Commentaires sur les livres 1 et 2 de l'Almageste 8821001083, 9788821001086

Citation preview

STUDI

E

TESTI

72

COMMENTAIRES DE PAPPU S ET DE THÉON D’A L E X A N D R IE

SUR L ’ ALMAGESTE Texte établi et annoté PAR

A. ROM E Professeur à l’ Université de Louvain avec le concours de la Fondation universitaire de Belgique et du Fonds national belge de la Recherche scientifique.

TOME II

T h é o n d’A lexan d rie Commentaire sur les livres 1 et 2 de VAlm ageste

CITTA D EL VATICANO B iblioteca» A postolica V aticana 1936

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

STUDI

E

TESTI

'-PUBBLICATI, PER CURA

· :_

dègù scrittóri della biblioteca vaticana

E VDEGLI ARCHiyLSTI DELL’ A R m iV Io ' sEGRETO 1. V atasso M ., Antonio Rlaminio :e. te principali poesie dell’autografo Vaticano 2870. — 1900, pp 68, in-8» (L. 12). ' , 2. — De due.Bihbie di Bovino, ma; codici Vaticani latini.T0510»10511 et le loro note storièlle.— 19Q0, pp. 48 (L. 10). ' ' . .. ^ "" ' ' ; 3. F ran ch i de’ C a va lieri P ., La Passio ss. Mortimi et' lacobi. -r-..19Q0j pp. 76, con una tavola (L .1 5 ). 4. V attasso M ., Anneddoti in dialetto romanesco del secolo x iy, tratti dal cod. Vatic. 7654.— 1901, pp. 116, con una tàvola (L. 25 ). - . . 5. M e rc a ti G-, Note di letteratura biblica ^ eristlan a antica. — 1901, p p . v iii -|-256, con tre tavole doppie (L. 60). 6; F ran ch i d ò’ C avalieri P ., I martini di « . Teodoro erdi s. Ariadne, con ùn’ appendice sul testò ori ginale del martìrio di s. Eleuterio. — 1.901, pp. 188, con una tavòla (L.,5n' 7. M e rca ti G ., Antiche reliquie liturgiche ambrosiane e romane, con un excursus sui frammenti dog­ matici ariani del S fa i.— 1902, pp. iv + 8 Ó (L . 15). . 8. F ra n ch i d e’ C avalieri P ., Note agiografxch,e : I, Ancora del itìartirio di s. Ariadne___ II. .Gli Atti di s. Giustino. 19Q2, pp. 40|(L. 10). 9. — Nuove Note agiografiche : I. Il testo greco originale degli Atti delle sante Agape, Irene et Chione. — II. Osservazioni sopra gli Atti di s. Crispina. — I I I .T Martiri delia Massa Candida. — IV. D i una probabile-fonte della leggenda dei ss. Giovanni e Paolo. — 1902, pp. iv -j-8 0 (L . 15). 10. Vattasso M ., Per la storia del dramma sacro in Ita lia : 1. Nuovi aneddoti drammatici di antico dialetto romanesco. —^ 2. Le rappresentazioni sacre al Colosseo nei secoli x v e x vi secondo nuovi documenti tratti dall’archivio deli’ Arciconfraternità di S. Lucia del Gonfalone. — 3. Antichi inventari di vesti e di attrezzi usati nelle rappresentazioni dalla Compagnia del Gonfalone. —4. li dramma della conversione di s. Paolo, rimaneggiato dà fra’ Pietro Antonio da Lucignano. —. 1903, pp. 132 (L. 30). 11. M erca ti G ., Varia sacra, fase. 1 : 1. Anonymi Chiliastae in Matthaeum fragmenta, — 2. Piccoli supplementi agli scritti dei Dottori Cappadoci e di san Cirillo Alessandrino. 1903, pp. 90, in-4 (L. 25). 12. — ■I. Un frammento delle Ipotiposi di Clemente Alessandrino. — II. Paralipomena Ambrosiana conalcuni appunti sulle benedizioni del cereo pasquale. — 1904, pp. 48 (L. 15). 13. C a t a l o g o s o m m a r i o ' d e l l a ' E s p o s i z i o n e G r e g o r i a n a , aperta nella Biblio­ teca Apostolica Vaticana dal 7 all’ i l aprile 1904, a cura della Direzione della medesima Biblio­ teca. Ediz. 2a. —· 1904, pp. 76 (L. 12). 14. V attasso M ., Del Petrarca e di alcuni suoi am ici: 1. Due lettere del Petrarca, una del Boccaccio quattro di Barbato da Sulmona ed una di Niccolò Acciaiuoli, di Nicola e di Napoleone Orsini. — 2. Cenni sulla vita e sulle opere di Gabrio de’ Zamorei. — D i Moggio de’ Moggi da Parma e dodici sue poesie ora per la prima volta pubblicate. — 1904, pp. 112 (L. 30). 15. M e rca ti G ., Opuscoli inediti del beato card. Giuseppe Tommasi. — 1905, pp. 58, con una. tavola doppia (L. 15). 16. V attasso M ., Initia Patrum aliorumque scriptorum ecclesiàsticorum latinorum ex Mignei Patrologia et ex compluribus aliis libris. Voi. I : A-M ___ 1906, pp. x + 6 9 6 (L. 150). 17. Id. Voi. II : N-Z. — 1908, pp. 650 (L. 150). 18. — Frammenti d’un L ivio del ,v secolo recentemente scoperti, codice Vaticano latino 10696. — 1906, pp. 18 in-folio, con 3 tavole in fototipia (L. 35). 19. F ran ch i de’ C avalieri P ., Hagiographica ; 1. Osservazioni sulle leggende dei santi Martiri Mena e Trifone. -— 2. Della leggenda di S. Pancrazio Romano. — 3. Intorno ad alcune reminiscenze classiche nelle leggende agiografiche del rv secolo. —· 1908, pp. 192 (L. 35). 20. V attasso M ., I codici Petrarcheschi della Biblioteca Vaticana. Seguono cinque appendici con testi inediti, poco conosciuti o mal pubblicati. — 1908, pp. x n - f 252, con due tavole doppie in foto­ tipia (L. 50).

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

EDIZIONE A N ASTATICA Anno 1973

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

STUD I

E

TESTÌ

72

COMMENTAIRES DE PAPPU S ET DE THÉON D’A L E X A N D R IE

SUR L ’ ALMAGESTE Texte établi et annoté PAR

A. ROM E Professeur à l’ Université de Louvain avec le concours de la Fondation universitaire de Belgique et du Fonds national belge de la Recherche scientifique.

TOME II

T h éo n d’A lexan d rie Commentaire sur les livres 1 et 2 de VAlm ageste

CITTÀ D E L VATICANO B iblioteca A postolica V aticana

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

a

son

eminence

le

Cardinal

G . jMlercati

en temoignage de respect et de reconnaissance

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Table des Matières

Pages Q) In t r o d u c t io n ........................................................... .

1. 2. 3. 4.

l x x ix

Éditions et traductions des livres 1 et 2 de Théon l x x ix Notes sur Théon d’Alexandrie .............................. l x x x ii Principes de l’établissement du t e x t e ....................... lxxxvi Addenda et corrigenda ........................................... xcxii

M ode d ’ emploi des tables astronomiques de P tolémée .

§ 1. Table des cordes (Alm., p. 48) voir t. I,p. xxix. § 2. Table des décbnaisons du zodiaque (Alm., p.80) § 3. Table des ascensions droites et obbques du zo­ diaque (Alm., p. 134), voir t. I, p. xxx. 1. Calcul des a s c e n s io n s ............................ xcvii 2. Longueur du j o u r ................................. x c ix 3. Réduction de l’ heure saisonnière . ........................ 4. Calcul du point de l’ écüptique qui se lève (ho­ roscope) .................................................. 5. Calcul du point de l’ écbptique qui culmine . . . 6. Calcul du point de l’ écliptique qui culmine étant donné le point de l’ écbptique qui se lève et réciproquement . . . . . § 4. Table des distances zénithales du zodiaque (Alm., p. 174) voir 1.1, p. x x x ......................... L iste des sigles (cfr. t. I, p. xxi)

..................................

Comme ntaire de T héon sur le 1er livre de l ’A lmageste ( l re partie ) ...........................................................

Chapitre 1 (A lm ., p. 4)

. ...................................... ....

xcvi

x cv i x cv i xcvii

c eu c iv

cv tvi cvii

317 317

La pagination de l’introduction et du texte continue celle du vo-

(1) "

■*

* ·-

-

'T '-.-U

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

L X X V III

Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre

2 (Alm., p. 8) 3 (Alm., p. 10) 4 (Alm., p. 14) 5 (Alm., p. 16) 6 (Alm., p. 20) 7 (Alm., p . 2 1 ) 8 (Alm., p. 26) 9 (Alm., p. 30) 10 (Alm., p. 31)

Commentaire de T héon sur le 1er livre de l ’A lmageste (2e partie ) ......................................................... Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre

10 12 13 14 15 16

(suite) (Alm., (Alm., (Alm., (Alm., (Alm.,

............................................ ; . . . p. 64) p. 68) p. 76) p. 80) p. 82)

Commentaire de T héon sur le 2e livre de l ’A lmageste Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre

1 (Alm., p. 8 7 ) ....................................... 2 (Alm., p. 89) 3 (Alm ., p. 92) 4 (Alm., p. 97) 5 (Alm., p. 98) 6 (Alm., p. 101) 7 (Alm., p. 117) 9 (Alm., p. 142) 10 (Alm., p. 145) 11 (Alm., p. 154) 12 (Alm., p. 160)

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

326 334 381 401 417 422 435 448 449

463 83 511 532 571 582 586 601 601 611 620 632 635 649 677 706 724 744 768

INTRODUCTION

Commençons par remercier tous ceux dont l’ aide a rendu possible l’élaboration du présent volume. Et en premier lieu S. E. le cardinal G. Mercati, qui jusqu’ au jour de son élévation à la dignité cardinalice a bien voulu jouer le rôle de reviseur, comme il l’avait déjà fait pour le premier volume. Ceux également qui m’ ont procuré des renseignements. Feu Maurice Alliaume n’a pas eu hélas l’occasion de continuer bien longtemps à contrôler du point de vue de l’astronome les notes explicatives ; il n’ en a pas moins droit à un souvenir re­ connaissant. MM. Lefort et Cochez m ’ont fourni des détails nou­ veaux sur Med. 28.18. M. J. K. Fotheringham m ’a permis de rec­ tifier la note 3 de la p. 607. Dans la correction des épreuves j ’ai été aidé par mon frère, D. Rem. Rome, O.S.R., conservateur du musée de paléontologie de l’ Université de Louvain. Les index du tome précédent et ceux du présent tome (qui ne seront imprimés qu’à la fin de l’ ouvrage) ont été mis sous une forme à peu près défini­ tive par M. B. Grynpas, assisté pour la partie matérielle par MUe I. Bus. Je reriiercie également la bibliothèque vaticane qui a bien voulu accueillir cette publication dans les Studi e Testi, et en particulier LL. EE. les cardinaux Mercati et Tisserant, et Mgr. Pelzer. Une subvention m’ a été accordée par la Fondation Universitaire (de Belgique) et par le Fonds national (belge) de la recherche scientifique. Sans ces deux institutions, il ne m’aurait pas été facile d’arrh er à bout de mon travail. Et finalement, je n’ai garde d’ oublier ceux des critiques, et particulièrement MM. Dain et von Fritz, qui ont signalé dans le tome précédent des choses qui clochaient. Certains d’entre eux constateront qu’ils m ’ont fourni en partie le sujet de cette in­ troduction. 1. Editions et traductions des livres 1 et 2 de Théon. Nous avons déjà dans le tome précédent, (pp. v i i sqq.) parlé de l’édition Raima. On trouvera une biographie de cet intéressant abbé ar-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

LXXX

dennais1 dans la Biographie universelle de F. X . de F eller 2. Nous avons consulté son dossier aux Archives nationales à Paris 3, mais il ne contient rien qui vaille la peine d ’être reproduit ici, sauf qu’il laisse soupçonner que l’édition de Théon s’ est arrêtée faute d’argent. La bibliothèque du collège philosophique S. I. à Eegenhoven-Louvain (que je remercie d’ avoir bien voulu me confier pen­ dant des mois son exemplaire, rare, de l’édition Halma) possède un prospectus exposant un vaste projet d ’ édition : les quatre premiers volumes (qui ont été réalisés) devaient contenir l’Almageste et certaines petites œuvres de Ptolémée. Théon tout entier devait remplir deux volumes, les six premiers livres constituant le premier volume. « Les lacunes de Théon seront remplies par les suppléments de Pap» pus 4, de Cabasilas et de Regiomontan » ajoutait-il. Le second v o­ lume de Théon devait contenir le reste du commentaire, « mais cette » dernière partie de Théon étant mutilée... M. Halma y suppléera » par une Uranologie de Ptolémée, qui sera composée des Tables ma» nuelles astronomiques de cet auteur, jusqu’à présent inédites ; elles » seront accompagnées du petit commentaire 5 de Théon sur ces Ta» blés et précédées de la traduction... du poème astronomique d’Ara» tus ». Ensuite devait venir la Géographie de Ptolémée. Pour ce qui concerne Théon, seuls les deux premiers livres ont paru, en deux volumes. Le 3 e contient les Tables manuelles 6,

(1) Né à Sedan 1755, mort à Paris 1828. (2) F. X . de F eller , Biographie universelle, ed. augmentée par P érennès Paris 1834. Nous citons cette biographie, bien qu’elle soit incomplète au point d ’oublier l’ édition de l’Almageste. Qui a dit que Halm a est un nom hollandais ? c’est le nom d’un village du Luxembourg, tout près des grottes de Han, à 60 K m . du lieu natal de l’abbé. (3) + + F 17c H 5 d, Théon n’ayant rien d’ un atticisant.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

8-9]

C O M M E N T A IR E

δηλονότι αντώ

sur

l ’a l m a g e s t e

L.

1

CH AP.

3

343

γιγνόμεναι, διάμετροι δε των βάσεων αι ΑΕΒ, Γ Ζ Δ ,

ώστε Α Ε Γ Ζ τό παραλληλόγραμμον μενούσης τής Ε Ζ περιενεχθέν, πεποιηκέναι τον κύλινδρον, και τετμήσθω δ αξων δίχα κατά τό Η, και υπο­ κείμενης επ’ αυτόν τής γής, ειλήφθω επί τής επιφάνειας του κυλίνδρου 5 τυχόν σημείον τό Θ, καί από του Θ επί τον αξονα κάθετος ήχθω ή ΘΚ.

εάν οϋν μένοντος του Ε Ζ άξονος περιφέρηται ό κύλινδρος περί τους Ε, Ζ πόλους μένοντας,

δηλονότι καί τό Θ σημείον φερόμενον γράψει κύκλον

ορθόν προς τον αξονα, οϋ κέντρον έσται τό Κ, διά τό καί την Κ Θ ευθείαν προς όρθάς τή ΕΖ περιφερομένην την αυτήν μένειν, καί καθ' ενός έπι10 πέδου φέρεσθαι διά τό μένειν καί τά Κ, Θ σημεία, έστω οϋν δ γραφόμενος

κύκλος ό Θ Α Μ περί διάμετρον την ΘΚΜ. λέγω δή δτι πάσαι αί από τής γής τουτέστιν τοϋ Η σημείου επί τον κύκλον προσπίπτονσαι ενθεϊαι ίσαι άλλήλαις έσονται. έπεζεύχ*θωσαν γάρ αί Η Θ , ΗΜ. έπεί οϋν ’ίση έστίν ή Θ Κ τή ΚΜ, κοινή δέ καί προς όρθάς ή ΚΗ, βάσις αρα ή Η Θ βάσει τή ίί>ΗΜ ίση έστίν. διήχθω δή καί ή Η Λ , καί έπεζεύχθω ή Κ Λ .

καί έπεί ή

Κ Η ορθή έστιν προς τό τοϋ Θ Α Μ κύκλον έπίπεδον, καί προς πάσας αρα τάς άπτομένας αυτής ευθείας καί ονσας έν τφ τον κύκλου έπιπέδω ορθή έστιν. ώ στε καί προς τήν Κ Λ ορθή έστι. καί έπεί 'ίση \έστίν ή Κ Θ τή Κ Λ , κοινή δέ καί προς όρθάς ή ΚΗ, βάσις αρα ή Η Θ βάσει τή Η Λ έστίν ίση. 20

'Ομοίως δή δείξομεν δτι καί πάσαι αι από τοϋ Η τής γής προς τήν τοϋ κύκλου περιφέρειαν προσπίπτονσαι εύθεΐαι ισαι άλλήλαις έσονται, ώστε συμβαίνειν τά τε μεγέθη των απλανών αστέρων ’ίσα φαίνεσθαι, διά τό έπιπλεΐστον επί των αυτών παραλλήλων αυτούς προς α’ίσθησιν φέρεσθαι, ονκέτι δέ καί έπί τών πλα,νωμένων τό τοιοϋτον δννασθαι παρακολουθεϊν

25 αισθητή τινι παραχωρήσει κατά βορειοτέρων καί νοτιωτερών παραλλή­

λων αυτών φερομένων. Εάν γάρ νοήσωμεν καί από τοϋ Ξ ομοίως έτερον παράλληλον γραφόμενον περί κέντρον τό Σ ,

έφ’

οϋ πάλιν δ άστήρ ένεχθήσεται, καί έπι-

ζεύξωμεν τήν Ξ Σ Ρ διάμετρον καί τήν ΗΡ, δήλον ώς ανισοι έσονται

αί

1. δηλονότι: om bPJ | 6. ΕΖ άξονος περιφέρηται in ras J | 11-12. ΘΚΜ. λέγω δή δτι πάσαι αί άπό τής γής : om fin m g add θκμ λέγω δή δτι αί από τής γής] V θλμ από δε τής γής F Θ Κ Μ από δε τής γής bPJ | 18. ώ στε — εστι : om in mg scr L at add resecta pag periit signo tantum in textu relicto | 10. ή Η Θ : ή Θ L | 21. τον κύκλου: τοϋ Θ Λ Μ κύκλον bP | 27. παράλληλον : παράλ­ ληλον κύκλον bP | 28. ένεχθήσεται : ίνενεχ- V F,bP J | 28-29. επιζεύξω μ εν : ζενξω μ εν'νΡ ,Β Ρ ά [ D ’autre part, l ’article est garanti par tous les manuscrits. Nous pourrions encore dire que les droites Α Γ et B A sont dans le plan de l ’axe EZ, sans songer qu’il y a une infinité de plans qui passent par l’axe.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

344

T H É O N D ’A L E X A N D R I E

[H p. 26-27]

από τής γης επί τον αστέρα διαστάσεις, ποτέ μέν κατά τον Θ Λ Μ παραλ­ λήλου αυτού φερομένου, ποτέ δέ κατά του ΞΡ, διά τό μείζονα είναι τά από τώ νΗ Σ, ΣΡ, τουτέστιν τό από τήςΗ Ρ , των από τώ νΗ Κ , ΚΜ, τουτέστιν του από τής ΗΜ, ώστε και την Η Ρ τής Η Μ μείζονα γίνεσθαι, και συμ5 βαίνειν ανισομεγέθη φαίνεσθαι τον αστέρα · δπερ παντάπασιν άντίκει-

ται τοίς φαινομένοις. ονκ αρα κυλινδρικόν αν εϊη τό τοϋ ουρανού σχήμα. Τά αυτά δέ συμβήσεται καν μή κατά τής διχοτομίας τον άξονος ή γή ύποτεθείη. "Οτι δέ ουδέ κωνικόν αν εϊη, πάλιν γάρ αν τά αυτά άτοπα συνέβαινεν 10 περί τους πλανωμένους αστέρας τω και επί τούτου άνισα γίνεσθαι τά από τής γής έπ'ι τον ουρανόν διαστήματα, εί καί πλείονα σύμφωνα τό τοιοϋτον σχήμα φυλάττει τοΐς φαινομένοις, όντως άν κατανοήσαιμεν.

F ig . 3. Var : Α Δ multo longiorem quam Β Γ et Β Ζ Γ tanquam circulum delineauit L ; Λ Η om, inter Λ Μ et Θ Μ duos arcus delineauit F ; A et A cum duobus punctis arcuum ΒΕΓ, Β Ζ Γ coniunxit, lin H A om V ; item, ac insuper Α Δ longiorem quam Β Γ delineauerunt b,PJ,

”Εστωσαν γάρ δύο κώνοι ορθογώνιοι \ ισοϋψείς επί μιας βάσεως, τάς κορυφάς έχοντες προς τοϊς πόλοις (δπερ άν τις πάλιν ώς πιθανώτερον ύπο15 λάβοι, διά τό καί δύο πόλους είναι τής φοράς) οί Α Β Γ ,

ΔΒΓ

περί άξονα

τον Α Δ , βάσις δέ αυτών έστω δ ΒΕ ΓΖ κύκλος, ού κέντρον τό Η , καί νπο-7

7. μή κατά τής : μή τής bPJ | 9. ουδέ : ΟΧΠ bPJ | 10. ανιαα : ea in ras L | 12. τοιοϋτον : τοιοντο V | φυλάττει : φυλάττειν L | κατανοήσαιμεν : νοήβαιμεν bP I 13. γάρ : om V F,bP J | 16. δ Β Ε Γ Ζ κύκλος, ο υ : 6 Β Ε Γ Ζ δ Β Ε Γ Ζ αρα κύκλος έστί τώ ν αη αη [scii, δη] δύο κώνων οΰ F δ Β Ε Γ Ζ κύκλος ορθός προς τον Α Δ άξονα οϋ V,bP EJ |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 9]

C O M M E N T A IR E S U R L ’A L M A G E S T E L .

1

CH AP.

3

345

κείσθω ή γη κατά το Η και Ιση δηλαδή η ΒΗ έκατέρα των Α Η , Η Δ, διά τό ορθογωνίους 1 και Ισοϋψείς ύποκείσθαι τούς κώνους, Ινα καί αί άπό του Η τής γης επί τον ουρανόν είρημέναι διαστάσεις ϊσαι ώσιν. λέγω δή δτι αί άπό του Η κέντρου επί την επιφάνειαν του

κώνου

διαγόμεναι

5 εύθεΐαι άνισοι έσονται. διήχθω γάρ ή Η Θ , ώστε τό Θ σημείον κατά τής

διχοτομίας είναι τής Α Β πλευράς τον κώνου, καί δήλον ώς δτι ή Η Θ κάθετος γινομένη επί την ΑΒ, διά τό καί την Α Η τή Η Β ϊσην νποκεί­ σθαι 2, ελάχιστη έσται πασών των άπό του Η επί την ΑΒ, επί τής επιφά­ νειας ούσαν

τον ουρανού, προσπιπτουσών ευθειών, καί έτι των έφ έκά-

10 τέρα αυτής αεί ή έγγιον τής άπώτερόν έστιν έλάσσων. εάν ούν νοήσωμεν

ομοίως τοΐς επί τού κυλίνδρου άπό τών Θ καί Λ σημείων έκ τής περιφοράς παραλλήλους γραφομένους ώς τούς ΘΜ,

ΑΝ,

πάλιν

τά άπό τής γής

του Η επί τον αυτόν παράλληλον διαστήματα ίσα έσονται, καί τά αυτά μεγέθη όφθήσεται τών άπλανών άστέρων κατά τών αυτών παραλλήλων 15 προς αϊσθησιν φερομένων,

ονκέτι δέ

διά

3. είρημέναι : εύρημέναι bPJ | ϊσαι ώσιν : 10. έστιν έλάσσων : έλάσσω ν έστίν bP !

τά εϊρημένα καί τά άπό τής

ώ σι bP

|

6. ώς δ τι : ώς J

|

(1) ορθογώ νιος au sens d'Archimède, c’ est-à-dire que l ’angle Β Α Γ est un angle droit. (2) J ajoute entre les lignes une glose. Il le fait fréquemment, et distingue soigneusement, en les mettant en rouge, ces explications, des variantes qu’il prend dans des manuscrits de l’autre famille. Ces gloses pourraient fort bien être du savant du x iv e s. qui a compilé J, et que Μ. I. D ü r i n g {D ie Harmonie­ lehre des Klaudios Ptolem aios, Göteborg 1930 p. l x i i et Porphgrios Kommentar zur Harmonielehre des Ptolemaios, Göteborg, 1932, p. χχιν) dit être Nicéphore Grégoras, tandis que J. L. Heiberg ( P t o l e m a e i Opera astronomica minora, Leipzig, 1907, pp. x x m et x l i i i ) en fait un moine de l’Athos et fait dépendre le groupe de mss de l ’Almageste avec commentaires, d’un travail de Nicolas Cavasilas. Les deux éditeurs modernes sont impressionnées par le fait que les passages manquants des Harmoniques ont été suppléés par Grégoras, tandis que le 3 e livre de Théon l ’ a été par Cavasilas. Nous examinerons de près le très intéressant J dans notre préface au dernier tome de la présente pu­ blication. Voici la glose de J à ce passage-ci de T h éo n : διότι äv νπ ’ αυτήν

ορθήν υπ οτείνουσα έκάστη δυναται ϊσον τοϊς άπό Η Θ και τής απολαμβανόμε­ νης μ ετα ξύ το ϋ Θ καί του Y πέρατος αυτής. Il s’agit des autres lignes me­ nées de IL à un point quelconque Y de la droite A B et dont Théon parle à la phrase suivante.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

346 δψεως

T H É O N D ’A L E X A N D R I E

[H p. 27-28-29]

διαστήματα επί διαφόρους παραλλήλους ϊσα τυγχάνειν. διό και

ομοίως πάλιν οι πλανώμενοι κατά βορειότερων και νοτιωτερών παραλλή­ λων φερόμενοι ανισομεγέθεις όφθήσονται, δπέρ ώς έφαμεν άντίκειται τοίς φαινομένοις. συμβήσεται δε επί του | τοιούτου σχήματος τον μέν επί των 5 βάσεων κύκλον

μόνον μέγιστον είναι των παραλλήλων καί διχοτομείν

τον ουρανόν, καθάπερ καί επί τής σφαίρας δ Ισημερινός, καί τούς ίσον απέχοντας του μεγίστου των παραλλήλων Ισους είναι, καί τον έγγιον του μεγίστου του άπώτερον μείζονα, δπερ καί επί του σφαιρικού σχήματος συμβαίνει. 10

Κατά τά αυτά δέ δειχθήσεται δτι ούδ’ έτερόν τι σχήμα ενδέχεται έχειν τον ουρανόν ή μόνον τό σφαιρικόν, αν ίσους γάρ πάλιν επί πάντων των

. άλλων σχημάτων συνέβαινεν γίνεσθαι τάς από τής γης επί τον ουρανόν

διαστάσεις, δπου ό’ αν αυτή καί ώς αν ύποτεθείη, ίσων αυτών γινομένων επί μόνου τού σφαιρικού σχήματος καί τά μεγέθη πάντοτε τών άστέρων 15 ίσα δεικνυουσών συμφώνως τοίς φαινομένοις.

Έ π εί ούν έδείξαμεν σφαιρικόν τυγχάνον τό σχήμα τού ουρανού, καί πρώτον μέν διά τό τούς έγγιον τού φανερού πόλου αεί φανερούς αστέρας κατά μικροτέρων κύκλων φέρεσθαι, τούς δ’ άπωθεν άνάλογον επί μειζόνων, τούς δ’ έγγυτέρω τούτων άνατέλλοντας καί δένοντας έλάττονα χρά20 νον έν τω άφανισμώ μένοντας, τούς δ’ άπωθεν άνάλογον πλείονα, δπερ

μόνω τω είρημένω σφαιρικώ σχήματι άρμόττει '· ετι δέ καί διά τό επί μόνου τού τοιούτου σχήματος δύνασθαι αεί καί τά τών πλανώμένων άστέ­ ρων μεγέ*θη ϊσα φαίνεσθαι, δπερ σύμφωνόν έστιν τοίς φαινομένοις · δοκεϊ δέ τούτο εναντίον είναι τοίς μικρώ πρόσθεν αύτω 1 είρημένοις, δτι 25 μείζονα ήμϊν όράται τά άστρα προς αύτοίς τοίς άφανισμοΐς τουτέστιν

τοίς δρίζουσιν δηλαδή ώς εξ έλάττονος διαστάσεως δρώμενα · βούλεται ενταύθα τό | τοιούτον άπολύσασθαι καί δηλώσαι ώς δτι ου παρά τό άπό-

3-4. δπερ ώς έφαμεν άντίκειται : om L | 10. αύτά δέ δειχθήσεται : αύτά δείχθήσεται V F,J αυτά δέ δειχθήσεται καί bPE | 11-12. πάντων τώ ν άλλων σχη­ μάτων : πάντων σχημάτων V F ,J | 14. τά μεγέθη : μεγέθη V ,J | πάντοτε : πάν­ των bPE | 18. δ’ άπωθεν : καί ώς επί etc., en supposant dans le texte une lacune que rien n ’indiquait dans le modèle de L , sinon L aurait laissé un blanc. (2) Cfr P t o l e m a e i Opéra astronomica minora ed. Heiberg, Leipzig, 1907, p. 187 sqq. Le texte grec n ’ est conservé qu’ en partie, dans un palimpseste de Milan. Heiberg a édité la traduction de Guillaume de Moerbeke, qui est in­ titulée C l a u d i i P t o l e m a e i liber de Analemmate. Il n’est pas sûr que Théon mentionne ici le titre exact. Guillaume, reproduisant les termes grecs (cir­ culas descensions quem vocamus katavaticum — antiskion id est contraumbralis) permet (cfr De Analemmate, pp. 189-193) de définir γωνία κατα[ ατική = distance zénithale, et γωνία άντίσκιος = le supplément de l’ azimuth (l’azimuth étant compté à partir du nord). Quant aux cercles de mois et de jours, les premiers sont courants sur les cadrans solaires hémisphériques. Les seconds, nous ne les avons jamais vus sur des cadrans antiques, ce qui est loin de prouver qu’on ne les a jamais tracés. Un cadran hémisphérique moderne en métal au South Kensington Science Muséum (dans les anciens locaux il portait le numéro 110-E . 174-1888) offre un cercle diurne par quatre jours, bien qu’il n’ait qu’une quinzaine de centimètres de diamètre. Ne l’ ayant pas vu fonctionner, nous ne savons pas si pareille précision n ’est pas rendue illusoire par le flou de l ’ombre.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

354

[H

T H É O N D ’A L E X A N D R I E

p.

32-33]

σ χ ή μ α τ ι, σ υ μ φ ώ νους τ ά ς έκ τ ω ν το ιό ν τω ν υ π ο θ έ σ ε ω ν κ α τα σ κ ε ν ά ς τ ω ν ω ρ ο σ κ ο π ίω ν καταλ.αμβάνεσθαι τ ο ΐς φ α ινομένοις. « . . . Κ α ί ό τ ι τ η ς τ ω ν ουρα νίω ν φ οράς α κ ώ λ υ το υ τ ε καί ε ύ κ ιν η τ ο τ ά τ η ς « τω ν

π α σ ώ ν ο ν σ η ς καί τ ω ν σ χ η μ ά τ ω ν ε ν κ ιν η τ ό τα το ν υ π ά ρ χ ει τ ω ν μ ε ν

5 « ε π ιπ έ δ ω ν τ ό κυκλικόν, τ ώ ν δε σ τερ ε ώ ν τό σφ α ιρ ικ ό ν.1 » ’Έ τ ι δε καί έτέρ α ν π ίσ τ ιν εισ ά γ ει το υ σφ αιρικόν είναι τ ο ν ουρανόν εκ τ ο ν τ η ν τ ο ια ν τη ν

κίνησιν εν κ ιν η τό τα το ν καί ά κ ώ λ υ τον νπ ά ρ χειν, είναι

δέ καί επ ί τ ώ ν σ χ η μ ά τ ω ν τ ό μ εν

κυκλικόν

τ α τ ο ν τ ό δε σφ αιρικόν εν τ ο ΐς σ τ ε ρ ε ο ΐς,

εν τ ο ΐς επ ιπ έδ ο ις ευ κ ινη τό -

εκ τ ο ν καί τα υ π ε ρ μ ε γ έ θ η τ ώ ν

10 β α ρ ώ ν διά τρ οχ ίλ ω ν ή μοχλικιδν η π ο λ υ σ π ά σ τ ω ν ε ν λ ν τ ω ς έλκ εσ θα ι, καθά κ α ί Φ ίλω ν τ ά ς

ε

δυνάμ εις 2 εις τ ό κυκλικόν ά ν ή γ α γ ε ν , ε π ε ί καί κ α θ ’

εν ση μ εΐον ή μ ία ν ευθεία ν τα τ ο ια ν τα σ χ ή μ α τ α (ιπ τάμ ενα του επ ιπ έδου, καί επ ιρ ρ έπ ο ντα ο μ ο ίω ς καί ίσ ο σ θ εν ώ ς εις τα π έ ρ ιξ ή π α ρ ’ εκ ά τερ α μ έρη, δπ η δ’ αν λ.άβη τη ν α ρχήν το υ κ ινεΐσθα ι ή επ έκ εινα επιρρεπή,

επ ί

τα

15 α υτά εφέλκει τή ν κίνησιν, έω ς ου τό α ίτιον τ ή ς α ρ χ ή ς τ ή ς κ ινή σ εω ς ε ξ ­ α σ θ ένη σ η . διό καί ο ίκ ειό τα το ν

Άν εϊη τ ώ ο ύ τ ω ς ε ν κ ιν η τ ο τ ά τ ω ουρανίαν

σ ώ μ α τ ι τό ε ν κ ιν η τ ό τα το ν τ ώ ν σ χ η μ ά τ ω ν άπ ονεΐμ α ι,

ώ σ τ ε ακόλουθον αν

εϊη ή γ ε ΐ σ θ α ι τό ν ουρανόν σφαιρικόν εχειν τό σχή μ α . \ « 'Ω σ α ύ τ ω ς δ’ δτι τ ώ ν ϊσην π ερ ίμ ετρ ον έ χ ό ν τ ω ν σ χ η μ ά τ ω ν

διαφ όρω ν,

3. ούρανίων : -νών V F | φοράς : corr free. ?] ex σφαίρας L . | ακώλυτου : άκολούθως V F | 4. τών π α σ ώ ν : άπασών bP E | εύκινητότατον : -τη ν V F ,bP E J | 9. έκ τον κ α ι: in ras L | 11. δυνάμεις: δύσεις bP | 12. ή μ ία ν : και μίαν bPE | 14. δπη δ’ αν : δπη αν bP | 15-16. εξασθένηση : -σει V ,b P |

(1) Alrii., 13, 13-16. (2) Glose de J (m1) : πέντε δυνάμεις είρήκαοι δι’ ών δύνανται τα υπερμεγέθη βάρη κινεΐν, τήν τε τών τροχίλων καί σφηνι κών καί κοχλιών, ετι δέ μοχλών τε καί πολυσπάστων, δ έατι έκ πλειόνων τροχίλων κατεσκενασμένων. Cfr P a p p i Collectionis quae supersunt ed. Hultsch Berlin 1878, vol. 3, pp. 1161 sqq. — P a p p u s , La Collection mathématique, trad. Ver Eecke, Bruges, 1933, t. II, pp. 873 sqq. — F. H u l t s c h , De Heronis mechanicorum reliquiis in Pappi Collectione servatis dans Commentationes... in honorem Th. Mommsenii conscriptae, Berlin 1877, pp. 114 sqq. Le 8 e livre de la Collection est, d’après Hultsch, remanié. On se demande si toutes les difficultés qu’il lui fait ne s’ expliqueraient pas d’un coup en supposant que le dernier livre de cette œuvre, postérieure au Commentaire, est inachevé. Quoi qu’il en soit, Hultsch lui-même reconnaît que l’on peut se fier aux renseignements fournis par le 8 e livre. On y trouve une théorie des cinq machines d’ après Héron et Philon et on y note aussi, peut-être d’ après Philon, que ces cinq machines procè­ dent d ’un principe unique. Ce passage-ci vient éclairer celui-là, et montrer que le principe unique en question est le mouvement circulaire.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p . 11]

C O M M E N T A IR E S U R L ’A I.M A G E S T E L . 1 C H A P . 3

355

» επειδή μείζονά έστιν τα πολνγωνότερα, των μεν επιπέδων ο κύκλος » γίνεται μείζων, των δε στερεών ή σφαίρα...1 » § Ποιησόμεθα δή τήν τούτων άπόδειξιν εν επιτομή εκ των Ζηνοδώρφ

δεδειγμένων

εν

τω

Περί

Ισοπεριμέτρων

σχημάτων ·

§ < π ω ς δείκννται δτι των ϊσην π > ε ρ ί< μ ε τ ρ ο ν εχόντων τ ετα γμ έν> ω ν ά τω ν ΰρω ν < τ ε και ισογωνίων το πο~>λυ .

4. Ισοπεριμετρων [hab E J ] : corr ex Ισόμετρων L μ ά τ ω ν : σχημάτων λέγοντι όντω ς bP E

ισόμετρων V F ,bP

| σχη­

(1) A lm ., 13, 16-19. Ptolémée divise donc les « figures » ayant ϊσην περί­ μετρον en solides et en figures planes. Plus loin, p. 388, 26, Théon note que l’Almageste appelle parfois πλευρά la face plane d’ un solide. Il n ’y a donc aucune raison de rejeter à la ligne 4 le titre περί ίσοπεριμετρων. Quant à la tradition manuscrite, elle est partagée. L a d’ abord écrit Ισόμετρων, puis περί au dessus de la ligne, dans l’ écriture contemporaine, peut-être celle du copiste lui-même, dans laquelle sont écrites les notes marginales et les cor­ rections. Or, on peut se fier à ces corrections : elles réparent des distractions du copiste. Les isopérimètres de Zénodore nous sont parvenus en trois recensions : celle qui commence ici ; celle que Pappus a insérée dans sa Collection ; celle que transmet l’ Introduction à l’Almageste (cfr ci-dessus, tome I, pp. x m -x v ii). Voir P a p p i Collectionis quae supersunt ed. Hultsch, vol. III, p. 1189-1211 (traduction latine des passages de Théon, toutes les lettres des figures étant changées pour permettre la comparaison avec le texte transmis par Pap­ p u s).— Ibid.., vol. III, pp. 1138-1165 (cfr p. xix du même volume) (texte et traduction du même traité, selon l’ Introduction à l’Almageste, édité d ’après V at. gr. 184).— Ibid., vol. I, pp. 304-361 (texte et traduction du même traité, tel qu’ il est transmis par Pappus). — P a p p u s , La Collection mathématique, trad. Ver Eecke, pp. 237-278 et x l - x l i ii . — Ν ο κ κ , Zenodorus’ Abhandlung

über die isoperimetrischen Figuren nach den Auszügen welche uns die u lexandriner Theon und Pappus aus derselben überliefert haben. Programm grossherzogl. Lyceum Freiburg i. B. 1860, pp. 33 in 16. — W . C r ö n e r t , D er E p i­ kureer Philonides dans Sitzungsber. der Akad. Wiss. B erlin, 1900, pp. 942-959. — W . S c h m i d t , Z ur Geschichte der Isoperim etrie im Altertum dans B iblio­ theca Mathematica 2 (1901), pp. 5-8. Ce dernier fait crouler, sans le dire, un raisonnement que Cantor énonce, d’ ailleurs avec toutes les réserves néces­ saires, dans ses Vorlesungen, t. I, p. 549 : « Quintilien connaît la loi des iso­ périmètres, donc il est postérieur à Zénodore ». Schmidt montre que Zéno­ dore n ’ a pas été le premier à traiter cette question. On voit, 1. 4 , que Théon n ’attribue pas à Zénodore l ’invention de ces théorèmes. Il reste donc pour le

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

356

T H É O N D ’A L E X A N D R IE

Των ϊσην περίμετρον εχόντων τεταγμένων

[H p. 33-34] ενΟνγράμμων σχημάτων ,

λέγω δή Ισοπλεύρων τε καί ισογωνίων *1*, το πολυγωνότερον μεϊζόν εστιν.

F ig . 6. Var : Hexagonum et· pentagonum male delineauit L, bene V ; pentagonum et tetragonum V, bPJ [V inuersa figura ; J : ταϋτα εκ τον άντιγρ>]; octogonum et hexagonum J [qui sic duas figuras habet],

’Έ στω γάρ Ισοπερίμετρα Ισόπλενρά τε καί Ισογώνια τα Α Β Γ ,

ΔΕΖ,

πολυγωνότερον δε έσ τω το Α Β Γ . λέγω ότι μεϊζόν εστιν το Α Β Γ . είλήφθω 5 γάρ τα κέντρα των περί τα Α Β Γ , ΔΕ Ζ πολύγωνα περιγραψομένων κύκλων

τα Η , Θ, καί επεζενχΟωσαν ai ΗΒ, Η Γ , ΘΕ, ΘΖ. καί ετι από των Η , Θ επί τάς Β Γ ,

ΕΖ κάθετοι ήχθωσαν ai Η Κ , ΘΛ. επεί ούν πολυγωνότερον

εστιν τό Α Β Γ του Δ Ε Ζ , πλεονάκις ή Β Γ την τον Α Β Γ περίμετρον κατα­ μετρεί ηπερ ή ΕΖ την του ΔΕΖ. καί είσιν ϊσαι al περίμετροι, μείζων αρα 10 ή ΕΖ τής Β Γ . ώστε καί ή Ε Λ τής ΒΚ. κείσθω τή Β Κ ίση ή Λ Μ. καί επε-

2. πολυγωνότερον : -ν ιώ - bPE | 3. έστω : εστωσαν bP | 4. πολυγωνότε­ ρον : -ν ι ώ -b PE I 7. πολυγωνότερον : -νιώ - bPE | 8. πλεονάκις- : πλεονάκις αρα Y F jb P E J I 8 9. καταμετρεί : -τρεϊν V |

moment que Zénodore est postérieur à Archimède et antérieur à Pappus, exactement comme Héron. Il n ’ est pas certain que. le texte reproduit ici par Théon soit plus fidèle que celui des deux autres recensions. En particulier, voir ci-dessous, pp. 360, n. 1 et 371, n. 1. D ’autre part, le texte de la Collection de Pappus semble avoir été additionné de fragments empruntés au Commentaire du même sur l’Almageste. Voir ci-dessous, p. 359, n. 2. (1) Dans ce qui suit-nous omettons quelques gloses de J qui n ’apprennent rien : m1 indique plusieurs fois les théorèmes d’ Euclide qui sont appliqués, et m3 fait des remarques évidentes, comme p. ex. ici, à laoycovimv} ov nqoç aX%HXa â/J.à rtnùç êavrâ.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

11-12]

C O M M E N T A IR E S U R

l ’a l m a g e s t e

L.

1

CH AP.

3

357

ζενχθω ή ΘΜ. καί έπεί έστιν ώς ή Ε Ζ ευθεία προς την τον Δ Ε Ζ πολνγώνον περίμετρον όντως ή υπό Ε Θ Ζ προς δ όρθάς, διά το ισόπλευρον είναι το πολύγωνον και ισας άπολαμβάνειν περιφέρειας τον περιγραφομένον κύ­ κλου και τάς προς τω κέντρω γωνίας τον αυτόν εχειν λόγον ταις περι5 φερείαις εφ' ών βεβήκασιν, ώς δέ ή του ΔΕ Ζ περίμετρος τουτέστιν ή

του Α Β Γ προς την Β Γ όντως al δ όρθα'ι προς την υπό Β Η Γ , δι ίσου αρα ώς ή Ε Ζ προς Β Γ τουτέστιν η Ε Λ προς Λ Μ ούτως και ή νπό Ε Θ Ζ γωνία προς την νπό Β Η Γ τουτέστιν' ή νπό Ε Θ Λ προς την υπό | ΒΗΚ. και έπεί ή Ε Λ προς Λ Μ μείζονα λόγον έχει ήπερ ή υπό Ε Θ Λ γωνία προς την 10 υπό Μ Θ Λ , ώς έξης δείξομεν1, ώς δέ ή Ε Λ προς Λ Μ η νπό Ε Θ Λ προς την υπό ΒΗ Κ, η υπό Ε Θ Λ προς την υπό Β Η Κ μείζονα λόγον έχει ηπερ προς την νπό Μ Θ Λ . μείζων αρα ή υπό Μ Θ Λ γωνία της υπό ΒΗΚ. έστιν δέ καί ορθή ή προς τω Λ ορθή τή προς τω Κ ίση. λοιπή αρα ή υπό Η Β Κ μείζων έσται τής υπό Θ Μ / 1. κείσθω τή υπό Η Β Κ ίση ή νπό Δ Μ Ν καί διήχθω ή 15 Λ Θ επί τόΝ . καί έπεί ίση έστιν ή υπό Η Β Κ τή υπό ΝΜΛ,άλλά καί ή προς

τω Λ ίση τή προς τω Κ, έστι δέ καί ή Β Κ πλευρά τή Μ Λ ίση, ίση αρα καί ή Η Κ τή Ν Λ . μείζων άρα ή Η Κ τής Θ Λ *.

μείζον αρα καί τό υπό

τής Α Β Γ περιμέτρου καί τής Η Κ του υπό τής ΔΕ Ζ περιμέτρου καί τής Θ Λ. καί έστιν τό μέν υπό τής Α Β Γ περιμέτρου καί τής Η Κ διπλάσιον τον 20 Α Β Γ πολυγώνου, έπεί καί τό υπό τής

Β Γ καί τής Η Κ διπλάσιάν έστιν

του Η Β Γ τριγώνου. 2 τό δέ υπό τής ΔΕΖ περιμέτρου καί τής Θ Λ διπλά­ σιου του Δ Ε Ζ πολυγώνου, μείζον αρα τό Α Β Γ πολύγωνον τον ΔΕΖ.

3. περιφέρειας : om V om Suppl F τάς bPEJ | 3-4. κύκλον : κύκλους περι­ φέρειας bPEJ I 5. εφ’ ών βεβήκασιν : om V F,bP E J | 5 6. ή τοϋ Α Β Γ : ή Α Β Γ V F,bP E J I 10. A M : την Λ Μ οϋτως F,bPEJ | Ε Θ Λ : Ε Θ Λ γωνία V F,bP E J | 11. Β Η Κ : Β Η Κ και V F ,bP E J | Ε Θ Λ (hab L,b) : Ε Θ Λ αρα F,PEJ | 13. ίσ η : om V FjbP E J |

(1) Cfr ci-dessous, p. 358, 1. Dans la Collection (p. 310, 5-6) Pappus, au lieu de démontrer ce principe, renvoie à un autre ouvrage : τούτο γάρ εν τοίς εις τα σφαιρικά λήμμασιν δέδεικται. En 1875 (cfr Coll. p. 311, η. 1 et p. 1234) Hultsch n ’avait pas retrouvé ce lemme. Il a remis la main dessus dix ans après. Cfr H u l t s c h Scholien zur Sphärik des Theodosios dans Abh. K . sächsischen Gesellsch. Wiss. Phil.-hist. K l. (1887), p. 440-441. (Voir aussi l’ édition Heiberg de Théodose, pp. 195-196). Dans ce qui suit, plusieurs con­ jectures de Nokk et de Hultsch se trouvent confirmées par nos manuscrits. (2) Glose de J m 2 : ομοίως και [ή έφ' έκαστος και (barré)] τό ύφ’ έκάστης των πλευρών και τής ηκ διπλά(σιόν) έστι τού επ’ αύτής τριγώνου, ώ στε πάντα όμως

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

358

thè ον d ’alexandrie

[Η p. 34-35-36]

i "Οτι δέ ή Ε Λ προς την Λ Μ μείζονα λόγον έχει ηπερ ή νπό Ε Θ Λ προς

την νπό Μ Θ Λ , δείξομεν όντως.

F ig . 7. Var: ter delineauit [bis male, M ex altera parte puncti Λ ponens) F ; bis delineauit J.

Έ κκείσθω γάρ χωρίς τό Θ ΕΛ τρίγωνον καί η ΘΜ διαχθεϊσα · καί κέντρω τω Θ διαστηματι δε τω ΘΜ κύκλον περιφέρεια γεγράφθω ή 5 Ν Μ Ξ, καί διήχθω ή Θ Λ επί τό Ξ. έπεί ούν τό ΘΕΜ τρίγωνον προς τον

ΘΜΝ τομέα μείζονα λόγον έχει ηπερ τό Θ Μ Λ τρίγωνον προς τον ΘΜΞ τομέα, εναλλάξ καί σννθέντι, τό Θ Ε Λ τρίγωνον προς τό ΘΜ Λ | μείζονα λόγον έχει ηπερ ό Θ Ν Ξ τομενς προς τον ΘΜΞ. άλλ’ ώς μεν τό τρίγωνον προς τό τρίγωνον, ή Ε Λ ενθεΐα προς την Λ Μ · ώς δέ ό τομενς προς τον 10 τομέα, ή νπό Ε Θ Λ γωνία προς την νπό Μ Θ Λ . ή αρα Ε Λ ενθεΐα προς την

Λ Μ μείζονα λόγον έχει ηπερ. η νπό Ε Θ Λ γωνία προς την νπό Μ Θ Λ . Τούτον δεδειγμένον, λέγω ότι εάν κύκλος ενθνγράμμω ίσοπλεύρω τε καί ίσογωνίω ίσοπερίμετρος f¡, μείζων έσται ο κύκλος. Κύκλος γάρ ο Α Β Γ ίσοπλεύρω τε καί ίσογωνίω τω Δ Ε Ζ

ενθνγράμμω

15 ίσοπερίμετρος έστω · λέγω δτι μείζων έστίν ό κύκλος.

§ πως < δ είξο μ εν οτι ·ή Ε Λ > π ύπό Ε Θ Λ ζ> π.

8. άλλ’ : τομέα άλλ’ bPE | 10. υπό Μ Θ Λ : Μ Θ Λ bP E τρος : Ισο om suppi L ¡ 14. εΰθυγράμμφ : om V F ,bP E J |

έχ.

1. δλον τον Γ Β Ζ Α : κοιλογώνιον μειζόν έστι τοϋ Β Α Ζ Γ κοιλογωνίου VFjbPEJ 2. κ α ί: om V F,bP E J | Δ Γ Ε : Δ Γ Ε τρίγοινα V F ,b P E J | 3. δπερ έδει δ ε ΐξα ι: om bPE | 8. r fj A B ή Β Γ : ή A B τή .B .rV F,bP E J | 9. ισοσκελές τ ρ ίγω νο ν: τρίγωνον Ισοσκελές bPE [ 13. δ ν τ ο ς: om V F ,b P E J |

I

(1) Cfr ci-dessus, p. 364, 15.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 15-16]

commentaire sur l ’almageste

L. 1 CHAP. 3

373

Β Γ . ομοίως δή δείξομεν δτι ονδ’ άλλη τις ετέρα rivi. Ισόπλευρον αρα εστίν το Α Β Γ Δ Ε Ζ έ*ξάγωνον.

F ig . 16. Var: Bis delineauit, sed secundam figuram non perfecit, distantiam BE longiorem quam distantiam Δ Ε + EZ sumpsit L ; fig om [id est rasuris fig 1(5 in fig 15 mutauit] F ; figuram inuertit J ; uerterunt bPE.

Λ έγω δη δτι και Ισογώνιον, μη γάρ, άλλ’ εί δυνατόν έστω μείζων ή Α γωνία τής Γ , ώς έχει επί τής έξης καταγραφής1, καί έπεζεύχθωσαν αί ΖΒ, 5 Β Δ . μείζων αρα ή ΖΒ τής Β Δ. συνεστάτω επί των ΖΒ, ΒΔ ισοσκελή τρί­ γωνα ώς προεδείχθη2 τάΖΗ Β, Β Θ Δ , συναμφοτέρας τας ΖΗΒ, Β Θ Δ συναμφοτέραις ταϊςΖ ΑΒ , Β Γ Δ ισας έχοντα. μείζονα αρα έστίν τα Ζ Η Δ , ΒΘΔ

3-4. ή Α γωνία τής Γ : τής Β γωνίας ή προς τώ Α γωνία 5Ρ Ε ] 5. Β Δ .μ είζω ν : Β Δ . τά ΖΑΒ, Β Γ Δ αρα τρίγωνα Ισοσκελή είαιν, ώς προεδείχθη. μείζων bPE Β Δ ισοσκελή τρίγωνα ώς προεδείχθη. μείζων ν Ε ’[οαηοβΠ V ] | ΒΔ. συνεατάτω : Β Δ , διά τό την προς τώ Α γωνίαν μείζονα είναι τής προς τφ Γ. αννεατάτω Υ Ε , 1)ΡΕ |

(1) L a figure se trouvait normalement à la fin du théorème. Voir ci-dessus, tome I, p. x x . Dans ce qui suit, on suppose le polygone équilatéral et pas équiangle. ( 2 ) La comparaison avec le passage parallèle dans l’Anonyme (cfr P a p p i Coll., p. 1156, 10) montre qu’ il faut construire deux triangles isoscèles sembla­ bles et dont les périmètres additionnés soient égaux au total des périmètres de A B Z et Β Γ Δ . Peut-être doit-on lire les mots précédents < δ μ ο ι α > Ισοσκελή τρίγωνα. En tous cas, c’ est ainsi qu’ on doit comprendre. Alors ώς προεδείχθη renvoie à la p. 366, 3, et ce qui suit doit se comprendre (comme l’ a expliqué Hultsch) : « ... deux triangles isoscèles semblables ZHB et Β Θ Δ , tels que (Z H + HB) + (ΒΘ + ΘΔ) = (ZA + AB) + ( Β Γ + ΓΔ). « En ce cas tri ZHB + tri Β Θ Δ > tri ZAB + tri Β Γ Δ « Car cela aussi a été démontré (cfr ci-dessus p. 368, 16). »

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

374

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 44-45-46]

τώ νΖΑΒ, Β Γ Δ . δέδεικται γάρ και τοντο. κοινού προστεθέντος τον Ζ Β Δ Ε τετράπλευρου, έσται το Ζ Η Β Θ ΔΕ τον \ Α Β Γ Δ Ε Ζ μεγίστου μεϊζον, δπερ ατοπον, ονκ

άρα άνισός εστιν ή Α γωνία τή Γ. ομοίως δή δείξομεν δτι

ονδ’ άλλη τινί. ισογώνιον αρα εστιν τό Α Β Γ Δ Ε Ζ . 5

’Εδείχθη δε και Ισόπλευρον. Των αρα ίσοπεριμέτρων ενθυγράμμων σχημάτων καί τάς πλευράς Ισοπληθεϊς έχόντων, τό μέγιστον ισόπλευρόν τέ εστιν καί ισογώνιον. Τοΰ δέ ισοπλεύρου καί ισογωνίου μείζων έδείχθη ο κύκλος ίσοπερίμετρος αντω 1.

1°

Πάντων αρα των ίσοπεριμέ τρων επιπέδων σχημάτων μείζων εστιν 6 κύκλος. § Λέγω δή δτι καί ή σφαίρα μείζων έστίν πάντων των ισην επιφάνειαν

έχόντων στερεών

σχημάτων,

προσχρησάμενος τοίς υπό

Ά ρχιμήδονς

δεδειγμένοις έν τω Περί σφαίρας καί κυλίνδρου 2.

Μ

F ig . 17. Var : Prolongationes linearum MN, MA, H@, H Z ac lineas NZ, MH, A K om [tamen spatium quod figuram integram comprehendisset reseruauerat] L ; item V F [F fig bis h abet]; prolongationes lin MA, MN, HZ, H® om et figuram uerterunt bP [litt EZH&KAMN in ras m1 P] ; prolongationes lin MA, MN, HZ, H®, et lin E K omissas rub suppi, litt E Z H 0 K A M N rub hab J.

§ πώς ν ε ι< ςα ν

κ ω ν ικ ώ ν ε π ιφ α ν ε ιώ ν π ε ρ ιε χ ο μ έ ν φ

καί έτέρω ν

έχουσα τφ τις> ν ώ ν < ς

μ ε ίζ ω ν ε σ τίν τ ο υ α ύ το ϋ στες> ρ έου.

4. ΕΚ . έάν &ρα περιενεχθεν : Ε Κ διά τ οϋ κέντρου, εάν οΰν μενούσης τής Ε Κ περιενεχθέν V F ,bP E J | 7. έπεί κ α ί: επεί bPE | 9-10. τής Η Μ : τής Η Μ επιζευγνυμένης | 1 0 . καί 2™ : ή καί 'VF,bPEJ ' | 1 1 . επιφανειών : ΟΠ1 V F ,bP E J [ 12. πλευρών : είρημένων πλευρών | 14. επιφάνεια : ή επιφάνεια V | 19. ή Α σφαίρα ή ϊσ η ν : σφαίρα ή Λ, ι σ η ν Ύ Ρ ^ Ρ Ε ό | 20. έ σ τ ί ν : ΟΓΠ 4 | 2 1 . εστίν : οιη 4 | του υπό : οιη ό | 22 . ύπ’ α υ τ ή ς : υπό η ; Υ , Ι |

(1) A r c h im è d e , Sph. et cgi., 1. I, prop. 28. Cfr A rchimedis Opera, t. I p. 108. Pour Théon, a v r o c ., c’est Ptolémée. Tout ce passage-ci est peut-être du Zénodore sans modifications.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

376

[H p. 46-47]

THÉON D’ALEXANDRIE

σφαίρας, ή δε του στερεού επιφάνεια Ιση εστ'ιν τή της Α σφαίρας επιφά­ νεια, και η της Α αρα σφαίρας επιφάνεια μείζων εστ'ιν τής εν τφ στερεφ εγγραφείσης σφαίρας επιφάνειας, και έπε'ι δέδεικται αυτφ 1 δτι πάσης

F ig . 18. Var : Fig bis hab [ad 1“ notauit : εξής ή καταγραφή ; ad 2m : τοϋτό έβτιν ή έξής καταγραφή ]V ; a punctis Λ et Μ duas tangentes ad circulos E et K ducit F ; lineam clausam cum appendice, quam litt a notauit pro fig hab [at paulo infra, ad lin 8 duos conos delineauit, quorum altitudines A E et K M , latera A B , Α Γ , A A et MZ, MN, ΜΘ nominauit] J.

σφαίρας ή επιφάνεια τετραπλάσια εστ'ιν του μεγίστου κύκλον του εν αυτή, 5 κα'ι τά τέταρτα, καί δ έν τή Α αρα σφαίρα μέγιστος κύκλος μείζων εστ'ιν

τον τής έν τω στερεφ εγγραφείσης σφαίρας μεγίστου κύκλου, ώστε και ή εκ τον κέντρου μείζων τής εκ του κέντρου. Έ κκείσθω δη κύκλος ο Β Γ Δ ίσος τή επιφάνεια τής Α σφαίρας περί κέντρον το Ε, κα'ι έτερος ό Ζ Η Θ Ισος τή επιφάνεια τον στερεού του περιεχο10 μένον υπό των κωνικών επιφανειών περί κέντρον το K ' ίσος δη εστιν δ

Β Γ Δ κύκλος τφ Ζ Η Θ κύκλω, έπε'ι καί ή επιφάνεια τή επιφάνεια, άνεστάτω δή άπδ μεν του Β Γ Δ κύκλου κώνος ύψος έχων ίσον τή εκ τον κέντρου τής Α σφαίρας τδ Ε Λ , άπδ δε του ΖΗ Θ κύκλου έτερος κώνος ύψος έχων ίσον τή εκ τον κέντρου τής έν τφ στερεφ εγγραφείσης σφαίρας τδ ΚΜ. 15 μεϊζον αρα εστ'ιν τδ Ε Λ ύψος του Κ Μ ύψους.

8. έκκ είσθω : VFjbP E J I

εγκείσθω F

|

14. ίσ ο ν : om bPEJ

|

15. ε σ τ ιν :

έαται

(1) A rchimède , Sph. et cyl., 1. I, prop. 33. Cfr A rchimedis Opera, t. I, p. 120, 15.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 16-17]

COMMENTAIRE SUR L*ALMAGESTE L. 1 CHAP. 3

377

Και έπεί έδείχθη 1 δτι oi κώνοι οι ΐσας έχοντες |βάσεις τον αυτόν έχουσι λόγον τοϊς ϋψεσιν, καί είσιν αί μεν βάσεις των κώνων ϊσαι καί μείζον τό Λ Ε ύψος τον Κ Μ ύψους, μείζων αρα και δ Β Γ Δ Λ κώνος τον Ζ Η Θ Μ κώνον. Και έπεί ή Α σφαίρα τετραπλασία έστίν κώνον του βάσιν μέν έχοντος 5 ισην τω μεγίστω κύκλω των έν αύτη ύψος δε ίσον τη έκ * τ ον κέντρου

(δέδεικται γάρ αύτω 2 καί τούτο), έστιν δέ καί ό Β Γ Δ Λ κώνος τετραπλάσιος του αυτόν κώνου διά τό καί την Β Γ βάσιν τετραπλασίαν είναι του μεγίστου κύκλου τό δέ ϋψος ίσον, καί ή Α αρα σφαίρα ίση έστίν τω Β Γ Δ Λ κώνω. ’Έ στιν δέ καί τό στερεόν τό περιεχόμενον υπό τών κωνικών έπιφανειών 10 ’ίσον τω Ζ Θ Η Μ κώνω, διά τό πάλιν δεδείχθαι α ύ τω 3 δτι τω περιγραφο-

μένω σχήματι περί την σφαίραν Ισος έστίν κώνος βάσιν μέν έχων κύκλον ’ίσον τη έπιφανεία

τού σχήματος ύψος δέ ίσον τη έκ τού κέντρου της

έγγραφείσης έν αύτω σφαίρας. "Ωστε καί ή Α σφαίρα μείζων έστίν τού είρημένου στερεού. 15

cΩσαύτως δέ καί έπί τών παρά Πλάτωνι πέντε πολυέδρων τεταγμένων

σχημάτων τό αυτό τούτο δειχθήσεται. Έ κκείσθω 4 γάρ ή Α σφαίρα καί έν τι τών είρημένων ε σχημάτων, ισην έχον την έπιφάνειαν τη Α σφαίρα, λέγω δτι μείζω ν , έστίν ή σφαίρα τού πολυέδρου. 20 Νοείσθω γάρ εις τό πολύεδρον έγγεγραμμένη σφαίρα · μείζων αρα ή τού πολυέδρου έπιφάνεια της έγγεγραμμένης έν αύτω σφαίρας · περιέχει

2. καί μείζον : μείζον δε bPEJ | 4. καί επεί : έπεί καί bPE | 5. ΐσην : ίσον L ,F I 7-8. διά το — ϊσον : om V F ,b P E J | 10. δτι τφ : δτι εν τφ bP | 11. βά16. τούτο : om bP | 18. εχον τήν : εχόντων L | 20. νοείσθω : νενοήσθωσιν : ό βάσιν V FjbP E J |bPEJ | 21. σφαίρας: σφαίρας επιφάνειας bPEJ |

(1) A rchimède Sph. et cyl., 1. I, lemme 1. Cfr A rchimedis Opera, t. I, p. 72. ( = E uclide , Elem., 12, 14). (2) A rchimède , Sph. et cyl., 1. I, prop. 34. Cfr A rchimedis Opera, t. I, p. 124. (3) A rch im ède , Sph. et cyl., 1. I, propr. 31. ( fr A rchimedis Opera, t. I, p. 112. (4) Aucun manuscrit n ’ a su dessiner la figure très compliquée à laquelle le texte fait allusion. Comme Théon ne lui assigne aucune lettre, on peut supposer qu’il n ’en avait pas dessiné lui-même. J trace deux contours fermés irréguliers; à l ’intérieur du premier, il inscrit la lettre a ; dans le second, πολύεδρον. Les autres font resservir ici la figure 18.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

378

[H p. 47-48-49]

THÉON D’ALKXANDKIÉ

γάρ αυτήν, άλλ’ ή τοϋ πολυέδρου επιφάνεια ϊση έστίν τή της Α σφαίρας επιφάνεια, ώστε και ή της Α σφαίρας επιφάνεια μείζων έστίν της έν τω πολυέδρω έγγραφείσης σφαίρας επιφάνειας, καί ή έκ τοϋ κέντρου άρα της Α σφαίρας μείζων έστίν τής έκ τοϋ κέντρου τής \ εγγεγραμμένης 5 σφαίρας. Καί έπεί ή τής Α σφαίρας επιφάνεια

ϊση έστίν τή

τοϋ

πολυέδρου

επιφάνεια, ο αρα κώνος ό βάσιν μέν έχων κύκλον Ισον τή έπιφανεία τής Α σφαίρας ύψος δέ ίσον τή έκ τοϋ κέντρου αυτής μείζων έστίν πυραμίδας τής βάσιν μέν έχούσης ενθύγραμμον 10 ϋψος δέ ίσον τή

Ισον

τή έπιφανεία τοϋ πολυέδρου

έκ τοϋ κέντρου τής έγγεγραμμένης σφαίρας, έπειδήπερ

§ πας μέν κώνος κυλίνδρου τρίτον μέρος έστίν τοϋ την αυτήν βάσιν έχοντος

αύτώ καί ϋψος ίσον, § πάσα δέ πυραμίς τρίτον έστίν μέρος στερεού τοϋ την αυτήν βάσιν έχοντος αυτή καί ϋψος ίσον, καί εστιν ό μέν κύλινδρος ή βάσις επί το ϋψος, τό δέ στερεόν ή βάσις έπί τό ϋψος, καί έστιν μείζον 15 τό τοϋ κυλίνδρου ϋψος τοϋ τοϋ στερεοϋ ϋψους ’ καί τών τρίτων αρα λη-

φθέντων, γίνεται μείζων ό είρημένος κώνος τής πυραμίδος. Ά λ λ ’ ο μέν κώνος ’ίσος έστίν τή Α σφαίρα έπειδήπερ έδείχθη πάλιν Ά ρ χ ιμ ή δ ει 1 δτι πάσα σφαίρα τετραπλάσια έστίν κώνου τοϋ βάσιν μέν έχοντος ϊσην τω μεγίστω κύκλω τών έν αυτή ϋψος δέ ’ίσον τή έκ τοϋ κέν20 τρου. καί έτι ή τής σφαίρας έπιφάνεια τετραπλάσια έστίν τοϋ μεγίστου

κύκλου τών έν αυτή, ώ στε τ ώ ν α τ < _ ο ι χ ε ί ω ν > (m . ree. s. xiv) 1. αυτήν, άλλ’ : om bPE αυτήν V F ,J | ϊση εστιν τή τ ή ς : ϊση οΰαα τή τής bP E ϊση εστιν τής F ή δέ τον πολύεδρον επιφάνεια ϊση εστϊ τή τής V ,J [ ή δέ τοϋ πολύεδρον in ras V] | Α σφαίρας : σφαίρας J | 2. ώ στε : την τής έγγραφείσης εν αύτώ σφαίρας επιφάνειαν, ώστε bPE | Α σφαίρας : σφαίρας J | τής έν : τής τής έν V ,b P E [2um τής add al m V ] I 4. τής εγγεγραμμένης : τής έν τφ πολυέδρφ έγγεγραμμένης bPE [ 6. καί έπεί : έπεί και bPEJ | 7. ίσον : ϊσην L | 15. τ ο ϋ τ ο ϋ : corr ex τό τ ο ϋ al τη L | 16-17. τής πυραμίδας — κώνος : om m g s u p p lm l J I 19. τώ μεγίστω κύκλφ : τοϋ μεγίστου κύκλου V F ,J | 21. κώ νος: κώνος δ bP |

(1) A rchimède Sph. et cyl., 1. I, prop. 34 p. 124, 15-17.

