Beiträge zur Theorie der Kabel: Untersuchungen über die Kapazitätsverhältnisse der verseilten und konzentrischen Mehrfachkabel 9783486736649, 9783486736632

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Kapazität. Elektrostatische Induktionskoeffizienten. Scheinbare Kapazität. - Betriebskapazität
Kapitel II. Konzentrische und Einfachkabel
Kapitel III. Die Vorausberechnung der Kapazitätskonstanten der Kabel

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BEITRÄGE ZUR THEORIE DER KABEL UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE KAPAZITÄTSVERHÄLTNISSE DER VERSEILTEN UND KONZENTRISCHEN MEHRFACHKABEL

VON

©r,3ng.

LEON LICHTENSTEIN

MIT 39 FIGUREN

MÜNCHEN UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON R. OLDENBOURG 1608

Vorwort. Das Problem der elektrischen Strömung in langen zylindrischen Leitern war in den letzten Jahren Gegenstand einer großen Reihe von Arbeiten, die, soweit sie von Elektrotechnikern herrühren, zum Teil dem Gebiet der Schwachstrom- zum Teil dem der Kabeltechnik gehören. Bei aller Verschiedenheit des Inhaltes haben diese Arbeiten folgendes gemeinsam: sie gehen sämtlich von dem Begriff eines ideellen Leiters aus, d. h. eines Leiters, der mit gleichmäßig verteiltem Widerstand, Induktivität, Kapazität und Stromableitung ausgestattet und fern von allen anderen Leitern gedacht wird. Der Fall einer Doppelluftleitung und eines konzentrischen Zweileiterkabels läßt sich auf den vorerwähnten Fall sofort zurückführen. Geht man zu den technisch besonders wichtigen Leitersystemen: verseilten Zwei- und Dreileiterkabeln über, so verlieren die Formeln, die für einen ideellen Leiter abgeleitet worden sind, ihre Gültigkeit. Statt einer Kapazität pro Längeneinheit werden in der Regel mehrere verschiedene Kapazitäten eingeführt , was die Betrachtung unübersichtlich macht und leicht zu Fehlern führen kann. Dasselbe gilt für die Induktivität. Bei Dreileiterkabeln will man die Kapazität eines Leiters gegen den Bleimantel und die je zweier Leiter gegeneinander unterscheiden und setzt für das Kabel das bekannte Schema mit 6 Kondensatoren (s. Fig.4) ein. Für Untersuchungen, die die Stromleitung in Kabeln betreffen, wäre es indessen von Wert, wenn man jedes Kabel durch einen äquivalenten ideellen Leiter ersetzen könnte, da die elektrischen Eigenschaften der zuletzt genannten Gebilde hinreichend bekannt sind. Das ganze schwierige Gebiet der mehrphasigen Kabel würde wesentlich durchsichtiger erscheinen, wenn man bei jedem einzelnen Kabelstück nur von e i n e r (scheinbaren, wirksamen oder Betriebs-) Kapazität pro Längeneinheit und e i n e r scheinbaren, wirksamen oder Betriebs-Selbstinduktivität pro Längeneinheit reden könnte. Betrachtungen, die eine Reduktion von Mehrleiterkabeln auf ideelle Leiter, soweit Kapazitätsverhältnisse in Frage kommen, zum Ziele haben, sollen den Gegenstand dieser Arbeit bilden, nachdem sie in einem Spezialfälle in der E.T.Z. zum Ausdruck gebracht worden sind.1) Die vorliegenden Untersuchungen sind sehr allgemein und eingehend gehalten. Der Verfasser geht von einem allgemeinen «-Leiterkabel aus und macht über die Gestalt der Spannungskurven keine beschränkenden Voraussetzungen. Bei sinusförmigen Spannungskurven und einer näher definierten Symmetrie des Kabelquerschnittes läßt sich ') Vgl. E.T.Z 1904, Heft 6 u. 7. V g l . auch die denselben Gegenstand behandelnden Arbeiten von D r . Breisig und Dr. Kath, E . T . Z . 190a, Heft 52 u. E . T . Z . 1903, Heft 3.

