Mecánica: Libro 3 (Mecánica #3) [3, First edition] 978-607-2-00090-2

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Temas de física

Mecánica Libro 3 SISTEMAS DINÁMICOS

Mecánica Libro 3 Fermín Alberto Viniegra Heberlein

SISTEMAS DINÁMICOS

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

Mécanica. Libro 3 1a edición, 21 de agosto de 2009 D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Circuito exterior s/n Ciudad Universitaria, C.P. 04510. México , D.F. [email protected] ISBN obra completa: 978-970-32-4498-0 ISBN libro 3: 978-607-2-00090-2 Diseño de portada: Laura Uribe Tipografía y figuras: Mauricio Vargas Díaz Impreso y hecho en México

A la memoria de mi madre Anna Helene Heberlein Lang (1910-1967)

PREFACIO Este es el tercer libro de la serie de mecánica que se publica en la Facultad de Ciencias. Como en los anteriores, para la escritura de éste, unas modestas notas de clase se convirtieron en compilaciones, para finalmente constituirse en textos serios y formales. Con la publicación de estos tres libros se han venido a materializar muchos años de experiencia docente y constituyen la expresión del deseo de contribuir con mi granito de arena al mejoramiento de la enseñanza y a la divulgación de la física en la unam. Un día, allá por los años setenta del siglo pasado, recibí un recado que me envió el profesor Juan de Oyarzabal, que a la sazón era coordinador de la carrera de física en la Facultad de Ciencias de la unam, pidiéndome que fuera a verle. En cuanto me presenté con él me explicó el motivo de la entrevista; me dijo, palabras más, palabras menos, que después haber impartido durante tanto tiempo el curso de Física Teórica I (mecánica clásica) se sentía cansado, así que estaba pensando en cambiar y ofrecer otros cursos en la propia Facultad por lo que deseaba que aquella materia fuese impartida por mí en adelante. Yo creo que a lo largo de nuestra vida como estudiantes, ha habido algunas personas que de una u otra forma han influido en nosotros y seguramente lo que hemos llegado a ser tiene su marca. Juan de Oyarzabal fue uno de esos personajes que influyeron muy intensamente en mi formación, tal vez sin que él mismo se hubiera percatado de ello. Su actitud de permanente curiosidad por la física, su deseo de saber cada vez más, de explorar nuevos conocimientos, fueron para mí poderosos estímulos, conductas que quise hacer mías para el futuro y llegar a ser, académicamente, un poco como él. La forma de dar sus clases, de preparar ejemplos atractivos, ingeniosos, didácticos, es algo que he tratado de emular a lo largo de mi vida como profesor. No me cabe duda que Don Juan, como le llamábamos con afecto y admiración, ha sido uno de los profesores que mayor huella dejaron en mi persona.

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Prefacio

Por supuesto, cuando mi profesor me ofreció la estafeta para que yo continuara ofreciendo el curso que había sido de él, acepté de inmediato y me dediqué a confeccionar uno que tuviese el sello de Juan de Oyarzabal. Aquella invitación ha representado para mí un honor que siempre habrá de estar presente en mí y un compromiso de ofrecer a mis estudiantes, en la medida de lo posible, un cuerpo completo de conocimientos actualizados y de calidad, en el tema de la mecánica clásica. Nuevos planes de estudio han sido creados para mejorar la enseñanza de la física; nuevos nombres se han dado a muchas de las materias que hoy constituyen el currículo de la licenciatura, pero aquellas que se imparten bajo el gran tema de la mecánica clásica, como la Mecánica Analítica, siguen exhibiendo una estructura general que conserva el formato de las clases que nos dio aquel personaje a los afortunados que pasamos por su aula. En este tercer volumen presento los dos temas que a mi entender forman la corona de la mecánica: la formulación de Hamilton y la mecánica analítica de los fluidos. La primera constituye la más profunda concepción del fenómeno de la dinámica, basada en las ideas de Sir William Rowan Hamilton, en el siglo xix, acerca del espacio de las fases, así como de la dinámica, entendida como un campo físico que permea a todo ese ámbito. Esta parte culmina con la formulación de las series de Lie y la llamada ecuación de Hamilton-Jacobi, así como las soluciones en series de perturbaciones; tanto las dependientes del tiempo, como las independientes del tiempo. Por su parte, la mecánica analítica de los fluidos, si bien comenzó a exponerse en el libro 2, se presenta aquí como una estructura teórica completa, mas no cerrada, dentro de la ideología hamiltoniana. Con el material del tercer libro de la serie Mecánica, puedo decir que el tour que inició con la formulación de Newton y continuó con la de Lagrange, Euler y d’Alembert, ha concluido, regresando a su punto de partida, mostrando que este tema es una formidable tautología, estupendamente hilvanada. Igual como ocurrió con los primeros volúmenes de esta colección, debo decir que Mecánica. Libro 3 no hubiera podido materializarse sin el concurso de una buena cantidad de personas que directa o indirectamente participaron en su creación. En primer lugar debo reconocer a los dos o tres mil estudiantes que han acudido a escuchar mis clases a lo largo de tantos años que llevo ofreciendo estos cursos; muchos jóvenes brillantes que en ocasiones, con sus preguntas, me han hecho estudiar buscando las respuestas. Sus nombres se han borrado de mi memoria, pero aún recuerdo sus rostros y

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Prefacio

sus comentarios. Debo reconocer también el fatigante trabajo realizado por colaboradores que se dedicaron a transcribir mis notas a medios electrónicos, como fueron la señorita Rosa de la Cruz Ramírez Rosas, “Rosy” y el señor Benito Guadalupe Cruz. Debo agradecer muy sinceramente a la señora Martha Pöhls Padilla, mi gran amiga de toda la vida, su paciencia y dedicación en la revisión y corrección del trabajo. Muy especialmente debo dar las gracias por todo el trabajo de hacer y rehacer los tres volúmenes, con sus comentarios y críticas a la doctora en ciencias Barbarela Dávila Carmona. Asimismo, quiero dejar aquí constancia de mi más profundo agradecimiento al doctor Ricardo Vera Graziano, actual director del Instituto de Investigaciones en Materiales de la unam, cuando en su calidad de Coordinador del Posgrado en Ciencias e Ingeniería de los Materiales aportó una invaluable ayuda material para la publicación de esta colección. No puedo dejar de reconocer tampoco el apoyo y la ayuda que recibí de la dirección de la Facultad de ciencias y, sobre todo, estoy muy agradecido al Programa de Apoyo a Proyectos para la Innovación y el Mejoramiento de la Enseñanza, papime, que me ha otorgado el financiamiento para la publicación de esta obra. Y ya para terminar, quiero expresar el agradecimiento que debo a mi más joven amiga, la psicóloga Mercedes Perelló Valls, quien, siempre entusiasta, me ha dado su apoyo y estímulo desde la Coordinación de Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria, Distrito Federal, otoño de 2009 Fermín Alberto Viniegra Heberlein

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CONTENIDO Prefacio

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9. Formalismo de Hamilton . . . . . . . . . . 9.2. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . 9.3. El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos 9.4. Las transformaciones canónicas . . . . . . . 9.5. Los corchetes de Poisson y las series de Lie . . . 9.6. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . .

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1 7 26 56 84 107

10. La formulación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 10.1. La ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . 10.2. Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo . . 10.3. Método de las variables separables . . . . . . . . . 10.5. La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo . 10.6. Algunas aplicaciones de la teoría de las perturbaciones independientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1. Resolución del problema no perturbado . . . . 10.6.2. Resolución del problema perturbado . . . . . 10.6.3. Resolución exacta del oscilador perturbado . . . 10.7. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . .

113 113 127 137 164 178 179 182 187 188

11. El formalismo de Hamilton para los fluidos . . . . . 193 11.1. Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos . . . . . 193 11.2. El espacio de las fases de los fluidos perfectos . . . . . 221 11.3. Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.3.1 Flujo de un fluido perfecto que fluye sobre una superficie horizontal lisa, en estado estacionario, debido a una presión aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.4. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 244

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Contenido

Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Índice analítico

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Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

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CAPÍTULO 9 FORMALISMO DE HAMILTON

9.1. Introducción Con la mecánica analítica dejó de ser un problema plantear las ecuaciones diferenciales del movimiento. Anteriormente, con el esquema de Newton, aún los problemas relativamente simples de la mecánica ofrecían dificultades, a veces infranqueables, sobre todo al momento de considerar las fuerzas de constricción. Con la estrategia de la mecánica analítica, por el contrario, plantear cualquier problema se reduce a contar el número de grados de libertad que tiene, como la diferencia de las coordenadas menos las constricciones. Luego, simplemente se construye la función de Lagrange como otra diferencia: la energía cinética total del sistema, menos la energía potencial y a continuación se sustituye esa lagrangiana en las ecuaciones de Lagrange correspondientes. Aquí acaba el proceso; el problema ha quedado planteado. Ahora, para llegar finalmente a las soluciones, es necesario integrar las ecuaciones diferenciales que se plantearon. En esta cuestión muy poco puede hacer el formalismo de la mecánica analítica. De hecho, descontando el análisis de las variables ignorables, que es fundamental para descubrir leyes de conservación y con ellas aligerar la carga de las integraciones; quitando esta ayuda, nada más puede hacer la teoría de Lagrange para ayudar a la integración. El problema es ahora de talento y de suerte, pues, en efecto, grandes cantidades de talento se requieren para realizar esos procesos de inducción que son las integraciones. Se requieren cambios de variables además de álgebra en cantidades industriales para culminar con éxito el proceso. Y también suerte, porque de pronto ocurre que una integral en apariencia amistosa, se torna una verdadera pesadilla y jamás será posible concluirla. Los matemáticos han avanzado enormidades en el análisis y han puesto en manos de físicos e ingenieros sus famosos teoremas

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de existencia y unicidad de soluciones, pero la verdad es que estas herramientas se tienen dentro de gavetas, guardadas, con un vidrio que las protege del polvo y que lleva un letrero de “rómpase en caso de emergencia”. Solamente en esas circunstancias se acude a los libros de análisis y, después de mucho pensar, el pobre científico hace una fuerte aspiración, guarda el resuello y se sumerge desesperado, en los océanos de símbolos extraños y conceptos fríos y secos que vienen en tales libros. Muchas veces, después de horas de concentración y de disciplina espartana, llega finalmente al teorema, al método que parecía el salvador y se lleva la desagradabilísima sorpresa de que para el problema particular que tiene y por el cual hizo esa agobiante incursión en el desierto de las matemáticas puras y abstractas, no se tiene siquiera una leve luz que alumbre la salida. En el otro extremo de las cosas, la mecánica clásica de Newton es un esquema, una estrategia para atacar los problemas de esa parte de la física que trata del movimiento de los cuerpos materiales. Su importancia ha sido suficientemente ponderada a lo largo de este libro y no parece ser necesario abundar más sobre el titánico paso adelante en el conocimiento de la naturaleza que representó su estructuración y establecimiento. Pero también es necesario aclarar, por el bien de la verdad, que la mecánica clásica de Newton muy poco sirve para la comprensión del fenómeno de la dinámica. Newton propone que un cuerpo masivo como el Sol, por el solo hecho de ser una enorme masa, actúa a distancia sobre otros cuerpos: planetas, asteroides y cometas. Esta es la interacción gravitacional. Posteriormente y siguiendo la misma línea de pensamiento, Coulomb propone una “explicación” muy parecida a ésta, para el caso de cargas eléctricas que se ponen, una en presencia de otras. Pero la esencia de las interacciones; esto es, la explicación acerca de cómo ocurre la propagación del campo gravitacional al través del espacio y del tiempo, no pudo ser establecida en forma clara sino hasta mucho tiempo después; hasta cerca de doscientos años más tarde, cuando se pudo contar con una teoría de los campos físicos; teoría como la que se expuso en el capítulo 6 del libro 2 de esta serie. En este sentido se puede decir que la mecánica clásica de Newton, con todas sus excepcionales virtudes, no estuvo completa desde su establecimiento. Así, no permite comprender el fenómeno de la dinámica: la esencia de las fuerzas, su modo de propagación y la forma como provoca en los cuerpos materiales los cambios de estados de movimiento. Es incapaz de describir toda una clase de fuerzas: las fuerzas de constricción. Hace, en ge-

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neral, muy complicado el planteamiento de los problemas y representa un severo obstáculo para su resolución al no proponer métodos de integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Como una teoría inicial, como una herramienta con la cual el ser humano pudo por primera vez abordar sistemáticamente un conjunto de problemas y entender en forma práctica cómo es el Universo, ha mostrado ser formidable, pero al mismo tiempo ha exhibido una gran cantidad de debilidades y limitaciones. Lagrange, con su mecánica analítica, dio un primer paso en ambos sentidos: en primer lugar, como ya se mencionó, permitió plantear los problemas de la dinámica en forma expedita y clara. También empezó a vislumbrar que las fuerzas deben tener ciertos mecanismos íntimos de interacción; por ejemplo, cuando comienza a asociar las simetrías del movimiento con leyes de conservación. Pero es necesario recalcar que Lagrange tampoco consiguió hacer más fácil la integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento, ni dar más luz sobre la esencia de la dinámica. En este sentido, la mecánica analítica de Lagrange no fue sino un paso más —muy necesario por cierto— en la larga jornada de la búsqueda del conocimiento. De hecho, la aventura no ha terminado aún. Las fuerzas de la naturaleza han podido ser clasificadas y, según se sabe hoy en día, no hay más de cuatro, o tal vez cinco tipos esencialmente distintos de interacciones en todo el Universo, comenzando con la más débil de todas; la interacción gravitacional; esa que requiere de cuerpos gigantescos para apenas manifestarse, siguiendo con la llamada interacción electro débil, que es la que se observa en el fenómeno de la desintegración beta, cuando el núcleo de algún átomo emite electrones (partículas beta) y neutrinos y se transmuta en otro elemento de la tabla periódica con un peso atómico mayor. En ese orden, le sigue la interacción electromagnética, que ocurre por el intercambio de fotones, y luego vienen las interacciones fuertes, que son las que ocurren en los núcleos atómicos; son fuerzas de gran intensidad pero de muy corto alcance que son las responsables de mantener los núcleos de los átomos compactos e impermeables al paso de otros cuerpos, oponiéndose a las fuerzas de repulsión electrostática entre los nucleones. Recientemente se ha sugerido que puede existir un quinto tipo de interacción que es la llamada bosónica. Esta, de comprobarse su existencia, permitiría explicar aquellos vínculos que, se sospecha, ocurren entre ciertas partículas nucleares con espín entero. Lo cierto es que hasta la fecha aún quedan muchas dudas; muchas preguntas por contestar acerca de las interacciones. ¿Cómo es que, por ejemplo,

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un quantum; una madeja de ondas, adquiere esa cualidad que se llama “masa” y de qué manera ésta de pronto atrae a otras madejas ondulatorias que andan por ahí cerca? ¿De qué está hecha, en su más prístina esencia, eso que se llama carga eléctrica? Con los modernos, cuanto gigantescos aceleradores de partículas subatómicas; esos toroides magnéticos que se encuentran en las entrañas de la Tierra, abarcando un área de cientos de kilómetros cuadrados. Tan grandes que ocupan parcialmente el subsuelo de dos países: Francia y Suiza, y en cuyos interiores se aceleran protones a tan altas energías, que sus efectos relativistas, como el aumento de su masa inercial alcanzan valores enormes; de decenas de kilogramos, cuando en reposo no llegan a 1027. Con esos aceleradores se espera provocar colisiones frontales de esas partículas que, literalmente, las desintegren y solamente queden los más básicos componentes de la materia. Así, buscando en las entrañas de los protones, después de despanzurrarlos, se espera encontrar aquello que, cuando forma parte de una de esas partículas subatómicas, le imprime la característica de tener masa, o carga eléctrica o espín y que al no estar presente, da como resultado un corpúsculo sin masa, como el fotón, o sin carga eléctrica, como el neutrino, o sin espín. Pacientemente, un viejito excéntrico y un tanto misántropo de apellido Higgs, que hace unos veinte años propuso sus ideas sobre los parámetros esenciales de la materia; espera al cartero y atisba en su computadora diariamente, allá en las lejanas tierras de Albión, para ver si recibe desde Francia el deseado mensaje, informándole que su bosón; el mentado bosón de Higgs; la más escurridiza de todas las partículas, la causante de las propiedades básicas de las interacciones entre los cuerpos, al fin fue descubierta como resultado de una de esas colisiones monumentales. Inquietos, a unos mil kilómetros de distancia de Dublín, un grupo de burócratas esperan también esa noticia, para iniciar el proceso que habrá de culminar con la ceremonia donde el Rey Gustavo de Suecia le dé a Higgs y a sus colaboradores el Premio Nobel de Física, antes de que el pobre viejo pase a mejor vida. De todos modos, bien sea que se descubra el dichoso bosón de Higgs, o no, su existencia es, para la mecánica, de muy dudosa importancia. En todo caso, quienes van a saltar de júbilo cuando se descubra, serán los físicos nucleares o subnucleares y los militares. Los primeros, porque con ese hallazgo quizá puedan, ahora sí, proponer un esquema unificador de las

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interacciones que lleve a colocar las piezas que faltan en el rompecabezas de la formación del Universo, de la genealogía de las partículas y de la explicación elemental del concepto de energía. ¡Casi nada falta! A los militares, les ha de dar un gustazo el saber que ya podrán fabricarse nuevas armas, muchísimo más potentes que las anteriores, que dejen a las bombas de hidrógeno obsoletas y sea posible matar más eficientemente y a menor costo a más seres humanos. Imagínese si no va a ser atractivo cargar en la cabeza de un misil intercontinental, teledirigido, decenas de pequeñas y livianas ojivas con bombas de bosones de Higgs que conviertan en pomada otras tantas ciudades atiborradas de millones de indeseables musulmanes, o comunistas o negros, o tercermundistas. En todo caso, las interacciones elementales, como es el caso de las fuertes, que ocurren en los núcleos de los átomos, o las electro débiles, que son responsables por la transmutación de algunos elementos, o bien las bosónicas —si es que en verdad existen en la naturaleza—, no se observan a escalas de milímetros o mayores; o bien, no son importantes para alterar el estado de movimiento de cuerpos materiales macroscópicos. Su alcance es tan pequeño que no se hacen notables a distancias mayores de unos cuantos centésimos o tal vez milésimos de milímetro. Las otras, como la interacción gravitacional, o la electromagnética, sí son del interés de la mecánica clásica, porque son fuerzas perceptibles a escalas mucho mayores; incluso a distancias galácticas; de modo que éstas si hay que tomarlas en cuenta para describir a las causas de los cambios en los estados de movimiento de los cuerpos. Sin embargo, no es preciso conocer su esencia última. Así, si en verdad la interacción entre un electrón y un protón ocurre por la intermediación de un bosón de Higgs, o no, es algo que a la mecánica clásica la tiene sin cuidado. Lo que, en cambio, podría interesar a esta teoría, es una explicación (profunda y convincente), acerca de cómo un cuerpo que posee masa, es capaz de hacer sensible su presencia a muchos kilómetros de distancia, modificando de modo muy preciso el movimiento de otros, aún cuando entre él y los demás cuerpos sólo haya vacío de por medio. Sería muy importante para la dinámica tener un modelo con el cual se comprendiera ese transporte de información que ocurre al darse un cuerpo generador de interacciones y otro receptor de ellas. Bueno, ese modelo, si bien rudimentario, es el que se conoce como la teoría clásica de campos; ese tema que fue desarrollado en el capítulo 6 del Libro 2.

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El 4 de agosto de 1805, nació en Irlanda quien habría de asestar a la mecánica clásica un empujón colosal que la proyectaría a las alturas. Su nombre fue William Rowand Hamilton. Ese nombre ya ha sido mencionado a lo largo de este trabajo en relación con un postulado básico de la física; el principio de Hamilton, con el cual ha sido posible sintetizar las ecuaciones de movimiento de los cuerpos materiales macroscópicos, así como las ecuaciones diferenciales que describen las conductas de los campos físicos al propagar sus efectos por el espacio. Entonces, cuando se tuvo que invocar al principio de Hamilton, se vio su profundidad y se pudo apreciar el genio de quien lo postuló. Pero sería impropio e injusto saber de Hamilton únicamente por su principio. No es que se quiera minimizar su alcance, ni mucho menos. Por el contrario, es indispensable en este punto del desarrollo del tema traerlo a cuento y mencionar todas sus aportaciones a la mecánica. Más bien resulta aquí oportuno mencionarlo como el genio del siglo xix; el que penetró más que cualquiera de sus predecesores y que ninguno de los que le siguieron en esa centuria, en los secretos de las interacciones. Y quizá la mejor forma de ponderar la genialidad de Hamilton sea revisando su trabajo desde un punto de vista crítico. Y tal vez la más sencilla de abordarlo sea regresando un poco, hasta el capítulo 6, cuando se trató el asunto de las variables ignorables de la lagrangiana. Como se recordará, en aquel momento del desarrollo de la mecánica analítica se investigó lo que ocurre cuando algunas variables; es decir, las coordenadas generalizadas de un sistema de N partículas, sujeto a l constricciones holonómicas, no aparece explícitamente en la función de Lagrange. Se vio entonces que, asociada a cada coordenada ignorable, aparece una ley de conservación: la del momento canónicamente conjugado de esa coordenada. En ese momento, cuando se encontró por primera vez una relación directa entre una simetría del sistema mecánico al moverse por el espacio y una ley de conservación, en forma casi simultanea se le ocurrió a una gran cantidad de noveles físicos de la época que si el parámetro tiempo se consideraba una coordenada generalizada más y esta variable, por razones de una simetría temporal del sistema, resulta ser “ignorable”, en el mismo sentido que lo es una coordenada generalizada; esto es, que no aparece explícitamente en la lagrangiana, entonces, asociada a ella, debería igualmente aparecer una ley de conservación: la ley de conservación del momento canónicamente conjugado al tiempo. Y resultó que, en efecto, si el tiempo es ignorable (esto es que el mo-

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vimiento ocurre en forma estacionaria o permanente), entonces existe; se da, mejor sea expresado, una ley de conservación. Pero eso que es el momento canónicamente conjugado al tiempo, resultó ser una función bastante peculiar; la llamada función de Hamilton o hamiltoniana del sistema. Esta función fue definida en (6.78) y algunas de sus propiedades se estudiaron entonces. Pero ahora es momento apropiado para terminar con esta ya larga introducción y comenzar con una nueva sección del libro, justo en el punto que aquí se ha alcanzado: la hamiltoniana.

9.2. Las ecuaciones de Hamilton Recordando lo que se vio en el capítulo 6, la hamiltoniana es una función del estado dinámico que se define, a partir de la lagrangiana L(q,q,t) como (9.1) donde las p´s representan a los momentos canónicos conjugados de las coordenadas generalizadas q, definidos como (9.2) es decir, como las derivadas de la función de Lagrange con respecto a las velocidades generalizadas q k. En la fórmula (9.1) se ha adoptado la convención de índices repetidos para denotar una sumatoria. En este caso la suma “corre” desde el valor uno, hasta 3Nl, que es el número de grados de libertad que tiene un sistema de N partículas que se mueven en el espacio de 3D, sujetas a l constricciones holonómicas. Si se calcula la diferencial de la hamiltoniana (9.1), se tiene que:* (9.3)

* Aquí, nuevamente, se acepta la convención de Einstein sobre índices repetidos que se ha utilizado en los libros anteriores.

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Pero, por definición de los momentos generalizados, se puede notar que en (9.3) el primero y el cuarto término del desarrollo se cancelan, así que lo que sobrevive es lo siguiente: (9.4) En (9.4) la función hamiltoniana muestra que no depende de las velocidades generalizadas. Lo que queda en esta fórmula muestra que esta función depende de las coordenadas generalizadas, de los momentos generalizados (como también se conoce a los momentos canónicamente conjugados) y del tiempo; esto es: (9.5) ya que al desarrollar su diferencial han aparecido sumas de productos de ciertos coeficientes, multiplicados por las diferenciales de q´s, de p´s y del tiempo únicamente. Para que esta dependencia quede absolutamente clara, se puede desarrollar la diferencial de (9.5), en este caso: (9.6) Ahora, identificando término a término de (9.4) y (9.6), se obtiene que: (9.7)

(9.8)

(9.9) Las anteriores, son las condiciones diferenciales que debe satisfacer la función de Hamilton para que 1) sea en verdad función de q´s, p´s y t y, 2) que provenga de la lagrangiana, de acuerdo con la fórmula (9.1).

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Las ecuaciones de Hamilton

Más aún, si la función de Lagrange L(q,q,t) satisface las ecuaciones diferenciales (9.10) correspondientes a un sistema de N partículas, sujeto a l constricciones holonómicas y además está sujeto a la acción de fuerzas generalizadas no conservadoras Qk, entonces, despejando de (9.10) la derivada de la lagrangiana con respecto a las coordenadas generalizadas y sustituyendo en (9.7), se obtiene junto con (9.8) un juego de expresiones muy interesantes: (9.11 a)

(9.11 b) Estas son 6N2l ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas, de primer orden en las coordenadas generalizadas y en los momentos generalizados. Dada la hamiltoniana, se calculan sus derivadas con respecto a las coordenadas generalizadas y los momentos canónicos conjugados de ellas y cada una de estas primeras derivadas se igualan a las correspondientes derivadas de momentos y coordenadas, tal como se indica en (9.11); así se plantean estas ecuaciones diferenciales ordinarias. Integrándolas lo que se consigue son las expresiones para las coordenadas y los momentos, como funciones del tiempo: (9.12 a) (9.12 b) Un ejemplo muy sencillo; casi trivial puede ayudar a comprender las afirmaciones anteriores. Considérese el caso de un cuerpo con masa m, que cae desde una cierta altura h debido a la acción de la gravedad. Si se desprecia la fuerza de fricción del aire, se puede plantear el problema así: su función lagrangiana se construye de inmediato para un grado de libertad:

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(9.13)

Por lo tanto, el (único) momento canónico conjugado a la coordenada x es: (9.14) Entonces, siguiendo la definición (9.1), se construye la función de Hamilton como sigue: (9.15) Ahora, calculando las derivadas de la hamiltoniana con respecto a la coordenada x y con respecto al momento p, tal como se indica en las fórmulas (9.11 a) y (9.11 b), para el caso en que la fuerza generalizada no conservadora Qk es igual a cero, se plantean las ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: (9.16 a) (9.16 b) Si se integra la primera de estas ecuaciones diferenciales; la (9.16 a), se consigue inmediatamente que:

Así que imponiendo la condición inicial de que en el instante t0 igual a cero, el momento p0 tenía el valor cero, se tiene una solución: (9.17)

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Las ecuaciones de Hamilton

Se puede sustituir ahora el resultado (9.17) en la ecuación diferencial (9.16 b) y en tales circunstancias se puede integrar

dando como resultado el siguiente: (9.18) que, como se recordará, es, en efecto, la expresión matemática que describe la caída de un cuerpo que parte del reposo a una altura h, actuado por la gravedad terrestre. Con este sencillo ejemplo se ha mostrado como el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, de primer orden, como (9.11), permite hallar las ecuaciones de movimiento de los cuerpos materiales, urgidos por fuerzas, en el espacio de configuración del sistema. A las expresiones (9.11) se les conoce como las ecuaciones de Hamilton y con el ejemplo anterior ha quedado claro que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento de los cuerpos. Es otra alternativa diferente a las ecuaciones diferenciales de Lagrange. Como se aprecia, por su estructura, las ecuaciones diferenciales de Hamilton son de primer orden, así que se puede decir que se trata de la linealización de las ecuaciones de Lagrange que, como se recordará, son de segundo orden. Por la misma razón, el número de ecuaciones diferenciales se ha duplicado, pues en tanto que para Lagrange hay 3Nl, en el caso de Hamilton hay 6N2l ecuaciones diferenciales. Podría generarse la idea, a partir de las consideraciones anteriores, que las ecuaciones diferenciales de Hamilton son más sencillas, desde el punto de vista de su resolución. Como se recordará, existen por allí teoremas de la matemática que aseguran que toda ecuación diferencial ordinaria de primer orden es integrable, así que, tratándose, como se ve, de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, que son ordinarias, se podrá inferir que, en efecto, la formulación de Hamilton ofrece como ventaja sobre la de Newton o la de Lagrange, que es más sencilla para su manipulación y resolución. Esto no es verdad en general. Por el contrario, para la mayoría de los problemas de la mecánica que se abordan, la integración de las ecuaciones

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diferenciales de Hamilton es algo que dista mucho de ser fácil. Esto se debe a que el sistema de ecuaciones diferenciales casi siempre exhibe un gran acoplamiento; es decir, no es posible resolver una ecuación diferencial de Hamilton por separado de las demás, porque las variables están, en efecto, muy estrechamente acopladas entre sí, de manera que la única forma de resolver el problema, es tratar de integrar al sistema de ecuaciones diferenciales completo; todas a la vez. Esto complica su resolución. Sin embargo, como se verá más adelante, la formulación de Hamilton es fundamental para comprender profundamente el fenómeno de la dinámica. Igualmente se podría llegar a la idea de que para abordar el esquema de Hamilton de la mecánica se debe pasar forzosamente por las ecuaciones de Lagrange. Al menos esta fue la estrategia que se utilizó aquí para hacerlo. Nuevamente aquí hay un error de apreciación. Es posible llegar a las ecuaciones diferenciales de movimiento “a la Hamilton”, a partir del principio de acción extremal en forma por demás directa. Lo único que es preciso hacer es postular a la acción como la función siguiente: (9.19)

Claramente, (9.19) es lo mismo que la funcional que se propuso en el capítulo 6, en (6.14), para el caso en que no hay fuerzas disipadoras actuando sobre el sistema de partículas. Esto se ve de inmediato si se despeja de (9.1) a la función de Lagrange. Ahora, imponiendo el principio de acción extremal de Hamilton sobre la funcional (9.19); esto es, afirmando que en el espacio de configuración, la trayectoria que ha de dibujar el sistema de N particulas, sujeto a l constricciones, es aquella que corresponde a un valor de la acción que es un extremo; i.e.: un máximo o un mínimo, se obtiene, siguiendo los mismos pasos lógicos que en la formulación lagrangiana, lo siguiente:

Esto implica que la integral en (9.19), calculada para las variaciones de las coordenadas y de los momentos, es como sigue:

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(9.20) con regla de suma sobre índices repetidos. Si se integra por partes el primer término de la izquierda en (9.20), se obtiene, en forma sencilla y directa el resultado que a continuación se exhibe: (9.21)

Pero si se recuerda bien la argumentación que se dio en el capítulo 6 para obtener las ecuaciones diferenciales de Lagrange, se puede aplicar también aquí para simplificar la integración en (9.21). En efecto, cabe recordar que este proceso se ha llevado en el espacio de configuración del sistema. En él se han establecido dos puntos por los que ciertamente debe pasar el sistema, tal como se exhibe en la figura 6.2.1. Uno es el punto P, al que llega el sistema en el instante t1 y el otro es el punto Q, al que llega en el instante posterior t2. Sin conocer a priori la trayectoria por la que realmente tendrá que pasar el sistema, se puede afirmar, sin embargo, que cualquiera sea ésta, tendrá forzosamente que pasar por esos dos puntos, en los instantes señalados. Las variaciones que sufre una trayectoria dada a priori son hasta cierto punto arbitrarias excepto en esos dos puntos; todos los senderos que se tracen deberán pasar por P(t1) y Q(t2). Por lo tanto, la variación de las coordenadas, evaluadas en esos dos instantes, es idénticamente igual a cero. Este hecho permite apreciar que en (9.21), el término dentro del paréntesis rectangular de la derecha en nulo. Por lo tanto el resultado es que: (9.22)

Si ahora se incorpora este hallazgo en la integral (9.20) y se factoriza, se obtiene lo siguiente:

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Formalismo de Hamilton

Q(t2)

P (t1)

Figura 9.2.1. En el espacio de configuración de 3Nl dimensiones, el sistema sigue alguna trayectoria que pasa por el punto p(t1) y por el punto Q(t2) necesariamente.

(9.23)

Pero el segundo paréntesis de la izquierda es nulo debido a la definición que se hizo de la hamiltoniana, como una transformación de la lagrangiana, tal como se propuso en (9.1). Esto responde a una propiedad general de las funciones continuas de diversas variables y es conveniente detenerse un poco en este punto para aclarar esto, pues no solamente aquí se ha de presentar este problema; a lo largo de este capítulo habrá que lidiar con tales cuestiones. Supóngase, para tal efecto, que se tiene una función de dos variables, que sea derivable f (x,y). Se puede construir a partir de ésta, una nueva función llamada la transformada de Legendre de la siguiente forma: (9.24)

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Las ecuaciones de Hamilton

es decir, la nueva función g se construye como el producto de la derivada de la función original f con respecto a alguna de sus variables, multiplicada por esa misma variable, menos la función. A esa derivada se le puede identificar como una de las pendientes de la función. Para distinguirla, sea (9.25) y se le llamará en adelante, genéricamente, el momento conjugado de x, de tal manera que el producto que aparece en (9.24) es el del momento conjugado, por su variable. A este producto se le conoce como el kernel de la transformación de Legendre y, como se verá, juega un papel esencial en esa regla de transformación. Así pues, para el ejemplo que aquí se maneja, el kernel de la transformación es

Si se calcula la diferencial de (9.24) se obtiene lo siguiente:

de acuerdo a la definición (9.25). Pero desarrollando la diferencial de la función f que aparece al extremo de la derecha de la expresión anterior, se tiene que: (9.26) debido a la definición (9.25). Así, por virtud de su estructura, se observa que la nueva función g; la que se ha definido en (9.24), ya no depende de la variable x. En cambio, tal como se ve de (9.26) aparece ahora una dependencia en el momento conjugado. Así, la transformación de Legendre (9.24) no nada más ha permitido definir una nueva función, sino que ésta tiene una dependencia de una nueva variable: (9.27)

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Formalismo de Hamilton

de tal forma que, si se extrae la diferencial de (9.27), se obtiene que (9.28) donde, comparando término a término (9.26) con (9.28), se demuestra que: (9.29 a)

(9.29 b) Estas son las ecuaciones diferenciales que debe satisfacer g para que esta función sea, en verdad, la transformada de Legendre de la función f (x,y) original. La idea se puede extender a funciones derivables con cualquier número de variables. Por ejemplo, una función

de n variables, puede dar lugar a una nueva función; la transformada de Legendre de ésta, definida como: (9.30) con (9.31) En esta transformación de Legendre, el kernel (núcleo o hueso en alemán), es la sumatoria

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Las ecuaciones de Hamilton

y de su mera inspección se ve que la nueva función g dependerá de los i momentos conjugados (9.31); esto es: (9.32)

así como del resto de las variables x; aquellas que por no aparecer en el kernel, no sufrieron la transformación. Así, la nueva función depende de momentos canónicos y de variables originales, tal como se muestra en (9.32). Esta nueva función, satisface, además, las condiciones diferenciales: (9.33 a)

(9.33 b) Por supuesto, y ya para concluir este tema y cerrar el paréntesis sobre transformaciones de Legendre, kerneles y momentos canónicos, cabe hacer el comentario de que la transformación de la variables por momentos puede ser total. En tales circunstancias, el kernel debe incluir la suma de productos de todas las variables, por sus correspondientes momentos conjugados. En este caso, para una función de n variables, como la que se consideró anteriormente, se tiene que:

y las condiciones diferenciales que debe satisfacer esta función para, en verdad, ser la transformada de Legendre de la original, son las siguientes: (9.34) Regresando al formalismo de Hamilton, es posible ver ahora desde la perspectiva que se presentó con las transformaciones anteriores, que la función de Hamilton, tal como se ha definido, es, ni más, ni menos, que la transformada de Legendre de la lagrangiana. Es una transformada parcial

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Formalismo de Hamilton

que solamente involucra a las velocidades generalizadas, como se puede ver de su kernel:

Cada una de las velocidades generalizadas es canjeada por su momento canónico conjugado, de manera que la hamiltoniana depende de las coordenadas generalizadas, pero ya no de las velocidades, pues éstas han dado paso a los momentos:

Además, siendo la hamiltoniana una transformada de Legendre de la lagrangiana, debe satisfacer las condiciones diferenciales (9.35 a)

(9.35 b) Y es aquí donde aparece el ingrediente que se necesitaba para continuar adelante con el proceso de variación de la acción que condujo hasta la expresión (9.23). Ahora puede verse con toda claridad que en el segundo paréntesis de la izquierda de esa expresión, las cantidades que allí aparecen descritas se cancelan una a una, debido a la condición diferencial que debe satisfacer la hamiltoniana. De acuerdo con (9.35 b), en efecto, los coeficientes de las variaciones de los momentos canónicos conjugados son todos nulos. Por lo tanto, lo que resta por considerar para hacer válido el principio de Hamilton es que: (9.36)

Pero ahora, invocando a la independencia lineal de las variaciones de las coordenadas generalizadas, así como a la arbitrariedad que tiene la elección

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Las ecuaciones de Hamilton

de los instantes t1 y t2 asociados a los puntos por los que ciertamente debe pasar el sistema en su evolución en el espacio de configuración de 3Nl dimensiones, se ve que los coeficientes de éstas deben ser así mismo nulos; esto es: (9.37) Así, el principio de Hamilton conduce a las ecuaciones de Hamilton (9.37). Éstas son la mitad del sistema total de ecuaciones diferenciales de movimiento; la otra mitad está dada a priori por la definición misma de la hamiltoniana en (9.35 b). Para el genio de Hamilton no pasó desapercibida esa curiosa disposición de coeficientes y las variaciones en la expresión (9.23) y su resolución final en dos juegos de ecuaciones diferenciales de movimiento (9.35 b) y (9.37). A Hamilton le dio la impresión desde el principio que las coordenadas y los momentos generalizados estaban apareciendo en posiciones y con características muy paralelas, unos y otros. De hecho, si las coordenadas generalizadas y los momentos canónicos conjugados se tomaran como un solo juego de variables linealmente independientes, entonces, invocando precisamente a la independencia lineal del conjunto completo de ellas, se sintetizan inmediatamente, a partir de (9.23) los dos juegos de ecuaciones diferenciales (9.35 b) y (9.37). Pero esto significa, de ser correcta, la sospecha de Hamilton, que hay un espacio de una dimensión mayor que el de configuración, donde pueden representarse los movimientos de un sistema de partículas. Armado de valor, Hamilton propuso el espacio de las fases de un sistema de N partículas puntuales, sujetas a l constricciones holonómicas como un espacio métrico con 6N2l dimensiones. En ese espacio, un punto se ubica mediante 3Nl valores de otras tantas coordenadas generalizadas q1,q2,…,q3Nl y 3Nl valores de los momentos canónicos p1,p2,…,p3Nl de ese sistema. Una línea, entendida como la sucesión de puntos de ese espacio de fases, representa la evolución del conjunto de partículas, si se parametriza con el tiempo como el parámetro de orden. Esa línea va dando, punto a punto, la información sobre las coordenadas y los momentos generalizados del conjunto, instante a instante. Esas coordenadas y esos momentos generalizados son, precisamente, las soluciones del sistema de

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Formalismo de Hamilton

ecuaciones diferenciales de movimiento, de Hamilton, (9.35 b) y (9.37), calculados para cada valor del tiempo t. En el espacio de las fases, o espacio fásico, como también se le conoce, la trayectoria que sigue el sistema, al que en adelante se le denominará sistema dinámico, es pues, la solución de las ecuaciones de Hamilton. Siendo ecuaciones diferenciales de primer orden, para que quede el problema totalmente resuelto, hay que imponer condiciones iniciales, como bien se sabe y también, como es del dominio público éstas deben referirse a un solo punto del espacio fásico, por el que ciertamente debe pasar este sistema en un instante predeterminado. Aquí es importante percatarse de las diferencias que comienzan a aparecer al considerar el espacio de las fases, con respecto al espacio de configuración de la mecánica analítica de Lagrange. En este espacio se postulan solamente 3Nl dimensiones; es un espacio homogéneo y para resolver un problema de la dinámica se precisa un par de puntos P(t1) y Q(t2), determinado previamente, como condiciones iniciales. En el de las fases, son el doble de dimensiones que en el de configuración; es un espacio métrico (como se verá más adelante) y solamente es necesario imponer como condición inicial un punto por el que el sistema dinámico habrá de pasar en un instante t0, previamente establecido. Ese único punto del espacio fásico provee la información completa que es necesaria para situar al sistema en cierta colocación inicial y conocer su momento inicial; por lo tanto es equivalente a la designación de los dos puntos del espacio de configuración de la mecánica analítica de Lagrange. Dado ese único punto inicial del espacio de las fases, la evolución del sistema dinámico queda totalmente determinada. Un sistema así, se dirá en adelante que es causal; esto es, que a partir de un instante inicial t0, se puede conocer su evolución en cualquier tiempo posterior (o anterior) t. Por lo tanto, si se va a establecer la funcional de acción para el sistema en el espacio de las fases, ésta debe considerarse como una integral semi-definida; esto es, con una de sus cotas cerrada y la otra abierta. Esta funcional, para el caso en que no existan fuerzas no-conservadoras debe ser postulada como sigue: (9.38)

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Las ecuaciones de Hamilton

{pi}

R (t0)

{qi}

Figura 9.2.2. El espacio de las fases se construye con las coordenadas q1… y los momentos p1…. La trayectoria que sigue un sistema dinámico se conoce a partir de un solo punto R(t0).

