Probleme date la olimpiadele de matematică pentru licee (1950-1990) 9789734400362, 9734400363

Table of contents :
COPERTA
INTRODUCERE
Partea 1 - Enunţuri
Clasa a VIII-a
Clasa a IX-a
Clasa a X-a
Clasa a XI-a
Clasa a XII-a
Partea 2 - Soluţii
Clasa a VIII-a
Clasa a IX-a
Clasa a X-a
Clasa a XI-a
Clasa a XII-a

Citation preview

Probleme date la olimpiadele de matematică pentru licee (1950-1990)

JNTRODfJCERE:

L'f!,crarea de

faţă reuneşte

pentru prima

oară

proble,nele date la olimpiadele de

matematică din ţara '11,()astră la etapele judeţeană şi ·na#onată, pe o perio(l,(})J, 4e patru decenii. Ea constituie o continuare şi completare a apreciatelor ,lucrări alcătuite de

profesorii T. Roma-ţJ,, O. Sacter şi Gh. D. Simionescu (1950-1967 ), L. Pana_itdpol C. OttesC"iţ (1968-1974), p,ecum şi a culegerii elaborate ·cu -ocazia etapei finale a concursului de matematicii din anul 1983 de la Focşani (1975-198:J). Eţi a fost concepută pe principiul prezentării complete a problenţelor pe ani de studiu ·şi tipuri de licee, cu reactualizarea nataţiilor şi ~ terminologiei şi r"espectare.a cerinţelor ~i exigenţelior programelor şi manualelor• în vigoare. Problemele propuse la olimpiada de matematică din anul 19153 mi au fost publicate în Gazeta matematică şi în consecinţă nu au pata,t fi reconstituite şi pablicate în 'culegerea de faţă. Aici sînt prezentate 1176 de probleme de algebră, geometrie plană şi în spaţiu, aritmetică şi teoria numerelor, combinatorică, analiză matematică şi geometrie analitică, teoria probabili"l,ă,ţilor, însoţite de indicaţii de r_ezol()a;re sau soluţii complete, în funcţie de gradul de dificultate a problemelor. Se poate astfel urmări e.volztţia. nivelului olimpia• delor interne, baza frumoas,elor rezultate a_le elevilor români la olimpiadele- i1tternaţionale de 1natematică, iniţiate de România în anul 19J9, care dovedesc talentul ştiin­ :tific· al poporului -nostru. Lucrarea. conţine numeroase probleme originale, d~osebit de interesante, propuse pentru olimpiade de,profesori din invăţămîntul superior şi liceal" şi din -cercetare. $a se adresează în primul rtnd elevilor din licee şi gim;nazi{, care se pregătesc pentru olimpiadele de· matematică şi eonc"Lirsurile de admitere în învă"lămîntul · superior sau licee. Problemele pot fi folosite la ce~ciirifo de elevi şi ca su,;să de inspiraJie pentru sesiunile de comunicări şi referate_ ale elevilo,·. De asemenea, credem că ele Ml' constitui un prilej de satisfacţii pentru rezoluitorii de probleme de matematică de diferite profe$ii. Autorii aduc p~ această câte calde mulţumiri Editurii Ştiinţifice care a spreciat utilitatea publicării acestei l1icrări. 1 şi

ĂUTORII

Pafteâ lntfi ENUNŢURI

CLASA AVIU-i Ănul1950 Etapa I

1. Se

a)

consideră poţinoamele

St se arate că

00~ ~

~ b) iN ot am :cJ

Y

=

y

= 2x -

x2

-

(a 4 b) a; 4- ab, (a

+ b).

y ia valori opuse cîiid' X ia valori egale cu rădăcinile poli,

=

a

+b +m 2

•

şt x 2

b = a+ 2

ai· fi m, polihOrinil f ia valo1·i egaie pentru x valori opuse pentru aceste valori ale foi x. c) Să se de:rnoristreze ml ecuaţia

=

-

m.

x 1 şi x

~

Sa se arate

=

J; 2

că

. oricare

iar polinomul y ia

are ră~ăcilii reale oricare ar fi k. d) Luind a= -2, b = 5, să se reprezinte gi'âfic fubcţiile Y şi y.

"" ----:- 45° şi fie BB' .J_ AD, B' E AD. 2. Fie ABCD un romb in care in(A) Se consideră punctul E E (BB; astfel ca (.BE) ~ (AB). Să se arate că: a) C, D, E sînt coliniare; b) cehtrii1 cercului în.scris in triunghiul ABB' aparţine cercului circumscris · ti'iunghiului Bt:E. ~

Etapa a li-a

1. Pe hartă sint marcate trei localităţi: A, B, C. Se cere: a) să se traseze o ,şosea rectilinie, aşii fal ca cele trei localităţi să se găsească la aceeaşi distanţă de şosea; b) ce fel de triunghi ti-ebuie să fie ABC pentru ca să putem construi pe şosea un canton egaJ. depărtat de cele trei localităţi? 2. Profilul unui pod fle·cale ferată este compus dintr-tiii' arc de cerc de rază R datu şi coarda care i1 subîntinde. Înălţimea maximă a arcilhti aduna.tă cu luiigimea·podului este egalei cti diarnetrul cercului dii1 c::are face parte arcul. La ce dislanţă sub pod eşte centrul cercului? '1

Anul 1951 Etapa I

1. Două'plăcî pătrate ABCD şi AEFG, si•uate tn acelaşi plan, sint reunite in punctul A, vîrfurile lor fiind notate ca în fig. 1. Să se arate că: .. _,.,.,_ a) (BE) (GD): "Gr------.:.'F· ."'" :b) punctul Y de intersec.:ţie a dreptelor GD şi BE aparţine cercului circumsc.:ris triunghiului EGA.: c) unghiul BYG este drept:

=

./"'...

.

,,,,.......,

./"'...

tint_r-~1n_ pla~ care trece pri!1 ·cent.rele tu~uro~ bilelor şi se număr de notează

cu r ra1.a meluhn interior·, cu R raza 1neh.dm exterior, iar cu x raza unei bile. a) Să l!P anite di raportul ;, ri.ilâ

1. Suma primelor n numere naturale este Ull 1iunufr fonna t din trei cifre zece. Să se determhie 1i. { 1' Roman) · 2. Se dă un paralelogram ABCD şi se coui.;ideră pe laltihi [AB] uh punct variabil E. o) Să se. demonstreze că cercurile circumi.;erii.;e triunghiurilor ADE şi CEB se intersectează a oară fotr-un p1inct j;, situat pe latura '[tDf a paralelogramului.

"'t:,..-.,.,.,iJ.,.e...i.,..n..... baza

doua

26

h) Fie J Jni~,s~cţi~ drtipt~i ck c~~ cJfbul c.1fţ:W:i1J1~tis tfiu&lfih.tihi Al!J'ţ,,îitr J intersecţia dre~tei AP cu tiercul Mrotiiiistiris triiirlgBlulrii JJt;E. Sll tt âtaU ca lriunghiurile ADI şi BCJ sint asen1eneâ şi să se deinonlifii'ime felăţia EF 2 =AI· CJ = const. c) S,ă se deiermine locurile geuttietrice desci'ise de punctele I şi J. (C. Vasilescu) Eta~ finatl

de

1. Termenii unei progresii aritmetice a1 , a2 , a3 , a,, ... se in modul următor

aşează

într-un tabel

formă triunghiulară,

Oi 4~ {ţ3

i, ds llis a., a8

as ll10

. a),_S~ se de_terrn,iiie termenul cu care începe linia a n-â şi cel cal'e se găseşte acestei linii. . b) Aşezind în ac~st mod termenii progr~siei aritmetice 1, :3,, 5, 7, ... , să se demon~trez_e c~ SUII_la termenHor tie pe oricare fini~ este µn pub perfect,'. , . . C) C~onside:rînd ~_cee_~şi prpgr~~i_e c~ l~~P'!.P?.tul -~ JU J~r:meriiî aş~~a V în ~10~ul md1cat, sa şe determme în a cîta hme se gaseşte numarul 21 715; Mre este un termen al progresiei. . . 2. într-un tr·itiughi, oarei;âre A.SC se dui;e bis~ctoarea B.iJ şi d~ E mijl®ul lui [BD]. Paralela dusă prin A la BD intersectează pe CE în F, Îfll' paralelii dusă prin C la BD intersectează dreapta A.E în G: . la

sfîrş1tul

Să

a) Să se demonstreze că uriglliitrile şi 'EBG- sint drepte. b) Fie AA' şi CC' perpendicularele duse respectiv din ,1 şi C pe dreapta BD. se demons~reze că CA'. AC' şi fi"(; st.d.t. trei drepte concurente.