jedes Kabel für die Rechnung durch einen gleichwertigen Kondensator ersetzen (Kap. I). Die Kapazitätskonstanten der Kabel können leicht gemessen werden; wie sie durch Rechnung mit genügender Annäherung zu ermitteln sind, wird im Kap. III gezeigt. Der Betrachtung der Kapazitätsverhältnisse der konzentrischen und Einfachkabel ist Kap. II gewidmet. Geht man jetzt zu beliebigen Spannungskurven über, so zeigt sich die interessante Tatsache, daß die »scheinbare Kapazität« eines Kabels sich mit der Form der Spannungskurve ändert. Genauer: ist die Kurve der Spannung nicht sinusförmig, so kann sie in einzelne harmonische Komponenten Ex E2 . . . E„ zerlegt werden. Für jede Komponente E„ wird der Ladestrom aus der Formel

ermittelt. Die Ubereinanderlagerung aller Teilströme J„ ergibt den resultierenden Ladestrom J. Es zeigt sich nun, daß für alle verseilten Kabel mit Ausnahme der mit nur zwei Leitern die »Kapazität p. I km« y„ für höhere harmonische Komponenten anders als für die Grundschwingung ist. Bei Dreileiterkabeln ist die Zahl der von einander verschiedenen »Betriebs-Kapazitäten« gleich zwei; bei Mehrleiterkabeln wird sie größer. Als eine Anwendung der allgemeinen Theorie erscheint die Feststellung der Spannung, die bei isoliertem Bleimantel zwischen diesem und dem Eisenmantel unter Umständen auftreten kann. (Kap. III, Abschnitt 3 u. 5.) Diese Spannung kann, wie an einem Zahlenbeispiel gezeigt wird, für die Isolation zwischen den beiden Mänteln gefährlich werden. Die Formeln für die Kapazitätskonstanten der verseilten Mehrfachkabel gestatten noch eine andere Anwendung. Sie gestatten die Berechnung der im Betrieb auftretenden Kabelerwärmung.1) Auf diesen Gegenstand, als dem Kern der Betrachtung fernliegend, wird in dieser Untersuchung nicht weiter eingegangen. Wir haben, bevor wir schließen, noch einige Bemerkungen über das in dieser Arbeit benutzte Maßsystem zu machen. Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, bei den Betrachtungen über die Kapazität die absoluten elektrostatischen Maßeinheiten zu gebrauchen, weil die sich dabei ergebenden Formeln von numerischen Faktoren frei sind. Durch Hinzufügen passender numerischer Faktoren wird zu den technischen Einheiten übergegangen. ') Vergleiche E . T Z . 1905, Heft 6 : »Über die Wärmeleitung einem verseilten Kabel« von Dr. G . Mie. I*

in

— Dementsprechend sind in den Kapiteln I, II, III alle Größen, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt ist, in absoluten elektrostatischen Einheiten (c.g. s.) ausgedrückt. In Gebrauchsformeln kommen alle Größen stets in technischen Maßeinheiten vor. Nun noch einige Worte über die durchgängig benutzten Bezeichnungen. In dieser Hinsicht hatte der Verfasser manche Schwierigkeiten zu überwinden; es war ihm leider nicht möglich, von der gewiß unerwünschten Benutzung der Doppellindices abzusehen. Dies ist aber in einer Arbeit, in der die momentanen, maximalen und effektiven Werte des Stromes und der Spannung fortlaufend nebeneinander zu betrachten sind, nicht zu vermeiden. Die wichtigsten durchgängig gebrauchten Bezeichnungen seien im folgenden zusammengestellt: Potential bei Gleichspannung, Effektivwert der Spannung gegen Erde bei Wechselspannung . Maximalwert der Sp. g. Erde Momentanwert der Sp. g. Erde Konstante Ladung, Effektivwert einer wechselnden Ladung Maximalwert der Ladung Momentanwert der Ladung

V V„, V, Q Q,„ Qt

4

— Konstante Klemmenspannung, Effektivwert der Wechselspannung zwischen den Leitern Maximalwert der Spannung zwischen den Leitern . Momentanwert der Spannung zwischen den Leitern Die analogen Werte für den Strom . . Sind Sp. g. Erde oder Ströme in einzelnen Leitern (I), (2), . . (K) ZU unterscheiden, so schreiben wir Sind noch weiter gehende Unterscheidüngen zu machen, wie z. B. bei Zerlegung der Spannung in harmonische Komponenten, so schreiben wir . . Frequenz Kabellänge Scheinbare Kapazität Scheinbare Kapazität pro Längeneinheit Kommen verschiedene »scheinbare Kapazitäten« bei einem Kabel, sei es bei verschiedenen Schaltungen oder verschiedenen Spannungskurven, vor, so werden sie durch Indices . . . . bezeichnet.