Es decir, como una función de las coordenadas generalizadas y de los parámetros de curva (los mismos que se usaron en la formulación de Lagrage). Además, ahora, debido a su estructura, la acción ya no es más un número para cada curva tomada a priori en el espacio de fases, como era el caso de la mecánica de Lagrange. Por su naturaleza, la acción definida en (9.38) es una función que depende del tiempo. De hecho, su dependencia temporal puede ser explícita e implícita, a través de las coordenadas generalizadas del sistema. El problema de extender la mecánica desde el espacio de configuración hasta un nuevo espacio: el de fases, con el doble de dimensiones, no es sencillo. Excepto por unos cuantos autores que se han preocupado por hacer el estudio de la transición con todo el cuidado que se requiere, todos los demás la han hecho así nomás; al “ahí se va”; con la brutalidad característica de muchos; muchísimos físicos del azadón y la pala. El propio H. Goldstein, en su clásico libro de la mecánica, o los dos inseparables L. D.

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Formalismo de Hamilton

Landau y E. Lifshitz, incurren en la misma falta de cuidado y pulcritud al hacer la descripción de este escalamiento al espacio físico. Hay que irse con mucho cuidado para dar pasos seguros en este espinoso, cuanto interesante proceso intelectual. Sólo así podrá llegarse a la meta en forma precisa y clara. Para comenzar, es necesario recalcar que la acción (9.38) es una función. En efecto, debido a que ahora la integral que la define ya no está acotada por sus extremos, sino que es semi-definida, entonces es preciso percatarse que, en efecto, esta entidad física llamada la acción, es una función de las coordenadas generalizadas, del tiempo y de los parámetros de las curvas. Esto se puede demostrar fácilmente si se toma la diferencial de (9.38). Haciéndolo se obtiene lo siguiente: (9.39) Esta forma diferencial sugiere de inmediato que la acción A; es una función de tal conjunto de variables, con las condiciones diferenciales que a continuación se escriben: (9.40)

(9.41) Así, la acción A, constituye en efecto, una familia de funciones de las coordenadas y del tiempo; una por cada conjunto de valores de los parámetros que identifican a las curvas: (9.42) Supóngase ahora que se opera sobre la acción (9.38) una variación con respecto a los parámetros que identifican a las curvas en el espacio de 6N2l dimensiones de las fases, donde q´s y p´s constituyen un conjunto, una colección de variables linealmente independientes. Como resultado de esta variación se obtiene lo siguiente (una vez realizada la integración por partes del primer término):

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Las ecuaciones de Hamilton

(9.43)

Pero, por definición y de acuerdo con (9.42), la variación de la acción debe entenderse de la siguiente manera: (9.44) con la regla de suma sobre los índices repetidos. Entonces, sustituyendo el resultado (9.44) en (9.43) y recordando la condición diferencial (9.40), se obtiene que: (9.45)

siendo * A la llamada “variación sustancial” de la acción, definida como:

es decir, como la derivada de la acción con respecto a los parámetros de curva, por las variaciones de estos parámetros. ¡Ahora sí! Invocando a la independencia lineal de las 6N2l variables (3Nl q´s y 3Nl p´s) en el espacio de las fases del sistema dinámico que se estudia, se demuestra de inmediato, de acuerdo con (9.40) y (9.45), que para el caso de ausencia de fuerzas no-conservadoras, las ecuaciones son las siguientes: (9.46 a)

(9.46 b)

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Formalismo de Hamilton

Estas son, en efecto, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton, para un sistema de N partículas puntuales, masivas, que se mueven en el espacio, actuadas por fuerzas conservadoras y sobre las cuales operan l constricciones holonómicas. Las condiciones diferenciales (9.40) y (9.41), por su parte, juegan un papel de primera importancia en la mecánica. De hecho, estas dos expresiones constituyen toda una formulación de este tema, como se verá más adelante. Sin embargo, por razones didácticas, en este momento no se hará mayor comentario acerca de ellas. Y antes de abandonar este asunto de establecer las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton en el espacio de las fases, para tocar otros temas importantes, vale la pena hacer un último comentario sobre el proceso de variación que acaba de utilizarse para obtener todas aquellas. Si se desea conciliar los métodos que se han empleado para alcanzar las ecuaciones diferenciales de Hamilton y de Lagrange, es posible proceder como sigue: Debe quedar bien claro para el estudioso del tema de la mecánica que postular un espacio de las fases y una familia de funciones de acción, como la que se estableció en (9.38), es una estructuración muy fuerte y muy amplia en la mecánica, en el sentido que no se necesita un postulado más para lograrlo. Así, un espacio fásico y una función de acción como la (9.38) es lo único que se requiere para llegar a las ecuaciones de Hamilton. Por su parte, el espacio de configuración de la mecánica analítica de Lagrange, aparece ahora como un subespacio del espacio de las fases. Para hallar las ecuaciones de Lagrange, viendo las cosas en retrospectiva, se requiere postular una funcional de acción, como se hizo en el capítulo 6, en (6.14), definida en dos instantes (dos puntos del espacio de configuración) y un principio de extremalización de la acción: el de Hamilton. Este principio fue instrumentado mediante la introducción de una parametrización del espacio de configuración. Con esta técnica se pudieron calcular las variaciones. En particular, haciendo la variación de la acción igual a cero se consiguió el juego de ecuaciones diferenciales de movimiento de Lagrange (6.27). Pero ahora, si las ecuaciones diferenciales de movimiento (9.46) son válidas (cosa que siempre ocurre en los casos de ausencia de fuerzas no-conservadoras) y adicionalmente se impone el postulado de acción extremal.

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Las ecuaciones de Hamilton

para cada plano como el que se muestra en la figura 9.2.3, entonces, es importante percatarse que, de acuerdo con (9.43), se debe satisfacer que

En otras palabras, para cada hiperplano p  constante, las variaciones de las coordenadas generalizadas deben ser normales. Este resultado implica dos cosas de gran valor en la teoría: la primera es que el subespacio de las coordenadas es normal al subespacio de los momentos (y por lo tanto son topológicamente separables) en el espacio de las fases del sistema, y en segundo lugar, que solamente hace falta un juego de 3Nl parámetros geométricos para implementar el principio variacional de la acción; los mismos parámetros que sirvieron para hallar las ecuaciones de Lagrange. En la figura 9.2.3 se muestra cómo una trayectoria en el espacio de las fases se ve variada. En cada plano p  constante y para cada instante, se varían las coordenadas generalizadas de acuerdo con el juego 1, 2,…, 3Nl  de parámetros geométricos del espacio de configuración. Este juego es lo único que se necesita para llevar a cabo el proceso. Por lo tanto, la función {pi}

0

q3Nl

q1

Figura 9.2.3. Se dibuja esquemáticamente una trayectoria y su variación en el espacio fásico. Las trayectorias atraviesan planos p  constante.

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Formalismo de Hamilton

de acción (9.38) depende implícitamente de esta misma colección de parámetros geométricos; i.e.: (9.47) Estos resultados se explotarán ampliamente en adelante; por ejemplo, cuando se desarrolle el más conspicuo formalismo de la mecánica, conocido como la Teoría de Hamilton-Jacobi.

9.3. El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, se invocará siempre al problema de hallar las soluciones para el movimiento de un sistema de N partículas puntuales, masivas, que están sujetas a fuerzas aplicadas, conservadoras, así como a l constricciones holonómicas. En otras palabras, se soslayará la presencia de fuerzas no-conservadoras y de constricciones anholonómicas. Así, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton exhiben la estructura mostrada en (9.46). También, en todo lo que sigue, se considerará como natural para representar al sistema dinámico, el espacio de las fases, de 6N2l valores; 3Nl de las coordenadas generalizadas y 3Nl de los momentos. En un instante dado, esa colección da idea del estado dinámico del sistema. Por supuesto, una línea se construye en el espacio de las fases como una sucesión continua de puntos, así que esta permite representar la trayectoria que sigue el sistema en su evolución a lo largo del tiempo. En este espacio, las propiedades de simetría de un sistema dinámico tienen una simple interpretación geométrica. Así, si se da el caso de que en la hamiltoniana no aparecen ciertas coordenadas generalizadas; esto es, que hay grados de libertad que son ignorables (en el mismo sentido de la palabra que se usó para designar coordenadas generalizadas ausentes en la formulación de Lagrange), entonces se ve inmediato de (9.46) que hay leyes de conservación asociadas a ellas. En efecto, supóngase que alguna coordenada generalizada qi (donde i es un índice que representa alguno de los valores entre 1,2,…, hasta 3Nl ) no aparece explícitamente en la función de Hamilton. Se dice entonces que esta coordenada es ignorable. Además, al derivar la hamiltonia-

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El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

na con respecto a qi, se obtiene cero como resultado, entonces, de acuerdo con (9.46 a) se tiene para este caso que (9.48) lo cual significa obviamente que el momento canónico conjugado a esa variable permanece constante a lo largo del movimiento del sistema; esto es, que (9.49) Igual como ocurre en el formalismo de Lagrange, en el de Hamilton aparece ese vínculo entre simetrías del sistema y leyes de conservación: por cada coordenada generalizada ignorable, un momento generalizado; el momento canónico conjugado de ella se conserva. Solo que en el formalismo de Hamilton este resultado es inmediato, como se aprecia de (9.48). Geométricamente se puede dar interpretación a una coordenada ignorable, como la presencia de un plano (el plano pi  const.) a lo largo del cual ocurre el movimiento. En otras palabras, aunque el espacio de fases del sistema sigue siendo de 6N2l dimensiones, el movimiento ocurre en un subespacio de 6N2l1 dimensiones, del espacio original. Una dimensión de menos por cada coordenada ignorable. Pero he aquí que lo mismo ocurre con los momentos generalizados; esto es, que si uno de ellos no aparece explícitamente en la función hamiltoniana, entonces, igualmente, su coordenada generalizada conjugada se conserva. En efecto, si por ejemplo, el momento pi es ignorable, entonces la derivada de la hamiltoniana con respecto a él es nula y, de acuerdo con (9.46 b), se tiene que: (9.50) de tal forma que ahora la qi es constante. El sistema se encuentra constreñido a moverse en una dimensión de menos del subespacio de las coordenadas generalizadas.

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Formalismo de Hamilton

Lo más interesante de estos resultados es que con el formalismo de Hamilton las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados parecen jugar papeles enteramente semejantes. Es, para decirlo en forma coloquial, como si entre las coordenadas y los momentos apareciera una especie de democracia, que permite darles roles equivalentes en el movimiento del sistema. Si una de esas variables es ignorable; bien sea una coordenada o un momento, su canónico conjugado de inmediato exhibe su conservación. Así, el juego de la mecánica hamiltoniana se puede conducir en forma unificada. Si a coordenadas y momentos se les designa genéricamente por la letra x; esto es; se hace la nueva identificación de estas variables del siguiente modo:

(9.51)

de tal suerte que se elimina la distinción entre coordenadas y sus momentos, entonces la hamiltoniana es, simplemente, una función de las x´s y las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir en forma unificada como: (9.52) siendo A y B índices que adquieren valores dentro del conjunto extendido, desde 1 hasta 6N2l y con la regla de suma sobre índices repetidos. En (9.52) se ha escrito un tensor métrico fundamental con la siguiente estructura:

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El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

(9.53)

esto es, como una matriz de (6N2l )  (6N2l ) cuyos elementos se hallan dispuestos, tal y como se muestra en (9.53), como arreglos de cuatro bloques de (3Nl )  (3Nl ) donde 0 es la matriz de ceros y 1 es la matriz unidad:

Por ejemplo, si se trata del movimiento de un cuerpo material con un solo grado de libertad, entonces sus ecuaciones de Hamilton, escritas con la notación y con la fórmula (9.52) son las siguientes:

(9.54)

Para describir en forma aún más simple el sistema de ecuaciones diferenciales (9.54) se puede, sencillamente, hacer la identificación siguiente: (9.55 a)

(9.55 b) en cuyo caso las ecuaciones de Hamilton adquieren la forma:

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Formalismo de Hamilton

(9.56 a) (9.56 b) Esta es, para un movimiento en una dimensión, la expresión de sus ecuaciones diferenciales de movimiento. Esta es la forma que identifica a los sistemas dinámicos. Aún más específicamente, si el movimiento de un sistema dinámico no depende explícitamente del tiempo, se dice que el sistema es autónomo. En este caso las ecuaciones son las siguientes: (9.57 a) (9.57 b) o bien, si 1 no es una función nula: (9.58) y de esta forma ya no aparece el tiempo. Esta ecuación diferencial da la familia de las tangentes a la curva que representa el movimiento del sistema dinámico en cada punto del espacio de las fases. Si para algún par de valores x1 y x2 específico, la relación (9.58) fuera indeterminada, se dice que esas coordenadas del espacio fásico corresponden a un punto crítico. Pero regresando a las ecuaciones diferenciales (9.57), si las funciones 1 y 2 que aparecen a la derecha (las componentes del gradiente de la función de Hamilton) son funciones suaves de sus argumentos, entonces admiten un desarrollo en series de potencias del tipo siguiente: (9.59 a) (9.59 b) siendo a01,a11,… etc., coeficientes constantes y las funciones 1 y 2 son a su vez susceptibles de desarrollarse ulteriormente como series de potencias de las variables, alrededor de algún punto dado del espacio de las fases.

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El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

En primer lugar, cabe la observación de que las ecuaciones diferenciales (9.59) pueden volverse homogéneas; esto es, eliminar de ellas las constantes a01 y a02 mediante una transformación simple de las variables. Por lo tanto, para su tratamiento no se le resta generalidad desde un principio se consideran homogéneas. Así, expresadas vectorialmente, adquieren la forma que a continuación se muestra: (9.60) donde a debe entenderse como una matriz y   como un vector. Aún más, para asegurar que la ecuación diferencial es bien comportada, se supondrá que el determinante de la matriz a es distinto de cero. Se dice que el sistema dinámico es lineal cuando las funciones   son nulas o despreciables. Esto ocurre en aquellos casos en los que el desarrollo en series de potencias convergen a cero. Si este es el caso, entonces la expresión (9.60) adquiere una forma aún más simple: (9.61) Y como ya se habrá intuido, esta ecuación diferencial vectorial puede integrarse de inmediato. La solución es la siguiente: (9.62) siendo t0 un instante de referencia. La solución debe entenderse como una serie (la exponencial) que tiene estructura de matriz; esto es que puede arreglarse en renglones y columnas y esta matriz opera sobre el vector columna x 0, que es el punto del espacio fásico por el cual pasa el sistema en el instante de referencia t0. Sea ahora b una matriz de 2  2 no singular con la cual se realiza una transformación lineal de las variables del sistema: (9.63) con la idea de que los elementos de esta matriz sean constantes, de tal manera que la derivada temporal de (9.63) dé cómo resultado lo siguiente:

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Formalismo de Hamilton

(9.64) Por lo tanto, de (9.64) y (9.61) se puede demostrar de inmediato que: (9.65) en donde c es una nueva matriz formada con las anteriores como: (9.66) La fórmula (9.66) muestra lo que se conoce como una transformación de semejanza o de similitud de una matriz. Hasta este momento nada se ha mencionado acerca de la matriz b con la cual se ha hecho esta transformación, excepto que se trata de una matriz con elementos constantes. Es posible, pues, en este punto del desarrollo imponer sobre ella una propiedad razonable, a saber, que como resultado de la transformación de similitud (9.66), la nueva matriz c tenga una estructura bien definida. Por ejemplo, que exhiba la estructura de alguna de las formas de Jordan que a continuación se mencionan: 1. Primera forma de Jordan: la matriz c es diagonal y sus elementos son reales y distintos entre sí; esto es, la matriz no presenta degeneración: (9.67)

El tipo particular de movimiento a que da lugar esta primera forma de Jordan va a depender de los signos de los coeficientes en la diagonal principal de la matriz (9.67). 2. Segunda forma de Jordan: este caso corresponde a dos coeficientes con valores iguales (aquí se dice que hay una degeneración, o bien, que la matriz es degenerada). Este caso admite a su vez dos posibilidades:

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El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

a. Forma irreducible: (9.68)

b. Forma reducible: (9.69)

3. Tercera forma de Jordan: este caso es cuando las raíces; esto es, los elementos diagonales de la matriz son complejos y uno de ellos es el conjugado complejo del otro: (9.70)

En seguida se estudiará el tipo particular de movimiento al que conduce cada una de las anteriores formas de Jordan. Así, para comenzar con el caso que se consideró primero; esto es, la primera forma de Jordan, en (9.67), sustituyéndola en (9.65) se obtiene de inmediato que: (9.71 a) (9.71 b) Estas ecuaciones diferenciales pueden ser integradas de inmediato, dando como resultado las siguientes soluciones: (9.72 a) (9.72 b)

33

Formalismo de Hamilton y2

0

y1

Figura 9.3.1. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera forma de Jordan con 1  2, reales y negativas: 2 1 0.

A su vez, estas soluciones conducen a dos posibles resultados de interés en la mecánica: el primero es aquel que corresponde a dos raíces reales, distintas y que tienen el mismo signo. En este caso se tiene un retrato del movimiento del cuerpo como el que se exhibe en la figura 9.3.1. En esta figura se ha considerado que 2 1 0. Las líneas confluyen hacia el origen del sistema. Este punto se dice que es un nodo y como las líneas tienden hacia el origen, entonces el nodo es estable. Por otra parte, si los eigenvalores 1 y 2, como también se les conoce, son positivos; esto es, que por ejemplo, 2 1 0, el retrato que se obtiene es cualitativamente igual al de la figura 9.3.1., excepto por que las líneas no confluyen hacia el origen, sino que siguen una misma dirección, como se aprecia en la figura 9.3.2. Dado que ahora las líneas del retrato no confluyen, sino que simplemente pasan por el origen, entonces el nodo en este punto es inestable. Si ahora se supone que los eigenvalores son reales, pero con signos opuestos; por ejemplo, que 2 0, pero 1 0, entonces se obtiene un retrato muy diferente a los anteriores. En este caso se consigue lo que se llama una

34

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos y2

0

y1

Figura 9.3.2. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera forma de Jordan con 1  2, reales y positivos: 2 1 0.

silla de montar y el origen es una singularidad inestable. En la figura 9.3.3 se muestra gráficamente un retrato del sistema para este caso. La segunda forma de Jordan también tiene información interesante sobre el movimiento. Así, considerando la segunda forma para el caso irreducible que se propuso en (9.68) y sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial (9.65), se obtiene ahora lo siguiente: (9.73 a) (9.73 b) Nuevamente, este sistema de ecuaciones diferenciales es muy fácil desde el punto de vista de su resolución: (9.74 a) (9.74 b)

35

Formalismo de Hamilton y2

0

y1

Figura 9.3.3. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera forma de Jordan con 2 0 y 1 0.

donde, al igual que en las soluciones (9.72), y10 y y20 son constantes de integración, evaluadas para t  0. Si ahora se toma la relación de (9.74 a) a (9.74 b); es decir: (9.75)

y siempre que la constante y10 sea no nula, lo que se obtiene de (9.75) es una familia de rectas concéntricas; es decir, que convergen en el origen del sistema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 9.3.4. Pasando ahora a la forma irreducible de Jordan (9.69) y nuevamente, sustituyéndola en las ecuaciones (9.65) se obtiene ahora el siguiente sistema: (9.76 a) (9.76 b) Estas ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas sin demasiado trabajo. Integrando la segunda de ellas; es decir, la (9.76 b), se consigue lo siguiente:

36

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos y2

0

y1

Figura 9.3.4. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la segunda forma de Jordan (irreducible), con  0. El nodo es estable.

(9.77) sustituyendo ahora esta solución en la ecuación (9.76 a), se obtiene rápidamente el resultado que a continuación se escribe: (9.78) Si  es negativo, la gráfica de las trayectorias es como la que se muestra en la figura 9.3.5, donde se observa que las líneas confluyen al origen. En estas circunstancias se dice que el nodo está en el origen y constituye una singularidad estable. En el caso en que  sea positivo, entonces las líneas del retrato fluyen en una sola dirección; de izquierda a derecha. Por este motivo, la singularidad en el origen es inestable. La tercera forma de Jordan; que se muestra en la expresión (9.70) reserva, al igual que las anteriores, resultados interesantes. Si los eigenvalores son complejos y uno es el conjugado del otro, entonces se puede proponer que (9.79 a)

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Formalismo de Hamilton y2

0

y1

Figura 9.3.5. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la segunda forma de Jordan (reducible), con  0. El nodo es estable.

siendo i el número imaginario, tal que su cuadrado es igual a menos uno y  y  son números reales. Por lo tanto, (9.79 b) Al sustituir la matriz (9.70) en la ecuación diferencial (9.65), y tomando en cuenta (9.79), se obtiene ahora: (9.80 a) (9.80 b) Para volver más simple su manipulación matemática, a continuación se hace la transformación de las variables: (9.81) (9.82)

38

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

Derivando la transformación (9.81) con respecto al tiempo y luego sustituyendo (9.80) en el resultado, se demuestra fácilmente que las ecuaciones diferenciales para las nuevas variables son las siguientes: (9.83 a) (9.83 b) Un nuevo cambio de variable en necesario para llegar a una ecuación diferencial que permita su integración inmediata. En efecto, haciendo ahora: (9.84) y sustituyendo en (9.84) las expresiones (9.83), se consigue finalmente: (9.85) cuya integración es inmediata: (9.86) Ahora, recorriendo el camino a la inversa, se puede traducir la solución (9.86) a las variables intermedias definidas en (9.84) y luego, éstas a las originales, de acuerdo con (9.81). Al hacerlo, se obtienen las soluciones para las ecuaciones diferenciales (9.80) originales: (9.87 a) (9.87 b) Suponiendo que, por ejemplo, el parámetro  es negativo, en tanto que  es positivo, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una espiral logarítmica, como las que se muestran en la figura 9.3.6; por otra parte, si se supone que  es igual a cero, en tanto que  es positivo, se obtiene como resultado, la familia de círculos centrados en el origen que se muestra en la figura 9.3.7.

39

Formalismo de Hamilton

y2

0

y1

Figura 9.3.6. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la tercera forma de Jordan con  0 y  0.

y2

0

y1

Figura 9.3.7. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la tercera forma de Jordan con   0 y  0.

40

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

El oscilador armónico muy bien puede ser ejemplo de un cuerpo con un movimiento asociado a la tercera forma de Jordan. Si se recuerda un poco, la función hamiltoniana para este mecanismo se escribe de la siguiente manera: (9.88)

siendo, como ya es costumbre, m la masa y k la constante del resorte que mueve al cuerpo y E la energía total. Se trata, en efecto, de un movimiento que se representa en el espacio de las fases de dos dimensiones como una familia de elipses, como se muestra en la figura 9.3.8, centradas en el origen y descritas por la fórmula (9.89)

parametrizadas por la energía total E y donde se ha hecho la redefinición de las variables como

y2

0

y1

Figura 9.3.8. Retrato del movimiento del oscilador armónico simple.

41

Formalismo de Hamilton

Observando las ecuaciones de Hamilton para este sistema, de acuerdo con (9.48) y (9.50) se obtiene que: (9.90 a)

(9.90 b) En forma matricial estas ecuaciones presentan el siguiente aspecto:

(9.91)

es decir, una forma semejante a la que se describió en (9.61). Así que diagonalizando la matriz que aparece en (9.91), se tiene ahora lo siguiente:

(9.92)

o sea que la ecuación característica es la siguiente: (9.93) Sus eigenvalores son las raíces de esta ecuación. Como se ve, se trata de dos imaginarios puros: (9.94) con (9.95) siendo 0 la frecuencia angular del oscilador. Entonces, el oscilador armónico, entendido como un sistema dinámico, está descrito mediante un siste-

42

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

ma de ecuaciones diferenciales del mismo tipo que se muestra en (9.65), con una matriz diagonal, que presenta la estructura de la tercera forma de Jordan con (9.96) El hecho de que el retrato del sistema sea un conjunto de elipses y no una familia de círculos carece de importancia, ya que se trata de figuras que topológicamente son iguales. Las transformaciones de similaridad, como las que se propusieron en (9.66) no alteran la topología de los retratos; si acaso, afectan las escalas. Por ello, elipses pueden transformarse en círculos y viceversa, sin que la esencia física del problema cambie. Otro ejemplo que vale la pena explorar para mejor entender los resultados anteriores, es el caso de un péndulo simple que oscila con pequeñas amplitudes y que se encuentra en un medio resistivo como el aire, sujeto, adicionalmente, a una fuerza disipadora que es proporcional a la velocidad tangencial con la cual se mueve la lenteja (véase la figura 9.3.9.). La lagrangiana para este sistema solamente toma en cuenta a la fuerza conservadora: su peso. La fuerza disipadora entra a escena como un término inhomogéneo en la única ecuación de Lagrange, tal como se vio anteriormente. Así, la lagrangiana de este sistema es (9.97) y la ecuación de Lagrange correspondiente tiene el siguiente aspecto: (9.98) donde k es una constante que da información sobre la intensidad de la fuerza de fricción. El momento canónico a la coordenada generalizada es, por definición, el siguiente: (9.99)

43

Formalismo de Hamilton y

0

x

l

bl 2 m

mg

Figura 9.3.9. Un péndulo, de longitud l y masa m, se mueve bajo la acción de la gravedad y en un medio disipador.

Así que la hamiltoniana correspondiente, entendida como la transformada de Legendre de la lagrangiana (9.97) es: (9.100) Por su parte, las ecuaciones de Hamilton que hay que utilizar ahora, son las (9.11), con un término que identifique a la fuerza no conservadora: (9.101 a)

(9.101 b) Para poder continuar con el análisis del movimiento, se puede hacer ahora la redefinición de las variables

44

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

(9.102 a) (9.102 b) en cuyo caso, las ecuaciones diferenciales (9.101) se pueden escribir en forma matricial, para amplitudes pequeñas como:

(9.103)

Y siguiendo con la misma estrategia, es necesario llevar a la matriz en (9.103) a su forma diagonal. Para ello se establece su determinante característico:

(9.104)

con el cual se obtiene la correspondiente ecuación característica: (9.105) siendo (9.106) la frecuencia angular fundamental del péndulo y el coeficiente de resistencia del aire, respectivamente. La ecuación (9.105) se resuelve y con ello se obtienen los eigenvalores o valores propios de la matriz: (9.107 a)

45

Formalismo de Hamilton

(9.107 b) Si se supone que la constante c definida en (9.106) es real y positiva, entonces ambos eigenvalores resultan negativos. Esto significa, como se vio, que en el origen, el sistema posee un punto; esto es, un nodo estable. Además, si ocurre que (9.108) o sea que la parte disipadora es de menor intensidad que la interacción gravitacional que le da su frecuencia angular fundamental al péndulo, entonces se observa de (9.107) que estos valores propios son complejos; esto es, con una parte real y otra imaginaria y que uno de ellos es el complejo conjugado del otro. De acuerdo con lo que se ha estudiado y en particular, con los resultados hallados en (9.87), se tiene que el movimiento en el espacio de las fases aparece como espiral logarítmica; tal como se ve en la figura 9.3.6. El retrato se convierte en una familia de círculos o elipses cuando c se vuelve igual a cero. Un último ejemplo que se estudiará aquí en relación con el tema de los sistemas dinámicos, es el caso de los sistemas conservadores. Así pues, considérese un sistema dinámico simple, en una dimensión, que no depende del tiempo; esto es, que es autónomo y que su ecuación de movimiento está dada a la Newton por (9.109) siendo f (x) una fuerza aplicada por unidad de masa, dada por una función continua. La primera integral de movimiento se obtiene de (9.109) suponiendo que existe un escalar llamado el potencial u(x), tal que (9.110) Si esta propiedad se cumple, entonces se obtiene de (9.109) más o menos inmediatamente que

46

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

(9.111) o bien, rescribiendo esto mismo con la perspectiva de Hamilton: (9.112) donde nuevamente x1 es la coordenada y x2 el momento canónico conjugado. La expresión (9.112) se encuentra ya descrita en el espacio de las fases de dos dimensiones. Y dado que x1 es simplemente la distancia del cuerpo al origen, entonces u(x1) es una función simétrica; o sea que da el mismo efecto para x1 positivo o negativo. El retrato de este sistema es una familia de curvas, cada una para un valor de e (la energía total específica), que aparecen como curvas de nivel en el plano de las fases. Para investigar un poco más sobre este asunto, supóngase que el potencial puede ser desarrollado en una serie convergente de potencias de la variable, como (9.113) siendo a0,a1,…, etc., constantes, con a0 tal que (9.114) Esta es la primera curva de nivel; la primera trayectoria del retrato de este sistema en el espacio de las fases. Supóngase que la serie de potencias (9.113) converge rápidamente, de tal suerte que es posible cortarla y despreciar los términos más adelante del cuadrático sin afectar de manera sustancial el resultado. En tal caso, el potencial es (9.115) Si se dibuja una gráfica de este potencial en un diagrama de u(x1) versus x1, como el que se muestra en la figura 9.3.10, se obtiene una parábola cuyos brazos ascienden en la dirección de la ordenada para valores positivos de a0,a1 y a2. Los valores de la energía total específica que se muestran en esa misma figura son como niveles horizontales que cortan a la curva en

47

Formalismo de Hamilton

u(x 1)

e2 e1 e0 x1

0 a

x0

b

Figura 9.3.10. Gráfica de u(x1) vs x1 para el caso cuadrático del potencial. Se trata de una parábola y los niveles de la energía específica son rectas horizontales que la cortan.

puntos (los llamados puntos de retorno). Entre dos intersecciones, dentro de la parábola, se establecen los límites físicos del movimiento. Así por ejemplo, para el caso del nivel e2 que se muestra en la figura 9.3.10, el movimiento del cuerpo está acotado entre los valores [a,b] de la variable x1. El cuerpo se mueve, de acuerdo con esta figura, entre dos círculos apsidales; uno de radio menor a y otro de radio mayor b, alrededor del centro de la fuerza. Pero si ahora se pasa al espacio de las fases x1 vs x2, como el que se muestra en la figura 9.3.11, se observa que el retrato del sistema es una familia de elipses, centradas en (x0,0), siendo (9.116)

y con semiejes mayor y menor dados por (9.117)

respectivamente.

48

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos x2

e2 e1 e0 0

x1

x0

Figura 9.3.11. Retrato del movimiento del sistema cuadrático.

Comparando los resultados (9.116) y (9.117) y observando la figura 9.3.11, se puede ver de inmediato que el semieje mayor de una de las elipses coincide con la abscisa al centro de la misma para cierto valor de la energía total específica; esto es:

en este caso, en efecto:

Como se ve, se tiene ahora nueva información de esta figura: el movimiento no nada más está acotado a lo largo de la coordenada generalizada x1, sino que también lo está a lo largo del momento canónico conjugado x2. Se trata de una familia de trayectorias, en las cuales el sistema regresa una y otra vez al punto de partida. A estas trayectorias cerradas en el espacio de las fases se les llama genéricamente movimientos de libración. Una libración es pues, aquel movimiento que en el espacio de las fases da como resultado trayectorias cerradas.

49

Formalismo de Hamilton z

M 0

y

m

x

Figura 9.3.12. Un cuerpo de masa m es atraído gravitacionalmente por otro de masa M que se encuentra fijo en el origen de un sistema inercial de coordenadas.

Dentro de este mismo tema, no puede ser olvidado el viejo problema de Kepler; esto es, un cuerpo masivo, con masa m, que se mueve sobre un plano, debido a la fuerza central conservadora dada por la célebre expresión newtoniana (9.118) siendo el parámetro gravitacional, mismo que ya fue introducido en el capítulo 2 del Libro 1. Para el caso del Sistema Solar

r es la distancia desde el centro del Sol, supuesto a su vez en el origen del sistema de coordenadas y el punto material que se estudia. En (9.118), rˆ representa, como es costumbre, al vector unitario radial; esto es

50

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

La función hamiltoniana para este caso se puede hallar muy simplemente, si se propone primero la lagrangiana (9.119) y luego se hace la transformación de Legendre correspondiente: (9.120) donde pr y p son los momentos canónicos conjugados a las coordenadas generalizadas r y , respectivamente. Estos momentos se definen como (9.121 a)

(9.121 b) Ahora, por simple inspección de (9.120) se aprecia de inmediato que la variable  es una coordenada ignorable, pues no aparece en la hamiltoniana. Este hecho implica que el momento canónico conjugado a ella es una constante de movimiento; esto es: (9.122) Este resultado se obtiene trivialmente de la ecuación de Hamilton

Por lo tanto, la hamiltoniana (9.120) puede considerarse como una función de únicamente dos variables: la distancia radial r y su correspondiente momento canónico pr. Y como no depende explícitamente del tiempo, se trata de un sistema dinámico autónomo, conservador. La expresión para la hamiltoniana es, así mismo, numéricamente igual a la energía total del sistema:

51

Formalismo de Hamilton

(9.123) siendo e la energía por unidad de masa. Vale la pena en este punto hacer el siguiente cambio en la notación; sean: (9.124 a) (9.124 b) Nada se ha ganado con ello, excepto que ahora es posible rescribir la fórmula (9.123) en una forma que será muy sugestiva:

en la cual se ha sumado a ambos miembros una misma constante, con el objetivo de completar, en el de la izquierda, un trinomio cuadrado perfecto. Esta expresión adquiere ahora la siguiente forma:

(9.125)

De inmediato se identifica en (9.125) la ecuación de una elipse; o mejor sea expresado, la ecuación para una familia de elipses concéntricas, centradas en el punto (9.126)

y cuyos semiejes mayores y menores están parametrizados por la energía específica total:

52

El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos x2 y2

x1

0

2m2 k2

Figura 9.3.13. Retrato de sistema kepleriano: un cuerpo masivo bajo la acción de la gravitación newtoniana.

(9.127 a)

(9.127 b)

En la figura 9.3.13 se muestra el retrato de este sistema: una familia de elipses prolatas. Así, se puede ver ahora que el cuerpo ejecuta un movimiento de libración acotado, tanto en la distancia espacial, como en el momento canónico conjugado a aquella. Por otra parte, sustituyendo la hamiltoniana (9.120) en las ecuaciones de Hamilton para sistemas conservadores (9.46) se obtiene, de acuerdo con la notación de las x´s establecida en (9.124), lo siguiente: (9.128 a)

53

Formalismo de Hamilton

(9.128 b)

Para poder llevar las ecuaciones anteriores a una forma matricial susceptible de diagonalizarse se hace ahora la siguiente transformación en el espacio de las fases, sean: (9.129 a) (9.129 b) Se trata como puede apreciarse en la figura 9.3.13, de una traslación del origen del sistema de coordenadas, hacia la derecha, paralelamente al eje de las ordenadas. Haciendo esta transformación, las ecuaciones diferenciales de movimiento (9.128) adquieren ahora la siguiente expresión matricial:

(9.130)

Para diagonalizar la matriz que aparece en (9.130) se sigue el procedimiento que se ha venido explicando a lo largo de esta sección. La ecuación característica es: (9.131) cuyas raíces o eigenvalores son imaginarios puros: (9.132 a)

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El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos

(9.132 b) Así, el problema de Kepler resulta en una solución como la que se discutió anteriormente, con una forma de Jordan del tercer tipo, con parte real nula y parte imaginaria positiva. De este modo, se puede ver por qué el sentido de las trayectorias en el retrato de la figura 9.3.13, es directo. La solución es, una vez tomada en cuenta la definición (9.129), la siguiente: (9.133 a)

(9.133 b) Finalmente si se supone que en (9.133 a) la constante de integración, es diferente de cero y se toma únicamente la parte real de la solución por carecer de sentido físico la parte imaginaria, se obtiene, de acuerdo con la definición (9.124 a), lo siguiente:

(9.134) donde la excentricidad  esta dada por (9.135) y el semilado recto de la cónica descrita por la ecuación (9.134) se define como: (9.136) Y es así como el problema de Kepler ha quedado resuelto dentro del formalismo de Hamilton.

