Theon von Smyrna: Mathematik für die Platonlektüre. Altgriechisch und Deutsch 9783534273348, 9783534746422, 3534273346

Table of contents :
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Impressum
Inhaltsverzeichnis
Einführung
Theons Leiter
Theon und sein Werk
Theon und seine Zeitgenossen
Eine Büste des Theon
Zahlen
Töne
Sterne
Platon
Textüberlieferungen und Editionen
Rezeption
Theon von Smyrna: Mathematik für die Platonlektüre griechisch und deutsch
Prooiminon
Teil I: Arithmetik
Teil II: Musik
Teil III: Astronomie
Anhang
Weiterführende Literatur
Editionen und Übersetzungen
Von Theon zitierte onder in der Einführung genannte Antike Autoren
Studien
Von Theon genannte Autoren
Register
Rückcover

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Edition Antike Herausgegeben von Thomas Baier, Kai Brodersen und Martin Hose Die Edition Antike bietet zweisprachige Leseausgaben wichtiger Texte der antiken Literatur mit modernen Übersetzungen und in einer zeitgemäßen Ausstattung. Autoren und Werke werden eingangs kurz vorgestellt. Ein knapper Sachkommentar am Ende des Bandes erleichtert die Lektüre und das Verständnis der Texte. Thomas Baier ist Professor für Klassische Philologie (Latinistik) an der LudwigMaximilians-Universität Würzburg. Kai Brodersen ist Professor für Antike Kultur an der Universität Erfurt und Senior Fellow am Alfried Krupp Wissenschaftskolleg in Greifswald. Martin Hose ist Professor für Klassische Philologie (Gräzistik) an der LudwigMaximilians-Universität München. Umschlaggestaltung: Peter Lohse, Heppenheim

»Damit diejenigen, die in der Mathematik ungeübt sind und die den Wunsch haben, Platons Schriften zu lesen, nicht auf die Erfüllung dieses Wunsches verzichten müssen, wollen wir eine kompakte Darstellung der notwendigen Kenntnisse bieten.« So führt Theon von Smyrna sein Werk Mathematik für die Platonlektüre ein. Die zweisprachige Ausgabe, in der die erste deutsche Übersetzung des Werkes überhaupt präsentiert wird, ermöglicht allen Interessierten einen ebenso authentischen wie originellen Zugang zu Platon und zur Geschichte der antiken Wissenschaften.

wbg-wissenverbindet.de ISBN 978-3-534-27334-8

EDITION ANTIKE

9:58 Uhr

Mathematik

19.01.2021

Theon von Smyrna

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Theon von Smyrna

mathematik für die Platonlektüre Altgriechisch/Deutsch

Theon von Smyrna war ein griechischer Platoniker, Mathematiker und Astronom aus Smyrna, dem heutigen İzmir. Von seinen Schriften ist nur das vorliegende Werk erhalten. Zahlen, Töne und Sterne sind laut Theon in mathematischen Verhältnissen harmonisch miteinander verbunden. Deshalb erklärt er didaktisch geschickt und weit über Platon hinausgehend die allgemeinen Grundlagen des antiken Wissens über Arithmetik, Musiktheorie und Astronomie.

EDITION ANTIKE

EDITION ANTIKE

Herausgegeben von Thomas Baier, Kai Brodersen und Martin Hose

THEON VON SMYRNA

MATHEMATIK FÜR DIE PLATONLEKTÜRE Griechisch und deutsch

Zweisprachige Ausgabe von Kai Brodersen

Die EDITION ANTIKE wird gefördert durch den Wilhelm-Weischedel-Fonds der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft.

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http:/dnb.db.de abrufbar. Das Werk ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung in und Verarbeitung durch elektronische Systeme. wbg Academic ist ein Imprint der wbg. © 2021 by wbg (Wissenschaftliche Buchgesellschaft), Darmstadt Die Herausgabe des Werks wurde durch die Vereinsmitglieder der wbg ermöglicht. Satz: Kai Brodersen Gedruckt auf säurefreiem und alterungsbeständigem Papier. Printed in Germany Besuchen Sie uns im Internet: www.wbg-wissenverbindet.de ISBN 978-3-534-27334-8 Elektronisch ist folgende Ausgabe erhältlich: eBook (pdf ): ISBN 978-3-534-74642-2

INHALTSVERZEICHNIS Einführung Theons Leiter  7 Theon und sein Werk  8 Theon und seine Zeitgenossen  9 Eine Büste des Theon  10 Zahlen 12 Töne 13 Sterne 13 Platon 15 Textüberlieferung und Editionen  16 Rezeption 19 Theon von Smyrna, Mathematik für die Platonlektüre griechisch und deutsch Prooimion 22/23 Teil I: Arithmetik  44/45 Teil II: Musik  100/101 Teil III: Astronomie  218/219 Anhang Weiterführende Literatur  345 Von Theon genannte Autoren  350 Register 351

EINFÜHRUNG Theons Leiter Wie kann man das Verhältnis der Diagonale zur Seitenlänge in einem Qua­drat berechnen? Das Ergebnis für √2 ist uns heute aus dem Mathematik­unterricht wohlbekannt: Wir wissen, dass √2 die irrationale Zahl 1,414213562373095… ist. Grundlage unseres Wissens ist ein Algorithmus, den die Antike noch nicht kannte. Ein vergleichsweise besser verständliches (und daher gelegentlich noch heute im Unterricht herangezogenes) Verfahren zur Ermittlung von √2 besteht ­darin, sich dem gesuchten Wert anzunähern. Diese Methode heißt nach dem antiken Gelehrten, der es in seinem Werk Mathematik für die Platonlektüre (I 31) erstmals beschrieben hat, das Verfahren des Theon von Smyrna. Im Englischen wird es Theon’s ladder, »Theons Leiter«, genannt. Theon stellt auf jede Sprosse seiner Leiter zwei Zahlen, die »Seite« (s) und die »Diagonale« (d) eines Qua­drats. Da die Eins der Ursprung aller Zahlen ist, stehen an der Basis s = 1 und d = 1. Auf den Sprossen werden nun jeweils für die neue Seite die vorherige Seite und die vorherige Diagonale addiert (s + d), für die neue Diagonale die vorherige Diagonale und das Doppelte der vorherigen Seite (d + 2s). Für die erste Sprosse gilt Seite 1 + 1 = 2, Diagonale 1 + 2∙1 = 3, für die zweite Sprosse Seite 2 + 3 = 5, Diagonale 3 + 2∙2 = 7, für die dritte Sprosse Seite 5 + 7 = 12, Diagonale 7 + 2∙5 = 17 und so fort. Wenn jeweils die Diagonale durch die Seite dividiert wird, nähern sich die Quotienten (d⁄s) auf den Leitersprossen dem Wert √2 an, indem sie abwechselnd eine Unter- und eine Obergrenze für √2 liefern. Theon bietet keine theoretische Begründung seines Vorgehens, sondern beschreibt es wie ein Rezept – eine Form der Darlegung von Wissen für die praktische Anwendung, das wir in der Antike auch bei anderen Wissenschaften (mathemata) beobachten können, etwa in der Medizin. In moderner Notation mit den notwendigen Auf- bzw. Abrundungen ergibt »Theons Leiter« folgende Abfolge:

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8 Grundlage Sprosse 1 Sprosse 2 Sprosse 3 Sprosse 4 Sprosse 5 Sprosse 6 Sprosse 7 Sprosse 8 Sprosse 9 Sprosse 10 Sprosse 11 Sprosse 12 Sprosse 13 Sprosse 14 Sprosse 15 Sprosse 16 Sprosse 17 Sprosse 18 Sprosse 19 Sprosse 20 Sprosse 21 Sprosse 22

s = 1 s = 2 s = 5 s = 12 s = 29 s = 70 s = 169 s = 408 s = 985 s = 2378 s = 5741 s = 13860 s = 33461 s = 80782 s = 195025 s = 470832 s = 1136689 s = 2744210 s = 6625109 s = 15994428 s = 38613965 s = 93222358 s = 225058681

d = 1 d = 3 d = 7 d = 17 d = 41 d = 99 d = 239 d = 577 d = 1393 d = 3363 d = 8119 d = 19601 d = 47321 d = 114243 d = 275807 d = 665857 d = 1607521 d = 3880899 d = 9369319 d = 22619537 d = 54608393 d = 131836323 d = 318281039

d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s d/s

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1,000000000000000 1,500000000000000 1,400000000000000 1,416666666666667 1,413793103448276 1,414285714285714 1,414201183431953 1,414215686274510 1,414213197969543 1,414213624894870 1,414213551646055 1,414213564213564 1,414213562057320 1,414213562427273 1,414213562363800 1,414213562374690 1,414213562372821 1,414213562373142 1,414213562373087 1,414213562373096 1,414213562373095 1,414213562373095 1,414213562373095

Theons Verfahren lässt sich übrigens – wie zuletzt in einem Beitrag zum International Journal of Mathematical Education in Science and Technology gezeigt wurde (Osler u. a. 2005) – zur Berechnung von beliebigen Wurzeln verallgemeinern. Mit dem Näherungswert für die Qua­dratwurzel werden auch kompliziertere, namentlich astronomische Berechnungen möglich. Ja, Theons Nachruhm als Mathematiker und Astronom ist so groß, dass seit 1935 ein Mondkrater (0.81° südliche Breite, 15.42° östliche Länge) nach ihm Theon Senior heißt. Theon und sein Werk Wer aber war Theon von Smyrna? Das unter seinem Namen überlieferte Werk τῶν κατὰ τὸ μαθηματικὸν χρησίμων τὴν Πλάτωνος ἀνάγνωσιν (In der Mathematik Nützliches für die Lektüre Platons – so lautet die Überschrift in den mittelalterlichen Handschriften, denen wir – dazu

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s. u. S. 16 – die Erhaltung des Werks verdanken) gibt sich als Einführung in mathematische Überlegungen, deren Kenntnis für eine gedeihliche Platonlektüre notwendig sei. Der Bezug zu Platon ist dann freilich gleichsam nur der Anlass für eine Darstellung von Grundwissen über Arithmetik, mathematische Musiktheorie und mathematische Astronomie. Man hat überlegt, ob die zu Beginn des Teils zur Arithmetik (I 2) genannten weiteren Bereiche Geometrie und Stereometrie auf eigene (und später verlorene) Abschnitte hinweisen, doch behandelt Theon diese Aspekte (nämlich die zweite und dritte Dimension) im I. Teil mit, so dass eine solche Annahme nicht zwingend ist. Theon selbst erwähnt in seiner Mathematik (II 16) einen Kommentar zu Platons Politeia als weiteres eigenes Werk; dieses ist jedoch nicht erhalten. Vielleicht war das (ebenfalls nicht auf Griechisch erhaltene) Verzeichnis von Platons Werken, das unter dem Namen des Theon in mittelalterlichen arabischen Quellen (s. Dodge 1970, 592) genannt wird, ein Teil dieses Kommentars. Theon und seine Zeitgenossen In seinem Werk Mathematik für die Platonlektüre führt Theon eine ganze Reihe älterer Autoren an, beginnend mit Pythagoras und den Pythagoreern, die für ihre Zahlentheorien berühmt waren. Besonders häufig nennt er aber zwei jüngere Autoren: Thrasyllos und Adrastos. Tiberius Claudius Thrasyllos war ein platonischer Philosoph, der in anderen Quellen als astrologischer Berater des römischen Kaisers Tiberius (42 v. Chr. – 37 n. Chr., Kaiser seit 14 n. Chr.) bezeugt ist (astrologische Angaben fehlen bei Theon übrigens völlig). Adrastos von Aphrodisias war ein peri­patetischer Philosoph wohl des frühen 2. Jahrhunderts n. Chr. und Zeitgenosse des Theon. Nicht genannt werden hingegen zwei Autoren jenes Jahrhunderts: Nikomachos von Gerasa und Claudius Ptolemaios. Die (erhaltene) Einführung in die Arithmetik des Nikomachos weist deutliche Parallelen zu Theon auf, bietet allerdings nicht »Theons Leiter«. Welches Werk früher und vielleicht eine Vorlage des anderen war, lässt sich nicht ermitteln; vielleicht gab es auch eine heute unbekannte gemeinsame Vorlage. Das später berühmte astro­nomische Werk Mathema­tike oder Megiste Syntaxis (bekannt unter dem arabischen Titel Almagest) des Claudius Ptolemaios (um 100–170 n. Chr.)

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wird von Theon nicht genannt, vielleicht, weil es noch nicht entstanden oder ihm nicht zugänglich war, vielleicht auch, weil er (angesichts seines didaktischen Ansatzes) ein kompliziertes Fachbuch anzuführen nicht hilfreich fand. Umgekehrt wäre es gewagt, einen in diesem Werk (Almagest 9.9; 10.1; 10.2) genannten Mathematiker Theon mit dem Gelehrten aus Smyrna zu identifizieren – zu häufig ist dafür in der Antike dieser Name. Dasselbe gilt schließlich auch von einem »alten Theon«, den der spätere Astronom Theon von Alexandreia in seinem Kommentar zu Ptolemaios’ Almagest zu den genannten Stellen zitiert. Eine Büste des Theon Eine etwas deutlichere Aussage zur Datierung des Autors ist durch eine Büste möglich, die aus Smyrna (heute İzmir in der Türkei) stammt, im 17. Jahrhundert nach Rom gebracht wurde und heute dort in der Sala dei Filosofi im Kapitolinischen Museum ausgestellt ist (Museo Capitolino Inv. 529; s. Fittschen 2010). Die Büste zeigt einen bärtigen Mann, der seinen Kopf stark zu seiner rechten Seite wendet. Er ist nur mit dem nach Philosophenart auf beiden Schultern auf‌liegenden Mantel bekleidet. Die Inschrift auf dem Sockel der Büste identifiziert den Dargestellten: Θέωνα Πλατωνι|κὸν φιλόσοφον | ὁ ἱερεὺς Θέων | τὸν πατέρα. Theon, den platonischen Philosophen, (ehrt) der Priester Theon, den Vater. (Inschriften von Smyrna 648 [ed. Petzl 1987])

Es handelt sich also um eine von dem Priester Theon für seinen gleichnamigen Vater, einen platonischen Philosophen, in Smyrna aufgestellte Büste. Wo und in welchem Zusammenhang sie dort zu sehen war – etwa in einer Schule oder einem Heiligtum oder an einem Grab –, lässt sich nicht mehr ermitteln. Die Büste wird aufgrund stilistischer Kriterien in die frühe Herrschaftszeit des römischen Kaisers Hadrian (76– 138 n. Chr., Kaiser seit 117) vor 130 n. Chr. datiert; demnach würde die Wirkungszeit des Philosophen Theon in Smyrna in das erste Drittel des 2. Jahrhunderts n. Chr. fallen. Dazu passt, dass Smyrna seinerzeit ein wichtiges Kulturzentrum war, wo Theon also vielleicht als Lehrer der platonischen Philosophie wirkte. Das massive Erdbeben, das die Stadt im Jahr 178 n. Chr. zerstörte und das Ende ihrer kulturellen Blüte bedeutete, hat er sicher nicht mehr miterleben müssen.

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Abb. 1: Büste des Theon aus Smyrna (Rom, Kapitolinische Museen)

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Zahlen Das erhaltene Werk des Theon von Smyrna behandelt dem überlieferten Titel zufolge mathemata (»Wissenschaften«, speziell Mathematik) und besteht nach einem Prooimion (I 1) aus drei inhaltlich deutlich unterscheidbaren Teilen: Arithmetik (I 2–32), Musik (II) und Astronomie (III). Um einem heutigen Lesepublikum das Verständnis zu erleichtern, sollen im Folgenden ein paar der antiken Leserschaft vertraute Grundlagen vorgestellt werden, zunächst zu den Zahlen. Für die Arithmetik (arithmetike, »Zahlenkunde«, unterschieden von der logistike, dem angewandten »Rechnen«) ist die Kenntnis der traditionellen griechischen Zahlschrift wichtig. Der Antike waren nämlich die Null und das durch sie ermöglichte Stellenwertsystem noch nicht vertraut (im griechischsprachigen Europa geht seine Bekanntheit zu einem beachtlichen Teil auf das Rechenbuch des Maximos Planudes aus dem 13. Jahrhundert n. Chr. zurück; vgl. Brodersen/Brodersen 2020). Die griechische Zahlenschrift nutzt die 24 Buchstaben des aus dem Phönizischen adaptierten griechischen Alphabets und dazu drei weitere, in der griechischen Sprache nicht verwendete Zeichen, nämlich für 6 das Digamma (ϝ), das ins Westgriechische und damit Lateinische als F einging und im späteren Griechisch als ϛ geschrieben wird, für 90 das Koppa (ϙ), im Westgriechischen und Lateinischen Q, sowie für 900 das Sampi (ϡ), das dem phönizischen Sade (San) entspricht und im Westgriechischen und Lateinischen nicht verwendet wurde. Damit ergibt sich folgende Zahlenreihe: 1–9 10–90 100–900

α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ϙ ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ

Die Buchstaben werden durch einen hochgestellten Strich als Zahl markiert (so stehen α' für 1 und β' für 2). Ab 1000 wird wieder die Einerreihe verwendet und durch einen vorgestellten Unterstrich markiert (so stehen ,α für 1000 und ,β für 2000). Zahlen, die kleiner als 1 sind, werden als Stammbrüche (1⁄n) oder als Summe von Stammbrüchen dar­gestellt (vgl. Vogel 1982). Auch Theon gibt nötigenfalls eine Summe mehrerer Stammbrüche an (siehe III 26.1 »91 plus 1⁄4 und 1⁄16« für 91 + 0,25 + 0,0625 = 91,3125).

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Töne Zweifellos am schwierigsten nachzuvollziehen ist für eine heutige Leserschaft der Abschnitt zur Musik, zumal Theon selbst immer wieder einmal ein Missverständnis (»misunderstanding«) unterläuft (Barker 1989, 223). Grundsätzlich versucht der Autor das Thema über zwei Wege zu erschließen: über das anhand von Instrumenten Wahrnehmbare (vgl. die Schlussbemerkung III 44: »Musik und Harmonie in den Instrumenten«) und über das gedankliche Erfassen (vgl. ebenda: »Musik und Harmonie in den Zahlen«). Beim Zugang über das Wahrnehmbare (II 1–16) geht es um tatsächlich hörbare Töne, etwa auf einem Monochord (griechisch kanon), also einem Musikinstrument (organon) mit einer Saite, die durch einen verschiebbaren Steg in unterschiedlich lange Abschnitte geteilt werden kann und somit unterschiedlich hohe Töne von sich gibt. Lässt man dann auf mehreren Monochorden unterschiedliche Töne erklingen, werden Dissonanzen (diaphona) und Konsonanzen (symphoniai) hörbar. Theon setzt auch eine Vertrautheit mit der Leier (lyra) voraus, die zunächst nur über drei Saiten verfügte: hypate, die »obere« Saite, gab den tiefsten Ton, mese war die »mittlere« und nete, die »untere«, gab den höchsten Ton. Im Lauf der Zeit wurde die Leier erst mit fünf, dann mit acht und schließlich mit 15 Saiten ausgestattet, deren Namen das Diagramm nach II 16 (S. 140/141) darlegt. Die jeweilige Tonhöhe, die sich aus der Spannung jener Saiten ergibt, wurde dabei als tasis (»Spannung«) bezeichnet; die genaue Spannung der Saiten konnte (wie noch heute bei Saiteninstrumenten) mit Wirbeln reguliert werden. Beim gedanklichen Zugang zur Musiktheorie (II 17–43) wird hingegen versucht, Konsonanzen und Dissonanzen durch die Berechnung der Zahlenverhältnisse zu gewinnen, wie sie Theon in Teil I zur Arithmetik vorgestellt hat. Sterne Musik und Harmonie gibt es bei Theon nicht nur in Zahlen und Tönen, sondern auch im Kosmos (wie die eben zitierte Schluss­ bemerkung III 44 zusammenfasst). Der Autor übernimmt dabei das geozentrische Weltbild seiner Zeit: Die kugelförmige Erde hat im

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Universum die zentrale Position inne; alle Himmelskörper (Mond, Sonne, Planeten, Fixsterne) laufen um sie in nahezu gleichförmiger Kreisbewegung von Ost nach West. Die Ebene, in der sie kreisen, steht dabei schief zum Äquatorkreis (Ekliptik). Von der Erde aus erscheinen die Bewegungen von Mond, Sonne und Planeten unterschiedlich und meistens etwas langsamer als die Drehung des Fixsternhimmels; besondere Unregelmäßigkeiten zeigen sich zudem bei den Planeten Merkur und Venus, die peri­odisch die Sonne überholen und dann wieder zurückfallen, während bei Mars, Jupiter und Saturn immer dann rückläufige Bewegungen auf‌treten, wenn sie der Sonne gegenüberstehen. Diese Phänomene führen insgesamt aus der Erdperspektive zu einer scheinbaren Schleifenbewegung von Planeten. Die Aufgabe der Vertreter des geozentrischen Weltbilds bestand nun darin, diese »Phänomene zu retten« (so Theon III 23, 26.1–2 und 30 mehrfach), indem sie plausible Erklärungen vorlegten. Die auch von Theon bevorzugte Theorie besagt, dass die Gestirne an verschiedenen, von innen nach außen konzentrisch angeordneten rotierenden durchsichtigen Hohlkugeln (Sphären) angebracht sind, deren Drehachsen alle durch das Erdzentrum gehen. An der innersten und langsamsten Kugel ist der Mond befestigt, an der äußersten und schnellsten sind dies die Fixsterne. Die Unregelmäßigkeiten bei den Planetenläufen werden dann mit der Annahme von »Epizykeln« erklärt: Zusätzlich zum täglichen Umlauf um die Erde bewegen sich die Planeten – so diese Theorie weiter – entlang eines kleinen Kreises, des Epizykels (epikyklos, »Auf‌kreis«), der sich seinerseits entlang eines größeren Kreises bewegt, welcher als enkentros (Zentralkreis, lateinisch deferens, wörtlich »Mitnehmender«, als Fachwort »Deferent«) bezeichnet wird (s. das Diagramm zu III 26.2 u. S. 280). Beide Kreise liegen dabei etwa parallel zueinander und die Bewegung entlang eines jeden Kreises erfolgt mit kon­stanter Geschwindigkeit jeweils – modern gesprochen – gegen den Uhrzeigersinn. Befindet sich nämlich im Mittelpunkt des Deferenten die Erde, dann bewegt sich von ihr aus gesehen der Planet zunächst mit der Bewegung auf dem Deferenten, was der durchschnittlichen Bewegung des Planeten durch den Sternenhimmel entspricht. Während der Hälfte der Zeit summiert sich zu dieser Bewegung aber die (ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn gerichtete) Bewegung auf dem Epizykel; in der übrigen Zeit läuft der Planet auf dem Epizykel entgegengesetzt zur

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Bewegung des Deferenten, wodurch sich seine Gesamtbewegung am Himmel verlangsamt und schließlich für kurze Zeit rückläufig erscheint, so dass die Planetenbahn insgesamt als eine Schleife vollführend erscheint. Es wurde freilich in der antiken Astronomie dann auch deutlich, dass ein »homozentrisches« System, bei dem die Erde dasselbe Zentrum wie der Deferent hat, zur »Rettung der Phänomene« nicht ausreicht, weshalb neben die Epizykeltheorie die Exzentertheorie trat, in der die Erde gegenüber dem Zentrum des Deferenten versetzt ist (s. das Diagramm zu III 26.2 u. S. 284). Zur »Rettung der Phänomene« wurden also den beweglichen Sternen statt der einfachen gleichförmig durchlaufenen Kreisbahn zusammengesetzte Kreisbahnen zugewiesen (Epizykeltheorie) und/oder die Erde als aus dem genauen Mittelpunkt der Planetenbewegungen verschoben angenommen. Diese Auf‌fassung blieb – in dem von Claudius Ptolemaios (s. o. S. 9–10) weiter ausgearbeiteten System – bis in die frühe Neuzeit maßgeblich. Platon Theon wird sowohl im Text als auch in der Inschrift der von seinem Sohn aufgestellten Büste (s. o. S. 10–11) als platonischer Philosoph vorgestellt. Im vorliegenden Werk zitiert er in der Tat immer wieder in durchaus freier Weise und in Ausschnitten aus Platons Werken, insbesondere aus der Politeia sowie aus der zu seiner Zeit offenbar ebenfalls Platon zugeschriebenen, heute meist als Werk seines Schülers Philippos von Opus angesehenen Schrift Epinomis, mit der jener Platons von ihm herausgegebenes Alterswerk Nomoi ergänzte. Theon zitiert eine ganze Reihe von vorsokratischen Philosophen, die zu den Begründern naturwissenschaftlicher Fragestellungen gehören (Anaximandros, Anaximenes, Archytas, Empedokles, Hippasos, Philolaos, Oinopides und Thales), er zitiert neben Platon auch den Platoniker Derkyl(l)ides, den großen Aristoteles sowie spätere Vertreter der von diesem begründeten peripatetischen Schule, darunter Dikaiarchos und Eudemos. Er nennt Mathematiker und Astronomen wie Archimedes, Erato­ sthenes, Eudoxos, Hipparchos, Kallippos und Menaichmos sowie Musiktheoretiker wie Aristoxenos und Lasos. Er zitiert aber auch Dichter, frühe wie Hesiodos, die Orphiker, Ibykos und

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den Tragödienautor Euripides ebenso wie hellenistische, darunter Alex­andros von Aitolien und Aratos. Ferner genannt werden große Redner wie Demosthenes und Lysias, der Arzt Herophilos und der Universalgelehrte Poseidonios. Angaben zu diesen Autoren finden sich im Anhang zu diesem Band (s. u. S. 350). In der Übersetzung sind die Fundstellen für die Zitate, Exzerpte und Paraphrasen aus den Werken Platons in der heute üblichen Form angegeben; für die Zitate aus und Verweise auf Werke, Fragmente (Frg.) und Testimonien (Test.) anderer Autoren sind moderne Editionen und Übersetzungen der angeführten Werke im Anhang zu diesem Band verzeichnet. Textüberlieferung und Editionen Theons Werk ist in einer ganzen Reihe mittelalterlicher Abschriften überliefert, die sich fast alle auf zwei Codices zurückführen lassen, die beide in der Bibliotheca Marciana in Venedig bewahrt werden. Diese erhielt sie 1468 als Schenkung von dem gelehrten Kardinal Bessarion (1399/1408–1472), dem lateinischen Patriarchen von Kon­stantinopel im Exil. Es handelt sich um folgende Codices: ■ Codex Marcianus gr. 307 (Pergament, 12. Jh.) für die Teile I und II, ■ Codex Marcianus gr. 303 (Papier, 14./15. Jh.) für den Teil III. Ferner gibt es von dieser Tradition unabhängige Exzerpte aus Teil II 1–12a (bis τοῦ πνεύματος), die wohl alle auf eine frühe (freilich verlorene) Abschrift zurückgehen. Die maßgebliche Rekonstruktion des griechischen Texts, der nicht ohne Lücken überliefert ist, wird Eduard Hiller 1878 verdankt. Dieser hielt allerdings die in beiden Codices Marciani erhaltenen Zwischenüberschriften, die den Text zu gliedern versuchen, für nicht sachgerecht und beschrieb die dort wiedergegebenen Graphiken als negligentissime (»äußerst nachlässig«, Hiller 1878, vi) angefertigt. Beides ist freilich nichts Ungewöhnliches: Bei den wiederholten Abschriften antiker Werke waren Kopisten immer wieder darum bemüht, den Text durch Überschriften zu gliedern, und während bloßer Text durch Diktate recht gut vervielfältigt werden konnte, entzogen sich Diagramme diesem Verfahren und wurden daher oft nur schlecht tradiert.

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Abb. 2: Codex Marcianus gr. 307, fol. 98v (II 47–49)

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In der vorliegenden Ausgabe wurden die Überschriften wieder eingesetzt, da sie – auch wenn sie vielleicht nicht auf Theon selbst zurückgehen – das Verständnis des Werks erleichtern; auch wurden die Diagramme nach Hillers maßgeblicher Edition neu gezeichnet. Theons Werk ist erst im 19. Jahrhundert ganz im Druck vorgelegt worden. Die erste Druckausgabe, die freilich nur die Teile I und II umfasste, wird dem französischen Gelehrten Ismael Boulliau (auch Boul­liaud, latinisiert Bullialdus; 1605–1694) verdankt, der seine Ausgabe 1644 mit einer lateinischen Übersetzung herausbrachte (Teil I wurde dann 1827 von dem niederländischen Gelehrten Jan Jacob de Gelder neu bearbeitet). Teil III hingegen wurde erst 1849 von Thomas Henri Martin (1813–1884) im Druck ediert. Bis heute maßgeblich ist, wie schon gesagt, die 1878 publizierte Textausgabe von Eduard Hiller (1844–1891), der sich die beiden Codices aus Venedig an seinen seinerzeitigen Arbeitsplatz in Bonn hatte schicken lassen und für seine genaue Edition nutzte. Sie erschien, als er bereits Professor in Halle war. Hiller verstarb – noch nicht einmal 50-jährig – an Diabetes mellitus und ließ seiner Edition keine weiteren Arbeiten zu Theon folgen. Im Jahr 1892 brachte Jean Dupuis auf der Grundlage von Hillers Edition eine zweisprachige griechisch-französische Ausgabe heraus, in der auch die von Hiller als spätere Zutaten nicht im Text wiedergegebenen Zwischenüberschriften aufgenommen und für eine Kapitelzählung herangezogen wurden. Die französische Übersetzung von Dupuis wurde dann wiederum 1979 von Robert und Deborah Lawlor ins Englische übersetzt (ein Verfahren, das etwa Richard D. McKirahan 1982 scharf kritisierte). Zuletzt publiziert wurden auf der Grundlage von Hillers Edition eine neue, mit Anmerkungen versehene französische Übersetzung von Joëlle Delattre-Biencourt 2010 und eine kommentierte italienische von Federico Petrucci 2012; auf beide Arbeiten sei nachdrücklich verwiesen. Eine deutsche Übersetzung gab es bisher nicht. In der vorliegenden Ausgabe sind zur besseren Nutzbarkeit die Seitenzahlen der maßgeblichen Edition von Hiller (1878) im griechischen Text (in dem einige Satzfehler jener Edition stillschweigend korrigiert sind) in eckigen Klammern eingetragen (und im linken Kolumnentitel wiederholt), die von Dupuis (1892) eingeführten Kapitelnummern stehen in runden Klammern im griechischen Text und in der deutschen Übersetzung (und auch im rechten Kolumnentitel).

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Der griechische Text ist, wie schon gesagt, nicht ohne Lücken überliefert; solche Fehlstellen sind durch spitze Klammern markiert, in denen – sofern eine Ergänzung gut möglich ist – der verlorene Texts steht, sonst nur …; die Ergänzungen werden übersetzt. Überlieferte, aber zu tilgende Textteile – dies sind meist spätere Erläuterungen, die bei wiederholten Abschriften nicht mehr als solche erkannt und in den Text eingefügt wurden – stehen in eckigen Klammern und werden nicht übersetzt. In runden Klammern bietet die deutsche Übersetzung außer den Kapitelangaben auch Verweise und Erläuterungen zum besseren Verständnis des Werks. Rezeption Von der anhaltenden Rezeption der mathematischen Überlegungen Theons war eingangs bereits die Rede. Es gibt freilich ein weiteres, für einen antiken Autor eher ungewöhnliches Nachleben des Werks. Theon von Smyrna gehörte nämlich zu den antiken Autoren, die von der einflussreichen russlanddeutschen, auf Englisch publizierenden Okkultistin Helena Petrovna Blavatsky (1831–1891; geb. Helena Petrovna von Hahn-Rottenstein, verh. Jelena Petrowna Blawatskaj) geschätzt wurden. Ihre jeweils mehrbändigen Hauptwerke Isis Unveiled (1877) und The Secret Doctrine (1888) trugen maßgeblich zur Begründung der sogenannten Theosophie bei und erlangten einen bedeutenden Einfluss auch auf weite Bereiche der modernen Esoterik. Im erstgenannten Werk zitiert Blavatsky (1877, I xiv und II 101) die fünf Stufen der Einweihung, auf die Theon einmal (gegen Ende von I 1) Bezug nimmt, in zweitgenannten (1888, II 600) die Angaben zur tetraktys bei Theon (II 37–38); sie deutet diese Angaben jeweils im Zusammenhang mit ihrer theosophischen Weltanschauung. Allein dieses Interesse an Theon führte übrigens zur bisher einzigen englischen Übersetzung seines Werks: Die bereits genannte, aus der französischen erarbeitete englische Übersetzung von Robert und Deborah Lawlor erschien nämlich im theosophischen Verlag Wizards Bookshelf in der Reihe Secret Doctrine Reference Series. Sie nimmt im Vorwort (1979, viii) ausdrücklich auf den Freimaurer und Kabbalisten James Ralston Skinner (1830–1893) und seine Zahlenmystik zu den ägyptischen Pyramiden sowie eben auf Blavatsky selbst Bezug.

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Einführung

Die vorliegende Ausgabe löst sich von solchen späteren Vereinnahmungen und will den Text der Mathematik für die Platonlektüre des Theon von Smyrna einem heutigen Lesepublikum präsentieren. Das Werk bietet nämlich nicht nur Anregungen für die vertiefte Beschäftigung mit antiker Philosophie im Allgemeinen und Platon im Besonderen, sondern vor allem eine Einführung in die mathematischen Überlegungen eines Gelehrten und Lehrers im frühen 2. Jahrhundert n. Chr., der seiner Leserschaft die Zusammenhänge von Zahl, Musik und Kosmos erklärt.

Das Buch entstand am Wissenschaftskolleg Greifswald, an dem ich mit Unterstützung der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung als Senior Fellow arbeiten durfte. Abb. 1 wird Stephen Bisgrove (via Alamy, Abingdon Oxon.) verdankt, Abb. 2 der Biblioteca Nazionale Marciana (via Wikimedia Commons). Für die Aufnahme des Bandes in die Edition Antike der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft danke ich den Mitherausgebern, für die freundliche Betreuung im Verlag Anne-Marie Stöhr und Daniel Zimmermann und für das Mitlesen der Korrekturen an meiner Heimat­universität Erfurt Johanna Leithoff und Ansgar Teichgräber sowie meiner lieben Frau Christiane. Kai Brodersen

Theon von Smyrna Mathematik für die Platonlektüre griechisch und deutsch

[1]

Θέωνος Σμυρναίου Πλατωνικοῦ τῶν κατὰ τὸ μαθηματικὸν χρησίμων εἰς τὴν Πλάτωνος ἀνάγνωσιν I ὅτι ἀναγκαῖα τὰ μαθήματα (1) ὅτι μὲν οὐχ οἷόν τε συνεῖναι τῶν μαθηματικῶς λεγομένων παρὰ Πλάτωνι μὴ καὶ αὐτὸν ἠσκημένον ἐν τῇ θεωρίᾳ ταύτῃ, πᾶς ἄν που ὁμολογήσειεν· ὡς δὲ οὐδὲ τὰ ἄλλα ἀνωφελὴς οὐδὲ ἀνόνητος ἡ περὶ ταῦτα ἐμπειρία, διὰ πολλῶν αὐτὸς ἐμφανίζειν ἔοικε. τὸ μὲν οὖν συμπάσης γεωμετρίας καὶ συμπάσης μουσικῆς καὶ ἀστρονομίας ἔμπειρον γενόμενον τοῖς Πλάτωνος συγγράμμασιν ἐντυγχάνειν μακαριστὸν μὲν εἴ τῳ γένοιτο, οὐ μὴν εὔπορον οὐδὲ ῥᾴδιον ἀλλὰ πάνυ πολλοῦ τοῦ ἐκ παίδων πόνου δεόμενον.

ὥστε δὲ τοὺς διημαρτηκότας τοῦ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἀσκηθῆναι, ὀρεγομένους δὲ τῆς γνώσεως τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ μὴ παντάπασιν ὧν ποθοῦσι διαμαρτεῖν, κεφαλαιώδη καὶ σύντομον ποιησόμεθα τῶν ἀναγκαίων καὶ ὧν δεῖ μάλιστα τοῖς ἐντευξομένοις Πλάτωνι μαθηματικῶν θεωρημάτων παράδοσιν, ἀριθμητικῶν τε καὶ μουσικῶν καὶ γεω­μετρικῶν τῶν τε κατὰ στερεομετρίαν καὶ ἀστρονομίαν, ὧν χωρὶς [2] οὐχ οἷόν τε εἶναί φησι τυχεῖν τοῦ ἀρίστου βίου, διὰ πολλῶν πάνυ δηλώσας ὡς οὐ χρὴ τῶν μαθημάτων ἀμελεῖν.

Ἐρατοσθένης μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιγραφομένῳ Πλατωνικῷ φησιν ὅτι, Δηλίοις τοῦ θεοῦ χρήσαντος ἐπὶ ἀπαλλαγῇ λοιμοῦ βωμὸν τοῦ ὄντος

Theon von Smyrna, Platoniker: In der Mathematik Nützliches für die Lektüre Platons I (Prooimion) Dass die Mathematik notwendig ist (1) Dass es nicht möglich ist, die mathematischen Aussagen zu verstehen, die von Platon in dieser Theorie gesagt worden sind, wenn man sie nicht eingeübt hat, wird wohl jeder für richtig halten. Dass dieses Wissen auch in den anderen Wissenschaften nicht unnütz und ergebnislos ist, scheint Platon selbst an vielen Stellen gezeigt zu haben. Wer bereits über Kenntnisse in der ganzen Geo­metrie, der ganzen Musik und Astronomie verfügt und erst dann den Schriften Platons begegnet, sollte daher als glücklich betrachtet werden. Dies sind ja Wissensgebiete, zu denen der Zugang weder schnell noch einfach gelingt – im Gegenteil, sie erfordern von der frühen Jugend an viel Mühe. Damit diejenigen, die keine Gelegenheit hatten, sich in der Mathematik zu üben, und die den Wunsch haben, seine (Platons) Schriften zu kennen, nicht ganz auf die Erfüllung dieses Wunsches verzichten müssen, wollen wir eine summarische und kompakte Darstellung der notwendigen Kenntnisse und derjenigen mathematischen Theoreme bieten, welche diejenigen am meisten benötigen, die sich mit Platon befassen: Arithmetik, Musik, Geometrie, Stereometrie und Astro­ nomie. Ohne diese ist es – wie jener (Epinomis 992a) sagt – unmöglich, das beste Leben zu erlangen, wobei er durch Vieles ganz deutlich macht, dass man die Mathematik nicht vernachlässigen darf. Eratosthenes berichtet in dem Buch mit dem Titel Platonikos (Test. 7.2 Dörrie), dass die Delier, als sie den Orakelgott (Apollon) nach der

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Theon von Smyrna

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διπλασίονα κατασκευάσαι, πολλὴν ἀρχιτέκτοσιν ἐμπεσεῖν ἀπορίαν ζητοῦσιν ὅπως χρὴ στερεὸν στερεοῦ γενέσθαι διπλάσιον, ἀφικέσθαι τε πευσομένους περὶ τούτου Πλάτωνος. τὸν δὲ φάναι αὐτοῖς, ὡς ἄρα οὐ διπλασίου βωμοῦ ὁ θεὸς δεόμενος τοῦτο Δηλίοις ἐμαντεύσατο, προφέρων δὲ καὶ ὀνειδίζων τοῖς Ἕλλησιν ἀμελοῦσι μαθημάτων καὶ γεωμετρίας ὠλιγωρηκόσιν.

ἀκολούθως δὲ τῇ τοῦ Πυθίου παραινέσει πολλὰ καὶ αὐτὸς διέξεισιν ὑπὲρ τοῦ ἐν τοῖς μαθήμασι χρησίμου. ἔν τε γὰρ τῇ Ἐπινομίδι προτρέπων ἐπὶ τὰ μαθήματά φησιν· οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ποτέ τις ἐν πόλει εὐδαιμόνων γενήσεται φύσις, ἀλλ’ οὗτος ὁ τρόπος, αὕτη ἡ τροφή, ταῦτα τὰ μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, διὰ ταύτης ἰτέον· ἀμελῆσαι δὲ οὐ θεμιτόν ἐστι θεῶν.

καὶ ἐν τοῖς ἐφεξῆς τὸν τοιοῦτόν φησιν· ἐκ πολλῶν ἕνα γεγονότα εὐδαίμονά τε ἔσεσθαι καὶ σοφώτατον ἅμα καὶ μακάριον.

ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ φησίν· ἐκ τῶν κε' ἐτῶν οἱ προκριθέντες τιμάς τε τῶν ἄλλων μείζους οἴσονται, τά τε [3] χύδην μαθήματα πᾶσιν ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα τούτοις συν­ ακτέον εἰς σύνοψιν οἰκειότητός τε ἀλλήλων τῶν μαθημάτων καὶ τῆς τοῦ ὄντος φύσεως.

παραινεῖ τε πρῶτον μὲν ἔμπειρον γενέσθαι ἀριθμητικῆς, ἔπειτα γεωμετρικῆς, τρίτον δὲ στερεομετρίας, τέταρτον ἀστρονομίας, ἥν φησιν εἶναι θεωρίαν φερομένου στερεοῦ, πέμπτον δὲ μουσικῆς. τό τε χρήσιμον παραδεικνὺς τῶν μαθημάτων φησίν· ἡδὺς εἶ, ὅτι ἔοικας δεδιέναι, μὴ ἄχρηστα τὰ μαθήματα προστάττοιμι. τὸ δ’ ἔστιν οὐ πάνυ φαύλοις, ἀλλὰ πᾶσι χαλεπὸν πιστευθῆναι, ὅτι ἐν τού-

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Rettung vor einer Seuche fragten, den Auftrag erhielten, einen Altar zu errichten, der doppelt so groß sein sollte wie der bereits vorhandene. Dieses Problem brachte die Architekten in große Verlegenheit. Sie fragten sich, wie man aus einem Körper einen doppelt so großen machen konnte, und wandten sich mit dieser Frage an Platon. Er aber – so heißt es – antwortete, dass der Gott den Deliern diese Weissagung nicht deshalb geschickt hatte, weil er einen doppelten Altar brauchte, sondern um den Griechen vorzuwerfen, sie hätten die Mathematik vernachlässigt und den Wert der Geometrie herabgesetzt. Im Hinblick auf diese Auf‌forderung des (Apollon) Pythios geht Platon ausführlich auf die Nützlichkeit der Mathematik (mathemata) ein. So sagt er in der Epinomis, um zur Mathematik anzuregen: In der Polis würde es ohne sie keine glückliche Natur geben, vielmehr sind dies die Art, dies die Erziehung, dies die mathemata; gleich, ob sie leicht oder schwer sind, dies der Weg, den man gehen muss; man hat ja nicht das Recht, die Götter zu vernachlässigen.  (Epinomis 992a)

Im Weiteren sagt er noch einmal: Wenn es unter vielen einen (solchen) gibt, dann wird er glücklich sein und sehr weise zugleich und selig.  (Epinomis 992b)

In der Politeia sagt er: Ab einem Alter von 25 Jahren müssen die hervorragend Erprobten größere Ehren als die anderen genießen, und die ihnen in ihrer Jugend unzusammenhängend mitgeteilten Kenntnisse müssen für sie so zusammengestellt werden, dass sie einen Überblick über die Verwandtschaft der Wissenschaften untereinander und mit der Natur des Seienden erhalten.   (Platon, Politeia VII 537b–c [dort steht 20 statt 25 Jahren])

Er fordert dazu auf, dass man sich zuerst dem Studium der Arithmetik, dann der Geometrie, an dritter Stelle der Stereometrie und an vierter der Astronomie widmet, von der er sagte, sie sei die Betrachtung der Körper in Bewegung, an fünfter Stelle dann der Musik. Die Nützlichkeit der Mathematik aufzeigend sagt er: Du bist drollig, dass du besorgt erscheinst, dass ich unnütze Lehrgegenstände anordne. Nicht nur ganz schlechte Gemüter, sondern alle Men-

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Theon von Smyrna

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τοις τοῖς μαθήμασιν ἑκάστου οἷον ὀργάνοις τὸ ψυχῆς ἐκκαθαίρεται καὶ ἀναζωπυρεῖται ὄμμα τυφλούμενον καὶ ἀποσβεννύμενον ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων, κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἀλήθεια ὁρᾶται.

ἐν δὲ τῷ ἑβδόμῳ τῆς Πολιτείας περὶ ἀριθμητικῆς λέγων ὡς ἔστιν ἀναγκαιοτάτη πασῶν φησιν, ἔπειτα ἧς [4] δεῖ πάσαις μὲν τέχναις, πάσαις δὲ διανοίαις καὶ ἐπιστήμαις καὶ τῇ πολεμικῇ. παγγέλοιον γοῦν στρατηγὸν Ἀγαμέμνονα ἐν ταῖς τραγῳδίαις Παλαμήδης ἑκάστοτε ἀποφαίνει. φησὶ γὰρ ἀριθμὸν εὑρὼν τάς τε τάξεις καταστῆσαι τῷ στρατοπέδῳ ἐν Ἰλίῳ καὶ ἐξαριθμῆσαι ναῦς τε καὶ τὰ ἄλλα πάντα, ὡς πρὸ τοῦ ἀναριθμήτων ὄντων καὶ τοῦ Ἀγαμέμνονος ὡς ἔοικεν οὐδὲ ὅσους εἶχε πόδας εἰδότος, εἴγε μὴ ἠπίστατο ἀριθμεῖν. κινδυνεύει οὖν τῶν πρὸς νόησιν ἀγόντων φύσει εἶναι, καὶ οὐδεὶς αὐτῷ χρῆται ἑλκτικῷ ὄντι πρὸς οὐσίαν καὶ νοήσεως παρακλητικῷ.

ὅσα μὲν γὰρ ἁπλῶς κινεῖ τὴν αἴσθησιν, οὐκ ἔστιν ἐπεγερτικὰ καὶ παρακλητικὰ νοήσεως, οἷον ὅτι ὁ ὁρώμενος δάκτυλός ἐστι, καὶ ὅτι παχὺς ἢ λεπτὸς ἢ μέγας ἢ μικρός. ὅσα δ’ ἐναντίως κινεῖ αἴσθησιν, ἐπεγερτικὰ καὶ παρακλητικά ἐστι διανοίας, οἷον ὅταν τὸ αὐτὸ φαίνηται μέγα καὶ μικρόν, κοῦφον καὶ βαρύ, ἓν καὶ πολλά. καὶ τὸ ἓν οὖν καὶ ὁ ἀριθμὸς παρακλητικὰ καὶ ἐπεγερτικά ἐστι διανοίας, ἐπεὶ τὸ ἕν ποτε πολλὰ φαίνεται· λογιστικὴ δὲ καὶ ἀριθμητικὴ ὁλκὸς καὶ ἀγωγὸς πρὸς ἀλήθειαν.

ἁπτέον δὲ λογιστικῆς μὴ ἰδιωτικῶς, [5] ἀλλ’ ὡς ἂν ἐπὶ θέαν τῆς τῶν ἀριθμῶν φύσεως ἀφίκωνται τῇ νοήσει, οὐδέ πράσεως χάριν ἐμπόρων ἢ καπήλων μελετῶντας, ἀλλ’ ἕνεκα ψυχῆς τῆς ἐπ’ ἀλήθειαν καὶ οὐσίαν ὁδοῦ. τοῦτο γὰρ ἄνω ἄγει τὴν ψυχὴν καὶ περὶ αὐτῶν τῶν ἀριθμῶν

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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schen haben Schwierigkeiten, sich selbst zu überzeugen, dass man durch diese Studien wie durch Instrumente das Auge der Seele reinigt und dass man in ihr, die von den Schatten der anderen Wissenschaften verdunkelt und wie ausgelöscht wurde, ein neues Feuer entfacht – in ihr, deren Erhaltung wichtiger ist als zehntausend Augen, da wir allein durch sie die Wahrheit betrachten.   (Platon, Politeia VII 527d–e)

Im siebten Buch der Politeia, in dem er von der Arithmetik spricht, sagt er, dass dies das notwendigste Studium von allen ist, da alle Künste, alle Vorstellungen unseres Geistes, alle Wissenschaften und sogar das Kriegswesen sie benötigen. (Er sagt weiter:) Als einen ganz lächerlichen Feldherrn lässt Palamedes (der griechische Heerführer vor Troja) in den Tragödien oft den Agamemnon erscheinen, der sich damit brüstete, die Zahlen erfunden zu haben und das Lager und die Flotten der Griechen vor Ilion und all den Rest in Ordnung gebracht zu haben, während vorher keine Nummerierung vorgenommen wurde, und dass Agamemnon selbst nicht zu wissen schien, wie viele Füße er hatte, da er es nicht verstand zu zählen. (Die Arithmetik) scheint mir eine der Natur nach zur Vernunfterkenntnis führenden Wissenschaften zu sein, nach denen wir suchen, es scheint mir aber niemand noch davon den richtigen Gebrauch zu machen, wiewohl sie eine besondere Kraft hat, auf alle Weise zum Sein hinzuziehen.  (Platon, Politeia VII 522d–523a)

Dinge, die nur generell einen Eindruck auf die Sinne machen, laden den Verstand überhaupt nicht zum Nachdenken ein – so etwa das Betrachten eines Fingers, sei er dick oder dünn, lang oder kurz. Das aber, was zwei gegensätzliche Empfindungen hervorruft, hat die Kraft, unser Verständnis zu wecken und zu erregen, wie wenn derselbe Gegenstand groß oder klein, leicht oder schwer, als einer oder als mehrere erscheint. Es sind also die Eins und die Zahl, welche die Tugend haben, unser Denken zu erwecken und zu erregen, da das Eine mehrfach erscheint. Die Kunst des Rechnens und die Arithmetik führen uns dann zur Erkenntnis der Wahrheit. Die Kunst des Rechnens darf daher nicht laienhaft behandelt werden, sondern nur in einer Weise, welche die Menschen zur Betrachtung des Wesens der Zahlen anleitet, nicht vom Standpunkt des Handels wie bei Kauf‌leuten und Krämern, sondern der Seele halber für deren Weg zur Wahrheit und zum Sein. Dieses nämlich führt die Seele nach oben und zwingt sie, sich mit den Zahlen selbst zu beschäftigen, wobei es dies durchaus nicht gestat-

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Theon von Smyrna

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ἀναγκάζει διαλέγεσθαι, οὐκ ἀποδεχόμενον, ἄν τις αὐτῷ σώματα ἢ οὖ τὰ ὁρατὰ ἔχοντα ἀριθμοὺς προσφερόμενος διαλέγηται.

καὶ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ φησιν· ἔτι οἱ λογιστικοὶ εἰς ἅπαντα τὰ μαθήματα ὀξεῖς φύονται, οἵ τε βραδεῖς εἰς τὸ ὀξύτεροι αὐτοὶ αὑτῶν γενέσθαι.

ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ φησι· καὶ ἐν πολέμῳ δ’ αὖ χρήσιμον πρὸς τὰς στρατο­ πεδεύσεις καὶ καταλήψεις χωρίων καὶ ξυναγωγὰς καὶ ἐξετάσεις στρατιᾶς. ἔν τε τοῖς ἑξῆς ἐπαινῶν τὴν περὶ τὰ τοιαῦτα μαθήματα σπουδήν, γεωμετρία μέν, φησίν, ἐστὶ περὶ τὴν τοῦ ἐπιπέδου θεωρίαν, ἀστρονομία δὲ περὶ τὴν τοῦ στερεοῦ φοράν· αὕτη δ’ ἀναγκάζει εἰς τὸ ἄνω ὁρᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἐνθένδε ἐκεῖσε ἄγει. καὶ μὲν δὴ περὶ μουσικῆς ἐν τῷ αὐτῷ φησιν, ὅτι δυεῖν δεῖται ἡ τῶν ὄντων [6] θεωρία, ἀστρονομίας καὶ ἁρμονίας· καὶ αὗται ἀδελφαὶ αἱ ἐπιστῆμαι, ὡς οἱ Πυθαγορικοί.

οἱ μὲν οὖν τὰς ἀκουομένας συμφωνίας αὖ καὶ φθόγγους ἀλλήλοις ἀνα­μετροῦντες ἀνήνυτα πονοῦσι. τελείως παραβάλλοντες τὰ ὦτα, οἷον ἐκ γειτόνων φωνὴν θηρώμενοι, οἱ μέν φασιν ἀκούειν ἐν μέσῳ τινὰ ἦχον καὶ μικρότατον εἶναι διάστημα τοῦτο, ᾧ μετρητέον, οἱ δὲ ἀμφισβητοῦσιν ὡς ὅμοιον ἤδη φθεγγομένου, τὰ ὦτα τοῦ νοῦ προστησάμενοι. ταῖς χορδαῖς πράγματα παρέχουσιν ἐπὶ τῶν κολ­λάβων στρεβλοῦντες. οἱ δὲ ἀγαθοὶ ἀριθμητικοὶ ζητοῦσιν ἐπισκο­ποῦντες, τίνες σύμφωνοι ἀριθμοὶ ἀριθμοῖς καὶ τίνες οὔ.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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tet, wenn jemand sichtbare oder greifbare Zahlen in sie hineinbringen und sie betrachten wollte.  (Platon, Politeia VII 525a)

In demselben Buch sagt er wieder: Diejenigen, die zu rechnen verstehen, wenden sich mit Erfolg allen Wissenschaften (mathemata) zu, und selbst diejenigen, die einen langsameren Verstand haben, werden dadurch schneller. (Platon, Politeia VII 526b)

In demselben Buch sagt er, dies sei auch im Krieg sehr nützlich, »für Lager, für die Inbesitznahme von Gebieten, für das Zusammenziehen und das Ausdehnen eines Heeres (in einer Schlachtreihe)« (Politeia VII 526d). Weiter lobt er die Wissenschaften davon und sagt, dass die Geometrie sich auf die Fläche beziehe, aber »dass die Astronomie die Bewegung des Körpers zum Gegenstand hat, was folglich die Seele dazu zwingt, nach oben zu schauen und die Dinge der Erde zu umgehen, um die Dinge des Himmels zu betrachten« (Politeia VII 529a). Auch von der Musik spricht er, weil für die Betrachtung von allem, was existiert, zwei Dinge notwendig seien: »Astronomie und Harmonie, die nach der pythagoreischen Lehre zwei Schwesterwissenschaften sind« (Politeia VII 530d). Diejenigen also, die versuchen, Konsonanzen zu erkennen und Töne zu vergleichen, handeln vergeblich. Sie geben sich damit zufrieden, ihr Ohr aufmerksam anzustrengen und sich so nahe wie möglich an das Instrument heranzutasten, als wollten sie heimlich die Stimme ihrer Nachbarn belauschen (Politeia VII 531a). Manche sagen, dass sie einen bestimmten Ton zwischen zwei Tönen hören und dass der Abstand dazwischen, mit dem man ihn messen müsse, sehr klein ist. Andere zweifeln, dass die Gleichheit dieser Töne besteht, da sie die Autorität des Ohres der des Verstandes vorziehen. Sie suchen die Tatsachen vielmehr im Zupfen der Saiten und im Anspannen der Wirbel ihrer Instrumente. Die guten Arithmetiker aber suchen in der Betrachtung, welche Zahlen Konsonanzen zu Zahlen entsprechen und welche nicht (Politeia VII 531c).

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Theon von Smyrna

[7]

καὶ τοῦτο χρήσιμον πρὸς τὴν τοῦ ἀγαθοῦ [7] καὶ καλοῦ ζήτησιν, ἄλλως δὲ ἄχρηστον. καὶ τούτων πάντων ἡ μέθοδος ἂν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων ἀφίκηται κοινωνίαν καὶ ξυλλογισθῆ ᾗ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέρει αὐτῶν ἡ πραγματεία καρπόν. οἱ δὲ ταῦτα δεινοὶ διαλεκτικοί· οὐ γὰρ μὴ δύνωνται λαβεῖν τε καὶ ἀποδέξασθαι λόγον. οὐχ οἷόν τε δὲ τοῦτο μὴ δι’ ἐκείνων ἐλθόντα τῶν μαθημάτων· ὁδὸς γάρ ἐστι δι’ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τῶν ὄντων θέαν ἐν τῷ διαλέγεσθαι.

πάλιν τε ἐν τῷ Ἐπινομίῳ πολλὰ μὲν καὶ ἄλλα ὑπὲρ ἀριθμητικῆς δι­ εξ­έρχεται, θεοῦ δῶρον αὐτὴν λέγων, καὶ οὐχ οἷόν τε ἄνευ ταύτης σπουδαῖον γενέσθαι τινά. ὑποβὰς δὲ ἄντικρύς φησιν· εἴπερ γὰρ ἀριθμὸν ἐκ τῆς ἀνθρωπίνης φύσεως ἐξέλοιμεν, οὐκ ἄν που ἔτι φρόνιμοι γενοίμεθα, οὐδ’ ἂν ἔτι ποτὲ τούτου τοῦ ζῴου, φησίν, ἡ ψυχὴ πᾶσαν ἀρετὴν λάβοι· σχεδὸν ὁ τούτου λόγος εἴη. ζῷον δὲ ὅ τι μὴ γινώσκοι δύο καὶ τρία μηδὲ περιττὸν μηδὲ ἄρτιον, ἀγνοοῖ δὲ τὸ παράπαν ἀριθμόν, οὐκ ἄν ποτε διδόναι λόγον, περὶ ὧν αἰσθήσεις καὶ μνήμας [8] μόνον εἴη κεκτημένος· στερόμενος δὲ ἀληθοῦς λόγου σοφὸς οὐκ ἄν ποτε γένοιτο. οὐ μὴν οὐδὲ τὰ τῶν ἄλλων τεχνῶν λεγόμενα, ἃ νῦν διήλθομεν, οὐδέποτε τούτων οὐδὲν μένει, πάντα δὲ ἀπολεῖται τὸ παράπαν, ὅταν ἀριθμητικῆς τις ἀμελῇ. δόξειε δ’ ἂν ἴσως τισὶ βραχέως ἀριθμοῦ δεῖσθαι τὸ τῶν ἀνθρώπων γένος, ὡς εἰς τὰς τέχνας ἀποβλέψασι· καίτοι μέγα μὲν καὶ τοῦτο. εἰ δέ τις ἴδοι τὸ θεῖον τῆς γενέσεως καὶ τὸ θνητόν, ἐν ᾧ καὶ τὸ θεοσεβὲς γνωρισθήσεται καὶ ὁ ἀριθμὸς ὄντως, οὐκ ἂν ἔτι πᾶς μάντις γνοίη σύμπαντα ἀριθμόν, ὅσης ἡμῖν δυνάμεως αἴτιος ἂν εἴη συγγινόμενος, ἐπεὶ καὶ μουσικὴν πᾶσαν δι’ ἀριθμοῦ μετὰ κινήσεώς τε καὶ φθόγγων δῆλον ὅτι δεῖ. καὶ τὸ μέγιστον, ἀγαθὸν ὡς πάντων αἴτιον· ὅτι δὲ κακῶν οὐδενός ἐστι, τοῦτο γνωστέον. σχεδὸν δὲ ἀλόγιστος, ἄτακτος, ἀσχήμων τε καὶ ἄρρυθμος ἀνάρμοστός τε σφόδρα καὶ πάνθ’ ὅσα κακοῦ κεκοινώνηκέ τινος, ὅστις λέλειπται παντὸς ἀριθμοῦ.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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Dies ist nützlich für die Untersuchung des Guten und Schönen, alles andere ist unnütz. Jede Methode wird, wenn sie allgemein ist und sich auf alle gemeinsamen Eigenschaften der Dinge ausdehnt, indem sie die Bande ihrer gegenseitigen Af‌finitäten enger knüpft, je nach dem Eifer, mit dem man sich ihr widmet, Früchte tragen. Es ist ja unmöglich, dass die Dialektiker, die so klug sind, nicht wissen, wie sie sich selbst und den anderen den Grund der Dinge erklären sollen (Politeia VII 531d). Niemand wird dazu kommen, wenn er sich nicht von diesen Wissenschaften leiten lässt; durch sie führt nämlich der Weg zur Betrachtung der Dinge in der Argumentation. In der Epinomis geht Platon wieder auf viele Fragen zur Arithmetik ein, die er ein »Geschenk Gottes« nennt (976e), und sagt insbesondere, dass niemand ohne sie tugendhaft werden könnte. Dann geht er zur Beschreibung des Gegenteils über und sagt: Wenn man die Zahlen aus der Menschennatur entfernte, würde jede Vernunft unmöglich gemacht: Die Seele eines Lebewesens, das der Vernunft beraubt ist, wäre unfähig zu irgendeiner Tugend; außerdem hätte es sein Wesen nicht mehr. Sicherlich wird das Lebewesen, das weder zwei noch drei unterscheiden kann, das weder ungerade noch gerade kennt, das nichts von Zahlen weiß, niemals in der Lage sein, irgendetwas zu begründen, da es nur durch die Wahrnehmung und die Erinnerung etwas behält. Da es der wahren Vernunft beraubt ist, wird es niemals weise werden. Jedenfalls könnten alle anderen Künste, die wir nun durchgegangen sind, in keiner Hinsicht bestehen, sondern müssten alle ganz und gar zugrunde gehen, wenn man die Arithmetik vernachlässigte. Würde man nur die Künste betrachten, könnte man vernünftigerweise glauben, dass diese für das Menschengeschlecht nur für Gegenstände von geringer Bedeutung notwendig sind; das wäre schon viel einzugestehen. Aber wer bedenkt, dass in der Geburt und in der Sterblichkeit des Menschen etwas Göttliches liegt, der sieht, was er an Frömmigkeit gegenüber den Göttern braucht, und dieser Mensch wird die Zahl im Menschen erkennen, und wenn er kein Seher ist, wird er niemals wissen und begreifen, für wie viel Potenz sie uns die Quelle ist, da auch alle Musik nur aus Bewegungen und Tönen entstehen kann, die mit Zahlen gemessen werden, und es ist nicht weniger offensichtlich, dass die Zahl als Quelle all dessen, was gut ist, nicht die Ursache für irgendein Böses sein kann. Das aber, was ohne Zahl ist, entbehrt jeder Art von Vernunft; es ist ohne Ordnung, ohne Schönheit, ohne Anmut und letztlich aller Vollkommenheit beraubt. (Epinomis 977c–978b)

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Theon von Smyrna

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ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς φησιν· ἔστιν ἔχον μηδεὶς ἡμᾶς ποτε πειθέτω τῆς εὐσεβείας εἶναι τῷ θνητῷ γένει. ἐκ γὰρ τούτου φύεσθαι καὶ τὰς ἄλλας ἀρετὰς τῷ μαθόντι κατὰ τρόπον. [9] ἔπειτα παραδείκνυσι θεοσέβειαν ὅτῳ τρόπῳ τις μαθήσεται. λέγει δὲ δεῖν μαθεῖν πρῶτον ἀστρονομίαν. εἰ γὰρ τὸ καταψεύδεσθαι καὶ ἀνθρώπων δεινόν, πολὺ δεινότερον θεῶν· καταψεύδοιτο δ’ ἂν ὁ ψευδεῖς ἔχων δόξας περὶ θεῶν· ψευδεῖς δ’ ἂν δόξας ἔχοι περὶ θεῶν ὁ μηδὲ τὴν τῶν αἰσθητῶν θεῶν φύσιν ἐπεσκεμμένος, τουτ­έστιν ἀστρονομίαν.

ἀγνοεῖσθαι δέ φησι τοῖς πολλοῖς, ὅτι σοφώτατον ἀνάγκη τὸν ἀληθῶς ἀστρονόμον εἶναι, μὴ τὸν καθ’ Ἡσίοδον ἀστρονομοῦντα, οἷον δυσμάς τε καὶ ἀνατολὰς ἐπεσκεμμένον, ἀλλὰ τὰς περιόδους τῶν ἑπτά, ὃ μὴ ῥᾳδίως ποτὲ πᾶσα φύσις ἱκανὴ γένοιτο θεωρῆσαι.

τὸν δ’ ἐπὶ ταῦτα παρασκευάζοντα φύσεις οἵας δυνατὸν πολλὰς προδιδάσκειν χρεία ἐστὶν ἐθίζοντα παῖδα ὄντα καὶ νεανίσκον διὰ μαθημάτων· ὧν τὸ μέγιστον εἶναι [10] ἀριθμῶν ἐπιστήμονα αὐτῶν, ἀλλ’ οὐ σώματα ἐχόντων, καὶ αὐτῆς τῆς τοῦ περιττοῦ τε καὶ ἀρτίου γενέσεώς τε καὶ δυνάμεως, ὅσον παρέχεται πρὸς τὴν τῶν ὄντων φύσιν. τούτοις δὲ ἐφεξῆς μαθήματα μὲν καλοῦσι, φησί, σφόδρα γελοῖον ὄνομα γεωμετρίαν· ἔστι δὲ τῶν οὐκ ὄντων ὁμοίων ἀλλήλοις φύσει ἀριθμῶν ὁμοίωσις πρὸς τὴν τῶν ἐπιπέδων μοῖραν. λέγει δέ τινα καὶ ἑτέραν ἐμπειρίαν καὶ τέχνην, ἣν δὴ στερεομετρίαν καλεῖ, εἴ τις, φησί, τοὺς τρεῖς ἀριθμοὺς ἐξ ὧν τὰ ἐπίπεδα εἶναι αὐξηθέντας ὁμοίους καὶ ἀνομοίους ὄντας, ὡς προεῖπον, στερεὰ ποιεῖ σώματα· τοῦτο δὲ θεῖόν τε καὶ θαυμαστόν ἐστι.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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Im Weiteren sagt er: »Niemand wird uns je nachsagen, dass es für die menschliche Gattung eine Tugend geben könnte, die größer oder edler ist als die Frömmigkeit« (Epinomis 989b), denn durch die Frömmigkeit erwirbt derjenige die anderen Tugenden, der darauf geachtet hat, sich selbst zu unterweisen. Als nächstes zeigt er, wie man die Frömmigkeit gegenüber den Göttern anregt; dann sagt er, dass man mit der Astronomie beginnen muss, denn wenn man sich schon schämt, in den Augen der Menschen Falschheit zu begehen, schämt man sich noch mehr, dies in den Augen der Götter zu tun. Nun ist derjenige ein verlogener Mensch, der eine falsche Meinung über die Götter entwickelt und sie äußert, ohne die Natur der wahrnehmbaren Götter – das heißt der Gestirne – in der Astronomie studiert zu haben. Er sagt: Die meisten wissen nicht, dass der wahre Astronom notwendig am weisesten ist, dass dies aber nicht derjenige ist, der in der Weise des ­He­siodos Astronomie treibt, indem er bloß den Aufgang und Untergang der Gestirne beobachtet, sondern derjenige, der von allen Umläufen die der sieben (Planeten) beobachtet, auf eine Weise, dass sich nicht leicht jeder davon eine Anschauung bilden kann, sondern dass dazu die ganze geeignete Natur gehört.  (Epinomis 990a)

Wer nun vorschlägt, den Verstand der Menschen auf diese Studien vorzubereiten, die so viel Vorwissen voraussetzen, der muss selbst seit seiner Kindheit und während seiner Jugend mit der Mathematik vertraut gemacht worden sein. Und unter diesen Wissenschaften ist die größte die Wissenschaft der (abstrakten) Zahlen, getrennt von aller Körperlichkeit, auch die der Entstehung und der Potenz der ungeraden und geraden, soweit sie dazu beitragen, die Natur der Dinge bekannt zu machen (Epinomis 990c). Es gibt einen Aspekt dieser Wissenschaft, der den ganz lächerlichen Namen der Geometrie erhalten hat, weil sie eine Kombination von Zahlen enthält, die einander von Natur aus nicht ähnlich sind, eine Kombination, die den Zustand von Flächen deutlich macht. Im Anschluss daran nennt er eine andere Erfahrung und Kunst, die er Stereometrie nennt: Wenn jemand – so sagt er – drei Zahlen multipliziert, deren Flächen so sind, wie ich bereits besprochen habe, und das Produkt ähnlich (zu einer anderen Zahl) und unähnlich zu dem macht, was es war, wird er einen Körper schaffen. Das ist wirklich ein göttliches und wunderbares Werk.

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Theon von Smyrna

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καὶ ἐν Πολιτείᾳ δὲ περὶ συμφωνίας τῆς κατὰ μουσικήν φησι· καλλίστη καὶ μεγίστη τῶν περὶ πόλεων συμφωνιῶν ἐστιν ἡ σοφία, ἧς ὁ μὲν κατὰ λόγον ζῶν μέτοχος, ὁ δὲ ἀπολειπόμενος οἰκοφθόρος καὶ περὶ πόλιν οὐδαμῇ σωτήριος, ἅτε τὰ μέγιστα ἀμαθαίνων.

καὶ ἐν τῷ τρίτῳ δὲ τῆς Πολιτείας, διδάσκων ὅτι μόνος μουσικὸς ὁ φιλόσοφος, φησίν· ἆρ’ οὖν πρὸς θεῶν οὕτως οὐδὲ μουσικοὶ πρότερον ἐσόμεθα, οὔτε αὐτοὶ οὔτε οὕς φαμεν ἡμεῖς παιδευτέον εἶναι τοὺς φύλακας, πρὶν [11] ἂν ἅπαντα τὰ τῆς σωφροσύνης εἴδη καὶ ἀνδρείας καὶ μεγαλειότητος καὶ μεγαλοπρεπείας καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ καὶ τὰ τούτων ὑπεναντία πανταχῇ περιφερόμενα χωρίζωμεν καὶ ἐνόντα ἐν οἷς ἔστιν αἰσθανώμεθα καὶ αὐτὰ καὶ εἰκόνας αὐτῶν καὶ μήτε ἐν μικροῖς μήτε ἐν μεγάλοις ἀτιμάζωμεν, ἀλλὰ τῆς αὐτῆς οἰώμεθα τέχνης εἶναι καὶ μελέτης;

διὰ γὰρ τούτων καὶ τῶν πρὸ αὐτῶν τί τε ὄφελος ἐκ μουσικῆς δηλοῖ, καὶ ὅτι μόνος ὄντως μουσικὸς ὁ φιλόσοφος, ἄμουσος δὲ ὁ κακὸς. τῇ μὲν γὰρ εὐηθείᾳ ὄντως, ἥτις ἐστὶν ἀρετὴ τὸ εὖ τὰ ἤθη κατεσκευασμένα ἔχειν, ἕπεσθαί φησιν εὐλογίαν, τουτέστι τὸ εὖ λόγῳ χρῆσθαι, τῇ δὲ εὐλογίᾳ τὴν εὐσχημοσύνην καὶ εὐρυθμίαν καὶ εὐαρμοστίαν· εὐσχημοσύνην γὰρ περὶ μέλος, εὐαρμοστίαν δὲ περὶ ἁρμονίαν, εὐρυθμίαν δὲ περὶ ῥυθμόν· τῇ δὲ κακοηθείᾳ, τουτέστι τῷ κακῷ ἤθει, φησὶν ἕπεσθαι κακολογίαν, τουτέστι κακοῦ λόγου χρῆσιν, τῇ δὲ κακολογίᾳ ἀσχημοσύνην καὶ ἀρρυθμίαν καὶ ἀναρμοστίαν περὶ πάντα τὰ γενόμενα καὶ μιμούμενα· ὥστε μόνος ἂν εἴη μουσικὸς ὁ κυρίως εὐήθης, ὅστις εἴη ἂν ὁ φιλόσοφος.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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Wenn er in der Politeia (tatsächlich in den Nomoi) von Konsonanz in der Musik spricht, sagt er: Die größte und schönste politische Konsonanz ist die Weisheit. Man besitzt sie nur in dem Maße, in dem man nach der rechten Vernunft lebt; was denjenigen betrifft, der sie aufgibt, so ist er der Verderber seines eigenen Hauses. Er ist ein Bürger, der für die Sicherheit und den Wohlstand der Polis nutzlos ist, da er in äußerster Unwissenheit lebt. (Platon, Nomoi 689d)

Und im dritten Buch der Politeia will er beweisen, dass der Philosoph allein ein Musiker ist, und sagt: So werden wir – bei den Göttern – auch nicht eher musisch gebildet sein, weder wir selbst noch auch diejenigen, von denen wir sagen, dass wir sie bilden müssen, die Wächter, bis wir die Gestalten der Mäßigung und der Tapferkeit und des Freisinns und der Hochherzigkeit und alles, was diesen verschwistert ist, und andererseits das Gegenteil von diesen, überall, wo es vorkommt, erkennen und, wenn sie in etwas anderem sind, sie wahrnehmen, sowohl sie selbst als auch ihre Abbilder, und weder in Kleinem noch in Großem sie missachten, sondern glauben, dass dies zu derselben Fertigkeit und Übung gehört?   (Platon, Politeia III 402b-c)

Durch diese Worte und durch das Vorangehende beweist er die Nützlichkeit der Musik und zeigt, dass nur der Philosoph wirklich ein Musiker ist, während derjenige, der bösartig und gemein ist, für die Musen ein Fremder ist, denn – so sagt er – die wahre und aufrichtige Integri­tät der Moral, diese Tugend, die in der guten und ehrlichen Herrschaft unseres Lebens besteht, folgt der rechten Vernunft, das heißt: Der Gebrauch entspricht der Vernunft. Er fügt hinzu, die Gefährten der Wohlberedtheit seien Wohlanständigkeit, Wohlgemessenheit und Wohlgestimmtheit: Wohlanständigkeit in der Melodie, Wohlgestimmtheit in der Harmonie, Wohlgemessenheit im Rhythmus (Politeia III 400d–e). Auf der anderen Seite folgt, wie er sagt, Unanständigkeit, also moralische Verderbtheit, der Übelberedtheit, also dem Gebrauch schlechten Redens, der Übelberedtheit aber ihre Gefährten Unanständigkeit, Ungemessenheit und Ungestimmtheit in allem, was man selbst oder durch Nachahmung tut (Politeia III 401a), so dass nur derjenige ein Musiker ist, der eine gute Moral hat, und wie aus dem Vorhergehenden hervorgeht, ist er auch der wahre Philosoph.

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Theon von Smyrna

[12]

δηλοῖ δὲ καὶ τὰ εἰρημένα. ἐπεὶ γὰρ ἡ μουσικὴ τὸ εὔρυθμον καὶ εὐάρμοστον καὶ εὔσχημον ἐμποιεῖ τῇ ψυχῇ ἐκ νέου εἰσδυομένη διὰ τὸ τῇ ὠφελείᾳ μεμιγμένην ἔχειν ἀβλαβῆ ἡδονήν, ἀδύνατόν φησι τέλεον μουσικὸν γενέσθαι μὴ εἰδότα τὸ ἐν παντὶ εὔσχημον καὶ τὰ τῆς εὐσχημοσύνης καὶ ἐλευθεριότητος καὶ σωφροσύ[12]νης εἴδη μὴ γνωρίζοντα, τουτέστι τὰς ἰδέας. ἀμέλει ἐπιφέρει· ἐν παντὶ περιφερόμενα – τουτέστι τὰ εἴδη – καὶ μὴ ἀτιμάζων αὐτὰ μήτ’ ἐν σμικροῖς μήτ ἑν μεγάλοις. ἡ δὲ τῶν ἰδεῶν γνῶσις περὶ τὸν φιλόσοφον· οὐδὲ γὰρ εἰδείη τις ἂν τὸ κόσμιον καὶ σῶφρον καὶ εὔσχημον αὐτὸς ὢν ἀσχήμων καὶ ἀκόλαστος· τὸ δ’ ἐν βίῳ εὔσχημον καὶ εὔρυθμον καὶ εὐάρμοστον εἰκόνες τῆς ὄντως εὐσχημοσύνης καὶ εὐαρμοστίας καὶ εὐρυθμίας, τουτέστι τῶν νοητῶν καὶ ἰδεῶν εἰκόνες τὰ αἰσθητά.

καὶ οἱ Πυθαγορικοὶ δέ, οἷς πολλαχῇ ἕπεται Πλάτων, τὴν μουσικήν φασιν ἐναντίων συναρμογὴν καὶ τῶν πολλῶν ἕνωσιν καὶ τῶν δίχα φρονούντων συμφρόνησιν· οὐ γὰρ ῥυθμῶν μόνον καὶ μέλους συντακτικήν, ἀλλ’ ἁπλῶς παντὸς συστήματος· τέλος γὰρ αὐτῆς τὸ ἑνοῦν τε καὶ συναρμόζειν. καὶ γὰρ ὁ θεὸς συναρμοστὴς τῶν διαφωνούντων, καὶ τοῦτο μέγιστον ἔργον θεοῦ κατὰ μουσικήν τε καὶ κατὰ ἰατρικὴν τὰ ἐχθρὰ φίλα ποιεῖν. ἐν μουσικῇ, φασίν, ἡ ὁμόνοια τῶν πραγμάτων, ἔτι καὶ ἀριστοκρατία τοῦ παντός· καὶ γὰρ αὕτη ἐν κόσμῳ μὲν ἁρμονία, ἐν πόλει δ’ εὐνομία, ἐν οἴκοις δὲ σωφροσύνη γίνεσθαι πέφυκε· συστατικὴ γάρ ἐστι καὶ ἑνωτικὴ τῶν πολλῶν· ἡ δὲ ἐνέργεια καὶ ἡ χρῆσις, φησί, τῆς ἐπιστήμης ταύτης ἐπὶ τεσσάρων γίνεται τῶν ἀνθρωπίνων, ψυχῆς, σώματος, οἴκου, πόλεως· προσδεῖται γὰρ ταῦτα τὰ τέσσαρα συναρμογῆς καὶ συντάξεως.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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Er (Platon) offenbart auch das Gesagte, wenn er seit den ersten Jahren seiner Jugend, als er in der Musik unterrichtet wurde, immer Gewohnheiten von Anstand und Ordnung annahm, denn Musik verbindet unschuldige Freude mit Nützlichkeit. Es ist unmöglich, sagt er, dass jemand ein vollkommener Musiker wird, der nicht alle Gewohnheiten einer guten Erziehung erworben hat, der keine Vorstellungen von Anstand, von Adel der Seele und von Mäßigung hat. Er muss erkennen, dass diese Ideen überall zu finden sind und weder im Großen noch im Kleinen auf die leichte Schulter genommen werden dürfen. Weil es dem Philosophen gehört, Ideen zu kennen, wird kein Mensch Bescheidenheit, Mäßigung und Anstand kennen, wenn er selbst unbescheiden und unbesonnen ist. Aber die Dinge, welche die Verschönerung des menschlichen Lebens ausmachen – die Schönheit, die Harmonie, die Ehrlichkeit – sind allesamt Bilder von Wohlanständigkeit, Wohlgestimmtheit und Wohlgemessenheit, also die wahrnehmbaren Eigenschaften von Gedanken oder Ideen (Politeia III 402a–c). Die Pythagoreer, denen er (Platon) oft folgt, definieren auch die Musik als die vollkommene Vereinigung von gegensätzlichen Dingen, Einheit in der Vielheit, ja sogar Eintracht in der Zwietracht (Philolaos Frg. 44 B 10). Die Musik koordiniert ja nicht nur Rhythmus und Modulation, sie bringt generell Ordnung in das ganze System. Ihr Ziel ist es, zu vereinen und zu verbinden, und Gott ist auch der Ordnende der uneinigen Dinge. Ihr größtes Werk ist es, mit Hilfe der Gesetze der Musik und der Medizin Dinge miteinander zu versöhnen, die Feinde waren. Auch durch die Musik wird die Harmonie der Dinge und die Regierung des Universums aufrechterhalten, denn das, was Harmonie im Kosmos ist, das ist gute Gesetzgebung in der Polis und Mäßigung in der Hausgemeinschaft. Sie hat ja die Macht, Ordnung und Einheit in die Menge zu bringen. Die Wirksamkeit und der Nutzen dieser Wissenschaft, sagt er (Platon), zeigt sich in vier der Elemente, die zur Menschheit gehören: Seele, Körper, Hausgemeinschaft und Polis. Diese vier müssen ja gut geordnet und verbunden sein.

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Theon von Smyrna

[13]

ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ Πλάτων ὑπὲρ τῶν μαθημάτων [13] καὶ τάδε ἔφη· ἀγαθὸς δὲ ἀνὴρ ὅστις διασώζει τὴν ὀρθὴν δόξαν τῶν ἐκ παιδείας αὐτῷ ἐγγενομένων ἔν τε λύπαις καὶ ἡδοναῖς καὶ ἐπιθυμίαις καὶ φόβοις καὶ μὴ ἐκβάλλει. δέ μοι δοκεῖ ὅμοιον εἶναι, θέλω ἀπεικάσαι. οἱ νῦν βαφεῖς, ἐπειδὰν βουληθῶσι βάψαι ἔρια ὥστ’ εἶναι ἁλουργά, πρῶτον μὲν ἐκλέγονται ἐκ τοσούτων χρωμάτων μίαν φύσιν τὴν τῶν λευκῶν, ἔπειτα προκατασκευάζουσιν οὐκ ὀλίγῃ παρασκευῇ θεραπεύσαντες, ὅπως δέξηται ὅ τι μάλιστα τὸ ἄνθος, καὶ οὕτως βάπτουσι· καὶ ὃ μὲν ἂν τούτῳ τῷ τρόπῳ βαφῇ, ὁμοῦ τι τὸ βαφὲν [14] καὶ ἡ φύσις, καὶ οὔτε ἄνευ ῥυμμάτων οὔτε μετὰ ῥομμάτων δύναται αὐτῶν τὸ ἄνθος ἀφαιρεῖσθαι· ἃ δ’ ἂν μή, οἶσθα οἷα δὴ γίνεται, ἂν μὴ προθεραπεύσας βάπτῃ, ἔκπλυτα καὶ ἐξίτηλα καὶ οὐ δευσοποιά.

τοιοῦτο δὲ κατὰ δύναμιν ἐργάζεσθαι ἡγεῖσθαι χρὴ καὶ ἡμᾶς· παιδεύομεν γὰρ τοὺς παῖδας ἐν μουσικῇ τε καὶ γυμναστικῇ καὶ γράμμασι καὶ γεωμετρίᾳ καὶ ἐν ἀριθμητικῇ, οὐδὲν ἄλλο μηχανώμενοι, ἢ ὅπως ἡμεῖς προεκκαθάραντες καὶ προθεραπεύσαντες ὥσπερ τισὶ στυπτικοῖς τοῖς μαθήμασι τούτοις, τοὺς περὶ ἁπάσης ἀρετῆς ἣν ἂν ἐκμανθάνωσιν ὕστερον λόγους ἐνδείξοιντο ὥσπερ βαφήν, ἵνα δευσοποιὸς αὐτῶν ἡ δόξα γίνοιτο, διὰ τὸ τὴν φύσιν καὶ τροφὴν ἐπιτηδείαν ἐσχηκέναι, καὶ μὴ ἐκπλύνῃ αὐτῶν τὴν βαφὴν τὰ ῥύμματα ταῦτα, δεινὰ ὄντα ἐκκλύζειν, ἣ τε ἡδονή, παντὸς στρεβλοῦ δεινοτέρα οὖσα καὶ κοινωνίας, λύπη τε καὶ φόβος καὶ ἐπιθυμία, παντὸς ἄλλου ῥύμματος.

καὶ γὰρ αὖ τὴν φιλοσοφίαν μύησιν φαίη τις ἂν ἀληθοῦς τελετῆς καὶ τῶν ὄντων ὡς ἀληθῶς μυστηρίων παράδοσιν. μυήσεως δὲ μέρη πέντε. τὸ μὲν προηγούμενον καθαρμός· οὔτε γὰρ ἅπασι τοῖς βουλομένοις μετουσία μυστηρίων ἐστίν, ἀλλ’ εἰσὶν οὓς αὐτῶν εἴργεσθαι προαγορεύεται, οἷον τοὺς χεῖρας μὴ καθαρὰς καὶ φωνὴν ἀξύνετον ἔχοντας, καὶ αὐτοὺς δὲ τοὺς μὴ εἰργομένους ἀνάγκη καθαρμοῦ τινος πρότερον τυχεῖν. μετὰ δὲ τὴν κάθαρσιν δευτέρα ἐστὶν ἡ τῆς τελετῆς παράδοσις· [15] τρίτη δὲ ‹ἡ› ἐπονομαζομένη ἐποπτεία· τετάρτη δέ, ὃ δὴ καὶ τέλος τῆς ἐποπτείας, ἀνάδεσις καὶ στεμμάτων ἐπίθεσις,

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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In der Politeia sagt Platon zur Mathematik auch Folgendes: Der gute Mensch ist derjenige, der, durch Schmerz oder Vergnügen versucht, durch Verlangen oder Furcht aufgewühlt, immer die richtigen Ideen bewahrt, die ihm in seiner Erziehung gegeben wurden, ohne sie jemals abzulehnen. Ich werde euch von etwas erzählen, das mir ähnlich erscheint. Wenn unsere Färber Wolle purpurrot färben wollen, beginnen sie damit, dass sie unter den Wollen verschiedener Farben diejenige auswählen, die weiß ist. Dann bereiten sie sich vor, und es ist nicht wenig Sorgfalt nötig, damit die Wolle die Farbe auf die beste Weise annimmt. So gehen sie vor, und dank dieser Methode werden die Farben in die Wolle eingearbeitet, und ihre Leuchtkraft kann nicht entfernt werden, weder mit Lauge noch auf andere Weise. Aber wenn der Färber im Gegenteil diese Vorsichtsmaßnahmen nicht trifft, weiß man, was geschieht und wie die Wolle wenig von ihrer Farbe behält, die sich ablöst und verschwindet. Es ist notwendig, auf die gleiche Weise nach Kräften vorzugehen: Wir lehren die Kinder Musik, Gymnastik, Buchstaben, Geo­metrie und Arithmetik, wobei wir nichts vernachlässigen, damit sie wie ein Färbemittel die Gründe für all die Tugenden erhalten, die wir ihnen beibringen; nachdem wir ihnen vorher Reinigungsmittel und andere Präparate verabreicht haben, die aus diesen Wissenschaften bestehen, die wie so viel adstringierende Medizin sind, werden ihre Gefühle unauslöschlich bleiben, ihr Charakter wird durch die Erziehung geformt worden sein. Diese Farbe und dieser Farbstoff, den wir ihnen verabreicht haben werden, wird durch keine Lauge entfernt werden können – damit meine ich sinnliches Vergnügen, gefährlicher als jede Verdrehtheit und jede Gewohnheit –, auch nicht durch Schmerz noch durch Angst und Gier, ätzender als jede Lauge.  (Platon, Politeia IV 429d–430a)

Wir können die Philosophie wiederum auch mit der Einweihung in die wirklich heiligen Dinge und mit der Offenbarung der authentischen Mysterien vergleichen (vgl. Platon, Phaidon 69d). Es gibt fünf Teile der Einweihung: Der erste ist die vorbereitende Reinigung, denn die Teilnahme an den Mysterien darf nicht unterschiedslos all denen gegeben werden, die es wünschen. Vielmehr gibt es einige Anwärter, die der Vorbote des Weges ausscheidet, wie jene mit unreinen Händen, deren Rede es an Klugheit mangelt. Aber auch jene, die nicht abgelehnt werden, müssen gewissen Reinigungen unterzogen werden. Nach dieser Reinigung kommt als Zweites die Übergabe der telete (Einweihung). Als Drittes kommt die sogenannte epopteia (Schau), als Viertes, was das Ende und das Ziel der epopteia ist, das

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Theon von Smyrna

[16]

ὥστε καὶ ἑτέροις, ἅς τις παρέλαβε τελετάς, παραδοῦναι δύνασθαι, δᾳδουχίας τυχόντα ἱεροφαντίας ἤ τινος ἄλλης ἱερωσύνης· πέμπτη δὲ ἡ ἐξ αὐτῶν περιγενομένη κατὰ τὸ θεοφιλὲς καὶ θεοῖς συνδίαιτον εὐδαιμονία.

κατὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ τῶν Πλατωνικῶν λόγων παράδοσις τὸ μὲν πρῶτον ἔχει καθαρμόν τινα, οἷον τὴν ἐν τοῖς προσήκουσι μαθήμασιν ἐκ παίδων συγγυμνασίαν. ὁ μὲν γὰρ Ἐμπεδοκλῆς κρηνάων ἀπὸ πέντ’ ἀνιμῶν τά φησιν ἀτειρέι χαλκῷ δεῖν ἀπορρύπτεσθαι· ὁ δὲ Πλάτων ἀπὸ πέντε μαθημάτων δεῖν φησι ποιεῖσθαι τὴν κάθαρσιν· ταῦτα δ’ ἐστὶν ἀριθμητική, γεωμετρία, στερεομετρία, μουσική, ἀστρονομία. τῇ δὲ τελετῇ ἔοικεν ἡ τῶν κατὰ φιλοσοφίαν θεωρημάτων παράδοσις, τῶν τε λογικῶν καὶ πολιτικῶν καὶ φυσικῶν. ἐποπτείαν δὲ ὀνομάζει τὴν περὶ τὰ νοητὰ καὶ τὰ ὄντως ὄντα καὶ τὰ τῶν ἰδεῶν πραγματείαν. ἀνάδεσιν δὲ καὶ κατάστεψιν ἡγητέον τὸ ἐξ ὧν αὐτός τις κατέμαθεν οἷόν τε γενέσθαι καὶ ἑτέρους εἰς τὴν αὐτὴν θεωρίαν καταστῆσαι. πέμπτον δ’ ἂν εἴη καὶ τελεώτατον ἡ ἐκ τούτων περιγενομένη εὐδαιμονία [16] καὶ κατ’ αὐτὸν τὸν Πλάτωνα ὁμοίωσις θεῷ κατὰ τὸ δυνατόν.

πολλὰ μὲν οὖν καὶ ἄλλα ἔχοι τις ἂν λέγειν παραδεικνὺς τὸ τῶν μαθημάτων χρήσιμον καὶ ἀναγκαῖον. τοῦ δὲ μὴ δοκεῖν ἀπειροκάλως διατρίβειν ‹ἐν› τῷ τῶν μαθημάτων ἐπαίνῳ τρεπτέον ἤδη πρὸς τὴν παράδοσιν τῶν ἀναγκαίων κατὰ τὰ μαθήματα θεωρημάτων, οὐχ ὅσα δύναιτο ἂν τὸν ἐντυγχάνοντα ἢ ἀριθμητικὸν τελέως ἢ γεωμέτρην ἢ μουσικὸν ἢ ἀστρονόμον ἀποφήναι· οὐδὲ γάρ ἐστι τοῦτο προηγούμενον ἢ προκείμενον ἅπασι τοῖς Πλάτωνι ἐντυγχάνουσι· μόνα δὲ ταῦτα παραδώσομεν, ὅσα ἐξαρκεῖ πρὸς τὸ δυνηθῆναι συν­εῖναι τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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Umlegen der Kopf‌binde und das Aufsetzen der Zweige (Bekränzung), damit der (Eingeweihte) seinerseits fähig wird, die Tradition an andere weiterzugeben, entweder durch dadouchia (Fackel-Zeremonie) oder durch hierophantia (Interpretation der heiligen Dinge) oder durch irgendein anderes priesterliches Werk. Als Fünftes kommt die aus diesem nach der Gottesfreundschaft entstandene und mit den Göttern gemeinsam gelebte Glückseligkeit. In eben dieser Weise folgt die Übergabe der platonischen Vernunft. Man beginnt ja von Kindheit an mit einer gewissen konsequenten Reinigung beim Studium entsprechender mathematischer Theorien. Empedokles (Frg. 31 B 143) sagt, »aus fünf Brunnen schöpfend von unvergänglichem Erz« müsse man sich reinigen. Und Platon sagt auch, man müsse die Reinigung in den fünf mathematischen Wissenschaften suchen; diese sind Arithmetik, Geometrie, Stereometrie, Musik und Astronomie. Der telete (Einweihung) entspricht die Übergabe der Theoreme in der Philosophie, der logischen, politischen und natürlichen. Er (vgl. Platon, ­Phaidros 250c) nennt epopteia die Beschäftigung des Geistes mit gedanklichen Dingen, mit der wahren Existenz und mit Ideen. Schließlich sagt er, dass das Binden und Bekränzen des Hauptes als Fähigkeit verstanden werden muss, die dem Adepten von denen gegeben wird, die ihn gelehrt haben, um andere zur gleichen Kontemplation zu führen. Die fünfte Stufe ist jene vollkommene Glückseligkeit, die sie zu genießen beginnen und die sie nach Platon (Theaitetos 176b) »mit Gott soweit als möglich gleichstellt«. Wer die Nützlichkeit und Notwendigkeit der Wissenschaften (mathe­ mata) demonstrieren möchte, könnte d ­ arüber noch ausführlicher sprechen. Aber aus der Befürchtung heraus, dass ich nicht auf‌hören könnte, die Gründe für die Lobpreisung der Wissenschaften darzulegen, beginne ich mit der Erklärung der notwendigen Theoreme, die alle nötig wären, wollte man ein vollkommener Arithmetiker, Geometer, Musiker oder Astronom werden. Dies ist aber nicht das Ziel, das alle diejenigen anstreben, welche die Schriften Platons lesen wollen; allein das werden wir weitergeben, was nötig ist, um seine Schriften zu verstehen.

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Theon von Smyrna

[16]

οὐδὲ γὰρ αὐτὸς ἀξιοῖ εἰς ἔσχατον γῆρας ἀφικέσθαι διαγράμματα γράφοντα καὶ μελῳδίαν, ἀλλὰ παιδικὰ οἴεται ταῦτα τὰ μαθήματα, προπαρασκευαστικὰ καὶ καθαρτικὰ ὄντα ψυχῆς εἰς τὸ ἐπιτήδειον αὐτὴν πρὸς φιλοσοφίαν γενέσθαι. μάλιστα μὲν οὖν χρὴ τὸν μέλλοντα οἷς τε ἡμεῖς παραδώσομεν οἷς τε Πλάτων συνέγραψεν ἐντεύξεσθαι διὰ γοῦν τῆς πρώτης γραμμικῆς στοιχειώσεως κεχωρηκέναι· ῥᾷον γὰρ ἂν ξυνέποιτο οἷς παραδώσομεν. ἔσται δ’ ὅμως τοιαῦτα καὶ τὰ παρ’ ἡμῶν, ὡς καὶ τῷ παντάπασιν ἀμυήτῳ τῶν μαθημάτων γνώριμα γενέσθαι.

Teil I (Prooimion), Abschnitt 1

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Ja, er (Platon) selbst fordert nicht, dass wir bis ins hohe Alter damit fortfahren, Diagramme und Melodien aufzu­zeichnen – Dinge, die für Kinder geeignet sind und die dazu bestimmt sind, ihren Geist vorzubereiten und zu reinigen, um sie fähig zu machen, die Philosophie zu verstehen. Es genügt, dass diejenigen, die sich unseren Schriften oder denen von Platon nähern wollen, die ersten Elemente des Zeichnens durchgenommen haben, damit sie unsere Erklärungen leicht verstehen können. Aber was wir sagen, wird so sein, dass es auch von denen verstanden werden kann, die in der Mathematik völlig uneingeweiht sind.

περὶ ἀριθμητικῆς

(2) πρῶτον δὲ μνημονεύσομεν τῶν ἀριθμητικῶν θεωρημάτων, οἷς συνέζευκται καὶ τὰ τῆς ἐν ἀριθμοῖς μουσικῆς· τῆς μὲν γὰρ ἐν ὀργάνοις οὐ παντάπασι προσδεόμεθα, καθὰ καὶ αὐτὸς ὁ Πλάτων ἀφηγεῖται λέγων ὡς οὐ χρὴ ὥσπερ [17] ἐκ γειτόνων φωνὴν θηρευομένους πράγματα παρέχειν ταῖς χορδαῖς· ὀρεγόμεθα δὲ τὴν ἐν κόσμῳ ἁρμονίαν καὶ τὴν ἐν τούτῳ μουσικὴν κατανοῆσαι· ταύτην δὲ οὐχ οἷόν τε κατιδεῖν μὴ τῆς ἐν ἀριθμοῖς πρότερον θεωρητικοὺς γενομένους.

διὸ καὶ πέμπτην ὁ Πλάτων φησὶν εἶναι τὴν μουσικήν, τὴν ἐν κόσμῳ λέγων, ἥτις ἐστὶν ἐν τῇ κινήσει καὶ τάξει καὶ συμφωνίᾳ τῶν ἐν αὐτῷ κινουμένων ἄστρων. ἡμῖν δ’ ἀναγκαῖον δευτέραν αὐτὴν τάττειν μετὰ ἀριθμητικὴν καὶ κατ’ αὐτὸν τὸν Πλάτωνα, ἐπειδὴ οὐδ’ ἡ ἐν κόσμῳ μουσικὴ ληπτὴ ἄνευ τῆς ἐξαριθμουμένης καὶ νοουμένης μουσικῆς. ὥστε εἰ μὲν συνέζευκται τῇ περὶ ψιλοὺς ἀριθμοὺς θεωρίᾳ ἡ ἐν ἀριθμοῖς μουσική, δευτέρα ἂν ταχθείη πρὸς τὴν τῆς ἡμετέρας θεωρίας εὐμάρειαν.

πρὸς δὲ τὴν φυσικὴν τάξιν πρώτη μὲν ἂν εἴη ἡ περὶ ἀριθμοὺς θεωρία, καλουμένη ἀριθμητική· δευτέρα δὲ ἡ περὶ τὰ ἐπίπεδα, καλουμένη γεωμετρία· τρίτη δὲ ἡ περὶ τὰ στερεά, ἥτις ἐστὶ στερεομετρία· τετάρτη ‹δὲ› ἡ περὶ τὰ κινούμενα στερεά, ἥτις ἐστὶν ἀστρονομία.

I (Arithmetik) Einführung (2) Als erstes werden wir die arithmetischen Theoreme in Erinnerung rufen, mit denen auch die musikalischen Theoreme verbunden sind, die in Zahlen gefasst sind. Wir brauchen dafür kein Instrument, wie auch Platon selbst erklärt, wenn er sagt, dass es überhaupt nicht notwendig ist, die Saiten eines Instruments anzuschlagen, wie neugierige Nachbarn, die versuchen, eine Stimme zu hören (s. o. I 1 S. 28/29: Politeia VII 531a). Unser Wunsch ist es, die Harmonie im Kosmos und die Musik in ihm zu verstehen; diese Harmonie können wir aber erst untersuchen, wenn wir theoretische Grundlagen der Harmonie in den Zahlen studiert haben. Wenn also Platon sagt, dass die Musik den fünften Rang einnimmt (in Politeia VII 528e weist er der Astronomie den vierten Rang zu und 530d der Musik den nächstfolgenden), spricht er von der im Kosmos, die sich aus der Bewegung, der Ordnung und dem Zusammenklang der sich in ihm bewegenden Sterne ergibt. Wir aber müssen die Musik nach der Arithmetik an den zweiten Rang stellen, gemäß Platon selbst, denn man kann nichts von der Musik im Kosmos ohne Verständnis für die Grundlage in den Zahlen verstehen. Damit die arithmetischen Prinzipien der Musik mit der Theorie der bloßen (psilos) Zahlen verbunden werden können, geben wir ihnen dann den zweiten Rang, um die Theorie zu erleichtern. Gemäß der natürlichen Ordnung wird die erste Theorie die von den Zahlen sein, die man Arithmetik nennt. Die zweite ist diejenige, deren Gegenstand Flächen sind und die Geometrie genannt wird. Die dritte ist die von den Körpern (sterea), die Stereometrie genannt wird. Die vierte ist die von den Körpern in Bewegung; dies ist die Astro­nomie. Was die Musik betrifft, deren Ziel es ist, die gegenseiti-

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Theon von Smyrna

[18]

ἡ δὲ τῆς τῶν κινήσεων καὶ διαστημάτων ποιὰ σχέσις ἐστὶ μουσική, ἥτις οὐχ οἵα τέ ἐστι ληφθῆναι μὴ πρότερον ἡμῶν αὐτὴν ἐν ἀριθμοῖς κατανοησάντων· διὸ πρὸς τήν ἡμετέραν θεωρίαν μετ’ ἀριθμητικὴν τετάχθω ἡ ἐν ἀριθμοῖς μουσική, ὡς δὲ πρὸς τὴν φύσιν πέμπτη ‹ἡ› τῆς τοὺ κόσμον ἁρμονίας θεωρητικὴ μουσική. κατὰ δὴ τοὺς Πυθαγορικοὺς πρεσβευτέα [18] τὰ τῶν ἀριθμῶν ὡς ἀρχὴ καὶ πηγὴ καὶ ῥίζα τῶν πάντων.

περὶ ἑνὸς καὶ μονάδος (3) ἀριθμός ἐστι σύστημα μονάδων, ἢ προποδισμὸς πλήθους ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενος καὶ ἀναποδισμὸς εἰς μονάδα καταλήγων. μονὰς δέ ἐστι περαίνουσα ποσότης [ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον τῶν ἀριθμῶν], ἥτις μειουμένου τοῦ πλήθους κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ στερηθεῖσα μονήν τε καὶ στάσιν λαμβάνει. οὐ γὰρ οἷόν τε περαιτέρω γενέσθαι τὴν τομήν· καὶ γὰρ ἐὰν εἰς μόρια διαιρῶμεν τὸ ἓν ἐν αἰσθητοῖς, ἔμπαλιν πλῆθος γενήσεται τὸ ἓν καὶ πολλὰ, καὶ καταλήξει εἰς ἓν κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν ἑκάστου τῶν μορίων· κἂν ἐκεῖνο πάλιν εἰς μόρια διαιρῶμεν, πλῆθός τε τὰ μόρια γενήσεται καὶ ἡ κατάληξις καθ’ ὑφαίρεσιν ἑκάστου τῶν μορίων εἰς ἕν. ὥστε ἀμέριστον καὶ ἀδιαίρετον τὸ ἓν ὡς ἕν. καὶ γὰρ ὁ μὲν ἄλλος ἀριθμὸς διαιρούμενος ἐλαττοῦται καὶ διαιρεῖται εἰς ἐλάττονα αὐτοῦ μόρια, οἷον τὰ ϛ' εἰς τὰ γ' καὶ γ' δ' καὶ β' ἢ ε' καὶ α'. τὸ δὲ ἓν ἂν μὲν ἐν αἰσθητοῖς διαιρῆται, ὡς μὲν σῶμα ἐλαττοῦται καὶ διαιρεῖται εἰς ἐλάττονα αὐτοῦ μόρια τῆς τομῆς γινομένης, ὡς δὲ ἀριθμὸς αὔξεται· ἀντὶ γὰρ ἑνὸς γίνεται πολλά. ὥστε καὶ κατὰ τοῦτο ἀμερὲς τὸ ἕν. οὐδὲν γὰρ διαιρούμενον εἰς μείζονα ἑαυτοῦ μόρια διαιρεῖται· τὸ δὲ ‹ἓν› [19] διαιρούμενον καὶ εἰς μείζονα τοῦ ὅλου μόρια ὡς ἐν ἀριθμοῖς διαιρεῖται καὶ ‹εἰς› ἴσα τῷ ὅλῳ· οἷον τὸ ἓν τὸ ἐν αἰσθητοῖς ἂν εἰς ἓξ διαιρεθῇ, εἰς ἴσα μὲν τῷ ὅλῳ ὡς ἀριθμὸς διαιρεθήσεται α' α' α' α' α' α', εἰς μείζονα δὲ τοῦ ὅλον ὡς ἀριθμὸς εἰς δ' καὶ

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 3

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gen Verhältnisse der Bewegungen und Intervalle zu betrachten, was auch immer diese Verhältnisse sein mögen, so es ist nicht möglich, sie zu verstehen, bevor man nicht erfasst hat, was auf Zahlen beruht. So werden in unserer Theorie die Zahlengesetze der Musik unmittelbar nach die Arithmetik gestellt; aber der natürlichen Ordnung folgend wird die Musik, deren Aufgabe darin besteht, die Harmonie des Kosmos zu studieren, an fünfter Stelle stehen. Nach der Lehre der Pythagoreer sind die Zahlen sozusagen das Prinzip, der Ursprung und die Wurzel aller Dinge. Eins und Monade (3) Eine Zahl ist ein System von Monaden oder eine Progression der Menge, die von der Monade (durch aufeinanderfolgende Additionen oder Subtraktionen einer ­Monade) ausgeht und zur Monade zurückkehrt. Was die Monade betrifft, so ist sie die Endmenge, die, wenn sie durch Subtraktion von der Menge gelöst und von jeder (anderen) Zahl isoliert wird, fest und fixiert bleibt: Es ist unmöglich, die Teilung weiter voranzutreiben. Wenn wir einen wahrnehmbaren Körper in Teile zerlegen, wird das, was eins war, zu mehreren, und wenn dann jeder Teil subtrahiert wird, endet er bei der Eins; und wenn wir diese wieder in Teile zerlegen, wird eine Menge ­daraus hervorgehen, und wenn wir jeden dieser Teile wegnehmen, kommen wir wieder zur Eins, so dass das, was eins ist, als eins unteilbar und unzerlegbar ist. Jede andere Zahl, die man zerlegt, wird verkleinert und zerlegt in Teile, die kleiner sind als sie selbst, etwa 6 in 3 und 3 oder in 4 und 2 oder in 5 und 1. Wenn unter den wahrnehmbaren Dingen das, was eins ist, zerlegt wird, so wird es in seiner körperlichen Größe verkleinert und als Folge der Teilung wird es in Teile zerlegt, die kleiner sind als es selbst, aber es wird als Zahl größer, weil an Stelle von dem, was eins war, nun mehrere sind. Und daraus folgt, dass diese Eins unteilbar ist. Es kann ja nichts Zerlegtes in Teile zerlegt werden, die mehr sind als es selbst. Aber das, was Eins ist, zerlegt in Teile, die mehr sind als das Ganze, wird auch nach der Art der Zahlen in Teile zerlegt, die (in ihrer Summe) gleich dem Ganzen sind. Wenn etwa unter dem Wahrgenommenen eine Eins in sechs Teile zerlegt wird, 1, 1, 1, 1, 1, 1, so ist jeder Teil in der Anzahl in so viele Teile wie das Ganze (nämlich 1)

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[20]

β'· τὰ γὰρ β' καὶ δ' ὡς ἀριθμοὶ πλείονα τοῦ ἑνός. ἀδιαίρετος ἄρα ἡ μονὰς ὡς ἀριθμός. καλεῖται δὲ μονὰς ἤτοι ἀπὸ τοῦ μένειν ἄτρεπτος καὶ μὴ ἐξίστασθαι τῆς ἑαυτῆς φύσεως· ὁσάκις γὰρ ἂν ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσωμεν τὴν μονάδα, μένει μονάς· καὶ γὰρ ἅπαξ ἓν ἔν, καὶ μέχρις ἀπείρου ἐὰν πολλαπλασιάζωμεν τὴν μονάδα, μένει μονάς. ἢ ἀπὸ τοῦ διακεκρίσθαι καὶ μεμονῶσθαι ἀπὸ τοῦ λοιποῦ πλήθους τῶν ἀριθμῶν καλεῖται μονάς. ᾗ δὲ διενήνοχεν ἀριθμὸς καὶ ἀριθμητόν, ταύτῃ καὶ μονὰς καὶ ἕν. ἀριθμὸς μὲν γάρ ἐστι τὸ ἐν νοητοῖς ποσόν, οἷον αὐτὰ ε' καὶ αὐτὰ ι', οὐ σώματά τινα οὐδὲ αἰσθητά, ἀλλὰ νοητά· ἀριθμητὸν δὲ τὸ ἐν αἰσθητοῖς ποσόν, ὡς ἵπποι ε', βόες ε', ἄνθρωποι ε'. καὶ μονὰς τοίνυν ἐστὶν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα ἡ νοητή, ἥ ἐστιν ἄτομος· ἓν δὲ τὸ ἐν αἰσθητοῖς καθ’ ἑαυτὸ λεγόμενον, οἷον εἷς ἵππος, εἷς ἄνθρωπος.

τίς ἀρχὴ ἀριθμοῦ; (4) ὥστ’ εἴη ἂν ἀρχὴ τῶν μὲν ἀριθμῶν ἡ μονάς, τῶν δὲ ἀριθμητῶν τὸ ἓν· καὶ τὸ ἓν ὡς ἐν αἰσθητοῖς [20] τέμνεσθαί φασιν εἰς ἄπειρον, οὐχ ὡς ἀριθμὸν οὐδὲ ὡς ἀρχὴν ἀριθμοῦ, ἀλλ’ ὡς αἰσθητόν. ὥστε ἡ μὲν μονὰς νοητὴ οὖσα ἀδιαίρετος, τὸ δὲ ἓν ὡς αἰσθητὸν εἰς ἄπειρον τμητόν. καὶ τὰ ἀριθμητὰ τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν διαφέροντα τῷ τὰ μὲν σώματα εἶναι, τὰ δὲ ἀσώματα. ἁπλῶς δὲ ἀρχὰς ἀριθμῶν οἱ μὲν ὕστερόν φασι τήν τε μονάδα καὶ τὴν δυάδα, οἱ δὲ ἀπὸ Πυθαγόρου πάσας κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς τῶν ὅρων ἐκθέσεις, δι’ ὧν ἄρτιοί τε καὶ περιττοὶ νοοῦνται, οἷον τῶν ἐν αἰσθητοῖς τριῶν ἀρχὴν τὴν τριάδα καὶ τῶν ἐν αἰσθητοῖς

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 3

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zerlegt; wird es aber in 4 und 2 geteilt, so sind die Teile größer als das Ganze, da ja 2 und 4 als Zahlen größer sind als eins. Die Monade ist also als Zahl unzerlegbar. Sie wird Monade (monas) genannt, weil sie unveränderlich bleibt (menei) und nicht über die Grenzen ihrer Natur hinausgeht; sooft wir auch die Monade mit sich selbst multiplizieren, bleibt sie immer eine Monade: Einmal eins ist ja immer eins; und auch wenn wir bis zur Unendlichkeit multiplizieren, wird sie immer eine Monade bleiben. Oder (sie wird Monade genannt), weil sie getrennt und allein außerhalb der Vielzahl der anderen Zahlen alleingestellt ist (me-mon­os‌thai). So, wie die Zahl sich vom Gezählten unterscheidet, die nummeriert ist, so unterscheidet sich auch die Monade von der Eins. Eine Zahl ist ja eine wahrnehmbare Menge wie 5 und 10, die nicht aus Körpern und nicht aus Wahrnehmbarem besteht, sondern aus Gedachtem. Zählbar aber ist eine Menge im Wahrnehmbaren, etwa 5 Pferde, 5 Ochsen, 5 Menschen. Die Monade ist also die gedankliche Idee der Eins, die unteilbar ist. Die Eins ist das Prinzip der für sich wahrnehmbaren Dinge, etwa 1 Pferd oder 1 Mensch. Was ist das Prinzip der Zahl? (4) So wie das Prinzip der Zahlen die Monade ist, so ist es beim Gezählten die Eins. Die Eins kann wie bei wahrnehmbaren Dingen – so sagt man – in die Unendlichkeit geteilt werden, nicht als Zahl und auch nicht als Prinzip der Zahl, sondern als Wahrnehmbares. Es ist die ­Monade, die gedacht ist, also unzerlegbar; das aber, was eins ist, da es wahrnehmbar ist, kann in die Unendlichkeit geteilt werden. Die gezählten Dinge wiederum unterscheiden sich von den Zahlen dadurch, dass sie körperlich sind, während die Zahlen körperlos sind. Generell aber betrachten die Neueren die Monade und die Dyade als Prinzipien der Zahlen, während für die Pythagoreer das Prinzip der Zahlen in der Folge von aufeinanderfolgenden Werten besteht, durch welche die ungeraden und geraden Zahlen erfasst werden. Sie sagen etwa, dass das Prinzip der Drei unter den wahrnehmbaren Dingen die Triade ist, und das Prinzip von allem, was vier ist, unter den wahr-

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[21]

τεσσάρων πάντων ἀρχὴν τὴν τετράδα καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν κατὰ ταὐτά. οἱ δὲ καὶ αὐτῶν τούτων ἀρχὴν τὴν μονάδα φασὶ καὶ τὸ ἓν πάσης ἀπηλλαγμένον διαφορᾶς ὡς ἐν ἀριθμοῖς, μόνον αὐτὸ ἕν, οὐ τὸ ἕν, τουτ­έστιν οὐ τόδε τὸ ποιὸν καὶ διαφοράν τινα πρὸς ἕτερον ἓν προσειληφός, ἀλλ’ αὐτὸ καθ’ αὐτὸ ἕν. οὕτω γὰρ ἂν ἀρχή τε καὶ μέτρον εἴη τῶν ὑφ’ ἑαυτὸ ὄντων, καθὸ ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται, μετασχὸν τῆς πρώτης τοῦ ἑνὸς οὐσίας τε καὶ ἰδέας.