E Em E, J,

2: Systeme mit mehreren Leitern . . .

»

3: Allgemeine Leitersysteme

. . .

8

4 : Verseilte »-Leiterkabel.

3

5 : Verseilte Zweileiterkabel

14

>

6 : Verseilte Dreileiterkabel

16

>

7 : Dreileiterkabel bei Wechselstrombelastung . . .

>

8: Dreileiterkabel

bei

Scheinbare Kapazität

Wechselstrombelastung,

.

26

>

3: Ginfachkabel

28

Kapitel III.

Die Vorausberechnung der Kapazitätskonstanten der Kabel.

Abschnitt I :

29

2: Zweileiterkabel.

>

3: Scheinbare Kapazität eines Zweileiterkabels

17

>

4 : Dreileiterkabel.

19

'

5 : Scheinbare Kapazität eines Dreileiterkabels

Berechnung der Konstanten ttj,q

>

6 : Kapazitätsverhältnisse

und

32 .

.

22

33

Berechnung der Konstanten npq

3, doch ist die Anordnung der Leiter anders. Die Länge des Kabels nehmen wir stets gleich / cm an. Nach (9bis) ist für den Leiter (1): • }' • Ei • y1 Es, cos(5

m

cos (3 tot + a

m

cos (01t -(- O]) a3) +

im Leiter (1) 3 - 2 ;icv •

5 • 2 n cxd • y • ESi „, > (33)

6) + 7 -2 7rc>jy£7mcos(7

tot-\-a+

... '

Die Ladestrome in den Leitern (2) und (3) sind dem Strome t +

or5) + . . .

«3)|

)

m

• T3 io .t 14 sin

5

(34)

Vi zeitlich um —, — etc.

Vs/ =

[t 4 -

4" £3 ,„ sin

01 (t

4-

2 +2

n Ol

4-

n 10

vnt+

ax

f- a a

IT.

4- «8

+ •• •

(5)

Vlt + (3)

v2t +

(1)

(1)

V

u

(*)

(3)

l t

+

...

(ä)

v2t+

...

(5)

vnt+

v., +

(3)

vlt,

V

(3)

. .. (»)

(5)

(»)

Vli Vit..

F2/..„

v„,..

=

Vlt-,

V2t=

V2t;

...Vmt=

V.t

so berechnen sich die Ladungen aller Leiter, wenn wir annehmen, daß der Mantel geerdet ist, aus den Gleichungen (i) (i) (') (i> Qu =

(i)

Yn Vu + ynV2l

(i)

Qit ="h\

Vit+ym

(i)

+

+ ylu

(i)

v2t +

(i)

4- y2u

(i)

=

7-ii

=

=

/'12 = Yn =

=

(35)

V„,

(i)

V„t

«)

+ /„„

v„,

+

j

4 - E3msm

4 - « 3 j 4- . .

"/«»

» — Y«, »• • 1 — • • • = /'a2 = /'21 — Yn-2, » - Y«, '1-2 712 = Ysi

Ist die dritte harmonische Komponente der Spannung allein vorhanden, so berechnen sich die Ladungen aus den Formeln (3)

II K , = E i m sin j « (¿ + { n - l ) 4- («—1)

vnt= Vnt..\

(3)

10

(3)

+

(1)

vit4-

Yin = Yi4 —

4- « J

2 7c

(35'^:

sind Spannungen gegen Erde, die einzelnen harmonischen Komponenten der Spannungskurve entsprechen. Vorausgesetzt ist dabei natürlich, daß die Spannungen in allen Phasen genau gleich sind. Ist nur die Grundschwingung allein vorhanden (i) (i) (i)

