Commentaires sur les livres 5 et 6 de l'Almageste 8821000915, 9788821000911

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STUDI

E TESTI 54

COMMENTAIRES

DE PAPPES ET DE THÉON D’ALEXANDRIE SUR t ’ALMAGSSTE Texte établi et annoté

PAR A.

ROME

Professeur à l’Université de Louvain

TOME I

Pappus d’Alexandrie Commentaire sur les livres 5 et 6 d el’Almageste

ROMA B iblioteca A postolica V aticana

1931

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STUDI

E

TESTI

54

COMMENTAIRES

DE PAPPUS ET DE THÉON D’ALEXANDRIE SUR

L ’ A L MA G E S T I E

Texte établi et annoté PAR

A. ROM E Professeur à V Université de Louvain

TOME I

Pappus d’Alexandrie Commentaire sur les livres 5 et 6 de VAlmageste

ROMA B iblioteca A postolica V aticana 1931

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D E S P R E S S E S D E J . D E M E E S T E R E T F IL S , W E T T E R E N (B E LG IQ U E)

Ristampa Anastatica 1967

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Table des Matières Pages I ntroduction

.........................................................................................

v

§ 1. Notes sur Pappus d’Alexandrie .......................................... v 1. L ’édition de 1538 du Commentaire surl’Almageste . v 2. T ra d u c tio n s................................................................... vi 3. Éditions amorcées ........................................................... vu 4. Renseignements nouveaux sur P a p p u s ................. ■ . . v in 5. Date de P a p p u s ........................................................... x 6. L’Introduction à l ’Almageste .......................................... xm 7. Étendue du Commentaire de Pappus ....................... xvix 8. Division de l’Almageste en t h é o r è m e s .................. xviii 9. Numérotation des figures . . . . . . . . . . xx § 2. Le texte du Commentaire ................................................... 1. Liste sommaire des manuscrits et de leurs sigles . . . 2. Classement des manuscrits .......................................... 3. Principes de l’établissement du texte . ..................... Mode

d ’emploi des tables astronomiques de

P tolémée

(Aim., p. 134) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

xxï xxm x x iv

. . . xxvm

§ 1. Table des cordes (Aim., p. 48) ..................... .................... § 2. Table des ascensions droites et obliques du zodiaque § § § § § § § § §

xxï

x x ix

xxx

Table des distances zénithales du zodiaque (Aim., p. 174) xxx Table du mouvement moyen du soleil (Aim., p. 210) xxxii Table de l’anomalie solaire (Aim., p. 253) xxxvii Table des mouvements moyens de la lune (Aim., p.282)x x x v n i Table générale de l ’anomalie lunaire (Aim., p. 390) . . xliii Table des parallaxes (Aim., p. 442) .............................. xlv Reconstruction de la table facile des parallaxes. . . xlix Table des syzygies (Aim., p. 466) . . . . . . . . . . lvi Table des éclipses (Aim., p. 519) .................................. u xv

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IV

Commentaire de P appus

sur le

5e L ivre

de l ’A lmageste

. . . .

Chapitre 1 (Aim., p. 3 5 0 ) ........................................................................ Chapitre 2 (Ahn., p. 3 5 4 ) ........................................................................ Chapitre 5 (Aim., p. 3 6 7 ) ........................................................................ Chapitre 6 (Aim., p. 3 8 0 ) ........................................................................ Chapitre 7 (Aim., p. 3 8 3 ) ........................................................................ Chapitre 9 (A!m., p. 3 9 0 ) ........................................................................ Chapitre 10 (Aim., p.3 9 4 ) ..................................................................... Chapitre 11 (Aim., p.4 0 1 ) ..................................................................... Chapitre 12 (Aim., p.4 0 3 ) ..................................................................... Chapitre 13 (Aim., p.4 0 8 ) ..................................................................... Chapitre 14 (Aim., p. 416) Chapitre 15 (Aim., p.4 2 2 ) ..................................................................... Chapitre 16 (Aim., p. 426) Chapitre 17 (Aim., p.4 2 7 ) ..................................................................... Chapitre 19 (Aim., p. 444) Commentaire de P appus

sur le

6elivre

de l ’A lmageste

. . . .

1 1 17 26 38 44 49 52 66 69 78 87 106 109 110 115 171

Chapitre 1 (Aim., p. 4 6 1 ) .............................................................................171 Chapitre 2 (Aim., p. 4 6 2 ) ..................................... 174 Chapitre 4 (Aim., p. 4 7 2 ) ........................................................................ 180 Chapitre 5 (Aim., p. 4 7 6 ) ....................................................................... 184 Chapitre 6, première partie (Aim.,p. 4 8 5 ) ........................................ 209 Chapitre 6, seconde partie (Ahn., p.4 8 9 ) ...................... 220 Chapitre 7 (Aim., p. 4 9 9 ) ........................................................................ 239 Chapitre 9 (Aim., p. 5 2 3 ) ........................................................................ 269 Chapitre 10 (Aim., p. 5 2 7 ) .................................................................... 292 Chapitre 11 (Aim., p. 5 3 5 ) ................................................................ 309 N . B. On trouvera les index à la fin du dernier volume.

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Introduction § 1. N otes

sur

P a ppu s

d ’A lex an d r ie .

1. L’édition de 1538 du Commentaire sur l ’Alm ageste. Le sixième livre du Commentaire de Pappus sur l’Almageste n’a pas encore été imprimé jusqu’à cette heure. Le cinquième l’est depuis longtemps, en même temps que le Commentaire de Théon d’Alexan­ drie, et à la suite d’une Almageste intitulée : Κλ. Πτολεμαίου μεγά­ λης συντάξεως βιβλ. ιγ. Θέωνος άλεξανδρέως εις τα αυτά υπομνημάτων βιβλ. ια. Claudii P tolemaei Magnae Constructionis, id est, Per­ fectae coelestium motuum pertractationis lib. xiij. T heonis A lexan ­ d r in i in eosdem commentariorum lib. xf. Basileae. Apud Ioannem W alderum an. m d x x x viii . Cum Privilegio Caesareo ad Quinquen­ nium. pp. 327 +425 in-fol. La partie contenant Théon et Pappus a une pagination spéciale et un titre particulier : Θέωνος άλεξανδρέως είς την τοϋ Πτολεμαίου μεγάλην σύνταξιν υπομνημάτων βιβλ. ια. T heonis A lexandrini in Claudii Ptolemaei magnam constructionem commentariorum lib. xf. Basileae. Apud Ioannem Vualderum. Il existe de cette édition assez rare un tirage sur vélin très rare ; La Bibliothèque Vaticane, la Bibliothèque de Saint-Marc à Venise et la Bibliothèque Nationale de Paris en possèdent un exemplaire. La préface de l’Almageste est de Grynaeus, et commence par une dédicace à Henri V III d’Angleterre. La seule chose intéressante qu’elle contienne, est que son auteur s’attribue l’édition de Théon également : « Ego certe in his authoribus conquirendis edendisque... » Or, l’édition de Théon, dédiée au sénat de Nuremberg, est de Camera­ rius. Faut-il en conclure, que tout est de Camerarius, même la pré­ face de Grynaeus? 1 (1) Cette opinion est soutenue dans une note manuscrite anonyme, ajou­ tée à l’exemplaire du British. Museum (521 k 3).

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VI

Camerariüs travaillait fort vite 1 : en 1535, il achevait d’imprimer le Tetrabiblos de Ptolémée à Nuremberg. En 1538, sortait de presse l ’Almageste avec Théon et Pappus. Il est vrai que tout son travail semble avoir consisté à rédiger une préface, et pour le reste, laisser les typographes s’arranger comme ils le pouvaient avec un codex ancien. Ils ont fait les transcriptions les plus inattendues d’abré­ viations toutes ordinaires ; et l’on n’a jamais essayé de combler les lacunes du manuscrit, même lorsque celui-ci indiquait bien clairement — cela arrive fréquemment dans la seconde partie du Commentaire de Théon — où l’on pouvait trouver le passage manquant : On s’est contenté d’en insérer l’avis, qui perd tout sens, puisque dans l’impres­ sion correspondante de l’Almageste, on a supprimé les gloses mar­ ginales, et que c’était là qu’il fallait chercher. Le manuscrit ainsi reproduit se trouve encore à Nuremberg 2 : c’est celui que Bessarion donna à Regiomontanus. La préface de Camerarius permet de le reconnaître facilement, et nous n’avons, sur l’histoire de cette édition, aucun détail à ajouter à ceux que raconte Manitius dans l’introduction de sa traduction allemande de l’Almageste 3. 2. T rad u ctio n s. Dans le dernier volume de la présente publica­ tion, lorsque nous exposerons sur quoi se fonde notre texte, nous parlerons du plagiat de G eorges d e T rébizonde , et des versions latines de Théon. Parmi ces dernières, nous en connaissons deux qui contiennent le 5e livre de Pappus. L’une est de D avid d e Saint -Clair (xvie .s.). On la trouve dans Par. lat. 7264. Elle est la traduction de l’édition de Bâle 1538, qui s’y trouve reproduite jusque dans les moindres détails. L ’autre est de J.-B.TEOFiLi,d’Urbin (xvie s.). Elle dépend d’un ma­ nuscrit que nous n’avons pas retrouvé, mais qui fait partie de ce que nous appellerons le groupe I 4. On peut la lire dans Par. lat. 7263. Il existe de ce manuscrit deux copies actuellement perdues, qui se sont trouvées dans la bibliothèque du prince B. Boncompagni, cotées (1 ) On tr o u v e r a la lis te de ses œ u v re s d a n s F a b r ic iu s , Bibliotheca graeca (ed. 1726) t . XIII, p . 506 à 532. (2) Nuremberg, Stadtbibliothek, Cent. 5, 8 app. 2°. (3) P t o l e m r u s , Handbuch der Astronomie, übersetzt und erklàrt von K· Manitius. Leipzig, Teubner, 1912, vol. 1, pp. xvi sqq. (4) Voir plus loin, p. xxm sqq..

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VII

218 et 219 dans le catalogue de E. Narducci L’une de ces copies a une histoire que nous dirons dans la préface de Théon. Le catalogue de Narducci nous apprend que dans le n° 218 sont encartées huit pages d’impression, qui seraient, d’après une lettre jointe au même codex, et datée de Florence, 29 septembre 1703, extraites de la version publiée par Marchetti, lettore in Pisa. Cette lettre a tra it à la version de Teofili. Nous n’avons pas encore rencontré la version de Marchetti. Il est possible qu’elle ait contenu le 5e livre de Pappus, et même le 6e, si le traducteur a dis­ posé des manuscrits de Florence. Mais comme le codex Boncompagni 218 reste introuvable 12 nous ne savons même pas si ces feuilles imprimées ne sont pas tout simplement un cahier de la version de J.-B. P orta (Naples 1605) dont nous n’avons pas à parler ici,parce qu’elle ne contient que le premier livre de Théon. La notice de F rancesco M archetti , Vita e poesie d’Alessandro Marchetti da Pistoja, filosofo e matematico della celebre Università di Pisa, Venise, 1755, pp. 160 in-4°, nous apprend, p. 51, que Marchetti, sur la fin de ses jours, a travaillé à une traduction avec notes du 1er livre de Théon, « dans le b u t de l’imprimer » — ce qui semble indiquer que ce travail était resté inédit. Nous n’avons pas encore pu pousser plus loin nos inves­ tigations sur ce point 3. 3» Editions amorcées. L’abbé N icolas H alma , conservateur à la Bibliothèque Sainte-Geneviève à Paris, est mort il y a cent ans, laissant arrêtée après le 2e livre son édition avec traduction française du Commentaire : Θέωϊος Άλεξανδρέως υπόμνημα εις το πρώτον της Πτολεμαίου μαθηματικής συντάξεως. Commentaire de Théon d’Alexandrie (1) E. N a r d u c c i , Catalogo di manoscritti ora posseduti da D. B. Boncompagni, 2e éd. Rome, 1892. (2) Malgré de diligentes recherches faites par Mgr Vaes, secrétaire de l’Institut historique belge de Rome, que nous remercions tout particuliè­ rement. (3) D’après R . R id o l f i , Nuovi Contributi alla biografia del Giannotti d a n s Rivista storica degli Archivi toscani 1 (1929), pp. 221,230, 234, et 2 (1930) pp. 229-274, D. Giannotti cherchait, en 1567, des manuscrits de Théon à la bibliothèque médicéenne de Florence. Il avait fait en 1541 une traduc­ tion du Tetrabiblos pour laquelle P. Vettori a exécuté des collations. A-til en 1567 commencé une traduction de Théon et de Pappus ? En tous cas, il ne doit rien avoir publié. (Renseignement communiqué par Mgr G. Mer­ cati).

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vin sur le premier livre de la composition mathématique de Ptolémée. Traduit pour la première fois du grec en français sur les mss de la.bi­ bliothèque du Roi, par M. l’abbé Halma. Tome I. Contenant la première partie des développement de la trigonométrie sphérique d’Hipparque et de Ptolémée. Paris, Merlin, 1821, pp. 287 in-4°. — Tome II. Contenant la seconde partie des développemens de la trigonométrie sphérique d’Hipparque et de Ptolémée, avec leurs applications aux ascensions etc. [dans le même volume se trouvent des scolies sur Aratus] Paris, Merlin, 1821, pp. 159 in-4°. Comme il éditait sans y rien changer le Par. gr. 2398 (notre ms. P), il aurait eu dans ses gros in-4° le 5e livre du Commentaire de Pappus sur l’Almageste, s’il avait pu mener à terme son travail. F. H ultsch a publié avec une traduction latine (et un bel index constituant un dictionnaire de la langue mathématique grecque) la Collection mathématique de Pappus : P a ppi A lexandrini Col­ lectionis quae supersunt ed., latina interpr. et comm. instr. F. Hultsch, Berlin, 1875-1878. 3 vols. in-8°. 1 En outre, il avait commencé une édition du Commentaire sur l’Almageste et il s’était fait un texte provisoire d’après quatre manus­ crits. On s’en rend compte dans l’opuscule intitulé : Hipparchos iiber die Grosse und Entfernung der Sonne dans Berichte über die Verhandlungen der k. sàchs. Ges. der Wiss. Phil.-Hist. K l. 52 (1900), p. 169-200. Malheureusement, il était mal parti : son idée beaucoup trop à priori le menait fatalement à éditer deux fois le même texte, d’abord sous le nom de Pappus et ensuite sous le nom de Théon. Nous sommes persuadé qu’il aurait reconnu son erreur aux premières pages du sixième livre de Théon : en m ettant l’un à côté de l’autre les textes de ce passage tels qu’ils sont transmis par les manuscrits qu’il connaissait : Med. 28, 18 ; Vat. gr. 198 ; et l’édition de Bâle, on serait déjà fixé. 4. R en seig n em en ts nouveaux s u r P a p p u s. Dans sa préface au 3e volume de la Collection, Hultsch rassemble tout ce qu’il a pu trou-

d

(1 ) Une traduction française de cet ouvrage est sous presse : P a p pu s ’A l e x a n d r ie , La Collection mathématique, traduite pour la première fois

du grec en français, avec une introduction et des notes, par P. Ver Eecke. Bruges, Desclée, 1931, in-8°.

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)

IX

ver sur Pappus. Nous y renvoyons, ainsi qu’à l’article Πάππος de son index graecitatis. E t nous sommes bien forcé de nous contenter ici de ce qu’on a pu glaner après ce moissonneur consciencieux. H. Suter a publié 1 la traduction allemande d’un commentaire sur le 10e livre d’Euclide, connu par la traduction arabe qu’en a faite Abû O thm ân al-Dimashki. Ce commentaire est attribué à Pappus, mais 2 il n’y aurait rien d’impossible à ce qu’il soit de Proclus. Les arabes connaissaient de Pappus un commentaire sur le Pla­ nisphère de Ptolémée, dont Suidas ne parle pas. Le Fihrist 3 le mentionne en ces termes : « Un commentaire au livre de Ptolémée sur le Planisphère, traduit par Thabit en arabe. » La traduction Suter reproduit scrupuleusement une ambiguïté de l’original : est-ce le traité de Ptolémée, ou le commentaire d e -Pappus que Thabit a tra­ duit ? Lorsque le Fihrist énumère les œuvres de Thabit, il oublie cette traduction. Haji Khalfa 4 comprend que Ptolémée est l’auteur d’un traité sur le Planisphère, traduit par Thabit, et commenté par Battus le Roumi, géomètre alexandrin. B attus est évidemment Babbus, mais cette simple erreur de points diacritiques a fait passer le renseigne­ ment inaperçu. Le Commentaire sur l’AImageste est une œuvre d’un caractère plutôt pédagogique, où Pappus n ’a pas l’occasion de ,se montrer beaucoup. Une lecture attentive découvre pourtant l’un ou l’autre tra it que nous avons signalé au passage, dans les notes. On verra que (1) H. S u t e r , Der Kommentar des Pappus zum X. Buche des Euklides, aus der arabischen Ueberseizung des Abu ‘Oihman al-Dimashki, ins Deutsche übertragen. f = Beitrage zur Geschichte der Mathematik bei den Griechen und Arabern von H. Suter hrsg. von J. Frank, p. 9-78 dans Abhandlungen zur Geschichte der Naturwissenschaften und der Medizin, Erlangen, 4 (1922).] (2) Cfr Suter, op. cit., p. 78. (3) Kitab al Fihrist ed. Flügel, Leipzig, 1871, vol. 1, p. 269, s,v. Babus al Rumi. — Cfr. H. S u t e r , Das Mathematiker Verzeichniss im Fihrist, dans Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, Fleft V (Leipzig, 1892, p. 22. (4) H a j i K ii a l f a , Lexikon bibliographicum, ed. Flügel, 1835 sqq., vol. V, p. 62, n° 9970, s. v. Kitab testili el koret. — Cfr. Th.-L. H e a t h , A history of greek mathematics, Oxford, 1921, vol. 2, p. 356, qui adopte l’autre inter­ prétation du texte du Fihrist. La-traduction arabe du Planisphère de Ptolémée, dont nous avons une traduction latine, est de Masletn ben Ahmed el Magriti. Cfr P t o l e m a e i Opera astronomica minora, ed. Heiberg,.Leipzig 1907, p. C L x x x .

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X

Pappus attendait de son élève ou de son lecteur une passivité com­ plète : il suppose toujours qu’on ne fera aucune vérification ; il force de manière à obtenir malgré tout les résultats de l’Almageste ; il copie des données dans les Tables faciles en laissant croire qu’il les a calculées ; il fournit des explications inexactes lorsqu’il croit que son élève ne comprendra pas encore la vraie théorie, risquant ainsi de l’embrouiller complètement si celui-ci s’avisait jamais d’aller refaire les calculs. Si l’on examine ce qu’il juge à propos d’expliquer à ses lecteurs, on voit qu’il suppose à ceux-ci les connaissances mathémati­ ques d’un élève moyen de seconde chez nous. Théon et Hypatie, on le verra dans les volumes suivants, s’adressaient à un auditoire de même niveau. Évidemment, nous ne pouvons pas tirer de là, que les élèves n’allaient pas plus loin. Il y aurait toute une étude à faire à ce point de vue des textes qui vont suivre et elle justifierait, croyonsnous, la remarque de M. von Wilamowitz : on est bien mieux rensei­ gné sur l’enseignement des sciences que sur l’enseignement des bran­ ches littéraires dans l’antiquité 1. L’intérêt humain de Pappus est là : il nous montre peut-être comment le progrès scientifique s’est arrêté chez les Grecs. Nous avons signalé au passage les renseignements que Pappus nous apportait sur des œuvres antiques disparues. Il n’y en a pas ta n t ici que dans la Collection mathématique, mais on verra qu’ils ne man­ quent pas, pourtant. Enfin, le Commentaire nous permet de fixer définitivement la date à laquelle Pappus a travaillé. 5. Date de Pappus. Hultsch 2 avait repris l’opinion de van der Hagen (1735), défendue par U s e n e r dans un article intitulé Vergessenes I I I [dans Rheinisches Museum N. F., 28 (1873), p. 403-404], qui datait Pappus du commencement du ive siècle. Il concluait : « si quando Pappi in Ptolemaeum scholia... in luce prodierint, mani­ festum fore putamus... ante Theonem Pappum vixisse. » Préparant une édition du Commentaire sur l’Almageste, il savait bien ce qu’il

(1) Cfr V. W il a m o w it z , Einleilung in die griechische Tragodie, Berlin, 1921, p. 151, n. 55a. (2) P appï Collectionis... quae supersunt, vol. 3, p. vi.

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XI

voulait dire : On trouvera au livre 6, pp. 180 sqq., en guise d’exemple de calcul de conjonction, la détermination du.lieu et de l’instant de la conjonction donnant une éclipse, arrivée en « Tybi de l’an 1068 de l’ère de Nabonassar ». Ce calcul est transcrit en notations modernes dans la Note sur le mode d’emploi des tables astronomiques, § 10, exem ple *. La conjonction moyenne tombe le 17 Tybi, 8h 3' après midi. Pap­ pus ne pousse pas plus loin ses· calculs. L ’an 1068 de Nabonassar commence le 4 juin 320 après J.-C. Donc le 17 Tybi 1068 est le 18 octobre 320 apr. J.-C. A cette date a eu lieu, en effet, une éclipse de soleil : c’est le n° 402 de Ginzel ( = 3642 de von Oppolzer)12. Pappus parle-t-il d’une éclipse qu’il a vue? C’est assez naturel qu’il l’ait fait, mais on aimerait à en être plus assuré. Or, dans la période où Pappus a dû vivre, c’est à dire entre 250 et 350, on relève deux faits qui ont dû mieux se remarquer à Alexandrie, qu’une éclip­ se de soleil totale dans le Sahara. Le premier est une coïncidence curieuse, et pas bien fréquente3 ;

(1) Voir ci-après p. l x i i . (2) Cfr Th. von O p p o l z e r , Canon der Finsternissen, Vienne, 1887. — F. K. G in z e l , Spezieller Kanon der Sonnen- und Mondfinsternissen, Berlin 1899. — P. V. N e u g e b a u e r , Astronomische Chronologie, Berlin, 1929. Tous les calculs de ce paragraphe-ci ont été exécutés à l’aide de la table de Ginzel. Lorsqu’à paru l’ouvrage de Neugebauer nous les avons revus. La table de Ginzel donne pour l’heure du milieu de l’éclipse 7h 54'5 temps moyen de Greenwich, ce qui fait environ 8h 25' temps moyen d’Alexandrie. Les tables de Neugebauer font trouver qu’à Alexandrie, le milieu de l’éclipse devait être vu à 8h3' environ,temps vrai d’Alexandrie. (L’équation du temps est d’environ 15' au 18 Octobre, à retrancher du temps vrai). Quant à la grandeur de l’éclipse, en utilisant Ginzel, on trouve qu’elle atteignait 8 1/2 doigts 'à Alexandrie ; avec Neugebauer, on arrive à 10 doigts. Neugebauer signale l’inexactitude de la table de Ginzel, et de son côté, n e prétend mener, avec ses « tables faciles » qu’à une approximation de 100 km. dans la déter­ mination de la zòne de centralité. Ici tous ces à peu près nous suffisent am­ plement. Ce n’est pas tout à fait le cas pour l’éclipse du 6 juin 346. Il ne se­ rait pas superflu, pour cette dernière, de recommencer le calcul à l’aide des tables de von Oppolzer, revisées par S c h o c h , Die Neubearbeitung der Sgzggien tafeln von Oppolzer, Kiel 1928, qui fournissent une approximation de 5 km., paraît-il. (3) La plupart de ces éclipses sont peu importantes, celle de 294 particu­ lièrement. Mais il n’est pas nécessaire, ici, que le phénomène ait pu être re*

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XIX

en cinq ans, cinq, éclipses de soleil visibles à Alexandrie : 15 mai 291 (11,4 doigts à Alexandrie) ; 4 mai 292 (6,5 doigts) ; 17 septembre 293 (6,7 doigts) ; 7' septembre 294 (4,7 doigts) ; 3 mars 295 (6,2 doigts). Cette rencontre avait dû attirer l’attention, et si Pappus ne songe pas à l’une d’elles, par exemple à celle de 291, bien plus importante que celle de 320, c’est qu’il était passé de mode d’en parler lorsqu’il écri­ vait son Commentaire. D’autre part, on ne songeait pas encore à l’éclipse du 6 juin 346, plus caractéristique à Alexandrie que celle de 320 : Pappus s’appuie sur une éclipse de 8,5 doigts. Or, celle de 346 était totale ou presque ; D ’après la carte de Ginzel, Alexandrie est exactement dans la zòne de centralité. Mais en utilisant sa table des grandeurs, on trouve que l’occultation n’atteignait que 11, 5 ou 11, 6 doigts. La limite sud de la zòne de centralité coupe 31° lat. par 29° 36' long, et 30° long, par 31° 22' lat., passant donc au large d’Alexandrie. D’après les tables de Neugebauer, l’éclipse est totale à Alexandrie. Avec les moyens dont je dispose, je ne puis pas dire si l’éclipse était totale à Alexan­ drie ou seulement à 30 km. de là : quoi qu’il en soit, les astronomes n’ont pas dû aller fort loin ce jour-là pour voir une éclipse totale. E t si Pappus a pris pour exemple un phénomène moins caractéristique que celui-là, c’est qu’il n’était pas encore de mode d’en parler. Enfin,l’on peut se demander pourquoi Pappus abandonne son exem­ ple lorsqu’il a trouvé l’heure de la conjonction moyenne : il semble­ rait assez naturel d’y revenir en expliquant la suite du 6e livre de l’Almageste : nous aurions eu un échantillon d’éclipse calculée d’un bout à l’autre, et c’eût été un guide précieux pour les élèves qu’il voulait initier à l’astronomie. D elam bre , Histoire de Γastronomie ancienne, Paris, 1817, t. 2, p. 238, observe que Ptoléipée non plus n’a pas jugé à propos de nous laisser un exemple de calcul d’éclipse : « il paraît n’avoir pas grande confiance en ces calculs ». Nous avons poussé jusqu’au bout la détermination laissée inache­ vée 1 : on trouve que la syzygie vraie doit se passer à 9 heures du matin, et la conjonction apparente à 7M /4 : soit une erreur de trois bons quarts d’heure. marqué par le public : il a dû surtout attirer l’attention lorsque les astronomes alexandrins ont dressé d’avance leurs listes d’éclipses pour cette période-là. (1) Voir la Note sur le mode d’emploi des tables, § 10, 5 exem ple.

