Probleme de matematici pentru ingineri [2 ed.]

Table of contents :
10
20
30
40
487-end

Citation preview

RODICA TRANDAFIR

PROBLEME DE MATEMATICI PENTRU INBINERI Ediţia a li-a, revizuită şi campletată

ED!TURA TEHNICA BUCURE.ŞTI -1977

~

..

Redactor : LILI TICOŞ Tehnoredactor : ELENA GERU Coperta serici : ALEX. BANU Bun de tipar: 28.04.1977. Coli de tipar 33,'lli. Tiraj: 11.soo+so ezemplarelegate. Ediţia lntti: 1969.

c.z. 61(075.8 :021)

•

C. 11. - I. P. INFORMAŢIA str. Brezoianu nr. 23-25 Bucureşti

1n condiţiile contemporane cînd producţia mate,·ială Be desfă./}oară pe baze tot mai ştiinţifice, metodele -matematicilor moderne devin o necesitate imperioasă în p1·ocesul de cunoaştere !li a pra.eticii de proditcere a b11,n,u,·ilor materiale. · Oulege1·ea prezentă îşi p,·opune înfăţişarea unor probleme complet rezolvate, grupate în zece capitole şi an1tme: algebră l}i analiză vector1'ală, funcţii de o variabilă complexă, elemente de calcul 1natriccal şi tensorial, serii JJ'ourier şi integrala JJ'ourie1·, cal01tl opemţional,. funcţii şi em,.aţii speciale, ecuaţii cit derivate parţiale de m·ili-nul doi, teoria probabilităţilor, statistică mate1natică şi elemente de prograniare matemat·ică. În ediţia a II-a a-u, fost 1·evizuite şi completate majoritatea capitolelor lucrării şi plecînd de la faptul că metodele statisticii 1natemat-ice, b,a.za,te pe teoria probabilităţilor, îşi găsesc o largă aplicabilitate în fiec·are domeniu de activitate - fizică, biologie, economie, medicină, agricultură etc. - s-a dezvoltat capitolul de teoria probabilităţilor. Ţinînd seama de importanţa teoriei selecţiei în control'U.l calităţii produ,cţiei, de faptul că experienţele duc la verificarea unm· ipoteze stat-istice, capitolul de statistică matematică îşi propune prezentarea 1tnor probleme bazate pe aceste ,m,etode cu aplicabilitate în dive'rse domenii. 1n această formă lucrarea fiind imitară încearcă să răsp'ttndă itnor _necesităţi de adînoire a pregătirii în domeniul matematicilor a inginerilor, economiştilor, a studenţilor de la facultăţile de ştfrnţe, a celor interesaţi în studiul acestm· probleme, care .Poseda deja cunoştinţe de analiza matematică, algebră superioară, geomeh··ie analiticii, fi diferenţială precum ~i noţiuni .fundamentale de teoria probabilită­ ţilor ~i statistică m.atem.atică. AUTOAREA

CUPRINS Prefa\ă

Cap. I Cap. II. Cap. III.

.

3 Algel.ră şi analiză vectorială • . Funcţii de o variabilă complexă • • • • Element:• de calcul matriceal şi tensorial

§ l. Elemente de cnlcul matriceal • § 2. Calcul tensorial • • • • . • •

Cap. Cap. Cap. Cap. Cap. Cap. Cap.

Serii Fourier. Integrala Fourier . . . . Calcul operaţional . • . . . . . • • . VI. Funcţii şi ecuaţii speciale • • • . • . • . • • . VII. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea VIII. Teoria probabilităţilor • • • • • • • IX. Statistică matematică • • • • . . . X. Elemente de programare matematică • • . • Bibliografie • • • . . . . • . . . . • • • Anexe . . . . • • • . • . • • . • • • • IV. V.

5

63 160 160 166 208 226 278 310 358 435 474 532 534

Capitolul I ALGEBRĂ ŞI ANALIZĂ VECTORIALĂ

.

Fiind dat un domeniu D din spaţiul euclidian E 3 rap.ortat la T1lil ·sistem de axe de·coordonate carteziene ortogonale Oxy~,.se numeşre cîmp scalar o funcţie scalară cp(P) definită pentru orice punct · Suprafaţa de ecuaţie

cp{P)

=

=

cp(x, y, z.),

P(x, y, z) e D. cp{P0 ),

(P 0

=

fix),

suprafaţă d6 nivel a cîmpului cp(P1, ataşată punctului P o-+ {r) care trece prin punctul P 0 , t versorul tangentei la curbă în acest punct, P un punct oarecare al curbei {r) şi lp p abscisa curbilinie a punctului P faţă de P 0 •

se

numeşte

Fie o

curbă

0

Dacă

lim P-+P 0

există,

«p(P) - cp(P0) lpoP

valoarea ei se numeşte deri'Vata cîmp-tttui scalar cp(P} -+ direcJia de versor t în punctul P O şi se notează

dupăi

• Dacă a, ~' y sînt componentele versorului

(d!.) dl

=

a

+~

8q>

+y

iJq> 0Yo

âxo

p0

i:

avem

â:p • âzo

Notînd cu ;; versorul normalei la suprafaţ;a de nivel care trece prin P 0 şi cu 8 unghiul dintre şi ;;, avem

t

( d~) dt

P0

=( d!.) ·COS 8. d n P0

De asemenea

(d~) = Y(!:J_)2 + (±L)2 + (_ip_)2 • d

n

= I,

Dacă cp~(P), (li funcţia JJ'( cp17 · •• ~ , cp,.),

~ 0Yo

â:t·o

P0

••• ; n ), sint

atunci dF d

=

7

t

8:o

funcţii diferenţiabile şi

la fel

âF âcph •

h= 1 acph a 7 .

Vectorul de componente acp , acp , acp so numeşte gradientul âx0

pul~i scalar

diferenţiabil

ây0

â:0

cun~

·

cp(P) în punctul P 0 c D

şi

se

notează

(grad

n

I:

(prima

formulă integrală

m:ţ + cp

a lui Green);

,J, :;) da= ~~~(cpA,J, - ,J,Acp)d..,

I:

(a doua

formulă integrală

n

~

a ·lui Green).

Fie (S) ,o porţiune de suprafaţă bilateră orientată avînd o arie limitat~ :de un, .:contur rectificabil ( r) reprezentată prin ecuaţiile parametdce , x -:-- x(izt, v), y

= y(u,

v), z

= .c-(u,

v),,

nnde punotul (u, v) paro-µrge un domeniu D, funcţiile x(u, -v), y(u, ~), t('lt, v) .fiind difeţenţiabile în D. În aceste· condiţii avem / ormitla integrală a lui Stokes

c- - JJcc-n rot -v da.

J'v dr .

r

s

Un cîmp vectorial ;(P) diferen!iabil într-un domeniu D se numeşte irotaiional sau lamelar dacă rot v = O. Orice cîmp vectorial irotaţional este gradientul cîmpu.lui scalar cp(P)

= J(

--

'I

vdr, (A

=

fix).

AP

Funcţia

cp se mai numeşte şi funcţie de forţă. Un cimp vectorial 'V(P) diferenţiabil într;..un domeni1rD·se numeşte· solenoidal dacă div v = O. Orice cîmp solenoidal este rotorul unui oîmp vectorial numit potenţial vector al cîmpului dat. Un cîmp vectorial v(P) se numeşte biscalar dacă există o funcţie ).(P) derivabilă şi o funcţie F(P) de· două ori diferenţiaibilă, 'ăstfel incit

-

-

). gradJJ'. Avem

- -=

v · rot v

Un cîmp ,;vectorial de forma -

'V(P)

12

=

r

O.

lLj:a I

unde µ este newtonian. Funcţia

0 constantă

11,( P)

=-

-=

iar r

~

PA, A fiind fix, se

numeşte

cîmp

.!:. se numeşte potenţial newtonian al acestui r

cîmp. Sistemul

;(P)}

rot ~(P) = {pe D) div 11,( P) = q( P)

cu

condiţiile

-

lu(P)I ~

.A.

şi Â

A

-+

(p=IOPI

p>-+i ,

-

fiind constante pozitive, unde v(P)

>

R),

şi q(P)

satisfac

relaţiile

,.

.

-

d1v v B

şi

=

B

-O, Iq(P) I~ - , nv 11: p2+1,1,

µ fiind constante pozitive, are

;( M)

= O,

soluţia unică

-- -

. = __1_ ((( q(P)r + v( P) x r deup,

47t )))

.

r3

o

n

şi

I: satisfac

condiţiile

1°, 2°, 3°, 4°.

PROBLEME 1.1. Fie cîmpul scalar cp{r) = -;-;, unde -; este un vector unitar constant, iar -; vectorul de poziţie al punctului curent din spaţiu. l° Să se determine suprafeţele de nivel ale cîmpului şi suprafaţa, de nivel care trece prin punctul .A(l, 2, 3). 2° Să se calcu1eze derivata după o direcţie-; a funcţiei cp(r) şi să

se ar.ate

că

-

.

dcp

nu depinde de punct ci numai de s, iar---::;·= 1. da

13

n.

'5uprafeţelc

de nivel sint date de

ecuaţia

-+-+

ar = C, (C = const)

şi reprezintă

plane perpcn:li~Ilarc pe a.

Planul perpendicular pe u care trece prin .4.(1, 2, 3) este _._,.

➔

a r = a b cu b

= i

-+

➔

+ 2j + ?ik.

2° Avem

dcp

-+

.--:; = s =

dar grad

~ reprezintă mărimea variaţiei

temperaturii în raport cu

distanţa

la punctul P

ds

15

.

într-o

direcţie

numeşte

spre Q. Aceasta se mai

-

dr

.

Deoarece-::; l'Sle un ,·celor unitar,

-

ds

acestui vector unitar,

maximă,

adică este proiecţia -+

şi

cind ~(f)

0

lui

7

deci ea este armonica

şi

= O şi

dacă

q,

O. •

-rj

= -.r3-,

âq>

= O.

-+-+

-+-+

_,._,,

ri

rj

rk

funcţii

-r3+ -r3+ -r3•

âf = O.

consideră

v-

20

(rk) -

-3--;a- r

+ u+z)r- 3 se poate scrie ca o sumă de trei f(x, y, z)=

·1.8. Se

k

Aq, = O.

. Analog, dacă q, Funcţia

["';i'"- -- ] =

cîmpul vectorial definit prin vectorul

. = -r3a (2a cos8ur + sm8u

8 },

a= const.

armonice

-+

1° Să se calculeze rot v şi funcţie de forţă. 2° Să se determine linHle de cîmp ale lui;_ R. 1° în sistemul de coordonate cilindrice avem -+

Ur

ru 8

a· aa

a

1

-+

-+

rotv= r 2 sin 8

ar 2a cos 8

r sin 8;cp

a aq,

a sin 8 rll

r3

o

• -+ [ a ·( a sin 8 ) a ( 2a cos 8)]} + rsin 8uq, ar ~ - aa r3 = O.

deci

Clmpul vectorial-; este irotaţional, deci există o funcţie q> aşa incit-;= grad q,, •. dq>

-+ unde dr-+ =Ur dr+ rua d8

=

-+ -+

v dr,

+ r sin8 Uq, dq-.

Avem

2a cos 8 . a sin 8 ( a cos 8) dq,=- - d r + -2- d 8 = - d - , r8 r r2 deci

funcţia

de

forţă

este q, =

a cos 8

- -- = .

r2.

C, (C = const).

2° ln coordonate curbilinii ortogonale, . sistemul diferenţial care ne dă liniile de ctmp este

în cazul problemei avem r3dr

2a cos 8

.

=

r' d8 s. sin 8

=

rsin 8 dq> -0--

soluţiile

cu

1.9. Se

consideră

cîmpul ·vectorial definit prin vectorul

-= v

-+

...

-+

-+

unde y2 - z2

de ctmp, punem

y2 ,_

=

condiţia

C2.

ca sistemul

= C1, z = 1, :2 = C2, x2 + 4y2 = 1

x2 - :2

22

=

2k are

mărimea

7

să

fie compatibil tn x, y, z.

Obţinem

C1

iar

de clmp

suprafaţa

cerută

are x

1.1 O. Se

2

astfel

relaţia

+ 4C2 + 4 = O,

ecuaţia

+ 4y 2 -

consideră funcţiile

5:2

+ 4 = O.

vectoriale

-

.... u=rcp(P), v = -1 r 2 grad cp(P), -w=1· x gra,d cp(P), 2

unde; este vectorul de poziţie iar cp(P) o funcţie armonică în D. Fie n volumul măriginit de o suprafaţă închisă (I:) şi o curbă închisă ( r) în D. Să se verifice reia ţiile 1° ~~;;da=~~;; da+ 3 ~~~ cp(P) deu. I: I: n 2°

~~; x ;da= ~~;i X ;da=~~~ ;deu. n

I:

I:

3° ~ ;d;+ ~;d;=O. r

r

B. 1° Aplictnd formula

integrală

a

primelor

divergenţei

două

integrale din 1°,

obţinem

~~ ;;da= ~~~div~tp) d = ~~~(3tp + ;grld = ~~~ ;;d~. n

n obţinem

:1° Aplicind formula lui Stok~s,

--

--

() u dr= )) (( rolu r s

nda

(( = ))

Cgrad cp

....

-

X r jn

da

s

şi

~;

,i; = ~~ rol;; da = s

r

~j [ s

grad ( : r•)

X

grad

q, ] ;; da = - ~ ;;l;. r

-

-

...

1.11. Se con~ide:di, vectorii u = q> grad tji, v = ~ grad

)ftl;;; da=4 ~~;,;da.