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Formalismo de Hamilton

9.4. Las transformaciones canónicas Ciertamente la mecánica acepta varios enfoques. Newton propuso el suyo; espléndido en verdad, por su ingenio y su potencia. Tanto así que hoy en día, la ingeniería de todo el orbe sigue valiéndose de este esquema teórico para atacar y resolver una enorme variedad de problemas. Y así como una simple leva se diseña según los dictados de la mecánica de Newton, así también se puso a un hombre en la Luna hace más de cuarenta años con el respaldo de la mecánica newtoniana. También es verdad que desde su prístina concepción, la mecánica clásica, como también se llama al esquema de Newton, cargó con ciertas dificultades. Las fuerzas muertas —esas fuerzas de constricción que estudió el redondo d´Alembert durante tantos años, en un intento fútil de formularlas—, nunca pudieron ser asimiladas de manera satisfactoria en esta teoría. Sencillamente, sin una buena fórmula para estos agentes físicos, fue imposible para la mecánica atacar siquiera los problemas donde aparecen. Este hecho limitó durante mucho tiempo el desarrollo de la teoría; fue una pequeña pero muy notable falla que no pudo remontarse satisfactoriamente, hasta el establecimiento de la mecánica analítica por el propio d´Alembert, con Joseph Louis Lagrange y con Leonhart Euler. La mecánica analítica significó, en efecto, un gigantesco salto hacia delante en el ataque de los problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos materiales. Las fuerzas de constricción; esos monstruos que asustaban a los primeros ingenieros y físicos que se enfrentaron a ellas, se tornaron mansos gatitos que ronroneaban en sus manos cuando se propuso el esquema de las coordenadas generalizadas y los grados de libertad. De pronto, por virtud de esta poderosa formulación, resultó irónicamente que aquellas fuerzas que hacían maldecir a los antiguos mecánicos que veían en ellas, en muchas ocasiones, el fin de su trabajo, se convirtieron en elementos deseados y bienvenidos, pues ahora, con la formulación de las ecuaciones de Lagrange, por cada fuerza de constricción que se considera, un grado de libertad se pierde y esto implica necesariamente una disminución en el número de ecuaciones diferenciales de movimiento. ¡Menos trabajo para el atribulado calculante! Pero no quedó ahí la mecánica analítica de Lagrange. ¡Nada de eso! También consiguió otros importantes logros con el asunto de las variables ignorables. Esas coordenadas que no aparecen en las lagrangianas y que dan

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Las transformaciones canónicas

lugar a la conservación de los momentos generalizados conjugados a ellas, reservan sorpresas agradables. Para variar, fue el propio Hamilton quien se percató de dos cuestiones importantes en relación con las coordenadas ignorables o cíclicas, como también se les conoce. La primera fue que no se trata de un evento casual el hecho de que aparezca una coordenada ignorable, o mejor sea expresado, que desaparezca una variable del escenario de las lagrangianas y las ecuaciones diferenciales de movimiento. Por el contrario, lo que fue quedando más y más claro fue que la existencia de las mencionadas variables es un mensaje cifrado por el sistema dinámico, en el sentido de que posee simetrías. Es un mensaje que si bien llega oculto tras una coordenada que no aparece en la lagrangiana, es fácilmente descifrable para el que sabe de estas cosas y que ve en esas omisiones la presencia de ciertas regularidades del sistema. Y es aquí donde está el segundo hecho importante: las simetrías que presenta un sistema son siempre de carácter geométrico o temporal. Es decir que se trata, esencialmente del mismo tipo de las que presenta una esfera, que no importa desde qué ángulo se le observe, siempre exhibe su misma forma; o de un cilindro, al que se le mira igual, siempre que esté su eje de simetría en la misma situación relativa al observador; o el cubo, el cual presenta el mismo aspecto cuando se le somete a un giro de noventa grados en alguna de las tres direcciones coordenadas. Así también los sistemas dinámicos tienen variables ignorables porque al mirarlos desde diferentes perspectivas, exhiben ciertas características geométricas invariantes. Cada una de estas simetrías, corresponde a una variable ignorable y cada variable ignorable da como resultado una ley de conservación: la ley de conservación del momento canónico conjugado a esa variable. Así pues, resulta que cada ley de conservación, esas que tanto gusto le dan al investigador cuando aparecen en sus cálculos, no es obra de la casualidad, sino de la geometría. Fue Emmy Nöther quien halló el camino para descubrir más simetrías de los sistemas dinámicos. En realidad, lo que encontró Emmy, fue una súper simetría: la acción. En muchos sistemas —en una gran mayoría de ellos y para la fortuna de los científicos— la acción queda invariante ante transformaciones del grupo general continuo de coordenadas del espacio físico, así que puede considerarse, asimismo, como la expresión de alguna simetría del sistema. Esta es la esencia del teorema que lleva su nombre. En la física del micro-microcosmos, la de las partículas elementales —esos corpúsculos que es imposible observar debido a su extraordinaria peque-

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Formalismo de Hamilton

ñez— lo único que puede servir, y de hecho así se hace para conocerlas, es emplear el teorema de Nöther; es decir, buscar las leyes de conservación que satisfacen e inferir de ellas sus simetrías. Así, las leyes de conservación van trazando el retrato de cada una de ellas, aunque no se les pueda ver. ¡Claro! No siempre son evidentes las simetrías. Por el contrario, algunas de ellas se encuentran muy adentro del sistema, en la forma de ciertos ángulos o, peor aún, de ciertos parámetros que ni siquiera aparecen explícitamente en la descripción del sistema. Son simetrías ocultas. Al proponer una lagrangiana, esas simetrías pueden aparecer si se usan las coordenadas adecuadas —aquellas que las reflejen naturalmente— de otro modo permanecerán ocultas y sus correspondientes leyes de conservación no aparecerán tampoco. Sin ir más lejos, en el problema de Kepler en dos dimensiones, las simetrías del sistema se hacen evidentes. El hecho de que el momento angular h se conserve, se hace evidente en la formulación de Lagrange como una consecuencia directa del carácter ignorable del ángulo polar . El sistema envía al investigador; al astrónomo, un mensaje: un cuerpo que se mueve bajo la acción de la fuerza gravitacional dada por la fórmula de Newton puede ser observado desde cualquier ángulo polar sin que se aprecie diferencia alguna en su movimiento; o bien: dos observadores que vean hacia un sistema como éste desde ángulos polares distintos, no tendrán discrepancias en sus observaciones, pues el sistema se les presenta de igual manera a ambos. Esta es la simetría. El resultado de ella es que se conserva el momento angular; el mensaje viene cifrado en la coordenada polar  que no aparece explícitamente en la lagrangiana. Se trata de una trilogía de propiedades matemáticas de los sistemas dinámicos, que están inextrincablemente vinculadas entre sí: Coordenada ignorable

Simetría del sistema

Ley de conservación

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Las transformaciones canónicas

Pero hay un detalle importante que es necesario aclarar aquí para poder continuar adelante con el razonamiento. Un detalle que podría creerse tonto o trivial, pero que en verdad no es ni lo uno, ni lo otro: hay que saber buscar las simetrías. La naturaleza tiene un gran pudor y no muestra con facilidad sus intimidades. La mayoría de las veces, las simetrías de los sistemas dinámicos están bien escondidas y resguardadas de las miradas curiosas de los investigadores. Muchas veces ocurre que una de estas regularidades de algún sistema ha sido descubierta tras años de búsqueda, porque una y otra vez se ha resistido a exhibirla. La clave para hallar simetrías está en el empleo de un sistema de coordenadas adecuado. Así por ejemplo, regresando al sistema dinámico de Kepler, si éste se plantea usando coordenadas cartesianas, la lagrangiana para este sistema se verá de la siguiente forma: (9.137)

siendo x y y la abscisa y la ordenada de la partícula masiva m que experimenta la interacción gravitacional, respectivamente. La lagrangiana (9.137) está bien escrita y el juego de variables constituye la opción natural; la que cualquier persona estaría inclinada a usar en primera instancia, dado que la descripción con coordenadas cartesianas es y ha sido empleada en todos los desarrollos teóricos de la mecánica clásica. No obstante, para el ojo entrenado es evidente que la lagrangiana (9.137) no es la mejor elección. En efecto, la lagrangiana (9.137) es correcta desde el punto de vista de la teoría general, pero adolece de un detalle importante: las coordenadas cartesianas y sus velocidades correspondientes no son adecuadas para exhibir la simetría del sistema ante rotaciones. De hecho, puesto que en (9.137) aparecen todas las variables explícitamente en la lagrangiana, no parece que haya otra ley de conservación que la energía. Así, la simetría que tiene el sistema kepleriano ante rotaciones no se manifiesta aquí. No hay coordenadas ignorables. Sólo cuando se usan coordenadas polares, la simetría se vuelve evidente: (9.138)

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Formalismo de Hamilton

Ahora sí, en (9.138), la coordenada angular  no aparece. Entonces se aprecia de inmediato que, además de la energía total, el momento canónico conjugado a la coordenada generalizada  es constante en el tiempo. Entonces se cae en la cuenta de que, en efecto, para hallar una ley de conservación, aunque esto parezca una perogrullada, hay que saber buscarla. Y en segundo lugar, el asunto está siempre en el sistema de coordenadas generalizadas que se usa para describir el problema en cuestión. En el caso de Kepler, las coordenadas cartesianas son inadecuadas para describir estos movimientos, pero las polares son, por el contrario, las que mejor lo describen y ostentan las simetrías. Pasar de coordenadas cartesianas a polares y viceversa es algo sumamente simple; todo es cuestión de hacer una transformación como esta:

(9.139)

O sea que la diferencia entre hallar leyes de conservación y no hallarlas está en una transformación de coordenadas. En la descripción de Hamilton, al igual que en la de Lagrange, una variable que no aparece en la función de estado, da como resultado una ley de conservación; la del momento canónico conjugado a esa coordenada generalizada. Esto ya se estudió. También se vio que ahora, en el ámbito del formalismo de Hamilton ocurre que un momento que no aparece explícitamente en la hamiltoniana, da como resultado que la coordenada canónicamente conjugada a él es una constante de movimiento. La descripción de la mecánica, en verdad, se ha vuelto más equitativa con las variables que describen los movimientos. Coordenadas generalizadas y momentos aparecen ahora, a la luz de la descripción hamiltoniana como cumpliendo roles parecidos. Por ello, en los párrafos anteriores se mencionaba que ha habido un proceso de “democratización” de las variables y el peso que recae sobre unas y otras, acerca de la descripción de esos movimientos, se ha equilibrado. También debido a ello es que se decidió cambiar la notación que se había venido utilizando para designar coordenadas y momentos, por otra

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Las transformaciones canónicas

que quita la distinción entre unas y otras y sencillamente las denota por un mismo símbolo x a todas. Así, si una variable es ignorable, no importa si se trata de una coordenada o de un momento; ella exhibe una simetría en el espacio de las fases y esta simetría, a su vez, se expresa a través de una ley de conservación. Ahora bien, expresada la hamiltoniana del sistema mediante un cierto juego de variables (coordenadas y momentos), puede ocurrir que algunas de ellas resulten ser ignorables. Este hecho va a depender, en gran medida, de que esas variables correspondan a ciertas simetrías del sistema. Así, si se hace una transformación de las variables, se puede dar el caso de que nuevas simetrías se hagan evidentes a través de variables ignorables. Recuérdese que las simetrías son propiedades geométricas de un sistema, así que mediante un cambio de descripción, es posible que esas simetrías afloren. Por cada una de ellas que aparezca, una constante de movimiento podrá ser obtenida de inmediato, como resultado de la integración de las ecuaciones de Hamilton. Así, mientras mayor sea el número de variables ignorables, menor será la cantidad de ecuaciones diferenciales que habrá de resolver. El ideal será si todas las variables pueden convertirse en ignorables. En este caso la integración de las ecuaciones será trivial y se obtendrá un conjunto de constantes de movimiento. Total, el asunto parece circunscribirse a una adecuada elección de variables del espacio de las fases. Entonces, si se realiza cierta transformación de ellas, a partir de la descripción original, puede ocurrir que se obtenga un nuevo juego donde todas sean ignorables. La idea es muy atractiva. Imagínese una transformación de coordenadas y momentos del espacio de las fases, que lleve a un nuevo juego de variables; un juego que consista de variables ignorables ¡Todas ellas! Sería formidable, pues entonces las ecuaciones de Hamilton serían todas homogéneas y su integración trivial. Vale la pena dedicar un poco de pensamiento a esta cuestión. La idea es simple en verdad y el objetivo muy atractivo: encontrar una transformación de las coordenadas y los momentos del espacio de las fases de un sistema dinámico dado, que dé cómo resultado un nuevo juego de coordenadas y momentos tal que la función hamiltoniana, transformada por este proceso, no exhiba dependencia alguna en las nuevas variables, de tal manera que la integración de las ecuaciones de Hamilton correspondientes, sea inmediata. Esto sería como hallar un camino, quizá más largo, menos directo, que el procedimiento de integración, tradicional, pero que parece más sencillo,

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Formalismo de Hamilton

∂H ∂q ∂H ∂p

T:

p

∫

q (t )

p

p(t )

q

q Q → p P

∂K ∂Q ∂K ∂P

q

0

T

∫

0

:

Q q → P p

Q

const.

P

const.

1

Figura 9.4.1. Estrategia alternativa de Hamilton-Jacobi para resolver un problema de la mecánica.

pues en realidad evita el arduo e incierto proceso de integración convencional. En la figura 9.4.1 se ha esquematizado la idea, así como la estrategia para alcanzar el objetivo final, que es integrar las ecuaciones diferenciales de movimiento. Tradicionalmente lo que se hace es, para ponerlo en términos muy dramáticos, emplear la “fuerza bruta”; esto es, se cogen las ecuaciones de Hamilton, tal como se establecen con la hamiltoniana del sistema y se procede a integrarlas, usando de todas las artimañas posibles. El resultado es lo que se conoce como las ecuaciones de movimiento del sistema

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Las transformaciones canónicas

Esta es la idea detrás de las consideraciones matemáticas que se hicieron en la sección anterior. Este procedimiento corresponde al renglón superior de la figura 9.4.1.: integrar las ecuaciones de Hamilton originales. La otra alternativa es la que se muestra en la figura 9.4.1 como la línea descendente de la izquierda, seguida de la integración y luego, la línea ascendente a la derecha de la figura. En la primera parte se ha simbolizado una transformación de coordenadas y momentos, a nuevas coordenadas y nuevos momentos, representados con letras mayúsculas: (9.140)

Este nuevo juego de variables del espacio de las fases es tal, que las ecuaciones de Hamilton transformadas (9.141 a)

(9.141 b) son todas iguales a cero; esto es, que la hamiltoniana transformada (la que ha resultado de esta transformación T ), no depende de las variables: (9.142) Debido a esto, la integración de las ecuaciones diferenciales es trivial

Una vez encontradas las soluciones, lo que se hace es aplicar a éstas la transformación inversa a (9.140): (9.143)

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Formalismo de Hamilton

Lo que se obtiene son las soluciones del problema. Así, el difícil proceso de integración de las ecuaciones diferenciales originales se reduce, por razón de esta estrategia, a realizar una transformación y luego su inversa. Un problema de solución difícil de ecuaciones diferenciales acopladas se ha podido resolver; al menos así lo indica esta proposición, como uno de álgebra vectorial, con la aplicación de dos transformaciones de coordenadas y momentos: una transformación directa y luego su inversa. Quizá pueda tratarse éste de un camino largo; mucho más que el de integrar de inmediato las ecuaciones diferenciales, sin embargo, debe ser claro para todos que es un procedimiento factible en principio y que parece más simple. ¡Claro! Como dice aquella famosa perogrullada: para hacer caldo de pollo se necesita primero conseguir un pollo. Aquí, si se ha de seguir el camino propuesto anteriormente, llamado, por cierto, la estrategia de Hamilton-Jacobi, es necesario tener a la mano toda la tecnología de las transformaciones de variables en el espacio de las fases; porque algo que debe quedar claro desde ahora es que, si en este proceso ha sido posible convertir una hamiltoniana (complicada) en un simple escalar, que de acuerdo con (9.141) ya no depende ni de las coordenadas, ni de los momentos, entonces la información que originalmente poseía aquella función del estado dinámico del sistema ya no se encuentra contenida en la nueva hamiltoniana K. Por lo tanto es la propia transformación T la que ahora posee esa información. No se trata de aplicar a las variables cualquier regla de cambio de coordenadas y de momentos, sino aquella muy específica que habrá de resolver el problema. Este es el obstáculo que habrá de remontar ahora. Para ello es imprescindible adquirir tanta habilidad como sea posible en el terreno de las transformaciones de coordenadas y de momentos en el espacio de las fases. Este es el tema conocido como la teoría de las transformaciones canónicas. Una transformación canónica se define como aquel mapeo del espacio de las fases en él mismo (uno a uno y sobre) que preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton. Si (q,p) son las 6N2l variables que caracterizan a un sistema dinámico en el espacio de las fases, una transformación canónica es un mapeo a nuevas variables (Q,P): (9.144)

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que es reversible (esto es, que el determinante de la transformación sea distinto de cero) y con una cualidad adicional: que en la nueva descripción, las ecuaciones diferenciales de movimiento sean (9.145 a)

(9.145 b) donde K es la “nueva” función hamiltoniana transformada de la original. Para obtener los resultados deseados, hay que proceder con gran cuidado; por ejemplo, cualquier transformación de coordenadas de un espacio vectorial se plantea como sigue: si se supone a x1,x2,…,x2n como las variables originales del espacio de las fases y z1,z2,…,z2n, las variables transformadas por el mapeo T; esto es; que: (9.146) Una transformación continua se puede representar, en particular, como un conjunto de 2n funciones de las “viejas” variables: (9.147) y sus elementos diferenciales (9.148) En la expresión (9.148) se usa la regla de los índices repetidos, para representar una sumatoria desde 1 hasta el número de dimensiones del espacio. En este caso, tratándose de un sistema de N partículas, como ha sido el discurso a lo largo de todos los capítulos de este libro, y suponiendo que sobre el sistema obran l constricciones, entonces el espacio de las fases de éste tiene 6N2l dimensiones. Sin embargo, para no obstaculizar

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los razonamientos que a continuación se harán, por facilidad se escribe simplemente que la dimensión del espacio de las fases es 2n (siendo n, obviamente igual a 3Nl ). De (9.148) se sigue de inmediato la ley contravariante para transformar componentes de objetos geométricos definidos en este espacio. Así por ejemplo, las componentes de la “velocidad” se transforma como sigue: (9.149) Por el contrario, si se trata de objetos, cuyas componentes son covariantes, como lo es el gradiente de la función (escalar) hamiltoniana, entonces, de acuerdo con las reglas del cálculo tensorial, se tiene que emplear la ley covariante: (9.150) Por lo tanto, si las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton preservan su estructura después de una transformación canónica, tal como se ha establecido al momento de definir a estas últimas, entonces, se tiene en la nueva descripción que: (9.151) Estas son las ecuaciones de Hamilton en el nuevo sistema de variables del espacio de las fases. Como ya es costumbre, K representa a la “nueva” hamiltoniana. Ahora, de acuerdo con (9.149) y (9.150), sustituyendo en (9.151) se obtiene que: (9.152) y para que las ecuaciones de Hamilton sean de la misma estructura en ambas representaciones, se infiere de (9.152) que las componentes del ten-

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sor métrico fundamental de este espacio deben cumplir con la correspondiente ley de transformación: (9.153) Es decir, que gAB son, en efecto componentes de un tensor contravariante, de segundo orden. Por supuesto, para obtener (9.153) es necesario suponer que la transformación de las variables del espacio de las fases es invertible; esto es, que el determinante del jacobiano de la transformación es no singular. Si se designa por g al determinante del tensor métrico y J al determinante del jacobiano de la transformación, entonces, de acuerdo con (9.153) se tiene que (9.154) Pero, puesto que el determinante es uno de los invariantes de una matriz, entonces el valor de g, antes y después de la transformación es el mismo, de manera que (9.155) Así, el conjunto de todas las transformaciones reversibles del espacio de las fases en sí mismo tiene dos piezas distintas: la pieza propia, que contiene a todas aquellas que tienen su determinante igual a 1 y la otra que consiste de todas las transformaciones con determinante igual a 1. La primera es la llamada pieza propia, en tanto que la segunda es la pieza impropia. Son dos conjuntos perfectamente distintos y nunca, mediante un conjunto de transformaciones propias, cualesquiera éstas sean, se podrá alcanzar un mapeo impropio a partir de mapeos propios y mutatis mutandi. Se dice que las dos piezas de este conjunto de transformaciones continuas están topológicamente desconectadas debido a esta propiedad. En este contexto únicamente serán consideradas transformaciones que pertenecen a la pieza propia. Las otras; las impropias son de escaso valor teórico para los fines que aquí se persiguen y, por lo tanto, en adelante serán ignoradas.

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Por otra parte, regresando a la expresión (9.153), si se le adscribe de nueva cuenta, pero ahora en el lenguaje de las matrices (2n2n), se puede identificar con la siguiente fórmula: (9.156) siendo estas literales, de izquierda a derecha, el tensor métrico transformado, la transpuesta del jacobiano, el tensor métrico original y el jacobiano de la transformación, respectivamente. Si se toma la inversa a ambos miembros de (9.156) se obtiene: (9.157) Pero la métrica del espacio de las fases tiene la estructura que se vio en (9.52) y que a continuación se reproduce: (9.158)

así que su determinante es igual a uno y su inversa es igual a la transpuesta de esta matriz; esto es; que debido, así mismo, a su antisimetría: (9.159) Por lo tanto, haciendo uso de esta propiedad (9.159) en (9.157), se obtiene que: (9.160) de donde se obtiene como condición suficiente para (9.160) que (9.161) es decir, que la inversa y la transpuesta de una matriz de transformación del espacio de las fases que preserva la forma de las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton, son iguales.

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Ambas propiedades; la (9.155) y la (9.161), recuerdan aquellas otras que se estudiaron en relación con las rotaciones de un cuerpo rígido en el espacio euclídeo de tres dimensiones. Se trata, en efecto de transformaciones rígidas, solamente que ahora están referidas a un espacio diferente: al espacio de las fases de 6N2l dimensiones y cuya métrica es (9.158). Otro rasgo importante que se deriva de estas consideraciones se refiere al conjunto completo de las transformaciones del espacio de las fases que aquí se ha presentado. Es claro, por ejemplo, que la matriz unidad de 2n2n es también un ejemplo de este conjunto, pues satisface las condiciones (9.155) y (9.161) y de igual modo se puede ver que la sucesión de dos de estas transformaciones, multiplicadas según la regla para multiplicación de matrices, da como resultado una nueva matriz que, al igual que las anteriores, tiene determinante igual a más, o menos uno y cumple con la propiedad (9.161). En pocas palabras, el conjunto de todas las transformaciones canónicas, forma un grupo. Se le llama el grupo simpléctico y se trata de un grupo continuo (esto es, de Lie), 2n1 paramétrico (2n parámetros espaciales, más el tiempo). Este grupo contiene dos piezas, como ya se vio; una de ellas, aquella que corresponde a transformaciones canónicas con determinante igual a 1, forma a su vez un grupo; éste es el llamado grupo simpléctico propio, en tanto que la otra pieza; aquella cuyas transformaciones poseen determinante negativo, no forma grupo por carecer de un elemento indispensable para ello: la transformación idéntica. Esta es la llamada pieza impropia del grupo simpléctico. Un detalle más, acerca de las transformaciones canónicas del grupo simpléctico propio es el siguiente: como el determinante del jacobiano de la transformación es igual a la unidad, entonces el elemento de volumen del espacio de las fases se comporta como un auténtico escalar; esto es, es invariante ante transformaciones de este subgrupo. Ello significa que al momento de realizar uno de estos mapeos, el nuevo elemento de (hiper) volumen contiene exactamente el mismo número de puntos que el original. Y como las caras y las aristas del volumen están constituidas por una infinidad compacta de puntos, también éstos; los que constituyen las fronteras del elemento, continúan contando con exactamente el mismo número de puntos que aquellas que delimitaban al volumen original; no puede haber ni menos, ni más de estos puntos geométricos en este subespacio. Por lo tanto, tampoco pueden salir o entrar puntos en un elemento de volumen

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del espacio de las fases cuando se realiza una transformación del grupo simpléctico propio. Si esto ocurriera, se daría el caso de que un mismo lugar del espacio podría estar ocupado por dos sistemas dinámicos en el mismo instante. El teorema de Liouville asegura que las soluciones de las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton se pueden representar por curvas en el espacio de las fases y que estas curvas jamás se cruzan (i.e. son no alabeadas), de modo que en cada punto de este espacio las soluciones son únicas. Bueno, las transformaciones canónicas han quedado propiamente definidas y sus propiedades generales han sido especificadas con toda puntualidad. Sin embargo aún quedan un par de grandes preguntas en el aire. Preguntas que es necesario contestar para realmente tomarle valor y sentido a estos conceptos. En primer lugar está la pregunta de cómo se construyen transformaciones canónicas. Qué pasos matemáticos se tienen que dar para hallar una expresión explícita y detallada de una transformación canónica. La segunda pregunta es acerca de su utilidad; esto es, para qué sirve una transformación canónica, suponiendo que se tenga a la mano una de ellas. La respuesta para la primera de las preguntas no es muy halagüeña. La verdad es que salvo para algunos muy importantes casos de la mecánica, no hay manera de obtener explícitamente fórmulas para las transformaciones canónicas. Uno de los casos que se alude es aquel que lleva a la formulación de Hamilton-Jacobi y que será objeto de un extenso y prolijo estudio en el capítulo venidero. Salvo por este caso, las transformaciones canónicas se pueden definir y detallar hasta cierto límite. Se puede llegar casi al conocimiento específico de ellas y muchas de sus características particulares pueden llegar a ser deducidas de razonamientos poderosos y profundos como los que vienen en seguida. Pero ciertamente, la fórmula final y detallada de estas transformaciones tendrá que ser un acto de creación, de genialidad, que habrá de propiciarse, como dijo alguna vez Albert Einstein (1879-1955), con un 90% de estudio y de trabajo arduo y abstruso y con un 10% de suerte. Para abordar este problema considérese de nueva cuenta la acción de un sistema de N partículas puntuales, sujetas a l constricciones holonómicas y sin fuerzas no-conservadoras, expresada en el espacio de las fases. (9.162)

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Supóngase ahora que una transformación canónica se hace operar sobre las coordenadas y los momentos, tal como se vio en la sección anterior. Se obtiene, por consecuencia de ello, una nueva hamiltoniana K que depende, en general, de las “nuevas” coordenadas, de los nuevos “momentos” y del tiempo. Esta función satisface, por definición, las ecuaciones de Hamilton (9.163 a)

(9.163 b) siendo Qk y Pk las nuevas coordenadas y los nuevos momentos. Por supuesto, las ecuaciones diferenciales (9.163) pudieron obtenerse a partir de una funcional de acción como (9.162) y un proceso de variación, tal como se hizo anteriormente. Una funcional de acción que debe ser la misma que se exhibe en (9.162), puesto que es un escalar y se refiere al mismo sistema dinámico que antes de la transformación canónica. Es decir, que la acción, antes y después de la transformación, debe ser la misma funcional, excepto tal vez; por alguna función del tiempo que no tendrá repercusión alguna en la obtención de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Así, esta cualidad de la acción del sistema se puede describir matemáticamente como: (9.164)

donde F es una función indeterminada que dentro de la integral del miembro de la derecha de (9.164) se puede integrar de inmediato, dando como resultado

es decir, la diferencia de una función del tiempo, menos una constante. Esta adición en el integrando de la derecha en (9.164) carece de importancia desde el punto de vista de la obtención de las ecuaciones diferenciales de

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Hamilton, pues a la hora de deducirlas de la acción mediante un proceso variacional, como ya se mencionó, la presencia de esa función no aportará elemento alguno al resultado final, ya que la variación se toma siempre independiente del tiempo. Además, frente al proceso de variación, esta función escalar, por definición, es invariante. Y si bien, en efecto, la adición de esta misteriosa función F en la parte de la derecha de (9.164) no traerá mayores consecuencias a las ecuaciones de Hamilton, se podrá ver en seguida que su inclusión es fundamental para la teoría de las transformaciones canónicas. Tan importante va a resultar esta función que en adelante será conocida como la función generadora de transformaciones canónicas. Hasta ahora no ha tenido que decirse más acerca de la función generadora F, excepto por su insignificancia al desarrollar un proceso variacional sobre la nueva acción. Es tiempo de saber un poco más sobre ella. Por ejemplo, siendo éste un cálculo que se realiza en el espacio de las fases del sistema dinámico, tal vez pueda considerarse a F como una función de las coordenadas, de los momentos y del tiempo. Mas ¿cuáles? Las variables antiguas p y q, o las nuevas P y Q que se obtienen de la transformación canónica. Bueno, se pueden ensayar varios casos. En realidad es tan poco lo que se ha dicho de esta función que a estas alturas del desarrollo, cualquier cosa puede aceptarse; por ejemplo, se podría suponer que la función generadora, en un primer intento, dependa de las viejas coordenadas generalizadas qk, y que sea función de las “nuevas“ coordenadas generalizadas Qk; es decir: (9.165) así, será una función definida en términos de 6N2l variables. En adelante, a una función generadora que dependa de viejas y nuevas coordenadas, se le llamará genéricamente función generadora de clase F1. Suponiendo una función generadora de clase F1, como la (9.165), si se toma la variación a cada miembro de (9.164) se van a obtener ciertos resultados interesantes. En el miembro de la izquierda, variando, se llega a la bien conocida expresión siguiente:

(9.166)

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El último término de la derecha en (9.166) aparece como resultado de la integración por partes que hubo de hacerse al producto de los momentos, por la variación de las velocidades generalizadas en el kernel de la transformación de Legendre en el integrando de (9.162). Por su parte, variando el miembro de la derecha en (9.164) se obtiene lo siguiente:

(9.167)

donde nuevamente, ha habido una integración por partes del mismo tipo que en el caso anterior. Por ella es que surge el término PkQk. Adicionalmente aparecen dos elementos más en (9.168), como resultado de la variación de la función generadora. Como es costumbre, hay que aceptar, tanto en (9.166) como (9.167), la regla de suma de índices repetidos. Ahora bien, en (9.166) los coeficientes de las variables de las coordenadas y los momentos “viejos” son todos nulos, puesto que, por hipótesis, se cumplen las ecuaciones de Hamilton. Por su parte, el integrando de (9.167) también es nulo, ya que por hipótesis, las nuevas coordenadas y momentos son el resultado de una transformación canónica que deja invariante la forma de las ecuaciones de Hamilton, siendo ahora la nueva hamiltoniana, la función K. Por lo tanto, regresando a (9.164) y variando ambos miembros, se consigue lo siguiente: (9.168) Agrupando y pasando a un mismo miembro los sumandos, se tiene que: (9.169)

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Se trata de 6N2l sumas de productos de coeficientes, por las variaciones de otras tantas variables: 3Nl coordenadas “viejas” y 3Nl coordenadas “nuevas”. En todo caso, en el espacio de las fases, éste es un conjunto de variables que pueden ser consideradas linealmente independientes, así que la condición suficiente para que se cumpla (9.169) es que cada uno de los coeficientes sea igual a cero. Por lo tanto, se debe tener que: (9.170 a)

(9.170 b) Estas son las 6N2l condiciones diferenciales que debe cumplir la función de clase F1 para, en verdad, generar una transformación canónica. De vuelta, regresando a la expresión (9.164), y desarrollando la derivada temporal de la función generadora, de clase F1, se tiene lo siguiente:

(9.171) Ahora, agrupando términos con las mismas derivadas temporales y recordando las condiciones diferenciales que debe cumplir toda función de clase F1, expresadas en (9.170), se obtiene: (9.172)

Así que, además de las (9.170), la función generadora de clase F1, tal como se definió en general en (9.165), permite definir a la nueva hamiltoniana como (9.173)

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Como un ejemplo de los conceptos anteriores, considérese una función generadora, de clase F1; sea: (9.174) con regla de suma sobre los índices mudos i y j. Sometiendo la fórmula (9.174) a las condiciones diferenciales (9.170) y (9.173), se obtiene lo siguiente: (9.175 a)

(9.175 b) (9.175 c) De manera que considerando a los coeficientes Aij(t) en (9.174) como los elementos de una matriz cuadrada de (3Nl )(3Nl ), no singular, las expresiones (9.175 a y b) se pueden rescribir como:

(9.176)

O bien: (9.177)

que representa una transformación de q´s y p´s en el espacio de las fases. Es importante ratificar que, en efecto, la función de clase F1 que se propuso en este ejemplo, genera una transformación canónica. Para ello, considérese la derivada:

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(9.178) Pero de acuerdo con las correspondientes ecuaciones de Hamilton, esa derivada de la nueva hamiltoniana con respecto a las nuevas coordenadas debe ser igual a: (9.179) tal como se deduce de (9.175 a) y (9.175 b). Por lo tanto, igualando (9.178) y (9.179) se obtiene que:

(9.180)

lo mismo ocurre con las otras ecuaciones de Hamilton. En efecto, la transformación generada por (9.174) es canónica. Se puede imaginar el efecto de esta transformación canónica si se simplifica al caso de dos dimensiones únicamente y se supone que la matriz A es la unidad. En estas circunstancias, la función generadora de clase F1 es sencillamente: (9.181) de modo que, según las condiciones diferenciales (9.170), se obtiene la transformación canónica siguiente: (9.182 a)

(9.182 b) Es posible visualizar esta transformación como una rotación de noventa grados en contra de las manecillas del reloj, de los ejes coordenados del espacio (2-D) de fases (véase la figura 9.4.2).

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p

P

Q

q

0

Figura 9.4.2. La transformación canónica (9.183) es una rotación directa de 90 en el espacio de las fases, para el caso de un sistema dinámico en una dimensión.

Otro ejemplo simple de aplicación de la teoría de las transformaciones canónicas, es el caso del oscilador armónico simple. Como se recordará, este mecanismo se puede representar muy simplemente por la hamiltoniana: (9.183) donde k es la constante de rigidez del resorte y m es la masa del oscilador. Este sistema dinámico es conservador y la energía total corresponde al valor numérico (constante) de la hamiltoniana; es decir, (9.184) Sea 0 el valor (constante) de la frecuencia angular del oscilador, dada por (9.185) Este problema muy bien puede tratarse con el método directo de las ecuaciones de Hamilton:

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Formalismo de Hamilton

(9.186 a) (9.186 b) que se pueden combinar para dar la ecuación diferencial (9.187) cuya solución es muy fácil de obtener (si bien ya se procesó, con otro enfoque en la sección anterior): (9.188) donde x0 es la amplitud máxima de oscilación de este mecanismo. Pero se puede también enfocar este problema desde la perspectiva de las transformaciones canónicas. Así, si se pudiera hallar una transformación de la coordenada y el momento que, por ejemplo, diera como resultados los siguientes: (9.189 a) (9.189 b) siendo  alguna constante que se evaluará en seguida y (P) una función del nuevo momento, aún indeterminada, entonces, sustituyendo (9.189) en (9.183) se obtiene lo siguiente. (9.190) Así que, evaluando el parámetro indeterminado  como (9.191)

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Las transformaciones canónicas

la expresión anterior se simplifica notablemente, pues da como resultado una hamiltoniana que ya no depende de la coordenada; solamente del nuevo momento. Por lo tanto, si esta nueva hamiltoniana hubiera sido el resultado de una transformación canónica generada por una función de clase F1 que no depende explícitamente del tiempo, entonces, de acuerdo con (9.173) se tendría que: (9.192) Las ecuaciones diferenciales de Hamilton para la hamiltoniana (9.192) son extraordinariamente simples debido a su estructura: (9.193 a)

(9.193 b) El verdadero problema no ha radicado evidentemente en la solución de las ecuaciones diferenciales después de haber sometido la hamiltoniana original (9.183) a la transformación canónica. La solución es en efecto trivial, como puede verse en (9.193). El verdadero problema radica en encontrar la transformación canónica. Como se mencionó anteriormente, no hay una receta exacta e infalible para conseguir este objetivo y a pesar de que este ejemplo es en sí casi trivial, obtener la fórmula para la función generadora no lo es en absoluto. Si se toma el cociente de (9.189 b) entre (9.189 a), se obtiene lo siguiente: (9.194) en donde se ha sustituido el valor (9.191) para el parámetro indeterminado. Esta expresión (9.194) puede entenderse como el resultado de derivar a una función de clase F1 con respecto a la coordenada vieja y aplicar a esta derivada la condición diferencial correspondiente; esto es:

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(9.195)

Así que se puede proponer como función generadora, una integral de (9.195), es decir: (9.196) Ahora, tomando como base la función (9.196), la segunda condición diferencial (9.137 b) es la siguiente: (9.197) y despejando a x del resultado anterior se consigue: (9.198)

Comparando (9.198) con (9.189 a) se ve que la función (P) es: (9.199) con lo cual la transformación canónica ha quedado completamente determinada; como puede verse de (9.189 a y b) al sustituir en ellas la función obtenida en (9.199). También es posible ahora, a partir de estos resultados, obtener las fórmulas para la transformación inversa, así como determinar totalmente a la hamiltoniana transformada. Llegados a este punto ya solamente resta evaluar los parámetros con las condiciones iniciales del problema. La solución ha quedado especificada es su totalidad. Imponiendo las condiciones iniciales, tal como se menciona, la solución no es enteramente satisfactoria. Esto se debe a que las nuevas coordenadas y momentos no tienen desde el principio las dimensiones adecuadas. Así por ejemplo, la nueva coordenada Q aparece en (9.189) como una variable que debe ser adimensional para que la igualdad sea correcta no nada más desde el punto de vista algebraico, sino también, para su

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coherencia física. Sin embargo, en (9.182 a) aparece como si fuera una cantidad con las mismas unidades que el momento lineal. Esta falta de consistencia se corrige si desde el mero principio del desarrollo, al momento de proponer la función generadora de clase F1 en (9.181), se multiplica al miembro de su derecha por un factor constante que contenga las dimensiones adecuadas. En todo caso, lo que aquí se ha deseado mostrar es la técnica para la obtención de soluciones con el método de las transformaciones canónicas. Por ello desde el inicio no se proveyó al problema de nada que pudiese enturbiar el entendimiento de su esencia. Salvo pequeños detalles como los que se mencionan, la solución se ha obtenido siguiendo el camino mostrado en el diagrama de la figura 9.4.1. Ahora bien, no todas las funciones generadoras son de clase F1. De hecho es posible imaginar un infinito de posibilidades para obtener otras clases de funciones. Sin embargo, en total, parece que solamente son cuatro las clases físicamente relevantes de funciones generadoras que merecen la pena ser estudiadas. Las funciones de clase F2, por ejemplo, se definen como aquellas funciones generadoras de transformaciones canónicas, que dependen de las “viejas” coordenadas, los “nuevos” momentos y el tiempo, en general. Esto quiere decir que estas funciones son del tipo general siguiente: (9.200) Para obtener las condiciones diferenciales que deben ser satisfechas por funciones generales de clase F2 hay un procedimiento sencillo y rápido, que parte del conocimiento de las condiciones (9.170) para las funciones de clase F1 que ya fueron deducidas y una transformación de Legendre. En efecto, si se realiza la transformación de Legendre siguiente: (9.201) con regla de suma sobre índices repetidos, se obtiene la nueva función que ya no depende de las nuevas coordenadas y en cambio, debido al kernel que se ha propuesto en (9.201), depende de los nuevos momentos, así como de las coordenadas generalizadas originales. Derivando con respecto al tiempo, miembro a miembro de la transformación de Legendre (9.201) y haciendo uso de las condiciones diferenciales (9.170) para las funciones de clase F1, se obtiene lo siguiente:

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(9.202)

Entonces, igualando a ambos miembros de (9.202) los coeficientes de las derivadas temporales de las 6N2l1 variables que aparecen, se tiene que: (9.203 a)

(9.203 b)

(9.203 c) en donde se ha hecho uso, adicionalmente, de la igualdad (9.173) y del hecho de que las derivadas temporales de ambas funciones: F1 y F2, son iguales. Estas son las condiciones diferenciales que deben ser satisfechas por las funciones de clase F2 para que en efecto, generen transformaciones canónicas. Las funciones de clase F2 juegan un papel sumamente importante en la mecánica, como se podrá constatar en adelante. De hecho, toda la teoría de Hamilton-Jacobi está fundamentada en estas funciones. Sin ir más lejos, se puede proponer de inmediato una función generadora muy particular, que tiene propiedades interesantes. Sea (9.204) Sometiendo esta función a las condiciones diferenciales (9.204), se obtiene de inmediato lo siguiente: (9.205 a) (9.205 b)

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(9.205 c) Es decir, que la función generadora (9.204) genera la transformación idéntica. Este hecho reviste cierta importancia, pues, un grupo de transformaciones requiere la existencia del elemento neutro y este es precisamente el que se genera con la función (9.204). Más adelante se podrá ver que la función generadora F2 es, en verdad, un elemento fundamental para el desarrollo ulterior de la teoría. Por el momento basten estos comentarios acerca de las funciones F2. Otra generadora que interesa conocer en este punto es la F3. Se trata de una clase de funciones que tienen la propiedad de depender de los viejos momentos y las nuevas coordenadas; esto es: (9.206) Para hallar sus condiciones diferenciales se puede proceder de la misma manera que se hizo para sintetizar las condiciones de las funciones de clase F2; esto es, operar una transformación de Legendre de las funciones F1 del tipo: (9.207) Derivando respecto al tiempo, miembro a miembro, de (9.207) y recordando las condiciones diferenciales (9.170) y (9.173), se obtiene para esta nueva clase de funciones generadoras las siguientes: (9.208 a)

(9.208 b)

(9.208 c) Finalmente, siguiendo un procedimiento análogo a éste, se pueden deducir las condiciones diferenciales para las funciones generadoras de clase F4, definidas como:

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(9.209) estas condiciones resultan ser las siguientes: (9.210 a)

(9.210 b)

(9.210 c) Con las funciones generadoras de clase F4 queda completo el cuadro. En total, las cuatro clases de funciones, generan al grupo simpléctico de transformaciones canónicas. Por supuesto hay aún más funciones generadoras de este tipo de transformaciones en el espacio de las fases. Puede imaginarse, por ejemplo, una clase de funciones que dependa parcialmente de viejas y nuevas coordenadas y de viejos y nuevos momentos, con la condición de que el número total de variables de las que dependan no exceda 6N2l: (9.211) siendo i y j dos valores comprendidos dentro del intervalo de 1 a 3Nl. Estas funciones también cumplen con el papel de generar transformaciones canónicas y satisfacen un conjunto de condiciones diferenciales, que pueden ser deducidas de manera simple a partir de las funciones generadoras anteriores. Sin embargo, su utilidad para la teoría es más bien escasa y por ello no se investigan mayormente.

9.5. Los corchetes de Poisson y las series de Lie Évariste Galois nació el 25 de octubre de 1811 en Bourg la Reine, Francia y por una verdadera casualidad del destino es que se menciona aquí, porque estuvo a un infinitésimo de primer orden de no haber tenido la

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más pequeña importancia en la historia del hombre, como tantas decenas de miles de millones de seres humanos que han nacido y muerto sin haber quedado de ellos un ápice de memoria. Évariste Galois se salvó de la oscuridad por su brillante inteligencia. Fue un genio de las matemáticas que reprobó dos veces el examen de admisión a la Ecole Polytechnique de París y por poco, tampoco lo aceptan en la Normal, donde entró en 1830, a la edad de 18 años. Sin embargo, ese mismo año fue expulsado de allí porque escribió una carta ofensiva contra el director de ese centro. En 1831, después de haber pronunciado un ardoroso discurso en contra del rey Luis Felipe, donde lo amenazaba con agredirlo si alguna vez se ponía en su presencia, Galois fue arrestado por la policía y encarcelado por seis meses. El 30 de mayo de 1832 se fue de farra con un amigo; un tal Auguste Chevalier. Durante esa tarde y noche bebió y escandalizó como solía hacerlo en otras ocasiones y al lado de su amigo y algunas mujeres de la vida galante bebió, bailó y se divirtió a su manera, hasta que ya entrada la noche y las copas, otro parroquiano que tuvo la desgracia de coincidir con Évariste, harto de su conducta ruidosa, lo enfrentó, exigiéndole se calmara y dejara de escandalizar, también le pidió que dejara en paz a las damas y las tratara con mayor respeto y cortesía. Se hicieron de palabras, se dieron unos cuantos empujones y bofetadas y entonces el ofendido parroquiano lo retó a un duelo a muerte, en algún lugar de París, para el día siguiente a las ocho de la mañana. Galois aceptó el reto. En lo que le quedaba de esa noche, el personaje regresó a casa y se puso a escribir frenéticamente. Primero le hizo una carta a su amigo, Chevalier, disculpándose por su conducta y en la cual escribió, entre otras cosas: “…mañana voy a morir en un duelo insulso, por una cualquiera. Deseo, sin embargo, decir que el mundo va a perder a uno de sus más brillantes talentos y como muestra te dejo estos manuscritos. Por favor publícalos para que se enteren de mi existencia…”. Muy temprano por la mañana del 31 de mayo, Évariste Galois cumplió su compromiso. Se presentó en aquel jardín de París y se batió en duelo con florete, contra aquel ofendido ciudadano de la noche anterior (que por cierto, algunos han llegado a sospechar que se trató de un agente del gobierno que, encubierto, fue a provocar a Galois). Muy poco duró la lisa, pues a los pocos minutos de haberse iniciado, el joven Évariste Galois cayó herido de muerte. Aún no cumplía su mayoría de edad.

