Statistikfälle im Betrieb [1. Aufl.] 978-3-409-27020-5;978-3-663-05181-7
538 41 9MB
German Pages 164 [162] Year 1983
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Table of contents :
Front Matter ....Pages 1-9
Technik der praktischen Statistik (Erwin Südfeld)....Pages 11-20
Statistische Maßzahlen (Kurt Scharnbacher)....Pages 21-35
Indextheorie (Erwin Südfeld)....Pages 36-48
Zeitreihenanalyse (Kurt Scharnbacher)....Pages 49-67
Regressions- und Korrelations-Rechnung (Ingo Isenhardt)....Pages 68-87
Prognoserechnung (J. Arweiler)....Pages 88-108
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Jürgen Lehmann)....Pages 109-121
Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Gustav Kastner)....Pages 122-136
Schätztheorie und Vertrauensbereiche (Josef Puhani)....Pages 137-148
Hypothesenprüfung (Detlef Pagels)....Pages 149-163
Back Matter ....Pages 164-164
Citation preview
Kurt Scharnbacher (Hrsg.) . Statistikfälle im Betrieb
Prof. Dr. Kurt Scharnbacher (Hrsg.)
Statistikfälle im Betrieb
GABLER
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Statistikfälle im Betrieb/Kurt Scharnbacher (Hrsg.). - Wiesbaden: Gabler, 1983 NE: Scharnbacher, Kurt [Hrsg.]
© Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1983
Umschlaggestaltung: Horst Koblitz, Wiesbaden Satz: Satzstudio R.-E. Schulz, 6072 Dreieich Alle Rechte vorbehalten. Auch die fotomechanische Vervielfältigung des Werkes (Fotokopie, Mikrokopie) oder von Teilen daraus bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlages. ISBN 978-3-663-05182-4 ISBN 978-3-663-05181-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-05181-7
Vorwort Die Bedeutung der Statistik im Gesellschafts- und Wirtschaftsleben ist unbestritten. Weltwirtschaftliche und gesamtwirtschaftliche Beziehungen, Wirkungszusammenhänge und Ursachen werden statistisch untersucht und statistisch untermauerte Meinungen in die Öffentlichkeit getragen. Umso erstaunlicher ist es, daß sich im betrieblichen Bereich, auf der unteren und mittleren Managementebene, die Statistik noch nicht vollständig durchgesetzt hat. Eine Ursache ist mit Sicherheit darin zu suchen, daß gerade diese Ebenen mit der Datenbeschaffung "belästigt" werden und dadurch eine gewisse Skepsis gegen die Statistik entsteht. Das vorliegende Buch hat zum Ziel, die wichtigsten statistischen Methoden aufzuzeigen und ihre betriebliche Anwendung zu demonstrieren. Die hier dargestellten Fälle und Beispiele entstammen alle der Praxis und wurden in der hier dargestellten oder in ähnlicher Form in Betrieben zur Entscheidungsfindung herangezogen. Dadurch ist das Buch für alle Bereiche wirtschaftlicher Ausbildung geeignet und sollte als ergänzende Lektüre flir Studenten wirtschaftlicher Fachrichtungen an Universitäten und Fachhochschulen und flir Studierende an wirtschaftlich orientierten Fachschulen herangezogen werden. Dabei sollte das Buch nicht nur dem Gebiet "Statistik" zugeordnet werden, es gehört ebenso in das Gebiet "Management", wenn es um quantitative Analysen geht. Dies ist auch der Grund dafür, daß es nicht nur in der Ausbildung angewandt werden kann; das Buch ist ebenfalls flir alle Praktiker geeignet, die nachvollziehen wollen, wie die Statistik in der Entscheidungsfindung eingesetzt wird.
Kurt Scharnbacher
Autoren
Prof. Dr. Jürgen Arweiler, Fachhochschule des Landes Rheinland-Pfalz, Abteilung Trier, Fachbereich Betriebswirtschaft Prof. Ingo Isenhardt, Fachhochschule des Landes Rheinland-Pfalz, Abteilung Mainz 11, Wirtschaftswissenschaften Prof. Gustav Kastner, Fachhochschule des Landes Rheinland-Pfalz, Abteilung Mainz 11, Wirtschaftswissenschaften Prof. Jürgen Lehmann, Fachhochschule Würzburg, Ausbildungsrichtung Wirtschaft Prof. Detlef Pagels, Fachhochschule Wiesbaden, Fachbereich Wirtschaft Prof. Dr. Josef Puhani, Fachhochschule des Landes Rheinland-Pfalz, Abteilung Ludwigshafen, Fachbereich Betriebswirtschaft Prof. Dr. Kurt Scharnbacher, Fachhochschule des Landes Rheinland-Pfalz, Abteilung Mainz 11, Wirtschaftswissenschaften Regierungsrat Diplom-Ökonom Erwin Südfeld, Statistisches Bundesamt Wiesbaden, Lehrbeauftragter der FH Mainz 11
Inhaltsverzeichnis
ODR DipL-Öko Erwin Süd/eid Technik der praktischen Statistik Fall I: Personalplanung (Grundbegriffe) Fall 11: Umsatzchancen (Erhebungsarten) Fall III: Tennisanlagen (Merkmale/Häufigkeiten) Fall IV: Stundenlöhne (Klassenbildung) Fall V: Touristik (Tabelle; Stab- und Kreisdiagramm) Fall VI: Eishändler (Histogramm/Häufigkeitspolygon; Summenhäufigkeit; Konzentrationskurve) 0
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Prof. Dro Kurt Schambacher Statistische Maßzahlen Fall I: Lebensmittelgroßmarkt (Arithmetisches-, geometrische Mittel; Kenno. zahlen) Fall 11: Großhandelsgeschäft (Arithmetisches-, geometrisches-, harmonisches Mittel; Median) Fall III: Bundesschatzbriefe (geometrisches Mittel) o. Fall IV: Fehlerhäufigkeit (Quartile, Median) . Fall V: Arbeitsausfall (Mittelwerte, Standardabweichung, Variationskoeffizient) Fall VI: Leistungsvergleich (Mittelwerte; Abweichungen) o. 0
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ORR DipL -Öko Erwin Süd/eid Indextheorie Fall I: Preisentwicklung (Index nach Laspeyres) Fall 11: Handelsagentur (Index nach Laspeyres und Paasche) Fall III: Tierbehausungen (Preisbereinigung) Fall IV: Eisenwaren (Umbasieren) Fall V: Vertragsklausel (Preisindex der Lebenshaltung) Fall VI: Wiederbeschaffungswert (Indexpunkte ) Fall VII: Aktienindex (Index nach Laspeyres) . Fall VIII: Terms ofTrade (Index nach Paasche) 0
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Prof. Dro Kurt Schambacher Zeitreihenanalyse Fall I: Herstellmengen (Trend, gleitende Durchschnitte) Fall 11: Umsatzanalyse (Linearer Trend, Saison) 0
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Fall III: Fall IV: Fall V: Fall VI:
Marktanteile (Exponentieller-, parabolischer Trend; Grad der Anpassung; Gesamtmarkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verbrauchsmengenanalyse (linearer Trend; zyklische Komponente) ... . Jahresumsätze (Saisonanalyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jahresumsatzanalyse (Komponenten der Zeitreihe) ............. .
54 58 61
63
Prof. Ingo Isenhardt Regressions- und Korrelationsrechnung Fall I: Angemessene Löhne (Lineare Einfachregression; Regressionskoeffizient nach Bravais-Pearson; Bestimmtheitsmaß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fall 11: Produktivitätsvergleich (Zwei Regressionsfunktionen; Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall III: Wiederbeschaffungszeitpunkt (Nichtlineare Einfachregression) ....... Fall IV: Absatz und Kaufkraft (Rangkorrelation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall V: Umsatz und Vertriebskosten (Rangkorrelation; Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68 75 80 83
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Prof. Dr. Jürgen Arweiler Prognoserechnung Fall I: Absatz und Bruttosozialprodukt (Regressions- und Trendprognose) 88 Fall 11: Umsatz und Bruttoeinkommen (Regressions- und Trendprognose) 90 Fall III: Umsatz und Abnehmerzahl (Regressions- und Trendprognose) ....... 92 Fall IV: Umsatz und Produktion der Abnehmer (Trendprognose) ... . . . . . . .. 94 Fall V: Kurzfristige Umsatzanalyse (Lineares- und Nichtlineares Regressionsmodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Fall VI: Umsatz und Auftragseingang (Trendprognose und Regressionsrechnung) 98 Fall VII: Kostenfunktion und Kostenprognose (Trendprognose) ............ 101 Fall VIII: Auftragseingänge (Exponentielle Glättung) .......... . . . . . . . . .. 104
Prof. Jürgen Lehmann Wahrscheinlichkeitsrechnung Fall I: Tourenpläne (Kombinatorik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall 11: Arbeitsfähigkeit bei Krankheitsfällen (Kombinatorik; Additions- und Multiplikationssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall III: Funktionstüchtigkeit eines Geräts (Additions- und Multiplikationssatz) Fall IV: Versicherung verbundener Leben (Multiplikationssatz rur unabhängige Ereignisse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall V: Fehlerhafte Produktionseinheiten (Additionssatz flir sich ausschließende Ereignisse; Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse) . . . . . . . . .. Fall VI: Absatzanalyse (Additionssatz rur sich nicht ausschließende Ereignisse; Multiplikationssatz fiir unabhängige Ereignisse) . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall VII: Ausschußwahrscheinlichkeiten mehrerer Maschinen (Totale Wahrscheinlichkeit; Theorem von Bayes) .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
8
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115 117 119
Prof. Gustav Kastner Wahrscheinlichkeitsverteilungen Fall I: Arbeitsfähigkeit (Binominalverteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fehlerkontrolle (Hypergeometrische Verteilung) ................ Fall 11: Fall II1: Fehlbuchungen (Poissonverteilung) ......................... Fall IV: Produktionskapazität (Allgemeine Verteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fall V: Massenproduktion und Toleranzkontrolle (Normalverteilung) .......
122 126 126 127 132
Prof. Dr. lose! Puhani Schätztheorie und Vertrauensbereiche Fall I: Gummibären (Erwartungswert und Varianz des Stichprobenanteils) Fall 11: Schätzfunktionen (Stichprobenmittelwert, Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fall II1: Gartenteich (Maximum-Likelihood-Methode) .................. Fall IV: Durchmesserkontrolle (Vertrauensbereiche für Mittelwerte) ......... Fall V: Durchmesserkontrolle (Vertrauensbereich für die Varianz) . . . . . . . . .. Fall VI: Nettorente (Stichprobenumfang) .......................... Fall VII: Nettoeinkommen (Stichprobenumfang) ...................... Fall VIII: Massenfertigung (Zulässige Standardabweichung) ............. . .. Fall IX: KontokorrentkontroIle (Vertrauensbereiche für Anteile; Stichprobenumfang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137 138 141 141 144 145 146 146 147
Prof. Detle! Pagels Hypothesenprüfung Fall I: Eindringtiefe eines Holzschutzmittels (Heterograder Fall; einseitige Fragestellung; u bekannt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fall 11: Liefernonn für Prombretter (Heterograder Fall; ein- und zweiseitige Fragestellung; u unbekannt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall III: Preisakzeptanz (Heterograder Fall; einseitige Fragestellung; u unbekannt) Fall IV: Zufriedenheit mit Urlaubsbedingungen (Homograder Fall; zweiseitige Fragestellung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall V: Etikettengestaltung (Differenz von Mittelwerten; Ul und U2 unbekannt und ungleich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fall VI: Anzeigenwirkung (Differenz von Anteilswerten) ................
149 152 154 156 158 161
9
RR Dipl-Ök Erwin Südfeld
Technik der praktischen Statistik Fall I: Personalplanung Ein Unternehmen will seine Personalplanung verbessern. Der Assistent der Geschäftsleitung wird zu diesem Zweck beauftragt, Daten über alle Beschäftigten zusammenzutragen, die sich u.a. auf das Alter, das Geschlecht, die Stellung im Unternehmen, die Dauer der Unternehmenszugehörigkeit und das Gehalt beziehen sollen. Da der Assistent erst vor kurzem einen Statistikkurs besucht hat, will er die Angelegenheit ganz systematisch angehen. Er überlegt im einzelnen Wer ist das Objekt der statistischen Untersuchung? Wer rechnet zur statistischen Gesamtheit? Welche Merkmale sollen erfaßt werden? Welche dieser Merkmale sind quantitativ, welche qualitativ? Welches sind mögliche Ausprägungen dieser Merkmale? Lösung zu Fall I: 1. Objekt der statistischen Untersuchung
Der einzelne Beschäftigte des Unternehmens
2. Statistische Gesamtheit
Alle Beschäftigten des Unternehmens
3. Merkmale
Alter, Geschlecht, Stellung im Unternehmen, Dauer der Unternehmenszugehörigkeit, Gehalt
4. Qualitative Merkmale
Geschlecht, Stellung im Unternehmen
s.
Quantitative Merkmale
Alter, Dauer der Unternehmenszugehörigkeit, Gehalt
Mögliche Merkmalsausprägungen
Geschlecht: z.B. weiblich Stellung im Unternehmen: z.B. Lehrling Alter: z.B. 38 Jahre Dauer der Unternehmenszugehörigkeit: z.B. 10 Jahre Gehalt: z.B. 3 000 DM
Fall 11: Umsatzchancen Der Absatzleiter soll die Umsatzchancen seines Unternehmens, das in der Konsumgüterbranche tätig ist, ermitteln. Um die notwendigen Informationen zu beschaffen, entwickelt er drei Alternativen: 11
- Befragung ausgewählter Einzelhändler durch Interviewer eines Marktforschungsunternehmens (Alternative I) Befragung der Einzelhändler, die mit Produkten des Unternehmens beliefert werden, mittels eines vom Absatzleiter zu entwickelnden Fragebogens (Alternative 11) Auswertung von Unterlagen über die belieferten Einzelhändler in der Absatzabteilung des Unternehmens (Alternative III). Zur Verbesserung der Übersicht über die Alternativen stellt er diese in einer Tabelle dar und klassifIZiert sie nach typischen erhebungsbezogenen Merkmalen. Lösung zu Fall 11:
~ verfahren
Alternative I
Alternative 11
Alternative III
Primärstatistik
Primärstatistik
Sekundärstatistik
Teilerhebung
Vollerhebung
Vollerhebung
3. Werden die Einheiten mündlich oder schriftlich befragt?
mündlich
schriftlich
-
4. Wird die Erhebung vom Datennutzer oder im Auftrag durchgeführt?
Auftragserhebung
Eigenerhebung
Eigenerhebung
Klassifikationsmerkmale
1. Müssen die Angaben eigens
erhoben werden (Primärstatistik) oder kann auf vorliegendes Material zurückgegriffen werden (Sekundärstatistik)? 2. Werden alle Einheiten,
die von Interesse sind, erfaßt (Vollerhebung) oder nur ein Teil (Teilerhebung)?