8

Analog se

S

S

obţine

~ 42d(c;.2) = r

4 ~~;;;da, s

,25

deci

relaţia

3°

de la punctul 2° este

~~ ip4[4 grad ip -

verificată.

~~~ rot [ip4(ip grad 4 -

ip grad 41 X ; da=

4 grad ip) dCi>

~~~ 4ipy (grad 'ii X

=

grad ip) d6>

n

~~ ;;; da = ~~~ dlv 'Jd0 = =

= 4 ~~~; d6>. n

m

dlv (cp grad ~) d0

=

n

n

~~~ (cpA'i' + grad cp grad ~) dCi> = ~ ~~ grad cp grad 'ii dCi>, n

n

deoarece A\jl = O. Dar suprafeţele cp grad cp grad \jJ = O. Rezultă

~~;;;; da ~

=

= const

O,~~;;; da=

şi

'ii =

const slnt ortogonale, deci

!~~ div-; dCi> = O. n

I:

5° A,•em

( ....

➔

J u dr

~;d;= ~~rot;;da =

~~grad..ţ, x

r

s

s ((

.... ....

((

= )) rot u 11 da = )) (grad cp

r

s

.

gradcp);;da,

➔

x grad IJ,) n da

=-

~~

........

u;'i'v ;; da =~~(grad 9 X grad q,);; da,

s deci egalitatea este

evidentă.

( ....

Jv r

s

şi

26

=

n

~

s

➔

dr

1.12.

Să

r-v dr,se calculeze J

- = 3xy-i- -

dacă

- + lOxk,. .

v

5zj

iar

AB

B(5, 8, 8) sînt 'U = 2t 2 , z = ,~. şi

A(2, 2, 1) = 1

+t

n.

2,

Avem

--

=

,, dr

de unde

două

puncte pe curba de

3 xy d.t· - 5: dy

ecuaţii

x

=

+ 10x dz,

rezultă

~ ; ci-;= ~ AB

3xy dx -

5: dy

+

1Ox d:

=

AB

2

= ~ [3(1 + t'l)2t2 • 2t -

51 3 • 41

+ 10(1 + /2)3/ 2 ] dl=

2

= ~ (-12/ 0 + 1014 + 12/ 3 + 30/2 ) dl= 1

Hrot ;;

1.13. Să se calculeze

303.

=

da, unde ;

(x 2

+y -

4)

i+

s

+ 3xyj + (2x.c +

pentru care

n.

Dacă

pe cercul x 2

z> O.

z2 )

k şi (S) este suprafaţa sferei x 2 + y 2 + ~2 =

vom aplica teorema lui Stokcs, avem ln loc de integrala Deci

+ y 2 = 16, z = O.

dată

o

16

integrală

ff rot -J) v n da = )rv dr. r

s

Avem

~; d; = ~ (x + y 2

r dar

j x' .r

dx

=

[-¾- x•

4) dx

+ 3xy

dy,

r

l

=

O,

~r

4 dx

= [-4,:)r =

O,

I

u dr = -

16,r, ·

r

27

~ ~dx

deoarece cu ajutorul for~ulei lui Green -

ne

dă

aria (Sr)

lnchisă

de (r), iar

r

~ 3xy dy = ~~ 3y dx dy = O, r

prin simetrie.

sr

rezu1tă

~~ rot ;;; da = -

161r.

8

Ps

1.14. Să se arate că dacă~;; d-;. este independentă de drumul

ca,1·e

uneşte

punctele P 1

pe11tru orice

Ps

şi

P 2 m tr-o 1·egiune

curbă închisă

r- -

curbă lncbisă.

--V

r

= )(

atunci

dr=

Atunci

-- --

)(

V

dr+ )(

vdr=

P 1.A.P1

vdr-

deoarece integrala de la P 1 la P 2 pe curba care trece prin A este de la P 1 la P 2 pe curba care trece prin B, prin ipoteză. Reciproc,

dacă

deci

P1.A.PaIJP1

egală

cu integrala

r- - = o. atunci

) v dr

-... r

~-

( -+ -+

J 'V dr = O r

(r) în regiune şi recip1·oc.

R. Fie P 1 AP2 BP1 (fig. 1.14) o ) vdr=

dată,

vdr=

~

-

...vdr +

~

P1BP1

P1AP1

~

- ~ -- ~ --

...vdr =

vdr-

P 1APs

-- ~ - vdr=

P 1AP1

v dr=

o.

P1BP1

v dr.

P1BP1

1.15. SJ, se calculeze circulaţia, cîmpului vectorial definit prin vectorul ; = X pe un ce1·c de rază a., axat perpendicular pe -+ ... segmentul .AB = 2b astfel ca, AO = h (O fiind cent.rul cercului,

p q

28

--+

-

--+

1r =· AP, q = BP).

Să

se verifice rezultatul cu fOl'mula lui Stokes.

Să se calculeze liniile de cîmp ale lui ; (fig. I.15). n. Avem -+ A.P

=

-+ AB

--+ + BP,

adică

-

= -q + 2b,-

p

şi

+

-+-+-+ AP = AO OP, adică p

= h-+-r.

A

~1

~~_/ . .B

Fig. 1.15

Fig. 1,14

-+

Rezultă

dp

deci

=

= dr- şi

dq-

circulaţia

- deoarece q p- x -q = 2b- X -q = 2 b- X r.

= -

-b (2b- -:-h) b

-r,

este

c- - - =)( - - ) (p X q) dp

-=

-- -

r

(2b X r) dr.

---

r

-

Observind că b, r, dr formează un triedru drept, deci ( b r dr) =bads, unde lrl=a„

I dr I

ds,

obţinem

~(;X;) d; = 2 ~ ba ds = 2ab • r

- --

r

-

- = 1ra2 - b unde S b

,

deci

=

41ra 2 b.

r

Aplidnd formula lui Stokes, avem

() (2b X

21ra

q) dr

- --

(( rot (2b = )) sr

obţinem

X q) n da

rezultatul

·

-- --

(( 4 b n da = = )) sr

4b S,

găsit.

29

-

Ecuaţia diferenţială vectorială

a liniilor de cimp este

( p X q) X dp

=

01

sau

--

Vectorii p

şi

q(p dp) - p(q dp)

rezultă

O.

q nu slnt coliniari, deci

_.,_.,

p dp

de unde

=

= o.

~_.,.

q dq

= o.

-+-+

sau q dq

~

=

O deoarece dp

=

dq,

integralele prime

p?. = C 1 , q2 = .Ca, (C1 , Ca = const,. Liniile de clmp stnt cercuri cu centrul pe AB şi situate ln plane perpendiculare pc AB.

1.16. 1° Să se calculeze circulaţia cîmpului vectorial definit prin vectorul ; = ~ de-a lungul triunghiului ABO dat prin vectorii ~ ~ OA = a., OB = b, 00 = c, (a) fiind un vector constant. 2° Să se determine fluxul aceluiaşi cîmp vectorial prin suprafaţa triunghiului dat.

x;

-

-~ --

R. 1° Pentru

circulaţie

r

:==

uvem (fig. 1.16) •

~

;

ABCA Dacă

- -+

.AB

BC

CA

~

---

punctul M descrie segmentul AB, ayem r

de unde

d-; = ~ ; d-; + ~ ; d-; + ~ ; d-;_

rezultă

=

a

A(b - a). dr= (b - a) d)., O ~ A~ 1, 1

c-- = ~ (;X;) d-; =(I)~-; Xd-; =;~(;Xb) dA =;(-;X b), ) vdr

AR

AB

AB

O

Analog se

B

găsesc

c- - ...... )"dr=Ci>(cx

~; d-; =·;,(b X;),

a),

AC

BC

deci

~

V

dr

=

(I) [

a X b

+b

X

C

+C

X

a].

A.BOA

Pentru verificarea rezultatului, formula lui Stokes

o Fig. I.16.

30

c-(( ...... ) ,, dr=.)) rol v n ~a.

r

sr

utilizăm

Avem

~

; d; =

ABOA

ABC

2°

~~ 2 CJ>;da = 2;;;s,

suprafeţei

unde S este aria

orientale a triunghiului

S şi

anume -s

Dacă

-X = -1(a 2

punctul M se

b +b X -C

mişcă

+ -C X

Pentru (3

=

= 01l1 =

O ">i O ~ cx

-- --

tn planul triunghiului ABC, avem

-~-+ r

-aJ.

a

ex(b -. a)

+ ~(c -

b).

~

~

1, M descrie segmentul AB;

dacă

«

-t,

=

(3

şi

O ~ ex~ 1,

M descrie segmentul AC, deci M descrie suprafaţa triunghiului ABC dacă O~ (3 ~ a şi O ~ ce ~ 1. Coordonatele curbilinii ale vtrfurilor stnt A(O, O), B(1, O), C(t, 1 ). Avem pentru elementul de suprafaţă

- -n da

sau n- da

unde

= (b➔ -

-+ X (c - a)

-b)

dct d(3

=

r«

x

r~ dced(3

= (a- X -b + -b X -c + -c X

-a)

da d(3

=

- dex d(3, 2S

S este aria supufetei orientate a triunghiului ABC. Fluxul va fi

~=

~~;;da= E

~~ (; x rj 2Sdad(3=2S X ;

~~-; dcx

D

D

d(3,

D fiind domeniul parametrilor O ~ (3 ~ ex, O ~ ex ~ 1.

înlocuind tn ultima integrală pe -; cu expresia determina tă, obţinem cz

1

«, =

- -r - + (3(c- - -b)J d(3 = ) dex )r(a+ cx(b- - a)

2S X

o

o

1 -

= 2.S

exil -+ (c - b)

x -+ CJ>)( [

2

+ ce(a- + cxb-+ -

o

=

2.S

xoo [ -1 -. a + -1 2

3

-+ (b -

-

a)

+ -61

... ]

cxa)

dex =

-J

-+ (c - b)

sau ~

1.17.

Dacă

...

-+

➔ a+b+c

= 2S X CJ>• - -6- - •

- - + (x-2:xz)j-xyk, - ..

v=yi

unde (~) este suprafaţa sferei a:2 (xy), (fig. I. 17).

să

rr

.. -

se calculeze J) (rotv)ndcr,

+ y2 + z2 = a 2

1=

deasupra planului 31

Să.

n.

se verifice rezultatul aplicînd formula lui Gauss-Ostl'ogradsk1. Avem

rol v

a

= ax

j

k

i)

a

X - 2XZ

li

-+

a: =

i)y

:t·i

yi - 2:k.

-xy

:z

Fig. 1!17.

Normala la x2

+ y 2 + :2 = a 2

dirijată după direcţia

este

-+ -+

grad (x + y + : = 2xi iar versorul_ normalei la suprafaţă este dat de 2

....+ 2yj + 2zk....

2xi

-+

2yj

-+

xi

Iii

vectorului

2:k,

+ :k

= -:-;:=========V4x2 +4y 2 +4.z2 = - - -a - suprafeţei (l:) pc planul (xOy) este cercul x 2 + y 2 = a 2 , : = /n

Proiecţia

2)

2

((

I

=

l: a

=

O. Atunci

.... .... (( ...... dx dy )) (rot v) n da= J) (rot v)n

;-;;kl =

Yai=zi

I:'

~ -a -Vas-:rs

Trcclnd la coordonate polare, avem 2r: a

1=

~ ~

:;;;;;• pdpd8=

o O

~ ~

(-3pVa•-p•

2r:

~ o

32

+y •."~

p')

dpd8 =

O a 2rc

3 [(a2 _ p2) /• _ a2 Jf a2 _ p2}~ d8 :::;:

~· (a3 _ a3) d8

o

=

O.

Să calculăm

acum cu ajulorul Cormu.Ici Gauss-Ostrogrndski

~~;;da= ~~~-div; dw . .o -

Cum div w

= O,

-

unde w

=

➔ rezultă rol V,

~~;;da== O. ~

1.18. Fie cîmpul vectorial definit prin vectorul;= 2x~i -

+ yk.

Să se evalueze ~~~; dCt>, unde

f-luprafeţele

n.

x =

o,

o

y=

o,

.Q

xT +

este regiunea măriginită de

y = 6, z = x 2,

1:

= 4.

Avem (fig. 1.18) 2

6

~~~ (2xzi - x} + yk) dw = ~

~

o

o:-o 264

=i ~ ~ ~

4

~ u-o •-ct

➔

(2x:i -

xj

284

264

2x: dz dy dx -

OOzl

J~ ~ ~

➔

+ yk) d: dy dx =

x dz dy dx

+k ~ ~ ~

OOzl

=1128-; - 24J + 384

y2 d: dy dx

=

OOo:•

k.

z

I / I /

!J

_J/'

Fig. I.18.

33 3-c. 11

Să

1.19.

se calculeze fluxul cîmpului vectorial definit prin vectorul

...

1

'V=

...

...

v-·- [(x + '!I) i + (l+ z)j + (2x + 2xy + :a;2+y2

...

~) k]

prin porţiunea de suprafaţă z = x 2 + '!I pe care o taie cilindrul cu baza un sfert din coroana circulară în planul xOy din fig. I.19, cu generatoarele paralele cu Oz. R. !I ~=~~;;da. I: Ecuaţia parametrică :t

o

I

-2

= u, da

Fig . .I.19

iar versorul normalei la -+

n

suprafaţă

-2u

= -;;:=::;::::~ Y4u2 + 2

y

sup~afeţei

= v, z =

suprafaţă

Elementul de

,X

a

u

2

date este

+ v.

este

= V4u1 + 2 du dv,

este

...

1 -+ -,,_-_-_-_-_-j +

i-

V4u + 2 2

1

-.----_-_-_-

V

4u2

+2

... k.

Rezultă

..

-+

-+

(u + v) i + (u2 + v + 1) j + (3u2 + 2uv + v)k ... ""! -+ vn da=..:......_ _;___ _ _- - - : : - - - - - - - - - - (-2ul -J + k) dudv = Yu2+v2

......

dudv

f u2+v' Deci n 2

2

du dv

1t

dp

Vu2+ v2 unde u

=

1.20.

D

O

· 1

= p sin cp. se calculeze fluxul cîmpului vectorial definit prin

p cos cp, v Să

= - 2,

vectorul

; =

(z -

X)

i + (x - '!l)r+ 2zk

spre exteriorul tetraedrului O.ABO cu 0(0, O, O), .A(l, 1; O). B(O, 1, O), 0(0,

34

o,

1), (fig. I.20).

Să

se ve1·ifice rezultatul aplicînd formula Gauss-Ostrogradski.

R. Avem

~~

=

-;;;; da = ~~;;;da+ ~~;;;da + ~~-;;;;da+ ~~;;;da.

OABCO

tată

OAB

OBC

O.AC

Normala la faţa OAB este îndrepspre exteriorul tetraedrului, adică,

ln jos, deci ~AB

= -

,tBC

z

Rezultă

k.

C oAB

= ~~;;;da=~~ -2: da= O, OAB

OAB

-

deoarece pc OA B avem z = O. Pentru

faţa

OBC avem

deci

O.

în consecinţă, pentru a avea normala exterioară, vom înmulţi ecuaţia planului OAC cu -1: (OAC) : x - y Rezultă

-

n o.Ac=

grad (x - y)

V2

=

O.

=-- j V2 V2. 35

Avem (( - v no.Ac da

(( z

= ))

o..-1c

= ))

0.dO

O..J.O

+

y-2x

V

2

da.

Proiectlnd 0.4C pc planul yOz, obtinem 1

= ~~ (z -

«l>o.Ac

y) dy

dz

.

=~

OBC

1-i,

~

dy

o

(z -

y)

c!:

=

O.

O

Ecuatia planului ABC este y+z-1=0; fata

exterioară

este cca

pozitivă,

deci

-i+k

n..4nc

= V2 .

A vcm, proiectlnd pc planul xOy, 1

ABC

= ~~ x- ~ ;

2

: da

ABO

= ~~ (x -

3y

+ 2) dx dy = ~

0.4B

'I/

dy

~

(x - 3y

+ 2) d.r = ~- .

o

O

Fluxul total este deci

=

o.