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Entre las cartas que escribió a toda velocidad en la víspera de su asesinato, Galois propuso métodos para la integración de funciones algebraicas, introdujo el concepto de grupo y su utilidad para la resolución de ecuaciones. Se dice que Évariste Galois es el padre de la teoría de los grupos, así como del método de los elementos finitos para la resolución de las ecuaciones diferenciales. Como había ocurrido antes y como ha ocurrido después, la muerte no es un obstáculo para el conocimiento. En cuanto Évariste Galois murió, su amigo cumplió con el encargo y publicó los trabajos en algunas revistas del tema. El nombre de Galois se salvó de la oscuridad y del olvido, pues la teoría de los grupos fue conocida por todo el mundo científico como una de las herramientas matemáticas de mayor utilidad para una enorme variedad de problemas. La teoría de los grupos quedó desde entonces ligada inextricablemente al nombre de aquel casi adolescente rebelde y destrampado que murió por una francachela y una mujer de la cual jamás se enteró de su nombre. Muy pronto, aquí y allá aparecieron talentos brillantes que continuaron con las investigaciones que la muerte había impedido proseguir a aquel jovencito alocado y pendenciero. De Noruega y de Alemania fueron los dos atletas del pensamiento lógico que tomaron la estafeta para proseguir con aquella carrera que había empezado en París un tiempo atrás. En una fría tarde del 17 de diciembre de 1842, nació en el pequeño pueblo pesquero de Nordfjordeid, cerca de la ciudad de Bergen, un robusto bebé a quien sus orgullosos padres dieron su apellido y pusieron por nombre Marius Sophus Lie. El infante creció (como suelen hacerlo todos) y ya mayorcito consideró que uno de sus nombres le sonaba inapropiado para su digna personita, así que decidió omitirlo de ahí en adelante. En la actualidad se recuerda a este personaje, sencillamente por uno de sus nombres y su apellido: Sophus Lie. Se recibió de físico en la Universidad de Christiania (en Oslo) y cumplidos sus veintiséis años se fue a Berlín para hacer allá su posgrado. En Alemania conoció a alguien que influyó de manera decisiva en su vida y que marcó el rumbo que habría de seguir en adelante. Si bien, al llegar a Berlín portaba el título de físico que se había ganado en Noruega y el deseo de continuar por el rumbo de la mecánica clásica que le había llamado poderosamente la atención, al llegar a esta ciudad y platicar con Felix Klein, quien a la sazón era profesor de matemáticas, se sintió poderosamente

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atraído por el tema de su profesor y tutor y desde entonces se dedicó a cultivar, en su forma más pura y abstracta, la teoría de los grupos de Galois y las ecuaciones diferenciales. Tanto así fue el encanto del tema, que con férvido afán investigó y publicó en 1893, al cabo de nueve años de intenso trabajo, una monumental obra sobre los grupos: Teoría de los grupos de transformaciones, en tres volúmenes. Por cierto, después de haberse doctorado en la Universidad de Berlín, regresó a su país natal, Noruega, para ocupar el puesto de profesor extraordinario en la Universidad de Christiania. Durante un buen número de años perdió de vista a quien había sido su tutor del posgrado y continuó con su trabajo de investigación dentro de la teoría de los grupos, en forma individual y aislado del mundo. Un día, uno de sus colegas y amigos (que por cierto no eran muchos), habiéndolo escuchado en una conferencia, lo esperó a la salida del auditorio de la Universidad y lo abordó afablemente para hacerle un conjunto de preguntas acerca del tema que acababa de exponer. Después de charlar por algún rato, el amigo aquel le dijo a Sophus que aquello que había mostrado a la comunidad científica era en verdad estupendo e importante para la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales, pero la mala noticia era que ese tema ya había sido desarrollado en otra parte: en Alemania, por un tal Felix Klein, que también llevaba un buen tiempo en la teoría de los grupos. De buena fe, el colega aquel le hizo un relato de los temas que Klein había desarrollado y con gran sorpresa de su parte, después de haber escuchado de Lie sus propias investigaciones, había caído en la cuenta que había en el trabajo de ambos una gran semejanza e incluso una buena dosis de duplicación; es decir, que temas completos de la teoría de los grupos habían sido desarrollados, por lo visto, casi simultáneamente por ambos. ¡Claro!, en aquellos lejanos tiempos, cuando no había aún la red telefónica, ni radio, ni televisión y mucho menos internet, se daba con cierta facilidad ese hecho de que dos o más personas, trabajando sobre un mismo tema general en partes apartadas de la geografía, llegaran a los mismos resultados de sus investigaciones, más o menos simultáneamente, sin saberlo. Algo parecido había ocurrido un siglo y medio antes cuando Newton y Leibniz desarrollaron parejamente el cálculo diferencial e integral. Lo cierto es que Lie le pidió en aquella ocasión a su colega que cuando volviera a Alemania le llevara a su viejo profesor un afectuoso saludo y le pidiera si podrían reunirse en alguna parte; donde aquel lo decidiera, para po-

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der renovar su relación tanto tiempo suspendida por razones puramente circunstanciales y tuvieran la oportunidad de conversar sobre los temas de investigación que desarrollaban, a fin de evitar en lo sucesivo la duplicación de esfuerzos intelectuales y, en cambio, pudieran apoyarse mutuamente para volverse más eficientes. El amigo aquel cumplió su encargo y tiempo después, habiendo regresado a Oslo de su viaje por el país de los teutones, localizó a Sophus Lie y le llevó la nueva de que Felix Klein lo esperaría, en una determinada fecha, en la pequeña ciudad de Erlangen, para discutir el asunto. Ese día, a la hora convenida, después de muchos años, se reencontraron el viejo profesor y el pupilo en un cafetín de Erlangen, Alemania. Allí conversaron largamente sobre una gran cantidad de cosas y en particular, abordaron el tema de los grupos. Sus sorpresas fueron mayúsculas al ir cayendo en la cuenta de la cantidad de trabajo que cada uno de ellos había estado realizando en los últimos tiempos y que era prácticamente idéntico al que su contraparte había desarrollado en el mismo lapso. Deducciones, teoremas, casos particulares; en fin, una enorme cantidad de trabajo había sido duplicado. Tiempo y esfuerzo desperdiciado. Si desde un principio hubieran hecho sus respectivos trabajos coordinadamente, en vez de caminar cada uno por su lado, como vectores linealmente independientes. Este fue uno de los dramáticos resultados de la falta de comunicación entre científicos. Porque si bien hoy en día, un joven físico mexicano, por mencionar un ejemplo, se levanta de la cama tarde; a las once de la mañana, en algún lugar del mundo donde realiza su posdoctorado y, después de desperezarse largo rato y sostener esa cruenta lucha diaria contra la molicie, gana la pelea y se pone a trabajar, con una taza de café negro, recalentado del día anterior (para espabilarse un poco), enciende su computadora y busca a su colega, el sudafricano que acaba de hacer lo mismo que él: despertarse, para iniciar un periodo de plática a través de la computadora, donde se comunican, no nada más los pormenores de la fiesta de anoche, o el resultado del encuentro de rugby del día anterior, sino también las ideas, los desarrollos matemáticos, los descalabros al intentar demostrar tal o cual teorema y los hallazgos que los tienen sobreexitados y sobreestimulados; si bien la comunicación es el signo de los tiempos que corren y el distintivo del siglo xxi, también es frecuente encontrar dentro de la dilatada fauna de mamíferos bípedos e implumes que hoy por hoy pueblan el planeta Tierra y que se dedican a la ciencia, a los misántropos y a los solitarios que

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buscan en su trabajo de investigación el desahogo de sus frustraciones y la razón de su existencia. A los primeros, muy difícilmente podrá ocurrirles lo que a Sophus Lie y a Felix Klein, que de pronto encuentran, azorados, que buena parte de sus noches en vela y de sus dolores de cabeza al desarrollar el trabajo, no ha sido fútil, porque alguien más también pensó en lo mismo que él y ya lo publicó en alguna revista de circulación internacional. A los segundos, por supuesto, este tipo de desagradables experiencias debe constituir el “pan de cada día”. Total, que regresando a aquella agridulce tardeada en un café de la ciudad de Erlangen, los dos brillantes matemáticos se contaron sus hallazgos. Decidieron que aquello que ya había sido publicado por uno o por el otro sería respetado como un legítimo logro, no obstante haber sido obtenido por la contraparte. Fue un acto de caballerosidad y nobleza que poco se veía entonces y casi nunca ahora, cuando de un mendrugo de originalidad, publicado en un revista de quinta categoría, se puede conseguir el ansiado “punto” que permita un nivel más alto en el sistema de investigadores y unos cuantos billetes devaluados más en la cartera. También acordaron que en lo sucesivo procurarían un vínculo más estrecho, con el objetivo de no repetir las experiencias anteriores y para terminar con todo riesgo de duplicación en sus trabajos futuros, sobre el mapa de toda la teoría de los grupos, trazaron de común acuerdo una línea que dividió desde ese instante y para toda la eternidad ese campo del conocimiento en dos sectores perfectamente distintos. Uno de ellos para ser explotado por Sophus Lie y el otro para Felix Klein. Este fue el programa de Erlangen. Desde aquella tarde, la teoría de los grupos quedó dividida por una línea que distinguió, por un lado a todos aquellos grupos que estuvieran descritos mediante parámetros continuos; esto es, variables y por otro, los que estuvieran caracterizados por parámetros que reciben valores discretos. A los primeros, se les conoce hasta la actualidad por los grupos de Lie, en tanto que a los segundos; a los grupos discretos, algunas personas aún los identifican como los grupos de Klein. Pues bien, aquellos temas que tanto llamaron la atención del joven físico Sophus Lie, cuando obtuvo el título en la Universidad de Christiania, fueron ni más ni menos que la formulación de Hamilton, la teoría de las transformaciones canónicas (que a la sazón se les llamaba transformaciones de contacto) y la integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento.

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En realidad esos fueron los temas que lo indujeron a profundizar más y más en la teoría de los grupos continuos. Nunca olvidó aquel leit motiv que lo había llevado a Alemania a estudiar el tema de los grupos. Siempre agradeció a su profesor haberlo entusiasmado por esa rama de la matemática y de vez en cuando regresó a la mecánica clásica para ensayar alguna de las técnicas que desarrolló dentro de la teoría de grupos. En lo que viene se expondrán las ideas de Lie para la integración del grupo de transformaciones (continuas) canónicas de la mecánica hamiltoniana. Pero antes de comenzar con el tema que ahora ocupará el tiempo y la mente de aquel que llegue a leer este abultado mamotreto, es necesario terminar con la historia de este personaje. Como todo principio llega fatalmente a su fin, así también la vida de aquel estupendo científico terminó el 18 de febrero de 1899. Siguiendo a Lie en sus deducciones, es interesante percatarse que las funciones de clase F1,F2,F3 y F4 generan, en efecto, al grupo simpléctico de transformaciones canónicas en el espacio de las fases del sistema dinámico. Es menester darse cuenta, igualmente, que se trata de un grupo de transformaciones de coordenadas generalizadas y momentos, que dependen de un juego de parámetros: las propias coordenadas y los momentos y que esos parámetros son variables que están definidos, en general, sobre algún dominio de los números reales. Así pues, las transformaciones canónicas del grupo simpléctico son continuas. Por lo tanto, se trata de un grupo de Lie. Todos los grupos continuos de transformaciones como éste tienen una importante cualidad, a saber, que admiten como elementos a las transformaciones infinitesimales; esto es, mapeos del espacio en sí mismos, que difieren tan poco como se desee de la transformación idéntica. Además, de acuerdo con la teoría de los grupos continuos, las transformaciones infinitesimales tienen la bella cualidad de generar al grupo completo; en otras palabras: basta con conocer la transformación infinitesimal de un grupo de Lie, para conocer a cualquier elemento de ese grupo; finito o infinitesimal, mediante la elección adecuada de sus parámetros y la aplicación sucesiva de un cierto número de dichas transformaciones infinitesimales. Por definición, una transformación infinitesimal canónica debe ser aquella que difiera tan poco como se quiera de la idéntica, tal como se

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mencionó anteriormente. Por lo tanto, debe ser generada por una función de la clase F2, ya que éstas, en particular generan a la transformación idéntica. Basta con repasar los resultados (9.203) y (9.204) para recordar que, en efecto, la transformación idéntica se obtiene a partir de una función F2. Ahora, si se piensa en una función generadora de una transformación canónica infinitesimal, debe ser claro que debe ser del tipo siguiente: (9.212) donde el miembro de la derecha muestra, en primer término, el producto de viejas coordenadas por nuevos momentos, que es el mismo que en (9.204) se propuso y condujo a la transformación idéntica. Adicionalmente se ha escrito en (9.212) el producto de una función G que depende de viejas coordenadas y nuevos momentos; por un parámetro  que se supone infinitesimal de primer orden; esto es, que su valor es suficientemente pequeño, tal que los productos de él por sí mismos son despreciables. Al término que aparece en el extremo de la derecha de (9.212) se le conoce como la parte infinitesimal de la función generadora. Como puede apreciarse, esta parte es, a su vez, una función de clase F2. Si se somete (9.212) a las condiciones diferenciales (9.203) para las funciones de clase F2 y se tiene lo siguiente: (9.213 a)

(9.213 b) Observando (9.213) se aprecia que se trata de una transformación de coordenadas y momentos. Despejando de (9.213) las nuevas variables se puede ver mejor el resultado: (9.214 a)

(9.214 b)

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Las nuevas coordenadas y los nuevos momentos aparecen en (9.214) como una traslación a partir de las coordenadas y los momentos originales. Una traslación que es infinitesimal, dado que es proporcional al parámetro de pequeñez . La dirección y sentido en los que se lleva a cabo la traslación corresponde a aquellos que determina el gradiente de la parte infinitesimal de la función generadora. Así, se puede imaginar este proceso como un cierto transporte del sistema, (representado por un punto en el espacio de las fases). El transporte se lleva a cabo desde el punto original hasta otro punto tan próximo al primero como se quiera. El sistema sufre esa traslación debido a la presencia de un campo G(q,P,t) que permea todo el espacio de las fases y que es el “responsable” de llevar al sistema entre esos dos puntos extremos. De todas las posibles direcciones que pudiera haber tomado el sistema para desplazarse por el espacio de las fases, lo ha hecho en la dirección y con el sentido que le marca el gradiente (en 6N2l dimensiones) del campo G, como se muestra esquemáticamente en la figura 9.5.1. Tal vez la forma más sugestiva de escribir (9.214) nuevamente sea la siguiente: (9.215 a)

(9.215 b) entendiendo a las ´s como las diferencias entre las nuevas y las viejas variables. Así, una función generadora de clase F2, como la que se propuso en (9.212) genera, en efecto, una transformación en el espacio de las fases, que pone en correspondencia puntos con puntos, de acuerdo con las expresiones (9.215), en términos de la parte infinitesimal de la función generadora. Pero ahora, si se escoge al infinitésimo  en particular, como el lapso que transcurre entre la posición original que tenía el sistema en el instante t y la nueva posición, muy próxima a la anterior, en el instante tdt y, por otra parte, se identifica a la parte infinitesimal de la función generadora, precisamente como la hamiltoniana del sistema, entonces, las expresiones (9.215) se convierten casi milagrosamente en

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grad B G (q

q, p

p)

G (q , p)

Figura 9.5.1. El sistema dinámico experimenta un transporte de un punto (q,p) del espacio de las fases a otro vecino, siguiendo el gradiente de la función G.

(9.216)

esto es, ¡en las ecuaciones de Hamilton! Ahora, es posible regresar un poco sobre los pasos andados y reconocer que la función de Hamilton corresponde, ni más, ni menos que a la parte infinitesimal de una función generadora, de clase F2, aquella que genera un transporte diferencial en el espacio de las fases; desde un punto dado, a otro muy próximo. Pero a diferencia de estas funciones G(q,p,t), como las que se propusieron en (9.212) y que también generan desplazamientos muy pequeños en el espacio de las fases, ésta, la función hamiltoniana, da por resultado un transporte infinitesimal que es el que “realmente” sigue el sistema dinámico en este espacio, como resultado de los agentes físicos (conservadores) que lo urgen.

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Hay que recalcar que la imagen que ahora se tiene de la mecánica se ha enriquecido enormemente con estos resultados. Ahora, el espacio de las fases ya no es más un mero espacio matemático que sirve como artilugio para representar gráficamente ciertas propiedades de los sistemas dinámicos. No, ahora, el espacio de las fases ha comenzado a manifestarse como un espacio físico, con existencia verdadera. Este gran escenario no es un recinto vacío e inerte, sino que está impregnado hasta el último de sus resquicios de información. La función de Hamilton es un campo escalar definido en este espacio, que contiene toda esa información dinámica. Así que al situar al sistema en algún punto de este espacio, en cierto instante, esa información dinámica, de la cual está impregnado, se activa. El campo hamiltoniano H actúa entonces sobre el sistema y lo obliga a moverse por el espacio de las fases. Se trata de un proceso de transferencia de información al sistema que éste recibe del espacio y que lo obliga a moverse en consecuencia. La dirección en la que se mueve está dictada por las 6N2l componentes del gradiente de H. El movimiento del sistema, como respuesta al campo hamiltoniano H, en cierto punto y en cierto instante, lo sitúa en un nuevo punto, muy próximo espacial y temporalmente del anterior. Pero una vez que el sistema ha alcanzado el nuevo punto del espacio de las fases, el proceso se repite: el sistema, en esta ubicación, recibe nuevas órdenes que lo obligan a continuar su movimiento a otro punto, muy cercano al anterior y así sucesivamente. De modo que el movimiento en gran escala del sistema se puede entender como una enorme sucesión de pequeños transportes elementales generados por la función hamiltoniana, de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton (9.216). Matemáticamente, la sucesión de transportes elementales que sufre un sistema dinámico para generar su trayectoria total en el espacio de las fases, debe entenderse como un proceso de iteración, donde, obtenidas las expresiones (9.217 a)

(9.217 b) siendo t la diferencia entre el instante final y el inicial del movimiento y N el número (en general muy grande) de intervalos temporales en los que

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se divide el movimiento total, se aplica una y otra vez (9.217) para obtener, después de N lapsos como éste, las coordenadas y los momentos a los que llegó finalmente el sistema mismo. Para implementar esta idea, es conveniente detenerse en este punto y abrir un espacio para introducir una notación que será sumamente útil. Se trata de los llamados corchetes de Poisson. Dadas dos funciones A y B cualesquiera, que están definidas en el espacio de las fases y son derivables, se define el corchete de Poisson de A y B como: (9.218) con regla de suma sobre los índices repetidos. Tal como se ha hecho esta definición, se puede demostrar casi en forma inmediata que los corchetes de Poissón satisfacen las siguientes propiedades básicas: i) Antisimetría: (9.219 a) (9.219 b) ii) Elemento neutro: (9.220) iii) Distributividad: (9.221 a) (9.221 b) iv) Regla de Jacobi: (9.222)

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Realmente es muy sencillo comprobar la veracidad de las identidades anteriores, de manera que aquí se omitirá este trámite y se deja como un ejercicio sano el hacerlo. Hay ciertos resultados interesantes que se infieren a partir de las identidades anteriores sobre los corchetes de Poisson. Por ejemplo, considérese una función A cualquiera, que esté bien definida en el espacio de las fases. Considérese, además, a la función de Hamilton H, que satisface las ecuaciones (9.216). Entonces; por definición del corchete de Poisson:

pero, de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton (9.216), se obtiene lo siguiente:

Así que, en el caso en que A no depende explícitamente del tiempo, se consigue del resultado anterior una forma para la derivada total de una función del espacio fásico, con respecto al tiempo: (9.223) En particular, si se consideran los corchetes de Poisson con coordenadas, momentos y la hamiltoniana, se obtiene que: (9.224 a)

(9.224 b) Una forma alternativa de escribir las ecuaciones de Hamilton, utilizando esta novedosa notación de los corchetes de Poisson, es la siguiente: (9.225)

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En donde, nuevamente, se ha utilizado la notación uniforme para coordenadas generalizadas y momentos que se introdujo en (9.51). De la misma manera, de acuerdo con esta notación, una transformación canónica infinitesimal, generada por la hamiltoniana, tal como la que se describe matemáticamente en (9.217 a) y (9.217 b), se puede rescribir en forma compacta como sigue: (9.226) siendo xA las coordenadas y los momentos viejos, en tanto que XA representa a las nuevas variables. Hay que recalcar que en (9.226), a lo que se invoca es a un pequeño transporte en el espacio de las fases; desde un punto (xA), que ocurre en cierto instante t, hasta otro punto (XA), muy próximo al anterior, y que ocurre en un pequeño lapso posterior, tt/N, siendo N un número grande. Considérese ahora toda la trayectoria del sistema dinámico en el espacio de las fases, y supóngase que ésta ha sido construida mediante una enorme cantidad de pequeñísimos transportes, entre puntos vecinos, tal como se muestra en la figura 9.5.2. Así, para llegar finalmente al punto (xA(t)),

xa (t)

xa (t o)

Figura 9.5.2. Un sistema dinámico recorre su trayectoria, desde el punto (xAo(t0)) hasta (xA(t)) en N pequeñas etapas sucesivas.

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habiendo partido de (x0A(t0)), el sistema hubo de recorrer N intervalos muy pequeños, sucesivamente. En la primera etapa, el sistema pasa del punto inicial en el instante t0, a un siguiente punto, muy próximo (xA´(tt/N)) de acuerdo con (9.226):

Esta expresión se puede muy bien rescribir en la siguiente forma: (9.227)

donde el corchete de Poisson de la derecha en (9.227) representa a un operador diferencial

que debe aplicarse a lo que está situado a su derecha. En este caso, el operador se aplica a la posición del sistema xA(t), evaluada en el instante t0; es decir, a xA0(t0). Imagínese ahora que el sistema dinámico, habiendo llegado al punto xA´, prosigue su viaje al siguiente punto de la partición: xA, llegando a éste en el instante t0  2t/N. Se puede representar esta nueva etapa del movimiento del sistema como la aplicación de la fórmula (9.227) al punto de partida xA´, tal como se hizo en el caso original; esto es: (9.228)

Así, el punto al cual se había accedido con el primer transporte, ha servido ahora como origen del segundo. El proceso matemático se puede repetir N pasos para, finalmente, llegar a la meta: el punto xA(t), que es el que se marca en el extremo superior de la figura 9.5.2. Con este proceso matemático se logra, literalmente, integrar el movimiento global mediante una sucesión de pequeños saltos infinitesimales, de un punto a otro muy próximo, y luego a

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otro y a otro, hasta cubrir toda la trayectoria. En cada uno de los saltos, la hamiltoniana que viene dentro del corchete de Poisson es, como el corazón de esta maquinaria, que va llevando al sistema por su camino. Pero regresando a (9.228), si el operador actúa sobre el punto xA´(t0 2t/N) y este punto a su vez había sido previamente alcanzado por el sistema mediante la aplicación de (9.227), entonces es posible combinar ambos resultados; es decir, se puede escribir entonces, lo siguiente: (9.229) Así, transportar al sistema desde el origen hasta el segundo punto de su trayectoria es equivalente a la aplicación sucesiva de dos operadores sobre el punto de partida. Llevar al sistema a lo largo de su trayectoria, siguiendo la partición que se hizo en N etapas minúsculas, es como aplicar al punto inicial una sucesión de N operadores de transporte; esto es: (9.230) Y para garantizar que este proceso de saltos infinitesimales sea absolutamente preciso, se puede suponer que la trayectoria se divide en un número cada vez mayor de intervalos. Así, en el límite, se obtendrá: (9.231) Pero la expresión de la derecha en (9.231) no es otra cosa que la célebre fórmula debida a Weierstrass (1815-1897) para la exponencial, así que esta expresión se puede rescribir como sigue: (9.232) La trayectoria completa en el espacio de las fases ha quedado integrada; el único ingrediente que se requiere para hacerlo es conocer la hamiltonia-

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na. Ninguna integral aparece aquí; únicamente es cosa de desarrollar la exponencial como una serie de potencias y aplicarla sobre el punto del espacio de las fases que se toma como origen del movimiento (las condiciones iniciales). Pero en este momento es preciso detenerse momentáneamente para comprender a profundidad lo que se ha hecho hasta ahora. Así, regresando a la expresión (9.229), desarrollando ese producto de dos operadores, lo que se tiene es lo siguiente:

(9.233) Es decir, que la aplicación sucesiva de los dos operadores se debe hacer sobre xA(t) y ésta se debe evaluar para tt0. Además, al realizar esta operación, aparece, en el extremo de la derecha, el corchete de Poisson de segundo orden de la hamiltoniana, aplicado a la variable. Conviene en este punto introducir la siguiente notación: (9.234 a) (9.234 b) (9.234 c) (9.234 d)

(9.234 e)

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de tal suerte que el desarrollo en (9.233), de acuerdo con esta notación, es el siguiente:

Se puede ver ahora, recordando el desarrollo en series de potencias de la función exponencial, que la expresión (9.232) se puede escribir como la serie:

(9.235) o bien, desarrollándola hasta los primeros órdenes, se obtiene:

(9.236) Esta es la serie de Lie, con la cual se han integrado las ecuaciones de Hamilton. El resultado de esta serie son las ecuaciones de la trayectoria en el espacio de las fases. Recordando que la variable xA se ha utilizado para designar genéricamente, tanto a las coordenadas como a los momentos, la serie (9.236) representa en realidad a los 3Nl coordenadas generalizadas y a los 3Nl momentos canónicamente conjugados:

(9.237 a)

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(9.237 b) donde k  1,2,…,3Nl Con las fórmulas (9.237), se puede decir, sin lugar a equivocación alguna, que el problema de integrar las ecuaciones diferenciales de movimiento para cualquier sistema de N cuerpos masivos, puntuales, sujetos a l constricciones holonómicas y a las fuerzas conservadoras con condiciones iniciales definidas, ha quedado resuelto finalmente. ¡Léase bien! ¡N cuerpos! Cualesquiera que sean éstos, con la única condición de estar bien ubicados en el espacio. Las series de Lie han venido a ser como la corona que ciñe la testa espléndida de la mecánica, pues a excepción de esos problemas verdaderamente terribles que de pronto aparecen aquí y allá, con fuerzas disipadoras raras y constricciones anholonómicas; excepto por esos fenómenos, todos los problemas “decentes” de la mecánica pueden ser resueltos, al menos aproximadamente, con la técnica que aquí se ha desarrollado. Y para muestra bastan unos cuantos botones, como afirma por allí aquel dicho popular. Considérese el caso del ya explorado oscilador armónico en una dimensión espacial. La hamiltoniana para este simple sistema ha sido escrita varias veces a lo largo de este texto y ahora será escrita una vez más: (9.238) Ahora es necesario calcular unos cuantos corchetes de Poisson para esta función: (9.239)

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como puede calcularse directamente de la definición para el corchete de Poisson dada en (9.218) y usando la hamiltoniana (9.238). Dado este resultado, todos los demás salen sin dificultad: (9.240)

(9.241)

(9.242 a)

(9.242 b)

(9.242 c) etc. ¡Así de fácil! Ahora, sustituyendo estos resultados, desde el (9.239) hasta el último de los (9.242), en la serie (9.237 a), se obtiene de inmediato lo siguiente:

Si se evalúa en t00, la posición y el momento iniciales como

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la amplitud máxima del oscilador, y

se obtiene lo siguiente: (9.243) O bien, como ya se habrá identificado (9.244) Sophus Lie hizo su vida profesional bastante alejado del mundo científico europeo. Su trabajo lo realizó casi siempre solo, excepto por aquel breve encuentro con su profesor allá en la pequeña ciudad de Erlangen, en Alemania. Se inició como físico y su objetivo fue resolver, de una vez por todas, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton. Lo consiguió sobradamente al proponer este bellísimo método llamado de las series de Lie. Un método poco conocido, por cierto, y que por ahí, en algún texto de física, dentro del tema de la mecánica cuántica lo han atribuido a algún otro primate de la familia de los homo, que deambula por algún lugar del mundo practicando la rapiña, como muchos otros. Lo cierto es que estas series fueron desarrolladas allá en las heladas tierras de Noruega por ese humilde genio Sophus Lie. Como una curiosidad científica y un poco aparte del tema de las series de Lie, hay un tema relacionado con los corchetes de Poisson que da un resultado interesante. Este teorema es atribuido a otro gigante de la física, creador de la mecánica cuántica junto con Schrödinger (1887-1961) y Heisenberg (1901-1966), de nombre Paul Adrien Maurice Dirac (19021988). Considérense cuatro funciones A, B, C, D bien definidas en el espacio de las fases. Supóngase que las funciones son derivables, pero que no necesariamente son conmutativas; esto es, que el producto de una de ellas, multiplicado por otra, no necesariamente rinde el mismo resultado si se invierte el orden de los factores. Tómese ahora el siguiente corchete de Poisson con estas cuatro funciones:

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Este operador se puede desarrollar siguiendo las reglas (9.221 a) y (9.221 b), de acuerdo con dos criterios alternativos: se puede suponer de inicio, que A y B son dos factores, pero CD es uno solo, así que de acuerdo con (9.221 a) se tiene como resultado lo siguiente:

si ahora se desarrolla este resultado de acuerdo con la propiedad (9.221 b), se obtiene que:

(9.245) en donde se ha tenido el cuidado de respetar el orden en el que aparecen los operadores, ya que no necesariamente conmutan. Pero ahora, regresando al punto de partida, se podrían pensar las cosas en una forma totalmente diferente al resolver este corchete de Poisson. Se puede suponer que AB es un solo término y que C y D son en efecto dos funciones, así que, comenzando con la regla (9.221 b), se tiene que

y desarrollando el resultado intermedio con la ayuda de (9.221 c), se consigue:

(9.246) donde, de nueva cuenta se ha procedido con todo cuidado, respetando el orden en el que aparecen los factores. Restanto (9.226) de (9.245) se obtiene:

y naturalmente, si las funciones A, B, C, D conmutaran, la expresión anterior se satisfaría idénticamente. Pero es el caso que estas funciones se han

105

Formalismo de Hamilton

supuesto no conmutativas. Tal vez pudiera tratarse de cuatro matrices que al multiplicarse debe cuidarse el orden de su sucesiva multiplicación, porque de otro modo el resultado final cambia. En este caso, el resultado al que se ha llegado, de ningún modo es trivial. Para resolver la expresión anterior, sea (9.247) el llamado conmutador de A, C, y lo mismo se hace para el producto de B con D. Entonces, se puede rescribir el resultado anterior en términos de los conmutadores y de los corchetes de Poissón, como:

Esta ecuación se puede resolver si se supone que el corchete de Poissón es proporcional al conmutador y viceversa. Entonces, si para dos cualesquiera funciones definidas en el espacio de las fases, se acepta que (9.248) y lo mismo para las otras dos, se resuelve idénticamente la expresión de arriba. El factor de proporcionalidad  puede ser, naturalmente, igual a cero, en cuyo caso se trata de una mecánica conmutativa; esto es, una mecánica como la que aquí se ha venido desarrollando, en la cual las funciones en el espacio de las fases son todas escalares. Pero también puede ser, por ejemplo, que se trate de una expresión de la mecánica que se haga con matrices, o bien con operadores diferenciales, o con números complejos o aún con el álgebra de los hipercomplejos. En tales casos se trata de sendas teorías no conmutativas. Una posibilidad muy interesante se da, cuando, por ejemplo, se postula que (9.249) siendo i el número imaginario y h– es la famosa constante de Planck dividida por 2; esto es: (9.250)

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Problemas del Capítulo

La identidad postulacional (9.249) no es otra cosa que la expresión del más importante postulado de la formulación semi clásica de la mecánica cuántica de Schrödinger-Heisenberg, conocido como el principio de correspondencia de Bohr. Así, se puede entender que a través del resultado (9.248), muchas “mecánicas” pueden ser desarrolladas. Todo es cosa de escoger el factor de proporcionalidad  en el miembro de la derecha. Un caso particular es la mecánica cuántica de Schrödinger-Heisenberg.

9.6. Problemas del capítulo 9.1. Un cuerpo masivo, con masa m, cae desde cierta altura h, debido a la acción de la gravedad. Mientras cae, una fuerza disipadora actúa sobre él. Esta fuerza está determinada por medio de la fórmula: (9.251) donde c es una constante y x es la velocidad instantánea con la que cae el cuerpo. i) Escriba la función de Hamilton para este caso y plantee las ecuaciones diferenciales de movimiento. ii) Resuelva el problema. Interprete sus resultados y encuentre la llamada velocidad terminal; esto es, la velocidad límite que alcanza el cuerpo en su caída. 9.2. Establezca la hamiltoniana y plantee las ecuaciones diferenciales de movimiento para un péndulo doble. ¿Cómo podría representarse este movimiento en el espacio de fases, para pequeñas amplitudes? 9.3. Un péndulo simple cuelga del centro de masas de un carrito que es libre de moverse horizontalmente sobre una superficie lisa y sin fricciones, tal como se muestra en la figura 9.6.1. Escriba la hamiltoniana para este sistema dinámico. Plantee las ecuaciones diferenciales de movimiento y realice la integración, suponiendo que el péndulo se mueve con una muy pequeña amplitud.

107

Formalismo de Hamilton

M

x



l

m

Figura 9.6.1. Un carrito es libre de moverse horizontalmente. Un péndulo cuelga de su centro de masa.

9.4. Una partícula de masa m y carga eléctrica e se mueve en la presencia de un campo magnético constante, determinado por su vector de inducción magnética B, cuyas componentes son

La partícula experimenta una fuerza debido a la presencia del campo magnético y a su carga eléctrica, dada por (9.252) donde c es la rapidez de la luz en el vacío (constante) y v es su velocidad. La fórmula anterior se debe a Hendrik Antoon Lorentz (18531928). i) Construya la hamiltoniana para este problema. ii) Plantee, resuelva e interprete la solución.

108

Problemas del Capítulo

9.5. Considérese la acción de un sistema de N partículas, con masas m1, m2,…,mN, que se mueven por el espacio debido a las fuerzas que las urgen. Supóngase que sobre el sistema operan l constantes holonómicas y que las fuerzas que actúan sobre él son conservadoras, pero también existen fuerzas generalizadas disipadoras. i) Establezca la acción del sistema en el espacio de las fases. ii) Obtenga las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton, a partir de la formulación variacional que se utilizó para encontrarlas en el caso de la ausencia de fuerzas disipadoras en (9.46). 9.6. Considérese la siguiente hamiltoniana para una partícula masiva, que se desplaza en una sola dimensión en el espacio real: (9.253) siendo p el momento lineal de ella. Hallar la forma de Jordan a la que pertenece este caso. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento y dibujar el retrato el mismo. 9.7. ¿Se podría responder a la pregunta de cuál es la forma de Jordan a la que corresponde el caso de la partícula cargada que se mueve en presencia de un campo magnético uniforme del problema 9.4? Supóngase para tal efecto, que el movimiento ocurre únicamente sobre el plano xOy y que el campo de inducción magnética B es constante. 9.8. Considérese la siguiente hamiltoniana: (9.254) donde p es el vector de momento canónico conjugado, dado por la siguiente expresión: (9.255)

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Formalismo de Hamilton

siendo m la masa de la partícula, x es su velocidad, e es la carga eléctrica de este cuerpo, c es la magnitud de la velocidad de la luz en el vacío y A es el vector potencial magnético, considerado en general como una función vectorial del punto y del tiempo; esto es:

Encontrar las ecuaciones diferenciales de movimiento, suponiendo que el vector potencial magnético no depende explícitamente del tiempo. Interpretar los resultados. 9.9. Encuéntrese la forma de Jordan a la que pertenece el caso del péndulo simple, cuando oscila con muy pequeña amplitud. 9.10. Resolver el problema del péndulo físico por el método de las formas de Jordan. Un péndulo físico es un cuerpo rígido de forma arbitraria que oscila debido a la gravedad cuando se le sujeta de uno de sus extremos y se le saca de su posición de equilibrio, como se muestra en la figura 9.6.2. Para resolver este problema supóngase que el momento de inercia y

0 x

C.M.

Mg

Figura 9.6.2. El péndulo físico.

110

Problemas del Capítulo

alrededor del eje que pasa por el pivote es I, constante y, además, que la amplitud de sus oscilaciones es pequeña. 9.11. Demostrar que en el espacio de las fases, la distancia entre dos puntos de una trayectoria del sistema dinámico es igual a cero. 9.12. Demostrar que el espacio de las fases puede ser considerado como un espacio vectorial. 9.13. Propóngase ejemplos de funciones generadoras de clase F3 y F4. 9.14. Demuéstrese que las funciones F1, F2, F3 y F4 generan un grupo de transformaciones canónicas. 9.15. ¿La función generadora F2 genera un grupo? Demostrarlo. 9.16. Demostrar las propiedades (9.219 a), (9.219 b), (9.220) y (9.221) a partir de la definición de los corchetes de Poissón dada en (9.218). 9.17. Demuéstrense las propiedades (9.221 b) así como la regla de Jacobi (9.222). 9.18. Resuélvase el problema de la caída libre de un cuerpo masivo desde una altura h debido a la acción de la gravedad, con el método de las series de Lie. Despréciese la resistencia del aire. 9.19. Considérese el caso de una partícula de masa m que se mueve por el espacio actuada por una fuerza conservadora dada por la fórmula (9.256) siendo f0, a y b constantes. Resolver este problema con el método de las series de Lie. ¿Cómo podría interpretarse este problema? 9.20. Resolver el problema de Kepler con el método de las series de Lie.

