Scienza delle costruzioni [1] 9788893853750

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SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 1 - TEORIA DELL’ELASTICITÀ
Indice
Prefazione
1- Finalità, ipotesi e modelli della Scienza delle Costruzioni
1.1. INTRODUZIONE
1.2. MODELLO MATEMATICO DELLA STRUTTURA
1.3. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO
1.4. EQUAZIONI DELLA TRAVE SOLLECITATA A SFORZO ASSIALE
1.6. ENERGIA POTENZIALE TOTALE DELLA TRAVE SOLLECITATA A SFORZO ASSIALE
1.7. ENERGIA POTENZIALE TOTALE PER LA TRAVE INFLESSA
1.8. INTRODUZIONE AGLI ELEMENTI FINITI
1.9. ANALISI GEOMETRICA DELLA DEFORMAZIONE PER LA TRAVE PIANA AD ASSE RETTILINEO
1.10. VERIFICHE DI SICUREZZA
1.11. ESERCIZI
2 - Analisi della deformazione
2.1. CAMPO DI SPOSTAMENTO E COMPONENTI DI DEFORMAZIONE
2.2. COMPONENTI DI MOTO RIGIDO E COMPONENTI DI DEFORMAZIONE
2.3. CINEMATICA DEI PICCOLI SPOSTAMENTI
2.4. MATRICE DI TRASFORMAZIONE DELLE COORDINATE
2.5. SIGNIFICATO FISICO DELLE COMPONENTI DEL TENSORE DI DEFORMAZIONE
2.6. INTORNO SFERICO DI RAGGIO UNITARIO
2.7. NOTAZIONE ALTERNATIVA
2.8. DIREZIONI E DILATAZIONI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE
2.9. DECOMPOSIZIONE DEL TENSORE DI DEFORMAZIONE
2.10. STATI PIANI E MONOASSIALI DI DEFORMAZIONE
2.11. CONGRUENZA INTERNA ED ESTERNA
2.12. QUADRICHE DI DEFORMAZIONE
2.13. ESERCIZI
3 - Analisi della tensione
3.1. FORZE SPECIFICHE DI SUPERFICIE E DI VOLUME
3.2. EQUAZIONI DI EQUILIBRIO DEL CORPO RIGIDO
3.3. TENSIONE INTERNA
3.4. COMPONENTI CARTESIANE E COMPONENTI SPECIALI DI TENSIONE
3.5. TENSIONI SU GIACITURE PARALLELE Al PIANI COORDINATI
3.6. PROPRIETA' LOCALI DELLO STATO TENSIONALE
3.7. TENSORE DEGLI SFORZI
3.8. TEOREMA DI RECIPROCITA' DELLE COMPONENTI MUTUE
3.9. DIREZIONI E TENSIONI PRINCIPALI
3.10. CIRCOLI DI MOHR
3.11. STATI TENSIONALI STATICAMENTE AMMISSIBILI
3.12. EQUAZIONI DI EQUILIBRIO Al LIMITI
3.13. CLASSIFICAZIONE DEGLI STATI TENSIONALI
3.14. STATI TENSIONALI PARTICOLARI
3.15. TENSIONE TANGENZIALE MEDIA IN UN PUNTO
3.16. QUADRICHE DELLE TENSIONI
3.17. ESERCIZI
4 - Relazioni generali
4.1. TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI
4.2. LAVORO VIRTUALE INTERNO
4.3. FORMULAZIONI ALTERNATIVE DELL'EQUILIBRIO E DELLA CONGRUENZA
4.4. I DUE MODI DI APPLICARE IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
4.5. I PRINCIPI DELLE FORZE E DEGLI SPOSTAMENTI VIRTUALI
4.6. ESERCIZI
5 - Il corpo elastico
5.1. TRASFORMAZIONI REALI
5.2. LAVORO DI DEFORMAZIONE ESTERNO ED INTERNO
5.3. POTENZIALE ELASTICO E POTENZIALE ELASTICO COMPLEMENTARE
5.4. CORPO ELASTICO LINEARE
5.5. CORPO ELASTICO-LINEARE ED ISOTROPO
5.6. COSTANTI ELASTICHE DEL MEZZO ISOTROPO
5.7. FORMA ALTERNATIVA PER LE LEGGI INVERSE DI HOOKE
5.8. IL PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO
5.9. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
5.10. ESISTENZA ED UNICITA' DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO
5.11. TEOREMI DI CLAPEYRON E DI BETTI
5.12. ESERCIZI
6 - Principi variazionali
6.1. PRINCIPIO DI STAZIONARIETA' DELL'ENERGIA POTENZIALE TOTALE
6.2. PRINCIPIO DI MINIMO DELL'ENERGIA POTENZIALE
6.3. EQUAZIONI DI EULERO-LAGRANGE ASSOCIATE AL FUNZIONALEDELL'ENERGIA POTENZIALE TOTALE
6.4. METODO DEGLI SPOSTAMENTI O DELLE DEFORMAZIONI
6.5. PRIMO TEOREMA DI CASTIGLIANO
6.6. PRINCIPIO DI STAZIONARIETA' DELL'ENERGIA COMPLEMENTARE
6.7. PRINCIPIO DELLA MINIMA ENERGIA COMPLEMENTARE
6.8. METODO DELLE FORZE PER LE STRUTTURE RETICOLARI
6.9. TEOREMA DI ENGESSER
6.10. METODI APPROSSIMATI PER L'ANALISI DI UN CORPO ELASTICO
6.11. IL METODO DI RITZ-RAYLEIGH
Appendice A - Elementi di calcolo delle variazioni
A.1. PREMESSA
A.2. FUNZIONALE
A.3. VARIAZIONE E DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
A.4. VARIAZIONE PRIMA E SECONDA DI UNA FUNZIONE
A.5. PROPRIETA' COMMUTATIVA DELL'OPERAZIONE DI «VARIAZIONE»
A.6. VARIAZIONE PRIMA E SECONDA DI UN FUNZIONALE
A.7. EQUAZIONI DI EULERO-LAGRANGE
A.8. GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA ELEMENTARE DEL CALCOLO DELLE VARIAZIONI
Appendice B - Cenni di analisi tensoriale
B.1. VERSORE TANGENTE AD UNA CURVA
B.2. OPERATORE NABLA
B.3. GRADIENTE
B.4. DIVERGENZA
B.5. ROTORE
B.6. TENSORI DEL SECONDO ORDINE
B.7. SPAZIO VETTORIALE DEI TENSORI DEL SECONDO ORDINE
B.8. COMPOSIZIONE DI DUE TENSORI
B.9. TRASPOSTO DI UN TENSORE
B.10. TENSORI SIMMETRICI, EMISIMMETRICI ED ORTOGONALI
B.11. MATRICE ASSOCIATA AD UN TENSORE
B.12. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UN TENSORE
8.13. PRODOTTO SCALARE DI DUE TENSORI
B.14. PRODOTTO TENSORIALE
B.15. ESERCIZI
Bibliografia
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L’autore

