Mathematiklernen in der Grundschule [2 ed.] 9783662608715

Table of contents :
Vorwort zur Neubearbeitung......Page 7
Vorwort......Page 9
Hinweis der Herausgeber......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 12
1 Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts......Page 16
1.1 Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht im Wandel der Zeit......Page 17
1.2 Aktuelle Zielfestlegungen......Page 25
1.3 Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick......Page 28
2.1 Funktionen der Bildungsstandards......Page 33
2.2 Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil der Bildungsstandards......Page 35
2.3 Anforderungsbereiche der Bildungsstandards......Page 40
2.4 Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards......Page 41
3 Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht......Page 46
3.1 Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen......Page 47
3.2 Die „traditionelle Rechendidaktik“......Page 52
3.3 Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens......Page 54
3.4 Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens......Page 56
3.5 Der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens......Page 59
3.6 Der Ansatz des individualisierenden Mathematikunterrichts......Page 61
3.7 Weitere Lernkonzepte......Page 64
4 Mathematikdidaktische Prinzipien......Page 67
4.1 Mathematikdidaktische Prinzipien und ihre generelle Bedeutung für die Lehrertätigkeit......Page 68
4.2 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Piaget......Page 69
4.3 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Bruner......Page 75
4.4 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorie von Wygotski......Page 79
4.5 Weitere mathematikdidaktische Prinzipien......Page 80
4.6 Zur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien......Page 83
5.1 Besonderheiten des Schulanfangs......Page 86
5.2 Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern......Page 88
5.3 Subjektive Zahlauffassungen von Kindern......Page 96
5.4 Der Übergang von der Kita in die Grundschule aus ganzheitlicher Sicht......Page 103
5.5 Didaktisch-methodische Orientierungen für den mathematischen Anfangsunterricht......Page 106
6 Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen im Mathematikunterricht......Page 113
6.1 Aneignung mathematischer Begriffe......Page 114
6.2 Erwerb von Methodenkompetenzen......Page 124
6.3 Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen......Page 126
6.4 Erwerb von Kompetenzen im Begründen......Page 133
6.5 Sprachsensible Gestaltung des Mathematikunterrichts......Page 136
7 Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern......Page 140
7.1 Besonderheiten einer mathematischen Problemaufgabe......Page 141
7.2 Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht......Page 143
7.3 Grundschulkinder als gute Problemlöser......Page 145
7.4 Stufenmodelle für Problemlöseprozesse......Page 146
7.5 Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern......Page 150
7.6 Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben......Page 156
7.7 Mögliche Weiterentwicklungen......Page 159
8 Üben im Mathematikunterricht der Grundschule......Page 160
8.1 Üben – ein Hauptbestandteil jeglichen Mathematikunterrichts......Page 161
8.2 Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts......Page 162
8.3 Übungsformen auf der Basis des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen......Page 170
8.4 Spezielle Formen kindorientierenden Übens......Page 172
9 Lern- und Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule......Page 181
9.1 Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln für kindliches Lernen von Arithmetik......Page 182
9.2 Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule......Page 187
9.3 Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln......Page 203
10 Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht......Page 207
10.1 Generelle Zusammenhänge zwischen Spielen und mathematischem Tätigsein......Page 208
10.2 Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spiel- und Lerntätigkeit im Grundschulalter......Page 210
10.3 Typische Spielformen im Grundschulmathematikunterricht......Page 216
10.4 Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht......Page 217
11 Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht......Page 220
11.1 Ein Unterrichtsbeispiel......Page 221
11.2 Differenzierendes Lernen – eine alte und hochaktuelle Herausforderung......Page 222
11.3 Individuelles und differenzierendes Lernen als didaktische Leitidee......Page 223
11.4 Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht......Page 225
12 Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder......Page 233
12.1 Drei Fallbeispiele......Page 234
12.2 Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche......Page 238
12.3 Terminologien und Definitionen......Page 246
12.4 Typische Erscheinungsformen......Page 249
12.5 Hauptursachen und Einflussfaktoren einer Rechenschwäche......Page 250
12.6 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik von Rechenschwäche im Grundschulalter......Page 252
12.7 Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder......Page 254
13 Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder......Page 260
13.1 Zwei Fallbeispiele......Page 261
13.2 Zur Komplexität des Begabungsbegriffs......Page 265
13.3 Besondere Merkmale mathematisch begabter Grundschulkinder......Page 267
13.4 Ausprägungen mathematisch begabter Grundschulkinder......Page 272
13.5 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik mathematischer Begabungen im Grundschulalter......Page 275
13.6 Möglichkeiten der Förderung mathematisch begabter Grundschulkinder......Page 278
14 Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen......Page 281
14.1 Grundprinzipien kindgerechten Bewertens......Page 282
14.2 Beobachtungen von Kindern in Anforderungssituationen......Page 284
14.3 Varianten schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht......Page 286
14.4 Portfolios......Page 290
15 Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht......Page 295
15.1 Ein Fallbeispiel......Page 296
15.2 Zugänge zu inklusivem Lernen......Page 297
15.3 Konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler......Page 300
15.4 Didaktisch-methodische Grundformen......Page 305
15.5 Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel......Page 311
Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II......Page 316
Literatur......Page 318
Stichwortverzeichnis......Page 330

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Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Friedhelm Käpnick Ralf Benölken

Mathematiklernen in der Grundschule 2. Auflage

Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Reihe herausgegeben von Friedhelm Padberg, Universität Bielefeld, Bielefeld, Deutschland Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen, Essen, Deutschland

Die Reihe „Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II“ (MPS I+II), herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg und Prof. Dr. Andreas Büchter, ist die führende Reihe im Bereich „Mathematik und Didaktik der Mathematik“. Sie ist schon lange auf dem Markt und mit aktuell rund 60 bislang erschienenen oder in konkreter Planung befindlichen Bänden breit aufgestellt. Zielgruppen sind Lehrende und Studierende an Universitäten und Pädagogischen Hochschulen sowie Lehrkräfte, die nach neuen Ideen für ihren täglichen Unterricht suchen. Die Reihe MPS I+II enthält eine größere Anzahl weit verbreiteter und bekannter Klassiker sowohl bei den speziell für die Lehrerausbildung konzipierten Mathematikwerken für Studierende aller Schulstufen als auch bei den Werken zur Didaktik der Mathematik für die Primarstufe (einschließlich der frühen mathematischen Bildung), der Sekundarstufe I und der Sekundarstufe II. Die schon langjährige Position als Marktführer wird durch in regelmäßigen Abständen erscheinende, gründlich überarbeitete Neuauflagen ständig neu erarbeitet und ausgebaut. Ferner wird durch die Einbindung jüngerer Koautorinnen und Koautoren bei schon lange laufenden Titeln gleichermaßen für Kontinuität und Aktualität der Reihe gesorgt. Die Reihe wächst seit Jahren dynamisch und behält dabei die sich ständig verändernden Anforderungen an den Mathematikunterricht und die Lehrerausbildung im Auge.

Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/8296

Friedhelm Käpnick · Ralf Benölken

Mathematiklernen in der Grundschule 2. Auflage

Friedhelm Käpnick Universität Münster Münster, Deutschland

Ralf Benölken Bergische Universität Wuppertal Wuppertal, Nordrhein-Westfalen, Deutschland

Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II ISBN 978-3-662-60871-5 ISBN 978-3-662-60872-2  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2014, 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Annika Denkert Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Hinweis der Herausgeber

Diese überarbeitete und erweiterte Neuauflage des Bandes Mathematiklernen in der Grundschule von Friedhelm Käpnick und Ralf Benölken erscheint in der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. In dieser Reihe eignen sich insbesondere die folgenden Bände zur Ergänzung und Vertiefung unter mathematischen sowie mathematikdidaktischen Gesichtspunkten. A. Büchter/F. Padberg: Einführung in die Arithmetik A. Büchter/F. Padberg: Arithmetik und Zahlentheorie M. Franke/S. Reinhold: Didaktik der Geometrie in der Grundschule M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule G. Greefrath: Anwendungen und Modellieren im Mathematikunterricht K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie G. Krauthausen: Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule T. Leuders: Erlebnis Arithmetik T. Leuders: Erlebnis Algebra F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik F. Padberg/A. Büchter: Elementare Zahlentheorie F. Padberg/S. Wartha: Didaktik der Bruchrechnung E. Rathgeb-Schnierer/C. Rechtsteiner: Rechnen lernen und Flexibilität entwickeln P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe Bielefeld Essen Februar 2020

Friedhelm Padberg Andreas Büchter

V

Vorwort zur Neubearbeitung

In der Erstauflage von „Mathematiklernen in der Grundschule“ wurde mehrfach auf die dynamische Entwicklung des Grundschulmathematikunterrichts hingewiesen, die sich aus den stetigen, sich wechselseitig bedingenden gesamtgesellschaftlichen, schulpolitischen und schulpraktischen Veränderungen sowie aus neuen wissenschaftlichen Erkenntnissen zum kindlichen Lernen von Mathematik ergibt. Die vergangenen acht Jahre nach dem Erscheinen der Erstauflage bestätigen diese Einschätzung nachdrücklich. So rückte schon beim Erstellen des Manuskriptes für die Erstauflage mit dem im Jahr 2011 gefassten Beschluss der Kultusministerkonferenz zur verbindlichen Umsetzung Inklusiver Bildung an allen deutschen Schulen ein Themenkomplex in den Mittelpunkt schulpolitischer, wissenschaftlicher und schulpraktischer Diskussionen, dessen Umsetzung einen grundlegenden Wandel in der Organisation und Gestaltung des Unterrichts in allen Fächern erforderte. Wenig später, zu einem Zeitpunkt als viele engagierte Lehrkräfte erste erfolgversprechende schulische Rahmenbedingungen und sinnvolle didaktische Konzepte für ein inklusives Lernen von Kindern mit unterschiedlichen Potenzialen und Bedarfen im Schulalltag entwickelten und in verschiedenen pädagogischen Wissenschaftsdisziplinen hierfür mehr oder weniger fundierte Theorieansätze konzipiert wurden, überlagerte schon wieder eine andere, ähnlich anspruchsvolle Herausforderung die epochale Aufgabe „Inklusive Bildung“ in der deutschen Öffentlichkeit: die Integration von Kindern mit Fluchterfahrung bzw. Deutsch als Zweitsprache in den Regelunterricht. Hinsichtlich des Grundschulmathematikunterrichts bestand eine der größten diesbezüglichen Herausforderungen in der Gestaltung eines sprachsensiblen Unterrichts – was aber nicht nur für Kinder mit Sprachproblemen relevant ist. Eine andere, seit Längerem existierende und in den letzten Jahren stetig an Bedeutung zunehmende vielschichtige Aufgabe wurde mit der 2019 gestarteten Bund-Länder-Initiative „DigitalPaktSchule“ zu einer zentralen Schwerpunkttaufgabe ­ der Gegenwart, der Erwerb von digitalen Kompetenzen im schulischen Unterricht. Der hohe Stellenwert digitaler Kompetenzen wird darin gesehen, dass diese als ein entscheidender Faktor für das zukünftige Lebens- und Berufsfeld eines jeden Menschen in unserer Gesellschaft gelten. Alle genannten wie auch weitere, auch durch neuere wissenschaftliche Erkenntnisse implizierte Entwicklungen veranlassten uns, die VII

VIII

Vorwort zur Neubearbeitung

Erstauflage von „Mathematiklernen in der Grundschule“ neu zu bearbeiten und dabei die angesprochenen Herausforderungen für die Organisation und Gestaltung des Grundschulmathematikunterrichts in das bestehende Buchkonzept zu integrieren. Ein prinzipielles Beibehalten der bisherigen inhaltlichen Struktur und Schwerpunktsetzung stand hierbei aber für uns nicht zur Diskussion, da das thematisch „stimmige“ Gesamtkonzept unter den Leserinnen und Lesern eine breite Zustimmung fand. Nach intensiven Gedankenaustauschen entschieden wir uns dazu, die Themenkomplexe „Sprachsensible Gestaltung“ und „Sinnvoller Einsatz digitaler Medien“ im Grundschulmathematikunterricht in die Kap. 6 bzw. 9 zu integrieren und für beide Komplexe die jeweiligen aktuellen Herausforderungen der Schulpraxis überblicksartig zu kennzeichnen, didaktische Grundorientierungen für die unterrichtliche Umsetzung im Mathematikunterricht aufzuzeigen, diese exemplarisch zu verdeutlichen und auf aktuelle Literatur zu speziellen Fragen hinzuweisen. Der Umsetzung Inklusiver Bildung im Grundschulmathematikunterricht haben wir dagegen ein neues Kapitel, das Kap. 15, gewidmet. Alle weiteren, uns wichtig erscheinenden neue Erkenntnisse aus Fachdidaktik und Schulpraxis, z. B. zu erreichten Ergebnissen der Etablierung der Bildungsstandards, zu Gelingensbedingungen für die Gestaltung des Übergangs von der Kita in die Grundschule oder zu Besonderheiten es Erkennens von Rechenproblemen und ein hierauf basierendes Fördern betroffener Kinder, haben wir an den entsprechenden Stellen in die bestehenden Kapitel eingefügt. Auf diese Weise hoffen wir, mit der Neubearbeitung eine ausgewogene Balance zwischen dem Beibehalten von nach wie vor geltenden Theorieansätzen und dem Aufnehmen neuer wichtiger Themen und aktueller wissenschaftlicher Erkenntnisse wie auch wertvoller schulpraktischer Erfahrungen im Rahmen der bisherigen Grundstruktur des Buches erreicht zu haben. In diesem Sinne würden wir uns über viele interessierte Leserinnen und Leser und einen anregenden Gedankenaustausch mit ihnen über die Buchthemen freuen! Münster Wuppertal im Oktober 2019

Friedhelm Käpnick Ralf Benölken

Vorwort

„Das kann ich nicht!“, stellt Finn resigniert fest, nachdem er etwa fünf Minuten erfolglos versuchte, die Aufgabe „430 – 180“ zu rechnen. Trotz intensiven Bemühens konnte der Drittklässler seiner Lehrerin nur drei falsche und scheinbar sinnlose Ergebnisse präsentieren. Zu seiner Entmutigung trug zudem bei, dass Anna, seine Nachbarin, in der gleichen Zeit spielend zehn solche Aufgaben richtig löste.

Will man diese mehr oder weniger typische Alltagssituation des heutigen Mathematikunterrichts in der Grundschule analysieren, sind sehr vielfältige inhaltliche Aspekte und Zusammenhänge zu beachten. Offensichtlich sind z. B. die enormen Unterschiede im Lern- bzw. Entwicklungsniveau beider Kinder. Hieraus ergeben sich wiederum Fragen hinsichtlich des sozialen Lernens, wie etwa: Wäre es für Finn (und Anna) hilfreich, wenn beide Kinder zumindest einige Aufgaben gemeinsam rechnen würden? Wie geht man als Lehrperson und als Institution „Schule“ generell mit der scheinbar immer größer werdenden Heterogenität gleichaltriger Kinder um? … Sehr komplex und zugleich spezifisch dürften zudem die Ursachen für Finns Lernprobleme sein. Als eine Hauptursache lassen sich beispielsweise ein unzureichendes Zahl- und Operationsverständnis des Jungen vermuten. Weiterhin könnte Finn noch nicht fähig sein, einzelne Teilhandlungen sinnvoll zu koordinieren. Vielleicht hat der Junge aber „nur“ fehlerhafte Rechenstrategien angewendet. Als Ursachen kommen ebenso generelle Defizite bzgl. der Gedächtnisfähigkeit, der Fähigkeit im Abstrahieren, Verallgemeinern oder im Strukturieren in Frage. Außerdem spielen bei massiven Lernproblemen von Kindern häufig motivationale Aspekte oder Defizite in der Ausprägung co-kognitiver Persönlichkeitsmerkmale, wie z. B. fehlende Konzentrations- oder Ausdauerkompetenzen, eine Rolle. Aus eigenen Erfahrungen in der Förderung mathematisch minder- wie hochbegabter Kinder weiß ich, dass darüber hinaus spezielle Probleme in der Sinneswahrnehmung, wie etwa eine Winkelfehlsichtigkeit, besondere neuropsychologische Konstellationen oder synästhetische Auffassungen zu Zahlen, das Lernen von Mathematik beeinflussen können. Eine Analyse der Lernsituation schließt ebenso die Frage ein, wie und warum Anna die Aufgaben spielend leicht lösen kann. Und konkret weiter gefragt: Hat sie eine IX

X

Vorwort

besondere mathematische Begabung? Ist sie mit dem Bearbeiten der Aufgaben unterfordert (und Finn zugleich überfordert)? … Zu dem hier exemplarisch aufgezeigten hochkomplexen Bedingungsgefüge für das kindliche Lernen von Mathematik entwickeln Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler der Fachdidaktik und entsprechender Bezugsdisziplinen seit langem Theorieansätze und praxisrelevante Konzepte. Die letzten 20 Jahre weisen diesbezüglich auf eine sehr dynamische Entwicklung hin. So bereicherten die Entwicklung neuer Lehr-Lern-Konzepte, mathematikdidaktische Untersuchungen zu individuellen Lern­ biografien von Kindern, zur Entwicklung spezieller arithmetischer, sachrechnerischer oder geometrischer Kompetenzen wie auch zur Nutzung von Anschauungsmitteln nachhaltig unser Wissen über das kindliche Lernen von Mathematik. Vergleichbares gilt für pädagogisch-psychologische Forschungen zu typprägenden intrapersonalen und interpersonalen Katalysatoren, für neuere Erkenntnisse der Hirnforschung zu angeborenen Potentialen und deren Stellenwert für die gesamte individuelle Entwicklung eines Menschen, weiterhin für jüngere Untersuchungsergebnisse zur Entwicklung mathematischer Kompetenzen im Kindergartenalter oder für Erkenntnisse der emotionalen Intelligenzforschung zur Bedeutung von Intuitionen, von Unbewusstem sowie von Emotionen beim Problemlösen Ebenso bewirken schulpolitische Initiativen, wie in jüngerer Vergangenheit die Festlegung von Bildungsstandards, und zahlreiche innovative Aktivitäten engagierter Lehrerinnen und Lehrer in der Schulpraxis, dass bestehende mathematikdidaktische Positionen und Konzepte ständig überprüft, verbessert, erweitert oder neu bestimmt werden. Das komplexe Bedingungsgefüge für das kindliche Lernen von Mathematik zu kennen und dieses Wissen in konkreten Unterrichtssituationen adäquat zu nutzen, ist zweifellos ein sehr hoher Anspruch für jede Lehrperson. Hiervon ausgehend besteht das Hauptanliegen des vorliegenden Buches darin, interessierten Studierenden, Lehrerinnen und Lehrern auf der Basis des gegenwärtigen Wissensstandes einen Überblick über wesentliche inhaltliche Aspekte und Zusammenhänge beim Planen, Organisieren, Begleiten und Analysieren kindlichen Lernens von Mathematik zu geben. Dabei bemühte ich mich, der angesprochenen hohen Komplexität und seiner wissenschaftlichen Dynamik zu genügen. Gleichwohl war mir bewusst, dass dieser Anspruch jeweils nur unzureichend erfüllt werden kann, weil zum einen eine fundierte Darstellung einzelner Themen, wie etwa von Besonderheiten mathematisch begabter Kinder, oder Erläuterungen verschiedener wissenschaftlicher Entwicklungen und konkurrierender Ansätze zu einer konkreten Lernthematik den Umfang des Buches „sprengen“ würden. Zum anderen können die Inhalte dieses Buches natürlich nur eine Momentaufnahme sein, die den aktuell bekannten Erkenntnisstand überblicksartig wiedergibt. Die Darstellungen in den einzelnen Buchkapiteln sind somit notwendigerweise Vereinfachungen und Beschränkungen auf wesentliche Sachzusammenhänge. Konkrete Unterrichts- bzw. Lernbeispiele dienen der „Verlebendigung“ theoretischer Positionen. Fragen am Ende jedes Kapitels in den grau unterlegten Kästchen können zum vertiefenden Nach- und Weiterdenken sowie zum Entwickeln eigener Positionen anregen.

Vorwort

XI

Entsprechend der traditionellen und gegenwärtig nach wie vor dominierenden schulischen Organisationsstruktur in Deutschland beschränken sich die Ausführungen zu verschiedenen Aspekten kindlichen Lernens von Mathematik auf den Mathematikunterricht der Grundschule, wobei hiermit die Klassenstufen 1 bis 4 gemeint sind. Bei der Auswahl der Themen und der inhaltlichen Strukturierung des Buches orientierte ich mich an meinen Skripten zu einer Vorlesung, die unter dem gleichnamigen Titel regelmäßig am Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik an der Universität Münster angeboten wird. Für die Fertigstellung dieses Buches führte ich zu allen Kapitelthemen, die im Übrigen auch als relativ isolierte „Exkurse“ betrachtet werden können, weitergehende Literaturrecherchen durch und berücksichtigte viele Anregungen von Kolleginnen und Kollegen. Somit ist das vorliegende Buch keinesfalls allein das Werk des Autors und mein herzlicher Dank gilt allen für die zahlreichen kritisch-konstruktiven Hinweise und für konkrete Ergänzungen. Münster im September 2012

Friedhelm Käpnick

Inhaltsverzeichnis

1

Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht im Wandel der Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Aktuelle Zielfestlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick. . . . . 13

2 Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Funktionen der Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil der Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Anforderungsbereiche der Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3

Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Die „traditionelle Rechendidaktik“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens. . . . . . . . 43 3.5 Der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens. . . . . . 46 3.6 Der Ansatz des individualisierenden Mathematikunterrichts . . . . . . . . . 48 3.7 Weitere Lernkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4

Mathematikdidaktische Prinzipien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1 Mathematikdidaktische Prinzipien und ihre generelle Bedeutung für die Lehrertätigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Piaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Bruner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

XIII

XIV

Inhaltsverzeichnis

4.4 4.5 4.6

Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorie von Wygotski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Weitere mathematikdidaktische Prinzipien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Zur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5

Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1 Besonderheiten des Schulanfangs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern. . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Subjektive Zahlauffassungen von Kindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 Der Übergang von der Kita in die Grundschule aus ganzheitlicher Sicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.5 Didaktisch-methodische Orientierungen für den mathematischen Anfangsunterricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6

Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen im Mathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.1 Aneignung mathematischer Begriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2 Erwerb von Methodenkompetenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3 Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4 Erwerb von Kompetenzen im Begründen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.5 Sprachsensible Gestaltung des Mathematikunterrichts. . . . . . . . . . . . . . 126

7

Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern. . . . . . . . . . 131 7.1 Besonderheiten einer mathematischen Problemaufgabe. . . . . . . . . . . . . 132 7.2 Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht. . . . . . . . . 134 7.3 Grundschulkinder als gute Problemlöser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4 Stufenmodelle für Problemlöseprozesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.5 Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern. . . . . . . . . 141 7.6 Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben. . . . . 147 7.7 Mögliche Weiterentwicklungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8

Üben im Mathematikunterricht der Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.1 Üben – ein Hauptbestandteil jeglichen Mathematikunterrichts. . . . . . . . 152 8.2 Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts. . . . . . . . . . . . . . 153 8.3 Übungsformen auf der Basis des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.4 Spezielle Formen kindorientierenden Übens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9

Lern- und Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 9.1 Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln für kindliches Lernen von Arithmetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Inhaltsverzeichnis

9.2 9.3

XV

Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln. . . . . . . 195

10 Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10.1 Generelle Zusammenhänge zwischen Spielen und mathematischem Tätigsein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 10.2 Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spielund Lerntätigkeit im Grundschulalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.3 Typische Spielformen im Grundschulmathematikunterricht. . . . . . . . . . 208 10.4 Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . 209 11 Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . . 213 11.1 Ein Unterrichtsbeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.2 Differenzierendes Lernen – eine alte und hochaktuelle Herausforderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.3 Individuelles und differenzierendes Lernen als didaktische Leitidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.4 Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht . . . . . . . . . 218 12 Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12.1 Drei Fallbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 12.2 Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche. . . . . . . . . . . 232 12.3 Terminologien und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12.4 Typische Erscheinungsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.5 Hauptursachen und Einflussfaktoren einer Rechenschwäche. . . . . . . . . 244 12.6 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik von Rechenschwäche im Grundschulalter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 12.7 Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder. . . . . . . . . . . . . 248 13 Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder . . . . . . . . . . . . 255 13.1 Zwei Fallbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 13.2 Zur Komplexität des Begabungsbegriffs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 13.3 Besondere Merkmale mathematisch begabter Grundschulkinder. . . . . . 262 13.4 Ausprägungen mathematisch begabter Grundschulkinder . . . . . . . . . . . 267 13.5 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik mathematischer Begabungen im Grundschulalter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 13.6 Möglichkeiten der Förderung mathematisch begabter Grundschulkinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 14 Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 14.1 Grundprinzipien kindgerechten Bewertens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 14.2 Beobachtungen von Kindern in Anforderungssituationen. . . . . . . . . . . . 280

XVI

Inhaltsverzeichnis

14.3 Varianten schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 14.4 Portfolios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 15 Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . . 291 15.1 Ein Fallbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 15.2 Zugänge zu inklusivem Lernen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 15.3 Konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 15.4 Didaktisch-methodische Grundformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 15.5 Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

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Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Ich freue mich darauf, dass ich dann zählen und rechnen lerne! (Erwartungshaltung eines Schulanfängers an den Mathematikunterricht in den ersten Schuljahren)

Inhaltsverzeichnis 1.1 Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht im Wandel der Zeit . . . . . . . . 2 1.2 Aktuelle Zielfestlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Der Mathematikunterricht der Grundschule ist zum einen immanenter Bestandteil des gesamten Grundschulunterrichts und zum anderen eine sehr wichtige Entwicklungsetappe auf dem Weg zu einer fundierten mathematischen Allgemeinbildung. Bezüglich Letzterem folgt der Mathematikunterricht der Grundschule der vorschulischen Bildung und ist zugleich Basis schaffende Vorstufe für den mathematischen Fachunterricht in den Sekundarstufen. Aus dieser zweifachen Verankerung ergibt sich seine grundlegende Doppelfunktion. Die erste Hauptfunktion des Mathematikunterrichts der Grundschule besteht darin, im Zusammenwirken mit den anderen Grundschulfächern einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung der kindlichen Gesamtpersönlichkeit zu leisten. Dieser Beitrag geht weit über die oben zitierte Erwartungshaltung des Schulanfängers hinaus. Er umfasst – allgemein formuliert –

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_1

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

• den Erwerb grundlegender mathematischer Kenntnisse und Kompetenzen, wie etwa zur Kulturtechnik des Rechnens, im räumlichen Orientieren oder im Umgang mit Größen, Daten und Häufigkeiten im Alltag, • die Befähigung der Kinder, ihre Lebenswirklichkeit mithilfe dieser mathematischen Basiskompetenzen zu erschließen und Anforderungen der kindlichen Alltagswelt adäquat zu meistern, • die Mitwirkung an der Herausbildung genereller kognitiver Kompetenzen, wie Fähigkeiten im Ordnen, im Strukturieren, im Abstrahieren oder im Verallgemeinern, • die Förderung der gesamten kindlichen Persönlichkeitsentwicklung, wie z. B. von Freude am Problemlösen oder von Konzentrations- und Ausdauerfähigkeiten. Dabei ist die besondere Bedeutung der ersten Schuljahre für die kindliche Entwicklung hervorzuheben. Mit dem Schulanfang beginnt für die Kinder ein völlig neuer Lebensabschnitt. Sie verbringen nun regelmäßig einen Großteil ihres Tages in einer „externen Institution“, übernehmen dort Pflichten und sind aufgefordert, Leistungen zu erbringen, auch im Vergleich zu anderen Kindern (Tücke 2007, S. 223). Das Lernen wird zu ihrer Haupttätigkeit und mit dem Erwerb von Grundkompetenzen im Lesen, Schreiben, Rechnen, im Umgang mit Medien und Ähnlichem mehr eröffnen sich ihnen viele neuartige Erkenntnisquellen und Betätigungsfelder, die sie sich zunehmend selbstständig erschließen können. Hinsichtlich seiner Stellung als Vorstufe des Fachunterrichts in den Sekundarstufen hat der Mathematikunterricht der Grundschule (als zweite Hauptfunktion) wesentliche mathematische Grundlagen, einschließlich des Erwerbs typischer Denk- und Arbeitsweisen wie des Begründens oder des Modellierens, für den Mathematikunterricht ab dem fünften Schuljahr zu schaffen.

1.1 Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht im Wandel der Zeit Betrachtet man die historische Entwicklung, so wird deutlich, dass konkrete Zielfestlegungen für den Mathematikunterricht der Grundschule stets den jeweiligen politischökonomischen Rahmenbedingungen unterlagen und von pädagogischen, didaktischen oder schulpraktischen „Modeströmungen“ beeinflusst wurden. Auf diese Weise lassen sich unter geschichtlicher Perspektive verschiedene Schwerpunktsetzungen, in gewisser Weise auch „Wellenbewegungen bei den Zielvorstellungen“ zum Mathematikunterricht der Grundschule (Radatz 1983, S. 20) konstatieren. Da die Kenntnis über solche historischen Prozesse hilft, den gegenwärtigen Entwicklungsstand und aktuelle Tendenzen besser verstehen und einordnen zu können, werden im Folgenden an verschiedenen Beispielen aus der mathematikdidaktischen Geschichte Deutschlands solche Wellenbewegungen und Paradigmenwechsel skizzenhaft vorgestellt.

1.1  Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht …

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Abb. 1.1   H. Pestalozzi (1746–1827)

Vor etwa 200 Jahren sah Heinrich Pestalozzi (1746–1827), neben Rochow, Herbart, Fröbel oder Diesterweg einer der wichtigsten Vertreter1 der humanen bürgerlichen Pädagogik des 18. und 19. Jahrhunderts in Deutschland, die Hauptfunktion des damaligen Rechenunterrichts weniger in der Aneignung von Rechenfertigkeiten, sondern vielmehr in der Entwicklung geistiger Kräfte (ebenda, S. 29). Demgemäß formulierte Pestalozzi (Abb. 1.1) die Hinwendung zu einem geistbildenden Verfahren, dem Denkrechnen, und zugleich die Abkehr vom mechanischen Regelrechnen als eines seiner grundlegenden Lehrprinzipien (Radatz 1983). Hierdurch distanzierte sich der als „Reformator des Volksschul-und Rechenunterrichts“ betitelte Pädagoge deutlich von der viele Jahrzehnte vorher dominanten Methodik der Rechenmeister, die im Wesentlichen im rezeptartigen Vor- und Nachsprechen oder Vor- und Nachrechnen vieler gleichartiger Aufgaben bestand. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts war dann erneut eine deutliche Akzentverschiebung bezüglich der Zielvorstellungen erkennbar. Die von Humboldt und anderen forcierte Bildungsreform entwickelte als eine grundlegende Idee die durchgehende Einheit der Bildungsorganisation von der Elementarschule bis zur Universität (ebenda, S. 31). Im Zuge dieser Entwicklung erfolgte eine Ausdifferenzierung verschiedener Schultypen, wozu auch die Elementarschule als Vorgänger der heutigen Grundschule gehörte.

1Im

fortlaufenden Text wird bei Verwendung der männlichen Form jeweils das andere Geschlecht mit gemeint.

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Diese Veränderungen bewirkten, dass Pestalozzis Primat der formalen Bildung für den Rechenunterricht der Elementarschule in den Hintergrund geriet. Als sein wichtigstes Ziel wurde jetzt „die Vorbereitung der künftigen Bürger, Bauern und Soldaten auf ihre Berufe“ (Salberg 1874) bestimmt. Damit erfolgte eine Hinwendung zu einer Anwendungs- und späteren Berufsorientierung vom ersten Schultag an. Diese Ausrichtung verstärkte sich noch in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts unter Bismarcks Politik des Realismus und dem Einfluss der industriellen Revolution. Das Sachrechnen etablierte sich neben der elementaren Arithmetik als zweiter Hauptinhaltsbereich des Rechenunterrichts und prägte somit seine Ziel- und Inhaltsintentionen mit. Hinsichtlich der Sachbereiche, die eng mit dem Erwerb von Rechenfähigkeiten verbunden wurden, unterschied man • Sachbereiche, die sozusagen integrierter Bestandteil des Rechenunterrichts sind, wie z. B. der Umgang mit Geldmünzen, mit der Uhr und mit Zeitangaben sowie anderen Größenangaben, • Sachbereiche aus dem Erfahrungsbereich der Kinder, wie etwa einfache Fragen zu Pflanzen und Tieren, zum Basteln, Spielen und Bauen im Zusammenhang zu haushaltlichen Themen, • Sachbereiche, die im unmittelbaren Zusammenhang zu Inhalten anderer Fächer standen, wie beispielsweise Ernteerträge in der Landwirtschaft oder Größenangaben zu Bauwerken (Radatz und Schipper 1983, S. 35). Dementsprechend bestimmten die „Sachrechenmethodiker“ dieser Zeit, wie beispielsweise Salberg, als ein Grundprinzip ihres Unterrichts: „Das Rechnen darf nicht an künstlichen Hilfsmitteln, sondern muβ vornehmlich an solchen Dingen gelernt werden, die im praktischen Leben zu berechnen sind.“ (Radatz 1983) Nichtsdestotrotz hatten Pestalozzis, Diesterwegs oder Fröbels Ideen vom „Denkrechnen“ weiterhin viele Anhänger, was allein die Gründung von 45 Lehrerseminaren Pestalozzischer Prägung Mitte des 19. Jahrhunderts in Preußen belegt. Somit blieben die Ideen der formalen Bildung (Pestalozzi) und des Strebens eines jeden Kindes nach „Selbsttätigkeit im Dienste des Wahren, Schönen und Guten“ (Diesterweg 1956, S. 8) erhalten, sie wurden den konkreten regionalen Bedingungen angepasst und auf diese Weise weiterentwickelt (Abb. 1.2). Der Ausbau der Volksschule am Ende des 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts bewirkte eine weitere „Wellenbewegung“. Die Bedeutung des Sachrechnens wurde wieder zurückgedrängt – zugunsten einer verstärkten Fokussierung auf mathematische Lernthemen. Als einen Hauptinhalt des Anfangsunterrichts im Rechnen deklarierten z. B. Didaktiker jener Zeit die Einführung natürlicher Zahlen, wofür sie zugleich intensiv nach praktikablen methodischen Konzepten suchten. Auffällig war dabei der philosophische Streit darüber, ob Kinder primär über die Anschauung oder durch das Zählen ein Zahlverständnis entwickeln (vgl. hierzu Kap. 9). Vertreter der „Anschauungsdidaktik“ wie

1.1  Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht …

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Abb. 1.2   F. A. Diesterweg (1790–1866), Titelseite eines seiner Rechenbücher

Beetz, Lay oder Fährmann entwickelten etwa bemerkenswerte Zahlbilddarstellungen, in denen das Bündelungsprinzip und markante Zahlbeziehungen deutlich hervorgehoben waren. Die „Zähler“ verknüpften dagegen geschickt den Zählzahlaspekt mit dem Maßzahl- und Operatorzahlaspekt und konstruierten hiervon ausgehend lineare Darstellungen für Zahlanordnungen, wie z. B. Ketten oder Variationen des Zahlenstrahls. Die in jener Zeit entwickelten Ideen verbesserten nachhaltig die damalige Didaktik des elementaren Rechenunterrichts, sie haben darüber hinaus unbestritten bis in die Gegenwart eine große Bedeutung für Konzepte zum Lehren und Lernen von Mathematik im Grundschulalter. Eine weitere Wellenbewegung in der historischen Entwicklung löste die reformpädagogische Bewegung zu Beginn des 20. Jahrhunderts aus. In gewisser Weise anknüpfend an die idealistischen Ideen von Comenius, Rousseau, Pestalozzi oder Diesterweg proklamierten Key, Montessouri oder Lietz die Kindorientierung als Primat der Bildung und Erziehung. Im Einzelnen entwarfen sie freilich unterschiedliche pädagogische Ansätze und Konzepte, ihre gemeinsamen Grundideen bestanden aber darin, dass Lehrer und Erzieher • Heranwachsende als kindliche Persönlichkeiten respektieren sollten, • den Unterricht an den Bedürfnissen und Lernvoraussetzungen der Kinder anpassen sollten,

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

• Lernmöglichkeiten und Lernwege der Kinder Vorrang vor Fachzusammenhängen und wissenschaftlicher Korrektheit bei der Auswahl und der didaktischen Aufbereitung von Unterrichtsthemen haben sollten. Unter diesem Einfluss und unter Einbeziehung psychologischer Erkenntnisse, vor allem der seinerzeit stark verbreiteten Ergebnisse der Gestaltpsychologie, entwickelten Kühnel und J. Wittmann stärker entwicklungs- und lernpsychologisch geprägte Konzepte für den Rechenunterricht der Volksschule (ebenda, S. 40–41). Im Zentrum des Konzeptes von J. Wittmann stand, dass das Lernen von Kindern „stets von irgendwie strukturierten Ganzheiten ausgeht und zu neuen Ganzheiten fortschreitet“ (aus dem Vorwort von J. Wittmann 1929). J. Wittmann, der selbst Psychologe war, entwarf viele Bilddarstellungen für Zahlen und Zahlbeziehungen (Abb. 1.3) wie „Kringelmengen“ oder Hunderterfelder, die auch heute noch im mathematischen Anfangsunterricht genutzt werden. Für Kühnel war grundlegend wichtig, alle Lernthemen des Rechenunterrichts den wirklichen Lernvoraussetzungen der Kinder anzupassen. Demgemäß kritisierte er insbesondere die zu große Stofffülle des damaligen Erstrechenunterrichts. Die geforderte Stoffreduzierung sollte der Konzentration auf sein neu bestimmtes Hauptziel, den Erwerb des Zahlbegriffs, dienen. Um dieses Ziel erfüllen zu können, erachtete er eine gründliche Erarbeitung der natürlichen Zahlen, ihrer inhaltlichen Bedeutung und ihrer Beziehungen

Abb. 1.3   Zehnerdarstellungen von J. Wittmann. (Wittmann 1955, S. 2)

1.1  Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht …

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zueinander, als Voraussetzung für die Einführung der Rechenoperationen – eine sinnvolle Grobstruktur des arithmetischen Anfangsunterrichts, die bis heute praktiziert wird. Nach dem Zweiten Weltkrieg war der Wiederaufbau des Schulwesens bis 1990 durch die politische Teilung Deutschlands geprägt. Im Westen Deutschlands wurde bis in die 1960er Jahre im Wesentlichen die traditionell gewachsene Rechendidaktik fortgeführt. Darüber hinaus erreichten Wiederbelebungen reformpädagogischer Strömungen auf der Basis der Konzeptansätze von J. Wittmann und Kühnel zumindest eine regionale Bedeutung. Als dritte „methodische Richtung mit ausdrücklichem psychologischem Bezug“ (Wittmann 1984, S. 45) etablierte sich eine Strömung, die die Erkenntnisse zum Lernen und zur Intelligenzentwicklung von Piaget aufgriff. Unter der Bezeichnung „operativ-ganzheitliche Methode“ entwickelten z. B. Resag und Bärmann Anfang der 1960er Jahre ein Lehrwerk für den Rechenunterricht der Volksschule, das in der Tradition des ganzheitlichen Rechnens stand und zugleich durch ein „operatives Denken im Rechenprozeβ“ im Sinne von Piaget geprägt war. Dementsprechend nahmen im Rechenunterricht des ersten Schuljahres das Vergleichen, Ordnen und Zuordnen von Mengen und symbolischen Gegenständen einen großen Raum ein. Etwa zeitgleich konzipierten Fricke und Besuden in Niedersachsen ein ausschließlich an Piagets Erkenntnissen orientiertes Konzept, das vor allem auf die Förderung operativ-beweglichen Denkens ausgerichtet war. Der „Preis“ des einerseits sehr sinnvollen Anknüpfens an psychologische Erkenntnisse bestand nach E. Wittmann und G. Müller darin, dass andererseits der Bezug zur Fachwissenschaft Mathematik vernachlässigt wurde (Müller 1984, S. 147). In diesem Defizit sahen beide Fachdidaktiker den eigentlichen Hauptgrund für einen grundlegenden Umbruch Ende der 1960er Jahre in der „alten“ BRD. Erzwungen wurde der Umbruch aber von „außen“, und zwar zum einen durch die groß angelegte Revision des gesamten Bildungswesens in den USA als Konsequenz aus dem Sputnik-Schock und zum anderen durch die Reform des gymnasialen Mathematikunterrichts in Westdeutschland. Als ein markantes Ergebnis der Neuorientierung der Grundschulmathematik kann die verbindliche Einführung des Mathematikunterrichts der Grundschule im Jahre 1972 hervorgehoben werden. Hiermit verbunden war eine deutliche fachwissenschaftliche Fundierung aller Lernthemen ab dem ersten Schuljahr. Die häufig mit „neue Mathematik“ betitelte Reform sah beispielsweise vor, die ersten natürlichen Zahlen auf mengentheoretischer Fundierung einzuführen, oft sogar in Verbindung mit dem expliziten Gebrauch von Termini wie „Element einer Menge“ oder „Durchschnittsmenge“ und entsprechender Symbolik. Ein weiteres markantes Resultat der Reform bestand darin, neben der Arithmetik und dem Sachrechnen als dritten Hauptinhaltsbereich des Mathematikunterrichts der Grundschule die Geometrie aufzunehmen. Im KMK-Beschluss vom 03.12.1976 wurde einige Jahre später insbesondere das Fördern geometrischen Vorstellungsvermögens vom ersten Schuljahr an noch hervorgehoben (Empfehlungen und Richtlinien 1976, S. 9).

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Im Zuge der Schulreform entwickelte sich außerdem eine intensive Diskussion über allgemeine kognitive und „Erziehungsziele“ des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Als ein Hauptergebnis dieser Zielbestimmung können modifizierte Lernziele nach H. Winter genannt werden: 1. „Der Schüler soll lernen, Situationen (mathematischer und besonders auch ­real-umweltlicher Art) zu mathematisieren (1) Situationen mit mathematischen Mitteln erfassen und darstellen (2) Daten gewinnen (Experimentieren, Zählen, Messen, Schätzen) (3) Strukturelle Zusammenhänge aufdecken und formulieren (4) Sachrelevante Problemstellungen aufgreifen bzw. selbst finden (5) Daten im Hinblick auf Lösung der Probleme verarbeiten (6) Lösungen situationsadäquat interpretieren und diskutieren 2. Der Schüler soll lernen, sich forschend-entdeckend und konstruktiv zu betätigen (1) Vermutungen (z. B. über Beziehungen, Muster, Strukturen etc.) aufstellen (2) Lösungs- und Beweisideen entwickeln, Lösungswege planen (3) komplexere Handlungsabläufe logisch geordnet in Teilschritte gliedern (4) über die gegebene Information hinausgehen (5) eine Situation variieren, fortsetzen und übertragen (6) Verallgemeinerungen erkennen und formulieren (7) Probleme konstruieren 3. Der Schüler soll lernen zu argumentieren (1) sich an Vereinbarungen (z. B. Definitionen) halten (2) allgemeine Aussagen an Spezialfällen testen (Beispiele – Gegenbeispiele) (3) begründen, folgern, beweisen (4) Begründungen auf Stichhaltigkeit prüfen, Scheinargumente aufdecken (5) mathematische Überlegungen bezüglich ihrer Bedeutung bewerten 4. Der Schüler soll Grundkenntnisse und Grundtechniken zur Verarbeitung mathematischer Informationen einschließlich deren Anwendung erlernen (1) mathematische Instrumente sachgerecht bedienen (2) bildliche Darstellungen (Situationsskizzen, Diagramme, Zeichnungen etc.) und Fachsprache verwenden (3) nach vorgegebenen Regeln korrekt operieren (4) Algorithmen (zum Konstruieren, Sortieren, Ordnen, Zuordnen, Berechnen etc.) korrekt anwenden Algorithmen in Computerprogramme überführen (5) Definitionen, Sätze und Einzelaussagen anwenden (6) logische Techniken und Beweistechniken anwenden.“ (Wittmann 1981, S. 54–55)

1.1  Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht …

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Die Erziehungsziele wurden zudem noch auf affektive Ziele ausgedehnt. Exemplarisch sei hier eine Liste affektiver Lernziele angegeben, die von einer englischen Studiengruppe (Mathematical Association 1975) erstellt wurde: Die Schüler sollten • Freude und Interesse an der Mathematik und eine positive Einstellung zum Fach entwickeln, • Selbstvertrauen beim Bearbeiten mathematischer Aufgaben haben, • Mathematik begeistert, zielbewusst und konzentriert betreiben, gern Neues lernen wollen, • Bereitschaft zum Mitmachen entwickeln, • Freude und Stolz über das erfolgreiche Lösen eines mathematischen Problems empfinden, • mathematisches Wissen und Können als wichtig und nützlich erkennen und den Wert der Mathematik für die Gesellschaft würdigen, • den Wert logischer Klarheit und Korrektheit mathematischer Begriffe und Zusammenhänge erkennen und würdigen (nach Wittmann 1981, S. 57). In der Schulpraxis zeigte sich dann aber schnell, dass die Lehrerschaft auf viele der im Kern durchaus sinnvollen Ideen der „neuen Mathematik“ unvorbereitet war und sich somit eine Mehrheit der Lehrer überfordert fühlte. Überspitzte Zielvorgaben, verfrühte Formalisierungen, eine zu einseitige Fachorientierung sowie die Vernachlässigung des elementaren Rechnens und des Sachrechnens führten letzten Endes zu einer Revision. Das Pendel schlug in die entgegengesetzte Richtung aus: „Back to basics“ war das Motto und eine behutsame Förderung der kindlichen Entwicklung stand im Vordergrund des Mathematikunterrichts der Grundschule der 1980er Jahre. Im Osten Deutschlands wurden die Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts der ersten Schuljahre konsequent den politischen Orientierungen untergeordnet. So war für den Mathematikunterricht der Unterstufe, der sich auf die Klassenstufen 1 bis 3 beschränkte, die „allseitige Entwicklung sozialistischer Persönlichkeiten“ das generelle Hauptziel. Über diese für alle Schulfächer und Schulstufen geltende globale Bildungsfunktion von Schule in der DDR hinaus wurde die eingangs beschriebene Doppelfunktion des Mathematikunterrichts aber bemerkenswerterweise von Anfang an ebenso konsequent verfolgt. Beispielhaft sei hier als Beleg eine „Erläuterung des Lehrplanes Mathematik“ aus den 1980er Jahren angeführt: „Der Mathematikunterricht der Klassen 1 bis 3 als erster Abschnitt des Mathematiklehrgangs der Oberschule hat die Aufgabe, die solide Aneignung grundlegender Bestandteile einer anspruchsvollen mathematischen Allgemeinbildung durch alle Schüler zu gewährleisten und in Einheit damit zugleich zur Realisierung der Bildungs- und Erziehungsziele «beizutragen, die dem Unterricht in der Unterstufe insgesamt gestellt sind.“ (Weber 1988, S. 14)

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Abb. 1.4   Beispiel für den Gebrauch von Variablen in einem „DDR-Schulbuch“ der 2. Klasse (Mathematik 2 Berlin 1970, S. 100)

Die im Weiteren bestimmten „fachspezifischen Aufgaben“ entsprechen ebenfalls durchaus den eingangs dargestellten Grundintentionen: „Es geht in der gesamten Unterstufe darum, den Schülern vor allem sicheres, anwendungsbereites Wissen und Können im Rechnen mit natürlichen Zahlen zu vermitteln und sie mit einfachen geometrischen Objekten und Tätigkeiten vertraut zu machen. Dieser Prozeß ist mit der zielgerichteten Ausbildung der geistigen und geistig-praktischen Fähigkeiten der Schüler zu verbinden. Er muss darauf gerichtet sein, im Sinne des oben Ausgeführten zur Entwicklung ihrer Lernbereitschaft und zur Gewöhnung an diszipliniertes, aktives Lernen im Fach Mathematik beizutragen, zugleich aber auch bei allen Schülern die Freude am Lernen im Fach Mathematik ständig weiter auszubilden und zu bekräftigen – Aufgaben, deren Erfüllung von außerordentlicher Bedeutung für den gesamten Mathematikunterricht ist.“ (Weber 1988, S. 14)

Freilich wurde im Mathematikunterricht der DDR der individuellen Förderung eines Kindes entsprechend seinen tatsächlichen Voraussetzungen und Bedürfnissen in der Regel nur eine vergleichsweise geringe Bedeutung beigemessen. Außerdem enthielten die Lehrpläne und Schulbücher für den Mathematikunterricht der Unterstufe viele Forderungen, wie etwa zum korrekten Gebrauch mathematischer Fachbegriffe, einschließlich der Verwendung von Variablen in Form von Buchstaben ab Klasse 1, die nicht einem altersgemäßen, einem Sinn verstehenden und aktiv-konstruktiven Lernen von Kindern entsprachen (Abb. 1.4).

1.2 Aktuelle Zielfestlegungen Nach der Wiedervereinigung ist die Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts der Grundschule in Deutschland m. E. vor allem durch zwei Richtungen geprägt. Zum einen wird ein „Prozess der Konsolidierung“ praktiziert. Sich der Lehren aus der Vergangenheit bewusst, wird sowohl in Lehrplänen als auch in den meisten Schulbuchwerken

1.2  Aktuelle Zielfestlegungen

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und in der Schulpraxis auf eine ausgewogene Balance zwischen Kind- und Fachorientierung, zwischen der Förderung mathematikspezifischer, Fächer übergreifender und ­ allgemein-geistiger Kompetenzen und der kindlichen Persönlichkeitsentfaltung geachtet. Die eingangs beschriebene Funktion des Mathematikunterrichts der Grundschule als Basis schaffende Vorstufe des Fachunterrichts ab Klassenstufe 5 steht zwar vergleichsweise mitunter weniger im Fokus, sie wird dennoch im Allgemeinen mit beachtet. Zum anderen ist auffällig, dass sich mit dem Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens oder mit dem des schriftlich-reflektierenden Mathematikunterrichts (vgl. Kap. 3) moderne Lehr-Lern-Konzepte etablierten, die aktuellen lernpsychologischen Konzepten genügen. Insbesondere wird in den Konzepten der zunehmenden Heterogenität heutiger Kinder und dem Theorieansatz des individuell-konstruktiven Lernens entsprochen. Radatz und Schipper kennzeichneten in den 1990er Jahren den „notwendigerweise differenzierende(n) Mathematikunterricht in der Grundschule … durch eine inhaltliche Öffnung, eine methodische Öffnung und eine sozial-interaktive Öffnung“ (Radatz 1996, S. 43). Die Gegenwart zeigt, dass hierauf basierende Lehr-Lern-Konzepte in der Schulpraxis durchaus sehr erfolgreich realisiert werden, wenngleich sie sich noch nicht mehrheitlich durchgesetzt haben. Ein weiterer bemerkenswerter Fortschritt stellt zurzeit das Bemühen um eine sinnvolle, Länder übergreifende Abstimmung von Zielen und Inhalten des Mathematikunterrichts dar. Ein Beleg hierfür besteht z. B. darin, dass die aktuellen Lehrpläne aller Bundesländer auf dem „Kompetenzmodell“ basieren. Mit dem Erwerb von Kompetenzen wird der Fokus auf eine sichere und flexible Anwendung mathematischer Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten in komplexeren Anforderungssituationen gerichtet. Demgemäß werden in Anlehnung an Weinert unter „Kompetenzen“ dabei „die bei Individuen verfügbaren oder von ihnen erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können“ (Weinert 2001, S. 27), verstanden.2 Die individuelle Ausprägung einer Kompetenz wird von verschiedenen Facetten, insbesondere von der jeweiligen Qualität der Fähigkeiten, Kenntnisse, des Verstehens, des Handelns, von Erfahrung oder von der Motivation, bestimmt (Weinert 2001, S. 27). Zugleich schließt der „kompetenzorientierte Lernansatz“ ein, die „individuelle Persönlichkeitsentwicklung, gesellschaftliche Anforderungen an das Individuum sowie Ziele und Inhalte fachlicher Bildung stärker in einen Zusammenhang“ (Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik der Länder Bremen, Berlin, Brandenburg und ­Mecklenburg-Vorpommern 2006, S. 8) zu bringen.

2Hier

ist zu beachten, dass die „Kompetenz-Definition“ von Weinert von der Definition des Begriffs der Kompetenz von E. Stern (vgl. Kap. 13) unterschieden werden muss.

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Um die anzustrebenden fachspezifischen Kompetenzen differenzierter erfassen zu können, wird in den Lehrplänen meist unterschieden zwischen • Fach- bzw. Sachkompetenzen (z. B. Kompetenzen im Strukturieren, im Beschreiben und Begründen), • Lern- bzw. Methodenkompetenzen (z. B. Kompetenzen im Anwenden von Problemlösestrategien), • Sozialkompetenzen (Bereitschaft und Fähigkeit, sich gegenseitig zu achten, Konflikte zu lösen oder Regeln einzuhalten), • personalen Kompetenzen (z. B. die Fähigkeit, selbstständig zu arbeiten, eigene Stärken und Schwächen zu erkennen oder selbst Entscheidungen zu treffen), • Medienkompetenzen (Fähigkeiten in der selbstständigen Nutzung von Nachschlagewerken, des Internets und Ähnlichem mehr). Da bezüglich der genannten „Leistungsqualitäten“ in der Fachliteratur wie in der Schulpraxis häufig unterschiedliche inhaltliche Interpretationen existieren, werden im Folgenden gängige Definitionen zu den wichtigsten allgemeinen Leistungseigenschaften angegeben:3 Fähigkeit Der Begriff „Fähigkeit“ wird in der didaktischen und psychologischen Literatur in verschiedenem Sinne verwendet. In einer relativ engen Fassung bezieht er sich auf einen spezifischen Handlungsvollzug an einem bestimmten Objekt (Pippig 1971, S. 62). Lompscher, Kossakowski u. a. betonen in diesem Zusammenhang die Integration von Fähigkeiten mit Kenntnissen, Fertigkeitxen und Gewohnheiten zur Disposition „Können“ (Lompscher 1988, S. 78; Kossakowski 1977, S. 201). In einer weiten Fassung versteht man unter Fähigkeiten „die Gesamtheit der zur Ausführung einer bestimmten Leistung erforderlichen Bedingungen“ (Dorsch et al. 1987, S. 200). Nach diesem Verständnis wird eine Fähigkeit durch eine bestimmte Leistung in einem Test operationalisiert, wobei davon auszugehen ist, dass die Fähigkeit mit einem Test immer nur unvollständig erfasst werden kann. Fertigkeit Unter Fertigkeit wird die Eigenschaft eines Menschen verstanden, bestimmte Tätigkeiten oder Handlungen weitgehend automatisch, d. h. ohne ständige Kontrolle durch Aufmerksamkeit und Bewusstsein ausführen zu können (z. B. Fertigkeiten im Schreiben

3Im

Sinne der Definitionen werden die genannten Begriffe auch in diesem Buch verwendet.

1.3  Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick Abb. 1.5   Kompetenzstruktur im Lehrplan Mathematik für Grundschulen in NRW (2008)

13

prozessbezogene Kompetenzen

inhaltsbezogene Kompetenzen

Problemlösen / kreativ sein

Zahlen und Operationen

Modellieren

Raum und Form

Argumentieren

Größen und Messen

Darstellen / Kommunizieren

Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten

Fachbezogene Kompetenzen

von Zahlen). Die Entwicklung von Fertigkeiten ermöglicht es, Handlungen zügig auszuführen und dabei das Hauptaugenmerk auf andere Dinge, wie etwa auf den Erwerb neuer Kenntnisse, zu richten. Wissen Diese Leistungseigenschaft umfasst die von einem Individuum im Gedächtnis gespeicherten und verfügbaren Fakten, Vorgänge, Erscheinungen, Zusammenhänge, Begriffe, Gesetze, Regeln, Methoden, Prinzipien, Normen, Werte etc. zu einem Sachgebiet. Nach der Qualität der gedächtnismäßigen Verankerung kann man z. B. mechanisch eingeprägtes, isoliertes, vernetztes, systematisches Wissen unterscheiden. Der Begriff „Wissen“ wird häufig mit „Kenntnis“ gleichgesetzt. Können Unter „Können“ wird die Gesamtheit aller Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten gefasst, die sich auf das Ausführen einer Tätigkeit oder eines Tätigkeitskomplexes bezieht. Häufig werden auch Gewohnheiten als integrativer Bestandteil der Könnenskomponenten genannt. Neben der oben angegebenen Unterscheidung von fünf Kompetenzarten wird in aktuellen Lehrplänen (z. B. Lehrplan Mathematik für Grundschulen in ­Nordrhein-Westfalen 2008, S. 56–57; Abb. 1.5) und bei den Bildungsstandards zwischen prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen unterschieden:

1.3 Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick Die im Prozess einer jahrhundertelangen Entwicklung bestimmten fachlichen Inhalte des Mathematikunterrichts der Grundschule orientieren sich an mathematischen Leitideen der traditionellen Themenbereiche Arithmetik, Geometrie und des Sachrechnens sowie der elementaren Stochastik, die seit einigen Jahren zum festen Bestandteil des

14

1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Mathematikunterrichts vom ersten Schuljahr an wurde. Hauptgründe für die Aufnahme stochastischer Lernthemen sahen H. Winter u. a. darin, dass • viele Alltagsprobleme von Kindern (vor allem Spielsituationen) einen „stochastischkombinatorischen Charakter“ haben, • nach dem Spiralprinzip es nicht sinnvoll ist, stochastische Themen bis in die Sekundarstufe aufzuschieben, • die Behandlung stochastischer Aufgaben in der Grundschule Fehlauffassungen über Zufallsphänomene verhindern kann, die einen späteren Unterricht entscheidend erschweren könnten, • stochastische Themen bei den Kindern das „Bild von Mathematik“ erweitern können (Winter 1976, S. 22–23). Hinzu kommt, dass spielerische Aktivitäten wie Würfelexperimente methodisch den Mathematikunterricht bereichern können. Überblicksartig lassen sich auf der Basis der gegenwärtigen Lehrpläne folgende fachliche Hauptinhalte des Mathematikunterrichts der Grundschule auflisten: Zahl und Operationen • Zahldarstellungen und -bezeichnungen • Zahlvorstellungen • Operationsvorstellungen • Kopfrechnen • Halbschriftliches und schriftliches Rechnen • Überschlagsrechnen • Nutzen von Zahlbeziehungen und Rechengesetzen • flexibles Rechnen • in Kontexten rechnen Raum und Form • Räumliches Vorstellungsvermögen • Benennen und vielfältiges Darstellen geometrischer Figuren • Erkennen, Benennen und Darstellen einfacher geometrischer Abbildungen • Vergleichen und Messen von Flächen- und Rauminhalten • Lösen von Sachaufgaben mit geometrischen Mitteln Größen und Messen • Größenvorstellungen • Messen, Schätzen von Größen • im Alltag häufig gebrauchte Größeneinheiten • Umgang mit Größen in Sachzusammenhängen • Modellieren von Sachsituationen

1.3  Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick

15

Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit • Erfassen, Darstellen und Interpretieren von Daten • Vergleichen und Interpretieren von Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten Die inhaltliche sowie die didaktisch-methodische Öffnung des Mathematikunterrichts bedingten, dass die verschiedenen Themenbereiche in den Lehrplänen nicht mehr einzelnen Schuljahren zugeordnet und demgemäße Abschlussniveaus nicht mehr jahrgangsweise festgelegt wurden. Die heutigen „Kern- «bzw.» Rahmenlehrpläne“ orientieren sich stattdessen auf jeweilige „Einheiten“ des ersten/zweiten und des dritten/ vierten Schuljahres. Auf diese Weise sind den Lehrkräften viele Möglichkeiten für eine flexiblere inhaltliche und didaktisch-methodische Gestaltung des Mathematikunterrichts gegeben – insbesondere unter Berücksichtigung der individuellen Lernvoraussetzungen jedes Kindes. Mögliche Weiterentwicklungen Welche pädagogischen Strömungen oder fachlichen Themen in den nächsten Jahren für die Weiterentwicklung des Grundschulmathematikunterrichts in Deutschland Bedeutung haben könnten, lässt sich nur vage einschätzen. Entscheidende Impulse könnten u. E. aus den folgenden drei Richtungen kommen: • Die Wieder- bzw. Neuentdeckung der vorschulischen Bildung und der in diesem Zusammenhang in den letzten Jahren entwickelten und in der Praxis umgesetzten Konzepte für eine angemessene frühkindliche Förderung elementarer mathematischer Kompetenzen, woraus sich auch Konsequenzen für die Gestaltung des Übergangs von der Kita in die Grundschule ergeben (Kap. 5). • Eine vertiefende Diskussion um Konzepte und Grundlagen inklusiven Mathematiklernens: Einerseits betrifft dies z. B. die Frage danach, wie das Lehren und Lernen von Mathematik das gesellschaftliche Ziel „Inklusion“ im Sinne des Abbaus von einer Orientierung an den Defiziten Lernender, von „Schubladendenken“ u. a. m. beitragen kann. Andererseits betrifft dies aber auch die Frage danach, wie Kinder mit sehr verschiedenen Hintergründen und Bedürfnissen (etwa Kinder mit „sonderpädagogischen Unterstützungsbedarfen“, Kinder mit hohen mathematischen Begabungspotenzialen oder Kinder mit Deutsch als „Nicht-Muttersprache“) produktiv nicht nur gemeinsam, sondern auch individuell lernen können, was auch mit einer stärkeren Beachtung neuerer wissenschaftlicher Erkenntnisse verbunden sein könnte. • Eine weiterführende Entwicklung tragfähiger Konzepte, die der rasanten Entwicklung der Computer- und Kommunikationstechnik Rechnung tragen und die Möglichkeiten für neuartige Lernmittel- und Mediennutzungen ebenso berücksichtigen wie die Notwendigkeit, kritische Reflexionen zum Umgang mit Informationen – etwa den öffentlich zur Schau gestellten Informationen über die eigene Person – anzuregen.

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1  Funktionen, Ziele und Inhalte des Grundschulmathematikunterrichts

Eine Gemeinsamkeit der drei Entwicklungsrichtungen besteht darin, dass die Befähigung zum selbstbestimmten und eigenverantwortlichen Lernen aller Kinder im regulären Mathematikunterricht weiter an Bedeutung gewinnen wird. Eine besondere Rolle spielen hierbei der Erwerb von Selbstkompetenz und Selbstwirksamkeitsüberzeugungen. Unter Selbstkompetenz wird die Fähigkeit verstanden, „in sich verändernden Zusammenhängen motiviert und aktiv gestaltend handeln zu können. Die Handlungsfähigkeit des Einzelnen hängt entscheidend von der Fähigkeit ab, Wissen und Emotionen miteinander zu verknüpfen“ (Künne und Sauerhering 2012, S. 7). Demgemäß ist die Entwicklung von Selbstkompetenz ein dynamischer und zugleich sehr komplexer Prozess, der wesentlich durch erzieherische Einflüsse geprägt werden kann. So sind für eine nachhaltige Selbstkompetenzförderung (professionale) pädagogische Beziehungen sowie die Gestaltung fordernder wie zugleich fördernder Lernumgebungen von zentraler Bedeutung (ebd.; Kap. 7). Die subjektiv wahrgenommene Selbstwirksamkeit bezieht sich auf den Glauben an die eigene Fähigkeit, die für die Bewältigung zukünftiger Situationen erforderlichen Handlungsabläufe zu organisieren und auszuführen (Bandura 1995, S. 2). Spezielle Bereiche für die Förderung von Selbstwirksamkeitsüberzeugungen, die sogenannten „Quellen“ der Selbstwirksamkeitsüberzeugungen, sind nach Bandura: • • • •

persönliche Erfolgserfahrungen, „stellvertretende“ Erfahrungen (Modelllernen), Rückmeldungen aus der sozialen Umwelt, physiologische und emotionale Zustände (ebd., S. 3).

Zwischen schulischen Selbstwirksamkeitsüberzeugungen und schulischen Leistungsergebnissen bestehen enge wechselseitige Zusammenhänge. So weisen Studien übereinstimmend nach, dass z. B. ein Kind im Mathematikunterricht sehr erfolgreich lernen kann, wenn es hohe Selbstwirksamkeitsüberzeugungen besitzt (Köller und Möller 2018, S. 760). Bandura stellte im Ergebnis ihrer Studien fest: „Die selbstwirksameren Schüler jeder Fähigkeitsstufe bewältigten ihre Arbeitszeit besser, waren hartnäckiger und weniger geneigt, korrekte Lösungen vorzeitig abzulehnen“ (Bandura 1997, S. 215). Weiterhin bestätigen Studien einen engen Zusammenhang zwischen Selbstwirksamkeitsüberzeugungen und Selbstregulation. So sind hohe Selbstwirksamkeitsüberzeugungen eine wichtige Basis dafür, dass Kinder Aufgaben innovativ, kreativ und ausdauernd bewältigen können (Schwarzer und Jerusalem 2002, S. 36). In der pädagogisch-psychologischen Literatur wird im Zusammenhang mit dem Begriff „Selbstwirksamkeit“ häufig der Begriff „Selbstkonzept“ genannt. Das Selbstkonzept beschreibt das Wissen über und das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das eigene „Ich“ (Moschner und Dickhäuser 2006). Selbstkonzept und Selbstwirksamkeitsüberzeugungen sind mehrdimensionale Persönlichkeitskonzepte, wobei das Selbstkonzept affektive, evaluative und kognitive Aspekte umfasst, während Selbstwirk-

1.3  Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick

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samkeitserwartungen vor allem auf wahrgenommene kognitive Kompetenzen fokussiert sind. Aktuell ist aber ein Trend zu erkennen, wonach beim Selbstwirksamkeitskonzept auch der soziale Bezugsrahmen einbezogen wird (Köller und Möller 2018, S. 758–758). Mit der Fokussierung auf eine verstärkte Befähigung aller Kinder zum selbstbestimmten und eigenverantwortlichen Lernen im Mathematikunterricht gewinnen solche Begriffe wie Selbstkompetenz, Selbstwirksamkeitsüberzeugungen oder Selbstkonzept unbestritten an Bedeutung. Dies spiegelt sich z. B. auch in einem neu entwickelten didaktisch-methodischen Konzeptansatz, dem Ansatz des individualisierenden Unterrichtens (Kap. 3), wider. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welche Gefahren und welche Grenzen hat eine Fokussierung auf die individuelle Förderung jedes Kindes im Grundschulmathematikunterricht? • Warum werden neue wissenschaftliche Erkenntnisse zum kindlichen Lernen von Mathematik meist nur zögerlich in der Schulpraxis eingesetzt und genutzt? Welche Bedeutung kommt hierbei Institutionen (Universitäten, Studienseminaren, Schulämtern etc.) zu? • Welche konkreten Veränderungen hinsichtlich mathematischer Inhalte und der methodischen Gestaltung des Grundschulunterrichts könnte die rasante Entwicklung der Computer- und Kommunikationstechnik in den nächsten Jahren hervorbringen?

2

Bildungsstandards

In Deutschland fehlte bis in die 1990er Jahre die systematische Überprüfung von Erträgen schulischer Bildungsprozesse, wie dies in vielen Ländern üblich war und ist. (Walther et al. 2009, S. 10)

Inhaltsverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4

Funktionen der Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil der Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . 21 Anforderungsbereiche der Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Funktionen der Bildungsstandards In der TIMS-Studie von 1997 sowie in der nachfolgenden PISA-Studie aus dem Jahr 2000 und in weiteren internationalen Vergleichsstudien erzielten deutsche Schüler bekanntlich größtenteils enttäuschende Resultate. Bezüglich der Mathematikleistungen von Viertklässlern verwies Walther z. B. auf zwei „äußerst beunruhigende Ergebnisse“, die im Ergänzungsteil der Internationalen Grundschul-Lese-Untersuchung (IGLU) am Ende des Schuljahres 2000/2001 festgestellt wurden: „1. Knapp 20 % der Kinder beendeten die vierte Klasse mit zum Teil erheblichen Defiziten im mathematischen Wissen, bei Fertigkeiten insbesondere des Rechnens und beim Sachrechnen… Gut 40 Prozent der Schülerinnen und Schüler konnten z. B. die Aufgabe 810–790 nicht im Kopf rechnen, und rund die Hälfte der Kinder scheiterte an folgender Textaufgabe: »Hans hat 8 Birnen. Er hat viermal so viele Birnen wie Peter. Wie viele Birnen hat Peter?«

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_2

19

20

2 Bildungsstandards Da die meisten Kinder nach der vierten Klasse eine weiterführende Schule besuchen – mit Ausnahme von Kindern in Bundesländern mit sechsjähriger Grundschule –, liegt hier für Schüler mit solchen Defiziten bereits am Anfang des weiteren Bildungsverlaufs eine beträchtliche Hürde. 2. Der Vergleich der Leistungsergebnisse von Viertklässlern in einigen Ländern der Bundesrepublik zeigte zum Teil deutliche Unterschiede, gerade auch hinsichtlich des Anteils der Kinder an der o. a. »Risikogruppe«. Dieser Anteil lag im Minimum bei 12 %, im Maximum bei knapp 25 % der Viertklässler des jeweiligen Bundeslandes.“ (Walther et al. 2008, S. 22–23)

Ein differenzierter Vergleich der Ergebnisse verschiedener Bundesländer offenbarte zudem große Unterschiede zwischen den Leistungen von Kindern aus verschiedenen Regionen und in Abhängigkeit ihrer sozialen Herkunft. Da ähnliche gravierende Leistungsdefizite ebenso im zweiten Kernfach Deutsch sowie in der ersten Fremdsprache auftraten, setzte in Deutschland unter Wissenschaftlern und Bildungspolitikern eine intensive Diskussion zu Lösungsansätzen für eine nachhaltige Verbesserung des Bildungsniveaus ein. Diese mündete darin, dass auf der Kultusministerkonferenz (KMK) im Jahre 2003 als neue Hauptstrategie deklariert wurde, die bisher übliche Input-Steuerung mittels Lehrplanvorgaben und Zulassungen von Schulbuchwerken durch eine „Output-Steuerung“ zu ergänzen. Als entscheidendes Instrument wurden hierfür bundesweit verbindliche Bildungsstandards eingeführt. Dies erfolgte im Schuljahr 2004/2005 für den mittleren Schulabschluss in den Fächern Deutsch, Mathematik und in der ersten Fremdsprache. Für den Grundschulbereich, die Hauptschule und für die naturwissenschaftlichen Fächer in allen Schultypen wurden im nachfolgenden Jahr Bildungsstandards verpflichtend vorgegeben. Die Bildungsstandards sollen deutschlandweit vor allem zwei Funktionen erfüllen: eine Entwicklungs- und eine Überprüfungsfunktion. Die Entwicklungsfunktion besteht darin, die in der Schulpraxis bislang weit verbreitete Fokussierung auf den Erwerb von mathematischen Grundkenntnissen und Routinefähigkeiten zu reduzieren – zu Gunsten einer verstärkten Zuwendung hin zu einem Sinn verstehenden Lernen und zu einer hiermit im Zusammenhang stehenden Förderung von Kompetenzen im Problemlösen, im Argumentieren oder im Modellieren. Im Bewusstsein, dass solche Kompetenzen bei Kindern nur in einem längerfristigen Prozess intensiven pädagogischen Wirkens erreicht werden können und dass hierfür auch ein Umdenken und eine Qualifizierung vieler Lehrer notwendig sind, war man sich unter den verantwortlichen Bildungspolitikern und -wissenschaftlern einig, dass die Entwicklungsfunktion nur über einen längeren Zeitraum „in der Breite“ erfüllt werden kann. Die Überprüfungsfunktion beinhaltet, die diesbezüglichen Lernentwicklungsstände aller Kinder regelmäßig zu erfassen und zu analysieren. Dies soll zielgerichteter erfolgen, als es auf der Basis der Lehrpläne und Schulbuchempfehlungen bisher offenbar praktiziert wurde. In der Endkonsequenz bedeutet das Realisieren der Überprüfungsfunktion, die zu erwartenden Leistungsniveaus der Kinder konkret zu bestimmen und hierfür geeignete Überprüfungsaufgaben zu entwickeln.

2.2  Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil …

21

Darüber hinaus sieht Walther eine dritte Funktion der Bildungsstandards in nützlichen Nebeneffekten ihrer konkreten Umsetzung durch die Lehrer in der Schulpraxis. Seines Erachtens können Lehrer konkrete Vorgaben von Beispielaufgaben mit Diskussionen über verschiedene methodische Einsatzmöglichkeiten und mit authentischen, meist sehr unterschiedlichen Schülerlösungen gut als „flexible Werkzeuge“ für ihre individuelle Unterrichtsplanung und –durchführung „vor Ort“ nutzen (Walther et al. 2008, S. 26).

2.2 Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil der Bildungsstandards Das Hervorheben allgemeiner Kompetenzen als entscheidender „Schlüssel“ zur Qualitätsverbesserung des Mathematikunterrichts bildet eine erste „Säule“ bei der Umsetzung der Bildungsstandards in Deutschland. Die neue Schwerpunktsetzung ist aufgrund der Ursachenforschung für die Defizite deutscher Schülerinnen und Schüler in den internationalen Vergleichsstudien sehr gut nachvollziehbar. Zugleich wird auf diese Weise der großen Bedeutung allgemeiner Kompetenzen für das Mathematiklernen Rechnung getragen, was der folgende Auszug aus dem KMK-Beschluss verdeutlicht: „Das Mathematiklernen in der Grundschule darf nicht auf die Aneignung von Kenntnissen und Fertigkeiten reduziert werden. Das Ziel ist die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen verdeutlichen, dass die Art und Weise der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragen ein wesentlicher Teil der Entwicklung mathematischer Grundbildung ist. Deren Entwicklung hängt nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet wurden, sondern in mindestens gleichem Maße davon, wie sie unterrichtet wurden, d. h. in welchem Maße den Kindern Gelegenheit gegeben wurde, selbst Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren usw. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind mit entscheidend für den Aufbau positiver Einstellungen und Grundhaltungen zum Fach. In einem Mathematikunterricht, der diese Kompetenzen in den Mittelpunkt des unterrichtlichen Geschehens rückt, wird es besser gelingen, die Freude an der Mathematik und die Entdeckerhaltung der Kinder zu fördern und weiter auszubauen.“ (KMK 2005, S. 6)

Die KMK-Erklärung weist außerdem darauf hin, dass das Konzept der Bildungsstandards auf den historisch gewonnenen Erkenntnissen (und Lehren) der Entwicklung des Mathematikunterrichts in Deutschland beruht. So knüpft die Festlegung der allgemeinen Kompetenzen der Bildungsstandards explizit an die von H. Winter u. a. herausgearbeiteten allgemeinen Lern- und Erziehungsziele des Mathematikunterrichts in den 1970er Jahren an und stimmt prinzipiell mit den aktuellen Lehrplänen des Mathematikunterrichts der Grundschule überein (vgl. jeweils Kap. 1). Zudem sind vom amerikanischen Lehrerverband NCTM in den USA entwickelte Standards für Fähigkeiten im Problemlösen, Argumentieren oder Kommunizieren berücksichtigt worden, die im Übrigen einige Jahre zuvor schon in einigen anderen europäischen Ländern eingeführt wurden.

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2 Bildungsstandards

Im Folgenden werden die im KMK-Beschluss definierten fünf allgemeinen mathematischen Kompetenzen exemplarisch erläutert. Probleme mathematisch lösen Hierzu gehört konkret: • mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden, • Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z. B. systematisch probieren), • Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen. Als ein sehr geeignetes Aufgabenformat für die Realisierung dieser Problemlösekompetenzen haben sich in den letzten Jahren sogenannte „substanzielle Aufgaben“ etabliert. Substanzielle Aufgaben sind offene und zugleich relativ komplexe Problemaufgaben, die eine reichhaltige mathematische Substanz besitzen, einschließlich der Möglichkeit zum Finden und Bearbeiten von interessanten Anschlussproblemen. Damit eine substanzielle Aufgabe aber auch von allen Kindern als motivierende Herausforderung angenommen werden kann, sollte sie bzw. das zugehörige Ausgangsproblem für jedes Kind möglichst leicht verständlich sein und ein erfolgreiches Lernen auf verschiedenen Leistungsniveaus ermöglichen. Ein konkretes Beispiel für eine substanzielle Aufgabe ist die „Nuss-Aufgabe“ (Abb. 2.1), die sich für den Einsatz im dritten oder vierten Schuljahr eignet. Die Problemaufgabe ist durch die Bildpräsentation und einen den Kindern vertrauten Sachkontext leicht verständlich. Da der Text zudem im Stile eines unter Kindern beliebten Rechenrätsels formuliert ist, sollten Grundschüler motiviert sein, sich mit der Aufgabe auseinanderzusetzen. Gegebenenfalls wäre es lediglich notwendig, die Begriffe „waagerecht“ und „senkrecht“ zu klären (obwohl sich die Kinder diese aus dem Kontext auch selbst erschließen können). Hinsichtlich der Wahl von Lösungswegen haben die Kinder verschiedene Möglichkeiten. Sie können die Aufgabe z. B.

„Ein Vater legt 36 Nüsse in Form eines 6x6-Quadratrasters auf den Tisch und sagt zu seinem Sohn: „Kannst du sechs Nüsse so wegnehmen, dass in jeder waagerechten und senkrechten Reihe eine gerade Anzahl Nüsse liegenbleibt?“

Abb. 2.1   Nuss-Aufgabe (Käpnick 2001, S. 18)

2.2  Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil …

23

unter Verwendung von Nüssen bzw. Legeplättchen auf der enaktiven Handlungsebene oder durch Wegstreichen von Punkten eines 6 × 6-Punkterasters auf der ikonischen Ebene lösen. Weiterhin könnten sie unterschiedliche heuristische Strategien anwenden, wie etwa ein Probieren, ein Suchen von Teillösungen oder ein Verändern der Aufgabenbedingungen. Darüber hinaus bietet die Aufgabe verschiedene Möglichkeiten für vielfältige mathematische Tätigkeiten, wozu ein korrektes Verwenden der Begriffe „gerade Zahl“ und „ungerade Zahl“, aber ebenso Verallgemeinerungen gehören können. So können die Kinder beim Bearbeiten der Aufgabe erkennen, dass es nur dann eine Lösung geben kann, wenn man in einer waagerechten und senkrechten Reihe eine gerade Anzahl von Nüssen entfernt. Wenn die Kinder eine Lösung ermittelt haben, erkennen sie nach meinen Erfahrungen beim Einsatz der Aufgabe meist ein bestimmtes Figurenmuster (Käpnick 2001, S. 18–20), dem sie einem passenden Namen geben. Durch Drehen, Spiegeln oder Dehnen des Musters finden sie dann leicht weitere Lösungen. Hieraus ergeben sich wiederum weitere interessante Anschlussprobleme, wie z. B. die Suche nach verschiedenen geometrischen Formen der Lösungsfigur oder das Ermitteln der Anzahl aller Lösungen. Kommunizieren Diese Kompetenz umfasst: • eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren, • mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden, • Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten (Abb. 2.2). Ein repräsentatives Aufgabenformat für die Entwicklung solcher Kompetenzen im Kommunizieren ist die Durchführung einer Rechen- oder allgemeiner einer „Mathekonferenz“ (Abb. 2.2). Die „Mathekonferenz“ der Schulbuchseite fordert die Kinder explizit auf, (individuell) verschiedene Lösungswege für das Addieren und Subtrahieren von Zehnerzahlen bis 100 in Kleingruppen zu erforschen, sich diese dann gegenseitig vorzustellen und sie miteinander zu vergleichen. Mit dem Anspruch, die Rechenwege möglichst korrekt zu beschreiben und zu bewerten, ist außerdem verbunden, dass die Kinder in angemessener Weise Fachbegriffe wie z. B. „plus“, „minus“, „Zahlenstrahl“ oder evtl. auch schon „Summe“ oder „Differenz“ und die Rechenzeichen sachgerecht verwenden. Das Herausstellen von Gemeinsamkeiten und Unterschieden der Rechenwege sowie das Einschätzen besonders günstiger Lösungsstrategien impliziert darüber hinaus, dass die Kinder sachlich argumentieren, die Korrektheit von Rechenschritten begründen, Lösungsschritte zu Algorithmen verallgemeinern u. Ä. m. Sie üben sich demgemäß auch im „mathematischen Argumentieren“, einer weiteren allgemeinen Kompetenz der Bildungsstandards.

24

2 Bildungsstandards

Abb. 2.2   Beispiel einer „Mathekonferenz“ (Käpnick et al. 2011b, S. 25)

Mathematisch argumentieren Der Oberbegriff schließt ein, • mathematische Aussagen zu hinterfragen und auf Korrektheit zu prüfen, • mathematische Zusammenhänge zu erkennen und Vermutungen zu entwickeln, • Begründungen zu suchen und nachzuvollziehen. Mathematisch modellieren Hierbei geht es insbesondere darum, • Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen zu entnehmen, • Sachprobleme in die Sprache der Mathematik zu übersetzen, innermathematisch zu lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation zu beziehen, • zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben zu formulieren. Die verschiedenen Kompetenzen im Modellieren lassen sich beispielhaft durch nachfolgende authentische Lösungen von Drittklässlern zu einer „Umfüll-Aufgabe“ verdeutlichen. In der als Text gegebenen Aufgabe geht es darum, nur durch Umfüllen vier Litern

2.2  Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil …

25

Wasser abzumessen. Zur Verfügung stehen hierfür ein Eimer mit acht Litern Wasser sowie ein 3-Liter- und ein 5-Liter-Eimer. Das Lösen der Aufgabe erfordert zunächst, den Sachtext zu verstehen und zu analysieren. Im Ergebnis dieses Prozesses könnten die Kinder eine Skizze mit den drei verschieden großen Eimern oder auf abstrakterer Ebene eine Tabelle mit den jeweiligen Literangaben anlegen, womit bereits ein erster großer Schritt für das Übersetzen des Sachverhaltes in ein mathematisches Modell geleistet wäre (Abb. 2.3). Die Abbildung zeigt zudem, wie Kinder mithilfe von Tabellen oder Pfeilen dann die jeweiligen Lösungsschritte in ihren mathematischen Modellen kennzeichneten. Anhand dieser Lösungsdarstellung konnten sie auch gut ihre Lösungsschritte nachvollziehen, diese verbal beschreiben und außerdem die Lösungen ihres mathematischen Modells in den ursprünglichen Sachverhalt „zurückübersetzen“. Die beiden Kinderlösungen zeigen gleichzeitig wichtige Kompetenzen im mathematischen Darstellen, einem weiteren Bereich der allgemeinen Kompetenzen, auf: Mathematisches Darstellen Die Kompetenzen umfassen: für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen, • eine Darstellung in eine andere übertragen, • Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten. Mit dem sachgerechten Verwenden der Einheit „Liter“, dem Überprüfen der Lösungen durch korrektes Nachrechnen oder Anwenden eines alternativen Lösungsweges sowie dem Gebrauchen einer Skizze oder einer Tabelle haben Lea und Fin in ihren Beispiellösungen schließlich auch die sechste allgemeine mathematische Kompetenz des KMKBeschlusses umgesetzt:

Abb. 2.3   Leas und Fins Lösungen zur „Umfüll-Aufgabe“

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2 Bildungsstandards

Nutzen mathematischer Hilfsmittel und Arbeitsweisen Die Kompetenzen umfassen: • • • •

fachspezifische Zeichen und Sprechweisen verwenden, geeignete Kontrollverfahren ausführen, mit Gleichungen, Termen, Platzhaltern, Diagrammen und Tabellen arbeiten, Hilfsmittel verwenden.

2.3 Anforderungsbereiche der Bildungsstandards Eine zweite wesentliche Säule der Bildungsstandards besteht in der Festlegung von verschiedenen Anforderungsbereichen für das Bearbeiten von mathematischen Aufgaben bzw. Lernthemen. Auf der Kultusministerkonferenz vom 23.04.2004 wurden drei Niveaustufen der Bildungsstandards festgelegt: Anforderungsbereich I: Reproduzieren Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Der Lösungsweg ist in der Regel einschrittig. Beispiel: Ein Kind des dritten oder vierten Schuljahres löst die Aufgabe „734 − 218“ mithilfe eines Verfahrens der schriftlichen Subtraktion. Dabei wendet es das selbst gewählte Verfahren richtig an. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen. Der Lösungsweg umfasst in der Regel mehrere Schritte. Beispiel: Ein Kind des dritten oder vierten Schuljahres löst die Gleichung „734 − □ = 218“. Das Lösen erfordert ein Analysieren der inhaltlichen Struktur der Gleichung, dann das Auswählen und Anwenden eines geeigneten Lösungsweges, wie z. B. ein geschicktes Probieren oder das Erkennen rechnerischer Zusammenhänge, was zum Lösen der Aufgabe „734 − 218“ führen könnte, ferner das Überprüfen und Angeben der ermittelten Lösung. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern. Beispiel: Gegeben ist eine Aufgabenfolge wie etwa:

2.4  Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards

27

Die Kinder sind aufgefordert die Aufgaben zu lösen, besondere Zahl- und Rechenbeziehungen zu entdecken, diese verallgemeinernd zu beschreiben und zu begründen. So könnten sie z. B. als Ergebnis ihrer Reflexion angeben, dass die Summe aller Aufgaben gleich ist und dass dies auf dem Gesetz von der Konstanz der Summe beruht (Während sich der erste Summand von links nach rechts in der Aufgabenfolge immer um 111 verringert, vergrößert sich der zweite Summand jeweils um 111.). Die Unterscheidung der drei Anforderungsbereiche erscheint plausibel, da die Leistungsdifferenzierung relativ grob und somit leicht überschaubar und praktikabel ist. Dennoch muss angemerkt werden, dass die Festlegung wissenschaftlich nicht hinreichend fundiert ist (Walther et al. 2008, S. 21) und dass die Zuordnung einer Aufgabe zu einem Anforderungsbereich nicht immer eindeutig vorgenommen werden kann. So kann beispielsweise das Lösen einer Gleichung, wie oben beschrieben, dem Anforderungsbereich II entsprechen, weil Kinder zuerst einen Zusammenhang erkennen und anwenden können und das Analysieren, Finden, Anwenden und Prüfen eines Lösungsweges mehrere Schritte umfasst. Für ein leistungsstarkes Kind kann das Lösen der Gleichung aber auch „nur“ eine Routineaufgabe sein, für die es sofort einen Lösungsweg parat hat und dann praktisch in einem Schritt sofort die richtige Lösungszahl ermittelt. Trotz dieser Einschränkungen kann mit der Unterscheidung der drei Anforderungsbereiche den Lehrern in der Schulpraxis eine sehr wirkungsvolle Orientierung auf dem Weg zu einer angemessenen Förderung allgemeiner Kompetenzen gegeben werden. Gerade Lehrer, die sich in ihrem Unterricht bislang hauptsächlich auf den Erwerb von Routinekenntnissen oder Rechenfertigkeiten beschränkten, sind nun nachdrücklich angehalten, auf das Erkennen von Zusammenhängen, auf ein Verallgemeinern und Reflektieren Wert zu legen. Die Unterscheidung der drei Anforderungsbereiche kann den Lehrern darüber hinaus eine einfach zu realisierende Hilfe für differenzierendes Lernen sein. So lassen sich beim Üben zum schriftlichen Rechnen, zum Darstellen ebener Figuren oder zum Untersuchen von Zufallsereignissen jeweils relativ leicht Aufgaben auf allen drei Niveaustufen zusammenstellen, aus denen die Kinder entsprechend den individuellen Voraussetzungen ihre Übungsaufgaben auswählen.

2.4 Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards Verbindliche Bildungsstandards können – wie in den Abschn. 2.2 und 2.3 herausgestellt wurde – wichtige Orientierungshilfen für den Lehrer und für jeden Schüler (sowie für die Eltern) sein, und zwar in dreifacher Hinsicht:

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2 Bildungsstandards

Erstens markieren sie die laut Rahmenlehrplänen für wesentlich erachteten mathematischen Grundkompetenzen, sodass einseitige Hervorhebungen oder Vernachlässigungen von Lernthemen im Mathematikunterricht bzw. beim Lernen eines Kindes vermieden werden können. Zweitens kann eine Fokussierung auf allgemeine Kompetenzen zu einer verbesserten Lernkultur, einer höheren Eigenmotivation der Kinder, einer „Kultur des Erforschens, Entdeckens und Erklärens“ (Walther 2008, S. 39) beitragen. Drittens erlauben Tests zu Leistungsstandards eine fundierte Einschätzung des Entwicklungsstandes eines Kindes im Vergleich zum vorgegebenen normierten Standard wie auch zum erreichten Entwicklungsniveau der Mitschüler sowie eine Analyse des individuellen Fortschrittes eines Kindes. Neben diesen Vorzügen sind jedoch zugleich Gefahren und Grenzen zu beachten: • Die Bildungsstandards entsprechen Regel- bzw. Durchschnittsnormen, die nicht auf die individuellen Besonderheiten eines Kindes abgestimmt sein können. Wenn ein Lehrer also eine angemessene Bewertung der Leistungen eines Kindes vornehmen will, sollte er auch immer die individuellen Voraussetzungen des Schülers beachten. • Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen, z. B. Problemlösekompetenzen oder Kreativität, lassen sich prinzipiell kaum oder nicht eindeutig mit Punkten bewerten bzw. benoten. Deshalb spielen die zweifellos wichtigen Kompetenzen in Klassenarbeiten nach wie vor nur eine eher untergeordnete Rolle und es besteht weiterhin die Gefahr, dass sie deshalb von allen Beteiligten, auch von den Kindern, eher gering geschätzt werden. • Stabile Lernfortschritte hinsichtlich allgemeiner Kompetenzen stellen sich meist erst im Ergebnis kontinuierlichen längerfristigen pädagogischen Wirkens ein. Hieraus erwächst die Gefahr, dass Lehrer – mitunter auch unter „Erfolgsdruck“ von der Schulleitung oder von Eltern gesetzt – ungeduldig schnelle (letzten Endes nur oberflächliche) Erfolge anstreben. Dies könnte dazu führen, dass Lehrer sich wieder verstärkt auf ein Training von z. B. Rechenfertigkeiten konzentrieren und die Förderung von „nicht abrechenbaren“ allgemeinen Kompetenzen vernachlässigen. • Regelmäßige Lernstandserhebungen (auch) gemäß den drei Anforderungsbereichen der Bildungsstandards sind natürlich kein Garantieschein für das Erreichen der Standards. Denn: Nicht durch wiederholtes Prüfen und Bewerten von Testleistungen erzielt man ein angestrebtes Leistungsniveau, sondern hauptsächlich durch langfristige, den jeweiligen Voraussetzungen eines Kindes entsprechende aktive Lerntätigkeit. • Die Unterscheidung der drei Anforderungsbereiche kann Lehrern zwar eine einfach zu realisierende Hilfe für differenzierendes Lernen sein, freilich nur sehr eingeschränkt für eine Differenzierung gleicher Lernthemen auf drei (!) verschiedenen Lernniveaus. Den individuellen Zugängen der Kinder zu mathematischen Themen, ihren unterschiedlichen Denkstilen und Herangehensweisen beim Aufgabenlösen, ihren verschiedenen Präferenzen bei der Nutzung von Anschauungsmitteln, den

2.4  Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards

29

verschiedenen sozialen Lernformen u. v. a. m. können mit einer Vorgabe von drei Niveaustufen aber kaum oder gar nicht entsprochen werden. Außerdem besteht eine Grundidee der Bildungsstandards gerade darin, möglichst jedes Kind in allen drei Anforderungsbereichen zu fördern. Die Organisation eines differenzierenden Lernens derart, dass leistungsschwache Kinder Aufgaben des Anforderungsbereichs I, durchschnittlich fähige Schüler Aufgaben des Bereichs II und leistungsstarke Kinder anspruchsvolle Aufgaben des Anforderungsbereichs III lösen, widerspricht dem Grundanliegen der Bildungsstandards und wäre hinsichtlich der Förderung individuellen Lernens kontraproduktiv. Angesichts des aus den beschriebenen Vorzügen, Gefahren und Grenzen resultierenden vielschichtigen Spannungsfeldes stellt sich die Frage: Welches (Zwischen-)Fazit lässt sich nach der Einführung der Bildungsstandards aktuell ziehen? Nimmt man hierfür die Ergebnisse der internationalen Vergleichsstudien PISA und TIMSS als Basis, kann man zunächst deutliche Fortschritte herausstellen. So erreichten die 15-jährigen deutschen Schüler in der PISA-Studie 2012 im Bereich Mathematik einen Mittelwert von 514 Punkten, der signifikant über dem OECD-Durchschnitt von 494 Punkten liegt (Prenzel et al. 2013). Der positive Trend verfestigte sich in der PISA-Studie 2015. Die deutschen Schüler erreichten mit 506 Punkten wiederum einen Mittelwert, der deutlich über dem OECD-Durchschnitt von 490 Punkten ist (Hammer et al. 2016). Eine differenziertere Betrachtung zeigt auf, dass es in Deutschland seit 2003 gelang, den Anteil von Schülern auf der untersten Kompetenzstufe I („Rechnen auf Grundschulniveau“) von 22 % auf ca. 18 % zu reduzieren, der Anteil der hochleistungsfähigen Schüler (Kompetenzstufe V „Komplexe Modellierung und innermathematisches Argumentieren“) ist dagegen mit knapp 2 % konstant niedrig geblieben. Mittels Fragebogen wurde in den PISA-Studien zudem ermittelt, dass die deutschen Schüler im Mathematikunterricht nach wie vor relativ wenig kognitiv herausgefordert werden (ebd.). Bedenklich ist ebenso, dass mehr als die Hälfte der deutschen Schüler angaben, keinen Spaß am Mathematikunterricht zu haben (Prenzel et al. 2013). Demgegenüber haben sich die Selbstwirksamkeitsüberzeugungen der deutschen Schüler sichtbar verbessert (ebd.). In der TIMSS-Studie 2015 erreichten die deutschen Grundschulkinder mit 522 Punkten im mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich einen mittleren Leistungswert, der auch signifikant über dem internationalen Durchschnitt von 500 Punkten liegt (Selter et al. 2016). Beim Vergleich der Werte in den verschiedenen Erhebungsjahren fällt aber auf, dass sich die deutschen Grundschulkinder zwischen 2007 und 2011 erheblich verbessern, diese Tendenz jedoch 2015 nicht bestätigen konnten. Bezüglich der Kompetenzstufen ergab die TIMSS-Studie 2015, dass mehr als 96 % der Grundschüler mindestens die Kompetenzstufe II, 77 % die mittlere Stufe III, aber nur 5 % die höchste Stufe V erreichten. Somit kann man 77 % der Grundschüler durchschnittliche mathematische Kompetenzen bescheinigen. Demgegenüber hat ca. ein Viertel der deutschen Schüler am Ende der Grundschulzeit nach wie vor unterdurchschnittliche Kompetenzen. Darüber hinaus zeigten die Ergebnisse der TIMSS-Fragebogenerhebung

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2 Bildungsstandards

auf, dass sich die Mehrzahl der deutschen Grundschüler „mittelstark kognitiv aktiviert“ (Rieser et al. 2016, S. 220) fühlt, wobei der Hauptfokus der Förderung durch die Lehrkräfte nach wie vor auf den leistungsschwächeren Kindern liegt. Demgegenüber werden leistungsstarke Kinder gar nicht bis wenig entsprechend ihren Potenzialen gefördert (ebd.). Schließlich ergaben die TIMSS-Befragungen, dass die deutschen Grundschüler überwiegend ein positives Selbstkonzept und eine positive Einstellung gegenüber dem Mathematikunterricht haben. Dennoch gibt es nach wie vor einen erheblichen Anteil von Schülern mit einem niedrigen mathematischen Selbstkonzept, der zwischen 2011 und 2015 sogar wieder deutlich anstieg (ebd.). Somit könnte man das Zwischenfazit so interpretieren, dass mit der Einführung der Bildungsstandards in Deutschland durchaus deutliche Fortschritte im Mathematikunterricht erreicht wurden, zugleich aber nach wie vor große Probleme bzw. Herausforderungen bestehen, die einerseits eng mit den oben genannten Gefahren und Grenzen der Bildungsstandards zusammenhängen. Andererseits erfordern die am Ende von Kap. 1 angesprochenen neuen Entwicklungsrichtungen aber wohl auch Lösungsansätze, die über die im Schuljahr 2004/2005 eingeführten Bestandteile der Bildungsstandards hinausgehen und beim Fördern von Kindern im Mathematikunterricht stärker als bisher deren gesamte Persönlichkeitsentwicklung mit einbeziehen. Mögliche Weiterentwicklungen Wünschenswert wäre u. E., dass sich zum einen alle Beteiligten (also Lehrer, Schulleiter, Schulpolitiker, Wissenschaftler wie auch Kinder und Eltern) stets nicht nur der Chancen, sondern auch der Probleme und Grenzen von Bildungsstandards bewusst sind. Zum anderen wäre anstrebenswert, dass speziell zur Überprüfung prozessbezogener Kompetenzen geeignete praktikable Aufgaben entwickelt und in diesem Zusammenhang ggf. auch Mindeststandards für alle wesentlichen Kompetenzbereiche bestimmt werden. Wünschenswert ist zudem, hinsichtlich der individuellen Förderung der Kinder im regulären Mathematikunterricht zukünftig auch verstärkt den Fokus auf die Kinder mit besonderen Leistungspotenzialen zu legen (Kap. 12). Ein weiteres sehr wünschenswertes (Prozess-)Ergebnis könnte bzw. sollte darin bestehen, dass die Lehrer durch die konkrete Auseinandersetzung mit den Bildungsstandards ihre diagnostischen Kompetenzen weiter verbessern. Zu befürchten ist dagegen, dass bei einem übereifrigen Einsatz von Tests und Vergleichsarbeiten und einem hiermit falsch verstandenen „Trainieren“ im Lösen von „Testaufgaben“ im regulären Mathematikunterricht die zweifelsohne großen Chancen der Bildungsstandards ungenutzt bleiben und stattdessen Gegenbewegungen inszeniert werden, die u. U. eine Abkehr von der wichtigen Orientierungsfunktion der Bildungsstandards bedeuten könnten.

2.4  Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards

Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Mit welchen Beispielaufgaben zum Themenkomplex „Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten“ lassen sich jeweils die Anforderungsbereiche I, II und III der Bildungsstandards in den Klassenstufen 1/2 und 3/4 kennzeichnen? • Warum werden in vielen Klassenarbeiten, Vergleichsarbeiten oder in Tests zum Entwicklungsstand mathematischer Kompetenzen nach wie vor in der Mehrzahl Aufgaben zu fachbezogenen und nicht zu prozessbezogenen Kompetenzen gestellt? • Inwiefern besteht bei einer Fokussierung auf Bildungsstandards im Mathematikunterricht die Gefahr, dass die Entwicklung unspezifischer Handlungskompetenzen der Kinder für die Meisterung ihres Alltags vernachlässigt wird?

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3

Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Im Unterricht treffe ich Entscheidungen oft intuitiv. Aber natürlich habe ich immer mein Lehr-Lern-Konzept im Hinterkopf. (Lehrerin auf einer Fortbildungsveranstaltung)

Inhaltsverzeichnis 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Die „traditionelle Rechendidaktik“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Der Ansatz des individualisierenden Mathematikunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Weitere Lernkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Die Frage, wie Ziele im Mathematikunterricht effektiv umgesetzt werden können, gehört zweifellos seit jeher zu den wesentlichen didaktischen Herausforderungen jedes Lehrers. Sein didaktisch-methodisches Konzept entwickelt er dabei meist in einer Synthese aus bekannten theoretischen Modellen sowie eigenen pädagogischen Überzeugungen und seinem individuell geprägten Unterrichtsstil, ebenso aus dem Spannungsverhältnis zwischen schulpolitischen Vorgaben und den jeweiligen konkreten Unterrichtsbedingungen „vor Ort“. Aus diesem sich dynamisch entwickelnden Gesamtgefüge und der stetigen wissenschaftlichen Entwicklung ergibt sich, dass zu allen Zeiten unterschiedliche Lehr-Lern-Konzepte für den Mathematikunterricht der Grundschule miteinander konkurrieren. In diesem Kapitel werden einige aktuelle Konzepte vorgestellt, die in der mathematikdidaktischen Diskussion eine wichtige Rolle einnehmen bzw. in

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_3

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34

3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

der Schulpraxis weit verbreitet sind. Zwei dieser Konzepte werden dabei zunächst anhand der fiktiven Planung einer Unterrichtsstunde zur Erarbeitung des Verfahrens zur schriftlichen Addition im dritten Schuljahr vergleichend vorgestellt.