Cfr. A rchimedis Opera, t. I,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

i 7 -1 8 ]

c o m m e n t a ir e

sur

l ’a l m a g e s t e

L.

1 CHAP. 3

379

ϋψος δε την εκ τον κέντρον. εδείχθη δε καί η A σφαίρα τετραπλασίων του αυτού κώνον, ϊσος αρα δ κώνος ο βάσιν μεν εχων κύκλον ίσον τη επιφά­ νεια τής A σφαίρας ϋψος δε την εκ τον κέντρον αυτής. ",Ωστε καί ή A σφαίρα μείζων εστίν τής είρημένης πνραμίδος. 5

'Η δέ πυραμίς ίση εστίν τώ είρημένω πολύεδρα), δτι καί ή άπό του | κέν­ τρου τής εγγεγραμμένης èv τώ πολυέδρω σφαίρας εφ εκάστην έφέδραν αυ­ τόν προς όρθάς άγομένη γωνίας καί επ’ αυτήν πολλαπλασιαζομένη τοσαΰτα στερεά ποιεί δσον εστίν τό πλήθος τών περιεχόντων τό πολύεδρον επι­ πέδων, άτινα στερεά συντιθέμενα τριπλάσιον ποιεί στερεόν τον πολυέδρου,

10 διά τό καί έκαστον τής καθ’ εαυτό πνραμίδος ε ξ ών σύγκειται τό πολύεδρον, άλλα καί τής εκκειμένης πνραμίδος τριπλάσιόν έστιν τό αυτό στερεόν, διά τό καί την βάσιν αυτού ϊσην είναι τή επιφάνεια τον πολυέδρου, τουτέστιν τών κατά μέρος βάσεων

τών πυραμίδων ε ξ ών τό πολύεδρον σνγ-

κειται, τό δε ύψος ίσον τή εκ τού κέντρου τής εγγραφείσης σφαίρας. 15

"Ωστε καί ή A σφαίρα μείζων εστίν τού υποκειμένου πολυέδρου. ’Έ τι δε καί άπό φυσικών επιχειρεί προς την τοιαύτην επίστασιν καί φησιν δτι τών σωμάτων πάντων λεπτομερέστερου καί δμοιομερεστέρου τού αίθέρος τνγχάνοντος, άκόλουθον αν ε’ίη πάλιν τό δμοιομερες σχήμα αύτώ οίκειώσαι, δμοιομερες δε τό τε κυκλικόν εν τοΐς επιπέδοις, διά τό

20 υπό μιας γραμμής δμοιοσχήμονος * περιέχεσθαι, τό δε σφαιρικόν εν τοΐς στερεοΐς, διάτό καί τούτο υπό μιας επιφάνειας δμοιοσχήμονος περιέχεσθαι. « τού δέ αίθέρος μή δντος επιπέδου άλλα στερεού, καταλείπεται αυτόν » είναι σφαιροειδή . 1 »

ΛΗ καί ούτως · δ αιθήρ σώμά εστιν φυσικόν δμοιομερές, παν δε σώμα δμοιομερεστέρα εσχηματισμένον επιφάνεια σφαι­

25 φυσικόν δμοιομερες

ρικόν εστιν. δ αιθήρ αρα σφαιρικός άν ε’ίη. Ον μόνον δε τόν ουρανόν βούλεται σφαιροειδή τε είναι καί σφαιροειδώς

3. τ ή ς Α σφαίρας : τής σφαίρας bPJ | 6. έφέδραν : έδραν bP | 7. γωνίας : οιη bPJ | έπ’ αντήν πολλαπλασιαζομένη : επ’ αυτήν πολνπλασιαζομένη 3 πολλαπλαΟιαζομένη έπ’ αυτήν bP | 9. στερεόν: τό στερεόν ν Ρ ^ Ρ 3 | 10. καθ’ ¿αυ­ τ ό : κατ’ αυτό bP I 11. εκκειμένης: έγκ| 12-13. τ ο υ τ έ σ τ ιν : οιη "νΡ^ΡΟ | 16. " Ε τ ι : δτι bP | 20 τό δέ σφαιρικόν: καί τό σφαιρικόν ν ,3 | 24. ή καί οϋτως : ή ούτως δ | ό α ιθήρ: αιθήρ ν Ρ ^ Ρ Ο | 25. όμοιομερεσ τέρφ : όμοιομερεϊ ατερεφ έσχημάτιαται σχήματι όμοιομερεί \F jb P J [σχήματι τό δέ όμοιομερει δ] | εσχ ηματισμένον: -νφ Υ [ έπιφανείφ : α χήμ α τι\¥ βοΡ δ |

(1) A lm ., 14, 5-6.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

380

THÉON D’ALEXANDRIE

[Η

ρ.

49-50-53]

φέρεσθαι, αλλά και τ ο υ ς α σ τ έ ρ α ς π ά ν τ α ς . κ α ί φησιν δ τ ι ή φ ύ σις τά π ά ν τ α δημ ιο υ ρ γ ο ύ σ α καί σ υ σ τ α τ ι κ ή τ ω ν δλ ω ν | τ υ γ χ ά ν ο ν σ α , τ ά φυσικά σ ώ μ α τ α ε π ί γ ε ια τ ε καί φθα ρτά εκ περ ιφ ερώ ν καί α ν ο μ ο ιο μ ερ ώ ν σ χ η μ ά τ ω ν σ υ ν ε σ τ ή σ α τ ο , οΐον ώ σ π ε ρ κεφαλήν καί τράχηλον, καί β ρ α χ ί ο ν α ς, καί κοιλίαν καί 5 τά άλλα μ έρη, έπ εί ούν ή φύσις 1 μάλλον περιφ ερώ ν σ χ η μ ά τ ω ν έ σ τ ί ν ποιη­ τική καί τ ο ϊ ς μ έ ν έ π ι γ ε ίο ις καί φ θ α ρτοίς ά τ α κ τ ο ν καί άνόμοιον έ χ ο υ σ ι κίνησιν τ ό α νομ οιομ ερές τ ω ν π εριφ ερώ ν σ χ η μ ά τ ω ν ά π έδω κ εν, άκόλουθον αν ειη τ ο ϊ ς θεοίς καί ά φ θ ά ρτοις καί τ ε τ α γ μ έ ν η ν καί άΐδιον έ χ ο υ σ ι κίνησιν τ ό ομ ο ιο μ ερ ές τ ο ϋ π εριφ ερούς σ χ ή μ α τ ο ς ά πονεϊμα ι, δπερ έ σ τ ί ν σφαιρικόν, ΙΟεπείπερ ε π ί π ε δ α δν τ α ή δισκοειδή κ α θ ώ ς δοκεί τισιν, έ π ε ί καί τ ή δψει ο ύ τ ω ς υ π ο π ί π τ ε ι,

ούκ αν τ ο ϊς α π ό διαφόρων τ ή ς γ η ς τ ό π ω ν κα τά τ ο ν

αυτόν χρόνον ό ρ ώ σ ι ν κυκλικόν αν έφ αίνετο σ χ ή μ α , καθάπερ έν τ ο ϊς Ό π τ ι κοϊς 2 έδείχθ η, δτ ι τ ω ν α ρ μ ά τ ω ν οι τ ρ ο χ ο ί π ο τ έ μ έν περ ιφ ερείς π ο τ έ δέ π α ρ ε σ π α σ μ έ ν ο ι φαίνονται, καί διά τ ο ύ τ ο φησιν εύλογον 34 είναι, καί ονκ 15 είπ εν άναγκαϊον, έπ εί α πό « έ μ π ερ ιέχ ο ν τ α

α υτά

φ υ σικώ ν τ η ν έπιβο λήν π επ ο ίη τ α ι,

αιθέρα

τής

όμοια ς

« καί τ ον

δ ν τ α φ ΰ σ εω ς, σφαιροειδή τ ε

« είναι καί διά τή ν ομ οιομέρειαν τ ο ϋ σ χ ή μ α τ ο ς έγ κ υ κ λ ίω ς τ ε φέρεσθαι καί « δμ αλώ ς. - »

1. τά πάντα : πάντα V F , bPJ | 12. âv έφαίνετο: ένεφαίνετο V F έφαίνετο bPJ| 14. παρεσπασμένοι: διεσπ V F,bPJ I

(1) A lm ., 14, 7-13, ne fait qu’indiquer, à titre d’ argument de convenance, cette idée-ci, que Théon développe jusqu’à l’absurde, noyant ainsi une bonne remarque de Ptolémée : les astres doivent être des sphères, puisque de partout on leur trouve une forme ronde. Évidem ment cette proposition générale n’est qu’une extrapolation hardie d’une remarque faite sur le soleil et la lune, supposés

beaucoup plus rapprochés qu ’ils ne le sont.

(2) E uclide , Optique, prop. 36 (édition originale) ou prop 37 (éd. de Théon). Cfr Eucm pis Opéra omnia éd. Heiberg-Menge, vol. V I I , p. 80 et p. 214. (3) A lm ., 14, 13. (4) A lm ., 14, -13-16.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Ο τι

ή γή προς

σφαιροειδής

εστίν

αϊσθη σιν.

Π ε ρ ί τ ο υ σφαιροειδή τ ε είναι και σφ αιροειδώ ς φέρεσθαι τ ον ουρανόν τ η ν ύπ όμ νηα ιν

| π ο ι η σ ά μ ε ν ο ς , έ ξ η ς και π ερ ί τ ή ς γ ή ς διαλαμβάνει τον

5 α υ τ ό ν τρόπον, π ρ ό τε ρ ο ν από κοινών εννοιώ ν, είτ α καί κ α τ α σ κ ε υ α σ τ ι κ ώ τ ερον ά ν α τ ρ έ π ω ν τ ά ς δ ό ξ α ς τ ώ ν πα ρά τ ό

σφαιρικόν σ χ ή μ α ύπ ά ρ χ ειν

α υτ ή ν εννοούν τ ω ν. Τό δέ σ χ ή μ α τ ή ς γ ή ς σφ αιροειδές κ α τ α λ α μ β ά ν ετα ι, π ρ ώ τ ο ν μ έν έκ τ ο ϋ τ ο ίς ά να τ ολ ικ ω τ έροις

π ά ν τ ο τ ε π ρ ότερον άνατέλλειν τ ε

10 τά ά σ τ ρ α , τ ο ι ς δέ δ υ τ ι κ ω τ έ ρ ο ις ύ στε ρον,

καί τ ο ϋ τ ο μηδ'

καί δύνειν

αν συμβαίνειν

εί μή κ υ ρ τ ό τ η ς κα τά τη ν επιφάνειαν τ ή ς γ ή ς ά ν α λ ό γ ω ς α ύτοίς

έπ επ ρόσ θ ει.

κ α τα λ α μ β ά ν ο ν τα ι δέ τ ά ά σ τ ρ α μή ά μα άνατέλλοντα καί δυόμενα έκ τ ο ϋ τ ά ς α ύ τ ά ς εκλείψεις καί μ ά λ ι σ τ α τ ά ς σεληνιακάς

τ ά ς νφ’ ένα τινά καί

τ ο ν αυτόν χρόνον ά π ο τ ελ ο υ μ ένα ς καί π α σιν ά μα οις ε ν δ έ χ ε τ α ι

δρώμενος

15 § διαφόρως τ ω πλ ήθει κατά τ ώ ν ω ρ ώ ν 1 καθ' έ κ α σ τ ο ν ο ρ ίζο ν τ α πα ρά τ ώ ν

§ γράφε διαφόρως τφ πλήθει τών ωρών, ή διαφόρως κατά τάς ώρας (m .

S. X I V )

1. tit om F I δτι : δτι καί bPJ [ 2. πρός αϊσθησιν : om bPJ | 5. πρότε­ ρον : om. F,bPJ I 9. τ ε : om V F,bP J | 12. &μα : om L [add m ree] | 13. τάς ύφ’ : ΰφ’ V F εφ’ bPJ | 15. τφ πλήθει κατά τών ώρών : κατά τάς ώρας V F,bPJ I

(1) Nous avons maintenu le texte de L, malgré son allure insolite.On rencon­ tre à l’ époque classique κατά suivi du génitif pour signifier en ce qui concerne. Il n’ est pas impossible que κατά ait pu servir à renforcer un génitif complément de πλήθει bien que M a y s e r , Grammatik der gr. Papyri, II, 2, p. 341, 16 ne le mentionne qu’à propos du génitif objectif. Les autres manuscrits ont la correction (conjecturale?) κατά τάς ώρας. Dans L une main postérieure a barré κατά et a inscrit le signe de finale ας au dessus de τών et de ώρών. En marge une main récente a écrit : γρ διαφόρως τφ πλήθει τών ώρών ή διαφόρως κατά τάς ¡ώρας, deux conjectures évidemment, mais qui suggèrent que le texte de L pourrait être le résultat de la fusion de deux leçons. Gela sup-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

ΊΊΙΚί )Ν 1)’Λ1.1·:χ.\Μ )m ι :

382

[Η ρ. 51-52-33]

τ η ρ η σ ά ν τ ω ν άναγεγράφΟαι, καί αεί τ ο ϊς μ εν ά νατολ ικ ω τέροις εν πλείοσιν, τ ο ϊς δέ δ υ σ μ ικ ω τέρ ο ις εν έλ ά ττ οσιν, διά την τ ή ς γ η ς ώ ς εφαμεν κ υ ρ τ ό τ η τ α « και τ ή ς διαφοράς δε τ ω ν

ώ ρ ώ ν ά να λ ό γ ω ς τ ο ϊς δ ι α σ τ ή μ α σ ι τ ω ν τ ό π ω ν

» ευ ρισ κόμ ενης, *1 » ανάλογος άν ειη και ή κ ν ρ τ ό τ η ς τ ή ς επιφάνειας τ ή ς γ ή ς, 5 τ ο ν τ ε σ τ ι ν σφαιροειδής, τη ν γά ρ άνάλογον κ υ ρ τ ό τ η τ α σφ αιροειδή καλεϊ. Δ ι ά τ ο ύ τ ο δε ειπεν « και μ ά λ ι σ τ α τ ά ς σελ η νια κ ά ς» 23 διά το κα τά τ ά ς τ ο ια ύ τ α ς τ η ρ ή σ ε ι ς

/ιι) νπομένειν α π ά τη ν τινά εκ τ ω ν πα ρα λ λ ά ξεω ν παρά

τ η ν δψιν κα θά αί ήλιακαί. επ ειδήπερ ε π ί τ ω ν ηλια κών εκλείψεων τή δψει τ η ν σελήνην π α ρα λ α μ β άν οντες, 10 τ ω ήλίω, διαμ αρτά νομ εν

διά το α υτήν φαίνεσθαι έπ ιπ ρ ο σ θ ο νσ α ν

| τ ή ς α κριβού ς α υ τ ή ς ε π ο χ ή ς , διά το τ η ν γ ή ν

μ η κ έ τ ι σ η μ είο υ λ όγον εχ ειν και π ρ ο ς τ ο τ α ν τ η ς α π ό σ τ η μ α , επί

δέ τ ω ν

σ ελ ηνιακ ώ ν εκλείψεω ν μ η δεμ ία ν α π ά τη ν γ ί ν ε σ θ α ι π ερ ί τ η ν ε π ο χ ή ν α υ τ ή ς εκ τ ή ς κα τά διάμετρον τ ο ν ήλιου σ τ ά σ ε ω ς α υ τ ή ς κα τα λ αμ β ανόμενης, ώ ς ε ξ ή ς εν τ ο ϊς οικείοις τ όπ οις ά ποδείκννται 15

"Ο τ ι δέ διά τ ο άνάλογον τ ο ϊς δ ια σ τ ή μ α σ ιν τ ώ ν τ ό π ω ν τ ά ς τ ώ ν ω ρώ ν' διαφοράς

κα τα λ α/ιβά νεσθα ι,

άκυλονΟεϊ

σφαιροειδή

ύπάρχειν

τη ν

γήν,

ό ν τ ω ς αν γ έ ν ο ι τ ο δήλον. Ε ί γά ρ μ ή, έστ α ι σ χ ή μ α τι έ χ ο ν σ α πολύεδρον · δείκνυται γάρ ε ξ ή ς μ ή τ ε κοίλη μ ή τ ε επ ίπ εδ ο ς τ ν γ χ ά ν ο υ σ α . καί έ σ τ α ι πλείοσιν οίκήσεσιν

τ α ϊς επί

20 τ ή ς α υ τ ή ς πλευράς ήτοι επιφάνειας τ ο ϋ πολυέδρου εις * δ ρ ίζω ν δ δι α υ τ ή ς εκ β α λ λ όμ ενο ς, μ ηδεμ ία ν εν α ν τ α ϊ ς π ο ι ω ν πα ρά τ ά ς ώρας, διαφοράν, καθάπερ καί ει ε π ί π ε δ ο ς έ τ ν γ χ α ν ε ν . ουκ αρα τι τ ώ ν πολ υ έδρ ω ν σ χ η μ ά τ ω ν έ σ τ α ι το τ ή ς γ ή ς σ χ ή μ α · σφ αιροειδές αρα, τ ο υ τ έ σ τ ι ν ή τοι κυλινδρικόν ή κω νι-

2. δυσμικωτέροις : δντι- V F,bP J | εφαμεν: εφαμεν νυν VF,bPJ [άνάλογον supra scr J ] | 3. τόπων : τομών F χωρών bP | 5. την γάρ — καλεϊ: om bP | 6. κατά : om L | 7. παραλλάξεων παρά : παραλλήλων bP | .8. καθά αί ήλια­ κ α ί: καθάπερ αί ήλιακαί VI·’,J καθάπερ επι τών ηλιακών bP | επί : επι μέν bP | 10. διά τό την γ ή ν : τής γής bP | 11. έχειν : έχούαης bP | ταύτης : τής σελήνης bP | 15. άνάλογον : -γ ω ς YF,bPJ | 21. εν αύταϊς : om VTF,bPJ | 22. και ε ί : εί καί bP el J I

pose que L transmet un texte mixte. Ce caractère n’apparaît pas ailleurs. Du moins, nous ne l’ avons pas remarqué. Ce n’est vraisemblablement pas L lui-même qui combinerait des traditions diverses car il semble se borner à copier très fidèlement et très mécaniquement son modèle. (1) A im ., 15, 9-10. (2) A im ., 15, 4. (3) Voir le commencement du 4 e livre de Théon, pp. 195 à 198 de l’ éd. de Bâle, à propos d’A lm .. p. 265 sqq.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 18-19]

COMMENTAIRE

κόν ή σφαιρικόν,

άλλα,

sur l ’almageste

έπ ε 'ι12 δ είκννται ε ξ ή ς

L. 1 CHAP. 4

383

δ τ ι ουδέ κυλινδρικόν ουδέ

κωνικόν, σφαιρικόν αρα. § Λέγω

δη δ τ ι κα'ι τό άνάπαλιν σφ αιρικής α υ τ ή ς τ υ γ χ α ν ο ύ σ η ς συμφάν-

ν ω ς τ ο ις φαιν ομένοις αί τ ω ν τ ό π ω ν δ ι α σ τ ά σ ε ι ς

άναλόγως έχονσιν ταις

5 τ ω ν ω ρ ώ ν διαφοραΐς, καί δ τ ι επί μ όνου τ ο ϋ τ ο ιο ΰ τ ο υ τ ή ς γ η ς σ χ ή μ α τ ο ς τ ο ϋ τ ο συ μ βα ίνει, ο μ οκ έντρο υ τ ω

κόσμια α υ τ ή ς κ α τα λ α μ β α ν ο μ έ νη ς,

καί

έ π ε ί τ ο ι ς ά ν α τ ο λ ικ ω τ έρ ο ις π λ είο ν ς είσίν αι από τ ή ς ά να τ ο λ ή ς ή μ ε σ η μ β ρ ία ς ώ ρ α ι κ α τά τ ο ν α υτόν χρόνον τ ω ν πα ρά τ ο ις δ υ σ μ ικ ω τέρ ο ις.

F ig . 19. Var: ΟΔ, ΗΘ circulum Α Β Γ non tangunt apud L ; alia positione lineis ΟΔ, ΗΘ data, in peripheria litterae sic se inuicem sequuntur : Θ Ζ Μ Ο ΛΞ Η Κ ΕΔ apud bP. Ν ο ε ί σ θ ω γ ά ρ π ρ ώ τ ο ν 2 ώ ς ε π ί τ ή ς ορ θής σφαίρας ισημερινός μ έν κύκλος 10ο Η Δ Θ , έφ’

| ου μ ά λ ι σ τ α λ α μ β ά ν οντα ι οι ω ρια ίοι χρόνοι, καί τ ή ς γ η ς

§ φαιρικής τής , συμφώνως < τ οϊς φαινομένοις αΐς> τ&ν τόπων ^ δια σ τ ά σ εις άναλό~>γως εχονσιν < τ α ΐ ς των ώρών φοραϊς.

ί. άλλα επεί δείκννται : corr ex -επιδείκ- L άλλ’ επιδείκνυε ai V F,bP | 7. έπεί : ετι V F,bP J | από τής : άπο V F,bP J | 8. δυσμικωτέροις : δντικωτέροις bP | 9. νοείσθω : νενοήσθω bP |

(1) La leçon έπε'ι doit être maintenue, parce qu’attestée par L . έπεί causal est symétrique du génitif absolu ομοκέντρου — καταλαμβανομένης, et ces deux propositions prouvent la proposition précédente, δτι έπί μόνου — συμβαίνει. (2) A ce πρώτον répond δταν δέ πάλιν, ρ. 386, 3.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

384

[H p. 53-54-55]

THÉON D’ALEXANDTìIF.

σφαιρικής υποκείμενης και μέσης τον παντός, έστω έν αυτή μέγιστος κύκλος έν τώ τον Ισημερινόν έπιπέδω

ο

Α Β Γ , καί κέντρον άμφοτέρων

το

Ν, και ανατολικά μέν τά Η , Ε, Λ, δντικά δέ τά Ο, Ζ, Θ. και διά μέν της πρώτης οίκησεως όρίζων κύκλος νοείσθω περί διάμετρον την ΔΑΟ ορθός 5 προς τον ισημερινόν · διό. δέ της δεντέρας οίκησεως ομοίως έτερος όρίζων

περί διάμετρον την ΕΒΖ

·

καί έτι διά

τής τρίτης δ περί διάμετρον την

Η Γ Θ . καί έστω ό μέν τής Δ Ε χρόνος ώρας μιας ήμισείας, ό δέ τής Ε Η ώρας μιας, λέγω ότι αί των ωρών διαφοραί άναλόγως έχουσι τοίς διαστήμασι των τόπων, τουτέστιν ώς ή Δ Ε προς την ΕΗ, ούτως ή Α Β προς 10

την Β Γ . Είλήφθω γάρ έπί τον ισημερινόν τον διά τον ΔΑΟ δρίζοντος κατά κορυ­ φήν σημεϊον το Κ · δήλον γάρ ότι έπί τον ισημερινού πίπτει, διά τό ορθήν ύποκεΐσθαι την σφαίραν

·

τού δέ διά τής ΕΒΖ τό Λ

·

καί έτι τον διά τής

Η Γ Θ τό Μ. καί έπεζεύχθωσαν από των κατά κορυφήν έπί τά των οίκή15 σεων σημεία αί ΚΑ, ΑΒ, Μ Γ , κάθετοι δηλονότι γιγνόμεναι προς τάς

Δ Ο, ΕΖ, Η Θ . καί διήχθωσαν. πιπτέτωσα ν κατά τό Ν.

συμπεσοϋνται δη κατά τό κέντρον. σνμ-

καί έπεί Ιση έστίν ή Δ Ο ευθεία τή ΕΖ, ίσον γάρ

άπέχουσιν από τού κέντρου, ίση έστίν καί ή Δ Α Ο περιφέρεια τή Ε Λ Ζ περιφερεία. καί αί ήμίσειαι άρα, 20

ίση καί ή Κ Δ τή Λ Ε. καί κοινής άφαι-

ρεθείσης τής ΚΕ, λοιπή ή Δ Ε λοιπή τή Κ Λ έστίν ίση. διά τά αυτά δειχθήσεται καί ή Ε Η ίση τή Λ Μ. αλλά ή Δ Ε τής Ε Η ημιολία έστίν. καί Κ Α άρα περιφέρεια τής Λ Μ ήμιο\λία έστίν. ώστε καί ή υπό Κ Ν Λ γωνία ημιολία έστίν τής υπό ΛΝΜ. καί ή Α Β άρα περιφέρεια τής Β Γ έστίν ημιο­ λία. έστιν άρα ώς ή Κ Λ προς Λ Μ όντως ή Α Β προς Β Γ. άλλ’ ώς ή Κ Α

25 προς ΛΜ , όντως ή Δ Ε προς ΕΗ. καί ώς άρα ή Δ Ε προς ΕΗ, ούτως Α Β

προς Β Γ . καί είσιν αί μέν ΔΕ, Ε Η αί των ώρών διαφοραί, έπειδήπερ έάν τον ήλιον νποθώμεθα κατά τό Ξ, ο μέν τού τής Δ Ξ χρόνος τού τής Ε Ξ διαφέρει τή ΔΕ, δ

όέ

τού τής Ε Ξ τού τής Η Ξ τή Ε Η

·

αί δέ ΑΒ, Β Γ δια-2

2. άμφοτέρων : άμφοτέρων των κύκλων bPJ | 4. την ΔΑΟ : corr in τής ΔΑΟ L [m ree] | 7. έστω : om bP | τής Δ Ε : Δ Ε F,J | ώρας μιας ήμισείας [L] : ωρα μία [_ ίσημερινή F,J ώρα μία ήμισυ ίσημερινή V ώρας ίσημερινής α[_ bP | 9. τουτέστιν : τουτέστι ότι έστίν V F ,J τουτέστιν έστιν bΡ | 13-14. του δε δ ι ά — τό Μ : om V F,bPJ | 16. τό κέντρον : τό Ν κέντρον bP | 17. κα τά τό IV.'OmbP | 19. περιφερεία : 0m V ,b P J | καί ή : ή bPJ | 20. ίση. διά τά αυτά : ίση τή Λ Μ. τά αυτά F ίση. κατά τά αύτά δέ J ίση. κατά τά αυτά δή V ίση. διά τά αυτά δε bP | 22. περιφέρεια : om V F,bP J | 23-24. έστίν ημιολία : ήμιολία έστίν bP | 2-ί -25. όντως ή Α Β — προς Λ Μ : om bP j

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 19-20]

COMMENTAIRE SCJR l ’almageste

l.

1 CHAP. 4

385

στάσεις των τόπων, ώστε αΐ διαφοραι των ωρών άναλόγως έχουσι προς τάς των τόπων διαστάσεις. Και φανερόν ότι έπί μόνου του της γης σφαιρικού σχήματος ή τοιαύτη άπόδειξις προχωρειν δυνήσεται, 5

καθ' εν σημεΐον των

έπί τής γης ενός

ορίζοντας διεκβαλλομένου, έπεί και καθ' έκαστον ορίζοντα ήτοι παρά τάς ώρας γίνονται διαφοραί, ή παρά τά άεί φανερά και άεί αφανή άστρα,

ως

έξης δείκνυσιν 1 2. Δ ήλον δέδτι καί εάν έκλειψιν ύ ποθώ μέθα ώς κατά τό Ξ, πλείονας άφέξει ώρας ώς επί τά προηγούμενα του Κ σημείου δ έστιν επί τοΰ μεσημβρινού 10

τον άνατολικωτέρου όρίζοντος ήπερ του Λ, δ έστιν πάλιν επί του μεσημ­ βρινού τού δυσμικωτέρου όρίζοντος καί ομοίως τού Λ

πλείους ήπερ

τού Μ. Καί απ' ανατολής τό Ξ πλείονας άφέξει ώρας τού προς τω Δ άνατολικωτέρου όρίζοντος ήπερ τού προς τω Ε δυσμικωτέρου. καί ομοίως τού προς τω Ε, ήπερ τού προς τω Η . διά γοϋν τά τοιαύτα, φησίν, « σφαιρι15

κήν αν τις εικότως την τής γής επιφάνειαν ύπολάβοι ταύθα ώς έφαμεν καλών την άνάλογον κυρτότητα, γάρ ήδη καί σφαίρα έκ των

*

» 2,

σφαιρικήν εν­

οίον την ομαλήν, ου

είρημένων συνάγεται, διά τό καί επί κώνου

καί κυλίνδρου τά είρημένα δύνασθαι συμβαίνειν, τω έκ τής των ωρών μόνης διαφοράς \ την δείξιν γεγενήσθαι, τουτέστιν έκ τής από ανατολής 20 ε π ί

δύσιν παρόδου, διό έν τοϊς εξής δεικνύων καί από των προς άρκτους

καί μεσημβρίαν καί άφ οίασδήποτε παρόδου την άνάλογον τής γής έπιπρόσθεσιν, φησίν « ώς δήλον γίνεσθαι δτι καί ένταϋθα ή κυρτότης τής « « 25

γής καί τάς επί τά πλάγια μέρη έπιπροσθέσεις άναλόγως ποιουμένη, πανταχόθεν τό σχήμα σφαιροειδές άποδείκννσιν, » 3 δπερ λοιπόν άπο-

τελεί την σφαίραν, σφαιροειδή δηλονότι καλών ώς έφαμεν την άνάλογον κυρτότητα ώς την κυλινδρικήν ή τήν κωκινήν, τουτέστιν τήν άπό άνα-

1. τόπων ώ σ τ ε : τόπων πάλιν διαφέρονσι ταϊς άΰταΐς. ώστε bP | 6. ά σ τ ρ α : των αστέρων bP | 8. ώς : om V F,bP J | 9. επ'ι l m : om J | 10-11. τοΰ άνατολικωτέρου — μεσημβρινού : om V F ,bF J | 10. τον Λ , δ έστιν.·' επί τοΰ Λ 8 έστινοεστιν [exp] L | 11. δυσμικωτέρου : δυτικω- bP [ 11-12. καίόμοίι ς — τοΰ Μ : ήπερ τοΰ Κ, καί ομοίως τοΰ Μ πλείους ήπερ τοΰ Λ J | 12. καί : ή καί V F , bPJ | 13. ό ρ ίζο ν τ ο ς: καί όμοιοι ς bP [ ήπερ — δυσμικωτέρου: om F ήπερ τοΰ πρός Ε δυτικωτέρου b P | 13-14. καί ομοίως — τω Η : bis hab 1 ° expunct F | 16. ώς έφαμεν: om bP | 21. μεσημβρίαν : πρός μεσημβρίαν V F,bP J I 26. τήν 3m : τών V F,bP J | (1) A im ., 16, 7. (2) A im ., 15, 10-11. (3) A im ., 16, 10-13.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

386

ΤΗΕΟΝ ϋ ’ Α Ε Ε Χ Α Ν Ό Κ ΙΕ

[Η ρ . 55-56]

τόλης επί δύσιν, δταν δε ώς επί των εγκλίσεων καί των κατά μήκος ονκέτι. διό ενταύθα το πανταχόθεν σφαιροειδές προσέθηκεν. "Οταν δέ πάλιν επί τίνος των τον Ισημερινόν παραλλήλων τνγχάνη τα κατά κορυφήν, χρη λαμβάνειν τάς νπ’ αντάς οικήσεις καί τάς των 5 ωρών διαφοράς ανάλογοι· τοίς διαστήμασι των τόπων σννισταμένας όντως.

F ig . 2 0.

Var. : Tribus circuì s Β Α Γ , Β Δ Γ , Β Ε Γ eundem radium assignans B et Γ

u t pu ncta delineare non potuit, H A in pro[ongatione iineae Z H non deiineauit L ; cir­ culum Β Δ Γ omisit, lineam l i t i A ultra punctum H non produxit, A pro tì scripsit, ac insuper litteras B , Η , Γ et A pro Θ scriptum horizontalitcr scripsit, Π Ο Λ n on leguntur aliam fig erasit F ; fig om sp relicto V ; circulis Β Α Γ , Β Δ Γ , Β Ε Γ eundem radium assignauerunt, arcum Α Δ Ε non ultra circulum Β Α Γ , rectam A H non ultra punctum H p ro­ duxerunt b P ; item J [aliam figuram adeo erasit ut necesse fuerit chartam agglutinare in qua al m ( ? ) figuram deiineauit].

’Έ στω 1 γάρ άνατολικώτερος δρίζων δ Α Β Γ , τούτου δε δυσμικώτερος ο Δ Β Γ , καί ετι τούτου δυσμικώτερος ό Ε Β Γ , καί Ανατολικά δηλονότι τά προς το ϊςΑ , Δ , Ε μέρη, καί νοείσθω δ διά των κατά κορυφήν παράλληλος ό Α Δ Ε Ζ εφ ον τον ήλιον συμβαίνει φέρεσθαι η καί τ iva των άπλανών

·

1. ψυκεν.

ίίτι π α > ν τ ο ς ϋδατος φάνεια τιθ < . ειτο ή γη Ισον μεν άπέχειν έκατέρον> τών ( m s : τον) ή ά Ο ω τ έ ρ ω ή κατωτέρω τ ιν ώ ν > (un mot barr commençant par αν) συ τ ί ά χ ν ι ­ σα πάντοτεί> δι ό ρ < ίζοντος τον τε υπέρ γήνέ> και - < του υπό γήνέ>.

1. t i t : ο ύ ρ α νο ΰ : ού ρ α ν ο ν έ σ τ ι ν V F,bP J | 7-8. α π ά ν τ ω ν τ ώ ν : α π ά ν τ ω ν VF, bPJ I 8. τό μ έ σ ο ν : τ ό μ ή 3j>V ,J | 10. ή επί : ή ε τι V | 11. π ρος τ ό ν : π ρός bP | 14. έπ ινοή σαι : - σ θ α ι bP | 14-15. τ ο ν ά ξ ο ν ο ς : om bP | 15. ο ύ σ α : - σ α ν V F,bP J ]

(1) Aim., 17, 3-8.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

402

THEON D’ALEXANDRIE

τινών οικήσεων νποτεθείη

[H p. 67-68-69]

(το δε άνω ή κάτω ώς εφαμεν ώς προς ημάς

εϊρηται, προς γάρ τινας άνω τυγχάνουσα προς τους τούτων άντίχθονας κάτω | έστίν), τούτοις αν σνμβαίνοι « επί μεν ορθής τής σφαίρας το μη» δέποτε Ισημερίαν γίνεσθαι, εις άνισα πάντοτε διαιρούμενων υπό τον 5 » δρίζοντος τον τε υπέρ γήν καί τον υπό γήν... » 1

F ig . 26. Bis hab F [ t a uice circulum et lineas AE, BE, BZ, ΖΔ tantum delineauit, 2» uice Σ Τ inter KA et ΑΓ , Ξ inter M et Θ et Π inter B et A, ac insuper aliam rectam P Z Y addidit, P inter Ξ et Θ, propinquissimum puncto Ξ, Y inter B et Π] ; litteras Π et Ξ permutauit, lineam MN propiorem puncto A, ita ut a Ξ Π non sec.etur, deli­ neauit V ; bis hab J [ l a uice circulum Α Β Γ Δ , lineas Α Γ , ΒΔ, ΗΘ, et loco rectarum BZ, Ζ Δ , arcum ΒΖΔ, ac rubro lin KA, MN nullis litteris signatas delineauit; 2a uice punc­ tum O cum linea Σ Τ inter E et B posuit, lin Α Γ om, I l inter B et A, Ξ inter M et A posuit, ΗΘ o m ]; A et Ξ unum punctum fecerunt, sic lineam Σ Ο Τ inter KA et ΑΕΓ, et punctumΠ intei A et M ponentes bP [litteras Σ, Π, P om P].

’Έ στω γάρ μεσημβρινός κύκλος δ Α Β Γ Δ , κέντρον δέ αντον τό Ε, άξων δε δ Β Ε Δ, πόλοι δέ τής σφαίρας τά Β, Δ σημεία, καί από τον Ε κέντρον τής σφαίρας προς όρθάς ήχθω τώ ΒΔ άξονι εν τώ τον μεσημβρινόν έπιπέδω ή Α Ε Γ κοινή τομή οϋσα ισημερινόν καί μεσημβρινόν, καί νποκεισθω 10 ή γή εκτός τον άξονος ώς επί τό άνω ή κάτω κατά τό Ζ, Ινα επεζευχθει-

σών των ΖΒ, Ζ Δ ίσον άπέχη δηλονότι τών Β, Δ πόλων κατά την νπόθεσιν. ’Εάν οΰν επ' ορθής τής σφαίρας νοήσωμεν τον διά τής Η ΖΘ ορίζοντα παράλληλον δηλονότι ποιονντα την Η Ζ Θ

τώ άξονι,

ίνα καί δ ισημερινός

ορθός ή προς * τον διά τής Η Ζ Θ δρίζοντα ορθής νποκειμένης τής σφαίρας,

8-10. επ ιπ έδω — κ ά τ ω : οιη 5 | 9. καί μ ε σ η μ β ρ ι ν ο ύ : οιπ V, J | 10. έκ το ς τ ο ύ ; έκ τ ο ν Ρ | 13. ίνα : οιη I. | ι σ η μ ε ρ ι ν ό ς : -μ εριάς Δ |

(1) Alm., 17.11-14.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 24-25]

COMMENTAIRE

sur l ’almageste

L. 1 CHAP. 5

403

εσται το A επί τον Ισημερινόν τνγχάνον και κατά κορυφήν τής οΐκήσεως, καί δήλον ώς ό όρίζων εις ανισα τέμνει τον Α Β Γ Δ μεσημβρινόν, ώστε και την σφαίραν δηλαδή και τον Ισημερινόν καί τους τοντω παραλλήλους · καί ουκ εσται επ’ ορθής τής σφαίρας ισημερία, καίτοι καθ’ έκάστην 5 ημέραν ισημερίας εκεϊσε γινόμενης. Νενοήσθωσαν δή επί τής τοιαντης θέσεως τήν γής καί εγκλίσεις τής σφαίρας, καί εστωσαν τροπικών διάμετροι αί Κ Λ , ΜΝ, κοιναί δε τομαί μεσημβρινόν καί ορίζοντας ή τε ΞΖΟΠ καί ή Ρ Ζ Δ . καί διά τον Ο γεγράφθω παράλληλός τις τω ίσημερινω, ον διάμετρος ή ΣΟΤ. δήλον δή 10 πάλιν δτι καί ενταύθα οι διά των Ξ Π καί Ρ Δ ορίζοντες

εις

άνισα τέ-

μνουσι τήν σφαίραν, διά το κέντρον αυτής προς τω Ε τυγχάνειν. καί επί μεν τής διά τής Ρ Δ θέσεως του δρίζοντος ουκ εσται πάλιν ομοίως ιση­ μερία, διά το μηδένα των παραλλήλων | διχοτομεΐσθαι ύπ’ αντον. επί δέ τής διά τής Ξ Π εσται δταν δ ήλιος κατά του περί διάμετρον τήν Σ Τ παραλ15 λήλου φέρηται, διά το τήν ΒΕΔ διά του κέντρου ούσαν τήν Σ Ο Τ μή διά

του κέντρου προς ορθός τέμνειν και δίχα κατά τό Ο, ώστε καί ή Ξ Π τήν Σ Τ δίχα τέμνει καί ό

δι αυτής αρα δρίζων τον παράλληλον, επεί καί

διό τοϋ κέντρου αύτοϋ τον Ο ’έρχεται τό του δρίζοντος επίπεδον, καί ποιή­ σει ισημερίαν επί τούτον τοϋ παραλλήλου τνγχάνων δ ήλιος, ούκέτι δε 20 καί συμφώνως τοίς φαινομένοις, διά τό μή εν τω μεταξύ καί μεσαιτάτω

(οΰτω 1 γόρ αύτω τό μεταξύ είρηται τής τε θερινής τροπής καί τής χει-

1. τό A επί τοϋ Ισημερινού : τό άπό τοϋ ισημερινού [corr supr in τό A επί τον μεσημβρινού] J I 3. τούτφ : -του V F.bP J | 4. ισημερία: τα ίσημερ«’ά 6 Ρ I 5. ισημερία, : ισ^μεριν?)? V F,bP J | εκεϊσε : εκεϊδ | 9. παράλλη­ λός τις τφ ίσημερινω : παράλληλός τις [in ras] r [ras] ισημερινού Σ Τ F παράλ­ ληλός τίνος τφ ϊαημερινφ V ,J παράλληλος τή τού ισημερινού bP | ού διά­ μετρος ή Σ Ο Τ : οϋ [in ras] διάμετρος ή ΣΟ Τ διάμετρος ή ΣΟ T V ,J διαμέτρφ ή Σ Τ Ο bP I 11. διά το κέντρον : διά τό, τό κέντρον V,bPJ | 12. διά τής : om L J 14. κατά τον περί διάμετρον : eras in F | 15-16. κέντρον — διά τ ο ύ : o m V F ,bP J I 16-17. καί δίχα — τέμ ν ει: om J | 17. τέμνει: τέμνειν V τ μεϊ bP I 2 0 -2 1 . καί μεσαιτάτω οΰτω γάρ αύτφ τό μεταξύ είρηται: ε ι’ λήφθη ir ras F ώς εϊρηταιΥ ,Δ καθάπερ είρηται bP | 21. τής τε : τής J | καί : ή h \

(1) On serait tenté de croire que la parenthèse οΰτω γάρ explique le mot μεσαιτάτω. En comparant avec l ’Almageste, 17. 16 (que Théon suppose entre les mains du lecteur) on voit que c’ est l’inverse : τό μεταξύ τής τε θερινής τροπής καί τής χειμερινής est l’ expression de Ptolémée, expliquée par Théon, comme signifiant « au moment du passage du soleil à l ’équateur ». De là les essais de correction des manuscrits autres que L.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

404

THÉON D’ALEXANDRIIi

[H p. 69-70-71]

μερινής), τουτέστιν κατά τον μεγίστου των παραλλήλων τήν Ισημερίαν γεγενήσθαι, όμολογουμένον υπό πάντων τά διαστήματα τά από των τρο­ πικών επί τήν Ισημερίαν ίσα τυγχάνειν πανταχον, τω καί τήν προς τώ θερινω τροπικω γίνομενην μεγίστην ημέραν τοσοντω παρανξεσθαι τής ίση5 μερινής δσω καί ή ελάχιστη ημέρα καί προς τώ χειμερινά) τροπικω μειονται τής ¡σημερινής, ώ δέ μειονται ή ήμερα τής χειμερινής τροπής τοντω αυξεται ή νύξ, ώστε τω ϊσω παρακολονθεΐν παρηυξήσθαι τής ίσημερινής τήν τε προς τω θερινω τροπικω μεγίστην ημέραν, καί τήν προς τώ χειμερινφ τροπικω νύκτα, καί διά τούτο τά εναλλάξ αυτών τμήματα ίσα τνγ10 χάνειν, δπερ συμβαίνει επί τιόν ίσων παραλλήλων καί ίσον δηλονότι διεστώτων του μεγίστου τών παραλλήλων. Ον μόνον δέ φ αυξεται ή μεγίστη ημέρα τοντω μειονται ή ελάχιστη, αλλά καί επί τών κατά μέρος καί έφ έκάτερα του ισημερινού επί τον διά μέσων ίσων του ήλιου αποχών, λέγω δή ώ ς επί τής πρώτης τε μοίρας

15 του Κριόν καί τής κθ τών Ιχθύω ν, τό αυτό τοντο \ συμβαίνει, ώ γάρ 1 μειονται ή επί τής

κθ μοίρας επί τών ’ Ιχθύων ημέρα τής ίσημερινής,

2. πάντων τά : πάντων τού τά bP | 3. τήν Ισημερίαν : τον ισημερινόν bPJ | τώ καί τήν : om J | 5. καί : οιη V F ,bP J | 6. φ δέ : δσω δέ bP | τούτφ : τοσοντω bP | 13. έκάτερα : -ρον bPJ | 14. πρώτης τε : τε πρώτης VF,bPJ | 404, 15 - 405, 3. φ γάρ — < κ α ί > ή επί τής κθ μοίρας, τών ’Ιχθύων ημέρα [ θ α ί > addidi ; ημέρα correxi] : φ γάρ etc τών ιχθύων ήμετανυξ [ξυ supr νυ ser] L φ γάρ μειονται τής ίσημερινής ή επί τής κθ μοίρας τών ’Ιχθύων ημέρα τούτφ αυξεται τής αυτής ίσημερινής ή έπί τής a' τού Κριού μοίρας ήμερα, φ δέ πάλιν μειονται ή έπί τής πρώτης τού Κριού μοίρας νύξ τής ίαημερινής, τούτφ τής αυτής αυξεται ή έπί τής κθ τών ’Ιχθύων μοίρας νύξ V φ γάρ [etc ut Υ] μοίρας ημέρα, φ δέ ή επί τής a' [etc ut V] νύξ J ώ ras όε μειονται [etc ut L] τής a μοίρας τού Κριού τούτω μειούται ή νύξ [τού Κριού — νύξ aim ] F ώς γάρ μειούται ή έπί τής κθ τών ’Ιχθύων μοίρας ημέρα, τούτω αϋξεται ή έπί τής πρώτης μοίρας τον Κριού, καί φ μειούται ή νύξ έπί τής a' μοίρας τού Κριού τούτω αυξεται ή νύξ έπί τής κθ μοίρας τών ’Ιχθύων bP E j (1) Nous pensons qu’ aucun manuscrit n ’ a conservé ici le texte original. L reproduit les erreurs de son modèle. Nous avons suivi sa leçon en y intro­ duisant ce que nous avons cru être un minimum de retouches. Le texte des autres manuscrits présente des corrections conjecturales. Comme il n’ est pas impossible que l’un d’ entre eux (par exemple Y ) soit retombé sur quel­ que chose qui rendrait plus fidèlement l’idée de Théon, nous avons disposé l’apparat critique de manière à rendre lisible le texte de cette phrase dans ses principales versions. D ’ailleurs il faut bien avouer que ce passage n ’ap­ prend rien.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 25]

commentaire sur l ’almageste

L. 1 CHAP. 5

405

τούτφ αϋξεται ή νύξ · φ αρα τής ¡σημερινής ημέρας αϋξεται ή επί της a μοίρας τον Κριόν ημέρα, τοντω λείπεται η ννξ < κ α ί > ή επι της κθ μοίρας των ’Ιχθύων ημέρα, καί διά τούτο πάλιν επί ίσων παραλλήλων καί ίσον διεστώτων του μεγίστου των παραλλήλων τό τοιοϋτον σνμβαί5 νειν. Έ π εί ούν άπό τής ισημερίας ίση καταλαμβάνεται κατά μέρος γινομένη ή πρόσθεσις τής προς τω θερινω τροπικω μεγίστης ημέρας τή μειώσει τής προς τώ χειμερινά) τροπικω ελάχιστης ημέρας, δήλον ως άπό μέσον τίνος τής ισημερίας γινομένης, μέσος δε των τροπικών δ μέγιστος των 10 παραλλήλων, επί τούτου αρα ή ισημερία . ώστε ίσα εσται τα διαστήματα

των παραλλήλων κύκλων καθ’ ών προς αϊσθησιν φέρεται ό ήλιος άπό ισημερίας επί τάς τροπάς. ον γάρ τους χρόνους ίσους λέγει · ανισοι γάρ οντοι ώς δείκνυσιν εν τω τρίτω βιβλίω, 1 έπεί καί άνωμάλως δ ήλιος τάς ϊσας τον διά μέσων περιφέρειας φαίνεται παροδεύων. 15

Έ π εί ούν άπό των κατά την είρημένην θέσιν των τεσσάρων τόπων καθ’ ήν εκτός τοϋ αξονος οϋσα ίσον άπέχειν έκατέρου των πόλων νπετίθετο, περί δύο των ώς άνω ή κάτω τοϋ αξονος αυτής νπαρχούσης τον λόγον έποιησάμεθα, εξή ς καί περί των λοιπών δύο

τούς

λόγους

ποιησόμεθα,

καθ’ ήν θέσιν προς άνατολάς ή δυσμάς τυγχάνουσα ίσον πάλιν άπέχειν 20 έκατέρου τών πόλων νπετίθετ ο. § ’Έ στω ούν προς άνατολάς ή δυσμάς τινων παρακεχωρηκυία · δήλον γάρ

δτι προς άνατολάς τινων οϋσα ετέρων προς δυσμάς εστιν, διά τό καί τον αυτόν τόπον τινων μέν δύνασθαι είναι προς άνατολάς τών δε τούτων | άντιχθόνων προς δυσμάς. λέγω δή δτι ούτε τά μεγέθη ούτε τά διαστή-

§ < πώς εάν πρ ο ς > άνατολάς ή τεθή ή γ η < . ο ϋ τ ε τ à μεγέθη ο υ > τε τά διαστή ϊσα φανή καί τον έσπέριον < ορίζοντα, ουτε> ό άπό ανατολής < μ έ χ ρ ι μεσουρ> α νήσεω ς χρόνος ίσος εσται ελα γήν τοϋ ύπερ < .γή ν τοϋ γ ’ κλίματο ς > μείζον με κ ι< ζά επ’ ευ­ θείας γίνεται τή δυτικήζ>.

1. καί δυτικόν : om V ,J καί τό δυτικόν bPE ( καί τό κέντρον τής γής : οτα bPE τό κέντρον τής γής V | 3. ό ρ ίζο ν το ς: όρίζοντος. τούτο ούτως συμβαίνει γίνεσθαι bP | 4. ε π ί: erVF,bPJ | 5. γ ίν ετα ι: έσται bP | 6. olov : om bP | ορίζοντα : -τ ο ς V F ,J | 8. εν τφ : καί VF,bPJ [καί add aJ ra F] | κ α ί: om V F,bPJ | 11. σκία δέ όμοίως ή Η Κ : om bP j 12. τή : τής V F,bP J | 13-14.τ^ς τε έπί τής : τάς τε έπί τής J τής τε bP | 14. θέσεως καί δευτέρας : καί δευ­ τέρας θέσεως bP | 15. άπέχειν : -χονσα ν bP | 16. δυείν L : δύο V F β bPJ j ταύτης : ταύτης αμα bP |

(1) êv tôj (êTujiéôoj) tov A B T A êmnéôov. De nouveau, Théon ne démontre rien du tout. Il se contente de répéter la thèse avec un appareil géométrique qui ne sert à rien. A moins que la démonstration ne se soit perdue, et que ceci ne soit que l ’ecthèse. (2) Cfr M a y s e r , Grammatik der gr. Papyri, vol. I, p. 314 d et note 1. Chez Pappus l’atticisant, cette forme ne se rencontre pas une seule fois dans le Commentaire. On peut noter une fois de plus la précision avec laquelle cette forme rare est transmise par L .

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

¡B

p. 2 7 -2 8 J

c o m m e n t a ir e

sur

l

’a

lm a g este

L.

1 CHAP. 5

413

μεσημβρίας επί δνσιν, καί εις άνισα οί ορίζοντες διαφόρως διαιρούντες την του παντός σφαίραν καί τον ζωδιακόν, καί ισημερία ου γενήσεται κατά τον μεγίστου των παραλλήλων, καί αί αυξομειώσεις των νυχθημέρων ονκ άναλόγως από τής ισημερίας άποτελεσΟήσονται

·

καί συλλαβόμενον

5 εις εν τι κοινόν τα κατά μέρος, έστιν είπεϊν πάσα αν συνεχύθη τέλεον ή

τάξις ή περί τάς αυξομειώσεις των νυχθημέρων μη μέσης καί ύπ αυτόν τον ισημερινόν καί μέγιστον των παραλλήλων τής γής την θέσιν έχούσης

·

μέσης γάρ αυτής τυγχανονσης καί ύπ’ αυτόν τον ισημερινόν, οι

τούτου παρ’ έκάτερα παράλληλοι Ισον άπέχοντες ίσοι οντες, καί τα έναλ10

λάξ τμήματα ίσα ποιούν τες, καί τάς του ορίζοντας καί τον μεσημβρινού καί έτι του ζωδιακού περιφέρειας ισας έκατέραν έκατέρα έφ έκάτερα του ισημερινού άπολαμβάνοντες, την τάξιν τής ανξομειώσεως των νυχθη­ μέρων φυλάττουσιν από τής

επί τού ισημερινού τού ήλιου περιφοράς,

επί δέ έτέρας τής γής θέσεως ούκέτι. 15

’Έ τι δέ προς τοίς είρημένοις άτόποις καί έτερόν τι συμβήσεται, τό τάς εκλείψεις τής σελήνης κατά πάντα τά μέρη τού ουρανού κατά την διάμετρον τω ήλίω στάσιν θεωρουμένας, μηκέτι οντω πάντοτε καταλαμβάνεσθαι, πολλάκις μή έν ταίς διαμετρονσαις παρόδοις έπισκοτουμένης αυτής υπό τής άποστελλομένης

20

από

τής

γής κωνοειδούς σκιάς έκ τής

τού ήλιον προσλάμψεως, άλλ’ έν ταίς έλάττοσιν ημικυκλίου στάσεσιν, δπερ πάλιν άντίκειται τοίς φαινομένοις

·

|

δμολογεϊται γάρ πάσιν τοίς

έν διαφόροις κλίμασι τηρήσασι τάς σεληνιακός εκλείψεις, δτι έν ταίς κατά διάμετρον τού ήλιου στάσεσιν άποτελοϋνται, τής γάρ

1

γής καταυ-

γαζομένης υπό τού ήλιον καί άποστελλούσης σκιάν κωνοειδή κατά την 25 διάμετρον αύτω στάσιν,

δέδεικται γάρ δτι έάν σφαίρα καταυγάζηται υπό μείζονος έαυτής σφαιρικού σώματος, ή έκπεμπομένη σκιά κωνοειδής

έσται καί έπ’ ευθείας τω φωτίζοντι σνμπεριάγεται. τού ονν ηλιακού σώ­ ματος σφαιροειδούς δντος καί μείζονος τού τής γής, καθάπερ δείκνυται*1 3 1. διαιρούν τ ε ς : διελοϋσι bP | 3. νυχθημέρων : νυχθημέρων παραλλήλων F νυχθημέρων και παραλλήλων V ,J νυχθημέρων ίπι τών παραλλήλων bP 5. είπεϊν : είπεϊν δτι [δτι supr ser al m ] F είπεϊν ως bP | 6. μή μέσης : θει ρουμένη μή μέσης bP | 8. τυγχ α νούσ η ς: om F Y ,J | 9. ο ν τ ε ς: είαι ΰΡ 10. ποιοϋντες : ποιοϋαι bP | 11. καί έ τ ι : καί έτι τάς V ,J καί επί F επί bP 13. φυλάττ ova ιν : -ση ς L ,F | άπό τής : άπό αυτής L ,F άπ’ αυτής τής bP 16-17. κ α τά τή ν — σ τ ά σ ιν : κατά την διάμετρον την σελήνην στάσιν [in mg κατά την κατά διάμετρον άντικειμένην τφ ήλιοι στάσιν] b j 20. σ τά σ εσ ιν : ras 2 lit στάσεσιν L διαστάσεσιν V F,bP J | 23. ήλιου σ τά σ εσ ιν : ουστασε in ras m1 J I 24. υ π ό : άπό bP | 25. δέδεικται: εϊρηται V ,J δείκνυται a im F | 28. τού τής γής : τής γής F,bPJ [ 413, 28 - 414, 1. δείκνυται μεν [sic L,V ] : δείκνυται μέν ήμϊν F,bPEJ [δείκνυται ήμϊν c] | Ί' τ

r1*>r n r

T>rrnnri

IT

n

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

TlIKON

AU μεν καί εν τω πέμπτφ

1

d ’alk xa n dk ik

ih

|). 78-70]

βιβλίο.), έστιν δε καί εντεύθεν κατάδηλον τύ τοιον-

τον, εκ τον προς μεν το τοιοντον διάστημα λέγω δη το από τής γης επί τον ήλιον σημείου λόγον εχονσαν την γην καταλα/ιβάνεσθαι, το δε τοϋ ήλιου μέγεθος αισθητόν ήμϊν καταφαίνεσθαι, διό ανάγκη την από τής 5 γής άποστελλομένην σκιάν κωνοειδή τε είναι και επ’ ευθείας ώς έψαμεν τω ήλίω. επεί ονν πέφνκεν ή σελήνη παρά τον ήλιου δέχεσθαι το φως, συμβαίνει έμπιπτονσης αυτής εις την άπ σνμ διάμ στάστεΐα .

2. εκ τοϋ : εκ τοϋ την μεν γήν J | προς μέν τό τοιοντον : προς τοσοντον V ,J μέν προς τοσοϋτον F προς μεν τοσοντον bP | 3. την γ ή ν : orti Y ,J 5. είναι : om Y , J | 0. δέχ εσθα ι: δέχθεσθαι L ,V F διέχεσθαι bPJ | 7. κ α ί: ont Y , J | 8. επισκοτονσης : έπιπροσθούσης bP |

(1) Si l’on ajoutait, avec certains manuscrits, v)fiïv, ce passage montrerait que Théon a écrit un commentaire au 5 e livre, chose dont nous ne doutons d’ailleurs pas, bien que nous n ’ayons retrouvé du 5 e livre de Théon qu’un petit fragment dont l’authenticité est mal attestée. Mais ruxlv ne peut pas être maintenu contre l’autorité de L, bien qu’ évidemment il puisse arriver que L se trompe. Le passage visé est donc peut-être le 5e livre de Théon, peut-être aussi le chapitre 16 du 5e livre de l ’Almageste, p. 426-427. Cfr ci-dessus tome I, pp. 109 et 48. (2) Aucun des copistes de manuscrit n’ a remarqué que plus le soleil est rapproché, plus l’ombre est courte. Notre dessin conserve les proportions de L, quitte à supprimer les deux cônes A T et A A , indûment ajoutés par ce manuscrit.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 28-29] επ ’

commentaire sur l ’ almageste

αντον τον ζωδιακόν

*

L. 1 CHAP. 5

415

την κίνηση’ ποιούμενος, η δε γη μη έστω επί

τον μέσον άλλ’ ώς κατά το Λ τό κέντρον εχονσα εν τώ τον ζωδιακόν πά­ λιν επίπεδο>, καί έστω διά τον κέντρον τής σφαίρας καί τής γης διάμετρος ή ΒΖΛΑΔ. Β

F ie . 31. Var : Quatuor conos, quorum sum mitates litterae BTΔ Ε sunt delineauit L ; lineam Γ Ε obliquam super ΒΔ delineauerunl V ,b P J ; item , ac con os et sphaeram ter­ restrem

om

F.

’Ό τα ν άρα τον ήλιον γενομένον κατά τον Δ ή σελήνη γένηται κατά τό

5

Ζ, ή γη κατανγαζομένη νπό τής τον ήλιον προσλάμψεως πέμψει κωνο­ ειδή σκιάν ώς την Λ Ζ καί επισκοτήσει την σελήνην καί άφώτιστ ον αντήν ποιήσει επιπροσΟονσα ταίς τον ήλιον άκτίσιν, καί σνμβήσεται κατά την διάμετρον τώ ήλίω στάσιν την εκλειψιν γίνεσθαι, διά τό την ΒΔ διά10 μετρον ύποκεΐσθαι τον ζωδιακόν, ομοίως δε πάλιν όταν τον ήλιον γεγε-

νημένον κατά τό Β ή σελήνη κατά τον Θ γένηται, πάλιν σνμβήσεται εν τή κατά διάμετρον στάσει την εκλειψιν άποτελεϊσθαι. ’Ό ταν δε κατ’ άλλον τίνος τμήματος δντος τον ήλιον ή σελήνη εμπέση εις τόν κώνον ονδαμώς ενρεθήσεται εν τή κατά, διάμετρον στάσει τον 15

ήλιον τνγχάνονσα ■ διό προσέθηκεν τό « πολλάκις μή εν ταίς διαμι ιρονσαις παρόδοις επιπροσθονσης » 1 αντής, ώς ενδεχόμενόν καί εν τή κατά

»

διάμετρον στάσει την επισκότησιν γίνεσθαι καί μή κατά διάμετρον.

6. ή γή κατανγαζομένη : κατανγαζομένη ή γή V F .bP J | 7. σελήνην : -νη L 10-11. γεγενημένον : γενομένον V,bPJ | 17. καί μή : καί έν τή μή bP

(1) A lm ., 19, 25- 30, 1.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

416

THÈON

d 'a LEXANDKIE

[Η p. 79-80]

5Εάν γάρ λόγον ένεκεν επί του Γ τυγχάνοντος του ήλιου ή σκιά επ' ευθείας αύτφ πεμπομένη γένηται κατά το Κ, δήλον ώς ότι τής σελήνης έκεϊσε γιγνομένης καί έπισκοτουμένης, ονκ έσται κατά την διάμετρον τω ήλίω στάσιν ή έκλειψις, διά τό την γην έκτος είναι του Α κέντρου, και 5 μη είναι διάμετρον την Γ Ε του ζωδιακού · ώστε άναγκαϊον αν εϊη των

σεληνιακών \ εκλείψεων πάντοτε θεωρουμένων έν ταϊς κατά διάμετρον στάσεσιν τού ήλιου καί την γην τον μέσον έπέχειν τού παντός τόπον.2

2. ώς δτι τής : ώ στε τής F ώς τής V,J ώς τό τε τής bP | 3. καί επισκοτουμένης : o m bP | 4 - 5 . διά τό — ζωδιακού : [om b] | 5 . αν : o m I , | 7 . ήλιου : ήλιου προς την σελήνην bP |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Ο τι

σημείου

λόγον

έχε ι

προς

τα

ουράνια

Ύπομνήσας εκ των φαινομένων και κοινών εννοιών ότι

ή γ η.

σφαιροειδής

προς αϊσθησίν έστιν ή γη και μέση του παντός, έτι και περ'ι του προκειμένου κεφαλαίου διαλαμβάνει διά τών αυτών, ώς καί τούτου ενός όντος 5

τών καθόλου άρχοειδώς όφειλόντων προλημφθήναι, καί φησιν ότι ση­ μείου λόγον έχει προς τα ουράνια ή γη. το μέν οϋν « σημείου λόγον έ χ ε ι », ουχ ότι αυτή καθάπερ σημεϊον άμεγέθης έστίν {πώς τηλικοϋτο μέγεθος άμερές

;)

12

γάρ αν τις είποι το

άλλ’ ότι προς την σύγκρισιν του αποστήματος

του μέχρι τής τών απλανών σφαίρας σημείου σχέσιν έπέχει, έπε'ι καί v (ou ü>v) doit être maintenu ici, parce qu’ il se vait dans le manuscrit de l ’Almageste que Théon utilisait. On notera se trouve dans D (écrit d ’abord ôv) ainsi que la forme -yévoiro. Si l ’on

1831

trou­ qu’il com­

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 30-31]

commentaire sur l ’almaüeste

L. 1 CHAP. 7

423

μηδ' ήντιναονν κίνησιν επί τά πλάγια μέρη ποιεϊσθαι την γην το σφαιρο­ ειδούς καί μέσης του παντός αποδεδειγμένης αυτής, εν πσ,σιν απλώς τοις μέρεσιν αυτής τάς τε ημών προσνενσεις καί τάς των βάρος έχόντων σωμάτων φόρας (λέγω δή τάς ιδίας αυτών καί μή από τίνος βίας) ο προς όρθάς γωνίας γίνεσθαι πάντοτε καί πανταχή τώ διά τής κατά την πτώσιν επαφής διεκβαλλομένω άκλινει επιπέδψ. καθάπερ καί

οί

οικο­

δόμοι τάς θέσεις τών τειχών προς όρθάς τοις δρίζουσιν βουλόμενοι κατασκευάζειν, μόλιβδον εις σπάρτον άποδιδόντες καί ιώντες τώ ίδιο.> βάρει φέρεσθαι την προς όρθάς θέσιν τον τείχους δοκιμάζουσιν τον μολιβδίνου 10

βάρους

καταφερομένου

καί

πάντοτε αυτόν επιψανοντος δηλονότι ώς

προς όρθάς αυτόν κατιόντος. ομοίως τάς προς όρθάς τοις

δε

καί ημείς τάς θέσεις τών οργάνων

δρίζουσιν διά τών τοιούτων εξετάζομεν. καί φανε­

ρόν ότι εί μή άντωθοϋντο υπό τής επιφάνειας τής γής, πάντως αν επ' αυτό τό κέντρον αυτής κατήντων, επεί καί ή από του κατά την πτώσιν σημείου 15 ε π ί τό κέντρον άγουσα ευθεία προς όρθάς γίνεται τώ δι αυτόν εκβαλλο-

μένω

| άκλινει

προς την υπό

*

τής φοράς τον βάρους ευθείαν.

F ig . 33. Var : A et K, A et E permutauerunt VF,bPJ |insuper litteras Z , H. & aliter disposuit et litt M addidit F]. 7. τειχών : τοίχω V F ^b P J | 8. άποδιόόντες : άποδεσμοϋντες | 9. τον τ ε ίχ ο υ ς: τώ ν τοίχων b P | 10. α υ το ύ : αύτών V F Jb P J | 15. δι’ α ύ το ϋ : διά τον b P | 15-16. έκβαλλομένφ : -νου bP | pare l ’apparat critique de l’Almageste aux textes de Ptolémée copiés par Théon, on verra bien vite que Fieiberg avait deviné juste en faisant de D le représentant de la vulgate alexandrine. Il travaillait d ’ailleurs sur un ex­ cellent texte de Théon, puiqu’il avait à sa disposition Tes collations de Hultsch (cfr P t o l e m a e i , Opera astronomica minora, p. c x x v i - c x x v u i et ci-dessus, tome I, pp. v in et x x m ).