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XIII

Si Pappus écrit peu après 320, il a constaté de visu que le résultat était erronné, sans pouvoir dire où était l’erreur : on s’explique alors qu’il n’ait pas publié la fin du calcul. Tous ces indices réunis tendent à prouver que Pappus écrivait probablement son Commentaire sur l’Almageste un peu après 320. Hultsch admet que la Collection mathématique est postérieure au Commentaire: En effet, la Collection renvoie au Commentaire. Il croyait même que Pappus avait inséré des passages du Commentaire dans la Collection. Nous pensons que ces passages y sont entrés par après. Mais il sera plus facile de discuter ces questions, textes en mains, au 6e livre 1. 6. L’Introduction à l’A lm ageste. On trouve dans de nombreux manuscrits une compilation dont deux fragments ont été édités par Hultsch dans sa Préface à la Collection mathématique 2. Com­ me il l’a mise sous le nom de Pappus, et qu’il s’agit de l’Almageste, nous en parlerons brièvement, bien qu’il soit entendu depuis long­ temps que Hultsch s’est trompé 345. Le contenu de cette introduction n’est pas le même dans tous les manuscrite ; en général, elle comprend : 1° Un prologue (édité par H ultsch, P a p p i Coll., p. x v i i - x i x ). 2° Un extrait des isopérimètres de Zénodore (cfr Hultsch op. cil., pp. 1138 à 1165. Nous le retrouverons dans le 1er livre de Théon). 3° Forme et grandeur de la terre (Hultsch, op. cil., pp. xx-xxi). 4° Sur la multiplication et la division V 5° Autre méthode de division, par Pappus. (Nous la retrouverons trois fois dans Théon, entre autres au 3e livre). 6° Racine carrée B.

(1) Cfr. infra, p. 254 note 1. (2) P a p p i Collectionis quae supersunt, vol. 3 , p p . xvn-xxi. (3) Cfr. D io p h a n t i A l e x a n d r in i Opera omnia, ed. P. Tannery, Leipzig, Teubner, 1895, voi. 2, pp. iv - v i . (4) Cfr. Opusculum de multiplicatione et divisione sexagesimalibus, Diophanto vel Pappo tribuendum, ed. C. Henry, Halis Saxoniae, 1879, pp. vm 10 in-8. (5) C’est la méthode exposée par H éro n dans ses Metrica éd. Schoene Leipzig, 1903, p. 18. Cfr P. T a n n e r y , Un fragment des métriques de Héron dans Zeitschrift für Math, und Physik 39 (1894), pp. 13-15. -— Sur un frag­ ment inédit des métriques de Héron d'Alexandrie dans Bull, des sciences ma-

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XIV

7° Racine carrée, méthode plus exacte 1 par Théon (elle est ex­ posée au 1er livre de Théon). 8° Théories sur les cordes. 9° Théories sur les proportions. Après le titre du n° 2, certains manuscrits (p. ex. Borb. I l l C 13 ; Med. 89 sup. 48) ajoutent que le Pappus a écrit tout un livre pour démontrer que de toutes les figures ayant même périmètre, le cercle a la surface la plus grande. Hultsch attribue à Pappus les nos 1 et 3. Pour l’attribution du n° 3, il n’a que des raisons à priori. Pour celle du n° 1, il a crû pouvoir se retrancher derrière l’autorité des 'manuscrits. En réalité, une partie des manuscrits ne nomme aucun auteur : Vat. 1594, S. ix, libelle le titre comme suit : προλεγόμενα τής Πτολεμαίον μεγάλης συντάξεως.

A citer aussi dans cette catégorie : Med. 28,1 ; Cambridge Univ. Lib. 1463 Gg II 33 ; Vat. gr. 1058 ; Par. gr. 2390 ; Ambros. A 168 sup ( = MartiniBassi 62). Dans Par. gr. 2396, on a laissé un blanc pour le titre, et dans Marc. 313, s. X, le commencement est perdu 2 ainsi que dans Vat. gr. 2326 s. xm .

D ’autres parlent de Diophante : Ce sont : Marc. 303 ; Oxford Canonici 32 (Cfr. Diophante ed. Tannery, vol. 2, p. iv) ; Ambros. C 263 inf ( = Martini-Bassi 903).

D’autres disent : Θέωνος καί ετέρων σοφών καί μαθηματικών άνδρών..> Ainsi,Vat* gr. 198 ; Reg.gr. 90 ; Marc. 310 ; Borb. I ll C 13 ; Med. 89 sup. 48. Dans Vat. gr. 1594, une main, postérieure (du x m e siècle environ) a rajouté la même mention, qu’on retrouvé dans les deux copies de Vat. gr. 1594 faisant actuellement partie de Par. gr. 453.

Un seul manuscrit nomme Pappus : c’est le Yat. gr. 184, du x in e s.

thém. 2 e sér.18 (1894), p. 18-22 ( = Mémoires scientifiques ed. Heiberg et Zeuthen, t. II2, Toulouse-Paris, 1912, n° 53 et 54, pp. 447 à 454). (1) La méthode de Héron mène plus rapidement à une approximation donnée que celle de Théon, qui revient à la nôtre. (2) Du premier quaternion, il reste 2 feuilles + 1/2 feuille sur onglet. Le cahier a été complété à l’aide de feuilles de parchemin blanc. Le texte de Marc 313 commence aux mots : έτερον λήμμα, δοβέντων δύο τριγώνων Ιαοσκέλων καί ΐαοπεριμέτρων, c’est-à-dire au milieu des isopérimètres de Zénodore.

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XV

Mais cette attribution est toute récente : le titre .est presqu’illisible. Le catalogue de la Bibliothèque vaticane l’a déchiffré : σχόλια και προλεγόμεva εις την μεγάλην σύνταξιν. L ’anonyme qui a rédigé la table des matières de ce manuscrit a cru pouvoir proposer le nom de Pappus. Mettons à la rigueur qu’il ait encore vu les lettres actuelle­ m ent disparues dans le titre, et que Pappus était cité nommément : l’opinion de Hultsch avait des fondements bien fragiles. J.-L. Heiberg a noté 1 que l’Introduction se rencontre dans une seule famille des manuscrits de l’Almageste. Les représentants les plus intéressants de ce groupe sont le Vat. gr. 1594 (ixe siècle) et le Marc.313 (xe siècle). Elle se retrouve aussi dans des codex, comme Par. gr. 2396, qui ne contiennent pas l’Almageste — au moins dans leur é tat actuel. La tradition manuscrite de l’Introduction peut donc être suivie jusqu’à une époque très ancienne, puisqu’on en possède deux copies indépendantes du ixe et du xe siècle. Mais le libellé original dutitresem ble bien être celui de Vat. gr. 1594, première main : cette compilation est donc anonyme. Les manuscrits qui l’attribuent à Théon sont des copies de Vat. gr. 1594 exécutées après le x m e siècle : ainsi Par. gr. 2390 dépend de Vat. gr. 1594, mais il est du x m e siècle : il ne nomme aucun auteur. De même Med. 89 sup. 48, date du xive siècle, mais est la copié d’une copie de Vat. gr. 1594 : son modèle datait du x m e siècle, et avait copié Vat. gr. 1594 avant que l’ajoute ne soit faite : Med. 89 sup. 48 ne parle pas de Théon 2. L’attribution à Théon vient donc de l’a­ joute faite au, x m e siècle dans le Vat. gr. 1594. Nous lui soupçonnons une origine arabe. En tous cas, le F ih rist3 nomme en dernier lieu, parmi les œuvres de Théon, « le livre de l’In­ troduction à l’Almageste, dans une vieille traduction ». Suter,et après lui Lippert, ont cru qu’il s’agissait du Commentaire sur l’Almageste. Il semble bien plus naturel de supposer qu’il est question de l’Intro-

(1) Cfr P tolem aei Opera astronòmica minora) êd, Heiberg, pp. x x x iv et l u i , (2 ) Cfr P t o l e m a e i Opera astronòmica minora, p . l u i . (3) Kitab al Fihrist, ed. Fliigel, Leipzig, 1871 vol. I, p. 268 s. v. ThawUn al Iskaiidarani. — Cfr H. S u t e r , Das Mathematiker Verzeichnis im Fihtis t Leipzig, 1892, p. 21. — J. L i p p e r t . Studien auf dem Gebiete der griechisch-arabischen Uebersetzungsliteratur, Braunschweig, 1894, p. 44. — Il h’est pas dit que l’auteur du Fihrist a eu en mains la vieille traduction dont il parle.

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XVI

duction : προλεγό μένα εις την μεγάλην σύνταξίν. Le Fihrist date du x e siècle de notre ère ; l’Almageste a été traduite en arabe en 8151. Une vieille traduction,pour le Fihrist, ce ne peut être qu’un ouvrage datant du milieu du ixe siècle. Les arabes trouvaient donc au ixe siècle une tradition attribuant l’Introduction à Théon. Pour pouvoir affirmer que cette tradition leur venait des grecs, il faudrait être mieux informé que nous ne le sommes sur l’histoire, des traductions arabes. C’est tout ce que nous avons à verser au dossier de l’Introduction à l’Almageste. P. Tannery l’attribuait à Héliodore 2. Rien ne s’op­ pose à cette attribution, bien que son argumentation semble faible : il s’appuie sur les observations que cet Héliodore a notées à la fin de l’Introduction 3. Mais, dans pareille mosaïque, dater un fragment, ce n’est pas dater l’ensemble. Les observations en question furent faites entre 498 et 509 après J.-C. On n’en peut rien conclure sur la date à laquelle cette compilation s’est formée. E t a fortiori, cela ne nous dit rien sur l’origine des morceaux dont elle est composée. En tous cas, et ceci nous intéresse directement, le passage intitulé : άλλη τάξίς και χειρουργία μερισμού κατά τον γεωμέτρην Π àsino V 45,

n’est pas rédigé par Pappus, puisqu’on y trouve des expressions de ce genre : άριστα ovv (5 γεωμέτρης Πάππος ποιεί. — iva οϋν ταϋτα σνναχθη... ό είρημένος Πάππος etc. L ’exemple choisi se rapportant au 3e livre de l’Almageste, il est permis de croire que Pappus avait exposé ce procédé de division dans son Commentaire sur le 3e livre, ce qui, par ricochet, nous fait admettre l’existence d’un commentaire sur le 3e livre. Théon a décrit exactement le même procédé au même endroit 6. L’Introduction étant une compilation, son étude semble plutôt réservée à celui qui aura le courage de s’attaquer à deux mosaï­ ques du même genre: les gloses marginales de l’Almageste, et les

(1) Cfr Ca rk a d e V aux , Les penseurs de l’Istaih, Paris 1921, tome 2,ch. 7. (2) P. T a n n e r y , Un fragment inédit des métriques de Héron d’Alexandrie, dans Bull, des sciences mathém. 2e sér.18 (1894), p. 18-22. =.Mémoires scien­ tifiques, t. IP, p. 451-454. (3) Ces observations ont été publiées par Heiberg dans P t o l e m a e i Opera astronomica minora p. xxxv. (4) Voir ci-dessus, p. xm sub 5°. (5) Voir la note sur le mode d’emploi des tables astronomiques, § 1.

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collections de gloses sur l’Almageste mises sous le nom de Théon. Mais on ne peut espérer débrouiller ces bribes de toutes sortes, que lorsqu’on possédera un texte bien établi des œuvres moins morcelées. L ’étude des gloses révélera probablement l’existence de l’un ou l’autre fragment de Théon ou de Pappus qui nous a échappé, mais on ne pourra faire cette constatation que lorsqu’on aura un texte et un index à sa disposition. 7. Etendue du Commentaire de Pappus. Nous sommes per­ suadé que Pappus a commenté les 13 livres « des mathématiques de Ptolémée », comme il les appelait. Mais nous n’en sommes sûr jusqu’à présent, que pour les six premiers livres : TAlmageste s’est partagée matériellement en deux parties. Cette division est fort nette dans le commentaire de Théon ; si nette, que jusqu’à présent, nous préférons ne jamais parler des sept derniers livres de son Com­ mentaire : nous ne les avons pas encore assez étudiés. Peut-être y retrouverons-nous la preuve que Pappus avait commenté l’ensemble de l’œuvre de Ptolémée. Jusqu’à présent, nous devons considérer cette opinion comme simplement vraisemblable 1. En tous cas, tous nos efforts pour trouver un fragment notable de la seconde partie, du Commentaire de Pappus, n’ont abouti à rien. Il faut en particulier signaler une fausse piste indiquée par Blass 2. On lui a dit à Constantinople, que le 6e livre de Pappus se trouvait « mit dem gesammten Pappos » à Fez. M. Lévi-Provençal, conserva­ teur à la Bibliothèque générale du Protectorat français à Rabat, a bien voulu, en 1923, rechercher ce manuscrit ; il a conclu qu’on avait affaire à une des nombreuses légendes sur la richesse des bibliothèques du Maroc. Nous n’avons donc plus que les livres 5 et 6 du Commentaire. Un passage de l’Introduction à l’Almageste nous ferait admettre l’exis­ tence d’un commentaire sur le 3e livre 3. En tous cas, nous avons (1) Suidas s. V, Πάππος άλεξανδρεύς, mentionne parmi les œuvres de Pappus : εις τ à τέσσαρα βιβλία τής Πτολεμαίον μεγάλης συντάξεως υπόμνημα. Hultsch (P appi Collectionis... quae supersunt, vol. 3, p. vin, n. 3) explique τέσσαρα par une faute de copie : Δ pour ΙΓ . Peut-être aussi, Suidas a-t-il confondu l’Almageste et le Tetrabiblos. (2) F . B lass. Die griechische und lateinische Handschriften im alien Sérail zu Konstantinopel dans Hermes 23 (1888) p. 226 sqq. sub III. (3) Voir ci-dessus, p. xvi.

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XVIII

des traces du Commentaire sur le 4 e livre et un fragment du Commen­ taire sur le 1er livre : c’est Pappus lui-même qui nous en apprend l’existence : τούτο... δέδεικται μεν νφ’ ημών εν τώ είς το τέταρτον βιβλίον σχολίω (Pappus, 5e livre, ρ. 76, 20). — πρόςτό μη δεϊσθαι τον Άρχιμήδονς συντάγματος, εν τοΐς είς το πρώτον σχολίοις άπεδείχθη... (Pappus, 6e livre, ρ. 254, 1). Le passage du premier livre auquel il vient d’être fait allusion, est allé s’égarer dans la Collection mathématique \ où il est devenu le 3e théorème du livre 5. Grâce à cette circonstance, il nous reste donc quelque chose du Commentaire de Pappus sur le 1er livre. Malheureu­ sement le fragment ainsi sauvé est un théorème d’Archimède bien connu par ailleurs, et nous ne gagnons rien à l’avoir conservé. 8. D ivision de l’A lm ageste en théorèm es. Dans Pappus et Théon, l’Almageste est souvent cité d’après une division en théorè­ mes. Cette division n’est vraisemblablement pas de Ptolémée, sans quoi l’on expliquerait difficilement que pas un manuscrit de l’Almageste n’en ait gardé de trace. Il est bon de la connaître pour suivre les les raisonnements des commentateurs. Nous allons donc donner la liste des théorèmes, telle qu’on peut la reconstituer d’après les allusions qui se rencontrent en divers endroits a. Livre 1. Théorème 1 = p. 32, 10 (27) ; théor. 2 = 36, 3 (29) ; théor. 3 = 37,1.9 (30) ; théor. 4 = 39, 4 (31) ; théor. 5 = 41, 4 (32) ; théor. 6 = 43, 6 (34) ; théor. .7 = 45, 9 (36) ; théor. 8 = 46,1 (36) ; théor. 9 = 68, 23 (50) ; théor. 10 = 70,17 (51) ; théor. 11 = 71,14 (52) ; théor. 12 = 72,11 (53) ; théor. 13 = 73, 11 (53) ; théor. 14 = 74, 9 (54). Nous n’avons pas vu de texte garantissant la suite. D’ailleurs, de tout ce livre, seuls les η081,12,13 sont attestés directement. Livre 2. Théorème 1 = 89, 19 (67) ; théor. 2 = 92, 18 (69) ; théor. 3 = 93, 20 (70) ; théor. 4 = 95, 14 (72) ; théor. 5 = 98, 8 (74) ; théor. 6 = 118, 5 (90) ; théor. 7 = 119, 13 (91) etc. Seul le n° 1 est bien garanti. Le n° 7 est cité de façon erronnée par les mss du groupe 1, dont nous n’avons pas admis la leçon. Livre 3. Théorème 1 = 217, 7 (171) ; théor. 2 = 217,25 (171). Seul garantì, le théorème 2.12

(1) Pappi Collectionis... quae Supersunt Vol. I, p. 3l2.Voir ci-dessous, p. 254, note 1.

(2) Les pages sont celles de l’Âlmageste, éd. Heiberg, l re partie. Entre parenthèses, on a ajouté les pages correspondantes de l’éd. Halma.

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XIX

Livre = 305, attesté, Livre

4. Théorème 1 = 296, 12 (240) ; théor. 2 = 298, 11 (242) ; théor. 3 14 (247) ; théor. 4 = 311, 3 (252) ; théor. 5 = 313, 3 (253). Seul le n° 5, grâce au 5e livre de Pappus.

5. Théorème 1 = 356, 2 (288) ; théor. 2 = 360, 11 (292) ; théor. 3 = 365, 12 (298) ; théor. 4 = 370, 4 (300) ; théor. 5 = 374, 14 (304) ; théor. 6 = 380, 6 (308) ; théor. 7 = 383, 12 (311) ; théor. 8 = 394, 3 (320) ; théor. 9 = 398, 5 (323) ; théor. 10 = 408, 11 (333) ; théor. 11 = 412, 21 (336) ; théor. 12 = 422, 5 (343) ; le corollaire du théorème 12 est 426, 7 (347) : il ne formait pas un chapitre distinct dans les manuscrits dont se servait Pappus ; théorème 13 = 427, 12 (348) ; théor. 14 = 432, 14 (352) ; théor. 15 = 435,13 (354) ; théor. 16 = 448, 24 (363) ; théor. 17 = 451, 17 (366) ; théor. 18 - 452, 6 (367) ; théor. 19 = 452, 16 (367) ; théor. 20 = 453, 15 (367) ; ce dernier finit à 454, 13 (368) : donc l’on peut appeler théorème 21 ce-qui se trouve à la page 455, 17 (369) ; mais c’est plutôt un exemple qu’un théorème. Tous ces numéros sont attestés directement par Pappus, sauf les n08 2, 7, 10, 15, 21.

Livre 6. Théorème 1 = 480, 17 (392) ; théor. 2 = 504, 3 (414) ; théor. 3 = 506, 6 (415) ; théor. 4 = 508, 20 (417) ; théor. 5 = 513, 6 (421) ; théor. 6 = 516, 4 (423). Sont attestés, les n081 ,2 , 3, 5. A titre provisoire, voici la liste des théorèmes dans la 2 e partie de l’Almageste x. Livre 7. Aucun numéro de théorème n’est attesté. Livre 8. Contient des raisonnements que Pappus appellerait des théorèmes, mais aucun numéro n’est attesté. Livre 9. Théorème s = 257, 12 ; théor. 4 = 259, 12 ; théor. 5 = 271, 5 ; théor. 6 = 275,19 ; théor. 7 = 278, 3 ; théor. 9 = 283, 12 ; théor. 10 = 288,9. Livre 10. Théorème 1 = 301, 4 ; théor. 2 = 302, 21 ; théor. 3 = 307, 15 ; théor. 4 = 311, 20 ; théor. 5 = 318,1 ; théor. 7 = 321,15 ; théor. 8 = 324, 22 ; théor. 9 = 329, 12. Nous n’avons pas retrouvé le livre 11 de Théon. Dans le livre 12 nous n’avons pas trouvé de numéro de théorème. Livre 13. Théorème 1 : lemme = 537, 15, application = 538, 17 ; théor. 2 : lemme = 543,18, application 547, 8 ; théor. 3 = 547, 17 ; théor. 4 : lemme = 548, 19, application = 550, 8 ; théor. 5 = 550, 20 ; théor. 6 = 552, 7. Seuls attestés les n08 3 et 4.

Deux ou trois faits semblent dignes d’être relevés : On verra, en parcourant les commentaires de Pappus et de Théon, que le premier fait bien plus souvent usage de cette division que le second : la répartition en théorèmes serait peut-être bien un essai

(1) L es p ages son t m ain ten an t celles de la 2 e p artie de l ’éd itio n Heiberg,

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XX

datant du m e siècle, et qui n’a pas eu de succès parce que tout l’ou­ vrage ne peut pas être divisé de la sorte. Théon commencerait déjà à l’abandonner. On remarquera aussi que théorème signifie ici proposition, plusieurs de ces raisonnements étant plutôt des problèmes, d’après la façon de parler des géomètres classiques. 9. Num érotation des figures. Il ne faut pas confondre avec cet­ te numérotation des théorèmes une numérotation des figures 1 dont les meilleurs manuscrits ont gardé des traces soit au-dessus du des­ sin lui-même, soit, à, la suite d’une erreur de copie, en plein milieu du texte. Pappus ne s’en sert pas lorsqu’il doit renvoyer à une figure précédente. Même, on verra, au 6e livre, p. 232 note 2, que pour la facilité du lecteur les manuscrits ont reproduit deux fois le même dessin, et ont donné un numéro distinct à chacun des deux tracés, tandis que dans le texte, Pappus indique bien clairement que la fi­ gure n’était dessinée qu’une fois. Nous avons cru intéressant de con­ server cette numérotation, très facile à reconstituer, avec toutes ses irrégularités. Lorsqu’une figure a gardé son numéro dans les manus­ crits, nous l’inscrivons sur notre cliché, au dessus et à droite du tra ­ cé, place qu’il occupait primitivement : c’est de là qu’il a parfois pé­ nétré dans la ligne précédant la figure, et qui était la dernière du raisonnement : car dans Pappus et Théon, le dessin était toujours mis à la fin du passage auquel il se rapportait : l’accord des meilleurs manuscrits l’indique clairement. Nous avons placé les figures au commencement, cette disposition étant plus pratique dans un livre où il faut tourner les pages pour voir ce qui suit. Dans un rouleau, on déroulait jusqu’à l’apparition du dessin. On avait alors le théorè­ me entier sous les yeux, et la figure se rapprochait au fur et à me­ sure que s’éloignait, donc s’oubliait, la description placée en tête.

(1) Cfr τά

P a p p i Collectionis... qme supersunt, vol. 2, p. 682, 21 : εχει Sè η βιβλία των ’Απολλώνιου κωνικών θεωρήματα ήτοι διαγράμματα υτιζ.

Dans le Commentaire sur l’Almageste, on s’aperçoit bien vite que théorème et figure ne sont pas synonymes.

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§ 2 . — Le

Commentaire:.

texte d u

On trouvera dans le dernier volume du présent ouvrage la descrip­ tion des manuscrits et la justification de l’établissement du texte. En attendant, voici brièvement comment nous avons procédé. 1. Liste som m aire des m anuscrits. 1 Sig l e s

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Par. gr. 2396 Vat. gr. 1087 Par. gr. 2390 Vat. gr. 304 Med. Laur. 28,1 Marc. 303 Vat. gr. 183 Par. gr. 2392 Esc. Ω IV 4 Monac. 439 Constant. Seragl. 40-40a-406 Tolet. 98/14

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1538)

(1) Le 5 e livre de Théon se réduit à un court fragment d’authenticité douteuse. Le 6e livre de Pappus n’est complet que dans LZTc; les autres mss n’en ont conservé que de petits fragments. V et Y’ sont le commence­ ment et la fin d’un même codex, dont le milieu est perdu. Cfr Membra disiecta dans Revue bénédictine 39 (1927), p. 187. Nos sigles correspondent à ceux de l’Almageste éd. Heiberg, sauf pour

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XXIX

Une fois Pappus et Théon publiés, nous sommes persuadé qu’on en découvrira encore d’autres manuscrits, non catalogués jusqu’à présent sous leur vrai nom d’auteur. Le cas de Par. gr. 2392 est ty ­ pique : Tout le 6e livre de Pappus s’y trouve, mêlé à d’autres gloses marginales de l’Almageste : il était évidemment impossible d’iden­ tifier un texte inédit, se présentant sous cet aspect fragmenté. Pour­ ta n t, il n’y manque rien : lorsque Z est forcé par une autre glose déjà inscrite, d’interrompre sa copie de Pappus, il a bien soin d’indiquer par un signe l’endroit où il faut chercher la suite. Il y a peut-être d’autres manuscrits de ce genre. E n outre, beaucoup d’inventaires de bibliothèques ont commis les confusions les plus étranges. Nous en avons dépisté quelques unes, mais il doit encore en rester. Notre texte de Pappus se fonde sur L, HXZ, bPjJ, qui ont été collationnés en détail. E, pour Pappus, a été simplement examiné à la bibliothèque Victor-Emmanuel à Rome, où il avait été envoyé de Venise. Pour Théon, il a été collationné complètement, et en outre J.-L. Heiberg a bien voulu rechercher et copier lui-même les fragments des derniers livres de Théon qui s’y trouvent en marge de l’Almageste. Toutes nos collations ont été faites avec b comme texte de base. Cette édition reproduit N, que nous avons examiné à la bibliothèque de Louvain, où il avait été envoyé de Nuremberg. Nous avons examiné le manuscrit d’Oxford (Cromwell 12) et les deux de Cambridge (Univ. Libr. 1463 et 2068). Ils ne contiennent rien de Pappus et ne sont pas bien utiles pour l’établissement du texte de Théon. c avait été utilisé par Heiberg pour son édition d’Apollonius de Perga (Leipzig 1893). Lorsque C. Manitius préparait son édition de Geminus (Leipzig 1898 ; cfr p. xv), il n’a pas pu le voir : personne ne savait plus où il se trouvait. Récemment \ M. A. Deissmann, non s eulement l’a retrouvé, mais il a de plus, dans un amas de feuilles en

Vat. 198, trop importait ici pour être laissé sans lettre. M. I. During, dans son édition des Harmoniques de Ptolémée (Goteborg, 1930) l’a appelé G. Cette lettre est d éjà prise, dans l ’Almageste, par Vat. 184. (1) Cfr A. D isissmann, Forschiingen und Funde im Serai. M it einem Verzeichnis der nichtislamischen Handschriften des Topkapou Serai in Siambul. Leipzig, 1931.