3.1 Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen Frau Simon legte ihrer Unterrichtsstunde folgende Hauptziele zugrunde: Die Kinder • verstehen die Schrittfolge zum schriftlichen Addieren von zwei Summanden ohne Übertrag, • können diese Schrittfolge auf Beispielaufgaben anwenden und ihr Vorgehen dabei beschreiben, • gewinnen die Einsicht, dass man mit dem schriftlichen Rechenverfahren schneller, leichter und weniger fehleranfällig als mit halbschriftlichen Strategien rechnen kann, • werden daran gewöhnt, Rechenschritte korrekt aufzuschreiben und zu rechnen sowie kritisch gegenüber eigenen Ergebnissen zu sein. Hinsichtlich des Ablaufes gliederte sie die Stunde in vier Lernsequenzen: 1. Wiederholungsübung Die 10-Minuten-Übung umfasste das Kopfrechnen von Aufgaben wie 4 + 5, 7 + 2, 40 + 30, 20 + 60 etc. Eine derartige Übung setzt die Lehrerin häufig zu Stundenbeginn ein, um elementares Kopfrechnen zu üben und diesbezügliche Grundkompetenzen langfristig bei allen Kindern zu sichern. Zugleich sollte die Auffrischung dieses Basiswissens den Kindern die Konzentration auf die Erarbeitung des Verfahrens der schriftlichen Addition im Hauptteil der Stunde erleichtern. 2. Erarbeitung der Schrittfolge zum schriftlichen Addieren von zwei Summanden ohne Übertrag Hierzu plante Frau Simon, eine Beispielaufgabe (Abb. 3.1) zum Addieren zweier dreistelliger Zahlen aus einem Schulbuch vorzugeben: Die Beispielaufgabe sollte gemeinsam mit allen Kindern gelöst werden. Die Schulbuchabbildung empfiehlt hierfür ein Anwenden der Strategie „Einer, Zehner, Hunderter extra“, die den Kindern vom halbschriftlichen Addieren her vertraut ist. Im weiteren Verlauf lösten die Kinder einen Aufgabenblock mit analogen Aufgaben (Abb. 3.2). Hierbei konnten sie sich an einem Musterbeispiel orientieren und Legematerial oder Rechengeld für das Darstellen des stellengerechten Rechnens nutzen. In der gemeinsamen Auswertung wurde dann an der Wandtafel der Prozess des schrittweisen Abstrahierens (Legematerial, Geldscheine, Summenschreibweise, Stellenwerttafel) für alle Kinder nachvollziehbar demonstriert und das ziffernweise

3.1  Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen

Abb. 3.1   Einstiegsaufgabe zum schriftlichen Addieren (Käding et al. 2005, S. 52)

Abb. 3.2   Einführende Übungen zum schriftlichen Addieren (Käding et al. 2005, S. 52)

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36

3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Abb. 3.3   Merkkästchen für die schriftliche Addition (Käding et al. 2005, S. 53)

Addieren beginnend an der Einerstelle als effektive Rechenmethode herausgestellt.1 Anschließend diente das Lösen einiger Beispielaufgaben einem ersten Einüben der Rechenschritte. Die Lehrerin gab hierbei individuelle Hilfen. 3. Ergebnissicherung Anhand des Lösens einer Beispielaufgabe aus dem Schulbuch wurde das übliche Verfahren für die schriftliche Addition explizit eingeführt (Abb. 3.3). Ein Kind beschrieb Schritt für Schritt an der Beispielaufgabe den Algorithmus, die anderen Schüler begleiteten gedanklich die Rechenprozedur. Um sicher zu sein, dass die Kinder den Algorithmus verstanden hatten, rechnete ein anderes Kind an der Wandtafel eine weitere Aufgabe vor. 4. Übung Zum Abschluss der Stunde wendeten die Kinder das erarbeitete Verfahren selbstständig auf Beispielaufgaben an. Charakteristisch war dabei, dass die Aufgaben schwierigkeitsgestuft (Abb. 3.4) zusammengestellt waren.

1Die

Festlegung, beim ziffernweisen Addieren an der Einerstelle zu beginnen, blieb freilich unbegründet. Dies ist zudem sehr zweifelhaft, da die Kinder vom halbschriftlichen Rechnen her gewöhnt waren, zuerst mit den höchsten Stellenzahlen zu rechnen, und sie so auch generell problemlos beim schriftlichen Addieren ohne Überschreiten vorgehen könnten.

3.1  Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen

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Abb. 3.4   Schwierigkeitsgestuftes Üben des schriftlichen Addierens (Käding et al. 2005, S. 53)

Für das gleiche Lernthema bestimmte Frau Richter als Hauptziele ihrer Stunde: Die Kinder • entdecken und verstehen möglichst selbstständig einen Algorithmus für das schriftliche Addieren, • können die Notwendigkeit für das Festlegen einzelner Schritte des Algorithmus möglichst selbst erkennen und begründen. • Es wird zugleich ein Beitrag geleistet • zur Entwicklung algorithmischen Denkens, • zur Förderung der Problemlösefähigkeit (Selbstständigkeit im Denken, Kreativität), • zur Entwicklung sozialer Kompetenzen, • zur Vertiefung der Einsicht, dass mathematische Mittel und Methoden hilfreich beim Bewältigen von Alltagsproblemen sein können. Frau Richter plante für die Umsetzung ebenfalls vier Lernsequenzen: 1. Wiederholungsübung In der 10-Minuten-Übung lösten die Kinder auf einem Arbeitsblatt Kopfrechenaufgaben wie 2 + 7, 11 − 8, 12 + 35, 84 − 24, 9 · 8, 56 : 8 etc. Das Ziel der Übung bestand – größtenteils vergleichbar zur Zielstellung der einleitenden Übung von Frau Simon – darin, elementares Kopfrechnen flexibel zu üben und diesbezügliche Grundkompetenzen langfristig bei allen Kindern zu sichern. Zugleich sollte Basiswissen „aufgefrischt“ werden, das den Kindern die Konzentration auf das Erkunden des Verfahrens der schriftlichen Addition im Hauptteil der Stunde erleichtern sollte. 2. Angabe des Stundenzieles: Entdecken und Kennenlernen einer sehr vorteilhaften Rechenmethode für das Addieren groβer Zahlen

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3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Einige Kinder stellten mitgebrachte Kassenbons vor, Frau Richter zeigte zusätzlich zwei Buchaufgabenbeispiele. Hieraus erwuchs die „Forscheraufgabe“ (Abb. 3.5), das ziffernweise Addieren großer Zahlen zu erkunden. Die Kinder versuchten nun allein oder in kleinen Gruppen die „Art“ des Rechnens auf Kassenbons zu verstehen. Sie beschränkten sich dabei zwar weitestgehend auf Kassenbons mit zwei Summanden, lösten aber Aufgaben ohne und mit Überschreitungen und nutzten je nach Bedarf Legematerialien oder eine Stellentafel. Im Ergebnis gestalteten sie in Kleingruppen Forscherblätter (Abb. 3.6). 3. Vorstellung und Diskussion der entdeckten Rechenwege durch die Kinder Im Rahmen einer Rechenkonferenz stellten die Kinder sich gegenseitig ihre entdeckten bzw. vermuteten Rechenwege vor, begründeten sie und verglichen diese miteinander. Besondere Schwerpunkte waren dabei das Auftreten eines Übertrages beim

Abb. 3.5   Forscheraufgabe zum Erkunden der schriftlichen Addition (Käpnick et al. 2012a, S. 69)

Abb. 3.6   Forscherblätter zum schriftlichen Addieren (Käpnick et al. 2012a, S. 69)

3.2  Die „traditionelle Rechendidaktik“

39

Abb. 3.7   Problemdiskussion zur Notation der schriftlichen Addition (Käpnick et al. 2012a, S. 69)

ziffernweisen Addieren und das Festlegen einer sinnvollen Notation für das schriftliche Rechnen und speziell für das Aufschreiben einer Übertragsziffer. Hierfür hatten die Kinder mehrere verschiedene Vorschläge entwickelt, die sie nun hinsichtlich einer effektiven Schreibweise einschätzten und auf verschiedene Beispielaufgaben anwendeten. 4. Diskussion über sinnvolle Schritte beim schriftlichen Addieren Zum Abschluss der Stunde regte die Lehrerin eine zusammenfassende Diskussion (Abb. 3.7) über sinnvolle Schritte beim schriftlichen Addieren an. Dabei standen die in der Abb. 3.7 aufgeworfenen Fragen im Mittelpunkt.

3.2 Die „traditionelle Rechendidaktik“ Die Unterrichtsstunde von Frau Simon kann als Beispiel für die Umsetzung des Konzepts der „traditionellen Rechendidaktik“ dienen. Dieses Konzept entspricht freilich nicht modernen lernpsychologischen Erkenntnissen und den Orientierungen aktueller Lehrpläne. Es bildet dennoch nach wie vor für viele Lehrer, vor allem für „Nichtfachlehrer“, die immer noch sehr zahlreich an deutschen Grundschulen unterrichten, die Grundlage ihrer „Unterrichtsphilosophie“. Allgemein lässt sich die traditionelle Rechendidaktik „idealtypisch“ grob durch folgende Merkmale kennzeichnen: Stofforientiertheit Die Planung und Durchführung des gesamten Mathematikunterrichts sind vorrangig an den vom Lehrer bestimmten Inhalten orientiert. Ausgangspunkt aller strategischer Überlegungen sind also nicht bzw. kaum die Kinder mit ihren jeweiligen Lernvoraussetzungen, sondern der zu behandelnde mathematische Stoff, der in den Lehrplänen und dann weitaus differenzierter und praktikabler in Schulbüchern vorstrukturiert ist. Stoffdidaktisch und kleinschrittig strukturierter Aufbau Charakteristisch für die traditionelle Rechendidaktik ist die Einteilung aller Lernthemen in überschaubare Unterrichtseinheiten, wie z. B. die von Frau Simon vorgenommene Gliederung der Behandlung der schriftlichen Addition in die Erarbeitung und Übung

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3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

der schriftlichen Addition von zwei Summanden ohne Überschreitung, danach von zwei Summanden mit einem, anschließend mit zwei Überträgen und schließlich dem schriftlichen Addieren von drei Summanden, wiederum zunächst ohne, dann mit Überträgen. Es dominiert also ein kleinschrittiges schwierigkeitsgestuftes Vorgehen. Hinzu kommt, dass die Unterrichtsstunden häufig methodisch gleichartig ablaufen. Wie das Beispiel der Stunde von Frau Simon zeigt, ist ein typischer Stundenverlauf durch die Phasen Zielorientierung/Motivierung, Erarbeitung neuen Stoffs, Übung und Festigung bzw. Anwendung gekennzeichnet. Oft lösen die Kinder am Stundenende auch noch einige Beispielaufgaben, was der Lehrer als Überprüfung des erreichten Lernfortschritts nutzt. Die Auswertung beschränkt sich dann meist auf das Erfassen der Fehleranzahl jedes Kindes. Lehrerzentriertheit Die Lehrerzentriertheit spiegelt sich darin wider, dass der Lehrer • den Unterricht plant und somit auch die Lernziele zu Stundenbeginn vorgibt, • das Unterrichtsgeschehen lenkt und entsprechend seinen Planungsvorgaben und Einschätzungen didaktische Hilfen gibt, • sich verpflichtet fühlt, im Wesentlichen selbst Schülerbeiträge zu beurteilen, und • nach Kräften versucht, das Auftreten von Schülerfehlern zu unterbinden. Die nach wie vor große Verbreitung des Konzepts der traditionellen Rechendidaktik basiert vermutlich auf scheinbaren „Vorzügen“, die insbesondere Lehreranfänger und Nichtfachlehrer verlockend finden. Hierzu gehört, dass das Konzept leicht verstehbar und erlernbar ist, dass die Umsetzung des Konzeptes für Lehreranfänger ein „kalkuliertes Risiko“ bedeutet und kurzfristig nachweisbare Erfolge ermöglicht. In den Vorzügen verbergen sich jedoch zugleich Probleme und grundsätzliche Schwächen des Konzepts. So besteht bei seiner Anwendung die Gefahr • eines rein mechanischen und damit unverstandenen Einübens von Sachverhalten, • der Erziehung zu Unselbstständigkeit, Bequemlichkeit und einer nachlassenden Lernmotivation von Kindern, • der Vernachlässigung prozessbezogener Lernziele (z.  B. der Entwicklung von Kompetenzen im Argumentieren, im Modellieren oder im Problemlösen, von sozialen Kompetenzen und der Eigenverantwortung der Kinder für ihr Lernen). Außerdem erscheint prinzipiell fraglich, wie bei einem kleinschrittigen schwierigkeitsgestuften gemeinsamen „Voranschreiten“ mit allen Kindern deren individuell unterschiedlichen Lernvoraussetzungen und Lernstilen entsprochen werden kann. Deutliche Kritik am kleinschrittigen Vorgehen übt demgemäß Wittmann:

3.3  Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens

41

„Man züchtet ‚Treibhauspflänzchen‘, die in den Kindern gar nicht einwurzeln und überhaupt nur in einer bestimmten Schulumgebung eine Zeitlang am Leben gehalten werden können. … Die Vorgabe von Aufgabentypen und Musterlösungen wirkt sich langfristig schädlich auf die Lerneinstellung des Schülers aus. Anstatt Erfahrungen zu erwerben, wie man den eigenen gesunden Menschenverstand gebrauchen kann, um aktiv und selbständig an Aufgaben heranzugehen, gewöhnt sich der Schüler mehr und mehr an, die Verantwortung für das Lernen dem Lehrer zu überlassen und selbst passiv abzuwarten, bis ihm Rezepte und deren Anwendung auf typische Aufgaben erklärt werden. … Das monotone Üben stereotyper Aufgaben verführt zum kurzfristigen und oberflächlichen Anlernen von Mechanismen und ist daher nicht auf Langzeiterfolge angelegt. Immer wieder müssen Kenntnisse und Fertigkeiten aufgefrischt werden, die längst ‚sitzen‘ sollten.“ (Wittmann 1992, S. 161–162)

3.3 Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens hat Frau Richter in ihrer Unterrichtsstunde umgesetzt. In Deutschland haben vor allem E. Wittmann und G. Müller dieser „Lernphilosophie“ zum Durchbruch im Mathematikunterricht der Grundschule verholfen und das Konzept mit ihrer Schulbuchreihe „Das Zahlenbuch“ in vielerlei Hinsicht geprägt. Es fanden sich aber schnell Nachahmer, die das Lernkonzept in verschiedene Richtungen weiterentwickelten. Theoretische Basis des Konzepts ist der konstruktivistische Ansatz, wonach Lernen als ein subjektiver und aktiv-konstruktiver Prozess verstanden wird. Demgemäß sind Kinder aktive Mitgestalter und Mitverantwortliche ihres Lernens. In Übereinstimmung hiermit wird postuliert, dass sich Kinder Wissen und Fähigkeiten (nur) durch (selbst-)aktives Tätigsein aneignen und auch Einstellungen, Gewohnheiten und Verhaltensweisen sich hauptsächlich durch eigenes Tun bilden und verfestigen. Das Verständnis vom Lernen als aktivem und individuell konstruktivem Prozess schließt weiterhin ein, dass kindliches Lernen nicht nur von der Art und Weise der Stoffvermittlung im Unterricht bestimmt wird, sondern auch von den individuellen Vorerfahrungen der Kinder, ihren Interessen und Motiven, Denkstilen, Stimmungen und Gefühlen beeinflusst wird. Demgemäß sollen die Kinder im Unterricht angeregt und dabei unterstützt werden, von ihren individuell verschiedenen Zugängen zur Mathematik ausgehend ihre Kompetenzen zu immer gewandteren und weniger fehleranfälligen Lösungsstrategien und zu immer fundierteren und komplexeren Kompetenzen weiterzuentwickeln. Allgemeine Merkmale des Konzepts sind dementsprechend • die Förderung der Eigenaktivität jedes Kindes, • eine ganzheitliche Erschlieβung gröβerer Stoffeinheiten (was Frau Richter beispielhaft in ihrer Stunde mit der Erarbeitung der schriftlichen Addition praktizierte, indem sie von Anfang an das Addieren ohne und mit Überschreiten und sogar mit mehr als zwei Summanden thematisierte), • ein Anknüpfen und Nutzen der jeweiligen Vorkenntnisse der Kinder beim Erarbeiten neuer Themen,

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3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

• Freiräume für die Eigendynamik kindlicher Lernprozesse und die Realisierung einer natürlichen Differenzierung vom Kinde aus (was in Frau Richters Stunde durch ein eigenständiges Erforschen von Rechenwegen durch die Kinder sowie durch das Vergleichen und Bewerten verschiedener Lösungswege und Notationen für das schriftliche Addieren im Rahmen der gemeinsamen „Mathekonferenz“ praktiziert wurde), • eine veränderten Rolle des Lehrers die im Wesentlichen darin besteht, dass er nicht – wie im Kontext der traditionellen Rechendidaktik – den Stoff an die Kinder vermittelt und die „führende Rolle“ bei der Organisation, Gestaltung und Bewertung von Lernaktivitäten einnimmt, sondern zwischen den mathematischen Themen und den lernenden Kindern vermittelt, dabei Initiator, Begleiter und Helfender – im Sinne von Hilfe zur Selbsthilfe – ist, • gründlich erprobte und vielseitig einsetzbare Lernmittel (wie z. B. das Zwanzigerund das Hunderterfeld, die „1 + 1“ – und „1 × 1“ -Tafel oder das Tausenderbuch im „Zahlenbuch“), die wesentliche mathematische Zusammenhänge adäquat veranschaulichen (vgl. hierzu auch Kap. 9). Die vielfältige Nutzbarkeit des Zwanzigerfeldes (Abb. 3.8) zeigt sich beispielsweise darin, dass die Kinder es zum Zählen, zum Darstellen der Zahlen als Kardinalzahlen, zum Verdeutlichen von Zahlbeziehungen (Nachbar-, Verdopplungs-, Halbierungsbeziehungen), von Zahlenfolgen oder Rechenaufgaben wie auch von verschiedenen Rechenstrategien und Rechengesetzen verwenden können. Somit bietet es sich an, das Zwanzigerfeld (zumindest) während des gesamten ersten Schuljahres beim Erforschen, Üben, Zusammenfassen und Anwenden aller arithmetischen Lernthemen einzusetzen. Die Vorzüge des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen bestehen darin, dass • die Schüler als Mitverantwortliche ihres Lernens verstanden werden, • individuelles bzw. differenzierendes Lernen gefördert wird, • Kinder in Sinnzusammenhängen lernen und somit stabile Wissensnetze aufbauen können, • Kinder neue Erkenntnisse einsichtig erwerben, • mit Schülerfehlern konstruktiv umgegangen wird. Abb. 3.8   Beispiel für eine flexible Nutzung des Zwanzigerfeldes (Wittmann et al. 2017a, S. 63)

3.4  Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens

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Ein konstruktiver Umgang mit Schülerfehlern bedeutet, dass Ungenauigkeiten, Irrwege oder Fehler natürlicherweise zum kindlichen Lernen gehören und dass diese konstruktiv aufgegriffen und gemeinsam analysiert, ggf. als Auslöser interessanter und wertvoller Lernaktivitäten genutzt werden sollten – gemäß dem Sprichwort: „Aus Fehlern kann man lernen.“ Studien zu Schülerfehlern im Mathematikunterricht bestätigen demgemäß, dass diese „die Bilder individueller Schwierigkeiten und Missverständnisse [sind]; ihnen liegt fast immer eine Strategie oder Regelhaftigkeit zugrunde, die für den einzelnen Schüler sinnvoll und vom Lehrer nachvollziehbar sind“. (Radatz 1991, S. 52) Im Hinblick auf eine Wertung des Konzeptes vom aktiv-entdeckenden Lernen ist zudem zu beachten, dass das Konzept sowohl den immer komplexer werdenden Bedingungen und Ansprüchen an das kindliche Lernen von Mathematik als auch unseren immer umfassenderen wissenschaftlichen Kenntnissen über derartige Lernprozesse derzeit vergleichsweise am besten Rechnung trägt (z. B. Reich 2008). Wesentliche Aspekte des Konzeptes vom aktiv-entdeckenden Lernen bilden dementsprechend auch die Basis für didaktisch-methodische Grundorientierungen heutiger Lehrpläne für den Mathematikunterricht der Grundschule. Dennoch gab und gibt es von einem Teil der Lehrer Kritik am Konzept. Diese war bzw. ist vor allem von ihren Unsicherheiten und Ängsten geprägt. So befürchten sie, dass sie die Offenheit der Lernsituationen nicht meistern und der Eigenaktivität von Kindern nicht vertrauen könnten. Demgemäß ist für die Skeptiker das Konzept des a­ktiv-entdeckenden Lernens „schwer durchsetzbar“, sie sehen die Gefahr unsystematischer Stoffstrukturierungen bei Kindern und meinen, dass sich individuellkonstruktives Lernen und objektive Leistungskontrollen bzw. Leistungsbewertungen einander ausschließen. Außerdem wird von Kritikern häufig geäußert, dass das Konzept vom ­aktiv-entdeckenden Lernen nur mit leistungsstarken Kindern realisiert werden kann und nur diese in „Forscherphasen“ aktiv und erfolgreich mitwirken (können). Hieraus schlussfolgern sie schließlich, dass auf der Basis des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen auch soziale Kompetenzen nur bedingt gefördert werden. Die große Anzahl von inzwischen sehr erfolgreichen Umsetzungen des Konzeptes in der Schulpraxis – auch mit lernschwächeren Kindern – belegt jedoch, dass alle genannten Kritiken unbegründet sind. Es scheint m. E. lediglich nach wie vor ein generelles Problem darin zu bestehen, dass sowohl ältere Lehrkräfte als auch Nichtfachlehrer oder Lehreranfänger zweifellos ernst zu nehmende Ängste vor dem Umgang mit offenen Lernsituationen und zu wenig Vertrauen in die Eigenaktivität und mathematische Leistungsfähigkeit von Kindern haben.

3.4 Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens kann als eine spezifische Ausprägung und Weiterentwicklung des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen aufgefasst werden. Prägend für den Ansatz der Schweizer Gallin (Mathematikdidaktik) und

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3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Ruf (Allgemeine Didaktik und Deutschdidaktik) ist eine sehr starke Kindorientierung. Die Grundidee des Konzeptes besteht darin, dass jedes Kind offene Aufgabenangebote erhält, die mathematische Kernideen widerspiegeln, und hierzu individuelle Sinnkonstruktionen entwickelt. Diese Sinnkonstruktionen hält jeder Schüler in einem selbst gestalteten Lernjournal (Reisetagebuch) fest. Die authentischen Darstellungen von individuellen Lernprozessen, -stilen und -ergebnissen ermöglichen wiederum dem Lehrer, aktuelle Entwicklungsniveaus, Probleme wie auch Lernfortschritte jedes Kindes zu analysieren und durch feinfühlige Rückmeldungen neue Denkprozesse beim Schüler anzuregen. Die Abb. 3.9 verdeutlicht diese besondere Organisationsform ­individuell-konstruktiven und dialogischen Lernens. Das Bestimmen mathematischer Kernideen, die eine intrinsische Motivation bei allen Kindern auslösen und zugleich ein mathematisch substanzielles Tun erwarten lassen, ist sicher eine didaktisch sehr anspruchsvolle Aufgabe. Ein Beispiel hierfür bildet die folgende Aufgabensequenz zum Thema „Multiplikation“ in Klasse 2: Auftrag: „Lerne Malrechnungen zwischen 1 und 20 kennen. 1. Nimm höchstens 30 Gegenstände (Klötze, Bohnen usw.) und bilde Grüppchen von gleicher Größe. 2. Schreibe die dazugehörige Malrechnung ins Reisetagebuch. Beispiel: 3  × 4 Bohnen = 12 Bohnen 3. Suche möglichst alle Malrechnungen zwischen 1 und 30. 4. Welche Zahlen kommen dabei am häufigsten vor? 5. Welche selten? 6. Gib den Zahlen treffende Namen. Zum Beispiel: 24 ist ein Treffpunkt, 17 ist ein Einsiedler.“ (Gallin und Ruf 1991, S. 19)

Abb. 3.9   Instrumente dialogischen Lernens. (Nach Ruf 2008, S. 255)

Rückmeldung

Kernidee

Normen

Auftrag

Lernjournal

3.4  Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens

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Eine noch offenere, stärker anwendungsorientierte Aufgabe ist z. B.: „Suche dir einen Ort, wo es viel zu zählen gibt; ein Hochhaus mit vielen Fenstern, ein Dach mit vielen Ziegeln, einen Teich mit vielen Enten. Kannst du die vielen Dinge mit der Malbrille zählen? Siehst du lauter gleiche Pakete? Bleibt ein kleiner Rest? Erzähle deine Rechengeschichten.“ (Gallin und Ruf 1995, S. 65) Hierzu entwickelten zwei Zweitklässler die in der Abb. 3.10 wiedergegebenen Sinnkonstruktionen in ihren Reisetagebüchern. Die Beispiele verdeutlichen, dass fachliche Korrektheit zunächst sekundär wichtig ist. Entscheidender sind sinnstiftende, fantasiereiche individuelle Gedankenkonstruktionen von Kindern unter der Perspektive der Lernentwicklung. Die besonderen Chancen und Vorzüge des Ansatzes vom schriftlich-reflektierenden Mathematiklernen liegen auf der Hand. Sie bestehen darin, dass • Kinder mathematisch korrekte Kenntnisse und Fähigkeiten bei Zulassen und Fördern ihrer subjektiv einzigartigen Zugänge zur Mathematik erwerben können, • Kinder in Sinnzusammenhängen lernen und auf diese Weise stabile Wissensnetze entwickeln, • Kindern ein hoher Grad an Eigenverantwortung für ihr Lernen zukommt, • mit Schülerfehlern konstruktiv umgegangen wird, • ein Fächer übergreifendes bzw. Fächer verbindendes Lernen ermöglicht wird.

Abb. 3.10   Beispiele für Seiten aus Reisetagebüchern (Gallin und Ruf 1995, S. 65). (Urs Ruf, Peter Gallin, ich du wir, Unterstufe 1 2 3 © Lehrmittelverlag Zürich)

46

3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Das Konzept des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens und insbesondere die Idee der individuell gestalteten Reisetagebücher erscheinen faszinierend, es bleiben dennoch Zweifel an ihrer Realisierbarkeit. Die Kritik bezieht sich konkret darauf, dass • es fraglich ist, ob alle verbindlichen Lerninhalte des Mathematikunterrichts der Grundschule auf diese Weise angemessen zu vermitteln sind und ob jedes Kind alle wichtigen inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen erwerben kann, • der Zeitaufwand für die Anfertigung der Sinnkonstruktionen häufig sehr hoch ist, • Interaktionen zwischen verschiedenen Kindern zu kurz kommen (da die Kommunikation meist nur zwischen dem Lehrer und einem Kind erfolgt), • die Machbarkeit von Klasse 1 an angezweifelt wird, weil z. B. die Schreibfähigkeiten, aber auch andere Fähigkeiten, wie etwa das übersichtliche und geordnete Darstellen komplexerer Lerninhalte im Reisetagebuch, erst entwickelt werden müssen.

3.5 Der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens Der Ansatz ist aus einem Forschungsprojekt von Cobb, Yackel und Wood (Cobb et al. 1994) entstanden. Die amerikanischen Wissenschaftler versuchten, erfolgreiche „Lehrexperimente“ mit einzelnen Kindern auf eine Klassensituation zu transferieren. Hinsichtlich der Organisationsstruktur unterschieden sie vier Lernsequenzen (Krummheuer 1994, S. 94–95): • Repräsentation eines komplexen Lernthemas in einer detaillierten Aufgabensequenz (Die Aufgaben sind hierbei so angeordnet, dass die Kinder beim Bearbeiten möglichst einsichtig mathematische Beziehungen erkennen und nutzen können.), • Bearbeitung der Aufgaben in Kleingruppen oder zu zweit, dabei haben die Kinder freie Wahl bezüglich der Anzahl der zu lösenden Aufgaben, der Lösungswege und der Lösungsdarstellung2, • Einführung geeigneter Hilfsmittel (z. B. Legematerial, Steckwürfel, Hundertertafel für ein gegenseitiges Erklären der Lösungen) in den Kleingruppen, • Auswertung der Lösungen in einem lehrergelenkten Klassengespräch mit dem Ziel, eine Argumentationsvielfalt zu erzeugen und mathematisch fehlerhafte Lösungen begründet aufzudecken. Ein Beispiel einer solchen Aufgabensequenz ist der folgende „Aufgabenblock“:

2Für

die Bearbeitung der Aufgaben werden ca. 20 min empfohlen. Wenn die Kinder bedeutend mehr Zeit benötigen, kann sich die Bearbeitung auch auf mehrere Unterrichtsstunden ausdehnen (Krummheuer 1994, S. 95).

3.5  Der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens

47

50 − 9 = □ Aufgabenauftrag: 60 − 9 = □ Versucht die Aufgaben zu lösen. Ihr sollt dabei 60 − 19 = □ einander helfen und zusammenarbeiten. 41 + 19 = □ Und wenn euer Partner nicht weiß, 31 + 29 = □ wie ihr die Antwort herausbekommen habt oder 31 + 19 = □ was ihr sonst getan habt, dann versucht es, 32 + 18 = □ euch gegenseitig zu erklären. 34 + □ = 53 Für die schnelleren Gruppen stehen weitere 38 + □ = 54 Aufgabenblätter zur Verfügung. 48 + □ = 54 (nach Krummheuer 1994, S. 95–96) Das Beispiel zeigt, dass die Kinder beim Lösen der Aufgaben angeregt werden, viele Zahlbeziehungen zu entdecken und als Rechenvorteile zu nutzen. So könnten sie beispielsweise erkennen, dass sich die zweite Aufgabe von der ersten nur durch den um zehn größeren Minuenden unterscheidet, was auch eine um zehn höhere Differenz begründet. Solche Rechenbeziehungen können bzw. sollen die Kinder dann auch in der gemeinsamen Auswertung mithilfe geeigneter anschaulicher Darstellungen, wie z. B. auf einer Hundertertafel, erläutern. Rückblickend verdeutlicht das konkrete Beispiel ferner, dass der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens auch viele „Elemente“ des aktiv-entdeckenden Lernens enthält. Als besondere Vorzüge dieses Konzeptes lassen sich hervorheben: • die Überwindung kleinschrittigen Vorgehens, • die Vorgabe offener und komplexer Aufgaben mit verschiedenen Möglichkeiten für ein mathematisch substanzielles Lernen, • die Förderung kooperativen Lernens und zugleich die Ermöglichung individueller Lösungswege beim Bearbeiten der Aufgaben, • die Betonung der sozialen argumentativen Dimension (konstruktiver Meinungsstreit über verschiedene, über originelle, über elegante etc. Lösungswege), • ein konstruktiver Umgang mit Schülerfehlern. Problematisch erscheint die Abstimmung zwischen den verschiedenen Sozialformen, die diesbezüglichen Wechsel können auf Kinder sehr abrupt wirken. Außerdem wird in der Literatur darauf hingewiesen, dass Kinder sich in Phasen der gemeinsamen Ergebnisanalyse mitunter nicht mehr an ihre Lösungswege erinnern können (Krummheuer 1994, S. 98). Hierbei ist sicher zu bedenken, dass sich Kinder an eine solche Unterrichtsorganisation erst gewöhnen müssen und dass sie Kompetenzen im Argumentieren – wie sie in der gemeinsamen Auswertung gefordert sind – meist erst in einem längeren Lernprozess erwerben.

48

3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Im Projekt „Mathe für kleine Asse“ wird in 90-minütigen Förderstunden für mathematisch interessierte und begabte Dritt- und Viertklässler die Organisationsstruktur des Konzepts des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens in modifizierter Form angewendet. Dabei werden die zweite und dritte Phase des Modells von Cobb, Yackel und Wood zusammengefasst (Käpnick 2001; Käpnick und Fuchs 2006, 2009). Die langjährigen Erfahrungen bestätigen, dass sich die Kinder zunächst an den Wechsel der sozialen Lernformen gewöhnen müssen, bald aber zunehmend effektiv die Vorzüge der Organisationsformen für selbstbestimmtes und soziales Lernen nutzen.

3.6 Der Ansatz des individualisierenden Mathematikunterrichts Dieser Konzeptansatz wurde größtenteils aus der Schulpraxis heraus entwickelt.3 Er knüpft vor allem an Erfahrungen zum jahrgangsübergreifenden Unterricht und zum individualisierten Unterricht in den Fächern Deutsch und Sachunterricht an (FiedelGellenbeck und Tamborini 2016, S. 5). Wie die Bezeichnung vermuten lässt, ist bei diesem Ansatz der Hauptfokus auf die individuelle Förderung jedes Kindes im regulären Mathematikunterricht entsprechend seinen Potenzialen und Bedarfen gerichtet. Die Umsetzung der zentralen Zielstellung im Unterrichtsalltag wird insbesondere dadurch realisiert, dass jedes Kind die überwiegende Zeit eigenständig bzw. allein, ggf. auch in Partner- oder Kleingruppenarbeit, Aufgabensets zu einem bestimmten mathematischen Inhaltsbereich bearbeitet. Im Vordergrund steht dabei das selbstständige Üben und Anwenden mathematischer Lernthemen. Den unterschiedlichen Leistungsniveaus der Kinder wird hauptsächlich dadurch entsprochen, dass die Kinder für die jeweiligen Aufgabensets verschiedene Schwierigkeitsstufen auswählen können bzw. den Kindern diese von der Lehrkraft vorgeschlagen werden. Beim Bearbeiten der Aufgaben entscheidet jedes Kind (meist) selbst, ob und welche Lernmittel es nutzen möchte, in welchem Tempo und in welcher Reihenfolge es die Aufgaben bearbeitet, welche Lösungswege es anwendet und wie diese und auch die Lösungen dargestellt werden. Für die Ergebnisauswertung kann jedes Kind Selbstkontrollmöglichkeiten nutzen. Die Lehrkraft kann zudem mit jedem Kind die Lernergebnisse individuell analysieren. Die erzielten Ergebnisse hält jedes Kind in seinem „Mathematiklernplan“ eigenverantwortlich fest, reflektiert hierüber, ggf. gemeinsam mit der Lehrkraft. Somit bestehen die Hauptaufgaben einer Lehrkraft beim individualisierenden Mathematikunterricht darin, die differenzierenden Lernphasen für die Kinder zu planen, diese im Unterricht beratend zu unterstützen, die Lernergebnisse und -fortschritte jedes Schülers kontinuierlich zu erfassen und zu analysieren und

3Demgemäß

haben die Autoren das Konzept auch zuerst im Rahmen von Hospitationen an Grundschulen in NRW kennengelernt.

3.6  Der Ansatz des individualisierenden Mathematikunterrichts

49

Abb. 3.11   Das „Matherad“ für das erste Schuljahr (Fiedel-Gellenbeck et al. 2018, S. 2–3)

hiervon ausgehend adaptiv die jeweils nächsten Lernsequenzen zu planen. Eine wesentliche Grundvoraussetzung des Konzeptansatzes besteht für die Lehrkraft zudem darin, Vertrauen in jeden Schüler zu haben – im Hinblick auf seine Kompetenzen im selbstbestimmten und eigenverantwortlichen Lernen, einschließlich seines Selbstkonzepts und seiner Selbstwirksamkeitsüberzeugungen. Exemplarisch wird der Ansatz des individualisierenden Mathematikunterrichts im Folgenden am Konzept des „Matherades“ (Fiedel-Gellenbeck und Tamborini 2016) erläutert. Die wichtigen „Bausteine“ des Matherades sind:

50

3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

• Kreissegmente: Das Matherad ist in Kreissegmente unterteilt, die alle wesentlichen mathematischen Lernthemen eines Schuljahres enthalten – jeweils repräsentiert durch einen Kernbegriff bzw. ein Symbol (Abb. 3.11). Es dient den Kindern somit als „Lernwegtransparenz“ bzw. „grobe Wegplanung“ (ebd., S. 7). Mit Magneten oder Wäscheklammern können die Kinder die Lernbereiche, die sie gerade bearbeiten, markieren, sodass sie und die Lehrkraft sich jeweils schnell orientieren können. Außerdem können die Kinder auf ihren „Matheplänen“ die bereits bearbeiteten Aufgaben ankreuzen, was ihnen und der Lehrkraft einen Schnellüberblick über den Lernstand jedes Kindes bietet (ebd., S. 9–10). • Arbeitshefte: Sie enthalten die Aufgabensets zu allen Lernthemen auf jeweils drei Anforderungsniveaus entsprechend den Anforderungsbereichen der Bildungsstandards und zudem Verweise auf das Materialpaket und Reflexionsanlässe (ebd., S. 8). • Materialpaket bzw. Materialkiste: Die Materialien kann jedes Kind individuell zum Lernen nutzen. Wichtige didaktische Materialien für arithmetische Lernthemen sind z.  B. Wendeplättchen, das Zwanziger- und das Hunderterfeld, ­„Montessori-Zahlenkarten“, Perlenketten, die Einspluseins- oder die Einmalseinstafel (ebd., S. 11–13). • Mathepläne (als Vordrucke): Diese werden von den Kindern in ihre Arbeitshefte eingeheftet und sind in vier Bereiche unterteilt sind: Aufgaben zur Einführung, Selbsteinschätzung, Übungsaufgaben und „Testaufgaben“ (ebd.). • „Testmaterialien“: Hierbei handelt es sich z. B. um schriftliche Lernzielkontrollen als luss einer Lerneinheit, „5-Minuten-Tests“, die zweimal im Monat geschrieben werden und stets 40 Aufgaben umfassen, eine Eingangsdiagnostik zu basalen kognitiven Kompetenzen, wie Wahrnehmungs- und Vorstellungskompetenzen oder Kompetenzen im Ordnen und Sortieren bzw. Klassifizieren und Strukturieren (ebd., S. 21–23). • Weitere Diagnosematerialien: Dies können z. B. Beobachtungsbögen, schriftliche Lernzielkontrollen, Lerntagebücher und andere Portfolios der Kinder sein (ebd., S. 23). Die bisherige Beschreibung des Konzeptansatzes lässt die Frage aufkommen, welche Rolle forschend- bzw. aktiv-entdeckendes Lernen wie auch soziales Lernen in diesem Konzept spielen. In der didaktischen Handreichung wird diesbezüglich explizit auf den Einsatz offener Aufgaben und auf die Durchführung von „Mathekonferenzen“ hingewiesen, ebenso auf den „Pair-Austausch“ und auf gemeinsame Lernreflexionen in der Klasse. Zudem werden für den Einsatz aller Aufgaben- bzw. Organisationsformate konkrete Empfehlungen für die Unterrichtsgestaltung gegeben (ebd., S. 14–15). Darüber hinaus wird als eine Grundorientierung herausgestellt, dass „der Lehrer den Auftrag [hat], durch sinnstiftende Aufgaben, Reflexionsphasen und kooperative Arbeitsformen das problemlösende Denken, das Argumentieren und Mathematisieren täglich mit den Kindern zu trainieren“ (ebd., S. 5). Die Umsetzung dieser Grundorientierung im Schulalltag erscheint u. E. jedoch problematisch, was Lehrkräfte bestätigen.

3.7  Weitere Lernkonzepte

51

Somit bestehen zusammengefasst besondere Potenziale bzw. Vorzüge des individualisierenden Mathematikunterrichts offensichtlich in • der individuellen Förderung jedes Kindes entsprechend seinen Potenzialen und Bedarfen und in der hiermit wechselseitig verbundenen • Förderung selbstbestimmten und eigenverantwortlichen Lernens aller Schüler, • der kontinuierlichen Erfassung des Leistungsstandes und der Lernfortschritte jedes Kindes sowie • einer relativ entspannten Lernatmosphäre im Schulalltag. Demgegenüber kann als problematisch bzw. herausfordernd eingeschätzt werden, inwiefern es einer Lehrkraft im täglichen Mathematikunterricht gelingt, • eine angemessene Balance zwischen individuellem und sozialem Lernen sowie zwischen forschend-entdeckenden Lernphasen und Übungsphasen zu wahren, • dass jedes Kind auch selbst Aufgaben auswählt und diese so bearbeitet, dass es seinen Potenzialen und Bedarfen entspricht, was in angemessener Weise seine Anstrengungsbereitschaft, sein Konzentrationsvermögen, seine Ausdauerfähigkeiten etc. fordert und somit auch fördert4. Fraglich ist außerdem, ob mit Aufgabensets, die auf der Basis der drei Anforderungsbereiche der Bildungsstandards zusammengestellt sind, den unterschiedlichen individuellen Lernpotenzialen und -bedarfen in ausreichendem Maße entsprochen werden kann.

3.7 Weitere Lernkonzepte Die dynamische Entwicklung im Spannungsfeld von verschiedenen didaktischen Strömungen, wechselnden schulpolitischen Orientierungen, schulpraktischen Entwicklungen und der Suche jedes Lehrers nach seinem individuell „passenden“ Konzept bewirkt, dass es neben den bisher vorgestellten „Lernphilosophien“ weitere Unterrichtskonzepte sowie diverse Mischformen für die Gestaltung des Mathematikunterrichts in der Grundschule gibt. In diesem Zusammenhang sind insbesondere Konzepte und Organisationsformen zu nennen, die aus allgemeinen grundschuldidaktischen Entwicklungen entstanden. Beispiele hierfür sind projektorientierte, anwendungsorientierte oder Fächer übergreifende Lehr-Lern-Konzepte, ferner Organisationsformen jahrgangsübergreifenden Lernens (z. B.

4In

Hospitationen stellten wir diesbezüglich häufig fest, dass sich Kinder tendenziell zu leichte Aufgaben zum selbstständigen Üben aussuchen und dass sie sich auch bzgl. Anstrengungsbereitschaft oder Ausdauerfähigkeiten selbst eher unterfordern.

52

3  Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht

Tab. 3.1  Hauptströmungen des Grundschulmathematikunterrichts der jüngeren Zeit Bis (etwa) 1965

Traditioneller Rechenunterricht, ganzheitliches Rechnen, operativer Rechenunterricht

1965–1972

Reformansätze der „Neuen Mathematik“ bezüglich von Zielen, Inhalten und didaktisch-methodischen Konzepten

1972–1979

Gegenreformbewegungen, Unsicherheiten

1979–1990

Integrative Ansätze, besonders bezüglich der Vorstellungen über das Lernen

Seit (etwa) 1990

Reformansätze mit folgenden Paradigmenwechseln: Stofforientierung →

Kindorientierung

„Lernen durch Belehren“ →

„Aktiv-entdeckendes und subjektiv konstruktives Lernen“

Strenges organisatorisches Regime, v. a. mit Frontalunterricht →

Öffnung für veränderte Unterrichtsabläufe u. Organisationsformen wie Freiarbeit, Projekte, Wochenpläne

„Didaktikorientierung“ →

Kompetenzorientierung

Heterogenität →

Diversität/Inklusives Lernen (s. Kap. 15)

Nührenbörger und Pust 2006) und eine Integration offener Lernformen (Freiarbeitsphasen, Wochenplanarbeit, Stationen-Lernen etc.) in ansonsten festen „Stammkonzepten“. Die Schulpraxis bestätigt, dass alle diese Ansätze und Organisationsformen ihre Berechtigung besitzen. Darüber hinaus bereichert die gelegentliche Einbeziehung neuer bzw. andersartiger Lernformen nachweislich den Mathematikunterricht, der ansonsten auf der Basis eines bestimmten „Stammkonzeptes“ durchgeführt wird. Das obere Schema stellt zusammenfassend wesentliche Entwicklungen der letzten Jahrzehnte bezüglich didaktischer Grundorientierungen für den Mathematikunterricht in Deutschland heraus (Tab. 3.1): Reformkonzepte für den mathematischen Anfangsunterricht • Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens (E. Wittmann, G. Müller) • Konzept des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens (Gallin, Ruf) • Konzept des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens (Copp, Yackel, Wood) • Konzept des individualisierenden Mathematikunterrichts (aus der Schulpraxis entwickelt) … Mögliche Weiterentwicklungen Die stark vereinfachte Zusammenfassung aktueller Hauptströmungen kann die dynamische Entwicklung, das Ringen um moderne Konzepte für die Mathematikdidaktik der Grundschule und Tendenzen erkennbar machen. Sie verdeutlicht aber nur

3.7  Weitere Lernkonzepte

53

ansatzweise die tatsächliche Vielfalt von konzeptionellen Ansätzen in der allgemeinund fachdidaktischen Theorie sowie in der Schulpraxis. Ein umfassendes, auf dem konstruktivistischen Lernverständnis basierendes Konzept, das auch aktuelle neurowissenschaftliche Forschungsergebnisse aufgreift und gleichzeitig den immer komplexer werdenden Rahmenbedingungen der Schulpraxis Rechnung trägt, fehlt zurzeit sicher noch. Die vorgestellten Reformkonzepte bieten aber vielversprechende und bereits in der Praxis erfolgreich erprobte Ansätze. Zukünftig dürften sich diese Konzepte noch stärker als bisher in der Schulpraxis etablieren. Offen bleibt m. E. derzeit, wie sich Spannungsfelder, wie etwa zwischen individueller Förderung jedes Kindes einerseits und dem Anstreben einheitlicher Basiskompetenzen für alle Kinder und dem Umsetzen von Inklusion andererseits sowie zwischen praktisch handelnden Lerntätigkeiten und der Nutzung von Computern, des Internets usw. weiterentwickeln werden und ob sich hieraus neue Lernformen und Lernkonzepte herausbilden. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Gibt es Lernthemen im Mathematikunterricht der Grundschule, die eher nicht aktiv-entdeckend erarbeitet werden sollten? Wenn ja, welche und warum? • Warum publizieren Schulbuchverlage nach wie vor Lehrwerke, die auf dem Konzept der traditionellen Rechendidaktik basieren? • Welches Lehr-Lern-Konzept bzw. welche Aspekte oder „Bausteine“ aus welchem Lehr-Lern-Konzept würden Sie Ihrem Mathematikunterricht zugrunde legen? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

4

Mathematikdidaktische Prinzipien

Wenn ich von einer Krise der Didaktik spreche, dann meine ich zunächst den engeren Umstand, dass es die wissenschaftliche Didaktik im deutschen Sprachraum in den letzten zwei Jahrzehnten nicht mehr geschafft hat, von sich aus Modelle und Theorien zu entwerfen, die als passende Konstrukte für praktizierende und reflektierende Didaktiker hinreichend hätten dienen können. (Reich 2008, S. 65)

Inhaltsverzeichnis 4.1 Mathematikdidaktische Prinzipien und ihre generelle Bedeutung für die Lehrertätigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Piaget. . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Bruner . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorie von Wygotski . . . . . . . . . . . 67 4.5 Weitere mathematikdidaktische Prinzipien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.6 Zur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Das von Reich angesprochene Fehlen eines übergreifenden Unterrichtskonzepts, das sowohl unter Didaktikern als auch Lehrern eine mehrheitliche Akzeptanz hat, impliziert auch die im Kap. 3 beschriebene Vielfalt miteinander konkurrierender Konzepte für den Grundschulmathematikunterricht. Die kritische Einschätzung von Reich erlaubt ebenso die Interpretation, dass das Fehlen eines mehrheitlich akzeptierten Unterrichtskonzeptes wiederum zumindest einen Teil der Lehrer bezüglich der didaktisch-methodischen Gestaltung des

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_4

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56

4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Mathematikunterrichts verunsichert1. Ein wirksamer Ansatz für ein Abschwächen des Problems könnte also darin bestehen, den Lehrern didaktische Grundorientierungen zur Verfügung zu stellen, die auf aktuellen lern- und entwicklungspsychologischen sowie allgemeindidaktischen Erkenntnissen basieren und einen Konzept übergreifenden Charakter besitzen. Diese Funktion könnten mathematikdidaktische Prinzipien erfüllen.

4.1 Mathematikdidaktische Prinzipien und ihre generelle Bedeutung für die Lehrertätigkeit Didaktische Prinzipien und hierin eingeschlossen mathematikdidaktische Prinzipien sind theoretische Grundsätze bzw. Grundpositionen einer Unterrichtstheorie. Sie sind entweder aus umfassenderen Lehr-Lern-Theorien abgeleitet worden (im Sinne der Anwendung derartiger Erkenntnisse auf den konkreten Unterricht) oder durch Verallgemeinern aus langer schulischer Unterrichtserfahrung oder methodischer Tradition entstanden. Mathematikdidaktische Prinzipien können demgemäß die eingangs herausgestellte allgemeine Orientierungsfunktion spielen (Radatz und Schipper 1983, S. 25): • bei der Stoffauswahl und -gliederung, • bei der Planung und Durchführung von Mathematikunterricht, • bei der Auswahl und Gestaltung von Übungs-, Aufgaben- und Beispielmaterialien Sie sind jedoch nicht geeignet, um aus ihnen konkrete Inhalts- und Methodenentscheidungen abzuleiten. In der deutschsprachigen Mathematikdidaktik wurden in den 60er und 70er Jahren des 20. Jahrhunderts verschiedene Systeme mathematikdidaktischer Prinzipien proklamiert (z. B. Müller und Wittmann 1977; Radatz und Schipper 1983; Zech 1977), die in den nachfolgenden Jahren aber aufgrund berechtigter Kritik (vgl. Abschn. 4.6) und im Zusammenhang mit der Entwicklung verschiedener, z. T. konträrer Unterrichtskonzepte an Bedeutung verloren haben. In diesem Kontext werden im Folgenden wesentliche mathematikdidaktische Prinzipien vorgestellt und auf der Basis aktueller psychologischer und didaktischer Erkenntnisse gewertet. Die Fokussierung auf Lerntheorien von Piaget, Bruner und Wygotski lässt sich damit begründen, dass diese klassischen Ansätze „bis heute wichtige Impulsgeber eines Verständnisses des Lehrens und Lernens [sind], das die aktive Seite des Lernprozesses betont, das einen Begriff des Wissens benutzt, der stets auf die Vermittlung mit Handlungen verweist, das eine grundsätzliche Spannung zwischen Subjekt und Umwelt annimmt“ (Reich 2008, S. 73). 1Weitere

Ursachen für heutige Unsicherheiten von Lehrern resultieren m. E. vor allem aus sozialpsychologischen Problemen im Umgang mit Kindern (veränderte Kindheit, vermehrte Verhaltensauffälligkeiten, Migrationsprobleme etc.) sowie aus rasch wechselnden schulpolitischen und schulorganisatorischen Bedingungen.

4.2  Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis …

57

4.2 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Piaget Der Schweizer Kinderarzt, Psychologe und Philosoph J. Piaget (1896–1980, Abb. 4.1) hat zum Verstehen der kognitiven Entwicklung von Kindern bislang weltweit am meisten beigetragen. Im Hinblick auf Grundorientierungen für die didaktisch methodische Gestaltung des Mathematikunterrichts sind vor allem Piagets Äquilibrationsprinzip und seine Stufentheorie der Intelligenzentwicklung wesentlich. Nach Piagets Erkenntnissen erfolgt die kognitive Entwicklung eines Kindes in einer dynamischen Interaktion zwischen dem Kind und seiner Umwelt. Ausgestattet mit zunächst relativ allgemeinen angeborenen Wahrnehmungs-, Verhaltens- und Denkschemata entwickelt das Kind im Wechselspiel von eigenen Aktivitäten und Umweltveränderungen ständig kognitive Schemata, mit denen es immer wieder ein Gleichgewicht zwischen der Umwelt (kognitive Adaption oder „Anpassung“) zu erreichen versucht. Dieses Streben eines Kindes nach einem Gleichgewichtszustand mit seiner Umwelt und mit sich selbst bezeichnet Piaget als kognitive Äquilibration. Die Adaption vollzieht sich auf zwei zueinander komplementären Wegen: • Assimilation: Das Kind passt die erlebte Umwelt an seine bereits vorhandenen kognitiven Schemata und an sein Verhalten an. • Akkommodation: Das Kind verändert seine mentalen Repräsentationen und passt sich somit an die Anforderungen der Wirklichkeit an. Die beiden Vorgänge der Assimilation und Akkommodation sind untrennbar miteinander verwoben. Piagets Modell der kognitiven Adaption (Abb. 4.2) gilt über jegliche schulische Lernprozesse hinaus auch für unser Alltagsleben. Immer dann, wenn man in eine ungewohnte, neuartige Situation gerät, wie z. B. bei einem Spaziergang in einem Bienenschwarm (Abb. 4.3), entsteht ein Spannungsfeld. In diesem Spannungsfeld reagiert die betroffene Person ebenso wie die Umwelt, in diesem Fall die Bienen. Abb. 4.1   Jean Piaget

58

4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Abb. 4.2   Modell der kognitiven Adaption nach Piaget

Assimilation

Organismus

kognitive Adaptation

Umwelt

Akkomodation

Es werden unbewusst oder bewusst – je nach Situation und individuellem Verhaltensmuster – Assimilations- und/oder Akkommodationsprozesse ausgelöst, die letzten Endes einen Ausgleich, eine „Befriedung“ der zu drohenden bzw. bereits entstandenen Spannungen zum Ziel haben. Ein zweites zentrales Ergebnis von Piagets Forschungen ist seine Stufentheorie der Intelligenzentwicklung. Piaget bestimmte eine verallgemeinerte Abfolge von Niveaustufen der kindlichen Intelligenz, die aufeinander folgende Qualitätsebenen einer zunehmenden kognitiven Adaption kennzeichnen. In knapper Form lassen sich diese wie folgt angeben (Piaget und Inhelder 1971): 1. Sensomotorische Stufe (etwa bis zum 1,5. Lebensjahr) – Kinder erwerben zahlreiche Handlungsschemata in enger Verbindung zu ihren Wahrnehmungen und Gewohnheiten. 2. Stufe des vorbegrifflichen Denkens (1,5 bis 4 Jahre)

Abb. 4.3   Imker mit seinen Bienen. (© Darios – Fotolia.com)

4.2  Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis …

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– Kinder erkennen die „Idee des individuellen und dauerhaften Gegenstands im nahen Tätigkeitsbereich, nicht aber im entfernten Raum oder bei Wiedererscheinen in zeitlich größeren Abständen“, und bilden auf dieser Basis diffuse Alltagsbegriffe. – Dabei können sie aber noch nicht zwischen „alle“ und „einige“ unterscheiden. 3. Stufe des anschaulichen Denkens (4 bis 7 Jahre) – Das Denken der Kinder ist noch an Anschauung gebunden, es sind aber bereits „kurze Experimente“ zum Entwickeln und Testen von Vorstellungen zum Gesehenen möglich. – Kinder können nur mit konkreten Gegenständen gedanklich umgehen, die sie in dem Moment sehen. – Kinder können sich noch nicht Gegenstände ungeordnet oder zeitliche Abläufe in einer anderen, z. B. in umgekehrter Reihenfolge vorstellen. – Kinder konzentrieren sich nur auf einen Aspekt oder eine Dimension einer Situation (daher auch Egozentrismus). Piaget wies in einem seiner berühmtesten Experimente z. B. nach, dass Vorschulkinder es offenbar noch nicht schaffen, auf einer Abbildung eine Flasche als Gefäß und die darin befindliche Flüssigkeit als unabhängig voneinander zu erfassen: Für die Kinder verläuft der Flüssigkeitspegel stets parallel zum Flaschenboden, die Flüssigkeit scheint selbst beim Umdrehen der Flasche auf dem Boden festgeklebt zu sein. 4. Stufe der konkreten Operationen (7 bis 11 Jahre) – Aus der Anschauung oder dem praktischen Tun gewonnene Vorstellungen können Kinder als „verinnerlichte Handlungen des anschaulichen Denkens zu Systemen“ ordnen. – Beispiele für solche konkreten Operationen sind das Vergleichen von Größen, das Vereinigen von Mengen, das Bilden von Klassen (Begriffen). So können siebenbis elfjährige Kinder etwa „Dreiermengen“ (die Menge von drei Fingern, drei Plättchen, drei Heften etc.) zu einer Klasse, der Zahl „3“, abstrahieren. – Kinder können sich Gegenstände umgeordnet und konkrete Operationen in umgekehrter Reihenfolge vorstellen (wie z. B. konkrete Umkehrbeziehungen zwischen der Addition und der Subtraktion). – Kinder können auf mehrere Aspekte einer Situation achten und Zusammenhänge erkennen. Auf diese Weise gelingt es ihnen z. B., die Länge und die Lagebeziehungen der Seiten von sichtbaren Vierecken im Zusammenhang zu erkennen und somit verschiedene Vierecksarten zu unterscheiden. 5. Stufe der formalen Operationen (etwa ab dem 11. Lebensjahr) – Das Denken der Kinder ist nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden. – Sie können formal-abstrakt mit Begriffen operieren, deduktiv schlussfolgern und hypothetisch denken. Anmerkung: Die Altersangaben sind Durchschnittswerte.

60

4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Aus heutiger Sicht gibt es berechtigte Kritik an Piagets Theorieansätzen. Sie bezieht sich zum einen auf die starre Zuordnung von Altersangaben für Entwicklungsstufen, bei denen Piaget individuelle, aber auch kulturelle Unterschiede und soziale Lernprozesse vernachlässigte. Zum anderen werden untersuchungsmethodische Mängel genannt, wie der Schwierigkeitsgrad von Testaufgaben, die Formulierung von Fragen an die Probanden oder die z. T. unzureichende empirische Basis (z. B. Tücke 2007, S. 210–215). Dennoch werden die hier vorgestellten Ansätze von Piaget im Wesentlichen nach wie vor akzeptiert. Die „Stärken“ werden vor allem in Folgendem gesehen: • „Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung ist eine umfassende Theorie. • Bei der Entwicklung des kindlichen Denkens wirken genetische und Umweltfaktoren untrennbar zusammen. • Piaget hat nachgewiesen, … wie sich Denken und Handeln wechselseitig befruchten können. • Fortschritte im Denken vollziehen sich … durch Interaktion der subjektiven Realität (dem Miteinander verschiedener kognitiver Schemata) mit der objektiven Realität. • Mit fortschreitender Entwicklung wird das kindliche Denken immer besser strukturiert und koordiniert. • Die kognitive Entwicklung ist in vielen Bereichen intrinsisch motiviert.“ (Tücke 2007, S. 215–217) Aus den kognitiven Theorien Piagets haben Mathematikdidaktiker insbesondere folgende mathematikdidaktische Prinzipien abgeleitet: Prinzip des aktiven Lernens Jedes Kind soll sich den Lernstoff im Unterricht aktiv erarbeiten. Hierzu muss der Unterricht an der vorliegenden kognitiven Struktur der Lernenden ansetzen und die Lernthemen müssen für die Kinder verständlich aufbereitet sein. Gemäß diesem Prinzip könnten beispielsweise Erstklässler Zahlen als Kardinalzahlen und zugleich Beziehungen zwischen Zahlen erfolgreich lernen, indem sie jeweils Würfel bzw. Quadrate in entsprechender Anzahl auf verschiedene Weise legen, malen oder schneiden (Abb. 4.4). Integrationsprinzip Die Lerninhalte des Mathematikunterrichts sollen in bereits vorhandene Beziehungsnetze der Kinder integriert werden, d. h., das Lernen erfolgt in Sinnzusammenhängen. Das Prinzip könnte z. B. beim Erarbeiten der Einheiten „Liter“ und „Milliliter“ im Mathematikunterricht auf die Weise realisiert werden, dass die Kinder zu Beginn der Unterrichtsstunde ihr bereits vorhandenes diverses Alltagswissen zu Rauminhalten zusammentragen und somit ihre subjektiven Theoriekonstrukte aktivieren, in die sie dann ihr neu erworbenes Wissen integrieren (Abb. 4.5).

4.2  Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis …

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Abb. 4.4   Beispiel einer Anregung zum aktiven Lernen des Darstellens von Zahlen (Wittmann et al. 2017a, S. 18)

Abb. 4.5   Beispiel einer Anregung zum Realisieren des Integrationsprinzips (Wittmann et al. 2017a, S. 87)

Prinzip der Redundanz Schüler sollen neue Lerninhalte in Situationen kennenlernen, bei denen nur einzelne Aspekte bzw. Elemente wirklich neu sind, sodass eine Einbindung des neuen Wissens in bereits vorhandenes Wissen erfolgen kann. Dementsprechend wird auf der unteren Schulbuchdarstellung (Abb. 4.6) empfohlen, dass sich Erstklässler bei der Erarbeitung der ersten Zahlen jeweils nur auf das Kennenlernen einer Zahl konzentrieren.

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4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Abb. 4.6   Beispiel einer Anregung zum Lernen nach dem Prinzip der Redundanz (Buchmeier et al. 2017, S. 17)

Prinzip der Isolierung von Schwierigkeiten Komplexe Handlungsfelder sollen so reduziert werden, dass Schüler nur einzelne, für sie überschaubare und von ihnen zu leistende Teilhandlungen zu bewältigen haben. Auf diese Weise sollen allen Kindern Erfolgserlebnisse beim Lernen ermöglicht werden (vgl. hierzu auch Abb. 4.6). Prinzip der Stabilisierung Wissen und Fähigkeiten müssen von Zeit zu Zeit in neuen, anregenden Kontexten wieder geübt und angewendet werden, damit sie sich stabilisieren. Dieses Prinzip wird beispielsweise in der Schulpraxis durch operative, spielerische oder anwendungsorientierte Übungsformen (vgl. Kap. 8) permanent erfüllt, um grundlegende Rechenfertigkeiten aller Kinder zu stabilisieren. Operatives Prinzip Mathematische Begriffe, Techniken und andere sollten vor allem im Grundschulalter mithilfe von Handlungen (Operationen) erarbeitet werden. „Operative“ Begriffe müssen daher im Mathematikunterricht auf die sie begründenden Handlungen zurückgeführt und zu Operationen verinnerlicht werden. Beim sogenannten operativen Durcharbeiten eines Themas kommt es darauf an, vielfältige Zusammenhänge und Beziehungen herzustellen

4.3  Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis …

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Abb. 4.7   Beispiel einer Anregung zum Realisieren des operativen Prinzips (Buchmeier et al. 2017, S. 69)

(operatives Üben). Das Prinzip des aktiven Lernens kann man als einen Teilaspekt des operativen Prinzips ansehen. Das Prinzip des operativen Lernens lässt sich z. B. umsetzen, wenn Kinder beim Erkunden von für sie neuen Rechenwegen verschiedene Lernmittel ausprobieren, dabei Gemeinsamkeiten und Unterschiede bezüglich der Lösungswege, der zugrunde liegenden Gesetze und Ähnliches mehr erkennen und nutzen (Abb. 4.7). Ausführliche Erläuterungen für die operative Behandlung eines Lernthemas im Sinne des Schaffens „beweglicher Operationen“ findet man bei Zech (1990, S. 99–104). Hier wird etwa als ein prägnantes Beispiel für ein „operatives Durcharbeiten“ der Einmaleinsfolgen im zweiten Schuljahr das Verknüpfen additiver mit multiplikativen Operationen, das Nutzen von Nachbar-, Tausch- und Umkehraufgaben für den Erwerb sicherer und flexibler Rechenkompetenzen empfohlen. Dementsprechend können Aufgabenformate wie Gleichungen, Ungleichungen, Aufgabenfamilien, Nachbarhäuser oder Strukturtabellen für ein operatives Durcharbeiten arithmetischer Lernthemen wirkungsvoll genutzt werden.

4.3 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien von Bruner Der amerikanische Psychologe Jerome Bruner (geb. 1915) hat Piagets Lerntheorien im Wesentlichen übernommen, diese aber bezüglich der Bedeutung der sozialen Umwelt für das Lernen eines Kindes erheblich weiterentwickelt. Nach Bruner (Abb. 4.8) ist Lernen ein Prozess individueller Konzeptbildung, d. h. der Bildung subjektiv geprägter, z. T.

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4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Abb. 4.8   Jerome Bruner

bereichsspezifischer Sinnkonstruktionen. Bruner charakterisiert den Prozess durch drei Merkmale: • das Aneignen neuer Informationen auf der Basis von Umweltwahrnehmungen, • das Umwandeln der Informationen, um es als Wissen für neue Aufgaben zu nutzen, • das Bewerten (Evaluieren) durch den Lernenden, verbunden mit dem Prüfen, ob die Art, wie er die Informationen erworben und sie angepasst hat, einem neuen Anwendungszweck entspricht (Bruner 1974). Im Unterschied zu Piaget vollzieht sich nach Bruner die Denkentwicklung aber nicht auf zeitlich abgestuften Entwicklungsniveaus, sondern gleichzeitig auf verschiedenen Darstellungsebenen, die sich wechselseitig beeinflussen. Er unterscheidet drei Darstellungsebenen, und zwar • die enaktive Ebene (Erkenntnisgewinn durch Handlungen), • die ikonische Ebene (Erkenntnisgewinn durch angeschaute oder vorgestellte Bilder bzw. Grafiken), • die symbolische Ebene (Erkenntnisgewinn durch Verwendung von Sprachen wie Umgangssprache oder mathematischer Zeichensprache). (Bruner 1974, S. 16, 17, 49) In der kindlichen Reifung ergeben sich, vergleichbar zu Piagets Stufenmodell, Akzentverschiebungen. Zuerst dominiert bei Kindern die enaktive, dann überwiegt die ikonische und später die symbolische Darstellungsebene. Aus der Interpretation der Lerntheorie Bruners leiteten Mathematikdidaktiker vor allem das Spiralprinzip und Variationsprinzipien ab.

4.3  Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis …

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Spiralprinzip Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge sollten im Mathematikunterricht in mehreren Durchgängen auf jeweils verschieden hohem Niveau bearbeitet werden, wobei jeweils Darstellungsmittel, Sprache und didaktische Modelle verwendet werden, die dem Entwicklungsstand der Schüler angemessen sind (Abb. 4.9). Die Erkenntnisse zu einem Lernthema werden schrittweise (spiralförmig) entwickelt. Die Umsetzung des Spiralprinzips passt sehr gut zur „Bausteinstruktur“ der meisten Themen des Mathematikunterrichts, wonach grundlegende Inhalte von Klassenstufe zu Klassenstufe vertiefend und erweitert behandelt werden. So lernen die Kinder im ersten Schuljahr den Zahlenraum bis 20, verschiedene Darstellungsformen für Zahlen (Mengen, Zahlbilder, Zwanzigerfeld, Zahlenstrahldarstellungen etc.), typische Aufgabenformate (Gleichungen, Ungleichungen, Strukturtafeln, Rechenmauern, Rechenbefehle etc.) und Gesetzmäßigkeiten kennen, die bei der schrittweisen Erweiterung der Zahlenräume bis 100, 1000 und bis 1.000.000 im vierten Schuljahr immer wieder reaktiviert, angereichert und in immer komplexeren Kontexten behandelt werden, sodass sich die jeweiligen Sachkompetenzen der Kinder im Darstellen von Zahlen

Abb. 4.9   Beispiele für die Umsetzung des Spiralprinzips bzgl. der Befähigung zum Umgang mit dem Zahlenstrahl im 3. und 4. Schuljahr (Käpnick et al. 2012b, S. 23)

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4  Mathematikdidaktische Prinzipien

einschließlich ihres Wissens über die verschiedenen Darstellungsformen, ihrer Kompetenzen im Lösen von Gleichungen, Ungleichungen usw. gemäß dem Spiralprinzip quantitativ und qualitativ vergrößern. Variationsprinzipien Diesbezüglich können drei Prinzipien unterschieden werden: Prinzip der Variation der Veranschaulichung auf der Ebene der Begriffsrepräsentation durch intermodalen Transfer Die Lernthemen sollen sowohl auf der enaktiven als auch auf der ikonischen und sprachlichen bzw. symbolischen Darstellungsebene erarbeitet und „durchdrungen“ werden. Entscheidende Bedeutung kommt dabei den Wechseln zwischen den Darstellungsebenen zu. Nach Bruner stützen die Wechsel zwischen den Ebenen Erkenntnisprozesse der Kinder wirksam, sie ermöglichen eine stabile Vernetzung eines „begreifenden“, eines „durchschauenden“ und eines „verstehenden“ Lernens. Die Übergänge zum gegenständlich praktischen Tun werden als „En-aktivieren“, die zum Lernen auf der bildlichen Ebene als „Ikonisieren“, die Übergänge zum abstrakt-sprachlichen Verstehen als „Verbalisieren“ und die zum Lernen auf der ­abstrakt-symbolischen Ebene als „Formalisieren“ bezeichnet. Als ein simples Beispiel für die Realisierung dieses Variationsprinzips kann wiederum die Erarbeitung natürlichen Zahlen im ersten Schuljahr angeführt werden. Da das Denken von Erstklässlern noch stark an konkrete Anschauung gebunden ist und den Kindern oft erst ein Tätigsein auf enaktiver Ebene einen Lerngegenstand begreifbar werden lässt, wird in allen einschlägigen Schulbuchwerken empfohlen, die ersten natürlichen Zahlen z. B. durch das Legen entsprechender Plättchenmengen, durch das Zeigen der jeweiligen Anzahl von Fingern und Ähnliches mehr aktiv handelnd darzustellen. Schulbuchdarstellungen regen die Kinder dann an, die Zahlen auf der ikonischen Ebene als Kardinalzahlen zu erfassen, stets mit der Möglichkeit einer „Rückübersetzung“ eines Bildes auf die enaktive Ebene, und zugleich durch die Zuordnung einer Ziffer und eines Zahlwortes den Wechsel auf der sprachlichen bzw. symbolischen Ebene vorzunehmen (Abb. 4.9). Im weiteren Prozess der Entwicklung von Kompetenzen für das Gebrauchen der Zahlen werden entsprechend dem Variationsprinzip die Kinder immer wieder angeregt, verschiedene Wechsel der Darstellungsebenen zu realisieren. So legen sie z. B. zu einer vorgegebenen Ziffer eine entsprechende Plättchenmenge oder malen ein Bild mit der Plättchenanzahl. Bezüglich der ikonischen Ebene sind im Detail zwei verschiedene „Unterebenen“ zu unterscheiden, die Ebene der unmittelbaren Anschauung (Ein Kind sieht ein Bild mit z. B. vier Kreisen.) und die Ebene der auf einer visuellen Wahrnehmung basierenden Vorstellung (Ein Kind aktiviert eine Vorstellung von einer Vierermenge ohne direkte Anschauung.). Die Fähigkeit zum Entwickeln adäquater Vorstellungsbilder kann als wichtige Qualitätssteigerung im Lernprozess eines Kindes angesehen werden, da das Kind nun nicht mehr (nur) auf die konkrete ikonische Darstellungsebene angewiesen ist, sondern beim Zählen, Vergleichen, Ordnen oder Rechnen mit Zahlen seine Vorstellungsbilder zu Zahlen „abrufen“ und nutzen kann.

4.4  Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis …

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Das Prinzip des Wechselns der Darstellungsebenen schließt im Speziellen auch einen intramodalen Transfer, also einen Wechsel innerhalb einer Darstellungsebene ein. Ein typisches Beispiel hierfür sind Wechsel zwischen verschiedenen ikonischen Darstellungen von Kardinalzahlen, wie etwa zwischen unstrukturierten und strukturierten Darstellungen von Plättchenmengen, zwischen Zahlbildern oder Zahldarstellungen auf dem Zahlenstrahl. Die verschiedenen Darstellungen heben jeweils besondere inhaltliche Aspekte hervor und können somit sowohl individuelle Zugänge der Kinder zum Zahlbegriff als auch einen flexiblen Umgang mit Zahlen fördern. Prinzip der Variation des didaktischen Modells Dieses Prinzip beinhaltet u. a. die Erarbeitung eines mathematischen Begriffs nicht nur über ein didaktisches Modell, sondern über verschiedene (Mehrwegmethode). Exemplarisch lässt es sich an der Erarbeitung der Multiplikation im zweiten Schuljahr verdeutlichen. Hierfür werden in der mathematikdidaktischen Literatur mit der „Mengenvereinigung“, dem „kartesischen Produkt“ und dem Operatormodell drei Grundmodelle vorgeschlagen, die jeweils besondere Vorzüge besitzen, aber auch mit Problemen verbunden sind (Padberg 2011, S. 128–134). Da also kein Modell alle Vorzüge auf sich vereint, wird eine Berücksichtigung der drei Modelle für die Erarbeitung der Multiplikation empfohlen. Prinzip der mathematischen Variation Die Realisierung dieses Prinzips bedeutet z. B. für die (spiralförmige) Erarbeitung eines mathematischen Begriffs, das Wesentliche des Begriffsinhalts konstant zu lassen, die unwesentlichen Merkmale aber zu variieren. So könnte beispielsweise der Begriff „Quadrat“ im ersten und zweiten Schuljahr als besonderes Viereck erarbeitet werden, für das die spezifischen Merkmale „vier gleich lange Seiten“ und „vier rechte Winkel“ gelten. Im dritten und vierten Schuljahr kann variierend das „Quadrat“ auch als besonderes Rechteck oder als besondere Raute herausgestellt werden – mit der jeweiligen Kennzeichnung des artspezifischen Unterschieds.

4.4 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorie von Wygotski Der russisch-sowjetische Psychologe Lew Wygotski (1896–1934) gilt als sowjetischer „Vater der Psychopathologie und Sonderpädagogik“. Seine Theorien spielen in der derzeitigen amerikanischen Frühpädagogik oder in der Fremdsprachendidaktik eine wesentliche Rolle. Eine besondere Bedeutung kommt dabei Wygotskis Theorie der „Zone der nächsten Entwicklung“ zu. Diese Zone ist nach Wygotski jener Bereich der Entwicklung von Leistungseigenschaften (Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnissen) und Verhaltenseigenschaften, der unmittelbar vom bestehenden Ausgangsniveau aus im nachfolgenden Entwicklungsschritt

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4  Mathematikdidaktische Prinzipien

erreicht werden kann, wenn die notwendige Anleitung, Anregung oder Hilfe gegeben wird. Die Zone der nächsten Entwicklung reicht über die „Zone der aktuellen Leistung“ (jene Leistungsmöglichkeiten, die ein Kind in seiner bisherigen Entwicklung erworben hat und selbstständig beherrscht) hinaus. Damit der Schritt in die Zone der nächsten Entwicklung möglichst weit greift und erfolgreich bewältigt werden kann, sind durch einen Lehrer solche Anforderungen zu stellen, die ein Kind mit Anstrengung und ggf. mit Unterstützung bewältigen kann. Wygotski betont damit das Primat sozialer Prozesse vor dem Prozess der individuellen Entwicklung. Als wesentliche Konsequenz für die Organisation und Gestaltung mathematischer Lernprozesse kann als Prinzip ein stetes Einplanen und Anregen der Zone der nächsten Entwicklung jedes Kindes abgeleitet werden. Das heißt, dass bei der didaktischen Aufbereitung eines Lernthemas in der Regel ein solches Anspruchsniveau „vorzudenken“ ist, das die Kinder herausfordert und ihnen einen Erkenntniszugewinn ermöglicht. Dies erfordert vom Lehrer beim Zusammenstellen von Aufgaben bzw. Aufgabenfeldern das Erkennen und Nutzen mathematischer Sinnzusammenhänge. Mit Blick auf die Kinder sind Unterforderungen möglichst zu vermeiden, wie natürlich auch Überforderungen über die Zone der nächsten Entwicklung hinaus. Da die Kinder einer Klasse im Allgemeinen sehr unterschiedliche aktuelle Lernniveaus haben, ist die Organisation eines differenzierenden und individuellen Lernens notwendige Voraussetzung für das Realisieren von Wygotskis Lernprinzip. Eine prinzipiell geeignete Organisationsform hierfür besteht darin, dass Kinder offene Aufgaben mit Möglichkeiten der „natürlichen Differenzierung“ (vgl. Abschn. 11.4) bearbeiten oder dass sie explizit aufgefordert werden, selbst herausfordernde Folge- bzw. Anschlussprobleme für ein Lernthema zu bestimmen.

4.5 Weitere mathematikdidaktische Prinzipien Im Zuge der Entwicklung allgemeindidaktischer wie auch spezieller mathematikdidaktischer Konzepte haben Fachdidaktiker in den letzten Jahrzehnten eine Reihe weiterer mathematikdidaktischer Prinzipien bestimmt, die z.  T. mit den in den Abschn. 4.2, 4.3 und 4.4 vorgestellten verwoben sind. Hierzu gehören z. B. • • • • •

das genetische Prinzip, das Prinzip des exemplarischen Lehrens und Lernens, das Prinzip der Orientierung an mathematischen Grundideen, das Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens, das Prinzip der fortschreitenden Schematisierung.2

2Eine

ausführliche und zugleich aktuelle Beschreibung mathematikdidaktischer Prinzipien findet man in: Krauthausen (2018, S. 219–238).

4.5  Weitere mathematikdidaktische Prinzipien

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Das von Wagenschein, Freudenthal und Wittenburg geprägte genetische Prinzip umfasst zwei Dimensionen. Erstens sollen die Schüler Einblicke in den Prozess der Entstehung der Mathematik erhalten und Mathematik nicht als „Fertigprodukt“ erfahren ­(historisch-genetische Dimension). Zweitens soll der Unterricht so gestaltet werden, dass die Kinder ihre individuellen Erkenntnisprozesse aktiv entwickeln, häufig beginnend mit intuitiven Ansätzen (psychologisch-genetische Dimension). Mathematikunterricht auf der Basis des genetischen Prinzips ist demgemäß in der Regel problemorientiertes Lernen. Das Prinzip des exemplarischen Lehrens und Lernens steht in einem engen inhaltlichen Zusammenhang zum genetischen Prinzip. Es postuliert die Notwendigkeit der didaktischen Reduktion zugunsten der Fokussierung auf inhaltliche Kernbestandteile. Mit dem „Mut zur Lücke“ ist verbunden, dass Kinder sich in gründlich ausgewählte repräsentative Beispiele eines Lernthemas vertiefen, hierfür überschaubare bzw. fassliche Ziele bestimmen bzw. verfolgen und am Konkreten Allgemeines einprägsam erlernen können. Auf diese Weise werden zugleich ihre Fähigkeiten im Abstrahieren, im Konkretisieren und im Bilden von Analogien gefördert. Aus didaktischer Sicht ist natürlich wichtig, dass die ausgewählten Beispiele eine möglichst große Anzahl ähnlicher Sachverhalte repräsentieren, auf die Kinder das exemplarisch Erlernte übertragen können. Mit dem Prinzip der Orientierung an mathematischen Grundideen soll eine korrekte fachmathematische Fundierung des Unterrichts ab dem ersten Schuljahr garantiert werden. Die Bestimmung mathematischer Grundideen setzt sowohl ein grundlegendes fachmathematisches Verständnis als auch eine hohe didaktisch-psychologische Kompetenz voraus, sie erfordert etwa die Berücksichtigung des Spiralprinzips, des Prinzips des exemplarischen Lehrens und Lernens u. Ä. m. Als repräsentatives Beispiel für die Realisierung des Prinzips der Orientierung an mathematischen Grundideen kann das Konzept der Schulbuchreihe „Zahlenbuch“ genannt werden, für das G. Müller und E. Wittmann spezielle Grundideen der Arithmetik, der Geometrie und der Stochastik kennzeichneten (Müller und Wittmann 1997, S. 160–161). So definieren sie etwa als Grundideen der Geometrie • Formen und ihre Konstruktion, • Operieren mit Formen, • Koordinaten, • Maße und Formeln, • geometrische Gesetzmäßigkeiten und Muster, • Formen in der Umwelt, • Übersetzung der Zahl- und Formensprache (gilt auch als Grundidee der Arithmetik, vgl. ebenda).

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4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Das Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens basiert auf dem konstruktivistischen Lernbegriff3 und integriert in sich das Prinzip des aktiven Lernens, das operative wie auch das genetische sowie einige weitere Lernprinzipien, die der Konzeption des ­aktiv-entdeckenden Lernens (vgl. Abschn. 3.3) entsprechen. Das Prinzip der fortschreitenden Schematisierung entwickelte der niederländische Mathematikdidaktiker Treffers (z. B. Treffers 1983; Treffers und de Moor 1996). Er unterscheidet zwischen horizontaler und vertikaler Mathematisierung. Unter horizontaler Mathematisierung versteht er den Prozess der Modellierung beim Sachrechnen, also ein Übersetzen von Umweltsituationen in adäquate mathematische Darstellungen wie z. B. Gleichungen. Vertikales Mathematisieren umfasst dagegen den individuellen Prozess des Verstehens und Durchdringens mathematischer Sachverhalte und Zusammenhänge. Diesbezüglich kennzeichnet Treffers den Lernprozess eines Kindes beginnend von einem intuitiven, vorläufigen bzw. informellen Verständnis hin zu einem immer korrekteren und den üblichen Konventionen entsprechenden Anwenden mathematischer Begrifflichkeiten und Verfahren. Der Prozess der „fortschreitenden Schematisierung“ beinhaltet beide von Treffers unterschiedene Komponenten. In Bezug auf das Erlernen des kleinen Einmaleins kann man z. B. grob folgende Lernphasen der fortschreitenden Schematisierung unterscheiden: • Einstieg über konkrete Sachkontexte und Sachaufgaben, die den Kindern ein erstes inhaltliches Verständnis der Anforderungen an das Rechnen, ggf. auch erste gangbare Vorgehensweisen beim Rechnen ermöglichen, • Konfrontation mit komplexen Anforderungen, die den Kindern im Sinne eines ganzheitlichen Lernens ein Erfassen aller wesentlichen inhaltlichen Aspekte erlauben, • Entwicklung informeller Rechenstrategien, womit ein individueller verständnisvoller Zugang jedes Kindes gefördert und zugleich ein kommunikativer Austausch über verschiedene informelle Strategien angeregt wird, • fortschreitende Schematisierung, womit der individuelle Prozess zunehmender Verallgemeinerung, Abstraktion, Verkürzung, Optimierung und Annäherung an übliche Konventionen gemeint ist (Krauthausen 2018, S. 229 ff.).

3Der

Begriff des konstruktivistischen Lernens ist dabei abzugrenzen vom erkenntnistheoretischen und ontologischen Konstruktivismus, die versuchen, die Existenz einer Empirieebene (Ontologie) bzw. die Beziehungen zwischen Empirie- und Theorieebene zu klären. Der lernpsychologische Konstruktivismus untersucht kognitive Konstruktionsprozesse beim Lernen, um Lernprozesse erklären und mit den so gewonnenen Erkenntnissen die Gestaltung von Lernumgebungen verbessern zu können.

4.6  Zur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien

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4.6 Zur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien Wenn die mathematikdidaktischen Prinzipien als theoretisch begründete Orientierungshilfe für die didaktisch-methodische Gestaltung des Mathematikunterrichts dienen sollen, dann müssen sie in einem Systemzusammenhang gesehen werden. Dies erfordert eine fundierte Auswahl von Prinzipien, da sich einige widersprechen, andere sich wiederum „überlappen“. In einem krassen Gegensatz zueinander stehen insbesondere die auf Piagets Lerntheorien basierenden Prinzipien des aktiven Lernens und der Integration einerseits sowie die Prinzipien der Redundanz und der Isolierung von Schwierigkeiten andererseits. Während die Prinzipien des aktiven Lernens und der Integration dem konstruktivistischen Lernbegriff entsprechen, widersprechen die beiden anderen Prinzipien diesem Lernverständnis. Wittmann hebt in seiner massiven Kritik (ebenda, S. 46) völlig zu Recht gravierende Defizite hervor, die aus einer Isolierung von Schwierigkeiten und einem kleinschrittigen Vorgehen im Mathematikunterricht resultieren. Er verweist zugleich auf Forschungen der Psychobiologie, die seine Argumentation untermauern: „Wird dem Schüler der Lehrstoff nur vorgekaut und in kleinen Häppchen verabreicht, dann kommt es nie zur Neugier. Nie erlebt der Schüler die intensive Lust, eigenständig und mühevoll Probleme zu lösen … Reproduktive Leistung baut aber die Aktions- und Aggressionspotentiale nicht ab – im Gegenteil, durch das passive Verhalten werden Aggressionen eher aufgebaut.“ (Cube und Alshuth 1987, S. 17) Während für die Organisation kindorientierter Lernprozesse die Prinzipien der Redundanz und der Isolierung der Schwierigkeiten kritisch zu bewerten sind, können beide Prinzipien für diagnostische Zwecke durchaus sinnvoll genutzt werden. Aufgabensets auf der Basis dieser Prinzipien ermöglichen es festzustellen, welche Schwierigkeitsstufen ein Kind bereits gut beherrscht und bei welcher Stufe es noch Defizite hat.4 Generell problematisch an der Konstruktion und Nutzung mathematikdidaktischer Prinzipien ist außerdem, dass • ihre Wirkung und Relevanz in der Schulpraxis bislang empirisch kaum untersucht wurden, • sie nicht immer eindeutig, sondern sehr breit interpretierbar sind, • bei ihrer Generalisierung die Gefahr besteht, dass die individuellen Unterschiede der Kinder einer Lerngruppe außer Acht gelassen werden.

4Diese

Vorgehensweise ist üblich für die Konstruktion von Intelligenztests wie auch für vergleichbare „klassische“ Leistungstests. Die Diagnostik beschränkt sich dabei freilich nur auf ein relativ isoliertes Erfassen einzelner Kompetenzen.

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4  Mathematikdidaktische Prinzipien

Diese Probleme sowie das Konkurrieren verschiedenartiger mathematikdidaktischer Konzepte und ein ständiger Wechsel von „Modethemen“ in der Schulpraxis führen letzten Endes dazu, dass nach wie vor jeder Lehrer mehr oder minder unbewusst eigene subjektive Lehr-Lern-Prinzipien entwickelt. Somit bleibt grundsätzlich fraglich, ob mathematikdidaktische Prinzipien die eingangs formulierte generelle Orientierungsfunktion erfüllen können. Mögliche Weiterentwicklungen In diesem Kapitel wurden bekannte mathematikdidaktische Prinzipien angesprochen, die sich entweder aus lerntheoretischen bzw. didaktischen Ansätzen ableiten lassen oder die sich auf der Basis langjähriger Erfahrungen etabliert haben. Für die Zukunft werden diese Prinzipien vermutlich weiterhin Geltung besitzen, doch stellt sich die Frage, inwieweit und – wenn ja – welche weiteren mathematikdidaktischen Prinzipien auf welchen Grundlagen künftig noch hinzukommen könnten: Das Leben in der heutigen Gesellschaft ist in Deutschland wie auch international gerade in den vergangenen beiden Dekaden erheblichen Veränderungen unterworfen. Neben dem Streben nach einer inklusiven Gesellschaft, das sich auch im Streben nach inklusiver Bildung spiegelt (siehe Abschn. 15.2), hat sich beispielsweise das Schulsystem von einer Input- hin zu einer Kompetenz- und damit Outputorientierung verändert (siehe Abschn. 1.2). Eine weitere Entwicklung betrifft die zunehmende digitale Durchdringung: Schülerinnen und Schüler interagieren bereits ab dem Kindesalter mit digitalen Endgeräten, sodass deren unterrichtliche Verwendung beispielsweise günstige motivationale Wirkungen entfalten kann. Die mathematikdidaktische Forschung richtet das Augenmerk aktuell verstärkt auf theoretische wie auch praktische Konzepte, die einen produktiven Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht der Grundschule gewährleisten (z. B. Schreiber et al. 2017). Zugleich ist der Aufbau eines tiefgründigen Verständnisses der Funktions- und Wirkungsweisen von Informations- und Kommunikationstechnologien für eine reflektierte Nutzung digitaler Medien zwingend erforderlich. Natürlich sollten digitale Medien unterrichtlich gewinnbringend in einem solchen Sinne eingesetzt werden, dass sie beispielsweise Lernenden nicht „das Denken abnehmen“ oder dass sie lediglich als nicht-menschlicher „Trainings- oder Dressurpädagoge“ missbraucht werden, an dem Lernschwächere mit Übungsprogrammen an ihren Defiziten arbeiten, sondern sie sollten eine Ressource für ertragreiches Lernen darstellen. Der Fokus lag in diesem Kapitel auf mehr oder minder klassischen lerntheoretischen Ansätzen – es stellt sich jedoch die grundsätzliche Frage, wie sich menschliches Lernen durch die immer weiter fortschreitende Digitalisierung des Alltags verändern wird, was auch für die Entwicklung neuer lerntheoretischer Ansätze von Belang ist. So geht man in jüngerer Zeit beispielsweise im „Konnektivismus“ (z. B. Siemens 2005) davon aus, dass ein Individuum kognitiv nicht mehr isoliert ist, sondern stets in einem Netzwerk bestehend aus menschlichen und nicht-menschlichen Quellen existiert. Damit hat es zu jeder Zeit unmittelbaren Zugriff auf eine ungeheure Vielfalt an Informationen, die sich jederzeit dynamisch

4.6  Zur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien

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weiterentwickeln können, worauf es natürlich auch wiederum stets Zugriff hat (dies kann so interpretiert werden, dass Lernen außerhalb des Individuums stattfinden kann, etwa im Sinne einer „Schwarmintelligenz“). Die wichtigste Fähigkeit könnte demgemäß vor allem darin bestehen, passende Wissensquellen zu kennen und (möglichst reflektiert) nutzen zu können. Als didaktisches Prinzip könnte sich hieraus als ein Postulat ergeben, dass Fähigkeiten im Nutzen von digitalen Medien, aber auch im kritischen Reflektieren der aus Netzwerken abgerufenen Informationen zu fördern sind, wann immer es unterrichtlich angebracht erscheint. Die Ausführungen zur digitalen Durchdringung dokumentieren zugleich die Herausforderungen, die Lehramtsbildung mit Blick auf die Entfaltung professioneller Kompetenzen in der Verwendung digitaler Medien wie auch der reflektierten Informationsaufnahme und Netzwerkkommunikation angemessen zu gestalten und beispielsweise entsprechende Lehrkonzepte bereits im Studium und Referendariat zu etablieren. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es zwischen den mathematikdidaktischen Prinzipien, die auf der Basis der Theorien von Piaget, von Bruner und von Wygotski abgeleitet wurden? • Welche konkreten Kompetenzniveaus kann man hinsichtlich der Umsetzung des Spiralprinzips bzgl. des Verständnisses für den Begriff „Rechteck“ vom ersten bis zum sechsten Schuljahr unterscheiden? • Welche mathematikdidaktischen Prinzipien können als Orientierung für Ihren Mathematikunterricht dienen? Begründen Sie Ihre Auswahl. • Welche mathematikdidaktischen Prinzipien könnten ihrer Ansicht nach in Zukunft formuliert werden?

5

Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Die Kinder kommen mit sehr unterschiedlichen Vorerfahrungen, Vorkenntnissen und Erwartungen in die Schule; bei den meisten ist die Motivation groß, und sie wollen zeigen, was sie schon können. Diese Motivation zu erhalten gehört sicher zu den wichtigsten und reizvollsten Aufgaben der Lehrerin. (Hasemann 2003, S. 62)

Inhaltsverzeichnis 5.1 Besonderheiten des Schulanfangs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Subjektive Zahlauffassungen von Kindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 Der Übergang von der Kita in die Grundschule aus ganzheitlicher Sicht. . . . . . . . . . . . . . 92 5.5 Didaktisch-methodische Orientierungen für den mathematischen Anfangsunterricht . . . . 95

5.1 Besonderheiten des Schulanfangs Der Schulanfang ist für alle Kinder ein bedeutendes Ereignis, das mit markanten Veränderungen und zugleich spürbaren Einschnitten verbunden ist. Einerseits freuen sich zumindest die meisten Schulanfänger über ihren neu gewonnenen sozialen Status „Schüler“ und über die hiermit verbundene Möglichkeit, nun systematisch lesen, schreiben und rechnen zu lernen, womit sich ihnen eine grundsätzlich neue Qualität des Erkennens und Verstehens ihrer Umwelt sowie ihres generellen Tätigkeitsspektrums eröffnet. Andererseits verbringen sie nun regelmäßig einen Großteil ihrer täglichen Zeit in einer externen Institution und übernehmen hier Pflichten. Dies schließt ein, „u. U. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_5

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5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

etwas zu tun, wozu sie weder prinzipiell noch zur angesetzten Zeit Lust haben, und auch (im Wettbewerb mit anderen Kindern) in Kauf nehmen, dass ihre Leistungen mit denen anderer Kinder verglichen werden“ (Tücke 2007, S. 223). Insgesamt gesehen überwiegt bei den Schulanfängern aber deutlich eine hohe Lern- und Wissbegier, die oft weit über den aktuellen Lernstoff hinausreicht. Das Lerninteresse ist meist noch undifferenziert, die Interessen wechseln schnell, weil die Kinder sich oft mit oberflächlich Erkanntem zufriedengeben (Kossakowski 1987, S. 226). Unter dem Einfluss des Unterrichts entwickeln die Kinder im Verlauf des ersten Schuljahres zugleich spezielle Erkenntnisinteressen, was sich in der Beliebtheit einzelner Unterrichtsfächer und Lernthemen sowie in der Bereitschaft zur zusätzlichen Beschäftigung mit derartigen Inhalten widerspiegelt. Das Fach Mathematik nimmt übrigens bei den meisten Kindern im ersten und zweiten Schuljahr den ersten Rang in der Beliebtheit ein (Kossakowski 1987, S. 225). Mit dem Schuleintritt verändern sich auch die sozialen Beziehungen der Kinder. Eine besondere Beziehungsperson wird von diesem Zeitpunkt an für die Kinder ihre Lehrerin. Sie genießt im Allgemeinen in Bezug auf das Lernen die größte Autorität (Kossakowski 1987, S. 229). Das zeigt sich u. a. darin, dass die Kinder ein sehr ausgeprägtes Bedürfnis nach Kontakt zu ihrer Lehrerin haben. Diese Entwicklung geht häufig einher mit dem Entstehen des Wunsches, selbst ein „Erwachsenwerden“ anzustreben und möglichst schnell „groß“ zu werden. Die Kinder beginnen im Umgang mit Erwachsenen Identifikationsmuster zu erkennen, die sie für nachahmenswert halten; sie machen aber ebenso negative Erfahrungen, die zur allmählichen Versachlichung ihrer Einstellung gegenüber Erwachsenen beitragen. Die sozialen Beziehungen zu Gleichaltrigen sind am Schulanfang und im Verlauf des ersten Schuljahres noch relativ labil und wechselhaft, sodass Kindergruppen dieses Alters kaum stabile und prägnante Binnenstrukturen zeigen (Kossakowski 1987, S. 230). Zu beachten sind weiterhin gravierende Veränderungen in der körperlichen Entwicklung der Kinder. Innerhalb weniger Monate überwinden sie im Zuge des ersten Gestaltwandels ihre Kleinkindform, sie verlieren ihre Milchzähne und müssen bzw. dürfen sich mit Zahnspangen anfreunden (Tücke 2007, S. 223). Im Zusammenhang mit der körperlichen Entwicklung sind in den letzten Jahren außerdem zwei besondere eng miteinander verbundene Probleme vieler Schulanfänger bedeutsam geworden: ein zunehmender Bewegungsmangel und ein immer größerer Anteil übergewichtiger Kinder (Tücke 2007, S. 225). Diese Probleme wirken sich oft negativ auf die Anstrengungs- und Konzentrationsfähigkeit der Kinder bei jeglichen Lernaktivitäten aus. Sie verschärfen zudem vielfach Aufmerksamkeits-Hyperaktivitätsstörungen oder hyperkinetische Störungen. Im Zusammenhang mit den ebenfalls vermehrt zu beobachtenden Defiziten vieler Kinder in Bezug auf sinnliche Erfahrungen beeinträchtigt ein Bewegungsmangel darüber hinaus die Entwicklung von visuellen und akustischen Wahrnehmungskompetenzen sowie des räumlichen Vorstellungsvermögens, also von wesentlichen Grundlagen für das Lernen von Mathematik (vgl. hierzu Kap. 12). Die Folge sind nicht selten neben Behinderungen in der visuellen und akustischen Wahrnehmung, Speicherung und Serialität Störungen in der Intermodalität und im taktil-kinästhetischen Bereich (vgl. Kap. 12).

5.2  Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern

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Während einerseits vermehrt „gestörte, geschwächte, auffällige, unangepaβte, aggressive, antriebsschwache, ängstliche, vereinsamte und/oder trennungsgeschädigte Kinder“ (Krummheuer 1994, S. 8) in die Schule kommen, gibt es andererseits Schulanfänger mit bereits erstaunlichen Rechenfertigkeiten, mit einem bewundernswerten Wissensdrang, einer schier endlosen Ausdauer und einem riesigen Spaß am Lernen. Diese immense Heterogenität heutiger Schulanfänger ist eine wesentliche reale Ausgangsbedingung für die Planung und Organisation des mathematischen Anfangsunterrichts.

5.2 Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern Vor ca. 20 Jahren wurden insbesondere im deutschsprachigen Raum zahlreiche Untersuchungen zu den Vorkenntnissen von Schulanfängern durchgeführt (z. B. Selter 1993; Hengartner und Rothlisberger 1994; Grassmann et al. 1995, 1996). Die Aufgabeninhalte und die sonstigen Rahmenbedingungen zur Erfassung arithmetischer Vorkenntnisse ähnelten einander und auch die Untersuchungsergebnisse der genannten Studien waren vergleichbar, sodass es hier ausreichend ist, eine der Untersuchungen ausführlicher vorzustellen. Hierfür bietet sich die Studie von Grassmann u. a. an, weil in dieser Untersuchung die umfangreichsten empirischen Daten erhoben wurden. Das Team setzte in den ersten drei Schulwochen des Schuljahres 1994/95 sechs Testaufgaben zum Erfassen des Zahlverständnisses von 845 Erstklässlern aus 38 Berliner und Brandenburger Grundschulen ein. Bei der Auswahl der Schulen wurden „sowohl ländliche Gebiete als auch Klein- und Groβstädte, Ost- und Westberliner Stadtbezirke berücksichtigt“ (Grassmann et al. 1995, S. 23). Das Testmaterial bestand aus sechs Aufgaben, die jedem Kind auf drei DIN-A4-Blättern (pro Blatt zwei Aufgaben) in bildhafter Form präsentiert wurden (Abb. 5.1). Zu den Abbildungen der Aufgaben wurden Instruktionen in Form kleiner Rechengeschichten gegeben: • Aufgabe 1: „Dirk besucht mit seinen Eltern Oma und Opa. Sie wohnen im höchsten Haus der Stadt. Findest du es auch? Kreuze es an!“ • Aufgabe 2: „Bei einem Kinderfest wird ein ‚Pferderennen‘ veranstaltet. Aber ihr seht, es sind keine richtigen Pferde, sondern Steckenpferde. Jedes Kind erhält eine Startnummer. Findest du die Nr. 5?“ • Aufgabe 3: „Habt ihr im Fernsehen schon einmal einen Raketenstart gesehen? Einige von euch wissen sicherlich, wie man dabei zählt, nämlich 5, 4, 3, 2, 1, Start! Wer beim Fernsehen genau aufgepaßt hat, weiß, daß man nicht mit 5, sondern mit 10 beginnt: 10, 9, 8, … Finde die nächste Zahl und kreuze sie an!“ • Aufgabe 4: „Auf dem Bild sehr ihr viele Kreise. Malt genau 9 davon aus!“ • Aufgabe 5: „Antje hat beim Flipperspiel eine Kugel auf die 3 und eine auf die 4 geschnippt. Wie viele Punkte hat sie insgesamt gewonnen? Suche die Zahl und kreuze sie an!“

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5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Abb. 5.1   Testaufgaben für Schulanfänger von Grassmann et al. (1995, S. 24)

• Aufgabe 6: „Amrei hat in ihrem Portemonnaie 10 DM. Sie steht vor dem Schaufenster und entdeckt eine Sonnenbrille für 8 DM. Weil sie ihr so gut gefällt, kauft sie sich die Brille. Wie viel Geld hat sie noch übrig? Kreuze die Zahl an!“ (Grassmann et al. 1995, S. 23) Zusammenfassend lassen sich die Ergebnisse (Abb. 5.2) wie folgt interpretieren: • Die Schulanfänger haben sehr beachtliche Vorkenntnisse, die zum größten Teil über den Erwartungen der Lehrer liegen. • Es gibt große Leistungsunterschiede zwischen den Kindern einzelner Schulen, aber auch einzelner Klassen. • Es gibt keine relevanten Leistungsunterschiede zwischen Mädchen und Jungen.

79

5.2  Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern Diagramm 1:

Prozentual richtige Lösungen der Kinder im Vergleich mit den Erwartungen der Lehrer

Diagramm 2:

Vergleich zwischen den Leistungen der Mädchen und Jungen

Diagramm 3:

Vergleich der Leistungen verschiedener Klassen bezüglich ausgewählter Ergebnisse

Abb. 5.2   Arithmetische Vorkenntnisse von Schulanfängern (Grassmann et al. 1995, S. 49)

• Eine Fehlerursache bei Kindern bestand in ihrem anderen Aufgabenverständnis. Beispielsweise waren viele Kinder beim Lösen der Aufgabe 5 nicht auf das Ergebnis, sondern auf die beiden genannten Zahlen fixiert und kreuzten demgemäß entweder eine der Zahlen oder beide Zahlen an. • Eine weitere Fehlerursache: „Einsabweichung“, die auf ein zählendes Rechnen bzw. ein Fingerrechnen hindeutet (Grassmann et al. 1995, S. 23). Noch umfassendere und differenziertere Ergebnisse zu arithmetischen Vorkenntnissen von Schulanfängern erbrachte der Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (van de Rijt et al. 2001). Der Test diente zur Einschätzung der Zahlbegriffsentwicklung bei Kindern zwischen viereinhalb und sieben Jahren. Er wurde in den Niederlanden und in Deutschland mehrfach erprobt und eingesetzt, und zwar als erster Testdurchgang ca. fünf Monate vor Schulbeginn, als zweiter Testdurchgang unmittelbar vor Schulbeginn und als dritter Testdurchgang am Ende des ersten Schulhalbjahres. Der Test umfasste 40

80

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Aufgaben, die acht Testkriterien beinhalteten (Qualitatives Vergleichen, Klassifizieren, ­Eins-zu-eins-Zuordnungen herstellen, Reihenfolgen erkennen, Zahlwörter gebrauchen, Zählen mit und ohne Zeigen, einfaches Rechnen). Im ersten Testdurchgang mit etwa 300 Kindern konnten anteilmäßig folgende Kompetenzen von Schulanfängern nachgewiesen werden (Hasemann und Gasteiger 2014, S. 83–84): • • • • • • • • • • • • • •

Zählen (Aufsagen der Zahlwortreihe) bis 20 ca. 77 %, Weiterzählen von 9 bis 15 etwa 72 %, in Zweierschritten von 2 bis 14 zählen 50 %, 20 geordnete Klötze abzählen 58 %, 20 ungeordnete Klötze abzählen 49 %, 17 Klötze rückwärts zählen 32 %, ohne Ansicht wissen, dass 13 Bonbons mehr als 9 sind 69 %, die Augensumme von zwei Würfeln zusammenzählen 51 %, zum Vergleich mehr/weniger (bis zu fünf) Objekte simultan erfassen 83 %, Objekte nach zwei Merkmalen gleichzeitig klassifizieren 67 %, Objekte der Größe nach ordnen 75 %, zwei Reihen der Größe nach vergleichen 67 %, Objekte eins zu eins zuordnen (mit Zählen) 75 %, Objekte eins zu eins zuordnen (ohne Zählen) 61 %.