Aplictnd formula lui Gauss-Ostrogradski, avem

~ = ~~

; ;; da =

O.dBO

~~~ div; d~. O

A \'Clll

- = -a (: iJx

div v

x)

a + -iJy

(x - y)

+ -aza

(2:)

=

O,

tn consecin tă ~=O.

1.21. Să se calculeze fluxul cîmpului vectorial definit prin vectorul ; = zi + x] - 3yzk prin suprafaţa limitată tle planele de coordonate, planul z = 5 şi sfertul de cilindru x 2 + y 2 = 16 din primul octant al sistemului de coordonatie.

n.

36

Avem

Proiectăm suprafaţa (l:)

pe planul (xO:) ca lD fig. 1.21 Avem

~~ -; ;

da

=

Nor mala la

zi+

u•

=

·

16 este .Ş (x2 ➔

2xi

n

~~ -; ;

· l:'

l:

+

d~ ~: •

;n ii

y~)

=

2:r

7+ 2yi, atunci

➔ xi+ yj

+ 2yj-

= 7.y=(2=X)::::;::11 +==(2=y)::;2

4

y

Fig. 1.21 ffczultă ➔

-

-

-

o n

= (:....i + :rj -

--+

3yzk)· -➔

xi+yj 4

=

1

(x:

4

+ J:y),

y

nj = - • 4

de unde

~~ I:'

r, '

zi ;

zy dz d:

=

~ ~ ( y~~ + o o

+•

r,

d:

=

~

(4: +8) d%

=

90.

o

37

,z B

C

!J F

Fig. 1.22

1.22. Să, se calculeze fluxul cîÎnpului vectorial definit prin vec_,. -+ . torul v = 4a:zi - y2j + yzk prin suprafaţa cubului mărginit de a,= o, a: = 1, y = o, y = 1, z = o, z == 1, (fig I.22). R. Avem

= flux(ABOD)-; + flux(ABEF) l1 + flux(BODE) V + flux(AFGO); +

flux(O.A.BODBFGO) ;

+ Pe

faţa

=-

-

ABCO,. n

-+

x

i,

flux(OGDC)

= O,

-+ V

+ flux(DBFG) -v.

deci 1 1

flux; =

.~~ -; ; ABOO

Pe

faţa

-+

ABEF, n

-

= j,

=

y

~

da=~

faţa

= k, z =

-1.

1, deci 1

1 -v = rr-- - y -j + y -'k) k- d.~,dy = -. )) v n da= r) c ) (4xi 2 2

BODB

38

J(4x:i -} + zk) dx d: =

O O

1

flux(BODB)

1

= ~~ -; -;;da= ~ ~

--

(BCDE), n

= O.

1, de unde

A.BBF

Pe

i) dydz:

O O

1

flux(ABBF) ;

J + y:k) ( -

(-y2

O o

-+

Pe (AFGO), n

=-

-+

k,

z = O, de unde 1 1

flux C.d FGO>-;

= ~ ~ (- y2J) (- k) dx dy = O. oo

-+

Pe (OGDC), n

=-

-+

j, y

=

O, deci 1 1

flux 10GDC)-; =

~ ~

(4xz i)

(-./) dx dz =

O,

o o iar pe

faţa

-+

(DEFG), n

=

-+

i, x

= 1,

de unde

1 1

flux ;

=

~~

1 1

(4z

7- y J+ yz kl· l• dydz = ~ ) 2

o o

4z dydz

=

2.

o o

Fluxul total este 3

«>=-~ 2

1.23. Se consideră punctele fixe O şi .A. şi un punct mobil P. Se .... .... .... -+ .... .... -+ .... --+ consideră vectorul v =(a· r) (a xr), unde a = O.A, ....r = OP. . 1°. Să se calculeze circulaţia cîmpului vectorial 'V pe un cerc (r) .;..+ cu centrul .A. cuprins într-un plan perpendicular pe O.A. 2° Să se calculeze fluxul aceluiaşi cîmp vectorial prin• intieriorul unui cerc de diametrul O.A.. R. 1°

Circulaţia

ctmpului vectorial

.... r,

pe cercul (r) este

r .. ..

J " dr. r Avem ....

r

=

-+ -+ OP= 0.4.

--+

-+

....

+ AP = a+ AP,

deci pe (r) -+-+

ar p mnd raza cercului (r), de unde

~ ~ •-;) ~ r

= a 11

şi rezultă

X-;)

....

Ia

....

X

rl = ap,

fk = a 3 p ~

ds

=

2np 2a 3 •

r

39

2'

1n

planul cercului de diametru OA avem ➔➔

ar

-

=

ar cos 8, a

x

-

r

=

-

n ar sin 8,

➔

➔

➔

n fiind versorul normalei la plan iar 8 unghiul vectorilor a şi r.

Fluxul este 1t

acose

2

=~~ ; ; da= a•~ sin 8 cos 8 E

O

r' +O= O.

o

1t

2

1.24.

Să

se determine

soluţiile ecuaţiei

Poisson ll.F = j(r) dt>

= F(r), funcţia .f(r) fiind dată, iar r fiind poziţie. Ap!i~'tţie : f(r) = rn.

formn, F

de

modulul vPctorului

R. Expresia laplacianului tn coordonate srcricc este

â.F Ţintnd

I a ( sin 8 -iJF ) + - -t - -a1F + -1 -a ( r 1 -aF- ) • =- -·2 2 2 8 2

r sin 8

ae

scama de raptul

aa

că

F

-

r sin 8 iJcp

= F(r),

ecuaţia

•-

r2 -

dr

a,

lui Poisson se scrie

1 d( dF) =

r2

r ar

dr

f(r)

sau d2 F

2

dF

-dr+ -r -dr = f(r). 2 Cu schimbarea de

funcţie F(r) =

~(r) se r

obţine ecuaţia diferenţială

• dlllJ, - - =rf(r) dr2

cu

soluţia

= ~ (~

rf(r)dr ) dr

deci

F(r)

40

=

+ c1 r + c,,

-H U

(c1, c, = const),

rf(r)dr) dr+ c1 +

:• .

Pentru f(r)

= r" se obţine ~(r}

=

,n+a

(n

- - - - + c1r + c.,,

+ 2)(n+3)

M

iar rn+2

F(r)

C9

= - - - - - +-+c. 1 (n

+ 2)(n + 3)

r

~;~ 1.25. U tilizînd

-

-(rot v)n

relaţ,ia

lim -r - -

=

&➔o

se exprime

~ă

âs

rot v în coordonate curbilinii ortogonale.

--

• R. Vom calcula (rot v) u1 • Să considerăm o 1.25) şi vom nota cu (r1 ) frontiera lui (S 1}. Fie ... 1'

=

-+ IJ1ll1

suprafală

....

(S 1}

normală

-

la u1 tn P (fig.

~

+ l13U2 + V3ll3,

Avem

-;d--;+~;d;+~ QL

11dr

~

11

dr.

MP

J„11

M

+

'2

----=--------

L

Q

.

Fig. 1.25

Prin aproximare avcll)

r- dr- :::,;;p-1,; • (R2Âx2'r4~ . .. )

PQ

l1

'

- + . . ..

,;;;·(D1U1

- =:

.V2U2'.·,,3u3) (.ţ?3~X2ll3) .

.

.

.

''2R2âx,.:. ·. .

,

· 41

Atunci

ML

sau

LM

Similar

- . . = -1" v dr

P

..

(RaÂXaf¼)

= v3 R3 Ax3

(

sau )

PM

MP

~

OL

Aduntnd aceste

relaţii, obţinem

(-; ~ = .!.._ (113 R3 AXa) Ax2 = _!,__ (v1 .RaAxa) Ax3 = âxa lJ:ca r,

J

[_!__ (v R OXa 3

3) -

_!_ (vaRa>] Ax2 A.r3 ~ a~

la o parte termenii infinitezimali de ordin mai mare ca Ax 2 Ax3 • prin aria (S1 ) egală cu R1 RaAx2 Ax3 şi treclnd la limită ctnd Ax1 ➔ O Ax3 -+ O, avem

lăstnd

Împărţind

fi

-- --

-

Analog, considerlnd suprafeţele (S 2) ·u., găsim (rot v) u şi (rot v)u 3 • Deci

1.28. Fie scaJ.ară. Să se

;(a:,

şi

y, z) o ~uncţie vectorială şi F(a:, y, z) o funcţie

determine elementul de lungime ds grad F, div --r,, rot -v◄ şi 6..F în :

42

-

(S 3) perpendiculare ln P la Us, respectiv

şi

expresiile pentru

\·.

1° sistemul de coordonate al elipsoidului de rotaţie. alungit; 2° în sistemul de coordonate al elipsoidului de rotaţie turtit. B

A

Fig. J.26

R. 1° Rotind figura 1.26 ln jurul axei OA, elipsele şi hiperbolele omofocale descriu respectiv, elipsoizi de rotaţie alungiţi şi hiperboloizi de rotaţie cu două ptnze, ortogonali, care formează primele două familii de suprafeţe de coordonate. O altă familie este constituită din plane care trec prin axa de rotaţie. Lu1nd axele Oz, Oy, Oz. pe OA, OB, oe (perpendiculara in O pe planul OAB), ecuaţiile suprafeţelor de coordonate 1n cele două sisteme se scriu :

+ y2

x2

.z2

---+ - - -1 = O, a 2 sh2 l; a2 oh~; x2

+ y2

a2

sin2

cp

.z2 1

. a cos2 tp

+

l;

=

const;

1=0, cp

=

const;

~

·

- = 11

tg IJ,, IJ,

=

const.

Dacă se limitează variaţiile coordonatelor la intervalele

punctele spaţiului stnt descrise o singură dată. Coordonatele ;, cp, IJ, stnt definite de ecuaţiile :r

= a sh ;

sin

ip

sin "1, y

= a sh ;

sin cp cos "1, z.

= a eh ;

cos cp.

43

Elementul de lungime va fi ds 2

=

(dx) 2

+ (dy)9 + (dz)1 = a(ch1 ;

-

+ (dq,)1 ] + a sb1 ~ sin 9cp (dtj,f1•

cos1 cp) [(d~)1

Parametrii lui Lame stnt

I:; I

R, = R• =

= a sh

Pentru grad F tnlocuind ln curbilinii ortogonale

parametrii lui Lame

unde :>.. = (ch1 Avem

; -

~ sin q,.

relaţia

care dl gradientul lntr-un sistem de coordonate

coordonatele x1, :x:1, x8,

şi

cos2 cp)1/a iar ;;~, ~ip, ~ 41 slnt versorii noului sistem de coordonate.

deci tn cazul sistemului (1) de coordonate

-

div v =

( 2 sh1

t

;

rezultă

+ sin1 cp

(av~

1

+

avqi .)

-=

1

1

ash

~ sin q,

.. ..

...

1

a

a

R1R1Ra

8X1

ax. ax.

R1V1.

Ra 0 a

relaţia

rotu

2 sin tp + ·sh ~ v.... ) tg cp ... 1

v,

th ;

a)..2

+ ~ ~ + a'; + Din

obţinem

R1U1

av~

Raua Raua

a

R1P1

aî •

+

\\

\

rezultă

ln cazul sistemului (1): rol-;==

[-1-( _1_

tg cp

a).

+[ 1 + [ -a).3

Vlj,

+ ~Vlj, ) oq>

aol!

1

cos cp sin q>

OBcp.

a~

ov'f) ] ...

1 ( 1

ash I; sin cp ~ - ~

(eh; sh !; V9 -

1

a sh !; sin q>

th!;

Vlj,+

Vi;)+ -

1 a).

af

l

a,;11,

-

ol;

Ucp

-

J-;;-:. + +

avl! ) ] ...

-

ocp

Ulj,.

rezultă

1

tJ.F==a8i,.1

(

9

1

1 8F . 1 oF o'JF 8 F) 1 F -·-+----+-+- -oth 1; a; tg cp ocp ol;1 8cp2 +a 2sh1!; sin1

=

const;

4' = const,

"1 slnt legate de coordonatele x, u, z prin relaţiile x = a eh !; ~s cp sin~, y == a eh !; cos cp cos "1, z = ash !; sin q,.

Parametrii lui Lam6 vor fi 1n acest eaz 1·

R1; == R 19

= a(ch1 !; -

'10S1

cp)S, R

= a eh !; cos cp.

45

Dacă

l.j, arc o

- ro 1

+ 2krt n

cp + 2/..'rt + i• sm: . ---;;· -· .. 1

de variabila

.f(z) = P(x, y)

complexă z

+ iQ(x,

l

.

=

x

+ iJ/.

Avem

?/),

unde P(x, 11) şi Q(x, y) sînt două funcţii reale de variabilele reale x, y. O funcţie f(z) se numeşte uniformă dacă unei valori date lui z îi corespunde o singură valoare pentru f(z). O funcţie care nu este uniformă se numeşte mnltiformă. Scria (1)

unde z este variabilă complexă iar ak sînt constante complexe, se numeşte serie întreagă sau serie de puteri.

Teorema lui Abel. Orice serie întreagă are 1,n d·isc de convergenţă cu centrul tn origine, raza R a discului depizînd de coeficienţii serfoi. 1n punctele discului seria este absol11t convergentă, iar în punctele exterioare circumferinţei este divergentă. 11i orice cerc plin Iz I ~ r < R seria este 'U,niform convergentă. Teorema lui Cauchy-Hadamard. Raza de convm·genfă a scr-ie-i (1) este R=--1 __ n

lim Yl(lnl n-00

Gli

'.

sau R = - - 1 __ _ lim ti ➔ 00

I an+1

j

Q,a

Teorema Abel. Dacă at sînt numere reale pozitive şi raza de convera seriei este R, şi dacă a0 ;> ai R > a2 R 2 ;> .•. ;> a.R" > . . . şi lim a„ R'1 = O, se1·ia (1) este con'Oergentă pe cercU,l de convergenţă,

genţă n-00

afară,

~

eventual, de valoarea O serie de forma a0

+ a1(z -

z0 )

+ a (z -

=

R.

z0 ) 2 +

2

... + a,,(z -

unde ak şi z0 sînt constante complexe, se O serie de forma

z0 )"

numeşte

+ ... '

serie Taylor.

00

~ aii(Z -

z0}'',

n-p.

unde µ este un întreg oarecare, se numeşte serie polată. Dacă p.. = = - oo, seria se numeşte seJ"ie Lautent. Fiind dat un domeniu D, o funcţie f(z) definită univoc în •fiecare punct din D se numeşte funcţie olomorfă, sau analitică în D, dacă ea este dezvoltabilă în serie Taylor în jurul oricărui punct z0 e D. O funcţie /(z) definită univoc într-un domeniu D este meromorfă în acest domeniu, dacă în vecinătatea oricărui punct z0 e D ea este reprezentabilă printr-o serie polară. . Punctele z0 e D în care funcţia /(z) este reprezentabilă printr-o serie polară cu µ < O se. numesc poli ai funcţiei f(z), numărul Iµ I fiind ordimtl polului.

Funcţia e = 8

F11,noţiile

f ·_!_ z" se numeşte f'wncţie exponenţială.

n-o nl

circulare sin z

sin z

00

=

~ ,._ 0

(

şi

. egalităţile

cos z sînt definite prin

1)"

~-=--- z

.

00

-. z2 n+ 1 , 'cos z = + 1) l _ ,. ... 0

(2n

(

1)"

2".

(2n) f

Avem .

e 1=- e- 1=

e 1=+ e-lz

2i

2

SIIlZ= - - - , COSZ= · - - -

Funcţiile

hiperbolice sh z

shz= 5-o. 11

şi

eh z sînt definite de cz

2

relaţiile

+ e-z

chz= -----. 2

65

Funcţia

definită uniform într-un domeniu monogenă în punctul z0 e D dacă

f(z)

complex este

lim , ... :

există şi

este unic

D din planu]

f(z) - f(z0)

z - z0

0

determinată.

condiţie necesară ca funcţia f(z) definită unifonn în monogenă în punctul z0 e D este ca funcţiile P( x, y) Q( x, y) Im [f(z) ], să admită derivate parţiale în piinctul verifice ecuaţiile liii Oauchy-Riemann

O să fie

domeniul D

=

=

Re [f(z)] şi

(x0 , y 0 )

şi să

oP aa -ap = -aa , -=---. ax ay ay ax Dacă funcţiile P( x, y) şi Q( x, y) admit derivate parţiale de ordiwnl întîi continue în punctul (x, y), care verifică ecuaţiile lui Oauchy-Riemann, funcţia f(x) este monogenă în punctul z = x + iy. Funcţiile olomorfe î1itr-un domeniu sînt mono gene în acel domeniu şi reciproc. · Dacă funcţia f(z) este monogenă într-un domeniu şi dacă funcţiile P(x, y) şi Q(x, y) admit în acest domeniu derivate parţiale de ordinul doi,· aceste funcţfr sînt armonice• în domeniu. · Fiind dată funcţia f(z) = P( x, y) + iQ( x, y) continuă· pe un arc de curbă rectificabilă O, avem

V(zo) = ~

(

f(z) 27'd ) (z - z0)fl+l o

66

dz.

Fie funcţia f(z) = (1 + zt, unde ecuaţiile

lntegrlnd ln raport cu x,

Calculind

oQ , se i)y

obţinem

găseşte cp'(U) = O, adică

cp(y) este o

constantă. Deci

Avem f(x, y)

+

= (a1eJIZ + a 2e-h.z) (b1 sin hy + b2 cos hy) +

i[(a 1e~ - a 2e-h.z) • (b 2 sin hy - b1 cos hy)

+ c]. 93

Făctnd

y

= O,

avem z

3) Dacă P(x, y)

=

avem

= x,

deci

(a 1 sin J1x

aQ

-ax = -

+ a2 cos hx) (b1ehll + b2e-1 11),

(a 1 sin hx

1

+ a2 cos hx) (b1 Jiehx -

.

b„he-hll), ~

Integrtnd tn raport cu x, obţinem

Calcullnd aQ ,

au

găsim

tjJ'(y) = O, deci tl,(y)

=

c, (c = const).

Avem

de unde

Pentru y

=

O, z = x avem deci

= [a1(b1 + b2) + ia 2(b2 Il.22. Să se studieze

f(z)

b1)] sin hz funcţiile

+ [a 2(b1 + b2) + ia 1(b1 multiforme I

1° R. 1°

