht man daher den Schluß, daß die Zahl m(°> der Lösungen der Kongruenz (110) jedenfalls von Null verschieden, also Lösungen derselben und somit auch Lösungen der Kongruenz (109) in ganzen durch n nicht teilbaren Zahlen vorhanden sind, wenn n - S p + l > ( p - 1

)(p-2)VS

ist; durch Quadrieren folgt hieraus die gleichbedeutende Ungleichheit _ » . p + (Sjj - l) 2 ^ 0 , worin P zur Abkürzung steht für diese Bedingung ist aber jedenfalls erfüllt, wenn w o m i t die K i c h t i g k e i t des a u s g e s a g t e n S a t z e s b e w i e s e n ist. Sie i s t es um so m e h r , w e n n « = 2 hp + 1 > P— 1 ist, d. h. w e n n

2h >pa

B a c h m a n n , Das Fermatproblem.

- 6jd2 + 13jt> -

6. 6

82

Das Fennatproblem.

Bedenkt man schließlich, daß jeder Lösung der Kongruenz (110) eine Lösung f = g\ ~ gl der Kongruenz (109 a) entspricht, und daß aus dieser einen sofort p 2 entspringen, wenn man £= («,

v

ij

=gt+2l'v

= 0, 1, 2, • • •

p -

1)

setzt, so beträgt alsdann die Anzahl der Lösungen von (109a) in ganzen durch n nicht teilbaren Zahlen t] nach (120) mindestens

und weil wieder jeder Lösung f , i] der Kongruenz (109 a) je n — 1 Lösungen x, y, % der Kongruenz (109) entsprechen, indem man % = 1, 2, • • • n — 1;

y =

« =

x£,

— xt/

(mod. n)

setzt, wird dann die A n z a h l der L ö s u n g e n der K o n g r u e n z (109) in ganzen durch n n i c h t t e i l b a r e n Zahlen mindestens g l e i c h („ _ i ) [ „ + 1 _ Sp -

(p -

l ) ( p - 2)j/rä]

sein. Dickson hat auch die A u f g a b e behandelt, die endliche M e n g e der A u s n a h m e - P r i m z a h l e n % < P zu suchen, f ü r welche die K o n g r u e n z (109) oder die e i n f a c h e r e K o n g r u e n z 1 + ¡¡p == r\v

(mod. n)

keine durch n nicht teilbaren Lösungen zuläßt. Für solche Primzahlen % muß entweder g oder 1 + durch n aufgehen, und darf zudem 1 + ¡-f, wenn es nicht durch « aufgeht, kein piei Potenzrest, d. i. keine Wurzel der Kongruenz % 2 h ~ l , und muß daher eine Wurzel der Kongruenz •xf —1 — 1

f —1 -^T-Y = — i «=u

sein.

(mod. TT)

Für solche Primzahlen ist also die Kongruenz I • (1 + i p ) - ' 2 ( 1 + «=o

^ 0

eine für jede Zahl | notwendige Bedingung. dieser Bedingung hat Dickson

(mod. n) Durch eine Diskussion

gefunden, daß für p = 8 die Prim-

83

27. S c h u r s Beweis des Satzes von D i c k s o n .

zahlen n = 7, 13; für p = 5 die Primzahlen » = 1 1 , 41, 71, 101; für p = 7 die Primzahlen « = 29, 71, 113, 491 die einzigen Ausnahme-Primzahlen sind. Wenn es hiernach f ü r ein g e g e b e n e s p nur eine endliche Anzahl Primzahlen n = 2hp + 1 gibt, für welche die Kongruenz (109) k e i n e durch n nicht teilbaren Lösungen besitzt, so ist andererseits f ü r ein g e g e b e n e s h die Anzahl der Primzahlen n = 2 h p + 1, oder der Exponenten p, für welche sie eine durch n teilbare Lösung z u l ä ß t , nur eine endliche, denn nach dem Satze am Ende von Nr. 20 muß jede solche Primzahl ein Teiler von D2h sein, deren es nur eine endliche Menge gibt, da D2h von Null verschieden. 27. So sachgemäß der mitgeteilte Beweis des Dicksonschen Satzes auch ist, so umständliche Rechnungen erfordert er doch. Wir fügen daher einen sehr viel einfacheren hier an, welchen J . S c h u r 1 gegeben hat, indem er in scharfsinniger Weise das Stattfinden der Kongruenz (109) mit einem bemerkenswerten Satze der Kombinationslehre in Verbindung gebracht hat, aus welchem der Satz von Dickson sogleich zu erschließen ist. Allerdings ist die untere Grenze, welche D i c k s o n für die Primzahlen n gegeben hat, eine schärfere, als die von S c h u r , dafür gilt aber der Beweis des letzteren auch für Werte des Exponenten p , die keine Primzahlen sind; so lautet sein Satz folgendermaßen: Die K o n g r u e n z + ym = z'" (mod. ») ist in g a n z e n sobald