Damit bestätigten die Untersuchungen, dass Kinder vor dem Schulanfang schon über sehr beachtliche arithmetische Grundkompetenzen verfügen. Die Analysen zeigten außerdem – wie bereits die vorhergehenden Studien – auf, dass zahlreiche fehlerhafte Lösungen auf einem anderen Aufgabenverständnis oder auf andersartigen kognitiven Strukturen von Kindern beruhten. Ein typischer Fehler bestand z. B. beim Vergleichen von Größenrelationen zweier Mengen (Menge von vier verschieden großen Hunden und vier verschieden langen Stäben) darin, dass Kinder nur unmittelbare Nachbarn, aber nicht alle Hunde bzw. Stäbe miteinander verglichen (Abb. 5.3). Ein anderer auffälliger Fehler beim Eins-zu-eins-Zuordnen ergab sich daraus, dass Kinder sich am optischen Eindruck orientierten (Abb. 5.4). Als weitere bemerkenswerte Untersuchungsergebnisse stellte Hasemann heraus: • einen rasanten Wissenszuwachs in der Zeit unmittelbar vor Schulbeginn und dem ersten Schulhalbjahr, • große Leistungsunterschiede zwischen den Kindern (Auffällige Unterschiede zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Kindern gab es bei der Art der Begründungen: Während die schwächeren Kinder entweder gar keine Begründung für ihre Entscheidungen geben („darum“) oder auf den optischen Eindruck verweisen, entschieden die stärkeren Kinder meist aufgrund rationaler Argumente.), • deutliche Unterschiede in der Art des Denkens der Kinder (vgl. ebd., S. 34).

5.2  Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern

81

Abb. 5.3   Zuordnung von großen Hunden zu langen Stäben und kleinen Hunden zu kurzen Stäben (Hasemann 2003, S. 32)

Abb. 5.4   Gesucht ist das Bild mit genau gleich vielen Hühnern und Eiern (vgl. ebd., S. 32)

82

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Die enormen Unterschiede zwischen leistungsschwachen und leistungsstarken Schulanfängern kennzeichnete Hasemann so: „Die stärkeren Kinder sind flexibel und sicher im Umgang mit der Zahlwortreihe und können weiter- und rückwärtszählen. Sie verfügen bereits über effektive Rechenstrategien und können – zumindest anhand von Bildern – Zahlen additiv zerlegen, und sie sind in der Lage, die jeweils sicherere Lösungsstrategie auszuwählen. Die schwächeren Kinder addieren durch Zusammenzählen und verlassen sich bei Aufgabenlösungen eher auf den optischen Eindruck. Effektive Lösungsverfahren (wie das Wegschieben von Klötzen bei schwierigen Zählprozessen) stehen ihnen häufig nicht zur Verfügung“ (ebd., S. 35). Eine repräsentative Einschätzung der geometrischen Fähigkeiten von Schulanfängern bietet ein in Tschechien erstellter Test (Kurina et al. 1996), der in 50 tschechischen ersten Klassen mit 1100 Kindern und zeitgleich mit 583 Erstklässlern in Deutschland (Grassmann et al. 1996) eingesetzt wurde (Abb. 5.5). Die sechs Aufgaben bezogen sich auf das Vergleichen von Längen mittels visuellen Wahrnehmens ohne Messen (Aufgaben 1 und 3), auf die Figur-Grund-Wahrnehmung und den Gebrauch des Begriffs „Quadrat“

Male den kürzeren Bleistift farbig aus.

Male den längeren Weg aus.

Für welchen Bau benötigst du weniger Würfel?

Male die Quadrate farbig aus.

In welcher Flasche ist mehr Brause? Male ein Kreuz auf diese Flasche.

Welches Auto biegt nach rechts ab? Markiere es.

Abb. 5.5   Geometrische Testaufgaben für Schulanfänger (Grassmann et al. 1996, S. 25)

5.2  Mathematische Vorkenntnisse von Schulanfängern

83

Abb. 5.6   Testergebnisse zu geometrischen Vorkenntnissen von Schulanfängern (Grassmann et al. 1996, S. 26)

(Aufgabe 2) sowie auf verschiedene Aspekte des räumlichen Vorstellungsvermögens (Aufgaben 4, 5 und 6). Die Abb. 5.6 zeigt die erhaltenen Durchschnittswerte der richtigen Kinderlösungen (jeweils linke Säule) und der vorhergehenden Schätzungen richtiger Ergebnisse durch die Lehrer (jeweils rechte Säule): Verallgemeinert lassen sich die Hauptergebnisse des Tests folgendermaßen zusammenfassen: • Die Schulanfänger haben sehr beachtliche geometrische Vorkenntnisse, die z. T. im Erwartungsbereich der Lehrer liegen. Es gab aber auch gravierende Schwankungen in der Lehrererwartung, die bis zu 90 % betrugen (Aufgaben 2, 4, 5 und 6).1 • Es gibt – wie im Test zu den arithmetischen Vorkenntnissen von Schulanfängern – große Leistungsunterschiede zwischen den Kindern einzelner Schulen, aber auch einzelner Klassen. • Es sind keine relevanten Leistungsunterschiede zwischen Mädchen und Jungen ersichtlich. • Eine relevante Fehlerursache bei Kindern bestand wiederum im anderen Aufgabenverständnis der Kinder. (So orientierten sich viele Kinder beim Lösen der Aufgabe

1Diese

enormen Schwankungen könnten mit dem unterschiedlichen Stellenwert, den Lehrer geometrischen Lernthemen beimessen, zusammenhängen.

84

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

6 an der Nähe zum Straßenrand. Zugleich war bei dieser Aufgabe eine Reihe von Kindern nicht fähig, einen Perspektivwechsel vorzunehmen und sich in die Lage der beiden Autofahrer hineinzuversetzen. Sie orientierten sich lediglich am eigenen Körperschema.) • Andere Probleme bezogen sich auf fehlerhafte Begriffsverständnisse (z. B. war vielen Kindern in der Aufgabe 2 der Begriff „Quadrat“ unklar) und auf mangelhafte Fähigkeiten im Beachten von zwei verschiedenen Dimensionen (z. B. Höhe, Breite bzw. Tiefe in den Aufgaben 4 und 5). (Grassmann et al. 1996) Im Kontext geometrischer Muster untersuchte ferner Peters Kompetenzen von fünf- bis siebenjährigen Vorschulkindern im Erkennen und Fortsetzen von Mustern. Sie stellte im Ergebnis ihrer Studie fest, dass Vorschulkinder in Bandornamenten Muster bereits gut erkennen und sinnvoll fortsetzen können und dabei ein prinzipiell richtiges inhaltliches Verständnis vom Begriff „Muster“ erkennen lassen (Peters 2010, S. 173). Bemerkenswert ist, dass die getesteten Kinder in diesem Zusammenhang die verwendeten geometrischen Formen zweckmäßig vergleichen, ordnen und klassifizieren konnten (vgl. Peters 2010). Interessant ist weiterhin, dass die Bandornamente die Vorschulkinder veranlassten, mit den Ornamenten viele konkrete Dinge aus ihren subjektiven Erfahrungsbereichen zu assoziieren, wie etwa Pfeil oder Haus. Die Kinder konnten dagegen nicht die Binnengliederung, d. h. eine Zerlegung in den Teilfiguren durchschauen (vgl. Peters 2010). In etwa übereinstimmende Resultate erbrachte die Untersuchung von Lüken bei Schulanfängern, wobei der Begriff „Muster“ hier nicht nur auf geometrische Inhalte, sondern auch auf arithmetische und algebraische Themen bezogen und damit in einem allgemein-mathematischen Kontext gesehen wurde (Abb. 5.7). Lüken konstatierte, dass rund 90 % der 74 getesteten Kinder Musterfolgen richtig reproduzieren und knapp 70 % diese regelgerecht fortsetzen konnten (Lüken 2012, S. 210). Darüber hinaus zeigte sich, dass die Kinder Muster bei achsensymmetrischen Darstellungen besonders gut erkannten (was ein Indiz für einen angeborenen „Struktursinn“, vergleichbar mit dem angeborenen „Zahlensinn“ (Dehaene 1999), sein könnte (Lüken 2012, S. 220–221)). Zugleich scheinen figurale Aspekte die kindliche Wahrnehmung in dem Sinne zu beeinflussen, dass Reihenanordnungen und kleine Anzahlen eher ein zählendes Herangehen, Feldanordnungen und große Anzahlen von Dingen in stärkerem Maße Strukturstrategien bewirken (Lüken 2010, S. 211). Wie in den Studien zu arithmetischen und geometrischen Vorkenntnissen von Vorschulkindern und Schulanfängern zeigten sich auch in Lükens Untersuchung gravierende Abb. 5.7   Beispiel für Anordnungen aus der Versuchsreihe von Lüken (Lüken 2012, S. 90, 241)

5.3  Subjektive Zahlauffassungen von Kindern

85

Niveauunterschiede von gleichaltrigen Kindern bzgl. ihrer Strukturierungsfähigkeiten. Die Autorin charakterisiert diesbezüglich das Niveau leistungsschwacher Schulanfänger derart, dass diese Muster mental strukturieren können, indem sie vorgegebene Darstellungen – eher unbewusst – nach äußeren Merkmalen (Farbe, Form, Abstand) zergliedern. Im Vordergrund steht also der optische Gesamteindruck. Dagegen strukturieren leistungsstarke Schulanfänger Muster „bewusst mental, indem sie flexibel entlang äuβerer Gliederungsreize in simultan zu erfassende Struktureinheiten zerlegen. (…) Ihr Fokus liegt auf numerischen Aspekten der Struktureinheiten und nicht auf figuralen Merkmalen“ (Lüken 2010, S. 211–212). Die statistische Auswertung der Studie von Lüken verdeutlichte zudem einen signifikanten Zusammenhang zwischen dem Niveau und der Ausprägung von Strukturierungskompetenzen einerseits und dem Entwicklungsstand der generellen mathematischen Leistungsfähigkeit andererseits (vgl. Lüken 2010, S. 209), was die vielfach geäußerte These von der großen generellen Bedeutung von Strukturierungskompetenzen und sehr wahrscheinlich weiterer bereichsunspezifischer Fähigkeiten für den Erwerb spezieller mathematischer Kompetenzen stärkt. Die verschiedenen Untersuchungen zeigen somit wie auch viele weitere, hier aus Platzgründen nicht genannte Studien, dass Schulanfänger zu unterschiedlichen mathematischen Themengebieten äußerst beachtliche, im Detail aber sehr unterschiedliche Vorerfahrungen und Vorkenntnisse besitzen.

5.3 Subjektive Zahlauffassungen von Kindern Die siebenjährige Nele kommentierte ihre subjektiv gefühlte Zahlenanordnung (Abb. 5.8) wie folgt: „Zahlen gehören immer in Gruppen zusammen. Aber große Zahlen sind stark, die können allein stehen. Kleine Zahlen sind schwach und brauchen noch Hilfe.“ Neles Beispiel zeigt, dass der Erwerb des Zahlbegriffs – wie jegliches Lernen – ein individuell geprägter und aktiv-konstruktiver Prozess ist, der nicht nur von den kognitiven Kompetenzen eines Kindes, sondern ebenso von seinen subjektiven Erfahrungsbereichen (Bauersfeld 1983), seinen Gefühlen, Stimmungen und von daraus erwachsenen Sinnkonstruktionen bestimmt wird. Dementsprechend haben Kinder, die sich oft seit dem dritten Lebensjahr mehr oder weniger intensiv und fasziniert mit Zahlen und mit dem Zählen beschäftigen2, zum Schulbeginn ein schon individuell geprägtes aspektreiches Zahlverständnis, das auch ihren schulischen Erwerb des Zahlbegriffs mitbestimmt. 2In

Fördergruppen mathematisch interessierter und begabter Kinder (Käpnick 2001) berichten Kinder vielfach, dass sie im Alter von vier oder fünf Jahren oft stundenlang mit großer Begeisterung vorwärtszählten. Einige kamen auf diese Weise bis zum Zeitpunkt ihres Schulanfangs auf eine fünfstellige Zahl (vgl. hierzu auch Kap. 13).

86

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Abb. 5.8   Neles subjektive Zahlauffassung (Käpnick 2004, S. 12)

Eine Längsschnittstudie von Käpnick, in der alle Kinder einer Klasse vom Schulbeginn bis zum vierten Schuljahr in regelmäßigen Abschnitten nach ihren subjektiven Zahlauffassungen befragt wurden (Käpnick 2002), erbrachte folgende Hauptergebnisse:3 • Die befragten Kinder kamen mit sehr vielfältigen subjektiven Zahlauffassungen in die Schule. Diese Auffassungen entwickelten sich im Verlauf der ersten vier Schuljahre individuell unterschiedlich weiter. Dabei beschränkten sich die Zahlauffassungen bis zum Ende der Grundschulzeit nicht nur auf die im Unterricht behandelten inhaltlichen Zahlaspekte, sondern umfassten ebenso von Kindern im Alltag erfahrene und verinnerlichte „nichtmathematische“ Zahlenanordnungen und -inhalte wie auch animistisch und mystisch geprägte Auffassungen (vgl. Beispiel von Nele). • Etwa die Hälfte der Kinder hatte vom ersten bis zum vierten Schuljahr eine konstante subjektiv bevorzugte Zahlenanordnung. Dabei dominierte die Zahlenanordnung entsprechend der Zählfolge (Abb. 5.9). • Die Kommentare der Kinder bestätigen die große Bedeutung des Zählens und der Zählfolge beim Erlernen des Zahlbegriffs durch Kinder (z. B. beim Erschließen eines neuen Zahlenraums), was u. a. mit neueren Untersuchungen von Hasemann (2003) zu Zahlkompetenzen von Vorschulkindern und Schulanfängern übereinstimmt. Benjamins Kommentar (Abb. 5.9) deutet aber zugleich an, dass Kinder Konventionen der Zahlwortbildung oder der Zahlschreibung auch kritisch hinterfragen bzw. nicht

3Die

Studie umfasste subjektive Auffassungen der Kinder zur Anordnung bzw. flächenmäßigen Verteilung von Zahlen, zur Personifikation von Zahlen (Vorhandensein von Lieblings- und Pechzahlen, von subjektiv empfundenen Zuordnungen zwischen Zahlen und Personen, Gegenständen oder Ereignissen) sowie zu Zuordnungen zwischen Zahlen und Farben.

87

5.3  Subjektive Zahlauffassungen von Kindern Benjamin (10 J., 4. Kl.)

Marn (7 J., 1. Kl.)

„Ich würde es so machen, weil wir es so gelernt haben. Aber die Elf und die Zwölf gehören nicht dazu. Die hören sich anders an. Bei dreizehn ist es wieder klar. Anders

„Ich habe schon als Kind so gezählt. Anders würde es nicht schön aussehen.“

Abb. 5.9   Beispiele für Kommentare von Kindern, die ihre Zahlen entsprechend der Zählfolge anordneten

verstehen, woraus durchaus Probleme beim Erlernen des komplexen Systems der natürlichen Zahlen erwachsen können. • Etwa 50 % der Kinder wechselten mehrfach ihre individuell bevorzugten Zahlenanordnungen. Ihre Kommentare deuten darauf hin, dass viele Kinder einen „inneren“ Kampf zwischen der im Mathematikunterricht dominanten „offiziell richtigen“ und einer andersartigen, subjektiv bevorzugten Zahlenanordnung führten (wovon die Lehrerin im Allgemeinen keine Kenntnis hatte, Abb. 5.10). Auffällig ist dabei, dass die Kinder Zahlen nicht einseitig nach einer bestimmten mathematischen Struktur ordnen wollten. Sie wünschten sich eher eine Vielfalt von Anordnungen. Als eines von vielen Beispielen für einen „inneren Kampf“ zwischen der im Mathematikunterricht dominanten „offiziell richtigen“ Zahlenanordnung und einer

Luisa (10 J., 4. Kl.) „Ich würde die Zahlen nicht so aufschreiben, wie die Lehrerin das tut, weil das wie ein Befehl aussieht: Immer 1, 2, 3, 4 und 5 – das ist langweilig. Ich würde die Zahlen lieber durcheinander haben. Wenn sie hintereinander stehen, dann sehen sie wie Soldaten aus.“

Michael (9 J., 3. Kl.) „Ich finde, wenn die Zahlen durcheinander stehen, sieht es bunter aus. Es ist eine Fantasieanordnung. Ich glaube, dass jedes Kind eine andere Fantasieanordnung hat. Und das finde ich gut. Dass wir in der Schule nur eine Anordnung haben, finde ich langweilig. Mathe gehört zu meinen Lieblingsfächern. Beim Rechnen habe ich auch Fantasie und addiere anders zusammen. Meine Lehrerin weiß das nicht.“

Abb. 5.10   Beispiele für Kinderkommentare zu andersartigen Zahlenanordnungen

88

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

andersartigen, subjektiv bevorzugten Zahlenanordnung kann die Fallstudie zu Johannes (Abb. 5.11) dienen. Zu Beginn des ersten Schuljahres hatte der Junge ein inneres Zahlenbild (Abb. 5.11). Der Junge kommentierte sein Zahlenbild mit den Worten: „In Zeitungen sehe ich das oft so. Ich bin es so gewöhnt. So ist es richtig. Manchmal habe ich in der Schule Probleme, weil ich es andersherum schreiben muss. Manchmal komme ich durcheinander, aber ich kann da gut aufpassen. Mathe mag ich nicht so, Deutsch auch nicht. Man muss es eben machen.“ Da die von Johannes angegebene Schreib- und Leserichtung typisch für Linkshänder ist, fragten wir ihn nach seiner dominanten Hand. Er antwortete: „Ich bin kein Linkshänder, aber ab und zu schreibe ich mit links.“ Weitere Analysen zeigten, dass Johannes ein „umgeschulter“ Linkshänder war. Seine Eltern drängten ihn vor Beginn der Schule, von nun an alle wichtigen Tätigkeiten vorrangig mit der rechten Hand auszuführen. Der Junge hielt sich strikt an diese Anweisung, sodass seine Linkshändigkeit der Lehrerin nicht auffiel. Erst durch unsere Befragung konnte Johannes’ Problematik aufgedeckt werden. Die von den Eltern vorgenommenen Umschulung von Links- auf Rechtshändigkeit, die in der Regel gravierende Veränderungen in der Strukturierung der Gehirntätigkeit nach sich zieht, erklärte damit zu einem Großteil auch das auffällig langsame Denken des ansonsten leistungsstarken Jungen. Bei den weiteren Befragungen wechselte Johannes immer wieder die Anordnung der Zahlen in der Zählfolge von links nach rechts wie auch von oben nach unten (Abb. 5.12). Diese Zahlenanordnung kommentierte Johannes nun so: „Ich habe das so geschrieben, so kommen die Zahlen ja auch. Die Drei ist eigentlich meine wichtigste Zahl, weil ich schon mal den dritten Platz belegt habe. Beim Rechnen spielt das eine Rolle, da denke ich an meine Anordnung.“ Die angegebene Zahlanordnung war für Johannes beim Zählen, beim Vergleichen von und beim Rechnen mit Zahlen immer eine wichtige Orientierungshilfe, wobei er sich diese meist zunächst bewusst machen musste, weil er unbewusst bzw. spontan eher sein Zahlenbild aus dem ersten Schuljahr „abrief“.

Abb. 5.11   Johannes’ Zahlenbild zu Beginn des ersten Schuljahres

Abb. 5.12   Johannes’ Zahlenbild im zweiten Schuljahr

5.3  Subjektive Zahlauffassungen von Kindern

89

Im dritten und vierten Schuljahr entwickelte sich das individuell geprägte Zahlenbild von Johannes zu folgender Anordnung weiter (Abb. 5.13). Johannes’ Kommentar zu seinem Zahlenbild: „Ich habe die Zahlen untereinandergeschrieben, weil nebeneinander ist es langweilig. In Supermärkten, auf Preisschildern findet man sie meist untereinander. Die Zahlen sind untereinander angeordnet besser. Wir schreiben schon nebeneinander. So ist es abwechslungsreich. Und ich finde es so einfach gut. Wichtig ist die Reihenfolge, wie man zählt.“ Der Kommentar verdeutlicht, dass Johannes für sein Problem der umgeschulten Linkshändigkeit selbst eine „neutrale“ Lösung gefunden hat: eine vertikale Zahlenanordnung (die u. a. von Ellrott und Aps-Ellrott (1995) für Linkshänder empfohlen wird). Weiterhin drückt sich in seinen Worten eine zunehmende Kritik an der Verwendung von nur einer einzigen Zahlenanordnung im Unterricht aus („… nebeneinander ist es langweilig“). Nachdem Johannes, wie die meisten Kinder, in den ersten beiden Schuljahren die „genormte“ bzw. konventionelle Anordnung der Zahlen auf Zahlenstrahlen und auf Hunderterfeldern noch als sinnvoll und hilfreich beim Lernen einschätzte, empfand er diese „Systeme“ im dritten und vierten Schuljahr, wie viele seiner Mitschüler, zunehmend als etwas „Starres“ und „Langweiliges“. Das Beispiel von Johannes zeigt m. E. exemplarisch, dass das Analysieren subjektiver Zahlauffassungen für lerndiagnostische Zwecke durchaus wichtig sein kann (Käpnick 2002).

Abb. 5.13   Johannes’ Zahlenbild im vierten Schuljahr

90

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

• Zu andersartigen, subjektiv empfundenen Zahlenanordnungen der Kinder gehörten oft kreisförmige, zickzackförmige und wellenförmige Anordnungen, in denen sich offensichtlich ein bestimmtes Rhythmusgefühl der Kinder beim Zählen widerspiegelte (Abb. 5.14). • Subjektive Zahlauffassungen von Grundschülern stehen weiterhin in einem engen Zusammenhang mit ihren sehr verschiedenen Alltagserfahrungen, sie können aber auch auf der Reichhaltigkeit ihrer offenen kindlichen Fantasien basieren. • Die Zahlenanordnungen der Kinder, die auf Alltagseinflüsse zurückgeführt werden können, umfassten vor allem Zahlenmuster auf Telefonen, Automaten, Kleidungsstücken, Postern oder Punktbilder auf Spielwürfeln. • Bei Fantasieanordnungen hatten Kinder Zahlen nach subjektiv empfundener Bedeutsamkeit angeordnet, z. B. die Lieblingszahl groß in die Mitte platziert und die Null als „wertlose Zahl“ in die untere Ecke verbannt (Abb. 5.15). • Als spezielle mathematische Kriterien für subjektive Zahlenanordnungen gaben Kinder Klassifikationen von Zahlen nach geraden und ungeraden Zahlen, eine

Abb. 5.14   Beispiele für kreisförmige, zickzackförmige und wellenförmige Zahlenanordnungen

Abb. 5.15   Beispiel einer Fantasieanordnung von Zahlen

5.3  Subjektive Zahlauffassungen von Kindern

•

•

•

•

•

91

Paarbildung von jeweils zwei aufeinander folgenden Zahlen, das Hervorheben der Zehnerzahlen als die subjektiv wesentlichen Zahlen, die Zahlenanordnung entsprechend dem Hunderterfeld, besondere additiv oder multiplikativ strukturierte Muster an. Während der gesamten Grundschulzeit hatten fast alle Kinder Lieblings- und Pechzahlen, viele Kinder assoziierten Zahlen mit bestimmten Personen, Gegenständen, Ereignissen und mit Farben. Diese Auffassungen waren jedoch meist sehr instabil. So gaben von 27 mehrfach befragten Kindern nur acht Kinder tendenziell die gleiche Lieblingszahl an. Zugleich waren die inhaltlichen Bezüge zwischen einer Zahl einerseits und einem Gegenstand, einer Person oder einem Ereignis andererseits sehr verschieden. Sie bezogen sich z. B. auf das jeweilige Alter, auf das Geburtstagsdatum eines Kindes oder einer anderen Person, auf ein besonderes Ereignis oder auf Gegenstände, die bestimmte Zahlen präsentieren (Würfel als „Sinnfigur“ für 6, Triangel für 3 etc.). Bemerkenswert ist ferner, dass in etwa 45 % der 170 Interviews die Kinder Zahlen eindeutig Farben zuordneten. Dabei ordneten von den 27 mehrfach befragten Kindern vier Schüler jeweils von Klasse 1 bis 4 Zahlen konstant die gleichen Farben zu. Auf dieses Phänomen verweist auch Dehaene, der angibt, dass 5 bis 10 % aller Menschen fest davon überzeugt sind, dass „Zahlen Farben haben und im Raum einen sehr genau umrissenen Ort einnehmen“ (Dehaene 1999, S. 100). Dehaene vermutet, dass solche subjektiven, emotional geprägten Zahlauffassungen „damit etwas zu tun haben, wie sich im Gehirn im Lauf der Entwicklung Karten von Raum und Zahl ausbilden“ (ebenda, S. 102), und dass kortikale Karten, die Farbe, Form und Ort von Objekten kodieren, sich mit der Karte überlappen, die das Wachstum des numerischen Netzwerks verschlüsselt (Dehaene 1999, S. 102–103). Für eine solche Annahme gibt es inzwischen eine Reihe empirischer Befunde. Subjektive Zahlauffassungen von Grundschülern beeinflussen die Motivation vieler Kinder beim Lernen im Mathematikunterricht. Das Verwenden der Lieblingszahl eines Kindes kann dessen Lust und Interesse beim Schreiben von Ziffern im ersten Schuljahr oder beim Rechnen in allen Schuljahren sehr steigern, während demgegenüber z. B. das Rechnen mit einer „Pechzahl“ motivationshemmend sein kann. Tendenziell gibt es keine geschlechtsspezifischen Besonderheiten und nur teilweise Zusammenhänge zwischen subjektiven Zahlauffassungen und der mathematischen Leistungsfähigkeit von Kindern. In den Untersuchungen zeigte sich, dass auch mathematisch leistungsstarke Schüler durchaus „mathematikuntypische“ Zahlenanordnungen bevorzugen und diese assoziieren. Deutliche Anhaltspunkte gibt es jedoch für eine unterschiedliche Qualität im individuellen Umgang mit subjektiven Zahlauffassungen. Für Kinder mit Lernschwierigkeiten bedeuten subjektive Auffassungen, die von normierten, im Unterricht üblicherweise verwendeten Festlegungen abweichen, offenbar ein zusätzliches Erschwernis beim Lernen von Mathematik (Lorenz 1992). Dagegen können leistungsstarke Grundschüler im Allgemeinen souverän zwischen ihren andersartigen subjektiven Auffassungen und den „offiziell richtigen“ Auffassungen im Unterricht

92

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

unterscheiden. Sie „spielen“ sogar gern mit ihren individuellen „Zahlenbildern“, nutzen diese oft für ein vorteilhaftes Rechnen oder entwickeln aus solchen andersartigen Auffassungen originelle Lösungsideen.

5.4 Der Übergang von der Kita in die Grundschule aus ganzheitlicher Sicht Übergänge von einer Bildungseinrichtung auf eine andere sind für Kinder generell einschneidende Ereignisse, die sich, wie in den Abschn. 5.2 und 5.3 aufgezeigt wird, auf gravierende Veränderungen hinsichtlich kognitiver Anforderungen (und natürlich auch Möglichkeiten), aber ebenso auf verschiedene neuartige soziale und soziologische Herausforderungen, auf Veränderungen von Tagesabläufen u. v. a. m. beziehen (z. B. Sirsch 2000; van Ophuysen 2008). Die Komplexität der Herausforderungen impliziert wiederum, dass neben den Kindern auch deren Eltern sowie die Erzieher in den Kitas und die Grundschullehrkräfte aktiv in den Prozess des Übergangs von der Kita in die Grundschule integriert sind. Dementsprechend beschreiben Griebel und Niesel den Übergang als vielschichtige, ineinander übergehende und „spannungsgeladene“ Wandlungsprozesse: „Transitionen sind Lebensereignisse, die die Bewältigung von Diskontinuitäten auf mehreren Ebenen erfordern, Prozesse beschleunigen, intensiviertes Lernen anregen und als bedeutsame biografische Erfahrungen von Wandel in der Identitätsentwicklung wahrgenommen werden.“ (Griebel und Niesel, 2011, S. 37–38). Hinsichtlich der Vielschichtigkeit der Transitionen können drei Ebenen unterschieden werden: die individuelle Ebene (des Einzelnen), die interaktionelle Ebene (der sozialen Beziehungen) und die kontextuelle Ebene (der Lebensumwelten) (Griebel und Niesel 2004, S. 35). In dem von Griebel und Niesel entwickelten Transitionsmodell spiegelt sich die Komplexität der wechselseitigen Beziehungen aller beteiligten Akteure (Kinder, Eltern, Bildungsinstitutionen und deren Fachkräfte, soziale Netzwerke) wider: Für das Transitionsmodell4 und somit für die Übergangsgestaltung sind folgende Aspekte und Zusammenhänge wesentlich: • Transitionen sind ko-konstruktive Prozesse, in die alle daran beteiligten Akteure partizipierend einbezogen werden und zusammenwirken. • Kinder und deren Eltern sind die aktiv Beteiligten, die den Übergang auf drei Ebenen (individuell, interaktionell, kontextuell) zu bewältigen haben. Eltern befinden sich hierbei in einer Doppelrolle.

4Das

Transitionsmodell kann prinzipiell auch auf den Übergang von der Grundschule in eine weiterführende Schule übertragen werden. Dies gilt in vergleichbarer Weise ebenso für die Erläuterungen zum Transitionsmodell und für die nachfolgenden Empfehlungen zur Gestaltung des Übergangs von der Kita in die Grundschule.

5.4  Der Übergang von der Kita in die Grundschule …

93

• Die Hauptaufgaben der Erzieher in Kitas und der Grundschullehrkräfte sowie anderer sozialer Netzwerke besteht darin, eine erfolgreiche Übergangsbewältigung für jedes Kind zu organisieren, zu begleiten und zu fördern. Hierfür ist eine konstruktive Kommunikation und Kooperation mit allen Personenkreisen notwendig. Transitionsbewältigung bezieht sich somit auf das gesamte soziale System. • Der Begriff „Schulfähigkeit“ wird neu definiert, und die für eine erfolgreiche Übergangsbewältigung benötigten Kompetenzen werden neu bestimmt. Bezüglich Letzterem gab bzw. gibt es in den letzten Jahren z. T. kontroverse Diskussionen. So lehnen Erzieher das Einrichten von speziellen Vorschulgruppen häufig ab, weil sie das in diesen Gruppen mehr oder weniger zielgerichtete Üben (isolierter) Vorläuferfähigkeiten5, wie z. B. von Fähigkeiten im Ordnen und Sortieren oder von Wahrnehmungskompetenzen, kritisch sehen. Ihrer Meinung nach kann eine Schulvorbereitung in „normalen“ Alltagssituationen, im Spiel und in offen gestalteten Lernsituationen vergleichsweise besser gewährleistet werden (vgl. hierzu den NumeracyAnsatz in Fuchs 2015). Die Kinder werden hierbei als autonome, wissbegierige und forschend Lernende von Geburt an gesehen. Sie erwerben nach dem Ansatz von KoKonstruktion in gemeinsamer Interaktion mit den Lernbegleitern ihr Wissen, und Lernaktivitäten orientieren sich dabei an den Stärken der Kinder. Eine solche Position steht aber im Widerspruch zu dem noch vielfach vertretenden schulpädagogischen Selektionskonzept, wonach „Schulfähigkeit“ als ausschlaggebende Kompetenz des Kindes definiert wird. In der Praxis wird die Schulfähigkeit gewöhnlich durch Testverfahren, mit denen mathematische Basiskompetenzen überprüft werden, erfasst. Die Kritik hieran bezieht sich vor allem auf das damit verfolgte Ziel, Kinder zu selektieren und eine gewisse Homogenität unter den Schulanfängern zu erreichen. Außerdem ist die hiermit verbundene implizite Erwartungshaltung vieler Schulen, Kitas als „Zulieferer“ für kompetente und gut vorbereitete Schulanfänger zu sehen (die aber zugleich noch nicht viel über Zahlen und Buchstaben wissen sollten) problematisch. Hiermit hängt ein dritter Kritikpunkt zusammen, der darin besteht, dass Schuleingangstests nicht auf die Stärken und besonderen Potenziale von Kindern fokussiert sind, sondern vielmehr auf das Erfassen von Defiziten.

5Der Begriff „Vorläuferfähigkeiten“ ist vom Begriff „mathematische Basiskompetenzen“ zu unterscheiden, der sich aus der konstruktiven Kritik an den Vorläuferfähigkeiten entwickelt hat. Unter mathematischen Basiskompetenzen versteht man demgemäß vielfältige mathematische Erkenntnisse, Fähigkeiten und Einsichten, die als Fundament für jegliches lebenslanges Mathematiklernen dienen. Sie ermöglichen z. B., die Bedeutung der Mathematik in der Umwelt zu erkennen und zu verstehen, und tragen dazu bei, dass sich Kinder auf eine Weise mit Mathematik befassen, die den Anforderungen ihres gegenwärtigen und künftigen Lebens entsprechen. Mathematische Basiskompetenzen zielen demzufolge auf einen verständnisvollen Umgang mit Mathematik und auf die Fähigkeit, mathematische Begriffe als „Werkzeuge“ in einer Vielzahl von Kontexten einzusetzen.

94

5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Die Erwartungshaltungen von Eltern orientieren sich dagegen im Übergang vor allem an eigenen biografischen Erfahrungen. Je näher der Einschulungstermin naht, desto stärker erwarten sie von ihren Kindern „traditionelle“ Werte, wie Disziplin, Anpassung, Pünktlichkeit und die Bereitschaft, von Erwachsenen vorgegebene Aufgaben zu erfüllen. Zugleich legen viele Eltern in der Vorschulphase größeren Wert auf die kognitiven Kompetenzen ihrer Kinder und fordern von den Erziehern in den Kitas mitunter die Durchführung von Vorschulprogrammen. Allgemeine Kompetenzen zur Übergangsbewältigung, in erster Linie soziale Kompetenzen, wie sie von den Erziehern stärker gewichtet wurden, erscheinen vielen Eltern weniger wichtig (Griebel und Niesel 2004, S. 129). Die Erzieher geraten demgemäß häufig in ein Spannungsfeld: Einerseits begleiten sie den Kompetenzerwerb im Alltag der Kinder, greifen vielfältige Themen auf und gestalten anregende Lernumgebungen, andererseits geraten sie schnell unter Druck, wenn Lehrkräfte oder Eltern verlangen, dass sie mit den Kindern im letzten Kindergartenjahr fokussiert Vorläuferfähigkeiten fördern sollen, um spätere „Lernstörungen“ vermeiden und schulische Lernerfolge gewährleisten zu können. Hinzu kommt die bereits angesprochene Sorge, dass mathematisch begabte Kinder schon „zu hohe Kompetenzen“ im Zählen, Rechnen und im Umgang mit Formen besitzen könnten, was in der Schule zum Problem einer Unterforderung führen würde. Aus dieser Sicht erscheinen der Begriff „Schulfähigkeit“ und der hiermit verbundene Einsatz von Schuleingangstests sehr problematisch. Sinnvoller wäre es dagegen, im Sinne der inklusiven Bildung (Kap. 15) Schulen so auszustatten und Lehrkräfte zu befähigen, dass sie sich auf die vielfältigen individuellen Bedürfnisse und Potenziale aller Kinder beim Übergang von der Kita auf die Grundschule einstellen können. Das bedeutet, dass Schulen und Lehrkräfte sowie Kitas und Erzieher vor allem kindorientiert agieren und gemeinsam die Verantwortung übernehmen sollten, jedem Kind einen gelingenden Schulstart zu ermöglichen. Dieser Grundorientierung folgend hat sich inzwischen der Begriff „Anschlussfähigkeit“ etabliert. Anschlussfähigkeit impliziert das Aufgreifen von „Kompetenzen […], die ihnen [den Kindern] den Übergang von der Kindertageseinrichtung in die Grundschule erleichtern und den Schulanfang fördern“ (Neuß 2010, S. 77). Überlegungen zur Gestaltung des Übergangs lassen sich nach verschiedenen Perspektiven kategorisieren, sodass Anschlussfähigkeit aus der Perspektive des Kindes, des Systems, der curricularen Vorgaben oder der Didaktik gedacht werden kann (vgl. Eckerth und Hanke 2015, S. 29 ff.). Zudem ergänzen Maßnahmen zur Kooperation und Übergangsbegleitung sowie fachpädagogischen Aus- und Weiterbildung Handlungsmöglichkeiten im Übergang zwischen Institutionen (vgl. Roßbach und Kluczniok 2013, S. 308). Unter diesem allgemeinen Fokus sind es vorrangig Systeme, die einer Anschlussfähigkeit von Bildung bedürfen. Unter mathematikdidaktischer Perspektive lässt sich konkretisieren, dass es diesbezüglich „weniger um … [eine allgemeine] Anschlussfähigkeit zwischen Systemen als um die Kontinuität fachlichen Lernens“ (Gasteiger 2017, S. 16–17) geht. Diesbezüglich konnten G. Wittmann u. a. in der Studie AnschlussM erhebliche Wissensdefizite von Lehrkräften (und Erziehern) im Hinblick darauf, wie diese in der jeweils anderen Institution

5.5  Didaktisch-methodische Orientierungen …

95

mathematische Bildung umsetzen, aufzeigen (vgl. Wittmann et al. 2016, S. 47). Die Studie zeigte ebenso auf, dass im mathematischen Anfangsunterricht der Lehrerfokus auf leistungsschwächere Schüler gerichtet ist. Eine an den Stärken der Kinder orientierte Förderung, sodass an bereits erworbene Kompetenzen angeknüpft wird, bleibt sekundär (vgl. ebd., S. 53). Daraus resultieren in der Schulpraxis viele Diskontinuitäten. G. Wittmann u. a. bemängeln etwa, „dass im Kindergarten erworbene Vorkenntnisse im Anfangsunterricht nicht entsprechend gewürdigt und aufgegriffen werden, weil sie auch nicht erwartet werden, was im Hinblick auf kontinuierliche Bildungsprozesse und damit die Anschlussfähigkeit speziell für leistungsstärkere Kinder kritisch zu sehen ist“ (ebd., S. 149). Als Konsequenz aus den empirischen Befunden und den beschriebenen Diskussionen lässt sich für die Gestaltung des Übergang von der Kita in die Grundschule ableiten, dass es für einen erfolgreichen Übergang einer ausgewogenen Gestaltung von Kontinuitäten vs. Diskontinuitäten, Abstimmungen und Verbindungen auf curricularer Ebene sowie Maßnahmen zur Kooperation bei „Risikogruppen“ bedarf (vgl. Kluczniok und Roßbach 2014, S. 19). Inwieweit Übergänge eher als Chance erlebt werden oder Übergangsprobleme in Form von Unsicherheit, Angst und Belastung auftreten, hängt – wie schon herausgestellt – von allen im den Prozess eingebundenen Personen ab (vgl. Koop und Steenbuck 2011, S. 6). Unter Berücksichtigung der zu bewältigenden vielschichtigen Entwicklungsaufgaben kann ein Übergang u. E. dann als gelungen abgeschlossen eingeschätzt werden, wenn alle Entwicklungsaufgaben von den Akteuren des Übergangsprozesses so bewältigt wurden, dass sich das Kind mit der Rolle des Schulkindes authentisch identifizieren kann, sich wohlfühlt und mit seiner gesamten Persönlichkeit in der Schule wahrgenommen und wertgeschätzt wird, was eine individuelle Förderung entsprechend seinen individuellen Potenzialen und Bedarfen einschließt.

5.5 Didaktisch-methodische Orientierungen für den mathematischen Anfangsunterricht Aus den vorangegangenen Kapiteln ergeben sich schlagwortartig folgende Grundorientierungen für die Gestaltung der ersten Schulwochen: • Anknüpfen an die sehr beachtlichen und zugleich differenzierten Vorkenntnisse von Schulanfängern, • gründliches Erfassen und Analysieren der Vorkenntnisse aller Schulanfänger in den ersten Schulwochen, • differenzierendes Lernen vom ersten Schultag an, • eine ganzheitliche Erarbeitung des Zahlenraums bis 10 bzw. bis 20 in einem ersten Stoffkomplex, • ein behutsames, aber konsequentes Auseinandersetzen mit fehlerhaften bzw. scheinbar fehlerhaften Vorkenntnissen, Strategien, Automatismen von Schulanfängern.

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5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Beispiele für ganzheitliche „Einstiege“ in den Zahlenraum bis 10 bzw. 20 sind beispielsweise seit Längerem in den Schulbuchreihen „Das Zahlenbuch“, „Leonardo“, „Rechenwege“, „Mathehaus“ oder „Matheprofis“ realisiert. Als Aufgaben, die Kindern die Möglichkeit zum Zeigen ihrer Vorkenntnisse (und somit für sie motivationsfördernd sind; Abb. 5.16) und Lehrern zugleich Diagnosemöglichkeiten geben, eignen sich neben den im Abschn. 5.2 vorgestellten Testaufgaben Zähl- und Rechenspiele, Sortier- und Legeaufgaben oder kleine Rechengeschichten.

Abb. 5.16   Aufgabenbeispiele für die Diagnose spezieller mathematischer Vorkenntnisse von Schulanfängern (Käpnick et al. 2011a, S. 6)

Abb. 5.17   Transition als ko-konstruktiver Prozess (Griebel und Niesel 2004, S. 120)

5.5  Didaktisch-methodische Orientierungen …

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Abb. 5.18   Aufgabenbeispiele für die Diagnose kognitiver Grundkompetenzen (Käpnick et al. 2011d, KV1,1; KV2,1)

Für das Erfassen des Ausgangsniveaus bzgl. mathematischer Basiskompetenzen bieten sich beispielsweise folgende Aufgabenideen (Abb. 5.18) an: Die Aufgaben dienen natürlich nicht nur zum Erfassen des jeweiligen Ausgangsniveaus eines Kindes, sondern sollten zugleich als „Ausgangspunkt“ für das Planen individueller Förderkonzepte für einzelne Kinder genutzt werden. Diesbezüglich ist generell einzukalkulieren, dass die Förderung solcher Kompetenzen eine immanente Aufgabe während der gesamten Grundschulzeit bleiben wird. Für die Umsetzung der aus dem Transitionsmodell von Griebel und Niesel (2017) und der hieraus resultierenden Kennzeichnung eines gelungenen Übergangs von der Kita in die Grundschule können darüber hinaus folgende Praxisempfehlungen6 hilfreich sein: • In Bezug auf die Kinderebene vor dem Übergang: Durchführung von Schnuppertagen für Kinder an den zukünftigen Grundschulen oder von Schulbesuchen, verbunden mit Ritualen, wie z. B. „Tag der offenen Tür in der neuen Grundschule“, weiterhin von

6Die

nachfolgend aufgelisteten Praxisempfehlungen sind den Autoren von zahlreichen Lehrkräften aus der Praxis als über viele Jahre erfolgreich entwickelte Rituale bzw. schulische Maßnahmen genannt worden.

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5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

gemeinsam gestalteten Projekten in der Kita und der Grundschule, wie etwa einer Matherallye, mathematischen Forscherstunden, Schul- und Kitafesten • In Bezug auf die Schülerebene nach dem Übergang: Durchführung von Kennenlernund Eingewöhnungstagen oder einer „Kennenlernwoche“ in der neuen 1. Klasse, von Veranstaltungsformaten, auf denen die Schulanfänger ihre besonderen Potenziale bzw. Stärken mithilfe von „Übergangsportfolios“ präsentieren, und von Aufnahmefeiern für die Schulanfänger, gestaltet durch die „Großen“, sowie Organisieren von Patenschülern und Patenklassen für die Schulanfänger • In Bezug auf die „Pädagogenebene“: Durchführung von Klausurtagungen zwischen den Erziehern der Kitas und den Lehrkräften der neuen ersten Klassen zum Thema „Anschlussfähigkeit“, von Besuchen der Lehrkräfte der zukünftigen ersten Klassen in den Kitas, von gegenseitigen Hospitationen, weiterhin gegenseitiges Vorstellen von Kita- und Schulkonzepten und Durchführung gemeinsamer Fortbildungen zu übergangsrelevanten Themen • In Bezug auf die Elternebene: Durchführung von Elternabenden (Informationen zum Übergang von den Fach- und Lehrkräften an die Eltern), von Elternstammtischen (Austausch von Eltern zu Eltern), weiterhin individuelle Übergabe- bzw. Aufnahmegespräche z. B. bei der Schulanmeldung Abschließend werden didaktisch-methodische Grundorientierungen für zwei besondere Aspekte vorgestellt, die in der Schulpraxis m. E. häufig weniger beachtet werden bzw. bezüglich derer es noch viel Unsicherheit unter Lehrern gibt. Die erste Thematik betrifft Möglichkeiten einer sinnvollen Einbeziehung subjektiver Zahlauffassungen in den Mathematikunterricht der Grundschule. Die im Abschn. 5.3 vorgestellte Studie bekräftigte, dass vielfältige subjektive Zahlauffassungen ein wichtiger Ausgangspunkt und eine immanente Komponente mathematischer Lernprozesse von Grundschulkindern sind. Deshalb sollten Schülern im Mathematikunterricht Möglichkeiten eingeräumt werden, sich mit den verschiedenartigen subjektiven Zahlauffassungen konstruktiv auseinanderzusetzen, anstatt den Kindern kleinschrittig fremde Auffassungen überstülpen zu wollen oder diese mit ihren andersartigen subjektiven Auffassungen allein zu lassen. Subjektive Zahlauffassungen könnten sogar sinnvoll für das Auslösen und Organisieren von Lernprozessen im Mathematikunterricht genutzt werden. Hierzu gehört m. E. auch, dass im Mathematikunterricht subjektive Zahlauffassungen der Kinder gelegentlich thematisiert werden – mit dem Ziel, dass die Kinder ihre eigenen subjektiven Auffassungen erkennen, sich damit auseinandersetzen und dabei lernen, zwischen mathematischen und andersartigen Sichtweisen zu unterscheiden. Hierfür werden nachfolgend zwei konkrete Anregungen vorgestellt: Projekt zum Thema „Meine Lieblingszahl“ Für die Durchführung des Projekts empfiehlt es sich, dass die Kinder zunächst frei und ungezwungen über ihre Lieblingszahlen und über subjektiv empfundene Bedeutungen dieser Zahlen sprechen. Hierbei können die Kinder bereits die Vielfalt emotionaler

5.5  Didaktisch-methodische Orientierungen …

99

Zahlauffassungen erfahren. Möglich wäre ebenso, die Häufigkeit aller Lieblingszahlen in einer Tabelle zu erfassen und zu diskutieren. Anschließend könnte jedes Kind zu seiner Lieblingszahl ein Blatt gestalten, Bilder von Figuren oder Muster aufkleben oder zur Lieblingszahl Figuren basteln bzw. legen. Beim Präsentieren der Eigenproduktionen (Abb. 5.19) sollten die Kinder wechselseitig versuchen, die Ideen der anderen zu verstehen und sie mit den eigenen Auffassungen zu vergleichen. Für den Lehrer ergeben sich dabei oft sehr interessante Einsichten in vielfältige subjektive Auffassungen der Kinder. Gemeinsames Erkunden und Diskutieren von Zahlbesonderheiten Subjektive Zahlauffassungen von Kindern hängen oft mit historischen Entwicklungen der Zahlen und Zahlsysteme zusammen, sodass solche Kinderkommentare zugleich Ausgangspunkte für interessante mathematische Erkundungen sein können. Zum Beispiel regt Benjamins Kommentar (Abb. 5.9) zum Erforschen der Zahlwortbildung an: Warum weichen die Zahlwörter für 11 und 12 von den Zahlwörtern der nachfolgenden Zahlen ab? Wie sind die Zahlwörter und Zahlzeichen entstanden? Gibt es solche Besonderheiten der Zahlwortbildung auch in anderen Sprachen? Beim Erforschen der „Zahlgeschichte“ könnten die Kinder dann auf historische Zahlsysteme mit verschiedenen Bündelungseinheiten stoßen und entdecken, dass die Zwölf wegen der großen Anzahl von Teilern in früheren Zeiten eine bevorzugte Bündelungseinheit war. In diesem Zusammenhang könnten sie ferner die Begriffe „Dutzend“ oder „Sechser“ klären etc.

Abb. 5.19   Beispiele für kindliche Eigenproduktionen zum Thema „Meine Lieblingszahl“

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5  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts

Eine zweite besondere Thematik des mathematischen Anfangsunterrichts stellt das Fingerrechnen dar, das auch schon in den Studien zu Schulanfängern (vgl. Abschn. 5.2) als ein weit verbreitetes Phänomen festgestellt wurde. Hauptgründe für die häufige Nutzung der Finger beim Rechnen sind: • • • •

Die Finger sind im Allgemeinen immer vorhanden. Das Rechnen mit Fingern ist ein visuelles Operieren. Beim Fingerrechnen können Kinder günstig an Zählstrategien anknüpfen. Zehn Finger sind die am leichtesten zugängliche Form der Repräsentation der Zahlen von 0 bis 10. • Schon Vorschulkinder benutzen die Finger zum Zählen und Rechnen. • Fingerrechnen ist im Zahlenraum bis 10 bzw. 20 meist erfolgreich. • Zählen mit Fingern ist als rhythmische Aktivität unter Kindern beliebt. Demgegenüber sind folgende Probleme beim „Fingerrechnen“ von Kindern hinlänglich bekannt: • die einseitige Betonung des Ordinalzahlaspektes, • ein z. T. umständliches und fehleranfälliges Rechnen beim Addieren über 10, beim Subtrahieren (Rückwärtszählen) und beim Analogierechnen (z. B. 8  + 7 → 18  + 7), • das Problem des Fingerrechnens als „verführerische Bequemlichkeit“, wodurch die Entwicklung abstrakten und strukturellen Denkens verzögert wird, • das Problem der Verzögerung oder Verhinderung der Entwicklung von Kreativität, des Erkennens von gesetzmäßigen Zusammenhängen beim Rechnen, • die Beeinträchtigung von Schnelligkeit, Ökonomie und Effizienz beim Rechnen in höheren Zahlenräumen, • die Benutzung der dominanten Hand beim Fingerrechnen und beim Aufschreiben von Ergebnissen, woraus Koordinierungsprobleme bei den Kindern entstehen. Hinsichtlich des „Pro“ und „Kontra“ zum Fingerrechnen belegen Fallstudien zu Erst- und Zweitklässlern, dass das Rechnen mit Fingern in der „zahlbezogenen Individualgenese von Kindern eine unverzichtbare Entwicklungsphase [ist], ein schnell vorübergehendes, im Laufe der Schulzeit an Bedeutung verlierendes Übergangsstadium für die einen, für andere ein Stadium, in dem sie hängenbleiben und stagnieren“ (Bauer 1992, S. 11). Da das Nutzen der Finger für viele Kinder – zumindest für eine Übergangsphase – eine wichtige, mitunter die einzige Stütze für ein erfolgreiches Rechnen ist, verbietet sich ein Ignorieren oder sogar generelles Verbieten dieser Rechenstrategie im Unterricht (vgl. Bauer 1992). Die Fallbeispiele zeigen demgegenüber auch, dass Kinder beim Rechnen mit den Fingern geschickt Zahlen zerlegen (z. B. 8 in 5 und 3) oder gesetzmäßige Zusammenhänge nutzen (z. B. Anwenden der Kommutativität der Addition beim Lösen der Aufgabe „2  + 5“). Deshalb empfiehlt sich zusammengefasst für das Phänomen des „Fingerrechnens“:

5.5  Didaktisch-methodische Orientierungen …

101

• Fingerrechnen sollte als ein normales, meist schnell vorübergehendes Übergangsstadium im Grundschulalter angesehen werden. • Fingerrechnen sollte nicht verboten oder ignoriert, sondern genau beobachtet und analysiert werden. • Fingerrechner sollten behutsam zur verstärkten Nutzung anderer effektiverer Rechenstrategien geführt werden, z. B. durch Reduktion des optischen Kontaktes und der motorischen Grundlage, durch sprachliche Begleitung der Fingerhandlungen oder durch ein verstärktes Anbieten von Strichlisten, Mengenbildern u. Ä. m. (Bauer 1992, S. 12–13). Mögliche Weiterentwicklungen Seit einigen Jahren gibt es in Deutschland sowohl auf bildungspolitischer als auch auf wissenschaftlicher und „erziehungspraktischer“ Ebene eine verstärkte Zuwendung zur frühkindlichen Förderung. Im Zuge dieser Entwicklung sind bereits viele Spiel- und Lernmaterialien zu einer vorschulischen Bildung mit mathematischen Inhaltsbezügen konzipiert worden. Diese beruhen allerdings auf unterschiedlichen, z. T. konträren pädagogischen Konzepten (vor allem Instruktion vs. Konstruktion, Vorwegnahme schulischer Lerntätigkeiten vs. geschicktes Nutzen von Alltags- bzw. Spielsituationen für ein ungezwungenes Reifen etc.). Es bleibt abzuwarten, welche dieser Ansätze sich nachhaltig in den Kindertagesstätten etablieren und welche Effekte sich hieraus für das Lernausgangsniveau von Schulanfängern ergeben. Wünschenswert wäre außerdem, in mathematikdidaktischen Untersuchungen noch differenziertere Erkenntnisse zu Denkprozessen von fünf- bis siebenjährigen Kindern bei Zähl- und Rechenaktivitäten, beim Umgang mit geometrischen Formen und Größen sowie über ihre Auffassungen zu Zufallsereignissen zu gewinnen. Hieraus ließen sich sicher weiter verbesserte Diagnose- und Förderkonzepte für den mathematischen Anfangsunterricht entwickeln, die den individuellen Besonderheiten der Kinder in angemessener Weise entsprechen. Abzuwarten bleibt weiterhin, inwiefern schulpraktische Erfahrungen mit jahrgangsgemischten „Eingangsklassen“ Anregungen für neue Organisationsformen des mathematischen Anfangsunterrichts liefern können. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welche subjektiven Zahlauffassungen (individuell bevorzugte Zahlanordnungen, besondere Assoziationen zu Zahlen sowie zwischen Zahlen einerseits und Personen, Ereignissen oder Farben andererseits) hatten Sie in Ihrer Kindheit und inwiefern beeinflussten diese Ihr Lernen im Mathematikunterricht? • Wie würden Sie in den ersten Schulwochen die mathematischen Vorkenntnisse von Erstklässlern erfassen? • Welche Gründe sehen Sie darin, dass viele Kinder zu Beginn des ersten Schuljahres Mathematik als Lieblingsfach angeben, in den nachfolgenden Schuljahren aber eine eher distanzierte oder sogar negative Einstellung zu diesem Fach entwickeln?

6

Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen im Mathematikunterricht

Der sechsjährige Julian zeigt auf ein Rechteck und sagt: „Das ist so eine flache Fläche und das hier, das ist höher.“ (Julian zeigt auf einen Quader.) Als Begriffswort für Quader schlägt er vor: ‚Hochrechteck‘ (Das Fallbeispiel stammt von Friedhelm Käpnicks Mitarbeiterin Frau Talhoff, die zu einer mathematischen Aktivität in einer kleinen „Kindergartengruppe“ ein entsprechendes Transkript anfertigte.)

Inhaltsverzeichnis 6.1 Aneignung mathematischer Begriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2 Erwerb von Methodenkompetenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3 Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4 Erwerb von Kompetenzen im Begründen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.5 Sprachsensible Gestaltung des Mathematikunterrichts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Das Beispiel eines Vorschulkindes zeigt exemplarisch, dass jüngere Kinder bereits zumindest intuitiv sowohl Gemeinsamkeiten von als auch einen wesentlichen Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quader erkennen und begrifflich sinnvoll bezeichnen können. Die Aneignung theoretischer Begriffe und Begriffssysteme sowie die Ausbildung von Denkoperationen wie Klassifizieren, Verallgemeinern oder Abstrahieren kennzeichnen markant grundlegende Veränderungen in der kognitiven Entwicklung von Kindern während der ersten Schuljahre. In diesem Kapitel werden verschiedene Konzepte für den Prozess des Begriffserwerbs, für Niveaustufen im Umgang mit Fachbegriffen, weiterhin Möglichkeiten zum Erwerb spezieller Methodenkompetenzen wie auch von Lernstrategien zum Strukturieren und Vernetzen von erworbenen Kenntnissen und zur Gestaltung eines sprachsensiblen Mathematikunterrichts in der Grundschule erörtert. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_6

103

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

6.1 Aneignung mathematischer Begriffe Die Entwicklung des Verstehens und Gebrauchens von Fachbegriffen kann man als Übergang von der Erkenntnis des Dings „für sich“ zur Kenntnis des „Wesens der Dinge“ beschreiben. Charakteristisch für diesen Erkenntnisprozess ist, dass ein individuell erworbenes, häufig diffuses Alltagsverständnis zu einem Begriff schrittweise in ein immer abstrakteres, präziseres und komplexeres Wissen über ein Begriffswort, seine inhaltliche Bedeutung und seine Einordnung in einem Begriffssystem überführt wird. Typisch für jüngere Kinder ist dabei, dass sie • ihr Verständnis eines „Alltagsbegriffs“1 oft nach pragmatischen Aspekten, weniger nach formal-logischen Aspekten entwickeln (Zum Beispiel sehen viele Kinder die inhaltliche Bedeutung von Zahlen nur bzw. hauptsächlich darin, dass sie „zum Zählen da sind“.), • einen Alltagsbegriff meist nur unscharf von anderen Begriffen abgrenzen können (Für viele Schulanfänger sind beispielsweise Viereck und Quadrat synonyme Begriffe.), • beim Erwerb eines Alltagsbegriffs oft auf unterschiedliche Weise klassifizieren und somit verschiedene Überlappungen von Begriffswörtern und Begriffsinhalten erhalten (z. B. Tag als Zeitspanne vom Aufstehen bis zum Einschlafen, aber auch als Dauer von einem Mittagessen bis zum nächsten Mittagessen oder von 0 bis 24 Uhr), • meist auf einem mittleren Differenzierungsniveau verallgemeinern und damit relativ unscharfe Begriffe gewinnen (z. B.: „Die Mathestunde ist eine Stunde in der Schule, in der wir mit Zahlen rechnen.“ (Max, 2. Klasse)). Ein theoretischer Begriff ist dagegen aus erkenntnistheoretischer Sicht die gedankliche Widerspiegelung eines Komplexes invarianter Merkmale2. Zu einem theoretischen Begriff gehören im Allgemeinen • •

der semantische Aspekt (Bedeutungsfunktion, Kennzeichnung des Begriffsinhalts), der sigmatische Aspekt (Begriffswort bzw. Bezeichnung des Begriffs) und

1Nach

Wygotski werden als Alltagsbegriffe solche Begriffe bezeichnet, die sich ein Kind außerhalb des Unterrichts durch den täglichen Umgang mit anderen Menschen und durch den Gewinn eigener Erfahrungen aneignet. Diese Form der Begriffsaneignung ist vor allem für Vorschulkinder charakteristisch. Da das Denken von Vorschulkindern aber noch stark von subjektiven Erlebnissen und Einschätzungen geprägt ist, spiegeln Alltagsbegriffe wesentliche und unwesentliche Merkmale in einer „bunten Mischung“ wider, auch Wechselbeziehungen zu anderen Begriffen sind oft entstellt (Wygotski 1964, S. 226). 2Die invarianten Merkmale (Klassen bildenden Merkmale) sind die auf alle Individuen zutreffenden und diese charakterisierenden gemeinsamen, unveränderlichen Merkmale.

6.1  Aneignung mathematischer Begriffe

105

• der syntaktische Aspekt (der die Beziehungen eines Begriffs zu anderen Begriffen klärt). Demgemäß umfasst die Erarbeitung eines theoretischen bzw. Fachbegriffs im Mathematikunterricht im Allgemeinen folgende drei Komponenten: • Erkennen und Bestimmen der wesentlichen Merkmale eines Begriffs, • Angeben einer Merkmalsbeschreibung bzw. – im logisch „strengeren“ Sinne – einer Definition, • Erkennen von Zusammenhängen zu anderen, bereits bekannten Begriffen und Einordnen des Begriffs in ein entsprechendes Begriffssystem. Den Prozess der Aneignung eines theoretischen Begriffs vollziehen Grundschulkinder noch längere Zeit durch ein empirisches Verallgemeinern. Auf dieser Basis, also z. B. durch visuelles Wahrnehmen von geometrischen Figuren wie der sechsjährige Julian, können Kinder einfache Raum-, ebenso Zeit- oder Kausalbeziehungen erfassen (Kossakowski 1987, S. 219). Das Vergleichen und Klassifizieren von gemeinsamen Merkmalen oder von Beziehungen zwischen Dingen, Erscheinungen u. Ä. m. (was dem Vordringen zum Wesen eines theoretischen Begriffs entspricht) gelingt den Kindern im Verlauf der Grundschulzeit aber auch zunehmend unabhängig von der unmittelbaren Wahrnehmung auf der Grundlage von internen Repräsentationen (Vorstellungen, begrifflichem Wissen) der Realität. Somit bestimmt die Qualität solcher kognitiver Operationen neben dem jeweiligen Niveau ihres Alltagsverständnisses den kindlichen Prozess des Erlernens eines theoretischen Begriffs. Diesbezüglich haben Grundschulkinder – entsprechend ihrem kognitiven Entwicklungsniveau nach Piaget, Wygotski (1964), Kossakowski (1985) und anderen – beim Erlernen theoretischer Begriffe oft noch Probleme, zwischen wesentlichen und unwesentlichen Merkmalen zu unterscheiden. Vor allem Schulanfänger orientieren sich noch vorwiegend an äußeren und für sie subjektiv bedeutsamen Merkmalen. Das führt zu zwei typischen „Fehlern“, zu einer ungerechtfertigten Einengung oder zu einer ungerechtfertigten Ausdehnung der Merkmale eines Begriffs (Krutetzki 1985, S. 161). Demgemäß enthalten Schulbücher für den Mathematikunterricht der Grundschule fast ausschließlich kleine Merksätze (Abb. 6.1) als Begriffsbestimmungen, in denen zwar wesentliche Merkmale eines Begriffs in einer für Kinder leicht verständlichen Sprache angegeben werden, die aber meist nicht den Anforderungen einer korrekten und widerspruchsfreien Definition genügen (vgl. Beispiele in Abb. 6.1). Für die didaktisch-methodische Gestaltung bzw. Begleitung eines kindlichen Erkenntnisprozesses zum Erwerb eines theoretischen Begriffs im Mathematikunterricht der Grundschule findet man in der Fachliteratur verschiedene Lernmodelle, die im Folgenden überblicksartig vorgestellt werden.

106

6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

Flächeninhalt des Rechtecks Die Länge der Randlinie einer Figur nennt man Umfang. Die Größe der Fläche einer Figur nennt man Flächeninhalt.

Umfang des Rechtecks Abb. 6.1   Merksätze zu den Begriffen „Umfang“ und „Flächeninhalt einer Figur“. (Nach Becherer, Schulz 2007, S. 98)

1. Begriffslernen durch Erklärungen und erläuternde Beispiele („klassisches Modell der Begriffserarbeitung“) Diese stoffdidaktisch geprägte Begriffsaneignung erfolgt auf sechs Stufen (Zech 1992, S. 228–235): a) Vorbereitung des Lehrers In der Planung legt der Lehrer die relevanten Merkmale des einzuführenden Begriffs fest, berücksichtigt dabei zugleich von den Kindern häufig genannte irrelevante Eigenschaften. Weiterhin schätzt er die einzukalkulierenden Vorkenntnisse der Kinder ein, einschließlich deren Alltagsverständnis zum Begriff und im Mathematikunterricht bereits erworbener Kenntnisse zu Begriffen, die im Zusammenhang zum einzuführenden Begriff stehen. Auf der Basis dieser Vorüberlegungen formuliert der Lehrer dann eine Begriffsbeschreibung (als Vorstufe einer korrekten Definition), die im Unterricht erarbeitet werden soll. b) Motivation der Schüler Da das Erarbeiten eines theoretischen Begriffs für Kinder eine sehr anspruchsvolle kognitive Lerntätigkeit darstellt, sollte der Lehrer in seinen Vorüberlegungen eine angemessene Zielorientierung bestimmen, die den Kindern sowohl die Relevanz der Begriffserarbeitung verdeutlicht als auch ihr Interesse am Thema weckt. Ebenso sollte der Lehrer durch ein geschicktes Anknüpfen an Vorerfahrungen der Kinder, durch die Wahl prägnanter Beispiele, durch die Ermöglichung eines Lernens auf verschiedenen Handlungsebenen (nach Bruner) u. Ä. m. die Voraussetzungen für ein motivationsförderndes und erfolgreiches Lernen aller Kinder schaffen.

6.1  Aneignung mathematischer Begriffe

107

c) Erarbeitung der relevanten Merkmale des Begriffs Für diese anspruchsvolle Lerntätigkeit empfiehlt Zech folgende ­ didaktischmethodische Orientierungshilfen (Zech 1992, S. 229): – Als Einführungsbeispiele sollen vor allem „positive Beispiele, die möglichst wenig irrelevante Merkmale aufweisen“, gewählt werden. – Es sollten möglichst mehrere Repräsentanten des Begriffs gleichzeitig präsentiert werden (Kontiguität). – Zur Unterstützung des Erkennens der wesentlichen Merkmale sollten didaktische „Kniffe“ genutzt werden, wie verbale Hilfen („Achtet auf …“), ein farbiges Unterstreichen relevanter Merkmale, ein zeitweiliges Abdecken übriger Eigenschaften usw. d) Sicherung der wesentlichen Lernergebnisse und Lernkontrolle Entsprechend den Variationsprinzipien von Bruner sollten repräsentative Beispiele und ein gut verständlicher Merksatz für den erarbeiteten Begriff angegeben und ggf. von den Kindern aufgeschrieben werden. Die Kinder sollten ferner die Begriffsmerkmale an Beispielen prüfen, dabei ihre Zuordnungen mithilfe der relevanten Merkmale begründen. e) Operative Übung und erste Anwendung der Begriffsmerkmale Das Lösen verschiedener Übungs- und Anwendungsaufgaben sollte dazu dienen, das Verständnis zum erlernten Begriff zu festigen und zu vertiefen. In dieser Phase sollten auch speziell die erkannten Probleme von Kindern im Begriffsverständnis geklärt und versucht werden, diese durch gezielte Übungen zu überwinden. f) Weitere Anwendungen, Einordnung des Begriffs in ein Begriffssystem Hierzu könnte das Aufzeigen von Sonderfällen und von diversen Begriffsbeziehungen gehören, wie etwa ein Zuordnen von Unter- oder Oberbegriffen, das Herausstellen synonymer Begriffe oder interferierender Begriffe. Durch einen Transfer der Begriffsmerkmale auf neue Lernsituationen könnten schließlich auch neue Begriffe gewonnen werden. 2. Operativer Begriffserwerb Die Grundidee des operativen Begriffserwerbs besteht darin, dass Kinder durch Ausführen einer Handlung Repräsentanten eines neu einzuführenden Begriffs gewinnen und dass sie an den konkreten Beispielen (Abb. 6.2) die besonderen bzw. die wesentlichen Merkmale des Begriffs prägnant erfassen können. Zum Beispiel kann man durch Legen von Plättchen in Doppelreihen die Begriffe „gerade Zahl“ und „ungerade Zahl“ auf der enaktiven bzw. ikonischen Ebene erarbeiten.

Abb. 6.2   Beispielhafte Darstellungen zum Gewinnen der Begriffe „gerade Zahl“ und „ungerade Zahl

108

6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

Anhand weniger konkreter Beispiele können die Kinder plausibel einsehen, dass es bei beliebig vielen Plättchen (nur) genau zwei verschiedene Fälle gibt, entweder eine vollständige Doppelreihe oder eine fast vollständige Doppelreihe, bei der stets ein Plättchen übrig bleibt. Für den ersten Fall wird dann der Begriff „gerade Zahl“, für den zweiten der Begriff „ungerade Zahl“ eingeführt. Entsprechend dem operativen Vorgehen bietet es sich an, die Begriffsinhalte mittels genetischer Definition3 zu bestimmen. So könnte man im vorgestellten Beispiel etwa als Merkmalsbeschreibung angeben: Wenn man eine Zahl von Plättchen in einer vollständigen Doppelreihe legen kann, dann ist die Zahl eine gerade Zahl. Falls das nicht möglich ist, ist die Zahl der Plättchen eine ungerade Zahl. 3. Begriffslernen nach Galperin(bzw. „Vom Abstrakten zum Konkreten“) Nach Galperin können Kinder generell einen Erkenntnisgewinn effektiv durch ein „Aufsteigen“ von sinnlich Konkretem über das Abstrakte zum kognitiv Abstrakten erreichen. Bezüglich des Erlernens eines theoretischen Begriffs hält er demgemäß manuell, visuell, akustisch etc. wahrnehmbare Gegenstände u. Ä. sowie Ausgangsabstraktionen, die wesentliche Merkmale des neu zu erarbeitenden Begriffs widerspiegeln, für notwendige Voraussetzungen. Durch eine aktive Auseinandersetzung bzw. Konfrontation des sinnlich Konkreten mit dem Abstrakten sollen sich die Kinder dann den Begriff aneignen.4 Hinsichtlich dieses Erkenntnisprozesses unterscheidet Galperin drei „Etappen“ der Begriffsbildung (Galperin und Talysina 1972 oder Zech 1992, S. 237): • „die Etappe der materialisierten Handlung“ (Vorgabe wesentlicher Merkmale eines Begriffs als Orientierungsbasis und Anwendung bzw. Prüfung der Merkmale auf Beispiele und Gegenbeispiele), • „die Etappe der ‚äußeren‘ Sprache“ (Verdeutlichen der wesentlichen Begriffsmerkmale durch lautes Sprechen), • „die Etappe der geistigen Handlung“ (gedankliches Erfassen und Operieren mit dem Begriffswort und den Begriffsmerkmalen). Die Besonderheit dieser Form des Begriffserwerbs besteht also darin, dass die Kinder in einer frühen Lernphase auf abstrakter Ebene bereits wesentliche Merkmale eines Begriffs bzw. sogar eine Definition sowie eine Handlungsvorschrift zum Anwenden der

3Eine

genetische Definition ist eine Begriffsbestimmung durch die Darstellung der Entstehung des zu definierenden Begriffs. Diese Definitionsart spielt im Mathematikunterricht der Grundschule eine besondere Rolle, weil sie dem ­konkret-anschaulichen und induktiven Denken von Grundschülern gut entspricht. 4Dies ist eine Interpretation bzw. spezifische Weiterentwicklung des Theorieansatzes von Galperin durch Lompscher et al. (z. B. Lompscher 1991).

6.1  Aneignung mathematischer Begriffe

109

(Vorgabe von Legematerialien und einer Handlungsvorschrift:)

1. Überprüfe, ob ein Viereck vorliegt! Wenn ja: Prüfe, ob ein Paar von Gegenseiten parallel verläuft! Wenn ja: Prüfe das andere Paar von Gegenseiten ebenso! -------------------------------------------------------------------------------------2. Wenn alle Merkmale zutreffen, dann ist die Figur ein Parallelogramm. Falls ein Merkmal nicht zutrifft, ist es kein Parallelogramm und die Überprüfung kann abgebrochen werden.

Abb. 6.3   Beispiel einer Handlungsvorschrift zur Erarbeitung des Begriffs „Parallelogramm“. (Nach: Walsch und Weber 1977, S. 171)

Eigenschaften erhalten. Vom „Abstrakten“ wird dann zum „Konkreten“ gewechselt, indem die Kinder an Repräsentanten prüfen, ob die Merkmale zutreffen (vgl. nachfolgendes Beispiel in Abb. 6.3). Diese Begriffsidentifizierungen erfolgen zunächst durch lautsprachliche Erläuterungen, sobald die Merkmale von den Kindern auf gedanklicher Ebene „verinnerlicht“ sind. Galperins Begriffserwerbsmodell kann aufgrund des hohen Abstraktionsgrades als äußerst anspruchsvoll eingeschätzt werden. Grundvoraussetzungen für eine erfolgreiche Nutzung des Modells sind schon vorhandene Kenntnisse der Kinder über Ober-, Analogie- oder Nachbarbegriffe und ein gewisses Niveau im abstrakten Denken. ­ Demgemäß könnte man dieses Modell im Mathematikunterricht der Grundschule analog zur Einführung des Begriffs „Parallelogramm“ (Vgl. Abb. 6.3) auch bei der Erarbeitung des Begriffs „Raute“ anwenden. Die Kinder kennen (nach den Konzepten aller einschlägigen Lehrwerke) vor der Erarbeitung des Begriffs bereits die Begriffe „Viereck“, „Quadrat“, „Rechteck“, „Parallelogramm“ sowie „zueinander parallele Strecken“, „rechter Winkel“, „gleich lange Seiten“ und haben diverse Erfahrungen im Umgang mit diesen Begriffen erworben. Somit sind alle wichtigen Voraussetzungen dafür gegeben, dass sie „Raute“ als spezielle Vierecksart oder Sonderform eines Parallelogramms kennenlernen. Hierfür kann ihnen einleitend eine entsprechende Merkmalsbeschreibung sowie – analog zum Beispiel der Abb. 6.3 – eine Instruktion zum Überprüfen der Merkmale auf verschiedene Vierecke gegeben werden. In der Phase des Überprüfens der Merkmale bzw. des Identifizierens oder Realisierens von Begriffsrepräsentanten wechseln dann die „Denkwege“ vom Abstrakten vom Konkreten und umgekehrt häufig und es erfolgt eine schrittweise gedankliche Verinnerlichung des neuen Begriffswortes und seiner spezifischen Merkmale. Galperins Untersuchungen konnten belegen, dass diese besondere Form des Begriffserwerbs durchaus nachweisliche Erfolge in der Unterrichtspraxis erbrachte. So unterliefen Kindern beim Begriffserwerb „vom Abstrakten zum Konkreten“ kaum gröbere inhaltliche Fehler. Einige Probleme hatten Kinder lediglich beim Übergang von der

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

„äußeren“ zur „inneren Sprache“, was durch eine Rückkehr zum lauten Sprechen meist behoben werden konnte. Ohl verweist zudem darauf, dass die Vermittlung einer theoretischen Orientierungsbasis die „Bewusstheit der Handlung“ erhöht und die kognitiven Fähigkeiten (Erkennen von Wesentlichem bzw. Strukturieren, Verallgemeinern, Konkretisieren etc.) gefördert werden (Ohl 1973, S. 147–149). 4. Entwicklung intuitiver Theoriekonstrukte Während die bisher vorgestellten Begriffserwerbsmodelle aus der Perspektive des Lehrers und seiner Hauptverantwortung für das Instruieren und Organisieren kindlicher Lernprozesse konzipiert wurden, stellt der Ansatz der intuitiven Theoriekonstrukte das individuell-konstruktive Lernen von Kindern in den Vordergrund. Erklärungsansätze für dieses Lernverständnis findet man in verschiedenen psychologischen Bezugsdisziplinen. So wird in der Entwicklungspsychologie der Ansatz der intuitiven Alltagstheorien vertreten, wonach (Vorschul-)Kinder sich „intuitive Alltagstheorien“ aneignen, die sich oft von denen der Erwachsenen unterscheiden. Das Wissen der Kinder ist jedoch theorieähnlich in verschiedenen Wissensbereichen organisiert und diese sind wiederum in zusammenhängende Erklärungssysteme eingebettet. Die Kausalerklärungen innerhalb dieses Theoriesystems sind bereichsspezifisch. Kinder haben z. B. andere Erklärungen für menschliches Verhalten als für naturwissenschaftliche Zusammenhänge (vgl. Sodian 2002). Ein passender Erklärungsansatz ist aus lernpsychologischer Perspektive der „konstruktivistische Lernbegriff“, wonach Lernen als ein individuell geprägter aktiv-konstruktiver Prozess verstanden wird, der von subjektiven Erfahrungsbereichen, ebenso von Gefühlen beeinflusst wird. Übereinstimmend damit sind außerdem Selbstreflexionen berühmter Mathematiker und Naturwissenschaftler, in denen zugleich die große Bedeutung von Intuitionen für die Forschertätigkeit herausgestellt wird. Hadamard berichtet z. B., dass er in „nonverbalen Konzepten“ denke und anschließend Schwierigkeiten habe, seine Gedanken in Worte zu fassen. Von Einstein stammt das Zitat: „Was Sie volles Bewusstsein nennen, das ist, wie mir scheint, ein Grenzfall, der nie erreicht werden kann. Das scheint mit der Tatsache zusammenzuhängen, die man Enge des Bewusstseins nennt.“ (Ruelle 2007, S. 117) Demgemäß gibt Käpnick in seinem Modell zur Kennzeichnung mathematisch begabter Grundschulkinder auch „mathematische Sensibilität“ als ein wesentliches Merkmal an und zählt hierzu intuitive Problemlösungen, die Kinder „fühlen“ und als vielfältige Bildwelten wahrnehmen, die sie aber nicht mit Worten erklären können (Käpnick 1998, S. 253, 267). Solche geometrisch-bildhaften Repräsentationen konnten ebenso in neuropsychologischen ­ Untersuchungen nachgewiesen werden. So werden bei mathematisch Begabten beim Problembearbeiten (oft innerhalb weniger Sekunden nach dem Verstehen des Sachverhaltes) jene Hirnaktivitäten aktiviert, die für eine geometrisch-bildhafte und eine arithmetisch-algebraische Darstellung verantwortlich gemacht werden (vgl. Kap. 13 sowie Fritzlar, Heinrich 2010).

6.1  Aneignung mathematischer Begriffe

111

Die Entwicklung intuitiver Theoriekonstrukte ist dadurch gekennzeichnet, dass Kinder auf der Basis ihrer subjektiven Erfahrungen und ihres bisherigen Wissens Begriffskonstruktionen vornehmen (Festlegung eines Begriffsinhalts und eines Begriffswortes, Erklärung von Zusammenhängen, Entwicklung von Begriffssystemen etc.). Hierbei wird berücksichtigt, dass bereits Vorschulkinder zum kausalen Denken fähig sind. Es fehlt ihnen aber in vielen Fällen, wie im Einstiegsbeispiel dieses Kapitels, bereichsspezifisches Wissen für korrekte Erklärungen, sodass sie (aus der Sicht von Erwachsenen bzw. einer Fachwissenschaft) auch (scheinbar) „fehlerhafte“ subjektive Theoriekonstrukte entwickeln. Bisherige empirische Befunde deuten darauf hin, dass Kinder ihr natürlich entwickeltes System von Überzeugungen aber nicht punktuell durch einzelne Korrekturen verändern. Stattdessen verwenden sie einen Interpretationsrahmen, den sie auf neue Informationen anwenden. Die Veränderung dieses Rahmens ist ein langwieriger Prozess, der oft mehrere Jahre dauert. Eine Erklärung für solche Veränderungen wird darin gesehen, dass im Verlauf der Entwicklung zentrale Begriffe ihre Bedeutung verändern und dadurch eine Wandlung in der intuitiven Theorie stattfindet. Die Vertreter intuitiver Theorien gehen davon aus, dass sich in einem Spezialbereich ein derartiger Bedeutungswandel erst in vielen verschiedenen Schritten eines individuellen Verstehensprozesses vollzieht (Sodian 2002). Es handelt sich also um alternative Denkweisen und nicht um einzelne, faktische „Fehler“. Eine Korrektur ist nur möglich, wenn das Gesamtsystem verändert wird. Der Wandel von Rahmentheorien ist durch Instruktion nicht direkt bzw. nicht unproblematisch zu erreichen. Der „Schlüssel“ zur Korrektur intuitiver Theorien von Kindern besteht darin, diese zu verstehen und mit den Kindern gemeinsam in der Interaktion neues Wissen zu konstruieren, zu vertiefen und zu verändern, statt sie zu „instruieren“. Die folgenden authentischen Beispiele können solche intuitiven Theoriekonstrukte von Vor- und Grundschulkindern verdeutlichen: • Helen (5 Jahre) kennt die wesentlichen Merkmale eines Quadrats und eines Rechtecks. Sie kann diese Formen in der Umwelt auch souverän identifizieren und mit dem Nennen der jeweiligen Merkmale ihre Zuordnungen begründen. Dass jedes Quadrat zugleich ein Rechteck ist, erfasst Helen aber noch nicht – trotz vieler Impulse ihrer Erzieherin. • Jannis (5 Jahre) ist vom Zählen fasziniert. Bei seiner momentanen Lieblingsbeschäftigung hat er erkannt, dass es zwei verschiedene „Zahlarten“ gibt, gerade und ungerade Zahlen, und dass beim Vorwärtszählen immer gerade und ungerade Zahlen einander abwechseln. Dieses Begriffsverständnis nutzt er auch, wenn er feststellen und begründen soll, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist. So erklärt er: „5 ist eine ungerade Zahl, weil davor 4 kommt, und 4 ist eine gerade Zahl.“ Jannis’ aktuelles Problem besteht darin, die Zahl 0 in sein Zahlsystem einzuordnen. Als intuitives Theoriekonstrukt hat er nun für sich erkannt, dass 0 eine gerade Zahl sein muss, weil ihr Nachfolger 1 eine ungerade Zahl ist. Mit der Erklärung seiner Oma, 0 ist eine

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

gerade Zahl, weil sie (ohne Rest) durch 2 teilbar ist, hat sich Jannis zwar intensiv auseinandergesetzt, sie aber bisher nicht richtig verstehen können. Deshalb bleibt er (vorerst) bei seiner ihm verständlichen intuitiven Erklärung. • Beim Philosophieren mit mathematisch begabten Dritt- und Viertklässlern antwortete auf die Frage, woher die Zahlen stammen, Weng: „Als die Welt erschaffen wurde, waren die Zahlen schon da.“ Patrick vertrat dagegen die Position: „Die Zahlen hat Gott erfunden, das Rechnen die Menschen und die Lehrer leben, um den Kindern das Rechnen zu übertragen.“ Lucca glaubt jedoch, „dass sich der erste Mensch die Zahlen selbst ausgedacht hat.“ Dem stimmt Tim zu und ergänzt: „Aber irgendwann haben andere Menschen dann die Minuszahlen erfunden.“ • Finn (9 Jahre) ist fasziniert von „unendlich“ in der Mathematik. Wie seine gleichaltrigen Freunde versteht er hierunter: „Unendlich ist eigentlich keine richtige Zahl. Es ist nur so, dass nach einer Zahl immer noch eine neue kommt.“ Unsere Versuche, den kleinen Matheassen „unendlich“ am Beispiel des berühmten kosmischen Hotels mit unendlich vielen Zimmern, einer Endlosfigur oder des Wettlaufs zwischen Achill und seiner Schildkröte zu erklären, scheiterten. Die Kinder blieben bei ihrem intuitiven Begriffsverständnis. • Marcel (9 Jahre) entwickelte für das Erkunden aller möglichen Lagebeziehungen von vier Geraden in einer Ebene ein sehr abstraktes Lösungsmuster, das sehr systemhaft, aber fehlerhaft war. Er unterschied genau drei verschiedene Lagebeziehungen von Geraden (senkrecht, schräg, waagerecht) und kombinierte dann alle Möglichkeiten für vier Geraden (Abb. 6.4). Dass er auf diese Weise nicht alle Fälle erfasste, sah er aber nicht ein. Marcel war von seinem „System“ überzeugt. Erst zwei Jahre später erkannte er selbst seinen Systemfehler und akzeptierte ihn nun. Hinsichtlich des Auftretens und Einschätzens intuitiver Theoriekonstrukte im kindlichen Lernprozess vertritt Käpnick folgende Hypothesen: • Je jünger, je unerfahrener und unwissender Kinder sind, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kinder intuitive Theorien entwickeln und auf ihnen beharren, auch wenn diese aus der Sicht Erwachsener „fehlerhaft“ sind. • Es gibt intuitive („fehlerhafte“) Theorien, die relativ schnell überwunden werden können, aber auch „fehlerhafte“ Theorien, die sich über einen längeren Zeitraum halten (weil Kinder kein Verständnis, oft gepaart mit mangelhafter Motivation, dafür entwickeln können, sich neue, andersartige und „korrektere“ (?) Theorien zu erschließen). Beispiele hierfür sind die lange Phase des Fingerrechnens vieler Kinder in den ersten Schuljahren oder das intuitive Verständnis der meisten Grundschulkinder von „unendlich“. • Intuitive Theorien entwickeln nicht nur Vorschul- und Grundschulkinder, sondern generell Kinder und darüber hinaus Jugendliche und Erwachsene – unabhängig vom

6.1  Aneignung mathematischer Begriffe

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Abb. 6.4   Marcels Lösung für das Problem möglicher Schnittpunkte in Abhängigkeit von der Anzahl der Geraden

Alter und vom jeweiligen Wissensstand. Somit scheint intuitive Theoriebildung eine allgemeine und stetige Begleiterscheinung des Erkenntnisstrebens von Menschen zu sein. (vgl. Käpnick 2012; Bauersfeld 20135) Ausgehend von einem konstruktivistischen Lernverständnis erscheint es sinnvoll und notwendig, intuitiven Theoriekonstrukte von Kindern im Mathematikunterricht eine größere Bedeutung als bisher üblich beizumessen. Zahlreiche Untersuchungen bestätigen demgemäß, dass der kindliche Prozess des Begriffserwerbs in hohem Maße individuell geprägt ist. In Übereinstimmung hiermit wird in heutigen Lehrplänen für den Mathematikunterricht der Grundschule bewusst auf detaillierte einheitliche Abschlussniveaus im Verwenden von Fachbegriffen am Ende jedes Schuljahres verzichtet. Der Fokus ist vielmehr auf ein den Sinn verstehendes Erlernen wesentlicher Merkmale von Begriffen gerichtet. Dafür eignen sich in Abhängigkeit von den jeweiligen Lernvoraussetzungen der Kinder,

5Bauersfeld

zeigt im Kontext von Begriffsbestimmungen in pädagogischen und didaktischen Wissenschaften u. E. überzeugend auf, dass auch diese sinnvollerweise (nur) unscharf festgelegt werden können. Demgemäß werden z. B. auch die Begriffe „Rechenschwäche“ und „mathematische Begabung“ in den Kap. 12 und 13 unscharf gekennzeichnet.

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

vom bevorzugten Lernkonzept des Lehrers und anderem durchaus die hier vorgestellten Begriffserwerbsmodelle. Die Kinder sollten jedoch im Grundschulunterricht erst allmählich an den aktiven Gebrauch von Fachbegriffen – wie Addieren – gewöhnt werden. Im Prozess ihres individuell geprägten aktiv-konstruktiven Lernens könnte Kindern also noch längere Zeit erlaubt sein, „gewachsene“ Alltagsbegriffe – wie Plusrechnen – zu verwenden oder diese zeitweise „parallel“ mit zugehörigen Fachbegriffen (z. B. Addieren) zu nutzen. Entsprechend Wygotskys Lernprinzip der „Zone der nächsten Entwicklung“ sollte der Lehrer im Verlaufe der Grundschulzeit zugleich die Kinder zu einem immer aktiveren Gebrauch von Fachbegriffen und zu immer korrekteren Begriffsbeschreibungen befähigen. Dem Fördern von Kompetenzen im Verstehen und Verwenden von Fachbegriffen und Begriffsbeschreibungen sollte freilich stets ein detailliertes Erfassen des erreichten Niveaus bezüglich der individuellen Sinnkonstruktionen jedes Kindes, einschließlich seiner intuitiven Theoriekonstrukte, vorangehen.

6.2 Erwerb von Methodenkompetenzen Was den Begriff „Methodenkompetenzen“ umfasst, wird in der einschlägigen Literatur unterschiedlich definiert. Im Kern geht es hierbei um flexibel einsetzbare allgemeine Kompetenzen, die ein effektives und planvolles Lernen in vielfältigen Anforderungssituationen ermöglichen. Im Rahmenlehrplan „Grundschule Mathematik“ der Länder Berlin, Brandenburg, Bremen und Mecklenburg-Vorpommern werden solche Fähigkeiten detailliert aufgelistet. Hierzu zählen Kompetenzen im Umgang mit verschiedenen Medien, im Anwenden von Lernstrategien, im planvollen und zielgerichteten Arbeiten, im Begründen und Überprüfen von Annahmen, im zielgerichteten Einsetzen fachspezifischer Arbeitsweisen, im Erkennen und Korrigieren von Fehlern, im Darstellen und Präsentieren von Ergebnissen, im Entwickeln von Wegen zu einer Problemlösung und im Anwenden von Methoden des Entdeckens und Experimentierens (Lehrplan Grundschule Mathematik der Länder Brandenburg, Berlin, … 2004, S. 9). Diese Auflistung ist inhaltlich sehr breit gefächert, ein Eingehen auf alle Aspekte ist an dieser Stelle allein aus Platzgründen nicht möglich. Im Folgenden soll der Fokus auf Lernstrategien gerichtet sein, die sich auf ein planvolles und zielgerichtetes Arbeiten, auf einen Einsatz fachspezifischer Arbeitsweisen und auf ein Anwenden von Methoden des Entdeckens und Experimentierens beziehen.6 Lernstrategien sind Handlungspläne zur Steuerung eigenen Lernens. Sie sind auf ein Lernziel ausgerichtet und tragen dazu bei, mithilfe eines effizienten Lernprozesses ein gutes Ergebnis zu erreichen (Friedrich und Mandl 1992, S. 6). Lernstrategien müssen 6Auf

den Kompetenzerwerb im Begründen und Überprüfen von Annahmen, im Darstellen von Ergebnissen (jeweils Abschn. 6.4), im Problemlösen (Kap. 7), im Erkennen und Korrigieren von Fehlern (Kap. 12) wird in anderen Buchkapiteln eingegangen. Auf die Befähigung im Umgang mit elektronischen Medien sei auf Krauthausen (2018, S. 335–348, 2012) verwiesen.

6.2  Erwerb von Methodenkompetenzen

115

vom Lernenden selbst erarbeitet und verinnerlicht bzw. weiterentwickelt werden, um sie im Sinne einer Metakognition nutzen zu können. Sie sind somit individuell geprägt und werden sowohl bewusst als auch unbewusst angewendet. Die hier im Fokus stehenden Lernstrategien können als „Selbstkontroll- und Selbstregulationsstrategien“ aufgefasst werden, die sich auf eine situations- und aufgabengemessene Steuerung von Lernprozessen beziehen (vgl. Friedrich und Mandl 1992). Als metakognitive und selbstreflektierte Komponenten laufen sie über den kognitiven Prozessen ab und regulieren das Denken über die eigenen Denk- und Lernprozesse durch • Planung von Lernen, • Überwachung von Lernen, • Bewertung von Lernen. Konsens dürfte unter Wissenschaftlern und Schulpraktikern darin bestehen, dass solche Methodenkompetenzen gerade aus der Perspektive des konstruktivistischen Lernens und der Eigenverantwortung jedes Kindes für dessen Lernen sehr wichtig sind. Übereinstimmend sollte ebenfalls die Position vertreten werden, dass Kinder diese Kompetenzen im Mathematikunterricht nicht (nur) im „Selbstlauf“ erwerben. Wie dieser Befähigungsprozess jedoch vom Lehrer effektiv gefördert werden kann, wird derzeit unterschiedlich gesehen. Entsprechend den im Kap. 3 vorgestellten Lernkonzepten sind sowohl ein vom Lehrer angeleitetes Vermitteln von metakognitiven Kenntnissen und Lerntechniken als auch ein selbstentdeckendes und subjektiv-konstruktives Entwickeln von Methodenkompetenzen denkbar. Diese unterschiedlichen Vorgehensweisen werden in der Schulpraxis auch (zum Teil unbewusst) von Lehrern angewendet, vielfach in diversen „Mischformen“. Im Folgenden soll ein Konzept zur Diskussion gestellt werden, das versucht, Konstruktion und Instruktion sinnvoll zu verknüpfen.7 • Im ersten und zweiten Schuljahr sollen sich die Kinder zunächst mit typischen mathematischen Darstellungen (Tabellen, Schaubilder, Diagramme etc.) und Arbeitsweisen (Umgang mit spezifischen Sprechweisen, Symbolen, typische Handlungsabläufe beim Lösen verschiedener Aufgaben etc.) vertraut machen. Dies kann durch exemplarische Demonstration, ggf. auch durch Instruktion oder bzw. und selbstentdeckendes Lernen erfolgen. Die Wahl der Vermittlungs- oder Aneignungsmethode kann vom jeweiligen Lernstand der Kinder, vom bevorzugten Lernkonzept des

7Das

Konzept liegt der aktuellen Ausgabe der Schulbuchreihe „Rechenwege“ zugrunde (Käpnick et al. 2011, 2012a, b). An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Reihe „Rechenwege“ diesbezüglich eher eine Ausnahme bildet, denn in den meisten anderen derzeitigen Lehrwerken für den Mathematikunterricht der Grundschule ist ein klares Konzept für den Erwerb von Methodenkompetenzen nicht deutlich ausgewiesen.

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

Lehrers oder von konkreten Lernsituationen abhängen. Wichtig ist, dass die Kinder in dieser Entwicklungsphase reichhaltige eigene Erfahrungen sammeln, was mit einem schrittweisen Prozess der Ausbildung individuell geprägter, zum Teil noch unbewusst angewendeter Lernstrategien einhergeht. • Im dritten und vierten Schuljahr wird eine neue Qualität im Erwerb von Methodenkompetenzen dadurch angestrebt, dass die Kinder bewusst über Lernstrategien reflektieren und diese selbst zum Lerngegenstand werden. Dies schließt ein, dass die Kinder gemeinsam sinnvolle Groborientierungen für das Anlegen und Auswerten von Tabellen, Schaubildern und Diagrammen, für das Lösen von Sach- bzw. Problemaufgaben oder das Durchführen von Experimenten entwickeln und diese zunehmend (im Sinne metakognitiven Wissens) selbstständig nutzen. Dabei sollen sie die erworbenen Methodenkompetenzen als wichtige Hilfe beim selbstorganisierten Lernen erkennen und diese als Selbstkontroll- und Selbstregulationsmöglichkeit einsetzen. • Die Abb. 6.5 zeigt exemplarisch, wie auf einer Schulbuchseite des dritten Schuljahres das Anlegen und Auswerten von Tabellen als eigenständiger Lerninhalt unterrichtet werden kann. Die Kinder werden jeweils aufgefordert, zunächst an konkreten Beispielen die Struktur von Tabellen und die Vorzüge dieser Darstellungsform für Sachzusammenhänge zu erkennen. Hierbei wird dem aktiv-entdeckenden und reflektierenden Lernen großer Raum beigemessen. In der abschließenden gemeinsamen Auswertungsphase sollen dann metakognitives Wissen über besondere Vorzüge von Tabellen sowie Orientierungshilfen in Form von Tipps zum Anlegen von Tabellen herausgearbeitet und anschließend selbstständig angewendet werden. In didaktisch vergleichbarer Weise wird im Lehrwerk die Befähigung im Anlegen und Auswerten von Diagrammen (Abb. 6.6) sowie im Planen, Durchführen und Auswerten von Experimenten (Abb. 6.7) angeregt. Die in den Merkkästchen angegebenen Tipps sind als allgemeine Orientierungshilfen für ein planvolles und zielgerichtetes Lernen mit den jeweiligen Themen gedacht, sie sollten keinesfalls ein konstruktives, selbstgesteuertes und flexibles Lernen der Kinder einschränken. Dies zu gewährleisten, bleibt eine didaktische Aufgabe des Lehrers.

6.3 Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen Aus der Perspektive eines konstruktivistischen Lernverständnisses kommt weiterhin Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung erworbenen Wissens eine große Bedeutung zu. In der einschlägigen lernpsychologischen Literatur werden diesbezüglich unterschieden: • Wiederholungsstrategien (die dazu dienen, erlerntes Wissen in wörtlicher Form im Arbeitsgedächtnis aktiv zu halten und so die Voraussetzung dafür zu schaffen, dass

6.3  Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen

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Abb. 6.5   Anregungen für den Kompetenzerwerb im Anlegen und Auswerten von Tabellen (Käpnick et al. 2012a, S. 45)

die Informationen in das Langzeitgedächtnis überführt werden können; Beispiele: Merktexte, Musterbeispiele für Rechenverfahren u. Ä. abschreiben, wiederholtes Aufsagen wichtiger Lerninhalte, visuelle Merkhilfen); – Elaborationsstrategien (mit denen versucht wird, bereits vorhandenes Vorwissen zu einem Inhaltsbereich zu aktivieren und dieses mit neuem Wissen zu verknüpfen, was das spätere „Abrufen“ von Wissen erleichtert; Beispiele: zu einem Begriff oder Sachverhalt passende Beispiele überlegen, Gelerntes mit eigenen Worten formulieren, sich individuelle Notizen machen, Vorstellungsbilder generieren, Mnemotechniken anwenden, Lerninhalte variantenreich wiederholen);

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

Abb. 6.6   Anregungen für den Kompetenzerwerb im Anlegen und Auswerten von Diagrammen (Käpnick et al. 2012a, S. 125)

6.3  Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen

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Wasserexperimente Experiment: Wie groß ist der Rauminhalt deiner Hand? a) Füllt in einen Messbecher 400 ml Wasser! b) Was vermutet ihr? Um wie viel Milliliter Wasser steigt das Wasser, wenn ihr eure Hand bis zum Handgelenk in den Messbecher taucht? Noert eure Vermutung! c) Führt das Experiment durch! d) Vergleicht euer Ergebnis mit eurer Vermutung! e) Besmmt den Rauminhalt eines Steins, einer Murmel und weiterer selbst gewählter Gegenstände! f) Noert alle Ergebnisse in einer Tabelle! g) Vergleicht alle Vermutungen und Messergebnisse miteinander! Was stellt ihr fest?

Tipps für Experimente Überlegt vorher: Was wollt ihr wissen? Wie könnt ihr das Experiment durchführen? Sind Messungen notwendig? Wenn ja, wie könnt ihr messen? Wie könnt ihr die Ergebnisse darstellen? Welche Ergebnisse vermutet ihr? Überlegt nachher: Smmen die Ergebnisse mit den Vermutungen überein? Welche Fehler könnten beim Messen aufgetreten sein? Was bedeuten die Ergebnisse? Wie habt ihr zusammen gearbeitet?

Abb. 6.7   Anregungen für den Kompetenzerwerb im Planen, Durchführen und Auswerten von Experimenten (Käpnick et al. 2012b, S. 92)

• Organisationsstrategien (die dazu dienen, innerhalb eines neuen Wissensbereiches Ordnungsbeziehungen herauszuarbeiten, um sich auf diese Weise ein zusammenhängendes Bild vom Themenkomplex zu verschaffen; Beispiele: Brainstorming, Begriffsnetzwerke, Mind-Maps; Concept-Maps); • Kooperationsstrategien (sozial-interaktive Lernformen, die sich auf die Lernmotivation positiv auswirken und durch einen Gedankenaustausch Wissen bereichern und vertiefen können; Beispiele: Gruppenlernen, Mentoring, Gruppenpuzzle8). Relativ problemlos könnten Kinder im Mathematikunterricht der Grundschule Wiederholungs-, Elaborations- und Kooperationsstrategien anwenden. Diese Lerntechniken 8Beim

Gruppenpuzzle, auch „Laubsägemethode“ genannt, handelt es sich um eine Methode, bei der ein Lernthema – metamorphisch gesprochen – mit einer Laubsäge in gleich große Teile zerlegt wird. Die „Teilstücke“ werden dann den verschiedenen Gruppen zugeordnet. Die jeweiligen Gruppen werden durch das Studium zu „Experten“ des Teilgebietes und nehmen dann die Lehrerrolle ein und geben ihr Wissen an andere weiter. Diese Methode ist in Deutschland relativ weit verbreitet.