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

424

[H p. 85-86-87]

TH ÉON D ’A L E X A N D R I E

"Iva δή κατάδηλον γένηται τό λεγόμενον, νενοήσθω ή της γης καί ένεχθέν βάρος επ’ αν την τη Ιδία φορά άκλινώς μετεώρω ευθείαν την ΑΒ,

σφαίρα,

ποιείτω εν μεν τω

έπί δε της επιφάνειας της σφαίρας σημείον τό

Β, και νενοήσθω διά του Β άκλινές επίπεδον προς την Α Β ευθείαν έφαπτό5 μενον τής σφαίρας και είλήφθω τό κέντρον τής σφαίρας τό Γ.

καί έπε-

ζενχθω ή Β Γ , καί διήχθω διά τής Β Γ επίπεδον, τό 1 ποιήσει δή τομήν εν μεν τή επιφάνεια τής σφαίρας κύκλον, εν δε τω άκλινεϊ προς την Α Β έπιπέδφ ευθείαν, ποιείτω εν μεν τή σφαίρα τον ΒΖΗ κύκλον, έν δέ τω έπι­ πέδω την ABE ευθείαν, καί έπεί τό επίπεδον ού τέμνει την σφαίραν, ονδ’ 10 αρα ή ευθεία τεμεί τον κύκλον, εφάπτεται αρα ή ABE ευθεία του ΒΖΗ

κύκλου, ορθή αρα έστιν ή Γ Β προς τήν ABE.

πάλιν δή διήχθω διά τής

Β Γ έτερον επίπεδον, καί ποιείτω έν μέν τή επιφάνεια τής σφαίρας τον Β Η Θ κύκλον, έν δέ τω άκλινεϊ προς τήν Α Β έπιπέδω τήν Κ Β Λ ευθείαν, διά τά αυτά δή ή Γ Β ορθή έστιν προς τήν Κ Β Α . έπεί ούν ευθεία ή Γ Β 15

δύο εύθείαις τεμνούσαις άλλήλας προς δρθάς επί τής κοινής τομής έφέστηκεν, καί τω δι αυτών έπιπέδω ορθή έστιν, τό δέ δι αυτών έπίπεδόν έστιν τό άκλινές προς τήν ΑΒ, ορθή αρα έστιν ή ΓΒ προς τό είρημένον επίπε­ δον, άλλά καί ή ΑΒ. άπό του αύτοϋ αρα σημείου του Β έφ’ έκάτερα τά μέρη τω αύτω έπιπέδω προς όρθάς άνεσταμέναι είσίν ai ΑΒ, Β Γ . διά δή

20 τούτο εύθεΐά έστιν ή Α Β Γ .

ώστε | εί μή άντωθεϊτο τό κατά τό Β βάρος

υπό τής έπιφανείας τής γής,

πάντως

αν επ’ αυτό τό κέντρον κατήντα

τον οίκεΐον τόπον έπιδιώκον. "Ωστε του τοιούτου προφανούς δντος, περιττόν τις αν ήγήσαιτο καί τής επί τό μέσον φοράς τάς αιτίας έπιζητείν. έτι δέ τού παντός σφαιροει25

δούς άποδειχθέντος, συνάγεται καί ούτως ότι ή γή έπί τό μέσον φέρεται · ή γή έπί τό κάτω τού παντός φέρεται · κάτω δέ τού παντός έστιν τό μέ­ σον ■ ή γή αρα έπί τό μέσον φέρεται. « "Οσοι δέ παράδοξον οΐονται τό μή βεβηκέναι που μηδέ καταφέρεσθαι » τηλικούτο βάρος τής γ ή ς » 2, άλλά έστάναι ούτως ακίνητον μετέωρον μέ-

6. τό π οιή σει: ποιήσει'ν¥,1άΡ3 | 10. τ ε μ ε ί: τέμ ν ειΥ ¥ β )Ρ 3 | Δ Β Ε εύθεΐα : ΑΒ ευθεία Ι_ | 15. εύθείαις τεμνούσαις : -α ς -α ς νΡ,1)Ρ3 ] 16. τω δι’ : τω ν δι’ I | 18. σημείου : οιη J | 23. τις αν : αν τις 1)Ρ | 26. ή γή — φ έρεται: οιη J ] 28. μ η δ έ : μήτε νΡ,1)Ρ3 | 29. τηλικοϋτο: -τον 3 ο ο γ γ ϊη -το ν αΐ Γη ]_, |

(1) Nous conservons avec une certaine hésitation cet article employé comme pronom relatif. Seul L a osé le laisser. Tous les autres l’ont supprimé. Cfr M a y s e r , Grammatik der griechischen Papyri, vol. I, pp. 310-311, (2) A lm ., 22, 12-13,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[Β

ρ.

31]

Ο Ο Μ Μ Ε Ν Τ Α ΙΚ Ε

8υΡ! ΐ2 Α Ε Μ Α α Ε 8 Τ Ε

Ε.

1

ΕΗΑΡ.

7

425

νον, δήλον ώ ςδ τι ον λόγω ακολουθούντες παράδοξον ηγούνται το τοιοϋτον, άλλ’ άπό τών περί αυτούς συμβαινόντων αδύνατον

αυτό

δοκιμάζοντες.

όρώντες γάρ τό τοιοντον έπϊ τών κατά μέρος αδύνατον δν αϊσθησιν πιστώσασθαι, διά τό μηδέν τών τοιούτων βαρών καν έλάχιστον τυγχάνη δύ5

νασθαι μετέωρον μένειν, καί έπ'ι τών καθόλου τό αυτό παραλαμβάνουσιν. ού γάρ οΐμαι λόγω αυτούς άκολονθοϋντας θαυμαστόν ήγεΐσθαι τό τοιοντον, εί κατανοήσειαν ότι τούτο τό κατά λόγον έλάχιστον τής γης μέγεθος υπό τον παντελώς μεγίστου καί ομοιομερούς δυνατόν έστιν διακρατεΐσθαι, ϊσα διαστήματα φυλάττον άπ

10

αυτού, καί ίσοσθενώς πανταχόθεν άντω-

θούμενον ή άντερειδόμενον, καί μηδενός έπινοουμένου έν τω τού παντός σφαιρικώ σχήματι άνω ή κάτω, καί κατά μηδέν μέρος έλαττονμένης τής άντερείσεως \ καθάπερ επί τής αίσθήσεως όρώμεν τά άπό τών ίσων δυνά­ μεων άντ ωθούμενα ή άνθελκόμενα μένοντα άκίνητα. « ...

Τού μεν άνω ή κάτω μηδενός οντος έν τω κόσμω προς αυτόν, καθά-

Ι5 » πε ρ ουδέ έν σφαίρα τις τό τοιοϋτον έπινοήσειεν...» 1 Διά τούτο δέ αί άντερείσεις ομοιομερείς γίνονται, διά τό μηδέν δύνασθαι έπινοείσθαι επί τού τοιούτου σχήματος άνω είναι ή κάτω γάρ ήμίν άνατέλλον καί

γης έστιν καί ώς προς τό άνω 20

· τό

δοκούν κάτω είναι τοίς άνατολικωτέροις υπέρ ·

καί πάλιν τό ήμίν άνω καί προς τον με-

σημβρινόν τοίς δυτικωτέροις προ τού μεσημβρινού έστιν καί ώς προς τό κάτω, ομοίως καί έπί τών προς άρκτους καί μεσημβρίαν παραχωρήσεων, εις καί ό αυτός ών ό βόρειος πόλος τής σφαίρας, τοίς μέν μετεωρότερος φαίνεται, τοίς δέ ταπεινότερος, έτι δέ καί

κ οι τον περ'ι αξο εκά< σ τ η ς ήμ έρας>.

1. γίνετα ι: γίνεσθαι vF,bPJ | 1-2. διακρατεϊταί τε : διακρατεϊ τε V,bPJ j 6. αλλοις: άλλήλοις L | 7. α ϋ τ η : αυτήν V F | 8-9 . τά κατά — βαρών : om V ,J ] 10. όχούμενα μετέωρα : δχούμενα ras 2 litt μετέωρα F όχούμενα επί τον άέρος μετέωρα V,J | κα'ι : om \ b,bPJ | 14. ύποστήσαιντο : -σαιεν VF, bPJ | 14-15. περί τόν αυτόν :πρός τόν bP | 16. φησίν τινες : τινές φησιν VF,bPJ | 17. τοΰ μή : τώ μή bP | μέσου : μέσην bP | 18. μηδέν αύτοίς : μηδέν bP | 20. φε­ ρομένην : περιφερομένην VF,bPJ | δύσεων : δύσε ras 1 lit ων L δυαμών VF,bPJ j μ ία ν : om bP j 20 21. περιστροφήν εκάστης η μ έρα ς: in r a s j - α τ ρ ε φ - L | (1) A lm ., 23, 16. (2) A lm ., 24, 5-9. Sur la théorie que Théon veut réfuter ici, et qui n’ est pas celle d’Aristarque de Samos, mais celle d’Héraclide, cfr Th. L. H e a t h , Aristarchos of Samos, the ancient Copernic, Oxford, 1913, p. 301-310.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

428

THÉON D’ALEXANDRIE

Λ0 δέ λέγει τοιοϋτόν έστιν · νενοήσθω γάρ

[H p Ρ, Σ μέγιστοι κύκλοι οι ΒΟ Δ, Β Π Δ , Β ΖΔ, ΒΡΔ, Β Σ Δ . καί διήχθω τά δι αυτών επίπεδα, καί ποιείτωσαν το μάς εν τή επιφάνεια τής γής κύκλους \ τό μέν διά τοϋ ΒΟΔ τον Κ Τ Υ Η , τό δέ διά τοϋ ΒΠ Δ τον Κ Φ Χ Η , τό δέ διά τοϋ ΒΖΔ τον ΚΝ ΞΗ , τό δέ διά τοϋ

2 -3 . &ξων δέ ό ΒΔ : om VF,bPJ | 6. εκβεβλήσθω διά τοϋ ; έκβεβλήσθω ras τοϋ F j 9. χρόνων λ : χρόνων έστω λ bP j 12. Β Ζ Δ : o m V F ,bP J | τομάς : om bP j

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

32-33]

p.

c o m m e n ta ir e

sur

l ’a l m a g e s t e

l

.

ί

ΒΡΔ τόν ΚΨΩΗ, καί ετι το διά τον ΒΣΑ τον K A ΒΗ. λικά μεν τα ΑΒΓΑ

προς τφ Α ,

δυτικά

δε

chap

.

7

429

έστω δε άνατο-

τα προς τφ Γ. καί νοείσθω, του

ως επί της ορθής σφαίρας υποκειμένου δρίζοντος,

υπό γην το

Α Ζ Γ ημικύκλιον τον Ισημερινόν, καί νποκείσθω, μένοντος του ουρανού 5 καί της γης στρεφόμενης προς άνατολάς, το μεν ομμα κατά το Θ, δ δε

ήλιος επί του Α Β Γ Α δρίζοντος φαινόμενος κατά το Λ , διά το * και εν τω αύτφ έπιπέδω είναι τόν τε Κ Α Η Θ και τον Α Β Γ Α · καί δταν άρα το Θ, τουτέστιν ή δψις, γένηται κατά το Τ, διά τον Ο έσται το διά της δψεως επίπεδον του δρίζοντος διά των ΚΤΥΗ καί BO A, καί φανησεται ο ήλιος 10 υπέρ γης τούς τής ΟΑ περιφέρειας χρόνους

λ

ώρας δε Ισημερινός δη­

λονότι β. δταν δέ επ'ι του Φ γένηται ή δψις, έσται διά τα αυτά τό δι αυ­ τής επίπεδον διά του Π. κα'ι έσται δ ήλιος τούς τής Α Π περιφέρειας χρό­ νους τού Ισημερινού ξ υπέρ γης φαινόμενος, έδρας δε πάλιν δ. δταν δε δια τού Κ γένηται ή δψις, έσται πάλιν κατά το Ζ, καί φανησεται δ ήλιος 15 τούς q χρόνους, ώρας δε ς άπέχων τής δψεως καί μεσουρανών, τα δέ αυτά

και επ'ι τού ετέρου τεταρτημόριου σνμβήσεται. και φανερόν δτι δταν τό Θ κατά τού Λ γένηται,

έσται τό διά τής δψεως επίπεδον διά τού Γ, άπέ-

χοντος δηλονότι τού ήλιου τούς τού ημικυκλίου χρόνους

καί προς δυ-

σμάς φαινομένου, ακολούθως δέ κα'ι ο τής νυκτός χρόνος δφΟήοεται καί εν 20 τή μια περιστροφή έγγιστα τό νυχθημερόν έσται γεγενημένον. καί δόξει

μηδέν μάχεσθαι ή τοιαύτη υπόθεσες τοίς | φαινομένοις. ’Έ γγιστα 1 δέ εϊπεν διά τό καί τον ήλιον κινείσθαι μοίραν a έγγιστα, καί δειν καί την τοσαύτην κίνησιν επικινεϊσθαι την σφαίραν τής γής μετά την μίαν περιστροφήν, Iva πάλιν ο ήλιος δφθή άνατέλλων. οντω γάρ 25 ετι σύμφωνα εδόκει γίνεσθαι τα φαινόμενα, κατά διαφόρων τού ζωδιακού τμημάτων τού ήλιον γινομένου, επειδήπερ ουδέ οι αυτοί άστέρες πάντοτε υπέρ γής θεωρούνται. § El δέ ύποτεθείη άμφότερα κινεϊσθαι καί την γήν καί τόν ουρανόν όντωςt §

πώς

εί ύποτερα

κΚέ,νεΙαθαι και την γην καίς> τόν ούρα-

Ο όν> . 1 Κ ,Α .Β Η : Λ Κ Η L | έ σ τ ω : έστω σαν V F,bP J | 2. νοείσθω : νενοήσθω bP | 3. νπό : υπέρ bP | 9. διά τών Κ Τ Υ Η κα'ι ΒΟΔ : ποιούν τόν τε Κ Τ Ν Η κύκλον καί τόν BOA bPE | ο : om L | 10. τούς — χρόνους λ : τη ν ΟΑ περιφέρειαν χρόνων οΰσαν λ bPE | ώρας δέ Ισημερινός : ωρών δε Ισημερινών bP | 11 δ ιά τ α α ύ τ ά : διά τούς αυτούς J | 11-12. δι’ α υ τή ς: διά τής δψεως bPE | 13. τ ο ΰ ισημερινού : ισημερινούς bP | ¡15. τής δψεως : τον A VF’,bPJ 119. φαινομένου : -νος L |20. έγ­ γιστα : οταΚΡ | 23. καί δεϊν : δ’ ήν VF,bPJ | 25. γίνεσθαι : φ α ί ν ε σ θ α ι Υ Υ φ Ρ δ | (1) Cfr A im ., 24, 10.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

TIIKON D AI.KXANDHII-:

430

ώ σ τε έν τ ή / « « ή/ιερα τ ο ύ ς

τις

[II p. 91-92]

έ γ γ ι σ τ α χ ρ όνου ς τ ο ύ ς ήμ.ερινονς άμφ ο-

τ έ ρ α ς τ ά ς κ ινή σ εις κ ινεϊσθα ι π ιο 1 το ν ά ξο ν α , και ει μ εν επ ί τα α υτά και ισο­ ταχούς, ονδεμ ία φ α ν ή σ ιτα ι το ΰ ήλιου α π ό α νατολώ ν επ ί δ ν σ /ιά ς περιφορά 1, εί ν π ο κ έυ ιτο μι) κινούμ ενος, ει δέ κινοίτο μ εν ό ουρα νός την

5 κίνησιν α υτόν, ή δε γ ή εις τά ενα ντία , σω Ο ή σετα ι πάλιν τά π ερ ί τ ά ς δ ύ ­ σ ε ις και τ ά ς ά να το λ ά ς, σ ν μ β ή σ ε τ α ι δε εκ τ ή ς μ ια ς π ερ ισ τρ ο φ ή ς τ ή ς γ ή ς καί τοΰ ουρανού δύο νυχΟήμερα γ ίγ ν ε σ θ α ι.

Fio. 35. Var : Omittunt omnes, e fig. 34 conieci [forsan hab F, uide quae de 2a figura eius dixi p. 428]. Ύ π ο κ ε ίσ θ ω 2

γά ρ

πάλιν (μι) έ π ιλ ο γ ιζο μ έ ν ω ν η μ ώ ν εν τα ύ θ α τη ν του

ήλιου έπ ικίνησιν τ ο ΰ σα φ ούς ενεκα) ή μ εν γ ή α π ό δυ σ μ ώ ν π ρ ο ς ά να τολ ά ς 10 φ ερομένη,

ο δέ ουρανός α π ό α να το λ ώ ν εις δ υ σ μ ά ς Ισ ο τ α χ ώ ς, καί έ σ τ ω

1. ώ σ τ ε ; ώς F,bPJ | ήμερινούς : Ισημερινούς VF,bPJ | 2. καί εί : el b P 4. < ώ ς âv> ε 1 : ei L,V FJ ei ôè bPE | νποκέοιτο — κινοΙτο : om bPE 4-5. μεν ό — γή : om bPE μήνη ή τής κινήσεως αντον εί δε L | 6. τής γής : o m b P E I 10. εις : ίπΐ VF,bPJ [ (1) Pour la conjecture < coç â v > ei cfr M a y s e r , Grammatik der griechischen Papyri, vol. II, l ère partie, p. 293. Nous comprenons : aucun mouvement du soleil ne sera perceptible, pas plus que dans l’hypothèse de sa complète im­ mobilité. (2) L n’ a pas de figure spéciale pour ce cas-ci. Mais K désigne ici le point qui est appelé N dans la figure précédente. Cela suffit à montrer qu’ il faut une nouvelle figure, qui n’est d’ ailleurs que la précédente simplifiée. Il n’y a malheureusement pas de numérotation ancienne des figures, comme il y en avait pour Pappus, au tome précédent.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

33 J

C O M M E N T A IIU·: SUR

I .’ A L M A G E S T E

E.

1 CHAP. 7

τα μεν Θ, A προς άνατολιάς, τά δε Λ, Γ προς δνσμάς.

στρεφόμενης τέταρτη μόρων τό Θ ανατολικόν επί

431

εως αρα της γης

τό Κ παραγίνεται, εν

τοσούτω και ό ουρανός στραφείς τεταρτημόριου τό Λ επί τον Ισημερινόν δν ενέγκοι επί τό Μ, και προσαποστησονται άλλήλων τό Θ, A σημεία ρπ. και διά τούτο δνσεται ο ήλιος τη κατά τό Θ οικήσει κατά

5 χρόνους

τό Κ γεγενημένη, καί ποιήσει εν τη τον ενός τεταρτημόριου κινήσει ημέ­ ραν μίαν ωρών ιβ. ομοίως πάλιν εως τό Θ κατά τον Κ τνγχάνον την | Κ Λ διεξελθόν επί τό Λ παραγίνεται, εν τοσούτω καί τό A επί τό Μ τνγχά­ νον την Μ Γ διεξελθόν επί τό Γ πάρεσται. καί έσται πάλιν τά Α , Θ όπο­ ιο κατασταθέντα, καί ό ήλιος δηλαδή πάλιν κατά τό A τυγχάνων τοίς επί

τον Θ άνατέλλει, των Α , Θ κατά των Γ , Λ τυγχανόντων. καί έσται εν τή τον

ημικυκλίου περιστροφή

χρόνος ννκτός

καί ημέρας γεγενημένος.

ομοίως δε καί εν τω του ετέρου ημικυκλίου ετέρου νυχθημέρον χρόνος γενήσεται. καί έσται έν τή μια περιστροφή τής γης καί τον ουρανού δυο 15 ννχθήμερα γεγενημένα. § ’ Ε ά ν 1 ai κ χ ει δ πόλος ώς άπό ατολάς.

8. τής πρώτης : τής εϊρημένης πρώτης VF,bPJ | 10. τούς τοϋ ζφδιακοϋ πό­ λους : τούς ζφδιακούς πόλους V,J | 11. περιγράφοντος : περιφέροντας V F , PJ | 12. είρημένων : om bP | 13. σ ύ ν : in ras m1 V έν J | 15. και λ ο ξ ο ϋ : λοξοϋ J | 21. αυτούς παραλαμβάνεσθαι: αυτούς παραλαμβάνων [περιάγεσθαι supr ser m1] κινεϊσθαι J αύτών παραλαμβ ανυμένων καί ον τών σφαιρών αυτών bP | 22-23. την τών φαινομένων συμφωνίαν : την τών συμφωνίαν [corr in τούτων] L | 23. ύπόθοιτο : ύπόθοιτό τις V,bPJ |

(1) A lm ., 30, 4-6. (2) A lm ., 30, 7.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

448

τι IKON η ' a i .i:\A\nii 11·:

[II

p.

108-100]

Προδιαλαβών 1 ούν ολοσχερέστερου από τε τιον κοινών εννοιών κα'ι των προς τά φαινόμενα συμφώνων τα ώς εν αρχή λόγον 2 της μαθηματικής θεωρίας όφείλοντα κεφαλαιωδώς προλημφΟήναι (διό καί εΐρηκεν βεβαιωθησομένας γε

και

έπιμαρτυρηθησομένας τέλεον εκ τών εφεξής κατά

ήμερος αποδείξεων), άρχόμενος τών κατά μέρος καί συγκεφαλαιονμένος τά προρρηθέντα φησίν · « Ή μέν ούν ολοσχερής προδιάληψις ώς έν κεφαλαίοις τοιαντην αν « έχοι την έκθεσιν τιον όφειλόντων προνποκεϊσθαι » . 3

1. προδιαλαβών : rub περ'ι τών κατά μέρος καταλήψεων, nig Προδιαλαβών J eundem tit hab bP, ac add in mg V om L ,F | 2. αρχή λ ό γ ο ν : αρχής λόγφ V F,bP E J I 7. προδιάληψις : -ψις in ras I. | 7-8. ώς — προνποκεϊσθαι: και τά έξης bPE I

(1) Explication du chapitre 9 de i ’Almageste. Le titre manque dans L et F. Dans V il a été remis en marge par le scribe lui-même. Il est difficile de déci­ der si Théon considérait ces dix lignes de transition comme un chapitre distinct de l’Almageste. La même difficulté se représente un peu plus loin, p. 4 49, 14, pour le titre du chapitre 10. Nous l’avons déjà rencontrée en édi­ tant Pappus (cfr ci-dessus tome I, P- 48), et nous avons vu que le titre avait été omis dans l’archétype, et rétabli par les manuscrits du groupe 1 à l ’aide de l ’Almageste, mais que l ’ archétype se trompait. A u commencement du livre 2, Théon résume le livre I. Malheureusement, ce résumé ne permet pas de reconstituer la division en chapitres comme nous avions pu le faire pour le 5 e livre de Pappus. Nous laissons donc tomber le titre ici et à la p. 4 4 9 ,1 4 , à cause de L, mais sans être bien certain qu’il faille le faire ici. A la p. 449, 14 on entre dans le chapitre 10 sans le remarquer. (2) Cfr ci-dessus, p. 434, η. 1. Si l’on adoptait la leçon de V F , bPJ, on aurait une expression exactement symétrique de l’ expression rencontrée plus haut, et qui signifierait la même chose, μαθηματική θεωρία étant alors pris comme synonyme de αστρονομική θεωρία. L nous en empêche, λόγος signifiera donc plutôt ici le traité tout entier, et nous aurons un génitif de titre. Il se fait que le titre donné ainsi à l’Almageste ressemble très fort à celui sous lequel Pappus le citait. (3) A lm ., 30, 19-21. D de l ’Almageste a écrit d’abord προδιάλημψις. Dans L le mot est bien clairement écrit avec un μ parasite (gratté comme toujours mais bien visible sur la photographie), dans le texte du commentaire (p.449, 1). Dans le passage de l ’Almageste (p. 844, 7), les trois dernières lettres ont été grattées et remplacées par celui qui a écrit les gloses marginales, et qui est peut-être le copiste principal (en tous cas il en est contemporain). Le grattage a fait disparaître complètement les lettres enlevées. Il semble descendre aussi bas qu’un μ et beaucoup plus bas qu’un ψ de l’ écriture de L. Nous avons préféré ne pas écrire la forme en μ pour éviter que, le cas échéant,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 39]

COMMENTAIRE SUR L’ALMAGESTE L. 1 CIIAP. 9-10

449

Ή μεν ούν καθόλου καί άρχοειδής προδιάλημψις ώ ς εν κεφαλαίοις έξ όπλουστέρων παρατηρήσεων αντφ λημφθεΐσα τούτον τον τρόπον αντω προτετύπωται.

επί δε των

κατά μέρος Αποδείξεων πρώτην ηγείται

ύπάρχειν άπάδειξιν δι ής ή μεταξύ των δυο πόλων τον τε ισημερινού 5 περί δν ή πρώτη φορά γίνεται καί τον ζωδιακού περί δν ή δεντέρα πηλίκη

τις οϋσα τυγχάνει, τουτεστιν

πόσων εστίν τμημάτων ιος επί του δι

άμφοτέρων των είρημένων πόλων γραφόμενου μεγίστου κύκλου ο'ίων αυτός δ κύκλος τξ. § ”Ε τι δε, φησίν, πρόταύτης τής άποδείξεως άναγκαΐον δρω μεν προ εκ10 θέσθαι την πραγματείαν των εν τώ κύκλω ευθειών, τουτεστιν πώς δοθεί-

σης τίνος περιφέρειας τώ μεγέθει,

καί ή υποτείνουσα αυτήν ευθεία δί-

δοται. § προτάττει δε ταύτην ώ ς πλείστον μέρος | συμβαλλομένην προς τός γραμμικός αποδείξεις · τό γόρ πλείστα των εν τή συντάξει θεωρημά­ των διά ταύτης άποδείκνυσιν. κ α ί *1 μετά την κατάλημιριν τής τοιαύτης 15 πραγματείας καί κανονοποιείαν αυτής εκτίθεται, ινα εί ποτέ έπιζητοΐ-

μεν εις τός κατά μέρος επισκέψεις ήτοι από περιφέρειας ευθείας λαμβάνειν ή από ευθειών περιφέρειας, εκ προχείρου αυτός εχοιμεν έπιλογίζεσθαι, καί μη πάντοτε διό των γραμμών τούτο ποιούντες εγχρονίζωμεν. Εΐτα επεί εχρήν τό μεγέθη τών ευθειών καί των περιφερειών ώρισμένα 20 τινό τυγχάνειν, υποτίθεται

τον μεν κύκλον διαιρείαθαι εις ίσα τμήματα

τ ξ καί καλεΐ έκαστον διάστημα μοιριαϊον 2, την δε διάμετρον εις ίσα τμή§ τις ... τ... § δ... τ... 4. ύπάρχειν : -ξειν V F , bPJ | 5-6. περί εν ή δευτέρα — τυγχάνει : om L [ 10. τών εν τώ κύκλω : τών εν κύκλω VF,bPJ | 11. αυτήν: om bPJ | 13. κλει­ στά : πλείονα VF,bPJ | 14. άποδείκνυσιν. καί μετά [L ,V F , ac J in textu] : άποδείκνυσιν. περί τής πηλικότητος τών εν κύκλφ ευθειών. Μετά μεν οΰν bP E [titadd m g j ] | 15. κανονοποιείαν : διά κανονοποιείαν bPE τήν καν- conj Mercati | 15-16. επιζητοΐμεν : -οίημεν Y F ;bPJ | 17. εχοιμεν : εχωμεν bPE 18. διά τών : διά J | γραμμών : πραγμάτων]^, | 19. εΐτα επεί : επεί δε bPE ce passage ne soit utilisé trop vite pour montrer la correspondance entre le texte que lisait Théon et celui de D. Mais une fois cette correspondance établie par ailleurs, il est clair que la forme à μ parasite est plus vraisem­ blable que l’ autre. (1) V oir ci-dessus, p. 448, η. 1. (2) Théon ne veut pas dire que le nom du degré dans l ’Almageste est μ οιριαιον, mais que chacun des τ μ ή μ α τ α reçoit l’ épithète de μοιριαϊον. En réalité, Ptolémée distingue les divisions de la circonférence qu’il appelle μ οϊραι de celles du diamètre, nommées τμ ή μ α τ α . Il observe soigneusement

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

ματα

[II p. 109-110]

TIIICON D'ALEXANDRIE

450 ρκ

και καλιά και τ α ν τ α ο μ ο ίω ς μοιρ ια ϊα ,

είναι τ α μ ε γ έ θ η οϊων δ κύκλος

τξ,

ω ς τ ω ν μ εν περιφ ερειών

τ ω ν δέ ευθειώ ν οϊων ή δ ιά μ ετρος

ρκ.

§ χ ρ ή τ α ι δέ εις τ η ν έκθ εσ ιν τ ο ν κανόνος τη καθ' ήμιμοίρ ιον τ ώ ν περιφε­ ρ ε ιώ ν π α ρ α υ ξή σ ε ι. π α ρ α τ ιθ ε ίς α ύτα ϊς τ ά ς επ ιβα λ λ ονσα ς τ ώ ν ν π ο τ ε ι ν ο ν 5 σ ώ ν αν τ ά ς ευ θ ειώ ν πηλίκο τ η τ α ς . ρκ . § διεϊλον δέ φησιν

την

» έ π ι λ ο γ ια μ ώ ν φανησόμενον

τ ο ιο ύ τ ω ν οϊων ώ ς έφαμεν η διάμ ετρος

διά μ ετ ρ ο ν

εις

ρκ

« διά τδ ε ξ α υ τ ώ ν τ ώ ν

εν τοϊς άριθμοϊς ε ϋ χρ η στον. » *1 εικός

δέ αυ­

τ ό ν 2 μάλλον, διά το εις πολ λ ά ς α π ο δ ε ί ξε ις

συντελεϊν α ν τ ώ τ η ν \ πηλικό-

τ η τ α τ η ς έκ τ ο ν κ έντ ρ ο υ , § ε υ χ ρ η σ τ ό τε ρ ο ν

δέ π ά ν τ ω ν

10 τ ον ξ , διά το έλ ά ττ ο να

τών

ον τ α

άλλων α π ά ν τω ν

τ ώ ν δυναμ ένω ν

τ ώ ν ά ριθ /ιώ ν είναι

πλείονα

μ έρη

έχ ειν

ε ν μ ε τ α χ ε ιρ ισ τ ό τ ε ρ ο ν είναι · διά τ ο ύ τ ο καί τη ν διάμετρον

εις ρκ διήρηκεν ϊνα έχη τη ν εκ του κέντρου ξ. § < τίνι παραυξήσει χς>ρήται εν τή τον κανόνος θέσει. % διεΐλεν την διάμετρον < e t ç > ρκ. %τερος τών μεν θεωρημάτων εσιν τών έν κύκλω εύθειών < προτεθειμένων τιν~>ων λημμάτων πεποί δε διά τών αυτών τοϋ κανόνος . 1. πρότερον : πρώτον bPE | 1-3. δι’ ολίγων — ποιούμεθα : καί τα εξής bPE | 4. πραγματεία \L] : ή πραγματεία V Fc,bPEJ | 8. όπόαα μάλιστα: δλίγα τά μάλιστα VF,bPJ | 11. έχοιμεν : εχωμεν VF.bPJ (1) A lm ., 31, 16-19. (2) Sans article, l’expression ne peut signifier qu’ une chose : Hipparque a fait une étude (ou même, plus littéralement, a exposé des théories) sur les cordes. Théon ne cite donc pas le titre exact de cet ouvrage. On a cru pou­ voir rapprocher ce passage-ci de deux phrasés de Héron d’Alexandrie, Metrica (ed. H . S c h ö n e , Leipzig, 1903) p. 58, 19-20 et p. 62, 17-22. Il semble bien clair que les travaux d’ Hipparque et de Ménélas mentionnés ici sont de la trigonométrie, tandis que le περί τών έν κύκλιο ευθειών uti­ lisé par Héron n’ en est pas. Nous avons établi ce point dans une note intitulée Premiers essais de trigonométrie rectiligne chez les Grecs, dans VAn­ tiquité classique, t. 2 (1933), pp. 177-192. Il serait trop long de répété' ici les arguments développés là. On doit donc renoncer à l’idée que H Aon nous avait conservé deux courts fragments de la trigonométrie d’Hipparque. D ’ailleurs, pourquoi nommait-on Hipparque et pas Ménélas, puisque Héron ne dit pas qui est l’auteur du traité qu’il a consulté, et que Théon men­ tionne ici deux noms ? Si Ton prend πραγματεία au datif (éventualité qui nous est suggérée par Mgr Mercati), δέδεικτai correspond à δείξομεν de la 1.1, et Théon dit qu’ Hipparque et Ménélas ont prétendu exposer la trigonométrie de la façon la plus simple possible, en un traité des cordes. (3) Sur cet optatif, cfr M a y s e r , Grammatik der gr. Papgri, II, 1, p. 252, d.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

452

TIIÉON

d ’a l e x a n d r i e

[H

p.

110-111-112]

« Κ α θ ό λ ο υ μ έν τ ο ι χ ρ η σ ό μ ε θ α τ α ϊ ς τ ω ν ά ριθ/ιώ ν έφόδοις κ α τά τον τ η ς » έξ η κ ο ν τ ά δ ο ς τ ρόπον διά τ ο δ ύ σ χ ρ η σ τ ο υ τ ω ν μ ορ ια σ μ ώ ν... » 1

Καί ενταύθα πάλιν τον ευμεταχείριστου προνοούμενος βούλεται ημάς τα μέρη των μοιρών εις εξηκοστά μεταλαμβάνειν, Iva την μοίραν άνα5 λέοντες εις ξ, έν τοις πολλαπλασιασμοίς § λόγου χάριν άντί τον πολλαπλασιάσαι ημάς ¡_ δ' κ έφ εαυτό, όπερ ον την τνχονσαν δυσχέρειαν περι­ έχει, μη εξηκοστά πολλαπλασιάζω μεν. ον μόνον | δε τάς μοίρας ανα­ λύει εις τα πρώτα,

άλλα

καί

τα * πρώτα εις δευτέρα καί τα δευτέρα

εις τρίτα και τα τρίτα εις τέταρτα καί έξης ακολούθως εφ όσον αυτώ χρή10 σιμόν καταφαίνεται. « ’Έ τι δε τοίς πολλαπλασιασμοίς καί μερισμοϊς άκολουθήσομεν τού » συνεγγίζοντος άεί καταστοχαζόμενοι εφ' δσον αν το παραλειπόμενου » μηδενί άξιολόγω διαφέρη τοϋ προς αίσθησιν άκριβοϋς. » 2

Διδασκαλικόν δε δντος τρόπον προδιαλαβειν ημάς ολίγα περί τε των 15 πολλαπλασ ιασμώ)ν καί μερισμών,

ών καταδηλοτέραν την έξέτασιν εν

τοις οικείοις τόποις 3 επ' αυτών τών έν τη σνντάξει άριθμιόν ποιησόμεθα ύπ’ δψιν μάλλον άγοντες τα λεγάμενα, ακόλουθον δ' αν εϊη καί ενταύθα προδηλώσαι τίνα είδη έστίν τα γινόμενα τών μοιρών πολλαπλασιαζομό­ νων επί τάς μοίρας καί επί τα πρώτα εξηκοστά καί επί τα δεύτερα

καί

20 τρίτα καί τέταρτα καί έξης ακολούθως. 'Η μ εν οϋν μοίρ α έν τ ι κατ' είδος δη λ ονσ α κ α θάπ ερ μ ονά δος τ ά ξ ι ν έπέ-

§ ... δ ιε' ε ξ η κ ο σ τ ό ν ... ε ξ η κ ο σ τ ά μη (c.a.d. — = 30' ; — = 15' ; — = 2 4 20

3' ;

to ta l------------= -18' m. ree s. xv) 2 4 20

1-2. κατά — μοριααμών : om bPE | 3. «al.’ OmbPE [ 4. rήν μοίραν: τήν πρώτην μοίραν VF,bPK την μίαν μοίραν J | 6-7. περιέχει: -αρε- supr ser m1 J I 8. εις τά πρώτα : εις πρώτα έξηκοστά VF,bPJ | 11-13. τοϋ συνεγγίζοντος — άκριβοϋς : om bPE | 12. αν το : αυτό FV,J | 13. διαφέρη: -ροι V om J I 14. πλευρά.

2. καί κοινού άφαιρεθέντος τον : κοινόν άφηρήσθω τό [addin m g m 1 V [ F,bPEJ I 2-3. ànò τής Δ Ε : add in mg m1 Y | 3. το : om L |4 . τής Δ Γ : Δ Ε Σ | 5. την Δ Ζ ; Δ Ζ L | 8. τή τον : τή ras 1 lit του L [ 9. πλευρά : πλευρά ras 1 lit L | καί επεί : επεί bPE | 10. εδείχθη : om bPE 1 1. έγγραφομένων : om V F,bPEJ | 12. καί τό — έξαγώνου : om V F,bPEJ 13 . δεικτέον : δεικτέον δέ V F ;bPEJ I

(1) Dans l’ édition H alma, par suite d’ une erreur de pagination, la p. 110 est suivie de la p. 181 ; la numérotation est continuée ensuite régulièrement, 182 etc, jusqu’à la p. 244 incl., qui est suivie, par erreur, d’une p. 235 (que nous appellerons 235bis). (2) J ajoute en marge l’énoncé de la définition 3 du 7e livre d’Euclide. Cfr E ucl . Elem. vol. 2, p. 72, 9-10. (3) J ajoute en marge l’ énoncé du porisme qui suit la proposition 15 du 6 e livre d’Euclide (éd. Heiberg, vol. 1, p. 318). (4) Théon ne dit pas où : c’ est E u c l . Elem. 13. 9, éd. Heiberg vol. 4, p. 270.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

466

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 181-182-183]

άρα1 πρός Δ Ζ μείζονα λόγον εχει ήπερ ή Γ Δ προς την ΔΗ . προς δ δέ τό αυτό μείζονα λόγον έχει εκείνο έλαττόν έστιν · έλάττων άρα ή Δ Ζ της ΔΗ ,δπερ άτοπον. ονκ άρα ή ΑΖ μείζων έστιν της τοϋ δεκαγώνου πλευράς, ομοίως δη δείξομεν δτι ουδέ έλάττιον · η άρα 2 Δ Ζ 5 πλευρά.

δεκαγώνου έστιν

ΛΗ και ούτως · ει γάρ ή Δ Η δεκαγώνου έστιν καί διά τούτο ή Η Γ άκρον καί μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Δ, τό υπό ΓΗ, Η Δ ίσον άρα τώ από Δ Γ . αλλά καί τό υπό ΓΖ, Ζ Δ ίσον τ ω αντίο τ ώ α πό Δ Γ. τ ό άρα υπό ΓΖ, Ζ Δ Ισον τω υπό | ΓΗ , Η Δ , δπερ άτοπον. ονκ άρα ή τοϋ δεκαγώνου έλάτ10 των έστιν της Ζ Δ . ομοίως δη δείξομεν δτι ουδέ μείζων · Ιση άρα. Πάλιν έπεί δέδεικται έν τω τρισκαιδεκάτω των Σ τοιχείω ν 3 δτι ή τον πεν­ ταγώνου πλευρά δύναται την τε τον έξαγώνου καί την τον δεκαγώνου των εις τον αυτόν κύκλον έγγραψομένων, δύναται δέ ή ΖΒ τάς Β Δ , Δ Ζ, καί έστιν ή μέν Β Δ ίση τη τοϋ έξαγώνου πλευρά, ή δέ Δ Ζ τη τοϋ δεκαγώνου, 15 ή ΒΖ άρα πενταγώνου έστιν πλευρά.

5Επεί ούν διά τής γραμμικής δείξεως δέδεικται ήμίν ή τε τοϋ δεκαγώνου καί τον πενταγώνου, %έξής καί τής πηλικότητος αυτών την ενρεσιν ποιησόμεθα οϊων έστιν ή διάμετρος ρκ. Έ π εί ούν ιός έφην ύπόκειται ή τον κύκλον διάμετρος τμημάτων ρκ, 20 ειη αν ή μέν Δ Γ ξ,

ή δέ Δ Ε 4 ήμίσεια οϋσα αυτής λ, καί τό απ' αυτής

§ πώς . . . τ __

1. ήπερ ή Γ Δ ποός : ήπερ sp 10 lit προς F ήπερ πρός V ,b P E J | 2. εκείνο : corr ex έκεϊνοα L | 6. ή καί ο ύ τ ω ς : [καί add al m F] | έστιν κα ί: πλευρά έστιν και [πλευρά supr ser al m] F | ή Η Γ : ή Γ Η εόθεϊα [Γ Η ευθεία add al m] F | 7. κατά τό Δ : κατά τό sp 7 lit F om bPE | 7-8. τό υπό — τω άπό Δ Γ : τό υπό ΓΗ, ΗΔ Ισον έστί τώ άπό ΔΓ [έστί add al m] F καί διά τοϋ το έστιν Ισον τφ υπό τών ΓΖ, Ζ Δ,ίσον τφ άπό τής Δ Γ bPE | 8. άλλα καί τό : άμά τό J ομοίως δέ καί τό bPE | ΓΖ, Ζ Δ l m : τών ΓΗ, Η Δ bPE | ίσον 2 m : ίσον έστί bPE | ΓΗ, Η Δ : τών ΓΗ, Η Δ bPE | 16. έ π ε ί: εί L | οΰν : γάρ bPE | 19. ώς έφην : in ras J I

(1) Glose de J : έπεί καί μείζονα λόγον έχει ή Γ Ζ πρός Γ Δ ήπερ ή Η Γ πρός ΓΔ. (2) Glose de J (autre main) : άπέδειξε ποια ή τον δεκαγώνου έστί ( ?) ή ΔΖ. λοιπόν άποδείκνυσι οτι ή ΒΖ πενταγώνου έστί πλευρά. (3) E u cl . Elem. 13, 10 ed. Heiberg vol. 4, p. 275. (4) Dans J, glose d’ une autre main, grattée et illisible ,· ... απ’ ... αυτή ,γχ...

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 43]

commentaire

~λ[. έστιν δέ καί ή ΒΔ

SUR E’ALMAGESTE L. 1 CHAP. 10

ξ, και τό άπ’ αυτής

467

γχ. τά αρα άπδ τών Ε Δ , ΔΒ

τουτέστιν τό από της ΒΕ των επί τό αυτό συναγόμενων έστ'ιν

δφ. και

μήκει αρα έσται ή ΒΕ, τουτέστιν ή ΕΖ ξ ζ δ νε, ώς έξης τον θεωρήματος άποδείξομεν 1 * δτε περ'ι τής ενρέσεως τής τον τετραγώνου πλευράς τον λόγον δποιούμεθα. εστιν δέ ή Δ Ε λ. και λοιπή μρα ή Δ Ζ έσται λζ δ νε έγγιστα, ή αρα τον δεκαγώνου πλευρά υποτείνουσα μοίρας λζ § οΐων έστ'ιν ή περί­ μετρος τ ξ τού δλον κύκλον, το ιόντων έστ'ιν λζ δ νε οΐων ή διάμετρος ρκ. 2 έπε'ι ούν την Δ Ζ άπεδείξαμεν τμημάτων οΰσαν λζ δ νε, έσται καί τό άπ’ αυτής

ατοε δ ιε,

ώς μικρφ πρόσθεν έν τοίς πολλαπλασιασμοϊς

ίο άπεδείξαμεν. έστιν δέ καί τό άπό τής Β Δ

ποιεί τό άπό | τής ΖΒ τετράγωνον ΖΒ διά

ο

δ~^οε δ ιε. § καί μήκει αρα έσται ή

λβ γ έγγιστα, καί ή του πενταγώνου αρα πλευρά υποτείνουσα

τά αυτά μοίρας οβ οΐων έστ'ιν ο

ο λβ γ οΐων ή διάμετρος 15

γγχ, ά έπί τό αυτό συντεθέντα

κύκλος

τξ,

τοιούτων

Δ ήλον δέ δτι καί ή του έ ξ α γ ώ ν ο ν πλευρά υ π ο τ είν ο υ σ α μ οίρ ας έστ'ιν ό κύκλος

τξ,

καί αυτή τ μ η μ ά τ ω ν

έσται

ρκ. ξ

οΐων

καί ίση οϋσα τή έκ τ ον κέντρου τοϋ κύκλου, έ σ τ α ι ξ

οΐων ή δ ιά μ ετρος

ρκ.

Πάλιν έπεί ή τοϋ τετραγώνου πλευρά δυνάμει διπλάσιων έστ'ιν τής έκ τοϋ κέντρου, ίσον γάρ δύναται δυσί ταϊς έκ τοϋ κέντρου περιεχούσαις 20 ήν υποτείνει ορθήν γωνίαν, έδείχθη δέ καί έν τώ τρισκαιδεκάτω

των

§ ... ου ... ις ... ή τοϋ δεκ δ ... (ni. ree. s. χιν) § ή τοϋ πενταγ ο λβ < ξγ .. > (ili. ree. s. χιν)

3. ξ ζ δ νε : ξ ζ δ νε έγγιστα V F , bPEJ | 4 δ τ ε : om V l',b P E J | 5. ποιού­ μ ε ν α : -μενοι VF,bPEJ I καί λοιπή: la t r a s i) lit λοιπή F | 6. υποτείνουσα μοίρας : ύποτείνουσα περιφέρειαν μοιρών V,bPEJ | 6-7. ή περίμετρος — κύ­ κλου : δ κύκλος τ ξ [αί γάρ λς μοΐραι δέκατόν εατι των τ ξ τοϋ δλου κύκλου] VF, bPEJ I 12. έ γ γ ι σ τ α : om bP | αρα: om bP | 19-20. περιεχούσαις ήν : περιέχουσα ϊσην L | 20. τφ τρισκαιδεκάτφ τών : τώ ιγ τοϋ ιγ τών [corr in τφ ιβ τι 0 ιγ τών] J | Une autre glose, de m 1 : εάν ύποθώμεθα την άπό τοϋ κέντρου μοίραν ζ, εσται ή μεν Δ Ε μοιρών γ, έκατέρα δε τών ΒΕ, Ε Ζ μοιρών ζ μβ κθ . και ή Δ Ζ αρα μοιρών γ μβ κθ, ή δε ΒΖ μοιρών ζ γ ιβ. A u même endroit, dans L, une glose d'une main récente effacée et illisible : ov ... ις... ή τον δεκ(αγώνον) ...δ... (1) Ci-dessous, p. 471, 4. (2) Glose de J (autre main) : άπέδειξεν πηλίκη ή τοϋ δεκαγώνου ■ νϋν άποδείκννσιν πηλίκη ή τοϋ πενταγώνου. Dans L , glose mutilée d’ une main récente : ή τοϋ πενταγίώνου) ... ο...

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

468

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 183-184]

Στοιχείω ν1 δτι ?] τον τρίγωνον πλενρά δυνάμει τής αυτής έστιν τριπλα­ σίων, καί έστιν το άπό τής εκ τον κέντρου ¡γχ, το μεν αρα από τής τον

a τετραγώνου πλευράς έσται

ζσ,

το δε άπό τής τον τριγώνου Μω . καί

μήκει αρα έσται ή μεν του τετραγώνου πλευρά υπ οτείνουσα δε μοίρας q τξ, τμημάτων πδ να ι οϊων ή διάμετρος ρκ,

5 οίων εστίν δ κύκλος

ή δε του τριγώνου υποτείνουσα καί αυτή αυτών ργ νε κγ. «^4ι'4ε μέν οΰν όντως

ήμϊν ... » εξ

περιφέρειαν μοιρών ρκ, τώιν

ετοίμου « καί καθ’ εαυτός » 2... εκ

των παρά τώ Στοιχειωτή θεωρημάτων δεδόσθωσαν. 10 Κ αθ’ εαυτός δε λέγει., έπεί έκάστη μεν τούτων εξ οικείας καί μιας προτάσεως δέδεικται. έξης δε μέλλει εκ μιας προτάσεως πλεΐονς πορίζεσθαι. διό φησιν · § « καί έστιν φανερόν εντεύθεν οτι πασών των διδόμενων εν» θειων εξ ευχερούς δίδονται καί ai υπό τάς λειπονσας εις το ημικύκλιον

)) ύποτείνουσαι ενθεϊαι, διά το τα απ’ αυτών συντιθέμενα ποιειν το άπό 15 » τής διαμέτρου τετράγωνον. » 3 |

F ig . 2. V a r : Duo triangula (cum multis rasuris) inscripsit, sicque litt B bis hab dimensionem arcus A B (μηι λ :) add J.

’Εάν γάρ γράψωμεν ημικύκλιον τό Α Β Γ επί διαμέτρου τής Α Γ , καί

i τών διδοται καί ai ς το ήμικύ αϋτη δ < έ δ ο τ α ι > . § πώς δτι εάν δοθ περιφέρεια : conj. Merc ti I εύρήσθω ο ϋ ν: καί έστω bPE | 17. καθώς — έκκειται: om J 18. ύποτείνουσαν : ύπό V ;bPJ | 19. τμημάτων : om V , J τμημάτων οϋσαν bP 19-20. οΐων — ρκ : om \rF,bPJ | 20. έπεί — έστίν γ : ύποκείαθω οϋν ή Β Γ Δ πεφέριρεια μοιρών γ Y F , bPJ | 23. τμημάτων : om VF,bPJ | 24. πάλιν : om V ,J |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 46-47]

commentaire sur l ’almageste

σεια αυτής οΰσα το o

481

a ιδ. εστιν δε καί ή Α Γ διάμετρος τμημάτων ρκ.

το άρα νπό των Α Γ , ΓΖ τοντέστιν τό άπο τής Δ Γ μάτων β κη. Καί μήκει αρα ή Δ Γ έσται 5 πρώτον τετράγωνον

L. 1 CHÀP. 10

|

σνναχθήσεται τμη­

a λδ ιε όντως, άπο τ ω ν 1 β κη άφαιρώ

άπο μοίρας

α. έπειτα τα λοιπά

a κη άναλΰσας

εις εξηκοστά πη μερίζω παρά τον διπλασίονα τής a μοίρας, τοντέστιν παρά τον β, καί γίνεται

ό

μερισμός παρά τον

λδ.

2

καί άφαιρώ τά ξη.

4 8 1 ,3 -4 8 2 , 6. καί μήκει— έ γ γ ι σ τ α : sic legitur apud bPE : καί μήκει αρα ή Α Γ έσται a λδ ιε εύρημένη κατά την προεκτεθειμένην ήμϊν μέθοδον, ούτως ' διαγράψας τετράγωνον χωρίον, άφαιρώ έξ αυτόν έλασαον τετράγωνον οϋ ή πλευρά μοίρας έστ'ι a, καί τό εμβαδόν ομοίως μοίρας α. ούτος γάρ ό αριθμός έστιν έγ­ γιστα ελάσσων τετράγωνος τού αριθμού, οϋ ή τετραγωνική ζητείται πλευρά, καί άφαιρών [ρώ 1)Ρ] την μοίραν α αναλύω εις έξηκοστά πρώτα ξ. τούτοις προστίθημι καί τά κη [καί πράς τούτοις τά κη Ε ) · γίνονται όμοϋ πη. ταϋτα μερίζω παρά τον διπλασίονα τής α μοίρας, τουτέστι παρά τον β · καί γίνεται ό μερισμός παρά τον λδ. δίς δε τά λδ γίνονται ξη. ών άφαιρουμένων εκ των πη καταλείπονται έξηκοστά πρώτα κ. καί άναλύων αυτά εις δειπέρα, τά γινόμενα εξηκοστά δεύτερα ,ασ, άφαιρώ άπο τούτων τον άπο των λδ πρώτων εξηκοστών τετράγωνον γινόμενον δευτέρων εξηκοστών ,αρνς, καί καταλείπονται μοΐραι β εξηκοστά μδ. καί πάλιν μερίζω ταϋτα παρά τον διπλασίονα τής α μοίρας καί των λδ πρώτων εξηκοστών, τουτέστι παρά τον ιε έγγιστα, καί εϋρηταί μοι ή τήν α[_ μοίραν τής περιφέρειας υποτείνουσα εύθεϊα τμημάτων α λδ ε έγγιστα. | 481, 4-5. άπο των — μοίρας α : άπο γάρ τής α μοίρας ποιώ τό πρώτον τετράγω­ νον, δπερ πάλιν μιας έατι μοίρας F άπο γάρ τής α μ ° ποιώ πρώτον τετράγωνον, δπερ πάλιν τής αύτής εστι α μ . διότι ή μ° έφ' έαντήν πολλαπλασιαζομένη πάλιν μ ' ποιεί καθώς καί εν τοϊς πολλαπλασιασμοϊς δέδεικται V ,J | 5. τά λοιπά α κη : τήν λοιπήν V F,J | 6. έξηκοστά πη : εξηκοστά πρώτα καί τά κη τούτοις προσθείς V F ,J I μερίζω : μερίζω τό δλον τά εκ τής σννθέσεως γινόμενον δπερ έστί τά πη V ,J μερίζω τά δλον τό εκ τής σννθέσεως τουτέστι τά πη · τοσαντα καί γάρ εκ τής σννθέσεως γίνονται F | διπλασίονα : -σιον V F,J | 7. ξη : ξη. ταϋτα τά εκ τον μερισμού γινόμενα άπο των πη πριότων λεπτών V F,J |

(1) Si la variante iv roïç noXXanXaaiaafjioiç, transmise par V ,J est d ’ori­ gine antique,on peut se demander s’il s’agit d’ un traité sur la question. Mais ce peut être simplement l’explication de la p. 452, mal comprise en ce cas. (2) Il faut écrire 34 comme le font tous les manuscrits. Cette façon de s’ exprimer est étrange, mais le résultat est exact. Le procédé est exactement le même, appliqué au système sexagésimal, que notre procédé décimal. On a donc : 88' : 2 = 44', valeur d’essai des minutes. Pour faire l’ essai, nous écri­ rions les 44' à côté des 2P, donc 2P44' et nous multiplierions par 44'. Le pro­ duit étant plus fort que le dernier reste l p 28', c’est que 44' est trop fort. Il faut le diminuer successivement jusque 34'. Pour 35' on a encore :

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

482

[Il p. 193-194]

TIIÉON D’ALEXANDRIE

λοιπόν εξηκοστά πρώτα

κ,

τούτον τον από τον

τετράγωνον, ά γίνεται

εξηκοστά μδ.

λδ

ά έστιν δεύτερα ,

ασ.

'έπειτα άφαιρώ από

αρνζ.

λοιπόν δεύτερα

καί πάλιν ταντα παρά τον διπλάσιου της

α μοίρας καί

τών λδ έξηκοστιον τουτέστιν παρά μοίρας γ η. καί γίνεται, ό μερισμός 5

παρά τον

ιε

έγγιστα, καί ενρομεν την

α

[_ μοίραν της περιφέρειας

υποτείνουσαν ευθείαν τμήματος α λδ ιε έγγιστα. §

Καί ομοίως τοίς αντοΐς έπιλογισμοϊς

*1

καταχρώμενοι εύρήσομεν καί

την υπό το [_' δ' τής περιφέρειας υποτείνουσαν ευθείαν

§< ξπώ ς

και την

υπό

το ¡ή δ'

τήςξ>

ο

μ ζ η έγγιστα

περιφέρειας ^υπ οτείνουσα ν ευθείαν

0 > μ ζ η.

1. λοιπόν: καί καταλείπεται Ρ,3 καταλείπεται λοιπά V | 2. τούτου : τούτων ΎΡ,3 | λοιπόν: -π ά Ύ Ρ ,J | 3. παρά : μερίζω παρά | Α. λ δ : λ ς \ , 3 |

2Ρ 35' X 35' = 1ρ 30' 25” . A vec 34' on a 2Ρ 34' χ 34' = 1ρ 27' 16” , qui donne un dernier reste de 4 4 ". Le procédé antique est plus transparent que le nôtre, mais il revient exactement au même. De même il faut, un peu plus loin, garder 1 5 " pour le quotient de 44' : 3P8'. Le résultat est pris ici par excès, sans doute parce que Théon avait l’ inten­ tion de s’ arrêter après les secondes. (1) Glose propre à c : καί καθόλου εάν ζητώμεν άριθμοϋ τίνος τετραγωνικήν πλευράν πρώτον του σύνεγγυς τετραγωνικού άριθμοϋ (τήν πλευράν λαβόντες είτά) ταύτην διπλασιάσαντες καί παρά τόν γινόμενον άριθμόν μερίααντες τόν λοιπόν άριθμόν (άναλύομεν) εις πρώτα εξηκοστά · καί άπό τού εκ τής παρα­ βολής γενομένον άφελοϋμεν τετράγωνον (ημε ?) άναλύοντες τά νπολειπόμενα εις δεύτερα έξηκοστά, καί μερίζοντες παρά τόν διπλασίονα τών μοιρών καί εξη­ κοστών, εξομεν τόν ¿πιζητούμενον τής πλευράς του τετραγώνου χωρίου άριθ­ μόν. (Les lettres entre parenthèses, premières des lignes de c,ne sont pas lisibles sur la photographie et sont en partie devinées). Au même endroit, glose de F, qui se rapporte plutôt à ce qui suit. Une ou deux lettres sont détruites au commencement de chaque ligne. Elles sont suppléées entre parenthèses. (Ί )σ τ έ ο ν δτι έγγιστα είπε διά τά τρία (δε)ύτερα ■ λείπει καί τά τρία τρίτα καί ετι (τ)ά με τέταρτα, ταντα καί γάρ ( ύ)περβάλλει τό τετρά­ γωνον τό άπό τής ύποτεινον(σης) ευθείας τήν α[_ μοίραν τής τού κύκλου (■■■■) του παραλληλογράμμου τον περι(έ)χομένον ύπό τε τής Α Γ ευθείας ήτις καί (διάμετρός!) εστι τοϋ όλου κύκλου, καί τής Γ Ζ τής (ή)μισείας τής νποτεινούοης εύθείας τήν Β Γ (...) τα. τό πάνυ ακριβές τούτο συνάγεται άπό τής ΒΓ. β κη' γ " γ " ' μ ε " ” , τό υπό τών Α Γ , Γ Ζ λ ζ ’ α". τό άπό τ ή ς Δ Γ τής οϋσης μζ' η " τετράγωνον λζ' α” λβ"'. τό άπό τής Δ Γ τής οϋσης μ ζ' ζ " λ θ '", λζ' α " < ο > δ " " λ α ' " "

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 47]

commentaire sur l ’almageste l .

1 CHAP. 10

ούτως, άπειλήφθω γάρ πάλιν ή Β Γ περιφέρεια μοίρας

a α ζεύχθω ή Β Γ , δεδειγμένη μ'·' a λδ ιε. εάν αρα άπό των Μ

483 και επε-

δν τον άπό

τής διάμετρον άφέλω το άπό τής Β Γ συναγόμενον β κη γ, τών λοιπών a Μ δτρζ λα νζ | εξομεν τ ο άπό τής ΒΑ, τοντέστιν τό άπό τής ΑΕ, αυτήν 5 δε μήκει

ριθ νθ κβ νθ καί λοιπήν τήν Ε Γ , Ο Ο λζ

σειαν αυτής τήν Ζ Γ , ο

ο

α, την δε ήμί-

ιη λ λ, τό δε υπό Α Γ , ΓΖ, τοντέστιν τό άπό

τής Α Γ , εξηκοστών δεντέρων σκα, καί μήκει αυτήν τήν Δ Γ τών ειρημένων ο μ ζ ζ § ίο

λθ a φησιν Ο μ ζ η.

'Ε ξής δε πάλιν εκτίθεται θεώρημα 1 συντελούν αύτώ προς τήν σύνθεσιν

τοϋ κανόνος,

ο

καλείται κατά σύνθεσιν, εν & άποδείκνυσιν δτι εάν δοθώσιν

β περιφέρειαι καί αί νπ' αντάς εύθεϊαι, καί ή σνναμφοτέρας τάς περιφέ­ ρειας υποτείνουσα ευθεία δοθήσεται, εχον μέν τινα οικειότητα άντιστροφής προς τό προ εαυτού,

ον καθόλου δέ ·· εκεί μέν γάρ λαμβάνων τινά

περιφέρειαν δεδομένην καί τήν νπ ’ αυτήν ευθείαν, τεμών τήν περιφέρειαν 15 δίχα, εδείκνυεν τήν υποτείνουσαν τό ήμισυ τής δλης περιφέρειας · ενταύθα

δέ λαμβάνων τάς κατά μέρος περιφέρειας καί τάς νπ' αντάς ευθείας, δείκ­ νυα ιν τήν υποτείνουσαν τήν δλην περιφέρειαν, παραλλάττει δέ προς τήν αντιστροφήν τω καί άνίσους τάς περιφέρειας δηλαδή καί τάς ευθείας επί 20

τούτου λαμβάνεσθαι. § Έκθέμενος οϋν πάλιν κύκλον τον Α Β Γ Α , περί διάμετρον τήν Α Δ , ον κέντρον τό Ζ, καί άπειληφώς απ' ακρας τής διαμέτρου κατά τό έξής δύο τυχούσας περιφέρειας τάς ΑΒ, Β Γ δοθείσας, σνναμφοτέρας

δ'

έλάσσο-

§ < π ώ ς δεικνύζ>ει τό κατά ρημα. § θσιν ύπ’ αντάς αμφοτέρας τάς οτείνονσα ευθεία .

4. εξομεν : εαται bP | αύτήν : -τή bP | 5. μήκει : μήκει εσται bP | λ απήν τήν : λοιπή ή bP | ο Ο λζ a : τό το ΛΖΑ L | 5-6. τήν δε ήμίσειαν : ή δε ήμίσεια bP | 6. τ ή ν : jjbP | ο ο ιη λ λ : τό τό I H A A L | ύπό : ύπό τ ώ v b ΐ , | 8. α φησιν Ο μ ζ η : ά φησιν αύτός Ο μ ζ η έγγιστα bP | 9. θεώρημα : θεώρημα ετερον YF ,bPJ | 10. τον κανόνος : τών εν τω κανόνι bP | άποδείκνυσιν : -νύει VF,bPJ | 12. ευθεία : omVF,bPJ | τινα : τήν bP | 14. τεμών : -μνων bP | 15. ενταύθα : ενθάδε VF,bPJ | 16. δέ : οΰν V ,bP | 20. τόν : τό | 21. τό έξής δύο : τό α δύο YF,bPJ | 22. τυχούσας : τυγχανούσας bP | (1) A lm ., 41, 4, « théorème 5 » dans la numérotation des propositions.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

484

théon d ’alexandrie

[H p. 194-195]

νας ημικύκλιον, ών και al νποτείνονσαι εύθεΐαι δοθεϊσαί είσιν, λέγω,

F i g . 8. Var : καταγραφή τον α' θεωρήματος a d d V .

φησίν, 12δτι καί ή συναμφοτέρας τάς περιφέρειας υποτείνουσα τοντέστιν ή Α Γ ευθεία δέδοται. Διαγαγών γάρ

από

τον Β διάμετρον την ΒΖΕ καί έπιζεύξας | τάς

5 ΒΔ, ΔΕ, ΓΕ, Γ Δ , έξης έρεΐ - · έπεί δέδοται ή AB, καί λοιπή ή ΒΔ δέδοται, άλλα καί ή Δ Ε Ιση ούσα τή AB, δέδοται δέ καί ή Β Γ ευθεία, δέδοται αρα καί ή Γ Ε διά τό λείπειν εις το περί την Β Ε ημικύκλιον. * καί έπεί εν κύκλω τετράπλευρόν έστιν τό Β Γ Δ Ε καί διηγμέναι είσιν εν αντώ δύο διαγώνιοι αι ΒΔΙ, Γ Ε δεδομέναι,

δέδοται

τό υπό των Β Δ , ΓΕ, δέδοται

10 (5έ καί τό υπό των Β Γ , ΔΕ, καί λοιπόν αρα τό υπό των ΒΕ, Γ Δ δέδοται,

καί δέδοται ή ΒΕ διάμετρος, καί λοιπή ή Γ Δ δέδοται. ώστε καί ή Α Γ διά τό λείπειν αυτής εις τό ημικύκλιον έσται δεδομένη. § Α έγω δή δτι καν σνναμφότερος ή τε A B περιφέρεια καί Β Γ μ είζω ν ή

ημικυκλίου, δοθήσεται ή Α Γ ευθεία. § πώς δείκ συναμ περιφέρ ήμικ Α Γ εύ 1. εύθεΐαι δοθεϊβαι : εύθεΐαι ορ ras 4 lit δοθεϊσαί F | λ έ γ ω : λέγω δή bP | | 6. αλλά — A B : om VF,bPJ | 7. ΒΕ : ΒΕ διάμετρον V,J Β Ε και διάμετρον bPE | 11. Γ Δ : Γ Δ αρα [&ρα add in ras] F | δέδοται. ώ στε καί ή Α Γ : δέδοται δέ καί ή Α Δ διάμετρος, καί ή Α Γ αρα δέδοται bPE | 12. αύτής : αύτήν V F ,J αύτον bPE | έσται δεδομένη : om bPJ | 13. καί Β Γ : καί ή Β Γ V F,bP E J |5 . έπεί : om VF.bPJ

(1) A lm ., 41, 9-11, pas littéralement cité. (2) A lm ., 41, 16-17, pas cité littéralement.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

'o·*?$'·'?».ΛΥί’&®5'

[B p. 47-48]

COMMENTAIRE

·

·λ-.
θεώρητής ύπό τ < ό ζ ' δ' καί τής ύπόξ> τήν α[_’ < κατελάμβανεν> τήν υπό τήν α μοίραν. § ινός περιφε κατά παραύμοιρίου ή ύπ? αύτήνται καί τό ν. 2. έλάττονες : -τ το υ ς V ,J - σσους bP | 3. καί l m : om bP | ή Ισάριθμος : om V ,J om [sp 4 lit] F | τών ξ : ή τών ξ V F,bPJ | 4. καί — περιφερειών: om bPE I 5. ευθειών : ευθειών καί επί τών μειζόνων περιφερειών bPE | επί τ ή ς : έκ τής bP | 14. ή διπ λή: διπλής Y F ,J ή διπλάσιων bP | 15. μείζων έ σ τ ίν : om bPE | 18-20. t i t : om bPE | π ώ ς : πώς αν V , J [al m F] | 21. δη­ λωθέντος : δειχθέντος bPE | (1) Avec des λόγοι, et pas γεω μετρικώ ς ou διά τώ ν γραμμών, c’ est-à-dire en supprimant tout appareil mathématique. Cette explication est loin d’être plus logique que l’autre. Elle s’appuie sur un sentiment vague de la continuité de la fonction fondé sur un examen de la table des cordes. (2) Le titre est, comme le précédent (cfr ci-dessus, p. 505, η. 1), omis par

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

508

[H

THÉON D ’ A L E X A N D R IE

p.