Dacă notăm

Z -

94

z = Vz 4 + 1, 2°z = Vz4_+_1.

V2 (-1 + i) =

2

p3C18,,

b2 )] cos h:

+ ic

funcţia

Z se scrie 1

~

=

(P1~2PaP,) e

axa

(k

a

= O,

adunării şi scăderii

1).

numerelor complexe,

uneşte punctul V2. (1 + i) cu z, iar

81 unghiul dintre

acest segment, tn sens direct ; analog pentru p2, Pa, p,, Oa, Oa ramuri ale f~ncţiei Z stnt

şi

8,.

două

Z1

Za Dacă

+ 83 + 8,)

2

p1 este segmentul care

reală şi

Cele

(81 + 82

geometrică

Avlnd 1n vedere reprezentarea

rezultă că

I

+2

leni

2

1

· i

1

I

=

2 2 -ml

(n-1) z= (3

( : - cc)m

[i)"

dz

=

Yt

21ti = -((3-- -cc)m+n-1 - - - c-1)n-1c:.+~- 2 •

De aici 1_ = 21ti[-- 1, I~ I> 1, punctele .:1

= «,

z2

= (3

nu slnt tn interiorul conturului C,

I= O. Dacă ;«

I 1 sau 1cc I>_ 1

şi

I~ I 1, tn interiorul cercului y avem şi punctul z = 1, deci I= 1 - e e = 1.

+

2° Făctnd schimbarea de variabilă i = 1/t, t va descrie tn sens negativ un cerc y' de rază 1/R. Dacă y' este descris în ·sens direct, integrala devine

·

I - _1_ ( el dt. 21ti 1(1 - I)

J

y'

Funcţia

et

f(t)

= - - - - este 1(1 - t)

meromc,rfă.

Ea are pe t

= O şi I =

1 ca poli simpli

cu reziduurile R0


1, deci polii

Dacă

R

Dacă

1 RE> 1, atunci - < i 1 R

Il.32.

Să

1,

atunci -

R

şi

-e'

= lim t➔l

t

1n interiorul cercului y'

se calculeze integrala

) (1 -

a

= - e.

ln interiorul lui y' avem numai t

I - (

108

1, R 1

y't+"zî z1 ) (z' - 4)

dz,

:.:a

şi

I= 1 - e.

O, deci 1=1.

\

un~ntru radical se consideră ramura care în origine ia valoarea l, iar curBa, . O este una din curbele de ecuaţii : 1°

lzl =fi; 2

x11 2°2

3°

1

•

= Opentru x> O ş1 x+y _

!zi = V2;

4° a; 2

n.

+ 4y 2 + y2 -

1

.

x"

1

- -=O pentru x.:+ ~

C

2

((:) = - -zn+l --, n

lntreg. .t

A,+..:_

2 R. Reziduul va fi coeficientul lui z" din dezvoltarea {uncţiei e tn serie tn jurul originii. Pentru calcularea acestui coef~cient putem proceda ln diverse moduri.

,_n zn

=1+,-z+··· +--+·•·, ' nf ..

10

Făctnd

produsul acestor

dezvoltări, găsim

;_n

R_1

Scriind

2°

şi căutlnd

pentru coeficientul lui ~n:

;_n-2

;_n-4

=+2-(n-- -2)+ - - - - + ... nf I 2 2(n - 1) 12 I

/z+ ~• =· 1 + {Âz + ..!._) + •·• +-1-(,.: + _!_)~ + ... 2 kl 2 ~

coeficientul lui z" ln term:mii pentru care k

n

~

2k, avem

acelaşi

rezultat

ca la 1°. 3°

Dacă

scriem ÂI

c

a: 1

+2

a1

1

=

2

(a:+ Î,)2

e

2

-

e

).1

şi dezvoltăm funcţia cp(l) = e2 tn)erie Taylor, considerlnd z crescător, avem ..!.1i..+:>' 2 e

zn

= cp(Â + z) == cp(Â) + ••• + ;i"

de unde '-" ).1

R

-

1

d" = -n1Ie - 2 -di."

(

d 11 d}.." cp(}..)

+ · .. ,

).I)

-

e2

•

117

Să

11.37.

se calculeze

+QO

~

dx (x2

+ a2)2(x2 + b2)

-co

n.

Să

('Onsiderăm

integrala

(_dz_

J (z2 + a2)2(::2 + b2) C

!I

Fig. 11.37 ynde conturul C este format din segmentul (-R, R] şi ,semicercul de = VR 2 - x2 ,. unde R > a, R > b, (fig. 11.37). Această integrală se scrie

ecuaţie

y

B

~

(z2

+ a2;z2 + IJ2) =

deoarece pe axa Funcţia f(:)

punctele z polii : 1

~

(x2

+ a2~1~,x2 + b2) + ~

=

=

ia

(:2

r

-B

C

avem : = x. 1 (::2 + a 2 ) 2 (:2 + b2 ) arc punctele :

+ as;:zs + b2)

reală

=

=

±ib (b > O) poli simpli şi

±ia, (a> O), ca poli dubli. în interiorul conturului C funcţia f(z) are : 2 = ib. Deci

şi

( )

dz

(:2

+ a2)2(z2 + b2) = 2r.i(R:1 + R:2),

C

Avem 1

R,, = [ (: + ai)2 R,, = [ 118

(t)

(:2

+ b2)

1 (z

+ bi) (z2 + a 2)2

L, L,

b2

3a2

-

4ia3 (b2 -

a 11 ) 2

1 2bi(b 2

-

a 2)2

-.----------deci

~

dz (z2

1t(2a

+ aS)2(zS + bs)

2a3 b(a

+ b) + b)2

(2;

C

Dar

lzf(:)I

=I

z (::S

+ aS)2(z2 + bll)

I-+ O pentru

I zi-+ oo,

deci lim

B➔ co

~

r

dz + a2) 2( z2 + b2) = o.

( z2

Trectnd la limită ·1n relaţia (1) pentru R ➔ oo şi ţinind seama ·de relaţia (2)~ rezultă +co

( )

dx (xz

1t(2a

+ a°')1 (x2 + b1 ) =

2a8 b(a

+ b) + b)2

•

-co

11.38.

Să

se calculeze integrala lui Poisson co

~

Sin x

--

d X.

X

o

Această integrală

se

calculează

integrlnd

funcţia

ell:

f(z)

= -

pe conurul format z de semicercurile şi y situate deasupra axei Ox, cu centrele ln O şi cu razele R şir şi segmentele de pe axa reală [-R, -r] şi [r, R], (fig. II.38). R.

r

!I

-R

-r

Or

R

a:

Fig. 11.38

A,•em -r

~ -B

B

e: dx + ~ e:c dz + ~ e:,;~ dx + ~ e: dz = O, y

r

r

t19

deoarece funcţia f(z) este olomorfă în interiorul conturului de integrare. Putem scrie B

~

B

-r

~

1

e~

-x dx

+

e

.i:

-X

dx

B

~ e1z -

1

e-lz

= ---X

dx

=

2i

~ sin x

- - dx. X

-R

Deoarece clz

-

=-

z

1

+-

:

12

i

+-

1f

21

z

+ ... + -

in

nt

+ ... ,

zn-1

avem

~~ Iz

·

z

d:

·(

= .

ln :

+-

1•

1·2

:

1!

+ --

21 2

:2

+ · •·

)

y

·

y

Dar (ln :)y

=

ln ..,... (ln r

+ hr) = -

br,

deci ( elz . .

J-;-dz ➔ - i,; y

pentru r ➔ O deoarece termenii rămaşi tind la zero lmpreună cu r. lntegrind prin părţi, avem ( ~ dz = (-1- ei= ) + _1_ (~ dz. -Jz i z r i ) z2

r

Pc

r

avem :

r

Re18, (0 ~ 8 ~ r.) şi

➔

oo

lclzl

Deci pentru R

·

=

=

lelR cos 8-B sin o1

~

= e-B sin 6 ~

1

elz • -d: ➔ O

:2

r şi

termenul integrat tinde şi el la zero cind R ➔ oo. Făcînd R ➔ oo şi r ➔ O, egalitatea obţinută din teorema reziduurilor ne dă 00

r.

( sin x )-x-dx=

2·

o

11.39. Să se calculeze integralele lui Fresnel 00

00

2

1 1 =~sin x dx, o

120

1 2 =~cos m2da;. o

R. Vom integra funcţia f(z) ne

=

e-•• pe conturul din fig. 11.39. Teorema.reziduurilor

dă

B

~

~

e-z'dx+

o

~

1

e-' dz+

AB

11

c- d:=0,

( l)

IW

!I B

o Fig. 11.39

e-•• este o funcţie lnlreagă. Făclnd pe R➔ oo ln această egalitate, prima

deoarece grală tinde

către

inte•

integrala lui\Gauss co

~ e-~dx= ~

•

o Pe arcul AB, avem z = R (cos 8

Integrlnd prin

fe-•

1

+ i sin 8),

părţi,

le-: 1 = e-.li• 00828 ~ 1, 1

)

~B

AB

7t

a~-· 4

avem

_2_(

dz= ( ~ d z = { - ~ ~ )

)

o~

2

Z

...

AB

2 )

AB

Avem

lzf(z)I

=

:e-••

1 --

I

I

z

~

1

-'

R

deci li~ I zf(z) I = I• l ➔ OO

O,

rezultă

lim

· B ➔ co

~

e-••

--d:=0. 2 · z:

•

AB

121

Pe bisectoarea OB, avem I~

1.!!.

z = 1e ' , dz = e '

dr,

de unde

~

B

O

.-•· dz

=

IT ~ .-,.. dr = - e IT r~ cos „dr - I ~ &ID „ dr}

e

BO

R

prin, urmare, ctnd R

➔

R

O

.

O

oo, atunci (

J e- 11 dz -+.e BO

-i, • 7t

(12

i11 ).

-

.

Jn consecinţă, la limită, egalitatea (1) devine

Vi

1~

-- -

2

e ' (12

iI1)

-

=

O,

de unde 00

C0

~sin.ni:=~ cosx'dx=f

D.40.

Să

o se calculeze

o

V; .

27t

I

= ~ ecou cos (nx

sin x) dw.

-

o

R. Facem schimbarea de variabilă z = e'z, Avem . cos (nx -:- sin x) = -1 [e•lnz - slnzJ

+ e-i(nz -

2

1 [ _.!.12-1- 1 ) ¾cz-z- 1) ] = - zue 2 +:.-ne-

2

1

=--

[

2z"

ztae

s

I

D

ZI)

_ _!__ (z-z- 1 1 2

.

= .!. iz-z- 1 ) ]

+e2

Integrala devine dz

I=

iz jzl=l 1

1 2i

~

,z ... 1

122

z2ne c

+ e=

zll+l

dz

=

21tiR 0 •

•

1

zRez + e% Pentru a determina reziduul funcţiei ____ ln punctul z = O, vom dezvolta zl'l+l tn serie această funcţie 1n vecinătatea punctului z = O. Avem dezvoltarea 1

z2nez

+ ez

zn+t

1

1

zllll ( !+-+--+ z 2 ! z'

1 1 z zi ... +--+ ... ) + ( 1+-+-+ ... )

n I zn

2

1I

2I

1

=-·-+ ..., , rd z de unde

rezultă

2 Ro=-' ni

deci 2~

( ecos z cos(nx - sin x) dx

J

=

2 ~ •

nr

o

Il.41.

Să

se c.alculeze integrala 2~

~o

1

3:r = - cos -- - dx, unde 1 - 2p cos 2:r + ,Ş ,

I

O< p


O şi yJ> O, deci YJ:> O. RezultA deci că primul cadran se transformă .ln s~midiscuJ superior I Z I < 1.

+·

=

Il.51.

Să

se studieze transformarea

- z-

1 %

+i

~

(1) 139

B. Făclnd ln ecuaţia (1) Z

Va -

determinăm punctele unite ale transform~li .. Obţll'a+i

= z,

i

Zz = - - - . 2 2 Nottnd Z =X+ i Y, z = x + iy, din (1) deducem

nem astfel : 1

= -- , ,

·

X

y

X=-----, xz + (1 + y)2

Din aceste

ecuaţii rezultă că

cercul de

axei imaginare din planul (:) li corespunde. ln planul -1 din planul (z) li corespunde ln planul (Z) axa

ecuaţie

+

X2

lnlocuind aici pe X

şl Y

(2)

+ (1

, x2

=

(Z) axa imaginară, iar dreptei y ceală. Să considerăm

l+y + y)B

= - -----.

din (2),

+

1'2

Y ~ O.

(3)

obţinem

+ y) 2 + x2 ]

-y[(1

~ 6•

.!Deci funcţia (1) transformă semiplanul y-;;, O ln cercul de ecuaţie (3). Dreptei de ecuaţie x - U + 1 = O din planul (z) li corespunde ln planul (Z) prima bisectoare iar dreptei x - y - 1 = O 1i corespunde 1n planul (Z) bisectoarea a doua.

11.52.

Să

se studieze transformarea

z=

circulară

(i - 3) z - 2i • 2% -1 + 3i

(1) .. să

R. Pentru a determina punctele unite ale transformlrii

facem 1n (1), Z

=

z

şi

ebţinem ecuaţia

+ (1 + i) z + i = 0,

z2

care are rădăcinile -1 şi -i, Deci, punctele unite ale transformării (1) slnt z1 Formâ · canonică a transformării este Z+l z+l --=k--. Z..f-i :+i

=

-1, z1

Înlocuind aici pe Z cu valoarea dată de (1), obţinem k .

este

hiperbolică.

Forma

canonică

a

transformării

Z+l

1

=

Y

+ iY

şi z 2

=

X= -3 2(x + y

140

:r,S

= -13 .· deci

transformarea

(1) este

z+l

x

2 ) -

(2x - 1)2

y

-i.

=s·7+t·

·z+i Înlocuind ln (1) pe Z

=

+ g2 -

+ ig,: obţinem 5x :+ .4y +

+ (2u + 3)'

+ 3g - 1 + 2g + 3)11

2x

= 2------2 (2x - 1)

21 (2)

.

ecuaţie

Din prima

rezultă că

(2)

2(x2

ecuaţie

cercului de

+ y2 ) -

5x

+ 4y + 2 = O

din planul (z) li corespunde axai maginară din planul (Z). 5

scrie z -

4

I

4

I

deci domeniului : }!llanul (Z). Din a doua

5 4 +i

ecuaţie

I

+ y2 -

2x

+ 3y -

1

+

~ii =

1

.

5x + 4y + 2

< O,

=O

reală. Ecuaţia

acestui cerc se mai scrie

~ I ~ V2

din planul (z) li cores-

I

'{fi , deci domeniului z - 1 + i 2 2 2 punde ln planul (Z) semiplanul Im Z ~ O. lnverslnd ecuaţia (1), obţinem transformarea -

+

ecuaţie

cercului de

dla planul (.z) li corespunde ln planul (Z) axa J :

acestui cerc se· poate

y2) -

4

rezultă că

(2)

2

5 din. planul (z) li corespunde semiplanul Re Z ~-O din

~

x2

j

Ecuaţia

+ l I= 5. . în interiorul acestui cerc avem 2(x

17

J

(1 - 3i)Z - 2i 2Z+3-i

de UD.cie

rezultă

=-

x

=

y

@in prima

inversă transforipării

ci transformarea

ecuaţie

(2')

2 X2

+

(2X

Y2 + 3X + 6 Y - 1 + 3) 2 + (2 Y - 1)8

(2)

3(X2 + Y2) + 2X-3Y - 3 2 -(-2X-+-3)__+_(_2_Y___ 1)_ _ 1 2

rezultă că

X2

+

Y2

~ercului de_

+ 3X + 6 Y

din planul (Z) li corespunde ln-planul (z) axa sub ferma

I

(2) este

ecuaţie

- 1

=O

imaginară.

Scriem

ecuaţia

acestui cerc

Iz+_!_+ 31 I= 2., ,deci dom_eniului Iz+_!_+ 3i I ~ !__ din planul (Z) li 2 2 2 2 I

cc.respunde ln planul (z) semiplanul Re z~ O. Din a doua ecuaţie (2') deducem că cercului de 3(X9

+

Y9)

+ 2X -

ecuaţie

3Y - 3

=O

din planul (Z) li corespunde axa reală din planul (z). Scriind ecuaţia acestui cerc sub 1 1-j 7 • 1 1. , forma Z + - - - = - , deducem că domeniului Z + - - - ~ - din planul (Z)

I

3 2 6 li corespuude ln planul (.z) semiplanul Im z I

I

~

O.

3

2 1

6

141

11.53.

Să

se studieze transformarea

z = cos z. toţi

= cos z

R. Deci vom studia transformarea Z z multiplii lntregi de 1t. Scriem Z Acc.u,!ă

cărei derivată

se

anuler.ză

1-cr.11 u

1

= cos z = -(e1=+ e- 1=). 2

tra :sformarc este deci w

a

compusă

din

două transformări

= •'' şi z = : ( w + : ) .

Vom studia transformarea reciprocă: valori ale lui W, rădăcini ale ecuaţiei w2

-

dacă

2Zw

dă

se

Z arbitrar, li corespund

dot:ă

+ 1 = O.

Rădăcinile slnt distincte dacă Z .;. ± 1 ; fiecărei din aceste riidi\cini îi corespund o infinitate de valori ale lui :, deduse una din alta prin adăugarea unui multipl11 intrc·g arbitrar de :m. Punlnd z = x + iy, Z = X+ i Y, avem

X Dacă fixăm

= eh y cos x,

y, punctul (X, Y), clnd x

Y

=

-sh y sin x.

variază,

x2

y:a

ch g

sh y

descrie elipsa

- -2 + - - 8= 1 (descrisă o dată dacă .x variază lnlr-un interval de lungime 21t). Dacă fixăm x, punctul (X, Y), clnd variază, descrie o dată

u

ramuri ale hiperbolei

x2

una din cele

două

y2

-----=1. cos2 x sin2 x

Pentru a studia variaţia lui Z 1n funcţie de z, este suficient, din cauza periodifacem ca x să varieze între -n-, 11: şi y de la - 00 la+ 00. Dacă schimbăm pe z cu -z, Z nu se schimbă, deci vom face ca :c să varieze de la O la n;. Dacă schimbăm y cu -y fără a schimba x, X nu se schimbă iar Y devine - Y; deci la două puncte z1 şi z2 simetrice 1n raport cu axa reală le corespund două puncte Z 1 şi Z 2 simetrice în raport cu axa reală. Astfel este suficient să facem ca x să ia valori Intre O şi y intre O şi 11: iar iJ tntre O şi- +00, fie deci domeniul cităţii, să