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

Abb. 6.8   Anregung zu einem Brainstorming zum Thema „Längen“ im 2. Schuljahr (Fuchs et al. 2004, S. 28)

sollten sie – auch in Abstimmung mit dem Deutsch- und Sachunterricht – sowohl selbst erkunden als auch beispielhaft vorgestellt kennenlernen und gemeinsam erarbeiten. Die Befähigung zum selbstständigen Nutzen solcher Techniken ist aber unbestritten ein längerfristiger Prozess, der insbesondere bezüglich des Gebrauchens von Organisationsstrategien aufgrund der noch nicht generell vorhandenden Kompetenzen von sechs- bis zehnjährigen Kindern im abstrakt-logischen Denken im Mathematikunterricht der Grundschule nur teilweise realisiert werden kann. Im Folgenden werden einige wichtige Formen von Organisationsstrategien näher vorgestellt. Brainstorming ist eine Methode, bei der Kinder eine Vielzahl von Begriffen zu einem vorgegebenen Schlagwort unsortiert zusammentragen, die sie anschließend an einer Tafel oder Pinnwand gemeinsam (moderierend) sortieren. Diese Lernstrategie bietet sich als ganzheitlicher Einstieg in ein neues Lernthema an. Die Kinder können dabei ihr intuitives Vorwissen zum Thema sowie ihre bereits erworbenen Kenntnisse hierzu „einbringen“. Auf diese Weise können sie Neues in ihre vorhandenen Wissenssysteme schon in der Erarbeitungsphase mit Bekanntem vernetzen und sich zugleich für eine aktive Neuerarbeitung motivieren. Eine konkrete Anregung für ein Brainstorming zum Thema „Längen“ stellt die Abb. 6.8 dar. Ein prägnantes Beispiel für ein Begriffsnetzwerk ist das „System der Vierecke“, das in manchen Schulbüchern des vierten Schuljahres oder in Kinderlexika angegeben ist (Abb. 6.9). Das Begriffsnetzwerk verdeutlicht Beziehungen zwischen Ober- und Unterbegriffen und kann Kinder anregen, logische Zusammenhänge zu erkennen und sich diese einzuprägen, wie etwa: „Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm“, oder: „Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann ist es auch immer ein Parallelogramm. Aber umgekehrt ist nicht jedes Parallelogramm ein Rechteck.“

6.3  Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen

121

Abb. 6.9   System der Vierecke (Käpnick et al. 2005, S. 134)

Während Begriffsnetzwerke eine relativ einheitliche Struktur aufweisen, sind ­ ind-Maps individuell geprägte „Gedächtniskarten“, die Kinder z. B. zur Erschließung M und visuellen Darstellung eines Lernthemas, zur Planung einer Themendiskussion oder als Merkhilfe nutzen können. Prägend für Mind-Maps sind eine hierarchische Strukturierung und künstlerische Gestaltung von Begriffsbeziehungen. Mind-Maps werden im Allgemeinen nach bestimmten Regeln erstellt und gelesen. Hierfür nutzt man meist unliniertes Papier oder eine Wandtafel. In der Mitte wird das zentrale Lernthema möglichst genau formuliert, meist durch ein Schlagwort oder als Bild dargestellt. Davon ausgehend werden die Hauptthemen mit dick gebogenen und dünn auslaufenden Hauptlinien verbunden. Für jede Linie wird ein Schlüsselbegriff verwendet. Die Linienlänge soll dabei der Wortlänge entsprechen. Hieran schließen sich in dünner werdenden Zweigen die zweite und dritte sowie weitere Gedankenebenen an. Mit verschiedenen Farben für Äste oder Themen, mit Bildelementen zu den Begriffen oder persönlichen Codes können Beziehungen oder Querverbindungen verdeutlicht werden. Es bietet sich an, für gleiche Ebenen auch gleiche Farben zu verwenden. Jeder Ast und jede Verästelung werden vom Mittelpunkt aus gelesen. Theoretisch kann jedes enthaltene Wort Mittelpunkt einer neuen Mind-Map sein, da die assoziativen Fähigkeiten unbegrenzt groß sind (Buzan T. und Buzan B. 1997; Buzsan T. und North V. 2005). Mind-Maps können im Mathematikunterricht (Abb. 6.10) vielseitig genutzt werden, und zwar • als Ideensammlung und Brainstorming, • zum Strukturieren von Begriffen eines Sachgebietes (weil mit Mind-Maps alle Oberbegriffe zu einer Thematik übersichtlich zusammengefasst und gebündelt werden

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6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

Abb. 6.10   Beispiel einer Mind-Map zum Thema „Rauminhalt“

können und durch die Verzweigungen eine gute Übersichtlichkeit und Ausführlichkeit gewahrt bleiben), • zum zusammenfassenden Wiederholen von Lernthemen (weil in kreativen Schritten eine übersichtliche Darstellung des wichtigen Lernstoffs erarbeitet werden kann, was das Einprägen und Behalten von Zusammenhängen erleichtert), • zum Entwerfen von Kurzvorträgen (was für Grundschulkinder aber eher selten vorkommen dürfte). Ein großer Vorteil von Mind-Maps im Vergleich zu herkömmlichen Begriffsnetzwerken besteht sicher darin, dass diese Organisationsform individuelle und kreative Denkkonstruktionen ermöglicht. Dieser Vorteil birgt jedoch zugleich Gefahren bzw. einen hohen Anspruch in sich. So dürfte eine selbstständige und effektive Nutzung von Mind-Maps für Grundschüler sehr anspruchsvoll sein. Ein Problem könnte für Kinder außerdem darin bestehen, dass es keine eindeutige Festlegung der Hervorhebung (und Vernachlässigung) von Begriffen gibt, weil die gewählten Schlüsselbegriffe oft sehr individuell bestimmt und strukturiert werden. Darüber hinaus dürfte die Unterscheidung verschiedener Ebenen für Grundschulkinder nur in einfachen Fällen sofort einsichtig sein.9 9Hilfreiche

theoretische und methodische Hinweise zum Einsatz von „vernetzten Visualisierungen“ im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I findet man z. B. in Brinkmann (2007).

6.4  Erwerb von Kompetenzen im Begründen

123

Abb. 6.11   Beispiel einer Concept-Map zum Thema „Quader“

Concept-Maps dienen ebenfalls zur visuellen Darstellung von Zusammenhängen zwischen tragenden Begriffen eines Themengebietes. Die Darstellungsbestandteile einer Concept-Map sind Begriffswörter, Pfeile und Pfeilbeschriftungen (Abb. 6.11). Somit sind Concept-Maps im Vergleich zu Mind-Maps weniger „bunt“ und eher abstrakt. Mit den Pfeilen und Pfeilbeschriftungen können dafür begriffliche Zusammenhänge deutlicher herausgestellt werden. Aufgrund der komplexen Darstellung wird für das Erstellen einer Concept-Map in der Regel mehr Zeit benötigt als für das Entwerfen einer Mind-Map. In Systematisierungsphasen des Mathematikunterrichts der dritten oder ­ vierten Klasse könnte eine Concept-Map z. B. unter der Leitung des Lehrers mit den Kindern gemeinsam erstellt werden. Aufgrund des hohen Anspruchs könnte eine Hilfe für Kinder darin bestehen, dass ihnen Begriffe (und ggf. Pfeile mit Pfeilbeschriftungen) vorgegeben werden. Neben dem Erkennen und Einprägen von begrifflichen Zusammenhängen als Lerneffekte für die Kinder kann der Prozess des Zusammenstellens einer Concept-Map aus der Sicht des Lehrers auch genutzt werden, um individuell konstruierte Begriffsnetzwerke von Kindern zu diagnostizieren.

6.4 Erwerb von Kompetenzen im Begründen Das Begründen ist wie das Definieren oder das Problemlösen von grundlegender Bedeutung für jegliches mathematische Tun. Demgemäß sollten die Kinder bereits ab dem ersten Schuljahr beim Ausprobieren von Lösungswegen oder beim Angeben von Lösungen lernen, ihr Vorgehen und ihre Ergebnisse angemessen zu begründen. Bezüglich des Anspruchs kann man zwischen einem Verstehen, einem Wiedergeben, einem Übertragen und selbstständigen Finden von Begründungen differenzieren. Unter inhaltlichen Aspekten lassen sich im Mathematikunterricht folgende Begründungsformen unterscheiden: • Begründen von Aussagen mithilfe von Definitionen (z. B.: „14 ist eine gerade Zahl, weil sie (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.“ Oder: „Dieses Rechteck ist ein Quadrat, weil alle vier Seiten gleich lang sind.“),

124

6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

• Begründen von Aussagen durch das Nutzen rechnerischer Beziehungen (z. B.: „17 − 3 = 14, weil 14 + 3 = 17 ist.“), • Begründen von Aussagen durch ein Zurückführen auf bekannte Aufgabentypen oder Verfahren (z. B.: „23 + 4 = 27, weil 3 + 4 = 7 ist.“ Oder: „Das Messergebnis müsste richtig sein, weil wir mit dem Lineal genau (nach Vorschrift) gemessen haben.“), • Begründen der Wahrheit einer Einzel- bzw. Existenzaufgabe durch Angabe eines Beispiels (z. B.: „Es gibt eine Zahl, die zwischen 98 und 100 liegt, denn 99 ist größer als 98, aber kleiner als 100.“ Oder: „Mit einem Spielwürfel kann man eine gerade Zahl würfeln, denn 2, 4 und 6 sind gerade Zahlen.“), • Widerlegen einer falschen Allaussage durch Angabe eines Gegenbeispiels (z. B.: „Nicht alle Vielfachen von 3 sind auch durch 6 teilbar. 15 ist z. B. ein Vielfaches von 3, aber 15 ist nicht durch 6 teilbar.“). Außerdem lernen Schüler im Mathematikunterricht der Grundschule das beispiel- bzw. anschauungsgebundene Begründen kennen.10 Diese Form des Begründens ist bei der Behandlung von Rechengesetzen effektiv, da sich solche Begründungen bzgl. der Logik der Argumentation nicht vom Beweis der allgemeinen Aussage unterscheiden und dabei an einem Spezialfall der allgemeine Fall deutlich wird (Rehm 1987, S. 702). Beispielsweise kann auf diese Weise das Kommutativgesetz der Multiplikation im Bereich der natürlichen Zahlen für Kinder einsichtig begründet werden. Ein Spezialfall für dieses Rechengesetz wäre etwa der Ergebnisvergleich von „3 · 5“ und der Tauschaufgabe „5 · 3“. Natürlich könnten die Kinder beide Produkte ermitteln und miteinander vergleichen. Auf diese Weise erhielten sie aber keinen Einblick darin, warum die Kommutativität der Multiplikation allgemein gilt. Werden dagegen Mengen als Repräsentanten für die Zahlen genutzt (Abb. 6.12), können die Kinder im Konkreten das Abstrakte bzw. Allgemeine erkennen: Die Schüler durchschauen an der Beispielfigur, dass es prinzipiell egal ist, ob man die Figur von links bzw. rechts oder von oben bzw. unten betrachtet und dann die zugehörige Multiplikationsaufgabe bildet. Man braucht noch nicht einmal die Produkte zu ermitteln, um einzusehen, dass die Kommutativität gilt, unabhängig davon, welche „Längenzahl“ oder „Breitenzahl“ das Rechteck hat. Das beispielgebundene Begründen, aber auch das Widerlegen einer Allaussage durch ein Gegenbeispiel verdeutlichen zudem, dass eine klare Abgrenzung des Begründens 10Das beispielgebundene Begründen ist ein anschauliches Argumentieren in dem Sinne, dass dadurch die allgemeine mathematische „Substanz“ völlig erfasst wird. Diese Form bietet die Möglichkeit, mathematische Aussagen unter Nutzung geeigneter Konkretisierungen und auf der Ebene materieller bzw. materialisierter Handlungen zu begründen. Das beispielgebundene Begründen besteht aus konkreten Handlungen, die zuerst als physische Handlungen (Handhabung von Objekten, Zeichnen von Bildern etc.) und deren Verinnerlichung ausgeführt werden, dann aus einer plausiblen Verallgemeinerung (Das Kind ist sicher, dass die verwendete Methode nicht nur für einzelne Fälle, sondern für alle anderen Fälle gilt, auf die sich die Behauptung bezieht.) und einfachen logischen Folgerungen (Freytag 1984, S. 181–182).

6.4  Erwerb von Kompetenzen im Begründen

125

Abb. 6.12   Darstellung für eine beispielgebundene Begründung des Kommutativgesetzes der Multiplikation

vom Beweisen schwer möglich ist. Sowohl Begründungen als auch Beweise dienen gleichermaßen der Sicherung von Erkenntnissen. Im Mathematikunterricht wird dennoch tendenziell das Begründen als eine Vorstufe des Beweisens angesehen, weil an Begründungen meist nicht die gleichen Anforderungen hinsichtlich ihrer Schlüssigkeit und Korrektheit wie an Beweise gestellt werden. Die Befähigung von Grundschulkindern zum Begründen ist wie der Begriffserwerb eine sehr anspruchsvolle Aufgabe für den Lehrer. Sie erfordert ein kontinuierliches und systematisches Vorgehen vom ersten Schuljahr an. Prinzipiell gelten hierfür die bereits in den Abschn. 6.1, 6.2 und 6.3 genannten didaktischen Orientierungen. Wichtig ist u. E., die Kinder von Anfang an an ein Begründen von Lösungen, von Lösungswegen, von Einzelaussagen oder verallgemeinerten Behauptungen zu gewöhnen. Dies schließt auch eine spezielle sprachlich-logische Schulung ein, die der Deutschunterricht in der Regel nicht leistet (z. B. Verwenden der Begriffe „denn“ und „weil“ als Einleitung einer Begründung, Erkennen der Bedeutung von „alle“ und „jede“ als Ausdruck einer Quantifizierung und von „es gibt ein …“ für die Angabe einer Einzelaussage). Die Ausdrucksweisen sollten Kindern an konkreten mathematischen Sachverhalten immer wieder exemplarisch erläutert und dabei ihre begriffliche „Schärfe“ verdeutlicht werden. Da ein korrektes Begründen mathematischer Zusammenhänge bereits im Grundschulalter inhaltlich recht komplex und sprachlich sehr anspruchsvoll sein kann, sind hinsichtlich des Kompetenzerwerbs von vornherein deutliche Niveauunterschiede zwischen den Kindern einzukalkulieren. Diese sind erfahrungsgemäß häufig mit einer unterschiedlichen Bereitschaft bzw. Motivation der Kinder verbunden. Um dieser Problematik entgegenzuwirken, bietet sich der gelegentliche Einsatz spielerischer Lernaktivitäten an. Beliebt sind unter den meisten Kindern z. B. „logische Knobeleien“, die ein scharfsinniges Denken erfordern und somit den Kindern die Notwendigkeit korrekten Begründens und Schlussfolgerns erlebbar machen können (z. B. Fuchs und Käpnick 2004, S. 156; Fuchs und Käpnick 2009, S. 180–184).

126

6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

6.5 Sprachsensible Gestaltung des Mathematikunterrichts Die fundamentale Bedeutung von Sprache als ein Hauptmittel für die Kommunikation und für jegliche Denktätigkeiten von Grundschulkindern, ebenso für das Festhalten und Bewahren sowie das Strukturieren ihrer Erkenntnisse und somit auch für ein Einordnen und Werten ihrer Leistungen (Erkenntnisse, Tätigkeiten etc.) wie auch für das Ausdrücken kindlicher Gefühle im Prozess des Erwerbens mathematischer Kompetenzen sind in den vorangehenden Abschnitten unter einer jeweiligen spezifischen Sicht erörtert worden. Im Folgenden werden aus einer Gesamtperspektive wichtige Aspekte einer sprachsensiblen Gestaltung des Grundschulmathematikunterrichts erläutert. Diesbezüglich sind zunächst verschiedene Spezifika der mathematischen Fachsprache zu beachten. So gehört zu den Besonderheiten des Erwerbs der mathematischen Fachsprache – als Sprachform, die von der Alltagssprache abzugrenzen ist und eine spezifische Form der Bildungssprache darstellt – durch Grundschulkinder, dass • viele der mehr als 500 zu erlernenden Fachbegriffe im Mathematikunterricht für Kinder Fremdwörter sind (z. B. „Differenz“, „Quader“ oder „Diagramm“), • die Schreib- und Sprechweise von Zahlen in der deutschen Sprache unterschiedlich und für Kinder mitunter unverständlich sind (z. B. „dreizehn“ – „13“ oder „elf“ und „zwölf“, obwohl Kinder zu Recht hinterfragen, warum die beiden Zahlen nicht „einszehn“ und „zweizehn“ heißen), • es für zahlreiche Begriffswörter adäquate Symbole gibt (z. B. „plus“ – „+“), für andere Begriffswörter bzw. Symbole aber wiederum keine sinnentsprechenden Übersetzungen, • gleiche Begriffswörter in verschiedenen mathematischen Teilgebieten unterschiedliche inhaltliche Bedeutungen haben (z. B. „Gerade“ als lineare Figur in der Geometrie, „gerade“ Zahl als durch 2 teilbare natürliche Zahl), • einige mathematische Fachbegriffe und übliche Redewendungen im wortwörtlichen Sinne nicht mit den jeweiligen Inhaltsbedeutungen der Begriffswörter in der Alltagssprache übereinstimmen (z. B. „rechter“ Winkel, „einen Kreis schlagen“ oder „überschlagen“), woraus insbesondere bei Kindern mit Sprachproblemen Irritationen oder Missverständnisse resultieren können, • die mathematische Fachsprache durch spezielle sprachlich-logische Ausdrücke geprägt ist (z. B. „für alle …“ oder „es gibt ein …“ für Quantifizierungen oder „und“, „oder“ oder „wenn – so“ für logische Verknüpfungen), • gleiche Begriffswörter unterschiedliche inhaltliche Bedeutungen in der den Kindern vertrauten Alltagssprache und in der von ihnen zu erlernenden mathematischen Fachsprache haben (z. B. „Drachen“ als Spiel- und Sportgerät mit unterschiedlichen Formen, das mit Wind betrieben wird – „Drachen“ als besondere Vierecksart), • mathematische Fachbegriffe verschiedene inhaltliche Bedeutungen haben können (z. B. „Kreis“ als Oberbegriff für „Kreislinie“ und „Kreisfläche“),

6.5  Sprachsensible Gestaltung des Mathematikunterrichts

127

• es für gleiche mathematische Begriffsinhalte verschiedene Begriffswörter gibt (z. B. „Raute“ – „Rhombus“, „Dreierzahlen“ – „Vielfache von 3“), • Relationsbegriffe im Alltag oft verkürzt und damit mathematisch unkorrekt gebraucht werden (z. B. „Leo ist älter“, „Pia ist größer“). Diese ohnehin sehr komplexen Herausforderungen beim korrekten Umgang mit Sprache im Mathematikunterricht verschärfen sich noch für Kinder, die ohnehin allgemeine Sprachprobleme haben, etwa weil sie erst seit Kurzem Deutsch als Fremdsprache lernen. Somit gewann das Problemfeld „Entwicklung von Sprachkompetenzen im Fachunterricht“ in den letzten Jahren im Schulalltag wie auch in den pädagogischen Wissenschaften erheblich an Relevanz, wobei eine viel diskutierte zentrale Frage darin besteht, ob eher komplexe Sprachkonfrontationen oder eher Sprachreduktionen Erfolg versprechen. (Hier ist es u. E. nicht sinnvoll, eine absolute Entscheidung zu treffen, denn die Ausrichtung von Fördermaßnahmen bestimmt sich schließlich stets nach dem individuellen Lern- und Entwicklungsstandes eines Kindes und nach seinen Bedürfnissen – gerade steter „Konfrontation“ scheint jedoch immerhin besondere Bedeutung zuzukommen.) Sprach- und Mathematikdidaktiker fokussierten sich demgemäß darauf, Empfehlungen für einen sprachsensiblen Grundschulmathematikunterricht zu entwickeln (z. B. Götze 2015; Wildemann und Fornal 2017; Prediger und Ademmer 2019). Eine zentrale Rolle nimmt hierbei die Lehrkraft ein, weil (nur) sie auf der Basis einer fundierten Diagnostik der Sprachpotenziale und -bedarfe jedes Kindes die jeweilige Balance zwischen einer angemessenen Forderung (als „Hebel“ für eine entsprechende individuelle Förderung) und dem Verhindern einer sprachlichen Überforderung eines Kindes im regulären Mathematikunterricht wahren kann und eine Lehrkraft in Kommunikations- oder Erklärungsphasen mit dem korrekten und zugleich kindgemäßen Verwenden der mathematischen Fachsprache eine wichtige Orientierungshilfe für alle Kinder geben kann. Ausgehend von den aufgelisteten Besonderheiten der mathematischen Fachsprache wird in der aktuellen fachdidaktischen Literatur empfohlen, dass die Gestaltung eines sprachsensiblen Mathematikunterrichts in der Grundschule viele verschiedene, aber wechselseitig miteinander verknüpfte didaktische Aspekte umfassen sollte, z. B.: • Verwenden von einfachen Satzstrukturen bei Erklärungen der Lehrkraft, • bewusstes Unterscheiden zwischen Aufgabenstellungen, die zu exemplarischen Beschreibungen von Kindern führen, und Aufgabenstellungen, die zu generalisierenden Beschreibungen führen (Götze 2015), • flexibles Aufgreifen konkreter Sprachprobleme eines Kindes im Sinne eines „konstruktiven Umgangs mit (vermeintlichen) Schülerfehlern“ (beispielsweise könnte aus dem Verwenden von „einszehn“ und „zweizehn“ an Stelle von „elf“ und „zwölf“ durch ein Kind eine Forscherfrage zur historischen Bildung der Zahlwörter in verschiedenen Sprachen entwickelt werden),

128

6  Erwerb von Sprach- und Methodenkompetenzen …

• Einsatz von Sprach- oder Begriffsspielen (z. B. mathematische Fachbegriffe erraten, aus Einzelbegriffen zusammengesetzte Fachbegriffe bilden), • Lückentexte für spezielle Sprachübungen nutzen, • Concept- oder Mind-Maps für das Erkennen, Vertiefen oder Systematisieren von begrifflichen Zusammenhängen einsetzen, • Anfertigen von individuell gestalteten mathematischen Wortschatzspeichern durch Kinder (Götze 2015), • je nach Bedarf Kindern beim Aufgabenbearbeiten zu abstrakten Symbolen oder Fachbegriffen adäquate bildliche oder grafische Darstellungen anbieten bzw. diese von den Kindern anfertigen lassen, • Kindern mit Problemen im verbal-sprachlichen Bereich Möglichkeiten für bildhafte bzw. grafische Darstellungen mathematischer Sachverhalte schaffen, • auf Arbeitsblättern Kindern ggf. Mischformen aus Texten, bildlichen oder symbolischen vorgeben, • beim Einsatz von Textaufgaben Kinder auffordern, die jeweiligen Sachverhalte und -zusammenhänge mit eigenen Worten wiederzugeben, • Kindern exemplarisch Unterschiede zwischen der Alltagssprache und der mathematischen Fachsprache auf der inhaltlichen wie auch auf der ­begrifflich-formalen Ebene verdeutlichen, • Kindern beispielhaft erklären, was mit einer Begründung oder einer Beschreibung eines Lösungsweges u. a. m. gemeint ist, • Kindern exemplarisch besondere Stärken der mathematischen Fachsprache (Eindeutigkeit, logische Strenge, Knappheit und leichte Verständlichkeit ­abstrakt-symbolischer Darstellungen im Vergleich zu verbalen Darstellungen) aufzeigen. Konkrete Anregungen für die Umsetzung dieser Empfehlungen findet man in den angegebenen Literaturquellen. Mögliche Weiterentwicklungen Es kann erwartet werden, dass in absehbarer Zeit durch die Nutzung von lern- und neuropsychologischen Forschungsergebnissen, aber auch von Erfahrungen der Schulpraxis die Anwendung von Lerntechniken für jeglichen Unterricht weiterentwickelt wird. Ihre Bedeutung dürfte im Zusammenhang mit einer stärkeren Verbreitung konstruktivistischen Lernens noch zunehmen. Dies sollte auch bewirken, dass zukünftig in Mathematiklehrwerken Lerntechniken vermehrt angeboten werden. Noch differenzierter zu klären ist u. E. dabei, welche Lerntechniken sich für den Mathematikunterricht der Grundschule als besonders günstige Werkzeuge eignen, inwiefern Lernstrategien für alle Kinder gleichermaßen effektive Hilfen darstellen können oder ob diese

6.5  Sprachsensible Gestaltung des Mathematikunterrichts

129

stärker individuell geprägt sein sollten. Die Forschungen zu „Sprache und Mathematik“ stellen einen Hauptfokus der aktuellen mathematikdidaktischen Forschung dar, so dass hier in der näheren Zukunft mit einem erheblichen Erkenntniszuwachs zu rechnen ist, der insbesondere zur Entwicklung zahlreicher (beispielsweise auch sprachreduzierter) weiterer Unterrichtsmaterialien führen dürfte. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welches der in Abschn. 6.1 vorgestellten Lernmodelle würden Sie für die Erarbeitung des Begriffs „Durchschnittsrechnung“ im Mathematikunterricht des vierten Schuljahres zugrunde legen? Begründen Sie Ihre Entscheidung. • Welche Grundposition zur Thematisierung von Lernstrategien im Mathematikunterricht der Grundschule haben Sie? • Wie könnte ein Begriffsnetzwerk (eine Mind-Map) zum Thema „Näherungswerte“ aussehen, das Viertklässler im Mathematikunterricht nutzen könnten?

7

Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

Welche durch 7 teilbare Zahl lässt beim Teilen durch 2, 3, 4, 5 und 6 den Rest 1? Gibt es mehrere solcher Zahlen?

Inhaltsverzeichnis 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Besonderheiten einer mathematischen Problemaufgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Grundschulkinder als gute Problemlöser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Stufenmodelle für Problemlöseprozesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Mögliche Weiterentwicklungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Die „Einstiegsaufgabe“ dieses Abschnitts stammt vom indischen Mathematiker Bhaskara, der um 600 n. Chr. lebte. Es empfiehlt sich, vor dem Weiterlesen die Aufgabe zu lösen. Dabei könnten zwei Fälle auftreten: a) Die oder eine ähnliche Aufgabe ist dem Aufgabenlöser bekannt und er kennt einen sinnvollen Lösungsweg oder sogar schon die Lösung. b) Die Aufgabe ist dem Bearbeiter unbekannt, sodass er gezwungen ist, den Sachverhalt zunächst gründlich zu analysieren, einen oder mehrere sinnvolle Lösungswege zu entwickeln, anzuwenden bzw. zu prüfen. Im ersten Fall spricht man in der Mathematikdidaktik von einer Routine-, im zweiten Fall von einer Problemaufgabe. Der Lernpsychologe Edelmann hat beide Lösungsprozeduren verallgemeinernd in einem Modell (Abb. 7.1) gegenübergestellt.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_7

131

132

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern Kognitive Struktur Wissensstruktur (epistemische Struktur)

Problemlösestruktur (heuristische Struktur)

Inhalt: Begriffe, Regeln

Inhalt: Heurismen = Problemlöseverfahren

Reproduktives Denken

Produktives Denken

Leistung: Bewältigung von Aufgaben

Leistung: Lösung von Problemen

Abb. 7.1   Modell der kognitiven Struktur. (Nach Edelmann 2000, S. 210)

Edelmann schätzt ein, dass der weitaus größte Teil des Handelns von Erwachsenen über die Wissensstruktur, also über Routinen gesteuert wird (Edelmann 2000, S. 210). Bei Grundschulkindern ist dagegen anzunehmen, dass aufgrund der noch relativ geringen Wissensbasis die Problemlösestruktur eine viel größere Rolle spielt. Somit dürfte auch im Mathematikunterricht der Grundschule von vornherein das Problemlösen einen wesentlichen Platz einnehmen – quasi als „entwicklungspsychologische Normalität“. Zugleich ist der Umgang mit Problemaufgaben unbestritten eine anspruchsvolle Herausforderung – für die Kinder wie für die Lehrer – und das Problemlösen wird vermutlich vor allem deshalb in der Schulpraxis häufig vernachlässigt und/oder es werden meist unbefriedigende Leistungen im Problemlösen beklagt. Das Kap. 7 enthält grundlegende theoretische Erkenntnisse zum Problemlösen sowie didaktische Orientierungen für einen erfolgreichen Einsatz mathematischer Problemaufgaben im Schulunterricht.

7.1 Besonderheiten einer mathematischen Problemaufgabe In der Einleitung ist bereits deutlich geworden, dass das Problemlösen ein mehr oder weniger selbstständiges Bearbeiten einer (mathematischen) Aufgabe ist, für die der Bearbeiter keinen Lösungsweg „abrufen“ kann (vgl. Zimmermann 1991, S. 14). Eine mathematische Problemaufgabe1 ist demgemäß durch drei Komponenten gekennzeichnet, nämlich durch

1Eine mathematische Problemaufgabe kann die Einstiegsaufgabe des Kap. 7 oder für einen Erstklässler die Aufgabe „17 + 19“ sein. In der psychologischen Literatur spricht man dagegen in der Regel erst von einem „Problem“, wenn eine Situation eine weitaus höhere Komplexität, Dynamik und Intransparenz aufweist, wie z. B. die Entwicklung eines Fahrplans für den Stadtverkehr (Dörner 1995, S. 58–66).

7.1  Besonderheiten einer mathematischen Problemaufgabe

133

• einen Anfangszustand, • einem erwünschten Endzustand, • eine Barriere, die die Transformation vom Ausgangszustand in den Endzustand zunächst verhindert. Anders gesagt entsteht ein Problem dann, wenn jemand ein Ziel erreichen will, aber auf dem Weg zum Ziel von einem Hindernis aufgehalten wird. Die von einer Person in dieser Situation notwendigen Anstrengungen zum Beseitigen des Hindernisses kann man mit dem Begriff „Problemlösen“ kennzeichnen (Arbinger 1997, S. 13). Aus mathematikdidaktischer Perspektive kennzeichnet der Begriff Problemaufgabe also eine Aufgabenart, der mehr oder weniger (für den Aufgabenbearbeiter) anspruchsvolle mathematische Strukturen zugrunde liegen, die auch in Sachinhalte oder Sachzusammenhänge eingebettet sein können, sodass der Aufgabenbearbeiter keine vertrauten Lösungsmuster bzw. Transferleistungen anwenden kann. Hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades lassen sich in Anlehnung an Edelmann (Edelmann 2000, S. 210–211) grob folgende Typen mathematischer Problemaufgaben unterscheiden: • Problemaufgaben mit klarer Zielstellung und (dem Bearbeiter) grundsätzlich bekannten Mitteln, aber fehlender Kenntnis eines geeigneten Lösungsweges (Die Anforderung des Aufgabenlösers besteht also darin, bekanntes Sach-, Verfahren- oder Methodenwissen mehr oder weniger kreativ zu verknüpfen, um einen sinnvollen Lösungsweg zu entwickeln.) Beispiel: die „Bhaskara-Aufgabe“ (vgl. Einleitung zum Kap. 7) (Dritt- oder Viertklässlern sollten die im Aufgabentext verwendeten Fachbegriffe „teilbar“ und „Rest“ sowie Methoden zum Überprüfen von der Teilbarkeit durch eine der angegebenen Zahlen kennen und beim Lösen der Aufgabe versuchen, ihr Wissen geschickt zu verknüpfen, um einen effektiven Lösungsweg entwickeln zu können.) • Problemaufgaben mit klarer Zielstellung, aber z. T. fehlenden Mitteln (Sach-, ­Verfahren-, Methodenwissen), um die Aufgabe lösen zu können Beispiele: Forscheraufgabe zum Bestimmen von Zauberbuchstaben (Käpnick 2001, S. 114–117) oder die Fermi-Aufgabe: „Wie viele Autos stehen in einem 1 km langen Stau?“2 (Für die erste Beispielaufgabe sollten Kindern die wesentlichen Merkmale von Zauberfiguren bekannt sein und sie sollten Erfahrungen im Zusammenstellen von Zauberquadraten, -vierecken, -dreiecken gesammelt haben. Ein Transfer der bekannten Mittel reicht zum Lösen der recht komplexen Aufgabe aber nicht aus, weil

2Eine

ausführliche Analyse einer ähnlichen „Stau-Aufgabe“ mit authentischen Kinderlösungen findet man in Peter-Koop 2003.

134

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

die Kinder zusätzlich noch die Form der Buchstaben sowie einheitliche Stellen für Platzhalter bei Zauberbuchstaben festlegen müssen.) • Komplexe Problemaufgaben bzw. Problemfelder mit einer nur vagen Zielstellung und mit einer ungeklärten Nutzung von bekannten, weniger oder noch nicht bekannten Mitteln Beispiel: Planung und Durchführung eines Projektes zum Thema „Wasserverbrauch“ (Hier sind Kinder zunächst gefordert, sich in den Themenkomplex „einzuarbeiten“, mögliche interessante Fragestellungen zu entwickeln und ihre Lösbarkeit zu prüfen, dann einen realistischen Lösungsplan zu entwerfen, Materialien zu recherchieren, ihr Fächer übergreifendes Wissen zu nutzen, etc.) Anmerkung: Wie meist bei Aufgabenklassifikationen sind auch in diesem Fall die Übergänge zwischen den drei Typen fließend. Mit der Unterscheidung können dennoch aufgrund der deutlich wachsenden Komplexität Qualitätsunterschiede gekennzeichnet werden, die für die Planung, Organisation und Analyse des täglichen Unterrichts hilfreich sind.

7.2 Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht Ob man in der Lage ist, eine Problemaufgabe zu lösen, und wie geschickt, wie schnell oder wie umfassend man sie löst, kann von sehr verschiedenen Aspekten abhängen. Notwendige Voraussetzungen für ein erfolgreiches Problemlösen sind Faktenwissen und fachliche Grundkompetenzen zum jeweiligen Inhalt der Aufgabe (die die Kinder „abrufen“ und flexibel nutzen können), ebenso allgemeine Denkkompetenzen (analytisches, flexibles, vernetztes, strategisches Denken etc.) sowie ein gewisses Mindestmaß an Anstrengungsbereitschaft, an Ausdauer, an Gründlichkeit, an Kreativität oder an Selbstständigkeit. Wenn sich Kinder mit einer Problemaufgabe aktiv auseinandersetzen, dann wird dementsprechend auch ein Beitrag zur Entwicklung dieser Kompetenzen geleistet. Zugleich kann das Problemlösen, vor allem das Suchen einer Lösungsidee, auch Spaß machen. Und wenn man eine „harte Nuss geknackt“ hat, stellt sich oft ein Gefühl großer innerer Zufriedenheit ein. Häufig sind (nicht nur) Kinder in solchen Momenten sogar sehr stolz. Das Problemlösen ist somit eine vielfältig bedeutsame Lerntätigkeit. Das Problemlösen bietet den Kindern zugleich Chancen, • eigene Wege auszuprobieren, • (oft) selbst zu entscheiden, mit wem man ein Problemfeld bearbeiten will, • selbst zu bestimmen, wie tiefgründig man in das jeweilige Thema eindringt („natürliche Differenzierung“).

7.2  Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht

135

Neben diesen „pädagogischen Gründen“ (Zimmermann 1991, S. 22–26) lassen sich aber auch spezielle „lernpsychologische Gründe“ für ein Plädoyer zum Einsatz von Problemaufgaben im Mathematikunterricht ab dem ersten Schuljahr nennen. Heute wird weitestgehend die Position vertreten, dass Lernen individuell geprägte und aktiv-konstruktive Prozesse sind, die wesentlich durch die Bereichsspezifik aller Erfahrung und Gedächtnisverarbeitung des Lernenden (vgl. Kap. 1 und 2), durch die Konstruktivität allen Wahrnehmens, Deutens und Verstehens (vgl. z. B. Glaserfeld 1987; Schütte 1994) und durch die Interaktivität der Wissenskonstitution in sozialen Prozessen (vgl. z. B. Voigt 1991) geprägt werden. Beim Problemlösen haben die Kinder die Chance, ein Problem ausgehend von ihren subjektiven Erfahrungen und von ihren individuellen Vorkenntnissen zu bearbeiten. Sie können weiterhin ihre individuell bevorzugten Strategien anwenden, frei Hilfsmittel wählen, Lösungen konstruieren und diese entsprechend ihren individuellen Möglichkeiten darstellen. Die Kinder können ferner in der Interaktion mit anderen Kindern ihre Lösungswege entwickeln, probieren, verwerfen usw. und diese mit denen ihrer Mitschüler begründend vergleichen. Somit besitzt das Problemlösen generell bedeutende Potenziale für ein erfolgreiches Lernen, aber auch spezielle Potenziale für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Darüber hinaus ist zu beachten, dass mit dem Einsatz von Problemaufgaben im Unterricht auch dazu beigetragen werden kann, den Kindern ein adäquates Bild vom Wesen der Mathematik zu vermitteln. Denn das Suchen und Bestimmen von Problemen, das Bearbeiten von Einzelproblemen wie auch von komplexen Problemfeldern gehören zu den prägenden Tätigkeiten der Mathematik. Für Polya oder Halmos ist mathematisches Tätigsein sogar im Wesentlichen Problemlösen (Zimmermann 1991, S. 28). Kießwetter ordnet das Problemlösen entsprechend wie folgt in den Komplex mathematischen Tuns ein: „… die Mathematik stellt sich als Prozeß dar, der stets bei interessanten Problemstellungen beginnt, sich manchmal mit der Lösung der Einzelprobleme begnügt und manchmal sogar begnügen muß, zumeist jedoch in systematischen Darstellungen von mathematischen Teilgebieten wie Algebra, Geometrie, Analysis, Funktionstheorie, Theorie der Differentialgleichungen, Zahlengleichungen usw. mündet. So betrachtet ist Mathematik vor allem ein Theoriebildungsprozeß.“ (Kießwetter 1991, S. 11)

Zusammengefasst kann man folgende Potenziale des Lösens mathematischer Problemaufgaben für Grundschulkinder hervorheben: Potenziale des Problemlösens für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen von Grundschulkindern • Beitrag zur Befähigung zum – selbstständigen Analysieren und Strukturieren eines mathematischen Sachverhaltes, – Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen zwischen verschiedenen mathematischen Themen,

136

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

– selbstständigen Entwickeln von Lösungsansätzen unter Nutzung heuristischer Strategien, – Wechseln von Repräsentationsebenen für mathematische Sachverhalte, ggf. auch zum Umkehren von Gedankengängen, – Begründen, Beschreiben und zum korrekten Darstellen mathematischer Zusammenhänge, – Vergleichen (ggf. zum Bewerten) verschiedener Lösungsansätze, – Entwickeln eines adäquaten Grundverständnisses für mathematisches Tun. Potenziale des Problemlösens für die Entwicklung allgemeiner Kompetenzen von Grundschulkindern • Förderung allgemeiner Denkkompetenzen (analytisches, flexibles, vernetztes, strategisches Denken), • Förderung allgemeiner Persönlichkeitsqualitäten, • (Selbstbestimmungskompetenzen, Selbstständigkeit, Anstrengungsbereitschaft, Ausdauer, soziale Kompetenzen, Kreativität etc.) Aufgrund dieser vielfältigen und zugleich fundamentalen Bedeutung des Problemlösens deklarieren Lehrpläne für den Mathematikunterricht seit vielen Jahren die Entwicklung von Problemlösekompetenzen schließlich als ein allgemeines Hauptziel vom ersten Schuljahr an (vgl. Kap. 1 und 2 des Buches).

7.3 Grundschulkinder als gute Problemlöser Schon Kleinkinder sind ständig damit beschäftigt, Probleme zu lösen. Neugierig und erwartungsvoll setzen sie sich wie selbstverständlich mit ihrer Umwelt auseinander und stoßen dabei immer wieder an Grenzen, die sie überwinden wollen. Ob beim Erkunden von Spielzeug, beim Ausprobieren technischer Geräte oder beim Spaziergang in einen Park, stets sind sie damit beschäftigt zu entdecken, wie die Dinge ihrer Umwelt funktionieren, wie sie eigene Vorhaben umsetzen können oder wie sie bei ihnen nahestehenden Personen ihre Wünsche und Vorstellungen durchzusetzen vermögen. Das Tun von Kindern ist also im hohen Maße Problemlösen. Dabei besitzen Kinder eine im Hinblick auf das Problemlösen sehr förderliche Besonderheit: Sie gehen meist unbekümmert, spontan und fantasiereich an das Lösen von Problemaufgaben heran und entwickeln auf (für Erwachsene) originelle und mitunter eigenwillige Weise Lösungswege (vgl. z. B. Selter 1993). Hierbei spielt sicher eine Rolle, dass sich bei Grundschülern erst allmählich bestimmte fachspezifische Denk- und Arbeitsweisen („Stilisierungen“; vgl. Klix 1987, S. 86) herausbilden und verfestigen. Auch Gardner schätzt ein, dass die meisten Kinder schon früh originelles Verhalten erkennen lassen. Seiner Meinung nach hat das zwei Gründe:

7.4  Stufenmodelle für Problemlöseprozesse

137

Erstens erkennen Kinder die Grenzen zwischen verschiedenen Bereichen noch nicht deutlich und sind deshalb eher als Erwachsene bereit, sie zu überschreiten; dabei stellen sie oft ungewöhnliche und rührende Vergleiche und Assoziationen an. Zweitens sind Kinder nicht gefühlsmäßig daran interessiert, eine einzige „wahre“ Erklärung einer Situation oder eines Problems zu erhalten; Widersprüche, Abweichungen von der Konvention oder Unwahrheiten beunruhigen sie nicht. Diese Unbekümmertheit trägt ebenfalls zu einem deutlich häufigeren Auftreten neuer Schöpfungen bei, selbst wenn andere diese Neuschöpfungen nicht begrüßen oder auch nur angemessen würdigen (Gardner 1994, S. 263–264).

7.4 Stufenmodelle für Problemlöseprozesse Für die komplexen Prozessabläufe beim Problemlösen haben Psychologen, Intelligenzforscher und Erkenntnistheoretiker verschiedene Modelle entwickelt, in denen sich jeweilige wissenschaftstheoretische Grundannahmen widerspiegeln. Eine in der Mathematikdidaktik nach wie vor weit verbreitete Modellierung ist folgende „klassische“ Unterscheidung von Problemlösephasen: • • • • •

Bewusstmachen der Problemsituation, Problemanalyse und ggf. Bestimmung einer Problemfrage, Hypothesenbildung und Suche eines Lösungsweges, Finden einer oder mehrerer Lösungen, Kontrolle und Bewertung der Lösung(en) (Lompscher 1988, S. 129).

In diesem Stufenmodell wird m. E. das zu lösende Problem in den Vordergrund gerückt, die Perspektive des Problembearbeiters dagegen vernachlässigt, sodass man von einer „stoffdidaktisch orientierten Modellierung“ (Fuchs 2006, S. 74) sprechen kann. Es wird der Eindruck erweckt, als ob Problemlöseprozesse eher gleichförmig, beinahe „algorithmisch“ ablaufen würden. Vor allem das nicht planbare, individuell geprägte und kreative Suchen nach Lösungsideen, die emotionale Auseinandersetzung mit dem eigenen Vorwissen, dem Zweifeln am Finden einer Lösung oder dem eigenen Anspruch an die Lösungsfindung, das „Ringen“ um eine richtige Lösungsidee usw. werden zu wenig beachtet. Diese Aspekte spiegelt dagegen ein Modell weitaus besser wider, das auf der Basis von Ergebnissen der emotionalen Intelligenzforschung entwickelt wurde: Phasen des Problemlösens (auf der Basis der emotionalen Intelligenzforschung). 1. Vorbereitung Der Problemlöser vertieft sich in das Problem, sammelt und analysiert alle Informationen. Er ist hierbei offen im Denken, sammelt z. B. möglichst unterschiedliche Daten, nimmt verschiedene Sichtweisen ein, entwickelt ungewöhnliche Verknüpfungen.

138

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

Es stellen sich ebenso eine Selbstzensur („Die anderen werden denken, dass du verrückt bist.“, oder: „Das ist viel zu einfach.“), oft auch Frustration und ggf. eine Verzweiflung („Akzeptanz der Dunkelheit vor der Dämmerung“, vgl. Goleman et al. 1999) ein. 2. Inkubationsphase Der Problembearbeiter „verdaut“ alle bisherigen Analysen und Lösungsansätze. Viele Vorgänge entziehen sich in dieser Phase der bewussten Aktivität. Sie spielen sich in den unbewussten Bereichen des Geistes ab. Man schweift gedanklich ab, aber auch wenn das Problem von Zeit zu Zeit aus der „geistigen Dämmerzone in das helle Licht der Aufmerksamkeit“ gerät, sucht das „Unbewusste“ fortwährend nach einer Lösung.3 Diese Kraft des Unbewussten ist weit größer als die des bewussten Verstandes. Dabei bedient sich das Unbewusste vielfältiger Bildwelten, der Sprache und intensiver Empfindungen. Oft äußert sich eine Erkenntnis des Unbewussten als eine vage Empfindung bzw. Ahnung (Intuition). 3. Zufallsgelenkte Tagträume Aus Entspannung oder irgendwelchen nebensächlichen Aktivitäten (z. B. bei einem Spaziergang oder einem Gespräch über belanglose Alltagsthemen) erwächst plötzlich eine gute Idee zur Problemlösung. 4. Eingebung Die Vertiefung von Tagträumen kann zur Eingebung führen, dem Augenblick, da sich die Antwort aus dem Nichts einzustellen scheint. Zum kreativen Akt gehört aber auch, die Erkenntnis ins Handeln zu überführen, die Idee in die Wirklichkeit zu „transportieren“ (Goleman et al. 1999, S. 17–23). Als besondere Vorzüge des Unbewussten gegenüber dem Bewussten hebt Goleman hervor: • „Im Unbewussten gibt es keine Selbstzensur, sodass sich die Ideen dort in bunter Mischung zu unbekannten Mustern und überraschenden Zusammenstellungen verbinden können. • Im Unbewussten wird alles gespeichert, was man weiß, auch das, was man nicht ohne weiteres aus dem Bewusstsein abrufen kann (Erinnerung ist unbewusst, bevor sie bewusst wird).“ (Goleman et al. 1999, S. 19–20)

3In

den Förderstunden des Projektes „Mathe für kleine Asse“ (Fuchs und Käpnick 2009) zeigt sich die Inkubationsphase bei vielen Kindern darin, dass sie nach etwa 15-minütiger angestrengter und bewusster Problemlösetätigkeit von sich aus plötzlich gedanklich abschweifen. Sie tauschen sich dann über belanglose Alltagserlebnisse aus, albern mitunter auch ein wenig herum, kehren nach weiteren ca. zehn Minuten jedoch ebenso abrupt wieder zum konzentrierten Problembearbeiten zurück – meist mit einer Erfolg versprechenden neuen Lösungsidee. Das intuitive Problemlösen der kleinen Matheasse stimmt bemerkenswerterweise mit den Reflexionen zur intuitiven Forschertätigkeit berühmter Wissenschaftler wie Euler, Hadamard, Einstein oder Binnig überein – auch wenn die Inkubationszeit beim Entdecken neuer Erkenntnisse durch Wissenschaftler oft mehrere Jahre, beim Lösen mathematischer Problemaufgaben durch Kinder dagegen nur wenige Minuten oder sogar nur einige Sekunden dauert.

7.4  Stufenmodelle für Problemlöseprozesse

139

Aktuelle Ergebnisse der Neurowissenschaften, Selbstreflexionen berühmter Forscher (vgl. z. B. von Hadamard 1945; Binnig 1989) sowie eigene langjährige Analysen aus der Arbeit mit mathematisch interessierten und begabten Kindern (Käpnick 1998, Käpnick 2009; Käpnick und Fuchs 2009) bestätigen, dass diese Modellierung recht gut den tatsächlichen Vorgehensweisen von Problembearbeitern entspricht. Insbesondere der Bedeutung von Unbewusstem bzw. von Intuition beim Problemlösen wird in Golemans Modell Rechnung getragen: „Eigentlich sind alle wichtigen Arbeiten in der Wissenschaft Intuitionen zu verdanken.“ (Binnig 1989, S. 219)

Hiermit übereinstimmend stellt auch der Hirnforscher Roth heraus: „Bewusstsein ist nicht die Krone menschlichen Wesens und nicht die entscheidende Grundlage unseres Handelns. Vernunft und Verstand sind eingebettet in die affektive und emotionale Natur des Menschen. Die weitgehend unbewusst arbeitenden Zentren des limbischen Systems bilden sich nicht nur früher aus als die bewusst arbeitenden corticalen Zentren, sondern sie geben auch den Rahmen vor, innerhalb dessen diese arbeiten. Das limbische System bewertet alles, was wir tun, nach gut oder lustvoll und damit erstrebenswert bzw. nach schlecht, schmerzhaft oder nachteilig und damit zu vermeiden und speichert die Ergebnisse dieser Bewertung im emotionalen Erfahrungsgedächtnis ab. Bewusstsein und Einsicht können nur mit ‚Zustimmung‘ des limbischen Systems in Handeln umgesetzt werden.“ (Roth 2001, S. 451–452)

Wenn auch das Entstehen von Intuitionen wissenschaftlich noch wenig geklärt erscheint, gibt es doch verschiedene Ansätze zur inhaltlichen Kennzeichnung und zur Bedeutung des Begriffs. Demgemäß versteht man allgemein unter einer Intuition eine unvermittelte, oft auch ganzheitliche Erfassung von Gegenständen, Sachverhalten, Begriffen, Sätzen, Werten usw. (vgl. z. B. Rehfus 2003, S. 412). Vertreter der jüngeren Kreativitätsforschung bzw. der „Emotionale-Intelligenz“-Forschung kennzeichnen Intuitionen zudem vor allem als plötzliche Eingebung, als einen Moment kreativen und künstlerischen Schaffens und zugleich als eine vage Empfindung von einer Erkenntnis oder von der Richtigkeit einer Erkenntnis (vgl. z. B. Goleman et al. 1999). Intuitionen gehören demnach zur „Weisheit“ des Unbewussten, die aus intensiven Empfindungen und vielfältigen Bildwelten besteht, die die „Intelligenz der Sinne“ ausmachen (vgl. Goleman et al. 1999). Faas verweist darüber hinaus bzgl. des Entstehens und der Qualität von Intuitionen aber auch auf Einflüsse bewusster Denktätigkeit: „Intuition ist auf das Vertrauen in eine Logik der Bilder, eine Logik des Traumhaften angewiesen, die nicht durch eine Überlagerung mit Prozessen der analytischen Verstandeslogik verkümmert ist. Als eigentliches Wesen der Intuition wird die Fähigkeit zur Verschmelzung seelischer und körperlicher Befindlichkeiten, emotionaler und kognitiver Prozesse, subjektiver Erlebnisse und objektiver Fakten zu einer übergeordneten Wahrnehmungsqualität gesehen, die in Verbindung steht mit der Fähigkeit zur spontanen Umsetzung von vergangenheits-, gegenwarts- und zukunftsorientierten Handlungsimpulsen.

140

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

Insgesamt geht es also darum, die unterschiedlichen Erfahrungszugänge und Erkenntniswege in einen Zustand emotionaler und rationaler Wachheit zu integrieren.“ (Faas 2000, S. 192)

Das von Faas angesprochene „Vertrauen“ in intuitiv gewonnene Problemlösungen führt schließlich dazu, dass Intuitionen auch Evidenzen bzw. einleuchtende Erkenntnisse und/ oder unmittelbare Gewissheiten sind. Die Evidenzen basieren dabei stets auf bewusstem Wissen und verschaffen deshalb einer Person die spontan akzeptierte Gewissheit. Auf der Basis einer Analyse bekannter Theorieansätze und eigener empirischer Befunde (Käpnick 2009) zu unbewussten Lösungsprozessen lassen sich Intuitionen zusammengefasst als vielfach auftretende und wichtige phänomenologische Aspekte mathematischen Problemlösens kennzeichnen, die • nicht nur auf dem jeweiligen mathematischen Vorwissen, sondern auch auf allgemeinen kognitiven Kompetenzen (z. B. flexiblem und „flüssigem“ Denken) der Kinder basieren, • zugleich durch ganzheitlich-komplexes, sinnlich-emotionales Erfassen eines mathematischen Sachverhalts geprägt sind, • nicht vordergründig an Sprache gebunden sind, sondern auch aus im Unbewussten subjektiv konstruierten komplexen „Bild- und Symbolwelten“ bestehen, • in allen Problemlösephasen auftreten und den jeweiligen Stil wie auch die Lösungsqualität mitbestimmen können. Problematisch, aber von großer praktischer Relevanz ist die Frage, wie man solche Intuitionen von Kindern erkennen kann. Da solche Ahnungen oder Geistesblitze flüchtig, spontan, diffus und zudem individuell verschieden geprägt sind, können Außenstehende sie nicht leicht bemerken – und wenn, dann ist es noch viel schwieriger, ihre fachliche Substanz zu verstehen und sie angemessen zu bewerten. Hinzu kommt, dass es mitunter nicht eindeutig feststellbar ist, ob eine Lösungsqualität „intuitiv“ ist oder ob ein Kind aufgrund sprachlicher Defizite keine verständliche verbale Erläuterung eines Lösungsgedankens angeben kann. Es kann außerdem sein, dass sich beide Aspekte vermischen, wobei zu beachten ist, dass Intuition und sprachliche Kompetenzen sich nicht zwangsläufig wechselseitig bedingen (vgl. z. B. Roth 2001, S. 217, 228). Die Analyse bisheriger Fallbeispiele (Käpnick 2009) erlaubt zumindest die Kennzeichnung von Indizien für „Prototypen“ mathematischer Intuitionen beim Problemlösen. Solche Indizien können sein: • plötzliche Ideen (z. B. Simon: „Ich kann es nicht erklären. Die Zahl war auf einmal da!“), • sprunghafte Gedankenführung (bei Beobachtungen oder in Videotranskripten erkennbar, seltener in schriftlichen Dokumenten feststellbar, eine chaotische Heftführung könnte jedoch ein Indiz sein),

7.5  Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern

141

• scheinbar zusammenhanglose Wortfetzen, die aber beim genauen Analysieren doch wichtig für einen Themenkomplex sind, • symbolhafte Gesten, die, Wesentliches „erahnend“, dieses mit Worten (noch) nicht fassbar ausdrücken, • erkennbarer Widerspruch beim Problemlöser zwischen der Überzeugung, eine Lösung zu kennen oder zu ahnen („Ich ahne …“, oder: „Ich denke, dass es damit etwas zu tun haben müsste.“) und dem Unvermögen, das „intuitive Erkenntnisprodukt“ anderen und sich selbst verständlich und zusammenhängend erklären zu können („Ich kann es nicht erklären, es ist aber so.“).

7.5 Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern Ein weiterer wesentlicher Aspekt des Problemlösens bezieht sich auf die Art und Weise, wie Grundschulkinder bei dieser anspruchsvollen Lerntätigkeit vorgehen. Unter der Vorgehensweise beim Problemlösen4 wird hier die Art und Weise verstanden, wie • ein Kind ein gegebenes Problem erfasst (Informationsaufnahme und Analyse des Problems), • ein Kind das Problem zu lösen versucht (Entwicklung von Lösungsansätzen und -strategien, bevorzugte Handlungsebenen beim Problemlösen, spezifischer Denk- und Arbeitsstil beim Problembearbeiten), • ein Kind die Lösung der Problemaufgabe darstellt und wie es diese kontrolliert (Käpnick 1998, S. 250; Fuchs 2006, S. 101). Im Ergebnis mehrjähriger Untersuchungen konnte Fuchs für mathematisch interessierte und begabte Dritt- und Viertklässler solche verschiedenen Vorgehensweisen beim Problemlösen identifizieren und klassifizieren. Nachfolgeuntersuchungen lassen vermuten, dass diese Klassifikation ebenso auf weniger begabte Kinder angewendet werden kann. Ein bemerkenswertes Resultat der Studie von Fuchs besteht zudem darin, dass das Problemlöseverhalten der getesteten Kinder weniger vom Inhalt oder von der Präsentationsform einer Problemaufgabe abhängt, sondern hauptsächlich durch die individuelle Ausprägung des problembearbeitenden Kindes bestimmt wird (Fuchs 2006, S. 278). Die Untersuchung

4Zu

beachten ist, dass sich der Begriff „Vorgehensweise beim Problemlösen“ nicht – wie etwa „heuristische Strategien“ oder „Problemlösestrategien“ (vgl. hierzu Abschn. 7.6) – auf kognitive Fähigkeiten beschränkt, sondern aus ganzheitlicher Perspektive auch allgemeine Persönlichkeitseigenschaften berücksichtigt.

142

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

zeigte demgemäß auf, dass sich individuell geprägte Vorgehensweisen beim Problemlösen im Verlauf der Grundschulzeit tendenziell sogar verfestigen – freilich nur bzw. vor allem dann, wenn den Kindern im Mathematikunterricht Freiräume zum Entfalten ihrer individuellen Lernstile gegeben werden. Zusammengefasst lassen sich folgende Vorgehensweisen beim Problemlösen bzw. Problemlösestile unterscheiden, die jeweils zunächst allgemein und dann anhand authentischer Schülerlösungen zur „Bhaskara-Aufgabe“ exemplarisch erläutert werden:5 Hartnäckiges Probieren Die Kinder probieren sehr ausdauernd und hartnäckig, ohne dabei wesentliche inhaltliche Zusammenhänge zu erkennen und zu nutzen. Sie verfolgen „in eine Richtung denkend“ ihre Lösungsstrategie, ohne Repräsentationsebenen zu wechseln oder Gedanken umzukehren. Die Ergebnisdarstellungen sind meist übersichtlich, eigenen Resultaten stehen die Kinder aber selbstkritisch gegenüber (weil sie sich vermutlich dessen bewusst sind, dass sie nicht alle wichtigen inhaltlichen Gedankengänge „durchdrungen“ haben). Hartnäckige Probierer arbeiten gern mit anderen Kindern zusammen, akzeptieren Ideen und Meinungen anderer. Dieser Typ kommt unter den begabten Kindern selten, unter den weniger begabten Kindern dagegen recht häufig vor. Beispiel: Florian und Tim probierten immer wieder mit verschiedenen Zahlen. Sie versuchten dabei alle verschiedenen Zahlen der Siebenerfolge zu prüfen, aber nicht systematisch, sondern scheinbar „systemlos“. Als sie ein Blatt mit Aufgaben vollgeschrieben hatten, erkannten sie, dass die gesuchte Zahl keine gerade Zahl und keine „Fünferzahl“ sein konnte. Sie hatten zweifellos intensiv gerechnet und brauchten offenbar diese Phase, um dann erste wichtige strukturelle Einsichten zu erhalten. An ein Aufgeben dachten beide in keiner Phase, sie probierten hartnäckig etwa 30 min lang – immer in der Hoffnung, dabei einen „Volltreffer“ zu landen. Intuitives Erahnen einer Problemlösung bzw. intuitives Herantasten an eine Lösung Die Kinder entwickeln spontan, oft sehr schnell und nicht selten originelle bzw. überraschende Lösungsideen. Intuitive Problemlöser haben ein sehr ausgeprägtes Gefühl für Zahlen und für andere mathematische Sachverhalte. Ihre Lösungsdarstellungen sind häufig unvollständig und chaotisch, ihre sprunghaften Lösungsideen können sie meist nicht erklären und sie zeigen ein geringes Interesse, ihre Lösungen zu prüfen. Auffällig ist weiterhin, dass die Kinder bevorzugt allein knobeln, dabei sehr temperament- und fantasievoll sind.

5Eine

detaillierte Beschreibung der Problemlösestile findet man in: Fuchs (2006, S. 279–284).

7.5  Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern

143

Beispiel: Der neunjährige Simon rief bereits zehn Sekunden nach dem Austeilen des Arbeitsblattes für alle überraschend freudestrahlend eine richtige Lösungszahl: „721“. Ich6 lobte den Jungen spontan und fragte ihn: „Wie hast du so schnell die Lösungszahl ermittelt?“ Darauf sah mich Simon irritiert an und antwortete unsicher: „Ich kann es nicht erklären. Die Zahl war auf einmal da!“ In einem vertraulichen und sensiblen Gespräch mit ihm gelang es mir anschließend nach und nach, die sprunghaften, z. T. unbewussten „Gedankenblitze“ des Jungen ins Bewusste zu „überführen“. Demgemäß bestanden seine Kernideen in Folgendem: • 21 ist ein Vielfaches von 7. • 21 lässt beim Teilen durch 2, 4 und 5 den Rest 1; 21 erfüllt also teilweise die geforderten Zahleigenschaften. • 21 + 70 = 91; 91 erfüllt noch besser als 21 die Aufgabenbedingungen, 91 lässt aber beim Teilen durch 4 nicht den Rest 1. • 21 + 700 = 721; 721 könnte, nein ist eine Lösungszahl – „Ich hab’s! Ich rufe: 721!“7 Simons Kernideen verdeutlichen eine hohe mathematische Substanz seiner intuitiven Lösung, die weit über das hinausgeht, was sein bloßes Rufen einer richtigen Lösungszahl vermuten lässt. Verallgemeinernd hat der Junge in der Zeit von etwa zehn Sekunden demgemäß (in sehr beeindruckender Weise) • blitzschnell alle wesentlichen Aufgabenbedingungen erfasst, • spontan sehr Erfolg versprechende Vermutungen zu Lösungszahlen aufgestellt, zur Überprüfung dieser blitzschnell im Kopf gerechnet, • Teilbarkeitsregeln (einschließlich der Summen- und Produktregel) erahnt und angewendet und somit selbstständig eine äußerst effektive Problemlösestrategie entwickelt. Weitere Fallstudien zeigen zudem, dass man unter den „intuitiven P ­ roblem-lösern“ zwei „Untertypen“ unterscheiden kann, die sich schlagwortartig wie folgt charakterisieren lassen:

6Gemäß

der Authentizität dieses Beispiels verwendet der Autor hier und in vergleichbaren Fällen bewusst die „Ich-Form“. 7Konstantin, ein anderer Junge der Fördergruppe, ermittelte übrigens in etwa 20 h mit 301 die kleinste Lösungszahl der Bhaskara-Aufgabe. Die ersten drei Gedankenblitze von Konstantin waren mit denen von Simon identisch. Dann addierte er aber sukzessiv zu 91 die Zahl 70 und erhielt somit schnell 301. Im Unterschied zu Simon erfasste Konstantin seine Ideen von Anfang an zumindest teilweise bewusst, sodass er diese beschreiben konnte, wenn auch nur zögerlich, sprunghaft und recht diffus.

144

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

Typ „Mark“:8 • sehr temperament- und fantasievoll, • denkt blitzschnell, sehr spontan und sprunghaft, • denkt weniger in Sprache, sondern vielmehr im Un- und Unterbewussten in Bildern und Symbolen, wodurch er viel schneller viel mehr Sachverhalte „verarbeitet“, • entwickelt eine pure spontane Freude am Finden einer (oft originellen) Lösungsidee, ist zugleich wenig motiviert, Lösungswege korrekt zu beschreiben, zu begründen und darzustellen (was aufgrund der „chaotischen“ Denkweise auch sehr erschwert, z. T. sogar nicht bewusst reflektierbar und eigentlich gegen seine „Natur des Denkens“ ist), • äußert oft bei Erklärungen nur: „Das sieht man doch!“, „Ich habe es gleich gesehen.“, etc. • hat oft eine chaotische Heftführung, • sehr schwankende Qualität von Lösungen (von „genial“ bis „nichts“). Typ „Jan“: • hat in speziellen Bereichen (sprachliche Kompetenz, räumliches Vorstellungsvermögen, Sehvermögen etc.) Defizite, • nutzt Intuitionen und hat eine durch sie geprägte Vorgehensweise auf natürliche Weise entwickelt, um seine Defizite auszugleichen, • hat zugleich bzw. auf diese Weise eine sehr hohe Sensibilität für Zahlen, Zahlbeziehungen u. Ä. entwickelt, • denkt auch sehr spontan, ist sehr eifrig beim Problemlösen, ist aber im Unterschied zum Typ „Mark“ beim Beschreiben oder Begründen von Lösungswegen vergleichsweise gründlicher und gewissenhafter, • nicht so extrem schwankende Qualität der Lösungen wie beim Typ „Mark“. Paul hat z. B., wie die meisten Kinder des Typs „Jan“, deutliche Defizite in sprachlichen Bereichen (Ausdruck, Rechtschreibung, Grammatik). Dies bedingt vermutlich, dass der Junge Problemaufgaben ausschließlich auf der formal-symbolischen oder bildhaften Ebene bearbeitete. Außerdem beschränkt er sich bei seinen Lösungsdarstellungen meist nur auf Zahlenangaben, die sprunghafte Gedankengänge erkennen lassen. Texte versucht er möglichst zu vermeiden. Abwechselndes Probieren und Überlegen Die Kinder können in der Regel selbstständig und schnell alle wesentlichen Aufgabenbedingungen erfassen und probieren dann hoch motiviert, eine Lösung zu ermitteln. Sie können flexibel verschiedene Ansätze entwickeln und hoffen dabei wichtige Zusammenhänge, evtl. sogar ein Lösungsmuster zu erkennen, wodurch der Lösungsprozess entscheidend

8Die

Namen der Untertypen stammen von authentischen Kindern, die den jeweiligen Typ gut repräsentieren.

7.5  Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern

145

„abgekürzt“ werden kann. Die Kinder haben ein positives Selbstkonzept, das auch auf ihren ausgeprägten kognitiven und flexibel einsetzbaren soliden mathematischen Kompetenzen beruht. Die Lösungsdarstellungen sind meist übersichtlich und vollständig. Dieser Problemlösestil entspricht einem „natürlichen Vorgehen“ und kommt daher sehr häufig vor. Beispiel: Anna und Finn probierten zuerst wahllos verschiedene Siebenerzahlen aus. Dabei erkannten sie schnell, dass die gesuchte Zahl nicht auf 2, 4, 5, 6, 8 und 0 enden kann. Diese Überlegung half ihnen, das weitere Probieren effizienter zu gestalten. Sie wussten nun, dass sie nur noch die Siebenerzahlen mit den Endziffern 1, 3, 7 und 9 untersuchen mussten. Nach einigem weiteren Probieren konzentrierten sie sich intuitiv vor allem auf Vielfache von 7 mit den Einerzahlen 1 und 9. Nach etwa 25 min fanden sie auf diese Weise 301 als Lösungszahl und vermuteten weitere Lösungszahlen, was sie aus Zeitgründen aber nicht mehr erforschen konnten. Systemhaftes Vorgehen Die Kinder gehen sehr sachbetont an die Aufgabenlösung heran. Sie haben meist hohe mathematische Kompetenzen und vertrauen darauf, dass es ein Lösungsmuster („einen Trick“) gibt, das sie mithilfe ihrer sehr flexibel einsetzbaren mathematischen Fähigkeiten erkennen können. Obwohl sie ruhig und eher zurückhaltend wirken, genießen sie den Moment der Entdeckung der Lösungsidee sehr ausgeprägt – freilich ihrem Temperament gemäß als tiefe innere Freude. „Systemhafte Problemlöser“ arbeiten bevorzugt allein, wünschen sich dabei eine ruhige Lernatmosphäre und stellen ihre Lösungswege und Lösungen meist übersichtlich und vollständig, aber möglichst knapp dar. Die Lösungsqualität ist deshalb, aber auch aufgrund der meist erkannten allgemeinen Zusammenhänge, in der Regel sehr hochwertig. Beispiel: Die „Mathe-Asse“ Marcel und Linus probierten im Unterschied zu den anderen Kindern überhaupt nicht. Sie vertieften sich in die Aufgabenbedingungen und erkannten relativ schnell einen „Trick“, und zwar dass der Vorgänger der gesuchten Zahl durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar sein muss. Also ermittelten sie das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen (60) und prüften dann sukzessive alle Nachfolger von „Sechzigerzahlen“. Auf diese Weise fanden sie nach insgesamt etwa 12 min 301 als erste, dann 721 als zweite Lösungszahl. Darüber hinaus war ihnen dann intuitiv klar, dass man zu 721 nur fortlaufend 420 addieren muss, um alle weiteren Lösungszahlen zu erhalten. „Mischty“ Wie es die Betitelung ausdrückt, wechseln Kinder dieses Typs zwischen verschiedenen Problemlösestilen. Sie können, oft in Abhängigkeit von der Aufgabenpräsentation oder anderen situativen Gegebenheiten, verschiedene sinnvolle Lösungsansätze entwickeln, arbeiten dabei auf verschiedenen Repräsentationsebenen, nutzen auch geschickt

146

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

Anregungen anderer. Zum Teil setzen sich die Kinder unter Leistungsdruck, haben ein hohes Geltungsbedürfnis oder sind unausgeglichen im Verhalten. Die Lösungsdarstellungen sind überwiegend übersichtlich und werden von den Kindern gründlich geprüft. Beispiel: Luka ging als einziges Kind der Gruppe zunächst streng systematisch vor. Er durchforstete zunächst alle Siebenerzahlen bis 70. Hierzu legte er eine Tabelle an und erkannte dabei, dass 21 die Zahl bis 70 ist, die die Aufgabenbedingungen zwar nicht vollständig, aber relativ „am besten“ erfüllte. Diese Erkenntnis nutzte er beim weiteren Probieren. Er prüfte zwar weiter alle Vielfachen von 7, indem er diese in eine zweite Spalte der Tabelle schrieb, und entdeckte hierbei, dass (70 + 21 =) 91 eine „fast richtige“ Lösungszahl ist. Durch ein sukzessives und zügiges Fortsetzen weiterer Spalten mit jeweils zehn Siebenerzahlen ermittelte er nach ca. 22 min ebenfalls 301 als Lösungszahl. Intuitiv vermutete er nach einem kurzen konzentrierten Blick auf seine Tab. 721 als nächste Lösungszahl. Übrigens auch Paula und Sandra, zwei eher leistungsschwache Schülerinnen einer vierten Klasse, gingen so vor. Sie waren sichtlich stolz über ihre eigene Entdeckung. Dies mag als ein Beleg dafür dienen, dass auch leistungsschwächere Kinder selbstständig Probleme lösen können und dass eine solche Erfahrung gerade für die Entwicklung des Selbstbewusstseins sowie der gesamten Lerneinstellung dieser Kinder äußerst wichtig ist. Neben der Klassifikation von Problemlösestilen sind tendenzielle Unterschiede zwischen Mädchen (Abb. 7.2) und Jungen beim Problembearbeiten zu berücksichtigen. In knapper Form bestehen diese Unterschiede darin, dass Mädchen • sich einem neuen anspruchsvollen Problem vorsichtiger, oft auch umsichtiger als Jungen annähern, • in der Phase der Problemlösung vergleichsweise kommunikativer sind, sich untereinander gern austauschen, wiederum behutsamer und oft besonnener als Jungen vorgehen, • einen viel größeren Wert als Jungen auf eine übersichtliche, saubere und vollständige Lösungsdarstellung legen, • stärker als Jungen dazu neigen, Lösungen verbal bzw. in Textform oder grafisch darzustellen (Benölken 2011; s. Abb. 7.2). Abb. 7.2   Beispiel einer tendenziell „typischen“ Lösungsdarstellung eines Mädchens beim Ausfüllen eines 4 × 4-Sudoku-Quadrats

7.6  Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben

147

7.6 Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben In den vorangegangenen Abschnitten ist deutlich geworden, dass das Problemlösen eine hochkomplexe und zugleich sehr individuell geprägte Lerntätigkeit ist. Deshalb ist sie auch nur bedingt planbar und ein erfolgreiches Problemlösen kann im Unterricht nicht garantiert werden. Umso wichtiger ist es für den Lehrer, wesentliche Zusammenhänge von Problemlöseprozessen zu kennen, notwendige Voraussetzungen für ein zumindest Erfolg versprechendes Problembearbeiten zu schaffen und Kinder kompetent bei dieser anspruchsvollen Lerntätigkeit zu begleiten. Im Folgenden werden einige diesbezügliche allgemeine Grundorientierungen genannt: Wichtige allgemeine Anforderungen an einen Lehrer • Vertrauen in die Problemlösekompetenzen aller Kinder (auch von Kindern mit Rechenproblemen) haben, • die „Kunst der pädagogischen Zurückhaltung“ beherzigen, • Kindern zubilligen, selbst über ihre Organisationsform, über die Nutzung von Arbeitsmaterialien, über ihren Lösungsweg, die Lösungsdarstellung etc. zu entscheiden, • Kindern beim Finden und Entwickeln ihrer individuell bevorzugten Problemlösestile helfen, • ausreichend Zeit für die Phase der Problembearbeitung sowie der Ergebnispräsentation und -diskussion einplanen. Die aufgelisteten Anforderungen an den Lehrer wirken auf den Leser vermutlich sehr plausibel. In der Schulpraxis sind sie m. E. jedoch offenbar keinesfalls leicht umsetzbar. So erlebe ich in Hospitationen immer wieder, dass Lehrer oder Lehramtsstudierende Kindern nicht genügend Zeit zum Finden einer Lösungsidee lassen, sogar vorschnell unnötige Hilfen geben und dass Lehrer häufig (viel zu) wenig Vertrauen in Problemlösekompetenzen von Kindern mit Rechenproblemen haben. Darüber hinaus ist es empfehlenswert, dass der Lehrer idealtypische Abläufe von Problemlösephasen und individuelle Problemlösestile von Kindern (vgl. Abschn. 7.3 und 7.4) kennt und dieses Wissen als Orientierungshilfe nutzt. Eine zweite generelle Orientierung bezieht sich auf den Inhalt und die Präsentation einer mathematischen Problemaufgabe sowie auf methodische Aspekte ihres Einsatzes im täglichen Unterricht: Wichtige Anforderungen an eine mathematische Problemaufgabe • Möglichst alle Kinder sollten eine Chance haben, sich mit der Aufgabe erfolgreich auseinanderzusetzen. • Der Aufgabeninhalt sollte für möglichst alle Kinder interessant bzw. motivierend sein.

148

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

• Der Aufgabeninhalt soll eine inhaltliche Vielfalt und Offenheit gewährleisten (reichhaltige mathematische „Substanz“). • Es sollte eine Offenheit bzgl. der Wahl von Lösungswegen, von Hilfsmitteln und der Ergebnisdarstellungen bestehen. Unsere Studien zeigten, dass die scheinbar „trockene“ „Bhaskara-Aufgabe“ diesen Ansprüchen durchaus sehr gut genügt. Der „Reiz“, sich mit der Aufgabe intensiv zu beschäftigen, ergab sich für Kinder in verschiedenen Gruppierungen vor allem aus der hohen mathematischen Substanz. Zahlreiche Beispiele für Problemaufgaben mit reichhaltiger mathematischer Substanz findet man z. B. in: Wittmann und Müller (1992,1994); Käpnick (2001); Fuchs und Käpnick (2004, 2009). Ein weiterer Aspekt bezieht sich auf inhaltlich-didaktische Hilfestellungen für Grundschulkinder, und zwar vor allem auf die anspruchsvollste Teilleistung, das Finden einer Lösungsidee bzw. eines geeigneten Lösungsweges. Hierzu gibt es derzeit zwei verschiedene Auffassungen unter Mathematikdidaktikern. Verschiedene Fachdidaktiker vertreten die Position, dass Kinder die Grundschulzeit nutzen sollten, um reichhaltige Erfahrungen im Umgang mit Problemaufgaben zu sammeln. Ein Thematisieren von Prozessabläufen oder Problemlösestrategien halten sie für eher kontraproduktiv, weil sie darin die Gefahr negativer Beeinflussung des Problemlöseverhaltens (Rückgang oder sogar Verlust des spontanen offenen Umgangs der Kinder mit Problemen, vorschnelle und einseitige Orientierung an Lösungsschemata, die nicht den individuell geprägten Problemlöseverhalten von Kindern entspricht) sehen. Dagegen empfehlen Fuchs, Käpnick u. a. nach dem unverzichtbaren Sammeln vielfältiger individueller Erfahrungen in den Klassenstufen 1 und 2 ab der Klassenstufe 3 eine behutsame Thematisierung heuristischer Strategien (vgl. hierzu Abb. 7.3 und Abschn. 6.2). Hierfür werden exemplarische „Strategiediskussionen“ zum Lösen von Sachaufgaben, zum Durchführen von Experimenten u. Ä. für geeignet gehalten. Die Schulbuchreihe „Mathehaus“ regt hierzu jeweils Lernkonferenzen an, die mit der

Abb. 7.3   Beispiele von Tipps zum Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Sachaufgaben (Käpnick et al. 2011b, S. 52, 2012a, S. 16)

7.6  Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben

149

Angabe allgemeiner Orientierungen in Form von „Tipps“ verknüpft sind. Als Argumente für dieses konzeptionelle Vorgehen könnte man zum einen auf erfolgreiche Erprobungen bzgl. des Einsatzes von Lerntechniken im Grundschulunterricht (vgl. Abschn. 6.2) und zum anderen auf den laut Rahmenlehrplänen verpflichtenden Erwerb von Methodenkompetenzen im Mathematikunterricht der Grundschule verweisen. Ganz gleich, welche Position man hierzu einnimmt, als wichtiges Hintergrundwissen sollte jeder Lehrer solche heuristische Strategien beim Lösen mathematischer Problemaufgaben (nach Polya u. a.) kennen, wie etwa • • • • • • • • •

ein komplexes Problem in Teilprobleme zerlegen, verdeutlichende Skizzen anlegen, Tabellen herstellen, eine Sache von einer anderen Seite her sehen, sich an eine ähnliche bekannte Aufgabe erinnern, eine Situation umdeuten, Sonderfälle betrachten, eine Vermutung aufstellen und testen, ein Ergebnis schätzen.

Zuletzt ergibt sich aus den Darlegungen des Kap. 7 die generelle Empfehlung, beim „Ingangsetzen“, Begleiten und Bewerten von Schülerleistungen im Problemlösen stets eine ausgewogene Balance zwischen mathematischer Korrektheit, Vollständigkeit und logischer Strukturiertheit einerseits sowie Originalität, Fantasie und „Entdeckerlust“ andererseits anzustreben. Insbesondere sollte das für Schulanfänger mehr oder weniger typische spontane offene und kreative Denken erhalten und gefördert und die Kinder nicht zu schnell und zu einseitig auf fachliche Korrektheit und Vollständigkeit getrimmt werden. Außerdem gilt es, den individuell bevorzugten (natürlichen) Problemlösestil jedes Kindes, einschließlich des intuitiven Problemlösestils, zu akzeptieren und zu „stärken“. Destruktiv wäre es z. B. dagegen, wenn eine bruchstückhafte intuitive Lösung eines Kindes mit Worten wie „Denke erst gründlich nach, bevor du eine solche konfuse Antwort gibst!“ zurückgewiesen oder wenn gar prinzipiell versucht würde, einen intuitiven, aber „chaotischen“ Problemlöser vom Typ her umzukrempeln. Für ein erstes Erkennen (oder Erahnen) einer kindlichen mathematischen Intuition könnten die im Abschn. 7.5 genannten Indizien als grobe Orientierungshilfe dienen. Nachfolgend sind aber auf jeden Fall einfühlsame Gespräche unverzichtbar, um die Substanz einer Intuition „ans Tageslicht“ zu bringen oder um ein bloßes Raten zu entlarven, was wiederum eine entsprechende fachliche und pädagogisch-psychologische Kompetenz des Lehrers voraussetzt. Bei allem Verständnis für seine zunehmend komplexeren Aufgaben muss sich hierfür ein Lehrer auch im regulären Mathematikunterricht gelegentlich Zeit nehmen. Ansonsten droht die große Gefahr, dass die

150

7  Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern

ursprüngliche natürliche Neugier der meisten Kinder an der „Welt der Zahlen und Formen“ schrittweise versiegt.9

7.7 Mögliche Weiterentwicklungen Zumindest wünschenswert wäre erstens eine Neubestimmung von Qualitätsniveaus für Lösungen mathematischer Problemaufgaben. So sind z. B. intuitive Lösungen, wie die Beispiele in diesem Kapitel verdeutlichen, nicht nur Resultate, die Kinder häufig beeindruckend schnell und praktisch „aus dem Nichts heraus“ ermitteln, sondern auch Ergebnisse mit einer großen substanziellen Qualität (wenngleich diese nicht immer auf den ersten Blick erkennbar ist). Zweitens wäre es wünschenswert, zu allen wichtigen mathematischen Inhaltsbereichen konkrete Beispiele für Problemaufgaben mit authentischen Kinderlösungen und praktikablen Bewertungshinweisen zu entwickeln und zu publizieren. Diese Beispiele könnten Lehrern als transparente und praktikable Orientierungen für einen hoffentlich zahlreicheren und qualitativ besseren Einsatz von Problemaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule dienen. Drittens wäre eine fundierte Beantwortung der Frage, ob und ab welchem Alter heuristische Strategien bzw. andere metakognitive Lernhilfen im Grundschulunterricht thematisiert werden sollten, wünschenswert. Hierzu erscheint es notwendig, Vorgehensweisen beim Problemlösen von Erst- und Zweitklässlern sowie von Kindern mit Rechenproblemen genauer zu analysieren. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Analysieren Sie Ihr Problemlöseverhalten beim Bearbeiten der „­BhaskaraAufgabe“ (vgl. Einleitung von Kap. 7). Welchem Problemlösestil entspricht Ihre Vorgehensweise? Ist dieser Stil typisch für Ihr Problemlöseverhalten? • Würden Sie im Mathematikunterricht der Grundschule heuristische Strategien explizit thematisieren? Begründen Sie Ihre Einschätzung. • Wie sollte man als Lehrkraft mit intuitiven Problemlösungen von Kindern in offenen Lernsituationen (in einer schriftlichen Lernstandserhebung) umgehen?

9Die

Erläuterungen unterstreichen exemplarisch die maßgebliche Bedeutung einer Lehrperson für jegliches schulisches Lernen, was nicht zuletzt ein bemerkenswertes Ergebnis der viel diskutierten „Hattie-Studie“ ist (vgl. z. B. Terhart 2011).

8

Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Der Mathematikunterricht ist meist langweilig, weil fast immer nur geübt wird. (Tim, ein mathematisch sehr interessierter und begabter Viertklässler)

Inhaltsverzeichnis 8.1 8.2 8.3 8.4

Üben – ein Hauptbestandteil jeglichen Mathematikunterrichts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Übungsformen auf der Basis des Konzepts vom ­aktiv-entdeckenden Lernen. . . . . . . . . . 161 Spezielle Formen kindorientierenden Übens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Tims Einschätzung zeigt ein weit verbreitetes Problem des Mathematikunterrichts auf: Viele Kinder, aber auch Lehrer (und Lehramtsstudierende) sowie Wissenschaftler mögen offenbar das unbestritten notwendige Üben nicht. So wählen Lehrer und Lehramtsstudierende für Demonstrationsstunden in der Regel keine „Übungsstunden“ – mit der (meist unausgesprochenen) Begründung, dass diese unattraktiv seien, und es gibt weitaus mehr mathematikdidaktische Untersuchungen wie auch Publikationen zu (interessanten, originellen etc.) Einführungen oder zu (komplexen, realitätsnahen, Fächer übergreifenden etc.) Anwendungen als zum Üben mathematischer Lernthemen. Zudem klagt ein Großteil der Lehrer seit Jahrzehnten anhaltend über zu wenig Zeit zum Üben im Mathematikunterricht und über zu wenige Übungsangebote in Lehrmaterialien, scheinbar unabhängig davon, welche und wie viele Übungsaufgaben tatsächlich in den Unterrichtsreihen enthalten sind (Radatz und Schipper 1983, S. 190–191).

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_8

151

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8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Ausgehend von der Position, dass Lernen ein individueller und aktiv-konstruktiver Prozess ist, werden im Folgenden die Bedeutung des Übens im heutigen Mathematikunterricht herausgestellt und verschiedene Klassifikationen von Übungsformen erläutert.

8.1 Üben – ein Hauptbestandteil jeglichen Mathematikunterrichts Üben dient allgemein dem Einprägen von und flexiblen Umgehen mit grundlegenden Wissenselementen, der Befähigung zum souveränen Ausführen und vielfältigen Anwenden von Arbeitstechniken, Methoden, Verfahren usw. bis hin zum Herausbilden von Fertigkeiten, also automatisierten Handlungsabläufen einiger fundamentaler Tätigkeiten. Indem Kinder auf diese Weise Lerninhalte üben, wird zugleich ein Beitrag zur Förderung allgemeiner kognitiver bzw. prozessbezogener Kompetenzen sowie zur Stärkung der Persönlichkeitsbildung (z. B. Förderung des Selbstkonzepts, Schulung der Konzentrations- und Ausdauerfähigkeiten) geleistet. Diese Übungsfunktionen gelten generell auch für den Mathematikunterricht. Sie haben aufgrund der vielschichtigen Verwobenheit der meisten mathematischen Lernthemen und der zum Teil hierarchischen Struktur der Inhalte im Mathematikunterricht sogar einen besonders hohen Stellenwert. Die enge Verknüpfung und die hierarchische Struktur von Lernthemen gelten insbesondere für den Hauptinhaltsbereich des Mathematikunterrichts der Grundschule, der Arithmetik. So sind beispielsweise Kompetenzen im Lösen von Aufgaben des kleinen „Einspluseins“ eine notwendige Voraussetzung für das Erlernen und Anwenden von Rechenwegen beim Addieren im Zahlenraum bis 100. Und wenn ein Kind im Hunderterraum sicher addieren kann, fällt es ihm im Allgemeinen auch leicht, diese Kompetenzen auf das mündliche, halbschriftliche und schriftliche Addieren im Zahlenraum bis 1000 zu übertragen. Das schriftliche Addieren beinhaltet sogar explizit ein intensives Anwenden des kleinen „Einspluseins“. Aus lernpsychologischer Perspektive ist darüber hinaus zu beachten, dass sich Kinder generell auf der Basis ihrer jeweiligen Vorkenntnisse neue Lernthemen erschließen und dass sie sich hauptsächlich durch aktives Tun und verstehendes Lernen immer stabilere und komplexere „Sinnkonstruktionen“ aneignen. Hierfür benötigen die Kinder umfangreiche und differenzierende Übungsmöglichkeiten, bei denen auch Eigenproduktionen, Selbstreflexionen sowie ein Gedankenaustausch mit Mitschülern einen breiten Raum einnehmen sollten. Somit kann Mathematik zusammengefasst als ein sehr übungsintensives Unterrichtsfach eingeschätzt werden. In der Schulpraxis wird demgemäß – ganz gleich, welches Konzept dem Unterricht zugrunde liegt – ein Großteil der Zeit vorrangig für das Üben von Zahlbeziehungen, von Rechenverfahren, für ein vielfältiges Darstellen geometrischer Figuren, das Lösen von Sachaufgaben u. a. m. genutzt. Aus didaktischer Sicht ist dabei jedoch sehr wichtig, die jeweilige spezifische Funktion einer Übungsform, ihre besonderen Ansprüche, Vorzüge wie auch Gefahren oder Grenzen zu kennen.

8.2  Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts

153

8.2 Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts Radatz und Schipper publizierten im Jahre 1983 eine Klassifikation von fünf Übungsformen, die man aufgrund ihrer breiten Akzeptanz und jahrzehntelangen Umsetzung aus heutiger Sicht als „klassische Übungsformen“ bezeichnen kann. Die Übungsformen sind „idealtypische Unterscheidungen“ mit speziellen Zielen und theoretischen Fundierungen (Tab. 8.1). Das automatisierende Üben bezieht sich – wie sein Name es ausdrückt – ausschließlich auf Inhalte, die automatisierend beherrscht werden sollen. Dies trifft nur auf relativ wenige Lerninhalte des Mathematikunterrichts der Grundschule zu wie etwa auf das Lesen und Schreiben von Zahlen, auf das Zeichnen von Strecken bestimmter Länge mit dem Lineal, das Ablesen von Uhrzeiten oder das Lösen von Grundaufgaben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Zahlenraum bis 20 (vgl. Abb. 8.1). Zu beachten ist aber,

Tab. 8.1  Übungsformen nach Radatz und Schipper (1983, S. 191) Übungsform

Ziele

Automatisierendes Üben

Grundkenntnisse und Prinzip des algorithmischen elementare Techniken bis zur Lernens sicheren Beherrschung einüben

Gestuftes Üben

Schrittweiser Ausbau der Fähigkeiten durch Übungen mit sorgfältig gestufter Schwierigkeitssteigerung

Prinzip der Isolierung der Schwierigkeiten

Operatives Üben

Ausbau der Beweglichkeit des Denkens durch Herstellen vielfältiger Beziehungen und Zusammenhänge

Operatives Prinzip

Üben durch Anwenden

Übertragung des Gelernten auf neue Fragestellungen und Situationen

Prinzip der Anwendungsorientierung

Zehn-Minuten-Üben („Tägliche Übungen“)

• „Warming up“ • wiederholendes Üben • vorbereitendes Üben

Prinzip der Stabilisierung

1. 8 + 2 9+5 7+4 6+8

15 – 5 17 – 7 13 – 8 16 – 9

2.

Theoretischer Hintergrund

8 + __ = 14 5 + __ = 19 16 – __ = 7 15 – __ = 9

__ – 5 = 7 __ + 7 = 18 __ – 13 = 0 __ + 9 = 11

3.

2+3+4 11 – 1 – 0 15 – 8 + 6 7+9–5

Abb. 8.1   Aufgabenbeispiele für eine automatisierende Übung zum Addieren und Subtrahieren bis 20

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8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

dass dem automatisierenden Üben stets ein verständnisvolles Erarbeiten vorangehen muss, denn: Üben kann man nur sinnvoll und effektiv, was man vorher verstanden hat.1 Automatisierendes Üben Besondere Vorzüge des automatisierenden Übens bestehen darin, dass mit der sicheren Beherrschung von grundlegenden Fertigkeiten • das Gedächtnis der Kinder entlastet wird (Kenntnisse oder Algorithmen werden so gefestigt, dass Kinder sie ohne Einschaltung von Bewusstsein als ­Reiz-Reaktions-Ketten reproduzieren können.), • die Konzentration der Kinder auf die Erarbeitung neuer Lernthemen ermöglicht wird. Andererseits birgt der Einsatz dieser Übungsform auch Gefahren in sich wie: • Langeweile (wenn eintönig und übertrieben geübt wird), • falsche Regelbildung (wenn zu früh geübt wird und z. B. ein unverstandener oder falsch verstandener Algorithmus eingeübt wird), • Vernachlässigung der Bedeutung von und der Zusammenhänge zu anderen Lernthemen (wenn zu lange und zu einseitig geübt wird), • Herausbildung starrer Lösungsschemata (wenn einfachere oder elegante Lösungswege nicht gesehen und genutzt werden). Um diesen Gefahren vorzubeugen, empfiehlt es sich • bereits in der Phase der Erarbeitung ein grundlegendes Verständnis möglichst aller Kinder zu sichern, • vor dem Üben zu versuchen, den tatsächlich erreichten Erkenntnisstand zu erfassen (z. B. indem Kinder an konkreten Aufgabenbeispielen einen zu übenden Handlungsablauf demonstrieren und/oder beschreiben), • Aufgaben mit differenzierten Anforderungsniveaus für die Übung zusammenzustellen (vgl. hierzu auch Kap. 11), • spielerische Einkleidungen einzubeziehen (vgl. hierzu auch Kap. 10), • Phasen automatisierenden Übens in der Regel auf etwa zehn Minuten zu beschränken.

1Diese

wichtige „Faustregel“ gilt natürlich ebenso für alle anderen Übungsformen.

8.2  Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts

155

Abb. 8.2   Beispiel einer gestuften Übung zu Aufgaben mit verschiedenen Rechenarten. (Aus: Käpnick et al. 2012a, S. 9)

Gestuftes Üben Das gestufte Üben wird in der Schulpraxis häufig eingesetzt (Abb. 8.2), wenn es um den Erwerb von Fähigkeiten im richtigen Ausführen von Algorithmen zum Rechnen, zum Umwandeln von Größenangaben oder zum Einhalten von Zeichenvorschriften geht. Als besondere Vorzüge des gestuften Übens könnte man anfügen, dass sie • relativ leicht plan- und organisierbar und • ein gutes Analyseinstrument sind. (Man kann analysieren, bis zu welcher Stufe ein Kind Aufgaben selbstständig und richtig löst.) Offensichtlich sind jedoch auch gravierende Probleme dieser Übungsform wie • die Gefahr des Vortäuschens von Leistungen und Leistungsfortschritten (vgl. hierzu Abschn. 3.2),

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8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

• das Problem des unverstandenen mechanischen Lernens und die Gefahr, dass Kindern inhaltliche Zusammenhänge verloren gehen (vgl. Abschn. 3.2), • das Problem der eindeutigen Schwierigkeitsstufung. Das zuletzt genannte Problem zeigt sich z. B. darin, dass in vielen traditionellen Lehrwerken im ersten Schuljahr „schwierigkeitsgestuft“ zunächst das vermeintlich einfachere Addieren bis 20 ohne Zehnerüberschreitung vor dem Addieren mit Zehnerüberschreitung eingeführt und geübt wird, obwohl den meisten Kindern das Lösen von Verdopplungsaufgaben wie „6 + 6“, also von Aufgaben mit Zehnerüberschreitung, leichter als etwa von Aufgaben wie „11 + 7“ oder „4 + 15“ fällt. Während dieses Beispiel die allgemein bekannte didaktische Erkenntnis bestätigt, dass eine fachmathematische Strukturierung nicht mit dem individuell-konstruktiven Wissenserwerb von Kindern übereinstimmt, lassen sich z. B. die Aufgaben „20 + 30, 23 + 39, 23 + 35, 20 + 5, 23 + 4, 23 + 30, 23 + 7“ auch unter Vernachlässigung subjektiver Bewertungen von Kindern nicht eindeutig von „leicht nach schwer“ ordnen. So kann aus „rein“ fachlicher Sicht nicht begründet werden, ob beispielsweise die Aufgabe „20 + 30“ leichter oder schwerer als „20 + 5“ ist. Aufgrund der oben genannten „tendenziellen Gefahren“ wurde das gestufte Üben in denletztenJahrenhaufigkritisiertundderStellenwertdieserUbungsformhatsichdem gemasdeutlich verringert. Insbesondere erbringt ein gleichmäßiges kleinschrittiges Lernen bzw. Üben aller Kinder einer Jahrgangsklasse auf vom Lehrer oft „künstlich“ konstruierten Schwierigkeitsstufen aus heutiger Sicht kaum gewünschte Lerneffekte. Eine Berechtigung für das Lösen von Aufgaben, die nach bestimmten Schwierigkeitsstufen zusammengestellt wurden, ergibt sich m. E. dagegen aus diagnostischer Sicht, weil hierbei ein Lehrer feststellen kann, bei welchem Teilschritt oder bei welcher Schwierigkeitsstufe ein Kind Probleme hat – um auf dieser Basis Aufgaben zum differenzierenden Einüben eines bestimmten Verfahrensschrittes und/oder zum Üben individuell angemessener komplexerer Übungsthemen konzipieren zu können.2 Operatives Üben Das Hauptziel des operativen Übens besteht in der Befähigung der Kinder, ihre mathematischen Sachkompetenzen komplex zu üben, dabei auch ihre prozessbezogenen und allgemein-kognitiven Kompetenzen zu fördern (Radatz und Schipper 1983, S. 198). Aufgabentypen für ein elementares operatives Üben sind Tausch-, Umkehr-, N ­ achbarund Zerlegungsausgaben. Für ein anspruchsvolleres operatives Üben eignen sich „operative Päckchen“ (Abb. 8.3), Zahlenmauern, Strukturtafeln, Zauberquadrate oder „Rechenschlangen“, denen bestimmte Rechenstrukturen zugrunde liegen.

2Mit dieser Intention sind übrigens auch die Aufgaben der Abb. 8.2 als Anregung für eine wiederholende Übung zu Beginn des dritten Schuljahres konzipiert worden.

8.2  Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts

157

„Operatives Päckchen“ 40 + 38 41 + 37 37 + 42 27 + 32 33 + 28

75 – 36 65 – 26 66 – 25 65 – 24 64 – 24

(Mögliche Aufgabenstellungen: - Rechne geschickt. - Was entdeckst du? - Welche Gesetze kannst du nutzen? Begründe.)

Strukturtafeln +

6

7

Magische Quadrate 8

9

4

8

2

6

24 44

Ergänze das Zauberquadrat mit der Zauberzahl 15.

Abb. 8.3   Beispielaufgaben für typische Aufgabenformate des operativen Übens

Besondere Vorzüge des operativen Üben bestehen darin, dass es • mit den komplexen Anforderungen ein Lernen in Sinnzusammenhängen fördert, • zur Entwicklung prozessbezogener und allgemein-kognitiver Kompetenzen beiträgt, • eine natürliche Differenzierung ermöglicht. Damit diese Potenziale zum Tragen kommen können, empfiehlt es sich, • mit operativen Übungen vom ersten Schuljahr an zu beginnen und sie systematisch einzusetzen, • ein „Grundvertrauen“ in Problemlöse- und Strukturierungskompetenzen aller Kinder zu haben (vgl. Abschn. 7.3 und 7.6) und ihnen generell Freiräume für individuelle Lösungswege einzuräumen, • operative Übungen auch in spielerischer Form (z. B. Strategiespiele, Legespiele) durchzuführen. Üben durch Anwenden Das Üben durch Anwenden hat die Hauptfunktion, die Kinder zu befähigen, ihre erworbenen inhaltsbezogenen Kompetenzen als „Werkzeug“ beim Lösen von Sachaufgaben zu üben und anzuwenden. Die Sachaufgaben können dabei sehr verschiedenartig sein – konstruierte wie auch realitätsnahe oder authentische Sachprobleme. In Abhängigkeit hiervon bzw. von den Intentionen des Lehrers stehen entweder das Üben arithmetischer, geometrischer oder sachrechnerischer Fähigkeiten bzw. prozessbezogener Kompetenzen im Vordergrund. Das Beispiel der Abb. 8.4 bietet etwa die Möglichkeit, das Ordnen großer Zahlen unter Einbeziehung geografischer Daten zu üben. Das Lösen der Aufgabe verlangt, dass die Kinder ihre erlernten Strategien im Vergleichen und Ordnen großer Zahlen üben und anwenden. Notwendig sind ebenso elementare Fähigkeiten im Umgang mit

158

8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Abb. 8.4   Beispielaufgabe für ein Üben durch Anwenden. (Käpnick et al. 2012b, S. 27)

Tabellen und Größenangaben sowie Kenntnisse über spezielle Themen des Sachunterrichts. Die interessanten Sachangaben regen darüber hinaus dazu an, gemeinsam die konkreten geografischen Begriffe zu erläutern, ggf. einen Atlas hierzu zu nutzen oder die Angaben jeweils in Diagrammen darzustellen (um mittels eines „optischen Vergleichs“ Größenunterschiede besser zu verdeutlichen). Am Beispiel lässt sich erkennen, dass „Üben durch Anwenden“ für Kinder lernmotivierend sein kann. Darin besteht neben der Möglichkeit zur gleichzeitigen Förderung von inhalts- und prozessbezogenen sowie allgemeinen kognitiven Kompetenzen ein besonderer Vorzug dieser Übungsform. Die Vielschichtigkeit der zu leistenden Anforderungen könnte aber ebenso ein Problem bedeuten, weil ggf. das Üben von inhaltsbezogenen Kompetenzen unter Umständen nebensächlich wäre. Ein weiteres, in der Schulpraxis noch häufig zu beobachtendes Problem des „Übens durch Anwenden“ entsteht dann, wenn in einer Unterrichtsstunde ein neues Lernthema, etwa ein Rechenverfahren oder ein geometrischer Begriff, erarbeitet, anschließend anhand von Beispielaufgaben formal und am Stundenende mittels Anwenden auf einen Sachverhalt geübt wird. Wenn sich ein solcher methodischer Ablauf oft wiederholt, werden die Kinder zwangläufig zu

8.2  Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts

159

bequemem und oberflächlichem Denken „verführt“. Sie brauchen dann nicht mehr den Inhalt der Sachaufgabe zu analysieren, sie entnehmen aus dem Text nur die Zahlen- oder Größenangaben und operieren mit ihnen so, wie sie es in der gesamten Stunde gelernt und geübt haben. Als didaktisches „Gegenmittel“ wird in der einschlägigen Literatur der Einsatz von Kapitänsaufgaben3, von Aufgaben mit zu wenigen oder zu vielen Zahlenangaben oder von „offenen“ Sachtexten, für die die Kinder zunächst sinnvolle Fragen bestimmen müssen, empfohlen. Zehn-Minuten-Üben Mit „Zehn-Minuten-Übungen“ können vier Hauptfunktionen realisiert werden: a) Vorbereitung auf Neueinführungen durch Aktualisierung notwendiger Vorkenntnisse, b) Festigung von gerade Gelerntem, c) langfristige Wiederholung von grundlegenden Lerninhalten, d) „Auflockerung“ des Unterrichts, Ermöglichung eines konzentrierten Unterrichtsbeginns. Die folgenden Beispiele zeigen, wie entsprechend den vier Funktionen eine ­„Zehn-Minuten-Übung“ am Anfang einer Unterrichtsstunde zum Lernthema „Schriftliche Addition“ variiert werden kann: • Funktion: Vorbereitung auf die Einführung durch Aktualisierung notwendiger Vorkenntnisse Beispielaufgaben: Kopfrechnen: 5 + 3, 8 + 7, 6 + 9, 0 + 6, 2 + 11,. Halbschriftliches Rechnen: 510 + 230, 111 + 222, 423 + 423 • Funktion: Festigung des gerade Gelernten (nach der Einführung des Verfahrens) Beispielaufgaben:

• Funktion: Langfristige Wiederholung von grundlegenden Lerninhalten Beispielaufgaben: 1. 6 · 5, 40 · 7, 800 : 10, 81 : 9 2. 42 cm = ____ m 0,7 km = ____ m 1 000 mm = ____ m

3Kapitänsaufgaben sind Sachaufgaben mit einer unsinnigen oder einer auf der Basis des vorgegebenen Textes nicht beantwortbaren Frage wie z. B.: „In einer Klasse sind 13 Mädchen und 12 Jungen. Wie alt ist die Lehrerin?“

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8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Für den Einsatz dieser Übungsform ist zu beachten, dass • den Kindern bekannte, leicht verständliche Aufgaben gegeben werden (die keiner zusätzlichen und Zeit raubenden Erklärung bedürfen), • die Kinder die Aufgaben möglichst selbstständig lösen können, • durch unterschiedlich schwierige Aufgaben oder Zusatzaufgaben ein differenzierendes Lernen ermöglicht wird. Insgesamt gesehen orientieren sich die „klassischen“ Übungsformen vor allem an den didaktischen Funktionen des Lernens. Da der Erwerb neuer Kompetenzen „idealtypisch“ nach wie vor im Groben dem Zyklus „Erarbeiten – Üben – Anwenden – Systematisieren – Kontrollieren/Analysieren des Lernfortschritts“ entspricht, eignet sich die Klassifikation von Radatz und Schipper bis heute als eine praktikable Orientierungshilfe für die Planung von Übungen. Freilich implizieren die „klassischen“ Übungsformen ein individuelles und aktiv-konstruktives Lernen in sehr unterschiedlichem Maße. Während ein operatives Üben explizit das Erkennen und Nutzen von Sinnzusammenhängen, das Entwickeln von Eigenproduktionen und somit differenzierendes Lernen beinhaltet, fordern ein automatisierendes, ein gestuftes oder ein Zehn-Minuten-Üben nicht expressis verbis hierzu auf. So bergen beispielsweise eine automatisierende oder gestufte Übung zum korrekten Ausführen der Schritte eines gerade erarbeiteten schriftlichen Rechenverfahrens, bei der alle Schüler im Wesentlichen die gleichen Aufgaben bearbeiten sollen, tendenziell die Gefahr in sich, dass • einige Kinder unter- oder überfordert sind, • sich Kinder starre Lösungsschemata (mitunter auch unverstanden) einprägen, • Kinder inhaltliche Zusammenhänge zwischen Zahlen oder Rechenbeziehungen nicht erkennen und konstruktiv (zum vertiefenden Verstehen) nutzen, • Kinder wenig Chancen für ein selbstbestimmtes Lernen haben etc. Auf solche Gefahren wiesen Radatz und Schipper schon 1983 deutlich hin (Radatz und Schipper 1983, S. 193–197). Aus heutiger Sicht erscheint es darüber hinausgehend sogar notwendig, jegliches Üben und somit auch das Einüben eines schriftlichen Rechenverfahrens differenzierend und auf der Basis von Prinzipien des aktiv-konstruktiven Lernens zu gestalten. So sollte ein Lehrer beim Einüben eines schriftlichen Rechenverfahrens unterschiedliche Verfahren und Übertragstechniken4 oder verschiedene Schreibweisen, wie z. B. die Notation einer Übertragszahl, berücksichtigen und den Kindern hierfür individuelle Freiräume ermöglichen. Zudem empfiehlt es sich zu überlegen, wie man konstruktiv an die meist schon vorhandenen vielfältigen Vorerfahrungen von

4Man

denke z. B. an die verschiedenen Verfahren und Übertragstechniken der schriftlichen Subtraktion, über deren jeweilige Vorzüge und Nachteile vor einigen Jahren intensiv diskutiert wurde.