durch n nicht t e i l b a r e n Zahlen stets lösbar, n > e • ml + 1

ist, u n t e r e die B a s i s des n a t ü r l i c h e n L o g a r i t h m e n s y s t e m s verstanden. Und der H i l f s s a t z d e r K o m b i n a t i o n s l e h r e , aufweichen sich der Beweis für diese Behauptung gründet, sagt folgendes aus: V e r t e i l t m a n die Z a h l e n 1, 2, 3, • • • N i r g e n d w i e auf m Z e i l e n , so m ü s s e n , s o b a l d i V > e - w ! i s t , in m i n d e s t e n s e i n e r Zeile zwei Z a h l e n z u g l e i c h m i t i h r e r D i f f e r e n z vor1

J. S c h u r , Jahresbericht der D. Math. Verein. 25, S. 114.

6*

Das Fermatproblem.

84

kommen. Nehmen wir nämlich an, das Gegenteil sei der Fall, dann sei Zx eine Zeile, in der möglichst viele der Zahlen vorkommen, und « j , xi, • • • xni seien diese Zahlen nach der Größe geordnet; jedenfalls ist dann N ^ n ^ • m. Die w, — 1 Differenzen

(121)

x2 — x 1 ,

xs — x1 , • • • x,h

— Xj

sind Zahlen der Reihe 1 , 2 , - - gehören aber nach der Voraussetzung nicht zur Zeile Zx, verteilen sich also auf die übrigen m — 1 Zeilen. Nun sei wieder Z2 eine dieser Zeilen, die möglichst viele der Differenzen (121) in sich enthält, etwa die ro2 Differenzen (122)

xß -

xl ,

xy -

x1, • • •,

wobei a < ß < y < • • • gedacht werden. nl

— 1

Dann ist jedenfalls

m2 (m — 1 ) ;

und, wenn man die erste der Zahlen (122) von den übrigen abzieht, so kommen die Differenzen X

ß

X

—

a

J

X

r

~

X

"

'

'

' •

die sämtlich Zahlen der Reihe 1, 2, • • • N sind, nach der Voraussetzung weder in der Zeile Z2 noch in Z1 vor, und verteilen sich daher auf die übrigen m — 2 Zeilen. Wählt man unter den letzteren wieder eine Zeile Z3 aus, die möglichst viele jener Differenzen enthält, und ist deren Anzahl so findet man n2 -

1 ^ «g [m -

2),

und so fortfahrend eine Reihe ganzer Zahlen « j , « 2 , derart, daß n . -

1 ^

n.+1

(w -

•••

mit

i)

ist, und deren letzte n^ offenbar gleich 1 sein muß, da sonst das Verfahren noch fortgesetzt werden könnte. Hieraus aber ergibt sich n

i

{m -

,

n

i+1

—

¿)! ^

(m -

i -

1)!

L_ (m -

i)\ '

und durch Addition über die Werte des Index i —

>h

[m -

1)!

1

Jm -

1

1)!

+

(m - 2)!

1 +

' ' '

+

{m • , e • ml so gibt es nach dem Hilfssatze wenigstens in einer dieser Zeilen zwei Zahlen ru+am, rftJrßm, deren Differenz eine ihrer Zahlen r l i J r y m ist, also Tp + am d. h.

ffi + ßm " Tft+ym

gft+a» — g/i+ßi" 4. gn+y*

(mod. n),

oder (gy

= (/)'" + {gf)m

(mod. n),

also eine Lösung der Kongruenz (123)

xm + ym == xm

(mod. it)1

in ganzen durch n nicht teilbaren Zahlen. Wenn aber n — 1 nicht teilbar ist durch m, so sei d größter gemeinsamer Teiler von n — 1 und m. Dann gibt es, wenn 71 — 1 > e • ml also auch > c • dl ist, dem eben Bewiesenen zufolge eine Lösung der Kongruenz xd + yd = zd

(mod. 71)

1 Ist m eine ungerade Primzahl, so ist diese Kongruenz gleichbedeutend mit der andern: x™ + y'u + xm 0 (mod. 71).

Das Fermatproblem.

86

in ganzen Zahlen x, y, %, welche teilerfremd sind zu n.

Wenn aber

{n — 1) r + ms — d

gewählt wird, so ist Xa

-

r+ras

= x

folglich

m

y

|m

d

= y">",

xd = zm'

_ ¡-m ( moc l.

(mod. n),

?

wenn £ = x", r¡ — y, £ = x" gedacht wird; es gibt also auch .jetzt eine Lösung der Kongruenz (123) in ganzen durch n nicht teilbaren Zahlen. 28. Endlich hat das Wesentliche des Dicksonschen Satzes mit ganz elementaren, rein zahlentheoretischen Mitteln H u r w i t z bewiesen nicht nur für die Kongruenz xp

-f yp +

%P =

O (mod.