(D) : O O), x cresclnd de la O la n-, punctul singură dată o semielipsă de focare ±1, situată in semiplanul Im Z .-::; O, avlnd drept axă mare eh Yo iar ca axă mică sh y0 • Dacă punctul z descrie o semidreaptă X = :to cu o < Xo < n:, cu y cresctnd de la O la + oo, iar Z descrie o singură dată un semibraţ al hiperbolei de focare ± 1 situat tn semiplanul Im Z < O, de axe I cos x 0 I şi sin x 0 • Banda O < x O cu O 0 şi u2 > O, deci prin această . b-a funcţie domeniul dat se transformă ln semibanda de lăţime - - situată ln primul

,,

cadran (fig. Il.56, b). Funcţia

7rf,

(2)

U=--U

b-ti

transformă

semibanda din fig. 11.56, b tn semibanda de

(fig. 11.56, c), iar

lăţime 1t

din primul cadran

funcţia 1t W=U- -

2

1

(3)

transformă semibanda din fig. II.56, c ln semlbanda din semiplanul superior de lăţime 1t

'Jr

r. cu - -

2

146

O cu 3° Transformarea v 4° Transformarea

= =3

transformă

tăietura (O, 1).

domeniul Q tn Q1 reprezentat 1n fig. II.57, e.

1- V 1 -z3 w=--=-1 + V 1+ z3

a fost studiată la 2°; ea transformă Q1 ln patrulaterul Q2 , situat într-un sfert de plan, atunci Q" este situat în semiplanul din dreapta.

150

O

I

Fig. 11.57, a

Fig. II.57,t,

Fig. 11.57, c

Fig. 11.57,

d

Fig. 11.57, e

151

5° Fie transformarea Z

Dacă

=

iw2

=

i

1___z3 _)

( 1

2

•

+ :3

1t

argumentul lui w este cuprins între - -

2

1t

O, cel al lui w2 este cuprins

1t

O iar cel al lui Z Intre - - şi - . Transformarea Z 2 2 sfertul de plan ocupat de Q2 ln semiplanul Re (:) > O. Prin transformarea intre

-,r şi

şi

= iw2

transformă

. .(1 -+ )2 z3 --1 z3

Z=l

se trece deci Ia sectorul iniţial S din semiplanul Re (:)> Frontiera lui S se transformă astrel:

:=

O ln Z

=

o.

i,

I z I = 1 ln partea negativă a axei imaginare. segmentul (O, 1) al axei reale ln segmentul (O, l) al axei imaginare; segmentul (O, 1) al dreptei Q

11.58. superior.

Să

=

1t

-tn segmentul (O, 1) al axei imaginare. 3

se reprezinte domeniul din fig. II.58 a pe semiplanul ·

R. Vlrfurile A1 şi A2 se găsesc la infinit. Unghiul din A2 se obţine lutnd unghiul pe care-l fac. Intre ele dreptele A1A 2 şi A2 A3 cu semnul minus, deci «2 = -oe. Pentru unghiul din A1 avem oe1 = - (1 - oe) iar pentru unghiul din A3 avem evident «3 = 2. Condiţia geometrică «1 + «iz + «s = 3 - 2 = 1 este verificată. Lutnd ln planul (z) punctele z1 = O, : 2 = co, z3 = -1 de pe axa reală (fig. 11.58, b) corespunzătoare vlrlurilor A1 , A2 , A 3 ale poligonului şi ţinlnd seama de valorile unghiurilor şi de faptul că pentru z = -1 va trebui să avem Z = ih, rezultă z0 = -1 iar formula lui Schwartz-Christoffel devine %

Z

=

C

~

2

:"- (1

+ :) d: ~

(1)

ih

-1

unde C este o constanUi care urmează a fi determina tă. C nu depinde de IX şi ~. deci o vom determina pentru IX

=

(3

= O:

I

Z.

~ C~: :, l -1

152

dz + ih ~ C ( ln: -• iit -

:

+1) + lh.

Dncă : descrie semiaxa reală pozitivă, Z descrie real, Z este real. Cu notaţia C = C1 + iC2 avem

(C1

toată

axa

+ iC1) (1n p -'-

in: -

iC2 ( ln p -

+1) - i7t'C1 + ih = O,

reală.

Deci pentru % > o •

+1) + lh = real,

:

deci :

y

A,

Yi X

t~(;:{;I\i;~\;t}f Z3•-/

găsim

• 1t J

C2

=

O, C1

h

=- .

::;

Cu acesta (1) devine

7t'

: : = }!_ ( z«-2(1 + z) dz + ih = .!!.._ : 11 -1

o·,-

Fig. 11.58, b

Fig. 11.58, a

Pentru p>O

O,

:·\-i: z~

1t

[~

IX

1

+ z( µ> 1, K:> O şi că aceste condiţii slnt verificate de (3) ,(5), (7), cele trei constante slnt determinate prin aceste condiţii. ·

Ţinlnd

(6)

şi

Il.61. Să se determine valorile finale ale funcţiei 'U= al-ctg V1 - z cind z descrie segmentul de dreaptă care uneşte punctele z · O cu z = 1 + i, (fig. Il.61, a) valoarea iniţială, a lui u fiind.;:..._. 4

157

R. Punem

v= Fie z = O; alegem v :z; variază

1-

= + 1.

Clnd z

Vi -

z.

descrţe

segmentul (O, 1

+ i),

argumentul lui

1t

de la O (valoare obligatorie pentru 2/m), la - - 2 , iar al lui .

r,

de la O

la - ~- Punctul v descrie un arc d.e hiperbolă 4

x2

-

2xy -

y2

=

1,

9

!I

\

'\

l,

\

\

11-i,

'

a:

-i

o Fig. 11.61, a

care pleacă din punctul v

Fig. 11.61,b

=

1 şi ajunge ln punctul A de afix V-i

=

e

_n: -•4 (fig.11.61,b).

Avem

u

= arctgv = -1l ni -- -V · 2i i + 11

Punem v-i

8+11:

--= re18• u = - -2 - v+i Prin

ipoteză

Valorile modulelor ipoteze stnt :

158

2t

u= -

4 _şi

pentru z = O,

adică

i -lnr. 2

= 1. v + i compatibile cu

pentru v

argumentelor lui v - i_

şi

toate aceste

Argument

Modul

1 ( t+ V2 1 2+ =

=

pentru

n

V2+v2

ex=-. '

8

=

Avem deci tn punctul z = 1 .

' .

4

=

I -.-

y2+1'2 =

X

--+ot 2

.

I

ff

ot

V2-Y2

X U =- -

z

ff

r V;+-"~)'

y l

Final

-,

V2

V2

Iniţial

r

2-}'2

:i n 2

=l+J/2

+i

j

-ln(l

2

+ 1/y2).

Aceasta· este valo~rea luată p~tnti · u = aret~ Vt - ~ ctnd %; cu excepţia punctului află 1n punctul 1 + i şi descrie segmentul de dreaptă (O, 1 + i), valoarea

O, se

iniţială

a lui u fiind

X

fixată.-.

. 4

.

Valoarea lui u. este

:.

determinată •

Obsenaţle.arctgr,aredouăpunctecriticeo = i. r, = -i. o =V1 - ; are punct critic : = 1 iar u = arctg Vt - : are două puncte critice : = 1 şi : = 2. Valoarea lui u tn punctul.1 + i depinde _de valoarea iniţială şi de drumul parcurs de.•~ O la 1 + i.

·159

Capitolul

m

ELEMENTE DE 0AL0UL MATRICEAL

ŞI

TENSORIAL

§ 1. Elemente de ,calcul matriceal

Numim vector n-dimensional sau n-vector X peste cîmpul F o mulde n elemente x,(i = 1, 2, ..• , n) din F, adică

ţime ordonată

Elementele x 17 x 2 , Vectorii X1

X= Jlx17 x2~ ••• , x„11. ••• , Xn s~ numesc componentele vectorului X.

= 11 x, 17

x, 2 ,

••• ,

x 1nll

sînt liniar dependenţi peste F dacă, nu toate nule astfel ca să avem

k1X1

(j

=

existăm.

1, ... , m)

elemente 7c17 k 2 ,

••• ,

lc,n,

+ k2X2 + ••• + kmXm = o.

În caz contrar ei sînt liniar independenţi. Un vector Xm+i se spune că poate fi exprimat ca o combinaţie liniară de vectori X 17 X 2 ••• , Xm dacă există elementele 7c 17 k2 , ••• , km din F' astfel ca X~+l

= k1X 1 + 1c2 X 2 .+

... + kmXm.

O formă liniară peste F în n variabile x 17 x 2,

••• , Xm

de tipul

n

~

a,x,

=

a1X1

i -1

coeficienţii

160

a, fiind din F.

+

a2X 2

+ ... + anXn,

este un polinom

Considerăm

f, ---: ~i matricea

un sistem de m forme liniare în n variabile

a11 x 1

+ an,X2 + ... + a1nXm

(j

= 1; ... , m)

asociată

. .-1 _

au

ll12 • • • ll1n

a21

a22 • • • a2n

.. . .

aml

Dacă există elementele k1, k 2,

am2 • • • amn.

••• ,

1 1

I

km, nu toate nule, în F astfel ca •

formele liniare (1) se numesc liniar dependente; în caz contrar ele sînt l-iniar imlependente. · Dependenţa sau independenţa liniară a formelor (1) este echivalentă cu dependenţa sau independenţa liniară a vectorilor-linii ai matricei A. Spaţiu vectorial. Numim spaţiu vectorial orice mulţime.de n-vectori peste F care este închisă faţă de adunarea şi înmulţirea cu scalar. · Dacă X 17 ••• , Xm sînt n-vectori peste F, nţulţimea tuturor combinaţiilor liniare k1X 1 + 7'2 X 2 + ... + l~mXm, (lei e F) (2) formează un spaţiu vectorial peste F. Totalitatea n-vectorilor peste F formează un spaţiu vectm·ial n-dimensfonal, V (F), peste F. . Spunem că spaţiul vectorial V" este generat de n-vectorii X 17 X 2, ••• . . . , Xm dacă X, sînt în V" şi fiecare vector din V" este o combinaţie liniară de vectorii X 17 X 2, ••• , Xm. Notăm prin V~(F) un spaţiu vectorial r-dimensional format din n-vectori. Numim bază a spaţiului vectorial V~(..F) o mulţime de r vectori liniar independenţi şi astfel încît fiecare vector din spaţiu se exprimă ca o combinaţie liniară unică de vectori din bază. 11

Teorema 1. Dacă X 17 X 2, ••• , Xm sînt m < n, n-vectori linia-r din V 11(..F) ~i dacă Xm+i, Xm+ 2 , ••• , Xn sînt orice n- m vectori din Vn(F) care împ'reună cu Xi, X,, ... , Xm formează o mulţime liniar independentă, atunci Xi, ... , Xn este o bază a hii Vn(F). independenţi

11 ..:_ C. 11

161

I,

Teorema 2. Dacă Xi, • •. , Xn sînt n-vector-i liniar peste F, atunci vector-i-i fl

Y, = I; «uX" (i

=

·independenţi

1, ... , n)

J-1

llcxull este

sînt lin-iar independenţi dacă şi numai dacă

Teorema 3. Dacă ·Xu X 2 , ••• , Xm sînt m peste F, atunci p vectori

-indep·endenţi

Y1 = sînt l·in-ia·r r

sînt tenso·ri afini de ·q or·i co1'aria1tţi. Fie r1 = q- 2, r2 = .•. = Tm= o, 81 = 2, 82= .•• =Bp=O, deci spaţiul (10) este (10')

O bază a acestui spaţiu este

Dacă notăm cu l•i•. componentele unui tensor T al spaţiului '->-1'" (10'), avem

.'i

. . cu xu,, , ;1.< ,, N ot am 2 1 ➔

••• ,

➔

-

. x i"-ii 'J_ componente l e contravar·tante a le vt„c1 21

torilor a:(1 1, x,2,, ••• , Xcq-2 1 şi cu Xcq-i>iq-i, Xc 11iiq componentele co nt1·a'Daria-nte ale vectorilor Xcq- 1 1 şi . xc111 avem ➔

P _ -

i1

➔

,.

iq-:

.

.

x,1,x,2, ••• l\11-2) Xc,z-11,t1-1X.1 = 5, = Â,_ = 5, avem pentru (H -

rădăcinile

Dacă Â

3

-

7;2

1,

i.a =

,._ 2

Ât

=

5

= o,

1.

.A.) X

ll--i1 -~ =! -2

+ lH -

11·11

3.

1

:~1, = x8

I

o

179

sau

10~

=!li ·li ::

1

o o

11

0

I

11

X3,

= o,

1li

'I' 3 -2 -111 1:0 1 -1 deoarece matricele I -1 2 -1 'I • ostnt echivalente. li 1 -2 3 I I O 0 0 O soluţie este dată de x 1 = x 2 = x3 = 1 ; deci rădăcinii caracteristice A = 5 li corespunde vectorul 111, 1, 1 li' care generează un spaţiu vectorial unidimensional. Orkc vector li k, k, k li' al acestui spaţiu este un vector invariant al lui A.

11

Dacă Â

= As = 1,

avem

-11111: XiiiI = o

.,, -1 -1 --22 -1 -2 -1

ii

11-1 sau

x1

X2

X3,

+ 2:z:2 + x 3 = 0.

-1,

(1, -1).

Avem două soluţii liniar independente (2, O) şi O, Deci rădăcinii caracteristice  == 1 i se asociază spaţiul vectorial cu două dimensiuni generat de X 1 = li 2, -1, O li', X 1 = 111, O, -1 li', Orice vector hX1 + kX2 = 112h + k, -h, -k li' este un .vector invariant al lui A.

).. este o matrice pătratică de ordinul n, să se arate că cf>()..)=1 U-A I= ).."+s1 ).."- 1 +s2 )..n- 2 + ... +s11 _ 1 )..+(-1}"1 A I,

m.13.

Dacă

unde Bm, (m = 1, 2, ... , n - 1), este ( -l)m înmulţit cu suma tuturor minorilor principali pătratici de ordinul m ai lui A. Pentru 1 -4 -1 -4 2 o 5 -4 A -1 1 -2 3 -1 să

se determine variante.

rădăcinile

4 -1·

caracteristice

6 şi spaţiile

vectoriale in -

R. Scriem 1),1 - A I sub. forma

i.. -

a 11

O - a 21 Oşi,

a - a12 a22

 -

an 1 O -

an 2

•••

O-

•••

O - a2 n

•• • Â -

a 1n

ann

fiecare element fiind un binom, presupunem că determinantul se poate exprima ca suma a 211 determinanţi. Unul din aceşti determinanţi are pe i.. ca element diagonal şi zero ln rest; valoarea lui este i..11 • Altul este fără i..; valoarea Iul este (-1) 11 I A 1. Determi• nanţii rămaşi au m coloane, m = 1, 2, ... , n - 1), din -A şi n-m coloane fiecare conţinlnd un element i... ·

180 ·

Considerăm unul din aceşti dterminanţi şi ••• , lm slot coloanele lui -A.

presupunem

că

coloanele lor numerotate

11, 12,

După transformări

elementare acest determinant se scrie

o

 o ... o ........................ .o  ••• o

unde

IAtt:::1: I este minorul pătratic de ordinul m, principal al lui A.

Deci

cu p

n(n -

=

1) ••• (n -

m

+ 1)

1 ·2 ... m

Pentru A dat tn cazul particular avem :

5

1

i1

= 12

sa=

-41o +

I

S1

I

1 -1 I

-1 -2

1 -4 -11 2 o 5 I' \ -1 1 -2

+

I

+ 6 = 5, Io 51 Io -461+: I 1-? 6 I+ 1 -2. + 4 -1

= 1+0-

2

1 -4 I

+ I -1 I

i

-41 + I

1 -4 2 o -4 -1 4 6

i

1 -1 -4: -1 -2 31 -1 -1 61

o

+ I1 I

14

5 -2 -1

3I 9 6 I= •

-51 = 3 5

7.

I A I= 2, deci

I i..I - A I = i..' - 5Â3 Rădăcinile

Pentru

Â

+ 9i..2 -

ii..

+ 2.

caracteristice slnt 1, 1, 1, 2.

= 2 avem i..1-A=

4 1 4 2 -5 4 1 -1 4 -3 1 -4 1 -4

1 -2

~

li

o 1 o o o o o 3 -:? 1 o 181

Această matrice arc rangul 3. Spaţiul v o

',

1i

2/5

-211·

Ilezultă

o

Q - Q1 • 1111

do

-

jl. !j 12

Q2,I

1

0

o o o o o o 8 o

5

o

j· Qall

=

4 5 -1 3 -1

1

11

şi

11 Q-lAQ

=

1O

ffi.18.

Să

1 -7 -9/5

0-1-5 0 O 2

O

1 2/5

•

O -2

se determine o matrice unitară U astfel ca u- 1.A. U să fie avînd ca elemente diagonale rădăcinile caracteristice

triunghiulară. şi

ale matricei A

=

l1

n~

Ecuaţia caractcrh,tică

+

+

a lui A rstc

).(),2 şi

+ (-4

- i)Â

+5 -

iJ = O