Collana di Scienza delle Costruzioni: 1. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 1 Strutture isostatiche e geometria delle masse 2. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2 Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza 3. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 3 Introduzione all’analisi probabilistica delle strutture 4. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 4 Temi d’esame 5. S CIENZA DELLE COSTRUZIONI 1 Teoria dell’elasticità 6. Scienza delle Costruzioni 2 Teoria della trave

Collana di Scienza delle Costruzioni di

Erasmo VIOLA

E. Viola  Scienza delle Costruzioni 1

Erasmo VIOLA Laureatosi con lode in Ingegneria Civile, all’Università degli Studi di Napoli il 30 luglio 1973, dal 1° novembre dello stesso anno ha ricoperto ruoli diversi presso l’Istituto di Scienza delle Costruzioni dell’Università di Bologna: Borsista, Assistente Ordinario, Prof. Associato e Prof. Ordinario. È stato per circa 25 anni Coordinatore dei Dottorati di Ricerca in Meccanica delle Strutture, prima, e di Ingegneria Strutturale ed Idraulica dopo. Nel periodo 2002- 2017 ha svolto anche la funzione di Responsabile Scientifico del Centro di Ricerche CIMEST dell’Università di Bologna. Nel corso degli anni ha svolto una intensa attività didattica e di ricerca. I risultati scientifici conseguiti sono ampiamente riconosciuti anche in ambito internazionale.

