Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme: Lernen mit Videoexperimenten und Co. [1 ed.] 978-3-662-54478-5, 978-3-662-54479-2

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XVI
Einleitung (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 1-6
Kinematik des Massepunktes (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 7-32
Dynamik des Massepunkts (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 33-64
Bewegte Bezugssysteme (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 65-94
Systeme von Massepunkten, Stöße (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 95-117
Dynamik starrer ausgedehnter Körper (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 119-141
Reale feste und flüssige Körper (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 143-173
Gase und Thermodynamik (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 175-197
Strömende Flüssigkeiten und Gase (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 199-228
Mechanische Schwingungen und Wellen (Sebastian Gröber, Pascal Klein, Jochen Kuhn, Anett Fleischhauer)....Pages 229-250

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Sebastian Gröber · Pascal Klein Jochen Kuhn · Anett Fleischhauer

Smarte Aufgaben zu Mechanik und Wärme Lernen mit Videoexperimenten und Co.

Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme

Sebastian Gröber  Pascal Klein  Jochen Kuhn  Anett Fleischhauer

Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme Lernen mit Videoexperimenten und Co.

Sebastian Gröber Fachbereich Physik/Didaktik der Physik Technische Universität Kaiserslautern Kaiserslautern, Deutschland

Jochen Kuhn FB Physik Universität Kaiserslautern Kaiserslautern, Deutschland

Pascal Klein Fachbereich Physik/Didaktik der Physik Technische Universität Kaiserslautern Kaiserslautern, Deutschland

Anett Fleischhauer Technische Universität Kaiserslautern Kaiserslautern, Deutschland

Abbildungen von Aufgaben und Musterlösungen: Josef Sniatecki Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf http://extra.springer.com. ISBN 978-3-662-54478-5 DOI 10.1007/978-3-662-54479-2

ISBN 978-3-662-54479-2 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Einbandabbildung: AG Didaktik der Physik Planung: Dr. Lisa Edelhäuser Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Deutschland Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Vergleich der Aufgabenformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Videoanalyse als Messverfahren und Auswertungswerkzeug 1.3 Bearbeitungshinweise zu VA- und mVA-Aufgaben . . . . . .

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1 2 3 5

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Kinematik des Massepunktes . . . . 2.1 Eindimensionale Bewegungen . 2.2 Zweidimensionale Bewegungen 2.3 Lösungen . . . . . . . . . . . . . .

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7 7 8 13

3

Dynamik des Massepunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Kräfte und Grundgleichungen der Mechanik . . . . 3.2 Energiesatz der Mechanik, Arbeit und Kraftfelder 3.3 Gravitation und Planetenbewegung . . . . . . . . . 3.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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33 33 36 40 40

4

Bewegte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Relativbewegungen und Galilei-Transformation . 4.2 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte 4.3 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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65 65 67 70 72

5

Systeme von Massepunkten, Stöße 5.1 Zentrale Stöße . . . . . . . . . . 5.2 Beliebige Stöße . . . . . . . . . 5.3 Lösungen . . . . . . . . . . . . .

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. 95 . 95 . 98 . 101

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper . . . . 6.1 Massenschwerpunkt ausgedehnter Körper 6.2 Trägheitsmoment und Erhaltungsgrößen . 6.3 Bewegungsgleichung der Rotation . . . . .

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119 119 120 123

V

VI

Inhaltsverzeichnis

6.4 6.5

Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7

Reale feste und flüssige Körper . . . . . . . . 7.1 Deformierbare feste Körper . . . . . . . . 7.2 Ruhende Flüssigkeiten, Hydrostatik . . . 7.3 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen 7.4 Reibung zwischen festen Körpern . . . . 7.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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143 143 145 147 148 150

8

Gase und Thermodynamik . . . . . . 8.1 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Temperatur und Wärmeenergie . 8.3 Hauptsätze der Thermodynamik 8.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . .

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175 175 177 179 180

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . 9.1 Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung . . . . . . . 9.2 Laminare Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Turbulente Strömungen und Strömungswiderstand 9.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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199 199 201 204 207

10

Mechanische Schwingungen und Wellen . . . . . . . 10.1 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . 10.3 Gekoppelte Oszillatoren und Wellenphänomene 10.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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229 229 231 232 235

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Übersicht der Aufgaben

Aufgabe 1: Überholvorgang (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2: Hüpfender Gummiball (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3: Strecksprung (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4: Schuss vom fahrenden Wagen (VA) . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 5: Blob Jump (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6: Zusammenhang kinematischer Größen (VA) . . . . . . . . . Aufgabe 7: Kreisbewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung (VA) Aufgabe 8: Wurf entgegen dem Hang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 9: Schuss vom hangabwärts beschleunigten Wagen (VA) . . . Aufgabe 10: Seilkräfte (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 11: Durch Gewicht beschleunigte Masse . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 12: Atwood’sche Fallmaschine (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 13: Statik am Balken (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 14: Rutschende Kette (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 15: Konservative und nichtkonservative Kraftfelder . . . . . . Aufgabe 16: Abgefedertes Fallen (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 17: Arbeit beim Bogenschießen (VA) . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 18: Loopingfahrt (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 19: Bahnkurven eines Satelliten im Gravitationsfeld der Erde Aufgabe 20: Satellitenbewegung um die Erde . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 21: Schiffsabdrift bei Flussüberquerung . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 22: Galilei-Transformation der Wurfbewegung (VA) . . . . . . Aufgabe 23: Regenbeobachtung beim Autofahren . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 24: Zykloidbewegung (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 25: Kettenkarussell (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 26: Translatorische Trägheitsbeschleunigung (VA) . . . . . . . Aufgabe 27: Effektive Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 28: Beschleunigungsmessung durch Trägheit (VA) . . . . . . . Aufgabe 29: Ostabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 30: Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm . . . . . . . Aufgabe 31: Lebensdauer von Myonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 8 8 8 9 10 11 12 12 33 34 34 35 36 36 37 38 39 40 40 65 65 66 66 67 68 68 69 70 70 71 VII

VIII

Übersicht der Aufgaben

Aufgabe 32: Gleichzeitigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 33: Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 34: Zentraler elastischer und inelastischer Stoß (VA) . . . . Aufgabe 35: Elastische Stöße mit Murmeln (mVA) . . . . . . . . . . Aufgabe 36: Astroblaster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 37: Zentraler inelastischer Stoß (VA) . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 38: Ballistisches Fadenpendel (VA) . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 39: Waggonbefüllung während der Fahrt . . . . . . . . . . . Aufgabe 40: Teilchenstreuung (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 41: Bewegung mit Massenänderung (mVA) . . . . . . . . . Aufgabe 42: Schwerpunkt einer auslaufenden Getränkedose . . . . . Aufgabe 43: Abwurf rollender Kugel (VA) . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 44: Schuss auf drehbare Platte (VA) . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 45: Stoß von Puck mit Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 46: Rollende Getränkedosen (mVA) . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 47: Newtons Grundgesetz der Rotation . . . . . . . . . . . . Aufgabe 48: Falltür (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 49: Maxwell’sches Rad (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 50: Torsionspendel (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 51: Belastung der Tragseile einer Hängebrücke . . . . . . . Aufgabe 52: Balkenbiegung (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 53: Rotierende Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 54: Heißluftballon in Atmosphäre konstanter Dichte . . . . Aufgabe 55: Wasserdruck am Meeresboden . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 56: Stabangeln (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 57: Bestimmung der Oberflächenspannung (VA) . . . . . . Aufgabe 58: Steighöhe von Flüssigkeiten in Kapillaren . . . . . . . . Aufgabe 59: Haften und Gleiten am Hang (VA) . . . . . . . . . . . . Aufgabe 60: Beschleunigen durch Reibung . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 61: Münzen schnippen (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 62: Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung Aufgabe 63: Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 64: Aufstieg eines Wetterballons . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 65: Gasverlust der Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 66: Geschwindigkeitsselektor für Molekularstrahlen . . . . Aufgabe 67: Verbiegen durch Erwärmen (VA) . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 68: Getränkekühlung mit Eiswürfeln (VA) . . . . . . . . . . Aufgabe 69: Selbstzünder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 70: Thermodynamischer Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 71: Leckende Wassertonne (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 72: Venturi-Rohr (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 73: Strahlverjüngung (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Übersicht der Aufgaben

Aufgabe 74: Absinken in zähen Medien (VA) . . . . . . . . . . . Aufgabe 75: Laminare Rohrströmung (VA) . . . . . . . . . . . . Aufgabe 76: Auslaufendes Gefäß (VA) . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 77: Ausrollversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 78: Fallen mit Luftreibung (VA) . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 79: Dynamischer Auftrieb am Tragflügel . . . . . . . . Aufgabe 80: Fallkegel (mVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 81: Rotierende Rolle im Flug (mVA) . . . . . . . . . . Aufgabe 82: Schwimmender schwingender Körper (VA) . . . . Aufgabe 83: Ungedämpftes und gedämpftes Federpendel . . . Aufgabe 84: Schwingung einer Wassersäule (VA) . . . . . . . . Aufgabe 85: Zungenfrequenzmesser . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 86: Gekoppelte vertikale und horizontale Federpendel Aufgabe 87: Gekoppelte Federschwinger (VA) . . . . . . . . . . Aufgabe 88: Doppler-Effekt mit Schallwellen . . . . . . . . . . Aufgabe 89: Stehende Seilwellen (VA) . . . . . . . . . . . . . . .

IX

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201 202 203 204 204 206 206 206 229 230 230 231 232 232 234 234

Übersicht der Lösungen

Aufgabe 1: Überholvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2: Hüpfender Gummiball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3: Strecksprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4: Schuss vom fahrenden Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 5: Blob Jump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6: Zusammenhang kinematischer Größen . . . . . . . . . . . . Aufgabe 7: Kreisbewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 8: Wurf entgegen dem Hang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 9: Schuss vom hangabwärts beschleunigten Wagen . . . . . . Aufgabe 10: Seilkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 11: Durch Gewicht beschleunigte Masse . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 12: Atwood’sche Fallmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 13: Statik am Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 14: Rutschende Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 15: Konservative und nichtkonservative Kraftfelder . . . . . . Aufgabe 16: Abgefedertes Fallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 17: Arbeit beim Bogenschießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 18: Loopingfahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 19: Bahnkurven eines Satelliten im Gravitationsfeld der Erde Aufgabe 20: Satellitenbewegung um die Erde . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 21: Schiffsabdrift bei Flussüberquerung . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 22: Galilei-Transformation der Wurfbewegung . . . . . . . . . Aufgabe 23: Regenbeobachtung beim Autofahren . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 24: Zykloidbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 25: Kettenkarussell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 26: Translatorische Trägheitsbeschleunigung . . . . . . . . . . Aufgabe 27: Effektive Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 28: Beschleunigungsmessung durch Trägheit . . . . . . . . . . Aufgabe 29: Ostabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 30: Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm . . . . . . .

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13 15 17 19 21 22

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25 29 30 40 42 43 46 48 50 52 55 57 60 62 72 73 75 77 79 81 83 87 89 92 XI

XII

Übersicht der Lösungen

Aufgabe 31: Lebensdauer von Myonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 32: Gleichzeitigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 33: Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 34: Zentraler elastischer und inelastischer Stoß . . . . . . . Aufgabe 35: Elastische Stöße mit Murmeln . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 36: Astroblaster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 37: Zentraler inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 38: Ballistisches Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 39: Waggonbefüllung während der Fahrt . . . . . . . . . . . Aufgabe 40: Teilchenstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 41: Bewegung mit Massenänderung . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 42: Schwerpunkt einer auslaufenden Getränkedose . . . . . Aufgabe 43: Abwurf rollender Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 44: Schuss auf drehbare Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 45: Stoß von Puck mit Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 46: Rollende Getränkedosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 47: Newtons Grundgesetz der Rotation . . . . . . . . . . . . Aufgabe 48: Falltür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 49: Maxwell’sches Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 50: Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 51: Belastung der Tragseile einer Hängebrücke . . . . . . . Aufgabe 52: Balkenbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 53: Rotierende Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 54: Heißluftballon in Atmosphäre konstanter Dichte . . . . Aufgabe 55: Wasserdruck am Meeresboden . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 56: Stabangeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 57: Bestimmung der Oberflächenspannung . . . . . . . . . . Aufgabe 58: Steighöhe von Flüssigkeiten in Kapillaren . . . . . . . . Aufgabe 59: Haften und Gleiten am Hang . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 60: Beschleunigen durch Reibung . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 61: Münzen schnippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 62: Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung Aufgabe 63: Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 64: Aufstieg eines Wetterballons . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 65: Gasverlust der Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 66: Geschwindigkeitsselektor für Molekularstrahlen . . . . Aufgabe 67: Verbiegen durch Erwärmen . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 68: Getränkekühlung mit Eiswürfeln . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 69: Selbstzünder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 70: Thermodynamischer Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 71: Leckende Wassertonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 72: Venturi-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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93 93 94 101 103 104 106 108 110 112 115 125 126 128 131 134 136 137 139 150 152 154 157 158 161 162 165 166 169 171 172 180 182 183 185 187 188 191 193 195 207 210

Übersicht der Lösungen

Aufgabe 73: Strahlverjüngung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 74: Absinken in zähen Medien . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 75: Laminare Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 76: Auslaufendes Gefäß . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 77: Ausrollversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 78: Fallen mit Luftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 79: Dynamischer Auftrieb am Tragflügel . . . . . . . . Aufgabe 80: Fallkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 81: Rotierende Rolle im Flug . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 82: Schwimmender schwingender Körper . . . . . . . Aufgabe 83: Ungedämpftes und gedämpftes Federpendel . . . Aufgabe 84: Schwingung einer Wassersäule . . . . . . . . . . . . Aufgabe 85: Zungenfrequenzmesser . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 86: Gekoppelte vertikale und horizontale Federpendel Aufgabe 87: Gekoppelte Federschwinger . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 88: Doppler-Effekt mit Schallwellen . . . . . . . . . . Aufgabe 89: Stehende Seilwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

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212 214 216 218 220 221 225 226 227 235 236 237 239 241 243 247 248

Über die Autoren

Sebastian Gröber ist seit 2008 wissenschaftlicher Mitarbeiter in der Arbeitsgruppe Didaktik der Physik an der Technischen Universität Kaiserslautern, wo er 2012 promoviert hat. Sein Arbeits- und Forschungsschwerpunkt ist die Konzeption und Untersuchung videobasierter Lehr- und Lernmedien zum fachmethodisch gesteuerten Lernen in der universitären Präsenz- und Fernlehre.

Pascal Klein ist seit 2012 wissenschaftlicher Mitarbeiter in der Arbeitsgruppe Didaktik der Physik an der Technischen Universität Kaiserslautern, wo er 2016 promoviert hat. Seine Forschungsschwerpunkte umfassen das aufgabenbasierte Lernen mit mobilen Medien im tertiären Bildungsbereich (Physik).

XV

XVI

Über die Autoren

Jochen Kuhn hat 2002 an der Universität Koblenz-Landau promoviert und dort 2009 habilitiert. Er ist seit 2012 Universitätsprofessor an der Technischen Universität Kaiserslautern und Leiter der Arbeitsgruppe Didaktik der Physik. Sein Arbeits- und Forschungsschwerpunkt ist die Konzeption und Untersuchung moderner, experimenteller Lehr- und Lernmedien im Rahmen einer „neuen Aufgabenkultur“ zur Verbindung von Fachdidaktik und Fachwissenschaft in Schule und Hochschule.

Anett Fleischauer ist seit 2006 wissenschaftliche Mitarbeiterin am Fachbereich Physik der TU Kaiserslautern und organisiert und betreut dort den Übungs- und Klausurbetrieb für die Experimentalphysik 1 und 2. Sie ist darüber hinaus verantwortlich für den Kontakt zwischen dem Fachbereich Physik und Schulen. Ihr früheres Arbeitsgebiet war die experimentelle Laser- und Atomphysik.

1

Einleitung

Physik ist ohne Experimente kaum vorstellbar. Die vielfältigen Funktionen, die das Experiment im physikalischen Erkenntnisprozess hat, zeigen zugleich sein großes Lern- und Motivationspotenzial. Experimente geben der Theorie Gestalt, konkretisieren unsere Vorstellungen und lassen uns Fehlvorstellungen und Irrtümer erkennen, denen wir aufliegen. De facto kann ein Physikstudium nur an bestimmten Stellen während des Studienverlaufs Gelegenheit zum eigenständigen Experimentieren bieten, denn die erforderlichen materiellen, personellen und zeitlichen Ressourcen sind beschränkt. Dieses Buch stellt neben den traditionellen Aufgaben (T-Aufgaben) als Standardformat zwei videobasierte Aufgabenformate bereit, die theoretische und experimentelle Tätigkeiten vereinen. Das sind zum einen Videoanalyse-Aufgaben (VA-Aufgaben) mit vorgegebenen Videos von Experimenten (Videoexperimente), zum anderen mobile VideoanalyseAufgaben (mVA-Aufgaben) mit selbst aufzunehmenden Videoexperimenten. Diese videobasierten Aufgabenformate leiten ein Wechselspiel von Theorie und Experiment anhand konkreter und vielfältiger physikalischer Arbeitsweisen an, wie z. B. dem Vergleichen von theoretischen und experimentellen Ergebnissen, dem Erklären von Beobachtungen und Messergebnissen, dem Bilden und Prüfen von Hypothesen, dem qualitativen Argumentieren und dem Interpretieren von Diagrammen. Damit soll bereits während der Aneignung von physikalischen Inhalten ein vertieftes konzeptionelles Verständnis physikalischer Zusammenhänge erworben werden, welches mit theoretisch-formalen Aufgaben allein nicht erzielt werden kann. Diese sind natürlich trotzdem wichtig und unerlässlich, weil z. B. auch das physikalisch-mathematische Deduzieren von Ergebnissen eine wichtige physikalische Fähigkeit ist. Eine ausschließliche Verwendung solcher Aufgaben kann aber leicht zu einer bloßen formal-mathematischen Behandlung von Problemstellungen verleiten, ohne die physikalischen Zusammenhänge ausreichend verstanden zu haben. Deshalb wird in diesem Buch eine reichhaltige Mischung aus T-, VA- und mVA-Aufgaben bereitgestellt. Alle Aufgaben sind primär zum Einsatz im Übungsbetrieb konzipiert. Selbstverständlich bieten sie aber auch viele Möglichkeiten zum Einsatz in der Vorlesung oder Tutorium. © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_1

1

2

1

Einleitung

Der Einsatz kann vom bloßen Veranschaulichen eines Phänomens mithilfe des Videoexperiments über die Analyse physikalischer Vorgänge im Videoexperiment bis hin zum kognitiv aktivierenden Einsatz als Predict-Observe-Explain-Aufgaben reichen. Bei jeder Einsatzart ist es wichtig, dass sich die Dozenten und Lehrenden mit dem Inhalt, mit den Aufgabenformaten, mit dem Verfahren der Videoanalyse und mit der softwarebasierten Auswertung von Videoexperimenten vertraut machen.

1.1 Vergleich der Aufgabenformate Mit traditionellen Aufgaben (T-Aufgaben), Videoaufgaben (VA-Aufgaben) und mobilen Videoanalyse-Aufgaben (mVA-Aufgaben) bietet das Buch drei Aufgabenformate, die sich medientechnologisch, experimentiertechnisch, inhaltlich und fachdidaktisch unterscheiden. Tab. 1.1 vergleicht und charakterisiert zunächst VA- und mVA-Aufgaben hinsichtlich der verwendeten Medientechnologie und dem Videoexperiment. Tab. 1.1 Vergleich der Aufgabenformate VA-Aufgaben Medientechnologie Hardware PC/Notebook Software Videoanalyse-/Tabellenkalkulationsprogramma Videoexperiment Bereitstellung Vom Dozenten vorgegeben Experimenttypen Indoor-Experimente mit Labormaterialien (z. B. A6)

Experimentiermaterial Experimentelle Tätigkeiten

Direkte Messgrößen

a

mVA-Aufgaben Tablet-PC/Smartphone Videoanalyse-/Datenanalyse-Appa

Vom Studierenden aufgenommen – Indoor-Experimente mit wenigen und einfachen Alltagsmaterialien (z. B. A2) – In- und Outdoor-Experimente von Alltagsbewegungen (z. B. A3) Keines – Vorgegeben und bereitgestellt vom Dozenten – Beschafft vom Studierenden Messdatenerfassung und -auswertung – Aufbau und Durchführung des Experiments – Messdatenerfassung und Messdatenauswertung – Ortsvektor bezüglich ruhenden Ortsvektor bezüglich ruhenden KoorKoordinatensystems (z. B. A9) dinatensystems (z. B. A24) – Ortsvektor bezüglich bewegten Koordinatensystemsa (z. B. A22) – Kraft (z. B. A56) – Druck (z. B. A72) – Temperatur (z. B. A67)

abhängig von dem verwendeten Videoanalyseprogramm bzw. der Videoanalyse-App

1.2

Videoanalyse als Messverfahren und Auswertungswerkzeug

3

Tab. 1.2 vergleicht und charakterisiert die drei Aufgabenformate inhaltlich und fachdidaktisch. Tab. 1.2 Inhaltliche und fachdidaktische Charakterisierung der Aufgabenformate T-Aufgaben Aufgabeninhalte Alle

VA-Aufgaben Fast alle, außer nicht durch Experimente abdeckbare Inhalte (z. B. Kraftfelder, Planetenbewegungen oder spezielle Relativitätstheorie) Informationen Instruktionstext (und Informationsbild mit im AufgabenSkizze) mit Daten, Daten und experimenstamm Annahmen und Beteller Anordnung des schreibungen Videoexperiments Teilaufgaben Theoretisch Theoretisch und experimentell Selbstkontrolle Nein – Vergleich berechneter von Ergebnissen Funktionen mit Messreihen (z. B. A78) – Vergleich berechneter und gemessener Werte (z. B. A40) Wechselspiel Nein, aber: – Formulierung von Theorie und – Erklären vorgegebener begründeter und exExperiment Aussagen (z. B. A36a) perimentell/theoretisch – Erklären theoretischer zu prüfender HypotheErgebnisse (z. B. sen (z. B. A16a,b) A63b,c) – Erklären experimenteller Beobachtungen (z. B. A22a) und von Messergebnissen (z. B. A40d) Offenheitsgrad Gering/– Gering/Gering theoretischer/ experimenteller Teilaufgaben

mVA-Aufgaben Nur Inhalte zu Experimenten mit Ortsvektormessung und einfachem Experimentiermaterial Instruktionstext (und Skizze oder Bild) zum Videoexperiment Theoretisch und experimentell – Vergleich berechneter Funktionen mit Messreihen (z. B. A14) – Vergleich berechneter und gemessener Werte (A35) – Formulierung begründeter und experimentell zu prüfender Hypothesen (z. B. A41) – Variation experimenteller Parameter zur Bestimmung physikalischer Koeffizienten (z. B. A80) Gering/Mittel

1.2 Videoanalyse als Messverfahren und Auswertungswerkzeug Die Videoanalyse wird in VA- und mVA-Aufgaben als berührungsloses Messverfahren zur Analyse von Bewegungen mit einer Videoanalysesoftware verwendet.

4

1

Einleitung

Wie funktioniert die Videoanalyse als Messverfahren? In Abb. 1.1 sind die Schritte (1) bis (4) zur Messung der Koordinaten x.t/ und y.t/ des Ortsvektors bzw. der Bahnkurve y.x/ eines bewegten Objekts illustriert und annotiert: 1. Jedes Video besteht aus einer Bildfolge mit konstanter Bildrate f bzw. mit zeitlichem Bildabstand t D 1=f (z. B. f D 120 Bilder=s; t D 1=120 s D 0;083 s). Die Eingabe der Bildrate f in die Videoanalysesoftware und Zuordnung des Zeitnullpunkts zu einem Bild (Zeitskalierung) erlaubt die Zeitmessung im Video. 2. Jedes Bild eines Videos hat die gleiche Bildauflösung (z. B. 640 Pixel  480 Pixel). Aus der Markierung von Endpunkten einer im Video bekannten Strecke (z. B. eines Maßstabs) rechnet die Videoanalysesoftware Pixelabstände im Video in reale Strecken um (Längenskalierung) und ermöglicht Streckenmessungen im Video. 3. Das Positionieren und Orientieren eines zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystems im Video zeichnet ein Pixel als Koordinatenursprung sowie die Richtung der Koordinatenachsen aus. Die Videoanalysesoftware rechnet Pixelkoordinaten im Video (z. B. x 0 D 320 Pixel; y 0 D 450 Pixel) in Ortskoordinaten (z. B. x D 0;8 m; y D 1;2 m) um und erlaubt damit Ortskoordinatenmessungen. 4. Das fortlaufende Markieren der Position des bewegten Objekts in aufeinanderfolgenden Bildern (manuelles Tracking) eines ausgewählten Videoabschnitts erzeugt eine x.t/- und y.t/-Messreihe. Außer diesen Basisfunktionen bieten einige Videoanalyseprogramme das Tracken von zwei und mehr Objekten in einem Video, automatisches Tracking und das Tracken von Objekten bezüglich eines translatorisch oder rotatorisch bewegten Koordinatensystems. Abb. 1.1 Schritte (1) bis (4) der Videoanalyse zur Ortskoordinatenbestimmung eines Körpers

(2) Längenskalierung

x(t) (3) Positioniertes und orientiertes Koordinatensystem y(t)

0,9 m Position zum Zeitpunkt t

(4) Getrackte Bahnkurve y(x) mit konstantem Δt = 1/f zwischen aufeinanderfolgenden Bildern (1) Zeit- und Bildleiste mit konstantem Δt zwischen aufeinanderfolgenden Bildern, Zeitpunkt t = 0 bei Bild 7

1.3

Bearbeitungshinweise zu VA- und mVA-Aufgaben

5

Welche Funktionen bietet die Videoanalyse als Auswertungswerkzeug? Die Auswertungsfunktionen der Videoanalyse basieren auf den gemessenen Ortsfunktionen x.t/ und y.t/. Für computerbasierte Videoanalysesoftware sind diese:  Erzeugen abgeleiteter Messgrößen (z. B. der Bahngeschwindigkeit v, des Impulses p)  Manuelle und automatische Regression von Messreihen (z. B. von x.t/ zur Geschwindigkeitsbestimmung)  Eingabe theoretischer Funktionen über einen Formeleditor (z. B. der Bahnkurve y.x/ des schiefen Wurfs)  Gemeinsame Darstellung von Messreihen und Funktionen in Diagrammen mit wählbaren Achsenbelegungen (z. B. y.x/-Messreihe und y.x/-Funktion)  Darstellung des zeitlichen Verlaufs kinematischer Größen im Videoexperiment (z. B. die Vektorspur von vE.t/-Vektoren eines Körpers) Videoanalyse-Apps für Smartphones und Tablet-PCs bieten derzeit noch nicht den gleichen Funktionsumfang wie Videoanalysesoftware für den Computer. Für mVA-Aufgaben sind diese jedoch ausreichend.

1.3 Bearbeitungshinweise zu VA- und mVA-Aufgaben Für den Einsatz der Videoanalyse in VA- und mVA-Aufgaben gilt:  Ziel ist es, anhand von Messdaten und deren Auswertung die im Video repräsentierten Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen besser zu verstehen.  Zur Bestimmung einer konstanten Geschwindigkeit ist die lineare Regression der x.t/Messreihe genauer als die der abgeleiteten v.t/-Messreihe. Analog ist zur Bestimmung einer konstanten Beschleunigung die lineare Regression der v.t/-Messreihe genauer als die der abgeleiteten a.t/-Messreihe.

Worauf ist bei der Bearbeitung von VA-Aufgaben zu achten?  Alle Videoexperimente sind mit 120 Bilder/s aufgenommen. Die Videos werden unter http://extras.springer.com bereitgestellt.  Schauen Sie sich zuerst das Videoexperiment und das Informationsbild zusammen an. Lesen Sie dann aufmerksam die gesamte VA-Aufgabe, um sich einen Überblick zur Problemstellung zu verschaffen.  Beachten Sie für einen einfachen Vergleich mit den Musterlösungen das im Informationsbild vorgegebene Koordinatensystem und den angegebenen Zeitnullpunkt.

6

1

Einleitung

 Zur Auswertung von Messreihen genügen in der Regel zehn bis 15 Wertepaare. Die Anzahl der zu messenden Wertepaare kann über die Bildschrittweite in der Videoanalysesoftware festgelegt werden.  Als kostenlose Videoanalysesoftware bietet sich Tracker1 an. Um in VA-Aufgaben mit nichtkinematischen Messgrößen ohne Tabellenkalkulationsprogramm auszukommen, eignet sich das kostenpflichtige Coach 6 Studio MV2 .

Worauf ist bei der Bearbeitung von mVA-Aufgaben zu achten?  Lesen Sie zunächst die gesamte mVA-Aufgabe und halten Sie die Experimentiermaterialien bereit.  Führen Sie vor der Aufnahme des Experiments dieses mehrfach unter variierenden Versuchsbedingungen durch und überprüfen Sie qualitativ die Reproduzierbarkeit des Experiments.  Experimente können je nach Aufnahmesituation (z. B. In- oder Outdoor-Experimente) mit einer Digitalkamera oder einem Tablet-PC videografiert werden.  Vergessen Sie nicht einen Maßstab im Experiment zu positionieren. Dieser muss zur Vermeidung von Messfehlern in der Bewegungsebene des Objekts stehen.  Werten Sie das Experiment, wann immer es geht, im aufgebauten Zustand aus, um ggf. Veränderungen am Experiment zur Optimierung von Messdaten vornehmen zu können.  Zur Videoanalyse mit iOS-basierten Tablet-PCs eignet sich z. B. die App Viana3 .

1

http://physlets.org/tracker/. http://cma-science.nl/downloads-2/software-coach-programs/coach-6-studio-mv-update-german. 3 https://itunes.apple.com/WebObjects/MZStore.woa/wa/viewSoftware?id=1031084428&mt=8. 2

2

Kinematik des Massepunktes

2.1

Eindimensionale Bewegungen

Aufgabe 1: Überholvorgang Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 2.1 an.

(VA)

a. Bestimmen Sie durch lineare Regression die Bewegungsparameter der Experimentierwagen 1 und 2 und geben Sie mittels dieser die x.t/-, v.t/- und a.t/-Funktionen beider Bewegungen an. b. Berechnen Sie den Zeitpunkt und Ort des Überholens. Überprüfen Sie das Ergebnis experimentell. c. Berechnen Sie durch Integration den Vorsprung des Experimentierwagens 1 gegenüber dem Experimentierwagen 2 zum Zeitpunkt t D 2;0 s. Überprüfen Sie das Ergebnis experimentell.

Abb. 2.1 Experimentierwagen 1 überholt Experimentierwagen 2

Experimentierwagen 1

Experimentierwagen 2

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_2

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8

2

Kinematik des Massepunktes

http://tiny.cc/0gfzly

Aufgabe 2: Hüpfender Gummiball Videografieren Sie die Bewegung eines senkrecht hüpfenden Gummiballs.

(mVA)

a. Erstellen Sie das v.t/-Diagramm der Bewegung und erklären Sie den Verlauf des v.t/Graphen. b. Bestimmen Sie aus den Messdaten den Wert der Erdbeschleunigung g möglichst genau. c. Bestimmen Sie den Restitutionskoeffizienten (Stoßzahl) k, definiert als s kD

hi C1 ; hi

wobei hi die Höhe des i-ten Sprungs bezeichnet. Welche inhaltliche Bedeutung hat die Stoßzahl? Aufgabe 3: Strecksprung Videografieren Sie einen Strecksprung.

(mVA)

a. Teilen Sie das v.t/-Diagramm der Bewegung begründet in Phasen ein und erklären Sie den Verlauf des v.t/-Graphen. b. Bestimmen Sie aus den Messreihen möglichst genau die Erdbeschleunigung g.

2.2 Zweidimensionale Bewegungen Aufgabe 4: Schuss vom fahrenden Wagen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 2.2 an.

(VA)

a. Welche Voraussetzungen sind im Videoexperiment erfüllt, dass die Kugel wieder in den Wagen zurückfällt? b. Skizzieren Sie die Bahnkurve y.x/ aus Sicht eines Beobachters B am Bahndamm und die Bahnkurve y 0 .x 0 / aus Sicht eines Beobachters B0 auf dem Wagen. Kontrollieren Sie die Ergebnisse experimentell. c. Bestimmen Sie aus Sicht des Beobachters B die Geschwindigkeitskomponente vx .t D 0/ aus dem x.t/-Diagramm und die Geschwindigkeitskomponente vy .t D 0/ aus der Wurfhöhe.

2.2 Zweidimensionale Bewegungen

9

y

Lichtschrankenunterbrecher (wird passiert bei t = 0)

Schussapparat x

Abb. 2.2 Ein Wagen fährt mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung und schießt zum Zeitpunkt t D 0 mit einem Schussapparat eine Kugel senkrecht in y-Richtung ab

d. Leiten Sie Formeln für die Flugzeit tF und die Schussweite xW der Kugel aus Sicht von Beobachter B her und berechnen Sie diese. Kontrollieren Sie die Ergebnisse experimentell. http://tiny.cc/rgfzly

Aufgabe 5: Blob Jump Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 2.3 an.

Abb. 2.3 Ein „Blobber“ springt auf ein Luftkissen und katapultiert damit den „Jumper“ in die Luft

(VA)

Absprungplattform des Blobbers

12,1 m

10

2

Kinematik des Massepunktes

a. Zeigen Sie experimentell, dass die Bahnkurve y.x/ des Jumper-Schwerpunkts eine Parabel ist. b. Ermitteln Sie mit bestmöglicher Genauigkeit die Abschussgeschwindigkeit v0 und den Abschusswinkel ˛ des Jumpers. http://tiny.cc/6ffzly

Aufgabe 6: Zusammenhang kinematischer Größen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 2.4 an.

(VA)

a. Skizzieren Sie den x.t/-, v.t/- und a.t/-Graphen des Experimentierwagens in einem gemeinsamen Diagramm. Kontrollieren Sie die Vorhersage experimentell. b. Welche allgemeine mathematische Zusammenhänge verknüpfen die drei kinematischen Größen? Erklären Sie diese anhand der Graphen aus Teilaufgabe a. c. Erklären Sie den Zusammenhang zwischen den Begriffen Wendepunkt/Extrema und den kinematischen Größen zum Zeitpunkt der Bewegungsrichtungsumkehr des Experimentierwagens. d. Betrachten Sie die beiden Bewegungsabschnitte, in denen keine Federkraft wirkt. Erklären Sie, warum das Vorzeichen der Geschwindigkeit, nicht aber das Vorzeichen der Beschleunigung wechselt. Bestimmen Sie experimentell mittels linearer Regression die Beschleunigung während der Abwärtsbewegung. e. Betrachten Sie den Bewegungsabschnitt unter Einfluss der Federkraft. Weshalb ist die Beschleunigung nicht konstant und zweimal null? Warum ist die maximale Beschleunigung viel größer als die Beschleunigung unter alleinigem Einfluss der Schwerkraft?

Abb. 2.4 Ein Experimentierwagen gleitet eine geneigte Luftkissenfahrbahn hinunter und wird an einer Feder reflektiert

Unterster Bahnpunkt Feder

Oberster Bahnpunkt (Zeitpunkt t = 0) Experimentierwagen Feder

0

Luftkissenfahrbahn

x

2.2 Zweidimensionale Bewegungen

11

http://tiny.cc/fgfzly

Aufgabe 7: Kreisbewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 2.5 an.

(VA)

a. Stellen Sie die v.t/-Messreihe der Bahngeschwindigkeit des Punkts P in einem v.t/Diagramm dar. Begründen Sie die Konstanz der Winkelbeschleunigung ˛ und ermitteln Sie diese. b. Zeigen Sie, dass der Betrag der Bahnbeschleunigung durch p a.t/ D r ˛ 1 C ˛ 2 t 4 gegeben ist. Überprüfen Sie die a.t/-Funktion experimentell. c. Berechnen Sie die ˇ.t/-Funktion des Winkels zwischen dem Bahnbeschleunigungsvektor aE und dem Einheitsvektor eEr , der vom Punkt P in die Kreismitte zeigt. Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Spezialfälle ˇ.0/ und lim t !1 ˇ.t/ durch Vergleich mit der Vektorspur des Bahnbeschleunigungsvektors. http://tiny.cc/wgfzly

Abb. 2.5 Eine Kreisscheibe rotiert mit konstanter Winkelbeschleunigung y

x

Radius r Punkt P (Zeitpunkt t = 0)

12

2

Kinematik des Massepunktes

Abb. 2.6 Ein Schneeball wird hangaufwärts geworfen y

α

e

Hang

ϕ

Schneeball

x

Aufgabe 8: Wurf entgegen dem Hang Ein Schneeball wird zum Zeitpunkt t D 0 mit dem Abwurfwinkel ˛ 2 0ı ; 90ı Œ und der Abwurfgeschwindigkeit v0 an einem Hang mit Neigungswinkel ' 2 0ı ; ˛Œ hangaufwärts geworfen. Die Luftreibung kann vernachlässigt werden (Abb. 2.6). a. Leiten Sie eine Formel für den Zeitpunkt t her, wann der Schneeball den höchsten Bahnpunkt erreicht. b. Leiten Sie Formeln für den Zeitpunkt t und die Entfernung e des Schneeballs zum Abwurfort beim Auftreffen am Hang her. Überprüfen Sie die Ergebnisse an einem Spezialfall. c. Für welchen Winkel ˛ wird die maximale Entfernung emax zum Abwurfort erzielt? Überprüfen Sie das Ergebnis an einem Spezialfall. Berechnen Sie emax für ' D 30ı und v0 D 3 m=s. Aufgabe 9: Schuss vom hangabwärts beschleunigten Wagen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 2.7 an.

Abb. 2.7 Ein Experimentierwagen rollt eine geneigte Ebene herunter und schießt zum Zeitpunkt t D 0 einen Ball in y-Richtung ab

y

Zeitpunkt t = 0 beim Abschuss des Balls und Loslassen des Experimentierwagens

Ruhendes Koordinatensystem K

x

Hangwinkel

α

(VA)

2.3 Lösungen

13

a. Erklären Sie durch Überlegungen mit Vektoren im ruhenden Koordinatensystem K, warum die abgeschossene Kugel wieder in die Abschussvorrichtung zurückfällt. Verallgemeinern Sie die Überlegungen auf den Fall, dass die Abschussvorrichtung zum Zeitpunkt t D 0 eine Geschwindigkeit in x-Richtung hat. b. Leiten Sie die y.x/-Funktion der Bahnkurve in K her. Überprüfen Sie das Ergebnis experimentell. c. Zeigen Sie, dass die Kugel für beliebige Hangwinkel ˛ 2 0ı ; 90ı Œ wieder in die Abschussvorrichtung zurückfällt. Diskutieren Sie die Grenzfälle ˛ D 0ı und ˛ D 90ı . http://tiny.cc/jgfzly

2.3

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1: Überholvorgang a) Bestimmung der Bewegungsparameter Der überholende Experimentierwagen 1 bewegt sich mit konstanter Beschleunigung a und der überholte Experimentierwagen 2 mit konstanter Geschwindigkeit v. Für das in der Aufgabe gewählte Koordinatensystem und den gewählten Zeitnullpunkt gilt für Experimentierwagen 1 (2.1) v1 .t/ D at C v.0/ und für Experimentierwagen 2 x2 .t/ D vt C x.0/ :

(2.2)

Die Gln. (2.1) und (2.2) werden zur Bewegungsparameterbestimmung mit linearer Regression verwendet (Abb. 2.8). Damit ist für Experimentierwagen 1 1 m m  0;28 2  t 2 C 0;36  t; 2 s s m m v1 .t/ D 0;28 2  t C 0;36 ; s s m a1 .t/ D 0;28 2 s

x1 .t/ D

(2.3)

14

2 1,4

v1 (t)-Messreihe v1 (t) = 0,277 sm2 · t + 0,362 ms

1

Ortskoordinate x2 /m

Geschwindigkeit v1 / ms

1,2

0,8 0,6 0,4 0,2

Kinematik des Massepunktes

x2 (t)-Messreihe x2 (t) = 0,260 ms · t + 0,537 m

1,2 1 0,8 0,6 0,4

0

0,5

1

1,5

2

0

0,5

Zeit t/s

1

1,5

2

Zeit t/s

Abb. 2.8 v1 .t /-Diagramm des Experimentierwagens 1 (links) und x2 .t /-Diagramm des Experimentierwagens 2 (rechts)

und für Experimentierwagen 2 m  t C 0;58 m; s m v2 .t/ D 0;26 ; s

x2 .t/ D 0;26

(2.4)

a2 .t/ D 0 : b) Bestimmung von Überholzeitpunkt tU und Überholort xU Experimentierwagen 1 überholt Experimentierwagen 2, wenn die Ortskoordinaten von beiden gleich sind: (2.5) x1 .t/ D x2 .t/ : Aus Bedingung (2.5) wird mit (2.3) und (2.4) der Zeitpunkt des Überholens (ohne Einheiten) berechnet:

t1=2

1  0;28t 2 C 0;36t D 0;26t C 0;54; 2 t 2 C 0;74t  3;88 D 0; p D 0;37 ˙ 0;372 C 3;88 D 0;37 ˙ 2;00;

(2.6)

t1 D 1;64 oder t2 D 2;37 : Wegen t  0 ist der Überholzeitpunkt tU D t1 D 1;64 s der gesuchte Zeitpunkt. Zum Zeitpunkt t2 D 2;37 s hätte Experimentierwagen 2 den Experimentierwagen 1 überholt. Einsetzen von tU in x1 .t/ oder x2 .t/ ergibt den Überholort xU D 0;96 m. Experimentell wird t1 D 1;63 s und der Überholort xU D 0;96 m gemessen.

2.3 Lösungen

15

Geschwindigkeit v/ ms

1

v1 (t) = 0,28 sm2 · t + 0,36 ms v2 (t) = 0,26 ms

0,8 0,6

Δx

0,4 0,2 0

t = 1,633 s 0

0,5

1

1,5

t = 2s 2

Zeit t/s

Abb. 2.9 v.t /-Funktionen der beiden Experimentierwagen. Die Fläche repräsentiert den Vorsprung x von Experimentierwagen 1 gegenüber Experimentierwagen 2

c) Vorsprung des überholenden Experimentierwagens zum Zeitpunkt t D 2;0 s Der Vorsprung x des Experimentierwagens 1 gegenüber dem Experimentierwagen 2 wird durch die Fläche zwischen den Geschwindigkeitsgraphen der Experimentierwagen im Zeitintervall [1,63 s; 2,00 s] repräsentiert (Abb. 2.9). Mit (2.3) und (2.4) ist Zt2

2;00 Z s



.v1 .t/  v2 .t// dt D

x D t1

0;28

 m  t C 0;10 m dt s

1;63 s

h m m i2;00 s D 0;14 2  t 2 C 0;1  t D 0;223 m : s s 1;63 s

(2.7)

Der berechnete Vorsprung x D 22;3 cm stimmt gut mit dem gemessenen Vorsprung x D 22;2 cm überein.

Lösung zu Aufgabe 2: Hüpfender Gummiball Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments  Neben dem hier verwendeten Gummiball können z. B. auch Tennis-, Tischtennis- oder Basketbälle verwendet werden.  Der Ball wird aus einer Höhe h0 über einer harten Unterlage aus der Ruhe fallen gelassen, sodass mindestens vier Bodenkontakte ermöglicht werden. Die Bewegung ist im Idealfall eindimensional.

16

2

Abb. 2.10 v.t /-Diagramm der Bewegung des Gummiballs

Kinematik des Massepunktes v1 (t) = 10,2 sm2 · t − 6,7 ms v3 (t) = 9,8 sm2 · t − 16,2 ms

v(t)-Messreihe v2 (t) = 10,2 sm2 · t − 12,1 ms v4 (t) = 9,7 sm2 · t − 19,8 ms

Geschwindigkeit v/ ms

(1) v1 (t)

v2 (t)

v3 (t)

1,5

2

v4 (t)

2

0 (3) −2

(2) 0

0,5

1

2,5

3

Zeit t/s

a) Erläuterung des v.t/-Diagramms Im Folgenden wird ausschließlich die vertikale Bewegungskomponente (senkrecht zur Unterlage) betrachtet. Abb. 2.10 zeigt die v.t/-Messreihe mehrerer Sprungbewegungen. Die positive y-Richtung entspricht der Fallrichtung (Abwärtsbewegung), d. h., die Fallbeschleunigung ist positiv. Die v.t/-Messreihe ist abschnittsweise linear (Abb. 2.10). An den Sprungstellen der v.t/-Messreihe stößt der Gummiball mit dem Boden und kehrt seine Bewegungsrichtung schlagartig um (z. B. zwischen Punkt (1) und (2) in (Abb. 2.10). An den Nullstellen der v.t/-Messreihe kehrt der Gummiball ebenfalls die Bewegungsrichtung um (z. B. im Punkt (3)). Dies geschieht aufgrund der Erdanziehungskraft bzw. der Erdbeschleunigung g, die an der Steigung der Regressionsgeraden abgelesen werden kann. Aufgrund von Reibung und nicht idealelastischen Stößen zwischen Gummiball und Unterlage nimmt die kinetische Energie mit jedem Stoß ab und die maximale Sprunghöhe verringert sich. b) Bestimmung der Erdbeschleunigung g Aus Teilaufgabe a geht hervor, dass die Geradensteigung während der Auf- und Abwärtsbewegung des Balls der Erdbeschleunigung entspricht. Die Anpassung mehrerer Ausgleichsgeraden an die Messwerte während den Sprungphasen ergibt die Erdbeschleunigungen 10;2 m=s2 , 10;2 m=s2 , 9;8 m=s2 und 9;7 m=s2 . Damit ist die mittlere Erdbeschleunigung gN D .9;98 ˙ 0;27/ m=s2 . c) Bestimmung des Restitutionskoeffizienten k (Stoßzahl) Tab. 2.1 führt die Sprunghöhen h und die berechneten Restitutionskoeffizienten auf.

2.3 Lösungen Tab. 2.1 Sprunghöhen hi und berechnete Restitutionskoeffizienten ki

17 i 0 (Starthöhe) 1 2 3 4 5

Sprunghöhe hi = cm 60 42 31 23 17 13

Restitutionskoeffizient ki p 0;42=0;60 D 0;84 0,86 0,86 0,86 0,87 –

Der Mittelwert beträgt kN D 0;86 ˙ 0;01. Der Restitutionskoeffizient steht in Zusammenhang mit der Änderung der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß des Balls mit der Unterlage: 0 v 02 h02 Ekin D 2 D 2 D k2 : (2.8) Ekin v h Bei einem vollkommen elastischen Stoß ist k D 1, bei einem vollkommen inelastischen Stoß ist k D 0. Die Stoßzahl hängt wesentlich von der Elastizität des Ballmaterials ab.

Lösung zu Aufgabe 3: Strecksprung Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Befestigen Sie einen Markierungspunkt als Messpunkt an Ihrem Körper (z. B. an ihrem Kopf), der während der Bewegung sichtbar bleibt. Gehen Sie aus dem Stand in die Hocke und springen Sie kräftig nach oben (Abb. 2.11). Im Folgenden wird die Bewegung des Kopfs ausgewertet.

y y=0

Abb. 2.11 Bildfolge des Strecksprungs (Zeit t  0;3 s zwischen den Bildern)

18

2 (I)

(II)

(III)

(IV)

3 Geschwindigkeit vy / ms

Kinematik des Massepunktes

vy (t)-Messreihe vy (t) = −10,6 sm2 · t + 13,9 ms

2 1 0 −1 −2 0

0,5

1

1,5

2

2,5

Zeit t/s

Abb. 2.12 v.t /-Diagramm mit Einteilung der Bewegung in Bewegungsphasen

a) Bewegungsphasen im v.t/-Diagramm Im v.t/-Diagramm (Abb. 2.12) sind vier Bewegungsphasen zu erkennen: I Die Person geht in die Hocke, bewegt sich also entgegen der y-Richtung. II Durch das Abstoßen am Boden wird die Person beschleunigt und die Geschwindigkeit nimmt zu. III Die Erdanziehungskraft verlangsamt die Aufwärtsbewegung, bis der höchste Punkt über dem Boden erreicht ist. Anschließend kehrt sich die Bewegungsrichtung um; die Geschwindigkeit steigt (in negativer Richtung) an, bis der Boden erreicht wird. IV Die Person federt die Bewegung ab und wird entgegen der y-Richtung langsamer. Bewegungsphase (III) entspricht einem senkrechten Wurf ohne Reibung und eignet sich daher zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g. b) Bestimmung der Erdbeschleunigung g Lineare Regression der v.t/-Messwerte während der Bewegungsphase (III) ergibt v.t/ D 10;6

m m t C 13;9 : s2 s

(2.9)

Die ermittelte Erdbeschleunigung beträgt a D 10;6 m=s2 und weicht um etwa 8 % vom Referenzwert (9;81 m=s2 ) ab.

2.3 Lösungen

19

Lösung zu Aufgabe 4: Schuss vom fahrenden Wagen a) Experimentelle Voraussetzungen  Die Kugel wird senkrecht vom Wagen abgeschossen. Deshalb stimmen die Geschwindigkeitskomponenten von Wagen und Kugel in x-Richtung zum Zeitpunkt t D 0 überein, sowohl für Beobachter B als auch für Beobachter B0 .  Die Luftreibungskraft ist gegenüber der Gewichtskraft der Kugel vernachlässigbar. Damit stimmt die Geschwindigkeit der Kugel in x-Richtung immer mit der konstanten Geschwindigkeit des Wagens überein. b) Qualitative Bahnkurven y.x/ und y 0 .x 0 / Der mitbewegte Beobachter B0 sieht einen senkrechten Wurf. Die Kugel steigt über diesem auf und fällt über diesem wieder herunter. Der ruhende Beobachter B am Bahndamm beobachtet die Wurfparabel eines schiefen Wurfs. Die Aufnahme der Bahnkurve y.x/ bezüglich eines ruhenden Koordinatensystems K und der Bahnkurve y 0 .x 0 / eines mit dem Zug mitbewegten Koordinatensystems K0 , dessen Koordinatenursprung mit dem von K zum Zeitpunkt t D 0 übereinstimmt, ergibt das Diagramm in Abb. 2.13. c) Bestimmung der Geschwindigkeiten vx .0/ und vy .0/ Die Geschwindigkeitskomponente vx .0/ D vx .t/ in x-Richtung ist die Steigung im x.t/Diagramm der Kugelbewegung (Abb. 2.14). Lineare Regression ergibt vx .0/ D 0;56 m=s.

0,6

0,4

0,2

0

0,8

ymax = 0,73 m Ortskoordinate y  /m

Ortskoordinate y/m

0,8

0

0,1

0,2

0,3

Ortskoordinate x/m

0,4

0,6

0,4

0,2

−0,2 0

0,2

Ortskoordinate x /m

Abb. 2.13 y.x/-Diagramm der Bahnkurve in K (links) und y 0 .x 0 /-Diagramm der Bahnkurve in K0 (rechts)

20

2

Abb. 2.14 x.t /-Diagramm der abgeschossenen Kugel

Kinematik des Massepunktes

Ortskoordinate x/m

0,4 0,3 0,2 x(t)-Messreihe x = 0,56 ms · t

0,1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Zeit t/s

In y-Richtung liegt ein senkrechter Wurf mit der gesuchten Geschwindigkeitskomponente vy .0/ als Abschussgeschwindigkeit in y-Richtung vor. Für vy .t/ gilt vy .t/ D vy .0/  gt:

(2.10)

Mit (2.10) wird aus der Bedingung, dass bei der höchsten y-Koordinate ymax der Kugel die Geschwindigkeit in y-Richtung null ist, die Steigzeit tS nach vy .t/ D vy .0/  gt , tS D

vy .0/ g

(2.11)

ermittelt. Integration von (2.10) liefert mit y.0/ D 0 1 y.t/ D vy .0/t  gt 2 : 2

(2.12)

Zum Zeitpunkt t D tS ist nach (2.11) und (2.12) vy .0/ 1 vy .0/2 vy .0/2 D  g y.tS / D ymax D vy .0/ 2 g 2 g 2g p ) vy .0/ D 2gymax :

(2.13)

Mit der gemessenen Wurfhöhe ymax D 0;73 m ist nach (2.13) vy .0/ D 3;78 m=s. d) Bestimmung der Flugzeit tF und Schussweite xW Da Steig- und Fallzeit der Kugel gleich sind, gilt für die Flugzeit tF D 2tS D 2

vy .0/ : g

(2.14)

Einsetzen der Werte in (2.14) ergibt die Flugzeit tF D 0;77 s. Die Messung ergibt die Flugzeit tF D 0;79 s.

2.3 Lösungen

21

Für die Schussweite gilt xW D vx  tF D vx

2vy .0/ : g

(2.15)

Einsetzen der Werte in (2.15) ergibt die Schussweite xW D 0;43 m=s. Messung im Videoexperiment ergibt die Schussweite xW D 0;43 m.

Lösung zu Aufgabe 5: Blob Jump a) Nachweis des parabelförmigen Verlaufs des y.x/-Graphen Der y.x/-Graph des Jumper-Schwerpunkts zeigt einen parabelförmigen Verlauf, der durch manuelle Anpassung einer Parabel in der Scheitelpunktform y.x/ D a.x  b/2 C c erhalten wird (Abb. 2.15). Eine geeignetere Methode ist, mit linearer Regression zu zeigen, dass nach (2.16) x.t/ D vx t und nach vy .t/ D vy .0/  gt

(2.17)

die x.t/- und vy .t/-Messwerte jeweils auf einer Geraden liegen (Abb. 2.16). b) Bestimmung der Abschussgeschwindigkeit v0 und des Abschusswinkels ˛ des Jumpers Die lineare Regression der x.t/-und vy .t/-Messwerte ergibt vx D 1;6 m=s als Steigung der x.t/-Geraden und vy .0/ D 20 m=s als y-Achsenschnittpunkt der vy .t/-Geraden. Abb. 2.15 y.x/-Diagramm des Jumpers

y(x)-Messreihe 1 y(x) = −2,2 m (x − 3 m)2 + 21 m

Ortskoordinate y/m

25 20 15 10 5 0

0

1

2 3 4 Ortskoordinate x/m

5

6

22

2 x(t)-Messreihe x(t) = 1,6 ms · t − 0,4 m

Geschwindigkeit vy / ms

Ortskoordinate x/m

8

6

4

2

0

0

1

2 Zeit t/s

3

vy (t)-Messreihe vy (t) = −9,81 sm2 · t + 20 ms

20

0

−20

4

Kinematik des Massepunktes

0

1

2 Zeit t/s

3

4

Abb. 2.16 x.t /- und v.t /-Diagramm des Jumpers

Für die Bahngeschwindigkeit beim schiefen Wurf gilt allgemein q v.t/ D vx2 C vy2 .t/

(2.18)

und

vy .t/ : (2.19) vx Einsetzen der Werte zum Zeitpunkt t D 0 in (2.18) und (2.19) ergibt die Abschussgeschwindigkeit v.0/ D v0 D 20;1 m=s und den Abschusswinkel ˛ D 85;4ı . ˛.t/ D arctan

Lösung zu Aufgabe 6: Zusammenhang kinematischer Größen a) Vorhersage des x.t/-, v.t/- und a.t/-Graphen Abb. 2.17 zeigt die aufgenommenen Messwerte.

