Kompaktkurs Mathematik: mit vielen Übungsaufgaben und allen Lösungen [3., überarb. und erw. Aufl.] 9783486843545, 9783486582918

Table of contents :
Vorwort zur 3. Auflage
Vorwort zur 1. Auflage
Inhalt
1. Grundlagen der Mathematik
2. Gleichungen und Ungleichungen
3. Funktionen
4. Differential- und Integralrechnung
5. Komplexe Zahlen
6. Vektorrechnung
7. Übungsaufgaben
8. Lösungen
9. Test
Anhang
Register

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Kompaktkurs Mathematik mit vielen Übungsaufgaben und allen Lösungen

von

Andreas Pfeifer und

Marco Schuchmann

3., überarbeitete und erweiterte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2007 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, [email protected] Herstellung: Anna Grosser Satz: DTP-Vorlagen des Autors Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Books on Demand GmbH, Norderstedt ISBN 978-3-486-58291-8

Vorwort

Vorwort zur 3. Auflage Das Konzept des Buches hat sich bewährt und ist deshalb beibehalten worden. Der Text wurde jedoch erheblich überarbeitet und um weitere Anwendungsbeispiele (wie beispielsweise Achilles und die Schildkröte) und Aufgaben mit Lösungen ergänzt. Neu in der dritten Auflage sind u.a. eine ausführlichere Darstellung bei Folgen und Reihen, Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten, Angaben über Rundungsregeln, eine Tabelle über Potenzen und Einheiten und neue Übungsaufgaben. Da immer mehr Studierende Unterstützung beim Lösen von Bruch-, Exponentialund Logarithmusgleichungen benötigen, wurden die Abschnitte zu diesen Themen in der dritten Auflage erweitert. Grundsätzlich hat sich gegenüber den ersten beiden Auflagen die Definition der natürlichen Zahlen geändert. Da viele Mathematik-Lehrbücher die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen zählen, werden die natürlichen Zahlen jetzt auch so definiert. Kleine Veränderungen gibt es auch bei den Bezeichnungen der Teilmengen. Um in Kursen auch die Vor-Auflagen benutzen zu können, wurde die Nummerierung der Aufgaben beibehalten. Die zusätzlichen Aufgaben sind mit Großbuchstaben hinter der Aufgabennummer gekennzeichnet. Andreas Pfeifer, Marco Schuchmann

Vorwort zur 1. Auflage Für ein erfolgreiches Studium einer naturwissenschaftlich-technischen oder wirtschaftswissenschaftlichen Fachrichtung an einer Hochschule sind mathematische Grundkenntnisse unerlässlich. Dieses Buch ist ein Kompaktkurs für das Selbststudium zum Aneignen und zum Auffrischen der für ein Studium notwendigen Mathematik-Kenntnisse. Es kann aber auch kursbegleitend bei Einführungs-, Voroder Brückenkursen eingesetzt werden. Das Buch enthält die wesentlichen Stoffgebiete, die Studierende zu Beginn eines Studiums kennen sollten. Es vermittelt in einfacher, anschaulicher und allgemein verständlicher Form einen Grundstock mathematischer Kenntnisse unter weit gehendem Verzicht auf sonst übliche mathematische Strenge. Die Ausgangsvoraussetzungen zum Verständnis dieses Buches sind gering. Es eignet sich deshalb auch

VI

Vorwort

für Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II, da im Mittelpunkt Themen wie die elementaren Grundrechenarten, die Differential- und Integralrechnung sowie die Vektorrechnung stehen. Jedes Kapitel enthält anschauliche Beispiele und viele Übungsaufgaben mit Lösungen, die dem Leser die Aneignung solider Rechenfertigkeiten ermöglichen. Mit wird im Text auf die Übungsaufgaben im Kapitel 7 verwiesen. Die dem Zeichen Lösungen aller Übungsaufgaben finden Sie in Kapitel 8. Den Abschluss bildet ein Test in Kapitel 9, mit dem Sie das Gelernte überprüfen können. Teile, die nicht unbedingt notwendig sind, aber manchmal in der Schule behandelt werden, sind mit "Exkurs" überschrieben. Sie können beim ersten Durcharbeiten des Buches übergangen werden, da sie zum Verständnis der nachfolgenden Abschnitte nicht erforderlich sind. Jeder Exkurs endet automatisch mit dem nächsten nummerierten Abschnitt. Für Anregungen und Hinweise für Ergänzungen und Verbesserungen sind wir dankbar. Andreas Pfeifer, Marco Schuchmann