5

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 1

7. Lezioni di Scienza delle Costruzioni 8. Fondamenti di analisi matriciale delle strutture 9. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 1 10. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 2

TEORIA DELL’ELASTICITÀ

11. Teoria delle strutture 1 12. Teoria delle strutture 2

ISBN 978-88-9385-375-0

e.book www.editrice-esculapio.it

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Collana di Scienza delle Costruzioni di Erasmo Viola

Erasmo VIOLA

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 1 TEORIA DELL’ELASTICITÀ

ISBN 978-88-9385-375-0 © Copyright 2023. Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

Layout copertina: Carlotta Lenzi Stampato da: Digital Team – Fano (PU) Printed in Italy

Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso di Porta Romana, n. 108 - 20122 Milano e-mail: [email protected] - sito: http://www.clearedi.org.

A mia moglie e ai miei figli Rossella, Antonella e Luca

Indice

Prefazione

1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

FlNALITA', IPOTESI E MODELLI DELLA SCIENZA DELLE COSTRUZIONI ......................................................... . 1.1.

Introduzione ........ .... .... . .......................... . ... .

1.2.

Modello matematico della struttura .. .. . ............... . .... . ... .

1.1.1.

1.3.

1.4.

1.5.

2

1.2.1.

Modello delle azioni esterne

3

1.2.2.

Model lo meccanico o reo logico del materiale

4

1.2.3.

Modello geometrico

. . ... ................... .... ... . .. .

5

Problema dell'equilibrio clastico ..... . ...... .. ............ . .... .

8

1.3.1.

Ipotesi semplifìcative

8

1.3.2.

Metodi di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Equazioni della trave sollecitata a sforzo assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1.

Equazione indefìnita di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2.

Equazione indefìnita di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.3.

Equazione di legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.4.

Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.5.

Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.6.

Equazione fondamentale della trave sollecitata a sforzo assiale . .

16

1.4.7.

Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Equazioni delle travi clastiche inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.1.

1.6.

Costruzione, struttura e risposta strutturale .... . .. . .. . . ... . . .

Premessa ............................... . . . .. . ...... .

17

1.5 .2. Equazioni indcfìnitc di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.3.

Equazioni indefinite di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5.4. Equazione di legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.5. Equazione fondamentale della trave inflessa

23

................

Energia potenziale totale della trave sollecitata a sforzo assiale . . . . . . . .

24

1.6.1. Energia di deformazione clastica

................... ......

24

1.6.2. Energia potenziale esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 V

1.6.3.

1.7.

27

Funzionale dell'energia potenziale totale ..... .

Energia potenziale totale per la trave inflessa

28

..... . .. .

1.8.

Introduzione agli clementi fìniti ........................ .

31

1.9.

Analisi geometrica della defonnazionc per la trave piana ad asse rettilineo

1.10.1 . Premessa ................ . . . . ............ . .......... .

34 37 37

I. 10.2. Scopo e metodi di verifica ....... ... .......... . .. . ...... .

38

1. 10. Verifiche di sicurezza .. . ............ .. ......... ... ........... .

. . .. . ...... . . . .. . ... . .

38

1.10.4. Esempi di grandezze aleatorie ............ . .............. .

1.10.3. Il metodo della tensione ammissibile

40

1.10.5. Istogramma e poligono delle frequenze

... .. .... . .. ....... .

41

.................... . .. . .... .

41

1.11. Esercizi ......................... . ....... .. .. .. ...... . . . .. . .

46

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

73

2.1.

Campo di spostamento e componenti di defonnazionc ....... .

73

2.1.1.

...................... .. ......... .... . .... .

73

2.1.2.

Il campo di spostamento ...................... . ....... . .

73

2.1.3.

Proprietà del campo di spostamento

7X

2.1.4.

Problema locale del la derormazionc

80

2.1.5.

Processo di defonnazionc definito da una trasfonnazionc afline

82

2.1.6.

Rappresentazione geometrica del la trasformazione arlìnc . . . . . .