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XXIII

désordre, identifié d’autres fragments de ce même manuscrit, conte­ nant en tout ou en partie les livres 1, 2 et 4 de Théon ; ces fragments portent les nos 40 a et 40 b dans son catalogue. Nous avons eu l’occa­ sion d’examiner et de photographier tous ces fragments, mais mal­ heureusement après que le texte du présent volume était complète­ ment établi, et que les premières feuilles étaient déjà tirées, c est de la famille de HXZ. Même après sa découverte, le manuscrit le plus fidèle reste toujours L, en sorte que si nous l’avions connu plus tôt, nous aurions abouti tout de même au texte qu’on lira plus loin. Une copie de Ser. 40 a été exécutée sous la direction de Blass. Hultsch l’a collationnée en vue de l’édition restée à l’état de projet, dont nous avons parlé tout à l’heure. Nous n’avons pas pu découvrir où elle est. Du reste, maintenant que c est retrouvé, il n’est plus indispen­ sable de la voir. De T nous n’avons vu jusqu’à présent que la photographie de dix pages prises au hasard en divers endroits du volume. 2. C lassem ent des m anuscrits. Voici la généalogie 1 de nos manuscrits ; nous comptons en établir le bien fondé dans notre intro­ duction au dernier volume.

Le groupe I descend d’un essai byzantin de restauration du texte. L est complètement indépendant. On le prend rarement en faute ; aussi la ligne de conduite de l’éditeur est elle toute tracée : il faut suivre L ta n t que la critique interne ne démontre pas péremptoire-1 (1) Ce tableau a été cliché avant la découverte de c, qui vient s’y insérer entre H et T.

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XXIV

ment qu’il se trom pe. D ’un autre côté, lorsqu’il s’agit de mathémati­ ques, la critique interne est d’un maniement bien plus sûr que lors­ qu’on l’applique aux œuvres littéraires. E ntre L et le groupe I se place toute une série de copies qu’il est difficile d’ordonner en sous-groupes. Leur tradition est très voisine de celle de L. En se servant uniquement de ces manuscrits, que nous appellerons le groupe II, on obtiendrait un texte satisfaisant, et c’est heureux, car à partir du 7e livre de Théon, L va nous faire défaut. 3. P rin c ip e s de l ’é tab lisse m en t d u texte. On voit par ce qui précède, que nous avons toujours gardé le texte des manuscrits, sauf si une correction s’imposait évidemment. Les figures (à leur ma­ nière, elles sont aussi un « texte » à éditer) sont souvent malmenées par les copistes qui n’y comprenaient rien ou ne savaient pas dessiner. Les auteurs anciens s’y attendaient, et la forme euclidienne prévoit au commencement de toute proposition une description de la figure, servant de contrôle. Cette description doit naturellement faire foi contre le dessin. Dans les calculs, il faut distinguer les erreurs de co­ pie de celles que l’on doit laisser pour compte à l’auteur ; dans le doute, nous ne corrigeons pas. Si le texte présente une difficulté de grammaire, nous nous sommes montré encore plus sobre. Nous ne parlerons pas de la grammaire de Pappus *. Un mot seu­ lement de la syntaxe du substantif μοίρα (degré) : il est indispensable de s’en faire une idée, parce qu’en bien des cas, les manuscrits nous laissent devant une abréviation où rien n’indique la désinence. Or, lorsque ce mot désigne un degré du zodiaque, on pourrait à priori expliquer le singulier aussi bien que le pluriel, et lfon peut souvent justifier l’emploi de plusieurs cas. Il faut donc, à moins de laisser l’abréviation non résolue, la transcrire suivant l’usage ordinaire de Pappus. Seulement, cet usage n’est pas constant. D’abord, en ce qui con­ cerne le nombre, dans une expression du type : « 20° de la Vierge », 20 est considéré, soit comme ordinal (le vingtième degré de la Vierge) et alors μοίρα vient au singulier, soit comme cardinal (vingt de la Vierge) et alors μοίρα est au pluriel. Pappus n’est même pas consé-1 (1) Elle a été étudiée dans une thèse encore inédite, par Μ. E. H erlits(Louvain, 1930).

ka

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XXV

quent au cours d’une même phrase, si bien qu’on pourra lire au 6e livre, p. 227, 6 : εν ταύτη rfj οΐκήσει, τής κ μ° της Παρθένου δυνουσης, μεσουρανοϋσιν υπό γην ai των Δ ιδνμων μ° κβ η, où Γοη a bien clairement à la fois le singulier et le pluriel. Théon a copié littéralement ce passage de Pappus, et la même phrase revient, avec la même con­ struction illogique : il n’y a donc pas d’erreur dans les manuscrits. Lorsque l’abréviation ou le contexte n’indiquent pas exactement ce qu’il faut mettre, on n’a donc aucun motif de se décider pour le singulier ou pour le pluriel. Même incertitude parfois au sujet du cas. Pour exprimer une idée comme celle-ci : « le soleil se trouve sur 20° des Poissons », plusieurs constructions sont possibles. On rencontrera fréquemment κατά et l’accusatif : ώστε το E σημεϊον κατά τάς κ μ° είναι της Παρθένου (livre 6, ρ. 227, 5) : c’est la construction ordinaire de l’Almageste. Mais d’autres constructions ne sont pas rares. Le contexte indique souvent comment on doit résoudre l’abréviation μ°. Mais on reste parfois perplexe : on trouve souvent le datif ou le génitif du signe, suivi de μ° : la p. 211, 9-10 fournit un exemple des deux constructions à la fois : L écrit : ώστε τον... -ήλιον γίνεσθαι Παρθένω μ° κβ μδ, tan­ dis que Z a : ... Παρθένου μοι”... indiquant qu’il faut lire le datif de lieu, μοίραις. [Nous lisons μ° au datif et nous laissons le nom du signe au génitif ou au datif, comme nous le trouvons dans L. Dans les calculs, on trouve souvent le résultat indiqué sous la for­ me suivante : γίνεται β κδ. A quel cas se trouve le nom d’unité sousentendu? C’est souvent au génitif; il le faut certainement lorsque le calcul porte sur des objets concrets : ή τοϋ ελάχιστου μηνάς πάρο­ δος εσται μοιρών κθ ιδ (ρ. 236, 10-11). Mais si le calcul porte sur des quantités abstraites, on peut avoir le nominatif : καί γίνεται τμή­ ματα a κζ (p. 236, 7). Dans ces conditions, on lira, p. 236, 3-5 : ώς είναι ήλιου... τα διπλάσια μοίρας a η (au génitif) ... και επί το αυτό γενέσθαι μοίρας γ λς (à l’accusatif), parce que la seconde partie exprime un calcul sur des quantités abstraites. Dans une phrase comme : al γάρ εξ άμφοτέρων των ανωμαλιών συναγόμενοι μοΐραι ιδ μ μετά τοϋ ιβ' τής μοίρας a ιγ γίνεται δμοϋ ιε νγ (ρ. 219, 13-14) nous voyons une anacoluthe: γίνεται n’est pas régi par ai. μοΐραι 1. On dira donc que γίνεται a comme ____________yÿis .. (1) Ea outre, ici, l’enchaînement du raisonnement exige que τής μοίρας a ιγ soit considéré comme dépendant d e is t a ; c’est un apposé,synonyme, de τον ιβ'.

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XXVI

sujet ιε νγ. On peut expliquer le singulier en observant que νγ peut se lire : και νγ εξηκοστά. Mais on ne serait pas très étonné si le verbe γίνεται était tout aussi indépendant de ιε νγ qu’il l’est de ai μοϊραι ιδ μ. Il se pourrait même qu’on ait dit parfois : ai μοΐραι... μετά... γίνεται μοΐραι ιε και εξηκοστών νγ : « il vient : degrés, 15, et, en fait de soixantièmes, 53 », comme on a, p. 219, 16 : ποιονσιν ημέραν καί ώρών ε.

Il conviendra donc, si l’on veut étudier la grammaire de notre au­ teur, d’éliminer des statistiques tous les passages où μοίρα se ren­ contre et où le contexte n’indique pas clairement à quel cas ce mot se trouve, Il me reste maintenant à remercier tous ceux qui m’ont aidé dans mon travail. D ’abord la Bibliothèque vaticane, qui me fait l’honneur de l’accueillir dans sa collection, et où j ’ai des obligations parti­ culières envers Mgr G. Mercati et Mgr Pelzer. La Fondation univer­ sitaire (de Belgique) a pris à sa charge les frais de clichage des figures. J ’ai dit déjà comment M. A. Deissmann m’avait fait profiter de sa belle découverte à Constantinople. J ’ai reçu de précieux conseils de M. M. Alliaume et de M. le chanoine Lefort, professeurs à l’université de Louvain. Finalement, je dois d’excellentes photographies de ma­ nuscrits à l’amabilité de M. l’abbé Draguet, professeur à l’université de Louvain, et de M. l’abbé Groult professeur à l’école normale de Braine lè Comte. C’est surtout à J.-L. Heiberg que doit aller ma reconnaissance : il avait mis toute sa science à la disposition d’un débutant, qui y a pui­ sé largement. Il a été jusqu’à exécuter lui-même à Venise, une copie des gloses marginales du Marc. 310 qui contenaient des fragments de Théon. Enfin, il devait revoir entièrement le texte grec. Lui dis­ paru, il était à craindre que la qualité du travail n’en souffre.Heureusement Mgr G. Mercati a repris sa place,dt revu scrupuleusement tout l’ouvrage en épreuves. Plusieurs corrections conjecturales sont de lui, et s’il a exprimé le désir de ne pas être nommé dans l’apparat critique — ce qui eût été plus juste — il a trop souci de l’exactitude pour pouvoir s’opposer à ce que le fait soit signalé ici. Il a aussi dé­ barrassé le texte d’une foule d’erreurs qui m’avaient échappé. Mon père, professeur honoraire à l’athénée royal de Malines, a bien voulu m’aider dans la correction des épreuves, et je l’en remercie tout particulièrement, ainsi que mon frère, ingénieur-architecte de

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XXVII

la Basilique du Sacré-Cœur à Koekelberg, qui s’est chargé d’établir les épures des figures compliquées. La composition à là monotype des chiffres grecs a soulevé certains problèmes techniques. Les solutions que l’imprimerie De Meester leur a données, sont, croyons-nous, suffisamment claires. Notons seulement les équivalences suivantes : 24°

20° 4'

= κδ

au lieu de

= κ

i+4ï 5° ήμέραι : déplacement du soleil au bout de chacun des jours d’un mois. Il suffit d’additionner les données de ces cinq tableaux et d’y ajouter la position initiale, pour trouver la position du soleil sur l’excentrique, comptée à partir de l’apogée, (lorsque le nombre des degrés dépasse 360°, il faut en retrancher autant de fois·que possible ce nombre 360° pour éliminer les tours entiers). L ’apogée correspond à 0° 35' des Gémeaux. Exem ple : Soit à calculer la position moyenne du soleil à 7h 40' après midi le 15 Phamenoth de l’an 2 de Mardokempad. Commencement du règne de Mardokempad : 26 ans après l’air un. Donc au commencement de l’an 2 de Mardokempad, je compte 27 ans depuis l’an soit 1 8 + 9 ans.

un,

18» 9» 1803 14j 7h (cfr table des heures) Position initiale Reports Totaux bruts Totaux nets

20' 20’

355» 357 177 13 0 0 0 265»

37' 48 24 47 17 0 0 15

25" 42 51 56 14 49 49 0

CO 05

On aura : 48 39 1 55 16 16 0

20lv 10 37 4 1 54 54 0

34v 17 33 55 21 21 21 0

30vl 15 0 14 9 0 0 0

3

4

3

3

3

1

—

1170

192

289

214

183

203

68

90

12

49

34

3

23

8

La position moyenne est donc 90° 12' à partir de l’apogée.

Cette position moyenne servira ensuite à calculer la position vraie à l’aide de la table de l’anomalie solaire ; en introduisant la correc­ tion de parallaxe, on passera de la position vraie à la position appa­ rente. Cette dernière est modifiée à son tour par l’influence de la réfraction ; Ptolémée le sait, mais il n’est pas à même d’en tenir compte. Il se contente peut-être d’éliminer certaines observations suspectes.

P. XXXVI 1.10, au lieu de 0°35' des Gémeaux, lire 5°30' des Gémeaux.

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§ 5

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ 5. Table de l’anomalie solaire

XXXVII

1.

(Aim., p. 253)

Voir les explications données en tête du § 4. Colonnes 1 et 2. Arguments (αριθμοί κοινοί). Ce sont les posi­ tions du soleil sur son excentrique, comptées à partir de l’apogée. Ces positions sont fournies par la table précédente. Colonne 3. Correction, ou équation d’anomalie (προσθαφαιρέσεις). Arcs qu’il faut ajouter aux positions moyennes du soleil, ou que l’on doit en retrancher, pour trouver la position vraie du soleil sur l’éclip­ tique comptée à partir de l’apogée, qui est 5° 30' dés Gémeaux. Pour les positions non mentionnées dans la table, on fait des interpolations proportionnelles. On retranche la correction, si la position moyenne donnée se trouve in­ scrite dans la colonne 1. On ajoute la correction, si la position moyenne donnée est inscrite dans la colonne 2.

Exemple. Étant donné la position moyenne trouvée précédemment, 90° 12' à partir de l ’apogée, trouver la position vraie. L’argument 90° 12' fait partie de la première colonne : il faut donc re­ trancher la correction. De 90° à 96° la correction est 2° 23'. Comme elle ne change pas, il n’y'a pas lieu de faire une interpolation. On a donc : 90° 12' — 2° 23' = 87° 49' à partir de l’apogée. L’apogée étant Gémeaux 5° 30', la position vraie sera donc 3° 19' de la Vierge. (1) Le sens propre d’anomalie est irrégularité. C’est de cette façon que Ptolémée emploie le mot lorsqu’il dit à la p. 216 de l’Almageste, qu’il va faire la théorie de l’anomalie apparente du soleil. C’est également ainsi qu’il faut comprendre le titre de la table de l’anomalie solaire. Plus loin, dans les tables de la lune (cfr §§ 6 et 7), Ptolémée va, pour abréger, nommer latitude une donnée qui permet de trouver la latitude de la lune ; et il appelle de même anomalie une donnée qui permet de trouver la correction à ajouter à la lon­ gitude moyenne, pour tenir compte de l’irrégularité du mouvement lunaire. Lorsqu’il s’agit du Soleil,la donnée qui permet de trouver la correction,est la position de l’astre sur son excentrique ; on en arrive ainsi à parler,avec les modernes, d’anomalie excentrique. D’où finalement, l’expression paradoxale d’anomalie moyenne, qui, chez les modernes, désigne la longitude qu’aurait le soleil à un instant donné si son mouvement ne présentait pas d’irrégularité.

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XXXVIII

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ 6

Au 1er T h o th d el’an un de Nabonassar, à midi, la longitude vraie du soleil é tait-3° 8' des Poissons. § 6. T ables des m ouvem ents moyens de la lune, (Aim., p. 282)

On trouvera la théorie des mouvements moyens de la lune aux li­ vres 4 et 5 de l’Almageste. Au 4e livre, Ptolémée établit cette théorie en première approxi­ mation. Pappus la résume au commencement de son 5e livre (cfr p. 20,15). La moitié du 5e livre de l’Almageste (p. 350 à 400) est consacrée à la recherche d’une approximation meilleure. Cette re­ cherche est commentée en détails dans les pages qui vont suivre. Nous serons donc très bref ici. La lune effectue sa révolution dans un plan faisant avec l’éclipti­ que un angle de 5°. Nous appellerons « orbe oblique » le cercle que la lune décrit dans ce plan autour du centre du monde. Les points d’intersection de ce plan et de l’écliptique sont les noeuds. Les nœuds font le tour de l’écliptique en sens rétrograde (c’est-àdire dans le sens opposé à celui du mouvement annuel du soleil) à une vitesse de 0° 3' par jour (rétrogradation des nœuds). La lune se déplace sur son orbe oblique dans le même sens que le soleil (mais beaucoup plus vite que lui, détail à retenir pour le calcul des syzygies et des éclipses). Sa vitesse moyenne est de 13° 14' par jour. On appellera ce mouvement « mouvement en latitude », et la position de la lune sur son orbe oblique, « position en latitude ». L’angle que fait le plan oblique avec le plan de l’écliptique est si petit, que les arcs franchis par la lune sur l’orbe oblique différeront très peu de leur projection sur l’écliptique. Dans tous les calculs de longitude de la lune, Ptolémée va donc négliger l’obliquité de l’orbe lunaire, et assimiler les arcs de ce cercle à des arcs de l’écliptique, et le plan oblique au plan de l’écliptique. Cela posé, le mouvement moyen de la lune sur l’orbe oblique, représenterait le déplacement moyen de la lune en longitude, si, pendant qu’elle tourne en sens direct, le plan dans lequel elle se trouve, ne tournait pas de son côté en sens rétrograde. La variation moyenne de la longfftide sera donc la différence entre

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§ 6

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

XXXIX

le « mouvement moyen en latitude » et la rétrogradation des nœuds, soit 13° 14' — 0° 3' = 13° 1Γ par jour. Pour expliquer les irrégularités du mouvement de la lune, Ptolémée a recours à un mécanisme compliqué : La lune parcourt en sens rétrograde, mais à une vitesse variable,un épicycle dont le centre fait en sens direct, à une vitesse variable, le tour d’un excentrique animé lui-même d’un mouvement circulaire à vitesse constante et de sens rétrograde. Aucune vitesse variable n’ayant droit de cité dans ΓΑ1mageste, Ptolémée sera obligé d’introduire des rouages supplémen­ taires dans sa mécanique pour rendre compte des deux mouvements à vitesse variable dont nous parlons pour abréger. Suivons les explications de Pappus, p. 22,5 et partons d’une con­ jonction moyenne, c’est-à-dire d’un instant où le centre de l’épicycle du soleil et celui de l’épicycle de la lune ont même longitude. Sup­ posons en outre que cette conjonction se produise à l’endroit d’un nœud.

Soit B le centre du monde, et A le point de l’écliptique où se passe cette conjonction. On y trouvera donc : un nœud ; le centre de l’épicycle solaire ; le centre de Γépicycle lunaire ; et aussi l’apogée de l’excentrique lunaire dont le centre est en N. Considérons la position de ces éléments au bout d’un certain temps : le centre de l’épicycle solaire se sera déplacé en sens direct et sera, par exemple, en S. Le nœud aura fait un mouvement en sens rétro­ grade, et se trouvera en D. Le centre de l’épicycle lunaire se trouvera

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XL

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§6

sur la droite BHQ, tel que l’angle ABQ soit égal au déplacement moyen de la lune en longitude. La projection Q du centre de l’épicycle sur l’écliptique est donc animée d’une vitesse constante. Mais le centre de l’épicycle est astreint à suivre la circonférence de l’excentrique, et ce dernier est doué d’un mouvement rétrograde : pendant le temps considéré, son centre est allé se mettre en M, son périgée en C, et son apogée en E, de telle façon que l’on ait toujours ES = SQ. E t le ré­ sultat de tous ces mouvements, est que le centre de l’épicycle se trouve en H. Puisque ES = SQ, et que SQ est la différence entre la longitude moyenne du soleil et la longitude moyenne de la lune, aux quadra­ tures moyennes on aura ES = SQ = 90° ou 270°, et le centre de l’épicycle lunaire passera au périgée de l’excentrique ; aux syzygies moyennes on aura ES = SQ = 0° ou 180° , et le centre de l’épicycle lunaire se retrouvera à l’apogée de l’excentrique ; en ce moment, H, E et Q se confondent, comme ils s’étaient confondus à l’instant ini­ tial. Voilà déjà l’une des vitesses variables de tout à l’heure résolue en une combinaison de vitesses constantes, pouvant donc être faci­ lement mise en tables b Reste à décomposer le mouvement de la lune sur l’épicycle en mou­ vements à vitesse constante. Sur l’épicycle, la lune est animée d’un mouvement rétrograde. Ce mouvement est à vitesse constante si on le compte à partir d’un point fixe appelé apogée moyen. Mais l’épicycle vu de la terre est soumis à une sorte de balancement appelé prosneuse, qui fait varier la vitesse de la lune, si l’on prend pour origine de son mouve­ ment sur l’épiçycle l’apogée vrai, c’est-à-dire le point de l’épicycle réellement le plus éloigné de la terre. On suivra facilement ce balancement sur une figure que nous repre­ nons à Pappus : E est le centre du monde. M est le centre de l ’ex­ centrique A ΒΓΔ, parcouru, dans les conditions décrites précédemment, par l’épicycle lunaire. Lorsque l’épicycle est en H, le point le plus éloigné de la terre (ou apogée vrai) est TT. Lorsqu’il est en B, c’est Ξ. Sur la ligne des apsides ΑΜΕΓ, prenons m aintenant EZ = EM. (1) Ce n’est pas cette possibilité de construire des tables qui a fait cher­ cher des combinaisons de mouvements circulaires constants.

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§6

MODE D ’EMPLOI »D ES TABLES 6

XLI

L’apogée moyen, origine du mouvement de ia lune sur l’épicycle, doit constamment se trouver dans le prolongement de la droite qui joint au centre de l’épicycle le point Z qui vient d’être ainsi déter­

miné : c’est en cela que consiste la prosneuse. Ainsi, lorsque l’épicycle est en H, l’origine du mouvement constant'.de la lune (ou apogée moyen) est P ; lorsque l’épicycle est en B, l’apogée moyen est en N. Mais ce qui influe sur la position apparente de la lune, vue de la terre, c’est la distance de la lune à l’apogée vrai Π ou Ξ ; et cette distance ne s’açcroît pas d’une façon constante. Le mouvement à vitesse variable de la lune sur l’épicycle est donc décomposé en un mouvement à vitesse constante, et une variation de la distance entre l’apogée moyen et l’apogée vrai, variation qui est elle-même la résultante d’une combinaison de mouvements à vitesse constante. Nous avons vu qu’aux syzygies moyennes l’épicycle est à l’apogée de l’excentrique, et qu’aux quadratures il est au périgée : un simple coup d’œil à la figure 3 montre qu’aux quatre phases principales de la lune, l’influence de la prosneuse est nulle. En outre, aux syzygies, la figure 2 montre que l’excentrique n’a pas d’influence sur la posi­ tion de la lune. Donc p our le calcul des syzygies, on ne doit tenir compte que de la longitude du centre de l’épicycle et de la position de la lune sur l’épicycle, ce qui permet des simplifications considé­ rables. Au degré d’approximation dont se contente Ptolémée, le procédé simplifié peut même être appliqué tan t que la syzygie moyen­

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XLII

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ 6 A, G, B

ne n’est pas fort éloignée : il servira donc dans tous les calculs d’éclip­ ses. Tout cela posé, les tables des mouvements moyens de la lune vont nous fournir les données dont nous aurons besoin pour chércher dans la table générale de l’anomalie lunaire quelle est la longitude et la latitude de la lune à un moment donné. A. — E x p l ic a t io n

d u t it r e d e s c o lo n n es.

C o lo n n e 1 : μ ή κ ο υ ς ε π ο υ σ ία .

Chemin parcouru par la lune sur l’écliptique, à sa vitesse moyenne, de­ puis l’origine jusqu’au moment donné. Nous appellerons cet arc longitude moyenne, ou bien position moyenne en longitude. C o lo n n e

2.

α ν ω μ α λ ία ς

επ ο υ σ ία .

Chemin parcouru sur l’épicycle dans les mêmes conditions. Nous appelle­ rons cet arc position moyenne en anomalie, ou anomalie moyenne. C o lo n n e 3 . α π ο χ ή ς ε π ο υ σ ία .

Distance sur l’écliptique, entre le soleil et la lune, comptée en sens direct à partir du soleil. Nous appellerons cet arc élongation moyenne. C o lo n n e 4 . π λ ά τ ο υ ς ε π ο υ σ ία .

Chemin parcouru sur l’orbe oblique dans les mêmes conditions. Nous appellerons cet arc position moyenne en latitude.

Chacune des colonnes se retrouve dans cinq tableaux analogues à ceux des mouvéments moyens du soleil : δ κ τ ω κ α ιδ ε κ α ε τ η ρ ίδ ε ς ( ιη [ ) . — 8 τ η α π λ ά . — ώ ρ α ι. — μ ή ν ε ς (α ίγ ύ π τ ιο ι ). — ή μ έ ρ α ι.

B. O r ig i n e . Au 1Γ Thoth de l’an un, à midi (26 Février 747 av. J.-C.), Ptolémée assigne aux quatre arcs qui viennent d’être définis, les valeurs suivantes : L o n g i t u d e m o y e n n e : 11° 22' du Taureau. P o s i t i o n m o y e n n e e n a n o m a lie : à 268° 49' de l’apogée moyen. P o s i t i o n e n l a t i t u d e : à 354° 15' du point de latitude nord extrême. E l o n g a t i o n m o y e n n e : 70° 37'. G. M o d e

d ’e m p l o i d e l a

T able.