Klassifikation der Erhebungsverfahren
Fall III: Tennisanlagen Ein Tennisanlagenbauunternehmen hat im letzten Geschäftsjahr 25 Tennisanlagen unterschiedlicher Größe erstellt. Darunter waren Anlagen mit einem, zwei, drei, vier, fünf und sechs Tennisplätzen. Dem Vorstandsassistenten liegt das folgende Zahlenmaterial über die erstellten Tennisanlagen, jeweils nach der Zahl der Tennisplätze, vor:
1 3 643 123 4 12
4 I 223
2 1 I 3 5
3 1 245
Der Vorstandsassistent überlegt, was im vorliegenden Fall das Untersuchungsobjekt ist, welches Merkmal betrachtet wird und welche Ausprägungen dieses Merkmal aufweist. Er will das vorliegende Zahlenmaterial übersichtlicher darstellen. Er bedient sich zunächst des Mittels der Strichliste. Die Strichliste erscheint dem Vorstandsassistenten zwar übersichtlicher als das ungeordnete Urmaterial; er sieht jedoch die immer wieder notwendige Auszählung der Häufigkeiten als umständlich an. Deshalb überführt er die Strichliste in eine Häufigkeitstabelle. Lösung zu Fall III: Untersuchungsobjekt: Merkmal: Merkmalsausprägungen: Zahl der Tennisplätze je Tennisanlage
Tennisanlage(n) Zahl der Tennisplätze (je Tennisanlage)
1,2,3,4,5,6
(Tennisplätze) Häufigkeit (f)
Ein Zwei Drei Vier
1111
Fünf
11
Sechs
Strichliste Zahl der Tennisplätze je Tennisanlage
Häufigkeit (f)
Ein
7
Zwei
S
Drei
6
Vier
4
Fünf
2
Sechs
1
Insgesamt
2S
Häufigkeitstabelle
Fall IV: Stundenlöhne In der Produktionsabteilung eines Gaststättenausbauunternehmens werden den dort beschäftigten 20 Mitarbeiter die nachstehenden Stundenlöhne (in DM) gezahlt: 13
14,26 11,63 13,12 12,68 10,87
12,17 12,93 11,82 11,47 13,21
13,45 13,33 10,94 10,83 14,03
11,20 15,01 12,21 11,85 14,67
13,22 12,25 11,53 12,37 12,69
11,83 13,91 12,16 11,81 14,62
Um eine bessere Übersicht über das Datenmaterial zu erhalten, ordnet ein Sachbearbeiter die Stundenlöhne zunächst in einer Rangliste. Dabei sieht er, daß er eine noch bessere Übersichtlichkeit des Materials erreicht, wenn er Klassen bildet. Gegenüber seinem Geschäftsführer muß er die Zweckmäßigkeit der von ihm gebildeten Klassen begründen.
Lösung zu Fall IV:
10,83 11,63 12,17 12,93 13,91 Rangliste
10,87 11,81 12,21 13,12 14,03
Löhne von .......... bis unter .......... DM
10,94 11,82 12,25 13,21 14,26
11,30 11,83 12,37 13,22 14,62
11,53 12,16 12,69 13,45 15,01
11,47 11,85 12,68 13,33 14,67
Häufigkeit (f)
--
10,50 - 11,00
3
11,00 - 11,50
2
11,50 - 12,00
6
12,00 - 12,50
5
12,50 - 13,00
3
13,00 - 13,50
5
13,50 - 14,00
1
14,00 - 14,50
2
14,50 - 15,00
2
15,00 - 15,50
1
Insgesamt
Klassifizierte Daten 14
30
Begründung der Klassenbildung: Grundsätzlich ist zwischen dem Gewinn an Übersichtlichkeit und dem Verlust an Information durch Klassenbildung ein Ausgleich zu schaffen. Faustregel: Je nach Materialumfang sollte die Zahl der Klassen zwischen zehn und zwanzig liegen; jede Klasse sollte möglichst besetzt sein; die Klassenmitte sollte auf eine ganze Zahl fallen. Fall V: Touristik 1. Die Sachbearbeiterin eines Touristikunternehmens soll für eine Diskussion in der Geschäftsleitung eine Tabelle erstellen, in der die Europareisen nachgewiesen werden, die das Unternehmen im Jahr 1981 veranstaltet hat. Neben der Zahl der Reisen sollen auch die Reiseteilnehmerzahlen sowie der erzielte Umsatz in Tsd. DM,jeweils absolut und prozentual, dargestellt werden. Reise-, Teilnehmer- und Umsatzzahlen sind nach Ländern (österreich, Italien, Spanien, Jugoslawien, Frankreich, Sonstige) aufzugliedern; außerdem soll jeweils eine Insgesamtposition ausgewiesen werden. 2. Die Sachbearbeiterin möchte zur Illustration den nach Reiseländern aufgegliederten Umsatz in Tsd.· DM in einem Stabdiagramm darstellen. Außerdem überlegt sie, daß die Geschäftsleitung über eine Darstellung der Teilnehmerzahl nach Reiseländern in Form eines Kreisdiagramms sehr schnell einen überblick über die Verteilung auf die einzelnen Reiseländer erhalten könnte. Sie kann bei ihren Arbeiten von den nachstehenden Daten ausgehen. Italien
Spanien
800
600
400
200
100
100
1000
500
250
100
100
50
Österreich Umsatz in Tsd. DM Teilnehmer
Jugoslawien Frankreich
Sonstige
Lösungen zu Fall V: Länder
-~ abo.
I
%
2
abo.
3
%
4
abo.
S
%
6
Insgesamt I
Österreich
Italien
Spanien
2
3
4
Jugoslawien Frankreich S
6
Sonstige 7
Reisen
Teilnehmer
Umsatz in Tod. DM
1. Europareisen im Jahr 1981 15
Umsatz in Tsd. DM
800 700 600 500 400
300 200 100
Österreich
Italien
Spanien
Jugoslawien
I
Frankreich
I
Sonstige
2_ Stabdiagramm: Umsatz
Italien
österreich
Sonstige
Kreisdiagramm: Teilnehmer
Fall VI: Eishändler L Ein Unternehmen, das Eis produziert, liefert seine Produkte u_a_ an 50 Eishändler, die für folgende Beträge im Juni 1982 Produkte bei ihm abgenommen haben_ 16
Eisabnahmen von ... bis unter ... DM 0- 1000
Zahl der Eishändler
Eisabnahmen in Tsd. DM
2
1,2
1000 -
2000
4
6,5
2000 -
3000
5
7,2
3000 -
4000
6
20,5
4000 -
5000
6
25,5
5000 -
6000
7
37,0
6000 -
7000
5
31,0
7000 -
8000
6
43,1
8000 -
9000
5
41,0
9000 -10000
4
37,0
Insgesamt
50
250,0
Der Assistent des Abteilungsleiters möchte für seinen Chef die Zahl der Eishändler in einem Histogramm darstellen. Um den Verteilungstyp noch deutlicher herauszuarbei· ten, zeichnet er zudem das Häufigkeitspolygon ein. 2. Als der Assistent seinem Abteilungsleiter das Histogramm und das Häufigkeitspolygon vorlegt, wird er von diesem gefragt, wieviele der Eishändler im Juni 1982 für weniger als 5 000 DM Eis bezogen haben. Der Assistent entwickelt daraufhin für das Datenmaterial eine Summenhäufigkeitsverteilung und eine Summenkurve. 3. Der Assistent taucht mit stolz geschwellter Brust ob seiner fundierten statistisch-methodischen Kenntnisse erneut bei seinem Abteilungsleiter auf. Da überrascht ihn dieser mit der unangenehmen Fragestellung, ob er (der Assistent) ihm (dem Abteilungsleiter) denn auch sagen könne, wieviel Prozent der wertmäßigen Eisabnahme auf die ersten 30 Prozent der Eishändler mit den geringsten Eisabnarnnen entfallen? Der Assistent setzt sich erneut hin und verfällt nach längerem Brüten auf die Idee, daß er mit einer Konzentrationskurve seinem Abteilungsleiter Rede und Antwort stehen könnte. Auf der Basis der vorliegenden Angaben stellt er seine Berechnungen an.
17
Lösung zu Fall VI: Zahl der Eishändler
7 6
5 4
3 2
o
2
3
4
6
5
7
8
9
10
Eisabnahmegrößenklassen in Tsd. DM
1_ Histogramm und Häufigkeitspolygon
Eisabnahmen von .. _bis unter _ .. DM
Zahl der Eishändler
kumulierte Zahl der Eishändler
2
2
2000
4
6
2000- 3000
5
11
3000 -
4000
6
17
4000 -
5000
6
23
5000 -
6000
7
30
6000 -
7000
5
35
7000 -
8000
6
41
8000 -
9000
5
46
9000 - 10000
4
50
Insgesamt
50
-
0- 1000 1000 -
2_ Summenhäufigkeitsverteilung 18
kumulierte Zahl der Eishändler
50 45
40 35
30
25 20 15 10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Eisabnahmegrößen· klassen in Tsd. DM
Summenkurve
23 Eishändler haben im Juni 1982 für weniger als 5000 DM Eis abgenommen.
Eisabnahmen von ..... bis unter
..... DM 0- 1000
Zahl der Eishändler
kumulierte
prozentuierte
Zahl der Eishändler
kumulierte Zahl der Eishändler
Eisabnahmen in Tsd. DM
kumulierte
Eisabnahmen in Tsd. DM
I
prozentuiene kumulierte Eisabnahmen
2
2
4,0
1,2
1,2
1000 -
2000
4
6
12,0
6,5
7,7
0,6 3,1
2000 -
3000
5
11
22,0
7,2
14,9
6,0
3000 -
4000
6
17
34,0
20,S
35,4
14,2
4000 -
S 000
6
23
46,0
2S,S
60,9
24,4
SOOO -
6000
7
30
60,0
37,0
97,9
39,2
6000- 7000
S
3S
70,0
31,0
128,9
Sl,6
7000
68,8
8000
6
41
82,0
43,1
172,0
8000- 9000
S
46
92,0
41,0
213,0
8S,2
9000 - 10000
4
SO
100,0
37,0
250,0
100,0
Insgesamt
SO
-
-
--
-
250,0
3. Konzentrationstabelle 19
1 ..
Eishändler in % Konzentrationskurve Nachdem der Assistent die Konzentrationskurve erstellt hat, kann er seinem Abteilungsleiter auch die gewünschte Antwort geben. Danach vereinigen die ersten 30 Prozent der Eishändler 11,5 Prozent der Eisabnahmen auf sich.
Literatur: Isenbart, Fritz: Statistik für Betriebswirte, Wiesbaden 1977 Scharnbacher, Kurt: Statistik im Betrieb, 4. Aufl., Wiesbaden 1982 Wagenführ , Rolf: Statistik leicht gemacht, Bd. I, Köln 1971
20
Prof. Dr. Kurt Schambacher
Statistische Maßzahlen Fall I: Lebensmittelgroßmarkt
Ein Lebensmittelgroßmarkt möchte seine Ergebnisse durch statistische Maßzahlen analysieren. Dabei steht besonders die Marktleistung, bestehend aus Sachgütern, Dienstleistungen oder Kombinationen davon, sowie die Wachstumsrate des Umsatzes, zerlegt in Preisund Mengenkomponente und die Bedarfsplanung im Vordergrund. Im Einzelnen möchte die Geschäftsleitung folgende Fragen und Problemkomplexe durch Analyse der erzielten Ergebnisse mit Zahlen belegt haben:
1. Die Umsatzsteigerung vom Berichtsjahr (J.7) im Vergleich zum Vorjahr (1.6) war: J.7 12,6 Mio. DM Umsatz (Berichtsjahr) J.6 10,9 Mio. DM Umsatz (Vorjahr) a) Wie groß war die Wachstumsrate des Umsatzes? b) Wie groß war der preisbereinigte Umsatz, wenn im gleichen Zeitraum der Preisindex der Lebenshaltung um 5,8% stieg? c) Wieviel DM der Umsatzsteigerung sind auf die Preissteigerungen zurückzuführen? 2. Der Großmarkt hat im Beobachtungsjahr 124 Beschäftigte. Wie groß ist die preisbereinigte Umsatzleistung je beschäftigter Person? 3. Der Großmarkt ist seit sieben Jahren (einschließlich des Beobachtungsjahres) eröffnet und hatte folgende Jahresumsätze und Wachstumsraten erzielt: Jahr
J.l
J.2
J.3
J.4
J.5
J.6
Umsatz pro Jahr
5,6
7,q
7,4
8,2
9,3
10,9 12,6 Mio.DM
Wachstumsrate
25~ 5,[
i'o;s
13;4
n;s
J.7
i's,~
in %
a) Wie groß war die durchschnittliche Umsatzhöhe pro Jahr? b) Wie groß war die durchschnittliche Wachstumsrate? 4. Für das Jahr 11 soll ein Personalbedarfsplan aufgestellt werden. Preisbereinigt wird der Umsatz mit Hilfe einer Zeitreihenanalyse auf 16,2 Mio. DM im J.ll geschätzt. Die durchschnittliche Umsatzleitstung pro Beschäftigten betrug bisher 95.968 DM; es wird erwartet, daß sich die Personenleistung entsprechend der Umsatzleistung erhöht. Wie groß ist der Personalbedarf in J .11 ? 21
5. Auf Grund der erwarteten Umsatzsteigerung fragt die Geschäftsleitung an, ob auch eine Vergrößerung der Verkaufsfläche in Betracht zu ziehen ist. Folgende Daten sind bekannt: Umsatz je qm Raumfläche 12.000,- DM/Jahr Verkaufsfläche 65% = 35% sonstige Geschäftsfläche Wieviel qm-Verkaufsfläche und sonstige Geschäftsfläche werden fur J.II unter sonst gleichen Verhältnissen der wirtschaftlichen Situation benötigt? 6. Welche kritischen Anmerkungen machen Sie im Hinblick auf die Interpretation der berechneten Werte?