214-215-216]

π εριφ έρειας μ ε τ α ξ ύ τ ω ν κ α θ’ ή μ ιμ οίριον π α ρ α υ ξή σ ε ω ν π ιπ τ ο ν σ η ς κα'ι ή ύ π ’ α υτήν ευθεία εκ π ρ οχ είρ ο υ έ γ γ ι σ τ α δίδοτα ι, και το άνάπαλιν, π ώ ς δ ο θ είσ η ς τίν ο ς ευ θεία ς μ ε τ α ξ ύ τ ω ν εν τ ώ κανόνι εκ τ ε θ ε ιμ έ ν ω ν π ιπ τ ο ν σ η ς καί ή ε π ’ α υ τή ς περιφ έρεια ο μ ο ίω ς δίδοται. 5

’Έ σ τ ω δή,

δοθ είσ η ς

περιφ έρειας

μ ο ιρ ώ ν

ι καί

εξη κ ο στώ ν

ιε,

τη ν

ύ π ’ α υτή ν ευθεία ν εύρεϊν. α π ογρ ά φ ω τή ν έ γ γ ι σ τ α ελα σσόνα περιφ έρειαν μ ο ιρ ώ ν οϋ σα ν

ι

καί

τήν

ύ π ’ α υ τή ν εύθεϊα ν τ μ η μ ά τω ν οϋσα ν

καί έ τ ι τ ή ν έ γ γ ι σ τ α μ ε ίζο ν α περιφ έρειαν μ ο ιρ ώ ν οϋσα ν ύ π ’ α υτήν ευθεία ν 10 ι καί ε ξη κ ο σ τ ώ ν

ι νη μ θ ιε,

ι

ι

κζ

λβ

καί τήν

καί μ έσ η ν τή ν δεδομ ένην περιφ έρειαν μ οιρ ώ ν

ώ ς ύ π ο γ έ γ ρ α π τ α ι. *1 [ καί έπ εί κ α θ’ ομαλήν π α ρα ν-

ξη σ ιν ά να λ ό γ ω ς τ ο ίς μ ε τ α ξ ύ έ ξ η κ ο σ τ ο ϊς τ ώ ν περιφ ερειώ ν τ ά τ ω ν ευ θ ειώ ν ε ξη κ ο σ τ ά έ γ γ ι σ τ α επιβά λλει, ώ ς μ ικρώ π ρ ό σ θ εν 2 φανερόν ήμ ιν γ έγ ο ν εν , λ α μ β ά νομ εν τή ν ύ π ερ ο χ ή ν τ ή ς μ ε ίζο ν ο ς π ερ ιφ έρεια ς π ρ ο ς τή ν τ ο ν τ έ σ τ ι ν τ ώ ν μ ο ιρ ώ ν

ι

[_' π ρ ο ς τ ά ς μ ο ίρ α ς

15 κ α ί έ τ ι τ ώ ν ύ π ’ α ύ τά ς ευ θ ειώ ν τ ή ν ύ π ερ οχ ή ν, έσ τ ιν δέ τώ ν

ι

μ οιρ ώ ν

ά έσ τ ιν ε ξ η κ ο σ τ ά

έλά σσονα ,

ι, έσ τ ιν δέ ε ξ η κ ο σ τ ώ ν

τ ή ς π ερ ιφ έρεια ς π ρ ο ς τ ά ς μ ο ίρ α ς

ι

ο

λ ■

λα ιζ · καί έτι

καί ε ξ η κ ο σ τ ά

ιε,

ιε. καί έπ εί ώ ς έφην ά να λ ό γ ω ς ζη τ ο ΰ μ ε ν τ ά ς έπ ιβα λλον-

σ α ς ευ θ εία ς τ α ίς περιφ ερείαις, σ χ ό ν τ ε ς τρ ία μ ε γ έ θ η , β μ έν τ ώ ν υ π ερ ο χ ώ ν τ ώ ν περιφ ερειώ ν, καί έν τ ή ς υ π ερ ο χ ή ς τ ώ ν ευ θ ειώ ν, λ α μ β ά ν ο ντες

δ'

άνά-

20 λογον εύρίσκ ομ εν τή ν ύ π ο τ είν ο ν σ α ν 3 εύ θεϊα ν τ ά ιε ε ξ η κ ο σ τ ά τ ή ς π ερ ι-

1. παραυξήσεων : Οίη 5Ρ Ε | 1-2. και ή ν π ’ : σ! ΐη Ε | 2. δίδοτα ι: δοθήσεται bP | 4. δίδοται : δοθήσεται bP | 5. τήν : και τήν bP | 6. άπογράφω : -φόμεθα ν ,4 -φει bP άπογραφόμεθο. οΰν ¥ | Ί . οϋσαν 2τΆ : om bP | 9. και μ έση ν: μέσην óέbP | 14. ι[_': ι λ V ,4 ι καί λ εξηκοστών bP | 17. ά έστιν εξηκοστά ιε : οπι 3 | 18. σ χ ό ν τ ε ς: εχοντες ν Ρ ^ Ρ Ε 4 | β μ έ ν : μ ε τ ά Έ | 5 0 8 ,2 0 - 5 0 9 ,1 . τά — περιφέρειας : τήν τών μοιρών ι και εξηκοστώ ν ιε περιφέρειαν : bPE |

le groupe 1. L le met plus en évidence que l’autre, mais le répète une seconde fois en marge. Comme le précédent il pourrait être un résumé marginal intro­ duit dans le texte, mais la question traitée ici étant d’une grande impor­ tance pratique, il y a beaucoup plus de chances pour que Théon en ait fait une section à part. (1) Ci-dessous, p. 5 0 9 ,1 6 . (2) Ci-dessus, p. 501, 8. (3) Théon a montré, p. 501, 6 sqq, que cette droite n ’est pas celle qui soustend 15' d’arc ; il faut donc comprendre qu’on trouve l ’ accroissement de corde correspondant à un accroissement de 15' de l ’arc donné. Le groupe 1 a sup­ primé cette façon impropre d ’énoncer la chose. Mais tous les bons manuscrits sont d ’accord pour écrire ainsi.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

'■rp-■τ

[B ρ. 54-55J

. ν . '■; ά ·

;

"i ν

; '.

¿μερινόν ' < ή γάρ τούτων έγκλισις άπο>λαμβάνει δύο πόλων.

3. έ ξ η ς : ταύτην, έξης bP | 4. προλαμβάνεσθαι: corr ex προαλ- J άποδείξεων : -ω ς Y ,J | 5. τον τε : τον bP |

(1) A lm ., 64, 3-5.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

512

THÉON D’ALEXANDRIE

τό μ έν Α σημεϊον τό κατά την έαρινήν αύτοϋ τομήν,

[H

p.

217-218-219]

τό δε Β θερινόν τρο­

πικόν, και λάβωμεν τον μ έ ν Α Β Γ ζωδιακού πόλον τον Ε, τον δε Α Γ Δ ιση­ μερινού πόλον τον Ζ, και διά των Ζ, Ε μέγιστον κύκλον γράψωμεν ώς τον ΒΕΖΘ, γίνεται ίση ή Ζ Δ τη ΕΒ · έκ πόλων γάρ εϊσιν μεγίστων κύκλων. 5 καί κοινής άφαιρεθείσης τής ΔΕ, λοιπή ή Ζ Ε μεταξύ των πόλων λοιπή τή Β Δ τής έγκλίσεώς έστιν ίση. ώστε εάν την εγκλισιν των κύκλων ενρωμεν επί τον όντως γραφόμενου μεγίστου κύκλου, την μεταξύ των πόλων ενρηκότες έσόμεθα. §'Ό τι δέ ή Β Δ τής έγκλίσεώς έστιν των κύκλων, δείξομεν ούτως · έάν 10 γάρ έπιζεύξωμεν τά ς Α Γ , ΒΚ, Δ Θ κοινάς τ ομ ά ς 1 των κύκλων, έσται τό Η

κέντρον τής σφαίρας, διά τό μεγίστους είναι τούς κύκλους, καί διαμέτρους τάς ΒΚ, Δ Θ ,Α Γ . καί έπεί δ Β Δ , Κ Θ ορθός έστιν προς τούς Α Β Γ Κ ,Α Δ Γ Θ κύκλους, καί οί Α Β Γ Κ , Α Δ Γ Θ άρα κύκλοι ορθοί είσιν προς τονΒ Δ Κ Θ . καί ή κοινή άρα | αυτών τομή ή Α Γ ορθή έστιν προς τον Β Δ Κ Θ κύκλον 15 καί προς πάσας άρα τάς άπτομένας αυτής ευθείας καί οϋσας έν τώ τον

Β Δ Ζ Κ κύκλου έπιπέδω ορθή έστιν ή Α Γ . ώστε καί προς τάς ΒΗ, Δ Η ορ­ θή έστιν ή Α Γ . καί έπεί τ ή Α Γ κοινή τομή του διά μέσων καί του ισημερι­ νού έν έκατέρω των έπιπέδων προς ορθός είσιν αΙΗΒ, Η Δ, ή άρα υπό ΒΗ Δ ή κλίσις έστιν των είρημένων έπιπέδων. καί έστιν προς τω κέντρω τής 20 σφαίρας, ώστε καί ή Δ Β περιφέρεια τής κλίσεώς

έστιν των αυτών έπι­

πέδων. %Πάλιν λέγων · «... τουτέστιν τίνα λόγον έχει δ δι άμφοτέρων των έκ» κειμένων πόλων μέγιστος γραφόμενος κύκλος προς τήν άπολαμβανομέ» νην ύπ’ αυτού μεταξύ των πόλων περιφέρειαν » 2, έκ παραλλήλου περί

% Β Δ τ ή ς έγκλίολαμ αύτοϋ λων περιφέ.

2. τον Ε : τό Ε Ε ^ Ρ ά | 4. Ια η ή Ζ Δ : ή Ζ Δ ίση ϋΡ | 6. τής έγκλίσεώς : έγκλίσεω ς 6Ρ | 7. μεγίστου κύκλου : κύκλου μεγίστου bPE | 7-8. τήν μ εταξύ — έσό­ μεθα : εύρηκότες έσόμεθα και τήν μ εταξύ τών πόλων\Α?Έ. | 13. κύκλοι: οί κύκλοι ί, | Β Δ Κ Θ : Α Δ Κ Θ Ε | 16. κύκλον : οιη V, 9 | ορθή έστιν ή Α Γ : οπι ΥΕ^Ρά | 22. τουτέστιν : οιη ΎΈ, bPJ | 22-24. τον διά τ . 1. καταλήμψεως : κατακλίσεως V F ,bP J | εϋρη : εϋρω V ,J | εχη : εχει L ,Y ,J | 10. καί χρήται : κέχρηται δε V F,bP J | 12'. και τάς 2m : τάς J | 15-16. ή ϊσ η — εξάρματι : τοντέα τι τφ τον πόλον εξάρματι V F ,J τοντέστι το τον πόλον εξa ρμ a b V | 17-18. το διά : .

2. νοτιώ τατόν τ ε : νοτιότατον τότε ί. νοτιώ τατον bP | 4. Β γ ένη τα ι: Β Γ γένηται Γ \ τό Κ : τοϋ Κ ΙιΡ | 7. ότι δέ : ότι δέ καί 1>Ρ | 8. ποιήσωμεν : ποιώ μέθα V F,bPJ | παρατηρήσεις : τηρήσεις bP | 11. σημεΐον έστιν : έστιν σημεΐον VF,bPJ | 11-12. τεταρτημόριου : -ον J | 14. και κ οινής: κοινής Δ [

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

522

THEON D’ALEXANDRIE

[Η p. 224-225-226]

μερινόν ή δέ Γ Ζ ή από τον δρίζοντος επί τον πόλον, ήτις εστίν τον εξάρ­ ματος. ή άρα από τον κατά κορυφήν επί τον Ισημερινόν ιση εστίν τω του πόλου έξάρματι δ καί πλάτος εστίν τής τής οίκήσεως. Ή μ εν1 οδν του διά των κρίκων οργάνου κατασκευή τε κ α ίθ έ σ ις έτι 5 τε καί χρήσις τούτον έχει τον τρόπον. § εξής δέ περί των αυτών καί επί

F ig . 21. Var: Laterculum oblongum fecit, EZ infra © N posuit, M omisit, loco arcus H Z rectam duxit L ; @N, NA, NA om V ; laterculum oblongum fecit, M omisit, fig inuertit F ; cylindros in E et M (quos omnes omiserunt) tanquam quadratos longos delineauit J.

τον ετέρου οργάνου διαλημψόμεθα, δπερ ερεΐ καί ευχρηστότερον είναι προς την επιζητονμένην κατάληψιν. φησίν | ούν, χρή κατασκευάσαι πλιν-

§ τις ή κατα πλn>ô.

1-2. ή δέ ΓΖ — Ισημερινόν : om bP | 1. Γ Ζ ή από : Γ Ζ άπό V F ,E J | 3. δ καί — οίκήσεως : om bP | 4. του : ora supr scr L | 6. είναι : in ras al m F | 7. κα­ τάληψιν : [κατα in ras al m FJ μετάληψιν bP |

(1) L ’ apparéil qui va être décrit est conçu comme un instrument trans­ portable. Ce serait donc un contre-sens que de l'appeler cadran mural, instru­ ment qui, par essence, est fixe. Le dessin que donnent les meilleurs manuscrits nous déroute parce que les fuyantes sont dirigées vers le bas, alors que cet appareil est fait pour re­ poser sur un plan. Aussi les manuscrits restaurés ont-ils tourné les fuyantes vers le haut. Pour rester clair en tournant les fuyantes vers le bas, Y a sup­ primé les lignes invisibles. Nous avons reproduit la disposition générale de la figure mais en traçant en pointillé les arêtes invisibles, et en traits de force celles qui sont en avant.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 58]

COMMENTAIRE SUR L!ALMAGESTE L. 1 CHAP. 12

523

θίδα ξνλίνην ή καί λιθίνην, τετράγωνον μεν κατά το μήκος και το πλάτος, ελασσόνα δέ την διάστασιν εχουσαν κατά τό βάθος ω στ είναι το σχήμα αυτής στερεόν παραλληλεπίπεδον, έχον τάς μεν τέσσαρας επιφάνειας εκ παραλληλογράμμων έτερομήκων, τάς δέ λοιπάς β καί απέναντιον τετρα5 γώνους, έτι δέ καί άδιάστροφον καί σύμμετρον τώ μεγέθει προς τό δύ-

νασθαι εστάναι κατά κρόταφον, μη πάνυ στενών γινομένων των έτερο­ μήκων επιπέδων προς τό έδραίως αυτήν εστάναι δύνασθαι, άποτεταμένην εχουσαν μίαν των τετραγώνων πλευρών, προς κανόνα άπειργασμένην 1, ώς επί τής ύποκειμένης καταγραφής την Α Β Γ Δ . έφ ής επί μιας των γω 10 νιών άποστήσαντες βραχύ λημφόμεθα σημεϊον οϊον τό Ε, φ κέντρα) χρη-

σάμενοι καί διαστήματι σνμμέτρω γράφομεν κύκλου τεταρτημόριον τό ΖΗ , έπιζεύξαντες από του Ε δύο ευθείας προς

όρθάς άλλήλαις τάς τό

τεταρτημόριον του δλου κύκλου άπολαμβανούσας ώς τάς ΕΖ, ΕΗ. καί διελόντες την Ζ Η περιφέρειαν εις η τμήματα ’ίσα καί δσα μεταξύ ένδέ15 χεται εξηκοστά, κατά μιας των ευθειών τών περιεχουσών την γωνίαν,

τής προς όρθάς τώ του όρίζοντος έπιπέδω τιθεμένης καί εν τώ νοτιωτέρω μέρει τού επιπέδου λαμβανομένης, ώς αυτός φησι, « τής μελλούσης ορθής » τε έσεσθαι προς τό του όρίζοντος

επίπεδον καί προς μεσημβρίας την

» θέσιν έξειν, » 2 γνωμόνων θήσομεν κυλινδρικόν προς τό απ’ αυτού λαμβά20 νειν την από τού ήλιου πίπτουσαν σκιάν, άναγκαίως οϋν επί τού νοτιον-

τέρου τού επιπέδου χρή είναι τό κυλίνδρων, ίνα αί ακτίνες έν τώ έπι­ πέδω πίπτωσι προς τά βόρεια αυτού | πεμπόμεναι, ώς επί τών πλειον έχουσών τό έξαρμα τών τής μεγίστης έγκλίσεως τού διά μέσων προς τον Ισημερινόν μοιρών κγ να. τής ούν πλινθίδος τιθεμένης έν τινι άνεπισκο25 τήτφ χωρίω, έν άκλινεί προς τό τού όρίζοντος έπίπεδον έδάφει (τούτο δέ

γίνεται διά διαβήτου ήτοι άλφαρίου, έστιν δέ δ διαβήτης ήτοι τό άλφά-

1. ή κ α ί: ή δ | καί τό : καί V F,bP J | ά. έτερομήκων : CotV ex έτερονμήκωνί. | 7 8. άποτεταμένην : -τα γμ - J | 13. ώς : in ras J j 14. δσα : al m F | 18. με­ σημβρίας : -ίαν V F ,J -ivov bP | 18-19. την θέσιν έξειν : την έξειν Ρ έξειν τήν θέσιν J | 19. άπ αύτοΰ : άπο τούτου VF,bPJ | 20-21. νοτιωτέρου : νοτιωτέρου μέρους V F ,J νοτιωτέρου μέρος bP |

(1) Nous comprenons cette expression comme désignant une surface dressée : une règle placée dans n’importe quelle direction doit coïncider en tous ses points avec la surface, qui est alors ânorerafiévr), aussi plane qu’une peau tendue. (2 ) A lm ., 66, 16-18.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

524

[H p. 226-227]

THÉON D’ALEXANDRIE

ριον έοικός τώ χωροβάτη Κάρπον1, ή καί διά υδατος τώ επιπέδω έπιχεομένου, και υποθεματίοις αυτού διορθονμένον

έως αν στάσιν ποίηση

τό ύδωρ) και τής Α Β Γ Δ τετραγώνου πλευράς προς τάς άνατολάς τρεπό­ μενης, τής δε Β Κ Λ Γ προς τό έδαφος, ορθής γινόμενης τής Ε Η τώ του 5

δρίζοντος επιπέδω, ένηρμόσαμεν έπι του Ε σημείου κυλίνδρων, τό κέντρον τής βάσεως αυτού επ' αυτού ακριβώς τυγχάνειν. προς τώ κάτω πέρατι τής είρημένης ευθείας έπι τό Μ

ώστε

έτι δέ και

έτερον κυλίνδρων

ένεθήκαμεν ίσον και ομοίως τετορνευμένον τώ προτέρω. § Δηλωθείσης ούν ήμιν τής κατασκευής τής πλινθίδος, εξής και περί 10 τής θέσεως και χρήσεως αυτής διαλημψόμεθα. « ίστάντες ούν»,

φησίν,

« ταύτην την καταγεγραμμένην τής πλινθίδος πλευράν »2 ώστε παράλληλον αυτήν έχειν την θέσιν τή διηγμένη μεσημβρινή γραμμή, δηλαδή πάλιν διοπτεύοντες, ή καί επ' αυτής αυτήν τιθέντες, έτι καί ορθήν αυτήν ποιή-

§ < τ / ς > ί έ χ ρήσις< κ α'ι θέσΟ>ς.

1. τφ χωροβάτη Κ ά ρ π ο ν: τώ χωροβάτη κάρπον L τώ χωροβάτη καρκν [id est καρκίνω ? κν supr scr al m] F τώ χωροβάτι καρπώ V ,bJ [et Halma] τή χωροβάτη κάρπφ Ρ τώ χωροβάτη sp 6 lit E | ή και : ή J | 3-4. πρός τάς — Β Κ Λ Γ : om L | 6. ετι δέ : δτι δέ L | 7. επί τό : επί του bP | 8. τφ προτέ­ ρω : τφ έτέρφ V F,bPJ |

(1) Nous avons analysé ce passage dans les Mélanges Bidez : Un nouveau renseignement sur Carpus, dans Annuaire de l’ Inst. de Philol. et H ist. orien­ tales (Bruxelles) 2 (1933-34), p. 813-818. Alpharion désigne un instrument en forme d’A (voir ci-dessus, t. I, p. 9, n. 2). Un fil à plomb pendu au sommet doit passer en face d’un repère marqué sur la traverse, si les deux jambes de l’A reposent sur une ligne horizontale. Cette équerre de maçon est souvent figurée sur des monuments antiques (voir p. ex. D a r e m b e r g et S a g l i o Dictionnaire des antiquités, article circinus par Saglio, figure 1512). Nous apprenons donc ici un synonyme d’alpharion, diabètès, qui peut aussi signi­ fier compas. Cfr Suidas, s.v. διαβήτης ; Hesychius s.v. σταφυλή. E t en outre, que le chorobate de Carpus ressemblait à l’alpharion, ce qui n ’est pas exac­ tement le cas pour un autre instrument de nivellement, le chorobate de V itruve (De Architectura ed. Krohn Leipzig 1912, p. 189, 5-6). Quant au Carpus qui est nommé ici, il n ’est pas impossible que ce soit Carpus d ’Antioche (cfr Real Encgklopadie, article Κάρπος 3). Il est inutile de faire observer que ce passage a toujours été cité sous la forme mutilée et incompréhensible τφ χωροβάτη καρπφ. (2) A lm ., 67, 1-2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p .

5 8 -5 9 ]

c o m m e n t a ir e

sur

l

’a

lm a g este

L. 1 CH AP. 12

525

σομεν προς το επίπεδον τον όρίζοντος, σπάρτου άπηρτημένον έχούσης βαρύλλιον * άπό τον πέρατος τον επάνω κνλινδρίον άφιεμένης εως ον είς το πέρας τον κάτω κνλινδρίον ποιήσηται την πρόσνενσιν * της γάρ σπάρτου τον πέρατος του κάτω άξονίου ακριβώς εφαπτομένης, γίνεται 5 παραλληλόγραμμον ορθογώνιον περιεχόμενον υπό δύο των τε

άξο \νίων

των δύο ίσων και όμοιων κυλίνδρων, καί της εν τω έπιπέδω διά των περάτων αυτών ευθείας, και έτι τής σπάρτου · και δήλον ότι

και ορθογώνιόν

έστιν διά το και τά κυλίνδρια προς όρθάς είναι τω έπιπέδω και τούς άξονας αυτών τή ευθεία τή εν τω έπιπέδω. ώστε όταν ή σπάρτος έφάφηται 10 ακριβώς του πέρατος τον κατωτέρω κνλινδρίον, τότε καί το έπίπεδον ορθόν έσται προς το παρά τον ορίζοντα του παραλληλογράμμου ορθογω­ νίου συνισταμένου. 1 ’Έ τι δε και τής θέσεως είρημένης, εξής περί τής χρήσεως διαλημψόμεθα. έποιούμεθα δή την τοιαύτην κατά πλάτος παρατήρησιν, του ήλιου 15 ομοίως περί τάς

θερινός τροπός ή τός χειμερινός τνγχάνοντος, έτι τε

καί κατ’ αυτήν την μεσημβρίαν, τουτέστι πάλιν ώρας

ς, την άπό του

κνλινδρίον προσπίπτουσαν έπί το καταγεγραμμένον έπίπεδον σκιάν σημειονμενοι κατά ποιου τμήματος τής περιφέρειας τυγχάνει, καί πηλίκην απολαμβάνει περιφέρειαν άπό τής προς ορθός τω όρίζοντι ευθείας, 20 ήτις καί έπί το κατά κορυφήν πίπτει, καί Iva καταδηλοτέρα ήμίν γένηται

ή άπό τον κνλινδρίον σκιά, παρατίθεμεν πτύχιόν2 τι προς τή καταγεγραμ­ μένη περιφερεία, προς το είς έκείνο προσπίπτουσαν αυτήν ευσημαντοτέ­ ραν καταφαίνεσθαι. καί έπεί ή σκιά πλατυτέρα έστίν, έπεί καί αυτό το κνλινδρίον παχύτερον τυγχάνει, καί πλείονα τόπον τής περιφέρειας άπο-

1. τό έπίπεδον τού όρίζοντος : το τον ορίζοντας έπίπεδον bP E | σπάρτου : παρά του J διά σπάρτου bPE | 2 . άπό : καί άπό bPE | 6. τών δύο : των τε δυο bPE I 8. τά κυλίνδρια : τό κυλίνδρων bP | 11. τό π α ρ ά : eras [adhuc legitur] F I 14. παρατήρησιν: τήρηοιν J [ 16. κ α τ’ α ύ τη ν: κατά ταντην J | πάλιν ώρας ς : πάλιν ώραν έκτην al m F ώρα πάλιν ς V ,J [corr ex ώραν V ] πάλιν περί ώρας ς όρώντες bP | 17. κνλινδρίον: ήλιου V ,J | 17-18. σημειούμ ν ο ι: καί αημειούμενοι bP | 21. ή : om J j 22. προσπίπτουσαν : πίπτουσαι J 1

(1) Construction embrouillée à plaisir pour varier l’expression : τοϋ — συνισταμένου se rapporte à έπίπεδον. (2) Nous accentuons πτύχιον nous fiant aux dictionnaires (cfr. V endryes Traité d’accentuation grecque, Paris 1929, p. 166 1. 7). Mais absolument tous les manuscrits dans lesquels nous avons lu ce passage écrivent πτυχίον.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

526

TIIF.ON D ’ A L E X A N D R IE

[Η ρ. 227-228]

λαμβάνει, τό μέσον αυτής σημειούμενοι έπι τής του τεταρτημόριου διαιρέσεως, εϊχομεν την από τον κατά κορυφήν τον κέντρου τον ήλιου κατά πλάτος 1 έπι τον μεσημβρινόν παραχώρησιν, τουτέστιν την προς άρκτους και μεσημβρίαν. | 5

Ποιούμενοι ονν τάς τοιαντας παρατηρήσεις εξής ημερών, καί ήνίκα μεν περί την θερινήν τροπήν ό ήλιος έτύγχανεν παρατηρούμενοι

την από

τοϋ κνλινδρίον σκιάν ώς επί τά νότια γινομένην καί μηκέτι επί τά νοτιόντέρα άπερχομένην, αλλά νποστρέφονσαν, λαμβάνοντες τό κατ’ εκείνο σημεϊον, εϊχομεν την από τοϋ κατά κορυφήν επί τον θερινόν τροπικόν 10 σημεϊον

τοϋ ήλιου παραχώρησιν. 2 %Ειτα πάλιν περί τάς χειμερινός τροπάς αύτοϋ κατιόντος, καί γινόμε­

νης τής σκιάς βορειοτέρας καί μηκέτι πορρωτέρω ρειότερα παραχωρούσης,

αλλά

τούτον ώς επί τά βο­

πάλιν νποστρεφούσης, ομοίως σημειού-

μενοι τό κατ’ αυτό σημεϊον, ηνρίσκομεν τήν από τοϋ κατά κορυφήν επί 15 τό νοτιώτατον τοϋ ήλιου παραχώρησιν.

Καί όντως εϊχομεν επί τοϋ μεσημβρινού τήν από τοϋ βορειοτάτου τοϋ ήλιον πέρατος

επί τό νοτιώτατον έπιζητονμένην περιφέρειαν, πόσων

§ πώς καί επ κορυφήν < περι­ φέρεια άπο τοϋ ΐση>μερινοΰ τής οΙκήαομεν τ < ό πλάτοςς>. Ce résumé marginal est peut-être déplacé, et doit peut-être venir à la p. 529, 4(cfr. p. 529, 21-25). Il· est impossible d’ en donner une reconstitution sure.

1. τό μέσον : τό τε μέσον 5Ρ | 2. εϊχ ο μ εν: έχομεν Ρ | 3. τ ή ν : οίη bP | 5. εξής : διά των έξής bP | 6. τροπήν : τροπικήν bP | 8. εκείνο : εκείνην bP | 10. σ η μ εϊον: om bPJ | 12. πορρωτέρω : προσωτέρω ΥΈβοΡά | 16. εϊχ ομ εν: έχομεν bP |

(1) Ptolémée a évité de prononcer ici le m ot de πλάτος qui peut amener une confusion, les astronomes employant ce terme à propos des coordonnées éclip­ tiques, alors qu’il s’agit ici de mesurer une distance zénithale au moment de la culmination, ce qui fait aisément trouver la déclinaison du soleil. (2) Théoriquement, on ne l ’obtient qu’aux points de la terre où le soleil passe au méridien à l'instant du solstice. Mais, devant se contenter d ’une approximation de 5 ’ , Ptolémée est en droit d’omettre ces distinctions. A u 3e livre, il doit observer les équinoxes, et là, il sait bien qu’il ne peut plus compter sur les deux instruments décrits ici.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 59]

COMMENTAIRE SUR L’ALMAGESTE L. 1 CHAR. 12

5271

εστίν τμημάτων εκ των μεταξύ άπολημφθεισών διαιρέσεων · ήν δίχα τεμόντες ειχομεν και το κατά τον ισημερινόν σημείον,

και πόσον άφέ-

στηκεν εκατέρον των τροπικών, και ετι την από του κατά κορυφήν επί τον ισημερινόν, ήτις ιση έστ'ιν τω εξάρματι, ήτοι πλάτει τής υποκείμενης 5 οΐκήσεως.

Fig. 22.Var : Fig ab L delineata, uide in nota 1 ; bis delineauit F [ l a uice cum laterculo in perspectiua, figuram inuertens, 2“ uice fig delineare tentauit et non absoluit] ; punc­ tum Ω in intersectione circuli et lineae uerticalis hab, punctum Δ inferius collocant ita ut linea horizontalis circulum non tangat, quam lineam Ζ Μ Δ [J] aut Ζ Κ Δ [bP] uocant bPJ.

i ”Iva δε πάλιν και διά των γραμμών νπ’ δψιν ήμιν γένηται τα λεγάμενα,

έστω πάλιν τό καταγραφόμενον τής πλινθίδος επίπεδον τό E H Δ Θ

παρ-

§ πώς ύ > π ’ δψιν όμενα.

4. ήτοι : ήτοι τφ bP | 6, E H Δ Θ : Η Δ Θ L | 1

(1) Tracé de la figure 22 ci-dessus, d’après L.

E_J1 k

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

528

TIIKON D'ALEXANDRIE

[II ρ. 228-229-230]

άλληλον τώ τον μεσημβρινού επιπέδω καί ορθόν προς το του όρίζοντος. καί του μεν άκρου τής σκιάς γινομένου έν ταις θεριναίς τροπαΐς κατά τοϋ Ν, έν δέταϊς χειμεριναΐς κατά τ ο ϋ 1 Ο < . . . > γράψει τό ακρον τής σκιάς τον ΠΤΗ Ο κύκλον,

ό έσται δηλονότι μεσημβρινός διά τό καί τό \ έπί-

5 πεδον έν τώ τοϋ μεσημβρινόν την Οέσιν έχειν. καί εάν έπιζενξαντες τάς

ΝΕ, ΟΕ νοήσωμεν αύτάς έπί τον μεσημβρινόν έκβαλλομένας ά ς τάς ΝΕΡ, ΟΕΤ, καί έπιζεύξωμεν πάλιν τάς ΡΟ, ΤΝ, καί προσεκβάλωμεν την Η Ε έπί τό Π , έσται ή μένΡΟ θερινόν τροπικού διάμετρος, ή δέ ΤΝ χειμερινού τροπικού, τό δέ Π κατά κορυφήν, καί ή μέν Ρ Ε Ν θερινή τροπική άκτίς 10 ή δέ ΤΟ χειμερινή,

καί δήλον δτι κατά μέν τοϋ Ρ γινόμενος δ ήλιος διά

τοϋ προς τώ Ε κνλινδρίου ακτίνα πέμψει κατά τό Ν άπέχων του Π κατά κορυφήν τήν Π Ρ περιφέρειαν, τουτέστιν την Η Ν · προς δέ τώ Τ γινό­ μενος ακτίνα πέμψει τήν ΤΟ, απεχθών πάλιν τοϋ Π κατά κορυφήν * τήν Π Τ περιφέρειαν, τουτέστιν τήν ΗΟ. 15

Έ κ πλειόνων 2 ούν τοιούτων παρατηρήσεων των περί τάς θερινός τροπάς καί τάς χειμερινός αντίο γεγενημένων κατελάβετο των τροπικών πάντοτε μ ζ

οΐων ό κύκλος, τξ,

τήν ΝΟ μεταξύ

καί μείζονος μέν ή δι-

μοίρου τμήματος, έλάσσονος δέ ή ήμίσεος τετάρτου, καί τούτο δέ όντως έχον έπελογίζετο, διά τό καί τά μεταξύ μοιριαία διαστήματα διηρήσθαι 20 κατά τά

ε εξηκοστά, καί έστιν οϋτος ο λόγος ό αυτός σχεδόν τώ τοϋ

Έρατοσθένους, φ καί δ ’Ίππαρχος συνεχρήσατο ώς ακριβώς ειλημμένω.

3-4. γράψει — κύκλον, ο έ σ τ α ι: εάν νοήσωμεν άναπεπληρωμένον τον Π ΤΝ Ο κύκλον, έσται VF,bPJ lacunam esse conieci | 7. πάλιν : om bP | 8. διάμετρος : correx-oi>J | 11. κατά τό Ν : τήν ΤΝ bP | τοϋ Π κατά : τοϋ κατά VF,bPJ | 15. τών π ε ρ ί: καί τών π ε ρ ί ν ε ό των περί τε bP | 16. κατελάβετο : κατελαμβάνοντο V F,bPJ [ 20. κατά τά ε εξη κ ο σ τ ά : κατά έξη κ ο σ τ ά Υ ,ό κατά τά εξη ­ κοστά bP I έστιν : om bP | δ αυτός : corr ex αύτάς L | 21. συνεχρήσατο : έχρήσατο V F,bP J |

(1) Nous supposons une lacune parce qüe sinon, le génitif absolu aurait même sujet que la proposition principale, et qu’ en outre, on aurait une répé­ tition de το ακρον τής σκιάς. S’ il y a une lacune, elle ne provient pas d’une déchirure dans le modèle de L , sans quoi celui-ci l ’aurait indiquée. Comme le raisonnement se poursuit logiquement, la partie omise ne doit pas être bien longue. L a correction conjecturale fort ancienne, puisqu’ elle se trouve dans tous les manuscrits sauf L , doit avoir retrouvé le sens qu’avait la phrase originale. Mais elle ne rend pas compte de l ’ état du texte dans L. (2) A lm ., 67, 17.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 59-60]

COMMENTAIRE

καί γάρ δ Ερατοσθένης

sur l ’almageste l .

διελών τον δλον κύκλον είς πγ

μεταξύ των τροπικών των αυτών ια. και εστιν ούτως πγ

προς

1 CHAP. 12

529

ηϋρισκεν την

ώς τ ξ προς μ ζ μβ μ

ια.

"Οτι δε εκ τών τοιούτων παρατηρήσεων εξ ευχερούς λαμβάνεται και τό 5 έξαρμα η και ή έγκλισις της οΐκήσεως εν f δ’ άν ή παρατήρησις γίνηται,

όντως έσται δήλον. έπεί γάρ τής Ρ Τ δίχα τμηθείσης επί τού Ισημερινού τό σημεϊον έγίνετο, εάν αρα τέμωμεν αυτήν | δίχα κατά τό Σ , και επιζεύξαντες την. Σ Ε διαγάγωμεν κατά τό Ξ, έσται ή Σ Ξ διάμετρος τού Ισημερινού, εάν ούν ταυ τη προς όρθάς άπό τού Ε κέντρου άγάγωμεν την 10 ΕΦ, έσται ό αξων, τό δε Φ πόλος τού Ισημερινού, καί ή μεν Ε Θ

θέσιν εξει,

όρίζοντος

διά τό ορθήν είναι τήν υπό Π Ε Θ άπό τού Π κατά κορυφήν,

καί τεταρτημόριου γίνεσθαι τήν Π Α δσον καί απέχει τό κατά κορυφήν τού όρίζοντος πόλος αυτού τνγχάνων · τό δε Φ έσται ό φανερός πόλος, καί έπεί ή Π Α τεταρτημόριου, άλλα καί ή ΣΦ, διά τό Φ πόλον είναι τού 15 ισημερινού, καί κοινής άφαιρεθείσης τής ΠΦ, λοιπή ή Π Σ Ιση έσται τή

ΦΑ, ομοίως τοΐς έμπροσθεν είρημένοις. καί έστιν ή ΑΦ τού εξάρματος, καί ή Π Σ αρα ίση εστιν τώ τού πόλου εξάρματι. καί δέδοται ή Π Σ , τουτέστιν ή Η Ξ , εκ τής τού τεταρτημόριου διαιρέσεως. δέδοται αρα καί ή ΦΑ τού εξάρματος, ώστε καί ή ΣΨ λείπουσα τής Π Σ είς τό τεταρτημόριον 20 έσται δεδομένη, τής εγκλίσεως τυγχάνονσα.

'Ωσαύτως δε καί καθ’ οϊαν δ’ αν οϊκησιν τήν τοιαύτην παρατήρησιν ποιώμεθα, τήν οΰτω λαμβανομένην διάστασιν

άπό τού κατά κορυφήν

επί τό τής διχοτομίας τής τε βορειοτάτης καί νοτιωτάτης τού ήλιου παραχωρήσεως, φήσομεν είναι τού εξάρματος, δ καί πλάτος εστί τής οίκήσεως, 25 τήν δε λοιπήν είς τό τεταρτ ημόριον τής εγκλίσεως.

§ Φανερόν δε οτι τής πλευράς

τής καταγραφείσης οϋσης τής Ε Η Δ Θ ,

§ Traces d’ un résumé entièrement disparu : chacune des quatre dernières lignes.*8

il reste le premier jambage de

1. διελών : διαιρήσας V F,bPJ | ηϋρισκεν : ευ- VF,bP J | 3. προς : om bP 6. Ισημερινού : corr ex ημερινον L | 7. σημεϊον : σημεϊον τής διχοτομίας bP 8. έσται ή Σ Ξ : έσται καί ή Σ Ξ V ,J | 10. έσται ό αξιον : ήπερ έσται dfcorbP τό δε Φ πόλος : καί τό Φ πόλος V F .J καί τό Φ πόλον bP | 11. άπό : om bP 12. καί l m: δντος καί bP | γίνεσθαι τήν Π A : γινομένου τής Π Α περιφερείαςύ Ρ 13. τνγχάνων : -νον V ,J | 14. τεταρτημόριου : τεταρτημόριου έστίνΎ F, bPJ διάτό Φ : διάτό τό Φ V F,bPJ | 15. κ α ί: om bP | 21. δέ καί καθ’ : δέ καθ’ V καθ’ J | δ’ αν : άν bP | 23. επί τό τής : έπί τ ή ςΥ ,Δ επί τοΰ τ ή ς ύ Ρ | 25. τήν δε λοιπήν : τά δέ λοιπά bP |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

530

[H p. 230-231-232]

THEON D ’ A L E X A N D R IE

καί του γνω μονιού κειμένου προς τή μια των γωνιών ως κατα το Ε, ουχί εις πάσαν οϊκησιν χρησιμεύσει το δργανον προς την κατάληψιν τής έπιζητουμένης μεταξύ των τροπικών περιφέρειας, ένθα γάρ | ο ήλιος βο­ ρειότερος γίνεται του Π κατά κορυφήν ώς επί του X ,

πέμψει διά του

5 προς το Ε κυλινδρίου ακτίνα την ΧΕΩ έκπίπτουσαν του Ε Η Δ Θ παραλ­ ληλογράμμου καί αδύνατον ποιούσαν διό χρή επί τών τοιούτων

την

κλιμάτων μη

έπιζητονμένην κατάλημψιν.

προς τώ ακρω

τυγχάνειν το

γνωμόνιον, αλλά περί μέσον, ώς επί τοϋ ΘΩ παραλληλογράμμου το Ε, καί προσαναπληροϋν

την

περιφέρειαν, καί οϋτω την τής μεταξύ τών ακολούθως τοΐς είρημένοις επί

10 τροπικών κατάλημψιν μεταχειρίζεσθαι

τοϋ κρίκον. Καί έσονται ήμϊν αι τε κατασκευαί καί αί θέσεις τών δνειν οργάνων καί αί διά τών τοιούτων τηρήσεων καταλήμψεις τοιαϋται. § Έπαπορήσειε δ' αν τις δι

ήν αιτίαν, μετά την έκθεσιν τών άρχοει-

15 δώς όφειλόντων προλημφθήναι τής μαθηματικής θεωρίας, άρχόμενος τών

κατά μέρος αποδείξεων καί φήσας πρώτην δέον είναι ποιήσασθαι την άπόδειξιν τής πηλικότητος τής μεταξύ τών δύο πόλων περιφέρειας τοϋ τε διά μέσου τών ζωδίων καί τοϋ ισημερινού, καί ταύτης άναγκαιον είναι προλαβεΐν την πραγματείαν τών έν κύκλω ευθειών ώς συντελούσαν π ρ ο ς. 20 την άπόδειξιν τής μεταξύ τών εΐρημένων δύο πόλων περιφέρειας, προεκθέμενος τάς έν κύκλω ευθείας ουδαμοϋ ταύταις προσεχρήσατο προς την εϋρεσιν τής μεταξύ τών πόλων περιφέρειας, δήλον οϋν ότι καί ταύτην μετά τών άρχοειδών προλαβεΐν βεβούληται, ώς συντελούσαν εις τάς πλείστας τής συντάξεως γραμμικάς αποδείξεις · διό καί φησιν ■ « άναγ§ ληικής ΰ τ< τό ς δέον εϊναιξ> πρώ άπόής μεριφε ζω ταύτης λφ ευθειών < ώς συντελούσαν προς τήν~> άπύδειύο πόλων ενος δαμού πό­ λων ·.1 1. κειμένου : om L | ο ύ χ ί: ούκ VF,bPJ | 4 -5 . τοϋ πρός το Ε : τοϋ E b P 7-8. τό γνωμόνιον : τον γνώμονα bP | 8. περί μέσον : περί τό μέσον V F ,bP E ώς : om V , J | 9. προσαναπληροϋν : άναπληροϋνύΡ | 12. και αί θ έσ εις: καί θέσεις καί αί χρήσεις bP | δυείν : corr ex δυοϊν L δυοΐν bP | 13. τοιούτω ν : om J | 16. πρώτην : om J | 18. μ έσ ο υ : -σω ν VF,bPJ | 19. εν κύκλφ : έν τφ κύκλφ Y ,J | 20. εΐρημένων : om V F ,J | 20-22. προεκθέμενος -ι— περιφέρειας : om mg suppi J

|

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 60]

commentaire sur l ’almageste

L. 1 CHAP. 12

531

» καίον όρ ώ μ εν π ρ ο εκ θ έσ θ α ι τη ν | π ρ α γ μ α τε ία ν τ ώ ν εν κύκλω ευ θειώ ν, » ά π α ξ γ ε μ ελ λ ή σ ο ντες ά π α ντα γ ρ α μ μ ικ ώ ς ά π οδεικνύναικ 1. εμελλεν γά ρ μη π ρ οεκ θ έμ ενο ς τ ά ς εν κύκλω ευ θ εία ς κ α τα δια ιρ εϊν τ η ν τ η ς λ ο ξ ώ σ ε ω ς π ρ α γ μ α τεία ν, δ είξα ς π ρ ό τερ ο ν διά τ ο υ ορ γά νο υ τη ν μ ε τ α ξ ύ τ ώ ν τρ ο π ικ ώ ν 5 και τ ο ϋ ισ η μ ερινο ύ μ ο ιρ ώ ν

κγ

να

κ

έ γ γ ι σ τ α συ νά γομ ενη ν, η τ ις εσ τ ίν

τ η ς μ ε γ ί σ τ η ς λ ο ξ ώ σ ε ω ς , εΐτα μ ε τά τ η ν εκ θεσ ιν τ ή ς π ρ α γ μ α τε ία ς τ ώ ν εν τ ώ κύκλω ευ θειώ ν τ ά ς κα τά μ έρ ο ς λ ο ξώ σ ε ις · π ρ ο σ δ ειτα ι γά ρ α υ τ ώ ν εις τ α ύ τα ς.

3. καταδιαιρεϊν την τής : κατά διαίρεσιν την τ ή ς Υ ,ό κατά διαίρεσιν τ ή ς ύ Ρ 4. πραγματείαν : -α ς b | τον όργάνου : τών όργάνων bP | 6. μετά : om bP 7. τάς — λοξώσεις : εκθήναι bPE | προσδειται — αϋτών : διά τό προσδεϊσθαι αυτών εις τάς κατά μέρος λοξώσεις, οθεν' μάλλον πρεπωδέστερον εκρινε προεκθήναι την τών εν κύκλω ευθειών πραγματείαν τής άποδείξεως τής μ εταξύ τών τροπικών περιφέρειας καί μη bPE | 7-8. εις ταύτας : εις αύτάς seq cap προλαμβανόμενα εις τάς σφαιρικός δείξεις [uide infra ρ. 535, 10] V F,J μετ’ αυ­ τήν seq idem cap bPE εις ταύτας εις λόγος εκ δύο λόγων L |1

(1) A im ., 31, 3-6. Ceci est le premier passage où Théon n’ exprime pas une admiration sans restriction pour Ptolémée. En fait, la théorie de la trigono­ métrie est curieusement coupée en deux par la description des deux ap­ pareils. Si l’ on avait fait une édition critique de l’Almageste au temps où sévissait la conjecture, on aurait probablement eu tous les motifs du monde de changer l ’ordre des chapitres.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Λήμμα. 1

S Ε ι ς 2 λόγος εκ δύο λόγων ή και πλειόνων σνγκεΐσθαι λέγεται, όταν ai

% < εΐς λόγος έκ δύο λ ό > γ ω ν < η και πλειόνων συγκεΐσθαι> λ έγετα ι< οτα ν αΐ των λόγων π η λικό>τητες < πολλα πλα σια σβεϊα α ι> ποιώσίν < τ ι ν α πολικό­ τητα λ ό γο υ > .

1. tit ex F sumpsi almF]

| 2. Εΐς λόγος : εις λήμμα λόγος [supra λήμμα, τό scripsit

λόγος V,bPEJ

|

(1) Dans tous les manuscrits, sauf L, ce lemme se trouve au milieu du cha­ pitre 13. Ce chapitre lui-même est mutilé partout sauf dans L : il y manque les pages 560, 22-562, 14. Dans Y et J, qui sont très proches parents au 1er livre de Théon, une glose à ce lemme est restée en tête du chapitre 13, tandis que chez P, une glose analogue a suivi le lemme lui-même. Cela in­ dique, à l’origine de toute la tradition, L mis à part, un codex dont cer­ tains feuillets ne tenaient plus, ou un rouleau détérioré, (cfr. ci-dessus, p. 586, n. 2). Ce morceau est placé par L avant le titre du chapitre 13, donc à la fin du chapitre 12 où il ne vient rien faire. On serait tenté d’y voir une glose. Pourtant, on rencontrera, p. 535, 7 l’expression ώς ότι, que Théon emploie si fréquemment ; en outre, p. 594, 2 Théon fait allusion à ce passage, et il semble bien qu’Eutocius y renvoie (cfr E u t o c i i Comm. in A r ­ chimedis de Sph. et cyl. ed1. Heiberg p. 140, 14). Nous pouvons donc considé­ rer ce passage comme authentique (cfr. p. 762, n. 2). F semble avoir égaré le titre λήμμα au milieu de la première phrase. Il se­ rait en ce cas seul à l’ avoir conservé. L ’ authenticité de cette suscription est donc douteuse. Nous l’avons conservée, mais nous pensons qu’il faudrait plutôt mettre tout ce passage en tête du chapitre 13. Enfin, le fond de ces quelques pages n ’est que l’ explication de la notion de rapport composé. E u c l i d e , Elem. livre 6 déf. 5, vol. 2, p. 72, 13-15 éd. Heiberg en donne la définition, mais c’ est, paraît-il, une interpolation.Voir aussi E u c l i d i s Elementa éd. Heiberg, vol. 5, p. 320-321. (2) Gloses de V et J, en tête du chapitre 13. On peut les suivre sur une des petites figures, p. 536, qui ressemblent à ce que donne Y ici (Nous avons pris intentionnellement un angle de 60° et deux perpendiculaires). ’Έ σ τ ω έκατέρα τών AB, Α Γ , δ, εκάστη δέ τών Α Ε, Ε Γ , Α Δ , ΔΒ, β. êàv γονν ώς έπΐ Ισογωνίου τριγώνου τον Α Β Γ γίνεται ή καταγραφή, εσται οΐων ή Γ Δ ς ή Δ Ζ β, και οϊων ή ΒΖ ϋ ή Β Ε ς. τά δε : τών β τριπλάσια και τά δ τών ς ύφη-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 62]

commentaire sur l ’almageste

L. 1 CHAP. 13

533

τών λόγων πηλικότητες 1 πολλαπλασιασθείσαι ποιώσί τινα πηλικότητα λόγου. Έ χ ετω γάρ το A B προς τό Γ Δ λόγον δεδομένον, και το Γ Δ προς το A

Fio. 23. Var : Bis hab L [2a uice litt II om] ; ter hab V [lineis proportiones fere exac­ tas assignans, scii. I a uice A B 6 partes, Γ Δ 3, E Z 1 (cfr p. 534, 7), 2a uice A B ‘i par­ tes, Γ Δ 1, EZ 2 (cfr p. 534, 17), 3a uice A B 2 partes, Γ Δ 4, EZ 3 (cfr p. 535,1)] ; bis hab, dimensiones linearum indicans [scii. I a uice A B = ιη, Γ Δ = ζ, EZ = ιβ (cfr p. 534, 17), 2a uice A B = ζ, Γ Δ = ιβ, EZ = Θ (cfr p. 535, 1)] F ; semel, dimensiones linearum indicans [scii. = ς, Γ Δ = β, EZ = αι τό (ms : ό) τής συνθέσεως.

2. έξης : παρούσης bPE | 3. Ζ Η : ό Ζ Η J ή Ζ Η F .bP | 5. τον τής Α Δ : τ ο ϋ Α Δ V,J I 5-6. ΖΗ. ώ στε : ΖΗ. άλλ’ ό τής ΒΑ προς ΕΖ λόγος σνγκειται εκ τε τον τής ΒΑ προς Α Δ καί του τής Α Δ πρόςΖ Η . ώστε [id est bis fere eadem ser] J | 7-8. τψ δε — προς Γ Ζ : τφ δέ τής Δ Γ προς ΓΖ λόγω ό αυτός εστιν ό τής Δ Α προς ΖΗ VF,J j 8. λόγος : ό λόγος L | 9. δπερ έδει δεϊξαι : om bP ¡

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

542

TH ÉON D ’ A L E X A N D R IE

[H p. 235-237-238]

Γ Δ επί τό Θ, καί κείσθω τή Ε Η ϊση ή Δ Θ . καί ήχθω από τον Δ τή Γ Θ προς ορθός ή Δ Κ , καί ϊση κείσθω τη ΔΖ, καί συμπεπληρώσθω τό Λ Γ παραλληλόγραμμον, καί έπεί ό τοϋ Γ Κ παραλληλογράμμου προς τό Κ Θ λόγος ό αυτός έστιν τω τής Γ Δ ευθείας προς την Δ Θ , όδε τον Γ Κ * προς 5 Κ Θ λόγος σύγκειται έκ των πλευρών, τουτέστιν εκ τε τον ον έχει ή Γ Δ

προς Δ Κ καί ή Κ Δ προς Δ Θ (τά γαρ ισογώνια παραλληλόγραμμα λόγον εχει τον συγκείμενον έκ των πλευρών), καί ό τής Γ Δ αρα προς Δ Θ λόγος σύγκειται έκ τε τής Γ Δ προς Δ Κ λόγον, καί τοϋ τής Κ Δ προς ΔΘ . άλλα ή μεν Δ Κ τή Δ Ζ έστίν ϊση, ή δέ Δ Θ τή Η Ε . ό αρα τής Γ Δ προς Ε Η λόγος, 10 τουτέστιν δ τής ΓΑ προς ΑΕ, σύγκειται έκ τε τοϋ τής Γ Δ προς Δ Ζ καί

τον τής Δ Ζ προς ΕΗ, τουτέστιν τής ΖΒ προς ΒΕ. | 'Ε ξή ς δέ καί δεύτερον θεώρημα εκτίθεται συντελούν καί αυτό ώς έφαμεν προς τάς σφαιρικός αποδείξεις, δμοιον μέν τω πρώτω, κατά διαίρεσιν δύο ευθείας ίαν πε­ ριεχούσας etc., comme ci-dessus, 1. 15 à 22, jusqu’à πέρατι αύτής τής όλης.

1. Ιση ή Δ Θ : ή Δ Θ ϊση bP | 2. ϊση κείσθω : κείσθω ϊση bP | 4. λ ό γ ο ς: om suppi E I 4 -5 . Α Α < ςκ α ί τοϋ τής Α Γ προς τ ή ν > ΓΕ.

3. τή Ε Ζ : τής Ε Ζ Σ. 1 8. ύκ λου επί τής ή τρία σημεία etc., comme cidessus, 1. 3 à 11, jusqu’ à < .π ρ ός την άπολαμβ>ανομένην αύτής < ε ό θεΐαν έκτος τ ή ς > τοϋ κύκλου περιφέρειας.

1. κυκλικόν εκτίθεται, ο ύ : εκτίθεται κυκλικόν, οθ ή bPJ | 5. από κέντρου: από τοϋ κέντρου V F,bPJ | κύκλου: έπικνκλου bP | 10. ή συμπεσοϋσα: συμπίπτουσα bP | 11. ευθείαν: om V F ,b P J | 15. συμπιπτέτω σαν: συμπιπτέτωααν [έκβεβλήσθωσαν καί add mg al m] F | 1β. τής ΓΑ — την διπλήν: om [add mg : β γ προς την υπό την διπλήν τής αβ]3 | 17. Ε Β : την E B b P |

(1) Cfr A im ., 72, 11.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

552

THÉON D’ALEXANDRIE

[H

p.

235bis-236bis]

’Ή χθωσαν γάρ από των Γ , Β σημείων επί την ΔΑ κάθετοι αΐ ΓΗ , ΒΖ, παράλληλοι δηλονότι γινόμενοι καί δμοιον ποιονσαι τό Γ Ε Η τρίγωνον τω ΒΕΖ τριγώνω, έστιν αρα ώς ή Γ Η προς Β Ζ οϋτως ή Γ Ε προς ΕΒ. άλλα ω ς Γ Η προς ΒΖ όντως η νπό την διπλήν τής Α Γ περιφέρειας προς την 5 νπό την διπλήν τής ΑΒ, διά τό α

κνκλικόν θεώρημα, καί ώς άρα ή νπό

την διπλήν τής ΓΑ περιφέρειας προς την νπό την διπλήν τής Α Β όντως ή Γ Ε ευθεία προς την ΕΒ.

§ Λ έ γ ω 1 ότι καν επί τά ετερα μέρη ή σύμπτωσις γίνηται, τό δμοιον σνμ-

βήσεται, των περιφερειών άνάπαλιν λαμβανομένων. 2 συμπιπτέτωσαν γάρ

§ πώς δείξομεν δτι καν < β π ι τά ετερα μέρη~> ή σύμπτωσις γέν συμβήσεται τών περκ^φερειών άνάπαλιν~> λαμβανομένων.

τό

ί . Γ , Β : Γ χ α ι Β ά \ 3. ΒΖ : την ΒΖ bP | ΕΒ : τήν ΕΒ bP | 4. ΒΖ : την ΒΖ bP I ή υπό : ή βε προς υπό [βε προς cancell] J | προς την : πρώτην L | 8. γί­ νεται : γέν- b P | 9. λαμβανομένων. συμπιπτέτωσαν : λαμβανομένων sp 5 linearum συμπιπτέτωσαν J | (1) L a discussion qui suit est utile, à cause du cas où la construction est impossible parce que Β Γ est parallèle à A H (cfr ci-dessous, p. 554, 9). Théon ne considère donc pas ceci comme distinct de ce qui précède. Les deux propositions sont identiques, puisque, exprimées avec les lettres de la fig. 32, p. 551, (où nous appellerons Λ l ’autre extrémité du diamètre Α Ζ ΔΗ ) elles donnent : c r d 2 A T _ ΓΕ crd 2 A B crd 2 Λ Γ

EB ΓΕ

crd 2 A B = E B L ’identité de crd 2 Α Γ et crd 2 Λ Γ se voit mieux encore que l’identité correspondante sin x = sin (180— x). Il suffit sur la figure 32 de prolonger Γ Η pour la matérialiser. Il était impossible aux anciens de ne pas la Voir. D ’ailleurs elle est affirmée ci-dessous, p. 367, 1. (2) Glose de Y et J : Σ χ ό λ ι ο v. ώς ή Γ Η πρός ΒΖ οϋτως ή ύπό τήν διπλήν

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

(B p. 65-66]

COMMENTAIRE SUR

l ’almageste

L. 1 CHAP. 13

553

α Ι Β Γ ,Α Δ κατά τό K. λέγω δτι έστιν ώς ή υπό την διπλήν τής ΒΑ προς την υπό την διπλήν τής Α Γ ούτως ή Β Κ \ προς Κ Γ . ήχθωσαν γάρ πάλιν από των Β, Γ επί την Α Κ κάθετοι αίΒ Ζ, ΓΗ. έστιν άρα πάλιν διά τα προειρη­ μένα ώς ή μεν ΒΖ προς Γ Η ούτως ή Β Κ προς Γ Κ . ώς δε ή ΒΖ προς Γ Η 5 οϋτως ή υπό την διπλήν τής ΒΑ προς την νπό την διπλήν τ ή ς Α Γ · ήμίσεια

F ig . 34 a,b,c,d. Var : Fig. a : om F ; varios casus delineauit Y [scii, in t e x t u i / ’ = 90° {A B om, Β Γ usque ad intersectionem cum Α Δ produxit, ΔΘ om), in mg Α Γ < 90? ac Α Γ > 90°, Β Γ ex altera parte diametrum secans ; quos casus omnes, atque fig b, una figura delineauerunt bP ; om J. — Fig b : om L ; om F ; lineas A B , ΓΘ duxit V ; perpendiculares super ΑΘ, quas ΒΖ, Γ Η uocat, duxit J ; de bP cfr fig. a. — Fig. c : Β Γ perpendicularem fecit super Α Δ quam ultra intersectionem, © uocatam, non per­ duxit L ; om F ; Β Γ perpendicularem super Α Δ fecit V ; a B et Γ perpendiculares BZ, Γ Η super Α Δ duxit J ; om bP. — Fig. d : om F ; a B perpendicularem BZ super Α Δ duxit J.

γάρ έκατέρα έκατέρας. καί ώς άρα ή υπό την διπλήν τής ΒΑ πρός την υπό την διπλήν τής Α Γ οϋτως ή Β Κ πρός Κ Γ .

3. πάλιν δ ιά : πάλιν κατά ν ,3 πλήν οβηοείΐ 3

| 4. ή Β Κ : ή υπό την διπλήν ή βκ

ή — δι­

τής Α Γ περιφέρειας προς την νπό την διπλήν τής Α Β , νοηθήσεται οϋτω ς · εάν γάρ νοήσωμεν εκβάλλομενας τάς ΓΗ , ΒΖ επί τάς άντικειμένας περιφερείας) ή μέν Γ Η ,εύρεθήαεται ύποτείνουοα την διπλασίονα τής Α Γ , ή δε ΒΖ την διπλααίονα τής ΒΑ. (J écrit partout γε au lieu de ΓΗ).

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

554

THÉON I)'ALEXANDRIE

[H p. 236bis-237bis]

§ Δ ήλον δέ ότι εψ ών καταγραφών συναμφοτέρα ή Α Β Γ τεταρτημόριου

τυγχάνει, της από του Γ έπι την Α Δ καθέτου έπι τό Δ κέντρον πιπτούσης συμπεσοϋνται αί ΔΑ, Β Γ , έλαττόνων δύο ορθών γινομένων των προς τοϊς Δ , Γ γωνιών, ώς έπι τής ύποκειμένης καταγραφής, πολλώ δέ μάλλον εάν βέλάττων τυγχάνη ή Α Γ τεταρτημόριου, συμπεσοϋνται * αί ΔΑ, Γ Β εύθεϊαι. ομοίως δέ καν μείζων τεταρτημόριου τυγχάνη ή Α Γ , αί δέ προς τοϊς Γ , Δ γωνίαι δύο ορθών ελασσόνες τυγχάνωσιν, συμπεσοϋνται καί

συσταθήσεται τό πρόβλημα. § έφ ών δέ μείζονές είσιν δύο ορθών, επί τά αντικείμενα συμπεσοϋνται καί δ άνάπαλιν λόγος συσταθήσεται. έφ’ ών 10 δέ έκβαλλομένη ή Α Δ ώς επί τό Θ ϊσην ποιεί την Α Β τή Γ Θ , παραλλήλου

γινομένης τής Β Γ τή ΔΑ ασύστατον έσται τό θεώρημα, καί έτι έφ’ ών αί ΑΒ, Β Γ σύναμφότεραι μείζονες γίνονται ημικυκλίου · εντός γάρ συμπεσοϋνται αί εύθεϊαι. καί έτι πάλιν έφ’ ών ημικυκλίου τυγχάνουσιν · επί γάρ τοΰ αντοϋ σημείου τής περιφέρειας συμπεσοϋνται αί εύθεϊαι ώς επί 15 των υποκειμένων πάλιν καταγραφών, διό δείξομεν

έπι τών κατά μέρος

δείξεων, ότι ου προσχρήται ταϊς όντως |ασύστατον ποιούσαις τό πρόβλημα, αλλά ταϊς έκτος συμπιπτούσαις. 1

§ πότε αυμ ai ΑΑ, Β Γ. § πότε επί τά άντικσο(ΰν)ται στας>θήσεται.

καί

ό άνάπρικοΰ θ. § πώς δείξοκής έπιφ άλλήλας τοϋ λόγον etc., 14-61, jusqu’ à πρός την υπό την < διπλήν τήςδλης. τουτέστινς> δτι δ τής υπό τήν διπλήν τής Γ Ε περιφ την διπλήν τής ΕΑ λόγος αύγκειται εκ < ςτε τοϋ τής υπό τήνς> διπλήν τής Γ Ζ περιφέρειας πρός τήν Ζ Δ κα'ι τοϋ τής ύπό τήν διπλήν τής Δ τής ΒΑ.

6. και : om L om suppi mg J | 6-7. διά — ημικυκλίου : om suppi mg J | 7. μεγίστων : om in mg [et in textu] J | 8. λέγω δτι : om bP j 13. τοιούτου : τοσούτου L |

de nombreuses distractions chez les copistes, même chez l’ excellent L. Comme il s’agit de formules stéréotypées, une restitution de texte dans tin passage de ce genre donne des résultats sûrs.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 66-67]

commentaire sur l ’almageste

L. i CHAP. 13

559

ότι ο τής υπό την διπλήν τής Γ Ε περιφέρειας προς την υπό την διπλήν τής Ε Α λόγος σύγκειται εκ τε του τής υπό την διπλήν τής Γ Ζ περιφέρειας προς την υπό την διπλήν τής ΖΑ καί του τής υπό την διπλήν τής ΔΒ προς την υπό την διπλήν τής ΒΑ.

Fio. 36. Var : Bis delineauit L [prima uice non successit, pluribus lineis erasis, et litteras non scripsit ; 2“ uice approximatiue successit] ; sphaeram cuius centrum est H, circulo delineauit F ; inuerterunt bP, ac B pro Θ scripsit P. 5

ΕΙλήφθω γάρ τό κέντρον τής σφαίρας τό Η · τό αυτό άρα έσται καί των κύκλων * μέγιστοι γάρ νπόκεινται. καί έπεζεύχθωσαν απ' αύτοϋ επί τάς Β, Ζ, Ε τομάς των κύκλων ή τε Η Β καί ή Η Ζ καί ή HE, καί έπιζευχθεισα ή Α Δ έκβεβλήσθω καί συμπιπτέτω τή Η Β έκβληθείση καί αυτή κατά τό Θ σημείον. ομοίως δε έπιζευχθεϊσαι

ai Δ Γ καί Α Γ τεμνέτωσαν

τάς

ΙΟΗΖ καί E H κατά τα Κ καί Λ σημεία, επί μιας δη ευθείας γίγνονται τα Θ, Κ , Λ σημεία (διά τό εν δυσίν αμα είναι έπιπέδοις, τω τε τον Α Γ Δ τριγώ­ νου καί του ΒΖΕ κύκλου, ώς εξής δείξομεν), ήτις έπιζευχθεισα ποιεί την επί των πρώτων δύο ενθυγράμμων λημματίων | καταγραφήν τε καί άπόδειξιν, τουτέστιν εις δύο ευθείας τάς ΘΑ καί ΓΑ δύο διαχθείσας τάς Θ Α 15 και Γ Δ , τεμνούσας άλλήλας κατά τό Κ, καί δηλαδή τόν τής Γ Λ ευθείας

προς την Λ Α λόγον συνήφθαι έκ τε του τής Γ Κ προς Κ Δ

καί τον τής

Δ Θ προς ΘΑ. άλλ’ ώς μεν ή Γ Λ προς Λ Α , ούτως ή υπό την διπλήν τής Γ Ε περιφέρειας προς την υπό την διπλήν τής ΕΑ, διά τό πρώτον κυκλικόν λημμάτων · επί γάρ τής τοϋ Α Ε Γ κύκλου περιφέρειας είληπται τρία τυ‘ίΟχόντα σημεία τα Α , Ε, Γ , άπολαμβάνοντα περιφέρειας έλάττονας ημι­ κυκλίου, καί από του κέντρου αύτοϋ τοϋ Η επί τό μέσον σημείον τό Ε,2

2. σύγκ ειτα ι: συνήπται VF,bPJ | 6. έπεζεύχθωσαν απ’ α ύτοϋ: άπ’ αύτοϋ έπεζεύχθωσαν bP | 7. ή Η Ζ κα'ι ή H E : H Z καί H E bP | 8. αύτή : αϋτη L | 10. τα Κ : τά Z L· Κ bPJ |' 10-11. επί μ ια ς— σημ εία: om VF,bP om Suppl mg J I 13-14. καταγραφήν τε καί άπόδειξιν : άπόδειξίν τε καί καταγραφήν VF,bPJ I 15. ΓΛ : Γ Δ L |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

560

THÉON D’a LEXANDKIE

[H p. 240bis-241bis]

έπέζενκται ή Η Ε, καί έτι επί τά λοιπά όνο σημεία, ή Α Γ . και δήλον ώς ότι εάν άπό των Α , Γ σημείων επί την Η Ε καθέτους άγάγωμεν, ή αυτή έσται καταγραφή ώς έφαμεν τη του πρώτου κυκλικόν λημματίου. διά τά αυτά δή και ώς ή Ε Κ προς Κ Δ όντως ή υπό την διπλήν τής Γ Ζ περιφε5 ρείας προς την υπό την διπλήν τής ΖΛ . ώς δε ή Δ Θ προς ΘΑ οϋτως ή υπό την διπλήν τής Δ Β περιφέρειας προς την υπό την διπλήν τής ΒΑ διά την άνάπαλιν12λήμιριν του γ' κυκλικόν λημματίου. και ό λόγος αρα 6 τής υπό την διπλήν τής Γ Ε περιφέρειας προς την υπό την διπλήν τής ΕΑ σύγκειται εκ τε τον τής υπό την διπλήν τής Γ Ζ προς την υπό την διπλήν τής 10ΖΔ και του τής υπό την διπλήν τής ΔΒ προς την υπό την διπλήν τής ΒΑ. § "Οτι δέ τά Θ, Κ, Λ σημεία εν δυσίν εισιν έπιπέδοις τω τε του Α Δ Γ τρι­

γώνου και τον ΒΖΕ κύκλου, δείξομεν όντως, έπει γάρ τά μεν Κ,

Λ επί

των ΓΑ, Γ Δ πλευρών εισιν του Α Δ Γ τριγώνου, τό δέ Θ έπι τής Α Δ προσεκβληθείσης, τά αρα Θ, Κ, Λ σημεία εν τω διά τον Α Δ Γ τριγώνου εισιν 15 έπιπέδω. πάλιν έπει τό Η κέντρον έστίν τον ΒΖΕ και εκ του κέντρου αυτόν

αί Η Ε, ΗΖ, ΗΒ, εν τω τον κύκλου εισιν έπιπέδω. καί εστιν τό μέν Θ έπι τής Η Β έκβληθείσης, τό δέ Κ επί τής ΗΖ,

τό δέ Λ έπι τής ΗΕ, ¿άστε τά

Θ, Κ , Λ σημεία έν τω | διά τοϋ ΒΖΕ κύκλου εισιν έπιπέδω » έδείχθησαν δέ καί έν τω τον Α Γ Δ τριγώνου έπιπέδω. έπι τής κοινής αρα τομής εισιν 20 τών είρημένων έπιπέδων. επ' ευθείας αρα εισιν. § ’Α λ λά 2 δή έπι τής όμοιας καταγραφής ή Α Δ μή συμπιπτέτω τή ΒΗ κατά

§ πώς οτι τ ά < Θ, Κ , Λ σηλ>μεία έν πέδοις τ < ώ τε τού Α Δ Γ > τριγώνου < και τοϋ ΒΖΕς> κύκλου. § πώς δειχθήσεται < τ ό 2 έπι τής ό μ ο ία ς> καταγραφής ή Α Δ π τέτω τή έπι τά άναπληρ ΒΕΜ ήμι την ΒΗ συμπ κατά τό Ν.