On procède comme pour déterminer les mouvements moyens du soleil : on additionne les arcs trouvés dans les cinq tableaux et on leur

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; -y

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■

§ 7

·

·

«w.v1 jsPHj^^ppw^fT^'v^T1"'r ·:*'·γ

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

XLIII

ajoute la position initiale. La seule différence, est qu’ici, l’opération doit être répétéé quatre fois, une fois pour chaque colonne. On trouve ainsi quatre nombres dont le seul rôle est de servir à trouver la position vraie de la lune, à l’aide de la table de l’anomalie lunaire. § 7. Table générale de l’anom alie lunaire. (Aim., p. 390)

Colonnes 1 et 2. αριθμοί κοινοί. Arguments, de signification va­ riable. Colonne 3. έκκεντρου προσθαφαιρέσεις απογείου. Prosneuse, ou distance de l’apogée moyen à l’apogée de l’épicycle (voir ci-dessus, ρ ρ . XL-XL II);

Argument : Deux fois Γélongation moyenne. Procédé : La colonne 3 donne (au besoin par interpolation proportionnelle) un arc compté en degrés et minutes ,qui doit être ajouté à l’anomalie moyenne, si l’on a trouvé l’argument dans la colonne 1 ; il doit en être retranché, si l’argument se trouve dans la colonne 2. Résultat : Le nombre ainsi obtenu est l’anomalie vraie, ou position de la lune sur l’épicycle à partir de l’apogée vraie.

Colonne 4. πλάτους καί μήκους προσθαφαιρέσεις επικύκλου. . Ano­ malie, lorsque l’épicycle est à l’apogée de l’excentrique (donc aux sy­ zygies, c’est à dire lorsque l’élongation est de 0° ou de 180°). Argument : L’anomalie vraie, qui vient d’être trouvée par col 3.

Procédé : 1° aux syzygies : l’arc trouvé dans la colonne 4 (degrés et minutes) est retranché de la longitude moyenne si l’argument est inscrit dans la colonne 1 ; il y est ajouté si l’ar­ gument est inscrit dans la colonne 2. Le résultat est la lon­ gitude vraie de la lune. (Voir plus loin un procédé plus rapide pour l’époque des syzygies). 2° en d’autres temps : La colonne 4 donne un arc dont nous désignerons la valeur absolue par col 4. Cet arc nous servira plus tard.

Colonne 5. επικύκλου διαφορά. Correction, pour le passage de l’épicycle au périgée de l’excentrique (donc aux quadratures, c’esf-àdire lorsque l’élongation est 90° ou 270°). A rgum ent: L’anomalie vraie trouvée par col 3.

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MODE D ’EMPLOI DES TABLES

XLIV

§7

Procédé : 1° aux quadratures ; La colonne 5 donne un arc (degrés et minutes) qu’il faut ajouter à col 4. La somme doit· être retranchée à la longitude moyenne, ou doit lui être ajoutée, suivant que l’argument se trouvait dans la colonne 1, ou la colonne 2. Le résultat est la longitude vraie de la lune. 2° en d’autres tem ps : La colonne 5 fournit un nombre que nous appellerons col 5 et qui va nous servir plus tard.

Colonne 6. διαφορά εξηκοστών. Correction pour toutes les positions, intermédiaires de l’épicycle sur l’excentrique. Argument : Deux fois l’élongation moyenne. Procédé : La colonne 6 donne un nombre (minutes et secon­ des) que nous appellerons col 6. Multiplier col 6 x col 5 Ajouter le produit à col 4 Total: l ’équation d’anomalie ou la prosthaphérèse. Cette différence est retranchée de la longitude moyenne, si l’anomalie vraie est inscrite dans la colonne 1 ; elle lui est ajoutée si l’anomalie vraie est inscrite dans la colonne 2.

R ésultat : La longitude vraie de la lune, à 1' près. Colonne 7. πλάτους. Latitude. Argument : la latitude moyenne. Résultat : par simple lecture ou interpolation, la latitude de la lune.

(Alm.,p.337). Il est inutile, aux environs des syzygies, donc dans tous les cal­ culs d’éclipses, de s’embarrasser de la prosneuse et de l’excentrique. On peut alors, au § 6, omettre la détermination de l’élongation moyenne ; et pour rechercher la longitude vraie, au § 7, on ne doit faire intervenir que les colonnes 1, 2 et 4 que l’on retrouvera, numé­ rotées 1, 2 et 3 à la page 337 de l’Almageste. P r o c é d é p l u s s im p l e p o u r l ’é p o q u e d e s s y z y g ie s

Exemple. Étant donné (cfr § 6 B) les positions moyennes de la lune au 1er Thoth de l’an un à midi, trouver sa longitude vraie. Colonne 3. Argument :

2 x 70° 37’ = 141° 14'. Interpolation : pour 141°, prosneuse : 11° 2' à ajouter. pour 144°, prosneuse : 10° 33' à ajouter, donc pour 141° 14', prosneuse : 11° 10' à ajouter.

On a donc : anomalie moyenne prosneuse à ajouter

anomalie vraie

. . . . . . . .

268° 49 11° 0'

. . . .

279° 49'

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Colonne 4. Pour 276«

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MODE

d ’emploi d e s tablés

^

li

2. Table de correction d’après Ptolém ée. Telle que nous venons de la trouver dans l’édition Halma et dans Albattani, la table facile des parallaxes ne peut servir que si la lune est à l’apogée de l’épicycle, et l’épicycle à l’apogée de l’excentrique; D ’après la liste des tables faciles, reconstituée par Heiberg dans P tolemaei Opera astronomica minora, p. cxc, après la table des parallaxes, n° 15 (σελήνης παράλλαξις εν τοΐς επτά παράλληλοις), devait venir une table de correction, n° 16, κανόνων διορθώσεως. C’est à to rt que Heiberg identifie cette table avec Aim., p. 522. D ’abord la table de la p. 522 sert à corriger les calculs de grandeurs et de durées d’éclipses. Ensuite, dans les tables faciles, elle porte le titre de προκανόνιον, Pappus est formel sur ce point (cfr Pappus, 6e livre, p. 251, 18). Le προκανόνιον est la table facile n° 18, qui précède immédiatement la table des éclipses de lune, n° 19, σελη­ νιακών εκλείψεων δύο κανόνια. D’après Ptolémée, Opera astronomica minora, p. 175, 15, c’est la 3e colonne du κανόνων διορθώσεως qui doit intervenir, lorsqu’on fait des calculs de parallaxe devant servir aux calculs d’éclipses de soleil. Or, aux environs des syzygies, on ne doit tenir compte que de la position de la lune sur son épicycle : l’action de la prosnèuse et celle de l’excentrique sont négligeables. Donc, la 3e colonne devait conte­ nir des coefficients de correction pour les diverses positions de la lune sur l’épicycle. Nous disons coefficients : c’est que, p. 175, 15, Ptolémée s’exprime ainsi : όσα εάν ή τα παρακείμενα αντφ εξηκοστά êv τφ τρίτω σελιδίω, τά τοσαντα εκατέρας των άπογεγραμμένων παραλλάξεων προσθέντες χωρίς εκάτερα τάς επί τον τότε αποστήματος ύξομεν παραλλάξεις. Nous comprenons qu’il faut multiplier le nombre de minutes donné dans la colonne 3 par les parallaxes en longitude et en latitude trou­ vés dans la table des parallaxes. Les deux produits sont alors ajou­ tés à ces mêmes parallaxes, et l’on trouve les composantes en longi­ tude et en latitude de la différence entre la parallaxe lunaire et la parallaxe solaire, étant donnée la distance de la lune à la terre au mo­ ment en question (επί τον τότε αποστήματος) ce qui revient à dire, étant donnée la position de la lune sur son épicycle, puisqù’au mo­ ment d’une éclipse, l’épicycle est toujours à l’apogée de l’excentrique. Si la 3e colonne servait aux positions de la lune sur l’épicycle, il n’est pas téméraire de supposer qu’une 4e colonne devait servir à tenir compte du mouvement de l’épicycle sur l’excentrique ; et d’au?

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LII

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§

93

tre part, que les colonnes 1 et 2 contenaient les arguments, comme dans la plupart des tables. Cela donné, nous pouvons partir à la recherche du κανόηον διορθώσεως.

3. La table facile de correction dans  lbattani (t. 2, p. 89) Cette table est disposée en cinq colonnes : C o lo n n e C o lo n n e C o lo n n e C o lo n n e C o lo n n e

I : arguments, de 6° en 6°, depuis 6° jusqu’à 180°. I I : arguments, de 6°,en 6°, depuis 354° jusqu’à 180°. I I I : la table de l’Almageste, p. 522. I V : « épicycle ». V : « excentrique ».

En voici un fragment : A rgum ents

Col I

C o lli

60® 66» 72»

300» 294» 288»

108» 114» 120»

252» 246» 240®

. .

.

• · ·

E p ic y c l e E x c e n t r iq u e

Col III

Col IV

Col V

14' 0" 16'48" 19' 36"

3' 3' 4'

9' 11' 13'

38' 0" 41' 0" 44' 0"

8' 8' 9'

22' 24' 25'

» · ·

• . ·

. .

.

Les colonnes I, II, III constituent la table facile n° 18. Les colonnes I, II, IV, V constituent la table facile n° 16. Ces deux tables sont donc fusionnées en une seule chez Albattani. Cette réunion est antérieure à Pappus. Nous en trouvons la preuve au 6e livre, p. 296, note 3. Pappus ayant besoin du coefficient de correction « épicycle », correspondant à l’argument 60°, écrit 14' : il s’est trompé de colonne. Si l’on enlève la colonne I I I , qui provient de la table 18, la colonne épicycle devient la 3e, comme le veut le texte de Ptolémée cité to u t à l’heurei En outre la colonne « épicycle », maniée comme Ptolémée le deman­ de dans ce passage, donne des résultats correspondant à 1' près à ceux de l’Almageste, et concordant exactement avec ceux que Pap­ pus obtient lorsqu’il dit s’être servi des tables faciles.

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§9 3 A

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

LUI

Nous pouvons donc être assurés d’avoir retrouvé le κανόηον διορθώσεως. En voici le mode d’emploi. A. Colonne

epicycle .

Argument : La position de la lune en anomalie (cfr § 6 A colonne 2). Vu le degré d’approximation requis, on peut indifféremment faire usage de l’anomalie moyenne ou de l’anomalie vraie (§ 7 colonne 3). L ’argument est ici l’anomalie elle-même, et pas, comme dans ΓΑ1mageste, la moitié de l’anomalie ou son supplément. Procédé : Le coefficient de la colonne « épicycle » est multiplié par les parallaxes en longitude et en latitude trouvées dans la table facile des parallaxes. On obtient ainsi deux corrections à ajouter à ces deux parallaxes. Résultat : La parallaxe lunaire, diminuée de celle du soleil, et ré­ duite à ses composantes en longitude et en latitude,lorsque le moment donné est aux environs d’une syzygie. En effet,reprenant les notations qui ont été adoptées au § 8 C, on se rappelle que, lors des syzygies, la parallaxe verticale de la lune est : A = col 7 X col 4 4- col 3 Appelons S la parallaxe verticale du soleil ; la différence des parallaxes sera A — S. Or (§ 8 D), les composantes en longitude et en latitude ne sont que les parallaxes verticales multipliées par un sinus ou un cosinus. Ces compo­ santes seront donc : (A—S) sin X = [ (col 7 X col 4 + col 3) — S] sin x. Appelons T un nombre trouvé dans la table facile des parallaxes. C un coefficient de correction fourni par la table de correction. On a : T = (col 3 — S ) sin x. Mais on peut constater empiriquement que col 4 est toujours à peu près le 1/5 de col 3. On peut voir aussi que les coefficients de la colonne « épicy­ cle t, sont le 1/5 de col 7. On aura donc : C = A. col 7 d’où :

C T = A col 7 (col 3 — S) sin x CT = ( ^ col 7 X col 3 — — S col 7) sin x

Ou, à peu près : C T = (col 7 X col 4 — A S X col 7) sin x d’où :T + C T = (col 7 χ col 4 — ~ S X col 7 + col 3 — S) sin x Si Ton veut arriver à une approximation de 1' seulement, on peut négliger dans la parenthèse le terme A S X col 7,

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MODE D ’EMPLOI DES TABLES

LIV

car

§9 3 B

Ì5 col 7 X S X sin x < 36"

En effet 1k col 7 n’est jamais supérieur à 12' S n’atteint pas 3' et, évidemment, sin x < 1. On aura donc à peu près : T + C T = (4 — S) sin x. Par conséquent, si l’on manie la table de correction comme nous le proposons, on trouvera la différence des parallaxes solaire et lu­ naire décomposée en parallaxe en longitude et parallaxe en latitude.

Exemple. Reprenons le calcul du § 8 C et D, en supposant que l’élonga­ tion moyenne est 0°, c’est-à-dire qu’on est aux environs d’une syzygie, toutes les autres conditions restant les mêmes. L’Almageste va donner : Parallaxe verticale de la lune (qui se réduit à A) 0» 52' 52" Parallaxe verticale du soleil 0° 2' 28" Différence des parallaxes 0° 50' 24", qu’il faudrait réduire en ses composantes en longitude et latitude par le procédé indiqué au § 8 D. Dans la table facile,on trouve sous le climat de Rhodes et le signe du Tau­ reau, à 4h avant la culmination : parallaxe en longitude : 24'. parallaxe en latitude : 37'. Dans la table de correction (Albattani, p. 98) on trouve pour une anoma­ lie 120° un coefficient de correction 9'. Il vient ainsi :

24' X 9' = 216" = 3' 36" 37' X 9' = 333" = 5' 33" Donc : parallaxe en longitude : 24' + 3' 36" = 27' ou 28' parallaxe en latitude : 37' + 5' 33" = 42' ou 43' La somme des carrés de ces parallaxes, qui doit être égale au carré de 0° 50' 24", est trop faible si l’on prend les approximations par défaut, à 1' près, 27' et 42' ; et trop forte, si on les prend par excès, 28' et 43' : nous avons donc trouvé à 1' près le résultat de l’Almageste.

B.

— Colonne

e x c e n t r iq u e .

Pappus n’en fait pas usage dans le 5e et le 6e livre de son Commen­ taire. A r g u m e n t : le double de l’élongation, c ’est à dire la position du centre de l’ épicycle sur l’ excentrique. La colonne excentrique donne un coefficient qu’on n’a qu’à multi­ plier par les parallaxes en longitude et en latitude obtenues en se servant de la colonne « épicycle ». Les deux produits sont ensuite ajoutés à ces mêmes parallaxes,

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§ 9 4

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

LV

Le résultat doit ensuite être majoré de 1/20, dit Ptolémée, pour donner une approximation de la parallaxe lunaire, en dehors du temps des syzygies l. Exemple, Reprenons toujours le calcul du § 8, C et D, en supposant main­ tenant que l’élongation est 120°. Nous venons de trouver, en introduisant la correction de la colonne épicycle, parallaxe en longitude : 28' par excès. parallaxe en latitude : 43' par excès. Pour trouver le coefficient de correction de la colonne excentrique, nous devons prendre comme argument 120° x 2 = 240°. La colonne excentrique donne pour 240, le coefficient 25'. On aura donc: 28' x 25' =11' 40" ou 12' 43' X 25'= 17'55" ou Ï8' Puis :

28' + 12' = 40' 43' + 18' = 61' '21

Et finalement : 40' x — = 0° 42'

/

60' X 2I = lo3' 20

ce qui est, à 1' près, la parallaxe lunaire que nous avions trouvée à la fin du § 8 D.

4. La table facile de correction dans l’édition Halma. Uqe fois connu ce qui précède, il ne sera pas difficile de reconnaître la table de correction des parallaxes, dans le tableau qui est allé s’égarer au tome I, p. 146, de l’édition Halma. Là aussi, nous retrou­ vons une combinaison des tables 16 et 18. Mais Halma l’a intitulée

(1) Ce mode d’emploi a été trouvé a priori, par un raisonnement semblable à celui qui vient d’être fait pour la colonne épicycle. Seulement, pour la colonne épicycle, après avoir trouvé la méthode, nous avons pu comparer s e t résultats à ceux que Pappus dit avoir obtenus au moyen des Tables fa­ ciles. Nous avons donc de nombreuses confirmations de notre façon de com­ prendre les choses. Pour la colonne excentrique, nous n’avons jusqu’à présent qu’une seule indication a postériori : c’est qu’en général, les résultats des tables faciles correspondent à 1' près à ceux de l’Almageste. Or, la méthode que nous exposons mène à des résultats présentant cette propriété. Peut-être l’étude plus détaillée de Théon nous fournira-t-elle des renseignements po­ sitifs.

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LVI

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ 9 4, § 10

προκανόνιον, ce qui est le titre de la table 18, tandis qu’Albattani lui avait donné un titre répondant à celui de la table 16. Si l’on met le texte de Halma en face de celui qu’a débrouillé et traduit M. Nallino, on le corrigera facilement. Voici un fragment de cette table. Il correspond à celui d’Albattan i qui a été donné plus haut. κοινοί αριθμοί μοΐραι

έξηκ.

διόρθωσις κέντρου ίπικύκλου καί σελήνης έξηκοστά

οβ

τ σηδ απη

ιδ ιζ κ

V V δ

θ ια ιγ

ρη ριδ ρκ

σνβ αμς αμ

λη μα μδ

V V θ

κβ κδ κε

1 Se

On voit immédiatement que la colonne intitulée κοινοί αριθμοί est la table n° 18. Les deux colonnes portant la suscription μοΐραι, sont celles que nous avons appelées chez Albattani colonne I et co­ lonne II . La colonne έξηκ., est celle que dans Albattani nous avons nommée colonne I I I , sauf qu’ici les secondes ont été enlevées et les minutes forcées ; c’est plus conforme au style des tables faciles. Aussi, ta n t qü’une édition des tables faciles de Ptolémée ne sera pas venue régler cette question, il faut considérer comme plus probable que la table n° 18 n’avait pas de secondes, et qu’Albattani l’a perfectionnée en recopiant la table correspondante de l’Almageste. Les deux dernières colonnes sont celles que nous avons appelées colonne I V et colonne V. Nous proposons d’en lire le titre, toujours en attendant qu’on nous donne une édition des tables de Ptolémée, διόρθωσις σελήνης έπικύκλον και κέντρου

§ 10. Table des syzygies. (Aim., p. 466)

Ces tables perm ettent non seulement de connaître le moment où se produisent toutes les pleines lunes et les nouvelles lunes d’une

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§ 10 1

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

L V II

année déterminée, mais en outre, de déterminer toute une série d’élé­ ments dont la connaissance est requise pour calculer les éclipses selon la méthode de Ptolémée. On distingue : 1° La syzygie moyenne, instant où le centre de l’épicycle du soleil e t le centre de l’épicycle lunaire ont même longitude (conjonction) ou sont à 180° l’un de l’autre (opposition). 2° la syzygie vraie, instant où la lune et le soleil sont réellement en conjonction ou en opposition. 3° La syzygie apparente, instant où l’effet de la parallaxe, qui affecte plus fortement la position apparente de la lune que celle du soleil, donne à un observateur placé en un’point déterminé de la sur­ face de la terre, l’illusion que le soleil et la lune sont en conjonction ou en opposition. 1. Description de la table. La table est répartie en quatre tableaux : T a b l e a u I. σ υ νό δ ω ν κ α ν ό ν ιο ν . Sert au calcul de la première con­ jonction de chaque période de 25 ans ( ε ΐκ ο σ α π ε ν τ α ε τ η ρ ίδ ω ν ou κ ε [_). T a b l e a u IL π α ν σ ε λ ή ν ω ν κ α ν ό ν ιο ν . Sert au calcul de la première opposition de chacune des mêmes périodes. T a b l e a u III. ε ν ια ύ σ ιο ι ε π ο υ σ ία ι . σ ύ ν ο δ ο ι π α ν σ ε λ η ν ια κ α ί . Sert à trouver la première syzygie des autres années de chaque période. T a b l e a u IV. ( μ ή ν ε ς ) . Sert à calculer toutes les syzygies de l’année. Ces quatre tableaux sont divisés en cinq colonnes : Colonne 1 : arguments (périodes, années, mois). Colonne 2 : ( ή μ έ ρ α ί ) . Donne la date à laquelle a lieu la syzygie cher­ chée. Colonne 3 : (α π ό τ ο ν α π ο γ ε ίο υ τ ο ϋ ή λ ιο υ , μ ο ϊρ α ι α π ο χ ή ς ή λ ιο υ ) . Donne la position moyenne du soleil en longitude, à partir de l’apo­ gée de celui-ci (qui est 5° 30' des Gémeaux), au moment de la syzygie cherchée. La position moyenne de la lune en longitude est la même, s’il s’agit d’une conjonction. Elle en diffère de 180° dans le cas d’une opposition. Colonne 4. (α π ό τ ο ϋ α π ο γ ε ίο υ τ ο ϋ ε π ικ ύ κ λ ο υ τ ή ς σ ελ ή ν η ς α ν ω μ α λ ία ς ) . Donne la position moyenne en anomalie de la lune, au moment de la syzygie cherchée.

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LVIII

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ io 2

Colonne 5. (από τοϋ βορείου πέρατος. πλάτους). Donne la position moyenne de la lune en latitude au moment de la syzygie cherchée. 2. Calcul de la syzygie moyenne. A. Première nouvelle lune moyenne de Vannée (cfr. Aim., p. 472). La date étant donnée suivant l’ère de Nabonassar, ou étant ré­ duite à cette ère, on cherche dans le T a b l e a u I, colonne 1, le plus grand nombre qui est contenu dans le «millésime»; on note les nombres inscrits dans les quatre autres colonnes en regard de cet argument. Ensuite on retranche ce même argument du millésime. On cherche la différence ainsi trouvée dans le t a b l e a u III, co­ lonne 1 ; on note les nombres qui y correspondent dans les quatre autres colonnes. Ajoutant ces nombres à ceux qui ont été trouvés précédemment, on a la date de la l re conjonction moyenne, ainsi que la position moyenne du soleil et de la lune en longitude, la position moyenne de la lune en anomalie, et la position moyenne de la lune en latitude. On remarquera que les nombres des périodes de 25 ans sont 1,26, 51 etc. : on n’a donc ici qu’à prendre le « millésime » donné, sans songer que l’an 1068 est en réalité l’an mil soixante huitième (cfr ci dessus, § 4 B).La date est donnée en jours et fractions sexagésimales de jour (cfr § 4 A 3°). Évidemment, si le nombre de jours est supérieur à 30,on dépasse Thoth et l’on tombe dans Phaophi (cfr. p. 180, note 2).

B. Première pleine lune moyenne de l’année. On additionne les nombres des t a b l e a u x II et III comme on vient d’additionner ceux des t a b l e a u x I et III. C. Autres syzygies de Vannée. Ayant la première pleine lune ou la première nouvelle lune de l’année, il suffit d’ajouter aux quatre nombres qui la caractérisent, les nombres des colonnes correspondantes du T a b l e a u IV, pour ob­ tenir les dates de toutes les oppositions ou de toutes les conjonctions de l’année, avec les positions de la lune ou du soleil à ces instants. Les heures trouvées sont en temps moyen d’Alexandrie (cfr Aim., p. 473, 7). Pour éviter au lecteur un travail inutile, Ptolémée insère en tre les t a b l e a u x III et IV (Aim., p. 471, 29-30) les limites de éclipses. La ligne 29 sert aux éclipses de soleil et la ligne 30 aux éclipses de lune. Ces indications sont placées là parce que le livre est déroulé à cet en-

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§ 10 3

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MODE d ’e m p l o i d e s t a b l e s

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l ix

droit au moment où s’achève l’addition. Si la position de la lune en latitude qu’on vient de trouver n ’est pas comprise entre les limites indiquées,et si l’on calcule la syzygie pour trouver l’heure d’une éclip­ se, il est inutile de continuer : l’éclipse est impossible. 3. Calcul de la syzygie vraie. A. Lors de la syzygie moyenne, le soleil et la lune ne peuvent pas être à plus de 7° l’un de l’autre. La différence entre le moment de la syzygie moyenne et celui de la syzygie vraie ne sera donc que de quel­ ques heures. B. Signe de la correction. On calcule la position vraie du soleil et de la lune au moment de la syzygie moyenne. On se sert pour cela des positions moyennes du soleil et de la lune qu’on a trouvées il y a un instant, et l’on suit la marche indiquée au § 5 et au § 7 (procédé plus simple pour l’époque des syzygies). Si en position vraie la lune est avant le soleil, la syzygie vraie est déjà passée, et il faudra retrancher la correction. Dans le cas contraire, il faudra l’ajouter au temps de la syzygie moyenne. C. Valeur absolue de la correction. 1. Ayant trouvé la distance vraie entre le soleil et la lune au mo­ ment de la syzygie moyenne, on la multiplie par 13/12 (pour tenir compte du déplacement du soleil penant l’intervalle entre la syzy­ gie moyenne et la syzygie vraie). 2. On cherche la vitesse horaire de la lune en longitude au moment de la syzygie moyenne. a. Pour cela, on donne un accroissement de 1 degré à la position moyenne en anomalie au moment de la syzygie moyenne. Giri évalué la variation de l’équation d’anomalie qui résulte de cet accrois­ sement. On obtient ainsi la variation de l’équation d’anomalie résultant d’un dé­ placement de 1° de la lune sur l’épicycle. v b. En une heure, la lune se déplace en moyenne de 0° 32' 40" sur l’épicycle. Donc en multipliant par 32' 40" la variation trouvée en a, on aura la variation horaire de l’équation d’anomalie. Mais cette variation de l’équation entraîne une variation identique de la Vitesse à laquelle se déplace la lune en longitude. c. La vitesse moyenne de la lune en longitude est de 32' 56" à l’heure. Si

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Lx

RjODE D ’EM PLOI D ES TABLES

§ 10 3 C 2, 3

la lune est dans la région de l’apogée de l’épicycle (c’est à dire entre les degrés 264° et 96° de l’épicycle), on retranche à la vitesse moyenne en longitude, cette variation'de l’équation. Si la lune est dans la région du périgée de l’épicycle, on ajoute la variation de l’équation à la vitesse moyenne en longi­ tude. Le résultat est la vitesse horaire de la lune au moment de la syzygie. Les tables faciles permettent d’estimer rapidement cette vitesse horaire. Le procédé à suivre est décrit par Ptolémée (Opera astronomica minora, p. 176,15-20) : Dans le ποοκανόνιον ou table facile n° 18 (que nous avons identifiée avec Aim., p. 522 ; avec Albattani t. II, p. 89, colonnes I, II, III ; et avec la colonne unique intitulée par erreur κοινοί αριθμοί dans Tables faciles ed. Halma t. I, p. 146), on prend le nombre de mi­ nutes de la colonne III qui répond à la « position moyenne en anomalie ». On divise ce nombre par 10 et l’on ajoute 30’ au quotient : on obtient à une minute près la vitesse de la lune à l’instant donné. La table des vitesses de la lune, dans Albattani t. 2, p. 88, ne provient donc pas des tables faciles. La vitesse maximum qu’elle admet, est d’ailleurs légèrement inférieure à celle que suppose l’Almageste.