arc rădăcinile caracteristice O, 1 -i, 3 + 2i. Pentru).= O, avem 111, -1, 111' ca vector invariant asociat

o 1

o Prin procedeul Gram-Schmidt

obţinem

1/ J13'

matricea

11 V6-

21VoU1 = -1 / V311Vo 1 / V:l 18'1

I

+ 5i -1 + i - G - 4i - 6i 2 - 2i 6 4i . 2 + 3i -1 ·i -3 - 2i i

ij .1 1 -1 1

unitară

-11 V:i

o 1n12-

şi formăm

Rezultă

O U1AU1

= I

astfel

că,

pentru

această

-2(1 -

i)

O

1- i

O

0

alegere a lui Q1 am

+ 2-li)/ V este o funcţie de xk şi rlcci de .i:J. astfel că «l>(x1 , •.• , xN) = 4>(x1, •• • ,xN), adică el> este un scalar sau invariant. Avcim

- - 8x1 ----·-- 8x1 - ---, 8:ck 8ă;l Dxk

8x1

deci

a«1> este un tensor covariant de ordinul lntli sau un vector covariant. 8xk a«1> ➔ Tensorul cu componentele - - este grad (I) sau \7(1). axk

ID.20. Un tensor covariant are componentele xy, 2J/ - z2, xz în coordonate _rectangulare. Să se scrie componentele lui covariante în .coordonate sferice. n. Notim cu a1 componentele covariante ln coordonate rectangulare x 1 = .r, x 2 = y, :,;3 = z. Atunci a 1 = xy = x 1 x 2 ; a 2 = 2y - : 2 = 2x2 - (x3)2 ; a3 = xz = x 1 x3 •. Vom nota cu a~ componentele covariante ln coordonate sferice y1 = r, ys = O, y 3 = cp. Atunci

· I

Ok=

axl f)yk a;.

(1)

185

,.,

A,·em

x1 x2

x3

seama de

Ţinlnd

I

a1

=

relaţiile

(1),

= = =

y1 sin y2 cos y1 y 1 sin y2 sin y 3 y1 COS y2

rezultă

axl ax2 axa ayl al+ ayl a2 + ayl a3

.

=

(SlD y2 COS y3) _(xlx2)

+

+ (sin y2 sin y3 ) (2x2 - (x3 ) 2 ] + cos y2 • x1 • x3 = sin 8 cos cp • (r2 sin2 8 sin cp cos cp) + + (sin 8 sin cp) (2r sin 8 sin cp - r2cos2 8) + cos 8(r2 sin 8 cos 8 cos cp), axl

I

''2

a:c'J

= aya - a 1 + -auz

+ r cos

8X3 a2 + - a3 fJy'J

=

r3

sin2 8 • cos 6 · sin cp • cos2 cp

•

+

8 sin cp (2r sin_ 6 • sin cp - r 2 cos2 8) - r3 • sin2 8-cos 8 • cos cp.

m.21. Dacă a', b1 sînt componentele contravariante a doi vectori iar c11 şi df tensori, să se ara.te : 1° a'cH sînt componentele unui vector covariant; 2° c,,a'b1 şi dja'b1 sînt scalari. n. Avem 1°

a' .

ax 1 ax•h ax•li

CiJ

,

ax'k

h·

=. - . --· - - a'1 Chk = -axJ ax'J ax« axJ

8;

, a'i Chk

sau a 1ciJ

2° c,Ja'bJ .i

ox'h ax•k

m.22. 1°

axJ

ax'k

ax'h

axe

= - - •- -

'

a'h Chk•

ax' axJ 8 a'' • - b' ax'' . ax' 8

I

= -ax' •-· Chk axJ

Cil a 1bs

a:c'k

=ax-J

• --

ax'

'h

dk - a'8 8

ax'

ax'' --

axJ

,

b,

..h k

'

= l5r8s Chka'' b' 8 =

=

,

h

'h

,

I

c,sa''b'8 , ,

,,

8h 8, dk a' 8 b, = a' 8 b, ds .

Fie componentele a trei tensori ar', bţ", bi. tensorul sumă şi tensorul diferenţă dintre ten-

Să se calculeze şi br'.

sorii af" 2°

Să

R. 1°

se arate

a:" şi b~

că

af" · bf = a?k

'ik

b1

18G

cţl'8

sînt componentele unui tensor.

fiind componentele a doi tensori avem ax'i ox'k ox'

=

•

8:c'P

•

axa

apq

ax''

' '

o:c'i ax'k •-o:c' bSlq =. --•-,. ax'P

axa

ax~'

(1)

Deci

+

(a,'ik

1,:ik) •

i)x'i

8x'k

8xr

8x'I>

i):,.

i)x'l

o:t.•'l

= __ . - - . --(apq

I b"q)

r

--

'

şi

( a'ik _ b'ik) l

a:'1 + bţ

Rezultă că şi

l

11

şi

= - - . --• __ (a""'_

a:q -

r

b'"') r

•

bţ" sint componentcfo unor tensori de acelaşi or(Un

tip. 'm

2° Avem b,.

Deci (1)

şi

ax'm

axt

=-·axs Dx'n

1;k

'm

b11

l

(2)

tnmulţire rezultă

(2) prin

a

8

bt •

i)x'i

8x'k

8xr

i)x'm

i)x 1

= -i)xP - · -i)xq - · -iJx'l -·-·i)x8 iJx'n

a'P, 11 b'1•

a: b;

Deci produsul 0 constituie componentele unui tensor de ordinul cinci contr'lvariant tn indicii p, q, s şi covariant tn indicii r, t.

111.23. Dacă o cantitate A(p, q, r) este astfel încît într-un sistem de coordonate a;~, A(p, q, r)Bi' = O~, .unde B:' sînt componentele unui tensor arbitrar şi o; componentele altui tensor, să se arate că A(p, q, r) sînt componentele unui tensor. R. tn transformarea de coordonate x'i, A'(j, k, l) B;km = c;m. Atunci iJx'k i)x'm axr i):,;'m i)x'P i)x'm i):r:1> A'(j k l ) - - · - - · - - B0' = - - - - C ~ = - - - - - ·A(p q r)B'll. ,

,

i)x8

i):r;'l

8x' l

i)x'i

i)x'

r

i):,r8

iJx'J

'

•

r

sau i)x'm [i)x'k

or

înmulţind

i)xr

8x'l . ax''

cu _axn

ax~

i}x'k

Deoarece

B;"

'

'

i)xP -

şi făclnd t = m {sau

a: -·-8x'l iJx' [

A'(J" k l)

i)xr

1

·

A'(j, k, l) -

·ax•J

]

A(p q, r) Bq,• '

=

O.

multipliclnd interior cu axn ) , a~m

i)x1>

rezultă

]

- , A(p, q, r) iJx'

B:" = O.

este un tensor arbitrar, obţinem i)x 1k iJr iJx'D - · - , A'(j, k, l)- A(p, q, r) â:rl ax' ax'1

=

O.

1R7

înmulţind

83:!J 8x'n

interior cu - - . - - , rezultă ax,m axr

ax'P

83:!J ax,n · - - · - A(p, q, r) ax'J ax•m ax,

8~8? A'(} k, /)- -

=O

sau 8x'P 83:!J 8x'n A'(J, m, n) = ax•J • ax•m • axr A(p, q, r),

dl'ci A (p, q, r) slnt con1ponentele unui tensor.

Ill.2-4. arate că

Dacă

.A, sînt componentele unui vector covariant,

i;;ă,

se

8Înt componentele unui temor strîmb simetric covariant. n. Prin schimbarea de variabile x'' = r•(x1 , ••• , xn), avem

8A1i 8xk

8xh

8 2 xh

8 2 xh

8A1i 8xk 8xh

=--·--·--+ ---·A 1 i - - - - - - -1 ---•A1i= 8x'k 8x'J ax•f i)x'1i)x' 1 i):rk 8x'f 8x J 8x 11 ax•J 0

Tensorul de componente B;; se

numeşte

rotorul vectorului de componrnte A;.

IIl.25. Fie .Af,1 componentele unui tensor. Să se arate: = t, atunci A~~ determină un tensor. Care este ordinul său Y 2° alegînd p = t şi q = s, să se arate că .A~q determină un tensor ~i să se det~rmine ordinul său. 1° dacă p

n.

1° Deoarece

A::, sint componentele unui '}k

A,mn

J88

i)x'i 8:,;'k axr

tensor, rezultă

8x'

oxt

pq

=- · - - - - - - - - A,,t. ax" i):r:'l i)x'' iJx'm i):.r'"

(1)

Să arătăm că ~-1.~:P slnt componentele unui tensor. Puntnd tn (1) 11 j, avem

dnpă

tJI: AimJ -

=j

şi tnsumtnd

ax•J 8x'k 8x' axa axe 110 axr> ax0 8x'I ax•m. 8x'J A,,i -

ar ax•J 8x'k ax' axa ax•J axr> ax0 ax'' ax,m

C

8x'k 8z!l

8x' ax• ax'' ax'm

=--·--·-- - - --Af,1 = 8r,--·--·--A:: = 8x'k axr

axa

= --· - --8:xfl ax11 a,;tm A"!. fv.,. deci A:;'p stnt componentele unui tensor de ordinul 3 şi poate fi notat cu B:,. Procesul pune un indice contravariant egal cu un indice covariant tntr-un tensor şi tnsumlnd se numeşte contracţie. 2° Făctnd ln (1) j = n şi k = m şi sumlnd după j şi k, avem ele a

, k A,JJ axe 8x'J

ax'J ax'P

8x'J 8x'k axr 8x' · axe 8:x:1' 8:dl 8x'I. ax'k 8x J 1

ar ax k

8x'k 8xO

8x' ax•I

1Hl

0

Af,, -

a:,;r ax'I

t

fJO

= --·--·--•--·--A,,c =8r,80I --Arse= Rr-zultă deci că notate cu C,.

1

Af3p

8:x:' pq --A,0 i,. 8x'I

slnt componentele unui tenso.r de ordinul tntli care pot fi

111.26. Să se exprime în notaţie matriceală ecuaţiile de transformare pentru : 1° un vector covariant ; 2° un tensor contravariant de ordinul doi, presupunînd N = 3. R. 1° Sistemul de ecuaţii A~

A~

A; li

= .,

ii.tal .

I

ax0

=-A ax 1> 0 1

ax1

ax2

8x' 1

ax' 1

se poate scrie sub forma .axa a:r:1

·ax1

ax2

axa

8:,;'2

8:,;'2

8:,;•2

8x1

8:,;2

a:,;a

8x'3

8x' 3

8:,;'3

j Ai

A2

I

A3

I

18!J

sau

IIA~A;A;ll

=

I

ax1

I

a>:' ax•• a,,..

i)x1

ax1 I

1_

I

ax2 ax2 ax2 IIA1 A 2 A 3 II· - - - -ax'1 ax' 2 ax•3

----ax'1 ax 2 a.r•3!: 1

2°

Ecuaţiile

A-11 A-12

A'P' =

iJx'P

i):x;''

--· - - All8

arJ axs

pot fi scrise sub forma

iJ:x;•l iJ:r' 1 iJ:r' 1

A-1a

----i)xl axa

I All A12

ar

2

2

lI

.

!

I

i

I

Aal Aa2 A23

i i):x;'l i):x;'2

i)x'3 .,

I•

I

a:c•s ax'2

-ax' ax-1 -âx-

A -21 A -22 A -2a

A13

li

I

axi

i)xl

i)xl

i

ax•l i)x'2 a x'3 :

i):,;3

I

i)x'l i)x'2

!

ax' 3 ax' 3 ax13

'1

+ I '2 + ]'3'

J5

l'4,

]6

i)x'a

13- - - 3. 11 - .1 A" A" .A„ i i)x a:,;a ax : axa-i)r 11 ax Rezultatul poate fi e:Xtins pentru N > 3. IH.27. Se consideră reţeaua din fig. IIl.27, a în care la timpul t = O curenţii şi sarcinile pe ramuri sînt nuli. Alegînd arbitrar sistemul de noduri reprezentat în fig. III. 27, b, să se determine matriC(=a de conexiune A-

a1

A - a2 A - 33

11

=I

= ] 1 + rs [3 = ra, ]4 = ]''.!. + ]!3, 12

1

= -1'1, = 1 2, 1

11 =

['4,

rs = 1'2

R. Avem numărul de subreţele s = 2, numărul de braţe B = 3, numărul de noduri N = 5, numărul maxim de perechi de noduri liniar independent P = 3 iar numărul maxim de ochiuri liniar independente M = B - P = 5. Din (1) rezultă · 1 1 o

i

. 1

o 1 ucu= \I -1 o 1 I g ·oo 190

1 -1 1 o 1 o

o o o o 1 o o o

zg.1I'

~I

Astfel, tensiunile electromotoare intre ochiuri slnt

IIE'II sau

= IICll'IIEII

= El + E2 + E3. E'2 = El + E4 + Es,

= - E2 + E1, E'5 = EB.

E'l

E' 3

E''

= El + El + E 3 + E',

□

C.

' ~ 2 ~ --../\/Vv'--

1 ~ 9-

~

--,J\Nv\..._

3 ~6 l?eciproci --../\IV\/'--

~

.6 ~ 8

~

--vW\/'--

F i g. III.27, a Matricea

impedanţelor

Z11

UZII=

Zu O Zu

o O O

0

Matricea

impedanţelor

Fig. 111.27, b

de linie se Z111 O Z 21 O O Z 83 O O

o

o

O O

Z 38 O

0

p

construieşte fără

Z 14 O O Z"

O O O O

o

ZH

O O

O O

O

O

de ochiuri va fi

dată

dificultate O O O O

O O Z 36 O

o

- Z66 O Z 88

o

O Z 77 0

: O O O O

o

Z 88 O Z E8

prin

IIZ'II ~ IICII' • IIZII •UCU,

191

I

adică

IIZ'II=

Z +2Z12 +Z22 -I-ZH Z11 + Z 12 +Z11

Z 11 +2Z12 +Zu+Zn

-(Z12 +Z22 )

O

lz11 +

Z 11 + Z12 +2Z14 +Z33 +Z_.

-Z12

z11A·;

1 11

Z 11 +2Zu+Z44 +Z68

Z11 +ZH

Îi ;I

= Z 11 + 2Z12 +zH+Zn Z11 +ZH+2Z14 +Z36 +Zu Z11 +2Z12 +2Zu+Z22 +Z 32 +Zcc -(Zu~+Zii2) o , - (Za+

Z22)

-Z12

O

(Zu:+Z22)

-

Z 68

Z22+Z11 O ::

O

O

Zt1t1,

111.28. Să se deducă legile de transformare· pentru simbolurile lui Christoffel de prima şi a doua· speţă.

n.

Deoarece

o:rfl

iJ:cP 9 ik

=

-ox'i . âx'k gpq, •

rezultă

ogjk âx'm

Prin

oX'P

=

perm~•tări

ox'l

ox'l

i):c'k

au~, Scăztnd

=

Ox'P

ox"

i)~

ox'm

+

o2:r'l

axr

âgq„

ox'P

ox'l

o:c'm i):c'P

o:c'J

+ ox'k

i)xr o:c'P iJg,p ox'l i)x,m. i)x'i. i):cfl i):r,'k

(1} din,suma lui (2) '

şi

[)2:rP

şi

p, q, r,

o2x"

i)23fl

+

82 :rt>

şi lnmulţind

82 x'

simbolurilor lui Cristoffel de prima

1 cu - , 2

i)'IJ:r

o:c'iiJ:c'k i)x'm (/qr,

+ i)x•m. i)x'ki)x'J Urp + o:c'ki)x•m

(3)

llpq•

(t)

obţinem

o:c'Jox'm llqr

i)x'

·i)x

iJx'l

i)xr

obţinem

ax•n

ax•m

1r g•mr;•·„-m ---·--·--·--·--g' + - iJx'J ox'k ox'm i)x' i)xl pqr

i) 2:cP i) x'l f) X'n f) x'm +----------,,S'g . i)x'1i)x'k ox'm i)r i)x& . pq

192

Rezultă

~i I

-

âx'l i)x'n

âx-P

iJZxtJ

âx'n

·

{)Zx-P

âx'" âx'P •

st r --·--·--·8Io + ---·--aq âx'l âx'k ar pqr ox'lâx'k ax• • tt'gpq

{)xP

âx'n

{):r;'l

=--·--•--r:O+--ax,, âx'k âr âx'lâx'k

--

deoarece

ffi.29. Să se calculeze simbolurile lui Christoffel de speţa a doua : l° în sistemul de coordonate polare în plan definit prin ecuaţiile

= a;l COS X 2

:;v'l {

x' = x 2 sin x 2 2

2° în coordonate sferice. R. 1° Avem 2

2

911

âx'l ax-2 ) = = (-1 ) + ( 1

g12

= g21 = -âx-1 ·-{)x-2 + -{)xl- ·-ax2 =

1

âx

âx

âx' 1 âx' 1

(cos

x:ya+ (sin x 2) 2 = 1,

âx' 2 âx' 2

(cos x2)

(-

+

x1 sin x2)

Deoarece sistemul de coordonate polare este ortogonal, avem 'Uii

gll

=

1,

g12

=

glll

=

0,

=

(sin x2) (x1cos x2)

=-

1

gtl

,

O

deci

1

g22

= --. (x1)2

Apliclnd formula

r Ju• = ~2 g H (

âgil

axk

+

8g11. _

iJx•

OUki )

âxl

• i, j, k, l

= 1,

2,

obţinem

rlz = c:: ..:. gll (

2 18-c.ll

8011

a~

+

âuu -

a~

_:

âuu)

a~

gll ( âgi1

âx1

2

+ .!_ g12 ( 2

+

âg11 _ âgu )

âx1

âg12

a~

+

=

{)xi âg21 -

a~

8g11 )

a~

= o,

(l

=

1, 2).

193.

Analeg

Se

rezultate utiliztnd formula

obţineau aceleaşi

J

axJ

asra.

r,k = ax'a.. ax,a:r.k , ex,

= 1, 2,

i, }, k

(Coordoaatele x-x slnt rectilinii).

2• ln coordonate sferice avem

= x11 cos xs1 sin x33}

x'1 x's

= =

:t:' 3

:r. sin x sin x X1 COS

= r,

a;B

= 8,

= r 2 sin9 8

şi

UJt

,

(a:1

=

a;3

tp),

:a:3.

Avem 911 =;= 1, 921

= r 2,

g33

Printr-un calcul analog se

aun

1

1 ru= - --·-= 2gu ax1

rui = 8

1 a(r1) .2 - - - - = -r· r21= 2

i)r

•

2

1 agaa . "8 - --·-= -rsm~ ; 2gn ax1 8

1

8g33

1

2gaa

axi

r

Să

O pentru j::/=k.

1

1 8g33 2g22 i):r,2

8gn_r

a:,;m -

pmq

+r. qmP,

20 a

30

-

.

r~= -(lnVg), undeg=det i):,;4

R.-1° Avem

i94

-

:

sm 8-cos

8 1 8g33 r82 = r2ss = --. - - 2 =- cotg 6. 2g33 ax

se demonstreze :

10

1 8(rZ)

au12

1

2 r12= ---=---= -; 2g22 ax1 2r2 ar r

rss = - --·-- =

r81= r1a:::::11 - - · - - = - ;

ffi.30.

=

obţin

IIU,tll•

6;

2° -

a

axm (glkgiJ)

înmulţind

a

= - - (a:) = O. Atunci

axm auu aglk gfk, axm + -axm gc, =

ag11c

axm = -

O sau gc, - -

auu axm •

glk -

cu gir, obţinem

adică

sau

înlocuind r, k, i, j prin p, q, n, m, se obţine relaţia de Ia 2°. 3° Scriem g = UJkGU, k) unde GU, k) este complementul algebric al elementului USD