83

1.10.6. Distribuzione di probabilità

2.

2.2.

Componenti di moto rigido e componenti di deformazione

2.3.

Cinematica dei piccoli spostamenti ... . .... . ....... .

2.2.1.

.......... .

Operatore di congruenza .. .. ......................... .

85

90 91

98

2.4.

Matrice di trasfonnazione delle coordinate ......... .. ........... . .

2.5.

Significato fisico delle componenti del tensore di defonnazione

101

2.5.1.

Dilatazione secondo una direzione

103

2.5.2.

Scorrimento angolare

105

2.6.

2.7. 2.8.

....... .

Intorno sferico di raggio unitario . . . .

....... .............. .

Proprietà delle dilatazioni e degli scorrimenti

2.6.2.

Componenti di defonnazione relative ad una tema trirettangola qualsiasi .... ...... . 111

2.6.3.

Scorrimenti

113

2.6.4.

Osservazione

115

Notazione alternativa

I 16

Direzioni e dilatazioni principali di defonnazione Dilatazioni principali

~

...............

108

2.6.1.

2.8.1.

VI

Generalità

........ .. ....... .

invarianti di defonnazione

108

119

..... .... .

119

2.8.2

Direzioni principali di deformazione

..................... .

123

2.8.3.

Stato di defonnazione nel riferimento principale ............ .

130

2.8.4. 2.9.

Significato fisico del primo invariante di deformazione . . . . . . . .

133

Decomposizione del tensore di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

2.9.1.

Tensore sferico

135

2.9.2.

Tensore -----

-Figura 1.19

In tutti questi esempi, il valore di ciascuna delle variabili X 1 , ... , X 4 è aleatorio, nel senso che non si conosce il valore che la generica variabile assumerà o ha già assunto. 1.10.5. Istogramma e poligono delle frequenze

Anche la resistenza a compressione di un materiale è una variabile aleatoria. Difatti, prima di eseguire una prova di rottura a compressione< 12l su un cubo di calcestruzzo, non si conosce il valore N del massimo carico applicabile, ovvero della tensione di rottura (fig. 1.19) (I.IO .6)

essendo A l'area della sezione resistente, pari all'area della faccia del cubo. Inoltre, eseguendo prove di rottura a compressione su provini nominalmente identici,

- - - - - - - - - - - - - - -

z::- -- - ------ - -.,"

Q

,"o= Po

-p' =

o

., /

I I

/

R'

,, ,,

,, ,,"'

,,

~;

J/

Figura 2.28

Un prisma elementare con gli spigoli orientati secondo le direzioni principali, si deforma unicamente tramite le dilatazioni . Gli scorrimenti mutui tra le coppie di direzioni ortogonali risultano nulli: (2.8.15)

'f.~ = 'f.< =

,~< = O.

Pertanto, coppie di facce opposte e parallele traslano relativamente in direzione della loro normale comune (fìg. 2.28), cd è assente ogni rotazione relativa tra coppie di facce adiacenti. Rispetto alla tema principale, il tensore di dcfomiazionc assume 1'aspetto

(2.8. 16)

I cl=

[,, :

o e~

o oppure

(2.8 .17)

Icl=

['' :

~J

o cz

o

:,i

in forza della posizione (2.8.9). 131

2 Analisi della deformazione

Le componenti di spostamento

v; = v€ , v; = v~ , v; = v
-_______x_1_ Q

p

Figura 3.10

ove dx; è la lunghe7-Za dello spigolo del tetraedro elementare avente la direzione dell'asse x;, mentre d xj3 denota la distanza del baricentro G da G;. Trascurando il contributo delle forze di massa f d 'Il che risultano essere infinitesimi di ordine superiore, l'equilibrio alla rotazione attorno alla retta GG 1 parallela ali 'asse x 1 fornisce (fìg. 3.10) (36.13) ove il segno del primo termine è positivo, poiché tale termine è la componente di un vettore orientato secondo il verso positivo dell'asse x 1 • Nell'equazione (3.6.13) non compaiono i contributi delle tensioni normali a; , delle tre componenti t e delle quattro tensioni tangenziali r 21 , r 12 , r 31 , r 13 , poiché è nullo il braccio delle forze ad esse associate rispetto ad un polo della retta GG 1 in discorso, oppure, il momento risultante di tali forze è un vettore ortogonale alla direzione di GG 1 . Imponendo gli equilibri alla rotazione attorno alle rette GG 2 e GG 3 , parallele rispettivamente agli assi coordinati x2 e x3 , si ha nell'ordine 0