11),

sondern allgemeiner, für die Kongruenz axP

byr + czp = O (mod. n),

in welcher jene als besonderer Fall enthalten ist, also gezeigt, daß für alle Primzahlen n oberhalb einer endlichen Grenze diese Kongruenz stets Lösungen hat, die durch % nicht teilbar sind 1 . Man darf dabei von der endlichen Menge der Primzahlen n absehen, welche in den Koeffizienten a, b, c aufgehen, auch kann man sich auf die Primzahlen von der Form 2 hp + 1 oder, wie wir schreiben wollen, von der Form pq + 1 beschränken, da für alle anderen die Kongruenz immer Lösungen hat, welche durch n nicht teilbar sind, wie ebenso erhellt, als anfangs von Nr. 25 bemerkt worden ist. Bezeichnet dann g eine primitive Wurzel (mod. n), so kann man a = ga,

bssgü,

c=gr

(mod.«)

setzen, und die B e h a u p t u n g s p r i c h t sich d a n n so aus, daß die Kongruenz g/>i + a -f gPI+ß + gpt + r = O

(mod. w)

f ü r alle P r i m z a h l e n n—pg+1 oberhalb einer n u r von p a b h ä n g i g e n e n d l i c h e n Grenze s t e t s L ö s u n g e n »/, f zulasse. 1

Journ. f. Mathem. 136, 8. 272.

'28. Hurwitz' Verallgemeinerung des Satzes von D i c k s o n .

87

Man betrachtet nur inkongruente Lösungen (mod. n). also inkongruente Systeme //, £ (mod. n — 1). t)ie Anzahl 91 dieser Systeme drückt man einfach aus, wenn man eine Funktion w (*)

der ganzen Zahl z einführt, die gleich 1 ist, so oft s; durch n teilbar, gleich 0, so oft x durch n nicht teilbar ist; man erhält so die Bestimmung 21 =

+ gpv+ß + ^ f + r ) ,

die Summation über alle inkongruenten Systeme /;, £ (mod. n — 1) erstreckt. Da aber diese Systeme erhalten werden, wenn man I = + > ist niemals durch n teilbar. 1

a

gpti + Oj

Die Summe

gPh+Oz

aber geht dann und nur dann durch % auf, wenn a x - = p t 2 + a 2 -\

71—1 9—

(mod. it — 1),

also nur dann, wenn a1 = a2 (mod. p) ist, und dann entspricht jedem Werte von ein einziger Wert von t2, und somit wird dann [«,, ers] = -- • q\ man f i n d e t also: (127 a:

I Ol, «2] = 1 • I [«!,«,] = 0 ,

Wenn

«1 = a2 \ wenn f

(mod. p).

29. Allgemein gelten für das Symbol [ a v a 2 , • • • « ] folgende Gesetze: 1. Es ist offenbar symmetrisch in bezug auf seine Elemente, bleibt nämlich unverändert, wenn diese untereinander vertauscht werden. 2. Es ändert sich auch nicht, wenn seine Elemente durch andere, ihnen (mod. p) kongruente ersetzt werden. Denn offenbar darf man in (125) die Summationsbuchstaben tv t2, ••• te, unter kv kg beliebige ganze Zahlen verstanden, durch t.x + kv t2 + k2, • • • t + kri ersetzen; dies läuft aber darauf hinaus, a v a 2 , • • • « 0 um beliebige Vielfache von p zu verändern. 8. Offenbar ist ferner für jede ganze Zahl k [«!+*,

a, + Ä, • • • a g + Ar] = \ a v a 2 , • • • « J .

4. Faßt man in der Summe (125) die Glieder zusammen, die einem bestimmten Werte t entsprechen, so erhält man die Summe (gP'e

+

+ gfh' + '+a' + • • • + gpt'e

(128)

' + ae

1

+

(i/, -{- • • • + g?u, -f gP«i+& + . . .

/2, • • • a 2 +

h

- t

a

v

h

r

a

v k\•

wofür man aber den Bemerkungen 2. und 3. gemäß

'I • P [«!> « 2 1 [«3' »4] + 2 ( K ? k

2

h'

i uv

a

'l)

schreiben kann, und wo h' = k — h für jedes k zugleich mit h alle Beste 0, 1, 2, • • • p — 1 repräsentiert; da die Doppelsumme sich nach (132) gleich 2 [ f t > «3» O

• {1 - [«Ii "2]) = (ß - [»!> «2]) (? - [".r «4])

ergibt, so e r h ä l t m a n a l s o i>-1 2

A = 0

(133) = (JT -

+

«2 + h - "v

1) • [«!, « a ] • [«3, « 4 ] +

(q -

[a

v

ccj)

(q

- [«3, « J ) .