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CAPÍTULO 10 LA FORMULACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

10.1. La ecuación de Hamilton-Jacobi Este paseo por la mecánica ya está por terminar. Queda aún un gran tema por revisar y éste es la llamada formulación de Hamilton-Jacobi. Tal como se anunció en el capítulo anterior cuando se trataron las transformaciones canónicas, aquí se va a considerar esa brillante estrategia que consiste en hallar un camino alterno; no necesariamente un atajo, para integrar las ecuaciones diferenciales de movimiento. No es un atajo, porque generalmente este nuevo método resulta más largo que hacer las cosas directamente, tomando las ecuaciones diferenciales de movimiento así como están, sin mayor maquillaje, e integrarlas. Los atajos, por otra parte, son, de acuerdo con su definición, caminos más cortos que conducen a un mismo punto. Así que el método que habrá de utilizarse aquí para resolver problemas de mecánica, en verdad no puede recibir ese apelativo. Se trata de un camino alternativo, más largo, en efecto, pero que muchas veces es lo mejor porque es más simple, o bien sencillamente porque es el último recurso que se tiene cuando todos los demás han fallado. Es como esas hachas y esos martillos que se colocan en algunos edificios públicos, dentro de nichos y cerrados con una puertecilla de vidrio, a los que se les pinta el anuncio: rómpase en caso de emergencia. Así es el método de Hamilton-Jacobi. Pero no es nada más es el herramental para integrar ecuaciones diferenciales difíciles; al igual que otras partes de la mecánica, la formulación de Hamilton-Jacobi ha dado lugar a otros desarrollos. En el campo de la teoría de control, las ideas que aquí serán desarrolladas en seguida dieron lugar a uno de los enfoques más interesantes: la teoría de Pontryagin. Si bien la formulación se debe casi en su totalidad a Hamilton (¡otra vez Hamilton!), debido a que en su desarrollo hizo uso prolijo de las propieda-

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La formulación de Hamilton-Jacobi

des de las ecuaciones diferenciales de primer orden en derivadas parciales y que éste fue uno de los temas que publicó Karl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), es que hasta la fecha esta parte de la mecánica lleva el nombre de los dos personajes. Para comenzar, supóngase nuevamente el caso de un sistema de N partículas masivas, que se mueven por el espacio físico debido a la acción de fuerzas conservadoras y sujeto a l constricciones holonómicas. Sea H la función hamiltoniana de estado dinámico,

que satisface sus ecuaciones diferenciales. Ahora imagínese una transformación canónica, que tiene la propiedad de que la nueva hamiltoniana K no depende de las nuevas coordenadas generalizadas ni de los nuevos momentos; esto es, que tanto nuevas coordenadas, como nuevos momentos, son ignorables. Supóngase que la hamiltoniana tampoco depende del tiempo. Esto significa que todos, nuevas coordenadas y nuevos momentos, son constantes de movimiento. Por su parte, la nueva hamiltoniana, esa función de estado dinámico K, muy bien puede suponerse igual a cero. Entonces, lo que se esta proponiendo es una transformación canónica muy especial: (10.1)

siendo las ´s y las ´s un conjunto de 6N2l constantes de movimiento y, además, con la condición de que la nueva hamiltoniana sea una función nula; esto es: K0

(10.2)

Una transformación canónica de esta naturaleza ha vuelto trivial el problema de las ecuaciones de Hamilton. Pero simultáneamente, al convertir el problema en un asunto trivial, le ha despojado de toda información. Debe ser claro que si las nuevas coordenadas y los nuevos momentos son

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La ecuación de Hamilton-Jacobi

todos constantes, entonces en el espacio de las fases el sistema no es otra cosa que un punto inmóvil. Desde el punto de vista de simplificar el proceso de integración de las ecuaciones de Hamilton, se ha cumplido con el objetivo. Pero ahora toda la información se ha perdido para la nueva hamiltoniana. En alguna parte ha quedado esa información. ¿Y dónde más podría estar sino en la transformación canónica misma? En efecto, pensando en la transformación canónica, como la que se representa esquemáticamente en (10.1), debe quedar claro que se trata de un proceso donde coordenadas generalizadas y momentos son mapeados en un punto del espacio de las fases. Entonces es la propia transformación canónica la que en este proceso se ha quedado con toda la información. Por lo tanto hay que concentrar todo interés y atención en determinar tan nítidamente como sea posible esta transformación. Así, en la medida que se conozca con precisión, se podrá conocer igualmente el movimiento del sistema dinámico. De hecho, si las ´s y las ´s son conocidas y la transformación canónica está determinada, entonces, en el caso en que ésta sea invertible, es posible establecer el problema inverso: (10.3)

En estas condiciones, será posible conocer a las coordenadas y los momentos en todo instante. El problema habrá quedado, así, totalmente resuelto sin haber tenido la necesidad de encararse con engorrosas integrales. Esta es, ni más ni menos, la estrategia que se planteó en el capítulo 9 de este libro y que se ilustró esquemáticamente en la figura 9.4.1. Este es el camino que propuso Hamilton al principio del siglo xix y que se conoce como la formulación de Hamilton-Jacobi. Para atacar el problema, considérese ahora que esta transformación canónica tan peculiar, ha sido generada por una función A que pertenece a la clase F2. Si esto es así, entonces la función generadora debe depender de las “viejas” coordenadas generalizadas y de los “nuevos” momentos (que para este caso son todas las constantes ) y del tiempo; esto es: (10.4)

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La formulación de Hamilton-Jacobi

Y siendo una función de clase F2, según se ha postulado, entonces debe satisfacer las condiciones diferenciales para esta clase de funciones. En (10.204) se obtuvieron de manera general tales condiciones diferenciales; para este caso particular se debe satisfacer que: (10.5 a)

(10.5 b) siendo las ’s constantes de movimiento. (10.5 c) Se conoce a la función generadora A, como la función principal de Hamilton y es ella la que genera, por hipótesis, la transformación canónica (10.1). Para convencerse de que, en efecto, la función principal de Hamilton (10.4) genera, a través de las condiciones diferenciales (10.5 a) y (10.5 b), la transformación canónica buscada, merece la pena estudiar con detalle estas expresiones. Supóngase por el momento que la función principal de Hamilton es conocida, imagínese que se trata de una función que depende de las viejas coordenadas, de los nuevos momentos y del tiempo. Ahora piénsese que esta función es derivada parcialmente, con respecto a cada una de las viejas coordenadas, tal como se establece en (10.5 a). Lo que se obtiene al derivar esta función con respecto a cada q es una nueva función (una por cada derivada) que, en general, se puede entender como dependiente, nuevamente, de las viejas coordenadas, de los parámetros  (los nuevos momentos) y del tiempo. Si se designa a cada una de las funciones que resultan de este proceso de derivación como k, esto es: (10.6)

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La ecuación de Hamilton-Jacobi

entonces, de acuerdo con (10.5 a), lo que se ha obtenido es un sistema de 3Nl ecuaciones simultáneas: (10.7) El mismo razonamiento es válido para la segunda parte de las condiciones diferenciales (10.5 b); es decir, si A es conocida, entonces al derivarla con respecto a cada uno de los parámetros , se va a obtener una función k que, en general, debe suponerse como una función de viejas coordenadas, parámetros  y el tiempo: (10.8) de tal modo que, de acuerdo con (10.5 b) se ha establecido ahora un sistema de 3Nl ecuaciones simultáneas: (10.9) De este último, haciendo únicamente álgebra, es posible imaginar que cada una de las 3Nl coordenadas generalizadas q1,q2,…,q3Nl , puede ser despejada en función de los parámetros , y el tiempo t; esto es: (10.10) Puede ser que este proceso de despejar a las q´s haya sido fácil, o bien puede ocurrir que su obtención haya sido toda una obra al ingenio y el talento algebraico, pero en todo caso, es posible imaginar que se puede realizar a partir de (10.9) Una vez despejadas las coordenadas, se puede ahora sustituir cada una de ellas, tal como se ve en (10.10), en las expresiones (10.7). Así, lo que queda son 3Nl momentos generalizados, en términos de los parámetros (10.11) Lo que se ha obtenido son las fórmulas paramétricas de coordenadas y momentos, en función del tiempo. En otras palabras, se trata de toda una

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La formulación de Hamilton-Jacobi

familia de trayectorias en el espacio de las fases, o bien, recordando la nomenclatura dada en el capítulo 9 para esto, es el retrato del sistema dinámico. Una de esas trayectorias es la que en verdad sigue el sistema, de acuerdo con las condiciones iniciales a las cuales se le haya sometido. Para conocer cuál de todas las trayectorias del retrato es la que realmente va a seguir, es necesario procesar un poco más la información de (10.10) y (10.11). Por ejemplo, si se despeja a los parámetros  y  de estas expresiones (también haciendo únicamente álgebra), se obtendrá lo siguiente: (10.12 a) (10.12 b) Estas son las expresiones para una transformación canónica de “viejas” a “nuevas” coordenadas y momentos; son las que se describen genéricamente en (10.1). Ahora, si se establecen las condiciones iniciales y éstas se inscriben en (10.12) en la forma de valores de las coordenadas y los momentos correspondientes al instante t0, se tiene que: (10.13 a) (10.13 b) Esto significa que los parámetros  y  (6N2l constantes) han quedado totalmente determinados. Finalmente, sustituyendo estas funciones de las condiciones iniciales, de vuelta en (10.10) y (10.11), se obtendrá: (10.14 a)

(10.14 b) Estas son las ecuaciones de movimiento del sistema, en términos de sus condiciones iniciales. El problema ha quedado resuelto. Para llegar a la solución lo único que hubo necesidad de hacer, fue derivar, para obtener

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La ecuación de Hamilton-Jacobi

(10.10) y (10.11), y luego hacer una manipulación algebraica, a fin de despejar a las coordenadas y los momentos en términos de las condiciones iniciales del problema. Quizá pueda parecer que este procedimiento es latoso y cansado, puede que lo sea, sin embargo, nadie puede negar que derivar y hacer álgebra es algo en general mucho más simple que integrar las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton. Bueno, el problema en verdad puede quedar resuelto siguiendo el procedimiento que se ha descrito, siempre y cuando se cumpla con la hipótesis original que dio lugar al desarrollo, a saber, que se tenga a la mano la función principal de Hamilton. Pero aquí es donde surge la pregunta: ¿cómo puede obtenerse esta función?, porque si no se tiene, nada de lo que se propuso puede realizarse, y para todo fin práctico el problema está como al principio. Hay, en verdad, una forma de conseguir a la función principal de Hamilton. Para hacerlo es necesario reparar en una condición diferencial que aún no ha sido explorada: se trata de la (10.5 c). Recordando que la hamiltoniana es función de las coordenadas generalizadas y de los momentos canónicos conjugados, se puede volver a escribir esta misma expresión de la siguiente manera: (10.15) en donde se ha sustituido, en vez de los momentos, las derivadas parciales de la función principal de Hamilton, con respecto a las coordenadas generalizadas, tal como lo indican las condiciones diferenciales para esta función, expresadas en (10.5 a). Una nueva mirada sobre la expresión (10.15) revela que se trata de una ecuación diferencial de primer orden, en las derivadas parciales de la función principal de Hamilton, A. Se trata de la llamada ecuación de HamiltonJacobi. Una siguiente mirada sobre ella descubrirá que resolver esta ecuación diferencial significa, ni más ni menos, que obtener dicha función. Como todas las ecuaciones diferenciales se hicieron para ser integradas, y ya que ésta es una ecuación diferencial, entonces es lo que se estaba buscando para obtener la función principal de Hamilton. Este es el eslabón que aún faltaba para tener completa la formulación del problema: dada la hamiltoniana del sistema, donde aparezcan los momentos, se sustituyen éstos por las derivadas parciales de la función principal de

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La formulación de Hamilton-Jacobi

Hamilton con respecto a las correspondientes coordenadas. Luego, se le suma la derivada parcial de A con respecto al tiempo, tal como lo indica la expresión (10.15) y con esto se ha planteado la ecuación de Hamilton-Jacobi. Una vez establecida la ecuación diferencial, se integra y con ello se obtiene la función principal de Hamilton correspondiente al problema que se trata. Teniendo la función, lo que se debe hacer es el álgebra que se mencionó anteriormente y ya está, el problema queda resuelto. Es interesante investigar un poco más acerca de la naturaleza de la función principal de Hamilton. Tomando su derivada total respecto del tiempo, y de acuerdo con su dependencia funcional, se tiene que

Pero las derivadas con respecto a las coordenadas son los momentos, según se ve en (10.5 a) y la derivada temporal, de acuerdo con (10.15), es la hamiltoniana, tal como se deduce de (10.5 c), así que: (10.16) por lo tanto, integrando se obtiene que: (10.17) ¡que es la acción! Así, se puede ver que la función principal de Hamilton es la acción. Aquí la mecánica ha dado una vuelta completa y ha llegado al punto de partida. En términos generales así debe procederse con la formulación de Hamilton-Jacobi. Claro que hay aún muchos detalles que es necesario aclarar para tener la idea precisa del método que ha de seguirse para resolver los problemas de la mecánica. Un primer detalle que vale la pena mencionar ahora es el que se refiere al caso conservador. Supóngase para tal efecto que la hamiltoniana del sistema no depende explícitamente del tiempo; en estas circunstancias, la ecuación de Hamilton-Jacobi:

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La ecuación de Hamilton-Jacobi

(10.18) se puede separar en una parte que contenga los términos espaciales y otra que contenga únicamente la parte temporal. Así, haciendo esta separación, se puede escribir lo siguiente: (10.19 a)

(10.19 b) siendo E una constante. De (10.19 b) se ve que la función principal de Hamilton puede aceptar la siguiente expresión: (10.20) sustituyendo (10.20) en (10.19 a) se consigue: (10.21) A la función W definida en (10.20) se le conoce como función característica de Jacobi. En términos de las derivadas de esta función con respecto a las coordenadas generalizadas queda ahora la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.21). Por ejemplo, si se desea resolver un problema de cuerpo masivo que se mueve bajo el efecto de una fuerza conservadora central, su hamiltoniana, como se sabe, es la siguiente: (10.22) La ecuación de Hamilton-Jacobi para este caso se construye simplemente sustituyendo en (10.21) una derivada de la función principal de Hamilton por cada una de las componentes del vector de cantidad de movimiento y

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La formulación de Hamilton-Jacobi

luego, sumando la derivada temporal de A al final, tal como se expuso en los párrafos anteriores; esto es: (10.23)

Se trata de una ecuación diferencial en derivadas parciales de la función principal de Hamilton, con respecto a cada una de las coordenadas y con respecto al tiempo. Es de primer orden, pero de segundo grado en la parte espacial. En el caso particular que aquí se observa, la hamiltoniana no depende del tiempo, así que la ecuación admite una separación de su variable temporal como se vio anteriormente. Para ello se construye ahora la función característica de Jacobi haciendo: (10.24) Con esta separación se satisface la parte temporal de inmediato y la nueva ecuación de Hamilton-Jacobi es la siguiente: (10.25)

Un largo y complicado proceso es el que hay que desarrollar una vez que se ha planteado la ecuación diferencial (10.25), para culminar, con suerte, con la solución de la misma. En esta etapa introductoria del capítulo no se irá más allá que el planteamiento de la ecuación, con la idea de mostrar simplemente la forma en que se debe proceder para establecerla. Cabe aquí aún una observación más y ésta se refiere a la constante de movimiento E con la cual se separó la ecuación completa (10.23) y se pudo escribir la (10.25); en este caso esta constante se debe identificar, indudablemente, con la energía total. Pero no se crea que esta constante surgió de la nada para llegar a la ecuación (10.25). Ésta se debe identificar como uno de los parámetros , de los que depende tanto la función principal A como la función característica de Jacobi W. Para una sola partícula que se mueve por el espacio físico, como es el ejemplo que aquí se considera, debe haber un total de tres parámetros ,

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La ecuación de Hamilton-Jacobi

así que la energía total E debe identificarse con uno de ellos. Esto es importante porque suponiendo que la ecuación (10.25) haya sido resuelta, entonces se tiene la forma explícita de la función de Jacobi. En este momento hay que pasar a la siguiente etapa del proceso, que consiste en aplicar la función principal a la que se ha llegado a las condiciones diferenciales; esto es: (10.26)

(10.27 a)

(10.27 b)

(10.27 c) en donde se ha designado a los parámetros como 1,2 y E, y a sus canónicos conjugados como 1,2 y 0, respectivamente. Con las relaciones diferenciales, evaluadas para la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.25), se obtiene un juego de seis ecuaciones simultáneas que es necesario manipular algebraicamente, como ya se describió, hasta obtener las siguientes soluciones:

(10.28)

Para familiarizarse con todas la etapas de esta formulación, vale la pena en este punto resolver, completo, un ejemplo ilustrativo. Es preferible resolver un problema muy simple para no perderse en complejidades que pueden enturbiar la estrategia de solución, así que se considerará de nueva cuenta el caso del oscilador armónico simple. Considérese pues, la hamiltoniana para resolver el oscilador armónico simple:

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La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.29) Se trata de un sistema con un solo grado de libertad, así que la función principal de Hamilton correspondiente debe concebirse como una que depende de una sola variable x y de un solo parámetro E: (10.30) Además, debido a su estructura, se trata de un problema en el que no aparece explícitamente el tiempo, de manera que se puede hacer la separación: (10.31) La ecuación de H-J para este caso es entonces la siguiente: (10.32) Se ha escrito una derivada parcial de la función característica de Jacobi, a pesar de que ésta solamente depende de una variable: x, porque no se debe olvidar que W también depende de un parámetro E que, si bien es una constante de movimiento, habrá que evaluar más adelante una derivada de ella con respecto a E. Despejando la derivada de (10.32) se tiene: (10.33)

así que integrando se puede obtener la función característica de Jacobi: (10.34)

de donde la función principal de Hamilton es

124

La ecuación de Hamilton-Jacobi

(10.35)

por consecuencia, la segunda condición diferencial se puede calcular ahora de la siguiente manera: (10.36)

Afortunadamente esta integral se puede realizar fácilmente. El resultado es el siguiente: (10.37)

en donde se ha escogido el signo negativo y se ha identificado como 0 a la frecuencia angular del oscilador (10.38) La expresión (10.37) a la que se ha llegado después de haber derivado la función principal de Hamilton con respecto al (único) parámetro E, es de la misma naturaleza de esas otras que se mencionaron en (10.9); esto es, una función del parámetro y de la coordenada. Invertir esta función es muy fácil. Haciéndolo se obtiene ahora una expresión muy sugestiva: (10.39) Esta fórmula recuerda la otra que se mencionó en (10.10) donde se propuso la inversión de (10.9). Y siguiendo con la misma estrategia, ahora lo que se debe hacer es sustituir (10.39) en (10.33); lo que se consigue es lo siguiente:

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La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.40) Para concluir con el proceso, es necesario imponer las condiciones iniciales del problema. En el caso del oscilador armónico simple, lo que se acostumbra es que comienza a contar el tiempo a partir de que se estira al máximo el resorte y entonces se suelta al cuerpo para que inicie su movimiento oscilatorio. Traducido a símbolos matemáticos, esta condición se establece así: En t0 la elongación del resorte es (la máxima) l y su momento inicial es nulo: (10.41 a) (10.41 b) De (10.41 a) se ve que una posible solución es que el parámetro  tenga el valor cero (o cualquier múltiplo entero de ):

0

(10.42 a)

sustituyendo este valor inicial en (10.41 b), se obtiene, consecuentemente, que el valor del otro parámetro es (10.42 b) Así, la solución ha quedado especificada en términos de las constantes que caracterizan al problema particular: (10.43 a) (10.43 b)

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Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo

10.2. Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo Muy desafortunadamente, excepto por algunos ejemplos de gran simplicidad en la mecánica, aquellos como el oscilador armónico simple que acaba de ser tratado, la mayoría de los problemas en este tema resultan en una ecuación diferencial tremendamente complicada, cuya solución exacta es imposible de obtener por los métodos tradicionales. Estas complicaciones han llevado a los desesperados físicos y matemáticos a desarrollar algunos de los más poderosos procedimientos del cálculo de la física teórica. Uno de los métodos más antiguos que se desarrollaron para ayudarse a encontrar soluciones, al menos aproximadas de la ecuación de Hamilton-Jacobi, es la llamada teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo. En un sentido riguroso, no se trata de una auténtica teoría; más propiamente se le puede ubicar como un procedimiento o un método; sin embargo, se ha quedado el nombre y ya se ha vuelto una costumbre mencionarlo así. Este método se puede aplicar si un cuerpo está sujeto a ciertas fuerzas que en verdad puedan ser identificadas como perturbaciones; esto es, agentes físicos que influyen mínimamente sobre un sistema dinámico dado. Se supone, así, que un sistema urgido por alguna perturbación se comporta en una forma similar a otro idéntico que no la experimenta. Esto significa que la perturbación es un efecto secundario. Ahora bien, supóngase un sistema dinámico, cuya hamiltoniana noperturbadora es H0(q,p,t). Supóngase además que para esta hamiltoniana se conoce perfectamente la solución y que ésta se ha hallado mediante la formulación de Hamilton-Jacobi, con una función principal A(q,,t). Esta función satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.44)

así como las condiciones diferenciales (10.45 a)

127

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.45 b) siendo ´s y ´s parámetros constantes. Por otra parte, supóngase un sistema dinámico idéntico al anterior, pero que se encuentra urgido por una hamiltoniana H(q,p,t). Imagínese que esta hamiltoniana se escribe como (10.46) esto es, como la suma de la hamiltoniana no-perturbadora, más otra función, a la cual se le llamará en adelante la hamiltoniana de perturbación. Se supondrá que esta función, en efecto, significa una pequeña perturbación sobre el movimiento original (no perturbado) del sistema. La transformación canónica generada por la función principal de Hamilton A puso en correspondencia coordenadas y momentos (q,p) con los parámetros (,). Estos parámetros resultaron todos constantes y la nueva hamiltoniana no-perturbadora es nula, tal como lo demanda la formulación de Hamilton-Jacobi. La misma función A puede ser empleada ahora para generar una transformación canónica para el caso perturbado, y las nuevas coordenadas y momentos pueden designarse nuevamente como ´s y ´s respectivamente. Pero, respecto de la nueva hamiltoniana, estas nuevas ´s y ´s ya no son necesariamente constantes y la nueva hamiltoniana ya no tiene por qué ser nula. En este caso, la nueva hamiltoniana es (10.47) tal como establece la condición (9.203 c) para funciones de clase F2. Pero debido a (10.46), sustituyendo en (10.47) se tiene que: (10.48) si se toma en cuenta la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.44) para el sistema no perturbado, se ve que la expresión (10.48) se reduce a lo siguiente:

128

Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo

(10.49) Esto significa que la hamiltoniana que ha resultado de la transformación canónica generada por A es la misma función que la hamiltoniana de perturbación, con las variables (q,p) transformadas a (,). Ahora, si la nueva hamiltoniana satisface sus propias ecuaciones de Hamilton, entonces se debe tener, por virtud de (10.49), que: (10.50 a)

(10.50 b) donde, por supuesto, los parámetros  y  ya no son constantes. Si en efecto, la hamiltoniana de perturbación h representa una pequeña alteración del movimiento no-perturbado del sistema, entonces a un orden nulo (cuando la perturbación no existe), la derivada de esa hamiltoniana con respecto a las ´s o las ´s deber ser igual a cero. Pero si la hamiltoniana de perturbación es pequeña pero no nula, entonces, a primer orden, sus derivadas son como haber evaluado esas operaciones en los valores no-perturbados (constantes) de los parámetros; esto es, que a primer orden

(10.51) y lo mismo para las derivadas con respecto a las ´s. Aquí, en (10.51) se han omitido los índices k por facilidad en la notación, pero debe recordarse que en el caso general, se trata de 3Nl ´s y 3Nl ´s. Además, en (10.51) se ha escrito 0 para significar el valor no-perturbado, constante del parámetro. Por otra parte, si en verdad se trata de una pequeña perturbación, los parámetros no deben variar drásticamente y como 0 es constante, entonces (10.52 a)

129

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.52 b) es decir, que la derivada temporal de los parámetros es, a primer orden de aproximación, igual a la derivada temporal de esos parámetros evaluados al primer orden en la perturbación. Por lo tanto, en este orden, de acuerdo con (10.51) y (10.52) se tiene que: (10.53 a)

(10.53 b)

El mismo razonamiento se puede hacer para proponer las ecuaciones diferenciales a un segundo orden de aproximación. Así, a este orden, las derivadas de la hamiltoniana de perturbación se obtienen evaluándolas en los valores de los parámetros de primer orden. Por lo tanto: (10.54 a)

(10.54 b)

y en general, al n-ésimo orden de aproximación: (10.55 a)

(10.55 b)

130

Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo

Se trata de un proceso iterativo que se debe seguir paso a paso, hasta alcanzar el orden de aproximación deseado para la solución. Así, resolviendo las ecuaciones de Hamilton no perturbadoras, se obtiene, por el método de Hamilton-Jacobi, los valores de los parámetros 0´s y 0´s a orden cero de la aproximación. Estos valores son los que hay que utilizar para evaluar las ecuaciones de primer orden (10.53). Con estás se obtienen 1 y 1, mismos que se usan en (10.54) para alcanzar el segundo orden de aproximación y así sucesivamente. Nada mejor que un ejemplo simple para ilustrar el procedimiento. Considérese el caso de un cuerpo masivo, con masa m, que se mueve por el espacio, libre de fuerzas. Este es el caso no perturbado y la correspondiente hamiltoniana es sencillamente (10.56) donde p es el momento lineal en una sola dimensión. La ecuación de Hamilton-Jacobi para este cuerpo es (10.57) Se puede separar la parte espacial y la parte temporal. Si se supone que (10.58) entonces la solución de la ecuación (10.57) es la siguiente: (10.59) Por lo tanto, invocando a las condiciones diferenciales (10.5 a y b) se obtiene que: (10.60 a)

131

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.60 b) La segunda condición, la (10.60 b), expresa lo que ya se sabía desde el principio y es que el momento lineal se conserva. La expresión (10.60 a) se puede despejar para dar el siguiente resultado: (10.61) que también es trivial, pues concluye que el cuerpo se mueve en línea recta y con velocidad constante. Los parámetros  y  son en este caso constantes, con dimensiones de longitud y de cantidad de movimiento, respectivamente. Pero ahora supóngase que un cuerpo idéntico al anterior se mueve bajo la acción de una fuerza perturbadora, de tal manera que su hamiltoniana sea la siguiente: (10.62) esto es, que una vez más aparece aquí el oscilador armónico simple. En esta ocasión, la fuerza debida al resorte se representa como una perturbación de la hamiltoniana libre dada en (10.56) y que tiene la siguiente forma: (10.63) En términos de los parámetros  y  de acuerdo con (10.61), la hamiltoniana de perturbación es la siguiente: (10.64) Entonces, las ecuaciones diferenciales de perturbación (10.50) son, para este caso:

132

Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo

(10.65 a)

(10.65 b) Lo que es necesario hacer ahora es plantear las ecuaciones diferenciales de perturbación (10.53), (10.54), etc. y resolverlas sucesivamente. Así, comenzando con la primera de ellas, se tiene que, a primer orden: (10.66 a)

(10.66 b)

Integrándolas se obtiene lo siguiente: (10.67 a)

(10.67 b) Estas son las soluciones a primer orden de perturbación. Para hallar a un orden superior los resultados para este problema, es necesario regresar a la fórmula (10.54), o bien sustituir directamente los resultados (10.67) en las ecuaciones diferenciales (10.65) evaluadas a este orden de aproximación; esto es: (10.68 a)

(10.68 b)

133

La formulación de Hamilton-Jacobi

por lo tanto, ahora se tiene que, sustituyendo (10.67) en (10.68): (10.69 a)

(10.69 b)

Integrando de nueva cuenta las ecuaciones diferenciales, se obtiene lo siguiente: (10.70 a)

(10.70 b)

Conviene realizar un esfuerzo intelectual más y obtener las soluciones para un orden superior de aproximación. Así, las nuevas ecuaciones diferenciales son: (10.71 a)

(10.71 b)

Integrando, se obtiene ahora: (10.72 a)

134

Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo

(10.72 b)

El procedimiento se puede continuar al orden de aproximación que se desee. Por supuesto, mientras mayor sea el número de términos que se evalúen, mejor será esa aproximación y la solución final se acercará más a su valor exacto. Aquí se dejará el desarrollo únicamente hasta el tercer orden en la perturbación. El valor de los parámetros  y  será entonces: (10.73 a)

(10.73 b) Sustituyendo los valores obtenidos para las integraciones (10.67), (10.70) y (10.72) en los desarrollos (10.73 a) y (10.73 b) se obtiene, después de arreglar términos, lo siguiente:

(10.74 a)

(10.74 b) Ahora, una vez que se han obtenido los valores de los parámetros  y , tal como se ve en (10.74 a) y (10.74 b), lo que se debe hacer en seguida es sustituirlos en (10.61) y (10.60 b) para obtener los valores de la coordenada y del momento, respectivamente.

135

La formulación de Hamilton-Jacobi

Así, sustituyendo en (10.61), se llega al siguiente resultado:

(10.75 a)

(10.75 b) De inmediato se reconoce en estas series las funciones circulares que caracterizan al movimiento del tantas veces citado oscilador armónico simple: (10.76 a) (10.76 b) y para tener las soluciones finales de este problema solamente faltan las condiciones iniciales. Si, por ejemplo, éstas se establecen afirmando que el instante t  0 el oscilador se halla a su máxima elongación y en reposo; esto es, en

t  0:

x (0)  l;

p(0)  0

(10.77)

entonces se obtiene lo siguiente: (10.78 a)

136

Método de las variables separables

(10.78 b) con (10.79 a) (10.79 b) De esta manera ha quedado resuelto el problema. En realidad, hay que reconocerlo, el problema mismo del oscilador armónico simple tal vez carezca de importancia en sí mismo, lo interesante es que se trata de un caso de la mecánica, que por ser tan sencillo, se presta para ensayar métodos de resolución novedosos como este de las perturbaciones dependientes del tiempo. Siendo tan conocida su formulación final, se puede contrastar aquella que se ha obtenido con el nuevo procedimiento y ponderar la validez y utilidad de éste. Así ha ocurrido nuevamente con la teoría de las perturbaciones. Además, siguiendo paso a paso esta programación, se podrán atacar y resolver otros problemas de la mecánica más interesantes y complicados. Finalmente, cabe aclarar que con este método se está a un paso nada más de abordar los problemas desde una nueva perspectiva, a saber, la de la computadora. Debe ser claro, a estas alturas, que cada uno de los pasos matemáticos que se dieron ahora son perfectamente trasladables a un lenguaje de computación y confeccionar un programa automatizado. Con ello se podrá llevar este engorroso problema a una máquina que con enorme rapidez alcanzará el resultado deseado con gran precisión.

10.3. Método de las variables separables Fuera de los problemas simples, en una sola dimensión, sujetos a una pequeña perturbación dependiente del tiempo, en general, la ecuación de Hamilton-Jacobi se complica mucho. Entonces, casi el único método que se puede emplear para tratar de hallar soluciones es el de separación de variables. Por supuesto, cabe recordar que una ecuación diferencial en derivadas, parciales, como es la ecuación de Hamilton-Jacobi, bien tiene solución, en cuyo caso es infinito el número de ellas, o no tiene solución en absoluto. Este procedimiento, el método de separación de variables, permite obtener

137

La formulación de Hamilton-Jacobi

una clase de estas soluciones. Para aplicarlo hay que comenzar por suponer que la hamiltoniana no depende explícitamente del tiempo; esto es, se trata de problemas conservadores, con la ecuación de Hamilton-Jacobi de la forma (10.80)

Como se recordará de la sección 10.1, en este caso puede hacerse una primera separación, mediante el procedimiento de expresar a la función principal de Hamilton como la diferencia de la función característica de Jacobi y un término lineal en el tiempo: (10.81) siendo 0 uno de los 3Nl parámetros con características de momentos generalizados, que son constantes de movimiento. Con la definición (10.81) se expresa ahora a la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo: (10.82)

Es aquí donde cabe proponer el método de separación de variables. Para ello debe suponerse que la función característica de Jacobi se puede expresar de la siguiente manera: (10.83)

donde las funciones de Jacobi parciales, W(n)(qn,), debe imaginarse que dependen únicamente de una coordenada generalizada, así como de los (3Nl ) parámetros 1,2,…,etc., en general. Así por ejemplo, W(1) depende de la coordenada q1,W(2) depende de la coordenada q2, etc. Sustituyendo esta función de Jacobi se puede separar la ecuación de un conjunto de

138

Método de las variables separables

(3Nl ) ecuaciones diferenciales que dependen, cada una, de una sola variable. Entonces es posible intentar su integración. Supóngase por ejemplo, el problema en 3D de un cuerpo masivo que se mueve por la acción de una fuerza central conservadora, tal que su función hamiltoniana sea como la siguiente: (10.84) en donde pr,p y p son los momentos canónicos conjugados a la variable radial r, a la coordenada cenital  y a la coordenada azimutal , respectivamente. Asimismo, V(r) representa a la función de energía potencial, que por hipótesis solamente depende de la distancia radial. La ecuación de Hamilton-Jacobi se construye sustituyendo por cada uno de los momentos generalizados, una derivada parcial; aquélla para la función principal de Hamilton, A, con respecto a la correspondiente coordenada, y luego añadiendo la derivada parcial con respecto al tiempo, de esta función; es decir:

(10.85) La función principal de Hamilton debe suponerse que depende de r, de , de y de tres parámetros, 0,1 y 2, además del tiempo; o sea: (10.86) La primera separación consiste en aislar la parte temporal, mediante la introducción de la función característica de Jacobi, tal como se indica en (10.81):

(10.87) para obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo:

139

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.88) Ahora supóngase que se hace la separación de la función de Jacobi, tal como se indica en (10.83); esto es: (10.89) en donde se escribe simplemente una , para significar a todo el conjunto de estos parámetros. Con la separación propuesta en (10.89), la ecuación de Hamilton-Jacobi adquiere ahora la siguiente expresión:

(10.90) En (10.90) se sigue utilizando el símbolo de derivada parcial, a pesar de que la función ya solamente depende de la variable con respecto a la cual se realiza la derivación, porque no se debe olvidar que también depende de los parámetros 0,1 y 2. Multiplicando a (10.90), miembro a miembro por r2, se puede realizar ahora una primera separación de sus variables; en efecto, haciendo esta operación se obtiene que:

(10.91) De esta forma, la parte radial ha quedado aislada del resto de los términos. Es posible ahora proponer que cada una de estas porciones sea, por su parte, igual a alguno de los parámetros:

140

Método de las variables separables

(10.92)

(10.93)

A su vez, siguiendo un procedimiento similar, es posible separar la ecuación diferencial (10.92), que aún depende de dos variables, en dos ecuaciones diferenciales. Para lograrlo basta con multiplicar ahora (10.92) por el cuadrado de la función seno del ángulo cenital: (10.94)

Cada una de las partes angulares puede ahora hacerse igual a una constante; este es el parámetro que aún falta para volver explícito el procedimiento: (10.95)

(10.96)

Así, la ecuación de Hamilton-Jacobi ha quedado totalmente separada en tres ecuaciones diferenciales; una por cada coordenada generalizada, que pueden ser llevadas a sendas cuadraturas: (10.97)

141

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.98)

(10.99) Integradas estas cuadraturas, es necesario hacer ahora el viaje de regreso; es decir, las soluciones se deben sumar de acuerdo con la expresión (10.89) para obtener la función característica de Jacobi. Con ella se pasa a (10.87), donde la función principal de Hamilton para este problema queda determinada. Después de esto comienza el álgebra, pues deberán imponerse las condiciones diferenciales para esta función, de las cuales eventualmente se conseguirán las soluciones del problema. No es el caso resolver el problema ahora, si bien las bases han sido echadas para ello. Solo faltaría especificar la función energía potencial para realizar este objetivo y ejecutar las integraciones en (10.97) y (10.98). Lo que en cambio resulta muy importante en este momento es sacar ciertas conclusiones de carácter general acerca del procedimiento que se siguió para el ejemplo del campo central. Por ejemplo, se puede entender ahora que la hamiltoniana (10.82) se puede escribir en términos de las funciones de Jacobi parciales (10.83) como (10.100)

y multiplicando miembro a miembro de (10.100) por alguna función que en general depende de todas las coordenadas generalizadas, excepto una, f (q1q2…q3Nl1), se realiza una primera separación de la ecuación de Hamilton-Jacobi:

(10.101)

142

Método de las variables separables

en donde el término de la derecha en (10.101) es una parte de la ecuación de H-J que ha quedado aislada del resto y que ya solamente depende de una variable, tal como se hizo en (10.91). El segundo sumando es la hamiltoniana H * que depende de todas las coordenadas, menos qk. Ahora es posible hacer la primera separación, igualando la hamiltoniana H(k) a uno de los parámetros; es decir: (10.102)

en tanto que el otro sumando se ve de la siguiente manera: (10.103)

Tanto en (10.101) como en (10.103) se ha dibujado la hamiltoniana H * como una función que depende de las coordenadas q , significando con ello que se trata del conjunto de las 3Nl1 coordenadas restantes, una vez que se ha separado a la coordenada qk. Asimismo, la sumatoria

debe entenderse que se realiza sobre todos los valores del índice n , exceptuando k. La ecuación diferencial (10.102) ya solamente depende de una variable: la coordenada generalizada qk, así que, en principio, es posible llevarla de inmediato a una cuadratura, tal como se hizo en el ejemplo del campo central con la parte radial en (10.93) y (10.97). Por su parte, a la ecuación diferencial (10.103) se le somete ahora a un proceso idéntico a aquel al que se sujetó la ecuación original; esto es, se le multiplica por otra función de las coordenadas que aún restan, menos una, para hacer una nueva separación y así sucesivamente, hasta que todas las partes hayan quedado aisladas, como en el ejemplo anterior. Lo

143

La formulación de Hamilton-Jacobi

que se obtiene al final es un conjunto de ecuaciones diferenciales de la forma (10.104)

que dependen, cada una de ellas, de una variable, y que pueden ser llevadas a cuadraturas. Una vez integradas, se obtienen las funciones parciales de Jacobi W(1),W(2),… etc. que, sumadas, dan la función característica, de acuerdo con (10.83) y ésta, a su vez, la función principal de Hamilton (10.105)

sujeta a las condiciones diferenciales (10.106)

sin regla de suma sobre los índices repetidos, y (10.107)

(10.108)

donde los momentos pn son funciones de su respectiva coordenada canónica y de los parámetros, únicamente. De esta manera, la ecuación de Hamilton-Jacobi ha sido separada en partes que pueden, en principio, ser integradas, y luego la función principal de Hamilton puede ser reconstruida, como se indica en (10.105), y sujeta a las

144

Los parámetros de acción del ángulo

condiciones diferenciales (10.106), (10.107) y (10.108). En este punto, todo es cosa de hacer álgebra y despejar las coordenadas y los momentos como funciones de los parámetros y del tiempo.

10.4. Los parámetros de acción del ángulo Una vez que la ecuación de Hamilton-Jacobi ha sido completamente separada en 3Nl ecuaciones diferenciales, es posible resolverlas, tal como se mencionó en la sección anterior. Lo que se obtiene como resultado de esas integraciones son las funciones características parciales; 3Nl funciones de Jacobi dependen, cada una, de una sola coordenada generalizada, así como de los parámetros . Como consecuencia de este hecho, a la hora de calcular las derivadas de la función principal de Hamilton con respecto a las coordenadas generalizada, se hallan los momentos canónicos conjugados a ellas, tal como se muestra en la expresión (10.106). Pero lo realmente ineteresante es que cada uno de los momentos generalizados que resultan de esa operación es una función que depende únicamente de su correspondiente coordenada generalizada; esto es: (10.109) sin regla de suma y parámetros 12…3Nl. O sea que cada momento es una función de una sola variable: su coordenada generalizada. Esto significa que el espacio de las fases del sistema se puede descomponer en 3Nl subespacios de dos dimensiones cada uno y la trayectoria del mismo se construye con las 3Nl proyecciones en cada uno de esos subespacios. Para expresarlo en una forma más simple, se puede entender este hecho como sigue: se pueden dibujar 3Nl familias de curvas, una en cada uno de los planos de pn vs qn (n1,2,… 3Nl ), parametrizadas por el conjunto (2, 2…3Nl ). Estas curvas son las proyecciones de una trayectoria del sistema. A cada uno de los planos (2-D) se les denomina simplemente planos n y cada familia de curvas dibujadas en esos planos recibe el nombre genérico de órbitas. Por citar un ejemplo, considérese el caso de un péndulo que oscila en tres dimensiones; esto es, un péndulo esférico, con longitud constante, que se

145

La formulación de Hamilton-Jacobi

z

0

y p l

x mg

Figura 10.4.1. Un péndulo oscila en tres dimensiones debido a la gravedad. La longitud l es variable.

mueve por la acción de la gravedad. Su función hamiltoniana se puede escribir, en coordenadas caartesianas, de la siguiente manera: (10.110) donde a es una constante. En este caso, el plano-3; se constituye con el tercer momento (pz) y su correspondiente coordenada (z). Claramente se puede apreciar que las órbitas en este plano constituyen una familia de parábolas, tal como se muestra en la figura 10.4.2. Para comprobar esta afirmación basta con percatarse que la ecuación de Jamilton-Jacobi es la siguiente:

(10.111)

así que la separación de variable se puede hacer así:

146

Los parámetros de acción del ángulo

pz 0

z 0

Figura 10.4.2. Plano-3 para el péndulo trdimensional de la figura 10.4.1. La familia de curvas son las órbitas.

(10.112)

(10.113)

En efecto, la fórmula (10.113) describe matemáticamente una familia de parábolas horizontales en el palno pz vs z, parametrizada por 0 y 3. En el capítulo 9, cuando se vieron los sistemas dinámicos, se pudieron apreciar los distintos casos de Jordan que dan lugar a diferentes retratos en el plano p vs q (en ese capítulo, por sencillez, se llamó simplemente x1 y x2 ó y1 y y2 a las parejas de momento y coordenada). En ese contexto, se vio cómo cada caso da por resultado una familia de órbitas específicas. De particular interés son las órbitas que se generan cuando se tiene un potencial cuadrático; es decir, cuando la hamiltoniana es de la forma

147

La formulación de Hamilton-Jacobi

p



q

Figura 10.4.3. Órbitas para un sistema dinámico sujeto a un potencial cuadrático. En este plano n, se exhibe el movimiento de libración.

(10.114) y el potencial u(x) es del tipo (10.115) Como se recordará, el retrato de un sistema así es una familia de elipses en el palno p vs q; se trata de curvas cerradas. Este hecho indica que el sistema es periódico, tanto en su coordenada como en su momento. A un movimiento de esta naturaleza se le llama genéricamente, una libración. Así pues, una libración corresponde a órbitas cerradas en el plano n correspondiente. El oscilador armónico, o el péndulo simple, cuando oscila con amplitudes pequeñas, corresponden a este caso de libración en el plano n. También el problema de Kepler corresponde a libraciones, como puede verse en la figura 9.13. En la mecánica, muchos son los ejemplos de sistemas dinámicos que exhiben este efecto de libración y que dan como resultado órbitas cerradas, al menos en alguno de sus planos n.

148

Los parámetros de acción del ángulo

p

0 /2

/2

Figura 10.4.4. Órbitas periódicas en p son el retraro de un péndulo que no oscila, sino que gira. A esta órbita se le llama rotación.

Muy distintas son las órbitas que exhibe, por ejemplo, un péndulo cuando en vez de oscilar ejecuta vueltas completas alrededor de su pivote. En este caso se tiene una hamiltoniana del tipo siguiente: (10.116) ahora ya no es posible hacer la hipótesis de amplitudes perqueñas, con la cual la energía potencial queda como una forma cuadrática. Si el péndulo da vueltas alrededor del pivote, entonces hay que tomar el coseno completo en (10.116) y en tal caso lo que se tiene es una función periódica. En tales circunstancias, al dibujar una gráfica en el plano (p), lo que se obtiene es algo como lo mostrado en la figura 10.4.4. En este caso se dice que las órbitas corresponden a un movimiento de rotación. Se trata de curvas múltiplemente valuadas, y aunque están acotadas en p no lo están en el eje de las abscisas. Si se traza el retrato de un péndulo como éste para todas las posibles oscilaciones, lo que se ve es algo como lo que muestra en la figura 10.4.5.