FEE

Anul1960 Etapa regională

. ·1. Se 1:unsider~ un trâpez isos~ej cu lung~iri~a bazei mari egaEi cu 2a şi cu di-agonalele perpendiculare pe laturile neparalele. . . ' â) Notînd cu :X lu_ng~rriea u~eia dintre laturile uepărlilele, să se exprime perimetrul P al trap~zuH11 itl functie de a şi x. b) Să se deier~ine_ doifle~hil de văriaţîe ai lui x. c) Să se afle vafoai·~a lui .-r peiiii·u c_iife perimetrul este maxim. d) Să se reprezinte gt·afic variaţia perimetrului ca funcţie de .T pentru a = 1. ( Lucia Ţene j · 2. Se dă ecuaţia

+ +

,__ 2(m 1) i; m 5 ==· O, unde m este un parametru. ln eazul in care ecuaţia admite ~ădăcini reale să se arate că o rădă_cină a ecua t.iei, şi nun;i.ai utiâ, ei,ittr cufirinsji ih. fotervii.Iul ( ~2; 3). (C. Ionescu-Ţiu)

x2

.

3. Se consideră triunghiurile .A 1B1l'1 şi A. 2B 2C2 avtnd lungimile 11;1.turilor

B,C1 = tZi, A1C1 = bi, A1B1 =

Br.C2 = a2, A2C2 = ba, A2B2 = C2· A a) Să se ·arate că dacă m(A 1) = m(A 2) atunci are loc relaţia 2 - "".! n2) b16t • (b21 + C21 - a2) 1 bzCz = (b22 TI C2 h) Să se arate că dacă are loc egalitatea de la punctul a, atunci unghiurile c1~ A

A

A

A,1 şi A 2 au măsuri egale. (E. Vişa)

Etapa

finală

se simplifice fracţia 1 x 2 + 3x + 3) 2 1 ' . Y.. -- \ 2 2 (x + 5x + 5) - 1 b) Să se afle maximul ~i minimul acesLei fracţii pentru x E R "- {-1, -2, -3, -4}, precum şi valorile Jm x corespunzătoare acestor extreme. (C. 1011escu-Ţiu) 2. Printr-un punct fix F din plan, cu:prins intre două cercuri concentric& de raze R şir (R > r) se duce o dreaptă mqb1Iă care intersectează cercul de rază r tn punctele M şi li!', iar perpendiculara dusă din F pe FM intersectează cercul de rază R în punctele N şi N'. a), Să se arate că suma MJ/' 2 + NN' 2 este constantă. .. b) Să se demonstreze că suma Filf 2 + F,J."11.' 2 + FN 2 + FN' 2 este constantă. c) Ce poziţie tr~buie să aibă punctul F pentru ca punctul M să fie ortocentrul triunghiului Jl,l' N' N? . d) Să se arate oii locul geometric al mijloacelor segmentelor [21-!N], [.MN'], fiil'N], [ .M'lV'] este un (lerc al oărui centru este mijlocul segmentului {OFJ. (C. Coşniţă) ·

1. a)

Să

.

Anul 1961 regională

Etapa că

1. a) Dacă numerele pozitive â, b. au loc egali.tăţ.ile următ.oare

an( V c'-1

Vbn) O, on_C$re- ar fi .:49-,_,J. (C. Ionescu-Ţiu) 2. a) Să se arate că dacă,.intr-un triunghi ABC intre mediane şHa) Să se deducă din punctul a implicaţiile duble

(a 2 (a 2

+ b2)(A 2 + B 2) =

+ b2 + c2) (A 2 + B 2 + C 2) -

c) Se

consideră

(aA

(aA

+ bB) 2 ~ A-a =Bb- ;

+ bB+ cC) 2

=o_,: = ! = ~ •

polinoamele

+

(a+ AX) 2 + (b + BX) 2, (b + BX) 2 + (c CX) 2, (c + CX) 2 +(a+ AX) 2 , (a+ AX) 2 + (b + B X) 2 + (c + CX) 2 , pe care le notăm, respectiv, cu p 1(X), p 2 ( X), p 3 ( X), p(X), iar a, b, c, A, B, C sînt numere întregi. Să se arate că dacă cel puţih două din polinoamele p 1 , µ 2, p 8 sînt pătrate perfecte, atunci şi p este un pătrat perfect. · d) Reciproc, dacă-p este un pătrat perfect, atunci pi, p 2 , p 3 sint pătrat~ per• fecte. e) Dacă p eeJ,e pătrat perfect, atunci nu există nici un număr întreg x astfel incit p 1 (x) '+ p 2 (x) + p 3 (x) să fie un număr întreg.

,v

39

Etapa finali

1. Se

consideră următoarea mulţime

M de numere reale:

V~+

M - {or; E B! ,p;; 2(1- V x + 1) - V x + ţ, x E [ ......1,, +oo)}. a) Să se arate că m,ulţimea M' c M, definită astfel: M'

=

{oe E RI oe=

Vx +2(1 - V x + 1) - V-x -i-1, x E [O,

., +oq)},

are un eingur element. h) Să se determine mulţin}ea M"-.._M'. ( I. N. Onută) 2. Se consideră mulţimile de perechi de numere reale: {(x, y) E R X Bf x 2 - y2 = 3x -4y}, M2 = f(x, y) E R X ltl 2a;y = 4x + 3y}.

llf1 Să

=

se determine mulţimea M - {z a: 2 + y 2 1 (:,,, y)_ E Ml n M.}. (L. Panait()pol)

=

3. a) Să se arate că romburile cu vlrfurile aituate pe fiecare. din laturile unui dreptunghi dat stnt uemenea.. · . b) Se consideră mulţimea T a triun~hiurilor dreptunghice care au virfµrile unghiurilor ascuţite pe fiecare din laturile ţ1nui unghi drept x()y, i1;1.r vîrful unghiului drept a,l triunghiurilor este situat tntr-un punct fix A din interiorul unghiul1,1.i a;Oy. Să se determine triunghiul A E T de perimetru minim. · Notă. La punctul b se poate folosi, eventual, rezultatul de la punctul a. c) Fie un patrulater convex ABCD, cu propriotateo.

o[ABCl ~ a[BCD] < a[CDA] <

şi

-),

~

vectorii u; v, w -> -+-+

-+-+-+

c(ba) - a(bc).

determine a, b, 1, /(O) = 2, ·

= f(-1) =

Să

definiţi

se arate

astfel:

că dacă

-+

a.

-+-+->

-'>'-+

b, c formează un triunghi, atunci şi vectorii u, w, v formează un triunghi ase• menea cu primul. ( M. Chiriţă)

Anul 1977 Et11pa'

judeţeană

,Î;\ Fie

familiile de parabole V (P 1 ):y=(m+1)x 2 -2(m·+4)x+2m, m=f:-1, (P 2 ) : y = (m 3)x 2 - 2(m + 3)x + 15, m =f. -3. a) Să se arate că dacă parabolele (P 1 ) intersectează axaOx, atunci parabnlele (P 2) riu o intersectează şi reciproc: dacă parabolele (P 2 ) intersectează axa Ox,Q.tunci parabolele (P 1 ) nu o intersectează. b) Pot coincide vi;furile a două parabole din cele două familii? c) Ce figură geometrică se obţine unind consecutiv vîrfurile de coordonate tntregi ale parabolelor din familia (P 1 ), care corespund valorilor întregi ale lui m? d) Care este mulţiuiea punctelor din plan descrisă de vîrfurile parabolelor (P 2),-GRld m variază? (Laura· Constantinescu) WFie .,,,,,,....,,, M mijlocul laturii [BC] a unui triunghi ABC. Notăm AC = b, .,,,,,,....,,, .,,,,,,....,,, . AB = c, m(AMB) = ot, m(BAM) m(CA2l1) • y (ot, y;l,:,90?). Să se arate că:

+

@ rQ

V

s~n ~ ; · smy C + b cos A cos ~ b + C cos A = cos y ; ilf cosy + C cos ~ 11 = -b ---s~n B .smC

&

dou nume

= ~'

=

- C cos B = -b cos - -C --.