30. Dies vorausgeschickt, betrachten wir nun die Summe an,M

P - 1 =20> /i = 0

W

+ Ȁ,0];

wie das Symbol selbst, stellt sie, wenn sie nicht Null ist, eine positive ganze Zahl vor, deren Wert unverändert bleibt, wenn m, n durch

92

Das Fermatproblem.

irgendwelche ihnen imod. p) kongruente Zahlen ersetzt werden. besondere findet sich nach (132) %,m = «,,„, = q -

Ins-

[m,0],

und für die Summe 'mS =« 0. , . = m, h = 0

+ » M ] = h = 0 - [h, 0])

mit Beachtung von (127 a) der Wert (135)

a

n,0 + «n,l + " " * + an,p-1 =P9~

1= » - 2.

Bezeichnet man nun mit » „ die Summe A=0

i-1 = 2 [*>h + h, i,k = 0

n

h 0] • [k,h + m + n k, 0],

so läßt sich dieselbe mit Verwendung der vorbemerkten Eigenschaften des Symbols und der Formeln (131), (133) in die Form: V . = 2Tt [ ( L» +

!)[(» - ! ) * - « , 0 ] [ » * -

m,0]

— ßw — 1)fc— m, 0]) (q — 0 k — m, 0])] — q

überführen, aus welcher mit Beachtung von (127 a), wenn n weder = 0 noch = 1 (mod. p), die Gleichungen 8 sn

m

= (n — 4) q + n,

wenn m =s 0

(mod. p),

= (« — 4 ) ? ,

wenn m $ 0

(mod. p),

uder die folgenden Beziehungen < 0 + < 1 + ••• + < (l

P

- 1 ={n

n.O • an,m + «»,1 • a»,m+l + " " " +

a

n,p-1

~ 4)q + 71, " a„,m + p-1 = (« ~ 4) 1

[m = 1, 2, . . • p - 1) hervorgehen. (136)

Demnach wird, wenn nicht j l

Ko -

0 (mod. p) ist,

J 2 + K l - «„.m+i)8 + • • • + Kp-i =

31. H u r w i t z ' Verallgemeinerung des Satzes von D i c k s o n .

93

hierin findet sich a für einen bestimmten Wert des Index >• allein in den beiden Quadraten V 71, —T deren Summe gleich (a

(

a

n

, ) 2, n, m +

W'

a

.

(a

a

n, r + m

1

\

2

a

P , n, r>

i a

\1

n,r—m

2

— \ n, m—r

— n,r+m

\/

i

>

a 7t, r— m

2

I|

ist, und aus (136) folgt («.,r -

+ P

=71,

unter P eine nicht negative ganze Zahl verstanden, welche sogar positiv sein muß, da n Primzahl ist, also ergibt sich die Ungleichheit i— —

I V 71

+ a

(i ^
— 1 und addiert, so kommt wegen der Gleichung 9 - i

,

P-1

a n, r+rn -4an . r—m 1

n r

2

ro = 1

_L

-

a71' r - f m 4a n,r—m 1

^

.¿J m=0

und, da nach (135) p — 1 p — 1. —I a 2 * , r + » = 2 « r — = 2 vw s= 0 m=0 fc =0A = (137)

TT -

2

-

tp

-

1) V »

• a

B ) r


K ~ n, h = 0

n = 0

Für h

n

ß

+

»AjO].

ß (mod. p) wird für jedes n a

—

nß

+

nh

=

a

(mod.

p);

für unser

94

Das Feriuatproblem.

ist dagegen h ^ ß (mod. p), so durchläuft a — n.ß + n h zugleich mit n ein vollständiges Restsystem (mod. p), und so erhält man = v • i ß , o ] + 2' h

«= 0

2CÄ>k-o],

k

die Summation nach h nur über die Reste (mod. p) mit Ausschluß des Restes ß erstreckt. Mit Beachtung von (132) geht diese Gleichung in die folgende über: 2 > n , . - „ „ = p • [ß, «, 0 ] + Ä -

n = 0

2 -

q + [ß, 0 ]

und liefert gemäß den Werten a

o,a — 1 — [«, 0],

a

_ ß = q - [« - ß, 0] = q - [«, ß]

die neue Beziehung P • [ß, a, 0 ] = 2 « « , - - nß + 3 q - (n n=2

2) - [«, 0] - [«, ß] - [ß, 0 ] ,

oder, wenn noch a, ß durch a — y, ß — y ersetzt werden, die andere:

p-i n = 2

wo zur Abkürzung */ = [«,/?] + [ß,r]