3. Divisant l’arc obtenu en 1 par la vitesse trouvée en 2, on aura le temps qui séparé la syzygie moyenne de la syzygie vraie. On sait, d’après B, laquelle des deux syzygies s’est passé la première. E t l’on trouve finalement l’heure delà syzygie vraie en temps moyen d’Alexan­ drie \

(1) Nous expliquerons â propos du 6e livre de Théon la méthode de cal­ cul des syzygies vraies préconisée par les Tables faciles. Pappus se contente d’y faire une allusion au 5e livre (cfr ci-dessous, p. 61, 13). Cette allusion devient claire si l’on se réfère à l’Introduction aux tables faciles de Ptolémée ( P t o l e m a e i Opera astronomica minora, p. 176, 23 - 177, 15) ainsi qu’aux deux commentaires de Théon (Commentaire dédié à Ëpiphane, cfr Tables faciles, ed. Halma, t. I, p. 75 ; Commentaire dédié à Eulalie et Origène, cfr. Par. gr. 2450 fol. 155v). Pour tenir compte de l’influence de l’excentrique, lorsqu’on a trouvé la position vraie du soleil et de la lune au moment de la syzygie moyenne (cfr ci-dessus, 3 B) les Tables faciles conseillent de calculer les 17/60 de la distance entre ces deux positions au moment de la Syzygie moyenne (Ptolémée ex­ prime évidemment cette fraction à l’égyptienne, 1/4 1/30). L’arc ainsi trouvé est ajouté à la position de la lune sur son épicycle, si la lune est en arrière du soleil ; il est retranché de cette position si la lune est en avant du soleil.On cherche alors dans la table facile de l’anomalie lunaire la prosthaphérèse qui répond à la position de la lune sur l’épicycle ainsi modifiée. On obtient finalement une nouvelle approximat ion de la longitude lunaire, qu’on in­ troduit dans le calcul de la syzygie vraie. L’on procède ensuite d’une manière analogue à celle qui vient d’être décrite au n° 3.

Pappus et Théon ne mentionnent cette correction que pouf signaler qu’en

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§ 10 3 D, 4

MODE D ’EM PLOI D ES TABLES

LXI

D. Lorsque le calcul des syzygies a pour b u t de déterminer l’heure d ’une éclipse de soleil, il ne suffit pas de connaître l’heure de la syzygie vraie, il faut encore trouver celle de la syzygie apparente. 4. Calcul de la conjonction apparente. Ce calcul, qui ne sert que pour la détermination de l’heure des éclipses de soleil, est expliqué par Ptolémée Aim., p. 528, de la façon suivante : A . Chercher l’heure dé la conjonction vraie, temps moyen d’A­ lexandrie (Aim., p. 528, 2). B . Réduire cette heure en temps moyen local (Aim., p. 528, 5). C. Chercher le moment de la conjonction apparente (Aim., p. 528, 12). Pour cela : 1. Calculer la parallaxe verticale de la lune au moment de la conjonction vraie (temps local), en tenant compte de l’anomalie (Aim., 528, 16). 2. En retrancher la parallaxe verticale du soleil (Aim., 528 23). 3. Réduire le reste en parallaxe en longitude (Aim., 528, 25). Appelons cette parallaxe en longitude, p. 4. Ajouter l’épiparallaxe (Aim., 529, 5) c’est-à-dire : a. Calculer le « temps correspondant à la parallaxe en longitude ». (Ptolémée Veut dire : diviser l’arc p par la vitesse de la lune au moment de la conjonc­ tion [cfr ci-dessus 3 C 2] ; on trouve ainsi une première approximation du temps qui sépare la conjonction vraie de la conjonction apparente), b. Ce temps s’ajoute à l’heure de la conjonction vraie ou s’en retranche, suivant que la parallaxe p déplace la lune dans le sens opposé à l’ordre des signes du zodiaque, ou dans la direction des signes. On obtient ainsi l'heure approximative de la conjonction apparente. c. Calculer la différence entre la parallaxe du soleil et celle de la lune pour cette heure approximative, et réduire cette différence en parallaxe en longi­ tude. Appelons cette dernière quantité, c. d. Calculer la différence p — c = d. P 4 e. Calculer une quatrième proportionnelle : — = — d X Alors X + 4 = e ou épiparallaxe, qu’on ajoutera à p (Aim., 429, 12).

5. Prendre les 13/12' de (p + e) pour tenir compte du mouvement dtf soleil (Aim., 529, 14).

pratique elle est omise, et que l’Almageste fait complètement abstraction de l’influence de l’excentrique dans ses calculs de syzygie.

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MODE D ’EM PLOI D ÈS TABLES

L X II

§

10 5

6. Diviser le produit par la vitesse de la lune au moment de la conjonction. (Aim., 529, 16). Le quotient sera le temps qui sépare la conjonction vraie de la conjonction apparente. 7. On ajoute ce quotient ou on le retranche comme ci dessus 4 b (Aim., 529, 19 - 530, 13) et Ton trouve l'heure de la conjonction apparente, qui est à peu près l’heure du milieu de l’éclipse solaire x.

5. Calcul de la conjonction apparente à l’aide des tables faciles. On suit exactement le même chemin. Mais les tables faciles per­ m ettent d’aller plus vite : C 1, 2, 3 et C 4 c se trouvent d’un coup, par une petite multipli­ cation (cfr. § 9). C 4 a et C 6, sont abrégés parce qu’on dispose d’un moyen expé­ ditif d’estimer la vitesse de la lune (cfr ci-dessus 2 C 3). Exem ple. Nous avons dû, au 6e livre, pp. 292 sqq., refaire tous les cal­ culs d’une conjonction vraie, en nous servant d’abord des Tables faciles, ensuite des tables de l’Almageste. En outre, pour déterminer la date à laquelle Pappus rédigeait son com­ mentaire (voir ci-dessus, p. x), nous avons achevé le calcul, amorcé au commencement du 6e livre, pp. 180 sqq., de l’éclipse de soleil arrivée le 17 Tybi 1068 (18 octobre 320). Voici le détail de ce calcul : 2. Syzygie moyenne. A . Première nouvelle lune moyenne de Vannée 1068. (Aim., p. 470 et 472). années 1051 17 1068

dates 22i 47' 20" 25i 57’ 19" 48J 44' 39"

longitude 31“ 26' 47" 21“ 26' 58" 52“ 53' 45"

anomalie 108“ 10' 4" 47» 19' 30" 155“ 29' 34"

latitude 191“ 16' 17" 351» 29' 44" (542“ 46' 1") 182“ 46' 1"

Ë. Autres nouvelles lunes de l’armée 1068. On ajoute à 48Ì 48Ì 783 1073 1373

44' 39" les nombres du 44' 39" = Phaophi 16' 29" - Athyr 48' 19" = Choiak 20' 9" = Tybi

tableau

IV. Il vient :

18 18 17 17 etc.1

(1) La parallaxe étant évaluée fort inexactement pâr Ptolémée, il peut arriver que le temps de la conjonction vraie obtenu par les procédés de l’Al­ mageste ou des tables faciles, constitue une meilleure approximation de l ’heure de l’éclipse, que celui de la conjonction apparente.

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§

10

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

XLIII

La nouvelle lune tombe donc le 17 Tybl, 20' 9" de jour après midi (ou 811 3' 36" après midi). On avait à cet instant : longitude moyenne : anomalie moyenne : latitude :

3.

140° 12' 45". 232° 56' 34". 274» 46' 43".

Syzygie vraie.

B . Signe de la correction. Équation de l’anomalie solaire : Longitude moyenne du soleil : 140° 12' 54". pour une longitude de 138° équation 141° équation 140° équation

1» 39' à retrancher. 1° 33' à retrancher. 1® 35' à retrancher.

Équation de l’anomalie lunaire : Anomalie moyenne de la lune : 232» 56' 34". Pour une anomalie de 231° équation 234» équation 233® équation

4» 7' à ajouter. 4» 16' à ajouter. 4» 13' à ajouter.

Donc au moment de la syzygie moyenne, la lune a une avance de 5» 48' sur le soleil, et la syzygie vraie est déjà passée.

C. Valeur absolue de la correction.

1.

. 13 5» 48' X — = 6» 17'. 12

2. Vitesse horaire de la lune d’après les tables fâcilés (Albattani, t. 2, p. 80, ou A im ., p. 522). Pour une anomalie 233° je divise par 10 j’ajoute 30'

la table donne 46' vient 4' on a 34', vitesse de la lune.

3. 6» 17' : 34' = 11* 5'. La syzygie vraie a donc eu lieu 1111 5' avant la syzygie moyenne, donc à 9h du matin. 4.

Syzygie apparente

A et B. La syzygie vraie a lieu à 9*1 du matin ou 3^ avant midi. C 1,2, 3 (d’après les tables faciles). Longitude vraie au moment de la conjonction vraie : 140» 13' — 6» 17' = 133» 56' à partir de l’apogée du soleil, qui est 5® 30' des Gémeaux. La conjonction vraie se passe donc sur 19® 26' de la Balance, ou, pour simplifier, sur 20® de la Balance. (cfr. Albattani, t. 2, p. 97, climat de 14 heures ou d’Alexandrie) : Parallaxe (différence) en longitude 0» Balance 3 h. avant midi : 39' Parallaxe (différence) en longitude 0 “ Scorpion 3 h. avant midi : 40' Parallaxe (différence) en longitude 20® Balance 3 h. avant midi : 39' 40" ou 40'.

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LXIV

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§10

(cfr. Albattani, t. 2, p. 89, colonne épicycle, ou éd. Halma, 1 .1 , p. 146) : Pour une anomalie moyenne 233°, coefficient de correction : 9' La correction sera donc : 40' x 9' = 360" = 6'. Différence entre la parallaxe en longitude de la lune et celle du soleil : 40' + 6' = 46' = p La parallaxe, en ce moment, déplace la lune dans le sens de l ’ordre des signes 1. Au moment de la conjonction vraie, la conjonction apparente est donc passée.

4.

épiparallaxe.

a.

vitesse de la lune (cfr 3 C 2) : 34' p = 46' 46' : 34' = l b 25' avant la conjonction vraie.

c. (Cfr Albattani, t. 2, p. 97). Parallaxe en longitude, 0° Balance 4b 1/2 avant midi : 47' Parallaxe en longitude, 0° Scorpion 4*111/2 avant midi : 47' Parallaxe en longitude, 20° Balance 4b 1/2 avant midi : 47' Correction pour anomalie 233° : 47' x 9 = 423" = 7' 3". Parallaxe en longitude : 47' + 7' = 54' = c.

(1) La façon la plus simple de voir dans quel sens agit: la parallaxe en lon­ gitude, est de tracer une figure représentant la parallaxe verticale, la paral­ laxe en longitude et la parallaxe en latitude* On dessine l’horizon, et l’écliptique dans la positioh qu’il a au moment considéré. On place la lune sur l’écliptique suivant la longitude qu’elle a. La table facile donne la parallaxe en longitude et la parallaxe en latitude, en indiquant si cette dernière rejette la position apparente au nord ou au sud de l’écliptique. Sur un grand cercle perpendiculaire à l’écliptique, on porte cette parallaxe en latitude, et l’on voit immédiatement dans quel sens il faut porter sur l’écliptique la parallaxe en longitude pour que l’hypoténuse du triangle rectangle dont les deux parallaxes font les côtés de l’angle droit, soit un grand cercle vertical. La figure est toute faite sur un astrolabe plan. Les anciens devaient beau­ coup se servir de l’astrolabe pour leurs constructions d’astronomie sphérique. Et l’on se. facilite bien des choses en faisant comme eux, lorsqu’on veut lire leurs ouvrages. 11 est très facile de se construire un astrolabe plan, en décal­ quant à part, sur du papier transparent, l’araignée et le disque de climat (à la même échelle évidemment) d’une des nombreuses gravures représentant cet instrument. L’astronome moderne pense en géométrie analytique et, pour lui, ce procédé ne servira peut-être pas à grand’ chose ; mais celui qui aborde les textes anciens sans avoir passé par une formation mathématique, en arrivera fatalement à penser, comme les anciens, en géométrie synthétique. Et il se trouvera plus à l’aise s’il a en mains un astrolabe qui lui reproduit intuitivement les constructions géométriques mobiles représentant les mou­ vements d’astres.

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§ il 1

MODE D ’EMPLOI DES TABLES d.

e.

p

LXV

_ c = 54' — 46' = 8' = d .

p

d

d

X

46 — 8

Ç = —

8 X

= —

1 = 1'

e = p + d + æ = 55' 5.

6.

55'

13

X

-

= 60'

60': 34' = 1*46'.

La conjonction apparente tombera l h 46' avant la conjonction vraie, donc à 7111/4 du matin environ.

§ 11. Tables des éclipses. (Aim., p. 519)

É tan t trouvés les divers éléments que fournissent les tables des syzygies, les tables des éclipses permettent de déterminer si une syzygie donnée s’accompagnera d’une éclipse visible en un lieu donné de la « terre habitée », et éventuellement, quelle sera la durée et la grandeur de cette éclipse. Ensuite, dans un chapitre intitulé « Prosneuses dans les éclipses » (livre 6, chap. II, p. 535), Ptolémée détermine l’endroit du disque solaire ou lunaire qu’il faut fixer pour voir le premier contact exté­ rieur, ensuite la portion du disque qui disparaîtra au milieu du phé­ nomène, et enfin en quel endroit se produira le dernier contact. 1. Table des éclipses de lune (Aim., p. 520). Le T a b l e a u I (μεγίστου αποστήματος) sert lorsque la lune est à l’apogée de son épicycle. Le T a b l e a u II (ελάχιστου αποστήματος) sert lorsque la lune est au périgée de son épicycle. Pour les positions intermédiaires, voir 3. Colonnes 1 et 2. Arguments (πλάτους αριθμοί). L’argument est la « position vraie de la lune en latitude » au moment de la syzygie vraie. Calcul de cette position. a. On prend la position moyenne en latitude au moment de l’opposition moyenne (cfr § 10, 2). b. On prend le temps qui sépare la syzygie moyenne de la vraie (cfr§ 10t

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LXVi

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ii i, â

3 C 3) et l’on cherche le déplacement moyen de la lune en latitude pendant ce temps (cfr § 6 A colonne 4). On ajoute ce déplacement ou on le retranche, suivant que là syzygie vraie vient après la moyenne ou inversément. On a ainsi la position moyenne en latitude lors de la syzygie vraie. c. On ajoute ou l’on retranche à cette position la prosthaphérèse, ou équa­ tion d’anomalie (cfr § 7) et il vient la position vraie en latitude \

Si la position ainsi trouvée ne figure pas dans, les colonnes 1 ou 2 c’est que l’éclipse est impossible. Colonne.J.5Nombre de doigts de l’éclipse. Le doigt est égal au 1/12 du diamètre lunaire. Le nombre de doigts de l’éclipse indique quelle portion du diamètre lunaire s’obscurcit lorsque le phénomène atteint sa phase maximum. L’ombre étant plus grande que la lune, lors de certaines éclipses totales, le disque entier serait encore obscurci, même s’il mesurait les 13/12, ou les 14/12 et ainsi de suite jusqu’aux 21/12 de ce qu’il mesure réellement. C’est ce qu’expriment les nombres 13, 14 etc. que l’on rencontre dans la colonne 3. Colonnes 4 et 5. Longueur de l’arc que la lune parcourrait pendant l’éclipse, si le soleil restait immobile. La colonne 5 donne l’arc par­ couru, dans les éclipses totales, depuis le premier contact intérieur jusqu’au milieu de l'éclipse. La colonne 4 donne l’arc parcouru depuis le premier contact extérieur jusqu’au premier contact intérieur, ou, dans les éclipses partielles, jusqu’au milieu de l’éclipse. Mode d’emploi. On multiplie cet arc par 13/12 pour tenir compte du mou­ vement du soleil. On divise le produit par la vitesse horaire de la lune (cfr. § 10, 3 C 2). On trouve la durée des différentes phases de l’éclipse.

2. Table des éclipses de soleil (Aim., p. 519). Même disposition que pour la table des éclipses de lune, sauf : Colonnes 1 et 2. L ’argument est ici la position apparente de la lune au moment de la syzygie apparente.1

(1) L’équation d’anomalie ne devrait, servir qu’à Corriger les positions de la lune en longitude. La position en latitude n’est pas une latitude,c’est la position moyenne de la lune sur son orbe oblique. Aux environs des nœuds, répètent Ptolémée et Pappus, il n’y a aucun inconvénient à confondre les positions sur l’orbe oblique avec les positions sur l’écliptique.

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§11 2, 3

MODE d ’e m p l o i d e s t a b l e s

l x v ii

Calcul de cette position : a. On cherche l’heure de la conjonction vraie (§ 10, 3). b. On cherche l’heure de la conjonction apparente (§ 10, 4). c. On calcule la position vraie de la lune en latitude, au moment de la conjonction apparente (cfr ci-dessus mutatis mutandis). d. On calcule la parallaxe verticale de la lune lors de la conjonction appa­ rente (cfr § 8 C et § 9). e. On en retranche la parallaxe verticale du soleil (cfr § 8 B et § 9). /. On cherche la composante en latitude de la différence (cfr § 8 D et § 9). g. On multiplie cette composante par 12, pour trouver le déplacement que la parallaxe entraîne le long de l’orbe oblique. h. Cet arc est ajouté à la position vraie de la lune en latitude, ou en est retranché. On l ’ajoute, si la parallaxe en latitude rejette· vers le nord la lune, lors­ qu’elle passe au noeud ascendant ; ou bien la rejette vers le sud lorsqu’elle passe au noeud descendant. On la retranche dans les autres cas l. Le résultat est l’argument requis.

Colonne 3. Nombre de doigts de l’éclipse. Ptolémée ne distingue pas l’éclipse totale de l’éclipse annulaire. Colonne 4. Répond aux colonnes 4 et 5 de la table d’éclipses de lune. Les temps que cette colonne permet de trouver sont considérés par Ptolémée comme une première approximation. Seulement, il n’indique que des moyens empiriques et assez grossiers d’obtenir une approximation meilleure (cfr ci-dessous, n° 5). 3. Table de correction (Aim., p. 522). C’est la reproduction de la colonne 7 de la table des parallaxes. Elle sert à corriger les résultats des tables précédentes lorsque la lune n’est pas à l’apogée ou au périgée de son épicycle. Colonnes 1 et 2. Arguments : Position moyenne de la lune en ano­ malie. Colonne 3. Coefficients de correction. Mode , d’emploi. a. On prend l’arc de la colonne 4 (éventuellement, des colonnes 4 et 5) dans la table pour l’apogée et dans celle pour le périgée. On retranche le1

(1) Pappus s’étend longuement sur cette règle p. 299,20.

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LXVIII

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ 1 1 4 ,5

premier du second. (S’il n’y a pas d’arc dans l’une des colonnes, on le compte pour zéro). b. On multiplie cette différence (ou ces différences) par le coefficient de correction. c. On ajoute les produits ainsi obtenus aux nombres des colonnes aux­ quelles ils correspondent, dans le tableau pour l’apogée. (S’il n’y a pas d’arc dans la colonne 4 ou 5, on compte de nouveau zéro).

4. Table des grandeurs (Aim., p. 522). Au lieu de mesurer les éclipses en doigts, ou en 1/12 de diamètre lunaire, les astronomes préféraient parfois faire usage des doigts carrés : la surface totale du disque de l’astre éclipsé comptait pour 12 doigts carrés. La table des grandeurs permet de trouver à combien de doigts carrés correspond une éclipse d’un nombre donné de doigts. Cette correspondance n’est pas la même dans les éclipses de soleil et dans celles de la lune, parce que le rayon de la lune, qui cache le soleil, est plus petit que le rayon du cercle d’ombre, dans lequel pénè­ tre la lune : pour un même nombre de doigts, la surface qui disparaît sera donc moins grande dans le premier cas que dans le second. Au dessus de 12 doigts d’éclipse, le disque est complètement invisible, de sorte que le nombre de doigts carrés reste invariablement 12. 5. Calcul de la durée des éclipses de soleil. D euxièm e ap­ proximation. A . P r o c é d é d e l ’A l m a g e s t e 1.

Soit z la distance zénithale de la lune au milieu de l’éclipse. Soit p la parallaxe répondant à cette distance. Soit t la première approximation du temps qui s’écoule entre le premier contact extérieur et le milieu de l’éclipse (cfr ci-dessus, 2 colonne 4).

(1) Ce procédé est purement empirique ; il est naïf de lui objecter, comme le fait Pappus (p. 307, 1) que la distance zénithale ne varie pas de 15° en une heure. Ptolémée le sait bien, puisqu’il a calculé lui-même une table des distances zénithales.

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§

11 5

MODE D ’EMPLOI D ES TABLES

LXIX

On calcule une donnée arbitraire : t x 15 = a On cherche la parallaxe p' répondant à la distance zénithale z+ a, et la parallaxe p1' répondant à la distance zénithale z—a. On cherche la composante en longitude ΐ , de p—p'. et la composante en longitude Z", de p—p". Soit V la vitesse horaire de la lune au moment de l’éclipse. ΐ Γ Alors, t + —. et t + — seront des approximations des temps qüi séparent les contacts extérieurs du milieu de l’éclipse. La plus grande de ces deux durées correspond à la phase de l’éclip­ se la plus rapprochée de midi, donc au commencement, si le milieu tombe après midi, et à la fin, si le milieu tombe avant midi. B . P r o c é d é d e s t a b l e s f a c il e s *.

a. On cherche l’heure du premier et du dernier contact, en pre­ mière approximation, comme ci-dessus, 2 colonne 4. b. Dans la table facile des parallaxes, en tenant compte de la ta ­ ble de correction, on cherche : la composante en longitude d au moment du 1er contact extérieur ; la composante en longitude c au moment du milieu de l’éclipse ; la composante en longitude c” au m om ent du dernier contact exté­ rieur. c. Soit c — d = d' c — d ’ — d" d. l’arc parcouru par la lune étant a (Aim, p. 519, colonne 4), on calcule af et x", tels que : a = _d_ _a_ = d” d’ af d" ~ af'

e. On totalise et

c + d' + cd + a c + d" + af' + a

f. On prend les 13/12 de ces deux sommes.

(1) Cfr P t o l e m a e i Opera astronomica minora, p. 183, 3-15. T h ê o n , Ex­ plication des tables faciles dédiée à Eulalie et Origène (q u e n o u s liso n s d a n s Par. gr.2450, fo l. 165r) e t T h é o n , Explication des tables faciles dédiée à Epi­ phane, dans Tables faciles, ed. Halma, t. I, p. 101.

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LXX

MODE D ’EMPLOI DES TABLES

§ 11 δ

g. On divise les deux résultats par la vitesse de la lune au moment de la conjonction. Les quantités ainsi obtenues sont une deuxième approximation des temps écoulés entre le premier contact extérieur, le milieu, et le dernier contact extérieur. Et, de nouveau, le plus long de ces temps répond à la phase la plus proche de midi,

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L IS T E D E S S1G L E S . (Voir la liste complète ci dessus, p. xxi) L H X Z J P b

Med. Laur. 28, 18. Marc. 303. V at. gr. 183. P a r. gr. 2392. V at. gr. 198. P ar. gr. 2398. É dition de Bâle 1538.

[ ]

indiqur des lettres retranchées par l’éditeur, contre l’autorité de tous les ma­ nuscrits qu'il a vus. < > indique des lettres ajoutées dans les mêmes conditions. dans l’apparat critique (reprise de là leçon adoptée) remplace des mots du texte omis par l’éditeur. dans l’apparat critique, remplace les syllabes d’un mot ne présentant aucune ■ variante. ... indique une lacune du manuscrit, de longueur quelconque ; lorsqu’on veut préciser qu’il manque une ou deux lettres exactement, on a mis un ou deux points ; lorsqu’on veut préciser la longueur des autres lacunes ou espaces blancs, on l’a notée clairement, p. ex : sp 6 litt.