6

x/m; v/ ms ; a/ sm2

Abb. 2.17 x.t /-, v.t /- und a.t /-Diagramm des Experimentierwagens

x(t)-Messreihe v(t)-Messreihe a(t)-Messreihe

4

2

0

−2

0

1

2 Zeit t/s

3

4

2.3 Lösungen

23

b) Mathematischer Zusammenhang zwischen rE.t/; vE.t/ und aE .t/ In vektorieller Darstellung ist aE .t/ D vEP .t/ D rER .t/ :

(2.20)

Nach (2.20) sind die vE.t/-Komponenten die Steigung der rE.t/-Komponenten und die aE.t/Komponenten die Steigung der vE.t/-Komponenten. Konkrete eindimensionale Beispiele in Abb. 2.17 sind:  x.t/ nimmt im Zeitintervall [0, 2,2 s] ab (negative Steigung), d. h. v.t/ < 0.  v.t/ ist im Zeitintervall [0, 2,2 s] eine fallende Gerade (konstante, negative Steigung), d. h. a.t/ D konst. und a.t/ < 0. c) Mathematische Zusammenhänge zum Zeitpunkt der Bewegungsrichtungsumkehr In Abb. 2.17 hat  x.t/ zum Zeitpunkt t D 0 ein Minimum, d. h. v.0/ D 0 und a.0/ > 0;  v.t/ zum Zeitpunkt t D 0 einen Wendepunkt (Übergang von der Links- zur Rechtskrümmmung, maximale Steigung), d. h., a.0/ ist ein Minimum. d) Erklärung des Vorzeichens der Geschwindigkeit v Nach Definition der mittleren Geschwindigkeit vN D

x x2  x1 D t2  t1 t

(2.21)

gilt für gewähltes t > 0 und das gewählte Koordinatensystem:  Für Hangabwärtsbewegung ist x < 0, und die Geschwindigkeit hat ein negatives Vorzeichen.  Für Hangaufwärtsbewegung ist x > 0, und die Geschwindigkeit hat ein positives Vorzeichen.  Regel: Bei Bewegung in Koordinatenachsenrichtung ist die Geschwindigkeit positiv, im anderen Fall negativ. Erklärung des Vorzeichens der Beschleunigung a Nach Definition der mittleren Beschleunigung aN D

v v2  v1 D t2  t1 t

gilt für gewähltes t > 0 und das gewählte Koordinatensystem:

(2.22)

24

2

Abb. 2.18 v.t /-Diagramm des Experimentierwagens

Kinematik des Massepunktes

v(t)-Messreihe v(t) = −0,56 sm2 · t − 0,03 ms Geschwindigkeit v/ ms

1

0

−1 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Zeit t/s

 Für die Abwärtsbewegung ist v1 < 0 und v2 < 0, da die Bewegung entgegen der xAchsenrichtung erfolgt. Mit jv2 j > jv1 j ist v < 0, und die Beschleunigung hat ein negatives Vorzeichen.  Für die Aufwärtsbewegung ist v1 > 0 und v2 > 0, da die Bewegung in der x-Achsenrichtung erfolgt. Mit jv2 j < jv1 j ist v < 0, und die Beschleunigung hat ebenfalls ein negatives Vorzeichen.  Alternativ: Die x-Komponente des Gewichtskraftvektors zeigt unabhängig von der Bewegungsrichtung entgegen der x-Achsenrichtung. Nach F D ma ist für m > 0 dann a < 0. Konstante Beschleunigung a während der Abwärtsbewegung Lineare Regression von v.t/ während der Abwärtsbewegung ergibt die konstante Beschleunigung a D 0;56 m=s2 (Abb. 2.18). e) Nichtkonstante Beschleunigung während der Reflexionsphase Die Federkraft nimmt mit zunehmender Federstauchung zu, während die Hangabtriebskraft konstant bleibt. Deshalb ist nach Fres D ma

(2.23)

die resultierende Kraft auf den Experimentierwagen und die Beschleunigung nicht konstant. Begründung für Beschleunigung a D 0 während der Reflexionsphase Nach (2.23) wird a D 0, wenn die resultierende Kraft Fres D 0 ist. Dies ist der Fall, wenn der Experimentierwagen bei der Abwärts- und bei der Aufwärtsbewegung die statische Ruhelage (Federkraft = Hangabtriebskraft) passiert.

2.3 Lösungen

25

Begründung für maximale Beschleunigung während der Reflexionsphase Der Experimentierwagen habe die Geschwindigkeit v0 zum Zeitpunkt, in dem sich die Federn berühren: Der Experimentierwagen wird durch die Federkraft auf einer viel kleineren Strecke bzw. in viel kürzerer Zeit von v0 auf null abgebremst, als dieser zuvor durch die Hangabtriebskraft aus der Ruhe auf v0 beschleunigt wurde. Daher ist die resultierende Kraft während des Einwirkens der Federkraft und damit die Beschleunigung viel größer, als wenn nur die Hangabtriebskraft wirkt.

Lösung zu Aufgabe 7: Kreisbewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung a) v.t/-Diagramm und v.t/-Funktion Die lineare Regression der v.t/-Messreihe in Abb. 2.19 ergibt mit der Tangentialbeschleunigung at m v.t/ D at t D 0;17 2  t : (2.24) s Bestimmung der Winkelbeschleunigung ˛ Für den Zusammenhang zwischen der Länge s des Kreisbogens und dem Mittelpunktswinkel ' gilt s.t/ D r'.t/ : (2.25) Ableiten von (2.25) ergibt sP .t/ D v.t/ D r '.t/ P D r!.t/ :

(2.26)

P D r˛.t/ : sR .t/ D v.t/ P D at .t/ D r !.t/

(2.27)

Ableiten von (2.26) ergibt

0,6

Geschwindigkeit v/ ms

Abb. 2.19 v.t /-Diagramm eines Punkts am Rand der Kreisscheibe

v(t)-Messreihe v(t) = 0,1706 sm2 · t 0,4

0,2

0

0

0,5

1

1,5 Zeit t/s

2

2,5

3

26

2

Kinematik des Massepunktes

Da nach (2.24) die Tangentialbeschleunigung at in (2.27) konstant ist, ist auch die Winkelbeschleunigung ˛ konstant: at ˛D : (2.28) r Einsetzen des gemessenen Radius r D 0;2 m und von at D 0;17 m=s2 in (2.28) ergibt die Winkelbeschleunigung ˛ D 0;85 s2 . b) Herleitung der a.t/-Funktion Für die Bahnbeschleunigung a gilt R 2 C yR 2 .t/ ) a.t/ D a2 .t/ D ax2 .t/ C ay2 .t/ D x.t/

p xR 2 .t/ C yR 2 .t/ :

(2.29)

Für die x-Koordinate und deren erste und zweite Ableitung gilt x.t/ D r cos '.t/; x.t/ P D r 'P sin ';   x.t/ R D r 'R sin ' C 'P 2 cos ' :

(2.30)

Für die y-Koordinate und deren erste und zweite Ableitung gilt y.t/ D r sin '.t/; y.t/ P D r 'P cos ';   y.t/ R D r 'R cos '  'P 2 sin ' :

(2.31)

Einsetzen von (2.30) und (2.31) in (2.29) ergibt h

'R sin ' C 'P 2 cos '   D r 2 'R 2 C 'P 4 :

a2 .t/ D r 2

2

 2 i C 'R cos '  'P 2 sin '

(2.32)

Speziell für die gegebene Kreisbewegung ist nach (2.28) die Winkelbeschleunigung konstant, und es ist 'R D ˛ D konst:; '.t/ P D ˛t C '.0/ P :

(2.33)

Einsetzen der Anfangsbedingung '.0/ P D 0 in (2.33) ergibt 'R D ˛ D konst:; '.t/ P D ˛t :

(2.34)

2.3 Lösungen

27

Einsetzen von (2.34) in (2.32) ergibt   a2 .t/ D r 2 ˛ 2 C ˛ 4 t 4 p ) a.t/ D r˛ 1 C ˛ 2 t 4 :

(2.35)

Alternativ kann die a.t/-Funktion als Betrag der Summe der Tangentialbeschleunigung aEt und der Normalbeschleunigung aEn hergeleitet werden: aE D aEt C aEn D

(2.36)

dv v2 eEt C eEn : dt r

Der Betrag von (2.36) ist aD

s 

q at2

C an2 D

dv dt

2 C

v4 : r2

(2.37)

Einsetzen von (2.26), (2.28) und (2.34) in (2.37) ergibt (2.35). Prüfung von (2.35) durch Vergleich mit a.t/-Messreihe Abb. 2.20 zeigt die gute Übereinstimmung der a.t/-Messreihe und der a.t/-Funktion aus (2.35). c) Winkel ˇ zwischen Bahnbeschleunigungsvektor aE und Einheitsvektor eEr Für den Bahnbeschleunigungsvektor gilt nach (2.36) und (2.26) bis (2.28) aE D ˛r eEt C ˛ 2 rt 2 eEn : Abb. 2.20 a.t /-Diagramm eines Punkts am Rand der Kreisscheibe

a(t)-Messreihe  1 + (0,85 s12 )2 · t4

1,5

Beschleunigung a/ sm2

(2.38)

a(t) = 0,2 m · 0,85 s12 ·

1

0,5

0

0

0,5

1

1,5 Zeit t/s

2

2,5

3

28

2

Kinematik des Massepunktes

Der Einheitsradiusvektor ist eEr D eEn :

(2.39)

Einsetzen von (2.38) und (2.39) in die Berechnung des Winkels ˇ mit dem Skalarprodukt ergibt   ˛r eEt C ˛ 2 rt 2 eEn  eEn ˛ 2 rt 2 ˛t 2 aE  eEr Dp Dp D p jE ajjE er j ˛2r 2 C ˛4r 2t 4 ˛2 r 2 C ˛4 r 2t 4 1 C ˛2t 4   2 ˛t ) ˇ D arccos p : 1 C ˛2 t 4

cos ˇ D

(2.40)

Experimentelle Prüfung von (2.40) durch Spezialfälle Nach (2.40) ist ˇ.t D 0/ D 90ı und   ˛t 2 lim ˇ.t/ D lim arccos p t !1 t !1 1 C ˛2t 4 1 0

(2.41)

˛ C B ı D lim arccos @ q A D arccos.1/ D 0 : t !1 1 C ˛2 t4

Diese Ergebnisse werden mit den experimentell bestimmten Beschleunigungsvektoren in Abb. 2.21 bestätigt.

Abb. 2.21 Vektorspur des Beschleunigungsvektors aE (blau). Für t D 0 zeigt aE in Richtung von eEt , für t ! 1 steht aE senkrecht zu eEt bzw. zeigt in Richtung eEr

t→∞ et er

er t=0

et

2.3 Lösungen

29

Lösung zu Aufgabe 8: Wurf entgegen dem Hang a) Formel für den Zeitpunkt t maximaler Wurfhöhe Die Bahnkurve des schiefen Wurfs lautet ) v0y 1 g x.t/ D v0x t ; ) y.x/ D  2 x 2 C x 1 2 2 v0x v0x y.t/ D  2 gt C v0y t ) v0y 1 g tan ˛ D v0x ) y.x/ D  2 x 2 C x tan ˛: 2˛ 2 v cos v0x D v0 cos ˛ 0

(2.42) (2.43)

Der Schneeball erreicht die maximale Höhe genau dann, wenn die Geschwindigkeit vy D yP in y-Richtung null wird. Ableiten und Nullsetzen von (2.42) ergibt v0 1 P D gt C v0 sin ˛ D 0 , t D y.t/ D  gt 2 C v0 t sin ˛ ) y.t/ sin ˛ : 2 g

(2.44)

b) Formel für den Auftreffzeitpunkt tA am Hang Der Auftreffzeitpunkt tA am Hang wird durch Gleichsetzen der parametrisierten Hanggleichung yH .x/ D x tan '

)

yH .t/ D x.t/ tan ' D v0 t cos ˛ tan '

(2.45)

mit (2.42) bestimmt: yH .t/ D y.t/; 1 v0 t cos ˛ tan ' D  gt 2 C v0 t sin ˛ 2   1 , t  gt C v0 sin ˛  v0 cos ˛ tan ' D 0 2 2v0 ) t1 D 0 und t2 D .sin ˛  cos ˛ tan '/ : g

(2.46)

Wegen tA > 0 ist tA D t2 der Auftreffzeitpunkt. Formel für die Entfernung e vom Abwurfort Für die Entfernung e zum Abwurfort gilt unter Verwendung von (2.46) eD

v0 t2 cos ˛ 2v 2 sin ˛ cos ˛  cos2 ˛ tan ' x.t2 / D D 0 : cos ' cos ' g cos '

(2.47)

30

2

Kinematik des Massepunktes

Prüfung der Ergebnisse von (2.47) durch Spezialfälle Der Spezialfall ' D 0ı ergibt die Wurfdauer t2 D 2vg0 sin ˛ und die Wurfweite e D 2v02 g

sin ˛ cos ˛ eines schiefen Wurfs. Der Spezialfall ˛ D 90ı ergibt die Steigzeit t2 D und die Entfernung e D 0 des senkrechten Wurfs.

2v0 g

c) Abwurfwinkel ˛ für maximale Wurfweite emax Ableiten und Nullsetzen von (2.47) für festes ' ergibt 2v02 de D .cos2 ˛  sin2 ˛ C 2 tan ' sin ˛ cos ˛/ D 0 d˛ g cos ' , cos2 ˛  sin2 ˛ C 2 tan ' sin ˛ cos ˛ D 0 , tan2 ˛  2 tan ' tan ˛  1 D 0 p ) tan ˛1=2 D tan ' ˙ tan2 ' C 1 D tan ' ˙ Da nach Aufgabestellung ˛ > 0 ist, gilt das positive Vorzeichen:   1 : ˛.'/ D arctan tan ' C cos '

(2.48) 1 : cos '

(2.49)

Prüfung von (2.49) durch Spezialfall Der Winkel ' D 0ı in (2.49) ergibt die maximale Wurfweite des schiefen Wurfs bei ˛ D 45ı . Berechnung der maximalen Wurfweite emax für den Hangwinkel ' D 30ı Einsetzen des Hangwinkels ' D 30ı in (2.49) ergibt den Abwurfwinkel ˛.30ı / D 60ı . Einsetzen von ˛ D 60ı in (2.47) ergibt emax D 0;61 m.

Lösung zu Aufgabe 9: Schuss vom hangabwärts beschleunigten Wagen a) Erklärung, dass Kugel in Abschussvorrichtung zurückfällt Zerlegung der Beschleunigungsvektoren von Abschussvorrichtung (A) und Kugel (K) ergibt (2.50) aA;x D aK;x D g sin ˛: Daher sind die Beschleunigungen von Abschussvorrichtung und Kugel gleich. Zum Zeitpunkt t D 0 sind die x- und y-Koordinaten sowie die Geschwindigkeiten in x-Richtung von Abschussvorrichtung und Kugel gleich. Weiterhin hat die Bewegung der Kugel in y-Richtung keinen Einfluss auf deren Bewegung in x-Richtung. Aus diesen Gründen fällt die Kugel immer in die Abschussvorrichtung zurück – auch wenn die Abschussvorrichtung bzw. die Kugel zum Zeitpunkt t D 0 eine Geschwindigkeit in x-Richtung hat und der Hangwinkel ˛ variiert.

2.3 Lösungen

31

b) Vergleich der yK .x/-Funktion und yK .x/-Messreihe Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung der Kugel in x-Richtung gilt unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen aK;x .t/ D g sin ˛; vK;x .t/ D gt sin ˛; (2.51) 1 2 xK .t/ D gt sin ˛ : 2 Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung der Kugel in y-Richtung gilt unter Berücksichtigung, dass vK;y .0/ ¤ 0, aK;y .t/ D g cos ˛; vK;y .t/ D vK;y .0/  gt cos ˛; (2.52) 1 2 yK .t/ D vK;y .0/t  gt cos ˛ : 2 Zur Herleitung der Bahnkurve wird in (2.51) xK nach t aufgelöst und in yK von (2.52) eingesetzt: s s 2x 2x 1 2x x  g cos ˛ D vK;y .0/  : (2.53) yK .x/ D vK;y .0/ g sin ˛ 2 g sin ˛ g sin ˛ tan ˛ Messung des Hangwinkels ergibt ˛ D 15ı . Durch Anpassung von vK;y .0/ kann die yK .x/Funktion in Übereinstimmung mit der yK .x/-Messreihe gebracht werden. c) Analytischer Beweis, dass Kugel in Abschussvorrichtung zurückfällt Aus yK .t/ in (2.52) kann die Wurfdauer tW berechnet werden:   1 2 1 yK .t/ D vK;y .0/t  gt cos ˛ D t vK;y .0/  gt cos ˛ D 0 2 2 ) t1 D 0

(2.54)

2vK;y .0/ D tW : g cos ˛ Aus (2.53) kann die Wurfweite xW berechnet werden: s 2x cos ˛  xD0 yK .x/ D vK;y .0/ g sin ˛ sin ˛ s 2x cos ˛ , vK;y .0/ D x g sin ˛ sin ˛ ) t2 D

2 ) vK;y .0/

2x cos2 ˛ 2 D x g sin ˛

) x1 D 0 ) x2 D

2vK;y .0/ sin ˛ D xW : g cos2 ˛

(2.55)

32

2

Kinematik des Massepunktes

Für die gleichmäßig beschleunigte eindimensionale Bewegung der Abschussvorrichtung in x-Richtung gelten die Anfangsbedingungen aA;x .t/ D g sin ˛; vA;x .t/ D gt sin ˛; 1 xA .t/ D gt 2 sin ˛ : 2

(2.56)

Die Kugel trifft in die Abschussvorrichtung, wenn für xA .t/ aus (2.56) gilt: xA .tW / D xW :

(2.57)

Einsetzen von tw aus (2.54) in xA aus (2.56) ergibt xA .tW / D

  2 2vK;y .0/ sin ˛ 2vK;y .0/ 2 1 sin ˛ D g D xW : 2 g cos ˛ g cos2 ˛

(2.58)

Prüfung von (2.56) Für ˛ D 0ı ist nach (2.51) xK .t/ D xA .t/ D 0 für alle t, sodass die Kugel in die Abschussvorrichtung zurückfallen muss. Für ˛ D 90ı kann die Kugel nicht in die Abschussvorrichtung zurückfallen, da in (2.54) die Wurfdauer tW ! 1 geht.

3

Dynamik des Massepunkts

3.1 Kräfte und Grundgleichungen der Mechanik Aufgabe 10: Seilkräfte Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 3.1 an.

(VA)

a. Erklären Sie qualitativ mit Kraftdiagrammen die Zunahme der Seilkraft F . Schlussfolgern Sie für einen Winkel ˛ ! 90ı auf die Seilkraft F . b. Leiten Sie die F .˛/-Funktion her. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Vergleich mit einer F .˛/-Messreihe in einem Diagramm. Überprüfen Sie die Schlussfolgerung aus Teilaufgabe a. c. Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Kraftvektoren in Komponentendarstellung an.

Abb. 3.1 Zwei Seile mit einem angehängten Gewicht werden gespannt, und die Kraft in einem der Seile wird gemessen

Kraftsensor (Seilkraft F )

α

Anzeige (Seilkraft F )

Gewicht (Masse m = 0,5 kg)

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_3

33

34

3

Dynamik des Massepunkts

http://tiny.cc/ihfzly

Aufgabe 11: Durch Gewicht beschleunigte Masse Ein Gewicht (Masse mG D 0;2 kg) beschleunigt mithilfe eines masselosen Seils und einer masselosen, reibungsfreien Umlenkrolle einen reibungsfrei beweglichen Körper (Masse mE D 0;4 kg) auf einer Rampe (Neigungswinkel ˛ D 20ı ) (Abb. 3.2). a. Begründen Sie die konstante Beschleunigung aE des Experimentierwagens. Leiten Sie eine Formel für die Beschleunigung aE des Experimentierwagens her und berechnen Sie diese. b. Leiten Sie eine Formel für die Seilkraft FS im Seil her und berechnen Sie diese. Abb. 3.2 Eine Masse auf einem Hang wird durch ein Gewicht bewegt

mE mG α

Aufgabe 12: Atwood’sche Fallmaschine Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 3.3 an.

(VA)

a. Geben Sie qualitativ begründete Antworten: Wie groß sind die beschleunigte Masse und die beschleunigende Kraft? Welche Art von Bewegung der Massen liegt vor? Welche Aussage kann über die Kraft der Masse m1 auf die Masse m2 gemacht werden? b. Geben Sie ohne zu rechnen für drei Spezialfälle die Beschleunigung der Massen an. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Beschleunigung a der Masse m2 her und prüfen Sie diese durch Spezialfälle. c. Bestimmen Sie experimentell die Erdbeschleunigung g. d. Berechnen Sie die Kraft FS im Seil. http://tiny.cc/mhfzly

3.1 Kräfte und Grundgleichungen der Mechanik Abb. 3.3 Zwei unterschiedliche Gewichte sind über eine drehbare Rolle mit einer Schnur verbunden und bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen

35 Umlenkrolle (masselos und reibungsfrei)

Gewicht (Masse m1 = 150 g)

Gewicht (Masse m2 = 160 g)

Aufgabe 13: Statik am Balken Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 3.4 an.

(VA)

a. Nehmen Sie für x 2 Œ0; ` eine FA .x/- und FB .x/-Messreihe auf und stellen Sie diese in einem gemeinsamen Diagramm dar. Erklären Sie qualitativ deren Verlauf.

Abb. 3.4 Ein Zylinder wird gleichmäßig über einen Balken gezogen, während zwei Kraftmesser A und B die Auflagekräfte messen

Zylinder (Masse mZ = 1,094 kg) Kraft FA

Kraft FB Balken (Masse mB = 2,314 kg La ¨nge  = 80 cm)

0 x Abstand a = 44,5 cm Kraftmesser A

Kraftmesser B

36

3

Dynamik des Massepunkts

b. Bestätigen Sie die Messungen aus Teilaufgabe a durch Herleiten von Formeln für FA .x/ und FB .x/ sowie durch Darstellung der Funktionsgraphen im Diagramm aus Teilaufgabe a. c. Berechnen Sie den Abstand x0 , bei dem FA D 0 ist. http://tiny.cc/xhfzly

Aufgabe 14: Rutschende Kette (mVA) Videografieren Sie das Abrutschen einer zunächst ruhenden Büroklammerkette (Länge `, Masse m) aus identischen Büroklammern über einer Tischkante (zu Beginn überhängendes Kettenstück `0 < `). a. Argumentieren Sie, dass die Beschleunigung der Kette nicht konstant ist. b. Zeigen Sie, dass die Bewegung der Kette unter Vernachlässigung von Reibungskräften durch die Differenzialgleichung y yR D g ` mit den Anfangsbedingungen y.0/ D `0 und v.0/ D 0 beschrieben wird. Zeigen Sie, dass r  g t y.t/ D `0 cosh ` eine Lösung der Differentialgleichung ist. c. Vergleichen Sie kritisch eine y.t/-Messreihe mit der y.t/-Funktion aus Teilaufgabe b.

3.2 Energiesatz der Mechanik, Arbeit und Kraftfelder Aufgabe 15: Konservative und nichtkonservative Kraftfelder Der Energieerhaltungssatz gilt nur in konservativen Kraftfeldern. a. Zeigen Sie, dass die Kraftfelder 1 0 C B FE1 .Er / D @ 0 A Fz 0

mit

konservative Kraftfelder sind.

Fz D konst.

und

FE2 .Er / D f .r/E er

3.2 Energiesatz der Mechanik, Arbeit und Kraftfelder

37

b. Ein Körper wird im Kraftfeld 1 x2 C y C B FE .Er / D @ sin y A 0 0

einmal entlang einer Geraden (Weg 1) und einmal entlang der Kurve 1 0 1 0 0 4 1 C B C B y.x/ D x 2 C x vom Ort rE1 D @ 0 A zum Ort rE2 D @ 18 A 2 0 0 (Weg 2) bewegt. Berechnen Sie die für beide Wege zu verrichtende, hier einheitenlose Arbeit. Welchen Schluss ziehen Sie aus dem Ergebnis? Aufgabe 16: Abgefedertes Fallen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 3.5 an.

Abb. 3.5 Eine frei in der Luft gehaltene Kugel ist mit einem Seil an eine Feder gebunden und wird beim Fallen von der Federkraft abgebremst

(VA)

Kugel (Masse m = 130 g, Zeitpunkt t = 0)

0

Feder (Federkonstante D = 2,9 N/m) Freier Fall fu ¨r y ∈ [0, ]  = 0,61 m

ymax y

38

3

Dynamik des Massepunkts

a. Die Kugel fällt bis zur Position y D ` D 0;61 m im freien Fall. Formulieren Sie eine begründete Hypothese zur Position y D y0 , bei der die Kugel die größte Geschwindigkeit hat. b. Leiten Sie die v.y/-Funktion der Geschwindigkeit her. Berechnen Sie die Position y0 und die Maximalgeschwindigkeit vmax D v.y0 /. Prüfen Sie die Ergebnisse und die Hypothese aus Teilaufgabe a durch eine v.y/-Messreihe. c. Geben Sie die Funktionsgleichungen E.y/-Funktion aller auftretenden Energieformen an. Stellen Sie die E.y/-Messreihe aller Energieformen in einem gemeinsamen Diagramm dar und überprüfen Sie die Energieerhaltung. d. Bestimmen Sie aus der a.y/-Messreihe die Federkonstante D. http://tiny.cc/shfzly

Aufgabe 17: Arbeit beim Bogenschießen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 3.6 an.

(VA)

a. Verifizieren Sie experimentell den Energieerhaltungssatz. b. Zum Spannen eines Compoundbogens ist eine Zugkraft   N N F .x/ D 50 3 x 3  466 2 .x  0;55/2 C 141 N m m notwendig. Leiten Sie eine Formel für die Abschussgeschwindigkeit v0 des Pfeils (Pfeilmasse m D 30 g) in Abhängigkeit der maximalen Auslenkung xmax her und berechnen Sie diese für xmax D 0;8 m. Abb. 3.6 Ein Bogen wird gespannt, um einen Pfeil abzuschießen

Pfeil (Masse m = 31 g)

0 x

Anzeige (Zugkraft F )

3.2 Energiesatz der Mechanik, Arbeit und Kraftfelder

39

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Aufgabe 18: Loopingfahrt Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 3.7 an.

(VA)

a. Leiten Sie die v.˛/-Funktion der Bahngeschwindigkeit her. Nehmen Sie eine v.t/Messreihe auf und transformieren Sie diese durch Winkelmessung in eine v.˛/Messreihe. Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit v.180ı / und v.0ı / durch Anpassung der v.˛/-Funktion an die v.˛/-Messreihe. b. Der Experimentierwagen soll den Looping vollständig durchfahren. Leiten Sie eine Formel für die Mindeststarthöhe hmin über dem untersten Bahnpunkt her. c. Benennen und bezeichnen Sie die auf den Experimentierwagen bezüglich eines ruhenden Koordinatensystems wirkenden Kräfte. Tragen Sie die Kräfte für die Winkel ˛ D 0ı ; 45ı ; 90ı ; 135ı und 190ı qualitativ nach Betrag und Richtung in eine Skizze ein. d. Die Geschwindigkeit v.0ı / ist gegeben. Leiten Sie Formeln für die auf den Experimentierwagen wirkende Tangentialkraft FT .˛/, Radialkraft FR .˛/ und Bahnkraft FB .˛/ der Loopingbahn her. Wie stark schwanken diese Kräfte während der Loopingfahrt? Welche Wirkung haben diese Kräfte auf den Experimentierwagen? http://tiny.cc/9gfzly

Abb. 3.7 Ein Experimentierwagen durchfährt einen Looping mit konstantem Radius r. Die Position des Experimentierwagens wird durch den Winkel ˛ angegeben

y

Experimentierwagen (Masse m)

Radius cm r = 19 α

x

40

3

Dynamik des Massepunkts

3.3 Gravitation und Planetenbewegung Aufgabe 19: Bahnkurven eines Satelliten im Gravitationsfeld der Erde Ein Satellit (Masse m D 300 kg) bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde (Höhe h über der Erdoberfläche, Umlaufdauer T D 5 h, Erdmasse mE D 5;975  1024 kg, Erdradius rE D 6378 km, Gravitationskonstante  D 6;674  1011 m3 kg1 s2 ). a. Leiten Sie eine Formel für die Höhe h her und berechnen Sie diese. b. Leiten Sie Formeln für die Gesamtenergie E sowie den Drehimpuls L des Satelliten bezüglich des Erdmittelpunkts her und berechnen Sie diese. c. Berechnen Sie die Arbeit W , um den Satelliten auf die Kreisbahn zu bringen. d. Welche Bahnkurve beschreibt der Satellit, nachdem seine Bahngeschwindigkeit instantan um 20 % durch Zünden von Bremsraketen verringert wird? Berechnen Sie für die neue Bahnkurve die maximale und minimale Höhe des Satelliten über der Erdoberfläche. Geben Sie Richtung und Betrag der Geschwindigkeit in diesen beiden Bahnpunkten an. Aufgabe 20: Satellitenbewegung um die Erde Ein Satellit (Masse mS D 100 kg) bewegt sich auf einer Kreisbahn (Radius r D 7000 km) um die Erde (Masse mE D 5;98  1024 kg). a. Berechnen Sie die auf den Satelliten wirkende Kraft (Gravitationskonstante  D 6;674  1011 m3 kg1 s2 ). b. Leiten Sie eine Formel für den Zusammenhang zwischen Radius r und Umlaufdauer T des Satelliten her. Berechnen Sie die Umlaufdauer T . c. Der Satellit soll von einer Kreisbahn mit dem Radius r D r1 auf eine Kreisbahn mit dem Radius r D r2 > r1 gebracht werden. Leiten Sie eine Formel für die Gesamtenergieänderung Eges her und berechnen Sie diese.

3.4 Lösungen Lösung zu Aufgabe 10: Seilkräfte a) Erklärung der Kraftzunahme mit Kraftdiagrammen Zwischen der Vertikalen und den beiden Seilen liegt der gleiche Winkel ˛, da das Gewicht in der Seilmitte auf gleicher Höhe zu den Aufhängepunkten angebracht ist (Abb. 3.8). Die linke Seilkraft FEl und die rechte Seilkraft FEr müssen zusammen die Gewichtskraft FEG des Gewichts kompensieren. Unabhängig vom Winkel ˛ muss gelten: FEl C FEr D FEG :

(3.1)

3.4 Lösungen

41

Fl

−FG α α Fr

−FG α α

Fl

FG

Fr

FG

Abb. 3.8 Kraftdiagramme für zwei verschiedene Winkel

Der Kraftsensor misst die Seilkraft F D Fl . Wegen gleicher Winkel ˛ zur Vertikalen entsteht als Kräfteparallelogramm eine Raute. Daher gilt für den Betrag der Seilkräfte F D Fl D Fr :

(3.2)

Für eine konstante Gewichtskraft FG und zunehmenden Winkel ˛ müssen wegen (3.1) die Seitenlängen der Raute und die Kräfte Fl und Fr zunehmen (Abb. 3.8). Vorhersage der Kraft F für Winkel ˛ ! 90ı Für ˛ ! 90ı werden die Seiten der Raute parallel zueinander und damit die Seilkräfte theoretisch unendlich groß. b) Herleitung der F.˛/-Funktion Da die Rautendiagonalen sich halbieren (Abb. 3.8), gilt cos ˛ D

mg FG =2 ) F .˛/ D : F 2 cos ˛

(3.3)

Vergleich der F.˛/-Messreihe und der F.˛/-Funktion (3.3) Der Graph von (3.3) für m D 0;5 kg und die F .˛/-Messreihe stimmen gut überein (Abb. 3.9). Prüfung von F ! 1 für Winkel ˛ ! 1 Nach (3.3) gilt in Übereinstimmung mit der Vorhersage aus Teilaufgabe a lim F .˛/ D lim ı

˛!90ı

˛!90

mg D 1: 2 cos ˛

(3.4)

42

3

F (α)-Messreihe F (α) = mg/(2 cos α)

20 Seilkraft F/N

Dynamik des Massepunkts

10

mg/2 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Winkel α/◦

Abb. 3.9 F .˛/-Diagramm der Seilkraft

c) Zusammenhang zwischen den Seilkraftvektoren Für ein kartesisches, zweidimensionales Koordinatensystem gilt mit F D Fl D Fr für die Kraftvektoren ! ! ! 0  sin ˛ sin ˛ ; FEl D F ; FEr D F : (3.5) FEG D mg cos ˛ cos ˛ Nach (3.1) und (3.3) gilt dann F

 sin ˛ cos ˛

!

!

! CF

sin ˛ cos ˛

D

0 mg

:

(3.6)

Lösung zu Aufgabe 11: Durch Gewicht beschleunigte Masse a) Konstante Beschleunigung aE des Experimentierwagens Die Gewichtskraft des Gewichtsstücks ist konstant. Da folglich eine konstante Kraft auf den Experimentierwagen wirkt, ist nach dem Newton’schen Grundgesetz der Mechanik auch die Beschleunigung konstant. Formel für die Beschleunigung aE Abb. 3.10 zeigt das Kraftdiagramm mit freigeschnittenen Massen mE und mG . Zur direkten Berechnung der Beschleunigung aE werden die Einzelmassen mE und mG als Gesamtmasse mE C mG betrachtet. Nach dem Newton’schen Grundgesetz und mit der gewählten x-Achsenrichtung gilt  mE g sin ˛ C mG g D .mE C mG /aE

)

aE D g

mG  mE sin ˛ : mE C mG

(3.7)

3.4 Lösungen

43 FH

mE

FS

−FS

mG

FG x

0

Abb. 3.10 Kraftdiagramm mit den Massen und den angreifenden Kräften

b) Formel für die Seilkraft FS Nach dem Newton’schen Grundgesetz gilt für die Masse mG unter Verwendung von (3.7) mG  mE sin ˛ mE C mG   mG  mE sin ˛ mG mE ) FS D mG g 1  g.1  sin ˛/ : D mE C mG mE C mG

FS C mG g D mG aE D mG g

(3.8)

Alternativ kann FS durch die Anwendung der Newton’schen Grundgesetze auf die Masse mE berechnet werden.

Lösung zu Aufgabe 12: Atwood’sche Fallmaschine a) Beschleunigte Masse und beschleunigende Kraft Wegen der Seilverbindung zwischen den Massen ist die beschleunigte Masse m D m1 C m2 . Die beschleunigende Kraft ist die resultierende Kraft Fres D .m2  m1 /g

(3.9)

auf die verbundenen Massen. Art der Bewegung Nach dem Newton’schen Grundgesetz ist Fres D ma D .m1 C m2 /a

(3.10)

und somit nach (3.9) die Beschleunigung beider Massen konstant. Es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung der Massen. Kraft der Masse m1 auf die Masse m2 Nach dem Wechselwirkungsgesetz von Newton übt die Masse m1 auf die Masse m2 eine betragsgleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft wie die Masse m2 auf die Masse m1 aus.

44

3 FG1

m1

FS1

FS2

Dynamik des Massepunkts

m2

FG2 x

Abb. 3.11 Kraftdiagramm der Atwood’schen Fallmaschine

b) Beschleunigung a für Spezialfälle  Für m1 D m2 ist nach (3.9) Fres D 0 und nach (3.10) a D 0. Die Massen sind in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung.  Für m2  m1 ist Fres > 0 und a D g.  Für m1  m2 ist Fres < 0 und a D g. Formel für die Beschleunigung a Wenn die verbundenen Massen als ein bewegter Körper mit Gesamtmasse m D m1 C m2 betrachtet werden, erhält man nach (3.9) und (3.10) die Beschleunigung aDg

m2  m1 : m1 C m2

(3.11)

Alternativ kann die Beschleunigung a und darüber hinaus die Kraft FS im Seil durch Betrachtung der Einzelmassen hergeleitet werden. Man betrachte hierzu die zur Fallmaschine analoge horizontale, reibungsfreie Anordnung (Abb. 3.11). In der eindimensionalen Darstellung in Abb. 3.11 gilt für die Kräfte unter Beachtung der gewählten x-Achsenrichtung FS1 D FS ; FS2 D FS ; FG1 D m1 g;

(3.12)

FG1 D m2 g : Da die Massen über ein Seil verbunden sind, gilt a1 D a2 D a :

(3.13)

Anwendung von (3.10) und (3.13) auf die Masse m1 bzw. m2 ergibt FS  m1 g D m1 a bzw. m2 g  FS D m2 a :

(3.14) (3.15)

Die Gln. (3.14) und (3.15) bilden ein Gleichungssystem mit der unbekannten Seilkraft FS und der Beschleunigung a. Addition von (3.14) und (3.15) führt zu m2 g  .m1 g C m1 a/ D m2 a :

(3.16)

3.4 Lösungen

45

1 Geschwindigkeit v/ ms

Abb. 3.12 v.t /-Diagramm des fallenden Gewichts 2 der Atwood’schen Fallmaschine

0,5 v(t)-Messreihe v(t) = 0,3157 sm2 · t 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Zeit t/s

Auflösen von (3.16) nach der Beschleunigung a liefert das Ergebnis aus (3.11). Einsetzen von (3.11) in (3.14) oder (3.15) ergibt die Seilkraft FS D g

m1 m2 : m1 C m2

(3.17)

Prüfen von (3.11) durch Spezialfälle Die Spezialfälle sind in Tab. 3.1 zusammengefasst. c) Bestimmung der Erdbeschleunigung g Auflösen von (3.11) nach der Erdbeschleunigung g liefert gDa

m1 C m2 : m2  m1

(3.18)

Lineare Regression der v.t/-Messreihe für die Masse m2 liefert die Beschleunigung a D 0;32 m=s2 (Abb. 3.12). Einsetzen der Werte in (3.18) ergibt die Erdbeschleunigung g D 9;79 m=s2 . d) Berechnung der Seilkraft FS Einsetzen der Werte in (3.17) ergibt die Seilkraft FS D 1;51 N. Tab. 3.1 Beschleunigungen a und Seilkräfte FS für drei Spezialfälle Spezialfall

Beschleunigung a nach (3.11)

m1 D m2 D m a D 0

Seilkraft FS nach (3.17) FS D g

m1 =m2  1

aDg

1 1 m m2  m1 m D g m1 2  g m1 C m2 C1 m2

FS D g

m2 =m1  1

aDg

m2 1 m2  m1 m D g 1 m2  g m1 C m2 1 C m1

FS D g

2m2 D mg 2m 2m1  2m1 g C1

m1 m2

2m2  2m2 g 2 1C m m1

46

3

Dynamik des Massepunkts

Lösung zu Aufgabe 13: Statik am Balken a) FA .x/- und FB .x/-Messreihe In Abb. 3.13 sind die FA .x/- und FB .x/-Messreihen in einem Diagramm dargestellt. Qualitative Erklärung der Kraftverläufe Nach Abb. 3.13 sind beide Auflager bereits ohne den Zylinder durch das Gewicht des Balkens belastet. Das Auflager B ist stärker als das Auflager A belastet, weil durch die Position von Auflager B der Balken fast im Gleichgewicht ist. Positioniert man den Zylinder bei x D 0, so bleibt die Kraft FB unverändert, und die Kraft FA erhöht sich um die Gewichtskraft des Zylinders. Für zunehmende Position x des Zylinders wird Auflager B immer stärker belastet und Auflager A immer stärker entlastet. Bei einer bestimmten Position wird Auflager A kräftefrei, weil bezüglich Auflager B Balken und Zylinder im Gleichgewicht sind. Bei weiterer Zunahme der Position x wird aus dem Drucklager A ein Zuglager (Vorzeichenwechsel von FA ). b) Herleitung der FA .x/- und FB .x/-Funktion Da der Balken homogen ist, liegt der Balkenschwerpunkt bei x D `=2, und die Drehmomentwirkung des ausgedehnten Balkens kann durch eine bei x D `=2 angreifende Gewichtskraft FGB D mB g ersetzt werden (Abb. 3.14). Auf den Balken wirken weitere Kräfte: die Kräfte FA und FB der Auflager A und B sowie die Gewichtskraft FGZ des Zylinders. Die Richtung der Gewichtskräfte ist bekannt, die Richtungen der Auflagerkräfte wurden in Abb. 3.14 willkürlich festgelegt und ergeben sich aus den Herleitungen. Zur Herleitung von FA .x/ und FB .x/ wird das Drehmomentgleichgewicht X

Ei D M

X

i

rEi FEi D 0E

(3.19)

i

Kraft F/N

0 FA (x)-Messreihe FB (x)-Messreihe N FA (x) = 24,1 m · x − 13,0 N N FB (x) = −24,1 m · x − 20,4 N

−20

−40 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Ortskoordinate x/m

Abb. 3.13 F .x/-Diagramm der Auflagekräfte FA und FB

0,7

0,8

3.4 Lösungen

47 y

FB

FA  2

x x

a

 FGZ

FGB

Abb. 3.14 Kraftdiagramm mit den am Balken angreifenden Kräften

mit Bezugspunkt bei Auflager B bzw. Auflager A aufgestellt, damit FA bzw. FB als einzige Unbekannte in der Gleichung auftritt. Ansonsten muss auch die zweite Gleichgewichtsbedingung X FEi D 0E (3.20) i

angewendet werden. Nach (3.19) ist mit Bezugspunkt bei x D 0 mB

` C FB a  mZ gx D 0; 2 mZ g mB `g xC : FB .x/ D a 2a

(3.21)

Einsetzen der Werte in (3.21) ergibt   N FB .x/ D 24;1 x C 20;4 N : m Nach (3.19) ist mit Bezugspunkt bei x D a   ` FA .0  a/  mB g  a  mZ g.x  a/ D 0 2   mZ g `mB FA .x/ D  x C g mZ C mB  : a 2a

(3.22)

(3.23)

Einsetzen der Werte in (3.23) ergibt   N FA .x/ D 24;1 x C 13;0 N : m

(3.24)

Vergleich von (3.22) und (3.24) mit FA .x/- und FB .x/-Messreihe Im Videoexperiment wurden die Kräfte des Balkens auf die Auflager und nicht umgekehrt gemessen. Daher müssen (3.22) und (3.24) zum Vergleich mit Messwerten mit negativem Vorzeichen versehen werden (Abb. 3.13).

48

3

Dynamik des Massepunkts

c) Ortskoordinate x0 für kräftefreies Auflager A Die Bedingung FA .x0 / D 0 ergibt mit (3.24)   N x0 C 13;0 N D 0 : FA .x0 / D 24;1 m

(3.25)

Auflösen von (3.25) nach x0 ergibt die Ortskoordinate x0 D 0;54 m. Als alternative Lösung wird das Drehmomentgleichgewicht bezüglich Auflager B mit FA D 0 aufgestellt:   mB g

 `  a  mZ g.x0  a/ D 0 : 2

(3.26)

  ` Ca: a 2

(3.27)

Auflösen nach x0 ergibt x0 D

mB mZ

Einsetzen der Werte in (3.27) ergibt ebenfalls die Ortskoordinate x0 D 0;54 m.

Lösung zu Aufgabe 14: Rutschende Kette Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Anstelle einer Büroklammerkette kann auch eine Perlenkette oder ein Seil verwendet werden, wenn die Unterlage wenig Reibung aufweist. Im Folgenden bezeichnet y die Position von dem Ende des überhängenden Kettenstücks für eine nach unten gerichtete y-Koordinatenachse. Das Ende des überhängenden Kettenstücks wird für die Auswertung der Videoaufnahme farblich markiert. a) Veränderliche Beschleunigung der Kette Die Beschleunigung ist nicht konstant, weil sich die überhängende beschleunigende Masse während des Fallvorgangs verändert. Diese ist der variable relative Anteil my=` der Gesamtmasse m. b) Aufstellen der Bewegungsgleichung und Prüfung der Lösung Die Erdanziehungskraft wirkt nach Teilaufgabe a auf den überhängenden Massenanteil y F D m g; `

(3.28)

wonach sich aus dem zweiten Newton’schen Gesetz die Bewegungsgleichung y myR D m g `

,

s yR D y `

(3.29)

3.4 Lösungen

49

ergibt. Zur Überprüfung der Korrektheit der vorgegebenen Lösungsfunktion ist zu beachten, dass gilt: d cosh y D sinh y ; dy d sinh y D cosh y : dy r

Zweifaches Ableiten von yK .t/ D l0 cosh

g t `

(3.30)

 (3.31)

und Einsetzen von y.t/ und y.t/ R in (3.29) zeigt, dass (3.31) Lösung von (3.29) ist. WeiP D 0. terhin ist nach (3.31) y.0/ D `0 und y.0/ c) Vergleich der y.t/-Messreihe und der y.t/-Funktion (3.31) Im durchgeführten Experiment beträgt ` D 0;5 m und das über die Kante hängende Kettenstück hat die Länge y.t D 0/ D `0 D 0;12 m. Die y.t/-Messreihe in Abb. 3.15 weicht deutlich von der yF .t/-Funktion des freien Falls ab. Die Messwerte weichen ebenfalls deutlich von der y.t/-Funktion (3.31) ab. Damit die Kette fällt, muss zur Kompensation der Haftreibungskraft das hängende Kettenstück eine Mindestlänge `0 bzw. eine Mindestgewichtskraft mg`0 =` haben. Demzufolge muss (3.31) korrigiert werden zu y.t/ D .`0  `0 / cosh

Abb. 3.15 y.t /-Diagramm der rutschenden Kette

r

 g t C `0 `

mit ` > `0 :

y(t)-Messreihe yF (t) = 4,905 sm2 · t2 + 0,12 m y(t) = 0,12 m · cosh(4,43 1s · t) vK (t) = 0,11 m · cosh(4,43 1s · t) + 0,1 m

0,8 0,7 Ortskoordinate y/m

(3.32)

yK (t)

y(t)

yF (t)

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,2

0,4

0,6 Zeit t/s

0,8

1

50

3

Dynamik des Massepunkts

Die Differenz `  `0 berücksichtigt die Haftreibungskraft in (3.29), der Summand `0 die veränderte Position zum Zeitpunkt t D 0. Gl. (3.32) beschreibt wesentlich besser die Messdaten (Abb. 3.15), lässt aber die Gleitreibungskraft unberücksichtigt.

Lösung zu Aufgabe 15: Konservative und nichtkonservative Kraftfelder a) Prüfung auf konservatives Kraftfeld FE1 .E r/ Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn die Arbeit entlang geschlossener Wege null ist, also: I FE  dEr D 0 : (3.33) Nach dem Satz von Stokes ist eine äquivalente notwendige und hinreichende Bedingung 0 @F @F 1 z  @zy @y @Fz C x E FE .Er / D B rot FE .Er / D r D 0E : (3.34) @ @F @z  @x A @Fy @Fx  @y @x Ausführen der partiellen Ableitungen für Fz D konst. in (3.34) ergibt 1 0 0 C B rot FE1 .Er / D @ 0 A D 0E ; 0

(3.35)

womit das Kraftfeld FE1 .Er / konservativ ist. r/ Prüfung auf konservatives Kraftfeld FE2 .E Da das Kraftfeld nur in radialer Richtung eine Komponente hat, ist in Kugelkoordinaten mit den Einheitsvektoren eEr ; eE' und eE# FE2 .Er / D Fr eEr C F' eE' C F# eE# D f .r/E er :

(3.36)

Zusätzlich hängt die radiale Komponente nur vom Abstand r und nicht von den Winkeln ' und # ab. Die Rotation in Kugelkoordinaten ist 0   1 @F# 1 @ .F sin #/  ' @' B r sin # @# C C: 1 @Fr 1 @ rot F .Er / D B (3.37)  .rF / ' @ A r sin # @' r @r 1 @ 1 @Fr .rF / #  r @# r @r

Einsetzen der Kraftkomponenten Fr ; F' und F# aus (3.36) und Ausführen der partiellen Ableitungen ergibt 1 0 0 C B (3.38) rot FE2 .Er / D @ 0 A D 0E ; 0 womit FE2 .Er / ein konservatives Kraftfeld ist.

3.4 Lösungen

51

b) Bestimmung der Arbeit W im Kraftfeld FE .E r / entlang einer Geraden Allgemein gilt in kartesischen Koordinaten ZrE2 W D

FE .Er /  dEr

rE1

ZrE2

ZrE2 Fx dx C

D

ZrE2 Fy dy C

Fz dz

rE1

rE1

rE1

Zx2

Zy2

Zz2

D

Fx dx C x1

Fy dy C y1

(3.39)

Fz dz : z1

Aus dem Anfangs- und Endpunkt wird die Geradengleichung y.x/ D

9 18 xD x 4 2

(3.40)

ermittelt. Einsetzen der Kraftkomponenten von FE .Er /, (3.40) und der Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt in (3.39) ergibt  Z4  Z18 9 2 x C x dx C sin y dy W1 D 2 0



3

x 9 C x2 D 3 4

4

0

(3.41)

C Πcos y18 0 : 0

Einsetzen der Grenzen in (3.41) ergibt die Arbeit W1 D 57;67. Bestimmung der Arbeit W im Kraftfeld FE .E r / entlang einer Parabel Einsetzen der Kraftkomponenten von FE .Er /, der gegebenen y.x/-Funktion und der Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt in (3.39) ergibt  Z4  Z18 1 2 2 x C x C x dx C sin y dy W2 D 2 0

 D

3

2 4

2x x C 3 4

0

(3.42)

C Πcos y18 0 :

0

Einsetzen der Grenzen in (3.42) ergibt die Arbeit W2 D 47;01. Da W1 ¤ W2 , ist das Kraftfeld nichtkonservativ.

52

3

Dynamik des Massepunkts

Lösung zu Aufgabe 16: Abgefedertes Fallen a) Vorhersage der Ortskoordinate y0 der Kugel bei maximaler Geschwindigkeit vmax Auf die Kugel wirkt die Gewichtskraft FG und die Federkraft FF ; Reibungskräfte können wegen des kleinen Kugelquerschnitts und der kurzen Fallstrecke vernachlässigt werden. Die Geschwindigkeit v der Masse m nimmt während der Fallbewegung zu, solange die resultierende Kraft Fres D FG  FF > 0 bzw. ares > 0 ist. Diese nimmt ab, solange Fres < 0 bzw. ares < 0 ist. Also ist für Fres D 0 bzw. FF D FG bzw. ares D 0 die Geschwindigkeit maximal (Abb. 3.16). Dies ist der Fall für die statische Ruhelage y0 D ` C

mg D

(3.43)

der Kugel. Einsetzen der Werte in (3.43) ergibt die Ortskoordinate y0 D 1;06 m. b) Herleitung der v.y/-Funktion Anwendung des Energieerhaltungssatzes ergibt für y 2 Œ0; ` 1 2 mv  mgy 2 p , v.y/ D 2gy

Eges .0/ D Eges .y/ , 0 D

(3.44)

und für y 2 `; ymax  mit ymax als maximale Ortskoordinate der Bewegung 1 2 1 mv C D.y  `/2  mgy 2 r 2 D , v.y/ D 2gy  .y  `/2 : m

Eges .0/ D Eges .y/ , 0 D

(3.45)

Kraft F

Abb. 3.16 F .y/-Diagramm der auf die Kugel wirkenden Kräfte

FG

mg

Ortskoordinate y

FF 

y0

ymax Fres

−mg

3.4 Lösungen

53

Bestimmung der Ortskoordinate y0 und der maximalen Geschwindigkeit vmax Die Geschwindigkeit der Masse m ist maximal, wenn in (3.45) der Radikand der Wurzel maximal wird. Bestimmung des Maximums ergibt   D d 2D 2 .y  `/ 2gy  .y  `/ 2g  dy m m (3.46) mg C` , y D y0 C D in Übereinstimmmung mit (3.43). Einsetzen von (3.46) in (3.45) ergibt v.y0 / D vmax D

r   mg g C 2` : D

(3.47)

Einsetzen der Werte in (3.47) ergibt die maximale Geschwindigkeit vmax D 4;05 m=s. Prüfung von (3.46) und (3.47) durch Messung der Ortskoordinate y0 und der maximalen Geschwindigkeit vmax Die Ortskoordinate y0 und die maximale Geschwindigkeit vmax können dem v.y/-Diagramm (Abb. 3.17) entnommen werden. In Übereinstimmung mit Teilaufgabe a und b ist die Ortskoordinate y0  1;07 m und die maximale Geschwindigkeit vmax  4;1 m=s. c) Herleitung der E.y/-Funktionen Es treten bei der Bewegung drei Energieformen auf: die potenzielle Energie Epot der Masse m, die Spannenergie Espann der Feder und die kinetische Energie Ekin der Masse m. Für die potenzielle Energie gilt mit Epot .0/ D 0 Epot .y/ D mgy

vmax = 4,1 Geschwindigkeit v/ ms

Abb. 3.17 v.y/-Diagramm der fallenden Masse m mit v.y/-Funktion nach (3.44) und (3.45)

für y 2 Œ0; ymax  :

(3.48)

v(y)-Messreihe v(y)-Funktion

m s

4

2 y0 = 1,07 m

0

0,2 0,4 0,6 0,8

1

1,2 1,4 1,6 1,8

Ortskoordinate y/m

2

54

3

Dynamik des Massepunkts

Für die Spannenergie gilt ( Espann .y/ D

0 1 D.y 2

 `/2

für y 2 Œ0; ` : für y 2 Œ`; ymax 

(3.49)

Für die kinetische Energie gilt nach dem Energieerhaltungssatz mit Eges .0/ D 0 Ekin .y/ D Eges .y/  Epot .y/  Espann .y/ D .Epot .y/ C Espann .y// :

(3.50)

Einsetzen von (3.48) und (3.49) in (3.50) ergibt ( Ekin .y/ D

mgy mgy 

1 2

 D.y  `/2

für y 2 Œ0; ` : für y 2 `; ymax 

(3.51)

Prüfung der Energieerhaltung Einsetzen der gegebenen Werte in (3.48), (3.49) und (3.51) ergibt ohne Angabe von Einheiten für y 2 Œ0; ymax ; Epot .y/ D 0;13  9;81  y ( 0 für y 2 Œ0; ` ; Espann .y/ D 1 2  2;9.y  0;61/ für y 2 `; ymax  2 ( 0;13  9;81  y für y 2 Œ0; ` : Ekin .y/ D 1 2 0;13  9;81  y  2  2;9.y  0;61/ für y 2 `; ymax 

(3.52)

Die Darstellung der aus den y- bzw. v-Messwerten berechneten Energiewerten in Abb. 3.18 zeigt, dass die Gesamtenergie Eges konstant gleich null ist.

Abb. 3.18 E.y/-Diagramm der auftretenden Energieformen und die Gesamtenergie

Espann (y)

2

Energie E/J

Ekin (y) 1 0 Eges (y) −1 Epot (y) −2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Ortskoordinate y/m

1,4

1,6

1,8

3.4 Lösungen

55

Abb. 3.19 a.y/-Diagramm der fallenden Masse Beschleunigung a/ sm2

20

a(y)-Messreihe a(y) = 9,81 sm2 − 21,83 s12 · (y − 0,61 m) a = 9,81 sm2

10

0 −10

0,2 0,4 0,6 0,8

1

1,2 1,4 1,6 1,8

2

Ortskoordinate y/m

d) Prüfung der Federkonstanten D mit a.y/-Diagramm Im a.y/-Diagramm ist a.y/ D 10 m=s2 für y 2 Œ0; ` und eine lineare Funktion für y 2 `; ymax  (Abb. 3.19). Es ist ay .y/ D

Fres .y/ FG C FF .y/ mg C D.y  `/ D D m m m D für y 2 Œ`; ymax  : D g C .y  `/ m

(3.53) (3.54)

Lineare Regression für y 2 `; ymax  ergibt D=m D 21;83 m=s und die Federkonstante D D 2;90 N=m in guter Übereinstimmung mit dem gegebenen Wert.

Lösung zu Aufgabe 17: Arbeit beim Bogenschießen a) Bestimmung der Spannarbeit W beim Spannen des Bogens Bis zur maximalen Dehnung xmax des Bogens wird die Spannarbeit W verrichtet. Beim Loslassen der Bogensehne wird der Pfeil auf die Abschussgeschwindigkeit v0 beschleunigt. Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Spannarbeit W gleich der kinetische Energie des abgeschossenen Pfeils sein. In Abb. 3.20 ergibt die lineare Regression der F .x/-Messreihe mit F .x/ D Dx (3.55) die Federkonstante D D 28;2 N=m. Die Spannarbeit ergibt sich durch Integration von (3.55) zu 1 2 : (3.56) W D Dxmax 2 Einsetzen der Federkonstante D und der maximalen Dehnung xmax D 0;16 m in (3.56) ergibt W D 0;374 J.