(C . I onescu-.T.iu ) 2 2 cos ot ' Fie A, B, C trei numere naturale care se pot scrie fiecare ca sumă ·de trate de numere întregi. Să se arate că: produsu] AB se poate scrie ca o sumă de două pătrate de numere intregi; produsul ABC se poate scrie de asemenea ca. o sumă de două pătrate de întregi. ·

o

A

A

• Fie ABCD un paralelogram în care m(A) ~- m(B). Considerăm propo-

. .. :nţnl

. (p): Există un punct M în interiorul paralelogramului astfel în cit triunghiul jl,J AB este echilateral; (q): Există un punct N în interiorul paralelogramului astfel încît t_riunghiul N AD este echilateral.

(a)) Să se determine mulţimea valorilor măsurii unghiului

poziţh/,,(p) sau ( q)" este adevărată.

 pentru

cai:e pro•

47

\ B) 1 pentru măsura unghiului A aparţintnd mulţimii de' la punctul a, ·să se. deter~e tn propoziţia

funcţie de m(Â), mulţimea

,,(p)

şi

(q)" este adevărată.

valorilor raportului AB pentru care AD ( M. ,Toloşi)

Etapa

,i~

(:\,ie a un

număr

real dat.

Să

fl.nală

se

găseascl

a:?+ ax1 T ( ~2 2

x2

1

r

numerele reale a:1 , s:1,

... ,

a:,.

= Xj,

+ ax2 + (a....:.2 1 )a = x(

3,

............ - .,........................ ...

X!-1 2

ltn

r.--

~acă A, B, C sint are ~egalitatea

+ axn-1 + ( a ;

r: :;

Xn,

. + axn.. + (a-1}~ 2 . = .:t1,

măsurile

(D. Tllnăsi~) unghiurilor unui triunghi oarecare, atunci

3 + cos A - - - - > cos 2 B 2

/~'

1

2

+ cos

2

C.

:

\ 3 1 Se consider5. o reţea plană infinită de p~itrate, cu latura de lungime egală

cu u)ll'iatea, ale căror virfuri se numern noduri. Să se arate că dacă un cerc de rază r E N• trece prin două noduri ale reţelei situate la distanţă egală unitatea unul~celălalt, atunci cercul nu mai trece prin alt nod al reţelei. (M. Cac,achi) 4. ie ABC şi DBC două triunghiuri echilaterale cu latura de lungime a, simetrice ă de BC. Fie Pun punct oarecare pe cercul de centru O, circ.umscris triunghiului DBC. Să se arate că P.4 2 - 2PB ·PC= a2 sau P.4 2 + 2PB ·PC= a 2 n funcţie de poziţia punctului P pe cercul de centru O. ( E. Rogaii

cu

Anul1978 Etapa

judeţeană

e laturile triunghiului ascuţitunghic ABC, spre exterior se construiesc drep ghiurile congruente ABB1B 2 şi ACC1C2 (lAC2 ] [AB] şi [AB 2 ] [AC]). Fie P punctul de intersecţie a dreptelo:r BB 2, CC 2 şi S punctul de intersecţie a dreptelor BC2 , B 2C. Să se demonstreze că:

=

/',....

m(BSC)

are 4A

= 90°

'

şi

punctele B 1 , S, C1 sint coliniare;

BPC şi patrulaterul BPCA

semidreapta (PA este bisectoarea unghiului u11ghiuri opus& complementare. (1. Hadtrcd)

ă

=

funcţiile de gradul 2, f(:r.) = 2x

=

2 + 2, g(x) x 2 + 2x + 1. de ~radw al 11-Jea h aşa incit g(x) ~ h(x) ~fl:tl, oricare ar fi x real, avem h(1) = 4 şi există A E [O, 1] constant aşa incit h(x) ..., = Af. ~ (1 - Â)g(x) pentru orice x E R. (L. Panaitopol) • Cite numere de cinci cifre există care încep cu 7 ~i au ca sumă a cifrelor 11 ? . Ottescu J ă se găsească numerele întregi x, y aşa incit

(:')Se consideri

Să ~ate că pentru orice funcţie

(x

+ 2)(y + 5) -

2tx

'

+ 1)(y + 2) = O. Etapa

(C. Cărbunaru)

finală

/ÎJ ~eterminaţi valorile posibile ale expresiei

\J V

a2

+ a + 1 - Va

2 .i.

+ 1 pentru

a

( ..,.~ Rezolvaţi tn numere reale

J v-x + V d) Fie m > 1,

y -

1 mn

n

1+

~ 1,

a E R. ( S.

ecuaţia

v--2 = -1 z-

2

intregi

aşa

(x

+ y + z).

incit

Vi - :

Rădulescu)

(T. Andreescu)

> O.

Să

se arate ol

V1 -

m

lele

ie ABCD,un-patrulater convex şi M un punct pe diagonala [AC]. Paran M la AB, respectiv DC, intersectează BC in P, respectiv AD în Q.

CV. a)

>-·

(R. Gologan)

Arătaţi că M P 2 + MQ 2

;;ii

.AB 2 • DC 2

AB2 + DC 2

•

In ce caz ..are loc egalitatea?

b) Determinaţi locul ieometric al mijlocului segmentului [PQ] cind M parcurge segmentul [AC]. ( D. Buşneag)

Anul 1979 judeţeană

Etapa

P1\ S~

se determine

funcţii_le f : R ~ R aşa

pe~ orice x E R. ( L. Pan.auopol) f'T."\Se cons.ideră funcţiile lo, {1 ,

\..7

= - -1- - pentru k E {O, 1 - f,i(J;) t:rsă se determine domeniile

f•+i(X)

v,;~

f 2,

••• ,

incit flx

+ 1)

~ x ~ f(x)

fn definite prin fo(x)

+.1.

1 = --

x-2

şi

1, ... , n - 1}.

maxime de

definiţie

ale

funcţiilor

fo, fu

fa, .. inc

ung ment.

Presupunind n = 1979, să se determine o funcţie h : R"'- {2} - R aşa ţiâ compusă / 197s0 h să fie egală cu /o· ( A. Ghioca) _ ă se demonstreze că locul geometric al punctelor din interiorul unui uţit avind suma distanţelor la laturile unghiului constantă este un seg-

~ Fie ABC, A'B'C' două triunghiuri oarecare in acelaşi plan şi M, N, P, resp~v mijloacele segmentelor [A.A.'}, [BB'], [CC']. Să se arate că:

@"iiN =

~ (AB + .fli');.

(b\ perimetrul triunghiului MN Peste cel mult egal cu semisuma perimetrelor .triun~urilor ABC şi A'B'C'. În ce caz are loc egalitatea? (V. Pătrîngen,aru) Etapa

CD

Fief; R ... R, f(x)

4

=

x -

2

ax

finală•

3+'_}22

.:")ax -

23 +

x~ - ax+

ax

a

4+9

. Să se deter-

a2

mine valoarea minimă a acestei funcţii, ştiind că, a E [ -2, 2~ {O}. ( Tlt. Dăneţ) 2. a) Fie ax 2 bx c = O, o ecuaţie de gradul 2, unde a, b, c E Z. Sâ se arate că numărul ~ nu r•t•ate fi rădăcină a acestei ecuaţii. b) Să se arate că există cot=ificil:'nţi a, b, c E Z astfel incit O< al,1/9 bty] +,; < 0,01. (S. Popa) 3. Dară un poligon ,,re proprietutt>H ~ă există ,:, 1.