;

(3.6.14) (3.6.15) Poiché risulta

203

3 Analisi della tensione

( 3 6. 16)

dn

d x3 3 -3--

d n1 d x1 3

= d n2

d x2 3

= d 'Il

dalle (3.6.13) - (3.6.16) si deduce la proprietà di simmetria delle tensioni tangenziali:

( 3 .6 .17)

che può anche scriversi nella forma sintetica

(3.6 .18) La proprietà (3.6.18) assicura la simmetria della matrice Q = [ cr] , espressa dalla (3.6.9), rispetto alla diagonale principale. In altri termini , le nove componenti speciali di tensione si riducono a sci componenti tra loro distinte, potendosi scrivere

(3.6.19)

Q=[cr]=

[""

Tl2

Tl2

(J22

T13

T23

ovvero, nella forma equivalente,

(3 .6 .20)

Q= [ cr]=

[""

cr 12

l a., l T" T23

G33

rr12

(J22

G23

G13

IT23

a33

.

La relazione tra le componenti cartesiane e speciali di tensione continua ad essere espressa dalla (3.6.10), ove la matrice [a] assume la forma (3.6.19) oppure (3 .6.20). In quest'ultimo caso risulta

(3 .6 .21)

rr13

(J23 G33

ll [al a2

·

a3

Le tre relazioni in discorso si possono scrivere nella forma concisa

(3 6 .22) per i = 1 , 2 , 3 oppure 204

3 Analisi della tensione

(3 .6 23) Giova rilevare che la proprietà di simmetria delle tensioni tangenziali (3.6.18), può anche esprimersi nella seguente notazione: (3.6 24)

Esempio 3.1 Nel punto B interno al corpo continuo, lo stato di sfol7.o è fornito da N

a11

(I)

N a 22 = -35--, mm 2 N a 23 = -28--, mm 2

= 21--2' mm N

a12

= 14 - 2' mm

a33 =

N

7--2 mm

Dctcnninare il vettore tensione relativo al piano passante per B e parallelo al piano PQ R (fìg. 3.1!).

Il piano passante per i punti P, Q cd R ha equazione ( 2)

ovvero ( 3)

R

:

= (O, O, 2) 6

.J,...----------

2

------#-------Q

,// B

= (O, 6, O)

/

P

= (4, O, O)

T

Figura 3.11

205

3 Analisi della tensione

I coefficienti di x 1 , x 2 , x 3 nell'equazione del piano (3) costituiscono una tema di numeri direttori della retta normale al piano< 2>. Indicando con d il parametro che serve a trasformarli in coseni direttori, si ha J(3d) 2 + (2d) 2 + (6d) 2 = 1

( 4)

da cui risulta 49 d 2 ·= l • e quindi d = ± l /7 . Pertanto, una tema di coseni direttori della normale al piano per B parallelo a quello di equazione (2) è: (5)

a1

3

= 3d = -7'

2

a2

= 2d = -7'

Le componenti t 01 , t 02 , t 03 del vettore tensione t 0 in B sugli assi cartesiani di fìg. 3.11, si ricavano dalle equazioni di Cauchy t i = aiiai , che in notazione matriciale assumono l'aspetto · 0

=(

=

. = ± La direzione principale é individuata dai coseni direttori (8) è la retta bisettrice del secondo e quarto quadrante del piano x 1 - x 2 . Poiché dalla (8) possono dedursi le due teme di coseni direttori ( 9)

( 10) la direzione principale é, associata alla tensione a = a{, è detenninata come retta non orientata. Per a = a~ = 2 N /mm 2 , i coseni direttori TJi, TJi, TJJ della direzione principale corrispondente a a~ verificano le equazioni agli autovalori (3.9.4) 0

0

( 3 - 2) TJ1 ( 11)

- TJ1

-

+ (3 -

oTJ3 = o 2) TJ2 + oTJ3 = o

TJ2

+

0 TJ1 + 0 TJ2 + (1 - 2) T)3 = 0 .

Dalla (11) si trae 221

3 Analisi della tensione

( 12)

7J3

= O.