8.3  Übungsformen auf der Basis des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen

161

Kindern zum schriftlichen Rechnen anknüpfen kann. Dies schließt ein, fehlerhafte Sinnkonstruktionen von Kindern in den Übungen zu thematisieren und dabei Denkprozesse von Schülern zu analysieren (vgl. hierzu Abschn. 8.4).

8.3 Übungsformen auf der Basis des Konzepts vom ­aktiventdeckenden Lernen Der hohe Stellenwert und zugleich die Spezifik des Übens innerhalb des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen ergeben sich vor allem aus folgenden Zusammenhängen: • Entdeckendes Lernen und Sichern von grundlegenden Kompetenzen bedingen sich wechselseitig. Wenn sich ein Kind etwa ein Lernthema selbstständig entdeckend erschließt, dann hängt das Niveau wesentlich von seinen „abrufbaren“ Grundkompetenzen ab. • Wenn Kinder in größerem Umfang Lösungswege entdecken und ausprobieren oder individuelle Sinnkonstruktionen entwickeln, die uneffektiv, auch fehlerhaft sein können, dann ist es notwendig, Lernphasen mit allen Kinder zu organisieren, in denen sie gemeinsam Wesentliches hervorheben und systematisieren sowie verschiedene Lösungsmöglichkeiten vergleichen, bewerten und dann wichtige Begriffe, effektive Lösungswege u. Ä. üben. • Für die Förderung prozessbezogener Kompetenzen, was für das Konzept des aktiventdeckenden Lernens mitprägend ist, ist es unverzichtbar, dass die Kinder hierzu intensiv demgemäße Aufgaben mit komplexen Anforderungen lösen – im Sinne eines intensiven Übens. Hiervon ausgehend haben E. Wittmann und G. Müller insbesondere drei wesentliche Übungsformen entwickelt, die sie der Schulbuchreihe „Zahlenbuch“ zugrunde legen: • das grundlegende Üben, • das produktive Üben und • das automatisierende Üben (Wittmann und Müller 2012, S. 166–167). Grundlegendes Üben Das grundlegende Üben dient dazu, neue „Aufgabenstellungen und Lösungswege zusammen mit neuen Sprechweisen anhand geeigneter Materialien handlungsorientiert zu erarbeiten. Dabei muss das neue Wissen mit bekanntem Wissen verknüpft werden.“ (Wittmann und Müller 2012) Mit dieser Funktionsbestimmung wird die traditionelle (idealtypische) Unterscheidung von Erarbeitung und anschließender Übung des neu erarbeiteten Stoffes aufgehoben.

162 Abb. 8.5   Beispiele für „schöne Päckchen“ zum produktiven Üben

8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule 2 + 2 = ___ 3 + 3 = ___ 4 + 4 = ___ 4 + 5 = ___ 6 + 6 = ___

7 + 7 = ___ 8 + 6 = ___ 9 + 5 = ___ 10 + 4 = ___ 11 + 3 = ___

Beispiel: Einführung der Zahlen bis 1000 im dritten Schuljahr Anhand des Tausenderfeldes (als Fortsetzung des Hunderterfeldes) und des Tausenderbuches (als Fortsetzung der Hundertertafel) sollen die Kinder weitestgehend selbstständig lernen, dreistellige Zahlen zu lesen, zu schreiben, zu vergleichen, zu ordnen, mithilfe von Stellentafeln auch darzustellen und Zahlbeziehungen zu erkennen (Wittmann und Müller 2012, S. 166–167). Das Beispiel verdeutlicht, wie Bekanntes mit Neuem bzw. das Erarbeiten von Neuem unter Rückgriff auf Bekanntes und das Üben bzw. Vertiefen von bereits Erlerntem mit dem Einüben neu erworbenen Wissens konstruktiv verknüpft werden.

Produktives Üben Das produktive Üben ist auf eine gemeinsame Förderung inhaltlicher und prozessbezogener Kompetenzen gerichtet (Wittmann und Müller 2012, S. 166–167). Es ist m. E. somit mit dem operativen Üben in der Klassifikation der traditionellen Übungsformen vergleichbar5, wenngleich Wittmann und Müller beim produktiven Üben vergleichsweise stärker die Förderung prozessbezogener Kompetenzen bzw. die Lernpotenziale für das Entdecken, Nutzen und Üben mathematisch substanzieller Zusammenhänge betonen. Im Beispiel der Abb. 8.5 wird deutlich, dass ein „strukturiertes Päckchen“ im Gegensatz zu einem willkürlich zusammengesetzten „Päckchen“ eine mehr oder weniger beziehungsreiche Ganzheit bildet, bei der die einzelnen Rechnungen sich in den Lösungen und in den Ergebnissen gegenseitig stützen. Beim Lösen der Aufgaben und beim Vergleichen der Ergebnisse können die Kinder den jeweiligen „Pfiff“ erkennen und sie werden dazu angeregt, die Aufgaben miteinander zu vergleichen und Beziehungen herzustellen. Dies macht den entscheidenden Qualitätsunterschied zu willkürlich zusammengesetzten „Päckchen“ aus. Damit die Kinder die Struktur nicht blind zur Ermittlung der Resultate ausnutzen können, empfehlen Wittmann und Müller außerdem, „Störungen“ einzubauen, wie z. B. im ersten Päckchen 4 + 5 anstelle von 5 + 5 und im zweiten Päckchen 9 + 6 anstelle von 9 + 5. Solche „Päckchen mit Pfiff“ kann man leicht selbst bilden und variieren.

5Diese

Einschätzung lässt sich z. B. damit belegen, dass E. Wittmann und G. Müller mit „schönen Päckchen“, „Zahlenmauern“ oder „Zauberquadraten“ Formate für produktives Üben empfehlen, die innerhalb der klassischen Klassifikation von Übungsformen als typische Aufgabenformate für das operative Üben angegeben werden.

8.4  Spezielle Formen kindorientierenden Übens

163

Abb. 8.6    Aufgabenbeispiele zum automatisierenden Üben im „Zahlenbuch“ (Müller und Wittmann 2000, S. 19; Nürnberger et al. 2019)

Automatisierendes Üben Das automatisierende Üben hat die Funktion, grundlegende Kompetenzen zu allen Inhaltsbereichen zu sichern (Wittmann und Müller 2012, S. 167). In der Reihe „Zahlenbuch“ wurden hierfür „Basiskurse“ für Zahlen, Größen und Formen entwickelt, von denen der „Blitzrechenkurs“ (Abb. 8.6) als besonders wichtig angesehen wird (vgl. Wittmann und Müller 2012). Mithilfe der CD-ROM „Blitzrechnen“ kann zudem ein individuelles und selbstständiges Üben grundlegender Rechenkompetenzen ermöglicht werden. „Automatisierendes Üben“ im Kontext des aktiv-entdeckenden Lernens verbindet somit grundlegende Funktionen der klassischen Übungsformate „automatisierendes Üben“ und „Zehn-Minuten-Üben“, hebt aber wiederum vergleichsweise stärker ein Lernen in Sinnzusammenhängen hervor.

8.4 Spezielle Formen kindorientierenden Übens In diesem Abschnitt werden einige besondere Übungsformate thematisiert, die in der Theorie wie auch in der Praxis seit Längerem bekannt sind, aber mit Blick auf ein differenzierendes, eigenverantwortliches und vergleichsweise komplexeres Üben stärker als zuvor in den Fokus gerückt werden. Die Übungsformate lassen sich nicht eindeutig einem bestimmten Lernkonzept (vgl. Kap. 3) zuordnen, sodass sie hier gesondert vorgestellt werden. „Stationen-Üben“ Beim „Stationen-Üben“ können die Kinder einer Klasse aus verschiedenen Themen eines Lernkomplexes eigenverantwortlich die für sie jeweils wichtigen Übungsinhalte auswählen. Hierzu werden ihnen an verschiedenen Tischen bzw. Stationen häufig Übungskarteien zu jeweils mehreren unterschiedlichen Übungsthemen vorgegeben.

164

8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Eine wichtige Voraussetzung für ein effektives Üben an Stationen besteht darin, dass die Kinder mit allen Übungsinhalten und Aufgabenformaten prinzipiell vertraut sind. Die Abb. 8.7 zeigt ein Angebot für Übungsstationen zum vielfältigen Darstellen, Vergleichen, Ordnen und Bestimmen von Nachbarzahlen im Zahlenraum bis 100. Für den Einsatz der Übung kann es wie generell für das „Stationen-Üben“ verschiedene Möglichkeiten geben: • Die Aufgaben werden mit allen Kindern zunächst gemeinsam erläutert, dann wählt jedes Kind selbst aus dem Angebot aus und bearbeitet selbstständig die Aufgaben. Abschließend werden gemeinsam die Lernergebnisse ausgewertet. • Die Kinder einer Klasse werden entsprechend der Anzahl der Übungsstationen in Gruppen eingeteilt. Die Kinder einer Gruppe bearbeiten gemeinsam nacheinander die Aufgaben der Übungsstationen. • Jedes Kind bearbeitet nacheinander die Aufgaben aller (bzw. von ausgewählten) Stationen als „Pflicht“. Leistungsstarke Kinder ergänzen zu jeder Station selbstständig weitere Aufgaben und lösen sie. Aus methodischer Sicht ist weiterhin empfehlenswert, • die Kinder jeweils selbst über die Nutzung von Lege- oder Anschauungsmaterial entscheiden zu lassen, • vorher Verhaltensregeln für Gruppenarbeiten zu vereinbaren und auf deren Durchsetzung zu achten, • beim gemeinsamen Auswerten konkrete Lernfortschritte wie auch Lernprobleme von Kindern zu erfassen, ebenso das Sozialverhalten, die Selbstständigkeit von Kindern u. a. m. einzuschätzen. Ein besonderer Vorzug des Übens an Stationen besteht in der gleichzeitigen Einbeziehung vieler verschiedener Lernthemen, woraus sich zusätzliche Möglichkeiten für das (vertiefende) Erkennen von Querverbindungen zwischen Themen (Analogien, Transfermöglichkeiten, ebenso das Herausstellen von Unterschieden etc.) ergeben. Auf diese Weise kann wiederum die Entwicklung vernetzter Wissenssysteme gefördert werden. Stabilisierendes Üben auf verschiedenen Niveaustufen Das stabilisierende Üben soll dazu beitragen, dass möglichst alle Kinder zu einem komplexen Lernthema flexibel anwendbare Grundkompetenzen erwerben. Aufgrund der unterschiedlichen Lernvoraussetzungen können die Schüler bei dieser Übungsform zeitgleich prinzipiell gleiche Lerninhalte auf verschiedenen Niveaustufen üben. Bei Unterscheidung von zwei Niveaustufen könnte das Üben auf der Niveaustufe 1 (Mindestniveau) vorrangig für Kinder mit zeitweiligen Lernproblemen geeignet sein, die auf diese Weise an ein notwendiges Grundniveau herangeführt werden sollen. Das Üben auf der Niveaustufe 2 (erhöhtes Anforderungsniveau) wäre dann ein problemorientiertes

8.4  Spezielle Formen kindorientierenden Übens

165

Abb. 8.7   Beispiel eines „Stationen-Übens.“ (Käpnick et al. 2012a, S. 126)

Üben, das somit eher für leistungsstarke Kinder angemessen wäre. Die Nutzung der Übungsangebote auf verschiedenen Niveaus sollte aber keineswegs „personengebunden“, sondern prinzipiell für alle Kinder offen sein. Entscheidend ist, dass das jeweilige Anspruchsniveau den Entwicklungsständen und Lernfortschritten der Kinder

166

8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Abb. 8.8   Beispiele für ein stabilisierendes Üben auf verschiedenen Niveaustufen. (Käpnick et al. 2012a, S. 130)

Rechnung trägt. Hieraus ergibt sich, dass nach einem gemeinsamen Vertrautmachen mit den Aufgaben jedes Kind selbst aus dem Übungsangebot auswählen können sollte. Eine Variante kann darin bestehen, dass jedes Kind die Aufgaben der Niveaustufe 1 (als Pflichtstoff) zuerst bearbeitet. Dann würden die Aufgaben mit dem erhöhten Anforderungsniveau als ein Zusatzangebot für sehr leistungsstarke bzw. sehr schnelle Rechner dienen. In der Abb. 8.8 sind zwei Ausschnitte von einer Doppelseite eines Schulbuches zu erkennen, die diesem Übungsformat entsprechen. Auf der linken Seite sind Aufgaben der Niveaustufe 1 (hier mit „Übungsraum 1“ bezeichnet) und auf der rechten Seite Aufgaben der Niveaustufe 2 („Übungsraum 2“) zusammengestellt. Um Lernkontinuität und -transparenz zu ermöglichen, ist diese Grundstruktur des stabilisierenden Übens auf verschiedenen Niveaustufen in jedem Stoffkomplex der Schulbuchreihe umgesetzt worden. Das abgebildete Beispiel bezieht sich auf das Üben des Addierens und Subtrahierens zweistelliger Zahlen im zweiten Schuljahr. Die Präsentation der Aufgabe 1 im „Übungsraum 1“ regt dazu an, dass Kinder sich mithilfe verschiedener Lege- bzw. Anschauungsmaterialien zunächst an einer Beispielaufgabe nochmals grundlegende Einsichten in wichtige Lösungsschritte verschaffen können. In Abhängigkeit vom jeweiligen Entwicklungsstand kann dann jedes Kind selbst über die Nutzung von Materialien entscheiden und seinen individuell bevorzugten Rechenweg wählen. Die entsprechende Parallelaufgabe aus dem „Übungsraum 2“ ist eine bedeutend anspruchsvollere Aufgabe, deren Lösen ein geschicktes Anwenden von heuristischen Strategien, ein flexibles Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 100 sowie das Erkennen und Nutzen von Rechenstrukturen erfordert. Aus diagnostischer Sicht bietet es sich demgemäß beim gemeinsamen Auswerten an, individuelle Lösungsstrategien von Kindern zu erfassen und die angewendeten Rechengesetze zu thematisieren.

8.4  Spezielle Formen kindorientierenden Übens

167

Immer ein Ding passt nicht dazu. Streiche es durch und begründe deine Lösung mündlich! a)

b)

Abb. 8.9   Beispiel für ein Üben kognitiver Grundkompetenzen. (Käpnick et al. 2012c, KV 1–2)

Üben kognitiver Grundkompetenzen Ein regelmäßiges Diagnostizieren, Üben und Fördern kognitiver Grundkompetenzen ist deshalb sehr wichtig, weil solche Kompetenzen grundlegende Voraussetzungen für das Verstehen und den Erwerb jeglicher mathematischer Inhalte sind (vgl. hierzu auch Kap. 12). Zu solchen kognitiven Grundkompetenzen (Abb. 8.9) zählen Fähigkeiten im Ordnen, im Sortieren bzw. Klassifizieren, im Strukturieren, im Wechseln der Repräsentationsebenen, weiterhin Gedächtnisfähigkeiten und räumliches Wahrnehmungs- und Orientierungsvermögen. Um ein kontinuierliches Diagnostizieren des jeweiligen Entwicklungsniveaus der kognitiven Stützfunktionen und ein hierauf basierendes differenzierendes Üben und Fördern der Grundkompetenzen zu ermöglichen, sollten solche Übungen in regelmäßigen Abständen durchgeführt werden. Da es beim Klassifizieren oder Ordnen oft verschiedene sinnvolle Lösungsansätze geben kann, empfiehlt es sich außerdem, dass die Kinder ihre Ergebnisse beim Auswerten stets begründen und ggf. andersartige, aber ebenfalls sinnvolle Lösungen als richtig zu werten sind. Mit einer expliziten Aufforderung zum Suchen mehrerer sinnvoller Lösungen kann sogar der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe wirksam erhöht und die Kreativität der Kinder herausgefordert werden. Beispielsweise könnte als Lösung der Teilaufgabe 2b neben dem Kamm (einziger Gegenstand, der nicht zum Schreiben bzw. Zeichnen genutzt wird) als eine zweite sinnvolle Lösung der Radiergummi angegeben werden, weil es der einzige nicht längliche und quaderförmige Gegenstand ist. Aufgabenbriefe Die Grundidee dieses anwendungsorientierten und individuellen Übens besteht darin, dass Kinder sich gegenseitig (meist als Partner) zu einem Lernkomplex einen Brief schreiben. Dabei bestimmen sie selbst die konkreten Aufgaben- bzw. Übungsinhalte, die Schwierigkeitsniveaus und die Gestaltung der Briefe.

168

8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Die besonderen Lernpotenziale dieses Übungsformats bestehen darin, dass Kinder • in schriftlicher Form direkt miteinander kommunizieren, • eigenverantwortlich und selbstbestimmend die Übungsinhalte für einen Lernpartner auswählen, • Fächer verbindend ästhetisch-künstlerische, sprachliche und mathematische Inhalte verknüpfen, • im Allgemeinen sehr motiviert solche Tätigkeiten durchführen (Fuchs 2001). Die angegebenen Schulbuchbeispiele der Abb. 8.10 zeigen exemplarisch die mögliche inhaltliche Vielfalt auf, aus der die Kinder selbstständig beim Gestalten ihrer Aufgabenbriefe wählen können. So regen die Buchbeispielbriefe zum Nutzen verschiedener Aufgabentypen (Termaufgaben, Gleichungen, Rechentabellen, Kettenaufgaben, Rechenrätsel etc.) und zum Einkleiden eines arithmetischen Themas in Sachaufgaben an. Außerdem fokussiert die Schulbuchseite darauf, dass die Kinder ihre Aufgabenbriefe ideenreich und ästhetisch ansprechend unter Nutzung ihrer Sprach-, Bastel- und Zeichenkompetenzen gestalten. Hierüber könnte einleitend in der Klasse gemeinsam diskutiert und diesbezügliche Wertorientierungen herausgearbeitet werden. Nach unseren Erfahrungen mit diesem Aufgabenformat kann eingeschätzt werden, dass alle Kinder stets hoch motiviert waren und sich große Mühe gaben, einem Mitschüler einen (persönlichen!) Aufgabenbrief zu schreiben. Natürlich waren alle Kinder auch immer sehr neugierig auf die an sie gerichteten Briefe und strengten sich dann wiederum sehr an, die meist liebevoll gestalteten Aufgaben des jeweiligen Briefpartners zu lösen und einen Antwortbrief zu verfassen. In der besonderen Organisationsform des Übens „Kinder schreiben Kindern Aufgabenbriefe“ liegen somit sehr große Lernpotenziale. Neben der besonderen Motivation, dem differenzierenden und selbstbestimmten Lernen, den Möglichkeiten für Fächer verbindendes Lernen kann man in diesem Zusammenhang auch die speziellen Chancen für die Förderung sozialer Kompetenzen hervorheben. Die Kinder sind beim Verfassen eines Aufgabenbriefes gefordert (und fühlen sich auch aufgefordert), für einen Mitschüler eine besondere, auf ihn „zugeschnittene“ Aufgabenpräsentation zu verfassen. Für manche Kinder war dies nach unseren Erfahrungen vergleichbar mit dem liebevollen Auswählen, Verpacken und Überreichen eines kleinen Geschenks (Fuchs 2001). Fehlersuche Die „Fehlersuche“ (Abb. 8.11) umfasst ein individuelles wie auch gemeinsames Finden und Analysieren von Fehlern (vor allem der jeweils zugrunde liegenden Gedankengänge, ggf. auch von co-kognitiven Persönlichkeitsaspekten) sowie das Herausstellen häufiger Fehlermuster für ein bestimmtes Lernthema. Fehler werden dabei grundsätzlich als „normale“ Begleiterscheinung jeglicher Lerntätigkeit aufgefasst, die nicht selten sogar Anregungen für kreative Lösungsideen oder für neue Erkenntnisgewinne sein können. Dieses Übungsformat besitzt zudem einige weitere besondere Lernpotenziale:

8.4  Spezielle Formen kindorientierenden Übens

169

Abb. 8.10   Beispiel für eine Anregung zum Schreiben von Aufgabenbriefen. (Käpnick et al. 2012a, S. 83)

170

8  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule

Abb. 8.11   Beispiel für eine Anregung zur Fehlersuche. (Käpnick et al. 2011b, S. 68)

• Es können individuelle Fehlvorstellungen zu mathematischen Begriffen, Beziehungen, fehlerhaft eingeprägte Rechenstrategien u. Ä. aufgedeckt und korrigiert werden. • Durch die intensive Auseinandersetzung mit fehlerhaften Lösungen wird ein tiefgründiges Verstehen mathematischer Sachverhalte ermöglicht. • Das Suchen nach Fehlern fassen die meisten Kinder als ein Rollenspiel auf (Sie spielen die Rolle einer Lehrerin.), einer unter Grundschulkindern sehr beliebten Spielform. Diese spielerische Ausrichtung fördert die Lernmotivation der Kinder. Damit die Lernpotenziale zum Tragen kommen können, empfiehlt es sich, • das Übungsformat regelmäßig und in Bezug auf alle mathematischen Themengebiete durchzuführen, • fehlerhafte Lösungen auch als lustige Rätsel „einzukleiden“, wie beispielsweise: „Finn überholt bei einem Wettlauf den Zweiten und ist nun Erster. Was stimmt hier nicht?“, • einen vertrauensvollen und sensiblen Umgang mit Schülerfehlern sicherzustellen.

8.4  Spezielle Formen kindorientierenden Übens

171

Mögliche Weiterentwicklungen Die verschiedenen Klassifikationen von Übungsformen (von denen hier nur die in Deutschland derzeit bekanntesten vorgestellt wurden) mit ähnlichen oder sogar gleichen Bezeichnungen, aber verschiedenartigen Bedeutungen erschweren sicher das Zurechtfinden in diesem „Konglomerat“. Deshalb erscheint es sinnvoll, sowohl begrifflich klarere Abgrenzungen bei unterschiedlichen Theorieansätzen als auch Vereinheitlichungen bei grundsätzlich gleichen Auffassungen anzustreben. Zu erwarten ist ferner, dass mit der Etablierung des Konzepts der Inklusion Übungsformate entwickelt werden, die einerseits den sehr unterschiedlichen Lernvoraussetzungen der Kinder genügen, andererseits aber auch „Brücken“ gemeinsamen Lernens zwischen Kindern mit großen Leistungsunterschieden bauen. Die bisher von Schulbuchverlagen angebotene diverse Übungssoftware ist fast ausnahmslos auf ein automatisierendes oder gestuftes Üben ausgerichtet.6 Im „Zeitalter“ eines kindorientierten, aktiv-entdeckenden Lernens ist es deshalb „überfällig“, Computerübungsprogramme zu entwickeln, die deutlich mehr Möglichkeiten für ein operatives bzw. produktives Üben bieten. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Inwiefern sind Erarbeiten, Üben, Anwenden, Kontrollieren nur idealtypische Unterscheidungen von Phasen mathematischer Lernprozesse? • Warum gilt das Sprichwort „Übung macht den Meister“ nicht pauschal für das Lernen von Mathematik (wie auch für das Lernen in anderen Bereichen)? • Warum ist es notwendig, dass auch mathematisch begabte Kinder rechnen üben? • Wie könnten Möglichkeiten der heutigen Computertechnik noch sinnvoller zum individuellen Üben mathematischer Lerninhalte genutzt werden?

6Nennenswerte

Ausnahmen bilden im deutschsprachigen Raum m. E. die von Krauthausen entwickelten Software-Programme (vgl. Krauthausen 1995, 2006).

9

Lern- und Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule

Unter den verschiedenen Repräsentationsmodalitäten im Denken des Kindes stellt die Visualisierung nicht nur eine mögliche Form neben der Sprache, sondern das Hauptmedium dar. Die visuellen Vorstellungsbilder können durch Anschauungsmittel unterstützt, aber nicht bestimmt werden (Lorenz 1992, S. 83)

Inhaltsverzeichnis 9.1 Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln für kindliches Lernen von Arithmetik . . 174 9.2 Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9.3 Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Das Einstiegszitat des 9. Kapitels unterstreicht, dass Anschauungsmittel für das kindliche Lernen generell sehr wichtig sind, allein schon deshalb, weil Anschauung das „Fundament aller Erkenntnis“ (Pestalozzi) ist und weil das Denken von Kindern stark an Anschauung gebunden ist. Anschauungsmittel sind aber – wie es ihr Name besagt – (nur) Mittel des Lernens und garantieren keinen Kompetenzerwerb. Im Kontext des heute weit verbreiteten Verständnisses vom Lernen als einem aktiv-konstruktiven Prozess ist zudem zu beachten, dass sich der „Status von Anschauungsmitteln gewandelt [hat] von Werkzeugen des Lehrens zu Werkzeugen des Lernens“ (Söbbeke und Steinbring 2007, S. 62). Das schließt ein, dass auch der Umgang mit Anschauungsmitteln von den Kindern stets erst erlernt werden muss. Hiervon ausgehend wird in der aktuellen deutschsprachigen Mathematikdidaktik häufig zwischen Anschauungsmitteln (die die Perspektive der aktiven und individuell geprägten Nutzung eines Werkzeugs durch den Lerner betont) © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_9

173

174

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

und Veranschaulichungen (womit eine (neutrale) Beschreibung eines visuell wahrnehmbaren Lernmaterials gemeint ist) unterschieden1. In diesem Kapitel werden zunächst differenziert die Bedeutung und die Funktionen von Anschauungsmitteln für den Erwerb des Zahlbegriffs und für Rechenoperationen beschrieben, anschließend Vorzüge und Nachteile gebräuchlicher Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule aufgezeigt und abschließend einige allgemeine Orientierungen für den Umgang mit Veranschaulichungen sowie für die Nutzung digitaler Medien als Lern- und Anschauungsmittel im Mathematikunterricht gegeben.

9.1 Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln für kindliches Lernen von Arithmetik Dass Anschauungsmittel für das kindliche Erlernen arithmetischer Sachverhalte unverzichtbar sind, wurde in allen Phasen der allgemeindidaktischen und mathematikdidaktischen Entwicklung postuliert (vgl. hierzu Lorenz 1992). Als exemplarische Belege seien an dieser Stelle lediglich die Annahmen der Zahlbildmethodiker am Ende des 19. Jahrhunderts, allgemeine Annahmen der Entwicklungs- und Kognitionspsychologie des 20. Jahrhunderts und das Phasenmodell des Aufbaus und des Verinnerlichungsprozesses mathematischer Operationen im Grundschulalter auf der Basis der Lerntheorien von Aebli (Aebli 1976, S. 135 ff.) genannt: Annahmen der Zahlbildmethodiker • Zahlen können nur anschaulich (in Form von Zahlbildern) erfasst werden. • Die Zahlen bis 4 oder 5 können simultan erfasst werden (Subitizing). • Räumlich simultane Zahldarstellungen auch größerer Zahlen mit simultan erfassbaren Vierer- oder Fünfergruppen sind das wichtigste Anschauungsmittel. • Als Basis der Anschauung wird Zahl- und Rechenmaterial betont. Allgemeine Annahmen der Entwicklungs- und Kognitionspsychologen • Das Denken von Grundschülern ist stark an Anschauung gebunden. • Grundschulkinder ersetzen Handlungsschemata durch Vorstellungsbilder. Dies bezieht sich sowohl auf Objekte als auch auf Relationen. Demgemäß denken die Kinder größtenteils in Vorstellungsbildern.

1Zu

beachten ist ferner, dass Anschauungsmittel hier begrifflich von Arbeitsmitteln, mit denen üblicherweise Tätigkeiten auf der enaktiven Handlungsebene durchgeführt werden, zu unterscheiden sind. Prinzipielles und Konkretes zur sinnvollen Nutzung von Arbeitsmitteln für den Arithmetikunterricht der Grundschule findet man in: (Radatz 1996, S. 35–46).

9.1  Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln ···

175

• Kinder konstruieren Begriffe in Form von Prototypen, zu denen sie passende Vorstellungsbilder entwickelt haben. Hierbei ist zu beachten, dass die Vorstellungsbilder individuell geprägt sind. Phasenmodell des Aufbaus und des Verinnerlichungsprozesses mathematischer Operationen im Grundschulalter • Phase der Handlungen an konkreten Materialien, • Phase der bildhaften Darstellung, • Phase der symbolischen Darstellung, • Phase der Automatisierung (Lorenz 1992, S. 85–131). Über den grundsätzlichen Konsens der Notwendigkeit von Anschauungsmitteln für kindliches Lernen arithmetischer Zusammenhänge aus verschiedenen Perspektiven hinaus muss auf der Basis heutiger Erkenntnisse jedoch eingeschätzt werden, dass mathematische Denkprozesse und hierin eingeschlossen die Nutzung von Anschauungsmitteln und Visualisierungen sehr komplizierte, z. T. noch ungeklärte Prozesse sind. Wichtige Aspekte des diesbezüglichen Erkenntnisstandes werden im Folgenden in Kurzform dargestellt. Denken umfasst, vereinfacht ausgedrückt, kognitive Prozesse wie Analysieren, Synthetisieren, Strukturieren, Ordnen, Abstrahieren, Konkretisieren, logisches Schlussfolgern etc., wodurch neue Erkenntnisse gewonnen werden können, ohne dass externe Informationen genutzt werden. „Medien des Denkens“ (Aebli 1980) sind dabei Repräsentationen von sinnlich Wahrgenommenem (also etwas, was man sieht, hört, fühlt oder riecht) oder von Vorstellungen hierüber oder von Wissen, das auf Wahrnehmungen bzw. Vorstellungen basiert. Die Repräsentationsformen menschlichen Denkens können demgemäß sehr verschieden sein: gestisch, bildhaft, sprachlich oder ­abstrakt-symbolisch, was das folgende Beispiel aus dem Mathematikunterricht des ersten Schuljahres verdeutlicht: Ein Erstklässler lernt das kleine »Einspluseins« auswendig. Im Geflecht der Additionsaufgaben entdeckt er hierbei die allgemeine Rechenbeziehung, dass beim Addieren von 1 zu einer Zahl das Ergebnis stets ihr Nachfolger ist. Wie dieser Denkprozess konkret abläuft, kann unterschiedlich sein, etwa mithilfe einer bildhaften Vorstellung einer Zahlentreppe oder der Anordnung von Zahlen auf dem Zahlenstrahl, durch die gedankliche Vorstellung von Darstellungen der Zahlen und der Additionen mit Fingern oder durch ein ­abstrakt-formales Erzeugen von Gleichungsfolgen (0 + 1, 1 + 1, 2 + 1, …).

Das Beispiel verdeutlicht konkret, wie die Repräsentationen von Denkinhalten und die hierauf basierenden Denkprozesse individuell geprägt sein können. Ein Theorieansatz, der mathematische Denkprozesse von Kindern geeignet abbildet, ist nach Lorenz das Modell der „Repräsentationsumorganisation“ (RR-Modell, engl. „Representional Redescription“; Karmiloff-Smith 1996 bzw. Lorenz 2006, S. 58). Das Modell beschreibt drei Lernphasen, die generell für das Lernen gelten, unabhängig vom Alter und

176

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Entwicklungsstand des „Denkers“ sowie vom Denkinhalt (vgl. hierzu und zur Beschreibung der drei Phasen Lorenz 2007, S. 58–59): Erste Phase: „Datengetriebene Lernphase“ Aufgrund äußerer Stimuli erzeugt der Lerner implizites Wissen, das er als Prozedur verfügbar hat, das er aber nicht explizit oder bewusst nutzen und somit auch nicht verbalisieren kann. Der Lerner kann aber bereichsspezifische repräsentationale Verbindungen bilden, wie z. B. die Zahlwortreihe oder „Rechensätze“ zu Grundaufgabengleichungen. „Nicht verbalisierbar“ bedeutet in dieser Phase, dass ein Kind beispielsweise solche Wissenselemente zwar nennen, aber keine Zusammenhänge zwischen ihnen und zu Informationen der Stimuli sprachlich darstellen kann. Ebenso vermag es etwa Abläufe zur Handhabung von Anschauungsmitteln „abzurufen“, die es jedoch nicht sprachlich begründen kann. Zweite Phase: Repräsentationsveränderung Der Lerner kann abgerufenes Wissen und äußere Informationen intern steuern, dabei auch Transfers in andere Repräsentationen durchführen. Dies ist einerseits zwangsläufig mit einem Detailverlust verbunden, ermöglicht andererseits aber Analogiebildungen. Das Denken erfolgt dabei nicht in Form vorgestellter Handlungen, aber auch nicht bewusst bzw. sprachlich, sondern in Form allgemeiner Visualisierungen, Schemata u. Ä. Beispielsweise kann ein Kind in der gegebenen Aufgabenfolge „8 – 1, 8 – 2, 8 – 3, 8 – 4“ die Konstanz des Minuenden und das sukzessive Vergrößern des Subtrahenden erkennen. Es verbalisiert in dieser Phase aber nicht die Zusammenhänge, sondern entwickelt eine entsprechende allgemeinere bildhafte Vorstellung wie z. B. das Bild von einem schrittweisen Heruntergehen einer Treppe. Verallgemeinernd gilt für die zweite Phase, dass die Repräsentationen unbewusst und nichtsprachlich sind. Das bedeutet auch, dass beim Lösen einer arithmetischen Aufgabe Anschauungsmittel von den gedanklichen Repräsentationen eines Kindes abgekoppelt sind. Dritte Phase: Bewusstseinsbildungen und Verbalisierungen Im weiteren Lernprozess gelingt es dem Lerner, Repräsentationen bewusst zu erkennen, ebenso Repräsentations- und Formatwechsel bewusst vorzunehmen und diese zu verbalisieren. Ein Kind könnte demgemäß eine vorgegebene Rechenaufgabe in eine interne Visualisierung übersetzen und diesen Denkakt versprachlichen. Untersuchungen zeigen, dass Kinder aber auch bei verbaler und nichtverbaler Aufgabendarbietung von Additions- und Subtraktionssituationen in eine bildhaft-visuelle Repräsentation wechseln (Klein und Bisanz 2000; Rasmussen 2004; Lorenz 2007, S. 58). Dies belegt die herausragende Bedeutung von Visualisierungen beim Lösen arithmetischer Aufgaben. Verallgemeinernd ist nach dem RR-Modell Wissen nicht notwendigerweise mit Verständnis verknüpft. Lorenz spricht in diesem Zusammenhang von „Wissen ohne konzeptionelles Verständnis und notwendige Repräsentationsveränderungen“, was mehr

9.1  Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln ···

177

oder weniger typisch für kindliche arithmetische Lernprozesse ist (vgl. Lorenz 2007, S. 58–59), und belegt dies u. a. mit folgenden Beispielen: • Vor- und Grundschulkinder erfassen Zahlen oft als Ergebnis eines Zählvorganges. Dieses Repräsentationsmodell erschwert ihnen aber die Hinzunahme der Null zu den Zahlen (die zunächst von Schulanfängern vielfach als „wertlos“ abgelehnt wird). Auch Handlungen auf der enaktiven Ebene stellen für viele Kinder keine Hilfe dar, weil sie Additionen oder Subtraktionen mit null nicht als Handlung (im Sinne, dass etwas sinnlich Wahrnehmbares passiert) auffassen. • Grundschulkinder erfassen das Addieren2 meist verkürzt als Mengenvergrößerung. Wenn sie aber allgemeine Zusammenhänge wie die Kommutativität der Addition oder das Gesetz von der Konstanz der Summe erkennen und bewusst anwenden wollen, ist aufgrund der variablen Größe von Mengendarstellungen eine Umorganisation notwendig. Diese könnte z. B. mit einer Überführung der Repräsentationen von Zahlen durch Mengen in Zahlrepräsentationen in Form normierter Streckenlängen realisiert werden. Um solche Verständnishürden zu meistern, ist es entscheidend, dass Kinder verschiedene Repräsentationsformen für Zahlen, Zahl- und Rechenbeziehungen erlernen und diese sinnvoll verknüpfen können. Hierfür bietet die klassische didaktische Schrittfolge (Handlungen zunächst auf der enaktiven, dann auf der ikonischen bis hin zur abstraktsymbolischen Ebene mit wechselseitigen Repräsentationswechseln; vgl. S. 166– 167) durchaus eine nach wie vor empfehlenswerte Grundorientierung (Abb. 9.1). Nach einer Phase der Handlungen mit konkreten Materialien bietet die Schulbuchdarstellung der Abb. 9.1 mit der Bildfolge von Aufgabe 1 eine konkrete bildhafte Repräsentation einer Subtraktionssituation. Die Aufgabe 2 zeigt verschiedene, vergleichsweise abstraktere ikonische Darstellungen von Subtraktionsaufgaben mit der Aufforderung, diese jeweils auf die enaktive Handlungsebene zurückzuübersetzen und dann auf die abstrakt-symbolische Ebene zu übertragen. Unklar ist jedoch, wie Kinder solche Transformationen durchführen und welche Einflüsse subjektive Erfahrungsbereiche, individuelle Denkstile u.  Ä. m. hierbei haben. Anschauungsmittel sind zwar unbestritten wesentliche Hilfen für das Erzeugen passender visueller Vorstellungsbilder und somit letztlich für den Erwerb tragfähiger mathematischer Konzepte. Es gibt hierfür aber nicht das ideale Veranschaulichungsmittel. Alle einschlägig bekannten Mittel haben besondere Vorzüge und Nachteile. Eine

2Lorenz

vertritt die Position, dass visuelle Vorstellungsbilder von arithmetischen Operationen und Zahlbeziehungen für Kinder dann kraftvolle Hilfen sind, wenn sie diffus und somit als Schemata in breiten Problemlösesituationen anwendbar sind. Dies heißt zugleich, dass sich solche Schemata bereits von der konkreten Anschauung gelöst haben (Lorenz 2007, S. 61).

178

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Abb. 9.1   Didaktische Schritte beim Erarbeiten der Subtraktion. (Buschmeier et al. 2017, S. 48, 51)

gleichzeitige Verwendung vieler verschiedener Anschauungsmittel ist dennoch keine gute didaktische Lösung, und zwar vor allem aus drei Gründen: • Jedes Anschauungsmittel ist zunächst für die Kinder selbst ein Lerngegenstand, d. h., dass sie seine Struktur, seine Besonderheiten wie auch Nachteile, die zugrunde liegenden didaktischen Konventionen und den flexiblen Umgang mit ihm zuerst erlernen müssen (vgl. hierzu Abschn. 9.2). Die Nutzung mehrerer Anschauungsmittel bedeutet demgemäß einen Mehraufwand an zusätzlichem Lernen. • Anschauungsmittel können von Kindern trotz vorgegebener didaktischer Konventionen verschieden gedeutet werden (Söbbeke und Steinbring 2007). Mit der Nutzung mehrerer Veranschaulichungsmittel erhöht sich auch das Problem der Mehrdeutigkeiten. • Die gleichzeitige Verwendung verschiedener Lernmittel ist insbesondere für leistungsschwächere Kinder problematisch, weil die Handlungen für das Ausführen einer konkreten Rechenoperation z. B. recht unterschiedlich und somit für Kinder verwirrend sein können. So unterscheiden sich beispielsweise die Handlungen beim

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

179

Lösen der Aufgabe „17 + 20“ mit unstrukturierten Materialien, am Zahlenstrahl oder an der Hundertertafel recht deutlich (Lorenz 2007, S. 61). Somit zeigt sich zusammenfassend, dass Anschauungsmittel unerlässlich für das kindliche Erlernen arithmetischer Sachverhalte und Zusammenhänge sind. Sie haben insbesondere eine „Brücken bauende Funktion“ für das Erzeugen individuell geprägter Vorstellungsbilder bzw. Visualisierungen, die ein Hauptmedium des Denkens und Erkenntniserwerbs der Kinder darstellen. Die beschriebene Komplexität und Problematik des Umgangs mit Anschauungsmitteln impliziert jedoch, die einschlägig bekannten Lernmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule differenziert zu bewerten. Dies kann zwar nur beschränkt erfolgen, weil z. B. das Problem der individuellen Deutungen von Anschauungsmitteln oder wechselseitige Einflüsse von Denkstilen, subjektiven Erfahrungsbereichen u. Ä. m. im Prozess des Bildens von Vorstellungsbildern noch wenig erforscht sind. Aber bereits eine grobe Herausstellung von besonderen Nutzungsmöglichkeiten, von Vorzügen wie auch spezifischen Problemen kann Lehrern hilfreiche Orientierungen für die Auswahl und konkrete Nutzung von Anschauungsmitteln geben.

9.2 Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule Ausgehend von den im Abschn. 9.1 beschriebenen Zusammenhängen erscheinen für die Einschätzung von Anschauungsmitteln folgende Kriterien als sehr wichtig: • die Verständlichkeit bzw. leichte Erlernbarkeit des Anschauungsmittels, • die Ermöglichung und Unterstützung des Konstruktionsprozesses tragfähiger Konzepte (einschließlich Visualisierungen) für den Zahlbegriff, für Zahl- und Rechenbeziehungen, • die Vielfalt von Nutzungsmöglichkeiten für arithmetische bzw. allgemeiner für mathematische Lernthemen, • die Ermöglichung simultaner Zahlauffassungen, • die Ermöglichung und Förderung des Erkennens und Nutzens struktureller Zusammenhänge, • die Förderung eines flexiblen und kreativen Umgangs mit Zahlen und Rechenbeziehungen. Diese Kriterien bilden demgemäß auch die Basis für die nachfolgende differenzierte Bewertung von Anschauungsmitteln. Zusätzlich werden spezifische Vorzüge oder Probleme bestimmter Anschauungsmittel genannt.

180

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Abb. 9.2   Beispiele für Situationsbilder. (Aus: Buschmeier et al. 2017, S. 105)

Situationsbilder Auf Situationsbildern sind, wie es der Name ausdrückt, Alltags- oder Fantasiesituationen abgebildet. Sie werden in Schulbüchern vorrangig zur Veranschaulichung von Zahlen und Rechenoperationen (wie in Abb. 9.2) wie auch von Zahl- und Rechenbeziehungen im Zahlenraum bis 20, mitunter auch im Zahlenraum bis 100 und evtl. als Schätzbilder für Zahlen bis 1000 eingesetzt. Damit sich die Kinder beim Betrachten auf die mathematischen Inhalte fokussieren können, werden ablenkende „Nebensächlichkeiten“ möglichst vermieden. Zudem soll zumeist ein beabsichtigter mathematischer Inhalt nach Möglichkeit eindeutig interpretierbar dargestellt werden. Einschätzung: • Das Betrachten und Interpretieren von Situationsbildern ist den Kindern im Allgemeinen gut vertraut, sodass einerseits eine leichte Verständlichkeit gegeben ist. Andererseits sind die Kinder gewöhnt, Bilddarstellungen aus einer ganzheitlichen bzw. aus ihrer individuellen Perspektive zu interpretieren. Die Fokussierung und Beschränkung auf mathematische Sachverhalte müssen sie also erst einmal erlernen und sich dann diese Konvention immer wieder vergegenwärtigen. • Auf einem Situationsbild können mathematische Sachverhalte, eingekleidet in Sachsituationen, statisch, mittels Bildfolgen auch Prozess- und Handlungsabläufe dargestellt werden (wie in Abb. 9.2), sodass vielfältige mathematische Sachverhalte (Zahlen, Zahlbeziehungen, Rechenoperationen, Rechenbeziehungen) „sachlich eingekleidet“ exemplarisch dargestellt werden können. • Auch Prototypen für z. B. Rechenoperationen (etwa „Vereinigen“, „Hinzufügen“ als Sinngebungen der Addition oder „Wegnehmen“ bzw. „Weggehen oder Entfernen aus einer Menge“) können „sachlich eingekleidet“ für Kinder einprägsam veranschaulicht werden. Die Gefahr besteht aber darin, dass Kinder sich auf diese Weise einseitig nur bestimmte Prototypen für einen mathematischen Sachverhalt einprägen. Außerdem neigen Kinder (nachvollziehbar) dazu, Bilddarstellungen andersartig (als vielfach erwartet) zu deuten. Die Mehrdeutigkeit kann als Problem, ebenso aber auch als Chance (Förderung von Kreativität) angesehen werden.

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

181

• Die Möglichkeit von (selbstaktiven) simultanen Zahlauffassungen ist generell gegeben. Das Erkennen und Nutzen struktureller Zusammenhänge ist dagegen keine vordergründige Intention. Indirekt können aber z. B. Schätzbilder zum Bündeln bzw. Strukturieren anregen und bieten in diesem Sinn Möglichkeiten für ein flexibles und kreatives Bündeln. • Die realitätsnahen und vergleichsweise sehr anschaulichen Situationsbilder wirken auf Kinder meist lernmotivierend und fantasieanregend. • Das Analysieren und Interpretieren von Situationsbildern birgt Potenziale für ein Fächer verbindendes Lernen in sich. Situationsbilder können didaktisch variabel eingesetzt werden: als Einstiege, Verlebendigungen, Übungen oder Anwendungen mathematischer Themen. Hierbei sind aber stets verschiedene individuelle Bildinterpretationen, die auch keine Bezüge zu mathematischen Themen haben können, möglich. Darstellungen unstrukturierter Mengen Typische Darstellungen unstrukturierter Mengen sind Bilder von Gegenständen oder von Legeplättchen, die in größerer Anzahl, aber ungeordnet abgebildet sind – ohne Bezug zu einer Sachsituation. Die Darstellungen sind auf die arithmetische Kernidee „Zählen“ und (indirekt) auf ein Bündeln bzw. Strukturieren reduziert. Demgemäß werden diese Darstellungen in Schulbüchern vorrangig zur Veranschaulichung von Zahlen bzw. als Aufforderung zum Zählen und Bündeln (wie in Abb. 9.3) im Zahlenraum bis 20, mitunter auch im Zahlenraum bis 100 und evtl. als Schätzbilder für Zahlen bis 1000 eingesetzt. Einschätzung: • Veranschaulichungen unstrukturierter Mengen sind für Kinder leicht verständlich und die hiermit verbundenen didaktischen Konventionen erfassen sie in der Regel ebenfalls schnell.

Abb. 9.3   Beispiele für die Darstellung unstrukturierter Mengen (Käpnick et al. 2011c, KV7–2; Aufg. 2)

182

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

• Der wesentliche Unterschied zu Situationsbildern besteht in der Reduktion bzw. Konzentration auf Zähl-, Bündelungs- und Schätzaktivitäten. Die Fokussierung und Beschränkung hierauf fördert die Entwicklung von Vorstellungsbildern und hierauf basierender kindlicher Konstruktionsprozesse zum Aufbau von tragfähigen Zähl- und Bündelungskonzepten sowie von Kardinalzahlen, ggf. auch von Konzepten für ein geschicktes Schätzen. • Aufgrund der inhaltlichen Einschränkung besteht prinzipiell kein Deutungsproblem für Kinder. • Die Möglichkeit von (selbstaktiven) simultanen Zahlauffassungen ist generell gegeben. Indem Bündelungsaktivitäten angeregt werden, ergeben sich auch Möglichkeiten für ein elementares Strukturieren. Darstellungen unstrukturierter Mengen können didaktisch weniger variabel als andere Anschauungsmittel eingesetzt werden, hauptsächlich für Verlebendigungen oder Übungen zu Zahlen und Zahlbeziehungen im Zahlenraum bis 20 oder bis 100. Darstellungen strukturierter Mengen, Zahlbilder Typische Darstellungen von strukturierten Mengen sind Zahlbilder (Abb. 9.4 und 9.5). Sie sind – wie Darstellungen unstrukturierter Mengen – auf die arithmetische Kernidee „Zählen“ und den Kardinalzahlaspekt gerichtet, darüber hinaus gilt das Hauptaugen-

Abb. 9.4   Bekannte Zahlbilddarstellungen. (Aus: Radatz und Schipper 1983, S. 38)

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

183

Abb. 9.5   Zahlbilddarstellung von 146 (Käpnick et al. 2012a, S. 21)

merk jedoch dem Erkennen, Einprägen und Nutzen von Zahlstrukturen. Darstellungen strukturierter Mengen bzw. Zahlbilder werden in Schulbüchern zur Veranschaulichung von Prototypen für Kardinalzahlen und von wesentlichen Zahlstrukturen im Zahlenraum bis 20 oder bis 100 eingesetzt. Einschätzung: • Darstellungen strukturierter Mengen sind für Kinder relativ leicht verständlich und die hiermit verbundenen didaktischen Konventionen können sie in der Regel ebenfalls schnell erfassen. Einen gewissen Anspruch stellt lediglich das Erkennen der jeweiligen Struktur dar. • Die Fokussierung und Beschränkung auf strukturierte Punktmengendarstellungen fördert die Entwicklung von Vorstellungsbildern und hierauf basierender kindlicher Konstruktionsprozesse zum Aufbau von tragfähigen Zähl- und Zahlbeziehungskonzepten. So kann die Zahlbilddarstellung von Born und Lay (Abb. 9.4) das Erkennen und Verinnerlichen der Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen anregen und die diesbezügliche Konstruktion von Vorstellungsbildern und zugleich von Prototypen fördern. Bei alleiniger Verwendung eines Zahlbildes besteht aber zugleich die Gefahr des Einprägens einseitiger bzw. statischer Prototypen. • Aufgrund der inhaltlichen Einschränkung bestehen keine nennenswerten Deutungsprobleme für Kinder. • Die Möglichkeit von simultanen Zahlauffassungen ist generell gegeben. Indem Kinder die zugrunde liegenden Zahlstrukturen erkennen und nutzen, können sie sogar Einzelstrukturen zu Strukturen höherer Ordnung zusammenfassen (z. B. zwei „Fünfer“ zu einem „Zehner“). Darstellungen strukturierter Mengen können somit didaktisch vielfältiger als Veranschaulichungen unstrukturierter Mengen oder Situationsbilder eingesetzt werden, hauptsächlich zum Entdecken, exemplarischen Verdeutlichen, Üben sowie zum Systematisieren von Zahlen und Zahlbeziehungen im Zahlenraum bis 20 oder bis 100. Außerdem sind Verbindungen von geometrischen mit arithmetischen Sichtweisen möglich, wie z. B. bei den bekannten Dreiecks-, Quadrat- oder Rechteckzahlen (vgl. hierzu z. B. Käpnick 2001, S. 46–51).

184

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Abb. 9.6   Zehner- und Zwanzigerfeld, Rechenrahmen

Eine besondere Variante von Zahlbildern ist die folgende: In dieser Darstellung werden ein Viereck als Zeichen für 100, ein Strich für 10 und ein Punkt für 1 verwendet (vgl. Abb. 9.5). Wenn Kinder die „versteckten“ Bündelungseinheiten der Darstellungsform verstanden haben, können ihnen solche Zahlbilder eine sehr wirksame Hilfe beim Entwickeln von Visualisierungen für die dezimale Struktur größerer Zahlen sein. Die Zahlbilder heben wie Stellenwerttafeln und Mehr-System-Blöcke das Stellenwert- und das Bündelungsprinzip, also die beiden ­ Grundprinzipien unseres Zahlsystems, hervor. Sie sind anschaulicher als Stellenwerttafeln, aber abstrakter als Mehr-System-Blöcke. Ein weiterer Vorzug der Zahlbilder besteht darin, dass sie von Kindern schnell skizziert werden können. Zehner- und Zwanzigerfeld (Zwanzigerrahmen) Diese strukturierten Darstellungen wie in Abb. 9.6 sind ebenfalls auf die arithmetische Kernidee „Zählen“ und den Kardinalzahlaspekt gerichtet, darüber hinaus verkörpern sie das Prinzip der Zehnerbündelung, eines der beiden Grundprinzipien unseres dezimalen Stellenwertsystems, sowie durch die stärkeren Trennlinien in den Mitten des Zehnerund Zwanzigerfeldes bzw. durch verschiedene Farben der Perlen des Zwanzigerrahmens die Fünferbündelung („Kraft der Fünf“). Zehner- und Zwanzigerfeld werden in allen einschlägigen Schulbüchern zur Veranschaulichung von Zahlen und Zahlbeziehungen, einschließlich von Rechenbeziehungen im Zahlenraum bis 20, eingesetzt. Einschätzung: • Die anschaulichen Zehner- und Zwanzigerfelder sowie Rechenrahmen sind für Kinder relativ leicht verständlich und die hiermit verbundenen didaktischen Konventionen können sie im Allgemeinen ebenso schnell erfassen. Eine gewisse Problematik besteht aber im Zehnerübergang. Dass z. B. im Zwanzigerfeld beim sukzessiven Belegen der oberen Reihe mit zehn Plättchen das elfte Plättchen räumlich weit vom benachbarten zehnten Plättchen entfernt ist, bereitet einem Teil der Erstklässler zunächst häufig Probleme. • Die Fokussierung und Beschränkung auf strukturierte Mengendarstellungen fördert die Entwicklung von Vorstellungsbildern und hierauf basierender kindlicher Konstruktionsprozesse zum Aufbau von tragfähigen Zähl- und Zahlbeziehungskonzepten, insbesondere bezüglich der Fünfer- und Zehnerbündelung. • Aufgrund der inhaltlichen Einschränkung bestehen keine besonderen Deutungsprobleme für Kinder. Zu beachten ist jedoch, dass Kinder Zahlen und Zahlbeziehungen sehr verschieden darstellen können. So können sie beispielsweise die

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

185

Zahl 8 auf dem Zehner- und Zwanzigerfeld als „5 + 3“ oder als „4 + 4“ darstellen. Diese Vielfalt von Möglichkeiten kann einerseits Flexibilität und Individualität der Kinder fördern, andererseits könnte die Vieldeutigkeit im Zusammenhang mit individuell bevorzugten Prototypen von Zahldarstellungen für Kinder auch problematisch sein. • Die Möglichkeit von simultanen Zahlauffassungen ist generell gegeben. Indem Kinder die zugrunde liegenden Zahlstrukturen erkennen und nutzen, können sie sogar Einzelstrukturen zu Strukturen höherer Ordnung zusammenfassen (z. B. zwei „Fünfer“ zu einem „Zehner“ oder zwei „Zehner“ zu einem „Zwanziger“). • Eine Besonderheit des Rechenrahmens stellt das „Verleiten“ zum zählenden Rechnen beim sukzessiven Schieben von Perlen dar. • Ein besonderer Vorzug des Zehner- und Zwanzigerfeldes sowie des Rechenrahmens besteht darin, dass sie zu einem Hunderterfeld bzw. einem 100er-Rechenrahmen erweitert werden können und dass dabei die Grundstrukturen erhalten bzw. ebenfalls „erweitert“ werden. Zehner-, Zwanzigerfeld und Rechenrahmen können didaktisch sehr vielfältig eingesetzt werden: sowohl zum Entdecken, exemplarischen Verdeutlichen, Üben wie auch zum Systematisieren von Zahlen und Zahlbeziehungen, ebenso zum flexiblen Darstellen von Rechenbeziehungen im Zahlenraum bis 20. Stellenwerttafeln Stellenwerttafeln sind für Kinder relativ abstrakt, wobei die rechte Tafel der Abb. 9.7 vergleichsweise noch deutlich abstrakter ist. Die Tafeln verkörpern, wie es ihr Name ausdrückt, vordergründig das Stellenwertsystem und diesbezüglich insbesondere das Stellenwertprinzip: Jede Spalte einer Tafel markiert einen Stellenwert und in den Zeilen wird die jeweilige Anzahl einer Bündelungseinheit angegeben. Stellenwerttafeln werden ERGÄNZE! A)

B) T

H

Z

E

ZAHL 8 413

HT ZT T H Z E 1

2 725

4

2

3

5

8

5

6

7

0

2

56 702

8

9

9

1

8 991

2

6

4

1

3

26 413

1

0

6

5

1

310 65

8

5

7

0

8 570

5 680 3 461 7 048 9 203

3

ZAHL 142 35

Abb. 9.7   Beispiele für Stellenwerttabellen (Käpnick et al. 2012c, KV 4–2)

186

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

zum Darstellen größerer Zahlen wie auch zur Verdeutlichung von Rechenverfahren, die auf einem stellenwertgemäßen Rechnen basieren, genutzt. Einschätzung: • Es ist im Allgemeinen notwendig, Kindern Zeit zum speziellen Kennenlernen dieser recht abstrakten Darstellungsform einzuräumen. Zahlbilddarstellungen der Abb. 9.5 können hierbei „Verständnisbrücken“ bauen. • Ein Vorzug von Stellenwerttafeln besteht darin, dass sie einprägsam das dezimale Stellenwertsystem verdeutlichen. Ihre Nutzung setzt allerdings ein grundlegendes Verständnis des Bündelungs- und Stellenwertprinzips voraus. • Mit den Tafeln kann ebenso ein Umbündeln an jedem Stellenwert einer Zahl einsichtig gemacht werden, was für das Verständnis von Rechenprozeduren wichtig ist. • Eine spezifische Funktion der Stellenwerttafeln kann im Lernprozess eines Kindes darin bestehen, dass sie „Brücken“ zwischen einer anschaulichen und ­abstrakt-formalen Darstellung von Zahlen darstellen. Allerdings besteht insbesondere beim Gebrauch der rechten Form der Stellenwerttafel in Abb. 9.7 die Gefahr einer formalschematischen Nutzung. • Ein wichtiger Vorzug von Stellenwerttafeln ist die beliebige „Erweiterung“ der Tafeln durch Spalten bzw. Stellenwerte unter Beibehaltung der Grundstruktur. Der Einsatz von Stellenwerttafeln bietet sich also erst an, wenn Kinder ein Grundverständnis des Bündelungs- und Stellenwertprinzips erworben haben. Sie können insbesondere zum Verdeutlichen der Grundprinzipien des dezimalen Stellenwertsystems dienen und wichtige „Brücken“ zwischen dem Verstehen einer anschaulichen und abstrakt-formalen Darstellung von Zahlen sein, und zwar beim Erarbeiten der Zahlen bis 100, 1000, 1.000.000, weil die Tabellen beliebig „erweitert“ werden können – bei gleicher Grundstruktur. Sie können ebenso für das Darstellen von Rechenverfahren und für kombinatorische Fragestellungen (z. B.: Wie viele und welche verschiedenen dreistelligen Zahlen kann man mit genau einem Punkt in der linken Tafel von Abb. 9.7 darstellen?) sinnvoll genutzt werden. Zahlenstrahl, Zahlenstrich Ein Zahlenstrahl (Abb. 9.8) ist, wie sein Name es ausdrückt, als geometrische Figur ein Strahl mit einem Anfangspunkt (der in der Regel die Zahl 0 markiert), dann mit in normierten Abständen angeordneten Punkten (die jeweils eine Zahl markieren) und einem Pfeil (der verdeutlicht, dass die nach der Zählreihenfolge angeordnete Zahlenfolge prinzipiell fortgesetzt werden kann). Mit dickeren oder farblichen Punkten bzw. kleinen Strichen wird auf Zahlenstrahlen die Fünfer- und Zehnerbündelung optisch hervorgehoben. Maßstäbliche Verkleinerungen erlauben eine stetige problemlose „Erweiterung“ eines Zahlenstrahls auf alle Zahlenräume. Dabei bleiben alle wesent-

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

187

Abb. 9.8   Beispiele für Zahlendarstellungen auf Zahlenstrich und Zahlenstrahl (Käpnick et al. 2012b, S. 23)

lichen Strukturen erhalten. Der Zahlenstrich3 (Abb. 9.9) ist eine individuelle Skizze, in der der Lerner die seines Erachtens für eine konkrete Zahlbeziehung oder eine Rechenaufgabe wichtigen Zahlen und die Abstände zwischen ihnen näherungsweise darstellt. Bei Rechenaufgaben können zusätzlich mit Pfeilen oder Bögen rechnerische Zusammenhänge veranschaulicht werden. Einschätzung: • Zahlenstrahlen und Zahlenstriche betonen den Ordinalzahlaspekt. • Sie sind sehr vielseitig einsetzbar und dienen als gute Orientierungshilfe beim Vergleichen und Ordnen von Zahlen sowie beim Erkennen der Zahlstruktur und von Analogien im Zahlsystem. Sie eignen sich darüber hinaus zum Darstellen der vier Grundrechenarten und rechnerischer Beziehungen, wie z. B. von Tausch- und Umkehrbeziehungen.

3Als

synonymer Begriff wird verschiedentlich auch „Rechenstrich“ verwendet.

188

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Abb. 9.9   Mehr-System-Blöcke (Käpnick et al. 2012b, S. 21)

• Der Zahlenstrahl ist außerdem ein wesentliches Darstellungsmittel von Zahlen, Zahlenmengen, Zahlvergleichen etc. im gesamten Mathematikunterricht (z. B. für das Verständnis von Bruchzahlen als Äquivalenzklassen quotientengleicher Brüche, für Funktionsdarstellungen in Koordinatensystemen, Intervalldarstellungen im Zusammenhang mit der Behandlung reeller Zahlen oder dem Lösen von Gleichungen, Gleichungssystemen und Ungleichungen). • Der Umgang mit dem Zahlenstrahl muss jedoch von Grundschulkindern zunächst gründlich gelernt werden. Hierbei sind vor allem folgende Probleme und Gefahren zu beachten: – die relativ abstrakte Darstellung von Zahlen und Zahlstrukturen, – die komplizierten, für Kinder leicht zu verwechselnden Zuordnungen zwischen Zahlen, Punkten und Streckenlängen (z. B. markiert der dritte Punkt von vorn beginnend die Zahl 2, es ist aber der Endpunkt der dritten gleich langen Strecke). – die Links-rechts-Orientierung (die für Linkshänder meist ein Problem darstellt, weil ihre (natürlicherweise) bevorzugte Blickrichtung von rechts nach links ausgerichtet ist; vgl. hierzu das Fallbeispiel von Johannes auf S. 89–90), – die Gefahr des zählenden Rechnens (wenn wie beim Zahlenstrahl bis 10 oder 20 alle Zahlen angegeben sind). Im Vergleich zum Zahlenstrahl hat der Zahlenstrich vor allem folgende Vorzüge:

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

189

• Kinder können einen Zahlenstrich (als Skizze) sehr schnell zeichnen. • Beim Anfertigen eines Zahlenstrichs können sich die Kinder auf die für einen bestimmten Zweck wesentlichen Zahlen beschränken. (Ein Zahlenstrich ist damit für die Kinder vergleichsweise leicht verständlich und übersichtlich.) • Beim Anfertigen eines Zahlenstrichs müssen sich die Kinder selbst Gedanken über die Größe von Zahlen sowie über Zahlenbeziehungen machen (was der Förderung des inhaltlichen Zahlverständnisses dient). • Kinder können einen Zahlenstrich als individuelle Skizze gebrauchen, er bietet somit Freiräume für individuelles Lernen. Die Nutzung des Zahlenstriches ist jedoch auch mit Problemen verbunden: • Sie erfordert von den Kindern ein größeres Maß an Selbstständigkeit und Flexibilität. • Individuelle Skizzen sind nicht für alle Kinder einheitlich und leicht verständlich, was beim gemeinsamen Austausch über Lösungswege einer Aufgabe zu beachten ist. Der Einsatz des Zahlenstrahles ist also erst dann empfehlenswert, wenn Kinder ein Grundverständnis der Zahlen bis 10 oder 20 als Ordinal- und Kardinalzahlen erworben haben. Für die Phase der Einführung des Zahlenstrahls sind die angesprochenen Probleme zu beachten. Wichtig ist zudem, Verständnisschwierigkeiten einzelner Kinder zu erfassen und hiervon ausgehend entsprechende individuelle Hilfen zu entwickeln. Kindern mit Problemen in der Links-rechts-Orientierung kann auch ein vertikal angeordneter Zahlenstrahl angeboten werden. Ähnlich gründlich sollte die Einführung des Zahlenstriches erfolgen. Anschließend können dann beide Anschauungsmittel systematisch zum Darstellen von Zahlen, des Vergleichs und der Ordnung von Zahlen sowie von Rechenbeziehungen eingesetzt werden. Dies bezieht sich sowohl auf Einführungs-, Übungs-, Anwendungs- als auch Systematisierungsphasen. Darstellungen wie etwa von Multiplikationsaufgaben durch gleich lange Bögen, von Pfeil und Gegenpfeil für eine Additions- und zugehörige Umkehraufgabe können dabei auch wirksam Konstruktionsprozesse für allgemeine Visualisierungen solcher Rechenbeziehungen unterstützen. Mehr-System-Blöcke (Dienes-Blöcke) Mehr-System-Blöcke (Abb.  9.10) bestehen aus kleinen Würfeln zum Darstellen von Einerzahlen, Zehnerstangen für Zehner-, Hunderterplatten für Hunderter- und Tausenderwürfel für Tausenderzahlen. Sie vergegenständlichen somit das Bündelungsund Stellenwertprinzip und regen ein Darstellen von Zahlen und Lösungsschritten bei Rechenaufgaben auf der enaktiven und ikonischen Handlungsebene an. Einschätzung:

190

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Abb. 9.10   Zahldarstellungen mithilfe von Cuisenaire-Stäben (Boese und Jakob 2009, S. 2)

• Die Nutzung der Mehr-System-Blöcke verlangt Grundkompetenzen im Wahrnehmen, Abstrahieren und im Wechseln der Repräsentationsebenen. • Ein Vorzug des Anschauungsmittels besteht darin, dass es einprägsam das dezimale Stellenwertsystem verdeutlicht. Es gibt auch Mehr-System-Blöcke auf der Basis von Vierer-, Fünfer-, Sechserbündelungen usw., die demgemäß andere Stellenwertsysteme repräsentieren. • Als Vorzug kann ebenso gesehen werden, dass das Material zum Darstellen von Zahlen und Lösungsschritten von Rechenaufgaben bis 10 000 auf der enaktiven oder der ikonischen Handlungsebene anregt. Auf diese Weise kann der Konstruktionsprozess tragfähiger Konzepte (einschließlich Visualisierungen) für den Zahlbegriff, für Zahl- und Rechenbeziehungen im Zahlenraum bis 10 000 wirksam gefördert werden. Zu beachten ist aber, dass Zahl- und Rechenbeziehungen nur eingeschränkt gut darstellbar sind. Umkehrbeziehungen zwischen Multiplikation und Division erfordern z. B. vielfach ein häufiges und verschiedenartiges Umbündeln. • Ein wichtiger Vorzug der Mehr-System-Blöcke ist die sukzessive „Erweiterung“ der Stellenwertdarstellungen bis 1000, evtl. auch bis 10 000 mit einer Zehnerstange aus zehn Tausenderwürfeln, bei Beibehaltung der Grundstruktur. Mehr-System-Blöcke eignen sich insgesamt gesehen sehr gut zum Darstellen von Zahlen und von Lösungsschritten für Rechenaufgaben (insbesondere Additions-, Subtraktionsund Multiplikationsaufgaben) im Zahlenraum bis 10.000. Sie können wirksam zum Verdeutlichen und (darauf basierender) Visualisierung der Grundprinzipien des dezimalen Stellenwertsystems und von allgemeinen Lösungsschritten für Rechenalgorithmen dienen. Cuisenaire-Stäbe Cuisenaire-Stäbe sind Stäbe mit normierten, aber nicht skalierten, also durch z. B. Einkerbungen sichtbaren Längen. Eine Besonderheit besteht weiterhin darin, dass Stäbe gleicher Länge auch gleichfarbig, Stäbe verschiedener Länge auch stets ungleich-

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

191

Abb. 9.11   Hundertertafel und Hunderterfeld

farbig sind. Üblicherweise gibt es solche Farbstäbe in zehn verschiedenen Längen, wodurch die Zahlen von 1 bis 10 repräsentiert werden können. Ein Stab allein ist aber relativ bedeutungslos. Erst in Verbindung mit anderen Stäben können die Kinder Zahlbeziehungen konkret erfassen und diese flexibel nutzen. Einschätzung: • Cusinaire-Stäbe fördern ein handlungsorientiertes und beziehungsreiches Denken. • Die Darstellung von Zahl- und Rechenbeziehungen ist durch das Nebeneinanderlegen von Stäben unterschiedlicher Längen bzw. Farben einsichtig und auch entdeckend möglich. Dies gilt prinzipiell für alle vier Grundrechenarten, wobei Veranschaulichungen der Multiplikation und Division z. T. problematisch sind (Lorenz 1992, S. 163–165). • Die Nutzung der Stäbe kann sehr wirksam zum Überwinden des zählenden Rechnens beitragen. • Wie die Abb. 9.11 zeigt, können die Stäbe auch zum Darstellen interessanter Figurenmuster eingesetzt werden, die dann in entsprechende Zahl- bzw. Rechenbeziehungen übersetzt werden können. • Ein Problem besteht darin, dass sich die Nutzung der Stäbe nur bzw. vor allem auf die Zahlenräume bis 10 oder 20 beschränkt. • Praxiserfahrungen belegen die Gefahr, dass Kinder sich stark an den Farben orientieren und eigenständig ein Übersetzungssystem zwischen Zahlen und Farben schaffen, womit sie die ursprüngliche Idee der Orientierung an Zahlbeziehungen aushebeln (können).

192

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

Aufgrund ihrer speziellen Struktur werden Cuisenaire-Stäbe fast ausschließlich in Schulbuchreihen verwendet, für die das operative Prinzip ein wesentliches Konzeptmerkmal ist und die die Stäbe als Hauptanschauungsmittel nutzen. Es gab mit Fricke und Besuden in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts prominente Befürworter der Farbstäbe, auch gegenwärtig favorisieren Boese und Jakob zumindest in ihren Lernmaterialien „Moulino“ dieses Anschauungsmittel. Es existieren aber ebenso viele kritische Stimmen (vgl. Lorenz 1992), sodass eine eindeutige Einschätzung dieses Lernmittels schwierig erscheint. Hundertertafel, Hunderterfeld Diese strukturierten Darstellungen sind auf die arithmetische Kernidee „Zählen“ und den Kardinalzahlaspekt gerichtet, darüber hinaus verkörpern sie das Prinzip der Zehnerbündelung sowie durch die stärkeren Trennlinien in den Mitten die Fünferbündelung. Das Hunderterfeld mit den eingetragenen Zahlen von 1 bis 100 bietet zudem verschiedene Möglichkeiten zum Darstellen von Zahl- und Rechenbeziehungen (z. B. der Analogiebeziehung „2 + 4 = 6, 12 + 4 = 16“). Aber auch an der Hundertertafel können rechnerische Beziehungen anschaulich einprägsam dargestellt werden, wie etwa mithilfe eines Abdeckwinkels die distributive Beziehung „4 · 5 + 3 · 5 = (4 + 3) · 5“. Hundertertafel und Hunderterfeld werden in allen einschlägigen Schulbüchern zur Veranschaulichung von Zahlen und Zahlbeziehungen, einschließlich von Rechenbeziehungen, im Zahlenraum bis 100 eingesetzt (Abb. 9.12). Einschätzung: • Hundertertafel und Hunderterfeld sind für Kinder relativ leicht verständlich und auch die hiermit verbundenen didaktischen Konventionen können sie im Allgemeinen schnell erfassen. Eine Problematik besteht wie beim Zwanzigerfeld im Zehnerübergang. Dass z. B. auf der Hundertertafel beim sukzessiven Belegen der oberen Reihe mit zehn Plättchen das elfte Plättchen räumlich weit vom benachbarten zehnten entfernt ist, bereitet einem Teil der Kinder häufig Probleme. • Die Nutzung beider Anschauungsmittel erfordert von den Kindern zudem Grundkompetenzen im räumlichen Orientieren. • Die Fokussierung und Beschränkung auf strukturierte Darstellungen fördert die Entwicklung von Vorstellungsbildern und hierauf basierenden kindlichen Konstruktionsprozessen zum Aufbau von tragfähigen Zähl- und Zahlbeziehungskonzepten, insbesondere bzgl. der Fünfer- und Zehnerbündelung. • Besondere Vorzüge der Anschauungsmittel bestehen im leichten Erkennen und Verstehen des dezimalen Stellenwertsystems (einschließlich von Analogien beim Zählen und Rechnen im Hunderterfeld) und in vielen Möglichkeiten für Entdeckungen von Rechenmustern. Außerdem eignet sich das Hunderterfeld gut für die Schulung des räumlichen Orientierungsvermögens (z. B. durch Aufgaben wie: „Auf welches Feld kommt man, wenn man vom Feld mit der Zahl 22 vier Schritte nach rechts, dann fünf Schritte nach unten, dann … geht?“).

9.2  Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel ···

193

Abb. 9.12   Beispiele für Diagramme und Schaubilder (Buschmeier et al. 2018, S. 30–31)

• Aufgrund der inhaltlichen Einschränkung bestehen keine besonderen Deutungsprobleme für Kinder. Zu beachten ist jedoch, dass Kinder Zahlen und Zahlbeziehungen auf der Hundertertafel sehr verschieden darstellen können. So können sie beispielsweise die Zahl 24 als „10 + 10 + 4“, als „4 · 5 + 4“ oder als „4 · 6“ darstellen. Diese Vielfalt von Möglichkeiten kann einerseits Flexibilität und Individualität der Kinder fördern, andererseits könnte die Vieldeutigkeit im Zusammenhang mit individuell bevorzugten Prototypen von Zahldarstellungen für Kinder auch problematisch sein. • Die Möglichkeit von simultanen Zahlauffassungen ist generell gegeben. Indem Kinder die zugrunde liegenden Zahlstrukturen erkennen und nutzen, können sie auch Einzelstrukturen zu Strukturen höherer Ordnung zusammenfassen (z. B. sechs „Fünfer“ zu drei „Zehnern“ oder zwei und drei „Zehner“ zu einem „Fünfziger“).

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9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

• Für die Verdeutlichung rechnerischer Strukturen der Multiplikation und Division ist speziell das Hunderterfeld mit der „starren“ Zehnerstruktur weniger gut geeignet. • Ein besonderer Vorzug der Hundertertafel besteht darin, dass sie eine „Erweiterung“ des Zwanzigerfeldes darstellt und dass dabei die Grundstrukturen erhalten bzw. ebenfalls „erweitert“ werden. Hundertertafel und Hunderterfeld können didaktisch sehr vielfältig eingesetzt werden, sowohl zum Entdecken, exemplarischen Verdeutlichen, Üben als auch zum Systematisieren von Zahlen und Zahlbeziehungen, ebenso zum flexiblen Darstellen von Rechenbeziehungen, vor allem der Addition und Subtraktion, im Zahlenraum bis 100. Diagramme, Schaubilder Diagramme (Streifen-, Streckendiagramme) und Schaubilder bzw. Piktogramme können, wie die Abb. 9.12 exemplarisch zeigt, zur optisch einprägsamen Darstellung von Zahlenund Größenbeziehungen genutzt werden. Dies kann sich prinzipiell auf alle Zahlenräume beziehen, die im Arithmetikunterricht der Grundschule behandelt werden. Schaubilder können außerdem zur Verkörperung des Bündelungs- und Stellenwertsystems dienen (z. B. ein Schaubild zum Vergleich von Gewichtsangaben mit folgenden Festlegungen: Das Bild einer kleinen Scheibe bedeutet 1 g, das einer größeren Scheibe 10 g und das einer noch größeren Platte 100 g.). Einschätzung: • Diagramme sind sehr komplexe Darstellungen: Es geht in der Regel um zwei verschiedene Grundmengen (z. B. Anzahlen von Kindern, Hobbys), die in einer grafischen Matrix in Beziehung gesetzt werden unter Verwendung von Skalen und oft maßstäblichen Berechnungen, was mitunter auch den Umgang mit Näherungswerten einschließt. Das Verstehen und Interpretieren der Darstellungen ist demgemäß anspruchsvoll, erfordert außerdem meist zusätzliches Sachwissen zu den Datenangaben. • Das Zeichnen von Diagrammen ist generell sehr anspruchsvoll (wenn es nicht mithilfe von Zeichenprogrammen am Computer erfolgt). • Der Einsatz von Diagrammen eignet sich weniger als die anderen vorgestellten Anschauungsmittel zum Ermöglichen und Unterstützen von kindlichen Konstruktionsprozessen für tragfähige Konzepte (einschließlich Visualisierungen) für den Zahlbegriff, für Zahl- und Rechenbeziehungen. • Der Umgang mit Diagrammen besitzt Fächer verbindende Lernpotenziale (Darstellung von Sachthemen, Interpretation von Vergleichen, Entwicklungen, Umgang mit maßstäblichen Verkleinerungen etc.). • Kompetenzen im Umgang mit Diagrammen sind von grundsätzlicher Bedeutung für den späteren Unterricht in vielen Fächern.

9.3  Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln

195

Aufgrund der hohen Komplexität werden Diagramme in Schulbüchern in der Regel erst ab dem zweiten Schuljahr eingesetzt. Die Komplexität wird zudem zunächst noch sehr reduziert (keine maßstäblichen Berechnungen, einfach verständliche Sachthemen, Beschränkung auf Verstehen und Interpretieren von Diagrammdarstellungen) und dann schrittweise erhöht. Analoges gilt für Schaubilder. Der Einsatz von Diagrammen und Schaubildern konzentriert sich auf die Darstellung von Zahlen und Zahlbeziehungen – im Sinne einer vertiefenden Übung und Anwendung erarbeiteter Zahlenräume – sowie auf Darstellungen von Zahlen- und Größenbeziehungen im Zusammenhang mit komplexeren Übungen und Anwendungen verschiedener arithmetischer, sachrechnerischer, geometrischer oder stochastischer Lernthemen.

9.3 Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln Hinsichtlich der Auswahl und Nutzung von Anschauungsmitteln für den Arithmetikunterricht der Grundschule können folgende Grundorientierungen hilfreich sein: • Anschauungsmittel müssen die jeweiligen arithmetischen Grundideen adäquat widerspiegeln. • Um pauschalisierenden Irrtümern vorzubeugen, ist zu beachten: a) Ein „Mehr“ an Anschauungsmitteln bedeutet keinesfalls ein „Mehr“ an Lern- oder Verständnishilfe.4 b) Kindern die freie Auswahl von Anschauungsmitteln zu überlassen, ist nur dann sinnvoll, wenn sie mit den Lernmitteln bereits gut vertraut sind. c) Weder eine gleichzeitige Nutzung mehrerer verschiedener Anschauungsmittel noch eine Beschränkung auf nur eine Veranschaulichung ermöglicht den Kindern die Konstruktion von stabilen und flexibel einsetzbaren Vorstellungsbildern, die ihren individuellen Lernstilen entsprechen. Bei den meisten Anschauungsmitteln liegen besondere Vorzüge bzw. Chancen und spezielle Probleme wie zwei Seiten einer Medaille sehr eng beieinander. Die jeweilige „Seite“ in einer konkreten Lernsituation zu erkennen und mit ihr didaktisch angemessen umzugehen, erfordert neben großer Sachkenntnis vom Lehrer auch eine hohe Sensibilität. • Den Kindern sollte jeweils ausreichend Unterrichtszeit zum Vertrautmachen mit einem neu eingeführten Anschauungsmittel gegeben werden. Hierbei ist auch wichtig, dass die Kinder die didaktischen Konventionen kennenlernen.

4Stern

stellt im Ergebnis ihrer Studie z. B. heraus: „Gerade bei schwächeren Kindern bewirkt ein alltagsnaher Unterricht am wenigsten, bringt vielmehr ein abstraktes Programm den größten Fortschritt.“ (Stern 2005, S. 146).

196

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

• Aus der Lehrerperspektive ist es wichtig, wiederholt zu erfassen, ob Kinder im Umgang mit einem Anschauungsmittel Probleme haben, wie (verschieden) sie Anschauungen deuten und inwiefern sie bereits tragbare Visualisierungen und Konzepte zu Zahlen oder Rechenoperationen entwickelt haben. Entsprechend der herausragenden Bedeutung visueller Vorstellungsbilder für den Erwerb arithmetischer Kompetenzen ist es äußerst wichtig, dass Kinder im Anfangsunterricht die wesentlichen Vorstellungsbilder zu Zahlen, Zahlbeziehungen und zu den Rechenoperationen erwerben. Wenn dies gesichert ist, können sie dann meist relativ leicht die Grundschemata auf größere Zahlenräume übertragen und weiterentwickeln. Somit ist speziell im ersten Schuljahr ein sehr großer Wert auf die Auswahl und den Einsatz von Anschauungsmitteln zu legen. Zur Ausbildung der erforderlichen Teilkompetenzen, die den Kindern das Erzeugen visueller Vorstellungsbilder und das mentale visuelle Operieren ermöglichen, erscheint vor der Einführung arithmetischer Beziehungen und Operationen die Behandlung geometrisch-toplogischer Themen sinnvoll (Lorenz 1992, S. 186). Mögliche Weiterentwicklungen Es kann erwartet werden, dass Ergebnisse interdisziplinärer Untersuchungen in den nächsten Jahren differenzierter aufzeigen werden, wie Kinder auf der Basis von Anschauungen visuelle Vorstellungsbilder konstruieren und welche Einflüsse subjektive Erfahrungsbereiche, individuelle Denkstile u. Ä. m. hierbei haben. Hilfreich wäre außerdem, genauer zu erforschen, wie mathematisch begabte und mathematisch minderbegabte Kinder verschiedene Anschauungsmittel nutzen und welche individuellen Unterschiede es dabei gibt. Interessant dürfte weiterhin sein, inwiefern veränderte Sehgewohnheiten heutiger Kinder, insbesondere durch die intensive Nutzung von Computern und ein umfangreiches Fernsehen, auch ihren Gebrauch von Anschauungs- und – allgemeiner – von Lernmitteln im Mathematikunterricht beeinflussen. Ein anderer Aspekt der Computernutzung bezieht sich darauf, ob und wie die moderne Technik als Lern- und Anschauungsmittel wirksam eingesetzt werden kann. Die diesbezügliche sehr dynamische Entwicklung der letzten Jahre hier darzustellen, würde den inhaltlichen und den umfänglichen Rahmen des Buches sprengen. Die vielfältigen Nutzungsmöglichkeiten digitaler Medien im heutigen Grundschulmathematikunterricht zu ignorieren, verbietet sich aber ebenso. Demgemäß wird als „Kompromisslösung“ an dieser Stelle zum einen auf aktuelle Literatur hierzu verwiesen, und zum anderen werden prinzipielle Grundorientierungen für einen sinnvollen bzw. gewinnbringenden Einsatz digitaler Medien im Unterricht gegeben. Als empfehlenswerte fachdidaktische Literatur im deutschsprachigen Raum für ein komplexes Einarbeiten in das Themenfeld „Digitale Medien im Grundschulmathematikunterricht“ lassen sich u. E. hervorheben: Krauthausen (2012), Schreiber et al. (2017), Walter und Rink (2019) und Walter (2018). Als genereller Anspruch für den Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht kann herausgestellt werden, dass hierdurch ein Mehrwert für kindliche Lern-

9.3  Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln

197

Tab. 9.1  Didaktische Vielfalt von Nutzungsmöglichkeiten digitaler Medien Didaktische Funktion

Beispiele für den regulären Grundschulmathematikunterricht

Entdecken und Erkunden

WebQuests zum projektorientierten Bearbeiten von Themen Lernpfade zum Bündeln und Sammeln von Informationen zu einer Problem- bzw. Leitfrage

Präsentieren und Kommunizieren

Allgemeine Präsentationsmedien (Software, z. B. PowerPoint, oder Hardware, z. B. interaktive Whiteboards) Audio- und Video-Podcasts zum Dokumentieren oder als Impulse für Problembearbeitungen

Reflektieren und Kontrollieren

Taschenrechner zum Entwickeln eines Zahlgefühls Übungssoftware zum Kontrollieren von Aufgabenergebnissen

Diagnostizieren und Fördern

Digitale Checklisten für summative und formative Assessments

prozesse gegeben sein muss (Barzel und Schreiber 2017, S. 200) – auch im Vergleich zu „herkömmlichen“ Anschauungsmitteln, wie sie zuvor in diesem Kapitel vorgestellt wurden. Ein solcher Mehrwert kann sich vor allem aus den vielschichtigen Nutzungsmöglichkeiten digitaler Medien ergeben. Die Tab. 9.1, die in Anlehnung an Barzel und Schreiber (2017, S. 202) zusammengestellt ist, verdeutlicht diese didaktische Vielfalt. Der besondere Mehrwert des Einsatzes digitaler Medien z. B. für Phasen entdeckenden Lernens zeigt sich etwa in folgender Vielfalt: • Nutzung von Internetquellen beim Sammeln und Bündeln von Informationen, • Verfügbarkeit eines digitalen Werkzeugs für das Erkennen und Darstellen von arithmetischen, geometrischen oder sachrechnerischen Mustern und Strukturen, • Möglichkeiten zum Erheben von Daten in großen Anzahlen und einem schnell zu realisierenden anschaulichen Darstellen der Anzahlen bzw. Größen in Diagrammen, in anderen Schaubildern oder in Grafiken, • Möglichkeiten zum schnellen und effektvollen dynamischen Visualisieren von Lernumgebungen (z. B. bei Parkettierungsproblemen oder bei Darstellungen von Zahlund Rechenbeziehungen in Stellenwerttafeln) (vgl. hierzu ebd., S. 202–203) Der Mehrwert digitaler Medien bzgl. des Präsentierens und Kommunizierens besteht in der sowohl statischen als auch dynamischen Verknüpfung von Wort, Bild und Ton, die schon in der Phase einer Unterrichtsvorbereitung, aber natürlich auch im Unterricht geplant oder spontan sehr effektvoll genutzt werden kann (ebd., S. 206). Ein gelungenes Beispiel hierfür ist das von Urff entwickelte virtuelle Zwanziger- und Hunderterfeld (Urff 2012). Die Struktur dieser Lernumgebung ist an die den Kindern vertraute Stellenwerttafel angelehnt. Der Mehrwert, der über die Nutzung der Stellenwerttafel als „klassisches“ Anschauungsmittel hinausgeht, zeigt sich darin, dass die Kinder im

198

9  Lern- und Anschauungsmittel für den …

virtuellen Lernmittel symbolische und ikonische Darstellungen parallel erzeugen und nutzen und zudem Veränderungen in beiden Darstellungen zeitlich parallel vornehmen können (ebd.). Auf diese Weise können Kinder sehr gut Aufgaben nach dem operativen Prinzip bearbeiten. Den Vorzug der Verbindung verschiedener Handlungsebenen kennzeichnet Urff dadurch, dass Kinder „eine Handlung nicht für jede Darstellungsebene getrennt ausführen … müssen, wie dies bei gegenständlichen Arbeitsmitteln notwendig ist. Im Computer kann die Handlungsausführung über enaktive, ikonische und symbolische Darstellungen hinweg synchronisiert werden“ (ebd., S. 73). In einem sinnvollen Vernetzen von Lernmitteln, was auch ein Verknüpfen verschiedener digitaler Medien einschließt, bestehen nach Einschätzung von Fachdidaktikern zurzeit große Chancen, es stellt aber zugleich eine große didaktische Herausforderung dar (Barzel und Schreiber 2017, S. 213). Beide Aspekte beachtend, entwickeln Bonow u. a. derzeit Lernumgebungen für den Einsatz von Apps in inklusiven Settings des Grundschulmathematikunterrichts (Bonow et al. 2019). Die Erprobungen belegen, dass Kinder solche Lernumgebungen sehr motiviert annehmen und dass sie in der „Breite“ eine Kompetenz im Verstehen und Bedienen der Funktionen einer App nachwiesen, die die beteiligten Wissenschaftler und Studierenden gleichermaßen überraschten (ebd., S. 68). Um nicht vorschnell in Euphorie bzgl. der Nutzung digitaler Medien zu verfallen, sollten auch kritische Einschätzungen von Hirnforschern zur Computernutzung durch Kinder beachtet werden. So verweist Spitzer mit Bezug auf amerikanische Studien auf sehr bedenkliche Einflüsse einer häufigen Nutzung digitaler Medien auf die Entwicklung der kindlichen Gesamtpersönlichkeit, wie etwa auf Sprach- und Aufmerksamkeitsstörungen oder auf massive Probleme in der Entwicklung des Sozialverhaltens von Kindern (Spitzer 2013, S. 14–15). Deshalb ist es unverzichtbar, die Einsatzmöglichkeiten digitaler Medien stets in einem Gesamtkontext kindlichen Lernens und Reifens zu sehen. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Warum sind visuelle Vorstellungsbilder von Zahlen und Rechenoperationen für Kinder dann „kraftvolle Hilfen, wenn sie ‚diffus‘ sind“ (Lorenz 2007, S. 61)? • Wie bewerten Sie den methodischen Ansatz eines Lehrers zur Förderung rechenschwacher Kinder, der im Wesentlichen darin besteht, als Hauptanschauungsmittel für Zahlen und Zahlbeziehungen die Zahlbilder eines Spielwürfels zu verwenden? • Welche speziellen Vorzüge, aber auch Probleme bzw. Grenzen haben Rechenketten als Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der Grundschule? • Mit welchen Zielen verbinden Sie die Nutzung digitaler Medien in Ihrem Mathematikunterricht? Inwiefern zeigt sich in der Umsetzung der besondere Mehrwert dieser Medien im Vergleich zu gegenständlichen Lernmitteln? Welche Probleme hinsichtlich der Entwicklung von sprachlichen oder sozialen Kompetenzen sowie von Verhaltensauffälligkeiten konnten Sie durch einen häufigen Einsatz digitaler Medien bei Kindern wahrnehmen und wie wirken Sie diesen Problemen entgegen?

10

Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

Wer fleißig ist, der darf spielen! (Vater Roderich in einem Bilderbuch von 1805) Wer klug werden will, der muss spielen. (A. Hoffmann 1990, S. 7)

Inhaltsverzeichnis 10.1 Generelle Zusammenhänge zwischen Spielen und mathematischem Tätigsein. . . . . . . 200 10.2 Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spiel- und Lerntätigkeit im Grundschulalter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.3 Typische Spielformen im Grundschulmathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.4 Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Die beiden Zitate lassen sehr unterschiedliche pädagogisch-didaktische Funktionen der Spieltätigkeit erkennen – Spielen als freudvolle Belohnung für fleißige Kinder einerseits und/oder als notwendige generelle Voraussetzung für den Erwerb von Intelligenz und Kreativität andererseits. Es gibt jedoch noch andere bemerkenswerte Auffassungen zum Spielen, die wiederum weitere didaktische Nutzungsmöglichkeiten des Spielens implizieren. So stellt Krutetzki heraus, dass „das Spiel eine spezifische Form der Widerspiegelung des Lebens“ ist und für ein Kind ein Mittel darstellt, „die Umwelt zu erkennen und sich auf das Lernen und die [spätere berufliche] Arbeit vorzubereiten“ (Krutetzki 1980, S. 75). Demgemäß könnte die Spieltätigkeit für Kinder jeglichen Alters grundsätzlich unverzichtbar sein, um die reale Alltagswelt verstehen und sie angemessen meistern zu lernen sowie zugleich um ein „natürliches“ kindliches Aufwachsen und Reifen zu ermöglichen. Gilt dies aber auch für das kindliche Lernen von Mathematik?

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_10

199

200

10  Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

In diesem Kapitel sollen aus verschiedenen Perspektiven die spezifische Bedeutung der Spieltätigkeit für das Lernen von Grundschulkindern im Mathematikunterricht und didaktisch-methodische Aspekte für einen sinnvollen Einsatz von Lernspielen im regulären Unterricht erörtert werden.

10.1 Generelle Zusammenhänge zwischen Spielen und mathematischem Tätigsein Für mathematisch Unkundige mag es überraschend sein: Zwischen Spielen und mathematischem Tätigsein gibt es sehr enge Wechselbeziehungen. So lässt sich der spielerische (und ästhetische) Charakter der Mathematik seit dem Altertum nachweisen. Er schloss zunächst sowohl einen freudvollen, ungezwungenen und fantasiereichen Umgang mit einem mathematischen Sachverhalt als auch ein Aufstellen und Einhalten von Regeln für diverse Denkspiele und das Entwickeln von Spielstrategien ein. Dies äußerte sich z. B. in Entwürfen von Bauwerken, wie man sie beispielsweise in der Alhambra-Moschee in Granada bewundern kann (Abb. 10.1), oder von ornamentalem Schmuck, in der Textilgestaltung, beim Erfinden oder raffinierten Handhaben von Spielregelsystemen, beim Ersinnen von Zauberkunststücken oder beim Lösen von Knobelaufgaben. Auch in der Periode der neuzeitlichen Mathematik findet man berühmte Beispiele für wechselseitig befruchtende Beziehungen zwischen der Mathematik und dem Spielen wie etwa Eulers Ausführungen über die Möglichkeiten von Rösselsprüngen, die zu den

Abb. 10.1   Beispiel eines Mosaiks aus der Alhambra (Flachsmeyer et al. 1990, S. 13)

10.1  Generelle Zusammenhänge zwischen Spielen und mathematischem …

201

frühen kombinatorischen Studien gehören, oder die am Beginn der Wahrscheinlichkeitsrechnung stehenden Untersuchungen der Glücksspiele. Lietzmann merkte hierzu an: „Viele unserer großen Mathematiker haben sich mit dergleichen Problemen (Anm. des Autors: Gemeint sind Aufgaben der Unterhaltungsmathematik) abgegeben, Kepler, Pascal, Fermat, Leibniz, Euler, Lagrange, Hamilton und viele andere bis hin zu den lebenden Forschern. Die Quellen der Gleichungstheorie, der Wahrscheinlichkeitslehre, der modernen Infinitesimalrechnung und der Mengenlehre liegen im Reiche der Unterhaltungsmathematik. Das ist Beweis genug, daß es sich hier nicht um Füllsel für tote Stunden handelt, sondern um kostbares Gut wissenschaftlicher Gedankenarbeit.“ (Lietzmann 1922, S. 12)

Mathematiker verglichen demgemäß schon immer ihre Tätigkeit mit der eines Künstlers und hoben dabei den spielerischen und ästhetischen Charakter hervor, wie folgende Beispiele belegen: Halmos vertrat die Auffassung, dass die Mathematik „vor allem eine Schönheit besitzt, wie sie nur die allerhöchste Kunst aufweisen kann“ (Otte 1984, S. 4). „Schellbach schätzte ein: »In der reinen Mathematik hat sich der Gedanke eine Welt erschaffen, ebenso reich und mannigfaltig an Formen und Gestalten, als sich die Fülle der Natur uns offenbart. Der ätherische Leib dieser Gedankenwelt ist die Formel, in ihr hat sich der mathematische Gedanke verkörpert, wie in der Farbe und dem Marmor der Gedanke des bildenden Künstlers.“ (zitiert aus: Otte 1984 S. 19)

Davis und Hersh verglichen einen Beweis mit einem „Ritual, eine[r] Verherrlichung der Kraft, der reinen Vernunft“ (Davis und Hersh 1985, S. 154). Die verschiedenen Sinnzusammenhänge zwischen Spiel und Ästhetik auf der einen Seite und Mathematik auf der anderen Seite kann man wie folgt zusammenfassen: • In den spielerischen und ästhetischen Aspekten der Mathematik spiegeln sich Spaß, Stolz und eine gewisse persönlich erlebte Faszination der Mathematiker bei der Beschäftigung mit ihrem Metier wider. • Mathematik wurde und wird von Mathematikern z. T. als reines (und grenzenloses) Gedankenspiel aufgefasst. (Gauß bezeichnete z. B. mit Bezug auf die Verwendung komplexer Zahlen in der Theorie der biquadratischen Reste die Mathematik als ein „inhaltleeres Zeichenspiel“ (Epple 1994, S. 2).) • Spielerische und ästhetische Sichtweisen bereichern Inhalte, Mittel und Methoden der Mathematik. Somit lässt sich konstatieren: Wenn im Mathematikunterricht vom ersten Schultag an ein adäquates Bild von der Mathematik als Wissenschaft vermittelt werden soll, dann müssen Kinder die genannten Sinnzusammenhänge zwischen der Mathematik und dem Spielen erkunden und (emotional) erleben können.

202

10  Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

10.2 Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spielund Lerntätigkeit im Grundschulalter In den ersten Lebensjahren ist das Spielen für Kinder die hauptsächliche Aktivitätsform. Sie wird als Ausdruck eines allgemeinen Tätigkeitsdranges der Kinder gesehen und dient der Einübung wichtiger grundlegender Fähigkeiten (z. B. Geschicklichkeit, sprachliche Fertigkeiten, soziale Kompetenzen). Das Spielverhalten von Klein- bzw. Vorschulkindern ist vor allem geprägt durch • Zweckfreiheit („Spielen trägt seinen Zweck in sich selbst.“), • Freude („Spielen macht Spaß.“), • Quasi-Realität („Spielen findet in einer eigenen [Kinder-]Realität statt.“), • Aktivierungszirkel und Wiederholung („Interessante Spielelemente werden häufig wiederholt.“) (Tücke 2007 S. 134–136). Mit dem Schuleintritt geht das Spielbedürfnis der Kinder keinesfalls zurück. Zu den bisherigen Funktionen kommt sogar noch eine weitere hinzu: Spielen dient nun auch der Erholung von und dem Ausgleich zu der Lerntätigkeit (Kossakowski 1987, S. 211). Im Sinne der Eingangszitate des Kap. 10 zur Bedeutung des Spielens ist die Weiterentwicklung der Spieltätigkeit von Grundschulkindern in enger Wechselbeziehung zur Ausbildung der Lerntätigkeit insbesondere durch folgende Tendenzen charakterisiert: • neue Spielinhalte, z. B. durch die Einbeziehung von Sachbegriffen, Zahlen oder Größenangaben als Spielgegenstand, • die Zunahme von Spielen in größeren sozialen Gruppen, • die Zunahme des Wettbewerbscharakters, • eine stärkere eigenständige Planung und Organisation der Spieltätigkeit (Kossakowski 1987, S. 211). Die Weiterentwicklung der Spieltätigkeit von Grundschulkindern entspricht ihrem Bedürfnis, in spielerischer Form, ohne Kontrolle und Bewertung von „außen“, neues Wissen zu erwerben und es freudvoll anzuwenden, ebenso sich neue interessante Sachgebiete zu erschließen (Abb. 10.2) wie auch gemeinsam oder allein einfach (nur) ein spaßvolles oder kreatives Tätigsein zu erleben. In diesem Sinne sind Spielen und Lernen im Grundschulalter häufig „vereinigt, wobei das Spielen das Lernen motiviert“ (vgl. Kossakowski 1987, S. 212) und zugleich die Lerntätigkeit bereichert.1 Der Grundcharakter der Spieltätigkeit bleibt freilich erhalten. Er besteht nach Einsiedler darin, dass sie „eine Handlung oder Geschehniskette oder eine Empfindung“ [ist],

1Die

engen Wechselbeziehungen zwischen Spiel- und Lerntätigkeit spiegeln sich u. a. auch im Begriff „Lernspiel“ wider.

10.2  Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spiel …

203

Abb. 10.2   Beispiel einer spielerischen Aktivität zum Zeichnen geometrischer Formen (Käpnick et al. 2011b, S. 77)

„die intrinsisch motiviert ist/durch freie Wahl zustande kommt, die stärker auf den Spielprozess als auf ein Spielergebnis gerichtet ist (Mittel vor Zweck), die von positiven Emotionen begleitet ist und die im Sinne eines So-tun-als-ob von realen Lebensvollzügen abgesetzt ist“ (Einsiedler 1999, S. 15).

