Culegere de probleme de trigonometrie pentru licee

Table of contents :
0
004
img005
img006
img007
img008
img009
img010
img011_1L
img011_2R
img012
img013
img014
img015
img016
img017
img018
img019
img020
img021
img022
img023
img024
img025
img026
img027
img028
img029
img030
img031
img032
img033
img034
img035
img036
img037
img038
img039
img040
img041
img042
img043
img044
img045
img046
img047
img048
img049
img050
img051
img052
img053
img054
img055
img056
img057
img058
img059
img060
img061
img062
img063
img064
img065
img066
img067
img068
img069
img070
img071
img072
img073
img074
img075
img076
img077
img078
img079
img080
img081
img082
img083
img084
img085
img086
img087
img088
img089
img090
img091
img092
img093
img094
img095
img096
img097
img098
img099
img100
img101
img102
img103
img104
img105
img106
img107
img108
img109
img110
img111
img112
img113
img114
img115
img116
img117
img118
img119
img120
img121
img122
img123
img124
img125
img126
img127
img128
img129
img130
img131
img132
img133
img134
img135
img136
img137
img138
img139
img140
img141
img142
img143
img144
img145
img146
img147
img148
img149
img150
img151
img152
img153
img154
img155
img156
img157
img158
img159
img160
img161
img162
img163
img164
img165
img166
img167
img168
img169
img170
img171
img172
img173
img174
img175
img176
img177
img178
img179
img180
img181
img182
img183
img184
img185
img186
img187
img188
img189
img190
img191
img192

Citation preview

59. tg 135° . Sa se verifice identitaiile: 60. cos (oc+�)cos (� - �)=cos2oc - sin 2 �61. sin (oc+�)sin (oc - �)=1 - cos 2oc - sin 2 �' 62. a) cos (oc+�)sin (oc -�)-=sin occosoc - sin �cos�; b) sin oc= = sin (oc -�)cos�+sin� cos (oc -�);] · c)) cosoc=cos (oc+�) cos�+ +sin (oc+� )sin�. 63. sinocsin (� -y)+sin�sin (y -oc) + sinysin (oc -�)=O. 64. cosoc+cos (120° -oc)+cos (120° +oc)=O.

-�--

{3

sin or. - sin , 1-'f.l) _ .@ tg oc( -------. 2

2

_

'- 66_ tg (oc+ �)

sin or. cos or. + sia (3 cos (3 sin2 or. s�n2 (3 =,sm . or. cos or. -- sm (3 cos (3

, C!Jtgoc = tg (oc -�)tg !X tg� j; 6 . t (oc+�) +tg (oc -�)= . \ l.i 8 g 1 n=» (3 _ tg +tg f.l - tgoctg r'" 69 • �IX1

70.

tg (oc -�)+tg�2tg or. sec2 (3 - tg2 or. tg2 (3 • >

ctgor. + ctg (3 (3 + sin (3 sin (ix + (3) + cos (or. - (3)=cos ----------� sin (or. - (3) + cos (or.+ (3) cos (3 - sin (3

71. tg (oc - �) + tg (� -y) + tg (y - oc)=tg (oc - �) tg (� -y)tg (y - oc). 72. Din egalitatea: tg(or. - (3) tg or.

sn + � 2 Y =1, sa se deduca rela\ia: tg2y=tgoc tg �2

sm or.

.

73. Sa se arate ca expresia: E =cos2oc - 2 cosoccos�cos (oc+�) + cos2 (oc+�) este independenta de oc. 74. !;,tiind caoc+� +y= ;c: , sa se verifice egalitaiile: a) tgoctg� +tg� tgy+ 2 +tgytgoc=1; b) ctg oc+ctg� +ctgy=ctgocctg �ctgy. 75. !;,tiind ca oc+�+y = ;c:, sa se verifice identita\ile: a) sin 2oc + +sin� sinycosoc=sin 2 � +sinocsinycos �= sin 2y + sinocsin�cosy; tg or. tg (3 tg y . b) tgsoctgs�tgsy - tgsoc - tgs�_,tg3y = 3 cos or. cos (3 cos y 76. !;,tiind ca oc +�+y = � , sa se verifice identitatea: 4 (1+tgoc)(1+tg�) (1+tgy)_.= . 2(1 +tgoctg� tgy). 77. !;,tiind ca oc+�=y, sa se verifü:ie identitatea: cos2oc+cos2 � + cos2y - 2 cosoccos�cosy =1. 78. Sa se demonstreze ca dacaoc�i� sint un ghiuri ascu\ite, iar tgoc = ! �i tg � = 2 1 . t = a I a unc1 oc+� = •

4

62

7t

2 sincc + cos 3cc - cos 5t1: . 2 sincc + sin 3cc - sin 5cc = 2 coscc - cos 3cc - cos 5cc 2 cos cc + sin 3cc + sin 5cx sin cc + sin 3cc + sin 5cc =

161. .- ·

;;62 Ki) L. ?Cl

fk))

C;

COS

cc +

COS

3cc +cos 5cc

sin cc + sin 3cc + sin 5cc

tg 3 ot ;

+

sin

7cc +

sin 9cc

=tg 5ot j

coscc +cos 3cc + cos 5cc + CQS 7cc + cos 9cc sin cc + sin 3cc + ... + sin (2n - 1) cc CJ = tg not. =I= cgs {2n---t}a --- -------_cos cc+ cos 3oc +

- ----

�tiind ca ex+ (3 + y = 7t, sa se verifice identita\ile: a) sin cc+ sin.� - sin y =ctg .r_; Y'J si�� + si� y - s�ncc = tg ..ê_. tg ]_. 2 2 2 . sm � + sm y + sm cc cos 7.. +cos � +cos y - 1 y tg- tg- tg 2 2 tg + tg � + tg y 2 ---�-�- _ (sin cc + sin � + sin y) 2 2coscccos�cosy tg2 ex+ (tg ex+ tg (3 + tg y) (ctg ex+ ctg (3 + ctg y) = tg (3�tg:y sec2 ex.