149

La formulación de Hamilton-Jacobi

Figura 10.4.5. Retrato del movimiento de un péndulo mostrando la rotación y la libración.

En esta figura se han trazado tanto las curvas que corresponden a amplitudes grandes, como a las de amplitudes pequeñas. Como se puede apreciar, el péndulo exhibe igualemente rotaciones y libraciones. Muchos sistemas dinámicos exhiben comportamientos periódicos que corresponden, bien sea a libraciones como a rotaciones. En particular resulta de gran importancia para la formulación de Hamilton-Jacobi, el caso de las libraciones; esto es, movimientos acotados, tanto en las coordenadas, como en sus correspondientes momentos, que dan lugar en los planos n a figuras cerradas. En el caso de órbitas cerradas en el plano n, es posible postular la existencia de ciertos parámetros interesantes. Se definen, en efecto, los parámetros de acción como sigue: (10.117) sin regla de suma sobre los índices repetidos. En efecto, cada una de las J´s definidas de acuerdo con (10.117) tienen siempre las unidades de acción. Si un probema de mecánica ha podido plantearse con la ecuación de Hamilton-Jacobi, y si ha sido posible descomponer a la función característica

150

Los parámetros de acción del ángulo

de Jacobi por sepración de variables, como se propuso en (10.83), entonces cada uno de los parámetros de acción se puede reescribir de la siguiente manera: (10.118) de acuerdo con (10.106). Ahora, dado que cada una de las funciones características parciales W(n) depende de una sola coordenada, tal como se demostró anteriormente, y de los parámetros , entonces, al momento de integrar su derivada, en forma cíclica, según lo exige (10.118), el resultado ya no depende de las coordenadas generalizadas Así, se puede ver que cada uno de los parámetros de acción definidos en (10.117) y (10.118), son funciones de los parámetros , únicamente; esto es: (10.119) Por lo tanto, los parámetros de acción, son al igual que las ´s, constantes de movimiento del sistema. También se puede interpretar a los parámetros de acción, J, como el resultado de una transformación de las ´s. Así que muy bien puede pensarse en éstos como “nuevos” momentos en una transformación canónica, que ha establecido una regla de correspondencia entre las “viejas” 12…3N l y los parámetros de acción J1 J 2…J3N l. Finalmente, los parámetros de acción son áreas en el plano n. Son las áreas de las órbitas cerradas que representan una libración. Así que, salvo por el caso de un área que se ha reducido a un solo punto en el plano n, todos los demás son distintos de cero, de manera que siempre se puede aceptar la existencia de la transformación inversa; esto es, que las ´s se expresan en términos de las J´s: (10.120) Por consiguiente, la función característica de Jacobi, W que se construye con todas las funciones parciales, muy bien puede representarse como una función que depende de las “viejas” coordenadas y los parámetros de acción:

151

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.121) que satisface las condiciones diferenciales: (10.122 a)

(10.122 b)

donde las ´s vienen a ser los parámetros conjugados de las J´s. Son como las “nuevas” coordenadas de la transformación canónica. Ahora, si las J´s tienen dimensiones de acción, estos nuevos parámetros no tienen unidades, son adimensionales. Se acostumbra en la literatura llamarlos parámetros de ángulos. El esquema ha quedado completo nuevamente: dada una hamiltoniana H que es función de coordenadas y momentos, pero no depende explícitamente del tiempo, se ejecuta una transformación canónica mediante una función generadora, de clase F2, tal que: (10.123)

esto es, que establece un mapeo de “viejas” coordenadas y momentos a “nuevas” coordenadas y momentos, donde estos últimos son los parámetros de ángulo y de acción, respectivamente. Esa función generadora es, precisamente, la función característica de Jacobi W, sujeta a las condiciones diferenciales (10.122), además de la siguiente: (10.124) siendo K la nueva hamiltoniana. Esta nueva función de estado dinámico satisface las siguientes ecuaciones de Hamilton:

152

Los parámetros de acción del ángulo

(10.125 a)

(10.125 b)

Las ecuaciones (10.125 a) son todas nulas, debido a que los parámetros de acción son constantes, tal como se mostró anteriormente. Por otra parte, las ecuaciones (10.125 b) dan como resultado constantes, ya que se trata de derivar una función que depende de parámetros, que se deriva con respecto a esos parámetros. Ninguno de ellos depende del tiempo, así que el resultado, a su vez, tampoco es una función del tiempo. Dos implicaciones tienen los resultados anteriores: la primera de ellas se deduce de inmediato a partir de (10.125 a), y es que la nueva hamiltoniana en realidad no depende de los parámetros de ángulo; es decir (10.126) solamente depende de los parámetros de acción. Esta propiedad se volverá importante más tarde, dentro de este mismo tópico. La otra implicación que tienen las ecuaciones diferenciales anteriores, y en particular las (10.125 b), es que los parámetros de ángulo se pueden integrar de inmediato. Así, si (10.127) entonces (10.128) Regresando a las condiciones diferenciales (10.122), hay otro resultado que merece un comentario en este momento: Si la función característica de Jacobi (10.121) depende de las coordenadas y de los parámetros de acción, entonces, en general, sus derivadas, tales como las (10.122 b), deben entenderse nuevamente como funciones de estas variables; esto es, que en general

153

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.129) así que, integrando (10.128) en un ciclo completo, se debe tener lo siguiente: (10.130)

como puede deducirse fácilmente a partir de las condiciones (10.122 b). Por lo tanto, de acuerdo con la definición dada en (10.118) para los parámetros de acción, se obtiene inmediatamente que la integral del parámetro de ángulo en un período completo es equivalente a lo siguiente: (10.131) sin regla de suma sobre los índices repetidos. Lo anterior significa que al recorrer un ciclo completo, el sistema aumenta por una unidad el valor del parámetro de ángulo sobre el plano k. Para aclarar estos conceptos, de nueva cuenta considérese el caso del oscilador armónico simple, ya tantas veces mencionado en este contexto. Su hamiltoniana es, como ya es costumbre, la siguiente: (10.132) y su correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi en términos de la función característica de Jacobi es: (10.133) donde E es la energía total del oscilador y juega aquí, simultáneamente, el papel del único parámetro de tipo momento () que interviene en la descripción del movimiento. La función característica W, por su parte, debe considerarse como la generadora, de clase F2:

154

Los parámetros de acción del ángulo

(10.134) y satisface las condiciones diferenciales (10.135 a)

(10.135 b) Ahora bien, a partir de esta función y de sus condiciones diferenciales es posible calcular el parámetro de acción correspondiente a este caso. De acuerdo con la definición dada en (10.118) se tiene que: (10.136) de tal manera que, calculando el momento canónico, se tiene que el parámetro de acción es (10.137) resolviendo la integral, mediante el cambio de variable adecuado, es fácil encontrar el resultado: (10.138) es el área de la elipse, en el plano l, parametrizada por E (véase la figura 10.4.6). Se trata, como puede verse de (10.136) y (10.138), del área de una figura cerrada. Esta fórmula para el parámetro de acción se puede invertir, tal como se prevé en (10.120), de tal manera que ahora la energía total queda expresada en términos de J como

155

La formulación de Hamilton-Jacobi

p

0

x

Figura 10.4.6. Plano l del oscilador armónico simple. El área de la elipse es J y el período T.

(10.139) No es difícil convencerse que la expresión anterior, tal como se ve en (10.133), es la “nueva” hamiltoniana; es decir, la que resulta de la transformación canónica generada por W, la misma W que se propuso en (10.134), pero descrita en función del parámetro de acción. Entonces, la hamiltoniana (10.139) satisface las ecuaciones de Hamilton (10.140 a) ya que E no depende del parámetro angular, y (10.140 b)

Si se integra la ecuación diferencial (10.140 b) se consigue de inmediato lo siguiente:

156

Los parámetros de acción del ángulo

(10.141)

Integrando el parámetro de ángulo (10.141) a lo largo de un ciclo completo en el plano l del oscilador, lo que se encuentra es que: (10.142)

siendo T el período; esto es, el lapso que requiere el oscilador para ejecutar un ciclo completo. Y si se recuerda ahora el resultado (10.131) que afirma que la integral cíclica del parámetro angular debe crecer por una unidad en cada ciclo completo, entonces se llega a la conclusión, de acuerdo con (10.142), que el período del oscilador es (10.143)

Realmente todo lo que se desea saber sobre el oscilador armónico simple se ha podido obtener aquí sin haber realizado la integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Así, el período o la frecuencia del oscilador pueden obtenerse casi directamente con el método de los parámetros de acción y de ángulo. Otro ejemplo de aplicación de esta técnica, que ya no es trivial, es el caso del problema de Kepler. Como se recordará, se trata de un movimiento, que puede ser estudiado en un plano 2-D y con la descripción de coordenadas polares. La hamiltoniana para este sistema dinámico es la siguiente: (10.144) donde pr y p representan las componentes radial y tangencial del momento del sistema; r es la distancia radial, desde el origen del campo gravitacio-

157

La formulación de Hamilton-Jacobi

nal hasta la posición instantánea del cuerpo, y es la constante gravitacional, que para el Sol es (10.145) Se trata nuevamente de un problema conservador, donde la hamiltoniana no depende explícitamente del tiempo, así que la función principal de Hamilton admite la separación temporal (10.146) siendo 0 el parámetro con propiedades de “nuevo” momento, que se identifica con la energía total del sistema. La ecuación de Hamilton-Jacobi queda de la siguiente forma: (10.147)

después de haber realizado la separación de la función característica de Jacobi en dos funciones parciales: (10.148) Tal como se ve la ecuación de Hamilton-Jacobi en (10.147), puede hacerse ahora la separación en dos partes independientes; una que solamente depende de la variable radial y la otra que queda en función del ángulo azimutal; estas dos partes definen, además, a las componentes del momento generalizado, como se ve en seguida: (10.149)

(10.150)

158

Los parámetros de acción del ángulo

p

1

0

/2

3 /2

2

1

Figura 10.4.7. Órbitas de rotación para el plano  en el problema de Kepler. El parámetro 1 es positivo.

La condición diferencial (10.150) permite ver que en el plano  —aquel que se construye con  y con p— la órbita es una línea recta horizontal, tal como se ve en la figura 10.4.7. Esta es una figura múltiplemente periódica y sugiere una rotación del sistema. Por otra parte, la expresión (10.149) se puede arreglar de tal manera que se identifique en ella la ecuación de una familia de elipses, siempre y cuando el parámetro 0 sea negativo. Las órbitas en el plano r son, por lo tanto, cerradas y sugieren un movimiento de libración. Para esta parte se puede implementar la técnica de los parámetros de acción y de ángulo. Para conseguirlo, en la expresión (10.149) se completa el trinomio dentro del radical en el miembro de la derecha:

(10.151)

así que, de acuerdo con la definición dada en (10.118), el parámetro de acción correspondiente al plano r es:

159

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.152)

Ahora ocurren cosas interesantes con esta integral de aspecto feroz. Una posibilidad viable para realizar la integración consiste en transformar a todo ese término que se encuentra en el integrando de (10.152) en una función trigonométrica. Por ejemplo, se puede hacer el siguiente cambio de variable:

(10.153)

Con esta definición, el radical en el integrando de (10.152) se convierte en una simple función seno, que aparentemente permitirá la integración. Lo realmente interesante de este cambio de variable es que, despejando a r, se obtiene de (10.153) el siguiente resultado:

(10.154)

que de inmediato se identifica con la ecuación general para las cónicas, en coordenadas polares, donde el semi lado recto está representado por (10.155)

160

Los parámetros de acción del ángulo

y la excentricidad por (10.156)

Así, con el cambio de variable propuesto en (10.153) y las definiciones (10.155) y (10.156), el parámetro de ángulo (10.152) adquiere ahora el siguiente aspecto: (10.157)

Esta integral puede descomponerse si se realiza por partes. Observando que

es posible escribirla como:

El primer sumando de la derecha en el desarrollo anterior es igual a cero al evaluarse entre límites de la integración, en tanto que el segundo término puede escribirse de la siguiente forma:

de tal suerte que el parámetro de acción queda como sigue:

161

La formulación de Hamilton-Jacobi

Buscando en tablas de integrales, es posible hallar la solución para la segunda parte de la derecha en la expresión anterior. El resultado es el siguiente:*

de modo que, finalmente, se obtiene el siguiente resultado: (10.158)

Este es, pues, el parámetro de acción para el problema de Kepler. Como se recordará, este parámetro solamente tiene sentido si el movimiento está acotado, tanto en r como en pr; es decir, que se trata de una libración. El significado de Jr, numéricamente, es igual al área de la elipse (prolata) que es la órbita en el plano r. Despejando la excentricidad de (10.158) se obtiene lo siguiente: (10.159)

Recordando la definición que se dio en (10.156) para la excentricidad, así como la fórmula para el semilado recto l en términos de los parámetros , se puede ahora despejar a 0 como sigue: (10.160) * Petit Bois, G., Tables of Indefinite Integrals, Dover Publ. Inc., Nueva York, 1961, p. 121.

162

Los parámetros de acción del ángulo

Es importante recordar que 0 juega el papel de la energía total del sistema, como se vio en la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.147); también se debe observar que es negativo, tal como debe ser para el caso de órbitas de libración. Pero 0 es también la nueva hamiltoniana; es decir, aquella que ha resultado de la función generadora W. Por lo tanto, en términos de la variable de ángulo, se puede escribir ahora, a partir de (10.160) que: (10.161)

y por lo tanto las ecuaciones de Hamilton, en términos de los parámetros de acción y de ángulo para el problema de Kepler, son como sigue: (10.162)

(10.163)

De estas ecuaciones se obtiene que, en efecto, el parámetro de acción es un constante de movimiento; esto es, que no depende del tiempo y, además, que el parámetro de ángulo es (10.164)

Finalmente, si se integra el parámetro de ángulo a un ciclo completo, de acuerdo con (10.131), se obtiene como resultado la unidad, así que el período de un planeta, urgido por la fuerza gravitacional del Sol, es tal como se obtiene de (10.164):

163

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.165) Esta es la tercera ley de Kepler, que establece que el cuadrado de los períodos es proporcional al cubo del semi eje mayor del planeta desde el Sol. Es muy sencillo demostrar, en efecto, que la relación (10.166) es a el semieje de la elipse. Nuevamente ha quedado demostrado cómo, con el método de los parámetros de acción y ángulo, es posible obtener propiedades características del movimiento, en el caso de libración.

10.5. La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo Considérese ahora el caso de un sistema de N partículas, sujetas a l constricciones holonómicas, que se mueven bajo el efecto de fuerzas aplicadas, conservadoras. Supóngase que el sistema se representa mediante una hamiltoniana H que no depende explícitamente del tiempo. Imagínese, aún más, que si bien la hamiltoniana se conoce, y se puede establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi para el sistema dinámico, no es posible hallar soluciones analíticas exactas para el movimiento, porque las expresiones matemáticas a las que da lugar el problema son sumamente complicadas para tratarse por los métodos convencionales. Sin embargo, resulta que este sistema dinámico y su hamiltoniana son muy parecidos a otro sistema, con el mismo número de partículas y constricciones holonómicas, cuyas soluciones sí son conocidas y exactas. La diferencia entre ambos problemas estriba en que la hamiltoniana de aquél, que no es posible resolver, y la de éste, que tiene soluciones exactas, difieren por cierto parámetro , en general pequeño. Así, cuando 0 se trata de la hamiltoniana “exacta”

164

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

en tanto que cuando 0, se trata de la que en adelante será conocida como la hamiltoniana perturbadora

Al parámetro  se le llama parámetro de perturbación. Muchos son los ejemplos que pueden citarse de esta clase de problemas. Uno de ellos podría ser el caso del oscilador en un medio disipador. Su hamiltoniana es (10.167) cuando el parámetro de perturbación  es nulo, esta función se convierte en la bien conocida H0(x,p) del oscilador armónico simple. Se trata, pues, de un sistema “perturbado”. Otro caso puede ser el del cuerpo masivo que se mueve bajo la influencia de un campo gravitacional central, pero con una energía potencial un poco distinta a la kepleriana, tal que su hamiltoniana, en 2-D y coordenadas polares, es: (10.168) Durante mucho tiempo se trató de describir mediante una función hamiltoniana, como esta que se exhibe en (10.168), las pequeñas anomalías (perturbaciones) que se observan en la órbita del planeta Mercurio y que hacen preceder su perihelio con un arco de aproximadamente 42 segundos cada cien años terrestres. Una energía potencial como esta que aparece en (10.168) puede asociarse a una no-esfericidad del Sol (que es cierta) y representa, en efecto, una pequeña perturbación al movimiento que describe la hamiltoniana no perturbada (10.144). Así, conociendo la solución para ésta, se puede resolver la otra, la perturbada (10.168), con el método de la teoría de las perturbaciones independientes del tiempo, que a continuación será desarrollado. Para desarrollar este método adecuadamente, es necesario hacer todavía algunas suposiciones más. Se debe hacer la hipótesis adicional que ambos

165

La formulación de Hamilton-Jacobi

sistemas dinámicos, tanto el perturbado como el no-perturbado, describen movimientos que son del tipo de libración en sus planos n, así que en los dos casos es posible describir las ecuaciones de Hamilton-Jacobi mediante los parámetros de acción y de ángulo. Más aún, puesto que la hamiltoniana no-perturbadora admite esta descripción, entonces (10.169) donde K0 es la “nueva” hamiltoniana no-perturbadora, función de los parámetros J0 de acción correspondientes. Esta expresión (10.169) se debe suponer bien conocida, así que la transformación canónica que mapea las “viejas” coordenadas y los “viejos” momentos en los parámetros de acción J0 y de ángulo 0, también se conoce perfectamente. Aquí se ha denotado con un cero (0) a estos parámetros, para recalcar el supuesto de que son los que pertenecen naturalmente a la hamiltoniana no-perturbadora. Las ecuaciones de Hamilton para la nueva hamiltoniana no-perturbadora que aparece en el miembro de la derecha de la condición diferencial (10.169) son: (10.170 a)

(10.170 b) en donde, por facilidad, se han omitido los índices k con que tradicionalmente se describen estas ecuaciones diferenciales. Pero debe entenderse que en realidad se trata de 6N2l ecuaciones y que son 3Nl parámetros no-perturbados de acción y otros tantos de ángulo. Como se menciona anteriormente, ha de suponerse que las ecuaciones de Hamilton no perturbadoras (10.170) se resuelven trivialmente y luego, como se conoce la transformación canónica y su inversa, se puede llegar a las soluciones exactas. Desafortunadamente, aunque esta misma estrategia se puede plantear para el problema perturbado, no es posible resolver la ecuación de Hamilton-

166

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

Jacobi para él, y tampoco se pueden calcular los parámetros de acción y ángulo correspondientes. Esto significa que, a pesar de tratarse de un sistema conservador, independiente del tiempo, que ejecuta movimientos de libración, no es conocida la transformación canónica (10.171)

tal que la “nueva” hamiltoniana perturbadora se relaciona con la “vieja” a través de la condición diferencial (ecuación de Hamilton-Jacobi) (10.172) y satisface las ecuaciones diferenciales de Hamilton: (10.173 a) (10.173 b) Si lo anterior fuera posible, entonces el problema podría resolverse exactamente y en tal caso sería innecesario desarrollar cualquier procedimiento perturbacional para resolver el problema. En este contexto, pues, se supondrá que la transformación (10.171) no se puede hallar, y consecuentemente tampoco las ecuaciones de Hamilton (10.173) y sus soluciones. Ahora imagínese que la misma transformación canónica que sirvió para hallar los parámetros de acción y de ángulo para la hamiltoniana no-perturbadora se usa en la hamiltoniana perturbadora. Ciertamente no es la transformación idónea, en el sentido que la nueva hamiltoniana ya no depende más que de los parámetros de acción perturbados, pero al fin y al cabo se trata de una transformación canónica conocida: (10.174)

167

La formulación de Hamilton-Jacobi

Al someter a la hamiltoniana perturbadora a la transformación canónica (10.174), la condición diferencial (ecuación de Hamilton-Jacobi) que se obtiene es, en general, como la siguiente: (10.175) donde la “nueva” hamiltoniana K depende ahora tanto de 0´s como de J0´s. Comparando (10.172) con (10.175) se ve que (10.176) Así, en tanto que la nueva hamiltoniana perturbadora E no se puede conocer, porque la transformación que da lugar a ella no se tiene, es posible, no obstante, conocer una “nueva” hamiltoniana perturbadora a través de la transformación canónica (10.174) (que sí se conoce). Esta hamiltoniana y la función E son equivalentes. La expresión (10.176) se puede interpretar también en una forma un poco diferente; se puede pensar en ella como la condición diferencial del tipo (9.203 c) que satisface cierta función generadora, de clase F2, que establece una correspondencia entre los parámetros de acción y de ángulo 0,J0 y los correspondientes a la hamiltoniana perturbadora ,J. En otras palabras, se puede proponer una función generadora S(0,J,), de clase F2, que establece una transformación canónica: (10.177)

y que satisface las condiciones diferenciales (10.178 a) (10.178 b) (10.178 c)

168

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

Sobre esta función generadora debe imponerse la condición adicional que cuando el parámetro de perturbación  sea igual a cero, entonces esta función genera la transformación idéntica; esto es: (10.179) Ahora bien, aquí es donde aparece el quid de este asunto: supóngase aún más, que esta función generadora S depende suavemente del parámetro de perturbación , de tal suerte que es posible desarrollarla en una serie de potencias de este parámetro: (10.180) donde el primer término del desarrollo es precisamente la generadora de la transformación idéntica que se describe en (10.179); esto es: (10.181) En estas condiciones, la serie de potencias de  se escribe nuevamente como sigue:

(10.182) y debe imponérsele el cumplimiento de las condiciones diferenciales (10.178 a) y (10.178 b); es decir: (10.183 a)

(10.183 b)

Por su parte, la condición diferencial (10.178 c) también se debe revisar bajo esta misma perspectiva; es decir, hay que suponer que, al igual que la

169

La formulación de Hamilton-Jacobi

función generadora S, la hamiltoniana K y la hamiltoniana E dependen suavemente del parámetro de perturbación, de tal forma que ambas pueden desarrollarse también como series de potencias de . Así por ejemplo, (10.184) en donde se ha supuesto que el primer sumando a la derecha del signo de igualdad en (10.184) solamente depende de los parámetros de acción no perturbados, puesto que para  igual a cero, lo que se debe recuperar es la hamiltoniana no perturbadora que aparece en (10.169) y ésta no depende de los parámetros de ángulo. Poco a poco ha avanzado este procedimiento. No es fácil, como tampoco lo fue para las personas que primero lo desarrollaron: un alemán de apellido von Zeipel y el gigante H. Poincaré (1854-1912). En este punto la teoría aún no es operativa, pues si se hace un desarrollo paralelo en series de potencias del parámetro de perturbación, para la hamiltoniana desconocida, E, no es posible todavía hacer una equivalencia entre sus elementos y los de la hamiltoniana (10.184), porque ambas funciones están expresadas en términos de variables distintas. Así, la función K tiene todos sus elementos K0,K1,K2… etc. en términos de J0, en tanto que en un desarrollo de la E sus elementos dependerán siempre de la J (perturbada). En estas condiciones no se puede igualar término a término del desarrollo. Tratando de remontar este nuevo obstáculo que impone el desarrollo de la teoría de las perturbaciones, imagínese ahora que la hamiltoniana perturbadora K se desarrolla como una serie de Taylor alrededor de J (perturbada), de la siguiente forma:

(10.185)

Si las diferencias de J0J que aparecen en (10.185) se sustituyen, de acuerdo con (10.183 a), por los términos del desarrollo, entonces se obtiene lo siguiente:

170

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

(10.186) Además, regresando al desarrollo (10.184) para la hamiltoniana perturbadora, si se evalúa en J0J, se obtiene: (10.187) Esta expresión se utiliza ahora en vez del primer término de la derecha, así como de cada una de las derivadas de órdenes superiores de K en (10.186) y se rearreglan los otros que aparecen elevados a las sucesivas potencias, para que también la hamiltoniana perturbadora K pueda ser escrita como una serie de potencias del parámetro de perturbación . Haciendo esto, se obtiene el siguiente resultado:

(10.188)

171

La formulación de Hamilton-Jacobi

Finalmente, recolectando términos de potencias iguales, el desarrollo hasta la tercera potencia de  queda de la siguiente forma:*

(10.189) El proceso casi ha terminado. Con el desarrollo anterior ha sido posible expresar a la hamiltoniana perturbadora K como una serie de potencias del parámetro de perturbación, donde cada uno de los términos depende del parámetro de acción perturbado J. Si ahora se vuelve la mirada a la hamiltoniana perturbadora E, en el miembro de la derecha de (10.176) y se hace con ella un desarrollo en series de potencias del parámetro de perturbación, del mismo modo como se ha hecho con las demás funciones, se consigue lo siguiente: (10.190) Aunque esta función es desconocida, ahora se puede tener idea de ella, pues, de acuerdo con (10.176), si se iguala cada uno de los términos de (10.190) con el término correspondiente, al mismo orden en , del desarrollo (10.189), se ha alcanzado la meta; esto es: (10.191 a) * El desarrollo es una serie infinita de potencias en ; sin embargo, suponiendo la pronta convergencia de ella y por facilidad, solamente se considera hasta la tercera potencia.

172

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

(10.191 b)

(10.191 c)

(10.191 d) etc. Ahora sólo es cuestión de pulir un poco los resultados anteriores para tener completo el desarrollo de esta teoría. Lo que aún falta por hacer es utilizar las ecuaciones de Hamilton para el sistema no perturbado (10.170 b), e insertarlas en las equivalencias (10.191). Con ello, los elementos del desarrollo de la hamiltoniana perturbadora E (J ) quedan en la siguiente forma: (10.192 a)

(10.192 b)

(10.192 c)

173

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.192 d) etc. Lo que se ha conseguido con este proceso es encontrar la función hamiltoniana del sistema perturbado, en términos de sus parámetros de acción propios. Para ello se ha hecho uso de la hamiltoniana no perturbadora, así como de la función generadora de una transformación canónica, S, que sirve de vínculo entre los dos sistemas dinámicos. Una vez obtenidas las componentes E0,E1, etc., se reconstruye la hamiltoniana E, de acuerdo con (10.190) y se establecen las ecuaciones de Hamilton (10.173); se integran para obtener explícitamente los parámetros de acción y de ángulo, y se continúa con el procedimiento ya bien conocido para obtener las soluciones; lo demás ya es territorio explorado. Pero el problema aún no ha quedado del todo resuelto. Si se recapacita un poco sobre lo que se ha conseguido hasta este momento, se podrá apreciar que aún queda un detalle muy importante por aclarar, un detalle sin el cual no es posible atacar y resolver con éxito problemas de perturbaciones. En efecto, las expresiones (10.192), aparentemente resuelven el problema, pues con ellas se construye cada uno de los elementos del desarrollo (10.190), con el cual se plantean las ecuaciones de Hamilton perturbadas en términos de los parámetros de acción y de ángulo. Sin embargo, hay un elemento en todo este desarrollo que no está definido explícitamente. Se trata de la transformación canónica generada por la función S(0,J), así como de sus componentes en el desarrollo de potencias del parámetro de perturbación dado en (10.182). Lo que se sabe hasta este punto es que la transformación de (q,p) a (0,J0) esquematizada en (10.174) es canónica y se conoce perfectamente. Es la transformación con la cual se resuelve el problema no-perturbado en términos de los parámetros de acción y de ángulo. Esta transformación es canónica, independientemente de la hamiltoniana. ¡Claro! si se aplica sobre la hamiltoniana no-perturbadora, conduce a un J0 que es constante

174

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

y a un 0 que depende linealmente del tiempo. Pero si esta misma transformación canónica se aplica a la hamiltoniana perturbadora, se obtendrán resultados diferentes; es decir, el parámetro de acción J0 y el de ángulo 0 ya no serán tan simples como para el caso no-perturbado. Si la perturbación es pequeña, entonces el movimiento del sistema dinámico está determinado por un parámetro de acción J que es constante y por un parámetro de ángulo  que es una función lineal del tiempo. Estos son los parámetros “propios” del sistema perturbado. Estos son, también, los parámetros que es necesario determinar para resolver el problema perturbado mediante la función S(0,J). Una vez resuelto el problema en términos de estos parámetros, se emprende el camino de regreso, hasta hallar a las coordenadas generalizadas y los momentos, (q,p), mediante las transformaciones inversas. Ahora bien, hay que recapacitar que tanto las q´s, como las p´s están acotadas pues se trata de libraciones, de modo que, analíticamente se puede pensar en estas variables como funciones periódicas. Cada vez que 0 experimenta un ciclo completo y aumenta por una unidad, tal como se demostró en (10.131), el sistema dinámico ha ejecutado una vuelta completa de su trayectoria cerrada. Esto es así estrictamente para el sistema no-perturbado y es muy aproximadamente cierto para el sistema perturbado; tanto más, cuanto más pequeño sea el valor del parámetro de perturbación. Por lo tanto, si bien no se conoce a priori la función generadora S, ni sus componentes en el desarrollo de potencias de  (10.180), se puede aceptar que son funciones periódicas de 0 que pueden descomponerse a su vez en series de Fourier del tipo siguiente: (10.193) excepto para el valor n  0 que, según se vio en (10.181) está definido aparte. En estas circunstancias, las derivadas de las componentes Sn resultan ser, nuevamente, funciones periódicas en 0, con el mismo período que la función pero que carecen del término constante; esto es, aquel que ocurre para l  0, porque su derivada es igual a cero. Una propiedad interesante de las derivadas de Sn, definida en (10.193) es la siguiente:

175

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.194)

Este resultado es muy simple de obtenerse y será, en cambio, de gran importancia para la teoría. En adelante, sea f una función que depende de 0, entonces, se define: (10.195)

De acuerdo con el resultado (10.194) y con la definición (10.195), se puede ver ahora que, integrando (10.192 a) entre 0 y 1, se obtiene que

pero como ni E0, ni K0 dependen de 0, entonces se restituye la misma igualdad: (10.196) Realizando la misma integración con (10.192 b) las cosas ya son diferentes, pues (10.197)

o bien (10.198) por lo tanto, sustituyendo este resultado de vuelta en (10.192 b), se puede hacer el despeje:

176

La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo

(10.199)

Para la expresión (10.192 c), integrando entre 0 y 1: (10.200)

Ahora, sustituyendo en (10.200) el resultado anterior (10.199), se obtiene lo siguiente:

(10.201)

Nuevamente, sustituyendo (10.201) en (10.192 c), se puede encontrar el resultado para la derivada de S2 con respecto a 0:

(10.202) Así sucesivamente, procediendo de la misma manera se encuentran las expresiones para E3, así como para la derivada de S3 con respecto al parámetro angular no perturbado. Lo interesante de este procedimiento es que al final de cuentas ya no es necesario conocer a la función S, pues las fórmu-

177

La formulación de Hamilton-Jacobi

las (10.196), (10.198), (10.200) y (10.201) permiten calcular directamente las componentes de la hamiltoniana perturbada E(J). Ahora sí, el problema ha quedado resuelto en teoría.

10.6. Algunas aplicaciones de la teoría de las perturbaciones independientes del tiempo El procedimiento para resolver los problemas de perturbaciones independientes del tiempo es preciso, general y compacto. Sin embargo, dista mucho de ser simple. En esta sección es importante aclarar los detalles del procedimiento para, llegado el caso, poder aplicar la teoría a otros problemas de la mecánica que se presten a ello. Nuevamente, con el fin de hacer ese procedimiento lo más claro y simple que sea posible, se atacará ahora, por enésima vez, el caso de un oscilador simple. La hamiltoniana no perturbada es, como ya es costumbre: (10.203) en tanto que la hamiltoniana perturbada, correspondiente a ese sistema parecido al anterior, pero que no es posible resolver de manera exacta, es: (10.204) Ambos sistemas, tanto el no perturbado como el perturbado, son conservadores; no dependen explícitamente del tiempo y, debido a su esencia, ejecutan movimientos de libración en el (único) plano p vs x. Por lo tanto, en los dos casos se puede implementar la técnica de los parámetros de acción y de ángulo. Por la misma razón, la teoría de perturbaciones independientes del tiempo se puede aplicar a este ejemplo directamente. Bueno, la verdad debe decirse; tanto el problema no perturbado como el perturbado que aquí se plantean, pueden ser resueltos exactamente con alguno de los métodos que ya se desarrollaron anteriormente, pero aquí se trata de mostrar el manejo de la teoría de perturbaciones independientes

178

Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones

del tiempo, así que se pretenderá que no es posible resolver el problema perturbado, a menos que esta tecnología teórica se aplique. La estrategia que se seguirá, será la de resolver primero (nuevamente) el problema no perturbado. A continuación se aplicará toda la maquinaria de la matemática desarrollada en la sección anterior para resolver el problema perturbado, hasta el tercer orden de aproximación; finalmente, se resolverá en forma exacta este mismo problema a fin de comparar los resultados obtenidos, y con ello cobrar confianza en la teoría.

10.6.1. Resolución del problema no perturbado La ecuación de Hamilton-Jacobi para este caso es: (10.205)

siendo W(x,K0) la función característica de Jacobi, donde K0 es el parámetro conjugado a la “nueva” coordenada, que además es la energía total del oscilador y debe reconocerse como la “nueva” hamiltoniana no perturbada. La función W es también generadora de una transformación canónica que pertenece a la clase F2 y por lo tanto satisface la condición diferencial (10.206) Como la órbita de este movimiento es cerrada, se trata de una libración, así que es posible obtener el parámetro de acción a partir de (10.206) como: (10.207 a)

integrando (10.207 a) se obtiene fácilmente lo siguiente:

179

La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.207 b)

Invirtiendo ahora la fórmula (10.207 b), se expresa a la “nueva” hamiltoniana en función del parámetro de acción (10.208)

De esta manera las ecuaciones de Hamilton se plantean y se resuelven trivialmente: (10.209 a)

(10.209 b) donde 0 es el parámetro de ángulo no perturbado. De (10.209 a) se aprecia de inmediato que J0 es una constante de movimiento y, resolviendo (10.209 b) para la hamiltoniana (10.208), se obtiene de inmediato que (10.210)

que es el inverso del período del oscilador. El resultado (10.210) ratifica que 0 es, en efecto, otra constante de movimiento. Comparando (10.208) con (10.210) se ve que la “nueva” hamiltoniana no perturbadora es igual a (10.211) La segunda condición diferencial sobre la función característica de Jacobi, W, es la que permite resolver el problema, una vez que se han obteni-

180

Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones

do los resultados anteriores. En efecto, recordando de las funciones generadoras de clase F2: (10.212) pero como W es la integral de (10.206) con respecto a x, entonces: (10.213)

donde se ha sustituido el valor (10.211) para la hamiltoniana no perturbadora. Derivando dentro de la integral con respecto a J0 e integrando luego el resultado, se obtiene (tomando únicamente el signo menos en la integral anterior):

(10.214) o bien, despejando a x y tomando en cuenta el resultado (10.200), se obtiene finalmente: (10.215)

y sustituyendo (10.215) en (10.206), con la fórmula (10.211) para la hamiltoniana no perturbadora, se obtiene, asimismo, la solución para el momento p: (10.216) Las fórmulas (10.215) y (10.216) poseen dos cualidades: la primera de ellas es que son las soluciones analíticas, exactas para el oscilador armónico simple (no-perturbado). Recordando que 0 es, a su vez:

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La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.217) donde 0 es algún factor de fase y t es el tiempo, las expresiones anteriores describen, en efecto, el carácter oscilatorio de este sistema dinámico. Solamente falta imponer la condición inicial para evaluar la amplitud y el momento máximo del oscilador. Esto no se hará aquí. La segunda cualidad que exhiben las fórmulas (10.215) y (10.216) es que se pueden interpretar, asimismo, como la transformación canónica con la cual se establece la correspondencia entre los parámetros de acción J0 y de ángulo 0, con las variables canónicas originales x y p. Por supuesto, la transformación canónica inversa también existe y se puede obtener inmediatamente a partir de (10.205) y (10.216): (10.218 a)

(10.218 b)

Finalmente, la hamiltoniana no perturbadora se puede identificar perfectamente en esta descripción como: (10.219)

10.6.2. Resolución del problema perturbado Considérese ahora la hamiltoniana perturbadora: (10.220) Se trata nuevamente de un sistema conservador, independiente del tiempo y que ejecuta movimientos de libración, de modo que es posible im-

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Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones

plementar la descripción de los parámetros de acción y de ángulo. Sean J y  esos parámetros y aquí se supondrá que no es posible resolver el problema en forma exacta; es decir, que en forma directa no es posible encontrar la hamiltoniana E(J ) que resuelve el problema. Sin embargo, la solución para el problema no perturbado ya se conoce, como puede comprobarse en (10.215) y (10.216). Entonces, siguiendo la estrategia que se indicó en la sección anterior, hay que sustituir las expresiones de transformación no-perturbadas en esta hamiltoniana (10.220), con esta sustitución se encuentra la hamiltoniana perturbadora. En efecto, sustituyendo en (10.220) los resultados (10.215) y (10.216) se obtiene lo siguiente: (10.221) o bien: (10.222)

Por su parte, la hamiltoniana (10.220) permite escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi para el sistema perturbado: (10.223)

Así que los parámetros de acción y ángulo se obtendrían de esta ecuación (si fuera posible realizar la integración), como siempre, a partir de la definición: (10.224)

(por supuesto que esta integración se puede realizar, pero aquí se supondrá que esto no es posible). En todo caso, se puede proponer que como resulta-

183

La formulación de Hamilton-Jacobi

do de la integración anterior, se obtiene una fórmula parecida a las del oscilador armónico simple; esta es:

o bien su inversa: (10.225) siendo  el inverso del período del oscilador perturbado, función del parámetro de perturbación y tal que cuando este parámetro adquiere el valor cero, se obtiene el valor no perturbado. Observando este valor en (10.210), se puede ver que para el caso perturbado lo único que hay que hacer es sumar, dentro del radical, el parámetro de perturbación, de donde (10.226)

Por lo tanto, igualando entre sí a las hamiltonianas perturbadoras (10.222) y (10.225) con la fórmula para el inverso del período (10.226), se obtiene que: (10.227)

Desarrollando estos binomios, agrupando los términos que resultan y tomando en cuenta solamente hasta aquéllos de grado tres, se obtiene ahora lo siguiente:

(10.228)

184

Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones

de donde:

(10.229) Comparando el desarrollo (10.218 a) con aquel que se muestra en (10.183 a) para la función generadora, de clase F2, encargada de establecer la regla de correspondencia entre las dos hamiltonianas perturbadas, se ve que: (10.230 a) (10.230 b)

(10.230 c)

(10.230 d) etc. En efecto, el primer término muestra que se trata de una función de clase F2 que, al hacerse cero el parámetro de perturbación, se reduce a la generadora de la transformación canónica idéntica. Por su parte, la hamiltoniana perturbada (10.222) también se puede escribir como un desarrollo en potencias de , solamente que después del término de orden uno, todos los demás son nulos; esto es:

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La formulación de Hamilton-Jacobi

donde: (10.231 a) (10.231 b) (10.231 c)

Con estos resultados se tienen ya todos los ingredientes para describir explícitamente todos los términos de la hamiltoniana perturbada E(J ). En efecto, recordando los resultados teóricos (10.192) de la sección anterior, se pueden escribir ahora éstos para el oscilador perturbado: (10.232 a) (10.232 b) (10.232 c)

(10.232 d) etc. En donde solamente se han escrito los resultados finales de la aplicación de las fórmulas (10.192) a este caso. Colectando los términos, de acuerdo con el desarrollo (10.190), se obtiene que: (10.233)

Pero ahora se puede constatar que, en efecto, este desarrollo es precisamente el de la raíz cuadrada, es decir:

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Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones

(10.234) donde  está dada por (10.226). Una vez alcanzado este punto, lo que sigue es solamente rutina. Lo que es necesario hacer es esencialmente lo mismo que en el caso no perturbado: plantear la integral para la condición diferencial de la función característica de Jacobi del caso perturbado: (10.235) e integrar para encontrar a x y a p en función de  y J. El procedimiento es esencialmente el mismo: (10.236)

para encontrar las expresiones en x y en p en términos de J y  que resuelven el problema.

10.6.3. Resolución exacta del oscilador perturbado En efecto, realizando la integración de la ecuación de Hamilton-Jacobi para el caso perturbado, cuya hamiltoniana es la siguiente: (10.237) se obtiene por integración directa el parámetro de acción para este problema:

(10.238) de donde se deduce que

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La formulación de Hamilton-Jacobi

(10.239) siendo (10.240)

tal y como se había pronosticado en (10.226). El parámetro de ángulo, por su parte, se encuentra derivando a (10.238) con respecto a J, así que (10.241)

o bien, invirtiendo esta fórmula, (10.242 a)

Sustituyendo (10.242 a) en (10.237) se encuentra de inmediato la otra parte: (10.242 b) con lo cual ha quedado resuelto el problema.