Einsiedler fügt seiner Definition hinzu, dass auch dann von einem Spiel gesprochen werden kann, wenn nur zwei oder drei der genannten vier Merkmale erfüllt sind. Der begrifflichen Unschärfe der Spieltätigkeit stimmen auch Radatz und Schipper in Bezug auf den Mathematikunterricht der Grundschule zu und verweisen diesbezüglich auf die Subjektivität und die Situativität einer Tätigkeit: „Die Frage, wann eine Aktivität … ein Spiel ist, lässt sich nicht allgemeingültig beantworten. Ein und dieselbe Tätigkeit kann von verschiedenen Schülern völlig unterschiedlich empfunden werden. Selbst für das gleiche Kind kann eine Aktivität mal interessant und spannend sein, großen Spaß machen, kurz: ein Spiel sein, zu einem anderen Zeitpunkt aber als trist, langweilig und anstrengend empfunden werden.“ (Radatz und Schipper 1983, S. 164)

Ihres Erachtens werden Tätigkeiten im Mathematikunterricht von Kindern eher als Spiele angesehen, wenn sie • • • •

den Kindern freie Handlungsspielräume (Kreativität) gewähren, Spaß bereiten, in eine besondere Form gekleidet sind, Neugier wecken, Spannung oder Unerwartetes versprechen (vgl. Radatz und Schipper 1983, S. 164).

204

10  Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

Als positive pädagogische Wirkungen der Spieltätigkeit im Grundschulalter lassen sich zusammenfassend herausstellen: • Motivationale Wirkungen: Hervorrufen von Freude, Lust, Anreizen zum Tätigsein, • Kommunikative Wirkungen: Bereitschaft und Fähigkeit zum sozialen Miteinander fördern, soziale Erfahrungen sammeln, Selbst- und Fremdbild vergleichen, • Kognitive Wirkungen: aktive Lernunterstützung beim Wissens- und Fähigkeitserwerb, • Förderung von Kreativität, • Ästhetische Wirkungen: Ausprägung von Geschmack und Formempfinden, Ausbildung künstlerischer Kompetenzen. Lernchancen für den Einsatz von Spielen im Grundschulmathematikunterricht Dass „ein mit Spielen angereicherter Mathematikunterricht ebenso effektiv oder gar effektiver ist als ein herkömmlicher, mehr am Schulbuch und an Arbeitsblättern orientierter Unterricht“, konnte in empirischen Untersuchungen bislang nicht nachgewiesen werden (vgl. ebenda, S. 167). Es lassen sich jedoch unbestritten besondere Lernchancen für den Einsatz von Spielen im Grundschulmathematikunterricht nennen (vgl. hierzu ebenda S. 167–182): • Mit mathematischen Lernspielen können im Unterricht erworbene Kompetenzen geübt und angewendet werden. • Mit mathematischen Lernspielen können erste Einsichten zu einem Geflecht von Wissensnetzen ausgebaut werden. • Mit mathematischen Lernspielen kann in neue Lernthemen eingeführt werden. • Mit mathematischen Lernspielen können kognitive Fähigkeiten (kreatives, flexibles oder strategisches Denken) gefördert werden. • Mathematische Lernspiele ermöglichen differenzierendes und individuelles Lernen; sie können sich insbesondere auf leistungsschwache Kinder lernmotivierend auswirken. • Mathematische Lernspiele können soziale Kompetenzen fördern. Darüber hinaus kann der Einsatz spielerischer Lernformen dazu beitragen, dass Kinder ein adäquates Bild von der Mathematik erwerben (vgl. hierzu Abschn. 10.1). Mit dem Einsatz eines Spiels sind meist mehrere der angesprochenen Lernchancen verbunden. So werden beispielsweise das bekannte „Ecken-Rechnen“, Zahlenrätsel- oder Würfelspiele (Abb. 10.3) häufig zum Üben von Zähl- oder Rechenfähigkeiten eingesetzt. Da die Spiele in der Regel als Gruppenspiele durchgeführt werden, dienen sie zugleich zur Förderung sozialer Kompetenzen (Freude am gemeinsamen Lernen, Einhalten von Regeln, Respektierung verschiedener Spielausgänge einschließlich Niederlagen etc.).

10.2  Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spiel …

205

Abb. 10.3   Spiel „Hasenwettlauf“ (Aus: Wittmann et al. 2017a, S. 5)

Diagnostische Potenziale von Spielen im Mathematikunterricht Wie oben beschrieben wurde, entspricht Spielen der natürlichen Tätigkeit von Kindern. Mit anderen Worten: Spielen bedeutet meist auch Lernen, und zwar in Bezug auf die meisten Prozesse, die für die Entwicklung eines Kindes wichtig sind, also etwa auch soziale oder selbstregulatorische Aspekte. Ein Kind wird nicht in eine unterrichtliche „Zwangslage“ versetzt nach dem Motto „Das musst du nun lernen!“, sondern es lernt „nebenbei“, sodass es sich nicht selten auch etwas anders gibt und sein eigentümliches Wesen in den Vordergrund tritt. Gerade die Zweckfreiheit des Spielens eröffnet daher große diagnostische Potenzen: Die Situation ist nicht oder zumindest erheblich weniger durch klassische „Barrieren“ zwischen einer Lehrkraft und den Schülern, durch die fest zugeordnete Rollenverteilung und den üblichen Gang unterrichtlicher Prozesse, durch das Wissen der Kinder um eine stete „aufmerksame Beobachtung“ bestimmt. Häufig ergeben sich einflussfreie Einsichten in aktuelle Entwicklungsstände, die bisweilen von anderen unterrichtlichen Eindrücken (oder sogar von Eindrücken formellerer Natur wie

206

10  Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

aus „Testsituationen“) erheblich abweichen können. Aus diagnostischer Perspektive können daher für den Einsatz von Spielen im Mathematikunterricht beispielsweise die folgenden Hinweise gegeben werden: • Spiele sollten regelmäßig in den Unterrichtsgang integriert werden, damit Kinder ihr Können ungezwungen „auf freiem Feld“ zeigen können. Spiele sollten dabei nicht nur als „Auflockerung“ oder als motivierende Form „automatisierender Übungen“ (Abschn. 8.2) verstanden werden, sondern jenseits günstiger Wirkungen für das Lernen der Kinder sollten auch diagnostische Aspekte Beachtung finden. • Für einen diagnostischen Zweck bewusst ausgewählte Spieltätigkeiten sollten natürlich auf die jeweiligen inhaltlichen Kontexte abgestimmt sein und hinreichend den oben benannten Kriterien für ein Spiel entsprechen; Sie sollten aber auch eine angemessene fachliche Substanz bzw. angemessene Variationen bieten, um die diagnostischen Potenzen wirklich nutzen zu können (wie es das Beispiel der Abb. 10.3 für Additionen und Subtraktionen im Zahlenraum bis 20 anregt). • Mit mathematischen Lernspielen können neue Lernthemen nicht nur eingeführt, sondern auch abgeschlossen werden, da sie (wiederum über die Funktion einer „automatisierenden Übung“ hinaus) zum Ende einer Lerneinheit hin ein günstiges Umfeld bieten, um zu beobachten, ob Kinder die zu erlernenden Inhalte verinnerlicht und flexibel vernetzt haben. Abschließend sei angemerkt, dass Kinder heutzutage oft eher wenig umfangreiche Erfahrungen mit „klassischen“ Gesellschaftsspielen haben, deren mathematischer Erfahrungsgehalt bzw. deren entsprechende Potenzen für die individuelle Diagnostik und Förderung häufig unterschätzt werden. Beispielsweise erfordert das Spiel „Kniffel“ ein stellengerechtes Untereinanderschreiben von Zahlen ebenso wie stellengerechtes Addieren, im Spiel „Mühle“ wird man erst durch strategisches „Vorausdenken“ richtig gut (schließlich möchte man gerne eine „Zwickmühle“ bauen), und das „Auf- und Absetzen“ im Spiel „Mensch-ärgere-dich-nicht“ unterstützt kardinale Zahlvorstellungen, indem beim Absetzen einer Zahl vielleicht anfangs Feld für Feld gezählt wird, diese Strategie aber zumeist zügig durch ein direktes Aufsetzen der Zahl ersetzt wird – mit anderen Worten: Die zu setzenden Felder werden zu einem „inneren Bild“ für die Zahl (siehe Abschn. 12.2 und 12.7). Darüber hinaus bieten kreative Variationen bekannter Gesellschaftsspiele Möglichkeiten, offene Kontexte zu erzeugen, die auch unter diagnostischen Gesichtspunkten produktiv sind; als konkretes Beispiel wird hierfür beispielsweise „Domino“ von Grohmann (2018) diskutiert. Lege-, Rätsel- oder Computerspiele werden dagegen meist zum individuellen und differenzierenden Üben genutzt. Sie können aber ebenso zum Erarbeiten eines neuen Lernthemas oder zur Förderung kognitiver Fähigkeiten eingesetzt werden.

10.2  Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spiel …

207

So kann die spielerische Aufgabe zum Legen von Türmen (Abb. 10.4) aus drei verschiedenfarbigen Plättchen zum individuellen Erkunden kombinatorischer Zusammenhänge eingesetzt werden. Jedes Kind kann beim Legen aller Möglichkeiten gleichzeitig seine allgemeinen kognitiven Kompetenzen wie auch Problemlösefähigkeiten schulen, indem es beispielsweise systematisch alle Möglichkeiten durchprobiert. Speziell der Förderung von Kreativität und der Entwicklung eines adäquaten Bildes von Mathematik können NIM-Spiele dienen. Ein Beispiel dieser Form von Strategiespielen zeigt die Abb. 10.5. In diesem Partnerspiel können die Kinder die Gewinnstrategie entdecken, indem sie „Schlüsselzahlen“ ermitteln, auf die ein Spieler kommen muss, wenn er garantiert gewinnen will. Beim spielerischen Entdecken eines solchen Zahlenmusters können Kinder sehr gut den im Abschn. 10.1 beschriebenen Charakter mathematischen Tätigseins erleben.

Abb. 10.4   Spielerische Aufgabe zum „Türmebauen“ (Käpnick et al. 2011a, S. 122)

Abb. 10.5   Beispiel eines NIM-Spiels (Käpnick et al. 2011b, S. 19)

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10  Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

10.3 Typische Spielformen im Grundschulmathematikunterricht Eine vollständige und eindeutige Klassifikation der verschiedenen Spielformen ist aufgrund der enormen Vielfalt, der inhaltlichen und organisatorischen „Offenheit“ von Spielen sowie der großen Variabilität vieler Spiele schier unmöglich. Dennoch lässt sich eine grobe Unterscheidung typischer Spielformen vornehmen. Sie kann aus didaktischer Sicht hilfreich sein, um spezielle Lernchancen fokussiert zu nutzen oder um organisatorisch-methodische Aspekte für einen sinnvollen Spieleinsatz beachten zu können. Tab. 10.1 enthält solche groben Klassifikationen. So sind Glücksspiele wie das Spiel „Räuber und Goldschatz“ (Abb. 10.3) gut geeignet, um auch lernschwächeren Kindern Erfolge im Mathematikunterricht zu ermöglichen und um zugleich soziale Kompetenzen zu fördern. Mit Rollenspielen, wie etwa dem Spielen einer Einkaufssituation (Abb. 10.6), können neben dem Üben und Anwenden von Kompetenzen im flexiblen Umgang mit Geld auch sprachliche Kompetenzen (Formulieren, Eingehen auf und Beantworten von Fragen zum Einkauf, sachliches Beschreiben und Einschätzen von Verkaufsartikeln etc.) und ­ kreativ-gestalterisches Vermögen beim Spielen einer Rolle (Verkäufer oder Käufer) gefördert werden. Rollenspiele bieten somit sehr gute Möglichkeiten für ein individuelles, differenzierendes und Themen bzw. Fächer übergreifendes Lernen. Allerdings erfordert der Einsatz eines Rollenspiels zum Einkaufen eine sehr gründliche Vorplanung bzgl. der notwendigen Utensilien, der Zeitdauer des Spielens, der jeweiligen Zusammensetzung von „Käufer-Verkäufer-Paaren“ sowie der Präsentation und Auswertung der ­Spiel-/Lernleistungen. Auch in den Phasen der Durchführung und Auswertung eines solchen Rollenspiels ist von den Lehrpersonen stets viel Umsicht und pädagogisch-psychologisches Geschick gefragt. In der Schulpraxis hat sich in diesem Zusammenhang bewährt, vor dem Einsatz solch komplexer und offener Spiele mit den Kindern klare Verhaltensregeln, transparente Zeitvorgaben und vielfach auch inhaltliche Schwerpunkte zu vereinbaren.

Tab. 10.1  Klassifikation von Spielformen Klassifikationskriterium

Unterscheidung von Spielformen

Spiel-/Lerngegenstand

Zahlen-, Rechen-, Lege-, Formen-, Größen-, Schätz-, Begriffs(rätsel-)spiele

Art der Spiel-/Lerntätigkeit

Bewegungs-, Fühl- bzw. Tast-, Lege-, Schreib-, Rechen-, Rollen-, Denkspiele

Art des Spiel-/Lernmittels

Lege-, Würfel-, (Zahlen-)Karten-, Brett-, Taschenrechner-, Computerspiele

Art der Sozialform

Einzel-, Partner-, Gruppenspiele

Berechenbarkeit des Spielausgangs

Glücks-, Strategiespiele

10.4  Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht

209

Abb. 10.6   Beispiel eines Rollenspiels zum Einkaufen (Käpnick et al. 2011b, S. 93)

10.4 Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht Die letzten Ausführungen im Abschn. 10.4 verdeutlichten bereits, dass der Einsatz eines Spieles im Mathematikunterricht nicht „automatisch“ motivations- und lernfördernd wirkt. Neben der angesprochenen Beachtung methodisch-organisatorischer und pädagogisch-psychologischer Aspekte der Lehrertätigkeit sollten auch die Spiele generelle Anforderungen erfüllen, um ein erfolgreiches Lernen aller beteiligten Kinder zu bedingen. Beispielsweise regt das Längenspiel der Abb. 10.7 mit Schätz-, Messund Bewegungsaktivitäten unbestritten zu verschiedenen wertvollen Lerntätigkeiten im Umgang mit Längen an. Ebenso kann man die spielerische Einkleidung als angemessen einschätzen und die Möglichkeiten für die Förderung sozialer Kompetenzen anerkennen. Dennoch erfüllt das Spiel wichtige allgemeine Anforderungen nicht: Die Regeln und die Darstellung des Spiels sind für viele Grundschulkinder zu kompliziert bzw. zu komplex und die Spieldauer erscheint zu lang. Aus den praktischen Erfahrungen im Einsatz von Lernspielen lassen sich verallgemeinernd für den Mathematikunterricht folgende generelle Anforderungen an Spiele herausstellen: • in etwa gleiche Gewinnchancen für alle Kinder und keine wesentlichen Konsequenzen beim Verlieren, • Spielregeln, die leicht verständlich und eindeutig sind, • Spielutensilien, die einfach zu beschaffen und zu handhaben sind, • eine häufige Wiederholbarkeit eines Spiels, • Variabilitätsmöglichkeiten der Spiel- und Gewinnregeln, • eine angemessene Spieldauer.

210

10  Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht

Abb. 10.7   Längenspiel. (Aus: Fuchs et al. 2005a, S. 36)

10.4  Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht

211

Aber auch die Berücksichtigung aller genannten Aspekte garantiert keine Lernerfolge, weil beim Spielen, wie bei allen anderen Aktivitäten, stets Unwägbarkeiten eintreffen können. Zu beachten sind zudem besondere Spannungsfelder jeglichen Spielens. So „streiten“ in einem Spiel „Ordnung und Unordnung, Annäherung und Zurückweisung, Suchen und Verstecken, Fliehen und Verfolgen, Treffen und Treffer verhindern, Geben und Nehmen, letztlich Erfolg und Misserfolg. Zu Recht heißt es: Zu wenig und zu viel Spiel verdirbt alles Spiel!“ (Hoffmann 1990, S. 9).

Mögliche Weiterentwicklungen Im Zuge der Einführung jahrgangsübergreifenden Lernens und der Inklusions gewinnen Organisationsformen für ein gemeinsames Lernen von Kindern mit sehr unterschiedlichen Voraussetzungen an Bedeutung. Eine solche Organisationsform kann zweifellos ein Lernspiel sein. Deshalb ist es angebracht, thematisch und didaktisch abgestimmte Konzepte für eine sinnvolle Integration von spielerischen Lernformen und anderen Organisationsformen gemeinsamen Lernens für die Schulpraxis zu entwickeln. Dies sollte auch einschließen, Motivations-, aber auch generelle Lerneffekte (Verbesserung von speziellen mathematischen Sachkompetenzen und von allgemeinen Lernkompetenzen, ferner Effekte hinsichtlich der Entwicklung eines adäquaten Bildes von Mathematik) eines kontinuierlichen Einsatzes von Lernspielen im Mathematikunterricht genauer zu untersuchen. Aus lern- und entwicklungspsychologischer Perspektive sollte noch weiter geklärt werden, inwiefern sich die Spieltätigkeit von Kindern im Grundschulalter in Wechselbeziehung mit der Lerntätigkeit weiterentwickelt. Es könnte z. B. sein, dass mit der kindlichen Reifung bestimmte Spielformen wie Denk- oder Rollenspiele oder auch Computerspiele allgemein, aber ebenso individuell unterschiedlich an Bedeutung gewinnen, woraus sich wiederum besondere Chancen für einen zielgerichteten Einsatz spezieller Lernformen im Mathematikunterricht der Grundschule ergeben. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Warum und unter welchen Bedingungen kann der Einsatz von (Lern-)Spielen im Mathematikunterricht vor allem für leistungsschwache Kinder lernfördernd sein? • Warum werden in der Schulpraxis mathematische (Lern-)Spiele relativ wenig eingesetzt? • Welche Kriterien sind Ihres Erachtens für den Kauf von Spielen im Spielzeughandel (die für den Mathematikunterricht der Grundschule genutzt werden sollen) ausschlaggebend?

Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

11

Es gibt nichts Ungerechteres als die gleiche Behandlung von Ungleichen. (J. F. Herbart, 1776–1841)

Inhaltsverzeichnis 11.1 11.2 11.3 11.4

Ein Unterrichtsbeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Differenzierendes Lernen – eine alte und hochaktuelle Herausforderung. . . . . . . . . . . . 215 Individuelles und differenzierendes Lernen als didaktische Leitidee . . . . . . . . . . . . . . . 216 Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Die Notwendigkeit differenzierenden und individuellen Lernens1 im Mathematikunterricht ist heute unstrittig. Die Chancen für seine angemessene Umsetzung unter zweifellos oft ungünstigen schulischen Rahmenbedingungen werden unter Lehrern aber unterschiedlich bewertet und demgemäß – insgesamt gesehen – an deutschen Schulen nur unzureichend genutzt.

1Zwischen

dem individuellen und dem sozialen Lernen bestehen vielfältige wechselseitige Zusammenhänge. So führen z. B. Prozesse des Suchens und Bestimmens individueller Lösungsstrategien und Lernstile „natürlicherweise“ dazu, dass sich die Kinder hierüber gemeinsam austauschen, ihre individuellen Besonderheiten untereinander vergleichen und diese auf der Basis eines solchen sozialen Austausches angemessen werten können.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_11

213

214

11  Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

11.1 Ein Unterrichtsbeispiel In der letzten Unterrichtsstunde2 erarbeitete Frau Rolle mit den Kindern ihrer zweiten Klasse die Dreier- und Sechserfolge. Den Schwerpunkt der nachfolgenden Stunde bildet eine Übung zu beiden Einmaleinsfolgen (Abb. 11.1). Alle Kinder lösen hierzu Aufgaben aus einem Übungsheft. Die Intention von Frau Rolle besteht darin, dass jedes Kind den neu eingeführten Stoff üben soll – mit den gleichen Aufgaben. Leistungsschwächere Kinder können zwar je nach Bedarf Legematerial oder Anschauungsmittel nutzen und schnellen Rechnern werden Zusatzaufgaben in Form von Rechenrätseln angeboten, dennoch steht ein einheitliches Lernen im Vordergrund. Beim Bearbeiten der Aufgaben werden jedoch sehr große Unterschiede zwischen einzelnen Kindern deutlich, die von der Lehrerin nur zum Teil erfasst werden (können?). So versucht Leon, ein rechenschwaches Kind, die ersten Aufgaben mit den Fingern zählend zu lösen. Er verzählt sich dabei immer wieder, wird zunehmend unkonzentriert und mutlos – auch weil er sieht, wie seine Nachbarin Emma blitzschnell alle Aufgaben löst und sich anschließend hoch motiviert den Zusatzaufgaben zuwendet. Max ist ebenfalls ein ausgezeichneter Rechner und Knobler. Er findet aber Übungen mit vielen gleichartigen Aufgaben, wie die heutigen, langweilig und weigert sich zunehmend, solche Aufgaben zu bearbeiten. Stattdessen spielt er mit Finn unter der Bank ein Strategiespiel. Mia ist eine durchschnittliche Rechnerin. Sie benötigt meist mehr Zeit als andere Kinder, vor allem wenn es – wie bei dieser Übung – um einen neu erarbeiteten Stoff geht. Um sicher zu sein, dass sie richtig rechnet, legt sie zudem jede Aufgabe noch einmal mit Plättchen nach, sodass Mias Lösen der Aufgaben heute besonders lange dauert. Hakan hat dagegen schon vor der unterrichtlichen Behandlung mit seinem Vater die meisten Einmaleinsfolgen gelernt. Deshalb kann er – ohne nachzudenken – für die meisten Aufgaben die Ergebnisse sofort hinschreiben. Beim Schreiben zweistelliger Zahlen verwechselt er aber meist die Zehner- mit der Einerzahl, ohne es zu merken und es kritisch zu prüfen. Lea, eine ansonsten fleißige und gewissenhafte Schülerin, stochert heute gedankenversunken mit ihrem Stift. Weil am Morgen ihr Wellensittich starb, ist für sie jegliche Lerntätigkeit erst einmal zu einer unbedeutenden Nebensache geworden …

1.

3∙5 8∙3 3∙6 1∙3

2∙6 6∙5 6∙8 9∙6

2.

6:3 18 : 3 27 : 3 9:3

24 : 6 18 : 6 48 : 6 42 : 6

3. 6 ∙ __ = 60 __ ∙ 3 = 12 6 ∙ __ = 30 __ ∙ 3 = 30

__ : 3 = 3 15 : __ = 3 __ : 3 = 0 36 : 6 = 6

Abb. 11.1   Übungsaufgaben zur Dreier- und Sechserfolge im 2. Schuljahr

2Das

Unterrichtsbeispiel ist fiktiv. Die beschriebene Unterrichtsszene könnte sich aber m. E. an vielen deutschen Grundschulen so oder in ähnlicher Form abspielen.

11.2  Differenzierendes Lernen – eine alte und hochaktuelle Herausforderung

215

Das von Frau Rolle angenommene einheitliche Lernen der Kinder ihrer Klasse erweist sich offenbar als eine Illusion.

11.2 Differenzierendes Lernen – eine alte und hochaktuelle Herausforderung Wenn auch in der Geschichte der pädagogischen Wissenschaften und der Schulpraxis der Fokus lange Zeit vor allem auf das Bestimmen von Bildungszielen und -inhalten sowie auf die Entwicklung von Methoden der Stoffvermittlung durch den Lehrer gerichtet war, wurde spätestens seit dem 18. Jahrhundert – wie das Eingangszitat dieses Kapitels belegt – die große Leistungsheterogenität gleichaltriger Kinder erkannt und als ein wichtiges Unterrichtsproblem angesprochen. Aber erst mit dem Wirken von E. Key u. a. und der hiermit verbundenen Kindorientierung zu Beginn des 20. Jahrhunderts rückte die Frage nach einem individuellen und differenzierenden Lernen schrittweise ins Bewusstsein vieler Pädagogen, Didaktiker und Lehrer. Der seit etwa 1990 in den Wissenschaften und der breiten Schulpraxis festzustellende Paradigmenwechsel von der Stoff- zur Kindorientierung (vgl. Kap. 3) bewirkte schließlich, dass die Forderung nach einem individuellen Lernen jedes Kindes entsprechend seinen jeweiligen Voraussetzungen zu einer der wesentlichsten Herausforderungen des heutigen schulischen Unterrichts erklärt wurde. Zahlreiche Untersuchungen zu Schulanfängern (vgl. Abschn. 5.2), zu verschiedenen Lösungswegen wie auch zu rechenschwachen und zu hochbegabten Kindern (vgl. Kap. 12 und 13) konnten seitdem an den Grundschulen sogar eine zunehmende Differenzierung bzgl. der Leistungen in Mathematik, bzgl. der Einstellungen und Motive der Kinder wie auch hinsichtlich des sozialen Lernens von Gleichaltrigen nachweisen. Dabei wurde deutlich, dass Kinder heute mehr denn je mit bereits sehr unterschiedlichen Lernvoraussetzungen in die Schule kommen. Die Unterschiede umfassen nach Expertenschätzungen oft „mehrere Schuljahre“, und meist vergrößern sie sich im weiteren Verlauf der Schulzeit noch, woraus insbesondere für rechenschwache und begabte Kinder vielschichtige Probleme resultieren. Viele Lehrer sind im täglichen Schulunterricht offenbar überfordert, die individuellen Besonderheiten solcher Kinder in Klassen mit 25 bis 30 Schülern im notwendigen Maße zu berücksichtigen. Sie orientieren sich im Unterricht dann meist an einem mittleren Leistungsniveau, was zwangsläufig dazu führt, dass z. B. rechenschwache Kinder in der Regel überfordert und mathematisch begabte Kinder permanent unterfordert sind. Die betroffenen Kinder fühlen sich demgemäß „links liegen gelassen“ und stehen der Situation oft relativ hilflos gegenüber. Im Endergebnis stellen sich nicht selten Unzufriedenheit, Frust, Abneigung gegenüber der Schule, Leistungsabfall, soziale Probleme u. Ä. m. ein. Alle Schüler einer Klasse entsprechend ihren individuellen Lernvoraussetzungen zu fördern, ist demgemäß zwar ein in vielen schulischen Dokumenten formuliertes und allgemein akzeptiertes Grundanliegen des Unterrichts in allen Fächern, seine Realisierung

216

11  Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

konnte bisher aber nicht zufriedenstellend gemeistert werden. Das „Problem der Differenzierung“ scheint sich aufgrund der zunehmenden Heterogenität sogar noch weiter zuzuspitzen und somit eines der Hauptprobleme des heutigen Mathematikunterrichts vom ersten Schuljahr an zu sein bzw. zu werden – natürlich auch angesichts der aktuellen schulpolitischen Forderung nach der Umsetzung des Inklusionskonzepts. Mitentscheidend für ein erfolgreiches Meistern des Problems ist u. E. bereits die jeweilige Grundposition eines Lehrers hierzu. Sieht ein Lehrer die Forderung nach einer individuellen Förderung jedes Kindes angesichts der zweifellos sehr großen Heterogenität der Kinder, der unzureichenden personellen und sonstigen Ausstattung an den Schulen und evtl. einer innerlich immer noch angestrebten Homogenisierung aller Schüler eines Jahrgangs (wie man z. B. auch Frau Rolles Intentionen im Unterrichtsbeispiel des Abschn. 11.1 deuten kann) an, erscheint sie von vornherein unrealisierbar. Erkennt dagegen ein Lehrer die Heterogenität als „natürliche Gegebenheit“ und als Chance für einen lebendigen und inhaltlich „spannenden“ Mathematikunterricht, in dem sich unterschiedliche Kinder gegenseitig und den Lernfortschritt der gesamten Klasse bereichern können, dann ist ein erfolgreicher (und entspannter) Umgang mit der Herausforderung (die in diesem Fall weniger als Problem gesehen wird) gut denkbar. Viele Praxisberichte deuten darauf hin, dass derzeit beide Grundpositionen unter den Grundschullehrern weit verbreitet sind. Eine speziellere Unterschiedlichkeit in den Lehrerauffassungen bezieht sich auf das inhaltliche Verständnis von Heterogenität. Sehr viele Lehrer verbinden, vielleicht auch aufgrund der Unterscheidung von Anforderungsbereichen der Bildungsstandards (vgl. Kap. 2), hiermit vordergründig oder sogar ausschließlich die sogenannte „vertikale Heterogenität“, d. h., dass Kinder eines Jahrgangs sich hinsichtlich ihres Leistungsniveaus – angesiedelt innerhalb eines Spektrums von sehr leistungsschwach bis sehr leistungsstark bzw. hochbegabt – unterscheiden. Genauso wichtig ist aber auch die „horizontale Heterogenität“, mit der ausgedrückt wird, dass sich gleichaltrige Kinder z. B. bzgl. ihrer Vorgehensweisen beim Bearbeiten von Aufgaben unterscheiden.

11.3 Individuelles und differenzierendes Lernen als didaktische Leitidee Wenn man die Heterogenität der Kinder einer Klasse bzgl. der Lernvoraussetzungen, der Lerneinstellungen, des Lerntempos, des Sozialverhaltens, des Lernstils, des Problemlösestils u. Ä. m. als natürliche Gegebenheit akzeptiert und zugleich als Chance erkennt, dann zieht es die Konsequenz nach sich, durchgängig, d. h. bei der Behandlung aller Themen und in allen Phasen des Mathematikunterrichts ein differenzierendes Lernen zu realisieren. Insofern kann man individuelles und differenzierendes Lernen als eine didaktische Leitidee des heutigen Mathematikunterrichts bezeichnen. Im Folgenden wird die Umsetzung dieser Leitidee exemplarisch erläutert.

11.3  Individuelles und differenzierendes Lernen als didaktische Leitidee

217

Abb. 11.2   Anregung zum Erfassen differenzierter Vorkenntnisse zum Größenbereich „Geld“. (Fuchs et al. 2004, S. 26)

• Zu Beginn der Einführung in ein neues Stoffgebiet empfiehlt es sich, die unterschiedlichen Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der Kinder zu erfassen, um im weiteren Lernprozess hieran anknüpfen zu können. Die Abb. 11.2 zeigt eine diesbezüglich konkrete Anregung für die Erarbeitung des Größenbereiches „Geld“ im zweiten Schuljahr. • Für die Erarbeitung eines Rechenverfahrens, eines Größenbereichs oder eines geometrischen Begriffs unter aktiver Einbeziehung aller Kinder bieten Mathe- bzw. Rechenkonferenzen sehr gute Möglichkeiten, die unterschiedlichen Vorkenntnisse und Lernkompetenzen jedes Kindes „konstruktiv“ zu nutzen (vgl. hierzu Abb. 11.3). • In Übungs- und Anwendungsphasen sollte generell den verschiedenen Lernniveaus der Kinder dadurch entsprochen werden, dass jeder Schüler gemäß seinen Voraussetzungen und seinem individuellen Lernstil über die Wahl eines Lösungsweges, über die Nutzung eines Lege- oder Anschauungsmittels, über die soziale Lernform, über das Lerntempo, die Art der Lösungsdarstellung u. Ä. m. entscheiden kann (Abb. 11.4 sowie Beispiele in den Abschn. 8.3 und 8.4). • Die Beachtung differenzierenden Lernens impliziert schließlich, dass auch beim Erfassen und Bewerten von Leistungen unter kompetenzorientierter Perspektive nicht von allen Kindern dieselben Leistungen erwartet und „abgetestet“ werden sollten. Dies bezieht sich sowohl auf mündliche Leistungserhebungen wie z. B. beim Erläutern von Lösungswegen und Lösungen, die ohnehin individuell geprägt sind, als auch auf schriftliche Leistungskontrollen, zu denen im Kap. 14 konkrete Möglichkeiten angegeben werden.

218

11  Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

Abb. 11.3   Anregung für eine Mathekonferenz zum Rechnen mit Zehnerzahlen. (Käpnick et al. 2011b, S. 25)

11.4 Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht Eine wichtige Orientierungshilfe beim Umsetzen der Leitidee „Individuelles und differenzierendes Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule ist die Kenntnis über die Klassifikation spezieller Differenzierungsformen. Diesbezüglich wird „traditionell“ zwischen innerer und äußerer Differenzierung unterschieden. Mit der Entwicklung des Konzepts des aktiv-entdeckenden Lernens hat sich als eine weitere und im Vergleich zu den erstgenannten Methoden alternative Form die „natürliche Differenzierung“ im Mathematikunterricht etabliert. Die aktuelle Entwicklung lässt erkennen, dass durch internationale Einflüsse, aber ebenso durch Anregungen aus anderen Fachdidaktiken, zudem durch die Möglichkeiten der Nutzung digitaler Medien (Abschn. 9.3) sowie durch die Schulpraxis selbst neuartige Differenzierungsformen konzipiert bzw. erprobt werden. Innere Differenzierung (auch „Binnendifferenzierung“ genannt) Diese Differenzierungsform ist dadurch gekennzeichnet, dass für eine bestimmte Zeit (in der Regel vom Lehrer) Lerngruppen mit verschiedenen Kompetenzniveaus eingerichtet werden. Die Lerngruppen erhalten unterschiedliche Aufgaben, die auf die individuellen Leistungsfähigkeiten und Motivationen der Schüler abgestimmt sind. So lösen leistungs-

11.4  Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht

219

Abb. 11.4   Beispielaufgaben für ein differenzierendes Üben im Rechnen mit Zehnerzahlen. (Käpnick et al. 2011b, S. 26)

starke oder mathematisch besonders begabte Kinder in dieser Phase sehr anspruchsvolle bzw. komplexe Problemaufgaben, während demgegenüber rechenschwache Kinder z. B. Aufgaben auf niedrigerem Abstraktionsniveau, mit geringerer Komplexität etc. bearbeiten. Ein Beispiel für eine Binnendifferenzierung stellt das Üben zum Addieren und Subtrahieren zweistelliger Zahlen auf verschiedenen Niveaustufen (Abb. 8.8) dar. Die nachfolgenden Beispiele stellen Differenzierungsformen dar, die vor allem auf die Förderung besonderer mathematischer Interessen, Potenziale oder auch Leistungen fokussiert sind. Maßgebliches Kriterium der quantitativen Differenzierung ist die Schnelligkeit, in der Regel verknüpft mit der Korrektheit der Kinder beim Lösen mathematischer Aufgaben: Kinder, die schneller (gleiche) Aufgaben als andere und diese zugleich richtig lösen, erhalten ein Zusatzangebot. Für die Inhalte und den Schwierigkeitsgrad der Zusatzaufgaben gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die Zusatzaufgaben können thematisch den vorhergehenden ­entsprechen, aber ebenso andere Themen enthalten. Die Zusatzaufgaben können vom Anspruchsniveau vergleichbar mit den vorhergehenden „Pflichtaufgaben für alle“ oder

220

11  Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

bedeutend schwieriger sein. Eine weitere Variabilität besteht darin, dass die Zusatzaufgaben von der Lehrkraft oder von den Kindern selbst (z. B. Wahl aus einer Knobelbox) bestimmt werden. Somit kann die Form der Quantitativen Differenzierung mehr oder weniger stark der Binnendifferenzierung ähneln. Die Form der quantitativen Differenzierung ist leicht organisierbar und wird deshalb auch häufig im Mathematikunterricht angewendet, wie z. B. auch im Unterrichtsbeispiel des Abschn. 11.1. Compacting ist eine besondere Form der Differenzierung für leistungsstarke oder begabte Kinder im Mathematikunterricht. Entsprechend dieser Methode erlaubt eine Lehrkraft einem leistungsstarken oder begabten Kind bei der Behandlung von Lernthemen, die es schon gut kennt bzw. beherrscht, sich mit alternativen Inhalten, insbesondere mit solchen, für die sich das betreffende Kind interessiert, zu beschäftigen. Voraussetzung für ein solches Alternativangebot sollte jedoch sein, dass ein Kind vorher den Nachweis über schon vorhandenes Wissen oder vorhandene Kompetenzen zum jeweiligen „Pflichtinhalt“ des Unterrichts erbringt. Für das Alternativangebot sind zwei Möglichkeiten denkbar: • Aufgaben zum Vertiefen oder Erweitern des Pflichtstoffes (im Sinne einer Enrichment-Förderung), • die Arbeit an einem speziellen Projekt, für das sich ein Kind sehr interessiert (Dies könnte sowohl im Sinne des Enrichments als auch der Acceleration3 sein). Beispiel: Im Mathematikunterricht des dritten Schuljahres üben die Schüler die Verfahren der schriftliche Addition und Subtraktion. Paul beherrscht die Verfahren bereits sehr gut und benötigt deshalb keine weiteren Übungen wie die anderen Kinder seiner Klasse, wovon sich seine Lehrerin mithilfe eines Tests überzeugte. Sie gibt dem Jungen deshalb als Alternative zum Üben im schriftlichen Rechnen zwei Aufgabenangebote: • ein Arbeitsblatt mit Forscheraufgaben beim Rechnen mit OTTO- und ­PAPA-Zahlen4 (Enrichment), • ein Arbeitsblatt mit Forscheraufgaben zu Primzahlen (Acceleration).

3Unter

einer Enrichment-Förderung versteht man eine Anreicherung (Ergänzung, Vertiefung) des üblichen Schulstoffs, ohne dem Stoff späterer Schuljahre vorzugreifen. Dagegen beinhaltet eine Acceleration-Förderung das Anpassen der Förderinhalte an das akzelerierte kognitive Niveau eines Schülers, was vor allem eine Vorwegnahme von Unterrichtsinhalten späterer Schuljahre einschließt. 4OTTO-Zahlen sind beispielsweise 1221, 1331 oder 4224, also vierstellige Zahlen, bei denen Buchstaben so durch Ziffern zu ersetzen sind, dass für gleiche Buchstaben auch gleiche Ziffern stehen. Analog werden PAPA-Zahlen gebildet. Durch das jeweils doppelte Auftreten gleicher Ziffern ergeben sich beim Rechnen meist interessante Zahlenmuster (Käpnick 2001, S. 130–133).

11.4  Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht

221

Äußere Differenzierung Das Kernmerkmal dieser Differenzierungsform besteht darin, dass die Kinder zeitlich begrenzt oder auf Dauer je nach Eignung in leistungshomogenen Lerngruppen (z. B. in A-, B- und C-Kursen) lernen. Die Differenzierung kann unter Fächer übergreifenden wie auch unter fächerspezifischen Aspekten erfolgen. Als ein besonderes Beispiel für die Form der äußeren Differenzierung können wöchentliche Förderstunden angesehen werden, in denen zeitlich parallel in einer Gruppe Kinder mit Rechenproblemen üben, während in einer anderen Gruppe leistungsstarke Kinder sich mit anspruchsvollen Problemfeldern auseinandersetzen. „Natürliche“ Differenzierung Die gesamte Lerngruppe erhält das gleiche Themenangebot, und zwar offene substanzielle Aufgaben, die jeder Schüler entsprechend seinen Potenzialen und Bedarfen erfolgreich bearbeiten kann. Die offenen Problemaufgaben bieten Möglichkeiten zum Mathematiktreiben (Finden und Lösen von Anschlussproblemen). Die Differenzierung erfolgt vom Kind (und nicht vom Lehrer) aus. Jeder Schüler kann selbst bestimmen, wie tief er in ein Aufgabenfeld eindringt, welche Lernmittel er nutzt, welche Lösungswege er anwendet und wie er seine Lösung darstellt. Die Differenzierung wird also vor allem durch das vorgegebene Aufgabenfeld ausgelöst. Zahlreiche Beispiele für Aufgaben bzw. Aufgabenfelder mit Möglichkeiten der natürlichen Differenzierung findet man etwa in: E. Wittmann und Müller (1992) und (1993); Käpnick (2001); Fuchs und Käpnick (2004) und (2009); Käpnick (2016a). Vergleicht man die vorgestellten Differenzierungsformen, fällt ein wesentlicher Unterschied auf: Während die ersten vier Formen (fast) vollständig vom Lehrer organisiert werden und er hierbei auch die Zuordnung der Kinder zu Leistungsgruppen oder zu Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden vornimmt, erfolgt bei der natürlichen Differenzierung die Differenzierung im Prozess der Lerntätigkeit durch die Kinder selbst. Auf diese Weise wird den Kindern die Eigenverantwortung für ihr Lernen übertragen, was m. E. grundsätzlich positiv gesehen werden kann (weil die Kinder auf diese Weise auch nur Eigenverantwortlichkeit lernen können), und die Möglichkeiten für ein differenzierendes bzw. individuelles Lernen sind weitaus größer, da neben den Niveauunterschieden der zu bearbeitenden Aufgaben zugleich eine Differenzierung bzw. Individualisierung hinsichtlich des Lösungsweges, der Nutzung von Lernmitteln, des Denk- und Problemlösestils, der sozialen Lernform etc. realisiert wird. Außerdem bieten offene Aufgaben im Sinne der natürlichen Differenzierung den Kindern gute Chancen, ihre individuell bevorzugten Lern- und Problemlösestile zu erkennen und diese gemäß den jeweiligen Persönlichkeitsausprägungen zu entwickeln. Demgegenüber besteht beispielsweise bei Differenzierungsaufgaben, die ein Lehrer zuweist, nicht selten die Gefahr, dass diese Aufgaben weder dem tatsächlichen Lernbedarf noch den Lernwünschen von Kindern entsprechen. So können vom Lehrer

222

11  Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

gut gemeinte Zusatzaufgaben, die hauptsächlich (nur) eine quantitative Anreicherung des „Übungspflichtstoffs“ für alle Kinder darstellen, auf schnelle Rechner oder mathematisch begabte Kinder eher demotivierend wirken, weil sie diese Aufgaben weniger als „Belohnung“ und „Bereicherung“, sondern eher als belanglose Zusatzbeschäftigung für ihr schnelles und korrektes Erfüllen der „Pflicht für alle“ begreifen. Lapbooks – eine Methode für ein selbstbestimmtes Lernen von Kindern Als ein Beispiel für eine zurzeit an deutschen Grundschulen sich neu etablierende Differenzierungsform, die durch internationale Einflüsse und ebenso durch Anregungen aus anderen Fachdidaktiken im Mathematikunterricht der Grundschule „Fuß fasst“, kann die Lapbook-Methode angeführt werden. Lapbooks sind von Kindern individuell gestaltete aufklappbare Bücher oder Mappen zu einem bestimmten Lernthema. Die aus Nordamerika stammende und in anderen Unterrichtsfächern schon relativ weit verbreitete Lernmethode basiert auf der Grundposition, dass Lernen ein subjektiv geprägter aktiv-konstruktiver Prozess ist, dass sich Kinder dementsprechend selbsterforschend und selbstbestimmend mit Lernthemen auseinandersetzen und dass sie dann ihre Lernergebnisse individuell verschieden strukturieren und darstellen (Fuchs 2017, S. 4–6). Das Lernen mit dem Lapbook umfasst im Allgemeinen folgende Tätigkeiten bzw. Phasen: • ggf. ein grundsätzliches Vertrautmachen mit der Lernmethode, einschließlich des Erkennens der verschiedenen Möglichkeiten für das Herstellen von Lapbooks, • das Entwickeln eines Plans für das Anfertigen eines Lapbooks, was das Entwerfen einer Mind-Map, das Festlegen konkreter Themen für ein forschendes Lernen, das Beschaffen von Informationen und das Auswählen einer Faltform umfasst, • das Umsetzen des Plans, wozu insbesondere das inhaltliche Gestalten der Faltblätter gehört, • das Lernen mit dem individuell gestalteten Lapbook, was vor allem das Lösen der selbst gestellten Aufgaben beinhaltet, • ein Präsentieren verschiedener Lapbooks im Plenum, ein gemeinsames Reflektieren über die verschiedenen inhaltlichen und technischen Gestaltungen von Lapbooks, über unterschiedliche Nutzungsmöglichkeiten sowie über die Lernerfahrungen mit dem Differenzierungsmaterial (vgl. ebd., S. 63). Die Auflistung der Teilschritte verdeutlicht die sehr komplexen Herausforderungen, die jedes Kind zu leisten hat, zugleich aber auch die enormen Potenziale der Lernmethode für ein individuelles und selbstbestimmtes Lernen jedes Schülers gemäß seinen Potenzialen und Bedarfen. Fuchs stellt diesbezüglich als grobe Orientierung für die gleichfalls anspruchsvolle Lernbegleitung drei „Dimensionen (Typen) unterschiedlicher Lernausgangslagen“ heraus: • „Feingeister“, d. h. Kinder mit einem großen Kreativitätspotenzial und bereits vielfältigen Erfahrungen im selbstständigen Erarbeiten von Lernthemen sowie im

11.4  Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht

223

Anfertigen fantasievoller Eigenproduktionen. Diese Kinder benötigen häufig nur einen Anstoß in Form eines Rahmenthemas, um „loszulegen“; sie wissen schnell, wo sie welche Informationen finden, und können ihre Abläufe wie auch die Materialbeschaffung eigenständig organisieren. Demgegenüber legen sie vielfach weniger Wert auf Korrektheit, Vollständigkeit oder eine ästhetisch schöne Gestaltung der Laptops. Sie wollen sich vielmehr kreativ-intuitiv „treiben“ lassen. Ausführliche bzw. detaillierte Vorgaben hemmen sie hierbei nur, strukturgebende Hinweise nehmen sie jedoch dankend an. • „Mutige“, d. h. Kinder mit vielfältigen Kompetenzen und Ideen für ein selbstbestimmtes Lernen, die aber auch gern lernbegleitende Hinweise zur Lernzielpräzisierung, zur Materialbeschaffung oder zur Gestaltung des Lapbooks nutzen. Diese Kinder benötigen demgemäß in Abhängigkeit von ihren individuellen „Stärken“ und Bedarfen sowie vom Lernthema Unterstützung. Oft reichen hierfür ein ermutigender Blick oder eine verbale Bekräftigung. • „Sicherheitsdenker“, womit eher zurückhaltende, unsichere oder unselbstständige Kinder gemeint sind, die zudem bisher relativ wenige Erfahrungen mit offenen Lernsituationen und komplexen Anforderungen besitzen. Das Selbstvertrauen dieser Kinder kann die Lehrkraft durch eine Reduktion von Teilaspekten, durch zusätzliche Vorgaben oder durch die Unterstützung von einem Lernpaten stärken. Ebenso kann das Bereitstellen eines konkreten Leitfadens für die verschiedenen Teilschritte eine wichtige Hilfe sein (vgl. ebd., S. 9–10). Konkrete Rahmenthemen für das Anfertigen von und das forschende Lernen mit Lapbooks im Mathematikunterricht der Grundschule könnten alle „gängigen“ Lernthemen sein wie beispielsweise: • Zahlen und verschiedene Zahldarstellungen, unser Zahlsystem, besondere Zahlen, • geometrische Figuren, Muster und Ornamente, Würfelbauwerke, Baupläne, • Längen, Geldwerte, Rauminhalte, Gewichte, Zeiteinheiten, Messgeräte, meine Körpermaße, alte Maße, Kalender, • Häufigkeiten bei Spielen, Naturereignissen, im Verkehr. Die Abb. 11.5 zeigt exemplarisch ein individuell gestaltetes Lapbook zum Themenbereich „Längen“ (vgl. Fuchs 2018). In didaktischen Handreichungen kann man vielfältige Bastelvorlagen für Faltbücher (z.  B. Ziehharmonika-, Flip-Flap-, ­Briefumschlags-, Zauberecken- oder Zettelblockfaltungen; vgl. Fuchs 2017, S. 21–61) finden. Allein die große Fülle an solchen Gestaltungsmöglichkeiten auf der enaktiven Handlungsebene zeigt u. E. das hohe Potenzial dieser Differenzierungsform hinsichtlich der Förderung sowohl von Kreativität als auch von basalen Kompetenzen, wie räumlichem Wahrnehmungs- und Vorstellungsvermögen, und von verschiedenen fachspezifischen Fähigkeiten, wie etwa dem Anwenden von Parallelität und Orthogonalität

224

11  Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht

Abb. 11.5   Beispiel eines Längen-Lapbooks. (Foto: Fuchs 2019)

von Strecken, auf – stets unter der Perspektive eines selbstbestimmten individuellen und motivationsfördernden Lernens von Kindern. Ein weiterer Vorzug der Lapbook-Methode besteht schließlich in ihrer vielfältigen didaktischen Einsetzbarkeit. So können Kinder Lapbooks erstellen, um sich sukzessive und selbsterforschend in ein neues Themenfeld einzuarbeiten. Lapbooks können ebenso zum selbstbestimmten und differenzierenden Üben, zum Zusammenfassen bzw. Systematisieren wesentlicher Lerninhalte oder zum Selbstreflektieren der Lernenden genutzt werden. Zudem bietet sich die Lapbook-Methode sehr gut an, wenn Kinder als Differenzierungsmaßnahme eine spezielle Forscheraufgabe bearbeiten, wie etwa zu besonderen Hobbys und Interessen oder zu speziellen mathematischen Themen (Geheimcodes, besondere Zahlen oder geometrische Muster u. a. m.) (vgl. ebd., S. 6–7). Mögliche Weiterentwicklungen Zur Realisierung eines individuellen und differenzierenden Lernens im Mathematikunterricht ab dem ersten Schultag gibt es keine Alternative. Die angesprochenen, zum Teil konträren Auffassungen der Lehrer zu Chancen und Problemen seiner Umsetzung im Unterricht und die unbestritten ungünstigen Rahmenbedingungen an vielen Schulen verdeutlichen aber, dass Anspruch und Wirklichkeit in der Praxis noch weit

11.4  Spezielle Differenzierungsformen im Mathematikunterricht

225

auseinanderklaffen. Wünschenswert wäre zum einen, dass Fachdidaktiker in Zusammenarbeit mit Schulbuchverlagen in noch verstärktem Maße praktikable methodische Handreichungen entwickeln und dass zum anderen die Schulpolitik möglichst flächendeckend geeignete Rahmenbedingungen schafft. Außerdem erscheint es notwendig, Möglichkeiten individuellen und differenzierenden Lernens in der Lehreraus-, aber noch mehr in der Lehrerfortbildung einen höheren Stellenwert einzuräumen. Erwartet werden kann zudem, dass die Hirn- und Lernpsychologieforschung, die Minder- und Hochbegabungsforschung in den nächsten Jahren weitere Erkenntnisse über Besonderheiten verschiedener Lerntypen hervorbringt, die für verbesserte Praxiskonzepte nutzbar sein werden. Ebenso könnten engagierte und innovative Lehrer aus der Schulpraxis Impulse für neue Varianten von Differenzierungsformen liefern. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welche Grundposition zu Möglichkeiten, Problemen und Grenzen differenzierenden Lernens im Mathematikunterricht der Grundschule nehmen Sie ein? Begründen Sie diese. • Warum wird in der Schulpraxis der „horizontalen Heterogenität“ im Vergleich zur „vertikalen Heterogenität“ häufig weniger Bedeutung beigemessen? • Entwickeln Sie für die Form der natürlichen Differenzierung eine komplexe Aufgabe bzw. ein Aufgabenfeld, das sich auf den Themenbereich „Größen“ im Mathematikunterricht des dritten oder vierten Schuljahres bezieht. • Welche Differenzierungsformen aus anderen Schulfächern sind Ihres Erachtens für die Nutzung im Mathematikunterricht gut geeignet?

Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

12

Das vorangehende Ursachengeflecht für mögliches Auftreten von Rechenschwäche ist breit und man ist geneigt, es einen Ursachensumpf zu nennen. Wenn so viele Faktoren in ihrem Zusammenwirken die gravierende Minderleistung in Mathematik hervorrufen können, wie soll sie dann verhindert oder, wenn dies nicht gelingen kann, reduziert werden? (Lorenz 2003, S. 93)

Inhaltsverzeichnis 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Drei Fallbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Terminologien und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Typische Erscheinungsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Hauptursachen und Einflussfaktoren einer Rechenschwäche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik von Rechenschwäche im Grundschulalter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 12.7 Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Jüngere Forschungen zeigen, dass drei bis sieben Prozent der Grundschulkinder extrem „rechenschwach“ sind und ca. 15 Prozent eine förderbedürftige „Rechenschwäche“ aufweisen (Lorenz 2003, S. 15).1 Hierunter leiden nicht nur die betroffenen Kinder, 1Zur

Kennzeichnung von Problemen beim Erlernen des Rechnens finden zahlreiche Begrifflichkeiten mit teilweise divergierenden Bedeutungsinhalten Verwendung (etwa „Rechenschwäche“, „Rechenstörung“ oder „Dyskalkulie“), die in der Beschreibung des Phänomens mitunter unabhängig von den konzeptionellen Zugängen vermeintlich synonym angebracht werden, sodass eine gewisse begriffliche Unschärfe entsteht. Der Begriff „Rechenschwäche“ wird in diesem

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_12

227

228

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

sondern auch ihre Eltern – und die Lehrkräfte wirken oft hilflos. Ein Hauptproblem besteht darin, dass es viele unterschiedliche Erscheinungsformen und somit auch – wie im Eingangszitat dieses Kapitels angesprochen – diverse Ursachen für eine sogenannte Rechenschwäche geben kann. Erschwerend kommt noch hinzu, dass sich die ursächlichen Probleme im Prozess der Ausprägung von Rechenschwächen meist schnell mit verschiedenen Einflussfaktoren auf verhängnisvolle Weise „verknüpfen“, sodass ein „Teufelskreis“ entstehen kann, aus dem dann die Kinder allein keinen Ausweg finden. In Kap. 12 werden, ausgehend von drei Einzelfallbeispielen, die Komplexität des Themenfeldes „Rechenschwäche“ verdeutlicht, wichtige Theorieansätze und Definitionen sowie Hauptursachen, Diagnose- und Förderansätze überblicksartig vorgestellt.

12.1 Drei Fallbeispiele Lena Die achtjährige Lena2 spielt leidenschaftlich gern Fußball, sie mag Gedichte und singt in einem Kirchenchor. Wenn es um ihre Hobbys geht, zeigt sich die Zweitklässlerin willensstark, wirkt fröhlich und genießt viel Anerkennung. Dagegen quälen sie zunehmend „Versagensängste“ und große Selbstzweifel beim Ausüben mathematischer Tätigkeiten. In Mathematik hatte das Mädchen, im Unterschied zu befriedigenden Leistungen in allen anderen Fächern, vom ersten Schultag an große Defizite. So konnte sie nach Einschätzung ihrer Lehrerin bereits beim Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 10 bzw. bis 20 kaum sinnvolle Rechenstrategien nutzen und es gelang ihr nur fehlerhaft, sich Aufgabensätze des kleinen „Einspluseins“ einzuprägen. Außerdem fiel auf, dass Lena Plus- und Minusaufgaben häufig verwechselte, was u. a. auch dazu führte, dass sie das Ergänzen als Sinngebung der Subtraktion prinzipiell nicht verstand. Die Situation spitzte sich gegen Ende des ersten Schuljahres dramatisch zu. Lena wollte nicht mehr in die Schule gehen. Sie verweigerte das Essen, nahm in einer Woche acht Kilogramm ab und wurde in eine Kinderpsychiatrie eingewiesen. Die Psychologen stellten fest, dass die Essensverweigerung auf den schulischen Leistungsdruck zurückzuführen war. Lenas Klassenlehrerin vereinbarte daraufhin regelmäßige Gespräche mit der Mutter. Die Zusammenarbeit gestaltete sich aber sehr schwierig. Nach Aussage der Lehrerin fühlte sich die Mutter „sehr schnell persönlich angegriffen und unverstanden“, sodass die Zusammenarbeit bald wieder abgebrochen wurde. Hierzu trug auch bei, dass

Kapitel einheitlich als zusammenfassender Hilfsausdruck verwendet – in Abschn. 12.3 folgen aber auch terminologische Aufklärungen. Man beachte außerdem, dass hier keine „Mathematikschwächen“ im Allgemeinen betrachtet werden, sondern nur ein Teilbereich, nämlich die Arithmetik. 2Das Fallbeispiel stammt aus einer von Friedhelm Käpnick betreuten Bachelor-Arbeit.

12.1  Drei Fallbeispiele

229

die Lehrerin erkennen ließ, dass sie die Ursachen für Lenas Lernprobleme vor allem in der elterlichen Erziehung vermutete. Der Vater ist berufsbedingt meist nur an den Wochenenden zu Hause und kümmert sich deshalb kaum um die Erziehung von Lena sowie ihrer Zwillingsschwester und der um ein Jahr älteren Schwester, die beide aber keine nennenswerten schulischen Probleme haben. Die Mutter arbeitet als Bürokauffrau ganztägig und kommt wochentags in der Regel erst gegen 18 Uhr nach Hause, sodass die in der Nachbarschaft lebenden Großeltern bei der Kinderbetreuung helfen müssen. Der übliche Ablauf an Schultagen gestaltet sich für Lena und ihre beiden Schwestern wie folgt: Nach dem Aufstehen, Waschen und Anziehen bringt die Mutter auf dem Weg zur Arbeit die Kinder zu den Großeltern. Hier frühstücken die drei Geschwister, gehen dann zur Schule, wo sie im Rahmen einer Ganztagsbetreuung bis ca. 16 Uhr bleiben. Anschließend werden sie von der Oma abgeholt und bleiben bis 18 Uhr bei den Großeltern. Dort übt Lena noch regelmäßig mit dem Großvater das Lösen von immer gleichartigen Rechenaufgaben aus Schulbüchern. Nach Meinung der Mutter geht Lena im zweiten Halbjahr des zweiten Schuljahres weiterhin jeden Tag mit „mit Bauchschmerzen und leerem Magen“ in die Schule. Sie glaubt, dass die Lehrerin viel Druck auf Lena ausübt, indem sie z. B. das Mädchen auffordert, dass kleine „Einmaleins“ vor der Klasse aufzusagen, „obwohl die Lehrerin genau weiß, dass Lena damit Schwierigkeiten hat“. Lena setzt sich selbst unter Druck und übt bis spät in die Nacht die Einmaleinsfolgen, um sich nicht vor der Klasse zu blamieren – und versagt dann doch immer wieder in der Schule. Ihre Hausaufgaben erledigt Lena größtenteils in der „Übermittagsbetreuung“, die von einer Erzieherin geleitet wird. Nach deren Einschätzung fertigt das Mädchen die Hausaufgaben in Mathematik „sehr langsam und umständlich“ an. Oft verweigert das Mädchen sogar, seine Hausaufgaben in Mathematik zu machen. Die Erzieherin sieht die Hauptursache für Lenas Probleme in einer „fehlenden mathematischen Begabung“ und fühlt sich überfordert, Lenas Rechenprobleme zu lösen. Der Großvater setzt beim täglichen Üben auf ein „Einpauken“ von Rechenverfahren, womit aber Lenas Zahl- und Rechenverständnis nicht gefördert, sondern im Gegenteil nur Selbstzweifel und zusätzlicher Frust beim Mädchen erzeugt werden. Dies führt zudem zu Spannungen zwischen dem Großvater und Lenas Mutter, die in ihrer zunehmenden Verzweiflung verschiedene professionelle Hilfen in Anspruch nimmt. So sucht sie den Rat einer Psychologin, die bei dem Mädchen dann eine Einschränkung der visuellen Wahrnehmung diagnostiziert. Sie konsultiert außerdem einen Hals-Nasen-Ohren-Arzt, weil sie einen Zusammenhang zwischen Schwerhörigkeit und Rechenschwäche vermutet3, was der Arzt aber widerlegt. Danach wendet sich die Mutter an eine schulpsychologische Beratungsstelle, die eine Familientherapie und eine individuelle außerunterrichtliche Förderung für Lena empfiehlt. Die Therapie lehnt die Mutter aber strikt ab und bricht wenig später

3Die

Vermutung der Mutter beruht darauf, dass sie wie Lena etwas schwerhörig ist und, wie die Tochter, als Kind ebenfalls größere Probleme in Mathematik hatte.

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12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

auch die Zusammenarbeit mit der Beratungsstelle ab. Stattdessen organisiert sie einen ­Nachhilfelehrer für Mathematik, der dreimal wöchentlich mit Lena übt, und meldet das Mädchen für das Projekt „Förderung von Kindern mit Dyskalkulie bzw. stark erhöhtem mathematischem Förderbedarf“, einem Kooperationsprojekt zwischen der Grundschule und der Lernwerkstatt der schulpsychologischen Beratungsstelle, an. Die Psychologen des Projektes diagnostizieren bei Lena Defizite im visuellen Vorstellungsvermögen (die eine Hauptursache für Lenas mangelhafte Vorstellungen zu Zahlen, zu Zahl- und Rechenbeziehungen sein könnten), im Reihenfolgeverständnis und bzgl. der auditiven Gedächtnisleistung. Demgemäß planen die Experten nun eine gezielte Förderung zur Überwindung der erkannten Defizite im „Vorfeld des Rechnens“. Xhaver Xhaver4, ein Kosovo-Albaner, lebt seit vier Jahren mit seinen Eltern in Deutschland. Der geschwisterlose Junge geht in die zweite Klasse. Er hat keine nennenswerten Sprachprobleme, zeigt aber stetig abfallende Leistungen in Mathematik, die schon als eklatante Lernschwäche eingeschätzt werden können. Um einen tiefergehenden Einblick in seine Rechenprobleme zu erlangen, setzte seine Lehrerin einen Rechentest ein. Hierbei unterliefen Xhaver tatsächlich viele Rechenfehler wie z. B.:

12 + 5 = 16 6 + 13 = 18 7 + 8 = 14 Die falschen Ergebnisse lassen die unter Kindern mit Rechenproblemen häufig vorkommende Einsabweichung vermuten, die auf ein zählendes Rechnen, in der Regel beginnend beim ersten Summanden, zurückgeführt werden kann. Ob diese Vermutung allerdings mit Gewissheit zutrifft, kann allein auf der Basis des Testes nicht geklärt werden, zumal das Testresultat auch andere Fehlermuster aufzeigt:

8 + 8 = 17 18 + 0 = 0 16 + 4 = 12 9 + 3 = 13 13 + 0 = 0 4 + 16 = 12 5 + 12 = 18 20 + 0 = 0

8 + 11 = 3

3 + 9 = 13 0 + 10 = 0

8+7=1

Die Fehler im linken Aufgabenpäckchen deuten ebenfalls auf ein zählendes Rechnen hin, wobei Xhaver hier seine fehlerhafte Zählstrategie jeweils bewusst durch ein Hinzuzählen von 2 korrigiert haben könnte. Es bleiben aber Zweifel, da der Junge diese Strategie im Test nicht konsequent beibehält. Die Fehler im mittleren Päckchen lassen vermuten, dass Xhaver eine falsche Vorstellung von der Zahl 0 hat. Eine mögliche

4Das

Einzelfallbeispiel ist in gekürzter Form entnommen aus: Lorenz 2003, S. 77–80.

12.1  Drei Fallbeispiele

231

I­nterpretation wäre, dass er wie viele jüngere Schulkinder Null mit „Nichts“ verbinden und hieraus schlussfolgern könnte, dass ein Rechnen mit „nichts zu nichts führt“. Eine zweite mögliche Interpretation, die für ältere Kinder infrage kommen könnte, besteht darin, dass die Kinder beim Rechnen mit Null die Operationen Addition und Multiplikation verwechseln. Weil Xhaver in seinem Unterricht die Multiplikation aber noch nicht kennenlernte, ist diese Interpretation unwahrscheinlich. Die Lösungen des rechten Aufgabenpäckchens deuten darauf hin, dass der Junge die Subtraktion mit der Addition verwechselt, denn er zählt immer die kleinere Zahl von der größeren ab. Letzten Endes bestätigt das Testergebnis zwar Xhavers gravierende Rechenprobleme, es kann aber keine eindeutige Ursachenerklärung liefern. So bleibt z. B. offen, ob tiefer liegende kognitive Störungen die Lösungsprozesse beim Rechnen erschweren oder sogar hauptsächlich verursachen. Claudia Claudia5 ist Einzelkind und lebt mit ihrer Mutter, die in Vollzeit arbeitet, in einem Mehrfamilienhaus. Der Vater hat die Familie bereits früh verlassen und wünscht keinen Kontakt zu seiner Tochter. Schon im Kindergartenalter wurden bei dem Mädchen Defizite im Bereich der Tiefensensibilität festgestellt, insbesondere bei Sinneswahrnehmungen wie Sehen und Hören, sodass sie schon ab frühem Kindesalter entsprechend gefördert wurde. Auch im Grundschulalter zeigen sich bisweilen aber noch Probleme in Motorik und räumlicher Wahrnehmung. In ihrer Freizeit reitet, malt und bastelt Claudia gerne, sie nimmt Klavierstunden und singt im Chor. Klare Regeln, Absprachen und feste zeitliche Strukturen sind dem Mädchen sehr wichtig. Ihr Bild über die eigenen mathematischen Fähigkeiten ist zwar nicht besonders positiv, und bei Misserfolgserlebnissen ist ihre Frustrationstoleranz eher gering, aber ihre Lehrkraft und ihre Mutter schätzen derartige motivational-emotionale Aspekte in Bezug auf die Beschäftigung mit Mathematik nicht als auffallend negativ ein. Das Kind weint im Unterricht häufig, lässt sich aber schnell beruhigen oder ablenken. Dennoch arbeitet sie meistenteils motiviert und ausdauernd mit, solange die Aufgaben für sie gut lösbar sind und sie diese als nicht zu schwer empfindet. Und wenn sie mal eine Aufgabe nicht kann und nicht weiterarbeiten möchte, führen Zuspruch und Unterstützung oft dazu, dass sie sich der Aufgabe doch noch zuwendet und korrekt löst. Claudias Naturell ist eher ruhig und zurückhaltend, sodass lange nicht auffiel, dass sie Schwierigkeiten im Rechnen entwickelte, zumal ihre Klasse sehr unruhig ist und von vielen Kindern mit „spezifischen Bedürfnissen“ (z. B. mit Deutsch als „Nicht-Muttersprache“ oder „sonderpädagogischen Unterstützungsbedarfen“) besucht ­ wird – deswegen kümmerte die Lehrkraft sich nach eigenem Bekunden verstärkt um die „besonders schweren Fälle“. Claudia gehörte lange Zeit nicht zu diesen Kindern; im Verlauf des zweiten und zu Beginn des dritten Schuljahres hatte sie jedoch immer

5Das

Fallbeispiel stammt aus einer von Ralf Benölken betreuten ­Bachelor-Arbeit.

232

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

mehr Probleme im Rechnen: Das zählende Rechnen wurde bei ihr im Laufe des ersten ­ Schuljahrs grundsätzlich durch nicht-zählende Strategien abgelöst, auch im Laufe des zweiten Schuljahres griff sie noch auf zählende Strategien zurück, wenn sie unsicher wurde, wobei sie (im Wissen, dass Zählen „verboten“ war) mit ihren Lippen stumm die Zahlwörter formte. Weitere wichtige „Eckpfeiler“, um Zahlen und Rechenoperationen zu verstehen, wie das Teil-Teil-Ganzes-Konzept oder die Verzahnung enaktiver, ikonischer und formal-symbolischer Repräsentationen, hatte Claudia ebenfalls prinzipiell verstanden. Im Verständnis des Stellenwertsystems hatte sie aber erhebliche Probleme, notierte z. B. vorgelesene Zahlen in der Reihenfolge der vorgelesenen Ziffern (etwa „sechsunddreißig“ als „63“). Außerdem hatte sie zwar tragfähige grundlegende Vorstellungen zur Addition und Multiplikation entfaltet, mitunter bereiteten die Subtraktion und die Division jedoch immer wieder Schwierigkeiten. Unabhängig von der Rechenoperation hatte das Kind erhebliche Probleme dabei, Realsituationen zu mathematisieren. So äußerte sie in Bezug auf die Aufgabe „Mark verteilt 12 Erdbeeren an sich selbst und an drei weitere Kinder. Wie viele Erdbeeren bekommt jedes Kind?“ beispielsweise „Nee, da weiß ich nicht, was ich da tun soll“. Nach einem Hinweis auf mögliches Auf- oder Verteilen sagte sie: „Hmm ja … Ich muss jetzt die zwölf und die drei nehmen … Und dann?“ Als die Lehrkraft die Probleme des Mädchens im Rechnen (endlich) erkannte, leitete sie in Absprache mit anderen Lehrkräften der Schule sowie mit der Mutter umgehend Fördermaßnahmen ein: Claudia erhielt im Unterricht während geeigneter Phasen innerlich differenzierende Materialien, die beispielsweise zu grundlegenden Vorstellungen gegenüber den Rechenoperationen sowie zu grundlegenden Stellenwertvorstellungen „zurückschalteten“. Außerdem nahm sie bald ergänzend an einem an der Schule etablierten Förderprojekt teil, in dem sie in einer Einzelförderung begleitet wurde. Im Laufe des dritten Schuljahres gelang es ihr, die Defizite aufzuholen, sodass – wie es nicht selten bei rechenschwachen Kindern der Fall ist – ihre Lehrkraft im vierten Schuljahr reflektiert: „Mit Claudia war es ja bisweilen nicht einfach, aber als wir dann die Fördermaßnahmen angestoßen hatten, ‚plopp‘, da war auf einmal alles da.“

12.2 Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche Die drei Fallbeispiele verdeutlichen im Konkreten diverse Ursachen und Erscheinungsformen einer möglichen Rechenschwäche. Demgemäß existieren aus unterschiedlichen Perspektiven bzw. wissenschaftlichen Bezugsdisziplinen verschiedenartige Theorieansätze für das hochkomplexe Themenfeld, die im Folgenden überblicksartig dargestellt werden:6

6Ausführlichere

Beschreibungen von Theorieansätzen, die auch wesentliche Grundlagen des Abschn. 12.2 bilden, findet man beispielsweise in Lorenz und Radatz (1993) oder in Wehrmann (2011).

12.2  Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche

233

Ansätze mit psychodiagnostischen Bezügen Der Ansatz der klassischen Intelligenzforschung entstand zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Er basiert auf zwei Grundannahmen: • Es gibt einen Generalfaktor menschlicher Intelligenz (den sogenannten „g-Faktor“), d. h., es liegt die Vorstellung einer allgemeinen geistigen Fähigkeit zugrunde, die sich in einem einzigen Wert ausdrückt, zu dem u. a. Rechenfähigkeiten, Raumanschauung, Gedächtnisleistungen und Sprachvermögen gehören. • Lernprozesse können durch kleine Schritte und deren genaue Abfolge erfasst und modelliert werden. Als Hauptdiagnoseinstrument dieses Ansatzes wurden psychodiagnostische, standardisiert-­formelle Intelligenztests entwickelt, die eine differenzierte Einschätzung des Niveaus von kognitiven Fähigkeiten bzw. von diesbezüglichen Defiziten ermöglichen. Grundsätzlich problematisch ist hierbei jedoch, dass weder der dynamische noch der komplexe oder der subjektive Charakter von Lernprozessen sowie Besonderheiten des mathematischen Lerngegenstandes berücksichtigt werden sowie dass stets von einem übergreifenden bereichsübergreifenden „g-Faktor“ ausgegangen wird. Hinzu kommt, dass aus diesem Ansatz heraus kaum didaktisch-methodische Förderprogramme aus den Testergebnissen entwickelt, sondern lediglich curriculare Hilfsmaßnahmen und isolierte Übungen zu einzelnen Intelligenzeigenschaften abgeleitet wurden. Nichtsdestotrotz gehören Intelligenzmessungen gerade unter sonderpädagogischen wie auch unter psychologisch-medizinischen Perspektiven zu Rechenschwächen auch heute noch zu häufig eingesetzten – allerdings meist eher flankierenden – Maßnahmen. Sonderpädagogische Ansätze begründen Probleme beim Erlernen des Rechnens klassischerweise mit „einem gestörten Zusammenspiel unterschiedlichster individueller Teilleistungen wie Konzentration, Gedächtnisleistungen sowie grob- und feinmotorischer Fähigkeiten“ (Werner 2009, S. 92). Als einen Haupterklärungsfaktor nimmt man demgemäß genetische Dispositionen an, wozu auch die folgenden Phänomene gehören können (z. B. Lorenz und Radatz 1993; Gaidoschik 2011): • Störungen des Körperschemas, • visuomotorischen Integrationsstörungen, • räumlich-visuelle Erfassungs- und Vorstellungsschwächen, • Retardierungen bei der Entwicklung von Vorläuferfähigkeiten des Zahlbegriffsverständnisses. Die Betrachtung von kognitiven Teilfähigkeitsdefiziten im Zusammenhang mit Rechenschwächen kann unbestritten als ein wichtiger Zugang gewertet werden, da davon auszugehen ist, dass der Aufbau tragfähiger Grundvorstellungen zu Zahlen und Operationen deutlich erschwert ist, wenn derartige Defizite vorliegen. Meist wird zu deren Feststellung (zumindest als „erster Schritt“) auf standardisiert-formelle Diagnoseinstrumente zurückgegriffen. Ein genereller Mangel des sonderpädagogischen Ansatzes besteht darin,

234

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

Abb. 12.1   Triple-Code-Modell von Dehaene. (Nach Abb. 1 aus: von Aster 2005, S. 14)

dass fach- und inhaltsbezogene Aspekte kaum beachtet werden, sodass sich wechselseitige Kombinationen mit anderen Zugängen empfehlen. Aktuelle neuropsychologische Forschungen widmen sich der Frage, wie die Zahlen „in die Köpfe der Kinder“ kommen (vgl. von Aster 2005). Hierzu wurde von Dehaene (1999) ein Modell der normalen und abweichenden Entwicklung zahlenverarbeitender Hirnfunktionen entwickelt (Abb. 12.1). Im Triple-Code-Modell wird dargestellt, dass Jugendliche und Erwachsene über drei unterscheidbare, aber eng miteinander verbundene neuronale Netzwerke (Module) verfügen. Diese sind gemäß den verschiedenen repräsentationalen Eigenschaften und Funktionen von Zahlen (sprachlich-alphabetisches Zahlwort, visuell-arabische Zifferndarstellung, analoge mentale Zahlenraumvorstellung) in unterschiedlichen Gehirnregionen lokalisiert und führen bei bestimmten Hirnschädigungen zu unterschiedlichen Teilausfällen (vgl. von Aster 2005, S. 14). Die drei Module werden beim Kind im Allgemeinen erst im Prozess des systematischen Lernens im Mathematikunterricht der Grundschule miteinander „verknüpft“. Das analoge Modul („den inneren Zahlenstrahl“) bezeichnet Dehaene als Ausdruck eines angeborenen Zahlensinns. Zu diesem gehören die angeborenen Fähigkeiten, • kleine Mengen von bis zu vier Objekten simultan und unmittelbar zu erfassen und voneinander zu unterscheiden („Subitizing“), • zahlenmäßig größere Mengen ungefähr zu unterscheiden (approximatives ­„Core-System“)7. Sind bei einem Kind diese genetisch determinierten Basissysteme geschädigt, kann es auch nummerische Sinnbezüge nicht ausreichend herstellen und hat Probleme beim Erlernen und Gebrauchen von relationalen Begriffen (wie „mehr als“ oder „weniger als“).

7Ein

Baby kann z. B. acht von 16 Bällen, aber nicht zehn von 12 Bällen unterscheiden.

12.2  Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche

235

Dies führt im Allgemeinen wiederum zu einer Störung der Entwicklung eines grundlegenden arithmetischen Verständnisses. Zahlwortwissen und Zählkompetenzen (Modularisierung der linguistischen Zahlenrepräsentation) erwerben die Kinder schon vor Schuleintritt, also ohne systematische Beschulung auf z. T. beachtlichem, aber individuell sehr unterschiedlichem Niveau (vgl. Abschn. 5.2). Basale Störungen der kindlichen Sprachentwicklung oder visuellen Informationsverarbeitung können den Prozess der Modularisierung, also das Anlegen intakter und langzeitlich stabiler nummerischer Gedächtnisrepräsentationen mit verbalen oder visuell-arabischen Kodierungsmerkmalen beträchtlich behindern. Demgemäß gehen Sprachentwicklungs- und Lese-Rechtschreib-Störungen oft mit Störungen der Zahlenverarbeitung einher (vgl. von Aster 2005, S. 20). Die abstrakt-symbolische (ordinale) Zahlenrepräsentation bzw. die Konstruktion einer Zahlenraumvorstellung umfasst die Umformung der angeborenen konkreten (kardinalen) Mengenrepräsentation in die abstrakt-symbolische (ordinale) Zahlenstrahlvorstellung. Der mentale Zahlenstrahl entsteht bei Kindern im Allgemeinen erst während der ersten beiden Grundschuljahre. Dieser Prozess verläuft individuell sehr verschieden. Frühe Störungen können angeborene Behinderungen der konkreten kardinalen Mengenrepräsentation sein. Hiermit in Zusammenhang stehende weitreichende Folgen könnten Beeinträchtigungen des Verständnisses für nummerische Größen, für grundlegende Schemata von „mehr oder weniger“ oder „Teil und Ganzes“ und in der Folge für arithmetische Prozeduren und Algorithmen sein. Drüber hinaus können die Aufmerksamkeitsfähigkeit und die Arbeitsgedächtnisleistung behindert werden. Außerdem verweisen neuropsychologische Ansätze darauf, dass Kinder mit Sprachentwicklungsdefiziten, mit Aufmerksamkeitsstörungen und mehrsprachig aufwachsende Kinder ein erhöhtes Risiko für die Entwicklung von Rechenschwächen haben (von Aster 2005, S. 28). Ferner können andersartige subjektive Zahlauffassungen bzw. kinästhetische Empfindungen gegenüber Zahlen Rechenschwächen bewirken (vgl. Abschn. 5.3, Lorenz 1992, S. 138–140 sowie nachfolgendes Beispiel). Eine besondere Problematik bei Kindern mit autistischen Störungen besteht darüber hinaus darin, dass diese beim Erkennen eines mathematisch funktionalen Sinnbezuges häufig Schwierigkeiten haben (von Aster 2005, S. 27–28). Die knapp fünfjährige Irma, ein begabtes und fantasiereiches Kind, entwickelte zu Zahlen Spielgeschichten, in denen z. B. „Drei“ ein blonder frecher Junge mit „Neun“, seinem Freund, allerlei Abenteuer erlebte. Man kann sich vorstellen, wie verwirrt Irma war, als sie „9–3“ rechnen sollte (nach von Aster 2005, S. 28).

Aus dem Triple-Code-Modell lassen sich Stufen der Entwicklung arithmetischer Kompetenzen ableiten, die weitestgehend Erkenntnissen ­ kognitiv-entwicklungspsychologischer Ansätze

236

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

entsprechen. Ein repräsentatives Beispiel8 bietet das kognitive Entwicklungsmodell arithmetischer Konzepte von Fritz, Ehlert und Leutner (2018): • Niveau 1 (Zählzahl): Kinder erlernen die Zahlworte, ohne um die Bedeutung der Zahlworte zu wissen. Sie lernen, die Zahlworte wie einen Reim aufzusagen, dessen Elemente die Zahlworte sind, beginnen, Zählprozesse auszuführen, indem sie Zahlworte 1-zu-1 den zu zählenden Objekten zuordnen, und sie erlernen, die Mächtigkeit kleiner Mengen auf einen Blick zu erfassen – sukzessiv erlernen Kinder auf diese Weise die Bedeutung der Zahlworte. • Niveau 2 (Ordinaler Zahlenstrahl): Kinder erwerben das Ordinalzahlkonzept. Spielt die Beziehung der Zahlen untereinander zunächst noch keine Rolle, so entsteht nun aus der Verbindung von Zahlworten und einfacher Zahlwortreihe mit spezifischen Quantitäten ein mentaler Zahlenstrahl. Aus der mengenorientierten Zahlrepräsentation wird eine ansteigende, jedoch zunächst überwiegend ordinale (noch nicht linear). Kinder lernen nun Vorgänger- und Nachfolgerzahlen anzugeben, können Zahlen über ihre Position im Zahlenstrahl miteinander vergleichen. Verbindet sich die Vorstellung des mentalen Zahlenstrahls mit Vorstellungen zum Vermehren bzw. Vermindern, können sie Additions- und Subtraktionsaufgaben mit geeigneten Anschauungsmitteln rechnen (z. B. mit den Fingern). • Niveau 3 (Kardinalität und Zerlegbarkeit): Kinder erwerben das Kardinalzahlkonzept, d. h., sie erfassen, dass ein Zahlwort einer Menge mit einer bestimmten Anzahl entspricht (Zählzahl und bis dahin gezählte Objekte müssen verbunden werden). Die Zahlwortreihe wird zu einer Sequenz größer werdender kardinaler Einheiten (n hat den Nachfolger n + 1), die zusammensetzbar und zerlegbar sind – dies ist hier nur handelnd möglich. Zahlen können nun ohne Zuhilfenahme von Eins-zu-eins-Zuordnungen verglichen werden (eine Zahl ist größer/kleiner, weil die korrespondierende Menge mehr/weniger Elemente hat). Zahlen können addiert werden, indem die zweite Menge zur ersten gezählt wird (die erste Menge muss also nicht mehr ausgezählt werden). Quasi-simultane Erfassungen werden möglich, d. h., bei geeigneter Strukturierung können auch Mengen mit mehr als fünf Elementen auf einen Blick erfasst werden. • Niveau 4 (Enthaltensein und Klasseninklusion): Kinder erwerben das ­Teil-Teil-Ganzes Konzept, d. h., sie erfassen, dass sich eine Anzahl von Elementen aus Teilmengen zusammensetzt und zerlegt werden kann. Zahlen werden nun mehr und mehr durch Symbole repräsentiert, die folglich auch zerlegbar sind (z. B. 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = …), und es werden Aufgaben lösbar, bei denen aus der Kenntnis zweier Mengen jeweils auf eine dritte geschlossen werden kann. • Niveau 5 (Relationalität): Kinder erfassen die Relationalität zwischen Zahlen. Nun werden Differenzen präzise bestimmbar und es kann von einer beliebigen Zahl

8Siehe

z. B. auch Krajewski (2008).

12.2  Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche

237

aus um eine bestimmte Anzahl an Zählschritten weitergegangen werden. Dieses relationale Zahlkonzept ist notwendige Voraussetzung für das Verständnis von Multiplikation und Division sowie des Stellenwertkonzepts. Der Zahlbegriff ist ­ zudem erst dann vollständig erworben, wenn die Konzepte der Ordinalität (Niveau 2) sowie der Kardinalität (Niveau 3) erworben und die Beziehung dazwischen hergestellt ist. • Niveau 6 (Zahlen gleichmächtig bündeln): Kinder können unterschiedliche gleichmächtige Zerlegungen zu einer Zahl finden, sie erfassen die Äquidistanz des Zahlenstrahls als Ergebnis der Vereinigung der Vorstellungen der Niveaus 4 und 5, d. h., sie erfassen, dass benachbarte natürliche Zahlen stets den gleichen Abstand voneinander haben. Auf diesem Niveau werden Bündeln und Entbündeln und damit ein zunehmend vertieftes Stellenwert- und Divisionsverständnis möglich. Unabhängig davon, ob derartige Stufenmodelle aus neuro- oder entwicklungspsychologischer Warte vorgetragen werden, erlauben sie es, „Symptome“ bzw. „Erscheinungsformen“ von Rechenschwächen (siehe Abschn. 12.4) abzuleiten, einzuordnen oder zu erklären. Zugleich liefern sie – oft vor dem Hintergrund des Triple-Code-Modells – in den meisten Fällen die theoretische Rahmung für bekannte standardisiert-formelle „Rechenschwächetests“ wie dem „DEMAT“ (Krajewski et  al. 2002) oder dem „ZAREKI“ (von Aster et al. 2006), die für verschiedene Altersstufen vorliegen. Jenseits von Vorteilen, die sich gemäß der Konstruktion dieser Verfahren aus deren Testgüte ergeben (z. B. „Objektivität“ oder „Reliabilität“), liefern sie aber äußerst begrenzt und oft auch überhaupt nicht Hinweise auf die Denkwege, auf deren Basis Kinder die enthaltenen Aufgaben in der Regel durch schlichtes Ankreuzen einer der vorgegebenen Lösungsalternativen einschätzen. Derartige Informationen sind unter fachdidaktischer Perspektive aber die wesentliche Essenz der Diagnostik von Rechenschwächen, in erster Linie um festzustellen, welche „Grundvorstellungen“ ein Kind bereits entfaltet hat und welche noch nicht. Differenzierte Grundlagen für Fördermaßnahmen lassen sich daher auf Basis solcher Rechenschwächetests aus fachdidaktischer Perspektive nur schwerlich schaffen. Schon deshalb empfehlen sich u. E. Kombinationen mit anderen Ansätzen, insbesondere mit solchen, die eben die Denkwege der Kinder in den Blick nehmen. Denkanalytische Ansätze Wie oben bereits angedeutet wurde, richtet die mathematikdidaktische Perspektive den Fokus auf Phänomene, die typischerweise bei rechenschwachen Kindern beobachtbar sind. Wichtige Bezüge bestehen zu kognitionspsychologischen Sichtweisen, in denen Rechenschwäche aufgefasst wird als • ein quantitatives Problem, indem eine immer größer werdende Anzahl fehlerhaft eingeprägter oder ausgeführter Rechenverfahren eine nicht mehr tolerierbare Anhäufung von Fehlern beim Rechnen bedingt, oder

238

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

• ein qualitativer Defekt im Sinne der Störung einer kognitiven Grund- bzw. Stützfunktion (Gedächtnisleistung, Strukturierungs- und Abstraktionskompetenz, ­ Visualisierungsfähigkeit, Sprachverständnis) (Lorenz und Radatz 1993, S. 27). Insbesondere ergibt sich hieraus, dass rechenschwache Kinder zwar meist nicht andere Fehlerstrategien entwickeln als „nicht-rechenschwache“ Kinder, sie diese Fehlerstrategien aber nicht oder weniger umfänglich abzulösen vermögen. Hinsichtlich diagnostischer Zugänge besteht ein wesentlicher Beitrag kognitionspsychologischer Bezüge darin, die Eindrücke auf geeignete Aufgaben zu stützen, die Denken „sichtbar machen“ können, sodass entsprechende Impressionen differenziert notiert und für die Organisation individueller Fördermaßnahmen genutzt werden können. Um Besonderheiten der Lernprozesse von rechenschwachen (wie auch von anderen) Kindern erfassen zu können, wurden als didaktischer Hauptansatz informelle Zugänge entwickelt, insbesondere die Methode des „lauten Denkens“. Mit dieser Diagnosemethode sollten tiefere Einsichten in die Denkprozesse eines Kindes beim Lösen mathematischer Aufgaben erhalten werden. Gleiches gilt für verwandte Techniken wie das reine Beobachten, die Analyse von Eigenproduktionen oder das Befragen von Kindern zu ihren Lösungswegen, nachdem sie eine Aufgabe bearbeitet haben. Der Fokus ist stets auf eine möglichst genaue Untersuchung einzelner Lernschritte bei konkreten Löseprozessen gerichtet. Diesbezüglich haben beispielsweise Gerster (1982), Lorenz (2003) u. a. im Grundschulmathematikunterricht typische Fehlermuster für grundlegende Rechentypen erkannt, die eine wichtige Orientierungshilfe beim vertiefenden Diagnostizieren einer Rechenschwäche sein können (wie man am Fallbeispiel von Xhaver erkennen kann). Problematisch ist hierbei jedoch die herausragende Bedeutung von Sprache als „Vermittlerrolle zwischen konkretem Handlungsvollzug und theoretischem Begriff“ (Radatz und Schipper 1993, S. 21). Eng verbunden mit kognitionspsychologischen Zugängen sind fachdidaktische Ansätze zum Aufbau von Grundvorstellungen, in denen die Grundannahme vertreten wird, dass alle Kinder, einschließlich der rechenschwachen, beim Prozess des Verstehens und Bearbeitens jeglicher Lernthemen adäquate Grundvorstellungen entwickeln (müssen) und dass diese maßgeblich die Lernqualität bestimmen. Dabei handelt es sich um „innere Bilder“ zu z. B. Zahlen und Zahlbeziehungen, zu Rechenoperationen bzw. entsprechenden Handlungen. Als ein wesentliches Ergebnis wurde herausgestellt, dass rechenschwache Kinder im Unterschied zu anderen Kindern es nicht vermögen, solche „inneren Bilder“ ausgehend von der enaktiven Ebene adäquat auszubilden und mit diesen gedanklich zu operieren. Diese Zusammenhänge lassen sich tatsächlich bei vielen Einzelfällen nachweisen. Im Wechselgefüge von kognitionspsychologischen Grundideen und fachdidaktischen Konzepten geht es also vor allem um eine Erklärung individuell beschrittener Lernwege, einschließlich der Entwicklung von Grundvorstellungen zu Zahlen, Zahlbeziehungen, zu Grundrechenoperationen sowie beispielsweise dem dekadischen Stellenwertsystem. Diagnostik muss demgemäß (denk-) prozessorientiert gestaltet werden.

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12.2  Theorieansätze zur Kennzeichnung von Rechenschwäche Psychische Verarbeitung Stetiger Misserfolge Psychische Persönlich keit

Intellekt uelle Persönli chkeit

Mathematische Vorstellungen, Gedanken, Strategien

Sonstige Bezugsper sonen

Schule

Familie Basale Voraussetzungen

Abb. 12.2   Das Gesamtsystem Rechenschwäche. (Nach Gaidoschik 2011, S. 13)

Psychosoziale Ansätze Während die bisher skizzierten Zugänge zur Beschreibung von Rechenschwäche das Augenmerk auf kognitive Aspekte richten, nehmen psychosoziale Ansätze einen anderen Zugang. Sie versuchen, das Phänomen als ein komplexes System von Voraussetzungen und Potenzialen, von Einflussfaktoren, Problemen und Defiziten zu beschreiben (z. B. Gaidoschik 2011, Abb. 12.2; siehe beispielsweise auch Nolte 2008). Aus dem Schema geht hervor, dass die jeweils entwickelten mathematischen Vorstellungen, Gedanken und Strategien, insbesondere die Zahlvorstellungen, eine zentrale Rolle im komplexen Konstrukt „Rechenschwäche“ spielen und dass diese wiederum wesentlich von basalen Voraussetzungen mitbestimmt werden. Anzumerken ist freilich, dass das Geflecht von Ursachen und Einflussfaktoren individuell sehr verschieden ausgeprägt sein kann. Daher implizieren derartige Ansätze auch die Notwendigkeit, Diagnostik ganzheitlich zu gestalten und in dem Sinne prozessorientiert anzulegen, dass beispielsweise auch intra- wie interpersonale Einflüsse in den Blick genommen werden, um die Komplexität kindlicher Lernwege zu ergründen. Zusammenschau Die Darlegungen zu den unterschiedlichen Ansätzen zu Rechenschwächen dokumentieren, dass es sich um ein ausgesprochen komplexes Phänomen handelt. Integrative Ansätze gibt es bis dato kaum, doch lässt sich in der Gesamtzusammenschau u. E. konstatieren, dass aus schulpraktischer und unterrichtlicher Perspektive eine (denkund lernverlaufsbezogene) Prozessdiagnostik notwendig ist, die kognitive Aspekte ebenso einbezieht wie (inter- und intrapersonale) ko-kognitive Aspekte. Entsprechend sollte die Diagnostik von Rechenschwächen als ein „Mosaik“ angelegt werden, dessen „Steine“ die aufgezeigten Richtungen als Synthese abbilden und Eindrücke unterschiedlicher Diagnoseinstrumente sind, und zwar insbesondere solcher, die Denkwege von Kindern sichtbar werden lassen.

240

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

12.3 Terminologien und Definitionen Die in Abschn. 12.2 skizzierten unterschiedlichen Sichtweisen lassen – insgesamt gesehen – erkennen, dass sich das Konstrukt „Rechenschwäche“ kaum umfassend mit einem Begriffswort und einer kurzen Definition kennzeichnen lässt. Demgemäß wurde der Begriff als Hilfsausdruck verwendet, da er weit verbreitet ist und da man weiß, „wovon in etwa die Rede ist“ (Gaidoschik 2011, S. 9). Wie eingangs bereits angedeutet ist die Zahl der verwendeten Begrifflichkeiten außerordentlich groß – es sei aber zumindest in Anlehnung an Schipper (2005a)9 der Versuch unternommen, die vielleicht am häufigsten benutzten Begriffe „Rechenschwäche“, „Rechenstörung“ und „Dyskalkulie“ voneinander abzugrenzen, wobei Überlappungen freilich unvermeidbar und sogar gewollt sind: • „Rechenschwäche“ kann als Begriff verwendet werden, um Kinder mit Problemen im Kontext des Lernens arithmetischer Inhalte zu beschreiben, die über den Regelunterricht hinaus gefördert werden müssen. Dies ist also ein sehr weit gefasster Begriff, der alle Kinder erfasst, für die in irgendeiner Art und Weise – unabhängig von Beständigkeit oder Schwere – individuelle Fördermaßnahmen zum Aufbau von Grundvorstellungen u. Ä. im schulischen Kontext geplant werden. In diesem Sinne kann in etwa jedes fünfte Grundschulkind als rechenschwach gelten. (Das Fallbeispiel zu Claudia in Abschn. 12.1 kann hier eingeordnet werden.) • „Rechenstörung“ kann als Begriff verwendet werden, um Kinder mit Problemen im Kontext des Lernens arithmetischer Inhalte zu beschreiben, „die dauerhaft und schwerwiegend beim Erlernen des Rechnens beeinträchtigt sind“ (Schipper 2005a, S. 23). Beschrieben wird hierdurch eine Teilgruppe der Kinder mit einer „Rechenschwäche“, die aber mit schulischen Fördermaßnahmen erheblich schwieriger unterstützt werden kann. Insofern liegt die Förderung von Kindern mit einer Rechenstörung zwar noch im Verantwortungsbereich der Lehrkräfte, es eröffnet sich aber ein fließender Übergang zur Notwendigkeit zu einer mindestens ergänzenden Förderung durch „professionelle“ und ggf. „externe“ Spezialistinnen und Spezialisten. In diesem Sinne kann in etwa jedem 20. Grundschulkind eine Rechenstörung zugeschrieben werden. (Das Fallbeispiel zu Xhaver in Abschn. 12.1 kann hier eingeordnet werden.) • „Dyskalkulie“ sollte als Begriff hingegen nur dann verwendet werden, wenn einem Kind nicht nur eine „Rechenstörung“ attestiert wird, sondern es dadurch zu „seelischen Behinderungen“ im Sinne des bundesdeutschen Sozialgesetzbuchs kommen kann (Buch VIII, Kinder und Jugendhilfe, § 35a). Ist die „seelische

9Mit

Bezügen zu Lorenz und Radatz (1993). Dieser ältere Vorschlag zur Aufklärung der Terminologie ist u. E. nach wie vor praktikabel anwendbar, insbesondere da er Verantwortlichkeiten für Regelschullehrkräfte klären kann. Auch und gerade in jüngster Zeit werden Begrifflichkeiten wie auch Definitionen im fachdidaktischen Diskurs aber kontrovers diskutiert.

12.3  Terminologien und Definitionen

241

­ esundheit“ oder die Möglichkeit zur Teilhabe an gesellschaftlichen Prozessen G (siehe auch Abschn. 15.2 und 15.4) längerfristig beeinträchtigt, so entsteht demnach ein Anspruch auf eine Eingliederungshilfe, der hier auf Konsequenzen von „Rechenstörungen“ übertragen wird. Diese Verortung rückt das Phänomen somit in den Kontext psychischer Beeinträchtigungen, für die eine Notwendigkeit hinsichtlich professioneller außerschulischer Fördermaßnahmen (nebst Finanzierungsansprüchen) besteht, was bei „Rechenschwächen“ oder „Rechenstörungen“ nicht der Fall ist. Der Begriff „Dyskalkulie“ ist also auf eine Teilmenge der Kinder mit „Rechenstörungen“ anzuwenden, wobei es schwierig ist, diesbezüglich genaue statistische Relationen anzugeben. Zumindest wird aber offenkundig, dass „Dyskalkulie“ in einem engeren Sinne ein recht seltenes Phänomen ist. (Das Fallbeispiel zu Lena in Abschn. 12.1 kann hier eingeordnet werden.) Die begriffliche Dreiteilung hat vor allem die Vorteile, einer (oftmals verbreiteten) unreflektierten Verwendung des Begriffs „Dyskalkulie“ vorzubeugen, ein Kind auf diese Weise vorschnell mit krankheitsbezogenen Assoziationen zu überziehen und das Phänomen der Probleme im Kontext des Lernens arithmetischer Inhalte zu beachtlichen Teilen in den Verantwortungsbereich von Lehrkräften zu rücken (im Idealfall verfügen diese natürlich über spezielles Wissen zur entsprechenden Diagnostik und Förderung). In der einschlägigen Literatur finden sich viele weitere Deutungen, die sich mitunter erheblich von der vorgeschlagenen Nomenklatur unterscheiden. Lorenz (2005) listete beispielsweise bereits mehr als 50 weitere Bezeichnungen auf, die zugleich verschiedene, aber kaum unterscheidbare Untertypen von „Rechenschwäche“ kennzeichnen sollen. Zugleich ist aber zu beachten, dass mit den jeweiligen Bezeichnungen auch bewusst verschiedene Grundpositionen charakterisiert werden sollen. Häufig wird vor allem „Dyskalkulie“ synonym zu „Rechenstörung“ als „Teilleistungsschwäche“ bzw. „Teilleistungsstörung“ charakterisiert, ein Fachausdruck der Neuropsychologie und der Kinderpsychiatrie, womit eine deutliche Leistungsminderung in einem klar abgegrenzten Bereich der Wahrnehmung, der Bewegungssteuerung oder der Verknüpfung beider Bereiche gemeint ist. Solche Teilleistungsschwächen wurden in den psychodiagnostischen Ansätzen bereits genannt. Aus dieser Perspektive wird Rechenschwäche also im Vergleich zu den sonstigen kognitiven Kompetenzen gesehen, und man spricht von einer „Dyskalkulie“, wenn die zum Rechnen notwendigen (basalen) Teilfähigkeiten gegenüber den anderen geistigen Fähigkeiten stark abfallen (vgl. Gaidoschik 2011, S. 10). In diesem Kontext sei darauf verwiesen, dass „Rechenstörungen“ und ­„Lese-Rechtschreib-Störungen“ als unterschiedliche Störungen gesehen werden, auch wenn neuere Studien ein gehäuftes gemeinsames Auftreten beider Störungsarten bei einzelnen „Subtypen“ belegen (vgl. Gaidoschik 2011, S. 17). Da mit Begriffen wie „Dyskalkulie“, „Rechenstörung“ und teilweise auch „Rechenschwäche“ meist extreme Rechendefizite umrissen werden, vergleichbar mit schweren oder sogar unheilbaren Krankheiten im medizinischen Sinne, sind Diagnostik und Förderung demgemäß oft defizitorientiert. Im Kontext kompetenz- (Abschn. 1.2) und

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12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

potenzialorientierter (Abschn. 15.2) fachdidaktischer Überlegungen, beispielsweise zur individuellen Genese von Grundvorstellungen, erscheint es mehr als fraglich, ob eine solche Deutung des Phänomens angemessen ist. Eine mögliche Lösung ist, schlicht von „Rechenproblemen“ zu sprechen (mit Assoziation der von Schipper beschriebenen „Rechenschwäche“), denn ganz im Sinne einer Potenzialorientierung impliziert dieser Begriff seine eigene Lösbarkeit. Ähnlich zu der vorgenommenen Abgrenzung bei Begrifflichkeiten lassen sich mit Schipper (2005a) vorhandene Definitionen beschreiben. Ein sehr bekanntes Beispiel einer „Diskrepanz-Definition“ ist die von der Weltgesundheitsorganisation verfasste Bestimmung innerhalb der „Internationalen statistischen Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme“ (ICD), die auch in der zehnten Revision von 2019 (ICD-10) weiterhin aufgeführt, zugleich aber von „Rechenschwierigkeiten, hauptsächlich durch inadäquaten Unterricht“, sowie von der erworbenen Rechenstörung („Akalkulie“) abgegrenzt wird:10 »Diese Störung besteht in einer umschriebenen Beeinträchtigung von Rechenfertigkeiten, die nicht allein durch eine allgemeine Intelligenzminderung oder durch eine unangemessene Beschulung erklärbar ist. Das Defizit betrifft vor allem die Beherrschung grundlegender Rechenfertigkeiten, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, weniger die höheren mathematischen Fertigkeiten, die für Algebra, Trigonometrie, Geometrie oder Differential- und Integralrechnung benötigt werden.« (DIMIDI, Absatz F 81.2)

Diese Beschreibung wirkt auf den ersten Blick reichlich wenig eingängig. Konkreter werden daraus die folgenden Kriterien abgeleitet (Zusammenfassung nach Jacobs und Petermann 2007): • Ein in einem standardisiert-formellen „Dyskalkulietest“ von einem Individuum erreichter Wert liegt mindestens zwei Standardabweichungen unterhalb des in einem parallel eingesetzten Intelligenztest erreichten Wertes.11 Aufgrund dessen wird das Individuum in der schulischen Ausbildung bzw. überhaupt bei Tätigkeiten im Alltag, die Rechnen erfordern, behindert. • Leseverständnis, Rechtschreibfähigkeiten und Lesegenauigkeit sind normal entwickelt, es traten zudem keine Lese- oder Rechtschreibschwierigkeiten in der „Vorgeschichte“ des Individuums auf. • Die Probleme im Rechnen sind nicht dadurch aufgetreten, dass Beschulung oder Erziehung in irgendeiner Art und Weise unzulänglich waren, und die Probleme bestehen, seitdem das Individuum begann, das Rechnen zu erlernen.

10Siehe unter: https://www.dimdi.de/static/de/klassifikationen/icd/icd-10-who/kode-suche/htmlamtl 2019/block-f80-f89.htm. 11Als „Ausschlussvorbehalt“ gilt zudem ein non-verbal ermittelter Intelligenz-Wert von 70.