~

3. Într-un pntrnlater convex ABCD avînd laturile [AB], [BC], [CD] şi [DAJ exis~~ ·negalitatea A 8 + BD < AC + CD. Să se arate că AB < AC. i.1-. Să se. arate cii oricum am alege cinci numere întregi, există două dintre aces care au suma 8au diferenţa divizibilă cu 7. (I. Tomescu) Etapa

11;'\.xistă funcţii

~ .

f(x 2 )

-

f :R

-+

/ 2 (:-c) ~

fi_nâlă

11şa

R, injective, incit 1 - , (V)x E R? (T. Andreescu) 4

există

să

~ S e dau cinci pu.ncte in plan, printre care nu trei care fie situate ·pe ~şi dreaptă. Să se demonstreze că printre acestea se găsesc patru puncte care~·nt vîrfurile' unui patrulater convex. 3 Se consideră numerele reale a, b, c cu proprietăţile a + b c = O, a2 + 2 + c 2 = 1. Să se demonstreze că: a) d aca• a ~ b ~ c, a t unei. b"~ ~ -1

+

resp

6 1 ~ max {(a - b) 2 , (b - c) 2 , (c - a) 2 } ~ 2. ( D. 1J1iheţ) ie un triunghi ABC şi punctele A', B', C' si.tuate pe (BC)', (AC), . BA' CB' AC' k ~ . t .,, l . ·t ~ (AB)

, as ie

triunghiurile .tf.BC

şi

sa avem - - = - - = - A'C B'A C'B -4 'B'C' au acel.aşi ce.gfru de greutate. mei·

= .

Sa se arate

.

că

51

Anul1982 Etapa

Judeţeani

şi

+

~ î e trinoarnele T1 . - X2 + p 1 X + f/1 T2 =- X2 + p9X (J1• Sl se arate + q2) = pif1 2 , atunci cel puţin unul din cele două trinoame are rădă-

cil da~q1

cini ~ e• . S. ie (: (O, oo) ..... (0, 00) o funcţie aşa incit (/~)(x) -= 31 2 oricare ar fix E E (O, ). Sa se erate că: a) f este bijectivă; b V/w = f(V:i:) oricare ar fi x E (O, 00). (P. Dâl,ydy) ie 1' = X 2 aX + b un trinom care admite ca rădăcini numete tntre~i. Să s te că dacă c este 1111 .întreg astfel incit T(c) = 13, atunci max {T(c - 1), T(c + ţ)} = 28. ( D. Mihet) 4. Fie ABC ~n triunghi ascuţitunghic al cărui ortocentru este 11. Pe semi(BC), dreptele (HA, (HB, (HC se consideră punctele A', B', C' astfel incit (HA') (HB') :::- (AC), (HC') (AB). Arătaţi ,că: ' a) B'C' = 2AM, A'C' = 2BN şi A'B' = 2CP, unde M, N,P slnţ mijloacele latu~ [BC], [AC], respectiv [AB]; (l.Y H este !lentrul de greutate al triunghiului A'B'C'.

+

=

=

Etapa finală

(~Ştiincţ că nu~erele reale a, b, c satisfac inegal~ta~ea 63(a + b + c J ~ 11

8

8

sa se demonstreze că a, b, c #, O ş1 sa se arate că cel puţm una dintre ecuaţiile a:i; 2 + bx + c = O, bx 2 + ex + .a · O, cx 2 -t- ax + b = O nu are rădăcini reale. ( T. Andreescu) L2/ Să se arate că o condiţie necesară şi suficientă pentru ca suma distanţelor unui punct M la cele patru laturi ale unui patrulater inscriptibil să fie constantă, etnd M se mişcă tn interi0rul sau pe fronti~ra patrulaterului, este ca patrulaterul să fie dreptuhghi. Fie funcţia f : R - R, f(x) = ax 3 + bx + c, a, b, c E R, a #, O, şi să notăm cu G1 graficul acestei funcţii. Definim

O, aşa incit

u. MB+ v NC = 1, să se arate-că d trece MA NA se afle acest punct. Caz particular u v = 1.

=

Anul1985 Etapa

1. Se arate

polinomul P(X) = X 2

că:

i) o

consideră

judeţeană

dacă

polinomul P(P(X)) are numai

singură rădăcină

în intervalul [-·

!,00),

+ aX +

b, unde a, b E R.

două rădăcini

unde

a= a2 -

Să

se

reale, atunci P(X) are 4b;

ii) dacă P(b) .'F O atunci P(X) are o singură rădăcină în întervalul (9, 1) numai dacă are loc cel puţin una din situaţiile ·

dacă şi

·54

a) P( P( X)) . are o singură rădăcină strict pozitivă~ P_(P(X)) are o ?ingură rădăcină s~rict negativă. (D ..Jfiheţ) . (9 Fie a E R aşa mcit 4a + 1 ~ O ş1 f : R -+ R o funcţie cu proprietatea f(x) < a(1 - x) pentru orice x E R. Să se arate că ecuaţia f 2(x) = ax are cel mult o rărlvină reală ·şi aceasta este independentă de a. ( D. Seclăman) 3 Intr-un plan se consideră două puncte fixe A şi B şi un punct fix IE (AB). Pe p rpendiculara în / pe AB se consideră punctul mobil „iJ!l. Perpendicularele in A pe AM şi in B pe Bill se intersecteţtzi1 în P. Să se determine locul geometric al punctului P. . ~ In interiorul unui triunghi oarecare ABC se consideră un punct M. Bisec~

~

/",...

/",...

/",...

'

toarele interioare ale unghiurilor BMC, A./Ji!C, AMB inters_ectează laturile [BC], [AC], LABJ in punctele A 1 , B 1 şi, respectiv, C1• Să se arate că: ' @. dreptele AA 1 , BB1 , CC1 sint concurente într-un punct. PA · - , -PB· -. -PC- = Bd aca ş1 numai daca Jr.i71 ,r este centrul cercuIUI· c,1rP A 1 PB1 PC1 cumscris triunghiului ABC. v

•

•

Etapa

v

finală

(î)rab Dacă M c R este Q mulţime finită, să se determine funcţia strict cres-

cătoare_~ M- M.

f:

("[;'\')Dac! M c R! este o· mulţime finită, să se determine toate funcţii!~, aşa incit xf(y) = yf(x), (V)x, y E M. (I, Nedelcu)

~llf

{J a)

Fie

ecuaţia

Să

se rezolve

x2

-

x(a

ecuaţia

+ b) + a +' b..,.'= ~ , 2

considerind

că

unde a,

b E R.

necunoscuta este a.

b) Sa se arate că ecuaţia are cel puţin o rădăcină întreagă dacă şi numai dacă

1

a2

~

+ b = -. 2 2

c) Să se determine a şi b aşa incit ambele rădăcini să fie intregî. ( L. Paooitopol) 3. a) Se consideră în plan un cerc @ de rază R şi şase cercuri distincte două cite două @1 , @2 , @3 , @4 , @5 , @8 de rază E aşa incit fiecare dintre ele este secant cu cercul @, Să se demonstreze că din cele şase cercuri @1 , @2 , @3 , @4 , @6 , @a există cel puţin două care sîrrt secante. b) Să !!wi arate câ afirmaţia nu mai este adevărată dacă cele şase cercuri se lnlocuiesc cu trei sau patru cercuri. (C. Gaşparic J f'î'\ln triunghiul ABC se consideră punctele A1 E (BC), B 1 E (AC), C1 E E {}tm şi fie M, N, P mijloacele segmentelor LAA 1 J, [BB 1], respectiv [CC 1]. Să se arate

că PMNP 2. Să se rezolve ecuaţia in x::,c3 - 2ax 2 + (a 2 1)z 2 - 2a - O (COl'i&idertnd-o mai tntti ca ecuaţie 1n a) ,i să. se pună rădăcinile 1n orJine creseitoare• .3. :Fie x > 1. Să se arate oă existlj şi este unic nEN* astfel lnott1 2 ... +n < :t c,.;; 1 2 n (n 1). Pentru c.e x real, n rezultă pătrat perfect? 4. Fie ABCD un patrulater convex avtnd diagonalele perpendiculare; intersectindu-se in O. Se consideră o dreaptă d perpendiculară pe AD, intersectind segmentul (AD) în F şi pe AC in E. Să se cerceteze dacă există puncte M pe d astfel incit AM 2 = AO • AE. 5. Se consideră un triunghi aacuţitunghic ABC şi fie D piciorul tnălţimii din A pe BC. Se duce DE perpendiculară pe AC (E E AC) şi fie F un punct pe ~tn.l'lntuJ [DE]. SA se aratf!! că AF e11te perpendiculară pe BE da.oă numaj dacă DF/FE = DC/ BD. Este esenţial că triunghiul este aacuţitungbio 1 ( M. Pit•i)

+

+

+ +

+

+

+ + ...