56

3

Dynamik des Massepunkts

Kraft F/N

4

2

N F (x) = 29,2 m ·x F (x)-Messreihe

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

Ortskoordinate x/m

Abb. 3.20 F .x/-Diagramm des Spannens der Bogensehne

Bestimmung der kinetischen Energie Ekin des Pfeils Die Abschussgeschwindigkeit des Pfeils wird nach v0 D

s t

(3.57)

bestimmt, indem im Videoexperiment die zurückgelegte Strecke des Pfeils zwischen zwei Zeitpunkten unmittelbar nach Verlassen der Bogensehne gemessen wird. Einsetzen der Messwerte s D 0;164 m und t D 0;034 s in (3.57) ergibt die Abschussgeschwindigkeit v0 D 4;82 m=s. Die kinetische Energie des Pfeils ist Ekin D

1 2 mv : 2 0

(3.58)

Einsetzen der Werte in (3.58) ergibt die kinetische Energie Ekin D 0;360 J, die aufgrund von Reibungskräften zwischen Pfeil und Auflage etwas kleiner als die berechnete Spannarbeit W ist. b) Formel für die Abschussgeschwindigkeit v0 des Pfeils Beim Spannen des Compoundbogens wird Arbeit verrichtet: xmax Z Zxmax Wspann .xmax / D F .x/ dx D .50x 3  466.x  0;55/2 C 141/ dx 0

0

xmax Z .50x 3  466x 2 C 512;6x C 0;04/ dx D 0

xmax

D 12;5x 4  155;33x 3 C 266;3x 2 C 0;04x 0 4 3 2 D 12;5xmax  155;33xmax C 266;3xmax C 0;04xmax :

(3.59)

3.4 Lösungen

57

Nach dem Energieerhaltungssatz ist Wspann

1 D mv02 2

r )

v0 .xmax / D

2Wspann .xmax / : m

(3.60)

Einsetzen der Werte in (3.60) ergibt die Abschussgeschwindigkeit v0 D 79;41 m=s D 285;88 km=h.

Lösung zu Aufgabe 18: Loopingfahrt a) Herleitung der v.˛/-Funktion Die unbekannte Bahngeschwindigkeit v für einen beliebigen Bahnpunkt wird mit dem Energieerhaltungssatz bestimmt: 1 1 2 ı mv .0 / D mv 2 C mgr.1  cos ˛/ 2 2 , v 2 .˛/ D v 2 .0ı /  2gr.1  cos ˛/ p ) v.˛/ D v 2 .0ı /  2gr.1  cos ˛/ :

(3.61)

1 2 1 mv .180ı / C 2mgr D mv 2 C mgr.1  cos ˛/ $ v 2 .˛/ 2 2 D v 2 .180ı / C 2gr.1 C cos ˛/ p ) v.˛/ D v 2 .180ı / C 2gr.1 C cos ˛/ :

(3.62)

Alternativ:

Geschwindigkeit v/ ms

Vergleich von v.˛/-Funktion und v.˛/-Messreihe Durch Variation der Geschwindigkeit v.0ı / oder v.180ı / in (3.61) oder (3.62) wird die theoretische v.˛/-Funktion mit Loopingradius r D 0;19 m an die v.˛/-Messreihe angepasst (Abb. 3.21). Dies ergibt v.0ı / D 3;2 m=s und v.180ı / D 1;7 m=s.

3

2

v(α) =

1

0

50

100

 2 2 10,24 ms2 − 3,73 ms2 · (1 − cos(α)) v(α)-Messreihe

150 200 Winkel α/◦

250

300

Abb. 3.21 v.˛/-Diagramm des Experimentierwagens im Looping

350

58

3

Dynamik des Massepunkts

b) Formel für die Mindeststarthöhe hmin Anwendung des Energieerhaltungssatzes (Nullniveau der potenziellen Energie im unteren Bahnpunkt) auf den Startpunkt und den obersten Bahnpunkt des Experimentierwagens ergibt 1 2 1 2 , hmin D 2r C (3.63) v : mghmin C 0 D mg2r C mvmin 2 2g min Die minimale Geschwindigkeit vmin im obersten Bahnpunkt liegt vor, wenn die Gewichtskraft als Radialkraft ausreicht: mg D

2 mvmin r

,

vmin D

p

gr :

(3.64)

Einsetzen von (3.64) in (3.63) ergibt hmin D 2r C

1 5 gr D r : 2g 2

(3.65)

Der Experimentierwagen muss mindestens einen halben Bahnradius über dem Niveau des obersten Bahnpunkts starten. c) Kräfte während der Kreisbewegung im Looping Auf den Experimentierwagen wirken die Gewichtskraft FEG und die Bahnkraft FEB (Abb. 3.22).  Die Gewichtskraft ist in Betrag und Richtung unabhängig vom Winkel ˛.  Die Bahnkraft kann nur senkrecht zur Bahn wirken und zeigt zum Kreismittelpunkt.  Die Bahnkraft trägt unabhängig von ˛ immer zur notwendigen zum Kreismittelpunkt gerichteten Radialkraft bei. Der radiale Gewichtskraftanteil ist für die obere Bahnhälfte zum Kreismittelpunkt gerichtet, für die untere Bahnhälfte vom Kreismittelpunkt weg gerichtet.

Abb. 3.22 Kraftdiagramm für verschiedene Winkel ˛ des Experimentierwagens

FG (α) FB (α)

α FT

α

r(1 − cos α)

3.4 Lösungen

59

 Die Bahnkraft im untersten Bahnpunkt ist mindestens so groß wie die Gewichtskraft (statischer Fall). Die minimale Bahnkraft im obersten Bahnpunkt ist null (vollständiges Durchfahren des Loopings mit kleinstmöglicher Geschwindigkeit im obersten Bahnpunkt).  Die Bahnkraft nimmt wegen der abnehmenden Bahngeschwindigkeit mit zunehmendem Winkel ˛ ab. d) Formel für die Tangentialkraft FT Da die Bahnkraft FB senkrecht zur Bahn steht, ist die Tangentialkraft FT die Tangentialkomponente der Gewichtskraft FG : FT D FG sin ˛ D mg sin ˛ :

(3.66)

Der Betrag der Tangentialkraft schwankt nach (3.66) zwischen FT .0ı / D FT .180ı / D 0 und FT .90ı / D FT .270ı / D mg, die Tangentialbeschleunigung schwankt zwischen g und g. Die Tangentialkraft bewirkt die Beschleunigung des Experimentierwagens entlang der Kreisbahn. Auf der rechten Kreisbahnhälfte wird für die gegebene Fahrtrichtung der Experimentierwagen langsamer, auf der linken schneller. Formel für die Radialkraft FR Die Radialkraft FR ist nach (3.64) FR D m

v2 : r

(3.67)

Einsetzen von (3.61) in (3.67) ergibt FR .˛/ D m

v 2 .0ı /  2mg.1  cos ˛/ : r

(3.68)

Die maximale Radialkraft

v 2 .0ı / r liegt nach (3.68) im untersten Bahnpunkt vor, die minimale Radialkraft FR .0ı / D m

FR .180ı / D m

v 2 .0ı /  4mg r

(3.69)

(3.70)

liegt nach (3.68) im obersten Bahnpunkt vor. Die Radialkraft schwankt beim Durchfahren des Loopings um 4mg. Die Radialkraft FR bewirkt die Bewegung des Körpers auf einer Kreisbahn.

60

3

Dynamik des Massepunkts

Formel für die Bahnkraft FB Die Bahnkraft FB ist die Summe aus Radialkraft FR und Normalkomponente der Gewichtskraft FG : (3.71) FB D FR C mg cos ˛ : Einsetzen von (3.68) in (3.71) ergibt v 2 .0ı /  2mg.1  cos ˛/ C mg cos ˛ r v 2 .0ı / C mg.3 cos ˛  2/ : Dm r

FB .˛/ D m

(3.72)

Die maximale Bahnkraft ist FB .0ı / D m

v 2 .0ı / C mg : r

(3.73)

v 2 .0ı /  5mg : r

(3.74)

Die minimale Bahnkraft ist FB .180ı / D m

Die Bahnkraft schwankt um 6mg und wird durch elastische Verformung der Loopingbahn aufgebracht.

Lösung zu Aufgabe 19: Bahnkurven eines Satelliten im Gravitationsfeld der Erde a) Bestimmung der Höhe h des Satelliten über der Erdoberfläche Die zur Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft ist die auf den Satelliten im Abstand r zum Erdmittelpunkt wirkende Gravitationskraft der Erde: r mmE mE ) rD 3 2 : (3.75) m! 2 r D  2 r ! Einsetzen von r D rE C h und von !D in (3.75) ergibt

2 T

(3.76) (3.77)

r

mE T 2  rE : 4 2 Einsetzen der Werte in (3.78) ergibt die Höhe h D 8468 km. hD

3



(3.78)

3.4 Lösungen

61

b) Bestimmung der Gesamtenergie Eges des Satelliten Die Gesamtenergie des Satelliten ist die Summe aus der potenziellen Energie Epot < 0 im Schwerefeld der Erde und der kinetischen Energie Ekin > 0 des Satelliten: Eges .r/ D Ekin .r/ C Epot .r/ D

1 2 mmE mmE 1 mv   D m! 2 r 2   : 2 r 2 r

(3.79)

Einsetzen der Werte in (3.79) ergibt die Gesamtenergie Eges D 4;022  109 J. Drehimpuls L des Satelliten Da bei einer Kreisbahn Geschwindigkeits- und Ortsvektor vom Erdmittelpunkt zum Satelliten senkrecht aufeinander stehen, ist L D mrv D mr 2 ! :

(3.80)

Einsetzen der Werte in (3.80) ergibt den Drehimpuls L D 2;31  1013 kg m2 =s. c) Bestimmung der Arbeit W , um den Satelliten auf die Kreisbahn mit Radius r zu bringen Es ist (3.81) W D Eges D Eges .r/  Eges .rE / mit Eges .rE / D

1 4 2 2 mmE r  : m 2 TE2 E rE

(3.82)

Einsetzen von TE D 24 h und der Werte von (3.79) und (3.82) in (3.81) ergibt die Arbeit W D 1;4  1010 J. d) Bestimmung der neuen Bahnkurve nach Geschwindigkeitsänderung des Satelliten Die Art der neuen Bahnkurve kann anhand der neuen Gesamtenergie des Satelliten bestimmt werden. Da die kinetische Energie des Satelliten abgenommen hat und die potenzielle Energie gleich geblieben ist, muss nach (3.81) die neue Gesamtenergie kleiner als die unter Teilaufgabe b berechnete negative Gesamtenergie sein. Daher ist die neue Bahnkurve entweder weiterhin ein Kreis oder eine Ellipse. Erstere Annahme muss verworfen werden, weil die auf den Satelliten wirkende Gravitationskraft nun größer ist als die zum Erhalt der Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft. Der Satellit verringert daher seine Höhe über der Erdoberfläche. Man stelle sich dazu vor, dass der Satellit, wenn er auf die Geschwindigkeit null abgebremst würde, durch die Gravitationskraft radial in Richtung Erdoberfläche fallen würde.

62

3

Dynamik des Massepunkts

Bestimmung des maximalen/minimalen Abstandes rmax /rmin des Satelliten auf der neuen Bahnkurve Wegen der instantanen tangentialen Bahngeschwindigkeitsänderung in einem Punkt der Kreisbahn liegt dort keine radiale Geschwindigkeitsänderung vor, d. h. dr=dt D 0. Da sich nach Teilaufgabe d der Satellit auf die Erde zu bewegt und für die maximalen und minimalen Bahnabstände einer Ellipse dr=dt D 0 gilt, ist in diesem Bahnpunkt der Abstand maximal. Nach Teilaufgabe a ist rmax D 14:846 km bzw. hmax D 8468 km. Zur Berechnung des minimalen Abstands rmin kann (3.79) verwendet werden, da diese Gleichung auch den Spezialfall dr=dt D 0 aller möglicher Bahnkurven (Kegelschnitte) beschreibt. Dazu wird (3.79) nach r aufgelöst: mmE mmE L2 L2 2   C , r r  D0 2mr 2 r E 2mE r  mm 2 mmE L2 E D C ˙ : 2E 2E 2mE

ED rmin/max

(3.83)

Einsetzen aller Werte für die Ellipsenbahn liefert den minimalen Abstand rmin D 7540 km bzw. die minimale Höhe hmin D 1162 km sowie die bereits ermittelten maximalen Abstände. Bestimmung der minimalen/maximalen Geschwindigkeit vmin /vmax bei maximalem/minimalem Abstand rmax /rmin Da der Drehimpuls L des Satelliten auf der Ellipsenbahn konstant ist, gilt L D mrmax vmin D mrmin vmax :

(3.84)

Einsetzen der Werte liefert die minimale Geschwindigkeit vmin D 4;25 km s und die maxi. In den Bahnpunkten mit maximalem und minimale Geschwindigkeit vmax D 8;42 km s malem Abstand ist der Geschwindigkeitsvektor vE senkrecht zum Ortsvektor rE.

Lösung zu Aufgabe 20: Satellitenbewegung um die Erde a) Bestimmung der Zentripetalkraft FZp auf den Satelliten Auf den Satelliten wirkt die Gravitationskraft FG der Erde als Zentripetalkraft FZp : FZp D FG D 

mE mS : r2

Einsetzen der Werte in (3.85) ergibt eine Gewichtskraft FG D 814 N.

(3.85)

3.4 Lösungen

63

b) Bestimmung der Umlaufdauer T des Satelliten Für eine stabile Kreisbahnbewegung des Satelliten muss die Gravitationskraft gerade die notwendige Zentripetalkraft FZp liefern: FG D FZp

,



mE mS D mS ! 2 r : r2

(3.86)

Einsetzen von

2 T in (3.86) und Auflösen nach der Umlaufdauer T ergibt !D

s T .r/ D 2

r3 : mE

(3.87)

(3.88)

Einsetzen der Werte in (3.88) ergibt die Umlaufdauer T D 5826 s  97 min D 1 h 37 min. c) Bestimmung der Gesamtenergieänderung Eges bei Radiusänderung r D r2  r1 des Satelliten Die kinetische Energie des Satelliten ist Ekin D

1 mS v 2 : 2

(3.89)

Einsetzen von

2 r (3.90) v in (3.88), Auflösen nach der Bahngeschwindigkeit v und Einsetzen in (3.89) ergibt T D

Ekin D

1 mE mS  : 2 r

(3.91)

Wird für die potenzielle Energie Epot .1/ D 0 gewählt, dann hat der Satellit auf der Kreisbahn die potenzielle Energie Epot D 

mE mS : r

(3.92)

Addition von (3.89) und (3.92) ergibt die Gesamtenergie 1 mE mS : Eges D Epot C Ekin D   2 r

(3.93)

64

3

Dynamik des Massepunkts

Die Änderung der Gesamtenergie beim Übergang von der Kreisbahn mit Radius r1 zur Kreisbahn mit Radius r2 ist Eges D Eges .r2 /  Eges .r1 / 1 mE mS 1 mE mS C  D  2 r2 2 r  1 1 1 1 D mE mS  : 2 r1 r2

(3.94) (3.95) (3.96)

Für r2 > r1 ist Eges > 0, und es muss dem Satelliten Energie zugeführt werden, um diesen auf eine weiter von der Erde entfernte Kreisbahn zu bringen. Es ist mit (3.96) 1 mE mS r2 !1 2

lim Eges D lim

r2 !1



1 1  r1 r2

 D

1 mE mS :  2 r1

Einsetzen der Werte in (3.97) ergibt die Gesamtenergieänderung Eges D 2;9 GJ.

(3.97)

4

Bewegte Bezugssysteme

4.1

Relativbewegungen und Galilei-Transformation

Aufgabe 21: Schiffsabdrift bei Flussüberquerung Auf einem Fluss (Breite b D 250 m, konstante Flussgeschwindigkeit vEF ) bewegt sich ein Schiff (konstante Geschwindigkeit vES gegenüber dem Flussufer, konstante Geschwindigkeit vES0 gegenüber dem bewegten Flusswasser). a. Geben Sie den vektoriellen Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten an. Erstellen Sie dazu eine Zeichnung mit Koordinatensystemen und Vektoren. b. Das Schiff benötigt für die Strecke s D 6 km flussabwärts 0;5 h, für die gleiche Strecke flussaufwärts 0;75 h. Bestimmen Sie vF und vS0 . c. Das Schiff (vS0 D 10 km=h) überquert den Fluss (vF D 2 km=h) mit senkrecht zur Flussrichtung gestelltem Schiffsruder. Um welche Strecke d wird das Schiff abgetrieben. d. Das Schiff (vS0 D 10 km=h) überquert den Fluss (vF D 2 km=h) und soll genau am gegenüberliegenden Uferpunkt ankommen. Bestimmen Sie den Anstellwinkel ˛ des Schiffsruders und die Zeitdauer tÜ der Überfahrt. Aufgabe 22: Galilei-Transformation der Wurfbewegung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 4.1 an.

(VA)

a. Zeigen Sie, dass in einem zu K gleichförmig geradlinig bewegten Koordinatensystem K0 die Kugel ebenfalls eine Wurfbewegung beschreibt. b. Verifizieren Sie experimentell das Ergebnis aus Teilaufgabe a für die eingezeichneten Koordinatensysteme K und K0 . c. In K wird zum Zeitpunkt t D 0 ein Körper unter dem Winkel ˛ 2 0ı ; 90ı Œ zur x-Achse abgeworfen. K0 bewegt sich gleichförmig geradlinig in x-Richtung von K und es ist rE.0/ D rE0 .0/. Wie verändert sich die Wurfparabel beim Übergang von K nach K0 ? Geben Sie dazu eine sinnvolle Fallunterscheidung an. © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_4

65

66 Abb. 4.1 Eine Kugel führt eine Wurfbewegung aus, während sich ein Experimentierwagen mit Koordinatensystem K0 gleichförmig geradlinig bewegt

4

Bewegte Bezugssysteme

Zeitpunkt t = 0 Ruhendes Koordinatensystem K Kugel (reibungsfreie Bewegung)

K’ K

Experimentierwagen (roter Punkt ist Ursprung des gleichfo ¨rmig bewegten Koordinatensystems K’)

http://tiny.cc/7hfzly

Aufgabe 23: Regenbeobachtung beim Autofahren Regen fällt bei Windstille in Schwerkraftrichtung und in Erdbodennähe aufgrund der Luftreibung mit konstanter Geschwindigkeit vR . Beim Blick aus dem Seitenfenster eines mit konstanter Geschwindigkeit vA auf einer Straße (Neigungswinkel ˛) fahrenden Autos wird Regen unter dem Winkel ˇ 2 Œ0ı ; 90ı Œ zur Schwerkraftrichtung beobachtet: a. Es ist windstill, ˛ D 0ı ; ˇ D 60ı und vA D 20 m=s. Leiten Sie eine Formel für die Geschwindigkeit vR des Regens her und berechnen Sie diese. b. Es ist windstill, ˛ D ˙6ı ; ˇ D 60ı und vA D 11;54 m=s. Leiten Sie Formeln für die Geschwindigkeit vA des Autos bei Bergab- und Bergauffahrt her und berechnen Sie diese. c. Es herrscht Gegenwind mit konstanter Geschwindigkeit vW , ˛ D 0ı , vR D 11;54 m=s, und es ist ˇ1 D 57ı für vA ¤ 0 und ˇ2 D 12ı für vA D 0. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit vA des Autos. Aufgabe 24: Zykloidbewegung (mVA) Videografieren Sie die Bewegung eines horizontal rollenden zylindrischen Körpers (z. B. Getränkedose oder Papierrolle), dessen Schwerpunkt S sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Achsenrichtung bewegt.

4.2 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte

67

a. Leiten Sie die Bahnkurve rE.t/ D .x.t/; y.t// eines Punkts auf dem Zylindermantel bezüglich eines ruhenden Koordinatensystems her. b. Überprüfen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe a experimentell.

4.2 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte Aufgabe 25: Kettenkarussell Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 4.2 an.

(VA)

a. Skizzieren Sie qualitativ die auf die Masse m wirkenden Kräfte in einem ruhenden Koordinatensystems K und in einem mitrotierenden Koordinatensystem K0 bei konstanter Winkelgeschwindigkeit !. b. Leiten Sie die !.˛/-Funktion her und stellen Sie diese in einem Diagramm dar. Überprüfen Sie die !.˛/-Funktion experimentell. c. Weshalb haben alle Fahrgäste eines Kettenkarussells mit gleichem Abstand a den gleichen Auslenkwinkel ˛? In welchem Winkelgeschwindigkeitsintervall sollte das Kettenkarussell für maximale Änderung des Auslenkwinkels ˛ betrieben werden? http://tiny.cc/bifzly

Abb. 4.2 Eine an einem Seil hängende Kugel wird durch einen Experimentiermotor in Rotation versetzt

Abstand a

Auslenkwinkel

α

Länge 

Kugel (Masse m)

Experimentiermotor

68 Abb. 4.3 Die Bewegung eines Experimentierwagens wird in einem ruhenden Koordinatensystem K und in einem mitbewegten Koordinatensystem K0 beschrieben

4

Bewegte Bezugssysteme

Ruhendes Koordinatensystem K y y

Experimentierwagen x

Aufgabe 26: Translatorische Trägheitsbeschleunigung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 4.3 an.

Bewegtes Koordinatensystem K (Bewegungsbeginn bei t = 0) x

(VA)

a. Skizzieren Sie qualitativ für t  0 in einem Diagramm den x.t/-, v.t/- und a.t/Graphen des Experimentierwagens im ruhenden Koordinatensystem K und in einem weiteren Diagramm den x 0 .t/-, v 0 .t/- und a0 .t/-Graphen im bewegten Koordinatensystem K0 . b. Überprüfen Sie die Kinematikgraphen aus Teilaufgabe a experimentell. Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften aller Kinematikgraphen. c. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen eines Massepunkts im Koordinatensystem K und K0 her. Überprüfen Sie den Zusammenhang experimentell. http://tiny.cc/1hfzly

Aufgabe 27: Effektive Gewichtskraft Auf der als rotierende Kugel angenommenen Erde (Radius R D 6378 km, Winkelgeschwindigkeit !, Erdbeschleunigung g D 9;81 m=s2 ) unternimmt ein Reisender (Masse m D 80 kg) eine Flugreise (Flughafen mit Längengrad  und Breitengrad ', Flughöhe h  R, Fluggeschwindigkeit v D 800 km=h über Grund). An Bord befindet sich eine Personenwaage mit Messgenauigkeit m D 100 g. a. Das Flugzeug steht auf dem Flughafen. Leiten Sie eine Formel für die effektive Gewichtskraft FG;eff des Reisenden her. Diskutieren Sie die Abhängigkeit von Breiten-

4.2 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte

69

und Längengrad. Ist der „Gewichtsverlust“ mit der Personenwaage messbar? Welche Winkelgeschwindigkeit müsste die Erde haben, damit der Reisende am Äquator schwerelos wird? b. Ist es möglich, durch Fliegen entlang von Längen- und Breitengraden den „Gewichtsverlust“ aus Teilaufgabe a zu kompensieren oder zu maximieren? Diskutieren und berechnen Sie dies. Aufgabe 28: Beschleunigungsmessung durch Trägheit Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 4.4 an.

(VA)

a. Erklären Sie, warum die Kugel in der Rinne während der Bewegung des Experimentierwagens annähernd ruht. b. Leiten Sie unter der Voraussetzung, dass die Kugel in der Rinne ruht, eine Formel für die Beschleunigung a des Experimentierwagens in Abhängigkeit des Neigungswinkels ˛ der Rinne her. Kontrollieren Sie das Ergebnis experimentell. c. Leiten Sie eine Formel für die Empfindlichkeit E D d˛=da des Beschleunigungsmessers her (Winkeländerung bei Beschleunigungsänderung). Geben Sie die minimale und maximale Empfindlichkeit sowie den Messbereich an. d. Berechnen Sie die Masse mG , mit der der Experimentierwagen beschleunigt wurde. http://tiny.cc/fifzly

Abb. 4.4 Eine frei bewegliche Kugel ruht auf einer gleichmäßig beschleunigten geneigten Rinne

Rinne (Neigungswinkel α)

Experimentierwagen mit Rinne und Kugel (Masse mE = 322 g) Umlenkrolle

Luftkissenbahn

Startvorrichtung

Gewicht (Masse mG )

70

4

Bewegte Bezugssysteme

Aufgabe 29: Ostabweichung Im Bremer Fallturm (Breitengrad ' D 53;1ı ) wird eine Stahlkugel aus einer Höhe h D 100 m im Vakuum fallen gelassen. a. Erklären Sie qualitativ, warum der Aufschlagpunkt der Stahlkugel in Ostrichtung gegenüber dem Lotpunkt des Abwurfpunkts versetzt ist. Erklären Sie die Breitengradabhängigkeit des Effekts. Liegt auf der Südhalbkugel der Erde auch eine Ostabweichung vor? b. Leiten Sie eine Näherungsformel zur Berechnung der Ostabweichung d der Stahlkugel her und berechnen Sie diese. Vernachlässigen Sie dabei die Zentrifugalbeschleunigung und machen Sie die Annahme, dass die Geschwindigkeit der Stahlkugel im rotierenden Koordinatensystem K0 der Erde gleich der des freien Falls ist. c. Berechnen Sie, welchen Einfluss die Zentrifugalbeschleunigung beim Fallen der Stahlkugel auf die Lage des Aufschlagpunkts hat.

4.3

Spezielle Relativitätstheorie

Aufgabe 30: Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm Ein Maßstab hat in einem Koordinatensystem K die Länge ` und in einem mit der Geschwindigkeit v D 0;5c (Lichtgeschwindigkeit c) dazu bewegten Koordinatensystem K0 die Länge `0 . Diese Längen wurden zum gleichen Zeitpunkt aus den Koordinaten der Maßstabsendpunkte bestimmt. a. Ermitteln Sie mithilfe des Minkowski-Diagramms (Abb. 4.5) das Längenverhältnis `0=`. b. Vergleichen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe a mit dem aus der Lorentz-Transformation. c. Warum stimmen die Ergebnisse in Teilaufgabe b nicht überein? Wo liegt der Fehler? Zeigen Sie dazu, dass der Term .ct/2  x 2 invariant gegenüber der Lorentz-Transformation ist. Abb. 4.5 Minkowski-Diagramm zur Berechnung des Längenverhältnisses `0 =`

ct ct

ct1 

x x2 30◦ O

x

4.3 Spezielle Relativitätstheorie

71

Aufgabe 31: Lebensdauer von Myonen Myonen sind instabile Elementarteilchen, die in Ruhe nach einer mittleren Lebensdauer  D 5  106 s in ein Elektron und zwei Neutrinos zerfallen. In einer Höhe von etwa 10 km über der Erdoberfläche erzeugt die kosmische Strahlung ständig Myonen der Geschwindigkeit v D 0;9995c (Lichtgeschwindigkeit c). Die gemessene Zählrate der Myonen auf der Erdoberfläche ist fast genauso groß wie die in 10 km Höhe. a. Nehmen Sie an, dass v  c. Welche Strecke s legen Myonen nach klassischer Rechnung in der Atmosphäre zurück? b. Erklären Sie rechnerisch die Existenz von Myonen auf der Erdoberfläche. c. Erklären Sie, warum ein Myon im mitbewegten Koordinatensystem K0 die Erdoberfläche erreicht. Aufgabe 32: Gleichzeitigkeit von Ereignissen Im Koordinatensystem K findet ein Ereignis B am Ort B um die Zeit t D 2 s nach dem Ereignis A statt, wobei das Ereignis A am Ort A in einer Entfernung ` D 1; 5 km vom Ort B stattfindet. Ein Beobachter im Koordinatensystem K0 bewegt sich geradlinig zwischen den Orten A und B mit konstanter Geschwindigkeit v. a. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit v her, bei der beide Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Berechnen Sie diese. b. Unter welcher Bedingung kann Ereignis B auch vor Ereignis A stattfinden? Aufgabe 33: Lorentz-Transformation Ein Koordinatensystem K0 hat gegenüber dem Koordinatensystem K die Geschwindigkeit 0

1 3c

1

C B vE D @ 0 A : 0 In K hat ein Körper die Geschwindigkeit 0 B uE D @

1 2c 1 c 10

1 C A:

0 a. Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor uE 0 des Körpers in K0 durch Galilei- und durch Lorentz-Transformation. b. Wie groß ist der Fehler bei der Galilei-Transformation?

72

4

Bewegte Bezugssysteme

4.4 Lösungen Lösung zu Aufgabe 21: Schiffsabdrift bei Flussüberquerung a) Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vES und vES0 Da die Flussgeschwindigkeit vF konstant ist, bewegt sich das mit dem Fluss verbundene Koordinatensystem K0 gleichförmig geradlinig gegen das am Flussufer ruhende Koordinatensystem K. Damit ist der Zusammenhang zwischen vES , vES0 und vEF nach der GalileiTransformation (Abb. 4.6): (4.1) vES0 D vES  vEF : b) Bestimmung der Geschwindigkeit vS des Schiffs und vF des Flusses Aus den angegebenen Zeiten tab D 0;5 h und tauf D 0;75 h und der Strecke s D 6 km können die Geschwindigkeiten vS;ab D

s km D 12 tab h

und

vS;auf D

s km D8 tauf h

(4.2)

berechnet werden. Nach Teilaufgabe a gilt für die Geschwindigkeiten vS0 C vF D vS;ab

und

vF  vS0 D vS;auf :

(4.3)

Die Lösung dieses Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und den Unbekannten vS0 und vF ist die Schiffsgeschwindigkeit vS0 D 10 km=h und die Flussgeschwindigkeit vF D 2 km=h. c) Bestimmung des Schiffsabdrifts d bei Flussüberquerung Im Koordinatensystem K bewegt sich das Schiff mit der resultierenden Geschwindigkeit ! v vES D S;x vS;y

D

Abb. 4.6 Zusammenhang vES0 D vES  vEF zwischen Schiffsgeschwindigkeit vES in K, Schiffsgeschwindigkeit vES0 in K0 und Flussgeschwindigkeit vEF

vES0

! ! ! 0 km 2 km 2 km C vEF D C D : h h h 10 0 10

Schiff

y

(4.4)

y vS

vS vF x

K (mit Flussufer verbunden)

x K (mit Flusswasser verbunden)

4.4 Lösungen

73

Abb. 4.7 Geschwindigkeitsdiagramm zur Berechnung des Anstellwinkels ˛

α vS

vS

vF

Da die Zeitdauer t für die Bewegung in Flussrichtung und die Bewegung senkrecht zur Flussrichtung gleich ist, folgt mit (4.4) tD

b d D vS;x vS;y

,

d Db

vS;x : vS;y

(4.5)

Einsetzen der Werte in (4.5) ergibt den Schiffsabdrift d D 50 m. d) Bestimmung des Anstellwinkels ˛ und der Überfahrtszeit tÜ für Schiffsabdrift d D0 Nach Abb. 4.7 gilt für den Anstellwinkel   vF : (4.6) ˛ D arctan vS Einsetzen der Werte in (4.6) ergibt den Anstellwinkel ˛ D 11;3ı . Für die Überfahrtszeit tÜ gilt mit Abb. 4.7 b b Dq : (4.7) tÜ D vS v 02  v 2 S

F

Einsetzen der Werte in (4.7) ergibt die Überfahrtszeit tÜ D 0;025 h D 1;53 min.

Lösung zu Aufgabe 22: Galilei-Transformation der Wurfbewegung a) Invarianz der Wurfparabel bezüglich Galilei-Transformationen Der Ortsvektor rE.t/ aller Wurfparabeln in K ist rE.t/ D

1 2 aE t C vE0 t C rE0 : 2

(4.8)

E D 0E und uE als Geschwindigkeit des Die Galilei-Transformierte rE0 .t/ von rE.t/ ist mit R.0/ 0 Ursprungs des bewegten Koordinatensystems K im ruhenden Koordinatensystem K E D rE.t/  uE t : rE0 .t/ D rE.t/  R.t/

(4.9)

74

4

Bewegte Bezugssysteme

Einsetzen von (4.8) in (4.9) ergibt rE 0 .t/ D

  1 2 1 1 aEt C vE0 t C rE0  uE t D aE t 2 C vE0  uE t C rE0 D aEt 2 C vE00 t C rE0 : (4.10) 2 2 2

Also ist rE 0 .t/ eine Wurfparabel und beschreibt eine Wurfbewegung mit Anfangsgeschwindigkeit vE00 D vE0  uE . b) Experimentelle Prüfung der Galilei-Transformation Videoanalyse der Kugelbewegung im Koordinatensystem K, lineare Regression von x.t/ und manuelle quadratische Anpassung (Scheitelpunktform) von y.t/ ergeben für den Ortsvektor !   0;40 ms t  0;65 m rE.t/ D 0;18 sm2 .t  0;86 s/2 C 0;30 m ! (4.11)   0;40 ms t  0;65 m    D  : 0;18 sm2 t 2 C 0;30 ms t C 0;17 m Videoanalyse der Bewegung des roten Punkts auf dem Experimentierwagen im Koordinatensystem K und lineare Regression ergeben für den Geschwindigkeitsvektor ! ! ux 0;21 m uE D : (4.12) D s 0;12 uy Einsetzen von (4.9) und (4.10) in (4.8) ergibt für den Ortsvektor der Kugel im bewegten Koordinatensystem K0 !   0;60 ms t  0;65 m 0    rE .t/ D rE.t/  uE t D  : (4.13) 0;18 sm2 t 2 C 0;18 ms t C 0;17 m Videoanalyse der Kugelbewegung bezüglich des bewegten Koordinatensystems K0 sowie lineare und manuelle quadratische Regression ergeben für den Ortsvektor !   0;61 ms t  0;66 m 0    : (4.14) rE .t/ D  0;18 sm2 t 2 C 0;18 ms t C 0;17 m Die Ortsvektoren (4.13) und (4.14) stimmen bis auf Messunsicherheiten überein. c) Qualitativer Vergleich von Wurfparabeln in K und K0 Aufgrund des Abwurfwinkels 0 < ˛ < 90ı und der Bewegung von K0 in x-Richtung gelten v0x > 0 und ux > 0. Wegen rE.0/ D rE 0 .0/ und uEy D 0 gilt nach (4.8) y.t/ D y 0 .t/;

(4.15)

4.4 Lösungen

75

und die Vertikalbewegungen sind in K und K0 gleich. Nach (4.8) unterscheiden sich die Wurfbewegungen in K und K0 nur in der x-Komponente der Anfangsgeschwindigkeitsvektoren: 0 (4.16) v0x 0 D v0x  ux : 0 0 Nach (4.16) hängt die Geschwindigkeitskomponente v0x 0 in K und damit die Form der 0 Wurfparabel in K von der Geschwindigkeitskomponente ux > 0 ab: Für

0 < ux < 2v0x

)

0 v0x < v0x 0 < v0x

(4.17)

liegen gestauchte Wurfparabeln in K0 vor und für ux D v0x

)

0 v0x 0 D 0

(4.18)

)

0 v0x 0 < v0x

(4.19)

ein senkrechter Wurf in K0 . Im letzten Fall ux > 2v0x ist die Wurfparabel in K0 gestreckt.

Lösung zu Aufgabe 23: Regenbeobachtung beim Autofahren a) Bestimmung der Fallgeschwindigkeit vR des Regens Nach der Galilei-Transformation transformiert sich eine Geschwindigkeit vE im ruhenden Koordinatensystem K in eine Geschwindigkeit vE0 im bewegten Koordinatensystem K0 nach vE0 D vE  uE, wobei uE die Geschwindigkeit von K0 bezüglich K ist. Es ist vE D vER die Geschwindigkeit des Regens in K, uE D vEA die Geschwindigkeit des mit dem Auto verbundenen Koordinatensystems K0 und vER  vEA die Geschwindigkeit des Regens beobachtet in K0 bzw. vom fahrenden Auto aus. Abb. 4.8 entimmt man tan ˇ D

vA vR

,

vR D

vA : tan ˇ

(4.20)

Einsetzen der Werte in (4.20) ergibt vR D 11;54 m=s D 41;5 km=h. −vA

vA β

− v A

vR

v R

Abb. 4.8 Geschwindigkeitsdiagramm zur Berechnung von vR

76

4

Bewegte Bezugssysteme −vA

Abb. 4.9 Geschwindigkeitsdiagramm zur Berechnung von vA bei Bergabfahrt

α vA

vR

β

−

vA

vR 90◦ + α − β 90◦ − α

vA

vA

Abb. 4.10 Geschwindigkeitsdiagramm zur Berechnung von vA bei Bergauffahrt

α

−vA β

vR

− v

A

vR 90◦ + α vA

90◦ − α − β

b) Bestimmung der Geschwindigkeit vA des Autos bei Bergabfahrt Anwendung des Sinussatzes nach Abb. 4.9 ergibt vA sin ˇ D vR sin.90ı C ˛  ˇ/ sin ˇ , vA D vR : sin.90ı C ˛  ˇ/

(4.21)

Einsetzen der Werte in (4.21) ergibt vA D 17;0 m=s D 61;2 km=h. Bestimmung der Geschwindigkeit vA des Autos bei Bergauffahrt Anwendung des Sinussatzes nach Abb. 4.10 ergibt vA sin ˇ D vR sin.90ı  ˛  ˇ/ sin ˇ , vA D vR : sin.90ı  ˛  ˇ/ Einsetzen der Werte in (4.22) ergibt vA D 24;57 m=s D 88;5 km=h.

(4.22)

4.4 Lösungen

77 vW

vA

−vA

β2 vR

vW β1

+ v

R

v W +

90 ◦

− v

A

v R

+

90 ◦ − β

β1

1

Abb. 4.11 Geschwindigkeitsdiagramm zur Berechnung von vA bei Gegenwind

c) Bestimmung der Geschwindigkeit vA des Autos bei Gegenwind Nach Abb. 4.11 gilt vW tan ˇ2 D , vW D vR tan ˇ2 ; vR q 2 C vR2 jE vW C vER j D vW p D vR 1 C tan2 ˇ2 : Anwendung des Sinussatzes nach Abb. 4.11 und Einsetzen von (4.23) ergibt p vA vR 1 C tan2 ˇ2 D sin.ˇ2  ˇ1 / sin.90ı  ˇ1 / p sin.ˇ1  ˇ2 / , vA D vR 1 C tan2 ˇ2 : sin.90ı  ˇ1 /

(4.23)

(4.24)

Einsetzen der Werte in (4.24) ergibt vA D 27;51 m=s D 99;0 km=h.

Lösung zu Aufgabe 24: Zykloidbewegung Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Je nach Rollreibung zwischen Zylinder und Unterlage kann für eine konstante Geschwindigkeit des Zylinderschwerpunkts die Unterlage geneigt werden. Zur einfachen mathematischen Beschreibung bietet es sich an, die x-Achse des Koordinatensystems auf Höhe des Massenschwerpunkts des Zylinders (Radius R) zu legen (Abb. 4.12). Die Bewegung des

Abb. 4.12 Position des Zylinders zum Zeitpunkt t D 0

y

x

78

4

Bewegte Bezugssysteme

äußeren Zylindermantelpunkts startet zum Zeitpunkt t D 0 in der Position rE.t D 0/ D

!

R 0

:

(4.25)

a) Herleitung der y.x/-Funktion eines Zylindermantelpunkts Die Bewegung entsteht durch Überlagerung der gleichförmigen Translationsbewegung in x-Richtung des Zylinderschwerpunkts mit Geschwindigkeit v0 , ! v0 t ; (4.26) rEtrans .t/ D 0 und der Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! in der x-y-Ebene ! R cos.!t/ ; rErot .t/ D R sin.!t/

(4.27)

gemäß dem Superpositionsprinzip. Mit der Abrollbedingung v0 D !R

(4.28)

ergibt sich durch Addition von (4.25) und (4.26) rE.t/ D

! DR

!t  cos.!t/ sin.!t/

xS (t)-Messreihe xS (t) = 0,23 m/s · t + 0,03 m

0,5

0

1

2 Zeit t/s

3

! :

(4.29)

x(t)-Messreihe x(t) = v0 t − R cos(ωt)

1 Ortskoordinate x/m

1 Ortskoordinate x/m

x.t/ y.t/

0,5

0

1

2 Zeit t/s

3

Abb. 4.13 x.t /-Diagramm des Zylinderschwerpunkts (links) und eines Zylindermantelpunkts (rechts)

4.4 Lösungen

79

Abb. 4.14 y.t /-Diagramm eines Zylindermantelpunkts

y(t)-Messreihe y(t) = R sin(ωt)

Ortskoordinate y/m

0,10

0,05

0,00 −0,05

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Zeit t/s

b) Vergleich von (4.29) und rE .t/-Messreihe Der Schwerpunkt des Zylinders bewegt sich mit der Translationsgeschwindigkeit v0 D 0;23 m=s (Abb. 4.13 links). Die Winkelgeschwindigkeit ist ! D v0 =R D 0;23 m=s=0;04 m D 5;57 s1 . Die x.t/- bzw. y.t/-Funktion und die x.t/- bzw. y.t/-Messreihe stimmen in Abb. 4.13 rechts und 4.14 gut überein.

Lösung zu Aufgabe 25: Kettenkarussell a) Kraftdiagramme bezüglich K und K0 In K wirken zwei Kräfte auf die Masse m (Abb. 4.15 links): die in Seilrichtung wirkende Seilkraft FES und die nach unten gerichtete Gewichtskraft FEG . Die Vertikalkomponente der Seilkraft FES muss die Gewichtskraft FEG kompensieren. Die Horizontalkomponente der Seilkraft FES muss die Zentripetalkraft FEZp für die Kreisbewegung erzeugen. Die Zentripetalkraft FEZp D FES C FEG ist die resultierende Kraft in K auf die Masse m und steht senkrecht zur Drehachse, da sich die Masse in K auf einer Kreisbahn mit konstanter Höhe bewegt. In K0 wirkt zusätzlich zu den Kräften in K die Zentrifugalkraft FEZf (Abb. 4.15 rechts). 0 ist null, da die Masse in K0 ruht. Die resultierende Kraft FEres b) Herleitung der !.˛/-Funktion Nach Teilaufgabe a ist in vertikaler Richtung FS cos ˛ D mg

)

FS D

mg cos ˛

(4.30)

und in horizontaler Richtung FS sin ˛ D FZ D m! 2 r :

(4.31)

80 Abb. 4.15 Kraftdiagramm in K (links) und Kraftdiagramm in K0 (rechts)

4 ω

ω

K

a α

Bewegte Bezugssysteme K

a α

 FS r

FZp

 −FG m

FS

FZf

r

m

FG

FG

Einsetzen von (4.30) in (4.31) ergibt ! 2r : g

tan ˛ D

(4.32)

Nach Abb. 4.15 ist r D a C ` sin ˛ :

(4.33)

Einsetzen von (4.33) in (4.32) und Auflösen nach ! ergibt r !.˛/ D

g tan ˛ : a C ` sin ˛

(4.34)

Vergleich der !.˛/-Funktion und !.˛/-Messreihe Mit der Messung des Abstands a D 9;8 cm und der Länge ` D 14;7 cm lässt sich die !.˛/-Funktion aus (4.34) darstellen (Abb. 4.16). Eine !.˛/-Messreihe ergibt die Wertepaare in Tab. 4.1. Die !.˛/-Funktion und !.˛/-Messreihe stimmen gut überein.

Abb. 4.16 !.˛/-Diagramm der rotierenden Masse m

ω(α) = 9,81 1s · tan(α)/(0,098 + 0,147 · sin(α)) ω(α)-Messreihe

Winkelgeschwindigkeit ω/ 1s

25 20 15 10 5

0

10

20

30 40 50 60 Auslenkwinkel α/◦

70

80

90

4.4 Lösungen Tab. 4.1 Berechnung der Winkelgeschwindigkeit ! für drei Auslenkwinkel ˛

81

Auslenkwinkel ˛=ı Zeit t =s für n D 2 Umläufe Umlaufdauer T D nt =s Winkelgeschwindigkeit ! D

2 1 T =s

1 37,0 2,08

2 51,6 1,60

3 70,0 1,14

1,04

0,80

0,57

6,06

7,89

11,0

c) Massenunabhängigkeit des Auslenkwinkels ˛ Der Auslenkwinkel ˛ ist für alle Fahrgäste gleich, da !.˛/ unabhängig von der Fahrgastmasse ist. Winkelgeschwindigkeitsintervall für maximale Änderung des Auslenkwinkels ˛ Änderungen der Winkelgeschwindigkeit im Intervall Œ5= s; 10= s führen aufgrund der kleineren Steigung der !.˛/-Funktion zu den größten Änderungen des Auslenkwinkels (Abb. 4.16).

Lösung zu Aufgabe 26: Translatorische Trägheitsbeschleunigung a) Vorhersage der Kinematikgraphen des Experimentierwagens in K und in K0 In Abb. 4.17 und 4.18 sind die Kinematikgraphen in K und in K0 dargestellt. b) Kinematikfunktionen des Experimentierwagens in K Lineare Regression der x.t/-Messreihe in Abb. 4.17 ergibt  m t  0;32 m : x.t/ D 0;22 s Abb. 4.17 Kinematikdiagramm des Experimentierwagens in K

x(t)-Messreihe a(t)-Messreihe

x/m; v/ ms ; a/ sm2

0,4

(4.35)

v(t)-Messreihe x(t) = 0,22 ms · t − 0,32 m

0,2 0 −0,2 −0,4

0

0,2

0,4

0,6

0,8 Zeit t/s

1

1,2

1,4

1,6

82

4

Abb. 4.18 Kinematikdiagramm des Experimentierwagens in K0

x (t)-Messreihe a (t)-Messreihe

0,2 x /m; v  / ms ; a / sm2

Bewegte Bezugssysteme v  (t)-Messreihe v  (t) = −0,31 sm2 · t + 0,2 ms

0 −0,2 −0,4 −0,6

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

Zeit t/s

Differenzieren von (4.35) ergibt v.t/ D 0;22

m ; s

a.t/ D 0

m : s2

(4.36)

Kinematikfunktionen des Experimentierwagens in K0 Lineare Regression der v 0 .t/-Messreihe in Abb. 4.17 ergibt  m m v 0 .t/ D 0;31 2 t C 0;19 : s s

(4.37)

Integrieren von (4.37) unter Beachtung von x.0/ D 0;4 m ergibt   m m t  0;4 m : x 0 .t/ D 0;11 2 t 2 C 0;19 s s

(4.38)

Differenzieren von (4.37) ergibt a0 .t/ D 0;31

Abb. 4.19 Zusammenhang der Ortsvektoren rE.t / in K und rE0 .t / in K0

m : s2

(4.39)

K z K z

P y

t) r(  (t) R x

r ( t)

y

x

83

Abb. 4.20 vT .t /-Diagramm des Koordinatenursprungs von K0 in K

Geschwindigkeit vT / ms

4.4 Lösungen

0,4

0,2 vT (t)-Messreihe vT (t) = 0,31 sm2 · t 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

Zeit t/s

c) Zusammenhang der Beschleunigungen aE und aE0 in K0 Es ist rE.t/ der Ortsvektor in K zum Massepunkt am Ort P, rE0 .t/ der Ortsvektor in K0 zum E der Ortsvektor in K zum Ursprung von K0 . Nach Abb. 4.19 Massepunkt am Ort P und R.t/ ist E : (4.40) rE 0 .t/ D rE.t/  R.t/ Wenn K0 sich gegenüber K nur translatorisch und nicht rotatorisch bewegt, gilt EP ; rEP 0 .t/ D rEP .t/  R.t/ ER rER 0 .t/ D rER .t/  R.t/

,

aE 0 .t/ D aE.t/  aET .t/:

(4.41)

In K0 wird also zusätzlich die translatorische Trägheitsbeschleunigung gemessen, die nicht auf eingeprägte Kräfte, sondern auf die Bewegung von K0 gegenüber K zurückzuführen ist. Experimentelle Prüfung des Zusammenhangs aE 0 .t/ D aE .t/  aET .t/ Für die betrachtete eindimensionale Bewegung gilt a 0 D a  aT

)

aT D a  a 0 :

(4.42)

Einsetzen der Werte a D 0 und a0 D 0;31 m=s2 aus Aufgabenteil b in (4.42) ergibt aT D 0;31 m=s2 (Abb. 4.20). Lineare Regression der v.t/-Messreihe des Koordinatenursprungs von K0 ergibt in Übereinstimmung mit dem berechneten Wert die Trägheitsbeschleunigung aT D 0;31 m=s2 .

Lösung zu Aufgabe 27: Effektive Gewichtskraft a) Effektive Gewichtskraft FG;eff im ruhenden Flugzeug Im mitbewegten Koordinatensystem K0 der Erde mit Ursprung im Erdmittelpunkt wirkt auf den Reisenden die Gewichtskraft FEG und die Bodenkraft FEB D FEG (in Abb. 4.21

84

4

Bewegte Bezugssysteme y

Abb. 4.21 Kraftdiagramm des ruhenden Flugzeugs in K0

 ω

FZ,r



K

ϕ

r

FZ

FG

FG,eff ϕ

x R

nicht dargestellt). Deshalb erfolgt keine Bewegung in radialer Richtung, jedoch bewegt sich der Reisende auf einer Kreisbahn mit Radius r um die Erdachse. In K0 tritt wegen der ständigen Ablenkung auf eine Kreisbahn die Zentrifugalkraft FEZ als Trägheitskraft auf (Abb. 4.21). Der Zentrifugalkraftvektor liegt in der Kreisbahnebene und steht senkrecht zur Erdachse. Für den in K0 festgestellten „Gewichtsverlust“ von der Gewichtskraft FEG auf die effektive Gewichtskraft FEG;eff ist die radiale Komponente FEZ;r der Zentrifugalkraft maßgebend: FZ D m! 2 r D m! 2 R cos '; (4.43) FZ;r D FZ cos ' D m! 2 R cos2 ' : Mit (4.43) ist die effektive Gewichtskraft FG;eff D mg  m! 2 R cos2 ' :

(4.44)

Am Äquator (' D 0ı ) ist FG;eff wegen des maximalen Abstands r D R von der Drehachse minimal, an den Polen (' D ˙90ı ) maximal. FG;eff ist längengradunabhängig. Messbarkeit des Geschwindigkeitsverlusts mit einer Personenwaage Für ' D 0 ist mit ! D 2=T D 7;27  105 s1 der maximale „Gewichtskraftverlust“ am Äquator 2;7 N bzw. 275 g und damit mit der Personenwaage messbar. Winkelgeschwindigkeit ! für schwerelosen Reisenden Die effektive Gewichtskraft nach (4.44) muss null werden: r FG;eff D mg  m! 2 R cos2 ' D 0

)

!D

g : R cos2 '

(4.45)

Die benötigte Winkelgeschwindigkeit ist breitengradabhängig. Einsetzen der Werte in (4.45) ergibt ! D 1;24  103 s1 . Die Erde müsste sich also 17-mal schneller drehen.

4.4 Lösungen

85 y

Abb. 4.22 Richtung der Corioliskraft FEC in K0 für Flugbewegungen entlang von Längengraden 

K

ω 

ω

ω 

v

v

ϕ

ϕ

· FC

×FC FG

ω  v

z



·

ϕ

x R

ω  v

ϕ ×FC

ϕ · FC

b) Effektive Gewichtskraft FG;eff im bewegten Flugzeug Auch während des Flugs wirkt auf den Reisenden die in Aufgabenteil a bestimmte Zentrifugalkraft, aber zusätzlich wegen der Fluggeschwindigkeit vom Betrag v D v 0 in K0 (Fluggeschwindigkeit über Grund) die Corioliskraft   FEC D 2m vE 0 !E :

(4.46)

Bewegung des Flugzeugs entlang der Längengraden  Die Corioliskraft hat für alle Breitengrade ' (nördliche Breite ' > 0, südliche Breite ' < 0) und Längengrade  den Betrag FC D 2mv 0 !j sin 'j :

(4.47)

Abb. 4.22 zeigt die Richtung von FEC für einen Flug in nördlicher Richtung. Bei Flug in südlicher Richtung mit entgegengesetztem Geschwindigkeitsvektor vE0 kehrt sich die Richtungen der Corioliskraft um. Da die Corioliskraft senkrecht zur Gewichtskraft steht, ist FG;eff D FG . Bewegung des Flugzeugs entlang der Breitengraden ' Geschwindigkeitsvektor vE und Winkelgeschwindigkeitsvektoren !E stehen bei Flug in östlicher und westlicher Richtung senkrecht aufeinander (Abb. 4.23). Die Corioliskraft hat den Betrag (4.48) FC D 2mv 0 ! : Beim Flug wird die Gewichtskraft FEG um die radiale Komponente der Corioliskraft FEC;r erhöht (Flug in Westrichtung) oder verringert (Flug in Ostrichtung): FC;r D ˙2mv 0 ! cos ' :

(4.49)

86

4

Bewegte Bezugssysteme

y K

ω 

ω 

v  × ϕ

ω 

FC

r FG

FC,r Bewegung in Westrichtung

ϕ ω 

× v 

z



·

ϕ

× v 

ϕ

FG,eff R

FC

FC,r FC

x

ω 

× v 

Bewegung in Ostrichtung

FC

Abb. 4.23 Richtung der Corioliskraft FEC in K0 für Flugbewegungen entlang nördlicher und südlicher Breitengrade '

Damit ist mit (4.49) die effektive Gewichtskraft FG;eff D mg ˙ 2mv 0 ! cos ' :

(4.50)

Für den Breitengrad ' D 0ı ist FC;r D 2;6 N bzw. 263 g und damit mit der Personenwaage messbar. Effektive Gewichtskraft FG;eff des Reisenden Im Flug ist die effektive Gewichtskraft nach (4.44) und (4.49) FG;eff D mg  m! 2 R cos2 ' ˙ 2mv 0 ! cos ' :

(4.51)

Maximaler Gewichtsverlust ergibt sich beim Flug am Äquator (' D 0ı ) in Ostrichtung (Minuszeichen in (4.51)). Zur Kompensation des Gewichtsverlusts mit der Zentrifugalkraft muss in Westrichtung (Pluszeichen in (4.51)) geflogen werden. Für den Breitengrad ' gilt dann FG;eff D mg  m! 2 R cos2 ' C 2mv 0 ! cos ' D mg , !R cos ' D 2v 0



2v 0 ) ' D arccos !R Einsetzen der Werte in (4.52) ergibt den Breitengrad ' D 16;6ı .

(4.52)

 :

4.4 Lösungen

87

Abb. 4.24 Kraftdiagramm der Kugel in K0

FN FT,t FT

α FG,t α FG α

Lösung zu Aufgabe 28: Beschleunigungsmessung durch Trägheit a) Erklärung der ruhenden Kugel in K Die Rinne übt auf die Kugel eine beschleunigungsabhängige Kraft in x-Richtung aus. Nach dem Wechselwirkungsprinzip übt die Kugel entgegen der x-Richtung die gleich große entgegengesetzt gerichtete Kraft auf die Rinne aus. Da die Rinne in tangentialer Richtung keine Kraft aufnehmen kann, ist die Kugel in Ruhe, wenn die Tangentialkomponenten von Reaktionskraft und Gewichtskraft der Kugel gleich sind. b) Formel für die Beschleunigung a des Experimentierwagens Auf die Kugel wirkt im mit dem Experimentierwagen beschleunigten Koordinatensystem K0 die lineare Trägheitskraft FT (Abb. 4.24). Damit die Kugel (Masse m) in K0 ruht, müssen die Tangentialkomponenten FG;t und FT;t von Gewichtskraft FG und Trägheitskraft FT den gleichen Betrag haben: FG;t D FT;t ; FT cos ˛ D FG sin ˛ ; maT cos ˛ D mg sin ˛ ;

(4.53)

aT D g tan ˛ : Weil die Kugel in K0 nicht beschleunigt wird, sind die Beträge von Trägheitsbeschleunigung aT und Beschleunigung a des Experimentierwagens gleich: a D aT D g tan ˛ :

(4.54)

Die Messung des Neigungswinkels ergibt ˛ D 4;8ı . Einsetzen der Werte in (4.54) ergibt die Beschleunigung a D 0;82 m=s2 .

88

4

Abb. 4.25 v.t /-Diagramm des Experimentierwagens in K Geschwindigkeit v/ ms

1,4

Bewegte Bezugssysteme

v(t)-Messreihe v(t) = 0,88 sm2 · t − 0,04 ms

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

Zeit t/s

Vergleich von berechneter und gemessener Beschleunigung a Lineare Regression der v.t/-Messreihe des Experimentierwagens ergibt in guter Übereinstimmung mit der berechneten Beschleunigung die Beschleunigung a D 0;88 m=s2 (Abb. 4.25). c) Formel für die Empfindlichkeit E des Beschleunigungsmessers Auflösen von (4.54) nach ˛ ergibt ˛.a/ D arctan

  a : g

(4.55)

Die Empfindlichkeit E ist die Ableitung von (4.55) nach a: ED

d˛ 1 1 : D da g 1 C a22 g

(4.56)

Für a  g bzw. kleine Beschleunigungen und Neigungswinkel ˛ ist E  1=g. Für a  g bzw. große Beschleunigungen und Neigungswinkel ˛ ist E  0. d) Den Experimentierwagen beschleunigende Masse Die beschleunigende Kraft ist die Gewichtskraft FG der Masse mG . Diese Kraft beschleunigt sowohl die Masse mG als auch die Masse mE des Experimentierwagens. Das zweite Newton’sche Grundgesetz ergibt mG g D .mE C mG /a a ) mG D mE : ga Einsetzen der Werte in (4.57) ergibt die Masse mG D 32 g.