Lösung zu Fall I:
la) Berichtsjahr Vorjahr Umsatzzunahme/Wachstumsrate per Dreisatz
= 12,6 Mio. DM = 10,9 Mio. DM 100% 1,7 Mio.DM '" 15,6% A
I b) Zur Preisbereinigung vgl. auch Kapitel "Indextheorie"! . beremlgter .. Umsatz = 12,6105,8 . 100 = 119M· DM Preis , 10. Ic) Der mengenmäßige Mehrumsatz errechnet sich aus: Preisbereinigter Umsatz - Vorjahresumsatz
= 11,9 Mio. DM 10,9 Mio. DM
mengenmäßiger Mehrumsatz d.h.:
1,0 Mio. DM
auf die Preissteigerung sind 1,7 - 1,0 = 0,7 Mio. DM Mehrumsatz zurückzufuhren.
2.
Berechnung erfolgt über einfaches arithmetisches Mittel:
x:
=
!~~
= 0,095968 Mio. DM
Die durchschnittliche Umsatzhöhe je Beschäftigten betrug 95.968 DM im Jahr 7 preisbereinigt. 3a) Einfaches arithmetisches Mittel:
7
610 x = = 8,7 Mio. DM Der durchschnittliche Umsatz pro Jahr betrug ca. 8,7 Mio. DM. 22
3b) Wachstum ist: q = (1 + I~O) bezogen auf das Wachstum von Jahr zu Jahr. Die Berechnung muß über das geometrische Mittel erfolgen:
~G =
xG d.h.:
4.
V
1,25·1,067·1,108·1,134·1,175·1,156'
= 1,14513
das durchschnittliche Wachstum beträgt 14,51%.
(j) -Mehrumsatz pro Person
Benötigtes Personal
d.h.:
5.
=
= 95968·11451 100' = 109,893 DM
geschätzter Umsatz (preisber.) geschätzter Leistung (preisber.)
im Jahr 11 sollte man mit einer Beschäftigtenzahl von 148 rechnen, wenn die bisherigen Bedingungen gleich bleiben und keine Rationalisierungen eintreten.
Die durchschnittliche Wachstumsrate wird auf die Steigerung Jahresumsatz je qm zu übertragen: 12000·114,51 100 benötigte Geschäftsfläche
13.741,20 DM (ca. 13.741 DM) Jahresumsatz J.11 = ----------------Jahresumsatz J.ll je qm =
6.
16,2 0,013741
benötigte Verkaufsfläche
- 1178,9· 56 100
benötigte sonstige Fläche
= 412,61 qm
1178,9 qm 766,29 qm
Die berechneten Zahlen, speziell unter Punkt 4 und 5 sollten mit einiger Vorsicht interpretiert werden, da sie die Konstanz der wirtschaftlichen Bedingungen voraussetzen und damit davon ausgehen, daß sich die Situation in J .11 im Vergleich zu J.6 nicht ändert. Dies ist aber nicht anzunehmen; es werden sicherlich Rationalisierungen oder andere Einflüsse z.B. konjunktureller Art eintreten.
23
Fall 11: Großhandelsgeschäft
Der Geschäftsführer eines Großhandelsgeschäfts wendet sich mit verschiedenen Fragen an den Assistenten der Geschäftsleitung: 1. An der Zentralkasse sollen alle größeren Zahlungen getätigt werden; von welcher durchschnittlichen Belastung kann ausgegangen werden, wenn folgende Werte erhoben wurden? Monat
Jan.
Febr.
März
April
Mai
Juni
Anzahl Zahlungen
223
186
176
183
224
238
2. Die von der Hausbank eingeräumte Kreditlinie beträgt 100.000,- DM. In einem beobachteten Jahr wurde festgestellt, daß die Linie in einem Monat ganz (also 100.000,-) in zwei Monaten mit 55.000,- und in neun Monaten mit 10.000,- ausgeschöpft war. Wie hoch war der durchschnittliche monatliche Kredit? 3. Für einen recht gängigen Artikel, der oft nachbestellt werden muß und dessen Preis in gewissen Grenzen schwankt, soll ein Durchschnittspreis errechnet werden. Wie hoch ist der Q.>-Preis für den Monat Juli eines Jahres, wenn folgende Bestellungen getätigt wurden? Datum Menge in kg
Preis je kg
10.6. 19.6. 25.6.
224,218'220,-
60 120 110
4. Ein geführter Artikel unterscheidet sich stark in seiner Qualität; er wird deshalb in einer Verkaufsstatistik nach Preisklassen unterteilt geführt. Preisklasse von ..... bis unter. . . . .
2.4.6.8.-
4.6.8.10.-
Verkaufsmenge in Stück
10.000 25.000 18.000 7.000
Es soll der gängigste Preis, diejenige Preisklasse, die den Wert enthält, unterhalb dem 50 % der verkauften Menge liegt und der durchschnittliche Preis bestimmt werden! 5. Ein bestimmter Kleinartikel wird von drei Lieferanten geliefert; im Monat Juli eines Jahres lagen folgende Lieferungen vor:
24
Lieferant
Menge in Stck.
Rechnungsbetrag
250 200 100
A B
C
Lagerumschlag pro Jahr
100.100.100.-
3 mal 4mal 8 mal
a) Wieviel Stücke werden im Durchschnitt für 100,- DM geliefert? b) Wie groß ist die 0-Lagerumschlagshäufigkeit pro Jahr für alle drei Lieferanten gegemeinsam?
6. Ein neu eingeftihrter Saisonartikel hatte in den letzten drei Monaten folgende Umsätze: Umsatz in DM
Monat
Mai
100.000.160.000.240.---.-
Juni Juli
Wie groß war die durchschnittliche Umsatzsteigerung?
Lösung zu Fall 11:
1.
Zu berechnen ist das einfache arithmetische Mittel: -
X
1230
LXi
= --;- = -6- = 205
Im Durchschnitt wurden 205 Zahlungen getätigt. 2.
Zu berechnen ist das gewogene arithmetische Mittel: Beanspr. Kredit (x)
Anz. Monate (0
Xi .
1 2 9
100.000.110.000.90.000.-
12
300.000.-
100.000,55.000.10.000.-
-
Xgew.
LXI" •
L fi
f
=
300 000 i2
fi
= 25.000.-
Im Durchschnitt wurden 25.000.- DM Kredit pro Monat in Anspruch genommen.
25
3.
Zu berechnen ist das gewogene arithmetische Mittel, da auch die Menge zu berücksichtigen ist:
-
Xgew.
= 224' 60
+ 218 . 120 + 220 . 110 60 + 120 + 110
= 63800 = 220290
.
Der durchschnittliche Einstandspreis im Monat Juli betrug 220.- DM je kg. 4.
Der "gängigste" Preis ist der Modus, der sich an der Häufigkeit orientiert und in der Preisklasse 4.- bis unter 6.- DM liegt. Der Median teilt die Reihe in 2 Teile zu 50%: Me
=n
; 1
= 6000~
+ 1
= 30000,5te Stelle
er fällt damit ebenfalls in die Preisklasse 11. Der Durchschnittspreis muß als gewogenes arithmetisches Mittel aus den Klassenmitten errechnet werden: KlassenVerkaufte . (Xi) * Menge (fi ) mltte
Preisklasse von ... bis unter ... 2.4.6.8.-
- 4.- 6.- 8.- 10.-
3.5.7.9.-
Xi .
fi
10000 25000 18000 7000
30000 125000 126000 63000
60000
344000
-
344000 xgew. = 60000 = 5,73
Der Durchschnittspreis beträgt 5,73 DM. Er ist aber nur eine Schätzgröße, da über den Klassierungseffekt die Information über die Verteilung der Preis in den Klassen verloren ging. Weil die Klassen gleich groß sind und wegen einer mathematischen Eigenschaft des arithmetischen Mittels, kann der C/>-Preis lediglich im Intervall Xgew. = 5,73 ± 1 DM liegen. 5a) Das arithmetische Mittel ergibt: -
X
=
250 + 200 + 100
3
183,3 Stck
Dieses Ergebnis ist FALSCH wie folgende Überlegung zeigt: A: 100.250 100.B: 200 100.C: 100 26
= 0,40 DM/Stck
= 0,50 DM/Stek = I ,00 DM/Stek
1,90
d.h.: für 100,- DM erhält man 3 ;,!~O = 157,89 Stck. Die Lösung erfolgt über das harmonische Mittel: n = --
es wird immer dann angewandt, wenn ein reziprokes Verhältnis vorliegt! =
3 = 3 . 1000 = 15789 4- + 5 + 10 19 ' 1000
Für 100.- DM werden im Durchschnitt 157,89 Stck geliefert. 5b) Hier ist ebenfalls das harmonische Mittel anzuwenden:
-
XH
=1
3 1
1
- +- +-
= 4,235
348
oder, per Überlegung: A: 3 mal pro Jahr d.h. alle 4 Monate B: 4 mal pro Jahr d.h. alle 3 Monate C: 8 mal pro Jahr d.h. alle 1,5 Monate 8,5 dies ergibt pro Jahr: 3
~ ,512
= 4,235
Auf alle drei Lieferanten bezogen wird das Lager im Durchschnitt 4,235 mal pro Jahr umgeschlagen. 6.
Die Lösung erfolgt über das geometrische Mittel, wobei zuerst die Wachstumsraten zu ermitteln sind: Juni Mai
=
160000 = 1,6 100000
Juli Juni
=
240000 = 1,5 160000
XG
= V 1,6
. 1,5' = 1,549
Die durchschnittliche Umsatz steigerung betrug 54,9%.
27
Fall III: Bundesschatzbriefe Die Bundesr~gierung gibt Bundesschatzbriefe vom Typ A (mit jährlicher Zinszahlung) und vom Typ B (mit Zinsansammlung bis zum Ende der Laufzeit) heraus. Folgende Tabelle wird für Typ B veröffentlicht: Rendite nach dem ... Jahr (Typ B)
Laufzeit
Nominalzins
1. Jahr (1982/83) 2. Jahr (1983/84) 3. Jahr (1984/85) 4. Jahr (1985/86) 5. Jahr (1986/87) 6. Jahr (1987/88) nur Typ B 7. Jahr (1988/89)
7,00 % 9,00 % 9,25 % 9,50 % 9,75 % 10,00 %
7,00 8,00 8,41 8,68 8,90 9,08
10,00 %
9,21 %
% % % % % %
Zinsen, Renditen: Rendite:::: wirklicher Zinsgewinn pro Jahr (berechnet auf die gesamte Laufzeit) Rendite Bundesschatzbriefe B:::: 9,21 % Wie errechnet sich die durchschnittliche Verzinsung nach dem 6. und 7. Jahr, d.h. die angegebene Rendite für die Schatzbriefe vom Typ B?
Lösung zu Fall III: Es handelt sich um das geometrische Mitte, da die Gelder wie folgt wachsen: 7. Jahr Kapital von 1.000 DM nach dem ...
1. Jahr
2. Jahr
4. Jahr
3. Jahr
5. Jahr
6. Jahr
1.070 DM 1.166 DM 1.274 DM 1.395 DM 1.531 DM 1.684 DM 1.852 DM Jahr 6:
XG6
::::
V
1,07·1,09·1,0925·1,095·1,0975·1,"
1,090788 Jahr 7:
XG7
9,08 %
:::: V 1,07·1,09.1,925.1,995.1,0975.1,1.1,1 1,092099
28
~
i
Es gilt für den Wachstumsfaktor: P
q=1+ 100 Daraus folgt flir den Zinssatz: p = (q - 1) . 100 Die durchschnittliche Verzinsung ftir 6 Jahre beträgt: P 6 = (1,990788 - 1) ·100 = 9,0788
R:
9,08 %
Die durchschnittliche Verzinsung ftir 7 Jahre beträgt:
= 9,2099
P,
R:
9,21 %
Fall IV: Fehlerhäufigkeit
In einer Fertigungsabteilung sind 10 Arbeiter damit beschäftigt, elektronische Teile zu verlöten, was besonderer Geschicklichkeit bedarf. Der Ausschuß wurde über ein halbes Jahr beobachtet und in einer Qualitäts- und Leistungskontrolle erfaßt. Es ergaben sich folgende Werte, wobei Anzahl der fehlerhaften Stücke x = = Anzahl der Tage, an denen die fehlerhaften Stücke auftraten: f x:
f:
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2
2
5
8
9 13 10 11
8
8
7
5
4
8
5
3
3
2
Die Fehlerhäufigkeit ist nicht normal verteilt, deshalb soll mit Hilfe von Quartilen und Median eine Einteilung in folgende Leistungsklassen erfolgen: sehr gute Leistung gute Leistung mäßige Leistung schlechte Leistung. Im Einzelnen bestimme man: 1. Geben Sie eine Begründung, weshalb in diesem Fall von den Quartilen ausgegangen werden sollte und nicht von anderen Maßzahlen! 2. Berechnen Sie die Einfallsklassen der Quartile und den Stellenwert des Medians! 3. Interpretieren Sie die errechneten Werte!
29
Lösung zu Fall IV:
1.
Der Vorteil der Quartile liegt darinnen, daß in jeder berechneten Klasse die gleiche Anzahl beobachteter Fälle liegt.
2. x:
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
f:
2 2
5 8 913 10 11 8 8 7 5 4
fkum:
2 4
9 17 26 39 49 60 68 76 83 88 92 100 105 108 109 112 114 115 Cl
Q2' = Median
8
5
3
1
3
2
1
C3
Ql = n : 1 = kf; 1 = 115/ 1 = 29.(29. Stelle) Q2 = Mz =
2(n + 1) n + 1 115 + 1 4 = - 2- = 2 = 58. (58. Stelle = Median)
Q3 = 3(n; 1) =
3(11~ +
1) = 87. (87. Stelle)
- Der 29. Reihenwert liegt zwischen 26 und 39 d.h. 14 ist die Untergrenze der Einfallsklasse . - Der Medien liegt an der 58. Stelle zwischen 49 und 60 d.h. 16 ist die Untergrenze der Einfallsklasse. - Der 87. Reihenwert liegt zwischen 83 und 88 d.h. 83 ist die Untergrenze der Einfallsklasse. 3.