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Ι ΐ ά π π ο ν ά λ ε ξ α ν δ ρ έ ω ς ε ί ς τ ο πέ μπ τ οι » τ ων Κ λ α υ δ ί ο υ Π τ ο λ ε μ α ί ο υ μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν σ χόλι ον. Διεξελθών δ Πτολεμαίος και εν τώ τετάρτω βιβλίω των μαθηματικών, από ποιων τηρήσεων τά περί την σελήνην εξετάζειν δει 1 · § περί τε τών § Dans L se trouve en marge le résumé de chaque paragraphe de Pappus. Ces résumés ne sont certainement pas de l’auteur, puisqu’on verra qu’ils parlent de Pappus à la 3e personne (p.76). Ils n’ont pas été rédigés par les copistes de L, car on en retrouvera dans V1 pour les derniers livres de Théon ; ils ne sont pas toujours à côté du paragraphe qu’ils veulent résu­ mer ; et ils contiennent des fautes qui semblent être des fautes de co­ pie. Ils ont souffert de l’humidité, et plus encore d’une restauration du ma­ nuscrit au cours de laquelle on a rogné le bord de certaines pages endomma­ gées. Au fol. 325r la dernière glose tourne autour d’un défaut du parche­ min. εν τοϊς περιοδικοΐς χρόνοις καί άποκαταστατικοϊς της σελήνης, τουτέστι τοΐς τμε αίγνπτιακ καί ήμέραις πβ καί ωρα. Ισημερνή μιρ. κατά τήν γενομένην ύπό Πτολεμαίου διόρθωσιν πόσοι μήνες άποτέλονται καί πόσοι ανωμαλίας κύκλοι καί πόσοι πλάτους κύκλοι καί πόσοι μήκους κύκλοι καί πό­ σοι... κύκλοι. Tit. : Πάππου άλεξανδρέως ύπύμνημα είς τό πέμπτον τής συντάξεως. Περί κατασκευής Αστρολάβου οργάνου. bP J. mg a rub J. (1) Cfr Almageste, livre IV, chap. 1, éd. Heiberg, pars I, p. 265. — Sauf mention expresse, les citations de l’Almageste sont faites d’après l’édition Heiberg (C l a u d ii P t o l e m a e i Opera quae exstant omnia. Vol. I. Syntaxis mathematica [en deux parties], Leipzig, Teubner, 1898.) Dans le présent volume, lorsque la page seule est indiquée, il s’agit toujours de la pars I (livres 1 à 6). Rappelons que le commencement du 5e livre de Pappus a été édité par Hultsch [F. H u l t s c h , Hipparchos über die Grosse und Enlfernung der Son­ ne, dans Berichie ilber die Yerh. der k. sâchsischen Ges. der Wiss. Phil.-hist. Kl. 52 (1900), p. 169-200]. — Voir aussi la traduction de l’Almageste par K. M a n it iu s . Ptolemâus Handbuch der Astronomie. 2 v o l. Leipzig,1912,

qui nous a été d’un grand secours.

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2

PAPPÜS D ’ALEXANDRIE

[éd. Bâle p. 2 3 1 ]

περιοδικών αυτής χρόνων \ τουτέστιν των άποκαχαστατικών κινήσεων εν ετεαιν αίγυπτιακοϊς τμε καί ήμέραις πβ καί ώρα Ισημερινέ a κατά την γενομένην' υπ’ αυτόν διόρθωσιν, μηνών μεν άποτελουμένων ,δσξζ ανωμαλίας δέ κύκλων συναγόμενων βψοβ καί μοιρών τνθ ν κγ δ έγγιστα, πλάτους δε κύκλων β χ λ καί μοιρών ρςα κβ νζ έγγιστα, μήκους δε κύκλων ,δχια λειπόντων μοίρας γ καί εξηκοστά β έγγιστα, δσας καί ό ήλιος εις τους τμε κύκλους λείπει ώς τής άποκαταστάσεως αυτών προς τά νοητά σημεία τοϋ ζωδιακού γινόμενης, αποχής δηλονότι κύκλων ,δσξζ · εξής δε καί περί τών 10 κατά μέρος τής σελήνης μέσων κινήσεων διαλαβών 12 · άψ’ ών και οί τής ομαλής κινήσεως τής σελήνης κανόνες συνεστάθησαν, μήκους τε καί πλάτους καί ανωμαλίας καί αποχής 345· § ειθ’ δτι και επί τής απλής ύποθέσεως ανωμαλίας τά αυτά φαινόμενα ποιοϋαιν ή τε κατ' εκκεντρότητα λεγομένη καί ή κατ' έπίκυκλον *, § τών αυτών υποκειμένων λόγων 15 του 6 λόγου τής έκ τοϋ κέντρου τοϋ ομοκέντρου προς την εκ τοϋ κέντρου

S πως έπΐ τής άπλής ύποθέαεως τής άνοαμαλίας τά αΰτά φαινόμενα ποιοϋσιν ή κατ’ έκκεντρότητα λεγομένη καί ή κατ’ έπίκυκλον. %τις ό λόγος τής έκ τον κέντρου τοϋ όμοκέντρον προς τήν έκ τον κέντρου τον έπικόκλου ή τής έκ τοϋ κέντρου τοϋ έκκέντρου προς τήν μεταξύ τά κέντρα τοϋ ζφδιακοΰ καί έκκέντρου. 3. μηνών μεν άποτελουμένων : μηνών έναποτελουμένων HX,J [comp supra scr J] μήκος άποτελουμένων bP | ,δσξζ : ,βσξζ bP| 4. ,δφοβ : ,βφοβ bP | τνθ ν κγ : τλθ ν' κγ’ dein corr supra J | 5. ,δχλ : ,βχλ JbP,H | ρηα κβ νζ : ρ ... κβ νζ bP ρηα νβ νζ J | 6. ,δχια λειπόντων : ,βχτα λειπόντων Η ,βχια λειπονσών bPJ j έξηκοστά : -ατών bPJ | 7-8. λείπει ώς τής : λειπΕΙωστηβ L [/ in ras m1] λείπει ώς τά τής bP | 8. τά νοητά αημεϊα τοϋ ζφδιακοΰ : τά τοϋ ζφδιακοΰ σημεία bPJ [νοητά supra scr J] | 9. γινομένης : νοουμένης X | άποχής : άποχής δέ X,bPJ | ,δαξς : ,βσξς bPJ,BX | 12. καί πλάτους: om X I 13. άνωμαλίας : τής ανωμαλίας bPJ [μαλίας om supra scr L] 14. λόγων : λόγων τουτέστι bPJ |2,15-3,1. πρός τήν — έκκέντρου : om suppi in mg X ( κειμένου) | (1) Aim., livre IV, chap, n, p. 268. (2) Aim., livre IV, chap, in, p. 278. (3) Aim., livre IV, chap, iv, p. 282. (4) Aim., livre IV, chap, v, p. 294. (5) Hultsch (p.173) propose : λόγων τοϋ τε τής etc. Cette correction n’est autorisée par aucun manuscrit (il n’en a vu que quatre ; mais il a eu à sa dis­ position la copie de c exécutée pour Blass, et que nous n’avons pu trouver.)

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1

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[231]

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COMMENTAIRE SUR L ’ALMA GE STE L.

5

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CHAP.

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τοϋ επικνκλον 1 ^ riÿç εκ τοϋ κέντρου τοϋ εκκέντρού προς την μεταξύ

των κέντρων τοϋ τε ζωδιακού καί εκκέντρου δειχθέντος των ξ προς τά ε δ' έγγιοτα 2 · § supra scr] J | 9. περιφερείαις : [γρ. επιφανείαις add mg

X] I Mém. scient., t. IX, n° 38], Suidas, dans sa liste des œuvres de Théon, cite en dernier lieu un ouvrage intitulé εις τον μικρόν αστρολάβον υπόμνημα. Nous trouvons d’ordinaire υπόμνημα dans le sens de commentaire. Alors ô μικρός Αστρολάβος est un traité,et son nom signifie,ou bien « le petit manuel de l’astrolabe », ou bien « manuel du petit astrolabe ». Dans le second de ces sens, le petit astrolabe serait l’astrolabe plan, par opposition à l’encom­ brante sphère d’un demi mètre de diamètre. Mais à l’époque classique, υπόμνημα voulait dire : mémoire. Si Suidas a voulu ce sens, il faut traduite : mémoire sur le petit astrolabe. Le Fihrist a compris de cette façon : En tête de sa liste des œuvres de Théon, il met : « le livre du travail à la sphère armillaire » ; le troisième ouvrage cité par lui est : « le livre du travail à l’astro­ labe ». Donc pour les arabes du x e s., Théon avait écrit sur les deux types d’astrolabes. Lippert a été le premier, croyons-nous, à identifier μικρός Αστρολάβος avec astrolabe plan (Cfr L i p p e r t , Studien au/ dem Gebiete der gr.-arab. Uebersetzungsliteralur, p. 43 ; Kiiab al Fihrist éd. Hügel, p. 268 s.v. Thawun ; H. S u t e r , Das Mathematiker Verzeichniss im Fihrist dans Àbhandlungen zur Geschichte der Math . 6 (1892), p. 21. (1) Peut-être dans un opuscule dans le genre du Planisphère ou de l’Analemme, peut-être (mais cette hypothèse nous sourit moins) dans les trois livres de μηχανικά (cfr P tolemaei Opera omnia. II. Operti astronomica mi­ nora, p. 263). (2) Aim., 351,12-16. Cfr armilles 3 et 4 de la reconstitution.

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[2 3 1 ]

COMMENTAIRE SUR

L ’ALM AGESTE

L.

5 CHAP. 1

5

F i g . 1. R e c o n s titu tio n s c h é m a tiq u e de l ’a str o la b e p a r M . P a u l R o m e , in g é ­ n ieu r -a r c h ite c te . (cliché des Annales de la Société scientifique de Bruxelles). Les manuscrits n’ont aucun dessin de cet instrument, fort compliqué à mettre en per­ spective. Pour la clarté de l’épure, l ’épaisseur des armilles a été considérablement exagé­ rée : Toutes ensemble, elles n’occuperaient que la place assignée ici aux cercles 6 et 7. L’appareil était donc relativement léger. F i g u k e p r i n c i p a l e . — 1. A r m ille p o rta n t le s p in n u le s bb. ·— 2. Arm ille p e r p e n ­ d icu la ire à l ’éclip tiq u e,o u a stro la b e in té r ie u r (graduée ; tournant sur les axes ee ; portant l’armille 1 retenue par quatre πιτάρια aaaa).— 3. Zodiaque (gradué sur trois de ses faces ; soudé à 4). — 4. C olu re d es s o lstic e s (soudé à 3 ; traversé par les axes ee qui portent les armilles 2 et 5 ; embroché sur les axes d d qui le relient à l ’armille 6). — 5. A r m ille p e rp en d icu la ir e à l ’é c lip tiq u e , ou a stro la b e e x té r ie u r (tournant sur les axes ee ; non graduée ; pour pouvoir atteindre le plan du méridien, elle doit être munie de quatre rainures cccc dans lesquelles peuvent venir se loger les axes dd). — 6. M érid ien de r é g la g e (gradué de 0 ° à 63° ; traversé par les axes dd ; retenu à 7, sans doute, par des πιτάρια).— 7.M éridien fix e (portant quatre traits marquant l ’horizontale et la verticale. D é t a i l s : Assemblage des armilles 1 et 2, — Assemblage des armilles 3 et 4, — L’armille

5 avec sa rainure ç.

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PA PPU S D ’A LEXANDRIE

[2 3 1 -* 2 3 2 ]

§ Τετραγώνους rat? περιφερείαις δηλών τούς το αυτό πλάτος καί βάθος έχοντας, πανταχόθεν δε ίσους και όμοιους, ών αΐ τε εκ των κέντρων ϊσαι εΐσίν, καί τα πλάτη δε καί τά βάθη ϊσα. ^πλάτος μεν γάρ λέγεται το ‘ήτοι έπι τής κυρτής ή τής κοίλης επιφάνειας διάστημα προς όρθάς γωνίας 5 rat? περιμέτροις, §βάθος δε ή άπό τής κυρτής επιφάνειας επί την κοίλην τοϋ κρίκου διάστασις, ή επί τής έκ τον κέντρου αυτόν λαμβανομένηΛσυμμέτρους δε λέγει μεγέθει, τους τάς διαμέτρους καί τα πάχη αύτάρκως έ­ χοντας, τουτέστιν οίων ή εκ τοϋ κέντρου έκατέρον άχρι τής κυρτής επι­ φάνειας ξ , τοιούτων τό τε πλάτος καί το βάθος έκ τμημάτων β , τής cita­ lo μέτρου τοϋ μεγίστου καί μεσημβρινού ύποτεθείαης ήμίν εν οργάνου κατασκευή πήχεως 1 ενός, διά τά μοιριαϊα διαστήματα, καί δσα ενδέ­ χεται τούτων μέρη · εν γάρ τω μετεωροσκοπεία), τό μεν δλον μέγεθος τοϋ οργάνου επί τή δυνάμει ποιείται τοϋ κατασκευαζομένου τοϋτο, ώστε μέντοι τήν διάμετρον τοϋ φέροντος καί μεγίστου κρίκου μή έλάσσονα 15 είναι δακτύλων ιβ . ορίζει 2 δε τό μεν βάθος των ίσων κρίκων κατά τάς διαμέτρους πολεύοντός τε καί ζφδιακοϋ, έκ τμημάτων β, τό δε πλάτος τοϋ μεν * πολεύοντος, βζ', r οϋ δε ζφδιακοϋ α/_\ οίων ή έκ τοϋ κέντρου έκατέρου μέχρι τής κυρτής περιφέρειας μθ * λόγος δε των μθ προς τό a πλάτος τοϋ ζφδιακοϋ καί των ξ προς τά β, ό αυτός έγγιστα. 20 'Η δε προς όρθάς γωνίας κατά διάμετρον σνναρμογή γίγνεται των

§ τίνες πανταχόθεν Ισοι καίδμοιοι. § τΐ λέγεται πλάτος. § τι βάθος. § τίνες συμμέτρους μεγέθει. 1. δηλών : φησί bPJ | 2-3. είσίν ϊσαιΧ. | 4-5. πρός — περιμέτροις om bPJ 7. μεγέθει τούς τάς : τφ μεγέθει τούς τάς bPJ μεγέθει πρός τάς Η | 9. βάθος έκ : εκ om bPJ [suppi supr J] | β— μέρη : om suppi in mg J I 10. εν όργάνου : εν τή τοϋ οργάνου bP | 12. μετεωροσκοπείω : ωροσκόπιο Ιμετε SUprascr]H | 14. μέντοι ."OmbPJ [suppi J] | φέροντος καί μεγίστου : μεγίστου καί φέροντος [postea coir num additis] X | 16. πο­ λεύοντός τε : τοϋ τε πολεύοντος bPJ | ζωδιακού: τοϋ ζωδιακού bPJ I 18. μθ · λόγος: μθ. ούτως b | 18-19.τό α£. πλάτος: τό α[_ τοϋ πλάτους bP | 6 19-7,1. καί των ξ — τοϋ ζωδιακού : om suppi mg J [καί των ξ : καί δ των ξ bP I 6,20-7,1. των κρίκων γίνεται bP |

[suppi in mg J] |

(1) 1 coudée = I 1/, pied = 24 doigts ou pouces. (2) ορίζει : sujet Πτολεμαίος ; il s’agit toujours du météoroscope, puisque dans l’astrolabe, les armilles 3 et 4 sont identiques.

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[232]

COMMENTAIRE SUR l ’ALMAGESTE L.

5

CHAP.

1

7

κρίκων επί το ήμισν τοϋ βάθους έντεμνομένων, τοϋ ζωδιακού εκ της κοί­ λης, τον δε ετέρου, αντί τον δι' άμφοτέρων των πόλων, εκ της κυρτής επιφάνειας, &στε δέξασθαι άλλήλων τα πλάτη και μίαν επιφάνειαν ποιεΐν κατά τε την κυρτήν καί την κοίλην. ουδεν δε κωλύει ασφαλείας ενεκεν 5 ολίγο) μεΐζον πλάτος εχειν τοϋ ζψδιακοϋ τον αντί τοϋ δι’ άμφοτέρων των πόλων κρίκον. « Έ φ ’ ον λαβόντες από τής τοϋ τετραγώνου πλευράς μεγέθους τα « τούς τοϋ διά μέσων κύκλου πόλους άφορίζοντα σημεία 1 », τουτέστιν άπό των μέσων σημείων των εντομών τα q μοίρα άπέχοντα σημεία έπί 10 τής κυρτής ή τής κοίλης επιφάνειας κατά μέσον το πλάτος * ή γάρ διά τού­ των των σημείων εκβαλλομένη ευθεία την κατ’ αλληλον θέσιν έχοντος τω ζφδιακφ, τοϋ εν τω όργάνερ ζψδιακοϋ επί τούς πόλους αντοϋ πίπτει, ώστε φανερούς ήμιν τούς πόλους τοϋ ζψδιακοϋ γίνεσθαι · κατά δε των είρημένων σημείων τρημάτια γίνεται σύμμετρα. 15 Καί εμπολίζεται « αμφότερα κυλινδρίοις έξέχουσι πρός τε τήν εντός « καί τήν έκτος επιφάνειαν, κατά μεν των έκτος ένεπολίσαμεν άλλον « κύκλον 2... » και τα λοιπά. Ισοπαχείς τω ζφδιακφ κα'ι ούτοι γίνονται ώστε τήν μεν τοϋ έξωθεν έκ κέντρου είναι μέχρι τής κοίλης έπιφανείας των αυτών ξ, τήν δε τοϋ έντός μέχρι τής κυρτής νη. 20 « Διελόντες τε τοϋτον τον έντός κύκλον καί ετι τόν αντί τοϋ διά μέσων « τών ζφδίων γινόμενον εις τάς ύποκειμένας τής περιμέτρου μοίρας τξ, « καί δσα ένεδέχετο τούτων μέρη 3 ».

1. ζφδιακοϋ : ζω’διακουί. μέν ζωδιακού bP | 1-2. κοίλης : κοίλης έπιφα­ νείας bPJ I 2. άντί : τουτέατι τον άντ'ι bPJ | 4. κατά τε: κατά X | 5. μεΐζον : μειζω L \ϋ.κρίκον : κρίκων bPJ,L (corr in -αν L) | 7-8. άπό τής— rà τούς τον : άπό μιας των τομών έκατέρωθεν διά τών τον τετραγώνου πλευρών τά τούς τον bPJ [άπό τής τοϋ τετραγώνου πλευράς μεγέθους τά τήν τοϋ διά μέσου κύκλου πόλους άφο supra scr J] | 9. q μοίρα : γ μ01 Η | 14. τρημάτια γίνεται .* τρήματα εγγίνεται X τρήματι εγγινεται [χη εγγιν - ϋ supra t scr] Ητρι;μάτία εγγίνεται bPJ | 16. κατά: καί κατά bPJ | τών εκτός : τωνεντος L | 17. οΰτ οι: ούτοι οι κύκλοι bPJ. | 18. έξωθεν : εκτός bPJ | εκ κέντρου είναι : εκ τοϋ κέντρου είναι X εκ τοϋ κέντρου bPJ | επιφάνειας : : επιφάνειας εί­ ναι bPJ I 19. τήν δέ : om suppi J | τής κυρτής νη : in ras Η | 20. τε : δέ bP I αντί τοϋ: αύτόν bP | 20-21. μέσων τών: μέσων bP | 22. ενεδέχετο τούτων : τούτων ένδέχετο bPJ | (1) Alni., 351, 19-21. (2) Aim., 351, 21 - 352, 1. (3) Aim., 352, 9-12,

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P A P P U S D ’A LEX A N D R IE

[2 3 2 ]

'0 μεν εντός διαιρείται είς ιβ ’ίσα δι δλου τον βάθους εκ μιας των πλευρών, καί καθ’ έκαστον τούτων εις πενταμοιρίας ζ επί τό ήμισυ τον βάθους τό προς τή κοίλτ\ επιφάνεια, παρ’ ήν νποσημειοϋνται ai μοΐραι γραμμαίς, . και τα ενδεχόμενα μέρη στιγμαΐς. καί επιγράφονται οι άριθ5 μοί διά ε εως q επί των δ τεταρτημόριων, τουτέστιν από των εσομένων κοινών τομών τουτέστιν τον κρίκου προς τον ζφδιακόν άκρι­ των 1 σημείων * άγίνεται κατά τους πόλους του ζωδιακού, προς οίς ό τών q μοιρών αριθμός απαρτίζεται, τών γραμμάτων έσω πρός την κοίλην επι­ φάνειαν νενευκότων. 10 Ό δέ ζφδιακός έξ άμφοτέρων τών πλευρών διαιρείται ε ’ις ιβ μεν Ισα πάλιν, γραμμών εγχαρασσομένων δι όλου τον βάθους · έκαστον δε τούτων είς πενταμοιρίας ζ, επί τό ήμισυ τού βάθους, τής μεν έτέρας πλευράς τό

1. δ μέν εντός διαιρείται : τόν μέν εντός διαιροϋμεν bPJ | δι’ δλου : δι’ δλον bPJ I 2. καί καθ’ : καί bPJ | τούτων : τούτων των δωδεκατημο­ ρίων bPJ I πενταμοιρίας ς : comp L,H πενταμοιριαϊα διαστήματα ς bPJ I 3. παρ’ ήν νποσημειοϋνται : παρ’ οίς επιση- bPJ [supra corr J] | 6. τουτέστιν τον κρίκου : om bPJ suppi J | 6-7 άκριτων L,X : άκρί τών Η αχρι τών bPJ | 7. άγίνεται conj : αγινεται L εγγίνεται X εγίνετο Η τών γεγονότων bPJ | οϊς ό : [ ό om suppi X ] [ 8 . εαω : εϊσω X j 12. πενταμοιρίας ς : πεντα Μ° S L πεντ άμοιρον ς Η πεντ αμοιριαϊα ς bPJ |*3

(1) L’archétype avait vraisemblablement le texte que nous avons adopté. Nous ne nous en dissimulons pas la difficulté. Le nombre seul des variantes suffirait à la signaler : chacun a essayé sa correction. Nous nous sommes im­ posé la règle de ne toucher au texte de l’archétype qu’en cas de nécessité absolue, surtout lorsqu’il s’agit de difficultés d’ordre grammatical. Or on peut expliquer άκριτων σημείων comme apposé à κοινών τομών :ce sont les points « non marqués » de l’armille 2, qui passent tout juste derrière l’armille 3. Ils ne reçoivent pas de numéro, d’abord parceque le grec n’a pas de zéro, et ensuite parcequ’on ne peut viser dans la direction de l’écliptique au moyen des pinnules bb : on visera dans le plan de l ’écliptique en se servant de l’armille 3 comme Pappus veut qu’on se serve de l’armille 5 (voir ci-des­ sous, page 16,1. 5) : l’œil placé contre Paréte de Panneau, on verra l’étoile « adhérer aux faces du cercle », comme dit Pappus, si cette étoile a une lati­ tude O®. Si l’on garde άκριτων on est bien forcé de garder άγίνεται. Lire â γίνεται mènerait à αχρι τών. La difficulté, ici, est d’ordre grammatical. Le verbe est άγινέω, et le Thesaurus d’Estienne démontre qu’il n’y a pas de άγίνω. Mais si l’on corrigeait les textes d’après les grammaires,on finirait par avoir un Pappus à la mode de Xénophon.

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COM M ENTAIRE SUR L ’ALMAGESTE L . 5 CHAP. 1

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προς τή κοίλη επιφάνεια, της δε λοιπής, το προς τη κυρτή * παρ’ ας πάλιν ύποαημειοϋνται ai μοιράι καί τα ενδεχόμενα μέρη, και επιγράφεται κατά της κυρτής επιφάνειας μεταξύ των όμοταγών γραμμών τα των δωδε­ κατημορίων ονόματα κατά την οίκείαν τάξιν. 5 « Ύφηρμόσαμεν ακριβώς έτερον λεπτόν κυκλίσκον 1... ». και τα λοιπά, τόνδε λεπτόν κυκλίσκον το μεν πλάτος έχειν δει το αυτό τώ διηρημένφ, ύποτρίβοντα τη κυρτή αυτόν επιφάνεια την κοίλην εκείνου · το δε βά­ θος έλασσον, ώς τμήματος ενός ’ και συνέχεσθαι εκ τών Ιδίων πλευρών από τής κυρτής επιφάνειας επ’ ολίγον τον βάθους διάστημα υπό πιτα10 ρίων 2 δ μενόντων προς τον διήρημένον, δυο μεν περί τάς τρήσεις τασσομένων έγκόλλων κατά διάμετρον, δύο δ è ύπό τόν ζωδιακόν πάντοτε εσομένων, τουτέστιν περί τα άπέχοντα σημεία τών τρήσεων μοίρας q · ώστε μηδαμώς μεν άποπίπτειν αυτόν τον συνημμένου, περιάγεσθαι δύνασθαι άκωλύτως κατά τό αυτό εκείνα} επίπεδον, ένεκεν τής κατά πλάτος παρόδου 15 τής τε σελήνης καί τών αστέρων. A i δε έξέχουααι δπα'ι κατά διάμετρον επ'ι μιας πλευράς τον λεπτού κρίκου,τής εν τώ αύτφ επιπέδω εσομένης τή καταγεγραμμένη τού συν­ ημμένου, γίνονται σταματίων καταλειπομένων ή εντιθεμένων προς όρθάς τή πλευρά, και παραλλήλων άλλήλοις οντων, εψ’ ών αί όπα'ι σύμμετροί τε 20 καί νεύονσαι προς άλλήλας είσ'ιν ακριβώς, δι\ ών δυνατόν εσται διοπτεύειν. 1. παρ’ άς ; παρ’ οϊς bPJ [supra corr J] | 2. ύποαημειοϋνται : έπιση- bJP | 5. ακριβώς : δε ακριβώς bPJ,X | 5-6. λεπτόν κυκλίσκον καί τα λοιπά, τόνδε λεπ­ τόν κυκλίσκον τό : λοιπόν κυκλίσκον το X λεπτόν κυκλίσκον τό H,bPJ 6. έχειν δει: έχοντα bPJ | 7. ύποτρίβοντα : καί ύποτρίβοντα bPJ,H | 8. έλασσον, ώς τμήματος ένός · καί [έλάσσθν$ς Η] : έλασσον τμήματι évi. καί X έλασσον} τμήματος ένός. ώστε bPJ . [ 9. επ’ ολίγον : εψολιγον L επ’ ολίγου bPJ|’ 10. τρήσεις: τηρήσεις .HX,L| 11 .τον ζφδίακόν πάντοτε : [των ut persae­ pe L] τών ζωδιακών πάντοτε Η τούς τον ζωδιακού πόλους bPJ| 12. τρήσεων : τηρήσεων ΗΧ | 13. αύτόν τού συνημμένου περιάγεσθαι : αύτόν τούς συνα­ γόμενους περιάγεσθαι ΧΗ αύτόν τής κοίλης εκείνου επιφάνειας.... περιάγε­ σθαι bPJ [sine sp b ; sp 6 lit P ; sp 15 lit, τούς συναγόμενους supra scr,κοίλης εκείνου επιφάνειας del J] | δύνασθαι : (Ss bPJ om ΗΧ | 15. τβ σελήνης: σε­ λήνης bPJ I 18. σταματίων καταλειπομένων ή : [coir ex συστηματίων τινών J] αυατηματίων bP | 19. οντων: τυγχανόντων bPJ | 20. άκριβώς : ai άκριβώς X I 20-21. διοπτεύειν : έποπτεύειν HX,bPJ j (1) Aim., 352, 12-13. (2) Des t fers en π » comme nous disons des fers en T (voir détail de la fi­ gure 1, assemblage des armilles l et 2 : le πιτάριον est en a).