(4.57)

4.4 Lösungen Abb. 4.26 Erklärung der Ostabweichung in K

89 y v1,x = −ω(R + h) v2,x = −ωR

h

R

Ho¨he des Fallturms

K M

x Projektion des La¨ngenkreises

Lösung zu Aufgabe 29: Ostabweichung a) Erklärung der Ostabweichung in K Die Ostabweichung erscheint zunächst paradox, weil sich die Erde in Ostrichtung dreht. Abb. 4.26 zeigt die Erdkugel (Radius R) mit Blick auf den Nordpol und einen Turm (Höhe h) am Äquator (Breitengrad ' D 0ı ). Im ruhenden Koordinatensystem K mit dem Erdmittelpunkt M als Ursprung hat die Kugel an der Turmspitze (Koordinaten .0; R C h/ zum Zeitpunkt t D 0) eine größere horizontale Abwurfgeschwindigkeit v1;x D !.R C h/

(4.58)

v2;x D !R

(4.59)

als die Geschwindigkeit des Turmfußpunkts (Koordinaten .0; R/ zum Zeitpunkt t D 0). Daher bewegt sich die Kugel während des horizontalen Wurfs bzw. der Fallzeit tF eine größere Strecke entgegen der x-Richtung als der Turmfußpunkt. Zum Zeitpunkt t D tF hat der Aufschlagort der Kugel näherungsweise die Koordinaten .v1;x tF ; R/ und der Turmfußpunkt die Koordinaten .v2;x tF ; R/. Wegen der höheren Abwurfgeschwindigkeit liegt der Auftreffpunkt der Kugel weiter ostwärts als der Turmfußpunkt. Erklärung der Breitengradabhängigkeit der Ostabweichung Die Abwurfgeschwindigkeit v1 der Kugel und die Geschwindigkeit v2 des Turmfußpunkts sind (Abb. 4.27): v1 D !r1 D !.R C h/ cos ';

(4.60)

v2 D !r2 D !R cos ' :

(4.61)

90

4

Bewegte Bezugssysteme ω

Abb. 4.27 Berechnung der Coriolisbeschleunigung aEC für den Breitengrad '

90◦

r1

ϕ

× aC

v h

r2 ϕ R ϕ

Äquator

Drehachse

Der Geschwindigkeitsunterschied v ist mit (4.60) und (4.61) v D v1  v2 D !h cos '

(4.62)

und nimmt mit zunehmendem Breitengrad ' ab. Die Ostabweichung d ist daher am Äquator (' D 0ı ) maximal und an den Polen (' D ˙90ı ) null. Wegen der Definition der Ostrichtung als Richtung der Erdrotation ist auf der Südhalbkugel auch eine Ost- und keine Westabweichung zu beobachten. b) Berechnung der Ostabweichung d in K0 Die Coriolisbeschleunigung im mitrotierenden Koordinatensystem K0 ist v 0 !/ E : aEC D 2.E

(4.63)

Die Coriolisbeschleunigung zeigt nach (4.63) und nach Abb. 4.27 in Richtung Osten. Der Betrag der Coriolisbeschleunigung ist   v 0 !/j E D 2v 0 ! sin †.E v 0 ; !/ E : aC D 2j.E

(4.64)

E D 90ı C ' †.E v 0 ; !/

(4.65)

v 0 .t/  v.t/ D gt

(4.66)

ac .t/ D 2gt! sin.90ı C '/ D 2gt! cos ' :

(4.67)

Einsetzen von und der Näherung in (4.64) ergibt

4.4 Lösungen

91

Zweimaliges Integrieren von (4.67) ergibt die Ostabweichung Zt vC .t/ D

0

Zt

0

aC .t / dt D 0

2gt 0 ! cos ' dt 0 D gt 2 ! cos ';

0

ZtF gt 2 ! cos ' dt D

d D

(4.68)

1 3 gt ! cos ' : 3 F

(4.69)

0

Die Fallzeit tF ist näherungsweise s 1 h D gtF2 2

)

tF D

2h : g

(4.70)

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist !D

2 : T

(4.71)

Einsetzen von (4.70) und (4.71) in (4.69) liefert s 2h 2 2 cos ' : dD h 3 g T

(4.72)

Einsetzen der Werte in (4.72) ergibt die Ostabweichung d D 1;3 cm. c) Nichtvernachlässigbare Zentrifugalbeschleunigung aZf;t Die Zentrifugalbeschleunigung aZf zeigt radial von der Erddrehachse weg und beträgt am Breitengrad ' mit dem Abstand r zur Erddrehachse aZf D ! 2 r D ! 2 R cos ' :

(4.73)

Relevant für die Abweichung des Aufschlagpunkts der Stahlkugel vom Lotfußfunkt ist nur die Tangentialkomponente aZf;t der Zentrifugalbeschleunigung. Diese ist für h  R aZf;t D ! 2 R cos ' sin ' D

4 2 R cos ' sin ' T2

(4.74)

und bewirkt, dass die Kugel auf der Nordhalbkugel einen südlicheren und auf der Südhalbkugel einen nördlicheren Aufschlagpunkt hat. Nur für ' D 0ı in (4.74) trifft die Kugel exakt in Ostrichtung versetzt auf. Einsetzen der Werte in (4.74) ergibt die tangentiale Zentrifugalbeschleunigung aZf;t D 0;016 m=s2 . Nach (4.67), (4.70) und (4.71) ist die Coriolisbeschleunigung p 4 cos ' : (4.75) aC D 2gh T

92

4

Bewegte Bezugssysteme

Einsetzen der Werte in (4.75) ergibt die Coriolisbeschleunigung aC D 0;0038 m=s2 . Die Zentrifugalbeschleunigung ist also nicht vernachlässigbar gegenüber der Coriolisbeschleunigung.

Lösung zu Aufgabe 30: Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm a) Berechnung des Längenverhältnis ` 0 =` mit dem Minkowski-Diagramm Aus Abb. 4.28 folgt: cos 30ı D

`0 2`

)

`0 D 2 cos 30ı D 1;37 : `

(4.76)

b) Berechnung des Längenverhältnis ` 0 =` mit Lorentz-Transformation Es ist `0 1 D 1;25 : D D q 2 ` 1 v

(4.77)

c2

Das Ergebnis in Teilaufgabe b ist kleiner als das aus Teilaufgabe a, weil im MinkowskiDiagramm die Änderung der Maßstäbe nicht berücksichtigt wird. c) Invarianz des Terms .ct/2  x 2 Definitionsgemäß ist ct  v x ct 0 D q c ; 2 1  vc 2

x  v ct x0 D q c : 2 1  vc 2

Abb. 4.28 Längen ` und `0 im Minkowski-Diagramm

(4.78)

ct

ct1

ct 

ct1

 x x2 30◦ O

x x1 = x1

x2

4.4 Lösungen

93

Einsetzen von (4.78) in den Ausdruck .ct 0 /2  x 0 2 ergibt  0 2

02

.ct /  x D D

D

ct  vc x

2 

v2 c2 2 2 2 c t C vc 2 x 2

1

2  x  vc ct 1

v2 c2 v2 2 2 c t c2

 2ct vc x  x 2  v2 c2

1    2 c 2 t 2 1  vc 2  x 2 1  1

v2 c2

v2 c2

C 2ct vc x

(4.79)

 D c2 t 2  x2;

womit die Invarianz des Terms bewiesen ist.

Lösung zu Aufgabe 31: Lebensdauer von Myonen a) Klassische Berechnung der Strecke s der Myonen Die Myonen legen in der Atmosphäre die Strecke s D v D 1500 m zurück. Danach dürften im Widerspruch zur Messung keine Myonen die Erdoberfläche erreichen. b) Relativistische Berechnung der Strecke s der Myonen Aufgrund der Zeitdilatation beträgt die Lebensdauer  0 des Myons 1 0 D q 1

v2 c2

 D 31;6 D 69;6 s :

(4.80)

Die in K zurückgelegte Strecke beträgt nach (4.80) s 0 D c 0 D 20;9 km, sodass Myonen die Erdoberfläche erreichen. c) Streckenbetrachung aus Myonensicht Von K0 aus sind Strecken in K um den Faktor  D 31;6 kleiner. Die Strecke von 10 km ist für das Myon dann eine Strecke von 316 m.

Lösung zu Aufgabe 32: Gleichzeitigkeit von Ereignissen a) Geschwindigkeit v für gleichzeitige Ereignisse A und B Aus c 2 t `v ) vD t D 2 c ` erhält man v D 0;4c.

(4.81)

94

4

Bewegte Bezugssysteme

b) Bedingung für Ereignis B vor A Damit Ereignis B vor Ereignis A eintritt, muss nach (4.81) gelten: t D

`v >0 c2

)

c 2 t : `

v>

(4.82)

Lösung zu Aufgabe 33: Lorentz-Transformation a) Bestimmung der Geschwindigkeit vE0 mit Galilei-Transformation Nach der Galilei-Transformation für Geschwindigkeiten ist 1 1 1 0 0 0 1

1

1

B 3 C B 6 C B 2 C uE D uE  vE D c @ 0;1 A  c @ 0 A D c @ 0;1 A : 0 0 0 0

(4.83)

Bestimmung der Geschwindigkeit vE0 mit Lorentz-Transformation Die Geschwindigkeitskomponenten berechnen sich unter Berücksichtigung der Relativbewegungsrichtung der Koordinatensysteme entlang der x-Achse gemäß der LorentzTransformation wie folgt: u0x D

ux  vx ; x 1  vu c2

uy0 D

mit

uy  vy  ; x  1  vu c2

1 Dq 1

v2 c2

u0z D

u v  z vuzx   1  c2

:

(4.84)

(4.85)

Einsetzen der Werte in (4.84) ergibt u0x D

c ; 5

uy0 D 0;113c;

u0z D 0 :

(4.86)

b) Relativer Fehler f durch Galilei-Transformation Die Geschwindigkeitsbeträge sind u0Galilei D 0;194c; u0Lorentz D 0;229c :

(4.87)

Der relative Fehler des Geschwindigkeitsbetrags ist f D

u0Galilei  u0Lorentz D 0;15 15 % : u0Lorentz

(4.88)

5

Systeme von Massepunkten, Stöße

5.1

Zentrale Stöße

Aufgabe 34: Zentraler elastischer und inelastischer Stoß Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 5.1 an.

(VA)

a. Leiten Sie die Formeln für die Geschwindigkeiten zweier Körper (Masse m1 und m2 , Geschwindigkeit v1 und v2 vor dem Stoß) nach einem zentralen elastischen und nach einem zentralen inelastischen Stoß her. b. Überprüfen Sie experimentell die Formeln aus Teilaufgabe a anhand der Bewegung der drei Gleiter. c. Zeigen Sie experimentell, dass die Bewegung des Schwerpunkts der drei Gleiter gleichförmig ist.

Abb. 5.1 Drei Gleiter unterschiedlicher Masse stoßen auf einer Luftkissenfahrbahn

Gleiter Gelb (Masse mG = 195 g)

Gleiter Blau (Masse mB = 197 g)

Gleiter Weiß (Masse mW = 294 g)

x 0

Luftkissenfahrbahn

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_5

95

96

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

http://tiny.cc/oifzly

Aufgabe 35: Elastische Stöße mit Murmeln (mVA) Videografieren Sie den zentralen elastischen Stoß zweier Murmeln unterschiedlicher Masse, von denen die schwerere vor dem Stoß ruht. a. Leiten Sie eine Formel zur Bestimmung des Massenverhältnisses der beiden Murmeln aus den Geschwindigkeiten nach dem Stoß her und berechnen Sie dieses anhand von Messreihen. b. Überprüfen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe a durch Wiegen der beiden Murmeln. Geben Sie den systematischen Fehler an, wenn das Messergebnis von dem in Teilaufgabe a berechneten Wert abweicht. Aufgabe 36: Astroblaster Der einfachste Astroblaster besteht aus zwei idealelastischen übereinander positionierten Flummis 1 und 2 (Massenverhältnis k D m2 =m1 > 0). Werden diese unter Vernachlässigung der Luftreibung zeitgleich fallen gelassen, erreicht Flummi 1 nach dem Aufprall auf dem Boden erstaunlicherweise eine Höhe h0 , die größer als die Fallhöhe h ist (Höhenverstärkung V D h0 = h > 1) (Abb. 5.2). a. Zerlegen Sie den Aufprall der als Punktmassen betrachteten Flummis in zwei zeitlich unmittelbar aufeinanderfolgende Stöße zwischen Körpern. Geben Sie offensichtliche Geschwindigkeiten der Körper vor und nach dem Stoß nach Betrag und Richtung in Bezug zur y-Achsenrichtung an. Erklären Sie qualitativ die Höhenverstärkung beim Astroblaster. Abb. 5.2 Flummi 1 und 2 werden aus der Höhe h gleichzeitig fallen gelassen. Nach dem Aufprall auf dem Boden erreicht Flummi 1 die Höhe h0

y h

Flummi 1

h

Flummi 1 Flummi 2

0

5.1 Zentrale Stöße

97

b. Zeigen Sie, dass für die Höhenverstärkungsfunktion gilt:   3k  1 2 V .k/ D : kC1 c. Für welche Massenverhältnisse k ist die Höhenverstärkung V > 1? Welche maximale Höhenverstärkung kann erreicht werden? Wie kann die Höhenverstärkung weiter gesteigert werden? Aufgabe 37: Zentraler inelastischer Stoß Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 5.3 an.

(VA)

a. Leiten Sie die Formel für die Geschwindigkeit v 0 zweier Körper (Masse m1 und m2 , Geschwindigkeit v1 und v2 vor dem Stoß) nach einem zentralen inelastischen Stoß her. Überprüfen Sie die Formel experimentell. b. Leiten Sie eine Formel für den beim inelastischen Stoß zweier Körper erzeugten Anteil an Wärmeenergie Q her. Berechnen Sie diesen für den Stoß der Gleiter. c. Bestätigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen zum inelastischen Stoß zweier Körper durch Anwendung der Formeln aus Teilaufgabe a und b: 1. Mit gleicher Geschwindigkeit sich aufeinander zu bewegende Körper bewegen sich nach dem Stoß in die Bewegungsrichtung des Körpers mit der größeren Masse. 2. Die Geschwindigkeit der Körper nach dem Stoß stimmt umso besser mit einem der Körper überein, je größer das Massenverhältnis der Körper ist. 3. Zwei Körper mit gleicher Bewegungsrichtung stoßen. Stoßen die Körper unter Beibehaltung der Geschwindigkeitsbeträge mit entgegengesetzten Bewegungsrichtungen, dann wird mehr Wärmeenergie wie zuvor erzeugt. http://tiny.cc/2ifzly

Abb. 5.3 Zwei Gleiter stoßen inelastisch auf einer Luftkissenfahrbahn Gleiter 2 (Masse m2 = 200 g)

Gleiter 1 (Masse m1 = 90 g) x

0

Luftkissenfahrbahn

98

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Abb. 5.4 Ein Luftgewehr schießt ein Geschoss auf einen Knetklumpen

Luftgewehr (Geschossmasse m = 0,5 g) Knetklumpen (Masse M = 108 g)

Aufgabe 38: Ballistisches Fadenpendel Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 5.4 an.

(VA)

a. Leiten Sie eine Formel zur Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit v her und berechnen Sie diese. b. Wie groß müsste die Geschossgeschwindigkeit v für eine volle Umdrehung des Pendels mindestens sein? http://tiny.cc/4ifzly

5.2 Beliebige Stöße Aufgabe 39: Waggonbefüllung während der Fahrt Ein reibungsfrei beweglicher Waggon (Masse m0 , Länge `, Ortskoordinate x.t D 0/ D 0, Geschwindigkeit v.t D 0/ D v0 > 0) wird für t  0 aus einem ruhenden Vorratsbehälter über die gesamte Länge mit Sand (Massenrate D konst.) befüllt (Abb. 5.5). a. Erklären Sie qualitativ, weshalb die Geschwindigkeit des Waggons beim Befüllen abnimmt. b. Zeigen Sie mit einem begründeten Ansatz, dass für t  0 die Geschwindigkeit m0 v.t/ D v0 m0 C t ist. Bestimmen Sie die a.t/- und x.t/-Funktion.

5.2 Beliebige Stöße

99

Abb. 5.5 Ab dem Zeitpunkt t D 0 wird ein Waggon mit Sand konstanter Massenrate befüllt

Vorratsbeha¨lter

Sand

Zeitpunkt t = 0 Waggon

v0



x 0

Z

Hinweis:

1 1 dx D ln.ax C 1/ C C ax C 1 a c. Die Geschwindigkeit des Waggons beim Befüllen soll v0 D konst. sein. Leiten Sie eine Formel für die notwendige Kraft F auf den Waggon her. d. Leiten Sie eine Formel für die Geschwindigkeitsabnahme des Waggons zwischen Beginn und Ende des Befüllens her. Wie kann diese maximiert werden? Aufgabe 40: Teilchenstreuung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 5.6 an.

(VA)

a. Das Teilchen wird durch eine magnetische Kraft k rE FE .Er / D 3 r r E mit Konstante k > 0 am Streuzentrum gestreut. Zeigen Sie, dass der Drehimpuls L des Teilchens bezüglich des Streuzentrums konstant ist, und geben Sie die Richtung E an. von L

Topfmagnet/Teilchen (Masse m = 87 g) v0 Stoßparameter b

y

Abst

and r x

Topfmagnet/Streuzentrum (fest)

Abb. 5.6 Versuchsaufbau zur magnetischen Ablenkung des Teilchens

100

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

b. Zeigen Sie, dass

c. d. e. f.

1 0 C E D mB L 0 A @ xvy  yvx 0

der Drehimpuls des Teilchens bezüglich des Streuzentrums ist. Überprüfen Sie damit experimentell das Ergebnis aus Teilaufgabe a. Zeigen Sie, dass L D mv0 b der Drehimpulsbetrag des Teilchens bezüglich des Streuzentrums ist. Erzeugen Sie das v.t/-Diagramm. Erklären Sie den zeitlichen Verlauf von v durch Betrachtung von Energien und Kräften. Bestimmen Sie die Konstante k experimentell. Warum wird für den Stoßparameter b D 0 der minimale Abstand rmin zwischen Teilchen und Streuzentrum erreicht? Berechnen Sie die Konstante k für rmin D 7;2 cm.

http://tiny.cc/uifzly

Aufgabe 41: Bewegung mit Massenänderung (mVA) Videografieren Sie einen Spielzeugwagen, der sich mit konstanter Geschwindigkeit in xRichtung bewegt und auf dem während der Fahrt zum Zeitpunkt t D t0 plötzlich (i) senkrecht von oben (aus y-Richtung) eine Masse abgelegt wird, (ii) eine Masse nach oben hin weggenommen wird, (iii) eine mit zuvor gleicher Geschwindigkeit mitgeführte Masse abgelegt wird (Abb. 5.7).

t = t0 v = v0

(i)

t = t0 v=?

v = v0

v=?

(ii)

y

(iii)

x

Abb. 5.7 Massenänderung eines Wagens während der Fahrt für die Fälle (i), (ii) und (iii)

5.3 Lösungen

101

a. Formulieren Sie begründete Hypothesen, ob und, falls ja, wie sich für die Fälle (i), (ii) und (iii) die Geschwindigkeit des Wagens während der Massenänderung gemäß den drei Fällen ändert. b. Werten Sie die drei Videoexperimente mit Blick auf die Fragestellung in Teilaufgabe a aus und überprüfen Sie Ihre Hypothesen.

5.3

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 34: Zentraler elastischer und inelastischer Stoß a) Formeln für die Geschwindigkeiten v10 und v20 nach einem elastischen Stoß Nach dem Impulserhaltungssatz gilt m1 v1 C m2 v2 D m1 v10 C m2 v20     , m1 v1  v10 D m2 v20  v2 :

(5.1)

Da der Stoß elastisch ist, gilt der Energieerhaltungssatz: 1 1 1 1 2 2 m1 v12 C m2 v22 D m1 v10 C m2 v20 2 2 2 2     , m1 v12  v10 2 D m2 v20 2  v22       , m1 v1  v10 v1 C v10 D m2 v20  v2 v20 C v2 :

(5.2)

Division von (5.2) durch (5.1) ergibt v1 C v10 D v20 C v2

(5.3)

, v10 D v20 C v2  v1 : Einsetzen von (5.3) in (5.1) ergibt v20 D

m2 v2 C m1 .2v1  v2 / : m1 C m2

(5.4)

m1 v1 C m2 .2v2  v1 / : m1 C m2

(5.5)

Einsetzen von (5.4) in (5.3) ergibt v10 D

Formel für die Geschwindigkeit v0 nach einem inelastischen Stoß Nach dem Impulserhaltungssatz gilt m1 v1 C m2 v2 D .m1 C m2 /v 0

,

v0 D

m1 v1 C m2 v2 : m1 C m2

(5.6)

102

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Geschwindigkeit v/ ms

vB (t) 0,15 0,1 0,05 vW (t) 0 vG (t) 0

1

2

3

4 5 Zeit t/s

6

7

8

Abb. 5.8 v.t /-Diagramm der drei Gleiter

b) Experimentelle Prüfung von (5.4) und (5.5) Nach dem v.t/-Diagramm (Abb. 5.8) ist beim elastischen Stoß von Gleiter Weiß und Glei0 D 0;02 m=s und vB0 D 0;14 m=s. Einsetzen der ter Blau vW D 0;12 m=s, vB D 0 m=s, vW Massen und Geschwindigkeiten vor dem Stoß in (5.4) und (5.5) ergibt die Geschwindig0 D 0;024 m=s und vB0 D 0;144 m=s nach dem Stoß, die gut mit den gemessenen keiten vW Geschwindigkeiten übereinstimmen. Experimentelle Prüfung von (5.6) Nach dem v.t/-Diagramm (Abb. 5.8) ist beim inelastischen Stoß von Gleiter Blau und Gleiter Gelb vB D 0;14 m=s, vG D 0 m=s und vB0 D vG0 D 0;07 m=s. Einsetzen der Mas0 D vG0 D sen und Geschwindigkeiten vor dem Stoß in (5.6) ergibt die Geschwindigkeit vW 0;07 m=s nach dem Stoß, die gut mit der gemessenen Geschwindigkeit übereinstimmt. c) Experimentelle Prüfung des Schwerpunktsatzes Die Schwerpunktskoordinate

Abb. 5.9 xS .t /-Diagramm der Schwerpunktskoordinate der drei Gleiter

mW xW .t/ C mB xB .t/ C mG xG .t/ mw C mB C mG

(5.7)

1 Ortskoordinate xs /m

xS .t/ D

0,8 0,6 0,4 xS (t)-Messreihe xS (t) = 0,05 ms · t + 0,35 m

0,2

0

1

2

3

4 5 Zeit t/s

6

7

8

5.3 Lösungen

103

wird im Videoanalyseprogramm berechnet. Der xS .t/-Graph ist eine Gerade (Abb. 5.9). Die Geschwindigkeit des Schwerpunkts ist also konstant und beträgt vS D 0;05 m=s.

Lösung zu Aufgabe 35: Elastische Stöße mit Murmeln Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Um einen möglichst zentralen Stoß zu realisieren, ist es hilfreich, die Bewegung beider Murmeln mit geeignetem Material (z. B. Büchern) seitlich zu begrenzen oder eine Führungsrinne zu nutzen (z. B. einen Spalt zwischen zwei eng nebeneinander liegenden Büchern) (Abb. 5.10). Im Experiment ruht die schwerere Murmel 2 (Masse m2 ) vor dem Stoß (v2 D 0), und die leichtere Murmel 1 (Masse m1 ) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v1 in x-Richtung auf Murmel 2 zu. a) Bestimmung des Massenverhältnisses m2 =m1 aus den Geschwindigkeiten nach dem Stoß Für die Geschwindigkeiten v10 und v20 der Stoßpartner nach einem elastischen Stoß gilt v10 D v20

m1 v1 C m2 .2v2  v1 / ; m1 C m2

(5.8)

m2 v2 C m1 .2v1  v2 / D : m1 C m2

Mit v2 D 0 vereinfacht sich (5.8) zu v10 D v20

v1 .m1  m2 / ; m1 C m2

(5.9)

2m1 v1 D : m1 C m2

Abb. 5.10 Zwei Murmeln stoßen elastisch auf einem Spalt zwischen zwei Buchrücken (m1 , v1 > 0)

(m2 , v2 = 0)

x

104

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Abb. 5.11 x.t /-Diagramm der beiden Murmeln nach dem Stoß

x1 (t)-Messreihe Murmel 1 x2 (t)-Messreihe Murmel 2 x1 (t) = −0,13 ms · t − 0,01 m x2 (t) = 0,15 ms · t + 0,01 m

Ortskoordinate x/m

0,10

x2 (t)

0,05 0,00 −0,05 x1 (t) 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Zeit t/s

Division der Gln. (5.9) ergibt

v10 m1  m2 D v20 2m1

(5.10)

v 0  2v 0 m2 D 2 0 1: m1 v2

(5.11)

und damit das Massenverhältnis

Experimentelle Berechnung des Massenverhältnisses m2 =m1 Die Geschwindigkeiten v10 und v20 der Murmeln nach dem Stoß werden mit linearer Regression der x1 .t/- und x2 .t/-Messreihe (Abb. 5.11) zu v10 D 0;13 m=s und v20 D 0;15 m=s bestimmt. Aus Abb. 5.11 ergibt sich v10 D 0;13 m=s und v20 D 0;15 m=s. Das negative Vorzeichen gibt an, dass Murmel 1 nach dem Stoß die Bewegungsrichtung umkehrt. Einsetzen der Werte in (5.11) ergibt m2 =m1 D 2;7. b) Gemessenes Massenverhältnis m2 =m1 Das durch Wiegen beider Murmeln ermittelte Massenverhältnis beträgt 3,33. Bei Anwenden der Gleichungen aus (5.8) wurde der systematische Fehler begangen, die Rotationen der beiden Stoßpartner zu vernachlässigen und ausschließlich translatorische Bewegungen zu betrachten. Bei beiden Murmeln wird ein Teil der kinetischen Energie nach dem Stoß in Rotationsenergie überführt, was (5.11) nicht beschreibt.

Lösung zu Aufgabe 36: Astroblaster a) Formel für die Geschwindigkeit der Flummis und der Erde Nach dem Energieerhaltungssatz gilt für Körper, welche aus der Ruhe die Strecke h durchfallen: p 1 2 ) v D 2gh : (5.12) mv D mgh 2

5.3 Lösungen

105

Erster Stoß des unteren, bodennahen Flummis 2 mit der Erde: p  Flummi 2 hat die Geschwindigkeit p 2gh vor dem Stoß.  Flummi 2 hat die Geschwindigkeit 2gh nach dem Stoß wegen der Masse m2  Erdmasse.  Die Erde hat die Geschwindigkeit null vor und nach dem Stoß wegen der großen Erdmasse. Zweiter Stoß von Flummi 2 mit Flummi 1: p  Flummi 2 hat die Geschwindigkeit 2gh vor dem Stoß.  Flummi 2 hat eine unbekannte, für die Fragestellung irrelevante Geschwindigkeit nach dem Stoß. p  Flummi 1 hat die Geschwindigkeit  2gh vor dem Stoß wegen gleicher Fallhöhe wie Flummi 2.  Flummi 1 hat eine positive, unbekannte und zu bestimmende Geschwindigkeit nach dem Stoß. Der Verstärkungseffekt beruht darauf, dass beim zweiten Stoß die Flummis mit Massen m2 > m1 und entgegengesetzten, betragsgleichen Geschwindigkeiten elastisch stoßen. Unter diesen Bedingungen ist die Geschwindigkeit des leichteren Flummi 1 nach dem Stoß immer größer als vor dem Stoß. Nach dem Energieerhaltungssatz ist daher die Höhe h0 größer als die Höhe h. b) Formel für die Höhenverstärkung V.k/ Für den idealelastischen zentralen Stoß zweier Massen m1 und m2 mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 gilt für die Geschwindigkeiten v10 der Masse m1 nach dem Stoß: v10 D

m1 v1 C m2 .2v2  v1 / : m1 C m2

(5.13)

Nach Teilaufgabe a ist v1 D v2 :

(5.14)

Einsetzen von (5.14) in (5.13) und Verwendung des Massenverhältnisses k ergibt 1  3 m1 m1  3m2 1  3k m1 v1  3m2 v1 D v1 D v1 D v1 : 2 m1 C m2 m1 C m2 1C m 1Ck m1 m2

v10 D

Nach Teilaufgabe a ist

p v1 D  2gh ;

(5.15)

(5.16)

und nach dem Energieerhaltungssatz ist v10 D

p

2gh0 :

(5.17)

106

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Einsetzen von (5.16) und (5.17) in (5.15) und Verwendung der Höhenverstärkung V ergibt p p 1  3k 2gh0 D  2gh ) 1Ck

r

h0 3k  1 h0 D ) V .k/ D D h kC1 h



3k  1 kC1

2 : (5.18)

c) Massenverhältnis k für die Höhenverstärkung V.k/ > 1 Verwendung von (5.18) und Auflösen nach dem Massenverhältnis k ergibt  3k  1 2 >1 kC1 3k  1 , > 1 oder kC1 

V .k/ D

,

3k  1 k C 1 , k > 1 oder 3k  1 < k  1 , 4k < 0 :

Nach (5.19) muss das Massenverhältnis k > 1 für eine Höhenverstärkung V > 1 sein. Bestimmung der maximalen Höhenverstärkung V.k/ Die Funktion V .k/ ist für k > 0 streng monoton steigend. Grenzwertbildung ergibt  Vmax D lim V .k/ D lim k!1

k!1

3k  1 kC1

2

3

D lim

k!1

1C

1 k 1 k

!2 D 9:

(5.20)

Flummi 1 erreicht also maximal die neunfache Ausgangshöhe. Möglichkeit einer weiteren Höhenverstärkung Eine weitere Höhenverstärkung ist mit mehr als zwei Flummis abnehmender Masse möglich. Insbesondere können dadurch Reibungs- und Elastizitätsverluste für einen maximalen Effekt ausgeglichen werden.

Lösung zu Aufgabe 37: Zentraler inelastischer Stoß a) Formel für die Geschwindigkeit v0 nach dem inelastischem Stoß Anwendung des Impulserhaltungssatzes ergibt m1 v1 C m2 v2 D .m1 C m2 /v 0

,

v0 D

m1 v1 C m2 v2 : m1 C m2

(5.21)

Experimentelle Prüfung von (5.21) Aufnahme des x.t/-Diagramms von Gleiter Gelb ergibt die Messreihe in Abb. 5.12. Lineare Regression von x.t/ vor dem Stoß ergibt die Geschwindigkeit vG D 2;16 m=s von Gleiter Gelb vor dem Stoß. Lineare Regression von x.t/ nach dem Stoß ergibt die Ge-

5.3 Lösungen

107

Abb. 5.12 x.t /-Diagramm des Gleiters Gelb

Ortskoordiante x/m

0,8 0,6 0,4 x(t)-Messreihe x(t) = 2,16 ms · t x(t) = 0,69 ms · t + 0,27 m

0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Zeit t/s

schwindigkeit v 0 D 0;69 m=s von Gleiter Blau und Gelb nach dem Stoß. Einsetzen der Massen und gemessenen Geschwindigkeiten vor dem Stoß in (5.21) ergibt die Geschwindigkeit v 0 D 0;68 m=s in guter Übereinstimmung mit der Messung. b) Bestimmung der erzeugten Wärmeenergie Q Die kinetische Energie Ekin vor dem Stoß ist Ekin D

1 1 m1 v12 C m2 v22 : 2 2

(5.22)

0 Die kinetische Energie Ekin nach dem Stoß ist unter Verwendung von (5.21)

1 2 .m1 C m2 /v 0 2 1 .m1 v1 C m2 v2 /2 D .m1 C m2 / 2 .m1 C m2 /2 1 .m1 v1 C m2 v2 /2 D : 2 m1 C m2

0 D Ekin

(5.23)

Nach dem Energieerhaltungssatz gilt für die erzeugte Wärmeenergie 0 : Q D Ekin  Ekin

Einsetzen von (5.22) und (5.23) in (5.24) und Vereinfachen ergibt   1 .m1 v1 C m2 v2 /2 QD m1 v12 C m2 v22  2 m1 C m2 2 2 2 2 2 1 m1 v1 C m1 m2 v1 C m2 v2 C m1 m2 v22  m1 v12  2m1 m2 v1 v2  m22 v22 D 2 m1 C m2 2 2 1 m1 m2 v1 C m1 m2 v2  2m1 m2 v1 v2 D 2 m1 C m2 1 m1 m2 D .v1  v2 /2 : 2 m1 C m2

(5.24)

(5.25)

108

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Der Anteil erzeugter Wärmeenergie ist unter Verwendung von (5.24) E0 Q D 1  kin : Ekin Ekin

(5.26)

Einsetzen von (5.22) und (5.23) in (5.26) ergibt 1 .m1 v1 Cm2 v2 /2

.m1 v1 C m2 v2 /2 Q 2 m1 Cm2   D1 1 D 1  : Ekin m1 v12 C m2 v22 .m1 C m2 / m v 2 C 12 m2 v22 2 1 1

(5.27)

Einsetzen von v2 D 0 in (5.27) ergibt Q m1 m2 D1 D : Ekin m1 C m2 m1 C m2

(5.28)

Einsetzen der Werte in (5.28) ergibt Q=Ekin D 0;689 D 68;9 %. c) Prüfung der Aussagen zum inelastischen Stoß 1. Einsetzen von v1 D v und v2 D v in (5.21) ergibt v0 D

m1 v  m2 v m1  m2 Dv : m1 C m2 m1 C m2

(5.29)

Für m1 > m2 ist v 0 > 0, für m1 < m2 ist v 0 < 0. Also ist die Aussage richtig. 2. Nach (5.21) ist mit m1 =m2 D k 0

v D

m1 v C v2 m2 1 m1 C1 m2

D

kv1 C v2 : kC1

(5.30)

Für k  1 ist kv1  v2 und damit v 0  v1 . Also ist die Aussage richtig. 3. Nach (5.25) ist für v1 > 0 und v2 > 0 die erzeugte Wärmeenergie kleiner als für v1 < 0 und v2 > 0 oder v1 > 0 und v2 < 0. Also ist die Aussage richtig.

Lösung zu Aufgabe 38: Ballistisches Fadenpendel a) Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit v Das Geschoss stößt inelastisch mit dem Knetklumpen. Der Impulserhaltungssatz liefert einen Zusammenhang zwischen der Geschossgeschwindigkeit v und der Geschwindigkeit v0 von Knetklumpen und Geschoss nach dem Stoß: mv D .m C M /v 0

,

v0 D v

m : mCM

(5.31)

5.3 Lösungen

109

Abb. 5.13 Berechnung der Höhe h aus der Pendellänge ` und dem Auslenkwinkel '

ϕ  cos ϕ



 (1 − cos ϕ)

h

Nach dem inelastischen Stoß wird die kinetische Energie von Knetklumpen und Geschoss in Lageenergie umgewandelt. Hierbei wird der Knetklumpen und das Geschoss um die Strecke h angehoben. Nach dem Energieerhaltungssatz ist 1 .M C m/v 0 2 D .M C m/gh : 2

(5.32)

Einsetzen von (5.31) in (5.32) und Auflösen nach v ergibt 1 2 m2 v D .M C m/gh 2 M Cm

,

vD

M C mp 2gh : m

(5.33)

Die Strecke h kann aus dem Auslenkwinkel ' des Pendels und der Pendellänge ` nach Abb. 5.13 zu h D `.1  cos '/ (5.34) bestimmt werden. Einsetzen von (5.34) in (5.33) ergibt vD

M C mp 2g`.1  cos '/ : m

(5.35)

Einsetzen der gegebenen Massen und des gemessenen Auslenkwinkels ' D 24;5ı und der gemessenen Länge ` D 39 cm des Pendels in (5.35) ergibt die Geschwindigkeit v D 180 m=s D 648 km=h. b) Bestimmung der Mindestgeschossgeschwindigkeit vmin für Überschlag des Fadenpendels Für einen Überschlag des Fadenpendels muss die Geschwindigkeit vo des Knetklumpens im obersten Bahnpunkt gerade so groß sein, dass die Gewichtskraft gleich der Zentripetalkraft der Kreisbewegung ist: FG D FZ ; .m C M /g D .m C M /

vo2 `

)

vo D

p g` :

(5.36)

Nach dem Energieerhaltungssatz ist 1 1 2 .m C M /v 0 D .m C M /gh C .m C M /vo2 : 2 2

(5.37)

110

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Einsetzen von h D 2`

(5.38)

und von (5.36) in (5.37) sowie Auflösen nach v 0 ergibt 1 1 2 .m C M /v 0 D 2.m C M /g` C .m C M /g` 2 2 p 0 ) v D 5g` :

(5.39)

Einsetzen von (5.39) in (5.31) und Auflösen nach v ergibt vD

M C mp 5g` D vmin : m

(5.40)

Einsetzen der Werte in (5.40) ergibt die Mindestgeschwindigkeit vmin D 949 m=s D 3417 km=h. Diese Geschossgeschwindigkeit ist mit einem Luftgewehr nicht realisierbar.

Lösung zu Aufgabe 39: Waggonbefüllung während der Fahrt a) Erklärung der Geschwindigkeitsabnahme während der Waggonbefüllung Wenn Sand in den Waggon fällt, wird dieser durch eine Reibungskraft des Waggons in horizontaler Richtung beschleunigt. Nach dem Wechselwirkungsgesetz übt der Sand auf den Waggon eine entgegengesetzt gleich große Reibungskraft aus, die den Waggon verzögert. b) Herleitung der v.t/-Funktion des Waggons Der Füllvorgang kann als kontinuierlicher, horizontaler inelastischer Stoß zwischen Sand und Waggon beschrieben werden. Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt der Gesamtimpuls der Stoßpartner Sand und Waggon in x- und y-Richtung erhalten. Der Gesamtimpuls in x-Richtung vor dem Befüllen muss gleich dem Gesamtimpuls beim Befüllen sein: C 0 „ƒ‚… Impuls Sand

D

m0 v0 „ƒ‚… Impuls Waggon

.m C t/ v : „ 0 ƒ‚ …

(5.41)

Impuls Sand + Waggon

Auflösen von (5.41) nach v ergibt v.t/ D v0

m0 : m0 C t

(5.42)

Herleitung der a.t/- und x.t/-Funktion Ableiten von (5.42) nach t gemäß der Kettenregel ergibt a.t/ D v.t/ P D v0 m0 .m0 C t/2 D 

v0 m0 : .m0 C t/2

(5.43)

5.3 Lösungen

111

Integration von (5.42) nach t ergibt unter Verwendung des Hinweises Zt

0

0

Zt

v.t / dt D

x.t/ D 0

v0 0

m0 dt 0 m0 C t 0

Zt

1 dt 0 C1 0   v0 m0 D t C1 : ln m0 D v0

(5.44)

0 t m0

c) Erforderliche Kraft F zur Waggonbewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0 Anwendung des Newton’schen Grundgesetzes

 FEres D m.t/vEP .t/  uE .t/  vE.t/ m.t/ P (5.45) für masseveränderliche Bewegungen auf die horizontale Waggonbewegung ergibt Fres D F D m.t/0  .0  v0 / D 0 C v0 D v0 :

(5.46)

d) Formel für die Geschwindigkeitsabnahme v zwischen Beginn und Ende der Waggonbefüllung Für die Füllzeit t  gilt (5.47) x.t  / D ` : Einsetzen von (5.47) in (5.44) ergibt   v0 m0  x.t / D ` D t C1 : ln m0 

(5.48)

Auflösen von (5.48) nach t  ergibt m0 t D 

  ` m0 v0 1 : e

(5.49)

Die Geschwindigkeitsabnahme ist mit (5.42)   m0 m0 D v0 1  : v D v.0/  v.t / D v0  v0 m0 C t  m0 C t  

(5.50)

Einsetzen von (5.49) in (5.50) ergibt    m `v 0 0 : v D v0 1  e

(5.51)

Nach (5.51) müssen für eine möglichst große Geschwindigkeitsänderung v, die Massenrate und die Länge ` des Waggons möglichst groß sowie die Anfangsmasse m0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 möglichst klein sein.

112

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Lösung zu Aufgabe 40: Teilchenstreuung E a) Konstanz und Richtung des Drehimpulsvektors L Da das Kraftfeld radialsymmetrisch ist, zeigen Ortsvektor rE und Kraftvektor FE immer in radialer Richtung vom Streuzentrum weg. Für das Drehmoment gilt damit

Wegen

E D rE FE D 0E : M

(5.52)

E E D konst. E D dL D 0E ) L M dt

(5.53)

E entgegen der ist der Drehimpulsvektor konstant. Nach der Rechte-Hand-Regel zeigt L z-Richtung, d. h. Lz < 0 : (5.54) Lx D Ly D 0; E einer zweidimensionalen Bewegung b) Prüfung der Formel für Drehimpuls L Aufgrund der zweidimensionalen Teilchenbewegung in der x-y-Koordinatenebene ist 13 0 1 0 1 0 vx x C7 B C B C B E D m.Er vE/ D m 6 L 0 A: 4@ y A @ vy A5 D m @ xvy  yvx 0 0 20

(5.55)

Prüfung der Konstanz von L durch L.t/-Messreihe Nach (5.54) gilt xvy yvx < 0 und somit L D m.yvx xvy /. Der Drehimpulsbetrag L D 0;016 Nms ist unter Betrachung der L.t/-Messreihe näherungsweise konstant (Abb. 5.14).

Drehimpuls L/Nms

2

·10−2 L = 0,016 Nms

1,5 1 0,5

0

0,5

1

1,5 Zeit t/s

Abb. 5.14 L.t /-Diagramm der Teilchenbewegung

2

2,5

5.3 Lösungen

113

Abb. 5.15 Berechnung des Drehimpulsbetrags L als Flächeninhalt des durch mE v0 und rE aufgespannten Parallelogramms

Teilchen

mv0

b

r

y L Streuzentrum

x

c) Formel für den Drehimpulsbetrag L E D rE mE Wegen L v0 ist nach Definition des Kreuzprodukts der Drehimpuls L gerade die Fläche des von rE und mE v0 aufgespannten Parallelogramms. Nach Abb. 5.15 ist L D mbv0 . Alternativ ist L D mrv0 sin.†.Er ; vE0 // D mrv0 sin ' D mrv0 sin.180ı  '/ D mbv0 :

(5.56)

d) Erklärung des v.t/-Graphen durch Kräfte  Für jt 1;4 sj > 0;4 s ist die magnetische Kraft so klein, dass die Bahngeschwindigkeit des Teilchens in Betrag und Richtung konstant ist (Abb. 5.16).  Für 1;0 < t < 1;4 s gibt es eine Kraftkomponente der magnetischen Kraft in Gegenrichtung zur Bewegungsrichtung des Teilchens, und die Bahngeschwindigkeit des Teilchens wird kleiner.  Für 1;4 < t < 1;8 s gibt es eine Kraftkomponente der magnetischen Kraft in Richtung der Bewegungsrichtung des Teilchens, und die Bahngeschwindigkeit des Teilchens wird wieder größer. Aufgrund des radialsymmetrischen Kraftfelds ergibt sich eine zur Winkelhalbierenden der Ein- und Ausflugrichtung achsensymmetrische Bahnkurve und eine gleich große Ab- und Zunahme der Bahngeschwindigkeit.

Geschwindigkeit v/ ms

0,3 v = v0 = 0,275 ms

0,28

Teilchen

0,26 0,24 0,22

α

0,2

α

0,18 Streuzentrum 0

0,5

1

1,5

2

2,5

Zeit t/s

Abb. 5.16 v.t /-Diagramm der Teilchenbewegung (links) und Bahnkurve der Teilchenbewegung (rechts)

114

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

Abb. 5.17 a.r/-Diagramm der Teilchenbewegung

a(r)-Messreihe a(r) = 3,44 · 10−5 Nm3 /(mr3 )

Beschleunigung a/ sm2

0,6

0,4

0,2

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

Abstand r/m

Erklärung des v.t/-Graphen durch Energien Die potenzielle Energie des Teilchens im Unendlichen ist konstant und wird zu null gewählt. Daher ist nach dem Energieerhaltungssatz die kinetische Energie des Teilchens und die Bahngeschwindigkeit bei der Hin- und Wegbewegung zum Streuzentrum gleich (Abb. 5.16). Bei der Hinbewegung wird ein Teil der kinetischen Energie in potenzielle Energie umgewandelt (Geschwindigkeitsabnahme); bei der Wegbewegung wird der gleiche Anteil potenzieller Energie wieder in kinetische Energie umgewandelt (Geschwindigkeitszunahme). e) Bestimmung der Konstanten k Mit einer x.t/- und y.t/-Messreihe wird im Videoanalyseprogramm der Abstand p (5.57) r.t/ D x 2 .t/ C y 2 .t/ des Teilchens zum Streuzentrum berechnet. Weiterhin wird im Videoanalyseprogramm q (5.58) a.r/ D ax2 .r/ C ay2 .r/ berechnet. Eine Anpassung der Funktion a.r/ D

k mr 3

(5.59)

an die a.r/-Messreihe für m D 0;087 kg ergibt k D 3;44  105 Nm3 (Abb. 5.17). f) Begründung des minimalen Abstands für Stoßparameter b D 0 Nur für b D 0 wird die Bahngeschwindigkeit in einem Bahnpunkt null und damit die gesamte kinetische Energie Ekin des Teilchens in die maximale potenzielle Energie Epot umgesetzt. Da Epot / r 2 , wird der Abstand r minimal.

5.3 Lösungen

115

Berechnung der Konstante k Die Änderung der potenziellen Energie des Teilchens ist ZP2 Epot D Epot;2  Epot;1 D

FE .Er 0 /  dEr 0 D

1

P1

Zr D k 1

Zr



1 k 1 dr 0 D 3 0 2 r 02 r

r 1

k rE 0  dEr 0 r 03 r 0 (5.60)

k D 2: 2r

Nach dem Energieerhaltungssatz ist mit (5.60) Ekin;1 C Epot;1 D Ekin;2 C Epot;2 ; 1 2 k m0 C 0 D 0 C 2 2 2rmin

)

2 k D mv02 rmin :

(5.61)

Einsetzen der gegebenen Werte und der Geschwindigkeit v0 D 0;275 m=s aus Teilaufgabe d in (5.61) ergibt die Konstante k D 3;40  105 Nm3 .

Lösung zu Aufgabe 41: Bewegung mit Massenänderung Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Sie nehmen drei Videoexperimente auf, die die beschriebenen Szenarien (i) bis (iii) zeigen. Als Wagen eignet sich ein Spielzeugauto mit einer Ladefläche, die ggf. aus Pappkarton angefertigt wird, oder ein Skateboard. Die zusätzliche Masse sollte solche Abmessungen besitzen, dass sie ohne Berührung des Wagens problemlos nach oben weggenommen werden kann (Szenario ii). Schnüre, die an der Masse befestigt werden, können das Wegnehmen nach oben erleichtern. Beim Absetzen der Masse in den Szenarien (i) und (iii) ist darauf zu achten, dem Wagen keinen zusätzlichen Impuls in oder gegen die Bewegungsrichtung zu geben. a) Hypothesen zu den drei Szenarien (i)

Die Geschwindigkeit des Wagens wird sich verringern. Die zusätzliche Masse m startet aus der Ruhe (t < t0 ) und wird sich nach dem Absetzen auf den Wagen mit diesem mitbewegen. Die Änderung der Geschwindigkeit (von vm D 0 auf vm ¤ 0) bewirkt eine Beschleunigung der Zusatzmasse, die mit einer Kraftwirkung in Bewegungsrichtung verbunden ist. Nach dem Wechselwirkungsprinzip erfährt der Wagen eine gleich große entgegengesetzte Kraft, die den Wagen verzögert. Die Situation ist identisch zu der eines inelastischen Stoßes zwischen ruhender Masse m und mit v bewegter Masse M . Impulserhaltung für den Stoßvorgang ergibt M v0 D .M C m/v 0 ;

(5.62)

116

5 Systeme von Massepunkten, Stöße

woraus folgt, dass sich die Geschwindigkeit nach dem Stoß v 0 für t > t0 verringert: v 0 D v0

M : M Cm

(5.63)

Bemerkung: Der Energieerhaltungssatz kann nicht angewendet werden, da die notwendige Wechselwirkung zwischen Wagen und Zusatzmasse durch eine Reibungskraft hervorgerufen wird, die in der Energiebilanz nicht quantitativ berücksichtigt werden kann. (ii) Die Geschwindigkeit des Wagens verändert sich nicht. Das System Wagen und Zusatzmasse wird entkoppelt, der Impuls und die kinetische Energie beider Teilsysteme bleiben erhalten: Die nach oben weggenommene Masse bewegt sich gemäß dem Impulssatz mit gleicher Geschwindigkeit weiter. Dies wird im Experiment allerdings nicht beobachtet, da der Impuls der Zusatzmasse von der Hand, die die Zusatzmasse ergreift und nach oben führt, kompensiert wird. Gemäß Impulserhaltung für das System „Wagen und Zusatzmasse“ ändert sich auch die Geschwindigkeit des Wagens nicht: ) p D .M C m/v0 ) v0 D v 0 ; p 0 D M v 0 C mv 0 (5.64) 1 1 1 E D .M C m/v02 D M v02 C mv02 D E 0 : 2 2 2 (iii) Die Geschwindigkeit des Wagens ändert sich nicht. Wird die Zusatzmasse vor dem Absetzen mitbewegt, besitzt sie bereits den Impuls mv0 . Beim Absetzen muss sie demnach nicht weiter beschleunigt werden, sodass es zu keiner Kraftwirkung kommt (vgl. Begründung zu Szenario i). Die Impulsbilanz ergibt M v C mv D .M C m/v 0

)

v D v0 :

(5.65)

b) Experimentelle Prüfung der Hypothesen Abb. 5.18 zeigt für die drei Szenarien die Position des Wagens über die Zeit, wobei jeweils zum Zeitpunkt t D t0 D 1;3 s das Absetzen bzw. Wegnehmen der Masse m erfolgt. Die Diagramme bestätigen die Hypothesen aus Teilaufgabe a, denn nur in Szenario (i) änderte sich die Geschwindigkeit des Wagens. Die Geschwindigkeitsänderung wird durch unterschiedliche Geradensteigungen für t < t0 bzw. t > t0 sichtbar. Die Gültigkeit des hergeleiteten Zusammenhangs M (5.66) v 0 D v0 M Cm kann durch Wiegen der Massen verifiziert werden.

5.3 Lösungen

117 1

(i)

m 9 s

0,8 m

0,6 0,4

Ortskoordinate x/m

Ortskoordinate x/m

1

v0

=

54 0,



v

s

=

0,3

t = t0

0,2 0

0,5

1

1,5

2

(ii) 0,8 0,6 0,4

v0

0

Ortskoordinate x/m

(iii) 0,8 m

v0

0,4

=

s

t = t0

0,2 0

0,5

1

t = t0

0,5

1 Zeit t/s

1

5 0,4

m s

0,2

Zeit t/s

0,6

=

6 0,3

1,5

2

Zeit t/s

Abb. 5.18 x.t /-Diagramme für die Szenarien (i), (ii) und (iii)

1,5

2

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

6.1

Massenschwerpunkt ausgedehnter Körper

Aufgabe 42: Schwerpunkt einer auslaufenden Getränkedose Eine zylindrische Getränkedose (Masse mG , Höhe h D 10 cm, Radius r) konstanter Wandstärke ist zunächst vollständig mit Eistee (Masse mE;0 D mG D m, Dichte ) gefüllt. Durch ein Loch (Durchmesser d  r) im Boden der Getränkedose kann der Eistee auslaufen (Abb. 6.1). a. Leiten Sie eine Formel für die Schwerpunktskoordinate xS .x/ der auslaufenden Getränkedose her. b. Bestimmen Sie die minimale Schwerpunktskoordinate xS;min . Abb. 6.1 Auslaufende Getränkedose mit momentaner Füllhöhe x

h

r

x

0

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_6

119

120

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

6.2 Trägheitsmoment und Erhaltungsgrößen Aufgabe 43: Abwurf rollender Kugel Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 6.2 an.

(VA)

a. Leiten Sie die Formel für das Trägheitsmoment IK einer Kugel bezüglich einer Achse durch den Kugelmittelpunkt her und berechnen Sie dieses. b. Leiten Sie eine Formel für die Abwurfgeschwindigkeit v der Kugel im Punkt A her und berechnen Sie diese. Überprüfen Sie das Ergebnis experimentell und erklären Sie Abweichungen. c. Leiten Sie eine Formel für den Abstand xw des Auftreffpunkts der Kugel vom Punkt B her. Überprüfen Sie das Ergebnis experimentell und erklären Sie Abweichungen. Abb. 6.2 Eine Kugel beschleunigt auf einer Rampe und springt im Punkt A ab

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Aufgabe 44: Schuss auf drehbare Platte Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 6.3 an.

(VA)

a. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung des Trägheitsmoments IP der Platte her und berechnen Sie dieses. b. Der Knetklumpen hat die Platte in Rotation versetzt. Leiten Sie eine Formel zur Bestimmung der Geschwindigkeit v des Knetklumpens her und berechnen Sie diese. Kontrollieren Sie das Ergebnis experimentell.

6.2 Trägheitsmoment und Erhaltungsgrößen

121

Abb. 6.3 Eine drehbare Platte wird durch einen Knetklumpen in Rotation versetzt

http://tiny.cc/cjfzly

Aufgabe 45: Stoß von Puck mit Hantel Auf einem reibungsfreien Luftkissentisch stößt ein zylindrischer Puck (Masse m, Geschwindigkeit v in x-Richtung) idealelastisch und zentrisch mit einer der Massen einer ruhenden symmetrischen Hantel (Schwerpunkt SH , Trägheitsmoment JS;H bezüglich SH , zylindrische Hantelmassen m, Schwerpunktabstand d , masselose Hantelstange) (Abb. 6.4). Nach dem Stoß hat der Puck die Geschwindigkeit v 0 , der Hantelschwerpunkt SH hat die Geschwindigkeit vS;H , und die symmetrische Hantel rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit !. Abb. 6.4 Ein Puck stößt elastisch mit einer der Massen einer Hantel und versetzt diese in Translation und Rotation

y

m x

SH

Hantel

Puck m

v

m

d

122

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

a. Zeigen Sie mit dem Schwerpunktsatz, dass sich der Hantelschwerpunkt SH nach dem Stoß in x-Richtung und mit der Geschwindigkeit vS;H D

1 .v  v 0 / 2

bewegt. b. Zeigen Sie mit dem Drehimpulserhaltungssatz (Bezugspunkt SH ), dem Energieerhaltungssatz und dem Ergebnis aus Teilaufgabe a, dass gilt: v0 D v

a1 ; aC1

vS;H D

mit aD

v ; aC1

!D

v 4a  2 d aC1

1 md 2 C : 4JS;H 2

c. Nach dem Stoß soll die Puckgeschwindigkeit v 0 D 0 sein. Welche Massenverteilung hat die Hantel? Bestimmen Sie dafür das Verhältnis von Translations- und Rotationsenergie für diese Massenverteilung. Aufgabe 46: Rollende Getränkedosen (mVA) Videografieren Sie das Rollen von Getränkedosen auf einer schiefen Ebene (z. B. einem schräg gestellten Tisch). Dose 1 ist leer, Dose 2 ist flüssigkeitsgefüllt, und Dose 3 ist flüssigkeitsgefüllt, und gefroren. Alle Dosen starten von der gleichen Ausgangsposition und legen die gleiche Rollstrecke zurück. a. Formulieren Sie vor der Versuchsdurchführung eine begründete Hypothese, welche der beiden Dosen 2 und 3 zuerst am Streckenende ankommt. b. Leiten Sie eine Formel für die Schwerpunktbeschleunigung einer rollenden Dose her und bestimmen Sie diese für die drei genannten Fälle, indem Sie die Geometrie und die Massen der Dosen bestimmen. Hinweis: Die Trägheitsmomente eines Voll- bzw. Hohlzylinders mit Masse m, Außenradius R und Wanddicke d bezüglich der Zylinderachse sind IVZ D

1 mR2 ; 2

1 IHZ D m R2  Rd C d 2 2

(6.1)

 :

c. Bestimmen Sie die Schwerpunktbeschleunigungen der Dosen experimentell und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Berechnungen aus Teilaufgabe b.