Interpretation: In Anbetracht der Lage der Werte bezogen auf die kumulierten Häufigkeiten sind dem Unternehmen folgende, gerundete Leistungsklassen zu empfehlen:
bis einschließlich 14 Fehler = sehr gute Leistung 15 bis einschließlich 21 Fehler = gute Leistung 18 bis einschließlich 21 Fehler = mäßige Leistung 22 und mehr = schlechte Leistung
Fall V: Arbeitsausfall In zwei vergleichbaren Produktionsbetrieben wird laufend der durch Krankheit bedingte Arbeitsausfall anhand der Kennziffer durch Krankheit bedingter Arbeitsausfall in Tagen Zahl der Beschäftigten ermittelt. 30
1.
Definieren Sie für diese Kennziffer a) die statistischen Massen b) die statistischen Einheiten c) MerkmalejMerkmalsausprägung der stat. Einheiten.
2.
Während der letzten 12 Monate ergaben sich folgende Kennziffernwerte für die beiden Betriebe Monat
krankheitsbedingter Arbeitsausfall Tage je Beschäftigter Betrieb I Betrieb 11
J.l Juli Aug. Sept. ükt. Nov. Dez. Jan. J.2 Febr. März April Mai Juni
0,62 0,60 0,65 0,63 0,66 0,60 0,63 0,64 0,59 0,60 0,60 0,62
0,34 0,48 0,49 0,58 0,60 0,40 0,46 0,52 0,50 0,56 0,40 0,43
a) Berechnen Sie den durchschnittlichen, durch Krankheit bedingten, Arbeitsausfall für jeden der beiden Betriebe in diesen 12 Monaten aa) als arithmetisches Mittel ab) als Zentralwert b) Berechnen Sie die Standardabweichung der Monatswerte für jeden der beiden Betriebe ba) absolut bb) relativiert c) Interpretieren Sie die Ergebnisse von aa und bb!
Lösung zu Fall V: 1.
Bei dieser Beziehungszahl sind zwei statistische Massen zu definieren, und zwar Zähler und Nenner der Kennzahl: Defmitionen zum Zähler:
a) Masse:
Gesamtheit der Arbeitsausfälle in Periode tj des Betriebes b) Einheiten: Jeder einzelne Arbeitsausfall in Periode tj im Betrieb 31
c) Merkmal/Merkmalsausprügung: Dauer des einzelnen Arbeitsausfalles in Tagen (quantitativ stetige Merkmalsausprägung) Definitionen zum Nenner: a) Masse: Gesamtheit der Beschäftigten in Periode ti. Dabei ist eine nähere Abgrenzung vorzunehmen, wer als Beschäftigter zählt, z.B. wie werden halbtags Beschäftigte erfaßt? Werden die Lehrlinge eingeschlossen oder nicht als ,Beschäftigte' gezählt? b) Einheiten: Der einzelne Beschäftigte in Periode t i im Betrieb c) Merkmal/Merkmalsausprägung: Es wird hier zwar statistisch erhoben, ob der einzelne Beschäftigte krank oder gesund war, jedoch im Rahmen der Nennergröße nicht weiter verarbeitet.
2.
aa)
-
~ Xi 7,44 - - = - - = 0,62 Fehltage n 12
XBetr.I
XBetr.II
ab)
Mz
=
= 0,62 Fehltage
XzBetr.II =
2b) Monat Jahr xi 0,62 0,60 0,65 0,63 0,66 0,60 0,63 0,64 0,59 0,60 0,60 0,62
2
7,44
ba)
32
a
=
= 5,76 = 0,48 Fehltage 12
n + 1
-
1
n
= - 2 - = 6,5. Wert der der Größe nach geordneten Reihe
XzBetr.I
Juli Aug. Sept. ükt. Nov. Dez. Jan. Febr. März April Mai Juni
~Xi
j
0,485 Fehltage Betrieb I lXi-xi 0,00 0,02 0,03 0,01 0,04 0,02 0,01 0,02 0,03 0,02 0,02 0,00
(xi-xY
xi
Betrieb Il lXi-xi
(Xi- X)2
0,0000 0,0004 0,0009 0,0001 0,0016 0,0004 0,0001 0,0004 0,0009 0,0004 0,0004 0,0000
0,34 0,48 0,49 0,58 0,60 0,40 0,46 0,52 0,50 0,56 0,40 0,43
0,14 0,00 0,01 0,10 0,12 0,08 0,02 0,04 0,02 0,08 0,08 0,05
0,0196 0,0000 0,0001 0,0100 0,0144 0,0064 0,0004 0,0016 0,0004 0,0064 0,0064 0,0025
0,0056
5,76
0,0682
aBetr.l aBetr.II
bb)
j j
0,0056' = vO 000466' 12 ' 0,0682' 12
= vO 00568' = 0,0752 '
a 100 = _.
= 0,0216 062
. 100
a 100 VBetr.ß = - .
= 0,0752
. 100
VBetr.1
x:
x:
= 00216 ,
,
0,48
= 348 % ' 0
= 15,67 %
2c) Zu aa: Im Durchschnitt beträgt der krankheitsbedingte Arbeitsausfall je Beschäftigten und Monat im Betrieb 10,62 Tage, im Betrieb II nur 0,48 Tage. Zubb: Bei diesem niedrigeren Durchschnittswerte fur Betrieb II ist jedoch eine erheblich größere Streuung der Einzelwerte um den Durchschnittswerte flir diesen Betrieb zu verzeichnen, wie die relative Standardabweichung angibt mit 15,67% (gegenüber 3,48% in Betrieb 1).
Falt VI: Leistungsvergteich Ein Unternehmen produzierte ein Gerät auf 2 Maschinen unterschiedlicher Hersteller. Die Leistungen beider Maschinen sollen näherungsweise bestimmt werden; aus diesem Grund wird die Produktion eines halben Jahres ausgewertet. Für das beobachtete, halbe Jahr ergaben sich folgende Werte: produzierte Menge Maschine I Maschine Il Jan. Febr. März April Mai Juni
1.
2. 3.
620 680 620
590 590
580
570 580
560 600
600
610
Berechnen Sie folgende Maßzahlen: a. das arithmetische Mittel b. die Spannweite c. die durchschnittliche Abweichung d. die Standardabweichung und die Varianz e. den VariationskoefflZient Interpretieren Sie die Ergebnisse unter 1. Beurteilen Sie die beiden Maschinen! 33
Lösung zu Fall VI: 1.
Maschine 11
Maschine I
Maßzahl a. arithm. Mittel _ ~ Xi x= n
-x
b. Spanweite s = größter kleinster Wert
= 610
sI = 680 - 560 SI = 120
c. durchschn. Abweichung d =
3660 = -6-
~IXi-xl
--=--n
x = 3540 = 590 6 SII
sn
x
Ix-x I
620 680 620 580 560 600
10 70 10 30 50 10
100 4900 100 900 2500 100
180
8600
(x-X) 2
d = 180 = 30 6
= 610 - 570 = 40
x
lx-xl
590 590 600 570 580 610
(X-X)2
0 0 10 20 10 20
0 0 100 400 100 400
60
1000
d=60=10 6
d. Varianz 2
8600
1000
2
a = -6- = 1433,3
a = -6- = 166,6
a = v'1433,3' = 37,86
a = v'166,6' = 12,9
V - 37,85 . 100 I - 610
V
- 12,9 . 100 590
VI = 6,2
VII
= 2,2
Standardabweichung r--::~=-(-;-X-i_-=X=-)2""
a= j
n
e. Variationskoeffizient a
V=::-·100 x
2.
34
11 -
a) Maschine I produziert im Durchschnitt 610 und Maschine 11 590 Stück. b) Die Schwankungen in der produzierten Menge liegen bei Maschine I bei 120 und bei Maschine 11 bei 40 Stück.
c) Im Durchschnitt lagen die Produktionswerte der Maschine I um absolut 30 Stück vom arithmetischen Mittel entfernt; die der Maschine 11 um 10 Stück. d) Im Durchschnitt lagen die Produktionswerte der Maschine I bei 610 ± 38 Stück; die der Maschine 11 bei 590 ± 13 Stück. e) Im Durchschnitt weichen die Produktionsergebnisse der Maschine I um 6,2% vom arithmetischen Mittel ab; die der Maschine 11 um 2,2%.
3.
Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß Maschine I im Durchschnitt mehr produziert wie Maschine 11, daß aber Maschine 11 diejenige Maschine ist, die gleichmäßiger produziert, wie der Variationskoefflzient zeigt. Bei einer Neuinvestition müßten beide Aspekte gegenübergestellt und bewertet werden, da man entweder dem Einen oder dem Anderen den Vorrang geben kann. Zusätzlich wäre das Führen einer Statistik des Ausschusses der Maschinen empfehlenswert, um die Genauigkeit und Exaktheit der Maschinen zu berücksichtigen.
Literatur: Hunziker/Scheerer: Statistik - Instrument der Betriebsführung, Stuttgart 1975,5. Aufl. Puhani, Joser: Statistik - Einführung mit praktischen Beispielen, Obertshausen 1981 Scharnbacher, Kurt: Statistik im Betrieb - Lehrbuch mit praktischen Beispielen, 4. überarb. Auflage, Wiesbaden 1982
35
RR Dipl. -Öko Erwin Südfeld
Indextheorie Fall I: Preisentwicklung Die Mengen- und Preisentwicklungen einzelner Güter eines Unternehmens wurden bisher nur anhand von Meßzahlen beschrieben. Ein neuer Mitarbeiter möchte diese Meßzahlen durch Indizes ergänzen, um auch die durchschnittlichen Mengen- und Preisentwicklungen in der gesamten Güterpalette beobachten und analysieren zu können. Um seinem Abteilungsleiter den engen Zusammenhang zwischen Meßzahlen und Indizes zu verdeutlichen, verf:illt er auf den Gedanken, einen Index als gewogenes Mittel von Meßzahlen darzustellen. Als Ausgangspunkt wählt er zu diesem Zweck einen Preisindex nach Laspeyres.
Lösung zu Fall I: Preisindex nach Laspeyres n
L Pj.j · qo.j ~j=_!--------_. 100 n
L Po·j· qo·j
j= ! mit pj.j
Preis des Gutes j (j= 1,2, ... , n) in der Berichtsperiode i
Po.j
Preis des Gutes j in der Basisperiode 0
qo.j
Menge des Gutes j in der Basisperiode 0 n
Po.j
L pj.j . - - . qo.j
j=! Po·j - ' - - - - - - - - . 100 n
L Po·j . qo·j
j= ! n
L Po·j
j=!
qo·j
.
pj.j Po·j
~~------"---.
n
L Po·j . qo-j j= !
36
100
n
Pi.j
. 100
~_.
n
j= 1 PO·j
~
j= 1
Po·j . qo·j
mit PH Po·j
=
Preismeßzahl des Gutes j
und Anteil des Gutes j am Gesamtumsatz aller Güter in der Basisperiode 0
n
~ Po·j . qo·j
j= 1
Die Preismeßzahl des Gutes j wird gewichtet mit dem Umsatzanteil des Gutes j. Für die Gewichte gj (Umsatzanteile der einzelnen Güter) gilt: ~ ~ j= 1
Po·j· qo·j --=----=--= n
1
~ Po·j . qo·j
j= 1
Die Umsatzanteile der einzelnen Güter (Gewichte) addieren sich zu Eins. Der Index Io.j läßt sich somit als Summe der gewogenen Meßzahlen darstellen. Damit hat der Mitarbeiter gezeigt, daß der Index nichts anderes ist als das gewogene Mittel der Meßzahlen rur die einzelnen Güter.
Fall 11: Handelsagentur Eine Handelsagentur kauft und verkauft NE-Metalle, u.a. Blei, Zink, Zinn, Kupfer und Aluminium. Die Verkaufspreise sowie die verkauften Mengen dieser Metalle in den Jahren 1975 und 1981 sind in der nachstehenden Tabelle festgehalten: Preis in DM/lOO kg NE-Metalle Blei Zink Zinn Kupfer Aluminium
1.
Abgesetzte Menge in 100 kg
1975
1981
1975
1981
115,150,3260,400,345,-
135,175,3350,370,375,-
1000 2000 300 700 3000
3000 2500 500 1500 2500
Ein Sachbearbeiter mächte die durchschnittliche Preisentwicklung dieser Produkte im Zeitraum 1975 bis 1981 ermitteln. Er wählt dazu einen Preisindex vom Laspeyres-Typ.
37
2.
Für seinen Chef ist neben der Preisentwicklung auch die durchschnittliche Mengenentwicklung in diesem Zeitraum von erheblicher Bedeutung. Der Sachbearbeiter berechnet deshalb auch noch einen Mengenindex, allerdings vom Paasche-Typ.
3.
Als der Sachbearbeiter seinem Chef die Berechnungen zu den beiden Indizes vorlegt, fragt ihn dieser, wie sich ein Laspeyres-Index von einem Paasche-Index unterscheidet und welche Vor- bzw. Nachteile ein Laspeyres-Index gegenüber einem Paasche-Index aufweist.
Lösung zu Fall 11:
1.
Berechnung des Preisindex nach Laspeyres n
~ Pi-j . qo·j -=-j=-,----.
100
n
~ Po·j . qooj
j= ,
135.- . 1000 + 175,- . 2000 + 3350,- . 300 + 370,- . 700 + 375,- ·3000. 100 115,- . 1000 + 150,- . 2000 + 3260,- . 300 + 400,- . 700 + 345,-·3000
=
135000,- + 350 000,- + 1 005000,- + 259 000,- + 1 125000,115000,- + 300 000,- + 978000,- + 280000,- + 1 035000,-
100
2874000,2708000 ,_ . 100 ~ 106,13 2.
Berechnung des Mengenindex nach Paasche n
~ Pi·j
qi·j
-=...j=-,----.
n
100
~ Pi·j . qo·j
j= ,
135,-·3000 + 175,-·2500 + 3350,-·500 + 370,-·1500 + 375,-·2500 135,- ·1000 + 175,-·2000 + 3350,-·300 + 370,-·700 + 375,-·3000 405 000,- + 437 500,- + 1 675 000,- + 555 000,- + 937 500,135000,- + 350 000,- + 1 005000,- + 259 000,- + 1 125000,- . 100 4010 000 2874000 . 100 ~ 139,53 38
100
3.