Come nel sistema (7), anche il sistema (11) presenta due sole equazioni indipendenti. In ogni caso, i coseni direttori (8) e (12) delle due direzioni principali soddisfano alla relazione ( 13)

Indicando con ( 1 , ( 2 , ( 3 i coseni direttori della direzione principale ( associata alla tensione CJ'< = 0' = 1N/mm 2 , le equazioni agli autovalori (3.9.4) ammettono la seguente rappresentazione: 0

=o 1)(2 + 0(3 = o

(3 - 1)(1 - (2 + 0(3

( 14)

- (1 + (3 -

0 ( I + 0 (2 + 0 (3 = 0 . Dalle prime due equazioni (14) (15)

2( 1

= O,

- (2

risulta ( 16)

Per la (13) deve aversi ( 3 =

±l.

b) Matrice di trasfonnazione. Gli assi principali t 7J e ( possono essere definiti rispetto a quelli della tema originaria Bx 1 x2 x 3 mediante la tab. 3.1, che dà luogo ad otto differenti matrici di trasformazione. Si assuma, ad esempio, la · matrice di trasformazione nella forma l

l

- ../i ../i

yr = [.?Y =

( 17)

1

1

,/2

,/2

o

o

Tabella 3.1

222

Xl

X2

X3

1 ±-

y'2

1 =f y'2

o

1)

1 =f y'2

1 =f y'2

o

(

o

o

±1

o o -1

3 Analisi della tensione

La matrice (17), che ha come vettori riga gli autovettori della matrice Q , consente di diagonalizzarc la matrice [a] stessa, mediante una trasformazione di similarità indotta dalla matrice ortogonale Y, come indicato dalla (2). Risulta

( 18)

Q

I

1 1 - '1i '1i o 1 = 1 o '1i '1i o o -1

1

l~, :i l~ :i

1

'1i '1i

-1 3

1

1

o

'1i o

'1i o

o o -1

Il prodotto (18) di matrici, fornisce la matrice diagonale

o

(19)

Q

I

=

2

o

i cui elementi diagonali sono gli autovalori della matrice

Q

espressa dalla (1).

Esempio 3.3 Assegnato il tensore degli sforzi nel punto B

-2 ( I)

IO

-2 a) valutare le tensioni principali e le direzioni principali, b) diagonalizzare la matrice Q = [a] . a) Tensioni e direzioni principali. La matrice Q è simmetrica. La sua equazione caratteristica è (1 ')

LÌ (

a)

= dct (Q

- aJ,)

= O,

ove a è uno scalare cd J la matrice identità. In notazione estesa la (1 ') si scrive 0

7 - a

( 2)

-2

0

-2 IO

- aa

-2

-2

= O,

7 - aa 223

3 Analisi della tensione

ovvero

a 3 -24a2 + 180a -432= O.

( 3)

G

G

G

La precedente equazione si può anche fattorizzare nel modo seguente: ( 4)

Le tensioni principali sono quiodi

Per

aG

= 6 l'equazione agli autovalori è [cfr. (3 .9.5)]

(5}

(Q - 61)9.

= Q_,

ovvero, in differente notazione,

( 6)

Le tre equazioni che si ottengono sono equivalenti all'unica equazione: (7)

Se si indicano con >. 1 , >. 2 due parametri arbitrari , dalla (7) risYlta ( 8)

La (7) rappresenta un piano n'ello spazio reale tridimensionale, ovvero rispetto alla tema di riferimento Bx I x 2 x 3 . Due vettori appartenenti a tale sottospazio e ortogonali fra di loro, rappresentano le direzioni principali corrispondenti all'autovalore aG = 6 . Due di questi vettori possono essere, per esempio,

(9)

come si deduce dalle (8) per >. 1 = 1, >. 2

=O

e >. 1

= >. 2 = I.

Le componenti di { ed !1 soddisfano l 'equazione del sottospazio; inoltre { •!1 = O.