Ἀρχύτας δὲ καὶ Φιλόλαος ἀδιαφόρως τὸ ἓν καὶ μονάδα καλοῦσι καὶ τὴν μονάδα ἕν. οἱ δὲ πλεῖστοι προστιθέασι τῷ μονάδα αὐτὴν τὴν πρώτην μονάδα, ὡς οὕσης τινὸς οὐ πρώτης μονάδος, ἣ ἐστι κοινότερον καὶ αὐτὴ μονὰς καὶ ἕν – λέγουσι δὴ καὶ τὸ ἕν –, τουτ[21]έστιν ἡ πρώτη καὶ νοητὴ οὐσία τοῦ ἑνός, ἑκάστου τῶν πραγμάτων παρ­ έχουσα ἔν· μετοχῇ γὰρ αὐτῆς ἕκαστον ἓν καλεῖται. διὸ καὶ τοὔνομα αὐτοῦ οὐδὲν παρεμφαίνει τί ἓν καὶ τίνος γένους, κατὰ πάντων δὲ κατηγορεῖται, [ὥστε καὶ ἡ μονὰς καὶ ἕν ἐστι,] κἂν τὰ μὲν νοητὰ καὶ παραδείγματα μηδὲν ἀλλήλων διαφέροντα, τὰ δὲ αἰσθητά.

ἔνιοι δὲ ἑτέραν διαφορὰν τῆς μονάδος καὶ τοῦ ἑνὸς παρέδοσαν. τὸ μὲν γὰρ ἓν οὔτε κατ’ οὐσίαν ἀλλοιοῦται, οὔτε τῇ μονάδι καὶ τοῖς περιττοῖς αἴτιόν ἐστι τοῦ μὴ ἀλλοιοῦσθαι κατ’ οὐσίαν, οὔτε κατὰ ποιότητα, αὐτὸ γὰρ μονάς ἐστι καὶ οὐχ ὥσπερ αἱ μονάδες πολλαί, οὔτε κατὰ τὸ ποσόν· οὐδὲ γὰρ συντίθεται ὥσπερ αἱ μονάδες ἄλλῃ μονάδι· ἓν γάρ ἐστι καὶ οὐ πολλά, διὸ καὶ ἑνικῶς καλεῖται ἕν. καὶ γὰρ εἰ παρὰ Πλάτωνι ἑνάδες εἴρηνται ἐν Φιλήβῳ, οὐ παρὰ τὸ ἓν ἐλέχθησαν, ἀλλὰ παρὰ τὴν ἑνάδα, ἥτις ἐστὶ μονὰς μετοχῇ τοῦ ἑνός. κατὰ πάντα δὴ ἀμετάβλητον τὸ ἓν τὸ ὡρισμένον τοῦτο ἐν τῇ μονάδι. ὥστε διαφέροι ἂν τὸ ἓν τῆς μονάδος, ὅτι τὸ μέν ἐστιν ὡρισμένον καὶ πέρας, αἱ δὲ μονάδες ἄπειροι καὶ ἀόριστοι.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 4

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nehmbaren Dingen die Tetrade, und ähnlich für alle anderen Zahlen. Sie behaupten weiter, dass die Monade das Prinzip all dieser Zahlen und dass die Eins frei von aller Vielfalt ist, wie sie bei den anderen Zahlen zu finden ist. Sie ist nur Eins, nicht das Eine, also nicht eine bestimmte Menge und eine Vielfalt in Bezug auf eine andere, sondern diejenige, die in sich selbst betrachtet wird, denn dadurch wird sie zum Prinzip und zum Maß der Dinge, die ihr untergeordnet sind, so wie jedes existierende Ding eins genannt wird, als Teilhaber an der ersten Essenz und Idee dessen, was eins ist. Archytas (Test. 47 A 20) und Philolaos (Test. 44 A 10) sprechen unterschiedslos von »Eins« und »Monade« und nennen auch die Monade »Eins«. Die meisten fügen dem Namen Monade den Beinamen »erste« hinzu, als ob es eine Monade gäbe, die nicht die erste ist, und als ob die Monade, die sie als erste bezeichnen, die universellere wäre und sowohl die Monade als auch das Eine wäre – denn sie nennen sie auch »Eins« – und als ob sie die erste und gedankliche Essenz wäre, die alle Dinge, die eins sind, dazu bringe, so zu sein. Durch die Teilhabe an dieser Essenz werde jedes Ding eins genannt. Deshalb gebe der Name selbst (»Eins«) nicht an, was das Eine sei und an welcher Gattung es teilhabe, sondern werde auf alle Dinge angewandt. So wären die Monade und die Eins, die gleichzeitig gedanklich und wahrnehmbar seien, in keiner Weise voneinander unterscheidbar. Manche stellen hingegen einen weiteren Unterschied zwischen der Monade und der Eins fest: Die Eins ändert sich nicht nach der Essenz und verändert auch nicht die Monade oder die ungeraden Zahlen nach der Essenz. Sie ändert sich auch nicht nach der Qualität, denn sie selbst ist eine Monade und steht im Gegensatz zu den Monaden, die mehrere sind. Sie ändert sich auch nicht nach der Quantität, denn sie ist nicht wie die Monaden mit einer anderen Monade zusammengesetzt. Sie ist eine Einheit und nicht mehrere, weshalb sie einzig Eins genannt wird. Und obwohl Platon im Philebos (15a) den Begriff »Henaden« verwendet, nannte er sie nicht so nach der Eins, sondern nach der Monade, die eine Teilhabe an dem Einen ist. Dieses Eine, das sich von der Monade, deren Essenz es ist, unterscheidet, ist etwas völlig Unveränderliches. Das Eine unterscheidet sich dann von der Monade dadurch, dass es begrenzt und bestimmt ist, während die ­Monaden unbegrenzt und unbestimmt sind.

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περὶ ἀρτίου καὶ περιττοῦ (5) τῶν δὲ ἀριθμῶν ποιοῦνται τὴν πρώτην τομὴν εἰς δύο· τοὺς μὲν γὰρ αὐτῶν ἀρτίους, τοὺς δὲ περιττούς φασι. καὶ ἄρτιοι μέν εἰσιν οἱ ἐπιδεχόμενοι τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν, ὡς ἡ δυάς, ἡ τετράς· περισσοὶ δὲ οἱ εἰς ἄνισα διαιρούμενοι, οἷον ὁ ε', ὁ ζ'. πρώτην δὲ τῶν περισσῶν ἔνιοι ἔφασαν τὴν μονάδα. τὸ γὰρ ἄρτιον τῷ περισσῷ ἐναντίον· ἡ δὲ μονὰς ἤτοι περιττόν ἐστιν ἢ ἄρτιον· καὶ [22] ἄρτιον μὲν οὐκ ἂν εἴη· οὐ γὰρ ὅπως εἰς ἴσα, ἀλλ’ οὐδὲ ὅλως διαιρεῖται· περιττὴ ἄρα ἡ μονὰς. κἂν ἀρτίῳ δὲ ἄρτιον προσθῇς, τὸ πᾶν γίνεται ἄρτιον· μονὰς δὲ ἀρτίῳ προστιθεμένη τὸ πᾶν περιττὸν ποιεῖ· οὐκ ἄρα ἄρτιον ἡ μονὰς ἀλλὰ περιττόν.

Ἀριστοτέλης δὲ ἐν τῷ Πυθαγορικῷ τὸ ἕν φησιν ἀμφοτέρων μετέχειν τῆς φύσεως· ἀρτίῳ μὲν γὰρ προστεθὲν περιττὸν ποιεῖ, περιττῷ δὲ ἄρτιον, ὃ οὐκ ἂν ἡδύνατο, εἰ μὴ ἀμφοῖν τοῖν φυσέοιν μετεῖχε· διὸ καὶ ἀρτιοπέριττον καλεῖσθαι τὸ ἕν. συμφέρεται δὲ τούτοις καὶ Ἀρχύτας.

περιττοῦ μὲν οὖν πρώτη ἰδέα ἐστὶν ἡ μονάς, καθάπερ καὶ ἐν κόσμῳ τῷ ὡρισμένῳ καὶ τεταγμένῳ τὸ περιττὸν προσαρμόζουσιν· ἀρτίου δὲ πρώτη ἰδέα ἡ ἀόριστος δυάς, καθὰ καὶ ἐν κόσμῳ τῷ ἀορίστῳ καὶ ἀγνώστῳ καὶ ἀτάκτῳ τὸ ἄρτιον προσαρμόττουσι. διὸ καὶ ἀόριστος καλεῖται ἡ δυάς, ἐπειδὴ οὐκ ἔστιν ὥσπερ ἡ μονὰς ὡρισμένη.

οἱ δ’ ἐξῆς ἑπόμενοι τούτοις ὅροι ἀπὸ μονάδος ἐκτιθέμενοι τὰ αὐτὰ αὔξονται μὲν τῇ ἴσῃ ὑπεροχῇ· μονάδι γὰρ ἕκαστος αὐτῶν τοῦ προτέρου πλεονάζει· αὐξόμενοι δὲ τοὺς λόγους τῆς πρὸς ἀλλήλους σχέσεως αὐτῶν μειοῦσιν. οἷον ἐκτεθέντων ἀριθμῶν α' β' γ' δ' ε' ϛ' ὁ μὲν τῆς δυάδος λόγος πρὸς τὴν μονάδα ἐστὶ διπλάσιος, ὁ δὲ τῆς τριάδος πρὸς τὴν δυάδα ἡμιόλιος, [23] ὁ δὲ τῆς τετράδος πρὸς τὴν τριάδα ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῆς πεντάδος πρὸς τὴν τετράδα ἐπιτέταρτος, ὁ δὲ

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 5

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Gerade und ungerade Zahl (5) Zunächst werden die Zahlen in zwei Arten unterteilt: diejenigen, die gerade, und diejenigen, die ungerade genannt werden. Die geraden Zahlen sind diejenigen, die in zwei gleiche Teile zerlegt werden können, wie die Dyade (2) und die Tetrade (4); die ungeraden Zahlen hingegen sind diejenigen, die nur in ungleiche Teile zerlegt werden können, wie 5 und 7. Einige haben gesagt, dass die erste der ungeraden Zahlen die Monade ist, denn gerade ist das Gegenteil von ungerade, und die Monade ist notwendigerweise entweder ungerade oder gerade. Nun kann sie nicht gerade sein, denn sie wird nicht nur nicht in zwei gleiche Teile, sondern überhaupt nicht zerlegt; daher ist die Monade ungerade. Wenn man eine gerade Zahl zu einer anderen geraden Zahl addiert, ist die Summe gerade; nun ergibt die Monade, die zu einer geraden Zahl addiert wird, eine ungerade Zahl; daher ist die Monade also nicht gerade, sondern ungerade. Aristoteles aber sagt im Pythagorikos (Frg. 199), dass sie an beiden Naturen teilhat. Zu einer geraden Zahl addiert ergibt sie ja eine ungerade Zahl, zu einer ungeraden eine gerade, was sie (nach Aristoteles) nicht tun könnte, wenn sie nicht an beiden Naturen teilhätte. Deshalb nennt man die Eins auch geradzahligfach ungerade (s. u. I 9). Auch Archytas (Test. 44 A 21) stimmt dem zu. Die erste Idee der ungeraden Zahl ist also die Monade. Wie auch im Kosmos wird die Qualität der ungeraden Zahl dem zugeschrieben, was definiert und gut geordnet ist. Wie auch im Kosmos ist andererseits die erste Idee des Geraden die unbestimmte Dyade, die bewirkt, dass das Unbestimmte, Unbekannte und Ungeordnete der Qualität des Geraden zugeschrieben wird. Deshalb wird die Dyade unbegrenzt genannt, weil sie nicht begrenzt ist, so wie die Monade. Was die Werte betrifft, die der Reihe nach, ausgehend von der Monade, aufeinander folgen, so nehmen sie immer um den gleichen Überschuss zu, wobei jeder den vorhergehenden um eine Monade übertrifft. Aber in der Reihe der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist das Verhältnis von der Dyade (2) zur Monade (1) doppelt; das von 3 zu 2 ist hemi­ olios (11⁄2), das von 4 zu 3 ist epitritos (11⁄3), das von 5 zu 4 ist epitetartos (11⁄4), das von 6 zu 5 ist epipemptos (11⁄5). Es ist das epipemptos-Ver-

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[24]

τῆς ἑξάδος πρὸς τὴν πεντάδα ἐπίπεμπτος. ἔστι δ’ ἐλάττων λόγος ὁ μὲν ἐπίπεμπτος τοῦ ἐπιτετάρτου, ὁ δὲ ἐπιτέταρτος τοὺ ἐπιτρίτου, ὁ δὲ ἐπίτριτος τοῦ ἡμιολίου, ὁ δὲ ἡμιόλιος τοῦ διπλασίου· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ ἀριθμῶν ὁ αὐτὸς λόγος. ἐναλλὰξ δ’ εἰσὶν ἀλλήλοις οἵ τε ἄρτιοι καὶ οἱ περιττοὶ παρ’ ἕνα θεωρούμενοι. περὶ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου (6) τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν πρῶτοι καλοῦνται ἁπλῶς καὶ ἀσύνθετοι, οἱ δὲ πρὸς ἀλλήλους πρῶτοι καὶ οὐχ ἁπλῶς, οἱ δὲ σύνθετοι ἁπλῶς, οἱ δὲ πρὸς αὑτοὺς σύνθετοι. πρῶτοι μὲν ἁπλῶς καὶ ἀσύνθετοι οἱ ὑπὸ μηδενὸς μὲν ἀριθμοῦ, ὑπὸ μόνης δὲ μονάδος μετρούμενοι, ὡς ὁ γ' ε' ζ' ια' ιγ' ιζ' καὶ οἱ τούτοις ὅμοιοι. λέγονται δὲ οἱ αὐτοὶ οὗτοι γραμμικοὶ καὶ εὐθυμετρικοὶ διὰ τὸ καὶ τὰ μήκη καὶ τὰς γραμμὰς κατὰ μίαν διάστασιν θεωρεῖσθαι· καλοῦνται δὲ καὶ περισσάκις περισσοί· ὥστε ὀνομάζεσθαι αὐτοὺς πενταχῶς, πρώτους, ἀσυνθέτους, γραμμικούς, εὐθυμετρικούς, περισσάκις περισσούς. μόνον δὲ οὕτως καταμετροῦνται. τὰ γὰρ τρία οὐκ ἂν ὑπ’ ἄλλου κατα­ μετρηθείη ἀριθμοῦ ὥστε γεννηθῆναι ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ αὐτῶν, ἢ ὑπὸ μόνης μονάδος· ἅπαξ γὰρ τρία τρία. ὁμοίως δὲ καὶ ἅπαξ ε' ε', καὶ ἅπαξ ζ' ζ', καὶ ἅπαξ ια' ια'. διὸ καὶ περισσάκις περισσοὶ κέκληνται· οἵ τε γὰρ καταμετρούμενοι περισσοὶ ἣ τε καταμετροῦσα αὐτοὺς μονὰς περισσή. διὸ καὶ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι μόνοι οἱ περισσοί. οἱ γὰρ ἄρτιοι οὔτε πρῶτοι οὔτε ἀσύνθετοι οὔτε ὑπὸ μόνης μονάδος μετρούμενοι, ἀλλὰ καὶ [24] ὑπ’ ἄλλων ἀριθμῶν· οἷον τετρὰς μὲν ὑπὸ δυάδος· δὶς γὰρ β' δ'. ἑξὰς δὲ ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος· δὶς γὰρ γ' ϛ' καὶ τρὶς β' ϛ'·

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 6

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hältnis kleiner als epitetartos, epitetartos kleiner als epitritos, epitritos kleiner als hemiolios, hemiolios kleiner als doppelt. Und man würde feststellen, dass das Verhältnis in gleicher Weise für die anderen Zahlen abnimmt. Man kann sehen, dass die aufeinanderfolgenden Zahlen abwechselnd ungerade und gerade sind. Primzahl und unzusammengesetzte Zahl (6) Von den Zahlen werden die einen einfach Primzahl und unzusammengesetzte Zahl genannt, andere in Bezug zueinander prim, aber nicht einfach; andere sind einfach zusammengesetzt; wieder andere sind in Bezug zueinander zusammengesetzt. Die einfach als Prim- oder unzusammengesetzt benannten Zahlen sind solche, die durch keine Zahl außer der Monade teilbar sind. Dies sind 3, 5, 7, 11, 13, 17 und diesen ähnliche Zahlen. Diese Zahlen werden auch linear und euthymetrisch genannt, weil die Längen und Linien nur als eine einzige Dimension betrachtet werden. Sie werden auch ungeradzahligfach ungerade Zahlen genannt. So haben sie also fünf verschiedene Namen erhalten: Primzahlen, unzusammengesetzte, lineare, euthymetrische und ungeradzahligfach ungerade Zahlen. Nur wie folgt werden sie geteilt. Es kann ja 3 durch keine Zahl so geteilt werden, dass aus ihrer Multiplikation 3 entstehen könnte, nur durch die Monade, denn einmal 3 ist 3. Ebenso ist einmal 5 ja 5, einmal 7 ja 7 und einmal 11 ja 11. Und aus diesem Grund werden diese Zahlen ungeradzahligfach ungerade genannt, denn die geteilten sind ungerade, und die Monade, die sie teilt, ist auch ungerade. Deshalb können nur ungerade Zahlen Primzahlen und unzusammengesetzt sein. Die geraden Zahlen sind ja weder Primzahl noch unzusammengesetzt noch nur durch die Monade teilbar, sondern auch durch andere Zahlen. Etwa die Tetrade (4) durch die Dyade (2), denn zweimal 2 ist 4, oder die Hexade (6) durch die Dyade (2) und die Triade (3), denn zweimal 3 und dreimal 2 ist jeweils 6.

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[25]

καὶ οἱ λοιποὶ ἄρτιοι κατὰ τὰ αὐτὰ ὑπό τινων μειζόνων τῆς μονάδος ἀριθμῶν καταμετροῦνται, πλὴν τῆς δυάδος. ταύτῃ γὰρ μόνῃ συμβέβηκεν, ὅπερ καὶ ἐνίοις τῶν περισσῶν, τὸ ὑπὸ μονάδος μετρεῖσθαι μόνον· ἅπαξ γὰρ β' β'· διὸ καὶ περισσοειδὴς εἴρηται ταὐτὸ τοῖς περισσοῖς πεπονθυῖα. πρὸς ἀλλήλους δὲ λέγονται πρῶτοι ἀριθμοὶ καὶ οὐ καθ’ αὐτοὺς οἱ κοινῷ μέτρῳ μετρούμενοι τῇ μονάδι, κἂν ὑπ’ ἄλλων τινῶν ἀριθμῶν ὡς πρὸς ἑαυτοὺς καταμετρῶνται. οἷον η' μετρεῖται μὲν καὶ ὑπὸ τῶν β' καὶ δ', καὶ ὁ θ' ὑπὸ τῶν γ', καὶ ὁ ι' ὑπὸ τῶν β' καὶ ε'· ἔχουσι δὲ καὶ κοινὸν μέτρον καὶ πρὸς ἀλλήλους καὶ πρὸς τοὺς καθ’ ἑαυτοὺς πρώτους τὴν μονάδα· καὶ γὰρ ἅπαξ γ' γ' καὶ ἅπαξ η' η' καὶ ἅπαξ θ' θ' καὶ ἅπαξ ι' ι'.

περὶ συνθέτου ἀριθμοῦ (7) σύνθετοι δέ εἰσι πρὸς ἑαυτοὺς οἱ ὑπό τινος ἐλάττονος ἀριθμοῦ μετρούμενοι, ὡς ὁ ϛ' ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος. πρὸς ἀλλήλους δὲ σύνθετοι οἱ κοινῷ ᾡτινιοῦν μέτρῳ μετρούμενοι· ὡς ὁ η' καὶ ὁ ϛ' [καὶ ὁ θ']· κοινὸν γὰρ ἔχουσι μέτρον δυάδα [καὶ τριάδα]· δὶς γὰρ γ' ϛ' καὶ θὲς δ' η' [καὶ τρὶς γ' θ']· ‹καὶ ὁ ϛ' καὶ ὁ θ'› κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ τρίας· καὶ γὰρ τρὶς β' ϛ' καὶ τρὶς γ' θ'. οὔτε δὲ ἡ μονὰς ἀριθμὸς, ἀλλὰ ἀρχὴ ἀριθμοῦ, οὔτε ἡ ἀόριστος δυάς, πρώτη οὖσα ἑτερότης μονάδος καὶ μηδὲν αὐτῆς ἐν ἀρτίοις ἀρχικώτερον ἔχουσα. τῶν δὲ συνθέτων τοὺς μὲν ὑπὸ δύο ἀριθμῶν περιεχομένους καλοῦσιν ἐπιπέδους, ὡς κατὰ δύο διαστάσεις θεωρου[25]μένους καὶ οἷον ὑπὸ μήκους καὶ πλάτους περιεχομένους, τοὺς δὲ ὑπὸ τριῶν στερεούς, ὡς καὶ τὴν τρίτην διάστασιν προσειληφότας. περιοχὴν δὲ καλοῦσιν ἀριθμῶν τὸν δι’ ἀλλήλων αὐτῶν πολυπλασιασμόν.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 7

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Alle anderen geraden Zahlen werden ebenfalls durch Zahlen geteilt, die größer als die Monade sind, mit Ausnahme der Dyade. Es fügt sich, dass sie die einzige unter den geraden Zahlen ist, die ähnlich wie die ungeraden Zahlen nur durch die Monade teilbar ist: Einmal 2 ist ja 2. Deshalb sagt man, dass die Dyade die Natur der ungeraden Zahlen hat, weil sie die gleiche Eigenschaft wie die ungeraden hat. Diejenigen, die zwar in Bezug zueinander Primzahlen genannt werden, aber nicht für sich (teilerfremd), sind diejenigen, welche mit gemeinsamem Teiler (nur) durch die Monade teilbar sind, obwohl sie durch andere Zahlen teilbar sind, wenn sie getrennt betrachtet werden, wie etwa 8 teilbar ist durch 2 und 4, 9 durch 3, 10 durch 2 und 5. Sie haben als gemeinsamen Teiler sowohl in Bezug zueinander als auch in Bezug auf ihre Primfaktoren (nur) die Monade: Einmal 3 ist 3, einmal 8 ist 8, einmal 9 ist 9 und einmal 10 ist 10. Zusammengesetzte Zahl (7) Zusammengesetzte Zahlen sind solche, die durch eine Zahl kleiner als sie selbst teilbar sind, wie etwa 6 durch die Dyade (2) und die Triade (3). In Bezug zueinander zusammengesetzte Zahlen sind solche, die durch einen gemeinsamen Teiler teilbar sind; wie 8 und 6, die ja die Dyade (2) als gemeinsamen Teiler haben, denn zweimal die Triade (3) ist 6 und zweimal 4 ist 8; oder 6 und 9, die 3 als gemeinsamen Teiler haben, denn dreimal 2 ist 6 und dreimal 3 ist 9. Was die Monade betrifft, so ist sie keine Zahl, sondern das Prinzip der Zahl; und was die Dyade betrifft, so ist sie nicht unbestimmt, sie ist die erste Zahl, die sich von der Monade unterscheidet, und obwohl sie gerade ist, hat sie keinen Teiler, der größer als die Monade ist. Von den zusammengesetzten Zahlen nennt man diejenigen, die das Produkt von zwei Zahlen sind, epipedoi (Flächenzahlen); man sieht sie als Zahlen an, die zwei Dimensionen haben: Länge und Breite. Diejenigen, die das Produkt von drei Zahlen sind, werden stereoi (Körperzahlen) genannt, da sie die dritte Dimension besitzen. Schließlich werden die Zahlen, die sich aus der Multiplikation der einen Zahlenart mit der anderen ergeben, perioche (Umfangzahl) genannt.

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περὶ τῶν ἀρτίων διαφορᾶς (8) τῶν δὲ ἀρτίων οἱ μέν εἰσιν ἀρτιάκις ἄρτιοι, οἱ δὲ περιττάκις ἄρτιοι, οἱ δὲ ἀρτιοπέριττοι.

ἀρτιάκις μὲν ἄρτιοι [τὸ σημεῖον τοῦτό ἐστιν] οἷς τρία συμβέβηκεν, ἓν τὸ ὑπὸ δύο ἀρτίων ἐπ’ ἀλλήλους πολυπλασιασθέντων γεγεννῆσθαι, δεύτερον τὸ πάντα ἄρτια ἔχειν τὰ μέρη μέχρι τῆς εἰς μονάδα καταλήξεως, τρίτον τὸ μηδὲν αὐτῶν μέρος ὁμώνυμον εἶναι περιττῷ· ὁποῖοί εἰσιν ὁ λβ' ξδ' ρκη' καὶ οἱ ἀπὸ τούτων ἑξῆς κατὰ τὸ διπλάσιον λαμβανόμενοι. τὰ γὰρ λβ' γέγονε μὲν ἔκ τε δ' καὶ η', ἅ ἐστιν ἄρτια· μέρη δὲ αὐτῶν πάντα ἄρτια, ἥμισυ ιϛ', τέταρτον ὁ η', ὄγδοον ὁ δ'· αὐτά τε τὰ μόρια ὁμώνυμα ἀρτίοις, τό τε ἥμισυ ὡς ἐν δυάδι θεωρούμενον καὶ τέταρτον καὶ ὄγδοον. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως ἀριθμῶν.

περὶ ἀρτιοπερίττων (9) ἀρτιοπέριττοι δέ εἰσιν οἱ ὑπὸ δυάδος καὶ περιττοῦ οὑτινοσοῦν μετρούμενοι, οἵτινες ἐκ παντὸς περιττὰ μέρη ἔχουσι τὰ ἡμίσεα κατὰ τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν· ὡς τὰ δὶς ζ' ιδ'. ἀρτιάκις μὲν γὰρ οὗτοι καλοῦνται περιττοί, ἐπεὶ ὑπὸ τῆς δυάδος ἀρτίας οὔσης μετροῦνται καὶ περισσοῦ τινος, ὁ μὲν δύο τοῦ ἑνός, ὁ δὲ ϛ' τοῦ γ', ὁ δὲ ι' τοῦ ε', ὁ δὲ ιδ' τοῦ ζ'. διαιροῦνται δὲ οὗτοι τὴν πρώτην [26] διαίρεσιν εἰς περιττόν, μετὰ δὲ τὴν πρώτην εἰς ἴσα διαίρεσιν οὐκ ἔτι διαιροῦνται. τῶν γὰρ ϛ' τὰ μὲν γ' ἥμισυ, τὰ δὲ γ' οὐκ ἔτι εἰς ἴσα διαιρεῖται· μονὰς γὰρ ἀδιαίρετος.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 8

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Unterschiede bei den geraden Zahlen (8) Unter den geraden Zahlen sind einige geradzahligfach gerade, andere un­geradzahligfach gerade und wieder andere geradzahligfach ungerade. Geradzahligfach gerade Zahlen (Zweierpotenzen) Geradzahligfach gerade sind Zahlen dann, bei denen folgende drei Bedingungen zusammenkommen: Sie entstehen aus zwei geraden Zahlen, die miteinander multipliziert werden; zweitens sind alle Teile bis zur letzten Monade gerade; drittens ist keiner ihrer Teile einer ungeraden Zahl gleich. Von dieser Art sind 32, 64, 128 und diejenigen, die jeweils aus Verdoppelung entstehen. Es ist ja 32 das Produkt der Zahlen 4 und 8, die gerade sind. Alle ihre Teile sind gerade, ihre Hälfte 16, ihr Viertel 8, ihr Achtel 4. Diese Teile sind gleichbedeutend mit den geraden Zahlen; die Hälfte wird wie in einer Dyade betrachtet, und dasselbe gilt für das Viertel und das Achtel (die als die Zahlen 4 und 8 betrachtet werden). Dieses Verhältnis gilt auch für die anderen Zahlen. Geradzahligfach ungerade Zahlen (9) Die geradzahligfach ungeraden Zahlen sind diejenigen, die durch die Dyade (2) und durch eine beliebige ungerade Zahl teilbar sind, und die folglich ungerade Hälften haben, wenn sie in gleiche Teile zerlegt werden. Eine solche ist etwa zweimal 7, also 14. Sie werden geradzahligfach ungerade genannt, weil sie durch die Dyade teilbar sind, die gerade ist, und durch eine ungerade Zahl; 2 hat (als Hälfte) die Eins, 6 die 3, 10 die 5 und 14 die 7. Diese Zahlen werden mit der ersten Zerlegung in zwei ungerade Teile zerlegt, und nach dieser ersten Zerlegung in gleiche Teile werden sie nicht mehr weiter zerlegt. Die Hälfte von 6 ist zwar 3, aber 3 kann nicht in gleiche Teile zerlegt werden, denn die Monade ist unzerlegbar.

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[27]

περὶ περισσάκις ἀρτίων (10) περισσάκις δὲ ἄρτιοί εἰσιν ὧν ὁ πολλαπλασιασμὸς ἐκ δυεῖν ὡντινωνοῦν περισσοῦ καὶ ἀρτίου γίνεται, καὶ πολλαπλασιασθέντες εἰς ἴσα μὲν ἄρτια μέρη δίχα διαιροῦνται, κατὰ δὲ τὰς πλείους διαιρέσεις ἃ μὲν ἄρτια μέρη, ἃ δὲ περισσὰ ἔχουσιν· ὡς ὁ ιβ' καὶ κ'· τρὶς γὰρ δ' ιβ', καὶ πεντάκις δ' κ'· καὶ τὰ μὲν ιβ' διχῆ διαιρεῖται ‹εἰς› ϛ' καὶ ϛ', τριχῇ δὲ εἰς δ' καὶ δ' καὶ δ', τετραχῆ δὲ εἰς τετράκις γ'· τὰ δὲ κ' διχῆ μὲν εἰς ι', τετραχῆ δὲ εἰς ε', πενταχῆ δὲ εἰς δ'.

περὶ ἰσάκις ἴσων (11) ἔτι τῶν συνθέτων ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι εἰσὶ καὶ τετράγωνοι καὶ ἐπίπεδοι, ἐπειδὰν ἴσος ἐπὶ ἴσον πολλαπλασιασθεὶς γεννήσῃ τινὰ ἀριθμόν, [ὁ γεννηθεὶς ἰσάκις τε ἴσος καὶ τετράγωνός ἐστιν] ὡς ὁ δ', ἔστι γὰρ δὶς β', καὶ ὁ θ', ἔστι γὰρ τρὶς γ'· περὶ τῶν ἀνισάκις ἀνίσων (12) οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι, ἐπειδὰν ἄνισοι ἀριθμοὶ ἐπ’ ἀλλήλους πολλα­πλασιασθῶσιν, ὡς ὁ ϛ'· ἔστι γὰρ δὶς γ' ϛ'.

περὶ ἑτερομηκῶν (13) τούτων δὲ ἑτερομήκεις μέν εἰσιν οἱ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας μονάδι μείζονα ἔχοντες. ἔστι δὲ ὁ τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ μονάδι πλεονάζων καὶ ἄρτιος· [27] διὸ μόνον ἄρτιοι οἱ ἑτερομήκεις. ἡ γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν, τουτ­έστιν ἡ μονάς, περισσὴ οὖσα τὴν ἑτερότητα ζητοῦσα τὴν δυάδα ἑτερομήκη τῷ αὐτῆς διπλασιασμῷ ἐποίησε, καὶ διὰ τοῦτο ἡ δυὰς τῆς μονάδος ἑτερομήκης οὖσα καὶ μονάδι ὑπερέχουσα τοὺς ἀρτίους ἀριθμοὺς τῶν περισσῶν ἑτερομήκεις ποιεῖ μονάδι ὑπερέχοντας.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 10

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Ungeradzahligfach gerade Zahlen (10) Die ungeradzahligfach geraden Zahlen sind diejenigen, die sich aus der Multiplikation zweier beliebiger Zahlen ergeben, von denen eine ungerade und die andere gerade ist, und die nach dieser Multiplikation in zwei gleiche gerade Teile zerlegt werden, aber bei den weiteren Zerlegungen (in gleiche Teile) manchmal gerade, manchmal ungerade Teile haben. Das sind etwa 12 und 20, denn dreimal 4 ist 12 und fünfmal 4 ist 20. Die 12 wird halbiert zerlegt in 6 und 6, gedrittelt in 4 und 4 und 4, geviertelt in viermal 3. Die 20 wird halbiert in 10, geviertelt in 5, gefünftelt in 4. Gleichzahligfach gleiche Zahlen (Qua­dratzahlen) (11) Unter den zusammengesetzten Zahlen sind die einen gleichzahligfach gleich, das heißt qua­dratisch und Flächenzahlen, weil sie aus der Multiplikation einer Zahl mit der gleichen resultieren, wie etwa 4, denn zweimal 2 ist 4, und 9, denn dreimal 3 ist 9. Ungleichzahligfach ungleiche Zahlen (12) Die anderen sind ungleichzahligfach ungleiche Zahlen, weil sie aus der Multiplikation von ungleichen Zahlen miteinander resultieren, etwa 6, denn zweimal 3 ist 6. heteromekes-Zahlen (13) Von diesen sind heteromekes-Zahlen diejenigen, deren eine Seite (Faktor) um (genau) eine Monade länger ist als die andere. Es ist die Zahl, welche eine ungerade Zahl um eine Monade übertrifft, gerade, so dass die heteromekes-Zahlen nur aus geraden Zahlen bestehen. Die Monade, das Prinzip der Zahlen, macht ja, da sie ungerade ist und zur Herstellung der anderen dient, durch die Verdoppelung selbst die Dyade, die heteromekes ist. Aus diesem Grund macht die Dyade, die hetero­ mekes ist und die Monade um eins überragt, die geraden Zahlen, welche die ungeraden Zahlen um eine Monade überragen, heteromekes.

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[28]

γεννῶνται δὲ διχῶς, ἔκ τε πολλαπλασιασμοῦ καὶ ἐπισυνθέσεως. ἐκ μὲν ἐπισυνθέσεως οἱ ἄρτιοι τοῖς ἐφεξῆς ἐπισυντιθέμενοι τοὺς ἀπογεννωμένους ποιοῦσιν ἑτερομήκεις. οἷον ἐκκείσθωσαν ἄρτιοι κατὰ τὸ ἑξῆς β' δ' ϛ' η' ι' ιβ' ιδ' ιϛ' ιη'· γίνονται δὲ κατ’ ἐπισύνθεσιν β' καὶ δ' ϛ', ϛ' καὶ ϛ' ιβ, ιβ' καὶ η' κ', κ' καὶ ι' λ'· ὥστε εἶεν ἂν οἱ γεγεννημένοι ἑτερομήκεις ϛ' ιβ' κ' λ'. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς.

κατὰ δὲ πολλαπλασιασμὸν οἱ αὐτοὶ ἑτερομήκεις γεννῶνται τῶν ἐφεξῆς ἀρτίων τε καὶ περιττῶν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν ἑξῆς πολλα­πλασια­ ζομένου· οἷον α' β' γ' δ' ε' ϛ' ζ' η' θ' ι'. ἅπαξ μὲν γὰρ β' β', δὶς δὲ γ' ϛ', τρὶς ‹δὲ› δ' ιβ', τετράκις δὲ ε' κ', πεντάκις δὲ ϛ' λ'· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὁ αὐτὸς λόγος. ἑτερομήκεις δὲ οἱ τοιοῦτοι κέκληνται, ἐπειδὴ πρώτην ἑτερότητα τῶν πλευρῶν ἡ προσθήκη τῇ ἑτέρᾳ πλευρᾷ τῆς μονάδος ποιεῖ.

περὶ παραλληλογράμμων ἀριθμῶν (14) παραλληλόγραμμοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ δυάδι ἢ καὶ μείζονι ἀριθμῷ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας [28] ὑπερέχουσαν ἔχοντες, ὡς ὁ δὶς δ' καὶ ὁ τετράκις ϛ' καὶ ὁ ἑξάκις η' καὶ ὁ ὀκτάκις ι', οἵτινές εἰσιν ὁ η' κδ' μη' π'. περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν (15) τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς περισσῶν ἐπισυντιθεμένων ἀλλήλοις γεννώμενοι. οἷον ἐκκείσθωσαν ἐφεξῆς περισσοὶ α' γ' ε' ζ' θ' ια' ἓν καὶ γ'. δ', ὅς ἐστι τετράγωνος, ἰσάκις γάρ ἐστιν ἴσος, τουτέστι δὶς β' δ', δ' καὶ ε' θ', ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνος· ἔστι γὰρ τρὶς γ' θ'· θ' καὶ ζ' ιϛ', ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι· τετράκις γὰρ δ' ιϛ' ιϛ' καὶ θ' κε', ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι καὶ ἰσάκις ἴσος· ἔστι γὰρ πεντάκις ε' κε'· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 14

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Erzeugt werden diese Zahlen auf zwei Arten: durch Multiplikation und durch Addition. Durch Addition ergeben die geraden Zahlen, die der Reihe nach zu den vorhergehenden addiert werden, die hetero­ mekes-Zahlen. Die geraden Zahlen sind also der Reihe nach 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Aus der Addition haben wir 2 und 4 ist 6; 6 und 6 ist 12; 12 und 8 ist 20; 20 und 10 ist 30, so dass die Summen die hetero­mekes-Zahlen 6, 12, 20, 30 sind. Dasselbe Verfahren gilt auch der Reihe nach weiter. Durch Multiplikation entstehen dieselben heteromekes-Zahlen, wenn man aufeinanderfolgende gerade und ungerade Zahlen multipliziert, wobei die erste Zahl mit der folgenden multipliziert wird, etwa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Zahlen dieser Art sind einmal 2 ist 2; zweimal 3 ist 6; dreimal 4 ist 12, viermal 5 ist 20, fünfmal 6 ist 30 und in diesem Verfahren so weiter. Als heteromekes bezeichnet man die derartigen Zahlen, weil die Hinzufügung der Monade (1) zu der einen Seite die erste Verschiedenheit (heterotes) bewirkt. Parallelogrammzahlen (14) Die Parallelogrammzahlen sind diejenigen, bei denen die eine Seite die andere um eine oder mehrere Dyaden überragt, etwa zweimal 4, viermal 6, sechsmal 8 und achtmal 10, die 8, 24, 48 und 80 ergeben. Qua­dratzahlen (15) Qua­dratisch sind die Zahlen, die durch die Addition von auf­ einanderfolgenden ungeraden Zahlen entstehen. Es stehe da etwa die Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11 und 13. Die Tetrade, die qua­dratisch ist, ist ja geradzahligfach gerade, denn zweimal 2 ist 4. 4 und 5 sind 9, das ebenfalls qua­dratisch ist, denn dreimal 3 ist 9; 9 und 7 sind 16, das qua­dratisch ist, denn viermal 4 ist 16; 16 und 9 sind 25, das wiederum qua­dratisch ist; es ist ja gleichzahligfach gleichzahlig, denn fünfmal 5 ist 25 – und so nach dem gleichen Verfahren bis zur Unendlichkeit.

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[29]

κατὰ μὲν οὖν ἐπισύνθεσιν οὕτως γεννῶνται οἱ τετράγωνοι, τῶν ἐφεξῆς περισσῶν τῷ γεννωμένῳ ἀπὸ μονάδος τετραγώνῳ προστιθεμένων· κατὰ πολλαπλασιασμὸν δέ, ἐπειδὰν ὁστισοῦν ἀριθμὸς ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθῇ, οἷον δὶς β' δ', τρὶς γ' θ', τετράκις δ' ιϛ'.

ὅτι οἱ τετράγωνοι μέσους τοὺς ἑτερομήκεις λαμβάνουσιν (16) οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἑτερομήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [τουτέστι τοὺς μονάδι μείζονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας]· οἱ δὲ ἑτερομήκεις οὐκ ἔτι τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν. οἷον α' β' γ' δ' ε', οὗτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήθει πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους· ἅπαξ τε γὰρ α' α' καὶ δὶς β' δ' καὶ τρὶς γ' θ' καὶ τετράκις δ' ιϛ' καὶ πεντάκις ε' κε'· καὶ οὐκ ἐκβαίνουσι τῶν ἰδίων ὅρων· ἣ τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν [29] ἐδύασε καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν ἐτρίασεν, ὥστε εἶεν ἂν τετράγωνοι οἱ ἑξῆς α' δ' θ' ιϛ' κε'. μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως. τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς ὅ τε α' καὶ δ'· τούτων μέσος ἑτερομήκης ὁ β'· κείσθωσαν δὴ α' β' δ'· μέσος γίνεται ὁ β', τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχων, ὑφ’ οὐ δὲ ὑπερεχόμενος· τοῦ μὲν γὰρ ἑνὸς τὰ β' διπλάσια, τῶν δὲ β' τὰ δ'. πάλιν τετράγωνοι μὲν ὁ δ' καὶ θ'· μέσος δὲ αὐτῶν ἑτερομήκης ὁ ϛ'· κείσθωσαν δὴ δ' ϛ' θ'· μέσος ὁ ϛ', τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν [γὰρ] ὑπερέχων, ὑφ’ οὗ δὲ ὑπερεχόμενος· τῶν μὲν γὰρ δ' τὰ ϛ' ἡμιόλια, τῶν δὲ ϛ' τὰ θ. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς.

οἱ δὲ ἑτερομήκεις, ὑπὸ τῶν τῇ μονάδι ὑπερεχόντων πολλαπλασιαζόμενοι, οὔτε μένουσιν ἐν τοῖς ἰδίοις ὅροις οὔτε περιέχουσι τοὺς τετραγώνους. οἷον τὰ δὶς γ' γεννᾷ τὸν ϛ' καὶ τὰ τρὶς δ’ γεννᾷ τὸν ιβ' καὶ τὰ

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 16

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So ist also die Schaffung der Qua­dratzahlen durch Addition, wobei jede ungerade Zahl nacheinander zu dem Qua­drat addiert wird, das man durch Addition der vorhergehenden ungeraden Zahlen erhält, beginnend mit der Monade. Die Schaffung erfolgt auch durch Multiplikation, indem man eine beliebige Zahl mit sich selbst multipliziert, etwa zweimal 2 ist 4; dreimal 3 ist 9, viermal 4 ist 16. Qua­dratzahlen haben heteromekes-Zahlen als (geometrischen) Mittelwert (16) Alle Qua­dratzahlen umfassen heteromekes-Zahlen nach der geometrischen Proportion und machen sie zu (geometrischen) Mittelwerten; die aufeinanderfolgenden heteromekes-Zahlen aber umfassen nicht die Qua­dratzahlen als Mittelwerte nach der (geometrischen) Proportion (s. u. II56). Etwa die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5. Jede von ihnen ergibt, mit sich selbst multipliziert, ein Qua­drat: Einmal 1 ist 1, zweimal 2 ist 4, dreimal 3 ist 9, viermal 4 ist 16, fünfmal 5 ist 25. Keiner der Faktoren überschreitet seinen eigenen Grenzen, denn die Dyade kann sich nur verdoppeln und die Triade kann sich nur verdreifachen. Die aufeinanderfolgenden Qua­drate sind 1, 4, 9, 16, 25. Ihre heteromekes-Mittelwerte sind so: Es seien die zwei aufeinanderfolgenden Qua­drate 1 und 4, ihr (geometrischer) Mittelwert ist die heteromekes-Zahl 2; gegeben sind also 1, 2, 4, so enthält der Mittelwert 2 den Randwert 1 so oft, wie er im anderen Randwert 4 enthalten ist; 2 ist ja das Doppelte von 1 und 4 das Doppelte von 2. Es seien wiederum die Qua­drate 4 und 9, so ist ihr heteromekes-Mittelwert 6. Wenn wir 4, 6 und 9 in eine Linie setzen, ist das Verhältnis der mittleren 6 zum ersten Randwert gleich dem Verhältnis des zweiten Randwerts zu 6, weil das Verhältnis von 6 zu 4 hemiolios (1½) ist, ebenso wie das Verhältnis von 9 zu 6. Dasselbe gilt für die folgenden Qua­drate. Die heteromekes-Zahlen dagegen – also Produkte von Faktoren, die sich um eine Monade unterscheiden –, bleiben nicht in ihren eigenen Grenzen und schließen auch die Qua­drate nicht mit ein. Etwa: Zweimal 3 ist 6; dreimal 4 ist 12 und viermal 5 ist 20. Nun bleibt keiner

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Theon von Smyrna

[30]

τετράκις ε' γεννᾷ τὸν κ', καὶ οὐδεὶς αὐτῶν μένει ἐν τῷ ἑαυτοῦ ὅρῳ, ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ, οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα· οἵ τε γεννώμενοι ὑπὸ τῶν ἑτερομηκῶν οὐ περιλαμβάνουσι τοὺς τετραγώνους ἀριθμούς· οἷον ἐφεξῆς ἑτερομήκεις β' ϛ', μεταξὺ δὲ αὐτῶν ἐστι τῇ τάξει τετράγωνος ὁ δ'· ἀλλὰ κατ’ οὐδεμίαν ἀναλογίαν περιλαμβάνεται ὑπ’ αὐτῶν ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα εἶναι. ἐκκείσθω γὰρ β' δ' ϛ'· ἡ τετρὰς ἐν διαφόροις λόγοις πρὸς τὰ ἄκρα γενήσεται· τῶν μὲν γὰρ β' τὰ δ' διπλάσια, τῶν δὲ δ' [30] τὰ ϛ' ἡμιόλια. ἵνα δὲ ἀναλόγως μέσον ᾖ, δεῖ αὐτὸ οὕτως μέσον εἶναι, ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, τοῦτον τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον. πάλιν τῶν ϛ' καὶ ιβ' ἑτερομήκων μέσος τῇ τάξει τετράγωνος ὁ θ', ἀλλ’ οὐχ εὑρεθήσεται ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα· ϛ' θ' ιβ'· τῶν μὲν γὰρ ϛ' τὰ θ' ἡμιόλια, τῶν δὲ θ' τὰ ιβ' ἐπίτριτα. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς λόγος.

περὶ προμηκῶν ἀριθμῶν (17) προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν, ἢ μονάδι ἢ δυάδι ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς ὁ κδ', ἔστι γὰρ ἑξάκις δ', καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκῶν. καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμήκης, καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης· οὐ μὴν ἀνάπαλιν· ὁ γὰρ μείζονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης· ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὁ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ὁ ϛ'· ἔστι γὰρ δὶς γ' ϛ'.

ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν ‹ἔχων›, ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι·

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 17

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der (ersten) Faktoren in seinen eigenen Grenzen; sie ändern sich vielmehr bei der Multiplikation. Die Dyade wird mit 3, die Triade mit 4 und die Tetrade mit 5 multipliziert. Außerdem umfassen die erzeugten heteromekes-Zahlen nicht die Qua­dratzahlen. So sind 2 und 6 aufeinander folgende hetero­mekesZahlen, zwischen denen sich das Qua­drat 4 befindet, aber 4 ist zwischen ihnen nicht in einer kontinuierlichen geometrischen Proportion enthalten, in der es das gleiche Verhältnis zu den Randwerten hätte. Wenn wir 2, 4 und 6 in einer Linie anordnen, hat 4 ein unterschiedliches Verhältnis zu jedem der Randwerte, denn das Verhältnis von 4 zu 2 ist doppelt, während das von 6 zu 4 hemiolios (11⁄2) ist. Damit 4 ein (geometrischer) Mittelwert ist, müsste das Verhältnis des ersten Werts zum Mittelwert gleich dem Verhältnis des Mittelwerts zum dritten Wert sein. In ähnlicher Weise ist 9 eine Qua­dratzahl und zwischen den aufeinanderfolgenden heteromekes-Zahlen 6 und 12 enthalten, aber sie hat nicht dasselbe Verhältnis zu den Randwerten: 6, 9, 12; das Verhältnis von 9 zu 6 ist ja hemiolios (11⁄2), das von 12 zu 9 hingegen epitritos (11⁄3). Es ist das gleiche Verfahren mit den folgenden. Rechteckzahlen (17) Eine Rechteckzahl ist eine Zahl, die aus (dem Produkt von) zwei ungleichen Zahlen besteht, von denen eine die andere überragt, und zwar entweder um eine Monade (1) oder um eine Dyade (2) oder um mehr. Das sind etwa die 24, die den Wert sechsmal 4 hat, und andere derartige Zahlen. Es gibt drei Klassen von Rechteckzahlen. Es sind ja alle heteromekes-Zahlen zugleich Rechteckzahlen, insofern eine Seite größer als die andere ist; aber auch wenn alle heteromekes-Zahlen dadurch rechteckig sind, ist das Gegenteil nicht wahr, denn die Zahl, bei der eine Seite um mehr als eine Monade länger ist als die andere, ist rechteckig, aber nicht heteromekes: Letztere ist ja definiert als eine Zahl, bei der eine Seite um nur eine Monade länger als die andere ist (s. o. I 13), etwa 6, denn zweimal 3 ist 6. Eine Zahl ist auch dann eine Rechteckzahl, wenn sie eine Seite hat, die bei verschiedenen Multiplikationen manchmal um eine Monade,

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[31]

ὡς ὁ ιβ'· ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δ' καὶ δὶς ϛ', ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δ' εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ' προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν· ὡς ὁ μ'· καὶ γὰρ τετράκις ι' [31] καὶ πεντάκις η' καὶ δὶς κ'· ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προμήκης. ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ὁ ἐκ τῶν ἴσων ἀριθμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα· ἡ δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρᾳ ἀριθμῷ προσθήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα· διὸ οἱ ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν ἑτερότητος ἑτερομήκεις. οἱ δὲ πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέραν πλευρὰν μείζονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προβιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται.

περὶ ἐπιπέδων ἀριθμῶν (18) εἰσὶ δὲ τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἐπίπεδοι, ὅσοι ὑπὸ δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζονται, οἷον μήκους καὶ πλάτους, τούτων δὲ οἱ μὲν τρίγωνοι, οἱ δὲ τετράγωνοι, οἱ δὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι.

περὶ τριγώνων ἀριθμῶν πῶς γεννῶνται καὶ περὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων (19) γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον. [ὥσπερ] οἱ ἐφεξῆς ἄρτιοι ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι κατὰ τὸ ἑξῆς ἑτερομήκεις ἀριθμοὺς ποιοῦσιν. οἷον ὁ β' πρῶτος ἄρτιος· καὶ ἔστιν ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ ἅπαξ β'. εἶτα τοῖς β' ἂν προσθῇς δ', γίνεται ϛ', ὃς καὶ αὐτὸς ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ δὶς γ'. καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. ἐναργέστερον δέ, ὥστε πᾶσιν εὐσύνοπτον εἶναι τὸ λεγόμενον, δείκνυται καὶ τῇδε.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 18

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manchmal aber um mehr als eine Monade länger ist, etwa die 12, die sich aus dreimal 4 und zweimal 6 ergibt, so dass die 12 heteromekes ist, wenn die Seiten 3 und 4 sind, wenn aber die Seiten 2 und 6 sind, dann ist sie (nur) eine Rechteckzahl. Schließlich ist eine Zahl auch wieder eine Rechteckzahl, wenn sie eine Seite hat, die bei irgendeiner Art von Multiplikation um mehr als eine Monade länger ist als die andere. So ist etwa 40 das Produkt von 10 mit 4, von 8 mit 5 und von 20 mit 2. Solche Zahlen können nur Rechteckzahlen sein. Hingegen ist hetero­ mekes diejenige Zahl, die nach der aus gleichen Faktoren gebildeten Zahl die erste Verschiedenheit erhält, wobei die erste Änderung die Addition einer Monade ist, die einer der beiden Seiten gegeben wird. Deshalb werden die Zahlen, die sich aus dieser ersten Verschiedenheit der Seiten ergeben, mit gutem Grund hetero­mekes genannt; aber diejenigen, die eine Seite haben, die um mehr als eine Monade größer ist als die andere, werden wegen des größeren Längenunterschieds zwischen den Seiten Rechteckzahlen genannt. Flächenzahlen (18) Flächenzahlen sind diejenigen, die sich aus der Multiplikation der beiden Zahlen ergeben, welche die Länge und die Breite darstellen. Unter diesen Zahlen gibt es die Dreieck-, Viereck-, Fünfeck- und der Reihe nach die Vieleckzahlen. Dreieckzahlen, die Methode, sie zu ermitteln, und die nachfolgenden Vieleckzahlen (19) Die Dreieckzahlen entstehen auf folgende Art und Weise: Es ergeben die aufeinanderfolgenden geraden Zahlen, miteinander addiert, heteromekes-Zahlen. So ist die erste gerade Dyade gleichzeitig heteromekes, denn sie hat den Wert einmal 2. Wenn nun 4 zu 2 addiert wird, ergibt sich die Summe 6, die wiederum heteromekes ist, da sie den Wert zweimal 3 hat; das Gleiche ist mit den folgenden Zahlen bis ins Unendliche. Aber um zu verdeutlichen, was wir gerade gesagt haben, soll es auf folgende Weise gezeigt werden.

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[32]

πρώτη δυὰς ἔστω ἄλφα ἐκκείμενα δύο τάδε· α   α

τὸ σχῆμα αὐτῶν ἔσται ἑτερόμηκες· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκός ἐστιν ἐπὶ δύο, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐφ’ ἕν. μετὰ τὰ δύο ἐστὶν ἄρτιος ὁ δ'· ἃ ἐὰν προσθῶμεν τοῖς πρώτοις [32] δύο ἄλφα [α' α'] καὶ περιθῶμεν τὰ δ' τοῖς β', γίνεται ἑτερόμηκες τὸ τῶν ϛ' σχῆμα· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκος γίνεται ἐπὶ τρία, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐπὶ β'. ἑξῆς ἐστιν ἄρτιος μετὰ δ' ὁ ϛ'· ἂν προσθῇς ταῦτα τοῖς πρώτοις ϛ', γίνεται ὁ ιβ', κἂν περιθῇς αὐτὰ τοῖς πρώτοις, ἔσται σχῆμα ἑτερόμηκες· ὡς ἔχειν ταῦτα κατὰ τὸ μῆκος μὲν δ, κατὰ πλάτος δὲ γ'. καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων ἐπισύνθεσιν. α   α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α

πάλιν δὲ οἱ ἑξῆς περισσοὶ ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι τετραγώνους ποιοῦσιν ἀριθμούς. εἰσὶ δὲ οἱ ἐφεξῆς περισσοὶ α' γ' ε' ζ' θ' ια'. ταῦτα δὲ ἐφεξῆς συντιθεὶς ποιήσεις τετραγώνους ἀριθμούς. οἷον τὸ ἓν πρῶτον τετράγωνον· ἔστι γὰρ ἅπαξ ἓν ἕν. εἶτα περισσὸς ὁ γ'· τοῦτον ἂν προσθῇς τὸν γνώμονα τῷ ἑνί, ποιήσεις τετράγωνον ἰσάκις ἴσον· ἔσται γὰρ κατὰ μῆκος β' καὶ κατὰ πλάτος β'. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ε'· τοῦτον ἂν περιθῇς τὸν γνώμονα τῷ δ' τετραγώνῳ, γενήσεται πάλιν τετράγωνος ὁ θ', καὶ κατὰ μῆκος ἔχων γ' καὶ κατὰ πλάτος γ'. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ζ'· τοῦτον ἂν προσθῇς τῷ θ', ποιεῖς τὸν ιϛ', καὶ κατὰ μῆκος δ' καὶ κατὰ πλάτος δ'. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος μέχρις ἀπείρου.

α   α α   α

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 19

71

Es sei die erste Dyade durch zwei Alpha wie folgt dargestellt: α   α

Die Form, die sie bilden, ist heteromekes, da sie 2 in der Länge und 1 in der Breite ist. Nach der Dyade kommt die gerade 4; wenn wir die vier Monaden zu den ersten beiden addieren, indem wir sie um sie herum (im rechten Winkel) platzieren, erhalten wir die Form der heteromekes-Zahl 6, da ihre Länge 3 und ihre Breite 2 ist. Nach der Tetrade kommt die Zahl 6. Wenn wir 6 Monaden zu den ersten sechs addieren, indem wir sie um sie herum (im rechten Winkel) platzieren, ergibt sich die Summe 12 und die Form ist heteromekes, da ihre Länge 4 und ihre Breite 3 ist, und dies wird sich durch die Addition der geraden Zahlen bis ins Unendliche fortsetzen. α   α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α

Die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen addiert ergeben wiederum die Qua­dratzahlen (s. o. I 15). Nun sind die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11. Wenn man sie fortlaufend addiert, erhält man die Qua­dratzahlen. Die Monade ist also die erste Qua­dratzahl, denn einmal 1 ist 1. Als nächstes kommt die ungerade 3. Addiert man diesen Gnomon (hier: die hinzugefügte Ecke) zur 1, erhält man ein gleichzahligfach gleiches Qua­drat, denn es hat 2 als Länge und 2 als Breite. Die ungerade Zahl, die als nächstes kommt, ist 5. Wenn dieser Gnomon zu dem Qua­drat 4 addiert wird, erhält man ein neues Qua­drat 9, das sowohl die Länge als auch die Breite 3 hat. Als nächstes kommt die ungerade Zahl 7, die, zu dem Qua­drat 9 addiert, das Qua­drat 16 ergibt, dessen Länge und Breite beide 4 sind und dasselbe Verfahren so weiter bis ins Unendliche. α   α α   α

  72

Theon von Smyrna

[33]

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

κατὰ ταὐτὰ δὲ ἂν μὴ μόνον τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους [33] μηδὲ μόνον τοὺς ἐφεξῆς περισσούς, ἀλλὰ καὶ ἀρτίους καὶ περισσοὺς ἀλλήλοις ἐπισυντιθῶμεν, τρίγωνοι ἡμῖν ἀριθμοὶ γενήσονται. ἐκκείσθωσαν γὰρ ἐφεξῆς περισσοὶ καὶ ἄρτιοι, α' β' γ' δ' ε' ϛ' ζ' η' θ' ι'. γίνονται κατὰ τὴν τούτων σύνθεσιν οἱ τρίγωνοι. πρώτη μὲν ἡ μονάς· αὕτη γάρ, εἰ καὶ μὴ ἐντελεχείᾳ, δυνάμει πάντα ἐστίν, ἀρχὴ πάντων ἀριθμῶν οὖσα. τῆς δὲ ἑξῆς αὐτῇ δυάδος προστεθείσης γίνεται τρίγωνος ὁ γ'· εἶτα πρόσθες γ', γίνεται ϛ'· εἶτα πρόσθες δ', γίνονται ι'· εἶτα πρόσθες ε', γίνονται ιε'· εἶτα πρόσθες ϛ', γίνονται κα'· εἶτα πρόσθες ζ', γίνονται κη'· εἶτα πρόσθες η', γίνονται λϛ'· εἶτα πρόσθες θ', γίνονται με'· εἶτα πρόσθες ι', γίνονται νε'· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. α' γ'

ϛ'

ι'

α α α   α α α   α α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 19

73

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

Ebenso entstehen, wenn wir nicht mehr nur die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen addieren, sondern sowohl die geraden als auch die ungeraden, die Dreieckzahlen. Die Reihe der ungeraden und geraden Zahlen ist 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; aus ihrer Addition entstehen die Dreieckzahlen. Die erste ist die Monade (1), denn sie ist alles wenn auch nicht in der Wirksamkeit, aber potentiell, da sie das Prinzip aller Zahlen ist. Wenn die Dyade (2) dazu addiert wird, ist das Ergebnis das Dreieck, die 3. Dann addiere 3, gibt 6. Dann addiere 4, gibt 10. Dann addiere 5, gibt 15. Dann addiere 6, gibt 21. Dann addiere 7, gibt 28. Dann addiere 8, gibt 36. Dann addiere 9, gibt 45. Dann addiere 10, gibt 55, und so weiter bis ins Unendliche nach diesem Verfahren. 1 3

6

10

α α α   α α α   α α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α

  74 ιε'

κα'

κη'

λϛ'

Theon von Smyrna

[33]

α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α   α   α

δῆλον δὲ ὅτι τρίγωνοι οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ κατὰ τὸν σχηματισμόν, τοῖς πρώτοις ἀριθμοῖς τοῦ ἐφεξῆς γνώμονος προστιθεμένου· καὶ εἶεν ἂν οἱ ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως ἀπογεννώμενοι τρίγωνοι οἵδε· γ' ϛ' ι' ιε' κα' κη' λϛ' με' νε'. καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἑξῆς τῶν με' καὶ νε'.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 19 15

21

28

36

75

α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α   α   α

Es ist offensichtlich, dass diese Zahlen dreieckig sind, entsprechend der Form, die man erhält, wenn man die aufeinanderfolgenden Gnomones (hier: die Grundreihen) zu den jeweils ersten Zahlen addiert. Die dreieckigen Zahlen, die man durch Addition erhält, sind dann 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 und so weiter von 45 und 55 an.

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Theon von Smyrna

[34]

[34] περὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων (20) οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιθεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παρ’ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παρ’ ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α' δ' θ' ιϛ' κε' λϛ' μθ' ξδ' πα' ρ'. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συνθέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται· ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι ‹οἱ› περιττοί.

ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτελοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν. ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριθμῶν. τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων, λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς, οἱ μὲν ἕνα παρ’ ἕνα διαλείποντες ἀριθμοὶ τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετράγωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους [35] ἀριθμοὺς κύβοι ὄντες, τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριθμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς. ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριθμῶν οἱ μὲν παρ’ ἔνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ παρὰ β' κύβοι, οἱ δὲ παρὰ ε' κύβοι ἄμα καὶ τετράγωνοί εἰσι, δῆλον οὕτως. ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις, κειμένων πλειόνων ἀριθμῶν οἷον α' β' [γ'] δ' [ε' ϛ' ζ'] η' [θ' ι' ια' ιβ' ιγ' ιδ' ιε'] ιϛ' [ιζ' ιη' ιθ' κ' κα' κβ' κγ' κδ' κε'] ‹λβ' ξδ' ρκη' σνϛ'›. πρῶτος διπλάσιος ὁ β'· εἶτα ὁ δ', ὅς ἐστι τετράγωνος· εἶτα ὁ η', ὅς ἐστι κύβος· εἶτα ιϛ', ὅς ἐστι τετράγωνος· εἴτα ὁ λβ'· μεθ’ ὅν ὁ ξδ', ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ κύβος· εἶτα ρκη'· μεθ’ ὅν σνϛ', ὅς ἐστι τετράγωνος· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεθήσονται οἱ παρ’ ἕνα τετρά-

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 20

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Die nachfolgenden Vieleckzahlen (20) Wie schon (in I 19) gesagt worden ist, entstehen die Qua­ dratzahlen durch die Addition aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend mit der Monade. Es fügt sich, dass sie abwechselnd gerade und ungerade sind, so wie die Zahlen ab 1 abwechselnd gerade und ungerade sind, etwa 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Wenn man nun die geraden und ungeraden Zahlen der Reihe nach anordnet, beginnend mit der Monade, fügt es sich, dass deren Gnomones (s. o. I 19) einander jeweils um eine Dyade (2) überragen, und wenn man sie zu dem Qua­drat davor addiert, das nächste Qua­drat bilden, wie wir oben gezeigt haben. Die ungeraden Zahlen, beginnend mit der Monade, überragen einander ja um eine Dyade (2). Ebenso bilden die Zahlen, die einander um eine Triade (3) überragen, immer beginnend mit der Monade, die Fünfecke, die um eine Tetrade (4) überragen, die Sechsecke. Immer ist der Überschuss der Gnomones, aus denen sich Vielecke ergeben, um 2 Monaden kleiner als die Anzahl der Ecken in der Figur. Eine andere Ordnung in den Vieleckzahlen ist die der (mit sich) vervielfachten Zahlen, ausgehend von der Monade. Bei den vervielfachten Zahlen, ausgehende von der Monade, spreche ich von den (wiederholt) Verdoppelten, Verdreifachten und so weiter. Die einen, die jeweils 1 überspringen, sind allesamt Qua­dratzahlen, die 2 überspringen, allesamt Kubikzahlen, die 5 überspringen, zugleich sowohl Kubik- als auch Quadratzahlen, die als Kubikzahlen Quadratzahlen als Seiten haben und als Quadratzahlen Kubikzahlen. Dass von den vervielfachten Zahlen diejenigen, welche jeweils 1 überspringenden, ausgehend von der Monade, Qua­dratzahlen sind, die jeweils 2 überspringenden Kubikzahlen und die jeweils 5 überspringenden Kubikund Quadratzahlen, ist wie folgt offenbar: Bei Verdoppelung ordnen wir mehrere Zahlen an, etwa: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Die erste Verdoppelung ist 2, dann kommt die 4, die qua­dratisch ist, dann die 8, die kubisch ist, dann die 16, die wieder qua­dratisch ist, dann die 32, danach die 64, die sowohl qua­dratisch als auch kubisch ist, danach die 128, nach ihr die 256, die qua­dratisch ist – und so weiter bis ins Unendliche nach diesem Verfahren. Auch bei Verdreifachung wird man nach jeweils 1 übersprungenen Zahl die Quadratzahlen finden,

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Theon von Smyrna

[36]

γωνοι, καὶ ἐν τῷ πενταπλασίῳ, καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους. ὁμοίως δὲ εὑρεθήσονται καὶ οἱ δύο διαλείποντες ἐν τοῖς πολλαπλασίοις κύβοι πάντες, καὶ οἱ ε' διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετράγωνοι. ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάντως, ἢ πάλιν τέταρτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχειν πάντως· καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως, ὡς ὁ δ', τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως, ὡς ὁ θ', ἢ τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ λϛ' [ἢ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάν[36]τως], ἢ μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεθείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ κε'.

περὶ ἰσάκις ἰσῶν καὶ ἀνισάκις ἀνίσων (21) ἔτι τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ ἀν­ ισάκις ἄνισοι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις, καὶ ἁπλῶς οἱ διχῶς πολλαπλασιαζόμενοι ἐπίπεδοι, οἱ δὲ τριχῶς στερεοί. λέγονται δὲ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ καὶ τρίγωνοι καὶ τετράγωνοι καὶ στερεοὶ καὶ τἆλλα οὐ κυρίως ἀλλὰ καθ’ ὁμοιότητα τῶν χωρίων ἃ καταμετροῦσιν· ὁ γὰρ δ', ἐπεὶ τετράγωνον χωρίον καταμετρεῖ, ἀπ’ αὐτοῦ καλεῖται τετράγωνος, καὶ ὁ ϛ' διὰ τὰ αὐτὰ ἑτερομήκης.

περὶ ὁμοίων ἀριθμῶν (22) ὅμοιοι δ’ εἰσὶν ἀριθμοὶ ἐν μὲν ἐπιπέδοις τετράγωνοι οἱ πάντες πᾶσιν, ἑτερομήκεις δὲ ὅσων αἱ πλευραί, τουτ­έστιν οἱ περιέχοντες αὐτοὺς ἀριθμοί, ἀνάλογόν εἰσιν. οἷον ἑτερομήκη ἦν τὰ ϛ'· πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆκος γ', πλάτος β'· ἕτερος πάλιν ἐπίπεδος ὁ κδ'· πλευραὶ

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 21

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ebenso bei der Verfünf‌fachung usw. Ebenso wird man finden, dass die jeweils 2 überspringenden unter den Vervielfachten allesamt Kubikzahlen ergeben, die jeweils5 überspringenden zugleich Kubik- und Quadratzahlen. Für die Qua­dratzahlen je für sich fügt es sich, dass sie allesamt entweder durch 3 teilbar sind oder nach Abzug einer Monade durch 3 teilbar sind, wiederum allesamt entweder durch 4 teilbar sind oder nach Abzug eine Monade durch 4 teilbar sind. Eine Qua­dratzahl, die nach Abzug einer Monade durch 3 teilbar wird, ist stets auch durch 4 teilbar, wie etwa 4. Eine Qua­dratzahl, die nach Abzug einer Monade durch 4 teilbar wird, ist stets durch 3 teilbar, wie etwa 9. Eine Quadratzahl kann sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar sein, wie 36. Eine Qua­dratzahl schließlich, die weder durch 3 noch durch 4 teilbar wird, ist nach Abzug einer Monade sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar, wie 25. Gleichzahligfach gleiche und ungleichzahligfach ungleiche Zahlen (21) Unter den Zahlen sind diejenigen, die gleichzahligfach gleich sind, Qua­drate, und diejenigen, die ungleichzahligfach ungleich sind, heteromekes- oder Rechteckzahlen. Und es sind generell die Produkte von zwei Faktoren Flächen und die von drei Faktoren Körper. Sie erhalten die Namen Flächen-, Dreieck-, Viereck- (Qua­drat-) oder Körperzahlen (Kubikzahlen) und andere Bezeichnungen nicht im eigentlichen Sinn, sondern nach der im Ähnlichkeit mit dem Raum, den sie zu messen scheinen. So wird die 4 als Qua­dratzahl bezeichnet, weil sie einen qua­dratischen Raum misst; und aus demselben Grund wird die 6 heteromekes genannt. Ähnliche Zahlen (22) Unter den Flächenzahlen sind die Qua­drate alle einander ähnlich. Unter den Flächenzahlen, die heteromekes-Seiten haben, sind diejenigen ähnlich, deren Seiten oder die Zahlen, aus denen sie bestehen, die gleichen Proportionen zueinander haben. Es sei die heteromekesZahl 6, deren Seiten die Länge 3 und die Breite 2 sind, und eine andere

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Theon von Smyrna

[37]

δὲ αὐτοῦ μῆκος μὲν ϛ', πλάτος δὲ δ'. καὶ ἔστιν ὡς τι μῆκος πρὸς τὸ μῆκος, οὕτως τὸ πλάτος πρὸς τὸ πλάτος· ὡς γὰρ ϛ' πρὸς γ', οὕτως δ' πρὸς β'. ὅμοιοι οὖν ἀριθμοὶ ἐπίπεδοι ὅ τε ϛ' καὶ ὁ κδ'. σχηματίζονται δὲ οἱ αὐτοὶ ἀριθμοὶ ὁτὲ μὲν εἰς πλευρὰς ὡς μήκη καὶ πρὸς ἑτέρων σύστασιν λαμβανόμενοι, ὁτὲ δὲ εἰς ἐπιπέδους, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ δύο ἀριθμῶν γεννηθῶσιν, ὁτὲ [37] δὲ εἰς στερεούς, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ τριῶν ληφθῶσιν ἀριθμῶν. ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς πάλιν οἱ μὲν κύβοι πάντες πᾶσίν εἰσιν ὅμοιοι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ τὰς πλευρὰς ἔχοντες ἀνάλογον· ὡς ἡ τοῦ μήκους πρὸς τὴν τοῦ μήκους, οὕτως ἡ τοῦ πλάτους πρὸς τὴν τοῦ πλάτους καὶ ‹ἡ› τοῦ ὕψους πρὸς τὴν τοῦ ὕψους.

περὶ τριγώνων ἀριθμῶν (23) τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος ὁ τρίγωνος, ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχημάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ περιττοῦ προστιθεμένου. πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί, ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους, γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον ἡ μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατ’ ἐντελέχειαν, ὡς προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν· ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τριγωνοειδῆ δύναμιν.

προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων, ὅσων ἐστὶν ὁ προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἱ συντεθέντες γνώμονες. ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ ‹ὁ› τῶν δυεῖν γνώμων τὰ γ' ἐποίησαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον [38] ἔσται μὲν τριῶν μονάδων, ἕξει δ’ ἑκάστην πλευρὰν τῶν δυεῖν, ὅσοι καὶ οἱ γνώμονες συνετέθησαν.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 23

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Flächenzahl 24, deren Seiten die Länge 6 und die Breite 4 sind. Die Länge der einen verhält sich zur Länge der anderen wie die Breite der einen zur Breite der anderen, denn so wie 6 zu 3, so ist auch 4 zu 2. Daher sind die Flächenzahlen 6 und 24 ähnlich. Dieselben Zahlen, die einmal die Länge repräsentieren, können bei der Bildung anderer Formen als Breite genommen werden; wenn sie das Produkt der Multiplikation von zwei Zahlen sind, nennt man sie flächig, und sie sind Körper, wenn sie das Produkt der Multiplikation von drei Zahlen sind. Alle Körper sind ähnlich zu anderen Körpern, die proportionale Seiten haben, so dass es das gleiche Verhältnis zwischen der Länge des einen und der Länge des anderen, der Breite des einen und der Breite des anderen und schließlich der Höhe des einen und der Höhe des anderen gibt. Dreieckzahlen (23) Von allen Flächen- und Vieleckzahlen ist die erste die Dreieckzahl, so wie bei den flächigen geradlinigen Formen die erste das Dreieck ist. In einem vorhergehenden Abschnitt (I 19) haben wir die Bildung von Dreieckzahlen besprochen und wir haben gesehen, dass sie darin besteht, zur Monade die Reihe von geraden und ungeraden Zahlen zu addieren. Nun werden alle aufeinanderfolgenden Zahlen, die dazu dienen, die drei-, vier- oder vieleckigen Zahlen zu bilden, Gnomones genannt; und die Seiten eines jeden Dreiecks haben immer so viele Monaden, wie im letzten hinzugefügten Gnomon enthalten sind. Es sei als erstes die Monade, ein Dreieck nicht nach der Wirksamkeit, wie wir vorhin gesagt haben, sondern nach der Potenz. Die Monade besitzt ja als Keim aller Zahlen auch die Potenz, ein Dreieck zu erzeugen. Wenn sie zu der Dyade addiert wird, entsteht das Dreieck, dessen drei Seiten so viele Monaden enthalten, wie der addierte Gnomon – die Dyade (2) – hat, und das ganze Dreieck enthält so viele Monaden, wie in den addierten Gnomones enthalten sind. Weil die Summe des Gnomon 1 und des Gnomon 2 gleich 3 ist, so dass das Dreieck aus drei Monaden besteht, gibt es an jeder seiner Seiten zwei Monaden, das heißt so viele Monaden, wie Gnomones addiert sind.

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Theon von Smyrna

[39]

εἶτα τὸ γ' τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν γ' γνώμονα, ὃς μονάδι ὑπερέχει τῆς δυάδος, καὶ γίνεται τὸ μὲν ὅλον τρίγωνον ϛ'· πλευρὰς δ’ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο τὸ τρίγωνον, ὅσοι γνώμονες συντέθεινται· ἐκ γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ β' καὶ γ' συνετέθη ὁ ϛ'.

α α   α α α   α α   α   α

εἶτα ὁ ϛ' προσλαμβάνει τὸν δ'· γίνεται τὸ τοῦ ι' τρίγωνον, ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ' μονάδων· ὁ γὰρ προσληφθεὶς γνώμων ἦν ὁ δ', καὶ ἐκ δ' δὲ γνωμόνων ἦν τὸ ὅλον, τοῦ τε ἑνὸς καὶ β' καὶ γ' καὶ δ'. ἔτι ὁ ι' προσλαμβάνει τὸν ε', καὶ γίνεται ‹τὸ τοῦ ιε'› τρίγωνον, πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε', καὶ ἐκ τῶν ε' γνωμόνων συνέστη. ὁμοίως καὶ οἱ ἓξ γνώμονες ‹…› τοὺς γνωμονικοὺς ἀριθμοὺς ἀποτελοῦσι.

περὶ κυκλειδῶν καὶ σφαιροειδῶν καὶ ἀποκαταστακτικῶν ἀριθμῶν (24) λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριθμοί· οὗτοι δ’ εἰσὶν οἵτινες ἐν τῷ πολλαπλασιάζεσθαι ἢ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, τουτέστι κατὰ δύο διαστάσεις ἢ κατὰ τρεῖς, ἀφ’ οὗ ἂν ἄρξωνται ἀριθμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαθιστάμενοι. τοιοῦτον δέ ἐστι καὶ ὁ κύκλος· ἀφ’ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου, [39] ἐπὶ τοῦτο ἀποκαθίσταται· ὑπὸ γὰρ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρχεται καὶ εἰς ταὐτὸ καταλήγει. τοιαύτη δὲ καὶ ἐν στερεῷ ἡ σφαῖρα· κύκλου γὰρ κατὰ πλευρὰν περιαγομένου ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκατάστασις σφαῖραν γράφει. καὶ ἀριθμοὶ δὴ οἱ ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ ἐφ’ ἑαυτοὺς καταλήγοντες κυκλικοί τε καλοῦνται καὶ σφαιροειδεῖς· ὧν εἰσιν ὅ τε ε' καὶ ὁ ϛ'· πεντάκις γὰρ ε' κε', πεντάκις κε' ρκε', ἑξάκις ϛ' λϛ', καὶ ἑξάκις λϛ' σιϛ'.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 24

83

Zu dem Dreieck 3 wird dann der Gnomon 3 addiert, der die Dyade um eine Monade überragt, und das ganze Dreieck wird 6. Seine Seiten haben jeweils so viele Monaden, wie es addierte Gnomones gibt, und das Dreieck hat den Wert von so vielen Monaden, wie die addierten Gnomones enthalten, denn wenn man 2 und 3 zur Monade addiert, kommt man auf die Zahl 6. α α   α α α   α α   α   α

Die Zahl 6, vergrößert um den Gnomon 4, ergibt das Dreieck mit 10 Monaden, dessen Seiten jeweils 4 Monaden haben. Es ist ja der Gnomon, der gerade hinzugefügt wurde, 4 und das ganze Dreieck besteht aus 4 Gnomones, also 1 und 2 und 3 und 4. Die Dekade, die durch den Gnomon 5 vergrößert wird, ergibt das Dreieck 15, dessen Seiten jeweils 5 Monaden haben, die aus 5 Gnomones bestehen, und so bilden die 6 Gnomones … (Lücke im Text) die entsprechenden Gnomon-Zahlen. Kreisförmige, kugelförmige und zurückkehrende Zahlen (24) Einige Zahlen werden kreisförmig, kugelförmig oder zurückkehrend genannt. Es sind diejenigen, die, wenn sie Flächen- und Körperzahlen sind, also nach zwei oder drei Dimensionen multipliziert werden, zu der Zahl zurückkehren, von der sie ausgegangen sind. Von dieser Art ist auch der Kreis, der zu dem Punkt zurückkehrt, an dem er begonnen hat, denn er besteht aus einer einzigen Linie und er beginnt und endet an demselben Punkt. Unter den Körpern hat die Kugel die gleiche Eigenschaft, denn sie wird durch die Umdrehung eines Kreises um einen Durchmesser beschrieben, wobei der Kreis zu dem Punkt zurückkehrt, von dem er ausgegangen ist. Ebenso werden die Zahlen, die nach Multiplikation mit sich selbst enden, kreisförmig oder kugelförmig genannt. Diese Zahlen sind 5 und 6. Es gilt dazu: Fünfmal 5 ist 25; fünfmal 25 ist 125; sechsmal 6 ist 36 und sechsmal 36 ist 216.

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Theon von Smyrna

[39]

περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν (25) τῶν δὲ τετραγώνων ἡ μὲν γένεσις, ὡς εἶπον, ἐκ τῶν περισσῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιθεμένων, τουτέστι τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων· ἓν γὰρ καὶ γ' δ', καὶ δ' καὶ ε' θ', καὶ θ' καὶ ζ' ιϛ', καὶ ιϛ' καὶ θ' κε'. ‹δ'›

‹θ'›

‹ιϛ'›

‹κε'›

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

περὶ πενταγώνων ἀριθμῶν (26) πεντάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἑξῆς τριάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι. ὧν εἰσιν οἱ μὲν γνώμονες α' δ' ζ' ι' ιγ' ιϛ' ιθ'· αὐτοὶ δὲ οἱ πεντάγωνοι α' ε' ιβ' κβ' λε' να' καὶ ἑξῆς ὁμοίως. σχηματίζονται δὲ πενταγωνικῶς οὕτως· α'

α

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 25

85

Qua­dratzahlen (25) Wie wir gesagt haben (I 15), entstehen die Qua­dratzahlen durch Addition ungerader Zahlen, das heißt jene, die einander, von der Monade ausgehend, um eine Dyade (2) überragen: 1 und 3 ist ja 4; 4 und 5 ist 9; 9 und 7 ist 16; 16 und 9 ist 25. 4

9

16

25

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

Fünfeckzahlen (26) Die Fünfeckzahlen sind diejenigen, die durch die Addition der Zahlen gebildet werden, die einander, ausgehend von der Monade, um eine Triade (3) überragen. Ihre Gnomones sind also 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 und die Vielecke selbst sind 1, 5, 12, 22, 35, 51 und so weiter. Sie werden in Form von Fünfecken wie folgt dargestellt: 1

α

  86 ε'

ιβ'

κβ'

λε'

Theon von Smyrna

[40]

α α   α α   α α α   α α   α   α α   α   α α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α

[40] περὶ ἑξαγώνων ἀριθμῶν (27) ἑξάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς ἀπὸ μονάδος τετράδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι· ὧν οἱ γνώμονές εἰσιν α' ε' θ' ιγ' ιζ' κα' κε'· οἱ δὲ ἐκ τούτων ἑξάγωνοι οἵδε· α' ϛ' ιε' κη' με' ξϛ' ϙα'. σχηματίζονται δὲ οὕτως·

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 27 5

12

22

35

87

α α   α α   α α α   α α   α   α α   α   α α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α

Sechseckzahlen (27) Die Sechseckzahlen sind diejenigen, die durch Addition von Zahlen gebildet werden, die einander, ausgehend von der Monade, um eine Tetrade (4) überragen. Die Gnomones sind 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, woraus sich die Sechsecke 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91 ergeben. Sie werden wie folgt dargestellt:

  88 α' ϛ'

ιϛ'

κη'

με'

Theon von Smyrna α α α  α α  α α α α   α α   α   α α   α   α α   α   α α   α α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α α   α α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α α   α α

[40]

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 27 1 6

16

25

45

α α α   α α   α α α α   α α   α   α α   α   α α   α   α α   α α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α α   α α α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α   α α   α   α α   α α

89

  90 ξϛ'

Theon von Smyrna

[41]

α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α α   α   α α   α α

ὁμοία δὲ ἡ σύνθεσις καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν πολυγώνων ἑπτάγωνοι δέ εἰσιν οἱ ἀπὸ μονάδος πεντάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συνιστάμενοι· ὧν γνώμονες μὲν α' ϛ' ια' ις' κα' κς'· οἱ δὲ ἐκ τούτων συντιθέμενοι α' ζ' ιη' λδ' νε' πα'. ὁμοίως δὲ καὶ ὀκτάγωνοι ‹οἱ› ἀπὸ μονάδος ἑξάδι ἀλλήλων ὑπερ­ εχόντων συντιθέμενοι, ἐννεάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ἑβδομάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συνιστάμενοι, δεκάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ὀγδοάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι.

ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πολυγώνων καθόλου ὁσάγωνος ἂν λέγηται ἀριθμός, δυεῖν δεούσαιν μονάδων τοῦ πλήθους τῶν [41] γωνιῶν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀριθμῶν λαμβάνεται, ἐξ ὧν οἱ πολύγωνοι συντίθενται.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 27 66

91

α α   α α   α   α α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α   α α   α   α   α   α α   α   α   α α   α   α α   α α

Ähnlich ist auch die Zusammensetzung bei den übrigen Vieleckzahlen Die Siebenecke sind diejenigen, die einander, ausgehend von der Monade, um eine Pentade (5) überragen. Die Gnomones sind 1, 6, 11, 16, 21, 26, aus denen sich die Siebenecke 1, 7, 18, 34, 55, 81 ergeben. In ähnlicher Weise sind die achteckigen diejenigen, die einander, ausgehend von der Monade, um eine Hexade (6) überschreiten; die neuneckigen sind diejenigen, die aus Zahlen bestehen, die einander, ausgehend von der Monade, um eine ­Heptade (7) überragen; die zehneckigen sind diejenigen, die einander, ausgehend von der Monade, um eine Oktade (8) überragen. Für alle Vielecke im Allgemeinen, wenn man bedenkt, wie viele Ecken im Namen einer Zahl vorkommen, erhält man den Überschuss der Zahlen, aus denen sich die Vielecke zusammensetzen, indem man zwei Monaden von der Zahl der Ecken subtrahiert.

  92

Theon von Smyrna

[42]

ὅτι ἐκ δύο τριγώνων τὸ τετράγωνον (28) ἐκ δύο τριγώνων ἀποτελεῖται τετράγωνον· α' καὶ γ' δ', γ' καὶ ϛ' θ, ϛ' καὶ ι' ιϛ, ι' καὶ ιε' κε', ιε' καὶ κα λϛ', κα' καὶ κη' μθ', κη' καὶ λϛ' ξδ', λϛ' καὶ με' πα', καὶ οἱ ἐξῆς ὁμοίως συνδυαζόμενοι τρίγωνοι τετραγώνους ἀποτελοῦσιν, ὡς καὶ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν τριγώνων σύνθεσις τετράγωνον σχῆμα ποιεῖ.

περὶ στερεῶν ἀριθμῶν (29) ἔτι τῶν στερεῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἴσας πλευρὰς ἔχουσιν, [ὡς ἀριθμοὺς τρεῖς ἴσους ἐπὶ ἴσους πολλαπλασιάζεσθαι,] οἱ δὲ ἀνίσους. τούτων δ’ οἱ μὲν πάσας ἀνίσους ἔχουσιν, οἱ δὲ τὰς δύο ἴσας καὶ τὴν μίαν ἥττονα. πάλιν τε τῶν τὰς δύο ἴσας ἐχόντων οἱ μὲν μείζονα τὴν τρίτην ἔχουσιν, οἱ δὲ ἐλάττονα. οἱ μὲν οὖν ἴσας ἔχοντες πλευράς, ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ὄντες, κύβοι καλοῦνται· οἱ δὲ πάσας ἀνίσους τὰς πλευράς, ἀνισάκις ἄνισοι ἀνισάκις, βωμίσκοι καλοῦνται· οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας, τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν ἐλάσσονα, ἰσάκις ἴσοι ἐλαττονάκις, πλινθίδες ἐκλήθησαν· οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας, [42] τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν μείζονα, ἰσάκις ἴσοι μειζονάκις, δοκίδες καλοῦνται.

β



δ



δ



β

β

η

δ

ι

β δ η β λβ ξδ β ιϛ λβ β δ μ

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 28

93

Dass aus zwei Dreieckzahlen eine Qua­dratzahl wird (28) Die Summe von zwei aufeinanderfolgenden Dreieckzahlen ergibt eine Qua­dratzahl: 1 und 3 sind 4; 3 und 6 sind 9; 6 und 10 sind 16; 10 und 15 sind 25; 15 und 21 sind 36; 21 und 28 sind 49; 28 und 36 sind 64; 36 und 45 sind 81. Die aufeinander folgenden Dreieckzahlen bilden, miteinander kombiniert, Viereck-(Qua­drat-)Zahlen, ebenso ergibt die Vereinigung zweier geradliniger Dreiecke die Form eines Vierecks.

Körperzahlen (29) Unter den Körperzahlen haben die einen gleiche Seiten, die anderen ungleiche. Unter den letzteren haben einige alle Seiten ungleich, während andere zwei gleiche und eine ungleiche Seite haben. Unter denen, die zwei gleiche Seiten haben, haben einige eine größere dritte Seite, andere eine kleinere dritte Seite. Diejenigen, die gleiche Seiten haben, die gleichzahligfach gleichzahlig gleichzahligfach sind, werden Kubikzahlen genannt. Diejenigen hingegen, die alle Seiten ungleich haben, und die ungleichzahligfach ungleichzahlig ungleichzahligfach sind, werden Altäre genannt. Diejenigen, die zwei gleiche Seiten haben und von denen die dritte kleiner als die beiden anderen ist, weil sie gleichzahligfach gleichzahlig kleinerzahligfach sind, werden Sockel genannt. Diejenigen schließlich, die zwei gleiche Seiten haben und von denen die dritte größer als die beiden anderen ist, also gleichzahligfach gleichzahlig größerzahligfach sind, werden Balken genannt.

Würfel

2 ∙ 2 ∙  2

Altar

4 ∙ 2 ∙  8



Sockel

4 ∙ 2 ∙  4



Balken

2 ∙ 2 ∙ 10

  94

Theon von Smyrna

[43]

περὶ πυραμοειδῶν ἀριθμῶν (30) εἰσὶ δὲ καὶ πυραμοειδεῖς ἀριθμοὶ πυραμίδας καταμετροῦντες καὶ κολουροπυραμίδας. κόλουρος δὲ πυραμίς ἐστιν ἡ τὴν κορυφὴν ἀποτετμημένη. τινὲς δὲ [κόλουρον] τὸ τοιοῦτον τραπέζιον προσηγόρευσαν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων τραπεζίων· τραπέζιον γὰρ λέγεται, ὅταν τριγώνου ἡ κορυφὴ ὑπὸ παραλλήλου τῇ βάσει εὐθείας ἀποτμηθῇ.

περὶ πλευρικῶν καὶ διαμετρικῶν (31) ὥσπερ δὲ τριγωνικοὺς καὶ τετραγωνικοὺς καὶ πεν[43]ταγωνικοὺς καὶ κατὰ τὰ λοιπὰ σχήματα λόγους ἔχουσι δυνάμει οἱ ἀριθμοί, οὕτως καὶ πλευρικοὺς καὶ διαμετρικοὺς λόγους εὕροιμεν ἂν κατὰ τοὺς σπερματικοὺς λόγους ἐμφανιζομένους τοῖς ἀριθμοῖς. ἐκ γὰρ τούτων ῥυθμίζεται τὰ σχήματα. ὥσπερ οὖν πάντων τῶν σχημάτων κατὰ τὸν ἀνωτάτω καὶ σπερματικὸν λόγον ἡ μονὰς ἄρχει, οὕτως καὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς λόγος ἐν τῇ μονάδι εὑρίσκεται. οἷον ἐκτίθενται δύο μονάδες, ὧν τὴν μὲν θῶμεν εἶναι διάμετρον, τὴν δὲ πλευράν, ἐπειδὴ τὴν μονάδα, πάντων οὖσαν ἀρχήν, δεῖ δυνάμει καὶ πλευρὰν εἶναι καὶ διάμετρον. καὶ προστίθεται τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρος, τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευραί, ἐπειδὴ ὅσον ἡ πλευρὰ δὶς δύναται, ἡ διάμετρος ἅπαξ. ἐγένετο οὖν μείζων μὲν ἡ διάμετρος, ἐλάττων δὲ ἡ πλευρά. καὶ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πλευρᾶς τε καὶ διαμέτρου εἴη ἂν τὸ ἀπὸ τῆς μονάδος διαμέτρου τετράγωνον μονάδι μιᾷ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς μονάδος πλευρὰς τετραγώνου· ἐν ἰσότητι γὰρ αἱ μονάδες· τὸ δ’ ἓν τοῦ ἑνὸς μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον. προσθῶμεν δὴ τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον, τουτέστι τῇ μονάδι μονάδα· ἔσται ἡ πλευρὰ ἄρα δύο μονάδων· τῇ δὲ διαμέτρῳ προσθῶμεν δύο πλευράς, τουτέστι τῇ μονάδι δύο μονάδας· ἔσται ἡ διάμετρος μονάδων τριῶν· καὶ τὸ [44] μὲν ἀπὸ τῆς δυάδος πλευρᾶς τετράγωνον δ', τὸ δ’ ἀπὸ τῆς τρίαδος διαμέτρου τετράγωνον θ'· τὸ θ' ἄρα μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς β' πλευρᾶς.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 30

95

Pyramidenförmige Zahlen (30) Die pyramidenförmigen Zahlen sind diejenigen, die Pyramiden und Pyramidenstümpfe messen. Nun ist ein Pyramidenstumpf eine Pyramide, deren oberer Teil abgetrennt wurde. Manche haben einer solchen Figur den Namen trapezion gegeben, in Analogie zu den Trapezflächen; trapezion nämlich nennt man ein Dreieck, von dem eine gerade Linie, die parallel zur Basis verläuft, den oberen Teil abgetrennt hat. Seiten- und Diagonal(zahlen) (»Theons Leiter«; s. die Einführung S. 7–8) (31) So, wie die Zahlen potentiell dreieckige, viereckige, fünfeckige und nach weiteren Formen (benannte) Verhältnisse haben, so finden wir wohl Seiten- und Diagonalenverhältnisse nach generativen Verhältnissen, die sich in den Zahlen zeigen. Aus diesen werden nämlich die Formen rhythmisiert. Da also die Monade das Prinzip aller Formen nach dem höchsten generativen Verhältnis ist, ist auf folgende Weise das Verhältnis der Diagonale und der Seite in der Monade zu finden. Es seien zwei Monaden gegeben, von denen wird eine als Diagonale und die andere als Seite betrachten, da ja die Monade, das Prinzip von allem, potentiell auch Seite und Diagonale sein muss. Es werden der Seite die Diagonale und der Diagonale zwei Seiten hinzugefügt; das, was die Seite zweimal tun kann, das kann die Diagonale einmal tun. Nun ist die Diagonale größer und die Seite kleiner geworden. Für die erste Seite und die erste Diagonale wäre wohl das Qua­drat der Diagonaleneinheit um eine Monade kleiner als das doppelte Qua­ drat der Seiteneinheit, denn die Monaden sind gleich, aber eine ist um eine Monade kleiner als das Doppelte der Monade. Addieren wir nun die Diagonale zur Seite, das heißt eine Monade zur Monade, hat die Seite den Wert von 2 Monaden; addieren wir aber zwei Seiten zur Diagonale, das heißt 2 Monaden zur Monade, so hat die Diagonale den Wert von 3 Monaden. Das Qua­drat der Seiten-Dyade ist 4, und das Qua­drat der Diagonalen-Triade ist 9, und 9 ist um eine Monade größer ist als das Doppelte des Quadrats der Seite 2.

  96

Theon von Smyrna

[45]

πάλιν προσθῶμεν τῇ μὲν β' πλευρᾷ διάμετρον τὴν τρίαδα· ἔσται ἡ πλευρὰ ε'· τῇ δὲ τρίαδι διαμέτρῳ β' πλευράς, τουτέστι δὶς τὰ β'· ἔσται ζ'· ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ‹ε'› πλευρᾶς τετράγωνον κε', τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ζ' ‹διαμέτρου› μθ'· μονάδι ἔλασσον ἢ διπλάσιον τοῦ κε ἄρα τὸ μθ'. πάλιν ἂν τῇ ‹ε'› πλευρᾷ προσθῇς τὴν ζ' διάμετρον, ἔσται ιβ'· κἂν τῇ ζ' διαμέτρῳ προσθῇς δὶς τὴν ε' πλευράν, ἔσται ιζ'· καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ιβ' τετραγώνου τὸ ἀπὸ τῆς ιζ' μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον. καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς τῆς προσθήκης ὁμοίως γιγνομένης, ἔσται τὸ ἀνάλογον ἐναλλάξ· ποτὲ μὲν μονάδι ἔλαττον, ποτὲ δὲ μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς· καὶ ῥηταὶ αἱ τοιαῦται καὶ πλευραὶ καὶ διάμετροι.

π(λευρά) δ(ιάμετρος)

β

γ

δ

θ

κε

μθ

αἱ δὲ διάμετροι τῶν πλευρῶν ἐναλλὰξ παρὰ μίαν ποτὲ [45] μὲν μονάδι μείζους ἢ διπλάσιαι δυνάμει, ποτὲ δὲ μονάδι ἐλάττους ἢ διπλάσιαι ὁμαλῶς· πᾶσαι οὖν αἱ διάμετροι πασῶν τῶν πλευρῶν γενήσονται δυνάμει διπλάσιαι, τοῦ ἐναλλὰξ πλείονος καὶ ἐλάττονος τῇ αὐτῇ μονάδι ἐν πάσαις ὁμαλῶς τιθεμένῃ ἰσότητα ποιοῦντος εἰς τὸ μήτε ἐλλείπειν μήτε ὑπερβάλλειν ἐν ἁπάσαις τὸ διπλάσιον· τὸ γὰρ τῇ προτέρᾳ διαμέτρῳ λεῖπον δυνάμει τῇ ἐφεξῆς ὑπερβάλλει.

περὶ τελείων καὶ ὑπερτελείων καὶ ἐλλιπῶν ἀριθμῶν (32) ἔτι τε τῶν ἀριθμῶν οἱ μέν τινες τέλειοι λέγονται, οἱ δ’ ὑπερτέλειοι, οἱ δ’ ἐλλιπεῖς. καὶ τέλειοι μέν εἰσιν οἱ τοῖς αὑτῶν μέρεσιν ἴσοι, ὡς ὁ τῶν ϛ'· μέρη γὰρ αὐτοῦ ἥμισυ γ', τρίτον β', ἕκτον α', ἅτινα συντιθέμενα ποιεῖ τὸν ϛ'.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 32

97

Wiederum fügen wir zur Seite 2 die Diagonale 3 hinzu; die Seite wird dann 5. Wenn wir zu der Diagonale 3 zwei Seiten addieren, also zweimal 2, dann haben wir 7. Das auf der Seite 5 errichtete Qua­drat ist 25, und das auf der Diagonale 7 ist 49, was um eine Monade weniger ist als das Doppelte des Qua­drats 25. Addiert man wiederum zur Seite 5 die Diagonale 7, erhält man 12; addiert man zur Diagonale 7 zweimal die Seite 5, erhält man 17. Das Qua­drat von 17 ist um eine Monade größer als das Doppelte des Qua­drats von 12, und so weiter in Fortsetzung der Addition. Die Proportionen wechseln sich ab; das auf der Diagonale errichtete Qua­drat wird manchmal um eine Monade kleiner, manchmal um eine Monade größer sein als das Doppelte des auf der Seite errichtete Qua­drats, so dass diese Diagonalen und diese Seiten immer ausgedrückt werden können. Seite Diagonale

2 / 3

4 / 9 / 25 / 49

Jeweils in der Potenz (quadriert) sind die Diagonalen abwechselnd manchmal um eine Monade größer als das Doppelte der Seiten, manchmal um eine Monade kleiner als das Doppelte, und zwar regelmäßig. Jeweils in der Potenz (quadriert) werden alle Diagonalen werden das Doppelte aller Seiten sein, abwechselnd mehr oder weniger um dieselbe Monade, die also in allen ebenso den Ausgleich herstellt, und zwar so, dass das Doppelte in allen weder Mangel noch Überschuss hat: Was in der vorhergehenden Diagonalenpotenz fehlt, bildet in der nachfolgenden einen Überschuss. Vollkommene, abundante und defiziente Zahlen (32) Außerdem werden unter den Zahlen einige als vollkommen, andere als abundant und wieder andere als defizient bezeichnet. Vollkommen sind diejenigen, die gleich (der Summe) ihrer Teile sind, wie etwa 6. Die Teile von 6 sind ihre Hälfte, 3, ihr Drittel, 2, und ihr Sechstel, 1, die zusammengerechnet wieder 6 ergeben.

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Theon von Smyrna

[46]

γεννῶνται δὲ οἱ τέλειοι τοῦτον τὸν τρόπον. ἐὰν ἐκθώμεθα τοὺς ἀπὸ μονάδος διπλασίους καὶ συντιθῶμεν αὐτούς, μέχρις οὗ ἂν γένηται πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἀριθμός, καὶ τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν συντιθεμένων πολλαπλασιάσωμεν, ὁ ἀπογεννηθεὶς ἔσται τέλειος. οἷον ἐκκείσθωσαν διπλάσιοι α' β' δ' η' ιϛ'. συνθῶμεν οὖν α' καὶ β'· γίνεται γ'· καὶ τὸν γ' ἐπὶ τὸν ὕστερον τὸν ἐκ τῆς συν­ θέσεως πολλαπλασιάσωμεν, τουτ­έστιν ἐπὶ τὸν β'· γίνεται ϛ', ὅς ἐστι πρῶτος τέλειος. ἂν πάλιν τρεῖς τοὺς ἐφεξῆς διπλασίους συνθῶμεν, α' καὶ β' καὶ δ, ἔσται ζ'· καὶ τοῦτον ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν τῆς συνθέσεως πολλαπλασιάσωμεν, τὸν ζ' [46] ἐπὶ τὸν δ'· ἔσται ὁ κη', ὅς ἐστι δεύτερος τέλειος· σύγκειται ἐκ τοῦ ἡμίσεος τοῦ ιδ', τετάρτου τοῦ ζ', ἑβδόμου τοῦ δ, τεσσαρακαιδεκάτου τοῦ β', εἰκοστοῦ ὀγδόου τοῦ α'.

ὑπερτέλειοι δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεθέντα μείζονά ἐστι τῶν ὅλων, οἷον ὁ τῶν ιβ'· τούτου γὰρ ἥμισύ ἐστιν ϛ', τρίτον δ', τέταρτον γ', ἕκτον β', δωδέκατον α', ἅτινα συντεθέντα γίνεται ιϛ', ὅς ἐστι μείζων τοῦ ἐξ ἀρχῆς, τουτέστι τῶν ιβ'. ἐλλιπεῖς δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεθέντα ἐλάττονα τὸν ἀριθμὸν ποιεῖ τοῦ ἐξ ἀρχῆς προτεθέντος ἀριθμοῦ, οἷον ὁ τῶν η'· τούτου γὰρ ἥμισυ δ', τέταρτον β', ὄγδοον ἕν. τὸ αὐτὸ δὲ καὶ τῷ ι' συμβέβηκεν, ὃν καθ’ ἕτερον λόγον τέλειον ἔφασαν οἱ Πυθαγορικοί, περὶ οὗ κατὰ τὴν οἰκείαν χώραν ἀποδώσομεν.

λέγεται δὲ καὶ ὁ γ' τέλειος, ἐπειδὴ πρῶτος ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ πέρας ἔχει· ὁ δ’ αὐτὸς καὶ γραμμή ἐστι καὶ ἐπίπεδον, τρίγωνον γὰρ ἰσόπλευρον ἑκάστην πλευρὰν δυεῖν μονάδων ἔχον, καὶ πρῶτος δεσμὸς καὶ στερεοῦ δύναμις· ἐν γὰρ τρισὶ διαστάσεσι τὸ στερεὸν νοεῖσθαι.

Teil I (Arithmetik), Abschnitt 32

99

Die vollkommenen Zahlen entstehend auf folgende Weise: Wenn wir die Zahlen, ausgehend von der Monade, (nacheinander) verdoppelt anordnen und sie addieren, bis wir eine Prim- und unzusammengesetzte Zahl erhalten, und wenn wir diese Summe mit der zuletzt hinzugefügten Zahl multiplizieren, wird das Produkt eine vollkommene Zahl sein. Ordnen wir also die Zahlen (nacheinander) verdoppelt an: 1, 2, 4, 8, 16. Wenn wir 1 und 2 addieren, ergibt sich 3; wenn wir diese 3 mit der letzten addierten Zahl multiplizieren, die 2 ist, entsteht 6, was die erste vollkommene Zahl ist (da 1 und 2 und 3 zusammen 6 ist). Wenn wir nun die drei aufeinanderfolgenden Verdoppelungen 1, 2 und 4 addieren, ergibt die Summe 7, multipliziert mit der letzten Tetrade, 28, die zweite vollkommene Zahl; sie hat ja als Teile ihre Hälfte, 14, ihr Viertel, 7, ihr Siebtel, 4, ihr Vierzehntel, 2, und ihr Achtundzwanzigstel, 1 (deren Summe wiederum 28 ist). Abundante Zahlen sind die, deren Teile addiert eine Summe ergeben, die größer als das Ganze ist. Das ist etwa die 12, von der die Hälfte 6, das Drittel 4, das Viertel 3, das Sechstel 2 und das Zwölftel 1 ist. Diese Teile ergeben addiert jedoch die Summe 16, die größer als die ursprüngliche 12 ist. Defiziente Zahlen sind die, deren Teile addiert eine Summe ergeben, die kleiner ist als die ursprünglich vorgegebene Zahl. Das ist etwa die 8, von der die Hälfte 4, das Viertel 2 und das Achtel 1 ist (deren Summe ergibt 7, also weniger als 8). Dasselbe fügt sich auch bei der Dekade (die Hälfte ist 5, das Fünftel 2, das Zehntel 1; deren Summe ergibt 8), welche die Pythagoreer aus einem anderen Grund, von dem wir an der ihm eigenen Stelle (s. u. II 39) sprechen werden, als vollkommen bezeichnen. Man sagt auch, dass die 3 vollkommen ist, weil sie die erste ist, die einen Anfang, eine Mitte und ein Ende hat; sie ist sowohl eine Linie als auch eine Fläche. Sie ist ja eine gleichseitige Dreieckzahl, deren Seiten jeweils den Wert von zwei Monaden haben. Schließlich ist die 3 das erste Glied und die Potenz des Körpers, denn die Idee des Körpers beruht auf drei Dimensionen.

II περὶ μουσικῆς (1) ἐπεὶ δὲ καὶ συμφώνους τινάς φασιν ἀριθμούς, καὶ ὁ περὶ συμ­ φωνίας λόγος οὐκ ἂν εὑρεθείη ἄνευ ἀριθ[47]μητικῆς· ἥτις συμφωνία τὴν μεγίστην ἔχει ἰσχύν, ἐν λόγῳ μὲν οὖσα ἀλήθεια, ἐν βίῳ δὲ εὐδαιμονία, ἐν δὲ τῇ φύσει ἁρμονία. καὶ αὐτὴ δὲ ἡ ἁρμονία ἥτις ἐστὶν ἐν κόσμῳ οὐκ ἂν εὑρεθείη μὴ ἐν ἀριθμοῖς πρότερον ἐξευρεθεῖσα· ἥτις ἐστὶ καὶ νοητή, ἡ δὲ νοητὴ ῥᾷον ἀπὸ τῆς αἰσθητῆς κατανοεῖται. νῦν μὲν οὖν περὶ τῶν δυεῖν ἁρμονιῶν λεκτέον, τῆς τ’ αἰσθητῆς ἐν ὀργάνοις καὶ τῆς νοητῆς ἐν ἀριθμοῖς.

μετὰ δὲ τὸν περὶ πάντων τῶν μαθηματικῶν λόγον τελευταῖον ἐπ­ άξομεν καὶ τὸν περὶ τῆς ἐν κοσμίῳ ἁρμονίας λόγον, οὐκ ὀκνοῦντες τὰ ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν ἐξευρημένα καὶ αὐτοὶ ἀναγράφειν, ὥσπερ καὶ τὰ πρόσθεν ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν παραδοθέντα ἐπὶ τὸ γνωριμώτερον ἐξενεγκόντες παραδεδώκαμεν, οὐδὲν αὐτοὶ τούτων ἐξευρηκέναι φάσκοντες. παραδεικνύντες δέ τινα τῶν ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν παραδοθέντων τῷ μέλλοντι συνήσειν τὰ Πλάτωνος ἀναγκαίαν καὶ τούτων συναγωγὴν ἐποιησάμεθα.

II (Musik) Musik: Einführung (1) Da man sagt, dass es bestimmte Konsonanzenzahlen gibt, kann eine Abhandlung (logos) über Konsonanz nicht ohne Arithmetik gefunden werden. Diese Konsonanz hat die größte Kraft, denn sie ist Wahrheit in der Rede, Glückseligkeit im Leben und Harmonie in der Natur. Diese Harmonie, die im ganzen Kosmos verbreitet ist, wird man wohl nicht finden, wenn sie nicht zuerst in Zahlen gefunden worden ist. Diese Harmonie ist auch gedanklich fassbar, doch wird die gedankliche leichter von der wahrnehmbaren Harmonie her verstanden. Nun werden wir also über diese beiden Harmonien sprechen: über die mit Instrumenten wahrnehmbare und über die in Zahlen gedanklich erfassbare. Nach der Abhandlung (logos) über die ganze Mathematik werden wir am Ende eine über die Harmonie im Kosmos hinzufügen, und wir werden nicht zögern, das wiederzugeben, was unsere Vorgänger entdeckt haben, und auch nicht zögern, die pythagoreischen Traditionen bekannter zu machen, die wir geerbt haben, ohne zu behaupten, selbst etwas davon entdeckt zu haben. In dem Wunsch, denjenigen, die Platon weiter studieren wollen, zu veranschaulichen, was uns von unseren Vorgängern überliefert wurde, haben wir dieses Kompendium verfasst.