1. καί 2m; om L | 4-5. τής ΓΖ περιφέρειας : τής ΓΖ Α Σ L τής J Z Y F ,b P J | 7. ό τής : τής L ,V F | 8. Γ Ε περιφέρειας : Γ Ε Α Σ L j 10. ΒΑ : ΒΑ, δπερ έδει δεϊξαι V F I 12. καί τοϋ : καί τφ τοϋ bPJ | 14. διά τοϋ : om bPJ | 15. ΒΖΕ : ΒΖΕ κύκλου VF,bPJ | 16. είσίν : είσίν αύται bPJ | 16-18. καί ε σ τ ιν — έπιπέδψ : bis hab bEJ [non autem P ; cancell J] | 19. τφ τοϋ : τφ διά τοϋ VF,bPJ | 560, 21 - 562, 14. ’Αλλά δή επί τής όμοιας — άπολημφθή άφ’ έκατέρας : άλλά δή

(1) Cfr E u c lid e , Elem ., livre 5 déf. 13, p. 4, 19 Heib. On prend le 3e lemme tel qu’il a été expliqué p. 551, et on permute les antécédents et conséquents des rapports. On ne veut donc pas dire qu’on applique la variante du 3 e lemme expliquée p. 552, et qui est aussi qualifiée de άνάπαλιν, p. 552,9. (2) Pour notre reconstitution du résumé marginal : rô « έπι τής — κατά τό

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 67]

COMMENTAIRE

sur l ’almageste

L. 1 CHAP. 13

το Θ, άλλα επί τα αντικείμενα, ώστε άναπληρωθέντων των BAM,

561 ΒΕΜ

ημικυκλίων, διαχθεΐσαν την Β Η συμπίπτειν τη ΑΑ κατά το Ν. λέγω δτι και όντως το αυτό δειχθήσεται. και πρώτον δτι επ’ ευθείας εστίν τα Κ , Λ, Π

F ig .

37. Var : om omnes praeter L (qui lineas omnes plenas delineauit).

Ν σημεία διά τό ομοίως εν τε τω τ ο ν Α Δ Γ τριγώνου αυτά είναι επιπέδω 5 καί εν τω τον ΒΖΜ κύκλου · ήτις επιζευχθεϊσα ποιεί εις δύο τάς Δ Γ , Δ Ν

δύο διαχθείσας τάς ΓΑ, Κ Ν τέμνειν άλλήλας κατά τό Λ. καί διά την επάνω επί τής άφ’ εκατέρα.ς F,b αλλά δή επί τής sp 7 lin + sp 14 lin εφ’ έκατέρας [mg ζήτει τό λοιπόν] V άλλα δή έπ'ι τής sp 5 lin + sp 12 lin άφ’ έκατέρας J άλλά δή επί τής sp 13 lin έφ’ έκατέρας Ε αλλά δή επί τής S p 10 lin [in quo postea fig delineatae sunt] άφ’ έκατέρας [mg ζητεί τό λοιπόν] Ρ| 5.επ ιζευχθεΐσα: έπεζ-ί.\ *3 N », voir ci-dessus, p. 470, 4 et n. 1. Dans les « théorèmes rectilignes » les cas ajoutés par Théon avaient pour but de faire comprendre aux élèves que le théorème de Ménélas peut être retourné dans tous les sens, suivant les néces­ sités du problème à résoudre. Ici Théon veut plutôt discuter la démonstra­ tion. Le nœud de celle-ci est (voir ci-dessus, p. 554, n. 1) l’application du 3 e lemme circulaire. Dans le cas par diérèse cette application se fait sur l ’arc A A B . Ce qui suit montre les modifications qui s’introduisent dans la démonstration lorsque la droite A B coupe BH du côté opposé à B . L ’in­ tention de Théon n ’est donc pas d’ajouter de nouveaux cas au théorème de Ménélas. Il suffit de jeter un coup d’œil au plan du chapitre donné ci-dessus p. 535, n. 2 pour s’ en convaincre. Lorsque A A est parallèle à BH, on tombe dans le cas âavararov. Théon n’y revient pas ici. C’eut été le moment de donner la démonstration de ce cas, s’il l’avait connue. Halm a, p. 241 (bis) suit ici b, et non P, qui lui aurait indiqué la lacune.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

562

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 241bis-242bis]

είρημένην τάξιν τής τον τοιούτου λημματίον λήμψεως δ της Γ Λ προς Λ Α λόγος σύγκειται εκ τε τον τής Γ Κ προς Κ Δ καί τοϋ τής Δ Ν προς ΝΑ. άλλα τώ τής Γ Λ προς Λ Α λόγω, ώς έφαμεν, ό αυτός έστιν ο τής νπό την διπλήν τής Γ Ε προς την νπό την διπλήν τής ΕΑ · τώ δε τής Γ Κ προς Κ Δ 5 ομοίως α τρόπ ονζ> êàv άπό τ ο ϋ < .τ ώ ν ρκ π ρος τάζ> μ η λα νε < λ ό γ ο ν άφέλωμενζ> τ ο ν τ ώ ν ξ < ζ π ρ ό ς τ ά ρκ, κ α τα ς> λείπ ετα ι ό τώ ν < ζ ρ κ π ρος κζ>δ ιε νζ.

1. δ η λ ο ν μ ε ν : έδηλονμ εν δ τ ι bPJ | 3. δέ μ οιρώ ν q τ ν γ χ α ν ο ν σ ώ ν : q μ ο ι τνγχα νονσώ ν V τε τα ρ τη μ ό ρ ιο υ τ ν γ χ α ν ο ν σ ώ ν F,J τετα ρ τη μ ό ρ ιο υ τ υ γ χ α ν ό ν τ ω ν bP | 6. ο ύ τω ς ομ οίω ς : τ ώ ν ό μ ο ιω ν V F,bP J |

(1) Discussion du cas α σ ύ σ τ α τ ο ν , annoncée plus haut, p. 554, 15. (2) Glose de V ,P .· έ σ τ ω πάλιν (π ά λ ιν om P) ά π λ ο ΰ σ τερ ο ν υ π ό δ ε ιγ μ α (θ εώ ρ η μ α P) άπ ό μ ό ν ω ν μ ο ιρ ώ ν ε κ τό ς ε ξ η κ ο σ τώ ν , κ εία θ ω σ α ν άριθμο'ι τρ ε ις, ρκ (ρ η Ρ), ξ, μη. δει και δ' άι’ά λ ο γ ο ν τ ο ύ τ ο ις π ρ οσ εξευρ εϊν. π ολ λ α π λ α σ ιά ζω τ ό ν μη επί τ ό ν (τ ά Ρ) ξ. γ ίν ε τ α ι(-ν ο ν - Ρ) ,β ω π . τ ο ύ τ ο ν μ ε ρ ίζω π αρά τ ό ν ρκ. γ ίν ε τ α ι (-νον- Ρ) κδ. ε ίκ ο σ ιτε τ ρ ά κ ις γ ά ρ τ ά ρκ γ ίν ε τ α ι ,β ω π . και ε σ τ ιν ό κδ τ έ τ α ρ τ ο ς ( - τ ο ν Ρ) α ν ά λ ο γ ο ς (-ο ν V ) άριθμ ός. ρκ (ρ η Ρ) ξ μ η κδ. ώ ς γ ά ρ κδ π ρος μη, ϋπ οδιπ λ ά σ ιο ν γά ρ, καί ξ π ρος ρκ. Dans les applications pratiques du théorème de Ménélas, le point délicat semble avoir été le calcul qui, pour les élèves de nos écoles primaires, est tout simplement la division d’une fraction par une fraction. Théon y revient plusieurs fois, par exemple, ci-dessous, p. 591, 5 (une variante de la for­ mule appliquée ici, avec la remarque qu’on peut transformer cette formule de diverses façons) ; p. 595, 18 ; et au 2? livre, pp. 619, 14 ; 624, 3 et 759, n. 2. Nos écoliers savent qu’ on n ’a qu’à multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. Ici les choses ne vont pas aussi simplem nt : a c Soit à calculer t ■ x

On cherche x tel que a Alors

D ’où

—

b

a T.—; -------

X

a . c _ b

c

T= d y

X —

b

=

c a — X T x d

a

d ~ x

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

576

[Η ρ. 250-251-252]

THÉON I)’ΛLEX AND Ii ΙΕ

μεν τον των

ξ

προς τά ρκ,

καταλείπεται ό των ρκ προς κδ ιε νζ,

όντως γίνεται, δήλον, έπεί γάρ τριών αριθμών δοθέντων δυνατόν έστιν \ δ' άνάλογον προσευρεϊν,

εχομεν δέ

γ

αριθμούς

μη λα νε και δ' άνάλογον έπιζητοϋμεν,

τόν τε

ζ

και

ρκ

και

καί έστιν ό υπό α καί δ' ίσος

5 τώ υπό β' καί γ , τάσσομεν ώς ο! τόν ρκ καί β' τόν ξ καί γ ' τ ό ν μη λανε,

καίπολλαπλασιάσαντες τόν β' επί τό ν γ ', τουτέστιν τόν ξ επί τόν μη λανε καί τά γενόμενα β~^ια νε μερίσαντες παρά τόν ρκ, εχομεν τόν δ' άνά­ λογον κδ

ιε νζ, * καί γέγονεν κατά την άνάπαλιν τάξιν ώς κδ ιε

νζ

προς μη λα νε ούτως ξ προς ρκ. καί έπεί του κδ ιε νζ μέσον λαμβα10 νομένον ό τών ρκ προς τά μη

λα νε λόγος σνγκειται εκ τε του τών ρκ

προς τά κδ ιε νζ καί του τών 'κδ ιε νζ προς τά μη λα νε, εάν αρα άπό τον τών ρκ προς τά μη λα νε λόγου άφέλωμεν τόν τών κδ ιε νζ προς τά μη λα νε, τουτέστιν τόν τών ξ προς τά ρκ, καταλειφθήσεται ό λόγος τών ρκ προς τά κδ ιε νζ, δς έστιν τής υπό την διπλήν της Ζ Θ 15 προς την υπό την διπλήν τής ΘΗ. καί έστιν ή υπό την διπλήν τής Ζ Θ

τμημάτων ρκ, καί ή υπό την διπλήν αρα τής ΘΗ έσται κδ ιε νζ, ή δέ επ’ αυτής περιφέρεια τουτέστιν ή διπλή τής ΘΗ κγ

περιφέρειας μοιρών

ιθ νθ, αυτή δέ ή ΘΗ ια λθ νθ, αίτινες καί παράκεινται εν τώ τής

λοξώσεως κανονίω κατά τό δεύτερον σελίδιον ταίς του ζωδιακού καί κατά 20^6 πρώτον σελίδιον έκκειμέναις μοίραις λ.

ρκ

κδ ιε νζ

μη λα νε

ξ

ρκ

1. π ρος 2 m . προς τά VF,bPJ | 3. τό ν τ ε ξ : τό ν τε τ ώ ν ξ L | 4. ύπ ό α ' καί δ ' : υπ ό τ ο υ αθυ καί δον [το υ, ου, ου add al m] F υπό τ ο ϋ αου και δ °υ [το υ supr scr] J | 5. ώς a’ : corr in δέ α [al m ?] J | και β' τό ν ξ καί γ ' : δεύτερ ον τό ν ξ καί τρ ίτο ν [δεύτερ ον, τρ ίτο ν in ras] F | 6. μ η λα ν ε : μ η λα νβ L | 7. γ ε ν ό μ ε ν α : γενόμ ενα μ οιρώ ν [ex γενόμ ενα corr] F | ,β~\ια ν ε : ,βνα νε L βω π λα νε [in ras] F | εχομεν : εξομ εν VF^bPJ | 17. π εριφ έρεια ς : - α L | 18. ια λθ νθ : ια αθ λθ L | 21. ρκ — ρκ [L ,V F ] : ρκ : ξ : μη λα' νε' : κδ ιε νζ ,β~^ια νε' in textu b ; in mg PE ; n mg verticaliter, ac insuper horizontaliter ρ ξ κ μη λα νε J \

Ce qui correspond à notre résultat, puisque

Donc

a a d x — bc = ! c = ~d

x = —

a c V '1

Cette façon de décomposer un rapport en deux facteurs.ou de diviser un rapport par un autre est utile à connaître si l’on veut étudier les traités de musique grecs, où l’on trouvera le résultat de l’opération sans indication sur la méthode par laquelle on y arrive.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

‘T . ■; ;"■· ·

[B p . 7 1 -7 2 ]

commentaire sur l ’ almageste l . 1

CHAP. 1 4

577

Καί προς1 μεν τω τελευταίοι ακρω τω μη λα νε ή άφαίρεσις γεγένηται τον των κδ ιε νζ προς αυτόν λόγου, προς δέ τω πρώτω ή κατάλειχρις, έπεί και ή διά τών γραμμών άπόδειξις τον β των συντιθέντων τον έ ξ αρχής λόγον άφαιρούμενον είχεν τον δέ πρώτον καταλειπόμενον. 5

§ Πάλιν επί τής αυτής καταγραφής, βουλόμένος δεϊξαι πόσον λελόξωται

ή έξηκονταμοιρία του ζωδιακού από του ισημερινού επί τον αντον κύκλον, φησίν 2 · έστω πάλιν ή Ε Η τον ζωδιακού περιφέρεια μοιρών ξ, ώστε πάλιν, τον λόγου τής υπό την διπλήν τής ΖΑ προς την υπό την διπλήν τής Α Β μένοντος του τών ρκ προς τά μη λα νε καί τής υπό την διπλήν τής 10Ζ Θ μενούσης ρκ,

την μεν διπλήν τής Ε Η πέριφερείας γίγνεσθαι μοιρών

ρκ, καί την ύπ’ αυτήν ευθείαν τμημάτων ργ νε κγ. καί εάν αρα πάλιν από του τών ρκ προς τά μη λα νε λόγου άφέλωμεν τον τών ργ νε κγ προς τά ρκ, καταλειφθήσεται δ λόγος τής υπό την διπλήν τής Ζ Θ περι­ φέρειας προς την υπό την διπλήν τής ΘΗ δ τών ρκ προς τά μβ α μη.

§ πώς έλ διακοΰ.ς>

πόσον

λ ε < λ ό £ ω τ α ί>

ή ίξηκ χρόνοις ήτοι σνμμεανέρ αφαί< ρ α ς όρίζοντ α .>

1. BEA : Β Δ Θ L | τό Ζ Η Θ : τόν Ζ Η Θ L | 2. τον διά : διά VF,bPEJ | πα­ ραλλήλου : παράλληλον bP COIT ex παράλληλον E J | 3. σφαίρας : περιφέρειας comp J I 3-4. τά Β ,Δ — εϊσ'ιν: om bPE | 4. τής σφαίρας: om bPE τής περι­ φέρειας comp J I 5. ή δμοία : coir in καί όμοια F ή όμοια L | 6. παραγίνεται : om V F,bP J I αχήσει: εξει bPJ | 7. Λ Μ : A M L \ 14. δρ ίζο ντα : δρίζοντα Ε ξ ζ [i.e. έξής τό σχήμα], L δρίζοντα. figura reliqua columna vacua. Deinde pag seq sine titulo ιεξελθών etc. [i.e. lib. 2 Theonis] F δρίζοντα. rubr τέλος τοϋ πρώτου βιβλίου dein 1 η rubr et lib 2 Theonis V δρίζοντα. Dein lib 2 Theonis bPEJ 18. χρόνους: χρόνον V F , bP E J | 19. ανατολών : -λής J | 20 .φέρεσθαι — κα­ ταμετρήσεις : om L

(1) Cfr A u t o l y c u s , De sphaera quae movetur etc., ed. Hultsch Leipzig, 1885, Index, s.v. Spoiog fp. 215-216).

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

7 8 -7 4 ]

c o m m e n t a ir e

sur

l

’a

lm a g este

L.

1 CHAP.

16

589

δμαλώς και τεταγμένως φερομένον μεγίστον κύκλου καταμετρεϊσθαι, | ποιείται την είρημένην άπόδειξιν επί του αυτόν θεωρήματος εψ

και τάς λοξώσεις άπεδείκνυεν, προσχρώμενος

τώ

ού

κατά διαίρεσιν δει-

χθέντι αυτώ σφαιρικώ θεωρήματι. Β

5

§ Έ κτεθείσης γάρτής αυτής καταγραφής 1 τουτέστιν τοϋ μεν δι άμφοτέ-

ρων των πόλων τοϋ Α Β Γ Α , ισημερινού δε τοϋ Α Ε Γ , κα'ι ζωδιακού τοϋ Β Ε Δ, ώστε τό Ε σημεϊον την κοινήν τομήν είναι τοϋ τε ζφδιακοϋ και τοϋ ισημερινοϋ, και άπολημφθείσης ομοίως τής Ε Η λόγου ενεκεν μοιρών λ, καί γραφείσης διά τον Ζ πόλον τοϋ ισημερινοϋ καί τοϋ δεδομένου τοϋ διά 10 μέσων των ζωδίων σημείου τον Η τεταρτημόριου μεγίστου κύκλον τον

Ζ Η Θ , έπιλογίζεται έκ των έμπροσθεν είρημενών

την

συναναφερομένην

αυτή τον ισημερινοϋ τουτέστιν την Ε Θ · αυτή γάρ συναναφέρεται τή Ε Η τοϋ ζωδιακού,

διά τό τον Ζ Η Θ κύκλον διά των πόλων όντα τής σφαίρας

Ισοδυναμεϊν τω επ' ορθής τής σφαίρας όρίζοντι, καί άμα τό κοινόν αυτών

§ πόσοις χρ ή λ μοΐρμερινοΰ ύρίζοντα ή' .

6. ιε ■ λοιπή : ιε επε'ι καί ολη ή εα λοιπή [επεϊ — εα expunct] F [ χρόνων 2m : χρόνων έστίν bPJ | 7. δλη ή : δλη L | 8. τή Ε Θ περιφερεία : τής Ε Θ περι­ φέρειας V F,bP J | καί : om bPJ | 10. είναι τής : είναι τής διαφοράς τής bPJ | 16. εν φ : ώς F | 16-18. εν τοσούτψ — επί τό Ο : om J [ 18. άνατολής : -λών bPJ | 19. ήμέρας. ώ σ τ ε : ήμέρας άλλά καί ή ΕΑ τής ίσημερινής ώ στε [άλλά — ίσημερινής cancell] J |

(1) A lm ., 91, 8-11. (2) Évidem ment le cercle tout entier, pas l ’arc KH. De même pour M O .

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

618

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 13-14-15]

όμοια, ή δέ Η Λ τή Θ Γ · καί ή Α Ξ αρα τή Θ Γ έστίν όμοια, καί είσιν του αυτόν κύκλου · ϊση αρα ή Α Ξ τή ΘΓ.

καί κοινής άφαιρεθείσης της Θ Ξ

λοιπή αρα ή Α Θ λοιπή τη Γ Ξ έστιν ϊση. έστιν δέ καί όλη ή Α Ε όλη τή Ε Γ ιση. καί λοιπή αρα ή ΘΕ λοιπή τή Ε Ξ έστίν ίση, δπερ έδει δεϊξαι. 5

§ Δειχθείσης οϋν τής Ε Θ επί του υποκειμένου κλίματος ώρας α δ',

χρόνων δέ δηλονότι ιη με, καί λοιπής τής ΘΑ χρόνων οα ιε, προσχρήται εις την κατάλημψιν τής Ε Η περιφέρειας τον όρίζοντος τω δειχθέντι σφαιρικώ θεωρήματι έν τω πρώτω βιβλία) 1 επί τής κατά σννθεσιν των λόγων άνάπαλιν λήμψεως, καί φησιν * 2 10 . « Έ π ε ί οϋν κατά τά αυτά τοίς έμπροσθεν άποδεδειγμένοις εις δύο με» γίστων κύκλων περιφέρειας τάς Α Ε καί Α Ζ δύο γεγραμμέναι είσίν αΐ

νΖ Θ καί ΒΕ τέμνουσαι άλλήλας κατά τό Η , ό τής υπό την διπλήν τής ΘΑ » προς την υπό την διπλήν τής Α Ε λόγος σνγκειται εκ τε του τής υπό » την διπλήν τής ΘΖ προς την υπό την διπλήν τής Ζ Η καί τού τής υπό

15 » την διπλήν τής Η Β προς την υπό την διπλήν τής ΒΕ.

άλλ’ ή μεν τής ρμβ λ » (αυτή γάρ κατείληπτο οα ιέ) « καί ή νπ' αυτήν ευθεία τμημάτων ριγ λζ νδ, ή δέ τής Α Ε περι-

» 614 περιφέρειας διπλή μοιρών έστιν » φερείας διπλή μοιρών

ρπ,

καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία τμημάτων ρκ. καί

» πάλιν ή μέν τής ΘΖ διπλή μοιρών ρπ, » έπεί καί αυτή ή ΘΖ εκ πόλου οϋσα 20 έπί τον ισημερινόν τών του τεταρτημόριου έστίν μοιρών η, ή δέ υπό τάς

ρπ μοίρας ευθεία τμημάτων ρκ, « ή δέ τής Ζ Η διπλή μο ρών ρλβ ιζ κ, » διά τό καί τήν ΘΗ περιφέρειαν μοιρών τυγχάνειν κγ να κ τής με­ γίστης λοξώσεως έπεί καί τό Η σημείον υποκεϊται χειμερινόν τροπικόν, τήν δέ διπλήν αυτής μοιρών μ ζ μβ μ, είναι δέ καί τήν διπλήν τής

§ π οίω θ< ςεω ρήμ ατιζ> π ρ ο σ χ ρ < ζή τα ι εις τή ν κατάληζ>·ψιν τ ή ς Ε < ζΗ π εριφερείαςζ> τ ο ν ό ρ ίζ< ζοντοςζ> . 1. ή δέ — όμοια : om bP | 4. δηερ έδει δεϊξαι : om VF,bPJ. | 7. δειχθέντι : -ros bP I 8. κατά : om J | 10. α ύ τ ά : αυτά και Υ | άποδεδειγμένοις : corr ex άποδειγ- m1 L -μένα J | 13. υπό τήν : om supr ser F | σ νγ κ ειτ α ι: συνήπται V F,bP J I 14-15. καί τοϋ τής υπό τήν διπλήν τής Η Β : om in mg suppi ϊ7 16. κατείληπτο : corr ex -ειηπ- m1 L | 19-20. εκ πόλου — ισημερινόν : έκ τον πόλον οϋσα προς τον ίσηιιερινόν V | 23. επεί και τό Η : τό )'ά ρ.Η ^Ρ 3 | ύπόκειται χειμερινόν: χειμερινόν ύπόκειται bPJ | 24. τήν δέ — μοιρών: om VF, bPJ I μ ζ μβ μ : om VF.bPJ μβ μ ζ μ L correxi | είναι — τής : τήν δέ διπλήν tcojJs V F ή δέ διπλή τής bPJ | (1) Cfr. ci-dessus, p. 562, 12. (2) A lm ., 91, 13-92, 15.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 83-82]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 2

619

ΘΖ μοιρών οπ, και λοιπήν καταλείπεσθαι την διπλήν της Ζ Η των είρημένων μοιρών ρλβ ιζ κ, την δε νπ’ αυτήν εύθεϊαν τμημάτων ρθ μδ νγ. « ’Εάν αρα από τον λόγου τών ριγ λζ νδ προς τα ρκ, άφέλωμεν τον » τών ρκ προς τα ρθ μδ νγ,

καταλειφθήσεται ημιν ό της υπό την δι-

5 » πλήν της Η Β προς την υπό την διπλήν τής ΒΕ λόγος, » προς τα

ό τών ργ νε κζ

ρκ. »

« Και | εστιν ή υπό την διπλήν τής ΒΕ περιφέρειας τμημάτων ρκ · και » ή υπό την διπλήν αρα τής Β Η

περιφέρειας

ευθεία

τμημάτων εσται

» ργ νε κζ, » ή δε έπ αυτής περιφέρεια τοντέστιν « ή διπλή τής Η Β περι10» φερείας μοιρών ρκ, αυτή δε ή Β Η μοιρών ξ. « Και λοιπή αρα ή Η Ε » έπιζητουμένη τοϋ δρίζοντος περιφέρεια μεταξύ

του τε Ισημερινόν και τοϋ χειμερινού τροπικού επί τής νποκειμένης οίκήσεως έσται « μοιρών λ οιων ο δ ριζών τξ, δπερ έδει δείξαι. » § Γίνεται δέ ή άφαίρεσις καί ή κατάλειψις τοϋ λόγον ούτως · 15

Πολλαπλασιάζομεν τον ρθ μδ νγ επί τον ριγ λζ νδ, δν τρόπον ύπεδείξαμεν έν τοίς εις τό πρώτον βιβλίον 1 · καί τον σνναγομένον μερίζοντες παρά τον ρκ εύρίσκομεν τον ργ

νε κζ,

καί εσται γεγονώς ώς

ριγ λζ νδ προς ρκ ούτως ργ νε κζ προς ρθ μδ νγ. Καί μέσου τούτων λαμβανομένου τοϋ ρκ,* έάν άπό τοϋ τών ριγ λζ νδ 20 προς τά

ρκ λόγον τοντέστιν τόϋ τής υπό τήν διπλήν τής ΘΑ προς τήν υπό τήν διπλήν τής ΑΕ, τοντέστιν τοϋ τών ργ νε κζ προς τά ρθ μδ νγ %φαίρεαις < καί ή κατάλειψιςζ> τοϋ λόγον.

1-2. Θ Ζ — εύθεΐαν : Ζ Θ μοιρών ρπ, καί ή νπ’ αύτήν ευθεία μοιρών ρκ, ή δέ ύπό τή ν Ζ Η ευθεία bPJ | 2. τμημάτων ρθ μδ ν γ : ρθ μδ νγ τμημάτων V | 3. λόγου τ ώ ν : λόγου τοϋ τών VF,bPJ | ρ ιγ λζ ν δ : ριγ λ ζ va L | ο-8. τής Η Β — εύθεϊα τμημάτων : om mg suppi J | 5. ργ νε κς : ργ νε κγ F 9. ργ νε κζ : ργ νε κγ F | 10. ρκ : ρκ έγγιστα bPJ | 12. τοϋ τε : τοϋ bPJ 13. δπερ έδει δεΐξαι : om bPJ | 18. ρθ μδ νγ : ρθ μα νγ L | 619, 19 - 620, 1. έάν άπό — έπορισάμεθα : έάν άπό τοϋ τών ργ νε κς προς τα ρθ μδ νγ λόγου, τοντέστιν δν έχει ή ύπό τήν διπλήν τής ΘΑ προς τήν ύπό τήν δι­ πλήν τής Α Ε , τοϋ αύτοΰ δντος τφ τών ριγ λζ νδ προς τά ρκ bPJ | 619, 20. λόγου τοντέστιν τοϋ τής : λόγου άφέλωμεν τον τής L λόγου άφέλωμεν τοντέστιν τον τής [άφέλωμεν eras sed adhuc legitur F] V F | 21. ύπό τ ή ν : om L I τοϋ τ ώ ν : τον τών L [ ργ νε κ ζ : ργ νε κδ V ργ νε κγ F | ρθ μδ ν γ : ρθ μδ νε V ρθ κδ νγ F [ (1) Cfr. ci-dessus, p. 575,8 sqq. L a méthode suivie ici est exactement celle de la p. 591,5, si l ’on admet le texte que nous proposons : l’archétype a dû copier âipé^iofisv par erreur mécanique, en passant une ou deux lignes. Il est arrivé ainsi au texte de V F . Le texte de L est un essai de correction. L a bonne

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[H p. 15-16-17]

THÉON D’ALEXANDRIE

620

(τόν γάρ αυτόν αύτφ τούτον έπορισάμεθά) άφέλωμεν τά

τον των ρκ προς

ρθ μδ νγ, τουτέστιν τον της υπό την διπλήν τής ΘΖ προς την υπό

την διπλήν τής ΖΗ,

καταλειφθήσεται δ λόγος ο των ργ νε κζ προς τά

ρκ, τουτέστιν ο τής υπό την διπλήν τή ςΗ Β προς την υπό την διπλήν τ ή ς ξ,ΒΕ. και έστιν ή υπό την διπλήν τής ΒΕ

τμημάτων ρκ.

και ή υπό την

διπλήν αρα τής Η Β περιφέρειας ευθεία τμημάτων έσται ργ ριγ λζ νδ

[Πώς1 * των πόλου 10

αυτών

ργ νε κζ

ρκ

υποκειμένων

δίδοτ αι

και

τ ό

νε κζ. |

ρθ μδ νγ

τ ό

έξαρμα

του

άνάπαλιν],

Ά π οδείξα ς επί του διά '.Ρόδου παραλλήλου ένθα ή μεγίστη ήμερα ωρών έστιν Ισημερινών ιδ / / τό προτεθέν αύτφ θεώρημα, τουτέστιν δν τρόπον επί πασών των οικήσεων ήτοι των διά τών κατά κορυφήν αύτφ παραλλή­ λων τφ Ισημερινοί, δοθέντος του τής μεγίστης ημέρας μεγέθους, ή απο­ λαμβανόμενη του ορίζοντας περιφέρεια μεταξύ του τε ισημερινού καί

15τοϋ άνατέλλοντος τμήματος του διά μέσων τών ζφδίων (λέγω δή του τροπικού) λαμβάνεται, έρχεται επί τό προκείμενον κεφάλαιον. § ’Έ στιν δέ τοιοϋτον, « πώς δοθέντος του τής μεγίστης ημέρας μεγέθους » καί τό έξαρμα τον πόλου δίδοται », τουτέστιν ή τών πόλων από του

δρίζοντος άπόστασις επ ί τον μεσημβρινόν, ήτις Ιση έστιν τή από του κατά

§ πως δοθέντος < τ ο ΰ τής μεγίστης ήμέραςζ> μεγέθους, κα'κζτό έξαρμα τοΰ ιη όλον> δίδοται, τουτ τοΰ όρ ίζο ν< τος άπόατααιςζ> επί τόν μ ί’ ση έστI τρυφήν άποστά έλέγοσεω ς.

2. τόν τής υπό : τόν λόγον τής υπό bPJ τήν ύπό την V | 3. ργ νε κζ : ργ νε κδ V ργ νέ κγ Έ \ 12. αύτφ : αυτών γραφόμενων bPJ | 14. όρίζοντος : όρι­ ζαν Ρ | 17. πώς : πώς αν νΡ,ΡΡ,Ι | 18-19. ή τών πόλων — άπόστασις : ή — άπόστασις τών πόλων bPJ | 19. ήτις ίση έστιν : ήτοι ή τον ισημερινού V ή τής εις Ρ | 620, 19 - 621, 1. τή από τοΰ κατά κορυφήν : οιη Ρ άπό τοΰ κατά κορυφήν V τή τον κατά κορυφήν 6Ρ 4 |

correction est celle qu’une main postérieure a faite dans F : Supprimer à 14, où l’on suit exactement la même variante du procédé de décomposition. La recette est suivie mécaniquement, comme toujours, au point qu’un peu plus loin, on multiplie une quantité par 120 et immédiate­ ment après, on divise par 60. Le produit intermédiaire n’ étant pas mentionné, il est clair qu’ en réalité Théon a multiplié par 2. Mais dans son exposé, il ne veut pas s’ écarter d’une ligne de la formule générale, pour bien l’inculquer à ses élèves. Cette formule doit leur paraître bien compliquée, puisqu’il y revient à tout moment. Voir encore p. 623, 19.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 84-85] ως ξ προς

commentaire sur l ’almageste

λε ιζ

λη

ούτως ρκ

σαντες τον ρκ επί τον λε ιζ λη,

L. 2 CHAP. 3

623

προς ο λγ έγγιστα, πολλαπλασιάκαί μερίσαντες παρά τον ξ

καί εκ

του μερισμού ευρίσκοντες την υπό την διπλήν της ΖΒ περιφέρειας ο λγ καί λαμβάνοντες την ε π ’ αυτής περιφέρειαν μοιρών τνγχάνονσαν

οβ

5 έγγιστα, καί ταυ της την ήμίσειαν, εξομεν την ΖΒ έπιζητονμένην τού

εξάρματος περιφέρειαν μοιρών λη λδ κβ

ριγ λζ νδ

λζ.

λε ιζ

λη

ξ

ργ νε κγ

ο λγ

ρκ.

§ ’Έ στω δη καθώς εν τώ κεφαλαίω επηγγείλατο καί τό άνάπαλιν δεΐξαι τοντέστιν πώς άν δοθέντος τού εξάρματος ικ παρατηρήσεως ήτοι διά

10 τών κρίκων ή τής πλινθίδος, 1 καί ή διαφορά τής μεγίστης ή ελάχιστης ημέρας παρά την ίσημερινήν < δ ίδ ο τα ι> τοντέστιν περιφέρειας * αν τη γάρ ή Ε Θ εδείχθη ελάχιστης ή

μεγίστης

ή

διαφορά ονσα τής

διπλή τής ΕΘ ήμισείας τής

ημέρας προς την ήμίσειαν τής ίσημερινής, επεί

καί ή ΕΑ τού ισημερινού από τού ορίζοντας εστιν επί τον μεσημβρινόν, 15 τοντέστιν από ανατολής έως ώρας έκτης.

Χρήται οϋν τή αποδείξει πάλιν επί τής αυτής καταγραφής, προσχρώμενος τή κατά διαίρεσιν τού λόγου λήμφει. * Καί έστιν σαφή τά επί τών γραμμών καί επί τών μεγεθών λεγάμενα. Φησί δε πάλιν επί τής άφαιρέσεως καί τής καταλείψεως τού λόγου, δτι 20« εάν άπό τού τών ο λβ γ προς τά ρζ δ νζ λόγου » τοντέστιν τού τής

υπό την διπλήν τής Ζ Β προς την υπό την διπλήν τής ΒΑ « άφέλωμεν τον » τών ρθ μδ νγ προς τά μη λα νε », τον τής υπό την διπλήν τής Ζ Η προς την ύπό την διπλήν τής Η Θ , « καταλειφθήσεται ήμίν ό τής υπό » την διπλήν τής ΘΕ προς την υπό) την διπλήν τής ΕΑ λόγος, ό τών 25 » λα

ια κζ προς τά

ρζ

δ νζ » φ λόγω ό αυτός εστιν δ τών

λη λδ

% £ ά ρ μ α τ ο ς τοι διά τ ώ ν ινθίδ ος καί ή ε γ ί σ τ η ς ή ελάχισ της < ημέρας παρά την Ιαγ>ημερινήν δ ίδ ο τ α ι < ζ το ν τέ σ τι ν ή διπλ~ς>ή τής ΕΘ.

1-2. πολλαπλασιάσαντες : πολλαπλασιάσαντες γάρ V F | 2. τον ρκ επί τον λε ις λη : om bPJ τον λε ις λη επί τον ρκ Y F J 2-3. καί μερίσαντες — μερισμόν: om bP J | 3. εύρίσκοντες : εύρίσκοντες.οϋν bPJ | 5. ταύτης : -ταις F -την bP I 8. δή : δή πάλιν bPJ | κεφαλαίω : κεφαλαίω τούτφ bPJ | 11. < δ ί δοται> : om omnes, suppleui | 13. ή : om suppi. L | 14. τον : τό L | 18. επί 2m : om bPJ | 19. τής 2 m : om VF,bPJ | 20. ο λβ γ : Ο Λ Γ L |

(1) Ci-dessus, 1er livre, ρρ. 513, 17 sqq. et 522, 4 sqq.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

624

THÉON D’ALEXANDRIE

προς τα ρκ. καί έστιν ή υπό την διπλήν της ΕΑ ή υπό την διπλήν αρα τής Ε Θ εσται λη λδ.

[H p. 19-20] τμημάτων ρκ.

καί

§ Γέγονεν δέ ήμϊν ή εϋρεσις όντως · πολλαπλασιάσαντες γάρ πάλιν τα

μη

λα

5 ρθ μδ μη λα

νε επί τα

ο

λβ γ, καί

νγ, εϋρομεν νε ούτως ο

τα γενόμενα μερίσαντες παρά τον

λα ια κς, καί γέγονεν ώς ρθ μδ ?φ γ προς λα ια κζ. καί εάν από

ο λβ γ προς τά ρζ δ νς

λόγουάφέλωμεν

λα ια κζ τον αυτόν όντα τω των ρθ λειφθήσεται ό των 10

λα ια κζ

τον των ο

νγ προς του των

λβ γ προς τά

μδ νγ προς μη λα νε, κατα-

προς τά

ρζ (5 νς.

Καί ΐνα τούτον τον λόγον πάλιν εις τον ρκ μεταγάγωμεν, πολλαπλασιάσαντες τον ρκ επί τον λα ια κζ, καί τά γενόμενα μερίσαντες παρά τά ρζ δ νς, εϋρομεν έκτου μερισμού τον λη λδ, καί γέγονεν ώς λα ια κζ προς τά ρζ δ νζ, ούτως λη λδ προς ρκ. Δεδομένης ουν τούτον τον τρόπον τής υπό την διπλήν τής Ε Θ περιφε-

15 ρείας ευθείας τμημάτων λη λδ, έξομεν δεδομένην καί την επ’ αυτής πε­

ριφέρειαν τοντέστιν την διπλήν τής Ε Θ , μοιρών λζ λ έγγιστα, ώρών δέ ισημερινών δηλονότι β

¿ ', διά τό την ίσημερινήν ώραν χρόνων είναι ιε.

δπερ προέκειτο δεϊξαι.

20

ο λβ γ

λα ια κζ

ρζ δ νζ

ρθ μδ νγ

μη λα νε

λη λδ

ρκ

§ Πάλιν, του εξάρματος δοθέντος, δέον έστω ευρείν την είρημένην του

δρίζοντος περιφέρειαν μεταξύ του τε ισημερινού καί του άνατέλλοντος σημείου του διά μέσων των ζωδίων, ώς την ΕΗ.

§ πώς γέγο. § πώ ς πά λ κ ξν τον εξάρματος> δοθέντος είρημένην< τ ον όρίζοντο ς > περιφέρειαν < μεταξύ του τε ίαης>μερινοϋ και < ζτού άνατέλλοντος~ς> σημείου του δ ζψδίων ώ ς< ζ τ ή ν ΕΗ^>. 2 1 *

1. τμημάτων : om bPJ | 5. ευρομεν : εϋρομεν έκ τοϋ μερισμού bPJ | 6. ού­ τως : οϋτως ό L | λα ια κς : λα ια κγ Ρ | 8. τον αυτόν — μη λα νε : om V F,bP J j 8-9. καταλειφθήσεται: om F καταλειφθήσεται ό λόγος Y ,bP J | 9. ό τών λα ια κ ζ : om F [in m g : καταλείπεται ο τών λα ια κζ] \ 10. τού­ τον τον λόγον πάλιν : πάλιν τούτον τον λόγον bPJ | τον ρκ : τον τών ρκ V | 12. μερισμού τον λη λδ : μερισμού τον τών ρκ Sp 5 litt προς τον λη λδ Sp 2 litt V μερισμού προς τον λη λδ [κε add al m] F | 15. ευθείας : om bPJ | λη λδ : λη λδ [κε add al m] F j 17-18. δπερ — δεϊξα ι: om bPJ |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 85]

COMMENTAIRE SUR L’ALMAGESTE L. 2 CHAP. 3

625

Χρήται δέ πάλιν προς τήν τοιαύτην άπόδειξιν τη αυτή καταγραφή ύποθέμενος ομοίως άνατέλλειν τό χειμερινόν τροπικόν διά τοΰ Η ση­ μείου, καί φησιν · πάλιν διά την καταγραφήν ο της υπό την διπλήν της

ΖΑ προς την υπό την διπλήν της Α Β λόγος συνήπτα^ 5 την διπλήν τής Ζ Θ προς την

εκ τε τοϋ τής υπό

υπό την διπλήν τής ΘΗ και τοϋ

τής υπό

την διπλήν τ ή ς Η Ε προς την ύπό την διπλήν τής ΕΒ. Και έπεί δέδοται ή ΖΑ τεταρτημόριου, δέδοται καί ή ΒΑ, έπεί καί ή ΖΒ τοϋ εξάρματος, δέδονται αρα καί αί διπλαϊ αυτών καί αί ύπ’ αύτάς ευθείαι, ώ στε δέδοται ό τής υπό την διπλήν τής ΖΑ προς την υπό την διπλήν τής 10 Α Β λόγος, πάλιν, έπεί δέδοται ή Ζ Θ τεταρτημόριου, δέδοται δέ καί ή ΘΗ

τής λοξώσεως, δέδονται αρα καί αί διπλαί αυτών, καί αί ύπ’ αύτάς εύθεϊαι, ώστε δέδοται καί ο τής ύπό την διπλήν τής Ζ Θ προς την ύπό την διπλήν τ ή ς Η Θ λόγος, εάν ούν πάλιν από τοϋ λόγου τοϋ τής ύπό την δι­ πλήν τής ΖΑ προς τήν ύπό την διπλήν τής Α Β άφέλωμεν τον τής ύπό την 15 διπλήν τή ςΖ Θ προς τήν ύπό τήν διπλήν τής ΘΗ, καταλειφθήσεται λόγος ό τής ύπό τήν διπλήν τής Η Ε προς τήν ύπό τήν διπλήν τής ΕΒ, ό τών ξ προς τά

ρκ.

Καί έστιν ή ύπό

τήν διπλήν τής ΕΒ τμημάτων

ρκ · καί ή ύπό τήν

διπλήν άρα τής Η Ε τών αυτών εσται ξ. 20 "Ω στε καί ή έπ’ αυτής περιφέρεια τουτέστιν ή διπλή τής Η Ε μοιρών έσται ξ αυτή δέ ή Η Ε μοιρών λ, δπερ έδει δεϊξαι. « Φανερόν δέ ότι καν μή τό χειμερινόν τροπικόν

σημείον ύποθώμεθα

» άνατέλλειν, τών άλλων δέ τι τοϋ διά μέσων τών ζωδίων κύκλου τμη-1

1. ζοντος τομάς. § πόρισμα. § τά υπό τώ ν ίσων πα θερινήν και τήν ίσ ήνήν καί τήν χειμερ και τό έξαρμα κ α ί < ή μ ετα ξύ των τρο> π ικ ώ ν .

1. Γ Ε Δ .•' Γ Ε Δ γωνία bPJ | δρθή γ ω ν ία : οϋσα δρθή bPJ | 2. ϊ σ α ς : οιη bP 3. τφ Ε ; των Ε ί , | 5. εατίν τ ω ν : εα τινΎ Ρ εσται bPJ ] 6. ώς : ΟΙΠ Υ 9. τήν 2“ .' τούς V τάς Ρ ^ Ρ 3 | 11. δτι και άνάπαλιν : οιη Υ Ρ ^ Ρ 3 | μόνοι λίγοι δοθώσιν.: μόνοι δοθώσι λόγοι V μόνοι δοθώαι bPJ: | 15. δίδονται : δίδοται V | 17. και ένταϋθα : οιη bPJ ενταύθα V I" | δι’ δ καί δίδονται: δίδονται Υ πώς δίδονται ¥ δι’ ήν δίδοται bPJ [ αί λοιπαί: καί ή λοιπή bPJ ] 17-18. καί φησϊν πάλιν : φηαί πάλιν V λόγων bPJ | 18. ϊσας είναι: εϊνάι ϊσας V | ΘΔ : ΘΑ ί. | 20. πρώτος : πρώτος ο V πρώτον ό bPJ | τον τε Γ Ε : τοϋ Γ Ε bPJ |

(1) A lm ., 100, 16-18. (2) A lm ., 100, 20-21. (3) Ci-dessus, p. 636.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

644

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 34-35-36]

Γ Ε γνώμονος προς την Γ Κ θερινήν σκιάν και την Γ Ζ ¡.σημερινήν, και δέον έστω ενρεΐν τό τε έξαρμα τής οίκήσεως και την μεταξύ των τροπικών. ,Επει ούνέν τω νποκειμένω διά Ρόδου κλίματι έδείχΟη1 οιων δ Γ Ε γνώμων ξ τοιοντων ή Γ Κ θερινή σκιά ιβ νε, και έστιν τά από των Ε Γ , Γ Κ 5 ισα τω από τής Ε Κ , εάν αρα τά γχ τον από τής Ε Γ σννθώμεν μετά των

γινομένων από τής Γ Κ ρξς ν, και των συναγομένων ,γψξζ ν πλευράν λάβωμεν τετραγωνικήν, γίνεται ξα κβ λα. 2 έσται \ ή Ε Κ ξα κβ λα

1. Γ Ζ : Γ Ξ L I 3. τφ : om add al m J | 5-6. μετά — ρξς ν : τοϊς άπό τής Γ Κ , ρξς ν ΝΡ NPJ [μει,ά— Γ Κ om b] | 7. λάβωμεν τετραγωνικήν : λάβωμεν Δ ' L λάβωμεν â V F,bP J | ξα κβ λ α : ξα κβ λ bPJ j

(1) Ci-dessus, p. 640, 7. (2) Cette racine est inexacte: il faudrait 61p 22' 2 8 " . L a réduction pro­ portionnelle qui suit est à son tour erronée : au lieu de 25p 15' 1 6 " pour ΓΚ , il faut 25p 15' 7 " si on a pris 61p 22' 3 1 ". E t finalement, si l ’on prend pour Γ Κ 25? 15' 1 6 " , on trouvera arc Γ Κ = 24° 17' 9 " au lieu de 24 ° 17' 2 0 ". Tous ces chiffres erronés semblent provenir de l ’archétype. Si l ’on admet qu’ils viennent de Théon, il faut croire qu’il a déformé ses résultats de façon à aboutir à tout prix à Γ Θ = 12° 8' 4 0 " qu’il trouvait dans l’AImageste 99, 19. Il en est parfaitement capable. Mais on peut aussi supposer qu’il a négligé les secondes, soit qu’il ne les ait pas écrites du tout, soit qu’il leur ait assigné des valeurs approximatives pour s’ épargner les calculs : elles sont sans importance pratique, et constituent une précision illusoire : observer la longueur d’ombre à 1' près ou même à 5 ' près, comme au chapitre suivant (cfr ci-dessous, p. 654, η. 1), doit déjà être impossible, sauf peut-être avec un de ces très grands gnomons à trou comme on en a construit depuis le x v iie siècle jusqu’au commencement du x ix e. Mais le gnomon à trou est inconnu de l’antiquité, et ici, il est clairement question d’observer l’ extrémité de l’ombre (cfr ci-dessous, p. 648, 3). Théon ne se fait pas d’illusion là-dessus, à preuve la conclusion sceptique du présent chapitre, p. 648, 8. L a façon pra­ tique de calculer la latitude est de la déduire de la longueur du jour (cfr. ci-dessous, p. 675, 11). Notre seconde hypothèse n’ est donc pas sans vraisem­ blance. A partir de la p. 645, 24, il supprime même complètement les données numériques, et cela nous vaut un échantillon, assez rare, de la façon dont on exposait de façon abstraite la « synthèse » d’un problème : elle consiste à con­ struire la phrase comme s’il y avait des chiffres que Ton n’ énonce pas : on aboutit ainsi à un langage assez énigmatique, comme par exemple la phrase : εύρήσομεν το άπό τ ή ς 'E N και αυτήν τήν Ε Ν οιων ή Ν Γ (ci-desSOUS ρ.645, 29.) Peut-être dans l’ exposé oral, un geste ou un arrêt indiquait-il qu’on devait sous entendre des nombres quelconques, qui complétaient la construction grammaticale, impossible à faire sans eux,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[Β ρ. 90] οΐων ή Κ Γ κε ιε ιζ.

COMMENTAIRE SUR l/ALMAGESTE L. 2 CHAP. 5 ιβ νε. καί οΐων αρα ή Ε Κ ρκ, τοιούτων έσται

Και εάν γράψωμεν περί το Ε Γ Κ ορθογώνιον κύκλον, επί της Γ Κ ευθείας περιφέρειαν μοιρών κδ ιζ κ. 5

645

καί ή Γ Κ

εύρήσομεν καί την

"Ωστε καί η υπό Γ Ε Κ γωνία, προς τη περιφερεία οϋσα του περιγραφομένου κύκλου, τοιούτων έσται κδ ιζ κ οΐων αί δύο δρθαί τξ, οΐων δέ αί δ, ώς προς τω κέντρω τυγχάνουσα τοϋ Α Β Γ Δ αυτή αρα ή Γ Θ περιφέρεια έσται ιβ η μ.

μεσημβρινού,

ιβ η μ.

καί

'Ομοίως έπεί οΐων ο Γ Ε γνώμων ξ τοιούτων έδείκνυτο καί ή Γ Ζ ίση10 μερινή σκιά μγ

λζ, εάν πάλιν συνάγωμεν τά απ' αυτών, εύρήσομεν τό άπό τή ςΕ Ζ καί αυτήν τή ν Ε Ζ δεδομένην.

Καί οΐων αρα ή Ε Ζ ρκ, δοθήσεται καί ή Γ Ζ , καί ή επ' αυτής περιφέρεια τοϋ γραφομένου κύκλου περί τό Ε Γ Ζ ορθογώνιον, ώστε καί ή υπό Γ Ε Ζ γωνία δοθήσεται, ώς προς περιφερεία τοϋ αύτοϋ γραφέντος κύκλου περί τό 15 Ε Γ Ζ ορθογώνιον · ώστε καί ή υπό Γ Ε Ζ γωνία οΐων αί δύο δρθαί · ώς δέ

προς τω Ε κέντρω τοϋ μεσημβρινοϋ οΐων αί δ δρθαί.

ώστε

καί ή

ΓΔ

περιφέρεια συναχθήσεται ίση οϋσα τώ έξάρματι · έστιν γάρ άπό τοϋ Γ κατά κορυφήν επί τό Δ ισημερινόν. Ηϋρηται δέ καί ή Γ Θ

ιβ η μ · καί λοιπήν αρα εξομεν τήν Δ Θ, ήτις

20 έστιν άπό τοϋ τροπικοϋ επί τον ισημερινόν μοιρών κγ να κ.

'Ίση δέ ή Δ Θ τή Δ Μ. ώστε καί δλην τήν ΘΜ άπό τοϋ θερινού τροπικοϋ επί τό χειμερινόν μεταξύ τών τροπικών περιφέρειαν έσόμεθα ηύρηκότες μοιρών μ ζ μβ μ, άπερ προέκειτο εύρεΐν. Πάλιν δή έστωσαν έτεροι δύο λόγοι δοθέντες, τουτέστιν δ τε τοϋ Γ Ε γνώ25 μονος προς τήν Γ Κ θερινήν σκιάν καί τήν Γ Ν χειμερινήν · καί διά τό δεδόσθαι τον λόγον τοϋ Ε Γ γνώμονος προς τήν Γ Κ , δοθήσεται ομοίως ή Γ Θ περι\φέρεια. ’Έ τι δέ καί έπεί δέδοται ο λόγος τής Γ Ε προς τήν ΓΝ, έάν πάλιν συνθώμεν τά άπ’ αυτών, εύρήσομεν τό άπό τής ΕΝ, καί αυτήν τήν ΕΝ, οΐων ή Ν Γ. 30 καί οΐων αρα ή Ε Ν ρκ,

τοιούτων καί ή Γ Ν έσται δοθεΐσα, καί ή έπ’ αύ-*1 9

3. Ε Γ Κ : Ε Γ καί L | 7. τφ : om L | Α Β Γ Δ : Α Β Γ L | 7-8. και αύτή — ιβ η μ : om VF,bPJ | 9. ο ΐω ν: οΐων έστιν bPJ | 10. μγ λ ζ : μζ λ ς Ε [ έά ν: εάν οϋν F | συ νάγωμεν: αυνθώμεν^ΕβαΡδ | 12. αυτής : - τ ή V | 13. Ε Γ Ζ : E & Z W | 14. περιφερεία τοϋ α ύ τ ο ϋ : τβ περιφερεία οϋσα τοϋ bPJ | 15. ώ στε — γωνία : om bP om add rng J | 17. έξάρματι : εξάρματι μοιρών jlfbP J | 19. ηϋρηται: ενρητο F,J | 20. μ οιρ ώ ν: om F [ 21. Θ Μ : ΘΔΜ\)Ρδ | 22. με­ ταξύ : μεταξύ δηλαδή bPJ | ηύρηκότες : εύρίσκοντες F | 23. μ ζ μβ μ. απερ : μ ζ μβ μα δπερ L | απερ — εύρεΐν : om bPJ | 29. τό άπό : τά άπό Υ τάς άπό F

| 645, 30 - 6 4 6 ,1. επ’ αύτής : ύπ’ αυτήν L επ’ αύτήν F

|

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

646

THÊON D’ALEXANDRIE

[H p . 36-37]

τής περιφέρεια, ώστε καί ή υπό Γ Ε Ν γωνία, οίων αί δύο δρθαί, καί οΐων αί τέσσαρες έσται δεδομένη. Καί διά τούτο καί ή Γ Μ περιφέρεια δοθήσεται. δέδοται δέ καί ή ΓΘ . καί λοιπή &ρα ή ΘΜ μεταξύ 5 ήμίσεια αυτής ή ΘΔ.

των τροπικών έσται δοθεΐσα, ώστε καί ή

Ή ν δέ καί ή Γ Θ δεδομένη · καίδλι, άρα ή Γ Δ ίση ονσα τη τοΰ εξάρματος έσται δεδομένη, απερ προέκειτο δειξαι. Δεδόσθω δη πάλιν, δπερ υπολείπεται, ό τοΰ Γ Ε γνώμονος λόγος προς έκατέραν την τε Γ Ζ ίσημερινήν σκιάν, καί τήν Γ Ν χειμερινήν. 10

Καί διά το δεδόσθαι τον τής Ε Γ προς Γ Ζ λόγον, ακολούθως πάλιν εύρήσομεν τήν τε Γ Δ του εξάρματος. Καί έτι διά τό δεδόσθαι τον τής Ε Γ προς Γ Ν λόγον, ομοίως δοθήσεται ή ΓΜ. Καί έπεί δέδοται ή Γ Δ τον εξάρματος, δέδοται δέ καί ή ΓΜ, καί λοιπή

15 ή Δ Μ δοθήσεται, ώστε καί ή ίση αυτής ή Δ Θ έσται δεδομένη, καί όλη ή

ΘΜ μεταξύ των τροπικών,δπερ έδει δειξαι. Μεταλαμβανόμενα δέ τά μεγέθη τών ευθειών οίων ή διάμετρος ρκ, διά τό καί τάς έν κύκλιο ευθείας όντως έκτεθείσθαι. 1 § Είτα έπεί έδίδασκεν ημάς πώς αν εκ τηρήσεως έχοντες τήν τε τονέξάρ20 ματος περιφέρειαν καί τήν μεταξύ τών τροπικών ευρίσκωμεν τούς είρη-

μένους λόγους τών γνωμόνων προς τάς σκιάς καί τό άνάπαλιν, πώς πάλιν εκ τηρήσεως λαμβάνοντες τούς λόγους του γνώμονος προς τάς σκιάς εύρίσκωμεν τήν τε τοΰ εξάρματος περιφέρειαν καί τήν μεταξύ τών τροπικών, έξής έρεϊ τί μάλλον δέοι προς άκριβεστέραν | κατάλημψιν εκ τών τηρήσεων

§ ποια εκ των τηβέστερον λαμβάν.

4-6. καί λοιπή αρα — καί ή Γ Θ : bis hab F | 6. τή τοΰ έξάρματος : τφ έξάρμάτι bPJ | 7. απερ — δειξαι : om bPJ | 11. Γ Δ : I l I L | 15. αυτής ': -τ ή bPJ | 15-16. δεδομένη καί δλη ή ΘΜ : δεδομένη sp circa 10 litt ή Θ Μ Ύ F καίδλη αρα ή eü íb P J I 16.' τροπικών : τροπικών εσται δεδομένη bPJ | δπερ — δειξαι: om bPJ [ 17. μεταλαμβανόμενα : μεταλάμβάνομεν bPJ | οίων: ποιούντες αύτάς οΐων bPJ | 18. έκτεθείσθαι : εκκεϊαθαι bPJ | 20. ευρίσκωμεν : -κοιμεν Υ -κομεν F ,b (sic quoque om suppi mg J] | 20-23. τούς — τροπικών : om in mg suppi J I 22. λαμβάνοντες : εύρίσκοντες J | τοΰ γνώμονος : τών γνωμόνων bP I 22-23. εύρίσκομεν : [κ supr ser rii1 L | 23. καί τήν : τήν Y F | 24; δέοι : δε 0 í L ;Y ; bPJ . 5. νπ’ α υτόν; επ’ αύτφ bPJ | 6. π ό τ ε ; καί πότε V,bPJ | 7. τάς : τής/L | σκιάς : -ας L | 10. άλλων: άλλων παραλλήλων’WY, bPJ | 11, ιδιωμάτων ; Ιδιωμάτων τών οικήσεων bPJ | 11-12. επί τ ώ ν — ούχί έπί : ora V F,bPJ | 12. τών οικήσεων : om bPJ J 13. καί 2m ; ora bPJ | υπό : έ π ί \ Υ | τον : τον αυτόν VF,bP J | Ιό. τής αυτής μεγίστης ήμέρας : τής ελάχιστης ήμέρας καί τής μεγίστης V τής ήμέρας τής μεγίστης F τής μεγίστης ήμέρας bPJ | 16. αύ· τούς λόγους : αύτούς bPJ j γνώμονας : γνώμονας λόγους bPJ | (1) Gir. ci-dessus, ρ. 611, η. 2. (2) A lm ., 101, 8.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

650

THEON D ALEXANDRIE

[H p. 39-40]

δρίζοντος περιφέρειαν την μεταξύ τον άνατέλλοντος και του ισημερινού έξη ς το έξαρμα μετεχειρίζετο και τα λοιπά, φησίν τάς αποδείξεις ποιεισθαι επί των υπό τους παραλλήλους οικήσεων κατά την παραύξησιν τού τετάρτου τής μιας ώρας ίσημερινής των μεγίστων ήμερων. 5

’ Επί τούτων γάρ των υπεροχών καλώς έχειν

ήγήσατο τούς έπιλογι-

σμούς ποιήσασθαι, διά το μήτε σφοδρά συνεχείς γίνεσθαι τους παραλ*λήλους καί άνεπαισθήτους τών ιδιωμάτων τάς διαφοράς, μηδέ πάλιν άγαν απ’ άλλήλων άφεστάναι καί μείζονας άπεργάζεσθαι παρά τάς ε ξ άναλόγου τοϊς χρόνοις τού τετάρτου τής ώρας έπιβαλλούσας 12 . 10

%Ποιείται ούν τάς ειρημένας καθόλου δείξεις επί τών είρημένων οική­ σεων, ήτοι τών δι αυτών παραλλήλων, την αρχήν από τού ύπ’ αυτόν τον ισημερινόν παραλλήλου ποιούμενος, τοντέστιν από τής ορθής σφαίρας. Είτα άρχόμενος τών τούτου ιδιωμάτων φησίν · « δς άφορίζει μέν » οϋτος τουτέστιν δ ισημερινός « τό προς μεσημβρίαν μέρος » από « τού δλου τε-

15 ΜΧάρτημορίου έγγιστα τής καθ’ ημάς οικουμένης » . 2 το γάρ δι αυτού επί­

πεδον χωρίζει τό τε νότιον τού παντός ήμισφαίριον από τού βορείου έν & έστιν ή καθ’ ημάς οικουμένη, έδείχθη 3 ^άρ αυτή περιέχουσα τό έτερον τών βορειότερων τής γής έγγιστα τεταρτημόριον. § « Μόνος δέ έχει τάς ημέρας καί τάς νύκτας ϊσας άλλήλαις » 4 διά τό 20 τον δρίζοντα διά τών πόλων δντα τής σφαίρας, οΐτινές είσιν καί τών παραλ­

λήλων διχοτομεϊν τούς παραλλήλους 5 καί ημικύκλια αυτών άπολαμβάνειν

i πόθεν την αρχήν τών ή άπό τοϋ ίσηοχή τοϋ ύποκειρου παραλ­ λήλου < μ ο ι ρ ω ν δ δ'ί>.

κήσεις χρή : άποτελούμένος, τάς oëv επί τον Ζ Θ Η οικήσεις χρή L άποτ λούμενος. τάς οϋν επί sp 10 lit χρή V F άποτελού μένος sp 1/4 lin χρή Ρ άποτελούμενος sp 20 lit Ν άποτελούμενος sp 30 litt χρή E άποτελονμενος [alinea] χρή b άποτελονμενος. τάς oëv επί τούτων τομάα-------------------------------------- χρή [sic ; i.e. lac postea suppi m] J | 1. Α Ν Δ : A H A L | 2. παραλλήλου : -λον [corr in ου J] bPJ I 7. ηϋρισκεν: εϋρ- V F,bP J | 9. e h a : καί bPJ | 10. έκεΐσε καταγραφής : καταγραφής τή εκεί V

|

(1) A lm ., 89, 19 ; cfr. ci-dessus, introduction au 1er tome, p. x v m .

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

660

THÉON D’ ALEXANDRIE

[H p. 46-47]

καί λημφθέντος του Η σημείου καθ’ ον το χειμερινόν τροπικόν ανατέλλει, και γραφείσης διά τον Ζ πόλον και τον Η της ΖΗΘ περιφέρειας, ομοίως διά την καταγραφήν ό της υπό την διπλήν της ΘΑ προς την υπό την διπλήν της Α Ε λόγος συνήπται εκ τε του τής υπό την διπλήν τής ΘΖ προς την 5 υπό την διπλήν τής ΖΗ καί τον τής υπό την διπλήν τής ΗΒ προς την δπό την διπλήν τής ΒΕ. Άλλ’ ή μέν τής ΘΑ περιφέρειας διπλή μοιρών έστιν ροζ ιε · ή γάρ ΘΕ, ήμίσεια οΰσα τον διαφόρου τής μεγίστης ημέρας παρά την Ισημερινήν ογδόου μέν έστιν μιας ώρας ίσημερινής χρόνων δέ δηλονότι α νβ λ · 10 καί λοιπή ή ΘΑ πη ζ λ ■ ώστε καί την διπλήν συνάγεσθαι των είρημένων ροζ ιε, ή δέ νπ’ αυτήν ευθεία ριθ νζ η. ή δέ τής ΑΕ περιφέρειας διπλή μοιρών ρπ, καί ή νπ’ αυτήν ευθεία τμημάτων ρκ. καί πάλιν ή μέν τής ΘΖ διπλή μοιρών ρπ, καί ή νπ’ αυτήν ευθεία τμημάτων ρκ · ή δέ τής ΖΗ διπλή μοιρών ρλβ ιζ κ, καί ή νπ’ αυτήν-ευθεία ρθ μδ νγ. 15 'Εάν αρα πάλιν από του τών ριθ νζ η προς τά ρκ άφέλωμεν τον των ρκ προς τά ρθ μδ νγ, καταλειφθήσεται ο λόγος τών ρθ μα κ προς τά ρκ, τουτέστιν ο τής υπό τήν διπλήν τής ΗΒ προς τήν υπό τήν διπλήν τής ΒΕ. Καί έστιν ή υπό τήν διπλήν τής ΒΕ τμημάτων ρκ · καί ή υπό τήν 20 διπλ,ήν αρα τής ΗΒ μοιρών έσται ρθ μα κ, ή δέ έπ αυτής περιφέρεια, ή διπλή τής ΒΙΙ, μοιρών έσται ρλβ θ, αυτή δέ ή ΒΗ ξζ δ λ. Καί λοιπή ή Η Ε τον δρίζοντος περιφέρεια ή μεταξύ \ του χειμερινόν τροπικού καί τον ισημερινόν μοιρών έσται κγ νε λ έγγιστα. § 'Εξής τώ αντώ θεωρήματι προσχρώμενοι, δείξομεν καί τήν ΖΒ τον 25 εξάρματος περιφέρειαν ϊσην οϋσαν τή του παραλλήλου από τον ισημερι­ νού άποστάσει μοιρών δ δ'.