Per 224

aG

= 12

l'equazione agli autovalori è

3 Anali~i della tensione

equivalente alle tre equazioni lineari omogenee

5 a 1 + 2 a2 ( 11)

al

+ 02 + 2 02

a1 -

a3

-

a3

=O

=Q 5 03

-

=Q.

Dalle(ll)siricava a2 = -2a 1 ,a 1 = a 3 . Scegliendo a 1 tema di numeri direttori della direzione principale ( :

=

si ottiene una

(12)

che si può verificare essere ortogonale alle direzioni { e !:!: I versori relativi alle tre direzioni principali sono:

b) Diagonalizzazione della matrice del tensore degli sforzi. La matrice ffdella (3 .9.23) ha la seguente struttura:

( 14)

Y- =

I

I

I

../2

./3

v'6

o

I

I

2

./3 - v'6 I

- ../2 ./3

I

v'6

Allora 225

3 Analisi della tensione

( 15)

S!. =YTS!.Y = 1

I

v'2 =

I

../3 I

I

o

- v'2

I

I

../3

v'2 =

6

-2

../3

2

I

,/6 - ,/6 6

7

,/6 6

o

- v'2

6

6

../3

../3

../3

12

24

12

,/6 - ,/6

-2 IO

-2

-2

7

r

I

I

v'2

../3

,/6

o

I

1

v'2

2

../3

- ,/6

I

1

,/6

I

1

../3

,/6 2

I

l-~

1

- v'2 ../3

,/6

1

1

=

../3

- ,/6

1

1

../3

,/6

6

o o

o

6

o

o o

12

La (15) risulta essere la forma diagonale richiesta.

3.9.3. Stato tensionale nel riferimento principale Nel paragrafo precedente si è visto che, assegnato il tensore degli sfor.li [a] nel punto B , esiste almeno una tema trionogonalc é , 11 , ( di direzioni principali di tensione. Orientando gli assi di tale tema, essi possono costituire un riferimento cartesiano ortogonale con origine in B , detto riferimento principale, oppure tema

principale. Riferendo il tensore degli sforzi alle tre direzioni principali nel punto considerato, si ha

o o o o a~ o = o az o o a< o o

a{

(3.9.24)

Q =[a]=

cd il vettore tensione t normale a è dato da

(3 .9 .25)

226

Q

l"•

:, 1

(t 01 , t. 2 , t 03 ) relativo a qualsiasi elemento piano di

3 Analisi della tensione

a

Figura 3.18

Essendo gli assi di riferimento Bx 1 , x 2 , x 3 coincidenti con gli assi principali di tensione é, '7, ( (fig. 3.18) (&), si può anche scrivere

(3 .9 .26)

Assumendo il riferimento principale, i tre invarianti (3.9.11) - (3.9.13) prendono la forma I 1,, = a 1

(3.9.27)

+

+

a2

a 3 =a{+ an

+

a 1a 3 - a 2 a 3

= -a{an -

I 2 ,,

= -a 1 a 2

[ 3 ,,

= a 1a 2 a 3 = a{ana----------- -- ---.,1-------

y

Figura 3.53

292

X

3 Analisi della tensione

: :j

(1)

o o

cd illustrato in fig. 3.53, a) verificarr: che le quadriche degli sfor.1:i assumono l'aspetto

a:i:2 + 2 Txy + ai

(2)

= ±I;

b) discutcrr: le equw.ioni (2) in dipcnden;,;a dei segni di a e

T.

Esercizio 3.41 Per lo stato di sollccitw.ionc di taglio puro in B , rapprr:scntato dal tensore degli sfor.à

( I)

cd illustrato in fig. 3.54,

I

r 23 =

I

T

= 5N/mm 2

I I

I I I

!_,,,,J.---------------,,,"

-

----- -

Figura 3.54

293

3 Analisi della tensione

a) verificare che le quadriche di tensione prendono la forma

[x

!/

(2)

ossia risultano essere cilindri iperbolici (3)

zy

I

= ±2T- = ±0

aventi generatrici parallele all'asse x b) Tracciare le due coniche

=x

1

I

1

e piani asintotici y = O e

z

= O.