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Theon von Smyrna

[48]

τί ἐστι φθόγγος καὶ τί φωνὴ ἐναρμόνιος; (2) Θράσυλλος τοίνυν περὶ τῆς ἐν ὀργάνῳ αἰσθητῆς λέγων ἁρμονίας φθόγγον φησὶν εἶναι φωνῆς ἐναρμονίου τάσιν. ἐναρμόνιος δὲ λέγεται, ἐπὰν δύνηται καὶ τοῦ ὀξέος ὀξύτερος εὑρεθῆναι καὶ τοῦ βαρέος βαρύτερος· καὶ ὁ αὐτὸς καὶ μέσος ἐστίν. ὡς εἴγε τινὰ τοιαύτην φωνὴν νοήσαιμεν ἥτις ὑπεραίρει πᾶσαν ὀξύτητα, οὐκ ἄν εἴη ἐναρμόνιος· οὐδὲ γὰρ τὸν τῆς ὑπερμεγέθους [48] βροντῆς ψόφον ἐναρμόνιον ἐροῦμεν, ὅς γε καὶ ὀλέθριος διὰ τὴν ὑπερβολὴν πολλάκις γίνεται, ὥς τις ἔφη· πολλοὺς δὲ βροντῆς τραῦμ’ ἄναιμον ὤλεσε.

καὶ μὴν εἴ τις οὕτως βαρὺς εἴη φθόγγος, ὡς μὴ ἔχειν αὑτοῦ βαρύτερον, οὐκ ἂν οὐδὲ φθόγγος εἴη τὸ ἐναρμόνιον οὐκ ἔχων. διὰ τοῦτ’ οὖν φθόγγος εἶναι λέγεται οὐ πᾶσα φωνὴ οὐδὲ πάσης φωνῆς τάσις, ἀλλ’ ἡ ἐναρμόνιος, οἷον μέσης, νεάτης, ὑπάτης.

τί ἐστι διάστημα; (3) διάστημα δέ φησιν εἶναι φθόγγων τὴν πρὸς ἀλλήλους ποιὰν σχέσιν, οἷον διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν, σύστημα δὲ δια­ στημάτων ποιὰν περιοχήν, οἷον τετράχορδον, πεντάχορδον, ὀκτά­ χορδον. τί ἐστι ἁρμονία; καὶ περὶ διαφορᾶς φθόγγων (4) ἁρμονία δέ ἐστι συστημάτων σύνταξις, οἷον Λύδιος, Φρύγιος, Δώριος. καὶ τῶν φθόγγων οἱ μὲν ὀξεῖς, οἱ δὲ βαρεῖς, οἱ δὲ μέσοι· ὀξεῖς μὲν οἱ τῶν νητῶν, βαρεῖς δὲ οἱ τῶν ὑπατῶν, μέσοι δὲ οἱ τῶν μεταξύ.

Teil II (Musik), Abschnitt 2

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Wahrnehmbare Harmonie der Musik in Tönen (II 2–16) Was ist ein Ton und was ist eine enharmonische Stimme? (2) Thrasyllos sagt über die mit einem Instrument wahrnehmbare Harmonie, dass der Ton eine Spannung der enharmonischen Stimme ist. Als enharmonisch bezeichnet man sie, wenn man eine noch höhere Höhe oder eine noch tiefere Tiefe finden kann; der (enharmonische) Ton selbst ist also (immer) ein mittlerer. Wenn wir uns eine Stimme von einer Art vorstellen, dass sie höher ist als alle anderen, wäre sie nicht enharmonisch. Man betrachtet ja den heftigen Lärm des Donnerschlags, der durch sein Übermaß oft verderblich ist, niemals als enharmonisch, wie jemand gesagt hat: Viele hat der Schlag des Donners ohne blutende Wunden vernichtet. (Euripides, Frg. 982)

Gleichermaßen, wenn der Ton so tief ist, dass es nicht einen noch tieferen gäbe, wäre er kein Ton mehr, weil er nicht mehr enharmonisch sein könnte. Deshalb heißt ein Ton weder ganz Stimme noch Spannung einer ganzen Stimme, sondern nur die enharmonische wie die der mese, der nete oder der hypate (der mittleren, der unteren bzw. oberen Saite der Leier; s. die Einführung S. 13). Was ist ein Intervall? (3) Ein Intervall ist definiert als das Verhältnis der Töne unter­ einander, wie etwa die Quarte, die Quinte und die Oktave. Als System von Intervallen bezeichnet man einen bestimmten Umfang, wie Tetrachord, Pentachord und Oktachord. Was ist Harmonie? Die Unterschiede der Töne (4) Harmonie ist die Ordnung von Systemen, wie die lydische, phrygische und dorische. Was die Töne betrifft, so sind einige hoch, andere tief und wieder andere mittel. Die hohen sind diejenigen, die von den netai kommen, die tiefen diejenigen von den hypatai und die mesoi die von den anderen Saiten dazwischen.

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Theon von Smyrna

[49]

περὶ διαστημάτων (5) τῶν δὲ διαστημάτων τὰ μὲν σύμφωνα, τὰ δὲ διάφωνα. σύμφωνα μὲν τά τε κατ’ ἀντίφωνον, οἷόν ἐστι τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν, καὶ τὰ κατὰ παράφωνον, οἷον τὸ διὰ πέντε, τὸ διὰ τεσσάρων. σύμφωνα δὲ ‹κατὰ› συνέχειαν οἷον τόνος, δίεσις. τά τε γὰρ κατ’ ἀντίφωνον σύμφωνά ἐστιν, ἐπειδὰν τὸ ἀντικείμενον τῇ ὀξύτητι βάρος συμφωνῇ, τά τε κατὰ παράφωνόν ἐστι σύμφωνα, ἐπειδὰν [49] μήτε ὁμότονον φθέγγηται φθόγγος φθόγγῳ μήτε διάφωνον, ἀλλὰ παρά τι γνώριμον διάστημα ὅμοιον. διάφωνοι δ’ εἰσὶ καὶ οὐ σύμφωνοι φθόγγοι, ὧν ἐστι τὸ διάστημα τόνου ἢ διέσεως· ὁ γὰρ τόνος καὶ ἡ δίεσις ἀρχὴ μὲν συμφωνίας, οὔπω δὲ συμφωνία.

περὶ ἁρμονίας καὶ συμφωνίας (6) ὁ δὲ περιπατητικὸς Ἄδραστος, γνωριμώτερον περί τε ἁρμονίας καὶ συμφωνίας διεξιών, φησί· καθάπερ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ λόγου ὁλοσχερῆ μὲν καὶ πρῶτα μέρη τά τε ῥήματα καὶ ὀνόματα, τούτων δὲ αἱ συλλαβαί, αὗται δ’ ἐκ γραμμάτων, τὰ δὲ γράμματα φωναὶ πρῶταί εἰσι καὶ στοιχειώδεις καὶ ἀδιαίρετοι καὶ ἐλάχισται – καὶ γὰρ συνίσταται ὁ λόγος ἐκ πρώτων γραμμάτων καὶ εἰς ἔσχατα ταῦτα ἀναλύεται –, οὕτως καὶ τῆς ἐμμελοῦς καὶ ἡρμοσμένης φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ μέλους ὁλοσχερῆ μὲν μέρη τὰ λεγόμενα συστήματα, τετράχορδα καὶ πεντάχορδα καὶ ὀκτάχορδα· ταύτα δέ ἐστιν ἐκ διαστημάτων, τὰ δὲ διαστήματα ἐκ φθόγγων, οἵτινες πάλιν φωναί εἰσι πρῶται καὶ ἀδιαίρετοι καὶ στοιχειώδεις, ἐξ ὧν πρώτων συνίσταται τὸ πᾶν μέλος καὶ εἰς ἃ ἔσχατα ἀναλύεται.

διαφέρουσι δὲ [50] ἀλλήλων οἱ φθόγγοι ταῖς τάσεσιν, ἐπεὶ οἱ μὲν αὐτῶν ὀξύτεροι, οἱ δὲ βαρύτεροι· αἱ δὲ τάσεις αὐτῶν κατά τινας λόγους εἰσὶν ἀφ­ωρισμέναι. φησὶ δὲ καὶ τοὺς Πυθαγορικοὺς περὶ αὐτῶν οὕτω τεχνολογεῖν· ἐπεὶ μέλος μὲν πᾶν καὶ πᾶς φθόγγος φωνή τίς ἐστιν, ἅπασα δὲ φωνὴ ψόφος, ψόφος δὲ πλῆξις ἀέρος κεκωλυμένου

Teil II (Musik), Abschnitt 5

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Intervalle (5) Unter den Intervallen sind die einen konsonant, die anderen dissonant. Die konsonanten sind antiphonisch, wie die Oktave und die Doppel­oktave, oder aber paraphonisch, wie die Quinte und die Quarte. Konsonant sind (auch) Intervalle von nebeneinander liegenden Tönen wie Ganzton und diësis (s. u. II 12). Auch die Gegenüber der antiphonischen sind konsonant, da ja die der Höhe entgegengesetzte Tiefe eine Konsonanz erzeugt, und (auch) die Gegenüber der paraphonischen sind konsonant, weil der Ton weder auf einem Ton eintönig tönt noch durch ein erkennbares Intervall ähnlich ist. Dissonant sind die nicht konsonanten Töne, deren Intervall ein Ganzton oder eine diësis ist. Der Ganzton und die diësis sind nämlich das Prinzip der Konsonanz, aber sie sind noch nicht die Konsonanz. Harmonie und Konsonanz (6) Der Peripatetiker Adrastos, der verständiger über Harmonie und Konsonanz handelt (als der in II 2 genannte Thrasyllos), sagt: So, wie die wichtigsten Bestandteile der aufgeschriebenen Stimme und aller Rede Verben und Substantive sind und von diesen die aus Buch­staben zusammengesetzten Silben und die Buchstaben als primäre Laute der Sprache elementare, unzerlegbare und kleinste Elemente bilden – die Rede ist ja aus den einzelnen Buchstaben zusammengesetzt und löst sich am Ende in Buchstaben auf‌ –, so werden auch die Dinge, welche die melodische und harmonische Stimme als wichtigste Teile ausmachen, Systeme genannt, etwa Tetrachorde, Penta­chorde und Okta­chorde. Sie bestehen aus Intervallen, die ihrerseits aus Tönen zusammengesetzt sind, wobei diese Töne die primären, unzerlegbaren und elementaren Teile sind, aus denen sich die ganze Melodie zusammensetzt und in die sie sich schließlich auf‌löst. Es unterscheiden sich die Töne voneinander durch Spannungen (Tonhöhen; s. die Einführung S. 13): Einige sind höher, andere tiefer. Diese Spannungen werden auf bestimmte Weisen definiert. Er (Adrastos) sagt, dass die Pythagoreer über sie wie folgt technisch geschrieben haben: Da jede Melodie und jeder Ton eine Stimme ist, jede Stimme ein Geräusch und jedes Geräusch ein Schlag der Luft,

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Theon von Smyrna

[51]

θρύπτεσθαι, φανερὸν ὡς ἠρεμίας μὲν οὔσης περὶ τὸν ἀέρα οὐκ ἂν γένοιτο οὔτε ψόφος οὔτε φωνή, διὸ οὐδὲ φθόγγος, πλήξεως δὲ καὶ κινήσεως γενομένης περὶ τὸν ἀέρα, ταχείας μὲν ὀξὺς ἀποτελεῖται ὁ φθόγγος, βραδείας δὲ βαρύς, καὶ σφοδρᾶς μὲν μείζων ἦχος, ἠρέμου δὲ μικρός. τὰ δὲ τάχη τῶν κινήσεων καὶ αἱ σφοδρότητες ἢ ἐν λόγοις τισὶν ἀποτελοῦνται ἢ καὶ ἀλόγως πρὸς ἄλληλα. ὑπὸ μὲν οὖν τῶν ἀλόγων ἄλογοι καὶ ἐκμελεῖς γίνονται ψόφοι, οὓς οὐδὲ φθόγγους χρὴ καλεῖν κυρίως, ἤχους δὲ μόνον, ὑπὸ δὲ τῶν ἐν λόγοις τισὶ πρὸς ἀλλήλους πολλαπλασίοις ἢ ἐπιμορίοις ἢ ἁπλῶς ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐμμελεῖς καὶ κυρίως καὶ ἰδίως φθόγγοι· ὧν οἱ μὲν ἄλλοι μόνον ἡρμοσμένοι, οἱ δὲ κατὰ τοὺς πρώτους καὶ γνωριμωτάτους καὶ κυριωτάτους λόγους πολλαπλασίους τε καὶ ἐπιμορίους ἤδη καὶ σύμφωνοι.

συμφωνοῦσι δὲ φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους, ὧν θατέ[51]ρου κρουσθέν­ τος ἐπί τινος ὀργάνου τῶν ἐντατῶν καὶ ὁ λοιπὸς κατά τινα οἰκειότητα καὶ συμπάθειαν συνηχεῖ· κατὰ ταὐτὸ δὲ ἀμφοῖν ἅμα κρουσθέντων ἡδεῖα καὶ προσηνὴς ἐκ τῆς κράσεως ἐξακούεται φωνή. τῶν δὲ κατὰ τὸ ἑξῆς ἡρμοσμένων φθόγγων πρῶτοι μὲν οἱ τέταρτοι τάξει συμφωνοῦσι πρὸς ἀλλήλους, συμφωνοῦσι δὲ συμφωνίαν τὴν δι’ αὐτὸ τοῦτο διὰ τεσσάρων λεγομένην, ἔπειτα οἱ πέμπτοι τὴν διὰ πέντε, καὶ μετὰ ταῦτα οἱ περιλαμβάνοντες ἀμφοτέρας τὰς συμφωνίας, γινόμενοι δ’ ἀπ’ ἀλλήλων ὄγδοοι, τὴν διὰ πασῶν, οὕτω προσ­ αγορευθεῖσαν ἐπειδὴ τὸ πρῶτον ἀπὸ τῆς ὀκταχόρδου λύρας ὁ πρῶτος καὶ βαρύτατος φθόγγος, καλούμενος ὑπάτη, τῷ τελευταίῳ καὶ ὀξυτάτῳ, τουτέστι τῇ νήτῃ, τὴν αὐτὴν εὑρέθη συνέχων συμφωνίαν κατ’ ἀντίφωνον. ἐπηυξημένης δὲ τῆς μουσικῆς καὶ πολυχόρδων καὶ πολυφθόγγων γεγονότων ὀργάνων τῷ προσληφθῆναι καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ ἐπὶ τὸ

Teil II (Musik), Abschnitt 6

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der von ihr gebrochen wird, ist es offensichtlich, dass es in unbewegter Luft weder Geräusch noch Stimme gibt; wenn aber die Luft geschlagen und in Bewegung gesetzt wird, entsteht der Ton. Er ist hoch, wenn die Bewegung schnell ist, tief, wenn die Bewegung langsam ist, von lautem Schall, wenn die Bewegung heftig ist, von geringem, wenn die Bewegung klein ist. Die Geschwindigkeiten dieser Bewegungen erfolgen nach bestimmten Verhältnissen oder aber nach keinem Verhältnis zueinander. Die ohne Verhältnisse führen zu Geräuschen ohne Verhältnis und Misstönen, die eigentlich den Namen Ton nicht verdienen und richtigerweise bloß Schall genannt werden würden. Andererseits muss man als wahre Töne, die zur Modulation gehören, jene betrachten, die ein bestimmtes Verhältnis zueinander haben, sei es mehrfach oder epimorios (s. u. II 24) oder generell von Zahl zu Zahl wohltönend und im rechten und eigentlichen Sinne Töne. Von diesen sind einige nur in einem harmonischen Verhältnis, die anderen aber in den primären, bekanntesten und wichtigsten Verhältnissen, sowohl vielfache als auch epimorioi, konsonant. Töne bilden eine Konsonanz miteinander, wenn einer von beiden von einer Saite auf einem Instrument erzeugt wird und die andere Saite durch eine gewisse Affinität, eine Art von Sympathie, mitklingt, und auch dann, wenn zwei gleichzeitig erzeugte Töne einen Mischklang ergeben, der eine Süße und einen ganz besonderen Reiz hat. Unter diesen sind die ersten die in der Reihenfolge an vierter Stelle, die eine solche Konsonanz miteinander bilden; sie bilden mit sich selbst eine Konsonanz und werden deshalb Quarten (dia tessaron, »durch vier«) genannt werden, danach die fünften in der Quinte (dia pente, »durch fünf«), und nach diesen die von diesen beiden Kon­sonanzen umfassten Konsonanzen, die an achter Stelle stehen und die wir Oktkave (dia pason, »durch das Ganze«) nennen. Auf dem Oktachord (der achtsaitigen Leier; s. die Einführung S. 13) steht der erste und tiefste Ton, der hypate genannt wird, im Gegensatz zum letzten und höchsten, dem der nete, mit dem er die gleichen Konsonanzen hat. Und als die Musik erweitert wurde und die Instrumente eine größere Anzahl von Saiten bekamen, die viele weitere Töne wiedergaben –

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Theon von Smyrna

[52]

ὀξὺ τοῖς προϋπάρχουσιν ὀκτὼ φθόγγοις ἄλλους πλείονας, ὅμως τῶν πρώτων συμφωνιῶν αἱ προσηγορίαι φυλάττονται, διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν. [52] προσανηύρηνται δὲ ταύταις ἕτεραι πλείους. τῇ γὰρ διὰ πασῶν πάσης ἄλλης προστιθεμένης, καὶ ἐλάττονος καὶ μείζονος καὶ ἴσης, ἐξ ἀμφοῖν ἑτέρα γίνεται συμφωνία, οἷον ἥ τε διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ δὶς διὰ πασῶν, ἔτι δὲ πάλιν τῇ διὰ πασῶν εἰ προστεθείη τούτων τις, οἷον ἡ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως μέχρι τοῦ δύνασθαι φθέγγεσθαι ἢ κρίνειν ἀκούοντας. τόπος γάρ τις καλεῖται τῆς φωνῆς ὃν δι­ εξ­έρχεται ἀπὸ βαρυτάτου τινὸς ἀρξαμένη φθόγγου καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς ἐπὶ τὸ ὀξὺ προϊοῦσα, ἢ ἀνάπαλιν. τούτων δὲ οἱ μὲν ἐπὶ πλεῖον, οἱ δὲ ἐπ’ ἔλαττον διιστᾶσιν. τὸ μέντοι ἑξῆς καὶ ἐμμελῶς ἐν τούτῳ προκόπτειν οὔτε ὡς ἔτυχε γίνεται οὔτε μὴν ἁπλῶς καὶ μοναχῶς, ἀλλὰ κατά τινας τρόπους ἀφωρισμένους, καθ’ οὓς αἱ τῶν λεγομένων γενῶν τῆς μελῳδίας θεωροῦνται διαφοραί. καθάπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ λόγου καὶ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς οὐ πᾶν γράμμα παντὶ συμπλεκόμενον συλλαβὴν ἢ λόγον ἀποτελεῖ, οὕτως οὐδὲ ἐν τῷ μέλει κατὰ τὴν ἡρμοσμένην φωνὴν οὐδ’ ἐν τῷ ταύτης τόπῳ πᾶς φθόγγος μετὰ παντὸς τιθέμενος ἐμμελὲς ποιεῖ διάστημα, ἀλλ’ ὥς φαμεν κατὰ τρόπους τινὰς ἀφωρισμένους.

[53] περὶ τόνου (7) τοῦ δὲ λεγομένου τόπου τῆς φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ ἐν τούτῳ διαστήματος γνωριμώτατον μέρος τε καὶ μέτρον ἐστὶ τὸ καλούμενον τονιαῖον διάστημα, καθάπερ ὁ πῆχυς τοῦ κυρίως τοπικοῦ δια­σ τή­ ματος ὃ φερόμενα τὰ σώματα διέξεισιν. ἔστι δὲ γνωριμώτατον τὸ τονιαῖον διάστημα, ἐπειδὴ τῶν πρώτων καὶ γνωριμωτάτων συμφωνιῶν ἐστι διαφορά· τὸ γὰρ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ.

Teil II (Musik), Abschnitt 7

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eine große Anzahl von Ganztönen, höhere und tiefere, die zu den vorher bestehenden acht hinzugefügt wurden (s. die Einführung S. 13 und das Diagramm zu II 16 u. S. 140/141) –, behielt man die Bezeichnungen der alten Konsonanzen bei: Quarte, Quinte und Oktave. Es wurden noch weitere andere Konsonanzen gefunden: Der Konsonanz der Oktave wurden kleinere, größere oder gleiche Intervalle hinzugefügt, und die Summe der beiden ergibt eine neue Konsonanz, wie die Oktave und die Quarte, die Oktave und die Quinte und die Doppeloktave. Und wenn eine der vorhergehenden Konsonanzen wieder hinzugefügt wird, entstehen etwa die Doppeloktave und die Quarte und so fort, soweit ein für das Ohr wahrnehmbarer Ton erzeugt werden kann. Es gibt ja einen bestimmten Bereich, den eine Stimme nacheinander durchlaufen kann, angefangen vom tiefsten bis zum höchsten Ton oder umgekehrt – ein Bereich, der bei manchen größer ist, bei anderen kleiner. Das nacheinander folgende und darin melodische Vorgehen erfolgt nicht, wie es sich gerade trifft, und auch nicht generell und auf nur eine einzige Weise, sondern nach bestimmten definierten Modi (tropoi), nach denen die verschiedenen Arten der sogenannten Gattungen (gene) der Melodie betrachtet werden. So nämlich, wie in der Rede und in der niedergeschriebenen Stimme nicht jeder Buchstabe in Kombination mit irgendeinem anderen Buchstaben eine Silbe oder ein Wort ergibt, so ergibt auch in der Melodie im Blick auf die harmonisierte Stimme nicht jeder an deren Platz gestellte Ton, der mit jedem anderen zusammengestellt ist, ein melodisches Intervall, sondern – wie wir (eben) gesagt haben – nur nach bestimmten definierten Modi. Ganzton (7) Von dem genannten Raum der Stimme und allen Intervallen in ihr ist der am leichtesten erkennbare Teil und das Maß das sogenannte Ganztonintervall – so wie die Elle das Hauptmaß der räumlichen Distanzen genannt wird, die alle sich bewegenden Körper umfassen. Das Ganztonintervall ist am leichtesten erkennbar, da es den Unterschied zwischen den ersten und bekanntesten Konsonanzen ist: Die Quinte überragt die Quarte um einen Ganzton.

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Theon von Smyrna

[54]

περὶ ἡμιτονίου (8) τὸ μέντοι ἡμιτόνιον οὐχ ὡς ἥμισυ τόνου λέγεται, ὥσπερ Ἀριστόξενος ἡγεῖται, καθὸ καὶ τὸ ἡμιπήχιον ἥμισυ πήχεως, ἀλλ’ ὡς ἔλαττον τοῦ τόνου μελῳδητὸν διάστημα· καθὰ καὶ τὸ ἡμίφωνον γράμμα οὐχ ὡς ἥμισυ φωνῆς καλοῦμεν, ἀλλ’ ὡς μὴ αὐτοτελῆ καθ’ αὑτὸ φωνήν. δείκνυται γὰρ ὁ τόνος μηδ’ ὅλως εἰς δύο ἴσα διαιρεῖσθαι δυνάμενος, ἐν λόγῳ θεωρούμενος ἐπ­ογδόῳ, καθάπερ οὐδ’ ἄλλο τι ἐπιμόριον διάστημα. τὰ γὰρ θ' οὐχ οἷόν τε διαιρεθῆναι εἰς ἴσα.

τί τὸ διάτονον μέλος τῆς μελῳδίας; (9) ὅταν μὲν οὖν ἡ φωνὴ μελῳδοῦσα ἐν τῷ λεγομένῳ τόπῳ αὐτῆς ἀπό τινος βαρυτέρου φθόγγου ἐπὶ τὸν ἑξῆς ὀξύτερον μεταβῇ τὸ λεγόμενον ἡμιτονιαῖον διάστημα ποιησαμένη κἄπειτ’ ἀπ’ αὐτοῦ τόνον διαστήσασα πρῶτον [54] ἐπ’ ἄλλον παραγένηται φθόγγον, βουλομένη κατὰ τὸ ἑξῆς προκόπτειν ἐμμελῶς, οὐδὲν ἕτερον εἶναι δύναται διάστημα οὐδὲ προενέγκασθαι φθόγγον ἕτερον ἐμμελῆ καὶ ἡρμοσμένον, ἢ διάστημα μὲν τονιαῖον, φθόγγον δὲ τὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦτο ὁρίζοντα καὶ συμφωνοῦντα τῷ ἐξ ἀρχῆς τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν. καλεῖται δὲ τὸ οὕτω μελῳδηθὲν σύστημα τετράχορδον, συνεστηκὸς ἐκ διαστημάτων μὲν τριῶν, ἡμιτονίου καὶ τόνου καὶ τόνου, φθόγγων δὲ τεσσάρων, ὧν οἱ περιέχοντες, τουτ­έστιν ὅ τε βαρύτατος καὶ ὀξύτατος, συμφωνοῦσιν εὐθὺς ἣν διὰ τεσσάρων ἔφαμεν λέγεσθαι συμφωνίαν δύο τόνων οὖσαν καὶ ἡμιτονίου. καλεῖται δὲ τὸ τοιοῦτον γένος τῆς μελῳδίας διάτονον, ἤτοι ὅτι διὰ τῶν τόνων τὸ πλεῖστον διοδεύει ἢ ὅτι σεμνόν τι καὶ ἐρρωμένον καὶ εὔτονον ἦθος ἐπιφαίνει.

Teil II (Musik), Abschnitt 8

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Halbton (8) Der Halbton wird als solcher nicht deshalb bezeichnet, weil er die Hälfte des Ganztons ist, wie etwa eine Halb-Elle die Hälfte einer Elle ist, wie Aristoxenos (Frg. II 3, 195) glaubte, sondern weil er ein melodisches Intervall ist, das kleiner ist als der Ganzton, in der gleichen Weise, wie wir bestimmte Buchstaben Halbvokale nennen, nicht weil ein halber Vokal angegeben wird, sondern weil er kein für sich eigenständiger Vokal ist. Es kann nämlich gezeigt werden, dass der Ganzton nicht in zwei gleiche Teile zerlegt werden kann, wenn man ihn im epogdoos-Verhältnis (11⁄8) betrachtet, genauso wenig wie jedes andere epimorios-Verhältnis, da 9 nicht in zwei gleiche Teile zerlegbar ist. Was ist der diatonische Melos der Melodie? (9) Wenn eine Stimme, die innerhalb der Grenzen ihres benannten Umfangs moduliert wird, von einem tieferen zu einem höheren Ton übergeht, wobei sie das Intervall eines Halbtons erzeugt, und wenn sie dann, indem sie das Intervall eines Ganztons durchläuft, zu einem anderen Ganzton übergeht und weiter moduliert, kann sie kein anderes Intervall als das eines Ganztons erreichen. Dadurch entsteht ein anderer melodischer Ton, der zur Modulation fähig ist, und dieser höhere konsonante Ton wird zusammen mit dem ursprünglichen die Konsonanz der Quarte ergeben. Eine solche Modulation nennt man das Tetrachordsystem, das aus drei Intervallen besteht: einem Halbton, einem Ganzton und einem weiteren Ganzton; diese vier Töne, deren Ränder, das heißt der tiefste und der höchste Töne, bilden eine Konsonanz. Diese Konsonanz, von der wir gesagt haben, dass sie Quarte genannt wird, besteht also aus zwei Ganztönen und einem Halbton. Diese Art der Modulation wird diatonos genannt, entweder weil sie meistens dia tonon (»durch Ganztöne«) ansteigt, oder wegen der Kraft und des eu-tonos (»wohlgespannten«) Charakters, welche sie manifestiert.

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Theon von Smyrna

[55]

τί τὸ χρωματικόν; (10) ἐὰν μέντοι ἡ φωνὴ, τὸν ἐξ ἀρχῆς πρῶτον ὁρίσασα φθόγγον καὶ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ ὀξὺ μεταβᾶσα, ἐπὶ τὸν αὐτὸν ἔλθῃ δεύτερον φθόγγον, εἶτα πάλιν ἀπὸ τοῦδε ἡμιτόνιον διαστήσασα τρίτον ὁρίσῃ φθόγγον ἄλλον, ἀπὸ τούτου κατὰ συνέχειαν πειρωμένη προκόπτειν ἐμμελῶς οὔτε διάστημα δύναται ποιήσασθαι ἄλλο πλὴν τὸ λειπόμενον τοῦ πρώτου γενομένου τετραχόρδου, τὸ τριημιτονιαῖον ἀσύνθετον, οὔτε φθόγγον ἕτερον ὁρίσαι [55] ἢ τὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ περιέχοντα τὸ πρῶτον τετράχορδον, συμφωνοῦντα τῷ βαρυτάτῳ κατὰ τὸ διὰ τεσσάρων· ὥστε γίνεσθαι τὴν τοιαύτην μελῳδίαν κατὰ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον καὶ τριημιτόνιον ἀσύνθετον. καλεῖται δὲ πάλιν τὸ γένος τῆς τοιαύτης μελῳδίας χρωματικὸν διὰ τὸ παρατετράφθαι καὶ ἐξηλλάχθαι τοῦ πρόσθεν γοερώτερόν τε καὶ παθητικώτερον ἦθος ἐμφαίνειν.

τί τὸ ἐναρμόνιον; (11) λέγεται δέ τι καὶ τρίτον γένος μελῳδίας ἐναρμόνιον, ἐπειδὰν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου φθόγγου κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον ἡ φωνὴ προελθοῦσα μελῳδήσῃ τὸ τετράχορδον.

τί δίεσις; (12) δίεσιν δὲ καλοῦσιν ἐλαχίστην οἱ περὶ Ἀριστόξενον τὸ τεταρτημόριον τοῦ τόνου, ἥμισυ δὲ ἡμιτονίου, ὡς ἐλάχιστον μελῳδητὸν διάστημα, τῶν Πυθαγορείων διέσιν καλούντων τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον. καλεῖσθαι δέ φησιν Ἀριστόξενος τοῦτο τὸ προειρημένον γένος ἁρμονίαν διὰ τὸ εἶναι ἄριστον, ἀπενεγκάμενον τοῦ παντὸς ἡρμοσμένου τὴν προσ[56]ηγορίαν. ἔστι δὲ δυσμελῳδητότατον καί, ὡς ἐκεῖνός φησι, φιλότεχνον καὶ πολλῆς δεόμενον συνηθείας, ὅθεν οὐδ’ εἰς χρῆσιν ῥᾳδίως ἔρχεται, τὸ δὲ διάτονον γένος ἁπλοῦν τι καὶ γενναῖον καὶ μᾶλλον κατὰ φύσιν· διὸ μᾶλλον τοῦτο παραλαμβάνει Πλάτων.

Teil II (Musik), Abschnitt 10

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Was ist Chromatik? (10) Wenn aber die Stimme, nachdem sie den ursprünglichen Ton als ersten definiert hat und dann einen Halbton nach oben durchlaufen hat, zu diesem zweiten Ton gekommen ist, dann wieder einen Halbton nach oben aufsteigt und so an einem dritten Ton stehen bleibt, von diesem aber mit der Modulation fortfährt und danach einen weiteren Halbton erzeugt, kann sie nicht ein anderes Intervall herstellen als das, was vom ersten Tetrachord übrig ist, nämlich das unzusammengesetzte tri­hemitoniaion (Dreifach-Halbton), und auch nicht etwas anderes bestimmen als dasjenige, welches das erste Tetrachord oben begrenzt und mit dem tiefsten Ton die Konsonanz der Quarte ergibt. Die derartige Modulation erfolgt dann durch einen Halbton, gefolgt von einem Halbton und einem unzusammengesetzten tri­hemitoniaion. Diese Art der Modulation wird chromatische Modulation genannt, weil sie von der ersten abweicht; sie wandelt sich und bringt traurigere Zuneigungen und heftigere Leidenschaften zum Ausdruck als die vorige. Was ist Enharmonik? (11) Es gibt eine dritte Art der Modulation, die enharmonisch genannt wird. Dies ist die Art, bei der die Stimme, ausgehend vom tiefsten Ton, das Tetrachord moduliert, indem sie durch eine diësis (dazu gleich), dann eine weitere diësis und einen Doppelton fortschreitet. Was ist diësis? (12) Die Anhänger des Aristoxenos nennen als kleinste diësis den Viertelton oder die Hälfte des Halbtons und betrachten sie als das kleinste melodische Intervall. Die Pythagoreer nennen hingegen das, was jetzt Halbton genannt wird, diësis. Aristoxenos sagt, dass die vorhin genannte enharmonische Gattung so genannt wird, weil sie die beste ist, und das veranlasst ihn, ihr den Namen zu geben, der eigentlich für alles gilt, was gut bestimmt ist. Diese Modulation ist sehr schwierig; wie er selbst sagt, erfordert sie Kunstfertigkeit und viel Gewöhnung und wird nur durch langes Üben erworben. Die diatonische Art hingegen ist einfach, edel und natürlicher, weshalb Platon sie übernimmt.

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Theon von Smyrna

[57]

ἡμιτόνιον ¦ τόνος ¦ τόνος ἡμιτόνιον ¦ ἡμιτόνιον ¦ τριημιτόνιον δίεσις ¦ δίεσις ¦ δίτονον

¦ διάτονον ¦ χρωματικόν ¦ ἁρμονικόν

(12a) τοὺς δὲ συμφωνοῦντας φθόγγους ἐν λόγοις τοῖς πρὸς ἀλλήλους πρῶτος ἀνευρηκέναι δοκεῖ Πυθαγόρας, τοὺς μὲν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τοὺς δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, τοὺς δὲ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ, καὶ τοὺς μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων ἐν λόγῳ τῶν η' πρὸς γ' ὅς ἐστι πολλαπλασιεπιμερής, διπλάσιος γὰρ καὶ δισεπίτριτός ἐστι, τοὺς δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίῳ, τοὺς δὲ δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ, καὶ τῶν ἄλλων ἡρμοσμένων τοὺς μὲν τὸν τόνον περιέχοντας ἐν ἐπ­ογδόῳ λόγῳ, τοὺς δὲ τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον, τότε δὲ δίεσιν, ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ πρὸς ἀριθ[57]μὸν τῷ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ', ἐξετάσας τοὺς λόγους διά τε τοῦ μήκους καὶ πάχους τῶν χορδῶν, ἔτι δὲ τῆς τάσεως γινομένης κατὰ τὴν στροφὴν τῶν κολλάβων ἢ γνωριμώτερον κατὰ τὴν ἐξάρτησιν τῶν βαρῶν, ἐπὶ δὲ τῶν ἐμπνευστῶν καὶ διὰ τῆς εὐρύτητος τῶν κοιλιῶν ἢ διὰ τῆς ἐπιτάσεως καὶ ἀνέσεως τοῦ πνεύματος, ἢ δι’ ὄγκων καὶ σταθμῶν οἷον δίσκων ἢ ἀγγείων. ὅ τι γὰρ ἂν ληφθῇ τούτων κατά τινα τῶν εἰρημένων λόγων, τῶν ἄλλων ‹ἴσων› ὄντων, τὴν κατὰ τὸν λόγον ἀπεργάσεται συμφωνίαν. η'

δ' διὰ πασῶν

γ' διὰ δ'

διὰ πασῶν καὶ διὰ δ'

ϛ'

γ' διὰ πασῶν

β' διὰ ε'

διὰ πασῶν καὶ διὰ ε' η'

δ' διὰ πασῶν

β' διὰ πασῶν

δὶς διὰ πασῶν

115

Teil II (Musik), Abschnitt 12 Halbton Halbton diësis ¦ diësis

¦ Ganzton ¦ Ganzton ¦ Halbton ¦ Dreifachhalbton ¦ Doppelton

¦ diatonisch ¦ chromatisch ¦ harmonisch

(12a) Dass die Konsonanzentöne in einem Verhältnis zueinander stehen, scheint als erster Pythagoras herausgefunden zu haben. Die Töne, welche die Quarte erzeugen, stehen im epitritos-Verhältnis (11⁄3) zueinander; diejenigen, welche die Quinte erzeugen, im hemioliosVerhältnis (11⁄2); diejenigen, welche die Oktave erzeugen, im doppelten, und diejenigen, welche die Oktave und die Quarte erzeugen, im Verhältnis 8 zu 3, was Vielfach-epimeres ist, da es das Doppel- und dis-epitritos-Verhältnis (22⁄3) ist. Diejenigen, welche die Oktave und die Quinte ergeben, stehen im dreifachen Verhältnis, und diejenigen, welche die Doppeloktave ergeben, im vierfachen. Unter den anderen Konsonanzenklängen stehen diejenigen, die den Ganzton angeben, im ep­ogdoos-Verhältnis (11⁄8) und diejenigen, die den Halbton angeben, dann aber diësis (oder leimma; s. u. I 15) genannt wurden, im Verhältnis von 256 zu 243. (Es ist Pythagoras, sagen wir,) der diese Verhältnisse entdeckt zu haben scheint, sowohl durch die Länge und Dicke von Saiten als auch durch die Spannung, die durch das Drehen eines Wirbels auf sie ausgeübt wird, oder durch die bekanntere Methode, Gewichte an ihnen aufzuhängen, und bei Blas­instrumenten durch den Durchmesser des Hohlraums, durch die mehr oder weniger starke Atmung oder durch das Gewicht der Scheiben oder den Stand des Wassers in Gefäßen. Unabhängig davon, welche Methode man unter den genannten wählt, wird die Konsonanz dem angegeben Verhältnis folgen, ansonsten sind alle Dinge gleich.

9 / 4 / 3

Oktave / Quarte

Oktave und Quarte



6 / 3 / 2

Oktave / Quinte

Oktave und Quinte



9 / 4/ 2

Oktave / Oktave

Doppeloktave

  116

Theon von Smyrna

[58]

ἀρκείτω δ’ ἡμῖν ἐν τῷ παρόντι διὰ τοῦ μήκους τῶν χορδῶν δηλῶσαι ἐπὶ τοῦ λεγομένου κανόνος. τῆς γὰρ ἐν τούτῳ μιᾶς χορδῆς καταμετρηθείσης εἰς τέσσαρα ἴσα ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος τῷ μὲν ἀπὸ τῶν τριῶν [58] μερῶν ἐν λόγῳ γενόμενος ἐπιτρίτῳ συμφωνήσει διὰ τεσσάρων, τῷ δὲ ἀπὸ τῶν δύο, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς β' γ' ϛ' η' διὰ ε' διὰ πασῶν διὰ δ' διὰ πασῶν καὶ διὰ ε' διὰ πασῶν καὶ διὰ δ' δὶς διὰ πασῶν ἡμισείας, ἐν λόγῳ γενόμενος διπλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν, τῷ δὲ ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ συμφωνήσει δὶς διὰ πασῶν. β'

γ' διὰ ε'

ϛ' διὰ πασῶν

η' διὰ δ'

διὰ πασῶν καὶ διὰ ε' διὰ πασῶν καὶ διὰ δ'

δὶς διὰ πασῶν

ὁ δὲ ἀπὸ τῶν τριῶν μερῶν φθόγγος πρὸς τὸν ἀπὸ τῶν δύο γενόμενος ἐν ἡμιολίῳ συμφωνήσει διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τριπλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. ἐὰν δὲ εἰς ἐννέα διαμετρηθῇ ἡ χορδή, ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος πρὸς τὸν ἀπὸ τῶν ὀκτὼ μερῶν ἐν λόγῳ ἐπ­ογδόῳ τὸ τονι­ αῖον περιέξει διάστημα.

πάσας δὲ τὰς συμφωνίας περιέχει ἡ τετρακτύς. συνέστησε μὲν γὰρ αὐτὴν α' καὶ β' καὶ γ' καὶ δ'. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμ[59]φωνία καὶ ἡ διὰ πέντε καὶ ἡ διὰ πασῶν, καὶ ὁ ἐπίτριτος λόγος καὶ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος καὶ τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος.

Teil II (Musik), Abschnitt 12

117

Für jetzt wollen wir uns damit begnügen, zu zeigen, was im sogenannten kanon (Monochord) durch die Länge von Saiten erreicht wird. Wenn wir eine gespannte Saite in vier gleiche Teile teilen, wird der Ton, der von der ganzen Saite erzeugt wird, mit dem, der von drei Teilen der Saite erzeugt wird, im epitritos-Verhältnis (11⁄3) die Konsonanz einer Quarte bilden, derjenige, der bei einer Halbierung der Saite von den beiden Hälften erzeugt wird, in einem doppelten Verhältnis die Konsonanz einer Oktave und der von einem Viertel der Saite erzeugte im vierfachen Verhältnis eine Doppeloktave.

2 / 3 / 6 / 8



Quinte / Oktave / Quarte



Oktave und Quinte / Oktave und Quarte

Doppeloktave

Außerdem wird der Ton, der von drei Teilen der Saite erzeugt wird, mit dem Ton, der von der Hälfte der Saite erzeugt wird, die Konsonanz der Quinte ergeben, denn das Verhältnis ist hemiolios (11⁄2), und in Bezug auf den Ton, der von einem Viertel der Saite erzeugt wird, ergibt sich die Konsonanz einer Oktave und einer Quinte, denn das Verhältnis ist dreifach. Wenn wir die Saite in neun gleiche Teile teilen, ergibt der Ton, der von der ganzen Saite erzeugt wird, mit dem Ton, der von acht Teilen der Saite erzeugt wird, das Intervall eines Ganztons, denn das Verhältnis ist epogdoos (11⁄8). Alle Konkordanzen umfasst die tetraktys (s. u. II 35). Sie ist ja zusammengestellt aus 1, 2, 3 und 4. In diesen Zahlen gibt es die Konsonanz der Quarte, der Quinte, der Oktave, der Oktave und der Quinte und der Doppeloktave sowie das Verhältnis epitritos (11⁄3), hemiolios (11⁄2), Doppel, Dreifach und Vierfach.

  118

Theon von Smyrna

[60]

ταύτας δὲ τὰς συμφωνίας οἱ μὲν ἀπὸ βαρῶν ἠξίουν λαμβάνειν, οἱ δὲ ἀπὸ μεγεθῶν, οἱ δὲ ἀπὸ κινήσεων [καὶ ἀριθμῶν], οἱ δὲ ἀπὸ ἀγγείων [καὶ μεγεθῶν]. Λᾶσος δὲ ὁ Ἑρμιονεύς, ὥς φασι, καὶ οἱ περὶ τὸν Μεταποντῖνον Ἵππασον Πυθαγορικὸν ἄνδρα συνέπεσθαι τῶν κινήσεων τὰ τάχη καὶ τὰς βραδυτῆτας, δι’ ὧν αἱ συμφωνίαι ‹…› ἐν ἀριθμοῖς ἡγούμενος λόγους τοιούτους ἐλάμβανεν ἐπ’ ἀγγείων. ἴσων γὰρ ὄντων καὶ ὁμοίων πάντων τῶν ἀγγείων τὸ μὲν κενὸν ἐάσας, τὸ δὲ ἥμισυ ὑγροῦ ‹πληρώσας› ἐψόφει ἑκατέρῳ, καὶ αὐτῷ ἡ διὰ πασῶν ἀπεδίδοτο συμφωνία·

θάτερον δὲ πάλιν τῶν ἀγγείων κενὸν ἐῶν εἰς θάτερον τῶν τεσσάρων μερῶν τὸ ἓν ἐνέχεε, καὶ κρούσαντι αὐτῷ ἡ διὰ τεσσάρων συμφωνία ἀπεδίδοτο, ἡ δὲ διὰ πέντε, ‹ὅτε› ἓν μέρος τῶν τριῶν συνεπλήρου, οὔσης τῆς κενώσεως πρὸς τὴν ἑτέραν ἐν μὲν τῇ διὰ πασῶν ὡς β' πρὸς ἕν, ἐν δὲ τῷ διὰ πέντε ὡς γ' πρὸς β', ἐν δὲ τῷ διὰ τεσσάρων ὡς δ' πρὸς γ'. οἷς ὁμοίως καὶ κατὰ τὰς διαλήψεις τῶν χορδῶν θεωρεῖται, ὡς προείρηται, ἀλλ’ οὐκ ἐπὶ μιᾶς χορδῆς, ὡς ἐπὶ τοῦ κανόνος, ἀλλ’ ἐπὶ δυεῖν· δύο γὰρ ποιήσας ὁμοτόνους ὅτε μὲν τὴν μίαν αὐτῶν διαλάβοι μέσην πιέσας, τὸ ἥμισυ [60] πρὸς τὴν ἑτέραν συμφωνίαν τὴν διὰ πασῶν ἐποίει· ὅτε δὲ τὸ τρίτον μέρος ἀπολαμβάνοι, τὰ λοιπὰ μέρη πρὸς τὴν ἑτέραν τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν ἐποίει· ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῆς διὰ τεσσάρων· καὶ γὰρ ἐπὶ ταύτης μιᾶς τῶν χορδῶν ἀπολαβὼν τὸ τέταρτον μέρος τὰ λοιπὰ μέρη πρὸς τὴν ἑτέραν συνῆπτεν. ὃ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς σύριγγος ἐποίει κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον. οἱ δ’ ἀπὸ τῶν βαρῶν τὰς συμφωνίας ἐλάμβανον, ἀπὸ δυεῖν χορδῶν ἐξαρτῶντες βάρη κατὰ τοὺς εἰρημένους λόγους, οἱ δ’ ἀπὸ τῶν μηκῶν, καὶ τῶν χορδῶν ‹…› ἐπίεσαν, τὰς συμφωνίας ἐν ταῖς χορδαῖς ἀποφαινόμενοι.

Teil II (Musik), Abschnitt 12

119

Manche zogen es vor, diese Konsonanzen durch Gewichte (an Saiten) zu erhalten, andere durch Längen (von Saiten), wieder andere durch Bewegungen und wieder andere durch Gefäße. Man sagt, dass Lasos von Hermione und die Schüler des Hippasos von Metapontion (Test. 18 A 13) – letzterer aus der pythagoreischen Schule – die Schnelligkeit und Langsamkeit der Bewegungen der in den Gefäßen erzeugten Flüssigkeiten beobachteten, durch welche Konsonanzen … (Lücke im Text) in Zahlen diese Verhältnisse annahm. Er nahm mehrere ähnliche Gefäße mit gleichem Fassungsvermögen, ließ das eine leer und das andere halb mit einer Flüssigkeit gefüllt, dann wurden beide angeschlagen und so ergab sich die Konsonanz der Oktave. Wiederum ließ man ein Gefäß leer und füllte das andere bis zu einem Viertel auf, dann schlug man beide an und erhielt so die Konsonanz der Quarte. Für die Konsonanz der Quinte wurde ein Drittel eines Gefäßes gefüllt; das Verhältnis der Leerräume war für die Oktave 2 zu 1, für die Quinte 3 zu 2 und für die Quarte 4 zu 3. Die diesen ähnlichen Verhältnisse untersuchte er nach den Einteilungen von Saiten, wie vorhin gesagt, aber nicht durch nur eine Saite wie beim kanon (Monochord; s. o.), sondern durch zwei. Die beiden Saiten machte er gleichtönig, und als er dann eine von ihnen teilte, indem er sie in der Mitte herabdrückte, machte die Hälfte zur anderen die Konsonanz einer Oktave. Als er ein Drittel wegnahm, machten die übrigen Teile zur anderen Seite die Konsonanz einer Quinte, ähnlich auch bei der Konsonanz einer Quarte: Für die nahm er ein Viertel der einen Saite weg und bezog sie auf die andere, ganze Saite. Dies machte er nach demselben Verfahren auch mit der Flöte. Diejenigen, welche die Konsonanzen von den Gewichten genommen haben, hängten Gewichte an zwei Saiten in den genannten Verhältnissen; andere durch die Länge der Saiten … (Lücke im Text, etwa: die sie an verschiedenen Stellen) herabdrückten, zeigten so die Konsonanzen dieser Saiten auf.

  120

Theon von Smyrna

[61]

τί ἐστιν φθόγγος; (13) ‹…› φθόγγον δὲ εἶναι φωνῆς πτῶσιν ἐπὶ μίαν τάσιν. ὅμοιον γάρ φασιν αὐτὸν αὑτῷ δεῖν εἶναι τὸν φθόγγον καὶ ἐλάχιστον κατὰ διαφοράν, οὐκ ἐκ διαφόρων τάσεων οἷον βαρύτητος καὶ ὀξύτητος. τῶν δὲ φωνῶν αἱ μὲν ὀξεῖαι, αἱ δὲ βαρεῖαι, διὸ καὶ τῶν φθόγγων, ‹ὧν› ὁ μὲν ὀξὺς ταχύς ἐστιν, ὁ δὲ βαρὺς βραδύς. εἰ γοῦν εἰς δύο ἰσοπαχεῖς καὶ ἰσοκοίλους ‹αὐλοὺς› τετρημένους εἰς σύριγγος τρόπον, ὧν τοῦ ἑτέρου διπλάσιόν ἐστι τὸ μῆκος τοῦ ἑτέρου, ἐμφυσήσαι τις, ἀνακλᾶται τὸ πνεῦμα τὸ ἐκ τοῦ ἡμίσεος μήκους διπλασίῳ τάχει χρώμενον, καὶ ‹γίνεται› συμφωνία ἡ διὰ πασῶν βαρέος μὲν φθόγγου τοῦ διὰ τοῦ μείζονος, ὀξέος δὲ τοῦ διὰ τοῦ [61] ἐλάττονος. αἴτιον δὲ τάχος τε καὶ βραδυτὴς τῆς φορᾶς.

καὶ κατὰ τὰ ἀποστήματα δὲ τῶν ἐν τοῖς αὐλοῖς τρημάτων τὰς συμφωνίας ἀπεδίδοσαν καὶ ἐπὶ ἑνός. διχῆ μὲν γὰρ διῃρημένου καὶ τοῦ αὐλοῦ ὅλου ἐμφυσηθέντος ἐκ τοῦ κατὰ τὸ ἥμισυ τρήματος τὸ διὰ πασῶν σύμφωνον ἀποτελεῖται. τριχῆ δὲ διαιρεθέντος καὶ τῶν μὲν δυεῖν μερῶν ὄντων πρὸς τῇ γλωσσίδι, κάτω δὲ τοῦ ἑνός, καὶ τοῦ ὅλου συμφυσηθέντος τοῖς δυσί, τὴν διὰ πέντε γενέσθαι συμφωνίαν. τεσσάρων δὲ διαιρέσεων γενομένων, τριῶν μὲν ἄνω, κάτω δὲ μιᾶς, καὶ τῷ ὅλῳ συμφυσηθέντων τῶν τριῶν γίνεται ἡ διὰ τεσσάρων.

οἱ δὲ περὶ Eὔδοξον καὶ Ἀρχύταν τὸν λόγον τῶν συμφωνιῶν ἐν ἀριθμοῖς ᾤοντο εἶναι, ὁμολογοῦντες καὶ αὐτοὶ ἐν κινήσεσιν εἶναι τοὺς λόγους καὶ τὴν μὲν ταχεῖαν κίνησιν ὀξεῖαν εἶναι ἅτε πλήττουσαν συνεχὲς καὶ ὠκύτερον κεντοῦσαν τὸν ἀέρα, τὴν δὲ βραδεῖαν βαρεῖαν ἅτε νωθεστέραν οὖσαν.

Teil II (Musik), Abschnitt 13

121

Was ist ein Ton? (13) … (Lücke im Text, etwa: Adrastos [?] sagt), dass ein Ton das Verweilen der Stimme auf einer einzigen Spannung (Tonhöhe) ist. Er sagt, der Ton müsse sich immer gleich sein, dürfe nicht den geringsten Unterschied geben und auch nicht aus verschiedenen Spannungen der Tiefe oder Höhe zusammengesetzt sein. Von den Stimmen sind die einen hoch, die anderen tief, deshalb sind auch von den Tönen der eine, hohe, schnell und der andere, tiefe, langsam. Wenn man dann in zwei Flötenrohre gleicher Dicke und gleichen Durchmessers bläst, die nach Art einer Hirtenflöte (syrinx) durchbohrt sind und von denen eine zweimal länger als die andere ist, hat die Luft, die aus der zweimal weniger langen Röhre entweicht, eine doppelte Geschwindigkeit und ergibt die Konsonanz der Oktave, wobei der tiefere Ton aus dem längeren Rohr und der höhere Ton aus dem kürzeren Rohr kommt. Die Ursache dafür sind die Geschwindigkeit und die Langsamkeit der Bewegung. Aufgrund der Distanzen der Löcher, die in die Flötenrohre gebohrt sind, haben sie die Konsonanzen ergeben, sogar bei nur einer Flöte. Wenn man bei einer in zwei gleiche Teile zerlegten (geteilten) Flöte in das ganze Flötenrohr bläst, hört man bis zu dem Loch, das sie in zwei Teile teilt, die Konsonanz der Oktave. Wenn die Flöte in drei Teile zerlegt wird, wobei zwei Drittel vom oberen und ein Drittel vom unteren Ende weggenommen werden, und man in die ganze Flöte und in die in zwei Drittel Geteilte bläst, dann wird man die Konsonanz der Quinte hören. Wenn sie in vier zerlegt wird und man oben ein Teil und unten drei Teile nimmt und dann in die ganze Flöte und in die in drei Viertel Geteilte bläst, wird man die Konsonanz der Quarte hören. Die Schüler von Eudoxos und Archytas (Test. 47 A 19a) meinten, dass das Verhältnis der Konsonanzen durch Zahlen ausgedrückt werden könnte; sie erkannten auch, dass diese Verhältnisse eine Bewegung ausdrücken: eine schnelle Bewegung, die einem hohen Ton entspricht, weil sie kontinuierlicher und schneller anschlägt und in die Luft eindringt, und eine langsame Bewegung, die einem tiefen Ton entspricht, weil sie verzögerter ist.

  122

Theon von Smyrna

[62]

ταυτὶ μὲν περὶ τῆς εὑρέσεως τῶν συμφωνιῶν· ἐπανέλθωμεν δὲ ἐπὶ τὰ ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου παραδεδομένα. φησὶ γὰρ ὅτι τούτοις τοῖς εἰς τὴν ἀνεύρεσιν τῶν συμφωνιῶν ὀργάνοις κατὰ μὲν τοὺς λόγους προπαρασκευασθεῖσιν ἡ αἴσθησις ἐπιμαρτυρεῖ, τῇ δὲ αἰσθήσει προσληφθείσῃ ὁ λόγος ἐφαρμόζει. πῶς δὲ καὶ οἱ τὸ λεγόμενον ἡμιτόνιον περιέχοντες φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἐν λόγῳ τῷ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ', μικρὸν ὕστερον [62] ἔσται φανερόν.

περὶ τῶν ἐν λόγοις συμφονιῶν συνθέσεών τε καὶ διαιρέσεων (13a) δῆλον δὲ ὅτι καὶ αἱ συνθέσεις καὶ αἱ διαιρέσεις τῶν συμφωνιῶν ὁμόλογοι καὶ συνῳδοὶ θεωροῦνται ταῖς τῶν κατὰ ταύτας λόγων συνθέσεσί τε καὶ διαιρέσεσιν ἃς πρόσθεν ἐμηνύσαμεν. οἷον ἐπεὶ τὸ διὰ πασῶν ἔκ τε τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων συντίθεται καὶ εἰς ταῦτα διαιρεῖται, λόγος δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, τοῦ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, φαίνεται [ὅτι] καὶ ὁ διπλάσιος λόγος συντίθεσθαί τε ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου τε καὶ ἡμιολίου καὶ εἰς τούτους διαιρεῖσθαι· τῶν μὲν γὰρ ϛ' τὰ η' ἐπίτριτα, τῶν δὲ η' τὰ ιβ' ἡμιόλια· καὶ γίνεται τὰ ιβ' τῶν ϛ' διπλάσια· ϛ' η' ιβ'. πάλιν δὲ ὁ τῶν ιβ' πρὸς τὸν ϛ' λόγος διπλάσιος διαιρεῖται εἰς τε τὸν ἐπίτριτον λόγον τῶν ιβ' πρὸς τὰ θ' καὶ εἰς τὸν ἡμιόλιον τῶν θ' πρὸς τὰ ϛ'.

ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ, τὸ μὲν γὰρ διὰ πέντε τριῶν τόνων ἐστὶ καὶ ἡμιτονίου, ὁ δὲ τόνος ἐν ἐπ­ ογδόῳ λόγῳ, φαίνεται καὶ τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου ὑπερέχειν [ἐν] ἐπ­ογδόῳ· ἀπὸ γὰρ ἡμιολίου λόγου οἷον τοῦ τῶν θ' πρὸς τὰ ϛ' ἀφαιρεθέντος τοῦ ‹ἐπιτρίτου› λόγου τῶν η' πρὸς τὰ ϛ' λείπεται λόγος ἐπ­όγδοος ὁ τῶν θ' πρὸς τὰ η'· καὶ πάλιν τούτῳ τῷ λόγῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου λόγου τοῦ τῶν [63] ιβ' πρὸς τὰ θ' συμπληροῦται λόγος ἡμιόλιος τῶν ιβ' πρὸς τὰ η'.

Teil II (Musik), Abschnitt 13

123

Dies ist es, was für uns wesentlich war, um uns auf die Entdeckung (der arithmetischen Gesetze) der Konsonanzen zu beziehen. Kehren wir nun zu dem zurück, was Adrastos über diese Instrumente gesagt hat, die nach bestimmten Verhältnissen vorbereitet wurden, um die Konsonanzen zu entdecken. Er sagt ja, dass wir die Größe der Intervalle mit unserem Ohr beurteilen und dass die Verhältnisse das Zeugnis unserer Sinne bestätigen. Wir werden wenig später erklären, wie die Töne, die den genannten Halbtonabstand zwischen sich haben, im Verhältnis von 256 zu 243 stehen. Das Verhältnis von Konsonanzen, Additionen und Zerlegungen (13a) Es ist offensichtlich, dass die Zusammensetzungen und die Zerlegungen der Konsonanzen harmonisch im gleichen Verhältnis stehen wie die Zusammensetzungen und die Zerlegungen der Zahlen, welche die Konsonanzen messen, wie wir bereits erklärt haben. So setzt sich die Oktave aus der Quinte und der Quarte zusammen und sie wird in die Quinte und die Quarte zerlegt. Nun ist das Verhältnis der Oktave doppelt, das der Quarte ist epitritos (11⁄3) und das der Quinte ist hemiolios (11⁄2). Es ist offensichtlich, dass sich das Doppel-Verhältnis epitritos (11⁄3) und hemiolios (11⁄2) zusammensetzt und in diese zerlegt wird. So ist 8 der epitritos (11⁄3) von 6 und 12 der hemiolios (11⁄2) von 8; auch ist 12 das Doppelte von 6: also 6, 8, 12. Ebenso zerlegt sich das Doppel-Verhältnis von 12 in 6, das epitritos-Verhältnis (11⁄3) von 12 in 9 und das hemiolios-Verhältnis (11⁄2) von 9 in 6. Da die Quinte um einen Ganzton die Quarte überragt, da sie aus dreieinhalb Ganztönen besteht, wobei der Ganzton im epogdoos-Verhältnis (11⁄8) liegt, findet man, dass das hemiolios-Verhältnis (11⁄2) auch das epitritos-Verhältnis (11⁄3) um das epogdoos-Verhältnis (11⁄8) überragt. Wenn man von einem hemiolios-Verhältnis (11⁄2), wie etwa 9 zu 6, das epitritos-Verhältnis von 8 zu 6 subtrahiert, ist der Rest ja das epogdoos-Verhältnis von 9 zu 8. Ebenso, wenn man dazu das epitritos-Verhältnis (11⁄3) von 12 zu 9 addiert, wird das hemiolios-Verhältnis (11⁄2) von 12 zu 8 vervollständigt.

  124

Theon von Smyrna

[63]

καὶ μὴν ἐπεὶ τὸ μὲν διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ λόγῳ, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τὸ ἐξ ἀμφοῖν ἐν λόγῳ τῶν η' πρὸς τὰ γ'· τῶν μὲν γὰρ γ' ἐπίτριτα τὰ δ', τούτων δὲ διπλάσια τὰ η'. τὸ δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίονι· ὁ γὰρ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος συντιθέμενοι τοῦτον ποιοῦσιν· ἡμιόλιος μὲν γὰρ ὁ τῶν θ' πρὸς τὰ ϛ', διπλάσιος δὲ ὁ τῶν ιη' πρὸς τὰ θ'· καὶ γίνεται τριπλάσιος ὁ λόγος τῶν ιη' πρὸς τὰ ϛ'. ὁμοίως δὲ τὸ δὶς διὰ πασῶν ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ· οὗτος γὰρ σύγκειται ἐκ δύο διπλασίων· τῶν μὲν γὰρ ϛ' διπλάσια τὰ ιβ', τούτων δὲ τὰ κδ', ταῦτα δὲ [τὰ] τετραπλάσια τῶν ϛ'. ἢ μᾶλλον, ὡς κατ’ ἀρχὰς ἐδείξαμεν, ἐπισυντεθεὶς ὁ τριπλάσιος ἐπιτρίτῳ ποιεῖ τετραπλάσιον· ἔστι δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος ὁ λόγος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος· ἐξ ἀμφοῖν δὲ τούτοιν τὸ δίς ἐστι διὰ πασῶν· εἰκότως οὖν τοῦτο ἐν λόγῳ φαίνεται τετραπλασίῳ· τῶν μὲν γὰρ ϛ' τριπλάσια τὰ ιη', τούτων δὲ ἐπίτριτα τὰ κδ', ἅτινά ἐστι τετραπλάσια τῶν ϛ. καὶ πάλιν τῶν μὲν ϛ' ἐπίτριτα τὰ ή, τούτων δὲ τριπλάσια τὰ κδ', ἅ ἐστι τετραπλάσια τῶν ϛ'. καὶ τὰ ἐκ τούτων δὲ συντιθέμενα ἐν τούτοις εὑρεθήσεται τοῖς λόγοις, ἐφ’ ὅσον ἂν προαγάγωμεν τὰ συστήματα.

Teil II (Musik), Abschnitt 13

125

Da die Konsonanz der Oktave im doppelten Verhältnis und die Konsonanz der Quarte im epitritos-Verhältnis (11⁄3) ist, ergibt die Summe der beiden das Verhältnis von 8 zu 3, da 4 im epitritos-Verhältnis zu 3 ist und das Doppelte von 4 eben 8 ist. Da die Oktave plus eine Quinte im dreifachen Verhältnis ist, ergibt das hemiolios-Verhältnis (11⁄2) zu zwei dieses Verhältnis, denn das Verhältnis von 9 zu 6 ist hemiolios und das Verhältnis von 18 zu 9 ist doppelt, was das dreifache Verhältnis für das Verhältnis von 18 zu 6 ergibt. Die Doppeloktave ist ähnlich im vierfachen Verhältnis, da sie sich aus zwei Doppelverhältnissen zusammensetzt: Das Doppel von 6 ist 12 und das Doppel von 12 ist 24, was das Vierfache von 6 ist; oder besser gesagt, nach dem, was wir am Anfang gesagt haben, ergibt das dreifache Verhältnis, das zum epitritos-Verhältnis (11⁄3) addiert wird, das vierfache Verhältnis. Das Verhältnis der Oktave und der Quinte ist jedoch dreifach, und das der Quarte ist epitritos (11⁄3); aus beiden wird die Doppeloktave zusammengesetzt. Es ist also richtig, dass man hier die vierfache Konsonanz sieht, da das Dreifache von 6 ja 18 ist, das epitritos (11⁄3) davon ist 24, was das Vierfache von 6 ist. Genauso ist das Verhältnis von 8 zu 6 epitritos (11⁄3) und das Dreifache von 8 ist 24, was das Vierfache von 6 ist. Man kann diese Berechnung so weit voran­ treiben, wie man will, es werden immer die gleichen Verhältnisse gefunden, die zur Zusammensetzung der Konsonanzen führen.

  126

[64]

Theon von Smyrna

ιβ'

η'

[64]

ϛ'

ἡ διὰ ε' ἡμιόλιος

ἡ διὰ δ' ἐπίριτος ἡ διὰ πασῶν

διπλάσιος

η'

δ'

γ'

διὰ πασῶν

διὰ δ'

διὰ πασῶν καὶ διὰ δ' διπλάσιος καὶ δισεπίτριτος ιη'

θ' διὰ πασῶν

ϛ' διὰ ε'

διὰ πασῶν καὶ διὰ ε' τριπλάσιος κδ'

ιβ' διὰ πασῶν

ϛ' διὰ πασῶν

δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιος

Teil II (Musik), Abschnitt 13 12 / 8 / 6

hemiolios-Quinte / epitritos-Quinte Oktave doppelt

8/4/3 Oktave / Quarte Oktave und Quarte

doppelt und dis-epitritos

18 / 9 / 6 Oktave / Quinte Oktave und Quinte dreifach

24 / 12 / 6 Oktave / Oktave Doppeloktave vierfach

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Theon von Smyrna

[64]

[63] ὁ δὲ Πλάτων καὶ γένος διάτονον καὶ συστήματος μέγεθος ἐπὶ τὸ τετράκις διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε καὶ [64] τόνον προαγήοχεν. εἰ δὲ λέγοι τις, φησὶν ὁ Ἄδραστος, ὡς οὐ δέον ἐπὶ τοσοῦτον ἐκτεῖναι, Ἀριστόξενος μὲν γὰρ ἐπὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων τὸ τοῦ καθ’ αὐτὸν πολυτρόπου διαγράμματος πεποίηται μέγεθος, οἱ δὲ νεώτεροι τὸ πεντεκαιδεκάχορδον τρόπον μέγιστον ἐπὶ τὸ τρὶς διὰ πασῶν καὶ τόνον διεστηκός, ῥητέον, φησίν, ὡς ἐκεῖνοι μὲν πρὸς τὴν ἡμετέραν χρῆσιν ὁρῶντες οὕτως ἐποίουν, ἡγούμενοι μὴ πλεῖόν τι τούτων δύνασθαι μήτε τοὺς ἀγωνιζομένους φθέγγεσθαι μήτε [65] τοὺς ἀκούοντας εὐγνώστως κρίνειν, Πλάτων δὲ πρὸς τὴν φύσιν ὁρῶν, ἐπειδὴ τὴν ψυχὴν ἀνάγκη συνισταμένην καθ’ ἁρμονίαν μέχρι τῶν στερεῶν προάγειν ἀριθμῶν καὶ δυσὶ συναρμόζεσθαι μεσότησιν, ὅπως διὰ παντὸς ἐλθοῦσα τοῦ τελείου στερεοῦ κοσμικοῦ σώματος πάντων ἀντιληπτικὴ γενήσεται τῶν ὄντων, καὶ τὴν ἁρμονίαν αὐτῆς μέχρι τούτου προαγήοχε, τρόπον τινὰ καὶ κατὰ τὴν αὐτῆς φύσιν ἐπ’ ἄπειρον δυναμένην προιέναι.

φησὶ δ’ ὅτι καὶ τοὺς μείζονας ἀριθμοὺς τοῖς βαρυτέροις φθόγγοις οἰκεῖον ἀποδιδόναι, κἂν ἐπ’ ἐνίων δόξῃ τάσεων διαφωνεῖν, οἷον ἐπὶ τῆς τάσεως τῆς γινομένης διὰ τῆς ἐξαρτήσεως τῶν βαρῶν. δύο γὰρ ἴσων τό τε μῆκος καὶ πάχος χορδῶν καὶ τἄλλα ὁμοίων τὸ πλεῖον βάρος διὰ τὴν πλείω τάσιν τὸν ὀξύτερον ποιήσει φθόγγον. ἐπεὶ γὰρ τὸ πλεῖον βάρος πλείω τάσιν ποιεῖ, πλείονα τὴν ἔξωθεν προσδίδωσι δύναμιν τῷ κατ’ αὐτὸν ὀξυτέρῳ φθόγγῳ, ἐλάττονα διὰ τοῦτ’ ἔχοντι τὴν ἰδίαν ἰσχὺν τοῦ ἐξαρτήματος. δῆλον ὡς ἀντεστραμμένως ὁ βαρύτερος, τὴν οἰκείαν αὐτοῦ δύναμιν πλείω κεκτημένος τοῦ ἐξαρτήματος, ἐπαρκεῖ πρὸς τὸ σώζειν τὴν οἰκείαν ἁρμονίαν τε καὶ συμφωνίαν. ὥστε τὸν μείζω ἀριθμὸν τῇ πλείονι νεμητέον δυνάμει. ὁμολογεῖ δὲ τούτοις καὶ τὰ ἄλλα. πάλιν γὰρ τὰ μήκη καὶ τὰ πάχη δυσκινησίαν [66] προσάπτοντα ταῖς χορδαῖς ἀσθένειαν παρασκευάζει, ὡς μὴ ῥᾳδίως κινεῖσθαι μηδὲ θᾶττον πλήττειν τε καὶ εἰδοποιεῖν πλείονα ὄντα τὸν πέριξ ἀέρα.

Teil II (Musik), Abschnitt 13

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Platon erweiterte den diatonischen Typ und die Dimension dieses Systems bis zur vierten Oktave mit einer zusätzlichen Quinte und einem Ganzton (Timaios 35b–36b). Wenn jemand einwendet, sagt Adrastos, es sei nicht nötig, diese Berechnung so weit voranzutreiben, da Aristo­ xenos die Ausdehnung des vielfältigen (polytropos) Diagramms, das die verschiedenen Modi darstellt, auf die Doppel­oktave und die Quarte beschränkt hat und die Neueren die Art (tropos) der pentekaideka-chordon (15-saitige Leier; s. u. zu II 16) haben, deren größte Ausdehnung nur die Doppeloktave mit einem zusätzlichen Ganzton enthält, dann ist darauf zu antworten, sagt er, dass jene (zuletzt genannten) nur auf unseren Gebrauch schauen und so handeln, weil sie glauben, dass selbst diejenigen, die in einem Wettbewerb stehen, ihre Stimme nicht über diese Grenzen hinaus erheben können, und dass außerdem die Zuhörer nicht mehr in der Lage wären, die Töne leicht zu unterscheiden. Platon (Timaios 32a–b) hingegen, der die natürlichen Dinge und die Seele betrachtet, die notwendigerweise aus Harmonie bestehen, müsse die Berechnung bis zu den Körperzahlen (den Kubikzahlen 8 und 27) ausdehnen und verbinde die Werte mit zwei Mitteln, um alles, woraus der Körper des Kosmos besteht, vollständig umfassen zu können; er dehne auch die Harmonie bis zu diesem Punkt aus, der von Natur aus bis ins Unendliche gehen kann. Außerdem sagt er (Adrastos), dass es angemessen ist, die größten Zahlen den tiefsten Tönen zuzuordnen, obwohl dies bei manchen Spannungen unzutreffend ist, etwa bei der Spannung, die durch das Auf‌hängen von Gewichten entsteht. Es wird ja von zwei Saiten, die gleich lang und dick sind und sich in allen anderen Punkten ähneln, diejenige, die das größere Gewicht trägt, aufgrund der größeren Spannung den höheren Ton erzeugen, da das größte Gewicht, das eine sehr starke Spannung erzeugt, folglich dem höheren Ton von selbst eine größere Potenz verleiht, die demnach eine geringere Kraft hat als das aufgehängte Gewicht. Im Gegenteil ist es offensichtlich, dass ein tieferer Ton, der von sich aus eine größere Potenz besitzt als das aufgehängte Gewicht, an sich schon ausreicht, um seine eigene Harmonie und Konsonanz zu bewahren. Aus diesem Grund muss die größte Zahl der größten Potenz zugeschrieben werden. Auch die anderen Fälle stimmen dem zu. Die Längen und Dicken der Saiten, welche die Bewegung verlangsamen, bewirken wiederum eine Schwäche, so dass sie nicht leicht bewegt werden und auch nicht schnell anschlagen und auf die sie umgebende Luft, die mehr ist, wirken.

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Theon von Smyrna

[67]

δῆλον οὖν [ὅτι] ὡς οἱ βαρύτεροι φθόγγοι τὴν αὐτῶν οἰκείαν δύναμιν κατὰ τὸν πλείω κέκτηνται ἀριθμόν. ὅμοια δὲ ἔστιν εὑρεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐμπνευστῶν ὀργάνων. καὶ γὰρ τῶν ἐν τούτοις φθόγγων οἱ βαρύτεροι, διὰ τὸ μῆκος καὶ τὴν εὐρύτητα τῶν τρημάτων πλέον εἰδοποιοῦντες τὸν ἀέρα ἢ νὴ Δία τὴν ἄνεσιν τοῦ πνεύματος ὡς ἐπὶ σάλπιγγος ἢ τῆς ἀρτηρίας, ἀτονώτεροι καὶ ἀσθενέστεροι γινόμενοι τὴν αὐτῶν οἰκείαν δύναμιν ἔχουσι φύσει πλείονα.

κυριωτάτη δὲ πασῶν, φησίν, ἡ διὰ τεσσάρων συμφωνία· ἐκ γὰρ ταύτης καὶ αἱ λοιπαὶ εὑρίσκονται. ἡ δὲ διὰ πέντε τόνῳ τοῦ διὰ τεσσάρων διενήνοχεν. τί ἐστι τόνος; (14) ἀμέλει τὸν τόνον οὕτως ὁρίζονται· τὸ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα. εὑρίσκεται δὲ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε τὸ διὰ πασῶν· σύγκειται γὰρ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε. οἱ δὲ παλαιοὶ πρῶτον διάστημα τῆς φωνῆς ἔλαβον τὸν τόνον, ἡμιτόνιον δὲ καὶ δίεσιν οὐχ ἡγοῦντο. ὁ δὲ τόνος εὑρίσκετο ἐν ἐπ­ογδόῳ λόγῳ ἔν τε δίσκων κατασκευαῖς καὶ ἀγγείων καὶ χορδῶν καὶ αὐλῶν καὶ ἐξαρτήσεων καὶ ἄλλων πλειόνων· τὰ γὰρ η' πρὸς τὰ θ' ἐποίει τονιαίου ἀκούειν διαστήματος. διὰ τοῦτο δὲ [67] πρῶτον διάστημα ὁ τόνος, ὅτι μέχρι τούτου καταβαίνουσα ἡ φωνὴ τοῦ διαστήματος ἀπλανῆ τὴν ἀκοὴν φυλάσσει. τὸ δὲ μετὰ τοῦτο οὐκέτι οἵα τε ἡ ἀκοὴ πρὸς ἀκρίβειαν λαβεῖν τὸ διάστημα.

ἀμέλει περὶ τοῦ ἐφεξῆς διαστήματος καλουμένου ἡμιτονίου διαφέρονται, τῶν μὲν τέλειον ἡμιτόνιον αὐτὸ λεγόντων, τῶν δὲ λεῖμμα. συμπληροῦται δὲ τὸ διὰ τεσσάρων, ὅ ἐστιν ἐπίτριτον, τῷ τόνῳ, τουτέστι τῷ ἐπ­ογδόῳ διαστήματι, οὕτω. συμφωνεῖται γὰρ παρὰ πᾶσι

Teil II (Musik), Abschnitt 14

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Es ist dann offensichtlich, dass die tieferen Ganztöne ihre entsprechende Potenz entsprechend der größeren Zahl haben. Dasselbe findet man bei den Blasinstrumenten, denn bei diesen Instrumenten ergeben sich die tiefsten Ganztöne aus ihrer Länge und der Größe der Bohrungen, die es ermöglichen, eine größere Luftmenge freizusetzen, die dann in Bewegung gesetzt wird. Sie ergeben sich auch – bei Zeus! – aus der Verminderung des Atems, wie bei der Trompete (salpinx) oder der Luftröhre (beim Singen), in dem die tonloseren und schwächeren die ihnen eigene Potenz haben, die von Natur aus größer ist (also weniger Kraftaufwand benötigt). Die wichtigste aller Konsonanzen, sagt Platon, ist die Quarte, da durch sie die anderen gefunden werden; die Quinte ist von der Quarte nur durch das Intervall eines Ganztons unterschieden. Was ist ein Ganzton? (14) Der Ganzton kann also als das Intervall definiert werden, das die Quinte von der Quarte trennt. Man findet aus der Quarte und der Quinte die Oktave, da sie sich aus diesen beiden Konsonanzen zusammensetzt. Die Alten nahmen den Ganzton als das erste Intervall der Stimme an, ohne einen Halbton oder eine diësis zu berücksichtigen. Der Ganzton wurde als im epogdoos-Verhältnis (11⁄8) stehend herausgefunden, und zwar mit Scheiben, Gefäßen, Saiten, Flötenrohren, aufgehängten Gewichten und auf mehrere verschiedene andere Arten (s. o. II 12). Es war immer das Verhältnis von 8 zu 9, das es dem Ohr erlaubte, das Intervall eines Ganztons zu erkennen. Das erste Intervall ist also der Ganzton; wenn die Stimme dieses Intervall erreicht, gibt sie dem Ohr das Gefühl von etwas Festgelegtem und gut Bestimmtem; das Ohr kann aber das folgende Intervall nicht mehr mit Genauigkeit erfassen. Was das nachfolgende Intervall namens Halbton betrifft, sagen die einen, es sei ein vollkommener Halbton, die anderen, es sei ein leimma (»Rest«). Die Konsonanz der Quarte, die im epitritos-Verhältnis (11⁄3) steht, wird dann durch den Ganzton vervollständigt, das heißt durch ein epogdoos-Intervall (11⁄8), und zwar wie folgt: Alle sind sich einig,

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Theon von Smyrna

[68]

τὸ διὰ τεσσάρων μεῖζον μὲν εἶναι διτόνου, ἔλαττον δὲ τριτόνου. ἀλλ’ Ἀριστόξενος μέν φησιν ἐκ δύο ἡμίσους τόνων αὐτὸ συγκεῖσθαι τελείων, Πλάτων δὲ ἐκ δύο τόνων καὶ τοῦ καλουμένου λείμματος. τὸ δὲ λεῖμμα τοῦτό φησιν ἀκατονόμαστον εἶναι, ἐν λόγῳ δὲ εἶναι ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ὅν ἔχει τὰ σνϛ' πρὸς σμγ'. τὸ δὲ διάστημα τοῦτό ἐστι, καὶ ἡ ὑπεροχὴ ιγ'. εὑρεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ μὲν ϛ' οὐκ ἂν εἴη πρῶτος ὅρος, ἐπειδὴ οὐκ ἔχει ὄγδοον, ἵνα ὑπ’ αὐτοῦ γένηται ἐπόγδοος. οὐδὲ μὴν ὁ η'· καὶ γὰρ εἰ ἔχει ἐπόγδοον τὸν θ', πάλιν ὁ θ' οὐκ ἔχει ἐπόγδοον. δεῖ δὲ ἐπ­ογδόου ἐπόγδοον λαβεῖν, ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον μεῖζόν ἐστι διτόνου.

λαμβάνομεν οὖν τὸν πυθμένα τὸν ἐπόγδοον τὸν η' καὶ θ', καὶ τὰ η' ἐφ’ [68] ἑαυτά, εὑρίσκομεν ξδ', εἶτα τὰ η' ἐπὶ τὰ θ', καὶ γίνεται οβ', εἴτα τὰ θ' ἐφ’ ἑαυτά, καὶ γίνεται πα'· η' θ' ξδ' οβ' πα'· εἶτα πάλιν τούτων ἕκαστον ληφθήτω τρίς, καὶ ἔσται τὰ μὲν ξδ' τρὶς ρϙβ', τὰ δὲ οβ' τρὶς σιϛ', τὰ δὲ πα' τρὶς σμγ'· η' θ' ξδ' οβ’ πα' ρϙβ' σιϛ' σμγ· εἶτα προστίθεμεν τοῖς σμγ' ἀπὸ τῶν ρϙβ' ἐπίτριτον τὸν σνϛ'· ὥστε εἶναι τὴν ἔκθεσιν τοιαύτην· ἐπόγδοος πυθμὴν θ' η', δεύτεροι ἐπόγδοοι ξδ' οβ' πα', τρίτοι ἐπόγδοοι ἀλλήλων δύο ρϙβ' σιϛ' σμγ', κείσθω καὶ ὁ τοῦ ρϙβ' ἐπίτριτος ὁ σνϛ', ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμπεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων καὶ τοῦ εἰρημένου λείμματος. ρϙβ'

σιϛ' ἐπόγδοος

σμγ' ἐπόγδοος

σνϛ' λεῖμμα

ἐπίτριτος διὰ δ'

ἔνιοι δὲ πρῶτον ὅρον λαμβάνουσι τὸν τπδ'. ἵνα γὰρ δύο λάβωσιν ἐπ­ ογδόους, τὸν πρῶτον ὅρον τὸν ϛ' ὀκταπλασιάσαντες ποιοῦσι μη', καὶ ταῦτα πάλιν [69] ὀκτάκις τπδ', οὗ ἐπίτριτος ὁ φιβ', μεταξύ δὲ τούτων

Teil II (Musik), Abschnitt 14

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dass das Intervall der Quarte größer als zwei Ganztöne und kleiner als drei Ganztöne ist. Aristoxenos (Frg. II 3, 215 und 220) aber sagt, dass es sich aus zweieinhalb vollkommenen Ganztönen zusammensetzt, während Platon (Timaios 36b) angibt, dass dieses Intervall aus zwei Ganztönen und dem sogenannten Rest (leimma) besteht. Er fügt hinzu, dass dieser Rest keinen Namen hat, aber in einem Verhältnis von zwei Zahlen steht, nämlich dem von 256 zu 243. Dies ist das Intervall, und der Überschuss beträgt 13. Finden wird es man es wie folgt: Es sei der erste Wert nicht 6, da dieser nicht durch 8 teilbar ist, so dass man keinen epogdoos (11⁄8) davon nehmen kann. Er sei auch nicht 8, denn auch wenn dieses als ep­ogdoos (11⁄8) 9 hat, so hat 9 seinerseits keinen ep­ogdoos. Man muss vielmehr den ep­ogdoos eines ep­ogdoos nehmen, da die epitritos-Quarte (11⁄3) größer ist als der Doppelton. Wir nehmen also die epogdoos-Basis 8 und (davon 11⁄8, also) 9. 8 mit sich selbst multipliziert ist 64 und neunmal 8 ist 72; schließlich ist 9 mit sich selbst multipliziert 81. Also: 8, 9, 64, 72, 81. Wenn nun jede dieser Zahlen mit 3 multipliziert wird, haben wir: Neunmal 64 ist 192; dreimal 72 ist 216; dreimal 81 ist 243. Also 8, 9, 64, 72, 81, 192, 216, 243. Nach 243 nehmen wir den epitritos (11⁄3) von 192, also 256, und wir werden die Reihe der folgenden Abfolge haben: Die epogdoos-Basis ist 8, 9, die zweiten ep­ogdooi sind 64, 72, 81, die dritten epogdooi jeweils dazu sind 192, 216, 243. Gegeben sei noch der epitritos (11⁄3) von 192, also 256, dann wird der epitritos durch zwei Ganztöne und das (schon) genannte leimma vervollständigt. 192 / 216 / 243 / 256 epogdoos / epogdoos / leimma epitritos-Quarte

Einige nehmen als ersten Wert 384. Um zwei epogdooi (11⁄8) nehmen zu können, verachtfachen sie den ersten Wert 6 und machen 48; das wiederum achtmal ist 384; dessen epitritos (11⁄3) ist 512. Zwischen die-

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Theon von Smyrna

[70]

δύο ἐπόγδοα, τοῦ μὲν τπδ' υλβ', τούτου δὲ υπϛ', ἀφ’ ὧν ἐπὶ τὰ φιβ' ὁ λειμματιαῖος γίνεται λόγος. τπδ'

τόνος ἐπόγδοος

υλβ'

τόνος ἐπόγδοος

υπϛ'

λεῖμμα

φιβ'

ἐπίτριτος διὰ δ'

τινὲς δέ φασι μὴ ὀρθῶς εἰλῆφθαι τούτους τοὺς ἀριθμούς· τὴν γὰρ ὑπεροχὴν τοῦ τετάρτου ὅρου πρὸς τὸν τρίτον μὴ γίνεσθαι ιγ', ὅσα Πλάτων εἴρηκε δεῖν ἔχειν τὸ λεῖμμα. οὐδὲν δὲ κωλύει καὶ ἐφ’ ἑτέρων ἀριθμῶν τὸν αὐτὸν εὑρίσκειν λόγον ὡς ἔχει τὰ σνϛ' πρὸς τὰ σμγ'. οὐ γὰρ ἀριθμὸν ὡρισμένον ἔλαβεν ὁ Πλάτων, ἀλλὰ λόγον ἀριθμοῦ. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὰ σνϛ' πρὸς σμγ', τοῦτον καὶ τὰ φιβ' πρὸς τὰ υπϛ'· τὰ γὰρ φιβ' τῶν σνϛ' διπλάσια καὶ τὰ υπϛ' τῶν σμγ'.

ὅτι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα τὸ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ', τουτέστι τὰ ιγ', ἔλαττόν ἐστιν ἡμιτονίου, δῆλον. τοῦ γὰρ τόνου ἐπ­ογδόου ὄντος τὸ ἡμιτόνιον δὶς ἐπόγδοον ἔσται, τουτ­έστιν ἐφεκκαιδέκατον. τὰ δὲ ιγ' τῶν σμγ' ἐστιν ἐν λόγῳ πλείονι ὀκτωκαιδεκάτου, ὅ ἐστι μέρος ἔλαττον ἑκκαι­δεκάτου. οὐδὲ γὰρ οἷόν τε τὸ ἐπόγδοον διαίρεσιν ἐπιδέξασθαι, εἰ καὶ οἱ μὴ λόγῳ [70] ἀλλὰ τῇ ἀκοῇ ταῦτα κρίνοντες νομίζουσιν. ἀμέλει τοῦ ἐπ­ογδόου πυθμένος τὸ διάστημα τουτέστι τῶν θ' πρὸς τὰ η'· ἡ μονὰς οὐ τέμνεται.

τί ἐστι λεῖμμα; (15) τὸ δὲ λεγόμενον λεῖμμα εἰ τις ἐρωτῴη τίνος ἐστὶ λεῖμμα, δεῖ εἰδέναι ὅτι ἐστὶ τοῦ διὰ τεσσάρων· τῷ γὰρ διὰ τεσσάρων λείπει πρὸς τὸ γενέσθαι δύο ἥμισυ τόνων τελείων.

Teil II (Musik), Abschnitt 15

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sen beiden gibt es zwei epogdooi, nämlich für 384 eben 432 und dafür dann 486, was mit 512 das Verhältnis des leimma ergibt.

384 / 432 / 486 / 512

epogdoos-Ganzton / epogdoos-Ganzton / leimma epitritos-Quarte

Manche sagen, dass diese Zahlen nicht richtig gewählt seien, wenn man bedenke, dass der Überschuss des vierten Werts über den dritten nicht 13 ist, was laut Platon das leimma haben müsse. Aber nichts hindert uns daran, in anderen Zahlen das gleiche Verhältnis zu finden, das zwischen 256 und 243 besteht, denn Platon hat keine bestimmte Zahl genommen, sondern nur dieses Verhältnis der Zahlen. Nun ist das Verhältnis, das zwischen 256 und 243 besteht, dasselbe wie das zwischen 512 und 486, denn 512 ist das Doppelte von 256 und 486 ist das Doppelte von 243. Es ist offensichtlich, dass dieses Intervall der Zahlen 256 und 243, von denen die Differenz 13 beträgt, kleiner ist als der Halbton. Wenn nämlich ein Ganzton ep­-ogdoos (11⁄8) ist, wird der Halbton zweimal ein epogdoos sein, also ein ep-hekkaidekatos (11⁄16). Nun ist 13 von 243 in einem größeren Verhältnis als 1⁄18, was kleiner als 1⁄16 ist. Es ist ja nicht möglich, das epogdoos-Verhältnis (11⁄8) in zwei gleiche Teile zu zerlegen, selbst wenn einige es für möglich halten, diese Frage nicht nach dem Verstand, sondern nach dem Gehör zu beurteilen. Gewiss ist die Basis des epogdoos das Intervall im Verhältnis 9 zu 8; die Monade ist ja nicht teilbar. Was ist ein leimma? (15) Wenn man nach dem leimma fragt, zu welcher Konsonanz es gehört, muss man wissen, dass es notwendig ist, es als zur Quarte gehörend zu betrachten, denn es bildet einen Rest (leipei), der die Quarte zu weniger als zweieinhalb vollkommenen Ganztönen macht.

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Theon von Smyrna

[71]

εὑρέθη δὲ ὁ τόνος οὕτως. ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ ἐφάνη ὄν, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, ἐλήφθη ἀριθμὸς ὁ πρῶτος ἔχων ἥμισυ καὶ τρίτον· ἔστι δὲ οὗτος ὁ ϛ'. τούτου ἐπίτριτος μέν ἐστιν ὁ η', ἡμιόλιος δὲ ὁ θ'. ϛ' η' θ'. τὸ δὴ διάστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἡμιολίου ἐπὶ τὸ ἐπίτριτον εὑρέθη ἐν λόγῳ μὲν ἐπ­ογδόῳ· τὰ γὰρ θ' τῶν η' ἐπ­ όγδοα· ἡ δὲ τάσις ἐλέχθη τόνος.

ὅτι ὁ τόνος δίχα οὐ τέμνεται (16) ὅτι δὲ ὁ τόνος δίχα οὐ διαιρεῖται δῆλον οὕτω. πρῶτον μὲν ὁ ἐπ­ όγδοος πυθμὴν τὸ διάστημα ἔχει μονάδα, ἥτις ἀδιαίρετος. εἶτα ἐν μὲν ἀριθμῷ οὐκ ἀεὶ εἰς ἴσα τέμνεται τὸ ἐπόγδοον διάστημα. καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν σιϛ' πρὸς σμγ' ἡ ὑπεροχὴ κζ' οὐ τέμνεται εἰς ἴσα, ἀλλὰ εἰς ιγ' καὶ εἰς ιδ'· μονὰς γὰρ οὐ διαιρεῖται.

ἐπεὶ δὲ ὁ [71] τόνος ὁ μέν τις νοήσει λαμβάνεται, ὁ δὲ ἐν ἀριθμοῖς, ὁ δὲ ἐν διαστήμασιν, ὁ δὲ δι’ ἀκοῆς ἐν φωναῖς, οὕτε ‹ὁ› ἐν ἀριθμοῖς εἰς ἴσα ἀεὶ τέμνεται, ὡς δέδεικται, οὕτε ὁ ἐν αἰσθητοῖς καὶ ὁρατοῖς διαστήμασιν. ἐπὶ γὰρ τοῦ κανόνος αἰσθητὸς ὢν ὁ ὑποβολεὺς πάντως ἔξει τι πλάτος καὶ οὐκ ἔσται οὕτως ἀπλατής, ὡς μὴ πάντως τι ἐπιλαβεῖν ἐν τῇ διαιρέσει τοῦ τόνου καὶ τοῦ πέρατος τοῦ πρώτου μέρους καὶ τῆς πρώτης ἀρχῆς τοῦ δευτέρου, καὶ διὰ τοῦτο ἀπαναλωθήσεταί τι τοῦ τόνου. ἔτι ἐν ταῖς διαιρέσεσι τρία ἐστί, δύο μὲν τὰ διαιρούμενα, τρίτον δὲ τὸ ἐξαιρούμενον. τῶν δὲ διαιρουμένων ἀπ’ αὐτῆς τῆς διαιρέσεως ὡς ἐπὶ πρίονος ἐν τῇ τομῇ ἀναλοῦταί τι τὸ ἐξαιρούμενον ὑπ’ αὐτῆς τῆς τομῆς. ὡς οὖν ἐπ’ ἐνίων αἰσθητῶν ἐξαιρεῖταί τι, οὕτω καὶ ἐπὶ πάντων κἂν ἐκφεύγῃ τὴν αἴσθησιν πάντως ἀναλωθήσεταί τι ἐν τῇ τομῇ.

Teil II (Musik), Abschnitt 16

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Gefunden wurde der Ganzton auf folgende Weise: Da die Quarte im epitritos-Verhältnis (11⁄3) steht und die Quinte im hemiolios-Verhältnis (11⁄2), wurde die erste Zahl genommen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Dies ist die Zahl 6. Von ihr ist der epitritos (11⁄3) 8 und der hemiolios (11⁄2) 9. Also: 6, 8 und 9. Der Überschuss des Intervalls vom hemiolios zum epitritos wurde im Verhältnis des ep­ogdoos (11⁄8) gefunden, denn 9 ist der epogdoos von 8. Dieser Spannung wurde der Name Ganzton gegeben. Dass der Ganzton nicht in zwei (gleiche) Teile geteilt werden kann (16) Dass der Ganzton nicht in zwei (gleiche) Teile zerlegt werden kann, ist aus Folgendem offensichtlich: Zuerst hat das Basis-epogdoos (11⁄8) als Intervall die Monade, die unzerlegbar ist. Dann kann das ep­ogdoos-Intervall in seiner Zahl nie in zwei gleiche Hälften geteilt werden. Auch ist bei 216 zu 243 der Überschuss 27 und nicht in zwei gleiche Teile teilbar, sondern in zwei Zahlen, die 13 und 14 sind, denn die Monade wird nicht zerlegt. Da man den Ganzton teils gedanklich erfasst, teils in Zahlen, teils in Intervallen, teils durch das Gehör in Stimmen, kann er in Zahlen nicht in zwei gleiche Teile geteilt werden, wie (eben) gezeigt worden ist, und auch nicht bei wahrgenommenen und gesehenen Intervallen. Beim kanon (Monochord; s. o. II 12) hat der Steg – unabhängig von seiner Kon­struktion – eine gewisse Breite; er kann nicht so dünn sein, dass er bei der Zerlegung des Ganztons überhaupt nichts vom Ende des ersten Teils und vom Anfang des zweiten abfangen würde. So wird es immer einen bestimmten Teil des Ganztons geben, der absorbiert wird. Bei den Zerlegungen gibt es dann dreierlei: die zwei Zerlegten und den Teil, der (durch den Steg) abgezogen wird. Durch den Akt der Zerlegung selbst wird ein Teil dessen, was zerlegt wird, als zerstört empfunden, wie das Ergebnis eines Schnittes, wenn man etwas mit einer Säge schneidet. So wie bei bestimmten wahrnehmbaren Dingen einige Partikel verloren gehen, so ist es auch bei allen anderen Dingen, auch wenn unsere Sinne uns keine Beweise dafür geben. Wenn ein Schnitt gemacht wird, geht ein kleiner Teil dauerhaft verloren.

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Theon von Smyrna

[72]

δόρυ γοῦν ἢ κάλαμον ἢ ἄλλο ὁτιοῦν αἰσθητὸν μῆκος ἂν πρὶν ἢ διελεῖν μετρήσῃς, ἔπειτα διέλῃς εἰς πολλὰ μέρη, εὑρήσεις τὸ τῶν διαιρουμένων πάντων κοινὸν μέτρον ἔλαττον ὄν τοῦ ὅλου πρὶν ἢ διῃρῆσθαι. ἔτι χορδὴν ἂν διέλῃς, εἶτα διακόψῃς, ἡ ἔκτασις μετὰ τὴν διακοπὴν ἀνέδραμε, κἄν πάλιν τὰ διακοπέντα τείνῃς, ἀνάγκη ἀφῃρῆσθαί τι τοῦ [72] μεγέθους εἰς τὰς ἐξάψεις τῶν ἑκατέρωθεν ἁφῶν τοῦ τεινομένου. καὶ διὰ τοῦτο οὐκί ἔσται τέλεια δύο ἡμιτόνια.

οὐ μὴν οὐδ’ ἐπὶ τῶν φωνῶν εὑρίσκεται εἰς ἴσα ἡ τομὴ τοῦ τόνου. μελῳδήσας γὰρ τόνον καὶ τόνον μελῳδῶ πάλιν τοῦ ἑνὸς τόνου τὰ δύο ἡμιτόνια ἐν τρισὶ φθόγγοις, δυσὶ δὲ διαστήμασιν ἀναβαίνων τῇ τάσει. ὁ δὴ τρίτος φθόγγος τοῦ δευτέρου ὀξύτερος ἔσται, καὶ διέστηκεν ἀπὸ μὲν τοῦ πρώτου τόνον, ἀπὸ δὲ τοῦ δευτέρου δοκεῖ μὲν ἡμιτόνιον, οὐ μὴν ὅμοιον ἡμιτόνιον οὐδὲ οἷον ὁ δεύτερος ἀπὸ τοῦ πρώτου· οὐ γὰρ δύναται ὅμοιον εἶναι τὸ βαρύτερον τῷ ὀξυτέρῳ. οὐδὲ γὰρ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ φθόγγου ἂν δὶς μελῳδῆσαι θέλωμεν διακόψαντες τὴν φωνήν, τὸν αὐτὸν ἦχον ἀποδώσομεν, ἀλλ’ ἀνάγκη γενέσθαι τινὰ διαφοράν, ἥτις λήσει τὴν ἀκοήν.

οὐδὲ γὰρ κεντῆσαι ταὐτὸν καὶ ὅμοιον δὶς οἷόν τε, οὐδὲ πλῆξαι τὴν αὐτὴν χορδὴν δὶς ὁμοίως, ἀλλὰ ἢ λαγαρώτερον ἢ σφοδρότερον, οὐδὲ βάψαι δὶς εἰς τὸ αὐτὸ ὑγρὸν ὁμοίως, οὐδὲ βάψαντα τὸ αὐτὸ ἀνενεγκεῖν διὰ δακτύλου ἢ μέλανος ἢ μέλιτος ἢ πίττης.

ὁ δὲ νοήσει ληπτὸς τόνος δύναται νοεῖσθαι καὶ εἰς ἴσα διαιρούμενος.

Teil II (Musik), Abschnitt 16

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Wenn man etwa vor der Zerlegung den Schaft einer Lanze oder eines Schilf‌rohrs oder eines anderen langen Gegenstands misst und ihn dann in mehrere Teile teilt, wird man feststellen, dass die Länge aller Zerlegten zusammengenommen kleiner ist als die Länge des Gegenstands vor der Zerlegung. Ebenso wird man, wenn man eine Schnur in mehrere Teile teilt und sie durchschneidet, feststellen, dass nach dem Durchschneiden die abgewickelte Länge weniger wird, und wenn man alle Teile noch einmal ausstrecken will, wird man nicht verhindern können, dass ein Teil der Schnur verloren geht, wenn man sie an den Enden aneinander reiht. Aus diesem Grund werden die zwei Halbtöne nie vollkommen sein. Auch bei den Stimmen findet man nämlich keine Aufspaltung des Ganztons in zwei gleiche Teile, denn wenn ich, nachdem ich einen Ganzton intoniert habe, auf den ein anderer Ganzton folgt, zwei Halbtöne erzeuge, also die zwei Intervalle in drei Tönen nach oben gehe, so ist der dritte Ton höher als der zweite und er ist einen Ganzton höher als der erste, während er nur um einen Halbton über dem zweiten zu liegen scheint; aber dieser Halbton ist weder gleich noch ähnlich dem, der zwischen dem ersten und dem zweiten Ganzton zu finden ist. Es kann ja der tiefste nicht dem höchsten ähnlich sein, und es ist vergeblich, dass wir den gleichen Ganzton zweimal durch Aufspaltung des Ganztons wiedergeben wollen. Wir würden denselben Schall geben, aber es wird immer einen Unterschied geben, auch wenn er für das Gehör nicht wahrnehmbar ist. Ebensowenig kann man zwei Dinge vollkommen gleich machen, oder eine Saite zweimal auf die exakte Weise anzupfen: Es wird immer einen mehr oder weniger großen Unterschied der angewandten Kraft geben. Das Gleiche geschieht, wenn man seinen Finger zweimal auf die gleiche Weise in eine Flüssigkeit taucht: Beim Eintauchen wird man nicht dieselbe Menge an Tinte, Honig oder Pech aufnehmen. Was aber den gedanklich fassbaren Ganzton betrifft, kann man sich denken, dass er in zwei (gleiche) Teile zerlegt wird.

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Theon von Smyrna

1 προσλαμβανόμενος 2 ὑπάτη ὑπατῶν 3 παρυπάτη ὑπατῶν 4 ὑπάτη διάτονος 5 ὑπάτη μέσων 6 παρυπάτη μέσων 7 μέσων διάτονος 8 μέση 9 παραμέση 10 τρίτη διεζευγμένη 11 διεζευγμένη διάτονος 12 νήτη διεζευγμένη 13 τρίτη ὑπερβολαίων 14 διάτονος ὑπερβολαίων 15 νήτη ὑπερβολαίων

1– 4 8–10

διὰ δ' ἐπιτρίτῳ διὰ δ'

1– 5 8–11

διὰ ε' ἡμιόλιος διὰ ε'

1– 7 8–15 1–15

διὰ πασῶν διπλάσιος διὰ πασῶν δὶς διὰ πασῶν τετραπλασίονι

[72]

Teil II (Musik), Abschnitt 16

Die Saiten der 15-saitigen Leier, von tief nach hoch (s. II 13) (Zusatz am Ende der Überlieferung im Codex Marcianus gr. 307, ed. Hiller 1878, 206)

1 proslambanomenos 2 hypate hypaton 3 parhypate hypaton 4 hypate diatonos 5 hypate meson 6 parhypate meson 7 meson diatonos 8 mese 9 paramese 10 trite diëzeugmene 11 diëzeugmene diatonos 12 nete diëzeugmene 13 trite hyperbolaion 14 diatonos hyperbolaion 15 nete hyperbolaion

1– 4 8–10

epitritos-Quarte Quarte

1– 5 8–11

hemiolios-Quinte Quinte

1– 7 8–15 1–15

Doppeloktave Oktave tetraplasion-Doppeloktave

141

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Theon von Smyrna

[73]

τί ἐστι ὅρος; (17) περὶ δὲ τῆς ἐν ἀριθμοῖς ἁρμονίας λεκτέον ἑξῆς, ὅτι [ὁ] ὅρος ἐστὶν ὁ τὸ καθ’ ἕκαστον ἀποφαίνων ἰδίωμα τῶν λεγομένων, οἷον ἀριθμός, μέγεθος, δύναμις, ὄγκος, βάρος. ποσαχῶς λέγεται λόγος; (18) λόγος δὲ κατὰ μὲν τοὺς περιπατητικοὺς λέγεται πολλαχῶς, ὅ τε μετὰ φωνῆς προφορικὸς ὑπὸ τῶν νεω[73]τέρω λεγόμενος καὶ ὁ ἐνδιάθετος καὶ ὁ ἐν διανοίᾳ κείμενος ἄνευ φθόγγου καὶ φωνῆς καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας, καθ’ ὅν λέγεται ἔχειν λόγον τόδε πρὸς τόδε, καὶ ἡ τῶν τοῦ λόγου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῶν τιμώντων καὶ τιμωμένων, καθ’ ὅν φαμεν λόγον τινὸς ἔχειν ἢ μὴ ἔχειν, καὶ ὁ τραπεζιτικὸς λόγος καὶ ὁ ἐν τῷ βιβλίῳ Δημοσθενικὸς ἢ Λυσιακὸς καὶ ὁ ὅρος ὁ τὸ τί ἦν εἶναι καὶ τὴν οὐσίαν σημαίνων, ὁριστικὸς ὤν, καὶ ὁ συλλογισμὸς δὲ καὶ ἡ ἐπαγωγὴ καὶ ὁ Λιβυκὸς καὶ ὁ μῦθος καὶ ὁ αἶνος λόγος λέγεται καὶ ἡ παροιμία, ἔτι δὲ καὶ ὁ τοῦ εἴδους καὶ ὁ σπερματικὸς καὶ ἄλλοι πλείονες.

κατὰ δὲ Πλάτωνα τετραχῶς λέγεται λόγος, ἥ τε διάνοια ἄνευ φθόγγου καὶ τὸ μετὰ φωνῆς ῥεῦμα ἀπὸ διανοίας καὶ ἡ τῶν τοῦ ὅλου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας. νῦν δὲ πρόκειται περὶ τοῦ τῆς ἀναλογίας λόγου ζητεῖν.

Teil II (Musik), Abschnitt 17

143

Gedankliche Harmonie der Musik in Zahlen (II 17–43) Was ist ein Wert? (17) Nun ist über die Harmonie in den Zahlen zu sprechen und zu erklären, was ein Wert ist, der bei jedem Objekt die Eigenschaft zeigt, wovon gesprochen wird, etwa Zahl, Größe, Kraft, Masse, Gewicht. Auf wie viele Weisen wird logos verwendet? (18) Das Wort logos wird von den Peripatetikern auf mehrere Weisen verwendet; die Sprache, welche von den Neueren mündlich (»mit Stimme«) genannt wird, und das geistige Denken ohne Ton und Stimme werden beide auf diese Weise bezeichnet. Auch das Verhältnis der Proportion wird so genannt, und in diesem Sinne heißt es, dass es ein Verhältnis von einer Sache zu einer anderen Sache gibt. Es hat auch die Bedeutung der Erklärung der Elemente des Universums, die Anerkennung der Dinge, die ehren und geehrt werden – in diesem Sinne sagen wir »das (Ehren-)Wort von jemanden haben oder nicht haben« –, die Rechnung der Bankiers und die Reden in den Büchern eines Demosthenes und Lysias; der Begriff der Dinge, die ihr Wesen erklärt (Vernunft), das dieser bestimmt; der Syllogismus und die Induktion; auch die Fabel (»libyscher logos«; vgl. Aristoteles, Rhetorik 1393  a  30), der Mythos und die erbauliche Geschichte werden logos genannt, auch das Sprichwort, schließlich auch die Rede zur Gestalt oder zum Samen und viele andere. Nach Platon wird das Wort logos mit vier verschiedenen Bedeutungen verwendet: für Denken ohne Worte, für Reden, die vom Verstand ausgehen und durch die Stimme ausgedrückt werden, für die Erklärung der Elemente des Universums und für das Verhältnis der Proportion. Es ist dieser logos der Proportion, nach dem wir jetzt suchen wollen.

  144

Theon von Smyrna

[74]

τί ἐστι λόγος ἀναλογίας? (19) λόγος δέ ἐστιν ὁ κατ’ ἀνάλογον δυοῖν ὅρων ὁμογενῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους [αὐτῶν] ποιὰ σχέσις, οἷον διπλάσιος, τριπλάσιος. τὰ μὲν γὰρ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλά φησιν Ἄδραστος εἰδέναι ἀδύνατον· οἷον πῆχυς πρὸς μνᾶν ἢ χοῖνιξ πρὸς κοτύλην ἢ τὸ λευκὸν πρὸς τὸ γλυκὺ ἢ θερμόν ἀσύγκριτα καὶ ἀσύμβλητα· τὰ δὲ ὁμο[74]­γενῆ δυνατόν, οἷον μήκη πρὸς μήκη ‹καὶ› ἐπίπεδα πρὸς ἐπίπεδα καὶ στερεὰ πρὸς στερεὰ καὶ βάρη πρὸς βάρη καὶ ὑγρὰ πρὸς ὑγρὰ καὶ χυτὰ πρὸς χυτὰ καὶ ξηρὰ πρὸς ξηρὰ καὶ ἀριθμοὺς πρὸς ἀριθμοὺς καὶ χρόνον πρὸς χρόνον καὶ κίνησιν πρὸς κίνησιν καὶ φωνὴν πρὸς φωνὴν καὶ χυμὸν πρὸς χυμὸν καὶ χρῶμα πρὸς χρῶμα καὶ ὅσα τοῦ αὐτοῦ γένους ἢ εἴδους ὄντα πως ἔχει πρὸς ἄλληλα.

τί ἐστι ὅρος; (20) ὅρους δὲ λέγομεν τὰ ὁμογενῆ ἢ ὁμοειδῆ λαμβανόμενα εἰς σύγκρισιν, οἷον ὅταν σκεπτώμεθα τίνα λόγον ἔχει τάλαντον πρὸς μνᾶν, ὁμογενεῖς ὅρους φαμὲν τὸ τάλαντον καὶ τὴν μνᾶν, ὅτι ἀμφοῖν γένος τὸ βαρύ. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁ αὐτὸς λόγος.

περὶ ἀναλογίας (21) ἀναλογία δέ ἐστι λόγων ἡ πρὸς ἀλλήλους ποιὰ σχέσις, οἷον ὡς β' πρὸς ἕν, οὕτως η' πρὸς δ'. περὶ ἰσότητος (22) τῶν δὲ λόγων οἱ μέν εἰσι μείζονες, οἱ δὲ ἐλάττονες, οἱ δ’ ἴσοι. ὁ μὲν οὖν ἴσος εἶς καὶ ὁ αὐτὸς λόγος καὶ προηγεῖται πάντων τῶν λόγων καὶ ἔστι στοιχειώδης. ἴσοι δέ εἰσιν οἱ κατὰ τὴν αὐτὴν ποσότητα ἐξεταζόμενοι πρὸς ἀλλήλους, οἷον ἕν πρὸς ἕν καὶ β' πρὸς β' καὶ ι'

Teil II (Musik), Abschnitt 19

145

Was ist das Verhältnis der Proportion? (19) Das Verhältnis ist das zweier gemäß der Proportion gleichartiger Werte, wie sie sich zueinander verhalten, etwa doppelt oder dreifach. Für ungleichartige Dinge ist es nämlich unmöglich, sagt Adrastos, ein Verhältnis zu finden: So sind die Elle (ein Längenmaß) mit der Mine (einem Gewichtsmaß), die Choinix (ein Hohlmaß für Trockenes) mit der Kotyle (einem Hohlmaß für Flüssiges), das Weiße mit dem Süßen oder dem Heißen nicht vergleichbar und nicht verbindbar. Für gleichartige Dinge ist dies möglich: so etwa Längen mit Längen, Flächen mit Flächen, Körper mit Körpern, Gewichte mit Gewichten, Flüssiges mit Flüssigem, Trockenes mit Trockenem, Zahlen mit Zahlen, Zeit mit Zeit, Bewegung mit Bewegung, Ton mit Ton, Saft mit Saft, Farbe mit Farbe und alle anderen Dinge, welche die gleiche Art oder Erscheinungsform haben, wie sie sich zueinander verhalten. Was ist ein Wert? (20) Wir nennen »Werte« gleichartige Dinge oder Dinge der gleichen Gattung, die zum Zweck des Vergleichs miteinander betrachtet werden. Wenn wir untersuchen, welches Verhältnis zwischen (den Gewichtseinheiten) Talent und Mine besteht, sagen wir, dass es gleichartige Werte sind, weil sie beide Gewichte sind. Es ist dasselbe Verhältnis bei anderen der gleichen Art. Proportion (21) Die Proportion ist die Relation der Verhältnisse zueinander; so ist etwa 2 zu 1 so wie 8 zu 4. Gleichheit (22) Von den Verhältnissen sind die einen größer, die anderen kleiner, wieder andere gleich. Das gleiche Verhältnis ist immer ein und dasselbe, und es überwiegt alle anderen, da es elementar ist. Gleich sind die Verhältnisse, welche die gleiche Anzahl miteinander verglei-

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Theon von Smyrna

[75]

πρὸς ι' καὶ ρ' πρὸς ρ'. τῶν δὲ μειζόνων οἱ μὲν πολλαπλάσιοι, οἱ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δὲ οὐδέτεροι. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δὲ ὑπεπιμόριοι, οἱ δ’ οὐδέτεροι. τούτων δὲ οἱ μὲν ἐν συμφωνίᾳ εἰσίν, οἱ δ’ οὔ.

