Trigonometrie: Manual pentru anul II licee

Citation preview

Eugen Margariteseu

Dr. Marius Stoka

Trigonometrie l\lanual pentru anul II licee

Editura didactici ti pedagogici � Bucuretti

Capitolul T

Unghiuri

�i arce

§ 1. Sisteme de masura pentru unghiuri �i arce 1. llasura un9hiuri1or. A masura un unghi înseamnà a-1 compara eu ait unghi, ales ca unitate. Fiecarui arc îi corespunde un unghi la centru unie determinat. Mii.sura

arcului de cerc este egalà eu mllsura unghiului la cenlrn col'espunzator.

În trigonomctrie se întrebuinteaza trei unitati de unghiuri diferite, carora Je corespund trei sisteme de masura: a. 1\lasura in grade scxagesimale. ln acest sistem · unitatea de unghi este gradul sexayesimal (1°) de finit ca a 90-a parte din unghiul drept. Sub­ unitatile sale sînt minut.ul se:,:agesimal ·(l '), egal eu a 60-a parte din gradul sexa­ gesimal, �i secunda sexagesimalà (1 "), egala cu a 60-a parte âin minutul sexagesi mal. Pentru a nota, de exemplu, unghiul de 15 grade scxagesimale 8 minule sexagesimale 28 secunde sexagesimale. scriem: 15°8'28". Din definitiile precedente rezulta relatiile: 1 ° =60 '; 1 '= 60 ".

Acest sistem se folose�te in aplir.at.iile prncticc ale trigonometrici, in astronomie �.a. b. }l:isura in grade eentesimale. Unitatea de unghi ·in acest sistem este gradul centesimal (]B) definit ca a 100-a parte din unghiul drept. Subunitatile sale sînt minutul cente.simal (1 c_> egal cu a 100-a parte clin gra0 sau À4, re­ zulta cà cei doi mcmbri ni ecuntici slnt cgali ducü !ii numai d�cü (cos •h:-cos 21:)1 = 1 fi sinx+5=4. a)

Yî cos:r+sin:r=\13;

e)

sin 3:r:+2 cos 3:r:=1.

l �- /1F5 b)

b) 4 sin x+3·.cos:r=2;

) 13; cos (2x+18 °)- 12 sin(2x+18 ° =

(4 sin :i:-5 cos :r:) 2-1 3(4 sin:r-5 cos:r)+42=0;

c) 1sinx1-1cos:rl=l

.

lnd. c) Functia 1sinxl-tcos:rl-1 admite perioada 1t. ln intervalul

data· este echlvalentA cu ecuatia sin x-cos X= 1, iar ln intervalul [; sinx+cosx==l.

.

·

[o, ;] 1r] -

ecuatia

cu ecuatia

27. SA se determine · unghiurile unui romb, daca raportul dintre perimetrul siiu fi sums diagonalelor este egal eu 2 yâ •

3 lnd. Se exprimit diagonalele rombului ln functie de latura ,1 unul din semiunghiurile

sale. Sa se rezolve ecuatUle:

L-. a)

L -;.

cos x-cos 3:r=sin 2:r; b) 1-cos 2x=4 sinx; c) cos 8:r-cos 6:r== '\f3cosx; d) tgx+tg 2x=siii 3:r cosx .

a) b)

cos x+cos 3:r=cos 5:r+cos 7r, X sin 2x+2 sin x=sin --; 2

c) tgx+tg 2x=tg 3:r; d) cosx+cos 2x-cos 3x=1; e)

1 -1 t 1 1 1 -----------------= -3. sin2x

I

cosB:r

tg2x

ctgB:r

secB:r

Ind. Ecuatia d) este echivalent4 cu ecuatla:

cosx-cos 3x=3 sinBx.