+

l>,«]

gesetzt, also gleich 0, 1, 3 ist, je nachdem a, ß, y inkongruent, oder zwei unter ihnen, oder alle drei einander kongruent sind (mod. p). Da nun für die hier noch auftretende Summe gemäß des Ergebnisses (137) die beiden Grenzen

gefunden werden, erhält man endlich den Satz: F ü r d a s S y m b o l [a, ß, y] g e l t e n d i e 7t+

Ungleichheiten:

l)(p-2)-fii-pTi)2 hat, dann also auch

Seite durch (1 — «) 3 teilbar sein, und demnach eine der Zahlen etwa £ = x + y, und deshalb auch x3 + y3 = — z3,

muß

die rechte ij,

und folglich auch

; selbst durch 1 — o aufgehen. 1 Dieser Beweis ist in seinem Nachlasse gefunden und im 2. Bd. der ges. Werke S. 387 veröffentlicht worden; er dürfte etwa auf die Jahre 1808/9 zu datieren sein; s. des Verfassers „Über Gauss' zahlentheoretische Arbeiten" in Gauss W. X a , § 25. 1*

Das Fermatproblem.

100

Dies vorausgeschickt, sei x, y, x eine Lösung der Gleichung (13b..: bei welcher x durch 1 — q, also, da wir x, y, z als relative Primzahlen voraussetzen dürfen, x und y nicht durch 1 — p teilbar sind. Nun läßt eine durch 1 — p nicht teilbare Zahl x = a + Jp (mod. 3, einen der Reste + 1 , ± p, ± p2, also eine der Zahlen x, ox, o'l r einen der beiden Reste ± 1; da man aber in Gleichung (138) x durch (>x, o 2 x ersetzen darf, und da nach den Voraussetzungen x3 + y3 == 0

oder

y3 = — x3

(mod. 3)

ist, darf man offenbar die Zahlen x, y, z der vorausgesetzten Lösung so wählen, daß x = 1, y = — 1 (mod. 3) oder x = 1 + 'da,

y = - i + 3/9

wird, unter a, ß zwei komplexe ganze Zahlen verstanden. alsdann x

9 +J/92 =

1 + (p* _ p)(«p + ßo^

9-9-'

x +jy 9

—

= -

1 + (P2 -

i')(«»2

=

(o* - p)(« + ß) = C,

Setzt man

= A ,

+ ß9) = B .

so erhält man die Gleichungen (139)

J + B + C =

0

und (140)

A- B- C =

1

*

9 — 0I

sowie die beiden folgenden: x — — qA

+

(>2B,

y

=

o2A —

qB,

aus welchen folgt, daß A, B keinen gemeinsamen Teiler haben können, da diesen sonst auch x, y hätten, gegen die Voraussetzungen. Aus Gleichung (139) geht dann hervor, daß auch A, G und B, G teilerfremd sein müssen, und da das Produkt aus A, B, G nach (140) ein

35, Eigenschaften des Kreisteilungskörpers.

101

Kubus ist. müssen die drei Faktoren jeder für sich ein Kubus sein, etwa und wegen (139) i3 + Vs + C3 = 0; da hier C den Faktor 1 — o hat, mithin A, B diesen Faktor

nicht

enthalten, ist nach (140) £ ein Faktor von — • — - , der den Faktor 1 — o enthält, aber weniger oft als man kommt also von der vorausgesetzten Lösung der Gleichung (138) zu einer zweiten von ähnlicher Art, nur daß die durch 1 — (j teilbare Zahl diesen Faktor weniger oft enthält als in der ersten. Da man von ihr aus aber in gleicher Weise fortschließen kann, käme man endlich zu einer Lösung, bei der keine der Unbestimmten durch 1 — g mehr aufginge, wie es doch solcher Lösungen schon erwiesenermaßen keine gibt. Die G l e i c h u n g (138) i s t a l s o in g a n z e n k o m p l e x e n Z a h l e n a + bo unlösbar. 35. Die K u m m e r sehen Forschungen zum Fermatproblem, zu denen wir jetzt übergehen, haben nun außer den allgemeinen Sätzen der Körpertheorie, die wir voraufgeschickt, die gesamte Theorie des Kreisteilungskörpers und mannigfache besondere Sätze derselben zur Grundlage, deren mühsame Herleitung hier nicht wiedergegeben werden kann; wir müssen uns darauf beschränken, sie, wo wir ihrer bedürfen, einfach auszusprechen und als feststehende Tatsachen zu benutzen. Nur bei einer Reihe leichter zu erledigender Sätze wollen wir besseren Verständnisses halber noch etwas ausführlicher verweilen. Sei also p eine ungerade Primzahl und u eine primitive Wurzel der Gleichung cep = 1, d. h. eine Wurzel der Gleichung (141)

b"-1 +

+ • • • + « +

1 = 0 .