αἱ μὲν οὑν συμφωνίαι τῶν [75] πολλαπλασίων ὅ τε διπλάσιος καὶ ὁ τριπλάσιος καὶ ὁ τετραπλάσιος, ἐν δὲ ἐπιμορίοις ἡμιόλιος ἐπίτριτος, ἐν οὐδετέρῳ δὲ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ', καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑποτριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος καὶ ὁ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ὑπεπόγδοος καὶ ὁ τῶν σμγ' πρὸς σνϛ'. καὶ ὁ μὲν διπλάσιος ἐν τῇ διὰ πασῶν εὑρίσκεται συμφωνίᾳ, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται, ὁ δὲ τριπλάσιος ἐν τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, ὁ δὲ τετραπλάσιος ἐν τῇ δὶς διὰ πασῶν, ὁ δ’ ἡμιόλιος ἐν τῇ διὰ πέντε, ὁ δ’ ἐπίτριτος ἐν τῇ διὰ τεσσάρων, ὁ δ’ ἐπόγδοος τόνος ἐστίν, ὁ δὲ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ' ἐν λείμματι. ὁμοίως δὲ καὶ οἱ τούτων ὑπεναντίοι. ἐν οὐδετέρῳ δέ εἰσι λόγῳ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ', ὅτι οὕτε ἐν συμφωνίαις εἰσὶν οὕτε ἔξω συμφωνίας· ὁ γὰρ τόνος καὶ τὸ λεῖμμα ἀρχαὶ μέν εἰσι συμφωνίας καὶ συμπληρωτικαὶ συμφωνίας, οὔπω δὲ συμφωνίαι.

λέγονται δέ τινες ἐν ἀριθμητικῇ λόγοι ἀριθμῶν οὐ μόνον πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι, ἀλλὰ καὶ ἐπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἔτι πλείους, περὶ ὧν ἐφεξῆς σαφέστερον παραδώσομεν. συνέστηκε δὲ τὸ μὲν διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐκ τριῶν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων. ἐκ δὲ τούτων εἰσὶν αἱ προηγούμεναι τῶν ἀναλογιῶν.

Teil II (Musik), Abschnitt 22

147

chen, wie etwa 1 zu 1, oder 2 zu 2, 10 zu 10, 100 zu 100. Unter den größeren Verhältnissen sind einige (ganzzahlige) Vielfache, andere sind epimorioi (s. u. II 24) und wieder andere sind keines von beidem. Ebenso sind von den kleineren Verhältnissen einige Kehrvielfache, andere Kehr-epimorioi (dazu siehe jeweils gleich) und wieder andere keines von beidem. Von diesen Verhältnissen stehen einige in Konsonanz, andere nicht. Die Konsonanzen sind bei den Vielfachen das Doppelte, das Dreifache und das Vierfache, bei den epimorios-Verhältnissen hemiolios (11⁄2 = 3⁄2) und epitritos (11⁄3 = 4⁄3), bei denen, die keines von beiden sind, epogdoos (11⁄8 = 9⁄8) und das Verhältnis von 256 zu 243. Als Kehrwert zu diesen Verhältnissen gibt es das Kehr-Doppelte (1⁄2), Kehr-Dreifache (1⁄3), Kehr-Vierfache (1⁄4) sowie Kehr-hemiolios (2⁄3), Kehr-epitritos (3⁄4), Kehr-epogdoos (8⁄9) und das Verhältnis von 243 zu 256. Das doppelte Verhältnis, wie wir oben gesehen haben, findet sich in der Konsonanz der Oktave, das dreifache in der Konsonanz der Oktave und der Quinte, das vierfache in der Doppel­oktave, das hemiolios-Verhältnis (11⁄2) in der Quinte, das epitritos-Verhältnis (11⁄3) in der Quarte. Was das epogdoos-Verhältnis (11⁄8) betrifft, so ist es ein Ganzton, und das Verhältnis von 256 zu 243 ist ein leimma. Es bleibt dasselbe für die umgekehrten Verhältnisse. Unter den zu keinen der beiden gehörenden Verhältnissen sind das epogdoos-Verhältnis (11⁄8) und das Verhältnis von 256 zu 243, die keine Konsonanzen sind, aber auch nicht über die Konsonanz hinaus­gehen, da der Ganzton und das leimma die Prinzipien der Konsonanz sind und sie vervollständigen, ohne jedoch Konsonanzen zu sein. In der Arithmetik gibt es Verhältnisse von Zahlen, nicht nur Viel­fache (s. u. II 23) und epimorioi (s. u. II 24), sondern auch epimereis (s. u. II  25) und Vielfach-epimereis (s. u. II 27) und andere Verhältnisse, die wir später noch deutlich erklären werden. Die Quarte setzt sich aus zwei Ganz­tönen und einem leimma zusammen, die Quinte aus drei Ganztönen und einem leimma, die Oktave aus einer Quinte und einer Quarte; aber die Verhältnisse der Proportionen müssen ihnen vorausgehen.

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Theon von Smyrna

[76]

[76] πάλιν δὲ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν παράδοσιν λέγονται ‹λόγοι› τῶν ἀριθμῶν, ὡς καὶ ὁ Ἄδραστος παραδίδωσιν, οἴ μὲν πολλαπλάσιοι, οἱ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δ’ ἐπιμερεῖς, οἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι, οἱ δὲ πολλαπλασιεπιμερεῖς, οἱ δ’ οὐδέτεροι, τῶν δὲ ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δ’ ὑπεπιμόριοι, καὶ οἱ λοιποὶ ἀντιστρέφοντες τοῖς μείζοσι.

τί ἐστι ὁ πολλαπλάσιος λόγος; (23) πολλαπλάσιος μὲν οὖν ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα, τουτ­έστιν ὅταν ὁ μείζων ὅρος καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἀπαρτιζόντως, ὡς μηδὲν ἔτι λείπεσθαι ἀπ’ αὐτοῦ, καὶ κατ’ εἶδος τοσαυταπλασίων [ἕκαστος πολλαπλάσιος δ’] ὁ μείζων ὅρος λέγεται τοῦ ἐλάττονος, ὁσάκις ἂν καταμετρῆται ὑπ’ αὐτοῦ· οἷον ἂν μὲν δίς, διπλάσιος, ἂν δὲ τρίς, τριπλάσιος, ἂν δὲ τετράκις, τετραπλάσιος, καὶ κατὰ τὸ ἐξῆς οὕτως. ἀνάπαλιν δὲ ὁ ἐλάττων τοῦ μείζονος μέρος ὁμώνυμον τῷ λόγῳ, κατὰ μὲν τὸν διπλάσιον ἥμισυ, κατὰ δὲ τὸν τριπλάσιον τριτημόριον, καὶ λόγος ὁ μὲν ἥμισυς, ὁ δὲ τριτημόριος· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.

τί ἐστι ἐπιμόριος λόγος; (24) ἐπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ μόριον ἕν τι τοῦ ἐλάττονος, τουτ[77]έστιν ὅταν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος ταύτην ἔχῃ τὴν ὑπεροχήν, ἥτις τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ μέρος ἐστίν. ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος· ὑπερέχει γὰρ αὐτῆς μονάδι, ἥτις ἐστὶ τῆς τριάδος τὸ τρίτον· καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος ὑπερέχει δυεῖν, ἅτινα τῶν τεσσάρων ἥμισύ ἐστι. διὸ καὶ ἀπὸ τῆς τῶν μερῶν ὀνομασίας ἕκαστος τῶν ἐπιμορίων ἰδίας ἔτυχε προσηγορίας. ὁ μὲν γὰρ τῷ ἡμίσει τοῦ ἐλάττονος μέρει ὑπερέχων ἡμιόλιος ὠνόμασται, ὡς ἡ τριὰς τῆς δυάδος καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος. αὐτήν τε γὰρ ὅλην ἔχει τὴν ἐλάττονα καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς· ἐν μὲν γὰρ τῇ τριάδι ἔνεστιν ἡ δυὰς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς ἡ μονάς, ἐν

Teil II (Musik), Abschnitt 23

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So gibt es nach den Prinzipien der Arithmetik, wie Adrastos lehrt, mehrfache Verhältnisse, während andere epimorioi, andere epi­mereis, andere Vielfach-epimorioi, andere Vielfach-epimereis sind; andere sind neutral, und unter den Verhältnissen, die kleiner als die Monade sind, gibt es die Kehr-Vielfachen, während andere Kehr-epi­morioi sind; und die anderen sind inverse Verhältnisse (Kehr­werte), die größer als die Monade sind. Was ist das vielfache Verhältnis? (23) Ein Verhältnis ist vielfach, wenn der größere Wert den kleineren mehrmals enthält, das heißt wenn der kleinere Wert den größeren genau misst (teilt), ohne dass etwas übrig bleibt. Der größere Wert wird nach der Anzahl genannt, wie oft der kleinere ihn misst: Wenn er ihn etwa zweimal misst, ist das Verhältnis doppelt; wenn er ihn dreimal misst, ist das Verhältnis dreifach; wenn er ihn viermal misst, ist das Verhältnis vierfach und so weiter. Umgekehrt erhält der kleinere Wert als Teil des größeren eine Bezeichnung, die dem Vielfachen des Verhältnisses entspricht: Er wird die Hälfte des doppelten Werts oder das Drittel des dreifachen Werts genannt, und das Verhältnis wird Hälfte, Drittel und so weiter genannt. Was ist ein epimorios-Verhältnis? (24) Ein Verhältnis ist epimorios, wenn der größere Wert einmal den kleineren Wert plus einen Teil des kleineren Werts enthält, das heißt, wenn der größere Wert gegenüber dem kleineren einen solchen Überschuss hat, welches ein Teil der kleineren Zahl ist. So ist die Tetrade (4) im Verhältnis zur Triade (3) epimorios, weil sie es um diejenige Monade überragt, die ein Drittel von 3 ist (11⁄3). Ebenso überragt die Hexade (6) die Tetrade (4) um 2 Monaden, die ja die Hälfte von 4 sind (11⁄2). Jedem epimorios-Verhältnis wird nach der Bezeichnung des Bruchteils eine bestimmte Bezeichnung gegeben. So wird dasjenige, das um die Hälfte des kleineren Werts überragt, wie 3⁄2 und 6⁄4, hemi­olios (11⁄2) genannt, da die größere Menge die Gesamtheit des kleineren plus eine Hälfte davon enthält. In der Triade (3) ist ja die Dyade (2) enthalten

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Theon von Smyrna

[78]

δὲ τῇ ἑξάδι ἡ τετρὰς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς ἡ δυάς. πάλιν οἱ τῷ τρίτῳ μέρει τοὺ ἐλάττονος ὑπερέχοντες ἐπίτριτοι καλοῦνται, ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος, οἱ δὲ τῷ τετάρτῳ ὑπερέχοντες ἐπιτέταρτοι, ὡς ὁ ε' τῶν δ' καὶ ὁ ι' τῶν η', καὶ ὁμοίως προκόπτοντες ἐπίπεμπτοί τε καὶ ἔφεκτοι καὶ ἐφέβδομοι ἐκλήθησαν πάντες οὗτοι ἐπιμόριοι ὄντες.

διὸ καὶ οἱ ἀντικείμενοι τούτοις οἱ ἐλάττονες τῶν μειζόνων ὑπεπι­ μόριοι ἐκλήθησαν· ὡς γὰρ ἡ τριὰς ‹τῆς› δυάδος ἐλέγετο ἡμιόλιος, οὕτως καὶ ἡ δυὰς τῆς τριάδος κατὰ τὸ ἀνάλογον ὑφημιόλιος λεχθήσεται, καὶ ὁμοίως ἡ τριὰς τῆς τετράδος ὑπεπίτριτος.

ἔστι δὲ τῶν πολλαπλασίων λόγων πρῶτος καὶ ἐλάχιστος ὁ διπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τριπλάσιος, εἶτα ὁ τετραπλάσιος, καὶ οὕτως οἱ ἑξῆς ἐπ’ ἄπειρον αἰεὶ [78] οἱ μείζονες. τῶν δ’ ἐπιμορίων λόγων πρῶτος καὶ μέγιστος ὁ ἡμιόλιος, ὅτι δὴ καὶ τὸ ἥμισυ μέρος πρῶτον καὶ μέγιστον καὶ ἐγγυτάτω τῷ ὅλῳ, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ ἐπίτριτος, καὶ ὁ ἐπιτέταρτος, καὶ οὕτω πάλιν ἐπ’ ἄπειρον ἡ πρόοδος ἀεὶ ἐπ’ ἐλάττονος.

περὶ ἐπιμεροῦς λόγου (25) ἐπιμερὴς δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι πλείω μέρη αὐτοῦ [τοῦ ἐλάττονος], εἴτε ταὐτὰ καὶ ὅμοια εἴτε ἕτερα καὶ διάφορα· ταὐτὰ μὲν οἷον δύο τρίτα ἢ δύο πέμπτα καὶ εἴ τινα ἄλλα οὕτως· ὁ μὲν γὰρ τῶν ε' ἀριθμὸς τοῦ τῶν γ' δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ζ' τοῦ τῶν ε' δὶς ἐπίπεμπτος, ὁ δὲ τῶν η' τοῦ τῶν ε' τρὶς ἐπίπεμπτος, καὶ οἱ ἑξῆς ὁμοίως· ἕτερα δὲ καὶ διάφορα οἷον ὅταν ὁ μείζων αὐτόν τε ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι ἥμισυ αὐτοῦ καὶ τρίτον, οἷον ἔχει λόγον ὁ τῶν ια' πρὸς τὸν τῶν ϛ', ἢ πάλιν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ὅς ἐστι λόγος τῶν ζ' πρὸς δ', ἢ νὴ Δία τρίτον καὶ τέταρτον, ὅν ἔχει λόγον τὰ ιθ' πρὸς τὰ ιβ'.

Teil II (Musik), Abschnitt 25

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plus die Monade (1), welche die Hälfte der Dyade ist. In der Hexade (6) ist die Tetrade (4) enthalten plus ihre Hälfte, die Dyade (2). Das Verhältnis, das um ein Drittel des kleineren Werts überragt, wird epi-tritos (11⁄3) genannt, wie 4⁄3, dasjenige, das um ein Viertel überragt, epi-tetartos (11⁄4) genannt, wie 5⁄4 oder 10⁄8, und wenn man auf dieselbe Weise fortfährt, findet man die Verhältnisse, die epi-pemptos (11⁄5), ep-hektos (11⁄6) und ep-hebdomos (11⁄7) genannt werden und die alle epi-morioi sind. Umgekehrt werden deshalb die Verhältnisse der kleineren Werte zu den größeren Werten als Kehr-epimorios bezeichnet, denn so wie das Verhältnis von Triade (3) zu Dyade (2) als hemiolios (11⁄2) bezeichnet wird, so wird analog dazu das (Kehrwert-)Verhältnis von 2 zu 3 als Kehr-hemiolios bezeichnet. In der gleichen Weise wiederum wird das Verhältnis von 3 zu 4 Kehr-epitritos genannt. Unter den Vielfach-Verhältnissen ist das erste und kleinste das doppelte, dann kommt das dreifache, dann das vierfache und so weiter ins Unendliche immer größere. Von den epimorios-Verhältnissen ist das erste und größte das hemi­ olios-Verhältnis (11⁄2), denn der Bruch 1⁄2 ist der erste, größte und derjenige, der dem Ganzen am nächsten kommt; dann kommt das epi­tritos-Verhältnis (11⁄3), dann epitetartos (11⁄4) und so weiter ins Unendliche, immer weiter abnehmend. Das epimeres-Verhältnis (25) Ein Verhältnis ist epimeres, wenn der größere Wert einmal den kleineren plus mehrere andere Teile davon enthält, entweder ein und dieselben Teile oder verschiedene und unterschiedliche Teile. Die erstgenannten sind etwa zwei Drittel, zwei Fünftel usw.; es enthält die Zahl 5 nämlich 3 plus zwei Drittel von 3; die Zahl 7 enthält 5 plus zwei Fünftel von 5; die Zahl 8 enthält 5 und drei Fünftel von 5 und so weiter. Die (zweitgenannten) verschiedenen und unterschiedlichen Teile sind es, wenn der größere Wert den kleineren enthält und zusätzlich seine Hälfte und sein Drittel, wie im Verhältnis 11 zu 6, oder wiederum seine Hälfte und sein Viertel, wie im Verhältnis 7 zu 4, oder – bei Zeus! – das Drittel und das Viertel, wie im Verhältnis 19 zu 12.

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Theon von Smyrna

[79]

παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ ἐπιμερεῖς δυσὶν ὑπερέχοντες μέρεσιν ἢ τρισὶν ἢ πλείοσι, καὶ ὁμοίοις ἢ ἀνομοίοις. ὑπεπιμερὴς δέ ἐστιν [ὁ] ἀνάπαλιν ὁ ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μείζονα ἐξεταζόμενος.

περὶ πολλαπλασιεπιμορίων (26) πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἢ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος [79] αὐτοῦ, ὡς ὁ μὲν τῶν ζ' δὶς ἔχει τὸν γ' καὶ ἔτι τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται αὐτοῦ διπλασι­ επίτριτος, ὁ δὲ τῶν θ' δὶς ἔχει ‹τὸν› τῶν δ' καὶ ἔτι τὸ τέταρτον· αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ τῶν ι' τρὶς ἔχει τὸν τῶν γ' καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται τριπλασιεπίτριτος. παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ πολλαπλασιεπιμόριοι.

τοῦτο δὲ συμβαίνει, ὅταν δυεῖν προτεθέντων ἀριθμῶν ὁ ἐλάττων καταμετρῶν τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ὅλον καταμετρῆσαι, ἀλλ’ ἀπο­ λείπῃ μέρος τοῦ μείζονος, ὅ ἐστιν αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος μέρος· οἷον ὁ τῶν κϛ' τοῦ τῶν η' πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται, ἐπειδήπερ ‹ὁ› η' τρὶς καταμετρήσας τὸν κϛ' οὐχ ὅλον ἀπήρτισεν, ἀλλὰ μέχρι τῶν κδ' ἐλθὼν δύο ἐκ τῶν κϛ' ἀπέλιπεν, ὅ ἐστι τῶν η' τέταρτον. περὶ πολλαπλασιεπιμερῶν (27) πολλαπλασιεπιμερὴς ‹δέ› ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἤ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο ἢ πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα· οἷον ὁ μὲν τῶν η' δὶς ἔχει τὸν τῶν γ' καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ια' τοῦ τῶν γ' τριπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ια' τοῦ τῶν δ' διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος ἢ διπλάσιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος. καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλαπλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρίζεσθαι ῥᾴδιον.

Teil II (Musik), Abschnitt 26

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In ähnlicher Weise können die anderen epimeres-Verhältnisse erkannt werden, die um zwei, drei oder eine größere Anzahl von Teilen überragen, unabhängig davon, ob diese Teile gleich sind oder nicht. Umgekehrt ist das Kehr-epimeres-Verhältnis dasjenige, das man erhält, wenn man in dem vorhin genannten Verhältnis das Verhältnis des kleineren Werts zum größeren nimmt. Vielfach-epimorios-Verhältnisse (26) Ein Verhältnis ist vielfach-epimorios, wenn der größere Wert zweimal oder mehrmals den kleineren plus einen Teil davon enthält. 7 enthält auf diese Weise zweimal 3 und zusätzlich ein Drittel von 3. Man sagt auch, dass das Verhältnis von 7 zu 3 doppel-epitritos (21⁄3) ist. Ebenso enthält 9 nun zweimal 4 und zusätzlich das Viertel von 4; das Verhältnis von 9 zu 4 ist doppel-epitetartos (21⁄4). Ebenso wieder enthält 10 eben dreimal 3 zusammen mit einem Drittel von drei, und das Verhältnis wird dreifach-epitritos (31⁄3) genannt. Andere vielfach-epimorios-Verhältnisse werden auf die gleiche Weise betrachtet. Sie treten immer dann auf, wenn von den beiden vorgegebenen Zahlen die kleinere nicht genau die größere misst (teilt), sondern wenn die größere einen Teil übrig lässt, der gleichzeitig ein Teil der kleineren ist. Das Verhältnis 26 zu 8 ist also vielfach-epimorios, denn dreimal 8 ergibt nicht ganz 26, sondern kommt auf 24 statt 26, und es gibt einen Rest von 2, der ein Viertel von 8 ist (31⁄4). Vielfach-epimeres-Verhältnisse (27) Ein Verhältnis ist vielfach-epimeres, wenn der größere Wert den kleineren zwei- oder mehrfach enthält, zusammen mit zwei oder mehreren Teilen des letzteren, und zwar unabhängig davon, ob sie gleich oder verschieden sind. So enthält die 8 nämlich zweimal 3 und im Überschuss zwei Drittel von 3, und das Verhältnis heißt doppelt plus zweimal epitritos; das Verhältnis von 11 zu 3 heißt dreifach plus zweimal epitritos; das Verhältnis von 11 zu 4 heißt doppelt plus dreimal epitetartos. Es ist leicht, viele und verschiedene andere Vielfachepimeres-Verhältnisse zu finden.

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Theon von Smyrna

[80]

τοῦτο δὲ γίνεται, ὅταν ὁ ἐλάττων ἀριθμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτίσαι, ἀλλ’ ἀπολείπῃ ἀριθμόν τινα, ἅ ἐστι μέρη αὐτοῦ [80], ὡς ὁ τῶν ιδ' τοῦ τῶν γ'· ἡ γὰρ τριὰς καταμετρήσασα τὸν τῶν ιδ' οὐκ ἴσχυσεν ἀπαρτίσαι, ἀλλὰ προκόψασα τετράκις μέχρι τῶν ιβ' τὴν λοιπὴν ἀπὸ τῶν ιδ' ἀπέλιπε δυάδα, ἥτις ἐστὶ τῶν γ' δίμοιρον, ἃ δὴ λέγεται δύο τρίτα. ἀντίκειται δὲ καὶ τῷ πολλαπλασιεπιμερεῖ ὁ ὑποπολλαπλασιεπιμερής. τί ἐστι λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν; (28) ἀριθμοῦ δὲ πρὸς ἀριθμὸν λόγος ἐστίν, ὅταν ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ ᾖ τῶν προειρημένων λόγων, καθὰ δειχθήσεται καὶ ὁ τὸ λεῖμμα περιέχων [φθόγγος] λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς ὁ σνϛ' πρὸς σμγ'. φανεροὶ δὲ καὶ οἱ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπ’ ἐκείνων προσαγορευόμενοι, καθὰ ἐδείχθη.

περὶ πυθμένων λόγων (29) πάντων δὲ τῶν κατ’ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοῖς ὄντες καθ’ ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυθμένες τῶν ὁμοειδῶν. οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν β' πρὸς ἔν· μετὰ γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι ὁ τῶν δ' πρὸς τὰ β' καὶ τῶν ϛ' πρὸς τὰ γ' καὶ ὁμοίως ἐπ’ ἄπειρον. τριπλασίων δὲ λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γ' πρὸς τὸ ἕν· οἱ δὲ αἰεὶ ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς ἐπ’ ἄπειρον προάγουσιν. ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ὁμοίως δὲ [81] καὶ ἐν τοῖς ἐπιμορίοις. ἡμιολίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γ' πρὸς τὰ β', ἐπιτρίτων δὲ ὁ τῶν δ’ πρὸς γ', καὶ ἐπιτετάρτων ὁ τῶν ε' πρὸς δ'· οἱ δὲ ἐν μείζοσιν ὅροις καὶ συνθέτοις πάλιν ἄπειροι τὸ πλῆθος. τὸ δ’ αὐτὸ θεωρεῖται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.

Teil II (Musik), Abschnitt 28

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Dies geschieht, wenn die kleinere Zahl nicht genau die größere misst (teilt), sondern eine Zahl übrig lässt, die ein Teil davon ist, wie bei dem Verhältnis von 14 zu 3, denn 3 misst nicht genau 14, aber viermal 3 sind 12, und von 14 bleiben 2 übrig, was zwei Teile von drei ist und dimoiron, zwei Drittel, genannt wird. Dem Vielfach-epimeres-Verhältnis ist das Kehr-Vielfach-epi­meres-Verhält­nis entgegengesetzt.

Was ist ein Verhältnis von Zahl zu Zahl? (28) Ein Verhältnis von Zahl zu Zahl besteht, wenn die größere zu der kleineren keines der vorhin genannten Verhältnisse hat. Wie gezeigt werden wird, ist es ein Verhältnis von Zahl zu Zahl, reduziert auf seine kleinsten Werte, welches das leimma misst, das Verhältnis 256 zu 243. Es ist offensichtlich, dass das Verhältnis der kleineren Werte zu den größeren Werte invers ist. Es nimmt seinen Namen von jenen ersten Verhältnissen, wie gezeigt wurde. Grundlagen-Verhältnisse (29) Von all den Verhältnissen, die wir im Detail gesagt haben, werden diejenigen, die sich in kleinsten Primzahlen zueinander ausdrücken, die ersten genannt oder die Grundlage aller Verhältnisse der gleichen Art. So ist das erste und grundlegende der doppelten Verhältnisse das Verhältnis von 2 zu 1, denn danach werden die doppelten Verhältnisse in größeren und zusammengesetzten Zahlen ausgedrückt, wie das Verhältnis von 4 zu 2, 6 zu 3 und so weiter ins Unendliche. Das erste und grundlegende der dreifachen Verhältnisse ist das Verhältnis 3 zu 1, und, ausgedrückt in größeren und zusammengesetzten Zahlen, gehen sie bis ins Unendliche. Genauso ist es mit anderen mehrfachen Verhältnissen, ähnlich auch mit den epimorios-Verhältnissen. Von den hemi­olios-Verhältnissen ist erste und grundlegende (11⁄2) 3 zu 2, von den epitritos-Verhältnissen (11⁄3) ist es 4 zu 3, von den epitetartos-Verhältnissen (11⁄4) ist 5 zu 4. Die Verhältnisse mit größeren und zusammengesetzten Werten sind wiederum unendlich in der Menge. Dasselbe beobachte man auch bei den anderen Verhältnissen.

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Theon von Smyrna

[82]

τίνι διαφέρει διάστημα καὶ λόγος; (30) διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος, ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων, λόγος δὲ ἁπλῶς ἡ τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις. διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ, λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἶς καὶ ὁ αὐτὸς ὁ τῆς ἰσότητος· τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφ’ ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον, λόγος δὲ ἕτερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου ‹πρὸς› ἑκάτερον· οἷον ἀπὸ τῶν β' πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ β' διάστημα ἕν καὶ τὸ αὐτό, λόγος δὲ ἕτερος, τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ἕν διπλάσιος, τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ β' ἥμισυς.

Ἐρατοσθένης δὲ ἐν τῷ Πλατωνικῷ φησι, μὴ ταὐτὸν εἶναι διάστημα καὶ λόγον, ἐπειδὴ λόγος μέν ἐστι δύο μεγεθῶν ἡ πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις· γίνεται δ’ αὕτη καὶ ἐν διαφόροις ‹καὶ ἐν ἀδιαφόροις›. οἷον ἐν ᾧ λόγῳ ἐστὶ τὸ αἰσθητὸν πρὸς τὸ νοητόν, ἐν τούτῳ δόξα πρὸς ἐπιστήμην, καὶ διαφέρει καὶ τὸ νοητὸν τοῦ ἐπιστητοῦ ᾧ καὶ ἡ δόξα τοῦ αἰσθητοῦ. διάστημα δὲ [82] ἐν διαφέρουσι μόνον, ἢ κατὰ τὸ μέγεθος ἢ κατὰ ποιότητα ἢ κατὰ θέσιν ἢ ἄλλως ὁπωσοῦν. δῆλον δὲ καὶ ἐντεῦθεν, ὅτι λόγος διαστήματος ἕτερον· τὸ γὰρ ἥμισυ πρὸς τὸ διπλάσιον ‹καὶ τὸ διπλάσιον πρὸς τὸ ἥμισυ› λόγον μὲν οὐ τὸν αὐτὸν ἔχει, διάστημα δὲ τὸ αὐτό.

Teil II (Musik), Abschnitt 30

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Wodurch unterscheiden sich Intervall und Verhältnis? (30) Das Intervall und das Verhältnis unterscheiden sich dadurch, dass das Intervall der Abstand zwischen gleichartigen ungleichen Werten ist, das Verhältnis hingegen generell die Beziehung von gleichartigen Werten zueinander. Deshalb gibt es für gleiche Werte das Intervall dazwischen nicht, aber es gibt das Verhältnis zueinander, nämlich das der Gleichheit. Für ungleiche Werte ist das Intervall ein und dasselbe von dem einen zum anderen, das Verhältnis hingegen verschieden und umgekehrt von dem einen zum anderen: So ist etwa von 2 zu 1 und von 1 zu 2 das Intervall ein und dasselbe (nämlich 1), das Verhältnis aber verschieden, nämlich von 2 zu 1 doppelt, von 1 zu 2 hingegen halb. Eratosthenes sagt im Platonikos (Test. 8.1 Dörrie) auch, dass das Intervall und das Verhältnis nicht dasselbe sind, denn das Verhältnis ist eine spezifische Beziehung von zwei Größen zueinander, und sie besteht zwischen verschiedenen und nicht verschiedenen Dingen. So wird etwa gesagt, dass das Wahrnehmbare für das Denkbare in demselben Verhältnis steht wie die Meinung zur wissenschaftlichen Erkenntnis, oder dass das Denkbare sich vom Bekannten unterscheidet in demselben Verhältnis, wie das Wahrnehmbare sich von der Meinung unterscheidet, während diese Dinge sich nur durch ein einziges Intervall unterscheiden, sei es von der Größe, der Qualität, der Position oder in irgendeiner anderen Weise. Dadurch ist es offensichtlich, dass das Verhältnis etwas anderes ist als das Intervall, denn die Hälfte und das Doppel haben nicht das gleiche Verhältnis, aber das gleiche Intervall.

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Theon von Smyrna

[83]

περὶ ἀναλογίας καὶ ἰσότητος (31) ἀναλογία δ’ ἐστὶ πλειόνων λόγων ὁμοιότης ἢ ταὐτότης, τουτ­ έστιν ἐν πλείοσιν ὅροις λόγων ὁμοιότης, ὅταν ὃν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον ἢ ἄλλος τις πρὸς ἄλλον. λέγεται δὲ ἡ μὲν συνεχὴς ἀναλογία, ἡ δὲ διῃρημένη, συνεχὴς μὲν ἡ ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις, διῃρημένη δὲ ἡ ἐν ἐλαχίστοις τέσσαρσιν.

οἷον μετὰ τὴν ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογίαν συνεχὴς ἐν ἐλαχίστοις ὅροις κατὰ μὲν τὸ διαπλάσιον δ' β' α' ἔστι γὰρ ὡς δ' πρὸς β', οὕτως β' πρὸς ἕν. διῃρημένη δὲ ϛ' γ' δ' β' ἔστι γὰρ ὡς ϛ' πρὸς τὰ γ', οὕτως δ' πρὸς τὰ β'. τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ἔστι δὲ τρόπον τινὰ καὶ ἡ συνεχὴς ἐν τέτταρσιν ὅροις, δὶς λαμβανομένου τοῦ μέσου. καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων δὲ ὁ αὐτὸς λόγος· συνεχὴς μὲν ἀναλογία ἐν λόγῳ ἡμιολίῳ θ' ϛ' δ', διῃρημένη δὲ θ' ϛ' ιε' ι'. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγος.

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησίν, ὅτι τῆς ἀναλογίας [φύσις] ἀρχὴ λόγος ἐστὶ ‹…› καὶ πρώτη [83] καὶ τῆς γενέσεως αἰτία πᾶσι τοῖς μὴ ἀτάκτως γινομένοις. ἀναλογία μὲν γὰρ πᾶσα ἐκ λόγων, λόγου δὲ ἀρχὴ τὸ ἴσον. δῆλον δὲ οὕτως. ἐν ἑκάστῳ τῶν γενῶν ἴδιόν ἐστί τι στοιχεῖον [καὶ ἀρχή], εἰς ὅ τὰ ἄλλα ἀναλύεται, αὐτὸ δὲ εἰς μηδὲν ἐκείνων. ἀνάγκη δὴ τοῦτο ἀδιαίρετον εἶναι καὶ ἄτομον· τὸ γὰρ διαίρεσιν καὶ τομὴν ἐπιδεχόμενον συλλαβὴ λέγεται καὶ οὐ στοιχεῖον.

τὰ μὲν οὖν τῆς οὐσίας στοιχεῖα κατὰ οὐσίαν ἀδιαίρετά ἐστι, τὰ δὲ τοῦ ποιοῦ κατὰ τὸ ποιόν, τὰ δὲ τοῦ ποδοῦ κατὰ τὸ ποσόν. ὅλως δ’

Teil II (Musik), Abschnitt 31

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Proportion und Gleichheit (31) Die Proportion ist eine Ähnlichkeit mehrerer Verhältnisse oder aber eine Gleichheit, das heißt eine Ähnlichkeit der Verhältnisse in mehreren Werten. Sie stellt sich dann ein, wenn das Verhältnis des ersten Werts zum zweiten gleich dem Verhältnis des zweiten zum dritten oder aber dem Verhältnis von zwei anderen Werten ist. Die erstgenannte Proportion wird als kontinuierlich bezeichnet und die zweitgenannte als diskontinuierlich (»zerlegt«). Für eine kontinuierliche Proportion sind mindestens drei Werte notwendig, für eine diskontinuierliche mindestens vier Werte. Nach der aus gleichen Werten gebildeten Proportion bilden die drei kleinsten Werte 4, 2, 1 im Doppelverhältnis eine kontinuierliche Proportion, denn 4 ist zu 2 wie 2 zu 1; und die Zahlen 6, 3, 4, 2 bilden eine diskontinuierliche Proportion, denn 6 ist zu 3 wie 4 zu 2. Dasselbe beobachtet man bei anderen mehrfachen Proportionen. Auch die kontinuierliche Proportion ist in gewisser Weise eine Proportion mit vier Werten, wegen der Wiederholung des mittleren Werts. Es ist dasselbe Verhältnis auch bei den epimorioi: So bilden die Zahlen 9, 6, 4 in einem hemiolios-Verhältnis (11⁄2) eine kontinuierliche Proportion; 9, 6, 15, 10 hingegen bilden eine diskontinuierliche Proportion. Dasselbe gilt für Proportionen in anderen Verhältnissen. Eratosthenes sagt (Test. 8.3 Dörrie), dass der Anfang der Proportion das Verhältnis ist … (Lücke im Text, etwa: aus dem die Proportion entsteht,) und sie ist auch die erste Ursache für die Erschaffung aller geordneten Dinge. Jede Proportion besteht ja aus Verhältnissen, und der Anfang der Verhältnisse ist die Gleichheit. Das ist offensichtlich: Für jede Gattung gibt es ein bestimmtes Element oder Prinzip, das zu ihr gehört, in das alle anderen aufgelöst werden, während sie selbst sich in keines der anderen auf‌löst. Dieses Prinzip ist jedoch notwendigerweise unzerleg‌bar und unteilbar, denn alles, was Zerlegung und Teilung zu‌lässt, nennt man ein zusammenfassendes Band und nicht ein Element. Die Elemente der Substanz sind also nach der Substanz unzerlegbar; die Elemente der Qualität sind es nach der Qualität; die Elemente der Quantität sind es nach der Quantität. Und jedes Ding ist unteilbar und

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Theon von Smyrna

[84]

ἕκαστον κατὰ τοῦτο ἄτομον καὶ ἕν, καθὸ στοιχεῖόν ἐστι συνθέτου τινὸς ἢ μικτοῦ. τοῦ μὲν οὖν ποσοῦ στοιχεῖον ἡ μονάς, τοῦ δὲ πηλίκου στιγμή, λόγου δὲ καὶ ἀναλογίας ἰσότης. οὕτε γὰρ μονάδα ἔτι διελεῖν ἔστιν εἰς τὸ ποσόν, οὕτε στιγμὴν εἰς τὸ πηλίκον, οὕτε ἰσότητα εἰς πλείους λόγους. γίνεται δὲ ἀριθμὸς μὲν ἐκ μονάδος, γραμμὴ δὲ ἐκ στιγμῆς, λόγος δὲ καὶ ἀναλογία ἐξ ἰσότητος, τρόπον δὲ οὐ τὸν αὐτὸν ἕκαστον τούτων· ἀλλὰ μονὰς μὲν πολλαπλασιαζομένη ὑφ’ ἑαυτῆς οὐδὲν γεννᾶ ὡς οἱ ἄλλοι ἀριθμοί, τὸ γὰρ ἅπαξ ἓν ἓν· κατὰ σύνθεσιν δὲ αὔξεται μέχρις εἰς ἄπειρον· στιγμὴ δὲ οὔτε κατὰ πολλαπλασιασμὸν οὔτε κατὰ σύνθεσιν· ἀλλὰ κατὰ συνέχειαν ῥυεῖσά τε καὶ ἐνεχθεῖσα γραμμὴν ἀποτελεῖ, γραμμὴ δὲ ἐπιφάνειαν, ἐπιφάνεια δὲ σῶμα. καὶ μὴν ὁ τῶν ἴσων λόγος οὐκ αὔξεται συντιθέμενος· πλειόνων γὰρ ἴσων ἐξῆς τιθεμένων ὁ τῆς [84] περιοχῆς λόγος ἐν ἰσότητι διαμένει. διὸ καὶ συμβαίνει, τὴν στιγμὴν μὴ εἶναι μέρος γραμμῆς μηδὲ τὴν ἰσότητα λόγου, τὴν μέντοι μονάδα ἀριθμοῦ· μόνη γὰρ αὕτη συντιθεμένη λαμβάνει τινὰ αὔξησιν. αἴτιον δὲ τού λεχθέντος, ὅτι διαστήματος ἄμοιρος ἰσότης, καθάπερ καὶ ἡ στιγμὴ μεγέθους.

ἔοικε δὲ ὁ Πλάτων μίαν οἴεσθαι συνοχὴν εἶναι μαθημάτων τὴν ἐκ τῆς ἀναλογίας. ἔν τε γὰρ τῷ Ἐπινομίῳ φησίν· ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περιφορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἀπάντων ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι· φανήσεται δέ, ἂν ἃ λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανθάνῃ· δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς ἀπάντων εἶς ἀναφανήσεται.

διαφέρει ἀναλογία καὶ μεσότης (32) διαφέρει δὲ ἀναλογίας μεσότης, ἐπειδὴ εἰ μέν τι ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, εἰ δέ τι μεσότης, οὐκ εὐθὺς ἀναλογία. ἐγχωρεῖ γάρ τι κατὰ τάξιν μέσον ὅν μὴ ἔχειν ἀναλόγως πρὸς τὰ ἄκρα· ὡς τὰ δύο

Teil II (Musik), Abschnitt 32

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ganz, da es ein Element eines zusammengesetzten oder gemischten Dings ist. So ist das Element der Quantität die Monade, das der Größe ist der Punkt, das von Verhältnis und Proportion ist die Gleichheit. Die Monade kann ja weder in der Menge zerlegt werden noch der Punkt in der Größe noch die Gleichheit in vielfache Verhältnisse. (Weiter Eratosthenes, hier Test. 8.7 Dörrie:) Die Zahl entsteht aus der Monade, die Linie aus dem Punkt, das Verhältnis und die Proportion aus der Gleichheit, aber nicht alle in der gleichen Weise, denn die Monade, mit sich selbst multipliziert, erzeugt nichts so, wie die anderen Zahlen: Einmal eins ist ja eins, während sie durch Addition ins Unendliche wächst. Was den Punkt betrifft, so wächst er weder durch Multiplikation noch durch Addition, sondern durch eine stetige Bewegung, so wie die Linie eine Fläche bildet und die Fläche einen Körper. Ebenso erhöht sich das Verhältnis der Gleichheit nicht durch Addition, denn wenn man mehrere gleiche Verhältnisse der Reihe nach addiert, ergibt das Verhältnis der Summe wieder eine Gleichheit. Weder ist also der Punkt ein Teil der Linie noch ist die Gleichheit ein Teil des Verhältnisses. In jedem Fall macht die Monade einen Teil der Zahl aus, denn sie kann sich nur durch die Wiederholung ihrer selbst erhöhen. Die Ursache dessen, was wir gerade gesagt haben, ist, dass die Gleichheit kein Intervall besitzt, so wie der Punkt keine Größe hat. Platon scheint zu glauben, dass das verbindende Element der Mathematik einzigartig ist und dass es in der Proportion besteht. Er sagt ja in der Epinomis (991e–992a), dass es notwendig ist, dass jede Zahl, jede Zahlenkombination, jede harmonische Gruppe und jeder Sternenumlauf dem, der nach der wahren Methode lernt, die Einzigartigkeit der Proportionen offenbart. Und diese Einzigartigkeit wird demjenigen deutlich werden, der richtig versteht, was wir lehren: Er wird verstehen, dass ein einziges Band alle Dinge natürlich vereint. Es unterscheiden sich Proportion und Mittelwert (32) Es unterscheiden sich Proportion und Mittelwert, denn wenn etwas eine Proportion ist, dann ist es auch ein Mittelwert, wenn aber etwas ein Mittelwert ist, dann ist nicht sofort eine Proportion. Es kann ja vorkommen, dass eine Zahl, die in der Anordnung mittig nicht in

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Theon von Smyrna

[85]

μέσα ἐστὶ τῇ τάξει ‹τοῦ ἑνὸς καὶ› τῶν γ', καὶ τοῦ ἑνὸς καὶ ‹τῶν ι'› τὰ γ' καὶ τὰ δ' καὶ τὰ ε'· ἀπὸ γὰρ τοῦ ἑνὸς οὐχ οἷόν [85] τε ἐλθεῖν ἐπὶ τὰ ι' μὴ πρότερον ἐλθόντα ἐπὶ τὰ β' καὶ τὰ γ' καὶ τὰ δ'. ἀλλ’ οὐδὲν τούτων ἀναλόγως ἔχει πρὸς τὰ ἄκρα. τὸ γὰρ ἓν οὐκ ἐν τούτῳ ἐστὶ τῷ λόγῳ πρὸς τὰ β', ἐν ᾧ τὰ β' πρὸς τὰ γ'· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν β' καὶ γ' καὶ δ'. τὰ δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντα καὶ μέσα ἂν εἴη, οἷον ἕν β' δ'. ἀναλογία τε γάρ ἐστιν ἡ τοῦ διπλασίου, καὶ τὰ β' μέσα τοῦ ἑνὸς καὶ τῶν δ'.

περὶ ἀναλογιῶν (33) ἀναλογίας δὲ ὁ μὲν Θράσυλλός φησιν εἶναι προηγουμένας τρεῖς, ἀριθμητικὴν γεωμετρικὴν ἁρμονικήν· ἀριθμητικὴν μὲν τὴν ταὐτῷ ἀριθμῷ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, οἷον ‹… γεωμετρικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην,› οἷον διπλασίῳ ἢ τριπλασίῳ, ὡς γ' ϛ' ιβ'· ἁρμονικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, οἷον τρίτῳ ἢ τετάρτῳ, οἷον ϛ' η' ιβ'. ‹…›

τούτων δ’ ἕκαστον ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἄλλως οὕτως ὁρᾶται· τῶν ϛ' διπλάσιος ὁ ιβ', τριπλάσιος δὲ ὁ ιη', τετραπλάσιος δὲ ὁ κδ', ἡμιόλιος δὲ ὁ θ', ἐπίτριτος δὲ ὁ η'· τὰ δὲ θ' τῶν η' ἐπόγδοα· τὰ δὲ ιβ' πρὸς μὲν θ' ἐπίτριτα, πρὸς δὲ η' ἡμιόλια, πρὸς δὲ ϛ' διπλάσια· τὰ δὲ ιη' τῶν θ' διπλάσια· τούτων δὲ τὰ κζ' ἡμιόλια. καὶ γίνεται μὲν η' ἐν τῷ διὰ τεσσάρων πρὸς ϛ', τὰ δὲ θ' ἐν τῷ διὰ πέντε, τὰ δὲ ιβ' ἐν τῷ διὰ πασῶν, τὰ δὲ ιη' ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε· τῶν μὲν γὰρ ϛ' διπλάσια τὰ ιβ' ἐστιν ἐν τῷ διὰ πασῶν, τῶν δὲ ιβ' τὰ ιη' [86] ἡμιόλιά ἐστιν ἐν τῷ διὰ πέντε, ϛ' ιβ' ιη'· τὰ δὲ κδ' πρὸς ϛ' ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν. τὰ δὲ θ' τῶν η' ἐν τόνῳ. τὰ δὲ ιβ' τῶν θ' διὰ τεσσάρων. τὰ δὲ ιβ' τῶν η' ἐν τῷ διὰ πέντε. τὰ δὲ ιη' τῶν θ' διὰ πασῶν. τὰ δὲ κζ' τῶν ιη' διὰ πέντε.

Teil II (Musik), Abschnitt 33

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Proportion zu den Randwerten steht, wie die Zahl 2, die in der Anordnung mittig zwischen 1 und 3 steht, und 3, 4, 5, die zwischen 1 und 10 stehen, weil von 1 aus 10 nicht erreicht werden kann, ohne 2, 3, 4 zu durchlaufen – und doch steht keine dieser Zahlen in Proportion zu den Randwerten, denn 1 steht nicht in demselben Verhältnis zu 2, in dem 2 zu 3 steht, ebenso ist es auch bei 2, 3 und 4. Die in demselben Verhältnis stehenden Zahlen sind können auch Mittelwerte sein, wie etwa 1, 2, 4. Deren Proportionen sind jeweils doppelt und 2 ist der (geometrische) Mittelwert von 1 und 4. Proportionen (33) Thrasyllos sagt, dass es drei prinzipielle Proportionen zwischen drei Zahlen gibt: die arithmetische, die geometrische und die harmonische. Die arithmetische Proportion ist diejenige, in welcher um die gleiche Zahl überragt und überragt wird, wie … (Lücke im Text, etwa: etwa 1, 2, 3). Die geometrische Proportion ist diejenige, in welcher im gleichen Verhältnis überragt und überragt wird, etwa doppelt oder dreifach, wie etwa 3, 6, 12. Die harmonische Proportion ist diejenige, in welcher um denselben Bruchteil der Randwerte überragt und überragt wird, etwa ein Drittel oder ein Viertel, wie etwa 6, 8, 12. … (Lücke im Text) So kann jedes der Verhältnisse in Zahlen auf folgende Weise betrachtet werden: Von 6 ist das Doppelte 12, das Dreifache 18, das Vierfache 24, der hemi­olios (11⁄2) 9 und der epitritos (11⁄3) 8. Dann: 9 ist von 8 der epogdoos (11⁄8). 12 ist von 9 der epitritos, von 8 der hemi­olios, von 6 das Doppelte. 18 ist von 9 das Doppelte, davon ist 27 der hemi­olios. Und es bildet 8 die Quarte zu 6, 9 die Quinte, 12 die Oktave, 18 die Oktave und die Quinte, denn 12 ist das Doppelte von 6 in der Oktave, und von 12 ist 18 der hemi­olios in der Quinte: 6, 12, 18. Und 24 ist zu 6 die Doppeloktave. 9 zu 8 ist ein Ganzton, 12 zu 9 eine Quarte und 12 zu 8 eine Quinte, 18 zu 9 eine Oktave, 27 zu 18 eine Quinte.

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Theon von Smyrna

[87]

συνέστηκε δὲ τὸ διὰ πασῶν ιβ' πρὸς ϛ' ἐκ τοῦ ἡμιολίου θ' πρὸς ϛ' καὶ ἐπιτρίτου ιβ' πρὸς θ’ καὶ πάλιν ἡμιολίου ιβ' πρὸς η' καὶ ἐπιτρίτου η' πρὸς ϛ', καὶ τὰ ιη' πρὸς θ' ἐκ τοῦ ιη' πρὸς ιβ' ἡμιολίου καὶ ιβ' πρὸς θ' ἐπιτρίτου, καὶ τὰ κδ' πρὸς ιβ' διὰ πασῶν συνέστηκεν ἐκ τοῦ κδ' πρὸς ιη' ἐπιτρίτου καὶ τοῦ ιη' πρὸς ιβ' ἡμιολίου· τὰ δὲ θ' πρὸς ϛ' διὰ πέντε ἐκ τοῦ θ' πρὸς η' ἐπ­ογδόου καὶ τοῦ η' πρὸς ϛ' ἐπιτρίτου, καὶ τὰ ιβ' πρὸς η' ἡμιόλιον ἐκ τοῦ ιβ' πρὸς θ' ἐπιτρίτου καὶ θ' πρὸς η' ἐπ­ογδόου.

περὶ λείμματος ὅ ἐστιν ἐν λόγῳ τῶν σνϛ' πρὸς σμγ' (34) τὸ δὲ λεῖμμα γίνεται ἐν λόγῳ ὅν ἔχει τὰ σνϛ' πρὸς σμγ'. εὑρίσκεται δ’ οὕτω· δυεῖν ἐπ­ογδόων ληφθέντων καὶ τούτων τρὶς πολλαπλασιασθέντων καὶ τῷ δὶς ἐπ­ογδόῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου. οἷον εἶς μὲν ἐπόγδοος λόγος ὁ τῶν θ' πρὸς τὰ η'. ἐκ δὲ τούτων γίνονται δύο ἐπόγδοοι οὕτω· τὰ θ' ἐφ’ ἑαυτὰ γίνεται πα, εἶτα τὰ θ' ἐπὶ τὰ η' γίνεται οβ', ἔπειτα τὰ η' ἐφ’ ἑαυτὰ γίνεται ξδ', καὶ ἔστι τὰ μὲν πα' τῶν οβ' ἐπόγδοα, τὰ δὲ οβ' τῶν ξδ' ἐπόγδοα. ἂν δὴ τρὶς ταῦτα λάβωμεν, τὰ μὲν πα' γίνεται τρὶς σμγ', τὰ δὲ οβ' γίνεται σιϛ', τὰ δὲ ξδ' [87] τρὶς γίνεται ρϙβ'. τούτων ἐπίτριτα τὰ σνϛ', ἅτινα πρὸς σμγ' ἔχει τὸν τοῦ λείμματος λόγον, ὅς ἐστι πλείων ἢ ἐποκτωκαιδέκαστος.

σνϛ'

σμγ' λεῖμμα

σιϛ' ἐπόγδοος

διὰ τεσσάρων

ρϙβ' ἐπόγδοος

Teil II (Musik), Abschnitt 34

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Es besteht nämlich die Oktave 12 zu 6 aus dem hemi­olios (11⁄2) von 9 zu 6 und dem epitritos (11⁄3) von 12 zu 9 und wiederum aus dem hemi­olios (11⁄2) von 12 zu 8 und dem epitritos von 8 zu 6. Es besteht 18 zu 9 aus dem hemi­olios von 18 zu 12 und dem epitritos von 12 zu 9. Es besteht die Oktave 24 zu 12 aus dem epitritos von 14 zu 18 und aus dem hemi­ olios von 18 zu 12. Es besteht die Quinte 9 zu 6 aus dem epogdoos (11⁄8) von 9 zu 8 und dem epitritos von 9 zu 6. Es besteht der hemi­olios 12 zu 9 aus dem epitritos von 9 zu 6 und dem epogdoos (11⁄8) von 9 zu 8. Das leimma, das im Verhältnis von 256 zu 243 steht (34) Das leimma steht im Verhältnis von 256 zu 243. Dieses Verhältnis wird folgendermaßen gefunden: Man nimmt zwei epogdooi (11⁄8) und verdreifacht das Ergebnis. Dann verbindet man das epitritos-Verhältnis (11⁄3) damit. Da das ep­ogdoos-Verhältnis das von 9 zu 8 ist, bilden wir mit diesen beiden Zahlen zwei weitere epogdoos-Verhältnisse auf folgende Weise: 9 mit sich selbst multipliziert ist 81; 9 mit 8 (multipliziert) ist 72; und 8 mit sich selbst multipliziert ist 64. 81 ist der epogdoos (11⁄8) von 72 und 72 der epogdoos (von 64). Wenn wir diese Zahlen verdreifachen, haben wir dreimal 81, also 243; dreimal 72 ist 216 und dreimal 64 ist 192, davon der epitritos ist 256. Diese Zahl im Vergleich zu 243 ergibt das Verhältnis des leimma, das mehr als 1⁄18 ist.

256 / 243 / 216 / 192



leimma / epogdoos / epogdoos

Quarte

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Theon von Smyrna

[88]

(35) ἡ δὲ τοῦ κανόνος κατατομὴ γίνεται διὰ τῆς ἐν τῇ δεκάδι τε­ τρακτύος, ἣ σύγκειται ἐκ μονάδος δυάδος τριάδος τετράδος, α' β' γ' δ'· ἔχει γὰρ ἐπίτριτον, ἡμιόλιον, διπλάσιον, τριπλάσιον, τετραπλάσιον λόγον. διαιρεῖ δὲ αὐτὸν ὁ Θράσυλλος οὕτως. δίχα μὲν διελοῦσι τὸ μέγεθος μέσην ποιεῖ τὸ διὰ πασῶν ἐν τῷ διπλασίῳ λόγῳ, ἀντιπεπονθότως ἐν ταῖς κινήσεσι διπλασίαν ἔχουσαν τάσιν ἐπὶ τὸ ὀξύ. τὸ δὲ ἀντι­ πεπονθότως ἐστὶ τοιοῦτον· ὅσον ἂν τοῦ μεγέθους ἀφέλῃς τῆς ὅλης ἐν τῷ κανόνι χορδῆς, τοσοῦτον τῷ τόνῳ προστίθεται, καὶ ὅσον ἂν τῷ μεγέθει τῆς χορδῆς προσθῇς, τοσοῦτον τοῦ τόνου ὑφαιρεῖται. τὸ μὲν γὰρ ἥμισυ [προσλαμβανομένη μέση πρὸς τὰ δύο μέρη] μέγεθος διπλασίαν τάσιν ἔχει ἐπὶ τὸ ὀξύ· τὸ δὲ διπλάσιον μέγεθος ἡμίσειαν τάσιν ἔχει ‹ἐπὶ› τὸ βαρύ.

[88] τρίχα δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης ἥ τε ὑπάτη τῶν μέσων καὶ ἡ νήτη διεζευγμένων γίνεται. ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη διεζευγμένων πρὸς μὲν τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε· δύο γάρ ἐστι διαστήματα πρὸς τρία· πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν· ἓν γάρ ἐστι διάστημα πρὸς τὰ δύο· πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε· τοῦ γὰρ ‹προσλαμβανομένου ἐν τῷ› διὰ πασῶν ὄντος πρὸς τὴν μέσην προσείληπται τὸ μέχρι τῆς νήτης διάστημα, ὅ ἐστι διὰ πέντε πρὸς τὴν μέσην. ἡ ‹δὲ› μέση πρὸς τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πασῶν. ἡ δὲ ὑπάτη πρὸς τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πέντε. γίνεται δὲ ἴσον τὸ μέγεθος τὸ ἀπὸ τῆς ὑπάτης ἕως μέσης τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὸ ἀπὸ μέσης ἕως νήτης τοῦ διὰ πέντε. καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνθασιν οἱ ἀριθμοὶ τῶν κινήσεων τῇ διαιρέσει τῶν μεγεθῶν.

Teil II (Musik), Abschnitt 35

167

(35) Die Einteilung des kanon (Monochord; s. o. II 12) erfolgt in der Dekade der tetraktys, die sich aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 zusammensetzt (deren Summe ja 10 ist; s. u. II 37) und Verhältnisse im epitritos (11⁄3), hemiolios (11⁄2), Doppelten, Dreifachen und Vierfachen umfasst. Es hat Thrasyllos dies wie folgt zerlegt: Indem er die Länge (der Saite; zu den im Folgenden verwendeten Begriffen s. das Diagramm zu II 16 S. 140/141) in zwei Teile zerlegt, macht die Oktave die mese, die im doppelten Verhältnis steht, wobei die Spannung für die höher gestimmten Ganztöne doppelt so hoch ist, in der umgekehrten Richtung der Bewegung. Die Umkehrung ist so, dass, wenn die Gesamtlänge der Saite auf dem kanon (Monochord) verringert wird, die Ganztonhöhe proportional erhöht wird, und dass, wenn die Länge erhöht wird, die Ganztonhöhe proportional verringert wird, weil die halbe Länge eine doppelte Spannung zu den höheren Ganztonhöhen hin hat, und die gesamte Saite, die doppelt so lang ist, eine halbe Spannung auf der Seite der tiefen Ganztöne hat. Die dreifache Zerlegung (Dreiteilung) der Saite ergibt die hypate ton meson und die nete diëzeugmenon, wobei die nete diëzeugmenon eine Quinte zur mese hat, da die Intervalle im Verhältnis 2 zu 3 stehen, und zur hypate (ton meson) eine Oktave, da die Intervalle im Verhältnis 1 zu 2 stehen. Zum proslambanomenos hat sie die Konsonanz von Oktave und Quinte, denn vom proslambanomenos gibt es eine Oktave zur mese und, da die Intervalle bis zur nete verlängert werden, gibt es eine Quinte von dieser zur mese. Von der mese bis zur hypate (ton meson) gibt es eine Quarte, und von der mese bis zum proslambanomenos eine Oktave, wobei die hypate (ton meson) durch das Verhältnis zum proslambanomenos die Quinte ergibt. Den gleichen Abstand von einer Oktave erhält man, wenn man von der hypate (ton meson) bis zur mese geht, was eine Quarte ist, zum Intervall von der mese zur nete, die eine Quinte ist. Die Anzahl der Bewegungen (Schwingungen) variiert in umgekehrter Richtung von der Zerlegung der Längen (also umgekehrt zur Länge des schwingenden Teils).

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Theon von Smyrna

[89]

τετραχῆ δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης συνίσταται ἥ τε ὑπερυπάτη καλουμένη, ἡ καὶ διάτονος ὑπατῶν, καὶ ἡ νήτη τῶν ὑπερβολαίων. ‹ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη τῶν ὑπερβολαίων› πρὸς μὲν τὴν νήτην τῶν δι­ εζευγμένων ἐν τῷ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πασῶν, πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν ὑπερυπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν ἐπὶ τὸ βαρύ. τῇ δὲ ὑπερυπάτῃ λόγος [89] ἐστὶ πρὸς μὲν τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ βαρύ, πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ ὀξύ, τῆς δ’ ὑπάτης τόνῳ ὑπερέχει κατὰ τὸ βαρύ. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ τονιαῖον μέγεθος τῆς ὑπερυπάτης πρὸς τὴν ὑπάτην καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τῆς νήτης διεζευγμένων πρὸς τὴν νήτην ὑπερβολαίων. καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνθασιν οἱ ἀριθμοὶ τῶν κινήσεων τοῖς μεγέθεσι [τῆς διαιρέσεως] τῶν διαστημάτων.

δῆλον δ’ ἂν γένοιτο τὸ λεγόμενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν. εἰ γὰρ τὸ τοῦ κανόνος μέγεθος ιβ' μέτρων ὁποιωνοῦν, ἔσται μὲν μέση δίχα διαιρεθείσης ‹τῆς ὅλης χορδῆς, καὶ ἀφέξει› ϛ' ἑκατέρωθεν [διαιρουμένη]· ἡ δὲ ὑπάτη τῶν μέσων ἀπὸ τῆς ἀρχῆς δ'· ἡ δὲ νήτη διεζευγμένων ἀπὸ τῆς τελευτῆς δ'· καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν δ'. ἡ δὲ ὑπερυπάτη ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τρία ἀφέξει μεγέθη, ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης ἕν· ἡ δὲ ὑπερβολαία ἀπὸ μὲν τῆς τελευτῆς γ', ἀπὸ δὲ τῆς διεζευγμένης ἕν.

μεταξὺ δὲ αὐτῶν ϛ', ὥστε ἀπὸ τῆς μέσης ἑκατέρα γ', καὶ γίνεται ἡ ὅλη διαίρεσις ἀπὸ μὲν τῆς ἀρχῆς ἐπὶ ὑπερυπάτην γ', ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ ὑπάτην ἕν, ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ μέσην δύο, εἶτ’ ἀπὸ μέσης ἐπὶ τὴν διεζευγμένην β', ἐντεῦθεν δὲ εἰς τὴν ὑπερβολαίαν ἕν, ἀπὸ δὲ ταύτης εἰς τὴν τελευτὴν γ'. γίνεται πάντα ιβ'.

Teil II (Musik), Abschnitt 35

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Durch die vierfache Zerlegung (Vierteilung) der Saite erhält man den diatonos hypatos, auch hyper-hypate genannt, und die nete hyperbolaion. Es steht die nete hyperbolaion im Verhältnis zur nete diëzeugmenon der Quarte, zur mese im Verhältnis einer Oktave, zur hypate (ton meson) in dem einer Oktave und einer Quarte, zur hyperhypate im Verhältnis einer Oktave und einer Quinte, und zum proslambanomenos im Verhältnis einer Doppeloktave in Richtung der tiefen Töne. Die hyperhypate steht zum proslambanomenos im Verhältnis der Quarte, die zu den tiefen Tönen geht, und zur mese im Verhältnis der Quinte, die zu den hohen Tönen geht. Sie ist gleich der Größe eines Ganztons unterhalb der hypate (ton meson) zur hypate, und der Abstand von der hyperhypate bis zur letzten Saite (dem proslambanomenos) ist gleich dem Intervall der Quarte von der nete diëzeugmenon bis zur nete hyperbolaion; und auch hier steht die Anzahl der Bewegungen (Schwingungen) in umgekehrter Richtung zur Größe der Zerlegungen. All dies wird durch die Zahlen deutlich gemacht, denn wenn man die Länge des kanon (Monochord) in 12 entsprechende Teile teilt, wird die mese durch jede Hälfte der gesamten Folge zerlegt. Die hyperhypate ton meson wird dadurch gegeben, dass man 4 Teile am Anfang wegnimmt, und die nete diëzeugmenon, indem man 4 Teile am anderen Ende wegnimmt, und zwar so, dass zwischen ihnen 4 Teile liegen. Die hyperhypate wird gegeben, indem drei Teile am Anfang weggenommen werden und von der hypate (ton meson) einer. Die hyperbolaia erhält man, indem man 3 Teile der Saite nimmt, von der (nete) diëzeugmene einen. Zwischen ihnen gibt es 6 Teilungen, drei oberhalb der mese und drei unterhalb der mese; und damit ist die Zerlegung abgeschlossen. Vom Anfang bis zur hyperhypate können ja drei Teile gezählt werden, von dort bis zur hypate (ton meson) ein Teil und von dieser bis zur mese zwei Teile. Von der mese bis zur (nete) diëzeugmene gibt es zwei Teile, von dort bis zur hyperbolaia einen Teil und schließlich von letzterer bis zum Ende drei Teile. Es gibt also insgesamt 12 Einteilungen.

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Theon von Smyrna

[90]

ἔσται οὖν πρὸς μὲν τὴν ὑπερβολαίαν ‹ὁ λόγος› τῆς μὲν νήτης διεζευγμένων δ' πρὸς γ' ἐπί[90]τριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων, ‹τῆς δὲ μέσης ϛ' πρὸς γ' διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν, ‹τῆς δὲ ὑπάτης η' πρὸς γ' διπλασιεπίτριτος ὁ τοῦ διὰ πασῶν› καὶ διὰ τεσσάρων, τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ' πρὸς γ' τριπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανομένου ιβ' πρὸς γ' τετραπλάσιος ὁ τοῦ δὶς διὰ πασῶν· πρὸς δὲ τὴν νήτην διεζευγμένων ὁ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν μέσης ϛ' πρὸς δ' ἡμιόλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὑπάτης η' πρὸς δ' διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν, τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ' πρὸς δ' ‹διπλασιεπιτέταρτος› ὁ τοῦ δὶς διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσ­λαμβανομένου ιβ' πρὸς δ' ‹τριπλάσιος› ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε· πρὸς δὲ τὴν μέσην τῆς μὲν ὑπάτης η' πρὸς ϛ' ἐπίτριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων, τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ' πρὸς ϛ' ἡμιόλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανομένου ιβ' πρὸς ϛ' διπλάσιος ὁ τοῦ [δὶς] διὰ πασῶν· πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐστὶν ἡ μὲν ὑπερυπάτη θ' πρὸς η' ἐν ἐπ­ογδόῳ λόγῳ τῷ τοῦ τόνου, ἡ δὲ ὅλη τοῦ προσλαμιβανομένου ιβ' πρὸς η' ἐν ἡμιολίῳ ‹τῷ τοῦ διὰ πέντε›· πρὸς ‹δὲ› τὴν ὑπερυπάτην ἡ ὅλη τοῦ προσλαμβανομένου ιβ' πρὸς θ' ἐν ἐπιτρίτῳ ‹τῷ› τοῦ διὰ τεσσάρων.

περὶ καταπυκνώσεως (36) ἀντιπεπόνθασι δ’ αἱ λοιπαὶ τῶν κινήσεων κατὰ πυκνοῦ τοῦ ἐπ­ ογδόου τόνου καὶ ἐπιτρίτου διὰ τεσσά[91]ρων καὶ ἡμιολίου διὰ πέντε τοῦ κανόνος. ἐπεὶ τὸ ἡμιόλιον μὲν διὰ πέντε τοῦ ἐπιτρίτου διὰ τεσσάρων ἐπ­ογδόῳ τόνῳ ὑπερέχει – οἷον ληφθέντος ἀριθμοῦ ὃς ἔχει καὶ ἥμισυ καὶ τρίτον τοῦ ϛ', τούτου ἐπίτριτος μὲν ὁ η', ἡμιόλιος δὲ ὁ θ' τὰ δὲ θ' τῶν η' ἐπόγδοα· ϛ' η' θ'· γίνεται ἡ ὑπεροχὴ τοῦ [η'] ἡμιολίου πρὸς τὸ ἐπίτριτον ἐν λόγῳ ἐπ­ογδόῳ –, τὸ δ’ ἐπίτριτον διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν ἐπ­ογδόων καὶ τοῦ διεσιαίου λείμματος· καταπυκνωτέον αὐτὰ τοῖς

Teil II (Musik), Abschnitt 36

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Das Verhältnis der nete diëzeugmenon zur hyperbolaia ist 4 zu 3, das ist das epitritos-Verhältnis (11⁄3), welches die Konsonanz der Quarte ergibt. Das Verhältnis der mese zur nete hyperbolaion ist 6 zu 3, also das Doppelte, was die Konsonanz der Oktave ergibt, das Verhältnis der hypate ist 7 zu 3, also doppel-epitritos (21⁄3), das ist die Konsonanz einer Oktave und einer Quarte. Das Verhältnis der hyperhypate 9 zur nete 3 ist dreifach, die Konsonanz einer Oktave und einer Quinte, und das Verhältnis des proslambanomenos dazu ist 12 zu 3 (also 4), die Konsonanz der Doppeloktave. Das Verhältnis der mese zur nete diëzeugmenon ist 6 zu 4, das ist das hemiolios-Verhältnis (11⁄2), die Konsonanz der Quinte. Das Verhältnis der hypate (ton meson) zur nete diëzeugmenon ist 8 zu 4, die Oktave. Das Verhältnis der hyperhypate 9 zur nete 4 ist doppel-epitetartos (21⁄4), also die Doppelquinte. Zum vollständigen proslambanomenos ist das Verhältnis 12 zu 4, also 3, die Konsonanz von Oktave und Quinte. Das Verhältnis der hypate ton meson zur mese ist 8 zu 6, also epitritos (11⁄3), die Quarte. Das der hyperhypate 9 zur mese 6 ist hemiolios (11⁄2), die Quinte, und das des vollständigen proslambanomenos zur mese ist 12 zu 6, das Doppelte, die Oktave. Die hyperhypate verhält sich zur hypate ton meson wie 9 zu 8 als epogdoos (11⁄8) ein Ganzton. Das Verhältnis des gesamten proslambanomenos zur hypate ton meson ist 12 zu 6, hemiolios (11⁄2), die Quinte; zur hyperhypate hat die ganze Seite des proslambanomenos das Verhältnis 12 zu 9, epitritos (11⁄3), die Konsonanz der Quarte. Verdichtung (36) Im umgekehrten Verhältnis stehen die übrigen Bewegungen in der Verdichtung des Ganztons im epogdoos (11⁄8), der Quarte im epitritos (11⁄3) und der Quinte im hemiolios (11⁄2) des kanon (Monochords). Das hemiolios-Verhältnis (11⁄2) der Quinte überragt um einen epogdoos-Ganzton (11⁄8) das epitritos-Verhältnis (11⁄3) der Quarte – wenn man etwa die Zahl 6 nimmt, die durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann sind davon der epitritos (11⁄3) 8, der hemiolios (11⁄2) 9, und die 9 von der 8 der epogdoos (11⁄8); also 6, 8, 9. Der Überschuss des hemiolios über den epitritos steht im epogdoos-Verhältnis, der epitritos der Quarte aber setzt sich aus zwei epogdooi und einem leimma zusammen. Es müssen dann die Intervalle mit den epogdoos-Ganztönen und den dië-

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Theon von Smyrna

[92]

ἐπ­ογδόοις τόνοις καὶ τοῖς διεσιαίοις λείμμασι. καταπυκνωθείη δ’ ἂν ἀρχομένων ἡμῶν ‹ἀπὸ τῆς› νήτης ὑπερβολαίων. τὸ γὰρ ὄγδοον τοῦ μέχρι τῆς τελευτῆς διαστήματος ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν διάτονον τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ βαρυτέραν αὐτῆς. τοῦ δὲ ἀπὸ ταύτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τρίτην τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ τῆς διατόνου βαρυτέραν. καὶ τὸ λοιπὸν εἰς τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων ἔσται τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλήρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν νήτην ὑπερβολαίων. πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς νήτης διεζευγμένων ἕως τῆς τελευτῆς διαστήματος τὸ μὲν ἔνατον λαβόντες καὶ ὑποβιβάσαντες ἕξομεν τόνῳ ὀξυτέραν τῆς νήτης διεζευγμένων τὴν χρωματικὴν ὑπερβολαίων. τὸ δὲ ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν παρανήτην διεζευγμένων· ἡ αὐτὴ δὲ καὶ διάτονος καὶ νήτη συνημμένων, τόνῳ βαρυτέρα τῆς νήτης διεζευγμένων. τοῦ δ’ ἀπὸ τῆς νήτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον λαβόντες καὶ ὑπερβιβάσαντες [92] ἕξομεν τὴν τρίτην τῶν διεζευγμένων τόνῳ βαρυτέραν· ἡ δὲ αὐτὴ καὶ διάτονος συνημμένων ἐστίν.

ὁμοίως δὲ τοῦ ἀπὸ ταύτης ἕως τῆς τελευτῆς διαστήματος τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τρίτην συνημμένων τόνῳ βαρυτέραν. τὸ δὲ λοιπὸν εἰς τὴν μέσην ἔσται τὸ διεσιαῖον λεῖμμα εἰς τὴν τοῦ διὰ πασῶν συντέλειαν. ἀπὸ δὲ τῆς μέσης τὸν αὐτὸν τρόπον ‹τὸ ἔνατον› ὑποβιβάσαντες ἕξομεν τὴν παραμέσην ἢ τὴν χρωματικὴν συνημμένων, τόνῳ ὀξυτέραν τῆς μέσης. ταύτης δὲ τὸ ἔνατον ὑποβιβάσαντες ἕξομεν τὴν χρωματικὴν διεζευγμένων. τὸ ὄγδοον δὲ τῆς μέσης ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τῶν μέσων διάτονον τόνῳ βαρυτέραν τῆς μέσης, εἶτα τὸ ἀπὸ ταύτης ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες τὴν παρυπάτην τῶν μέσων ταύτης τόνῳ βαρυτέραν. καὶ ἔστι τὸ λοιπὸν εἰς τὴν ὑπάτην ‹τῶν μέσων› τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλήρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν μέσην. ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης τὸ μὲν ἔνατον ὑποβιβάσασιν ἡ χρωματικὴ τῶν μέσων ἔσται τόνῳ ὀξυτέρα. τὸ ὄγδοον δὲ ὑπερβιβάσασιν ἔχειν τὴν ὑπερυπάτην συμβήσεται. ταύτης δὲ τὸ ὄγδοον ὑπερ­βιβάσασι παρ­ υπάτη ὑπατῶν γενήσεται.

Teil II (Musik), Abschnitt 36

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siaioi leimmata verdichtet werden. Diese Verdichtung beginnt an der nete hyperbolaion. Wenn wir das Achtel bis zum Ende des Intervalls überschreiten, werden wir die diatonos hyperbolaion haben, die um einen Ganzton tiefer als sie liegt. Wenn wir von ihr bis zum Ende das Achtel überschreiten, werden wir die trite hyperbolaion haben, einen Ton tiefer als die diatonos. Und den Rest zur nete diëzeugmenon wird das leimma diësiaion sein zur Ergänzung der Konsonanz der Quarte durch das Verhältnis zur nete hyperbolaion. Wenn wir dagegen die Länge der nete diëzeugmenon bis zum Ende der Distanz den neunten Teil nehmen und überschreiten, werden wir, sie um einen Ganzton unterschreitend, sie höher als die nete diëzeugmenon die chromatike hyperbolaion haben. Wenn wir dann das Achtel überschreiten, werden wir die paranete diëzeugmenon haben; diese ist eine diatonos und nete synemmenon, um einen Ganzton tiefer als die nete diëzeugmenon. Und wenn wir von der nete bis zum Ende ein Achtel nehmen und überschreiten, haben wir die trite diëzeugmenon, um einen Ganzton tiefer; diese ist auch eine diatonos synemmenon. Wenn wir von dieser mese auf dieselbe Weise bis zum Ende des Intervalls das Achtel überschreiten, werden wir die trite diëzeugmenon haben, um einen Ganzton tiefer. Der Rest bis zur mese ist das leimma zur Vollendung der Oktave. Wenn wir von der mese auf dieselbe Weise das Neuntel unterschreiten, werden wir die paramese oder die chromatike synemmenon haben, um einen Ganzton höher als die mese. Wenn wir von ihr das Neuntel unterschreiten, werden wir die chromatike diëzeugmenon haben. Wenn wir das Achtel der mese überschreiten, werden wir die diatonos ton meson haben, um einen Ton tiefer als die mese, und wenn wir dann von dort das Achtel überschreiten, die parhypate der mesai, um einen Ganzton tiefer. Und es ist der Rest zu hypate der mesai das diësiaion leimma zur Erfüllung der Quarte zur mese. Wenn wir von der hypate das Neuntel unterschreiten, wird die chromatike der mesai um einen Ganzton höher sein. Wenn wir weitergehen und das Achtel überschreiten, werden wir finden, dass wir die parhypate hypaton haben.

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Theon von Smyrna

[93]

ἐξ ἀναστροφῆς δὲ ἀπὸ τοῦ προσλαμβανομένου τέμνουσι τὸ ὅλον διάστημα εἰς θ' καὶ ἓν ὑπολείπουσι κατὰ τὸ ἐναντίον ‹τῶν› νητῶν, ὑπατῶν ὑπάτη γενήσεται τόνῳ τῆς ὅλης ὀξυτέρα, συγκλείουσα τὸ τῶν ὑπατῶν τετράχορδον τῷ πρὸς τὴν παρυπάτην λείμματι. καὶ οὕτως συμπληρωθήσεται τὸ πᾶν ἀμετάβολον σύστημα κατὰ τὸ διάτονον καὶ χρωματικὸν γένος.

τὸ δὲ [93] ἐναρμόνιον ἐξαιρουμένων τῶν διατόνων καθ’ ἕκαστον τετράχορδον διπλῳδουμένων γίνεται. εὕροιμεν δ’ ἂν ταῦτα καὶ ἐν ἀριθμοῖς ἀπὸ τῆς νήτης τῶν ὑπερβολαίων ἀρχόμενοι, ὑποτεθείσης αὐτῆς μυρίων τξη'· οἱ ἐφεξῆς ἐπόγδοοί τε καὶ οἱ λοιποὶ κατὰ τοὺς προειρημένους λόγους λαμβάνονται, οὓς περίεργον ἐκτιθέναι· ῥᾴδιον δὲ τῷ παρηκολουθηκότι τοῖς προειρημένοις. καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Θρασύλλου παραδεδομένη κατατομὴ τοῦ κανόνος ὧδε ἔχει. ὃν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῆς τῶν ὅλων ἐφαρμόζεται σφαίρας, ἐπειδὰν καὶ τοὺς ἀστρονομίας ἐκθώμεθα λόγους, παραδείξομεν. νυνὶ δ’ ἐπανέλθωμεν ἐπεὶ τὸν τῶν λοιπῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον, ἐπειδὴ ὡς ἔφαμεν ἡ ἀναλογία καὶ μεσότης, οὐ μέντοι ἡ μεσότης καὶ ἀναλογία. καθὸ δὴ ‹ἡ› ἀναλογία καὶ μεσότης ἐστίν, ἀκόλουθος ἄν εἴη ὁ περὶ τῶν ἀναλογιῶν καὶ περὶ τῶν μεσοτήτων λόγος.

περὶ τετρακτύος καὶ δεκάδος (37) ἐπειδὴ πάντες οἱ τῶν συμφωνιῶν εὑρέθησαν λόγοι, καθὰ δέδεικται, ἐν τῇ τῆς δεκάδος τετρακτύι, καὶ περὶ τούτων πρότερον λεκτέον. τὴν μὲν γὰρ τετρακτὺν συνέστησεν ἡ δεκάς. ἓν γὰρ καὶ β' καὶ γ' καὶ δ' ι'· α' β' γ' δ'. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμφωνία ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ καὶ ἡ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ

Teil II (Musik), Abschnitt 37

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Umgekehrt, wenn die Länge des proslambanomenos in 9 Teile geteilt wird und einer dieser Teile in der Umkehrung dessen, was wir für die hohen Ganztöne getan haben, weggenommen wird, erhalten wir die hypate hypaton, die um einen Ganzton höher ist als der proslambanomenos und die das Tetrachord der hypate durch das Verhältnis der leimma vollendet, das sie mit der parhypate hat. Auf diese Weise wird das ganze unveränderliche System der diatonischen und der chromatischen Gattung vervollständigt. Das enharmonische System wird vom diatonischen System abgeleitet, indem die diatonoi in jedem Tetrachord zweimal erklingen. Wir finden wohl die arithmetischen Ergebnisse, indem wir mit der nete ton hyperbolaion beginnen, wobei ihr der Wert 10 368 zugrunde liegt; nacheinander werden die epogdooi und die übrigen vorhin genannten Bruchteile weggenommen. Es ist unnötig, dies im Detail zu entwickeln, weil jeder, der das vorhin Gesagte verstanden hat, es leicht zu berechnen finden wird. Das ist die Aufteilung des kanon (Monochord), die von Thrasyllos überliefert wurde. Wenn wir die Elemente der Astronomie (in III) darlegen, werden wir zeigen, wie all dies auf das System der Kugeln (Sphären) zutrifft. Jetzt aber gehen wir zur Darlegung der übrigen Proportionen und der Mittelwerte über, da – wie wir (in II 32) gesagt haben – jede Proportion ein Mittelwert ist, aber nicht jeder Mittelwert eine Proportion. Insofern die Proportion auch ein Mittelwert ist, so ist die Darlegung bezüglich der Proportionen und der Mittelwerte wohl folgerichtig. tetraktys und Dekade (37) Da, wie wir gezeigt haben, alle Verhältnisse der Konsonanzen in der tetraktys der Dekade zu finden sind, müssen wir zunächst von diesen Zahlen sprechen. Die Dekade bildet ja die tetraktys, denn die Summe der Zahlen 1, 2, 3, 4 ist 10, also 1, 2, 3, 4. Aber diese Zahlen enthalten die Konsonanz der Quarte im epitritos-Verhältnis (11⁄3 als 4 zu 3), die der Quinte im hemiolios-Verhältnis (11⁄2 als 3 zu 2), die der Oktave im doppelten (als 2 zu 1 oder 4 zu 2) und die der Doppel­

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Theon von Smyrna

[94]

καὶ ἡ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ καὶ ‹ἡ› δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ· ἐξ ὧν συμπληροῦται τὸ ἀμετάβολον διάγραμμα. πόσαι τετρακτύες; (38) τοιαύτη μὲν ‹ἡ› ἐν μουσικῇ [94] τετρακτὺς κατὰ σύνθεσιν οὖσα, ἐπειδὴ ἐντὸς αὐτῆς πᾶσαι αἱ συμφωνίαι εὑρίσκονται. οὐ διὰ τοῦτο δὲ μόνον πᾶσι τοῖς Πυθαγορικοῖς προτετίμηται, ἀλλ’ ἐπεὶ καὶ δοκεῖ τὴν τῶν ὅλων φύσιν συνέχειν· διὸ καὶ ὅρκος ἦν αὐτοῖς

οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν, παγὰν ἀενάου φύσεως ῥίζωμά τ’ ἔχουσαν.

τὸν παραδόντα Πυθαγόραν λέγουσιν, ἐπεὶ δοκεῖ τούτου εὕρημα ὁ περὶ αὐτῆς λόγος. ἡ μὲν οὖν προειρημένη τετρακτὺς ‹αὕτη›, κατ’ ἐπισύνθεσιν τῶν πρώτων ἀποτελουμένη ἀριθμῶν. δευτέρα δ’ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἐπηυξημένων ἀπὸ μονάδος κατά τε τὸ ἄρτιον καὶ περιττόν. ὧν πρῶτος μὲν [κατὰ τὸ ἄρτιον] λαμβάνεται ἡ μονάς, ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιττῶν καὶ ἀρτιοπερίττων, ὡς προείρηται, καὶ ἁπλοῦς ὁ ταύτης λόγος· οἱ δ’ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριθμοὶ κατὰ τὸ ἄρτιον καὶ περιττόν. τὴν δὲ σύνθεσιν λαμβάνουσιν, ἐπειδὴ [95] καὶ ὁ πᾶς ἀριθμὸς οὔτε μόνον ἄρτιος οὔτε μόνον περιττός. διὸ δύο λαμβάνονται αἱ κατὰ πολλαπλασιασμὸν τετρακτύες, ἀρτία καὶ περιττή, ἡ μὲν ἀρτία ἐν λόγῳ διπλασίῳ, πρῶτος γὰρ τῶν ἀρτίων ὁ β' καὶ αὐτὸς ἐκ μονάδος κατὰ τὸ διπλάσιον ηὐξημένος, ἡ δὲ περιττὴ ἐν λόγῳ ηὐξημένη τριπλασίῳ, ἐπειδὴ πρῶτος τῶν περιττῶν ὁ γ' καὶ αὐτὸς ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ τριπλάσιον ηὐξημένος. ὥστε κοινὴ μὲν ἀμφοτέρων ἡ μονάς, καὶ ἀρτία οὖσα καὶ περιττή· δεύτερος δὲ ἀριθμὸς ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις καὶ διπλασίοις ὁ β', ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς καὶ τριπλασίοις ὁ γ· τρίτος

Teil II (Musik), Abschnitt 38

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oktave im vierfachen Verhältnis (als 4 zu 1); und auf diese Weise wird das unveränderliche Diagramm vervollständigt. Wie viele tetraktyes gibt es? (38) Die Bedeutung der durch Addition (von 1, 2, 3 und 4) erhaltenen tetraktys ist in der Musik groß, weil alle Konsonanzen in ihr enthalten sind. Aber nicht nur aus diesem Grund wird sie von allen Pythagoreern hoch geschätzt, sondern auch, weil sie die gesamte Natur des Universums zu umreißen scheint. Aus diesem Grund hatten sie auch folgenden Eid: Ich schwöre bei demjenigen, der unserer Seele die tetraktys gegeben hat, welche die Quelle der ewigen Natur und die Wurzel hat. (Pythagoras, Goldene Verse 47–48, ed. Thesleff 1965, 161)

Als denjenigen, der sie gegeben hat, nennt man Pythagoras, da es scheint, dass seine Entdeckung das Verhältnis von ihr ist. Die vorhin genannte (erste) tetraktys ist diejenige, die durch Addition der ersten vier Zahlen gebildet wird. Die zweite tetraktys wird durch Multiplikation gebildet, und zwar von geraden und ungeraden Zahlen, ausgehend von der Monade. Von diesen Zahlen nimmt man als erste die Monade, weil sie – wie wir (in I 3) gesagt haben – das Prinzip aller geraden und ungeraden und gerade-ungeraden Zahlen ist, und ihr Verhältnis ist einfach. Als nächstes kommen drei Zahlen aus der geraden sowie der ungeraden Reihe. Sie lassen die Vereinigung zu, weil auch diese Zahlen allesamt nicht nur gerade oder nur ungerade sind. Aus diesem Grund werden bei der Multiplikation zwei tetraktys-Zahlen genommen, die eine gerade, die andere ungerade; die gerade im doppelten Verhältnis, wobei die erste der geraden Zahlen die Dyade ist, die aus der verdoppelten Monade entsteht; die ungerade im dreifachen Verhältnis, wobei die erste der ungeraden Zahlen die Tetrade ist, die aus der verdreifachten Monade entsteht, so dass die Monade gleichzeitig ungerade und gerade ist und zu beiden gehört. Die zweite Zahl in der geraden und doppelten (Reihe) ist die 2 und in der ungeraden und dreifachen ist die 3. Die

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Theon von Smyrna

[96]

δὲ ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις ὁ δ, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς ὁ θ'· τέταρτος ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις η', ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς κζ'. α' β' γ' δ' θ' η' κζ'

ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ‹οἱ› τελειότεροι τῶν συμφωνιῶν εὑρίσ­ κονται λόγοι· συμπεριείληπται δὲ αὐτοῖς καὶ ὁ τόνος. δύναται δὲ ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς ἀρχῆς καὶ σημείου καὶ στιγμῆς λόγον· οἱ δὲ δεύτεροι πλευρὰν δύνανται ὅ τε β' καὶ ὁ γ, ὄντες ἀσύνθετοι καὶ πρῶτοι καὶ μονάδι μετρούμενοι καὶ φύσει εὐθυμετρικοί· οἱ δὲ τρίτοι ὅροι ὁ δ' καὶ ὁ θ δύνανται ἐπίπεδον τετράγωνον, ἰσάκις ἴσοι ὄντες· οἱ δὲ τέταρτοι ὅροι ὅ τε η' καὶ ὁ κζ' δύνανται ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ‹ὄντες› κύβον. ὥστε [96] ἐκ τούτων τῶν ἀριθμῶν καὶ ταύτης τῆς τετρακτύος ἀπὸ σημείου καὶ στιγμῆς εἰς στερεὸν ἡ αὔξησις γίνεται· μετὰ γὰρ σημεῖον καὶ στιγμὴν πλευρά, μετὰ πλευρὰν ἐπίπεδον, μετὰ ἐπίπεδον στερεόν. ἐν οἷς ἀριθμοῖς καὶ τὴν ψυχὴν συνίστησιν ὁ Πλάτων ἐν τῷ Τιμαίῳ. ὁ δὲ ἔσχατος τούτων τῶν ἑπτὰ ἀριθμῶν ἴσος ἐστὶ τοῖς πρὸ αὐτοῦ πᾶσιν· ἓν γὰρ καὶ β' καὶ γ' καὶ δ' καὶ η' καὶ θ' γίνονται κζ'.

δύο μὲν οὖν αὗται τετρακτύες, ἥ τε κατ’ ἐπισύνθεσιν καὶ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμόν, τούς τε μουσικοὺς καὶ γεωμετρικοὺς καὶ ἀριθμητικοὺς λόγους περιέχουσαι, ἐξ ὧν καὶ ἡ τοῦ παντὸς ἁρμονία συνέστη. τρίτη δέ ἐστι τετρακτὺς ἡ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν παντὸς μεγέθους φύσιν περιέχουσα· ὅπερ γὰρ ἐν τῇ προτέρᾳ τετρακτύι μονάς, τοῦτο ἐν ταύτῃ στιγμή. ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ πλευρὰν δυνάμενοι ἀριθμοὶ τὰ β' καὶ γ', τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος τῆς γραμμῆς ἥ τε περιφερὴς καὶ ἡ εὐθεῖα, κατὰ μὲν ἄρτιον ἡ εὐθεῖα, ἐπειδὴ δυσὶ

Teil II (Musik), Abschnitt 38

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dritte in der Reihe der geraden Zahlen ist die 4 und in der ungeraden Reihe die 9, die vierte unter den geraden Zahlen ist die 8 und unter den ungeraden Zahlen die 27. 1

2 3 4 9 8 27

Das Verhältnisse der vollkommensten Konsonanzen sind in diesen Zahlen zu finden; sogar der Ganzton ist enthalten. Die Monade bewirkt das Verhältnis des Prinzips, des Punkts und der Spitze. Die zweiten Werte, 2 und 3, bewirken die Seitenlinie, sind unzusammengesetzte Primzahlen, werden nur durch die Monade gemessen (geteilt) und sind von Natur aus eutyhmetrisch (s. o. I 6). Die dritten Werte, 4 und 9, bewirken die qua­dratische Fläche, da sie gleichzahligfach gleich sind. Die vierten Werte, 8 und 27, bewirken den Würfel, weil sie gleichzahligfach gleichzahlig gleichzahligfach sind. Auf diese Weise verläuft aus den Zahlen und dieser tetraktys das Wachstum von Punkt und von der Spitze bis zum Körper: Nach dem Punkt und der Spitze kommt ja die Seitenlinie, nach der Seitenlinie die Fläche, nach der Fläche der Körper. In diesen Zahlen bildet Platon im Timaios (36b–c) die Seele. Die letzte dieser sieben Zahlen ist gleich der Summe aller vorhergehenden, denn 1 und 2 und 3 und 4 und 8 und 9 sind zusammen 27. Dies sind also zwei tetraktyes: eine wird durch Addition gebildet, die andere durch Multiplikation; diese umfassen die musikalischen, geometrischen und arithmetischen Verhältnisse, aus denen sich die Harmonie des Universums zusammensetzt. Die dritte tetraktys ist diejenige, welche – der gleichen Proportion folgend – die Natur aller Dimensionen umfasst, denn was die Monade in der vorhergehenden tetraktys ist, das ist in dieser der Punkt. Was aber in jener die eine Seite bewirkenden Zahlen 2 und 3 sind, das ist in dieser die doppelte Gestalt der Linie, entweder kreisförmig oder gerade, bei der geraden Zahl die gerade Linie, da sie an zwei

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Theon von Smyrna

[97]

σημείοις περατοῦται, κατὰ δὲ τὸ περιττὸν ἡ περιφερής, ἐπειδὴ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς πέρας οὐκ ἐχούσης περιέχεται· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ τετράγωνον δυνάμενοι ὁ δ' καὶ ὁ θ', τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος ἐπιπέδων, εὐθύγραμμον καὶ περιφερόγραμμον· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ κύβον δυνάμενοι ὁ η' καὶ ὁ κζ' δύο ὄντες ὁ μὲν ἐκ περιττοῦ, ὁ δὲ ἐξ ἀρτίου, τοῦτο ἐν ταύτῃ στερεόν, διττὸν ὄν, ‹τὸ μὲν› ἐκ κοίλης ἐπιφανείας ὡς σφαῖρα καὶ [97] κύλινδρος, τὸ δὲ ἐξ ἐπιπέδων ὡς κύβος πυραμίς. αὕτη δέ ἐστιν ἡ τρίτη τετρακτὺς παντὸς μεγέθους συμπληρωτικὴ ἐκ σημείου γραμμῆς ἐπιπέδου στερεοῦ.

τετάρτη δὲ τετρακτύς ἐστι τῶν ἁπλῶν ‹σωμάτων›, πυρὸς ἀέρος ὕδατος γῆς, ἀναλογίαν ἔχουσα τὴν κατὰ τοὺς ἀριθμούς. ὅπερ γὰρ ἐν ἐκείνῃ μονάς, ἐν ταύτῃ πῦρ· ὃ δὲ δυάς, ἀήρ· δὲ τριάς, ὕδωρ· ὃ δὲ τετράς, γῆ. τοιαύτη γὰρ ἡ φύσις τῶν στοιχείων κατὰ λεπτομέρειαν καὶ παχυμέρειαν, ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον πῦρ πρὸς ἀέρα, ὅν ἓν πρὸς β', πρὸς δὲ ὕδωρ, ὃν ἓν πρὸς γ', πρὸς δὲ γῆν, ὃν ἓν πρὸς δ'· καὶ τἆλλα ἀνάλογον πρὸς ἄλληλα.

πέμπτη δ’ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν σχημάτων τῶν ἁπλῶν σωμάτων. ἡ μὲν γὰρ πυραμὶς σχῆμα πυρός, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ἀέρος, τὸ δὲ εἰκοσάεδρον ὕδατος, κύβος δὲ γῆς. ἕκτη δὲ τῶν φυομένων. τὸ μὲν σπέρμα ἀνάλογον μονάδι καὶ σημείῳ, ἡ δὲ εἰς μῆκος αὔξη δυάδι καὶ γραμμῇ, ἡ δὲ εἰς πλάτος τριάδι καὶ ἐπιφανείᾳ, ἡ δὲ εἰς πάχος τετράδι καὶ στερεῷ.

ἑβδόμη δὲ τετρακτὺς ἡ τῶν κοινωνιῶν. ἀρχὴ μὲν καὶ οἷον μονὰς ἄνθρωπος, δυὰς δὲ οἶκος, τριὰς δὲ κώμη, τετρὰς δὲ πόλις. τὸ γὰρ ἔθνος ἐκ τούτων σύγκειται.

Teil II (Musik), Abschnitt 38

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Punkten endet, bei der ungeraden die kreisförmige, weil sie aus einer einzigen Linie ohne Ende besteht. Was aber in jener die ein Quadrat bewirkenden Zahlen 4 und 9 sind, das ist in dieser die doppelte Gestalt der Flächen, entweder geradlinig oder kreisförmig begrenzt. Was aber in jener die einen Würfel bewirkenden Zahlen 8 und 27 sind – diese zwei sind die eine aus der ungeraden Reihe, die andere aus der geraden –, das ist in dieser ein Körper, der eine doppelte Gestalt hat, die eine mit gekrümmten Oberflächen wie die Kugel und der Zylinder, die andere mit ebenen Oberflächen wie der Würfel und die Pyramide. Das ist dann die dritte tetraktys, welche die Eigenschaft hat, durch den Punkt, die Linie, die Fläche und den Körper eine beliebige Dimension zu bilden. Die vierte tetraktys ist die der einfachen Elemente, also Feuer, Luft, Wasser und Erde, und sie bietet die gleiche Proportion wie die tetraktys der Zahlen. Der Platz, den die Monade in der tetraktys der Zahlen einnimmt, wird in dieser vom Feuer eingenommen, Luft entspricht der Dyade, Wasser der Triade und Erde der Tetrade. Dies ist ja die Natur der Elemente nach ihrer Feinheit oder Dichte, so dass das Verhältnis von Feuer zu Luft wie 1 zu 2, zu Wasser wie 1 zu 3 und zu Erde wie 1 zu 4 ist. Auch die anderen Verhältnisse sind proportional zueinander. Die fünfte tetraktys ist die der Formen der einfachen Elemente, denn die Pyramide ist die Form des Feuers, der Oktaeder die der Luft, der Ikosaeder die des Wassers und der Würfel die der Erde. Die sechste (tetraktys) ist die der gewachsenen Dinge, wobei der Sa­ me der Monade und dem Punkt entspricht. Das Längenwachstum ist analog zur Dyade und zur Linie und das Breitenwachstum ist analog zur Triade und zur Fläche, schließlich ist das Dickenwachstum analog zur Tetrade und zum Körper. Die siebte tetraktys ist die der Gemeinschaften. Der Mensch ist Prinzip und ist somit Monade. Die Hausgemeinschaft entspricht der Dyade, das Dorf der Triade und die Polis der Tetrade, denn dies sind die Elemente, aus denen sich der Stamm zusammensetzt.

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[98]

καὶ αὗται μὲν ὑλικαί τε καὶ αἰσθηταὶ τετρακτύες. ὀγδόη δὲ τετρακτὺς ἥδε, τούτων κριτικὴ καὶ νοητή τις [98] οὖσα· νοῦς ἐπιστήμη δόξα αἴσθησις. νοῦς μὲν ὡς μονὰς ἐν οὐσίᾳ· ἐπιστήμη δὲ ὡς δυάς, ἐπειδή τινός ἐστιν ἐπιστήμη· ‹δόξα δὲ ὡς τριάς, ἐπειδὴ …› καὶ μεταξύ ἐστι δόξα ἐπιστήμης [ἐστὶ] καὶ ἀγνοίας· ἡ δὲ, αἴσθησις ὡς τετράς, ἐπειδὴ τετραπλῆ κοινῆς πασῶν οὔσης τῆς ἁφῆς κατ’ ἐπαφὴν πᾶσαι ἐνεργοῦσιν αἱ αἰσθήσεις.

ἐνάτη δὲ τετρακτύς, ἐξ ἧς συνέστηκε τὸ ζῷον, ψυχή τε καὶ σῶμα. ψυχῆς μὲν γὰρ μέρη λογιστικὸν θυμικὸν ἐπιθυμητικόν, καὶ τέταρτον σῶμα, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ψυχή. δεκάτη δὲ τετρακτὺς ὡρῶν δι’ ἃς γίνεται πάντα, ἔαρ θέρος μετόπωρον χειμών. ἑνδεκάτη δὲ ἡλικιῶν, νηπίου μειρακίου ἀνδρὸς γέροντος. ὥστε τετρακτύες ἕνδεκα· πρώτη ἡ κατὰ σύνθεσιν ἀριθμῶν, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἀριθμῶν, τρίτη κατὰ μέγεθος, τετάρτη τῶν ἁπλῶν σωμάτων, πέμπτη τῶν σχημάτων, ἕκτη τῶν φυομένων, ἑβδόμη τῶν κοινωνιῶν, ὀγδόη κριτική, ἐνάτη τῶν μερῶν τοῦ ζῴου, δεκάτη τῶν ὡρῶν, ἑνδεκάτη ἡλικιῶν. ἔχουσι δὲ πᾶσαι ἀναλογίαν· ὃ γὰρ ἐν τῇ πρώτῃ καὶ δευτέρᾳ μονάς, τοῦτο ἐν τῇ τρίτῃ στιγμή, ἐν δὲ τῇ τετάρτῃ πῦρ, ἐν δὲ τῇ πέμπτῃ πυραμίς, ἐν δὲ τῇ ἕκτῃ σπέρμα, ‹καὶ› ἐν τῇ ἑβδόμῃ ἄνθρωπος, καὶ ἐν τῇ ὀγδόῃ νοῦς, καὶ τὰ λοιπὰ ἀνάλογον·

οἷον πρώτη μονὰς δυὰς τριὰς τετράς, δευ[99]τέρα μονὰς πλευρὰ τετράγωνον κύβος, τρίτη στιγμὴ γραμμὴ ἐπιφάνεια στερεόν, τετάρτη πῦρ ἀὴρ ὕδωρ γῆ, πέμπτη πυραμὶς ὀκτάεδρον εἰκοσάεδρον κύβος,

Teil II (Musik), Abschnitt 38

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Alle diese tetraktyes sind materiell und wahrnehmbar. Die achte tetraktys enthält Fähigkeiten, mit denen ein Urteile und Erkenntnisse möglich sind: Denken, Verständnis, Meinung und Wahrnehmung. Denken ist wie die Dyade, weil es das Verständnis aller Dinge ist, die Meinung ist wie die Triade, weil … (Lücke im Text) etwas zwischen Verständnis und Unwissenheit ist; und schließlich ist die Wahrnehmung wie die Tetrade, weil sie vierfach ist, der Tastsinn ist allen gemeinsam, jede Wahrnehmung wird durch den Kontakt bekräftigt. Die neunte tetraktys ist die von dem, was die Lebewesen zusammensetzt, Körper und Seele, wobei die Seele drei Teile hat, den rationalen, den emotionalen und den willentlichen; der vierte Teil ist der Körper, in dem die Seele wohnt. Die zehnte tetraktys ist die der Jahreszeiten, durch deren Abfolge alle Dinge geboren werden, das heißt Frühling, Sommer, Herbst und Winter. Die elfte (tetraktys) ist die der Lebensalter des Kleinkinds, Jugendlichen, Mannes und Greises. Es gibt also elf tetraktyes. Die erste ist die gemäß Addition der Zahlen, die zweite die gemäß Multiplikation der Zahlen, die dritte die der Dimensionen, die vierte die der einfachen Elemente, die fünfte die der Formen, die sechste die der gewachsenen Dinge, die siebte die der Gemeinschaften, die achte die der Urteilsfähigkeiten, die neunte die der Teile der Lebewesen, die zehnte die der Jahreszeiten und die elfte die der Lebensalter. Sie sind proportional zueinander, denn was in der ersten und zweiten te­traktys die Monade ist, das ist in der dritten der Punkt, in der vierten das Feuer, in der fünften die Pyramide, in der sechsten der Samen, in der siebten der Mensch, in der achten das Denken und so weiter, wobei die anderen im gleichen Verhältnis folgen. So ist die erste (tetraktys) Monade, Dyade, Triade und Tetrade. Die zweite ist Monade, Seite, Qua­drat und Würfel. Die dritte ist Punkt, Linie, Oberfläche und Körper. Die vierte ist Feuer, Luft, Wasser und

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Theon von Smyrna

[100]

ἕκτη σπέρμα μῆκος πλάτος βάθος, ἑβδόμη ἄνθρωπος οἶκος κώμη πόλις, ὀγδόη νοῦς ἐπιστήμη δόξα αἴσθησις, ἐνάτη λογιστικὸν θυμικὸν ἐπιθυμητικὸν σῶμα, δεκάτη ἔαρ θέρος μετόπωρον χειμών, ἑνδεκάτη παιδίον μειράκιον ἀνὴρ γέρων.

ὁ δὲ [καὶ] ἐκ τῶν τετρακτύων τούτων συστὰς κόσμος ἔσται [τέλειος] ἡρμοσμένος κατὰ γεωμετρίαν καὶ ἁρμονίαν καὶ ἀριθμόν, δυνάμει περιειληφὼς πᾶσαν ἀριθμοῦ φύσιν πᾶν τε μέγεθος καὶ πᾶν σῶμα ἁπλοῦν τε καὶ σύνθετον, τέλειός τε, ἐπειδὴ τὰ πάντα μὲν τούτου μέρη, αὐτὸς δὲ οὐδενός. διὸ πρώτῳ τῷ εἰρημένῳ ὅρκῳ οἱ Πυθαγορικοὶ ἐλέγοντο ‹…› καὶ

ἀριθμῷ δέ τε πάντ’ ἐπέοικε.

περὶ δεκάδος (39) καὶ τοῦτο εἶναι τὸ σοφώτατον· πάντα μὲν γὰρ τὸν ἀριθμὸν εἰς δεκάδα ἤγαγον, ἐπειδὴ ὑπὲρ δεκάδα οὐδείς ἐστιν ἀριθμός, ἐν τῇ αὐξήσει πάλιν ἡμῶν ὑποστρεφόντων ἐπὶ μονάδα καὶ δυάδα καὶ τοὺς ἑξῆς· τὴν δὲ δεκάδα ἐπὶ τετράδα συνίστασθαι· ἓν γὰρ καὶ β' καὶ γ' καὶ δ' ἐστι ι', ὥστε τοὺς δυνατωτάτους ἀριθμοὺς ἐντὸς τῆς τετράδος θεωρεῖσθαι.

περὶ μονάδος (40) ἡ μὲν γὰρ μονὰς ἀρχὴ πάντων καὶ κυριωτάτη πα[100]σῶν ‹…› καὶ ἐξ ἧς πάντα, αὐτὴ δὲ ἐξ οὐδενός, ἀδιαίρετος καὶ δυνάμει πάντα, ἀμετάβλητος, μηδεπώποτε τῆς αὐτῆς ἐξισταμένη φύσεως κατὰ τὸν πολλαπλασιασμόν· καθ’ ἣν πᾶν τὸ νοητὸν καὶ ἀγέννητον καὶ ἡ τῶν

Teil II (Musik), Abschnitt 39

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Erde. Die fünfte ist Pyramide, Oktaeder, Ikosaeder und Würfel. Die sechste ist Same, Länge, Breite und Höhe. Die siebte ist Mensch, Hausgemeinschaft, Dorf und Polis. Die achte ist Denken, Verständnis, Meinung und Wahrnehmung. Die neunte ist die rationale, emotionale und willentliche (Seele) und der Körper. Die zehnte ist Frühling, Sommer, Herbst und Winter. Die elfte ist Kind, Jugendlicher, Mann und Greis. Und der ganze Kosmos, der sich aus diesen tetraktyes ergibt, ist geometrisch, harmonisch und arithmetisch geordnet und enthält in seiner Potenz die gesamte Natur der Zahl, jede Dimension und jeden Körper, gleich ob einfach oder zusammengesetzt. Er ist vollkommen, weil alles ein Teil von ihm ist, und er ist selbst ein Teil von nichts anderem. Deshalb sagten die Pythagoreer in dem ersten genannten Eid … (Lücke im Text) und alle Dinge der Zahl gleichgesetzt werden. (Pythagoras, Hymnos auf die Zahl, Frg. 2, ed. Thesleff 1965, 173)

Dekade (39) Sie (die Pythagoreer) waren nicht weniger weise darin, alle Zahlen auf die Dekade zurückzuführen, da es keine Zahl jenseits der Zehn gibt: Wenn wir über die Zehn hinausgehen, gehen wir zurück zu den Zahlen 1, 2 und so weiter. Die Dekade ist jedoch in der Tetrade zu finden, da die Summe der vier Zahlen 1, 2, 3, 4 gleich 10 ist, woraus folgt, dass die wirksamsten Zahlen in der Tetrade betrachtet werden können.

Monade (40) Die Monade ist das Prinzip aller Dinge … (Lücke im Text) und das Vorherrschendste von allem, was ist: Alle Dinge gehen von ihr aus und sie geht von nichts aus. Sie ist unzerlegbar und potentiell alles. Sie ist unveränderlich und weicht niemals durch Multiplikation von ihrer eigenen Natur ab (einmal 1 ist ja 1). Alles, was gedanklich ist und noch nicht erschaffen wurde, existiert in ihr: die Natur der Ideen,

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[101]

ἰδεῶν φύσις καὶ ὁ θεὸς καὶ ὁ νοῦς καὶ τὸ καλὸν καὶ τὸ ἀγαθὸν καὶ ἑκάστη τῶν νοητῶν οὐσιῶν, οἷον αὐτὸ καλόν, αὐτὸ δίκαιον, αὐτὸ [τὸ] ἴσον· ἕκαστον γὰρ τούτων ὡς ἓν καὶ καθ’ ἑαυτὸ νοεῖται.

περὶ δυάδος (41) πρώτη δὲ αὔξη καὶ μεταβολὴ ἐκ μονάδος εἰς δυάδα κατὰ διπλασιασμὸν τῆς μονάδος, καθ’ ἣν ὕλη καὶ πᾶν τὸ αἰσθητὸν καὶ ἡ γένεσις καὶ ἡ κίνησις καὶ ἡ αὔξησις καὶ ἡ σύνθεσις καὶ κοινωνία καὶ τὸ πρός τι.

περὶ τριάδος (42) ἡ δὲ δυὰς συνελθοῦσα τῇ μονάδι γίνεται τριάς, ἥτις πρώτη ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ τελευτὴν ἔχει. διὸ καὶ πρώτη λέγεται πάντα εἶναι· ἐπὶ γὰρ ἐλαττόνων αὐτῆς οὐ λέγεται πάντα εἶναι, ἀλλὰ ἓν καὶ ἀμφότερα, ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν πάντα. καὶ τρεῖς σπονδὰς ποιούμεθα δηλοῦντες ὅτι πάντα ἀγαθὰ αἰτούμεθα, καὶ τοὺς κατὰ πάντα ἀθλίους τρισαθλίους καλοῦμεν καὶ τοὺς κατὰ πάντα μακαρίους τρισμακαρίους.