Y11

4" « s j + • •

"

4

(••

Da der Kabelquerschnitt in bezug auf alle Leiter symmetrisch ist, so gelten wie wir wissen, die Relationen

+ «,j

w (t +

Ex „, sin [ f j

2 (N—1)

Qnt—y« 1 vlt 4- yn 2 V2t+

gende Gleichungen bestimmt:

4 - Es ,„ sin

l t

V21~

(1)

ti— 1 Periode vorauseilen, so sind sie offenbar durch fol-

El ,„ sin

v ==

ft)

1 2

V2t =

sin (5 wt-{- 5

3 • 2—(«—n l ) ; r

wt 4 - 5

Vu=

Vxu V2l...

gegeben sei, Da die Spannungen der Leiter (2), (3) . . . («) gegen Erde der Spannung

«i)

lf I ( n ~') fn

2

(1)

Die vorstehenden Untersuchungen wollen wir jetzt auf ein allgemeines «-Leiterkabel ausdehnen. Betrachten wir ein Kabel nach Fig. 8 und nehmen wir an, daß der zeitliche Verlauf der Spannung V1 durch die Formel

(3

5•2~

Wir schreiben zur Vereinfachung

]

10. n-Leiterkabel bei beliebiger Form der Spannungskurve des stromliefernden n-phasigen Generators.

Vi t — Ex „, sin (co t - f «j) -j- EZm sin

r

+ o«) + • • •

Hat aber die S p a n n u n g s k u r v e harmonische K o m p o n e n t e n , d e r e n O r d n u n g s z a h l 3, 9, 15 u n d ü b e r h a u p t « = 3 tn i s t , s o i s t d e r L a d e s t r o m n a c h (33) zu b e r e c h n e n . D a s K a b e l k a n n durch einen Kondensator nicht mehr ersetzt werden.

- f Eb

4 - a 8 j +ESm

/12,

[Ei ,„ cos (cot - f «j) - f

0,tJ

+ ««) + • • •

4 - ESm sin

J i , — y•

4 - or,^

4 - ESm sin ( 3 wt 4 3 • ^ 4 " asj+ Eb „, s i n ^

• y • Ebm

Der Ladestrom cos

Vn —E\ m sin (co t +

oj

Vergleicht man diese Formel mit der Formel (33), so sieht man, daß e i n D r e h s t r o m k a b e l n u r d a n n durch einen fiktiven Kondensator ersetzt werden kann, wenn die P h a s e n s p a n n u n g k e i n e h a r m o n i s c h e n K o m p o n e n t e n von der O r d n u n g n= besitzt. Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die »Betriebskapazität« des Kabels y=

oder

(3)

(3)

(3)

Yn Vlt + Yvi V21 4 - • • • • (3)

Yn Vit

13)

+

(3)

V2t (»j

Ynl Vi, 4 - y » 2 - v2i

(3,

+ Y\« v

+ ... • • +

al

(3)

/'2 >,Vn,

+ . . •••+Ynn

13)

• V«,

(37)

Für die 5 te , 7 " und überhaupt » ,e Komponente gelten (3) (3) dieselben Gleichungen, wenn man statt Fi Qx etc. überall (?)

(«)

I'i, ßi, • • • • e t c ' schreibt. Wir erhalten somit für jeden Leiter eine Reihe von Ladungen (1) (3) (5) 0 u ß i i , Qu... (1) (3) (6)

+ 712

(3)

(5)

Qnt, Qn,, Q«t, . . . die den einzelnen harmonischen Komponenten der Spannung entsprechen. Ist nun die Spannung durch die Formel (34) gegeben, so superponieren sich die einzelnen Ladungen und wir erhalten (1) «) (5) 01/ = ßi/+ Qu+ Qi,+ -. (1) (3) (5) 0 2 , = 0 2 / + 0 2 / + 02/ + • • • (38) (1)

(3)

J\t = J\t + Jn (1) (3) Jit — Jit Jit

Jn (6) Jit

0)

(5)

(3)

••• ••••

/

+

cos

(39)

+ 7l,n

demnach auch (3) (3) dQu

Ju

+

3 •—

3«" +

3

os (3

(40)