Alle Zahlen des aus der Einheitswurzel u erzeugten Kreisteilungskörpers £(«) sind dann von der Form f{a) = a + axa + aa«2 + • • • + aJ(_1 • a""1, mit ganzen oder gebrochenen rationalen Koeffizienten av je nachdem sie algebraisch ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers sind Setzt man (142) 1 — « = A,

102

Das Fermatproblem.

so kann man dafür offenbar, bei entsprechender anderer Bedeutung der Zeichen a., auch schreiben /'(«) = a + a , A + a , A 2 + • • • +

A""1.

Das Produkt der konjugierten Zahlen /"(«),

/"(a2),

heißt d i e N o r m v o n f{a\ nale Zahl,

/V),

/>(«*-')

in Zeichen Nf{u),

und ist stets eine ratio-

die sogar ganz ist, wenn f(a) selbst eine ganze Zahl des

Körpers bezeichnet. I s t d i e s e N o r m g l e i c h Einheit.

1 , so h e i ß t f(a) e i n e

Solcher gibt es im Körper im allgemeinen unendlich viele,

aber nach

lassen

sie sich

sämtlich auf eine endliche Anzahl von Fundamentaleinheiten

einem

allgemeinen Satze

von D i r i c h l e t

zurück-

führen, aus denen sie durch Multiplikation erhalten werden. können im Kreisteilungskörper unter den sogenannten

Letztere

Kreisteilung^-

einheiten gewählt werden, d. i. den Einheiten von der Form

g

M

iA1

=

--

--«

unter g eine primitive Wurzel (mod. p) verstanden, welche der Gleichungs{c/J) = s(«~') Genüge

leisten,

also

reell

sind.

Somit

S a t z e j e d e E i n h e i t i n $(«) v o n d e r (143)

wird

nach

Dirichlets

Form

E(a) = et" • E («)

s e i n , w o r i n E(«) e i n e r e e l l e E i n h e i t ,

also

E(«) = E ( « - ' ) ist, Aus der Gleichung xp

— l = (x tc — 1

—

a)(x

—

a2) • • • [x —

a'"1)

erhalten wir für x = 1 die Zerlegung 144)

p = (l - a ) ( l - « 2 ) - • -(1 - « " - 1 ) ;

1 — uk da aber -,— eine Einheit, von einer solchen abgesehen jeder der 1 — «

35. Eigenschaften des Kreisteilungskörpers.

103

Faktoren also dem ersten gleich ist, so wird p, von einer Einheit abgesehen, gleich (1 — « ) p _ 1 , oder das Ideal g p die p — l t e Potenz des Primideals g A = a,

also g p = n"^ 1

(145)

sein. Hiernach findet sich durch Erhebung von f(a) in die pte Potenz offenbar die Kongruenz f(a)'' = a*

(mod. a^)

d . h . der Satz: d a ß die pie P o t e n z j e d e r g a n z e n Z a h l in (mod. a*) e i n e r r a t i o n a l e n g a n z e n Z a h l k o n g r u e n t ist. Nach dem Ausdrucke für f(a) ist solche Zahl selbst (mod. a) einer rationalen ganzen Zahl kongruent; wenn sie aber auch (mod. et") einer solchen, und zwar durch a nicht teilbaren Zahl kongruent ist, soll sie eine p r i m ä r e 1 Zahl genannt werden. Es gilt der Satz, daß j e d e d u r c h a n i c h t t e i l b a r e ganze Zahl des K ö r p e r s d u r c h M u l t i p l i k a t i o n m i t e i n e r P o t e n z v o n u zu e i n e r p r i m ä r e n Z a h l gem a c h t w e r d e n k a n n . In der Tat, setzt man f{a) == a + Oj (1 — «)

(mod. a 2 ),

so wird u k • /'(«) = a a k + «j (1 — «) cek s

a (1 - (1 - a)Y + «H (1 - a) (1 - (1 - «))'

== a + (a, — ka)(l — u)

mod. a 2 );

wählt man daher k der Kongruenz ^ = ka (mod. p) gemäß, was möglich ist, da a durch 1 — a, also auch durch p nicht teilbar vorausgesetzt ist, so kommt ak • f(u) = o

(mod. a 2 ).

Eine Primzahl p soll r e g u l ä r heißen, wenn der zugehörige Kreisteilungskörper eine Klassenzah] h besitzt, welche nicht durch p teilbar ist. K u m m e r hat durch eine besondere Untersuchung, die mit zu dem Schönsten gehört von dem, was er geleistet hat, nach1 Kürzehalber wählen wir hier diesen Ausdruck statt des gebräuchlichen genaueren Ausdrucks s e m i p r i m ä r .

Daa Fermatproblem.