+ + ... + + +

,1

Etapa finali

t. Să se d-,termine locu! geometric al centrelor de gr O cu deastă proprietate. (C. Zălinescu) 2•. Fie a, b, c, d, e E R astfel incit a > O şi (cd - b~)(b - d) > a(e - c) 2• Să se demonstreze că: i) trinoamele ax 2 + bx + c şi ax 2 + dx + e au rădăcini reale şi distincte; , ·ax 2 + bx + c . . _ f: R"' {xi, x 2 } - R, f\X) = · este surJect1va. · ax 2 + d,x + e (Am notat cu x 1 , x 2 rădăcinile trinomului ax 2 + dx + e.) ( I. Tomescu) ..

u)

58

.

funcţia

3. Fie ABCD un trapp,z C'U ,IR 11. CD ~i fip, Jf, iY. P, Q rp,: - restul împ11rţiâi la :2 pi;[.p - restul împărţirii ln -+ :l esl P !L. S;_l se scrie descompumirea in factori a polinomului P(J:) :te - 2. (Ch.D. Simione1:,·cu) 2. a) Să se rezolve L.riunghiul oarecare A..[JC in care se dau: lungimea a n ~

laturii [BC], măsura unghiului opus A şi suma b•-- c = l a lungimilor celorlalte două laturi. Să se exprime aria a a triunghiului ·şi raza r a cercului înscris în funcţie ele elementele dofo. Discuţfo. b) Să se conslr.uiaseă graJ'i(; lloiunghiul eu dulelu din tmmr\ ~i t'lll°H, ,1·eg~sea~Pil 1w aePast ă eale c·onifrţiilP ,d ,,. t>xisl-Pnţ'I) fi 11'· p1·ohh.. ,Ht·.i. ·

65 ; -· Probleme date la olullpi..Cicle de

matematică

penLl'U licee

v-

A C) Să se rezolve complet triunghiul ln cazul m(A.) = 60„ şi l = a ~. 3. a) Să se demonstreze că dacă într-un lelraedru A JJCJ) bisectoarele mrn:hiu.............. .............. rilor BAC şi BDC intersectează muchia [BC] în ucelu~i punc.l Jl, aLunci şi bisec-

...,,,,......_, ,/',... . loarele unghiurilor· ABD şi .ACD intîlnesc muchia [ADJ într-un acelaşi punl:t ,Y. .............. ............ b) Dacă şi bisectoarele unghiurilor CA lJ ~i CBD se inl1:11·sectează pe muchia [CD], .atunci proprietatea _esLe generală pentru urice pereche de feţe în raport cu muchia lor comună. c) Care sint relaţiile intre lungimile muchiilu,• l~u1·e earuderizeazil astfel de .tetraedre? Reciproca este a piramidei cm plnnul hazei. precum şi 111;ii-11ra unghiului diP1lru formnt de o faţ.i't Jater11l11 cu buza piramidP.i. d) Prcsupu11iud eă nern să folosim şablonul Ia confecţ-ionarea uno,· stele de st-ielă aYînd numai lr·iunghiurile AE'A', BA'B'. CB'C' et.c. colorate cu roşu. sb i;e determine relatia dinl-rP- R si r pentru ca suprat'ata co.Jorală cu !'Osu sii aibă o arie maximă. (O.' Snctff J ' ' '

Anul 1961 Etapa regională

J. a)

Să.

se ··alculeze suma .,,

I:: (p~

(a

.lip).

p=l

69

, E b) Sa se ara t e c ă expresia v

=

a ei;lc inlreg.

n(n

12.$'(,r)·

este un numar i n t reg d ac ă v

+ 1) {n -, 2)

= a:!. (O. Sacter) 2, a) 1ulr-un vus complet închis, transparent, informo dP pirumidii regulată cu baza un poligon cu n lat.uri se află lichid la o inălţirne de lt em de vîrL \ asul are axa de simetrie pe direcţia verticalei locului ~i vîrful în jos. Se răstoarnă vasul cu ba'za orizonta1ă şi virful in sus. Pină la ce inillţirne se ridică lichidul in vas, ştiind c,~ iµălţimea '::a.suvlu~ este li c;m, i~r.I~ngimea !aturii pbli.~on11Iui. de bază este a cm? Sa se arate ca mulţimea astfel gus1ta, z; depmd.e numai de lt ş, 11. b) Dacă piramida nu este regulată şi are aceeaşi înălţime cu piramida regu~ Ială, 8e mui păstrează proprietatea şi in ce condiţii? e) \µlicaţie numericu: piramida regulată are drept bază un pătrat cu ·a= = Cfcm, lt = .!i cm, H = 8 cm. (O. Sacter) 3. Să 8e aritte eă dacă sin 2(a + c) = n sm '2b, atunci c) Să se determine numă1·ul OP-t- MN sfi sr nratr c.ă 4sinxros2.î" > 1. (L. Mă­

nescu) !J. Sf' r.onsiderii un triunghi ABC cu unghiul drept. în A. Pe planul t.riunghiu'Jui în A, se ridică perpendiculnrn AV. Se uneşte punct.ul variabil Vru vîrfurile B,C. a) Din punctul (;, cent.rut de greutate al t.riunghiului ABC, duretn 611/, GN,GP .pnralelr la muchiile [VA],[VB],[l'C] pînă întîlnesc, respeciiv, feţele VBC, J!CA, VA.B in punct.ele ,l/, N, P. Să se. stabilească. re!aţia GM J'A

+ (:!!_ + GP = 1. VB vr

b) Si'i RP Al'i\t.e ei'i. acea.stă relaţi(\ Mte. valabili'i şi 1n JllQSTN. . b) Să i;;e calculeze perimetrul ~i nria a()şi x ...._ y a) sin(x + y) > sin:r - sin y > O;

(A'B'C')

·2.

Să

. . < (1 .+ sin x) · sin 2.')-

< 1.80", atunci:

2

b) -sm~x sin 211 .,·

3. S1:1

· (1 -+-- sm

dă funcţia

((', ,.oncsc11-.T 111 · )

· " ... 1/)· SIW-:

11

.

2

f :R

-+

+

=

R.

f(x) (m 1).r 2 + 2(,n - l).r -.'- m, m E R. t-1.) Să se afle valorile lui m pon°l,ţu care YÎt'furile parabolelor, definite de fu'ncţia dată, se află in interiorul triunghiului OA B. 1mrle 0(0, O): A (:l, O) şi B(:l, 1). b) Să .se deseneze graficul parabolei' definită de funcţia dată, în cazul cînd ytrful parabolei se află pe prima bisectoare a axPlor dr> coordonate. . c) Să Sfl determine VAioriie lui m nstfel en Ambele ri'idi\eini ale lni f(:r) _.:_ O

să

1

fie mai mari decît

2

(C. Frdiuc) Ecapa

de a

1. a) SP. b.

dă

l_og 1oRi\' =aşi log7 2 N

finală

= b.

Să fle

şi

b) S,'i se arate

ex.prime lof! 2J\' ~i log3.\' în funr.t-ie

ă.

n m -----=-+-; log;1:nymA logi1:A log A 11

unde A> O;

2. Se

x, y E (O, 1) U (1, OQ), iar m, n E R~{O}, A 'I' 1. (L.

dă

expresia E=3

+

+

Pîrşon)

+

,2 cos(a x) - 2(eos a cos x). a) 81\. ~e nfle valorile lui a pP.ntru care eeuaţia în x, E = O, admite soluţ.ii f'PAlP fit 111 1H·-rst caz sil 11e rezolv,~ ecnat ia. h) Să se arate că O ~ E ~ 9 şi să se aflp valorile lui a şi x din intervalul [O, 21t] pentru c:uP E = O, şi pentru care E 9. (C. lonescu.-Ţ,:u) 3. O prismă triunghiulară ABCA'B'C' are feţele latArale pătrate de latură a. Fie M un punct. mobil pP dingonala ( A B') a ff•ţl:'i A B B' A' şi N proiect.ia sli pe faţa

=

BCC'B'.

a} Notăm eu .4 11 mijlocul muchiei [B'C' J. Să SP. arate că A 'N şi 21./ A II se inter• sel'teazh într-un punet. P,şi flă sA afle Jocul lui P eind M deserie diagonala LAB']. h) În cazul C'ind punctul J1 esle în mijlocul diagonalei [AB'] să se exprime ,·olumul piramidei .°4'1 BNB' ( N. Peligrad)

Anul1970 Etapa

J, S_P.