GU,

din determinantul U• Deoarece

conţine

k) nu

explicit Ulb avem_!!!__=

au,,

fnsumtnd după j şir

au au au,, axm = 8(/Jr- • axm

-

=

g· u1'(rJmr

=

.

GU,

+ r rmf) =

au,, axm

r) - - =

g(rţm

GU,

r).

au;r

u • gir axm -- =

+ ~m> = 2urfm•

Deci

1 --

2g

au = J1m axm

sau

J1m = _!__ axm (ln Jfu>.

Îlllocuindj prin p şi m prin q, avem rezultatul direct. că

m.31. Dacă A 21 şi A 21 sînt componentele a doi vectori, derivatele lor covariante în raport cu al'. - âAp A P,'l = ax'l -

20

A P,ll -=

aA21

ar'

să

se arate

ra A s, i,q

+ r21A• qa

sînt tensori.

195

R. 1° Deoarece I

As aA;

axr

ax'k

= ax'I

axr

= ax,s A,,

aA,

axe

• axl • ax'k

+

a2 x' ax 1i 8x'k A,.

(1)

Avem

axr

tnmulţind această relaţie cu - - , rezultă

ax•n

deci

Înlocuind tn (1), obţinem aA; -iJx'k

iJx' ax'

aA,

'" axr

ax'

ax1

,

= iJ:r. - -1 -i)x'k - · --+ rsk--A, - iJx'I ----rnAr axt i}:,;'n 8x'k 1

i}x'I>

ax axa 8 - - - - - nn A, ax'I f)x'k .,,.

r

sau

aAp

Rezultă că--

axa

8 - r„a·A, slnt componentele unui tensor covariant de ordinul doi.

2° Avem ox'l A'l = - A'. axr Rezultă

aA 11

ax•l

oA'

ax'

iJ 1 x'1

fJxt

-----·--·-+-----A'. c)x'k iJx' f)xt iJx'k 8x'fJxt fJx'k 196

(2)

înlocuind aici 82 ::c'I a~a~

=

8x'J

ax''

8::c'l

'I

r~ -- axr - • -r,,, a~ a~

obţinem

oA.'J

ax'1

axt aA.'

8::c'I

axt

- = - - . -- - - + r,,11 -• -- A' 8::c'k · axr ox'k o::ct oxn ax'k ox'I =- -

ox'

n 8::c'I 8x 1

axt aA., • -- --

ax'k axt

ax•J

a::c'l

ax'' ax•l axt - -- • -- • -ox' axt ax'k

,J

r"A' =

r 'l ,

ax''

+ r,,--A'- --akrciA'= ox" ax'k axr aAsi

" ax'J

8::c'l

=·-- • -+ r,a----A axP ax'k axa axr> 8::c'k

8

'i

-

ruA'

sau oA'J

ax'I

,,

8::c'l (aA2>

p

)

- + rkcA'' = -oxfl · --- + ra,A" • ox'k ax•k axa Rezultă

cu

8A2> deci cu 8::c'l Să

ID.32.

xa.

,,

+ ra,A'

stnt componentele unul tensor mixt de ordinul dol

se calculeze derivata

covariantă

a lui .A{B~m în raport

R. Avem J

im

(AkBn ), 11

=

i lm) 0 (AkBn

{)::ca

-

r"kasnAlBlm r'flflk8 A;Brm +

+ rt,AtB~ + r~1 AiB!m + r;:A{B~ = =

8AÎ ( axa -

s J J ") Im rkqAs + rq,Ak B,. + ÂkJ (

= 111.33.

şi să

Să

A{_qB~:11

8B~:» s Im a::c'l - rflflBS

I sm m ls) + rqsBn + ra,Bn

==

+ A{B~~q•

se demonstreze :

=

1 _.

~ (Vu.A.k),

1° div

_AP

2° D.

= ~. -a__ (vuuk-r a) Yu. 8xk ax

Vu

8xk

se scrie expresiile lor în coordonate cilindrice

şi

sferice.

197

R. 1° Divergenţa lui Ai> se obţine adică contracţia lui AP • Avem deci .p

=

div AV

prin

contracţia

derivatei covariante a lui Ai>,

8Ak 8Ak 8 ln Vg-) = -8xk + r:kAk = - + ( -8xk 8xk

A~p

8Ak ( 1 avu) =-+ --

Vi

8xk

fn. coordonate cilindrice

=

:r.1

=

1 8 -· Ak+---(YgAk). fi 8xk

8:r.k

= o

cp, :r.3

o pll

0

=

o

1

p, :r.11

Ak

=

pS Şi

(1)

z,

Vg =

p,

Notlnd componentele fizice cu Ap, Aq,, Az, avem Ap deci din (1)

= Vuu A 1 =

=

A1, Ai;,= J/u;A 11

pA 11 , Az

= Jiu; A 3 =

A 3,

rezultă

div A-J>

= -1

p

1n coordonate sferice :r.1 = r, 1

Ar=

[ -(pAp) a ap

=

x2

8,

O

O

g= O

r2

O

O

O

r 11 sin11 6

YuuA 1 =

A 1 , Ao

:r,3

p ] + 8Ai;, +(pAz) • acp pz

=

cp,

= r4 sin11 8 şi

= Vu22A 11 =

rA 2, Aip

Vu = r

3

sin 6 ;

= Yu;,;A 3 =

r sin 8A 3 ,

deci div Ai>

= -2 .1 - [ - a

ar

r sm 8

(r11 sin 8Ar)

1 8(r2Ar)

1

a + -aa

(r sin 8A 0 )

8(sin 6Ae)

+ -acpa

(rA_i;,)

]=

8Aq,

1

=-ar- + r- - -aa- + r-sin-6 . -·. r2 sin 8 acp 2°

Cantităţile

Definit ca derivata

grad

(J)

=

-

covariantă

are componentele Ak

=

8(1)

slnt componentele unui vector covariant. 0 :r,r a lui (J) scriem (J),r, Vectorul covariant asociat cu cI>,r

'9'(J)

ae1> = gkr -axr .

Utilizlnd rezultatul de la punctul 1°, avem â(J)

198

=

div

(

8(1)) glcr -

a:r.r

a ( 1/ggkr = -.1_ __

Y-i

8x'!c

â(f))

_

âx'

,

. în coordonate cilindrice g 11 ~ci>

=

1, g 22

= 2._ [ ~ ( Paw ) p

8p

op

1

= -p2 ,

+~ acp

g 38

în coordonate sferice g11 ..

,1.cl>

=

1, g22

1

= -2 , r

1, deci

(2. a0 ) ; !_az (P az

g33

ac1> ) ]

p 8cp

2

1 a ( a'1> ) 1 = p8p Pap + p2

·

=

=

p ct>

+

8q,ll

=

a20

az2.

1

. · , deci

r 2 sm2 8

a ( r9 -a(f) ·) + - 1 ) + -1 a2w ' = -r12 -iJr - -a ( sin 8 -a(f) - -iJr rB_ sin 8 iJ8 88 r2 sţn 8 8q> 2 2

111.34. Să se calcule2Je derivatele intrinseci ale tensorilor consica funcţii diferenţiabile de t: 1° Invariantul ; 2° A_i; 3° A{; 4° A.f!n-

demţi

aw

B. 10

20

dxO).

yl

lui Lagrange slnt d ( dl

aT)

aT ax

a~

d ( dl

aT)

8T

iJy -

8g •

m·

unde

. dy)

Y=dt • Cu aceasta

ecuaţiile

(1) se scriu

d~ (

Integrlnd prima

ecuaţie

=•) (2)

O,

k

i:::2

dt

k

= -y2

iar

ecuaţia

(k

= const.)

.

a doua (2) devine

dig + (dy) ~

1J dxa

206

k,

O, atunci x == const, deci liniile geodezice slnt paralele ta axa Oy.

dx

i: O, atunci -

(2)

.

X

Dacă

=• )

obţinem

-yB = k

d~ (

2

+ l = O.

Dacă

\ care

integrată

dă

ne

dy

+ x = C,

y\

dx

lntegrlnd

Deci, liniile geodezice

111.42.

Să

se

+ (x -

formează

arate

că

ecuaţia

d2xr ds2

C)2 == r 2,

const).

Lagrange cu F 1

-fJxk - = -2

= VUpqxP;;«

(r == const).

o familie de cercuri.

geodezicele în

+ rr H

spaţiul

=

dzP • dx« ds ds

Riemann. sînt date

0.

,.

R. Vom determina un extremum pentru

fJF

=

această ecuaţie, obţinem

y1

de

(C

~ VgfHl.zPz;f

dl, utilizlad

ecuaţiile

Euler-

Ci

• Avem

1

• • 8g""1 • • (upqX'Px«) 2 • - - ,:P x«,

Dar pentru ds

8xk

=

Vgpq~p;_.« dl, ecuaţiile Euler se scriu -d

dl

1 Bun • • ----sPx«=O

( U'J>I:~ ) -;

~

lJxk

sau

Scriind

au"'" • •

1 (

--:P:rfl=ax« 2 ecuaţiile

au']>1: au,,1: ) z:Pz!l • • --+-ax« ax'l> •

devin

..

• •

g„1:xv;.

+ rp,1::Pz!l = -.-· a Dacă utilizăm lungimea arcului ca· parametru; 1, ;·=O şi ecuaţiile slnt u~-,:xP

:::i

9111:

d 9~ ..1..ll

u.r

dxs> d:rfl

+ r sicrt -ds·-

--

ds

= O.

înmulţind cu grk, obţinem

d 2 x'"

r

dxP

dx'l

-ds2 + r"-• -ds ds

-=

o. 217.

Capitolul IV

SERII FOURIER. INTEGRAL.A FOURIER Definiţie.

O serie_ ·de forma o0+ ~ krt bkSIIl-{J) . kit ) ~ ( a,tCOs-x+

2

l

k-l

t

(1)

l

,unde a 0 , a,.., bt(k = 1, 2, ... ) sînt numere reale, x este varfobilă rea.lă iar l este 'Un număr real pozitiv, se numeşte serie trigonometrică de perioadă 2l. Proprietăţile

seriilor de funcţii rămîn adevărate şi pentm seriile trigonometrice. În plus avem următoarele proprietăţi: Teorema 1. Dacă seria (1) este convergentă (uniform convergentă sau absolut convergentă) pe un inter'Val compact oarecare de lungime 2l, at·unci ea este convergentă (unifo1·m convergentă sau absolut convergentă) pe toată mulţimea R a numerelor reale, iar suma ei este o funcţie periodică de perioadă 2l. Teorema 2. Dacă şirurile (a.) şi (b.) formate cu coeficienţii seriei (1) stnt monotone şi converg la zero, atunci seria este convergentă pentrit orice a; ~ 2kl, (k = O, ±1, ±2, ... ) şi uniform convergentă în orice interval compact care nu conţine puncte de această formă. Teorema 3. Dacă seria (1) converge uniform către funcţia f(:v) pe intervalul [ -l, l], atunci coeficienţii ei sînt daţi de formulele: l

a.t

=-

1 \ I .

f( a;) cos -krt a;da;, (k = O, 1, 2, ... ), l

-l

(2)

I

b.t

= -1I

~ J(a;) .r . Jrn1 sm · a;d :v, (k l

-I

208

= 1,

. 2, .. ).

\ D~finiţ,e. Fie /( a:) o funcţie periodică de perioadă 2l integrabilă„ pentru care avem

/( fJJ)

=

+ I; {a1 cos~ + bi sin J..-rcl re). • l

!!!

(I)

2

1: ... 1

seria put,nd fi integrată termen cu termen pe [ex, ex + 2l]. Numerele a11 şi bk date de (2) cu integralele luate de la ot la ex 2l se numeso coeficienţii Fwrier ai funcţiei f, iar seria trigonometrică de perioadă 2l formată cu aceşti coeficienţi se numeşte seria Ji'ourier asociată func-

+

ţiei

f.

Funcţia f este dezvoltabilă în scrie Fourier pe mulţimea .A ~ R, dacă seria Fourier asociată converge pe această mulţime către Convergenţa seriilor Fourier şi posibilitatea d.ezvoltării funcţiilor în serie Fourier se studiază cu ajutorul următoarelor criterii.

f.

Criteriul 1. (Dirichlet). Dacă funcţia f periocUcă de perioadă T este monotonă pe porţiuni pe un interval [ex, ex + T] şi are î1i acest interval un n'u,măr finit de puncte de discontiniiitate de prima speţă, atunci seria Fourier a ei co111Derge tn fiecare punct x 0 e [ ex, ot T] către

+

f(x0

+ O) + f(x 0 -

O)

2

Criteriul 2. Dacă funcJia f este derivabilă sau derivabilă pe porţiuni tn intervalul [ ex, a T], atunci seria Ji'ourier asociată funcţiei f converge către· f(xo +O): f(:z:o - O) tn orice punct x 0 e [11., ot + T].

+

Teorema 4. Dacă aeria sa Fourier este

f'Uncţia

a _!..

2

eu

f( re)

periodică

m + 1:-l ~ a1: cos kCJlre,

de

perioadă

T este

pară

~

(J)

= -- , T

coefie-ienţii T

. ak

= ~

2

J

/(a;) cos kCJlre da:, k

=

O, 1, 2,

(3)

o

Seria FO'UrieT a unei funcţi,i impare f( (I)) este

H-e-.ll

209

I

I,

ou ooeficienţii !'

i"

bi

= ~ ~ f(t») sin kT d Ţ.

(5)

T CI

Teorema 5. Fief( x) o funcţie reală iau complexă oare satisfaoe conlui Dirichlet ( criteriul 1 J tn orice inter'Val de lungime finită ; tn fiecare punct de discontinuitate x0 valoarea funcţiei este f ( x0 ) = diţiile

= .!..2 [f(x0 + O) + f(x 0 - O)] 1i fie funcţia integrabilă ( -co, + oo ). 1n aceste condiţii există egaUtatea +oo

f(x) numită

+oo

= ~ ~ du ~J(-r)e- uc~-~, -oo

pe intervalul

d-r

(6)

-r)d-r.

(7)

-oo

integrala FO'Urier a funcţiei f( x). reală a integralei Fourier este

Forma

oo

f(x)

c::; ~du~J(-r)cosu(x o

Dacă

f( a;) este o

+oo

-co

funcţie pară, 00

formula (7) se rec;luce la 00

(8)

iar dacă f(

x)

o 00

f(x)

c::s :

00

~ sin ua; du ~f( :r) sin u-r d-r. o

210

o

este o funcţie impară, avem

o

(9)

\ Definiţie. Numim transformata li'ourier a plexe f(x) e ..€1 ( .l....OO, +oo)* funcţia

funcţiei

reale sau oom-

+oo

= ~ ~'"' f(t) dt =

{cx}

dacă

00

~ q>{a) sin cxa: dcx o

224

= e-s,

(a:> O).

UŢ

d-r

=

]•

n.

înmulţind cu -

i

se obţine

7t 00

~(

= ~ e-z.

q>(ot) sin «x d«

7t )

7t

o Soluţia

acestei

ecuaţii

dată

este

de prima

relaţie

şi

(14)

anume

00

cp(!X)

=-

2i ) f(x) sin «x .dx

= : ~ e-xsin

o 00

.

= _:_ ( [e-:i:] dx

r.i ) o

IV.13~

= !_

[--1_ -_1_] = _:_. + 1 - cd

1ti

Să

=

«x dx

o

1

«i

1t

_ex_ + a.•

1

so determine funcţia q>(a) dacă 7t

_ cos u, pentru u e (O, 1t), 2

~ cp(a) cos au da =

o,

pentru

o I\.

pentru u

Ecuaţia dată

1

~ cp(cx) .co~ a.u dcx

:

. 2 1

-4,

ecuaţii

este

dată

de

relaţia

(13)

pentru u

>

pentrt(u

= n.

şi

1t,

anume

n

+w cp(a.)

= 1t.

cos u, pentru u e (O, 1t},

O,

:::s

o

acestei

> 1t,

se mai scrie

00

Soluţia

'U,

= ~ .f(u). cos atU d~ = 2~

co; u cos cxu ~u

=

·e

-oo

n

1 ~

= -2

· [cos u(l

· + at) + cos u(l....: a.)) du=

u sin un ·

--- •

1-

ul

o 16 - c. 11

225

Capitolul V

CALCUL

Fie f(t) o dreapta reală

OPERAŢIONAL

funcţie măsurabilă reală sau complexă, definită şi p un parametru real sau complex.

Definiţie. Dacă

pe

. +oo

(1) -00

există ( integrala fiind luată în sensul lui Lebesgue), ea de integrala lui Laplace unilaterală a funcţie·i f(t). '

poartă

numele

00

Dacă f(t)

= O pentru t < O, integrala (1)

se reduce la ~ f(t)e-:,t dt. o

Notăm 00

F(p)

=

IR f(t)

= ~ f(t) e-2>t dt._

(2)

o

Definiţia 1. T1·ansformarea care face să corespundă funcţiei funcţia F(p ), poartă nurnele de transformare Laplace, iar JJ'(p) numeşte transformata Laplace a funcţiei f(t).

f(t) se

Fie ex marginea inferioară a numerelor reale p 0 pentru care e-:,0 t f(t) este funcţie sumabilă în [O, oo ). Transformata Laplace F(p) este definită în semiplanul deschis Re p > ex, iar~ se numeşte abscisă de con1Jergenţă corespunzătoare funcţiei f(t). 226

Definiţie. Se mtmeşte original o funcţie complexă f(t), definită pe [O, oo), ( dacă se extinde f(t) pe ( -oo, +oo), atunci f(t) = O pentru t < O), continuă pe acest interval în afară, eventual, de un numă'r finit de puncte şi cm creştere mărginită. Cea mai simplă funcţie original este funcţia unitate

1J(t) =

Se

Definiţia 2. Fie f(t) numeşte transformata

l

~,

pentru t




(3)

O.

un original şi s0 abscisa sa de convergenţă,. Laplaoe a funcţiei f(t) (sau imagine) funqţia 00

F(p)

=

~f(t) e- 21 t dt. o

Transformata Laplace F(p) este o Re p > s0 şi

funcţie olomorfă

în semiplanul

co

F'(p )J= ~ [ - tf(t)] e~ 21 ' dt.

(4)

o