104

gewiesen, daß diese P r i m z a h l e n d i e j e n i g e n P r i m z a h l e n p sind, welche in keiner der ersten ^ ^

sogenannten

Bernoulli-

schen Zahlen '

ß

3 ' " ' " Hp-:-, 2

als Faktor e n t h a l t e n sind. Für die Kreisteilungskörper dieser Art gilt dann nachfolgender Satz, von dem wir bald werden Gebrauch zu machen haben: Ist eine E i n h e i t (mod. p) einer ganzen rationalen Zahl k o n g r u e n t , so ist sie die p te P o t e n z einer anderen Einheit. Die K u m m e r sehe Untersuchung ergibt ferner, daß die Klassenzahl des Kreisteilungskörpers nur e i n m a l durch eine Primzahl p teilbar ist, wenn diese nur in einer der genannten Bernoullischen Zahlen aufgeht, und umgekehrt. 36. Nunmehr sagt die Kummersche Behauptung, zu deren Beweis wir jetzt schreiten wollen, daß, sobald p eine reguläre P r i m z a h l ist, die G l e i c h u n g (146)

x» + yv + »P = 0

in ganzen Zahlen des z u g e h ö r i g e n K r e i s t e i l u n g s k ö r p e r s unlösbar ist. Den Fall p = 3, der bereits durch den vorstehend mitgeteilten Beweis von Gauss als erledigt angesehen werden kann; lassen wir dabei außer Betracht. Die Zahlen x, y, x können wir zu je zweien ohne gemeinsamen Zahlenfaktor voraussetzen, da ein solcher oifenbar auch der dritten gemeinsam sein müßte, seine pte Potenz also weggehoben werden könnte. Dann sind wieder die beiden Fälle I und II zu unterscheiden, in deren erstem v o r a u s g e s e t z t wird, es sei x, y, % eine L ö s u n g , bei w e l c h e r keine der drei Zahlen x. y, % durch a oder A = 1 — u t e i l b a r ist. Da in (146) nur die pten Potenzen vorkommen, also x, y, % mit jeder Potenz von u multipliziert werden können, darf man offenbar diese Zahlen nach voriger Nummer als primär voraussetzen. Die Gleichung (146) läßt sich nun schreiben wie folgt: (x + y)[x + ay){x + n^y) •••(«

+ a»-xy)

= (—

.

Man erkennt zunächst, daß je zwei Faktoren links keinen Zahlenfaktor

36. K u m m e r s Untersuchungen.

105

geraeinsam haben können; denn, ginge ein solcher sowohl in x -f amy als in / + c n ij auf, so auch in («*' — a")x,

(«'" — a n ) y .

und in

und wäre also entweder A = 1 — «, der Voraussetzung zuwider, daß » diesen Faktor nicht enthält, oder — wieder gegen die Voraussetzungen — ein gemeinsamer Zahlenfaktor von x, y. Ein gemeinsamer Idealteiler beider Faktoren, also auch von x, y, müßte in jedem Faktor zur Linken, also auch in x aufgehen, und, wenn man ihn weghebt, so erhält man eine Gleichung, in welcher nun die Faktoren links zu je zweien teilerfremd gedacht werden können, und, da ihr Produkt eine pte Potenz ist, jeder für sich eine solche sein müßte. Daraus folgen Gleichungen wie diese: x + y = \p • b (147)

x + «y

gesetzt wird, diese andern:

(£ + «* ••»/)• jp-1 = A • j* (fc= 1,2, •

-2),

aP~ 1y

x

•

, ,

Das Fermatproblem.

11Ü

welche ihrerseits in Verbindung mit den Gleichungen '150) die nachstehenden ergeben: (A")i

2

p)

Setzt man g_. = k, also g~i = k , g' = k?—2 ( m o d . p ) , also 2 2 mod. p ), so wird die Summe (mod. p ) kongruent mit V

g f

=

fc?^-2)

I— k: ti1

4=1

sanntlich die Summe Nun hat bekanntlich _

12m

+

22«

+

I

2

32»

+

. . .

+

n2v

den Wert

2m

+1

2

1

[ 1

versteht man also unter m den Wert

l 3 / 4

1 £i

un(j

so findet sich ^ i ) + i

= (_

i ) » + i . Bm • p

(mod.p2),

setzt

n

—

Das Fermatproblem.

116 und demzufolge

p • S = = ( - 1)'» (1 + rrir-2"

-

{r +

• Bm • p

(mod. p*).

und nach Division mit p S == ( - 1)"' (1 + r'f- 2s > - (r +

. ßm

(mod. p).

Für die B e r n o u l l i s c h e n Zahlen hat aber K u m m e r nachgewiesen', daß für alle Werte des Index n, welche keine Vielfachen von =

P

* sind, die Kongruenz

n

n +

an

stattfindet. Setzt mau hierin n = s, a = 2 s — 1, so ergibt sich leicht die Beziehung B. • 27

—(-

(m°d-

p) •

und folglich 1)*(1 + r p ~ 2 s — (r -j- l ) " -

2

')-^

(mod. p).