Unterschied Laspeyres-/Paasche-Index Bei einem Index nach Laspeyres werden Gewichte, d.h. beim Mengenindex - Preise, beim Preisindex - Mengen, aus der Basisperiode verwendet. Diese Basisperiode ist ein fester Bezugszeitraum rür eine Anzahl von Berichtsperioden. Bei einem Index nach Paasche werden Preise beim Mengenindex bzw. Mengen beim Preisindex aus der jeweiligen Berichtsperiode als Gewichte gewählt. Berichtsperiode ist dabei der jeweils aktuelle Zeitraum.
Vorteile
Nachteile
Laspeyres-Index
Paasche-Index
Direkte Vergleichbarkeit aller Werte einer Indexreihe aufgrund der festen Bezugszeitraumes (Basisperiode). Wegen der konstanten Gewihctung ist die Berechnung weniger aufwendig.
Berücksichtigun~ von Substitutionseffekten I ; dadurch stärkere Exaktheit bei längeren Indexreihen.
Keine Berücksichtigung von Substitutionseffekten iJ ; dadurch mangelnde Exaktheit bei längeren Indexreihen.
Keine direkte Vergleichbarkeit aller Werte einer Indexreihe wegen des wechselnden Bezugszeitraumes (Berichtsperiode). Wegen der wechselnden Gewichtung ist auch die Berechnung aufwendiger.
Vor- bzw. Nachteile von Laspeyres- und Paasche-Indizes
Fall III: Tierbehausungen Ein Unternehmer hat in den letzten Jahren mit der Produktion und dem Verkauf von Tierbehausungen einigen Erfolg gehabt. Insbesondere die von ihm hergestellten Hundehütten, Kaninchenställe und Vogelbauer haben sich als "echte Marktrenner" erwiesen. Mengen und Preise dieser Produkte sind für die Jahre 1975 und 1980 in der nachstehenden Tabelle festgehalten.
1) Substitutionseffekt Bei Preiserhöhungen wechseln Käufer, die sich preisrealistisch verhalten, von den im Preis gestiegenen Gütern zu gleichartigen Gütern, die im Preis konstant geblieben oder weniger gestiegen sind. Diese Wanderungen werden im Laspeyres-Index nicht berückSichtigt, da die Gewichte aus einem festen Bezugszeitraum (Basisperiode) stammen.
39
1980
1975
Produkte
Menge In
Stück Hundehütten
Preis je Stück in DM
Menge in Stück
Preis je Stück in DM
50
60,-
100
80,-
Kaninchenställe
100
20.-
120
20,-
Vogelbauer
100
30,-
250
50,-
Der Unternehmer berechnet zunächst eine Umsatzmeßzahl zur Basis 1975, um einen überblick über die Umsatzentwicklung zwischen 1975 und 1980 zu erhalten. In einem zweiten Schritt möchte er die Entwicklung der Mengenkomponente isolieren. Er wählt zwei verschiedene Verfahren 1. 2.
Preisbereinigung des Umsatzindex mittels eines Paasche-Preisindex Berechnung eines Laspeyres-Mengenindex.
Zu seiner überraschung stellt er fest, daß er nach jedem Verfahren zum gleichen Ergebnis kommt. Nach einigem Nachdenken wird ihm klar, daß dies so sein muß.
Lösung zu Fall III:
Berechnung der Umsatzmeßzahl n
2:
pj.j . qj.j
~j~=~I_________ .
100
n
2:
Po·j . qo·j
j= 1
11975 ·1980
80,- . 100 + 20,- . 120 + 50,- . 250 60,- . 50 + 20,- . 100 + 30,- . 100 8000,- + 2400,- + 12500,3000,- + 2000,- + 3000,- . 100
~~~~~--~~=-~~_.
22900,8 000 ,_ . 100 1.
= 286,25
Preisbereinigung der Umsatzmeßzahl Index des preisbereinigten Umsatzes
40
100
Umsatzmeßzahl . 100 Preisindex nach Paasche
n
:!: pjoj 0'lioj
j=1 n
0 100
:!: pooj 0 qooj j= 1 ......:....-------- 0 100 n
:!: pjoj 0 qjoj
j= 1 ------0100 n
:!: pooj 0 qjoj
j= 1
= = =
= 2.
286,25 o 100 80,- 0100 + 20,- 0 120 + 50,- 0250 o 100 60,-·100 + 20,- 0120 + 30,- 0250 286,25 o 100 8000,- + 2 400,- + 12500,__~~_~~~~~_o 100 6 000,- + 2 400,- + 7 500,286,25 --:-:-::-:------ 0 100 22900,--::-15=-90=0""',-- 0 100 286,25 144,02
100
= 198,75
Berechnung eines Mengenindex nach Laspeyres n
Ioo j
=
:!: Pooj qjoj
j=1 n
:!: Pooj
j= 1 1197501980
= =
=
qooj
60,- 0100 + 20,- 0 120 + 30,- 0250 o 100 60,-·50 + 20,- 0100 + 30,-·100 6 000,- + 2 400,- + 7 500,3 000,- + 2 000,- + 3 000,- . 100 15900,8000,_ . 100 = 198,75
Wenn die Ergebnisse nicht nur zufällig übereinstimmen, muß die Division einer Umsatzmeßzahl durch einen Preisindex nach Paasche einen Mengenindex nach Laspeyres ergeben: Umsatzmeßzahl Preisindex nach Paasche . 100 41
n ~
j= 1 n ~
=
j= 1 n ~
pj.j
qj.j
100 qo·j
PO·j
100 Pi'j
qj.j
n ~
Po·j
qj.j
n ~
Po·j
qj.j
j= 1 j= 1 j= 1 n ~
j= 1
100
100 Po·j
qo·j
Mengenindex nach Laspeyres Wie sich zeigt, ergibt die Division einer Umsatzmeßzahl durch einen Preisindex nach Paasche in der Tat einen Mengenindex nach Laspeyres.
Fall IV: Eisenwaren Ein Eisenwarenproduzent hat für sein Sortiment über den Zeitraum 1970 bis 1975 hinweg Preisindizes nach Laspeyres zur Basis 1970 und für den Zeitraum 1975 bis 1980 ebensolche zur Basis 1975 ermittelt: Jahr
1970
1971
1972
1973
1974
1975
I1970·j
100
103
107
109
114
117
Jahr
1975
1976
1977
1978
1979
1980
11976·j
100
102
106
109
115
122
Der Unternehmer möchte daraus eine durchgehende Indexreihe zur Basis 1975 berechnen.
Lösung zu Fall IV: Die Indexreihe zur Basis 1975 muß um die Jahre vor 1975 ergänzt werden. Dies geschieht nach der Formel
42
=
11975·j
11970·j
100
11970.1975
Es ergibt sich für die einzelnen Jahre vor 1975: 11975 ·1974
=
114 117
100
~
97,4
11975.1973
=
109 -_.
100
~
93,2
11975.1972
=
-107 _.
100
~
91,5
11975.1971
=
117·
100
~
88,0
11975.1970
=
100 117
100
~
85,5
117 117
103
Die durchgehende Indexreihe zur Basis 1975 sieht demnach wie folgt aus: Jahr
1970
I 1975.j 85,5
1971
1972
1973
1974 1975
1976
1977
1978
1979
1980
88,0
91,5
93,2
97,4
102
106
109
115
122
100
Dem Unternehmer sind die Grenzen der Aussagefahigkeit dieser durchgehenden Indexreihe bewußt. Da es sich um eine rein rechentechnische Verknüpfung der beiden Indexreihen handelt, wird das Problem der unterschiedlichen Basisjahre - und damit wahrscheinlich unterschiedlicher Warenkörbe, die diesen Indexreihen zugrunde liegen - vernachlässigt.
Fall V: Vertragsklausel
Ein Gewerbetreibender möchte in einen Vertrag eine Indexklausel aufnehmen, um sich gegen inflatorische Entwicklungen zu schützen. Er hat davon gehört, daß vom Statistischen Bundesamt verschiedene Preisindizes für die Lebenshaltung berechnet werden. Er beauftragt einen seiner Angestellten, diese verschiedenen Indizes zusammenzustellen und dabei vor allem deutlich zu machen, in welchen Punkten sie sich unterscheiden.
43
Lösung zu Fall V:
Ud. Preisindex für die HaushaltsNr. Lebenshaltung mitglieder
1 2
3
4
Zusammensetzung der Haushalte
Alle privaten Haushalte
2,6
Haushalte von Angestellten und Beamten mit höherem Einkommen
4
2 Erwachsene 2 Kinder
Arbeitnehmerhaushalte mit mittlerem Einkommen
4
2 Erwachsene 2 Kinder
Haushalte von Renten- und Sozialhilfeempfängern
2
2 ältere Erwachsene
Durchschnittliche Verbrauchsausgaben in DM je Monat und Haushalt im Basisjahr 1976 2326
3298
2053
889
Unterschiede in den Preisindizes fiir die Lebenshaltung Den jeweiligen Preisindizes für die Lebenshaltung liegen verschiedene Haushaltstypen zugrunde. Diese unterscheiden sich in der Größe und der Zusammensetzung sowie hinsichtlich der Höhe und der Struktur ihrer Verbrauchsausgaben. Die Warenkörbe der Haushaltstypen (Struktur der Verbrauchsausgaben) setzen sich 1976 wie folgt zusammen:
Warenhau ptgruppen
Lebenshaltung insgesamt Nahrungs- und Genußmittel Kleidung, Schuhe Wohnungsmiete
44
Alle privaten Haushalte Haushalte von Angestellen und Beamten mit höherem Einkommen
Arbeitnehmerhaushalte mit mittlelerem Einkommen
Haushalte von Renten- und Sozialhilfeempfängern
in %0
in 0/00
in 0/00
in
1000
1000
1000
0/00
1000
266,72
228,54
302,66
87,46
90,81
86,01
62,80
133,27
138,46
149,44
222,88
388,12
Fortsetzung
Alle privaten Haushalte von AngeHaushalte stellen und Beamten mit höherem Einkommen
Warenhauptgruppen
in 0/00 Elektrizität, Gas, Brennstoffe
in
0/00
Arbeitnehmerhaushalte mit mittlelerem Einkommen
Haushalte von Renten- und Sozialhilfeempfängern
in
in
0/00
0/00
49,13
42,51
49,90
76,36
Übrige Waren und Dienstleistungen für die Haushaltsführung
100,10
90,70
90,27
89,09
Waren und Dienstleistungen für: Verkehrszwecke, Nachrichtenübermittlung
147,53
170,09
136,46
54,17
die Körper- und Gesundheitspflege
43,16
56,07
28,41
34,95
Bildungs- und Unterhaltungszwecke
78,73
90,56
90,31
46,57
93,90
92,26
66,54
25,06
Persönliche Ausstattung; sonstige Waren und Dienstleistungen
Fall VI: Wiederbeschaffungswert
Ein Unternehmen hat im Jahre 1975 eine Anlage für 50000 DM angeschafft. Ein Sachbearbeiter möchte einen Anhaltspunkt rur den Wiederbeschaffungswert der Anlage im Jahre 1980 ermitteln. Die zwichenzeitlich eingetretenen Preissteigerungen glaubt er durch den Index der Erzeugerpreise fiir Investitionsgüter genügend repräsentiert. Dieser Index weist fiir den betrachteten Zeitraum folgende Werte auf: Jahr
1975
1976
1977
1978
1979
1980
Indexwert
96,7
100
103,7
106
109,1
114,4
Anhand der vorliegenden Angaben berechnet er einen Wiederbeschaffungswert der Anlage im Jahr 1980.
45
Lösung zu Fall VI:
Zur Berechnung des Wiederbeschaffungswertes der Anlage im Jahre 1980 muß der Anschaffungswert um die zwischenzeitlich eingetretenen Preissteigerungen erhöht werden. Die Veränderungen des Index sind in Indexpunkten angegeben. Zur Berechnung des Wiederbeschaffungswertes müssen diese in prozentuale Veränderungen umgerechnet werden. Dies geschieht nach der Formel: 11976.1975 : 11976.1980
x
=
I1976·1980
.
=
100 : x
100
11976.1975
114,4
96T.
100
=
118,3
Der Wiederbeschaffungswert im Jahre 1980 ergibt sich nun aus dem Anschaffungswert im Jahre 1975 und der zwischenzeitlich eingetretenen Preissteigerung der Anlage um 18,3 Prozent. Wiederbeschaffungswert 1980: 50000 DM + 50000 DM . 0,183
= 59 150 DM
Ganz analog können auch flir die übrigen Jahre Wiederbeschaffungswerte berechnet werden.
Fall VII: Aktienindex
Im Portefeuille eines Unternehmens befinden sich Aktien verschiedener anderer Gesellschaften. Der Anlagespezialist des Unternehmens möchte fUr das Portefeuille einen Index der Aktienkurse nach Laspeyres berechnen. Bei seinen Überlegungen kann er von folgenden Angaben ausgehen: Gesellschaft
11 III IV V
46
Kurse am 31.12.78 in DM
Kurse am 31.12.80 in DM
100,120,60,250,180,-
90,150,80,200,190,-
Zahl der Aktien im Portefeuille am 31.12.78 20 60 50 30 10
Lösung zu Fall VII: Index der Aktienkurse nach Laspeyres n
~ Pi·j . qo·j
11978.1980
j= 1 = ---:..-----·100 n
~ Po·j . qo·j
j= 1
= = = ~
90,-·20 + 150,-·60 + 80,- . 50 + 200,- . 30 + 190,-· 10 100,- . 20 + 120,- . 60 + 60,- . 50 + 250,- . 30 + 180,- . 10· 100 1 800,- + 9 000,- + 4 000,- + 6 000,- + 1 900,100 2 000,- + 7 200,- + 3 000,- + 7 500,- + 1 800,22700,21500,_ . 100 105,6
Fall VIII: Terms of Trade Ein Unternehmen importierte Rohstoffe und exportiert Maschinen. 1975 und 1980 hatte es folgende Ein- und Ausfuhren zu verzeichnen: Einfuhr Rohstoffe I
Ausfuhr
Rohstoffe 11
Maschine I
Maschine 11
Preis in Menge in Preis in Menge in DM/kg
1000 kg DM/kg
Preis in Menge in Preis in lMenge in 1000 DM 100 1000 DM 100 1000 kg je St. Stck. je St. Stck.