πρώτη δὲ καὶ ἡ τοῦ ἐπιπέδου φύσις ἐκ τούτου. ἡ γὰρ τριὰς οἷον εἰκὼν ἐπιπέδου, καὶ πρώτη αὐτοῦ ὑπόστασις ἐν τριγώνῳ, καὶ διὰ τοῦτο τρία αὐτῶν γένη, ἰσόπλευρον ἰσοσκελὲς σκα[101]ληνόν [γ']· τρεῖς δὲ καὶ γωνίαι ὁμοιούμεναι ἡ μὲν ὀρθὴ τῇ τοῦ ἑνὸς φύσει, ὡρισμένη καὶ ἐξ ἴσου καὶ ὁμοίου συνεστῶσα· διὸ καὶ πᾶσαι αἱ ὀρθαὶ ἀλλήλαις εἰσὶν ἴσαι, μέσαι οὖσαι ὀξείας καὶ ἀμβλείας καὶ ὑπερέχοντος καὶ ὑπερεχομένου· αἱ δὲ λοιπαὶ ἄπειροι καὶ ἀόριστοι· ἐκ γὰρ ὑπεροχῆς καὶ ἐλλείψεως συνεστᾶσιν. ἡ δὲ τριὰς ἐκ τῆς μονάδος καὶ δυάδος ϛ' ποιεῖ κατὰ σύνθεσιν, ὅς ἐστε πρῶτος τέλετος ἀριθμὸς τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος

Teil II (Musik), Abschnitt 41

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Gott selbst, die Seele, das Schöne und das Gute und jede gedankliche Essenz, wie die Schönheit selbst, die Gerechtigkeit selbst, die Gleichheit selbst, denn wir begreifen jedes dieser Dinge als eins und als in sich selbst existierend. Dyade (41) Die erste Zunahme, der erste Wechsel von der Monade wird durch die Verdoppelung der Monade gemacht, die zur Dyade (2) wird, in der die Materie und alles, was wahrnehmbar ist, gesehen wird, die Erzeugung von Bewegung, Multiplikation und Addition, die Zusammensetzung und das Verhältnis von einer Sache zur anderen. Triade (42) Die zur Monade addierte Dyade ergibt die Triade (3), die als erste einen Anfang, eine Mitte und ein Ende hat. Darum ist diese Zahl die erste, auf die der Name Alles zutrifft, denn alle Zahlen, die kleiner sind als diese, werden nicht Alles genannt, sondern eins oder das andere, während die Drei Alles genannt wird. Wir machen drei Trankopfer, um zu zeigen, dass wir alles erbitten, was gut ist. Wir nennen dreimal unglücklich diejenigen, die ganz unglücklich sind, und dreimal glücklich diejenigen, die ganz glücklich sind. Die Triade stellt auch die erste Natur der Fläche dar, denn sie ist gewissermaßen ihr Abbild, wobei die erste Form der Fläche das Dreieck ist. Aus diesem Grund gibt es drei Arten von Dreiecken, das gleichseitige, das gleichschenklige und das ungleichseitig (skalenos), und auch drei Arten von Winkeln, einerseits den rechten Winkel, von einzigartiger Natur, gut definiert und aus Ein und Demselben zusammengesetzt, der bewirkt, dass alle rechten Winkel unter­ein­ander gleich sind, da er in sie Mitte zwischen den spitzen und den stumpfen Winkeln liegen, größer als der eine und kleiner als der andere. Andererseits gibt es unendlich zahlreiche und unbestimmte Winkel, die ja entweder größer oder kleiner sind. Wenn die Triade zur Monade und zur Dyade addiert wird, ergibt sich 6, die erste vollkommene Zahl,

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Theon von Smyrna

[102]

ἄν· ὁ δὲ τέλειος οὗτος συντεθεὶς τῷ πρώτῳ τετραγώνῳ τῇ τετράδι ποιεῖ τὴν δεκάδα. περὶ τετράδος (43) ἡ δὲ τετρὰς στερεοῦ ἐστιν εἰκὼν πρῶτός τε ἀριθμὸς [καὶ] τετράγωνός ἐστιν ἐν ἀρτίοις· καὶ αἱ συμφωνίαι δὲ πᾶσαι κατ’ αὐτὸν συμπληροῦνται, ὡς ἐδείχθη. περὶ πεντάδος (44) ἡ δὲ πεντὰς μέση ἐστι τῆς δεκάδος. ἐὰν γὰρ καθ’ ὁποιανοῦν σύνθεσιν ἐκ δύο ἀριθμῶν τὸν ι' συνθῇς, μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε' κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν· οἷον θ' καὶ α', καὶ η' καὶ β', καὶ ζ' καὶ γ', καὶ ϛ' καὶ δ'· αἰεί τε ι' ποιήσεις καὶ μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε' κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν, ὡς δηλοῖ τὸ διάγραμμα, κατὰ πᾶσαν σύνθεσιν τῶν συμπληρούντων τὰ ι' δυεῖν ἀριθμῶν [μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε' κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν] τῷ ἴσῳ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχων τε καὶ ὑπερεχόμενος. [102]

α

α   δ   ζ β   ε   η γ   ϛ   θ

β

ϛ

ε

γ

δ

ζ

η

θ

πρῶτον δὲ καὶ περιέλαβε τὸ τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ εἶδος ὁ ε', τὸν ἄρτιόν τε καὶ περιττόν, λέγω τὴν δυάδα τε καὶ τριάδα· ἡ γὰρ μονὰς οὐκ ἦν ἀριθμός.

Teil II (Musik), Abschnitt 43

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gleich der Summe ihrer Teile. Diese vollkommene Zahl, addiert mit der ersten Qua­dratzahl, der Tetrade, ergibt die Dekade. Tetrade (43) Die Tetrade ist das Bild des Körpers, und sie ist die erste Qua­ dratzahl unter den geraden Zahlen; sie vervollständigt alle Konsonanzen, wie wir gezeigt haben. Pentade (44) Die Pentade ist die Mitte der Dekade, denn wenn man durch die Addition von zwei beliebigen Zahlen 10 erhält, findet man als den Mittelwert dieser Zahlen nach der arithmetischen Proportion 5. Wenn man also etwa 9 und 1, 8 und 2, 7 und 3, 6 und 4 addiert, wird die Summe immer 10 sein und der Mittelwert nach der arithmetischen Proportion wird 5 sein. Dies wird in dem Diagramm gezeigt, in dem jede Addition von zwei entgegengesetzten Zahlen 10 ergibt, wobei der proportionale arithmetische Mittelwert 5 ist, was um die gleiche Zahl die Randwerte überragt und überragt wird. 1   4   7 1 2   5   8 3   6   9 2 6 3 5 7 4 8

9

Die Fünf ist auch die erste, welche die beiden Arten von Zahlen umfasst, die gerade und die ungerade, also 2 und 3, denn die Monade ist keine (solche) Zahl.

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[103]

περὶ ἑξάδος (45) ὁ δὲ ϛ' τέλειος, ἐπειδὴ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσίν ἐστιν ἴσος, ὡς δέδεικται· διὸ καὶ γάμον αὐτὸν ἐκάλουν, ἐπεὶ γάμου ἔργον ὅμοια ποιεῖ τὰ ἔκγονα τοῖς γονεῦσι. καὶ κατὰ τοῦτον δὲ πρῶτον συνέστη ἡ ἁρμονικὴ μεσότης ληφθέντος [μὲν] τοῦ ϛ' ἐπιτρίτου ‹μὲν› λόγου τῶν η', διπλασίου δὲ τῶν ιβ'· ϛ' η' ιβ'· τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὁ η' τῶν ἄκρων ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται, ϛ' η' ιβ', τουτέστι τῷ τρίτῳ· καὶ ἀριθμητικὴ δὲ μεσότης ληφθέντος τοῦ ϛ' ἡμιολίου μὲν λόγου τῶν θ', διπλασίου δὲ τῶν ιβ'· τῷ γὰρ αὐτῷ ἀριθμῷ τὰ θ ὑπερέχει τῶν ἄκρων καὶ ὑπερέχεται· ποιεῖ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν μέσος ληφθείς· ἂν γὰρ ἥμισυ αὐτοῦ λάβωμεν τὸν γ' καὶ διπλάσιον τὸν ιβ', ἔσται ἡμῖν ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία γ' ϛ' ιβ'· τῷ γὰρ αὐτῷ λόγῳ τὰ ϛ' τῶν ἄκρων ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται, γ' ϛ' ιβ', τουτέστι τῷ διπλασίῳ.

[103] περὶ ἑβδομάδος (46) καὶ ἡ ἑβδομὰς δὲ τῆς δεκάδος οὖσα θαυμαστὴν ἔχει δύναμιν. μόνος γὰρ τῶν ἐντὸς τῆς δεκάδος οὔτε γεννᾷ ἕτερον οὔτε γεννᾶται ὑφ’ ἑτέρου· διὸ καὶ Ἀθηνᾶ ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν ἐκαλεῖτο, οὔτε μητρός τινος οὖσα οὔτε μήτηρ. οὔτε γὰρ γίνεται ἐκ συνδυασμοῦ οὔτε συνδυάζεταί τινι. τῶν γὰρ ἀριθμῶν τῶν ἐν τῇ δεκάδι οἱ μὲν γεννῶσί τε καὶ γεννῶνται, ὡς ὁ δ' γεννᾷ μὲν μετὰ δυάδος τὸν η', γεννᾶται δὲ ὑπὸ δυάδος· οἱ δὲ γεννῶνται μέν, οὐ γεννῶσι δέ, ὡς ὁ ϛ' γεννᾶται μὲν ὑπὸ β' καὶ γ', οὐ γεννᾷ δὲ οὐδένα τῶν ἐν τῇ δεκάδι· οἱ δὲ γεννῶσι μέν, οὐ γεννῶνται δέ, ὡς ὁ γ' καὶ ὁ ε' γεννῶνται μὲν ἐξ οὐδενὸς [ἀριθμοῦ] συνδυασμοῦ, γεννῶσι δὲ ὁ μὲν γ' τὸν θ' καὶ τὸν ϛ' μετὰ δυάδος, ὁ δὲ ε' γεννᾷ μετὰ δυάδος αὐτὸν τὸν ι'.

Teil II (Musik), Abschnitt 45

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Hexade (45) Die Zahl 6 ist eine vollkommene Zahl, weil sie, wie (in I 32) gezeigt wurde, gleich der Summe ihrer Teile ist (1 + 2 + 3 = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6). Deshalb wird sie auch die der Ehe genannt, denn die Aufgabe der Ehe bringt Kinder hervor, die ihren Eltern ähnlich sind. Mit dieser als erster Zahl setzt sich der harmonische Mittelwert zusammen, wenn man von 6 den epitritos (11⁄3) nimmt, 8, und das Doppelte von ihr, 12, nimmt: 6, 8, 12. Um denselben Bruchteil der Randwerte überragt die 8 und wird überragt – also 6, 8, 12 –, nämlich um ein Drittel. Auch der arithmetische Mittelwert (setzt sich 6 als ersten Zahl zusammen), wenn man von 6 das hemi­olios-Verhältnis (11⁄2) nimmt, 9, und das doppelte von ihr, 12. Um dieselbe Zahl überragt die 9 die Randwert und wird überragt (nämlich um 3). Nimmt man sie (die 6) selbst, macht sie die Mitte in der geometrischen Proportion, wenn wir die Hälfte davon nehmen, 3, und das Doppelte, 12, erhalten wir die geometrische Proportion 3, 6, 12. Um dasselbe Verhältnis überragt die 6 die Randwerte und wird überragt, nämlich um das Doppelte. Hebdomade (46) Auch die Hebdomade (7), eine andere Zahl der Dekade, ist mit bewundernswertem Potential ausgestattet: Sie ist die einzige, die keine in der Dekade enthaltene Zahl erschafft und aus keiner von ihnen erschaffen wird, was die Pythagoreer dazu bewog, ihr den Namen Athene zu geben, da diese Göttin nicht von einer Mutter geboren wurde und auch keine Mutter war. Diese Zahl ist aus keiner Vereinigung entstanden und vereinigt sich mit nichts. Unter den Zahlen, die in der Dekade enthalten sind, erschaffen einige und einige werden erschaffen, etwa 4 (multipliziert) mit 2 erschafft 8 und wird von 2 erschaffen. Andere werden erschaffen, doch erschaffen sie nichts, wie 6, die aus 2 und 3 erschaffen wird, aber keine der Zahlen der Dekade erschafft. Andere erschaffen, aber werden nicht erschaffen, wie 3 und 5, die nicht durch irgendeine Zahlenkombination erschaffen werden, sondern erschaffen: 3 (erschafft) die 9 und die 6, die letztere mit 2; 5 erschafft mit 2 die 10 selbst.

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Theon von Smyrna

[104]

μόνος δὲ ὁ ζ' οὔτε συνδυασθείς τινι γεννᾷ τινα τῶν ἐν τῇ δεκάδι οὔτε ἐκ συνδυασμοῦ γεννᾶται. ἑπόμενος δὲ τῇ φύσει καὶ ὁ Πλάτων ἐξ ἑπτὰ ἀριθμῶν συνίστησι τὴν ψυχὴν ἐν τῷ Τιμαίῳ. ἡμέρα μὲν γὰρ καὶ νύξ, ὥς φησι Ποσειδώνιος, ἀρτίου καὶ περιττοῦ φύσιν ἔχουσι· μὴν δὲ καθ’ ἑβδομάδας τέσσαρας συμπληροῦται, τῇ μὲν πρώτῃ ἑβδομάδι διχοτόμου τῆς σελήνης ὁρωμένης, τῇ δὲ δευτέρᾳ πλησι­σελήνου, τῇ δὲ τρίτῃ διχοτόμου, πάλιν δὲ τῇ τετάρτῃ σύνοδον ποιουμένης πρὸς ἥλιον καὶ ἀρχὴν ἑτέρου μη[104]νός. αἵ τε αὐξήσεις καθ’ ἑβδομάδα. τὸ γοῦν βρέφος δοκεῖ τελειοῦσθαι ἐν ἑπτὰ ἑβδομάσιν, ὡς Ἐμπε­δοκλῆς αἰνίττεται ἐν τοῖς Καθαρμοῖς. ἔνιοι δέ φασι τὰ ἄρρενα ἐν πέντε ἑβδομάσι τελειοῦσθαι, γόνιμα δὲ γίνεσθαι ἐν ἑπτὰ μησί, γενόμενα δὲ ἐν ἑπτὰ μησὶν ὀδοντοφυεῖν, ἐκβάλλειν τε τοὺς ὀδόντας ἐν ἑπτὰ ἔτεσι. σπέρμα δὲ καὶ ἥβη ἐν δευτέρᾳ ἑβδομάδι· γένεια δὲ ὡς ἐπίπαν ἐν τρίτῃ καὶ τὴν εἰς μῆκος αὔξην ἀπολαμβάνει, τὴν δ’ εἰς πλάτος ἐν τετάρτῃ ἑβδομάδι. αἵ τε κρίσεις τῶν νόσων ἐφ’ ἡμέρας ἑπτά, καὶ ἡ βαρυτέρα κατὰ πάντας τοὺς περιοδικοὺς πυρετοὺς εἰς τὴν ἑβδόμην ἀπαντᾷ, καὶ ἐν τριταίῳ δὲ καὶ ἐν τεταρταίῳ. ἀπὸ τροπῶν δὲ ἐπὶ τροπὰς μῆνες ἑπτά· τό τε πλῆθος τῶν πλανωμένων ἑπτά· καὶ ἀπὸ ἰσημερίας ἐπὶ ἰσημερίαν μῆνες ἑπτά· καὶ πόροι δὲ κεφαλῆς ἑπτά· καὶ σπλάγχνα ἑπτά, γλῶσσα, καρδία, πνεύμων, ἧπαρ, σπλὴν, νεφροὶ δύο· Ἡρό­φιλος δὲ τὸ τῶν ἀνθρώπων ἔντερον πηχῶν εἶναί φησι κη', ὅ ἐστι τέσσαρες ἑβδομάδες· οἵ τε εὔριποι τὸ πλεῖστον ἑπτάκις τῆς ἡμέρας μεταβάλλουσιν.

(47) ἡ δὲ ὀγδοάς, ἥτις ἐστὶ πρῶτος κύβος, συντίθεται ἔκ τε μονάδος ‹καὶ ἑβδομάδος›. ἔνιοι δέ φασιν ὀκτὼ τούς [105] πάντων κρατοῦντας εἶναι θεούς, ὡς καὶ ἐν τοῖς Ὀρφικοῖς ὅρκοις ἔστιν εὑρεῖν·

Teil II (Musik), Abschnitt 47

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7 ist die einzige Zahl, die weder mit einer anderen Zahl vereinigt eine der Zahlen der Dekade erschafft noch aus Vereinigung erschaffen wird. Platon stattet im Timaios (35b), der Natur folgend, die Seele mit sieben Zahlen aus. Tag und Nacht, sagt Poseidonios (Frg. 392), haben die Natur des Geraden und des Ungeraden. Der Monat besteht aus vier Hebdomaden; in der ersten Hebdomade erscheint der Mond zweigeteilt, in der zweiten als Vollmond, in der dritten zweigeteilt; in der vierten wiederum macht er eine Begegnung mit der Sonne und den Anfang eines neuen Monats, um in der folgenden Hebdomade zuzunehmen. In sieben Hebdomaden scheint der Fötus seine Vollkommenheit zu erreichen, wie Empedokles (Frg. 31 B 153a) in seinen Katharmoi andeutet. Manche sagen, dass männliche (Föten) in fünf Hebdomaden vollendet sind, aber in sieben Monaten geburtsreif werden. Geboren bekommen sie in sieben Monaten Zähne; in sieben Jahren werfen sie die Zähne wieder ab. Der Samen und die Pubertät erscheinen in der zweiten Hebdomade, und oft ist es in der dritten, dass der Bart zu wachsen beginnt. Dann erreicht der Mensch auch seine volle Größe, aber erst in der vierten (Hebdomade) erwirbt er seine Beleibtheit. Die Krisentage von Krankheiten sind nach sieben Tagen, am siebten ist auch der schwerste Tag bei allen periodischen Fiebern, auch beim Drei- und Viertagesfieber. Von einer Sonnenwende bis zur anderen sind es sieben Monate, und die Planeten sind sieben an der Zahl. Ähnlich werden sieben Monate von einer Tagundnachtgleiche zur anderen gezählt. Der Kopf hat sieben Öffnungen. Es gibt sieben Eingeweide, die Zunge, das Herz, die Lungen, die Leber, die Milz und die zwei Nieren. Herophilos sagt, dass der Darm des Menschen 28 Ellen lang ist, das heißt vier Hebdomaden. Schließlich kehrt in den meisten Meerengen die Ebbe siebenmal am Tag die Richtung um. Ogdoade (47) Die Ogdoade, die der erste Würfel ist, setzt sich aus der Monade und der Hebdomade zusammen. Manche sagen, dass es acht Hauptgötter im Universum gibt, wie es auch in den Orphischen Eiden zu finden ist:

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[106]

ναὶ μὴν ἀθανάτων γεννήτορας αἰὲν ἐόντων πῦρ καὶ ὕδωρ γαῖάν τε καὶ οὐρανὸν ἠδὲ σελήνην ἠέλιόν τε Φανῆ τε μέγαν καὶ νύκτα μέλαιναν.

ἐν δὲ Αἰγυπτιακῇ στήλῃ φησὶν Eὔανδρος εὑρίσκεσθαι γραφὴν βασιλέως Κρόνου καὶ βασιλίσσης Ῥέας· πρεσβύτατος βασιλεὺς πάντων Ὄσιρις θεοῖς ἀθανάτοις πνεύματι καὶ οὐρανῷ καὶ γῇ καὶ νυκτὶ καὶ ἡμέρῳ καὶ πατρὶ τῶν ὄντων καὶ ἐσομένων Ἔρωτι μνημεῖα τῆς αὐτοῦ ἀρετῆς ‹καὶ› βίου συντάξεως.

Τιμόθεός φησι καὶ παροιμίαν εἶναι τὴν »πάντα ὀκτὼ« διὰ τὸ τοῦ κόσμου τὰς πάσας ὀκτὼ σφαίρας περὶ γῆν κυκλεῖσθαι, καθά φησι καὶ Ἐρατοσθένης· ὀκτὼ δὴ τάδε πάντα σὺν ἁρμονίῃσιν ἀρήρει, [106] ὀκτὼ δ’ ἐν σφαίρῃσι κυλίνδετο κύκλῳ ἰόντα ‹…› ἐνάτην περὶ γαῖαν.

(48) ὁ δὲ τῶν ἐννέα πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἐν περιττοῖς. πρῶτοι γάρ εἰσιν ἀριθμοὶ δυὰς καὶ τριάς, ἡ μὲν ἀρτίων, ἡ δὲ περιττῶν· διὸ καὶ πρώτους τετραγώνους ποιοῦσιν, ὁ μὲν δ', ὁ δὲ θ'.

(49) ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν, ἐμπεριέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς αὑτῆς, ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ κινουμένου τε καὶ ἀκινήτου ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ· περὶ ἧς καὶ Ἀρχύτας ἐν τῷ περὶ τῆς δεκάδος καὶ Φιλόλαος ἐν τῷ περὶ φύσιος πολλὰ διεξίασιν.

Teil II (Musik), Abschnitt 48

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Von den Schöpfern der Dinge für immer unsterblich: Feuer und Wasser, Erde und Himmel, Mond und Sonne, die große Fackel und die schwarze Nacht. (Orphika, Frg. 300)

Und Euandros erzählt, dass auf einer ägyptischen Säule eine Aufschrift für König Kronos und Königin Rhea zu finden ist: Der älteste König von allen, Osiris, (weiht dies) den unsterblichen Göttern, dem Geist, dem Himmel und der Erde, der Nacht und dem Tag, dem Vater von allem, was ist und allem, was sein wird, und dem Eros als Denkmal seiner Herrlichkeit und Huldigung seines Lebens. (Orphika, Frg. 300n)

Timotheos erzählt auch, dass es das Sprichwort »alles ist acht« gebe, da die Kugeln der Welt, die sich um die Erde drehen, acht an der Zahl sind, wie auch Eratosthenes sagt: Auch diese acht Kugeln harmonieren miteinander, während sie ihre Umdrehungen machen. … die neunte um die Erde. (Eratosthenes, Frg. 397a Suppl. Hell.)

Enneade (48) Die Zahl 9 ist das erste Qua­drat unter den ungeraden Zahlen: Die beiden ersten Zahlen sind 2 und 3, eine gerade, die andere ungerade, was die beiden ersten Qua­drate ergib: 4 und 9. Dekade (49) Die Dekade vervollständigt die Zahlenreihe, die in sich die gesamte Natur enthält, gerade und ungerade, bewegt und unbewegt, gut und schlecht. Archytas (Frg. 47 B 5) in seinem Buch Über die Dekade und Philo­­laos in seiner Abhandlung Über die Natur (Frg. 44 B 11) schreiben ausführlich über dieses Thema.

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[107]

(50) ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὸν τῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον. μεσότητές εἰσι πλείονες, γεωμετρικὴ ἀριθμητικὴ ἁρμονικὴ ὑπεναντία πέμπτη ἕκτη. λέγονται δὲ καὶ ἄλλαι πάλιν ἓξ ταύταις ὑπεναντίαι. τούτων δέ φησιν ὁ Ἄδραστος μίαν τὴν γεωμετρικὴν κυρίως λέγεσθαι καὶ ἀναλογίαν καὶ πρώτην· ταύτης μὲν γὰρ αἱ ἄλλαι προσδέονται, αὐτὴ δ’ ἐκείνων οὐχί, ὡς ὑποδείκνυσιν ἐν τοῖς ἐφεξῆς. κοινότερον δέ φησι καὶ τὰς ἄλλας μεσότητας ὑπ’ ἐνίων καλεῖσθαι ἀναλογίας.

τῶν δὲ κυρίως λεγομένων ἀναλογιῶν, τουτέστι τῶν γεωμετρικῶν, αἱ μέν εἰσιν ἐν ῥητοῖς ὅροις τε καὶ λόγοις, ὡς ιβ' ϛ' γ', [107] εἰσὶ γὰρ ἐν λόγοις διπλασίοις, καὶ ὅσαι τοιαῦται [αἵτινές εἰσιν ἐν ἀριθμοῖς], αἱ δὲ ἐν ἀρρήτοις τε καὶ ἀλόγοις [ἤτοι μεγέθεσιν ἢ βάρεσιν ἢ χρόνοις ἤ τισιν ἄλλοις διπλασίοις ἢ τριπλασίοις ἤ τισι τοιούτοις πολλαπλασίοις ἢ ἐπιμορίοις]. γεωμετρικὴ μὲν γάρ, ὡς ἔφαμεν, μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη· ἀριθμητικὴ δὲ ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη, ἁρμονικὴ δὲ ἡ τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη.

περὶ ἰσότητος ὅτι ἀρχὴ ἀναλογιῶν καὶ πῶς γίνεται πολλαπλασία (51) δείκνυσι δὲ ὅτι ὁ τῆς ἰσότητος λόγος ἀρχηγὸς καὶ πρῶτός ἐστι καὶ στοιχεῖον πάντων τῶν εἰρημένων λόγων καὶ τῶν κατ’ αὐτοὺς ἀναλογιῶν· ἐκ πρώτου γὰρ τούτου πάντα συνίσταται καὶ εἰς τοῦτον ἀναλύεται τά τε τῶν λόγων καὶ τὰ τῶν ἀναλογιῶν.

Teil II (Musik), Abschnitt 50

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Mittelwerte (50) Kehren wir nun zu den Proportionen und zum Mittelwertverhältnis zurück. Es gibt mehrere Mittelwerte: den geometrischen, den arithmetischen, den harmonischen, das Gegenüber dazu, den fünften und den sechsten, zu denen sechs weitere hinzukommen, die ihnen gegenüberstehen. Aber von all diesen sagt Adrastos, dass einzig der geometrische im eigentlichen Sinne Proportion und erster genannt wird. Alle anderen brauchen ihn nämlich, während er die anderen nicht braucht, wie jener im Weiteren zeigt. Er sagt, dass auch die anderen Mittelwerte von einigen Proportionen allgemeiner genannt werden. Unter den im eigentlich Sinne so genannten Proportionen, das heißt unter den geometrischen, stehen einige in rationalen Werten und Verhältnissen, wie etwa 12, 6, 3 – die stehen ja in doppelten Zahlenverhältnissen –, andere hingegen in irrationalen Werten und Unverhältnissen. Der geometrische Mittelwert ist, wie wir gesagt haben, derjenige, der in dem gleichen Verhältnis die Randwerte überragt und (von ihnen) überragt wird (in moderner Notation gilt für die Randwerte a und b und den Mittelwert m also m⁄a = b⁄m), der arithmetische derjenige, der um dieselbe Zahl die Randwerte überragt und (von ihnen) überragt wird (m–a = b–m) und der harmonische derjenige, der um denselben Bruchteil die Randwerte überragt und (von ihnen) überragt wird (m–a⁄a = b–m/b). Dass die Gleichheit der Anfang der Proportionen ist und wie sie zum Vielfachen wird (51) Er (Adrastos) zeigt, dass das Verhältnis der Gleichheit das führende und erste ist und dass es ein Element aller genannten Verhältnisse und aller Proportionen daraus ist, denn von diesem ersten gehen alle aus und in ihm werden die Angelegenheiten der Verhältnisse und Proportionen aufgelöst.

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Theon von Smyrna

[108]

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησὶν ὅτι πᾶς μὲν λόγος ἢ κατὰ διάστημα ἢ κατὰ τοὺς ὅρους αὔξεται· τῇ δὲ ἰσότητι συμβέβηκε διαστήματος μὴ μετέχειν· εὔδηλον δὲ ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους μόνους αὐξηθήσεται. λαβόντες δὴ τρία μεγέθη καὶ τὴν ἐν τούτοις ἀναλογίαν κινήσομεν τοὺς ὅρους. καὶ δείξομεν ὅτι πάντα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἐξ ἀναλογίας ποσῶν τινων σύγκειται καὶ ἔστιν αὐτῶν ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον ἡ τῆς ἀναλογίας φύσις. τὰς δὲ ἀποδείξεις ὁ μὲν Ἐρατοσθένης φησὶ παραλείψειν. ὁ δὲ Ἄδραστος γνωριμώτερον δείκνυσιν, ὅτι τριῶν ἐκτεθέντων ὅρων ἐν ᾗ δήποτε ἀναλογίᾳ, ἐὰν [108] τρεῖς ἕτεροι ληφθῶσιν ἐκ τούτων πεπλασμένοι ὁ μὲν τῷ πρώτῳ ἴσος, ὁ δὲ σύνθετος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, ὁ δ’ ἑνὸς πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου, οἱ ληφθέντες οὕτως πάλιν ἔσονται ἀνάλογον.

καὶ ἐκ τῆς ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογίας γεννᾶται ἡ ἐν διπλασίοις ἀναλογία, ἐκ δὲ τῆς ἐν διπλασίοις ἡ ἐν τριπλασίοις, ἐκ δὲ ταύτης ἡ ἐν τετραπλασίοις, καὶ ἑξῆς οὕτως αἱ ἐν τοῖς ἄλλοις πολλαπλασίοις. οἷον ἐκκείσθω ἐν τρισὶν ὅροις ἴσοις ἐλαχίστοις ἀναλογία ἡ τῆς ἰσότητος, τουτ­έστιν ἐν μονάσι τρισίν. ἀλλὰ καὶ εἰλήφθωσαν ἄλλοι τρεῖς ὅροι τὸν εἰρημένον τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, ‹ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων› καὶ τρίτου· γενήσεται α' β' δ', ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ διπλασίῳ.

πάλιν ἐκ τούτων συνεστάτωσα ἕτεροι κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου· ἔσται α' γ' θ', ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ τριπλασίῳ. ἐκ δὲ τούτων ὁμοίως συστήσονται α' δ' ιϛ' ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ, καὶ ἐκ τούτων α' ε' πε' ἐν λόγῳ πενταπλασίῳ, καὶ ἑξῆς οὕτως ἐπ’ ἄπειρον ἐν τοῖς ἐχομένοις πολλαπλασίοις.

Teil II (Musik), Abschnitt 51

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Eratosthenes (Test. 8.4 Dörrie) aber sagt, dass jedes Verhältnis entweder um ein Intervall oder um Werte zunimmt: Für die Gleichheit fügt es sich, dass sie für kein Intervall empfänglich ist, und es ist offensichtlich, dass sie nur durch die Werte zunehmen kann. Wir nehmen drei Größen und die Proportion von ihnen, bewegen die Wert und zeigen, dass alles in der Mathematik aus Proportionen bestimmter Größen besteht und dass die Natur der Proportion deren Prinzip und Element ist. Eratosthenes sagt, dass er die Demonstrationen weglassen wird, aber Adrastos zeigt, dass mit drei gegebenen Werten (a, m, b) in üblicher Proportion (m⁄a = b⁄m oder ab = m²), wenn man drei andere (x, y, z) aus diesen ermittelte Werte nimmt, und zwar den ersten gleich dem ersten (x=a), den zweiten addiert aus dem ersten und dem zweiten (y=a+m), den dritten als einmal den ersten und zweimal den zweiten und den dritten (z=a+2m+b), dann die genommenen wieder so proportional sein werden (also x∙z = a∙(a+2m+b) = (a+m)² = y², denn a∙(a+2m+b) = a²+2am+ab = (a+m)², da nach der gegebenen Proportion ab = m² gilt). Aus der Proportion mit gleichen Werten wird also die Proportion mit doppelten Werten erschaffen, und aus der mit doppelten die mit dreifachen, aus dieser die mit vierfachen und so weiter die mit den anderen Vielfachen. Es sei etwa gegeben mit den drei kleinsten gleichen Werten, das heißt mit drei Monaden (1, 1, 1), die Proportion der Gleichheit. Wenn wir aber drei andere Werte in der genannten Weise nehmen: der erste (wird erschaffen) aus dem ersten, der zweite aus dem ersten und dem zweiten, der dritte aus dem ersten und zweimal dem zweiten und dem dritten; das ergibt das 1, 2, 4, was im doppelten Verhältnis steht. Aus diesen Werten bilden wir wiederum auf dieselbe Weise die nächsten. Der erste (wird erschaffen) aus dem ersten, der zweite aus dem ersten und dem zweiten, der dritte aus dem ersten und zweimal dem zweiten und dem dritten. Die Werte werden 1, 3, 9 sein, die im dreifachen Verhältnis stehen. Nach der gleichen Methode werden mit diesen Zahlen die Werte 1, 4, 16 gebildet, die im vierfachen Verhältnis stehen, und ebenso die Werte 1, 5, 25 im fünf‌fachen Verhältnis und so weiter bis ins Unendliche, der Reihenfolge der Vielfachen folgend.

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Theon von Smyrna

[109]

α' α' α' α' β' δ' α' γ' θ' α' δ' ιϛ' α' ε' κε' α' ϛ' λϛ' α' ζ' μθ' α' η' ξδ' α' θ' πα' α' ι' ρ'

[109] ἐκ δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀνάπαλιν τεθέντων [α' α' α'] καὶ ὁμοίως πλαττομένων οἱ ἐπιμόριοι λόγοι ‹καὶ αἱ› ἐν τούτοις συστήσονται ἀναλογίαι, ἐκ μὲν τῶν διπλασίων ἡμιόλιοι, ἐκ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι, ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι, καὶ ἀεὶ ἑξῆς οὕτως. οἷον ἔστω ἀναλογία κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἐν τρισὶν ὅροις, τοῦ μείζονος κειμένου πρώτου, καὶ πεπλάσθωσαν ἕτεροι τρεῖς ἐκ τούτων τὸν εἰρημένον τρόπον· δ' β' α' οἱ δὲ ἐξ αὐτῶν γενήσονται δ' ϛ' θ'· γίνεται ἀνάλογον ἐν ἡμιολίοις. πάλιν ἔστωσαν τρεῖς ὅροι ἀνάλογον ἐν τριπλασίοις θ' γ' α'· συστή­σονται τὸν αὐτὸν τρόπον ἐκ τούτων ὅροι τρεῖς ἀνάλογον ἐν ἐπιτρίτοις θ' ιβ' ιϛ'. ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων συστήσονται ἐν ἐπιτετάρτοις ιϛ' κ' κε', καὶ οὕτως ἀεὶ ἐκ τῶν ἐχομένων οἱ ἑξῆς ὁμώνυμοι. δ' β' α' δ' ϛ' θ' θ' γ' α' θ' ιβ' ιϛ' ιϛ' κ' κε' κε' λ' λϛ' λϛ' μβ' μθ' μθ' νϛ' ζδ' ξδ' οβ' πα' πα' ϙ' ρ'

Teil II (Musik), Abschnitt 51

201

1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 4 16 1 5 25 1 6 36 1 7 49 1 8 64 1 9 81 1 10 100

Aus den umkehrt angeordneten und ebenso ausgebreiteten Vielfachen werden die epimorios-Verhältnisse und die Proportionen damit zusammengestellt: Aus den Doppelten die hemiolios-Verhältnisse (11⁄2), aus den Dreifachen die epitritos-Verhältnisse (11⁄3), aus den Vierfachen die epitetartos-Verhältnisse (11⁄4) und so weiter. Es sei etwa eine Proportion nach dem doppelten Verhältnis in drei Werten gegeben ist, mit dem größte Wert als erstem gesetzt; wir bilden dann die nächsten drei nach diesen in der genannten Weise: 4, 2, 1; daraus entstehen 4, 6, 9; es entsteht also eine hemiolios-Proportion (11⁄2). Wiederum seien gegeben drei Werte in dreifacher Proportion: 9, 3, 1. Daraus werden auf dieselbe Weise zusammengestellt drei Werte in epitritos-Proportion (11⁄3), 9, 12, 16; aus den Vierfachen dann in epitetartos-Proportion (11⁄4), 16, 20, 25 und so weiter, immer aus der gegebenen (Proportion) das gleichnamige (epimorios-Verhältnis). 4 2 1 4 6 9 9 3 1 9 12 16 16 20 25 25 30 36 36 42 49 49 56 64 64 72 81 81 90 100

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Theon von Smyrna

[110]

ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τ’ ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι, πάλιν δ’ ἐκ τῶν ἐπιμερῶν ἕτεροί τε ἐπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς·

ὧν τὰ μὲν πλεῖστα παραλειπτέον οὐκ ἀναγκαῖα ὄντα, μικρὰ δὲ θεωρητέον. ἐκ μὲν γὰρ τῆς ἐν ἡμιολίοις ἀναλογίας τὸν εἰρημένον τρόπον ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἀρχομένων ὅρου συνίσταται ἀναλογία ἐν ἐπιμερέσι λόγοις δισεπιτρίτοις· οἷον [110] θ' ϛ' δ'· ἐκ δὲ τούτων κατὰ τὴν εἰρημένην μέθοδον συνίσταται θ' ιε' κε'. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἀρχομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία, τουτ­έστιν ἡ διπλασιημιόλιος. οἷον ἐκκείσθω δ' ϛ' θ'· ἐκ τούτων κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον δ' ι' κε'.

ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτοις ἀπὸ μὲν τοὺ μείζονος ἀρχομένων ὅρου ἔσται ἐπιμερὴς ἀναλογία ἡ τρισεπιτέταρτος. οἷον ἐκ τῆς τῶν ιϛ' ιβ' θ' ἔσται ιϛ' κη' μθ'. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρχομένων ὅρου ἔσται πολλα­ πλασιεπιμόριος ἀναλογία ‹ἡ› διπλασιεπίτριτος ἐν τοῖς θ' κα' μθ'. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ‹ἀρχομένων› ἐπιμερὴς ἔσται ἀναλογία ἡ τετράκις ἐπίπεμπτος· οἷον [ὁ] ἐκ τῆς κε' κ' ιϛ' ἔσται κε' με' πα'. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρχομένων ἔσται πολλα­πλασιεπιμόριος ἡ διπλασιεπιτέταρτος· ‹οἷον› ἀπὸ τῶν ιϛ' κ' κε' ἔσται ἡ ἐν τοῖς ιϛ' λϛ' πα'. καὶ ἡ τάξις οὕτω πρόεισιν ἐπ’ ἄπειρον. καὶ ἀπὸ τούτων δὲ ἄλλοι πλάσσονται κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον, περὶ ὧν οὐκ ἀναγκαῖον μηκύνειν τὸν λόγον.

ὅτι ἀναλύονται αἱ ἀναλογίαι εἰς ἰσότητα (52) πᾶσαι δ’ αἱ τοιαῦται ἀναλογίαι καὶ οἱ ἐν αὐταῖς λόγοι πάντες, καθάπερ συνεστᾶσιν ἐκ πρώτου τοῦ τῆς ἰσότητος λόγου, οὕτως καὶ ἀναλύονται εἰς ἔσχατον τοῦτον. ἂν γὰρ ἐξ ὁποιασοῦν ἀναλογίας ἐν τρισὶν ὅροις ἀνίσοις οὕτως ἀφελόντες ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου τὸν ἐλάχιστον, ἀπὸ δὲ τοῦ μεγίστου τόν τε ἐλάχιστον καὶ δύο τοιούτους ὁποῖος ἐλείφθη τοῦ μέσου ἀφαιρεθέντος ἀπ’ [111] αὐτοῦ τοῦ ἐλαχίστου

Teil II (Musik), Abschnitt 52

203

Aus den epimorios-Verhältnissen (entstehen) die epimeres-Verhältnisse und die Vielfach-epimeres-Verhältnisse und wiederum aus den epimeres-Verhältnissen andere epimeres- und Vielfach-epimeres-Verhältnisse. Wir können die meisten dieser Verhältnisse auslassen, da sie nicht notwendig sind, ein wenig aber sollten wir sie in Betracht ziehen. Aus der hemiolios-Proportion (11⁄2) wird auf die genannte Weise dann, wenn man mit dem größten Wert beginnt, eine Proportion mit dem epi­meres-Verhältnis dis-epitritos (12⁄3) zusammengestellt; es wird etwa aus 9, 6, 4 nach der genannten Methode (des Adrastos) zusammengestellt 9, 15, 25; dann, wenn man mit dem kleinsten Wert beginnt, wird es eine Vielfach-epimorios-Proportion, nämlich doppel-hemiolios (21⁄2) ist. Ein Beispiel: Gegeben sei 4, 6, 9; daraus wird nach derselben Methode 4, 10, 25. Und aus dem im epitritos-Verhältnis (11⁄3) wird, wenn man mit dem größten Wert beginnt, es als epimeres-Proportion das tris-epitetartos (13⁄4) geben, so etwa 16, 12, 9, was 16, 28, 49 ergibt. Wenn man mit dem kleinsten Wert beginnt, hat man als Vielfach-epimorios-Verhältnis doppel-epitritos (21⁄3) in den Werten 9, 21, 49. Aus dem epitetartos-Verhältnis (11⁄4) wird, wenn man mit dem größten Wert beginnt, als epimeres-Verhältnis das vierfache epi­pemptos (11⁄5) gefunden. Ein Beispiel: 25, 20, 16 ergibt 25, 45, 81. Wenn man mit dem kleinsten beginnt, wird es das Vielfach-epimorios-Verhältnis (hier121⁄4). Ein Beispiel: Aus 16, 20, 25 wird 16, 36, 81. Und diese Anordnung geht so ins Unendliche. Aus diesen werden andere gebildet nach demselben Verhältnis, über die jetzt mehr zu sagen nicht notwendig ist. Dass Proportionen in Gleichheit aufgelöst werden (52) So wie sich alle diese Proportionen und alle ihre Verhältnisse aus dem ersten Verhältnis der Gleichheit zusammensetzen, so werden auch sie darin endgültig aufgelöst. Wenn irgendeine Proportion von drei ungleichen Werten (x, y, z) gegeben ist, subtrahieren wir ja vom mittleren den kleinsten ( y–x ) und vom größten den kleinsten sowie zweimal so viel wie übrig blieb vom mittleren nach Subtraktion des kleinsten ( z–x–2(y–x) ). Wenn wir als nächstes die so

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Theon von Smyrna

[112]

τοὺς γενομένους τάξωμεν ἐφεξῆς, πρῶτον μὲν αὐτὸν τὸν ἐλάττονα, ἔπειτα τὸν ἀπὸ τοῦ μέσου λειφθέντα καὶ τελευταῖον τὸν ἀπολειφθέντα τοῦ ἐσχάτου, ἡ διαλυθεῖσα οὕτως ἀναλογία ἀναλυθήσεται εἰς τὴν πρὸ αὐτῆς ἐξ ἧς συνέστη. τούτου δ’ ἀεὶ γινομένου ἐλεύσεται ἡ ἀνάλυσις ἐπ’ ἐσχάτην τὴν τῆς ἰσότητος ἀναλογίαν, ἐξ ἧς πρώτης ἅπασαι συνέστησαν· αὐτὴ δὲ οὐκέτι εἰς ἄλλην, ἀλλὰ μόνον εἰς τὸν τῆς ἰσότητος λόγον.

Ἐρατοσθένης δὲ ἀποδείκνυσιν, ὅτι καὶ τὰ σχήματα πάντα ἔκ τινων ἀναλογιῶν συνέστηκεν ἀρχομένων τῆς συστάσεως ἀπὸ ἰσότητος καὶ ἀναλυομένων εἰς ἰσότητα· περὶ ὧν τὰ νῦν λέγειν οὐκ ἀναγκαῖον.

περὶ σχημάτων (53) τὰ δὲ αὐτὰ εὑρεθήσεται καὶ ἐπὶ σχημάτων. ὧν πρῶτόν ἐστιν ἡ στιγμή, ὅ ἐστι σημεῖον ἀμέγεθες καὶ ἀδιάστατον, γραμμῆς πέρας, οἷον μονὰς θέσιν ἔχουσα. τοῦ δὲ μεγέθους τὸ μὲν ἐφ’ ἓν διάστατόν τε καὶ διαίρετον γραμμή, μῆκος οὖσα ἀπλατές· τὸ δ’ ἐπὶ δύο ἐπίπεδον, μῆκος ἔχον καὶ πλάτος· τὸ δ’ ἐπὶ τρία στερεόν, μῆκός τε καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον. περιέχεται δὲ καὶ περαίνεται τὸ μὲν στερεὸν ὑπὸ ἐπιπέδων, τὸ δ’ ἐπίπεδον ὑπὸ γραμμῶν, ἡ δὲ γραμμὴ ὑπὸ στιγμῶν.

τῶν δὲ γραμμῶν εὐθεῖα μέν ἐστιν ὀρθὴ καὶ οἷον τεταμένη, ἥτις δύο δοθέντων σημείων μεταξὺ ἐλαχίστη ἐστὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν καὶ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς ση[112]μείοις κειμένη· καμπύλη δὲ ἡ μὴ οὕτως ἔχουσα. διαφέρει δὲ καὶ ἐπίπεδον ἐπιφανείας παραπλησίως. ἐπιφάνεια μὲν γάρ ἐστι παντὸς στερεοῦ σώματος κατὰ δύο διαστάσεις μήκους καὶ πλάτους ἐπιφαινόμενον πέρας. ἐπίπεδον δέ ἐστιν ὀρθὴ ἐπιφάνεια· ἧς ἐπειδὰν δύο σημείων ἅψηται εὐθεῖα, ὅλη αὐτῷ

Teil II (Musik), Abschnitt 53

205

erhaltenen Werte in eine Reihenfolge bringen, haben wir als ersten denselben kleinsten Wert, dann (als zweiten) den Rest des mittleren und als letzten den Rest des größten. Die so aufgelöste Proportion hat sich aufgelöst in die vor ihr (a, m, b; s. o. II 51 S. 199), aus der sie zusammengesetzt worden war (erster Wert x=a; zweiter Wert y– x=a+m–a=m; dritter Wert z–x–2(y–x)=a+2m+b–a-2m=b). Wenn diese Aufteilung bis zum Ende wiederholt wird, so wird man zur Proportion der Gleichheit kommen, aus der als erster alle Proportionen zusammengestellt worden sind. Sie selbst kann nicht in eine andere aufgelöst werden, sondern nur in das Verhältnis der Gleichheit. Eratosthenes (Test. 8.5 Dörrie) zeigt, dass alle Formen aus irgendwelchen Proportionen resultieren, und dass man, um sie zu konstruieren, von der Gleichheit ausgehen muss, und dass sie sich in Gleichheit auf‌lösen. Es ist aber nicht notwendig, dass wir jetzt zu diesem Thema mehr sagen. Formen (Punkt, Linie, Fläche) (53) Wir werden die gleichen Ergebnisse in den Formen finden. Die erste davon ist die Spitze, die ein Punkt ohne Dimension und ohne Ausdehnung ist, die Grenze einer Linie ist und den gleichen Platz hält wie die Monade in Zahlen. Von den Dimensionen gibt es in einer einzigen Ausdehnung und Einteilung die Linie, die eine Länge ohne Breite ist, in zwei (Ausdehnungen und Einteilungen) die Fläche, die Länge und Breite hat und in drei den Körper, der Länge, Breite und Höhe hat. Umgeben und begrenzt ist der Körper durch Flächen, die Fläche durch Linien und die Linie durch Spitzen. Unter den Linien ist die Strecke diejenige, die gerade und wie gespannt ist und welche zwischen zwei gegebenen Punkten die kürzeste von denen ist, welche die gleichen Grenzen haben und die gleichmäßig zwischen diesen ihren Punkten liegt; die gebogene Linie ist diejenige, welche diese Eigenschaft nicht hat. Ähnlich unterscheiden sich Ebene und Oberfläche. Die Oberfläche ist ja die sichtbare Grenze jedes festen Körpers in den zwei Ausdehnungen Länge und Breite, die Ebene die gerade Oberfläche, so dass, wenn eine Strecke sie in zwei Punkten berührt, sie ganz mit ihr zusammenfällt. Strecken sind

  206

Theon von Smyrna

[113]

ἐφαρμόζεται. παράλληλοι δέ εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν, ἀλλὰ τηροῦσιν ἐν παντὶ τὴν διάστασιν. τῶν δὲ σχημάτων ἐπίπεδα μέν εἰσι τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς· καὶ εὐθύγραμμα μὲν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, οὐκ εὐθύγραμμα δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ εὐθυ­γράμμων σχημάτων τὰ μὲν τρισὶ περιεχόμενα πλευραῖς τρίπλευρα καλεῖται, τὰ δὲ τέτταρσι τετράπλευρα, τὰ δὲ πλείοσι πολύγωνα. τῶν δὲ τετραπλεύρων τὰ παραλλήλους ἔχοντα τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἑκατέρας παραλληλόγραμμα καλεῖται. τούτων δὲ ὀρθογώνια μὲν τὰ τὰς γωνίας ἔχοντα ὀρθάς· ὀρθαὶ δέ εἰσι γωνίαι, ἅστινας εὐθεῖα ἐπ’ εὐθείας ἐφεστῶσα δύο ἴσας παρ’ ἑκάτερα ἀποτελεῖ. τῶν δὲ ὀρθογωνίων παραλληλογράμμων ἕκαστον περιέχεσθαι λέγεται ἰδίως ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν. καὶ τῶν τοιούτων τὰ μὲν τὰς τέσσαρας πλευρὰς ἴσας ἔχοντα ἰδίως λέγεται τετράγωνα, τὰ δὲ μὴ τοιαῦτα ἑτερομήκη.

περὶ στερεῶν (54) ὁμοίως δὲ καὶ τῶν στερεῶν τὰ μὲν ὑπὸ ἐπιπέδων παραλληλογράμμων πάντων ἓξ ὄντων περιεχόμενα παρ[113]αλληλ­επίπεδα καλεῖται, τὰ δὲ καὶ ὑπὸ ὀρθογωνίων τούτων ὀρθογώνια. τούτων δὲ τὰ μὲν πάντη ἰσόπλευρα, τουτ­έστιν ἴσον ἔχοντα τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, ὑπὸ τετραγώνων ἴσων πάντων περιεχόμενα, κύβοι· τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον ἔχοντα, τουτέστι τὰς βάσεις τετραγώνους, τὸ δὲ ὕψος ἔλαττον, πλινθίδες· τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον, τὸ δὲ ὕψος μεῖζον, δοκίδες· τὰ δὲ πάντη ἀνισόπλευρα σκαληνά.

Teil II (Musik), Abschnitt 54

207

parallel, wenn sie, auf derselben Ebene bis ins Unendliche verlängert, sich nicht treffen, sondern immer den gleichen Abstand zwischen sich beibehalten. Unter den Formen sind die ebenen solche, in denen alle Linien in derselben Ebene liegen. Geradlinige Formen sind von Strecken umgeben, nicht geradlinige Formen haben diese Eigenschaft nicht. Unter den ebenen und geradlinigen Formen werden diejenigen, die von drei Seiten umgeben sind, Dreiecke genannt, die von vier (Seiten umgebenen) Vierecke und die von mehreren (Seiten umgebenen) Vielecke. Unter den Vierecken werden diejenigen, die parallele, jeweils gegenüberliegende Seiten haben, Parallelogramme genannt. Unter diesen sind Rechtecke diejenigen, die rechte Winkel haben; Winkel sind rechte Winkel, wenn eine Strecke, die auf eine andere Strecke trifft, mit dieser zwei benachbarte gleiche Winkel bildet. Unter den rechteckigen Parallelogrammen wird jedes im eigentlichen Sinn so (als Rechteck) bezeichnet, wenn es von Seiten umgeben ist, die rechte Winkel bilden, und unter diesen (Rechtecken) werden diejenigen, die vier gleiche Seiten haben, im eigentlichen Sinn Vier-Ecke (Qua­ drate) genannt; diejenigen, die nicht so beschaffen sind, nennt man hetero-mekes (s. o. I 17). Körper (54) Ebenso heißen unter den Körpern diejenigen, die von insgesamt sechs ebenen Parallelogrammen umgeben sind, Spate (parallel-epi­ peda), die von Rechtecken umgebenen Quader (orthogonia). Unter diesen heißen diejenigen, die ganz gleichseitig sind – das heißt: die Länge, die Breite und die Höhe sind gleich – und von lauter gleichen Qua­draten umgeben sind, Würfel, diejenigen, die zwar die gleiche Länge und Breite haben – das heißt: qua­dratische Grundflächen –, aber eine kleinere Höhe, Sockel (s. o. I 29) und diejenigen, zwar die gleiche Länge und Breite haben, aber eine größere Höhe, Balken. Die an allen Seiten Ungleichen heißen ungleichseitig (skalenos; s. o. II 42).

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Theon von Smyrna

[114]

ἀκριβέστερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων λεκτέον, ἐπειδὴ καὶ ἀναγκαιοτάτη εἰς τὰ Πλατωνικὰ ἡ τούτων θεωρία. ἁπλῶς μὲν οὖν μεσότης ἐστίν, ἐπειδὰν δύο ὅρων ὁμογενῶν ἀνίσων μεταξύ τις ὁμογενὴς ἕτερος ὅρος ληφθῇ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ πρώτου καὶ μείζονος ὅρου παρὰ τὸν ληφθέντα πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα, οὕτως τὸν πρῶτον ὅρον ἤτοι πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρός τινα τῶν ἄλλων ἢ ἀνάπαλιν τὸν ἐλάττονα πρός τινα τῶν ἄλλων.

τίς ἡ ἀριθμητικὴ μεσότης; (55) ἐπὶ μέρους δὲ ἀριθμητικὴ μέν ἐστι μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχουσα, ὑφ’ οὗ δὲ ὑπερεχομένη· οἷον γ' β' α'. ὁ γὰρ τῶν β' ἀριθμὸς μονάδι ὑπερέχει τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδι ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ γ'. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ μεσότητι πρὸς τὴν τῶν ἄκρων σύνθεσιν ὑποδιπλασίῳ εἶναι· ἥ τε γὰρ τριὰς καὶ ἡ μονὰς συντεθεῖσαι τὴν τετράδα ἐποίησαν, ἥτις διπλασία ἐστὶ τοῦ μέσου ἀριθμοῦ τῆς δυάδος.

[114] γεωμετρικὴ μεσότης (56) γεωμετρικὴ δέ ἐστι μεσότης ἡ καὶ ἀναλογία κυρίως λεγομένη ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη, οἷον πολλαπλασίῳ ἢ ἐπιμορίῳ· οἷον α' β' δ. τά τε γὰρ δ' τῶν β' διπλάσια καὶ τὰ β' τοῦ ἑνὸς διπλάσια· καὶ πάλιν ἡ ὑπεροχὴ τῶν β' ἐστὶ τὸ ἕν ‹καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν δ' τὰ β',› ταῦτα δὲ ὁμοίως ἐξεταζόμενά ἐστιν ἐν διπλασίῳ λόγῳ. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων συντιθέμενον κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ. οἷον οἱ ἄκροι ἐπ’ ἀλλήλους πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τὸν δ'· ἅπαξ γὰρ δ' δ'· καὶ πάλιν ὁ β' ἐφ’ ἑαυτὸν λαμβανόμενος ποιεῖ τὸν δ'· δὶς γὰρ β' δ'· ὥστε ‹τὸ› ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου· α' β' δ'.

Teil II (Musik), Abschnitt 55

209

Mittelwerte (vgl. o. II 33) Wir müssen nun genauer über die Mittelwerte sprechen, deren Theorie für das Verständnis der Schriften Platons notwendig ist. Generell liegt ein Mittelwert vor, wenn man zwischen zwei gleichartigen ungleichen Werten einen anderen gleichartigen Wert nimmt, so dass der Überschuss des ersten und größten Werts über den genommenen in Beziehung zum Überschuss des mittleren Werts über den kleinsten so steht wie der erste Wert entweder in Beziehung zu sich selbst oder in Beziehung zu einem der beiden anderen oder wiederum der kleinste in Beziehung zu einem der beiden anderen. Was ist der arithmetische Mittelwert? (55) Insbesondere ist der arithmetische Mittelwert derjenige, der um dieselbe Zahl den einen Randwert überrag und vom anderen überragt wird, etwa 3, 2, 1. Die Zahl 2 überragt ja um eine Monade die 1 und wird um eine Monade von der 3 überragt. Für diesen Mittelwert fügt es sich, dass er von der Summ der Randwerte die Hälfte (das »Kehrdoppelte«; s. II 22) ist. Die Triade (3) mit der Monade (1) addiert macht ja die Tetrade (4), die das Doppelte der Dyade (2) ist, also der mittleren Zahl. Der geometrische Mittelwert (56) Der geometrische Mittelwert, auch die eigentliche Proportion genannt, ist derjenige, der um dasselbe Verhältnis überragt und überragt wird, etwa ein Vielfaches oder ein epimorios-Verhältnis, etwa 1, 2, 4. Es ist ja 4 das Doppelte von 2 und 2 das Doppelte von 1. Und wiederum gilt: Der Überschuss von 2 ist 1 und der Überschuss von 4  ist 2, und diese ebenso miteinander verglichen, stehen im doppelten Verhältnis zueinander. Für diese Proportion fügt es sich, dass das Produkt der Randwerte nach Multiplikation gleich dem Qua­drat des Mittelwertes ist. Etwa (bei 1, 2, 4) machen die Randwerte, miteinander multipliziert, 4 – einmal 4 ist ja 4 – und wiederum macht 2, mit sich selbst (mal)genommen, 4 – zweimal 2 ist ja 4. Das Produkt der Randwerte ist also gleich dem Qua­drat des Mittelwertes: 1, 2, 4.

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Theon von Smyrna

[115]

τίς ἡ ἁρμονικὴ μεσότης; (57) ἁρμονικὴ δέ ἐστιν ἀναλογία, ἐπειδὰν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὅν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν τρίτον, τὸν αὐτὸν ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴν ἔχῃ· οἷον ϛ' γ' β'· ἡ γὰρ ἑξὰς πρὸς τὴν δυάδα τριπλασία ἐστί· καὶ ἡ ὑπεροχὴ δὲ τῆς ἑξάδος πρὸς τὰ γ' τριὰς οὖσα τριπλασία ἐστὶ τῆς μονάδος, ἥτις ὑπεροχή ἐστι τῆς τριάδος συγκρινομένης πρὸς τὰ β'. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ, τὸν μέσον ὅρον τῷ αὐτῷ μέρει κατὰ τοὺς ἄκρους ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι· οἷον β' γ' ϛ'. καὶ γὰρ ὁ τῶν ϛ' τῷ ἡμίσει αὑτοῦ ὑπερέχει τῆς τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος. καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντεθέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολλαπλασιασθέντας διπλασίους ἂν εὕροιμεν τοῦ ἐκ τῶν ἄκρων ἀποτελου[115]μένου πολλαπλασίου. οἷον ϛ' καὶ β' η'· ταῦτα δὲ ὑπὸ τῆς τριάδος, ὅς ἐστι μέσος, πολλαπλασιασθέντα γίνεται κδ'· καὶ πάλιν δὶς ϛ' ιβ'· τούτων δὲ τὰ κδ' διπλάσια.

τίς ἡ ὑπεναντία τῇ ἁρμονικῇ; (58) ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ καλεῖται μεσότης, ὅταν ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου· οἷον ϛ' ε' γ'· τὰ μὲν οὖν ϛ' τῶν ε' μονάδι ὑπερέχει, τὰ δὲ ε' τῶν γ' δυσί· τὰ δὲ γ' τῶν ϛ' ὑποδιπλάσιά ἐστιν· ἀλλὰ καὶ ἡ μονὰς ὑπεροχὴ οὖσα τοῦ [τε] πρώτου ἀριθμοῦ ὑποδιπλασία ἐστὶ τῆς δυάδος ὑπεροχῆς οὔσης τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ.

τίς ἡ πέμπτη μεσότης; (59) ἡ δὲ πέμπτη μεσότης ἐστίν, ὅταν τριῶν ὅρων ὄντων ὅν ἂν ἔχῃ λόγον ὁ τρίτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου ὑπεροχήν· οἷον ε' δ' β' τὰ μὲν ε' τῶν δ' μονάδι ὑπερέχει, ἀλλὰ καὶ τὰ δ' τῶν β' δυάδι· ὑποδιπλάσια δὲ τὰ β' τῶν δ'· καὶ τὸ ἕν δὲ τῶν β' ὑποδιπλάσιον, ἅπερ ὑπεροχαί εἰσι τοῦ τε πρώτου καὶ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ.

Teil II (Musik), Abschnitt 57

211

Was ist der harmonische Mittelwert? (57) Eine harmonische Proportion entsteht, wenn bei drei vorgegebenen Werten der erste zum dritten in demselben Verhältnis steht, in dem der Überschuss des ersten (über den zweiten) zum Überschuss des zweiten (über den dritten) steht, etwa 6, 3, 2. Die 6 ist von 2 das Dreifache und der Überschuss von 6 über 3 ist 3, das Dreifache der Monade, die der Überschuss der Triade verglichen mit der 2 ist. Für dieses Verhältnis fügt es sich, dass der mittlere Wert um denselben Bruchteil im Beug auf die Randwerten überragt und überragt wird, etwa 2, 3, 6. Der Randwert 6 überragt ja um seine Hälfte die Triade, und die Dyade wird um ihre Hälfte von der Triade überragt. Wenn man außerdem die miteinander addierten Randwerte mit dem mittleren (Wert) addiert, erhält man das Doppelte des Produkts der Randwerte. So ist 6 und 2 ja 8, und 8 multipliziert mit der Triade, welche die Mitte ist, ergibt 24; zweimal 6 wiederum ist 12, dessen Doppeltes ist 24. Was ist das Gegenüber zum harmonischen (Mittelwert)? (58) Als Gegenüber zum harmonischen (Mittelwert) bezeichnet wird der Mittelwert, in dem sich so, wie sich der dritte Wert zum ersten verhält, auch der Überschuss des ersten (über den zweiten) zum Überschuss des zweiten (über den dritten) verhält, etwa 6, 5, 3. Die 6 überragt die 5 um eine Monade, die 5 die 3 um eine Dyade, die 3 ist von 6 die Hälfte (das »Kehrdoppelte«; s. II 22) und die Monade der Überschuss der ersten Zahl (über die zweite) ist die Hälfte von 2 ist, dem Überschuss der zweiten Zahl (über die dritte). Was ist der fünfte Mittelwert? (59) Der fünften Mittelwert entsteht, wenn bei drei bestehenden Werten das Verhältnis, das der dritte zum zweiten hat, dasselbe Verhältnis ist, das der Überschuss des ersten zum Überschuss des zweiten hat. Etwa bei 5, 4, 2 überragt die 5 die 4 um eine Monade und die 4 die 2 um eine Dyade. Es ist 2 die Hälfte von 4 und 1 die Hälfte von 2, was die Überschüsse der ersten und der zweiten Zahl sind.

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Theon von Smyrna

[116]

τίς ἡ ἕκτη μεσότης; (60) ἕκτη λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὡς ὁ δεύτερος πρὸς τὸν πρῶτον ἔχει, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου· οἷον ϛ' δ' α'· τὰ μὲν γὰρ ϛ' τῶν δ' δυσὶν ὑπερέχει, τὰ δὲ δ' τοῦ α' τρισίν· ἔστι δὲ δ' τῶν ϛ' ὑφημιόλια· καὶ ἡ δυὰς ὑπεροχὴ [116] οὖσα τῶν ϛ' ὑφημιολία ἐστὶ τῆς τριάδος ἥτις ἐστὶν ὑπεροχὴ τῆς τετράδος.

περὶ μὲν τούτων καὶ τῶν ταύταις ὑπεναντίων ἓξ μεσοτήτων ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν καὶ ἐπὶ πλέον εἴρηται· ἡμῖν δ’ ἐξαρκεῖ κατὰ τὸν Πυθαγορικὸν λόγον συνόψεως ἕνεκα τῶν μαθηματικῶν τυπωδῶς αὐτὰ ἠθροικέναι καὶ ἐπιτομικῶς.

πῶς εὑρίσκονται αἱ μεσότητες; (61) εὑρίσκονται δὲ αἱ μεσότητες κατὰ μὲν τὴν ἀριθμητικὴν ‹ἀνα­ λογίαν› οὕτως. τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα τὸ ἥμισυ προστιθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν μέσον, ἢ ἑκατέρου τῶν δοθέντων ἀριθμῶν τὰ ἡμίσεα συνθέντες τὸν συντεθέντα μέσον εὑρήκαμεν, ἢ τοῦ συνθέτου ἐξ ἀμφοῖν λαμβάνοντες τὸ ἥμισυ [ὥστε καὶ εἰς τὰ Πλατωνικὰ τὸ χρήσιμον ἀνευρεῖν]. προστετάχθω δύο ἀριθμῶν τῶν ιβ' καὶ ϛ' μέσον ὅρον λαβεῖν κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα. λαμβάνομεν τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ϛ'· ὧν ἥμισυ γ'. ταῦτα προσθῶμεν τῷ ἐλάττονι· γίνεται θ', ὅς ἐστι μέσος τῶν ιβ' καὶ ϛ', ἀριθμητικῶς τρισὶν ὑπερέχων καὶ ὑπερεχόμενος· ιβ' θ' ϛ'. πάλιν συνθῶμεν τοὺς ἐξ ἀρχῆς ἄκρους τὰ ιβ' καὶ τὰ ϛ'· γίνεται ιη'. ὧν ἥμισυ θ', ὅς ἐστι μέσος. κατὰ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν ἐπὶ μὲν ἀριθμῶν τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχομένου πλευρὰν τετράγωνον λαβόντες ταύτῃ ἕξομεν τὸν μέσον ὅρον. οἷον δεδόσθωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε κδ' καὶ ὁ ϛ'. προστε[117]τάχθω τούτων κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν τὸν μέσον ὅρον ἀνευρεῖν. πεπολλαπλασιάσθωσαν οἱ τεθέντες ἐπ’ ἀλλή-

Teil II (Musik), Abschnitt 60

213

Was ist der sechste Mittelwert? (60) Von sechstem Mittelwert spricht man, wenn bei drei gegebenen Werten sich so, wie sich der zweite zum ersten verhält, auch der Überschuss des ersten (über den zweiten) zu dem des zweiten (über den dritten) verhält, etwa 6, 4, 1. Die 6 überragt ja die 4 um eine Dyade, die 4 die 1 um eine Triade. Es ist 4 zu 6 das Kehr-hemiolios-Verhältnis (der Kehrwert von 11⁄2 ist 2⁄3) und die Dyade, der Überschuss von 6 (über 4), der Kehr-hemiolios der Triade, die der Überschuss der Tetrade ist. Die Pythagoreer haben sich viel mit diesen sechs Mittelwerten und ihren Gegenübern beschäftigt. Für uns ist es ausreichend, nach der Methode des Pythagoras, einen kurzen Abriss dieser Prinzipien versammelt zu haben, um die Darstellung der Mathematik zusammenzufassen. Wie findet man die Mittelwerte? (61) Man findet die Mittelwerte nach der arithmetischen Proportion wie folgt: Vom Überschuss des größten (Werts) über den kleinsten addiert man die Hälfte zum kleinsten und bekommt die Mitte oder man addiert die Hälften von jeder der gegebenen Zahlen und findet als Summe die Mitte oder man nimmt von der Summe aus beiden die Hälfte. Es sei (etwa) aufgegeben, von den zwei Zahlen 12 und 6 den mittleren Wert zu finden gemäß dem arithmetischen Mittelwert. Wir nehmen den Überschuss der größten (Zahl) über die kleinste, also 6; davon die Hälfte ist 3, dies addieren wir zur kleinsten, das ergibt 9, was die arithmetische Mitte von 12 und 6 ist, weil es um (je) eine Triade überragt und überragt wird, 12, 9, 6. Addieren wir wiederum die ursprünglichen Randwerte 12 und 6, ergibt sich 18, wovon die Hälfte 9 ist; das ist die Mitte. Nach der geometrischen Proportion nehmen wir die Qua­dratwurzel aus dem Produkt der Randwerte und haben den mittleren Wert. Falls etwa die beiden Zahlen 24 und 6 gegeben sind, zwischen denen wir den mittleren Wert der geometrischen Proportion finden sollen, multiplizieren wir die gegebenen (Zahlen) miteinander; das ergibt

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Theon von Smyrna

[118]

λους· γίνεται ρμδ'· τούτων εἰλήφθω πλευρὰ τετράγωνος· ἔσται ὁ ιβ', ὅς γίνεται μέσος· ἔστι γὰρ ὡς ὁ κδ' πρὸς ιβ', οὕτως τὰ ιβ' πρὸς ϛ' ἐν διπλασίῳ λόγῳ. ἀλλ’ ἂν μὲν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενος ᾖ τετράγωνος, ὁ ληφθεὶς οὕτως μέσος ὅρος ῥητὸς γίνεται καὶ μήκει σύμμετρος τοῖς ἄκροις ἐξ ὅλων μονάδων εὑρισκόμενος. ἐὰν δὲ μὴ ᾖ τετράγωνος ὁ περιεχόμενος ὑπὸ τῶν ἄκρων, ὁ μέσος ὅρος δυνάμει μόνον ἔσται σύμμετρος τοῖς ἄκροις. λαμβάνεται δὲ κοινότερον ἔν τε ἀριθμοῖς [καὶ] ῥητοῖς καὶ ἐν λόγοις καὶ μεγέθεσι [καὶ] συμμέτροις γεωμετρικῶς οὕτως. ἔστωσαν δύο ὅροι ὧν δεῖ μέσον ἀνάλογον λαβεῖν γεωμετρικῶς· οἷον αβ βγ καὶ ἐκκείσθωσαν ἐπ’ εὐθείας· καὶ περὶ ὅλην τὴν αγ γεγράφθω ἡμικύκλιον· καὶ ἀπὸ τοῦ β ἀνήχθω τῇ αγ πρὸς ὀρθὰς μέχρι τῆς περιφερείας ἡ βδ· αὕτη δὴ γίνεται μέση τῶν αβ βγ κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν. ἐπιζευχθεισῶν γὰρ τῶν αδ δγ ὀρθὴ γίνεται ἡ δ γωνία, ἐπεί ἐστιν ἐν ἡμικυκλίῳ· καὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τῷ αδγ κάθετος ἡ δβ· καὶ τὰ περὶ ταύτην τρίγωνα τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὅμοιά ἐστιν· ὥστε αἱ περὶ τὰς ἴσας αὐτῶν γωνίας πλευραὶ [118] ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ αβ πρὸς τὴν βδ, ἡ δβ πρὸς βγ· τῶν ἄρα αβ βγ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ βδ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

δ

α

β

γ

λείπεται δεῖξαι, πῶς κατὰ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν εὕροιμεν ἂν τὸν μέσον ὅρον. ἐὰν μὲν οὖν ἐν διπλασίῳ λόγῳ πρὸς ἀλλήλους δοθῶσιν οἱ ἄκροι, οἷον ὁ ιβ' καὶ ὁ ϛ', τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα οἷον τὰ ϛ' ποιήσαντες ἐπὶ τὸν ϛ' καὶ τὸν γενόμενον λϛ' παραβαλόντες παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων οἷον παρὰ τὰ ιη' καὶ τὸ πλάτος τῶν λϛ' οἷον τὰ β' προσθέντες τῷ ἐλάττονι, τουτέστι τῷ τῶν ϛ', ἕξομεν τὸ ζητούμενον. ἔσται γὰρ ὁ τῶν η' τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχων καὶ ὑπερεχόμενος, τουτέστι τῷ τῶν ἄκρων τρίτῳ· ιβ' η' ϛ'.

Teil II (Musik), Abschnitt 61

215

144. Davon nehmen wir die Qua­dratwurzel, das ist 12, was die Mitte ist. So wie 24 zu 12 steht, so steht auch 12 zu 6 in einem doppelten Verhältnis. Falls das Produkt der Randwerte ein Quadrat ist, wird der so erhaltene mittlere Wert rational und wir in der Länge in ganzen Monaden kommensurabel mit den Randwerten gefunden. Falls aber das Produkt der Randwerte kein Quadrat ist, wird der mittlere Wert nur potentiell mit den Randwerten kommensurabel sein. Meistens bestimmt man ihn in rationalen Zahlen und in Verhältnissen und kommensurablen Größen geometrisch wie folgt: Es seien zwei Werte, deren mittlere Proportion geometrisch zu bestimmen ist, etwa αβ und βγ, und sie sollen auf einer Strecke liegen. Um die gesamte (Strecke) αγ werde ein Halbkreis gezeichnet. Von β aus wird im rechten Winkel zu αγ bis zum Bogen die Strecke βδ geführt. Diese ergibt die mittlere (Strecke) von αβ und βγ in der geometrischen Proportion. Wenn nämlich αδ und δγ verbunden sind, ergibt sich ein rechter Winkel bei δ, weil er im Halbkreis ist. Im rechtwinkligen Dreieck αδγ ist δβ die Höhe; die (daran) anliegenden Dreiecke sind dem ganzen und einander ähnlich. Daher sind die Seiten an den gleichen Winkeln proportional, also wie αβ zu βδ, so βδ zu βγ, also ist die mittlere Proportion von αβ und βγ gleich βδ – was zu zeigen war.

Es bleibt nun zu zeigen, wie wir nach der harmonischen Proportion den mittleren Wert finden. Falls nun die Randwerte im doppelten Verhältnis zueinander gegeben sind, etwa 12 und 6, multiplizieren wir den Überschuss des größten über den kleinsten, also 6, mit 6, dividieren dann das Produkt, 36, durch die Summe der Randwerte, also durch 18, und addieren den Quotienten von 36 (und 18), also 2, zum kleinsten, das heißt 6, und erhalten das Gesuchte. Um denselben Bruchteil überragt 8 die Randwerte und wird überragt, nämlich um ein Drittel der Randwerte: 6, 8, 12.

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Theon von Smyrna

[119]

ἐὰν δ’ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ πρὸς ἀλλήλους δοθῶσιν οἱ ἄκροι, οἷον ὁ ιη' καὶ ὁ ϛ', τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ποιήσομεν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνεται ιβ' ἐπὶ ιβ', ἅ ἐστιν ρμδ'· ὧν ἥμισυ ὁ οβ', ὃν παραβαλόντες παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων οἷον τὰ κδ' τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς οἷον τὰ γ' [119] προσθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν ζητούμενον ὅρον μέσον τῶν ἐξ ἀρχῆς τὸν θ', ὃς ὑπερέχων ἔσται καὶ ὑπερεχόμενος ἡμίσει τῶν ἄκρων· ιη' θ' ϛ'. κοινότερον δ’ ἐπὶ πάντων τῶν δοθέντων ἀνίσων δύο ὅρων τὸν μέσον ἁρμονικῶς ληπτέον οὕτω. τὴν ὑπεροχὴν ποιητέον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα καὶ τὸν γενόμενον παραβλητέον παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων· ἔπειτα τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς προσθετέον τῷ ἐλάττονι. οἷον εἰλήφθωσαν δύο ὅροι ὁ ιβ' καὶ ὁ δ'· καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ιβ', τουτ­ έστιν η', ληφθήτω ἐπὶ τὸν ἐλάττονα, τουτέστι τὸν δ'· γίνεται λβ'· καὶ τὰ λβ' παραβλητέον παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων τὸν ιϛ'· καὶ προσθετέον τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς, τουτέστι τὰ β', τῷ ἐλάττονι, τουτέστι τῷ δ'· καὶ ἔσται ϛ' μεσότης ἁρμονικὴ τῶν ιβ' καὶ δ', τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη, τουτέστι τῷ ἡμίσει τῶν ἄκρων· ιβ' ϛ' δ'. ταῦτα μὲν τὰ ἀναγκαιότατα χρησιμωτάτων ἐν τοῖς προειρημένοις μαθήμασιν ὡς ἐν κεφαλαιώδει παραδόσει πρὸς τὴν τῶν Πλατωνικῶν ἀνάγνωσιν. λείπεται δὲ μνημονεῦσαι στοιχειωδῶς καὶ τῶν κατ’ ἀστρονομίαν.

Teil II (Musik), Abschnitt 61

217

Falls die Randwerte im dreifachen Verhältnis zueinander gegeben sind, etwa 18 und 6, multiplizieren wir den Überschuss des größten über den kleinsten mit sich selbst. Es ergibt zwölfmal 12, was 144 ist. Davon die Hälfte ist 72, das dividieren wir durch die Summe der Randwerte, also durch 24, und addieren den Quotienten der Division, also 3, zum kleinsten und erhalten den gesuchten mittleren Wert aus den ursprünglichen, nämlich 9, was die Randwerte überragt und (von ihnen) überragt wird, nämlich um die Hälfte: 18, 9, 6. Das allgemeinere harmonische Mittel von zwei beliebigen ungleichen gegebenen Werten nimmt man wie folgt: Den Überschuss multipliziert man mit dem kleinsten (Randwert); das Produkt dividiert man durch die Summe der Randwerte, dann addiert man den Quotienten der Division zum kleinsten (Randwert). Etwa nehmen wir die beiden Werte 12 und 4. Der Überschuss der 12, das ist 8, wird mit dem kleinsten, das ist 4, multipliziert; das ergibt 32. Die 32 dividiert man durch die Summe der Randwerte, 16, und addiert den Quotienten der Division, 2, zum kleinsten, 4. Es ist also 6 der harmonische Mittelwert von 12 über 4, der um denselben Bruchteil die Randwerte überragt und überragt wird, nämlich um die Hälfte der Randwert: 12, 6, 4. Dies ist, was an dem Notwendigsten als nützlichstes erschien bei den vorhin genannten Wissenschaften (mathemata) in einer summarischen Wiedergabe zum Nutzen der Platon-Lektüre. Es bleibt, elementar auch das über die Sache der Astronomie in Erinnerung zu rufen.

[120]

III

(1) ὅτι πᾶς ὁ κόσμος σφαιρικός, μέση δ’ αὐτοῦ ἡ γῆ, σφαιροειδὴς οὖσα καὶ αὐτή, κέντρου μὲν κατὰ τὴν θέσιν, σημείου δὲ κατὰ τὸ μέγεθος λόγον ἔχουσα πρὸς τὸ πᾶν, ἀνάγκη προκαταστήσασθαι πρὸ τῶν ἄλλων. ἡ μὲν γὰρ ἀκριβεστέρα τούτων ἀφήγησις μακροτέρας σκέψεως δεῖται, ὡς λόγων πλειόνων· ἐξαρκέσει δὲ πρὸς τὴν τῶν μελλόντων παραδοθήσεσθαι σύνοψιν μόνον μνημονεῦσαι τῶν ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου κεφαλαιωδῶς παραδοθέντων. ὅτι γὰρ σφαιρικὸς ὁ κόσμος καὶ ἡ γῆ σφαιρική, κέντρου μὲν κατὰ τὴν θέσιν, σημείου δὲ κατὰ τὸ μέγεθος πρὸς τὸ πᾶν λόγον ἔχουσα, δῆλον ἐκ τοῦ πάσας τὰς τῶν οὐρανίων ἀνατολάς ‹καὶ› δύσεις καὶ περιπολήσεις καὶ πάλιν ἀνατολάς κατὰ τοὺς αὐτοὺς γίνεσθαι τόπους τοῖς ἐπὶ τῶν αὐτῶν οἰκήσεων. δηλοῖ δὲ ταῦτα καὶ τὸ ἀπὸ παντὸς μέρους τῆς γῆς ἥμισυ μέν, ὡς πρὸς αἴσθησιν, τοῦ οὐρανοῦ μετέωρον ὑπὲρ ἡμᾶς ὁρᾶσθαι, τὸ δὲ λοιπὸν ἀφανὲς ὑπὸ γῆν, ἐπιπροσθούσης ἡμῖν τῆς γῆς, καὶ τὸ ‹ἐξ› ἁπάσης ὄψεως πάσας τὰς πρὸς τὸν ἔσχατον οὐρανὸν προσπιπτούσας εὐθείας ἴσας δοκεῖν. τῶν τε κατὰ διάμετρον ἄστρων ἐπὶ τῶν μεγίστων κύκλων κατὰ συζυγίας ἀεὶ θάτερον μὲν ἐπὶ ἀνατολῆς, θάτερον δὲ ἐπὶ δύσεως. κωνικὸν γὰρ ἢ κυλινδρικὸν ἢ πυραμοειδὲς ἢ τι ἕτερον στερεὸν σχῆμα παρὰ τὸ σφαιρικὸν τοῦ παντὸς ἔχοντος, κατὰ τῆς γῆς οὐκ ἂν ταῦτα ἀπήντα, ἀλλ’ ἄλλοτε μὲν πλεῖον ἄλλοτε δὲ ἔλαττον τὸ ὑπέργειον εὑρίσκετο τοῦ οὐρανοῦ καὶ τῶν πρὸς τοῦτον [121] ἀπὸ γῆς εὐθειῶν ἄνισον τὸ μέγεθος.

III (Astronomie) Einführung (1) Dass der gesamte Kosmos kugelförmig ist, dass in seiner Mitte die Erde, die auch selbst kugelförmig ist, in Bezug auf ihre Lage ein Verhältnis zum Universum als Zentrum, in Bezug auf ihre Dimension eines als Punkt hat, muss notwendigerweise vor allem anderen festgestellt werden. Die genauere Behandlung erfordert eigentlich eine größere Untersuchung und also auch mehr Bücher (logoi); es soll aber ausreichen, für einen Überblick der zu überliefernden Dinge nur an das zu erinnern, was von Adrastos summarisch überliefert worden ist. Dass der Kosmos kugelförmig ist, dass die Erde kugelförmig ist und in Bezug auf ihre Lage ein Verhältnis als Zentrum, in Bezug auf ihre Dimension als Punkt hat, ist offenkundig aus allen Auf- und Untergängen der Himmelskörper und aus ihren erneuten Aufgängen an denselben Orten für diejenigen, die an denselben Orten wohnen. Offenkundig macht dies auch, dass von jedem Teil der Erde aus nur die Hälfte des Himmels hoch über uns gesehen wird – wie er unserer Wahrnehmung gezeigt wird –, während das Übrige unter der Erde unsichtbar ist – da die Erde zwischen uns liegt –, ebenso auch, dass von jedem Blickpunkt aus alle geraden Linien, die an die Enden des Himmels fallen, gleich erscheinen. Darüber hinaus geht von zwei Sternen, die sich in Konjunktion (syzygia) auf einem Großkreis (dem größtmöglichen Kreis auf einer Kugeloberfläche) diametral gegenüberstehen, der eine auf, der andere unter. Hätte das Universum eine konische, zylindrische, pyramidenförmige oder irgendeine andere Körper-Form, die nicht kugelförmig ist, würde all dies aus der Sicht der Erde nicht geschehen; dann wäre der Teil über der Erde manchmal größer und manchmal kleiner und die Größe der geraden Linien von der Erde zu ihm wäre ungleich.

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Theon von Smyrna

[122]

ὅτι ἡ ‹γῆ› σφαιροειδής (2) τό τε τῆς γῆς σφαιροειδὲς ἐμφανίζουσιν ἀπὸ μὲν τῆς ἕω ἐφ’ ἑσπέραν αἱ τῶν αὐτῶν ἄστρων ἐπιτολαὶ καὶ δύσεις θᾶττον μὲν τοῖς ἑῴοις κλίμασι, βράδιον δὲ τοῖς πρὸς ἑσπέραν γινόμεναι· καὶ ἡ αὐτὴ καὶ μία σελήνης ἔκλειψις, ὑφ’ ἕνα βραχὺν καὶ τὸν αὐτὸν καιρὸν ἐπιτελουμένη καὶ πᾶσιν οἷς δυνατὸν ὁμοῦ βλεπομένη, διαφόρως κατὰ τὰς ὥρας καὶ ἀεὶ τοῖς ἀνατολικωτέροις ἐν παραυξήσει φαίνεται, διὰ τὴν περιφέρειαν τῆς γῆς μὴ πᾶσιν ὁμοῦ τοῖς κλίμασιν ἐπιλάμποντος ἡλίου καὶ κατὰ λόγον ἀντιπερι­ϊσταμένης τῆς ἀπὸ τῆς γῆς σκιᾶς, νυκτὸς τούτου συμβαίνοντος.

φαίνεται δὲ καὶ ἀπὸ τῶν ἀρκτικῶν καὶ βορείων ἐπὶ τὰ νότια καὶ μεσημβρινὰ περιφερές. καὶ γὰρ τοῖς ταύτῃ προ­ϊοῦσι πολλὰ μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ἄστρων περὶ τὸν μετέωρον ἡμῖν πόλον ἐν τῷ προελθεῖν ἐπὶ τὰ μεσημβρινὰ ἀνατολὰς ὁρᾶται ποιούμενα καὶ δύσεις, τῶν δὲ ἀεὶ ἀφανῶν περὶ τὸν ἀποκεκρυμμένον ἡμῖν τόπον ὁμοίως ἀνατέλλοντά τινα καὶ δυόμενα φαίνεται· καθάπερ καὶ ὁ Κάνωβος λεγόμενος ἀστήρ, τοῖς βορειοτέροις τῆς Κνίδου μέρεσιν ἀφανὴς ὤν, τοῖς νοτιωτέροις ταύτης ἤδη φανερὸς γίνεται καὶ ἐπιπλέον ἀεὶ τοῖς μᾶλλον. ἀνάπαλιν δὲ τοῖς ἀπὸ τῶν νοτίων ἐπὶ τὰ βόρεια παραγινομένοις πολλὰ μὲν τῶν ὄπισθεν, πρότερον ἀνατολὰς καὶ δύσεις ποιούμενα, παντάπασιν ἀφανῆ γίνεται, τινὰ δὲ τῶν περὶ τὰς ἄρκτους παραπλησίως ἀνατέλλοντα καὶ δύνοντα προϊοῦσιν ἀεὶ φανερὰ καθίσταται, καὶ ἀεὶ πλεῖον τοῖς πλέον προκόπτουσι. πάντη δὴ περιφερὴς ὁρωμένη [122] καὶ ἡ γῆ σφαιρικὴ ἂν εἴη.

ἔτι τῶν βάρος ἐχόντων φύσει ἐπὶ τοῦ μέσου τοῦ παντὸς φερομένων, εἰ νοήσαιμέν τινα διὰ μέγεθος μέρη γῆς πλέον ἀφεστάναι τοῦ μέσου, ὑπὸ τούτων ἀνάγκη τὰ ἐλάττονα περιεχόμενα θλίβεσθαι καὶ βαρούμενα κατισχύεσθαι καὶ ἀπωθεῖσθαι τοῦ μέσου, μέχρις ἄν ἴσον ἀπο-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 2

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Dass die Erde kugelförmig ist (2) Die Kugelform der Erde verdeutlichen von morgens bis abends die Auf- und Untergänge derselben Sterne, die für die Menschen in den östlichen Regionen früher, für die in den westlichen später geschehen. Auch ein und dieselbe Mondfinsternis (s. u. III 39), die in ein und demselben kurzen Moment auftritt und von allen, denen es möglich ist, gemeinsam gesehen wird, erscheint zu verschiedenen Stunden, und zwar jeweils in der Wachstumsphase (zunächst) denen, die weiter östlich sind, da wegen des (gekrümmten) Umfangs der Erde die Sonne nicht alle Regionen gleichmäßig beleuchtet und da der Schatten, den die Erde hervorruft, nach der Ordnung (logos) gegenübersteht, was dazu führt, dass es Nacht wird. Es erscheint (die Erde) auch von den nördlichen Gebieten und dem Norden zu den südlichen Gebieten und dem Süden gewölbt (peri­ pheres). Von denen, die sich in diese Richtung vorwärts bewegen, werden viele der jeweils sichtbaren Sterne, die sich im hohen Pol (Zenit) über uns befinden, dann, wenn sie sich in Richtung Süden bewegen, als auf- und untergehend gesehen, ebenso erscheinen ihnen einige der jeweils unsichtbaren Sterne, die sich an einem für uns verborgenen Himmelsort befinden, als auf- und untergehend. So ist dies beim sogenannten Kanobos-Stern (Canopus, α Carinae), der in den Gebieten nördlich von Knidos (bei Datça auf dem türkischen Festland gegenüber der griechischen Insel Kos) unsichtbar ist, in den südlicheren davon aber sichtbar wird und in den noch weiter südlicher gelegenen immer mehr. Für diejenigen, die sich umgekehrt von Süden nach Norden bewegen, werden viele der Sterne, die zuvor ihre Auf- und Untergänge machten, völlig unsichtbar, während einige von denen, die in den nördlichen Gebieten auf- und untergingen, den Voran­kommenden immer sichtbarer werden, und zwar immer mehr, je weiter sie vorrücken. Da die (Erde) also ganz gewölbt erscheint, wird die Erde auch in ihrer Gesamtheit kugelförmig sein. Zudem wird alles, was Gewicht hat, von Natur aus in Richtung der Mitte des Universums bewegt; wenn wir annähmen, dass bestimmte Teile der Erde wegen ihrer Größe weiter vom Zentrum entfernt wären als andere, würden notwendigerweise die kleineren Teile in deren Umgebung verdrängt und die schwereren fest bleiben und von

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Theon von Smyrna

[123]

σχόντα καὶ ἰσοκρατῆ γενόμενα καὶ ἰσορροπήσαντα πάντα εἰς ἠρεμίαν καταστῇ, καθάπερ οἵ τε ἀμείβοντες καὶ οἱ τῇ ἴσῃ δυνάμει τῶν ἀσκητῶν διυποβεβλημένοι· ἁπανταχόθεν δὲ τῶν μερῶν τῆς γῆς τοῦ μέσου ἴσον ἀπεχόντων τὸ σχῆμα ἂν εἴη σφαιρικόν.

ἔτι τ’ ἐπεὶ τῶν βαρῶν πανταχόθεν ἐπὶ τὸ μέσον ἐστὶν ἡ ῥοπή, πάντων ἐφ’ ἕν σημεῖον συννευόντων, φέρεται δ’ αὐτῶν ἕκαστον κατὰ κάθετον, τουτ­έστιν ἴσας ποιοῦν γωνίας τὰς πρὸς τὴν τῆς γῆς ἐπιφάνειαν παρ’ ἑκάτερα ἧς φέρεται γραμμῆς, σφαιρικὴν καὶ τοῦτο μηνύει τὴν τῆς γῆς ἐπιφάνειαν.

ὅτι ἡ θάλασσα σφαῖρα καὶ ἡ γῆ ὁμοίως (3) ἀλλὰ μὴν καὶ τῆς θαλάσσης καὶ παντὸς ὕδατος ἐν γαλήνῃ ὄντος σφαιρικὸν κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν γίνεται τὸ σχῆμα. καὶ γὰρ τοῦτο τῇ μὲν αἰσθήσει δῆλον ἐντεῦθεν· ἐὰν γὰρ ἑστὼς ἐπί τινος αἰγιαλοῦ θεωρῇς τι μετὰ τὴν θάλασσαν, οἷον ἄρος ἢ δένδρον ἢ πύργον ἢ πλοῖον ἢ αὐτὴν τὴν γῆν, κύψας καὶ πρὸς τὴν τῆς θαλάττης ἐπιφάνειαν καταστήσας τὴν ὄψιν οὐδὲν ὅλως ἔτι ἢ ἔλαττον ὄψει τὸ πρὸ τοῦ μεῖζον βλεπόμενον, τῆς κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν τῆς θαλάττης κυρτώσεως ἐπιπροσθούσης τὴν ὄψιν. κἀν τῷ πλοΐζεσθαι δὲ πολλάκις, ἀπὸ [123] τῆς νεὼς μήπω βλεπομένης γῆς ἢ πλοίου προϊόντος, τὸ αὐτὸ τοῦτο ἀναβάντες τινὲς ἐπὶ τὸν ἱστὸν εἶδον, ἐφ’ ὑψηλοῦ γενόμενοι καὶ οἷον ὑπερκύψαντες τὴν ἐπιπροσθοῦσαν ταῖς ὄψεσι κυρτότητα τῆς θαλάττης.

καὶ φυσικῶς δὲ καὶ μαθηματικῶς ἡ παντὸς ὕδατος ἐπιφάνεια, ἠρεμοῦντος μέν, σφαιρικὴ δείκνυται οὕτως.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 3

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der Mitte weg­bewegt werden, bis sie alle, indem sie einen gleichen Abstand erhalten und gleich und ausgeglichen wären, ruhig gelegt wären, so wie Balken eines Gebäudes und wie zwei Athleten sich gegenseitig stützen, indem sie der gleichen Kraft ausgesetzt sind. Da aber die Teile der Erde bereits auf allen Seiten gleich weit von der Mitte entfernt sind, wird die Form der Erde wohl kugelförmig sein. Da zudem der Fall schwerer Körper von überallher zum Zentrum hin erfolgt, alle zu einem einzigen Punkt zusammenlaufen und jeder von ihnen senkrecht fällt – also auf beiden Seiten der Linie, die ihn zur Erdoberfläche führt, denselben Winkel (mit der Erdoberfläche) bildet –, zeigt auch dies an, dass die Oberfläche der Erde kugelförmig ist. Dass das Meer eine Kugel bildet und die Erde ebenso (3) Aber auch die Form des Meeres und generell jedes ruhigen Gewässers hat auf seiner Oberfläche eine Kugelform. Auch dies ist zum einem dank der Wahrnehmung aus Folgendem offenkundig: Wenn man an einem Meeresufer steht und etwas jenseits des Meeres betrachtet – etwa einen Hügel, einen Baum, einen Turm, ein Schiff oder die Erde selbst – und wenn man sich dann bückt und seine Sicht auf die Höhe der Meeresoberfläche absenkt, wird man von dem beobachteten Gegenstand nichts mehr oder von einem größerem nur noch einen kleineren Teil als vorher sehen, da die Wölbung, der die Meeresoberfläche folgt, der Sicht im Wege steht. Außerdem sieht man oft bei Schiff‌fahrten, während man vom Schiff aus weder das Festland noch ein anderes vorrückendes Schiff sieht, eben dieses, wenn man auf den Mast klettert, weil dieser höher ist und gleichsam die Krümmung des Meeres übersteigt, die der Sicht im Weg steht. Auch aus physikalischer und mathematischer Sicht wird die Fläche jedes ruhenden Gewässers als kugelförmig erwiesen, und zwar wie folgt:

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Theon von Smyrna

α

β

[124]

γ

κ πέφυκε γὰρ ἀπὸ τῶν ὑψηλοτέρων ἀεὶ εἰσρεῖν τὸ ὕδωρ ἐπὶ τὰ κοιλότερα· ἔστι δὲ ὑψηλότερα μὲν τὰ πλέον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου τῆς γῆς, κοιλότερα δὲ τὰ ἔλαττον· ὥστε ἂν ὑποθώμεθα τὴν τοῦ ὕδατος ἐπιφάνειαν ὀρθὴν καὶ ἐπίπεδον, οἷον τὴν αβγ, ἔπειτα ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς γῆς, οἷον ἀπὸ τοῦ κ, ἐπὶ μὲν τὸ μέσον κάθετον ἀγάγωμεν τὴν κβ, ἐπὶ δὲ τὰ ἄκρα τῆς ἐπιφανείας ἐπιζεύξωμεν εὐθείας τὰς κα κγ, δῆλον ὡς ἑκατέρα τῶν κα κγ μείζων ἐστὶ τῆς κβ καὶ ἑκάτερον τῶν α γ σημείων πλέον ἀπέχον τοῦ κ ἤπερ τὸ β καὶ ὑψηλότερον ἔσται [124] τοῦ β. συρρυήσεται τὸ ὕδωρ ἀπὸ τῶν α γ ὡς κοιλότερον τὸ β μέχρι τοσούτου, ἕως ἂν καὶ τὸ β ἀναπληρούμενον ἴσα ἀπόσχῃ τοῦ κ ὅσον ἑκάτερον τό τε α καὶ τὸ γ. καὶ ὁμοίως πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ ὕδατος σημεῖα τοῦ κ ἴσον ἀπέχει. δῆλον ὡς αὐτὴ γίνεται σφαιρική. ὥστε καὶ ὁ πᾶς ὄγκος ὁμοῦ γῆς καὶ θαλάττης ἐστὶ σφαιρικός.

οὐδὲ γὰρ τὴν τῶν ὀρῶν ὑπεροχὴν ἢ τὴν τῶν πεδίων χθαμαλότητα κατὰ λόγον τοῦ παντὸς μεγέθους ὡς ἀνωμαλίας αἰτίαν ἱκανὴν ἄν τις ἡγήσαιτο. τὸ ὅλον γὰρ τῆς γῆς μέγεθος κατὰ τὸν μέγιστον αὐτῆς περιμετρούμενον κύκλον μυριάδων κε' καὶ ἔτι δισχιλίων σταδίων σύν­ εγγυς δείκνυσιν Ἐρατοσθένης, Ἀρχιμήδης δὲ τοῦ κύκλου τὴν περιφέρειαν εἰς εὐθεῖαν ἐκτεινομένην τῆς διαμέτρου τριπλασίαν καὶ ἔτι τῷ ἑβδόμῳ μέρει μάλιστα αὐτῆς [τῆς διαμέτρου] μείζονα· ὥστ’ εἴη ἂν ἡ πᾶσα τῆς γῆς διάμετρος μυριάδων η' καὶ ρπβ' σταδίων ἔγγιστα· ταύτης γὰρ τριπλασία καὶ τῷ ἑβδόμῳ μείζων ἡ τῶν κε' μυριάδων καὶ τῶν δισχιλίων σταδίων περίμετρος ἦν.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 3

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Von Natur aus fließt Wasser immer von den höheren zu den tieferen Orten. Höhere Orte sind diejenigen, die am weitesten vom Zentrum der Erde entfernt sind, tiefere diejenigen, die weniger weit entfernt sind. Wenn wir also die Wasseroberfläche als gerade und flach annehmen, etwa αβγ, und vom Zentrum der Erde aus, etwa von κ aus, dann im rechten Winkel κβ bis zum Mittelpunkt führen und wenn wir an den Enden der Fläche die geraden Linien κα und κγ ziehen, ist es klar, dass die Linien κα und κγ länger sind als κβ und dass die Punkte α und γ, die weiter von κ entfernt sind als β, auch höher als β liegen werden. Das Wasser wird also von α und γ zu β fließen, da dieses niedriger ist, bis auch β, das zu gleichen Teilen gefüllt wird, so weit von κ entfernt sein wird, wie sowohl α als auch γ davon entfernt sind. Ebenso sind alle (anderen) Punkte auf der Wasseroberfläche gleich weit entfernt von κ; es ist also offenkundig, dass sie kugelförmig ist, ebenso auch, dass die gesamte Masse, die aus Land und Meer zusammengesetzt ist, kugelförmig ist. Auch sollte man nicht annehmen, dass das Überragen der Berge oder die Tiefe der Täler im Verhältnis zur Gesamtgröße Ursachen sind, die eine Anomalie hervorrufen können. Dass die Gesamt­größe der Erde nach ihrem maximalen Umkreis etwa 252 000 Stadien misst, zeigt Eratosthenes, Archimedes aber, dass der Umfang des Kreises, in einer geraden Linie ausgestreckt, etwa 31⁄7-mal so groß ist wie der Durchmesser, so dass der gesamte Durchmesser der Erde etwa 80 182 Stadien betragen wird; das 31⁄7-fache davon ist ja der Umfang von 252 000 Stadien.

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Theon von Smyrna

[125]

‹δέκα δὲ σταδίων ἐστὶν› ἡ τῶν ὑψηλοτάτων ὀρῶν πρὸς τὰ χθαμαλώ­ τατα τῆς γῆς ὑπεροχὴ κατὰ κάθετον, καθὰ Ἐρατοσθένης καὶ Δικαί­ αρχος εὑρηκέναι φασί· καὶ ὀργανικῶς δὲ ταῖς τὰ ἐξ ἀποστημάτων μεγέθη [125] μετρούσαις διόπτραις τηλικαῦτα θεωρεῖται. γίνεται οὖν ἡ τοῦ μεγίστου ὄρους ὑπεροχὴ ὀκτακισχιλιοστὸν ἔγγιστα τῆς ὅλης διαμέτρου τῆς γῆς. ἐὰν δὲ κατασκευάσωμεν [τἀνταῦθα] ποδιαίαν τινὰ κατὰ διάμετρον σφαῖραν, ἐπεὶ τὸ δακτυλικὸν διάστημα συμπληροῦται [καὶ] κεγχριαίαις διαμέτροις τὸ μῆκος ἔγγιστα δέκα δυσίν [ὑπερμετρούντων καὶ ἡμίσεια], εἴη ἂν ἡ ποδιαία τῆς κατασκευασθείσης σφαίρας διάμετρος κεγχριαίαις διαμέτροις τὸ μῆκος ἀναπληρουμένη διακοσίαις ἢ καὶ βραχὺ ἐλάττοσιν. ὁ γὰρ ποῦς ἔχει δακτύλους ϛ'· ὁ δὲ δάκτυλος ἀναπληροῦται κεγχριαίαις διαμέτροις ιβ'· τὰ δὲ ιϛ' δωδεκάκις ρϙβ'. τὸ τεσσαρακοστὸν οὖν μέρος τῆς κεγχριαίας διαμέτρου ‹μεῖζόν ἐστιν ἢ ὀκτακισχιλιοστὸν τῆς ποδιαίας διαμέτρου·› τεσσαρακοντάκις γὰρ διακόσια ὀκτακισχίλια. τὸ δὲ ὑψηλότατον ὄρος κατὰ τὴν κάθετον ἐδείχθη τῆς διαμέτρου τῆς γῆς ὀκτακισχιλιοστὸν ἔγγιστα μέρος· ὥστε τὸ τεσσαρακοστὸν μέρος τῆς κεγχριαίας διαμέτρου μείζονα λόγον ἕξει πρὸς τὴν ποδιαίαν τῆς σφαίρας διάμετρον. καὶ τὸ συνιστάμενον ἄρα στερεὸν ἀπὸ τοῦ τεσσαρακοστοῦ μέρους τῆς κεγχριαίας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ποδιαίας ὅμοιον στερεόν, ‹μείζονα λόγον ἕξει ἢ› τὸ ἀπὸ τῆς δεκασταδιαίας καθέτου στερεὸν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς γῆς ὅμοιον στερεόν. τὸ δὲ συνιστάμενον σφαιρικὸν [126] στερεὸν ἀπὸ τοῦ τεσσαρακοστοῦ μέρους τῆς κεγχριαίας διαμέτρου ἑξακισμυριοτετρακισχιλιοστὸν μέρος ἔσται τῆς ὅλης κέγχρου· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς δεκασταδιαίας καθέτου σφαιρικὸν ὄρος σταδίων ἐστὶ στερεῶν ἔγγιστα ‹φκδ'›· ἡ δὲ ὅλη γῆ, σφαιροειδὴς λογιζομένη, στερεῶν σταδίων ἔχει μυριάδας τρίτων μὲν ἀριθμῶν σξθ', δευτέρων δὲ θυι', πρώτων δὲ δτλα', καὶ ἔτι στάδια ζωκα' καὶ τριτημόριον σταδίου. πάλιν γὰρ ἀποδείκνυται σχῆμα τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς κύκλου περιφερείας εἰς εὐθεῖαν ἐξαπλουμένης περιεχόμενον ὀρθο­γώνιον τετραπλάσιον εἶναι τοῦ ἐμβαδοῦ τετάρτου μέρους τῆς σφαίρας, ἴσου τῷ ἐμβαδῷ τοῦ κύκλου. διόπερ εὑρίσκεται τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον πρὸς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου λόγον ἔχον, ὃν ιδ' πρὸς

Teil III (Astronomie, Abschnitt 3

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Das Überragen der höchsten Berge im Vergleich zu den tiefsten Gebieten der Erde beträgt, senkrecht gemessen, 10 Stadien, wie Eratosthenes und Dikaiarchos entdeckt haben sollen. Werte dieser Größenordnung können auch mit Instrumenten be­obachtet werden, etwa mit Dioptern, welche die Höhen aus der Ferne messen. Es ist nun das Überagen des höchsten Berges etwa 1⁄8000 des gesamten Durch­messers der Erde. Wenn wir eine Kugel anfertigen würden, die 1 Fuß im Durchmesser misst, wobei 1 Fingerbreit (à 1⁄16 Fuß) etwa dem Durchmesser von 12 Hirsekörnern entspricht, wird der Durchmesser einer Kugel von 1 Fuß, den wir erhalten haben, durch die Länge der Durchmesser von 200 Hirsekörnern oder weniger ausgefüllt sein: 1 Fuß ist ja gleich 16 Fingerbreit und 1 Fingerbreit wird von 12 Hirsekörnern ausgefüllt, und zwölfmal 16 ist 192. Deshalb ist 1⁄40 des Durchmessers eines Hirsekorns größer als 1⁄8000 des Durchmessers (einer Kugel von) 1 Fuß; vierzigmal 200 ist ja 8000. Aber es hat sich gezeigt, dass der höchste Berg, senkrecht gemessen, etwa 1⁄8000 des Erddurchmessers entspricht, so dass 1⁄40 des Durchmessers eines Hirsekorns ein größeres Verhältnis zu einer Kugel von 1 Fuß Durchmesser hat. Man kann schlussfolgern, dass der Körper, der auf 1⁄40 des Durchmessers eines Hirsekorns errichtet wird, zu einem ähnlichen Körper, der auf dem Durchmesser von 1 Fuß errichtet ist, ein größeres Verhältnis hat als der Körper, der auf der Höhe von 10 Stadien errichtet ist, in Bezug auf einen ähnlichen Körper, der auf dem Durchmesser der Erde errichtet ist. Es beträgt der kugelförmige Körper, der auf 1⁄40 des Durchmessers eines Hirsekorns errichtet wird, 1⁄64 000 des ganzen Korns; der kugelförmige Körper, der auf Höhe von 10 Stadien errichtet wird, hat etwa 524 (genau 523,8) Kubikstadien. Wenn man für die ganze Erde die entsprechenden Berechnungen auf ihre Kugelform anwendet, misst sie 269 941 943 317 821 1⁄3 (sic) Kubikstadien. Auch hat sich gezeigt, dass die rechteckige Form, die von Durchmesser und dem Umfang eines Kreises umfasst wird, die vierfache Fläche von der des Kreises hat. Deshalb findet man, dass das auf dem Durchmesser konstruierte Qua­drat in Bezug auf die Fläche des Kreises das Verhältnis hat, das 14 in Bezug auf 11 hat, da ja der Umfang 31⁄7-mal

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Theon von Smyrna

[127]

ια'· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ἡ περιφέρεια τῆς διαμέτρου τριπλασία καὶ ἔτι τῷ ἑβδόμῳ μείζων, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ζ', τοιούτων ἡ περιφέρεια γίνεται κβ'· τὸ δὲ τέταρτον αὐτῆς εϛ'· ὥστε καὶ οἵων τὸ τετράγωνον μθ', τοιούτων ὁ κύκλος λη' ϛ, καὶ διὰ τὸ ἐπιτρέχον ἥμισυ διπλασιασθέντων οἵων τὸ τετράγωνον ϙη', τοιούτων ὁ κύκλος οζ'· τούτων δὲ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις ἀριθμοῖς λόγος ὡς ιδ' πρὸς ια'· ἀμφοτέρων γὰρ αὐτῶν μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ ζ ἀριθμός, ὅστις τὸν μὲν ϙη' μετρεῖ τεσσαρεσκαιδεκάκις, τὸν δὲ οζ' ἑνδεκάκις·

ὥστε τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου [127] κύβου πρὸς τὸν ἐπὶ τοῦ κύκλου κύλινδρον λόγος ὡς ιδ' πρὸς ια'· τὸν δὲ ἐπὶ τοῦ κύκλου κύλινδρον ἀποδείκνυσιν Ἀρχιμήδης ἡμιόλιον τῆς ἐν αὐτῷ σφαίρας· γίνεται ἄρα οἵων ‹ὁ› ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου κύβος ιδ', τοιούτων ὁ μὲν κύλινδρος ια', ἡ δὲ σφαῖρα ζ' καὶ τρίτου. διὰ δὲ ταῦτα εὑρίσκεται τὰ σφαιρικὰ στερεὰ τῆς τε γῆς καὶ τοὺ μεγίστου ὄρους τῶν προειρημένων ἀριθμῶν. τὸ ἄρα δεκασταδιαίαν ἔχον τὴν κάθετον σφαιρικὸν ὄρος πρὸς τὴν ὅλην γῆν πολλῷ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἑξακισμυριοτετρακισχιλιοστὸν μέρος τῆς κέγχρου πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς ποδιαίας διαμέτρου σφαῖραν· τὸ δὲ μὴ σφαιρικὸν ὄρος, ἄλλ’ οἷον βλέπεται, πολὺ ἔτι ἐλάττονα. τὸ δὲ τοιοῦτον μέρος τῆς κέγχρου προστιθέμενον ἔξωθεν τῇ ποδιαίᾳ σφαίρᾳ ἢ ἰδίᾳ ἀφαιρούμενον αὐτῆς καὶ κοιλαινόμενον οὐδ’ ἡντινοῦν ποιήσει διαφοράν. οὐδ’ ἄρα τῶν ι' σταδίων ἔχον τὴν κάθετον ὑψηλότατον ὄρος ἐστὶ πρὸς λόγον τοῦ μὴ σφαιρικὴν εἶναι τὴν πᾶσαν τῆς γῆς καὶ θαλάττης ἐπιφάνειαν. [ἡ περίμετρος τῆς γῆς ἐστι σταδίων μκε' ,β, ἡ δὲ διάμετρος μη' ρπβ', τὸ δ’ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον μμξδ' μ,βφιε' ,γρκδ', ὁ δὲ κύβος μμμφιε' μμ,γυιθ' μ,θροη ,ηφξη'· τοῦ δὲ κύβου τὸ τεσσαρεσκαιδέκατον μμμλϛ' μμ,ηρα' μ,δσκζ' χιβ'.]

Teil III (Astronomie, Abschnitt 3

229

größer ist als der Durchmesser. Wenn also ein Durchmesser 7 (Einheiten irgendeines Maßes) ist, dann misst der Umfang 22 (derselben Einheiten). Davon 1⁄4 ist 51⁄2, so dass, immer noch unter Berücksichtigung dieses Verhältnisses, das Qua­drat gleich 49 (Einheiten) und der Kreis gleich 381⁄2 (Einheiten) ist. Wenn man dies auf diese Weise verdoppelt, um das 1⁄2 verschwinden zu lassen, wird, wenn das Qua­drat 98 (Einheiten) ist, der Kreis 77 (Einheiten) gleich sein. Das Verhältnis zwischen diesen Werten, ausgedrückt in den kleinsten Primzahlen, beträgt 14 zu 11; das größte gemeinsame Maß beider ist die Zahl 7, die sowohl vierzehnmal 98 als auch elfmal 77 bemisst. So steht der auf dem Durchmesser errichtete Würfel zu dem auf dem Kreis errichteten Zylinder in einem Verhältnis von 14 zu 11; der auf dem Kreis errichtete Zylinder ist, wie Archimedes zeigt, hemiolios (11⁄2) zu der darin eingeschriebenen Kugel. Wenn also der Würfel auf dem Durchmesser des Kreises 14 (Einheiten) beträgt, haben der Zylinder 11 und die Kugel 71⁄3 (Einheiten). Dadurch können wir die kugelförmigen Körper sowohl der Erde als auch des größten Berges im Verhältnis zu den vorhin genannten Zahlen finden. Ein kugelförmiger Aufsatz, der die Höhe von 10 Stadien hat, ist also in Bezug auf die ganze Erde in einem viel kleineren Verhältnis als das, welches 1⁄64 000 des Hirsekorns in Bezug auf die Kugel von 1 Fuß Durchmesser beträgt; und ein nicht kugelförmiger Aufsatz ist, wie man sehen kann, noch viel kleiner. Ein solcher Teil des Hirsekorns, der auf die Außenseite einer Kugel von 1 Fuß gesetzt oder so von ihr weggenommen wird, dass eine entsprechende Aushöhlung entsteht, wird keinen Unterschied machen. So hat der höchste Berg, der eine Höhe von 10 Stadien hat, kein Verhältnis, das die gesamte Fläche der Erde und des Meeres nicht kugelförmig machen würde. [Späterer Zusatz: Der Umfang der Erde beträgt 252 000 Stadien, der Durchmesser 80 182 Stadien, das Qua­drat, das auf dem Durchmesser errichtet wird, 6 429 153 124 Qua­dratstadien, der darauf bezogene Würfel von 515 341 991 788 568 Kubikstadien. 1⁄14 dieses Würfels ist 36 810 142 270 612 (sic).]