Judeţeană

c,onsidflră. 1;)'111-Aţ,ia

'.A(m

..L

2) 2 xz - 2(m ....:.. 1)(m -!- 2) x - m

=O 79

~;1 !'if' arilfe eă V III t.;11·:l. ( I.. Plrşan)

2.

Să

m ~

E R,

·

se discute

O, ecnatia adli1ite o '

ecuaţia în

rădifoin:1 p0zilivă

x,

2sin 2x + 3cos x - m - :J = O, undi:' m est,!:\ un paramfltru real. (1li. Near:şu) " cos l b, C'f'.o 3 :,, - iIe ;, c ax - -cos = -3:r- = cos - -5.r - , uncea,

b

a.

a)

Să

se arate

ră

su buni·

·

o,,COR2.r.~0.

± ,.

unde k ei::te număr·

ŞlCOS:'C:/

C

a+c - = --ab a -;- b h) ~ă ::;e nrate cn dal:'ă a

.

2

a-b 3a + b

Sl t.g .V c.c-:c - - -

'

·-

+ c ~-- b,

atunci .-r.

=

Ir::-:

o

îT.1-t.reg. (C. I0nescn- 7'in) 4. Pe planul pătratului ABCD de lat.ură a se duce în punctul A. perpendiculara OA. = a l/2. Proiecţiile lui .A 'pe planele (OBC). şi (OCD) Jp notăm respert-iY cu M~~i A. Fie Pi)l'oiecţia_lui M pe planul·(OAD) şi L proiecţia lui .1 pe Jlf!Y. a) ~a se calculeze J.lf P s1 AL. h). Să SI:\ calculeze uni,:-hiul diP.dru format de planel"" (A JLV) şi (ABC D). (Gh.. Ba:.a,·op) LICEE DE $PECIALITATE

1. Se eon1,idr:\J'1l

funcţ.ia

/(x)

=

n,

/

lt .....

x2

+ m.1: + m -- 4,

a) Folosind relatiile dintre de rn expresia '

rădăcini

111 E R. si cneficienti să se exprime în ' '

f'nncţ'ie

+

f(x2 - m) X2 i f(.T,1 - m), unde x 1 şi x 2 sint rădăcinile ecuatiei f(;:r) = O şi m.E (4, +oo) . . h) Să se rezolve ecuaţ.ia f(x) = O ştiind că int.re rădăcini!P X1

.1· 1 şi x 2 P'\is1::i 2. c) Să se determine vîrful ceJ mai depărtat de axa Ox, :t, B > '1,

A.

A Yx=ă

să

finală

ecuaţia

se rezolve

+ BVx2-:ix+

2

că

=· 2. ( C. Oprişan)

2. Să se arate că nu există numere N "# 1 astl'el incit, dacă a si b sint două numere naturale prime i:rit.re ele, loga N şi lo6b .V să fie amîndouă numere raţionale. 3.

Să

se arate

sin a 1x sin a 2x

că

pentru n-

sin anx ,

COti

~

2,

a 1.c cos a 2x

cos anx ::.; 1. ( L. Panaitopol)

4. Să se ducă printr-un f?Unct A din spaţiu o dreaptă D care sii formeze cu trei drepte date oarecare D 1, D 2, 0 3 unghiuri congruente.

o. a) Fie r·.JBC un hit.raedru şi A', B', C' trei puncte situate respectiv pe muchiile [VA], [VB], fVC]. Să se arate di Y,1l111n lA'H'(''

VA' l'P,'

------:::.::.:.-

voJum V r1 JJC

Fr'

V 8 · FC

l"A

h) Fie L-1 BC o pin.1mjdă -eu baza un paJ'aleJog1·am şi .4' B', C' D' inlersegmentelor (FA), ( VB), ( VC), ( V D) cu un plau. Notăm

seuţiile

,.

~,

. VB' re. · K,\. v·B =KB._'_

--:::.;;

VC

FA

=

l1 D 1 Kc·---= Nn.. VD .u-

Să se calculeze volumul piramidei VA'B'C'D' in funcţie de volumul piramidei

JiA.BCD ~i de c·) $11 se

/(A,

KB, Kc, Kv.

dedu1~:\

l'elnţia

l K _.1.

l• 1. f -- -- -- ..... ( L. Panaitopol) KB - K.c , Kn. "89

Anul197& Et,pa

t.

Judeţeană

+ bsin 3.c + ci,in 5x + dsîn 7x = O. aceai,tă ecuaţie admite isoluţiile !;,~, ,, unde /r. este orice număr

Se dă ecuaţia asin x

a) In ce condiţii

tntreg, şi in acest caz sâ se rezolve. b) In ce cazuri pentru b = 1 ecuaţia admite numai aceşte soluţii?

( L. Po:naitopol) .

mieă

2. a) Să se demonstreze ci in orice poliedru convex aria unei feţe este mai

decft suma ariilor celorlalte l'c\e. h) Se dau două poliedre convexo P1 ş, P 2 in care p1 ei,lci strict mterIOr lUI P 2 (toate punctele suprafeţei lui P 1 sinl interioare poliedrului P 2 ). Să se demonstreze că aria P 1 < aria P 2 • (D. Schwar::.} 3. Fie a, b strict pozitive. Să se rezolve ecuaţia 2az = ·b'l + ex in ipoteza că c = V ab.

4. Daeă x, (t~ 2x

y '=/I krc,

2·

să

se arate

că

+ tg y) (tg~x + ~) ;;, (tg X + tg y) (tg-1-x + tg _!_). tg y y 2

2

2

Cind are loc egalitatea? 6. Se dă funcţia /(x) = I x 2 - 3x + 21 l x - al definită pe R. Să se determine a, astfel incit ·mulţimea valorilor funcţiei 1,ă fie [O, 00). (Această problemă este problema 5 de la clasa a IX-a, etapa judeţeană, 1975).

+

LICEE DE SPECIALITAîE

l.

Să

se demonstreze identitatea cos 3x cos 5x cos 7 x sin 3x cos 5x · · + . ,.,_· . 6 + . 6 . .8 sm 2x sm ·4x sm _, ;;m x sm x sm x sin x sin 2x sin 8x

(Olimpia Popescu) 2. DE1că A > B >a> 1

A a) R

>

b) I0g11

şi

K

> O,

să

se demonstreze ·inegahtaţile:

A+K B + Ki

!+

1 >log11 +K (A+ K). (Şt. Taehe)

3. fie t.ricdr1.Jl t,ridrcptunghic. Ox:11:. pe ale

cărui

muchh se iau punctele fixe OC = c;. Pe segmcntql (OA} se consideră· punctul mobil M care tlle proiectea:âi pe A.B şi· AC respectiv in N şi P. a) Să rie afle .locul geometric al mijloculu1 segmentului (N P);

A E (Ox, B E (Oy, C E (0~. astfel incit OA.

b)

Să,. şi;;

= a,

...-....

OB

= b.

determine m4sura unghiului ;,V.l! P. ( P. Toma)

Etapa f lnall

1. Să se arate că există numere iraţionale a şi 0 b astfel tnctt a• să fie natural. ( L. Partaitopol)

2. Să ·Se urate că ecuaţia !:linx sin 2:z; sin 3x

,,

= ::... 4

nu are soluţii.

3. .Să se urate că un poliedru convex C!].re cel mult un centru· .de simetr1e.

4;. Un tetriţedru are toate inălţimile con'5ruentp şi una din eJe cade in ortocentrul feţei opuse. Să se urate că tetraedrul este regulat. (N. Popescu) o. Fie xi E R (i = 1, 2, :J, n) verificind relaţiile: i) a(1

+ xd

"

ii) ~xi ;;ii Să

;;:; (a+ :1 )xi+t, (V)i

r&!l, unde a

se arate că numerele

6.