\ \ «3j

f- «3J 1

3 •^

+ or3)

Da nun, wie wir wissen,

7i2 — Yu»; Vis = Yi>«~1; Vi4 =

+ «sj '

etc.,

so können wir die entsprechenden Glieder der Formel (40) zusammenfassen und schreiben (3) r J1t= 3 • 27tcoESm\ylt • cos (3 tot + as)

3•

+ cos (3 w i — 3 + Vi3 | c o s (3 + cos ^3

tot + 3

ott —

3 •

^

+ a3j

+ « 3 J|

tot +

| cos ^3

+

+ a3j|

+ cos ^3 wt — 3 • ~

o ~r)

r

.

+ Vl,n

+ Vu

I T + "«] +

,

tot —

+tta{cos^3tot

haben wir die »scheinbare Kapazität« des Kabels genannt. Wir untersuchen jetzt, ob auch die Ladeströme (3) (6) Jx, Jj etc. sich in ähnlicher Weise darstellen lassen. (3) (3) (3) Betrachten wir zunächst die Werte J j , J 2 , . . . ./„• A u s (37) finden wir (3) ßit = Vu • ESm sin (3W/ + ö3) , 271, 1 + 7vi ' ^ s » sin

+ 7n • Ez,„ sin

'—

n

Für die letzten Glieder können wir auch setzen

Vis cos [2 •

+ vi*cos ( 3 ' t ) + • • • + Y i n

2 in—3) J

/ , 2(ra—iWr » cos ^3 f.) t + 3 • n

+

Die Konstante

{^¡p}

,

/ , 2 (n—2) 7r , Vi, »-1 c o s h tot+ 3 • + n

Den Ladestrom, welcher der Grundschwingung entspricht, haben wir im Abschnitt 4 gefunden. U) Jx — 2 /t o j • y - Ex (i) (i) (i) (i) J1 = J2 J$ = • • Jn /12 cos

«sj

+

Jn, = Jnt + Jn, + Jn/ + • • •

7 = Vi 1 +

3 • 2Jr +

+ Vi,«

Was für die Ladungen gilt, gilt natürlich auch für die Ladeströme. Wir finden (6)

«t

yi„_ 2 cos 1 3 « / + 3

(6)

(3)

(3

+

Qn! ~ Qnt + Qnt + Qn, + • • •

(1)

c o s

+ 7u cos^tot + 3-^r + a3j + ...+

Qu, Qu, Qu (1)

oder, wenn wir auch die letzten Glieder dieser Reihe aufschreiben (3) r Ju— 3 • 2 7C co • Es J yn cos. (3 tot + or3)

3 •^

+ a3^

+ »3)} +

];

Die Summe zweier Kosinusglieder können wir nach der Formel cos

a

cos ß — 2 cos i- ^a + ßj • cos ^ ^a—flj;

umformen. j\ t =

Wir finden so 3 • 2 n cvj • 2j S m | yu • cos ^3 tot - f a3J

tot +

ic

-f 2

• cos ^3

o3J • cos 3 •

-f 2

cos ^3

tot +

« 3 j • cos 3 • -

+ 2 - / u . cos ^3

tot +

a 3 j • cos 3 • ^

-f . . j

= 3 • 2 n cnj • i ? 3 „ • cos (3 tot + a3)

: —-jj- — 3 • 2n • 00 Es,„ yu cos (3tot + o3)

^11 + 2 y u • cos 3

+ 2 yn

+ 2 y M • cos • 3 • ^

+

•

cos 3 • ^ ~ j

+ Vit • cos ^3tot-f 3 • ~ 4- c(3j + tta cos

+ 3 •

~

+ «3) +

]

];

—

24

—

Das letzte Glied des Klammerausdruckes ist •

2 J'l, « + 1 cos

+

2

+ Yis cos (4

I ! \27T + n » cos 2 (« — 1) —

I + —

2

(3) T / 2 ÌT\ = 3 • 2 7r • o o • Ei cos (3 w/ - f «3)l ;'n + /i2 cos 13 • — - j + ttsCOS (ö ^ j + ;'14 cos (9 •

+ y ]ft cos(i 2 •

+ ...