6.3 Bewegungsgleichung der Rotation

123

Abb. 6.5 Eine Drehscheibe wird durch eine aufgewickelte Schnur in Rotation versetzt

M

Drehachse R

F

6.3

Bewegungsgleichung der Rotation

Aufgabe 47: Newtons Grundgesetz der Rotation Eine homogene Drehscheibe (Masse M D 5 kg, Radius R D 0;1 m) kann reibungsfrei um eine zur Drehscheibe senkrecht stehende und durch den Schwerpunkt gehende masselose Achse rotieren. Mit einer aufgewickelten Schnur wird auf die zunächst ruhende Scheibe für Zeiten t  0 s eine Kraft F D 20 N ausgeübt (Abb. 6.5). a. Leiten Sie durch Integration die Formel zur Berechnung des Trägheitsmoments I der Drehscheibe bezüglich der Drehachse her und berechnen Sie dieses. b. Ermitteln Sie die Winkelbeschleunigung ˛ der Scheibe. c. Berechnen Sie Drehimpuls L, Rotationsenergie Erot und Winkelgeschwindigkeit ! der Scheibe zum Zeitpunkt t D 5 s. Aufgabe 48: Falltür (mVA) Videografieren Sie die Bewegung eines Lineals (Länge `, Trägheitsmoment I ) als gegenständliches Modell einer Falltür. Befestigen Sie dazu das Lineal mit einem Klebestreifen als Scharnier an einer Tischkante, halten es in der Horizontalen und lassen es los (Abb. 6.6). a. Wenden Sie das zweite Newton’sche Axiom für Rotationsbewegungen E D I d!E M dt auf die Falltür an. Zeigen Sie, dass für die Winkelbeschleunigung gilt: 'R D

3g cos ' : 2`

b. Bestimmen Sie für kleine Winkel ' theoretisch und experimentell die Beschleunigung des Falltürendes zum Beginn der Bewegung.

124

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

Abb. 6.6 Ein Lineal ist an einem Tischende befestigt und wird aus der Horizontalen fallen gelassen

6.4 Translation und Rotation Aufgabe 49: Maxwell’sches Rad Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 6.7 an.

(VA)

a. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Beschleunigung a des Maxwell’schen Rads her und berechnen Sie diese. b. Überprüfen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe a experimentell. Erklären und korrigieren Sie die Abweichung. c. Ermitteln Sie experimentell die Winkelbeschleunigung ˛ der Rotationsbewegung. Überprüfen Sie den Zusammenhang zwischen Beschleunigung a und Winkelbeschleunigung ˛.

Abb. 6.7 Durch Abwickeln einer Schnur von der Drehachse des Maxwell’schen Rads wird dieses in Rotation und Translation versetzt

6.5 Lösungen

125

d. Erklären Sie qualitativ, warum während der Fallbewegung die Kraft FS in den beiden Schnüren kleiner als die halbe Gewichtskraft des Maxwell’schen Rads ist. Berechnen Sie die Kraft FS . http://tiny.cc/ijfzly

6.5

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 42: Schwerpunkt einer auslaufenden Getränkedose a) Formel für die Schwerpunktskoordinate xS Da die Wandstärke der Getränkedose konstant ist, gilt für die Schwerpunktskoordinate der Getränkedose h xG;S D : (6.2) 2 Bezeichnet x die Koordinate des Füllstands in der Getränkedose, dann ist die Schwerpunktskoordinate des Eistees x (6.3) xE;S D : 2 Da die Dichte des Eistees konstant ist, gilt für die veränderliche Masse mE des Eistees die Proportion mE x x x D , mE D mE;0 D m : (6.4) mE;0 h h h Die Schwerpunktskoordinate von Getränkedose und Eistee ist dann xS D

mG C xG;S C mE xE;S : mG C mE

(6.5)

Einsetzen von (6.2), (6.3) und (6.4) in (6.5) ergibt mit mG D m xS .x/ D

 2 h x2 m h C xh m x2 mG C xG;S C mE xE;S h 1 C xh 2 C 2h D 2 D : D mG C mE m C xh m 1 C xh 2 1 C xh

(6.6)

126

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

b) Bestimmung der minimalen Schwerpunktskoordinate xS;min Es muss das Minimum von (6.6) bestimmt werden. Setze x= h D k und suche k mit   d 1 C k2 D 0: (6.7) dk 1 C k Anwendung der Quotientenregel ergibt   k 2 C 2k  1 1k.1 C k/  1.1 C k 2 / d 1 C k2 D D 0 ) k 2 C 2k  1 D 0 : D dk 1 C k .1 C k/2 .1 C k/2 (6.8) Die Lösungen von (6.8) sind p (6.9) k1;2 D 1 ˙ 2 : Wegen x= h D k > 0 ist k D 0;414 und die minimale Schwerpunktskoordinate xS;min D 0;414h D 4;14 cm.

Lösung zu Aufgabe 43: Abwurf rollender Kugel a) Formel für das Trägheitsmoment IK einer Kugel Das Trägheitsmoment für einen Körper homogener Dichte ist Z Z Z 2 2 I D r? dm D r? dV D r?2 dV; V

V

(6.10)

V

wobei r? der Abstand zur Drehachse ist. Da es sich um eine Kugel handelt, werden Kugelkoordinaten verwendet. Das Volumenelement in Kugelkoordinaten lautet dV D r 2 sin # drd#d' :

(6.11)

r? D r sin # :

(6.12)

Weiter gilt Einsetzen von (6.11) und (6.12) in (6.10) ergibt Z2 Z ZR IK D

r 4 sin3 # d'd#dr 0

0

2R5 D

5

0

Zpi sin3 # d# 0

2R5 D

5 2R5 D

5

  3 1  cos # C cos 3# 4 12 0 4  : 3

(6.13)

6.5 Lösungen 3,2 Geschwindigkeit v/ m s

Abb. 6.8 v.t /-Diagramm der Kugelbewegung mit Abwurfzeitpunkt t D 0

127

2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0 −0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0

0,2

Zeit t/s

Einsetzen der Kugelmasse 4 m D R3 3

(6.14)

2 mR2 : 5

(6.15)

in (6.13) ergibt IK D

Einsetzen der Werte in (6.15) ergibt das Trägheitsmoment IK D 105 kgm2 . b) Bestimmung der Abwurfgeschwindigkeit v0 der Kugel Die Anwendung des Energieerhaltungssatzes für Zeitpunkt t1 des Kugelstarts in der Höhe H und Zeitpunkt t2 des Kugelabwurfs in der Höhe h im Punkt A ergibt Eges .t1 / D Eges .t2 / ; v2 1 1 1 12 mgH D mgh C mv02 C IK ! 2 D mgh C mv02 C mR2 02 2 2 2 r 25 R 10 7 2 , gH D gh C v0 , v0 D g.H  h/ : 10 7

(6.16)

Einsetzen der Messwerte H D 60;7 cm und h D 23;0 cm in (6.16) ergibt eine Abwurfgeschwindigkeit v0 D 2;30 m=s. Bei der Aufnahme der v.t/-Messreihe in Abb. 6.8 wurde der Abwurfzeitpunkt im Punkt A als Zeitpunkt t D 0 gewählt. Die gemessene Abwurfgeschwindigkeit v0 D 2;1 m=s ist aufgrund der Roll- und Luftreibung während der Kugelbewegung um 0;2 m=s (8;7 %) kleiner als die zuvor berechnete Abwurfgeschwindigkeit.

128

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

c) Bestimmung der Wurfweite xW Liegt der Koordinatenursprung im Punkt B (Abb. 6.2), dann gilt für ein rechtshändiges, rechtwinkliges Koordinatensystem mit der y-Achse in Richtung Punkt A x.t/ D v0 t cos ˛ ; 1 y.t/ D  gt 2 C v0 t sin ˛ C h : 2

(6.17) (6.18)

Die Bedingung y.t/ D 0 in (6.18) ergibt eine quadratische Gleichung zur Berechnung der Wurfdauer tW : 1  gt 2 C v0 t sin ˛ C h D 0 2

,

t2 

2v0 sin ˛ 2h t D 0: g g

(6.19)

Die Lösungen von (6.19) sind s t1=2

v0 sin ˛ D ˙ g v0 sin ˛ D ˙ g D

v0 sin ˛ ˙

s

v02 sin2 ˛ 2hg C 2 g2 g v02 sin2 ˛ C 2gh g

q v02 sin2 ˛ C 2gh g

:

(6.20)

Einsetzen von (6.20) mit positivem Rechenzeichen (negatives Rechenzeichen resultiert in negativer Wurfdauer) in (6.17) ergibt für die Wurfweite xW D x.tW / D v0 tW cos ˛ :

(6.21)

Eine Winkelmessung ergibt den Abwurfwinkel ˛ D 39;5ı . Um systematische Fehler nicht zu summieren, wird der experimentelle Wert v0 D 2;10 m=s zur Bestimmung von xW verwendet. Einsetzen der Werte in (6.20) ergibt tW D 0;392 s, und Einsetzen der Werte in (6.21) ergibt die berechnete Wurfweite xW D 63;5 cm. Dieser Wert liegt um 1 cm (1;6 %) unter dem gemessenen Wert xW D 64;5 cm. Dies zeigt insgesamt mit dem Ergebnis auf Teilaufgabe a, dass die Rollreibung zwischen Kugel und Bahn einen größeren Einfluss auf die Kugelbewegung als die Luftreibung hat.

Lösung zu Aufgabe 44: Schuss auf drehbare Platte a) Formel für das Trägheitsmoment IP einer Platte Das Trägheitsmoment für einen Körper homogener Dichte ist Z Z Z I D r?2 dm D r?2 dV D r?2 dV; V

V

V

(6.22)

6.5 Lösungen

129

wobei r? der Abstand zur Drehachse ist. In kartesischen Koordinaten lautet das Volumenelement dV D dx dy dz : (6.23) Für einen Körper, der um die y-Achse als Schwerpunktachse rotiert, gilt r? D

p x2 C z2 :

(6.24)

Im Falle einer Platte der Masse m und Kantenlängen a; b und c parallel zur x; y und z-Achse gilt nach Einsetzen von (6.23) und (6.24) in (6.22): a

c

b

Z2 Z2 Z2 IP D

.x 2 C z 2 / dx dy dz

 a2  b  c2 2 c

a

Z2 Z2 .x 2 C z 2 / dx dz

D b  a2  c2 a

Z2  D b

z3 x zC 3 2

 a2

c2 dx  c2

a

 Z2  c3 2 D b dx x cC 12  a2

a x3 c2 2 C D bc 3 12x  a 2  2  a c2 D abc : C 12 12 

(6.25)

Einsetzen von m D abc

(6.26)

1 m.a2 C c 2 / : 12

(6.27)

in (6.25) ergibt IP D

Einsetzen der gegebenen Werte in (6.27) ergibt das Trägheitsmoment IP D 0;0144 kgm2 . b) Bestimmung der Geschwindigkeit v des Knetklumpens Aufgrund des inelastischen Stoßes des Knetklumpens mit der Platte kann nicht der Energieerhaltungssatz, aber der Drehimpulserhaltungssatz verwendet werden. Der Drehimpuls

130

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

Abb. 6.9 Größen zur Berechnung der Drehimpulse L1 und L2 , der Winkelgeschwindigkeit ! der Platte und der Geschwindigkeit v des Knetklumpens

Δϕ

P Knetklumpen

r

Δs

α

v

des Systems Knetklumpen-Platte ist in Richtung und Betrag vor und nach dem Stoß gleich: (6.28) L1 D L2 : Da die Platte vor dem Stoß ruht, hat nur der unter dem Winkel ˛ auftreffende Knetklumpen einen Drehimpuls L1 bezüglich des Punkts P (Abb. 6.9): L1 D jm.Er vE/j D mrv sin.90ı C ˛/ D mrv cos ˛ :

(6.29)

Nach dem inelastischen Stoß rotieren Platte (Trägheitsmoment IP ), Drehlager (Trägheitsmoment ID ) und Knetklumpen (Trägheitsmoment IK ) gemeinsam als starrer Körper mit der Winkelgeschwindigkeit ! um die Drehachse durch den Punkt P. Der Drehimpuls ist L2 D I! D .IP C ID C IK /! :

(6.30)

Der Knetklumpen kann als Punktmasse mit dem Trägheitsmoment IK D mr 2

(6.31)

beschrieben werden. Einsetzen von (6.29), (6.30) und (6.31) in (6.28) und Auflösen nach v ergibt .IP C ID C mr 2 /! : (6.32) vD mr cos ˛ Im Videoexperiment können der Auftreffwinkel ˛ D 8ı , der Abstand r D 0;123 m des an der Platte klebenden Knetklumpens von der Drehachse und die Winkelgeschwindigkeit ! D '=t D 2;79 s1 der Platte unmittelbar nach dem Auftreffen des Knetklumpens gemessen werden. Einsetzen aller Werte in (6.32) ergibt die Geschwindigkeit v D 7;78 m=s. Experimentelle Prüfung der Geschwindigkeit v durch Geschwindigkeitsmessung Durch Strecken- und Zeitmessung des Knetklumpens vor dem Stoß erhält man in Übereinstimmung mit dem zuvor bestimmten Wert die Geschwindigkeit v D s=t D 7;8 m=s.

6.5 Lösungen

131

Lösung zu Aufgabe 45: Stoß von Puck mit Hantel a) Formel für die Geschwindigkeit vS;H des Hantelschwerpunkts nach dem Stoß Allgemein ist der Schwerpunktgeschwindigkeitsvektor für drei Massen vES D

m1 vE1 C m2 vE2 C m3 vE3 : m1 C m2 C m3

(6.33)

Anwendung von (6.33) auf das gegebene System vor dem Stoß ergibt vES;vorher

m0E C m0E C mE v 1 1 D D vE D mCmCm 3 3

! v 0

:

(6.34)

Hierbei wurde verwendet, dass sich der Puck in x-Richtung bewegt. Nach dem Impulserhaltungs- bzw. Schwerpunktsatz ist der Schwerpunktgeschwindigkeitsvektor eines abgeschlossenen Systems konstant, d. h. vES;vorher D vES;nachher :

(6.35)

Der Schwerpunktgeschwindigkeitsvektor nach dem Stoß ist vES;nachher

v0 2mE vS;H C mE 1 2 2 D D vES;H C vE 0 D 2m C m 3 3 3

vS,H;x vS,H;y

!

v0 0

1 C 3

! :

(6.36)

Hierbei wurde verwendet, dass der Puck die Hantelmasse zentral stößt und daher die Geschwindigkeit nur eine x-Komponente hat. Einsetzen von (6.34) und (6.36) in (6.35) ergibt 1 3

v 0

!

2 1 2 D vES;H C vE 0 D 3 3 3

vS,H;x vS,H;y

!

1 C 3

v0 0

! :

(6.37)

Die Komponentengleichungen nach (6.37) ergeben vS,H;x D vS;H D vS,H;y D 0

 1 v  v0 ; 2

(6.38) (6.39)

Der Hantelschwerpunkt bewegt sich also nach (6.38) und (6.39) mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung. b) Formel für die Geschwindigkeit v0 des Pucks nach dem Stoß Im Folgenden wird die Geschwindigkeit v 0 des Pucks nach dem Stoß mithilfe der Drehimpulserhaltung sowie der Energieerhaltung berechnet.

132

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

Anwendung der Drehimpulserhaltung Da der Puck als nicht punktförmige Masse sich geradlinig bewegt, kann zur Berechnung des Bahndrehimpulses des Pucks die Definition des Drehimpulses eines Massepunkts verwendet werden: E D m.Er vE/ : L (6.40) Anwendung von (6.40) auf das System kurz vor dem Stoß mit noch ruhender Hantel und Bezugspunkt SH ergibt 13 0 1 0 v 0 C7 B C B 6B D m.Er vE/ D m 4@  d2 A @ 0 A5 D @ 0 0 20

E vorher L

0 0

1 C A:

(6.41)

mvd 2

Der Drehimpulsvektor nach (6.41) zeigt also aus der Blattebene heraus in z-Richtung. Nach dem Stoß hat der Puck analog zu (6.41) einen Bahndrehimpuls bezüglich SH . Die Hantel hat keinen Bahndrehimpuls bezüglich SH , da die Bewegungsrichtung des Hantelschwerpunkts durch SH geht. Die Hantel hat einen Eigendrehimpuls bezüglich des Hantelschwerpunkts SH : 0 E nachher D B L @

0 0 mv 0 d 2

1 0 C C B A C JS;H @ 0 A : ! 1

0

(6.42)

Nach dem Drehimpulserhaltungssatz ist E vorher D L E nachher : L

(6.43)

Einsetzen von (6.41) und (6.42) in (6.43) und Vereinfachen ergibt d d D mv 0 C JS;H ! 2 2  d , JS;H ! D m v  v 0 : 2 mv

(6.44)

Anwendung der Energieerhaltung Vor dem Stoß hat das System nur Translationsenergie, nach dem Stoß Translationsenergie des Pucks, Translationsenergie des Hantelschwerpunkts und Rotationsenergie der Hantel. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt 1 2 mv D 2 , mv 2

1 02 1 1 2 C JS;H ! 2 mv C 2mvS;H 2 2 2 2 2 D mv 0 C 2mvS;H C JS;H ! 2 :

(6.45)

6.5 Lösungen

133

Die drei Gleichungen (6.38), (6.44) und (6.45) bilden ein Gleichungssystem mit drei gesuchten unbekannten Größen. Einsetzen von (6.38) und (6.44) in (6.45) und Vereinfachen ergibt  2 m2 d2 .v  v 0 /2 .v  v 0 /2 2 02 C mv D mv C 2m 4 JS;H (6.46) 0 2 / .v  v 0 /2 .v  v md 2 02 ,v Dv C : C 2 4S;H Weitere Vereinfachung von (6.46) ergibt 

  2 2 md 2 1  v Dv C C v  v0 D v0 2 C a v  v0 4JS;H 2  2 2 2 , v  v0 D a v  v0     2 $ v  v0 v C v0 D a v  v0     , v  v0 v C v0  a v  v0 D 0 : 2

02

(6.47)

(6.47) hat die erste triviale Lösung v D v 0 , wenn Puck und Hantel nicht stoßen. Die zweite und relevante Lösung von (6.47) ist   v C v0  a v  v0 D 0

v0 D v

,

a1 : aC1

(6.48)

Formel für die Geschwindigkeit vS;H des Hantelschwerpunkts und die Winkelgeschwindigkeit ! der Hantel nach dem Stoß Einsetzen von (6.48) in (6.38) und Vereinfachen ergibt vS;H D

v : aC1

(6.49)

Auflösen von (6.44) nach der Winkelgeschwindigkeit !, Einsetzen von (6.48) und Verwendung der Konstanten a ergibt 2 m d .v  v 0 / D !D JS;H 2 d



1 a 2



2v v 4a  2 D : aC1 d aC1

(6.50)

c) Massenverteilung der Hantel für die Geschwindigkeit v0 D 0 Nach (6.48) gilt 0

v D0

)

d 2m 1 aD C D1 4JS;H 2

,

JS;H

 2 d 1 2 D md D 2m : 2 2

Dies ist das Trägheitsmoment einer Hantel mit punktförmigen Hantelmassen.

(6.51)

134

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

Verhältnis von Translationsenergie Etrans und Rotationsenergie Erot der Hantel nach dem Stoß Es ist 1 2 2mvS;H Etrans D 21 : (6.52) Erot J !2 2 S;H Einsetzen von (6.49) und (6.50) für Konstante a D 1 und von JS;H aus (6.51) in (6.52) ergibt  1 2 1 Etrans 2 2m 2 v D (6.53)  2 D 1 : 11 Erot md 2 dv 22

Lösung zu Aufgabe 46: Rollende Getränkedosen Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Zur Versuchsdurchführung bieten sich handelsübliche Getränkedosen und ein schief gestellter Tisch an. Der Neigungswinkel sollte so gewählt und die Tischoberfläche so beschaffen sein, dass ein Rollen der Dosen ohne zeitweises Rutschen gewährleistet ist. a) Hypothese zum Wettrennen zwischen Dose 2 und 3 Die flüssigkeitsgefüllte Dose wird schneller am Streckenende ankommen als die gefrorene Dose. Begründung: Der gefrorene Doseninhalt rotiert zusammen mit dem Dosenmantel beim Hinunterrollen mit, wohingegen der flüssige Inhalt nicht bzw. nur teilweise in Rotation versetzt wird. Während des Hinunterrollens gilt Energieerhaltung, Epot D Erot C Etrans ;

(6.54)

d. h., die zur Verfügung stehende potenzielle Energie wird in kinetische Energie der Rotation und der Translation umgewandelt. Bei der gefrorenen Dose wird nach obiger Argumentation ein größerer Teil der potenziellen Energie in Rotationsenergie umgewandelt als bei der ungefrorenen Dose, sodass die kinetische Energie der Translation kleiner ist. Da beide Dosen identische Massen haben, bewegt sich der Schwerpunkt der ungefrorenen Dose schneller. b) Bestimmung der Schwerpunktbeschleunigung a der Dosen Die Gesamtenergie Eges der Dose zu einem Zeitpunkt t beträgt 1 2 1 mv .t/ C IS ! 2 .t/  mgx.t/ sin ˛ 2 2

(6.55)

vP dE D 0 D mv.t/vP C IS v.t/ 2  mgv.t/ sin ˛; dt R

(6.56)

Eges .t/ D und ist zeitlich konstant, d. h.

6.5 Lösungen

135

wobei die Abrollbedingung ! D v=R ausgenutzt wurde. Daraus folgt für die Schwerpunktbeschleunigung (v.t/ ¤ 0)   IS 1 : a D vP D g sin ˛ 1 C mR2

(6.57)

Die Getränkedosen (Volumen V D 0;33 l) im Experiment haben folgende Abmessungen: R D 2;75 cm; mDose D 26;5 g; mDoseCInhalt D 370;5 g;

(6.58)

d < 0;2 cm: Da d  R, kann die Wanddicke vernachlässigt werden. Der Neigungswinkel des Tischs beträgt ˛ D 13ı . Trägheitsmoment Dose 1 (leer; nur Dosenmantel rotiert) IS D IHZ D mDose .R2  Rd C 0; 5d 2 /  mDose R2 .D 200;4 gcm2 / 1 m ) atheo D g sin ˛ D 1;10 2 2 s

(6.59)

Trägheitsmoment Dose 2 (flüssigkeitsgefüllt; Annahme, dass nur Dosenmantel rotiert) IS D IHZ  mDose R2  1 (6.60) mDose R2 m ) atheo D g sin ˛ 1 C D 2;21 mDoseCInhalt R2 s2 Trägheitsmoment Dose 3 (flüssigkeitsgefüllt und gefroren; Annahme, dass gefrorene Flüssigkeit mit Dosenmantel mitrotiert) 1 IS D IHZ.Dose/ C IVZ.Inhalt/  mDose R2 C mInhalt .R  d /2 D .200;4 C 1300/ gcm2 2  1 IS m ) atheo D g sin ˛ 1 C D 1;44 2 2 mDoseCInhalt R s (6.61) c) Experimentelle Prüfung der Schwerpunktbeschleunigung a Die Messdaten der drei Versuche sind in Abb. 6.10 aufgeführt. Ein Vergleich der experimentellen Schwerpunktbeschleunigungen mit den theoretischen Werten aus Teilaufgabe b ergibt eine Abweichung von 8 % (leere Dose), 7 % (volle gefrorene Dose) und 11;3 % (volle Dose). Die gemessenen Beschleunigungen sind wegen Reibung etwas geringer als die berechneten Beschleunigungswerte.

136

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

x/ m

1 ,60 1 ,40

x(t) =

1 ,20

x (t) = x(t) =

Ortskoordinate

1 ,00

1 2 1 2 1 2

· 1 ,96 · 1 ,54 · 1 ,01

m s2 m s2 m s2

Volle Dose

· t2 · t2 ·t

Volle gefrorene Dose

2

0 ,80

Leere Dose

0 ,60 0 ,40 0 ,20 0 ,00 0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1

Zeit t/ s

Abb. 6.10 x.t /-Diagramm der leeren, der vollen gefrorenen sowie der vollen Dose

Lösung zu Aufgabe 47: Newtons Grundgesetz der Rotation a) Bestimmung des Trägheitsmoments I der Drehscheibe Das Trägheitsmoment I der Drehscheibe ist Z I D

Z r?2 dm

D

ZR r?2 dV

D

V

0

ZR r 3 dr D 2 h

D 2 h

r 2 2 rh dr (6.62)

4

R 1 D MR2 : 4 2

0

Einsetzen der Werte in (6.62) liefert das Trägheitsmoment I D 0;025 kg m2. b) Bestimmung der Winkelbeschleunigung ˛ der Drehscheibe Nach dem Newton’schen Grundgesetz der Rotation ist M D I˛ ) ˛ D

FR M D : I I

(6.63)

Einsetzen der Werte in (6.63) ergibt die Winkelbeschleunigung ˛ D 80 s2 . c) Bestimmung von Drehimpuls L, Rotationsenergie Erot und Winkelgeschwindigkeit ! zum Zeitpunkt t D 5 s Nach (6.63) ist die Winkelbeschleunigung ˛ konstant. Damit ist !.t/ D ˛t C !0 :

(6.64)

6.5 Lösungen

137

Abb. 6.11 Berechnung des E auf das LiDrehmoments M neal

z y

 x

b

ϕ rS mg

Einsetzen der Werte in (6.64) ergibt mit !.0/ D !0 D 0 den Wert !.5 s/ D 400 s1 . Der Drehimpuls ist L D I! : (6.65) Einsetzen der Werte in (6.65) ergibt den Drehimpuls L D 10 kg m2 =s. Die Rotationsenergie ist 1 (6.66) Erot D I! 2 : 2 Einsetzen der Werte in (6.66) ergibt die Rotationsenergie Erot D 2000 J.

Lösung zu Aufgabe 48: Falltür Versuchsmaterial und Durchführung des Experiments Zur Versuchsdurchführung wird ein dünnes Holzbrett oder ein langes Lineal mit Klebestreifen an der Kante eines Tischs derart befestigt, dass es um die Tischkante als raumfeste Achse rotieren kann. Das freie Ende des Lineals wird in horizontaler Position gehalten und anschließend losgelassen. Dadurch entsteht eine beschleunigte Rotationsbewegung. Um den schnellen Bewegungsvorgang zur Analyse auf Video aufnehmen zu können, muss auf eine ausreichende Beleuchtung der Versuchsanordnung geachtet werden (am besten Tageslicht). Optional bietet sich die Verwendung von Slow-Motion-Aufnahmen an (hohe Bildrate der Kamera). a) Herleitung der Differenzialgleichung der Rotationsbewegung Auf das Lineal wirkt das Drehmoment E D rES FE D rES .mg/ E ; M

(6.67)

welches eine Rotation um die (raumfeste) y-Achse mit Winkelgeschwindigkeit !.t/ bewirkt (Abb. 6.11). Der Schwerpunkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius `=2, weshalb sich für dessen Koordinaten ergibt: 1 0 cos ' `B C (6.68) rES D @ 0 A: 2  sin '

138

6

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

In vektorieller Schreibweise lautet das zweite Newton’sche Grundgesetz für Rotationsbewegungen demnach 0

rES FE D I

d!.t/ E dt

,

1 0 1 0 1 cos ' 0 0 `B C B C B C : (6.69) 0 @ A @ 0 A D I @ d! dt A 2  sin ' mg 0

Die x- und z-Komponenten dieses Gleichungssystems verschwinden; für die y-Komponente ergibt sich eine nichtlineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung für ': ` mg cos ' D I 'R : 2

(6.70)

Das Trägheitsmoment einer dünnen Platte (Länge `, Breite b), die um ein Ende rotiert, ist b

Z Iy D

Z 2 Z` r?2 dV D

V

x 2 dx dz D

1 2 m` : 3

(6.71)

 b2 0

Einsetzen von (6.71) in (6.70) ergibt die in der Aufgabenstellung angegebene Differenzialgleichung 3g cos ' : (6.72) 'R D `` b) Bestimmung der Bahnbeschleunigung az Durch Verwenden der Kleinwinkelnäherung cos '  1 

'2 2

(6.73)

lässt sich (6.72) nähern zu 3g : (6.74) 2` Die Bahnbeschleunigung eines äußeren Punkts der Platte erfolgt für kleine Winkel fast ausschließlich in negative z-Richtung und kann durch die Tangentialkomponente der beschleunigten Kreisbewegung mit (6.74) ausgedrückt werden: 'R 

3 R   g: az D '` 2

(6.75)

Eine lineare Anpassung der vz .t/-Messreihe über die erste Bewegungsphase (0 t 0;06 s) ergibt eine Beschleunigung von jaz j D 15;6 m=s2 (Abb. 6.12), die mit der nach (6.75) berechneten Beschleunigung jaz j D 14;7 m=s2 gut übereinstimmt.

6.5 Lösungen

139

Abb. 6.12 jvz j-Diagramm des Linealendpunkts Geschwindigkeitsbetrag |vz|/ m s

|vz(t)|-Messdaten im Fitbereich |vz(t)|-Messdaten m · t + 0,1 m vz(t) = 15 ,6 s 2 s 1,50 1,20 0,90 0,60 0,30 0,00 0

0,1

0,2 Zeit t/s

Lösung zu Aufgabe 49: Maxwell’sches Rad a) Bestimmung der Schwerpunktbeschleunigung a Die Rotation des Maxwell’schen Rads erfolgt um die Drehachse D im Abstand r von der Schwerpunktachse S (Abb. 6.13). Nach der Newton’schen Bewegungsgleichung für Rotationsbewegungen gilt für das Drehmoment MD und das Trägheitsmoment ID bezüglich der Drehachse D sowie für die Winkelbeschleunigung ˛, dass MD D ID  ˛ :

(6.76)

Das Drehmoment MD wird durch die im Schwerpunkt S angreifende Gewichtskraft des Maxwell’schen Rads erzeugt: (6.77) MD D mgr : Schnur

Abb. 6.13 Vorderansicht (links) und Seitenansicht (rechts) des Maxwell’schen Rads

FS D

FS

FS

r

S

FG

FG

140

6

Für die Winkelbeschleunigung gilt ˛D

Dynamik starrer ausgedehnter Körper

a ; r

(6.78)

und nach dem Satz von Steiner ist ID D IS C mr 2 :

(6.79)

Einsetzen von (6.77), (6.78) und (6.79) in (6.76) und Auflösen nach der Beschleunigung a ergibt 1 mr 2 Dg : (6.80) aDg 2 IS C mr 1 C IS 2 mr

Einsetzen der Werte in (6.80) ergibt für r D 3 mm die Beschleunigung a D 0;031 m=s2 . b) Experimentelle Bestimmung der Schwerpunktbeschleunigung a Lineare Regression der v.t/-Messwerte (Abb. 6.14) ergibt die konstante Schwerpunktbeschleunigung a D 0; 038 m=s2 . Erklärung der Abweichung zwischen berechneter und gemessener Schwerpunktbeschleunigung a Der Radius r in (6.80) ist wegen der Dicke der Schnur größer als der Drehachsenradius. Bezeichnet s die Fallstrecke des Maxwell’schen Rads für n Umdrehungen, dann kann r mit s (6.81) s D 2 rn ) rD 2 n bestimmt werden. Für die Strecke s D 35;34 cm und n D 17 Umdrehungen ist nach (6.81) der Drehachsenradius r D 3;31 mm. Einsetzen dieses Werts in (6.80) ergibt a D 0;038 m=s2 in besserer Übereinstimmung mit dem experimentellen Wert.

0,2 Geschwindigkeit v/ m s

Abb. 6.14 v.t /-Diagramm des Schwerpunkts des Maxwell’schen Rads

v(t)-Messreihe v(t) = 0,038 sm2 · t + 0,005 m s

0,15 0,1 0,05

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Zeit t/s

3

3,5

4

6.5 Lösungen

141

c) Bestimmung der Winkelbeschleunigung ˛ und der Schwerpunktbeschleunigung a Eine Messung der mittleren Winkelgeschwindigkeit ! D '=t für fünf Zeitpunkte t ergibt: t /s '=ı '=rad t =s !D

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 0 38,5 71,4 105,4 135,3 0 0,67 1,25 1,84 2,36 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

' =s1 t

0

13,4

25,0

36,8

47,2

Lineare Regression der !.t/-Messreihe (Abb. 6.15) ergibt die Winkelbeschleunigung ˛ D 11;78 s2 . Einsetzen der Winkelbeschleunigung ˛ D 11; 78 s2 und des Abrollradius r D 3; 31 mm in (6.78) ergibt in Übereinstimmung mit den bisherigen Ergebnissen die Schwerpunktbeschleunigung a D 0; 039 m=s2 . d) Bestimmung der Haltekraft FS Die Haltekraft ist wegen der Trägheit des Maxwell’schen Rads kleiner als dessen Gewichtskraft. Nach Abb. 6.13 (rechts) und dem Newton’schen Grundgesetz gilt ma D FG  2FS , FS D

1 m.g  a/ : 2

(6.82)

Einsetzen von (6.80) in (6.82) ergibt 1 1 FS D mg 1  lS 2 1 C mr 2

! :

(6.83)

Abb. 6.15 !.t /-Diagramm des rotierenden Maxwell’schen Rads

Winkelgeschwindigkeit ω/ 1 s

Einsetzen der Werte in (6.83) ergibt die Haltekraft FS D 2;16 N, die wegen der kleinen Beschleunigung a nur geringfügig kleiner als die halbe Gewichtskraft FG =2 D 2;17 N ist.

ω(t)-Messreihe −2 −1 ω(t) = 11,78 s · t + 1,5 s 40

20

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Zeit t/s

3

3,5

4

7

Reale feste und flüssige Körper

7.1

Deformierbare feste Körper

Aufgabe 50: Torsionspendel Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 7.1 an.

(VA)

a. Der Torsionsmodul G von Stahl soll aus der Verdrillung des Stahldrahts bestimmt werden. Leiten Sie dazu eine Formel für den Torsionsmodul G her und bestimmen Sie experimentell das Direktionsmoment D des Drahts. Bestimmen Sie den Elastizitätsmodul E von Stahl. b. Leiten Sie eine Formel für die Arbeit W zum Verdrillen des Torsionspendels her und berechnen Sie diese. c. Das Trägheitsmoment I des Pendels soll aus der Torsionsschwingung bestimmt werden. Leiten Sie dazu eine Formel her und berechnen Sie I . Abb. 7.1 Ein Stahldraht wird durch Drehen eines Stabes verdrillt. Ein Kraftsensor misst die Kraft, die senkrecht zum Stab und parallel zur Winkelscheibe auf das Stabende wirkt

Stahldraht (La¨nge L = 28 cm, Radius R = 0,3 mm, Poissonzahl μ = 0,5) Kraftanzeige (Kraft F )

Winkelscheibe Stab (La¨nge s = 25 cm)

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_7

Kraftsensor

143

144

7

Reale feste und flüssige Körper

http://tiny.cc/zjfzly

Aufgabe 51: Belastung der Tragseile einer Hängebrücke Die Fahrbahn einer Hängebrücke (z. B. Akashi-Kaikyo-Brücke) wird von vertikalen, an den Haupttragseilen befestigten Stahlseilen (Elastizitätsmodul ES D 200  109 N=m2 , Dichte S D 7;85 g=cm3 , Länge L D 200 m, Durchmesser d D 8 cm, Poissonzahl D 2;28) getragen. a. Berechnen Sie die Verlängerung ` und die Durchmesserabnahme d des Stahlseils aufgrund des Eigengewichts. b. Die Elastizitätsgrenze von Stahl liegt bei ca. 300 N=mm2 . Welche maximale Last kann ein Stahlseil tragen? Aufgabe 52: Balkenbiegung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 7.2 an.

(VA)

a. Nehmen Sie eine F .s/-Messreihe des quadratischen Aluminiumbalkens auf. Bestimmen Sie den Elastizitätsmodul E von Aluminium. b. Nehmen Sie die Biegelinie y.x/ für F D 20;67 N im Bild mit dem quadratischen Aluminiumbalken auf. Vergleichen Sie theoretische und gemessene Biegelinie in einem y.x/-Diagramm. c. Leiten Sie eine Formel für das Flächenträgheitsmomente IF des quadratischen und des Doppel-T-Aluminiumbalkens her und berechnen Sie dieses. Weshalb werden in

Abb. 7.2 Ein einseitig gespannter Balken wird durch Belastung mit einem Gewicht gebogen

x y

La¨nge  = 51,8 cm

Aluminiumbalken mit quadratischer Querschnittsfla¨che (Seitenla¨nge b = 8 mm)

Kraftsensor

Durchbiegung s

7.2 Ruhende Flüssigkeiten, Hydrostatik

145

der Bautechnik bei gleicher Länge und Querschnittsfläche Doppel-T-Träger und keine quadratischen Träger eingesetzt? d. Im Bild mit zwei gleichen Doppel-T-Aluminiumbalken ist die Durchbiegung s eines Balkens bei gleicher Kraft F größer. Erklären Sie diese Beobachtung qualitativ. http://tiny.cc/tjfzly

7.2 Ruhende Flüssigkeiten, Hydrostatik Aufgabe 53: Rotierende Flüssigkeit Eine Küvette (Höhe hK D 32 cm, Breite b D 32 cm) ist bis zu einer Höhe h D 14;2 cm mit Wasser gefüllt. Bei Rotation der Küvette mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! entsteht eine paraboloidförmige Wasseroberfläche (Abb. 7.3). a. Welche Kräfte wirken im ruhenden Koordinatensystem K und im mitrotierenden Koordinatensystem K0 auf ein Wasserteilchen der Masse m? Machen Sie jeweils Aussagen zur resultierenden Kraft. b. Leiten Sie die Querschnittsfunktion y.x/ des Paraboloids her. c. Bis zu welcher maximalen Drehzahl !max in Umdrehungen pro Minute tritt kein Wasser aus der Küvette? Aufgabe 54: Heißluftballon in Atmosphäre konstanter Dichte Ein Heißluftballon (kugelförmige Ballonhülle mit Radius r, Masse mB und Massenbelegung D 60 g=m2 , konstante Luftdichte L;B D 0;88 kg=m3 in Ballonhülle bei Temperatur 125 ı C, Masse M D 250 kg von Korb und Brenner, Masse mF D 80 kg pro Fahrgast) steigt in der Atmosphäre (konstante Luftdichte L D 1;29 kg=m3 ) auf. y

Abb. 7.3 In einer mit Wasser gefüllten rotierenden Küvette bildet sich eine paraboloidförmige Wasseroberfläche aus

ω  hK y0 x b

146

7

Reale feste und flüssige Körper

a. Ist bei Heißluftballonfahrten die Annahme einer konstanten Luftdichte der Erdatmosphäre sinnvoll? b. Leiten Sie eine Formel für die maximale Anzahl n an Fahrgästen in Abhängigkeit vom Radius r her. Stellen Sie die nmax .r/-Funktion für r 2 Œ0 m; 15 m als Diagramm dar. Stellen Sie Bezüge zu Angaben über Heißluftballonfahrten her. c. Es ist n D 3. Leiten Sie eine Formel für die Beschleunigung a0 beim Abheben des Heißluftballons vom Boden in Abhängigkeit vom Radius r her. d. Es ist n D 3. Leiten Sie eine Formel für die Endgeschwindigkeit v1 des Heißluftballons in Abhängigkeit vom Radius r her. Aufgabe 55: Wasserdruck am Meeresboden Der Wasserdruck in der Meerestiefe z > 0 ist unter Vernachlässigung der Kompressibilität  D 5  1010 m2 =N von Meerwasser gegeben durch p.z/ D p0 C 0 gz (Luftdruck p0 D 1;01  105 N=m2 , Wasserdichte 0 D 1025 kg=m3 an der Meeresoberfläche bei z D 0). a. Geben Sie begründet an, ob der Wasserdruck für  D 0 zu groß oder zu klein berechnet wird. b. Leiten Sie p.z/ für  > 0 her. Zeigen Sie dazu zunächst, dass dV =V D d = und d = 2 D g dz ist. c. Leiten Sie eine Formel für den relativen Fehler f .z/ der Druckberechnung mit p.z/ D p0 C 0 gz her. Wie groß ist der maximale relative Fehler für unsere Weltmeere? Aufgabe 56: Stabangeln Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 7.4 an.

(VA)

a. Nehmen Sie d  ` an. Leiten Sie für ˛ 2 0ı ; 90ı Œ eine Formel für die Eintauchstrecke x des Stabs im Wasser her und berechnen Sie diese. Abb. 7.4 Ein Kraftsensor misst die statische Haltekraft beim einseitigen Herausziehen eines Stabes aus dem Wasser Kraftsensor Ho¨henverstellung

Kraftanzeige FH

Holzstab (Durchmesser d = 1 cm, Dichte ρS = 0,68 g/cm3 )

=

25

cm

α

x Wasser (Dichte ρW = 1 g/cm3 )

7.3 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen

147

b. Leiten Sie unter der Annahme d  ` eine Formel für die Haltekraft FH her und berechnen Sie diese. c. Der Stab werde vollständig aus dem Wasser gezogen. Zeichnen Sie für Winkel ˛ 2 Œ0ı ; 90ı  ein FH .˛/-Diagramm mit angegebenen Kraftwerten. d. Vergleichen Sie Messungen von x und FH für kleine Winkel ˛ mit den Ergebnissen in Teilaufgabe a und b. Erklären Sie die systematische Abweichung durch Überlegungen zu Kräften, Angriffspunkten und Drehmomenten. http://tiny.cc/ojfzly

7.3

Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen

Aufgabe 57: Bestimmung der Oberflächenspannung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 7.5 an.

(VA)

a. Nehmen Sie eine F .t/-Messreihe der Haltekraft auf. Nummerieren Sie in einem F .t/Diagramm fortlaufend Zeitintervalle konstanter Kraft sowie Maxima und Minima. Erklären Sie diese anhand eingeführter und bezeichneter Kräfte. b. Leiten Sie eine Formel zur Bestimmung der Oberflächenspannung W her. Bestimmen Sie die Oberflächenspannung des verwendeten Leitungswassers.

Abb. 7.5 Ein Aluminiumring wird langsam in Wasser eingetaucht und dann wieder langsam aus dem Wasser gezogen. Hierbei wird die Kraft F zum Halten des Aluminiumrings gemessen

Kraftsensor

Gefa¨ß mit Leitungswasser

Aluminiumring Interface

Kraftanzeige (Haltekraft F )

148

7

Reale feste und flüssige Körper

http://tiny.cc/9jfzly

Aufgabe 58: Steighöhe von Flüssigkeiten in Kapillaren In einem Kapillarröhrchen (Radius r D 0;4 mm) aus Glas steigen Wasser (Dichte W D 1;0 g=cm3 , Oberflächenspannung W D 0;072 N=m, Randwinkel 'W D 0ı ) und Quecksilber (Dichte Hg D 13;5 g=cm3 , Oberflächenspannung Hg D 0;475 N=m, Randwinkel 'Hg D 138ı ) bis zur Steighöhe h. a. Leiten Sie eine Formel für die Steighöhe h her. Berechnen Sie die Steighöhen von Wasser und Quecksilber. b. Skizzieren und erklären Sie das Verhalten von Flüssigkeiten in Kapillarröhrchen für eine vollständig, teilweise und nicht benetzende Flüssigkeit.

7.4 Reibung zwischen festen Körpern Aufgabe 59: Haften und Gleiten am Hang Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 7.6 an.

(VA)

a. Begründen Sie, warum sich die Massen erst ab einem Grenzwinkel ˛G > 0 in Bewegung setzen. Leiten Sie eine Formel für den Haftreibungskoeffizienten H her und bestimmen Sie diesen. b. Erklären Sie, warum für Hangwinkel ˛  ˛G eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt. Bestimmen Sie experimentell die Beschleunigung a für ˛ D ˛G . Abb. 7.6 Eine schiefe Ebene wird zunehmend geneigt, bis sich der Holzblock in Bewegung setzt

Holzblock (Masse m1 = 345 g)

Umlenkrolle (masselos)

α

Gewicht (Masse m2 = 110 g)

7.4 Reibung zwischen festen Körpern

149

c. Leiten Sie eine Formel für den Gleitreibungskoeffizienten G her und überprüfen Sie diese an einem Spezialfall. Berechnen Sie G . http://tiny.cc/5jfzly

Aufgabe 60: Beschleunigen durch Reibung Ein Gewicht (Masse mG D 50 g) und ein Klotz (Masse mK D 152 g) auf einem Experimentierwagen (Masse mW D 405 g) sind über ein masseloses Seil und eine masselose, reibungsfreie Umlenkrolle miteinander verbunden (Abb. 7.7). Zwischen Klotz und Experimentierwagen tritt Reibung auf (Haftreibungskoeffizient H D 0;3, Gleitreibungskoeffizient G ). Der Experimentierwagen ist entweder blockiert (Versuchsvariante A) oder reibungsfrei beweglich (Versuchsvariante B). a. Geben Sie ohne Formeln herzuleiten und begründet die Bewegungsform von Klotz und Experimentierwagen für beide Versuchsvarianten an. Vergleichen Sie für Versuchsvariante B qualitativ und begründet die Beschleunigung von Klotz und Experimentierwagen. b. Die Beschleunigung des Klotzes in Versuchsvariante A ist aK D 1;0 m=s2 . Leiten Sie eine Formel für den Gleitreibungskoeffizienten G her und berechnen Sie diesen. c. Leiten Sie Formeln für die Beschleunigung von Klotz und Experimentierwagen in Versuchsvariante B her und berechnen Sie diese. Aufgabe 61: Münzen schnippen Videografieren Sie das Rutschen einer Geldmünze auf einem Holztisch.

(mVA)

a. Erstellen Sie ein v.t/-Diagramm der Bewegung. Welche Bewegungsform liegt vor? b. Bestimmen Sie aus den Messdaten den Gleitreibungskoeffizienten zwischen Geldmünze und Holz.

Klotz Experimentierwagen

mK mE

mG

Gewicht

Abb. 7.7 Beschleunigung eines Experimentierwagens durch Reibung mit einem Klotz

150

7.5

7

Reale feste und flüssige Körper

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 50: Torsionspendel a) Bestimmung des Torsionsmoduls G Im Folgenden wird gezeigt, dass das auf einen zylindrischen elastischen Körper (Länge `, Radius r) ausgeübte Drehmoment M bzw. die tangential angreifende Kraft F proportional zum Verdrillungswinkel ' ist (Abb. 7.8). Dazu wird der Körper in konzentrische Hohlzylinder mit Radien zwischen r und r C dr zerlegt, in denen jeweils prismatische Säulen bei Verdrillung des Drahts um den gleichen Scherwinkel ˛ geschert werden (Abb. 7.8). Für kleine Verdrillungen bzw. r'  ` ist der Scherwinkel ˛Dr

' `

(7.1)

proportional zum Verdrillungswinkel '. Die notwendige Scherspannung  ist mit (7.1)  D G˛ D Gr

' : `

(7.2)

Da alle prismatischen Säulen in den infinitesimal dünnen Hohlzylindern um den gleichen Scherwinkel ˛ geschert werden (Abb. 7.8), ist mit D

dF dF D dA 2 r dr

(7.3)

und (7.2) die Kraft dF zum Scheren eines Hohlzylinders ' ' dF D 2 r dr D Gr 2 r dr D Gr 2 2 r dr ` ` und das Drehmoment

Abb. 7.8 Betrachtung der Verdrillung eines infinitesimal dünnen Hohlzylinders zur Herleitung des Direktionsmoments D eines Zylinders

(7.4)

' dM D r dF D Gr 3 2 dr : `

(7.5)

dr F

r ϕ

L

dϕ

α

7.5 Lösungen

151 ·10−3 Drehmoment M/Nm

Abb. 7.9 M.'/-Diagramm der Verdrillung des Stahldrahts

M (ϕ)-Messreihe M (ϕ) = 0,0028 Nm · ϕ

6

4

2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

Torsionswinkel ϕ/rad

Integration aller Teildrehmomente dM ergibt mit D als Direktionsmoment das gesamte Drehmoment M : ZR ' GR4 M D Gr 3 2 dr D ' D D' : (7.6) ` 2` 0

Auflösen von (7.6) nach dem Schermodul G ergibt GD

2`D R4 :

(7.7)

Das Direktionsmoment D in (7.7) wird nach M.'/ D D' D

s  F .'/ 2

(7.8)

aus einer F .'/- bzw. M.'/-Messreihe für die Stablänge s D 25 cm bestimmt. Lineare Regression der M.'/-Messreihe ergibt als Steigung das Direktionsmoment D D 0;0028 Nm (Abb. 7.9). Einsetzen der Werte in (7.7) ergibt das Schermodul G D 64 GN=m2 . Bestimmung des Elastizitätsmoduls E Für den Zusammenhang zwischen Torsionsmodul G und Elastizitätsmodul E gilt E D 2G.1 C / :

(7.9)

Einsetzen von D 0;5 und G in (7.9) ergibt den Elastizitätsmodul E D 195 GN=m2 . b) Bestimmung der Verdrillungsarbeit W Bezeichnet s die Bogenlänge und F die tangentialer Kraft am Bogen, dann gilt für die zu verrichtende Verdrillungsarbeit Zs

0

0

Z'

F .s / ds D

W D 0

0

s F .' / d' 0 D 2 0

Z' 0

M.' 0 / d' 0 :

(7.10)

152

7

Reale feste und flüssige Körper

Einsetzen von (7.6) in (7.10) und Integration ergibt Z' W .'/ D

GR4 0 0 GR4 ' 2 ' d' D : 2` 4`

(7.11)

0

Einsetzen der Werte und des Winkels ' D 'max D =2 in (7.11) ergibt die Verdrillungsarbeit W D 0;011 Nm. c) Bestimmung des Trägheitsmoments I des Torsionspendels Die Differenzialgleichung der ungedämpften Torsionspendelschwingung kann aus dem Newton’schen Grundgesetz der Rotation abgeleitet werden: I 'R D D' :

(7.12)

Einsetzen des Lösungsansatzes '.t/ D 'max cos.!t/ ; '.t/ P D 'max ! sin.!t/ ;

(7.13)

'.t/ R D 'max ! cos.!t/ 2

in (7.12) ergibt  I 'max ! 2 cos.!t/ D D'max cos.!t/ : Gleichung (7.14) ist für 'max > 0 und für alle Zeiten t erfüllt, wenn r D 2 DT 2 !D : D ) I D I T 4 2

(7.14)

(7.15)

Die näherungsweise ungedämpfte Torsionsschwingung benötigt für n D 5 Schwingungen die Zeit t D 15;6 s. Die Schwingungsdauer ist T D t=n D 3;12 s. Einsetzen der Werte in (7.15) ergibt das Trägheitsmoment I D 6;9  104 kgm2 .

Lösung zu Aufgabe 51: Belastung der Tragseile einer Hängebrücke a) Bestimmung der Verlängerung ` des Stahlseils Ein Volumenelement A dx am Ort x des Stahlseils wird durch die ortsabhängige Gewichtskraft (7.16) FG .x/ D S A.`  x/g der Masse unterhalb des Volumenelements gedehnt (Abb. 7.10). Demnach nimmt im Stahlseil die Spannung nach .x/ D

FG .x/ D S .`  x/g A

(7.17)

7.5 Lösungen

153

Abb. 7.10 Das Volumenelement A dx des Stahlseils wird durch die Gewichtskraft der darunter befindlichen Masse m.x/ gedehnt

0

A dx

m(x)

 x

vom Maximalwert .0/ D S `g bis auf .`/ D 0 linear ab. Nach dem Hook’schen Gesetz liegt jetzt eine ortsabhängige Dehnung

.x/ D

S g .x/ D .`  x/ ES ES

(7.18)

vor. Integration ergibt die Längenänderung Z` ` D 0

S g

.x/ dx D ES

Z` .`  x/ dx D 0

S g 2 ` : 2ES

(7.19)

Einsetzen der Werte in (7.19) ergibt die Längenänderung ` D 7;7 mm des Stahlseils. Bestimmung der Durchmesserabnahme d des Stahlseils Für die Querkontraktion gilt die Formel d ` D  d `

)

d D  d

` : `

(7.20)

Einsetzen der Werte in (7.20) ergibt die Durchmesserabnahme d D 0;7 mm. b) Bestimmung der maximalen Masse mmax als Last Für die Elastizität muss gelten: D S Lg C Daraus folgt m

mg max : A

. max  S Lg/A D mmax : g

Einsetzen der Werte in (7.22) ergibt die maximale Masse mmax D 145;8 t.

(7.21)

(7.22)

154

7

Abb. 7.11 F .s/-Diagramm der Balkenbiegung

Reale feste und flüssige Körper

Kraft F/N

20 15 10 F (s)-Messreihe N F (s) = 481 m · s + 0,8 N

5 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

Strecke s/m

Lösung zu Aufgabe 52: Balkenbiegung a) Bestimmung des Elastizitätsmoduls E des Balkens Die grafische Darstellung der F .s/-Messreihe ergibt eine Proportionalität zwischen Kraft F und der Durchbiegung s: F D Ds : (7.23) Lineare Regression der F .s/-Messwerte ergibt nach (7.23) die Federkonstante D D 481 N=m (Abb. 7.11). Für die Durchbiegung s gilt sD

F `3 ; 3EIF

(7.24)

wobei das Flächenträgheitsmoment IF eines quadratischen Balkens mit Kantenlänge b gegeben ist durch 1 4 (7.25) b : IF D 12 Einsetzen von (7.25) und (7.23) in (7.24) und Auflösen nach dem Elastizitätsmodul E ergibt 4D`3 ED : (7.26) b4 Einsetzen der Werte in (7.26) ergibt den Elastizitätsmodul E D 65;29 kN=mm2 von Aluminium. b) Vergleich von y.x/-Funktion und y.x/-Messreihe der Biegelinie des Balkens Die Biegelinie eines quadratischen Balkens ist für das gewählte Koordinatensystem gegeben durch k` 2 F 12F k mit kD D : (7.27) x y.x/ D x 3  6 2 EIF Eb 4 Einsetzen von Elastizitätsmodul E D 65;29 kN=mm2 , Kraft F D 20;67 N und Kantenlänge b D 8 mm in (7.27) ergibt die Biegelinie y.x/ D 0;15x 3  0;24x 2 :

(7.28)

7.5 Lösungen

155 y(x)-Messreihe 1 y(x) = 0,15 m12 · x3 − 0,24 m · x2

Ortskoordinate y/m

0 −0,01 −0,02 −0,03

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Ortskoordinate x/m

Abb. 7.12 y.x/-Diagramm der Biegelinie des Balkens

Die Darstellung der y.x/-Messreihe und von (7.28) in einem y.x/-Diagramm ergibt eine gute Übereinstimmung (Abb. 7.12). c) Bestimmung des Flächenträgheitsmoments FF eines quadratischen Aluminumbalkens Das Flächenträgheitsmoment für eine Kraft in z-Richtung ist Z Z z 2 dy dz : IF D

(7.29)

Anwendung von (7.29) auf einen rechteckförmigen Balkenquerschnitt mit Kantenlängen b und d ergibt (Abb. 7.13): Z Z IF D

Zd=2 z dy dz D 2

Zb=2 dy

d=2

z 2 dz D

b=2

1 3 b d: 12

(7.30)

Einsetzen von b D d D 8 mm in (7.30) ergibt das Flächenträgheitsmoment IF D 3;41  1010 m4 . Abb. 7.13 Geometrie zur Berechnung des Flächenträgheitsmoments eines Quaderquerschnitts

z d 2

d 2

b 2

y

b 2

F

7

Reale feste und flüssige Körper

z

Abb. 7.14 Geometrie zur Berechnung des Flächenträgheitsmoments eines Doppel-T-Trägers

d

b

z

d b − 2d

156

y b

b d

y

b−d

b

Bestimmung des Flächenträgheitsmoments IF eines Doppel-T-Trägers Das Flächenträgheitsmoment eines Doppel-T-Querschnitts ist gleich dem eines Quadrats mit einem ausgeschnittenen Rechteck (Abb. 7.14). Hiernach wird das Flächenträgheitsmoment des ausgeschnittenen Rechtecks von dem des Quadrats abgezogen. Unter Verwendung von (7.30) ergibt sich somit IF D

1 4 1 1 4 b  .b  2d /3 .b  d / D Œb  .b  2d /3 .b  d / : 12 12 12

(7.31)

Einsetzen von b D 12 mm und d D 2 mm in (7.31) ergibt das Flächenträgheitsmoment IF D 1;30  109 m4 . Verwendung von Doppel-T-Träger in der Bautechnik Nach (7.24) hängt die Durchbiegung s bei gleicher Querschnittsfläche A D 64 mm2 und Balkenlänge L (Materialvolumen), gleichem Elastizitätsmodul E (Material) und gleicher Kraft F nur vom Flächenträgheitsmoment IF ab. Da das Flächenträgheitsmoment des Doppel-T-Trägers um den Faktor 1;30  109 =3;41  1010 D 3;8 größer ist, ist die Durchbiegung beim Doppel-T-Träger um diesen Faktor kleiner.