10.7. Problemas del capítulo 10.1. La función principal de Hamilton

188

Problemas del Capítulo

(10.243) es supuestamente la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula que se mueve en una dimensión. El único parámetro  es constante. Encontrar las ecuaciones de movimiento de la partícula. La letra k representa una constante. 10.2. Un cuerpo puntual, de masa m, cae desde cierta altura, debido a la acción de la gravedad. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi para esta situación. Despreciar la resistencia del aire. 10.3. ¿Cuál debe ser la ecuación de Hamilton-Jacobi que describe el movimiento conocido como el tiro parabólico? Despreciar la resistencia del aire. Escribir la ecuación en términos de la función característica de Jacobi. 10.4. Resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula de masa m que se mueve por el espacio libremente. 10.5. Un satélite artificial se mueve en el espacio, en una órbita baja, donde la resistencia del aire tiene un efecto sobre el cuerpo que reduce su velocidad paulatinamente. Si se observa el movimiento durante un lapso breve, se puede establecer el problema de determinar su trayectoria en una dimensión, en coordenadas cartesianas como una fuerza del tipo (10.244) Establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi. Encontrar la función principal de Hamilton y establecer sus condiciones diferenciales. Hallar la solución con este método. 10.6. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi para el problema de Kepler; esto es, una partícula de masa m que se mueve bajo la acción de un campo central

Establecer este problema en dos dimensiones y usando coordenadas polares.

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La formulación de Hamilton-Jacobi

10.7. Plantear la ecuación de Hamilton-Jacobi para el problema de un péndulo doble que oscila en un plano. 10.8. Un cuerpo se mueve en una dimensión, en un medio resistivo que actúa sobre él con una fuerza del tipo (10.245) donde  es una constante. Establecer la ecuación de HamiltonJacobi e integrarla para hallar la solución al problema. 10.9. Resolver el problema anterior usando el método de la teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo. Suponga para ello que la fuerza (10.245) es una perturbación sobre el movimiento libre del cuerpo. 10.10. Una partícula con masa m y carga eléctrica e, se mueve en un campo magnético uniforme dado por la fuerza de Lorentz (10.246) siendo c la constante que representa la velocidad de la luz en el vacío y B៬ es el vector de inducción magnética, que aquí se supone constante y en la dirección Oz; esto es: (10.247) Plantear la ecuación de Hamilton-Jacobi para este caso, recordando que esta fuerza se puede describir en términos de una energía potencial generalizada (10.248) en función del potencial magnético A៬ , tal que (10.249)

190

Problemas del Capítulo

Separar la ecuación de Hamilton-Jacobi, usando para ello el método de separación de la función característica W. Usar para este caso coordenadas cilíndricas. 10.11. Usando el método de separación de variables de la sección 10.3, resuelva el problema del oscilador armónico en 2-D dado por la hamiltoniana (10.250) 10.12. En el problema anterior, encontrar los parámetros de acción y el ángulo correspondientes. Resolver el problema y hallar los períodos. 10.13. Resolver el problema del péndulo esférico con el método de los parámetros de acción y de ángulo. Suponer que el péndulo oscila con amplitudes muy pequeñas. 10.14. Utilizando la hamiltoniana (10.114), con la energía potencial (10.115), encontrar el parámetro de acción y de ángulo correspondiente y resolver el problema. 10.15. Usando el método de los parámetros de acción y de ángulo, encontrar la solución para el problema de Kepler en 2-D. 10.16. Demostrar que, en efecto, las integrales (10.194) son iguales a cero para funciones Sn como las que se proponen en (10.193). 10.17. Encontrar la expresión para E3(J ) en términos de las integrales (10.194) y (10.195). Una vez hallada esta expresión, obtener la fórmula para

10.18. Calcular E1, E2, E3;S1/0,S2/0, y S3/0 para el oscilador armónico perturbado (10.220) y encuentre la solución con estos valores. 10.19. Resuelva el problema de Kepler perturbado, en 2-D. Considere para ello la hamiltoniana no-perturbadora (10.251)

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La formulación de Hamilton-Jacobi

y la hamiltoniana perturbadora (10.252) Use la teoría de las perturbaciones independientes del tiempo, considerando que  es un parámetro con un valor pequeño. Al añadir al potencial newtoniano un término adicional del orden 1/r 2 como el que se escribe en el extremo de la derecha de (10.252), se pudo explicar empíricamente el corrimiento del perihelio del planeta Mercurio. Como se sabe, este cuerpo, el más cercano al Sol y con una órbita muy excéntrica, en comparación con los demás planetas del sistema solar, no cierra exactamente sus órbitas después de cada ciclo completo, sino que adelanta por una pequeñísima fracción cada vez. A lo largo de 100 años terrestres, el corrimiento (descontado el efecto de los demás planetas) es de 42 segundo de arco. Demuestre que con el potencial adicional en (10.252) se puede explicar ese efecto, en forma aproximada. La demostración final de este fenómeno quedó completa en 1919, después del eclipse total de Sobral en Brasil, cuando A. Einstein propuso la teoría general de la relatividad. El problema con el potencial (10.252) es que no da el valor numérico esperado y, además, corresponde a un armónico gravitacional dipolar que, según se vio, no puede darse en la naturaleza.

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CAPÍTULO 11 EL FORMALISMO HAMILTONIANO DE LOS FLUIDOS 11.1. Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos Para todo fin práctico, con el capítulo 10 se dio por terminado el material para un curso de buen nivel de mecánica analítica (excepto por el capítulo 8, que trató sobre la dinámica de los fluidos, desde la perspectiva lagrangiana, y que a lo más puede considerarse como aplicación del formalismo de Lagrange por un estudiante de mecánica a nivel posgrado). No quiere decir esto que con la teoría de las perturbaciones se haya agotado el tema. ¡Ni mucho menos! La mecánica no ha dejado de progresar. Cada día nuevas aplicaciones, nuevos métodos y sobre todo, más ideas aparecen por todo el mundo, que enriquecen aún más este espléndido tema y le dan nuevas proyecciones. Pero si se trata de dar a un estudiante de física, de astronomía o de ingeniería un curso que pueda decirse completo, sobre este tópico, con las últimas palabras del capítulo 10 el objetivo se ha cumplido. Éste, el capítulo 11, es con el cual se cierra otro tema: el del formalismo analítico para los fluidos. Como expuse en el capítulo 8, nada se había conseguido hasta ahora en relación con la descripción de estos sistemas dinámicos llamados fluidos, desde la perspectiva de Lagrange. Más aún, los más doctos y conspicuos teóricos de esta rama de la ciencia habían apostado su reputación como tales al, aserto de que es imposible obtener ecuaciones diferenciales de flujo a partir de un formalismo lagrangiano. Perdieron. Las ecuaciones para cualquier fluido, junto con las ecuaciones constitutivas, pude deducirlas a partir de una funcional de acción y un principio de invarianza, con la ayuda del cálculo variacional. Así pues, el campo de velocidades de los fluidos ha quedado bien establecido como un campo físico más, y las ecuaciones diferenciales de flujo como un juego adicional de ecuaciones de campo.

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

Pero una pregunta que se contesta en la ciencia, lleva a otra que es necesario contestar también. Así es; así ha sido la ciencia desde aquellos remotos días cuando un hombre dotado de un genio brillante aprendió a hacer operaciones aritméticas con números muy grandes, en forma mental, y luego entendió la dinámica de las palancas y las levas, de las poleas y los polipastos, allá en la isla de Sicilia de hace más de dos mil doscientos años [Arquímedes de Siracusa (287-212 a. c.)]. En 1990 conseguí finalmente, tras treinta años de intentarlo, estructurar un esquema cerrado para la mecánica de los fluidos, dentro de la filosofía general de las teorías clásicas de campos. Realmente, los resultados superaron mis expectativas, pues lo que quedó al fin de ese intento fue una estructura teórica no-dual; esto es, que contiene tanto a las ecuaciones de flujo como a las ecuaciones constitutivas. Pero en efecto, cada pregunta respondida me ha llevado una y otra vez a nuevas preguntas. En este caso la pregunta que surgió, una vez que el formalismo de Lagrange quedó completo, fue: ¿qué se puede decir acerca de la formulación hamiltoniana para los fluidos? Si la mecánica clásica nos ha mostrado el camino y nos ha enseñado que, después de mirar con los ojos de un d´Alembert y un Lagrange, aún se puede sacar enormes cantidades de conocimiento acerca del fenómeno de la dinámica, haciendo ese estupendo cambio de enfoque, y contemplar las cosas desde el escenario del espacio de las fases y las transformaciones del grupo simpléctico, por qué no intentar esa misma táctica con los fluidos y tal vez siguiendo ese camino sea posible entender más profundamente esos sistemas, y algunas de esas ecuaciones diferenciales que han resistido hasta la fecha todo intento de resolución pueden caer ante el embate de un nuevo enfoque. Con este capítulo quiero dar por concluida la etapa estructural del modelo de la mecánica analítica de los fluidos que desarrollé en el capítulo 8. Quiero presentarte la formulación hamiltoniana comenzado por las ecuaciones de Hamilton para los fluidos; con sus ecuaciones constitutivas quiero mostrarte qué son y cómo funcionan. Deseo hacer ver cuán profundo es el contenido físico que encierran estas ecuaciones y cómo, de su conocimiento, podemos cambiar la imagen que tenemos del mundo. Tengo mucha ilusión de mover tu entusiasmo y tu gusto por este tema, hasta el punto de (literalmente) “engancharte” en él, para que tú mismo decidas incursionar en estos tópicos y buscar por tu propia cuenta más detalles sobre el tema. Como decía, te voy a mostrar en este capítulo las ecuaciones de Hamilton

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

para los fluidos, pero no voy a darme por satisfecho nada más con ello. Mi intención es llevarte por la teoría de las transformaciones canónicas. Esto es para mí lo que cierra, en efecto, la etapa estructural de la teoría, pero tu podrías percatarte que de ningún modo cierra el conocimiento. La cantidad de implicaciones que puede tener este modelo es enorme, tanto desde el punto de vista de la nueva herramienta que permite el cálculo de una clase amplia de problemas de flujos, como desde ese otro que puede llevarte a considerar fluidos ionizados a altísimas temperaturas, como son los plasmas; o bien, fluidos relativistas, expresados en el ámbito de un espacio tiempo tetradimensional y otros más. La teoría se extenderá ante tu vista y tu ingenio, ofreciéndote muchas posibilidades. El formalismo de Hamilton para los fluidos hay que desarrollarlo de la misma manera como se hizo en los capítulos precedentes para las partículas, es decir, a partir de la funcional de acción, en cuyo integrando se ha operado una transformación de Legendre. Veamos: si se había postulado en (8.67) que la acción para los fluidos es la siguiente: (11.1)

donde, como es costumbre, se ha denotado por  a la densidad de masa, entendida ésta como un campo pseudo escalar, con peso menos uno;  es la función lagrangiana específica del fluido, a la cual se supone como una función suave de sus argumentos: la posición instantánea de cada punto del fluido x (t), el campo de velocidades del mismo, el gradiente del campo de velocidades, la densidad de masa (x ,t), la entropía específica del fluido, entendida como un campo escalar (x ,t) y el tiempo; esto es: (11.2) Las integraciones en (11.1) son temporales, definidas sobre un lapso determinado a priori por las condiciones iniciales del problema y la integral de volumen, que debe realizarse, teóricamente, sobre todo el espacio ocupado instantáneamente por el fluido. La función W debe entenderse como el trabajo desarrollado por todas las fuerzas disipadoras que actúan sobre el fluido. En este desarrollo su-

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

pondré que, en ausencia de otros agentes físicos, no-conservadores, las únicas fuerzas de esta naturaleza que se considerarán son las de superficie; esto es, aquellas de tipo van der Waals que operan a muy cortos alcances, sobre cualquier superficie del fluido. Estas fuerzas son llamadas tracción en todos los textos sobre el tema de los fluidos. Se denotan por t y son tales que el trabajo desarrollado por ellas entre dos puntos, 1 y 2, es el siguiente: (11.3)

siendo S el área de la frontera del fluido V Como lo mencioné, para desarrollar el formalismo hamiltoniano de los fluidos, debo escribir a la funcional de acción (11.1) de tal modo que aparezca en ella la función de Hamilton. Ésta la puedo definir, igual que para la lagrangiana específica se hizo, como una función suave de sus argumentos (11.4) que se obtiene de la lagrangiana específica misma, mediante la transformación de Legendre (11.5) siendo p el momento canónico conjugado, definido, como es costumbre, de la siguiente manera: (11.6)

Para que la hamiltoniana específica H sea, en efecto, la transformada de Legendre de la lagrangiana específica , debe satisfacer, adicionalmente, la condición diferencial siguiente:*

* Veáse pp. 14–15 de este libro.

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.7)

Por lo tanto, de acuerdo con (11.1) y (11.5), la acción de un fluido cualquiera se puede postular como: (11.8)

El postulado fundamental de la teoría, después de la funcional de acción, es el que afirma que el flujo de un fluido cualquiera corresponde a un valor invariante de la acción. Así que si lo que busco es encontrar las ecuaciones diferenciales de movimiento de los fluidos en el espacio euclideo de tres dimensiones, entonces debo proponer una transformación continua de coordenadas en este escenario, e imponer la condición de que ante tal transformación, la funcional de acción (11.8) permanezca invariante. En particular, me basta con considerar transformaciones infinitesimales de coordenadas, pues a lo largo de este contexto, una y otra vez he recalcado que cualquier transformación continua puede generarse a partir de una sucesión de transformaciones infinitesimales. Así pues, considero ahora la ley de correspondencia siguiente: (11.9) donde x es un infinitésimo de primer grado. Ante una transformación como la (11.9), todas las funciones de campo se ven en general afectadas, de manera que la acción (11.8) varía según la siguiente expresión:

(11.10)

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

Desarrollando la expresión anterior y conservando únicamente los términos hasta la primera potencia en las variaciones, se consigue ahora lo siguiente: (11.11)

Una forma rápida de cerciorarse de la validez del resultado anterior es percatarse de que en (11.8), el producto de la densidad de masa por el elemento diferencial de volumen es un escalar dm, el elemento diferencial de masa, y éste es un invariante. La otra forma es recordar que la densidad de masa  es un campo pseudo escalar, con peso menos uno, de modo que satisface la forma variacional de la ecuación de balance de masa vista en (8.73): (11.12) Por otra parte, el elemento de volumen dV tampoco es un auténtico escalar; se trata de un pseudo escalar, con peso más uno, de suerte que su variación es, en efecto (11.13) Por lo tanto, al multiplicar (11.12) por (11.13), conservando soamente términos de primer orden en las variciones, se obtiene lo siguiente: (11.14) es decir, que el producto de la densidad de masa por el elemento de volumen es invariante ante variaciones. Con esta simplificación se llega de inmediato a la fórmula (11.11). Pero recordando la dependencia de la hamiltoniana específica H, dada en (11.4), y tomando en cuenta que la variación de esta función, por ser infinitesimal, puede considerarse como un elemento diferencial, entonces,

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

de acuerdo con el cálculo diferencial, puede ser desarrollada como se exhibe a continuación: (11.15) en donde la regla de los índices repetidos opera. En (11.15) el término de en medio representa las derivadas de la función H con respecto a los gradientes del campo de velocidades, multiplicadas por las variaciones de estos mismos entes. Hay que recordar la notación empleada anteriormente, que consiste en dibujar una coma después del índice de la componente de v para representar la derivada de ésta con respecto a las coordenadas; esto es, (11.16) En el desarrollo de la variación de la hamiltoniana específica (11.15), el último término de la derecha es igual a cero, puesto que la entropía específica es un auténtico escalar y por consiguiente es invariante ante las transformaciones de coordenadas. Realmente el único término que causa un poco de molestia en ese desarrollo es el que representa a las derivadas de los gradientes de la velocidad. Pero para mi gran ventura (y la tuya también, atribulado lector, que has llegado hasta aquí sin haber enviado este libro a la pira), en el capítulo 8 hice con todo detalle el desarrollo de un término muy semejante al que aquí se presenta, de manera que solamente te pido que regreses momentáneamente al capítulo referido y repases la lectura de las fórmulas, desde la (8.87), hasta la (8.97), para que refresques la memoria. Si así lo has hecho, estarás de acuerdo conmigo que la variación de los gradientes de la velocidad se puede escribir como sigue: (11.17) Asimismo, sustituyendo esta fórmula en (11.15) y realizando la integración de ese término, se obtiene lo que a continuación te presento:

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.18) En (11.18) lo que se ha hecho, es despejar a las variaciones de las coordenadas, para dejarlas como los términos linealmente independientes. Para hacerlo, se usó la integración por partes y el teorema de la divergencia de Gauss. Debido a este teorema es que la última integración es sobre la frontera instantánea del fluido. La otra integración que debo procesar para obtener una expresión que ya se pueda sintetizar, independientemente de las variaciones, es la que involucra a la densidad de masa. Nuevamente, te pido que consultes el capítulo 8 de este libro y, en particular, recuerdes la fórmula (8.81) a la cual se llegó en relación con las variaciones de esta entidad del campo. El resultado se puede traducir sin mayor problema a la variación de la hamiltoniana específica que aquí te muestro en (11.15) y luego se puede integrar por partes, tal como se hizo en aquel momento con la densidad específica. El resultado es el siguiente:

(11.19)

en donde hice uso del hecho que la densidad de masa es un pseudo escalar con peso menos uno y satisface la expresión (11.12). Ahora, recogiendo todos los términos del desarrollo, puedo mostrarte el siguiente resultado:

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.20) siendo (11.21)

el tensor de esfuerzos, generalizado, en términos de la densidad, y los gradientes de la velocidad (11.21) es la expresión generalizada de las ecuaciones constitutivas del fluido. —o— Nuevamente, igual que en el capítulo 8, cuando se dedujeron las ecuaciones diferenciales de Lagrange para los fluidos, aquí también ocurren simplificaciones en las integrales para la variación de la acción. En primer lugar, el coeficiente de la variación del momento generalizado en (11.20) es idénticamente nulo, si en verdad la hamiltoniana específica es la transformada de Legendre de la lagrangiana específica, tal como se propuso en (11.7). Así, todos los coeficientes de las variaciones de los momentos, en efecto, son nulos. —o— Por otra parte, el tensor de esfuerzos generalizado, tal como se ha definido en (11.21) y tal como aparece en (11.20), va a simplificarse con la integral para el trabajo no conservador. Para demostrar este aserto hay que recordar la ley de Cauchy, que establece un vínculo entre el tensor de esfuerzos de un fluido y su campo de vectores de tracción, responsable de las fuerzas superficiales de corto alcance. En efecto, de acuerdo con la ley de Cauchy

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.22) donde ti son las componentes del vector de tracción y nk son las del vector unitario, normal en cada punto de la superficie del fluido y en cada instante. Tomando en cuenta esta expresión, se tiene que: (11.23)

en donde se ha hecho uso del hecho de que el elemento vectorial de superficie se puede descomponer en el producto (11.24) se ha utilizado en todo momento la regla de suma sobre los índices repetidos. Ahora el producto escalar del vector de tracción, por el desplazamiento x integrado sobre toda la superficie frontera instantánea del fluido, se puede identificar sin mayores remilgos, como el trabajo desarrollado por las fuerzas (no-conservadoras) de superficie, que actúan sobre él durante un desplazamiento infinitesimal (es decir, durante un flujo infinitesimal). Por lo tanto, de acuerdo con (11.23), ahora puedo escribir lo siguiente: (11.25)

Así, las dos integrales, al extremo de la derecha de (11.20), también se cancelan. Lo único que sobrevive a esta masacre matemática es entonces la integral (11.26)

Pero si la acción ha de permanecer invariante, tal como lo exige el postulado que establecí anteriormente, entonces también esta integral debe ser

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

igual a cero. Solamente que ahora, para que esta afirmación se cumpla, se puede invocar a la independencia lineal de las tres componentes de la variación de la posición en (11.26). Como consecuencia de ella, se consigue finalmente el resultado deseado: (11.27) Estas expresiones, junto con las condiciones diferenciales sobre H, para garantizar que sea en verdad la transformada de Legendre de la lagrangiana (11.28) constituyen un sistema de seis ecuaciones diferenciales, las llamadas ecuaciones de Hamilton de los fluidos. Estas ecuaciones diferenciales son una forma alternativa que ahora se nos presenta para atacar y resolver problemas relativos al flujo de fluidos. La estrategia es la misma que para la mecánica analítica de fluidos estudiada en el capítulo 8: debemos proponer una función hamiltoniana que represente al fluido que estudiamos. Se trata de una función escalar que es necesario establecer para echar a andar la maquinaria hamiltoniana. Una vez en posesión de tal función, lo demás es, como se dice comúnmente “cuesta abajo”, porque lo que hay que hacer en seguida es, por una parte, calcular el tensor de esfuerzos para esta función, de acuerdo con (11.21); por la otra, sustituyendo la hamiltoniana específica en las fórmulas (11.27) y (11.28), se establece un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, tres para las derivadas de la posición y tres para las derivadas de las componentes del momento del fluido. Estas son las ecuaciones diferenciales de flujo del fluido. Como resultado de su integración se encuentran, después de haber establecido las condiciones iniciales y de frontera pertinentes, los siguientes resultados: (11.29 a)

(11.29 b)

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

que son las ecuaciones de movimiento para todos y cada uno de los puntos del fluido, en la descripción de Lagrange. Si se desea pasar a la de Euler, lo único que es necesario hacer es recordar la equivalencia que se estableció en (8.15) entre el campo de velocidades del fluido y la velocidad instantánea de cada punto material del mismo con esta equivalencia puedo muy bien reescribir a las ecuaciones de Hamilton como sigue: (11.30 a) (11.30 b) Una vez que se integra el sistema (11.30) y se imponen las condiciones iniciales y de frontera pertinentes, se obtienen las tres componentes del campo de momentos del fluido. Llegar a este punto significa haber resuelto el problema de flujo. Para ensayar un poco sobre el manejo de esta formulación, considero ahora el caso del fluido perfecto. Este es, como ya viste en el capítulo 8, un fluido que no existe en verdad en la naturaleza, pero para nuestra fortuna, casi todos los fluidos del mundo se comportan, al menos aproximadamente, como si fueran perfectos. Quiero decir con esto que sus términos líderes, cuando se representan sus flujos, son los del fluido perfecto. Por lo tanto, no tiene nada de ocioso estudiar este ejemplo, aunque sea un caso ideal. Tal vez para mostrarte toda la secuencia de consideraciones que es necesario hacer para resolver este problema quizá sea conveniente comenzar con la formulación lagrangiana, que seguramente estudiaste en el capítulo 8. Allí, en la fórmula (8.119) pudiste ver cómo la lagrangiana específica para el fluido perfecto se escribe de la siguiente manera: (11.31) donde (x) representa la función potencial debida a las fuerzas conservadoras que actúan sobre el fluido y e debes entenderla como la energía interna específica del mismo. Esta función depende únicamente de la densidad de masa  y de la entropía específica . En el caso de sistemas multi-

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

componentes esta función debe considerar a las especies químicas que constituyen el fluido. Ahora, el momento generalizado, canónicamente conjugado a las coordenadas (cartesianas) de este fluido, se obtiene con la derivada de la lagrangiana específica (11.31), con respecto a las componentes de la velocidad; esto es (11.32) El resultado (11.32) nos indica que momentos y velocidades son la misma cosa, lo cual era de esperarse, pues no debes olvidar que hemos manejado únicamente funciones específicas, donde las masas han sido excluidas. Así, en esta descripción, la velocidad y los momentos son iguales. Con esta definición, haciendo una transformación de Legendre, se encuentra ahora la función hamiltoniana específica, de acuerdo con la expresión (11.5): (11.33) Siguiendo el esquema teórico que he propuesto en este capítulo, es el momento de obtener dos productos de esta función. En primer lugar, podemos calcular con ella el tensor de esfuerzos para los fluidos perfectos; para hacerlo, debemos sustituir (11.33) en la fórmula general (11.21). Se trata de una cuestión sumamente sencilla, puesto que la hamiltoniana específica (11.33) no depende de los gradientes del campo de velocidades; entonces, (11.34) Pero en el mismo capítulo 8 se demostró en (8.114 b) que al derivar la función energía específica e con respecto a la función densidad de masa, tal como se ha obtenido en (11.34), lo que se obtiene es la función presión; esto es, (11.35)

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

de modo que en este caso, de acuerdo con (11.34) y la definición (11.35) para la función presión del fluido, se obtiene lo siguiente: (11.36) Este es un primer resultado importante, pues ha aparecido que, en efecto, las ecuaciones constitutivas para un fluido perfecto, tal como se sabe de los tratados elementales, son las que se expresan en (11.36). El segundo producto al que se llega de inmediato, a partir de la función (11.33), así como del resultado (11.36), se obtiene sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de Hamilton (11.27) y (11.28): (11.37) (11.38) De éstas, las expresiones (11.38) nos indican que, en la descripción de Lagrange, la velocidad instantánea de las partículas del fluido es equivalente al momento generalizado. Esta fórmula es la alternativa, en la formulación hamiltoniana, de aquella que se obtuvo cuando te demostré la teoría de las representaciones de los fluidos, en (8.15). Las ecuaciones (11.37), por su parte, ya son viejas conocidas de nosotros, pues habrás identificado en ellas, de inmediato, a las expresiones diferenciales de Euler para los fluidos perfectos (11.39) cuando la fuerza de cuerpo que urge al fluido es conservadora. Ahora, pasando a la descripción de Euler para las ecuaciones diferenciales de flujo, en el formalismo de Hamilton se obtiene: (11.40) de donde se llega de inmediato a una de las más famosas ecuaciones de la mecánica de los fluidos: la ecuación o ley de Bernoulli:

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.41) No hay que confundir en (11.40) y (11.41) el módulo cuadrado del vector momento con el campo de presiones. Se usa la misma literal para ambos, pero en el primer caso tiene el signo de vector. En general, las ecuaciones de Hamilton para los fluidos sin viscosidades se pueden escribir como sigue: (11.42) con las condiciones, (11.43)

(11.44) En este punto podemos establecer una nueva definición que puede ser de utilidad más adelante. Si recordamos que la hamiltoniana específica tiene como uno de sus elementos a la función de energía interna específica, y, por hipótesis, ésta a su vez depende de la densidad de masa y de la entropía específica, entonces se puede proponer, y así lo haremos aquí, un parámetro, al que llamaremos la temperatura del fluido, que se define como: (11.45) En los párrafos previos a este tema, para mostrarte cómo funciona esta “maquinaria” matemática del formalismo de Hamilton para los fluidos, propuse, primero, una función lagrangiana específica en (10.31) y de ella, haciendo la transformación de Legendre pertinente, encontré la hamiltoniana específica para el fluido perfecto. Establecer una función de estado dinámico, bien sea la función de Lagrange o la de Hamilton, es lo que a muchas personas les desagrada de los formalismos lagrangianos y hamilto-

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

nianos en general. Estas personas arguyen, y no sin razón, que ese acto de imponer funciones de estado es contrario al método científico, ya que no está fundamentado en otra razón que la imposibilidad de hallar, dentro del propio modelo teórico que se trata, un criterio, un procedimiento para proponer, de manera lógica, estos entes que son indispensables. Bueno, frente esta opinión hay básicamente dos posiciones: la primera es la de comparar, por así mencionarlo, dos males y defender uno contra el otro, aduciendo a que es menor. Es decir, si nos dicen que es malo imponer una lagrangiana o una hamiltoniana por la fuerza, y sin otra razón que “porque si”, así como papá nos dijo alguna vez que hizo tal o cual cosa “porque soy tu padre”, entonces podemos afirmar que lo mismo se hace en la mecánica clásica de Newton con las fórmulas para la fuerza. En efecto, las llamadas ecuaciones constitutivas en general se imponen, y su única razón de ser es que funcionan. No hay otra cosa que las respalde que no sean argumentos heurísticos o razones a posteriori ¡exactamente igual que con las lagrangianas o las hamiltonianas! Lo que pasa es que durante tantos años hemos trabajado con la mecánica de Newton, y tanto nos han llevado y traído las fórmulas para la fuerza del resorte, o para la interacción gravitacional, que ya hemos llegado a sentir (no pensar, sino sentir), que son absolutamente naturales y obvias. Por el otro lado, la mecánica analítica de Lagrange o la de Hamilton son aún novedosas y poco tienen en común con la de Newton, a excepción, ¡claro está!, que conducen a resultados equivalentes. Por ello aún no nos acostumbramos a su estructura y nos resulta de pronto muy chocante que para echar a andar esta maquinaria teórica debamos buscar, hurgar en nuestro criterio y nuestro sentido común, alguna expresión que nos ayude a representar correctamente un determinado sistema dinámico. La segunda posición que se puede tomar ante esta situación, consiste en disminuir tanto como sea posible el ingrediente de “irracionalidad” o de “brutalidad”, si se quiere llamar de alguna manera al acto de imponer una expresión para estas funciones de estado y buscar dentro de la propia estructura argumentos para la construcción de ellas. Así, si la teoría nos permite acercarnos a las funciones lagrangianas o hamiltonianas a tal punto que su forma general y algunos de sus detalles más importantes puedan ser conocidos a priori, el asunto de imponer con todas menudencias, con todas sus letras, sus constantes, sus potencias y sus signos, será un mero trámite menor; sobre todo si el “retrato” hablado de la función ya quedó esta-

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

blecido a partir de la propia teoría. Esto es lo que hemos venido haciendo en la mecánica de los fluidos. Hemos visto que las ecuaciones constitutivas, esas expresiones tensoriales que son funciones de otras variables escalares, vectoriales y tensoriales que forman la base de la mecánica de fluidos, y sin las cuales simplemente nada se puede hacer, ya no es necesario confeccionarlas empíricamente sobre la base de la experiencia o el sentido común; o aún peor, ateniéndonos a nuestra buena suerte e implorando al Altísimo que nos ilumine y guíe nuestra pluma para escribirla acertadamente; esas expresiones ya no más serán dolores de cabeza, pues ahora, con esta formulación, basta con una función escalar, una sola para cada caso, para que tanto las expresiones para el tensor de esfuerzos como las ecuaciones diferenciales de flujo se puedan establecer de una sola vez. A lo que quiero llevarte con este relato, es que dentro del modelo que aquí te he venido descubriendo también hay un conjunto de razonamientos formales que nos permiten, en efecto, acercarnos muchísimo a la función hamiltoniana, de modo que el acto final de escribirla sea una consecuencia inmediata, directa y lógica de las deducciones que llevaron a su proposición. Para continuar en esta dirección, considera ahora las definiciones (11.44) y (11.45). Son, ni más ni menos que eso: dos definiciones; una para esa entidad a la que ya desde el capítulo 8 la había definido como la presión y la otra es para la temperatura. Tal vez puedas pensar que estoy forzando las cosas demasiado al llamar a una “presión” y a la otra “temperatura”. Si así te parece, no tomes en cuenta estos nombres y simplemente acompáñame en el siguiente razonamiento: la expresión (11.44) se puede procesar algebraicamente como sigue: (11.46) Pero hay un sencillo teorema del álgebra y el cálculo que nos permite escribir lo que aparece en el miembro de la derecha de (11.46) en una forma diferente:* * Si tenemos una expresión de la forma

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.47)

así que con la ayuda de este resultado puedo escribir nuevamente la expresión (11.50) de la siguiente forma: (11.48)

Este resultado implica que (11.49)

es decir, que la hamiltoniana específica se puede descomponer en una función H1 que ya no depende de la densidad, y una integral como la que aparece en el extremo de la derecha de (11.49). Ahora, considerando la definición (11.45) y realizando un procedimiento muy parecido al que seguí con (11.44), puedo demostrar que (11.50) en donde he hecho uso, nuevamente, del mismo teorema al que hice mención anteriormente. Por lo tanto, en estas circunstancias estarás de acuerdo conmigo que se puede escribir que también se puede escribir en otra forma, equivalente a la anterior:

así que igualando miembro a miembro se demuestra que

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.51) siendo H2 una función desconocida que, al menos puedo afirmar, no depende de la entropía específica. Comparando (11.49) y (11.51) se ve ahora que la hamiltoniana específica es una función que puede descomponerse como sigue: (11.52) donde e(,) está dada por (11.53) o bien en forma diferencial: (11.54) Así, la hamiltoniana específica de un fluido sin viscosidades se puede descomponer en dos partes bien distintas. La primera, una hamiltoniana de un sistema de partículas que se mueven individualmente, ajenas a las demás, bajo la acción de los agentes físicos externos y tal vez debido también a los choques que sufren unas con otras. Esta función recibe el nombre de hamiltoniana incoherente, y no es porque la información que posee no sea ordenada o sensata, sino porque describe un sistema dinámico sin coherencia interna. Esta es la función que ha sido escrita en (11.52) como H0. La segunda parte en que ha sido partida la hamiltoniana específica, según se puede observar en (11.52), es una función e que, al igual que las demás en esa expresión, posee unidades de energía por unidad de masa. Esta función tiene una estructura muy familiar para todos nosotros, se trata de la energía interna específica del fluido. Su forma diferencial en (11.54) nos sugiere la ecuación fundamental de la termodinámica para un sistema homogéneo y con una sola componente, que se halla en equilibrio químico.* * Véase, por ejemplo, Callen, H. B., Thermodynamics, John Wiley, 1960, p. 32.

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

Como la hamiltoniana específica de un sistema de partículas se conoce muy bien de la mecánica de Hamilton, entonces, a partir del razonamiento anterior, se conoce la forma que debe tener nuestra función para un fluido sin viscosidades: (11.55) que es, ni más ni menos, la función (11.33) que se utilizó para mostrar el ejemplo del fluido perfecto. Pero si la hamiltoniana específica puede separarse en dos partes, tal como demostré en (11.52), entonces, de (11.37), las ecuaciones de Hamilton son de la siguiente forma: (11.56)

sujetas a las condiciones diferenciales (11.57 a)

(11.57 b) No es difícil percatarse ahora que las ecuaciones (11.56) pueden a su vez ser separadas, de modo que por una parte tengamos las expresiones que se refieran al sistema incoherente de partículas, en tanto que por la otra parte expresemos las correspondientes ecuaciones de la parte puramente termodinámica del fluido que aquí comienza a aparecer. Así, las ecuaciones (11.56) se separan en dos partes: (11.58) que, con la otra terna de ecuaciones diferenciales (11.38)

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.59) forman el sistema de ecuaciones de Hamilton para un sistema de partículas que se mueven sin cohesión interna, debido a las fuerzas conservadoras y no conservadoras que los urgen. Estas últimas están representadas por Qi que, como sabemos, cumple el rol de una fuerza generalizada disipadora. Por lo tanto la otra parte, la de naturaleza termodinámica de los fluidos no-viscosos, se manifiesta a través de las ecuaciones (11.57 a) y (11.57 b), así como por las ecuaciones siguientes: (11.60) Si se utiliza ahora el resultado que obtuve en (11.53) o (11.54); donde se observa que la energía interna específica del fluido depende de la densidad y de la entropía específica únicamente, entonces puedo demostrar sin dificultad que (11.61) donde podemos percatarnos que la dependencia en las coordenadas solamente se da en la energía interna específica, a través de los dos parámetros mencionados. Pero, de acuerdo con (11.57) (11.62) Del mismo modo puedo desarrollar el término en el gradiente de la presión que aparece en el miembro de la derecha de (11.60):

(11.63)

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

Para tener completo este desarrollo, permíteme por favor una licencia, dame la ocasión de expresar a la fuerza generalizada disipadora de la siguiente forma: (11.64) siendo  alguna función, aún desconocida, a la cual voy a suponer continua y con derivadas continuas de las coordenadas, a través de los dos parámetros termodinámicos; esto es:* (11.65) de tal suerte que (11.66)

Ahora sí, con estas consideraciones puedo regresar a las ecuaciones (11.60). Sustituyendo en ellas los desarrollos (11.62), (11.63) y (11.66), y agrupando, obtengo de inmediato que

(11.67) De manera que, invocando ahora a la independencia lineal de los parámetros termodinámicos, obtengo dos expresiones diferenciales que deben ser satisfechas por esa misteriosa función propuesta en (11.65): (11.68) * En este desarrollo voy a suponer que el fluido sin viscosidades que estudio, fluye en estado estacionario. La razón de esta hipótesis es que con la introducción del tiempo no deseo hacer las demostraciones más complicadas.