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Theon von Smyrna

[128]

[128] ὅτι μέση ἡ γῆ καὶ σημείου λόγον ἐπέχει ὅ ἐστι σφαιρικὸν τῆς γῆς μέγεθος (4) σφαιρικὴ δέ ἐστιν ἡ γῆ καὶ μέση κεῖται τοῦ κόσμου. παρεγκλιθεῖσα γὰρ κατὰ τὴν θέσιν οὐκ ἀπὸ παντὸς μέρους αὑτῆς τὸ μὲν ἥμισυ τοῦ οὐρανοῦ ὑπεράνω, τὸ δὲ ἥμισυ ὑφ’ αὑτὴν ἔξει, οὐδὲ τὰς ἀπὸ παντὸς σημείου πρὸς τὸν ἔσχατον οὐρανὸν ἡκούσας εὐθείας ἴσας. καὶ μὴν ὅτι τοὺ μεγέθους οὐδένα λόγον αἰσθητὸν ἔχει πρὸς τὸ πᾶν ἡ γῆ, σημείου δὲ τάξιν ἐπέχει, δηλοῖ καὶ τὰ τῶν ‹…› τῆς οἰκουμένης ὡς κέντρα τῆς ἡλιακῆς ὑποτιθέμενα σφαίρας καὶ μηδ’ ἡντινοῦν αἰσθητὴν διὰ τοῦτο ποιούμενα τὴν παραλλαγήν. εἰ γὰρ ἓν μέν ἐστι κέντρον ἀναγκαίως πρὸς τὰς ὅλας σφαίρας, πάντα δὲ τὰ ἐπὶ τῆς γῆς σημεῖα ὡς τοῦτο ὑπάρχοντα φαίνεται, δῆλον ὡς ἡ [129] ὅλη γῆ ‹σημείου τάξιν ἐπέχει› πρὸς τὴν ὅλην τοῦ ἡλίου σφαῖραν καὶ πολλῷ τινι μᾶλλον πρὸς τὴν τῶν ἀπλανῶν· ὥστε καὶ διὰ τοῦτο ἀεὶ τὸ ἥμισυ τοῦ κόσμου θεωρεῖσθαι ὑπὲρ αὐτήν [βραχεῖ τινι μοίρας].

καὶ περὶ μὲν σχήματος τοῦ τε παντὸς καὶ τῆς γῆς, ἔτι δὲ τῆς ταύτης μέσης θέσεως καὶ τοῦ πρὸς τὸ πᾶν αὐτῆς ἀδήλου μεγέθους, εἰ καὶ πολλὰ ἔτι οἷόν τε λέγειν, ἐξαρκέσει πρὸς τὴν τοῦ ἐφεξῆς παράδοσιν τὰ ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου τὸν εἰρημένον ὑποδεδειγμένα τρόπον.

περὶ τῶν ἐν τῇ ἀπλανεῖ παραλλήλων κύκλων (5) ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς φησι· φερομένης δὲ τῆς οὐρανίας σφαίρας περὶ μένοντας τοὺς ἑαυτῆς πόλους καὶ τὸν ἐπιζευγνύντα τούτους ἄξονα, περὶ ὃν μέσον ἐρήρεισται μέση ἡ γῆ, τὰ [δὲ] ἄστρα πάντα συμφερόμενα ταύτῃ καὶ ἁπλῶς τὰ κατὰ τὸν οὐρανὸν πάντα σημεῖα γράφει κύκλους παραλλήλους, τουτ­έστιν ἴσον μὲν ἀπέχοντας ἀλλήλων, πρὸς ὀρθὰς δὲ γινομένους τῷ ἄξονι, ἅτε τοῖς τοῦ παντὸς πόλοις γραφομένους.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 4

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Dass die Erde die Mitte ist und das Verhältnis eines Punktes hat, und dass dieser kugelförmig zur Größe der Erde ist (4) Kugelförmig ist die Erde und liegt in der Mitte des Kosmos. Wäre sie nämlich in ihrer Lage seitlich entfernt, hätte sie nicht auf jeder Seite die Hälfte des Himmels über sich und die andere Hälfte unter sich, auch wären nicht die geraden Linien, die von jedem ihrer Punkte aus die Ränder des Himmels erreichen, gleich lang. Dass die Erde keine Größe in einem wahrnehmbaren Verhältnis zum Universum hat und dass sie nur den Raum von einem Punkt einnimmt, offenbaren auch ... (Lücke im Text, etwa: die Spitzen der Gnomones [Schattenstäbe] an allen Orten) der bewohnten Welt, die nach einer Hypothese als Zentren der Sonnenkugel betrachtet werden können, da man, wenn man den Standort wechselt, keine wahrnehmbare Parallaxe feststellen kann. Wenn es ja einerseits notwendigerweise nur ein Zentrum für die Gesamtheit aller Kugeln gibt und andererseits alle Punkte auf der Erde eindeutig diese Position einnehmen, ist es klar, dass die gesamte Erde den Raum von einem Punkt in Bezug auf die gesamte Kugel der Sonne und noch mehr in Bezug auf die der Fixsterne einnimmt. Deshalb kann man auch aus diesem Grund immer nur eine Hälfte des Kosmos über ihr betrachten. Auch wenn es über die Form des Universums und der Erde und auch über deren Mittelstellung und ihre unwahrnehmbare Größe im Verhältnis zum Universum noch vieles zu sagen gäbe, wird für die Überlieferung der folgenden Vorstellungen das ausreichen, was von Adrastos in der genannten Weise gezeigt worden ist. Über die Parallelkreise in der unbewegten (Kugel) (5) In den folgenden Passagen sagt er: Wenn man die Himmelskugel um ihre bewegungslosen Pole und die Achse bewegt, die sie verbindet und in deren Mitte die Erde fixiert ist, dann beschreiben alle Sterne, die mit ihr zusammengeführt werden, und generell alle Punkte, die am Himmel vorhanden sind, parallele – also immer gleich weit voneinander entfernte – Kreise im rechten Winkel zu der Achse, wie sie entsprechend den Polen des Universums beschrieben werden.

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Theon von Smyrna

[130]

ὄντων δὲ τῶν μὲν τοῖς ἄστροις ‹γραφομένων κύκλων› ἀριθμητῶν, τῶν δὲ τοῖς ἄλλοις σημείοις σχεδὸν ἀπείρων, ὀλίγοι τινὲς τετυχήκασι διασήμου προσηγορίας, οὓς χρήσιμον εἰδέναι πρὸς τὴν τῶν κατὰ τὸν οὐρανὸν ἐπιτελουμένων θεωρίαν. εἷς μὲν ὁ περὶ τὸν ἡμῖν μετέωρον καὶ ἀεὶ φαινόμενον [130] πόλον καὶ αὐτὸς ἀεὶ φανερός, καλούμενος ἀρκτικὸς ἀπὸ τῶν ἐν αὐτῷ κατηστερισμένων ἄρκτων. ἕτερος δὲ ἐξ ἐναντίας, ἴσος τούτῳ, περὶ τὸν ἀποκεκρυμμένον πόλον καὶ αὐτὸς ἡμῖν ἀεὶ ἀφανής, καλούμενος ἀνταρκτικός. μέσος δὲ πάντων μέγιστος καὶ δίχα διελὼν τὴν ὅλην σφαῖραν, καλούμενος ἰσημερινός, ἐπειδὴ τῷ μὲν ὑπ’ αὐτὸν κλίματι τῆς γῆς πᾶσαι νύκτες καὶ πᾶσαι ἡμέραι ἴσαι, καὶ τῶν ἄλλων δὲ ἐν ὅσοις κατὰ πᾶσαν ἑκάστην τροπὴν τοῦ παντὸς ἀνατέλλων τε καὶ δύνων φαίνεται ἥλιος, ἐπειδὰν κατὰ τοῦτον γένηται τὸν κύκλον, ἴσην ἡμέραν διαιρεῖ νυκτί.

μεταξὺ δὲ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τῶν ἀρκτικῶν καθ’ ἑκάτερον τροπικός, θερινὸς μὲν ὡς πρὸς ἡμᾶς ἐπὶ τὰ ἐνθάδε τοῦ ἰσημερινοῦ ταττόμενος, χειμερινὸς δὲ ὁ ἐπὶ θάτερα, τὴν ἐπὶ τὰ νότιά τε καὶ βόρεια πάροδον τοῦ ἡλίου τρέποντος.

περὶ τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῶν πλανωμένων [ζῳδιακῶν] (6) λοξὸς γὰρ τούτοις ἔγκειται ὁ ζῳδιακός, μέγιστος μὲν καὶ αὐτὸς κύκλος, τῶν μὲν τροπικῶν ἐφαπτόμενος καθ’ ἓν ἑκατέρου σημεῖον, τοῦ μὲν θερινοῦ κατὰ καρκίνον, θατέρου δὲ κατ’ αἰγοκέρων, δίχα δὲ τέμνων τὸν ἰσημερινὸν καὶ αὐτὸς ὑπ’ ἐκείνου διχοτομούμενος κατά τε χηλὰς καὶ κριόν, ὑφ’ ὃν ἥλιός τε φέρεται καὶ ἡ σελήνη καὶ οἱ λοιποὶ πλάνητες, φαίνων τε ὁ τοῦ Κρόνου προσαγορευόμενος, ὡς δέ τινες Ἡλίου, καὶ φαέθων ὁ τοῦ Διός, ἔτι δὲ πυρόεις, ὃν Ἄρεως καλοῦσιν,

Teil III (Astronomie, Abschnitt 6

233

Da manche Kreise, die von den Sternen beschrieben werden, gezählt werden können, andere, die von den anderen Punkten erzeugt werden, hingegen fast unendlich viele sind, so sind einige wenige unter ihnen eindeutig benannt worden. Es ist nützlich, letztere zu kennen, um zu erfassen, was am Himmel geschieht. Der eine Kreis ist der um den Pol hoch über uns; er ist immer sichtbar, selbst immer erkennbar und wird arktischer genannt, nach den dortigen Sternen der Bären (arktos, Ursa Major). Ein anderer ist auf der gegenüberliegenden Seite, gleich mit diesem, um den verborgenen Pol herum und selbst immer unsichtbar für uns; er wird antarktischer genannt. In der Mitte von allen ist ein Kreis, größer als alle, der die ganze Kugel in zwei Teile zerlegt; er wird Äquator (isemerinos, »Kreis der Tag- und Nachtgleiche«) genannt, weil in der Region der Erde, die ihm entspricht, jede Nacht und jeder Tag gleich sind, während die Sonne in den anderen Regionen, in denen sie bei jeder vollständigen Umdrehung des Universums sichtbar auf- und untergeht, jedes Mal, wenn sie zu diesem Kreis kommt, Tag und Nacht gleich zerlegt (teilt). In jedem der beiden Zwischenteile zwischen Äquator und den arkti­ schen (Kreisen) gibt es einen Wendekreis: Der des Sommers ist derjenige, der sich zu uns hin in den Regionen diesseits des Äquators befindet, während der des Winters derjenige ist, der sich in den anderen befindet; die Sonne durchläuft in ihrer Umdrehung sowohl die südlichen als auch die nördlichen Regionen. Der Tierkreis und die Planeten (6) Schief zu ihnen liegt der Tierkreis. Auch er ist ein Großkreis (s. o. III 1), der an einem bestimmten Punkt die Wendekreise von jedem der beiden Seiten berührt – im Sommer beim Krebs, im Winter beim Steinbock – und der den Äquatorkreis in zwei Hälften teilt, wobei er selbst von diesem beim Widder und beim Skorpion in zwei Hälften zerschnitten wird. Darunter bewegen sich die Sonne, der Mond und die anderen Planeten: Phainon, genannt der Stern des Kronos (Saturn) oder, nach anderen, des Helios; Phaeton, der Stern des Zeus ( Jupiter); dann Pyroeis, der gewöhnlich der Stern des Ares (Mars)

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Theon von Smyrna

[131]

οἱ δὲ Ἡρακλέους, [131] καὶ φωσφόρος, ὅν φασιν Ἀφροδίτης, τοῦτον δὲ καὶ ἑωσφόρον καὶ ἕσπερον ὀνομάζουσι, πρὸς δὲ τούτοις στίλβων, ὃν καλοῦσιν Ἑρμοῦ.

ἀρκτικός τροπικὸς χειμερινός

ζῳδιακός

ἰσημερινός τροπικὸς θερινός ἀνταρκτικός

περὶ τοῦ ὁρίζοντος (7) λέγεται δέ τις κύκλος ὁρίζων, ὁ διὰ τῆς ἡμετέρας ὄψεως ἐκ­ βαλλόμενος καὶ κατ’ ἐπιπρόσθησιν τῆς γῆς ἴσα διαιρῶν ὡς πρὸς αἴσθησιν τὸν ὅλον οὐρανόν, τουτέστι τό τε φανερὸν ὑπὲρ γῆς ἡμισφαίριον καὶ τὸ ἀφανὲς ὑπὸ γῆς, μέγιστος ὁμοίως καὶ τοὺς μεγίστους διχοτομῶν τόν τε ἰσημερινὸν καὶ τὸν ζῳδιακόν· ὅθεν καὶ τῶν κατὰ διάμετρον ἄστρων κατὰ συζυγίαν ἀεὶ θάτερον μὲν ἐπ’ ἀνατολῆς ὁρᾶται, θάτερον δὲ ἐπὶ δύσεως. διαιρεῖ δὲ οὗτος δίχα καὶ τὸν μεσημβρινόν.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 7

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oder nach anderen der des Herakles genannt wird; und Phos‌phoros, genannt Aphrodite (Venus), der aber auch die Namen Heos‌phoros und Hesperos trägt; schließlich, vor diesen, Stilbon, den man auch den Stern des Hermes (Merkur) nennt.



Arktischer Kreis

Winterwendekreis Tierkreis Äquator Sommerwendekreis

Antarktischer Kreis

Horizont (7) Horizont genannt wird der Kreis, der unsere Sicht durchlaufen und dadurch, dass die Erde dazwischen steht, in Bezug auf unsere Wahrnehmung den ganzen Himmel in zwei gleiche Teile zerlegt: in die sichtbare Halbkugel über der Erde und die unsichtbare unter der Erde. Auch er ist ein Großkreis und schneidet daher in ähnlicher Weise zwei Großkreise, nämlich sowohl den Äquator als auch den Tierkreis. Daher rührt auch die Tatsache, dass zwischen zwei Sternen, die in Konjunktion diametral entgegengesetzt sind (s. o. III 1), jeweils der eine bei Sonnenaufgang und der andere bei Sonnenuntergang gesehen werden kann. Dieser Kreis zerlegt auch den Meridian (dazu gleich) in zwei Hälften.

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Theon von Smyrna

[132]

περὶ μεσημβρινοῦ (8) ἔστι γάρ τις καὶ μεσημβρινὸς καλούμενος μέγιστος κύκλος, γραφόμενος μὲν διὰ τῶν πόλων τοῦ παντὸς ἀμφοτέρων, ὀρθὸς δὲ νοούμενος πρὸς τὸν ὁρίζοντα. καλεῖται [132] ‹δὲ› μεσημβρινὸς οἷον ἐπειδὴ κατὰ μέσην ἡμέραν ἐπὶ τούτῳ γίνεται μετέωρος ὁ ἥλιος. καλοῦσι δὲ ἔνιοι τοῦτον καὶ κόλουρον, ἐπειδὴ ‹τὸ› πρὸς τὸν ἀφανῆ πόλον μέρος αὐτοῦ ἐφ’ ἡμῖν ἐστιν ἀφανές. (9) ἀλλ’ ὁ μὲν ἰσημερινὸς καὶ οἱ ἑκατέρωθεν τούτου τροπικοὶ δε­ δομένοι καὶ ἀραρότες τοῖς μεγέθεσι καὶ ταῖς θέσεσι. δεδόσθαι δὲ λέγεται τῇ θέσει σημεῖά τε καὶ γραμμαί, ἃ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχει· τῷ δὲ μεγέθει δεδομένα χωρία τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι λέγονται, οἷς δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι. ὁ δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλος καὶ οἱ ἑκατέρωθεν τροπικοὶ ἀεὶ τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον καὶ ἀραρότες εἰσί· καὶ ἴσους αὐτοῖς οἷόν τε πορίσασθαι, τῷ μὲν ἰσημερινῷ τόν τε ζῳδιακὸν καὶ τὸν ὁρίζοντα καὶ τὸν μεσημβρινόν, τῷ δὲ χειμερινῷ τὸν θερινὸν καὶ τῷ θερινῷ τὸν χειμερινόν· οἵτινες διὰ τούτων ἀεί εἰσι δεδομένοι, ὅτι οὐκ ἐφ’ ἡμῖν ἐστι τοιούσδε ἢ τηλικούσδε ὑποστήσασθαι αὐτούς, ἀλλὰ τῇ φύσει ὑποκείμενοι τοιοῦτοι καὶ δεδομένοι, κἂν μὴ ἡμεῖς δῶμεν·

ἃ δὲ ἐφ’ ἡμῖν ἐστι δοῦναι αὐτὰ ἢ τοῖα ἢ τοῖα εἶναι, ταῦτα τῇ [δὲ] φύσει οὐκ ἔστι δεδομένα. φύσει οὖν δεδομένοι καὶ ἀραρότες [τουτ­ έστιν ὑφεστῶτες καὶ ἀραρότες] ὅ τ’ ἰσημερινὸς καὶ οἱ ἑκατέρωθεν καὶ τῇ θέσει καὶ τοῖς μεγέθεσιν. ὁ δὲ ζῳδιακὸς τῷ μὲν μεγέθει δέδοται καὶ τῇ κατ’ αὐτὸν τὸν οὐρανὸν θέσει, τῷ δὲ πρὸς ἡμᾶς οὐ δέδοται τῇ θέσει· μεταπίπτει γὰρ ὡς πρὸς ἡμᾶς, διὰ τὴν ἐν τῷ παντὶ λόξωσιν ἄλλοτε ἄλλως ἱστά[133]μενος ὑπὲρ ἡμᾶς.

μεσημβρινὸς δὲ καὶ ὁρίζων τῷ μὲν μεγέθει δεδομένοι, μέγιστοι γάρ, τῇ δὲ θέσει μεταπίπτοντες καθ’ ἕκαστον κλίμα τῆς γῆς, ἄλλοι παρ’

Teil III (Astronomie, Abschnitt 8

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Meridian (8) Es gibt nämlich einen weiteren Großkreis (s. o. III 1), der Meridian (mes­embrinos, »Mittagskreis«) genannt wird und der durch beide Pole des Universums beschrieben und als rechtwinklig zum Horizont gedacht wird. Er wird mesembrinos genannt, weil die Sonne in der Mitte (mese) des Tages darauf hoch über uns steht. Manche nennen ihn auch kolouros (»stutzschwänzig«), weil einer seiner Teile in der Nähe des unsichtbaren Pols für uns unsichtbar ist. (9) Nun sind der Äquator und die Wendekreise auf beiden Seiten gegeben und stabil in ihren Größen und Positionen. Man spricht von »gegeben« in Bezug auf die Position, da Punkte und Linien immer den gleichen Platz einnehmen, während man bei der Größe von Räumen, Linien und Winkeln spricht, in Bezug auf die wir gleiche Größen finden können. Der Kreis des Äquators und die Wendekreise auf beiden Seiten nehmen immer den gleichen Platz ein und sind stationär; es ist auch möglich, Kreise zu finden, die ihnen gleichwertig sind, für den Äquator den Tierkreis, den Horizont und den Meridian, für den Winter- den Sommerwendekreis und für den Sommer- den Winterwendekreis. Durch diese sind sie immer »gegeben«, denn es liegt nicht in unserer Macht, über sie mit bestimmten Quantitäten oder Qualitäten zu verfügen; vielmehr haben sie eine ähnliche Beschaffenheit und sind von der Natur gegeben, auch wenn wir sie nicht »geben«. Diejenigen aber, für die es uns zusteht, sie so oder so zu »geben«, sind nicht von Natur aus gegeben. Von Natur aus »gegeben« und fixiert sind sowohl der Äquator als auch die (Wendekreise) auf beiden Seiten, und zwar sowohl in der Größe als auch in der Position. Der Tierkreis ist in der Größe und in Bezug auf den Himmel selbst in der Position »gegeben«, während er in Bezug auf uns nicht in der Position gegeben ist: In Bezug auf uns bewegt er sich ja aufgrund der Schiefe im Universum und ordnet sich auf immer verschiedene Weise über uns an. Der Meridian und der Horizont sind in der Größe »gegeben«, denn sie sind ja Großkreise; sie ändern aber ihre Position je nach der Zone der Erde, was zu unterschiedlichen Zonen führt: Der Horizont ist

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Theon von Smyrna

[134]

ἄλλοις γινόμενοι· οὔτε γὰρ ἅπασι τοῖς ἐπὶ τῆς γῆς ὁ ‹αὐτὸς› ὁρίζων, οὔτε πᾶσι τὸ αὐτὸ μεσουράνισμα, οὔθ’ ἑκάστῳ ἐστὶν ὁ αὐτὸς μεσημβρινός. οἱ μέντοι πρὸς τοῖς πόλοις, ὅ τε ἀρκτικὸς καὶ ὁ ἀνταρκτικός, οὔτε τοῖς μεγέθεσι δέδονται οὔτε ταῖς θέσεσι· κατὰ δὲ τὴν διαφορὰν τῶν νοτιωτέρων καὶ βορειοτέρων κλιμάτων παρ’ οἷς μὲν μείζονες, παρ’ οἷς δὲ ἐλάττονες ὁρῶνται, καὶ κατὰ μέσην μέντοι τὴν γῆν, τουτέστι κατὰ τὴν ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν λεγομένην ζώνην διὰ καῦμα ἀοίκητον, οὐδ’ ὅλως γίνονται, τῶν πόλων ἀμφοτέρων ἐκεῖ φαινομένων καὶ τοῦ ὁρίζοντος δἰ αὐτῶν ἐκπίπτοντος. εἰσὶ δὲ οἳ καὶ τὴν σφαῖραν ὀρθὴν καλοῦσι, πάντων τῶν παραλλήλων ὀρθῶν γινομένων ὡς πρὸς ἐκείνους τοὺς τόπους τῆς γῆς.

περὶ τοῦ ζῳδιακοῦ (10) ἔτι τῶν μὲν ἄλλων κύκλων ἕκαστος ὄντως ἐστὶ κύκλος ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενος. ὁ δὲ λεγόμενος ζῳδιακὸς ἐν πλάτει τινὶ φαίνεται καθάπερ τυμπάνου κύκλος, ἐφ’ οὗ καὶ εἰδωλοποιεῖται τὰ ζῴδια. τούτου δὲ ὁ μὲν διὰ μέσου λέγεται τῶν ζῳδίων, ὅστις ἐστὶ καὶ μέγιστος καὶ τῶν τροπικῶν ἐφαπτόμενος καθ’ ἓν ἑκατέρου σημεῖον καὶ τὸν ἰσημερινὸν διχοτομῶν· οἱ δὲ ἑκατέρωθεν τὸ πλάτος ἀφορίζοντες τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσου ἐλάττονες.

[134] περὶ τῶν ἀπλάνων (11) οἱ μὲν οὖν πολλοὶ καὶ ἀπλανεῖς ἀστέρες τῇ πρώτῃ καὶ μεγίστῃ καὶ τὸ πᾶν ἔξωθεν περιεχούσῃ σφαίρᾳ συμπεριφέρονται μίαν καὶ ἁπλῆν ἐγκύκλιον κίνησιν, ὡς ἐνεστηριγμένοι ταύτῃ καὶ ὑπ’ αὐτῆς φερόμενοι, θέσιν τε ‹μίαν› καὶ ἀεὶ τὴν αὐτὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ διαφυλάττοντες καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλους τάξιν ὁμοίαν, μηδ’ ἡντινοῦν ἑτέραν μεταβολὴν ποιούμενοι μήτε σχήματος ἢ μεταναστάσεως μήτε μεγέθους ἢ χρώματος.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 10

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nicht für alle auf der Erde gleich; auch hat nicht jeder denselben Zenit (mesouranisma, »Himmelsmitte«) und denselben Meridian. Was die Kreise in der Nähe der Pole betrifft, sowohl den arktischen als auch den antarktischen, sind sie weder in der Größe noch in der Lage »gegeben«: Je nach dem Unterschied zwischen der nördlichsten und der südlichsten Region werden sie bei den einen größer gesehen, bei den anderen kleiner, in der Mittelregion der Erde, also in Korrespondenz mit der Zone unterhalb des Äquators, der als ein durch die Hitze unbewohnbarer Gürtel (zone) bezeichnet wird, sind sie gar nicht vorhanden, da die Pole nur jenseits davon erscheinen und der Horizont durch sie hindurchgeht. Manche nennen die Kugel auch senkrecht, denn alle Parallelkreise sind senkrecht (zur Achse) in Bezug auf jene Orte der Erde. Tierkreis (10) Wiederum ist jeder der anderen Kreise in Wirklichkeit ein Kreis, der von einer einzigen Linie erfasst wird, während der sogenannte Tierkreis irgendwie in der Breite ausgedehnt erscheint, genau wie die Zylinderseite einer Trommel (tympanon), und auf ihm sind auch die Bilder der Tierkreiszeichen angebracht. Der Kreis durch die Mitte wird Tierkreises genannt; er ist ein Großkreis, der die beiden Wendekreise an je einem Punkt berührt und den Äquator schneidet, während die Kreise auf beiden Seiten, welche die Breite bestimmen, kleiner sind als der Tierkreis und der Kreis durch die Mitte. Fixsterne (11) Die meisten Sterne sind Fixsterne (aplaneis, »nicht wandernde Sterne«) und werden durch die erste und größte Kugel, die das gesamte Universum von außen einschließt, mit einer einzigen einfachen Kreisbewegung zusammengeführt, so als ob sie in sie eingesetzt wären und von ihr getragen würden, wobei sie eine einzige und immer identische Position auf der Kugel und die entsprechende geordnete Position zueinander beibehalten, ohne irgendeine andere Variation zu erzeugen, weder in Form oder Bewegung noch in Größe oder Farbe.

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Theon von Smyrna

[135]

περὶ τῶν πλανήτων (12) ἥλιος δὲ καὶ σελήνη καὶ οἱ λοιποὶ πάντες ἀστέρες καλούμενοι πλάνητες συναποφέρονται μὲν ὑπὸ τοῦ παντὸς τὴν ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσιν φορὰν καθ’ ἑκάστην ἡμέραν, καθὰ καὶ οἱ ἀπλανεῖς, φαίνονται δὲ καθ’ ἑκάστην ἡμέραν πολλὰς καὶ ποικίλας ἄλλας ποιούμενοι κινήσεις. εἰς τε γὰρ τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων μετίασι καὶ οὐκ εἰς τὰ προηγούμενα κατὰ τὴν ἰδίαν πορείαν,

ἀντιφερόμενοι ‹τῷ› παντὶ τὴν κατὰ μῆκος αὐτῶν λεγομένην φοράν, καὶ ἀπὸ τῶν βορείων ἐπὶ τὰ νότια καὶ ἀνάπαλιν τρέπονται, τὴν κατὰ πλάτος ποιούμενοι μετάβασιν, ἁπλῶς δὲ ἀπὸ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ πρὸς τὸν χειμερινὸν καὶ ἀνάπαλιν φερόμενοι διὰ τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ λόξωσιν τούτοις ὑφ’ ὧν ἀεὶ θεωροῦνται, καὶ ἐν αὐτῷ τῷ πλάτει [135] τοῦ ζῳδιακοῦ ποτὲ μὲν βορειότεροι τοῦ διὰ μέσου φαινόμενοι καὶ ὑψοῦσθαι λεγόμενοι, ποτὲ δὲ νοτιώτεροι καὶ ταπεινούμενοι, καὶ τοῦτο οἱ μὲν πλεῖον, οἱ δὲ ἔλαττον,

ἔτι δὲ καὶ τοῖς μεγέθεσι διαλλάττοντες, διὰ τὸ ποτὲ μὲν ἀπογειότεροι, ποτὲ δὲ σύνεγγυς ἡμῖν ἐν τῷ βάθει φέρεσθαι. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ τάχος τῆς κινήσεως διὰ τῶν ζῳδίων ἀνώμαλον φαίνονται ποιούμενοι, τὰ ἴσα διαστήματα μὴ ἐν ἴσοις χρόνοις παραλλάττοντες, ἀλλὰ θᾶττον μὲν ὅτε καὶ μέγιστοι δοκοῦσι διὰ τὸ προσγειότεροι καθίστασθαι, βραδύτερον δὲ ὅτε καὶ μικρότεροι διὰ τὸ γίνεσθαι ἀπόγειοι. τὸ δ’ ἐν αὐτῷ τῷ ζῳδιακῷ πλάτος τῆς μεταβάσεως ὁ μὲν ἥλιος βραχύ τι παντάπασιν ὁρᾶται, τὸ πᾶν περὶ μίαν μοῖραν τῶν τξ'· ἡ δὲ σελήνη, καθὰ οἱ ἀρχαῖοί φασι, καὶ ὁ φωσφόρος πλεῖστον, περὶ γὰρ μοίρας ιβ'· στίλβων δὲ περὶ μοίρας η'· πυρόεις δὲ καὶ φαέθων περὶ μοίρας ε'· φαίνων δὲ περὶ μοίρας γ'. ἀλλὰ σελήνη μὲν καὶ ἥλιος ἴσον ἐφ’ ἑκάτερον τοῦ διὰ μέσου ἐν παντὶ ζῳδίῳ κατὰ πλάτος φαίνονται

Teil III (Astronomie, Abschnitt 12

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Planeten (12) Die Sonne aber, der Mond und all die übrigen Sterne, die man Planeten (planetes, »wandernde Sterne«) nennt, werden einerseits jeden Tag vom Universum in der Bewegung vom Sonnenaufgang bis zum Sonnenuntergang zusammengeführt – was auch mit den Fixsternen geschieht –, andererseits erzeugen sie jeden Tag deutlich sichtbar viele und verschiedene andere Bewegungen. Nach einem eigenen Weg bewegen sie sich ja auf die nachfolgenden Tierkreiszeichen zu, nicht auf die vorhergehenden; sie bewegen sich also in ihrer sogenannten phora (»Getragenwerden«) in der Länge in entgegengesetzter Richtung zum Universum. In ihrer sogenannten phora in der Länge bewegen sie sich auch von den nördlichen zu den südlichen Gebieten und umgekehrt, wodurch sie eine Veränderung der Position in der Breite bewirken; generell bewegen sie sich vom Sommer- in den Winterwendekreis und umgekehrt aufgrund der Schiefe des Tierkreises zwischen ihnen für diejenigen unter ihnen, die sie jeweils sehen. In der Breite des Tierkreises erscheinen sie außerdem manchmal weiter nördlich des Kreises durch die Mitte und man sagt, dass sie sich in der Höhe befinden, manchmal erscheinen sie weiter südlich und tiefer, und zwar manche in größerem, andere in geringerem Maß. Wiederum variieren sie auch in ihrer Größe, da sie sich in der Tiefe bewegen, manchmal weiter entfernt und manchmal näher bei uns. Aus diesem Grund ist auch die Geschwindigkeit, mit der sie sich durch die Tierkreiszeichen bewegen, unregelmäßig, da sie in ungleichen Zeiten gleiche Intervalle durchlaufen. Ja, manchmal scheinen sie schneller und von größter Größe zu sein, weil sie näher sind, manchmal aber langsamer und von geringerer Größe, weil sie weiter entfernt sind. In der Breite des Durchlaufs durch den Tierkreis wird die Sonne nur wenig (abweichend) gesehen, insgesamt in 1 von 360 Teilen (Grad); der Mond, wie die Alten sagen, und die Venus in einem größeren Anteil, nämlich in 12 Teilen; Merkur in 8 Teilen, Mars und Jupiter in 5 und Saturn in 3 Teilen. Allerdings scheinen sich der Mond und die Sonne in der Breite von beiden Seiten des Kreises durch die Mitte in jedem Tierkreiszeichen gleichmäßig zu bewegen, während sich die

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Theon von Smyrna

[136]

χωρεῖν, τῶν δὲ ἄλλων ἕκαστος οὐκ ἴσον, ἀλλ’ ἔν τινι μὲν βορειότατος, ἔν τινι δὲ νοτιώτατος γίνεται. τὸν δὲ τῶν ζῳδίων κύκλον κατὰ τὸ μῆκος ἀπὸ σημείου ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον, εἰς τὰ ἑπό[136]μενα καὶ οὐκ εἰς τὰ προηγούμενα, σελήνη μὲν ἐν ἡμέραις κζ' καὶ τρίτῳ μάλιστα ἡμέρας καὶ νυκτὸς διέρχεται· ὁ ἥλιος δ’ ἐνιαυτῷ, ὅς ἐστιν ἡμερῶν ἐγγὺς τξε' δ· φωσφόρος δὲ καὶ στίλβων καθ’ ἕκαστα μὲν ἀνωμάλως, ὀλίγον παραλλάττοντες τοῖς χρόνοις, ὡς δὲ τὸ ὅλον εἰπεῖν ἰσόδρομοι ἡλίῳ εἰσίν, ἀεὶ περὶ τοῦτον ὁρώμενοι· διὸ καταλαμβάνουσί τε αὐτὸν καὶ καταλαμβάνονται· πυρόεις δὲ ὀλίγου δεῖν διετίᾳ, καὶ φαέθων μὲν σύνεγγυς ἔτεσι δώδεκα, φαίνων δὲ παρ’ ὀλίγον ἔτεσι λ'.

διὸ καὶ τὰς πρὸς τὸν ἥλιον συνόδους καὶ φάσεις καὶ κρύψεις, ἃς καὶ αὐτὰς ἀνατολὰς καλοῦσι καὶ δύσεις, οὐχ ὁμοίως πάντες ποιοῦνται. σελήνη μὲν γὰρ μετὰ τὴν πρὸς τὸν ἥλιον σύνοδον, ἐπειδὴ θᾶττον αὐτοῦ τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα ποιεῖται κίνησιν, ἀεὶ ἑσπερία πρώτως φαινομένη καὶ ἀνατέλλουσα, ἑῴα κρύπτεται καὶ δύνει. φαίνων δὲ καὶ φαέθων καὶ πυρόεις ἀνάπαλιν ἐπειδὴ βράδιον ἡλίου τὸν τῶν ζῳδίων ἀνύουσιν εἰς τὰ ἑπόμενα κύκλον, οἷον αὐτοὶ καταλαμβανόμενοι ὑπ’ αὐτοῦ καὶ παριέμενοι, ἀεὶ ἑσπέριοι δύνοντες [δὲ] ἑῷοι ἀνατέλλουσιν.

περὶ τῶν ‹ἡλίῳ› [ἡλίου] ἰσοδρόμων (13) ὁ φωσφόρος δὲ καὶ στίλβων ἰσόδρομοι ὄντες ἡλίῳ καὶ περὶ αὐτὸν ἀεὶ βλεπόμενοι, καταλαμβάνοντες αὐτὸν καὶ καταλαμβανόμενοι ὑπ’ αὐτοῦ, ἑκατέρως ἑσπέριοι μὲν ἀνατείλαντες ἑσπέριοι πάλιν κρύπτονται, ἑῷοι δὲ φανέντες ἑῷοι δύνουσι καὶ ἀφανίζονται. τῶν γὰρ ἄλλων πλανωμένων ἀπὸ τοῦ ἡλίου πᾶν ἀπό[137]στημα ἀφισταμένων καὶ κατὰ διάμετρον αὐτῷ ποτε γινομένων, οἱ δύο οὗτοι ἀεὶ περὶ τὸν ἥλιον ὁρῶνται, στίλβων μὲν κ' που μοίρας, τουτ­έστιν ἔγγι-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 13

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anderen in ungleichem Maß bewegen, nämlich in dem einem weiter nördlich, in dem anderen weiter südlich. Der Kreis der Tierkreiszeichen wird dann in der Länge von einem Tierkreiszeichen zu demselben Tierkreiszeichen durchlaufen, zu den folgenden Tierkreiszeichen hin und nicht zu den vorhergehenden, und zwar in etwa 271⁄3 Tagen und Nächten vom Mond, von der Sonne hingegen in einem Jahr, das etwa 3651⁄4 Tage dauert. Venus und Merkur durchqueren ihn in einer ungleichen Bewegung, aber mit wenig Unterschied in der Dauer, und man kann sagen, dass sie die gleiche Geschwindigkeit wie die Sonne haben, da sie immer neben ihr gesehen werden, manchmal ihr folgend, manchmal ihr vorausgehend. Mars erreicht seinen Lauf in etwas weniger als 2 Jahren, Jupiter in etwa 12 Jahren und Saturn in etwas weniger als 30 Jahren. Darum führen sie alle die Zusammenläufe mit der Sonne, die phaseis (»Erscheinungen«) und die krypseis (»Verdeckungen«), die auch Aufund Untergang genannt werden, auf unterschiedliche Weise durch. Der Mond beginnt nach seinem Zusammenlauf mit der Sonne, da er sich schneller als die Sonne auf die folgenden Tierkreiszeichen zu bewegt, sich zu zeigen und geht immer abends auf, dann in der Morgendämmerung wird er verborgen und geht unter. Im Gegensatz dazu bewegen sich Saturn, Jupiter und Mars, da sie wiederum langsamer als die Sonne sind, den Kreis der Tierkreiszeichen auf die folgenden zu, so dass sie von der Sonne eingeholt und überwunden werden; immer am Abend untergehend, gehen sie in der Morgendämmerung auf. Die Gleichläufer mit der Sonne (13) Venus und Merkur haben die gleiche Geschwindigkeit wie die Sonne und sind immer in ihrer Nähe zu beobachten, wobei sie jene erreichen und von ihr erreicht werden (s. o. III 12); jedes Mal, auch wenn sie abends aufsteigen, verstecken sie sich abends wieder, und wenn sie in der Morgendämmerung erscheinen, gehen sie noch in der Morgendämmerung unter und verschwinden. Während die anderen Planeten sich um die maximale Entfernung von der Sonne fortbewegen und ihr dann diametral gegenüber stehen, sieht man diese beiden ja immer um die Sonne herum: Merkur ist höchstens 20 Teile

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Theon von Smyrna

[138]

στα δύο μέρη ζῳδίου, τὸ πλεῖστον ἀνατολικώτερος ἢ δυσμικώτερος αὐτοῦ γινόμενος, ὁ δὲ τῆς Ἀφροδίτης περὶ ν' μοίρας πρὸς ἀνατολὰς ἢ δύσεις ἀφιστάμενος. ὁποσαχῶς λέγεται ἀνατολή (14) ἀνατολὴ δὲ λέγεται πλεοναχῶς· κυρίως μὲν καὶ κοινῶς ἐπί τε ἡλίου καὶ τῶν ἄλλων ἄστρων ἡ πρώτη ἀναφορὰ ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα· ἕτερον δὲ τρόπον ἐπὶ τῶν ἄλλων ἡ πρώτη φαῦσις ἐκ τῶν τοῦ ἡλίου αὐγῶν, ἥτις καὶ κυρίως φαῦσις ὀνομάζεται· λοιπὴ δὲ ἡ καλουμένη ἀκρόνυχος, ἐπειδὰν ἡλίου δύνοντος τὸ κατὰ διάμετρον ἄστρον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς βλέπηται· καλεῖται δὲ ἀκρόνυχος, ἐπειδὴ ἡ τοιαύτη ἀνατολὴ γίνεται ἄκρας νυκτός, τουτ­έστιν ἀρχομένης. παραπλησίως δὲ καὶ δύσις κοινῶς μὲν ἡ πρώτη κάθοδος ἡ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα· τρόπον δὲ ἄλλον ὁ πρῶτος ἀφανισμὸς ἄστρου τινὸς ὑπὸ τῶν τοῦ ἡλίου αὐγῶν, ἥτις καὶ κυρίως κρύψις πάλιν προσαγορεύεται· λοιπὴ δὲ καὶ ἀκρόνυχος, ἐπειδὰν ἡλίου ἀνατέλλοντος τὸ κατὰ διάμετρον ἄστρον ἀντικαταδύνῃ.

τῶν δὲ διὰ τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς λεγομένων ἀνατολῶν καὶ δύσεων, τουτέστι φαύσεων καὶ κρύψεων, αἱ μέν εἰσιν ἑῷαι, αἱ δὲ ἑσπέριαι. ἑῴα μὲν οὖν ἐστιν ἀνατολὴ ἄστρου, ἐπειδὰν ἐκφεῦγον τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς προανατέλλον αὐτοῦ πρώτως ὁραθῇ, καθάπερ καὶ ἡ τοῦ κυνὸς ἐπιτολὴ [138] λέγεται· ἑσπερία δέ, ἐπειδὰν μετὰ τὴν δύσιν τοῦ ἡλίου πρώτως φανῇ, καθάπερ τὴν σελήνην ταῖς νεομηνίαις φαμὲν ἀνατέλλειν. παραπλησίως δὲ καὶ δύσεις ἑῷαι μέν, ἐπειδὰν ταῖς ἔμπροσθεν ἡμέραις τι προανατέλλον ἡλίου συνεγγίσαντος αὐτῷ πρώτως ἀφανισθῇ, καθάπερ ἡ σελήνη· ἑσπερία δέ, ἐπειδὰν ἐπικαταδυομένῳ τινὶ συνεγγίσας ὁ ἥλιος πρώτως διὰ τὰς αὐγὰς ἀφανὲς αὐτὸ καταστήσῃ.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 14

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(Grad) – also etwa zwei Teile eines Tierkreiszeichens – und mehr im Osten oder mehr im Westen als sie, während der Stern der Venus 50 Teile im Osten oder Westen entfernt ist. Auf wie viele Weisen man von Aufgang spricht (14) Von Aufgang spricht man auf mehrere Weisen. Im eigentlichen und allgemeinen Sinn ist er in Bezug auf die Sonne und die anderen Sterne die erste Erhebung am Horizont; in einem anderen Sinn – in Bezug auf die anderen Sterne – ist er der erste Moment, in dem (ein Stern) von den Sonnenstrahlen beleuchtet wird, was auch eigentlich phausis (»Aufscheinen«) genannt wird. Es bleibt die sogenannte akro­nychos (»Nachtrand«), die immer dann auftritt, wenn beim Untergang der Sonne der diametral gegenüberliegende Stern in seinem Aufgang gesehen wird. Sie wird akronychos genannt, weil dieser Aufgang am Rand (akra) der Nacht (nyx) stattfindet, das heißt, wenn sie beginnt. In ähnlicher Weise wird auch der Sonnenuntergang gemeinhin als der erste Abstieg unter den Horizont verstanden; in einem anderen Sinn ist er stattdessen das erste Verschwinden eines bestimmten Sterns durch die Sonnenstrahlen, was im eigentlichen Sinne auch als krypsis (»Verbergung«) bezeichnet wird. Es bleibt auch noch die akronychos, die immer beim Sonnenaufgang eintritt, wenn der diametral gegenüberliegende Stern auf der anderen Seite untergeht. Von den verschiedenen Auf- und Untergängen, die als durch die Sonnenstrahlen verursacht beschrieben werden, also als phausis oder krypsis, gibt es einige morgens, andere abends. Deshalb ist der Aufgang eines Sterns jeweils der Morgen, an dem er, den Strahlen der Sonne vorausgehend, noch vor ihr erscheint, wie etwa im Fall der sogenannten epitole (Dämmerung) des Hundssterns (Sirius, α Canis Majoris). Umgekehrt ist es Abend, wenn er zum ersten Mal nach dem Untergang der Sonne erscheint, wie wir im Fall des Mondaufgangs nach dem Neumond sagen. Fast genauso gehört der Untergang zu dem Morgen, an dem der Stern, der in den vorhergehenden Tagen vor der Sonne aufgegangen ist, wie der Mond bei seiner Annäherung, nicht mehr erscheint; der Untergang gehört zu dem Abend, an dem die Sonne, da sie sich in der Nähe eines untergehenden Sterns befindet, bewirkt, dass dieser wegen ihrer Strahlen zum ersten Mal unsichtbar wird.

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Theon von Smyrna

[139]

περὶ θέσεως τῶν πλανωμένων (15) τὴν δὲ κατὰ τόπον τῶν σφαιρῶν ‹ἢ› κύκλων θέσιν τε καὶ τάξιν, ἐν οἷς κείμενα φέρεται τὰ πλανώμενα, τινὲς μὲν τῶν Πυθαγορείων τοιάνδε νομίζουσι· προσγειότατον μὲν εἶναι τὸν τῆς σελήνης κύκλον, δεύτερον δ’ ὑπὲρ τοῦτον ‹τὸν τοῦ› Ἑρμοῦ, ἔπειτα τὸν τοῦ φωσφόρου, καὶ τέταρτον ‹τὸν› τοῦ ἡλίου, εἶτα τὸν τοῦ Ἄρεως, ἔπειτα τὸν τοῦ Διός, τελευταῖον δὲ καὶ σύνεγγυς τοῖς ἀπλανέσι τὸν τοῦ Κρόνου· μέσον εἶναι βουλόμενοι τὸν τοῦ ἡλίου τῶν πλανωμένων ὡς ἡγεμονικώτατον καὶ οἷον καρδίαν τοῦ παντός. μηνύει δὲ ταῦτα καὶ Ἀλέξανδρος ὁ Αἰτωλός, λέγων οὕτως· [139] ὑψοῦ δ’ ἄλλοθεν ἄλλος ὑπέρτερον ἔλλαχε κύκλον· ἀγχοτάτη μὲν δῖα σεληναίη περὶ γαῖαν, δεύτερος οὖ στίλβων χελυοξόου Ἑρμείαο, τῷ δ’ ἔπι φωσφόρος ἐστὶ φαεινότατος Κυθερείης, τέτρατος αὐτὸς ὕπερθεν ἐπ’ ἠέλιος φέρεθ’ ἵπποις, πέμπτος δ’ οὖ πυρόεις φονίου Θρήικος Ἄρηος, ἕκτος δ’ οὖ φαέθων Διὸς ἀγλαὸς ἵσταται ἀστήρ, ἕβδομος ‹αὖ› φαίνων Κρόνου ἀγχόθι τέλλεται ἄστρων. πάντες δ’ ἑπτανόνοιο λύρης φθόγγοισι συνῳδὸν ἁρμονίην προχέουσι διαστάσει ἄλλος ἐπ’ ἄλλῃ. καὶ γὰρ τοῦτο Πυθαγόρειον, τὸ καθ’ ἁρμονίαν εἴρεσθαι τὸν κόσμον

καὶ κατὰ τοὺς τῶν ἡρμοσμένων καὶ συμφώ[140]νων φθόγγων λόγους διεστῶτα τὰ οὐράνια τῇ ῥύμῃ καὶ τῷ τάχει τῆς φορὰς ἡρμοσμένους καὶ συμφώνους φθόγγους ἀποτελεῖν. ὅθεν καὶ ἐν τοῖς ἐφεξῆς φησιν Ἀλέξανδρος·

γαῖα μὲν οὖν ὑπάτη τε βαρεῖα τε μεσσόθι ναίει· ἀπλανέων δὲ σφαῖρα συνημμένη ἔπλετο νήτη· μέσσην δ’ ἠέλιος πλαγκτῶν θέσιν ἔσχεθεν ἄστρων· τοῦ δ’ ἀπὸ δὴ ψυχρὸς μὲν ἔχει διὰ τέσσαρα κύκλος· κείνου δ’ ἡμίτονον φαίνων ἀνίησι χαλασθείς, τοῦ δὲ τόσον φαέθων ὅσον ὄβριμος Ἄρεος ἀστήρ· ἠέλιος δ’ ὑπὸ τοῖσι τόνον τερψίμβροτος ἴσχει, αἴγλης δ’ ἠελίοιο τριημίτονον Κυθέρεια·

Teil III (Astronomie, Abschnitt 15

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Die Lage der Planeten (15) Dass die räumliche Ordnung und die Position der Kugeln oder der Kreise, auf denen sich die Planeten bewegen, die folgenden sind, glauben einige Pythagoreer: Der nächste Kreis ist der des Mondes, der zweite darüber der von Merkur, dann der von Venus, der vierte der der Sonne, dann der von Mars, danach der von Jupiter und der letzte und nahe den Sternen der von Saturn. Sie tun dabei so, als ob der Sonnenkreis zwischen den Planeten liegt, weil sie glauben, dass er am meisten hegemonial ist und wie das Herz des Universums. Auch Alexandros der Aitoler bezeugt dies, indem er sagt: Jeder Stern hat einen Kreis erlost, einer höher als der andere: Der helle Mond ist der Erde am nächsten, wenn er sich um die Erde dreht, an zweiter Stelle dann Stilbon von Merkur, der die Leier spielt, nach diesem sehr hellen Stern Phos‌phoros der Göttin von Kythera (Venus), der vierte darüber ist die Sonne, von Pferden gezogen, fünftens dann Pyroeis vom tödlichen Mars von Thrakien, der sechste ist Phaeton, der leuchtende Stern des Jupiter, der siebte dann Phainon von Saturn, der in der Nähe der Sterne steht. Alle zusammen gießen sie von einer siebensaitigen Leier Harmonie aus, durch das Intervall des einen über dem anderen. (Alexandros von Aitolien, Frg. 21,1–10)

Dies ist ja die pythagoreische Lehre, die besagt, dass der Kosmos nach der Harmonie verbunden ist und dass die Himmelskörper, die in Intervallen angeordnet sind, nach den Verhältnissen von musikalischen und konsonanten Tönen positioniert sind mit dem Schwung und der Geschwindigkeit der Bewegung musikalische und konsonante Töne bewirken. Daher sagt Alexandros auch in den anschließenden Versen: So gibt die Erde in der Mitte den tiefen Ganzton der hypate; die Kugel der Fixsterne ist mit der nete (s. o. S. 13) fest verbunden; die Sonne hatte eine Mittelstellung zwischen den Planeten, davon ist der kalte Kreis eine Quarte entfernt; Saturn, verlangsamt, ist einen Halbton entfernt; in gleicher Entfernung sind sowohl Jupiter als auch der Stern des schrecklichen Mars; die Sonne, Freude der Sterblichen, hält einen Ganzton unter jenen, und von der strahlenden Sonne Venus einen trihemitonon;

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Theon von Smyrna

[141]

ἡμίτονον δ’ ὑπὸ τῷ στίλβων φέρεθ’ Ἑρμείαο, τόσσον δὲ χρωσθεῖσα φύσιν πολυκαμπέα μήνη· κέντρου δ’ ἠελίοιο θέσιν διὰ ‹πέντ’› ἔλαχε χθών· αὕτη πεντάζωνος ἀπ’ ἠέρος εἰς φλογόεν πῦρ [141] ἁρμοσθεῖσ' ἀκτῖσι πυρὸς κρυερῇσί τε πάχναις οὐρανοῦ ἑξάτομον τόνον ἔσχεθε τὸν διὰ πασῶν. τοίην τοι σειρῆνα Διὸς παῖς ἥρμοσεν Ἑρμῆς, ἑπτάτονον κίθαριν, θεομήστορος εἰκόνα κόσμου.

ἐν δὲ τούτοις τὴν μὲν τάξιν τῶν σφαιρῶν ἣν βεβούληται μεμήνυκε, τὴν δὲ διάστασιν αὐτῶν καὶ τὰ ἄλλα σχεδὸν πάντα φαίνεται εἰκῇ πεποιῆσθαι. τὴν γὰρ λύραν ἑπτάχορδον λέγων εἰκόνα κόσμου συστήσασθαι τὸν Ἑρμῆν καὶ ἐν τῇ διὰ πασῶν ἡρμοσμένην συμφωνίᾳ τὸ πᾶν ἐννεάχορδον συνίστησιν, ἓξ μέντοι τόνους περιέχον.

καὶ τὸν μὲν τῆς ὑπάτης φθόγγον ἀποδίδωσι τῇ γῇ, διότι βαρυτάτη τῶν ἄλλων ἐστὶν αὕτη· καίτοι ἣ ἐπὶ τοῦ μέσου ἐστὶν ἀκίνητος, οὐδ’ ὅλως ποιεῖ φθόγγον· τὸν δὲ τῆς συνημμένης νήτης τῇ τῶν ἀπλανῶν ἀποδίδωσι σφαίρᾳ, καὶ τοῦτο ζ' ‹…›· μεταξὺ δὲ τίθησι φθόγγους τοὺς τῶν πλανωμένων. πάλιν τὸν τῆς μέσης ἀποδίδωσι τῷ ἡλίῳ, τῆς ὑπάτης οὔτε πρὸς τὴν μέσην διὰ πέντε συμφωνούσης, ἀλλὰ διὰ τεσσάρων, οὔτε πρὸς τὴν συνημμένην νήτην διὰ πασῶν, ἀλλὰ πρὸς τὴν διεζευγμένην.

τό τε πᾶν σύστημα οὔτε κατὰ διάτονον γένος ἁρμόζεται· οὔτε γὰρ τριημιτονιαῖον ἀσύνθετον οὔτε πλείω ἑνὸς ἡμιτόνια κατὰ τὸ ἑξῆς ἐν τούτῳ μελῳδεῖται τῷ γένει· [142] οὔτε μὴν κατὰ χρῶμα· πάλιν γὰρ ἐν χρώματι τόνος ἀσύνθετος οὐ μελῳδεῖται. εἰ δὲ μικτὸν ἐξ ἀμφοῖν λέγει τις τοῖν γενοῖν εἶναι τὸ σύστημα, ‹…› τό τε πλείω δυοῖν κατὰ τὸ ἐξῆς ἡμιτόνια τάττεσθαι οὐδ’ ὅλως ἐστὶν ἐμμελές. ἀλλὰ ταῦτα μὲν τοῖς ἀμυήτοις μουσικῆς ἐστιν ἄδηλα.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 15

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einen Halbton darunter bewegt sich Stilbon, Stern des Merkur und so weit weg ist der Mond, die Natur in vielen Farben; der Erde wurde der Platz der Quinte in Bezug auf die Sonne gegeben. Sie hat fünf Zonen, von der Luft bis zum glühenden Feuer, und passt zu warmen Gebieten für Feuer und Gletschergebieten für Kälte. Der Himmel, der sechs Ganztöne enthält, vervollständigt die Oktave, Merkur, Sohn des Jupiter, stimmte ihn wie eine Sirene (s. u. S. 255), eine siebensaitige Leier, Abbild des Kosmos, Kind der göttlichen Weisheit. (Alexandros von Aitolien, Frg. 21,11–26)

In diesen Versen erinnerte Alexandros an die Ordnung der Kugeln, die er wollte, und es scheint, dass er tatsächlich ihre Entfernung und fast alle anderen Dinge, wie es sich trifft, richtig ausgearbeitet hat. Während er sagt, dass Hermes (Merkur) das Heptachord (die siebensaitige Leier) als Abbild des Kosmos konstituiert hat, konstituiert er das Universum als Enneachord (neunsaitige Leier) in einer Konsonanz der Oktave, die sechs Ganztöne umfasst. Er schreibt der Erde auch den Ton der hypate zu (s. II 2), weil er der niedrigste unter den anderen ist, aber sie, in der Mitte platziert, ist bewegungslos und macht überhaupt keinen Ton. Dann schreibt er den Ton zur nete synemmene der Kugel der Fixsterne zu, und diese sieben … (Lücke im Text); zwischen ihnen platziert er die Töne der Planeten. Auch hier gibt er Lage der mese der Sonne, obwohl die hypate nicht in der Konsonanz der Quinte, sondern in der Konsonanz der Quarte in Bezug auf die mese ist und in der Konsonanz der Oktave nicht in Bezug auf die nete des Verbundenen, sondern in Bezug auf die nete diëzeugmene. Das ganze System ist im Übrigen nicht nach der diatonischen Gattung (s. II 9) gestimmt, da diese Gattung weder ein trihemitonon-Inter ­vall noch mehrere Halbtöne nacheinander erlaubt, aber auch nicht nach der chromatischen Gattung, denn in der chromatischen Gattung wird tatsächlich kein zusammengesetzter Ganzton nacheinander gespielt. Wenn jemand sagt, dass es ein gemischtes System aus diesen beiden Gattungen ist ... (Lücke im Text, etwa: erwidere ich, dass) es nicht melodisch ist, mehr als zwei Halbtöne hintereinander zu haben. Aber all dies ist denen unklar, die nicht in die Musik eingeweiht sind.

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Theon von Smyrna

[143]

Ἐρατοσθένης δὲ τὴν μὲν διὰ τῆς φορᾶς τῶν ἄστρων γινομένην ἁρμονίαν παραπλησίως ἐνδείκνυται, τὴν μέντοι τάξιν τῶν πλανωμένων οὐ τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μετὰ σελήνην ὑπὲρ γῆς δεύτερόν φησι φέρεσθαι τὸν ἥλιον. φησὶ γὰρ ὡς Ἑρμῆς ἔτι νέος, ἐργασάμενος τὴν λύραν, ἔπειτα πρώτως εἰς τὸν οὐρανὸν ἀνιὼν καὶ παραμείβων τὰ πλανᾶσθαι λεγόμενα, θαυμάσας τὴν διὰ τὴν ῥύμην τῆς φορᾶς αὐτῶν γινομένην ἁρμονίαν τῇ ὑπ’ αὐτοῦ κατεσκευασμένῃ λύρᾳ ‹ὁμοίαν …› ἐν δὲ τοῖς ἔπεσι φαίνεται ὁ ἀνὴρ οὗτος τὴν μὲν γῆν ἐᾶν ἀκίνητον, ἐν η' δὲ φθόγγοις ποιεῖ ὑπὸ τὴν τῶν ἀπλανῶν σφαῖραν τὰς τῶν πλανωμένων ἑπτά, [καὶ] πάσας κινῶν περὶ τὴν γῆν καὶ τὴν λύραν ποιούμενος ὀκτάχορδον ἐν τῇ διὰ πασῶν συμφωνίᾳ [ὁ μουσικώτα[143]τος Ἀλέξανδρος].

οἱ μέντοι μαθηματικοὶ τὴν τάξιν τῶν πλανωμένων οὔτε ταύτην ‹οὔτε τὴν› αὐτὴν πάντες τιθέασιν, ἀλλὰ μετὰ μὲν τὴν σελήνην τάττουσι τὸν ἥλιον, ὑπὲρ δὲ τοῦτον ἔνιοι μὲν τὸν στίλβοντα, εἶτα τὸν φωσφόρον, ‹ἄλλοι δὲ τὸν φωσφόρον›, ἔπειτα τὸν στίλβοντα, τοὺς δὲ ἄλλους ὡς εἴρηται. τὰ ἐν τῇ Πολιτείᾳ περὶ τοῦ Παμφίλου μύθου (16) Πλάτων δὲ ἐπὶ τέλει τῆς Πολιτείας, προτρέπων ἐπὶ δικαιοσύνην καὶ ἀρετήν, μῦθόν τινα διέξεισι [καὶ] περὶ τῆς τῶν οὐρανίων διακοσμήσεως, λέγων ἄξονα μέν τινα διὰ τοῦ πόλου διήκοντα οἷον κίονα, ἑτέραν δὲ ἠλακάτην καὶ ἄτρακτον, τοὺς δέ τινας περὶ τοῦτον κοίλους ἐν ἀλλήλοις ἡρμοσμένους σφονδύλους τὰς τῶν ἄστρων σφαίρας, ζ' μὲν τῶν πλανωμένων, ἐκτὸς δὲ μίαν τῶν ἀπλανῶν ἐντὸς αὐτῆς περιέχουσαν τὰς ἄλλας· δηλοῖ δὲ τὴν τάξιν τῶν σφαιρῶν διά τε τοῦ μεγέθους τῶν ἄστρων ἑκάστου καὶ διὰ τοῦ χρώματος ἑκάστου καὶ ἔτι διὰ τοῦ τάχους τῆς ἐπὶ τὰ ἐναντία τῷ παντὶ φορὰς, λέγων οὕτως·

ἐπειδὴ δὲ τοῖς ἐν τῷ λειμῶνι ἑκάστοις ἑπτὰ ἡμέραι γένοιντο, ἀναστάντας ἐντεῦθεν δεῖν τῇ ὀγδόῃ ἐκπορεύεσθαι, καὶ ἀφικνεῖσθαι [ἢ] τεταρταίους ὅθεν καθορᾶν [144] ἄνωθεν διὰ παντὸς τοῦ οὐρανοῦ καὶ γῆς τε-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 16

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Eratosthenes (vgl. Frg. 397–398 Suppl. Hell.) hat die durch den Umschwung der Sterne entstehende Harmonie auf ähnliche Weise geschildert, aber die Reihenfolge der Planeten nicht auf dieselbe Weise, sondern er sagte, dass nach dem Mond über der Erde die Sonne schon an zweiter Stelle kreist. Er sagte nämlich, dass der noch jugendliche Hermes, als er nach dem Bau der Leier zum ersten Mal zum Himmel aufstieg und an den sogenannten Planeten vorbeikam, sich darüber gewundert habe, dass die durch die Schnelligkeit ihres Umlaufes entstehende musikalische Harmonie jener der von ihm gebauten Leier … (Lücke im Text, etwa: gleich sei). In seinen epischen Versen scheint dieser Mann die Erde unbewegt zu lassen. In acht Tönen stellt er unterhalb der Kugel der Fixsterne die sieben Kugeln der Planeten dar, indem er sie alle um die Erde kreisen und das Oktachord in der Konsonanz der Oktave erklingen lässt. Die Mathematiker ihrerseits stellen weder diese noch eine ähnliche Reihenfolge der Planeten auf: Nach dem Mond stellen sie die Sonne in die Abfolge, dann darüber manche den Merkur, dann die Venus, andere die Venus, dann den Merkur, dann die anderen Planeten so, wie gesagt. Die Angaben in der Politeia zum Mythos des Pamphylion (16) Platon, der am Ende der Politeia zu Gerechtigkeit und Tugend mahnen will, erzählt einen Mythos, in dem er von der Anordnung der Himmelskörper spricht und sagt, dass eine Achse wie eine Säule den Himmels‌pol durchlaufen. Er fügt hinzu, dass es einen weiteren Spindelschaft mit Spinnwirteln gibt, die nebeneinander verschachtelt sind. Diese Spinnrocken sind nichts anderes als die Kugeln, welche die 7 Planeten tragen. Die letzte Kugel, welche die der Sterne ist, umhüllt alle anderen. Er zeigt die Ordnung dieser Kugeln in Bezug auf die Entfernung der einzelnen Sterne, auf ihre Farbe und auf die Geschwindigkeit ihrer Bewegung in die entgegengesetzte Richtung zu der des Universums. Das ist, was er sagt: Nachdem jede dieser Seelen sieben Tage auf der Wiese verbracht hatte, mussten sie am achten Tag von ihr abreisen und weiter durch eine viertägige Reise zu einem Ort weitergehen, von dem aus man ein Licht

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Theon von Smyrna

[145]

ταμένον φῶς εὐθύ, οἷον κίονα, μάλιστα τῇ ἴριδι ἐμφερές, λαμπρότερον δὲ καὶ καθαρώτερον, εἰς ὃ ἀφικνεῖσθαι προελθόντας ἡμερησίαν ὁδόν, καὶ ἰδεῖν αὐτόθι κατὰ μέσον τὸ φῶς ἐκ τοῦ οὐρανοῦ τὰ ἄκρα τῶν δεσμῶν τεταμένα· εἶναι γὰρ τοῦτο τὸ φῶς σύνδεσμον τοῦ οὐρανοῦ, οἷον τὰ ὑποζώματα τῶν τριήρων, οὕτω πᾶσαν συνέχον τὴν περιφοράν· ἐκ δὲ τῶν ἄκρων τεταμένον ἀνάγκης ἄτρακτον, δι’ οὗ πάσας ἐπιστρέφεσθαι τὰς περιφοράς· οὗ τὴν μὲν ἠλακάτην καὶ τὸ ἄγκιστρον εἶναι ἐξ ἀδάμαντος, τὸν δὲ σφόνδυλον μικτὸν ἐκ τούτου καὶ ἄλλων.

τὴν δὲ τοῦ σφονδύλου φύσιν εἶναι τοιάνδε· τὸ μὲν σχῆμα οἵανπερ τοῦ ἐνθάδε· νοῆσαι δὲ δεῖ ἐξ ὧν ἔλεγε τοιόνδε αὐτὸν εἶναι· ὥσπερ γὰρ ἂν ἐν ἑνὶ μεγάλῳ σφονδύλῳ κοίλῳ καὶ ἐξεγλυμμένῳ διαμπερὲς ἄλλος τοιοῦτος ἐλάττων ἐγκέοιτο ἁρμόττων καθάπερ οἱ κάδοι εἰς ἀλλήλους ἁρμόττοντες· καὶ οὕτω δὲ τρίτον ἄλλον καὶ τέταρτον καὶ ἄλλους τέτταρας. ὀκτὼ γὰρ εἶναι τοὺς σύμπαντας σφονδύλους ἐν ἀλλήλοις ἐγκειμένους, κύκλους ἄνωθεν τὰ χείλη φαίνοντας, νῶτον συνεχὲς ἑνὸς σφονδύλου ἀπεργαζομένους περὶ τὴν ἠλακάτην· ἐκείνην δὲ διὰ [145] μέσου τοῦ ὀγδόου διαμπερὲς ἐληλάσθαι. τὸν μὲν οὖν πρῶτόν τε ‹καὶ› ἐξωτάτω σφόνδυλον πλατύτατον τὸν τοῦ χείλονος κύκλον ἔχειν, τὸν δὲ ‹τοῦ› ἕκτου δεύτερον, τρίτον δὲ τὸν τοῦ τετάρτου, τέταρτον δὲ τὸν τοῦ ὀγδόου, πέμπτον δὲ τὸν τοῦ ἑβδόμου, ἕκτον δὲ τὸν τοῦ πέμπτου, ἕβδομον δὲ τὸν τοῦ τρίτου, ὄγδοον δὲ τὸν τοῦ δευτέρου. καὶ τὸν μὲν τοῦ μεγίστου ποικίλον, τὸν δὲ τοῦ ἑβδόμου λαμπρότατον, τὸν δὲ τοῦ ὀγδόου χρῶμα ἀπὸ τοῦ ἑβδόμου ἔχειν προσλάμποντος, τὸν δὲ τοῦ δευτέρου καὶ πέμπτου παραπλήσια ἀλλήλοις, ξανθότερα ἐκείνων χρώματα, τρίτον δὲ λευκότατον χρῶμα ἔχειν, τὸν τέταρτον ὑπέρυθρον, δεύτερον λευκότητι τὸν ἕκτον.

κυλίεσθαι δὲ στρεφόμενον τὸν ἄτρακτον ὅλον μὲν τὴν αὐτὴν φορὰν τῷ κόσμῳ, ἐν δὲ ὅλῳ περιφερομένῳ τοὺς ἐντὸς ἑπτὰ κύκλους τὴν ἐναντίαν τῷ ὅλῳ ἡρέμα περιάγεσθαι, αὐτῶν δὲ τούτων τάχιστα μὲν ἰέναι τὸν ὄγδοον, δευτέρους δὲ καὶ ἅμα ἀλλήλοις ἰσοταχῶς τόν τε ἕβδομον καὶ τὸν ἕκτον καὶ τὸν πέμπτον· τρίτον δὲ φορᾷ ἰέναι, ὅν φασι φαίνεσθαι ἐπανακυκλούμενον μάλιστα τῶν ἄλλων· τέταρτον δὲ ‹τὸν› τρίτον καὶ πέμπτον

Teil III (Astronomie, Abschnitt 16

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sehen konnte, das sich über die ganze Fläche des Himmels und der Erde erstreckte, gerade wie eine Säule, ganz ähnlich wie ein Regenbogen, aber heller und reiner. Sie machten noch eine weitere Tagesreise, um dort anzukommen, und sahen in der Mitte dieses leuchtenden Bands die Enden seiner Befestigungen, die am Himmel befestigt waren. Dieses Band ist das Glied des Himmels und umschließt seinen ganzen Umfang, wie die Unterzüge von Triëren (um zu verhindern, dass die Konstruktion aus­ einanderfällt). An den Enden dieses Gliedes wurde die Spindel der Ananke (Notwendigkeit) gehalten; sie ist es, die allen Umdrehungen der Kugeln die Schwingung verleiht. Der Spindelschaft und der Spinnwirtel waren aus Diamant; der Spinnrocken war auch daraus und aus anderen Materialien. Der Spinnrocken hatte eine Natur folgender Art: In seiner Form ähnelte er den hiesigen; man müsse ihn sich aber (laut Pamphylion) so vorstellen: Wie in dem einen großen ausgehöhlten Spinnrocken einen weiterer kleinerer Spinnrocken liege, wie bei großen ineinander gesteckten Gefäßen, so enthalte dieser einen weiteren dritten, vierten und nochmals vier. Insgesamt gab es also acht ineinander gesteckte Spinnrocken. Ihre kreisförmigen Ränder konnte man von oben sehen, und sie boten die durchgehend gekrümmte Fläche eines einzigen Spinnrockens um den Spindelschaft, der durch das Zentrum des ersten ging. Der kreisförmige Rand dieses äußeren Spinnrockens war am breitesten, dann der Rand des sechsten an zweiter Stelle, an dritter der des vierten, an vierter der des achten, an fünfter der des siebten, an sechster der des fünften, an siebte der des dritten und an achter der des zweiten, wobei die Breite in dieser Reihenfolge abnahm. Der Rand des größten war von verschiedenen Farben, der Rand des siebten war von einer sehr leuchtenden Farbe, der des achten entlehnte seine Farbe und seinen Glanz dem siebten. Die Farbe der Kreise des siebten und fünften (Saturn und Merkur) war fast gleich und sie waren gelber als die anderen; der dritte ( Jupiter) hatte eine sehr weiße Farbe, die des vierten (Mars) war leicht rot. Schließlich belegte der sechste (Venus) den zweiten Platz in Glanz und Weiße. Der gesamte äußere Spinnwirtel drehte sich in der gleichen Richtung wie das Universum, und im Inneren bewegten sich die sieben konzentrischen Spinnwirtel langsam in die entgegengesetzte Richtung. Die Bewegung des achten war die schnellste; die Bewegungen des siebten, sechsten und fünften waren am zweitschnellsten; der vierte, der eine schnellere rückläufige Bewegung als die anderen hatte, hatte die dritte Geschwindigkeit, wie es schien; der dritte hatte nur die vierte Geschwindigkeit und der

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Theon von Smyrna

[146]

τὸν δεύτερον. στρέφεσθαι δὲ αὐτὸν ἐν τοῖς τῆς ἀνάγκης γόνασιν. ἐπὶ δὲ τῶν κύκλων αὐτοῦ ἄνωθεν ἐφ’ ἑκάστου βεβηκέναι [146] Σειρῆνα συμπεριφερομένην, φωνὴν μίαν ἱεῖσαν, ἕνα τόνον· ἐκ πασῶν ὀκτὼ οὐσῶν ἁρμονίαν συμφωνεῖν.

ταῦτα μὲν οὖν καὶ ὁ Πλάτων· ὧν τὴν ἐξήγησιν ἐν τοῖς τῆς Πολιτείας ποιούμεθα ὑπομνήμασιν. κατεσκεύασται δ’ ἡμῖν καὶ σφαιροποιία κατὰ τὰ εἰρημένα· καὶ γὰρ αὐτός φησιν ὁ Πλάτων ὅτι τὸ ἄνευ τῶν δι’ ὄψεως μιμημάτων [τῶν] τὰ τοιαῦτα ἐθέλειν ἐκδιδάσκειν μάταιος πόνος. ἐπὶ δὲ τῶν κύκλων ‹ἅς› φησιν ἐφεστάναι Σειρῆνας οἱ μὲν αὐτούς ‹φασι› λέγεσθαι τοὺς πλάνητας, ἀπὸ τοῦ σειριάζειν· κοινῶς τε γάρ, φησὶν ὁ Ἄδραστος, πάντας τοὺς ἀστέρας οἱ ποιηταὶ σειρίους καλοῦσιν, ὡς Ἴβυκος

φλεγέθων, ᾇπερ διὰ νύκτα μακρὰν σείρια παμφανόωντα,

καὶ κατὰ διαφορὰν ἔνιοι τοὺς λαμπροὺς καὶ ἐπιφανεῖς, ὡς Ἄρατος τὸν τοῦ κυνὸς ὀξέα σειριᾶν φησι, καὶ ὁ τραγικὸς ἐπί τινος τῶν πλανήτων· [147] τί ποτ’ ἄρα ὁ ἀστὴρ ὅδε πορθμεύει σείριος;

ἔνιοι δὲ Σειρῆνας οὐ τοὺς ἀστέρας λέγεσθαί φασιν, ἀλλὰ κατὰ τὸ Πυθαγορικὸν τοὺς ὑπὸ τῆς τούτων φορᾶς γινομένους ἤχους καὶ φθόγγους ἡρμοσμένους καὶ συμφώνους, ἐξ ὧν μίαν ἡρμοσμένην ἀποτελεῖσθαι φωνήν.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 16

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zweite hatte nur die fünfte. Die Spindel drehte sich auf den Knien der Ananke. Auf jedem dieser Kreise saß eine Sirene, die sich mit ihr drehte und eine Stimme, immer die gleiche, von sich gab, um gehört zu werden. Aus all diesen Tönen, acht an der Zahl, ergab sich eine vollkommene Harmonie (eine Oktave).  (Platon, Politeia X 616b–617b)

Das also ist es, was Platon sagt; dazu haben wir eine Auslegung im Kommentar zur Politeia vorgelegt (zu diesem verlorenen Werk s. die Einführung S. 9). Wir haben auch ein kugelförmiges Modell nach den genannten Angaben hergestellt; ja sogar Platon selbst sagt, dass es ein vergeblicher Versuch ist, ähnliche Dinge ohne sichtbare Imitationen lehren zu wollen. In Anlehnung an ihn behaupten einige, dass die »Sirenen« (Seirenai), die nach Platon über den Kreisen stehen, als die Planeten zu verstehen sind; es ist ja üblich, sagt Adrastos, dass die Dichter alle Sterne als seirioi (»strahlende«, »Siriuse«) bezeichnen, wie etwa Ibykos: flammend wie seiria (»Siriuse«), die in der langen Nacht leuchten. (Ibykos, Frg. 33)

Einige nennen sie auf verschiedene Weise »leuchtende« oder »scheinende« Sterne, wie Aratos (Phainomena 331) vom strahlenden (seirios) Licht des Hundssterns (s. o. III 14) sagt und der tragische Dichter von einem der Planeten: Was ist dann dieser leuchtende Stern, der vorbeizieht, der seirios (»Sirius«)?   (Euripides, Iphigeneia in Aulis 6–7)

Einige sagen stattdessen, dass »Sirenen« keine Bezeichnung für die Sterne ist, sondern nach pythagoreischem Denken für die harmonischen und konsonanten Schalle und Töne, die durch ihre Bewegung erzeugt werden und aus denen eine einzige harmonische Stimme entsteht.

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Theon von Smyrna

[148]

τί ἐστιν ‹ὑπόλειψις› [ὑπόλησις] καὶ προήγησις, στηριγμὸς καὶ ἀναποδισμός; (17) τῶν δὲ πλανωμένων, φησὶν ὁ Ἄδραστος, τὰ μέν ἐστιν ἀεὶ ὑπολειπτικά, ὡς ἥλιος καὶ σελήνη· ταῦτα γὰρ οὐδέποτε εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων μεταβαίνει, ἀλλὰ πάντοτε ὁρᾶται μεταβαίνοντα εἰς τὰ ἑπόμενα· διόπερ οὐδὲ στηριγμοὺς οὐδὲ ἀναποδισμοὺς ποιεῖται. τὰ δὲ καὶ προηγεῖται καὶ ὑπολείπεται, καθάπερ τὰ ἄλλα· διόπερ ἀναγκαίως καὶ στηρίζοντά ποτε φαίνεται καὶ ἀναποδίζοντα.

τί ἐστιν ὑπόλειψις; (18) ἔστι γὰρ ὑπόλειψις μὲν φαντασία πλάνητος ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων καὶ πρὸς ἀνατολὰς ἀπιόντος, ὥς φησιν ὁ Ἄδραστος, ὡς δὲ ὁ Πλάτων φησίν, οὐ φαντασία, ἀλλὰ τῷ ὄντι μετάβασις πλάνητος εἰς τὰ ἑπόμενα ζῴδια ἐπ’ ἀνατολὰς ἀπιόντος κατὰ τὴν ἰδίαν κίνησιν, οἷον ἀπὸ Καρκίνου εἰς Λέοντα.

τί ἐστιν προήγησις; (19) προήγησις δέ ἐστι φαντασία πλάνητος ὡς ἐπὶ τὰ προηγούμενα καὶ ἐπὶ δυσμὰς μεταβαίνοντος, οἷον ἀπὸ Καρκίνου εἰς Δι­δύ[148]­ μους. τί ἐστιν στηριγμός; (20) στηριγμὸς δέ ἐστι φαντασία πλάνητος ὡς ἐπὶ πλέον ἑστῶτος καὶ μένοντος παρά τινι τῶν ἀπλανῶν.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 17

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Was sind hypoleipsis und prohegesis, sterigmos und anapodismos? (17) Was die Planeten betrifft, gibt es laut Adrastos einige, die immer rückwärts laufen (hypoleipsis), etwa Sonne und Mond; sie laufen niemals vorwärts in Richtung der vorwärtslaufenden (prohegesis) Tierkreiszeichen, sondern immer in Richtung der nachfolgenden; genau aus diesem Grund bleiben sie nicht stehen (sterigmos) und kehren auch nicht um (anapodismos). Andere hingegen laufen vor- und rückwärts, so die anderen (Planeten). Aus diesem Grund ist es unvermeidlich, dass es so scheint, als blieben sie manchmal stehen und liefen rückwärtig. Was ist hypoleipsis? (18) Das Rückwärtslaufen (hypoleipsis) ist die scheinbare Bewegung eines Planeten in Richtung der nachfolgenden Tierkreiszeichen und in Richtung Osten, wie Adrastos sagt; wie aber Platon sagt, ist es keine Erscheinung, sondern in Wirklichkeit die wahre Bewegung eines Sterns, der in Richtung der nachfolgenden Tierkreiszeichen nach Osten geht, etwa vom Krebs zum Löwen. Was ist prohegesis? (19) Das Vorwärtslaufen (prohegesis) ist die scheinbare Bewegung eines Planeten in Richtung der voranlaufenden Tierkreiszeichen und nach Westen, etwa vom Krebs zu den Zwillingen. Was ist sterigmos? (20) Das Stehenbleiben (sterigmos) ist der scheinbar verlängerte Stand eines Planeten, der eine Zeitlang bei einem der Fixsterne stehenzubleiben scheint.

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Theon von Smyrna

[149]

τί ἐστιν ἀναποδισμός; (21) ἀναποδισμὸς δέ ἐστι φαντασία πλάνητος ὑποστροφῆς ἀπὸ στηριγμοῦ ὡς ἐπὶ τὰ ἐναντία τῇ πρόσθεν κινήσει. πάντα δὲ ταύτα ἡμῖν φαίνεται γίνεσθαι, οὐ μὴν οὕτως ἐπιτελεῖται· τούτου δ’ αἴτιον τὸ κατὰ ἰδίου τινὸς κύκλου ἢ ἐν ἰδίᾳ σφαίρᾳ φερόμενον ἕκαστον τῶν πλανωμένων κατωτέρω τῶν ἀπλανῶν ἡμῖν διὰ τὴν ἐπιπρόσθησιν δοκεῖν κατὰ τὸν ζῳδιακὸν φέρεσθαι κύκλον ἐπάνω κείμενον, ὡς καὶ περὶ τούτων διορίζει ὁ Ἄδραστος εἰς τὸ τὴν διαφορὰν τῶν περὶ τοὺς πλάνητας ὑποθέσεων φανερὰν γίνεσθαι αἷς ἕπεται τὰ φαινόμενα.

περὶ τῆς τῶν ὅλων διακοσμήσεως καὶ τῆς ὑπὸ σελήνην ἀταξίας (22) φησὶ δ’ ὅτι ὁ μὲν πᾶς κόσμος τοιοῦτός τε καὶ ἐκ τοσούτων καὶ τοιούτων συνεστηκὼς οἵων καὶ ὅσων διειλόμεθα, φερόμενός τε φορὰν ἐγκύκλιον καὶ τοῦ σφαιρικοῦ σχήματος οἰκείαν ὑπὸ τοὺ πρώτου· ὅθεν καὶ κατεσκευάσθη τοῦ βελτίστου καὶ ἀρίστου χάριν. πρὸς δὲ τὴν χρόνου διαρίθμησιν καὶ τὴν τῶν περιγείων καὶ ἀπογείων μεταβολὴν ἐγένετο ἡ τῶν πλανωμένων φορὰ ποικίλη τις ἤδη συνεστηκυῖα, ὥστε ἀκολουθεῖν αὐτῇ τὸ ἐνταῦθα· ταῖς γὰρ τούτων τροπαῖς προσιόντων καὶ ἀπιόντων συμμεταβάλλει καὶ τἀνταῦθα παντοίως. τῶν [149] μὲν γὰρ ἀπλανῶν ἁπλῆ καὶ μία φορὰ κύκλῳ, τεταγμένη τε καὶ ὁμαλή. τῶν δὲ ἄλλων πλανωμένων κυκλικὴ μέν, οὐ μὴν ἁπλῆ δοκεῖ καὶ μία, οὐδὲ ὁμαλὴ καὶ τεταγμένη. τῶν δ’ ὑπὸ σελήνην καὶ περὶ ἡμᾶς καὶ μέχρις ἡμῶν πᾶσα μεταβολὴ καὶ κίνησις καί, καθάπερ φησίν,

Teil III (Astronomie, Abschnitt 21

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Was ist anapodismos? (21) Die rückwärts laufende Bewegung (anapodismos) ist die scheinbare Wendung eines Planeten nach dem Stehenbleiben mit einer zur vorigen entgegengesetzten Bewegung. All diese Bewegungen scheinen (nur) uns zu geschehen, in Wirklichkeit aber werden sie nicht auf diese Weise durchgeführt: Der Grund dafür ist, dass es uns bei jedem Planeten, der auf seinem eigenen Kreis oder in seiner eigenen Kugel unter den Fixsternen getragen wird, wegen der epipros‌thesis (»Davorstellung«) so erscheint, als bewege er sich entsprechend dem Kreis des Tierkreises, der sich über ihm befindet. Adrastos macht auch Unterscheidungen über diese Bewegungen, indem er d ­ arauf hinweist, dass es einen klaren Unterschied zwischen den Hypothesen gibt, die über die Planeten formuliert werden – Hypo­thesen, denen die Phänomene folgen. Die Ordnung des Universums und die Unordnung unter dem Mond (22) Er (Adrastos) sagt, dass der gesamte Kosmos von dieser Art ist und aus Objekten mit Qualitäten und Quantitäten besteht, die denen entsprechen, die wir unterschieden haben, und dass er sich mit kreisförmigen Bewegungen bewegt, die seiner Kugelform eigen sind, und dass diese Bewegung durch einen ersten Anstoß eingesetzt wurde. Daher rührt auch, dass er im Hinblick auf das Vollkommene und Ausgezeichnete zusammengesetzt wurde. Außerdem wurde die Bewegung der Planeten, obwohl von sehr unterschiedlicher Zusammensetzung, nach der Berechnung der Zeit und nach dem Wechsel von Perigäum und Apogäum (erdnächstem bzw. erdfernstem Punkt einer Umlauf‌bahn) erzeugt, so dass die Ereignisse hier denen dort oben folgen: Die Dinge von hier ändern sich ja auch in jeder Hinsicht zusammen mit den Umdrehungen der Sterne, die vor- und zurücklaufen. Die kreisförmige Bewegung der Fixsterne ist einheitlich und einfach, geordnet und regelmäßig, während die der anderen Sterne, der Planeten, zwar kreisförmig ist, aber nicht einheitlich und einfach erscheint, und auch nicht regelmäßig und geordnet. Zu dem, was unter dem Mond liegt um uns herum und bis zu uns, gehört dann jede Veränderung und jede Bewegung und, wie jemand sagt:

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Theon von Smyrna

[150]

ἔνθα κότος τε φόνος τε καὶ ἄλλων ἔθνεα κηρῶν.

καὶ γὰρ γένεσις καὶ φθορὰ περὶ πάντα τἀνταῦθα καὶ αὔξησις καὶ μείωσις ἀλλοίωσίς τε παντοία καὶ ἡ κατὰ τόπον ποικίλη φορά. τούτων δέ, φησίν, αἴτια τὰ πλανώμενα τῶν ἄστρων. ταῦτα δὲ λέγοι τις ἄν οὐχ ὡς τῶν τιμιωτέρων καὶ θείων καὶ ἀιδίων ἀγεννήτων τε καὶ ἀφθάρτων ἕνεκα τῶν ἐλαττόνων καὶ θνητῶν καὶ ἐπικήρων πεφυκότων, ἀλλ’ ὡς ἐκείνων μὲν διὰ τὸ κάλλιστον καὶ ἄριστον καὶ μακαριώτατον ἀεὶ οὕτως ἐχόντων, τῶν δ’ ἐνταῦθα κατὰ συμβεβηκὸς ἐκείνοις ἑπομένων. ἵνα μὲν γὰρ ἡ ἐν κύκλῳ τοῦ παντὸς ἀεὶ ὁμοία φορὰ γίνηται, οἷον ἐνέργειά τις οὖσα καὶ ζωὴ τούτου θεία, μένειν ἐπὶ τοῦ μέσου τὴν γῆν ἀνάγκη, ‹ᾗ› περιενεχθήσεται τὸ κύκλῳ φερόμενον. εἰ δὲ ἀνάγκη μένειν κάτω τὴν γῆν, ἀνάγκη καὶ τὸ πῦρ τὸν ἐναντίον ταύτῃ κατέχειν τόπον, ὑπὸ τὴν κύκλῳ φορητικὴν αἰθέριον οὐσίαν καθιστάμενον. τούτων δ’ οὕτω διεστηκότων ἀνάγκη καὶ τἆλλα στοιχεῖα, ὕδωρ καὶ ἀέρα, κατὰ λόγον τὸν μεταξὺ τόπον ἐπέχειν. τούτων δὲ ὄντων ἀνάγκη καὶ [150] μεταβολὴν εἶναι τῶν ἐνταῦθα, διὰ ‹τὸ› τὴν ὕλην αὐτῶν διόλου εἶναι τρεπτὴν καὶ [ταῦτα] δυνάμεις ἔχειν ὑπεναντίας.

ἐγγίνεται δ’ ἡ μεταβολὴ τῇ ποικίλῃ φορᾷ τῶν πλανωμένων. εἰ γὰρ ὁμοίως τοῖς ἀπλανέσι καὶ ταῦτα ἐφέρετο κατὰ παραλλήλων, ἀεὶ ὁμοίας οὔσης τῆς τῶν ὅλων καὶ πάντων καταστάσεως, οὐκ ἂν τῶν ἐνταῦθα ἑτεροίωσις ἢ μεταβολή τις ἦν. νῦν δὲ τροπαὶ καὶ ἰσημερίαι πρόσοδοί τε καὶ ἀποχωρήσεις κατά τε ὕψος καὶ πλάτος μάλιστα μὲν ἡλίου καὶ σελήνης, οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ τῶν ἄλλων, τάς τε ὥρας διαφόρους ἐπιτελοῦσι καὶ τὴν ἐνταῦθα πᾶσαν ἐργάζονται μεταβολὴν καὶ γένεσιν καὶ ἀλλοίωσιν. ἡ δὲ ποικίλη τῆς φορᾶς τῶν πλανωμένων φαντασία γίνεται διὰ τὸ κατ’ ἰδίων τινῶν κύκλων καὶ ἐν ἰδίαις σφαίραις ἐνδεδεμένα καὶ δι’ ἐκείνων κινούμενα δοκεῖν ἡμῖν φέρεσθαι διὰ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 22) Er (

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Hier sieht man nur Zorn und Töten und all die anderen Übel. (Empedokles, Frg. 31 B 121)

Es gibt sowohl Entstehen und Vergehen aller Dinge hier, Wachstum und Rückgang, jede Veränderung und den vielfachen Ortswechsel. Die Ursache dafür, sagt er, sind die Planeten. Manche mögen sagen, dass diese Charaktere der geringeren, sterblichen und natürlich vergänglichen Dinge nicht durch das Ehrbarste, Göttliche, Ewige, Großzügige und Unverderbliche verursacht werden, sondern dass diese Realitäten immer die gleichen sind, wegen des Schönen, Besseren und Seligsten, während ihnen die Dinge hier nur, wie es sich trifft, folgen. Damit es die immer gleichmäßige kreisförmige Bewegung des Universums gibt, als ob es eine gewisse Energie und göttliches Leben davon gäbe, muss die Erde notwendigerweise in der Mitte stehenbleiben; um sie herum muss sich das drehen, was sich kreisförmig bewegt. Wenn es jedoch notwendig ist, dass die Erde immer unten bleibt, ist es auch notwendig, dass das Feuer den ihr gegenüberliegenden Platz einnimmt, das heißt, dass es unter den Äther gestellt wird, der mit kreisenden Bewegungen ausgestattet ist. In einer Entfernung davon ist es notwendig, dass die anderen Elemente (s. o. II 38), Wasser und Luft, im Verhältnis dazu den Mittelplatz einnehmen. Da dies so ist, so ist es aber auch notwendig, dass die Dinge hier Veränderungen erfahren, denn ihre Materie ist überhaupt wandelbar und hat gegensätzliche Potenzen. Die Veränderung wird durch die zusammengesetzte Bewegung der Planeten erzeugt. Wenn sich nämlich auch diese wie die Fixsterne auf par­allelen Bahnen bewegen würden, wenn also die Position aller Dinge und des Universums immer ähnlich wäre, dann gäbe es hier keine Veränderung und keinen Wandel der Dinge. Doch die Drehung und die Tagundnachtgleichen und die Vorstöße und die Rückzüge in Höhe und Breite – besonders der Sonne und des Mondes, aber auch der anderen – bewirken die verschiedenen Jahreszeiten und bringen jede Veränderung, Entstehung und Veränderung der Dinge hier hervor. Gleichzeitig wird die scheinbar zusammengesetzte Bewegung der Planeten dadurch erzeugt, dass sie – entlang ihrer eigenen Kreise und in ihren eigenen Kugeln fixiert und durch sie bewegt – uns in

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Theon von Smyrna

[151]

τῶν ζῳδίων, καθὰ πρῶτος ἐνόησε Πυθαγόρας, τῇ κατὰ ταὐτὰ τεταγμένῃ ἁπλῇ καὶ ὁμαλῇ αὐτῶν φορὰ κατὰ συμβεβηκὸς ἐπιγινομένης τινὸς ποικίλης καὶ ἀνωμάλου κινήσεως.

τίς ἡ θέσις τῶν σφαιρῶν ‹ἢ κύκλων› [ἡ κύκλη] τῶν πλανομένων; (23) περὶ δὲ τῆς θέσεως τῶν σφαιρῶν [κύκλων] τ‹…› ἥτις σώσει τὰ φαινόμενα διέξεισι ταῦτα· φυσικὸν μὲν καὶ ἀναγκαῖον, καθάπερ τὰ ἀπλανῆ, καὶ τῶν ἄλλων οὐρανίων ἕκαστον ἁπλῆν καὶ μίαν καθ’ αὐτὸ φορὰν ὁμαλῶς φέρεσθαι καὶ εὐτάκτως. δῆλον δέ [151] φημι τοῦτο γενήσεσθαι, ἐὰν κατ’ ἐπίνοιαν στήσαντες τὸν κόσμον νοήσωμεν τὰ πλανώμενα ὑπὸ τὸν ζῳδιακόν, ἀκίνητον ὄντα καθ’ ὑπόθεσιν, κινούμενα· οὕτως γὰρ οὐκέτι ποικίλη καὶ ἀνώμαλος, ἀλλ’ εὔτακτος ἡ κίνησις αὐτῶν ἐπιτελουμένη φανήσεται, ὡς ἐπὶ τῆς σφαιροποιίας τῆς Πλατωνικῆς ὑφ’ ἡμῶν ἐπιδείκνυται. τῆς δ’ ἀλληνάλλου δοκούσης αὐτῶν κινήσεως καὶ ποικίλης αἰτία ἡ διττὴ κίνησις, τῆς ἀπλανοῦς σφαίρας ἀπ’ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν φερομένης περὶ τὸν διὰ τῶν πόλων ἄξονα καὶ συμπεριαγούσης τῇ οἰκείᾳ ῥύμῃ τὰ πλανώμενα καὶ πάντας γραφούσης τοὺς κύκλους καθ’ ὧν φέρεται τὰ ἀπλανῆ παραλλήλους, αὐτὰ δὲ τὰ πλανώμενα κατὰ τὴν ἰδίαν κίνησιν οὖσαν βραδυτέραν ἀπὸ δύσεως ἐπ’ ἀνατολὴν φέρεσθαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ὑπὸ τὸν ζῳδιακὸν λελοξωμένον κατὰ τῶν τριῶν παραλλήλων, χειμερινοῦ ἰσημερινοῦ θερινοῦ, περὶ ἕτερον ἄξονα τὸν πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ζῳδιακῷ, πεντεκαιδεκαγώνου πλευρὰν ἀπέχοντα τοῦ τῶν ἀπλανῶν ἄξονος. τὸν δὲ τῶν πλανωμένων ἄξονα ὁ Πλάτων ἠλακάτην καὶ ἄτρακτον καλεῖ.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 23

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Bewegung durch die Tierkreiszeichen erscheinen, wie dies als erster Pythagoras gedacht hat, und dass sie eine geordnete Bewegung immer in dieselbe Richtung haben, einfach und regelmäßig, auch wenn, wie es sich trifft, eine abwechslungsreiche und unregelmäßige Bewegung erzeugt wird. Was ist die Position der Kugeln oder der Kreise der Planeten? (23) Über die Position der Kugeln … (Lücke im Text), welche die Phänomene retten wird, legt er (Adrastos) Folgendes dar: Es ist natürlich und notwendig, dass sich jeder der anderen Himmelskörper und ebenso die Fixsterne bewegen, ebenfalls wohlgeordnet nach einer einfachen und einheitlichen, in sich geschlossenen Bewegung. Ich sage, dass dies offenkundig wird, wenn wir uns den Kosmos vorstellen und an die Planeten denken, die sich unter dem – als Hypothese unbeweglichen – Tierkreis bewegen. Auf diese Weise wird die Bewegung der Planeten ja nicht mehr als zusammengesetzt und ungleichförmig erscheinen, sondern wohlgeordnet, wie wir es mit der platonischen Kugelkonstruktion zeigen können. Der Grund für ihre scheinbar unregelmäßige und abwechslungsreiche Bewegung ist eine doppelte Bewegung: Die Kugel der Fixsterne bewegt sich von Ost nach West um die Achse, die durch die Pole verläuft. Sie zieht die Planeten mit ihrem eigenen Antrieb kreisförmig mit sich mit und zieht auch alle parallelen Kreise, auf denen sich die Fixsterne bewegen, während die Planeten selbst für ihre Bewegung von West nach Ost, die langsamer ist, sich zu verschiedenen Zeiten unter dem Tierkreis drehen, und zwar schief zwischen den drei par­ allelen Kreisen: dem Sommerwendekreis, dem Äquator und dem Winterwendekreis. Diese Bewegung geht um eine andere Achse im rechten Winkel zum Tierkreis, weg von der Achse der Fixsterne auf der Seite eines Fünfzehnecks. Platon (s. o. III 16) nennt die Achse der Planeten Spinnrocken und Spindel.

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Theon von Smyrna

[152]

τί ἐστι τὸ ὁμαλῶς κινεῖσθαι; (24) λέγεται δέ, φησὶν Ἄδραστος, ὁμαλῶς μὲν κινεῖσθαι τὸ τὰ ἴσα διαστήματα ἐν ἴσοις χρόνοις διανύειν, ἀλλὰ μὴ ποτὲ μὲν ἀνιέναι ὁτὲ δὲ ἐπιτείνειν ἕκαστον τὸ αὐτοῦ τάχος. τί ἐστι τὸ εὐτάκτως κινεῖσθαι; (25) εὐτάκτως δέ ἐστι κινεῖσθαι τὸ μὴ ποτὲ μὲν ἵστασθαι ποτὲ δὲ ἀνακάμπτειν, φέρεσθαι δὲ ἐπὶ τὰ [152] αὐτὰ ἀεὶ ὁμοίως. δοκεῖ δ’ ἡμῖν τὰ πλανώμενα πάντα μὲν ἀνωμαλίας, ἔνια δὲ καὶ ἀταξίας μετέχειν.

τίς οὖν ἡ τῆς τοιαύτης φαντασίας αἰτία; πρώτη μὲν τὸ ἐν ἑτέραις σφαίραις καὶ ἐν ἑτέροις κύκλοις ὄντα, καθ’ ὧν φέρονται, δοκεῖν διὰ τοῦ ζῳδιακοῦ φέρεσθαι, καθὰ ἤδη προείρηται.

τίς ἡ θέσις τῶν ζ' κύκλων; (26) κατὰ συμβεβηκὸς δέ, ὡς προείρηται, καίτοι ἁπλῆν τὴν ἰδίαν ποιούμενοι κίνησιν οἱ ζ', πλείονας κύκλους γράφουσι καὶ διαφόρους. δῆλον δὲ τοῦτο ἂν ἡμῖν καὶ ἐφ’ ἑνὸς γένοιτο σκοπουμένοις τοῦ φανερωτάτου καὶ μεγίστου τῶν πλανωμένων ἡλίου. Κριός α ϙδ' ϛ Καρκίνος

β

ϙ' η θ

ϙβ' ϛ

δ

Αἰγοκέρως

πη' η γ Ζυγός

Teil III (Astronomie, Abschnitt 24

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Was ist die gleichförmige Bewegung? (24) Laut Adrastos sagt man, dass eine Bewegung gleichförmig ist, wenn man in gleichen Abständen zu gleichen Zeiten reist, ohne seine Geschwindigkeit von Zeit zu Zeit zu erhöhen oder zu verringern. Was ist die wohlgeordnete Bewegung? (25) Wohlgeordnet verläuft eine Bewegung, bei der das Objekt nicht stehen bleibt oder rückwärts geht, sondern sich immer auf die gleiche Art und Weise in die gleiche Richtung bewegt. Es scheint uns jedoch, als ob alle Planeten an einer ungleichmäßigen Bewegung teilhätten, einige sogar an einer ungeordneten. Was also ist die Ursache für diese Erscheinung? Es ist vor allem die Tatsache, dass die Planeten, obwohl sie in den verschiedenen Kugeln und Kreisen, auf denen sie sich bewegen, sich scheinbar durch den Tierkreis bewegen, wie schon gesagt wurde. Was ist die Lage der sieben Kreise? (26) Es ist aber, wie vorhin gesagt wurde, nur ein Zufall, dass die sieben (Planeten), obwohl sie eine simple eigene Bewegung machen, mehrere und verschiedene Kreise beschreiben. All dies mag uns klar werden, wenn wir nur einen Planeten beobachten, den hellsten und größten von allen: die Sonne. Widder

941⁄2

901⁄8

Krebs Steinbock

921⁄2

Waage

881⁄8

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Theon von Smyrna

[153]

ἔστω ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ· κέντρον δὲ αὐτοῦ καὶ τοῦ παντός, περὶ ὃ λέγεται ἐρηρεῖσθαι μέση ‹ἡ› γῆ, τὸ θ, καὶ διὰ τούτου πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ αγ βδ διάμετροι· καὶ τὸ μὲν α ἐν ἀρχῇ τοῦ Κριοῦ, τὸ δὲ β Καρκίνου, πάλιν δὲ τὸ μὲν γ τοῦ Ζυγοῦ, τὸ δὲ δ Αἰγοκέρω.

[153] φαίνεται δὴ ὁ ἥλιος κατὰ τὸ α γενόμενος ἰσημερίαν ἐαρινὴν ποιεῖσθαι, κατὰ δὲ τὸ β τροπὴν θερινήν, καὶ κατὰ μὲν τὸ γ μετοπωρινήν ‹ἰσημερίαν, κατὰ δὲ τὸ δ τροπὴν χειμερινήν,› ἴσας δὲ οὔσας τὰς αβ βγ γδ δα περιφερείας τεταρτημοριαίας ἀνωμάλως ἐν ἀνίσοις χρόνοις διεξιών. ἀπὸ μὲν γὰρ ἰσημερίας ἐαρινῆς ἐπὶ τροπὴν θερινὴν ἐν ἡμέραις παραγίνεται ϙδ' ς, ἀπὸ δὲ θερινῆς τροπῆς ἐπεὶ ἰσημερίαν μετοπωρινὴν ἡμέραις ϙβ' ς, ἀπὸ δὲ μετοπωρινῆς ἰσημερίας ἐπὶ τροπὴν χειμερινὴν ἡμέραις πη' η, λοιπὸν ἀπὸ τροπῆς χειμερινῆς ἐπὶ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν ἡμέραις ϙ' η, ὥστε τὸν ὅλον κύκλον ἐνιαυτῷ διανύειν, ἡμέραις ἔγγιστα τξε' δ, καὶ κατὰ τῶν Διδύμων τὴν ἀρχὴν βραδύτατα κινούμενος, κατὰ δὲ τὴν ἀρχὴν τοῦ Τοξότου τάχιστα, μέσα δὲ κατὰ τὴν Παρθένον καὶ τοὺς Ἰχθύας.

φυσικὸν δέ, ὥς φαμεν, καὶ ἀναγκαῖον ἅπαντα τὰ θεῖα ὁμαλῶς κινεῖσθαι καὶ εὐτάκτως· δῆλον οὖν ὡς ἐπί τινος ἰδίον κύκλου φερό­ μενος ὁμαλῶς καὶ εὐτάκτως ἡμῖν ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσιν ἐπὶ τοῦ αβγδ δοκεῖ φέρεσθαι ἀνωμάλως. εἰ μὲν οὖν ὁ κύκλος αὐτοῦ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὖν τῷ παντί – λέγω δὲ περὶ τὸ θ –, τοὺς αὐτοὺς λόγους διαιρούμενος ὑπὸ τῶν αγ βδ διαμέτρων, διὰ τὴν ἰσότητα τῶν περὶ τὸ κέντρον γωνιῶν καὶ τὴν ὁμοιό[154]τητα τῶν περιφερειῶν τὴν αὐτὴν ἂν παρεῖχεν ἀπορίαν. δῆλον δὲ ὡς ἑτέρως κινούμενος καὶ οὐ περὶ τὸ θ κέντρον αἴτιόν ἐστι τῆς τοιαύτης ἐμφάσεως. ἤτοι οὖν ἐντὸς αὐτοῦ περιλήψεται τὸ θ, ἢ δι’ αὐτοῦ ἐλεύσεται, ἢ ἐκτὸς αὐτοῦ ἀπολείψει. διὰ μὲν οὖν τοῦ θ τὸν ἡλιακὸν ἔρχεσθαι κύκλον, ἀμήχανον· καὶ γὰρ αὐτὸς ἂν ὁ ἥλιος ἐπὶ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26

267

Es sei der Tierkreis αβγδ, sein Zentrum aber und das des Universums – über das gesagt worden ist, dass die Erde in einer Mittelstellung still stehen soll – sei θ. Dadurch werden αγ und βδ zwei Durchmesser im rechten Winkel zueinander sein. Der Punkt α sei am Anfang des Widders, β am Anfang des Krebses, γ wiederum am Anfang der Waage und δ am Anfang des Steinbocks. Es erscheint die Sonne in α zur Frühlings-Tagundnachtgleiche, in β zur Sommersonnenwende, in γ zur Herbst-Tagundnachtgleiche und in δ zur Wintersonnenwende, da die Bögen αβ βγ γδ und δα gleich sind, nämlich jeweils ein Viertel des Kreisbogens. Sie wird sich scheinbar auf unregelmäßige Weise zu verschiedenen Zeiten bewegen. Tatsächlich kommt die Sonne von der Frühlings-Tagundnachtgleiche bis zur Sommersonnenwende in 941⁄2 Tagen, von der Sommersonnenwende bis zur Herbst-Tagundnachtgleiche in 921⁄2 Tagen, von der Herbst-Tagundnachtgleiche bis zur Wintersonnenwende in 881⁄8 Tagen, und in dem, was von der Wintersonnenwende bis zur Frühlings-Tagundnachtgleiche übrig bleibt, in 901⁄8 Tagen, so dass sie den gesamten Kreis in einem Jahr vollendet, etwa 3651⁄4 Tage, wobei sie sich am Anfang der Zwillinge am langsamsten bewegt, am schnellsten dann am Anfang des Schützen und mit mittlerer Geschwindigkeit bei der Jungfrau und den Fischen. Alle göttlichen Dinge müssen sich, wie wir betonen, in natürlicher und notwendiger Hinsicht regelmäßig und geordnet bewegen. Es ist daher klar, dass ein Körper, der sich regelmäßig und geordnet auf seinem eigenen Kreis bewegt, uns, die wir ihn von θ sehen, auf αβγδ unregelmäßig zu bewegen scheint. Wäre also der Kreis dieses Körpers um das gleiche Zentrum des Universums – ich meine um θ – durch die Durchmesser αγ und βδ nach den gleichen Verhältnissen zerlegt, würden wir wegen der Gleichheit der Winkel im Zentrum und der Ähnlichkeit der Bögen ohne Ausweg bleiben. Es ist aber offenkundig, dass die Bewegung auf eine andere Art und Weise und nicht um das Zentrum θ die Ursache für einen solchen Eindruck ist. Deshalb wird der Sonnenkreis entweder in sich selbst θ aufnehmen oder er wird durch θ hindurchgehen oder er wird θ außerhalb von sich selbst lassen. Dass nun der Sonnenkreis durch θ verläuft, ist unmöglich: So würde die Sonne selbst den ganzen Weg zur

  268

Theon von Smyrna

[155]

γῆν παρεγίνετο, καὶ τοῖς μὲν ἐπὶ θάτερα τῆς γῆς ἀεὶ ἦν ἡμέρα, τοῖς δ’ ἄλλοις ἀεὶ νὺξ ἦν, καὶ οὔτ’ ἀνατέλλων οὔτε δύνων οὔθ’ ὅλως περὶ τὴν γῆν ἐρχόμενος ἐφαίνετο ἂν ὁ ἥλιος· ἅπερ ἄτοπα. λείπεται οὖν ἢ ἐντὸς περιλαμβάνεσθαι τὸ θ ὑπὸ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου ἢ ἐκτὸς ἀπολείπεσθαι. ὁποτέρως δ’ ἂν ὑποτεθῇ, φησί, σωθήσεται τὰ φαινόμενα, καὶ ἐντεῦθεν ἡ διαφορὰ τῶν μαθηματικῶν ἐλεγχθήσεται ἄτοπος οὖσα, τῶν μὲν κατὰ ἐκκέντρων μόνον λεγόντων φέρεσθαι τὰ πλανώμενα, τῶν δὲ κατ’ ἐπίκυκλον, τῶν δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῇ ἀπλανεῖ. ἐπιδειχθήσονται γὰρ τοὺς τρεῖς γράφοντες κύκλους κατὰ συμβεβηκός, καὶ τὸν περὶ ‹τὸ› τοῦ παντὸς κέντρον καὶ τὸν ἔκκεντρον καὶ τὸν ἐπίκυκλον. ἐὰν μὲν γὰρ περιλαμβάνεσθαι ὑποθώμεθα τὸ θ ἐντὸς ὑπὸ ἡλιακοῦ κύκλον, φησί, μὴ μέντοι γε ὡς κέντρον, ἔκκεντρος ἡ τοιαύτη λέγεται πραγματεία, ἐὰν δὲ ἐκτὸς ἀπολείπεσθαι, κατ’ ἐπίκυκλον.

[155]                                          α                                                ο   ε                             ν

                                                 μ υ                   ρ                                                         σ       β                                                                                       δ                    ζ                          τ θ                         κ                                                                     ξ                                                π   η

                                                   γ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26

269

Erde kommen, und für die Bewohner des einen Teils der Erde wäre es immer Tag, für die anderen immer Nacht, und schließlich würde die Sonne weder unter- noch aufgehen noch sich allgemein um die Erde bewegen – was absurd ist. Es bleibt also zu vermuten, dass entweder θ innerhalb des Sonnenkreises eingeschlossen ist oder dass es außerhalb des Sonnenkreises gelassen wird. Welche Hypothese man auch immer wählt – die Phänomene werden gerettet werden, und aus diesem Grund wird der Streit unter den Mathematikern als absurd widerlegt: Manche Planeten bewegen sich ja nur auf exzentrischen Kreisen, andere nur entlang eines Epizykels, wieder andere um dasselbe Zentrum der fixen Kugel. Es wird sich nämlich zeigen, dass die Planeten diese drei Kreise, wie es sich trifft, beschreiben, sowohl den um das Zentrum des Universums als auch den exzentrischen Kreis und den Epizykel. Wenn wir die Hypothese aufstellen, dass θ innerhalb des Sonnenkreises eingeschlossen ist, aber sicherlich nicht als Zentrum, wird – so sagt er (Adrastos) – ein solches Modell als Exzenter bezeichnet, wenn wir ihn stattdessen außerhalb annehmen, als Epizykel (s. die Einführung S. 14–15).

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Theon von Smyrna

[156]

(26.1) ὑποκείσθω πρότερον ἔκκεντρος εἶναι ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ εζηκ, παρεγκεκλιμένος οὕτως, ὡς ἔχειν τὸ αὑτοῦ κέντρον ὑπὸ τῇ εζ περιφερείᾳ, οἷον τὸ μ, καὶ διαιρουμένου εἰς ἴσα μέρη τξε' δ [καὶ] τὴν μὲν εζ περιφέρειαν εἶναι ϙδ' ς, τὴν δὲ ζη ϙβ' ς, καὶ τὴν ηκ πη' η, τὴν δὲ κε ϙ' η. φανερὸν οὖν ὡς ἐπὶ μὲν τοῦ ε γενόμενος ἡμῖν ἀπὸ τοῦ θ ἐπ’ εὐθείας ὁρῶσιν ἐπὶ τοῦ α εἶναι δόξει, τὴν δὲ εζ διελθών, μεγίστην οὖσαν τῶν εἰς τέσσαρα τετμημένων τοῦ ἰδίου κύκλου, ἡμέραις ϙδ' ς, ὅσωνπερ ἦν καὶ αὐτὴ ‹μοιρῶν›, ὁμαλῶς, καὶ γενόμενος [156] ἐπὶ τοῦ ζ, ἡμῖν ἐπὶ τοῦ β φανήσεται, καὶ δόξει τὴν αβ διεληλυθέναι, τεταρτημοριαίαν τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλον, οὐ ταῖς αὐταῖς ἡμέραις, ἀνωμάλως.