12.4  Typische Erscheinungsformen

243

Positiv herauszustellen ist freilich beispielsweise, dass durch die Aufnahme in die o.  g. Klassifikation dem Phänomen „Rechenschwächen“ an sich eigenständige Beachtung verschafft wurde und Abgrenzungen gegenüber anderen „Störungen“ wie Lese-Rechtschreib-Schwierigkeiten vorgenommen wurden. Ein solcher Definitions­ versuch gilt aber trotzdem – zumindest im fachdidaktischen Kontext – als weder für wissenschaftliche Zwecke im Sinne einer brauchbaren Begriffsdefinition noch für die praktische Arbeit mit betroffenen Kindern konstruktiv. Vor allem im Schulalltag ist es wenig hilfreich, die „unangemessene Beschulung“ als Ausschlusskriterium zu verwenden, denn warum sollte ein Kind von Fördermaßnahmen ausgeschlossen werden, wenn seine Probleme im Mathematikunterricht von nicht oder schlecht erteiltem Unterricht ausgehen? Im Widerspruch zur Mehrzahl der vorgestellten Theorieansätze und neueren Forschungsergebnisse steht ebenso, dass die Intelligenz als Hauptkriterium für die Einordnung einer Rechenschwäche angesehen wird (Lorenz 2003, S. 14–15). Hinzu kommt, dass mit einer solchen Diskrepanz-Definition unterstellt werden könnte, Kinder auszugrenzen, die sich im „Teufelskreis Lernstörungen verfangen haben“ (Gaidoschik 2011, S. 12). Schließlich besteht ein generelles Problem der Definition darin, dass nur (diffus) beschrieben wird, was ein Kind nicht kann, aber nicht, was es beim Rechnen schon tut oder kann. Einen anderen Zugang nehmen „phänomenologische Definitionen“, also solche, die auf typische Phänomenologien (d. h. Erscheinungsformen) gerichtet sind. Eine solche Definition kann hier formuliert als leicht modifizierte Variante einer Vorlage von Schipper (2005a) folgendermaßen aussehen: »Kinder mit einer Rechenstörung sind solche, die dauerhaft und schwerwiegend beim Erlernen des Rechnens beeinträchtigt sind. Eine Rechenstörung in diesem Sinne kann anhand der Symptome verfestigtes zählendes Rechnen, Probleme im Wechsel der Repräsentationsebenen, Probleme bei der Links-/Rechts-Unterscheidung sowie einseitige Zahl- und Operationsvorstellungen diagnostiziert werden.« (Schipper 2005a, S. 23)

Zwar wird hier eine gewisse diagnostische Unschärfe in Kauf genommen, doch weiß eine Lehrkraft, worauf im Unterricht in Bezug auf die Diagnostik und Förderung von „Rechenstörungen“ und somit auch „Rechenschwächen“ besonders zu achten ist.

12.4 Typische Erscheinungsformen Während der Begriff „Symptome“ eher zu defizit- bzw. diskrepanzorientierten Sichtweisen passt, bietet es sich im fachdidaktischen Kontext an, von „typischen Erscheinungsformen“ zu sprechen, was unmittelbar an die Grundidee phänomenologischer Definitionen anschließt – inhaltlich können beide Begriffe aber auch durchaus synonym verstanden werden. Im Ergebnis zahlreicher Erfahrungsberichte und Fallstudien lassen sich die folgenden Erscheinungsformen bei rechenschwachen

244

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

Kindern am häufigsten beobachten (Begründungen lassen sich beispielsweise aus dem in Abschn. 12.2 skizzierten entwicklungsbezogenen Stufenmodell ableiten):12 • „verfestigtes Zählen“: Kinder haben ein einseitig ordinales und mangelndes kardinales Zahlverständnis. Sie nehmen Zahlen nicht als Mengen, sondern lediglich als Rangplätze wahr und weichen bei Rechnungen in der Regel auf das für sie subjektiv als sicherer erscheinende „Zählen“ aus. Im Laufe des ersten Schuljahres sollte das zählende Rechnen, das einen völlig normalen Entwicklungsschritt darstellt, allmählich abgelöst werden. • „mangelndes Verständnis des Teil-Teil-Ganzes-Konzepts“: Kinder haben Probleme hinsichtlich des Verständnisses, dass eine Menge in verschiedene Anzahlen zerlegt bzw. aus verschiedenen Anzahlen zusammengesetzt werden kann und damit dass Zahlen Beziehungen zwischen Mengen ausdrücken, also die Beziehungen zwischen einem Ganzen und seinen Teilen. • „mangelndes Stellenwertverständnis“: Kinder haben Schwierigkeiten im Umgang mit dem dekadischen Stellenwertsystem, z. B. im Bündeln und Entbündeln, bei der Stellenwertschreibweise oder bei der Stellenwertzuordnung, im korrekten Schreiben (so wird beispielsweise einhunderteinundzwanzig als 10021 notiert) und Lesen von Zahlen, oder beim Runden. • „mangelndes Operationsverständnis“: Kindern fehlen Grundvorstellungen zu Rechenoperationen, sie vertauschen z. B. Plus und Minus, verstehen operative Beziehungen (wie das Prinzip von Tausch- oder Umkehraufgaben) nicht oder sie haben Probleme beim Mathematisieren, d. h. im Herstellen von Verbindungen zwischen einer Realsituation und der Mathematik oder umgekehrt. • „Probleme beim Repräsentationswechsel“: Kinder zeigen Schwierigkeiten dabei, zwischen enaktiven, ikonischen und symbolischen Repräsentationen zu wechseln, sodass Anschauungsmittel beispielsweise nicht für den Aufbau tragfähiger Grundvorstellungen oder für die Entwicklung tragfähiger Rechenstrategien genutzt werden können.

12.5 Hauptursachen und Einflussfaktoren einer Rechenschwäche Entsprechend den bisherigen Erörterungen können viele verschiedene Ursachen für eine Rechenschwäche infrage kommen, die vermutlich oft ein vielschichtiges Wechselgefüge bilden, wie es auch die in Abschn. 12.2 skizzierten psychosozialen Ansätze nahelegen – es gibt hierzu vor allem eine Vielzahl an Fallstudien, umfassendere wissenschaftliche Untersuchungen stehen jedoch weitgehend aus.

12Siehe

z. B. auch Scherer und Moser Opitz (2010) und Gaidoschick (2011).

12.5  Hauptursachen und Einflussfaktoren einer Rechenschwäche

245

Zahlreiche Fallbeispiele zeigen auf, dass nicht selten basale Teilleistungsstörungen Ursachen hierfür sind, also Störungen • im taktil-kinästhetischen Bereich (Wahrnehmungen mithilfe des Tastsinns und der Bewegungssteuerung), • beim Erfassen des Körperschemas (Links-rechts- bzw. Oben-unten-Unterscheidung u. Ä.) und beim räumlichen Orientieren, • im Erfassen der Raumlagebeziehungen, • im visuellen Gliedern (Unterscheiden von Figur und Hintergrund dessen, was ein Kind sieht, Erkennen auch kleinerer Unterschiede), • im auditiven Wahrnehmen, • der Serialität (der Fähigkeit, Abfolgen verschiedenster Art zu erkennen, zu speichern und wiederzugeben), • der Intermodalität (beim Verknüpfen verschiedener Sinnesbereiche) (vgl. Gaidoschik 2011, S. 15). Es gibt jedoch auch zahlreiche Fallbeispiele zu rechenschwachen Kindern, bei denen keine eindeutigen Defizite bzgl. der basalen Teilleistungen festgestellt wurden. Alternativ können (angeborene) gesundheitliche Mängel wie z. B. ein fehlender Zahlensinn, Gleichgewichtsstörungen oder eine Winkelfehlsichtigkeit, sehr ungünstige Konstellationen bezüglich allgemeiner kognitiver Stützfunktionen (z. B. defizitäre Fähigkeiten im Abstrahieren, im Strukturieren oder eine mangelhafte Gedächtnisfähigkeit) und der psychischen Konstitution Ursachen für eine gravierende Rechenstörung sein. Hierbei spielen häufig folgende Einflussfaktoren, die sich zudem noch wechselseitig verknüpfen und die Rechenprobleme verschärfen können, eine wichtige Rolle: • Verminderte, nach Zeit und Intensität wechselnde Konzentration, vor allem in komplexen Situationen und bei abstrakten Inhalten, • verminderte Leistungen des Arbeits- und Langzeitgedächtnisses, • Beeinträchtigungen der kognitiven Verarbeitungsprozesse (Abstrahieren, Begriffsbildung, Urteilsbildung, Transfer, Gestaltung etc.), • mechanisches Abarbeiten von Rechenschritten und -vorschriften, • Anwenden fehlerhaft eingeprägter Rechenstrategien und -vorschriften, • weniger ausgeprägte Eigensteuerung und Selbstkontrolle, verringertes Ausmaß an Leistungsmotivation und Durchhaltevermögen, • vermindertes Selbstvertrauen und Versagensängste, • Beeinträchtigung sprachlicher Kompetenzen, • Beeinträchtigung des Sozialverhaltens. Natürlich können – gemäß dem Schema von Abb. 12.2 – auch ungünstige familiäre oder schulische Bedingungen oder eine psychische Labilität die Entstehung von Rechenschwächen begünstigen oder eine weitere „Verschärfung“ hin zu Rechenstörungen oder Dyskalkulie (im Sinne der Klärung Abschn. 12.2) bewirken. In der aktuellen Forschung

246

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

wird die Bedeutung der Gestaltung des Mathematikunterrichts als gewichtiger Faktor unterstrichen, und zwar in der Art, dass Kinder verständnisorientiert Grundvorstellungen aufbauen und vernetzen können (z. B. Meyerhöfer 2011). Auch für „Ursachen“ gilt natürlich, dass es sich um einen eher defizitorientierten Begriff handelt – in der Literatur findet sich als alternative Deutung auch der Begriff „Risikofaktoren“, der freilich die Perspektive umkehrt und insofern schwerlich synonym verwendbar ist.

12.6 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik von Rechenschwäche im Grundschulalter Wie generell, so gilt auch für das Phänomen „Rechenschwäche“: Je genauer und je früher die jeweiligen Defizite und ihre Ursachen diagnostiziert werden, desto effektiver kann eine zielgerichtete Förderung geplant und organisiert werden. Aufgrund des im Abschn. 12.2 beschriebenen „Geflechts“ von Ursachen und Nebenbedingungen für Rechenschwächen sowie deren wechselseitige Beeinflussung sollte die Identifizierung sehr komplex angelegt werden. Aufgrund der großen Vielschichtigkeit dieses „Geflechts“ und des Fehlens einer eindeutigen (akzeptierten und operationalisierten) Definition für Rechenschwäche (Abschn. 12.3) gibt es derzeit nach wie vor nicht mehr als eine ­überschaubare Anzahl geeigneter „Tests“ für den Gebrauch einer Lehrkraft, die denkanalytisch, aber durchführungspraktikabel angelegt sind, die es zuverlässig erlauben, rechenschwache Kinder frühzeitig zu erkennen und an deren Resultate anknüpfend geeignete Fördermaßnahmen zu planen.13 Aus der Perspektive einer Lehrkraft kommt erschwerend hinzu, dass sie in der Regel für diese spezielle Aufgabe nicht ausgebildet und meist auch nicht befugt ist, psychodiagnostische Tests im engeren Sinne einzusetzen. Aber selbst für ausgewiesene Expertinnen und Experten ist die Diagnostik von Rechenschwächen im Allgemeinen eine große Herausforderung. Ein Grundproblem Nun liegt:

Anne kippt ihren Würfel zweimal nach hinten.

oben:

vorne:

links:

unten:

hinten:

rechts:

Abb. 12.3  Diagnoseaufgabe zum räumlichen Orientieren (Käpnick et al. 2012, KV 6–1, Aufgabe 4)

13Als

Beispiele für in diesem Sinne produktive Verfahren seien erwähnt das „Elementarmathematische-Basis-Interview“ (Peter-Koop et al. 2011) sowie das Programm „Kalkulie“ (Fritz et al. 2013).

12.6  Möglichkeiten und Probleme ···

247

Abb. 12.4   Eine typische Diagnoseaufgabe zum Stellenwertverständnis

besteht darin, aus dem Geflecht von Ursachen und Einflussfaktoren die Hauptursachen herauszufiltern und die Bedeutung der Nebenbedingungen zu erkennen. Hierbei ist stets die meist individuell sehr unterschiedliche Konstellation zu beachten. Entsprechend den Ausführungen der Abschn. 12.2 bis 12.5 kann folgende Checkliste eine gute Orientierungshilfe für die prozesshafte Diagnostik sein: • Erfassen der allgemeinen gesundheitlichen und physischen Konstellation des Kindes. • Erfassen der bisherigen körperlichen, sozialen und kognitiven Entwicklung. • Erfassen des Niveaus visueller und auditiver Wahrnehmungskompetenzen sowie weiterer basaler Fähigkeiten und kognitiver Stützfunktionen (vgl. Abschn. 12.3). In der Abb. 12.3 wird eine Beispielaufgabe zum Erfassen von Grundfähigkeiten im räumlichen Orientieren angegeben (zahlreiche weitere Aufgaben zur Diagnose basaler Grundkompetenzen findet man z. B. in Lorenz und Radatz 1993) Lorenz (2003), Gaidoschik (2011), Schulz (1995) (vgl. auch Abschn. 8.4).14 • Erfassen des Arithmetikprofils (Lorenz und Radatz 1993, S. 221–227) einschließlich der Grundvorstellungen zu Zahlen und zum Rechnen, d. h. der „Erscheinungsformen“ (insbesondere durch Aufgaben, die Denken sichtbar machen, wie es das Beispiel in Abb. 12.4 anregt), • Erfassen psychischer und sozialer Besonderheiten (Selbstkonzept, evtl. Ängste, Minderwertigkeitsgefühle u. a. m.), • Analysieren der schulischen und familiären Situation sowie sonstiger Einflussfaktoren (Freunde, Bekannte, besondere Ereignisse).

14Weitere Beispiele zum Erfassen von basalen Kompetenzen enthalten die Abb.  5.17 (im Abschn. 5.4) und 8.9 (im Abschn. 8.4).

248

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

Abb. 12.5   Teufelskreis Rechenstörung. (Gaidoschik 2011, S. 11)

In Abhängigkeit von der jeweiligen konkreten Situation und den vorhandenen Möglichkeiten sollte die Reihenfolge des Abarbeitens der Checkliste (allein oder in einem Team) flexibel bestimmt werden. Im Prozess der Diagnose ist generell davor zu warnen, dass festgestellte Defizite bzgl. einer bestimmten Kompetenz vorschnell in Richtung Rechenschwäche interpretiert werden, weil: „Nicht jeder Fehler deutet auf eine Rechenschwäche hin … Denn auch nicht jeder Husten zeigt eine Lungenentzündung an“ (Lorenz 2003, S. 50).

12.7 Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder Die Förderung eines rechenschwachen Kindes ist in der Regel ein längerfristiger Prozess, der möglichst genau auf die individuellen Voraussetzungen und Bedürfnisse des Kindes fokussiert sein muss. Allgemeine Orientierungen Für die Förderung im regulären Mathematikunterricht können folgende allgemeine Orientierungen hilfreich sein: • Die langjährigen Erfahrungen von Expertinnen und Experten in der Arbeit mit rechenschwachen Kindern belegen übereinstimmend: Jedes gesunde Kind kann so gefördert werden, dass es die jeweiligen Mindestanforderungen des Mathematikunterrichts einer Klassenstufe erfüllen kann, sodass eine optimistische Grundeinstellung aller Beteiligten gegeben sein sollte.

12.7  Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder

249

• Eine fundierte Diagnose der Ursachen und Einflussfaktoren bildet stets die entscheidende Basis für eine zielgerichtete effektive Förderung eines Kindes. Diesbezüglich ist gemäß den zahlreichen empirischen Befunden häufig der Hebel mit dem Ausbilden basaler Grundfähigkeiten und richtiger Grundvorstellungen zum Zahlbegriff anzusetzen (z. B. Fähigkeiten in der Eins-zu-eins-Zuordnung, im Erfassen von Teil-Ganzes-Beziehungen, der Relationen „gleich viele“, „mehr als“ oder „weniger als“, der Zählprinzipien). • Rechenschwache Kinder können durchaus (mathematisch) kreativ sein, sie können selbstständig, planvoll und ausdauernd lernen. Deshalb sollten sie auch problemhaltige und komplexe Aufgaben im Mathematikunterricht bearbeiten, damit sie ihre diesbezüglichen Kompetenzen kontinuierlich weiterentwickeln. Es wäre kontraproduktiv, wenn – wie in der Praxis immer wieder beobachtbar – diesen Kindern nur leichte Aufgaben angeboten und ihnen bei jedem erkennbaren Lernproblem eine umgehende Hilfestellung gegeben würde. Auch diesbezüglich gilt die didaktische „Faustregel“: Fördern heißt Fordern! (vgl. hierzu auch Abschn. 7.6) • Haben sich die Rechenprobleme eines Kindes, wie beispielsweise in der Fallstudie von Lena (vgl. Abschn. 12.1), bereits so weit verschärft, dass sich Selbstzweifel, Versagensängste usw. zu einem Teufelskreis entwickelt haben (Abb. 12.5), besteht eine Aufgabe darin, diesen Teufelskreis zu durchbrechen. Hierfür ist es wichtig, dass betroffene Kinder Lernerfolge erfahren (etwa durch Anknüpfen an die zweifellos vorhandenen „Stärken“) und dass sie z. B. bei spielerischen Übungsformen Spaß und Freude an der Beschäftigung mit Mathematik erleben. • Lehrer und Eltern neigen mitunter dazu, durch ein sehr intensives und stetiges Üben Rechenprobleme von Kindern „beheben“ zu wollen (vgl. Fallbeispiel von Lena im Abschn. 12.1). Wenn jedoch ein Kind einzelne Rechenschritte oder die gesamte Rechenprozedur nicht verstanden hat, werden sich kaum oder keine Lernerfolge einstellen, denn Üben macht nur Sinn, wenn man vorher zumindest im Wesentlichen den Übungsinhalt begriffen hat (vgl. hierzu Kap. 8). Ein dauerndes unverstandenes Üben erzeugt in der Regel – wie im Beispiel von Lena – bei betroffenen Kindern nur Frust, Ängste u. Ä. • Eine vergleichsweise wichtige Rolle spielen bei der Förderung rechenschwacher Kinder Anschauungsmittel. Bezüglich der Nutzung von Lernmitteln ist zu beachten, dass diese zunächst selbst ein Lerngegenstand für Kinder sind und dass somit ein „Mehr“ an Anschauungsmitteln nicht unbedingt eine Erleichterung oder Verbesserung des Lernens von Kindern bedeuten. Außerdem gibt es nicht das ideale Anschauungsmittel für rechenschwache Kinder (vgl. Kap. 9). Eine Lehrkraft sollte also im Prozess der Förderung eines rechenschwachen Kindes gründlich analysieren, welches Anschauungsmittel jeweils dem individuellen Lernstil des Kindes am besten entspricht und ob es den Umgang mit dem Mittel tatsächlich beherrscht. • Rechenschwache Kinder neigen bekanntlich häufig zu einem verfestigten zählenden Rechnen (Abschn. 12.4). Falls dies festgestellt wird, sollten fehlerhafte Strategien wie z. B. die Einsabweichung beim zählenden Rechnen korrigiert und die Kinder zugleich behutsam an alternative und effektivere Rechenmethoden herangeführt werden (vgl. hierzu auch Abschn. 5.4).

250

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

Ist neben einer individuellen Förderung im regulären Unterricht auch eine zusätzliche außerunterrichtliche Förderung15 sinnvoll bzw. notwendig, so besteht eine Grundorientierung darin, mit allen Beteiligten, insbesondere mit den Eltern und den Verantwortlichen spezieller Förderprojekte und -einrichtungen, gemeinsam zu prüfen, ob vergleichbare pädagogische Grundpositionen und Zielvorstellungen gegeben sind. Erst auf einer solchen Basis sind eine Abstimmung von Fördermaßnahmen und im weiteren Prozess ein regelmäßiger Austausch über Diagnoseergebnisse, über Probleme wie Lernfortschritte und ggf. über Veränderungen des Förderkonzepts sinnvoll. Empfehlungen für konkrete Förderaktivitäten Abschließend werden einige konkrete Aktivitäten vorgestellt, die für die typischen Erscheinungsformen (Abschn.  12.4) von Rechenschwächen (nicht nur) in der mathematikdidaktischen Literatur als geeignet beurteilt werden. Natürlich sollten ihr Einsatz, ihre Durchführung wie auch ihre Vernetzung wohl durchdacht werden, um Grundvorstellungen tragfähig zu entfalten. In Anlehnung an Wartha und Schulz (2011) können diesbezüglich die folgenden grundlegenden Phasen angesetzt werden, wobei Stufenmodelle, wie sie in Abschn. 12.2 bei den kognitiv-entwicklungsorientierten Ansätzen beschrieben sind, Hinweise auf eine sinnvolle Strukturierung von Förderaktivitäten bieten können: In einer ersten Phase handelt ein Kind zunächst selbst an einem geeigneten Material und es setzt seine Handlung in Sprache um (verbal wie auch auf Symbolebene). In einer zweiten Phase vollzieht die Lehrkraft dieselbe Handlung nach Beschreibungen des Kindes am Material und das Kind kontrolliert, ob seine Anweisungen korrekt umgesetzt werden. Die dritte Phase wiederholt die zweite, wobei ein Sichtschirm (z. B. ein Ordner oder ein ausreichend großes Buch) aufgestellt wird, sodass das Kind die Handlungen der Lehrkraft nicht sehen kann – das Kind muss sich die Handlung also nicht lediglich vorstellen, sondern auch so beschreiben, dass die Lehrkraft sie tatsächlich korrekt durchführen kann. Erst in einer abschließenden vierten Phase folgt das (v. a. auch operative und anschließend automatisierende, Kap. 8) Üben auf ikonischer und schließlich, in enger Verzahnung mit der enaktiven und ikonischen Ebene, auf formal-symbolischer Ebene. Grundsätzlich ist ein aktiv-entdeckendes und konstruktivistisches Lernen freilich auch für „rechenschwache“ Kinder produktiv (Lorenz 2005). Im Folgenden wird ein zusammenfassender Überblick über geeignete Förderaktivitäten gegeben:16

15Aufgrund

der stark individuell geprägten Erscheinungsformen und des nicht selten immensen Förderbedarfs werden rechenschwache im Unterschied zu mathematisch begabten Kindern im außerschulischen Bereich häufig in Einzel- oder Kleingruppenarbeit gefördert. 16Siehe zu den Ausführungen beispielsweise Gaidoschik (2011), Thiel (2010), Kaufmann (2010), Schipper (2005b) und Schipper (2009).

12.7  Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder

251

• Für die Förderung des kardinalen Zahlenverständnisses sollte vorbereitend der Umgang mit Zahlen angeregt werden: Ein Kind sollte aufgefordert werden, vorwärts, rückwärts, dann in Zweier-, Dreier-, Fünfer-, Zehnerschritten usw. zu zählen, wobei man zu immer größeren Zahlen übergeht. Außerdem sollten Vorgänger und Nachfolger zu vorgegebenen Zahlen bestimmt, Zahlen halbiert und verdoppelt werden. In Bezug auf die Entfaltung des kardinalen Zahlenverständnisses sollten Unterschiede dann bewusst reflektiert werden, etwa anhand einer Reihe von Plättchen: „Zeig mir das dritte Plättchen!“, „Zeig mir drei Plättchen!“. Ein wichtiges Element ist außerdem das sogenannte „Blitzen“, d. h. ein „schnelles Sehen“. Dazu werden z. B. mit Plättchen kleine Mengen von Zahlen vorgegeben, die zunächst abgedeckt sind und die dem Kind nur kurz gezeigt werden, sodass es keine Chance hat, eine zählende Strategie zu verwenden. Auf die gleiche Weise lassen sich beispielsweise Rechenrahmen und strukturierte Mengenbilder nutzen. Auch das Nutzen der Finger, um Zahlen anzugeben (verdeckt unter der Tischplatte, ohne zu zählen), kann eine geeignete Förderaktivität sein. • Für die Förderung des Verständnisses des Teil-Teil-Ganzes-Konzepts bieten sich Zahlzerlegungen bis 10 durch „Fingerzeigen“ an: Das Kind legt seine Hände nebeneinander auf den Tisch, und die Lehrkraft legt einen Stift zwischen zwei Finger. Dann soll das Kind sagen, wie viele Finger links und wie viele rechts von dem Stift liegen. Weitere Möglichkeiten sind Spiele mit „verliebten Zahlen“, Zahlzerlegungen mit Ziffernkarten oder Aktivitäten mit einer „Schüttelbox“. • Für die Förderung des Verständnisses zum Wechseln bzw. zur Verzahnung der Repräsentationsebenen sowie für die Förderung des Operationsverständnisses können unstrukturierte oder strukturierte Anschauungsmittel genutzt werden, um Zahlen und Aufgaben vorzulegen, die das Kind dann benennen soll, oder um umgekehrt das Kind passende Handlungen und Ikonisierungen herstellen zu lassen, wobei sich hier wie auch bei allen anderen Aktivitäten stets empfiehlt, das Kind zum „lauten Denken“ im Sinne der Ausführungen des Abschn. 12.2 zu animieren (um Zähl- und Rechenstrategien offenzulegen und zu entwickeln, auch unter Nutzung operativer Beziehungen, d. h. von Tausch-, Nachbar-, Umkehr- und Analogieaufgaben). Eine weitere Fördermöglichkeit in Bezug auf das Operationsverständnis sind „Rechengeschichten“, die einem Kind entweder zur Entschlüsselung vorgegeben werden oder die ein Kind selbst erfinden soll, z. B. „Caro kauft drei Pakete Luftballons. Jedes Paket enthält zehn Luftballons, von denen aber jeweils zwei ein Loch haben. Wie viele Luftballons kann sie aufpusten?“ • Für die Förderung des Stellenwertverständnisses können grundlegende Aktivitäten darin bestehen, Säckchen mit je zehn Erbsen o. Ä. zu füllen, um Prinzipien des dekadischen Systems zu verdeutlichen (die gefüllten Säckchen repräsentieren einen Zehner) – zehn Säckchen werden dann in eine Kiste gelegt, die einen Hunderter repräsentiert, zehn gestapelte Kisten ergeben einen Tausender usw. Weiter bietet es

252

12  Besonderheiten rechenschwacher Grundschulkinder

sich an, die Stellenwerttafel und „Dienes-Blöcke“ zu nutzen. So kann ein Kind beispielsweise eine Zahl mithilfe einer Stellenwerttafel oder von Dienes-Blöcken darstellen und dabei sein Vorgehen erklären. Außerdem können Ziffernkarten verwendet werden, mit denen das Kind vorgegebene Zahlen legt (in einem nächsten Schritt kann die Aufgabe darin bestehen, aus vorgegebenen Ziffernkarten z. B. die größte und die kleinste mögliche Zahl zu legen). Eine Variante bietet ein „Stellenwertwürfeln“ mit einem zehnflächigen Würfel, auch als Wettspiel (z. B. die größte oder die kleinste Zahl gewinnt). Ferner sind Kombinationen konstruktiv, etwa dass Zahlen zunächst mit Ziffernkarten in einer Stellenwerttafel gelegt werden, die später weglassen wird. Schließlich kann ein „Blitzen am Hunderterfeld“ als Aktivität zur Förderung des Stellenwertverständnisses Verwendung finden. Dazu werden mit zwei Blättern (zusammengelegt in der Form eines „Winkels“) einige Reihen und Zeilen des Feldes abgedeckt, und das Kind soll unmittelbar die entstehende Zahl benennen. Mögliche Weiterentwicklungen Unabhängig von terminologischen, definitorischen oder modelltheoretischen Erwägungen ist zu erwarten, dass neurowissenschaftliche Forschungen Ursachen für „Rechenschwächen“ sowie Zusammenhänge zwischen ihnen und den verschiedenen Einflussfaktoren zukünftig noch detaillierter erklären können. Hierzu könnten (vor allem unter psychodiagnostischer Sicht) auch mögliche Zusammenhänge und Unterschiede von „Lese-Rechtschreib-Schwäche“ und „Rechenschwäche“ gehören. Aktuelle wissenschaftliche Diskussionen richten das Augenmerk verstärkt auf die Abgrenzung unterschiedlicher Konzepte, insbesondere hinsichtlich der Unterscheidung fachdidaktischer Zugänge von defizit- bzw. diskrepanzorientierten. Durchaus übergreifend wird die Diskrepanzdefinition der Weltgesundheitsorganisation gemäß den auch in diesem Abschnitt dargestellten Kritiken immer wieder infrage gestellt, sodass hier vermutlich über kurz oder lang mit Überarbeitungen zu rechnen ist. Die internationale Forschung gibt für Abgrenzungen psychologisch-medizinischer und fachdidaktischer Perspektiven Hinweise, die in geeigneter Form auch für den deutschen Sprachraum produktiv genutzt werden könnten. So werden in englischsprachigen Fachartikeln Kinder mit einer „dyscalculia“ (im Sinne der in diesem Abschnitt umrissenen Facetten des Dyskalkuliebegriffs) klar von solchen abgegrenzt, die im Aufbau von Grundvorstellungen „nur hinterherhinken“, ohne dass man gleich in den Bereich psychischer Beeinträchtigungen käme, und zwar indem diese Gruppe z. B. als „previously low attaining“, also als „noch niedrig leistend“ bezeichnet wird. Dieser Vergleich deutet zugleich an, wie unglücklich die stete Verwendung defizitorientierter Begriffe wie „Rechenschwäche“ hierzulande sein kann, da er Kinder womöglich zu Unrecht mit einem Label versieht, von dem sie sich nur schwer wieder befreien können. Aus schulpolitischer und schulpraktischer Perspektive wäre es dementsprechend wünschenswert,

12.7  Möglichkeiten der Förderung rechenschwacher Kinder

253

die konkreten Verantwortlichkeiten und N ­ icht-Verantwortlichkeiten17 einer Lehrkraft für die Diagnose und Förderung von Kindern mit „Rechenschwächen“ präziser festzulegen – insbesondere die Ausführungen dieses Abschnitts zu denkanalytischen Zugängen können hierfür konkrete Ansätze liefern. Unabhängig hiervon sollte im Rahmen der Lehreraus- und -fortbildung dafür Sorge getragen werden, dass alle Grundschullehrkräfte über fundamentale Kenntnisse und Kompetenzen im Umgang mit dem Phänomen verfügen. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Wo sollte bei Lenas Förderung (Fallbeispiel aus dem Abschn. 12.1) der „Hebel“ angesetzt werden? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Wie ließe sich eine adäquate Förderung gestalten? Wie sähe das bei Xhaver aus und wie könnte es im Detail bei Claudia stattgefunden haben? • Welche Kompetenzen hinsichtlich der Diagnostik und Förderung rechenschwacher Kinder sollte jede Grundschullehrkraft besitzen? • Warum ist der Einsatz von Anschauungsmitteln im Allgemeinen nicht ausreichend, um ein Kind bei der Überwindung von „Rechenschwächen“ oder „Rechenstörungen“ zu unterstützen?

17Gegenwärtig gibt es z. B. in Deutschland keine einheitliche Regelung darüber, wer berechtigt ist, eine „Dyskalkulie“ im engsten Sinne zu diagnostizieren. In einigen Bundesländern sind hierzu medizinische, in anderen Bundesländern psychologische Expertinnen und Experten, gelegentlich auch beide Professionen befugt. Lehrkräfte spielen per Gesetz hierbei als mögliche „Informationsquelle“ für allgemeine Lernentwicklungen im Kontext schulischer Allgemeinbildung nur eine untergeordnete Rolle.

Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

13

Keine Gesellschaft kann es sich leisten, ihre begabtesten Mitglieder zu ignorieren, und alle Gesellschaften müssen sich ernsthaft damit auseinandersetzen, wie sie besondere Talente am besten fördern und ausbilden können. (Winner 1998, S. 9).

Inhaltsverzeichnis 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Zwei Fallbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Zur Komplexität des Begabungsbegriffs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Besondere Merkmale mathematisch begabter Grundschulkinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Ausprägungen mathematisch begabter Grundschulkinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik mathematischer Begabungen im Grundschulalter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 13.6 Möglichkeiten der Förderung mathematisch begabter Grundschulkinder. . . . . . . . . . . . 273

Wer auf einem allgemein anerkannten und grundlegenden Gebiet wie der Mathematik ein herausragendes Leistungspotenzial besitzt, der wird vermutlich bewundert und es wird meist angenommen, dass kleine „Matheasse“ schulische wie auch Anforderungen des Alltags im Allgemeinen problemlos meistern (können). Auf viele mathematisch begabte Grundschulkinder trifft die Einschätzung auch prinzipiell zu. Demgegenüber gibt es aber auch nicht wenige solcher Kinder mit erheblichen Schwierigkeiten und sogar Nöten. Aufgrund von Unkenntnis, Vorurteilen oder Missverständnissen (Stapf 1990, S. 83) erhalten kleine Matheasse in der Schule oft wenig Zuwendung, was nicht nur zur

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_13

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13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

Verkümmerung ihrer Begabung1, sondern vielfach zu sozialen Problemen, zu Schulunlust oder sogar zu einem generellen Leistungsversagen führen kann. Nachdem das Themenfeld „Mathematisch begabte Kinder“ (zumindest in Deutschland) viele Jahrzehnte relativ unbeachtet blieb, ist es seit ca. 20 Jahren zunehmend in den Fokus der breiten Öffentlichkeit wie auch der Forschung und des Schulalltags gerückt. Ursache hierfür war zum einen die bildungspolitische Forderung nach einer verstärkten Förderung hochbegabter Kinder (als Konsequenz aus den schlechten Ergebnissen deutscher Schüler in internationalen Vergleichsstudien wie TIMMS, PISA und IGLU). Zum anderen wurde bzw. wird in der Wirtschaft der Ruf nach mehr Spitzenkräften in den Bereichen Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften immer lauter. Ein wachsendes wissenschaftliches Interesse ergibt sich zudem aus einer verstärkten Kenntnisnahme und Akzeptanz neuerer Ergebnisse der Begabungsforschung sowie der Einsicht, dass im Schulalltag überforderte Lehrer und Eltern hochbegabter Kinder fundierte Orientierungshilfen benötigen. Letzteres spiegelt sich auch in der aktuellen Debatte zur Inklusion wider, deren Grundidee im gemeinsamen Lernen von minderbis hochbegabten Kindern im regulären Unterricht besteht. Das Erkennen und Fördern mathematisch begabter Kinder ist jedoch ein äußerst komplexes Themenfeld, für das es – vergleichbar zum Problemkreis „Rechenschwäche“ – keine simplen und keine schnell zu realisierenden Konzepte geben kann (vgl. Abschn. 13.2). In diesem Kapitel werden – ausgehend von zwei Fallbeispielen – die große Vielschichtigkeit und Interdisziplinarität der Thematik, aktuelle Theorieansätze zur Kennzeichnung mathematischer Begabungen im Grundschulalter sowie Grundorientierungen für die Diagnose und Förderung kleiner Matheasse vorgestellt und diskutiert.

13.1 Zwei Fallbeispiele Felix zählte in einem Projekt zur Förderung mathematisch begabter Dritt- und Viertklässler (Käpnick 1996) stets zu den aktivsten und leistungsstärksten Schülern. Er konnte komplexe mathematische Sachverhalte meist sehr schnell erfassen und zu unterschiedlichen Problemen häufig äußerst kreative Lösungsansätze entwickeln. Felix war zugleich ein sehr temperamentvoller und begeisterungsfähiger Schüler. Wenn ihn eine Aufgabe „packte“, konnte man an seinem Gesicht erkennen, wie seine Gedanken sprühten. Sein mathematischer IQ-Wert beträgt 142, sein allgemeiner IQ-Wert 140 (auf der Basis des eingesetzten Intelligenztests CFT 20-R und CFT 20; Weiß 2007). In seiner Klassenstufe gehörte der Junge zu den leistungsstärksten Schülern der Schule. Außer auf mathematischem Gebiet zeigte er auch eine überdurchschnittliche musische und künstlerische Begabung. Um seine Interessen auf diesen Gebieten

1Die

Begriffe „Begabung“ und „Hochbegabung“ werden hier (wie vielfach in der Begabungsforschung) synonym verwendet.

13.1  Zwei Fallbeispiele

257

befriedigen zu können, nahm er regelmäßig an einem Malzirkel und am Klavierunterricht einer Musikschule teil. Die vielfältigen schulischen und außerschulischen Verpflichtungen empfand Felix in keiner Weise als Belastung, er suchte vielmehr ständig neue Herausforderungen. Nur im täglichen Schulunterricht langweilte er sich oft, weil er unterfordert war. Der „Verdammung zur Inaktivität“ entzog er sich, indem er sich eigene Erlebnisbereiche schuf. So las er unter der Bank heimlich Sachbücher zur Geschichte, zur Geografie oder zur Biologie, er knobelte an selbst ausgedachten Aufgaben oder entwarf Comicfiguren. Den Unterrichtsstoff bewältigte er problemlos nebenbei. Er weigerte sich aber zunehmend, im Mathematikunterricht vollständige Lösungswege aufzuschreiben und eingeführte, von ihm längst verstandene Rechenprozeduren immer wieder zu üben und zu wiederholen. Felix konnte seine eigenen Leistungspotenziale relativ gut einschätzen. Er wusste, dass er seinen Mitschülern auf intellektuellem Gebiet überlegen war. Er litt aber darunter, dass er seine besonderen Fähigkeiten im Unterricht selten zeigen konnte und weder von der Lehrerin noch von den Mitschülern eine seines Erachtens angemessene Wertschätzung erhielt. Für die anderen Jungen der Klasse hatte der Sport, vor allem das Fußballspielen, den höchsten Stellenwert.2 Für dieses Hobby konnte Felix aber kein Interesse aufbringen und deshalb unter den Jungen nicht „mitreden“. Felix war zudem körperlich kleiner und schwächer als die meisten anderen Jungen seiner Klasse. Um aus der von ihm „zum Verzweifeln“ empfundenen Situation herauszukommen, entwickelte er die „Strategie“, im Unterricht den Klassenclown zu spielen. Er wollte durch witzige Zwischenrufe auf sich aufmerksam machen und die Anerkennung seiner Mitschüler gewinnen. Seine „Strategie“ ging jedoch nicht auf. Von der Lehrerin wurde er wegen seines „vorlauten und frechen Verhaltens“ gerügt, seine Mitschüler reagierten mit Unverständnis und werteten sein Auftreten als überheblich. Somit blieben Felix’ Signale unverstanden und er entwickelte allmählich eine oppositionelle Haltung gegenüber der Schule. Das Verhältnis gegenüber seinen Mitschülern verschlechterte sich ebenfalls zunehmend. Außerdem drohte Felix’ ursprünglich vorhandenes großes Interesse für mathematische Knobeleien ins Gegenteil, in Desinteresse umzuschlagen, da Beschäftigung mit Mathematik für ihn langweilig empfundene „Schulmathematik“ bedeutete. Sven deutete schon im Vorschulalter seine besondere mathematische Begabung an. So erlernte er z. B. bereits als Dreijähriger spielend das Zählen bis 100, beherrschte wenig später viele Additions- und Subtraktionsaufgaben in diesem Zahlenraum und erschloss sich dabei selbstständig das dezimale Stellenwertsystem. Im Alter von vier Jahren war er vom Schachspiel fasziniert. Er spielte oft gegen bedeutend ältere Kinder und wies dabei

2Das

ist eine typische Wertorientierung unter Grundschulkindern. Nickel führt sie darauf zurück, dass Körperkraft und psychomotorische Leistungsfähigkeit in diesem Alter einen sehr bedeutsamen Zuwachs erfahren. Charakteristisch für Kinder dieses Alters ist z. B., dass sie beginnen, ihre Kräfte und Geschicklichkeit mit anderen zu messen (Nickel 1981, S. 85).

258

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

nach, dass er sich verschiedene mögliche Züge für diverse Schachspielkonstellationen eingeprägt hatte und diese geschickt zu nutzen verstand. Auf diese Weise schulte er sehr früh seine besondere Gedächtnisfähigkeit für bildhafte (nonverbale) Sachverhalte. Der individuelle Gedächtnis- und Denkstil prägt bis heute Svens Vorgehensweise beim Bearbeiten mathematischer Probleme. In den 14-täglich stattfindenden Förderstunden des Projektes „Mathe für kleine Asse“ an der Universität Münster (vgl. Käpnick 2008), an denen er seit Beginn seines dritten Schuljahres regelmäßig teilnimmt, beweist Sven immer wieder, dass er sprachlich vorgegebene, oft relativ komplexe mathematische Sachverhalte sehr schnell für sich in eine bildhaft-schematische oder formal-abstrakte Repräsentationsebene übersetzen und dabei zugleich (für das mathematische Problem) unwesentliche Sachverhalte aussortieren und den „restlichen Kern“ strukturieren kann, d. h., dass er bereits in der Phase der ersten Informationsaufnahme intuitiv strukturiert3. Dies ermöglicht ihm ein äußerst schnelles Erfassen und internes Verarbeiten von wesentlichen mathematischen Zusammenhängen, wodurch er häufig in verblüffend kurzer Zeit richtige Lösungsideen oder gar Lösungen präsentieren kann – ohne hierüber sprachlich reflektieren zu können. In einem Analysegespräch kommentiert er dieses Phänomen mit den Worten: „Ich habe so viele Dinge im Kopf, dass ich das, was ich sagen möchte, nicht rausselektieren kann.“ Charakteristisch ist für den Jungen weiterhin, dass er ein sehr ausgeprägtes Gefühl für Zahlen und Zahlbeziehungen sowie ein besonderes ästhetisches Gefühl für schöne mathematische Muster besitzt. Dies spiegelt sich u. a. darin wider, dass er seine kreativen Lösungsideen des Öfteren mit „cool“, „lustig“ oder „schön“ kommentiert. Svens individueller Problemlösestil bedingt ferner, dass der Junge bevorzugt Aufgaben allein bearbeitet. Aufgrund seiner deutlichen Lese-Rechtschreib-Probleme (Abb. 13.2) hat sich Svens spezifische Vorgehensweise im Verlauf der Grundschulzeit noch zusätzlich verstärkt. Seine gravierenden Lese-Rechtschreib-Probleme implizieren ebenso, dass der Junge Lösungswege und Lösungen – wie im Beispiel der Abb. 13.14 zu sehen – generell

3Die

Fähigkeit, bereits in der ersten Phase der Informationsaufnahme mathematische Sachverhalte strukturieren und sich auf diese Weise mehr Inhalte (als üblich) und diese in höherer Qualität einprägen zu können, stellt Käpnick im Ergebnis seiner Untersuchungen als ein besonderes bzw. wesentliches Merkmal mathematisch begabter Grundschulkinder heraus (vgl. Käpnick 1998, S. 170 sowie Abschn. 13.3 dieses Buches). 4Svens sehr stark verkürzte Lösungsdarstellung bedeutet: Bei einer Geraden („1 G“) gibt es null Schnittpunkte, zwei Geraden („2 G“) können null oder einen Schnittpunkt haben usw. Aufgrund seines effektiven Vorgehens konnte sich Sven nach dem Erkunden aller Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei 1, 2, 3, 4, und 5 Geraden noch zusätzlich der Erkundung bei 6 Geraden zuwenden, was er dann aber nicht mehr zu Ende bringen konnte (vgl. sein Ergebnis zur von ihm betitelten Aufgabe 2). Aufgrund seines relativ gering ausgeprägten Bedürfnisses nach einem gründlichen Überprüfen seiner Ergebnisse fehlen in der Darstellung übrigens zwei Lösungsmöglichkeiten.

13.1  Zwei Fallbeispiele

259

Abb. 13.1   Svens Lösung zum Erkunden aller Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei bis zu fünf Geraden

Abb. 13.2   Exemplarischer Beleg für Svens Rechtschreibprobleme im dritten Schuljahr

stark verkürzt, oft unvollständig, mitunter auch fehlerhaft (trotz richtiger Lösungsideen) darstellt und dass er es vermeidet, seine Ergebnisse anderen zu zeigen oder sie im Plenum vorzustellen. Svens besonderer Lernstil führte im regulären Mathematikunterricht dazu, dass seine Lehrerin das große mathematische Potenzial des Jungen nur teilweise erkannte, dafür umso mehr seine Sprachdefizite bemängelte und das Hauptaugenmerk auf die Überwindung seiner Schwächen legte. Der Junge reagierte hierauf jedoch mit Vermeidungs-,

260

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

Ausweich- und Verweigerungsstrategien sowie einer gezielten Suche nach Chancen, seine Interessen zu befriedigen und seine besonderen Potenziale auszutesten, was ihn letztlich zum Förderprojekt „Mathe für kleine Asse“ führte. Hier konnte er seine besondere mathematische Begabung u. a. mit folgenden Diagnoseergebnissen belegen: • Im Einstiegstest der von Lehrern nominierten leistungsstärksten Drittklässler aus zehn Münsteraner Grundschulen erreichte er unter 49 Drittklässlern den 9. Rangplatz. • Im Indikatoraufgaben-Test (vgl. Käpnick 2001, S. 167–182) erzielte er den 11. Rangplatz unter 66 mathematisch begabten Dritt- und Viertklässlern. • Sein mathematischer IQ-Wert beträgt 130 (auf der Basis des eingesetzten Intelligenztests CFT 20-R; vgl. Weiß 2007). • In einem speziellen Test zur Raumvorstellung belegte Sven den 17. Rangplatz unter 62 mathematisch begabten Dritt- und Viertklässlern. Hinsichtlich des Sozialverhaltens lässt sich ergänzen, dass für den sehr sensiblen Jungen vertrauensvolle Bezugspersonen, wie insbesondere seine Eltern, stets äußerst wichtig sind. Ist eine solche Vertrauensposition, wie größtenteils in seiner Grundschule, nicht in seiner Nähe, fühlt sich Sven meist unwohl und unsicher.

13.2 Zur Komplexität des Begabungsbegriffs Die beiden Fallbeispiele lassen bereits erkennen, dass das Themenfeld „Mathematisch begabte Kinder“ viele verschiedene Facetten besitzt. Seine hohe Komplexität kann die folgende (unvollständige) Auflistung wesentlicher Aspekte der Thematik verdeutlichen: • Weltanschaulicher Aspekt: Diesbezüglich geht es um den „Ursprung“ einer Begabung: Die Frage, ob eine Begabung von Gott gegeben oder vor allem angeboren oder aber eher ein Ergebnis durch die Umwelt determinierter, erzieherischer Einwirkungen ist, kann sehr unterschiedlich beantwortet werden. Hieraus ergeben sich somit von vornherein verschiedene Grundpositionen für theoretische Erklärungsansätze zum Begabungsbegriff. • Politisch-ökonomischer Aspekt: Jede Gesellschaft braucht für die Meisterung des ökonomischen und speziell des technischen Fortschritts hochbegabte bzw. sehr leistungsfähige Menschen auf grundlegenden Gebieten wie dem der Mathematik. Deshalb ist die Förderung mathematisch begabter Kinder eine aktuell wichtige allgemeingesellschaftliche Aufgabe. • Sozialer Aspekt: Begabte Kinder können, wie das Fallbeispiel von Felix belegt, aufgrund ihres Andersseins soziale Probleme haben, die mitunter sogar in eine soziale Isolation führen können.

13.2  Zur Komplexität des Begabungsbegriffs

261

• Allgemein-kognitiver Aspekt: Hinsichtlich der Definition des Konstrukts „Mathematische Begabung“ konkurrieren seit Längerem unterschiedliche, zum Teil konträre Grundannahmen miteinander, wie vor allem die Auffassung einer mathematischen Begabung als integrierter Bestandteil einer hohen allgemeinen Intelligenz oder alternativ als bereichsspezifische Begabung. • Diagnostischer Aspekt: Da es bisher keine allgemein akzeptierte Definition für das Konstrukt „Hochbegabung“ gibt, existiert auch keine einheitliche Meinung darüber, wie und ab welchem Alter diese diagnostiziert werden kann. Hinzu kommt, dass mit allen einschlägig bekannten Erfassungsmethoden auch Probleme und Grenzen verbunden sind (vgl. hierzu Abschn. 13.5). • Fachmathematischer Aspekt: Fasst man „mathematische Begabung“ als „Begabung für mathematisches Tätigsein“ auf, gilt es zu klären, was man unter „Mathematik“ versteht und was professionelle Mathematiker (als besonders Begabte und Hochleistungsfähige auf diesem Gebiet) auszeichnet. • Kognitionspsychologischer Aspekt: Kognitionspsychologen richten ihr Forschungsinteresse vor allem auf Informationsverarbeitungs- und Problemlöseprozesse. Dementsprechend stellt sich die Frage, welche qualitativen Unterschiede es z. B. in der Art der Informationsaufnahme und -verarbeitung zwischen mathematisch begabten und weniger begabten Kindern gibt. • Geschlechtsspezifischer Aspekt: Unter diesem Gesichtspunkt sind insbesondere begründete Antworten auf folgende Fragen gefordert: Gibt es geschlechtsspezifische Unterschiede hinsichtlich einer mathematischen Begabung (im Grundschulalter)? Sind Jungen mathematisch begabter als Mädchen und inwieweit unterscheiden sie sich bzgl. bestimmter Begabungsausprägungen? • Aspekte der Hirnforschung: Von dieser Wissenschaft erhofft man sich in den nächsten Jahren einen wesentlichen Beitrag zur weiteren Klärung neurowissenschaftlicher Phänomene von begabten Kindern, wie z. B. dem Zustandekommen unbewusster bzw. intuitiver Problemlösungen und der Bedeutung nonverbaler intellektueller Leistungen. • Schulpolitischer und schulorganisatorischer Aspekt: Dieser Gesichtspunkt umfasst vor allem die Notwendigkeit und konkrete Möglichkeiten einer effizienten Förderung von hochbegabten Kindern innerhalb des Schulunterrichts. Dabei geht es angesichts der großen Heterogenität der Schülerleistungen um Aufgabenformate, Organisationsformen und Differenzierungsmöglichkeiten im Hinblick auf eine bestmögliche Förderung aller Schüler im Mathematikunterricht. Sicher kann man nicht bei jedem konkreten Einzelfall alle Aspekte gleichermaßen berücksichtigen. Die hohe Komplexität der Entwicklung einer Begabung verbietet es aber, simple bzw. einseitige Sichtweisen einzunehmen wie etwa die immer noch weit verbreitete Alltagsmeinung: „Um hochbegabte Kinder braucht man sich nicht zu kümmern, sie finden ihren Weg im Leben problemlos allein.“, oder: „Mathematisch begabte Kinder machen Mathematik ‚mit links‘ und ihnen fällt auch das Lernen in

262

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

anderen Fächern leicht.“ Der gegenwärtige Stand der Begabungsforschung (der im Folgenden überblicksartig vorgestellt wird) bietet u. E. zumindest wichtige allgemeine Orientierungshilfen für einen angemessenen Umgang mit mathematisch begabten Kindern.

13.3 Besondere Merkmale mathematisch begabter Grundschulkinder Auf der Basis umfangreicher empirischer Untersuchungen sowie infolge der Weiterentwicklung verschiedener Theorieansätze zu Begabungsmodellen und einer hiermit einhergehenden stetigen Auseinandersetzung mit eigenen Positionen haben Käpnick und Fuchs (Käpnick 1998; Fuchs 2006, S. 65–70; Käpnick und Fuchs 2009, S. 7–11) ein Modell zur Entwicklung mathematischer Begabungen im dritten und vierten Schuljahr konzipiert, das in nachfolgenden Untersuchungen von ihnen selbst prinzipiell bestätigt und von anderen (u. a. Nolte 2004; Peter-Koop und Sorger 2002; Bardy 2007) bislang akzeptiert wurde. Charakteristisch für das Modell ist eine Berücksichtigung der individuellen Entwicklung eines mathematisch begabten Kindes, beeinflusst durch fördernde wie auch hemmende und typprägende intrapersonale und interpersonale Katalysatoren. Entsprechend dem Modell wird unter einer mathematischen Begabung im Grundschulalter im Kern ein sich dynamisch entwickelndes und individuell geprägtes Potenzial verstanden. Dieses Potenzial weist bzgl. der als wesentlich erachteten mathematikspezifischen Begabungsmerkmale ein weit über dem Durchschnitt liegendes Niveau auf und entwickelt sich in wechselseitigen Zusammenhängen mit begabungsstützenden bereichsspezifischen Persönlichkeitseigenschaften (Abb. 13.3 im Abschn. 13.3). Das Begabungspotenzial ist einerseits z. T. angeboren bzw. erblich bedingt und andererseits das Ergebnis von günstigen intrapersonalen und interpersonalen Katalysatoren. Durch ein günstiges „Zusammenspiel“ aller fördernden Katalysatoren kann sich eine sehr hohe mathematische Kompetenz zu einer weit überdurchschnittlichen mathematischen Performanz (Leistungsfähigkeit) weiterentwickeln. Einige weitere Erläuterungen zum Modell: • Mathematische Begabung wird hier als (bereichsspezifische) Begabung für (produktives) mathematisches Tun verstanden. Wesentliche mathematische Tätigkeiten umfassen dabei – entsprechend dem einschlägigen Verständnis von Mathematik – das Suchen, Bestimmen und Lösen von verschiedenartigen zahlentheoretischen, algebraischen, geometrischen, stochastischen etc. Einzelproblemen oder komplexen Problemfeldern, weiter das Entwickeln von Strukturen, Modellen etc. zu diversen Themenfeldern bis hin zum Entwickeln mathematischer Theorien. Für mathematisches Tätigsein sind zugleich ein spielerischer Umgang mit Zahlen, Formen usw., eine ausgeprägte spezifische mathematische Ästhetik und vielfach sehr

Abb. 13.3   Modell zur Entwicklung mathematischer Begabungen im 3. und 4. Schuljahr nach Käpnick und Fuchs (vgl. Fuchs 2006, S. 67; Käpnick und Fuchs 2009, S. 9)

13.3  Besondere Merkmale … 263

264 Abb. 13.4   4 × 4-Zahlenfeld

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder 1 9 7 3

19 11 13 17

18 12 14 16

2 8 6 4

enge Wechselbeziehungen zwischen mathematischen und naturwissenschaftlichen Denk- und Arbeitsweisen kennzeichnend (vgl. hier zu Käpnick 1998, S. 53–65). • Gemäß der einschlägig bekannten Kurzcharakteristik der Mathematik als „Wissenschaft der Muster und Strukturen“ (Devlin 2002) kommt der Kompetenz im Erkennen von, im Arbeiten mit und im Transfer von Strukturen im Begabungsmodell eine herausragende Bedeutung zu. Sie ist explizit in drei der sieben bereichsspezifischen Begabungsmerkmale und implizit in allen sieben Merkmalen integriert. • Das weit über dem Durchschnitt liegende Niveau bzgl. der sieben mathematik-spezifischen Kompetenzen lässt sich exemplarisch am Beispiel einer ­ empirischen Studie zum Nachweis der Kompetenz im Speichern mathematischer Sachverhalte im Arbeitsgedächtnis unter Nutzung erkannter Strukturen verdeutlichen. In der Studie waren 110 mathematisch potenziell begabte Dritt- und Viertklässler sowie 44 (nicht begabte) gleichaltrige Vergleichsschüler aufgefordert worden, sich in einer Minute 16 Zahlen eines 4 × 4-Zahlenfeldes einzuprägen und diese danach in ein leeres Feld wieder korrekt einzutragen (Abb. 13.4; Käpnick 1998, S. 134–170). Die Analyse erbrachte sehr deutliche Ergebnisunterschiede zwischen beiden Kindergruppen, und zwar einerseits hinsichtlich der erreichten Punktzahlen für die richtige Wiedergabe von Zahlen und andererseits bzgl. der angewendeten Merkstrategien. Die statistische Ergebnisdifferenz war mit einem Wert von Prob (Z) = 0,0074 signifikant. Sie spiegelte sich auch darin wider, dass fast 40 % der potenziell begabten Kinder alle 16 Zahlen korrekt wiedergeben konnten, was demgegenüber nur zwei Vergleichsschülern gelang (die zudem offenbar mathematisch begabt waren und somit fälschlicherweise der Vergleichsgruppe angehörten). Die deutlich bessere Gedächtnisleistung erreichten die begabten Kinder dadurch, dass sie bereits in der unmittelbaren Phase der Informationsaufnahme besondere Strukturen in der Zahlanordnung erkannten, wodurch sie sich nur etwa vier anstelle der 16 Einzelinformationen zu merken brauchten5. • Neuere Ergebnisse der Neuropsychologie und der Kognitionspsychologie bestätigen nachhaltig – in Übereinstimmung mit zahlreichen bisherigen Fallstudien – die Hervorhebung mathematischer Sensibilität und mathematischer Fantasie als wesentliche bereichsspezifische Merkmale mathematisch begabter Grundschulkinder.

5Diesbezüglich

ist zu beachten, dass ein Mensch nur sieben bis neun Einzelinformationen im Arbeitsgedächtnis speichern kann. Die Kapazitätsbeschränkung bezieht sich aber nur auf die Anzahl, nicht auf die Komplexität der Informationen (Edelmann 2000, S. 168).

13.3  Besondere Merkmale …

265

Eine ausgeprägte mathematische Sensibilität zeigt sich bei begabten Grundschulkindern (im Unterschied zu weniger begabten Kindern) vor allem • in ihrer großen Faszination und in ihrem ausgeprägten Gefühl für Zahlen, Zahl- und Rechenbeziehungen sowie für geometrische Muster (was etwa im Fallbeispiel zu Sven erkennbar ist), • in intuitiven Phasen beim Problemlösen, die dem spontanen, offenen, teils sprunghaften, an intensive Empfindungen und vielfältige Bildwelten gebundenen Denken dieser Kinder entsprechen (was z. B. in der Fallstudie zu Sven deutlich wird, vgl. auch nachfolgendes Beispiel). Tims Erklärung seines Vorgehens beim Problemlösen: „Oft sehe ich die Lösung. Manchmal überlege ich auch sehr lange und dann ist die Idee urplötzlich da“. • Mathematische Fantasie als den m. E. wichtigsten Aspekt kindlicher Kreativität entwickeln begabte Grundschulkinder immer wieder eindrucksvoll, wenn sie spielerisch, offen und ungehemmt mit mathematischen Inhalten umgehen. • Die hier vorgenommene Unterscheidung von Kompetenz und Performanz entspricht dem von Stern entwickelten Kompetenzbegriff (Stern 1998, S. 17–22). Hiermit wird der in der Praxis häufig auftretenden Diskrepanz zwischen hohem Leistungspotenzial und vergleichsweise geringerer „abrufbarer“ Leistungsfähigkeit bei Tests u. Ä. Rechnung getragen. Unter Kompetenz wird demgemäß die Verfügbarkeit von Wissen verstanden, mit dessen Hilfe die in einer Situation gestellten Anforderungen erkannt und bewältigt werden können. Vereinfacht ist Kompetenz das, was ein Individuum bzgl. eines Inhaltsbereichs prinzipiell weiß und kann (sein Potenzial). Performanz ist demgegenüber die eingeschränkte Anwendung von Kompetenz (die diagnostizierbare Leistungsfähigkeit). Kompetenzen können somit immer nur aus der direkt erfassbaren Performanz erschlossen werden. • Die Berücksichtigung des geburtlich bzw. genetisch bedingten Begabungspotenzials als wesentliche Komponente des Begabungsmodells basiert auf jüngeren Ergebnissen der Hirnforschung. Demzufolge spricht vieles dafür, dass Begabungen generell eine „starke genetische, hirnorganische Komponente“ haben (Winner 1998, S. 146). Roth stellt zudem heraus, dass „knapp die Hälfte“ der Charakterzüge eines Menschen „genetisch oder bereits vorgeburtlich bedingt“ ist (Roth 2001, S. 452). Er hebt ebenso die große Bedeutung der ersten Lebensjahre hervor, indem er einschätzt, dass bereits kurz nach der Geburt bzw. in den ersten drei bis fünf Jahren wesentliche Persönlichkeitsmerkmale bestimmt werden. • Viele Fallstudien aus der Begabungsforschung belegen, dass sowohl intrapersonale als auch interpersonale bzw. Umweltkatalysatoren die Begabungsentwicklung eines Kindes maßgeblich beeinflussen. Einleuchtend und hinlänglich bekannt ist, dass allgemeine kognitive Fähigkeiten, wie Sprach- und Denkkompetenzen, und persönlichkeitsprägende Eigenschaften, wie Temperament oder das jeweilige Selbstkonzept eines Kindes, das mathematische Begabungsprofil mitbestimmen. In neueren Untersuchungen der Hirnforschung werden aber ebenso physische Besonderheiten, wie sprachbezogene

266

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

Lernstörungen (vgl. das Fallbeispiel von Sven) und Immunschwächen wie Allergien (Winner 1998, S. 160), im Zusammenhang mit Auffälligkeiten mathematischer Frühbegabung diskutiert. Wenn auch diesbezügliche Verallgemeinerungen derzeit wissenschaftlich nicht haltbar sind, können solche Zusammenhänge durchaus wichtige Indizien beim Diagnostizieren einer mathematischen Frühbegabung sein. • In Übereinstimmung mit vielen Begabungsforschern sind fördernde interpersonale bzw. Umweltkatalysatoren, wie z. B. eine anregende Erziehung im Elternhaus, das tägliche Erleben einer faszinierenden technischen Konstruktion oder die Möglichkeit der frühen Teilnahme an speziellen Förderprogrammen, wichtige und notwendige, aber nicht hinreichende Bedingungen für die Herausbildung einer mathematischen Begabung. Das einleitende Fallbeispiel von Felix verdeutlicht dies nachdrücklich. • Im Unterschied zu Definitionen der klassischen Intelligenzforschung, wonach Begabung „produktorientiert“ bestimmt wird und somit mit einem Test messbar ist6, wird in der dargestellten Modellierung bewusst keine eindeutige quantitative Niveaufestlegung, beispielsweise eine messbare Unterscheidung zwischen mehr als durchschnittlich leistungsfähig und begabt, angegeben. Hauptgründe hierfür sind zum einen grundsätzliche Probleme bzw. Grenzen bezüglich einer Messung von „mathe matischer Fantasie“ oder „mathematischer Sensibilität“, die prinzipiellen Probleme einer einmaligen Testung (vgl. hierzu Abschn. 13.5) sowie der hochkomplexe Charakter des Merkmalssystems. Letzteres bedeutet, dass die verschiedenen mathematikspezifischen Begabungsmerkmale und die begabungsstützenden Persönlichkeitseigenschaften in einem Systemzusammenhang stehen, d. h., dass sich diese wechselseitig bedingen (und damit kaum oder nicht isoliert beim mathematischen Tun erfasst werden können) und dass sie individuell sehr verschieden ausgeprägt sein können (vgl. Abschn. 13.4). Anzumerken ist weiterhin, dass natürlich auch diese konstruktive Modellbildung nur eine Vereinfachung der realen Komplexität darstellt und dass im theoretischen Konstrukt (nur) wesentliche Aspekte und Zusammenhänge mathematischer Begabungsentwicklung im Grundschulalter relativ undifferenziert hervorgehoben werden. Das Modell hat somit eine Strukturierungs- und Orientierungsfunktion für die Einordnung von inhaltlichen Aspekten und Zusammenhängen zum Themenkomplex. Ergänzend sei angefügt, dass Meyer (gemeinsam mit Fuchs und Käpnick) inzwischen ein spezifisches Merkmalssystem zur Kennzeichnung mathematischer Begabungen von vier- bis sechsjährigen Kindern entwickelte (Meyer 2015). Ein wesentlicher Unterschied im Vergleich zur Modellierung mathematisch begabter Dritt- und Viertklässler von Fuchs und Käpnick besteht darin, dass für begabte Vorschulkinder noch besondere Zahl- und Rechenkompetenzen prägend sind (die ab dem späteren Grundschulalter

6Auf

der Basis vieler Intelligenztests gilt ein Kind als hochbegabt, wenn es einen IQ-Wert von mindestens 130 erreicht.

13.4  Ausprägungen mathematisch begabter Grundschulkinder

267

für die Kennzeichnung mathematischer Begabungen nicht mehr als „begabungsrelevant“, sondern vielmehr als unverzichtbare Grundkompetenzen für alle Kinder eingeschätzt werden). Zudem spielen im Vorschulalter noch eher allgemein ausgerichtete begabungsstützende Persönlichkeitseigenschaften, wie eine ausgeprägtes Explorationsverhalten und eine schnelle Auffassungs- und Beobachtungsgabe zur Kennzeichnung mathematischer Begabungen eine wesentliche Rolle, diese Merkmale sind in späteren Jahren fachbezogen ausgeprägt (ebd.). Es fehlt bis heute aber ein spezifisches Modell zur Kennzeichnung mathematischer Begabungen im ersten und zweiten Schuljahr. Der Hauptgrund für dieses Defizit liegt u. E. darin, dass im Unterschied zum Vorschulalter und zum späteren Grundschulalter in den ersten beiden Schuljahren die inter- und intrapersonalen Einflussfaktoren meist inkonstant sind. Viele Einzelfallstudien zum Übergang von der Kita in die Grundschule bei mathematisch potenziell begabten Kindern weisen demgemäß auf starke und zugleich sehr unterschiedliche Beeinflussungen durch die Institution „Schule“, durch veränderte Erwartungen von Eltern u. a. m. hin (ebd.; Fuchs 2015). Hieraus resultieren häufig mehrere Spannungsfelder (z. B. ein Missverhältnis zwischen den einerseits hohen Erwartungen und Leistungspotenzialen eines kleines Matheasses an die Schule und der andererseits eher frustrierend erlebten Schulpraxis, ebenso Missverständnisse bzw. ein geringes Verständnis vieler Lehrkräfte für die besonderen Bedarfe mathematisch begabter Kinder, asymmetrische Entwicklungen dieser Kinder), die wiederum zu mehr oder weniger großen Beeinträchtigungen und im Extremfall sogar zur zumindest zeitweisen Verhinderung der Entfaltung eines Begabungspotenzials im Übergang führen können. Demzufolge sind sowohl eine allgemeine Kennzeichnung einer mathematischen Begabung im Übergang von der Kita in die Grundschule als auch eine hierauf basierende zuverlässige Diagnose generell als sehr problematisch anzusehen.

13.4 Ausprägungen mathematisch begabter Grundschulkinder Wie unter professionellen Mathematikern, so findet man auch unter mathematisch begabten Grundschulkindern bereits sehr verschiedene individuelle Ausprägungen, die wiederum unterschiedliche Klassifikationen kleiner Matheasse ermöglichen. Im Folgenden werden einige solcher markanten Klassifikationen überblicksartig vorgestellt. Unterscheidung von Problemlösestilen Diesbezüglich lassen sich kleine Matheasse unterscheiden, die beim Problembearbeiten • äußerst hartnäckig und ausdauernd probieren oder • Lösungen blitzschnell intuitiv erahnen bzw. sich intuitiv an eine Lösung herantasten oder • abwechselnd probieren und überlegen oder

268

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

• von Anfang an systemhaft vorgehen und konsequent nach einem Lösungsmuster suchen oder • je nach Situation verschiedene Vorgehensweisen anwenden („Misch-Typ“). (Fuchs 2006 bzw. Abschn. 7.5 dieses Buches) Bemerkenswert ist, dass sich die Problemlösestile schon im Grundschulalter verfestigen und diese weitaus stärker die Art und Weise einer Problembearbeitung durch die Kinder prägen als andere Einflussfaktoren, wie etwa der Inhalt oder die Repräsentationsform einer Problemaufgabe. Der eindeutig am häufigsten vorkommende Problemlösestil ist hierbei das „abwechselnde Probieren und Überlegen“ (Fuchs 2006, S. 250). Geschlechtsspezifische Besonderheiten Das Phänomen der Unterrepräsentation von Mädchen und Frauen in Förderprojekten mathematisch begabter Kinder sowie in allen mathematischen Bildungsgängen ist hinlänglich bekannt. In allen einschlägig bekannten deutschen Förderprojekten beträgt der Anteil von Mädchen z. B. seit Jahrzehnten meist ca. ein Drittel. Mit gesellschaftsökonomischen Konstellationen oder mit geschlechtsspezifischen genetischen Unterschieden lässt sich das Phänomen kaum begründen (Benölken 2009, S. 95–96). Auffällige geschlechtsspezifische Besonderheiten ergeben sich jedoch aus tendenziellen Unterschieden zwischen mathematisch begabten Mädchen und Jungen hinsichtlich des Sozialverhaltens, des Interessenspektrums, des jeweiligen Selbstkonzepts sowie des Herangehens an mathematische Aufgaben (woraus sich durchaus Erklärungsansätze für den geringeren Mädchenanteil ableiten lassen). Zusammengefasst haben mathematisch begabte Mädchen tendenziell • ein breiteres Interessenspektrum als begabte Jungen (und fokussieren sich im Kindesund Jugendalter oft auf ihre künstlerisch-musischen oder sprachlichen Interessen), • andere (weniger „weibliche“) Interessen als normal begabte Mädchen, • eine bessere Kausalattribution in Bezug auf Mathematik als normal begabte Mädchen, • kein Geschlechtsrollenbild, dem sie folgen und wodurch sie ein größeres Interesse an Mathematik zeigen als normal begabte Mädchen, • ein weniger stark ausgeprägtes geschlechtsspezifisches Verhalten, • in Bezug auf Mathematik ein positives Selbstkonzept (Benölken 2009). Außerdem gilt tendenziell, dass mathematisch begabte Mädchen • sich einem neuen anspruchsvollen Problem vorsichtiger, behutsamer, oft auch umsichtiger als Jungen annähern, • in der Phase der Problemlösung vergleichsweise kommunikativer sind, sich austauschen, wiederum vorsichtiger und oft sorgfältiger als Jungen vorgehen, • viel größeren Wert als Jungen auf eine übersichtliche, saubere und vollständige Lösungsdarstellung legen,

13.4  Ausprägungen mathematisch begabter Grundschulkinder

269

• stärker als begabte Jungen dazu neigen, ihre Lösungen verbal bzw. in Textform oder grafisch darzustellen (vgl. Benölken 2009 sowie Abschn. 7.5). Unterscheidung nach besonderen kognitiven und physiologischen Konstellationen Auf der Basis vieler Fallbeispiele zu mathematisch begabten Kindern kann man differenzieren zwischen Kindern • mit etwa gleich hohen mathematischen und allgemein-kognitiven einschließlich sprachlichen Kompetenzen (Auf der Grundlage eigener langjähriger Untersuchungen trifft dies auf etwa zwei Drittel aller mathematisch begabter Grundschulkinder zu.), • mit einem hohen mathematischen Leistungspotenzial, insbesondere im Finden origineller Problemlösungen, und vergleichsweise deutlich geringeren sprachlichen Kompetenzen (vgl. Fallbeispiel Sven im Abschn. 13.1; der Anteil solcher Kinder unter den kleinen Matheassen beträgt nach eigenen Analysen knapp 20 %.), • mit z. T. ungewöhnlichen mathematischen Potenzialen auf speziellen Gebieten, wie z. B. im Umgang mit formal-abstrakten Strukturen, im Kopfrechnen oder im räumlichen Vorstellungsvermögen, und zugleich gravierenden Defiziten in anderen grundlegenden kognitiven Bereichen sowie meist im Sozialverhalten. (Hierzu gehören z. B. autistische Kinder oder Kinder mit „Inselbegabungen“, vgl. Winner 1998). Klassifikation nach Sozialkompetenz Soziologische Untersuchungen zeigten wiederholt auf, dass hochbegabte Kinder generell ein breites Spektrum sozialer Reife aufweisen (Käpnick 1998, S. 84). Als eine sehr grobe Orientierungshilfe kann jedoch bereits eine Unterscheidung von zwei Typen hilfreich sein: Begabte Kinder mit einer „mäβig beschleunigten intellektuellen Entwicklung“ haben meist gute Interaktionsfähigkeiten. Sie sind besser als Vergleichskinder in der Lage, ihren eigenen und den sozialen Status ihrer Klassenkameraden gut einzuschätzen. Demgemäß können sie Bedürfnisse anderer meist leicht erkennen und sensibel auf fremde Bedürfnisse eingehen (Roedell 1989, S. 20; Czeschlik 1993, S. 155). Dies gelingt ihnen offenbar auch deshalb, weil sie häufig gleichartige oder ähnliche Tätigkeiten, Freizeitinteressen und Spielgewohnheiten wie normalbegabte Kinder haben, gleichwohl tendenziell stärker als durchschnittlich begabte Grundschüler geistige Tätigkeiten bevorzugen. Kinder mit einer „mäβig beschleunigten Entwicklung“ sind meist unter Mitschülern (und unter Lehrern) beliebt, sie sind emotional stabil sowie in der Schule und im späteren Leben in der Regel erfolgreich (Roedell 1989, S. 15). Dagegen haben extrem hochbegabte Kinder oft Schwierigkeiten, in ihrem sozialen Leben einen angemessenen Platz zu finden. Roedell u. a. führen diese Probleme insbesondere auf spezifische Tätigkeitsprofile bei sehr begabten Kindern zurück. Im Unterschied zu anderen gleichaltrigen Kindern, die ein breites Spektrum von (­Spiel-) Tätigkeiten präferieren, bevorzugen sehr hochbegabte Kinder (oft bereits im Vorschulalter) tendenziell geistige Tätigkeiten wie Lesen oder Knobeln mit Zahlen und Formen.

270

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

Sie interessieren sich – mitunter einseitig – für spezielle mathematische, geografische, biologische oder historische Themen. Da sie wegen ihrer kognitiven Akzeleration selten adäquate Spielkameraden finden, sind sie oft schon frühzeitig mehr auf sich selbst angewiesen (Rost und Hanses 1994, S. 215). Ein anderes Problem des besonderen Tätigkeitsprofils extrem hochbegabter Kinder besteht im Übrigen darin, dass sich bei den Kindern eine große Diskrepanz zwischen dem Niveau ihrer intellektuellen Fähigkeiten und ihrer physischen Entwicklung herausbilden kann (Roedell 1989, S. 15). Im Seattle-Projekt stieß man z. B. auf Vorschulkinder, die zwar schon wie Viertklässler lesen, aber noch nicht mit Papier und Bleistift umgehen konnten. Zur körperlichen Unbeholfenheit kommt bei hochbegabten Kindern des Öfteren die Neigung hinzu, ihre physischen Fähigkeiten zu überschätzen. Sie nehmen sich Vorhaben vor, die über ihre körperlichen Kräfte gehen. Dadurch bereiten sie sich letztlich selbst Frustrationen, weil sie ihre Wünsche und Intentionen nur unbefriedigend realisieren können (Roedell 1989, S. 15). Eine weitere Diskrepanz entsteht bei hochbegabten Kindern dann, wenn ihre kognitiven Fähigkeiten die soziale Reife weit überflügeln. So sind Grundschulkinder mit einem sehr hohen geistigen Potenzial oft nicht in der Lage, ihre spezifischen Bedürfnisse und Gefühle anderen mitzuteilen wie auch andersartige Interessen und Empfindungen gleichaltriger Mitschüler zu verstehen. Unter dieser Diskrepanz leiden betroffene Kinder gewöhnlich, während Mitschüler, Eltern oder vielfach auch Lehrer irritiert und hilflos reagieren.

13.5 Möglichkeiten und Probleme der Diagnostik mathematischer Begabungen im Grundschulalter Eine gründliche Diagnostik der mathematischen Begabung eines Kindes ist unbestritten eine wesentliche Voraussetzung für die Planung effektiver Fördermaßnahmen. Entsprechend einer ganzheitlichen Sicht auf die Entwicklung eines Kindes sollte die Diagnostik • ein differenziertes Erfassen des erreichten Niveaus bzgl. aller mathematikspezifischen Begabungskriterien, • eine fundierte Einschätzung der begabungsstützenden Persönlichkeitseigenschaften sowie • eine Analyse der fördernden bzw. hemmenden und Typ prägenden intrapersonalen und interpersonalen Katalysatoren umfassen. Damit ist die fundierte Diagnostik der mathematischen Begabung eines Grundschulkindes eine äußerst komplexe Aufgabe. Diese wird zusätzlich dadurch erschwert, dass

13.5  Möglichkeiten und Probleme …

271

• die Denktätigkeit von Grundschülern tendenziell stark an Veranschaulichungen gebunden ist, • ihre Sprachkompetenzen noch recht begrenzt und zugleich individuell sehr differenziert sind, • grundlegende mathematische Denkweisen und Routinen sich bei den Kindern erst allmählich ausbilden, • eine besondere mathematische Sensibilität oder Fantasie generell nur sehr schwer und oft lediglich vage erkannt werden kann und dass dies stets sehr viel Sachverständnis und Fingerspitzengefühl vonseiten des Diagnostikers erfordert, • Interessenausprägungen der Grundschüler noch weitestgehend instabil sind und außerdem • sich bereits im Grundschulalter unterschiedliche Begabungsausprägungen herausbilden, was in einem allgemeinen Merkmalssystem nur unzureichend berücksichtigt werden kann. Hinzu kommt, dass der Vorhersagezeitraum bis zur Entfaltung einer mathematischen Begabung im Jugend- und Erwachsenenalter noch relativ lang ist und die weitere Begabungsentwicklung eines Kindes damit stets nur spekulativ eingeschätzt werden kann. Eine absolut sichere Diagnostik gibt es nicht! Aufgrund der angesprochenen Komplexität und der genannten spezifischen Diagnoseprobleme, aber ebenso aufgrund bekannter Unzulänglichkeiten und Risiken beim Einsatz eines einzigen Testverfahrens (Käpnick et al. 2006, S. 180–181) erfordert eine fundierte Diagnostik der mathematischen Begabung eines Kindes eine Synthese verschiedener standardisierter und nichtstandardisierter Diagnoseverfahren. Die Diagnose kleiner Matheasse kann demgemäß als ein feinfühliger, umfassender und längerfristiger Prozess verstanden werden, der hauptsächlich (nur) von einem Spezialisten geleistet werden kann. Eine wichtige Rolle sollten hierbei aber auch stets die jeweiligen Lehrer spielen. Auf der Basis ihrer durch Studium und Berufserfahrung gewonnenen fachlichen und pädagogischen Professionalität und ihres tägliches Kontaktes zu Grundschulkindern über meist mehrere Schuljahre hinweg sind sie kompetent, die Leistungsentwicklung in den einzelnen Schulfächern sowie die charakterliche Reifung eines Kindes fundiert zu beurteilen. Freilich orientieren sich Lehrer meist an inhaltlichen Kriterien und Niveaufestlegungen von Lehrplänen, was von vornherein eine z. T. andere theoretische Ausgangsbasis bedeutet. Beispielsweise gehören Rechenkompetenzen oder räumliches Vorstellungsvermögen zu den wichtigsten inhaltsbezogenen Zielen schulischer Allgemeinbildung, während im hier vorgestellten Modell zur Kennzeichnung mathematischer Begabungen diese Kompetenzen nur eine untergeordnete Rolle spielen. Demgegenüber sind Kriterien wie mathematische Sensibilität oder Fähigkeiten im selbstständigen Umkehren von Gedankengängen beim Bearbeiten mathematischer Probleme sehr relevant, die wiederum in der Unterrichtspraxis (leider) meist nur eine nebensächliche Bedeutung haben. Ein weiteres Problem der Lehrerdiagnostik besteht darin, dass sich Lehrkräfte bei Qualitätseinschätzungen verständlicherweise oft an schulischen

272

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

Durchschnittsleistungen orientieren und dass sie zudem häufig von unterschiedlichen Niveauvorstellungen beim Bewerten von Persönlichkeitseigenschaften eines Kindes ausgehen. Um daher ein gewisses Maß an inhaltlicher Übereinstimmung und Objektivität zu sichern, ist es m. E. sinnvoll und notwendig, dass Lehrer für die Diagnose einer mathematischen Begabung das im Abschn. 13.3 dargestellte Begabungsmodell kennen. Hinsichtlich der in der Praxis nach wie vor weit verbreiteten Nutzung von Intelligenztests für die Diagnose einer mathematischen Begabung lässt sich einerseits zwar positiv herausstellen, dass diese Tests objektive und standardisierte Messungen eines allgemeinen Intelligenzniveaus (IQ) ermöglichen und ihr Einsatz relativ zeiteffektiv ist. Andererseits liegt solchen Tests ein zum Teil falsches Grundverständnis zum mathematisch-produktiven Tätigsein zugrunde (Kießwetter 1992; Käpnick 1998, S. 116–117), Intelligenztests sind einseitig „produktorientiert“ und somit auf nur „messbare“ Kriterien beschränkt, die zudem isoliert getestet werden. Diesbezüglich ist zudem prinzipiell fraglich, ob und wie eine besondere mathematische Sensibilität oder Kreativität isoliert getestet und gemessen werden kann. Hinzu kommt, dass Grundschulkinder meist noch sehr unerfahren im Umgang mit Testsituationen sind und deshalb in Tests nicht immer ihr wirkliches Potenzial zeigen (können). Langjährige Erfahrungen zeigen, dass die Diagnose einer mathematischen Begabung bei Erst- und Zweitklässlern prinzipiell sehr problematisch ist und nur in Einzelfällen eindeutige Einschätzungen erlaubt. Aber auch eine fundierte Diagnostik der mathematischen Begabung von Dritt- und Viertklässlern ist sehr komplex und anspruchsvoll. Für eine Förderung im Rahmen eines außerunterrichtlichen Enrichment-Projektes empfiehlt sich z. B. eine prozessbezogene Diagnostik. Diese könnte konkret in Bezug auf Dritt- und Viertklässler folgendes mehrstufige Verfahren umfassen: 1. Stufe (Grobauswahl): Auswahl mathematisch potenziell begabter Grundschüler aufgrund von Lehrereinschätzungen (in Absprache und mit Zustimmung der Eltern) Hierbei empfiehlt es sich, den Lehrern vorab als Orientierungshilfe eine Liste wesentlicher Begabungsmerkmale zu geben. Dass Lehrer evtl. dazu neigen, das Begabungspotenzial ihrer Kinder zu überschätzen, sollte in diesem Zusammenhang nicht unbedingt als Nachteil angesehen werden. Auf diese Weise kann u. U. der Gefahr entgegengewirkt werden, dass schon auf dieser Stufe mathematisch begabte Kinder an einer zu „engmaschigen“ Identifizierung scheitern. 2. Stufe: Durchführen von Schnupperstunden; „Einstiegstest“ Im Rahmen von ein oder zwei Förderstunden sollten sich die ausgewählten Kinder selbst ein Bild von den Inhalten und Anforderungen einer anspruchsvollen Förderung mathematisch Begabter machen und dann selbst ihr Leistungspotenzial und ihr Interesse an einer zielgerichteten Förderung auf mathematischem Gebiet einschätzen. Mithilfe des Einsatzes eines Einstiegstests (Käpnick und Fuchs 2009, S. 27–35) kann eine gründlichere und umfassendere Diagnose des Entwicklungsstandes spezifischer mathematischer Fähigkeiten erfolgen.

13.6  Möglichkeiten der Förderung mathematisch begabter Grundschulkinder

273

3. Stufe: Prozessbegleitende Diagnose Hier sollte es vor allem darum gehen, ein umfassendes Bild über die Ausprägung und die Entwicklung der Begabung eines Kindes zu erhalten. Dazu bieten sich insbesondere Beobachtungen der Kinder beim Aufgabenlösen, Analysen von Schüleraufzeichnungen, Schüler- oder Lehrerinterviews zu begabungsstützenden Persönlichkeitseigenschaften an. Weitere wichtige Informationen können Ergebnisse eines Intelligenztests und eines Indikatoraufgabentests (Käpnick 1998, 2001) liefern. Für das Erfassen einer potenziellen mathematischen Begabung bei Erst- und Zweitklässlern kann das Stufenmodell in analoger Weise genutzt werden. Wenn auch, wie angesprochen, für das frühe Grundschulalter noch kein spezifisches Modell zur Kennzeichnung einer mathematischen Begabung entwickelt wurde, gibt es inzwischen für Kinder der ersten Jahrgangsstufe erprobte Indikatoraufgaben (Fuchs 2015, Käpnick et al. 2020), mit deren Einsatz das individuell vorhandene mathematikspezifische Begabungspotenzial differenziert erfasst werden kann.

13.6 Möglichkeiten der Förderung mathematisch begabter Grundschulkinder Zahlreiche Fallbeispiele belegen, dass sich mathematisch begabte Kinder vielfältige Kontakte zu Gleichaltrigen wünschen. Diese Kontakte sind für sie auch unverzichtbar, um verschiedene Einstellungen, Interessen und Wertvorstellungen kennen und achten zu lernen und um von dieser Sicht aus das eigene „Ich“ besser verstehen sowie – verallgemeinernd ausgedrückt – sich in ihrer Gesamtpersönlichkeit kompakt entwickeln zu können. Dies ist ein Hauptgrund dafür, dass mathematisch begabte Kinder möglichst viel mit anderen gleichaltrigen Kindern gemeinsam lernen sollten. Ein anderer wichtiger Grund besteht darin, dass kleine Matheasse den regulären Mathematikunterricht mit ihren kreativen Ideen wie mit ihrem Spezialwissen sehr bereichern und mit ihrer hohen Kompetenz sein Gesamtniveau prägen bzw. erhöhen können. Für eine angemessene individuelle Förderung mathematisch begabter Kinder im regulären Mathematikunterricht eignen sich vor allem offene und komplexe Aufgaben7 mit Möglichkeiten einer natürlichen Differenzierung (vgl. Abschn. 11.4; zahlreiche erprobte Aufgabenfelder findet man in: Käpnick 2001; Käpnick und Fuchs 2004, 2009).

7Dagegen

bedeuten ein kleinschrittiges Vorgehen, der Einsatz von geschlossenen oder Routineaufgaben für mathematisch begabte (wie im Prinzip auch für alle anderen) Kinder häufig ein „Gängeln“, das ihnen zunehmend ihre Lernfreude nimmt (vgl. das Fallbeispiel von Felix). Aber auch sogenannte „Sternchen-Aufgaben“ mit einem vergleichsweise deutlich höheren Anforderungsniveau sind für kleine Matheasse nur bedingt motivations- und leistungsfördernd, weil sie selten den individuellen Voraussetzungen, Interessen, Denkstilen etc. der Kinder entsprechen und oft wenige Chancen für ein selbstbestimmtes Mathematiktreiben bieten.

274

13  Besonderheiten mathematisch begabter Grundschulkinder

Darüber hinaus bieten sich Kurzreferate kleiner Matheasse zu einem anspruchsvollen Thema oder das Vorstellen einer schweren Knobelaufgabe im Rahmen einer „Hobbymesse“ an, auf der jedes Kind über seine Hobbys berichten kann. Unter Umständen wäre es ebenso möglich, in Übungsphasen oder bei einer Projektarbeit besonders leistungsstarken Kindern die zeitweilige Leitung einer Lerngruppe zu übertragen. Da mathematisch begabte Kinder im täglichen Mathematikunterricht meist nur in einem begrenzten Umfang individuell gefördert werden können, sollten – wie in anderen Begabungsbereichen – zusätzliche Fördermaßnahmen genutzt werden. Für eine außerunterrichtliche Förderung empfehlen sich Teilnahmen an einer mathematischen Arbeitsgemeinschaft sowie an Schülerwettbewerben (z. B. Schul-, Kreis, Landesolympiaden, Gruppenwettbewerbe, „Jugend forscht“, regionale Wettbewerbe wie der Adam-Ries-Wettbewerb in Sachsen). Insbesondere in Enrichment-Projekten8 mit regelmäßigen Förderstunden können nachhaltige Effekte hinsichtlich der Stärkung der kindlichen Persönlichkeitsentwicklung (z.  B. Entwicklung des Selbstbewusstseins, der Anstrengungsbereitschaft, der Ausdauer, Förderung sozialer Kompetenzen) erzielt werden. Positive Effekte können auch Teilnahmen an Korrespondenzzirkeln bzw. Internetprojekten, an Wochenend- oder Feriencamps bewirken. Aufgrund der bereits angesprochenen Wechselbeziehungen zwischen der Förderung der mathematischen Begabung und der Entwicklung der gesamten Persönlichkeit sind dagegen Einzelunterricht, spezielle „Mathematikförderklassen“ (auch ­„D-Zug-Klassen“ genannt) sowie das Überspringen einer Klassenstufe in Mathematik, während in den übrigen Fächern der Unterricht mit gleichaltrigen Kindern erfolgt9, kritisch einzuschätzen. So kann sich beispielsweise ein Überspringen einer Klassenstufe als sehr problematisch erweisen, wenn sich ein Kind schon in einer „Schieflage“ zwischen einer weit vorangeschrittenen kognitiven Entwicklung und einer defizitären körperlichen oder sozialen Reifung befindet. In derartigen Fällen könnte es vielmehr zu einer weiteren Zuspitzung der Persönlichkeitsprobleme des betroffenen Schülers kommen. Egal ob mathematisch interessierte und begabte Grundschulkinder im täglichen Mathematikunterricht, im Rahmen einer außerunterrichtlichen Arbeitsgemeinschaft, eines Schülerwettbewerbs oder eines Korrespondenzzirkels gefördert werden, das entscheidende Mittel der Förderung sind substanzielle mathematische Aufgaben. Beim Suchen von Lösungsansätzen und von originellen Lösungswegen, beim Darstellen und Präsentieren von Lösungen, beim Finden von Anschlussproblemen usw. können die Kinder die ganze Faszination produktiven mathematischen Tuns erleben und sich selbst fordern. Hierzu gehören ein mitunter hartnäckiges, auch verzweifeltes Probieren, Analysieren, Strukturieren, ein Entwerfen und ein Verwerfen von Ansätzen, ebenso ein Staunen über einen entdeckten mathematischen Zusammenhang, das Erfahren eines

8Vgl.

hierzu die Erklärungen zur Enrichment- und Acceleration-Förderung in der Fußnote 3 im Abschn. 11.4. 9Diese Fördermaßnahme wird verallgemeinernd als „Drehtürmodell“ bezeichnet.

13.6  Möglichkeiten der Förderung mathematisch begabter Grundschulkinder

275

„Aha-Erlebnisses“, die pure Freude über eine tolle Idee, über einen eleganten Lösungsweg oder über eine schöne Ergebnisdarstellung, weiterhin das Genießen eines freien „Spielens“ mit Zahlen und Formen, aber auch das oft mühselige Suchen nach einem Fehler, das kritische Überprüfen von Lösungswegen und von Ergebnissen etc. Mögliche Weiterentwicklungen In der aktuellen bildungspolitischen Diskussion bietet die Förderung besonders leistungsstarker und -fähiger Kinder einen höchst relevanten Fokus (exemplarisch sei die von Bund und Ländern gemeinsam organisierte Initiative „Leistung macht Schule“ genannt), wobei diesbezüglich Fragen der sozioökonomischen Entwicklung in Deutschland zukünftig auch in bedeutsamer Weise einbezogen werden könnten. Hiervon ausgehend wird zudem beispielsweise die Entfaltung der Potenziale aller Lernenden durch geeignete individualisierende Lernangebote für den Regelunterricht im Fach Mathematik fokussiert. Verstärkte Forschungsaktivitäten sind darüber hinaus gegenwärtig auf eine weitere begriffliche Ausschärfung wesentlicher Begabungsmerkmale und begabungsstützender Persönlichkeitseigenschaften, auf eine immer differenziertere Kennzeichnung verschiedener Begabungsausprägungen einschließlich mathematisch begabter Kinder mit gleichzeitiger Minderbegabung in anderen Bereichen oder mit diversen Behinderungen gerichtet. Darüber hinaus gibt es Erfolg versprechende Ansätze zu Möglichkeiten des Erkennens und Förderns mathematischer Begabungen im Vorschulalter. In der Schulpraxis sollten vermehrte Anstrengungen darauf zielen, allen Lehrern ein Grundverständnis über Besonderheiten mathematisch begabter Kinder, über grundsätzliche Vorzüge und Probleme einschlägiger Diagnose- und Fördermaßnahmen zu vermitteln (und ggf. immer noch existierende Vorurteile, Fehlvorstellungen usw. zu überwinden). Weiterhin empfiehlt es sich, flächendeckend bzw. schulübergreifend flexible Organisationsstrukturen zur Förderung besonders interessierter und begabter Kinder aufzubauen. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede bestehen zwischen den Hauptinhalten mathematischer Allgemeinbildung und den im Kap. 13 dargestellten Merkmalen mathematisch begabter Kinder? • Warum ist es möglich, dass Psychologen, Intelligenzforscher, Mathematikdidaktiker oder Lehrer verschiedene, z.  T. konträre Diagnosen zur mathematischen Begabung ein und desselben Kindes stellen? • Welche Möglichkeiten und welche Grenzen haben mathematische Wettbewerbe bzgl. der Förderung kleiner Matheasse?

Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

14

Da Kinder anders denken, als wir es vermuten, und auch anders als andere Kinder, sollte die systematische Feststellung individueller Lernstände ein wichtiger Baustein für einen veränderten Umgang mit deren Leistungen sein. (Selter und Sundermann 2006, S. 21)

Inhaltsverzeichnis 14.1 Grundprinzipien kindgerechten Bewertens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 14.2 Beobachtungen von Kindern in Anforderungssituationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 14.3 Varianten schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht. . . . . . . . . . . . . . 282 14.4 Portfolios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Planung, Durchführung und Analyse des Mathematikunterrichts sind seit jeher sich wechselseitig bedingende Prozesskomponenten der Arbeit eines Lehrers. Ein Schwerpunkt der Analysetätigkeit ist dabei das Erfassen und Bewerten von Schülerleistungen. In diesem Kapitel wird anhand ausgewählter Aspekte erörtert, wie sich im Kontext der individuellen Förderung jedes Kindes (einschließlich der Eigen- bzw. Mitverantwortung jedes Schülers für das Lernen) und der Umsetzung der Bildungsstandards in der Schulpraxis in den letzten Jahren Herangehensweisen an das Erfassen und Bewerten von Lernresultaten der Schüler verändert haben.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_14

277

278

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

14.1 Grundprinzipien kindgerechten Bewertens Das Bewerten von Lernleistungen ist eine immanent notwendige, aber ebenso eine äußerst anspruchsvolle und sehr sensible pädagogische Tätigkeit. Sie wird prinzipiell von allen Beteiligten, also von Lehrern wie von den Schülern (und deren Eltern), demgemäß als sehr wichtig erachtet und im Allgemeinen auch gewünscht. Eine Bewertung hat aus der Perspektive eines Kindes die generelle pädagogische Funktion, ihm seinen jeweiligen Lernentwicklungsstand bewusst zu machen, dabei erreichte Fortschritte wie auch Ziele und Schwerpunkte des weiteren Lernens aufzuzeigen und somit das Kind zum Weiterlernen zu stimulieren. Aus der Sicht des Lehrers geht es beim Bewerten um einen ständigen „Soll-Ist-Vergleich“ in Bezug auf zu erreichende Lehrplanziele für eine Schulklasse sowie in Bezug auf eine möglichst optimale individuelle Förderung eines Kindes unter Beachtung seiner jeweiligen Lernbiografie. Hiervon ausgehend und angesichts der Kindorientierung in heutigen Bildungskonzepten lassen sich folgende, in einem wechselseitigen Zusammenhang stehende Grundorientierungen für ein kindgerechtes Bewerten von Lernleistungen im Mathematikunterricht herausstellen: • Für Kinder ist Gerechtigkeit eine der wertvollsten Eigenschaften eines Lehrers. Dementsprechend sollte ein Lehrer sich stets um eine möglichst objektive Bewertung bemühen – auch im Wissen, dass es keine absolut gerechte Beurteilung geben kann, denn: Es gibt stets drei gleichzeitig zu beachtende Bewertungsnormen: – die individuelle (auch personenbezogene) Bewertungsnorm, bei der ein persönlicher Lernfortschritt des Kindes bewertet wird, – die sozial bezogene (auch rangplatzorientierte) Bewertungsnorm, bei der die Leistung eines Kindes mit der von anderen Kindern verglichen und beurteilt wird, – die anforderungsorientierte (auch ziel- oder kriterienbezogene) Bewertungsnorm, bei der die Leistung mit einem in der Sache liegenden Maßstab, einem ­Lehr-Lern-Ziel verglichen wird (Selter und Sundermann 2006, S. 19–20). • Kinder sollten nicht defizitorientiert (z. B. durch ein Hervorheben von Fehlern), sondern im Sinne einer Lernstimulierung kompetenzorientiert bewertet werden. In diesem Zusammenhang gilt allgemein: Fehler und Schwierigkeiten können erfolgreich überwunden werden, wenn ihre Ursachen aus einer kompetenzorientierten Perspektive erkannt werden und eine gezielte Förderung erfolgt (Selter und Sundermann 2006, S. 14). Beispiel einer kompetenzorientierten (ermutigenden) Bewertung einer Schülerleistung: Tino hat beim Rechnen im Zahlenraum bis 20 noch einige Probleme. In der heutigen Übung erhält er z. B. als Ergebnis der Aufgabe „16 – 9“ die Zahl „8“. Seine Lehrerin wirft einen Blick auf die Lösung und erkennt anhand von Tinos zeichnerischer Darstellung, dass der Junge von der Nachbaraufgabe „16 – 8 = 8“ ausging, dann aber nicht korrekt weiterdachte. Sie ermuntert Tino und sagt: „Dass du von der Nachbaraufgabe ausgegangen bist, ist eine tolle Idee! Aber du hast dann nicht richtig weitergerechnet. Schau dir die Zahlen nochmals auf dem Zwanzigerfeld genau an! Dann findest du bestimmt auch deinen kleinen Fehler.“

14.1  Grundprinzipien kindgerechten Bewertens

279

Die kompetenzorientierte Bewertung wird auch durch aktuelle neuropsychologische Forschungen gestützt. So verweist der Hirnforscher Roth darauf, dass alle einschlägigen Untersuchungen zeigen, „dass Belohnung [bzw. Anerkennung; Anm. des Autors] das geeignetste Mittel zur Verhaltensänderung ist“ (Roth 2007, S. 235). Dagegen wirken Bestrafungen, insbesondere inkonsequente Bestrafungen, und ein Verzicht auf Belohnungen bzw. Anerkennungen eher demotivierend und führen selten zu positiven Verhaltensänderungen (Roth 2007, S. 229–242). • Bewertungen von Lernleistungen im Mathematikunterricht sollten neben Einschätzungen von Sachkompetenzen auch stets Charakterisierungen des Lernverhaltens (Einstellungen, Anstrengungsbereitschaft, Selbstständigkeit, Sozialverhalten etc.) einbeziehen. • Leistungs- und Persönlichkeitsbewertungen sollten Kindern möglichst transparent gemacht werden. Dies entspricht zum einen dem Grundprinzip, Kinder an die Eigenverantwortung und Mitbestimmung ihres Lernens heranzuführen. Zum anderen wird den Kindern auf diese Weise ermöglicht, in zunehmendem Maße über ihr eigenes Tun selbstkritisch nachzudenken und zu lernen, es möglichst objektiv zu bewerten und hierauf basierendes selbst zu steuern. • Da aufgrund individueller Unterschiede nicht von allen Kindern innerhalb eines vorgegebenen Zeitraumes dieselben Leistungen erwartet werden können, sollten ihnen gemäß ihren jeweiligen Lernvoraussetzungen unterschiedliche Leistungsanforderungen gestellt werden (vgl. hierzu auch Abschn. 14.2 und 14.3). • Selter und Sundermann verweisen darauf, dass hinsichtlich einer kindgerechten Bewertung in aktuellen Lehrplänen und Richtlinien durchaus rechtliche Spielräume gegeben sind, die besser als bisher genutzt werden können (Selter und Sundermann 2006, S. 148–150), wie z. B. folgender Auszug aus den Grundschulrichtlinien des Landes Nordrhein-Westfalen belegen kann: Es gilt „Leistungen nicht nur zu fordern und zu überprüfen, sondern durch Ermutigung, Unterstützung und die Anerkennung von Leistungen ein positives Lern- und Leistungsklima und damit die Voraussetzungen für das Vertrauen in die eigene Leistungsfähigkeit zu schaffen… Grundlage der Leistungsbeurteilung sind alle von der Schülerin bzw. dem Schüler erbrachte Leistungen. Als Leistungen werden nicht nur die Ergebnisse, sondern auch Anstrengungen und Lernfortschritte bewertet.“ (MSJK 2003, S. 19) Im aktuellen Kernlehrplan des Bundeslandes heißt es in adäquater Weise: „Lernerfolge und -schwierigkeiten werden mit Anregungen zum zielgerichteten Weiterlernen verbunden. Fehler und Unsicherheiten werden nicht sanktioniert, sondern als Lernangelegenheiten und -herausforderungen genutzt.“ (Kernlehrplan Mathematik Grundschule NRW 2012, S. 67) • Zum Erlernen eines verständnisvollen Umgangs mit Leistungsbewertungen sollten vom ersten Schuljahr an im Mathematikunterricht Rituale geschaffen werden. Dies könnte etwa ein „Mathebriefkasten“ sein, in den die Kinder wöchentlich oder monatlich Briefe mit selbstbestimmten Lernzielen und ihren Resümees hierzu einwerfen (Selter und Sundermann 2006, S. 117–124), oder eine in regelmäßigen Abständen durchgeführte „Portfolio-Stunde“ (vgl. Abschn. 14.4).