§ πώς δείξομεν καί τ μ α τ ο ς περιφέ τη τον παραλ Ισημερινόν ά δ δ'.

2. Η τής : Η ή τής F | 4. τής Α Ε : Α Ε F | 10. διπλήν : διπλήν αυτής V F,bP J I 10-11. τώ ν είρημ ένω ν: om bPJ | 11. ριθ νς η. ή : ριθ νς [η supr ser al m V] V F I 12-13. καί π ά λ ιν — τμ ημ άτω ν ρκ : om Y | 13-14. μοιρών ρπ — Ζ Η διπλή: om L | 15. το ϋ τ ώ ν : του λόγον τώ ν F τ ο ν λόγου τ ο ν τώ ν V,bPJ I 16. ρθ μδ νγ : ρθ μ γ νγ bPJ | 18. τής Β Ε : τής E L | 20. ρθ μα κ : corr ex οα μα κ [qiiod adhuc legi potest] in ras al m V ρα μα κ bPJ | περι­ φ έρεια: περιφέρεια το υ τέσ τιν bPJ | 21. έ σ τ α ι : om bPJ | 23. έ γ γ ι σ τ α : om V F,bP J I 24. εξής : είτα έξής V F,bPJ | 24-25, τ ο ν εξάρματος περιφέρειαν ;

περιφέρειαν τ ο ν εξάρματος bPJ

|

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 94]

COMMENTAIRE SUR L’ aLMAGESTE L. 2 CHAP. 6

661

Γίνεται γάρ πάλιν επί της αυτής καταγραφής δ τής υπό την διπλήν τής Ε Θ προς την υπό την διπλήν τής ΘΑ λόγος

συγκείμενος εκ τε του

τής υπό την διπλήν τής Ε Η προς την υπό την διπλήν τής Η Β καί του τής υπό την διπλήν τής Β Ζ προς την υπό την διπλήν τής ΖΑ. 5

Ά λ λ ’ ή μεν τής Ε Θ περιφέρειας διπλή μοιρών εατιν γ με · τετάρτου γάρ εστι μιας ώρας Ισημερινής ■ καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία γ νε λδ. ή δε τής ΘΑ διπλή μοιρών ρος ιε, καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία ριθ νζ η. καί πάλιν ή μεν διπλή τής Ε Η μοιρών μ ζ να, καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία μη

λθ νγ.

ή δε διπλή τής Η Β μοιρών ρλβ θ,

καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία

10 ρθ μα κ.

-

’Εάν άρα πάλιν από του λόγου τών γ νε λδ προς τα ριθ νζ η άφέλωμεν τον τών μη λθ νγ προς τα ρθ μα κ, καταλειφθήσεται ο τής ύπό τήν διπλήν τής Β Ζ προς τήν ύπό τήν διπλήν τής ΖΑ, ό τών 1 γ λε κζ προς τα μη λθ νγ, φ λόγω ο αυτός έστιν καί ο τών η να ιζ προς τα ρκ.

1. γάρ πάλιν: τοίννν V F,bP J [ 2. συγκείμενος : συνημμένος V F,bPJ 4. ZA : Z A λόγου V | 8. μοιρών : orti bP | 8-9. καί ή — ρλβ θ : om bPJ 9. ρλβ θ : Ρ Α Β Θ L | 10. ρθ μα κ : ρθ μα bPEJ | 11. γ νε λδ : γ νε δ Pb [ ριθ νς η : ριθμς η L ,F [ 13. ύπό τήν 2m : om bN eras P | 14. μη λθ νγ : μη λα νγ L ,F μη λα νζ bPJ [ η να ις : η να νζ V F |*3 8 (1) Si l'on effectue la « soustraction des rapports » suivant le procédé que 3P 35' 3 0 " Théon explique au 1er livre (ci-dessus p .575,8) il vient —— -,· Le consé4oP

ov Do

quent de ce rapport est précisément donné par V , et est garanti par les données mêmes de l ’opération à effectuer. Il faut donc faire une légère cor­ rection à L . Mais l’ antécédent ne doit pas être corrigé. Si l ’on admet la valeur que nous venons de trouver, 3P 35' 3 0 ", il vient à la ligne suivante

gp 5·^' 23" —^

ce qui obligerait à faire une nouvelle retouche au texte. 8P 51' 2 3 " = crd 8° 28', le résultat final d’après Y . A la p. 6 2 2 , 2-3, L a sauté une ligne mais semble avoir lu 4 ° 28' comme F, ce qui est manifeste ment faux, puisque la moitié de ce résultat doit être 4 ° 1/4. Le texte de bPJ est refait d’ après ce résultat 4 ° 1/4 sans tenir compte du fait qu’il est ap­ proximatif, chose que Théon indique en employant les fractions ordinaires. Si au contraire on admet

3P 3 5 '3 0 ", il vient ^

^\

— comme dans tous

les manuscrits. 8P 51' 1 6 " = crd 8° 27' 4 8 " , ce qui peut s’écrire 8° 28', et nous retombons sur le résultat final de Théon. Le texte que nous adoptons fait donc un mi nimum de corrections et suppose que Théon, une fois de plus, ne s’ est pas inquiété de calculer juste lorsqu’il s’ agissait des secondes, ce qui s’explique d’autant mieux ici qu’il ne voulait même pas avoir son résultat final à 1' près.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

662

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 47-48]

Καί έστιν ή υπό την διπλήν τή ςΖ Α ρκ. και ή υπό την διπλήν άρα τής ΒΖ περιφέρειας ευθεία εσται η να ιζ. Ή δέ διπλή τής Β Ζ περιφέρειας μοιρών η κη, αυτή δέ ή ΒΖ τον εξάρ­ ματος περιφέρεια (3 δ', δπερ προέκειτο ενρεϊν. 5

"Οτι δέ καί διά Ταπροβάνης έστίν ο τοιοντος παράλληλος γέγραπται έν τή Γεωγραφία. 12 Καί έπεί δ τοσοντον απέχων παράλληλος του ισημερινού μεταξύ έστι του Ισημερινόν καί του τροπικού θερινού, δήλον ώς δτι κατά δύο σημεία τέμνει τον ζωδιακόν, καθ’ ών γινόμενος ό ήλιος αύτον2 παράλληλον γρά-\

10 φων πρός αϊσθησιν έκ τής περιφοράς, δίς εσται κατά κορυφήν έν τφ ενιαύ­

σιο) χρόνορ. Καί διά τούτο ώς εφαμεν έμπροσθεν άμφίσκιος εσται. § "Οτι δέ καί τάς είρημένας ρνθ μοίρας διαπορευόμενος τάς των γνω­

μόνων σκιάς αποκλίνει * πρός μεσημβρίαν, τάς δέ λοιπάς ώς πρός δλον 15 τον ζφδιακόν σα πρός άρκτους, όντως ήμίν εσται δήλον.

§ < π ώ ς εσ τ α ;> δήλον δτι êv τφ παραλ ό ήλιος τάς ρνθ μοί­ ρας μένος τάς των γνωμόνων < σκ ιά ς άποκλίν>ει προς μεαημβ ρ ί α ν < τ ά ς δέ λοιπάς ώ ς > πρός δλον τον ζωδι πρός άρκτους.

1. καί 2“ : ΟΙΠ 11. | 2-3. περιφέρειας — τής ΒΖ : Οίη ί. | 3. περιφέρειας — η κ η : περιφέρεια δ κη Σ. περιφέρειας δ κη V περιφέρειας μοιρών η λ bPJ | αυτή : αϋτη I, | 4. δ δ' : δ ιε bPJ | δπερ : επείπερ Ρ | ευρείν : ΟΟΓΓ ΐη Γαβ βχ δεϊξαι Ρ | δπερ — ενρεϊν : οίη bPJ | 5. γέγραπτ αι : δέδεικται ν Ρ ^ Ρ 3 | 6. τή : οίη ν Ρ | 8. ισημερινού καί τοΰ τροπικού θερινού: χειμερινού καί τον θερινού τροπικού V χειμερινού καί τού τροπικού θερινού Ρ χειμερινού τρο­ πικού καί τού θερινού ΡΡ3 | 9. αυτόν : αυτόν τον νΡ ,Ρ Ρ 3 | 10. περιφοράς : περιφέρειας Ρ ^ Ρ 3 | 14. ώς : Οίη Υ Ρ ^ Ρ 3 (1) P t o l é m é e , Géographie livre 7 chap. 4 ed. Nobbe, vol. 2, p. 172 ; et livre 8, chap. 28, § 3, Vol. 2, p. 254. A u livre 7, Taprobane est comptée comme comprise entre 12° 1/2 lat. nord et 2 ° 1/2 lat. sud. A u livre 8, les trois « villes remarquables » de Taprobane, dont on donne la latitude en heures du plus long jour, ont respectivement 12h 1/2, 12h 2/3 et 12h 1/3 1/12. A moins que l ’index de Nobbe ne nous ait induit en erreur, les passages auxquels Théon renvoie ne contiennent donc pas explicitement le renseignement. Le com­ mentaire de Théon sur ce chapitre ne nous apporte aucune donnée inédite en fait de géographie : il se contente de suivre son texte pas à pas sans y rien ajouter. Comptait-il écrire un commentaire sur la Géographie ? S’il avait l’intention de remettre à jour tous les manuels de Pappus, cela faisait partie de son programme. Mais rien ne nous l’indique. Voir aussi p. 804, n. 1. (2) Cfr M a y s e r , Grammatik der gr. Papyri, I I 2, p. 76.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 94-95]

commentaire sur l ’ almageste

L. 2 CHAP. 6

663

’Ε σ τω γάρ μεσημβρινός μεν κύκλος ο Α Β Γ Δ , δρίζοντος δε ημικύκλιον τό Β Ε Δ, ισημερινόν δε τό Α Ε Γ , και βόρειος πόλος το Ζ, ώστε την Δ Ζ τον εξάρματος μοιρών είναι δ δ', έστω δε και θερινός τροπικός ό Η Κ Θ , τον δε ζφδιακον και εφαπτομένον των τροπικών ημικύκλιον τό Α Κ Γ .

Fig. 15. Var : ΖΝΠ irregulariter, cum duplici cubatura delineauit J. 5

Καί είλήφθω τό κατά κορνφήν αημεϊον τό Μ. ϊσται &ρα κ al η Α Μ μοι­ ρών ό δ' . Γεγράφθω δ διά τον Μ κατά κορυφήν παρό.λληλος τώ Ισημερινό) δ ΜΝΞΟ, καί τεμνέτω τόν ζωδιακόν κατά τα Ν, Ξ σημεία. Και γεγράφθω διά τον Ζ πόλον και τον Ν μεγιστόν κύκλον περιφέρεια

10 η Ζ Ν Π · η αρα Ν Π εστιν ήν λελόξωται τό Ν

τμήμα τον ζωδιακόν άπό τον Ισημερινόν, ϊση οϋσα τή ΑΜ, διά τό μεταξύ αυτός είναι τών παραλ­

λήλων, και μοιρών εστιν δ δ'. ’Εάν ούν ταύτην είσαγάγωμεν κατά τό δεύτερον σελίδιον τής λοξώσεως,1 ενρήσομεν εν τώ πρώτο) παρακειμένην την Α Ν τον ζωδιακού άπό τον A 15 Ισημερινόν μοιρών ι λ, και λοιπήν αρα την Κ Ν τώ ν λοιπών ε ’ι ς τάς q τής

Α Κ περιφέρειας μοιρών οθ λ. εξομεν

οθ

διά τό αντά δή και την Ξ Κ τών αντών

λ.

1. γάρ : om bP | 4. τ ώ ν τροπικών : τού τροπικού V | 5. καί Ira .· om. V F,bPJ | A M : Ε Μ L | IO. ή Ζ Ν Π : om bP om supr ser J \ ή αρα Ν Π : αρα ή Ν Π V F ή Ν Π αρα bPJ | 11. A M : E M L | 12. κ α ί: om V F,bP J | εστιν : om V F ; bPJ | 13. της λοξώσεως : τού τής λοξώσεως κανονίον : bPJ | 14. τφ πρώτφ : τή A L J A : om bPJ [ 15. t λ : ια L |

(1) A im ., 80, colonne μεσημβρινού.

Cfr. Note sur le mode d’emploi des ta­

bles, § 2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

664

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 48-49-50]

Καί έπεί δλη ή Ν Κ Ξ τον ζωδιακού περιφέρεια, συναγόμενη μοιρών ρνθ, βορειότερα έστι του ΜΟ διά τον κατά κορυφήν παραλλήλου, δήλον ώ ς δτι ταντην την περιφέρειαν διαπορευόμενος ό ήλιος τάς των γνωμό­ νων σκιάς έπ ίτά εναντία καί νοτιώτερα άπο\στέλλει, την δε λοιπήν καί 5 νοτιωτέραν των λοιπών εις τάς τ ξ συναγομένην μοιρών σοα προς τάς άρκτους, δταν δέ κατ’ αυτών τών Ν, Ξ τνγχάνη εν αυτή τή μεσημ­ βρία κατά κορυφήν τυγχάνων, άσκιον ποιήσει τον γνώμονα. §

Διαλαβών ονν περί τών ιδιωμάτων τον δευτέρου καί διά Ταπροβάνης

άμφισκίον παραλλήλου, 10

καί έτι τών τούτου έξης άμφισκίων, έλθών επί

τον έβδομον διά Σοήνης γραφόμενον παράλληλον, ένθα ή άπόστασις του παραλλήλου από του Ισημερινού ήτοι τό έξαρμα μοιρών έστιν

κγ

να,

δσον έγγιστα καί δ ισημερινός απέχει του τροπικού, φησίν δτι « πρώτος » άλλ’ έν αυτή νή τροπή < κ α τ ά κορυφήν αυτ ο ί ς > του ήλιου γινομ ν ε ς άακιοι διό ούδέ λόγον α ει δ γνώμων π.

1. καί : οια Ρ | δλ η : οιη 1)Ρ | 4. τά εναντία : τάναντίαΡ! | 5. μοιρών σοα : μ° ια I, μ °(τ α ν Ρ ] 5. τάς 2“ : οιη 1ιΡ.Ι | 7. τυγχάνων : γινόμενος bPJ | π οιήσει: ποιεί ΡΡ3 \ 10. Σοήνης : Συήνης ΡΡ3 | 15. άποκλίνουσιν : ο ο γ γ ΐη ΓΗβ εχ -κινου- Ρ | 17. τ ή ν : οιη ν Ρ | 20. τφ Η Θ : του Η Θ Ύ | 21. του Κ : τοϋ Θ Υ ^ Ρ α |

(1) A lm ., 107, 13-18. Gfr. figure ci-dessus, p. 663.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

95]

COMMENTAIRE SUR

l

’a

l

M A G ESTE

L.

2

CHAP.

6

665

νοτιώτέρον είναι του Η Θ παραλλήλου, και οι εξής δέ αύτοϋ πάντες παρ­ άλληλοι έπ'ι τής καθ’ ημάς οικουμένης ουδέποτε τον ήλιον έξουσιν κατά κορυφήν, και ομοίως νο\τιώτερον έχοντες τον ζωδιακόν τάς σκιάς έπϊ τα βόρεια έχουσιν προσνευούσας. 5

§

Έκθέμενος ούν μέχρι τοϋ κε παραλλήλου και τους λόγους των γνω­

μόνων προς τάς σκιάς καί δι ών οικήσεων1 γράφονται οί παράλληλοι, τω δ' τής μιας ώρας ίσημερινής κατά την παραύξησιν των μεγίστων ημερών προσχρησάμενος, έλθών εις τον κς' παράλληλον ούκέτι τω δ' τής μιας ώρας Ισημερινής προς την είρημένην παραύξησιν των μεγίστων ήμερων 10

προσεχρήσατο, άλλά ήμίσει. καί φησιν »

«

διά τό συνεχείς ήδη γίνεαΟαι

τούς παραλλήλους, καί την των εξαρμάτων διαφοράν», τουτέστιν τάς

των παραλλήλων αποστάσεις, « μηκέτι μηδεμιας όλης μοίρας σννάγεσθαι. » 2 Τω γάρ αύτω δ' μέρει τής ώρας των ημερών παραυξανομένων, ηνρίσκο15

μεν τούς πλησιαίτερον τοϋ ισημερινόν παραλλήλους πλειον απ' άλλήλων απέχοντας των άπώτερον. καθάπερ επί τοϋ δευτέρου παραλλήλου, ηύρίσκομεν την από τοϋ ίσημερινοϋ άπόστασιν μοιρών

δ

ιε,

την

δέ τοϋ

τρίτου η κε, καί λοιπήν την από τοϋ β' επί τον γ' μοιρών δ ι, έλάττονα γινόμενην των

δ

ιε.

καί δ

δ'

δέ ομοίως έλάττονα απέχει τοϋ

γ' ήπερ δ γ' από τοϋ β', καί οί εξής δέ ακολούθως, ώς κατά τοϋ κς' μηκέτι 20

μηδεμιας μοίρας εύρίσκεσθαι τάς αποστάσεις των παραλλήλων, έπειδήπερ καί δ κδ' απέχει τοϋ ίσημερινοϋ μοίρας νζ, δ δέ κε , νη, καί α μοίραν αυτών άπ’ άλλήλων άπεχόντων, εάν καί τον κς' τω αντω δ’ μέρει τής ώρας παραυξήσωμεν, άεί ώς έφαμεν έλαττονμένων τών διαστάσεων,

% έ χ ρ ι τοϋ κε' τφ τετάρτφ < .τ ή ς μιας ώ ρ > ας Ισημερινής κατά τήν ηβιν προοχρηαάθών εις τον κς' παράλμίβει προσκέχρηται.

7. ώρας Ισημερινής'. ίσημερινής ώρας bPJ | τ ή ν .* orti bPJ | 8-9. μιας ώρας ίσημερινής : ώρας ίσημερινής V μιας ίσημερινής ώρας bPJ | 9. προς τήν ειρημένην : κατά bPJ | 13-14. ηύρίσκομεν : -κα- L εύρ- YF ,bP J | 14. πλη­ σιαίτερον ; πλησιέτερον V πληαιέστερον F πλησιαιτέρους bPJ | τΐλεϊον άτό άλλήλων: πλείονα παραλλήλων [-et- hab accentus duo, acutum et circum­ flexum] L | 15-16. ηύρίσκομεν : εύρ- V F ; bPJ | 16. α π ό : έπί h \ 18. γινομένην : γεν- V F,bP J | έλ ά ττονα : έλαττον bPJ j 21. και δ : ό μεν ό bPJ j μοίρας — κ α ι : μ ° ν sp 2 litt π ερ ίσ κ ιω ν και < ζ τ ί ν α > τ ά α υ τ ό ν Ιδιώ . *1 6

1. μείζων l m : μείζων έστιν V F,bP J | μείζων 2m : μείζων ε σ τ ί ν Υ | 2. γω­ νία ή : ή γωνία ή bPJ [ 4. ΞΠΟ δπερ έδει δεϊξα ι: ΞΠΟ περιφέρειας F | 7. τών 2m : to bPJ τώ F | 11. τε : om V F ,bP J | 12. τούτον τον : τον κε' Y,bP J om F I παράλληλον τφ : παραλλήλων Sp 12 litt τφ F j 13. τής μιας : τής μιας τή L τής Υ | 14. άφωρισμένων λοιπόν: άπφκισμένων λ,οιπόν V άφωρισμένων λοιπών F άπφκισμένων bPJ | άγνώστων : τό πλεϊον αγνώστων bPJ 16. πάλιν : om bPJ | εκτίθεται: om add mg V |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 97]

commentaire sur l’ almageste

L. 2 CHAP. 6

671

« "Οπόν δε ή μεγίστη ημέρα ωρών έστιν κδ, εκείνος ό παράλληλος ηαπέχει του ισημερινού μοίρας ξζ η μ. πρώτος δέ έστιν οϋτος τών » περίσκιων · κατά γάρ μόνην την θερινήν τροπήν μη δένοντας εκεί του » ήλιον al σκιαι τών γνωμόνων επί πάντα τα του όρίζοντος μέρη τάς προσ5 » νεύσεις ποιούνται. » « Καί έστιν ενταύθα ο μεν θερινός τροπικός παράλληλος άεί φανερός, »ο έξαρμα μοιρών έστι ξ ζ έγ μή δυνονσας δλως τάς έφ’ έ θερινής τροπής τοϋ διά μ ώ στε την μεγίστην ημέραν έπι πάντα τά μέρη τοϋ αγωγήν σχεδόν μηνιαία.

1. κατάδηλα : και δήλα V F και ταϋτα δήλα bPJ | 4-5. μοιρών γίνεαθαι: γίνεσθαι μοιρών bP | 6. πόλου : πόλου έστιν bP | 7. κγ, ώ σ τ ε : κγ. έστι δέ και ή από τοϋ Η Ισημερινόν έπι τον [τό Υ] τροπικόν επί τον αυτόν κύκλου κγ να [ κγ να κ F], ώστε V F,bP J | 8. τό l m ; om supr ser P | υπέρ : υπό Y F 10. NA : A L | όρίζοντος μ έ γ ισ τ ο ς : όρίζοντος sp 10 lit μέγιστος ί |

(1) Théon vient de montrer que le tropique tout entier est au dessus de l’horizon.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 98]

commentaire sur l ’ almageste

Καί έπε'ι ή Η Δ μοιρών έστιν

κγ,

L. 2 CHAP. 6

675

εάν ταντα εϊσαγάγωμεν εις το της

λοξώσεως κανόνων κατά το δεύτερον σελίδων, ενρήσομεν τον ζωδιακόν από έκατέρον τών ισημερινών άπολαμβανομένας μοίρας

οε,

τοντέστιν

έκατέραν τών Ζ Π και ΗΟ, σνναμφοτέρας δε μοίρας ρν · και λοιπήν άρα 5 έκατέραν τών Π Κ και ΚΟ περιφερειών μοιρών ιε, σνναμφοτέρας δέ λ, αΐτινες νπό του άεί φανερού κύκλου υπέρ γης απολαμβάνονται υπό της υποκείμενης έγκλίσεως · ας διαπορευόμενος ο ήλιος εκ της περιφοράς, ού δύσεται έως τάς τοσαντας μοίρας εκ τής Ιδίας κινήσεως διεξέλθη, και ποιήσει δηλαδή την ημέραν μηνιαίαν, διά το επί τοσοντον έγγιστα χρόνον 10 τ ά ς

λ μοίρας αυτόν τοϋ διά μέσων κινεϊσθαι.

Είτα, επί πάντων τών παραλλήλων τό μέγεθος τής μεγίστης ημέρας παραλαμβάνων άπεδείκνυεν τό έξαρμα ·

νυν

δέ άνάπαλιν εκ τον εξάρ­

ματος τό μέγεθος τής μεγίστης ημέρας, δεικννς τό ακόλουθον ότι έστίν καί επί τούτον τοϋ παραλλήλου καί τών έξης από τοϋ μεγέθους τής ημέρας 15 το έξαρμα λαβειν, φησίν · « δ σας γάρ αν εϋρωμεν τον ισημερινού μοί» ρας τον παράλληλον άπέχοντα τον άπολαμβάνοντα λόγου ένεκεν έφ’έκά» τέρα τοϋ τροπικού μοίρας ιε 1 » (γινόμενον δέ αεί φανερόν μεθ’ ών απο­

λαμβάνει τοϋ διά μέσων έφ’ έκάτερα μέν τοϋ τροπικού μοιρών ιε σνναμφοτέρων δέ λ · καί ποιονντα την μεγίστην ημέραν δηλονότι μηνιαίαν, ώς 20 τον

κγ ώς \ έφαμεν μοίρας άπέχοντα) ταϊς τοσαύταις λείψει τών από τοϋ πόλου επί τον ισημερινόν τον τεταρτημόριου μοίρας ς, τό έξαρμα τοϋ

βορείου πόλου, καί έσται δηλονότι μοιρών

ξ ζ , δσας καί ποιοϋσιν αί η

μοϊραι λείπονσαι τάς κγ. ”Ινα ή τό λεγόμενον αυτώ τοιοϋτον, όπου δέ ή μεγίστη ημέρα μηνιαία 25 έστίν, εκεί δ αεί φανερός άπολήγεται υπέρ γής έ φ ’ έκάτερα τον θερινόν

3. άπο : άφ’ bPJ | Ισημερινών : ισημερινών σημείων V F,bP J | 4. λοιπήν: -πή bPJ I 5. έκατέραν : -ρα bPJ | σνναμφοτέρας : -τερ [sine fin] Ν Ρ -τεραι J -τέρα F | 6. υπέρ : υπό V F | υπό τής : νπό γής V ώστε επί τής bPJ | 7. ας : om V F jbP J I τ ώ ν ανα­ φορών άπό.

1-2. εάν — χ ρ ό ν ο υ ς: εχομεν δέ τούς τη Παρθένφ συναναφερομένους χρόνους VF,bPJ | 5. Ισημερίας : corr ex -ινας [antequam accentum scriberet] L | 7. τε­ τα ρ τ η μ ό ρ ιω ν : τεταρτημόριω ν, έξης ή καταγραφή L | 9. μέσων τ ώ ν : μέσων την τώ ν VF,bPJ | π ρ οσχ ρ ώ μενος: καί προσχρώμενος YF | 10. εϊπαμεν: -ποVF,bPJ | 13. εκθέμενος: εκτεθειμένος VF ]

(1) Ci-dessus, ρ. 614, 5.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

690

[H p. 68-69-70]

THÉON D ’ a i .EXAN D R IE

τουτέστιν τό κατά της αρχής τον Κριόν· καί λαβών τον βόρειον πόλον τον Ισημερινού τό Κ σημεϊον, καί γράψας δι αυτού καί τής κατά τό Λ κοινής τομής τον τε ζωδιακόν καί τον όρίζοντος μεγίστου κύκλον

τεταρτημό-

ριον τό K A M , φησίν · 5 § « ΠροκείσΟω δή, τής Η Λ » τον ζωδιακόν « περιφέρειας δοθείσης, την » σννα εχθεϊσαν αυτή τον ισημερινόν τοντέστιν τή ν Η Ε περιφέρειαν εύ))ρεϊν, καί νποκείσθω πρώτον τ ό Η Λ τό τον Κριόν δωδεκατημόριον. » 1 Καί διά την καταγραφήν καί την κατά διαίρεσιν σφαιρικήν άπόδειξιν 2 τής άφαιρέσεως καί καταλείψεως τον λόγον, τής Κ Δ ονσης τον έξάρμα10 τος, καί τής Λ Μ λοξώσεως τής τριακονταμοιρίας τον Κριόν,

συνάγεται

ή Ε Μ περιφέρεια έκ μεταφοράς του λόγον μοιρών η λη. « Καί έπεί όλη ή Μ Η επ’ ορθής τής σφαίρας τή Λ Η περιφερεία τώ τον

» Κριόν δωδεκατημορίω » σνναναφέρεται, διά τό πάλιν τον Κ Λ Μ διά τών πόλων όντα ίσοδυναμεΐν τώ επ’ ορθής

τής σφαίρας όρίζοντι, έσται καί

15 όλη ή Μ Η τών αποδεδειγμένων επί τής ορθής σφαίρας τον Κριού σννανα-

φερομένων χρόνων κζ ν, ή δέ Η Ε ήτις συνανηνέχθη τη Η Λ τριακονταμοιρία τον Κριόν επί τής νποκειμένης ιθ

διά

'Ρόδου έγκλίσεως χρόνων

ιβ. Καί συναποδέδεικται, ως έφαμεν, διά τά προεκτεθέντα δύο λημμάτια,

20οτι καί τό μέν τών 5Ιχθύων δωδεκατημόριον τοις αύτοϊς χρόνοις | συναναφέρεται ιθ ιβ, έκάτερον δέ τό τε τής Παρθένου καί τό τών Χηλών, τοϊς λείπουσιν εις τήν διπλήν τών επ’ ορθής τής σφαίρας συναναφορών χρόνοις λζ κη, έπειδήπερ έν τώ πρώτο) άπεδείκνυμεν, ότι αί ίσον άπέχονσαι τού αυτού ισημερινού σημείου περιφέρειαι τού διά μέσων τών 25 ζφδίων

ταϊς ϊσαις άεί περιφερείαις τον ισημερινού

συναναφέρονται,

§ < π ώ ς έστινς> ζφδιακοΰ οθείσης τήν Οεΐσαν αύτή ινοϋ τοντέστιν τήν N E (sic) γ' λ η μ μ ά τω ν ού < ή πρότασιςς> έάν τ ο ν εαρινού ή < μ ετ ο π α > ρ ιν> ο ϋ σημείου etc., comme ci-dessus, 1. 15 à 24, jusqu’ à πρός την < έ π ί τής ε γ κ ε κ λ Ο μ έ ν η ς σφαίρας < α ν ν α ν α φ ο ρ ά ν τ ο ν > α υτού τ μ ή < ςμ α το ς > .

4. τ α ν τ η ς : ταντης τής V F,bP J | 7. δπου : τού V F,bP J | 8. αν τ ο ν τ ο ις : τούτοις L άντ'ι τούτου V άντί τούτων F | λαμβάνοιμεν : -νο- V F,bP J | 10. αντάς : ταντας bPJ ] 12. όε : om Y F , bPJ | 15 .μ ε τ ο π ω ρ ι ν ο ν : μεθοπL ,V | 20. μεγίστου κύκλου γράψωμεν : γράψωμεν μεγίστου κύκλου bPJ [ 21. καί : τής εγκλίαεως καί bPJ | 24. επί τής έγκεκλιμένης : [corr. ex -κλιμμέL] εκ τής έκκειμένης V εκ τής έγκεκλιμένης F |

(1) Cfr ci-dessous, p. 696, η. 3, (2) A im ., 124, 23 - 125, 4.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 102-103]

commentaire sur l ’almageste

» ημικύκλιον το Β Ε Δ, Ισημερινόν δε το Α Ε Γ ,

τον

L. 2 CHAP. 7 δε

693

διά μέσων των

» ζωδίων το ΖΕΗ , της Ε τομής κατά το εαρινόν ύποκειμένης, καί άπο» ληψΟεισης αυτόν » εις τα προηγούμενα « τής Ε Θ περιφέρειας τνχον-

» σης, γεγράφθω τμήμα τον διά τον Θ παραλλήλου τώ ίσημερινώ το ΘΚ, 5 » παί ληφθέντος του Λ νοτίου πόλον τον ισημερινού, γεγράφθω δι αντον

» καί του Κ τεταρτημόριον μεγίστου κύκλου τό ΛΚΝ . 1 » λέγω ότι το

N E τμήμα περιέχει την διαφοράν τής τε επί τής ορθής σφαίρας καί επί τής εγκλίσεως αναφοράς τον Ε Θ τμήματος. Γεγράφθω γάρ τά Λ Θ Μ , Λ Ε τεταρτημόρια, φανερόν μεν ούν αύτόθεν ΙΟεστίν δτι τό Ε Θ τμήμα τον διά μέσων των ζωδίων επί μεν ορθής τής σφαί­ ρας τή ΕΝ Μ 2 τ ον ισημερινού συναναφέρετ αι, διά το πάλιν τον Λ Θ Μ μέγιστον διά των πόλων ίσοδυναμείν τω έπ’ ορθής τής σφαίρας δρίζοντι ·

1. ôè 2m : om V F,bP J | 2. εαρινόν : εαρινόν αημεΐον bP J | 9. τά ΛΘ Μ , Λ Ε τεταρτημόρια : τά Λ Θ Μ Λ Κ Μ τεταρτημόρια V τό ΛΘ Μ , Λ Ε τεταρτημόρια ¥ το Λ Θ Μ τεταρτημόριον bPJ | 10. τό Ε Θ : το μεν Ε Θ V F,bP J | 11. τή Ε Ν Μ του Ισημερινού : την Ε Μ τον ισημερινού Ε τώ Ε Μ τού Δ Ε ισημερινού Y Tfj Ε Μ τον δέ Ισημερινού F τω Ε Μ τού Ισημερινού bPJ correxi |

(1) A lm ., 125, 5-17. (2) Nous lisons τή E N M pour rendre compte de la faute de L , τήν EM. Cette faute, si elle s’ est trouvée dans les manuscrits antérieurs à L , peut avoir donné le texte de la plupart des manuscrits, τφ E M : on rencontre parfois un v sans queue dont le dernier trait remonte au point qu’on le prendrait pour un co ouvert au dessus. L le trace souvent ainsi à la fin des mots. Quant à l ’article Tfj, il est expliqué par la leçon de F, τή περιφερεία. Le m ot περι­ φέρεια est ajouté en abréviation sténographique au dessus de la ligne dans F seulement. Il semble bien être une glose.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

694

ΤΗΕΟΝ η ’ΑΙ.ΕΧΑΝΌΓϊΙΕ

[Ηρ. 71-72-73]

έπι δε τής έγκλίσεως τη ϊση τη Μ Ν 1 · τον γάρ ΒΕΔ όρίζοντος δντος έπι της έγκλίσεως, δήλον δτι ή Ε Θ τη Θ Κ του παραλλήλου συναναφέρεται. άλλα | καί ή Κ Θ τη Μ Ν εν ϊσω χρόνια συναναφέρεται · δμοιαι γάρ είσιν παραλλήλων ούσαι περιφέρειαι μεταξύ των μεγίστων κύκλων, καί διά 5 των πόλων αυτών έγράφησαν αί ΛΘΜ, ΛΚΝ . καί ή ΘΕ αρα τη ίση τη

Μ Ν περιφερεία τον ισημερινόν συναναφέρεται. Καί έπεί ή μέν Ε Μ τοϋ ισημερινόν τώ Ε Θ τμήματι του ζωδιακού επί τής ορθής σφαίρας συναναφέρεται, τη δε αυτή τή Ε Θ τοϋ ζωδιακού επί τής έγκλίσεως ή ϊση τή ΜΝ, δήλον δτι το Ν Ε τμήμα υπεροχή έσται των τε ΙΟεπί τής ορθής σφαίρας καί τής έγκεκλιμένης συναναφορών τοϋ τμήματος τον ζωδιακού.

αυτού

Έφησεν δε την Ε Θ ούχί τή ΝΜ, άλλα τή ϊση τή Μ Ν σνναναφέρεσθαι, διά το την συναναφερομένην τή Ε Θ δμοίαν μέν είναι τή ΜΝ, καί ίσοχρόνιον αυτή σνναναφέρεσθαι ’ μη μην αυτήν είναι τήν ΜΝ, άλλά την άπό 15 τοϋ Ε προς τω δρίζοντι, δμοίαν μέν

πάλιν τή Κ Θ , ϊσην δέ δηλονότι τή

ΜΝ, διά το καί τά Ε, Κ σημεία άμα προς τω δρίζοντι τυγχάνειν. Καί φανερόν δτι τής τοιαντης άποδείξεως επί

τυχούσης περιφέρειας

τω μεγέθει τοϋ ζφδιακοϋ γεγενημένης, ώς τής Ε Θ , καί μή δεδομένης, καθόλου έσται ή άπόδειξις. 20

'Ώ σ τε φανερόν « δτι καί καθόλου εάν γραφώσίν τινες οΰτω περιφέρειαι » μεγίστων κύκλων ώς ή ΛΚΝ , τό ΝΕ τμήμα περιέξει τήν υπεροχήν των » επί τής ορθής καί τής έγκεκλιμένης σφαίρας άναφορών των άπολαμβανο» μένων τοϋ διά μέσων των ζωδίων κύκλου περιφερειών υπό τοϋ Εη κατά

τον ισημερινόν « καί τοϋ διά τοϋ Κ παραλλήλου » γενομένου σημείου ώ ς 25 τοϋ Θ.

Ι ’Αποδείξας οϋν τό τοιοϋτον λημμάτιον συντελούν αυτώ προς πρόχειρο­

ί διά τί μέχρι δεκαλογίζεται τάς κατά μέρ.

5. έγράφησαν α ί : των V F,bP J ] Λ ΘΜ, Λ Κ Ν : Λ Μ ΚΝ\^, | τή 1™ : οπι Ρ | 7. Ε Μ : Ε Η Ρ | 9. έ σ τ α ι : έστι bPJ | 12. τή Μ Ν 2 “ : τήσ Μ Ν Σ. \ 13. μέν : οιη Υ Ρ ^ Ρ 3 | ισοχρόνων : -ίως ν ^ Ρ 3 | 14. αύτή : -τήν Ρ | σνναναφέρεσθαι : -ρομένηνΝΈ,ύΡδ | 15. όρίζοντι : δρίζοντι σημείου Ύ ,ύ Ρό δρίζοντι σ η μ ε ί φ ¥ I 17. έπι : έπι τ ή ς \ Έ ^ Ρ 3 ] 20. οϋτω περιφέρειαι: περιφέρειαι οϋτως ΡΡ,Ι 22. έ π ι : επί τε ν Ρ ;ΡΡ3 | ορθής και τ ή ς : οιη 1^ | 24. Κ : οιη Υ | 25. Θ : Ο ]_, | 26. τοιοϋτον : ο ο γ γ βχ τοιοϋτο Σ, |

(1) ΟίΓ. οϊ-άεββοηβ, 1. 12.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 103]

COMMENTAIRE SUR L’ALMAGESTE L. 2 CHAP. 7

695

τέραν των αναφορών έκθεσιν, έξης καί τάς των κατά | μέρος δεκαμοιριών αναφοράς τον ζωδιακόν έπιλογίζεται, διά το τάς έτι τούτων ώς έφαμεν μικρομερεστέρας μη δενί αξιολογώ διαφέρειν παρά τά γραμμικά των καθ’ ομαλήν παραύξησιν λαμβανομένων αναφορών.

F ig .28. Var : Κ pro Μ scripsit [et sic duo puncta habet K notata], aliud punctum M posuit inter A et B, quod iunxit duobus arcubus cum puncto E et cum intersectione ΖΘ et BE, nulla littera notata, L ; K M om J.

§ Καί φησιν · « τούτου θεωρηθέντος έκκείσθω ή καταγραφή μόνων » τον τε μεσημβρινού καί τών τον δρίζοντος καί τοϋ ισημερινού ήμικυ» κλίων», 1 ώστε πάλιν μεσημβρινόν μέν είναι κύκλον τόΑ Β Γ Δ , των δ’ ημικυκλίων το μέν ΒΕΔ τοϋ δρίζοντος, το δέ Α Ε Γ τοϋ ισημερινού, έστω δέ καί νότιος αντοΰ πόλος τό Ζ σημεϊον, καί « διά τοϋ Ζ γεγράφθω 10)) δύο τεταρτημόρια μεγίστων κύκλων, τό τε ΖΗΘ καί τό ΖΚΛ. ύπο» κείσθω δέ τό μέν Η σημεϊον καθ’ δ τέμνει ο χειμερινός τροπικός » τον ορίζοντα, τουτέστιν καθ’ οϋ ανατέλλει η αρχή τοϋ Αίγόκερω, τό δέ Κ πάλιν καθ’ οΰ τέμνει τον δρίζοντα ο διά τής αρχής τών Ιχθύων γραφόμενος παράλληλος, ή καί άλλου τίνος τών τοϋ τεταρτημόριου τμημάτων δεδο15 μενών. 5

§ πώ ς τάς τών κατά μέρος άναφοράς τοϋ ζωλ ογίζε ται.

1. τάς : om F | 2. έτι : επί Υ | 5. θεω ρηθέντος: προθεωρηθέντος bPJ | 6-8. καί τοϋ ισημερινόν — δρίζοντος : bis hab F | 7. είναι κύκλον: κύκλον είναι Y F I τό : τον V F,bP J

| 9. αύτον : om V F ,bP J

12. ή : om suppi F | 13. οϋ : δ V F,bP J

| 10. τό τε : τά τε J j

|

(1) Alm., 126, 10-12.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

696

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 73-74-75]

Δ ήλον γάρ ότι μεταξύ των Η, Ε σημείων τον δρίζοντος το νοτιώτερον δλον ημικύκλιον τον ζωδιακού ανατέλλει, διά το το Η ύποκεϊσθαι καθ’ ον το χειμερινόν τροπικόν σημεϊον ανατέλλει, δπερ εστίν νοτιώτατον τον ζωδιακού. Καί έπεί πάλιν διά την καταγραφήν « εις δύο μεγίστων κύκλων περι» φερείας τάς τε ΖΘ καί ΕΘ γεγραμμέναι είσίν ή τεΖ Κ Λ καί ή ΕΚΗ, τέμ» νουσαι άλλήλας κατά το Κ, δ τής υπό την διπλήν τής ΘΗ προς την υπό » την διπλήν τής ΗΖ λόγος σννήπται έκ τε τον * τής νπό την διπλήν τής » ΘΕ προς την νπό την διπλήν τής Ε Λ καί τον τής νπό την διπλήν τής 10 » Λ Κ προς την νπό την διπλήν τής ΚΖ. » 1 Σύγκειται δε δ τής νπό την διπλήν τής ΘΗ προς την υπό την διπλήν τής Η Ζ λόγος εκ των είρημένων λόγων, επειδήπερ εκ τού κατά διαίρεσιν | σφαιρικού θεωρήματος μεμαθήκαμεν ότι δ τής 2 υπό την διπλήν τής ΖΗ προς την υπό την διπλήν τής Η Θ λόγος σννήπται εκ τού τής νπό την 15 διπλήν τής Ζ Κ προς την νπό την διπλήν τής Κ Λ καί τού τής νπό την διπλήν τής ΛΕ προς την νπό την διπλήν τής ΕΘ. διό ταύτην την τάξιν ακολούθως τοΐς έμπροσθεν ήμιν είρημένοις ανάπαλιν λαμβάνων, φησίν ότι ο τής υπό την διπλήν τής ΘΗ προς την υπό την διπλήν τής ΗΖ λόγος σννήπται έκ τε τού τής νπό την διπλήν τής ΘΕ προς την υπό την διπλήν 20 τής Ε Λ καί τού τής υπό την διπλήν τής Λ Κ προς την υπό την διπλήν τής ΚΖ. πεποίηται δε την τοιαύτην ανάπαλιν τού λόγου λήμψιν, ϊνα αφελών από τού τής υπό την διπλήν τής ΘΗ προς την υπό την διπλήν τής ΗΖ λό­ γου τον τής υπό την διπλήν τής Λ Κ προς την υπό την διπλήν τής ΚΖ αντόθεν έχη καί τον τής υπό την διπλήν τής ΘΕ προς την υπό την διπλήν 25 τής ΕΛ. τούτον γάρ βούλεται 3 τον λόγον αντω καταλείπεσθαι, διά το εν 5

1. μ ε τ α ξ ύ : μετά F | 2-3. διά τ ο — ανατέλλει : om V F ,bP J | 3-4. δπερ — ζφδιακοϋ : om bPJ | 5. δύο : δύο πάλιν V δύο ras [πάλιν adhuc legi potest] F 7. Κ, δ τής : Κ τής L | 8. εκ τε τον τής : εκ τε τής L | 10. τής Κ Ζ : Κ Ζ L 15. τον corr ex τούς F | 18. τής Η Ζ : τοϋ Ζ Η F | 19. τον : τούς F | 20. τής νπό : τής ras 4 litt υπό F | 22-23. Η Ζ λόγου : Κ Ζ [λόγου supr scr]F H Z bPJ | 23. τον τής — τής Κ Ζ om suppi mg F | Κ Ζ : K Z lóyoj»VF,bPJ | 25. βούλεται τον : βούλετ ai ras 2 lit τον F |

(1) A lm ., 127, 2-9. (2) Cfr A lm ., 74, 9 et ci-dessus p. 558 et p. 535, n. 2. L a formule appliquée ici étant une variante de celle qui est démontrée là, Théon montre comment on passe de l’une à l’ autre. Une fois de plus, il voit donc bien que ce passage peut se faire, et il n ’ énumère pas comme distincts des cas qui ne le sont pas. (3) U n peu plus haut, p. 6 9 2 ,1 0 , le procédé exposé ici est annoncé comme plus facile, La facilité est que par la formule qui vient d’ être établie, on peut

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 103-104]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 7

697

ταΐς κατά κλίμα μεταφοραΐς των λόγων δίδοσθαι την διπλήν της ΘΕ περι­ φέρειας διαφοράν ονσαν τής ελάχιστης ημέρας παρά την Iσημερινήν και την νπ’ αυτήν ευθείαν · και ταντης διδόμενης, προχειρότερον δίδοσθαι προς την υπό την διπλήν τής Ε Λ περιφέρειας, και αυτήν τήν Ε Λ ήν επ ι­ ό ζητεί περιφέρειαν ' και ούχί τον τής υπό τήν διπλήν τής ΛΕ προς τήν υπό τήν διπλήν τής ΕΘ, δσπερ εμελλεν καταλείπεσθαι εν τη επ’ ευθείας του λόγου λήμψει. Καί έστιν ή μεν τής ΘΗ περιφέρειας διπλή μοιρών μζ μβ μ ’ αϋτη γάρ ή ΘΗ εστίν από τον Θ ισημερινού επί τό χειμερινόν τροπικόν τό 10Η τοϋ διά των πόλων περιφέρεια, των άποδεδειγμένών τής λοξώσεως μοιρών κγ να κ. καί ή υπό τήν διπλήν αρα | τής ΘΗ περιφέρειας ευθεία τμημάτων εστίν μη λα νε. Ή δε τής HZ διπλή τών λειπουσών εις τάς ρπ τής διπλασίονος τής ΕΖ μοιρών ρλβ ιζ κ. καί ή νπ’ αυτήν ευθεία τμημάτων ρθ μδ νγ. 15 «',Ωσαύτως δε καί επί μεν τής δέκα μοίρας άπεχονσης τής τον Ε εαρι» νοϋ σημείου » εις τα προηγούμενα, « ώς προς τό χειμερινόν τροπικόν

2-3. καί τ ή ν — διδόμενης: ο ϊ ά Ε | 4. προς : οίη ν Ρ ^ Ρ 4 | καί αυτήν τήν Ε Λ , ήν : αύτήν γάρ τήν Ε Λ bPJ [ 5. καί ο ύ χ ί: καί ούχί βούλεται καταλείπε­ σθαι αύτφ δηλονότι α(Μ 4 | 10. τ ο ϋ : ΟΟΓΓ ϊη τής Ε | περιφέρεια: οοπ* ϊη -ας Ρ ) 13. Η Ζ : Ε Ζ περιφέρειας ν Ρ ,6 Ρ 4 | 14. ρθ μδ ν γ : ρθ μ ζ νγ ΥΒ,ΊάΡΈΛ | 15. τής τοϋ Ε : τοϋ Ε Ε ^ Ρ ,Ι | 16. ώ ς : τουτέστιν ώς 6Ρ4 |

passer des ascensions droites aux ascensions obliques de n ’importe quel climat. E n effet A lm ., 127, 9-20 montre que dans la formule crd 2 &H crd 2 & E crd 2 A K crd 2 Z H = crd 2 E A X crd 2 KZ chacun des rapports garde sous tous les climats la même valeur pour un point K donné de l’ écliptique. E n effet H & et K A sont des ascensions droites et leur longueur estinvariable sous toutes les latitudes ; Z H et Z K sont leurs compléments.

Donc si on a la liste des valeurs de

, „ — pour tous les crd 2 E A points de l’ écliptique, cette liste vaudra pour tous les climats. D ’autre part crd 2 &E est fonction de la longueur du jour le plus long du clim at. considéré. Il suffit donc de diviser toute la liste par une quantité invariable pour obtenir une liste des inverses de crd 2 AE. On voit ce mécanisme en action p .702,17. Mais Théon ne songe pas à expliquer ie pourquoi de cette méthode : Il passe même A lm ., 127, 9-20 dans son commentaire. Ce qu’il veut, c’est apprendre aux élèves un procédé pratique leur permettant de trouver facilement toutes les ascensions obliques de leur climat.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

698

THÉON D’ALEXANDRIE

»

περιφέρειας,

»

τής Κ Λ διπλάσιων μοιρών έστιν η γ ιζ

»

τουτέστιν τής τρίτης των

ρινόν δεκαμοιρία

'»

[H p. 75-76-77]

’Ιχθύων δεκαμοιρίας,

«

ή μεν

ή γάρ από τον εαρινόν ισημε­

λελόξωται την ϊσην τή Λ Κ μοιρών ούσαν 1 δ α λη.

ή αρα διπλή αυτής εσται η γ ιζ. « ή δ’ ύπ αυτήν ευθεία τμημάτων 5 η κε λθ. ή δέ τής Κ Ζ διπλή, » τών λειπουσών εις την διπλήν των τής Α Ζ μοιρών ρπ, « εσται ροα νζ μδ, »

ριθ μβ

ιδ.

»

ή δ' υπ’ αυτήν ευθεία τμημάτων

καί εάν αρα από τον λόγου τής υπό την διπλήν τής Η Θ

προς την υπό την διπλήν τής ΗΖ,

τουτέστιν

τών μη λα νε προς τά

ρθ μδ νγ άψέλωμεν ώς επί τής πρώτης δεκαμοιρίας τον τής υπό την 1 0 διπλήν

τής Λ Κ προς την υπό τήν διπλήν τής Κ Ζ λόγον, τουτέστιν τον

τών η κε

λθ προς τά ριθ μβ ιδ, καταλειψθήσεται ήμίν

ο

τής υπό τήν

διπλήν τής ΘΕ προς τήν υπό τήν διπλήν τής Ε Α λόγος, ό τών νβ νζ ε προς τά η κε λθ. §

Είτα τον προχείρου

λ θπ έντα 2 λόγον εις τον

ξ,

καί σαφούς ένεκεν μεταλαμβάνει τον καταλιπολλαπλασιάσας τά

τά γενόμενα μερίσας παρά τά νβ νζ η κε λθ, ούτως ξ προς θ λγ 3. §

ε.

ξ

επί τά

η κε λθ καί

καί ποιεί ώς νβ νζ

ε προς

Καί επί τών λοιπών δεκαμοιριών ακολούθως τοϊς είρημένοις έπιλογι-

σάμενος, τον καταλειπόμενον τής υπό τήν διπλήν τής ΘΕ προς τήν υπό 20

τήν διπλήν

|

τής Ε Α λόγον μεταλαμβάνων

·

οϊων ή υπό τήν διπλήν τής

§ πώς εκ τοΰ πσιασμοϋ. § Λ τών ειρη οτι ή υπό Δ Ε Κ < βίσ η εστίν τήί> ύπό Δ Η Α .

1. τω αύτω : τώ έπομένω F | γινόμεναι : γινόμεναι είσιν bPJ | 2. τον διά : om L,VF [ 4. γινομέναις : -ναι F | 6. δε : δη [η expunct] L | 8. αρα : αρα εστίν bPJ | Δ Ε : M E L ¡ β ά σ ι ς : βάσις αρα bPJ | 10. επεί : om bP | 'ίση: ίση ε στ ί ν bPJ | γωνία γωνία : γωνία ή ύ π ό Α Δ Ε γωνία τή νπο Α Δ Η ίση bPJ | 11. ή Ε Γ : Ε Γ L | ίση : ίση έατί bPJ |

(1) Deux fois de suite, l ’accord de L ,V F nous mènerait à écrire ai ύπό τον κατά κορυφήr.Un peu plus loin, p . 7 8 4 , 8 c’ est au contraire L qui nous pousse à prendre l ’ expression complète, tronquée par les autres manuscrits. Nous avons adopté l’expression complète, bien qu’il ne soit pas impossible, après tout, que le vertical se soit appelé aussi ό κατά κορυφήν (κύκλος). Notre texte n’est donc pas tout à fait sûr.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 124]

C O M M E N T A IR E SUR

l ’a

LM A G E STE L .

2

CH AP.

12

78l

βρινοϋ προς τω αύτω σημείω γινομέναις ϊσαι εΐσίν, τοντέστιν δτι συναμφότεραι ή τε ύπό ΚΕΖ περιεχομένη υπό τε τον διά του κατά κορυφήν του Γ Κ και τον ΕΖ επομένου του διά μέσων βορειοτέρα, μετά τής υπό ΛΗΒ τής περιεχομένης νπό τής ΓΗ Λ διά του κατά κορυφήν και τον δΒΗΘ επομένου του ζωδιακού, δναι τα'ις υπό ΔΕΖ νπό τοϋ μεσημβρινού προς τω αύτω σημείω τοϋ ζωδιακού γινομέναις ϊσαι είσίν. Έπεί γάρ πάλιν ή υπό ΔΕΖ ή αυτή έστιν τή υπό ΔΗΒ, προς τω αύτω σημείω τοϋ ζωδιακοϋ γινόμεναι υπό τον μεσημβρινού, και ai άρα υπό τοϋ μεσημβρινού γινόμεναι γωνίαι, τοντέστιν ai υπό ΔΕΖ, ΔΗΒ, διπλα10 σίονές εισιν τής μιας τής υπό ΔΕΖ. και έπεί ή υπό ΔΕΚ τή υπό ΛΗΔ έστιν ίση, ως εξής δείξο\μεν, κοινή προσκείσθω ή υπό ΚΕΖ. όλη άρα ή υπό ΔΕΖ ϊση έστιν ταϊς υπό ΚΕΖ, ΛΗ Δ. ’Έ τι κοινή ή υπό ΔΗΒ · ai άρα υπό ΔΕΖ, ΔΗΒ ϊσαι είσίν ταϊς υπό ΛΗΒ, ΚΕΖ. 15 Άλλα αί μέν υπό ΔΕΖ, ΔΗΒ δύο είσίν αί υπό ΔΕΖ υπό τοϋ μεσημβρι­ νού προς τω αύτω σημείω γινόμεναι προς τω αύτω έπομένω τοϋ διά μέ­ σων βορειότεροι, αί δέ νπό ΛΗΒ, ΚΕΖ υπό τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν καί τοϋ διά μέσων προς τω αύτω σημείω κατά τήν θέσιν τήν δμοίαν, δπερ έδει δεϊξαι. 20 § "Η καί ούτως · πάλιν έπεί αί υπό ΔΕΖ, ΔΗΒ διπλαϊ είσιν τής υπό ΔΕΖ, καί έστιν ϊση ή υπό Δ Ε Κ τή υπό Λ Η Δ, μεταλαμβανομένης τής υπό ΛΗΔ αντί τής υπό ΔΕΚ, ή υπό ΛΗΒ δλη μετά τής υπό ΚΕΖ ισαι είσίν ταϊς νπό ΔΕΖ, ΔΗΒ, τοντέστιν δύο ταϊς νπό ΔΕΖ νπό τοϋ μεσημβρινού καί τοϋ ζψδιακοϋ γινομέναις. άλλα αί υπό ΛΗΒ, ΚΕΖ είσίν αί υπό τοϋ διά τοϋ

§ πως πάλιν τό α < ί τ ό > δείκννται. 1

1. τφ αύτω σημείφ : τφ υπό τοϋ αύτοϋ α η μ ε ί ο υ \ F | γινομέναις : -ναι L ,V F γινομέναις γωνίαις bPJ | 3. μετά της : και ή bPJ | 4. της περιεχομένης : περιεχομένης V F περιεχομένη bPJ | ύπό τής Γ Η Λ : ύπό τε rovb P J | κ α ί : ιοΰ Γ Η Λ καίΚΡΔ | 5. επομένου : έπομένου τμήματος bPJ | 6. γινομέναις : ναι V F I 8. γινόμ εναι: -νη bPJ | κ α ί : otn bPJ | 10. καί έπεί ή : και ή V F έστι δε και ή bPJ | 11. έ σ τ ι ν : o m V F ,b P J | προσκείσθω : προκ- L | 12. ταϊς νπό : δνσι ταϊς υπό Y F ,b P J | Κ Ε Ζ : ΓΕΖ L | 13. κοινή: κοινή προσκείσθω bPJ Δ Ε Ζ : Δ Η Ζ [Η exp] L | 15. ύπό ί άιπό L | 16. πρός τφ αύτω έπομένω : προς τφ έπομένω V F καί τφ έπομένω τμήματι bPJ | 18-19. τήν δμοίαν — δ ε ϊ ξ α ι : δμοίαν. δπερ εδει ποιήσα ιΝ Ε δμοιαι bPJ | 21. ϊση ή ύπό Δ Ε Κ : ή ύπό Δ Ε Κ ϊση bPJ 22. ή υπό Λ Η Β δλη : δλη αρα ή ύπό ΛΗ Β ΒΡ Δ | 23. δύο ταϊς : πρός τ α ϊ ς Γ 24. είσίν : om bP J | τοϋ διά : om L om supr ser V |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

780

THÉON D’ALEXANDRIE

διά μέσων περιφέρειαι.

και διά | τοϋτο

[H p. 132-133-134]

αί υπό τον αντοϋ παραλλήλου

άπολαμβανόμεναι κατά τον αυτόν σημείου του μεσημβρινόν ως έφαμεν ποιοϋσιν τά μεσουρανοϋντα, έπει και ό παράλληλος κατά τον αντοϋ ση-

F ig . 56. Var : Hab

J tantum, forsan e coniectura.

μείον φέρεται τον μεσημβρινόν, ονκέτι δε καί επί των λοιπών ώς έμπροσόθεν έδείξαμεν 1 τμημάτων τό αυτό συμβαίνει, διό Β μεσονρανοϋντα.

και κεχώρισται τά Α ,

§ El τα έξης φησίν · « καταγεγράφθω δη πάλιν τά αυτά τμήματα των εκ-

» κειμένων κύκλων, » 2 ώστε πάλιν τό μέν Η και τό Ε σημεϊον τό αυτό τυγχάνον ίσον άπέχειν έφ’ έκάτερα

τον μεσημβρινού επί τον δι αυτών

10 παραλλήλου ώστε τά A , Β μεσουρανονντα του ζωδιακόν βορειότερα γί-

νεσθαι τον Γ κατά κορυφήν. Λέγω δτι κα'ι όντως ai προς τώ αύτώ σημεία) γινόμεναι άνατολικαι και δντικαί γωνίαι, καθ’ δν διεστειλάμεθα τρόπον, δυο ταις υπό του μεσημ-

§ πώς εάν τά μεσου σημεία β ορείό* γένηται του κατά κ ώς έπι τής επιπέδου τής έν τ ά 3 < α ' βιβλίως> των εύθειών καταγραφής δτι εάν λόγος ή αυγκείμενος εκ δυο < λόγων ό ε ίς > τών αυντιθέντων σύγκειται εκ τ ε < τ ο ΰ λοιποΰς> των αυντιθέντων άνάπαλιν και < τ ον συντΟ>θεμένου.

1. Λρός τό Β : προς Β Ν Ρ προς τον B b P ό | 2. τό Γ : Ρ Υ Ρ προς τον /Ίλ Ρ 4 τοΰ Γ : τοϋ τοϋ Γ Β Ρ 3 | όπερ εδει δεΐξαι : ΟΙΠ bPJ | 4. ώς : Οίη Υ Ρ ,6Ρ 4 4-5. τών εύθειών καταγραφής : καταγραφής τών ευθειών bPJ | 5. εις δύο : εις δ ύ ο γ ά ρ ύ Ρ ϋ \ Μ Ξ , Μ Ζ : Μ Ξ , ΜΒΡ. \ ΖΝ, Ξ Η τέμ ν ο υ ο α ι: ΞΗ, Ξ Ν τέμνονσαι ί, ΖΗ, Ζ Ν τετεμνέτωσάν 6Ρ 4 ΖΙ1, Ξ Ν τέμνονσαι ν Ρ | 6-7. Ν Ξ λόγος : Ν Ξ ολόγος Ρ, |

ni chez Nicomaque, ni chez Diophante,, Il n ’existe pas dans le Commentaire de Pappus. On le trouve, dans un sens géométrique, dans la Collection de Pappus, livre V I I , p .6 8 4 ,15. Nous proposons le sens de « mettre à l’ écart ». On met B à l’ écart parce qu’on le met après Γ et à la dernière place de la formule. Mais faute de passages arithmétiques parallèles, nous ne savons pas s’il n ’ a pas un sens technique spécial. (1) Ci-dessus, 1er livre, p. 538 sqq. (2) Glose de V : τον τής Γ Ν προς Ν Ζ λόγον αύγκεισθαί φησιν ύπό τε τοϋ τής Γ Ν προς Ν Κ λόγου και τοϋ τής Κ Ν πρός 'ΝΖ. καί γενήσεται τοϋτο ήμϊν δήλον, εϊπερ εκ τών είρημένων ευθειών αναγραφήαονται παραλληλόγραμμα δρθογώ-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 120]

c o m m e n t a ir e

sur

l ’a l m a g e s t e

l

.

2

chap

.

11

761

§ Δείξομεν οτι εάν άνάπαλιν λόγος fi συγκείμενος εκ δύο λόγων, ο εις των συντιθέντων σύγκειται εκ τε τον λοιπού των συντιθέντων aναπαλιν και τον συντιθέμενου. A

Β

r

F ig . 48. Var: Quatuor lineas A, B, r , A notatas hab L ; sex, notatas A (S), B (e), r UC), A (ομεν δτι εάν άνάπαλιν λόγος ·< $ (ιυ γ> κ είμ ε νο ς εκ δυο λόγων ό εΙς ιθέντων σ ύγκειται εκ τε τ ο ϋ τω ν συντιθέντων άνάπαλιν καίτιθεμένου.

1. δτι ; οδν δτι V F ,bP J | άνάπαλιν : supr scr L om V F,bP J | ό εϊς : καί S εις V ,b P J και εϊς F | 2. σύγκειται : -σετα ι bPJ | 4. το Γ : τον F V F ,b P J | 5. εκ τε τοϋ : εκ τοϋ τοϋ V F ,bP J | τό Β : τον Β λόγον bPJ | τοϋ Β : τοϋ τοϋ Β bPJ I τό Γ : τον Γ bPJ I 5-6. και ό τοϋ Α πρός Β : και τον Α προς B Y δ τοϋ Α πρός τον Β bPJ | 6. σύγκειται : -σ ετα ι bPJ | εκ τοϋ — ro Β : εκ τε τοϋ τοϋ Α προς τον Γ καί τοϋ τοϋ Γ προς τον Β bPJ || 7. εάν γάρ το Β : εάν τον Β bPJ | άποθώμεθα : ΰποθώμεθα V F ,bP J | τό Γ : τον F b P J |

(1) Théon commet la maladresse de prendre un cas particulier. E n multi» pliant par des coefficients appropriés les quantités c d e f du cas général (voir la note précédente), on tombe dans le cas particulier exposé ici. Mais ce détour obligeant à chercher le plus petit commun multiple de d et e est plus long que la preuve entière. (2) Ce mot est assez insolite. Il est garanti par L et F. Les autres mss. ont écrit vnoOœ/tsda ; entre autres, Y . Pour une fois que c pourrait nous venir à point, en départageant V et F, il a précisément un trou à cet endroit là : il ne reste que nodcb/ieda. Mais il est probable que la lecture du groupe 2 est âno- ; ■ôno- sera une correction, introduite indépendamment par plusieurs éditeurs. Nous ne trouvons pas ce m ot dans les index d’arithméticiens grecs :

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

760

THÉON D ’ A L E X A N D R IE

[H p. 120-121]

5Εκεί μεν γάρ έδείκννεν δτι ο τής νπό την διπλήν της Η Θ προς την νπό την διπλήν της ΘΖ λόγος \ σύγκειται εκ τε του τής υπό την διπλήν τής ΗΕ προς την νπό την διπλήν τής Ε Γ και του τής νπό την διπλήν τής ΓΔ προς την νπό την διπλήν τής ΔΖ. 5 ’Ενταύθα δέ φησιν δτι ο τής υπό την διπλήν τής ΓΔ προς την υπό την διπλήν τής Δ Ζ λόγος συνήπται (δσπερ ήν εις των σνντιθέντων τον τής νπό την διπλήν τής Η Θ προς την νπό την διπλήν τής ΘΖ λόγον) εκ τε τον τής νπό την διπλήν τής ΓΕ προς την νπό την διπλήν τής ΕΗ (δσπερ πάλιν έστ'ιν δ λοιπός των σνντιθέντων τον είρημένον λόγον άνάπαλιν ληφΐοθείς · έλαμβάνενο γάρ ό τής νπό την διπλήν τής Η Ε πρός την νπό την δι­ πλήν τής ΕΓ) καί έτι του τής νπό την διπλήν τής Η Θ πρός την νπό την διπλήν τής ΘΖ (δσπερ ήν συντιθέμενος κατά την ακόλουθον τή άνάπαλιν δείξει του θεωρήματος).

2. σύγκειται : αννήπται V F ,b P J | 3. της 2 m : om L | 5. δτι : om bPJ 6. συνήπται : σύγκειται Y F om bPJ | δσπερ ήν ε ϊ ς : δπερ ήμεΐς V F δστις εϊς εστι bPJ | 7. λόγον : -γος L | 8. E H : E M L | δσπερ : δπερ Y F | 10. γάρ : γάρ εκεϊσε bPJ | 12. ήν : ήν ό V F ,bP J | την : το bPJ |1

fois à un commentaire du 1er livre et l ’on peut facilement retrouver dans le 1er livre de Théon les passages visés. Mais si le passage était de Pappus, les renvois désigneraient le 1er livre de Pappus. Il n ’y a rien d’étonnant à ce que le 1er livre de Théon contienne aussi des passages auxquels les renvois peuvent être appliqués, puisqu’il traite exactement des mêmes sujets que celui de Pappus. Théon, d’ailleurs, n’ aurait pas intercalé dans sa rédaction un morceau de Pappus, sans retoucher une indication de ce genre, si elle ne répondait à rien dans son ouvrage à lui. Mais tout cela est pure conjecture et l ’ on n’ a pas de motifs suffisants de mettre en question l’ authenticité de ce passage. Quant au fond de ces explications, voir ci-dessus, 1er livre, pp. 535, n. 2, et 539, n. 2 Théon sait fort bien que la formule utilisée ici est identique au « cas par synthèse » Mais ses élèves ont besoin qu’on leur explique tout. E n outre, quel que soit le nombre d’heures par semaine consacrées à l ’ étude de l ’astronomie dans l’ école de Théon, il y avait déjà fort longtemps qu’on avait vu la preuve du théorème de Ménélas. II n ’était pas mauvais de la récapituler. Théon le fera encore au 8 e livre. Nous avons vu au 1er livre, p. 575 que la division des fractions était une question fort embrouillée pour les élèves de Théon. Il faut ici montrer que si l ’on a : a c e

b= d

7

on a aussi :

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

119-120]

c o m m e n t a ir e

sur

i

.’ a l m

ageste

L,

2

CH AP.

11

759 .