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10

PA PPU S D ’ALEXANDRIE

[2 3 2 * 2 3 3 ]

Φανερόν δε και τοϋτο, δτι εν τή σννθέαει τον οργάνου πρώτος μεν οϋτος 6 λεπτότατος κρίκος νφαρμόζεται καθ’ δν ειπομεν τρόπον υπό τον εντός των διηρημένων * εΐτα ô διηρημένος αυτός έμπολίζεται προς τον δι άμφοτέρων των πόλων κρίκον τοϊς εξέχονσι κνλινδρίοις εις τό εντός · εΐτα ό 5 ζωδιακός κατά διάμετρον Καρκίνον άρχή 'Λ τ

COMMENTAIRE SUR L ’ALMA GESTE L.

5

*9 ^

CHAP.

r. ·’* * ?

1

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15

^4ίτός δε Αε^ει δει)» παραφέρεσθαι πρώτον τον έξωθεν των αστρολάβων * κύκλον επί την κατ’ εκείνην την ώραν εύρισκομένην έγγιστα τον ήλιον μοίραν, και ούτως περιάγειν τον διά των πόλων εως άν ακιάσωσιν αυτούς άμα οι κ ύ κ λ ο ι δ δη καί άμεινόν εστιν εν ταις τηρήσεσι ποιεϊν, τάχονς ενε5 κεν · συμβαίνει γάρ δια βραδύτητα έκπεσείν 1 ποτέ και τον ζητονμένον, τον ήλιον εν τή διοπτεία περί δυσμάς δντος. Τον δε ήλιου και τής σελήνης ύπερ γην δντων και ή τής σελήνης φαινομένη μοίρα κατά τε μήκος και πλάτος καταλαμβάνεται εκ τής προς τόν ήλιον αυτής διαστάαεως · υποκείμενης γάρ τής ήλιου μοίρας καί ό 10 εντός των αστρολάβων κύκλος παραφέρεται προς την σελήνην, δπως άμα τή τοϋ ήλιου διοπτεύσει, καί ή σελήνη διά των κατά τον λεπτόν κνκλίσκον όπών διοπτευθή ενί των οφθαλμών, οντω γάρ άν ποιόν τε τ οϋ διά μέσων τών ζωδίων κύκλον κατά μήκος έπέχει τμήμα ρόδιον επιγινώσκειν εκ τής κατά την διαίρεσιν τ οϋ ζφδιακοϋ κύκλου γινομένης υπέρ 15 γήν πάλιν τοϋ εντός αστρολάβου τομής · καί πάσας αυτόν τον διά μέ­ σων μοίρας αφέστηκεν ήτοι προς άρκτους ή μεσημβρίαν ως επί τοϋ προς όρθάς αυτώ κύκλου, διά τής αυτόν τοϋ εντός τών αστρολάβων διαιρέσεως ’ δση γάρ άν ενρίσκηται ή διάστασις από μέσου τής υπέρ γήν οπής ση­ μείου τοϋ ύπο τόν αστρολάβον κύκλιε«κον επί την μέσην γραμμήν τής κοι20 νής τομής τοϋ τε αστρολάβου καί τοϋ ζφδιακοϋ, τοσαύτη εσται καί ή τής σελήνης άπόστασις έψ’ όπότερα μέρη τοϋ διά μέσων νοονμένου κύκλου. Τής ôè σελήνης υπέρ γήν οϋσης νύκτωρ, καί 6 τόπος τοϋ επιζητουμένου άστέρος ήτοι άπλανοϋς ή πλανωμένου καταλαμβάνεται εκ τής διαστάσεως τοϋ άστέρος καί σελήνης, ύποκειμένης τής τοϋ άστέρος μοίρας 25 άπλανοϋς ή πλανωμένου, ή τής σελήνης μοίρα φαινομένη λαμβάνεται. καί πάλιν άπό τής τοϋ άστέρος μοίρας, άλλου τίνος απλώς άστέρος τών

7. καί ή τής: καί τής Η ή τής bPJ | 9. αύτής : αύτών bP | 11. διά τών καγά : διά τό κατά Η ) 1 2 . évi sp 2 lit τών L j 13. τμήμα ρόδιον X : τμημααραϊδιον L τμήμα αρα ’ίδιον Η τμήμα δυνατόν bPJ | 15. πόα ας : πάσας L,H πόααις b | αυτόν τον: αύτοΰ bP | 17. τής αύτοΰ : τής έκτου Ρ τον έκτου b | 18. δση: δαους bP | εύρίσκηται ή: [ijora suppl] X | μέσου μέσης bP | 18-19. σημείου τοϋ ύπο: σημείου τοϋ ύπερ γήν ύπό [ύπέρ γήν postea del], X | 24. καί σελήνης: και τής σελήνης bPJ | ύποκει­ μένης: ύποκειμένης δέ bPJ,HX [postea del J] | 25. μοίρα φαινομένη: φαινομένη μοίρα bPJ | 26. άπλώς : oui bPJ,H [suppl J] |1

(1) « Échouer ».

i

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PA PPU S D ’ALEX AN DRIE

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επιζητουμένων, εϋλημπτος δ τόπος δμοίως εκ της μεταξύ αυτών διαστάαεως · δ μεν γάρ έξωθεν των αστρολάβων κύκλος παραφέρεται προς τον τον υποκειμένου τόπον άστέρος ή σελήνης (καί περιάγεται δ διά των πόλων) έως αν δ υποκείμενος άστήρ ή ή σελήνη διοπτενθή εξ άμ5 φοτέρων των πλευρών κατ’ ισας αυτών διαστάσεις, ιν ώσπερ κεκολλημένον f το δρώμενον ταϊς πλενραϊς υπό τον ετέρου τών οφθαλμών, δς παρατίθεται προς τα υπό γην τον κρίκου πίπτοντα μέρη ταΐς πλενραϊς. δ δέ εντός καί διηρημένος προς τον επιζητούμενον αστέρα πάλιν ή τήν σελήνην παραφέρεται. καί όντως πάλιν διά τε τής τοϋ εντός αστρολάβου 10 προς τον ζφδιακόν κρίκον τομής καί τής κατά τον ύφηρμοσμένον αύτφ κυκλίακον οπής, ή τής σελήνης ή τον άστέρος μοίρα κατάτε μήκος καί πλάτος καταλαμβάνεται. Φανερόν δ’ δτι καί ή μεσουρανούσα τον ζωδιακόν μοίρα εκ τής έν τώ όργάνω προς τον μεσημβρινόν τομής τοϋ αντί τον διά μέσων δίδοται άμα 15 τή διοπτεύσει, ημέρας μεν ήλιου, νυκτός δέ σελήνης ή άστέρος · δτι καί ή τοϋ κόσμου θέσις ούτως εκλαμβάνεται. ’Από δέ τής μεσουρανούσης λοιπόν τό τε άνατέλλον σημεϊον τοϋ δια μέσων δοθήσεται καί δ χρόνος καθ’ δν τόπον καί ή τήρησις γίνεται, διά τών προεκτεθειμένων αναφορικών κανονιών L 1. όμοίως ό τόπος bPJ [coir J] | 2. διαστάαεως : -ων L | 3. πράς τόν : τόν omH I ή: ή TjjfçbPJ,X I 5-6. ώσπερ κεκολλημένον : [-μμένον J] ωσπερικεκολλημενον [ρι in ras] L | 6. fi : ήν Η | 7. υπό γην : ύπέρ γην bP | 9. αστρολάβου : -ρα- L | 11. οπής: τομής bPJ [corr in δπής J] H(?) | 13. έν : om bP I 14. τομής τον άντί τοϋ διά: τομής τον διά bPJ [αντί suppl J] τομής διά X I 15. νυκτός δέ : δέ om bP |1 (1) Cfr Aim., 134.

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Π ε ρ ί τ ή ς πρ ός τ ή ν δ ι π λ ή ν ανωμαλίαν τ ή ς σ ε λ ή ν η ς ύποθέσεως. ’Απλώς μεν ονν ό Πτολεμαίος εν ταϊς τυχούααις ήμέραις εσκόπει, το δργανον τιθείς ώς εϊρηται, τάς διαστάσεις τον έτέρου των φώτων προς το 5 έτερον τάς επί τον ζωδιακόν, σνναμφοτέρων υπέρ γην τνγχανόντων · καί ότε μεν αντάς σνμφώνονς κατελαμβάνετ ο ταϊς από των κανόνων ήλιον καί σελήνης εν τε τω γ' καί δ' βιβλίω τής σνντάξεως εκτεθειμένων ομα­ λών καί ανωμάλων κινήσεων έπιλογιζομέναις διά τών αριθμών, § ότε δε διαφώνονς, καί ότε μεν όλίγφ, ότε δε πολλώ · πλείονος δε αντώ τής ΙΟέπιστάσεως καί περιεργοτέρας σννεχώς οϊον καθ’ ημέραν γινομένης περί την τάξιν τής τοιαύτης ανωμαλίας, κατελαμβάνετο ώς φηαιν §« ότι περί « μεν τάς σννόδονς άεϊ » τοντέστιν περί τάς προς ήλιον τών φάσεων γινομένας τής σελήνης άνατολάς καί περί τάς δύσεις, ομοίως « καί τάς παν­ ί οελήνονς, ή ούδεν αισθητόν 1» γίνεται αμάρτημα, ολίγον, καί τοσοΰ15 τον δσον âv ai ^παραλλάξεις τής σελήνης διάφορον άπεργάσασθαι εδύναντο τών φαινομένων τής σελήνης τόπων προς τάς ακριβείς αυτής κατά μήκος έποχάς · « περί δέ τάς διχοτόμους άμφοτέρας », τουτέστιν τής σε­ λήνης από τοϋ ήλιου διαστάσεις μέσως πρώτον μοίρας q καί δεύτερον σο ώς επί τα επόμενα, βραχύτατον μεν πάλιν ή « ούδεν διαμαρτάνεται, 20 « τής σελήνης κατά το άπόγειον ή το περίγειον τοϋ επικύκλου τυγχα« νούσης », τουτέστιν άνωμαλίας ο ή ρπ * §« πλεϊατον δ’ δταν περί τούς § πότε διαφώνονς τάς άνωμάλονς καί όμαλάς κινήσεις έπιλογιζόμεθα πα­ στέ μέν όλίγφ ότέ δέ πολλώ πλείονος. § πότε οδδέν αισθητόν γίνεται Αμάρτημα. § πότε πλεϊατον καί το παρά τήν Ανωμαλίαν διάφορον ποιεί. 9. πλείονος δέ : δέ om bPJ [suppi J] | 11. &ς φηαιν : οδν φηαιν bPJ | 12. ή­ λιον : τόν ήλιον bPJ | 14. δλίγον : ή όλίγον bPJ | 15. Saov âv ai : δσον al bP δσον καί [δν al supra scr] 3\15-16.έδύναντο : δυναντο L δννανται ΗΧ δννονται bPJ I 18. πρώτον: comp in textu piene mg J | 19. βραχύτ ατον : βραχντερον bPJ,HX ,| ή : om bPJ | 21. άνωμαλίας Ο ή ρπ : ανωμαλίας ορπ L ανωμα­ λίαν ο ή ρπΧ τοϋ τής άνωμαλίας Αριθμόν μοιρών δντος ο ή ρπ bPJ | πλεϊσXον : πλεΐον bP | (1) Cfr Aim., 355, 7-10.

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P A P P Ù S D ’A LE X A N D R IE

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« μέσους δρόμους οϋσα », τουτέστιν μοίρας q έως ρβ τής ανωμαλίας άπέχουσα τοϋ απογείου τοϋ έπικύκλου καί μοίρας σνη έως σο, επλεί« στον καί το παρά τήν^πρώτην ανωμαλίαν διάφορον ποιή »\ δπερ έστίν μοιρών ε, ή καί εως δ νθ. 5 % ’έιπί γάρ τής δευτέρας ανωμαλίας το πλειατον διάφορον δείκνυται παρά τήν πρώτψ εν ταΐς διχοτόμοις * μοιρών β μ. έδείχθη δε καί επί τής πρώτης βιβλίω δ',μοιρών ε α. εάν ούν επιπλοκή καί μιξις αυτών γένηται, γίνεται το μέγιατον διάφορον άμφοτέρων, μοιρών ζ μ, $καί τεταρτημόριον απέχει ή μέση σελήνη τοϋ μέσου ήλιου. §καί τοϋ μεν κέντρου 10 σελήνης τεταρτημόριον έγγιστα άπέχοντος τοϋ απογείου τοϋ έπικύκλου, ή σελήνη κινείται τά μέσα μοίρας ιγ ια · Ηής δε σελήνης από τοϋ ήλιου τεταρτημόριον άπεχούσης, ού πάντως καί το κέντρον αύτής απέχει τεταρτημόριον τοϋ απογείου τοϋ έπικύκλου. 8 Ίστέον δ’ δτι παρατηρεΐν χρή τας διαστάσεις τών φώτων, έπί τε τών 15 διχοτόμων μάλιστα καί τών παναελήνων καί άμφικύρτων καί μηνοειδών,

§ πόσον έκ τής β' ανωμαλίας εδ.,χθη το πλειατον διάφορον παρά... καί πό­ σον επί τής α'. καί πόσον... επιπλοκής καί μίξεως αυτήν. § πόσον άπέχει ή μέση σελήνη τοϋ με... § πότε κινείται ή σελήνη τά μέσα μ° ιγ ια. S τής σελήνης άπό τοϋ ήλιου τεταρτημόριον άπεχ... το κέντρον αύτής τοϋ Απογείου. § πότε τό τής παραλλάξεως τής... μήκος διάφορον άνεπαισ.:. γίνεται παν­ τελώς. καί τι...μενού δίδοται εύχερως ... ραλλαξια.

1. δρόμους: παρόδους bP | μοίρας q έως ρβ τής Ανωμαλίας : άπό μοι­ ρών q τής άνωμαλίας εως ρβ bPJ | 2. μοίρας σνη : άπό μοιρών σνη bPJ έως : ε supra scr L | 5. διάφορον δείκνυται: δείκνυται διάφορον [δείκνυται pôstéa del] J om bP | 6. διχοτόμοις : διχοτόμοις δείκνυται bPJ J β μ έδείχθη : β με δείχθη L,H | 7. βιβλίω δ' : εν τφ δ' βιβλίψ bPJ,X | 8-9. καί τεταρτημόριον : δτε καί τεταρτημόριου bPJ | 9. καί τοϋ μέν : τοϋ μέν γάρ bPJ I 12. οΰ πάντως : πάντως Η |1 (1) Cfr Aim., 355,10-14. Dans le commentaire qui suit immédiatement, on serait tenté de lire 5° 1' aü lieu de 5°.Cette correction forcerait à changer un peu plus loin (cfr. infra 1. 6) 2° 40' en 2° 39', ce qui serait d’ailleurs con­ forme aux données de l’Almageste. (Cfr Aim., p. 337 et p. 390, col. 5). Nous avons pris comme règle de ne pas corriger les erreurs de chiffres lorsque la suite des calculs supposait ces erreurs, sauf s’il est évident que l’on est en présence de corrections systématiques du copiste.

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COM M ENTAIRE SUR L ’ALMA G ESTE L . 5 CHA P.

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τής σελήνης περί τήν τεταρτημοριαίαν περιφέρειαν επί τοϋ ζωδιακού άπεχούσης τοϋ δρίζοντος, τοντέστι τον άνατέλλοντος ή δύνοντος σημείου * οντω γάρ άν μόνως τό των παραλλάξεων αυτής κατά μήκος διάφορον άνεπαίσθητον γίνοιτο παντελώς * επει μη δίδοται προχείρως ή παράλλαξις 5 ανευ τοϋ δοθήναι πρώτον τον λόγον τής εκκεντρότητος τοϋ σεληνιακού κύκλου. §Έ π ε ί ούν περί παραλλάξεως και νϋν και μικρω ύστερον δ Πτολεμαίος έμνημόνενσεν, δοκεϊ δε παραλαμβάνειν τον περί αυτών λόγον δν ύστερον διδάσκει, δόξα φέρεται δε δτι ταις τών προτέρων μαθηματικών εχρήαατο 10 παραλλάξεσιν, ούκ εστιν ôè τοϋτο άληθές §d/U’ επειδή ώς εϊπομεν τέταρ­ τη μοριαίαν άπέχουσα τοϋ δρίζοντος περιφέρειαν ή σελήνη, μάλλον δ’επί τοϋ γραφομένου διά τών πόλων τοϋ ζώδιακοϋ, και τοϋ πόλου τοϋ δρίζον­ τος καί τοϋ διχοτομοϋντος σημείου το υπέρ γήν ημικύκλιον τοϋ ζφδιακοϋ μεγίστου κύκλου τυγχάνουσα απαράλλακτος εστιν κατά μήκος · διά τοϋτο 15 εί τάς περί τοϋτον τον κύκλον τής σελήνης θέσεις διοπτεύοντες τώ όργάνφ λάβοιμεν τάς διαστάσεις αυτής προς τον ήλιον, εξομεν τήν σελήνην άπαράλλακτον, καί ούκ εσται ήμϊν χρεία προς τό υποκείμενον τα.νϋν τής τών πα­ ραλλάξεων πραγματείας. §Καί γάρ εν τοις εξής "Ιππαρχός τε καί Πτολεμαίος φαίνονται λαβόν20 τες επί διχοτόμων και μηνοειδών κατά τάς τοίαύτας θέσεις τήν σελήνην άπαράλλακτον, ελάχιστα δε παραλλάσσουσαν κατά μήκος, εί άφεστηκυΐα τοϋ προειρημένου κύκλου φαίνοιτο όλίγην τινά τοϋ ζωδιακού περιφέρειαν. ιι$Καί δτι αφαιρετικής μεν οϋσης τής πρώτης ανωμαλίας εν δποτέρρ. « τών διχοτόμων, ετι ελάααων δ τόπος τής σελήνης εύρίσκεται τοϋ εκ

§ τί πρός τούς άλλοτρίφ δόξη λέγοντας χρήοασθαι τόν Πτολεμαίον εν ταϊς παραλλάξεσιν έροϋμεν. § πότε Εξομεν τήν σελήνην άπαράλλακτον. § πότε "Ιππαρχος καί Πτολεμαίος λαμβάνουαιν τήν σελήνην Ελάχιστα παραλλάσσουσαν. § πότε έλάσσωνδ τόπος τής σελήνης καί πότε πλείων.*8

1. περί τήν : τήν om bPJ | 3. οϋτω : οΰω Η | 7. καί νϋν : καινφ bPJ | 8. δοκεϊ δέ : και δοκεϊ bPJ,H | 8-9. δν ύστερον διδάσκει : ύστερον διδάσκων X μή πρότερον διδάξας καί διά τούτο bPJ | 9. δόξα: om X | φέρεται δέ : δέ in ras L δΕ om bPJ | 10 Εστιν δέ : δέ om b PJ,HX | 11. δ’ Επί : δέ bPJ 20. κατά τάς : κατασ [corr in κατά τάς m poster (?)] L |

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PA PPU S D 'A LEX A N D R IE

[2351

« τής π ρ ώ τη ς1 » ανω μαλίας έν τ φ τετά ρ τφ β ιβ λίω κατά άφαίρεαιν επ ιλογιζο μ ένο υ, « προσθετικής δε ε τ ι π λείω ν ωσαύτως καί άναλόγω ς τ φ μ ε γ έ « Βει τής πρώ της προσθαφαιρέσεως 2 ». §ΕΙ γά ρ τα μ έ γ ισ τ α προστίθησιν ή πρώτη μοίρας

ε α, και ή δευτέρα

5 τάς μοίρας β μ προστίθησιν · καί εάν ή πρώ τη τα μ έ γ ισ τ α αφαιρή, κ α ί ή δευτέρα άφαιρήοει τά μ έ γ ισ τ α · εάν δε τά μ έσα άφαιρή ή προστιθή ή πρώ­ τη μοίρας β λ,κά κείνη ομοίως τα μ έσα μοίραν a κ ‘κάν τά ελάχιστα,κάκ είνη ώστε κ α ί άναλόγω ς ή προσθαφαίρεσις αυτών γ ίνετα ι, §ώς διά τού­ την την τάξιν ήδη συνοράν, δτι καί τον επίκυκλον τής σελήνης επ ί εκκέντρου 10 κύκλου φέρεσθαι δει, άπ ογειότα τον μ εν γινόμ ενον και περί τάς συνόδους κ α ί π ερ ί τάς πανσέληνους,περιγειότατον δε κατ' άμφοτέρας τάς διχοτόμους. « Σ υμ β α ίνο ι δ ’ άν το τοιοϋτο, τής πρώτης ύποθέσεως τοια ύτην τινά « τήν διόρθωαιν λαμβανούαης 8... » καί τά εξής α χρι τέλους τοΰ πρώ του θεω ρήματος \ 15 34*Ε ν γά ρ τ φ τετ ά ρ τφ βιβλίο ,a κατά τήν πρώ την ύπόθεσιν, ύπ έκειτο δ μ ε ν π ερ ί τό αυτό κέντρον τ φ διά μέσων των ζωδίων γραφόμενος μ έ-

§ ποιον λόγον εχουσιν προς Αλλήλας ai προσθαφαιρέσεις τής β' Ανωμα­ λίας καί τής β’. %επί ποιον δει κύκλον φέρεσθαι τόν επίκυκλον τής σελήνης καί πότε άπο­ γειότατον γίνεσθαι καί πότε περιγειότατον. § πώς εν τω δ' βιβλίω ύπέκειτο κινούμενος ό μεγισ... τής σελήνης κύκλος καί πόσον, καί πόσον τό κέντρον τον έπικ... καί πόσον κατά μήκος. καί πόσον ή σελή­ νη έπΐ τον κύκλον ήμερησίως. 4. πρώτη μοίρας : Ανωμαλία δηλ. supra scr X πρώτη ήγονν bPJ [b,ut fere sem­ per, male legit : ή ώς] | 5. προστίθησιν : προαθήαει bPJ | 6. τΑ μέγιστα Αφαιρήσει bPJ | προστιθή : πρόσθη J | 7. μοίρας β λ : μοίρας a λ bPJ,HX | 8. ώστε καί: ώστε bP | 10. καί περί: περί X περί rebPJ | 12. συμβαίνοι: σνμφαίνοιΡ | τοιοϋτο : τοιοντον bPJ,HX | 15. έν γάρ : εν μέν bPJ [γΑρ supra scr J] | 16. δ μέν : τόν μέν bPJ | αύτό τό bPJ | τφ: τό Η τοΰ bPJ j 20,16-21,1. γραφόμενος μέγιστος κύκλος: γραφόμενον κύκλον bPJ |

(1) Aim., 355, 15-18. (2) Aim. 355, 18-20. (3) Aim., 356,2- 360,10. (4) Pappus divisait l’Almageste en théorèmes. On retrouve cette division dans Théon, qui en fait beaucoup moins usage. Hultsch la connaissait déjà : il en parle dans le mémoire sur un fragment d’Hipparque dont il a été fait mention dans la note 1, p. 1. Voir l’introduction du présent volume.