163_

0(

�---

0(

164. 165.

166. sin ex + sin (3 - sin y = 4 sin � sin _ê_ cos 1- . ·

6)·

sin ot - sin (3 + sin y = 4 sin

2

2

2

'i cos f sin f .

168. - sin ot + sin (3 + sin y = 4 cos � sin p_ sin 1- . 2

2

2

169. sin 2cx + sin 2(3 + sin 2y = 4 sin ot sin (3 sin y. 170. sin2 ot + sin2 (3 + sin2 y - 2 = 2 cos cx cos (3 cos y. 171. cos oc + cos (3 + cos y - 1 = 4 sin� sin f sin 1- . 2 0(

2

�

2

.

y

cos cx + cos �A - cos y + 1 = 4 cos -- cos -- sm - . 2 2 2 cos 2ot + cos 2(3 + cos 2y + 1 = - 4 cos ot cos (3 cos y. 174. tg '!: tg ..ê_ + tg '!: tg .r_ + tg ..ê_ tg 1- = 1. 2

2

2

2

+ ctg ..ê_2 +ctg .r_2

2

2

!2 ctg 1-2 • ctg cx ctg (3 + ctg ex ctg y + ctg (3 ctg y = 1.

175. ctg '!: 2

176.

=ctg .'.::. ctg 2

E. Ap licatii di(,)erse 177. Sa se transforme în prod us expresia: ,,- E = cos oc + cos (3 + cos y + cos (ot +

(3 + y). sincc + 2 sin 2cc + sin 3a

. :,S. -------'------ = tg 2ot. ) Swa se ver1·r·1ce 1.d entitatea: coscc + 2 �os2cc + cos 3oc 2r: Sr: +cos Hm . . Sa se verif.ice ega 1.1tat1 1 e: cos - +cos - = O. .

w

•

.

.

w

•

9

9

/280. ·s·sinr10°·-•sin 50° sin 70° = 1. Sa se verif ice identita\ile: cc cc . sin oc+sin 2cc r: + - } ctg {71" - - . 181 . ---- = sm ot ctg ( ) 2 coscc - 1

6

2

6

9

2

67

17. Sa se rezolve triunghiul ABC în care se dau razele R §i r, §tiind ca a2 + + b 2 + c2 = 8 R 2 • 18. Sa se rezolve un triunghi în care se dau o Iatura, aria �i raza cercului circumscris. 19. Sa se rezolve un triunghi cunoscînd suma a doua laturi, inaltimea corespun­ zatoare celei de-a treia laturi §i raza cercului circumscris. 20. Sa se rezolve un triunghi cunoscind razele cercurilor exinscrise. 21. Sa se rezolve un triunghi cunoscind un unghi, raza cercului circumscris �i distanta dintre centrul cercului circumscris �i centrul cercului inscris. 22. Fiind dat un triunghi §Ï cercul inscris in el se duc la el tangentele paralele cu laturile triunghiului. Se forn1eaza astfel trei triunghiuri interioare primului. Sa se arate ca: 1° suma razelor cercurilor înscrise in cele trei triunghiuri interioare este egala cu raza cercului înscris în triunghiul 0). 27. Se considera un segment AB al carui mijlcic este D. Prin D se duce o dreapta DC, care face eu AB un unghi oc. Sa se determine lungimea segmentului DC, .....--.... .....--.... �tiind câ BCD = 2 ACD. 28. Se considera un semicerc de diametru AB = 2R §Ï fie AD o coardâ a semicercu­ lui care face eu AB unghiul 2 oc §Î C mijlocul arcului BD. Sa se calculeze in functie de R §Ï oc laturile §i diagonalele patrulaterului ABCD §Ï sa se determine unghiul oc astfel încît perimetrul patrulaterului sa fie egal eu 4 Rm. 29. Pe un cerc cu centrul in O �i eu raza R se considerâ un punct fix A �i tangenta la cerc în acest punct. Pe aceastâ tangentâ se ia un punct B, astfel încît AB = a. Se une§te punctul B eu un punct M mobil pe cerc §i se cere: ........... 1 ° sa se calculeze lungimea segmentului BM in functie de R �i de qi = AOM; 2° sa se determine unghiul qi astfel incit BM = l. 30. Se considera un sfert de cerc AOB §i fie AT tangenta in punctul A. Notâm eu M un punct oarecare pe arcul AB �i eu N punctul în care dreapta OM .....--.... intersecteaza tangenta AT. Sa se determine AOM astfel incît MN = kMA, (k = const.). 159