+ J'l.» cos (3 • («— 1) • Setzt man den Klammerausdruck gleich Y 11 +

Y11 + Y12 cos (2 •

=

oder für alle «:

Y =

+ 2) (« — I) ^ J

für gerade n

— Yi,n±2

(3)

+ J'l» COS

für ungerade n und

Yn • cos (3 •

o;

+ ;'13 cos (ö •

+

/ u

+ y

n

COS 4 • —

+ yi„ cos 4 (« — 1)

;/,

Ihre Zahl beträgt

a5);

(5) y ist die »scheinbare Kapazität«, die der fünften harmonischen Komponente der Spannung entspricht.

Y{1) =

/A

=

der Konstanten

+ • • + j'l»;

+ J'1S COS (2 (« + 2)

^

n — 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . ist die Zahl gleich I, 2, 2, 3, 3, 4, 4, . . .

Im a l l g e m e i n e n k a n n a l s o ein « - L e i t e r k a b e l nur dann durch einen ä q u i v a l e n t e n K o n d e n s a t o r e r s e t z t w e r d e n , w e n n die S p a n n u n g s k u r v e e i n e S i n u s l i n i e ist. (Vgl. Abschnitt 4.) Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so berechnet man den Ladestrom aus den Formeln (39).

— 25 — Kapitel II. Konzentrische und Einfachkabel. i. Konzentrische Zweileiterkabel. Im vorhergehenden Kapitel haben wir uns ausschließlich mit verseilten Zwei-, Drei- und Mehrleiterkabeln beschäftigt. Jetzt gehen wir zur Betrachtung der konzentrischen Kabel über. Wir wollen mit der Untersuchung eines konzentrischen Zweileiter- oder Wechselstromkabels beginnen. Fig. 23 möge den Querschnitt eines Kabels dieser Art darstellen. Wir bezeichnen den Halbmesser des Innenleiters mit rx den inneren Halbmesser des Außenleiters mit r2 » äußeren » » » » . . r3 » . . r4 » inneren » » Bleimantels

Die Außenfläche des Leiters (2) und die Innenfläche des Mantels bilden daher den Sitz der Ladungen. Q2 =

o2

(V2-Vo).

c2(V2 — F0); c.g.s.

2 log nat — (3)

= £2(^0 — ^2); c.g.s. 2 log nat — r

3

Schließen wir die beiden Leiter (1) und (2) an die Klemmen eines Wechselstromerzeugers mit sinusförmiger Spannungskurve, so wird Vit — E\m sin (w/); 1 \ Eim-E2m V2l = Eimsm(ioty,) V„

= Em

W

=0

E,„ ist der Maximalwert der Spannung. Wir nehmen jetzt nicht mehr Elm =

E2m =

Em

—

an, weil, wie wir es im Kapitel I, Abschnitt 8 bereits gesehen haben, diese Spannungsverteilung nicht immer möglich ist. Die Ladungen der Leiter pro Längeneinheit sind jetzt: Qu =

Fig.

23.

Sind die Potentiale der Leiter Vlt V2, V0, so berechnet sich die Ladung des Innenleiters pro Längeneinheit aus der Formel ¿1

=

c1(Vl-Viy,

c.g.s.

2 TT, OO • Cj • Emcos {101); Ju = (0 Jit = — 2 tc00 • ct • E„ cos (ojt); « J2t= 2ttcV) • c2 • E2m cos(tu/); Joe = — 2 n00 • c2 • E2m cos (wt);

(I)

2 log n a t — >1 ist die Dielektrizitätskonstante des zwischen den beiden Leitern befindlichen Isolationsmaterials. (1) ist die bekannte Formel für die Kapazität eines Zylinderkondensators pro Längeneinheit. Die Ladung ); c.g.s.

(2)

2 log nat — Der Leiter (2) und der Bleimantel bilden die Belegungen eines Zylinderkondensators, dessen Kapazität pro Längeneinheit ist do 2

c. g. s.

log nat —

d2 ist die Dielektrizitätskonstante des zwischen dem Außenleiter und dem Mantel befindlichen Isolationsmaterials. Lichtenstein,

Kabel.

C\ Em sin (