Dacă

a

Xi

E;

= 1, 2, ... , n

şi

x,.+ 1 = x1;

R este diferit. de -1. O, -

1 :r·

sint egale. (V. Matrosenco)

+ b + c + d = 2;r să se urate că . a . b . d . a+b. c+d sm - sm - + sm - sm - = sm - - sm - · - · 2 2 2 2 · 2 2

' se dedu~ă logB+1i Oo constantă. Dacă MEd 1 şi NEda sînt două puncte variabile

aşa

NB

• situat pe segmentuJ (:1:JN) 1t." ,

4. Si'i

st:i

= k, să

incîL MA

.. d ştun

n,zolv,, ecuaţia

.

se afle locul geometric al punctului P

P'Jf ca• PN

3

=- k.

.

(C' C'aragea )

,3

81_0

a + ~ = 1, a E .R. sm x cos x

Anul1978 Etapa 1.

Să

1+

se arate

(a t br

că ;;;i.

judeţeană

oricare ar fi .a, b,

.rfeete. ()!aria Elena P,anaitopol)

93

finală

Etapa 1. a) Se consideră- n m ulţ1mc .1 aplicaţie bijectivă a~a incit

: ..4.-. A o a1


2, astfel tnctt af + ai +~ , a2 + ... + an)2. ă se arate că funcţia f est.e periodică. (1J,f. Beclteanu) 3. ie n > 2 un număr natural şi z E C "- f1} astfel incit zn = 1.

i.

Să

se arate

că

=

?.

11 ~zi>---;

n-1 ii) Să se arate că pentru orice k E Z, k nedivizibil cu n, are loc inegalitatea

- 1 -. Isin kr:.'n > n-1

( M. Becheanu)

4. SP ronsideră pentagoanele convexe ABCDE înscrise într-un cerc de rază 1, Ca«"e au diagonalele [.4.CJ ·şi [BD] perpendiculare. Să se determine yafoarr.ia maximă a ariilor ·acestor pentagoane. Etapa

finală

(î.J Să se demonstreze că dacă a şi b ffl.nt două numere complexe a.stfel tn~it

tl> +'{( - t)a r:/a O, pentru orice t

E [O, 1] şi

Re~ ;;;i,O, atunci Re ab. • > O, b , (tb+(t - t)a) 2 oricare ar fi t E (O, 1). (Cu R.e z~s-a nptat partea reală a numărului com· ·~ plex fa-h (Gh. Mocanu) ( 2. !să se arate că un şir neconstant ge numPrt" naturale nenule .(x11 )n;;a,o este ~rogresie aritmetică dacă şi numţi dacă exist ii. a> O astfel încit.xn+t =

=

:tn

+ [-i.] oricare ar fi n E n--l--a

N. (Cu [x] s-a notat partea

întreagă a .număru•

lui rea] x.) '(L. Panaitopol) ...-.,3. Pentru n E N_* se consideră numerele c:n, k = 1, 2,•.. , 271 - ·1. Să se arate că: a) toate aceste numere sint pare: b) unul singur dintre numerele considerate nu este ·multiplu de 4. ([. To-

m.eseu) , ' ' 4. Fie o piramidă regulată de vîrf V şi hază [ABCDJ. Se consideră punctele A' E (VA), B' E (VB), C' E (VC), D' E. (YD) şi se notează cu J,j şi N mij-

leacele segmentelor ţA'C'], respectiv [B'D1. Să se arate ·că punctele V, A', B', C', D' se afiă pe o sferă dacă şi numai dacă dreapta M N este paralelă cu pla:aul bazei.. (L. Panaitopol) ·

103

.

Să.

Etapa

că

judeţeanl

. }''(\ se ara te dacii lungim:le a, b, c ~le 18,_lurilor unui_ triunghi ABC verihcaUgahta tea a4 ;;i:: b4 + c4 - b~c 2, atunci m(A) ;;;; 60° .. .(I. Tcnnescu) ~ 2. Să se arate că intr-un triunghi lungimea celei mai mici bisectoare int~rioare nu depăşeşte triplul razei cercului înscris triunghiului. r?:i Fie J/· mulţimea perechilor (x, y) de numere naturale astfel incit O ~- x ~ ~ 1 1 ~ ~ y -~ n. şi fie k, l numere naturale astfel încît O < k < m, O < l < n. Se numeşte drum in mulţimea ilf o mulţime ordonată r c M, r = {(xo, Yo), ... ,(x111 „n, Ym+n)} astfel incit Xi+l + Y.i+l. = xi -,- Yt + 1, (V )i, O ~ ~ 11. Să se determine: a _umărul drumurilor din mulţimea ,}/; numărul drumurHor care nu conţin perechea {k, l). (,ll. Becheanu) 4. Fie {ao, a 1.... ,,an,,,.} un şir de numere reale îndeplinind condiţiile:

ii+

n

ao

(j} Să

=

a1

= 1,

~a11.an-k

= 2~an,

(Vjn ~ 2.

se determine ter·menul ge:neral an.

()) Să

se afate

că mulţimea {b; ·=

~l-Şa

si:: calculeze sn

=

t

(k -

to I,, E N} ak

este

mărginită.

'l)a 11 •

Etapa

finală

BC = a, AB = . · · · i) In planu.I (BCD) prin vîrfurile B, C, D se duc paralele la laturile CD. BD. respectiv BC. care determină triungµiul J/ NP. Să se. demonstreze c~ drept_ele A.li.~,.V şi A P sînt perpendiculare două cite două . . i\J Să se de1~oi~streze _ei¾ e~istă un ~etraedr~ ~chifacia_I a,·ind. m~chiil~ de lun~n a, b, c daca ş1 numai daco a, b. c smt lungun,Ile laturddr unm triunghi ascuţit@'.lhic. ( [. Tomescu) -~, 2~ S~ se a1:ate că oricare ar fi numere I~ ~·eale nenule şi de acelaşi :;;ernn a, b, c a1. ..J · c megahlateu

t .. Se. consideră

= CD

~ h, AC

un tetraedru echifacial A.BCD, adică AD

= BD =

=

c.

~

l (a -

b)~

+ b2 1

VO şi arătaţi că teore~a.este falsă. .

X

b) Găsiţi greşeala din demonstraţie. c) Adăugind oondiţja că f(x) este de două ol'i derivabilă şi că f'(x) > O pentru orice xER* să se arate oă concluzia este adevărată. (C. Foiaş, L. Pana°i' topol, C. Ottescu)

3. Fie A

= (:

!)

o matrice

sin~ulară·

(a, b, c, d 'E R),

diferită

de 02"

Să se arate·,că există o funcţie f': R4 x N-+ R astf~l incit An= f(a~ b, c, d, n)A pedtr·u orice n E N. (L. Panaitopol) 4, a) _Să se afle aria maximă a unui paralelogram 1nscris într-o elipsă. h) Să se arate că maximul e11te atins pentru o inf.i»jtate de paralelogra111e.

Anul1973 Etapa

a0

>

128

judeţeană

va::;· 4-k (tn.-care. se dă

1. Dindu-se şirul. (an)neN definit prin relaţia a~= O; k > O). a) Să se arate că Şirul este convergent. b) Să se calculeze limita şirului. (I. Drăghicescu) 2. Fie f : R --. R o funcţie definită astfel: · x dacă X· este .,raţional, f(z) = { -x da.ca a; nu este· raţional.

Să_· se arate că f nu este monotonă pe nici un interval. Este f inversabilă? Să se studieze continuitatea lui f. (C. Niţă) Se dau patru drepte concurente dintre care două sint perp_endiculare. o dreaptă variabilă le taie pe acestea din urmă i:n A şi N şi pe celelalte două in M şi B. MA t a ) Sa~ se arate ca~ - · NB - - es t e cons t an. MB NA b) Dar dacă ON şi OA nu· sînt perpendiculare, se menţine afirmaţia de Ia punctul preoe~ent? 4. Fie f, g : R - R do~ă funcţii periodice care îndeplinesc condiţia lim [f(x) - g(x)] = O. Să s~ arate că

a) b) c) 3.