πάλιν δὲ τὴν ζη περιφέρειαν, δευτέραν μεγέθει τοῦ ἰδίου κύκλου, περιελθὼν ὁμαλῶς ἐν ἡμέραις ϙβ' ς, ὅσωνπερ ἦν αὐτὴ μοιρῶν, καὶ γενόμενος ἐπὶ τοῦ η, ἡμῖν ἐπὶ τοῦ γ φανήσεται, καὶ δόξει τὴν βγ, τεταρτημοριαίαν τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ ἴσην τῇ πρόσθεν ἐν ἐλάττοσιν ἡμέραις διεληλυθέναι καὶ ἀνωμάλως. παραπλησίως δὲ τὴν ηκ διαπορευθείς, ἐλαχίστην οὖσαν τῶν εἰς τέσσαρα τοῦ ἰδίου κύκλου, μοιρῶν πη' η, ἐν ἡμέραις τοσαύταις, καὶ γενόμενος ἐπὶ τοῦ κ, τοῖς ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσι φανήσεται μὲν ἐπὶ τοῦ δ, δόξει δὲ τὴν γδ, τεταρτημοριαίαν καὶ ἴσην ταῖς πρόσθεν, ἐλαχίσταις ἡμέραις διεληλυθέναι. καὶ κατὰ λόγον λοιπὴν τὴν κε πορευθεὶς ἡμέραις ϙ' η, ὅσων καὶ μοιρῶν ἦν, καὶ ἀποκαταστὰς ἐπὶ τὸ ε, δόξει τὴν δα διηνυκέναι, τεταρτημοριαίαν καὶ ἴσην, ἐν ἡμέραις ϙ' η, καὶ ἐπὶ τὸ α σημεῖον ἀποκαθίστασθαι. καὶ τὸν ἑαυτοῦ κύκλον διαπορευθεὶς ὁμαλῶς τὸν τῶν ζῳδίων ἀνωμάλως δόξει διεληλυθέναι.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.1

271

(26.1) Es sei zunächst der exzentrische Sonnenkreis εζηκ so gelegen, dass sein Zentrum unterhalb des Bogens εζ liegt, etwa in μ. Der Kreis sei in 3651⁄4 gleiche Teile zerlegt und der Bogen εζ in 941⁄2 Teile, ζη in 921⁄2, ηκ in 881⁄8 und κε in 901⁄8. Es ist also offensichtlich, dass die Sonne, die sich in ε befindet, uns, die wir sie in einer geraden Linie von θ aus sehen, im Punkt α zu sein scheint; wenn sie εζ, den größeren der Bögen, die sich aus der Vier­ teilung ihres Kreises ergeben, in 941⁄2 Tagen durchläuft – so viele waren seine Teile – und schließlich in ζ erscheinen wird, dann wird sie uns in β erscheinen und in unregelmäßiger Weise αβ durchlaufen zu haben scheinen, den vierten Teil des Tierkreises, doch nicht in denselben Tagen. Wiederum wird sie auf reguläre Weise durch den Bogen ζη, den zweiten Teil seines Kreises nach Größe, in 921⁄2 Tagen – so viele Teile waren seine Teile – hindurchgehen und schließlich in η erscheinen, und es wird so aussehen, als hätte sie βγ, den vierten Teil des Tierkreises und gleich dem vorherigen, in weniger Tagen und auf unregelmäßige Weise durchlaufen. Ähnlich durchläuft sie ηκ, den kleinsten der vier Teile ihres Kreises, der aus 881⁄8 Teilen besteht und den sie in ebenso vielen Tagen durchlaufen hat und sich schließlich in κ wiederfindet; dann wird sie demjenigen, der von θ aus schaut, in δ erscheinen und γδ, den vierten Teil und gleich dem vorherigen, in einer sehr kleinen Anzahl von Tagen durchlaufen zu haben scheinen. Nach demselben Verfahren wird sie, nachdem sie den verbleibenden Bogen von κε in 901⁄8 Tagen – so viele, wie es auch Teile von ihm gab – durchlaufen hat und zu ε zurückgekehrt ist, den Weg δα, den vierten Teil und gleichwertig zu den anderen, in 901⁄8 Tagen abgeschlossen zu haben und zu Punkt α zurückgekehrt zu sein scheinen. Obwohl die Sonne also ihren Kreis regelmäßig durchlaufen hat, wird es so aussehen, als hätte sie den Tierkreis auf unregelmäßige Weise durchlaufen.

  272

Theon von Smyrna

[157]

ἐὰν δὲ ἐπιζεύξαντες μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν θμ ἐκβάλωμεν ἐφ’ ἑκάτερα ἐπ’ εὐθείας, [157] ἐπειδὴ τοῦ εζ κύκλου κέντρον τὸ μ, ἴση ἔσται ἡ μν ‹τῇ› μξ. ὥστε κατὰ μὲν τὸ ν γενόμενος ὁ ἥλιος ἀπο­γειότατος ἂν εἴη, καὶ ἡμῖν ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσι τὸ μέγεθος ἐλάχιστος δόξει καὶ βραδύτατα κινούμενος· ὅπερ φαίνεται ποιῶν κατὰ τὴν πέμπτην ἡμίσειαν μάλιστα μοῖραν τῶν Διδύμων· κατὰ δὲ τὸ ξ γενόμενος προσγειότατός τε καὶ διὰ τοῦτο μέγιστος τῇ φάσει καὶ τάχιστα κινούμενος δόξει· ἅτινα πάλιν φαίνεται ποιούμενος κατὰ τὴν ε' ἡμίσειαν μοῖραν τοῦ Τοξότου· εὐλόγως τε καὶ περὶ τὰς αὐτὰς μοίρας τῶν τε Ἰχθύων καὶ τῆς Παρθένου μέσως τῷ μεγέθει καὶ τῷ τάχει φέρεσθαι δοκεῖ. καὶ οὕτως πάντα, φησί, σωθήσεται τὰ φαινόμενα.

εὑρίσκεται ὁ εζηκ κύκλος τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένος. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τοῦ μ ταῖς αγ βδ παράλληλοι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ οπ ρς, καὶ ἐζεύχθωσαν αἱ ζμ με. δῆλον οὖν ὅτι τοῦ εζηκ κύκλου διαιρεθέντος εἰς ἡμέρας τξε' δ ἡ μὲν εζη περιφέρεια τοιούτων ἔσται ἡμερῶν ρπζ', ἡ δὲ ηκε ἔσται ἡμερῶν ροη' δ. ἴσα ἄρα ἐκατέρα τῶν εο πη ρζ σκ, αἱ δὲ σπ πρ ρο οσ περιφέρειαι ἀνὰ ϙα' δ ις τοιούτων ὑπάρχουσαι. ἡ δοθεῖσα ἄρα γωνία ὑπὸ ομν ἴση ἔσται τῇ θμτ· ὁμοίως καὶ ἡ ρμν γωνία ἴση ἔσται τῇ υμθ. ἔσται ἄρα ὁ λόγος [158] τῆς μτ πρὸς μθ, τουτέστι μτ πρὸς θτ, ‹δεδομένος›. δέδοται ἄρα τὸ μτθ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ δοθὲν τὸ θ κέντρον τοῦ παντὸς πρὸς ἑκάτερον τῶν ν ξ σημείων· τὸ μὲν γὰρ μέγιστον ὁρίζει ἀπόστημα, τὸ δὲ ἐλάχιστον· καὶ ἔστιν ἡ μὲν θμ μεταξὺ κέντρων τοῦ τε παντὸς καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου. δέδοται ἄρα ὁ εζηκ κύκλος τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· εὑρίσκεται δὲ διὰ τῆς περὶ ἀποστημάτων καὶ μεγεθῶν πραγματείας ὁ λόγος τῆς θμ ‹πρὸς τὴν μν› ἔγγιστα ὡς ἓν πρὸς κδ'.

(26.2) τοιάνδε μὲν τὴν κατὰ ἔκκεντρον πραγματείαν παραδίδωσιν, σώζουσαν τὰ φαινόμενα. τὴν δὲ κατ’ ἐπίκυ[159]κλον τοιάνδε λέγουσιν εἶναι. ἔστω πάλιν ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ, ἡλιακὸς δὲ κύκλος ὁ εξκ, ἐκτὸς ἀπολείπων ἑαυτοῦ τὸ θ ὅ ἐστι τοῦ παντὸς κέντρον.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

273

Wenn wir zwischen den Zentren θμ verbinden, indem wir die Verbindung der Zentren in einer geraden Linie von einer Seite zur anderen verlängern, dann wird μ das Zentrum des Kreises εζ, wird μν gleich μξ sein, so dass die Sonne, da sie sich in der Nähe von ν befindet, in maximaler Entfernung von der Erde sein wird. Für uns, die wir sie von θ aus sehen, wird sie von minimaler Größe erscheinen und sich mit größerer Langsamkeit bewegen: Das ist es, was die Sonne sichtbar höchstens bei 51⁄2 Teilen der Zwillinge tut. Wenn sie sich stattdessen auf ξ befindet, wird die Sonne in der minimalen Entfernung sein und aus diesem Grund wird sie sehr groß erscheinen und sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegen: Das ist es, was die Sonne sichtbar in 51⁄2 Teilen des Schützen tut. Natürlich wird sie in Größe und Geschwindigkeit den gleichen Teilen von den Fischen und der Jungfrau ähnlich erscheinen. Und so, sagt er (Adrastos), werden alle Phänomene gerettet werden. Man findet, dass der Kreis εζηκ in Position und Größe gegeben ist. Für μ durchgezogen werden zu αγ βδ dann οπ ρς parallel und im rechten Winkel zueinander sein, und verbunden werden ζμ und με. Es ist also klar, dass, wenn man den Kreis εζηκ in 3651⁄4 Tage zerlegt, der Bogen εζη 187 Tage beträgt, während der Bogen ηκε 1781⁄4 Tage beträgt. Gleich sind also εο πη ρζ σκ, und auf der anderen Seite sind die Bögen σπ πρ ρο οσ 91 plus 1⁄4 und 1⁄16 Tage (s. die Einführung S. 12): Der Flächen-Winkel ομν wird also gleich θμτ sein; ebenso wird auch der Winkel ρμν gleich υμθ sein. Das Verhältnis von μτ zu μθ, also das von μτ zu θτ, ist dann gegeben. Das Dreieck μτθ ist dann durch die Form gegeben. Außerdem wird das Zentrum des Universums θ in Bezug auf jeden der Punkte ν und ξ angegeben: Der erste definiert ja die maximale Entfernung, der andere die minimale Entfernung, und μθ liegt zwischen dem Z ­ entrum des Universums und dem des Sonnenkreises. Der Kreis εζηκ ist daher in Position und Größe gegeben. Durch das Studium der Entfernungen und Größenordnungen findet man auch, dass das Verhältnis von θμ in Bezug auf μν 1 zu 24 ist. (26.2) Folgende Erklärung mit einem exzentrischen Modell (s. die Einführung S. 15), das die Phänomene rettet, überliefern andere. Es sei wieder der Tierkreis αβγδ und der Sonnenkreis εξκ, der außerhalb von sich θ hat, welches das Zentrum des Universums ist.

  274

Theon von Smyrna

[159]

φερομένης δὴ τῆς τῶν ἀπλανῶν σφαίρας ἀπὸ τῆς β ἀνατολῆς ἐπὶ τὸ α μεσουράνημα καὶ ἀπὸ τοῦ α ἐπὶ τὴν δ δύσιν, ὁ εξκ κύκλος ἤτοι ἠρεμήσει ἢ καὶ αὐτὸς κινηθήσεται, φερομένου περὶ αὐτὸν τοῦ ἡλίου. ἀλλ’ εἰ μὲν ἠρεμήσει, δῆλον ὡς ὁ ἥλιος οὔτε δύνων οὔτε ἀνατέλλων φανήσεται, ἀλλ’ ἀεὶ τοῖς μὲν ὑπὲρ γῆν ἡμέραν ποιήσει, τοῖς δὲ ὡς πρὸς ἡμᾶς ὑπὸ γῆν νύκτα, καὶ μιᾷ περιστροφῇ τοῦ παντὸς δόξει πάντα παροδεύειν τὰ ζῴδια· ἅπερ ἐστὶν ἄτοπα.

κινηθήσεται οὖν καὶ αὐτός· κινούμενος δὲ ἤτοι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ οἰσθήσεται ἢ ὑπεναντίως· καὶ εἰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί, ἤτοι ἰσοταχῶς ἢ θᾶττον αὐτοῦ βραδύτερον. ἀλλ’ εἰ μὲν ἰσοταχῶς, ἀχθεισῶν τῶν θζν θκλ ἐφαπτομένων τοῦ ζε κύκλου, ὁ ἥλιος ἐν τῇ ναλ περιφερείᾳ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀεὶ δόξει ἀναστρέφεσθαι· ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ζ γενόμενος κατὰ τὸ ν φανήσεται, ἐπὶ δὲ τοῦ ε κατὰ τὸ α, μεταβὰς δὲ ἐπὶ τὸ κ κατὰ τὸ λ, καὶ τὴν μὲν ζεκ περιφέρειαν διανύσας, τὴν ναλ δόξει πεπορεῦσθαι ἐπὶ τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων· τὴν δὲ κηζ διελθὼν δόξει τὴν λαν ἐπὶ τὰ ἑπόμενα ἐνηνέχθαι· ἅτινα πάλιν οὐ φαίνεται. [158]                                          α                                        ν                       λ                                                      ε                                          ζ                  κ                                                      μ                                                      η

             λ     ο                          θ                               ξ     β                                                                                            δ                                τ                                                        χ                           π                                                ψ       σ                                                                                        ω                                                      υ                                                             φ                                                   ν

                                                   γ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

275

Wenn sich die Kugel der Fixsterne vom Aufgangs‌punkt β zum Meridianpunkt α und von α zum Untergangspunkt δ bewegt, steht der Kreis εξκ entweder still oder er bewegt sich ebenfalls, da die Sonne sich um ihn herum bewegt. Aber wenn er stillsteht, ist es klar, dass die Sonne weder unter- noch aufgehen wird, sondern immer den Tag in den Gebieten über der Erde und die Nacht in den Gebieten, die im Vergleich zu uns unter ihr liegen, hervorbringen wird; auch wird sie alle Tierkreiszeichen in einer einzigen Umdrehung des Universums zu überwinden scheinen – was absurd ist. Also wird der Kreis sich auch selbst bewegen. Wenn er sich nun bewegt, dann bewegt er sich entweder in die gleiche Richtung wie das Universum oder in die entgegengesetzte Richtung, und wenn in die gleiche Richtung, dann entweder mit der gleichen Geschwindigkeit oder schneller als es oder langsamer. Aber wenn er sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt, führt man θζν θκλ tangential zum Kreis ζε, und die Sonne scheint sich immer im Bogen ναλ des Tierkreises zu drehen: Wenn sie sich auf ζ befindet, erscheint sie bei ν, in ε und bei α, wenn sie sich auf κ zu λ hin bewegt, und wenn sie den Weg des Bogens ζεκ vollendet, scheint sie ναλ in Richtung der vorhergehenden Tierkreiszeichen gekreuzt zu haben; wenn sie sich auf κηζ bewegt hat, scheint sie sich auf λαν in Richtung der folgenden Tierkreiszeichen bewegt zu haben – aber dies entspricht wieder nicht den Phänomenen.

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Theon von Smyrna

[160]

[159] οὐκ ἄρα ὁ εζκ τοῦ ἡλίου κύκλος ἰσοταχῶς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ συμ­περι[160]ενεχθήσεται. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ θᾶττον, ἐπεὶ καὶ οὕτως προφθάνων προηγεῖσθαι δόξει τῶν ἀπλανῶν καὶ ἀνάπαλιν τὸν ζῳδιακὸν διανύειν, οἷον ἀπὸ Κριοῦ εἰς Ἰχθύας καὶ Ὑδροχόον· ἅπερ οὐ φαίνεται. δῆλον οὖν ὅτι ὁ εζη κύκλος ἤτοι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί, βραδύτερον μέντοι, κινηθήσεται, καὶ διὰ τοῦτο ὑπολειπόμενος εἰς τὰ ἑπόμενα δόξει μεταβαίνειν, ἣ καθ’ ἑαυτὸν [εἰ] μὲν ὑπεναντίως τῷ παντὶ οἰσθήσεται, συναπενεχθήσεται δὲ τῷ παντὶ πρὸς ἡμέραν ἑκάστην κρατούμενος τὴν ἀπ’ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεις· καὶ γὰρ οὕτως εἰς τὰ ἑπόμενα φανήσεται μετιών καὶ οἷον ὑπολειπόμενος.

πῶς οὖν σώσει τὰ φαινόμενα; ἔστω κέντρον τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου τὸ μ, καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ θμ, κύκλος ὁ μονξ, καὶ ὑποκείσθω ὁ εζηκ κύκλος νῦν συναποφέρεσθαι μὲν τῷ παντὶ τὴν ἀπὸ τῶν ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεις φοράν, ἤτοι δὲ διὰ βραδυτῆτα ὑπολειπόμενος, ἢ καὶ φερόμενος ὑπεναντίως τῷ παντί, ὃ καὶ μᾶλλον δοκεῖ τῷ Πλάτωνι, ὥστε τὸ μὲν κέντρον κατὰ τοῦ μονξ κύκλου φερόμενον ὁμαλῶς περιπορεύεσθαι αὐτὸν ἐνιαυτῷ, καὶ ἐν τῷ ‹αὐτῷ› χρόνῳ τὸν ἥλιον διανύειν τὸν ἑαυτοῦ κύκλον, ὁμοίως φερόμενον ὁμαλῶς. πάλιν ὁ ἥλιος κατὰ τοῦ εζηκ κύκλου ἤτοι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ ἐνεχθήσεται, ἢ ὑπεναντίως, ‹ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ› τῷ ἰδίῳ κύκλῳ, οἷον ἀπὸ τοῦ κ ἐπὶ τὸ ε καὶ ἀπὸ τοῦ ε ἐπὶ τὸ ζ. λέγω δὲ ὅτι τοῦ εζηκ κύκλου περιφερομένου [161] κατὰ τοῦ μονξ ὑπεναντίως τῷ παντὶ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ εζηκ κύκλου ἐνεχθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ καὶ σώσει τὰ φαινόμενα.

ἐνηνέχθω γὰρ πρότερον ὑπεναντίως μὲν τῷ παντί, ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ τῷ ἑαυτοῦ κύκλῳ, οἷον ἀπὸ τοῦ ε ἐπὶ τὸ ζ ἢ ἀπὸ τοῦ ζ ἐπὶ τὸ η ἢ ἀπὸ τοῦ η ἐπὶ τὸ κ. ἐπεὶ τοίνυν ἐπὶ τοῦ ε γενόμενος πλεῖστον ἀφέστηκεν ἡμῶν,

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

277

Der Kreis der Sonne εζκ wird sich also nicht mit der gleichen Geschwindigkeit kreisförmig in die gleiche Richtung des Universums bewegen, aber sicher auch nicht schneller, denn auch so scheint er den Fixsternen vorauszueilen und den Tierkreis wieder zu vervollständigen, etwa vom Widder über die Fische zum Wassermann – das aber entspricht nicht den Phänomenen. Es ist also klar, dass der Kreis εζη sich entweder in die gleiche Richtung wie das Universum mit einer langsameren Bewegung bewegen wird und sich, zurückgelassen, scheinbar auf die folgenden Tierkreiszeichen zuzubewegen scheinen wird, oder dass er sich durch seinen eigenen Impuls in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegen wird; aber er wird auch jeden Tag vom Universum von Ost nach West getragen werden, als ob er von ihm beherrscht wäre; ja selbst dann wird er sich scheinbar zu den folgenden Tierkreiszeichen hin zu bewegen scheinen und er wird wie zurückgelassen sein. Wie wird man also die Phänomene retten? Es sei μ das Zentrum des Sonnenkreises; man zeichne den Kreis μονξ mit dem Zentrum θ und dem Radius θμ. Man nehme auch an, dass der Kreis εζηκ nun mit ihm vom Universum in der Bewegung von Ost nach West geführt wird oder wegen seiner Langsamkeit zurückbleibt oder sogar, dass er sich in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegt – was auch Platon besser erscheint –, so dass das Zentrum, das sich in einer regelmäßigen Weise entlang des Kreises μονξ bewegt, diesen in einem Jahr auf einmal durchlaufen, und gleichzeitig die Sonne, die sich ähnlich regelmäßig bewegt, den Weg ihres Kreises vollendet. Auch hier bewegt sich die Sonne durch den Kreis εζηκ entweder in die gleiche Richtung wie das Universum oder in die entgegengesetzte Richtung, aber sie bewegt sich immer noch in die gleiche Richtung auf ihrem eigenen Kreis, etwa von κ nach ε und von ε nach ζ. Ich sage, dass, wenn man den Kreis εζηκ kreisförmig entlang μονξ in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegt, sich die Sonne auf dem Kreis εζηκ in die gleiche Richtung wie das Universum bewegen und so die Phänomene retten wird. Sie wird sich zuerst in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegen, aber in die gleiche Richtung wie sein Kreis, etwa von ε zu ζ oder von ζ zu η oder von η zu κ. Dann ist es, da sie am weitesten von

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Theon von Smyrna

[162]

δῆλον ὅτι τὸ α κατὰ τὴν ε ἡμίσειαν μοῖράν ἐστι τῶν Διδύμων· ἔσται οὖν τὸ γ περὶ τὴν ε ἡμίσειαν μοῖραν τοῦ Τοξότου· καὶ τὸ μὲν μ, τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου κέντρον, τεταρτημοριαίαν ἐνηνέχθω περιφέρειαν τοῦ μονξ κινούμενον ὁμαλῶς, τὴν μο, καὶ τὸν εζηκ κύκλον μετενηνοχέτω ἐπὶ τὸν λπ· ὁ δὲ ἥλιος ἐπὶ τὰ αὐτὰ τούτῳ φερόμενος ὁμοίως τεταρτημοριαίαν ἐνηνέχθω περιφέρειαν τοῦ εζηκ τὴν εζ· ἔσται οὖν ἐπὶ τοῦ π, φανήσεται δὲ ἡμῖν ἐπὶ τοῦ σ, καὶ τὴν εζ τεταρτημοριαίαν τοῦ ἰδίου κύκλου διελθών δόξει τοῦ ζῳδιακοῦ μείζονα ἢ ὁμοίαν πορεύεσθαι τὴν αβσ καὶ ἀπὸ τοῦ α ταχέως ἀπιέναι. πάλιν δὲ τὸ ν ἐνηνέχθω κέντρον τεταρτημοριαίαν περιφέρειαν τὴν ον, καὶ καθεστακέτω τὸν λπ κύκλον ἐπὶ τὸν φυ· ὁ δὲ ἥλιος τε­ταρτη­­ μοριαίαν κεκινήσθω περιφέρειαν τὴν πτ· ἔσται οὖν ἐπὶ τοῦ υ, φανήσεται δὲ ἡμῖν ἐπὶ τοῦ γ, καὶ ἐνηνέχθαι δόξει τὴν σγ τοῦ ζῳ­διακοῦ ἐλάττονα ἢ τεταρτημοριαίαν καὶ προσιέναι τῷ γ [162] βρα­δέως. πάλιν δὴ τὸ ν τεταρτημοριαίαν μεταβὰν περιφέρειαν τὴν νξ, μετενηνοχέτω τὸν κύκλον ἐπὶ τὸν χψ· ὁ δὲ ἥλιος τεταρτημοριαίαν ἐνεχθεὶς περιφέρειαν ἔστω ἐπὶ τοῦ ψ· φανήσεται δὲ ἄρα κατὰ τὸ ω καὶ δόξει διεληλυθέναι τὴν γω, ἐλάττονα ‹ἢ› τεταρτημοριαίαν, καὶ βραδέως ἀπιέναι τοῦ γ. λοιπὸν δὲ τὸ μὲν ξ κέντρον, τεταρτημοριαίαν ἐλθὸν περιφέρειαν τὴν ξμ, ἀποκαθεστακέτω τὸν ψχ κύκλον ἐπὶ τὸν εζηκ, καὶ αὐτὸς δὲ ἥλιος, διελθὼν [θ’] ὁμοίαν τὴν περιφέρειαν τὴν ψχ, ἀποκαθεστάσθω ἐπὶ τὸ ε, φαινόμενος κατὰ τὸ α· καὶ ἐνηνέχθαι δόξει τὴν ωδα τοῦ ζῳδιακοῦ μείζονα περιφέρειαν καὶ ταχύνειν ἐπὶ τὸ α. ὥστε δῆλον ὅτι φερόμενος οὕτω τάχιστα μὲν δόξει κινεῖσθαι περὶ τοὺς Διδύμους, βραδύτατα δὲ περὶ τὸν Τοξότην· φαίνεται δὲ τοὐναντίον· οὐκ ἄρα, τοῦ κύκλου αὐτοῦ φερομένου κατὰ τὸν μονξ ἔγκεντρον κύκλον ἐπὶ τὰ ἐναντία τῷ παντί, καὶ αὐτὸς ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τὰ αὐτὰ μὲν τούτῳ κινηθήσεται, ὑπεναντίως δὲ τῷ παντί.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

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uns entfernt sein wird, klar, dass α bei 51⁄2 Teilen der Zwillinge ist; γ wird also bei 51⁄2 Teilen des Schützen sein. Nun bewegt sich μ, das Zentrum des Sonnenkreises, in regelmäßiger Weise für einen vierten Teil des Kreises μονξ, μο, und bringt den Kreis εζηκ nach λπ; außerdem wird sich die Sonne, die sich in der gleichen Richtung wie dieser bewegt, ähnlich in regelmäßiger Weise auf dem Bogen εζ, dem vierten Teil von εζηκ, bewegen. Sie wird also in π sein, während sie uns in σ erscheinen wird, und durch εζ, den vierten Teil ihres Kreises, wird sie scheinbar (den Kreisbogen) αβσ – größer als der ähnliche – des Tierkreises durchlaufen und sich schnell von α entfernen. Es bewege sich wiederum das Zentrum nach ν, um den vierten Teil des Kreises ον, und es liege der Kreis λπ in φυ; die Sonne hat sich für πτ, den vierten Teil des Umfangs, bewegt: Sie wird sich also in υ befinden, während sie uns in γ erscheint, und es wird so aussehen, als ob sie sich durch den Bogen σγ des Tierkreises bewegt hätte – weniger als der vierte Teil – und langsam auf γ zugehen würde. Wiederum wird ν sich auf νξ, dem vierten Teil des Umfangs, bewegen, den Kreis auf χψ; die Sonne, sich für einen vierten Teil des Umfangs bewegend, wird in ψ sein. Sie wird also auf ω erscheinen und es wird so aus­sehen, als ob sie sich durch γω bewegt hätte – weniger als einen vierten Teil – und sich langsam von γ entfernte. Schließlich wird das Zentrum ξ, durch ξμ gehend, den vierten Teil des Umfangs, wieder den Kreis ψχ auf εζηκ bringen, und die Sonne selbst wird durch ψχ gehend, einen ähnlichen Bogen, wieder nach ε bringen, also in der Nähe von α erscheinen; sie wird sich durch ωδα, einen größeren Bogen des Tierkreises, bewegt zu haben und sich schnell zu α nähern scheinen. Es ist also klar, dass sich die Sonne bei einer solchen Bewegung bei den Zwillingen mit der maximalen Geschwindigkeit und beim Schützen mit der minimalen zu bewegen scheint; aber die Phänomene zeigen das Gegenteil. Es ist also nicht so, dass sich die Sonne selbst auf dem Epizykel auf dem Zentralkreis μονξ in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegt, sondern sie bewegt sich auf dem Epizykel in die gleiche Richtung wie dieses, aber in die entgegengesetzte Richtung zum Universum.

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Theon von Smyrna

[163]

[163]                                          α                                                      ε                                           ζ                 κ                                                      μ                                                      η        σ                                                                                      ω                                                                              χ                           λ                     ο                           θ                              ξ     β                                                                                            δ                                π                                                        ψ

                                                     υ                                                             φ                                                   ν

                                                   γ

λείπεται οὖν, τοῦ ἐπικύκλου φερομένου ὑπεναντίως τῷ παντί, τὸν ἥλιον κατὰ τοῦ ἐπικύκλου φέρεσθαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῖς ἀπλανέσιν· οὕτως γὰρ σωθήσεται τὰ φαινόμενα. οἷον ἐνηνέχθω τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τεταρτημοριαίαν περιφέρειαν περὶ ἔγκεντρον κύκλον τὴν μο, καὶ μετενηνοχέτω τὸν ἐπίκυκλον ἐπὶ τὸν λπ· ὁ δὲ ἥλιος ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου τὴν εκ ὁμοίαν· ἔσται οὖν ἐπὶ τοῦ λ, φανήσεται δὲ ἡμῖν ἐπὶ τοῦ σ, τεταρτημοριαίαν τοῦ ἰδίου κύκλου κινηθεὶς περιφέρειαν· ἐπὶ δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ δόξει ἐλάττονα ἐνηνέχθαι τὴν ασ καὶ βραδέως ἀπερχόμενος τοῦ α σημείου.

πάλιν τὸ ο κέντρον μεταβεβηκέτω τεταρτημοριαίαν τὴν ον, καὶ ὁ ἥλιος ὁμοίαν τοῦ ἐπικύκλου τὴν λπ· ἔσται δὲ ἐπὶ τοῦ υ, φανήσεται

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

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Es bleibt also der Fall zu untersuchen, in dem sich der Epizykel in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegt und sich die Sonne entlang des Epizykels in die gleiche Richtung wie die Fixsterne bewegt. Auf folgende Weise werden die Phänomene gerettet: Es soll sich etwa das Zentrum des Epizykels auf dem Zentralkreis um μο bewegen, den vierten Teil des Kreises. Es bringt den Epizykel in λπ mit sich, während sich die Sonne ihrerseits auf dem Epizykel um λπ in einem ähnlichen Bogen bewegt: Die Sonne wird sich also in λ befinden, während sie uns in σ erscheint, verschoben um einen vierten Teil des Kreisumfangs; stattdessen wird sie sich auf dem Tierkreis um ασ, einen kleinen Bogen, bewegt zu haben scheinen und sich langsam vom Punkt α entfernt haben. Dann wird das Zentrum ο sich auf oν bewegen, den vierten Teil des Umfangs, und die Sonne auf λπ, einen ähnlichen Bogen des Epizykels. Die Sonne wird sich in υ befinden, während sie auf γ erscheint,

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[164]

δὲ κατὰ τὸ γ, καὶ δόξει κεκινῆσθαι τοῦ ζῳδιακοῦ τὴν σβγ, μείζονα τεταρτημοριαίας, ταχύνων ἐπὶ τὸ γ. ἐπενην[164]νέχθω τὸ ν ἐπὶ τὸ ξ τεταρτημοριαίαν τὴν νξ καὶ τὸν υφ κύκλον ἐφηρμοκέτω τῷ χψ· ὁ δὲ ἥλιος, κινηθεὶς ὁμοίαν ταῖς πρόσθεν τὴν υφ [περὶ τὴν υφ] περιφέρειαν, ἔστω ἐπὶ τοῦ χ· φανήσεται δὲ κατὰ τὸ ω, καὶ δόξει διεληλυθέναι τὴν γδω τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν μείζονα τεταρτημοριαίας, καὶ ταχέως ἀπιέναι τοῦ γ ἐπὶ τὸ δ. λοιπὴν ‹δὲ τὸ κέντρον ἐλθὸν› τὴν ξμ κίνησιν ἀποκαθεστακέτω ‹τὸν› χψ ἐπὶ τὸν ἐπίκυκλον τὸν εζη, καὶ αὐτὸς ὁ ἥλιος, ἐνεχθεὶς ὁμοίαν λοιπὴν τὴν χψ, ἀποκαθεστάσθω ἐπὶ τὸ ε, φανήσεται δὲ κατὰ τὸ α, δόξει δὲ [ὁ κατὰ τὸ α] τοῦ ζῳδιακοῦ διεληλυθέναι τὴν ωα ἐλάττονα τεταρτημοριαίας καὶ βραδέως προσιέναι τῷ α. ὥστε κατὰ τήνδε τὴν ὑπόθεσιν σωθήσεται τὰ φαινόμενα· βραδύτατον μὲν γὰρ δόξει κινεῖσθαι καὶ μικρότατος εἶναι κατὰ μέγεθος ὁ ἥλιος περὶ τὴν ες μοῖραν τῶν Διδύμων, τάχιστα δὲ φέρεσθαι καὶ μέγιστος εἶναι περὶ τὴν αὐτὴν μοῖραν τοῦ Τοξότου· καὶ ταῦτα εὐλόγως· ἀπὸ μὲν γὰρ τοῦ ε μεταβαίνων ἐπὶ τὸ κ, τοῦ κύκλου αὐτοῦ κινουμένου ἀπὸ τοῦ μ ἐπὶ τὸ ο, ἀντιφερόμενος ‹…› [165] ἐπὶ τὸ π, τοῦ ἐπικύκλου μεταβαίνοντος ἀπὸ τοῦ ο ἐπὶ τὸ ν, συντρέχων αὐτῷ τὴν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ φορὰν ἐπιτείνειν δόξει τῇ κινήσει ἐπὶ ταὐτὰ γινομένην ‹τῷ παντὶ καὶ› τρόπον τινὰ συμβαίνουσαν. καὶ παραπλησίως ἀπὸ τοῦ υ φερόμενος ἐπὶ τὸ φ, τοὺ ἐπικύκλου μεταβαίνοντος ἀπὸ τοῦ ν ἐπὶ τὸ ξ, οἷον προφθάνων τὸν ἑαυτοῦ κύκλον [καὶ] ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ δόξει ταχύνειν. ἀνάπαλιν δὲ ἀπὸ τοῦ χ παραγινόμενος ἐπὶ τὸ ψ, τοῦ ξ μεταβαίνοντος ‹ἐπὶ τὸ› μ, ἀντιφερόμενος τῷ ἑαυτοῦ κύκλῳ βραδεῖαν φαίνεται ποιούμενος τὴν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ φοράν.

εὑρίσκεται δὲ πάλιν τὸ μέγεθος τοῦ ἐπικύκλου καὶ ὁ λόγος τοῦ μεταξὺ τῶν κέντρων πρὸς τὴν εη τοῦ εζ ἐπικύκλου ‹διάμετρον› ὑπεναντίως τῷ πρόσθεν, ὡς κδ' πρὸς ἕν, διὰ τῆς περὶ ἀποστημάτων καὶ μεγεθῶν πραγματείας· μέγιστον μὲν γὰρ ἀπόστημα τοῦ ἡλίου τὸ θε, ἐλάχιστον δὲ τὸ θυ· ἡ δὲ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου πρὸς τὸ ἐλάχιστον διάμετρος γίνεται τοῦ ἐπικύκλου· κατ’ ἐπίκυκλον γὰρ καὶ ἡ τοιαύ-

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und es wird scheinen, dass sie sich auf dem Bogen σβγ des Tierkreises, der größer als ein vierter Teil ist, bewegt hat und sich schnell auf γ zubewegt hat. Verschoben werden soll ν nach ξ auf νξ, dem vierten Teil des Bogens, und passt den Kreis υφ an χψ an; die Sonne, die sich an υφ vorbeibewegt, ein Bogen ähnlich den vorherigen, wird in χ sein: Sie wird nun auf ω erscheinen und wird sich scheinbar durch den Bogen γδω des Tierkreises bewegt haben, der größer als ein vierter Teil ist, und sich schnell von γ zu δ hinbewegen. Mit der verbleibenden Bewegung des Zentrums für ξμ bringen wir wieder χψ auf den Epizykel εζη, und die Sonne selbst, die sich auf χψ bewegt, wobei ein ähnlicher Bogen übrig bleibt, soll wieder bei ε stehen. Sie wird nun bei α erscheinen und es wird so aussehen, als ob sie den Bogen ωα des Tierkreises, der kleiner als ein vierter Teil ist, durchlaufen hätte, und langsam auf α zugehen. Damit nach dieser Hypothese die Phänomene gerettet werden, wird sich die Sonne scheinbar mit minimaler Geschwindigkeit bewegen und die minimale Größe bei 51⁄2 Teilen der Zwillinge haben, und sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegen und die maximale Größe bei den gleichen Teilen des Schützen haben; all dies ist sehr vernünftig. Die Sonne wird, sich von ε nach κ bewegend, ihren Kreis von μ nach o bewegen, da sie in die entgegengesetzte Richtung geführt wird … (Lücke im Text) … in Richtung π, den Epizykel von ο nach ν bewegen, ihren Lauf zusammen mit diesem zu machen, wird ihre Bewegung im Tierkreis, die in der gleichen Richtung des Universums erzeugt wird und in gewisser Weise mit ihm einhergeht, sich in einiger Geschwindigkeit auszudehnen scheinen. Wenn sie sich auf sehr ähnliche Weise von υ nach φ bewegt, also den Epizykel von ν nach ξ, wird es so aussehen, als ob er sich schnell auf dem Tierkreis und vor seinem Kreis bewegen würde. Wenn sie sich wiederum von χ zu ψ und von ξ zu μ bewegt, wird die Sonne, die sich in die entgegengesetzte Richtung des Kreises bewegt, anscheinend eine langsame Bewegung im Tierkreis machen. Durch das Studium der Entfernungen und Größen entdecken wir die Größe des Epizykels und das Verhältnis des Abstandes zwischen den Zentren in Bezug auf εη und des umgekehrten Epizykels εζ, nämlich 24 zu 1; θε ist die maximale Entfernung der Sonne, θυ das Minimum; das Überragen des Maximums in Bezug auf die minimale ist der Durchmesser des Epizykels. Genau so ein Modell ergibt sich nach

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Theon von Smyrna

[166]

τη γίνεται πραγματεία, [166] ἐπειδὴ ὁ εζκ τοῦ πλανωμένου κύκλος καθ’ ἑτέρου τινὸς ἐγκέντρου [ὁμοκέντρου] φέρεται κύκλου, οἷον τοῦ μονξ. ἀλλ’ ὅτι μὲν καθ’ ἑκατέραν τὴν ὑπόθεσιν, τὴν κατ’ ἔκκεντρον καὶ τὴν κατ’ ἐπίκυκλον, σώζεται τὰ φαινόμενα, δείκνυσιν ἐκ τούτων. Ἵππαρχος δέ φησιν ἄξιον εἶναι μαθηματικῆς ἐπιστάσεως ἰδεῖν τὴν αἰτίαν δι’ ἣν τοσοῦτον διαφερούσαις ὑποθέσεσι, τῇ τε τῶν ἐκκέντρων κύκλων καὶ τῶν ὁμοκέντρων καὶ τῶν ἐπικύκλων, τὰ αὐτὰ φαίνεται ἀκολουθεῖν.

δείκνυσι δὲ ὁ Ἄδραστος πρῶτον μὲν πῶς τῇ κατ’ ἐπίκυκλον ἕπεται κατὰ συμβεβηκὸς ἡ κατὰ ἔκκεντρον· ὡς δὲ ἐγώ φημι, καὶ τῇ κατὰ ἔκκεντρον ἡ κατ’ ἐπίκυκλον.

                                                            α                                                            ε                                                               μ                                                    ζ                  κ                                                               η                            λ                             σ                                 χ                            ο         τ                  θ                                 ξ      ς            β                                                                                                 δ                             π                                                              ψ                                                            υ                                                               ν                                                                        φ                                                            ρ                                                             γ

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dem Epizykel, denn der Kreis εζκ des Planeten bewegt sich auf einem anderen Kreis, dem Zentralkreis, etwa μονξ. Dass die Phänomene nach jeder der beiden Hypothesen gerettet werden, die eine nach dem Exzenter und die andere nach dem Epizykel, demonstriert Adrastos ausgehend von diesen Dingen. Hipp­ archos bekräftigt, dass es einer mathematischen Kompetenz bedarf, die Ursache zu kennen, für welche die gleichen Dinge mit dem gleichen Grad an Genauigkeit durch verschiedene Hypothesen impliziert zu sein scheinen, sowohl die der exzentrischen Kreise als auch die der homozentrischen und epizyklischen. Adrastos zeigt zunächst, wie sich die nach dem exzentrischen Kreis aus der des Epizykels ergibt. Ich behaupte stattdessen, dass auch die nach dem Epizykel sich aus der nach dem exzentrischen Kreis ergibt.

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[167]

ἔστω γὰρ ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ, κέντρον δὲ τοῦ [167] παντὸς τὸ θ, ἡλίου δὲ ἐπίκυκλος ὁ εζηκ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ μ· καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ θμ, κύκλος ὁ μονξ. λέγω ὅτι, τοῦ μ κέντρου κινουμένου περὶ τὸν μονξ κύκλον ὁμόκεντρον ὁμαλῶς, ὑπεναντίως τῷ παντί, καὶ συναποφέροντος τὸν ἐπίκυκλον, ὁ ἥλιος ἐν ἴσῳ χρόνῳ διανύων τὸν εκηζ ἐπίκυκλον ὁμαλῶς, ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ τῷ παντί, γράψει καὶ τὸν ἔκκεντρον ἴσον ὄντα τῷ μονξ ἐγκέντρῳ. διήχθωσαν γὰρ αἱ αγ βδ διάμετροι τοῦ ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὥστε τὸ μὲν α σημεῖον περὶ τὴν ε' ς μοῖραν τῶν Διδύμων εἶναι, τὸ δὲ γ περὶ τὴν αὐτὴν τοῦ Τοξότου, καὶ κέντροις τοῖς [μ] ο ν ξ γεγράφθωσαν τῷ εζηκ ἐπικύκλῳ ἴσοι κύκλοι οἱ λπτ υρφ χψς καὶ τῶν λπτ χψς διάμετροι πρὸς ὀρθὰς τῇ βδ αἱ λπ χψ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ λχ ‹οξ›.

λέγω ὅτι αἱ λχ οξ ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλληλοι· ἴση ἄρα ἑκατέρα τῶν λσ σχ ἑκατέρᾳ τῶν οθ θξ αἵ εἰσιν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μονξ κύκλου· καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ θσ τῇ ολ, ἴσαι ἔσονται ἡ θσ καὶ ἑκατέρα τῶν υν με· ἔστι δὲ ἴση καὶ ἡ θν τῇ θμ· ἴση ἄρα καὶ ἡ υσ τῇ σε. ἀλλ’ ἐπεὶ ἴση ἡ θσ τῇ υν, κοινὴ δὲ ἡ θυ, ἴση [168] ἡ συ τῇ θν· ἐκατέρα ἄρα τῶν εσ συ ἴση ἔσται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μονξ κύκλου· ἐδείχθη δὲ καὶ ἐκατέρα τῶν λσσχ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ αὐτοῦ κύκλου· τέσσαρες ἄρα αἱ σε σλ συ σχ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ καὶ πρὸς ὀρθάς. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ σ, διαστήματι δέ τινι μιᾷ αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ τῶν ε λ υ χ σημείων, καὶ ἴσος ‹ἔσται› τῷ μονξ κύκλῳ, καὶ ὑπὸ τῶν ευ λχ διαμέτρων εἰς τέσσαρα ἴσα διαιρεθήσεται. γεγράφθω οὖν καὶ ἔστω ὁ ελυχ· οὗτος δὲ ἔσται ὁ ἔκκεντρος, τὸ μὲν ἀπογειότατον ἔχων ὑπὸ τὸ α, ε' ς μοῖραν τῶν Διδύμων, τὸ δὲ προσ­ γειό­τατον ὑπὸ τὸ γ, ε' ς μοῖραν τοῦ Τοξότου.

λέγω δ’ ὅτι ἥλιος, φερόμενος, ὡς ὑπετέθη, κατὰ τοῦ εκηζ ἐπικύκλου, κατὰ συμβεβηκὸς γράψει καὶ τὸν ελυχ ἔκκεντρον. ἐνηνέχθω γὰρ τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τὴν μο περιφέρειαν τεταρτημοριαίαν· καὶ ὁ ἥλιος ἄρα, ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ ἐνεχθεὶς ὁμοίαν τοῦ ἐπικύκλου τὴν ἐκ, ἔσται ἐπὶ τοῦ λ, καὶ ἀπὸ τοῦ ε ἐπὶ τὸ λ ἐλεύσεται τεταρτημο-

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Es seien der Tierkreis αβγδ, das Zentrum des Universums θ, der Epizykel der Sonne εζηκ und sein Zentrum μ; gezeichnet sei auch mit dem Zentrum θ und mit dem Radius θμ der Kreis μονξ. Ich sage Folgendes: Wenn man das Zentrum μ auf reguläre Weise entlang des homozentrischen Kreises μονξ in die entgegengesetzte Richtung des Universums bewegt und die Sonne zusammen mit sich selbst den Epizykel bewegt und gleichzeitig den Epizykel εκηζ auf reguläre Weise in die gleiche Richtung des Universums vervollständigt, dann wird auch der Exzenter gleich dem Zentralkreis μονξ nachgezeichnet. Die Durchmesser αγ und βδ des Tierkreises werden darüber hinaus im rechten Winkel zueinander geführt, so dass Punkt α 51⁄2 Teile der Zwillinge und Punkt γ 51⁄2 Teile des Schützen sind; und mit Zentren in ο ν ξ seien gezeichnet in dem Epizykel εζηκ die gleichen Kreise λπτ υρφ χψς und die Durchmesser von λπτ χψς im rechten Winkel mit βδ sind λπ χψ, und es seien verbunden λχ und οξ. Ich sage, dass λχ und οξ gleich und parallel sind: λσ σχ ist also jeweils gleich οθ θξ, die Radien des Kreises μονξ; außerdem, da θσ gleich ολ ist, werden sie gleich θσ, υν und με sein; θν ist gleich θμ; daher ist auch υσ gleich σε. Da aber θσ gleich υν ist gleich ist, gemeinsam mit θυ, ist auch συ gleich θν; εσ und συ werden also jeweils gleich dem Radius des Kreises μονξ sein. Außerdem hat sich gezeigt, dass sowohl λσ als auch σχ dem Radius desselben Kreises entsprechen. Die vier geraden Linien σε σλ συ σχ sind also untereinander gleich und im rechten Winkel. Der gezeichnete Kreis mit dem Zentrum σ und einem Radius, der gleich einem der Punkte ist, wird dann durch die Punkte ε λ υ χ gehen und wird gleich dem Kreis μονξ sein und durch die Durchmesser ευ und λχ in vier gleiche Teile zerlegt. Dieser Kreis wird also nachgezeichnet und lautet ελυχ: Es wird der Exzenter sein, der den von der Erde am weitesten entfernten Punkt unterhalb von α hat, bei 51⁄2 Teilen der Zwillinge, und den nächstgelegenen in der Korrespondenz von γ, bei 51⁄2 Teilen des Schützen. Ich sage, dass die Sonne, die sich entlang des Epizykels εκηζ bewegt – gemäß der Hypothese – folglich, wie es sich trifft, auch den Exzenter ελυχ beschreiben wird. Das Zentrum des Epizykels wird sich ja auf μο, dem vierten Teil des Umfangs, bewegen; daher wird auch die Sonne, die sich gleichzeitig für εκ, einen ähnlichen Bogen des Epizykels, be-

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Theon von Smyrna

[169]

ριαίαν γράψας περιφέρειαν τοῦ ἐκκέντρου τὴν ελ. πάλιν τὸ ο κέντρον ἐπὶ τοῦ κύκλου ἐνηνέχθω τεταρτημοριαίαν τὴν ον περιφέρειαν, ὁ δὲ ἥλιος ὁμοίαν τοῦ ἐπικύκλου τὴν λτ· ἔσται ἄρα ἐπὶ τοῦ υ, καὶ κατὰ συμβεβηκὸς γράψει τοῦ ἐκκέντρου ὁμοίαν περιφέρειαν τὴν λυ. ὁμοίως δὴ τοῦ ν δια[169]πορευθέντος τὴν νξ, ὁ ἥλιος τοῦ ἐπικύκλου διελεύσεται ὁμοίαν τὴν υφ· ἔσται δὴ ἐπὶ τοῦ χ, κατὰ συμβεβηκὸς γράψας καὶ τὴν υχ ὁμοίαν περιφέρειαν τοῦ ἐκκέντρου. λοιπὸν δὲ τοῦ ξ διελθόντος τὴν ξμ, καὶ ὁ ἥλιος ἐξανύσας ‹τὴν› χς ἀποκατασταθήσεται ἐπὶ τὸ ε· γράψει δὲ ἅμα καὶ τὴν χε περιφέρειαν τοῦ ἐκκέντρου λοιπὴν καὶ ὁμοίαν· ὥστε ὅλον τὸν ἐπίκυκλον ἐξανύσας ὁμαλῶς διὰ τοῦ ὁμοκέντρου γράψει ἔκκεντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.                                                             α                                                               ε                                    π                         μ                            ρ                                                    ζ                   κ                                   φ                                                               η                         χ         ο                                                                η                       λ                                   τ                                       ξ  β                                                                                                                     δ                                                                θ

                                                               υ                                                                ν

                                                              γ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

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wegt, in λ sein, und wird von ε zu λ gehen und ελ, den vierten Teil des Exzenters, nachzeichnen. Wiederum ist ο das Zentrum oder bewegt sich auf dem Kreis oν, dem vierten Teil des Umfangs, die Sonne aber auf λτ, einem ähnlichen Bogen des Epizykels. Sie wird dann in υ sein und entsprechend, wie es sich fügt, λυ, einen ähnlichen Bogen des Exzenters, nachzeichnen. In ähnlicher Weise wird, wenn Punkt ν auf dem Bogen νξ entlangläuft, die Sonne υφ, einen ähnlichen Bogen des Epizykels, durchlaufen; sie wird also in χ sein und sie wird auch, wie es sich fügt, υχ, einen ähnlichen Bogen des Exzenters, nachzeichnen. Schließlich wird, während der Punkt ξ auf ξμ entlanglaufen wird, die Sonne, die χς vollständig durchschreitet, wieder in ε sein; sie wird also zusammen auch den Bogen χε, den verbleibenden und ähnlichen Bogen des Exzenters, nachzeichnen. Die Folge ist, dass die Sonne, die den gesamten Epizykel auf reguläre Weise vervollständigt, einen Exzenter durch das gleiche Zentrum (homokentron) verfolgen wird – was zu zeigen war.

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Theon von Smyrna

[170]

δείκνυται δὲ τὸ αὐτὸ καὶ οὕτως. ἔστω ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ, ἡλίου δὲ ἐπίκυκλος ὁ εζηκ, τὸ μὲν κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ μονξ κείμενον, ὅς ἐστιν ὁμόκεντρος περὶ τὸ θ κέντρον τοῦ παντός· καὶ ἔστω τὸ ε' σημεῖον ἀπογειότατον ὑπὸ τὴν ε' ς μοῖραν τῶν Διδύμων. λέγω ὅτι, τοῦ κε φερομένου ὁμαλῶς ἐπὶ τοῦ μονξ κύκλου [170] ὑπεναντίως τῷ παντί, ὁ ἥλιος ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ φερόμενος κατὰ τοῦ εκηζ ἐπικύκλου ὁμαλῶς μὲν καὶ ὑπεναντίως τῷ ἐπικύκλῳ, ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ τῷ παντί, κατὰ συμβεβηκὸς γράψει καὶ τὸν ἔκκεντρον ἴσον ὄντα τῷ μονξ ἐγκέντρῳ. ἀπενηνέχθω γὰρ τὸ μὲν μ κέντρον τυχοῦσάν τινα περιφέρειαν τὴν μο, καὶ καθεστακέτω τὸν ἐπίκυκλον ἐπὶ τὸν πρχ· ὁ δὲ ἥλιος ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ ε, τουτ­έστιν ἀπὸ τοῦ ρ, ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ διεληλυθέτω τὴν ρπ, ὁμοίαν τῇ μο, καὶ κείσθω τῇ με ἴση ἡ θη, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ηπ θρ· ἐπεὶ οὖν ὁμοία ἡ ρπ περιφέρεια τῇ ομ, ἴση καὶ γωνία ἡ φ τῇ τ· παράλληλος ἄρα ἡ πο τῇ ηθ· ἔστι δὲ καὶ ἴση· ἴση ἄρα ἡ πη τῇ οθ καὶ παράλληλος· ἔστι δὲ ἡ θο ἴση τῇ ηε· ἴση ἄρα ἡ ηπ τῇ ηε. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ η, διαστήματι δὲ τῷ ηε γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ π καὶ ἴσος ἔσται τῷ μονξ. γεγράφθω οὖν ὁ επλυξ· οὗτος ἄρα ἔσται ὁ ἔκκεντρος· ἐπεὶ οὖν παρ­ άλληλος ἡ πη τῇ ρθ, ἴση ἡ φ γωνία τῇ τ, τουτέστι τῇ πηε· ὁμοία ἄρα ἡ επ· ἀρξάμενος δὲ ‹ὁ ἥλιος› ἀπὸ τοῦ ε, κατὰ συμβεβηκὸς γράψει καὶ τὴν επ ὁμοίαν περιφέρειαν τοῦ ἐκκέντρου. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται τοῦτο ποιῶν ἀεί· ὥστε καὶ ὅλον ἀνύσας [171] τὸν ἐπίκυκλον διὰ τοῦ ἐγκέντρου ὅλον γράψει καὶ ἔκκεντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. δεικτέον δὲ καὶ τὸ ἀναστρέφον. ἔστω γὰρ πάλιν ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ αγ, καὶ κέντρον τὸ θ, ἡλίου δὲ κύκλος ἔκκεντρος ελυξ· καὶ ἔστω ἀπογειότατον μὲν αὐτοῦ τὸ ε ὑπὸ ε' ς μοῖραν τῶν Διδύμων, κέντρον δὲ ἐπὶ τῇ αθ τὸ η· καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ ηε, κύκλος ὁ μονξ. πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ μ, διαστήματι δὲ τῷ με, κύκλος γεγράφθω ὁ εζηκ· δῆλον οὖν ὡς οὗτος ἔσται ὁ αὐτὸς τῷ ἐπικύκλῳ. λέγω δὴ ὅτι ὁ ἥλιος κινούμενος ὁμαλῶς κατὰ τοῦ ελυξ ἐκκέντρον γράψει κατὰ συμβεβηκὸς καὶ τὸν εζηκ ἐπίκυκλον φερόμενον ὁμαλῶς κατὰ τοῦ μονξ καὶ ἰσοχρονίως τῷ ἡλίῳ.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 26.2

291

Dasselbe wird auch wie folgt demonstriert: Es sei der Tierkreis αβγδ, der Epizykel der Sonne εζηκ mit dem Zentrum auf μονξ, das homozentrisch um θ, das Zentrum des Universums, liegt. Es ist auch der am weitesten entfernte Punkt und unterhalb von 51⁄2 Teilen der Zwillinge. Ich sage, dass, wenn der Mittelpunkt μ sich auf dem Kreis μονξ in die entgegengesetzte Richtung des Universums bewegt, und die Sonne sich gleichzeitig auf dem Epizykel εκηζ in regelmäßiger Weise und in die entgegengesetzte Richtung des Epizykels, aber in die gleiche Richtung des Universums bewegt, das folglich, wie es sich trifft, auch den Exzenter ebenso wie den Zentralkreis μονξ beschreibt. Man verschiebt ja das Zentrum μ für einen beliebigen Bogen μο und platziert den Epizykel in πρχ; die Sonne, ausgehend von ε und mithin von ρ, ist also gleichzeitig ρπ, ähnlich wie μο, gelaufen. Außerdem wird gleichwertig zu με dann θη gesetzt; ηπ und θρ werden verbunden. Da also der Bogen ρπ ähnlich wie ομ ist, so ist auch der Winkel φ gleich (dem Winkel) τ; πο ist also parallel zu ηθ und ist auch gleich zu diesem; πη ist also gleich und parallel zu οθ; außerdem ist θο gleich ηο; ηπ ist also gleich ηε. Der Kreis, der mit einem Zentrum in η und Radius ηε gezeichnet ist, wird also auch durch π gehen und gleich μονξ sein. Gezeichnet sei επλυξ; das wird dann der Exzenter sein. Da also πη parallel zu ρθ ist, ist der Winkel φ gleich (dem Winkel) τ, also zu πηε und also ähnlich zu επ. Nun, die Sonne, ausgehend von ε, wird folglich, wie es sich trifft, auch επ zeichnen, einen ähnlichen Bogen des Exzenters. Es wird gezeigt werden, dass sie dies immer auf ähnliche Weise tut, so dass die Sonne, die den gesamten Epizykel durch den Zentralkreis laufen lässt, auch den gesamten Exzenter verfolgen wird – wie zu zeigen war. Aber auch das Umgekehrte muss gezeigt werden. Es sei wieder der Tierkreis αβγδ, sein Durchmesser αγ, sein Zentrum θ und der exzentrische Kreis der Sonne ελυξ. Es sei auch ε sein entferntester Punkt und, bei 51⁄2 Teilen der Zwillinge, sein Zentrum η auf αθ. Es wird dann mit Zentrum θ und Radius ηε einen Kreis μονξ nachzeichnen. Wiederum mit Zentrum μ und Radius με gibt es einen Kreis εζηκ. Es ist also klar, dass dieser identisch mit dem Epizykel sein wird. Ich sage also, dass die Sonne, die sich regelmäßig entlang des Exzenters ελυξ bewegt, folglich auch den Epizykel εζηκ zeichnet, der sich regelmäßig und gleichzeitig mit der Sonne entlang μονξ bewegt.

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Theon von Smyrna

[172]

ἐνηνέχθω γὰρ ὁ ἥλιος τυχοῦσάν τινα περιφέρειαν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὴν επ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πη, καὶ ‹ἡ› ρθ παράλληλος, ἴση δὲ τῇ θη ἡ ορ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πο. ἐπεὶ οὖν αἱ ηθ πο ἴσαι ἔσονται καὶ παράλληλοι, ἔστι δὲ ἡ θη ἴση τῇ με, τουτέστι τῇ ορ τῇ οπ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ ο, διαστήματι δὲ τῷ ορ γραφόμενος κύκλος ὕξει καὶ διὰ τοῦ π, καὶ ὁ αὐτὸς ἔσται τῷ εζηκ ἐπικύκλῳ. γεγράφθω οὖν ὁ πρχ· ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους αἱ τ φ γωνίαι ἴσαι [172] εἰσὶν ἀλλήλαις, ἐν δὲ τοῖς κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐφ’ ὁμοίων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐν δὲ τοῖς ἴσοις καὶ ἐπὶ ἴσων, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις, αἱ ρπ επ μο περιφέρειαι [δὲ] ὅμοιαι ἔσονται ἀλλήλαις, αἱ δὲ επ μο καὶ ἴσαι. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν επ περιφέρειαν ἐκινήθη τοῦ ἐκκέντρου, ἐν τούτῳ καὶ τὸ μ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου, τὴν μο περιφέρειαν ἐνεχθέν, τὸν εζη ἐπίκυκλον ἐπὶ τὸν πρχ μετήνεγκε, καὶ ὁ ἥλιος τὴν επ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου διανύσας, ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ ε, τουτ­έστιν ἀπὸ τοῦ ρ, καὶ τὴν ρπ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν ὁμοίαν ἔγραψε. τὸ δ’ αὐτὸ δειχθήσεται καὶ κατὰ πᾶσαν κίνησιν ποιούμενος· ὥστε καὶ ὅλον διανύσας τὸν ἔκκεντρον ὁ ἥλιος ὅλον γράψει τὸν ἐπίκυκλον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

περὶ ἡλίου ἀποκαταστάσεως (27) ταῦτα δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλανωμένων δείκνυται. πλὴν ὁ μὲν ἥλιος ἀπαραλλάκτως ταῦτα δοκεῖ ποιεῖν κατὰ ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις, διὰ τὸ τοὺς ἀποκαταστατικοὺς αὐτοῦ χρόνους, τόν τε τοῦ μήκους καὶ τὸν τοῦ πλάτους καὶ τὸν τοῦ βάθους καὶ [τὸν] τῆς λεγομένης ἀνωμαλίας, οὕτως εἶναι σύνεγγυς ἀλλήλων, ὥστε τοῖς πλείστοις τῶν μαθηματικῶν ἴσους δοκεῖν, ἡμερῶν ἕκαστον τξε' δ, ἀκριβέστερον δὲ ἐπισκοπουμένοις τὸν μὲν τοῦ μήκους, ἐν ᾧ τὸν ζῳδιακὸν ἀπὸ σημείου τινὸς ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον διανύει καὶ ἀπὸ τροπῆς ἐπὶ τὴν [173] αὐτὴν τροπὴν καὶ ἀπὸ ἰσημερίας ἐπὶ τὴν αὐτὴν ἰσημερίαν παραγίνεται, τὸν εἰρημένον σύνεγγυς [κύκλον] χρόνον, παρὰ τετραετίαν ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τοῦ μήκους αὐτοῦ κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ἀποκαθισταμένου·

Teil III (Astronomie, Abschnitt 27

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Es soll die Sonne sich für jeden Bogen επ auf dem Exzenter bewegen, und es soll πη, die Parallele zu ρθ, gleich θη gezeichnet werden und sich an πο anschließen. Da also ηθ πο gleich und parallel sein wird, ist ηθ gleich με, also ορ gleich οπ; der mit Mittelpunkt in o und Radius ορ gezeichnete Kreis wird also auch durch π gehen und mit dem Epizykel εζηκ gleich sein. Darum sei gezeichnet πρχ, denn wegen der Parallelen sind die Winkel τ und φ einander gleich – und in Kreisen bestehen die gleichen Winkel auf ähnlichen Bögen; in Kreisen auf gleichen Bögen hingegen bestehen – gleich, ob sie in der Mitte oder am Umfang liegen – die Bögen ρπ επ μο werden einander ähnlich sein und auch επ μο gleich. Daher führt in der Zeit, in der sich die Sonne entlang des Bogens επ des Exzenters bewegt, in der gleichen Zeit auch das Zentrum μ des Epizykels, das sich entlang des Bogens μο bewegt, mit ihm den Epizykel εζη durch πρχ, und die Sonne, die den Bogen vervollständigt, π auf dem Exzenter, ausgehend von ε, das heißt von ρ, zeichnet auch ρπ, einen ähnlichen Bogen des Epizykels. Dasselbe wird de­monstriert, wenn irgendeine andere Bewegung erzeugt wird, so dass die Sonne, indem sie den gesamten Exzenter vollendet, auch den gesamten Epizykel nachzeichnet – was zu zeigen war. Über die Zurückversetzung der Sonne (27) Diese Dinge werden auch für die anderen Planeten de­monstriert. Die Sonne ist jedoch eine Ausnahme: Sie scheint ständig solche Bewegungen nach beiden Hypothesen zu erzeugen, weil ihre Rückkehrzeiten – sowohl in Länge und Breite als auch der sogenannten Anomalie – so nahe beieinander liegen, dass sie den meisten Mathematikern gleich zu sein scheinen, nämlich jeweils 3651⁄4 Tage. Wenn man jedoch die Zeit der Bewegung in der Länge – in der die Sonne durch den Tierkreis von einem beliebigen Punkt zu demselben Punkt wandert und von einer Sonnenwende zu derselben Sonnenwende und von einer Tagundnachtgleiche zu derselben Tagundnachtgleiche kommt – genauer betrachtet, entspricht sie der genannten ungefähren Zeit, da die Sonne alle vier Jahre zur selben Zeit an demselben Punkt in der Länge kommt.

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Theon von Smyrna

[174]

τὸν δὲ τῆς ἀνωμαλίας, καθ’ ἃν ἀπογειότατος γινόμενος καὶ δι’ αὐτὸ τῇ μὲν φάσει τοῦ μεγέθους μικρότατος, βραδύτατος δὲ κατὰ τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα φοράν, ἢ ἀνάπαλιν προσγειότατος, καὶ διὰ τοῦτο μέγιστος μὲν τῷ μεγέθει δοκῶν, τῇ δὲ κινήσει τάχιστος, ἡμερῶν ἔγγιστα τξε' ς, διετίᾳ πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τοῦ βάθους τὴν αὐτὴν ὥραν αὐτοῦ φαινομένου, τὸν δὲ τοῦ πλάτους, ἐν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ βορειότατος ἢ νοτιώτατος γενόμενος ἐπὶ τὸ αὐτὸ παραγίνεται, ὡς πάλιν ἴσας ὁρᾶσθαι τὰς τῶν αὐτῶν γνωμόνων σκιάς, ἡμερῶν μάλιστα τξε' η, κατὰ τὸ αὐτὸ τοῦ πλάτους σημεῖον αὐτοῦ τὴν αὐτὴν ὥραν ὀκταετίᾳ παραγινομένου.

περὶ τῆς τῶν λοιπῶν πλανήτων ἀποκαταστάσεως (28) ἐπὶ δὲ τῶν ἄλλων, ἐπεὶ καθ’ ἕκαστον τῶν πλανωμένων πολὺ παραλλάττουσιν ‹οἱ› εἰρημένοι χρόνοι πάντες, καὶ ἐφ’ ὧν μὲν μᾶλλον, ἐφ’ ὧν δὲ ἧττον, τὰ γινόμενα καθ’ ἕκαστον φαίνεται ποικιλώτερα καὶ διαλλάττοντά πως καθ’ ἑκατέραν τὴν ὑπόθεσιν, οὐκέτ’ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τοῦ πλάνητος ἑκάστου τὸν ἑαυτοῦ ἐπίκυκλον περιερχομένου καὶ τοῦ ἐπικύκλου τὸν ἔγκεντρον, ἀλλ’ ὧν μὲν θᾶττον, ὧν δὲ βράδιον, διά τε τὰς τῶν κύκλων ἀνισότητας καὶ διὰ [174] τὰς ἀπὸ τοῦ μέσου τοῦ παντὸς ἀνίσους ἀποστάσεις, ἔτι τε διὰ τὰς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων διαφόρους λοξώσεις ἀνομοίους ἐγκλίσεις τε καὶ θέσεις.

περὶ στηριγμῶν καὶ προηγήσεων καὶ ἀναποδισμῶν (29) ὅθεν καὶ τὰ τῶν στηριγμῶν τε καὶ ἀναποδισμῶν καὶ προηγήσεων καὶ ὑπολείψεων οὐχ ὁμοίως ἐπὶ πάντων ἀπαντᾷ· ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν ε' γίνεσθαι [ὡς] ταῦτα φαίνεται, εἰ καὶ μὴ παντάπασιν ὁμοίως· ἐπὶ μέντοι γε ἡλίου καὶ σελήνης οὐδ’ ὅλως· οὔτε γὰρ προηγεῖσθαί ποτε οὔτε στηρίζειν οὔτε ἀναποδίζειν οὗτοι φαίνονται, διὰ τὸ τὸν

Teil III (Astronomie, Abschnitt 28

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Betrachtet man dann die der Anomalie – nach der die Sonne, da sie sich in maximaler Entfernung befindet, scheinbar aus diesem Grund die minimale Größe und in der Bewegung auf die folgenden Tierkreiszeichen zu die minimale Geschwindigkeit hat, oder, aus dem gleichen Grund, umgekehrt näher ist, aus diesem Grund scheint sie von maximaler Größe und in der Bewegung schneller als je zuvor zu sein –, so sind es etwa 3651⁄2 Tage, da die Sonne alle zwei Jahre zur gleichen Stunde wieder am gleichen Punkt in der Höhe erscheint. Wenn man dann die Breitenverschiebung beobachtet – bei der die Sonne, die sich am nördlichsten Punkt oder am südlichsten Punkt befindet, am gleichen Punkt erscheint, so dass die gleichen Schatten für die gleichen Sonnenuhren wieder gleich gesehen werden –, sind es etwa 3651⁄8 Tage, da die Sonne alle acht Jahre zur gleichen Zeit den gleichen Breitenpunkt erreicht. Die Zurückversetzung der übrigen Planeten (28) Was die anderen Planeten betrifft, da sich für jeden alle genannten Zeiten beträchtlich ändern, für die einen mehr, für die anderen weniger, erscheinen die Ereignisse, die sich auf jeden Planeten beziehen, vielfältiger und veränderlich nach jeder der beiden Hypothesen, da weder jeder Planet zur gleichen Zeit seinen eigenen Epizykel durchläuft, noch jeder Epizykel den Zentralkreis. Für die einen aber geht das schneller, für die anderen langsamer, wegen der Ungleichheiten der Kreise, ihrer unterschiedlichen Entfernungen vom Mittelpunkt des Universums, und wegen ihrer unterschiedlichen Schiefen – das heißt, ihrer unterschiedlichen Winkel und Positionen – gegenüber dem Kreis durch die Mitte der Tierkreiszeichen. sterigmoi, prohegeseis und anapodismoi (29) Daraus folgt auch, dass das, was sterigmoi, anapodismoi, prohegeseis und hypoleipseis (s. o. III 17 ff.) betrifft, nicht immer für alle Planeten in ähnlicher Weise geschieht. Für fünf Planeten scheinen sich diese Ereignisse jedoch mit denselben Charakteren zu ereignen, wenn auch nicht auf ganz und gar ähnliche Weise. Für die Sonne und den Mond hingegen sind die Charaktere der Bewegungen völlig unter-

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Theon von Smyrna

[175]

μὲν ἥλιον σύνεγγυς κατὰ τὸν ‹αὐτὸν› χρόνον ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου φαίνεσθαι φερόμενον, καὶ τὸν ἐπίκυκλον αὐτοῦ κατὰ τοῦ ἐγκέντρου, καθάπερ ἔφαμεν, τῆς δὲ σελήνης τὸν ἐπίκυκλον θᾶττον κατὰ τοῦ ἐγκέντρου φέρεσθαι καὶ τοῦ τῶν ζῳδίων ὑπολείπεσθαι κύκλου αὐτὴν διεξιέναι τὸν ἐπίκυκλον.                                                             α                                                              ε                                                     ζ              κ                                                           μ                                                              η                                   λ                         θ                      ξ                      β                                                                           δ

                                                              ν                                                             γ [175] (30) δῆλον δὲ ὡς οὐδὲν διαφέρει πρὸς τὸ σώζειν τὰ φαινόμενα, τοὺς πλάνητας κατὰ τῶν κύκλων, ὡς διώρισται, λέγειν κινεῖσθαι, ἢ τοὺς κύκλους φέροντας τὰ τούτων σώματα αὐτοὺς περὶ τὰ ἴδια κέντρα κινεῖσθαι· λέγω δὲ τοὺς μὲν ἐγκέντρους, φέροντας τὰ τῶν ἐπικύκλων κέντρα, περὶ τὰ αὐτῶν κέντρα κινεῖσθαι ὑπεναντίως ‹τῷ παντί›, τοὺς δὲ ἐπικύκλους, φέροντας τὰ τῶν πλανωμένων σώματα, πάλιν περὶ τὰ αὐτῶν κέντρα, οἷον τὸν μὲν μλνξ ἔγκεντρον φέρεσθαι περὶ τὸ θ, τοῦ παντὸς καὶ ἑαυτοῦ κέντρον, ὑπεναντίως τῷ παντί, φέροντα ἐπὶ τῆς αὐτοῦ περιφερείας τοῦ ‹ἐπικύκλου› τὸ μ κέντρον, τὸν ‹δὲ› εζηκ ἐπίκυκλον ἔχοντα τὸν πλανώμενον κατὰ τὸ ε φέρεσθαι πάλιν περὶ τὸ μ κέντρον, ἐπὶ μὲν ἡλίου καὶ σελήνης ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί, ἐπὶ δὲ τῶν ἄλλων καὶ τοῦτον ὑπεναντίως τῷ παντί· σώζεται γὰρ οὕτως τὰ φαινόμενα.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 30

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schiedlich: Sie scheinen nie vorwärts zu gehen oder stationäre oder rückläufige Bewegungen auszuführen, denn einerseits scheint sich die Sonne etwa für die gleiche Zeit auf ihrem Kreis zu bewegen, in der sich ihr Epizykel auf dem Zentralkreis bewegt – wie wir gesagt haben –, andererseits bewegt sich der Epizykel des Mondes auf dem Zentralkreis und wird vom Tierkreis schneller zurückgelassen, als sich der Epizykel bewegt.

(30) Es ist klar, dass es für die Rettung der Phänomene wenig Bedeutung hat, ob man, wie erklärt wurde, sagt, dass die Planeten sich auf Kreisen bewegen oder ob die Kreise, welche diese Sterne tragen, sich um ihre eigenen Zentren bewegen. Ich sage, dass die konzentrischen Kreise, welche die Zentren der Epizykel tragen, sich um ihre eigenen Zentren in der dem Kosmos entgegengesetzten Richtung bewegen, und dass die Epizykel, welche die Planeten tragen, sich auch um ihre eigenen Zentren bewegen. So verstehe ich, dass sich der konzentrische Kreis μλνξ um θ, das sein eigenes Zentrum und das des Kosmos ist, in der dem Kosmos entgegengesetzten Richtung bewegt. Ich verstehe außerdem, dass der konzentrische Kreis auf seinem Umfang das Zentrum μ des Epizykels εζηκ trägt, und dass dieser Epizykel, der den Planeten zum Punkt ε trägt, sich um das Zentrum μ in der gleichen Richtung wie der Kosmos dreht, wenn es sich um Sonne und Mond handelt, oder in der entgegengesetzten Richtung, wenn man die anderen Planeten betrachtet. Auf diese Weise werden die Phänomene gerettet.

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Theon von Smyrna

[176]

                                                            ε

                                                              κ                        λ                                                                       ξ                                                               θ                                                    ρ               π

                                                              υ κατὰ δὲ τὴν ἑτέραν πραγματείαν, ὄντος ἐκκέντρου [176] κύκλου τοῦ ελυξ περὶ κέντρον τὸ κ, ἐπὶ μὲν ἡλίου αὐτὸς ὁ ελυξ κύκλος ἐν ἐνιαυτῷ κινούμενος ὁμαλῶς περὶ τὸ κ κέντρον, φέρων τὸν ἥλιον ἐνεστηριγμένον κατὰ τὸ ε σημεῖον, σώσει τὰ φαινόμενα, τοῦ κ κέντρου καθ’ ἑαυτὸ μὲν μὴ κινουμένου μηδ’ ὑπεναντίως τῷ παντί, συναποφερομένου δὲ τῷ παντὶ καὶ πρὸς ἡμέραν ἑκάστην γράφοντος τὸν κρπ κύκλον, ἴσον γινόμενον τῷ τῆς ἑτέρας πραγματείας κύκλῳ· ποιήσεται γὰρ οὕτως ὁ ἥλιος ἀεὶ κατὰ τούς αὐτοὺς τόπους μέγιστα ἀποστήματα καὶ πάλιν καθ’ ἑτέρους ἐλάχιστα καὶ παραπλησίως κατὰ ἄλλους μέσα, τὰ μὲν μέγιστα κατὰ τὴν ε' ς μοῖραν, ὡς εἴρηται, τῶν Διδύμων, τὰ δὲ ἐλάχιστα κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ Τοξότου, καὶ τὰ μέσα ὁμοίως κατὰ τὰς αὐτὰς τῆς τε Παρθένου καὶ τῶν Ἰχθύων· ἐπειδὴ καὶ τὸ ε σημεῖον τοῦ ἐκκέντρου ἐφ’ οὐ ἐστιν ὁ ἥλιος, τήνδε μὲν ἔχοντος τὴν θέσιν τοῦ κύκλου, φαινόμενον ὑπὸ τοὺς Διδύμους ἀπογειότατόν ἐστιν, περιενεχθέντος δὲ τοῦ κύκλου περὶ τὸ κ' κέντρον, μεταπεσὸν ὅπου νῦν ἐστι τὸ υ, φανήσεται μὲν ὑπὸ τὸν Τοξότην, ἔσται δὲ προσγειότατον, μεταξὺ δὲ τούτων, κατά τε τὴν Παρθένον καὶ τοὺς Ἰχθύας, μέσως ἀποστήσεται.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 30

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Nach dem anderen Modell wird der exzentrische Kreis ελυξ um das Zentrum κ, im Falle der Sonne derselbe Kreis ελυξ, der sich in einem Jahr regelmäßig um das Zentrum κ bewegt und die Sonne an dem Punkt ε fixiert, die Phänomene retten, wenn das Zentrum κ sich weder allein noch in die entgegengesetzte Richtung zum Universum bewegt, sondern zusammen mit dem Universum und jeden Tag den Kreis κρπ zeichnet, der dem Kreis entspricht, den das andere Modell betrachtet. Auf diese Weise wird die Sonne ja immer an denselben Orten die maximale Entfernung erzeugen und wiederum an anderen die minimale und ähnlich an den dazwischen liegenden die mittlere. Das Maximum ist, wie gesagt, zu 51⁄2 Teilen der Zwillinge, das Minimum zu den gleichen Teilen des Schützen, und ähnlich die dazwischen liegenden zu den gleichen Teilen der Jungfrau und der Fische. Die Sonne ist in dem Moment, in dem der Punkt ε des Exzenters, auf dem sie steht, in den Zwillingen erscheint – wobei der Kreis diese Position hat –, in der maximalen Entfernung; dreht man den Kreis um das Zentrum κ und verschiebt diesen Punkt, wo jetzt υ steht, so erscheint sie im Schützen und befindet sich in der minimalen Entfernung; zwischen diesen beiden, in Jungfrau und Fischen, befindet sie sich in einer mittleren Entfernung.

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Theon von Smyrna

[177]

τὰ δ’ ἄλλα πλανητὰ ἐπειδὴ κατὰ πάντα τόπον τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα καὶ μέσα ποιεῖται καὶ ἀποστήματα καὶ κινή­ματα, ἐὰν κέντρῳ μὲν τῷ θ τοῦ παντός, διαστήματι δὲ τῷ θκ, γεγράφθαι νοήσωμεν κύκλον τὸν κπρ, ἔπειτα τοῦτον, ἔγκεντρον ὄντα καὶ [177] ἴσον τῷ τῆς ἑτέρας ὑποθέσεως ἐπικύκλῳ, φέρεσθαι περὶ τὸ θ τοῦ παντὸς κέντρον καὶ συναποφέρειν τὸ κ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου ὑπεναντίως τῷ παντὶ ἐν χρόνῳ τινί, τὸν δὲ ελυξ ἔκκεντρον ἐν ἑτέρῳ χρόνῳ κινεῖσθαι περὶ τὸ ἑαυτοῦ κέντρον τὸ κ, φέροντα τὸν πλανώμενον ἐνεστηριγμένον ἐν αὐτῷ κατὰ τὸ ε, λαμβανομένων τῶν χρόνων καθ’ ἕκαστον τῶν πλανωμένων ἰδίων καὶ οἰκείων, σωθήσεται τὰ φαινόμενα.

καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ πλέον διέξεισι τοῦ προσοικειῶσαι ἀλλήλαις τὰς τῶν μαθηματικῶν ὑποθέσεις τε καὶ πραγματείας, οἵτινες πρὸς τὰ φαινόμενα μόνον καὶ τὰς κατὰ συμβεβηκὸς γινομένας τῶν πλανωμένων κινήσεις ἀποβλέποντες, μακροῖς χρόνοις ταύτας τηρήσαντες διὰ. τὸ εὐφυὲς τῆς χώρας αὐτῶν, Βαβυλώνιοι καὶ Χαλδαῖοι καὶ Αἰγύπτιοι, προθύμως ἀρχάς τινας καὶ ὑποθέσεις ἀνεζήτουν, αἷς ἐφαρμόζει τὰ φαινόμενα, δι’ οὗ τὸ κατὰ τὰ εὑρημένα πρόσθεν ἐπικρίνειν καὶ κατὰ μέλλοντα προλήψεσθαι, φέροντες οἱ μὲν ἀριθμητικάς τινας, ὥσπερ Χαλδαῖοι, μεθόδους, οἱ δὲ καὶ γραμμικάς, ὥσπερ Αἰγύπτιοι, πάντες μὲν ἄνευ φυσιολογίας ἀτελεῖς ποιούμενοι τὰς μεθόδους, δέον ἅμα καὶ φυσικῶς περὶ τούτων ἐπισκοπεῖν· ὅπερ οἱ παρὰ τοῖς Ἕλλησιν ἀστρολογήσαντες ἐπειρῶντο ποιεῖν, τὰς παρὰ τούτων λαβόντες ἀρχὰς καὶ τῶν φαινομένων τηρήσεις, καθὰ καὶ Πλάτων [178] ἐν τῷ Ἐπινομίῳ μηνύει, ὡς ὀλίγον ὕστερον ἔσται δῆλον παρατεθεισῶν τῶν λέξεων αὐτοῦ.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 30

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Da aber in Bezug auf die anderen Planeten an jedem Ort des Tierkreises maximale, minimale und mittlere Entfernungen und Geschwindigkeiten erzeugt werden, unter Berücksichtigung der richtigen und natürlichen Zeiten jedes Planeten, werden die Phänomene gerettet, wenn wir uns einen Kreis κπρ vorstellen, der mit dem Zentrum θ, dem des Universums, und mit dem Radius θκ gezeichnet ist. Dann bewegt sich – was der Zentralkreis und gleich dem Epizykel der anderen Hypothese ist – um das Zentrum θ des Universums das Zentrum κ des Exzenters in einer bestimmten Zeit in entgegengesetzter Richtung zum Universum, da der Exzenter ελυξ sich in einer anderen Zeit um sein eigenes Zentrum κ bewegt und den Planeten in ε an sich selbst fixiert trägt. Wenn die Zeiten für jeden der Planeten eigens und angemessen genommen worden sind, werden so die Phänomene gerettet. Auch diese Überlegungen führen weit voran, wenn es darum geht, die Hypothesen und Modelle der Mathematiker in Einklang zu bringen, die – nämlich Babylonier, Chaldäer und Ägypter – nur, wie es sich trifft, die Phänomene und Bewegungen der Planeten betrachteten und wegen der guten natürlichen Veranlagung ihrer Länder lange Zeit Beobachtungen über diese Dinge machten, ständig mit großer Intensität nach den Prinzipien und Hypothesen suchten, mit denen die Phänomene harmonierten. Durch diese Aktivität kamen sie dazu, Entscheidungen im Voraus zu treffen, in Abhängigkeit von dem, was sie entdeckt hatten, und Vorhersagen über zukünftige Ereignisse zu treffen. Einige, wie etwa die Chaldäer, fanden bestimmte Rechenmethoden, während andere, etwa die Ägypter, sogar Diagramme fanden, aber alle entwickelten unvollkommene Methoden, weil ihnen der Beitrag der Wissenschaft der Natur fehlte. Es ist ja notwendig, diese Dinge zu untersuchen, wobei man immer die Wissenschaft der Natur im Auge behält. Genau dies versuchten diejenigen, die sich unter den Griechen dem Studium der Sterne widmeten, indem sie deren Prinzipien erfassten und den Phänomenen ständig Aufmerksamkeit schenkten, nach dem, was Platon auch in der Epinomis (978a) bezeugt, was klar wird, wenn man seine Worte mit dem vergleicht, was in Kürze folgen wird.

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Theon von Smyrna

[179]

τὰ Ἀριστοτέλους (31) καὶ Ἀριστοτέλης δὲ ἐν τοῖς περὶ οὐρανοῦ κοινῶς διὰ πλειόνων δείξας περὶ τῶν ἄστρων, ὡς οὔτε δι’ ἠρεμοῦντος αὐτὰ φέρεται τοῦ αἰθερίου σώματος οὔτε φερομένου συνθεῖ καθάπερ ἀπολελυμένα καὶ καθ’ ἑαυτά, οὔτε μὴν δινούμενα οὔτε κυλινδούμενα, μᾶλλον δὲ ὑπ’ ἐκείνου φέρεται τὰ ἀπλανῆ πολλὰ ὄντα ὑπὸ μιᾶς κοινῆς τῆς ἐκτός, τῶν δὲ πλανωμένων ἕκαστον ἓν ὑπὸ πλειόνων σφαιρῶν, πάλιν ἐν τῷ Λ τῶν μετὰ τὰ φυσικά φησιν Εὔδοξόν τε καὶ Κάλλιππον σφαίραις τισὶ κινεῖν τοὺς πλάνητας. τὸ γὰρ φυσικόν ἐστι μήτε τὰ ἄστρα αὐτὰ κατὰ ταὐτὰ φέρεσθαι κυκλικάς τινας ἢ ἑλικοειδεῖς γραμμὰς καὶ ὑπεναντίως γε τῷ παντὶ μήτε αὐτούς τινας κύκλους περὶ τὰ αὐτῶν κέντρα δινεῖσθαι φέροντας ἐνεστηριγμένους τοὺς ἀστέρας, καὶ τοὺς μὲν [ἑπτὰ] ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί, τοὺς δὲ ὑπεναντίως. πῶς γὰρ καὶ δυνατὸν ἐν κύκλοις ἀσωμάτοις τηλικαῦτα σώματα δεδέσθαι;

σφαίρας δέ τινας εἶναι τοῦ πέμπτου σώματος οἰκεῖον ἐν τῷ βάθει τοῦ παντὸς οὐρανοῦ κειμένας τε καὶ φερομένας, τὰς μὲν ὑψηλοτέρας, τὰς δὲ ὑπ’ αὐτὰς τεταγμένας, καὶ τὰς μὲν μείζονας, τὰς δὲ ἐλάττονας, ἔτι δὲ τὰς μὲν κοίλας, τὰς δ’ ἐν τῷ βάθει τούτων πάλιν στερεάς, ἐν αἷς ἀπλανῶν δίκην ἐνεστηριγμένα τὰ πλα[179]νητὰ τῇ ἐκείνων ἁπλῇ μέν, διὰ δὲ τοὺς τόπους ἀνισοταχεῖ φορᾷ κατὰ συμβεβηκὸς φαίνεται ποικίλως ἤδη κινεῖσθαι καὶ γράφειν τινὰς κύκλους ἐκκέντρους ἢ καὶ ἐφ’ ἑτέρων τινῶν κύκλων κειμένους ἢ τινας ἕλικας, καθ’ ὧν οἱ μαθηματικοὶ κινεῖσθαι νομίζουσιν αὐτά, τῇ ἀναστροφῇ ἀπατώμενοι. ἐπεὶ οὖν φαίνεται μὲν συναποφέρεσθαι ὑπὸ τοῦ παντὸς πρὸς ἑκάστην ἡμέραν τὴν ἀπ’ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεις, ἀντιφέρεσθαι δὲ τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα κατὰ λοξοῦ τοῦ ζῳδιακοῦ μετάβασιν, κινεῖσθαι δέ τι καὶ πλάτος, βορειότερά τε καὶ νοτιώτερα βλεπόμενα, πρὸς δὲ τούτοις ὕψος τε καὶ βάθος, ὁτὲ μὲν ἀπογειότερα, ὁτὲ δὲ προσγειότερα θεω-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 30

303

Die Aussagen des Aristoteles (31) Auch Aristoteles spricht in den Büchern Über den Himmel (2,7) ausführlich über die Sterne, bietet viele Überlegungen an und bekräftigt, dass sie sich weder in Ruhe durch den ätherischen Körper bewegen noch den Äther bewegen, auch nicht als getrennt und autonom zusammen laufen und sich auch nicht bewegen, indem sie sich drehen oder rollen. Er sagt vielmehr, dass die Fixsterne, die viele sind, von jenem wie von einer gemeinsamen Kugel, der äußeren, geführt werden, während jeder der Planeten von vielen Kugeln geführt wird. Wiederum sagt er in dem Buch Λ der Schriften der Meta­physik (XI 1073b), dass sowohl Eudoxos als auch Kallippos glaubten, dass die Planeten von bestimmten Kugeln bewegt wurden. Ein Modell, das der Natur entspricht, sieht ja nicht vor, dass die Sterne sich autonom durch kreisförmige oder schleifenförmige Linien in die entgegengesetzte Richtung des Universums bewegen, noch dass bestimmte Kreise um ihre eigenen Zentren rotieren, welche die Fixsterne tragen, einige in der gleichen Richtung wie das Universum, während andere in die entgegengesetzte Richtung gehen. Wie ist es überhaupt möglich, dass solche Körper an körperlose Kreise gebunden sind? Es ist stattdessen angebracht, dass einige Kugeln des fünften Körpers in die Höhe des ganzen Himmels gestellt werden und sich dort bewegen, einige höher und andere der Reihe nach unter ihnen angeordnet, einige größer und andere kleiner, und noch einige hohl und – in deren Höhe – andere massiv, und dass in ihnen die Planeten wie Fixsterne aufgestellt sind, sich ihrer einfachen Bewegung folgend bewegen, aber – wegen der verschiedenen Positionen – gleichzeitig, wie es sich trifft, ungleiche Geschwindigkeiten zu erzeugen scheinen und einige exzentrische Kreise oder Stellen auf anderen Kreisen beschreibt oder sogar einige Schleifen, entlang derer Mathematiker, getäuscht durch die Rückwärtsbewegung, glauben, dass sich die Planeten bewegen. Da es also klar erscheint, dass die Planeten jeden Tag von Osten nach Westen aus dem Universum geführt werden, dass sie ihre Richtung ändern, indem sie sich in die entgegengesetzte Richtung zu den folgenden Tierkreiszeichen bewegen, die sich dann auch in der Breite – da sie weiter nördlich oder weiter südlich gesehen werden – und auch in der Höhe und Tiefe – sie werden manchmal weiter ausein-

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Theon von Smyrna

[180]

ρούμενα, φησὶν ὁ Ἀριστοτέλης ὅτι διὰ πλειόνων σφαιρῶν ἕκαστον οἱ πρόσθεν ὑπετίθεντο φέρεσθαι.

τὰ Εὐδόξου κα‹ὶ› τὰ Ἀριστοτέλους Εὔδοξος μὲν ἥλιον καὶ σελήνην διὰ τριῶν σφαιρῶν φησιν ἐστηρίχθαι, μιᾶς μὲν τῆς τῶν ἀπλανῶν περὶ τοὺς τοῦ παντὸς πόλους δινουμένης καὶ διὰ κράτος κοινῶς πάσας τὰς ἄλλας ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεις ἐφελκομένης, ἑτέρας δὲ φερομένης περὶ ἄξονα τὸν πρὸς ὀρθὰς τῷ διὰ μέσου τῶν ζῳδίων, δι’ ἧς τὴν κατὰ μῆκος μετάβασιν εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων κοινῶς ἕκαστον πάλιν φαίνεται ποιεῖσθαι, τρίτης δὲ περὶ ἄξονα τὸν πρὸς ὀρθὰς τῷ λελοξωμένῳ κύκλῳ πρὸς τὸν διὰ μέσου ἐν τῷ πλάτει τῶν ζῳδίων, δι’ ἧς τὴν κατὰ πλάτος κίνησιν ἕκαστον ἰδίαν, τὸ μὲν ἐν πλείονι, τὸ δὲ [180] ἐν ἐλάττονι φέρεται διαστάσει, βορειότερόν τε καὶ νοτιώτερον γινόμενον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων, τῶν δ’ ἄλλων πλανωμένων ἕκαστον διὰ τεττάρων, προστεθείσης [ἄν τις ὑπολάβηται σειρῆνας] καθ’ ἕκαστον ἑτέρας, δι’ ἧς καὶ τὸ βάθος ἕκαστον ποιήσεται.

τὰ Καλλίπ‹π›ου κα‹ὶ› τὰ Ἀριστοτέλους Κάλλιππος δέ, χωριστοῦ Κρόνου καὶ Διός, τοῖς ἄλλοις καὶ ἑτέρας τινάς, φησί, προσετίθει σφαίρας, ἀνὰ δύο μὲν ἡλίῳ καὶ σελήνῃ, τοῖς δὲ λοιποῖς ἀνὰ μίαν. εἶτα δὲ ἐπιλογίζεται, εἰ μέλλοιεν συντεθεῖσαι σώζειν τὰ φαινόμενα, καθ’ ἕκαστον τῶν πλανωμένων καὶ ἑτέρας εἶναι σφαίρας μιᾷ ἐλάττονας τῶν φερουσῶν τὰς ἀνελιττούσας, εἴτε ἑαυτοῦ δόξαν ταύτην, εἴτε ἐκείνων ἀποφαινόμενος. ἐπεὶ γὰρ ᾤοντο κατὰ φύσιν μὲν εἶναι τὸ ἐπὶ τὸ αὐτὸ φέρεσθαι πάντα, ἑώρων δὲ τὰ πλανώμενα καὶ ἐπὶ τοὐναντίον μεταβαίνοντα, ὑπέλαβον δεῖν εἶναι μεταξὺ φερουσῶν ἑτέρας τινάς, στερεὰς δηλονότι, σφαίρας, αἵ τῇ ἑαυτῶν κινήσει ἀνελίξουσι τὰς φερούσας ἐπὶ τοὐναντίον, ἐφαπτο-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 30

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ander und manchmal näher zusammen beobachtet – bewegen, stellt Aristo­teles fest, dass frühere Gelehrte die Hypothese aufgestellt hatten, dass sich jeder der Planeten durch eine bestimmte Anzahl von Kugeln bewegt. Die Aussagen des Eudoxos und die des Aristoteles Laut Eudoxos nehmen die Sonne und der Mond ihre Position durch drei Kugeln ein: Eine ist diejenige der Fixsterne, die sich um die Pole des Universums dreht und die durch ihre Kraft alle anderen von Ost nach West zusammenzieht; eine andere dreht sich um die Achse im rechten Winkel mit dem Kreis durch die Mitte der Tierkreiszeichen, dank dem jeder Planet im Universum wieder die Verschiebung des Längengrades in Richtung der folgenden Tierkreiszeichen umzusetzen scheint; eine dritte Kugel dreht sich um die Achse im rechten Winkel mit dem Kreis, der in der Dicke der Tierkreiszeichen gegenüber dem Mittelkreis geneigt ist, und dank dessen erzeugt jeder Planet seine eigene Bewegung in der Breite, der eine mit einem größeren Abstand, der andere mit einem geringeren Abstand, der eine mehr im Norden, der andere mehr im Süden gegenüber dem Kreis mitten durch die Tierkreiszeichen. Jeder der anderen Planeten bewegt sich dagegen durch vier, da für jeden Planeten eine andere Kugel hinzugefügt werden muss, für die jeder von ihnen auch seine Bewegung in der Höhe machen wird. Die Aussagen des Kallippos und die des Aristoteles Kallippos fügte dann für die anderen Planeten außer Saturn und Jupiter noch weitere Kugeln hinzu, nämlich je zwei für die Sonne und den Mond und je eine für die anderen. Er kommt jedoch zu dem Schluss, dass man, wenn man die Phänomene retten will, davon ausgehen muss, dass es für jeden der Planeten eine um eins verminderte gegenläufige Kugel gibt, und damit macht er seine Meinung und die der anderen deutlich, denn sie glaubten, dass sich nach der Natur wirklich alle Dinge in die gleiche Richtung bewegen, aber gleichzeitig sahen sie, dass sich die Planeten auch in die entgegengesetzte Richtung bewegen: So nahmen sie an, dass es unter denjenigen, die führen, noch andere Zwischenkugeln – eindeutig solide – geben müsse, die mit ihrer eige-

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Theon von Smyrna

[181]

μένας αὐτῶν, ὥσπερ ἐν ταῖς μηχανοσφαιροποιίαις τὰ λεγόμενα τυμπάνια, κινούμενα περὶ τὸ κέντρον ἰδίαν τινὰ κίνησιν, τῇ παρεμπλοκῇ τῶν ὀδόντων εἰς τοὐναντίον κινεῖν καὶ ἀνελίττειν τὰ ὑποκείμενα καὶ προσυφαπτόμενα.

(32) ἔστι δὲ τὸ μὲν φυσικὸν ὄντως, πάσας τὰς σφαίρας φέρεσθαι μὲν ἐπὶ τὸ αὐτό, περιαγομένας ὑπὸ τῆς ἐξωτάτω, κατὰ δὲ τὴν ἰδίαν κίνησιν διὰ τὴν [181] τάξιν τῆς θέσεως καὶ τοὺς τόπους καὶ τὰ μεγέθη τὰς μὲν θᾶττον, τὰς δὲ βραδύτερον ἐπὶ τὰ ἐναντία φέρεσθαι περὶ ἄξονας ἰδίους καὶ λελοξωμένους πρὸς τὴν τῶν ἀπλανῶν σφαῖραν· ὥστε τὰ ἐν αὐταῖς ἄστρα τῇ τούτων ἁπλῇ καὶ ὁμαλῇ κινήσει φερόμενα κατὰ συμβεβηκὸς αὐτὰ δοκεῖν συνθέτους καὶ ἀνωμάλους καὶ ποικίλας τινὰς ποιεῖσθαι φοράς. καὶ γράφουσί τινας κύκλους διαφόρους, τοὺς μὲν ἐγκέντρους, τοὺς δὲ ἐκκέντρους, τοὺς δὲ ἐπικύκλους. ἕνεκα δὲ τῆς ἐννοίας τῶν λεγομένων ἐπὶ βραχὺ καὶ περὶ τούτων ἐκθετέον, κατὰ τὸ δοκοῦν ἡμῖν ἀναγκαῖον εἰς τὰς σφαιροποιίας διάγραμμα.                                                                    α                                                                      ε                                                                      μ                                                           ζ                η                                                                      π                                     λ                             -κ                          ξ                      β                                                                                         δ                                                                      θ                                                 χ                                    ψ                                      φ                                                         ω                               ρ                                                                        τ                                                                      υ                                                                      ν                                                                      σ                                                                    γ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 32

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nen Bewegung diejenigen, welche die Planeten in die entgegengesetzte Richtung führen, durch Einhaken in Drehung versetzen – so wie sie es bei den kugelförmigen mechanischen Konstruktionen tun, den so genannten tympania, die, indem sie sich mit ihrer eigenen Bewegung um das Zentrum drehen, durch das Ineinandergreifen der Zähne sich bewegen und das, was darunter platziert und mit ihnen verbunden ist, in die entgegengesetzte Richtung drehen lassen. (32) Das Folgende ist wirklich im Einklang mit der Natur: Alle Kugeln bewegen sich in die gleiche Richtung, geleitet von der Äußersten, aber sie bewegen sich auch entsprechend ihrer eigenen Bewegung in die entgegengesetzte Richtung, einige schneller und andere langsamer – sowohl wegen der Reihenfolge der Positionen als auch wegen der Orte und Größen – um ihre eigenen Achsen und geneigt in Bezug auf die Kugel der Fixsterne, so dass die Sterne in ihnen, die sich in ihrer einfachen und regelmäßigen Bewegung bewegen, wie es sich trifft, zusammengesetzte, unregelmäßige und verschiedene Bewegungen zu erzeugen scheinen, und so Kreise verschiedener Art beschreiben: die Zentralkreise, die Exzenter und die Epizykel. Um das Gesagte kurz zu verstehen, ist es notwendig, die Darlegung nach dem Diagramm fortzusetzen, das wir für den Bau der Kugeln für notwendig erachten.

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Theon von Smyrna

[182]

ἔστω σφαῖρα κοίλη τῶν ἀπλανῶν ἡ αβγδ περὶ κέντρον τὸ θ τοῦ παντὸς ἐν βάθει τῷ αε· διάμετροι δ’ αὐτῆς αἱ αγ βδ· καὶ νοείσθω ὁ αβγδ κύκλος μέγιστος καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων· ἑτέρα δέ τις ὑποκάτω [182] αὐτῆς περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κοίλη σφαῖρα πλάνητος ἡ ερστ καὶ πχυψ, ἐν βάθει τῷ επ· ἐν δὲ τῷ βάθει τούτῳ στερεὰ σφαῖρα ἡ εζπη, ἐνεστηριγμένον ἐν αὐτῇ φέρουσα τὸ πλανώμενον κατὰ τὸ ε. καὶ πᾶσαι φερέσθωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ὁμαλῶς ἁπλᾶς κινήσεις ἀπ’ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεῖς, μόνη δὲ ἡ τὸ πλάτος ἀφορίζουσα τοῦ πλάνητος ἐπὶ τὰ ἐναντία φερέσθω, ἢ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέν, ὑπολειπέσθω δὲ διὰ βραδυτῆτα· ἑκατέρως γὰρ σωθήσεται τὰ φαινόμενα.

ἀλλ’ ἡ μὲν τῶν ἀπλανῶν περὶ ἄξονα τὸν πρὸς ὀρθὰς τῷ ‹…› αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐν ᾧ ἐστι καὶ ὁ τὸ πλάτος ἀφορίζων κύκλος ὁ λοξὸς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων.

φερέσθω δὲ ἡ μὲν τῶν ἀπλανῶν σφαῖρα τάχιστα· βραδύτερον δὲ ταύτης ἡ κοίλη τοῦ πλάνητος ἐπὶ τὰ ἐναντία, ὥστε ἔν τινι ὡρισμένῳ χρόνῳ πᾶσαν ἐπὶ τὰ ἐναντία περιιέναι τὴν τῶν ἀπλανῶν, ἤ, ὥς τινες οἴονται, ὑπολείπεσθαι· ποτέρα δὲ ἀληθεστέρα δόξα, ἐν ἄλλοις εἴρηται· φερέτω δὲ [ἐπὶ] τὴν σφαῖραν τὴν στερεὰν ἔχουσαν τὸ πλανώμενον· ἡ δὲ στερεὰ σφαῖρα, φερομένη περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα ὁμαλῶς, ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκαταστήσεται, κατὰ τὰ αὐτὰ φερομένη τῇ ἀπλανεῖ· ἤτοι δὲ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκαταστήσεται, ἐν ᾧ καὶ ἡ κοίλη τοῦ πλανωμένου τὴν τῶν ἀπλανῶν ἐπὶ τὰ ἐναντία φερομένη περιέρχεται ἢ ὑπολείπεται, ἢ θᾶττον, ἦ βραδύτερον.

[183] ἀποκαθιστάσθω πρότερον ἐν τῷ αὐτῷ· καὶ ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας τὸ μ· καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ θμ κύκλος ὁ μλνξ· τῆς δὲ ‹ευ› εὐθείας δίχα διαιρεθείσης κατὰ τὸ κ, κέντρῳ μν τῷ κ, διαστήματι δὲ τῷ κε, κύκλος γεγράφθω ὁ ελυξ, ἔκκεντρος πρὸς τὸ πᾶν.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 32

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Es sei die Hohlkugel der Fixsterne αβγδ um das Zentrum des Universums θ mit der Tiefe αε; ebenso ihre Durchmesser αγ βδ; es wird auch als ein maximaler Kreis αβγδ und durch die Mitte der Tierkreiszeichen gedacht. Eine andere unter ihr um dasselbe Zentrum ist die Hohlkugel des Planeten, ερστ und πχυψ mit der Höhe επ. In dieser Höhe befindet sich die feste Kugel εζπη, die in sich einen festen Planeten bei ε führt. Außerdem bewegen sich alle Kugeln regelmäßig in der gleichen Richtung mit einfachen Bewegungen von Ost nach West, und nur diejenige, welche die Bewegung in der Breite des Planeten bestimmt, bewegt sich in die entgegengesetzte Richtung, oder sogar in die gleiche Richtung, solange sie wegen ihrer Langsamkeit zurückgelassen wird. Auf beide Arten werden die Phänomene gerettet. Die Kugel der Fixsterne dreht sich um die Achse im rechten Winkel (Lücke im Text, etwa: zum Äquatorkreis, die Hohlkugel des Planeten um eine Achse im rechten Winkel zu) dieser Fläche, in der sich auch der Kreis befindet, der die Bewegung in der Breite bestimmt, geneigt in Bezug auf diese durch die Mitte der Tierkreiszeichen. Die Kugel der Fixsterne bewegt sich mit maximaler Geschwindigkeit, während sich die Hohlkugel des Planeten langsamer als diese und in die entgegengesetzte Richtung bewegt, so dass sie sich in einer bestimmten Zeit um die ganze Kugel der Fixsterne in die entgegengesetzte Richtung dreht oder, wie manche glauben, zurückgelassen wird – was die wahrste Meinung ist, wird an anderer Stelle gesagt –; das bringt dann die feste Kugel, die den Planeten führt. Wiederum bewegt sich die feste Kugel, die sich regelmäßig um ihre eigene Achse bewegt, in der gleichen Richtung wie die der Fixsterne zurück zum gleichen Punkt; oder sie bewegt sich in der gleichen Zeit zum gleichen Punkt zurück, wenn die Hohlkugel des Planeten, die sich in die entgegengesetzte Richtung bewegt, durch die der Fixsterne hindurchgeht – oder von ihr zurückgelassen ist –, oder schneller oder langsamer. Es sei zunächst angenommen, dass sie in der gleichen Zeit zurückkehrt. Es sei das Zentrum der Kugel μ. Es werde mit dem Zentrum θ und mit dem Radius θμ ein Kreis μλνξ gezeichnet. Zerlegt man die Strecke ευ bei κ in zwei, so soll man mit dem Zentrum κ und dem Radius κε einen Kreis ελυξ zeichnen, der zum Universum exzentrisch ist.

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Theon von Smyrna

[184]

φανερὸν δὴ ὅτι ἐν ᾦ χρόνῳ ἡ κοίλη σφαῖρα τοῦ πλανωμένου τῆς τῶν ἀπλανῶν ὑπολείπεται φέρουσα τὴν στερεάν, τὸ μὲν μ κέντρον τῆς στερεᾶς σφαίρας διελεύσεται τὸν μλνξ κύκλον ἔγκεντρον, ἐπὶ τὰ ἐναντία δοκοῦν φέρεσθαι καὶ ἀπάγον τὴν στερεὰν σφαῖραν, τὸ δὲ ἐπὶ τοῦ ε πλανώμενον ἐν μὲν τῇ στερεᾷ σφαίρᾳ γράψει τὸν εηπζ κύκλον, ἐπίκυκλον γινόμενον τοῦ μλνξ ἐγκέντρου, αὐτὸν φερόμενον ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί· κατὰ συμβεβηκὸς ‹δὲ› γράψει καὶ τὸν ελυξ ἔκκεντρον ἴσον τῷ ἐγκέντρῳ, περιγράφον αὐτὸν ἐπὶ τὰ ἐναντία τῷ παντί· δόξει δὲ τοῖς ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσι καὶ τὸν αβγδ ζῳδιακὸν διανύειν, εἰς τὰ ἑπόμενα προϊὸν ὑπεναντίως τῇ τοῦ παντὸς φορᾷ·

φανήσεται δὲ καὶ πλάτος κινεῖσθαι τὸ κατὰ λόγον τῆς λοξώσεως τοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων, ᾧ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς οἱ ἄξονες τῶν σφαιρῶν αὐτοῦ· κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν τόπον ἀεὶ μέγιστον ἀπόστημα ποιήσεται καὶ τὰ ἐλάχιστα δόξει [184] κινεῖσθαι, οἷον κατὰ τὸ α σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐπειδὰν τῆς στερεᾶς σφαίρας τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς αθ εὐθείας κατὰ τὸ μ, αὐτὸ δὲ τὸ πλανώμενον κατὰ τὸ ε· κατὰ δὲ τοὐναντίον ἀεὶ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα ἀποστήσεται καὶ τὰ μέγιστα δόξει κινεῖσθαι, οἷον κατὰ τὸ γ σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐπειδάν, ἐπὶ τὰ ἐναντία τῆς κοίλης σφαίρας μεταπεσούσης, [καὶ] τῆς στερεᾶς τὸ μὲν κέντρον ἐπὶ τῆς θγ εὐθείας γένηται κατὰ τὸ ν, αὐτὸ δὲ τὸ πλανώμενον κατὰ τὸ γ, τουτέστι κατὰ τὸ υ.