Abb. 7.15 Der Balken mit dem größeren Flächenträgheitsmoment (links) hat eine kleinere Durchbiegung als der um 90ı gedrehte Balken mit einem kleineren Flächenträgheitsmoment (rechts)

7.5 Lösungen

157

d) Abhängigkeit der Biegung des Doppel-T-Aluminiumbalken von der Kraftrichtung Kleine Durchbiegungen werden durch möglichst viel Querschnittsfläche bzw. Material an Stellen großer Zug- und Druckspannungen im Balken erzielt, also an der Ober- und Unterseite des Balkens. Möglichst viele Kräfte zwischen den Atomen/Molekülen wirken dann einer Verbiegung entgegen (Abb. 7.15). Im Flächenträgheitsmoment (7.27) ist daher das Flächenelement dA mit z 2 umso stärker gewichtet, je weiter dieses von der y-Achse entfernt ist.

Lösung zu Aufgabe 53: Rotierende Flüssigkeit a) Kräfte auf das Flüssigkeitsteilchen in K und K0 Im ruhenden Koordinatensystem K wirken auf das Flüssigkeitsteilchen die Gewichtskraft FG und die resultierende Kraft FW der umgebenden Wasserteilchen. Die resultierende Kraft Fres ist die horizontal zur Drehachse zeigende Zentripetalkraft FZp , da sich alle Wasserteilchen auf horizontalen Kreisen um die vertikale Drehachse bewegen (Abb. 7.16 links). Die Kraft FW muss senkrecht auf der Wasseroberfläche stehen, da sich sonst das Wasserteilchen auf der Paraboloidoberfläche verschieben würde. Im mitrotierenden Koordinatensystem K0 wirken ebenfalls die Gewichtskraft FG und die Kraft FW , jedoch zusätzlich die Zentrifugalkraft FZf in entgegengesetzter Richtung der Zentripetalkraft. Die resultierende Kraft Fres ist null, weil in K0 das Wasserteilchen ruht (Abb. 7.16 rechts). b) Herleitung der y.x/-Funktion des Paraboloidenquerschnitts Über die Steigung an der Stelle eines beliebigen Wasserteilchens an der Paraboloidoberfläche kann y.x/ berechnet werden (Abb. 7.16) tan ˛ D

K

m! 2 x ! 2x dy FZ D D D FG mg g dx

y

ω 

FW

,

K

−FG

FZp

y.x/ D

y

ω 

FG

!2 2 x C y0 : 2g

FW

FZf = −FZp

α

FG x

(7.32)

−FW x

Abb. 7.16 Kraftdiagramm für ein Wasserteilchen in K (links) und für ein Wasserteilchen in K0 (rechts)

158

7

Reale feste und flüssige Körper

c) Bestimmung der maximalen Drehzahl nmax ohne Wasserverlust Unabhängig von der Winkelgeschwindigkeit ! ist in Abb. 7.3 die von Wasser bedeckte Fläche A D bh. Also gilt mit (7.32): Zb=2

!2 2 x C y0 2g





!2 x3 C y0 x dx D 2g 3

0

) y0 D h 

b=2 D 0

B ! 2b3 b C y0 D h 48g 2 2

(7.33)

2 2

! b : 24g

Mit (7.32) und (7.33) folgt 3! 2 b 2 ! 2b 2 Ch hK 24g 24g

r

12g.hK  h/ ) ! D 2 n b2 r 12.hK  h/g 1 )n D nmax : 2 b2

(7.34)

Einsetzen der Größen in (7.34) ergibt die maximale Drehzahl nmax D 2;27 s1 D 166;6 Umdrehungen pro Minute.

Lösung zu Aufgabe 54: Heißluftballon in Atmosphäre konstanter Dichte a) Annahme konstanter Luftdichte der Erdatmosphäre Die Mehrzahl an Heißluftballonfahrten findet je nach Wetterbedingungen zwischen 300 m und maximal 1000 m Höhe statt. Die Luftdichte in 1000 m Höhe ist noch ca. 90 % der Luftdichte am Erdboden, sodass näherungsweise mit konstanter Luftdichte gerechnet werden kann. b) Maximale Anzahl nmax der Fahrgäste Die Kraftrichtungen werden in Bezug zu einer nach oben gerichteten y-Achse angegeben. Auf den Heißluftballon wirkt in y-Achsenrichtung die Auftriebskraft. Entgegen der yAchsenrichtung wirken die Gewichtskraft der Ballonhülle und der darin enthaltenen Luft sowie die Gewichtskraft von Korb, Brenner und den Fahrgästen. Die resultierende Kraft auf den Heißluftballon ist   4 4 (7.35) Fres D  r 3 L g  4 r 2 g C  r 3 L;B g C Mg C nmF g : 3 3 Damit der Heißluftballon abhebt, muss die Auftriebskraft mindestens so groß wie die Gewichtskräfte zusammen bzw. die resultierende Kraft größer oder gleich null sein: Fres  0 :

(7.36)

159

Abb. 7.17 nmax .r/-Diagramm zur maximalen Anzahl an Fahrgästen in einem Heißluftballon

Fahrgastanzahl nmax

7.5 Lösungen

60 40 20 0 0

2

4

6 8 10 Ballonhüllenradius r/m

12

14

Einsetzen von (7.35) in (7.36) und Auflösen nach n ergibt unter Beachtung von nmax  0: 0 nmax

4  r 3 . L 3

 L;B /  4 r 2  M : mF

(7.37)

Die Lösung von (7.37) ist in Abb. 7.17 in einem Diagramm dargestellt. Nach dem Diagramm muss der Radius von Heißluftballonen mindestens ca. 5 m betragen, um überhaupt Fahrgäste mitnehmen zu können. Es werden Heißluftballone mit Volumina zwischen ca. 1000 m3 und 15:000 m3 bzw. Radien zwischen ca. 6 m und 15 m angeboten. Theoretisch könnten für r D 15 m mehr als 60 Fahrgäste in der Gondel mitfahren, wobei unberücksichtigt bleibt, dass aus Stabilitätsgründen die Korbmasse zunehmen muss. c) Herleitung der a0 .r/-Funktion der Anfangsbeschleunigung Beim Abheben wirkt keine Lufreibungskraft, da die Geschwindigkeit noch null ist. Mit (7.35) ist nach dem Newton’schen Grundgesetz   4 3 4 3 2 Fres D  r L g  4 r g C  r L;B g C Mg C 3mF g 3 3   4 2 3 D 4 r C  r L;B C M C 3mF a0 (7.38) 3 4

) a0 .r/ D g 3

 r 3 . L  L;B /  4 r 2  M  3mF 4 r 2 C 43  r 3 L;B C M C 3mF

:

Aus dem a0 .r/-Diagramm (Abb. 7.18) ist ersichtlich, dass bei n D 3 Fahrgäste der Radius mindestens ca. 6;5 m sein muss und dass eine Radiusvergrößerung zur Erhöhung der Anfangsbeschleunigung mit zunehmendem Radius immer ineffektiver (teurer) wird. d) Herleitung der v0 .r/-Funktion der Endgeschwindigkeit Beim Aufsteigen des Heißluftballons wirkt zusätzlich die Newton’sche Reibungskraft FN D

1 cW L Av 2 : 2

(7.39)

7

Abb. 7.19 v1 .r/-Diagramm der Endgeschwindigkeit von Heißluftballonen

Endgeschwindigkeit v∞ / ms

Abb. 7.18 a0 .r/-Diagramm der Anfangsbeschleunigung des Heißluftballons beim Abheben

Anfangsbeschleunigung a0 / sm2

160

Reale feste und flüssige Körper

5

0

−5

0

2

4

6 8 10 Ballonhüllenradius r/m

12

14

0

2

4

6 8 10 Ballonhüllenradius r/m

12

14

15

10

5

Wenn der Heißluftballon aufgrund der zunehmenden Steiggeschwindigkeit bzw. der zunehmenden Newton’schen Reibungskraft nicht mehr beschleunigt wird, ist die resultierende Kraft null: Fres D

4 3 1 2 D0  r . L  L;B /g  4 r 2 g  Mg C 3mF g  cW L Av1 3 2 s 4

) v1 .r/ D

g3

. L  L;B /  4 r 2  M  3mF 1 c r2 2 W L

:

(7.40) Abb. 7.19 zeigt den v1 .r/-Graphen von (7.40) für den Widerstandsbeiwert cW D 0;5 einer Kugel. Es können sehr hohe Steiggeschwindigkeiten erzielt werden. Spezielle Ballonhüllen, die bei gleichem Volumen bzw. gleicher Auftriebskraft eine möglichst kleine Querschnittsfläche haben, ermöglichen hohe Steiggeschwindigkeiten. Zum Beispiel erreicht ein Heißluftballon mit Ballonvolumen V D 3009 m3 bzw. Radius r D 9 m Steiggeschwindigkeiten bis zu 9 m=s, ein Wert der dem in Abb. 7.19 in etwa übereinstimmt.

7.5 Lösungen

161

Lösung zu Aufgabe 55: Wasserdruck am Meeresboden a) Berücksichtigung der Kompressibilität Wenn das Wasser als kompressibel angenommen wird, steigt die Wasserdichte .z/ mit zunehmender Meerestiefe, beginnend mit dem Wert 0 an der Meeresoberfläche. Folglich wird der Wasserdruck mit (7.41) p.z/ D p0 C 0 gz zu klein berechnet. b) Herleitung von p.z/ Für die Druckänderung dp bei Tiefenänderung dz gilt nicht mehr dp D 0 g dz, sondern dp D .z/g dz

(7.42)

mit unbekannter Funktion .z/. Aus der Definition der Kompressibilität  D

dV V dp

(7.43)

m

(7.44)

und aus V . / D folgt durch Ableiten von (7.44) nach

dV m D 2 d



)

dV D 

m d :

2

(7.45)

Division von (7.45) durch (7.44) ergibt dV d

D : V

(7.46)

Einsetzen von (7.46) und (7.42) in (7.43) ergibt d

D g dz :

2

(7.47)

Durch Integration kann .z/ berechnet werden: Z

0

1 d 0 D g

0 2

Zz 0

dz 0

)

1 1  D gz

0

)

.z/ D

0 : 1  g 0 z

(7.48)

162

7

Reale feste und flüssige Körper

Einsetzen von (7.48) in (7.42) und Integration ergibt Zp

0

Zz

dp D p0

0

0 dz 0 1  g 0 z 0

)

p.z/ D p0 

1 ln .1  g 0 z/ : 

(7.49)

c) Bestimmung des relativen Fehlers f .z/ der Druckberechnung für inkompressibles Wasser Der relative Fehler f ist definiert durch f D

xf  xw ; xw

(7.50)

wobei xf der falsche und xw der wahre Wert ist. Einsetzen von (7.41) und (7.49) in (7.50) ergibt f .z/ D

p0 C 0 gz  p0 C p0 

1 

1 

ln .1  g 0 z/

ln .1  g 0 z/

D

0 gz C p0 

1 

1 

ln .1  g 0 z/

ln .1  g 0 z/

:

(7.51)

Die tiefste Stelle der Meere liegt mit zmax D 11:033 m im Marianengraben. Einsetzen der Werte in (7.51) ergibt den maximalen relativen Fehler fmax D 0;028 D 2;8 %.

Lösung zu Aufgabe 56: Stabangeln a) Bestimmung der Eintauchtiefe x des Stabs in Wasser Ein Körper ist in Ruhe, wenn keine resultierende Kraft und kein resultierendes Drehmoment bezüglich eines beliebig wählbaren Bezugspunkts auf den Körper wirken: FEres D 0 ;

(7.52)

E res D 0 : M

(7.53)

Auf den Stab wirken die Haltekraft FEH , die Gewichtskraft FEG und die Auftriebskraft FEA (Abb. 7.20). Da die Auftriebskraft die Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens ist, liegt der Angriffspunkt der Auftriebskraft im Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens, also im Punkt B im Abstand x=2 vom Stabende. Die Richtung der Haltekraft ist konstant, weil ein nicht senkrechtes Seil zu einer Kraft in horizontaler Richtung führt, die aufgrund der Verschiebbarkeit des Stabs im Wasser quasi instantan wieder zu null wird. Die Eintauchstrecke x kann nach (7.53) mit A als Bezugspunkt bestimmt werden. Durch die Wahl des Bezugspunkts A tritt in der Gleichung die Haltekraft FH als unbekannte Größe nicht auf. Die Richtungen der Drehmomente der einzelnen Kräfte stehen

7.5 Lösungen

163

Abb. 7.20 Kraftdiagramm des Stabs zur Berechnung der Haltekraft FH und der Eintauchtiefe x

FH FH cos α 

FA

S

2

A

α

α α FG cos α

FA cos α B x

2

FG

senkrecht auf der Zeichenebene. Der Betrag des linksdrehenden Drehmoments MG der Gewichtskraft ist mit der Querschnittsfläche AS D d 2 =4 des Stabs ` ` ` 1 MG D FG cos ˛ D mg cos ˛ D S AS `g cos ˛ D S AS `2 g cos ˛ : 2 2 2 2 Der Betrag des rechtsdrehenden Drehmoments der Auftriebskraft ist   x x MA D FA `  cos ˛ D W AS xg `  cos ˛ : 2 2

(7.54)

(7.55)

Nach (7.53) muss MG D MA sein:  1 x

S AS `2 g cos ˛ D W AS xg `  cos ˛ : 2 2

(7.56)

Lösen der quadratischen Gleichung (7.56) ergibt

x1=2

 1 S 2 x ; ` Dx ` 2 W 2

S 2 x 2  2x` C ` D 0;

W   r r

S 2

S D ` ˙ `2  ` D` 1˙ 1 :

W

W

(7.57)

Da physikalisch x < ` sein muss, ist in (7.57) das Minuszeichen richtig. Einsetzen der Werte in (7.57) ergibt die Eintauchstrecke x D 10;9 cm. b) Bestimmung der Haltekraft FH Die Auftriebskraft ist konstant und unabhängig vom Winkel, da die Strecke x konstant ist. Da die Gewichtskraft auch konstant ist, ist auch die Haltekraft konstant. Nach (7.52) ist FH D FG  FA D S AS `g  W AS xg D 

d2 g . S `  W x/ : 4

Einsetzen der Werte in (7.58) ergibt die Haltekraft FH D 47 mN.

(7.58)

164

7

Abb. 7.21 FH .˛/-Diagramm des idealisierten Stabs

Reale feste und flüssige Körper

Haltekraft FH /N

FG 100

50

0

10

20

30

40 50 Winkel α/◦

60

70

80

90

c) FH .˛/-Diagramm Die Haltekraft FH springt bei ˛ D 0ı von 0 mN auf 47 mN und ist für ˛ 2 0ı ; 90ı Œ konstant (Abb. 7.21). Bei ˛ D 90ı wächst die Haltekraft beim Herausziehen des Stabs aus dem Wasser von FH D 47 mN auf die Gewichtskraft FG D 131 mN an. d) Vergleich der Haltekraft FH und Eintauchstrecke x von idealisiertem und realem Stab Übereinstimmend mit den Berechnungen für einen idealisierten Stab (Durchmesser d D 0 cm) in Teilaufgabe a und b werden für ˛ 2 3ı ; 90ı Œ eine „mittlere“ Eintauchstrecke x  11;0 cm und eine Haltekraft FH  50 mN gemessen. Abweichend zu Teilaufgabe a und b ist, dass für ˛ 2 0ı ; 3ı Œ die mittlere Eintauchstrecke x für einen realen Stab (Durchmesser d > 0 cm) nicht konstant ist und die Haltekraft FH kontinuierlich von 0 mN auf  50 mN zunimmt. Dies kann wie folgt erklärt werden: Die Gewichtskraft ist in Betrag, Richtung und Angriffspunkt konstant, die Haltekraft ist in Angriffspunkt und Richtung konstant. Daher müssen sich Richtung, Betrag oder Angriffspunkt der Auftriebskraft in Abhängigkeit vom Winkel ˛ ändern:  Die Richtung der Auftriebskraft ist konstant und entgegen der Schwerkraftrichtung.  Der Betrag der Auftriebskraft ist nicht konstant, da das vom Stab verdrängte Wasservolumen sich ändert: Für ˛ D 0ı ist die Auftriebskraft FA D FG D 131 mN maximal, und für ˛ D 90ı ist wegen der zusätzlichen Haltekraft FH die Auftriebskraft von 131 mN  50 mN D 81 mN minimal.  Der Angriffspunkt der Auftriebskraft ist nicht konstant: Der Angriffspunkt der Auftriebskraft ist der Schwerpunkt des vom Stab verdrängten Wasservolumens. Da das verdrängte Wasservolumen mit zunehmendem Winkel ˛ abnimmt, ist auch der Angriffspunkt nicht konstant. Für ˛ D 0ı liegt er im Querschnitt der Stabmitte und für ˛ D 90ı bei minimaler Haltekraft im Abstand x=2 vom Stab-ende im Wasser. Also ist die Ursache der Zunahme der Haltekraft FH entweder die Änderung des Betrags oder die Änderung des Angriffspunkts der Auftriebskraft. Da mit zunehmender Haltekraft

7.5 Lösungen

165

FH deren linksdrehendes Drehmoment bezüglich des Stabschwerpunkts zunimmt, muss auch das rechtsdrehende Drehmoment der Auftriebskraft zunehmen:  Die Abnahme des Betrags der Auftriebskraft verringert das Drehmoment der Auftriebskraft.  Der zunehmende Abstand des Angriffspunkts der Auftriebskraft vom Stabschwerpunkt erhöht das Drehmoment der Auftriebskraft. Also kompensiert die Abhängigkeit des Drehmoments der Auftriebskraft von deren Angriffspunkt die Abhängigkeit des Drehmoments der Auftriebskraft von deren Betrag.

Lösung zu Aufgabe 57: Bestimmung der Oberflächenspannung a) Erklärung des F.t/-Graphen Auf den Aluminiumring wirken die Gewichtskraft FG , die Auftriebskraft FA in Leitungswasser (in Luft vernachlässigbar) und die Kraft F der Oberflächenspannung. Gemessen wird die resultierende Kraft F (Abb. 7.22) auf den Aluminiumring. Der Zusammenhang zwischen dem beobachteten Zustand des Aluminiumrings und den wirkenden Kräften ist Tab. 7.1 zu entnehmen. b) Bestimmung der Oberflächenspannung W Beim Herausziehen des Rings aus dem Wasser wird die Flüssigkeitslamelle zwischen unterem Ringrand und dem Wasser entgegen den zwischenmolekularen Anziehungskräften vergrößert und hierbei Arbeit verrichtet. Die Arbeit zum Anheben der Flüssigkeit im Schwerefeld der Erde ist dagegen vernachlässigbar. Nach Definition der Oberflächenspannung ist F h F F  FG W D D D : (7.59) D A 2  2 rh 4 r 4 r

Kraft F/mN

80

F (t)-Messreihe

60 F = FG 40 20 1 2 0

3 10

20

4

30 Zeit t/s

5 40

Abb. 7.22 F .t /-Diagramm der Haltekraft des Aluminiumrings

50

6

7 60

166

7

Reale feste und flüssige Körper

Der Faktor 2 berücksichtigt die Flächenvergrößerung auf der Innen- und Außenseite der Flüssigkeitslamelle. Es wird angenommen, dass die Kraft F zur Vergrößerung der Oberfläche konstant ist und durch die Kraft F D F ;mess zum Zeitpunkt 6 ermittelt werden kann, wenn die Flüssigkeitslamelle aufgrund ihres Gewichts vom Ring abreißt. Einsetzen des Ringradius r D 3;25 cm, der Gewichtskraft FG D 56 mN und der Kraft F D 84 mN in (7.59) ergibt die Oberflächenspannung D 68 mN=m des Leitungswassers.

Lösung zu Aufgabe 58: Steighöhe von Flüssigkeiten in Kapillaren a) Formel für die Steighöhe h anhand von Energiebetrachtung Wenn die Flüssigkeit im Kapillarröhrchen um die Höhe h steigt, erhöht sich deren potenzielle Energie im Schwerefeld der Erde um EP D mgh D  r 2 hgh :

(7.60)

Die Kapillarkraft FK verrichtet Arbeit am System, und nach dem Energieerhaltungssatz sinkt die Oberflächenenergie des Systems um den gleichen Betrag EO D FK h D 2 r. 1;3  1;2 /h ;

(7.61)

wobei i;j die Grenzflächenspannung zwischen fester (Index 1), flüssiger (Index 2) und gasförmiger (Index 3) Phase ist. Also gilt EP D EO

,

rhg D 2. 1;3  1;2 / :

(7.62)

1;3  1;2 2;3

(7.63)

Einsetzen der Young’schen Gleichung cos ' D in (7.62) und Auflösen nach h ergibt

Tab. 7.1 Erklärung signifikanter Punkte des F .t /-Graphen in Abb. 7.22 anhand der wirkenden Kräfte Zeitpunkt 1 2 3 4 5 6 7

Beobachtung Ring in Luft ohne Wasserlamelle Ring in Luft mit Wasserlamelle Ring vollständig in Wasser mit Wasserlamelle Ring vollständig in Wasser ohne Wasserlamelle Ring in Luft mit Wasserlamelle und Wasser auf Ring Ring in Luft mit Wasserlamelle ohne Wasser auf Ring Ring in Luft ohne Wasserlamelle

Kraft F FG FG C F FG  FA;max  F FG  FA;max FG C F ;max FG C F ;mess FG

7.5 Lösungen

167

Abb. 7.23 Geometrie zur Bestimmung der Steighöhe anhand der Betrachtung des Drucks und der wirkenden Kräfte

FK M R

α

dF

h

r ϕ

hD

2 2;3 cos ' 2 cos ' D :

rg

rg

 dA

(7.64)

Formel für die Steighöhe h anhand von Druck-/Kräftebetrachtung Aufgrund der Grenzflächenspannung 2;3 zwischen Luft und Flüssigkeit bzw. der Oberflächenspannung D 2;3 entsteht in einer Seifenblase vom Radius R ein Überdruck p gegenüber dem Atmosphärendruck von p D

4 : R

(7.65)

Unter Annahme eines kugelförmigen Meniskus und Beachtung (Abb. 7.23), dass es in einer Kapillare nur eine Grenzfläche zwischen Flüssigkeit und Luft gibt, ist der erzeugte äquivalente „Überdruck“ nur halb so groß. Die Beziehung cos ' D

r R

(7.66)

ergibt mit (7.60) p D

2 2 D cos ' : R r

(7.67)

Der Überdruck erzeugt eine resultierende, vertikal nach oben gerichtete, konstante und auf die Flüssigkeit wirkende Kapillarkraft FK . Für die vertikale Kapillarteilkraft dFK zum Flächenelement dA erhält man nach Abb. 7.23 dFK D dF cos ˛ D p dA cos ˛ D 2

cos ' dA cos ˛ D 2 cos ' dAp : r r

(7.68)

168

7 ϕ = 0◦

0◦ < ϕ < 90◦

Reale feste und flüssige Körper 90◦ < ϕ < 180◦

h>0 ϕ

h>0 h 90ı eine Kapillardepression vor. b) Kapillarität für verschiedene Benetzungsgrade Das Verhalten für unterschiedliche Benetzungsgrade kann mit (7.63) erklärt werden (Abb. 7.24):  Vollständig benetzend: 1;3  1;2 D 2;3 , cos ' D 1 ) ' D 0ı , Flüssigkeit kriecht an Kapillarwand hoch.  Teilweise benetzend: 1;3  1;2 < 2;3 und 1;3 > 1;2 , 0 < cos ' < 1 ) 0ı < ' < 90ı .  Nicht benetzend: j 1;3  1;2 j < 2;3 und 1;3 < 1;2 ) 1 < cos ' < 0 ) 90ı < ' < 180ı .

7.5 Lösungen

169

Abb. 7.25 Kraftdiagramm des Holzblocks auf der schiefen Ebene. Die Angriffspunkte der Haftreibungskraft FEH und der Normalkraft FEG1;n liegen im geometrischen Mittelpunkt der Auflagefläche

−FG1,n FG2 FH

FG1,t

α

α α

FG1,n

FG1

Lösung zu Aufgabe 59: Haften und Gleiten am Hang a) Existenz eines Grenzwinkels ˛G Die Gewichtskräfte FG1 und FG2 der Massen sind unabhängig vom Winkel ˛ und damit konstant (Abb. 7.25). Mit zunehmendem Winkel ˛ nimmt die Tangentialkomponente FG1;t der Gewichtskraft FG1 zu. Die Haftreibungskraft FH kompensiert gerade die Summe der an m1 angreifenden Kräfte FG1;t und FG2 . Folglich nimmt auch FH mit größer werdendem Winkel ˛ zu, bis die maximale Haftreibungskraft G FG1;n ab einem Grenzwinkel ˛ D ˛G erreicht ist und sich die Massen in Bewegung setzen. Bestimmung des Haftreibungskoeffizienten H Für die Beträge der Kräfte entlang des Hangs gelten bei ˛ D ˛G FG1;t D m1 g sin ˛; FG2 D m2 g; FH D H FG1;n D H m1 g cos ˛ :

(7.71) (7.72) (7.73)

Weiter gilt das statische Kräftegleichgewicht FG1;t  FG2 D FH :

(7.74)

Einsetzen von (7.71), (7.72) und (7.73) in (7.74) und Auflösen nach H ergibt m1 g sin ˛G  m2 g D H m1 g cos ˛G m1 sin ˛G  m2 m2 ) H D D tan ˛G  sec ˛G : m1 cos ˛G m1

(7.75)

Eine Winkelmessung ergibt den Grenzwinkel ˛G D 42ı . Einsetzen der Werte in (7.75) ergibt einen Haftreibungskoeffizienten H D 0;47.

170

7

Geschwindigkeit v/ ms

Abb. 7.26 v.t /-Diagramm des Holzblocks

Reale feste und flüssige Körper

v(t)-Messreihe v(t) = 0,96 sm2 · t + 0,06 ms

0,8 0,6 0,4 0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Zeit t/s

b) Bewegung mit konstanter Beschleunigung a Wenn die Masse m1 gleitet, wirkt nicht mehr die Haftreibungskraft, sondern die geschwindigkeitsunabhängige Gleitreibungskraft FGl auf die Masse m1 . Da alle auf die Masse m1 bzw. die Masse m2 wirkenden Teilkräfte konstant sind, ist die resultierende Kraft Fres auf das System der verbundenen Massen konstant. Daher ist nach dem zweiten Newton’schen Grundgesetz auch die Beschleunigung konstant. Lineare Regression einer v.t/-Messreihe ergibt eine Steigung der Regressionsgeraden von a D 0;96 m=s2 (Abb. 7.26). c) Bestimmung des Gleitreibungskoeffizienten G Die Gleitreibungskraft ist FGl D G FG1;n D G m1 g cos ˛ :

(7.76)

Fres D FG1;t  FG2  GGl

(7.77)

m D m1 C m2 :

(7.78)

Die resultierende Kraft beschleunigt die Gesamtmasse Einsetzen von (7.71), (7.72), (7.76), (7.77) und (7.78) in das zweite Newton’sche Grundgesetz (7.79) Fres D ma und Auflösen nach Gl ergibt .m1 C m2 /a D m1 g sin ˛  G m1 g cos ˛  m2 g ; m1 g sin ˛  m2 g  .m1 C m2 /a : G D m1 g cos ˛

(7.80)

Einsetzen von ˛ D ˛G D 42ı und der Werte in (7.80) ergibt den Gleitreibungskoeffizienten G D 0;3.

7.5 Lösungen

171

Lösung zu Aufgabe 60: Beschleunigen durch Reibung a) Bewegungsform von Klotz und Experimentierwagen  Die auf den Klotz wirkende Haftreibungskraft FH D H FG;K D 0;1 N ist kleiner als die Gewichtskraft FG D 0;5 N des Gewichts. Deshalb gleitet der Klotz auf dem Experimentierwagen in beiden Versuchsvarianten.  Alle auf den Klotz und Experimentierwagen wirkenden Kräfte sind konstant. Deshalb sind die resultierenden Kräfte Fres;K auf den Klotz und Fres;E auf den Experimentierwagen und damit die Beschleunigung aK des Klotzes und die Beschleunigung aE des Experimentierwagens konstant.  Wegen der Seilverbindung haben Klotz und Gewicht die gleiche Beschleunigung und damit die gleiche Bewegungsform. Vergleich der Beschleunigung von Klotz und Experimentierwagen in Versuchsvariante B  Die Beschleunigung des Klotzes ist in beiden Versuchsvarianten gleich, weil die Gleitreibungskraft unabhängig von der Relativgeschwindigkeit zwischen Klotz und Experimentierwagen und die Gewichtskraft FG des Gewichts die gleiche ist.  Die Beschleunigung aE des Experimentierwagens ist nach dem Newton’schen Grundgesetz kleiner als die Beschleunigung aK des Klotzes, weil mE > mK und Fres;E < Fres;K . b) Bestimmung des Gleitreibungskoeffizienten G in Versuchsvariante A Wegen der Seilverbindung zwischen Gewicht und Klotz können diese als eine Masse mG C mK betrachtet werden. Auf diese Gesamtmasse wirken die Gewichtskraft FG des Gewichts und die Gleitreibungskraft FR (Abb. 7.27). Für eine Orientierung der x-Achse in Bewegungsrichtung des Klotzes ist nach dem Newton’schen Grundgesetz FG  FR D mG g  G mK g D .mG C mK /aK   mG a K mG ) G D  1C : mK g mK

(7.81)

Einsetzen der Werte in (7.81) ergibt den Gleitreibungskoeffizienten G D 0;20. Abb. 7.27 Kraftdiagramm für Gewicht und Klotz in Versuchsvariante A

FR

FG

m G + mK x

172

7

Reale feste und flüssige Körper

Abb. 7.28 Kraftdiagramm für den Experimentierwagen in Versuchsvariante B

mE

FR

x

c) Bestimmung der Beschleunigung aK des Klotzes und der Beschleunigung aE des Experimentierwagens in Variante B Die Beschleunigung aK ist dieselbe wie die in Teilaufgabe b für Versuchsvariante A, weil dieselben Kräfte wirken. Auf den Experimentierwagen wirkt nur die Gleitreibungskraft FR . Nach dem Wechselwirkungsprinzip ist diese genauso groß wie die Gleitreibungskraft auf den Klotz (Abb. 7.28). Für eine Orientierung der x-Achse in Bewegungsrichtung des Experimentierwagens ist nach dem Newton’schen Grundgesetz FR D G mK g D mE aE G mK ) aE D g : mE

(7.82)

Einsetzen der Werte in (7.82) ergibt die Beschleunigung aE D 0;45 m=s2 des Experimentierwagens.

Lösung zu Aufgabe 61: Münzen schnippen

Abb. 7.29 v.t /-Diagramm einer rutschenden Geldmünze auf einem Holztisch

Geschwindigkeit v/ ms

a) v.t/-Diagramm der rutschenden Geldmünze Nach einem kurzen Kraftstoß rutscht die Geldmünze unter alleinigem Einfluss der Gleitreibungskraft FEGl D FGl eEx in x-Richtung über den Tisch. Aus dem linearen Verlauf einer v.t/-Messreihe kann geschlossen werden, dass es sich um eine gleichmäßig verzögerte Bewegung handelt (Abb. 7.29).

v(t)-Messreihe v(t) = −2,13 sm2 · t + 1,09 ms

1,00

0,50

0,00 0

0,1

0,2

0,3 Zeit t/s

0,4

0,5

7.5 Lösungen

173

b) Bestimmung des Gleitreibungskoeffizienten G Nach Teilaufgabe a ist die Gleitreibungskraft annähernd konstant. Es gilt FGl D G FG D G mg :

(7.83)

Während des Rutschens wird die anfängliche kinetische Energie Ekin D

1 2 mv 2 0

(7.84)

der Geldmünze vollständig in Wärmeenergie umgewandelt. Dabei wird die Arbeit Zs W D

FGl dx

(7.85)

0

verrichtet. Einsetzen von (7.83) in (7.85) und Gleichsetzen mit (7.84) ergibt 1 2 mv D 2 0

Zs G mg dx D G mgs

,

G D

1 v02 : 2 gs

(7.86)

0

Einsetzen der gemessenen Rutschstrecke s D 0;28 m und der Anfangsgeschwindigkeit v0 D 1;09 m=s in (7.86) ergibt den Gleitreibungskoeffizienten G D 0;21. Alternativ kann G aus der Steigung des v.t/-Graphen bestimmt werden (Abb. 7.29). Nach (7.83) gilt für die Geschwindigkeit der Münze v.t/ D v0  kt

mit

k D G g :

Aus k D 2;13 m=s2 folgt der Gleitreibungskoeffizient G D 0;22.

(7.87)

8

Gase und Thermodynamik

8.1 Gase Aufgabe 62: Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung In einem idealen Gas ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitskomponenten vi der Gasteilchen (Masse m) in x-, y- und z-Richtung bei der Temperatur T gegeben durch r m  mvi2 f .vi / D e 2kT : 2kT a. Berechnen Sie die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vwi und die mittlere Geschwindigkeit vN i der Geschwindigkeitskomponentenverteilungen. b. Geben Sie begründet die Wahrscheinlichkeitsverteilung f .v/ des Geschwindigkeitsbetrags an. Berechnen Sie die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw und die mittlere Geschwindigkeit vN der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hinweis: Z1 1 xetx dx D 2 t 0

c. Zeigen Sie, dass

v2

¤ vN . 2

Aufgabe 63: Mittlere freie Weglänge Molekularer Wasserstoff (Masse MHH D 2 g=mol, Moleküldurchmesser dHH D 220 pm) und molekularer Stickstoff (MNN D 28 g=mol, Moleküldurchmesser dNN D 320 pm) liegen bei geeigneter Temperatur T und Druck p als Gas vor. Die Moleküle können als kugelförmig betrachtet werden. a. Berechnen Sie die mittlere freie Weglänge  der Gase für T D 600 K und p D 133 mPa. © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_8

175

176

8 Gase und Thermodynamik

b. Berechnen Sie die mittlere Zeitdauer  zwischen jeweils zwei aufeinanderfolgenden Stößen eines Moleküls. c. Begründen Sie, weshalb sich für ein gegebenes ideales Gas bei konstantem Druck die mittlere Zeitdauer  mit zunehmender Temperatur erhöht. Aufgabe 64: Aufstieg eines Wetterballons An einem mit Wasserstoff (molare Masse MHH D 2 g=mol) gasdicht gefüllten Wetterballon (Masse mB D 1;2 kg der Ballonhülle) hängen Fallschirm und Messinstrumente als Last. Unter Normalbedingungen (Druck p0 D 101;325 kPa, Luftdichte 0 D 1;3 kg=m3 ) in Meereshöhe hat der Wetterballon einen Durchmesser d0 D 1;8 m. Der Wetterballon steige senkrecht in einer isothermen Atmosphäre auf. a. Welche maximale Last (Masse mL;max ) kann der Wetterballon am Erdboden tragen? b. Der Wetterballon steige mit undehnbarer Ballonhülle auf. Weshalb erreicht der Ballon eine endliche Höhe? c. Die Ballonhülle soll ohne Kraftaufwand beliebig dehnbar sein. Zeigen Sie, dass der Ballon unendlich hoch steigt. d. Der Wetterballon soll ohne Kraftaufwand dehnbar sein und bei einem Durchmesser dmax D 15 m platzen. Welche maximale Steighöhe erreicht der Wetterballon? Aufgabe 65: Gasverlust der Erdatmosphäre Die Atmosphäre der Erde (Erdradius R D 6378 km) enthält ca. 0;00005 % molekularen Wasserstoff (molare Masse MHH D 2 g=mol) und ca. 21 % molekularen Sauerstoff (molare Masse MOO D 32 g=mol). a. Leiten Sie die RMS-Geschwindigkeit (Wurzel aus mittlerem Geschwindigkeitsquadrat) für eine Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung eines Gases her. Hinweis: Z1 3p 5 2 x 4 etx dx D t 2 8 0

b. Leiten Sie die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit von einem Planeten her. Bei welcher Temperatur TF können Wasserstoff- bzw. Sauerstoffmoleküle die Erdatmosphäre verlassen? c. Erklären Sie mithilfe von Teilaufgabe b, warum die Mondatmosphäre fast kein Wasserstoff enthält, die Jupiteratmosphäre dagegen fast ausschließlich Wasserstoff enthält. Aufgabe 66: Geschwindigkeitsselektor für Molekularstrahlen Ein N2 -Molekularstrahl (molare Masse MNN D 28 g=mol, Temperatur T D 500 K) mit einer Maxwell-Boltzmann’schen Geschwindigkeitsverteilung trifft im Abstand R von der Drehachse auf zwei im Abstand a D 10 cm mit der Winkelgeschwindigkeit ! rotierende dünne Scheiben. Die Scheiben besitzen um den Winkel ' D 20ı gegeneinander versetzte

8.2 Temperatur und Wärmeenergie

177

ϕ Δϕ ϕ

N2 -Molekularstrahl

ω 

R a

Abb. 8.1 Geometrie des Geschwindigkeitsselektors für Molekularstrahlen

keilförmige Schlitze der Winkelbreite ' D 1ı  '. Der Einfluss der Gravitation auf die Bahnkurve des Strahls ist vernachlässigbar (Abb. 8.1). a. Leiten Sie eine Formel für die Durchlassgeschwindigkeit v und den relativen Geschwindigkeitsfehler v=v her und berechnen Sie diesen. b. Bei welcher Winkelgeschwindigkeit ! und Drehzahl n passieren N2 -Moleküle mit der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit den Geschwindigkeitsselektor? c. Wie kann man verhindern, dass auch langsamere Gasmoleküle als die in Teilaufgabe b den Geschwindigkeitsselektor passieren?

8.2 Temperatur und Wärmeenergie Aufgabe 67: Verbiegen durch Erwärmen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 8.2 an.

Abb. 8.2 Ein Bimetallstreifen krümmt sich mit steigender Temperatur eines Wasserbads immer stärker

(VA)

Bimetallstreifen (Länge 0 = 13,8 cm, Dicke d = 0,1 mm, bei Temperatur ϑ = 0 ◦ C gerade) aus zwei Blechstreifen (Temperaturausdehnungskoeffizienten α1 = 22,0 · 10−6 ◦ C−1 und α2 = 1,7 · 10−6 ◦ C−1 , gleiche Dicken) Temperatursensor im Wasserbad

Temperaturmessgerät (Temperatur ϑ)

178

8 Gase und Thermodynamik

a. Erklären Sie qualitativ die Abhängigkeit der Krümmung des Bimetallstreifens von der Temperatur. b. Fertigen Sie Videoscreenshots bei den Temperaturen # D 20 ı C, 50 ı C und 85 ı C an. Untersuchen Sie für # D 50 ı C, ob der Bimetallstreifen kreisförmig gekrümmt ist und bestimmen Sie die Krümmungsradien. Hinweis: Eine Hilfe zur Berechnung des Radius und der Mittelpunktskoordinaten eines Kreises anhand dreier Kreispunkte finden Sie z. B. unter www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreis3p.htm. c. Leiten Sie die R.#/-Funktion her (Hinweis: Verwenden Sie die mittleren Längen der Blechstreifen) und überprüfen Sie das Ergebnis experimentell mit Teilaufgabe b. http://tiny.cc/mkfzly

Aufgabe 68: Getränkekühlung mit Eiswürfeln Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 8.3 an.

(VA)

a. Nehmen Sie eine Messreihe zur Abhängigkeit der Mischungstemperatur #M des Getränks von der Anzahl n geschmolzener Eiswürfel auf. Leiten Sie die #M .n/-Funktion unter der Annahme eines idealen Dewargefäßes her. b. Stellen Sie die #M .n/-Messreihe und #M .n/-Funktion in einem gemeinsamen Diagramm für n 2 Œ0; 15 dar. Welchen Schluss ziehen Sie aus dem Vergleich von Messreihe und Funktion für n 2 Œ0; 9? Weshalb ist #M .n/ keine lineare Funktion? Diskutieren Sie die optimale Anzahl von Eiswürfeln zum Kühlen von Getränken.

Abb. 8.3 Wasser in einem Dewargefäß wird durch Zugabe von Eiswürfeln immer weiter abgekühlt

Dewargefa ¨ß mit Wasser (Masse mW = 367 g, Anfangstemperatur ϑM (0), spezifische Wa ¨rmekapazita ¨t cW = 4180 J/(kg ◦ C)) Temperatursensor

Eiswu ¨rfel (Anzahl n, Masse mE = 16 g, Temperatur ϑE = −30 ◦ C, Schmelzwa ¨rme λS = 333 J/g, spezifische Wa ¨rmekapazita ¨t cE = 2060 J/(kg ◦ C))

Temperaturanzeige (Mischtemperatur ϑM )

8.3 Hauptsätze der Thermodynamik

179

c. Erklären Sie, was bei Zugabe weiterer Eiswürfel zu beobachten ist. Berechnen Sie, ob Eiswürfel ein Getränk gefrieren lassen können. http://tiny.cc/ekfzly

8.3

Hauptsätze der Thermodynamik

Aufgabe 69: Selbstzünder Ein Zwei-Liter-Dieselmotor hat ein Verdichtungsverhältnis (Gesamtzylindervolumen/ Restvolumen) von 15. Machen Sie zum Lösen der Aufgabe sinnvolle Annahmen. a. Leiten Sie anhand von Gasgesetzen Formeln für den Enddruck und die Endtemperatur des Verdichtungsvorgangs her und berechnen Sie diese. Reicht die Temperatur zum Entzünden von Dieselkraftstoff? b. Leiten Sie eine Formel für die zu verrichtende Verdichtungsarbeit her und berechnen Sie diese. Aufgabe 70: Thermodynamischer Kreisprozess Mit einem idealen einatomigen Gas (Stoffmenge n D 2 mol) wird ein Kreisprozess 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 1 durchgeführt. Die Zustandsänderungen 1 ! 2 und 3 ! 4 sind isotherm. In Zustand 4 ist der Druck p4 D 2  105 Pa und die Temperatur T4 D 360 K. In Zustand 2 sind das Volumen V2 D 3V4 und der Druck p2 D 2p3 (Abb. 8.4). Abb. 8.4 Thermodynamischer Kreisprozess im p-V -Diagramm

Druck p 1

p1

p4 4 p2

2

p3

3 Volumen V V1/4

V2/3

180

8 Gase und Thermodynamik

a. Berechnen Sie Temperaturen, Drücke und Volumina der Zustände 1 bis 4 und stellen Sie diese in einer Tabelle zusammen. b. Berechnen Sie die bei jeder Zustandsänderung verrichtete Arbeit Wij , die ausgetauschte Wärmeenergie Qij sowie die Änderung Uij der inneren Energie des Gases und stellen Sie diese in einer Tabelle zusammen. c. Stellen Sie für die Größen in Teilaufgabe b Bilanzen auf und Zusammenhänge her.

8.4 Lösungen Lösung zu Aufgabe 62: Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung a) Wahrscheinlichste Geschwindigkeit vwi der Geschwindigkeitskomponenten Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vwi ist die Geschwindigkeit, bei der f .vi / maximal wird: r mvi2 m  m   mvi2 df 2vi e 2kT D 0 ) vwi D 0; da e 2kT ¤ 0 : D (8.1) dvi 2kT 2kT Mittlere Geschwindigkeit vN i der Geschwindigkeitskomponenten Die mittlere Geschwindigkeit der Geschwindigkeitskomponenten ist gegeben durch r

Z1 vNi D

vi 1

m  mvi2 e 2kT dvi : 2kT

(8.2)

Auswerten des Integrals in (8.2) ergibt null, da mit symmetrischen Grenzen über eine punktsymmetrische Funktion integriert wird. b) Wahrscheinlichkeitsverteilung f .v/ des Geschwindigkeitsbetrags Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gasmolekül den Geschwindigkeitsvektor vE D .vx ; vy ; vz / hat, ist aufgrund der Unabhängigkeit der Geschwindigkeitskomponenten gegeben durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: f .E v / D f .vx /f .vy /f .vz / D

 m  32 m.vx2 Cvy2 Cvz2 /  m  32 mv2 2kT e D e 2kT : 2kT 2kT

(8.3)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gasmolekül den Geschwindigkeitsbetrag v hat, ist größer, da zu einem Geschwindigkeitsbetrag v mehrere Geschwindigkeitsvektoren vE D .vx ; vy ; vz / gehören. Dies sind alle Geschwindigkeitsvektoren, deren Spitze im „Kugelschalenvolumen“ 4v 2 dv liegen. Daher ist f .v/ D 4v 2

 m  32 mv2 e 2kT : 2kT

(8.4)

8.4 Lösungen

181

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw Es müssen die Nullstellen der Ableitung von (8.4) bestimmt werden:   m  32  mv 2 mv  mv2 df D 4 e 2kT 2ve 2kT  v 2 dv 2kT kT  m  32 mv2  m 3 D 4 e 2kT 2v  v D0 2kT kT  m 3 m 2 , 2v  v Dv 2 v D0 kT r kT 2kT ) v1 D 0; v2 D : m

(8.5)

Der f .v/-Graph von (8.5) zeigt: Für v1 liegt ein Minimum vor und für v2 D vw das gesuchte Maximum. Mittlere Geschwindigkeit vN Nach der Definition der mittleren Geschwindigkeit ist Z1 vN D

 m  32 Z1 mv 2 vf .v/ dv D 4 v 3 e 2kT dv : 2kT

0

(8.6)

0

In (8.6) wird durch Substitution integriert: dx D 2v; dv

x D v2 ;

dv D

1 dx : 2v

(8.7)

Einsetzen von (8.7) in (8.6) ergibt Z1  m  32 1  2kT 2 mx m  32 1  2kT xe dx D 4 vN D 4 2kT 2 2kT 2 m 

0

  m  32  m  12  m  12 2kT 2 D 2 2kT 2kT 2kT m  2  1   m 2kT m 2 D 2 2kT m 2kT 1  m  12 D 2 2  2kT r r 2kT 2 2kT 2 D Dp :  m m  

(8.8)

182

8 Gase und Thermodynamik 2

c) v2 ¤ v Nach dem Gleichverteilungssatz ist 3 1 EN Kin D kT D mv 2 2 2

)

v2 D

3kT : m

(8.9)

Nach Teilaufgabe b ist vN 2 D

8kT ¤ v2 : m

(8.10)

Lösung zu Aufgabe 63: Mittlere freie Weglänge a) Bestimmung der mittleren freien Weglänge  Die mittlere freie Weglänge  beim Stoß gleichartiger Teilchen (Teilchendichte n, Radius r) ist 1 : (8.11) D 4 r 2 n Die Teilchendichte n kann entweder direkt aus der allgemeinen Gasgleichung pV D N kT

)

nD

p N D V kT

(8.12)

mit der Teilchenzahl N im Volumen V und der Boltzmann-Konstante k oder aus den Grundgleichungen der kinetischen Gastheorie hergeleitet werden: 2 2 3 1 nmv 2 D nEN Kin D n kT D nkT 3 3 3 2 p ,nD : kT pD

(8.13)

Einsetzen von (8.12) oder (8.13) in (8.11) ergibt D

kT : 4 r 2 p

(8.14)

Einsetzen der Werte in (8.14) ergibt die mittleren freien Weglängen von HH D 0;41 m und NN D 0;20 m. b) Bestimmung der mittleren Zeitdauer  zwischen zwei Stößen Die mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle (Avogadro-Konstante NA ) ist r vN D

8kT D m

r

8kT NA : M

(8.15)

8.4 Lösungen

183

Einsetzen der Werte in (8.15) ergibt die mittleren Geschwindigkeiten vNHH D 2520 ms und vN NN D 674 ms . Die Zeitdauer  zwischen zwei Stößen ist D

 : vN

(8.16)

Einsetzen der Werte in (8.16) ergibt die Zeiten HH D 0;16 ms und NN D 0;30 ms. c) Zunahme der mittleren Zeitdauer zwischen Stößen mit steigender Temperatur Nach (8.16), (8.14) und (8.15) ist kT p  4r 2 p D  m8kT D Dq vN 4 r 2 p 8kT kT

D

r

m k p T: 8k 4 r 2 p

(8.17)

m

p Nach (8.17) ist  / T . Die mittlere Zeitdauer  zwischen zwei Stößen nimmt mit der Temperatur T zu, weil zum Konstanthalten des Drucks p nach (8.12) die Teilchendichte n reduziert werden muss.

Lösung zu Aufgabe 64: Aufstieg eines Wetterballons a) Bestimmung der maximalen Last mL;max des Wetterballons Bei maximaler Last mL;max gilt für die Auftriebskraft FA , die Gewichtskraft FG;B der Ballonhülle und die Gewichtskraft FG;H des Wasserstoffs mL;max D

FA  .FG;B C FG;H / D L;0 VB;0  mB  mHH : g

(8.18)

Die Masse mHH des Wasserstoffs kann aus dem Ballonvolumen VB;0 und dem molaren Volumen VM;0 D 22;4 l unter Normalbedingungen sowie der molaren Masse MHH des Wasserstoffs berechnet werden: mHH D

VB;0 MHH : VM;0

(8.19)

Einsetzen von (8.19) in (8.18) liefert mL;max D L;0 VB;0  mB 

VB;0 MHH : VM;0

Einsetzen der Werte in (8.20) ergibt die maximale Last mL;max D 2;50 kg.

(8.20)

184

8 Gase und Thermodynamik

b) Endliche Steighöhe des Wetterballons für undehnbare Ballonhülle Nach Voraussetzung ist das Ballonvolumen VB .z/ D VB;0

(8.21)

während des Aufstiegs unverändert. Wegen der mit zunehmender Höhe nach der barometrischen Höhenformel abnehmenden Luftdichte nimmt auch die Auftriebskraft nach FA .z/ D L .z/VB;0 g

(8.22)

mit zunehmender Höhe z ab. Da die Gewichtskraft FG des Wetterballons konstant ist, wird irgendwann FA D FG , die resultierende Kraft auf den Wetterballon ist null, und der Wetterballon schwebt in der endlichen, maximalen Höhe zmax . c) Unendliche Steighöhe des Wetterballons für ohne Kraftaufwand dehnbare Ballonhülle Bei ohne Kraftaufwand dehnbarer Ballonhülle ist der Luftdruck immer gleich dem Druck des Wasserstoffs im Ballon. Da der Luftdruck nach der barometrischen Höhenformel mit steigender Höhe abnimmt, nimmt auch der Druck des Wasserstoffs ab. Bei konstanter Temperatur ist dies nur durch Vergrößerung des Ballonvolumens möglich. Da in (4.29) die Luftdichte mit steigender Höhe ab- und das Ballonvolumen zunimmt, kann nur quantitativ entschieden werden, ob die Auftriebskraft des Ballons zunimmt, abnimmt oder gleich bleibt. Nach dem Boyle-Mariott’schen Gesetz ist für konstante Temperatur das höhenabhängige Volumen VB .z/ des Wetterballons antiproportional zum höhenabhängigen Luftdruck pL .z/: VB .z/ D VB;0

p0 p0 D VB;0 : pB .z/ pL .z/

(8.23)

Andererseits ist bei konstanter Temperatur die höhenabhängige Luftdichte L .z/ proportional zum höhenabhängigen Luftdruck pL .z/:

L .z/

0 pL z : p0

(8.24)

Einsetzen von (8.23) und (8.24) in (8.22) ergibt eine von der Höhe z unabhängige, konstante Auftriebskraft: p0

0 pL .z/VB;0 (8.25) g D 0 VB;0 g : FA D L .z/VB .z/g D p0

L .z/ Einsetzen der Werte in (8.25) ergibt die Auftriebskraft FA D 28;26 N, die größer als die Gewichtskraft FG ist. Damit wirkt auf den Wetterballon eine konstante nach oben gerichtete Antriebskraft, welche durch die Luftreibungskraft im dynamischen Kräftegleichgewicht kompensiert wird. Die resultierende Kraft auf den Wetterballon wird während des

8.4 Lösungen

185

Aufstiegs null, und der Wetterballon steigt mit konstanter Geschwindigkeit bis ins Unendliche. d) Bestimmung der maximalen Steighöhe zmax für platzende Ballonhülle Der Luftdruck pL nimmt mit zunehmender Höhe z über der Erdoberfläche nach der barometrischen Höhenformel

 0 gz (8.26) pL .z/ D p0 e p0 ab. Wegen der kraftlos dehnbaren Ballonhülle ist der Luftdruck immer gleich dem Druck des Wasserstoffs im Ballon: (8.27) pL .z/ D pHH : Da das Wasserstoffgas isotherm expandiert, gilt für das maximale Volumen Vmax bzw. den maximalen Durchmesser dmax nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte p0 V0 D pHH Vmax 4 4 3 , p0  r03 D pHH  rmax 3 3     r0 3 d0 3 ) pHH D p0 D p0 : rmax dmax

(8.28)

Einsetzen von (8.26) und (8.28) in (8.27) und Auflösen nach z ergibt   

d0 3 d0 3  0 gz , e p0 D dmax dmax    3    0  d0 d0 dmax

0

0  p gz D ln ln e 0 )  gz D 3 ln ) gz D 3 ln dmax p dmax p d0   dmax 3p0 ln )zD D zmax : g 0 d0 (8.29) Einsetzen der Werte in (8.29) ergibt die maximale Steighöhe zmax D 50;538 km.

 p0 gz

p0 e

0



D p0

Lösung zu Aufgabe 65: Gasverlust der Erdatmosphäre a) Formel für die RMS-Geschwindigkeit vRMS Die mittlere quadratische Geschwindigkeit ist Z1 v2

D

v 2 f .v/ dv : 0

(8.30)

186

8 Gase und Thermodynamik

Einsetzen der Maxwell-Boltzmann’schen Verteilungsfunktion f .v/ in (8.30) und Berechnung des Integrals ergibt Z1 v2

D

v 2 4v 2

 m  32 mv2 e 2kT dv 2kT

0

 m  32 Z1 mv 2 v 4 e 2kT dv D 4 2kT 0

 m  32 3 p  m  52 D 4  2kT 8 2kT 3  m  32  m  32  m 1 D 2 2kT 2kT 2kT 3kT D : m Damit ist die RMS-Geschwindigkeit nach (8.31) vRMS D

p v2

D

r

3kT : m

(8.31)

(8.32)

b) Formel für die Fluchtgeschwindigkeit vF Nach dem Energieerhaltungssatz kann ein Körper der Masse m das Gravitationsfeld eines Planeten (Radius RP , Masse mP , Gravitationsbeschleunigung gP an der Planetenoberfläche) „verlassen“, wenn seine kinetische Energie bzw. Fluchtgeschwindigkeit vF beim Start von der Planetenoberfläche genauso groß ist wie die Änderung der potenziellen Energie im Gravitationsfeld zwischen der Planetenoberfläche bei r D RP und dem Unendlichen bei r D 1: s p 2mP mmP mP 1 2 ) vF D D 2gP RP mit gP D 2 : (8.33) mvF D 2 RP RP RP Bestimmung der Fluchttemperatur TF von Wasserstoff- und Sauerstoffmolekülen Der Ansatz ist, dass mit steigender Temperatur die Geschwindigkeit vRMS so groß wie die Fluchtgeschwindigkeit vF wird: r p 3kTF 2gP RP m 2gP RP M vRMS D vF , D 2gP RP ) TF D D : (8.34) m 3k 3R Einsetzen der Werte in (8.34) ergibt die Fluchttemperaturen TF;HH D 10:039 K und TF;OO D 160:624 K. c) Atmosphären von Mond und Jupiter Die Jupiteratmosphäre enthält mehr Wasserstoff als die Mondatmosphäre, weil nach Tab. 8.1 die Temperaturdifferenz TF  T von Jupiter viel größer als die des Mondes ist.