-IXI

a) f şi g au perioadele egale. b) f şi g sint egale. 6. Fie .Jll,3 mulţimea matricilor cu trei linii şi trei coloane de elemente reale. a) Să se determine matricile A din JJl 3 astfel incît A.X= XA pentru orice matrice X cu det X "F O. b) Generalizare. LICEE DE SPECIALITATE

1. Se dau punctele 0(0, O) şi A(1, O). Să se determine coordonatele oelorlalte patru puncte care impreună cu cele date constituie vîrfurile unui he~agon regulat conve:x1. (L. Ptrşan) 2. Se consideră polinomul cu coeficienţi complecşi a(X) = X 8 pX 2 qX r. a) Dacă x 1 , x 2, x 3 sînt rădăcinile polinomului dat, să s.e _det~rmine p, q şi r astfel incit polinomul avînd ca rădăcini pe xf, x~, x~ să coincidă cu polinomul dat. b) Să se arate că polinoamele astfel determinate verifică relaţia ' a(X2 ) = -a(X)a(-X). (D. Radu)

+

Etapa

avind

+

+

finală

1. Fie a E R"'- {O} un număr fi~a t şi / : R --+ R o funcţie de două ori der1vahilă următoarele proprietăţi: ·

f"(x) -# O pentru orice x E R;

pentru orice xER există c depinzind de x astfel că f(x + a) - f(x) = af'(c), f'(x + a) - f'(x) = af"(c). Se cere: a) să se arate că corespondenţa x --+ c este o funcţie notată cu c(x); b) f' are derivată de orice ordin şi_ pentru orice n natural, f(x)

=

a/Cn+tl(c(x)). (L. Panaitopol)

un cerc fix de centru O; pe care se iau

..........

două

puncte fixe A

şi

B

astfel incit m(AOB) = 90°. Fie două cercuri variabile @1 şi @2 tangente in A (respectiv B) pereului @ şi tangente intre ele in punctul M. Se c.ere locu) geometric al punctului lJ,J. (L. PanaitopoE) · 9 - Prot;Ieme dat~ la olimpiadelele de m•temaUci pei\tfu Ueee

3. Fie

f : R -+ [ -1, 1]

funcţia

{(X)= {

definită

cos

prin

O cind x Să

se arate că deşi

f nu este

continuă in

f (I) este un interval închis. ( C.

x =/a

7t .. cind

X

Niţă)

=

o.

O.

O, pentru orice interval închis I c; Itf

4. Fie A o matrice cu n linii şi m coloane (m< n). Se noteaz~ cu A-r matri cea tratispusă (adică matricea obţinută prin schimbarea liniilor 1n ooloarte), Să se arate că det(AA'") = Q. ( L. Panaitopol) o. Fie (an) un şir mărginit verificind inegalitatea 0

1

< 2 (an + an+1)•

an+il

a) Să se convergent. b) Să se

arăte că şirul (An) deducă

de aici

de.finit de

că şirul (an)

=

1•elaţia An

max lan, fZn+i) este

e::;te convcwgent.

Anul1974 Etapa

judeţeană

e

1. Fie funcţiiie f, g : R - R, f deritabilă hi iio şig corltihtlă tn /Bi; ito IC, cu proprietatea că produsul. lor h(x) = f(x) • g(x) este ftihcţie derivalH1tt lh i 0• Se face următoarea afirmaţie: funcţia g este de asem1mea derivabţlă tii .x0• Demonstraţie. ' h'(xo)

== lim

f(:t)g(x) -:- f(xo)g(xo) X -

:\.'-+Xo

=

lim f(:t)g(x) - f(xo)g(xo) ~x~

=

Xo

+ f(xo)g(x) -:- /([C )g(x) ,

X -

0

Xo

de unde h'(_x 0 )

. = 11m

f(:t) - f(xo) ( ). , 1.- '"( ) g(x) - g(i 0 ) - - - - g x -i- 1m r x 0

~x.

X -

~Xo

Xo

Xo

X -

sau h;(xo)

= f'(xo)g(xo)

+ litn f(xo) g(x) X-->-Xo

Am folosit faptul

că

h este

derivabilă

X -

g(xo) Xo

in x 01; de asemenea

şi g

este cch:itii:nHi

g(x 0); f(x 0 ) fiind o cbnstari.tă rl:lzultă că Jim g(x) -:-:. g(xo) x,x,, s-+a;, z-xo există şi este finită, deci g este derivabiiă in x 0• a) Stutiiaţ.i derivaJJilitatea funcţiei h(x) ~ xi xi, x E R.

in x 0 , deci Jim g(x)

=

b) Comparaţi rezultatul cu afirmaţia făcută la început. c) Formulaţi o condiţie in plus astfel ca afirmaţia să fie (C. Ottescu) 13,G

adevărată.

I. ~e considetlf

şirul

de termen geriera.~

'4&-

n

.

. ...

-· v1+v2+ ... +v;·

Pentru fiecare k naturai

~n -

se

consideră şirul (bU,l),

...

n

VI+ V2 + ... + Vk .;....1 + ,n - k + 1) V k

a) S~- se arafa"·că t,ehtru orice k ~ 1i avem an < bWl. ·b) Folosind defihiţia limitei să se arate că şirul (an) are limită (M. Ţena) 3. Un pătrat ABCD de latură varia~ilă are punctele A şi B respectiv pe Oy. şi centrul său P de abscisă o constantă. Ştiind că pătratul se află hi cad.Mnul bttti : a) să se demonsti·eze că ven.tr~l pătratului este fix; b) să se găsească locul geometric al puncielor C .şi D; c) care ~ilte latura maximă a pătratului ABCD şi care e!ilte cea minimă? (C. Otte!tU)

axa

O:ţ şi

1 X

4. Să se calculeze Jim

X!)

••

tg:!X

X~

x>O

5. Căutaţi matricile X care verifică rel~ţia ĂX - XA matrice de ordinul 2

şi

E matritiea uniiate 'de ordinul 2.

= E,

unde A este o

LICEE Dl; SPECIALITATE

1. a)

f(x)

= x2.

Să

se determine

mulţimea funcţiilor

f : R -+ B definite âstfel incit

funcţiile de mai sus sint continue în orice punct? c) Care dintre funcţiile de mai sus sint derivabile in orice punct? 2. Să se găsească polinoamele care au proprietatea că I P(x) I~ x pentru orice real. 3. Se consideră polinoamele Pn definite recurent prin 'relaţiile

h) Care dintre

a;

P~(X)

=

2XPn-1{X) --- Pn-2(X), Po(X)

=

L P1(X)

=

X.

a) Ce grad âre Pn? b) Ce coeficient are termend de grad maxim tn Pn? c) Care este 'Valoarea lui Pn(1)?

Etapa

1. Se dati

două şiruri

fina!ă

de termen general an

ao

< bo, bn,

an

=

an-1

şi

respectiv b,l astfel incît

+ abn-l

...a.;....;;;;._-~_;; '

4

= 3an-l + 2bn-l • 5

Se

consid.eră

tirtirile de termen general cn respectiv c; definite astfel: . -{ ~ pentru n par • _ { ~n pentru n impar, ~. ~ pentru n impar ' cn - bn pentrll n par.

,

a) Şirul de termen general

descrescător.

Cn

este crescător şi cel de termen general

c; este

b) Şirurile (a~) şi (bn) au aceeaşi limită. c) Să se afle această limită. (N. Micu) 2. Fit> ·runcţia f definită pe (O, co), cu valori in R. a)

Să

se arate

că dacă

este

f(x)

descrescătoare,

atunci are loc

relaţia

X

(1) f(x1

+ X2) ~ f(x 1) + f(x 2) pentru orice x1 t> O, x 2 l:> O.

b) Să se arate că dacă

şi a, bER+, f(ta + (1-t)b) ~

f

verifică relaţia (1) şi in plus pentru orice tE [0,.1]

tf(a)

+ (1 -

t)f(b), atunci f(x) este

.descrescătoare.

X

c) Dîndu-se funcţia g(x) 4g(x) ~ [g(x - u)

+ g(u)]

= et'

unde f(x) este

descrescătoare, să se arate că

X 2

pentru -0rice u E (O, x).

3. In triunghiul ABC cu laturile c