280

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

14.2 Beobachtungen von Kindern in Anforderungssituationen Für das Erfassen und Bewerten mathematischer Kompetenzen und der individuellen Leistungsentwicklung von Kindern sind neben schriftlichen Klassenarbeiten bzw. Lernstandserhebungen Beobachtungen von Kindern sehr wichtig. Diese können beispielsweise bei Aufgabenbearbeitungen oder bei der Durchführung von Mathekonferenzen durchgeführt werden. Der besondere Vorzug von Beobachtungen im Vergleich zu schriftlichen Lernstandserhebungen besteht darin, dass nicht nur Ergebnisse von Lerntätigkeiten und vor allem inhaltsbezogene Lernziele, wie z. B. Rechenfertigkeiten oder das räumliche Vorstellungsvermögen, sondern Lernprozesse und somit auch vergleichsweise fundierter prozessbezogene Kompetenzen, wie Fähigkeiten im Begründen oder im Problemlösen, eingeschätzt werden können. Hinzu kommt, dass sich ein Lehrer bei Beobachtungen stärker auf die individuelle Entwicklung eines Kindes fokussieren kann. Demgemäß können sich z. B. Beobachtungen auch hauptsächlich auf das Erfassen besonderer mathematischer Begabungen oder auf spezielle Lernprobleme und -störungen einzelner Kinder konzentrieren. Beobachtungen sollten wie alle Erfassungsmethoden gründlich geplant, durchgeführt und die Ergebnisse fundiert analysiert werden. Hierfür bietet sich die Nutzung von Beobachtungsbögen an. Die Abb. 14.1 zeigt exemplarisch die Anlage eines erprobten Beobachtungsbogens zum Erfassen von Problemlösekompetenzen. Für die Phase des zielgerichteten Beobachtens sollte z. B. beachtet werden, dass • das zu beobachtende Kind als aktiver Gestalter seiner eigenen Lerntätigkeit wahrgenommen wird, • wertfrei beobachtet wird und der Beobachter dem Kind gegenüber freundlich und aufgeschlossen auftritt, • vom Beobachter Lernprozesse möglichst wenig beeinflusst werden, • während des Beobachtens nur kurze Stichworte notiert werden sollten. Für die anschließende Beobachtungsdokumentation ist unter anderem empfehlenswert: • neben den (in einem Protokoll) vorgesehenen Beobachtungseinschätzungen auch andere, zuvor nicht im Fokus stehende, aber als wichtig erachtete Beobachtungsergebnisse zu notieren, • ggf. auch Lerndokumente oder – falls mit dem Kind vereinbart – Foto- und Videodokumentationen zu nutzen, • sowohl quantitative als auch qualitative Einschätzungen vorzunehmen, • mit dem Kind ein Gespräch über die Beobachtungs- und Dokumentationsergebnisse zu führen.

281

14.2  Beobachtungen von Kindern in Anforderungssituationen Kurzprotokoll zum Erfassen von Problemlösekompetenzen Vorname: ______________ Name: ___________________ Datum: ______ Stundenthema: _________________________________________________ 1. Lernverhalten gering Motivation Aufmerksamkeit Ausdauer Gründlichkeit aktive Mitarbeit

durchschnittlich

schwankend

gut

sehr gut

2. Bevorzugte soziale Lernform (Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit) _____________________________________________________________ 3. Lösungsqualität (z. B. originelle Lösungsideen, korrekte und/oder vollständige Lösungsdarstellung, selbstständiges Finden interessanter Anschlussprobleme) _____________________________________________________________ 4. Problembearbeitungsstil hartnäckiges Probieren intuitives Vortasten

abwechselndes Probieren und Erkennen von Zusammenhängen und Mustern

systemhaftes Vorgehen

konsequentes Suchen nach Mustern

5. Indizien für intuitives Problemlösen _____________________________________________________________ 6. Weitere Auffälligkeiten _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

Abb. 14.1   Anlage eines Beobachtungsprotokolls. (Nach Käpnick und Fuchs 2009, S. 37)

Neben den planmäßigen bzw. zielgerichteten Beobachtungen führt jeder Lehrer im täglichen Unterricht spontan viele situative (ungerichtete) Beobachtungen durch. Je nach Möglichkeit sollten auch diesbezügliche Ergebnisse nach einer Beobachtung erfasst1 und 1In

der Schulpraxis ist hierfür meist wenig Zeit. Deshalb müssen sich „Gedächtnisprotokolle“ zu spontanen Beobachtungsergebnissen meist auf wenige, evtl. stichwortartige Notizen beschränken. Diese können dennoch als authentische Belege wertvolle „Puzzleteile“ einer gesamten prozessbezogenen Diagnostik sein.

282

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

dann gemeinsam mit den Protokollen zielgerichteter Beobachtungen für jedes Kind in einer Mappe gesammelt werden. Zum Abschluss eines Halbjahres oder eines Schuljahres bietet es sich dann an, alle Resultate im Komplex auszuwerten, um Lernfortschritte der Kinder, ggf. auch spezielle Probleme oder Problemphasen eines Kindes detailliert analysieren zu können. Wie jede Diagnosemaßnahme, so sind auch Beobachtungen mit Problemen verbunden und haben Grenzen. In dieser Hinsicht ist vor allem zu beachten, dass • jeder Beobachter Wahrnehmungsgrenzen hat, d. h., dass er stets nur immer einen selektiven Teil von Lernprozessen erfassen und dokumentieren kann (und dies beschränkt sich in fast allen Fällen auf visuell und akustisch wahrgenommene Beobachtungen), • eine Beobachtung stets durch Erfahrungen, Erwartungen, subjektive Einstellungen (wie z. B. Sympathie für einen Schüler) und mitunter sogar Vorurteile, durch Vorinformationen, spezielle Interessen u. a. m. beeinflusst wird und damit nicht absolut objektiv sein kann, • ein Lehrer aufgrund seiner Doppelrolle als Beobachter und als aktiv am Unterricht teilnehmende Person das Lernverhalten eines zu beobachtenden Kindes allein durch Gestik oder Mimik beeinflussen kann, • ein Lehrer zu früh, d. h. in Phasen des unmittelbaren Beobachtens oder beim Dokumentieren von Diagnoseergebnissen, bereits interpretiert und wertet (anstatt sich erst einmal nur auf ein objektives Wahrnehmen von Lerntätigkeiten und ein dementsprechend korrektes Notieren von Beobachtungsresultaten zu konzentrieren), • die Planung und die Durchführung einer Beobachtung sowie die Dokumentation und die Auswertung von Beobachtungsergebnissen sehr zeitintensiv sind (Atteslander 2008, S. 94–96). Aufgrund der angesprochenen Probleme und Grenzen sollten Beobachtungsergebnisse später generell mit den Ergebnissen der Kinder in schriftlichen Lernstandserhebungen sowie mit ihren Selbstreflexionen verglichen werden, um aus einer umfassenderen Gesamtperspektive die jeweiligen Diagnoseresultate einordnen und objektiv werten zu können.

14.3 Varianten schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht Traditionell besteht die Hauptfunktion von Klassenarbeiten als Prototyp schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht darin, das erreichte Lernniveau aller Schüler bezüglich der Lehrplanfestlegungen zu einem größeren Themenkomplex zu überprüfen. Demgemäß haben Klassenarbeiten im Rahmen der Leistungsbewertung eine herausgehobene Stellung (Selter und Sundermann 2006, S. 147). Um

14.3  Varianten schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht

283

der angesprochenen Funktion gerecht werden zu können, ist es in der herkömmlichen Unterrichtspraxis üblich, dass alle Kinder einer Lerngruppe in einer Klassenarbeit die gleichen Aufgaben unter gleichen Rahmenbedingungen (einheitliche Inhalte und Präsentation der Aufgaben, gleiche Zeitdauer, Nutzung von Lernmitteln, einheitlicher Bewertungsmaßstab) bearbeiten. Diese Vorgehensweise ist jedoch angesichts der enormen Leistungsunterschiede gleichaltriger Kinder (vgl. Kap. 11, 12 und 13) und der hiermit verbundenen stärkeren Fokussierung auf die individuelle Förderung jedes Kindes kritisch zu beurteilen. Konsequenterweise schließt die Umsetzung der didaktischen Leitidee vom differenzierenden Lernen auch eine den individuellen Lernniveaus der Kinder entsprechende Durchführung schriftlicher Leistungskontrollen ein. Es geht – insgesamt gesehen – also um einen Spagat zwischen objektiver Leistungserfassung gemäß den vorgegebenen Lehrplanfestlegungen und gleichzeitiger Beachtung individueller Lernbiografien sowie dem Aspekt der Lernstimulierung durch Leistungsnachweise. Eine akzeptable Lösung des Problems kann nur in differenzierten schriftlichen Leistungskontrollen bestehen, die jedoch auch praktikabel sein müssen. Generell könnte in schriftliche Leistungskontrollen u. a. differenziert werden nach • • • •

der Anzahl der (Teil-)Aufgaben, dem Schwierigkeitsgrad der Aufgabendaten (Zahlenraum, Rechenanforderungen etc.), der Komplexität der Aufgaben (Anzahl der Lösungsschritte, Abstraktionsgrad etc.), der Präsentationsform (Text, unterstützende Abbildungen, Existenz von Hilfsaufgaben oder Beispielen etc.), • dem Grad der erforderlichen Transferleistungen, • dem Anforderungsniveau beim Beschreiben oder Begründen. Im Folgenden werden drei verschiedene Modelle für Klassenarbeiten mit differenzierten Aufgabenanforderungen vorgestellt, mit denen der angesprochene Kompromiss verschiedener Aspekte erzielt werden kann (Selter und Sundermann 2006, S. 165–170). Sternchenaufgabenmodell Dieses Modell entspricht der Aufgabenanordnung in vielen Schulbüchern: Es werden hauptsächlich Aufgaben zu verschiedenen Inhalten oder in verschiedenen Kontexten (Aufgabenformaten) auf einem Mindest- oder Durchschnittsniveau und abschließend einzelne sehr schwierige oder komplexe Aufgaben als „Sternchenaufgaben“ (die dem Anforderungsbereich III der Bildungsstandards entsprechen könnten) präsentiert. Demgemäß kann man das Modell auch als Fundamentum-Additum-Modell bezeichnen, angelehnt an Vorschläge zu differenzierten Diktaten. In Übereinstimmung mit häufigen Schulbuchdarstellungen und ihrer Bezeichnung können die Sternchenaufgaben mit einem Stern-Symbol gekennzeichnet werden. Eine differenzierte Leistungsanforderung und Bewertung besteht dann z. B. darin, dass einem Kind bei vollständiger richtiger Lösung aller Pflichtaufgaben eine befriedigende oder gute Leistung bescheinigt und erst bei zusätzlich richtiger Lösung der Sternchenaufgabe(n) eine sehr gute oder ausgezeichnete

284

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

Leistung attestiert wird. Mit dem teilweisen oder vollständig richtigen Lösen einer Sternchenaufgabe könnten Kinder zudem eventuelle Rechenfehler aus dem Pflichtteil „ausgleichen“. Im Vergleich zu den beiden nachfolgenden Modellen scheint das Sternchenaufgabenmodell für Grundschulkinder relativ leicht verständlich und von ihnen gut nutzbar zu sein. Ebenso kann eine differenzierte Punkt- und gegebenenfalls Notenbewertung vom Lehrer vergleichsweise problemlos vorgenommen werden. Problematisch könnte dagegen vermutlich aus der Sicht vieler Kinder sein, dass sie die Sternchenaufgaben (aufgrund von Unterrichtserfahrungen) von vornherein als zu schwer einschätzen, und diese Aufgaben eventuell nur den leistungsstarken Kindern vorbehalten bleiben. Spaltenmodell Die Grundidee dieses Modells besteht in einem Parallelangebot von Aufgaben zu gleichen Inhalten, aber mit zwei verschiedenen Schwierigkeitsgraden (Grundniveau, erhöhter Schwierigkeitsgrad – vgl. Abb. 14.2). Die Kinder können also jeweils selbst den Schwierigkeitsgrad bestimmen. Falls sie ausreichend Zeit haben (bzw. aus „taktischen“ Gründen), könnten sie auch beide Parallelaufgaben lösen. Sich beim Bearbeiten jeder Aufgabe neu zu entscheiden, ob sie eine relativ leichte oder schwere Aufgabe lösen wollen, ist jedoch ein hoher Anspruch an die Selbstständigkeit der Kinder und erfordert in den meisten Fällen einige Zeit für ein gründliches Durchdenken und Vergleichen der jeweiligen Lerntätigkeiten. Vergleichsweise problematisch ist beim Spaltenmodell auch die Bewertung bzw. Benotung von Kinderlösungen. Eine Möglichkeit könnte darin bestehen, bei fehlerloser Bearbeitung der kompletten linken Spalte (Grundanforderungen) dem Schüler eine befriedigende Leistung bzw. die Note 3 zu bescheinigen und erst die größtenteils oder (fast) vollständig richtige Lösung aller Aufgaben aus der rechten Spalte als eine gute oder sehr gute Leistung anzuerkennen.

Abb. 14.2   Beispiel eines Parallelangebots für eine Aufgabe aus einer Lernzielkontrolle im vierten Schuljahr. (Fuchs et al. 2005b, S. 349)

14.3  Varianten schriftlicher Leistungskontrollen im Mathematikunterricht

285

Als „potenzielle Probleme“ des Spaltenmodells werden demgemäß häufig genannt: • Manche Kinder könnten bei der Aufgabenauswahl zu lange überlegen und dadurch Zeit verlieren, die sie für die Bearbeitung der Aufgaben benötigen. • Kinder könnten zu wenig Zutrauen in ihr Können haben und deshalb bevorzugt die linke Spalte wählen. • Für die Kinder ergibt sich ein höherer Leseaufwand, der natürlich zusätzliche Probleme bei den Schülern erzeugen kann, die noch nicht flüssig lesen können. • Einige Kinder könnten sich „willkürlich“ entscheiden, weil ihnen unklar ist, worin die Schwierigkeitsunterschiede bestehen. Sie wählen dann prinzipiell Aufgaben aus einer Spalte oder springen zufällig zwischen beiden Spalten hin und her. • Der Zeitaufwand eines Lehrers für die Vorbereitung ist recht hoch. Das hängt nicht zuletzt damit zusammen, dass es nicht immer einfach ist, jeweils zwei im Niveau unterschiedliche, zueinander passende Aufgaben zu finden und hier die Bepunktung aufeinander abzustimmen (Selter und Sundermann 2006, S. 168–169). Ein Teil der angesprochenen Probleme lässt sich entschärfen. So könnten flexible Zeitvorgaben – zumindest bei den ersten Einsätzen des Modells – für viele Kinder hilfreich sein. Durch den Einsatz von Aufgabenformaten, -präsentationen und -anforderungen, die den Kindern aus dem Unterricht vertraut sind, könnte der Leseaufwand bzw. die Zeit für das Durchdenken einer Aufgabe reduziert werden. Bezüglich der Wahlproblematik könnte es für Kinder zudem hilfreich sein, wenn ihnen vorab die Differenzierungskriterien allgemein erläutert werden. Aufgaben-Wahlmodell Bei diesem Modell ist die Grundidee: Die Kinder können aus einem Pool unterschiedlich angelegter Aufgaben selbst auswählen, z. B. sieben von zehn Aufgaben. Hierbei ist es möglich, dass für alle Aufgaben die gleichen Punktzahlen vergeben werden. Es könnten aber ebenso verschiedene Punktzahlen vorgesehen werden. Für die Kinder besteht ein Vorzug des Modells darin, dass sie die Aufgaben entsprechend ihren individuellen Stärken auswählen können. Für den Lehrer bietet diese Entscheidung wiederum wichtige Informationen zu bevorzugten wie auch weniger gemochten Aufgabeninhalten einzelner Kinder, evtl. auch über ihre jeweiligen „taktischen Strategien“. Der Einsatz des Aufgaben-Wahlmodells bedeutet für die Kinder einen sehr hohen Anspruch an ihre Selbstständigkeit. Für die Auswahl der Aufgaben sollte demgemäß den Kindern von vornherein zusätzlich Zeit eingeräumt werden. Problematisch könnte für viele Kinder auch sein, dass die Struktur des Aufgaben-Wahlmodells für sie zunächst ungewohnt ist, da sie dies von üblichen Leistungstests her nicht kennen. Aus der Perspektive des Lehrers ist zu beachten, dass das Ausarbeiten und ausgewogene Zusammenstellen der Aufgaben in der Regel sehr zeitaufwendig sein dürfte. Analoges gilt für die Bepunktung und gegebenenfalls Benotung der Schülerleistungen.

286

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

Die drei vorgestellten Modelle für differenzierte Anforderungen in Klassenarbeiten verdeutlichen, dass Grundschulkinder generell schrittweise bzw. behutsam an Formen der Leistungserfassung herangeführt werden sollten. Hierfür können in den ersten beiden Schuljahren (in der Regel ohne den zusätzlichen Leistungsdruck durch eine Benotung) im Mathematikunterricht verschiedene „Phasen des Ausprobierens und Vertrautmachens“ organisiert werden. Selter und Sundermann unterbreiten hierfür folgende Diskussionsvorschläge: • Einzelne Kinder können eine schriftliche Leistungskontrolle an unterschiedlichen Tagen schreiben. (Es könnten z. B. zwei Termine angeboten werden und jedes Kind wählt selbst einen Termin.) • Die Kinder dürfen das Schreiben einer Klassenarbeit (z. B. beim Nachlassen der Konzentration oder bei „schlechter Tagesform“) unterbrechen und an einem mit dem Lehrer abgestimmten Termin weiterschreiben. • Einzelne Kinder schreiben einen Teil einer schriftlichen Leistungskontrolle ein zweites Mal. Die erste Bearbeitung wird so korrigiert, dass auf das Vorhandensein von Fehlern bzw. auf Optimierungsmöglichkeiten hingewiesen wird. Nach der Überarbeitung erfolgt die Beurteilung der Leistung, in die auch der Umgang mit den Hinweisen zur ersten Version eingehen sollte. • Einzelne Kinder dürfen ihre Leistungen in Klassenarbeiten durch zusätzliche (mündliche oder schriftliche) Leistungen teilweise kompensieren. • Alle Kinder schreiben eine korrigierte, aber für die Bewertung nicht relevante Probearbeit, der eine von der inhaltlichen Struktur her und bzgl. der Bewertung analoge Hauptarbeit folgt. • Die Kinder dürfen bei einer schriftlichen Leistungskontrolle wählen, ob sie nur diejenigen Aufgaben beantworten, die die Grundanforderungen abdecken, oder auch solche, die den weiterführenden Anforderungen genügen (Selter und Sundermann 2006, S. 150–151).

14.4 Portfolios Portfolios sind im ursprünglichen pädagogischen Sinn zielgerichtete Sammlungen von Schülerarbeiten, in denen sich die Anstrengungen, individuell bevorzugte Lernthemen und Lernstile, ebenso Leistungsresultate und Lernfortschritte eines Schülers widerspiegeln. Sie können als Ausdruck eines Perspektivwechsels vom Lehrenden zum Lernenden und zugleich von einer Defizit- zu einer Kompetenzorientierung gesehen werden (Bräuer 2002, Brunner et al. 2006). Mit Portfolios kann somit sehr gut der didaktischen Leitidee, Kinder als aktive Mitgestalter und Mitverantwortliche ihres Lernens anzusehen, im Mathematikunterricht entsprochen werden. In den letzten Jahren wurden im schulischen Kontext viele verschiedene Typen von Portfolios entwickelt wie etwa

14.4 Portfolios

287

• Arbeitsportfolios, • Beurteilungsportfolios, • Vorzeigeportfolios, • Entwicklungsportfolios, • Fächer übergreifende Portfolios, • themenbezogene Portfolios. Diese Entwicklung bewirkte zugleich – je nach Standpunkt – eine „Aufweichung“ oder „Erweiterung“ der ursprünglichen Funktion von Portfolios. Unter der Perspektive der Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen sind hier vor allem zwei Formen von Portfolios relevant, die nachfolgend näher erläutert werden: • eigenverantwortlich geführte Schülersammlungen zu bestimmten mathematischen (oder Fächer übergreifenden) Unterrichtsthemen (gemäß der eigentlichen Grundidee von Portfolios), • Selbsteinschätzungen von Kindern über ihr Lernen, die sie verbal oder in Tabellenform (z. B. als Checklisten) vornehmen (und die m. E. eine durchaus sinnvolle „Erweiterung“ der ursprünglichen Idee von Portfolios darstellen). In beiden Fällen ist die Befähigung zum Anfertigen von Portfolios für Grundschulkinder ein längerfristiger Prozess, der kontinuierlich vom ersten Schuljahr an angeleitet werden sollte. Bräuer hält sechs Voraussetzungen für eine erfolgreiche Arbeit mit Portfolios in der Schule für notwendig: • Portfolioarbeit muss unter der Grundauffassung „Lernen als Prozess“ realisiert werden. Das heißt z. B., dass institutionalisierte Leistungsnachweise und das Erfassen von Lernresultaten nur eine untergeordnete Rolle spielen. • Portfolioarbeit muss die Sphären individuellen und gemeinsamen Lernens einer Klasse sinnvoll verknüpfen. • Portfolioarbeit muss die Selbstreflexion über das Lernen ermöglichen. Hierfür müssen auch sinnvolle Dokumentations- und Kommunikationsformen geschaffen werden. • Portfolioarbeit lässt sich am effektivsten Fächer übergreifend bzw. in Abstimmung oder grundsätzlicher Übereinstimmung in verschiedenen Fächern realisieren. (Bräuer schlägt hierfür sogar eine Fächer übergreifende Beratungs- und Koordinationsstelle vor.) • Portfolios können als alternative bzw. ergänzende Leistungseinschätzung genutzt werden. Dabei ist natürlich das Problem der subjektiven Selbsteinschätzung von Kindern zu beachten. • Portfolioarbeit sollte als Teil der Schulentwicklung und des Qualitätsmanagements genutzt werden, denn eine kontinuierliche Portfolioarbeit erlaubt viele verschiedene Rückschlüsse auf die Qualität schulischen Lernens (Bräuer 2002).

288

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

Für das Erstellen von Portfolios in Form von Schülersammlungen könnten folgende generelle methodische Hinweise nützlich sein: • Ein Portfolio sollte neben einem Titelblatt (Abb. 14.3) vor allem Arbeiten enthalten, die ein Kind im regulären Mathematikunterricht angefertigt hat und die es in der Rückschau auf eine Lernetappe selbst auswählt, weil es seine Kompetenzen besonders gut widerspiegelt. • Im regulären Mathematikunterricht sollten die Kinder immer wieder angeregt werden, eigene Aufgabenblätter für Portfolios in Form von Sammlungen zu gestalten. • In einer speziellen Portfoliostunde könnte der Lehrer den Kindern die Funktion und die Anlage von Portfolios erläutern. Die Kinder sollten gleichzeitig angeregt werden, ihre Portfolios selbstständig zu ergänzen. Später empfiehlt es sich, etwa alle acht Wochen eine Portfoliostunde durchzuführen, in der die Kinder ihre individuell gestalteten Portfolios (Sammelbücher wie auch Eintragungen in Checklisten) vorstellen und gemeinsam diskutieren. • Zum Anleiten von Checklisten (Abb. 14.4) könnten auch konkrete Vorgaben bzw. beispielhafte Erläuterungen gehören. Dies ist m. E. wichtig, weil die Befähigung zur Selbstreflexion über das eigene Lernen für Kinder eine sehr anspruchsvolle Aufgabe

Abb. 14.3   Titelseite eines Schülersammelbuchs. (Käpnick et al. 2011d, S. 196)

14.4 Portfolios

289

Abb. 14.4   Auszug einer Checkliste zu Zahlen- und Rechenkompetenzen von Erstklässlern. (Käpnick et al. 2011d, S. 186)

ist, die sie im Allgemeinen erst im Ergebnis eines längeren kontinuierlichen Entwicklungsprozesses selbstständig meistern können. • Generell bzw. in einem zunehmenden Maße sollten die Kinder jedoch angeregt werden, eigene Ideen für ihre Portfolios zu entwickeln und umzusetzen. Die Abb. 14.3 zeigt exemplarisch die Titelseite eines Portfolios zu geometrischen Lernthemen, in denen Kinder ihre Lieblingsfiguren und Muster, ihr Merkwissen und Ähnliches einzeichnen können. Solche kleinen Schülersammelbücher können sich die Kinder zu allen wichtigen Inhaltsbereichen anlegen (z. B. Käpnick et al. 2011, S. 190–206). Die Checklisten sollten sich ebenfalls auf alle wichtigen Inhaltsbereiche beziehen. Somit könnte es etwa Selbsteinschätzungsbögen zu Zahlen und zum Rechnen, zu Formen, Größen, zu Daten, Häufigkeiten und Zufällen wie auch zu prozessbezogenen Kompetenzen (Beschreiben, Begründen, Probleme lösen etc.) geben. Die Abb. 14.4 enthält hierfür eine konkrete Anregung. Beim Ausfüllen solcher Checklisten sollten die Kinder von Anfang an ihre Selbsteinschätzungen – wie ihre Lehrer – aus einer kompetenzorientierten (und nicht defizitorientierten) Perspektive vornehmen. Demgemäß werden in den Tabellen der Checklisten die beiden Bewertungsmuster „Das kann ich schon!“ und „Ich bin auf dem Weg!“

290

14  Erfassung und Bewertung von Schülerleistungen

vorgegeben. In Abhängigkeit vom individuellen Entwicklungsstand sollten außerdem die Kinder selbst entscheiden, ob sie z. B. in der zutreffenden Spalte ein Kreuz malen oder ob sie mithilfe eines konkreten Beispiels oder einer verbalen Formulierung ihre Selbstreflexionen dokumentieren. In den freien Zeilen können die Schüler selbst Lernthemen ergänzen, die sie für wichtig ansehen. Die Kinder sollten derartige Checklisten zumindest einmal pro Halbjahr ausfüllen. Die Auswertung der Kindereinschätzungen sollte dann vor allem individuell erfolgen, der Lehrer könnte darüber hinaus der gesamten Lerngruppe allgemeine Trends, besonders gute Leistungen und Ähnliches vorstellen. Mögliche Weiterentwicklungen An der Thematik des Kap. 14 werden m. E. sehr markant die grundsätzlichen Unterschiede zwischen traditionellen Lehrauffassungen und einer kindorientierten Didaktik deutlich. Diese ist wiederum sehr wahrscheinlich eine Hauptursache dafür, dass sich der Perspektivwechsel in der Leistungserfassung und -bewertung von einer Defizit- zu einer Kompetenzorientierung unter gleichzeitiger Beachtung der individuellen Förderung jedes Kindes in Deutschland nur zögerlich durchsetzt. Offen bleibt zudem gegenwärtig, ob bzw. inwiefern die mit den Bildungsstandards verbundenen regelmäßigen Testerhebungen wieder eine verstärkte zentrale Steuerungsfunktion im regulären Mathematikunterricht bewirken. In der Schulpraxis zeigt sich außerdem, dass viele Lehrer nach wie vor unsicher im Erfassen und Analysieren prozessbezogener Kompetenzen sind und diese (auch) deshalb vernachlässigen. Somit erscheinen aktuell intensivere Bemühungen in der Lehreraus- und -fortbildung notwendig, um Lehrkräfte für ein angemessenes Erfassen und Bewerten verschiedener Lernleistungen im Mathematikunterricht noch fundierter zu qualifizieren – unter der Perspektive der Kompetenzorientierung und der individuellen Förderung jedes Kindes. Es darf demgemäß erwartet werden, dass Erziehungswissenschaftler, Allgemein- und Fachdidaktiker hierfür weitere Modelle und konkrete Unterrichtshilfen entwickeln. Die Mathematikdidaktik könnte diesbezüglich auch von bereits vorhandenen Entwicklungsarbeiten anderer Fachdidaktiken profitieren. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Welche Kriterien könnten in einem Beobachtungsbogen stehen, der für das Erfassen von Kompetenzen im mathematischen Modellieren beim Lösen einer Sachaufgabe durch einen Viertklässler eingesetzt werden soll? • Welches Modell für differenzierte schriftliche Leistungskontrollen würden Sie für Ihren Mathematikunterricht favorisieren? Begründen Sie Ihre Entscheidung. • Welche inhaltlichen und methodischen Zusammenhänge, aber auch welche Unterschiede bestehen zwischen der Portfolioarbeit in Form von Schülersammelbüchern und der Arbeit mit Reisetagebüchern auf der Basis des Konzeptes von Ruf und Gallin (vgl. Abschn. 3.4)?

Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

15

Es geht um die doppelte Zielsetzung, sowohl die Entwicklung der individuellen Potentiale zu ermöglichen und anzuregen als auch die Gemeinsamkeit und Zugehörigkeit aller zu pflegen. Die widersprüchlichen Pole Verschiedenheit und Gleichheit müssen durch eine dialektische Balance von Individualisierung und Gemeinsamkeit ausgeglichen und versöhnt werden. (Wocken, 2014, S. 55 f.)

Inhaltsverzeichnis 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

Ein Fallbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Zugänge zu inklusivem Lernen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Didaktisch-methodische Grundformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

In dem Zitat wird auf Zielsetzungen inklusiver Bildung Bezug genommen. Insbesondere wird angedeutet, dass „Inklusion“ und damit auch „inklusives Lernen“ mehr ist als Individualisierung in dem Sinne, als dass nun auch leistungsschwächere Lernende geeignet beschult werden müssen: Jedes Individuum muss individuelle Lernwege beschreiten können. Und gleichzeitig wird mit dem Verweis auf Gemeinsamkeit darauf Bezug genommen, dass Inklusion eigentlich ein gesellschaftliches Ziel ist, das sich in einem zentralen gesellschaftlichen „Element“, und zwar in der Schule, anhand von inklusivem Lernen spiegelt. Dieses „weite“ Verständnis stellt das Bildungssystem vor immense Herausforderungen und tiefgreifende Fragen der Veränderung, die bis heute nur unzureichend beantwortet sind – gleichwohl birgt das Streben nach einem inklusiven © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2_15

291

292

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

Schulsystem Chancen, Aspekte wie den Abbau von Barrieren im Kontext von Bildung, unteilbare Teilhabe, Differenzierung und die Individualisierung von Lernen tatsächlich in das Zentrum aller didaktischen Bemühungen zu stellen und perspektivisch die Verschiedenheit von Individuen als wirklichen Gewinn zu begreifen.

15.1 Ein Fallbeispiel Herr Müller arbeitet in einer Grundschule, die von sich behauptet, seit mehr als 20 Jahren inklusiv zu arbeiten, denn man nehme schon seit Anfang der 1990er Jahre „i-Kinder“ auf.1 Er ist Klassenlehrer einer 2. Klasse, die er auch im Fach Mathematik unterrichtet. Zur Klasse gehören insgesamt 25 Schüler, darunter Maria, der ein sonderpädagogischer Unterstützungsbedarf „Lernen“ attestiert wurde, weiterhin Markus, bei dem ein sonderpädagogischer Unterstützungsbedarf „emotionale und soziale Entwicklung“ diagnostiziert wurde, Ivan, dessen Muttersprache nicht Deutsch ist und der bisher nur über sehr geringe Kenntnisse der deutschen Sprache verfügt, sowie Sabine, die ein auffällig hohes mathematisches Begabungspotenzial hat, und viele Kinder, die bisweilen eher leistungsschwächer, bisweilen eher leistungsstärker sind oder mitunter schlicht ein durchschnittliches Leistungsniveau erreichen. Eine Unterrichtseinheit zu den Einmaleinsreihen schließt mit einer Übungs- und Sicherungsstunde. Die Stunde wird durch Frau Meier als sonderpädagogische Lehrkraft unterstützt, die sich gleich zu Beginn mit Maria in den Nebenraum begibt, denn das Mädchen muss noch die einfacheren Reihen üben, komplexere Zusammenhänge oder schwierigere Reihen wie die Einmaleinsreihe mit 7 hat sie noch nicht verstanden. Markus bleibt mit den anderen Lernenden im Klassenraum, bekommt aber den Integrationshelfer Herrn Schulte als spezielle Begleitung zur Seite gestellt, damit er sich auf den Lernprozess konzentriert und die übrigen Schüler nicht stört. Ivan wird mit Zusatzmaterial „versorgt“, das vor allem dazu dienen soll, grundlegende fachsprachliche Begriffe zu erlernen, wobei die Verbindung zum Stundenthema mehr oder minder nicht vorhanden ist. Sabine erklärt gleich zu Beginn, sie habe die Einmaleinsreihen zwar nicht gelernt, wisse aber, wie sie hergeleitet werden könnten, und finde das Thema daher total langweilig – trotzdem soll sie mit den übrigen Schülern die folgende Übung durchführen: Die Lernenden stellen sich in vier Reihen auf. Herr Müller gibt jeweils eine Einmaleinsreihe vor. Das Kind, das in der ersten Reihe ganz vorn steht, sagt die zweite Zahl der Reihe (z. B. „2 · 3 = 6“), das Kind, das in der zweiten Reihe ganz vorn steht, sagt die dritte Zahl der Reihe (z. B. „3 · 3 = 9“), und so geht es weiter. Jedes Kind, das einen

1Das

Unterrichtsbeispiel ist in der gebotenen Form fiktiv, bündelt aber Eindrücke und Erfahrungen aus vielen Hospitationen sowie aus zahlreichen Gesprächen mit Lehrkräften – auch wenn das Szenario überzeichnet ist, könnte es sich u. E. in der beschriebenen oder in ähnlicher Form an Grundschulen abspielen.

15.2  Zugänge zu inklusivem Lernen

293

Fehler macht, muss sich wieder auf seinen Platz setzen, woraufhin der oder die Zweite der jeweiligen Reihe an die Spitze rückt. Mehr und mehr beginnen die Kinder, die schon Platz nehmen mussten, sich zu langweilen und sich zu unterhalten. Herr Schulte hat sich unterdessen mit Markus, der sich nicht mehr konzentrieren konnte, doch in den Nebenraum zurückgezogen und wollte mit dem Jungen ein Lernspiel spielen. Schlussendlich kommt Herr Müller zu der Entscheidung, diese Übungsphase zu beenden. Er gibt den Auftrag, jedes Kind solle nochmals alle Einmaleinsreihen in seinem Schulheft notieren (so weit es in der verbleibenden Zeit kommt, der Rest wird zur Hausaufgabe). Nach der Stunde sammelt Herr Müller die Arbeitsergebnisse von Ivan ein, um sie zu kontrollieren. Herr Schulte begleitet Maria und Markus gemeinsam mit Frau Meier auf den Pausenhof. Natürlich lässt sich die Konzeption dieser Unterrichtsstunde aus verschiedenen Blickwinkeln kritisch hinterfragen: Sie ist nicht im Sinne eines aktiv-entdeckenden Lernens (Abschn. 3.3) angelegt, und es mangelt sowohl an Kompetenzorientierung (Abschn. 1.2 und 3.6) als auch an Individualisierung und Differenzierung (Abschn. 11.4) – wie es nicht zuletzt die Äußerung Sabines dokumentiert – und das obwohl äußere Differenzierungen stattfinden, teilweise unterstützt durch „Speziallehrkräfte“. Aus der Perspektive inklusiven Lernens ist die damit einhergehende „Orientierung an den Mittelköpfen“ ebenso fragwürdig wie die spezifische, aber offenbar wenig koordinierte Aufgabenzuweisung auf Seiten der Lehrkräfte sowie die Art und Weise, wie die „äußeren“ Differenzierungen durchgeführt werden, selbst wenn man unterstellen darf, dass Maria und Markus (und vielleicht auch Ivan) von der individualisierten Lernsituation profitieren dürften. Dieser wichtige (!) Fokus auf sonderpädagogische Aspekte im Zusammenhang mit inklusivem Lernen ist nach wie vor verbreitet, aber einseitig: Völlig unbeachtet bleibt als ein wesentliches Ziel inklusiver Bildung hier, Gemeinsamkeit zu stiften, Unterschiede als konstruktiv und als Bereicherung anzunehmen und wirklich allen Lernenden Teilhabe an unterrichtlichen Prozessen zu ermöglichen.

15.2 Zugänge zu inklusivem Lernen An dieser Stelle können historische Entwicklungslinien und differenzierte Abgrenzungen verschiedener Konzepte wie „Exklusion“, „Separation“, „Integration“ und „Inklusion“ nicht umfassend erläutert werden.2 Es sei aber zumindest in gebotener Kürze auf die beiden zuletzt benannten Begriffe eingegangen, da sie oft nahezu synonym verwendet werden. Dies darf übrigens auch in dem einleitenden Fallbeispiel unterstellt werden, denn die Annahme ist, dass sich Herrn Müllers Schule deshalb schon lange als „inklusiv“ betrachtet, weil sie schon seit mehr als 20 Jahren von Kindern mit sonderpädagogischen Unterstützungsbedarfen besucht wird (was wirkliche Kennzeichen inklusiven Unterrichts sein können, wird in Abschn. 15.3 beleuchtet). Dabei entspricht

2Zusammenfassungen

finden sich beispielsweise bei Textor (2015) und Dexel (2019).

294

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

diese Interpretation eigentlich dem Konzept der „Integration“, das davon ausgeht, dass es zwei Gruppen gibt: einerseits Schüler mit sonderpädagogischem Unterstützungsbedarf3 und andererseits Regelschüler (im Sinne einer „Komplementärmenge“). Gruppe 1 darf gleichberechtigt an den Angeboten für Gruppe 2 teilnehmen, wofür auch manche Anpassungen vorgenommen werden (z. B. Herstellung von Barrierefreiheit, Anschaffung spezifischer Lernmittel, Aufstockung des Personals). Sie wird aber weiterhin als eigenständige Gruppe wahrgenommen, und zwar als die „i-Kinder“, für die spezifische Fördermaßnahmen angesetzt werden. Mithilfe der Gruppenmetapher können nun klare Unterschiede zwischen „Integration“ und „Inklusion“ gekennzeichnet werden: Bei „Inklusion“ wird von einer einzigen Gruppe ausgegangen, die durch interund intrapersonale Vielfalt gekennzeichnet ist. Wenn es nur eine Gruppe gibt, so ist auch unmittelbar klar, dass alle Individuen unabhängig von bestimmten Voraussetzungen gleichberechtigt dazugehören. Anders ausgedrückt: „Integration“ und „Inklusion“ repräsentieren völlig unterschiedliche Perspektiven, denn das zuerst genannte Konzept ist auf eine zu integrierende Gruppe gerichtet, wobei die Grundsystematik des Systems beibehalten wird und Änderungen Modifikationen bedeuten. Das zweite Konzept ist hingegen auf die Beschreibung eines Systems bzw. Veränderungen hin zu einem solchen System gerichtet, das von vornherein alle Lernenden in den Blick nimmt und insofern umfassende Systemveränderungen erfordert. Einseitig sonderpädagogische Interpretationen von „Inklusion“ sind u. E. daher wenig tragfähig – auch wenn entsprechende Ansätze der Diagnostik und Förderung natürlich in der vorgenommenen Lesart von größter Bedeutung sind –, um tatsächlich allen Schülern individuelle Lernwege zu eröffnen. Klar wird auch: „Integration“ und „Inklusion“ implizieren beide Veränderungen schulischer Rahmenbedingungen, das Ausmaß oder zumindest der zu beschreitende Weg unterscheidet sich aber (s. Textor 2015). Aus diesen Veränderungen ergeben sich fächerübergreifend einige zentrale Anforderungen: • Es muss gewährleistet sein, dass alle Lernenden an allen gesellschaftlichen Prozessen partizipieren können, also Zugang zu allen (nicht nur) unterrichtlichen Prozessen finden können (Veber 2019). Hierbei steht freilich nicht Chancengleichheit im Vordergrund, sondern Chancengerechtigkeit. • Lernende werden nicht nur als unterschiedlich betrachtet, sondern als unterschiedlich wahr- und angenommen. Vielfalt wird als gewinnbringende Ressource für individuelles wie auch für gemeinsames Leben und Lernen verstanden (Sliwka 2014).

3Unterschieden

werden die Förderschwerpunkte „Lernen“, „Sprache“, „emotionale und soziale Entwicklung“, „Hören und Kommunikation“, „Sehen“, „geistige Entwicklung“, „körperliche und motorische Entwicklung“, „Autismus“ sowie die „Unterrichtung von kranken Schülerinnen und Schülern“ (z. B. KMK 1994), die teilweise zielgleich, teilweise aber auch zieldifferent unterrichtet werden. Die sonderpädagogische wie auch die fachdidaktische Forschung erarbeiten gerade in jüngster Zeit jeweils spezifische Konzepte für das Lehren und Lernen von Mathematik (ein Fallbeispiel zu einem Unterstützungsbedarf „Sehen“ findet sich beispielsweise bei Käpnick 2016a).

15.2  Zugänge zu inklusivem Lernen

295

• Inklusion bringt als wesentliche Konsequenz also eine Pädagogik der Vielfalt mit sich, indem Schule als ein Miteinander ohne Ausgrenzungen verstanden wird, in dem sich alle Beteiligten wohlfühlen (s. Textor 2015) – hierin spiegelt sich zugleich das gesellschaftliche Ziel des Strebens nach einer inklusiven Gesellschaft wider, zu der sich Deutschland staatsvertraglich verpflichtet hat. • Da Vielfalt eine Lernressource und Inklusion als „Ein-Gruppen“-Ansatz ein gesellschaftliches Ziel ist, liegt die Orientierung an den Potenzialen der Lernenden nahe, nicht an ihren Defiziten (Veber 2015), und Kategorien wie „Rechenschwäche“, „Begabung“ oder „Behinderung“ sind eher abzulehnen, zumal sie oft defizitorientiert in spezifischen Kontexten erzeugt werden (Benölken et al. 2018). Der zuletzt benannte Aspekt mag zunächst verwirren, gehören doch derartige Kategorien eigentlich zum unbedingten Professionswissen von Lehrkräften, um wirklich für alle Schüler individuelle Förderung erreichen zu können. Hier geht es allerdings nicht um „Schubladisierungen“, sondern um eine Frage der Perspektive: Allgemeines pädagogisch-didaktisches Wissen, Fachwissen sowie fachdidaktisches und curriculumsbezogenes Wissen gelten als zentrale Bestandteile des professionellen Wissens von Lehrkräften.4 Das fachdidaktische Wissen zielt sehr grob zusammengefasst darauf ab, allen Kindern Wege zur Erschließung bestimmter Fachinhalte zu eröffnen, d. h., hier bestehen starke Bezüge zur fachbezogenen individuellen Förderung. Dazu gehört auch Wissen zum Umgang mit spezifischen Facetten von Vielfalt wie den oben genannten, und zwar auf einer institutionellen Ebene (s. Veber 2015) – solches Wissen ist für die Gestaltung individuell erfolgreichen Lernens von Mathematik u. E. unerlässlich. Über diese institutionelle Ebene hinaus sollte das Streben nach dem gesellschaftlichen Ziel Inklusion aber auch durch geeignete didaktische Formate unterstützt werden, also durch Formate, die ein authentisches Miteinander aller Lernenden ermöglichen und Labels über Individuen in den Hintergrund treten lassen. Beide Ebenen können auf unterschiedliche Weise zu unteilbarer Partizipation beitragen, d. h., für die Organisation inklusiven Mathematikunterrichts sind u. E. beide Ebenen zu berücksichtigen. Abb. 15.1 fasst die Zusammenhänge nochmals zusammen – es sei an das einleitende Zitat von Wocken (2014) erinnert, der die Balance von „Verschiedenheit und Gleichheit“, von „Individualisierung und Gemeinsamkeit“ anmahnt. Ausgehend von diesen übergreifenden Überlegungen und Rahmungen stellt sich natürlich die Frage, was nun konkret das „Inklusive“ im Mathematikunterricht kennzeichnen kann. Im Folgenden werden zunächst konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler hierfür beschrieben und anschließend Hinweise auf konkrete ­didaktisch-methodische Grundformen nebst Beispielen gegeben.

4Siehe

beispielsweise Shulman (1986) oder Ball, Thames und Phelps (2008).

296 Abb. 15.1   Individuelle Förderung zwischen institutioneller Ebene und Beziehungsebene (Benölken 2019; siehe auch Veber 2015)

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

Institutionelle Ebene

Individuelle Förderung

Beziehungsebene

15.3 Konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler Käpnick (2016a) legte ein Rahmenkonzept vor, das „pädagogische Grundpositionen und -überzeugungen“, „multiprofessionelle Teamarbeit und Kooperationen“, „eine angemessene Raum- und Lehrmittelausstattung“ sowie „didaktisch-methodische Grundorientierungen“ als untrennbares Wechselgefüge für die Gestaltung inklusiven Mathematikunterrichts bestimmt. Bzgl. des ersten Aspektes stellte der ehemalige Bundespräsident Richard von Weizsäcker einst in einer Rede heraus:5 „Es ist normal, verschieden zu sein. Es gibt keine Norm für das Menschsein.“ Hierin spiegeln sich Grundpositionen und -überzeugungen prägnant wider, die inklusivem Leben und Lernen angemessen sind. Solche „Haltungen“ sind von zentraler Bedeutung, um tatsächliche Inklusion zu realisieren, denn sie beeinflussen wesentlich die Ausprägung und Ausrichtung fachlicher, diagnostischer, didaktischer und kommunikativer Kompetenzen einer Lehrkraft (Fischer et al. 2015), wie es die folgenden Beispiele andeuten: • Alle Kinder haben das Recht, mit- und voneinander zu lernen – unabhängig von individuellen Potenzialen oder Bedürfnissen und unabhängig von bestimmten Facetten wie „Herkunft“, „Behinderung“ oder „Begabung“. • Lehr-Lern-Prozesse sind stets aus kindlicher Perspektive zu planen, und Schule muss sich den Bedürfnissen der Kinder anpassen, nicht umgekehrt.

5Auf

der Eröffnungsveranstaltung der Tagung der Bundesarbeitsgemeinschaft Hilfe für Behinderte in Bonn im Jahre 1993 (nachzulesen auf https://www.bundespraesident.de/SharedDocs/Reden/DE/ Richard-von-Weizsaecker/Reden/1993/07/19930701_Rede.html).

15.3  Konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler

297

• Lernen ist stets als individueller und dynamischer Prozess zu verstehen. Insbesondere das Lernen von Mathematik sollte daher stets als ganzheitlicher Prozess verstanden werden, der sich an der individuellen kognitiven wie auch persönlichkeitsbezogenen Entwicklung eines Kindes ausrichtet. • Individuelle und soziale Lernprozesse können sich vielschichtig wechselseitig bereichern. • Leistungsbewertung muss sensibel und mehrperspektivisch erfolgen und zuerst die individuelle Lernentwicklung eines Kindes in den Blick nehmen, bevor Leistungsvergleiche angestellt werden. • Alle am Unterricht beteiligten Lehrkräfte und Lernbegleiterinnen bzw. -begleiter bringen spezielle Qualifikationen ein, die es durch ein wechselseitiges Miteinander auf Lehrseite zu nutzen und in ihrer Wirksamkeit stetig zu prüfen gilt. Außerdem sollte stets die Bereitschaft zur eigenen Fort- und Weiterbildung vorhanden sein. Multiprofessionelle Teamarbeit und Kooperationen sind unbedingt notwendig, um individuelles Lernen zu initiieren – insbesondere mit Bezügen zur „institutionellen“ Ebene. Grundsätzlich sollten diese Teams sehr eng zusammenarbeiten und alle Schüler in den Blick nehmen. Dies impliziert, dass z. B. Regelschullehrkräfte auch über sonderpädagogisches Wissen verfügen und umgekehrt sonderpädagogische Lehrkräfte auch über Wissen zur Organisation des Regelunterrichts. Gleichzeitig bieten sich Schwerpunktsetzungen aufgrund unterschiedlicher Qualifikationsschwerpunkte an. Als personelle Grundausstattung empfiehlt Käpnick (2016a) ein Team aus drei spezialisierten Personen, wobei deren spezifische Kompetenzen individuell verschieden ausgeprägt sein können und sich demgemäß wechselseitig unterschiedlich ergänzen sollten: • Eine „Fachlehrkraft“, die für die Gesamtplanung des Unterrichts hauptverantwortlich ist, prozessorientiert Lernstandsentwicklungen und Leistungsstände aller Lernenden im Blick hat und allen Kindern stets als Ansprechpartner bzw. -partnerin zur Verfügung steht. • Eine „sonderpädagogische Lehrkraft“, die für spezifische Förderschwerpunkte hauptverantwortlich ist und hier die Diagnostik und Förderung tiefergehend koordiniert – beispielsweise für Kinder mit sonderpädagogischen Unterstützungsbedarfen oder für besonders leistungsstarke und -fähige Kinder – und die das Lernen mancher Kinder auch in anderen Fächern begleitet. • Eine „Beratungslehrkraft“ (als „Lerncoach“), die soziale Prozesse analysiert, pädagogische Maßnahmen koordiniert und individuell beratend unterstützt. Kooperationen in einem solchen Team sollten stets auf der Vereinbarung gemeinsam festgelegter Ziele gründen. Dabei sollte der Austausch von beispielsweise diagnostischen Impressionen ebenso bedacht werden wie von Arbeits- und Anschauungsmitteln. Weiter sollten arbeitsteilig Schwerpunkte definiert werden, etwa in Bezug auf die Aufteilung

298

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

von Diagnose- und Förderaktivitäten, um Spezialqualifikationen gewinnbringend zu nutzen. Dexel (2019) kennzeichnet die Kooperation zwischen sonderpädagogischen Lehrkräften und Regelschullehrkräften als wesentliche Gelingensbedingung inklusiven Mathematiklernens. In einer strikten und isolierten Aufteilung von Zuständigkeiten sieht er die Gefahr einer potenziellen Exklusion von Schülerinnen und Schülern. Er konnte nachweisen, dass sonderpädagogische Lehrkräfte, die ausschließlich für Kinder mit attestiertem Unterstützungsbedarf zuständig sind, einen vergleichsweise „schlechten Stand“ haben: Sie würden eher als Nachhilfelehrkräfte denn als vollwertige Lehrkräfte angesehen. Anstelle einer Personenorientierung („Wer ist Förderkind?“) schlägt Dexel daher eine Ressourcenorientierung vor („Wer kann was?“). Für eine angemessene Raum- und Lehrmittelausstattung sind u. E. zunächst zwei möglichst benachbarte Räume sinnvoll: Es sollte einen Gemeinschaftsklassenraum geben, in dem das gemeinsame Lernen aller Kinder organisiert wird, sowie einen Rückzugsraum, der für unterschiedliche Zwecke nutzbar ist, z. B. für Kleingruppenoder Projektarbeiten, für individuelle Beratungsgespräche und für (v. a. äußerlich differenzierende) individuelle Fördermaßnahmen. Aspekte wie Barrierefreiheit, entsprechendes Mobiliar, eine gute Raumakustik sowie eine adäquate mediale Ausstattung erscheinen hier ebenso selbstverständlich wie die Unangemessenheit, Tische und Stühle ähnlich einem universitären Hörsaal zu stellen. Demgegenüber sind u-förmige Anordnungen von Tischen oder Stuhlkreise empfehlenswert, kurz Dispositionen, die das Mit- und Voneinanderlernen unterstützen. Übliche Anschauungsmittel (z. B. für arithmetische, geometrische oder andere fachliche Inhalte) sollten ebenso wie weitere Lernmaterialien (beispielsweise Materialien für Bastel- und Projektarbeiten, aber auch Spiele, Sachbücher oder Lernmaterialien für differenzierendes Lernen und Üben wie Knobelordner, Fermi-Boxen oder Aufgaben zur Sicherung von Grundvorstellungen) reichhaltig vorhanden und Kindern bei Bedarf frei zugänglich sein. Didaktisch-methodische Grundorientierungen ergeben sich einerseits unmittelbar aus der Übersicht des Abschn. 15.2 zu fächerübergreifend zentralen Anforderungen an die Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen. Für die Organisation von inklusivem Unterricht und insbesondere für die Organisation von inklusivem Mathematikunterricht lassen sich die folgenden konkreteren Konsequenzen ableiten: • Ausgehend von einer Grundakzeptanz, dass Kinder in Bezug auf ihre Lernbiografien sowohl interindividuell sehr unterschiedlich sind als auch bereits jeweils in sich ein hohes Maß an Vielfalt tragen (z. B. hinsichtlich ihrer Interessen oder Begabungen), kommt auch und gerade natürlichen Differenzierungen besondere Bedeutung zu, um individuelle Bedürfnisse oder auch Potenziale prozessorientiert erfassen zu können. „Prozessorientiert“ bezieht sich einerseits auf denk- und fehleranalytische Prozesse im Kontext der Entfaltung mathematischer Kompetenzen (Abschn. 12.2), andererseits aber auch und gerade auf eine ganzheitliche diagnostische Perspektive, welche die gesamte Dynamik von Entwicklungsprozessen nicht nur des Lernens,

15.3  Konzeptionelle Schlüsselideen und Eckpfeiler

299

sondern der gesamten Persönlichkeit in den Blick nimmt (z. B. soziale, motivationale oder emotionale Aspekte, wie es das folgende Zitat zur Diagnostik im Kontext des Mathematikunterrichts andeutet): „Um jedes Kind entsprechend seinen individuellen Bedürfnissen fördern zu können, bedarf es zweifelsohne einer vorherigen gründlichen Diagnose seiner jeweiligen Lernausgangssituation. Denn: Erst eine möglichst genaue Kenntnis des bis dato erreichten Entwicklungsstandes eines Kindes erlaubt die Planung und Durchführung effektiver Fördermaßnahmen. (…) eine solche Diagnostik [sollte sich] aber nicht nur auf die erworbenen mathematischen Kompetenzen und speziellen Lernbedürfnisse beschränken, sondern die gesamte Persönlichkeitsentwicklung einschließlich der jeweiligen inter- und intrapersonalen Einflussfaktoren berücksichtigen.“ (Käpnick 2016b, S. 139) Konkrete Umsetzungen im Mathematikunterricht können beispielsweise Lerntagebücher, Lernlandkarten, Mind-Maps oder Beobachtungen bei der Bearbeitung von Aufgaben bieten, also alle Gelegenheiten, die unsichtbare Denkprozesse diagnostisch sichtbar werden lassen. • Es sollten aktivierende Lernsettings angeboten werden, die Kindern ein Lernen gemäß ihren Lern- und Entwicklungsständen ermöglichen. Im Mathematikunterricht kann dies durch das Lehrkonzept des aktiv-entdeckenden Lernens umgesetzt werden. • Lernsettings sind so zu gestalten, dass sie z. B. emotionale Sicherheit vermitteln und motivational förderlich wirken. Jenseits einer aktiv-entdeckenden Grundkonzeption und einer Haltung, Kinder stets zu ermutigen und zu unterstützen, liegen Umsetzungspotenziale im Mathematikunterricht z. B. darin, Kindern Möglichkeiten zu geben, von ihren Zugängen zu mathematischen Inhalten ausgehend weniger fehleranfällige bzw. zunehmend tragfähige Strategien zu entfalten und ein Netzwerk komplexer inhalts- wie auch prozessbezogener Kompetenzen zu knüpfen. • Lernsettings sollten Möglichkeiten für Austausch, Kooperation und soziales Lernen bieten (Bezüge zur „Beziehungsebene“ sind offenkundig). Dialogische und offene Lernformen wie Stationenlernen, Wochenplanarbeit oder Freiarbeit können konkrete Umsetzungen im Mathematikunterricht darstellen. Außerdem sollte Mathematik mit anderen Fächern vernetzt werden und für die Schülerinnen und Schüler zahlreiche Verbindungen zur Lebenswelterschließung ermöglichen. Für erstgenannten Aspekt bieten Projekte eine Umsetzungsmöglichkeit. Der zweite Aspekt knüpft an die Ermöglichung von Grunderfahrungen im Mathematikunterricht an, und zwar im Sinne von Mathematik als „Anwendung“ und damit an ein zentrales Argument für die Legitimation von Mathematikunterricht als Schulfach überhaupt (Winter 1995). • Für die Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen ist stets die individuelle „Zone der nächsten Entwicklung“ (siehe auch Abschn. 4.4) zu berücksichtigen. Im Mathematikunterricht sollten Aufgaben demgemäß so gestellt werden, dass sich ein Kind für die Bewältigung anstrengen muss, womöglich auch mit Unterstützung einer Lehrkraft –

300

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

differenzierendes Lernen ist in diesem Sinne völlig unverzichtbar, und es zeigt sich angesichts der Vielschichtigkeit der Facetten von Vielfalt die Notwendigkeit der Berücksichtigung der „institutionellen Ebene“ im Kontext individueller Förderung. Neben den schon benannten Facetten seien hier als weitere Beispiele „Deutsch als Zweitsprache“ und „Fluchterfahrung“ erwähnt, die in der aktuellen mathematikdidaktischen Forschung vielstudierte Schwerpunkte bestimmen. • Leistungsbewertung muss transparent erfolgen und Leistungsrückmeldung stets der Lern- und Entwicklungsförderung dienen. Im Mathematikunterricht sollte Leistungsbewertung demgemäß nicht defizit-, sondern kompetenzorientiert organisiert werden, sie sollte Eltern transparente Rückmeldungen über individuelle Entwicklungsstände hinsichtlich mathematischer Kompetenzen wie auch der gesamten kindlichen Persönlichkeitsentwicklung geben, und sie sollte die Lernenden selbst aktiv einbeziehen. In Abb.  15.2 sind die beschriebenen grundlegenden didaktisch-methodischen Orientierungen zusammenfassend als didaktisches Hexagon nebst leitenden Fragen für ihre Umsetzung dargestellt (in Anlehnung an Veber et al. 2016, S. 136 f.). Eine weiterführende Synthese bietet zudem das in Abb. 15.3 dargestellte „Modell zu Gelingensbedingungen inklusiven Mathematiklernens“ von Dexel (2019).

Prozessdiagnostik

Aktivierung

Wo steht das Kind? Wie sieht sein bisheriger Lernweg aus? Was sind seine persönlichen Stärken? Wo sind persönliche Ressourcen?

Motivation und Emotion

Wie aktiviere ich die Kinder für ihren individuellen Lernprozess? Wie organisiere ich Lernsettings, die zu individueller Auseinandersetzung und lernender Aktivität anregen?

Wie lassen sich Erfolg und Selbstwirksamkeit im Unterricht erleben?

Herausforderung der Zone der nächsten Entwicklung

Sozialer Prozess und Vernetzungen

Welche Herausforderung ist individuell angemessen, ohne zu unter- oder überfordern?

Wie kann Lernen in einem sozialen System geschehen? Wie ein Kind zum lernenden System beitragen?

Leistungsbewertung Wie kann jedem Kind eine (motivierende) Rückmeldung über seinen Lernprozess, seinen Lernweg in Bezug auf gestellte Herausforderungen gegeben werden?

Abb. 15.2   Didaktisches Hexagon für die Planung und Auswertung inklusiven Mathematikunterrichts

15.4  Didaktisch-methodische Grundformen

301

Verständnis von Inklusion & pädagogische Haltung aller Lehrkräfte

Unterrichtsgestaltung

Vermittlung eines adäquaten Bildes vom Wesen der Mathematik & Ziele inklusiven Mathematikunterrichts

• Balance aus verschiedenen Lernarrangements • Adaption von Aufgaben und Material • Verknüpfung des Eswerbs mathematischer Kompetenzen mit Sprachförderung • Prozessdiagnostik • Transparenz der Anforderungen und Bewertungskriterien

Schul- und Unterrichtsorganisation

Gelungener inklusiver Mathematikunterricht

• Intraprofessionelle fachbezogene Kooperation • Fachbezogene und pädagogische Kooperation mit den Eltern • Angemessene Raum- und Lehrmittelausstattung

Politisch-organisatorische Rahmenbedingungen

Abb. 15.3   Gelingensbedingungen inklusiven Mathematiklernens nach Dexel (2019)

15.4 Didaktisch-methodische Grundformen In der einschlägigen Literatur werden drei didaktisch-methodische „Grundformen“ unterschieden, die konkrete Orientierungshilfen für die Planung und Durchführung inklusiven Mathematikunterrichts bieten und die natürlich auf andere Fächer übertragen werden können. Ihr Wechselgefüge sollte auf die jeweiligen Gegebenheiten einer Lerngruppe abgestimmt werden – und natürlich gibt es zahlreiche Bezüge zu anderen Themen des vorliegenden Buches, die sich in vielen Fällen als Konkretisierungen der im Folgenden aufgeführten Grundformen verstehen lassen, z. B. in Bezug auf die Förderung von Kindern mit „Rechenproblemen“ (Abschn. 12.5), in Bezug auf die Förderung von Kindern mit besonderen „mathematischen Begabungen“ (Abschn. 13.6) oder in Bezug auf „individuelles und differenzierendes Lernen“ (Abschn. 11.3). Grundsätzliche didaktisch-methodische Entscheidungen Eine wesentliche Aufgabe, aber auch stets eine Herausforderung, besteht darin, Mathematikunterricht so zu planen, dass Lernwege wirklich individuell beschritten werden können und gleichzeitig die stundenbezogenen oder auch die individuell formulierten Lernziele erreicht werden. Übergreifend lassen sich unter diesem Aspekt

302

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

alle methodisch-organisatorischen Entscheidungen zusammenfassen, die Lernen individualisieren, was auf die Bedeutung dieser Entscheidungen für Mathematikunterricht überhaupt und insbesondere für inklusiven Unterricht verweist. Die Entscheidung für Konzepte des aktiv-entdeckenden Lernens (Abschn. 3.3) ist hierfür ebenso ein geeignetes Beispiel wie die Entscheidung darüber, welche Differenzierungen geplant werden (Abschn. 11.4). Weitere Beispiele bieten Fragen nach der Sozialform (etwa Klassengespräche oder Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit) wie auch insbesondere der Methode: Eignen sich vor dem Hintergrund der Stundenziele beispielsweise kooperative, dialogische oder offene Unterrichtsformen wie Stationenlernen, Freiarbeiten, Wochenplan- oder Projektarbeiten am besten? Erscheint es günstig, Einstiege oder Ergebnispräsentationen in individuell-aktivierender Form zu gestalten, etwa in Form von Stuhl- und Gesprächskreisen oder in Form von Mathekonferenzen? Welche „Spezialformen“ können besonders anregend und motivational-emotional aktivierend wirken (z. B. Spiele oder Schreiben von Aufgabenbriefen)? Wie kann soziales Lernen gezielt gestärkt und die Vielfalt der Lernenden hierfür produktiv als Ressource genutzt werden, z. B. durch Lernpatenschaften und Lernteams? Elementarisierungen „Elementarisierungen“ beziehen sich auf Rückführungen und Reduktionen eines Fachinhalts auf grundlegende Teilaspekte (u. a. Schnitzler 2007). Als elementare Techniken unterscheidet man insbesondere folgende Fokussierungen: • Fokussierung auf elementare Strukturen: Ein Lernstoff wird auf das Wesentliche reduziert. • Fokussierung auf elementare Erfahrungen: Es werden Möglichkeiten eröffnet, spezifische Erfahrungen zu einem Lerngegenstand zu machen, die ein Kind beispielsweise ausgehend von diesem Lerngegenstand bei der weiteren Umwelterschließung unterstützen. • Fokussierung auf elementare Zugänge: Es werden Zugänge zu einem Lerngegenstand gewählt, die bereits vorhandene Erfahrungen eines Kindes aufnehmen und altersoder entwicklungsgerecht sind. • Fokussierung auf elementare Lernwege: Es werden didaktisch-methodische Wege gesucht, die z. B. Einzelaspekte eines Unterrichtsstoffs zugänglich machen, aus denen dann ein Ganzes entstehen kann. Jenseits von speziellen Förderkursen als äußere Differenzierung gewinnen Elementarisierungen (nicht nur) bei der Gestaltung des Mathematikunterrichts beispielsweise an Bedeutung für innere Differenzierungen, wenn ein Lernen an einem gemeinsamen Gegenstand auf sehr unterschiedlichen Niveaustufen erreicht werden soll: Für ein Kind – oder auch für mehrere Kinder – kann z. B. ein individuelles „Rückschalten“ im Lernprozess zu noch nicht erworbenen Grundvorstellungen organisiert werden

15.4  Didaktisch-methodische Grundformen

303

(Abschn. 12.5), über welche die anderen Kinder derselben Lerngruppe bereits verfügen. Auch äußere Differenzierungsmaßnahmen knüpfen häufig an Elementarisierungen an. Öffnungen „Öffnungen“ können sich sowohl auf die Öffnung und Adaption von Aufgaben beziehen als auch auf die Verwendung offener Formate. „Offen“ bedeutet, dass eine Aufgabe z. B. nicht nur einfach nach „richtig und falsch“ bewertbar ist, dass sie nicht in kleinen Schritten auf ein bestimmtes Ergebnis führt, dass es keine vorbestimmte Lösung, sondern mehrere Lösungen ebenso gibt wie verschiedene Lösungswege. Das Ziel von Öffnungen besteht demgemäß jeweils darin, Individualisierungen und Personalisierungen von Lernwegen zu ermöglichen, indem natürliche Differenzierungen ausgehend vom Fach (ergänzend zu methodischen Differenzierungen) realisiert werden. Bekannte simplere Techniken, um Aufgaben zu öffnen, bestehen beispielsweise darin, Informationen wegzulassen, Aufgabenbedingungen zu verändern, bewusst alle Lösungen suchen zu lassen, Aufgaben umzukehren oder Begründungen für Lösungswege einzufordern. Ein sehr komplexes offenes Format bieten demgegenüber Projekte. Beispiele für Formate, die gezielt natürliche Differenzierungen ausgehend von der fachlichen Substanz realisieren, bieten „substanzielle Lernumgebungen“ (s. z. B. Wollring 2009) und „offene, substanzielle Problemfelder“. Die Grundidee besteht darin, dass die mathematische Substanz gewährleistet, dass alle Lernenden das entsprechende Lernangebot erfolgreich erkunden können – insbesondere soll eine „Nullschwelle“ eingeschlossen sein, d. h., auch Leistungsschwächere sollen sich dem Angebot produktiv nähern können. Offene, substanzielle Problemfelder sollten die Kriterien, die im Kap. 7 genannt sind (vgl. auch Benölken et al. 2016). Ein Beispiel für ein offenes, substanzielles Problemfeld bietet die „Schachbrettstadt“ (s. Abb. 15.4)6, das Forschungsfragen und -impulse zu einem Stadtplan anbietet, der in einem „Schachbrettmuster“ angelegt ist, ähnlich den Straßennetzen der meisten amerikanischen Städte. Ein möglicher Forschungsimpuls ist, ausgehend vom Beschreiben und Nachvollziehen von Wegen, verschiedene Wege zu betrachten und die Anzahl der Möglichkeiten unterschiedlicher, gleich langer Wege zwischen einem Start- und einem Zielort zu ermitteln. Als Einstieg bietet sich an, zunächst gemeinsame Verständnisgrundlagen zu schaffen (z. B. in einem Stuhlkreis) und die Bedeutung der Pfeildreiecke als Standortbestimmungen anhand mehrerer Beispiele zu klären, etwa: „Hier siehst du einen Stadtplan von Schachbrettstadt. Die kleinen weißen Dreiecke sind Pfeile, die angeben, wo sich etwas genau befindet. Beschreibe, wo Tim genau steht. Wähle selbst Beispiele und beschreibe, wo sie sich genau befinden.“ Als erster Forschungsauftrag empfiehlt sich eine Erkundung der möglichen Wege zwischen zwei 6Vorschläge

für substanzielle Forschungsfragen rund um „schachbrettartige“ Stadtpläne von Planstädten werden in der mathematikdidaktischen Literatur sowie in Schulbüchern zahlreich unterbreitet. Grundlegend sind meist verschiedene Aufbereitungen des Themas im Primarstufenlehrbuch „Das Zahlenbuch“ als „Eckenhausen“ (siehe beispielsweise Wittmann und Müller 2012).

304

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

Abb. 15.4   Stadtplan der „Schachbrettstadt“ als Grundlage für ein offenes, substanzielles Problemfeld

nicht allzu weit voneinander entfernten Orten, z. B.: „Wie viele Möglichkeiten gibt es für Tim, um ohne Umweg zur Schule zu gehen? Beschreibe, wie du vorgegangen bist.“ Als tiefergehender Forschungsauftrag knüpft hier der folgende an: „Wähle nun selbst verschiedene Start- und Zielorte. Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils, um ohne Umweg von den verschiedenen Startorten zu den jeweiligen Zielorten zu gelangen? Beschreibe, wie du vorgegangen bist. Erkennst du Muster?“ Diese Forschungsfragen eröffnen eine große Bandbreite möglicher Vorgehensweisen und Entdeckungen, sodass sich verschiedene Lösungsideen und -darstellungen wechselseitig bereichern können. Als Illustration hierfür können die folgenden Fallbeispiele von Drittklässlern dienen. Marta ist ein Kind mit einem attestierten sonderpädagogischen Unterstützungsbedarf „Lernen“. Sie bearbeitete den einleitenden Forschungsauftrag (Tims Weg zur Schule) sehr motiviert und ausdauernd. Das Kind markierte gefundene Wege in unterschiedlichen Farben und fand mit einer substanziell tragfähigen Strategie auf diese Weise vier mögliche Wege zwischen Tims Standort und der Schule – allerdings zeichnete sie einen Weg doppelt und übersah zwei weitere mögliche Wege (Abb. 15.5). Martas Lösungsidee und -darstellung ist im Übrigen dieselbe, wie sie auch von vielen anderen Kindern verfolgt wurde, ganz gleich, welchen persönlichen Hintergrund sie hatten. Leon und Abdul sind zwei leistungsstarke Schüler, wobei Abdul erst seit etwa zwei Jahren Deutsch lernt, die Sprache aber mittlerweile gut beherrscht. Sie untersuchten gemeinsam die Anzahl der möglichen Wege ohne Umweg zwischen dem Geschäft und

15.4  Didaktisch-methodische Grundformen

Abb. 15.5   Martas Lösung

Abb. 15.6   Die Lösung von Leon und Abdul

305

306

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

dem Kino, weil sie die am weitesten voneinander entfernten Orte betrachten wollten (Abb. 15.6), und griffen hier im Wesentlichen auf das gleiche Vorgehen wie Marta zurück, wenn sie es auch weiter verfeinerten: „Man muss an jeder Kreuzung neu entscheiden und hat dafür erst mal immer zwei Möglichkeiten. Zurückgehen darf man ja nicht, das wäre ein Umweg. Das ist also unser System: Am Geschäft hat man zwei Möglichkeiten, dann hat man an der nächsten Kreuzung immer wieder zwei Möglichkeiten. Erst wenn man in der Straße zum Kino ist, kannst du nur noch einen Weg gehen.“ Eine Gruppe von Mädchen, Lea, Petra und Aylin, markierte „Planquadrate“ auf dem Stadtplan und nutzte das auf diese Weise entstehende „Koordinatengitter“, um Wege zu beschreiben und zu unterscheiden (Abb. 15.7): „Wenn Tim zur Schule geht, dann ist das zum Beispiel so: Er steht unten links in E-3 und will nach oben links in C-2. Die Linien sind ja schon die Wege, dann müssen wir nur noch zählen. Wir haben sechs Wege.“ Der Vergleich dieser und weiterer Lösungsideen und -darstellungen birgt ein reichhaltiges Potenzial für die Entfaltung von Kompetenzen im Argumentieren und Kommunizieren (Abschn. 2.2), und gerade hieraus ergibt sich die Chance, die entstehende Vielfalt durch wechselseitige Präsentationen, Würdigungen und ein gemeinsames Weiterdenken produktiv zum Vorteil aller Lernenden zu nutzen. Die mathematische Substanz könnte übrigens auch Personen mit einem reichhaltigeren

Abb. 15.7   Die Lösung von Lea, Petra und Aylin

15.5  Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel

307

mathematischen Wissen herausfordern: So könnten beispielsweise die Straßenseiten unterschieden werden, und der Stadtplan ließe sich in ein geeignetes Koordinatensystem abstrahieren (günstigerweise mit dem Koordinatenursprung in der linken unteren Ecke), was nichts anderes bedeutet, als die Ideen von Leon und Abdul sowie von Lea, Petra und Aylin weiter zu formalisieren. Auf diese Weise stößt man auf ein bekanntes Problem, nämlich das Zählen von Gitterwegen, für das man in einem allgemeinen Fall auf elegante Weise den „Binomialkoeffizienten“ heranziehen kann. Die Idee des Zugangs über Öffnungen erinnert somit zusammengefasst an ein Zitat, das Maria Montessori zugeschrieben wird: „Der Weg, auf dem die Schwachen sich stärken, ist der gleiche wie der, auf dem die Starken sich vervollkommnen.“ Abschließend seien noch einige Anmerkungen zur Einordnung der in diesem Abschnitt vorgestellten Grundformen „Grundsätzliche didaktisch-methodische Entscheidungen“, „Elementarisierungen“ und „Öffnungen“ vorgenommen: Vor dem Hintergrund der Erörterungen des Abschn. 15.2 lässt sich konstatieren, dass vor allem die beiden zuletzt benannten Formen jenseits der Gedanken an die Individualisierung von Lernwegen gerade vor dem Hintergrund des Strebens nach inklusivem Lernen unterschiedliche Wirkungen entfalten können: „Elementarisierungen“ bieten ein Beispiel für ein auf institutioneller Ebene wichtiges Format, um beispielsweise leistungsschwächeren Lernenden ein erfolgreiches Lernen zu ermöglichen, sodass sie am Leben der Gesellschaft uneingeschränkt teilhaben können. Bei „Öffnungen“ vermag insbesondere die Beziehungsebene in den Vordergrund zu treten, da sich Ideen für Lösungsansätze, -darstellungen und Ähnliches vielschichtig wechselseitig bereichern können – insofern handelt es sich bei einer Betrachtung aus inklusionsbezogener Perspektive um ein didaktisches Format, welches das Streben nach einer inklusiven Gesellschaft aus dem Mathematikunterricht heraus zu unterstützen vermag.

15.5 Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel In Abschn. 15.1 wurden bereits einige Aspekte aufgezeigt, die deutlich machen, dass die in dem einleitenden Fallbeispiel gewählte Lehrkonzeption (nicht nur) im Kontext inklusiven Unterrichts wenig tragfähig erscheint, insbesondere da sie nicht hinreichend individualisiert. Zwar kann auch schlichtes Auswendiglernen der Reihen später bei komplexeren Rechnungen entlastend wirken, es ist aber natürlich geboten, allen Lernenden eine verständnisorientierte Erschließung zu ermöglichen. Das Lehrerteam bestehend aus Herrn Müller, Frau Meier und Herrn Schulte hat sich in der Vorbereitung der Übungseinheit intensiv ausgetauscht und fachliche und didaktische Aspekte wie die oben beschriebenen geklärt: Herr Müller hat als

308

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

didaktischen Zugang Kernaufgaben7 vorgeschlagen, Frau Meier hat aber darauf hingewirkt, diese zwar als möglichen Aufhänger zu nehmen, insbesondere wenn Kinder stärkere Anleitung bräuchten, Kindern aber auch ihre Freiheit zu lassen, falls sie subjektiv andere Aufgaben als besonders leicht empfinden sollten. Wegen ihrer Eindrücke zum Lernstand Marias nimmt sich Frau Meier zudem vor, insbesondere dieses Mädchen zu begleiten. Herr Schulte wird bei Markus bleiben, um seinen Lernprozess zu unterstützen oder ihm ggf. zwischendurch ein auflockerndes Spiel- oder Lernangebot zu machen. Das Team hat sich auf die folgende Unterrichtsorganisation geeinigt: In einer ersten Phase wird als Ziel im Stuhlkreis festgelegt, dass es nun darum gehen soll, die Einmaleinsreihen zu üben. Weiter werden im Stuhlkreis Aufgaben thematisiert, welche die Kinder individuell als besonders einprägsam empfinden. Das Lehrerteam favorisiert die Organisation einer längeren Freiarbeitsphase, für die zwar hauptsächlich die Kernzeit des Mathematikunterrichts genutzt werden sollte, für die es in Absprache mit anderen Fächern aber auch möglich ist, dass sich die Kinder ihre Zeit freier einteilen. Schlussendlich entscheidet sich das Lehrerteam dann jedoch pragmatisch für die Konzeption einer Doppelstunde, in der die Kinder zumindest frei entscheiden können, ob sie lieber alleine, zu zweit oder als Kleingruppe arbeiten wollen. Die Kinder erhalten ein Forschungsheftchen mit drei Impulsen: Zunächst sollen sie jeweils individuell für eine jede Einmaleinsreihe die Aufgaben notieren, die sie sich besonders gut merken können. Dann sollen sie mithilfe dieser Aufgaben jeweils die vollständigen Reihen erschließen und die weiteren Aufgaben einer jeden Reihe mit den Aufgaben begründen, die sie sich besonders gut merken konnten. Zusätzlich enthält das Forschungsheftchen zudem sowohl ein niedrigschwelligeres Lernangebot zu Einmaleinsreihen (mit z. B. umfangreicher vorgegebenen Strukturen) als auch ein substanzielles Lernangebot (wie Zahlenrätsel), die jeweils für innere Differenzierungen nutzbar sind. Zum Abschluss der Einheit wird eine Mathekonferenz organisiert, in der sich Gruppen nach den Reihen zusammenschließen und ihre Ergebnisse und Begründungen präsentieren. Nach der Einheit sammelt das Lehrerteam die Forschungsheftchen ein, denn in der folgenden Einheit sollen sie mit einem individuellen Kommentar zu den jeweiligen Stärken und noch zu entwickelnden Aspekten zurückgegeben und den Kindern bei Bedarf erläutert werden.

7Vorausgesetzt

sei, dass die meisten Lernenden über tragfähige Grundvorstellungen zur Multiplikation einschließlich ihrer Rechengesetze verfügen, denn erst dann ist es sinnvoll, Einmaleinsreihen systematisch zu erarbeiten. Einen didaktischen Zugang eröffnen „Kernaufgaben“, d. h. Aufgaben aus einer jeden Einmaleinsreihe, die sich die meisten Kinder besonders gut merken können, und zwar „1 · …“, „2 · …“, „5 · …“ und „10 · …“. Für die Einmaleinsreihe mit 3 sind somit „1 · 3 = 3“, „2  · 3 = 6“, „5  · 3 = 15“ und „10 · 3 = 30“ die Kernaufgaben. Der Nutzen liegt darin, dass die Kinder komplexere Aufgaben ausgehend von einer geringen Anzahl auswendig erlernter Aufgaben erschließen können (so ist „7 · 3“ beispielsweise „5 ·  3 + 2  · 3“, also „15 + 6 = 21“), wobei vielfach operative Beziehungen anhand von Nachbar-, Tausch- oder auch Verdoppelungsaufgaben nutzbar sind.

15.5  Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel

309

In der Durchführung der Stunde werden von den Kindern tatsächlich überwiegend Kernaufgaben als Aufgaben benannt, die sie sich besonders gut merken können – allerdings häufig auch Aufgaben mit Quadratzahlen. Sabine erklärt, ihr gefielen besonders die Aufgaben mit 7, „denn die sind irgendwie anders als die anderen“. Zu Beginn der Freiarbeitsphase schreibt sie in ihr Forschungsheftchen, sie habe die Einmaleinsreihen zwar nicht gelernt, wisse aber längst, wie sie hergeleitet werden könnten, und illustriert dies durch die Beispiele der Einmaleinsreihen mit 2, 4 und 8. Außerdem wisse sie noch gar nicht, wie das mit dem Einmaleins bei größeren Zahlen sei, sodass sie sich hierauf konzentrieren werde. Maria arbeitet mit Max zusammen, was zunächst etwas chaotisch ist, da Max das Gespräch stark dominiert. Frau Meier greift hier mäßigend ein und unterstützt den sozialen Austausch zwischen den beiden. Außerdem gibt sie den beiden den Hinweis, doch erst einmal mit den Einmaleinsreihen zu den Zahlen 2, 4 und 8 zu beginnen. Herr Schulte hat für Markus unterdessen seine „­Micky-Maus-Ohren“ besorgt, damit er durch den relativ hohen Geräuschpegel nicht abgelenkt wird. Einige andere Kinder (wie Ivan, der sich den Kontext schnell erschließen konnte) holen sich ihre „Micky-Maus-Ohren“ ebenfalls; sie sind mit Namen markiert in einer Ecke des Gemeinschaftsraums aufgehängt. In diesem Raum herrscht ein reges Treiben: Manche Kinder arbeiten für sich, andere diskutieren lebhaft in kleinen Gruppen über Begründungen sowie darüber, wie sich Ergebnisse am besten aufschreiben lassen. Herr Müller geht durch die Klasse, sammelt Eindrücke über einzelne Lernprozesse und gibt Rückmeldungen und Ermutigungen, ab und zu auch eine kurze „Hilfe zur Selbsthilfe“. Markus schweift irgendwann doch allzu sehr ab, sodass sich Herr Schulte mit ihm in den benachbarten Raum zurückzieht. Nachdem die vorgegebene Bearbeitungszeit vergangen ist, suchen sich die Schülerinnen und Schüler einen der für die Mathekonferenz vorbereiteten Gruppentische im Gemeinschaftsraum aus. Sabine zieht sich allerdings in den Nebenraum zurück und gestaltet derweil eine Wandzeitung über ihre Forschungsergebnisse. Nachdem alle Forschungsheftchen eingesammelt und im Nachgang denksowie fehleranalytisch durchgesehen sind, tauschen sich Herr Müller und Frau Meier nochmals intensiver zu den Lernständen einzelner Kinder aus, um eventuell weitere notwendige individuelle Fördermaßnahmen zu initiieren (im Ergebnis scheint es beiden sinnvoll, mit Maria zum Thema Einmaleinsreihen nochmals während der ritualisierten Förderstunde an der Schule zu arbeiten). Natürlich reduziert und überzeichnet diese Falldarstellung ebenso wie die einleitende an einigen Stellen, und es ist an dieser Stelle nicht mehr als eine schemenhafte Skizze eines kontrastierenden Paars von Unterrichtsstunden zum selben Stoff möglich. Schlussendlich spiegelt die Alternative aber eine Mathematikstunde wider, die nicht nur aktuellen mathematikdidaktischen Postulaten zur Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen wie der Forderung nach einem aktiv-entdeckenden Lernen genügt, sondern die insbesondere viele konstruktive Momente im Sinne der Ausführungen dieses Abschnitts zu inklusivem Lernen aufweist. Hierzu zählt das Zutrauen, dass alle Kinder die komplexe Herausforderung bewältigen können, als positive Grundhaltung des multiprofessionellen Lehrerteams ebenso wie seine Zusammenarbeit in Vor- und Nachbereitung. Die

310

15  Inklusives Lernen im Grundschulmathematikunterricht

Prozessdiagnostik Unterrichtsbeobachtungen, Analyse der Eigenproduktionen in Forschungsheftchen

Aktivierung

Motivation und Emotion

Ausgehen von individuellen Einschätzungen zu Aufgaben, methodische und v.a. fachliche Öffnung (Schwerpunkte bei den Reihen selbst setzen)

Positive Rückmeldungen zu Erfolgen, Hilfe zur Selbsthilfe, die Möglichkeit kurzzeitig für ein Spiel o.Ä. auszusteigen, freie Wahl der Inhalte, wenn man etwas schon kann

Herausforderung der Zone der nächsten Entwicklung

Sozialer Prozess und Vernetzungen

Vollständigkeit der Einmaleinsreihen, Nutzen operativer Beziehungen, Transfer auf größere Zahlenräume

Freistellung der Wahl über der bevorzugte Sozialform, Organisation von Mathekonferenzen

Leistungsbewertung Feedback über schon entfaltete Stärken und noch zu erwerbende Aspekte nach Analyse der Forschungsheftchen

Abb. 15.8   Reflexion des Fallbeispiels im didaktischen Hexagon

angedeutete Raumausstattung mit Gemeinschafts- und Nebenraum in unmittelbarer Nachbarschaft (die etwas anders genutzt wird als im einleitenden Beispiel) wirkt ebenso positiv wie die Micky-Maus-Ohren als symbolischer Vertreter für eine angemessene Lernmittelausstattung. Außerdem weist die Stunde zahlreiche Grundzüge im Sinne produktiver didaktisch-methodischer Leitideen auf, wie sie in diesem Kapitel entfaltet wurden. Dass die Stunde im Sinne eines wirklich inklusiven Mathematikunterrichts produktiv angelegt ist, dokumentiert außerdem die in Abb. 15.8 vorgenommene skizzenhafte Reflexion im didaktischen Hexagon. Mögliche Weiterentwicklungen „Inklusion“ stellt u. E. bis dato nach wie vor ein Ziel dar. Schulische Veränderungsprozesse sind auf etlichen Ebenen angestoßen, aber weiterhin „im Fluss“. Das in diesem Kapitel skizzierte „weite“ theoretische Verständnis lässt sich eigentlich kaum gegenüber einem „engen“ (sonderpädagogisch fokussierten) abgrenzen, da „Inklusion“ aus sich selbst heraus bereits alle Facetten von Vielfalt mit einschließt: Daher ist die Bedeutung sonderpädagogischer Ansätze auch im Kontext inklusiver Bildung als relevant zu sehen, und die Entwicklung sonderpädagogischer Ansätze in engen wechselseitigen Zusammenhängen mit bereits entwickelten und in der Schulpraxis erfolgreich erprobten fachdidaktischen Konzepten für den regulären Mathematikunterricht verspricht in den nächsten Jahren reichen Erkenntniszuwachs. Da in der gegenwärtigen Schulpraxis aber noch einseitige sonderpädagogische Lehr-Lern-Ansätze weit verbreitet sind, besteht ein erheblicher Bedarf für Fort- und Weiterbildungen darin, sich kritisch

15.5  Eine Alternative zum einleitenden Fallbeispiel

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mit solchen einseitigen Konzeptansätzen auseinanderzusetzen. Aktuelle Ausgaben von Primarstufenlernbüchern bieten in diesem Sinne bereits alternative Lernarrangements an, die die unterschiedlichen Bedürfnisse und Potenziale von Kindern auf vielschichtige Weise berücksichtigen. Natürlich müssen nicht zuletzt durch die Schulpolitik zukünftig, wie in diesem Kapitel beschrieben, flächendeckend geeignete Rahmenbedingungen für eine gelingende inklusive Bildung im Mathematikunterricht geschaffen werden (wobei dies nicht nur eine Barrierefreiheit, sondern auch eine adäquate personelle, raumtechnische und Lernmittelausstattung einschließt). Für die Aus- und Weiterbildung besteht eine Herausforderung zudem darin, Lehrkräfte unterschiedlicher Professionen dazu zu befähigen, Lehr-Lern-Prozesse gemeinsam auf Augenhöhe planen und reflektieren zu können, was zugleich ein tiefgründiges wechselseitiges Verständnis der jeweils anderen Profession einschließt. Fragen zum Nach- und Weiterdenken

• Was bedeutet „Inklusion“ für Sie persönlich? • Welche Deutungen des Begriffs „Inklusion“ sind Ihnen schon häufig im Alltag begegnet? Wie würden Sie diese vor dem Hintergrund der Ausführungen des ersten Abschnitts einordnen? • Reflektieren Sie das Einstiegsbeispiel des Abschn.  15.1 mithilfe des didaktischen Hexagons der Abb. 15.2. • Wie stellen Sie sich einen Mathematikunterricht vor, der von einem „weiten Inklusionsverständnis“ ausgeht? • Gerade auf institutioneller Ebene spielen äußere Differenzierungen (einschließlich organisatorischer Maßnahmen innerhalb einer Schule und ggf. Klasse) eine wichtige Rolle, auch für inklusiven Mathematikunterricht. Welche Beispiele fallen Ihnen ein? Welche Beispiele müsste man hiervon vielleicht kritisch hinterfragen, wenn man von der Beziehungsebene aus denkt? • Ist die Aufgabe „Finde alle Körpernetze eines Quaders!“ bereits ein offenes, substanzielles Problemfeld? • Entwerfen Sie selbst ein Beispiel für ein offenes, substanzielles Problemfeld.

Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg, Universität Bielefeld Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen

Bisher erschienene Bände (Auswahl) Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P) C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing: Frühe mathematische Bildung (P) M. Franke/S. Reinhold: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 1 (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P) F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P) G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P) G. Krauthausen: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) E. Rathgeb-Schnierer/C. Rechtsteiner: Rechnen lernen und Flexibilität entwickeln (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) H.-D. Sill/G. Kurtzmann: Didaktik der Stochastik in der Primarstufe (P) A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) A. Pallack: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Sekundarstufen I + II (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) C. Geldermann/F. Padberg/U. Sprekelmeyer: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe II (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 F. Käpnick und R. Benölken, Mathematiklernen in der Grundschule, Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II, https://doi.org/10.1007/978-3-662-60872-2

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Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

G. Greefrath: Anwendungen und Modellieren im Mathematikunterricht (S) G. Greefrath/R. Oldenburg/H.-S. Siller/V. Ulm/H.-G. Weigand: Didaktik der Analysis für die Sekundarstufe II (S) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S) K. Krüger/H.-D. Sill/C. Sikora: Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe (S) F. Padberg/S. Wartha: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)

Mathematik M. Helmerich/K. Lengnink: Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie (P) A. Büchter/F. Padberg: Einführung in die Arithmetik (P/S) F. Padberg/A. Büchter: Arithmetik/Zahlentheorie (P) K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) H. Humenberger/B. Schuppar: Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderungen beschreiben (P/S) S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Algebra (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg/A. Büchter: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) B. Schuppar: Geometrie auf der Kugel – Alltägliche Phänomene rund um Erde und Himmel (S) B. Schuppar/H. Humenberger: Elementare Numerik für die Sekundarstufe (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe

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Stichwortverzeichnis

A Acceleration, 220 Adaption, 57, 58 Akalkulie, 242 Akkomodation, 57 Allgemeinbildung, 1, 9, 271 Alltagsbegriff, 59, 104, 114 Alltagsproblem, 14 Anfangsunterricht, 4, 6, 52, 77, 95, 100, 101, 196 Anforderungen an Problemaufgaben, 147 an Spiele, 209 Anforderungsbereiche der Bildungsstandards, 26 Anschauung, 174 Anschauungsdidaktik, 4 Anschauungsmittel, 28, 173, 174, 176, 177, 179, 182, 189, 190, 192, 194–196, 217, 249 Anschlussfähigkeit, 94 Arbeitsgedächtnis, 245 Argumentieren, 8, 23, 24 Arithmetikprofil, 247 Assimilation, 57 Aufgaben-Wahl-Modell, 285 Aufgabenbrief, 168

B Basiskompetenz, mathematische, 97 Begabung, 256, 262, 266, 270, 271, 273–275 Begriff, 59, 62, 104, 105 theoretischer, 103–105 Begriffserwerb, operativer, 107

Begriffslernen klassisches Modell, 106 nach Galperin, 108 Begriffsnetzwerk, 119 Begründen, 2, 8, 123, 124, 136, 289 beispielgebundenes, 124 Beobachtung, 280 Beobachtungsbogen, 280 Beobachtungsprotokoll, 281 Besonderheit, geschlechtsspezifische, 91, 261, 268 Bewertung, 278, 279 defizitorientierte, 279 kompetenzorientierte, 217, 279 Bewertungsnorm, 278 Bewusstsein, 138 Bildung, 5, 9 formale, 4 vorschulische, 15 Bildungsreform, 3 Bildungsstandard, 19–21, 23, 26–28 Binnendifferenzierung, 219 Brainstorming, 119

C Checkliste, 248, 288, 289 Computernutzung, 196 Concept-Map, 123 Cuisenaire-Stäbe, 190

D Darstellen, 25, 65, 152, 164, 189–191, 193 Denken, operatives, 7

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328 Diagnose, Diagnostik, 247, 270–272 Methoden, 247 Diagnostizieren, 167 Diagramm, 115, 116, 194 Didaktikorientierung, 52 Differenzierung äußere, 221 natürliche, 221, 273 quantitative, 303 Differenzierungsform, 218, 221, 307 Diversität, 52 Dyskalkulie, 230, 240

E Eins-zu-Eins-Zuordnung, 80, 249 Einsabweichung, 79, 230 Elaborationsstrategie, 117 Enrichment, 220 Erarbeitung/Erschließung, ganzheitliche, 41, 95 Erziehung, Erziehungsziel, 5, 9

F Fachorientierung, 11 Fähigkeit, 13, 67 Fehlauffassung, 14 Fehlermuster, 238 Fehlersuche, 168 Fermi-Aufgabe, 133 Fertigkeit, 67 Fingerrechnen, 79, 100, 249 Fordern und Fördern, 249 Förderung außerunterrichtliche, 250, 274 individuelle, 10, 250, 273, 278 Formalisieren, 66 Forscherblatt, 38 Fundierung, fachwissenschaftliche, 7

G Geometrieunterrricht, 7 Gestaltung des Mathematikunterrichts, sprachsensible, 126 Gewohnheit, 12 Grundfähigkeit, basale, 249 Grundkompetenz, kognitive, 167 Gruppenpuzzle, 119

Stichwortverzeichnis H Handlungsebene abstrakt-symbolische, 64, 66 enaktive, 64, 66, 107, 189, 190 ikonische, 64, 66, 107, 189, 190 Hauptfunktionen des Mathematikunterrichts, 1 Hauptinhalte des Mathematikunterrichts, 14 Heterogenität, 11, 52, 216 Hilfsmittel, 26, 46, 148 Hunderterfeld, 192, 194 Hundertertafel, 192, 193

I Ikonisieren, 66 Inklusion, 171, 211 Integrationsprinzip, 60 Integrationsstörung, visuomotorische, 233 Intelligenztest, 233, 272 Intuition, 139, 149 IQ-Wert, 256, 260

K Kapitänsaufgabe, 159 Kenntnis, 12, 67 Kernidee, 44 Kindorientierung, 5, 52, 215, 278 Kommunizieren, 23 Kompetenz, 11, 12, 21, 28, 66, 85, 204, 208, 248, 262 allgemeine mathematische, 21, 28 fachbezogene, 12 personale, 12 prozessbezogene, 30, 157, 161, 280, 289 Kompetenzmodell, 11 Kompetenzorientierung, 11, 52 Können, 12 Kooperationsstrategie, 119 Körperschema, 233, 245 Kreativität, 28, 100, 167, 180, 199, 203, 207, 265, 272

L Langzeitgedächtnis, 245 Lapbook, 222 Lehrerzentriertheit, 40 Lehrplan, 10, 13, 20, 28, 278, 282

Stichwortverzeichnis Leistungskontrolle, 43 schriftliche, 217, 283, 286 Lernen aktiv-entdeckendes, 41, 42, 52, 161, 163 dialogisches, 44 differenzierendes, 27, 28, 95, 160, 204, 215, 216, 218, 293, 301–303 individuelles, 29, 68, 189, 204, 213, 215, 286 jahrgangsübergreifendes, 51, 211 Lerninhalt, Lernthema, 46 Lernkonzept, 33, 41, 51 Lernkultur, 28 Lernmittel, 15, 42, 63, 178, 195, 221, 249, 283 Lernpotenz, 134, 168 Lernspiel, 200, 204, 211 Lernstandserhebung, 28 Lernstrategie, 114 Lerntechnik, 116, 119, 128 Lernvoraussetzung, 5, 6 Lernziel, 9, 40, 114, 279 affektives, 9 Lese-Rechtschreib-Störung, 241 Lieblingszahl, 90, 91, 99 Links-rechts-Orientierung, 188, 245 Linkshänder, 88, 89, 188 Lösungsmuster, 133, 144, 268

M Mathekonferenz (Rechenkonferenz), 23, 42, 217 Mathematik, neue, 7, 9, 52 Mathematiklernen interaktiv argumentierendes, 46 schriftlich reflektierendes, 43, 45 Mathematikunterricht Grundschule, 7 individualisierender, 48 Mathematisieren, 8 Medien des Denkens, 175 Medienkompetenz, 12 Medium, digitales, 196 Mehr-System-Blöcke (Dienes-Blöcke), 189 Menge strukturierte, 182–184 unstrukturierte, 181 Metakognition, 115 Methode, operativ-ganzheitliche, 7

329 Methodenkompetenz, 12, 114, 115 Mind-Map, 121 Modell, 175 der kognitiven Adaption, 57 der kognitiven Struktur, 132 zur Entwicklung mathematischer Begabungen im 3. und 4. Schuljahr, 262, 263 Modellieren, 24 Muster, 84, 258

O Organisationsstrategie, 119 Orientieren, räumliches, 15, 192, 245, 247, 269

P Päckchen, operatives, 156 Paradigmenwechsel, 2, 52 Pechzahl, 91 Performanz, 262, 265 Phasenmodell des Aufbaus und des Verinnerlichungsprozesses mathematischer Operationen, 174 Portfolio, 286, 288 Potenzial, 262, 265 Prinzip der Anwendungsorientierung, 153 der fortschreitenden Schematisierung, 68, 70 der Isolierung von Schwierigkeiten, 62, 153 der Orientierung an mathematischen Grundideen, 68 der Redundanz, 61 der Stabilisierung, 62, 153 des aktiven Lernens, 60 des exemplarischen Lernens, 68 genetisches, 68 mathematikdidaktisches, 56, 57 operatives, 62 Problemaufgabe, 22, 131, 150, 221 Problemlösen, 21, 132, 147 Problemlösestil, 141, 142, 145, 149, 221, 267

R Raumvorstellung, 14, 144, 184 Rechendidaktik, traditionelle, 39

330 Rechenmuster, 192 Rechenrahmen (Zwanzigerrahmen), 184 Rechenschwäche, 227, 232, 237, 240, 241, 246, 252 Rechenstörung, 235, 240, 245 Rechenunterricht, 3, 52 Reflektieren, 26 Reformkonzept, 53 Reisetagebuch, 45, 46 Reproduzieren, 26 Rolle des Lehrers, veränderte, 42 Routineaufgabe, 131 RR-Modell, 176

S Sachkompetenz, 12, 65, 156, 211, 279 Sachrechnen, 4 Schaubild, 194 Schulanfang, 75 Schülerfehler, 40, 42, 45, 47 Schülerwettbewerb, 274 Schulfähigkeit, 93 Schulreform, 8 Selbstkompetenz, 16 Selbstkontroll- und Selbstregulationsstrategie, 115, 116 Selbstkonzept, 16, 247 Selbstwirksamkeit, 16 Sensibilität, mathematische, 265, 271 Serialität, 245 Sinnkonstruktion, 45, 46 Situationsbild, 180 Sozialkompetenz, 12, 269 Spaltenmodell, 284 Spielen, 199, 200 Spielform, 208 Spiralprinzip, 64, 65 Stationen-Üben, 52 Stationen-Üben/Stationen-Lernen, 163 Stellenwerttafel, 185, 186 Sternchenaufgaben-Modell, 283 Stofforientierung, Stofforientiertheit, 52 Strategie, heuristische, 149 Strategiediskussion, 148 Strukturieren, 135, 262 Strukturierungskompetenz, 85 Struktursinn, 84 Stufenmodelle für Problemlöseprozesse, 137

Stichwortverzeichnis Stufentheorie der Intelligenzentwicklung, 58 Stützfunktion, kognitive, 238, 245 Subitizing, 174, 234

T Tabellen anlegen und auswerten, 116, 117 Tastsinn, 245 Teilleistungsstörung, 237, 241, 245 Teufelskreis, 248, 249 Theoriekonstrukt, intuitives, 110, 111, 113 Transfer, intermodaler, Intermodalität, 245 Transfer, intramodaler, Intermodalität, 67 Transitionsmodell, 92 Triple-Code-Modell, 234

U Üben, 151, 152, 155–157, 160, 161, 163, 164, 167, 168, 171, 249 automatisierendes, 153, 154, 163 durch Anwenden, 153, 157, 158 gestuftes, 153, 155 grundlegendes, 161 kognitive Grundkompetenz, 167 operatives, 153, 156 produktives, 162 stabilisierendes, 164, 166 Übergang, 92 Überspringen einer Klassenstufe, 274 Übungsform, 153–155, 160, 163, 164, 171 Unbewusstes, 138 Unterstufe, 9, 10

V Variationsprinzip, 64, 66 Verallgemeinern, 26 Veranschaulichung, 174 Verbalisieren, 66 Versagensangst, 228, 245, 249 Visualisieren, Visualisierung, 184, 189, 190 Volksschule, 4, 6 Vorgehen, kleinschrittiges, 40 Vorkenntnisse, Vorwissen, 41, 84, 135, 152 von Schulanfängern, 77, 79, 83 Vorstellung, Vorstellungsbild, 174, 175 Vorstellungsvermögen, räumliches, 14, 144, 192, 247, 269

Stichwortverzeichnis W Wahrnehmung auditive, 245 Kompetenz, 247 taktil-kinästhetische, 245 Wiederholungsstrategie, 116 Wissen, 13 Wochenplanarbeit, 52

Z Zahlauffassung, subjektive, 86, 89–91, 235 Zahlbild, Zahlbilddarstellung, 5, 88, 182 Zahlenraumvorstellung, analoge mentale, 234 Zahlensinn, 84, 234, 245 Zahlenstrahl, 5, 65, 67, 186–188

331 Zahlenstrich (Rechenstrich), 187, 188 Zähler, 5 Zahlkompetenz, 79, 235 Zahlvorstellung Zahlenraumvorstellung, 14, 234 Zahlenstrahlvorstellung, 235 Zahlwortwissen (über Zahlwortbildung und -schreibung), 86 Zehnerfeld, 184 Zehn-Minuten-Übung, 34, 153, 159 Ziel, Unterrichtsziel, 2 Zielbestimmung, 8, 37 Zifferndarstellung, 234 Zone der nächsten Entwicklung, 67 Zusammenhänge herstellen, 26 Zwanzigerfeld, 42, 184, 192, 194