τὰ μέντοι μέσα ἀποστήματα καὶ τὰ μέσα κινήματα ποιήσεται διχῇ, κατὰ τὰς διχοτομίας γινόμενον τοῦ εζπη ἐπικύκλου καὶ τοῦ μλνξ ἐγκέντρου, οἷον τὰς ζ η, αἵτινες διὰ τὴν ἐπὶ τὰ ἐναντία μετάπτωσιν τῶν σφαιρῶν ἢ ὑπόλειψιν αἱ αὐταὶ γίνονται ταῖς λ ξ διχοτομίαις τοῦ τε ελυξ ἐκκέντρου κύκλου καὶ τοῦ μλνξ ἐγκέντρου, φαινόμεναι κατὰ τὰ μεταξὺ σημεῖα τῶν α γ ἐφ’ ἑκάτερα β δ ἐν τῷ ζῳδιακῷ, οἷον τὰ φ ω· ἅ τινα πάντα φαίνεται περὶ τὸν ἥλιον, διὰ τὸ τοὺς ἀπο­κατα­σ τατικοὺς αὐτοῦ χρόνους πάντας ὡς πρὸς αἴσθησιν ἴσους ἢ σύνεγγυς ἀλλήλων

Teil III (Astronomie, Abschnitt 32

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Es ist offensichtlich, dass in der Zeit, in der die Hohlkugel des Planeten, welche die feste Kugel führt, von derjenigen der Fixsterne zurückgelassen wird, das Zentrum μ der festen Kugel durch den Zentralkreis μλνξ gehen wird, was den Eindruck erweckt, dass sich der Planet in die entgegengesetzte Richtung bewegt und die feste Kugel führt, während der Planet in der festen Kugel den Kreis εηπζ, Epizykel des Zentrums μλνξ, nachzeichnen wird, der sich wiederum in dieselbe Richtung des Universums bewegt; auch wird dieser folglich, wie es sich trifft, den Exzenter ελυξ gleich dem Zentrum nachzeichnen, indem er den Umfang in die dem Universum entgegengesetzte Richtung nachzeichnet. Für diejenigen, die von θ aus blicken, wird der Planet auch den Tierkreis αβγδ zu vervollständigen scheinen, indem er sich entgegen der Bewegung des Universums auf die folgenden Tierkreiszeichen zubewegt. Er scheint sich auch auf der Breite zu bewegen, die durch die Neigung gegenüber dem Kreis durch die Tierkreiszeichen der Fläche bestimmt wird, mit der die Achsen seiner Kugeln im rechten Winkel stehen. Wiederum wird er immer an der gleichen Stelle die maximale Entfernung erzeugen und den Anschein erwecken, dass er sich mit der maximalen Langsamkeit bewegt – etwa am Punkt α des Tierkreises, immer dann, wenn das Zentrum der festen Kugel auf der Geraden αθ am Punkt μ liegt; der Planet selbst wird am Punkt ε und wird stattdessen auf der minimalen Entfernung sein und den Anschein erwecken, dass er sich mit maximaler Geschwindigkeit immer am entgegengesetzten Punkt zu bewegt – etwa am Punkt γ des Tierkreises; immer wenn man die Hohlkugel in die entgegengesetzte Richtung bewegt, liegt das Zentrum des festen Planeten auf der Linie θγ am Punkt ν und der Planet auf γ, also auf υ. Schließlich wird der Planet an zwei Orten mittlere Entfernungen und Geschwindigkeiten erzeugen, wenn er sich dort befindet, wo der Epizykel εζπη und der Zentralkreis μλνξ sich schneiden – etwa ζ und η, die aufgrund der Verschiebung der Kugeln in die entgegengesetzte Richtung λ und ξ entsprechen, wo der exzentrische Kreis ελυξ und der Zentralkreis μλνξ sich schneiden und die an den Punkten β und δ erscheinen, zwischen den beiden Tierkreisteilen zwischen α und γ, also in φ und ω. All dies findet sich in Bezug auf die Sonnenbewegung, weil alle ihre Rückkehrzeiten – ich meine die in Breite, Län-

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Theon von Smyrna

[185]

εὑρίσκεσθαι – λέγω δὲ τόν τε τοῦ μήκους καὶ τοῦ πλάτους καὶ βάθους – ‹καὶ› ἐπισυναντᾶν ἀμφοτέρων τῶν σφαιρῶν τὰ ὁμόλογα σημεῖα κατὰ τὰς ὁμολόγους αὐτῶν κινήσεις ἀεὶ κατὰ τοὺς αὐτοὺς τόπους καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ὁρᾶσθαι ζῴδια. ἐπειδὴ δὲ τῇ τοιαύτῃ καὶ κατὰ φύσιν [οὕτω] φορᾷ τῶν [πλανωμένων οὕτω] σφαιρῶν, ὁμαλῇ καὶ ἁπλῇ καὶ [185] τεταγμένῃ, λοξῇ δὲ καὶ διὰ βραδυτῆτα μόνον ὑπολειπομένῃ τῶν ἀπλανῶν ἢ μιᾷ τῇ φερούσῃ τὴν στερεάν, τουτέστι τὸν ἐπίκυκλον, ἐπὶ τὰ ἐναντία φερομένῃ κατὰ συμβεβηκὸς ἐπιγίνεται ποικίλη καὶ σύνθετος ἀνώμαλός τε [καὶ] οὖσα φορὰ τοῦ πλανωμένου, διὰ μὲν ‹…›

‹…› εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων γινομένη ἢ ὄντως ἢ καθ’ ὑπόλειψιν, διὰ δὲ τὴν λόξωσιν ἐν πλάτει τινὶ τῶν ζῳδίων θεωρουμένη, διὰ δὲ ‹τὴν› τῆς στερεὰς περὶ τὸν αὐτῆς ἄξονα δίνησιν ποτὲ μὲν ἐν ὕψει καὶ διὰ τοῦτο βραδεῖα δοκοῦσα, ποτὲ δὲ ἐν βάθει καὶ διὰ τοῦτο ταχυτέρα, καὶ ἁπλῶς ἀνώμαλος, διὰ ταῦτα δὲ καὶ κατὰ τοῦ ἐπικύκλου γινομένη καὶ κατὰ τοῦ ἐκκέντρου δοκοῦσα, δῆλον ὡς εἰκότως καὶ αἱ τῶν μαθηματικῶν ὑποθέσεις τῆς φορᾶς αὐτῶν, ἢ τε κατ’ ἐπίκυκλον καὶ κατ’ ἔκκεντρον, ἀλλήλαις ἕπονται καὶ συνᾴδουσιν, ἐπειδὴ ἀμφότεραι τῇ κατὰ φύσιν, κατὰ συμβεβηκὸς δέ, ἀκολουθοῦσιν, ὅ καὶ θαυμάζει Ἵππαρχος, μάλιστα ἐπὶ τοῦ ἡλίου διὰ τὸ ἰσοχρόνιον τῆς τῶν σφαιρῶν αὐτοῦ φορᾶς ἀκριβῶς ἀπαρτιζόμενον, ἐπὶ δὲ τῶν ἄλλων οὐχ οὕτως ἀκριβῶς διὰ τὸ μὴ ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ τὴν στερεὰν σφαῖραν τοῦ πλάνητος ἀποκαθίστασθαι, ἐν ᾧ ἡ κοίλη τῆς τῶν ἀπλανῶν ἢ ὑπολείπεται ἢ ἐπὶ τὰ ἐναντία περιέρχεται, ἀλλ’ ἐφ’ ὧν μὲν θᾶττον, ἐφ’ ὧν δὲ βραδύτερον, ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν κινήσεις, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ [186] σημεῖα τῶν σφαιρών μὴ κατὰ τοὺς αὐτοὺς τόπους συναντᾶν, ἀλλ’ ἀεὶ παραλλάττειν, εἶναι δὲ καὶ τὰς λοξώσεις τῶν σφαιρῶν ἐν πλείοσι πλάτεσι, διὰ δὲ ταῦτα τούς τε [τοὺς] ἀποκα-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 32

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ge und Höhe – dazu führen, dass die Wahrnehmung zwischen ihnen gleich oder fast gleich ist, und die homologen Punkte beider Kugeln immer in Entsprechung der gleichen Orte in Abhängigkeit von ihren homologen Geschwindigkeiten zusammenfallen, und sie werden immer in Entsprechung der gleichen Tierkreiszeichen gesehen. Da zu einer ähnlichen und überhaupt natürlichen Bewegung der Kugeln – regelmäßig und einfach und geordnet, jedoch geneigt und von der Kugel der Fixsterne nur wegen der Langsamkeit zurückgelassen, oder weil die einzige Kugel, welche die feste führt, nämlich der Epizykel, sich in die entgegengesetzte Richtung bewegt – eine andere Bewegung des Planeten, variiert, zusammengesetzt und unregelmäßig, wie es sich trifft, verbunden ist – ja, weil die Bewegung stattfindet, entweder wirklich oder weil sie zurückgelassen wurde ... (Lücke im Text) … auf die folgenden Tierkreiszeichen zu; wegen der Neigung wird sie außerdem in einem gewissen Breitengrad von den Tierkreiszeichen aus beobachtet; schließlich, wegen der Rotation der festen Kugel um ihre eigene Achse, erscheint sie manchmal weiter entfernt und deshalb langsam, andere Male näher und deshalb schneller und deshalb auch generell unregelmäßig. Aus diesen Gründen findet sie entlang des Epizykels statt und scheint gleichzeitig entlang des Exzenters aufzutreten – es ist klar, dass die Hypothesen der Mathematiker über die Bewegung der Planeten, sowohl des zweiten Epizykels als auch des zweiten Exzenters, wahrscheinlich auch implizieren und miteinander übereinstimmen. Beide Hypothesen folgen ja – wenn auch nur, wie es sich trifft, – dem, was die Natur vorschlägt – worüber sich auch Hipparchos wundert –, besonders in Bezug auf die Sonne – dies geschieht, weil die Bewegung ihrer Kugeln genau zur gleichen Zeit endet –, während dies in Bezug auf die anderen Planeten nicht mit der gleichen Exaktheit geschieht, weil sich die feste Kugel des Planeten nicht zur gleichen Zeit an den gleichen Punkt bewegt wie der, in dem die Kugel sich aushöhlt oder von der der Fixsterne zurückgelassen wird oder sich in entgegengesetzter Richtung zu ihr dreht, sondern für die einen schneller, für die anderen langsamer. Daraus folgt, dass ihre homologen Geschwindigkeiten – auch in Bezug auf die gleichen Punkte der Kugeln – nicht an identischen Orten übereinstimmen; im Gegenteil, sie ändern sich immer; außerdem sind die Neigungen der

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Theon von Smyrna

[187]

ταστατικοὺς αὐτῶν χρόνους τοῦ τε μήκους καὶ πλάτους καὶ βάθους ἀνίσους εἶναι καὶ διαφόρους, ‹καὶ τὰς μεγίστας› καὶ ἐλαχίστας καὶ μέσα ἀποστάσεις καὶ κινήσεις ἄλλοτε κατ’ ἄλλους τόπους καὶ ἐν πᾶσι ποιεῖσθαι τοῖς ζῳδίοις,

ἔτι δέ, διὰ τὸ παραλλάττειν, ὥς φαμεν, τὰς ὁμολόγους κινήσεις καὶ κατὰ τὰ ὁμόλογα σημεῖα τῶν σφαιρῶν, μηδὲ κύκλους δοκεῖν γράφειν τὰ πλανώμενα ταῖς κατὰ συμβεβηκὸς κινήσεσιν, ἀλλά τινας ἕλικας. ἐπὶ οὖν τῶν πλανωμένων ἑκάστου χρὴ νομίζειν ἰδίαν μὲν εἶναι τὴν κοίλην σφαῖραν καὶ φέρουσαν ἐν τῷ ἑαυτῆς βάθει τὴν στερεάν, ἰδίαν δὲ τὴν στερεάν, πρὸς τῇ ἰδίᾳ πάλιν ἐπιφανείᾳ φέρουσαν τὸ πλανώμενον.

περὶ ἡλίου, Ἑρμοῦ, Ἀφροδίτης (33) ἐπὶ δὲ τοῦ ἡλίου καὶ φωσφόρου καὶ στίλβοντος [οὐ] δυνατὸν μὲν καὶ ἰδίας εἶναι καθ’ ἕκαστον ἀμφοτέρας, ἀλλὰ τὰς μὲν κοίλας τῶν τριῶν ἰσοδρόμους ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὴν τῶν ἀπλανῶν ἐπὶ τἀναντία περιιέναι σφαῖραν, τὰς δὲ στερεὰς ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐχούσας τὰ κέντρα, μεγέθει δὲ τὴν μὲν τοῦ ἡλίου ἐλάττονα, ταύτης δὲ μείζονα τὴν τοῦ στίλβοντος, καὶ ταύτης ἔτι μείζονα τὴν τοῦ φωσφόρου.

δυνατὸν δὲ καὶ μίαν μὲν εἶναι τὴν κοίλην κοινὴν τῶν τριῶν, τὰς δὲ στερεὰς ‹τῶν› τριῶν [187] ἐν τῷ βάθει ταύτης περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἀλλήλαις, μικροτάτην μὲν καὶ ὄντως στερεὰν τὴν τοῦ ἡλίου, περὶ δὲ ταύτην τὴν τοῦ στίλβοντος, εἶτα ἀμφοτέρας περιειληφυῖαν καὶ τὸ πᾶν βάθος τῆς κοίλης καὶ κοινῆς πληροῦσαν τὴν τοῦ φωσφόρου· δι’ ὃ τὴν μὲν κατὰ τὸ μῆκος διὰ τῶν ζῳδίων ἢ ὑπόλειψιν ἢ ἐπὶ τὰ ἐναντία φορὰν ἰσόδρομον οἱ τρεῖς οὗτοι ποιοῦνται, τὰς δὲ ἄλλας οὐχ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 33

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Kugeln auf mehreren Breitengraden realisiert. Aus diesen Gründen sind ihre Rückkehrzeiten – sowohl in Längen- und Breitengraden als auch in der Höhe – ungleich und unterschiedlich, und außerdem werden die Entfernungen und Bewegungen maximal, minimal und dazwischen von Zeit zu Zeit an verschiedenen Orten beobachtet und in allen Tierkreiszeichen erzeugt. Nochmals, da – wie wir bestätigen – die Planeten ihre homologen Bewegungen auch in Übereinstimmung mit den homologen Punkten der Kugeln ändern, scheinen sie mit ihren, wie es sich trifft, resultierenden Bewegungen nicht einmal Kreise zu beschreiben, sondern einige Schleifen. Deshalb muss man bedenken, dass es zu jedem Planeten eine Hohlkugel gibt, die jedem Planeten eigen ist, und dass sie in ihrer Höhe die massive trägt, die auch ihm eigen ist, und dass sie den Planeten auf ihrer Fläche trägt. Sonne, Merkur, Venus (33) Was die Sonne, die Venus und den Merkur betrifft, so ist es möglich, dass beide Kugeln für jede von ihnen geeignet sind; aber einerseits müssen die Hohlkugeln der drei Planeten, die Gleichläufer sind, zur gleichen Zeit die Kugel der Sterne in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, andererseits müssen die festen Kugeln ihre Zentren auf einer einzigen geraden Linie haben – obwohl die Kugel der Sonne kleiner ist, die des Merkur größer als diese und die der Venus noch größer als die des Merkur. Es ist aber auch möglich, dass es von den dreien nur eine gemeinsame Hohlkugel gibt, und dass die ihre festen Kugeln in der Höhe dieser einen liegen und denselben Mittelpunkt haben: Unter ihnen wäre die Kugel der Sonne von minimaler Größe und wirklich fest, um sie herum wäre die von Merkur, und wiederum die von Venus würde natürlich beides einschließen und die gesamte Höhe der gemeinsamen Hohlkugel ausfüllen. Aus diesem Grund, wenn man die Bewegung in Längsrichtung durch die Tierkreiszeichen betrachtet, bleiben diese drei entweder zurück oder erzeugen eine Bewegung in die entgegengesetzte Richtung, mit der gleichen Geschwindigkeit und im Gegensatz zu den anderen Planeten, die immer gesehen werden, wie sie

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Theon von Smyrna

[188]

ὁμοίως, [ἃς] ἀεί τε περὶ ἀλλήλους ὁρῶνται καταλαμβάνοντες καὶ καταλαμβανόμενοι καὶ ἐπιπροσθοῦντες ἀλλήλοις, τοῦ μὲν Ἑρμοῦ τὸ πλεῖστον εἴκοσί που μοίρας ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἡλίου πρὸς ἑσπέραν πρὸς ἀνατολὴν ἀφισταμένου, τοῦ δὲ τῆς Ἀφροδίτης τὸ πλεῖστον πεντήκοντα μοίρας. ὑποπτεύσειε δ’ ἄν ‹τις› καὶ τὴν ἀληθεστέραν θέσιν τε καὶ τάξιν εἶναι ταύτην, ἵνα τοῦ κόσμου, ὡς κόσμου καὶ ζῴου, τῆς ἐμψυχίας ᾖ τόπος οὗτος, ὡσανεὶ καρδίας τοῦ παντὸς ὄντος τοῦ ἡλίου πολυθέρμου διὰ τὴν κίνησιν καὶ τὸ μέγεθος καὶ τὴν συνοδίαν τῶν περὶ αὐτόν. ἄλλο γὰρ ἐν τοῖς ἐμψύχοις τὸ μέσον τοῦ πράγματος, τουτέστι τοῦ ζῴου ᾗ ζῴου, καὶ ἄλλο τοῦ μεγέθους· οἷον, ὡς ἔφαμεν, ἡμῶν αὐτῶν ἄλλο μέν, ὡς ἀνθρώπων καὶ ζῴων, τῆς ἐμψυχίας μέσον τὸ περὶ τὴν καρδίαν, ἀεικίνητον καὶ πολύθερμον καὶ διὰ ταῦτα πάσης ψυχικῆς δυνάμεως οὖσαν ἀρχήν, οἷον ψυχικῆς καὶ κατὰ τόπον ὁρμητικῆς, ὀρεκτικῆς καὶ φανταστικῆς καὶ διανοητικῆς, τοῦ δὲ μεγέθους ἡμῶν ἕτερον μέσον, οἷον τὸ περὶ τὸν ὀμφαλόν.

ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ κόσμου [188] παντός, ὡς ἀπὸ βραχέων καὶ τυχόντων καὶ θνητῶν τὰ μέγιστα καὶ τιμιώτατα καὶ θεῖα εἰκάσαι, τοὺ μεγέθους μέσον τὸ περὶ τὴν γῆν κατεψυγμένον καὶ ἀκίνητον· ὡς κόσμου δὲ καὶ ᾖ κόσμος καὶ ζῷον τῆς ἐμψυχίας μέσον τὸ περὶ τὸν ἥλιον, οἱονεὶ καρδίαν ὄντα τοῦ παντός, ὅθεν φέρουσιν αὐτοῦ καὶ τὴν ψυχὴν ἀρξαμένην διὰ παντὸς ἥκειν τοῦ σώματος τεταμένην ἀπὸ τῶν περάτων. (34) δῆλον δὲ ὡς διὰ τὰς εἰρημένας αἰτίας ἀμφοτέρων τῶν ὑποθέσεων ἑπομένων ἀλλήλαις κοινοτέρα καὶ καθολικωτέρα δοκεῖ καὶ σύνεγγυς τῇ κατὰ φύσιν ἡ κατὰ τὸν ἐπίκυκλον· ὁ γὰρ τῆς στερεὰς σφαίρας μέγιστος κύκλος, ὃν τῇ ἐπ’ αὐτῆς περὶ αὐτὴν φορᾷ γράφει τὸ πλανώμενον, ἔστιν ὁ ἐπίκυκλος· ὁ δὲ ἔκκεντρος παντάπασιν ἀπηρτημένος τοῦ κατὰ φύσιν καὶ μᾶλλον κατὰ συμβεβηκὸς γραφόμενος. ὅπερ καὶ συνιδών ὁ Ἵππαρχος ἐπαινεῖ τὴν κατ’ ἐπίκυκλον ὑπόθεσιν ὡς οὖσαν ἑαυτοῦ, πιθανώτερον εἶναι λέγων πρὸς τὸ τοῦ κόσμου μέ-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 34

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sich erholen, erholt werden und sich gegenseitig vorwegnehmen: der Stern des Hermes (Merkur) entfernt sich von der Sonne um maximal zwanzig Teile auf jeder Seite, im Westen oder im Osten, während sich der Stern der Venus um maximal 50 Teile von der Sonne entfernt. Jemand könnte auch vermuten, dass dies eine wahrhaftigere Position und Ordnung ist, so dass es diesen Ort der Belebung des Kosmos gibt – als Kosmos und lebendig –, denn die Sonne ist wie ein Herz des Universums, sehr heiß wegen der Bewegung, der Größe und der Zusammenkunft der Sterne um sie herum. Die eine Sache ist ja bei den belebten Wesen das Zentrum eines Lebewesens als Lebewesen, eine andere ist das Zentrum der Größe. So befindet sich etwa, wie wir sagten, das Zentrum der Belebung, die uns – als Menschen und Tiere – gehört, in der Nähe des Herzens, ist immer in Bewegung und sehr heiß wegen dieses Prinzips jeder Potenz der Seele – etwa die seelische Spannung zur lokalen Bewegung, das Verlangen, die Vorstellungskraft, das diskursive Denken –, während das Zentrum der Größe anders ist und sich für uns in der Nähe des Nabels befindet. Nun, wenn man die größten, ehrenvollsten und göttlichen Dinge darstellt, angefangen von den kleinsten, wie es sich trifft, und sterblichen, so ist auch das Zentrum der Größe des gesamten Kosmos, in der Nähe der Erde, kalt und unbeweglich, während das Zentrum der Belebung – immer an den Kosmos denkend, sowohl als Kosmos als auch als lebendig – in der Nähe der Sonne ist, als wäre es das Herz des Kosmos, und von hier aus sagt man, dass sich seine Seele, die Stellung und Funktion des Befehls hat, im ganzen Körper ausbreitet, von den Rändern her gestreckt. (34) Für die oben genannten Ursachen ist es klar, dass, obwohl beide Hypothesen aufeinander folgen, diejenige nach dem Epizykel häufiger und universeller und die nach der Natur naheliegender erscheint: Es ist ja der größte Kreis der festen Kugel, den der Planet mit der Bewegung um ihn herum beschreibt, der Epizykel. Der Exzenter unterscheidet sich völlig von dem von der Natur bereisten Kreis und wird vor allem, wie es sich fügt, konsequent beschrieben. Auch wenn er genau dies versteht, berichtet Hipparchos die Hypothese nach dem Epizykel als seine eigene und lobt sie, indem er sagt, dass es überzeugender ist, dass alle Himmelskörper in einer ausgewogenen Weise in

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Theon von Smyrna

[189]

σον πάντα τὰ οὐράνια ἰσορρόπως κεῖσθαι καὶ ὁμοίως συναρηρότα· οὐδὲ αὐτὸς μέντοι, διὰ τὸ μὴ ἐφωδιάσθαι ἀπὸ φυσιολογίας, σύνοιδεν ἀκριβῶς, τίς ἡ κατὰ φύσιν καὶ κατὰ ταῦτα ἀληθὴς φορὰ τῶν πλανωμένων καὶ τίς ἡ κατὰ συμβεβηκὸς καὶ φαινομένη· ὑποτίθεται δὲ καὶ οὗτος τὸν μὲν ἐπίκυκλον ἑκάστου κινεῖσθαι κατὰ τοὺ ἐγκέντρου κύκλου, τὸ δὲ πλανώμενον κατὰ τοῦ ἐπικύκλου.

τὰ Πλάτωνος ἔοικε δὲ καὶ Πλάτων κυριωτέραν ἡγεῖσθαι τὴν κατ’ [189] ἐπίκυκλον, οὐ μὴν σφαίρας, ἀλλὰ κύκλους εἶναι τὰ φέροντα τὰ πλανώμενα, καθάπερ καὶ ἐπὶ τέλει τῆς Πολιτείας τοῖς ἐν ἀλλήλοις ἡρμοσμένοις αἰνίσσεται σφονδύλοις· χρῆται δὲ τοῖς ὀνόμασι κοινότερον, καὶ τὰς μὲν σφαίρας πολλάκις κύκλους προσαγορεύει καὶ πόλους, τοὺς ἄξονας δὲ πόλους.

τὰ Ἀριστοτέλους ὁ δὲ Ἀριστοτέλης φησί· σφαίρας εἶναί τινας τοῦ πέμπτου σώματος οἰκεῖον ἐν τῷ βάθει τοῦ παντὸς οὐρανοῦ κειμένας τε καὶ φερομένας, τὰς μὲν ὑψηλοτέρας, τὰς δὲ ὑπ’ αὐτὰς τεταγμένας, καὶ τὰς μὲν μείζονας, τὰς δὲ ἐλάττονας, ἔτι δὲ τὰς μὲν κοίλας, τὰς δὲ ἐν τῷ βάθει τούτων πάλιν στερεάς, ἐν αἷς ἀπλανῶν δίκην ἐνεστηριγμένα τὰ πλανητά, τῇ ἐκείνων ἁπλῇ μέν, διὰ δὲ τοὺς τόπους ἀνισοταχεῖ φορᾷ κατὰ συμβεβηκὸς φαίνεται ποικίλως ἤδη κινεῖσθαι καὶ γράφειν τινὰς κύκλους ἐκκέντρους, ἢ καὶ ἐφ’ ἑτέρων τινῶν κύκλων κειμένους ἤ τινας ἕλικας, καθ’ ὧν οἱ μαθηματικοὶ κινεῖσθαι νομίζουσιν αὐτά, τῇ ἀναστροφῇ ἀπατώμενοι.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 34

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Bezug auf das Zentrum des Kosmos stehen und dass sie auf ähnliche Weise miteinander verbunden sind. Aber selbst er verstand nicht genau, was die wahre und stabile Bewegung der Planeten gemäß der Natur ist und was die, wie es sich trifft, scheinbare ist, da sie nicht von der Physik der Natur unterstützt wird, dennoch stellte er auch die Hypothese auf, dass sich der Epizykel jedes Planeten auf dem Zentralkreis (Deferent; s. die Einführung S. 14–15) bewegt und dass sich der Planet auf dem Epizykel bewegt. Die Aussagen Platons Es scheint jedoch, dass auch Platon die Hypothese nach dem Epizykel für stichhaltiger hielt, auch wenn er zu glauben schien, dass nicht Kugeln, sondern Kreise die Planeten tragen, so wie er es sich selbst am Ende der Politeia vorstellte, indem er auf die harmonischen Spindeln zwischen ihnen zurückgriff. Er verwendet die Namen jedoch weiter und nennt die Kugeln oft »Kreise« und »Pole« und die Achsen »Pole«. Die Aussagen des Aristoteles Aristoteles aber sagt: Es ist angemessen, dass es einige Kugeln des fünften Körpers in der Höhe des ganzen Himmels gibt und dass sie sich dort bewegen, einige höher und andere der Reihe nach unter ihnen angeordnet, einige größer und einige kleiner, und noch einige hohl und – in der Höhe dieser – andere fest, und dass in ihnen die Planeten, wie Fixsterne gesetzt, sich bewegen, sie bewegen sich entlang ihrer einfachen Bewegung, aber – wegen der verschiedenen Positionen – scheint sie gleichzeitig, wie es sich trifft, ungleiche Geschwindigkeiten zu erzeugen und einige exzentrische Kreise oder Stellen auf anderen Kreisen zu beschreiben oder sogar einige Schleifen, von denen die Mathematiker, getäuscht durch die Rückwärtsbewegung, glauben, dass sich die Planeten sich an ihnen entlang bewegen.

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Theon von Smyrna

[190]

[190] περὶ προηγήσεως καὶ ἀναποδισμῶν (35) πῶς δέ ποτε φαίνονται προηγεῖσθαί τε καὶ στηρίζειν καὶ ἀναποδίζειν ὅσοι τῶν πλανήτων καὶ ταῦτα ποιεῖν δοκοῦσι, δηλωτέον.

                                                                α                                                       κ                  λ                                                                   ε                                                                   μ                                                             ζ               ν                                                                   η

                       β                                                                                δ                                                                   θ

                                                                γ ἔστω ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ περὶ τὸ θ τοῦ παντὸς κέντρον, πλάνητος δὲ ἐπίκυκλος ὁ εζη, καὶ ἀπὸ τῆς θ ὄψεως ἡμῶν ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ἐπικύκλου αἱ θζκ, θνλ, καὶ διὰ τοῦ μ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἡ θμεα. ἐπεὶ οὖν ἐπ’ εὐθείας ὁρῶμεν, δῆλον ὡς ὁ ἀστὴρ ἐπὶ μὲν τοῦ ζ γενόμενος ἡμῖν ἐπὶ τοῦ κ φανήσεται· τὴν δὲ ζε περιφέρειαν ἐνεχθεὶς δόξει τοῦ ζῳδιακοῦ τὴν κα εἰς τὰ προηγούμενα προπεποδικέναι· ὁμοίως τὴν εν διανύσας δόξει τὴν αλ προπεποδικέναι. πάλιν δὲ τὴν νζ διαπορευθεὶς δόξει τὴν λακ εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἀναπεποδικέναι· καὶ τῷ μὲν ζ προσιών καὶ πρώτως αὐτοῦ ἀποχωρῶν, ἐπὶ τοῦ κ φανήσεται πλείω χρόνον ποιῶν καὶ στηρίζων· πλεῖον δὲ ἀπο[191]στὰς τοῦ ζ, πάλιν προηγησάμενος· ἔπειτα προσεγγίζων

Teil III (Astronomie, Abschnitt 35

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prohegesis und anapodismos (35) Wie die Planeten, die diese Bewegungen zu machen scheinen, auch vorwärts, stationär und rückläufig zu sein scheinen, muss dargelegt werden.

Es sei der Tierkreis αβγδ um das Zentrum θ des Universums und der Epizykel des Planeten sei εζη; aus unserer Sicht, θ, seien θζκ und θνλ Tangenten des Epizykels, und durch das Zentrum μ des Epizykels gehe θμεα. Da wir also in einer geraden Linie sehen, ist es klar, dass der Stern, der sich auf ζ befindet, uns in κ erscheinen wird; nachdem er sich um den Bogen ζε bewegt hat, wird es so aussehen, als ob er um den Bogen κα des Tierkreises in Richtung der vorherigen Tierkreiszeichen vorangekommen sei, ebenso, dass er nach Durchlauf von εν um αλ vorangekommen sei. Wiederum wird es, nachdem er νζ durchlaufen hat, den Anschein haben, dass er durch λακ auf die folgenden Tierkreiszeichen zugegangen sei. Wenn er auf ζ zugeht und sofort, nachdem er sich von ihm gelöst hat, erscheint er für längere Zeit stationär in κ. Wenn er sich weiter von ζ wegbewegt, scheint es, dass er wieder vorankommt. Wenn er sich dann ν nähert und sofort nach der

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Theon von Smyrna

[192]

τῷ ν καὶ πρώτως ἀπιὼν αὐτοῦ, πάλιν ἑστάναι δόξει καὶ ἀναποδίζειν. τοὺς μέντοι στηριγμοὺς καὶ ἀναποδισμοὺς καὶ τὰς προηγήσεις καὶ ὑπολείψεις ἕκαστος πλάνης ἄλλοτε ἐν ἄλλοις ποιήσεται ζῳδίοις καὶ μέρεσι ζῳδίων, διὰ τὸ καὶ τὸν ἐπίκυκλον ἑκάστου ἀεὶ μετανίστασθαι εἰς τὰ ἑπόμενα ἢ μεταβαίνοντα ἢ ὑπολειπόμενον.

                                                             ε                                                            μ                                                     ζ                 η                                                                ν

                   λ                                        -κ                                      ξ                                                                θ

                                                               υ                                                              ν (36) χρήσιμον δὲ ἕνεκα τῶν προκειμένων καὶ τὴν μέσην ἀπόστασιν πλάνητος, ὁποία ποτέ ἐστιν, ἰδεῖν. κατὰ μὲν οὖν τὴν τῶν ἐπικύκλων πραγματείαν, ἐὰν λάβωμεν τὸ μέγιστον ἀφ’ ἡμῶν ἀπόστημα τοῦ ἀστέρος, οἷον τὸ θε, καὶ πάλιν τὸ ἐλάχιστον, οἷον τὸ θν, καὶ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μεγίστου παρὰ τὸ ἐλάχιστον, οἷον τὸ εν, καὶ δίχα διέλωμεν κατὰ τὸ μ, δῆλον ὡς γενήσεται μέση αὐτοῦ ἀπόστασις ἡ θμ. ἐὰν οὖν κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ θμ γράψωμεν τὸν μλνξ κύκλον ἔγκεν[192]τρον, κέντρῳ δὲ τῷ μ καὶ διαστήματι τῷ με τὸν εζνη ἐπίκυκλον, φανερὸν ὡς ὁ ἀστὴρ κατὰ τοῦ ἐπικύκλου φε-

Teil III (Astronomie, Abschnitt 36

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Ablösung von ihm scheint er wieder anzuhalten und eine Rückwärtsbewegung durchzuführen. Jeder Planet wird Stationierung, Rückwanderung, Fortschritt durchführen und von Zeit zu Zeit in verschiedenen Tierkreiszeichen und Tierkreiszeichenteilen zurückgelassen werden, da der Epizykel jedes Planeten sich immer auf die folgenden Tierkreiszeichen zubewegt, entweder indem er selbst seine Position ändert oder indem er zurückgelassen wird.

(36) Es ist nützlich für unsere Absicht zu wissen, wie man die mittlere Entfernung eines Planeten beobachten kann. Nach dem Epizykel-Modell, wenn wir die maximale Entfernung eines Sterns von uns nehmen – etwa θε –, dann das Minimum – etwa θν –, dann das Überragen des Maximums über das Minimum – etwa εν –, und wenn wir es bei μ teilen, ist es klar, dass θμ seine mittlere Entfernung sein wird. Wenn wir also mit dem Zentrum θ und dem Radius θμ den Zentralkreis μλνξ zeichnen und mit dem Zentrum μ und dem Radius με den Epizykel εζνη, dann wird klar, dass der Stern, der sich entlang des

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Theon von Smyrna

[193]

ρόμενος, ἐπὶ μὲν τοῦ ε σημείου γενόμενος μέγιστον ἀποστήσεται ἀφ’ ἡμῶν, ἐπὶ δὲ τοῦ ν ἐλάχιστον, καθ’ ἑκάτερον δὲ τῶν ζ η, καθ’ ἃ τέμνεται ὁ ἐπίκυκλος ὑπὸ τοῦ ἐγκέντρου, ὁπουδήποτε μεταστάντος τοῦ ἐπικύκλου, τὸ μέσον. κατὰ δὲ τὴν ‹τῶν› ἐκκέντρων ὑπόθεσιν, ὄντος ἐκκέντρου τοῦ ελυξ περὶ κέντρον τὸ κ, τοῦ δὲ παντὸς κέντρου τοῦ θ, καὶ τῆς μεταξὺ τῶν κέντρων τῆς θκ ἐκβληθείσης ἐφ’ ἑκάτερα, ἐὰν κέντρῳ τῷ θ γράψωμεν ἴσον τῷ ἐκκέντρῳ τὸν μλνξ, δῆλον ὡς οὗτος ἔσται ὁ ἔγκεντρος, καθ’ οὐ τῆς ἑτέρας ὑποθέσεως φέρεται ὁ ἐπίκυκλος, κέντρῳ μὲν γραφόμενος τῷ μ, διαστήματι δὲ τῷ με. ὁ πλάνης, κατὰ τοῦ ἐκκέντρου φερόμενος, ἐπὶ μὲν τοῦ ε γενόμενος, ὅπου ἂν καὶ τοῦτο, μέγιστον ἀφέξει ἀφ’ ἡμῶν, ἐπὶ δὲ τοῦ υ ἐλάχιστον, κατὰ δὲ τὰς πρὸς τὸν ἔγκεντρον διχοτομίας τὰς λ ξ, ὅπου ‹ἂν› γίνωνται μεταπίπτοντος τοῦ ἐκκέντρου, τὰ μέσα. καὶ φανερὸν ὡς καθ’ ἑκατέραν τὴν ὑπόθεσιν τὰ αὐτὰ συμφωνήσει μέγιστα καὶ πάλιν ἐλάχιστα καὶ μέσα εἶναι ἀποστήματα.

περὶ συνόδων καὶ ἐπιπροσθήσεων καὶ φάσεων καὶ κρύψεων (37) λείπεται περὶ συνόδων καὶ ἐπιπροσθήσεων καὶ κρύψεων καὶ ἐκλείψεων ἐπὶ βραχὺ τῶν προκειμένων ἕνεκα διελθεῖν. ἐπεὶ τοίνυν φύσει μὲν ἐπ’ εὐθείας ὁρῶμεν, ἔστι δὲ ἀνωτάτω μὲν ἡ τῶν ἀπλανῶν σφαῖρα, ὑπὸ δὲ [193] ταύτην αἱ τῶν πλανωμένων, ἐν τάξει διωρίσαμεν, δῆλον ὡς ἡ μὲν σελήνη, προσγειοτάτη οὖσα, πᾶσι τοῖς ὑπὲρ αὐτὴν ἐπιπροσθήσει, καὶ πάντα τὰ πλανώμενα, τινὰ δὲ καὶ τῶν ἀπλανῶν, κρύπτει, ἐπειδὰν μεταξύ τινος αὐτῶν καὶ τῆς ὄψεως ἡμῶν ἐπ’ εὐθείας καταστῇ, αὐτὴ δὲ ὑπ’ οὐδενὸς ἄστρου κρύπτεται. ὁ δὲ ἥλιος ὑπὸ μὲν τῆς σελήνης ἐπιπροσθεῖται, αὐτὸς δὲ πλὴν τῆς σελήνης τἆλλα πάντα κρύπτει, τὸ μὲν πρῶτον συνεγγίζων καὶ καταυγάζων, ἔπειτα δὲ κατὰ μίαν εὐθεῖαν ἔμπροσθεν τῆς ὄψεως ἡμῶν κἀκείνων τινὸς μεταξὺ καθιστάμενος.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 37

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Epizykels bewegt, an dem Punkt ε die maximale Entfernung von uns hat, an dem Punkt ν das Minimum und an den Punkten ζ und η – an denen der Epizykel vom Zentralkreis abgeschnitten wird, wo auch immer sich der Epizykel bewegt – in der Mitte. Nach der Hypothese der Exzenter hingegen ist, da ελυξ der Exzenter um das Zentrum κ, θ das Zentrum des Universums und θκ das zwischen den Zentren auf beiden Seiten erzeugte Segment ist, es klar, dass, wenn wir mit Zentrum θ den Kreis μλνξ gleich dem Exzenter beschreiben, dieser das Zentrum sein wird, entlang der sich der Epizykel des anderen Modells bewegt – beschrieben mit dem Zentrum μ und dem Radius με. Der Planet wird sich, indem er sich entlang des Exzenters bewegt, in ε – wo immer sich dies befindet – in maximaler Entfernung von uns befinden, während er sich in υ in minimaler Entfernung befindet, und schließlich in λ und ξ, Teilungspunkte in Bezug auf das Zentrum – wo immer sie sich in der Variation des Exzenters befinden – in der Mitte. Es ist auch offensichtlich, dass nach jeder der beiden Hypothesen die gleichen maximalen Entfernungen übereinstimmen, ebenso wie die Minima und die Mittelwerte. Zusammenläufe, Überlagerungen, Erscheinungen, Verdeckungen (37) Um unsere Absichten zu verwirklichen, müssen wir uns kurz mit Konjunktionen, Überlagerungen, Verdeckungen und Finsternissen beschäftigen. Da wir einerseits von Natur aus in einer geraden Linie sehen, andererseits die Kugel der Fixsterne sich auf der maximalen Höhe befindet, während sich darunter die Kugeln der Planeten in der von uns festgelegten Reihenfolge befinden, ist es klar, dass der Mond, da er uns am nächsten ist, alle Körper über ihm überlagern und alle Planeten und auch einige der Fixsterne verdecken wird, wenn er sich in einer geraden Linie zwischen einem von ihnen und unserem Standpunkt befindet; aber er selbst wird er von keinem Stern verdeckt. Die Sonne hingegen wird vom Mond überlagert, aber sie selbst verdeckt alle anderen (außer dem Mond), zuerst indem sie sich ihnen nähert und sie beleuchtet, dann indem sie sich selbst auf die gerade Linie zwischen unserem Standpunkt und einem dieser Standpunkte stellt.

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Theon von Smyrna

[194]

στίλβων δὲ καὶ φωσφόρος τὰ μὲν ὑπὲρ αὐτοὺς κρύπτουσι, τῆς ὄψεως ἡμῶν κἀκείνων κατ’ εὐθεῖαν ὁμοίως ἐπίπροσθεν γινόμενοι· δοκοῦσι ‹δὲ› καὶ ἀλλήλους ἐπιπροσθεῖν ποτε, διὰ τὰ μεγέθη καὶ τὰς λοξώσεις τῶν κύκλων καὶ τὰς θέσεις ἀλλήλων ὑπέρτεροί τε καὶ ταπεινότεροι γινόμενοι. τὸ μέντοι ἀκριβὲς ἄδηλον ἐπ’ αὐτῶν, διὰ τὸ περὶ τὸν ἥλιον ἀναστρέφεσθαι καὶ μάλιστα τὸν στίλβοντα μικρὸν κέντρον εἶναι τῷ μεγέθει καὶ σύνεγγυς ἀεὶ τῷ ἡλίῳ καὶ τὰ πολλὰ καταυγαζόμενον ἀφανῆ. πυρόεις δὲ τοὺς ὑπὲρ αὐτὸν δύο πλάνητάς ποτε κρύπτει, φαέθων δὲ τὸν φαίνοντα, πάντες δὲ. οἱ πλάνητες τῶν ἀπλανῶν τούς κατὰ τὸν ἑαυτοῦ δρόμον ἕκαστος.

περὶ ἐκλείψεως ἡλίου καὶ σελήνης (38) σελήνη δὲ κατὰ διάμετρον ἡλίου [καὶ σελήνης] γενομένη καὶ εἰς τὴν τῆς γῆς ἐμπίπτουσα σκιὰν ἐκλείπει, [194] πλὴν οὐ κατὰ πάντα γε μῆνα· οὔτε ‹γὰρ πάσαις› ταῖς συνόδοις καὶ συμμηνίαις λεγομέναις ἥλιος ἐκλείπει, οὔτε ταῖς πανσελήνοις πάσαις ἡ σελήνη, διὰ τὸ τοὺς κύκλους αὐτῶν πολὺ λελοξῶσθαι πρὸς ἀλλήλους. ὁ μὲν γὰρ ἡλίου κύκλος, ὥς φαμεν, ὑπ’ αὐτῷ σύνεγγυς τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων φαίνεται φερόμενος, τοῦ κύκλου αὐτοῦ βραχύ τι πρὸς τοῦτον ἐγ­ κεκλιμένου, ὥς ἥμισυ μοίρας ἐφ’ ἑκάτερον παραλλάττειν. ὁ δὲ τῆς σελήνης κύκλος, ὡς μὲν Ἵππαρχος εὑρίσκει, ἐν πλάτει δέκα μοιρῶν λελόξωται, ὡς δ’ οἱ πλεῖστοι τῶν μαθηματικῶν νομίζουσι, δώδεκα, ὥστε ε' ἢ καὶ ϛ' μοίρας ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων βορειοτέραν ἢ νοτιωτέραν ποτὲ φαίνεσθαι.

ἂν δὴ νοήσωμεν τὰ διὰ τῶν κύκλων ἑκατέρων, τοῦ τε ἡλιακοῦ καὶ τοῦ τῆς σελήνης, ἐπίπεδα ἐκβεβλῆσθαι, ἔσται αὐτῶν κοινὴ τομὴ εὐθεῖα, ἐφ’ ἧς ἀμφοτέρων ἐστὶ τὰ κέντρα· ἥτις εὐθεῖα τρόπον τινὰ κοινὴ διάμετρος ἔσται ἀμφοῖν· ἧς τὰ ἄκρα, καθ’ ἃ τέμνειν δοκοῦσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, σύνδεσμοι καλοῦνται, ὁ μὲν ἀναβιβάζων, ὁ δὲ καταβιβάζων, καὶ αὐτοὶ μεταπίπτοντες εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 38

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In ähnlicher Weise verdecken Merkur und Venus die Sterne über ihnen, indem sie sich ähnlich auf der geraden Linie zwischen diesen und unserem Standpunkt überlagern; manchmal jedoch scheinen sie sich auch gegenseitig zu überlagern, da sie aufgrund der Größe und Neigung der Kreise und der reziproken Positionen höher oder niedriger sind. Für sie hingegen ist die Beobachtung nicht klar, da sie um die Sonne kreisen und vor allem, weil Merkur ein kleines Zentrum von der Größe ist, immer in der Nähe der Sonne und die meiste Zeit unsichtbar ist, weil er von den Sonnenstrahlen beleuchtet wird. Manchmal versteckt Mars die beiden Planeten über ihm, während Jupiter den Saturn versteckt. Schließlich bedecken alle Planeten von Zeit zu Zeit einige der Fixsterne, jeder nach seiner eigenen Bewegung. Sonnen- und Mondfinsternisse (38) Der Mond verfinstert sich, wenn er sich in einer Position befindet, die der Sonne diametral gegenüberliegt und in den Schatten der Erde fällt, auch wenn dies nicht jeden Monat geschieht: Wegen der starken gegenseitigen Neigung ihrer Kreise verfinstern sich ja weder die Sonne in allen Konjunktionen und der sogenannten Symmenie (Neumond) noch der Mond bei jedem Vollmond. Der Sonnenkreis bewegt sich, wie wir bestätigen, deutlich unterhalb des Kreises durch die Mitte der Tierkreiszeichen, mit einer leichten Neigung seines eigenen Kreises in Bezug auf ihn, so dass er auf jeder Seite einen halben Teil (Grad) Abstand hat. Der Kreis des Mondes hingegen ist in Breitengraden von zehn Teilen – nach einer Entdeckung von Hipp­ archos – oder zwölf – nach dem, was die meisten Mathematiker glauben – so geneigt, dass er von Zeit zu Zeit nördlicher oder südlicher des Kreises durch die Mitte der Tierkreiszeichen von 5 oder 6 Teilen auf jeder Seite erscheint. Wenn wir nun bedenken, dass beiderseits durch die Kreise, die der Sonne und die des Mondes, Flächen dringen, gibt es eine gemeinsame Gerade, die sie schneidet, auf der sich die Mittelpunkte der beiden befinden: Diese gemeinsame Gerade ist irgendwie der Durchmesser der beiden, und ihre Randpunkte, an denen sich die Kreise gegenseitig zu schneiden scheinen, werden Knoten genannt, einer aufsteigend, der andere absteigend, und auch sie ändern ihre Position

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Theon von Smyrna

[195]

ἐὰν μὲν οὖν κατὰ σύνδεσμον ἡ σύνοδος ἡλίου πρὸς σελήνην γένηται, σύνεγγυς ἀλλήλων φαινομένων τῶν σωμάτων, ἐπιπροσθήσει τῷ ἡλίῳ πρὸς τὴν ὄψιν ἡμῶν σελήνη, ὥστε δόξει ἡμῖν ἐκλείπειν ὁ ἥλιος, καὶ τοσοῦτόν γε μέρος, ὅσον ἂν ἡ σελήνη ἐπίπροσθεν γένηται. ἐὰν δὲ μὴ κατὰ τὸν σύνδεσμον ἡ συμμηνιακὴ σύνοδος γένηται, ἀλλὰ [195] τοῦ μὲν μήκους τῶν ζῳδίων κατὰ τὴν αὐτὴν μοῖραν, τοῦ δὲ πλάτους μὴ κατὰ τὴν αὐτήν, ἀλλὰ τὸ μὲν βορειότερον φαίνηται τῶν ἄστρων, τὸ δὲ νοτιώτερον, οὐκ ἐπιπροσθούμενος ἥλιος οὐδ’ ἐκλείπειν δόξει.

περὶ ἐκλείψεως σελήνης (39) ἐπὶ δὲ τῆς σελήνης ὧδ’ ἂν γένοιτο φανερόν. ὅτι μὲν γὰρ εἰς τὴν τῆς γῆς ἐμπίπτουσα σκιάν ποτε ἐκλείπει, πολλάκις εἴρηται· ὡς δ’ οὐ καθ’ ἕκαστον μῆνα, δηλωτέον.   α   γ ε ζ   β    δ ἐπεὶ τοίνυν ἐπ’ εὐθείας τῶν φωτιζόντων αἱ ἀκτῖνες καὶ αἱ αὐγαὶ πίπτουσι καὶ παραπλησίως συνεχεῖς ταύταις αἱ σκιαί, ὅταν μὲν ἴσον ᾖ τό τε φωτίζον καὶ τὸ τὴν σκιὰν ἀποβάλλον, σφαιρικὰ δὲ ἄμφω, γίνεται ἡ [δὲ] σκιὰ κυλινδρικὴ καὶ εἰς ἄπειρον ἐκπίπτουσα. οἷον ἔστω φωτίζον μὲν τὸ αβ, φωτιζόμενον δὲ τὸ γδ, ἴσα δὲ ἀλλήλοις καὶ σφαιρικά· δῆλον οὖν ὡς τῆς γε αγ ἀκτῖνος καὶ τῆς βδ ἐπ’ εὐθείας ἐκπιπτουσῶν, ἐπεὶ αἱ αβ γδ διάμετροι ἴσαι τέ εἰσιν ἀλλήλαις καὶ πρὸς ὀρθὰς ταῖς αγε βδζ ἐφαπτομέναις, παράλληλοι ἔσονται, καὶ αἱ γε [196] δζ ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι οὐ συμπεσοῦνται· τοῦ δὲ τοιούτου πάντοθεν γινομένου δῆλον ὡς τῆς γδ σφαίρας ἡ σκιὰ κυλινδρικὴ τε ἔσται καὶ ἐπ’ ἄπειρον ἐκπίπτουσα.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 39

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in Richtung der folgenden Tierkreiszeichen. Deshalb, wenn die Konjunktion der Sonne in Bezug auf den Mond an einem Knotenpunkt stattfindet – die Körper erscheinen hier dicht beieinander – wird sich der Mond mit der Sonne in Bezug auf unseren Standpunkt überlagern, so dass die Sonne scheinbar verdeckt wird, und das wird sie so sehr tun, wie der Mond sie überlagert. Wenn stattdessen die monatliche Konjunktion nicht am Knotenpunkt, sondern an den gleichen Teilen des Längengrades der Tierkreiszeichen, aber nicht an den gleichen Teilen des Breitengrades stattfindet, wird der eine Stern mehr im Norden, der andere mehr im Süden erscheinen, und die Sonne wird sich nicht überlagern, noch wird sie sich zu verfinstern scheinen. Mondfinsternis (39) Was den Mond betrifft, so ist Folgendes klar. Dass er sich in den Zeiten, in denen er in den Schatten der Erde fällt, verfinstert, wird oft gesagt; aber weshalb dies nicht jeden Monat geschieht, muss deutlich gemacht werden.

Nun, da die Strahlen und das helle Licht der Leuchtenden in einer geraden Linie fallen und die Schatten fast überhaupt in Kontinuität mit ihnen stehen, wenn sowohl das Leuchtende als auch das den Schatten Werfende gleich und beide kugelförmig sind, ist der Schatten zylindrisch und breitet sich unendlich aus. Ein Beispiel: Das Leuchtende αβ wie auch das Beleuchtete γδ sind kugelförmig und einander gleich; es ist also offenkundig, dass die Strahlen αγ und βδ, die sich gerad­linig ausbreiten, parallel sein werden, da die Durchmesser αβ γδ einander gleich sind und im rechten Winkel zu den Tangenten αγε βδζ stehen, und dass γε δζ, bis ins Unendliche verlängert, sich nicht vereinigen werden. Da dies so geschieht, ist es klar, dass der Schatten der Kugel γδ zylindrisch sein und sich bis ins Unendliche ausbreiten wird.

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Theon von Smyrna

[197]

μ   κ    η

   θ   λ ν ἐὰν μέντοι τὸ φωτίζον ἔλαττον ᾖ, οἷον τὸ ηθ, τὸ δὲ φωτιζόμενον μεῖζον, οἷον τὸ κλ, ἡ κμλν ‹σκιὰ› τῷ μὲν σχήματι ἔσται καλαθοειδής, ἐπ’ ἄπειρον δὲ ὁμοίως ἐκπίπτουσα· ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ κλ διάμετρος τῆς ηθ, αἱ κμ λν ἀκτῖνες ἐπ’ ἄπειρον ἐκπίπτουσαι ἐν πλείονι ἀεὶ διαστάσει γενήσονται, ‹καὶ› τοῦτ’ ἔσται πανταχόθεν ὁμοίως.

[197] περὶ μεγέθους ἡλίου καὶ σελήνης καὶ περὶ ‹ἐκλείψεως› [ἐκθέσεως] σελήνης ἐὰν δὲ ἀνάπαλιν τὸ μὲν φωτίζον ᾖ μεῖζον, καθάπερ τὸ ξο, τὸ δὲ φωτιζόμενον ‹ἔλαττον›, οἷον τὸ πρ, σφαιρικὰ δὲ ἄμφω, δῆλον ὅτι ἡ τοῦ πρ σκιά, τουτ­έστιν ἡ πρς, κωνοειδὴς καὶ πεπερασμένη γενήσεται, τῶν ξπ ορ ἀκτίνων ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλλομένων καὶ συμπιπτουσῶν ἀλλήλαις κατὰ τὸ σ σημεῖον, ἐπειδὴ ἐλάττων ἐστὶν ἡ πρ διάμετρος τῆς ξο, καὶ τούτου γινομένου πανταχόθεν.

     ξ          π              σ                   ρ      ο

Teil III (Astronomie, Abschnitt 39

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Wenn dann das Leuchtende kleiner ist, etwa ηθ, während das Beleuchtete größer ist, etwa κλ, dann wird der Schatten κμλν die Form eines Korbes haben, aber er wird sich bis ins Unendliche ausbreiten. Weil der Durchmesser κλ größer ist als ηθ, werden die Strahlen κμ λν, bis ins Unendliche verlängert, in immer größerer Entfernung sein; dies wird aus jeder Perspektive auf ähnliche Weise geschehen. Die Größe der Sonne und des Mondes und die Mondfinsternis Wenn im Gegenteil das Leuchtende größer ist, wie ξο, während das Beleuchtete kleiner ist, etwa πρ, und wenn beide kugelförmig sind, ist es klar, dass der Schatten von πρ, also πρσ, kegelförmig und begrenzt sein wird, weil die Strahlen ξπ ορ in einer geraden Linie verlängert werden und sich an dem Punkt σ treffen, weil der Durchmesser πρ kleiner ist als ξο; dies wird von allen Seiten her geschehen.

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Theon von Smyrna

[198]

ἐπεὶ τοίνυν διὰ τῆς περὶ ἀποστημάτων καὶ μεγεθῶν πραγματείας ἡλίου καὶ σελήνης δείκνυσιν Ἵππαρχος τὸν μὲν ἥλιον σύνεγγυς χιλι­ οκτακοσιογδοηκονταπλασίονα τῆς γῆς, τὴν γῆν ἑπταεικοσαπλασίονα μάλιστα τῆς σελήνης, πολὺ δὲ ὑψηλότερον τὸν ἥλιον τῆς σελήνης, δῆλον ὡς ἥ τε σκιὰ ἔσται τῆς γῆς κωνοειδὴς καὶ κατὰ τὴν κοινὴν διάμετρον τοῦ τε ἡλίου καὶ τῆς γῆς ἐμπίπτουσα, καὶ τὸ τῆς σελήνης μέγεθος κατὰ τὸ πλεῖστον ἔλαττον τοῦ πάχους τῆς ἀπὸ τῆς γῆς σκιᾶς. ἐπειδὰν κατὰ μὲν τὸν ἕτερον σύνδεσμον ἥλιος γένηται, κατὰ δὲ τὸν ἕτερον σελήνη, καὶ ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ὅ τε ἥλιος καὶ ἡ γῆ καὶ ἡ σκιὰ καὶ ἡ σελήνη καταστῇ, τότε ἀναγκαίως ἐμπίπτουσα εἰς τὴν σκιὰν τῆς γῆς ἡ σελήνη, διὰ τὸ ἐλάττων εἶναι αὐτῆς καὶ μηδὲν ἔχειν ἴδιον φῶς, ἀφανὴς καθίσταται καὶ λέγεται ἐκλείπειν. ἀλλ’ ἐπειδὰν μὲν ἀκριβῶς γένωνται κατὰ διάμετρον, ὥστε ἐπὶ τῆς αὐτῆς, ὡς φαμεν, εὐθείας καταστῆναι τό τε τοῦ ἡλίου κέντρον [198] καὶ τὸ τῆς γῆς καὶ τὸ τῆς σελήνης, διὰ μέσου τοῦ σκιάσματος σελήνη ἰοῦσα ὅλη ἐκλείπει· ὅτε δὲ σύνεγγυς, μὴ μέντοι ἐπ’ εὐθείας, ἐνίοτε οὐχ ὅλη· τὰ μέντοι πλείω, μὴ κατὰ τοὺς συνδέσμους γινομένων τῶν σωμάτων τοῦ τε ἡλίου καὶ σελήνης ἐν ταῖς πανσελήνοις, ἡ μὲν σκιὰ τῆς γῆς καὶ οὕτως ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἔσται τῷ ἡλίῳ, ἡ δὲ σελήνη, βορειοτέρα τῆς σκιᾶς ἢ νοτιωτέρα παροῦσα καὶ κατ’ οὐδὲν εἰς αὐτὴν ἐμπίπτουσα, οὐδ’ ὅλως ἐκλείψει.

ταυτὶ μὲν ὁ Ἄδραστος. ὁ δὲ Δερκυλλίδης οὐδεμιᾷ μὲν οἰκείᾳ καὶ προσηκούσῃ τάξει περὶ τούτων ἀνέγραψεν· ἃ δὲ καὶ αὐτὸς ὑποδείκνυσιν ἐν τῷ περὶ τοῦ ἀτράκτου καὶ τῶν σφονδύλων τῶν ἐν τῇ Πολιτείᾳ παρὰ Πλάτωνι λεγομένων ἐστὶ τοιαῦτα.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 39

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Nun, da Hipparchos durch das Studium der Entfernungen und Größenordnungen der Sonne und des Mondes zeigt, dass die Sonne etwa 1880 Mal das Volumen der Erde hat, die Erde etwa 27 Mal den Mond und dass die Sonne viel höher ist als der Mond, ist es klar, dass der Erdschatten kegelförmig sein und in den gemeinsamen Durchmesser von Sonne und Erde fallen wird, und dass die Größe des Mondes meistens kleiner ist als die Breite des von der Erde erzeugten Schattens. Immer dann, wenn die Sonne an einem der beiden Knoten und der Mond am anderen steht, und sowohl Sonne und Erde als auch Mond und Schatten auf einer einzigen geraden Linie stehen, dann wird notwendigerweise der Mond, der in den Erdschatten fällt, unsichtbar und, wie man sagt, aussetzt, weil er kleiner als die Erde ist und kein eigenes Licht hat. Immer dann aber, wenn sowohl das Zentrum der Sonne als auch das der Erde und das des Mondes genau diametral entgegengesetzt sind, so dass sie, wie wir sagen, auf der gleichen geraden Linie liegen, verdunkelt sich der Mond vollständig, da er durch das Zentrum des Schattens hindurchgeht. Wenn sie im Gegenteil nicht genau, sondern nur ungefähr auf einer geraden Linie liegen, verdunkelt er sich nicht vollständig. Meistens – nämlich wenn die Körper von Sonne und Mond während des Vollmondes nicht an den Knotenpunkten sind – wird auch der Erdschatten in Bezug auf die Sonne auf einer einzigen geraden Linie sein, doch der Mond, der weiter nördlich oder weiter südlich als der Schatten ist und auf keine Fläche fällt, wird überhaupt nicht verfinstert werden. Das ist es, was Adrastos sagt. Derkyl(l)ides (Frg. 7) hat über dieses Thema nicht in einer geeigneten und passenden Reihenfolge geschrieben. Was er aber selbst in dem Werk Der Wirtel und die Spindeln, mit denen sich Platon in der Politeia beschäftigt, ausführt, ist von dieser Art.

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Theon von Smyrna

[199]

τίς τί εὗρεν ἐν μαθηματικῇ; (40) Εὔδημος ἱστορεῖ ἐν ταῖς Ἀστρολογίαις, ὅτι Οἰνοπίδης εὗρε πρῶτος τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ διάζωσιν καὶ τὴν τοῦ μεγάλου ἐνιαυτοῦ περίστασιν· Θαλῆς δὲ ἡλίου ἔκλειψιν καὶ τὴν κατὰ τὰς τροπὰς αὐτοῦ περίοδον, ὡς οὐκ ἴση ἀεὶ συμβαίνει· Ἀναξίμανδρος δὲ ὅτι ἐστὶν ἡ γῆ μετέωρος καὶ κινεῖται περὶ τὸ τοῦ κόσμου μέσον· Ἀνα[199]ξιμένης δὲ ὅτι ἡ σελήνη ἐκ τοῦ ἡλίου ἔχει τὸ φῶς καὶ τίνα ἐκλείπει τρόπον. οἱ δὲ λοιποὶ ἐπὶ ἐξευρημένοις τούτοις ἐπεξεῦρον ἕτερα· ὅτι οἱ ἀπλανεῖς κινοῦνται περὶ τὸν διὰ τῶν πόλων ἄξονα μένοντα, οἱ δὲ πλανώμενοι περὶ τὸν τοῦ ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς ὄντα αὐτῷ ἄξονα, ἀπέχουσι δ’ ἀλλήλων ὅ τε τῶν ἀπλανῶν καὶ τῶν πλανωμένων ἄξων πεντεκαιδεκαγώνου πλευρὰν ὅ ἐστι μοῖραι κδ'.

τίνες αἱ τῆς ἀστρονομίας ὑποθέσεις; (41) ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς φησιν· ὃν τρόπον ἐπὶ γεωμετρίᾳ καὶ μουσικῇ μὴ καταστησάμενον τὰς ὑποθέσεις ἀδύνατον τῶν μετὰ τὰς ἀρχὰς λόγων ἐξάπτεσθαι, κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῆς ἀστρολογίας προομολογεῖσθαι χρὴ τὰς ὑποθέσεις, ἐφ’ αἷς πρόεισιν ὁ λόγος ὁ περὶ τῆς τῶν πλανωμένων κινήσεως. πρὸ πάντων δέ, φησί, σχεδὸν τῶν περὶ τὰ μαθηματικὰ τὴν πραγματείαν ἐχόντων ἡ λῆψις τῶν ἀρχῶν ὡς ὁμολογουμένων ἐστί· πρῶτον μὲν ὡς ἔστιν ἡ τοῦ κόσμου σύστασις τεταγμένως ἐπὶ μιᾶς ἀρχῆς διεπομένη ὑφέστηκέ τε τὰ ὄντα καὶ φαινόμενα ταῦτα· διὸ μὴ δεῖν φάναι τὸν κόσμον τῆς ἡμετέρας ὄψεως ἐκ τοῦ ἀπείρου, ἀλλὰ κατὰ περιγραφὴν εἶναι· δεύτερον δὲ ὡς οὐ σβέσει καὶ ἀνάψει τῶν θείων σωμάτων αἵ τε ἀνατολαὶ καὶ δύσεις· ἀλλὰ γὰρ εἰ μὴ ἀΐδιος [200] τούτων ἡ διαμονή, οὐκ ἂν ἡ ἐν τῷ παντὶ τάξις φυλαχθείη· τρίτον ὡς οὐ

Teil III (Astronomie, Abschnitt 40

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Wer hat was in der Mathematik entdeckt? (40) Eudemos (Frg. 94) erzählt in seinen Astrologiai, dass Oinopides (Test. 41 A 7) als Erster den Tierkreisgürtel und die Beschaffenheit des großen Jahres entdeckte; später habe Thales (Frg. 11 A 17) die Sonnenfinsternis und ihre Drehung nach den Sonnenwenden entdeckt und auch, dass sie nicht immer auf die gleiche Weise geschieht. Anaximandros (Test. 12 A 26) (hat gesagt), dass die Erde in der Höhe schwebe und sich um die Mitte des Kosmos bewegt, Anaximenes (Frg. 13 A 16) aber, dass der Mond Licht von der Sonne hat und auf welche Weise er sich selbst verfinstert. Die anderen, die sich auf diese Entdeckungen stützten, entdeckten noch anderes, etwa, dass die Fixsterne sich um eine Achse bewegen, die zwischen den Polen stationär bleibt, während die Planeten sich um die Achse des Tierkreises im rechten Winkel dazu bewegen, und dass die Achse der Fixsterne und die der Planeten voneinander getrennt in dem Maß eines regelmäßigen Fünfecks, also durch 24 Teile (Grad), voneinander entfernt sind. Welche astronomischen Hypothesen gibt es? (41) Im weiteren Verlauf sagt er: So, wie es in der Geometrie und der Musik unmöglich ist, sich, ohne die Hypothesen aufzustellen, mit denjenigen Argumenten zu befassen, die sich aus den Prinzipien ergeben, so muss man auch in der Astronomie zuerst Übereinstimmung in den Hypothesen herstellen, gemäß denen die Untersuchung über die Bewegung der Planeten voranschreitet. Vor fast aller Beschäftigung mit Mathematik, sagt er, steht die Annahme von Prinzipien, die als gegeben angenommen werden. Erstens (gelte), dass die Einrichtung des Kosmos von geordneter Art ist und nur einem Prinzip folgt und dass alles, was ist und was zu sein scheint, so entsteht; deshalb dürfe man nicht sagen, dass der Kosmos unseres Gesichtsfeldes aus dem Unbegrenzten besteht, sondern müsse sagen, dass er begrenzt ist. Zweitens (gelte), dass nicht durch Verlöschen und Entzünden der göttlichen Körper deren Aufund Untergänge (erfolgen); wenn nämlich deren Bestand nicht ewig wäre, dann dürfte wohl im Kosmos keine Ordnung bewahrt werden.

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Theon von Smyrna

[201]

πλείους οὐδὲ ἐλάττονες τῶν ζ' οἱ πλανώμενοι· καὶ τοῦτο δῆλον ἐκ μακρὰς τηρήσεως· τέταρτον ἐπεὶ οὔτε πάντα τὰ ὄντα κινεῖσθαι εὔλογόν ἐστιν οὔτε πάντα μένειν, ἀλλὰ τὰ μὲν κινεῖσθαι, τὰ δὲ μένειν, ὁμολογεῖσθαι δεῖ, τίνα ἐν τῷ παντὶ μένειν χρὴ καὶ τίνα κινεῖσθαι. φησὶ δ’ ὡς γῆν μὲν χρὴ οἴεσθαι μένειν, ἑστίαν τοῦ θεῶν οἴκου κατὰ τὸν Πλάτωνα, τὰ δὲ πλανώμενα σὺν τῷ παντὶ περιέχοντι οὐρανῷ κινεῖσθαι· τοὺς δὲ τὰ κινητὰ στήσαντας, τὰ δὲ ἀκίνητα φύσει καὶ ἕδρᾳ κινήσαντας ὡς παρὰ ταῖς τῆς μαθηματικῆς ὑποθέσεις ἀποδιοπομπεῖται.

ἐν δὲ τούτοις φησὶ καὶ κατὰ μῆκος τοὺς πλανωμένους κινεῖσθαι καὶ βάθος καὶ πλάτος τεταγμένως καὶ ὁμαλῶς καὶ ἐγκυκλίως, ‹…› ἡγησάμενοι οὐκ ἂν σφαλλοίμεθα τῆς περὶ αὐτοὺς ἀληθείας· διὸ τάς τε ἀνατολὰς καὶ παρανατολὰς τῆς κατὰ μῆκος κινήσεως καὶ τὰς ἀπὸ τῶν πρεσβυτέρων ἀποδιδομένας ἐκλύτους καὶ ῥᾳθύμους αἰτίας τῆς ὑπολείψεως λεγομένης παραιτεῖται. ὀρθὸν δὲ τὸ νομίζειν, φησί, πᾶν τὸ ἄλογον καὶ ἄτακτον φυγόντας τῆς τοιαύτης κινήσεως, ἐναντίαν τῇ ἀπλανεῖ φορᾷ τὰ πλανώμενα κινεῖσθαι ἡρέμα, περιαγομένης τῆς ἐντὸς φορᾶς ὑπὸ τῆς ἐκτός.

οὐκ ἀξιοῖ δὲ τοῦ πλανωμένου αἰτίας οἴεσθαι τὰς ἑλικοειδεῖς γραμμὰς ὡς προηγουμένας τάς τε ἱππικῇ παραπλησίας· γίνεσθαι μὲν γὰρ ταύτας κατὰ συμβεβηκός· πρώτην δὲ προηγουμένην [201] αἰτίαν εἶναι καὶ τοῦ πλάνου καὶ τῆς ἕλικος τὴν κατὰ λοξοῦ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου κίνησιν· καὶ γὰρ ἐπεισοδιώδης καὶ ὑστέρα ἡ κατὰ τὴν ἕλικα κίνησις, ἐκ τοῦ διπλοῦ τῆς περὶ αὐτοὺς κινήσεως ἀποτελουμένη. προτέραν δὲ χρὴ εἰπεῖν τὴν κατὰ τοῦ λοξοῦ προηγουμένην κίνησιν· ἑπομένη γὰρ ἡ ἕλιξ καὶ οὐ πρώτη.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 41

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Drittens (gelte), dass die Planeten weder mehr noch weniger als 7 sind; dies ist aufgrund ausgiebiger Beobachtung offenkundig. Viertens (gelte), da es plausibel ist, dass alles, was ist, weder in Bewegung noch alles stationär ist, sondern dass das eine in Bewegung, das andere stationär ist, man sich darüber einig sein müsse, welche Dinge im Kosmos stationär und welche in Bewegung seien. Man müsse dabei aber (sagt er) glauben, dass die Erde stationär ist, als Sitz des Hauses der Götter nach Platon (Phaidros 247a–b), die Planeten aber sich zusammen mit dem gesamten Himmel, der sie umgibt, bewegen. Schließlich weist er diejenigen zurück, die das Bewegte stationär machen, aber das von Natur aus und aufgrund seines Ortes Unbewegte bewegen, da sie gegen die Hypothesen der Mathematik verstießen. Im gleichen Werk sagt er auch, dass sich die Planeten in Länge, Tiefe und Breite in einer geordneten, gleichmäßigen und kreisförmigen Weise bewegen … (Lücke im Text) – im Glauben daran dürften wir uns bei den Wahrheiten über sie wohl nicht irren. Deshalb verwirft er die Aufgänge und die sich daneben zeigenden Aufgänge gemäß der Bewegung in der Länge und die leichtfertig dahingesagten und bequemen Ursachen, die von den Älteren für die sogenannte hypoleipsis (Verschwinden) genannt werden. Es sei nicht richtig zu glauben, sagt er, wenn man alles Vernunftwidrige und Regellose in der sogenannten beschaffenen Bewegung außer Acht lässt, dass die Planeten sich auf einer Bahn ruhig bewegen, die der stetigen Bahn (der Fixsterne) entgegengesetzt ist, wobei die Drehung der inneren Bahn von der der äußeren herumgeführt wird. Er fordert dazu auf, nicht zu glauben, dass die Ursachen der Planetenbahn Linien seien, die Schleifen gleichen, als die ursprünglichen und den Pferdefesseln ähnlichen; diese nämlich entstünden, wie es sich trifft. Vielmehr sei die erste ursprüngliche Ursache sowohl der Wanderbewegung als auch für die schleifenförmige Bewegung die Bewegung entlang des geneigten Kreises (Ekliptik) des Tierkreises. Die Bewegung nach dem Prinzip der Schleife sei nämlich hinzutretend und später gekommen, hervorgegangen aus dem Doppelten der Bewegung um sie herum. Schließlich muss man sagen, dass die ursprüngliche Bewegung entlang des geneigten Kreises früher stattfand; die Schleife folgte auf sie und ist nicht die erste.

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Theon von Smyrna

[202]

πάλιν παραιτεῖται καὶ τῆς κατὰ τὸ βάθος κινήσεως αἰτίας εἶναι τὰς ἐκκεντρότητας· περὶ δὲ κέντρον ἕν τι τὸ αὐτῆς καὶ κόσμου ἡγεῖται τοῖς κατ’ οὐρανὸν φερομένοις πᾶσι τὴν κίνησιν εἶναι, κατὰ συμβεβηκὸς ὑπὸ τῶν πλανωμένων, οὐ κατὰ προηγουμένην, ὡς ἐπάνω ἐπεδείξαμεν, τῶν ἐπικύκλων καὶ τῶν ἐκκέντρων κύκλων διὰ τοῦ τῶν ἐγκέντρων βάθους γραφομένων. δύο γὰρ ἐπιφανείας ἔχει ἑκάστη σφαῖρα, τὴν μὲν ἐντὸς κοίλην, τὴν δὲ ἐκτὸς κυρτήν, ὧν ἐν τῷ μεταξὺ κατ’ ἐπικύκλους καὶ ἐγκέντρους κινεῖται τὰ ἄστρα, καθ’ ἣν κίνησιν καὶ τοὺς ἐκκέντρους κατὰ συμβεβηκὸς γράφει.

φησὶ δὲ καὶ κατὰ μὲν τὰς ἡμετέρας φαντασίας ἀνωμάλους εἶναι τὰς τῶν πλανωμένων κινήσεις, κατὰ δὲ τὸ ὑποκείμενον καὶ τἀληθὲς ὁμαλάς· πᾶσι δὲ τὴν κίνησιν προαιρετικὴν καὶ ἀβίαστον εἶναι δι’ ὀλιγίστων φορῶν καὶ ἐν τεταγμέναις σφαίραις. αἰτιᾶται δὲ τῶν φιλοσόφων ὅσοι ταῖς σφαίραις οἷον ἀψύχους ἑνώσαντες τοὺς ἀστέρας καὶ τοῖς τούτων κύκλοις πολυσφαιρίας εἰσηγοῦνται, ὥσπερ Ἀριστοτέλης ἀξιοῖ καὶ τῶν μαθηματικῶν Μέναιχμος καὶ [202] Κάλλιππος, οἳ τὰς μὲν φερούσας, τὰς δὲ ἀνελιττούσας εἰσηγήσαντο. ἐπὶ δὲ τούτοις ὁμολογουμένοις περὶ μένουσαν τὴν γῆν τὸν οὐρανὸν σὺν τοῖς ἄστροις ἡγεῖται κινεῖσθαι ἐν ὁμαλαῖς καὶ ἐγκυκλίοις κινήσεσιν ἐλαχίσταις τε καὶ συμφώνοις ἐγκέντροις τε καὶ ἀβιάστοις φοραῖς, καὶ ταύτας σωζομένας καὶ παρὰ Πλάτωνι ἀποδείκνυσι τὰς ὑποθέσεις.

(42) κινοῦνται δὲ οἱ μὲν ἀπλανεῖς περὶ τὸν διὰ τῶν πόλων ἄξονα μένοντα, οἱ δὲ πλανώμενοι περὶ τὸν τοῦ ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς ὄντα αὐτῷ ἄξονα· ἀπέχουσι δ’ ἀλλήλων ὅ τε τῶν ἀπλανῶν καὶ τῶν πλανωμένων ἄξων πεντεκαιδεκαγώνου πλευράν. δίχα μὲν τέμνει τὸν κόσμον ὁ ζῳδιακὸς μέγιστος ὤν· τῆς δὲ τοῦ παντὸς περιφερείας εἰς τξ' μοίρας διαιρουμένης ὁ ζῳδιακὸς ἑκατέρωθεν ρπ' μοίρας ἀπολαμβάνει· ὁ δὲ ἄξων τοῦ ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς ὢν δίχα διαιρεῖ τὰς ρπ' μοίρας. λελόξωται δὲ ὁ ζῳδιακὸς ἀπὸ τοὺ χειμερινοῦ παραλλήλου ἐπὶ τὸν θερινόν· εἰσὶ δὲ ἀπὸ μὲν τοῦ θερινοῦ ἐπὶ τὸν ἀνταρκτικὸν μοῖραι λ', ὡς παραδίδωσιν Ἵππαρχος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἀνταρκτικοῦ μέχρι τοῦ πόλου τῆς ἀπλανοῦς σφαίρας μοῖραι τριάκοντα ἕξ· συνάμφω δέ,

Teil III (Astronomie, Abschnitt 42

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Weiter lehnt er die Vorstellung ab, dass auch die exzentrischen Bahnen Ursachen für die Bewegung in die Tiefe sind; er glaubt aber, dass es allem, was sich am Himmel bewegt, die Bewegung um ein einziges Zentrum von ihr (der Bewegung) und des Kosmos zu eigen ist, wobei die Epizykel und die exzentrischen Kreisläufe durch die Tiefe der konzentrischen Bahnen von den Planeten, wie es sich trifft, nicht ursprünglich beschrieben werden, wie wir schon gezeigt haben. Jede Kugel hat nämlich zwei Flächen, die innere konkav, die äußere konvex, in deren Zwischenraum in Epizykeln und konzentrischen Bahnen die Sterne sich bewegen – eine Bewegung, nach der sie auch die exzentrischen Bahnen, wie es sich trifft, beschreiben. Er sagt auch, dass die Bewegungen der Planeten nach unseren Vorstellungen unregelmäßig sind, in Wirklichkeit aber gleichmäßig. Für alle sei die Bewegung frei und nicht erzwungen, durch sehr wenige Bahnen hindurch und auf wohlgeordneten Kugeln. Er kritisiert aber auch diejenigen von den Philosophen, welche die Sterne als unbeseelt mit den Kugeln und Kreisläufen vereinigen und die Vervielfachung der Kugeln einführen, wie es Aristoteles und unter den Mathematikern Menaichmos und Kallippos fordern, die erklärten, dass die einen (Kugeln) sich in die eine Richtung bewegen, die anderen in die entgegengesetzte. Nachdem man diesem zugestimmt hat, glaubt er, dass sich der Himmel mit den Sternen um die stationäre Erde herum bewegt in sehr wenigen harmonischen, gleichmäßigen Kreisbewegungen auf konzentrischen und nicht erzwungenen Bahnen, und er weist darauf hin, dass diese Hypothesen auch bei Platon bewahrt werden. (42) Die Fixsterne bewegen sich um die Achse, die zwischen den Polen stationär bleibt, während die Planeten sich um die Achse des Tierkreises im rechten Winkel dazu bewegen; die Fixsterne und die Achse der Planeten haben eine regelmäßige Fünfeckseite. Da der Tierkreis ein Großkreis (s. o. III 1) ist, schneidet der Tierkreis den Kosmos in zwei Teile, und da der Umfang des Universums in 360 Teile (Grad) zerlegt ist, identifiziert der Tierkreis 180 Teile auf jeder der beiden Seiten und die Bahn des Tierkreises, der im rechten Winkel steht, zerlegt die 180 Teile in zwei. Der Tierkreis ist von der Winterparallele zur Sommerparallele geneigt; von der Sommerparallele zum Antarktischen Kreis gibt es 30 Teile, wie uns Hipparchos sagt, während vom Antarktischen Kreis bis zum Pol der Fixsternkugel 36 Teile vor-

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Theon von Smyrna

[203]

ἀπὸ μὲν τοὺ θερινοῦ μέχρι τοῦ πόλου τῆς τῶν ἀπλανῶν σφαίρας, μοῖραι ξϛ'. ἵνα δὲ πληρωθῶσιν ἐπὶ τὸν πόλον τοῦ ‹τῶν› πλανωμένων ἄξονος ϙ' μοῖραι, προσθετέον μοίρας [203] κδ', καθ’ ὃ εἴη ἂν ὁ πόλος ‹τοῦ› τῶν πλανωμένων ἄξονος πρὸς ὀρθὰς ὄντος τῷ ζῳδιακῷ. λοιπαὶ δὴ ἀπὸ τοῦ πόλου τοῦ τῶν πλανωμένων ἄξονος μοῖραι ἐπὶ τὰ θερινὰ μέρη τοῦ ἀνταρκτινοῦ ιβ'· αἱ πᾶσαι γὰρ ἦσαν λϛ'· ὧν ἀφέλωμεν κδ'· λοιπαὶ ιβ'. αἷς προσθετέον τὰς ἀπὸ τοῦ ἀνταρκτικοῦ μέχρι τοῦ θερινοῦ πάλιν μοίρας λ' καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ θερινοῦ ἐπὶ τὸν ἰσημερινὸν μοίρας κδ' καὶ ‹τὰς› ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ ἐπὶ τὸν χειμερινόν, οὐ πάλιν ἐφάπτεται ὁ ζῳδιακός, μοίρας κδ'. γίνονται μοῖραι κδ' τῶν τξ' τοῦ παντὸς μοιρῶν πεντεκαιδέκατον μέρος· πεντεκαιδεκάκις γὰρ κδ' γίνονται τξ'. διὰ τοῦτό φαμεν τοῦ ἐγγραφομένου εἰς σφαῖραν πεντεκαιδεκαγώνου πλευρὰν ἀπέχειν ἀλλήλων τοὺς δύο ἄξονας, τόν τε τῶν ἀπλανῶν καὶ τὸν τῶν πλανωμένων.

περὶ τῆς ἑλικοιειδοῦς κινήσεως (43) ἕλικα δὲ γράφει τὰ πλανώμενα κατὰ συμβεβηκός, διὰ τὸ δύο κινεῖσθαι κινήσεις ἐναντίας ἀλλήλαις. τῷ γὰρ αὐτὰ κατὰ τὴν ἰδίαν κίνησιν ἀπὸ τοῦ θερινοῦ ἐπὶ χειμερινὸν φέρεσθαι καὶ ἀνάπαλιν, ἡρέμα μὲν αὐτὰ περιιόντα, τάχιστα δὲ ἐπὶ τὰ ἐναντία περιαγόμενα καθ’ ἑκάστην ἡμέραν ὑπὸ τῆς ἀπλανοῦς σφαίρας, οὐκ ἐπ’ εὐθείας ἀπὸ παραλλήλου ἐπὶ παράλληλον πορεύεται, ἀλλὰ περιαγόμενα περὶ τὴν ἀπλανῆ σφαῖραν. ἵνα δὴ διὰ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀπὸ τοῦ α ἐπὶ τὸ β χωρήσῃ, τῆς φορᾶς αὐτῶν οὐκ ἐπὶ εὐθείας τοῦ ζῳδιακοῦ μόνον, ἀλλὰ καὶ ἐν κύκλῳ περὶ τὴν ἀπλανῆ γινομένης, ἕλικα [204] γράφουσιν ἐν τῇ ἀπὸ παραλλήλου ἐπὶ παράλληλον διόδῳ ὁμοίαν τῇ τῶν ἀμπέλων ἕλικι· καθάπερ εἴ τις ἱμάντα περιελίττει κυλίνδρῳ ἀπὸ τῆς ἑτέρας ἀποτομῆς μέχρι τῆς ἑτέρας, ὥσπερ ταῖς Λακωνικαῖς σκυτάλαις οἱ ἔφοροι περιελίττοντες ἱμάντας τὰς ἐπιστολὰς ἔγραφον.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 43

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handen sind; wenn man beide Entfernungen berücksichtigt, sind es vom Sommerkreis bis zum Pol der Fixsternkugel 66 Teile. Um den Abstand zum Pol der Achse der Planeten auszufüllen, gibt es 90 Teile: 24 Teile müssen addiert werden, so dass der Pol der Achse der Planeten senkrecht zum Tierkreis steht. Die restlichen Teile vom Pol der Achse der Planeten bis zum sommerlichen Teil des antarktischen Kreises sind 12 – alle waren in Wirklichkeit 36, und wenn wir 24 davon wegnehmen, sind es immer noch 12 –; zu diesen müssen wir die 30 Teile vom antarktischen zum Sommerkreis, die 24 Teile vom Sommerwende- zum Äquatorkreis und die 24 Teile vom Äquator- zum Winterwendekreis hinzufügen, der wiederum vom Tierkreis berührt wird. 24 Teile sind 1⁄15 der 360 Teile des Universums; fünfzehnmal 24 sind ja 360. Aus diesem Grund bekräftigen wir, dass die beiden Achsen, die der Fixsterne und die der Planeten, durch die Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das in eine Kugel eingeschrieben ist, voneinander entfernt sind. Die schleifenförmige Bewegung (43) Es kommt vor, dass die Planeten eine Schleife beschreiben, und zwar aufgrund von zwei Bewegungen, die in entgegengesetzter Richtung zueinander stattfinden. Da sie sich entsprechend einer Bewegung vom Sommer- zum Winterwendekreis und umgekehrt bewegen und sich langsam drehen, aber gleichzeitig jeden Tag mit maximaler Geschwindigkeit von der Kugel der Fixsterne zu den folgenden Tierkreiszeichen gezogen werden, kommen sie nicht von einer Parallele zur anderen in einer geraden Linie, sondern als kreisförmige Bahnen entlang der Kugel der Fixsterne. Gerade um durch den Tierkreis von einem Punkt α zu einem Punkt β zu gelangen, da ihre Bewegung nicht nur auf der geraden Linie des Tierkreises, sondern auch kreisförmig entlang der Kugel der Fixsterne verläuft, beschreiben sie im Durchgang von einer Parallele zur anderen eine Schleife, die der Schleife eines Weinstocks ähnelt, als ob jemand von einem Ende zum anderen einen Riemen um einen Zylinder schlingt, wie die Ephoren ihre Briefe schrieben, indem sie Riemen um die spartanischen Stöcke wickelten (dann beschrifteten und damit das auf den wieder abge­wickelten Riemen Stehende unlesbar machten).

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Theon von Smyrna

[205]

γράφει δὲ καὶ ἄλλην ἕλικα τὰ πλανώμενα, οὐ μόνον ὡς περὶ κύλινδρον ‹ἀπὸ τῆς ἑτέρας› ἀποτομῆς ἐπὶ τὴν ἑτέραν ἀποτομήν, ἀλλὰ καὶ τὴν ὡς ‹ἐν› ἐπιπέδῳ. ἐπειδὴ γὰρ δι’ αἰῶνος ἀπὸ τοῦ ἑτέρου παραλλήλου ἐπὶ τὸν ἕτερον χωροῦσι καὶ ἀπ’ ἐκείνου πάλιν ἐπὶ τὸν αὐτὸν καὶ τοῦτο ἀδιαλείπτως καὶ ἀπαύστως γίνεται ὑπ’ αὐτῶν, ἂν ἐπινοήσωμεν ἐπ’ ἄπειρον ἐκτεινομένας εὐθείας εἶναι τὰς παραλλήλους καὶ δι’ αὐτῶν κατὰ τὰ αὐτὰ πορευόμενα τὰ πλανώμενα ποτὲ μὲν τὴν χειμερινὴν ὁδόν, ποτὲ δὲ τὴν θερινήν, μέχρις ἀπείρου εὑρεθείη ἂν ἡμῖν ἕλικα γράφοντα. κατὰ δὲ τὸ ἄπαυστον καὶ αἰώνιον τῆς περὶ τὴν σφαῖραν διὰ [τῆς] τῶν παραλλήλων πορείας ὁμοία ἡ ὁδὸς αὐτοῖς γίνεται τῇ διὰ τῶν ἐπ’ ἄπειρον ἐκτεινομένων εὐθειῶν ὁδῷ, καθάπερ δηλοῖ τὰ ὑποκείμενα διαγράμματα. ὥστε δύο κατὰ συμβεβηκὸς γράφουσιν ἕλικας, τὴν μὲν ὡς περὶ κύλινδρον, τὴν δὲ ὡς δι’ ἐπιπέδου.

(44) ταυτὶ μὲν τὰ ἀναγκαιότατα καὶ ἐξ ἀστρολογίας κυριώτατα πρὸς τὴν τῶν Πλατωνικῶν ἀνάγνωσιν. ἐπεὶ δὲ ἔφαμεν εἶναι μουσικὴν καὶ ἁρμονίαν τὴν μὲν ἐν ὀργάνοις, τὴν δὲ ἐν ἀριθμοῖς, τὴν δὲ ἐν κόσμῳ, καὶ [205] περὶ τῆς ἐν κόσμῳ τἀναγκαῖα πάντα ἑξῆς ἐπηγγειλάμεθα μετὰ τὴν περὶ ἀστρολογίας παράδοσιν – ταύτην γὰρ ἔφη καὶ Πλάτων ἐν τοῖς μαθήμασι πέμπτην εἶναι μετὰ ἀριθμητικὴν γεωμετρίαν στερεομετρίαν ἀστρονομίαν –, ἃ καὶ περὶ τούτων ἐν κεφαλαίοις παραδείκνυσιν ὁ Θράσυλλος σὺν οἷς καὶ αὐτοὶ προεξειργάσμεθα δηλωτέον.

Teil III (Astronomie, Abschnitt 44

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Die Planeten beschreiben auch eine andere Schleife, nicht nur als eine, die man sich um einen Zylinder von einem Ende zum anderen vorstellen kann, sondern auch als eine, die sich auf einer Fläche entwickelt. Da sie sich für eine ewige Zeit von einer Parallele zur anderen und von der zweiten zurück zur ersten bewegen – diese Bewegung wird von ihnen ohne Unterbrechung und ohne Ende erzeugt –, können wir, wenn wir uns die Parallelen als gerade Linien denken, die bis ins Unendliche ausgedehnt sind, und an Planeten, die sich so bewegen, dass sie sich einmal auf dem Sommerweg und einmal auf dem Winterweg auf die gleiche Weise bewegen, entdecken, dass sie einen Schleife ins Unendliche beschreiben. In Funktion der Unauf‌haltbarkeit und der Unendlichkeit der Bewegung um die Kugel zwischen Parallelen ist der Weg für sie ähnlich wie der durch gerade Linien, die ins Unendliche gestreckt sind, wie die folgenden (nicht erhaltenen) Abbildungen verdeutlichen können, so dass sie, wie es sich trifft, zwei Schleifen beschreiben, die eine wie um einen Zylinder, die andere wie durch eine Fläche entwickelt. Schluss (44) So weit die notwendigsten und wichtigsten Elemente der Astronomie für die Lektüre von Platons Werken. Da wir betont haben, dass es Musik und Harmonie in den Instrumenten, in den Zahlen und auch im Kosmos gibt, und da wir die Darlegung aller notwendigen Vorstellungen über Musik und Harmonie im Kosmos in Kontinuität nach der traditionellen Behandlung der Astronomie angekündigt haben – sogar Platon (Politeia VII 530d) sagte ja, dass dies die fünfte unter den Wissenschaften nach Arithmetik, Geometrie, Stereometrie und Astronomie ist –, muss klargestellt werden, dass diese Lehren auch von Thrasyllos mit den Argumenten dargelegt werden, die auch wir nun schon ausgearbeitet und erläutert haben.

ANHANG

Weiterführende Literatur Editionen und Übersetzungen (in der Reihenfolge des Erscheinens) Boulliau (Bullialdus), Ismael: Theonis Smyrnaei Platonici eorum quae in ma­ thematicis ad Platonis lectionem utilia sunt expositio. Opus nunc primum editum, Latina versione ac notis illustratum. Paris 1644 (nur I und II) de Gelder, Jan Jacob: Theonis Smyrnaei Arithmeticam, Bullialdi versione, lectionis diversitate et annotatione auctam. Diss. Leiden 1827 (nur I) Martin, Thomas Henri: Theonis Smyrnaei Platonici liber de Astronomia, textum primus edidit, Latine vertit, descriptionibus geometricis, dissertatione et notis illustravit. Paris 1849 (nur III) Hiller, Eduard: Theonis Smyrnaei, Philosophi Platonici Expositio rerum ma­ thematicarum ad legendum Platonem utilium. Leipzig 1878 (und Nach­ drucke, maßgebliche Ausgabe) Dupuis, Jean: Théon de Smyrne, Philosophe platonicien, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon. Paris 1892 (mit französischer Übersetzung) Macadam, Joseph Duncan: Theo Smyrnaeus On Arithmetics (Thesis for the Degree of Master of Arts, University of British Columbia). Vancouver 1969 (nur I; ungedruckt) Lawlor, Robert and Deborah: Mathematics Useful for Understanding Plato, ed. Christos Toulis (Secret Doctrine Reference Series 21). San Diego 1979 (englische Übersetzung; s. die sehr kritische Besprechung von McKirahan 1982) Delattre-Biencourt, Joëlle: Théon de Symrne, Lire Platon. Toulouse 2010 (französische Übersetzung mit Einführung und Anmerkungen und mit Beiträgen von Luc Brisson und Rudolf Bkouche) Petrucci, Federico M.: Teone di Smirne, Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium (Studies in Ancient Philosophy 11). Sankt Augustin 2012 (Text nach Hiller mit italienischer Übersetzung und Kommentar, auf den grundsätzlich verwiesen sei)

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Anhang Von Theon zitierte oder in der Einführung genannte antike Autoren

Anaximandros, Anaximenes, Archytas (s. auch u.), Empedokles, Hippasos, Philolaos (s. auch u.), Oinopides und Thales – Diels, Hermann / Kranz, Walther: Die Fragmente der Vorsokratiker. Berlin 51951 (u. ö.) Alexandros von Aitolien – Lloyd-Jones, Hugh / Parsons, Peter J.: Supplementum Hellenisticum (Texte und Kommentare 11). Berlin 1983 Arabische Quellen – Dodge, Bayard: The Fihrist of al-Nadim. A Tenth-Century Survey of Muslim Culture. New York / London 1970 Aratos – Erren, Manfred: Aratos, Phainomena (Tusculum). Düsseldorf 2009 Archytas – Huffman, Carl: Archytas of Tarentum. Cambridge 2005 Aristoteles – Gigon, Olof: Aristoteles, Vom Himmel u. a. Zürich 1950; Schwarz, Franz F.: Aristoteles, Metaphysik. Stuttgart 1970 (u. ö.); Rose, Valentin: Aristotelis qui ferebantur librorum fragmenta. Leipzig 1886 Aristoxenos – Kaiser, Stefan I.: Die Fragmente des Aristoxenos aus Tarent (Spudasmata 128). Hildesheim u. a. 2010 Derkyl(l)ides – Lakmann, Marie-Luise: Platonici minores, 1. Jh. v. Chr. – 2. Jh. n. Chr. (Philosophia Antiqua 145). Leiden 2017, 97–101 (Einführung) und 422–433 (Übersetzungen von Henner Thoss) Eratosthenes – Dörrie, Heinrich: Die geschichtlichen Wurzeln des Platonismus (Der Platonismus in der Antike 1). Stuttgart–Bad  Cannstatt 1987; s. auch Supplementum Hellenisticum [s. o. zu Alexandros] Eudemos – Spengel, Leonhard: Eudemi Rhodii Peripatetici fragmenta quae supersunt. Berlin 21870 Euripides – Buschor, Ernst / Seeck, Gustav Adolf: Euripides. Sämtliche Tragödien und Fragmente (Tusculum). 6 Bde. München 1972–1981 Ibykos – Page, Denys: Poetae Melici Graeci. Oxford 1962 Inschrift – Petzl, Georg: Die Inschriften von Smyrna, Bd. II 1 (Inschriften griechischer Städte aus Kleinasien 24,1). Bonn 1987 (spez. 137 Nr. 648) Nikomachos – Brodersen, Kai: Nikomachos, Einführung in die Arithmetik (Tusculum). Berlin 2021 Philolaos – Huffman, Carl: Philolaus of Croton. Cambridge 1993 Planudes – Brodersen, Kai und Christiane: Planudes, Rechenbuch (Tusculum). Berlin 2020 Platon – Loewenthal, Erich: Platon, Sämtliche Werke in 3 Bänden. Berlin 1940, Neuausgabe Heidelberg 1982 (enthält auch die Epinomis) Poseidonios – Theiler, Willy: Poseidonios, Die Fragmente, Bd. I (Texte und Kommentare 10). Berlin 1982 Pythagoreer – Thesleff, Holger: The Pythagorean Texts of the Hellenistic Period (Acta Academiae Aboensis A 30.1). Åbo 1965 Theon von Alexandreia – Grynäus (Griner), Simon: Theonis Commentarius in Almagestum Pto­le­maei. Basel 1538 (s. die Einführung S. 10)

Weiterführende Literatur

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Studien Barker, Andrew: Greek Musical Writings, Bd. II: Harmonic and Acoustic The­ ory. Cambridge 1989 (spez. 211–229: kommentierte Auszüge aus II 1–13, 13a–16, 35 und 36) Becker, Oskar: Paramekepipedoi arithmoi. Die Zahlen von der Form n∙n∙(n±1) bei Nikomachos von Gerasa, in: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 4, 1938, 181–192 Corti, Lorenzo: Scepticism, number and appearances. The arithmetike techne and Sextus’ targets in M I–VI, in: Philosophie Antique. Problèmes, Renaissances, Usages 15, 2015, 121–145 Delattre, Joëlle: Théon de Smyrne. Modèles mécaniques en astronomie, in: ­Argoud, Gilbert / Guillaumin, Jean-Yves (Hgg.): Sciences exactes et ­sciences appliquées à Alexandrie (Centre Jean Palerne, Mémoires 16). Saint-Etienne 1998, 371–395 – Théon de Smyrne et la Dioptre, in: Argoud, Gilbert (Hg.): Autour de la dioptre d’Héron d’Alexandrie (Centre Jean Palerne, Mémoires 21). SaintEtienne 2000, 65–77 Delattre-Biencourt, Joëlle: Rez. Petrucci 2012, in: Aestimatio 10, 2013, 366–373 – / Delattre, Daniel: La théorie de la musique et de l’astronomie d’après Théon de Smyrne, in: Lévy, Carlos / Besnier, Bernard / Gigandet, Alain (Hgg.): Ars et Ratio. Sciences, art et métiers dans la philosophie hellénistique et romaine (Collection Latomus 27). Brüssel 2003, 243–258 Dillon, John: The Middle Platonists. London 1977, 2Ithaca NY 1996 (spez. 397–399) Dörrie, Heinrich / Baltes, Matthias: Der Platonismus in der Antike, Bd. 3: Der Platonismus im 2. und 3. Jahrhundert nach Christus, Stuttgart - Bad Cannstatt 1993 (68–72 und 662–791: Nr. 87) Evans, James: The History & Practice of Ancient Astronomy. New York / Oxford 1998 (spez. 49–51) Ferrari, Franco: Theon von Smyrna, in: Christoph Riedweg / Christoph Horn / Dietmar Wyrwa (Hgg.): Philosophie der Kaiserzeit und der Spätantike (Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike 5.1). Basel 2018, 580–583 (und Bibliographie 686–687) Fittschen, Klaus: Büste des Theon. Frühhadrianisch, in: Ders. / Zanker, Paul / Cain, Petra: Katalog der römischen Porträts in den Capitolinischen Museen und den anderen kommunalen Sammlungen der Stadt Rom, Bd. 2: Die männlichen Privatporträts (Beiträge zur Erschließung hellenistischer und kaiserzeitlicher Skulptur und Architektur 4). Berlin / New York 2010 (Textbd. 94–96, Tafelbd. 109–110) Fowler, David: The Mathematics of Plato’s Academy. A New Reconstruction. Oxford 1999 (spez. 56–57 und 97–99)

348

Anhang

Häberlin, Carl: Eduard Hiller 1844–1891, in: Biographisches Jahrbuch für Alterthumskunde 14, 1891, 83–113 Heath, Thomas: A History of Greek Mathematics, Bd. II. Oxford 1921 (spez. 238–244) Hiller, Eduard: Mitteilungen aus Handschriften. Der codex Marcianus 303, in: Philologus 31, 1872, 172–181 Hofstetter, Carole: Un nouveau témoin complet de l’Introduction arithmétique de Nicomaque de Gerasa, in: Nea Rhome 15, 2018, 177–192 Jones, Alexander: Theon of Smyrna and Ptolemy on Celestial Modelling in Two and Three Dimensions, in: De Risi, Vincenzo (Hg.): Mathematizing Space. The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Cham u. a. 2015, 75–103 – Translating Greek Astronomy. Theon of Smyrna on the Apparent Motion of the Planets, in: Imhausen, Annette / Pommerening, Tanja (Hgg.): Translating Writings of Early Scholars in the Ancient Near East, Egypt, Greece, and Rome. Berlin 2016, 465–505 Lloyd, Geoffrey E. R.: Saving the Appearances, in: Classical Quarterly n. s. 28, 1978, 202–222 McClain, Ernest G.: Rez. Lawlor 1979, in: Parabola 4, 1979, 113–115 (auch zu Blavatsky) McKirahan, Richard D.: Rez. Lawlor 1979, in: Historia Mathematica 9, 1982, 100–104 Mathiesen, Thomas J.: Apollo’s Lyre. Greek Music and Music Theory in Antiquity and the Middle Ages, Lincoln / London 1999 (412–429) Mittelstraß, Jürgen: Rettung der Phänomene, in: Ders. u. a. (Hgg.): Enzyklo­ pädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, 2. Auf‌l. Bd. VII. Stuttgart 2018, 119–121 O’Meara, Dominic: Empédocle Fragment 143, in: Revue des Études Grecques 123, 2010, 877–879 Osler, Thomas J. / Wright, Marcus / Orchard, Michael: Theon’s Ladder for Any Root, in: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 36, 2005, 389–398 Petrucci, Federico M.: Riargomentare il Platonismo. L’esegesi di Platone nell’expositio di Teone di Smirne, in: Elenchos 30, 2009, 293–327 – Se per Platone 9⁄7 no è un rapporto epimore, in: Elenchos 31, 2010, 319–330 – / Lang, Jörn: Théon de Smyrne, in: Goulet, Richard (Hg.): Dictionnaire des philosophes antiques, Bd. VI. Paris 2016, 1016–1028 Radke, Gyburg: Die Theorie der Zahl im Platonismus. Tübingen 2003 Simeoni, Luca: Teone di Smirne e le science esatte, in: Elenchos 21, 2000, 271–302 Smyly, Josiah Gilbart: Notes on Theon of Smyrna, in: Hermathena 14, 1907, 261–279

Weiterführende Literatur

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Sojer, Claudia: Un codice dimenticato di Nicomaco di Gerasa, riscritto su testi innografici e sul Commento a Giovanni di Cirillo di Alexandria, in: Nea Rhome 8, 2011, 199–217 Szabó, Árpád: Anfänge der griechischen Mathematik. München / Wien 1969 (spez. 272–274 zu Theons Leiter) – Das geozentrische Weltbild. Astronomie, Geographie und Mathematik der Griechen. München 1992 Tannery, Paul: Sur Théon de Smyrne, in: Revue de Philologie 18, 1894, 145–152 (wieder in Tannery 1912, 455–465 Nr. 55) – Sur un passage de Théon des Smyrne, in: Revue de Philologie 19, 1895, 67–69 (wieder in Tannery 1912, 466–469 Nr. 56) – Mémoires scientifiques, Bd. II: Sciences exactes de l’antiquité 1883–1898 II, Toulouse / Paris 1912 Tarrant, Harold: Thrasyllan Platonism. Ithaca / London 1993 (spez. 59–72) Vedova, George Clarence: Notes on Theon of Smyrna, in: American Mathematical Monthly 58, 1951, 675–683 von Fritz, Kurt: Theon (14), in: Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, Bd. V A 2. Stuttgart 1934, 2067–2075 Vogel, Kurt: Zur Geschichte der Stammbrüche und der aufsteigenden Kettenbrüche, in: Sudhoffs Archiv 66, 1982, 1–19

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Anhang

Von Theon genannte Autoren Adrastos von Aphrodisias, peripatetischer Philosoph (2. Jh. n. Chr.) Alexandros von Aitolien, gelehrter Dichter (4./3. Jh. v. Chr.) Anaximandros von Milet, vorsokratischer Philosoph (um 610 – 547 v. Chr.) Anaximenes von Milet, vorsokratischer Philosoph (um 585 – vor 524 v. Chr.) Aratos von Soloi, gelehrter Dichter (um 310 – 245 v. Chr.) Archimedes von Syrakus, Mathematiker und Ingenieur (um 287 – 212 v. Chr.) Archytas von Tarent, pythagoreischer Philosoph (5./4. Jh. v. Chr.) Aristoteles von Stageira, bedeutender Philosoph (384–322 v. Chr.), Begründer der Schule der Peripatetiker Aristoxenos von Tarent, Philosoph und Musiktheoretiker (4. Jh. v. Chr.) Demosthenes von Athen, Redner und Politiker (384–322 v. Chr.) Derkyl(l)ides, platonischer Philosoph (1. Jh. n. Chr.) Dikaiarchos von Messene, peripatetischer Philosoph (4./3. Jh. v. Chr.) Empedokles von Akragas (Agrigent), vorsokratischer Philosoph (um 495 – um 435 v. Chr.) Eratosthenes von Kyrene, Mathematiker und Geograph (276–194 v. Chr.) Euandros, nur bei Theon (II 47) und nur für einen orphischen (?) Text genannt Eudemos von Rhodos, peripatetischer Philosoph (um 370 – um 300 v. Chr.) Eudoxos von Knidos, Mathematiker und Astronom (4. Jh. v. Chr.) Euripides von Salamis, Tragödiendichter (5. Jh. v. Chr.) Herophilos von Chalkedon, Arzt und Anatom (um 325 – um 255 v. Chr.) Hesiodos von Askra, Dichter (7. Jh. v. Chr.) Hipparchos von Nikaia, Astronom und Geograph (um 190 – um 120 v. Chr.) Hippasos von Metapontion, pythagoreischer Philosoph (um 530 – um 450 v. Chr.) Ibykos von Rhegion, Dichter (6. Jh. v. Chr.) Kallippos von Kyzikos, Astronom und Mathematiker (4. Jh. v. Chr.) Lasos von Hermione, Dichter und Musiktheoretiker (6. Jh. v. Chr.) Lysias von Athen, Redner (um 445 – um 380 v. Chr.) Menaichmos, Mathematiker (frühes 4. Jh. v. Chr.) Oinopides von Chios, Mathematiker und Astronom (5. Jh. v. Chr.) Orpheus, mythischer Sänger, Gründungsfigur der Orphiker (6./5. Jh. v. Chr.) Peripatetiker s. Aristoteles Philolaos von Kroton, pythagoreischer Philosoph (5. Jh. v. Chr.) Platon von Athen, bedeutender Philosoph (428/7 – 348/7 v. Chr.) Poseidonios von Apameia, Universalgelehrter (135–51 v. Chr.) Pythagoras von Samos, Philosoph und Mathematiker (6. Jh. v. Chr.) Thales von Milet, vorsokratischer Philosoph (624/3 – vor 544 v. Chr.) Thrasyllos, Tiberius Claudius Thrasyllos, Philosoph, astrologischer Berater des römischen Kaisers Tiberius (s. die Einführung S. 9) Timotheos, nur bei Theon (II 47) und nur für ein Sprichwort genannter Autor

Register

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Register Adrastos 9, 105, 121– 123, 129, 145, 149, 197, 199, 203, 219, 231, 255–259, 263–265, 269, 273, 285, 333, 350 Agamemnon 27 Alexandros von Aitolien 247, 249, 346, 350 anapodismos 321–325 Anaximandros 335, 346, 350 Anaximenes 335, 346, 350 Aratos 255, 346, 350 Archimedes 225, 229, 350 Archytas 51–53, 121, 195, 346, 350 Aristoteles 53, 143, 303–305, 319, 339, 346, 350 Aristoxenos 111–113, 129, 133, 346, 350 Blavatsky, Helena 19 Chromatik 113 Codex Marcianus 16–17 Deferent 14–15, 319 Dekade 195 Demosthenes 143, 350 Derkyl(l)ides 333, 346, 350 Diatonik 111 diësis 113–119 Dikaiarchos 227, 350 Dyade 187 Doppeloktave s. Oktave Eins und Monade 47–49 Empedokles 41, 193, 261, 346, 350 Enharmonik 113 Enneade 195 epimeres-Verhältnis 151 –155 epimorios-Verhältnis 149–151 Epinomis 15, 23–25, 31–33, 161, 301, 346 Epizykel 14–15, 269, 279–297, 301, 307, 311–313, 317–325, 339 Eratosthenes 23, 157–161, 195–199, 205, 225–227, 251, 346, 350

Erde s. Kugelform der Erde Esoterik 19 Euandros 195, 350 Eudemos 335, 350 Euripides 103, 255, 346, 350 Exzenter s. Planetenbewegung Fixstern 239; 231, 247–251, 257–263, 275–277, 281, 303–313, 319, 325 Ganzton 109, 131–139 geozentrisches Weltbild 13–15 gerade Zahl 53–55, 59–67 Hadrian 10 Halbton 111, 137–139 Harmonie 103–109 Hebdomade 191–193 Herophilos 193, 350 Hesiodos 33, 350 heteromekes-Zahl 61–67 Hexade 191 Hiller, Eduard 16–18 Hipparchos 285, 313, 317, 327, 333, 339, 350 Hippasos 119, 346, 350 Horizont 235 hypate 13, 103, 127, 141 Ibykos 255, 346, 350 Inschrift aus Smyrna 10, 346 Intervall 103–109, 157 Kallippos 303–305, 339, 350 kanon (Monochord) 13, 117–119, 137, 167–171, 175 Konsonanz 105–109 Kugel (Sphäre) s. Planeten Kugelform der Erde 221–229 Leier 13, 103, 107, 129, 141, 247–251 leimma 135–137, 165 logos 143 und passim Menaichmos 339, 350 Meridian 237–239 mese 13, 103, 127, 141 Merkur s. Planeten

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Anhang

Mittelwert 65–67, 161–163, 197, 209–217 Monade 47–49, 185–187 und passim Mond 259–261 Mondfinsternis 327–333 Monochord s. kanon nete 13, 103, 127, 141 Nikomachos von Gerasa 9, 346 Ogdoade 193–195 Oinopides 335, 346, 350 Oktave 115–119, 127, 141 Orpheus, Orphika 193–195, 350 Palamedes 27 Pamphylion 251–255 Parallelkreis 231–233 Pentade 189 Peripatetiker s. Aristoteles Phänomene s. Rettung der Phänomene Philippos von Opus s. Epinomis Philolaos 37, 51, 195, 346, 350 Planeten, Planetenbewegung 233–235, 241–251, 263–301 Planudes 12, 346 Platon 9, 15–16, 23–45, 51, 101, 113, 129–135, 143, 161, 179, 193, 251, 255–257, 263, 277, 301, 319, 333, 337–339, 343, 346, 350; s. auch Epinomis Poseidonios 193, 346, 350 Primzahl 55–57 prohegesis 321–325 Proportion 145, 159–163, 197–203, 209–217 Ptolemaios 9–10, 15 Pythagoras, Pythagoreer 29, 37, 47, 49, 99–101, 105, 113–119, 177, 185, 191, 213, 247, 255, 263, 346, 350

Quadratzahl 61–67, 85 Quarte und Quinte 115–119, 127, 141 Rettung der Phänomene 14–15, 263, 273, 277, 299, 305, 348 schleifenförmige Bewegung 341–343 Sirius 255 Sonne s. Planeten Sonnenfinsternis 327–333 Sphäre s. Planetenbewegung Stammbruch 12 Smyrna 10, 346 tasis 13, 105 Tetrade 189 tetraktys 175–185 Thales 335, 346, 350 Theon von Alexandreia 10, 346 Theon von Smyrna – Büste 10–11 Theon von Smyrna – Werke 8–9 Theons Leiter 7–8, 95–97 Thrasyllos 9, 103, 105, 163, 167, 175, 343, 350 Tierkreis 233–235, 239 Timotheos 195, 350 Ton 103, 121–123; s. auch Ganzton, Halbton Triade 187–189 ungerade Zahl 53–55, 59 unzusammengesetzte Zahl s. Primzahl Venus s. Planeten Vieleckzahl 69–93 Viereckzahl s. hereromekes-Zahl, Quadratzahl vollkommene Zahl 97–99 Wert 145–149 und passim Wurzel aus 2 s. Theons Leiter Zentralkreis s. Deferent Zodiakos s. Tierkreis

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Edition Antike Herausgegeben von Thomas Baier, Kai Brodersen und Martin Hose Die Edition Antike bietet zweisprachige Leseausgaben wichtiger Texte der antiken Literatur mit modernen Übersetzungen und in einer zeitgemäßen Ausstattung. Autoren und Werke werden eingangs kurz vorgestellt. Ein knapper Sachkommentar am Ende des Bandes erleichtert die Lektüre und das Verständnis der Texte. Thomas Baier ist Professor für Klassische Philologie (Latinistik) an der LudwigMaximilians-Universität Würzburg. Kai Brodersen ist Professor für Antike Kultur an der Universität Erfurt und Senior Fellow am Alfried Krupp Wissenschaftskolleg in Greifswald. Martin Hose ist Professor für Klassische Philologie (Gräzistik) an der LudwigMaximilians-Universität München. Umschlaggestaltung: Peter Lohse, Heppenheim

»Damit diejenigen, die in der Mathematik ungeübt sind und die den Wunsch haben, Platons Schriften zu lesen, nicht auf die Erfüllung dieses Wunsches verzichten müssen, wollen wir eine kompakte Darstellung der notwendigen Kenntnisse bieten.« So führt Theon von Smyrna sein Werk Mathematik für die Platonlektüre ein. Die zweisprachige Ausgabe, in der die erste deutsche Übersetzung des Werkes überhaupt präsentiert wird, ermöglicht allen Interessierten einen ebenso authentischen wie originellen Zugang zu Platon und zur Geschichte der antiken Wissenschaften.

wbg-wissenverbindet.de ISBN 978-3-534-27334-8

EDITION ANTIKE

9:58 Uhr

Mathematik

19.01.2021

Theon von Smyrna

53427334_(27334-8)_Theon von Smyrna_RZ_neu_19-1:EditionAntike

Theon von Smyrna

mathematik für die Platonlektüre Altgriechisch/Deutsch

Theon von Smyrna war ein griechischer Platoniker, Mathematiker und Astronom aus Smyrna, dem heutigen İzmir. Von seinen Schriften ist nur das vorliegende Werk erhalten. Zahlen, Töne und Sterne sind laut Theon in mathematischen Verhältnissen harmonisch miteinander verbunden. Deshalb erklärt er didaktisch geschickt und weit über Platon hinausgehend die allgemeinen Grundlagen des antiken Wissens über Arithmetik, Musiktheorie und Astronomie.