1975
5,-
10
8,-
20
20,-
3
10,-
5
1980
6,-
15
10,-
25
21,-
4
9,-
6
Ein Sachbearbeiter möchte die untemehmensbezogenen Terms of Trade, das reale Austauschverhältnis zwischen eingeführten Rohstoffen und ausgeführten Maschinen, berechnen.
Lösung zu Fall VIII: Die Terms of Trade sind defmiert als T
=
Index der Ausfuhrpreise (nach Paasche) Index der Einfuhrpreise (nach Paasche)
.
100
47
n ex ~
j= 1 n ex
qj.j
100
~
Po·j
~
pj.j
j= 1 n ex
T
pj.j
j= 1
qj.j
qj.j
100
n im ~
j= 1
Po·j
qj.j
21,-·4+9,-·6 100 20,-·4+ 10,-·6 ~--~~~~~----_. 100 6,- . 15 + 10,- . 25 5 ,- . 15 + 8,_ . 25 . 100 84,- + 54,100 .80,- + 60,--::-c::----:~-------. 100 90,- + 250,75 ,_ + 200 ,_ . 100 138,100 140,340,. 100 275'~
~
98,5 --_. 123,6
. 100
100
79,7
Die Außenhandelsposition des Unternehmens hat sich im Betrachtungszeitraum verschlechtert. Die Preise für die Importgüter sind stärker gestiegen als die der exportierten Waren. Im betrachteten Fall ist der Index der Ausfuhrpreise sogar leicht gefallen, während der Index der Einfuhrpreise stark gestiegen ist. Literatur: Christmann, Gerhard: Statistische Verfahren, 2. Aufl., Bad Homburg v.d. Höhe 1973. Kobelt, Helmut: Wirtschaftsstatistik ftir Studium und Praxis, Bad Homburg v.d. Höhe 1977. Wolff, Pieter de: Betriebsstatistik, München 1968.
48
Prof. Dr. Kurt Schambacher
Zeitreihenanalyse
Fall I: Herstellmengen Ein Werk der chemischen Grundstoffindustrie hat pro Monat folgende Herstellungsmengen eines bestimmten Stoffes aufgezeichnet: Jahr I Monat
Prod.menge in t
Juni Juli Aug. Sept. Okt.
39 47 41 44 48 38 31 46 42 49 48 44
Nov.
2
Dez. Jan. Febr. März April Mai
Zahl der Arb.tage
19 23 20 21 23 18 15 22 20 23 22 20
Die Unternehmensleitung möchte die Zeitreihe so dargestellt haben, daß die Zahl der Arbeitstage in der Darstellung berücksichtigt werden. Sie gibt folgenden Auftrag:
1.
Es ist die, von der Schwankung der Zahl der Arbeitstage bereinigte, Produktion pro Tag anzugeben.
2.
Die arbeitstägliche Produktion ist zu skizzieren und in die Skizze ist der Trend der Entwicklung bestmöglich einzuzeichnen.
3.
Die arbeitstägliche Produktionsreihe ist mit Hilfe eines geeigneten gleitenden Durchschnitts zu glätten und die geglättete Reihe ist in die Skizze unter 2) einzutragen. Welche Bedeutung hat die geglättete Reihe für die Unternehmensleitung? .
Lösung zu Fall I: 1.
Die bereinigte Reihe ergibt sich als arithmetisches Mittel der Tagesproduktion z.B.: Juni
= ~: = 2,053 usw.
49
Monat:
J
JAS
0
N
D
J
F
M
A
M
arb.tägl. Prod.: 2,05 2,04 2,05 2,10 2,09 2,11 2,07 2,09 2,10 2,13 2,18 2,20
2.
Der Trend kann als Freihandtrend eingezeichnet werden; dies ist aber recht ungenau deshalb sollte man die Methode der halben Durchschnitte wählen: 2,05 2,04 2,05 2,10 2,09 2,11 12,44 : 6 == 2,07
Juni Juli Auf. Sept. Okt. Nov.
3.
Dez. Jan. Febr. März April Mai
2,07 2,09 2,10 2,13 2,18 2,20 12,77 : 6 :;: 2,13
Der gleitende Durchschnitt soll sich an der Unterteilung des Jahres orientieren oder besser, die Schwankungen der Zeitreihe berücksichtigen. In unserem Falle bieten sich 4er Durchschnitte an; sie haben aber den Nachteil, daß sie den Monaten nicht eindeutig zugeordnet werden können. Ein Problem, das sich bei allen "geraden" Durchschnittswerten ergibt. Zur Lösung müssen deshalb die Werte zentriert werden. (Hinweis: gleitende 3er Durchschnitte wären ebenfalls möglich gewesen; sie haben sogar den Vorteil, daß bei der sehr kurzen Reihe lediglich ein Wert am Anfang und einer am Ende verloren geht.) 1 2". 2,05 +
2,04 + 2,05 + 2,1 + 4
2"1 . 2,04 + YT2
:;:
YT3
:;:
2,09
YT4
:;:
2,09
2,09 :;: 2,07
2,05 + 2,1 + 2,09 +
4
2"1 .
2,11
= 2,08
2,09
YT5 YT6
2"1 .
:;:
2,10
YT7
2,11
YT8
2,14
Die geglättete Reihe gibt die von den Einflüssen des Zufalls z.B. Maschinenausfall und die von den unterschiedlichen Tageszahlen pro Monat bereinigte Produktion an. Sie ist damit eine aussagefähige Planungsgröße, die sogar fiir Prognoseschätzungen benutzt werden kann. 50
Prod.
menge in t
2,2
2,1
2
J 1
J
A
S
o
N
D
J
F
M
A
M
Zeit (x)
FaU 11: Umsatzanalyse
Die Geschäftsleitung eines Großhandelsunternehmens vermutet, daß sich der Bereich "Brennstoffe" einem Trend entsprechend entwickelt. Der Assistent des Geschäftsführers wird mit der Analyse beauftragt, wobei folgende Umsatzwerte der Vergangenheit vorlagen:
Jahr
Umsatz in 1000 DM
1 2 3 4 5 6
8000 8900 10500 11800 12400 13500
Die Geschäftsleitung steUt folgende Fragen: 1. Welcher Trend soUte bei dieser Zeitreihe unterstellt werden? 2. Es soll eine lineare Trendfunktion angenommen und berechnet werden! 3. An Hand der Trendfunktion ist der Absatz für die Jahre 7 und 8 zu schätzen! 4. Es ist ermittelt worden, daß innerhalb eines Jahre saisonale Schwankungen multiplikativer Art auftreten. Als Werte wurden errechnet: 1. Tertial SI = 1,4 2. Tertial S2 = 0,5 3. Tertial S3 = 1,1 51
5.
Für das Jahr 7 sind die durchschnittlich zu erwartenden Umsatzwerte für die 3 Tertiale zu schätzen!. Welche Vorbehalte sind für die Analyse geltend zu machen?
Lösung zu Fall 11:
1.
Die Wachstumsproportionen zwischen den einzelnen Zeitpunkten sind in etwa konstant:
89 80 = 1,11
105 = 1 18 89 '
118 105
=
1,12
124
Os
135 124 = 1,09
= 1,05
dies, und auch das Streuungsdiagramm, deuten auf einen linearen Trend hin. 2.
Der lineare Trend berechnet sich über die Methode der kleinsten Quadrate: y=a+b·x
1. Lösungsansatz: I. na + b ~ x = ~ Y 11. a ~ x + b ~ x 2 = ~ xy
2. Lösungsansatz: Bedingung ~ x =
I.
~y
°
a =n
~xy
11. b = ~X2
Arbeitstabelle :
52
2. Lösungsansatz
1. Lösungsansatz
Umsatz in 1000 DM (y)
x2
xy
x
1 2 3 4 5 6
8000 8900 10500 11800 12400 13500
1 4 9 16 25 36
8000 17800 31500 47200 62000 81000
-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5
21
65100
91
247500
0
Jahr (x)
x2
xy
6,25 -20000 2,25 -13350 0,25 - 5250 0,25 5900 18600 2,25 33750 6,25 17,50
19650
65100 I. a = - - = 10850 6 19650 ll. b = - - = 1122,86 17,50
I. 6a + 21b = 65100 ll.21a + 91b = 247500
y = 6920 + 1122,86 x
9 = 10850 + 1122,86 x Die Werte wurden um 3,5 Zeiteinheiten nach rechts verschoben, deshalb Rücktransformation: y = 10850 + 1122,86 (x-3,5) y = 6920 + 1122,86 x
3.
Der Prognosewert ergibt sich durch Einsetzen:
Y7 = 6920 + 1122,86 Y8 = 6920 + 1122,86
4.
7 8
= 14780,02 = 15902,88
gerundet: 14780
Das Jahr 4 ist auf die drei Tertiale aufzuteilen und anschließend ist die Saison einzurechnen: Pro Tertial: 14780 : 3 = 4926,0 Da multiplikative Verknüpfung besteht, gilt: y = T . S 4927 . 1,4 = 6898 Tertial I: Tertialll: 4927 . 0,5 = 2464 4927 . 1,1 = 5420 Tertial III: Das Unternehmen kann im Jahr 7 aufgeteilt nach den Tertialen I bis III mit 6898.-, 2464.- und 5420.- DM Umsatz rechnen, wenn die wirtschaftlichen Bedingungen konstant bleiben.
5.
Es handelt sich um eine ex post-Analyse d.h. die Berechnungen beruhen auf den Werten der Vergangenheit; jeder Vergangenheitswert geht mit dem gleichen Gewicht in die Berechnung ein, obwohl die letzten Werte die Entwicklung sicherlich stärker wiedergeben als die Werte aus weit zurückliegenden Jahren. Die Analyse ist nur dann für die Zukunft gültig, wenn die wirtschaftlichen Bedingungen gleich bleiben d.h. wenn keine gravierenden Änderungen in konjunktureller oder auch betrieblicher (Konkurrenz, Rationalisierung etc.) Hinsicht eintreten. Die klassische Zeitreihenanalyse, die hier angewandt wurde, geht von einer Modellvorstellung der Verbindung von Trend, Saison und Restkomponenten aus, die etwas vereinfacht ist und statischen Charakter hat. Trotz der Vorbehalte können die errechneten Werte der Unternehrnungsleitung als Planungsgrößen empfohlen werden, wenn sie sich der Vorbehalte bewußt ist. 53
.,. . .;r
PrognOK. 14 780
I~
14000
Sal100tintluß
IlOOO
I.!OOO
11000
10000
)' • M:!O .. 1121.86"
5 3.5
I.S
0.5
0.5
1.5
1.5
3.5
4.5
Fall III: Marktanteile Ein Unternehmen hat einen Artikel zur Energieeinsparung auf den Markt gebracht und in der Vergangenheit sehr gute Erfolge damit erzielt, wie die Entwicklung der Marktanteile zeigt: Jahr 1 2 3 4 5
6 7
Marktanteil in % 19,3 17,2 21,7 24,6 23,2 28,9 32,1
Die Marketingabteilung überlegt sich, ob eine Aktion gestartet werden sollte; vor dieser Entscheidung, möchte sie aber erst die Vergangenheitswerte analysieren lassen. 54
1.
Der Trend der Entwicklung ist als mathematische Trendfunktion zu bestimmen. Da die Entwicklung ansteigend erscheint, soll berechnet werden: a) eine exponentielle Trendfunktion b) eine parabolische Trendfunktion
2.
über den Grad der Anpassung soll festgestellt werden, welche der beiden Funktionen sich der vergangenen zeitlichen Entwicklung besser anpaßt.
3.
Der Marktanteil ftir die Periode 8 ist zu schätzen, wobei auch die Vorbehalte bei der Trendprognose zu nennen sind.
4.
Der Marketingabteilung ist bekannt, daß sich die Umsätze pro Jahr, bedingt durch saisonale Einflüsse, wie folgt auf die Quartale verteilen: Q1 = 20% Q2 = 25% Q3 = 35% Q4 = 20%. Von einem Wirtschaftsinstitut liegt eine Schätzung über die Aufnahmefähigkeit des Gesamtmarktes vor; sie wird ftir J8 mit 12,6 Mio. DM möglichen Umsatz angegeben. Mit welchen Umsatzwerten ftir das Jahr 8, aufgeteilt auf die Quartale, kann die Marketingabteilung rechnen?
Lösung zu Fall III: 1a) Die Lösungsgleichungen ftir den exponentiellen Trend ergeben sich durch Linearisierung der exponentiellen Funktion über Logarithmen: y = a . bX
log y = log a + x . log b
oder
Setzt man die ~x = 0, so ergibt sich über die beiden Lösungsgleichungen der linearen Trendfunktion : I.
log a
II.
log b
~
logy n
=
~
x . log y ~ x2
Arbeitstabelle: Zeit (x) 1 -3 2 -2 3 -1 4 0 1 5 6 2 7 3 0
Marktanteile (y) 19,3 17,2 21,7 24,6 23,2 28,9 32,1
log y
x2
1,286 1,236 1,336 1,391 1,365 1,461 1,507
9 4 1 0 1 4 9
-3,858 -2,472 -1,336 0 1,365 2,922 4,521
9,582
28
1,142
X
•
log Y
55
log a
1.
= 9,582 = 7
11. log b = 1;1842
1,369
= 0,041
dJ.: log y = 1,369 + 0,041x Rücktransformation der Zeitreihenwerte : log y = 1,369 + 0,041 (x - 4) Die Trendfunktion lautet: y = 16,03 . l,lx 1b) Die Parabelgleichung erhält man über die Methode der kleinsten Quadrate und dem daraus resultierenden Bestimmungssystem: y
=a +b
. x + c . x2
na + b L x + C L x 2 = L y a L x + b L x 2 + C L x 3 = L xy aL x 2 + b L x 3 + CL x4 = L x 2 y
1. 11. III.