Die Kongruenz (159) verwandelt sich hierdurch endlich in die folgende: (> +

-

(- + ' ) ' - • • ) . £ - 0

(mod. „ .

Man kann aber die Zahl r, wenn anders p — 2s nicht gleich 1, also ,s- nicht gleich n ist, in der Reihe 1, 2, • • • p — 2 so wählen, daß 1 rp—2s _ ( r + i)i>-2. durch jo nicht teilbar wird; dies folgt für s > 1 aus dem Umstände, daß die Kongruenz 1

rj>-2*

_ ( r _). i)p-2» = o

(mod. p)

nicht mehr Wurzeln haben kann, als ihr Grad p — 2 s beträgt; für * = 1. würde r = 1 der Absicht genügen, da 2_2i>-2==0 in Verbindung mit 2p 1

1

(mod. p)

= 1 nur möglich, wenn 2 2 == 1 oder

Journ. f. Math, von C r e l l e Bd. 41, S. 371.

3 = 0

117

40. Ein Satz von M i r i m a n o f f .

luud. p). also p — 3 ist, ein Fall, von welchem wir absehen dürfen. Bei solcher Wahl von r ergibt sich dann die Kongruenz

^T^-SU-o

t-M.

welche für jeden Wert s aus der Reihe 1, 2, 3, • n — 1 bewiesen ist. Was so für die Zahlen x, y nachgewiesen ist, gilt offenbar, da x. y. x in der Gleichung (146) gleicherweise auftreten, in derselben Weise auch für jede andere Kombination von zweien dieser Zahlen also für die Systeme y, .«; x, z; x\ y, %\ %, y. Und demnach gilt schließlich folgender Satz: D a m i t die G l e i c h u n g (146) in r a t i o n a l e n , d u r c h p n i c h t t e i l b a r e n und r e l a t i v p r i m e n Z a h l e n x, y, ? a u f l ö s b a r sei, ist n o t w e n d i g , d a ß die % — \ K o n g r u e n z e n - 2 s log (x + cvyy)) " • B, = 0

(160)

dvP-

{ s = 1, 2,

(mod. p)

- 1)

f ü r j e d e s d e r sechs S y s t e m e x, y, y, x; x, befriedigt werden. 40. Man findet d 0 log(a; + e"y)

=

dv d0*log{x

y x + y

+ e"y)

dv2

=

'

xy \x + y)% '

"

d^ l o g (x + e"y)

%, x;- y, x; %f y

=

3

x2y-xy2 (x + y):i '

dv

und allgemein d^logjx

+ eiy) dv'

=

F((x,y) (x -f- yf

'

wu P.{x, y) eine ganze homogene Funktion von x, y von der »,en Dimension ist, welche für i > 1 durch xy teilbar ist, so daß. wenn man P.(x, y) = x< • P.(l, t)

oder kurz

= C • P{t)

Das Fermatproblem.

118

schreibt, P.(t) die Form hat m

=

%

* +

«

;

2

+

•

• • • +

Zudem sieht man leicht, daß

also für ungerade Werte des Index i m

y] = 0

ist, d. h. P. (t) = O hat die Wurzel t = 1; also ist für ungerade i die Funktion P.(t) durch ¿(1 — t) teilbar. Durch Rechnung findet man insbesondere: P3{t) = P5(t) = t -

t-t*,

11

+ HiS _

^

P7 (t) = t - 571* + 3021 3 - 3021* + 57 tb P9(t) = ¿ —247 ¿2 + 4 2 9 3 ¿3 — 1 5 6 1 9 ¿ é + 1 5 6 1 9 ¿ 5 —4293¿fl + 247í 7 — . Hiernach kann dem K u m m e r sehen Kriterium auch folgender Ausdruck gegeben werden: hat die G l e i c h u n g (146) eine A u f l ö s u n g in ganzen." durch p n i c h t t e i l b a r e n , r e l a t i v primen Zahlen x, y, z, so müssen die sechs V e r h ä l t n i s s e *~

x

y >

y

x

i

x

% )

x

y


z

x

y

den ti — 1 K o n g r u e n z e n (161)

P,_ (s a=.( - 1 ) S e t z t m a n n u n f ü r j e d e n W e r t des I n d e x i ,f.(t) = t - 2 ' - 1 / 2 + 3 ' - 1 fS

+ ( - \)p~2(p

iff-1,

- l)«->

so bilden diese Funktionen (mod. p) einen Zyklus von p — 1 Funktionen -• '

indem allgemein rp. (fl

• f% +

• AT^A

+ (ni)Alfl.A(?-l)f2+

•A

t

f

2 +

...

fl-A