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COM MENTAIRE s u r l ’a l m a g e s t e L . 5 CHAP. 2

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γιστος κύκλος έν τφ λοξφ της σελήνης επιπέδφ, κινούμενος σύν αύτφ ή περί το αυτό κέντρον του διά μέσων των ζωδίων έπί τα προη­ γούμενα τοϋ κόσμου εν τή μια ήμέρα ο γ έγγιστα, οϊς υπερέχει ή κατά πλάτος ήμερησία κίνησις μοιρών ιγ ιδ έγγιστα την κατά μήκος μοι5 ρων ιγ ια έγγιστα ·τό δε κέντρον τοϋ επικύκλου τάς τοϋ πλάτους ιγ ιδ · ή δε σελήνη τον καλούμενον έπίκυκλον περιερχομένη πάλιν είς τά προηγούμενα ώς κατά την άπόγειον αύτοϋ περιφέρειαν, εν τή μια ημέ­ ρα μοίρας ιγ δ ' §ενταύθα δε δύο κινήσεις εναντίας άλλήλαις υποτίθε­ ται, όμαλάς τε καί περί το κέντρον τοϋ διά μέσων άμφοτέρας άποτελου10 μένας, καί εν τφ λοξφ τής σελήνης επιπέδφ * ών μίαν μεν την περιάγουσαν δC ευθείας το τοϋ επικύκλου κέντρον είς τά επόμενα των ζφδίων εν ήμέρφ μια τάς τοϋ πλάτους μοίρας ιγ ιδ, ετέραν δε την περιάγουααν διά τίνος ευθείας το κέντρον καί το άπόγειον τον εν τφ λοξφ επιπέδφ γραφομένου εκκέντρου, εφ' ου πάντοτε το κέντρον τοϋ επικύκλου τέτακται, εν 15 ήμέρφ μια πάλιν ώς είς τα προηγούμενα των ζφδίων μοίρας ια θ, αίς νπερέχουσιν al διπλαοίονες τής άποχής μοϊραι κδ κγ τάς τοϋ πλάτους ιγ ι6 · άλλά καί το λοξόν επίπεδον ύποτίθεται κινούμενον τά ο γ οϊς υπερέχουσιν al τοϋ πλάτους τάς τοϋ μήκους · ώστε εν τή μια ημέρα τό μεν τοϋ επικύκλου κέν*τρον κινούμενον τάς τοϋ πλάτους μοίρας ιγ ιδ, φαίνε20 σθαι κεκινημένον τάς τοϋ μήκους ιγ ια, τό δέ άπόγειον τοϋ εκκέντρου επί τά προηγούμενα μοίρας ια ιβ. οϋτω γάρ εξ άμφοτέρων των εναντίων κινή­ σεων περί τό τοϋ ζφδιακοϋ κέντρον ώς εϊπεν άποτελουμένων, ή διά τοϋ κέντρου τοϋ εκκέντρου καί τοϋ άπογείου αύτοϋ άγομένη ευθεία προσαποστήσεται τής διά τοϋ κέντρου τοϋ ζφδιακοϋ καί τοϋ κέντρου του1’επικύκλου 25άγομένης, την αυντιθεμένην εκ των ιγ ιδ, καί των ια θ περιφέρειαν, § πώς εν τφ ε’ βιβλίφ ύποτίθεται τά τής σελήνης*8 1. κινούμενος : κινούμενον PJ [κινονμένου b] | 2. ή : καί bPJ [ τό : om suppi J J 4. τήν κατά μήκος: ούσα τής τοϋ μήκος bPJ | 5. έγγιστα ’ τό δέ κέντρον : τυγχανούαης τό δε κέντρον J τυγχανούαης το sp 2 lit κέντρον Ρ τνγχανούσης κέντρον j 6. ή δέ σελήνη τον καλούμενον : τήν δε σελήνην τόν καλούμενον J τήν δέ σελήνην τον κινούμενον b | περιερχομένη : -ην bPJ I 8. ενταύθα δέ : ύπόθείς. ίντανθα bPJ | Ç-10. Αποτελουμένας Αμφοτέρας bPJ] 12. πλάτους μοίρας : πλάτους bPJ | 13. καί τό : τό om supra scr J | 15. πάλιν μιξ bPJ I μοίρας ια θ : Μ° ΜΑ Θ [del e t B E supra scr] L μοι β s' HX | 16. μοϊραι κδ κγ : [κδ καί γ’ comp supra scr J] μοϊ ιγ ιγ’ bP | 18. μιξ. ήμέρφ : μιαιμεραι [ή suppl] L | 20. ιγ ια : μοίρας ιγ ια bPJ,X | 25. Αγομένης : άγομένης ευθείας bPJ | εκ των : εκ τε των bPJ j καί των ια θ ," καί των ια ιθ Η καί τέδν ια καί των ια θ’ bPJ,X |

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διπλήν γινομένην των τής άποχής μοιρών ιβ ια[_' έγγιστα, και διά τοϋτο δίς êv τω évi μηνιαίω μέσω χρόνω τον εκκεντρον ο επίκνκλος περιελεύσεται, τής προς το άπόγειον τον έκκεντρου νοούμενης άποκαταστάσεως εν ταΐς μέσαις συνόδοις τε καί πανσελήνοις νποτιθεμένης άποτελεϊοθαι.

F ig .2. Secundum Pappi descriptionem delineata. Var. : tot om L ; epicyclum ^ et excentricum N om, circulum NM non compleverunt FX ; epicyclos et excentricos om J,Pb (praeterea, litt. N quater hab bP ; η pro N hab bP J ; P et Σ in zodiaco collocaverunt bP J et insuper ε pro P hab b.)

^Νοείσθω εν τφ λοξω τής σελήνης επιπέδω ομόκεντρος κύκλος τω διά μέσων των ζωδίων περί διάμετρον την ΑΒΡ · εφ’ ής νποκείσθω το μεν κέντρον τον διά μέσων των ζωδίων το Β, το δε τον εκκέντρου το Ν, το δέ περίγειον αυτόν το Ρ. νοείσθω δέ καί το A Κριοϋ αρχή και το βόρειον πέρας τοϋ λοξοϋ κύκλου σελήνης καί το άπόγειον τοϋ εκκέντρου καί το 10 κέντρον τοϋ επικύκλου επί τής περιφέρειας τον εκκέντρου κατά ζτήν κοι­ νήν τομήν τής ΒΑ και τοϋ εκκέντρου. Καί κεκινήαθω ήμέρας δρόμον τό μεν βόρειον πέρας τοϋ λοξοϋ κύκλου 5

§ πώς διά των γραμμών δήλα ίαται τά είρημένα.* 5 1. των τής άποχής : mut in τών άπό τής έποχής' J τών άπό τής Η τωναποτησεποχηα L | ιβ ια [_' : ιβ ια' η” X ta ia' Η [λ” in U mut J] I 5. νοείσθω : νοείσθω γάρ bPJ νοείσθω δέ Η | 8. καί τό A : τό A καί bPJ | άρχή ’■-χήν L,HX I καί τό : om b καί PJ | 9. πέρας : om L,H | κύ­ κλον σελήνης : κύκλου τής σελήνης X τής σελήνης κύκλου bPJ | καί τό : καί bPJ [ 10. περιφερείας : περιφέρειας έστω bPJ | 11. τομήν: om L,H j τής ΒΑ καί τοϋ εκκέντρου : τής τε βα καί τής περιφερείας τοϋ έκκέντρου bPJ τής βα καί τοϋ εκκέντρου τής διαμέτρου τοϋ ίπικύκλου[θ έκκέντρου Η] L,HX | 12 κεκινήαθω : κινείοθω bPJ |

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COMMENTAIRE

SOT l ’a l M AGESTE L .

5 CHAP 2

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έπι τά Προηγούμενα ο γ τήν νπόΑ Β Δ γωνίαν περί το κέντρον τον ζώδια· κοϋ,σνμμεταφέροντος τον έκκεντρου και τον επίκυκλον όδοϋ τον λοξοϋ τής σελήνης έπιπέδου προς τον ζφδιακόν, τό ôè άπόγειον τον εκκέντρον περιφέ­ ρειαν μοιρών ια θ επί τά προηγούμενα περί τό Β κέντρον τον ζφδιακόν 5 την υπό Δ BE, ώστε την υπό Α Β Ε δλην είναι ια ιβ, οίων ή a ορθή q, τον έπικύκλου σνγκινονμένον τω εκκέντρω επειδή τό κέντρον αύτον επί τής περιφέρειας εστϊν τον εκκέντρον, τον τοίνυν κέντρου του ζφδιακόν τοϋ Β μένοντος, κα'ι τον Ν κέντρου του εκκέντρον κινουμένου επί τίνος κυκλίσκου περί τό Β κέντρον, καί διάστημα τό ΒΝ, έσται τό Ν έπΐ τής 10 BE κατά τό Μ, καί τό Ρ περίγειον κατά τό Σ, επί τής διά τοϋ απογείου ευθείας τής ΕΒΣ. πάλιν δε τό κέντρον τοϋ έπικύκλου τό Η 1 κεκινήαθω ημέρας δρόμον, περιφέρειαν μοιρών κδ κγ, διπλήν γινομένην τών τής αποχής ιβ laL' από τοϋ Ε απογείου τοϋ εκκέντρον περί τό Β κέντρον τοϋ ζφδιακοϋ τής υπό ΕΒΗ γωνίας κδ κγ, οϊων ή a ορθή q. ώστε είναι 15 από τοϋ A τήν ύπό Α Β Η ιγ ια τοϋ μήκους · την ôè τοϋ πλάτους από τοϋ βορείου πέρατος τοϋ Δ, τήν υπό ΔΒΗ, υποτείνουσαν τοϋ ομοκέντρου τώ ζφδιακφ περιφέρειαν μοιρών ιγ ιδ. Έ πεΙ ôè και εν τώ δ' βιβλίφ εδείχθη ό μέσος μηνιαίος χρόνος ήμερων κθ λα η έγγιστα, εν ôè τώ τοσούτφ χρόνφ κινείται μέαως 6 μεν ήλιος 20 μοίρας κθ ζ κγ έγγιστα, ή ôè σελήνη ομοίως μοίρας τπθ ζ κγ * 1-2. ζφδιακοϋ συμμεταφέροντος : ζωδιακόν τήν ύπό δβε etc ut infra.;; δλην είναι συμμεταφέροντος [postea del] J | 2. όδοϋ τοϋ λοξοϋ L,H η όμοϋ τώ λοξώ X επί τον λοξοϋ bPJ | 4. ta θ : α θ Η | 6. συγκινονμένου : συνκινουμενού L | 12. δρόμον : δρόμον ήτοι bPJ,H | περιφέρειαν μοιρών κδ κγ : περιφέ­ ρειας μοι ιγ ιατήνδε εκ περιφέρειαν μοι κδ κγ X 114. τής ύπό ΕΒΗ γωνίας : τήν ύπό εβν γωνίαν bPJ | 15. ΑΒΗ ιγ ια τοϋ μήκους : αβη τοϋ μήκους μοιρών ιγ ια bPJ | 16 υποτείνουσαν : ύποτείνονσα Η | 16-17. τφ ζφδιακφ : τοϋ ζαν διακοϋ Η τουιζωιδιακου [mut in -κωι] L | 19. τφ τοσούτφ : τοσουτωιτωι [οσουτωι expunctJL τώΗ | (1) Nous avons mis Η sur l’excentrique, parce que d’après la théorie de l’Almageste, c’est là qu’il se trouve. Mais c’est sur l’écliptique qu’il faut compter un arc double de l’élongation moyenne, (nous emploierons le terme d’élongation dans le sens de distance en longitude du soleil à un astre mesu­ rée en sens direct à partir du soleil). Le point H n’est donc pas animé d’une vitesse constante, c’est seulement sa projection sur l ’écliptique, qui jouit de cette propriété. Dans le texte, nous ne comptons pas comme variantes, les erreurs matérielles de transcription des lettres désignant les éléments de la figure. Ainsi dans le présent passage, on trouverait de nombreuses confu­ sions entre N et H dans les manuscrits du groupe 1,

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PA PPU S D ’ALEX AN DRIE

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ώστε είναι αποχήν κινήσεως μοίρας τξ. το δε κέντρον τον επικνκλον το Η πλάτους μοίρας τη μ ιδ. το δε βόρειον πέρας τον λοξοϋ κύκλον, μοίραν a λγ να, αίς'ύπερέχοναιν ai τον πλάτονς τη μ ιδ τάς τον μήκονς τπθ ζ· κγ. το δε άπόγειον τον έκκεντρου μοιρών τκθ ιθ μζ, 5 αίς ύπερέχουσιν ai διπλασίονες τής αποχής ψκ μοΐραι των τον πλάτους τη μ ιδ.

Mouvement du soleil, des nœuds, du centre de l’épicycle et de l ’apogée de l’excentrique d’une conjonction moyenne àia suivante.

*Eàv 1 άρα πάλιν ύποθώμεθα το A Κριοϋ αρχή καί επ’ αύτοϋ τον μέσον ήλιον καί το κέντρον τον επικνκλον, το αυτό ίν τή μέαΐβ οελήνγ], καί το βόρειον πέρας τον λοξον κύκλου καί το άπόγειον τοϋ έκκέντρου, και 10 διεκβάλωμεν άπό τοϋ A τάς μοίρας οίκείως τοϋ τε ήλιον και τής 2. πλάτους : om X τάς τοϋ πλάτους bPJ |' 3. a λγ να, αΐς ύπερέχουσιν : A Λ Γ AI συπερεχουαιν L a λγ a i a ύπερέχουσιν Η a λγ να οίς ύπερέχουσιν bPJ | 7. Κριοϋ άρχή : αρχήν κριοϋ bPJ κριοϋ άρχήν X | 8. μέαμ σελήνχ) : μεαηιηεληνη L I 9. κύκλου : om bPJ | 10. διεκβάλωμεν : διεκβαλλομεν L (1) Les manuscrits ne nous ont pas conservé la figure de ce passage, à supposer qu’il y en ait jamais eu.On pourra suivre le texte de Pappus sur le croquis non numéroté que nous avons ajouté.Si une figure de ce genre a exis·1 té, elle a dû porter le n° 2 ; en ce cas, on doit assigner le numéro 1 à notre figure 2, et dire qu’on n’avait pas représenté l’astrolabe, ce qui est très possible, vu l’extrême complication du tracé, et l’absence, dans le texte, de toute allusion à un dessin.

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COM M ENTAIRE SUR L ’ALMA G ESTE L . 5 CHAP. 2

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μέσης σελήνης καί τον βορείου πέραχος, καί πίπτη δ μεν μέσος ήλιος καί ή μέση σελήνη κατά το Η, Κριω, μοίρα κθ ζ κγ · το δε βόρειον πέρας κατά τον Δ, Ίχθύοι, μοίρα κη κζ θ · διεκβάλωμεν δε καί από του Δ επί μεν τα επόμενα τάς τον πλάτους, τον κέντρου τον επικύκλον, μοίρας 5 τη μ ιδ, επί δε τα προηγούμενα τάς τ ον απογείου του εκκέντρου μοίρας τκθ ιθ μζ, τουτέστιν εις τα επόμενα τάς λοιπός εις τον κύκλον μοίρας λ μ ιδ, εσται καί το κέντρον του επικύκλου καί το άπόγειον τον εκ­ κέντρου άμα, καί ό μέσος ήλιος κατά το Η. ώστε εν τω μέσω μηνιαίω χρόνφ διαστασ... 1

1. καί πίπτη : πεσείται bPJ J ήλιος καί : ηλιοσοιονκαι L | 2. Κριφ : εν κριοϋ bPJ I 3. Ίχθύσι : εν Ιχθ- [comp PJ plene sed male b] | διεκβάλωμεν ôè καί : l-βαλλ- Η] καί èàv διεκβάλωμεν bPJ | 4. πλάτους : πλάτους, τουτέστι bPJ | 5 6. μοίρας τκθ ιθ μ : Μ° ικθ ιθ μ L,H μοι κθ ιθ' μ," X | 9. χρόνφ διαστασ... : χρονωιδιαστααεστιν [etc ut infra] L,HX χρόνφ [rei fol uac ; seq duo folia uacua, dein... αλιν έστω ut infra] E χρόνφ... λείπει τον Πάππον. μίαν άποκατάστασιν ποιήοονται, εν δε τφ évi μηνι δύο, καί δηλαδή εν τφ ήμίσει τον μηνιαίου χρόνον, καί εστι εν τφ μηνιαίφ, τοντέστι κατά τάς συνόδονς καί τάς πανσελήνονς, ό επίκυκλος τής σελήνης κατά το άπόγειον τοϋ έκκέντρου [Dein fragmentum quod Theoni tribuitur, inc. Σνμβαίνοι δ’ âv... de quo uide quae J scripsit, in nota mox tradènda] bP χρόνφ (rub) ζητεί τά ακόλουθα μέχρι τής αρχής τώνεντφ μετά τούτο τά ψύλλον εϊπερ εύρεθείη · καί εί εύρεθείη γραφήσωσαν έν αλλω τόπω · ενταύθα γάρ ούκ εκρίναμεν τόπον τοϊς ενρεθηαομένοις έάσαι · ούτε γάρ ϊσμεν εί εύρήσομεν ούτε πόσον το λείπον · ίνα το ικανόν αν τω ή μη περισσότερον τόπον εάσωμεν : μετά δέ τό τέλος τον παρόντος εου βιβλίου εύρήσεις ετέρου εξηγητοΰ οίμαι τοϋ θέωνος σχόλια εν οίς και τά λείπον τα εν­ ταύθα εν τοϊς πσρονσι τοϋ πάππον σχολίοις à και άναγίνωσκε προς σαφήνειαν αων τοϋ πτολεμαίον : (mg) από τοϋ ε' θεωρήματος : (nig) διαστας etc J |

(1) Tous les manuscrits présentent ici une lacune. Elle est un peu moins longue dans L,HX que dans le groupe 1 ; J a fini par retrouver, suivant son habitude, tout ce que le groupe 2 contient ; mais L et le groupe 2 pensent qu’ils ont le texte complet, tandis que J, bon critique, a vu qu’il restait encore une lacune. La coupure se fait même au milieu d’un mot. On était occupé à expliquer le 1er théorème, qui va dans l ’Almageste de p. 356, 2 à 360, 10 ; et l’on en était à la page 359. Ce qui suit la lacune commente p. 368, 22 : on peut être certain qu’il manque beaucoup. Les manuscrits du groupe 1 ont inséré ici un passage qu’ils attribuent à Théon. Nous le publie­ rons donc avec le commentaire de Théon, mais en nous rangeant à l’avis de J, qui doute de son authenticité,

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APPUS d ’a l e x a n d r i e

... έστιν 1 της υπό ΖΗΕ. πολλω [ μείζων ] αρα ή υπό Ζ Β Λ μείζων έστίν

26,1 - 28,13. ianv etc. : om bP sub pag postea scr JhabL,HX| 26,1-27,1. πολλω — ZHE : om HJ |

(1) J nous dit que le texte reprend au milieu du 5e théorème : il confond théorème et chapitre : le 5e théorème commence à 374, 14 et le 5e chapitre à 367,1. Notre figure 3 est imitée de L ; celle de X n’en diffère pas notable­ ment ; mais les deux manuscrits l’ont mal dessinée, en sorte qu’on n’en a plus que l’aspect général. Comme tout le début du raisonnement est perdu nous n’avons plus la description de la figure. Il faut donc deviner. On voit, tout au commence­ ment du fragment, que l’épicycle de la lune est en B et H. Donc le cercle ΑΒΓΔ est l’excentrique. Si N et P sont les apogées moyens, les droites P H et NB se coupent au centre de l’équant, Z ; si 17 F i g . 3 bis ex L delineaui. et Ξ sont les apogées vrais, les droites ΞΕ et UE Eandem fig. sed inaccu­ se coupent au centre de l’écliptique, et l’on doit rate et male descriptam avoir le centre de l’excentrique sur la ligne des hab XJ. apsides AE, en un point symétrique de Z par rapport à E. Ce point ne peut être que M. Reste à identifier Κ Η Θ Λ . Nous supposons que c’est un cercle dont le centre est Z. Ce serait donc le cercle qui au moyen âge s’est appelé l’équant. Dans l’Almageste, la notion de variation dans la direction de l’apogée de l’épicycle, est rattachée à un point : l’apogée se tourne, προσνεύει,constamment vers un point de la ligne des apsides appelé le centre de la prosneuse. Cela revient à dire qu’il se trouve constamment sur un rayon d’un cercle ayant pour centre le centre de la prosneuse, mais ce n’est pas le dire en propres termes. Aussi doit-on considérer le cercleAffΘΑ comme une simple construction géo­ métrique, et pas comme une ligne astronomique. Cela trouvé, on peut re­ constituer tout le commencement du raisonnement de Pappus, ce qui est loin, évidemment, de faire disparaître la lacune : Si par le centre de l’écliptique, on mène une perpendiculaire à la ligne des apsides, dans une première partie du raisonnement, Pappus établit que l’arc d’épicycle séparant l’apogée moyen de l’apogée vrai, croît constamment lorsque l’épicycle va de l’apogée de l’excentrique à cette perpendiculaire ; dans une seconde partie, on démontre que, passé cette perpendiculaire, l’arc continue à croître, pour atteindre son maximum lorsque l’épicycle arrive en un point situé entre la perpendiculaire et l’intersection de l’excentrique et du cercle circonscrit au triangle BE Z. Il n’arrive pas à pousser plus avant son problème de maximum et se contente de chercher dans la table des prosneuses où ce maximum se trouve. On a sur la figure 3 : Z K = HZ

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COM MENTAIRE SUR L ’A L M A 6EST E L . 5 CHAP. 5

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τής υπό ZHE. διά τά αυτά δη καί ή υπό Ζ Δ Κ μείζων έστίν της υπό ΖΘΕ. εάν ούν περί τά Β ,Ε σημεία τον επίκυκλον της σελήνης νοήσωμεν γεγραμ-

μένον, καί έκβεβλημένας τάς μεν EH, ΖΗ, μέχρι τής περιφέρειας τοϋ επι­ κύκλου ώς κατά τά Π, Ρ σημεία, εσται απόγεια ομαλά μεν τά N, Ρ, άκρι5 βή δε τά Ξ, Π σημεία ’ καί διαφοραι των μέσων απογείων προς τά ακριβή έσονται περιφέρειαι τοϋ επικύκλου ή τε από τον Ρ ομαλού απογείου έπϊ το Π ακριβές, καί ή από τοϋ Ν ομαλού επί το Ξ ακριβές * καί γωνίαι δηλονότι προς τω κέντρα) τοϋ επικύκλου καί αί κατά κορυφήν ύποτεινουσαι τάς περιφέρειας τοϋ επικύκλου. 6. Ρδμαλον : ζ δμαλοϋ HJ | 7. καί ή— Ξ ακριβές : om HXJ | Ό οχϊοΗΖΈet ΚΖΕ ont deux côtés égaux chacun à chacun. or ΚΖΕ > HZE. Donc KE > HE ΕΛ > HE Donc, dans le triangle ΕΛΗ, EHΛ > ΕΛΗ ΕΛΖ > ZHE ΛΚΖ > ZHE. Cette dernière inégalité s’exprime en grec par καί ή νπόΛΚΖ μείζων εστίν τής ύπό ZHE, ce qui nous met au commencement du fragment conservé par le groupe 2 et L, et retrouvé par J.

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PA PPU S D ’A LEXANDRIE

[éd. Bâle p. 2 4 5 ]

"Ωστε μείζων εστίν ή περιφέρεια της υπό Ζ Β Ε γωνίας ήπερ ή τής υπό ΖΗΕ. 'Ομοίως δειχθήσεται δτι και επί πάντων μεν των έπΐ τής A B περιφέ­ ρειας λαμβανομενών σημείων μεταξύ των A, Β, μείζων εστίν ή υπό Ζ Β Ε 5 γωνία, πάντων δε των επί τής ΑΔ περιφέρειας λαμβανομένών σημείων μεταξύ τώνΑ, Δ, μείζων εστίν ή υπό ΖΔΕ. Καί δήλον ως εάν δ μεν επίκυκλος εντός ρπ μοιρών ή, < ή> επί τον Α Β Γ ημικυκλίου, προστιθέναι δει τάς διαφοράς των απογείων τφ κέντρφ < τής> σελήνης, εάν δε υπέρ ρπ μοίρας ή, τοντέστιν εν τω Γ< Δ> Α ήμιΙΟκυκλίω, άφαιρεΐν δει τάς διαφοράς των απογείων τοϋ κέντρου τής σελήνης, iva σχώμεν τάς από των ακριβών απογείων κινήσεις τον κέντρου τής σελήνης άεί επί τά ήγούμενα κινουμένου. A

F

ig

.

4. Var : Litt. A oin bPJ punctum Z male posuit, et lin X i om X.

§ *Πάλιν έστω έκκεντρος κύκλος δ Α Β Γ , περί διάμετρον τήν Α Ε Γ, καί

κέντρον τά Μ. καί κέντρον μεν τον ζφδιακοϋ το Ε σημείον, τό δε τής προσ15 νεύσεως τον επικό κλου τό Ζ, καί προς ορθάς ή BE Δ. καί επεζεύχθω ή § πώς δείκννται ή μεγίστη διαφορά τοϋ μέσον άπογείον. 4-6. ΖΒΕ γωνία— ή υπό (ΖΔΕ) : bis HJ in mg iterum scr cum inscr κείμενον X | 8. προστιθέναι δει : προστιθέμενα εις L,HXJ | 9. μοίρας ή : μοίρας Η [ τφ Γ < Δ > Α : τώ ιγ a L,HXJ | 11-12. iva σχώμεν— σελήνης: bis Η I 13. πάλιν : inc in textu J τό δε έξης τοϋ Πάππον. Πάλιν b τοϋ πάππον πάλιν P I Α Β Γ : a/5)> γενέσθαι την τήρησιν, ήν αν ή σελήνη επί τοϋ ορθού 10 τω όρίζοντι και ζωδιακώ σχεδόν οϋσα, κατά μήκος απαράλλακτος, προς δε τον προκείμενον χρόνον διά τών κανόνων ενρίσκομεν τον ομαλόν ήλιον Ταύρω ζ μ, τον δε ακριβή, ζ με · την ομαλήν σελήνην Ίχθύσι κβ ιγ, ανωμαλίας δ’ από τοϋ ομαλού απογείου τοϋ επικύκλου, ρπε λ. Εις το δ' θεώρημα ι. 15

S Έπε'ι τοίνυν ή υπό Α Ε Β γωνία δέδοται πη νζ, λείπουσα εις τάς τξ μοίρας τών τοϋ κέντρου τοϋ επικύκλου, σοα δ, αϊ είσιν μετά κύκλον διπλασίονες τών τής Αποχής γινομένων τιέ λγ, οξεία αρα εστίν και έκατέρα τών υπό ΑΕΒ, Α Ν Β. καί διά τούτο, ai ΔΚ, Ε Ξ κάθετοι επί τάς ΕΒ,

§ πόσα τής παραλλάξεως. § πως δείκνυται διά τοϋ δ' θεωρήματος ότι Ιση έγγιστα τή ΔΕ τή μεταξύ τών κέντρων τήν ΕΝ άπείληφεν... διά τοϋ μέσον περίγειου... τής ΒΜ επί το γενόμενον... < σ>ημεΐον ή πρόσνευσις. 1. έπεϊχεν δέ άκριβώς κα γ' [μοίρας κα γ' bPJ] : om L,X | 4. ’Ιχθύσι μοίρα κα γ' οϋσα : έν Ιχθύων οϋσα μοι κα γ' bPJ [μοίραις b] | 5. όρθοϋ : προς όρθάς bPJ | ζψδιακφ : τφ ζφδιακφ bPJ | 6. οίσα om X | 7 β Ι§ εκ: β Γο' προσορθασ sp 1 lit εκ [ο θ et alterum σ expunct] L β Γο πρός ορθός έκ ΗΧ β ι& εκ [προς όρθάς supr scr ] J | 8. μέντοι : μέν τοίνυν bPJ| 9. ώρα < γ '> : ωρα L,HX μετά sp. 2 lit