Arbeitstabelle : Zeit (x)
Marktanteile (y)
x2
x3
x4
xy
x2 y
1 2 3 4 5 6 7
19,3 17,2 21,7 24,6 23,2 28,9 32,1
1 4 9 16 25 36 49
1 8 27 64 125 216 343
1 16 81 256 625 1296 2401
19,3 34,4 65,1 98,4 116,0 173,4 224,7
19,3 68,8 195,3 393,6 580,0 1040,4 1572,9
28
167,0
140
784
4676
731,3
3870,3
I. II. III.
7a + 28b + 140c = 167 28a + 140b + 784c = 731,3 140a + 784b + 4676c = 3870,3
Durch Lösung des Gleichungssystems ergibt sich als parabolischer Trend: y 2.
= 18,18
Der Grad der Anpassung ist im Prinzip die Standardabweichung der empirischen Werte von der Trendfunktion; er berechnet sich nach:
s=j 56
+ 0,02x + 0,28x 2
L (y _ T)2
n-p
i
Arbeitstabelle : Zeit
expo.-Funktion
Marktanteile
y-T
T
1 2 3 4 5 6 7
19,3 17,2 21,7 24,6 23,2 28,9 32,1
17,63 19,40 21,34 23,47 25,82 28,40 31,24
1,67 -2,20 0,36 1,13 -2,62 0,50 0,86
167,0
Parabel (y _ T)2
2,79 4,84 0,13 1,28 6,86 0,25 0,74
=
j
-0,82 -2,14 0,94 1,86 -2,08 0,52 0,06
18,48 19,34 20,76 22,74 25,28 28,38 32,04
16,89
(y _ T)2
0,67 4,58 0,88 3,46 4,33 0,27 0,01 14,20
parabolischer Trend:
expo. Trend: S
y-T
T
16,89'= + 7_ 2 - 1,84
S
=
j
14,20 1= ± 188
7 -3
'
Aus Gründen besserer Vergleichbarkeit relativieren wir den Grad der Anpassung: V = _s- . 100 ~Y
n
V = 1,88 . 100 = 7,88% 167
V = 1,84 . 100 = 7,71% 167 7
7
Sowohl der exponentielle Trend wie auch der parabolische Trend passen sich sehr gut an die empirische Reihe an; beide Funktionen können für die weitere Analyse herangezogen werden. 3.
Die Marketingabteilung nimmt an, daß die weitere Entwicklung dem exponentiellen Trend folgt und zieht diesen zur Berechnung des Schätzwertes für Jahr 8 heran: Yp8
= 16,03 . 1,1 8 = 34,36
Wenn die wirtschaftlichen Bedingungen konstant bleiben und sich damit das Konkurrenzverhalten und die konjunkturelle Situation nicht ändert und keine technischen Entwicklungen die Marktsituation beeinflussen, kann im Jahr 8 mit einem Marktanteil von 34,36% gerechnet werden. 4.
Über den Gesamtmarkt und den möglichen Marktanteil kann der mögliche Umsatz bestimmt werden: Gesamtmarkt: eigener Markt:
12,6 Mio. DM
x
= =
100% 34,36% 57
x
= 12,6 100 . 34,36 = 433 M' DM ' 10.
Das Unternehmen kann mit folgenden Quartalsumsätzen rechnen: Quartal I: Quartal II: Quartal III: Quartal IV:
20% 25% = 35% 20% =
0,866 Mio. 1,083 Mio. 1,516 Mio. 0,866 Mio.
DM DM DM DM
Fall IV: Verbrauchsmengenanalyse Eine kleine Privatbrauerei hat sich auf ein PILS der Spitzenklasse spezialisiert und bietet EXPORT-Bier lediglich als Serviceleistung seinen Abnehmern an. In den vergangenen fünf Jahren wurden folgende Verbrauchsmengen beobachtet: Jahr Verbrauch PILS in 1000 hl Verbrauch EXPORT in 1000 hl insgesamt
1
2
3
4
5
31,2
33,6
34,8
38,2
44,1
4,1
4,6
3,8
4,0
4,4
35,3
38,2
38,6
42,2
48,5
Der Besitzer der Brauerei stellt folgende Fragen: 1. Wie läßt sich der grafische Verlauf der drei Reihen interpretieren? 2. Die zyklische, immer wiederkehrende, Komponente für den Verbrauch an PILS und EXPORT ist zu bestimmen! 3. Der für das Jahr 6 zu erwartende Verbrauch an PILS und EXPORT ist zu schätzen! 4. Wie könnte man in diesen Falle, ohne die zyklische Komponente, den Verbrauch noch schätzen? 5. Der Brauereibesitzer weiß, daß die Kapazitätsgrenze bei 55000 hlliegt; wann ist diese Grenze erreicht?
Lösung zu Fall IV: Die Verbrauchssteigerungen sind auf die gestiegenen Mengen bei PILS zurückzuführen. Bei allen drei Kurven kann eine lineare Entwicklung unterstellt werden. Es kann von einer multiplikativen Verknüpfung von Trend und zyklischer Komponente ausgegangen werden, denn die Differenz zwischen PILS und EXPORT nimmt in Abhängigkeit vom Trend zu. Es gilt daher als Modell: 58
y = T . S
T = langfristige Entwicklungstendenz S = zyklische Komponente, die die langfristigen Einflußgrößen angibt
wobei:
Verbrauch in 1000 hl
(y)
50 40 GESAMT
30
,
PILS
20 10
EXPORT 2
2.
3
4
5
Jahre x
T Die zyklische Größe errechnet sich aus: S = y Jahr 1 2 3 4 5
GesamtVerbrauch
PILS
35,3 38,2 38,6 42,2 48,S
31,2 33,6 34,8 38,2 44,1
EXPORT
4,1 4,6 3,8 4,0 4,4
zyklische Abweichung PILS
EXPORT
0,88 0,88 0,90 0,91 0,91
0,12 0,12 0,10 0,09 0,09
4,48
0,52
Zyklische Abweichung im Durchschnitt:
= SEXPO =
d.h.:
4,48
5
= 09 '
°552 = 0,1
längerfristig gesehen muß die Brauerei von einem Verhältnis von 90% PILS und 10% EXPORT ausgehen. 59
3.
Der lineare Trend errechnet sich über die Methode der kleinsten Quadrate; als Bestimmungsgleichungen ergeben sich: Bedingung L x = 0 I.
11.
na + b L x = L Y a L x + b L x 2 = L xy Gesamtverbrauch
Jahr (x)
oder
x2
a=~
II.
b = L x2
LXY
xy
-2 -1 0 1 2
35,3 38,2 38,6 42,2 48,5
4 1 0 1 4
-70,6 -38,2 0 42,2 97,0
LX=
0
202,8
10
30,4
I.
202,8 a=-5
11.
b = 30,4 10
1 2 3 4 5
LY
I.
= 40,6 3,04
Trendfunktion: 9 = 40,6 + 3,04x Trendprognose: 96 = 40,6 + 3,04 . 3 = 49,72 aufgeteilt auf PILS und EXPORT: Y = T . S PILS = 49,72 0,9 = 44,75 EXPO = 49,72 . 0,1 =
4,98
Interpretation: Die Brauerei kann, bei gleichen wirtschaftlichen Bedingungen, im Jahr 6 mit einem Verbrauch von 44800 hl PILS und 4980 hl EXPORT rechnen. 4.
Der Verbrauch hätte auch über eine selbständige Trendfunktion für PILS und EXPORT geschätzt werden können, wobei die zyklische Komponente nicht berücksichtigt worden wäre.
5.
Über die Trendfunktion ergibt sich: 55 = 40,6 + 3,04x x = 4,74 Die Brauerei muß bei gleichbleibender Entwicklung und konstanten wirtschaftlichen Bedingungen damit rechnen, daß im Jahr 8 (Jahr 3 entspricht 0) die Kapazitätsgrenze erreicht wird.
60
Fall V: Jahresumsätze
Ein Versandhandelsgeschäft hat einen saisonabhängigen Artikel in das Verkaufssortiment aufgenommen. Die Lagerhaltung für diesen Artikel soll sich der Nachfrage in etwa anpassen, um auf der einen Seite kein Kapital zu binden, auf der anderen Seite aber jederzeit lieferbereit zu sein. Auf Grund der Analyse der letzten drei Jahresumsätze soll eine Empfehlung ftir die Lagerhaltung abgegeben werden. Es wurden folgende Umsätze beobachtet: Zeit
Umsätze in 1000 DM
Jahr 1:
1. Tertial 2. Tertial 3. Tertial
65 82 96
Jahr 2:
1. Tertial 2. Tertial 3. Tertial
98 115 126
Jahr 2:
1. Tertial 2. Tertial 3. Tertial
128 142 156
Die 1. 2. 3.
Geschäftsleitung fragt: Wie groß ist der Einfluß der Saison in jedem Tertial? Schätzen Sie die möglichen Umsätze für das Jahr 4 aufgeteilt nach Tertialen! Welche Empfehlungen für die Lagerhaltung werden auf Grund der Analyse ausgesprochen?
Lösung zu FaD V:
1.
Die Berechnung der Saisonkomponente erfolgt in drei Schritten: 1. Schritt: Berechnen des Trends als Vergleichszeitreihe 2. Schritt: Festlegen der Modellannahme (additive oder multiplikative Verknüpfung von Trend und Saison) und Berechnen der Saisoneinflüsse 3. Schritt: Berechnen derSaisonkomponente als arithmetisches Mittel aus den Saisoneinflüssen. In diesem Beispiel sollen zwei Berechnungen alternativ durchgeführt werden, und zwar: 1. Trendberechnung über gleitende 3er Durchschnitte und additive Modellannahme 2. Trend als lineare Trendfunktion und multiplikative Modellannahme! (Trend: YT = 59 + 10,6 x)
61
Umsatz in 1000
Zeit
DM (y)
J. 1/1
2 3
J. J.
1. Alternative Trend (T)
81 92
65 82 96
2. Alternative
Saison s = y - T 1
2
3
0,93
3
101,4 112,0 122,6
0,97
0,96
-
133,2 143,8 154,4
1 4
2/1 98 2 115 3 126
103 113 123
3/1 128 2 142 3 156
132 142 -
-4
2
0 -9
3
1
69,6 80,2 90,8
-
-5
Saison s =~
Trend (T)
1,06 1,03 1,03 0,99 1,01 2,86 3,04 3,10
S1
= 2,86 = 095
= - = 1,0
3 3
S2
= 3,04 = 1,01
7 = 35 3 '
S3
= 3,10 = 1,03
S1
= -
S2
S3
= -
3
1,02
7
-9 = -4,5 3
2
3
'
3 3
Interpretation der 1. Alternative: Der Einfluß der Saison ist im 1. Tertial negativ und zwar im Durchschnitt wird 4500 DM weniger Umsatz erzielt; in den beiden nächsten Tertialen ist er positiv, und zwar im Durchschnitt um 1000 DM und 3500 DM. Interpretation zur 2. Alternative: Der Einfluß der Saison ist im 1. Tertial negativ und zwar im Durchschnitt um 5%; in den beiden anderen Tertialen ist er positiv und zwar im Durchschnitt um 1% und 3%. 2.
Die Umsätze lassen sich nach der 1. oder 2. Alternative schätzen: 1. Alternative: - additives Modell - Trend per gleitenden Durchschnitt Der Nachteil des Modells besteht darin, daß wir für den Trend keinen Wachstumsfaktor haben; aus diesem Grund nehmen wir an, daß das Wachstum des Vorjahres erneut eintritt. Trend
Zeit
J 2/2
3
J 3/1
2 3
J 4/1
2 3
62
113123
Wachstum
geschätzter Trend
==- 10
~9
132=:::: r142-
10 152 161 171 181
Der Schätzwerte ftir den Umsatz ergibt sich durch einbeziehen von Trend und Saison:
Y= T + S YJ4/1 = YJ4/2 = YJ4/3
=
161 + (-9) 171 + 3 181 + 7
= 152
174 188
2. Alternative:
- multiplikatives Modell - Trend per linearer Trendfunktion Schätzen der Trendwerte flir Jahr 4:
10 = 165 11 = 175,6 12 = 186,6
YT 59 + 10,6 YT = 59 + 10,6 YT = 59 + 10,6
Der Schätzwert für den Umsatz ergibt sich durch Einbeziehen von Trend und Saison: Y =T . S
165 YJ4/1 YJ4/2 = 175,6 YJ4/3 = 186,6 3.
0,9
= 156,75
1,01 = 177,36 . 1,03 = 192,20
Aus den vorgegebenen Umsatzzahlen ist nicht eindeutig ersichtlich, ob es sich um ein additives oder multiplikatives Modell handelt. Die geschätzten Umsatzwerte des multiplikativen Modells liegen mit 156750 DM, 177360 DM und 192200 DM flir die Teriale in Jahr 4 über denen des additiven Modells, deshalb sollten diese Werte aus Gründen der Vorsicht und der stetigen Lieferbereitschaft für die Lagerhaltung zu Grunde gelegt werden.
Fall VI: Jahresumsatzanalyse Ein Einzelhandelsgeschäft in der Bekleidungsbranche führt eine Artikelgruppe, die stark saisonabhängig ist. Es soll deshalb für diese Gruppe der Saisoneinfluß ermittelt werden, wobei von folgenden Umsätzen der letzten drei Jahre auszugehen ist: Umsätze in 1000 DM Jahr Jan. Febr. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.
1 2 3
8 12 18
9 11
16
12 14 18
14 15 19
12 14 17
11
13 17
12 14 18
12 15 19
13 17 19
14 18 20
15 18 21
20 27 31
63
Im Einzelnen soll für die Geschäftsleitung erstellt bzw. berechnet und interpretiert werden: 1. Die Jahressaisonfigur 2. Die Restkomponente und die saisonbereinigte Reihe 3. Die Ergebnisse sind grafisch darzustellen!
Lösung zu Fall VI:
1.
Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten; vgl. hierzu die Arbeitstabelle: 1. Schritt: Die grafische Analyse der Entwicklung der Zeitreihe zeigt, daß von einer additiven Verknüpfung von Trend, Saison und Restkomponente ausgegangen werden kann d.h.: y=T+S+R 2. Schritt: Da Monatswerte gegeben sind, wird die glatte Komponente/Trend mit Hilfe zentrierter, gleitender 12er Durchschnitte ermittelt d.h.:
TI
-21 . 8 + 9 + 12 + 14 + 12 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14 + 15 + 20 + -21 . 12 12 12,83 usw.
3. Schritt: Die Größe des Saisoneinflusses errechnet sich für jeden Monat nach s = y - T d.h.:
S7
= 12 - 12,83 = -0,83 usw.