Υποδείγματος ενεκεν àv νοήσωμεν επί τής αυτής καταγραφής 1 του διά μέσων ημικύκλιον τό ΡΕΖ, τό δε διά τοϋ κατά κορυφήν τόΑ Ε Γ, ώστε το Λ κατά κορυφήν νοτιώτερον είναι τοϋ Ρ μεσουρανοϋντος,ή μεν υπό τοϋ διά μέσων καί τοϋ δρίζοντος επιζητουμέ νη γωνία ή υπό ΔΕΖ εστίν, αφής 5Χρή άφελεΐν τήν υπό Δ Ε Γ ορθήν γωνίαν περιεχομένην * υπό τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν καί τοϋ δρίζοντος, καί λοιπήν εκτίθεσθαι τήν υπό ΓΕΖ, προς τω ΕΖ επομένω τοϋ διά μέσων τμήματι βορειοτέραν γωνίαν. %Έπεί οϋν ή παρειλημμένη λήψις τών λόγων ούχδμοίως ήμιν εϊληπται τοϊς διδαχθεΐσιν επί τοϋ εις τό πρώτον βιβλίον σφαιρικού θεωρήματος, 10 δείξομεν δτι καί αυτή νγιώς αντω παρείληπται κατά τήν άνάπαλιν τής εκεϊσε άποδείξεως λήψιν. 2

§ εί ούχ ομοίως εϊληπλημμένη γωνία τ < ο ϊ ς δι>δαχθεϊσιν επί τοϋ είς < τ ό πρώτον βιβλίον >σφαιρικοϋ θεωρήξομεν δτι ύγίως εϊλη.

1. ενεκεν α ν : δε ενεκεν εάν bPJ | τοϋ : τοϋ μ έ ν ύ Ρ Δ | 2. ΡΕΖ τό : Ρ Ε Τ τοϋ L I 4. υπό Δ Ε Ζ : υπό A E T L , υπό sp 4 lit Δ Ε Ζ F | εστ ίν: om L ,V F | 6. έκτίθεσθαι : εκτίθεται bPJ | Γ Ε Ζ : Γ Ε Τ L | 7. ΕΖ : E T L· | 8. λήψις τών λόγων : γωνία τών λόγων L | ήμιν εϊληπται : om bPJ | 9. επί : ήμίν επί bPJ I θεωρήματος : θεωρήματος εϊληπται bPJ | 10, αύτώ : αυτήν F om bPJ |

(1) Il n’y a aucune raison de soupçonner l ’authenticité de l’incise επί τής αυτής καταγραφής. Mais si elle est de Théon, le procédé est assez cu­ rieux : on utiliserait la figure de la p. 756 pour expliquer ce théorème-ci ; or les lettres de la figure ne correspondent pas à celles que l’on suppose ici : le vertical et l’ écliptique sont permutés, et le zénith est P à la p. 756 et A ici. Des procédés de ce genre sont toutefois possibles dans l’enseignement oral : le tracé au tableau pouvant servir une seconde fois en faisant remarquer que les lignes ont une autre signification, on ne va pas effacer, et redessiner absolument la même chose que ce qui s’y trouvait d’abord. (2) Dans ce passage nous rencontrons coup sur coup trois formes dérivées de λαμβάνω, sans le μ parasite {λήψις i c i; ληφθείς, p. 760, 9-10 ; είλήφθω, p. 764, 3 ; les deux formes qui précèdent ne sont pas bien attestées: λήψις p. 751, 8 n’ est pas dans L ; παρείληπται p. 759, 10 présente des traces de grattage dues au scribe lui-même ou au correcteur, vu l’ écriture in ras., qui est celle des gloses marginales ; il s’ agit probablement de -είληπ-ται changé en -είλη-πται, mais mieux vaut ne pas tenir compte de ces formes-là). A peine est-il fini, p. 764, 2 3 , nous retrouvons un διαλημψόμεθα. Nous n’oserions pas, rien que sur ce seul indice, -déclarer que cetteSexplication estïempruntée à Pappus, qui n’ emploie jamais les formes en λημγ-. L ’ auteur renvoie deux

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

758

[H p. 119-120]

THÉON D’ALEXANDRIE

« Ή δε διπλή τής Ζ Δ μοιρών ρπ, καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία τμημάτων ρκ. « Καί πάλιν ή μεν διπλή τής Γ Ε μοιρών ρνε κβ, » διά το δεδεϊχθαι την Ε Γ ο ζ μα, καί ή ύπ’ αυτήν ευθεία ριζ ιδ. « Ή δε διπλή τής Ε Η μοιρών ρπ, καί ή νπ ’ αυτήν ευθεία τμημάτων ρκ. 5

« Έ άν αρα από τον λόγου του τών ξβ » τών

ριζ

ιδ προς τά

κδ προς τά ρκ άφέλωμεν τον

ρκ, Ματαλειφθήσεται ό τής υπό τήν διπλήν τής

» Η Θ προς τήν υπό τήν διπλήν τής ΘΖ λόγος, ό τών ξ γ « Καί εστιν ή υπό τήν διπλήν τής ΘΖ τμημάτων

ρκ.

νβ προς τά ρκ. καί ή υπό τήν

» διπλήν αρα τής ΘΗ τών αυτών εσται ξγ νβ. ώστε καί ή μεν διπλή τής 10» ΘΗ περιφέρειας μοιρών εστιν

ξδ κ,

αϋτη δε ή Η Θ περιφέρεια καί ή

Vυπό Η Ε Θ γωνία τών αυτών λβ ι. » 1 Πάλιν δε καί ταυ τη προστιθείς, διά τά επάνω είρημένα, 2 τήν είρημένην ορθήν γωνίαν ύπό του διά τοϋ κατά κορυφήν καί τοϋ ορίζοντας τήν υπό ΡΕΔ, έξομεν καί ¡ τήν υπό τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν καί τοϋ ζωδιακού 15 επί τής αρχής τοϋ Ταύρου προς τφ όρίζοντι γινομένην γωνίαν, ως τήν

ύπό Ρ Ε Γ γωνίαν, μοιρών ρκ

ιβ.

Καί επί τών λοιπών δέ προς τον ορίζοντα γωνιών προσθείς τάς τής ορθής γωνίας μοίρας q τήν έκθεσιν πεποίηται, έφ’ ών δηλονότι τό κατά 20

κορυφήν βορειότερον τυγχάνει τοϋ μεσονρανοϋντος. Έ φ ’ ών γάρ νοτιώτερόν εστιν τό κατά κορυφήν, άνάπαλιν σφαιρών τής ύπό τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν καί τοϋ δρίζοντος τάς τής ορθής γωνίας μοίρας q από τής εύρισκομένης ύπό τοϋ διά μέσων καί τοϋ δρίζοντος, τών λοιπών εκτίθεται τήν προς τώ δρίζοντι ύπό τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν καί τοϋ διά μέσων συνισταμένην γωνίαν.

1. ή δέ διπλή τ ή ς Ζ Δ : ή δέ ύπό τήν διπλήν τής Ζ Δ L ή δέ ν π ’ αυτήν [cor in ύπό τήν Υ ] διπλήν τής Ζ Δ [ Ξ Δ F] Y F | 2-4. καί πάλιν — τμημάτων ρκ : om suppi mg J I 2. ρνε κβ : ρμε κβ L | 3. ριζ ιδ : ριζ L ριζ i a \ F τμη­ μάτων ριζ ( ó b p j j 4. E H : M E L | 5-6. άφέλωμεν— τά ρκ : erasis in textu 7 litteris suppi mg άφέλωμεν— τ ά ρ κ ό \ 5-6. τον τών : τον λόγον των bPJ τ ό ν ψ I 6. ριζ ιδ : ρ ξ ζιδ L ρ ξ ζ ιδ F ρκ ιδ J | 7. ξ γ ν β : ξ γ μ β omnes correxi | 10 περιφέρειας : -εια bPJ | ε σ τ ι ν : om Y F | 12. ταύτη : ταύτην L | προστιθείς : προσθείς V F ,b P J | 13. γωνίαν ύπό : γωνίαν τήν γινομένην ύπό τε bPJ I τοϋ διά : τοϋ as 2 lit διά F | δρίζοντος : δρίζοντος τουτέατι bPJ | 14. εξομεν : εξέθετο V F ,bP J | 16. ρκ ιβ : ρκ L | 17. τάς τής : τά τής L | 20-21. άφαιρών τής : άναφέρων τον V F άφαιρών τάς τής bPJ | 21. τάς τής : γ ι ν ο μ έ ν η ς ό Ρ ϋ ! 23. προς τφ όρίζοντι ύπό τοϋ : om L j (1) A im ., 158, 21 - 159, 18. (2) Cfr, ci-dessus, p. 754, 16.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 119]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 11

757

Δ είξο μ εν 1 δε πάλιν οτι έλάττων εστίν ή ΕΔ τεταρτημόριου. « γίνεται » δέ καί ή τε Ζ Γ Δ και ή Ζ Η Θ τεταρτημόριου, διά το τον ΒΕΔ ορίζοντα λ διά

των πόλων είναι τον τε Α Β Γ Δ μεσημβρινού και του ΖΗ Θ μεγίσ-

» τον κύκλον. » 2 5

Πάλιν γάρ δύο κύκλων τεμνόντων άλλήλονς των Ζ Η Θ και Ζ Γ Δ , διά των πόλων γραφείς ο ΒΕΔ όριζών, δίχα τέμνει τά άπειλημμένα τμήματα, και διά τούτο 34έκάτερον των Ζ Δ και Ζ Θ τεταρτημόριου τυγχάνει, και το Ζ δηλονότι πόλος γίνεται τον δρίζοντος τοντέστιν τό υπό γην κατά κορυφήν σημεϊον.

10

« Πάλιν έ π ε ί » τό Γ σημεϊον έπέχον « τον Καρκίνου μοίρας ιζ μα, απέχει

» του ισημερινού προς άρκτους επί του διά των πόλων αυτού η τοντέστιν

επί

τον

μεσημβρινού « μοίρας

κβ

μ,

δ δέ ισημερινός απέχει τον Ζ

» κατά κορυφήν » 1 δσον τό έξαρμα, τοντέστιν μοίρας

λζ, συνάγεται ή

Γ Ζ περιφέρεια μοιρών νη μ. 15

Έ ξη ς τούτων ούν | όντως έχόντων, φησίν · « Γίνεται λοιπόν διά τήν καταγραφήν δ τής υπό τήν διπλήν τής Γ Δ » προς τήν υπό

τήν διπλήν τής Δ Ζ λόγος συγκείμενος εκ του τής υπό

» τήν διπλήν τής Γ Ε προς τήν υπό τήν διπλήν τής Ε Η καί τον τής υπό » τήν διπλήν τής Η Θ προς τήν υπό τήν διπλήν τής ΘΖ. 20

« ’Αλλά διά τά προκειμένα ή μέν

διπλή τής Γ Δ μοιρών έστιν ξβ μ, »

διά τό τήν μέν διπλήν τή ςΖ Δ μοιρών είναι ρπ, δεδεϊχθαι δέ τήν Γ Ζ νη μ, καί γίνεσθαι τήν διπλήν αυτής

ριζ

κ,

καί λοιπήν δηλονότι καταλεί-

πεσθαι τήν διπλήν τής Γ Δ μοιρών ξβ μ. καί διά τούτο « καί ή νπ’ αυτήν » ευθεία έσται τμημάτων ξβ

κδ.

1. δ είξο μ εν — Ε Δ τεταρτημόριου : om bPEJ | 1-2. γίνεται — Ζ Η Θ τε­ ταρτημόριου : om V F ,b P E om suppi mg J | 2. ΒΕΔ : Β Ε Θ Ε | 3. Α Β Γ Δ : Ζ Η L Ζ Γ V F I 5. Ζ Γ Δ : Ζ Η Δ L | 7. διά τοϋτο : διά τό τό L | 10. μοίρας : om bPJ I 11. Ισημερινού — επί : Ισημερινού sp 5 lit επί L [ τού διά : τού Ζ ó iàbP I αυτού: αυτών L | 12. επί : om bPJ | 12-13. τού Ζ κατά : τού κατά bPJ ] 13. δσον : δσον εστ'ι bPJ | 13-14. τοντέστιν — Γ Ζ περιφέρεια : τουτέστιν μ ° sp 15 lit περιφέρεια L | 15. εξή ς τούτων : έξης sp 4-6 lit τούτω ν YF I 17. τής Δ Ζ : τή E Z Z L | συγκείμενος : σύγκειται bPJ | 20. προει­ ρημένα, ή μέν : προειρημένα ήμίν V F προειρημένα ήμϊν ή μεν bPJ | τής Γ Δ : τη Γ Δ L | 23. ξ β μ. κ α ί : ξ β καί L \ 24. ξ β κδ : ξ β κα L |

(1) Cfr. ci-dessous, p. 765, 16L (2) A lm ., 157, 15 - 158, 14. £ . (3) Cfr. T h é o d o s e , 'Sphériques, 2, 9, ed. Heiberg p. 52. (4) A lm ., .158, 14-17.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

756

[H p. 117-118-119]

THÉON D ’ALEXANDRIE

»

γένηται, προκείσθω υποδείγματος ένεκεν ενρεΐν την γινομένην

»

τολικήν γωνίαν υπό της αρχής τον Ταύρου και τον όρίζοντος. «

|

άνα-

»

Και έστω μεσημβρινός μεν κύκλος δ Α Β Γ Δ , τον δε υποκειμένου όρί-

F ig . 47. Var : Fig 51 [cfr p. 766] hic delineauit L ; fig bis hab. V ; fig om F ; arcum ΔΘ multo longiorem fecerunt bP let L ae J qui postea hanc partem erasit et denuo exarauit]. »

ζοντος ανατολικόν ημικύκλιον το BEA.

καί γεγράφθω τον διά μέσων

5 » των ζωδίων το Α Ε Γ ημικύκλιον, ώστε το Ε σημεϊον την αρχήν είναι

» του Ταύρου.» και προκείσθω δηλαδή ενρεΐν την υπό Γ Ε Δ γινομένην γωνίαν άνατολικήν καθόις εδηλονμεν. « Έ π εί ονν εν τούτοι τω κλίματι τής αρχής τον Ταύρου άνατελλούσης, » μεσουρανοϋσιν υπό γην τον Καρκίνου μοϊραι ιζ μα, 10

τον θεω ρήματος,1

«

»

ως δείξομεν εξής

έλάττων γίνεται ή Ε Γ περιφέρεια τεταρτημόριου,

»

έπειδήπερ άπό τής κατά το Ε άρχής τον Ταύρου μέχρι τω ν' ιζ μα μοι­ ρών τον Καρκίνου, συνάγονται μοϊραι ο ζ μα. « Γεγράφθω δή πόλω τω Ε, καί διαστήματι τή του τετραγώνου πλευρά »

μεγίστου κύκλου τμήμα το Ζ Η Θ καί προσαναπεπληρώσθω τό τε Ε Γ Η

15» τεταρτημόριον

καί

το

Ε Δ Θ .»

2. υπό : υπό τε V F ,b P J | 3. κ α ι : om F | υποκειμένου : [-ποκ- om suppi m 1] L I 9. μοϊραι ιζ μα ώς δείξομεν : μο δείξομεν L μο ιζ ώς δείξομεν V μ ° ιζ μ ώς δείξομεν F μ 01 ιζ να [να in ras ; forsan fuit μα nam j legit va cum v expuncto et μ suprascripto] J μ οί ιζ μ ζ bP conieci | 10-11. θεωρήμα­ τ ο ς — έπ ειδήπ ερ: θεωρήματοσ sp 8 lit γίνεται ή Ε Γ περιφέρεια Sp 12 lit έπειδήπερ'Ε | 11. τής κατά : τής sp 3 lit κατά F | 12. του Καρκίνου : om bPJ | 14. προσαναπεπΐ.ηρώσθω : άναπεπληρώσθω V F ; E άναπληρώσθω bPJ | 15. και τό Ε Δ Θ : om V F ,b P E om suppi mg J |

(1) Cfr.

ci-dessous,

p.

764,22,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

118-119]

c o m m e n t a ir e

sur

l ’a l m a g e s t e

2

L.

CH AP.

11 755

Ε σημείω τοϋ ζωδιακόν γινομένας γωνίας βούλεται έκθέσθαι εν τώ κανόνι, λαμβάνων τον πόλον τοϋ δρίζοντος το Κ σημεϊον, καί γράφων δι αντοϋ καί τον Ε μεγίστον κύκλον περιφέρειαν, καί προσΟείς ταϊς υπό Δ Ε Γ καί ΒΕΔ την

υπό ΚΕΔ όρθήν πάντοτε γινομένην μοιρών

q,

εξέθετο επί

5 τον διά 'Ρόδον κλίματος την μεν νπό Κ Ε Γ νπό της τοϋ Κριού άρχής προς

τώ όρίζοντι ανατολικήν γωνίαν μοιρών ρκ θ, άρχής τών Χηλών, μοιρών ρ ξ ζ

την δε υπό ΚΕΒ επί τής

να.

Γίνεται δε το Ε πόλος τοϋ μεσημβρινόν καί έκατέρα

δηλονότι

τών

ΕΒ καί Ε Γ τοϋ ζωδιακού τεταρτημόριου ούτως. 10

Έ π εί γάρ δ Α Β Γ Δ μεσημβρινός δια τών πόλων * τοϋ τε ΕΖ ισημερινού καί τοϋ Α Ε Δ δρίζοντός εστιν, ορθός έστιν προς αυτούς, ώστε καί έκάτερος τών ΕΖ, Α Ε ορθός έστιν προς τον Α Β Γ Δ μεσημβρινόν καί διά τών πόλων αυτού δηλαδή,

καί συμβάλλουσιν κατά το Ε. το Ε άρα πόλος έστίν τοϋ

Α Β Γ Δ , καί τεταρτημόριον δηλονότι έκάτερον τών ΕΒ, Ε Γ . 15

§ «

"Iva δε καί επί τών λοιπών

»

δωδεκατημορίων

«

ή έφοδος φανερά

§ πώς εύρίακομεν τήν γινκ^ομένην άνατοζ>λικήν γωνίαν υπό τής καί τοϋ όρίζοντος.

3. μεγίστου κύκλου : την μεγίστην τών κύκλων V F | προσθείς ταϊς υπό : προσθείς sp 2 lit νπό L προστιθείς bPJ |3-4. καί Β ΕΔ — Κ Ε Δ ορθήν : και Δ Ε Β sp 6 lit ορθήν L | 4. γινομένην : γινομένην τουτέστιν bPJ | μοιρών q εξέθετο ε π ί : μ ° q Ε Ξ sp 2 lit το επί L | 5. μεν : om F | υπό 2m επί bPJ | άρχής — ανατολικήν : άρχής τών χηλών άνατολικήν [τών χηλών expunct] L | 8. δηλο­ νότι : om bPJ I 11. δρίζοντός εστιν, ορθός έστιν : όρίζοντος ορθός έστιν L όρίζοντός εστιν F | 12. ΕΖ, Α Ε : ΕΖ, Α Β L ΕΖ, Α Ε Β V F ΕΖ, Α Ε Δ J ΕΖ, Ε Β bP | 13 κ α ί : om bPJ | κατά τό Ε : κατατο sp 1 lit τό Ε L δε αύτώ κατά τό Ε bPJ I

dans l’ établissement du texte du 3e livre. D ’un autre côté, le texte de cette fin du 2 e livre est, de ce chef, un peu moins sûr : L nous laisse de temps à tutre en suspens, ou bien, il lui arrive de mal lire. Lorsque l’enchaînement du rai­ sonnement impose une retouche au texte, nous pouvons la faire avec assez de sécurité ; celle que nous proposons ici n ’ est pas dans ce cas, et son degré de probabilité s’ en trouve diminué. On en fait de bien plus hardies chez les grands classiques. Mais le lecteur aura déjà remarqué, chose paradoxale à première vue, et un peu agaçante en tous cas, qu’on est loin de connaître le texte des grands auteurs, même dans des cas favorables comme ceux d’Eschyle, Sophocle, ou Démosthène, avec autant d ’exactitude que celui de ces mathé­ maticiens d’importance très secondaire que sont Pappus et Théon.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

754

THÉON D ’ALEXANDRIE

[Hp. 116-117]

»

τό ΕΖ, τον δε διά μέσων των ζωδίων δύο τεταρτημόρια το τε ΕΒ και

»

τό Ε Γ , ώστε τό Ε προς μέν τό Ε Β » νοτιώτερον « τεταρτημόριον νοεϊσΟαι το μετοπωρινόν, προς δέ τό Ε Γ » βορειότερον « εαρινόν, και » τά /¿έτ απο

»

τοϋ Ε επί τά Β, Γ εις τά επόμενα, ώ στε « το μέν 7? γίνεσΟαι χειμερινόν 5» τροπικόν τό δέ Γ θερινόν, » 1 συνάγεται ή μέν Γ Δ μοιρών λ θ, διά τό την μέν από τοϋ βορείου πόλου επί τό Ζ σημείον είναι μοιρών q, την δέ τον εξάρματος μοιρών λς,

καί λοιπήν την Δ Ζ μοιρών νδ, έκατέραν δέ

τών ΒΖ, Ζ Γ τής μεγίστης λοξώσεως μοιρών κγ να έγγιστα, καί κατα10

λείπεσθαι την μέν Γ Δ τών είρημένων μοιρών λ θ, όλην δέ τής ΖΒ συνάγεσθαι μοιρών οζ να.

|

την Δ Ζ μετά

Καί έπεί τό Ε πόλος έστίν τοϋ Α Β Γ Δ μεσημβρινόν, καί γέγραπται ό Α Β Γ Δ πόλογ τή κοινή τομή τών κύκλων τον ζωδιακού καί τον ορίζοντας, έσται ή μέν υπό Δ Ε Γ γωνία γινόμενη υπό τής αρχής τοϋ Κριοϋ προς τώ όρίζοντι ανατολική γωνία βορειότερα τοιοντων λ 0 οϊων ή μία ορθή q, 15 ή δέ υπό ΔΕΒ γινόμενη ομοίως υπό τής αρχής τών Χηλών οζ να.

Καί έπεί τάς νπό τον ζωδιακού 2 καί τον διά τον κατά κορυφήν προς τώ

3. μετοπωρινόν : μεθοπ- L | μέν : om F,bPJ | 4. τά Β , Γ : το Β Γ L ,bP | 4-5. γίνειιθαι χειμερινό:’ τροπικόν : χειμερινόν τροτικόν γίνεσθαι bPJ | 7. μ ο ι­ ρών λς : μ ° ις L I μοιρών νδ : μθ κδ L | 8-9. λ ο ξ ώ σ ε ω ς — καί καταλείπεσθαι : λοξώσεω α μ ° sp 2 lit κα έγγιστα καί κατά sp 5 Iit L | 9. την μέν Γ Δ : om bP την μ εν sp 2 lit L | 9-11. τών είρημένων —- καί έπεί τό Ε : τωνειρημενων sp 5 lit την Δ Ζ μ ετατησ Z B sp 6 lit μ ° sp 1 lit ζ να καιεπειο EL, | 11-12. ό Α Β Γ Δ — τών κύκλων : ο Α Β Γ Δ π ο sp 20 lit κύκλων L | 12. τοϋ l m : τον τε bPJ | 13. έ σ τ α ι — γ ι ν ό μ ε ν η : εσται sp 15 lit γινόμενη L | νπό 2™ : επί bPJ [ 14. di’ατολική — το ιο ν τω ν : ανατολική γω νία το ιο ύ τω ν L ,F άνατολική τοιοντ ω ν \ άνατολική γωνία βορειότερα τώ ν το ιο ύ τω ν bPJ conieci | λ θ : Κ Θ L [ 15. γινόμενη ομοίω ς νπό : γινόμενη Sp 4 lit ώς νπό L γινόμενη ομοίω ς επί bPJ I 16. νπό τ ο ν ζορδιακοϋ καί τ ο ν διά τ ο ν κατά κορυφήν : επί τ ο ν ζωδια­ κόν κατά κορυφήν L ,V F νπό τ ο ν διά τ ο ν κατά κορυφήν bPJ conieci |

(1) A lm ., 156, 13 - 157, 6. (2) L ’on peut constater, en consultant l’apparat critique, que le manuscrit copié par L présentait à la fin du 2 e livre de nombreux endroits illisibles et des trous. L les reproduit fidèlement, et la plupart du temps, le bianc qu’il laisse a exactement ia longueur de la lacune. Cette remarque nous vient gran­ dement en aide au 3 e livre : le modèle de L, codex ou rouleau de papyrus, con­ tinue à présenter de petites lacunes de ce genre. E t comme L est alors le seul témoin, la restitution doit se faire par pure conjecture. On a pour guide le sens et la phraséologie stéréotypée des mathématiques, mais en outre, les corrections proposées devront avoir une longueur matérielle sensiblement égale à celle du blanc laissé par L. Nous avons tenu compte de ce principe

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

117-118]

c o m m e n t a ir e

l ’a l m a g e s t e

sur

L.

2

C H A P.

11

753

τού Β Γ Δ τάς δυτικάς τών λείπουσών εις τάς δυο όρθάς επί των ’ίσον άπεχόντων

|

του αυτού τροπικού,

διά τά αυτά έπεί έχομεν και τού Β Γ Δ τάς

άνατολικάς, εξομεν καί τού ΒΑΔ τάς δυτικάς. 'Η καί διά τού εχειν τού Α Β Γ τάς άνατολικάς, εξομεν καί τάς τον Α Β Γ 5 δυτικάς, λαμβάνοντες τά μεγέθη τών λείπουσών εις τάς δύο όρθάς επί τών κατά διάμετρον τμημάτων, καί ομοίως διά το ηύρηκέναι τάς άνατο­ λικάς τού Α Β Γ , ημικυκλίου μόνου τάς άνατολικάς γωνίας εϋρομεν, συναποδεδειγμέναι εσονται

καί διά τον ετέρου ημικυκλίου άνατολικαί, καί

έτι αί τών δύο ημικυκλίων δυτικαί. 10

§« »

α0 ν δέ τρόπον δείκνυται, διά βραχέων έφοδεύσομεν, χρησάμενοι πά-

λιν τώ διά Ρόδου παραλλήλω » ένθα το έξαρμα τον πόλου μοιρών έστιν

λζ.

«

αί μεν ονν υπό τών ισημερινών σημείων προς τον ορίζοντα γινό-

>ι μεναι γω νία ι » προχειρότερον έφοδεύονται τον τρόπον τούτον.

κ

F i g . 46. Var : Fig om F ; arcum EZ tanquam proiongationem aicus K E delineauerunt

relqui oranes.

15»

« ’Εάν γρά-ψωμεν μεσημβρινόν μέν κύκλον τον Α Β Γ Δ , τού δε υποκειμενού δρίζοντος άνατολικόν ημικύκλιον το Α Ε Δ , καί τού μέν ισημερινού »

άπό τού δρίζοντος επί τό υπό γην τμήμα τού μεσημβρινού «.τέταρτημ όριον

§ < π ίδ ς ai υπό τών ΐσ~ς>ημερινών σημείων προς έφοδεύονται εντ. * 8

τον < ο ρ ι ζοντα~> γωνία

2. αύτά : αυτά δή bPJ |4. άνατολικάς — τάς τ ον Α Β Γ : οιη Υ Ρ , ΡΡά | 5. έ π ι : om F | ό. ηύρηκέναι : ε ύ - \ Ε β ο ν ό \ 7. τον Α Β Γ — εϋρομεν : οιη ν Ρ ^ Ρ ά | 8. διά : α ίν Ρ ,Ρ Ρ ά | 11. μοιρών έστιν : έστιν μοιρών ΡΡ | 12. λς : λ β Ε | νπό ; οιη ν Ρ ,Ρ Ρ ά | τών ισημερινών : τώ ν τ ον ισημερινόν 'νΕ,ίϊΡό | 12-13. γινόμε­ ν ο ι ; είναι μέν αί ί. | 14. εάν ; έάν γάρ Y F ,b P J | μεσημβρινόν ; ισημερινόν ί. |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

752

THÉON

d

’ A L E X A N D R IE

άπέχοντα τον αύτοϋ Ισημερινόν του Α. τό Η.

[H

p.

1 1 4 -1 1 5 -1 1 6 ]

καί έστω του Ζ κατά διάμετρον

Φανερόν αρα εκ τοϋ πρώτον λημματίου ότι εάν δοθή ή προς τώ Ε γινό­ μενη του όρί*ζοντος προς τον ζωδιακόν ανατολική γωνία, δεδομένη | ϋέσται καί ή προς τω Ζ των αυτών, διά τό ίσον άπέχειν τοϋ ισημερινού τά Ε, Ζ σημεία. Καί έπεί δέδοται ή προς τώ Ζ ανατολική, δέδοται άρα καί ή προς τώ Η δυτική, διά τό δεύτερον λημμάτιον, των λειπουσών εις τάς δύο όρθάς. ’Ίση δέ ή προς τω Ζ τή προς τω Ε. ώστε καί ai υπό των Ε, Η σημείων 10 Ισον απεχόντων τοϋ αύτοϋ τροπικού τον Β ai προς τω όρίζοντι γινόμεναι γωνίαι τον μεν Ε ή ανατολική τοϋ δέ Η ή δυτική δυσίν όρθαΐς ϊσαι εΐσίν. Καί εάν πάλιν άπολάβωμεν τή Γ Η ϊσην τήν Γ Θ , τοϋ Θ κατά διάμετρον γινομένου τοϋ Ε, δοθήσεται καί ή προς τω Θ δυτική γωνία των λειπουσών 15

εις τάς δύο όρθάς τής προς τώ Ε ανατολικής, καί διά τό τά Η ,Θ σημεία ίσον άπέχειν τοϋ Γ Ισημερινού, καί δεδεϊχθαι ήμϊν έν τώ πρώτο) λημματίω τήν μέν άνάτολικήν τή ανατολική ϊσην τήν δέ δυτικήν τή δυτική, ώστε πάλιν δέδονται καί ai προς τοΐς Ζ, Θ σημείοις ίσον άπέχουσαι τοϋ Δ τροπικού ανατολικοί καί δυτικαί.

Καί διά ταϋτα εάν τάς τοϋ Α Β Γ ημικυκλίου μόνου δπερ έατίν « άπό 20» Κριού μέχρι Χηλών τάς άνατολικάς γωνίας ενρωμεν, συναποδεδειγ» μέναι έσονται καί ai τοϋ Α Δ Γ ημικυκλίου ανατολικοί, καί έτι

αί τών

» δύο ημικυκλίων δυτικαί. » 1 "Εστιν δέ καί τούτο αύτόθεν φανερόν. 25

5Εάν γάρ λάβωμεν τοϋ Α Β Γ ημικυκλίου τάς άνατολικάς γωνίας, έξομεν καί τάς τοϋ Α Δ Γ άνατολικάς τών αυτών επί τών ίσον απεχόντων τοϋ αύτοϋ ισημερινού, ώστε καί έκατέρου τών ΒΑΔ, Β Γ Δ ημικυκλίων έξομεν τάς άνατολικάς. καί έν ώ έχομεν τοϋ Β ΑΔ τάς άνατολικάς, έξομεν καί1 0 1. ισημερινόν : Ισημερινού σημείου bPJ | τοϋ Ζ : τό Ζ L | Δ .δ ρίζο ν το ς: όρίζοντος τ ο ϋ ύ Ρ Δ | 5. T ( 5 :o m V | 9. προς 2 m προ L | υπό : επί bPJ | 10. a t : om bPJ | 12. πάλιν : voivvvbPJ \ τή : τήν L | 13. τοϋ Ε : τοϋ Ε Δ L τό Ε F τώ Ε bPJ | 14. τής : τή bPJ | ανατολικής : -κή bPJ | και : om V F ,b P J I 15. δέδειχ θα ι: - ε ι κ τ α ι Υ | 16, α νατολικ ήν— τήν δέ : άνατολικήν­ άνατολικήν sp 2 lit τήνδέ L άνάτολικήν τή άνατολική ϊσην είναι, τήν δέ V 17. Ζ, Θ : Δ, Θ L | 1 . άνατολικαί και δυτικα'ι: άνατολική και δυτική bPJ 19. και διά ταϋτα εάν : καί έάν άρα bPJ | r a s .'o m V F | 21. Α Δ Γ : ετέρου Y F ,b P J | ημικυκλίου άνατολικαί: om L | 24. τοϋ : άπό τοϋ V F ,bP J | 25. επί τών ίσον : ώς ίσον bPJ' | 26. ήμικυκλίων : -ίου L | εξομ εν : εξομ εν καί V F | 27. έν φ : έπεί Y F ,b P J | 752, 2 7 -7 5 3 ,1 . καί τοϋ : τοϋ V j

(1) Aim ., 156, 9-13.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

ρ.

117]

CO M M EN TAI HE SUR L ’ A L M A G E ST E L . 2 C H A P . 1 1

751

Eira δείξας τά τοιαντα δύο λημμάτια, τουτέστιν δτι « τών το ίσον ¿πέ­ η χόντων τον αυτόν Ισημερινού σημείου ai προς τον αυτόν ορίζοντα θεω» ρούμεναι ϊσαι είσίν » 1 (τοϋτο γάρ εν τω πρώτω λημματίφ εδείκννεν), καί των διαμετρούντων σημείων την

τοϋ έτερον Ανατολικήν μετά της

5 τοϋ ετέρου δυτικής όνσ'ιν όρβαίς ίσας δεικνύς, το εκ τούτων σνναγόμενον

παραλαμβάνει ώς δεδειχώς2 δτι « των ίσον άπεχόντων τον αυτόν τροπικού » σημείου ή τοϋ ετέρου άνατολική μετά τής τον ετέρου δυτικής δυσ'ιν όρ­ η θαϊς ϊσαι είσίν. 3 » § Δεικτέον ούν δτι εκ των είρημένων δύο λημματίων συνάγεται καί 10 τοϋτο.

F ig . 45. Var : Α Γ om L ; fig om F.

*Έ στω γάρ ζωδιακός κύκλος δ Α Β Γ Δ ,

καί Ισημερινό μέν έστω τά

Α , Γ σημεία, τροπικά δέ τά Β, Δ, καί είλήφθωσαν τά Ε, Ζ σημεία Ισον

§ πώς δείξομαι δτι έ < κ τών είρημένωνϊ> δύο λημματίων ή λέγουσα δτι τον αυτόν τροπι τοϋ έτέρου άνατ 0 δυτικής δυσ'ιν δ.

1. τό Ισον : ¿σον bP | 2. α ί : om L | 2-3. θεωρούμενοι: θεωρούμενι ι γω νίαι bPJ | 4. διαμετρούντων : διαμέσων sp 3 lit τών L | την : ή bPJ | ανατο­ λικήν : -κή bPJ | 5. ϊσας δεικνύς : ϊσας δείκνυσι L ϊσαι είσίν bPJ | τ ο ύ τ ω ν : τούτου F I 6. ώς δεδειχώς : om bP ώς έπόμενον J j δ τ ι : δτι καιΡΡ | 9. συνά­ γ ετ α ι : -εσθα ι F |

(1) Aliti., 156, 4-6. (2) Ptolémée ne le démontre pas, il le suppose démontré.

(3) Aim., 156, 6-9.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

THÉ ON D ’ A L E X A N D R IE

750

[H

p . 1 1 3 -1 1 4 ]

ο ΑΕ ΓΖ, τέμνων τον ορίζοντα κατά τα A, Γ σημεία, ώ σ τε βόρεια τνγχά-

νειν το. πρύς τώ Δ μέρη, και έτι επόμενα καί υπέρ γης τοϋ ζωδιακόν ώς απυ τον A επί τό Ε καί Γ,

καί άνατολικόν μεν γενέσθαι το Γ, καί υπό

τον ορίζοντα την υπό Δ Γ Ζ γωνίαν προς τω έπομένω τμήμα τι άνατολικήν 5 καί βορειοτέραν τυγχάνουσαν, καί ετι τό A δυτικόν καί την υπό ΔΑ Ε υπέρ γην βορειοτέραν πάλιν ούσαν προς τω έπομένω τμήματι δυτικήν. Λ έγω ότι « ή υπό Δ Γ Ζ καί ή υπό ΔΑ Ε συναμφότεραι δύο όρθαΐς ϊσαι » ειαίν. » Έ π εί οϋν « συναμφότεραι ή τε υπό ΖΑ Δ καί ή υπό Δ Α Ε δυσίν όρθαΐς ϊσαι 10» είσίν, ίση δέ ή υπό Δ Α Ζ τή υπό Δ Γ Ζ , » επειδήπερ εάν πόλω τω A καί διαστήματι τή τον τετραγώνου πλευρά γράφωμεν μεγίστου κύκλου τμήμα τό ΔΖ , έσται τό αυτό καί \ πόλω τώ Γ διαστήματι δε τή τοϋ τετραγώνου πλευρά γραφέν καί δν έχει λόγον ή Δ Ζ περιφέρεια προς τον όλον κύκλον τούτον έχει τον λόγον

καί εκατέρα των υπό Ζ Α Δ, Δ Γ Ζ γωνιών προς έν τοσούτω και τό Π επί τό Ε, καί εφαρμόσει δ Ο Π Ξ επί τον ορίζοντα, καί ή Ξ Κ Λ τή Π Κ Ε σννανενεχΟήσεται, καί ’ίση εσται < τ ή ΠΚγ> ή ΚΕ, έπεί τα ϊσον άπέχοντα τον ισημερινόν τον ζωδιακόν σημεία ϊσοις χρόνοις 5 σνναναφέρεται. Καί ισόπλευρα πάλιν εσται τά τρίπλευρα,

ώστε καί γωνία η υπό Κ Ξ Π

τη νπό Ε Λ Κ εσται ίση. καί λοιπή άρα ή υπό Δ Α Κ έπιζητουμένη γωνία έστίν ίση τή υπό ΡΞΠ .

ή 1 υρανοϋααν εύρήσομεν .

τών τι

τμη

επιβάλλουσιν, ούτως

'

κζ ι μ ° τον ταύρον.

1. εύρήσομεν : ενρομεν L | 3- ώ ρ ώ ν : ωριαίων χρόνων L | 5. 0 : δ ύ ο Ύ εννέα in ras F | 5-6. ήμερινούς : ίσημερινούς^ΡβοΡύ | 6. ρμη λθ : ρμη λα bP I 7. ρξα μ η : ρξα μα Ρ | 7-8. τής κα’ ώ ρ α ς : τών κα ώρών bPJ 9. χρόνους: om L | 10. κατηντήσαμεν : καταντήσομεν bPJ | ήντινα: ή ν ύ Ρ ύ 12. δεκαμοιρίας : ι Μ ° L Γ μ° V τρίτης sp 3 lit μοίρας F | 14. επισυναγόμενοι χρόνοι: χρόνοι επισυναγόμενοι bPJ | 17. τοϋ ζωδιακού μοίραν: Ora t ?J | 20. τμα λε : τών τμα λε bPJ | 21. αελιδίω : α' σελιδίφ bPJ | 22. τοϋ τ μι, : τφ τμη Y F τών τμη bPJ | τώ τν ν : τω ΤΝ Η L τφ τών τν ν bPJ | 23. ταϊς : τοίς bPJ | ment la même longueur d’un jour à l’ autre. On ne pourrait donc pas, stric­ tement, procéder comme à la p. 719, 5 et dire que la longueur donnée com­ porte 911 de jour et 12h de nuit, sans distinguer. C’est sans doute à cause de cela que Théon force à 1° près ses derniers résultats. (1) Ci-dessus, 1 er livre, p. 507, 18 sqq.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

720

[H p . 92-93-94]

THÉON D’ALEXANDRIE

"Εκθέμ ενοι α υτούς ώ ς ν π ο γ έ γ ρ α π τ α ι , 1 καί λ α μβ άνοντες την διαφοράν των τά

τ μ α λε π ρ ο ς τά

μ ο ιρ ώ ν 5 τμα

λε

ι

καί

κ,

προς τά

α τν

ιε

προς

ι,

ούτω ς

ά νάλ ογον μ ο ιρ ώ ν

γίνεται ν,

ζ

ς νζ,

καί μ ε ρ ι ζ ό ν τ ω ν π α ρ ά τ ο ν 10 διάκου τ ω ν

0 ιε,

καί τ ω ν

ι,

καί

ποιοϋντες

π ρ ο ς την διαφοράν τ ω ν

κε

ώς ι

ή

διαφορά

προς τά

κ,

των

ούτως

τ μ η , π ρ ο ς άλλον τινά · τ ο υ τ έ σ τ ι ν ώ ς

π ρ ο ς άλλον τινά · εύ ρίσ κεται δέ ό τ έ τ α ρ τ ο ς

π ο λ λ α π λ α σ ια ζ ό ν τ ω ν η μ ώ ν θ

τ μ α λε πάλιν π ρ ο ς

κε, καί τ ω ν πα ρα κ ειμ έ νω ν του ζ ω δ ι α κ ο ύ ('

ζ

τ μ α λε 2 πρ ος τά

τ η ν διαφοράν τ ω ν θ

τν ν, α γ ί ν ε τ α ι

τ μ η , & γ ί ν ε τ α ι ο μ ο ίω ς

ιε ·

τον

ιζ

κε

επί τ ά

ι

ας π ρ ο σ θ έ ν τ ε ς τ η δεκαμοιρία τ ο ν ζ ω -

"Ι χ θ ύ ω ν , ε ξ ο μ ε ν τ ά ς έπιβα/Χλονσας τ ο ϊς

ζ ω δ ι α κ ο ύ τ ώ ν "Ι χ θ ύ ω ν μ ο ιρ ώ ν

ζ

τμη

χ ρ όνοις τού

νζ.

§ « "Ο μ οίω ς δέ τ ή ; ά νατελ λ ού σης μ οίρ ας δοθ είση ς,

την μ εσου ρα νού σα ν

» υπέρ γ η ν λημψόμεθα 3 σκεφάμενοι τον τη ά νατελλονση παρακείμενον τ ή ς . » έ π ι σ υ ν α γ ω γ ή ς α ριθμόν έν τ ω τ ο ύ οικείου κλ ίμ α το ς κανονίω. »

§ < ζπ ώ ς τής άνατελλ>ούσης μοίρας μεσουρανούσαν μέθα. 1. έκθέμενοι αυτούς : έκθέμενοι Sp 3 lit αυτούς F | 2. τμ α λε l m ; τμα λθ L τμα λε θ bPJ | τά τν ν , α γίνεται θ ιε : τά ΤΜΗ ΝΑ γίνεται Θ IE L τά sp 3 lit μη ν' α γίνεται θ ιε F τ ά τ ν ν ήτις έστίν θιε bPJ |. καί τώ ν τμ α λε : om L καί τ ώ τμ α λε V | πάλιν : οιη L , bPJ J 2-3. προς τά τμη : om L | 3. α γί­ νεται : om L ήτις έστιν bPJ j 3-5. ομοίω ς ς κε — προς τά τν ν : bis hab, 2m cancell J I 4. α γίνεται : ή τ ι ς έ σ τ ί ό Ρ ύ | 5. τν ν : τν η L ,F τν bPJ | την δια­ φοράν : ή διαφορά bPJ [ 7. εύρίσκεται δέ : εύρίσκομεν bPJ | 7-8. δ τέτα ρ τος άνάλογον : τον τέ τα ρ το ν άνάλογον bPJ | 8. μοιρών : om bPJ | πολλαπλασιαζόντω ν — τα ι : πολλαπλασιάζοντες τον ι επί τον ς κε bPJ [ 9. καί μ εριζόντω ν : καί μερίζοντες F καί τά γενόμενα ξς ι μερίζοντες bPJ | δεκα­ μοιρία : δεκάτηι μοίραι L | 11. ις νζ : ις νζ : ι : τμ α λε · θ ιε · ις νζ · τμ η ■ ς κε · ς νζ · κ · τν ν : — V ία. νζ. ι. τμ α λε. θ. ιε · κ τν · ν : — F apud bPJ : ι τμ α λε θ ιε \ / ι ις νζ ι τμη ς κ ε / \ ς κζ κ τν ν ξζ ι 13. γην : γης V | σκεψάμενοι : om F |

(1) Voir ci-dessous, 1. 11 apparat critique, L a disposition des calculs a disparu dans L ; celle de V F est une simple file de chiffres, comme on en trouve constamment dans les cas analogues : celle de bPJ semble être une restitution conjecturale. Voir ci-dessus livre 1, p. 509, n. 1: (2) Nous écrivons rua As, qui est le chiffre donné par l ’ Almageste. Il semble que l'archétype a eu r/xa ÂO, simple faute mécanique de copie. (3) Cfr. p. 3 2 6 ,n . 1.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 110]

commentaire sur l ’ almageste

L. 2 CHAP. 9

721

« Άφελόντες γάρ Απ' αύτοϋ πάντοτε τούς τον τεταρτημόριου χρόνους » q, » 1 και τούς λοιπούς είσάγοντες είς τούς της επισνναγωγής τοϋ της

ορθής σφαίρας σελιδίου, « την παρακειμένην τω Αριθμώ μοίραν κατά το «a 5

σελίδων τότε ύπερ γης μεσουρανούσαν εύρήσομεν. »

Έ κτεθείσης γάρ

τής καταγραφής υποκείσθω ή κατά το Ε τομή επί

■&)ΰ εαρινού σημείου, λαμβάνοντες ούν πάλιν εκ τοϋ τοϋ οικείου κλίματος κανόνος τούς τή ςΕ Θ τής επισυναγωγής χρόνους, οΐτινες συνανηνέχθησαν τή Ε 3 τοϋ ζωδιακού περιφερεία, καί προσθέντες αύτοϊς τούς τοϋ ισημερινού χρόνους τξ,

εξομεν τούς χρόνους όλου τοϋ ισημερινού καί τοϋ ΘΕ τμή-

10 ματος, οιτινες συνανηνέχθησαν όλω τω ζωδιακω καί τή Β Ε αυτού περι­

φέρεια. Αφ ών Αφελόντες τούς από τοϋ Θ όρίζοντος επί τό Λ μεσημβρινόν σημείον τοϋ ισημερινού χρόνους πάντοτε γινομένους q,

εξομεν λοιπούς

τούς τοϋ Ε Θ Κ Λ τμή\ματος τοϋ ισημερινού, οΐτινες συνεξήλθον τον με­ σημβρινόν τω Ε Η Β Δ Ζ τμηματι τοϋ ζωδιακού,

οϋς πάλιν εισαγάγοντες

15 εις τάς επ' ορθής τής σφαίρας αναφοράς, εύρήσομεν τό μεσουρανούν τοϋ

διά μέσων τμήμα τουτέστιν τό Ζ. 'Ανάπαλ'ν δέ δοθέντος τοϋ Ζ μεσουρανοΰντος, τό Β Ανατέλλειν εύρή­ σομεν λαβόντες έκ τοϋ έπ’ ορθής τής σφαίρας κανονιού τον τω Ζ παρα­ κείμενον τής επισυναγωγής των χρόνων αριθμόν, οΐ είοιν τοϋ Ε Θ Κ Λ 20 τμήματος τοϋ ισημερινού συνεξελθόντες τον μεσημβρινόν τή ΕΗ ΒΖ τοϋ

διά μέσων περιφερεία. προσθέντες γάρ αύτοϊς πάντοτε τούς τοϋ Λ Θ τε­ ταρτημόριου χρόνους q, καί Από των συναχθέντων επί τής προκειμένης

1. τ ο ύ ς : o m L | 1-2. χρόνους q : χρόνου q L [ 2. ε ίσ ά γ ο ν τε ς : είσα γα γόντες V F ,bP J | το υ : τούς bP | 5. έκτεθείσης : επί bPJ | κ α τα γ ρ α φ ή ς : ίπ ά νω καταγραφής bPJ | υποκείσθω : orti bP | επί : orti suppi V j 6. λαμβάνοντες : λαβόντες bPJ | πάλιν : o m F | 6-7. τοϋ το ϋ οικείου κλίματος κανόνος : τοϋ κανόνος τ ο ν οικείου κλίματος bPJ | 7. συνανηνέχθησαν : άνηνέχθησαν\Τ?βοΡά ] 8. περιφερεία : -αν L | 11. Θ : o m V F ,bP J | ênl τό Λ μεσημβρινόν : ή τ ο ι το ϋ Λ επί τό ν μεσημβρινόν bPJ | 12. σημείον : οηι V F ,bP J I π ά ντοτε γινομένους : γινομένους F γινομένους πάντοτε bPJ | λοιπούς : -πόν V F , bPJ | 13. τ μ ή μ α τ ο ς : κλίματος bPE | ισ η μ ε ρ ιν ο ί: ισημερινού χρόνους bPJ | 17. δέ : o m F | μ εσ ουρ α νοΰντος : μ εσ ο νρ ο ϋ ν το σ L ανατέλλειν : -λον V F ,bP J | 19. τής επισυναγω γής : τή επ ισυναγω γή V F 20. ΕΗΒΖ [hab V] : Ε Β Ζ Η L ,F Ε Β Δ Ζ τμ ήμ α τι bPJ | 21. περιφερεία : om bPJ -ώ ν F I προσθέντες γάρ : καί προσθέντες bPJ j 23. καί άπό : καί άφελόν­ τες άπό bPJ [άφελόντες om Suppl Ε] | έπι : cos έπ,ι bPJ j

(1) A lm ., 144, 14-21. Voir Note sur le mode d ’emploi des tables, § 3, 6 . Cette citation de Ptolémée contient de nouveau une forme en 1 rpiyi-. Voir ci-dessus, 1er livre, p. 326, n. 1.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

722

THEON

d ’ a LEXANDRIE

[H p. 94-95]

θέσεως τον Ε εαρινόν δλον του ισημερινόν χρόνων τ ξ και των τής Ε Θ πε­ ριφέρειας άφελόντες τους τ ξ του Ισημερινού, τους λοιπούς Ε Θ είσαγαγόντες εις το έπιζητονμενον κλίμα κατά τό τής έπισυναγωγής σελίδων, την παρακειμένην αύτοϊς κατά τό α σελίδων τον ζωδιακού μοίραν οΐον την 5 κατά τό Β άνατέλλουσαν ενρήσομεν. « Φανερόν δε δτι καί τοΐς μεν υπό τον αυτόν μεσημβρινόν οίκοϋσιν 5 » ήλιος τάς ϊσας ισημερινός ώρας απέχει » τον μεσημβρινού · «τοΐς δέ » μή υπό τον αυτόν μεσημβρινόν οίκοϋσιν τοσούτοις ίσημερινοίς χρόνοις » διοίσει » ή οίκησις τής οίκήσεως οΐς καί « ό μεσημβρινός τον μεσημβρι10 η νον παρ’ έκατέροις διαφέρει». 1

F ig .33. Var : Μ Ξ, Π Ξ , B K A rectas delineauit F ; punctum K litteris K et N designauit, et sic N bis habet Π.

Έ στω σα ν γάρ μεσημβρινοί oiA ZB , A K B καί νοείσθωσαν οικήσεις ύπ αυτούς, καί έστω ζωδιακός

ο

ΜΝΞ,

ο

ήλιος δέ κατά του Ξ, ισημερινός δέ

1. τ ο ν Ε εαρινόν όλου του : το ν εαρινόν όλου τ ο ν F τούς άπό του Ε εαρινού τ ο ν δλον bPJ | χρόνων : -νονς bPJ | τ ξ : τ ξ [in mg τζ] V | 1-2. καί τω ν — άφελόντες : om bPJ | 2. τους τ ξ : om bPJ τούς τ ζ V | ισημερινού : om F,bPJ I τούς λοιπούς Ε Θ : om F τούς λοιπούς τής Ε Θ bPJ | 2-3. είσαγαγόντες εις το : om F |.4-5. οΐον — ενρήσομεν : old έστι κατά τό άνατάλλον σημεϊον ενρήσομεν Υ οΐων εστί κατά την άνατέλλουσαν ενρήσομεν F ενρήσομεν τό τ ε άνατέλλονσάν P.J ενρήσομεν τό τ ε άνατέλλειν b | 7. Ισημερινός : -ρίας bPJ | 9. οΐς : δαοις V F οσαις μοίραις bPJ | 11. ο ί : ό F μεν οί bPJ | 12. το ύ Ξ : τό Ξ V F,bP J |

(1) A lm ., 145, 5-10,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

110]

c o m m e n t a ir e

sur

l ’alm a g e ste

2

L.

CH AP.

9

723

όΠ Ο Ξ . έστω δε ή μεν Ο Ξ ώρών Ισημερινών γ, χρόνων δε δηλονότι με, ή δε Ο Π χρόνων λ. Δ ήλον ονν ότι όλαις ταϊς νπό \ τον Α Κ Β μεσημβρινόν οίκήσεσιν τάς αύτάς ώρας γ

καί

ο

ήλιος απέχει τής μεσημβρίας

5 επί τον μεσημβρινού γινόμενος τάς

ζ

·

άμα

γάρ

αύτοΐς

ώρας ποιείται.

'Ομοίως δε καί ταϊς νπό τον Α Ζ Β μεσημβρινόν τάς αύτάς απέχει ώρας ε, διά τό την ΟΠ τον ισημερινόν περιφέρειαν χρόνων μεν νποκεϊσθαι λ, ώρών δε ισημερινών β. Καί φανερόν ότι τάς αύτάς διοίσει ώρας ή του ήλιου άπόστασις τής 10

μεσημβρίας ήτοι ώρας ζ τών νπό τον ΑΖ Β μεσημβρινόν οικήσεων προς τάς υπό τον ΑΚ Β, δσαις διαφέρει καί ό ΑΖ Β μεσημβρινός του Α Κ Β με­ σημβρινού, τοντέστιν ώραις ίσημεριναϊς δνσί. *

4. ώρας γ : ΟΠΙ Ρ | και ό — μεσημβρίας : απέχει τής μεσημβρίας και ό ήλιος Ρ | 7. β : οπι Ρ< I τό ; οιη ΡΡ | χρόνων μέν νποκεϊσθαι λ : χρόνων λ νποκεϊσθαι ΡΡ9 | 8. β : β. την δέ σ ξ χρόνων με ώρών δέ Ισημερινών γ V | 10. ώρας ζ : τής ς ώρας επί ύΡ 3 | Α Ζ Β : ΙΒ Ρ | 11. κ α ί : οπι νΡ,ΡΡΟ | 12. δ ν σ ί : δύο

ν^ρα

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Περί

ζωδίων

των

νπό

κύκλον,

τον

διά

και

τον

γινομένων

μέσων

τ ών

μεσημβρινόν

γ ω νιών

,

Καταλειπομένου δέ από των έν αρχή άριθμηΟέντων αντώ κεφαλαίων, 5 τον ε'

«

περί των γωνιών ποιήσασθαι λόγον, λέγω δη των προς τον διά

» μέσων των ζωδίων γινομένων ν 1 νπό τώ ν έξης δηλονμένων αυτογ κνριωτέρων κύκλων, προδιδάσκει ημάς τίνα φαμέν ορθήν γωνίαν νπό με­ γίστων κύκλων περιέχεσθαι. και φησίν · »

§ «

ορθήν γωνίαν υπό μεγίστων

κύκλων λέγομεν περιέχεσθαι δταν πόλο) τη κοινή τομή των κύκλων και

1 0 » διαστήματι » 9 ιέρεια »

τυχόντι γραφέντος κύκλου ή απολαμβανόμενη αυτού περινπό των τήν γωνίαν περιεχόντων τμημάτων τεταρτημόριου

τ ον γραφέντος κύκλον ποιή .

» 2 |

Οΐον έστωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οί Α Ζ Β Γ, ΕΖΗ, τέμνοντες άλλήλονς κατά το Ζ σημεϊον, και πόλο) τω Ζ καί διαστήματι τυχόντι ώς τω ΖΑ κν-

§ π ό τ ε ορθή γ ω ν ί α < λ έ γ ε τ α ι ύπόξ> μ ε γ ί σ τ ω ν

κύκλων περι.

4. έν α ρ χ ή : εξ αρ χής V έν τ ή αρχή τ ο υ δευ τέρ ο υ βιβλίου 1 )Ρ 4 | 4-5. το ν ε' : Οίη νΡ^ΙΐΡ.Ι | 5. π ε ρ ί : τ ο ϋ περί Υ Ρ ^ Ρ 4 | λ ό γ ο ν : τ ό ν λ ό γ ο ν ΥΈ}ύ Ρ 3 | τ ο ν : τό Σ, | 7. τίν α φ α μ έν : τ ί φαμεν Υ Ρ τ ί φηαιν Ρ Ρ 4 | 10. τ υ χ ό ν τ ι : τ ώ τ υ χ ό ν τ ι b P J | 14. τ υ χ ό ν τ ι : τ ώ τ υ χ ό ν τ ι b P J | (1) A lra., 145, 15-16. ràv e.' : cfr. Alm., 89, 1, 3, 5, 1, 10 ; et ci-dessus, p. 611, n. 2. A partir d’ici, jusqu’à la fin du 2e livre, Théon explique comment on éta­ blit la grande table des distances zénithales et des angles formés par le vertical et l ’ écliptique, A lm ., p. 174 à 187 (cfr ci-dessus, tome I, p. x xx , § 3). A u chapitre 10 de l ’Almageste, dont le commentaire commence ici-même, on calcule l’angle formé par le méridien et l’ écliptique, c’est à dire la pre­ mière ligne de la colonne des angles dans tous les petits tableaux de A lm ., 174 sqq. A u chapitre 11 (Commentaire, pp. 744 sqq.) on calcule l ’ angle formé par l’horizon et l ’ écliptique : il suffit d’ajouter 90° à ces résultats pour trouver les colonnes 3 et 4 de tous les petits tableaux de A lm ., 174 sqq. Enfin au chapitre 12 (Commentaire, pp. 786 sqq.) on calcule les distances zénithales (colonnes 2 des petits tableaux) et on achève les derniers détails du calcul. (2) A lm ., 145, 17 - 146, 1.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

Ili]

C O M M E N T A IR E SUR

l

’A L M A G E S T E L .

2

C H A P.

10

725

κλος γεγράφθω δ ΑΗΒΕ. ορθήν ούν μίαν γωνίαν καλεί την υπό ΑΖΗ , όταν ή Α Η περιφέρεια τεταρτημόριου τνγχάνη, έπεί και των Α Ζ Γ , Ε Ζ Η περι­ φερειών προς όρθάς άλλήλαις τυγχανουσών έκαστη των ΑΗ , ΗΒ, ΒΕ, ΕΑ

[quod non est falsum sed non clarum] fecerunt, Β Γ omiserunt [quare V aliam figuram ex ΑΗ Β Ε, ΕΖΗ, Α Ζ Β Γ tantum consistentem paulo infra delmeauit] reliqui omnes: Θ pro E, E pro B, Γ pro Θ scripsit, litt B super arcum quem Θ Β designaui posuit F ; bis hab V.

περιφερειών τεταρτημόριου γίνεται, διά τό τον μεν Α Ζ Γ διά των πόλων 5 τυγχάνοντα τοϋΑ Η Β Ε δίχα αυτόν τέμνειν, καί έτι τον Ε Ζ Η διά των πόλων

τυγχάνοντα τον Α Ζ Γ καί του Α Η Β Ε δίχα τέμνειν αυτών τά άπειλημμένα τμήματα (δηλαδή καί δτι έκάτερον

των ΑΗΒ, ΒΕΑ ημικύκλιον τυγχά­

νει) τεταρτημόριον γίνεσθαι έκάστην τών ΑΗ , ΗΒ, ΒΕ, ΕΑ. άναγκαίως 10

οϋν τήν τοιαύτην γωνίαν ορθήν ώρίσατο. Ή καί δτι δταν τεταρτημόριου τνγχάνη ή Α Η περιφέρεια, ορθή γί­ νεται ή περιεχομένη γωνία υπό τής κλίσεως τών διά τών ΑΖΒ, Ε Ζ Η επι­ πέδων, έπειδήπερ εάν έπιζεύξωμεν τάς AB, Ε Η ευθείας καί έτι τήν Ζ Δ κοινήν τομήν τών ΑΖΒ, Ε Ζ Η κύκλων ορθήν γινομένην προς τον ΑΗ ΒΕ κύκλον, ήτοι διά τό διά τών πόλων είναι αύτοϋ τούς ΑΖΒ, ΕΖΗ, ή καί

1. Α Η Β Ε : Α Η Β Ε ορθήν συνάγων V Α Η Β Ε ορθήν αννάγων γωνίαν τήν υπό Α Ζ Ε bPJ ] ορθήν — καλεί : om F ορθήν δε καλεί Υ ορθήν θένον καί το ν Λ έσώμεδα αυννας εξομεν καί τ < ά ς επί τω ν λοιπώνξ>. 1-3. καί εσονται — τφ Ιοημερινφ : om bP om mg Suppl J | 2-3. τοΰ διά τών Δ, Ε παραλλήλου : διά τον δε παραλλήλου [in mg] J [ 4. γωνία ή ύπο : γωνίαν ύπο L γωνία αρα ή ύπο bPJ | Ζ Ε Β ϊση εστίν τή ύπο Ζ Δ Β : Ζ Δ Β τή ύπο Ζ ΕΒ ιση έστιν bPJ | 6. έπειδήπερ διά : έπειδήπερ καί διά V F έπείπερ διά bPJ 9. καί ai υπό : καί ή ύπο [corr in ai Vj V F ai ύπο bPJ | . 10. ταΐς : τή F 10. Ζ Ε Γ , Ζ Ε Β : Z ΔΕ, Ζ Ι Γ L j 11. καί ή ύ π ο : καί ύπο L | 10-11. άλλ’ — είσίν : άλλ’ ai ύπο Ζ Ε Γ , Ζ ΕΒ δυσίν όρθαΐς ϊσαι είσίν bPJ | 11. καί ή — δνσίν : καί ai ύπο Ζ Δ Β , Ζ Ε Γ αρα δυσίν bPJ | είσίν : o m F | 12. δπερ — δείξαι : o m F,bPJ I 13. είσίν — ϊσαι : o m F | 16. λόγον — ημικύκλιον : το Β Η Γ ημι­ κύκλιον λόγον V I 17. διά δή :, δηαδή L διά V F ,b | (1) Le théorème 7 du 2 e livre est A lm ., 119,13. Cfr.ci-dessus p .684,13 et tome I, p. x v i i i . Nous avons ici l’attestation qui nous manquait il y a six ans lorsque nous avons rédigé cette partie de la préface du tome I. E n conséquence, tout cet alinéa, d’hypothétique devient certain. Ce passage-ci fournit une trace — assez rare — de l ’emploi par Théon de cette division en théorèmes que nous avons remarquée chez Pappus. Il est vrai que, n’ayant pas retrouvé le 2 e livre de Pappus, nous ne savons pas si cette phrase n’est pas empruntée littéralement par Théon à son prédécesseur.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

tB p. 113-114] COMMENTAIRE SUR l ’ALMÂGESTE L. 2 CHAP. 10 735 χρήσιμον αυτών διαλημψόμεθα, τουτέστιν δτι εάν την υπό της αρχής τοϋ χειμερινού1 τροπικού και τοϋ μετοπωρινοϋ και ετι τής τε Παρθένου και τον Λέοντος επιλογισώμεθα, συν αποδεδειγμένος εξομεν καί τάς επί των λοιπών.

5

Έκκείσθω γάρ ο Α Β Γ Δ ζωδιακός διηρημένος εις τα ζώδια ως ύπογέγραπται, καί έστω ίσημερινά μέν τα προς το ΐςΑ , Γ τροπικά δέ τά προς τοϊς Β, Δ. Έ π εί ούν έδείξαμεν έν τώ πρώτω λημματίω δτι τά ίσον άπέχοντα τοϋ αντοϋ ισημερινόν σημείου

τοϋ

διά

μέσων

τών ζωδίων σημεία τάς

ΙΟεκκειμένας προς τον μεσημβρινόν γωνίας ϊσας άλλήλαις ποιεί, εάν άρα δείξωμεν την επί τοϋ χειμερινού τροπικού γινόμενην δεδειχότες έσόμεθα καί την επί τοϋ θερινού · ίσον γάρ άπέχουσιν τοϋ αυτού ισημερινού σημείου, πάλιν έπεί έδείξαμεν έν * τώ δευτέρω λημματίω δτι τών Ισον άπεχόντων

1. την ύπό : τάς έπι bPJ | 2. χειμερινού : θερινόν bPJ | 5-6. ώς ύπογέγραη τ α ι : om bPJ | 8. έδείξαμεν : έδείχθη bPJ | 8-9. τοϋ αντοϋ Ισημερινού ση­ μείου : τοϋ ίσ Sp 2 lit σημείου L τοϋ αύτοϋ ισημερινού bP | 9. ση μ εία : κύκλου bPJ [ 11. χειμερινού: θερινού bPJ | 12. θερινού: χειμερινού bPJ | 13. έδείξαμ εν : έδείχθη bPJ |

(1) Ici et dans les passages analogues, on peut se fier, comme toujours, à L. Le groupe 1 a modifié les noms de saisons de manière à ne pas donner l ’impression que l’on saute irrégulièrement d’un côté à l’ autre de l’écliptique Mais cette irrégularité provient de l ’Almageste (cfr. 149, 10 ; 149, 13 ; 149, 23. 150, 4 ; 150, 18. 150, 21 ; 151, 1 ; 152, 13. 152, 18 ; 153, 12.) ; Ptolémée ne pas fait attention à cela parce qu’on peut aborder le problème par n ’importe quel bout, précisément à cause des deux lemmes.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

THÈON D’ALEXANDRIE

736

[H p.

1 0 3 -1 0 4 -1 0 5 ]

σημείων τον διά μέσων των ζωδίων τον αυτού τροπικού αί προς τον με­ σημβρινόν γινόμενοι γωνίαι συναμφότεραι δυσίν όρθαϊς ίααι είσίν, εάν αρα την υπό του μετοπωρινοϋ ισημερινού σημείου γινομένην προς τον μεσημβρινόν γωνίαν δείξομεν δεδειχότες πάλιν

έσόμεθα καί την υπό

5 τον εαρινού των λειπουσών εις τάς δύο όρθάς - καί γάρ ταντα τα σημεία

Ισον άπέχουσιν τον αυτού τροπικού σημείου. Πάλιν εάν δείξωμεν την υπό τής αρχής τής Παρθένου, δεδειχότες έσό­ μεθα καί την υπό τού Σκορπίου · ρινού.

ίσον γάρ άπέχουσιν τού αυτού ισημε­

καί έτι την τε υπό τής αρχής τον Ταύρου

καί

τής αρχής τών

10 5Ιχθύων τών λειπουσών τής τε υπό τής άρ\χής τής Παρθένου καί τού Σκορ­

πίου εις τάς

β

όρθάς, έπειδήπερ Ισον άπέχουσιν τού αυτού τροπικού.