Vom da cîteva proprietăţi importante ale transformatei Laplace. Propoziţia 1. Transformata Laplace este o transformare liniară, adică

.2'[).f(t) + µg(t)] = A!t'f(t) + µ!l'g(t), ()., µ=constante complexe). (5) Propoziţia 2. (Teorema asemănării). DacăF(p) este imaginea funcţiei /(t), oricare ar fi constanta ex> O, avem 2'f(«t)

= :

F(:) ·

Propoziţia

o constantă,

3. (Teorema întîrzierii). Dacă f(t) este un original f(t - -r) este un original şi !l' f(t - -r)

= e.-~T!l' f(t).

(6) şi -r

(7)

Propoziţia 4. (Derivata unui original). Dacă f(t) are deri'Dată continuă pe (O, oo) şi dacă f'(t) este un original (de unde rezultă oă şi f(t) este un original şi lim f (t)- f( +O) există), atunci din !l'f( t) =Jl'(p) deducem t-++O

!l' f'(t)

= pF(p) - f( +o). 227

.D4cq, f(t) are -b sin

[p2+(b+a)2J [pi+(b-af)

-a

at sin

bt

p2 - 2a2 p4 + 4a.a

1 - cos at sh al a

p2 + 2a2

1 -sin al eh al a

P" + 4a'

sin 3 at

1 (pa +. a2)(p2 +. 9a2)

6a 3

p(p2 +. ia2 ) (p2 + a2)(p2 + 9a~)

cos 3 at

t cos 1

1 (p2 + a2)3

(p2 _ a2)a

(p + u)n

·.; . 1·

·'

..

(p2 + a2)2

1

58

~in al)

2

P' - at

8

all [ (3

1

1

57

as (sh al -

P·

p2 - as 55

a

y2

l

2

P,. - a'

p'J 48

a

v2

cos--:-: t eh - t

p.a + a''

8

a ((:3 6

-

a 2l 2) sin al -

+ a2 t2) sh al -

1n-1 c-at (n _

al

l) , n 1

= 1,

3 al cos al)

3a eh al)

2, 3, 4, •••

233

Nr.

I

,c,,

F(P)

I

59

1 p(p + t)•

r:n)

~ e-O aG-1. du, R = 1,

2, 3, 4, .•.

e 2nl p(pl+29 )(p1 +41 ) ••• [/>9+(2.n)'] (2n + 1) I 61 (pl+l')(ps+3s) ... [/J9+(2n+ 1)1)

60

62

1

l

nt

1

65

_ _!_ • 1-e oJ

(

J 9 (at)fan.cţia lui Bessel de speţa tntll şi de ordinul

+ a.,.

yp2

t

sfa(2a+l)t

p(ap+1) •.• (ap+n)

63

64

sin(2n)

zero

1

1

V/>9 + a" +P 1

(Vp +a'+ p)" 2

Jl (at)

-a. · -t ll J 11(at) · - - R>O 11

t

Cl

'

C

1

66

p(y'pS +as+ p)o

11(au) -a ~ J- d u n> O

~

u

'

o 67

68

69 70

na• -

(yps + a" - p)"

Vi> p(p - al) p (p -a)S/'l. .

YP + a

CI

-

1

Vwl

e-at

fcien{fât)+ - -

vil

p

e-a:t

-t'nt

73

234

CI

1

p

1

p

-e p

-e

Vi>

+ 2at)

e«sl(l

Jip+ a 72

J,.(at)

~e4 ''erf (a vi)

1

71

i.

CI

Jo(2

t

Vat)

-=.. 00S (2 Val)

m

Nr.

I

F(p)

l --e

74

/(I)

1

-

P

P(p

sin

f,ra

(2Vaf) G

o•

a -- - e 41 , a~O

75

2yiis

sin at

.Q

76

arctg - p.

+ I>

ln p

77

p+a 1

78

-

1 ln -------

Ci(t)=

y,,,- + t

p

1

· ·· -

p

~ u (' sinu J - u - du cos

-oo

·--

79

' --d u u

arctg. p

Si (t)=

o 1

lnp _ _ _ _P_ _ _ _ _ _ _ 1 - - 1n JfJ'

80

81

_ _ _ P;._2_+_1_ _ _ _ _ _ _

-

p

-

+ r'c1>, r· = - o,sn2

cos t · Si (t) - sin t • Ci (t)

.- sin t ·Si (t) - cos t • Ci (t)

P1 +s

1 -

1 - e

Ttp

n: ,=-

a

1

c.>

.'O

a

2a

3a

~a

t

237

PROBLEME Să

se calculeze imaginile următoarelor funcţii : e-at ~ e-bi 1° t sin at; 2° t ; 3° cos 2 kt; ·4° e-Ât cos (eut

V.1.

Ţ

cp).

R. 1° 00

se s~n at= () e-!t. sin atdt =

a

ps+as

o această

Derivlnd ln raport cu p

egalitate,

obţinem

00

~

[Sf sin at]

dp

= - f e-s>& t sin at dt,

J

o de unde

rezultă

imediat

set sin Obţinem

imediat

acelaşi

rez~ltat

2°

=

=

teorema de derivare a imaginii sej-tf(t)], a

= se sin at = -a2-+-p2,- •

sin at iar F(p)

Aplicăm

2ap

=---. (p2 + a2)S

·

aplţclnd

F'(p)

unde f(t)

at

teorema de integrare a imaginii

se f~t) = ~ F(i.) d).,

ip

undeF(p) = sef(t) Avem ·.

1

1

p+a

p+b

se(e-a& -.- e-bt)

=

se

= ( ~ _ ( ~ = 1n

see-at .

!ee-bt . .

= -- - --

şi 00

00

0

e~ & -:-- e-b&

t

J).+a

)A+a

p

p

+b•

p+a

p

30 Je cos2 kt

=

ll

cos 2kt+1 2

p

1 [

.= 2 238

pS

=

1

2 [ li cos 2kt +

' 1]

+ 4k9 + p =

ll 7J(l)] =

p2 +2kll p(pl

+ 4kll)

t

4°

Aplicăm propoziţia

8:

ie [e-).C cos (t

+ !p) = G (p + Â),

unde G(p)

Apllclnd

propoziţia

G(p)

= 3

şi

St cos (o,I apoi

+ip)=

propoziţia

2,

obţinem

cp) = ep !.. ie cos

= ie cos Ct> ( t + -

(1 + =) •

.rt cos o,

Ct>t

(I)

=e

p!_

p '

(I)

- - •

(t)

·~+~

de unde rezultă q,

G(p

+ Â) = e(PH)~

p

+Â

+ Â)IJ +'

(p

V.2. Să, se calculeze imaginile funcţiilor 10 /(t)

={ -o,c, pentru pentru

+

(n =o,

2nT < t < (2n 1)-r (2n+l)"t"h(u) du=. 8

O

•

o

a

= ~ e-Puh(u) du -

o

e-s,a~ e- s>tlh(u)du

o

=

(1-:- e-~ ~ e-pah(u>:du,

o

o

Dar pentru aceste funcţii avem h(f) = h(t _seama de ultima relaţie şi de (1), rezultă

+ 2 ka)

şi

h(I)

=-

h(t

+ a),

deci, tinind

o

!ehtl)

1 - e-s,o ~=- - e _ _.,h(f) dl.

l - e-ba

e

\T.4. Să se calculeze imaginea. funcţiei periodice h(t) de perioadă T, pentru t > O, definită astfel (fig. V.4):

o, h(t)

=.

pentru I < O,

2Et T

- , pentru 2

~(T-&) t

'li'

O2

2n

01

+ 6>

r

p ... o

2n

p ➔ 00

P

+

r

O

Analog 00

-

y-e-,t

i>t

V -dp ~ 1 ~ - r- - d r . - 1 ~ - -pe 21ti p2 + 6>2 p ➔ O 21t r2 + 6>2 ~ R➔ oo o În rezultat 00

f(t))

1 ( -:=-sin t

= V6)

+ -4

1t )

~ Vr-e-rt +dr. „ -r2-+-6)2 1

o

V.10.

Să

se calculeze integralele 00

00

o

o

unde 00 ( - t)n = n=O ~ - - · (•'~2 )2n · (n !)2

Jo(t) R.

Dacă

F(p)

= se f(t), atunci

00

00

00

00 00

~ F(p) dp= ~ [ ~ f(l)e-• dl] dp = ~ ~ f(l)e-• 1dl dp. 1

o

o o

o o

Inverstnd ordinea de integrare, ceea ce este posibil, 00

~ F(p) dp = ~ o

rezultă

00

00

f~t) dl, deoarece

o

~ e-i,t dp =

+·

o

Avem Je(e-at _ e-bt)

=

see-at _ sec-bt

1 = ___ - 1- ,

p+a

deci

250

p+b

Ştim că

!etn deci

= ~

ie Jo (t)

(-l)n . _1_. (2n) f 22n p2n+1

n-o (n !)

1 ( =p

nf =-. pn+l '

f 1+- )-½ = _:_

(-l)n 1.3.5•••. (2n-1). _1_ == 2·4·6 ..• 2n pi•

p n-o

1

pi

sau

Rezultă 00

I1

=

~

00

00

- cost 1 - - -P- ) dp -JoCt> -- di= ~ ( - -

,

o

V.1 t.

Să

o

n+ P'

se dezvolte în serie

1

P+ 1+,ş = ln -V -

V1 + pa

+ p2

funcţia

I= ln 2. o

f(t) pentru care

F(p) = !t'J{t) = .!_ th ap • p

R.

Funcţia

l)eriodică

de

2

f(t) este reprezentată ln tabelă (v. pag. 237) la poziţia 92 şi este o funcţie

perioadă

2a. Scriem ap

sh2

1

(l)(p)= -ePC - - • p ap

ch2

Această funcţie

are punctele (2k + l)1ti p=O, p = - - - , k=O,

a

±1, ±2, ...

oli siml'li. Avem deci e'l>kt

1

ap

!e-1-thp 2

= ~

Rez(l)(p)=

shpta 2

+oo

2 +co

e""'

~ ----- ~ -. k = - oo a Pta a t- -oo P"' -·Ptsh2 2

Rezultă

deci 2 f(i)=-:1tl

+oo

~

e

(2k+l>'.!... a

----,k=O, k--oo 2k 1

+

±1, ±2, ... ,

251

dezvoltarea tn serie Fourier sub formă complexă a ln serie Fourier cu termeni reali avem . f(t)

=-

4

r.

V.12. funcţiei

n.

Să

00

-

~ h-1

1

1ml

sin -

, (h .

a

h

funcţiei

=

f(l). Treclnd la dezvoltarea

1, 3, 5, 7, ... ), .

coeficienţii dezvoltării operaţional.

se caJe1µeze

Isin wt I utilizînd calculul

în serie Fourier a

Aplictnd transformarea Carson-Laplace avem

LI sin wl)I

=

pro

pr:

---coth - - .

p2

+ 00 2

200

Funcţia

sh prr 200

are polii simpli

imaginară la

p=

stlnga

G(p),= L !sin

(J)t

Pk =· 2kioo~ dreptei de abscisă ±l,

k ~ O,

±2, ••• Toţi aceşti

± i,

c. Apoi G(~ p

➔ O cind

poli slnt pe axa

Ip I ➔ ro

şi t >

I, deci c+l,:ic

= -.1-. ~ -2wcP - -2 coth -pr. = 1

f(t)

p

21tl

+ 00

~ Rez (p).

2W

c-loo

Avem w

~

+

1-e

Rez (p)

I

21

l+e-

Rcz(p)= - - e21 t _ _ _ __ J') ~ le,> p ic.> - J) .._ er,

·

I1v-1w

(I)

=-C

ier,t

2iw

l + -)df)

S(21-.!)d21[ K -

1

1

1 3p8

1 2p2

= - p - -p2 ,

rezultă

l'(p)=-- -

·

y{x)

=

!f-lY(p)

= _1

1 1 1 !l-1 _ _ _ !l-1_ 3 p3 2 p2

x x x(x - 3) =_ __ =--. 2

6

2

6

Să

se integreze sistemul 3a:' + 2x + y' = 1 } , x' + 4y'+ 3y =0 cu condiţiile iniţiale a,(O) = y(O) = O. V.17.

,

x>O,

255

·

R. Sistemul

operaţional

corespunzătM

3pX(p) pX(p)

este

+ 2X(p) + p Y{p) = pt }'. +

+ 3 Y(p) = O

4.p Y(p)

sau (3pl

+ 2p)X{p) + plY(p) = 1 + (4p + 3)Y(p) = O.

}

pX(p) Soluţia

acestui sistem este 3

X(p)

=

4p + 3 p(11pl + 17p

p

4

+ 6)

------,

11

p(p + t1 ) (p + I)

-p Y(p)

=

p(Upl

+-4

-1

+ 17p + 6)

(

11 p

+

t1 ) (p

+ 1)

Rezultă

3

4

x(l)

=-

P+!l- 1

11

p

1

y(l)

.

V.18.

4

= - -.-

(

p

6 )

+ 11

se determine

(p

_ _!_ t · -

1

+ I)

1 --

e-•,

5

_ _!_,

= _ (e-c - e

11

).

5

integrale

+ 2 ~' x(u)du = 3et + 2t. o

X(p}, !ee'

1

= -- , p- 1

!et

=

1

~

,

şi după

teorema de integrare a originalului

fi

e !e

~

8

256

11

10

soluţia, ecuaţiei

B. Avem

=

·3

- -e

2

+ 1)

(p + t1 )

fV(t)

!ex(t)

(p

1

1 !e-1 - - - - - -

li

Să

=-

-------

. x(u) du

1

= -p

. !lx(l)

X(p)

= -- • p

Ecuaţia operaţională:corespunzătoare ecuaţiei

X(p)

integrale este

3

2

+ 2 -p- = --+-• p-1 pi

X(p) şi_:deci

3p X(p)

=

(p -

x(l)

=

ie- 1X(p)

2

+ 2) +

l)(p

p(p

+ 2)

Rezultă că

V.19.

Să

=

ecuaţia integrală

se rezolve

t

a:(t)

n.

t

o o

o

=

).

+ 2 ~ a:(u)du + 3 ~ ~ a:(µ) dµ 011. = t.

Avem !ex(l)

+ el + e- 2,.

1

t ).

'

( X(p), !e) x(u)du

=

X(p) -p-'

!e

o Deci

de unde

xi,) .

o o,

ecuaţia operaţionalii. corespunzătoare

este

rezultă

X(p) Soluţia ecuaţiei

Să

=

1 p2

-t

2p

+3

integrale va fi x(t)

V.20.

~ ~ x(µ) dµ dl=

=

se rezolve

!e-1

1 ----

p2

+ 2p + 3

e-t

= - - sin 2V2t. 2y'2

ecuaţia integrală

m(t) =asin bt

de tip Volterra

+ c ~' sin b(t-u)-x(u) du, O~

p !f-1 _ _ _ __ L p2+2ap+w:

= E_

deci

E - e-at sin wt, L i(t)

=

E - te-at

L

dacă

a2 ,

,

unde (-m) şi (-n) stnt rădăcinile ecuaţiei p2 + 2ap +

-+

V.23. Mişcarea unui electron supus unui cîmp electric E -+ cîmp magnetic H satisface ecuaţia diferenţială vectorială

d;

le\ -

-dl = - -m

(E

r2

1

wiJ =0 iar C1>2 = LC - -4L -2 . şi

unui

+ µ vtlH). -+

-+

0

unde:;; este viteza electronului, 1n masa sa, µ 0 coeficientul de permiabilitate magnetică în vid şi le I valoarea absolută a sarcinii sale. Să se determine traiectoria electronului supus celor două cîmpuri. ...

un triedru de referinţă a). Avem

şi

-+

-

-

H uniforme şi perpendiculare. Alegem trirectangular Oxyz cu Oz paralel la E şi Oy paralel cu H (fig. V.23,

R. Vom considera cazul particular pentru E .

lei de -=11.o-·-' 11

d 2.x dt

.

m

dt

day

(1)

-=0 dt11

'

d2z le I le I dx -=-E-1J,o-H-• dt2 m m dl

Presupunem Notăm

260

X (p)

=

că

= O electronul se află tn origine fără viteză lei lei Y(p) = !ey(t), Z(p) = !ez(t), CI> = µ 0 H, « = -

la timpul t

!ex(t),

m

m

iniţială.

E.

l

Ecuaţiile operaţionale corespunzătoare ecuaţiilor 2

p

y

x -

p2Z -

=0 =0

Cl>pZ

;

(1) stnt

+pXC1>=0

z

'1

!I

~

O

o

,,

_.._

Fig. V.23, a

de unde

.

' 'v/

,

...........

21fo:

7

' './' 1,.1Ttt.

-;;;z-

'Z:

Fig. V.23, b

rezultă

Y=O,

X(p)= - - - -

p2(pa

Originalele acestor

funcţii

+ (1)2)

ot

Z=--p(pa (l)a)

+

stnt

y(t)

=

:(t)

= Cl>a - (1

o, ot

- cos (l)t).

Traiectoria electronului este cicloida din planul xoz (fig. V.23, b).

V .24. O particulă de masă m se deplaseaiză fără frecare de-a lungul unei axe. Ea este atrasă spre un punct numit origine cu o forţă proporţională cu distanţa de la această masă la origine şi este supusă unei forţe /(t). Să se determine mişcarea particulei (trasînd eventual curba a; în funcţie de t, unde a; este distanţa de la particulă la origine) în diferite cazuri, presupunînd că la timpul t = O particula este în repaus, adică a;(O) = o, x'(O) = O. B. În cazul general ecuaţia diferenţială de mişc;ire a particulei este d2:z:

m2 dt

+ kx = f(t).

(1)

261

Ecuaţia opcratională

este

+ kX(p) = Jef(t). o, pentru t O.

(2)

mp2 X(p) Dacă

10 ecuaţia

(2) devine (mp2

+ k) X(p) = -Fo • p

de unde k

F0

m

F0

=- - - = -k . - - p(mp1+ k) k

X(p)

P'+m

iar curba este

reprezentată

in fig. V.24, a, X

t

21T

V$; Fig. V.24, a

20 Ecuaţia

f(l)

o, pentru t t, pentru t >

O.

(2) se scrie (mpl + k)X(p)

c,)

= F 0 p•.. +

c,)t

deci X(p)

Fo

m

262

c,>

= - -------

'f.

l· f

......

T Fig. V.25, b Dacă şi

se

dă

tn

problemă

k (I)= - ,

pulsaţia forţei

impuse este egali\ cu.cca a sistemului

m stntem !n cazul rezonanţei. Atunci

Fo

X(p)

=m

(J)

(p2+Ci>2)1

şi

x(t)

= -Fo(sin t 11

CJll cos CJll).

2mCJ>

în acest caz curba este cca din fig. V.24, b. 3°

Dacă

o, ((l)

=

{

pentru t

~

O,

F 0 , pentru O < t

O, pentru t


a,

263·

ecuaţia operaţională

este (mpl

+ k) X(p) =

F (1 - e-pal o . • p

deci

F 0 1 - e-i>a F0 [ 1 e-i>a ] X(p)=----=- - - - - - - - ' m p(p2 6>2) m p(p' .6>~) _ p(p' 6>~)-

+

+

1 !e-l ____ p(p'

+6>~)

+

= 1-cos - - - 6>-0 t,

6)â

O, pentru t ~)

= {

1 - COS6>o(t-a) 6> 2 ,

pentru t > a.

o

·x

Fo T f

Fig. V.24, c Rezultă

o, x(l)

=

:• ( 1 - cos

pentru t 4 O,

V!

t) •

pentru O