4. Schritt: Die konstante Saisonfigur ergibt sich aus dem Durchschnitt der jeweiligen, monatlich zusammengehörigen Saisonwerte: d.h.:
sJahr 1,7 + sJahr 2,7
(-0,83) + (-1,92)
2
2
-1,38 usw. (Hinweis: aus der Addition der Werte ergibt sich meist eine Differenz, die auf die 12 Monate zu je 1/12 aufgeteilt werden kann!) 64
Interpretation: Die konstante Saisonfigut sagt aus, daß bedingt durch den saisonalen Einfluß der Umsatz im Monat Januar im Durchschnitt um 1380 DM unter dem Trend liegt.
Arbeitstabelle zur Berechnung der Saisonfigur: Jahr
Monat
Umsatz
1
J F M A M J J A S 0
8 9 12 14 12
N D
2
J F M A M J J A S 0 N D
3
J F M A M J J A S 0 N D
Trend
Saison
11
12 12 13 14 15 20 12 11
14 15 14 13 14 15 17 18 18 27 18 16 18 19 17 17 18 19 19 20 21 31
12,83 -0,83 13,08 -1,08 13,25 -0,25 13,38 0,62 13,50 1,50 13,67 6,33 13,83 -1,83 14,04 -3,04 14,33 -0,33 14,67 0,33 14,96 -0,96 15,38. -2,38 15,92 -1,92 16,38 -1,38 16,75 0,25 17,08 0,92 17,38 0,62 17,67 9,33 18,00 18,33 18,58 18,75 18,96 19,25
0,00 -2,33 -0,58 0,25 -1,96 -2,25
Konstante Saisonfigur -0,92 -2,69 -0,46 0,29 -1,46 -2,32 -1,38 -1,23 0,0 0,77 1,06 7,83 -0,92 -2,69 -0,46 0,29 -1,46 -2,32 -1,38 -1,23 0,0 0,77 1,06 7,83 -0,92 -2,69 -0,46 0,29 -1,46 -2,32 -1,38 -1,23 0,0 0,77 1,06 7,83
Restkomponente
0,55 0,15 --0,25 -0,15 0,44 -1,50 -0,91 -0,35 0,13 0,04 0,50 -0,06 -0,54 -0,15 0,25 0,15 -0,44 1,50 0,92 0,36 -0,12 -0,04 -0,50 0,07
Sainsonreinigte Reihe 8,92 11.69 12,46 13,71 13,46 13,32 13,38 13,23 13,00 13,23 13,94 12,17 12,92 13,69 14,46 14,71 15,46 15,32 15,38 16,23 17,00 17,23 16,94 19,17 18,92 18,69 18,46 18,71 18,46 19,32 19,38 20,23 19,00 19,23 19,94 23,17
65
Die Restkomponente errechnet sich aus der Differenz von R = y - T - S
2.
d.h.:
Rn ,7 = 12 - 12,83 - (-1,38)
0,55
usw.
Interpretation: Die Restkomponente ist derjenige Anteil des empirischen Wertes, der weder der Saison noch dem Trend zugeschrieben werden kann; sie wird auf den Zufall oder einmalige Ereignisse zurückgeführt. Jetzt läßt sich die saisonbereinigte Reihe ermitteln aus S
y -
s
in
IOO~l
Ursprungsreihe: Monatliche Umsätze
30
~j
Jahr :.!
Jahr I
Jahr 3
"I I o
I
-t--+-I-,r--
= p (l-p) n
N-n N-1
ist. Lösung zu Fall I: 1.
p - Anteil der grünen Gummibären in der Grundgesamtheit ; Anteil der grünen Gummibären in der Stichprobe (Schätzfunktion); Anteil der grünen Gummibären in der Stichprobe (Schätzwert).
PP-
Mögliche Stichproben ohne Zurücklegen (mit Berückssichtigung der Reihenfolge)
Werte der Schätzfunktion P (Mögliche Stichprobenanteile Pj)
1
2 1
1 2 1
2 1 2 N!
(N-n)!
EP
3' = ...:. =6 1!
1 6 = - k
6
j= 1
"-
Pj
2
3
p. 137
2.
!
VP
JI
Itkritl = 2,17 Ho wird verworfen: Die Unge von 2,10 m wird bei den Profilbrettem im Durchschnitt nicht eingehalten.
2.
Formulierung der Hypothesen: Ho:
1l~llo
H 1 : Il > Ilo
=3 =3
Prüfungsvoraussetzungen : Prüfgröße
X-Ilo
T = --u
Vn 153
ader Grundgesamtheit ist unbekannt und muß durch s der Stichprobe geschätzt werden. Deshalb ist T vom Modellansatz her studentverteilt, kann aber unter den gegebenen Bedingungen durch die Normalverteilung approximiert werden.
Irrtumswahrscheinlichkeit a
= 0,03
~
= 1,88
t krit
Berechnung der Stichprobenparameter und der Prüfgröße: n = 100; x und s müssen aus den Beobachtungswerten der Stichprobe berechnet werden. fi
Xi
°1
Xi f i
°
10 14 16 9 17 16 8 7 2 1
14 32 27 68 80 48 49 16 9
100
343
LXi f i
343
2 3 4 5 6 7 8 9
(Xi - i)
(Xi - i)2
(x.- i)2 f.
-3,43 -2,43 -1,43 -0,43 0,57 1,57 2,57 3,57 4,57 5,57
11,76 5,90 2,04 0,18 0,32 2,46 6,60 12,74 20,88 31,02
117,65 82,67 32,72 1,66 5,52 39,44 52,84 89,21 41,77 31,02
= - n - = Wo = 3,43
S
=
2
L(Xi :
X -fJ.o t pr = - s -
I
494,50
X
j
I
X) f i
i
494,50 100
2,22
3,43 - 3 _ 2,22 1,94
v'I05' Entscheidung über Ho: t pr
=
1,94
> t krit = 1,88
Ho wird abgelehnt: Das Höchstmaß von drei Astlöchern im Mittel wird in der lieferung überschritten.
Fall 111: Preisakzeptanz Ein Unternehmen der Haushaltsartikelbranche, das ftir ein besonders elegantes Design seiner Produkte bekannt ist, plant, ein exquisites Wegwerf-Feuerzeug auf den Markt zu bringen. Das zuständige Produktmanagement hat neben den Problemen, die sich unter Imageaspekten aus der Integration dieses Neuproduktes in die bisherige Produktpalette ergeben, 154
auch bezüglich der Preisbildung mit Unsicherheiten fertig zu werden. Unter Kostengesichtspunkten liegt die Untergrenze für den Endverbraucherpreis bei DM 7,90 und damit erheblich über dem allgemeinen Niveau in dieser Produktgattung. Da die Bedeutung des Preises als Stimulus der Kautbereitschaft und Bestimmungsfaktor der Nachfrage bekannt ist, soll das Risiko fehlerhafter Preisgestaltung möglichst klein gehalten werden. So entschließen sich die betrieblichen Marktforscher, auch die Preiserwartung potentieller Käufer im Rahmen von Motivstudien und Tests, die die Produktentwicklung begleiten, ermitteln zu lassen. Die konkrete Testfrage, die hier aufgenommen wurde, lautet: "Was dürfte nach furer Meinung das Produkt kosten, das ich funen hier zeige?" Die Erhebung wurde an 75 zufallig ausgewählten Personen aus einem regionalen Klumpen (Cluster) der Zielgruppe vorgenommen. Die Grundauszählung des Erhebungsmerkmals "Preiserwartung" lieferte folgende Häufigkeitsverteilung für einzelne Preisklassen: Preise in DM von ... bis unter ... 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50
Häufigkeit
- 5,50 - 6,00 - 6,50 - 7,00 - 7,50 - 8,00 - 8,50 - 9,00 - 9,50 - 10,00
1
o 6
7 14
12 18 11 4 2
Ist damit unter statistischen Gesichtspunkten der kalkulatorisch ermittelte Mindestpreis für die potentiellen Verbraucher des Stichprobenpoints noch akzeptabel? Die Entscheidung soll mit 95%igem Sicherheitsgrad getroffen werden.
Lösung zu Fall III: Formulierung der Hypothesen: Ho: /J;;' /Jo = 7,90 H l : /J Itkrit I = 1,96 Ho wird abgelehnt: Es kann nicht davon ausgegangen werden, daß der Unterschied zwisehenden Ergebnissen beider Testgruppen zufallig zustande gekommen ist. Die Etikettenentwürfe A und B werden signifikant unterschiedlich beurteilt.
160
Fall VI: Anzeigenwirkung
Ein Verlag läßt von Institutsmarktforschern Untersuchungen über den Einfluß der Seitengröße von Zeitschriften auf die Anzeigenwirkung durchfuhren. Im Abschlußbericht heißt es dazu: "über die erste relevante Betrachtungsebene bei Anzeigen, ihre Wahrnehmungseigenschaften, geben Erinnerungs- und Wiedererkennungsergebnisse Aufschluß. An diesen Recall- und Recognitionswerten ist die zentrale Frage zu prüfen, ob der Beachtungsgrad ganzseitiger Anzeigen von verschiedenen Seitengrößen beeinflußt wird." 1.
Zur Ermittlung entsprechender Daten wurden gleiche Anzeigen daher in Zeitschriften mit Groß- und Kleinseitenformat geschaltet und unabhängig voneinander bei je 600 zufällig ausgewählten Versuchspersonen getestet. Bei der Anzeige "Buba" sehen die Recallwerte so aus: In der Gruppe, die das Großseitenformat vorgelegt bekam, konnten sich 37 % an diese Anzeige erinnern, in der anderen 34 %. Kann hier statistisch abgesichert mit einem Sicherheitsgrad von 95 % behauptet werden, daß die "Erinnerungsprozentsätze" nicht signifikant verschieden sind?
2.
Die Recognitionswerte mußten in anderen Testgruppen überprüft werden. Aus Kostengründen wurde der Umfang der Zufallsstichproben hier kleiner gewählt. Die Anzeige "Buba" wurde 73 Personen in Zeitschriften mit Großseitenformat und 52 Personen in solchen mit Kleinseitenformat vorgelegt. Beim Großseitenformat erkannten 45 %, beim Kleinseitenformat 47 % der Versuchspersonen die Anzeige wieder. Ist hier ein signifikanter Unterschied zwischen den Testgruppen festzustellen, wenn der Sicherheitsgrad 95 % beträgt?
Lösungen zu Fall VI:
1.
Formulierung der Hypothesen:
Ho : PI = P2 H I :PI =1= P2 Prüfungsvoraussetzungen :
Prüf öße gr
. PI - P 2 T = --;:;::;;:;==:=-;--~===.
yP(l -
pi
j
nl + n2 nl n2
1
T ist unter den vorliegenden Bedingungen standardnormalverteilt. 161
Sicherheitsgrad 1 - a
= 0,95;
a
= 0,05
- I tkritl
= 1,96
Berechnung der Priifgröße:
= n2 = 600
nl A
P
=
PI + P2 2
t pr =
=
PI
= 0,37
0,37 + 0,34 2
= 0,36
PI -P2
=
-yr.p;:;(;::=1=_=;;pm)'-j'---r=n=1=::+=n:::::;2'
---;;::::;;:;:=0,~37;:::;--....;..0''134:::;;::;~~ ~ 0,36 . 0,64'
600 + 600
= 1,08
nl n2 Entscheidung über Ho:
I tpr I = 1.08 < 1t krit I = 1,96 Ho wird angenommen: Es kann davon ausgegangen werden, daß bei der Anzeige "Buba" bezüglich der Recallwerte kein signifikanter Unterschied zwischen Groß- und Kleinseitenformat auftritt. 2.
Formulierung der Hypothesen: Ho: PI = P2 HI : PI P2 Priifungsvoraussetzungen:
"*
Priifgröße
PI -P2 T = -;:;;:::;:::~:;-~===::==, ~P(l-P)' nl +n2' nl n2
j
T ist unter den vorliegenden Bedingungen standardnormalverteilt. Sicherheitsgrad 1 - a
= 0,95;
a
= 0,05
-
Itkritl
= 1,96
Berechnung der Prüfgröße : . nl =
~
,p t
n2 =
73
= 0,45
PI
= nl _
pr
_
P2
PI +n2 P2
52
= 0,47
=
73' 0,45 + 52· 0,47 73 + 52
°
yp(l-'p)
Entscheidung über Ho:
I tpr I = 0,22 < 162
'
= --,;~:::;:' 45:;:;---=.:, 0 47 ~;::::::=;::;;; = _ 0,22 jn l +n2' ~0,46'0,54' 73+52 nl n2 73·52
",.1 - pA 2
r.
= 046
1 tkritl
= 1,96
Ho wird angenommen: Es kann davon ausgegangen werden, daß bei der Anzeige "Buba" bezüglich der Recognitionswerte kein signifIkanter Unterschied zwischen Großund Kleinseitenformat auftritt.
Literatur: Bleymüller, J., Gehlert, G., Gülicher, H.: Statistik für,Wirtschaftswissenschaftler, München 1979. Claus, G., Ebner, H.: Grundlagen,der Statistik, 2. Auflage, Thun & Frankfurt/M 1977. Kreyszig, E.: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 3. Auflage, Göttingen 1968. Scharnbacher, K.: Statistik im Betrieb, 4. Auflage, Wiesbaden 1982.
163
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Ausgehend von der Datenbeschaffung über Maßzahlen, Index, Zeitreihenanalyse, Korrelations- und Regressionsrechnung, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu Problemen der Stichprobentheorie und dem Testen von Hypothesen werden die statistischen Methoden und ihre Anwendung im Betrieb aufgezeigt. Schritt für Schritt wird der Leser in die Statistik eingeführt, wobei auf mathematische Ableitungen nur insoweit eingegangen wird, als sie unumgänglich sind. Alle Formeln werden anhand von Beispielen erklärt, so daß dem Leser die Scheu vor dem Einsatz der statistischen Verfahren genommen wird. Besonderes Gewicht wird auf die Aussagen und Interpretationen von rechnerischen Ergebnissen gelegt. Zusätzliche Obungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen ermöglichen eine Lernkontrolle. Die überarbeitete 4. Auflage wurde auf den aktuellen Stand gebracht; des weiteren wurden Ergänzungen wie z. B. die Grundgedanken der exponentiellen Glättung eingefügt.
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