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.69) De (11.68) obtengo sin mayor fatiga que (11.70) pero sustituyendo en el miembro de la izquierda de (11.69) el resultado (11.70) que obtuve de la integración en , consigo ahora lo siguiente: (11.71) simplificando, puedo ahora integrar (11.72) Finalmente, si en efecto el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha de (11.72) son compatibles, entonces la temperatura del fluido es un campo que debe tener una estructura general como la siguiente: (11.73) siendo () alguna función, por el momento desconocida, de la entropía específica. La ecuación diferencial (11.69), por su parte, me ofrece un poco más dificultad. Sin embargo, este obstáculo también lo puedo remontar rápidamente si acudo a la idea de que la energía interna específica e es una función que debe satisfacer la condición de integración de Cauchy: (11.74)

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

De esta forma, recordando (11.57 a y b), encuentro de manera expedita que (11.75) Este resultado no es otra cosa que la primera relación de Maxwell de la termodinámica. Con él, sustituyendo (11.75) en (11.69), obtengo una ecuación mucho más sencilla y sugestiva: (11.76) Por lo tanto, sustituyendo (11.73) en (11.76) se encuentra que (11.77) o integrando (11.77) se infiere que (11.78) Así, aquella función que se introdujo en (11.65) ha quedado parcialmente definida en términos de funciones simples. Si se compara este resultado (11.78) con aquel otro obtenido en (11.70), y con la ayuda de (11.72) y (11.73), se ve que la función general para la presión, para un fluido sin viscosidades como el que aquí he tratado, que fluye en estado estacionario, es la siguiente: (11.79) Y una vez obtenidas las expresiones (11.73) y (11.76), para la temperatura y la presión del fluido sin viscosidades, puedo expresar igualmente la función energía interna específica, dada en (11.53), como dos integrales en términos de la función ():

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

(11.80) Conocidas esas dos funciones, el problema de la termodinámica de los fluidos sin viscosidades queda totalmente definida. En la década de 1940, Albert Einstein (1879-1955) viajó en varias ocasiones a Cuba para visitar a un antiguo amigo, un médico cubano, cuyo nombre ya se ha borrado de mi memoria. En uno de esos viajes, al descender del avión que lo traía de Princeton, E.U.A., una multitud de reporteros y fotógrafos se lanzó hacia tan ilustre visitante para hacerle preguntas y cubrir con sus repuestas la nota de ciencia de sus respectivos periódicos. La mayoría de las preguntas que allí, al pie de la escalerilla del avión, le dispararon al genio eran insulsas y meramente formales: que cuánto tiempo permanecería en la bella isla caribeña, o quién era la persona con la que se entrevistaría y cuáles serían los trabajos científicos que realizarían. Hubo también preguntas capciosas e impertinentes, como aquella que una joven reportera que trabajaba para una revista cubana de chismes sociales le espetó: ¿por qué no usa usted calcetines?, ¿tampoco se los puso para la ceremonia del premio Nobel?, ¿nunca se peina porque tiene caspa?, a todas ellas contestó el viejo con su sonrisa afable y su faz bonachona. Pero hubo allí un reportero que hizo algunas preguntas muy agudas y que denotaban un conocimiento fuera de lo común en asuntos de ciencia. De entre aquella muchedumbre que como un enjambre atosigó al físico durante interminables minutos, mientras él se dirigía sudoroso y apresurado a la sala del aeropuerto de La Habana, ese hombre de tez morena y mirada inteligente se hizo escuchar, elevando la intensidad de su voz por encima de las demás y le lanzó como un dardo la cuestión: “Profesor Einstein, ¿no le parece a usted muy extraño que, siendo todas las teorías físicas existentes de carácter dualista, la que usted propuso, la teoría de la relatividad generalizada, sea, por el contrario, no-dualista? ¿No cree usted que ese signo tan singular sea un elemento de debilidad de su teoría frente a todas las demás? Einstein detuvo su marcha, dejó su equipaje en el suelo y se volvió sobre sus talones para enfrentar a aquella persona que lo había cuestionado. Lo miró directamente a los ojos con esos sus ojillos brillantes y traviesos, y le contestó algo como lo siguiente: “mi teoría, jovencito, la teoría generalizada de la relatividad, es, en efecto, un modelo no-dualista, como usted muy acertadamente me lo señala. Sin embargo no es la única que exhibe este rasgo. La más bella de to-

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

das las teorías físicas que genio alguno ha desarrollado hasta nuestros días, es también no-dualista. Me refiero, por supuesto, y probablemente usted ya lo había olvidado, a la termodinámica clásica; ese estupendo modelo desarrollado por Gibbs y otros en la segunda mitad del siglo xix, hace cerca de un siglo”. El reportero anotó cada palabra del anciano y desapareció entre la multitud. Esa semana apareció el reportaje que le dio la vuelta al mundo en unas cuantas horas. Déjame ahora explicarte aquello que ocurrió en el aeropuerto de La Habana, Cuba, hace ya muchos años. Para comenzar tengo que aclararte que las teorías científicas, todas las teorías, para su construcción y estructuración necesitan, como las casas, de cimientos. Estos son un conjunto de postulados básicos sobre los cuales inductivamente se levanta el edificio teórico. Como ya sabes muy bien, los postulados tienen dos características importantísimas: por una parte, son indispensables; ninguna teoría puede construirse sin postulados. Por la otra, no es posible demostrarlos; esto debe ser claro para ti. Si un postulado o un conjunto de ellos pudiera ser demostrado, significaría que esos axiomas, a su vez, pueden explicarse en términos de otras afirmaciones o negaciones aun más profundas, más fundamentales; en tal caso ya no serían aquéllos en verdad los postulados, sino esos otros, los realmente básicos, los que soportan a toda la estructura teórica. La ciencia está, pues, construida, toda ella, sobre asertos que no es posible demostrar. Por su propia naturaleza los postulados de una teoría, bien sea que se acepten sin remilgos, en cuyo caso se accede a la teoría en su totalidad, para bien o para mal; o bien se rechazan, con lo cual se rechaza a todo el modelo que de ellos se sigue. Esta es la gran libertad que te da la ciencia: la tomas o la dejas, es tu soberana opción. Pues bien, resulta que las teorías físicas, para su construcción y operación, en general requieren no de un juego de postulados, sino de dos. En efecto, casi todas, a excepción de la relatividad generalizada, son dualistas. Un juego de axiomas se destina a proponer las ecuaciones diferenciales fundamentales del modelo y otro se impone para hacerlo funcionar, bajo el rubro de ecuaciones constitutivas. Como vimos al principio de esta obra, para construir la mecánica clásica, Newton estableció sus leyes, las cuales conducen a las ecuaciones básicas de la teoría:

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Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos

Pero también te hice ver que todas estas expresiones son inútiles a menos que las alimentes con ecuaciones constitutivas, que en el caso de la gravitación newtoniana, por ejemplo, son las siguientes:

Las ecuaciones de Newton y las ecuaciones constitutivas son dos juegos de postulados. Esto significa que para proponer, por ejemplo, la fórmula de la gravitación universal, no es necesario tomar en cuenta los axiomas de la mecánica, como tampoco es preciso tener en cuenta la gravitación a la hora de establecer la ley de torcas y momento angular. Es cierto que una vez desplegado el modelo no va a ser posible volverlo operativo sin la concurrencia de ambos juegos de reglas básicas, pero a la hora de construirlo ambas se postulan de manera independiente. Estas son las teorías dualistas a las que hizo alusión aquel joven reportero cubano cuando entrevistó a Einstein en el aeropuerto de La Habana. En efecto, no sólo la mecánica clásica es dualista, como puedes ver en este momento. También la teoría electromagnética de Maxwell es dualista, pues una cosa es establecer el juego de ecuaciones que llevan el nombre de este ilustre científico británico y otra muy distinta es hacerlo funcionar con proposiciones matemáticas acerca de las distribuciones de cargas y corrientes eléctricas en el espacio. Aquéllas no pueden operar sin éstas; ambos conjuntos de proposiciones son independientes, pero indispensables, para plantear y resolver problemas de ese ámbito de la ciencia. La teoría de la relatividad generalizada, por el contrario, requiere de un solo juego de postulados. Con él se establecen tanto las ecuaciones del campo

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

gravitacional como las ecuaciones de las trayectorias de los cuerpos en dicho campo. Se trata de una tautología, un juego que se juega comenzando en cualquier parte de la teoría y se concluye en el punto de partida. No me pidas, por favor, que te explique esta teoría, pues ello nos llevaría muy lejos del objetivo que me he propuesto, así que permíteme simplemente llegar hasta aquí. Debo confesarte que por muchos años pensé que la termodinámica clásica, al igual que la mecánica o el electromagnetismo, era una teoría dualista. De hecho, todos los libros de texto y de consulta acerca del tema así lo implican. En todos ellos se explica que una cosa es la ley cero, o la primera o segunda ley de la termodinámica, con las cuales se estructura y se construye este formidable edificio, y otra muy diferente es la proposición que se hace de las ecuaciones de estado de las sustancias que experimentan procesos termodinámicos. Si cualquier mortal me hubiera dicho de pronto que la termodinámica clásica es una teoría no-dualista, que contiene, por lo tanto, todos los elementos necesarios para su conformación y su funcionamiento, en un solo juego de postulados básicos, sin mayor trámite lo hubiera mandado a paseo con una palmada en la espalda y el consejo de abrir algún buen libro de termodinámica, desempolvarlo y repasar lo que ahí esta escrito para refrescar la memoria y aclarar el pensamiento. Pero da la casualidad que quien afirmó aquello no es un simple mamífero bípedo implume y con la cabeza más o menos en alto, sino quien ha sido el pensador señero de la física del siglo xx, así que no hay que tomar a la ligera ese comentario que se hizo hace ya muchos ayeres, en el aeropuerto de La Habana, ante un espabilado reportero de una perdida columna de ciencia y tecnología, de un ignoto diario cubano. Pensando un momento acerca del resultado (11.80) que acabo de mostrarte, hay dos conclusiones de gran importancia que se deducen de él inmediatamente. La primera que quiero mostrarte, tiene que ver con el hecho de que (11.81) viene a ser la transformada de Legendre de la energía interna específica cuando el kernel es el producto que aparece en el extremo de la izquierda de (11.81). Por una parte, este kernel en realidad viene a ser lo siguiente:

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(11.82) como puedes ver de la definición (11.57 a). Por otra parte, la función que aparece en el miembro de la derecha de (11.81), es la llamada entalpía específica del fluido. Pues bien, de la definición (11.81), de acuerdo con (11.82), es que para el caso de un fluido perfecto la entalpía específica siempre es nula. Si recuerdas que la entalpía es una medida de la cantidad de calor que es aprovechable en un proceso termodinámico, entonces debo concluir que un fluido perfecto, al fluir, no genera calor aprovechable. Pero esto no es todo, sustituyendo (11.73) en (11.79) se puede reescribir la ecuación de estado general para un fluido perfecto de la siguiente manera: (11.83) así que todo depende de la función (), definida en (11.73), para escribir explícitamente esta ecuación de estado. Por ejemplo, si se propone que (11.84) se obtiene de inmediato en la integración de (11.83) que (11.85) siendo p0 alguna presión de referencia y R la constante del gas ideal del fluido que se trata. Así, la tautología en verdad se da con la termodinámica, tal como lo mencionó aquella vez el viejito de la pipa y el cabello alborotado.

11.2. El espacio de las fases de los fluidos perfectos Bueno, creo que con todo este discurso, a estas alturas más bien por tedio o por cansancio, debes estar ya suficientemente reblandecido con tus escrúpulos científicos y tal vez tu actitud ya sea la de decir que sí a todo lo que yo

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

afirme, así nomás, sin mayor análisis… o tal vez ya tu disgusto haya llegado al extremo de lanzar este libro por la ventana y no volverlo a ver. Ojalá no sea verdad ninguna de las dos cosas. Lo que ocurre es que no podía dejar pasar la ocasión de mostrarte cómo es que la termodinámica surge de las mismas ideas motoras que me han impulsado a investigar acerca de los fluidos, desde la perspectiva de la mecánica analítica de Lagrange y Hamilton. Y no sólo esto, sino que, en efecto, todo parece apuntar en la dirección de una tautología; esto es, un modelo teórico completo a partir de un solo juego básico de postulados. Pero tengo que terminar con todo este material que traigo en mi cabeza para ti. Si me has seguido hasta este punto, creo que estarás de acuerdo conmigo que es el momento de explorar de nueva cuenta a los fluidos, pero ahora desde el enfoque del espacio de las fases. Debemos pisar con cuidado, pues ahora nos encontraremos con un territorio totalmente virgen, cuya orografía desconocemos por completo. Debemos ser cautos y no dar un paso sin haber recorrido con nuestra mirada todos los alrededores, so pena de caer de bruces. Para comenzar, vamos a restringir nuestra búsqueda a los fluidos perfectos. Sería demasiado que así, de entrada, nos lanzáramos a esta excursión cargando todo el equipaje. Hay que aligerar un poco para hacer la marcha más ágil y segura. Así que nuestro punto de partida deben ser las ecuaciones de Hamilton para un fluido sin viscosidades: (11.86 a)

(11.86 b) con las definiciones adicionales (11.87 a)

(11.87 b)

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para la presión y la temperatura, respectivamente. En alguna de las secciones anteriores de este mismo capítulo te hice ver cómo es que este juego de ecuaciones puede servirnos para estudiar a los fluidos perfectos, tanto desde el punto de vista de la descripción de Euler, considerando a los momentos pi como campos físicos, como desde la imagen de Lagrange, donde pensamos en puntos materiales que se mueven en el espacio físico tridimensional, bajo la acción de los agentes que los urgen. Pues bien, así, de entrada, debo decirte que si estamos dentro de la descripción de Euler del fluido, no podemos considerar espacio de fases alguno para este sistema. La razón es obvia: si los momentos o las velocidades son campos físicos, entonces dependen de la posición (y del tiempo), de manera que, momentos y coordenadas NO forman un conjunto de variables linealmente independientes. Por el contrario, los momentos dependen de las coordenadas, haciendo que el único espacio en el cual se puede hacer la descripción del fluido es ese: el espacio euclídeo de tres dimensiones, ni más ni menos. Entonces, si estamos interesados en describir la conducta de los fluidos desde el espacio de las fases, como entrada tenemos que considerarlos en la descripción de Lagrange. Dentro de este escenario, coordenadas y momentos son un conjunto de seis variables linealmente independientes. En esta descripción las ecuaciones de Hamilton (11.86) forman un sistema de seis ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas de primer orden, inhomogéneas. Lo primero que debemos hacer, después de adoptar la visión lagrangiana de los fluidos, es homogeneizar las ecuaciones (11.86) antes de proseguir adelante. Para hacerlo, introduzco aquí, para tu consideración, una nueva función a la que llamaré en adelante la función hidrodinámica generalizada; sea ésta lo siguiente: (11.88) Con esta función, las ecuaciones diferenciales (11.86) se pueden reescribir, en efecto, en una forma mucho más compacta, como puedes constatarlo, si sustituyes la definición (11.88) en aquéllas; lo que obtienes es:

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El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.89 a) (11.89 b) Estas son, empero, las ecuaciones de Hamilton para partículas que se mueven por el espacio bajo la acción de agentes conservadores. Su forma es exactamente la misma que se usa en la mecánica de partículas. La única excepción aquí, es que se trata de una función de estado que no coincide totalmente con la hamiltoniana clásica. De ahora en adelante desarrollaré la mecánica del fluido sin viscosidades, en la descripción de Lagrange y dentro del formalismo de Hamilton, enteramente en términos de la función hidrodinámica generalizada. Partiendo de la funcional de acción propuesta en (11.8), con la singularidad de que ahora imaginaremos desde un principio que estamos en el espacio de las fases del fluido, podemos proponer que (11.90)

En este espacio recordarás que basta con establecer un punto como condición inicial. Por ello, ahora las integrales temporales están semi definidas, en un instante t0 inicial, pero las he dejado abiertas en el otro extremo, asignando algún instante t que debo considerar como un parámetro variable. Supón ahora que ocurre una transformación continua de coordenadas, me refiero a algún mapeo en el espacio fásico de seis dimensiones. En particular puedo considerar una transformación infinitesimal (11.91) Todas las funciones que describen el estado dinámico del fluido cambian por virtud de esta transformación, así que comparando la acción antes, con la acción después de esta transformación del espacio de fases del fluido, tenemos que

224

El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos

(11.92)

Ahora integrando por partes el segundo término de la derecha en (11.92), así como desarrollando la variación de la hamiltoniana específica en términos de sus argumentos, obtenemos lo siguiente:

(11.93) en donde he hecho uso del teorema de Gauss, de la divergencia, para aislar a la presión, entendida, como es costumbre, como la definición (11.87 a). El último término a la derecha en (11.93) es lo que ha quedado de la integración por partes de la variación de la velocidad. Ahora bien, si se adopta en este punto la definición de la función hidrodinámica dada en (11.88), por una parte y por la otra, y se identifica a la integral cerrada de superficie como (11.94)

tal como se hizo anteriormente, entonces:

(11.95)

225

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

Para avanzar un poco más en este desarrollo, es el momento de hacer una hipótesis básica, fundamental, que nos permita este paso: La acción A de un fluido es una propiedad del sistema dinámico mismo. Se trata de cierta cualidad, cierta entidad física, con realidad objetiva y que, en efecto, pertenece a este cuerpo, igual que pertenece a un sistema de partículas o a un cuerpo rígido, o incluso a un campo. Es, como ya te mostré en el capítulo acerca del formalismo de Hamilton, un invariante fundamental, un objeto que permanece inmutable ante transformaciones de coordenadas y momentos en el espacio de las fases. Como recordarás, la acción es una función del tipo general (11.96) por lo tanto, podemos pensar en este punto que la acción del fluido es el resultado de las contribuciones de todos sus elementos. Así, imaginando un pequeño elemento diferencial de masa del fluido, éste contribuye a la acción total con una pequeña fracción adm, siendo a(x ,  ,t), por supuesto, la acción por unidad de masa de esa pequeña porción del cuerpo. Entonces, la acción total A debemos entenderla como la integral de todas las partes; esto es, (11.97)

La acción específica a es, a su vez, una función generadora, de clase F2, que depende de las coordenadas, de los parámetros (de curva) y del tiempo:

Siendo una función generadora de una transformación canónica, satisface las condiciones diferenciales

226

El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos

(11.98 a) (11.98 b) Pero si la acción, en efecto, se puede descomponer en la forma que indico en (11.97), y si en verdad la acción específica del fluido satisface las condiciones diferenciales, entonces, sustituyendo (11.97) y (11.90) y variándola, se obtiene que (11.99)

Pero la variación de la acción específica se puede desglosar, de acuerdo con su dependencia, en las coordenadas y los parámetros de curva, como se indica a continuación:

siendo

Entonces, de (11.95) y (11.99), tomando en cuenta el desarrollo de la variación de la acción específica visto arriba, se tiene que:

(11.100) El primer término en el extremo izquierdo de (11.100) se hace igual a cero debido a la condición diferencial. Si la acción ha de ser invariante, entonces, ante un cambio infinitesimal de los parámetros geométricos, se

227

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

debe cumplir que la “variación sustancial” de la acción específica es igual a cero; esto es (11.101) Finalmente, invocando a la independencia lineal de las coordenadas y los momentos en el espacio de las fases, se obtiene, como resultado del postulado de invarianza de la acción, lo siguiente: (11.102) (11.103) Por lo tanto, al menos para el fluido perfecto, he podido deducir las ecuaciones diferenciales de Hamilton, las mismas que se obtuvieron para el espacio euclídeo tridimensional en (11.89), pero ahora lo he hecho desde el principio en el espacio de las fases del sistema dinámico. Por otra parte, si regresamos a la definición que acabo de proponer en (11.97) y calculo ahora la derivada temporal de la acción, tenemos que: (11.104)

donde se ha hecho uso del teorema de Reynolds para derivar dentro del signo de integración. Pero de acuerdo con la igualdad (11.90), la derivada temporal de la acción es igual a (11.105)

De esta suerte, igualando los miembros de la derecha de (11.103) y (11.104), puedo escribir lo siguiente:

228

El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos

(11.106)

Pero el coeficiente de la velocidad en (11.105) es nulo para todos los valores del índice i. Esto se debe a la condición diferencial que toda función generadora, de clase F2, debe satisfacer, tal como se propuso en (11.98 a). Por lo tanto, lo que resulta es lo siguiente: (11.107)

El primer término en el miembro de la izquierda de (11.106) no es otra cosa que la derivada parcial de la acción A con respecto al tiempo, así que este resultado lo puedo escribir de la siguiente forma: (11.108) donde la hache historiada que he escrito en la fórmula anterior debes reconocerla como la función de Hamilton neta para todo el fluido, definida como: (11.109)

En todo caso, (11.108) representa la ecuación de Hamilton-Jacobi para el fluido sin viscosidades, como seguramente habrás identificado desde que la viste escrita hace un instante. Claro que si el trabajo W se escribe como (11.110)

tal como lo exige en general la termodinámica, entonces es posible escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi del fluido sin viscosidades, en términos de las cantidades específicas, como sigue:

229

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.111) o bien, recordando la definición de la función hidrodinámica generalizada que te planteé en (11.81), podemos escribir ahora que (11.112) donde  sería la entalpía específica, generalizada, definida como: (11.113) Así, he podido encontrar con facilidad la expresión para la ecuación de Hamilton-Jacobi, homogénea y en términos de las cantidades específicas del fluido. Recordando que la hamiltoniana específica de un fluido sin viscosidades es la que se propuso en (11.33), y recordando asimismo que la energía interna específica en la que se dedujo en (11.53), se ve entonces que la ecuación de Hamilton-Jacobi para estos fluidos es, de acuerdo con (11.112), la siguiente: (11.114)

donde la literal Q del miembro de la derecha en (11.114) no es otra cosa que el calor radiado o absorbido por el fluido, debido a la fuerza disipadora. (11.115) Pero la ecuación diferencial (11.114) que tan laboriosamente he obtenido aquí no es nueva. Se trata de la bien conocida ecuación de Bernoulli del segundo tipo. Esta ecuación se deduce para el caso de fluidos irrotacionales a partir de las ecuaciones de Euler. ¿Para qué se ha tenido que dar

230

El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos

tantas vueltas, si al final se ha llegado a un resultado bien conocido y fácil de deducir de la teoría clásica de fluidos? La respuesta que debo darte va en varias direcciones. En primer lugar, vuelve a aparecer aquí este hecho tan interesante de que las diversas formulaciones de la mecánica de los fluidos, al igual que ocurrió en la mecánica clásica, constituyen, todas, una hermosa tautología; es decir, una enorme vuelta en redondo que termina en el mismo punto donde se partió. Al haber arribado a la ecuación de Bernoulli hemos terminado, en efecto, en el principio mismo de la mecánica de fluidos. Esto nunca se había hecho antes en este tema. Pero lo que realmente constituye el clímax de este desarrollo es el hecho de que, contemplada desde la perspectiva de la ecuación de HamiltonJacobi, la expresión de Bernoulli (11.114) tiene una implicación inmediata, a saber: que para hallar las ecuaciones de trayectoria de los puntos materiales del fluido puede ser integrada dentro de la descripción lagrangiana del mismo. En efecto, dado que (11.114) es la ecuación de Hamilton-Jacobi en términos de la función de clase F2, a(x,  ,t), adicionalmente satisface esta generadora las condiciones diferenciales (11.98). Con ellas, y la ecuación de Bernoulli (11.114), el problema puede ser integrado, en principio. Esto se verá en la siguiente sección, al abordar un simple problema de flujo de un fluido perfecto. El otro punto, que es tal vez tanto o más interesante que el anterior, a favor de este enfoque, es que ahora sí puedo dar por primera vez una explicación elemental del término inhomogéneo Q, de la ecuación (11.114), como el calor disipado debido a las fuerzas que lo conducen. Bernoulli nunca pudo hacer esta identificación por la sencilla razón de que no tenía a la mano la termodinámica. Pero en los tratados posteriores del tema tampoco se molestaron mayormente sus autores en profundizar más en esto. Hoy, a la luz de este desarrollo, puedo afirmar con toda seguridad lo anterior. Si el flujo es adiabático, entonces este término es nulo, y la ecuación de Bernoulli es homogénea. Pero ¡ojo!, no hay razón a priori para afirmar que los fluidos perfectos fluyan adiabáticamente. No es lo mismo un flujo isentálpico, que no “contiene” calor aprovechable, a uno isoentrópico, que no cede ni recibe calor alguno. Para terminar, puede decirse que si se trata de un fluido viscoso, entonces también puedo establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi para él. O en otras palabras, es posible pensar en cierto proceso intelectual de in-

231

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

ducción que me permita generalizar los desarrollos anteriores y proponer una ecuación “ de Bernoulli” para un fluido viscoso. Esto ya no lo haré en este contexto.

11.3. Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

11.3.1 Flujo de un fluido perfecto que fluye sobre una superficie horizontal lisa, en estado estacionario, debido a una presión aplicada Considérese, en efecto, un flujo de cierto fluido perfecto, que se desplaza en estado estacionario sobre una superficie rígida, lisa, horizontal, debido a la fuerza acarreadora de una presión aplicada que se ejerce desde la remota izquierda. La fuerza de cuerpo que actúa sobre cada uno de los elementos de volumen del fluido es: (11.116) siendo nuevamente  la densidad de masa del fluido y g la constante de la aceleración de la gravedad. En el elemento de volumen del fluido existe un estado de esfuerzos dado por: (11.117)

donde p(x) es la presión acarreadora, evaluada en el elemento de volumen. Asimismo, a lo largo de la vertical, la presión que recibe el elemento de volumen es la superposición de la presión atmosférica y la boyancia del fluido. Con este tensor de esfuerzos se puede calcular ahora la divergencia, tal como lo demanda la expresión para el balance de momento:

232

Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

el resultado de esta operación es: (11.118) Por lo tanto, sumando las fuerzas que actúan sobre cada elemento de volumen del fluido instantáneamente, se obtienen ahora: (11.119) es decir, que para este flujo la fuerza de gravedad que ejerce la tierra sobre cada elemento de volumen del fluido se cancela, punto a punto con la boyancia del cuerpo, de modo que esta última es una fuerza de constricción que limita los grados de libertad del movimiento. Si este problema se ataca desde el enfoque newtoniano de la mecánica de fluidos de Stokes, hay que plantear completas las ecuaciones de flujo de Euler: (11.120)

Después de cierto manipuleo algebraico por demás conocido, se puede transformar la expresión (11.120) en la bien conocida fórmula de Bernoulli: (11.121) siendo 0 un parámetro constante que se puede identificar como la energía por unidad de masa de cada elemento de volumen del fluido. La ecua-

233

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

ción (11.121) representa también la primera integral de movimiento de las ecuaciones de balance de momento... y generalmente la última, pues no es posible continuar adelante dentro del contexto de la mecánica de los fluidos ortodoxa, la de Stokes, excepto si se imponen adicionalmente condiciones limitantes como la de irrotacionalidad o la de incompresibilidad del fluido. Si ahora se adopta el punto de vista de la mecánica analítica de fluidos es posible hacer progresos adicionales en la comprensión de este fenómeno. Así, tomando en cuenta las constricciones, la lagrangiana específica para este caso de flujo de un fluido perfecto, se escribe simplemente como: (11.122) siendo e la energía interna específica, a la cual se le considerará como una función de la densidad de masa únicamente, siendo ésta, a su vez, función de la coordenada cartesiana x. Por lo tanto, los momentos canónicos son: (11.123 a) (11.123 b) De igual manera se obtienen las ecuaciones diferenciales de flujo de Lagrange, de acuerdo con la fórmula general (11.124) Para este caso, adquieren la siguiente forma: (11.125 a) (11.125 b)

234

Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

siendo p la presión, definida como: (11.126) Así, inmediatamente aparece aquí, en (11.125 b), que la componente de la velocidad en la dirección de la ordenada (la vertical) es una constante, que muy bien puede suponerse igual a cero, y el flujo se desarrolla enteramente en la dirección del (único) grado de libertad x. En estas condiciones, la ecuación de flujo se puede llevar de inmediato a la siguiente forma: (11.127 a)

con vy 0

(11.127 b)

lo cual evidentemente representa un avance sobre el conocimiento anterior, en la descripción newtoniana de Stokes. ¡Por supuesto! El problema aún no puede ser llevado a resultados analíticos cerrados que permitan evaluar numéricamente un flujo como el que aquí se propuso. Para ello habrá que dar una formulación precisa de la energía interna específica e. Por ejemplo, si se supone adicionalmente que (11.128) siendo k alguna constante real, entonces, evidentemente (11.129) y en estas condiciones el resultado (11.127 a) es (11.130)

235

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

En estas circunstancias se tiene, derivando (11.130) con respecto a x, que (11.131)

En este punto es preciso obtener la ecuación de balance de masa. Para el caso que aquí ocupa la atención, esta ecuación es la siguiente: (11.132) o bien: (11.133) Por lo tanto, comparando (11.131) con (11.133), se obtiene de inmediato el resultado final: (11.134) ¡Era de esperarse! Un flujo así, desde el planteamiento sugería muy fuertemente que la velocidad se debe conservar. Pero tuvo que contemplarse bajo la luz de la mecánica analítica de los fluidos para ratificar este resultado que la intuición sugería. Enfocando el mismo problema desde la perspectiva de Hamilton, se puede partir de la lagrangiana específica (11.122) y las expresiones (11.123) para los momentos canónicos (que son, ni más ni menos las componentes de la velocidad) para construir la hamiltoniana específica del fluido, como la transformada de Legendre de aquélla; esto es, como (11.135) Las ecuaciones de Hamilton

236

Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

(11.136 a) (11.136 b)

(11.136 c)

(11.136 d) dan como resultados las mismas ecuaciones diferenciales que se habían obtenido de Lagrange en (11.125):

de manera que no vale la pena abundar mayormente en este terreno sobre el procedimiento para integrarlas; es el mismo que se siguió anteriormente, y por supuesto el resultado final coincide con (11.134). Antes de abandonar este tema y pasar a un nuevo enfoque del mismo problema, que será el de Hamilton-Jacobi, es interesante llamar la atención sobre dos resultados colaterales que se siguen inmediatamente del anterior (11.134): el primero es que un fluido como el que aquí se ha estudiado, que fluye con una fuerza acarreadora así, no cambia la presión con la que se ve impelido. Como puede verse de (11.132) al sustituir el resultado (11.134), la densidad permanece constante y este hecho a su vez implica en (11.129) que la presión también queda constante. Esto último lleva a pensar que la presión ejercida en el seno de un fluido perfecto (como este que aquí se trata) se transmite íntegramente, con igual intensidad y en todo punto del mismo, a lo largo de su trayecto. Esto podría tomarse muy bien como la expresión matemática del célebre teorema de Pascal [Blaise Pascal (1623-1662)].

237

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

Pero lo que realmente va a abrir las puertas para la investigación de los fluidos de hoy en adelante es el tema que ahora, de una manera natural, se pone enfrente para su resolución. Con tan largo camino recorrido, toda la maquinaria teórica, todo el herramental, está listo y lubricado para resolver el problema de los fluidos reales. Tan solo falta el detalle de dar una resolución completa y final al tema abordado aquí, en esta sección, con la descripción de Hamilton-Jacobi. Así pues, considérese ahora el mismo problema: un fluido que fluye en estado estacionario, horizontalmente, debido al acarreo que la presión le da. Por supuesto, hay que aprovechar todo lo que se ha desarrollado en esa dirección hasta el momento. Por ejemplo, dada la hamiltoniana específica (11.135), y recordando la teoría de Hamilton-Jacobi, se puede establecer la correspondiente ecuación diferencial como:

(11.137)

siendo a la función principal de Hamilton para los fluidos. Se trata, como se recordará, de una función generadora de transformaciones canónicas que pertenece a la clase F2 y que cumple con las condiciones diferenciales siguientes: (11.138 a) (11.138 b)

(11.138 c)

(11.138 d)

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Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

donde 0 y 1 son dos parámetros constantes de movimiento y que son conjugados de los otros dos: 0 y 1, de los cuales depende la función a. Lo primero que hay que hacer es eliminar de (11.137) la dependencia temporal. Para ello se propone una primera separación, definiendo la función característica de Jacobi como (11.139) Con esta definición se puede ahora reescribir la ecuación de HamiltonJacobi para el fluido como sigue a continuación: (11.140) Una nueva separación de variables se requiere para poder continuar adelante. Siguiendo los pasos que ya se aprendieron, cabe en este punto proponer que (11.141) de tal modo que, usando esta estructura propuesta en (11.141) para la función característica de Jacobi en la ecuación (11.140), se tiene una expresión que puede ser separada en dos partes: (11.142)

Como el miembro de la izquierda en (10.142) solamente depende de x, en tanto que el miembro de la derecha sólo depende de y, entonces se puede proponer que (11.143 a)

239

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.143 b) siendo 1 el segundo parámetro. Estas expresiones pueden ser llevadas a una cuadratura de inmediato. De hecho, la segunda de ellas puede ser integrada. Los resultados son los siguientes: (11.144 a)

(11.144 b) Una vez alcanzado este punto es necesario emprender el camino de regreso; es decir, sustituir los resultados (11.144) de vuelta en (11.141) y luego en (11.139) para expresar a la función principal de Hamilton y así poder someterla a las condiciones diferenciales (11.138):

(11.145) De acuerdo con (11.138 c) y (11.138 d) se obtiene de (11.145) lo siguiente: (11.146 a)

(11.146 b)

240

Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

Una y otra vez, a lo largo de este estudio, se ha hecho claro que el problema que se trata en realidad no exhibe dos sino un solo grado de libertad. Desde el principio se vio cómo el único agente físico que opera sobre el fluido es una presión a lo largo del eje de las abscisas. La gravedad, por lo visto, carece de importancia para el flujo. Cuando se vio el problema a lo Lagrange, de inmediato se volvió evidente que la coordenada y es ignorable; tanto más, cuanto que asociada a ella el momento canónico se conserva. Así pues, el estudio de la ecuación de Hamilton-Jacobi para este flujo muy bien pudo haberse planteado desde su inicio con una sola componente. Este es el momento para enderezar el entuerto y poner las cosas en el lugar que les corresponde. Así, si de acuerdo con (11.143 b), nuevamente, la componente en y del momento es una constante y por lo tanto esta coordenada es ignorable, qué tal que de una vez por todas sea eliminada del análisis y simplemente se escriba la ecuación de Hamilton-Jacobi como se muestra a continuación: (11.147)

Así que se puede separar la parte temporal mediante la definición de la función característica de Jacobi: (11.148) de tal forma que la ecuación diferencial (11.147) se simplifica como: (11.149) siendo 0 un parámetro constante en el tiempo, que hace el papel del “nuevo” momento generalizado en la transformación canónica generada por a. La ecuación (11.149) implica de inmediato que

241

El formalismo hamiltoniano de los fluidos

(11.150)

que es un resultado obtenido ya en (11.130). Adicionalmente, es posible llevar rápidamente esa ecuación diferencial a una cuadratura: (11.151)

Así, la solución puede escribirse, de acuerdo con (11.151) y (11.148), como se muestra en seguida: (11.152)

Ahora, imponiendo la condición diferencial sobre la función principal de Hamilton (11.152), se consigue: (11.153) =

No es posible continuar adelante sin una expresión explícita de la energía interna específica e((x)). Para dar el paso decisivo que aún falta para alcanzar el objetivo de hallar las ecuaciones de flujo de este fluido, es necesario en este punto voltear la atención hacia una ecuación que aún no ha sido explorada: claramente, se trata de la ecuación de balance de masa. Para este caso, esta expresión tiene la forma (11.154) o bien

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Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton

(11.155) Extrayendo la derivada con respecto a x de la velocidad en (11.150), se obtiene en seguida que (11.156) de manera que comparando (11.155) con (11.156) se obtiene lo siguiente: (11.157) Así el problema ha quedado resuelto.

11.4. Problemas del capítulo 11.1. Tomando como punto de partida la expresión (11.11) para la variación de la acción de un fluido, obtener la expresión final (11.20). Para ello hay que hacer uso de la integración por partes, así como del teorema de Gauss. 11.2. Si se postula como hamiltoniana específica de un fluido la función:

demostrar que ésta conduce a las ecuaciones de Navier-Stokes. 11.3. Obtener la fórmula de Bernoulli (11.40). Para ello considérense las ecuaciones de Hamilton en la descripción de Lagrange, para un fluido sin viscosidades. 11.4. Demostrar el resultado (11.93) para la variación de la acción en el espacio, de fases de un fluido perfecto.

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EPÍLOGO

Oda a la segunda ley de Newton Juan B. de Oyarzábal y Fermín Viniegra Heberlein La fuerza, la masa, la aceleración son tres magnitudes sin nada en común, son tres magnitudes que, así al buen tuntún no tienen ninguna interrelación. Y tal vez parezca exageración, mas hubo una suerte tan mala y perversa, que nunca se pudo tener a la fuerza ligada a la masa y la aceleración. Así lo intentaron con férvido afán mil sabios y genios en toda ocasión, aunque entre los genios no están los que son; aunque entre los sabios no son los que están. Y así trabajaron con dedicación, mas siempre fallaron, pues no sé que pasa, que nunca se pudo tener a la masa ligada a la fuerza y aceleración Siempre fracasaron, hasta que por fin, allá entre las nieblas lejanas de Albión, nació un nuevo genio llamado Newton, que todo lo hacía con mucho magín.

245

Epílogo

Y así pudo, al cabo, con firme tesón y genio y talento pa’ parar un tren, ligar en la fórmula que aquí ustedes ven, la fuerza, la masa y aceleración. La fuerza es la que fuerza ¡Vaya observación!, es etérea y vaga y viene de allende; en forma cabal nadie bien la entiende, si bien se percibe en toda ocasión. La masa de un cuerpo; ¡que gran diferencia! es algo tan simple que hasta un infante apenas ya habla, cuando en un instante, nos dicta de ella docta conferencia. Mas no fue sencillo, como tú lo ves, tras tantos milenios de equivocación, mostrar que en esencia, la aceleración, es el cambio en el tiempo de la rapidez. Tampoco fue fácil, ni clara la cosa, decir que en la Tierra y en el Universo un cuerpo en reposo se mueve si ejerzo sobre él una fuerza leve… o poderosa. Si ejerzo una fuerza ¡que bello portento! No importa de dónde, ni cuál su natura, el cuerpo responde con toda premura, cambiando el estado de su movimiento. El cambio de estado de su movimiento, es cosa que así, a primera intención, de un cuerpo el producto de su aceleración por su masa, al punto conozco al momento. F
ma

246

Índice analítico

A Acción, 12, 22 Acción específica, 226 Arquímedes de Siracusa, 194

Curvas de nivel, 47

B Boyancia del fluido, 233 C Calor disipado, 231 Campo magnético constante, 108 Carga eléctrica, 110 Círculos apsidales, 48 Condición(es) de integración de Cauchy, 215 diferenciales, 17, 74, 226 iniciales del problema, 80 Cónica, 55 Conmutador, 106 Constante de Planck, 106 del resorte, 41 Constricciones holonómicas, 7, 9 Convención de índices repetidos, 7 Coordenada ignorable, 26, 51 Corchetes de Poisson, 95, 96 Corrimiento del perihelio del planeta Mercurio, 192

D D´Alembert, 56, 194 Degeneración, 32 Densidad de masa, 195 Derivada temporal de la acción, 228 Descripción de Euler, 204 de Lagrange, 204 del tensor métrico, 67 Determinante del jacobiano, 67 no singular, 67 Dirac, P., 104 E Ecuación (es) de Bernoulli del segundo tipo, 230 de Hamilton-Jacobi, 119, 138, 179 del fluido sin viscosidades, 229 independiente del tiempo, 139 para el sistema perturbado, 183, 187 general para las cónicas, 160 o ley de Bernoulli, 206 de Hamilton, 7, 11, 63, 167 de los fluidos, 203 de Navier-Stokes, 244

247

Índice analítico

diferenciales, 31 homogéneas, 31 paramétricas, 39 Eigenvalores, 34 Einstein, A., 70, 192, 210 Elipse prolata, 53, 162 Energía interna específica del fluido, 211, 213 potencial generalizada, 190 Entalpía específica, 215, 230 específica del fluido, 221 Entropía específica del fluido, 195 Espacio de configuración, 13 de fases del fluido, 224 de las fases, 19 fásico, 20, 24 de seis dimensiones, 224 Espiral logarítmica, 39 Estado dinámico, 7 Euler, L. 56 Excentricidad, 55, 161 Exponencial, 99 F Fluido perfecto, 204 Flujo adiabático, 231 Forma de Jordan, 32 irreducible, 33 reducible, 33 Formalismo de Hamilton para los fluidos, 195 Formulación de Hamilton-Jacobi, 113, 115

Fuerza(s) acarreadora, 232 central conservadora, 139 de fricción, 43 de Lorentz, 190 disipadora, 93 generalizadas no conservadoras, 9 Función(es) característica de Jacobi, 121, 138, 139 de clase F1, 81 de clase F2, 82 de Jacobi parciales, 138, 142 de Lagrange, 9 de presión, 205 del fluido, 206 generadora, 91, 170 de clase F, 1741 de clase F2, 83, 152, 181 de clase F3, 83 de clase F4, 84 de transformaciones canónicas, 72 hamiltoniana, 8 hidrodinámica generalizada, 223, 230 periódicas, 175 principal de Hamilton, 116, 139, 188 Funcional de acción, 20 G Galois, E. Gradiente del campo de velocidades, 195 Grados de libertad, 7

248

Índice analítico

Grupo(s), 86 continuo, 69 de Klein, 89 de Lie, 89, 90 simpléctico, 69, 84, 90 simpléctico propio, 69

M Maxwell primera relación de la termodinámica, 216 Mecánica analítica, 56 clásica, 56 cuántica de Schrödinger-Heisenberg, 217 Modelo no-dualista Momento(s) canónico conjugado, 7, 15, 51, 139 generalizado, 205

H Hamiltoniana de perturbación, 128 específica, 196 no-perturbadora, 127, 166 incoherente, 211 perturbadora, 165 Heisenberg, 104 J Jacobi, K., 114 Jordan (de) primera, segunda y tercera forma, 32, 33 K Kernel, 15, 18, 81, 220 Klein, F., 86 L Lagrange, 56, 194 Lagrangiana, 7 específica, 204 Ley contravariante, 66 de Cauchy, 201 de conservación, 57 Libración, 49, 148, 149, 175 Lie, M., 86, 104 Lorentz, H., 108

N Nodo, 35 estable, 34, 46 O Órbitas, 145 Oscilador armónico, 40, 126 Oyarzabal, J., 245 P Parámetro(s) de acción, 150, 151, 153, 155 de ángulo(s), 152, 153, 188 para el problema de Kepler, 163 de perturbación, 165 gravitacional, 50 Pascal, B., 238 Período del oscilador, 180 Perturbaciones, 117 Pieza impropia, 67, 69 propia, 67

249

Índice analítico

Plano(s)
1, 155, 156
3, 146
k, 154
n, 145
r, 162
q, 158, 159 Poincaré, H., 170 Pontryagin, Lev Semyonovich, 113 Postulado de acción extremal, 24 Potencial, 46 Magnético, 110 Presión atmosférica, 233 Principio de acción extremal, 12 de correspondencia de Bohr, 107 Problema de Kepler, 50, 55, 157 Programa de Erlangen, 89 Pseudo escalar, 200 Punto crítico, 30 R Retrato del movimiento, 34 del sistema dinámico, 117 Rotación, 149 Rotaciones y libraciones, 150 S Schrödinger, 104 Semi lado recto, 160 Separación de variables, 137 Serie de Taylor, 170 de Lie, 101, 102 Silla de montar, 35

Simetrías, 57 Singularidad estable, 37 inestable, 35, 37 Sistema(s) autónomo, 30 causal, 20 conservadores, 46 dinámico, 20, 57 dinámico lineal, 31 incoherente de partículas, 212 perturbado, 165 Súper simetría, 57 T Temperatura del fluido en fluido, 207 Tensor contravariante, 67 de esfuerzos generalizado, 201 métrico fundamental, 28 métrico transformado, 68 Teorema de Gauss, 225 de la divergencia de Gauss, 200 de Liouville, 70 de Nöther, 58 de Pascal, 238 Teoría de Hamilton-Jacobi, 26 de la relatividad generalizada, 217, 218 de las perturbaciones dependientes del tiempo, 127 de los grupos, 86 Tercera ley de Kepler, 164 Termodinámica de los fluidos noviscosos, 213

250

Índice analítico

Trabajo desarrollado por las fuerzas (no-conservadoras) de superficie, 202 Tracción, 201 Transformación Canónica, 64, 69, 71, 90, 114, 152, 167, 168 canónica infinitesimal, 90, 91 de contacto, 89 de Legendre, 14, 16, 81, 201, 203, 205 de semejanza o de similitud, 32 idéntica, 83, 169 rígidas, 69 Transformada de Legendre, 14, 201, 220, 236

Transporte del sistema, 92 infinitesimal, 93 V Variables ignorables, 57 Variación sustancial, 23, 228 Vector de inducción magnética, 190 Velocidad de la luz en el vacío, 190 terminal, 107 von Zeipel, 170 W Weierstrass, 99

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