136

c'!)sec2x

Sa rezolvam acum problema iuversà, �i anume: fiind data valoarea unei functii trigonometrice, si se gaseasca unghiul din cadranul I a ciirui, functie trigonon�etrica respectivà are valoarea data. Sa calculim unghiul or. din cadranul J pentru carP�g !1.=0,36529. r.aulînd in talJela func�iei tangenta, gasim ca: tg 20°=0.36397, tg 20 ° 10'=0�36727 !}Î �inind seama ca in cadranul J functia tangenta este crescatoore, rezultü:20 0 2J2-4a2b:lcos2 · A

yt -

t·os1 q> frrl\'l:=---:-, r co.,; q>

2ab sin A b2-e,2

°

4 Sa se delermine ·110/umul $i aria laiera/à a unei piramide he�agnnale regulale a c,7rei inàl/ime e.�le h. iw· 1111!/hiul plan de la virf «. Fie SA DCDEF piramida �j O cenlrul ce;,roului rircumscris hexagonului -. .,............. ...--... ...--... ABC D EF (fig. 8C>). Avem SO=h, ASR=BSC=C.SD=_DSE=ESF=FSA=

=ot.

este:

--

...--...

-----

Daca noUm eu S aria hexagonului ABCDl·.'F, atunci volumul piramiclei · V=

Sh. 3

Notînd ru a Iatura hexagonuluj, rezulta di OA =a, ca fiind raza ccr­ cului circumscris he�agonului, iar OM ==- a ,fi, 2 nului. Deci: 6o•y:f a .r:. 2

ra fiind apotema hexago-

=�a2 • S=--2 2

Din triunghiul dreptunghic SA 'J\:f deducem: S111 = !!.. et tr �- •

°

2

•

2

Scriind l�orema lui Pitagora în iriuughiul S01\,.f, gàsim: 'X a2 h 2 =,--·'fo2 -+clg1 -· 4

166

·i

2

Prelungim generatoarclc AA1 ,ï BB1 pîna in punctul i'\1. Notînd eu

S aria secµunii, avem:

S = SAMc-"S.◄ 1.uc1• Triunghiurile AMC �i A1MC1 fiind asemenea. avem: Ail\1 S A1MC1 --=--· 2

•

S AMc

AM2

Analog, din asemana1·ea triunghiurilor AOM �i A1O1M rezulta: r AtM --=-, R AM

deci:

r2 =-, R2

de unde: S .4MC

-

S A1llfC1

S AMC

.

R2.:_ r2 =--, r 2

adicà:

Aria triunghiului AMc· est.e: S.t.vc=-=

.!.2 AC ·Jll( =AK ·.i'WK.

Din triuughiul AOK rezuJla: AK='/R 2 -01{:!.

Dar OK=MO ctg cp (triunghiul MOR), . iar MO =R tg gnl eu a. Prin mucbia ncestui diedru se duce un plan cnrc fnrmrnzà eu planul bazei unghiul p. Sü se dctennine aria sectiunli dad latura bnzei este "· 29. lntr-o piramidi patrulateralii regulatà este 1nscrisii o sfi B din care este vizibll punct.ul C. Dupa aceen se nu'isoarà distnntele DA= 836 m, AB-=513 m ,1 un-

,,,,,....._

.,,-....._

ghiurHe DAC=54 ° 16' �i IJBC=38 ° 43'. Sa se determine distan\a dintre punctelc C!fiD.

..--.....

34. Pentru a determina distan�a dintre douà puncte inaccesiblle A i;I R. se m:lsoara dis....-....... .,,,,,--_ � tanta CD=245 m fi unghiurlle ACD=32 °14', BCD=48 °23', ADC=62° 7', BDC== =81 ° 17'. Sa se calculcze distanta dintre punctele A Ji B. 36. Punctele A, B. C formeaza pe teren un triunghi echilateral cu Jatura o=2,5 km.

,,.,,,,....._

Sl se calculeze distan�a de la punctul M, situat ln interforul unghiului ABC, plnA la punctele considerate dacâ din punctul M latura AB se vede sub unghiul cx=22°12', iar latura BC se vedc sub unghiul (3=10 °28. Ind. Se aplic4 teorema sinusurilor. ln triunghlurile ABM, BCM �i se determinà un-

---

ghiul BCM. 13 -

Trtgonometde anul

u

(secita realA)

173

Cupilolul V 1

Numere con1plexe sub f ormâ trigonon1etricâ

§ 25. Reprezentarea ge�metrica a numerelor complexe 81. Plnnul complcx. Numerele de forma Z-=X+iy, unde x *i y,sint numere . . reale. iar i=-J-t �i i2 =-1 se numesc mmtere