Καί πάλιν εάν την υπό τής αρχής τού Λέοντος γενομένην γωνίαν προς τω μεσημβρινά) δείξωμεν, δεδειχότες έσόμεθα καί την τε υπό τής αρχής τού Τοξότου καί έτι τών Διδύμων καί τού Υδροχόου. 15

Διαλαβόντες ονν περί τον χρησίμου τών προεκτεθειμένων αντώ δύο λημμάτων, εξής επί την προκειμένην άπόδειξιν τών προκειμένων γωνιών τε καί περιφερειών χωρήσομεν.

F ig . 39. Var : Quartum circulum, tres alios fere continens delineauit F.

2-3. εάν άρα την υπό : εάν την έπ'ι bPJ | 3. ισημερινού : orti bPJ | 4. υπό : επί bPJ | 5. ταντα : αυτά VF,bPJ | 7. πάλιν : πάλιν δε VF,bPJ | υπό : επί bPJ | 8. καί την νπό τού : καί τών υπό τού F τών ίσων καί την επί τής άρχής τού bPJ | 8-9. ίσιγμερινοϋ : Ισημερινού σημείου bPJ | 9. υπό : επί bPJ | 10. νπό : επί bPJ | 10-11. καί τού Σκορπίου : orti Υ καί τής'άρχής τού Σκορπίου bPJ | 11. όρθάς: άρχάς Y F | 12. νπό : επί bPJ | γενομένην : γιν- VF,bPJ 13. τφ μεσημβρινά) : τον μεσημβρινόν V [ υπό : επί bPJ | 16. λημμάτων : -τίω ν VF;bPJ | προκειμένων : εκκει- bPJ J 17. τε καί : καί bP |

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 112]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 10

737

0« ’Έ στω γάρ μεσημβρινός μεν κύκλος ό Α Β Γ Α , τον δε διά μέσων των

ζωδίων » επόμενον « ημικύκλιον τό Α Ε Γ , τον A υποκειμένου χειμερινού » τροπικού■ καί πόλω τω A

διαστήματι δε τη

τού

τετραγώνου πλευρά

» γεγράφθω τό ΒΕΔ ημικύκλιον » ώστε βόρεια γίνεσθαι τά προς τφ Δ.

5

'Επεί τοίνυν ο Α Β Γ Δ μεσημβρινός διά των τού Α Ε Γ ζωδιακού πόλων γέγραπται επειδήπερ καί διά τού τροπικού εστιν, ώς πολλάκις εν τοις επάνω δέδεικται, άλλα καί διά των τού ΒΕΔ, προς τφ μεσημβρι ώααύτως δε καί ή ύπό < τ ον θερινού τρς>οπικοϋ τουτέστιν τής άρχής < τ ο ΰ Καρκίνου · > καί επί τών β τούτων δωδέκατηςμορίω νς> παρατέθηνται κατά τά γ' < σ ελ £διον τάς q μοίραςς>. 6-8. έπειδήπερ — περιφέρεια : oui J | 6. καί : om bPJ | 7. τών τοϋ : τούτων L I 9. τέμνουσιν : τεμοΰαιν PJ τελοϋαιν b | ώς οί — διά δε τών : καί επεί ôiàriôî>bPJ I 13. τφ A : om bPJ τ ώ A A F | 15. περιφέρεια : om bPJ | 737, 16 - 7 3 8 ,1 . προς τφ μεσημβρινώ : ύπο τοϋ μεσημβρινού bPJ | (1) A im ., 149, 10-21. La figure des manuscrits peut avoir été, originaire­ ment, une projection sur le plan d’un méridien. On en retrouve la forme géné­ rale en supposant que le plan de projection fait un angle d’environ 45° avec le méridien Α Β Γ Δ , le centre de projection étant sur l ’équateur. Cette pro­ jection stéréographique étant pour nous assez compliquée à obtenir, il n >us a paru plus facile de faire d’ abord une épure en projections orthogonales avec comm e plan vertical le méridien Α Β Γ Δ et comme plan horizontal l ’ é­ quateur. On passe assez rapidement de là au système stéréographique en ajoutant à la projection horizontale orthogonale la trace du plan de projec­ tion stéréographique. (2) Le rayon n ’est pas quelconque : on a spécifié, 1. 3, que c’ était le côté du carré inscrit. Ceci est une répétition de la définition de l ’angle sphérique rectangle, énoncée p. 724, 13 et qui comporte les m ots δ ι α σ τ ή μ α τ ι τ ν χ ό ν τ ι . Une fois de plus on voit le rôle que joue dans l’ enseignement de Théon le par cœur mécanique.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

738

[H p. 105-106]

THÉON D’ALEXANDRIE

μεσημβρινά) γινόμενη,

και διά τά προειρημένα έν τοϊς λήμματίοις ορθή

έσται και ή υπό τον θερινού τροπικόν τοντέστιν τής αρχής τον Καρκίνου ή νπό Δ Γ Η ' 1 ίσον γάρ άπέχονσιν τον αυτόν ισημερινόν σημείου. Δ ι ό 2 και επί των δύο τούτων δωδεκατημορίων έπί τοϋ των γωνιών 5 κανόνος τάς

η μοίρας παρέθηκεν τή μεσημβρία κατά τό τρίτον σελίδιον.

Και δήλον πάλιν ήμϊν έσται ότι και αϋται αί γωνίαι καθώς έδηλονμεν προς τφ έπομένω τμήματι τοϋ διά μέσων είσ'ιν βορειότεραι.

Δ

Fig. 40. Var : Om bP, %«Πάλιν έστω μεσημβρινός μέν κύκλος ο Α Β Γ Δ , ισημερινόν δέ ήμι» κνκλιον τό Α Ε Γ , καί γεγράφθω τοϋ διά μέσων των ζωδίων τό Α Ζ Γ ήμι-

§ πώς δείκνυσιν ότι ή πρός ή μίάς> ορθή ρ. ωσαύτως δέ Κριού πρός τφ μκεν έπί τε τοϋ Ζ υγοϋ

τφ νφ αημείφ ριγ έστϊ ν α < οιων καί τοντέστιν τοϋ των λοιπών ξς θί> γινόμενη γωνία · α < ς και και τοϋ κατημοριών.

1. προειρημένα : προειλημμένα V F ,b P J | 2. υπό τ ο ϋ — τροπικού : πρός τφ θερινώ τροπικφ bPJ | τής αρχής : τή αρχή bPJ | 3. ή : τοντέστιν ή bPJ | Δ Γ Η : Δ Γ Ε L /V |6. καί δήλον : δήλον δέ bPJ | 7.είσ'ιν : είσί καί bPJ |8. Α Β Γ Δ : Α Β Γ L | 738, 9 - 739, 1. τό Ζ Α Γ ημικύκλιον : ημικύκλιον τό Α Ζ Γ bPJ |

(1) On doit écarter la leçon de L , A TE, parce que l’angle ne serait pas adjacent au segment d’ écliptique suivant le point d’intersection r (le sens direct est suivant A E T H , sinon il faut retourner toute la première partie du raisonnement, où l’on démontre que E A A est droit : ce serait Z A A et tout serait à modifier en conséquence). La phrase suivante montre qu’ on applique le premier lemme, ce qui confirme encore la lecture A TH. (2) Cfr. A lm ., pp. 174 à 187,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 114]

COMMENTAIRE SUR

l ’a LMAGESTE

L. 2 CHAP. 10

739

» κύκλων όντως ά σ τε το A σημεϊον εϊναι το μετοπωρινόν ισημερινόν, » και πόλφ τω

A

διάστημά τι δε τη του τετραγώνου πλευρά γεγράφθω

» τό ΒΕΔ ημικύκλιον, διά ταύτά 1 δέ, έπε'ιό Α Β Γ Δ μεσημβρινός διά των

»πόλων έστϊν τοϋ Α Ε Γ Ισημερινού καί των τού ΒΖΕΔ 2» δίχα πάλιν τέμ5 νει τά άπειλημμένα αυτών ημικύκλια, ώστε πάλιν τεταρτημόριου έστ'ιν

ή Ε Δ καί έτι ή Α Ε κα'ιΑΖ, διά το εκ πόλον αύτάς εϊναι τον Β Ε Δ , τοντέστιν τοϋ Α. Και έπε'ι τεταρτημόριου έστ'ιν ή Α Ζ και έστιν το A μετοπωρινόν, ώστε 3 και τό Ζ είς τά επόμενα αυτού τυγχάνον χειμερινόν τροπικόν. ■Ο

5Επε'ι οϋν τό Ζ έστ'ιν χειμερινόν τροπικόν και έστιν ο ΒΖΕΔ κύκλος διά

των πόλων τον Ισημερινού, έπειδήπερ καί τά Β, Δ πόλοι είσ'ιν τοϋ Ιση­ μερινού διά το τεταρτημόριου τυγχάνειν τάς ΒΑ, Β Γ , ΔΑ , Δ Γ , έσται κα'ι ή Ζ Ε τής λοξώσεως τοϋ χειμερινού τροπικού των άποδεδειγμένων μοιρών 15

κγ να. ’Έ στιν δε κα'ι ή ΕΔ τεταρτημόριου τυγχάνουσα | μοιρών q. όλη άρα ή ΖΕ Δ περιφέρεια έσται μοιρών

ριγ να.

Κα'ι άλλως δε ή ΕΔ τεταρτημόριου έστ'ιν διά το το Δ πόλον εϊναι τοϋ Α Ε Γ ’ισημερινού. Κα'ι έπε'ι προ τούτου έδίδασκεν 4 λέγων ότι κα'ι καθόλου όν αν έχη λόγον 20 ή όντως απολαμβανόμενη περιφέρεια προς τον όλον κύκλον τούτον έχει

τον λόγον κα'ι ή περιεχομένη γωνία υπό τής κλίσεως τών έπιπέδων των κύκλων προς τάς

δ

όρθάς, κα'ι έδείχθη ή ΖΕΔ περιφέρεια μοιρών ριγ να,

ας κα'ι παρέθηκεν έν τω κανονίφ 5 τών γωνιών έπ'ι τού τών*Χηλών δωδεκα1. ώ στε : om Ρ ώς b | Ισημερινόν : om L | 3. ταύτά δέ : τά αυτά οΰν bPJ 4. ‘Β ΖΕΔ : ΒΖΕ L | 6 . Α Ζ : Δ Γ Σ | 8. ώστε : έσται V,bPJ | 12. έσται καί καί έσται bPJ | 15. ή Ε Δ : Ε Δ L [ 16. εσται μοιρών : μοιρών έσται bPJ 17. τό Δ πόλον: τον ras 1 lit πόλον L | 19. καθόλου όν : καθ’ δ όν L έχη : έ χ ο ιΥ ,Έ έχει bP | 23. ας καί παρέθηκεν : παρέθηκε ταντας bPJ κανονίφ : κανόνι V F,bP J |

| : | |

(1) Cfr. ρ. 737, 5. (2) A im ., 150, 1-12. (3) Ce texte est suspect : ώστε suivi du participe n’a pas été rencontré par M a y s e r Grammatik der griechischen Papyri (cfr II, pp. 296 sqq). On pourrait corriger en ώ στε — τυγχάνειν. Mais cela ne donne pas de proposition princi­ pale. έσται, conjecture du groupe 1, supprime cette difficulté. Pàléographiquement, cette conjecture est bonne, l’ abréviation de έσται ressemblant fort à celle de ώστε.· On peut invoquer à l’ appui la construction analogue έ σ τ i — τυγχάνουσα (1. 15). Mais ne peut-on pas garder ώστε en supposant un έστι sous entendu? (4) Cfr. A im ., 145, 17 - 146, 5 et ci-dessus p. 726, 4 , (5) A im ., pp. 174 à 186.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

740

[H p. 106-107-108]

THÉON D’ALEXANDRIE

τημορίον τή μεσημβρία κατά τό γ σελίδων, οϊων δλος ό κύκλος τξ, εσται άρα και ή υπό Ζ Α Δ γωνία προς τω Α μετοπωρινω ορθή η. Και διά τα προδεδειγμένα επί των λημματίων, 5 πώρινου τουτέστιν

ριγ να οϊων ή μία

έπεί ή αρχή τον μετο-

των Χηλών και ή τον εαρινόν τουτέστιν τον Κριόν

ίσον άπέχονσιν τον αντον τροπικού, εσται καί ή υπό τής αρχής τον εαρι­ νόν προς τω μεσημβρινή) γινόμενη γωνία των λείπονσων εις τάς β όρθάς των ριγ να, μοιρών ξς θ, ας καί παρέθηκεν 2 τή μεσημβρία τώ τον Κριόν δωδεκατημόριό).

10 § κΠάλιν έστω μεσημβρινός μεν κύκλος 6 Α Β Γ Δ , ισημερινόν δέ ημικύκλιον » τό Α Ε Γ , τον δέ διά μέσων των ζωδίων τό Β ΖΘ Δ, ώστε τό μέν Ζ σημείον » νποκείσθαι μετοπωρινόν, τήν δέ ΒΖ, πρώτον, ενός δωδεκατημορίου τον » τής Παρθένον, » καί επόμενα πάλιν ώς άπό τον Β επί τό Ζ καί τό Θ, « καί τό μέν Β σημείον αρχήν δηλονότι τής Παρθένον », διά τό τό Ζ τέλος

§ πώς δείκννται δτι ή γωνία ή μεσημβρινόν γινομέν ή μία ορθή q ώ σαν τής άρχής τοΰ Σκορπίου.

1. δλος ό κύκλος : δλοςσδεολοσ \ΚΥΚ supr ser ml 2 ] L | 2. μετοπωρινφ : μεθL I 2-3. οϊων ή μία δρθή q : οϊων al δ, τ ξ bPJ | 4-5. μετοπωρινού : μεθ- L | 6. άπεχονσιν : απέχει bP | υπό : επί V F,bP J | 7. λειπουαών : λειπουσών ταις ριγ va bPJ | 8. τών ριγ να, μοιρών : om bPJ | 10. Ισημερινού δέ : καί Ισημερι­ νού bPJ I 14. δηλονότι : om bPJ | (1) A lm ., 148, 10 et ci-dessus p. 732, 6, ç ’est à dire, le 2 e lenirne, (2) A lm ., pp. 175 à 187.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 115]

COMMENTAIRE

sur l ’almageste l .

2

chap.

10

741

μέν είναι της Παρθένον αρχήν δέ των Χηλών. « και πόλω μέν τώ Β διαστή» μάτι δέ τή του τετραγώνου πλευρά γεγράφθω τό Η Θ Ε Κ ημικύκλιον. « Καί προ\κείσθω εύρεϊν την υπό ΚΒΘ γωνίαν » γινομένην υπό τής αρ­ χής τής Παρθένον επί τον μεσημβρινόν προς τω έπομένω τμήματ ι βο5 ρειοτέραν. « Έ πεί τοίνυν ο Α Β Γ Δ μεσημβρινός διά τε των τον Α Ε Γ καί διά των

» του Η Ε Κ πόλων γέγραπται, τεταρτημόριου γίνεται έκάστη των Β Η καί ηΒΘ καί Ε Η περιφερειών, » 1 διά τό έκ πόλου αύτάς είναι τοϋ Β, ή δέ Ε Η πάλιν τεταρτημόριου διά τό τους Α Ε Γ καί Η Ε Κ τέμνειν άλλήλους 10 κ α ί διά τών πόλων αυτών γεγράφθαι

τον Α Β Γ Δ μεσημβρινόν καί δίχα

τέμνειν αυτών τά άπειλημμένα ημικύκλια. « Καί διά την καταγραφήν », ώς επί τοϋ κατά διαίρεσιν σφαιρικού θεω­ ρήματος, 2 έπεί εις δύο πάλιν τάς Β Η καίΗ Ε δύο διηγμέναι είσίνάπό τών περάτων αϊ τε ΒΘ, ΕΑ τέμνουσαι άλλήλας κατά τό Ζ, « ο τής υπό την 15»

διπλήν τής ΒΑ προς την υπό την διπλήν τής Α Η λόγος συνήπται έκ τε

» τον τής υπό την διπλήν τής ΒΖ προς την υπό την διπλήν τής Ζ Θ καί » τον τής υπό την διπλήν τής ΘΕ προς την υπό την διπλήν τής ΕΗ. » 3 Ά λ λ ’ ή μέν ΒΑ λόξωσις οϋσα τής αρχής τής Παρθένον, τουτέστιν τών από τοϋ ισημερινόν μοιρών λ, μοιρών έστιν ια μ. τοσαϋται γάρ παρά-

20 κεινται τή τριακονταμοιρία έν τω τής λοξώσεως κανονίω. 4 ώστε καί ή διπλή τής ΒΑ

μοιρών έστιν

κγ κ, ή δέ ύπ' αυτήν ευθεία τμημάτων

κδ ις. ή δέ διπλή τής Α Η τών λειπουσών εις την διπλήν τών τής Β Η μοιρών ρπ, μοιρών έστιν ρνς μ.

καί ή ύπ ’

αυτήν ευθεία τμημάτων

καί πάλιν ή μέν διπλή τής Β Ζ μοιρών έστιν ξ,

ριζ λα.

αυτή γάρ νπόκειται ενός

25 δωδεκατημορίου μοιρών λ, «και ή νπ’ αν\τήν ευθεία τμημάτων ξ. ή δέ

» διπλή τής Ζ Θ » -τών λειπουσών πάλιν εις τήν διπλήν τών τής ΒΘ μοι­ ρών ρπ, μοιρών ρκ, « καί ή ύπ αυτήν ευθεία τμημάτων ργ νε.

3. ύπό 2“ επί bPJ | 4. επί τοϋ μεσημβρινού : προς τφ μεσημβρινφ καί bPJ |. 13. πάλιν : οιη bPJ | 14. αϊ τε ΒΘ, ΕΑ : αί ΒΘ, ΕΑ V ή τε Β Θ καί ή ΕΑ bPJ | 16. Ζ Θ : Ζ Θ λόγον bPJ | 20. καί ή : καί ή μέν 6Ρ 1 | 21-22. διπλή — κδ ις. ή δέ : ΟΠ1 ν Ρ | 22-23. εις — μοιρών ρπ : τή διπλή τής ΒΑ εις τάς ρπ μοίρας bPJ | 24. έστιν : Οίη ν Ρ ^ Ρ Τ | 26-27. εις τήν διπλήν — μοιρών ρκ : τή διπλή τής Β Ζ εις τάς ρπ μοίρας ρκ 6Ρ 4

|

(1) A lm ., 150, 21 - 151, 13. (2) A lm ., 74, 9 cfr. ci-dessus 1er livre, p. 557, 27. (3) A lm ., 151, 13-18.

(4) Alm.» 80, 35. Exactement 11° 39' 59",

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

742

[H p. 108-109]

THÉON D’ALEXANDRIE

« Καί εάν αρα πάλιν άπό τον των κδ ιζ προς τά ριζ λα λόγον άφιλω­ ν μεν τον των ξ προς τά ργ νε, καταλειφθήσεται ό της νπό την διπλήν

» τής ΘΕ προς την νπό τήν διπλήν τής Ε Η λόγος, ο των μβ νη έγγιστα » προς τά ρκ. 5

«

Καί εστιν ή νπό τήν διπλήν τής Ε Η τμημάτων ρκ.

και ή νπό τήν

» διπλήν αρα τής ΘΕ των αυτών εσται μβ νη. ώστε και ή μεν διπλή » τής ΘΕ περιφέρειας εστιν μβ έγγιστα, αυτή δε ή ΘΕ των αυτών κα. » 1 ’Έ στιν δε διά τά είρημένα και ή Ε Κ τών τον τεταρτημόριου μοιρών q. και δλη ή Θ ΕΚ συναχθήσεται μοιρών

10

ρια.

"Ωστε και ή υπό ΚΒΘ γωνία υπό τον μεσημβρινόν γινόμενη προς τή αρχή τής Παρθένον εσται μοιρών ρια οιων ή μία ορθή q.

« Και διά τά προαποδεδειγμένα, 2 και ή μεν επί τής αρχής τον Σκορπίον » γινόμενη γωνία τών ίσων εσται ρ ια » 3 διά τό ίσον αύτάς άπέχειν τον Ισημερινού, « § έκατέρα δε ήτε νπό τής αρχής τον Ταύρον καί τής αρχής 15» τών ’Ιχθύων τών λειπονσών εις τάς β δρθάς μοιρών ξθ » 4 διά τό καί ταντα τά δωδεκατημόρια Ισον άπέχειν

άπό

του αντον τροπικού, τήν

μέν άρχήν τής Παρθένου τή άρχή τον Ταύρου, τήν

δέ του Σκορπίον τή

τών ’ Ιχθύων, άς καί παρέθηκεν πάλιν οίκείως εν τώ κανόνι τή μεσημβρία επί του τρίτον σελιδίου. 5

20

Γίνεται δέ ή άφαίρεσις καί ή κατάλειψις του λόγον ομοίως τοις επά­ νω 6 δειχθεϊσιν τοϋ καταλειπομένου λόγον εις τον ρκ μεταλαμβανομένου.\

§ διά τ ί καί ή υπό τής ά αρχής τ λειπονσών έατινς> εις τάς δύο όρθάς μ.

των

’Ιχθύων

2.

καταλειφθήσεται : καταλειφθήσεται ήμϊν bPJ | 3. λόγος ό τών : λόγος τών I 7. τής ΘΕ : Tiy ras 1 lit ΘΕΈ* | περιφέρειας: περιφέρεια μοιρών bPJ 8. όέ .· όέ « a i F I τών τοϋ : om L | 9. δλη : ολη ά ρ ο^ Ρ 3 | 11. μοιρών : ora bPJ 14. ισημερινού : Ισημερινού σημείου bPJ | υ π ό : επί bPJ | 16. άπέχειν : bis hab V I άπό : om bPJ | 17-18. τής Παρθένου — τώ ν Ι χ θ ύ ω ν : τον Ταύρου τή αρχή τής Παρθένου, τήν δε τών ’Ιχθύων τή τού Σκορπίον bPJ | 17. τοϋ Σκορπίον τή : om [τοϋ Σκορπίον supp] mg comp aim ] F | 18. πάλιν : om bPJ | 20. τού λ ό γ ο υ : τών λόγων bPJ | 21. δειχθεϊσιν : λεχθεΐσι V F ,b P J |

F

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

A lm ., 151, 22 - 152, 10. A lm ., 147, 12. Cfr. ci-dessus p. 729, 18. A lm ., 152, 12-14. A lm ., 152, 14-16. Cfr. A lm ., 148, 10 et ci-dessus p. 732, 6, A lm ., p. 174 à 187. Cfr. ci-dessus, 1er livre, p. 575, n. 2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 115-116]

commentaire

SUR

l ’almageste l .

2 CHAP. 10 743

§ 'Ε ξής δέ πάλιν ομοίως νποΟέμενος το Β κατά της αρχής του Λέοντος

δείκνυσιν την προς ταύτφ γινομένην προς τω μεσημβρινά) γωνίαν ρβ λ. « Και διά ταύτά και την υπό τής αρχής του Τοξότου των ίσων

ρβ λ,

»§ έκατέραν δέ την τε υπό τής αρχής των Διδύμων και τής αρχής του Ύ δ ρο­

ή » χύου των λειπουσών εις τάς δύο όρθάς μοιρών οζ λ, » ας και παρέθηκεν πάλιν έν τω κανόνι οίκείως τον είρημένον τρόπον. « Και δέδεικται ήμιν τα προκείμενα,

τής μέν αυτής έσομένης αγωγής

» καί επί των ετι μικρομερεστερών του ζφδιακοϋ τμημάτων, άπαρκούσης » δέ ήμϊν προς χρήσιν » τής εϊρημένης πραγματείας των τε παραλλάξεων * 10 καί των προσνενσεων, των τε τής σελήνης εκλείψεων καί φάσεων τω ν

απλανών « καί τής κατά τάς άρχάς των δωδεκατημορίων γεγενημένης έκ» θέσεως . » 1

§ πως ή υπό τής άρ χ ή ς < ζ τ ο ΰ Λέοντος και ή ύπός> τής αρχής του Τοξ . § πώς ή υπό τής αρχής τών Διδύμων και τής ~>αρχής του Ύδροχ εις τάς δύο όρθ.

2. ταύτφ : αυτό V F αύτώ τφ μεσημβρινφ bPJ | π ρ ό ς . τ φ μεσημβρινά) : om b P J | 4. υπό : επϊ bPJ | 5. μοιρών „vom V F ,b P J | 10. τής σελήνης : om bPJ | 11. γεγενημένης: γενομένης VF,bPJ |

(1) A lm ., 153, 15-20.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Περί

τών

υπό

τον

ζ οντ ος

λοξον

κύκλου

γενομένων

και

τον

δ ρ ί-

γωνιών.

Ά π οδείξα ς τάς υπό του ζωδιακού προς τον μεσημβρινόν γινομένας γω ­ νίας, έξης και τάς υπό του αυτού προς τον ορίζοντα καθ’ έκάστην έγκλισιν 5 καί δωδεκατημόριον μέλλων δεικνύναι,

διά το καί τάς τούτων δείξεις

άπλουστέραν έχειν την έφοδον των λοιπών καί προς τον διά τού κατά κορυ­ φήν γινομένων, 1 φησίν · § δτι μέν οϋν προς τον επ’ ορθής τής σφαίρας ορί­ ζοντα αί αύταί είσιν ταις τον μεσημβρινού, φανερόν, διά το καί τον τοιοντον ορίζοντα διά τών πόλων είναι τής σφαίρας καθάπερ \καί ο μεσημβρινός. 10

Δειχθεισών οϋν αντώ τών τού ζωδιακού προς τον μεσημβρινόν γωνιών αντόθεν έχομεν καί τάς προς τον επ’ ορθής τής σφαίρας ορίζοντα υπό τού ζωδιακού γινομένας, τάς αν τάς δηλονότι τυγχανούσας. « "Ινα δέ καί τάς τής έγκεκλιμένης σφαίρας γινομένας

γωνίας μεθο-

» δεύσωμεν », προεκτίθεται λημμάτια ομοίως, δι ών προχειροτέραν πάλιν 15 την επιβολήν ποιήσεται, καί φησίν · § Δείξομεν δή « πρώτον δτι τά ίσον άπέχοντα σημεία τού διά μέσων τών

§των ση­ μείων τον διά μέσων < ζτ ώ ν ζωδίων κύκζ>λου ή τοΰ έτερον άνατο έτερον δντικής δναιν σαι εισίν. 2

2. παρα γίνετα ι: οπί νΡ,1ίΡ3 | 2-3. επί τό Υ : έπ'ι τό Υ, ή δέ Η Σ τή Ε Υ σννανεχθήσεται και ίση έσται πάλιν ή Η Ζ τή Ζ Σ 1ιΡ3 | 3. τό δέ Η επί τό Σ [1185 ΎΡ] : τό δέ Η επί τό ΟΥ. οιη 1>Ρ3 (Μβιιϊ | 4. Ζ Η Ε : ΖΗΟ Υ | γωνία : οπί 5Ρ 3 | 4-5. λοιπα'ι αι υπό ΒΗΖ} Τ Σ Ζ : λοιπα'ι αΐ υπό ΒΗΖ} ΤΟΖ Υ λοιπαί αϊ υπό I Η Θ , ΤΣΖ ν ρ αι εφεξής ανταις ή τε υπό Ε Η Θ καί ή υπό ΤΣΖ 1>Ρ3 | 5. ϊσαι έσ ο ν τ α ι: ϊσοι έσονται Υ έσονται ϊσαι V | 7. τούτο : αύτω Υ | πρός : καί προς ί>Ρ3 | 10. του 2“1: τοΰ τ ε ν Ρ | 11. γενομένη : ο ο γ γ βχ γιν- Υ ;ηΐ’-'νΡ,ΐ3Ρ3 | 11-12. τό τά επόμενα εις τά ; τό τά ηγούμενα 8ρ 2 Ιΐΐ τά Υ διά τό έπόμενα εις τά Ρ διά τό τά έπόμενα 3 | 11-13. εις τά ύπολειπόμενα — έπόμενα .* οπί 3 | 12. ώς δεικνυμένη : Οΐη.1)Ρ[β13] |

(1) Alm., 155, 10-15.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

750

ÏIIÉON D'ALEXANDRIE

δ ΑΕΓΖ, τέμνων τον ορίζοντα κατά

τα

[H p. 113-114]

Α, Γ σημεία, ώστε βόρεια τύγχα­

νε ιν τά πρύς τω Λ μέρη , και έτι επόμενα καί υπέρ γης τον ζωδιακού ώς απυ τον Α επί το Ε καί Γ,

καί ανατολικόν μέν γενέσθαι τό Γ, καί νπό

τον ορίζοντα την νπό Δ Γ Ζ γωνίαν προς τω επόμενα) τμήματι ανατολικήν 5

καί βορειοτέραν τνγχάνονσαν, καί έτι τό Α δυτικόν καί την νπό Δ Α Ε υπέρ γην βορειοτέραν πάλιν οϋσαν προς τω έπομένω τμήματι δυτικήν. »

10»

Λ έγω ότι εισιν. »

«

ή νπό Δ Γ Ζ καί ή νπό ΔΑ Ε συναμφότεραι δύο όρθαίς ϊσαι

Έ π εί οΰν

«

συναμφότεραι ή τε νπό ΖΑ Δ καί ή υπό ΔΑ Ε δνσίν όρθαίς ϊσαι

είσίν, ίση δέ ή νπό Δ Α Ζ τή νπό Δ Γ Ζ ,

»

έπειδήπερ εάν πόλω τω Α καί

διαστήματι τή τον τετραγώνου πλευρά γράφωμ εν μεγίστου κύκλου τμήμα τό ΔΖ , έσται τό αυτό καί \ πόλω τω Γ διαστήματι δέ τή του τετραγώνου πλευρά γραφέν καί δν έχει λόγον ή Δ Ζ περιφέρεια προς τον δλον κύκλον τούτον έχει τον λόγον

καί έκατέρα των υπό Ζ Α Δ, Δ Γ Ζ γωνιών προς δ

15 ορθός. 1 * Καί εάν πόλω τφ Α διαστήματι δέ τυχόντι γραφή ή Δ Ζ περιφέρεια, και έστιν τό Γ κατά διάμετρον δν τω Α , καί τό Γ άρα ό έτερος πόλος έστίν του Δ Ζ.

ώστε

ό ΔΖ

καί πόλω τω Γ γραφήσεται. καί διά τούτο πάλιν εάν δν

έχει λόγον ή Δ Ζ περιφέρεια προς τον δλον κύκλον τούτον έχει2 τον λόγον. 2θέκατέρα τών υπό Ζ Α Δ , Δ Γ Ζ προς τάς 0 όρθάς, ϊση αρα ή νπό ΖΑ Δ γωνία

τή υπό Δ Γ Ζ . συναμφότεραι δέ αί υπό Ζ Α Δ , Δ Α Ε γωνίαι δνσίν όρθαίς ϊσαι είσίν.

ώ στε

καί συναμφότεραι αί υπό Δ Γ Ζ , Δ Α Ε δνσίν όρθαίς ϊσαι είσίν.

1. Α, Γ σημεία : A sp 1 lit σημεία L | 2. επόμενα : -μενον omnes correxi | και 2m om bPJ | 3. γενέσθαι — νπό : γενέσθαι sp 3 lit νπό L | 4. A Γ Ζ : Δ sp 1 lit Z L Γ Δ Ζ F | 5. καί έτι το A [hab V] : καί επεί το Δ L καί έτι το Γ F τό δε A bPJ [ δυτικόν : -κή V | Δ Α Ε υπέρ : Δ Α sp 1 lit υπέρ L | 7. Δ Γ Ζ : Δ sp 1 lit Ζ L | καί ή νπό : om bPJ | δύο : δνσίν V ; bPJ | όρθαίς : όρθαί L | 9. Δ Α Ε δνσίν ; Δ Α sp 1 lit δνσίν L | _ο’ρθαίς ; corr ex όρθαί m1 L 11. η] ; τώ L | πλευρά : corr in πλευράν L | 12. αυτό : αύτό γεγράμμενον bPJ 13. πλευρά γραφ έν: πλευρά ώ στε φανερόν F | 13-14. προς τ ο ν — εκάτερα των νπό : om suppl mg J | 14-16. Ζ Α Δ — Δ Ζ περιφέρεια : om J [ 17. έστιν l m : om V F,bP J | καί τό Γ άρα : om V F,bP J | έστιν 2 m : om Y F έσται bPJ | 18. Γ : Ζ Γ L [ τούτο : ταϋτα V F,bP J | èàv δν έ χ ε ι : δν âv έχοι bPJ | 19. έχει l m : εχοι Y é 'ftib P J | 20. έκ α τέ ρα : καί έκατέρα bPJ | Ζ Α Δ , Δ Γ Ζ : Ζ Α Δ γωνία τή Δ Γ Ζ V Ζ Α Δ , Δ Γ Ζ γωνιών bPJ προς τάς (5 ο’ρθάς/ o m V F προς δ όρθάς bPJ | 20-22. ϊση — είσίν l m : om V F ; bPJ | (1) Cfr ci-dessus p. 726, 4 . L ’ alinéa suivant recodmence la démonstration d’une autre façon, plüs conforme aux explications me Théon p. 726. (2) èàv ... έχει peut être une simple faute d’iotacisme. Mais voir M a y se r , Grammatik der griechischen Papyri, II 1, p. 284 : à partir du 2 e s. après J.-G. on trouve fréquemment l’indicatif après εάν.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 117]

COMMENTA1RE

sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 11

ΕΙτα δείζας τά τοιαντα δύο λημμάτια, τουτέστιν δτι

«

751

των τό ϊσον ¿πέ­

η χόντων τον αυτόν Ισημερινού σημείου αί προς τον αυτόν ορίζοντα θεώ­ ν ρούμεναι ϊσαι είσίν

» 1

(τοϋτο γάρ εν τω πρώτοι λημματίω έδείκνυεν),

και των διαμετρούντων σημείων την

του έτερον ανατολικήν μετά της

5 του έτερον δυτικής δυσ'ιν όρθαϊς ϊσας δεικννς, τό έκ τούτων συναγόμενον

παραλαμβάνει ώς δεδειχώς »

2

δτι

«

των ϊσον άπεχόντων του αυτόν τροπικού

σημείου ή τον ετέρου ανατολική μετά τής τον έτερον δυτικής δυσ'ιν όρ­

η θαϊς ϊσαι είσίν. 3 » %Δεικτέον ούν δτι έκ των είρημένων δύο λημματίων συνάγεται καί 10

τοϋτο.

A

’Έ στω γάρ ζωδιακός κύκλος δ Α Β Γ Δ ,

καί ισημερινό μέν έστω τά

Α, Γ σημεία, τροπικά δε τά Β, Δ, καί είλήφθωσαν τά Ε, Ζ σημεία ϊσον

§ πώς δείξομαι οτι έ < κ των είρημένωνϊ> δυο λημματίων ή λέγουσα δτι τον αυτόν τροπκ^κοϋ σημείου ή > του έτερον άνατο δυτικής δυσ'ιν ό.

1. τό ϊσον : ϊσον bP | 2. α ί : οιη ί. | 2-3. θεωρούμενοι: θεωρούμενι ι γω νίαι bPJ | 4. διαμετρούντων : διαμέσων βρ 3 Μ των ]_, | την : ή bPJ | ανατολικήν : -κή bPJ | 5. ϊσας δεικνύς : ϊσας δείκνυσι L ϊσαι είσίν b Ρ,Ι | τ ο ύ τ ω ν : τούτου Έ | 6. ώς δεδειχώς : οιη1)Ρ ώ ςέ π ό μ ε ν ο ν ύ | δ τ ι : δτι κα ίύΡ | 9. συνά­ γεται : -εσθαι Ρ |

(1) A M . , 156, 4-6. (2) Ptolémée ne le démontre pas, il le suppose démontré. (3) A im ., 156, 6-9.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

752

THÉON D ’ A L E X A N D R IE

άπέχοντα τον αυτού Ισημερινόν τον A. τόΗ .

[H

p.

114-115-116]

και έστω τον Ζ κατά διάμετρον

Φανερόν άρα εκ τον πρώτον λημματίον δτι εάν δοθή ή προς τω Ε γινομένη τον όρί*ζοντος προς τον ζωδιακόν ανατολική γωνία, δεδομένη | ΐ,έσται καί ή προς τω Ζ των αυτών, διά το ϊσον απέχειν του ισημερινού τα Ε, Ζ σημεία. Καί έπεί δέδοται ή προς τω Ζ ανατολική, δέδοται αρα καί ή προς τω Η δυτική, διά τό δεύτερον λημμάτων, των λειπουσών εις τάς δύο όρθάς. ’Ίση δε ή προς τω Ζ τή προς τω Ε. ώστε καί ai υπό των Ε, Η σημείων 10 ίσον άπεχόντων τον αυτού τροπικού τού B ai προς τω όρίζοντι γινόμενοι

γωνίαι τον μεν Ε ή ανατολική τού δε Η ή δυτική δυσίν δρΟαΐς ίσαι είσίν. Καί εάν πάλιν άπολάβωμεν τή Γ Η ϊσην τήν Γ Θ , τον Θ κατά διάμετρον γινομένου τον Ε, δοθήσεται καί ή προς τω Θ δυτική γωνία των λειπουσώ ν εις τάς δύο ορθός τής προς τω Ε ανατολικής, καί διά το τ ό Η ,Θ σημεία 15

ϊσον απέχειν τού Γ ισημερινού, ματίω

καί δεδείχθαι ήμϊν εν τφ πρώτογ λημ-

τήν μεν άνάτολικήν τή ανατολική ϊσην τήν δε δυτικής τή δυτική,

ώστε πάλιν δέδονται καί ai προς τοίς Ζ, Θ σημείοις ϊσον άπέχουσαι τού Δ τροπικού ανατολικοί καί δυτικοί. Καί διό ταϋτα εάν τάς τού Α Β Γ 20» Κριού μέχρι

Χηλών

ημικυκλίου μόνου δπερ εστίν « από

τάς ανατολικός γωνίας εϋρωμεν, συναποδεδειγ-

» μέναι έσονται καί ai τού Α Δ Γ ημικυκλίου άνατολικαί, καί ετι

ai των

» δύο ημικυκλίων δυτικοί. » 1

’Έ στιν δε καί τούτο αύτόθεν φανερόν. 5Εάν γόρ λάβωμεν τού Α Β Γ ημικυκλίου τάς ανατολικός γωνίας, εξομεν 25 καί τάς

τον Α Δ Γ ανατολικός των αυτών επί τών ϊσον άπεχόντων τού

αυτού ισημερινού, ώστε καί έκατέρου τών Β ΑΔ, Β Γ Δ ημικυκλίων εξομεν τάς ανατολικός, καί εν ώ έχομεν τού ΒΑΔ τάς ανατολικός, εξομεν καί 1. Ισημερινόν : Ισημερινόν σημείου bPJ | τον Ζ : τό Ζ L | 4. δρίζοντος : δρίζοντος τοϋ bPJ | 5. Ttu.'om V ] 9. προς 2 m : προ L \ υπό : έπίύΡ Δ | 10. ai : om bP J | 12. πάλιν: τοίνυν bPJ | τή : τήν L | 13. τοϋ Ε : τον Ε Δ L rò Ε F τω Ε bPJ | 14. τής : τή bPJ | ανατολικής : -κή bPJ | καί : ora V F ; bPJ I 15. δέδειχθαι : - ε ι κ τ α ι Υ | 16. άνάτολικήν — τήν δέ : άνατολικήνάνατολικήν Sp 2 lit τήνδε L άνάτολικήν τή άνατολική ϊσην είναι, τήν δε V 17. Ζ, Θ : Δ, Θ L | 1 . άνατολικαί και δυ τικ α ί: άνατολική καί δυτική bPJ 19. και διά ταϋτα εάν : καί εάν άρα bPJ | τά ς.'Ο Π ίΥ Ρ | 21. Α Δ Γ : ετέρου V F ,bP J I ημικυκλίου άνατολικαί : om L | 24. τοϋ : άπό τοϋ V F ,bP J | 25. επί τώ ν ϊσον : ώς ϊσον bPJ" | 26. ημικυκλίων : -ίου L | εξομεν : εξομεν καί V F | 27. εν φ : επεί V F ,b P J

| 752, 2 7 -7 5 3 ,1 . και τοϋ : τ ο ϋ Υ

\

(1 ) A i m . , 15 6 , 9 -1 3 .

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 117-118]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 11

753

τον Β Γ Δ τάς δντικάς των λειπουσών εις τάς δύο όρθάς έπι των ϊσον άπεχόντων | τον αυτόν τροπικού,

διά τά αυτά έπε'ι εχομεν και τον Β Γ Δ τάς

άνατολικάς, εξομεν καί τον ΒΑΔ τάς δυτικός. "Η καί διά τον έχειν τον Α Β Γ τάς άνατολικάς, εξομεν καί τάς του Α Β Γ 5 δυτικός, λαμβάνοντες τά μεγέθη των λειπονσών εις τάς δύο όρθάς επί

των κατά διάμετρον τμημάτων, καί ομοίως διά το ηυρηκέναι τάς άνατο­ λικάς του Α Β Γ , ημικυκλίου μόνου τάς άνατολικάς γωνίας εϋρομεν, συναποδεδειγμέναι εσονται

καί διά τον ετέρου ημικυκλίου άνατολικαί, καί

έτι αί των δύο ημικυκλίων δυτικαί. 10 §« αΟν δέ τρόπον δείκνυται, διά βραχέων έφοδεύσομεν, χρησόμενοι πά» λιν τω διά 'Ρόδου παράλληλοι» ένθα τό έξαρμα του πόλου μοιρών έστιν

λζ.

« αί μέν ούν υπό τών ισημερινών σημείων προς τον ορίζοντα γινό-

» μεναι γω νία ι » προχειρότερον έφοδεύονται τον τρόπον τούτον. κ

F i g . 46. Var: Fig om F ; arcum EZ tanquam P ro lo n g a tio n e n ! aicus K E delineauerunt relqui omnes.

« ’Εάν γρόιρωμεν μεσημβρινόν μέν κύκλον τον Α Β Γ Δ , τού δε νποκει15» μίνον δρίζοντος ανατολικόν ημικύκλιον τό Α Ε Δ , καί τού μέν ισημερινού »

άπό τού δρίζοντος επί τό υπό γην τμήμα τού μεσημβρινού « τέταρτημόριον

ai υπό τών ίσς>ημερινών σημείων προς έφοδεύονται ει>τ< ελως [conj. très peu sûre]>.* 8

τον

γωνία

2. αυτά : αυτά δη bPJ |4. άνατολικάς — τάς τοϋ Α Β Γ : o m V F , bPJ | 5. επί : om F | 6. ηυρηκέναι : εν- V F ; bPJ | 7. του Α Β Γ — ενρομεν : om V F ,bP J | 8. δ ιά : a tV F ,b P J | 11. μοιρών έστιν : έστιν μοιρών bP | 12. λζ : λβ L | ύπό : o m Y F jb P J | τών ισημερινών : τών τοϋ ισημερινού V F ,b P J | 12-13. γινόμε­ νοι ; είναι μέν al L | 14. έάν ; έάν γάρ V F ,b P J | μεσημβρινόν ; Ισημερινόν L

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

754

THÉON D ’ A L E X A N D R IE

[H p. 116-117]

» τό ΕΖ, τον δέ διά μέσων των ζωδίων δύο τεταρτημόρια τό τε ΕΒ και » τό Ε Γ , ώστε το Ε προς μέν τό Ε Β » νοτιώτερον « τεταρτημόριον νοεϊσθαι » το μετοπωρινόν, προς δέ τό Ε Γ » βορειότερον « εαρινόν, καί » τά μέν από

τον Ε επί τά Β, Γ εις τά επόμενα, ώ σ τ ε « το μέν Β γίνεσΟαι χειμερινόν 5» τροπικόν τό δέ Γ θερινόν, » 1 συνάγεται ή μέν Γ Δ μοιρών λ θ, διά τό

την μέν από τον βορείου πόλου επί τό Ζ σημεϊον είναι μοιρών η, την δέ του εξάρματος μοιρών λς,

καί λοιπήν την Δ Ζ μοιρών νδ, έκατέραν δέ

των ΒΖ, Ζ Γ τής μεγίστης λοξώσεως μοιρών κγ να έγγιστα, καί καταλείπεσθαι την μέν Γ Δ των είρημένων μοιρών λ 0, δλην δέ ) την Δ Ζ μετά ΙΟτής ΖΒ συνάγεσθαι μοιρών ο ζ να. Καί έπεί τό Ε πόλος έστίν τον Α Β Γ Δ μεσημβρινού, καί γέγραπται δ Α Β Γ Δ πόλ.ω τή κοινή τομή τών κύκλων τον ζωδιακόν καί τον όρίζοντος, έσται ή μέν νπό Δ Ε Γ γωνία γινόμενη υπό τής αρχής τοϋ Κριού προς τω δρίζοντι ανατολική γωνία βορειότερα τοιούτων λ θ οίων ή μία ορθή η, 15 ή δέ νπό ΔΕΒ γινόμενη ομοίως νπό τής αρχής τών Χηλών οζ να.

Καί έπεί τάς υπό τον ζωδιακόν 2 καί τον διά τον κατά κορυφήν προς τω

3. μετοπωρινόν : μεθοπ- L | μεν : om F,bP J | 4. τά Β , Γ : τό Β Γ L ,bP | 4-5. γίνεσθαι χειμερινόν τροπικόν : χειμερινόν τροτικόν γίνεσθαι bPJ | 7. μ ο ι­ ρών λς : μ ° ις L I μοιρών νδ : μ ° κδ L | 8-9. λ ο ξ ώ σ ε ω ς — καί καταλείπεσθαι : λ οξώσεωσ μ ° sp 2 lit κα έγγιστα καί κατά sp 5 lit L | 9. την μεν Γ Δ : om bP τηνμεν sp 2 lit L | 9-11. τών είρημένων— καί έπεί τό Ε : τωνειρημενων sp 5 lit την Δ Ζ μετατησ Z B sp 6 lit μ ° sp 1 lit ζ να καιεπειο E h | 11-12. ó A B Γ Δ — τών κύκλων : ο Α Β Γ Δ π ο sp 20 lit κύκλων L | 12. τοϋ 1™ .· τοϋ τε bPJ 13. έσται — γινόμενη : εαται sp 15 lit γινομένη L | νπό 2m : επί bPJ 14. άνατολική — τοιούτων : ανατολική γωνία τοιούτων L ,F ανατολική τοιούτ ω ν \ άνατολική γωνία βορειότερα τών τοιούτων bPJ conieci | λ θ : Κ Θ L | 15. γινομένη ομοίως υπό : γινόμενη sp 4 lit ώς υπό L γινομένη όμοίως επί bPJ I 16. υπό τοϋ ζωδιακόν καί τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν : επί τοϋ ζωδια­ κού κατά κορυφήνΈζ\Ε υπό τοϋ διά τοϋ κατά κορυφήν bPJ conieci |

(1) A lm ., 156, 13 - 157, 6. (2) L ’on peut constater, en consultant l ’apparat critique, que le manuscrit copié par L présentait à la fin du 2 e livre de nombreux endroits illisibles et des trous. L les reproduit fidèlement, et la plupart du temps, le bianc qu’il laisse a exactement ia longueur de la lacune. Cette remarque nous vient gran­ dement en aide au 3 e livre : le modèle de L, codex ou rouleau de papyrus, con­ tinue à présenter de petites lacunes de ce genre. E t comme L est alors le seul témoin, la restitution doit se faire par pure conjecture. On a pour guide le sens et la phraséologie stéréotypée des mathématiques, mais en outre, les corrections proposées devront avoir une longueur matérielle sensiblement égale à celle du blanc laissé par L. Nous avons tenu compte de ce principe

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 118-119]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 11

755

Ε σημείω τον ζωδιακόν γινομένας γωνίας βούλεται έκθέσΟαι εν τώ κανόνι, λαμβάνων τον πόλον του όρίζοντος το Κ σημεϊον, καί γράφων δι αύτοϋ καί τον Ε μεγίστου κύκλον περιφέρειαν, καί προσθείς ταϊς υπό Δ Ε Γ καί ΒΕΔ την

υπό Κ ΕΔ ορθήν πάντοτε γινομένην μοιρών

q,

έξέθετο επί

5 τ οϋ διά ''Ρόδου κλίματος τήν μεν υπό Κ Ε Γ υπό τής τον Κριού αρχής προς

τώ όρίζοντι ανατολικήν γωνίαν μοιρών ρκ θ, αρχής τών Χηλών, μοιρών ρ ξζ

τήν δε υπό ΚΕΒ επί τής

να.

Γίνεται δε το Ε πόλος τού μεσημβρινού καί έκατέρα

δηλονότι

τών

ΕΒ καί E T τού ζωδιακού τεταρτημόριου ούτως. 10

Έ π εί γάρ ό Α Β Γ Δ μεσημβρινός διά τών πόλων * τού τε Ε Ζ ισημερινού καί τού Α Ε Δ όρίζοντος έστιν, ορθός έστιν προς αυτούς, ώστε καί εκάτερος τών ΕΖ, Α Ε ορθός έστιν προς τον Α Β Γ Δ μεσημβρινόν καί διά τών πόλων αυτού δηλαδή,

καί συμβάλλουσιν κατά το Ε. το Ε αρα πόλος έστιν τού

Α Β Γ Δ , καί τεταρτημόριον δηλονότι έκάτερον τών ΕΒ, Ε Γ . 15

§ « "Iva δέ καί έτιί τών λοιπών » δωδεκατημορίων « ή έφοδος φανερά

§ πώς εύρίακομεν τήν γινλικήν γωνίαν υπό τής καί του όρίζοντος.

3. μεγίστου κύκλου : τήν μεγίατην τών κύκλων V F | προσθείς ταις υπό : προσθείς sp 2 lit υπό L προστιθείς bPJ |3-4. καί Β Ε Δ — Κ Ε Δ ορθήν : καί ΔΕΒ Sp 6 lit ορθήν L | 4. γινομένην : γινομένην τουτέστιν bPJ | μοιρών q έξέθετο ε π ί : μ ° q Ε Ξ sp 2 lit τό επί L | 5. μεν : om F | υπό 2m : επί bPJ | αρχής — ¿νατολικήν : αρχής τών χηλών Ανατολικήν [τών χηλών expunct] L | 8. δηλο­ νότι : om bPJ | 11. όρίζοντος έστιν, ορθός έστιν : όρίζοντος ορθός έστιν L όρίζοντος έστιν F | 12. ΕΖ, Α Ε : ΕΖ, Α Β L ΕΖ, Α Ε Β V F ΕΖ, Α Ε Δ J ΕΖ, Ε Β bP | 13 κ α ί : om bPJ | κατά τό Ε : κατατο sp 1 lit τό Ε L δέ αύτώ κατά τό Ε bPJ I

dans l’ établissement du texte du 3 e livre. D ’un autre côté, le texte de cétte fin du 2 e livre est, de ce chef, un peu moins sûr : L nous laisse de temps à rntre en suspens, ou bien, il lui arrive de mal lire. Lorsque l ’enchaînement du rai­ sonnement impose une retouche au texte, nous pouvons la faire avec assez de sécurité ; celle que nous proposons ici n’ est pas dans ce cas, et son degré de probabilité s’ en trouve diminué. On en fait de bien plus hardies chez les grands classiques. Mais le lecteur aura déjà remarqué, chose paradoxale à première vue, et un peu agaçante en tous cas, qu’on est loin de connaître le texte des grands auteurs, même dans des cas favorables comme ceux d’Eschyle, Sophocle, ou Démosthène, avec autant d’exactitude que celui de ces mathé­ maticiens d’importance très secondaire que sont Pappus et Théon.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

756

[Η p. 117-118-119]

THÈON D ’ ä LEXANDRIE

» γένηται, προκείσθω υποδείγματος ενεκεν ενρεϊν την γινομένην [ άνα» τ ολικήν γωνίαν υπό της αρχής τον Ταύρου καί του όρίζοντος. » « Και έστω μεσημβρινός μεν κύκλος ο Α Β Γ Α , τον δέ υποκειμένου όρί-

F ig . 47. Var : Fig 51 [cfr p. 766] hic delineauit L ; fig bis hab. V ; fig om F ; arcum ΔΘ multo longiorem fecerunt bP let L ac J qui postea hanc partem erasit et denuo exarauit]. » ζοντος ανατολικόν ημικύκλιον το BEA.

καί γεγράφθω τοϋ διά μέσων

5 ητών ζωδίων το Α Ε Γ ημικύκλιον, ώστε το Ε σημεϊον την άρχήν είναι » τον Ταύρου.» καί προκείσθω δηλαδή ενρεΤν την υπό Γ Ε Δ γινομένην γωνίαν ανατολικήν καθώς εδηλοϋμεν. « Έ πεϊ ούν εν τούτω τώ κλίματι τής αρχής τοϋ Ταύρου άνατελλούσης, » μεσονρανοΰσιν υπό γήν τον Καρκίνου μοίραι

ιζ- μα, » ώς δείξομεν εξής

10 τ ον θεωρήματος , 1 « ελάττων γίνεται ή Ε Γ περιφέρεια τεταρτημόριου, »

έπειδήπερ άπό τής κατά το Ε άρχής του Ταύρου μέχρι τω ν' ιζ μα μοι­ ρών τον Καρκίνου, συνάγονται μοίραι οζ μα. « Εεγράφθω δή πόλω τώ Ε, καί διαστήματι τή τον τετραγώνου πλευρά » μεγίστου κύκλον τμήμα το Ζ Η Θ και προσαναπεπληρώσθω το τε Ε Γ Η 15» τέταρτημόριον

καί

το

Ε Δ Θ .» 2

2. υπό ; υπό τε V F ,bP J | 3. κ α ι : om. F | υποκειμένου : [-ποκ- om suppi m 1] L I 9. μοίραι ιζ μα ώς δ ε ί ξο μ ε ν : μο δείξομεν L μο ιζ ώς δείξομεν V μ ° ιζ μ ώς δείξομεν F μ 01 ιζ να [να in ras ; forsan fuit μα nam j legit va cum v expuncto et μ suprascripto] J μ 01 ιζ μ ζ bP conieci | 10-11. θεωρήμα­ τ ο ς — έπ ειδήπ ερ: θεω ρήματοσ sp 8 lit γίνεται ή Ε Γ περιφέρεια Sp 12 lit έπειδήπερ L | 11. τ^ς κατά : τής sp 3 lit κατά F | 12. τον Καρκίνου : om bPJ | 14. προσαναπεπληρώσθω : άναπεπληρώσθω Y F ,E άναπληρώσθω bPJ | 15. καί το Ε Δ Θ : om Y F ,b P E om suppi mg J |

(1) Cfr.

ci-dessous,

p.

764,22,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B

p.

119]

c o m m e n t a ir e

sur

’a

l

lm a g este

L . 2 ÇHAP.

11

757

Δ είξο μ εν12δέ πάλιν ότι έλάττων εστ'ιν ή ΕΔ τεταρτημορίον. « γίνεται » δε και ή τε Ζ Γ Δ και ή Ζ Η Θ τεταρτημόριου, διά το τον ΒΕΔ ορίζοντα » διά των πόλων είναι τον τε Α Β Γ Δ

μεσημβρινόν καί τον Ζ Η Θ μεγίσ­

η τον κύκλου. » 2

5

Πάλιν γάρ δύο κύκλων τεμνόντων άλλήλους των Ζ Η Θ καί Ζ Γ Δ , διά των πόλων γραφείς ο ΒΕΔ 6ριζών, δίχα τέμνει τά άπειλημμένα τμήματα, καί διά τούτο 3 έκάτερον

των Ζ Δ καί Ζ Θ τεταρτημόριου τυγχάνει, καί

το Ζ δηλονότι πόλος γίνεται τού όρίζοντος τουτέστιν το υπό γην κατά κορυφήν σημεϊον. 10

« Πάλιν έπεί» το Γ σημεϊον έπέχον « τού Καρκίνου μοίρας ιζ μα, απέχει

η τού ισημερινού προς άρκτους επί τού διά των πόλων αυτού η τουτέστιν επί

τού

μεσημβρινού « μοίρας

κβ

μ,

τιθεμένου.

1. δτι : οϋν δτι V F ,bP J | ανάπαλιν : supr ser L om V F ,bP J | ό είς : καί 6 8ÎçV ,b P J καί είς F | 2. σύγκειται : -σετα ι bPJ | 4. τό Γ : τον P V FjbPJ | 5. εκ τε τοϋ : εκ τοϋ τοϋ V F ,bP J | το Β : τον Β λόγον bPJ | τοϋ Β : τοϋ τοϋ Β bPJ I το Γ : τον Γ bPJ | 5-6. καί ό τοϋ A προς Β : καί τοϋ A προς B Y ό τού A προς τον Β bPJ | 6. σύγκειται : -σετα ι bPJ | εκ τοϋ — τό Β : εκ τε τον τον A προς τον Γ καί τοϋ τοϋ Γ προς τον Β bPJ |j 7. εάν γάρ τό Β : εάν τον Β bPJ | άποθώμεθα : ύ π ο θ ώ μ ε θ α Υ F,bP J | το Γ : τον Γ bPJ |

(1) Théon commet la maladresse de prendre un cas particulier. E n multi* pliant par des coefficients appropriés les quantités c d e f du cas général (voir la note précédente), on tombe dans le cas particulier exposé ici. Mais ce détour obligeant à chercher le plus petit commun multiple de d et e est plus long que la preuve entière. (2) Ce mot est assez insolite. Il est garanti par L et F. Les autres mss. ont écrit vuodé/ieda ; entre autres, V . Pour une fois que c pourrait nous venir à point, en départageant Y et F, il a précisément un trou à cet endroit là : il ne reste que noOcô/^sda. Mais il est probable que la lecture du groupe 2 est âno- ; ■¿no- sera une correction, introduite indépendamment par plusieurs éditeurs. Nous ne trouvons pas ce m ot dans les index d’arithméticiens grecs ;

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

762

THÉON D’ALEXANDRIE

[H p. 121-122]

τοϋ Α προς τό Β λόγος, τον Γ μέσου λαμβανομένου,

έσται συγκείμενος

έκ τε τοϋ Α προς τό Γ και τον Γ προς τό Β, δπερ έδει δεΐξαι. $ "Ινα δέ καί επί τής σφαιρικής δείξεως φανερόν γένηται τό λεγόμενον, Μ

έκκείσθω πρότερον ώς επί τής επιπέδου τής έν τώ πρώτοι θειών καταγραφής,

*1

|

βιβλίο) των ευ­

εις δύο ευθείας τάς Μ Ξ, Μ Ζ δύο διαχθεϊσαι αί ΖΝ,

ΞΗ, τέμνουσαι άλλήλας κατά τό Γ σημεϊον. λέγω

2

δτι

ο

τής Γ Ν προς Ν Ξ

λόγος σύγκειται έκ τε τοϋ τής Γ Ξ προς Ξ Η καί τοϋ τής Η Μ προς ΜΖ.

% ώς επί τής επιπέδου τής έν τ ώ < ξ α ' βιβλίωΐ> των εύθειών καταγραφής δτι εάν λόγος ή συγκείμενος έκ δύο < λόγων ό εϊςς> των ουντιθέντων σύγκειται εκ τ ε < ξ τ ο ΰ λοιποΰς> των συντιθέντων άνάπαλιν καί θεμένου.

1. προς τό Β : προς Β Υ Ρ προς τον Β 1ίΡ4 | 2. τό Γ : Γ Υ Σ προς τον / , bPJ ’του Γ : τοϋ τοϋ J’ bPJ | δπερ έδει δ ε ΐ ξ α ι : οιη bPJ | 4. ώς : οιη Y F ,bP J 4-5. τών ευθειών καταγραφής : καταγραφής των ευθειών bPJ | 5. εις δύο : εις δύο γάρ bPJ | Μ Ξ , Μ Ζ : Μ Ξ , ΜΒΣ, | ΖΝ, Ξ Η τ έμ ν ο υ σ α ι: ΞΗ, Ξ Ν τέμνουσαι ΖΗ, Ζ Ν τετεμνέτωααν bPJ ΖΗ, Ξ Ν τέμνουσαι Υ Ρ | 6-7. Ν Ξ λόγος : Ν Ξ ολόγος Σ. |

iii che2 Nicomaque, ni chez Diophante. Il n'existe pas dans le Commentaire de Pappus. On le trouve, dans un sens géométrique, dans la Collection de Pappus, livre V I I , p .6 8 4 ,15. Nous proposons le sens de « mettre à l’ écart ». On met B à l’ écart parce qu’on le met après Γ et à la dernière place de la formule. Mais faute de passages arithmétiques parallèles, nous ne savons pas s’il n ’ a pas un sens technique spécial. (1) Ci-dessus, 1er livre, p. 538 sqq. (2) Glose de V : τον τής Γ Ν προς ΝΖ λόγον σύγκεισθαί φηαιν ύπό τε τοϋ τής Γ Ν προς Ν Κ λόγου καί τον τής Κ Ν προς ΝΖ. καί γενήσεται τοντο ήμΐν δήλον, ίϊπερ έκ τών είρημένων ευθειών άναγραφήσονται παραλληλόγραμμα όρθογώ-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

[B p. 120]

commentaire sur l ’almageste

L. 2 CHAP. 11

763

Ή χ θ ω γάρ διά τον Η τι) Μ Ξ παράλληλος ή ΚΗ. έπεί των ΓΝ, ΝΖ τής Ν Κ μέσης λαμβανομένης, ό τής Γ Ν προς ΝΖ λόγος σνγκειται έκ τε τοϋ

5

τής Γ Ν προς Ν Κ και τον τής Κ Ν προς ΝΖ

·

λόγω ό αυτός έστιν

· τω

τός έστιν

ο

ο

τής Γ Ξ προς την Ξ Η

τής Η Μ προς Μ Ζ ■ και

ο

άλλά τω μέν τής Γ Ν προς Ν Κ δέ τής Κ Ν προς ΝΖ, ό αύ-

τής Γ Ν προς ΝΖ άρα λόγος σύγκει-

ται έκ τε του τής Γ Ξ προς Ξ Η καί τοϋ τής Η Μ προς ΜΖ. Μ

F ig . 50. Var: litteram E om L ; fig om F ; sphaeram circulo cuius centrum est A indicauit V.

1. έ π ε ί : καί έπεί Y F ,b P J | 2. Ν Ζ : Ν Ξ L | 3. Ν Ζ : Ν Ξ L τήν Ξ Η : Ξ Η bPJ |

| 4. λόγφ : om J |

νιον. άναγεγράφθηααν οϋν τό τε Λ Ν καί τό ΝΟ. καί έατω τό μέν Λ Ν παραλληλό­ γραμμον το περιχόμενον υπό τε τής Ζ Ν καί τής ΝΚ, τό δέ ΝΟ τό περιεχόμενον υπό τε τής Κ Ν καί Ν Γ. κείσθωσαν δέ οϋτως τά παραλληλόγραμμα, ώστε επ’ Q__________________ Ο

Μ

Λ

2

ευθείας είναι την Κ Ν τή Ν Γ . καί έπεί τά ία[α τε και όρθ\ογώνια παραλληλό­ γραμμα προς αλληλα λόγον έχει τό συγκείμενον έκ των πλευρών (οίΐ Εικ:1. Είειη. 16. 23) λέγω ότι καί ό τής Γ Ν προς ΝΖ λόγος σνγκειται έκ τε τοϋ τής Γ Ν προς Ν Κ καί έτι τής Θ Ν προς την ΝΖ, τουτέατι τής Κ Ν προς ΝΖ ■ ίση γάρ έστιν ή Κ Ν τή ΘΝ. (ϋ ι\ ρ. 532, 1).

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

764

fH p. 122-123-124]

THEON D ALEXANDRIE

Τούτον δεδειγμένον νοείσθωσαν

επί σφαιρικής επιφάνειας εις δύο

μεγίστων κύκλων περιφέρειας τάς ΘΕ, τέμνονσαι άλλήλας κατά τό Γ ,

ΘΖ δυο διαχϋείσαι αί ΕΗ , Ζ Δ

καί είλήφθω το κέντρον τής σφαίρας τό

Λ , καί απ' αυτόν επί τα Ε, Δ, Θ σημεία έπιζευχθεΐσαι αί Δ Ε , Λ Δ , Λ Θ , 5 διήχθωσαν καί σνμπιπτέτωσαν ταίς Η Γ , Ζ Γ , Ζ Η έπιζευχθείσαις καί ανταϊς καί έκβληθείσαις κατά τά Μ, Ν, Ξ σημεία. 5Επί μιας δη ευθείας εσονται τά Μ, Ν, Ξ σημεία, διά τό εν δυσίν είναι έπιπέδοις, εν τε τώ του Ζ Η Γ τριγώνου καί έν τω τοΰ Ε Δ Ζ κύκλου, ώς έδείξαμεν έν τοϊς εις τό πρώτον βιβλίον1 ■ ήτις επιζευχθείσα ποιεί εις 10

δύο τάς Μ Ξ, Μ Ζ δύο διηγμένας τάς ΖΗ, ΝΖ τέμνειν άλλήλας κατά τό Γ . §

Καί διά την επάνω

2

δεϊ’ξ ιν

ό

τής

Γ Ν ευθείας προς την ΝΖ λόγος

σύγκειται έκ τε του τής Γ Ξ προς Ξ Η καί τον τή ςΗ Μ πρόςΜ Ζ. "Αλλά τω τής

|

Γ Ν προς ΝΖ λόγω ό αυτός έστιν

ο

τής υπό την διπλήν

τής Γ Δ περιφέρειας προς την υπό την διπλήν τής ΔΖ . τω δέ τής Γ Ξ 15 προς Ξ Η δ αυτός έστιν δ τής υπό την διπλήν τής Γ Ε προς την υπό την διπλήν τής ΕΗ . τω δέ τής Η Μ προς Μ Ζ δ αυτός έστιν ο τής υπό την διπλήν τ ή ςΗ Θ προς την υπό την διπλήν τής ΘΖ. ώστε καί * ακολούθως τοϊς έπί τον ρητόν είρημένοις

ο

τής υπό την διπλήν τής Γ Δ προς την υπό την

διπλήν τής Δ Ζ λόγος σύγκειται έκ τε τον τής υπό την διπλήν τής Γ Ε προς 20

την υπό την διπλήν τής Ε Η καί του τής υπό την διπλήν τής Η Θ προς την υπό την διπλήν τής ΘΖ, δπερ έδει δεϊξαι. 1Ε ξή ς δέ καί περί των παραλελειμμένων ήμϊν εις τό προκείμενον θεώ­ ρημα λημμάτων διαλημψόμεθα.

§ πώ ς ό τής Γ Ν εύθεί λόγος Γ Ξ > προς Ξ Η καί τοΰ τ ή ς < ς Η Μ πρός~> ΜΖ.

σύγκειται έ