8.4 Lösungen

187

Tab. 8.1 Fluchtgeschwindigkeiten und -Temperaturen für Wasserstoff in der Mond- und Jupiteratmosphäre

Gravitationsbeschleunigung g= sm2

Mond

Jupiter

1;64

24;79

Mittlere Atmosphärentemperatur T = K 123

93

Fluchtgeschwindigkeit vF = km s

2;38

59;54

Fluchttemperatur TF = K

457

55:114

Lösung zu Aufgabe 66: Geschwindigkeitsselektor für Molekularstrahlen a) Formel für die Durchlassgeschwindigkeit v Bei fester Winkelgeschwindigkeit ! können nur Gasteilchen den Geschwindigkeitsselektor passieren, deren Flugdauer tF zwischen den Scheiben mit der Zeit tG zum Drehen der Scheiben um den Winkel ' übereinstimmt: !a : '

(8.35)

dv v !a !a )  D 2 ' d' ' ' !a ) v D  2 ' ' v ' !a ' D  2 ' D : v ' !a '

(8.36)

tF D

a ' D D tG v !

)

vD

Formel für den relativen Geschwindigkeitsfehler v=v Dieser kann durch Ableiten von (8.35) ermittelt werden: v.'/ D

Einsetzen der Werte in (8.36) ergibt den relativen Geschwindigkeitsfehler v=v D 5 %. b) Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit ! und Drehzahl n zum Passieren von N2 -Molekülen mit wahrscheinlichster Geschwindigkeit Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vW der Maxwell-Boltzmann’schen Geschwindigkeitsverteilung ist r r 2kT 2kT NA D : (8.37) vw D m M Die Geschwindigkeit nach (8.37) muss gleich der Geschwindigkeit nach (8.35) sein: r

2kT NA !a D M '

)

' !D a

r

2kT NA D 2 n : M

(8.38)

Einsetzen der Werte in (8.38) ergibt die Winkelgeschwindigkeit ! D 1906;8 1s und die Drehzahl n D 303;5 Umdrehungen=s D 18:208 Umdrehungen=min.

188

8 Gase und Thermodynamik

c) Abblenden langsamerer Gasmoleküle In Teilaufgabe b können für ' D '0 C n  360ı auch langsamere Gasteilchen den Geschwindigkeitsselektor passieren. Deshalb wird in der Mitte zwischen den Scheiben eine weitere Scheibe mit um '0 =2 versetztem Schlitz positioniert.

Lösung zu Aufgabe 67: Verbiegen durch Erwärmen a) Erklärung der Krümmung des Bimetallstreifens Bei der Temperatur #0 haben beide Blechstreifen die gleiche Länge. Eine Temperaturerhöhung oder Temperatursenkung bewirkt eine stärkere Verlängerung oder Verkürzung des Blechstreifens mit dem höheren Temperaturausdehnungskoeffizienten. Da die Blechstreifen miteinander formschlüssig verbunden sind, entstehen zwischen den Blechstreifen Scherkräfte, welche die Blechstreifen entgegen die elastischen Rückstellkräfte verbiegen. Die Verbiegung ist umso stärker, je größer die Temperaturänderung ist, weil die Längenänderung und die Scherkräfte mit der Temperaturänderung zunehmen. Im Videoexperiment befindet sich der Blechstreifen mit dem größeren Temperaturausdehnungskoeffizienten auf der Innenseite des gekrümmten Blechstreifens. b) Prüfung der kreisförmigen Krümmung des Bimetallstreifens bei der Temperatur # D 50 ı C Es werden jeweils von mindestens drei Punkten auf dem Bimetallstreifen die Koordinaten x und y gemessen. Für einen bestmöglichen Wert des Radius R sollten die drei Punkte an den Enden und der Mitte des Bimetallstreifens liegen, wobei P1 im Ursprung des Koordinatensystems liegt (Abb. 8.5). Die Ermittlung des Radius R und der Kreismittelpunktskoordinaten .xM ; yM / mit dem in der Aufgabestellung angegebenen Berechnungswerkzeug ergibt Tab. 8.2.

Abb. 8.5 Bestimmung der Mittelpunktskoordinaten .xM ; yM / und des Kreisradius R mit drei Punkten P1 , P2 und P3 auf dem Bimetallstreifen

y

(xM , yM )

R(ϑ)

P3

P2 P1

Bimetallstreifen x

8.4 Lösungen

189

Tab. 8.2 Kreisradius und Mittelpunktskoordinaten für drei verschiedene Temperaturen Temperatur #= ı C 85 50 20

Radius R= cm 6,2 10,4 24,6

Mittelpunktskoordinate xM = cm 0;7 1;1 2;4

Mittelpunktskoordinate yM = cm 6,2 10,4 24,6

Experimentelle Prüfung der kreisförmigen Krümmung für die Temperatur # D 50 ı C Zum Nachweis der kreisförmigen Krümmung für die Temperatur # D 50ı C wird die y.x/-Messreihe mit der y.x/-Funktion eines Kreises R2 D .x  xM /2 C .y  yM /2 q , y.x/ D ˙ R2  .x  xm /2 C yM

(8.39)

verglichen. Einsetzen von Radius R und Kreismittelpunktskoordinaten .xM ; yM / aus Tab. 8.2 und Verwendung des negativen Vorzeichens der Wurzel ergibt eine gute Übereinstimmung mit der y.x/-Messreihe (Abb. 8.6). c) Herleitung der R.# /-Funktion Für unverbundene Blechstreifen der Längen `1 und `2 mit Temperaturausdehnungskoeffizienten ˛1 und ˛2 sowie gleicher Ausgangslänge `0 bei der Temperatur # D 0 ı C gilt (8.40)

`2 D `0 .1 C ˛2 #/ :

(8.41)

Ortskoordinate y/cm

Abb. 8.6 y.x/-Diagramm des gekrümmten Bimetallstreifens für die Temperatur # D 50 ı C

`1 D `0 .1 C ˛1 #/ ;

y(x)-Messreihe  y(x) = − 108,16 cm2 − (x + 1,1 cm)2 + 10,4 cm

10

5

0

2

4 6 Ortskoordinate x/cm

8

10

190

8 Gase und Thermodynamik

Abb. 8.7 Geometrie zur Berechnung der mittleren Längen

2 1 ϕ

R d

Bei verbundenen Blechstreifen sind die mittleren Längen der kreisbogenförmigen Blechstreifen mit dem Kreissektorwinkel ' gemäß Abb. 8.7 gegeben durch   d `N1 D R C '; 2   d `N2 D R  ': 2

(8.42) (8.43)

Unter Vernachlässigung gegenseitiger Stauchung und Dehnung der Blechstreifen ist `N1 D `1 ; `N2 D `2 :

(8.44) (8.45)

Einsetzen von (8.40) und (8.42) in (8.44) und von (8.41) und (8.43) in (8.45) ergibt für Temperaturausdehnungskoeffizienten ˛1 > ˛2   d ' D `0 .1 C ˛1 #/ ; RC 2   d ' D `0 .1 C ˛2 #/ : R 2

(8.46) (8.47)

Um die R.#/-Funktion zu erhalten, muss der Kreissektorwinkel ' eliminiert werden. Division der Gleichungen liefert RC R

d 2 d 2

D

1 C ˛1 # 1 C ˛2 #

d d.˛1 C ˛2 / , R.#/ D C : #.˛1  ˛2 / 2.˛1  ˛2 /

(8.48)

8.4 Lösungen

191 R(ϑ)-Messreihe R(ϑ) = (492,6 cm ◦ C/ϑ)

Radius R/cm

30

20

10

0

20

40 60 Temperatur ϑ/◦ C

80

100

Abb. 8.8 R.#/-Diagramm des Radius R des Bimetallstreifens

Für die in (8.48) etwa gleich großen Nenner ist mit d  d.˛1 C ˛2 /

(8.49)

die R.#/-Funktion R.#/ 

d : #.˛1  ˛2 /

(8.50)

Für Temperaturen # ! 0 ı C folgt in Übereinstimmung mit (8.40) und (8.41), dass der Radius R gegen unendlich geht.

Vergleich von R.# /-Funktion und R.# /-Messreihe Darstellung von (8.50) und der R.#/-Messreihe aus Tab. 8.2 in einem R.#/-Diagramm ergibt eine gute Übereinstimmung der R.#/-Funktion mit der R.#/-Messreihe (Abb. 8.8).

Lösung zu Aufgabe 68: Getränkekühlung mit Eiswürfeln a) #M .n/-Messreihe In Abb. 8.9 ist die #M .n/-Messreihe dargestellt. Herleitung der #M .n/-Funktion Das Wasser gibt die Wärmemenge Qab an die Eiswürfel ab und kühlt dabei auf die Mischungstemperatur #M ab: Qab D cW mW .#W  #M / :

(8.51)

Die Eiswürfel nehmen die vom Wasser abgegebene Wärmemenge auf. Diese wird dazu verwendet, um die Temperatur der Eiswürfel von der Anfangstemperatur #E auf 0 ı C zu

8 Gase und Thermodynamik

Mischtemperatur ϑM /◦ C

192

ϑM (n)-Messreihe ϑM (n) = (−6316,8n + 61362,4)/(66,9n + 1534) ◦ C

40

20

0

0

2

4

6 8 10 Anzahl Eiswu ¨rfel n

12

14

Abb. 8.9 #M .n/-Diagramm der Mischungstemperatur von Wasser und Eiswürfeln

erhöhen, das Schmelzen bei 0 ı C durch Zufuhr von Schmelzwärme S zu ermöglichen und die Temperatur des Schmelzwassers der Eiswürfel von 0 ı C auf die Mischungstemperatur #M zu erhöhen. Für die aufgenommene Wärmemenge Qauf gilt Qauf D cE nmE .0  #E / C nmE S C cW nmW .#M  0/ D cE nmE #E C nmE S C cW nmE #M :

(8.52)

Unter der Voraussetzung, dass keine Wärme an die Umgebung abgegeben wird und das Gefäß keine Wärme aufnimmt, ist Qauf D Qab :

(8.53)

Es wird damit die minimal erreichbare Mischungstemperatur ermittelt. Einsetzen von (8.51) und (8.52) in (8.53) und Auflösen nach #M ergibt cW mW .#W  #M / D cE nmE #E C nmE S C cW nmE #M cW mW #W C cE nmE #E  nmE S ) #M .n/ D cW nmE C cW mW cW mW #W C nmE .cE #E  S / D : cW .nmE C mW /

(8.54)

b) Darstellung und Vergleich von #M .n/-Messreihe und #M .n/-Funktion Einsetzen der Werte und der Anfangstemperatur #W D 40 ı C in (8.54) ergibt die #M .n/Funktion bzw. deren Graphen (Abb. 8.9). Die #M .n/-Messreihe und #M .n/-Funktion stimmen gut überein. Dies zeigt, dass die theoretische Annahme eines vernachlässigbaren Wärmeaustauschs zwischen Wasser/Eiswürfeln und Umgebung experimentell gut erfüllt ist.

8.4 Lösungen

193

Warum ist #M .n/ keine lineare Funktion? Mit jedem dazugegebenen Eiswürfel nimmt die zu kühlende Wassermenge zu und damit die Änderung der Mischungstemperatur pro Eiswürfel ab. Optimale Anzahl von Eiswürfeln Die Zugabe von Eiswürfeln zu einem Getränk ist immer ein Kompromiss zwischen Kühlung und Verwässerung des Getränks. Im Experiment sind für eine optimale Trinktemperatur von ca. 10 ı C etwa sechs Eiswürfel notwendig. Dies sind zu viele, weshalb im Sommer Getränke grundsätzlich im Kühlschrank vorgekühlt und bei Bedarf mit Eiswürfeln weiter abgekühlt werden. c) Erklärung der Beobachtung bei Zugabe weiterer Eiswürfel Die Funktion #M .n/ ist nur für n 9 richtig, da für n > 9 die Temperatur des Wassers so lange auf 0 ı C bleibt, bis so viele Eiswürfel hinzugefügt worden sind, dass durch Erwärmung der Eiswürfel dem Wasser die Erstarrungswärme entzogen wurde. Die dazu notwendige Anzahl n0 an Eiswürfeln kann berechnet werden. Die von den Eiswürfeln aufgenommene Wärmemenge Qauf ist Qauf D cW n0 mE .0  #E / :

(8.55)

m0 D mW C 9mE

(8.56)

Die von der Wassermasse abgegebene Wärmemenge Qab ist dann mit (8.56) Qab D m0 S D .mW C 9mE /S :

(8.57)

cE n0 mE .0  #E / D .mW C 0mE S / .mW C 0mE /S : ) n0 D cE mE #E

(8.58)

Damit ist nach (8.53)

Einsetzen der Werte in (8.58) ergibt n0 D 172 Eiswürfel. Wegen dieser hohen Anzahl an Eiswürfeln ist es nicht möglich, ein Getränk mit Eiswürfeln zum Gefrieren zu bringen.

Lösung zu Aufgabe 69: Selbstzünder a) Bestimmung des Enddrucks p2 und der Endtemperatur T2 Es liegt eine adiabatische Kompression von Luft vor, weil die Kolbenbewegung sehr schnell abläuft. Luft ist im Wesentlichen ein zweiatomiges Gas aus Stickstoff- und Sauer-

194

8 Gase und Thermodynamik

stoffmolekülen mit f D 5 Freiheitsgraden. Die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist f CV D R : (8.59) 2 Mit (8.59) gilt für den Adiabatenkoeffizienten D

Cp 2 CV C R R D D1C f D1C : CV CV f 2R

(8.60)

Einsetzen von f D 5 in (8.60) ergibt den Adiabatenkoeffizienten  D 1;4 für Luft. Bezeichnet der Index 1 den Anfangszustand und Index 2 den Endzustand der Zustandsänderungen, dann sind folgende Annahmen sinnvoll: p1 D 100 hPa (Normaldruck) und T1  300 K. Für die adiabatische Zustandsänderung gilt  p1 V1 D p2 V2

,

p2 D p1

V1 V2

 :

(8.61)

Einsetzen der Werte in (8.61) ergibt den Enddruck p2 D 4400 hPa, also den 44-fachen Anfangsdruck. Für die adiabatische Zustandsänderung gilt auch  1 V1 : (8.62) T1 V11 D T2 V21 ) T2 D T1 V2 Einsetzen der Werte in (8.62) ergibt die Endtemperatur T2 D 886 K D 613 ı C. Die Zündtemperatur von Dieselkraftstoff liegt mit ca. 250 ı C unterhalb von 613 ı C, und dieser entzündet sich. b) Bestimmung der Verdichtungsarbeit W Die verrichtete Verdichtungsarbeit W ist nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik und wegen Q D 0 für adiabatische Zustandsänderungen gleich der Zunahme U der inneren Energie der Luft: W D CV n.T2  T1 / D

5 Rn.T2  T1 / : 2

(8.63)

Die Stoffmenge n kann mit der allgemeinen Gasgleichung für den Anfangszustand 1 berechnet werden: p1 V1 : (8.64) p1 V1 D nRT1 , n D RT1 Einsetzen von (8.64) in (8.63) ergibt W D

5 p1 V1 .T2  T1 / : 2 T1

Einsetzen der Werte in (8.65) ergibt die Verdichtungsarbeit W D 977 J.

(8.65)

8.4 Lösungen

195

Lösung zu Aufgabe 70: Thermodynamischer Kreisprozess a) Bestimmung der Volumina V1 ; V2 ; V3 ; V4 und Temperatur T3 Nach der allgemeinen Gasgleichung ist p4 V4 D nRT4

)

V4 D

nRT4 : p4

(8.66)

Einsetzen der Werte in (8.66) ergibt das Volumen V4 D 29;9 l. Somit sind V2 D 3V4 D 89;7 l, V3 D V2 D 89;7 l und V1 D V4 D 29;9 l. Die Zustandsänderung 3 ! 4 ist isotherm, also ist die Temperatur T3 D T4 D 360 K. Bestimmung der Drücke p3 , p2 , p1 und der Temperaturen T1 , T2 Nach der allgemeinen Gasgleichung ist p3 V3 D nRT3

)

p3 D

nRT3 : V3

(8.67)

Einsetzen der Werte in (8.67) ergibt den Druck p3 D 0;667  105 Pa. Daraus erhält man den Druck p2 D 2p3 D 1;33  105 Pa. Gemäß der allgemeinen Gasgleichung gilt p2 V2 D nRT2

)

T2 D

p2 V2 : nR

(8.68)

Einsetzen der Werte in (8.68) ergibt die Temperatur T2 D 720 K. Nach Aufgabenstellung ist die Zustandsänderung 1 ! 2 isotherm, also ist T1 D T2 D 720 K. Bei der Zustandsänderung 4 ! 1 wird die Temperatur bei konstantem Volumen verdoppelt, also ist p1 D 2p4 D 4  105 Pa. Die gegebenen und berechneten Werte der Zustandsgrößen sind in Tab. 8.3 zusammengestellt. b) Arbeit Wi;j , Wärmeenergie Qi;j und Änderung der inneren Energie Ui;j bei Zustandsänderungen Die gesuchten Größen werden mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, Qi;j D Ui;j  Wi;j ;

Tab. 8.3 Gegebene und berechnete Werte der Zustandsgrößen

Zustand 1 2 3 4

Druck p= Pa 4  105 1;33  105 0;667  105 2  105

(8.69)

Volumen V = l 29;9 89;7 89;7 29;9

Temperatur T = K 720 720 360 360

196

8 Gase und Thermodynamik

und dem Zusammenhang 1 f nRT (8.70) 2 zwischen innerer Energie U und Temperatur T eines idealen Gases berechnet. Für ein ideales einatomiges Gas ist die Zahl der Freiheitsgrade f D 3. U D

Zustandsänderung 4 ! 1 Es ist W4;1 D 0, da V D konst. Nach (8.69) und (8.70) und mit W4;1 D 0 ist Q4;1 D U4;1 D

3 nR.T1  T4 / : 2

(8.71)

Einsetzen der Werte in (8.71) ergibt die Wärmemenge bzw. die Änderung der inneren Energie Q4;1 D U4;1 D 8;98 kJ. Zustandsänderung 1 ! 2 Für die isotherme Zustandsänderung ist U1;2 D 0 und nach (8.69) Q1;2 D W1;2 :

(8.72)

Für die Arbeit bei isothermer Zustandsänderung (Temperatur T ) gilt W4;1 D nRT ln

V2 : V1

(8.73)

Einsetzen von (8.73) in (8.72) ergibt Q1;2 D W1;2 D nRT1 ln

V2 : V1

(8.74)

Einsetzen der Werte in (8.74) ergibt die Wärmemenge Q1;2 D 13;2 kJ und die Arbeit W1;2 D 13;2 kJ. Zustandsänderung 2 ! 3 Es ist W2;3 D 0, da V D konst. Nach (8.69) und (8.70) und mit W4;1 D 0 ist Q2;3 D U2;3 D

3 nR.T3  T2 / : 2

(8.75)

Einsetzen der Werte in (8.75) ergibt die Wärmemenge bzw. die Änderung der inneren Energie Q2;3 D U2;3 D 8;98 kJ. Die Ergebnisse sind in Tab. 8.4 zusammengestellt.

8.4 Lösungen

197

Tab. 8.4 Wärmemenge, Arbeit und Änderung der inneren Energie für die Zustandsänderung Zustandsänderung i !j 4!1 1!2 2!3 3!4

Wärmemenge Qi;j = kJ 8;98 13;2 8;98 6;58

Arbeit Wi;j = kJ 0 13;2 0 6;58

Änderung innere Energie Ui;j = kJ 8;98 0 8;98 0

Zustandsänderung 3 ! 4 Für die isotherme Zustandsänderung ist U3;4 D 0 und nach (8.69) und (8.73) ist Q3;4 D W3;4 D nRT3 ln

V4 : V3

(8.76)

Einsetzen der Werte in (8.76) ergibt die Wärmemenge Q3;4 D 6;58 kJ und die Arbeit W3;4 D 6;58 kJ. Die Ergebnisse sind in Tab. 8.4 zusammengestellt. c) Bilanzen und Zusammenhänge der Zustandsgrößen Die insgesamt pro Zyklus verrichtete Arbeit ist W4;4 D W4;1 C W1;2 C W2;3 C W3;4 :

(8.77)

Einsetzen der Werte aus Teilaufgabe b ergibt die Arbeit W4;4 D 6;62 kJ. Die Arbeit W4;4 ist negativ, da diese vom Gas (System) verrichtet bzw. abgegeben wurde. Die Energie zum Verrichten dieser Arbeit wurde dem System in Form von Wärmeenergie zugeführt. Da die Ausgangs- und Endtemperatur eines Zyklus gleich sind, ist die Änderung der inneren Energie U4;4 D 0 J, und die zugeführte Wärmemenge Q4;4 muss nach (8.69) mit der verrichteten Arbeit übereinstimmen: Q4;4 D Q4;1 C Q1;2 C Q2;3 C Q3;4 D W4;4 : Demnach ist die Wärmemenge Q4;4 D 6;62 kJ.

(8.78)

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

9.1

Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung

Aufgabe 71: Leckende Wassertonne Schauen Sie sich die beiden Videoexperimente und Abb. 9.1 an.

(VA)

a. Leiten Sie eine Formel für die Entfernung a her, in der der Wasserstrahl auf den Boden trifft. Berechnen Sie a und kontrollieren Sie das Ergebnis experimentell. b. Leiten Sie eine Formel für die Tiefe h0 her, in der sich ein zweites Leck befinden muss, dessen Wasserstrahl ebenfalls in der Entfernung a auf den Boden trifft. Berechnen Sie h0 und kontrollieren Sie das Ergebnis experimentell.

Abb. 9.1 Aus einer vertikalen, mit gefärbtem Wasser gefüllten Glasrohr tritt in verschiedenen Höhen seitlich ein Wasserstrahl aus h x H

h

y a

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_9

199

200

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

c. Auf der Wasseroberfläche lastet zusätzlich zum Luftdruck p0 der Druck p. Leiten Sie eine Formel für die Tiefe h0 des zweiten Lecks her, dessen Wasserstrahl ebenfalls in der Entfernung a auf den Boden trifft. Welchen prinzipiellen Unterschied zum Ergebnis der Teilaufgabe b gibt es? http://tiny.cc/xkfzly

http://tiny.cc/blfzly

Aufgabe 72: Venturi-Rohr Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 9.2 an.

(VA)

a. Überprüfen Sie, dass der angezeigte Druck pA1 der Differenzdruck p zwischen oberer und mittlerer seitlicher Rohröffnung ist. Erklären Sie mit der Bernoulli-Gleichung, weshalb mit zunehmender Volumenstromstärke VP der Differenzdruck p sinkt und negativ wird. b. Leiten Sie die VP .p/-Funktion her. Berechnen Sie VP für p D 0.

Druckanzeige (Differenzdruck Δp)

Interface

Δh = 4,7 cm Venturi-Rohr Wasser (Dichte ρ = 1 g/cm3 ) Drucksensor

Abb. 9.2 Die Volumenstromstärke durch ein vertikales Venturi-Rohr wird kontinuierlich erhöht und der Differenzdruck an den beiden Querschnittsflächen gemessen

9.2 Laminare Strömungen

201

http://tiny.cc/4kfzly

Aufgabe 73: Strahlverjüngung (mVA) Videografieren Sie einen Wasserstrahl, der aus einer kreisförmigen Öffnung (z. B. einem Wasserhahn) fließt. a. Erklären Sie, weshalb der Durchmesser des Wasserstrahls nach unten hin abnimmt. b. Zeigen Sie, dass für den Querschnitt A des Wasserstrahls nach der Fallstrecke h A.h/ D q

A0 v0 2gh C v02

gilt, wobei v0 die Ausströmungsgeschwindigkeit des Wassers aus der Öffnung mit der Querschnittsfläche A0 ist. c. Nehmen Sie eine A.h/-Messreihe auf und vergleichen Sie diese durch anpassen der A.h/-Funktion aus Teilaufgabe b.

9.2 Laminare Strömungen Aufgabe 74: Absinken in zähen Medien Schauen Sie sich die beiden Videoexperimente und Abb. 9.3 an.

(VA)

Abb. 9.3 Zwei Stahlkugeln mit verschiedenen Radien werden in Glycerin fallen gelassen Zeitpunkt t = 0 0

Stahlkugeln (Dichte ρS = 7,86 g/cm3 , Widerstandsbeiwert cW = 0,5, Radius r = 6 mm bzw. Radius r = 2 mm) y

Glycerin (Za ¨higkeit ηG = 1,35 Pa · s, Dichte ρG = 1,25 g/cm3 )

202

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

a. Stellen Sie eine y.t/-Messreihe der 2-mm-Stahlkugel dar. Warum erreicht die Stahlkugel eine Endgeschwindigkeit? Untersuchen Sie, ob Stokes’sche oder Newton’sche Reibung vorliegt. b. Stellen Sie die Differenzialgleichung für v.t/ der Stahlkugelbewegung auf. Zeigen Sie, dass  g  1  ek t v.t/ D k mit  

G 9G und kD 2 g D g 1 

S 2r S eine Lösung der Differenzialgleichung ist. Berechnen Sie die Einstellzeit tE für die 2-mm-Stahlkugel mit 

1 v.tE / D lim v.t/ 1  t !1 e



g D k

  1 1 : e

c. Die Reynolds-Zahl Re D G v2r=G beschreibt das Verhältnis von Beschleunigungszu Reibungskräften in einer Flüssigkeit. Für Re  Rek D 1 (kritische Reynolds-Zahl Rek ) wird die Strömung um die sinkende Stahlkugel turbulent. Welchen maximalen Radius rmax darf die Stahlkugel zur Anwendung der Stokes’schen Reibungskraft haben? Verifizieren Sie das Ergebnis experimentell mit der 6-mm-Stahlkugel. http://tiny.cc/klfzly

http://tiny.cc/alfzly

Aufgabe 75: Laminare Rohrströmung Schauen Sie sich die beiden Videoexperimente und Abb. 9.4 an.

(VA)

a. Der Flüssigkeitspegel im Standzylinder wird konstant gehalten. Leiten Sie eine Formel für die Volumenstromstärke VP her. Berechnen Sie den Wert von VP und kontrollieren Sie diesen experimentell. b. Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit vmax in der Rohrmitte und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit v im Rohr.

9.2 Laminare Strömungen Abb. 9.4 Aus einem Standzylinder fließt Rapsöl über ein horizontales Rohr in einen Messzylinder

203

D = 6,2 cm

h0

Laminar stro¨mendes Rapso¨l 3 (Dichte ρOl ¨ = 0,92 g/cm , = 0,062 Pa · s) Zhigkeit ηOl ¨

Messzylinder

 Horizontales Rohr (La¨nge  = 0,535 m, Innendurchmesser d = 7,0 mm) 10 ml

c. Der Flüssigkeitsspiegel im Standzylinder wird nicht konstant gehalten. Leiten Sie die h.t/-Funktion her, mit der die Höhe h des Flüssigkeitsspiegels abnimmt. Kontrollieren Sie in einem Diagramm die Richtigkeit der h.t/-Funktion durch Vergleich mit einer h.t/-Messreihe. http://tiny.cc/ulfzly

http://tiny.cc/5lfzly

Aufgabe 76: Auslaufendes Gefäß Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 9.5 an.

(VA)

a. Leiten Sie die h.t/-Funktion her mit der die Höhe h des Wasserspiegels abnimmt. Bestimmen Sie die Zeit tA zum vollständigen Auslaufen des Wassers. b. Kontrollieren Sie in einem Diagramm die Ergebnisse aus Teilaufgabe a durch Vergleich mit einer h.t/-Messreihe. c. Erklären Sie die nichtlineare Höhenabnahme.

204

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Abb. 9.5 Aus einem Loch im Boden eines Zylinders fließt gefärbtes Wasser aus

D = 5,5 cm Reibungsfreie, laminare Strömung

h0

Loch (Radius r = 2,35 mm)

http://tiny.cc/wlfzly

9.3

Turbulente Strömungen und Strömungswiderstand

Aufgabe 77: Ausrollversuch Auf ebener Strecke und bei Windstille wird der Motor eines Autos (Querschnittsfläche A D 2;2 m2 , Masse m D 1;5 t, Rollreibungskoeffizient R , Widerstandsbeiwert cw ) ausgeschaltet, und folgende Messdaten aufgenommen: Geschwindigkeit v= km h

100

90

80

70

60

50

40

Zeit t =s

0

5;8

12;6

20;3

29;0

38;7

49;5

a. Stellen Sie in einem a.v 2 /-Diagramm die mittlere Beschleunigung des Autos dar. b. Leiten Sie die a.v/-Funktion her und bestimmen Sie R und cW des Autos. Aufgabe 78: Fallen mit Luftreibung Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 9.6 an.

(VA)

a. Nehmen Sie eine y.t/-Messreihe der Styroporkugel mit y.0/ D 0 auf und stellen Sie den a.t/-, v.t/- und y.t/-Graphen in einem gemeinsamen Diagramm dar. Erklären Sie qualitativ den Verlauf des v.t/-Graphen. Welchen Wert hat a.0/?

9.3 Turbulente Strömungen und Strömungswiderstand Abb. 9.6 Eine Styroporkugel wird aus großer Höhe fallen gelassen

205

Styroporkugel (Masse m = 27,8 g, Radius r = 7,5 cm, Widerstandsbeiwert cW )

0

Luftdichte ρL = 1,3 kg/m3

Geschossho ¨he 3,37 m

y

Zeitpunkt t = 0

b. Leiten Sie eine Formel für die Endgeschwindigkeit vE der Kugel unter Annahme Newton’scher Reibung her. Stellen Sie die Differenzialgleichung der fallenden Styroporkugel auf und zeigen Sie, dass   g t v.t/ D vE tanh vE eine spezielle Lösung der Differenzialgleichung ist. Leiten Sie die y.t/-Funktion für die Anfangsbedingung y.0/ D 0 her. c. Berechnen Sie die Einstellzeit tE , für die gilt: e2  1 vE D 0;76vE : eC1 Zeigen Sie, dass für t  tE die Bewegung der Kugel näherungsweise als freier Fall betrachtet werden kann. d. Bestimmen Sie den cW -Wert der Styroporkugel durch Anpassen der y.t/-Funktion an die y.t/-Messreihe. Hinweise: Z 1 tanh.ax/dx D ln.cosh.ax// C C a ex  ex tanh.x/ D x e C ex x e  1 für jxj  1 v.tE / D

http://tiny.cc/0lfzly

206

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Aufgabe 79: Dynamischer Auftrieb am Tragflügel Die Strömungsgeschwindigkeit vo der Luft (Dichte L D 1;3 kg=m3 , inkompressibel und reibungsfrei) an den Tragflügeloberseiten eines Düsenflugzeugs (Masse m D 10 t) ist 1;5mal so groß wie die Strömungsgeschwindigkeit vu an den Tragflügelunterseiten (gesamte Tragflügelfläche A D 48 m2 ). Die Strömungsgeschwindigkeit an den Tragflügelunterseiten sei gleich der Geschwindigkeit des Düsenflugzeugs über Grund. a. Bestimmen Sie die Mindestgeschwindigkeit vmin , bei der das Düsenflugzeug von der Startbahn abhebt. b. Berechnen Sie die statischen Drücke po und pu an den Tragflügeln und die Auftriebskraft FA für v D 172 m=s (halbe Schallgeschwindigkeit). Bewerten Sie das Ergebnis. Aufgabe 80: Fallkegel (mVA) Videografieren Sie das Fallen eines Fallkegels in Luft. Ein Fallkegel lässt sich z. B. mit einem aus Papier geschnittenen Kreissektor wie in Abb. 9.7 herstellen, indem man die zwei begrenzenden Radien übereinander legt. a. Bestimmen Sie experimentell die Endgeschwindigkeit vE und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem theoretischen Wert, der im dynamischen Kräftegleichgewicht zwischen Luftreibungskraft FEL und Gewichtskraft FEG zu erwarten ist. Hinweis: 1 FL D cW Av 2 ; 2 wobei A die effektive Querschnittsfläche des Fallkegels, L die Luftdichte und cW der Widerstandsbeiwert des Körpers ist. Messen Sie für den Vergleich fehlende Größen bzw. schätzen Sie diese sinnvoll ab. b. Fertigen Sie mehrere identische Fallkegel an und bestimmen Sie vE für mindestens vier verschiedene Kegelmassen gleichen Querschnitts (legen Sie dazu die identischen Kegel ineinander). Tragen Sie vE gegen m geeignet auf, um den Widerstandsbeiwert cW des Fallkegels bestimmen zu können. Aufgabe 81: Rotierende Rolle im Flug (mVA) Videografieren Sie den Flug einer rotierenden Papprolle. Wickeln Sie dazu einen gespannten Haushaltsgummi um eine Küchenpapierrolle (Hohlzylinder mit Radius r und Höhe h)

Abb. 9.7 Vorlage zum Anfertigen eines Fallkegels aus Papier

9.4 Lösungen

207

Abb. 9.8 Eine Küchenpapierrolle wird mit einem aufgewickelten Haushaltsgummi horizontal abgeschossen

und schießen Sie diese horizontal in x-Richtung ab (Abb. 9.8). Durch den Haushaltsgummi wird die Rolle in Rotation um ihre Symmetrieachse (y-Richtung) versetzt und erhält eine Anfangsgeschwindigkeit vx0 . a. Geben Sie Ausdrücke für die Kräfte an, die während des Flugs auf die Rolle wirken, und stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. b. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine anfängliche Aufwärtsbewegung der Rolle zu beobachten ist?

9.4 Lösungen Lösung zu Aufgabe 71: Leckende Wassertonne a) Bestimmung der Entfernung a Der Wasserstrahl beschreibt die Bahnkurve y.x/ eines horizontalen Wurfs mit der Ausflussgeschwindigkeit v0 des Wassers als horizontale Abwurfgeschwindigkeit. Für die Bewegung in x- und y-Richtung gilt x D v0 t

,

x ; v0

(9.1)

1 2 gt : 2

(9.2)

tD

y.t/ D Einsetzen von (9.1) in (9.2) ergibt die Bahnkurve y.x/ D

g 2 x : 2v02

(9.3)

Der Punkt .a; H  h/ muss auf der Parabel (9.3) liegen: y.a/ D

g 2 a DH h 2v02

,

a2 D

2v02 .H  h/ : g

(9.4)

208

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Die Ausflussgeschwindigkeit v0 kann nach der Bernoulli-Gleichung berechnet werden. Für einen Punkt 1 an der Wasseroberfläche und einen Punkt 2 an der Ausflussöffnung gilt allgemein 1 1 (9.5) p1 C gh1 C v12 D p2 C gh2 C v22 : 2 2 Für Punkt 1 ist h1 D h, und es wird v1 D 0 angenommen, da v1  v0 ist. An beiden Punkten ist der statische Druck der Luftdruck p0 : 1 p0 C gh C 0 D p0 C 0 C v02 2

,

v0 D

p 2gh :

(9.6)

Einsetzen von (9.6) in (9.4) ergibt a2 D 4h.H  h/

)

p a D 2 h.H  h/ :

(9.7)

Längenmessungen ergeben die Strecken H D 69;8 cm, h D 22;9 cm und die Entfernung a D 64;9 cm. Einsetzen von H und h in (9.7) ergibt in guter Übereinstimmung mit dem gemessenen Wert die Entfernung a D 65;5 cm. b) Bestimmung der Tiefe h0 für zweites Leck mit gleicher Entfernung a Für die Tiefe h0 gilt nach (9.7) a0 D 4h0 .H  h0 / : 2

(9.8)

Es muss a0 D a sein. Gleichsetzen von (9.7) und (9.8) ergibt h0 .H  h0 / D h.H  h/ :

(9.9)

Die zwei Lösungen von (9.9) sind die triviale Lösung h01 D h und h02 D H  h. Alternativ dazu wird die quadratische Gleichung (9.9) gelöst: h0 2  H h0 C h.H  h/ D 0

s s 2  2  H H H H D  h.H  h/ D ˙ ˙ h 2 2 2 2 H H H H h01 D  C h D h; h02 D C h D H h: 2 2 2 2 (9.10) Messungen ergeben die Strecken H D 67;9 cm, h D 19;2 cm und h0 D 49;1 cm. Nach (9.10) ist die Strecke h0 D 48;7 cm. h01=2

c) Bestimmung der Entfernung a für zusätzlichen Druck p auf der Wasseroberfläche Mit einem zusätzlichen Druck p ist nach (9.5) 1 .p C p0 / C gh D p0 C v02 2

,

v02 D

2.p C gh/ :

(9.11)

9.4 Lösungen

209

Einsetzen von (9.11) in (9.4) ergibt 4.p C gh/.H  h/ a2 D ,aD2 g

s

.p C gh/.H  h/ : g

(9.12)

Eine Überprüfung mit p D 0 in (9.12) ergibt (9.7). Einsetzen der Werte in (9.12) ergibt die Strecke a D 1;45 m. Berechnung der Tiefe h0 eines zweiten Lecks mit a D a0 Für die Tiefe h0 gilt 4.p C gh0 /.H  h0 / 2 : a0 D g

(9.13)

Wie in Teilaufgabe b muss a0 D a sein. Gleichsetzen von (9.13) und 9.12) ergibt 4.p C gh0 / .4p C gh/ .H  h0 / D .H  h/ : g

g

(9.14)

Umformen von (9.14) ergibt mit h0 D p=. g/ die quadratische Gleichung für h0 : h0  h0 .H  h0 / C h.H  h  h0 / D 0 : 2

(9.15)

Die beiden Lösungen von (9.15) sind h01=2

r

1 .H  h0 /2  h.H  h  h0 / 4 s 2  1 1 D .H  h0 / ˙ .H  h0 /  h 2 2 ˇ ˇ ˇ1 ˇ 1 D .H  h0 / ˙ ˇˇ .H  h0 /  hˇˇ : 2 2 1 D .H  h0 / ˙ 2

(9.16)

In (9.16) kann der Betrag wegen des ˙-Zeichens weggelassen werden. Die Lösungen von (9.16) sind damit  1 1 D .H  h0 / C .H  h0 /  h D H  h  h0 ; 2 2  1 1 0 h2 D .H  h0 /  .H  h0 /  h D h : 2 2 h01

Einsetzen von h0 D 0 bzw. p D 0 in (9.17) ergibt zur Kontrolle (9.10).

(9.17)

210

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase h1

Abb. 9.9 Mögliche Lösungen .h; h01 / für die beiden Ausflussöffnungen

H

h

0

H − h0

=

0

h

0

=

H h

H − h0

H

Prinzipieller Unterschied zum Ergebnis der Teilaufgabe b Die Ausflussöffnungen liegen nun nicht mehr symmetrisch zur mittleren Höhe H=2, da z. B. für h D 0 in (9.17) die Tiefe h0 D H  h0 beträgt, also um h0 über dem Boden der Wassertonne liegt. Darstellung der möglichen Punkte .h; h01 / für h0 D 0 und h0 D H ergibt Abb. 9.9. Nur für h0 2 Œ0; H  können zwei Ausflussöffnungen mit a D a0 positioniert werden. Für festes h der ersten Ausflussöffnung nimmt h01 mit zunehmendem h0 bzw. Druck p ab, d. h., das zweite Leck wandert in Richtung Wasseroberfläche.

Lösung zu Aufgabe 72: Venturi-Rohr a) Messung des statischen Differenzdrucks p D pA1 Beim quasistatischen Füllen des Venturi-Rohrs wird erst ein von null verschiedener Druck p gemessen, wenn der Wasserspiegel mindestens die Höhe h1 erreicht hat, weil dann p1 ¤ p2 wird (Abb. 9.10). Danach nimmt der Druck p zu, weil der hydrostatische Druck am Querschnitt A1 mit steigendem Wasserspiegel zunimmt. Steigt der Wasserspiegel auf die Höhe H > h2 , dann ist p konstant. Es wird also der statische Differenzdruck p D p1  p2 der Flüssigkeit gemessen. Dieser ist p D p1  p2 D g.H  h1 /  g.H  h2 / D g.h2  h1 / D gh : Abb. 9.10 Geometrie des Venturi-Rohrs zur Berechnung des Differenzdrucks p D p1  p2

(9.18)

A2

p2 Δh p1

H h2

A1 h1

9.4 Lösungen

211

Einsetzen der Werte in (9.18) ergibt die Druckdifferenz p D 4;6 hPa. Die Messung ergibt in guter Übereinstimmung die Druckdifferenz p D 4;7 hPa. Erklärung der Abnahme des Differenzdrucks p bei zunehmender Volumenstromstärke VP Nach der Bernoulli-Gleichung gilt 1 1 p1 C gh1 C v12 D p2 C gh2 C v22 2 2

 1  (9.19) , p1  p2 D p D g .h2  h1 / C v22  v12 D phyd  pdyn : „ ƒ‚ … „ 2 ƒ‚ … >0

0

VP D 0 Einsetzen von v1 D v2 D 0 in (9.19) ergibt zur Kontrolle (9.18). VP ¤ 0 Wegen der Kontinuitätsgleichung ist Av konstant. Da für die Querschnittsflächen A1 < A2 gilt, ist die Strömungsgeschwindigkeit v1 immer größer als die Strömungsgeschwindigkeit v2 , und es ist pdyn < 0 in (9.19). Da phyd konstant ist und pdyn mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeitsdifferenz abnimmt, kann p D 0 und p < 0 werden. b) Herleitung der VP .p/-Funktion Nach der Kontinuitätsgleichung ist A1 v1 D A2 v2

,

v2 D

A1 v1 : A2

"

2

(9.20)

Einsetzen von (9.20) in (9.19) ergibt 1 p D g.h2  h1 / C v12 2

A1 A2

# 1 :

(9.21)

Für die Volumenstromstärke gilt VP D A1 v1

,

v1 D

VP : A1

(9.22)

Einsetzen von (9.22) in (9.21) ergibt # !2 "  VP A1 2 1 1 p D g.h2  h1 / C

2 A1 A2 v  v    u p u u2 u 2 gh  p  g.h  h / 2 1 u u



) VP .p/ D t Dt : 1 1  A12  A12 A2 A2 2

1

2

1

(9.23)

212

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Volumenstromstärke für p D 0 Einsetzen von p D 0 in (9.23) ergibt v u u 2gh P V .0/ D t 1 :  A12 A2 2

(9.24)

1

Einsetzen der Werte in (9.24) ergibt die Volumenstromstärke VP D 6;2  105 m3 =s D 62 ml=s.

Lösung zu Aufgabe 73: Strahlverjüngung a) Erklärung der Strahlverjüngung Die Wasserströmung kann annähernd als laminar und reibungsfrei angenommen werden. Es gilt die Kontinuitätsgleichung: A.h/v.h/ D konst.;

(9.25)

wobei A.h/ den Strahlquerschnitt und v.h/ die Fließgeschwindigkeit nach Durchlaufen der Fallstrecke h bezeichnen. Da die Fließgeschwindigkeit v aufgrund der Erdbeschleunigung mit zunehmender Fallstrecke zunimmt, muss der Strahlquerschnitt kleiner werden. Für h2 > h1 gilt nach (9.25) A.h2 / D A.h1 /

v.h1 / v.h2 /

mit

v.h2 / > v.h1 / :

(9.26)

Bei zu hohen Geschwindigkeiten ist die Strömung nicht mehr laminar, und es kommt zu Turbulenzen. Hinzu kommt, dass der Strahlquerschnitt nicht beliebig klein werden kann – die Oberflächenspannung einzelner Wasserteilchen führt zu einem Abriss des Strahls und es kommt zur Tröpfchenbildung (Abb. 9.11). b) Herleitung der A.h/-Funktion Zur Herleitung der A.h/-Funktion wird der Energieerhaltungssatz für die Fallstrecke h D 0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 und die Fallstrecke h angewendet: 1 1 2 v0 D v 2 .h/  gh : 2 2

(9.27)

Mit diesen Strecken ist (9.25) A.h/v.h/ D A0 v0

,

v.h/ D

A0 v0 : A.h/

(9.28)

9.4 Lösungen

213

Abb. 9.11 Zunehmende Instabilität des Wasserstrahls mit zunehmender Fallstrecke

Einsetzen von (9.28) in (9.27) und Auflösen nach A ergibt die gesuchte Funktion A0 v0 : A.h/ D q 2gh C v02

(9.29)

c) Vergleich der A.h/-Funktion und A.h/-Messreihe Der Strahlquerschnitt A.hi / wird in einem aufgenommenen Bild aus den gemessenen Durchmessern di für mehrere Fallstrecken hi gemäß Ai D di2 =4 berechnet. Abb. 9.12 zeigt eine gute Übereinstimmung von (9.29) für A0 D 0;31 cm2 und v0 D 31;0 cm=s mit der A.h/-Messreihe.

A(h)-Messreihe Strahlquerschnitt A/cm2

Abb. 9.12 A.h/-Diagramm des sich verjüngenden Wasserstrahls

3

8,0



A(h) = 2,58 cms /

cm 1.962 cm s2 · h + 961 s2

2

6,0 4,0 2,0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Fallstrecke h/cm

3

3,5

4

214

9

Abb. 9.13 y.t /-Diagramm der absinkenden 2-mm-Stahlkugel

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Ortskoordinate y/m

0,4 y(t)-Messreihe y(t) = 0,043 ms · t

0,3 0,2 0,1

0

1

2

3

4 Zeit t/s

5

6

7

8

Lösung zu Aufgabe 74: Absinken in zähen Medien a) y.t/-Diagramm der 2-mm-Stahlkugel In Abb. 9.13 ist die y.t/-Messreihe für die 2-mm-Stahlkugel dargestellt. Bestimmung der Endgeschwindigkeit vE für Newton’sche und Stokes’sche Reibungskraft Lineare Regression der y.t/-Messreihe ergibt die experimentell bestimmte Endgeschwindigkeit vE D 0;043 m=s (Abb. 9.13). Die Stahlkugel erreicht eine Endgeschwindigkeit vE , weil mit zunehmender Geschwindigkeit der Stahlkugel die Reibungskraft solange zunimmt bis die resultierende Kraft auf die Stahlkugel null ist. Für die Gewichtskraft FG der Stahlkugel, die Auftriebskraft FA und die Reibungskraft FR gilt bei Erreichung der Endgeschwindigkeit vE : (9.30) FG  FA D FR : Verwendung von (9.30) ergibt unter Annahme einer Newton’schen Reibungskraft FR D

1 cw G  r 2 v 2 2

(9.31)

eine Formel für die theoretische Endgeschwindigkeit vE der Stahlkugel: 4 3 1  r . S  G / g D cw G  r 2 v 2 3 2 s 8rg . S  G / ) vE D : 3cw G

(9.32)

Einsetzen der Werte in (9.32) ergibt vE D 0;744 m=s. Verwendung von (9.30) ergibt unter Annahme einer Stokes’schen Reibungskraft FR D 6 rv

(9.33)

9.4 Lösungen

215

eine Formel für die theoretische Endgeschwindigkeit vE der Stahlkugel: 4 3  r . S  G / g D 6 rv 3 2r 2 g . S  G / ) vE D : 9

(9.34)

Einsetzen der Werte in (9.34) ergibt vE D 0;042 m=s. Damit beschreibt das Modell mit Stokes’scher Reibungskraft die Bewegung besser. b) Differenzialgleichung der Stahlkugelbewegung Die Newton’sche Grundgleichung ergibt mS yR D .mS  mG / g  6 ryP  

G 9 , yR D 1  g  2 yP D g   k yP

S 2r S , vP D g   kv :

(9.35)

Nachweis, dass gegebene v.t/-Funktion Lösung von (9.35) ist Differenzieren der gegebenen Funktion v.t/ D y.t/ P D

 g  1  ek t k

(9.36)

ergibt y.t/ R D g  ek t :

(9.37)

Nach (9.37) und (9.36) gilt y.t/ R D g  ek t D g   k

 g  P ; 1  ek t D g   k y.t/ k

(9.38)

womit die v.t/-Funktion die Differenzialgleichung (9.35) löst. Bestimmung der Einstellzeit tE Nach der Aufgabenstellung gilt für die Einstellzeit    g  g 1 1  ek tE D v.tE / D 1 k k e 1 9 , tE D D 2 : k 2r S

(9.39)

Einsetzen der Werte für die 2-mm-Stahlkugel in (9.39) ergibt die Einstellzeit tE D 5;18  103 s D 5;19 ms.

216

9

Abb. 9.14 y.t /-Diagramm der absinkenden 6-mm-Stahlkugel

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Ortskoordinate y/m

0,4 y(t)-Messreihe y(t) = 0,19 ms · t

0,3 0,2 0,1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

Zeit t/s

c) Bestimmung des maximalen Radius rmax für laminare Strömung Einsetzen von (9.34) in die gegebene Formel für Re ergibt Re D

4r 3 g G . S  G /

G vE 2r : D  92

(9.40)

Für eine laminare Strömung muss gelten: Re < 1 4r 3 g G . S  G / < 1; 92 s 92 r< 3 D rmax : 4g G . S  G /

(9.41)

Einsetzen der Werte in (9.41) ergibt den maximalen Radius rmax D 3;7 mm. Lineare Regression ergibt für die Stahlkugel mit r D 6 mm > rmax eine Endgeschwindigkeit vE D 0;190 m=s (Abb. 9.14). Einsetzen der Werte in (9.34) ergibt eine zu große Endgeschwindigkeit vE D 0;384 m=s, weil keine laminare Strömung mehr vorliegt und die Reibungskraft nicht mehr proportional zur Geschwindigkeit der Stahlkugel ist.

Lösung zu Aufgabe 75: Laminare Rohrströmung a) Formel für die Volumenstromstärke VP im Rohr Da eine laminare Strömung durch ein Rohr vorliegt, wird das Hagen-Poiseuille-Gesetz r4 VP D .p2  p1 / 8`

(9.42)

angewendet. Ist h0 die Höhe des Flüssigkeitsspiegels über der Ausflussöffnung und p0 der Luftdruck, dann beträgt der Druck p2 am Rohranfang p2 D p0 C Ol R gh0

(9.43)

9.4 Lösungen

217

und der Druck p1 am Rohrende p1 D p0 :

(9.44)

Einsetzen von (9.43) und (9.44) in (9.42) ergibt r4 VP D

R gh0 : 8` Ol

(9.45)

Einsetzen der gemessenen Höhe h0 D 22;5 cm und der Werte in (9.45) ergibt die Volumenstromstärke VP D 3;53  106 m3 =s D 3;53 cm3 =s. Vergleich von berechneter und gemessener Volumenstromstärke In der Zeit t D 21;8 s fließt ein Flüssigkeitsvolumen V D 100 ml  20 ml D 80 ml in den Messzylinder. Die gemessene Volumenstromstärke V =t D 3;67 cm3 =s stimmt gut mit der berechneten überein. b) Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit vmax in der Rohrmitte und der mittleren Strömungsgeschwindigkeit vN Die Strömungsgeschwindigkeit vmax in der Rohrmitte ist gegeben durch vmax D

r2 r2 .p2  p1 / D

R gh0 : 4` 4Öl ` Ol

(9.46)

Einsetzen der Werte in (9.46) ergibt die maximale Strömungsgeschwindigkeit vmax D 0;183 m=s D 18;3 cm=s. Es ist VP D AvN

)

vN D

VP : r2

(9.47)

Einsetzen der Werte in (9.47) ergibt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit vN D 9;2 cm=s. c) Herleitung der h.t/-Funktion Die Volumenstromstärke in (9.45) wird zeitabhängig. Bezeichnet A D R2 die Querschnittsfläche des Standzylinders, dann ist r4 P VP D

Ol R gh.t/ D Ah.t/ ; 8Ol R ` 4 R g P C r Ol h.t/ D 0 : h.t/ 2 8Ol R `R

Mit D

r 4 Ol R g 2 8Ol `R R

(9.48)

(9.49)

218

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

0,3

Abb. 9.15 h.t /-Diagramm des sinkenden Rapsölspiegels im Standzylinder

h(t)-Messreihe 1

Ho¨he h/m

h(t) = 0,26 m · e−0,0052 s ·t 0,2

0,1

0

20

40

60

80 100 Zeit t/s

120

140

160

erhält man die homogene Differenzialgleichung erster Ordnung,

mit der bekannten Lösung

P C h.t/ D 0 ; h.t/

(9.50)

h.t/ D h0 et :

(9.51)

Vergleich von h.t/-Messreihe und h.t/-Funktion Einsetzen der Werte in (9.49) ergibt die Konstante  D 0;0052 s1 . Messung ergibt die Höhe h0 D 0;26 m. Es ist nach (9.51) 0;0052 h.t/ D 0;26 m  e. s /t :

(9.52)

Die h.t/-Funktion Funktion (9.52) stimmt gut mit der h.t/-Messreihe überein (Abb. 9.15).

Lösung zu Aufgabe 76: Auslaufendes Gefäß a) Herleitung der h.t/-Funktion Die Volumenstromstärke durch den Gefäßquerschnitt A0 D R2 ist wegen der Inkompressibililät von Wasser und nach der Kontinuitätsgleichung gleich der Volumenstromstärke durch den Lochquerschnitt A D  r 2 : A0 v0 D Av

,

R2 v0 D  r 2 v

,

v0 D

r2 v; R2

(9.53)

wobei v0 die Abnahmegeschwindigkeit der Flüssigkeitshöhe h und v die Ausströmungsgeschwindigkeit ist. Nach der Bernoulli-Gleichung gilt mit dem Luftdruck p0 und der Wasserdichte W 1 1 p0 C W v02 C W gh D p0 C W v 2 ; 2 2 (9.54) 1 2 1 2 v C gh D v : 2 0 2

9.4 Lösungen

219

Einsetzen von (9.53) in (9.54) ergibt mit r=R  1 für die Ausströmungsgeschwindigkeit s p 2gh 1 r2 2 1 2 v C gh ) v D  2gh : (9.55) v D 2 2 r 2 2R 1  R2 Da die Flüssigkeitshöhe abnimmt, gilt v0 D hP :

(9.56)

Einsetzen von (9.55) und (9.56) in (9.53) ergibt die Differenzialgleichung  r 2 p hP D  2gh : R

(9.57)

Separation der Variablen in (9.57) ergibt  2  r 2 p R dh 1 dh 2gh ) dt D  p p ; D dt R r 2g h  2 Zt Zh R 1 dh0 dt 0 D  p p ; r 2g h0 0



R t D r



h0

 2 R 2 hp 0 ih h D p h r 2g 0

s

p  2 p h0  h : g

Auflösen von (9.58) nach h ergibt  r 2 1  r 4 2 p gt  2gh0 t C h0 : h.t/ D 2 R R Bestimmung der Auslaufzeit tA des Wassers Einsetzen von h D 0 in (9.59) ergibt die Auslaufzeit  2 r R gh0 : tA D r 2

(9.58)

(9.59)

(9.60)

b) Vergleich der h.t/-Funktion und h.t/-Messreihe Die gemessene Ausgangshöhe ist h0 D 9;8 cm. Einsetzen der Werte in (9.59) ergibt   m m t C 0;01 m : (9.61) h.t/ D 2;61  104 2 t 2  0;01 s s Einsetzen der Werte in (9.60) ergibt die Auslaufzeit tA D 17;9 s. Die h.t/-Messreihe wird mit Koordinatenursprung am Gefäßboden aufgenommen und zusammen mit (9.61) in Abb. 9.16 dargestellt. Die geringen Abweichungen zwischen h.t/-Funktion und h.t/Messreihe sind auf Turbulenzen und eine nicht völlig reibungsfreie Strömung zurückzuführen. Die berechnete und gemessene Auslaufdauer tA stimmen gut überein (Abb. 9.16).

220

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

0,1 h(t)-Messreihe h(t) = 2,61 · 10−4 sm2 · t2 − 0,01 ms · t + 0,01 m

Ho¨he h/m

0,08 0,06 0,04 0,02

0

2

4

6

8 10 Zeit t/s

12

14

16

18

Abb. 9.17 a.v 2 /-Diagramm des ausrollenden Autos

Mittlere Beschleunigung a/ sm2

Abb. 9.16 h.t /-Diagramm des sinkenden Wasserspiegels 0,6

a(v 2 )-Messreihe 1 a(v 2 ) = 3,7 · 10−4 m · v 2 + 0,2 sm2

0,4

0,2

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2

Geschwindigkeitsquadrat v 2 / ms2

c) Erklärung der nichtlinearen Höhenabnahme Die Höhenabnahme ist nichtlinear, weil wegen der Höhenabnahme des Flüssigkeitsspiegels der hydrostatische Druck am Loch abnimmt und damit auch die Ausflussgeschwindigkeit v.