= zy ± O, 1 = O di intersezione dei cilindri con il piano x = O .

(4)

§'{x,y)

c) Ricavare le direzioni principali é, TJ, (, le tensioni principali a{, a~, a< e rappresentare le direzioni principali TJ e ( nel piano x = O .

Esercizio 3.42 Se lo stato di sollecitazione nel punto B è definito dal tensore

o ( I)

o con (2)

N a,= 10--2 mm

I

N a =8-v

mm2

a-=4 '

N

-2,

mm

a) verificare che la quadrica reale degli sforzi può porsi, nel riferimento principale BéTJ( , nella forma ( 3)

ossia è la superficie dell'ellissoide avente semiassi 1;v'fo, I ;../8, I /2 , rispettivamente su é , TJ e ( . b) Controllare che la forma matriciale della (3) risulta essere TJ

294

3 Analisi della tensione

Esercizio 3.43 a) Verificare che per gli stati di sollecitazione che seguono, rappresentati dal tensore degli sfoIZi ( I)

per lo stato tensionale idrostatico e dal tensore

2 ( )

Q =

l~ ~ ~ 1

per lo stato di sollecitazione monoassiale, le equaxioni delle quadriche di tensione sono, rispettivamente, la sfera di raggio 1 / fo

ae2 + a,,,2

( 3)

+ a( 2 =

±I

ed i piani di equazione ( 4)

ç=±l/,va. b) Esprimere le equazioni delle quadriche (3) e (4) nella forma matriciale

( 5)

r.rQ r.

= ±1

oppure

':f.rQ ':f.

= ± 1.

Esercizio 3.44 Ne/punto B interno al corpo risulta assegnato lo stato tensionale piano N

N

N

a, = 15 - , a = 20 - - , r, = 27 - - , 2 2 2 mm

v

a=r=r=O %1 IJI 6

mm

v

mm

J

· che può porsi anche sotto forma di matrice del tensore degli sfoIZi

2 ( )

Q

=

l:; :: ~ 1

a) Scrivere le equazioni delle quadriche di tensione nel punto B . b) Ricavare le equazioni degli asintoti nel piano x - y . c) Determinare le tensioni principali a! e a~ e le com·spondenti direzioni principali nel punto B . d) Scrivere le equazioni delle quadriche di tensione nel punto B nella forma canonica.

295

3 Analisi della tensione

3.17.6. Esercizi vari

Esercizio 3.45

Le componenti di tensione relative a tre giaciture passanti per il generico punto B interno del corpo continuo sono raccolte nel vettore ( I)

cd illustrate in lig. 3.55.a, sul cubcllo infinitesimo avvolgente il punto B . con gli spigoli paralleli a x 1 , x 2 e x 3 . Se ora si ruotano gli assi disponendoli come in fig. 3.55.b, sulle tre giaciture per B parallele ai tre piani coordinali del nuovo riferimento agiranno le componenti di tensione raccolte nel vcllorc (2)

a) Precisare la rclw.ionc che lega le componenti del vcllore del veli ore g_1 = {a' } . b) Indicando con (3)

ai= cos(x\,x,),

bi= cos(x~,x),

g_ =

{a} a quelle

ci= cos(x~,x)

per i = I , 2 , 3 i coseni direttori degli assi x'1 • x~ • x; rispcllo agli assi x 1 , x 2 , x 3 • ricavare in fomw esplicita le espressioni delle componenti di tensione a\ 1 e a\ 2 in funzione delle componenti a 11 , a 22 , ... , a 12 di tensione.

o

a)

Figura 3.55 296

b)

3 Analisi della tensione

c) Nell'ipotesichegliassi x 1 e x'1 risultano paralleli, discutere le due relazioni precedentemente ricavate in b). d) È possibile definire una rotazione degli assi tale che sulle facce di un cubetto con gli spigoli ad essi paralleli siano presenti solo tensioni normali? Spiegare.

Esercizio 3.46 Lo stato di sforzo nel punto B e nel riferimento principale è rappresentato dalle tensioni ( 1)

a{=

N

10-, 2 mm

a= ~

N mm

-5-2

a