Lösung zu Aufgabe 77: Ausrollversuch a) Erstellen des a.v2 /-Diagramms Nach aN D v=t werden die mittleren Beschleunigungswerte im Zeitintervall t aus den gegebenen Messdaten bestimmt. Zwischen mittlerer Beschleunigung und dem Geschwindigkeitsquadrat besteht ein linearer Zusammenhang (Abb. 9.17). Lineare Regression der a.v 2 /-Messreihe ergibt a.v 2 / D bv 2 C c D 3;7  104

1 2 m  v C 0;2 2 : m s

(9.62)

9.4 Lösungen

221

b) Herleitung der a.v2 /-Funktion Anwendung des Newton’schen Grundgesetzes der Mechanik ergibt einen linearen Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeitsquadrat: 1 cw L Av 2 C R mg 2 cW Av 2 , a.v/ D C R g D bv 2 C c : 2m ma D

(9.63)

Bestimmung des Rollreibungskoeffizienten R und des Widerstandsbeiwerts cw Nach (9.62) gelten b D 3;7  104 m1 für die Steigung und c D 0;2 sm2 für den Achsenabschnitt der Regressionsgeraden a.v 2 /. Dies ergibt mit (9.63) den Rollreibungskoeffizienten R D 0;02 und den Widerstandsbeiwert cW D 0;4.

Lösung zu Aufgabe 78: Fallen mit Luftreibung a) y.t/-, v.t/- und a.t/-Messreihe In Abb. 9.18 sind die Messreihen dargestellt. Erklärung des v.t/-Graphen Auf die Styroporkugel wirkt während der gesamten Bewegung die nach unten gerichtete, konstante Gewichtskraft und die nach oben, der Bewegung entgegengesetzt gerichtete, geschwindigkeitsabhängige Newton’sche Reibungskraft. Nach Übergang zu skalaren Größen ist die resultierende Kraft (9.64) Fres D FG  FR : Zu Beginn der Bewegung ist Fres D FG , da FR bei vy D 0 verschwindet. Mit zunehmender Geschwindigkeit wird FR immer größer, die resultierende Kraft Fres immer kleiner, bis Fres D 0 und nach (9.64) (9.65) FG D FR ist und der Körper mit konstanter Endgeschwindigkeit vE fällt. Es ist a.0/ D g, da FR .t D 0/ D 0. b) Formel für die Endgeschwindigkeit vE Nach (9.65) ist die Gewichtskraft FG D mg

(9.66)

mit der Newton’schen Reibungskraft FR D

1 1 cW Av 2 D cW  r 2 v 2 2 2

(9.67)

222

9

Abb. 9.18 Kinematikdiagramm mit y.t /-, v.t /- und a.t /-Graphen der fallenden Styroporkugel

Strömende Flüssigkeiten und Gase

y(t)-Messreihe a(t)-Messreihe

20

v(t)-Messreihe y(t) = 1,21 m · ln(cos(1,42 1s · t))

y/m; v/ ms ; a/ sm2

y(t)

10

v(t)

a(t) 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Zeit t/s

gleichzusetzen: s 1 mg D cW  r 2 v 2 D kv 2 2

,

vE D

2mg : cW  r 2

(9.68)

Einsetzen der Werte in (9.68) ergibt die Endgeschwindigkeit vE D 7;26 m=s. Aufstellen der Differenzialgleichung Nach der Newton’schen Grundgleichung der Mechanik ma D mvP D Fres

(9.69)

ist mit (9.64), (9.66) und (9.68) sowie k D cW  r 2 =2 mvP D mg  kv 2 :

(9.70)

Prüfung der v.t/-Funktion als spezielle Lösung der Differenzialgleichung Mit g t xD vE und der gegebenen Beziehung tanh.x/ D

ex  ex ex C ex

(9.71)

(9.72)

ist die gegebene Lösung 

g v.t/ D vE tanh vE t

 D vE tanh x D vE

ex  ex : ex C ex

(9.73)

9.4 Lösungen

223

Ableiten von (9.73) nach der Quotientenregel ergibt v.t/ P D a.t/ D g

.ex C ex / .ex C ex /  .ex  ex / .ex  ex / "

Dg 1 

.ex C ex /2 #

.ex  ex /2 .ex

C

(9.74)

ex /2

 D g 1  tanh x : 2

Einsetzen von (9.73) und (9.74) in die Bewegungsgleichung (9.70) ergibt   mg 1  tanh2 x D mg  kvE2 tanh2 x : Nach (9.68) ist kD

mg : vE2

(9.75)

(9.76)

Einsetzen von (9.76) in (9.75) ergibt eine Identität und zeigt, dass (9.73) eine Lösung von (9.70) ist. Herleitung der y.t/-Funktion für die Anfangsbedingung y.0/ D 0 Unbestimmte Integration von (9.73) ergibt die Funktion   Z Z vE t dt C C y.t/ D v.t/ dt C C D vE tanh g    2 g v t CC : D E ln cosh g vE

(9.77)

Die Konstante C wird aus der Anfangsbedingung y.0/ D 0 bestimmt: y.0/ D

v2 vE2 lnŒcosh.0/ C C D E ln.1/ C C D 0 C C g g

(9.78)

) C D 0: Mit (9.78) ist (9.77) g !     g t t e vE C e vE g vE2 vE2 t D ln cosh ln : y.t/ D g vE g 2

(9.79)

c) Formel für die Einstellzeit tE Anwenden der gegebenen Bedingung v.tE / D

e2  1 vE e2 C 1

(9.80)

224

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

auf (9.73) ergibt g

v.tE / D vE

e vE e

tE

g vE tE

 vg tE

e

E

 vg tE E

Ce

D

e2  1 vE e2 C 1

)

tE D

vE : g

(9.81)

Freier Fall für Zeiten t  tE Umformung von (9.73) in eine näherungsfähige Form ergibt v.t/ D vE D vE D vE

g

t

 vg t

g vE

t

 vg t

e vE  e e

E

Ce

E

2 vg t

1e

E

2 vg E

1Ce

(9.82)

t

2 tt

1e

E

2 tt

1Ce

:

E

Anwenden der gegebenen Näherung ex  1 C x

(9.83)

für jxj  1, also t  tE , in (9.82) ergibt   t 1  1  2 ttE  D vE tE  v.t/  vE 1C 1 C 1 C 2 ttE  vE

t tE

t tE

(9.84)

1 t D vE D gt : tE

Das Ergebnis von (9.84) ist das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des freien Falls. d) Bestimmung des Widerstandsbeiwerts cW Einsetzen der Werte in (9.79) ergibt mit dem Parameter cW    2;42 m 1p y.t/ D ln cos 2;01 cW t : cW s

(9.85)

Bei Variation des cW -Werts in (9.85) wird für cW D 0;45 die beste Übereinstimmung von (9.85) mit der y.t/-Messreihe erzielt (Abb. 9.18). Der cW -Wert 0;45 stimmt gut mit dem Literaturwert für eine Kugel überein.

9.4 Lösungen

225

Lösung zu Aufgabe 79: Dynamischer Auftrieb am Tragflügel a) Mindestgeschwindigkeit zum Abheben von der Startbahn Mit pL wird der statische atmosphärische Luftdruck in Höhe des Düsenflugzeugs bezeichnet. Zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung und Berechnung der statischen Drücke po bzw. pu an der Tragflügeloberseite bzw. -unterseite werden jeweils zwei Stellen, A und B sowie A und C, zweier Stromfäden betrachtet (Abb. 9.19). Für den Stromfaden über der Tragfläche (von A nach B) gilt 1 1 pL C L vL2 D po C L vo2 : 2 2

(9.86)

Wegen vL D 0 ist

1 po D pL  L vo2 : 2 Analog gilt für den Stromfaden unter der Tragfläche (von A nach C) 1 pL D pu C L vu2 2

(9.87)

1 pu D pL  L vu2 : 2

)

(9.88)

Aufgrund der größeren Strömungsgeschwindigkeit an der Tragflügeloberseite nach vo D

3 vu 2

(9.89)

ist nach (9.87) und (9.88) pu > po , und die Druckdifferenz p an den Tragflügelflächen ist mit (9.87) und (9.88)   1 1 p D pu  po D pL  L vu2  pL  L vo2 2 2  5 1  2 D L vo  vu2 D L vu2 : 2 8

(9.90)

Diese Druckdifferenz erzeugt mit (9.90) eine Auftriebskraft FA : FA D pA D

Abb. 9.19 Stromlinienbild zur Berechnung der Auftriebskraft am Tragflügel

5

L Avu2 : 8

(9.91)

B A pL = 0 vL = 0

po

vo

pu

vu C

226

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Das Flugzeug hebt ab, wenn die Auftriebskraft FA mindestens so groß ist wie die Gewichtskraft FG des Flugzeugs: s 5 FA  FG ) L Avu2  mg 8

H)

8mg D vmin : 5 L A

vu 

(9.92)

Einsetzen der Werte in (9.92) liefert die Mindestgeschwindigkeit vmin D 50;15 ms D 180;5 km=h. b) Berechnung der statischen Drücke po und pu und der Auftriebskraft FA bei halber Schallgeschwindigkeit Einsetzen von vu D 344=2 m=s D 172 m=s, vo D 285 m=s und pL D 1013 hPa in (9.86) bzw. (9.88) liefert po D pu D 820;7 hPa und po D 580;3 hPa. Einsetzen in (9.91) liefert die Auftriebskraft FA D 1;15 MN. Bewertung des Ergebnisses Der unrealistische Wert von FA bzw. po und pu ist auf die bei höheren Geschwindigkeiten nicht erfüllten Geschwindigkeitsannahmen von vu D v und vo D 1;5vu zurückzuführen.

Lösung zu Aufgabe 80: Fallkegel Versuchsmaterial Wie in der Aufgabenstellung vorgeschlagen, können Fallkegel aus Papier ausgeschnitten werden. Alternativ bietet sich die Verwendung von Papierbackförmchen (Muffinförmchen) an. Um möglichst genaue Messwerte zu erhalten muss besonders darauf geachtet werden, dass der Kegel in der Ebene des mitgefilmten Maßstabs fällt. Die Endgeschwindigkeit stellt sich schon nach kurzer Fallstrecke bzw. kurzer Fallzeit ein. a) Vergleich von gemessener und berechneter Endgeschwindigkeit vE Aus dem v.t/-Diagramm (Abb. 9.20) wird die Endgeschwindigkeit vE D 1;50 m=s abgelesen. Im dynamischen Kräftegleichgewicht gilt s 1 mg D cW L AvE2 2

)

vE D

2mg : cW L A

(9.93)

Der verwendete Fallkegel hat die Masse m D 0;34 g und die Fläche A D 44 cm2 . Einsetzen der Werte, der Luftdichte L D 1;3 kg=m3 und des geschätzten Widerstandsbeiwerts cW D 0;50 in (9.93) ergibt die Endgeschwindigkeit vE D 1;53 m=s und stimmt gut mit dem gemessenen Wert überein.

9.4 Lösungen

1,5 Geschwindigkeit v/ ms

Abb. 9.20 v.t /-Diagramm eines Fallkegels, der die Endgeschwindigkeit vE erreicht

227

1,0 v(t)-Messreihe v(t) = vE = 1,5 ms

0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

Zeit t/s

Abb. 9.21 vE2 .m=m0 /Diagramm der Fallkegel unterschiedlicher Masse

10,00

2 vE (m/m0 )-Messreihe 2

2 vE (m/m0 ) = 2,51 ms2 ·

2 m vE /s

8,00

m m0

6,00 4,00 2,00

0

0,5

1

1,5 2 2,5 3 Massenverhältnis m/m0

3,5

4

b) Bestimmung des Widerstandsbeiwerts cW Durch das Aufeinanderlegen n identischer Fallkegel wird die Masse des fallenden Körpers bei gleicher Querschnittsfläche ver-n-facht. Gemäß (9.93) ist vE2 D

2gm0 m m Db ;  cW L A m0 m0

(9.94)

weshalb in Abb. 9.21 die quadrierte Endgeschwindigkeit gegen das Massenverhältnis m=m0 für vier Kegelmassen aufgetragen ist. Aus der Steigung b D 2;51 m2 =s2 der Regressionsgeraden berechnet sich ein Widerstandsbeiwert cW D 0;5.

Lösung zu Aufgabe 81: Rotierende Rolle im Flug a) Bewegungsgleichung der Rolle Unter der Annahme, dass die Bewegung der Rolle in der x-z-Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit !E D ! eEy erfolgt, wirken während des Flugs die Magnus-Kraft FEM , die Gewichtskraft FEG sowie die Newton’sche Reibungskraft FEL auf die Rolle (Masse m,

228

9

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Radius r, Länge `, Luftdichte L ): 0

FEM

FEG

FEL

1 !vz   B C D L  r 2 ` vE !E D c1 @ 0 A ; !vx 1 0 0 C B D mgE ez D m @ 0 A ; g 1 0 vx 1 C B D  cW L 2`rv vE D c2 v @ 0 A 2 vz

(9.95)

(9.96)

(9.97)

p mit v D jE v j D vx2 C vz2 , c1 D L  r 2 ` und c2 D cW L `r. Die Bewegungsgleichung lautet mit (9.95), (9.96) und (9.97) 1 p c1 !vz  c2 vx2 C vz2 vx C B mrER D FEM C FEG C FEL D @ 0 A: p 2 2 c1 !vx  mg  c2 vx C vz vz 0

(9.98)

b) Bedingung für Aufwärtsbewegung Im Experiment kann eine anfängliche Aufwärtsbewegung beobachtet werden, wenn zR .0/ > 0 gilt. Aus (9.98) ergibt sich die Bedingung q c1 !vx .0/  mg  c2 vx2 .0/ C vz2 .0/vz .0/ > 0 :

(9.99)

Da die Rolle zu Bewegungsbeginn nur eine Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung besitzt, folgt aus (9.99) unter Verwendung von (9.95) !vx .0/ >

mg mg D : c1

L  r 2 `

(9.100)

Zu Bewegungsbeginn sind Winkelgeschwindigkeit der Rolle und Translationsgeschwindigkeit des Schwerpunkts über die Abrollbedingung vx .0/ D !r verknüpft. Daraus ergibt sich r mg vx .0/ > : (9.101)

L  r` Der Effekt ist folglich einfacher für große, leichte Rollen zu beobachten.

Mechanische Schwingungen und Wellen

10

10.1 Freie Schwingungen Aufgabe 82: Schwimmender schwingender Körper Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 10.1 an.

(VA)

a. Erklären Sie qualitativ, warum der Körper eine harmonische Schwingung ausführt. b. Stellen Sie die Differenzialgleichung der ungedämpften Schwingung auf und leiten Sie damit eine Formel für die Schwingungsdauer T0 her. c. Vergleichen Sie die nach Teilaufgabe b berechnete Schwingungsdauer T0 mit der gemessenen Schwingungsdauer T . Erklären Sie Abweichungen.

Abb. 10.1 Ein zylindrischer Körper schwingt in Wasser

y

0 Zylindrischer Körper (Masse m = 335 g, Durchmesser d = 5,55 cm)

d

Wasser (Dichte ρW = 1 g/cm3 )

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 S. Gröber et al., Smarte Aufgaben zur Mechanik und Wärme, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54479-2_10

229

230

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

http://tiny.cc/5mfzly

Aufgabe 83: Ungedämpftes und gedämpftes Federpendel Ein Federpendel (Federkonstante D D 10 N=m, Masse m D 0;1 kg) schwingt ungedämpft mit der Amplitude yO D 0;3 m und der Schwingungsdauer T0 . Mit Dämpfung verringert sich die Amplitude innerhalb von zehn Schwingungen auf die Hälfte. a. Stellen Sie die Differenzialgleichung des ungedämpften Federpendels auf. Zeigen Sie, dass y.t/ D yO cos.!0 t/ eine Lösung der Differenzialgleichung ist. b. Berechnen Sie die Schwingungsdauer T0 , die Geschwindigkeitsamplitude vO der Masse und die Gesamtenergie Eges des ungedämpften Federpendels. c. Berechnen Sie die Dämpfungskonstante  für die Schwingungsdauer T D T0 . Aufgabe 84: Schwingung einer Wassersäule Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 10.2 an.

(VA)

a. Erklären Sie, weshalb eine harmonische Schwingung entsteht. b. Leiten Sie eine Formel für die Schwingungsdauer T0 einer ungedämpften Schwingung der Wassersäule her. Vergleichen Sie die berechnete und gemessene Schwingungsdauer. c. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante  durch Anpassung einer geeigneten Dämpfungsfunktion. Zeigen Sie, dass die Dämpfungsverstimmung der Schwingungsdauer kleiner als 1 % ist. Abb. 10.2 Die Wassersäule in einem U-Rohr wird durch Unterdruck aus dem Gleichgewicht gebracht und schwingt nach Aufheben des Unterdrucks gedämpft

Holzkugel (Zeitpunkt t = 0 für Umkehrpunkt) Statische Ruhelage

y

0

10.2 Erzwungene Schwingungen

231

http://tiny.cc/umfzly

10.2 Erzwungene Schwingungen Aufgabe 85: Zungenfrequenzmesser Mit Zungenfrequenzmessern wird die Frequenz technischer Wechselströme gemessen und kontrolliert. Dazu erzeugt der Wechselstrom ein magnetisches Wechselfeld gleicher Frequenz, in dem sich mehrere Biegeschwinger unterschiedlicher Resonanzfrequenz befinden (Abb. 10.3). Ein Biegeschwinger besteht modellhaft aus einer Blattfeder (Federkonstante D D 987 N=m) mit einem daran befestigten magnetisierbaren Material (Masse m D 10 g). a. Es fließt kein Wechselstrom. Nach Auslenkung der Masse m halbiert sich die Schwingungsamplitude innerhalb von 10 s. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante  und die Frequenz f der gedämpften Schwingung. b. Bei der Resonanzfrequenz f0 schwingt der Biegeschwinger mit einer Amplitude xO D 5 mm. Mit welcher Kraftamplitude FO wird die Zunge angeregt? Wie groß ist die Phasenverschiebung ' zwischen dem Wechselstrom und der Schwingung? Eilt die Schwingung dem Wechselstrom voraus oder nach? Hinweis: Für den Amplituden- und Phasengang gelten x.!/ O D m

q

FO !02  ! 2

2

und C 4 2 ! 2

tan '.!/ D 

2! ; !02  ! 2

wobei ! die Kreisfrequenz des Biegeschwingers ist, !0 die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung und  die Dämpfungskonstante.

Hz 45

50

55 D m

Schwingende Biegeschwinger

Abb. 10.3 Zungenfrequenzmesser mit Biegeschwinger (links) unterschiedlicher Resonanzfrequenzen und Modell eines einzelnen Biegeschwingers (rechts)

232

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

10.3 Gekoppelte Oszillatoren und Wellenphänomene Aufgabe 86: Gekoppelte vertikale und horizontale Federpendel Zwei Federpendel (Massen m1 und m2 , Federkonstanten D1 und D2 ) werden miteinander verbunden. Die Bewegung der Massen erfolgt reibungsfrei (Abb. 10.4). a. Erklären Sie, warum für gleiche Anfangsbedingungen, Massen und Federkonstanten die Bewegungen der Massen in den beiden Anordnungen in Abb. 10.4 identisch sind. b. Ermitteln Sie die Kreisfrequenzen der Normalschwingungen. Machen Sie dazu den komplexen Ansatz x1 .t/ D Aei !t

x2 .t/ D Bei !t :

und

c. Spezialisieren Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b durch m1 D m2 D m und D1 D D2 D D. Aufgabe 87: Gekoppelte Federschwinger Schauen Sie sich die drei Videoexperimente und Abb. 10.5 an.

(VA)

a. Stellen Sie die Differenzialgleichungen für die Massen auf. Entkoppeln Sie durch Übergang zu Normalkoordinaten z1 D x1 C x2 und z2 D x1  x2 die Differenzialgleichungen und zeigen Sie, dass die Kreisfrequenzen der Normalschwingung r r DS DS DK und !2 D C2 !1 D m m m sind. Geben Sie die allgemeinen Lösungen x1 .t/ und x2 .t/ der Differenzialgleichungen an. b. Zeigen Sie, dass für die Anfangsbedingungen im Videoexperiment 1 die Massen mit der Kreisfrequenz !1 und für die Anfangsbedingungen im Videoexperiment 2 mit der Kreisfrequenz !2 schwingen. Erklären Sie, weshalb !2 > !1 gilt und !1 unabhängig von DK ist. Kontrollieren Sie die Werte der Kreisfrequenzen experimentell.

D1 x1 m1

0

D1

D2 m1

D2

m2

x2 m2

0

Abb. 10.4 Gekoppelte vertikale Federpendel (links) und gekoppelte horizontale Federpendel (rechts)

10.3 Gekoppelte Oszillatoren und Wellenphänomene Abb. 10.5 Federschwingungen mit Experimentierwagen als Schwingungsmassen sind durch eine Kopplungsfeder gekoppelt

233

Experimentierwagen (Masse m = 500 g) Kopplungsfeder (Federkonstante DK = 4,3 N/m)

Feder (Federkonstante DS = 15,5 N/m) 0

x1

Feder (Federkonstante DS = 15,5 N/m) 0

x2

Luftkissenfahrbahn

c. Zeigen Sie, dass für die Anfangsbedingungen im Videoexperiment 3 die Auslenkungen

und

  !  !  !2 C !1 2 1 t cos t ; x1 .t/ D xO cos 2 2   !  !  !2 C !1 2 1 x2 .t/ D xO sin t sin t 2 2

sind. Stellen Sie eine x1 .t/- und x2 .t/-Messreihe in einem gemeinsamen Diagramm dar. Erklären Sie den Verlauf der Graphen in Bezug zu den x1 .t/- und x2 .t/-Funktionen. Bestimmen Sie rechnerisch und experimentell die Frequenz fS , mit der die Schwingungsenergie zwischen den Federschwingern ausgetauscht wird. http://tiny.cc/hnfzly

http://tiny.cc/dnfzly

http://tiny.cc/nnfzly

234

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

Aufgabe 88: Doppler-Effekt mit Schallwellen Ein Zugführer (Geschwindigkeit u D 130 km=h) sendet vor der Einfahrt in einen Tunnel einen Signalton (Frequenz f0 D 1000 Hz) aus. Die Schallwellen (Schallgeschwindigkeit c D 340 m=s) werden an der die Tunneleinfahrt umgebenden Felswand reflektiert. a. Geben Sie Formeln für die Frequenzen von Schallwellen an, die den Zugführer erreichen, und berechnen Sie diese. b. Geben Sie Formeln für die Frequenzen von Schallwellen an, die einen am Gleis vor dem Tunnel stehenden Mann erreichen, den der Zug passiert, und berechnen Sie diese. c. Welche Schwebungsfrequenzen werden vom Zugführer und vom Mann am Gleis gehört? Hinweis: Die Schwebungsfrequenz fS zweier Frequenzen f1 und f2 ist fS D

jf1  f2 j 2

Aufgabe 89: Stehende Seilwellen Schauen Sie sich das Videoexperiment und Abb. 10.6 an.

(VA)

a. Zeigen Sie durch Herleitung einer Formel, dass stehende eindimensionale Wellen durch Überlagerung einer in x-Richtung und mit Phasenunterschied ' in Gegenrichtung laufenden Welle erzeugt werden. Erklären Sie die Terme in der Formel. Zeigen Sie, dass der minimale Knotenabstand =2 ist. b. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Eigenfrequenzen fn (n D 0 Grundschwingung) stehender Seilwellen zwischen festen Enden (Abstand `) her. Vergleichen Sie berechnete und gemessene Eigenfrequenzen. c. Geben Sie begründet an, welche der Aussagen zu stehenden Wellen richtig oder falsch sind. Korrigieren Sie falsche Aussagen:

Abb. 10.6 Ein zwischen festen Enden eingespanntes Gummiband wird mit einer schwingenden Lautsprechermembran zu stehenden Seilwellen angeregt Gummiband Festes Ende

Festes Ende 0 x



10.4 Lösungen

235

1. Zu keinem Zeitpunkt ist die Auslenkung aller Schwinger null. 2. Es gibt Orte, an denen die Amplitude der Schwinger immer null ist. 3. Die Energie der Welle läuft mit der Phasengeschwindigkeit zwischen den Enden hin und her. 4. Die Phase der Schwinger nimmt mit zunehmendem Ort zu. 5. Die Anzahl der Bäuche der n-ten Oberschwingung bei losen Seilenden ist n C 2. 6. Unterhalb einer bestimmten Frequenz kann keine stehende Welle erzeugt werden. http://tiny.cc/rmfzly

10.4 Lösungen Lösung zu Aufgabe 82: Schwimmender schwingender Körper a) Erklärung der harmonischen Schwingung Wenn der Körper schwimmt, ohne zu schwingen, ist die resultierende Kraft null, weil die Gewichtskraft von der Auftriebskraft kompensiert wird. Eine Auslenkung des Körpers um die Strecke y nach oben bzw. nach unten verkleinert bzw. vergrößert die Auftriebskraft um die Gewichtskraft des geänderten verdrängten Wasservolumens, also um die rücktreibende Kraft (10.1) FR D  W Agy D Dy mit der Querschnittsfläche A. Da FR proportional zur Auslenkung y ist und immer in Richtung Ruhelage zeigt, liegt eine harmonische Schwingung vor. b) Bestimmung der Schwingungsdauer T0 Nach dem Newton’schen Grundgesetz der Mechanik gilt mit (10.1) Fres D FR D  W Agy D Dy D myR :

(10.2)

Eine Lösung von (10.2) ist y.t/ D yO cos.!0 t/ :

(10.3)

Einsetzen von (10.3) und von y.t/ R in (10.2) ergibt nur dann eine Identität, wenn r !0 D ist.

D m

r ,

T0 D 2

m D 2 D

r

m

W Ag

(10.4)

236

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

c) Vergleich von berechneter Schwingungsdauer T0 und gemessener Schwingungsdauer T Einsetzen der Werte in (10.4) ergibt die Schwingungsdauer T0 D 0;75 s. Für n D 10 Schwingungen ist die gemessene Schwingungsdauer 10T D 7;0 s, also T D 0;7 s < T0 . Ursache für eine systematische Abweichung kann die Dämpfung der Schwingung und die seitliche Auslenkung des Körpers beim Schwingen sein.

Lösung zu Aufgabe 83: Ungedämpftes und gedämpftes Federpendel a) Differenzialgleichung des ungedämpften Federpendels Auf die Masse eines ungedämpften Federpendels wirkt die zur Auslenkung y proportionale und der Auslenkung entgegen wirkende Federkraft FF . Somit gilt nach dem Newton’schen Grundgesetz für die Federkraft FF D Dy

(10.5)

) myR D Dy : Für die angegebene Lösung y.t/ D yO cos.!0 t/ mit !0 D r

D my.t/ R D myO cos m

D t m

!

p

D=m gilt dann

r D D yO cos

D t m

! D Dy :

(10.6)

Daher ist die angegebene Lösung eine Lösung der Differenzialgleichung (10.5). b) Bestimmung der Schwingungsdauer T0 , der Geschwindigkeitsamplitude vO und der Gesamtenergie Eges Die Schwingungsdauer eines ungedämpften Federpendels ist r T0 D 2

D : m

(10.7)

Einsetzen der Werte in (10.7) ergibt die Schwingungsdauer T0 D 0;63 s. Die Auslenkung einer harmonischen Schwingung ist y.t/ D yO cos.!t/ :

(10.8)

Differenzieren von (10.8) nach der Zeit ergibt y.t/ P D v.t/ D ! yO sin.!t/ D vO sin.!t/ ) vO D ! yO :

(10.9)

10.4 Lösungen

237

Einsetzen der Werte in (10.9) ergibt die Geschwindigkeitsamplitude vO D 0;3 m=s. Die Gesamtenergie des Federpendels ist Eges D

1 D yO 2 : 2

(10.10)

Einsetzen der Werte in (10.10) ergibt die Gesamtenergie Eges D 0;45 J. c) Berechnung der Dämpfungskonstante  Für die Auslenkung einer gedämpften Schwingung gilt

Es ist

y.t/ D y0 e t cos.!t/ :

(10.11)

y.0/ y0 D e10T D 2 D y.10T / y0 e10T ln.2/ ) D : 10T

(10.12)

Einsetzen der Werte in (10.12) ergibt die Dämpfungskonstante  D 0;11 s1 .

Lösung zu Aufgabe 84: Schwingung einer Wassersäule a) Entstehung einer harmonischen Schwingung Eine harmonische Schwingung entsteht, wenn auf eine Masse m eine zur Ruhelage gerichtete und zur Auslenkung y proportionale rücktreibende Kraft FR D ky

(10.13)

wirkt. Dies ist hier der Fall: Steht die Wassersäule im linken Schenkel höher als im rechten, drückt das überschüssige Wasser die gesamte Wassersäule im U-Rohr immer zur Ruhelage hin und im umgekehrten Fall genauso. Als rücktreibende Masse wirkt nur die überschüssige Wassermasse. Bei doppelter Auslenkung verdoppelt sich auch die überschüssige Wassermasse und damit die rücktreibende Gewichtskraft der überschüssigen Wassermasse. b) Formel für die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung Die Kreisfrequenz !0 bzw. Schwingungsdauer T0 eines harmonischen ungedämpften Schwingers ist 2 D !0 D T0

r

k m

r ,

T0 D 2

m : k

(10.14)

238

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

Abb. 10.7 Geometrie der Schwingung einer Wassersäule in einem U-Rohr

y yˆ

0 −ˆ y

h



Die rücktreibende Kraft FR ist die Gewichtskraft der überschüssigen Wassersäule (Koordinate y, Masse mR , Dichte W ) zwischen den beiden Schenkeln mit Querschnittsfläche A: FR D mR g D 2 W Agy D ky

)

k D 2 W Ag :

(10.15)

Die schwingende Masse ist die Masse m des Wassers im U-Rohr. Bezeichnet ` die Länge der schwingenden Wassersäule (Abb. 10.7), dann ist m gegeben durch m D W A` : Einsetzen von (10.15) und (10.16) in (10.14) ergibt die Schwingungsdauer s s r m

W A` ` T0 D 2 D 2 D 2 : k 2 W Ag 2g

(10.16)

(10.17)

Vergleich von berechneter Schwingungsdauer T0 und gemessener Schwingungsdauer T Zur Bestimmung der Schwingungsdauer T0 muss die Länge ` der Wassersäule aus der gemessenen Füllhöhe h D 32;3 cm des U-Rohrs (Wasserstand in Bezug auf den untersten Rohrmittelpunkt) und dem gemessenen Abstand d D 8;8 cm zwischen den Schenkeln bestimmt werden (Abb. 10.7):   d d (10.18) C : `D2 h 2 2 Einsetzen der Werte in (10.18) ergibt ` D 69;6 cm. Einsetzen der Werte in (10.17) ergibt die Schwingungsdauer T0 D 1;18 s. Die Schwingungsdauer T kann direkt gemessen oder aus dem y.t/-Diagramm ermittelt werden (Abb. 10.8). Für die Zeiten t mit lokalen Maxima erhält man für t D 0 beim 2. Maximum t D 0 s, 1;17 s, 2;33 s, 3;51 s, 4;69 s und damit eine von t unabhängige Schwingungsdauer T D 1;18 s, die wegen der geringen Dämpfung im Rahmen der Messgenauigkeit mit der Schwingungsdauer T0 übereinstimmt.

10.4 Lösungen

239 0,2

y(t)-Messreihe

Ortskoordinate y/m

1

yD (t) = 0,175 m · e−0,13 s ·t 0,1 0 −0,1

0

2

4

6 8 Zeit t/s

10

12

14

Abb. 10.8 y.t /-Diagramm der gedämpften Schwingung einer Wassersäule

c) Bestimmung der Dämpfungskonstante  und der Dämpfungsverstimmung Das y.t/-Diagramm zeigt (Abb. 10.8), dass die Schwingung gedämpft ist und eine Dämpfungsverstimmung vorliegt. Die Anpassung von y0 und der Dämpfungskonstante  in der Dämpfungsfunktion (10.19) yD .t/ D y0 e t an die Messwerte ergibt y0 D 0;175 m und die Dämpfungskonstante  D 0;18 s1 . Die Änderung der Schwingungsdauer zwischen ungedämpfter und gedämpfter Schwingung ist gegeben durch !D

s

q !02



2

2 , D T

4 2  2 T02

,

T Dq

2 4 2 T02

 2

:

(10.20)

Mit T0 D 1;18 s und die Dämpfungskonstante  D 0;18 s1 erhält man T D 1;1806 s1 . Die Dämpfungsverstimmung .T  T0 /=T0 liegt damit unterhalb von 1 %.

Lösung zu Aufgabe 85: Zungenfrequenzmesser a) Bestimmung der Dämpfungskonstante  Die Einhüllende der gedämpften Schwingung ist eine Funktion yD .t/ D y0 e t :

(10.21)

Zu zwei Zeitpunkten t2 > t1 ist yD .t1 / D y0 e t1

und

yD .t2 / D y0 e t2 :

(10.22)

240

Also ist

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

yD .t2 / y0 e t2 D e.t2 t1 / D yD .t1 / y0 e t1   yD .t2 / ) ln D .t2  t1 / yD .t1 /   ln yyDD .t.t21 // ) D : t2  t1

(10.23)

Einsetzen von yD .t2 /=yD .t1 / D 0;5 und t2  t1 D 10 s in (10.23) ergibt die Dämpfungskonstante  D 0;07 s1 . Bestimmung der Frequenz f der gedämpften Schwingung Die Frequenz f0 der ungedämpften Schwingung ist 1 f0 D 2

r

D : m

(10.24)

Einsetzen der Werte in (10.24) ergibt f D 50;00100205 Hz. Die Frequenz f der gedämpften Schwingung ist f D

1 2

q q 1 !02   2 D 4 2 f02   2 : 2

(10.25)

Einsetzen der Werte in (10.25) ergibt die Frequenz f D 50;001000812 Hz. b) Bestimmung der Kraftamplitude FO der erzwungenen Schwingung Die Resonanzfrequenz der erzwungenen Schwingung ist fR D

1 2

q 4 2 f02  2 2 :

(10.26)

Einsetzen der Werte in (10.26) ergibt fR D 50;001000808 Hz. Zur allgemeinen Berechnung der Amplitude bei der Resonanzfrequenz wird (10.26) bzw. !R D 2fR in die gegebene Formel für den Amplitudengang x.!/ O eingesetzt: x.! O R/ D

FO q 2   m !02  !02 C 2 2 C 4 2 !02  2 2

D

FO q m 4 4  8 4 C 4 2 !02

D

FO : q 2m !02   2

(10.27)

10.4 Lösungen

241

Auflösen von (10.27) nach FO ergibt q FO D 2mx.! O R / !02   2 :

(10.28)

Einsetzen der Werte in (10.28) ergibt die Kraftamplitude FO D 2;2 mN. Bestimmung der Phasenverschiebung ' zwischen erregender Kraft F.t/ und Schwingung y.t/ bei der Resonanzfrequenz f0 Einsetzen von (10.26) in die gegebene Formel für den Phasengang tan '.!/ ergibt q q s  2 2 !02  2 2 !02  2 2 !0 D  2 tan '.!R / D  2 D  2 2   !0  !0 C 2 (10.29) s    2 !0 !0 ) '.!R / D  arctan  2   arctan :   Die Näherung in (10.29) ist gültig für die hier erfüllte Bedingung !0  . Einsetzen der Werte in (10.29) ergibt die Phasenverschiebung '.!R / D 89ı . Die Schwingungsbewegung hinkt der antreibenden Kraft um fast eine viertel Schwingung hinterher. Ist die antreibende Kraft maximal, dann tritt die maximale Auslenkung des Schwingers eine viertel Schwingung später auf.

Lösung zu Aufgabe 86: Gekoppelte vertikale und horizontale Federpendel a) Gleiche Bewegung der Massen in beiden Anordnungen In der linken Anordnung wird die Gewichtskraft der beiden Massen durch Verlängerung der beiden Federn und damit durch Federkräfte kompensiert. Für die Beschleunigung der beiden Massen sind dann nur Längenänderungen der Federn bezüglich der Ruhelagen relevant, was der Anordnung rechts entspricht. b) Formel für die Kreisfrequenzen der Normalschwingungen Auf die Masse m1 wirken zwei Federkräfte, auf die Masse m2 wirkt eine Federkraft. Unter Beachtung des Newton’schen Grundgesetzes, der Richtungen der Federkräfte, der Federdehnungen sowie der Nullpunktlagen und Orientierungen der Koordinatenachsen ist m1 xR 1 D D1 x1 C D2 .x2  x1 / ; m2 xR 2 D D2 .x2  x1 / : Es ist

xP 1 .t/ D i!Aei !t ;

xP 2 .t/ D i!Bei !t ;

xR 1 .t/ D ! 2 Aei !t ;

xR 2 .t/ D ! 2 Bei !t :

(10.30)

(10.31)

242

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

Einsetzen von (10.31) in (10.30) ergibt   m1 ! 2 Aei !t D D1 Aei !t C D2 Bei !t  Aei !t ;   m2 ! 2 Bei !t D D2 Bei !t  Aei !t :

(10.32)

Da (10.32) für alle Zeiten t gelten muss, ist m1 ! 2 A D D1 A C D2 .B  A/ ;

(10.33)

m2 ! 2 B D D2 .B  A/ ; d. h.

.D1 C D2  m1 ! 2 /A  D2 B D 0 ;

(10.34)

D2 A C .D2  m2 ! 2 /B D 0 : In Matrixschreibweise ist (10.34) D 1 C D 2  m1 ! 2 D2

D2 D 2  m2 ! 2

!

A B

! D

0 0

! :

(10.35)

Es existieren nur nichttriviale Lösungen dieses homogenen Gleichungssystems für !Werte, bei denen die Determinante der Matrix null wird: .D1 C D2  m1 ! 2 /.D2  m2 ! 2 /  D22 D 0 , m1 m2 ! 4  .m1 D2 C m2 .D1 C D2 // ! 2 C D1 D2 D 0 m1 D 2 C m2 D 1 C m2 D 2 2 D 1 D 2 ! C D 0: , !4  m1 m2 m1 m2

(10.36)

Dies ist eine quadratische Gleichung für ! 2 mit den Lösungen s   m1 D 2 C m2 D 1 C m2 D 2 2 D 1 D 2 D C m D C m D m 1 2 2 1 2 2 2 D ˙  : (10.37) !1;2 2m1 m2 2m1 m2 m1 m2 c) Spezialisierung von (10.37) Für m1 D m2 D m und D1 D D2 D D ist (10.37) r r p 9D 2 D 2 5D 2 3D 3D .3 ˙ 5/D 2  2 D D ˙ ˙ : !1;2 D 2m 4m2 m 2m 4m2 2m

(10.38)

Mit ! > 0 folgt aus (10.38) s

p .3 ˙ 5/D ; 2m r r D D und !2 D 1;62 : !1 D 0;62 m m

2 D !1;2

(10.39)

10.4 Lösungen

243

Lösung zu Aufgabe 87: Gekoppelte Federschwinger a) Differenzialgleichungen der gekoppelten Massen Auf die Masse m1 und die Masse m2 wirken jeweils zwei Federkräfte. Unter Beachtung des Newton’schen Grundgesetzes, der Richtung der Federkräfte, der Federdehnungen sowie der Nullpunktlage und Orientierung der Koordinatenachsen ist mxR 1 D DS x1 C DK .x2  x1 / ; mxR 2 D DS x2  DK .x2  x1 / :

(10.40)

Aus den angegebenen Normalkoordinaten erhält man durch Addition und Subtraktion die Gleichungen 1 1 x2 D .z1  z2 / : (10.41) x1 D .z1 C z2 /; 2 2 Einsetzen in (10.40) ergibt 1 1 m.Rz1 C zR 2 / D  DS .z1 C z2 /  DK z ; 2 2 1 1 m.Rz1  zR 2 / D  DS .z1  z2 /  DK z : 2 2

(10.42)

Addition und Subtraktion der Gln. (10.42) ergibt DS DS z1 , zR 1 C z1 D 0 ; m m  DS DS DK DK z2  2 z2 , zR 2 C C2 z2 D 0 : zR 2 D  m m m m zR 1 D 

(10.43)

Die allgemeinen Lösungen dieser beiden Differenzialgleichungen sind bekannt: z1 .t/ D zO 1 cos.!1 t C '1 /; r

mit !1 D

DS ; m

z2 .t/ D zO 2 cos.!2 t C '2 / r !2 D

DS DK C2 : m m

(10.44)

(10.45)

Rücktransformation unter Verwendung von (10.41) ergibt 1 1 zO 1 cos.!1 t C '1 / C zO2 cos.!2 t C '2 / ; 2 2 1 1 x2 .t/ D zO 1 cos.!1 t C '1 /  zO 2 cos.!2 t C '2 / : 2 2 x1 .t/ D

(10.46)

244

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

b) Normalschwingungen Ableiten von (10.46) ergibt 1 1 xP 1 .t/ D  zO1 !1 sin.!1 t C '1 /  zO 2 !2 sin.!2 t C '2 / 2 2 1 11 zO 2 !2 cos.!2 t C '2 / : xP 2 .t/ D  zO1 !1 sin.!1 t C '1 / C 2 22

(10.47)

Normalschwingung 1 O xP 1 .0/ D xP 2 .0/ D 0. Mit (10.46) und Im Videoexperiment 1 ist x1 .0/ D x2 .0/ D x; (10.47) erhält man aus diesen Anfangsbedingungen ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen: 1 1 (10.48) zO 1 cos '1 C zO 2 cos '2 D xO ; 2 2 1 1 (10.49) zO 1 cos '1  zO 2 cos '2 D xO ; 2 2 1 1 (10.50)  zO 1 !1 sin '1  zO 2 !2 sin '2 D 0 ; 2 2 1 1 (10.51)  zO 1 !1 sin '1 C zO 2 !2 sin '2 D 0 : 2 2 Gln. (10.48) und (10.49) sind zusammen nur dann lösbar, wenn 12 zO2 cos '2 D 0 ) zO 2 D 0 oder '2 D 90ı . Einsetzen in (10.50) und (10.51) ergibt zO 2 D 0. Einsetzen dieses ErO Damit gebnisses in (10.48) oder (10.49) ergibt mit zO 1 ¤ 0, dass '1 D 0 und zO 1 D 2x. sind (10.52) x1 .t/ D x2 .t/ D xO cos.!1 t/ harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz !1 . Normalschwingung 2 O x2 .0/ D x; O xP 1 .0/ D xP 2 .0/ D 0. Gleichung (10.48) Im Videoexperiment 2 ist x1 .0/ D x; lautet jetzt 1 1 1 1 (10.53) zO1 cos '1 C zO 2 cos '2 D xO ,  zO1 cos '1  zO2 cos '2 D xO : 2 2 2 2 O Damit sind In gleicher Argumentation wie bei Normalschwingung 1 ist zO 2 D 2x. x1 .t/ D xO cos.!2 t/ und x2 .t/ D xO cos.!2 t/ (10.54) harmonische Schwingungen der Kreisfrequenz !2 . Erklärung des Unterschieds zwischen den Kreisfrequenzen !1 und !2 Bei der Normalschwingung 1 ändert sich die Dehnung der Kopplungsfeder nicht, und die Feder hat daher keinen Einfluss auf die Schwingungsbewegung der Massen. Die beiden Schwinger schwingen in Phase und wie einzelne Federschwinger. Daher ist !1 unabhängig von DK . Bei der Normalschwingung 2 übt die Kopplungsfeder gleich große Kräfte in gleicher Richtung wie die beiden anderen Federn auf die beiden Massen aus. Durch diese zusätzliche Kraft hängt !2 auch von DK ab, und es ist !2 > !1 .

10.4 Lösungen

245

Vergleich berechneter und gemessener Kreisfrequenzen Einsetzen der Werte in (10.45) ergibt die Kreisfrequenzen !1 D 5;56 s1 und !2 D 6;94 s1 . Die Messung zweier Schwingungen ergibt die Schwingungsdauern T1 D 1;129 s und T2 D 0;907 s bzw. die Kreisfrequenzen !1 D 2=T1 D 5;56 s1 und !2 D 2=T2 D 6;93 s1 . c) Schwebung O x2 .0/ D 0; xP 1 .0/ D xP 2 .0/ D 0. Mit (10.46) und Im Videoexperiment 3 ist x1 .0/ D x; (10.47) erhält man aus diesen Anfangsbedingungen ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen: 1 1 zO 1 cos '1 C zO 2 cos '2 2 2 1 1 zO 1 cos '1  zO 2 cos '2 2 2 1 1  zO 1 !1 sin '1  zO 2 !2 sin '2 2 2 1 1  zO 1 !1 sin '1 C zO 2 !2 sin '2 2 2

D xO ;

(10.55)

D 0;

(10.56)

D 0;

(10.57)

D 0:

(10.58)

zO 2 cos '2 D xO :

(10.59)

Addition uns Subtraktion von (10.55) und (10.56) ergibt zO1 cos '1 D xO ; Einsetzen von (10.59) in (10.58) ergibt xO 1 xO 1 !1 sin '1  !2 D0 2 cos '1 2 cos '2

)

x! O 1 tan '1 D x! O 2 tan '2 :

(10.60)

Wegen xO ¤ 0; !1 ¤ 0 und !2 ¤ 0 ist '1 D '2 D 0. Einsetzen in (10.56) und (10.55) ergibt zO 1 D zO 2 D xO und liefert zusammen mit (10.46) 1 1 1 xO cos.!1 t/ C xO cos.!2 t/ D xO Œcos.!1 t/ C cos.!2 t/ 2  2 2    !  !  !1 C !2 1 1 2 t cos t D xO 2 cos 2 2 2   !  !  !1 C !2 1 2 t cos t ; D xO cos 2 2 1 1 1 x2 .t/ D xO cos.!1 t/  xO cos.!2 t/ D xO Œcos.!1 t/  cos.!2 t/ 2  2  2   !  !  !1 C !2 1 1 2 t sin t D xO 2 sin 2 2 2   !  !  !2 C !1 2 1 t sin t : D xO sin 2 2 x1 .t/ D

Beim letzten Schritt in (10.62) wurde  sin.x/ D sin.x/ verwendet.

(10.61)

(10.62)

246

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

Ortskoordinate x/m

0,1 0,05 x1 (t) 0 x2 (t)

−0,05

0

1

2

3

4 5 Zeit t/s

6

7

8

Abb. 10.9 x.t /-Diagramm der Schwingungen beider gekoppelter Federschwinger

Erklärung der Schwebung In Abb. 10.9 sind die x1 .t/- und die x2 .t/-Messreihen aus Videoexperiment 3 dargestellt.  In (10.61) und (10.62) variieren die Argumente mit der Differenz der Kreisfrequenzen langsamer als die Argumente mit der Summe der Kreisfrequenzen.  Die Amplitude der höherfrequenten Schwingung mit Kreisfrequenz, Schwingungsdauer und Frequenz ! D !1 C !2 ;

T D

2 2 ; D ! !1 C !2

f D

1 !1 C !2 D T 2

(10.63)

wird harmonisch durch die niederfrequente Schwingung mit !S D !2  !1 ;

TS D

2 2 D ; !S !2  !1

fS D

1 !2  !1 D TS 2

moduliert. Beide Schwinger führen eine Schwebung aus.  Die Amplitude der Schwebung x1 .t/ wird null für   !  1 !S 2 S t D kC cos t D0) tD  ) 2 2 2TS 2

(10.64)

  1 t D kC TS : 2 (10.65)

Die Zeit TS ist die Schwebungsdauer bzw. der zeitliche Abstand zweier aufeinanderfolgender „Stillstände“ der Massen. Die Amplitude der Schwebung x2 .t/ wird null für !  !S 2 S sin t D k ) t D kTS : (10.66) t D0) tD 2 2 2TS  Wegen der Kosinusterme in (10.61) und der Sinusterme in (10.62) sind x1 .t/ und x2 .t/ zeitlich um TS =2 versetzt.  In der Zeit TS wird die Schwingungsenergie von einem Federschwinger durch Kopplung an den anderen Federschwinger abgegeben und umgekehrt. Die Schwingungsenergie des Systems pendelt also mit der Frequenz fS D 1=TS zwischen den beiden Federschwingern.

10.4 Lösungen

247

Vergleich von berechneter und gemessener Schwebungsfrequenz fS Einsetzen der Kreisfrequenzen in (10.64) ergibt die Schwebungsdauer TS D 4;55 s und die Schwebungsfrequenz fS D 0;22 Hz. Die gemessenen Werte sind TS D 4;7 s und fS D 0;21 Hz.

Lösung zu Aufgabe 88: Doppler-Effekt mit Schallwellen Bei einem bewegten Schallsender (Frequenz f0 , Geschwindigkeit v > 0) und ruhendem Schallempfänger (Frequenz f ) ist 1 f D ; f0 1 ˙ vc

(10.67)

wobei das Pluszeichen für eine Vergrößerung und das Minuszeichen für eine Verkleinerung des Abstands Schallsender–Schallempfänger steht. Bei ruhendem Schallsender (Frequenz f0 ) und bewegtem Schallempfänger (Frequenz f , Geschwindigkeit v > 0) ist v f D1˙ ; (10.68) f0 c wobei das Pluszeichen für eine Verkleinerung und das Minuszeichen für eine Vergrößerung des Abstands Schallsender–Schallempfänger steht.

a) Bestimmung der Schallfrequenzen, die der Zugführer hört Der Zugführer hört die Frequenz f0 D 1000 Hz, da er die gleiche Geschwindigkeit v und Geschwindigkeitsrichtung wie die Schallquelle hat. Er hört den an der Felswand reflektierten Signalton. Da der Signalton von einem bewegten Schallsender ausgeht, erreicht die Schallwelle die Felswand nach (10.67) mit der Frequenz fF D f0

1 1

v c

:

(10.69)

Einsetzen der Werte in (10.69) ergibt fF D 1119 Hz. Da die Schallreflexion an der Felswand die Frequenz der Schallwelle nicht verändert, läuft eine von einem virtuellen ruhenden Schallsender ausgesandte Schallwelle der Frequenz fF auf den sich mit der Geschwindigkeit v nähernden Zugführer zu. Nach (10.68) ist mit f0 D fF die vom Zugführer gehörte zweite Frequenz  1 v D f0 f D fF 1 C c 1

v c

 1 C vc v D f0 1C : c 1  vc

Einsetzen der Werte in (10.70) ergibt die Frequenz f D 1237 Hz.

(10.70)

248

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

b) Bestimmung der Schallfrequenzen, die der Mann am Gleis hört Der Mann am Gleis hört, da er im Gegensatz zum Zugführer ruht, nach (10.69) sowohl die von der Felswand reflektierte als auch die bei Zugannäherung unreflektierte Schallwelle der gleichen Frequenz fF D 1119 Hz aus Teilaufgabe a. Weiterhin hört er nach (10.67) als ruhender Schallempfänger die Frequenz f D 904 Hz bei Zugentfernung. c) Bestimmung der Schwebungsfrequenzen Nach Teilaufgabe a hört der Zugführer die Frequenzen f0 D 1000 Hz und f D 1237 Hz, also die Schwebungsfrequenz fS D .f0  f /=2 D 118;5 Hz. Nach Teilaufgabe b hört der Mann die Schwebungsfrequenz fS D .1119 Hz  904 Hz/=2 D 108 Hz.

Lösung zu Aufgabe 89: Stehende Seilwellen a) Gleichung für eine stehende eindimensionale Welle Eine mit Elongation y1 , Kreisfrequenz !, Wellenzahl k und Amplitude yO in x-Richtung laufende Welle ist gegeben durch y1 .x; t/ D yO sin.!t  kx/ :

(10.71)

Eine mit Elongation y2 und Phasenwinkel ' sowie gleicher Kreisfrequenz !, Wellenzahl k und Amplitude yO entgegen die x-Richtung laufende Welle ist gegeben durch y2 .x; t/ D yO sin.!t C kx C '/ :

(10.72)

Die Überlagerung beider Wellen ist Voraussetzung für die Entstehung einer stehenden Welle: y.x; t/ D y1 .x; t/ C y2 .x; t/ D yO Œsin.!t  kx/ C sin.!t C kx C '/ :

(10.73)

Anwendung des Additionstheorems  sin ˛ C sin ˇ D 2 sin

˛Cˇ 2



 cos

˛ˇ 2

 (10.74)

auf (10.73) ergibt    !t  kx  !t  kx  ' !t  kx C !t C kx C ' cos y.x; t/ D 2yO sin 2 2     ' ' D 2yO cos kx C sin !t C ; 2 2 (10.75) 

wobei cos.x/ D cos.x/ verwendet wurde.

10.4 Lösungen

249

Erklärung der Terme in (10.75) und des minimalen Knotenabstands =2 Der Sinusterm beschreibt eine harmonische Schwingung an einem beliebigen Ort x. Der Kosinusterm beschreibt die kosinusförmige Modulation der Schwingungsamplituden. Wegen der Separation von x und t liegt eine stehende Welle vor. Die Knoten liegen bei den Ortskoordinaten x, bei denen die Auslenkung y für alle Zeiten t gleich null ist. Diese sind die Nullstellen von cos.kx C '=2/ in (10.75): 2 '  ' D x C D .2n C 1/ 2  2 2 '  : , x D .2n C 1/  4 4

kx C

mit n 2 Z (10.76)

Nach (10.76) gilt für den Abstand aufeinanderfolgender Knoten xnC1  xn D

 '  '  .2n C 3/   .2n C 1/ C D : 4 4 4 4 2

(10.77)

Die mittig zwischen den Knoten liegenden Bäuche haben ebenfalls den Abstand =2. b) Formel für die Eigenfrequenzen fn Einsetzen des Phasensprungs von 180ı , d. h. ' D , in (10.75) ergibt     cos kx C D 2yO cos.!t/ sin.kx/ : y.x; t/ D 2yO sin !t C 2 2

(10.78)

Damit ein Knoten bei x D ` liegt (festes Ende), muss gelten: y.`; t/ D 2yO cos.!t/ sin.k`/ D 0:

(10.79)

Der Kosinusterm ist nicht für alle t gleich null, also muss der Sinusterm null werden, um Gl. (10.79) zu erfüllen: 2 ` D .n C 1/ mit n 2 N0 ;  2` n c 0 D .n C 1/ D .n C 1/f0 : D , fn D n D nC1 nC1 n 0

sin.k`/ D 0 ,

(10.80)

Vergleich der berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen fn Die gemessenen Eigenfrequenzen hängen wie in (10.80) berechnet linear von n ab (Tab. 10.1) (Abb. 10.10). Mit jeder Zunahme der Ordnung n um 1 nimmt die Frequenz f um ungefähr f0 zu.

250

10

Mechanische Schwingungen und Wellen

Tab. 10.1 Messung der Eigenfrequenzen fn Stehende Welle der Ordnung n

nD0 0,69

nD1

nD2

nD3

Schwingungsdauer Tn = s

0,32

0,20

0,16

Eigenfrequenz fn D

1,45

3,13

5,00

6,25

1,89

0,95

0,62

0,49

5,48

5,95

6,20

6,13

Knotenabstand

1 = Hz Tn

n 2 =m

Ausbreitungsgeschwindigkeit c D f = ms Abb. 10.10 f .n/-Diagramm der Eigenfrequenzen

f (n)-Messreihe f (n) = (n + 1) · 1,6 Hz

Frequenz f /Hz

6

4

2

0

1

2

3

Ordnung n

c) Prüfung von Aussagen zu stehenden Wellen 1. Falsch, da zu Zeitpunkten t mit Sinusterm gleich null in (10.75) die Elongation unabhängig von x null wird. 2. Richtig, das sind die Knoten nach (10.76) und (10.77). 3. Falsch, da die Phasengeschwindigkeit einer stehenden Welle null ist. 4. Falsch, weil alle Schwinger zwischen zwei Knoten gleichphasig schwingen. An den Knoten findet jeweils ein Phasensprung um  statt, sodass die Schwinger zwischen Knoten 1 und 2 gegenphasig zu Schwingern zwischen Knoten 2 und 3 schwingen, usw. 5. Richtig, man darf die Bäuche an den Seilenden nicht vergessen. 6. Richtig, unterhalb der Grundfrequenz f0 kann nach (10.77) keine stehende Welle entstehen.