Inhalt 1 Grundlagen der Mathematik...................................................................1 1.1 Mengen ....................................................................................................... 1 1.1.1 Definition von Mengen...................................................................... 1 1.1.2 Spezielle Mengen .............................................................................. 3 1.1.3 Mengen-Operatoren .......................................................................... 6 1.2 Aussagen, Aussageformen, Quantoren ....................................................... 10 1.3 Additions- und Multiplikationsgesetze ....................................................... 12 1.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen ......................................................... 15 1.4.1 Potenz- und Wurzelgesetze.............................................................. 15 1.4.2 Logarithmengesetze......................................................................... 18 1.5 Folgen, Summen und Produkte .................................................................. 20 1.5.1 Definitionen und Bezeichnungen..................................................... 20 1.5.2 Arithmetische und geometrische Folgen .......................................... 22 1.5.3 Grenzwert ....................................................................................... 23 1.6 Binomische Formeln.................................................................................. 25 1.7 Trigonometrie............................................................................................ 28

2 Gleichungen und Ungleichungen...........................................................33 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Lineare Gleichungen.................................................................................. 33 Bruchgleichungen...................................................................................... 36 Wurzelgleichungen .................................................................................... 38 Quadratische Gleichungen ......................................................................... 39 Gleichungen dritten und höheren Grades ................................................... 41 Exponential- und Logarithmusgleichungen................................................ 45 Ungleichungen mit einer Variablen ........................................................... 47 Lineare Gleichungssysteme........................................................................ 50

3 Funktionen ............................................................................................54 3.1 Definition einer Funktion........................................................................... 54 3.2 Verschiedene Funktionstypen..................................................................... 58 3.2.1 Geraden........................................................................................... 58 3.2.2 Polynome (ganzrationale Funktionen) ............................................. 60 3.2.3 Trigonometrische Funktionen.......................................................... 64 3.2.4 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion ............................... 66 3.2.5 Gebrochenrationale Funktionen....................................................... 69 3.2.6 Weitere Funktionstypen................................................................... 75 3.3 Stetigkeit ................................................................................................... 78 3.4 Symmetrie und Grenzwertverhalten ........................................................... 79

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Inhalt

4 Differential- und Integralrechnung ......................................................81 4.1 Differentialrechnung.................................................................................. 81 4.1.1 Differentialquotient ......................................................................... 81 4.1.2 Produkt- und Quotientenregel.......................................................... 86 4.1.3 Kettenregel...................................................................................... 88 4.1.4 Bestimmung lokaler Extrema .......................................................... 89 4.1.5 Bestimmung von Wendepunkten ..................................................... 92 4.2 Monotonie ................................................................................................. 93 4.3 Bijektivität und Umkehrbarkeit .................................................................. 95 4.4 Kurvendiskussion am Beispiel ................................................................... 97 4.5 Integration ................................................................................................. 99 4.5.1 Herleitung der Integration ............................................................... 99 4.5.2 Bestimmung von Flächen mit Hilfe der Integration ....................... 104 4.5.3 Produktintegration......................................................................... 107 4.5.4 Volumenberechnung bei Rotationsparaboloiden ............................ 108

5 Komplexe Zahlen ................................................................................ 110 5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen............................................................... 110 5.2 Polarkoordinaten...................................................................................... 114

6 Vektorrechnung .................................................................................. 116 6.1 6.2 6.3 6.4

Vektoren.................................................................................................. 116 Rechnen mit Vektoren ............................................................................. 117 Winkel zwischen Vektoren ...................................................................... 119 Geraden in Parameterform ....................................................................... 120

7 Übungsaufgaben.................................................................................. 123 8 Lösungen............................................................................................. 136 9 Test...................................................................................................... 146 9.1 Testaufgaben............................................................................................ 146 9.2 Lösungen zum Test.................................................................................. 153

Anhang A: Potenzen und Einheiten ....................................................... 154 Anhang B: Griechisches Alphabet ......................................................... 155 Anhang C: Römisches Zahlensystem ..................................................... 155 Anhang D: Runden von Dezimalbrüchen............................................... 156 Register ................................................................................................... 157

1 Grundlagen der Mathematik 1.1 Mengen 1.1.1 Definition von Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten (Elemente der Menge) unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Mengen werden generell mit großen Buchstaben (z.B. A, B oder C), Elemente der Menge mit kleinen Buchstaben (z.B. p, x oder y) gekennzeichnet. x ∈A (gesprochen: x ist ein Element von A) heißt, dass x zur Menge A gehört. x ∉ A (gesprochen: x ist kein Element von A) bedeutet, dass x nicht zur Menge A gehört. Mit einem senkrechten Strich vor und hinter dem Mengensymbol wird die Mächtigkeit, d.h. die Anzahl der Elemente einer Menge, bezeichnet. Beispiele: A = {4; 5; 6} = {6; 4; 5} . Die Menge A besteht aus den (drei) Elementen 4, 5 und 6. Die einzelnen Elemente werden durch ein Komma oder ein Semikolon getrennt. Wir verwenden in diesem Buch ein Semikolon. Die Reihenfolge der Aufzählung der Elemente einer Menge ist ohne Belang. 4 ∈ A, aber 7 ∉ A. | A | = | {4; 5; 6} | = 3 B sei die Menge der geraden Zahlen zwischen 1 und 9, d.h. B = { 2; 4; 6; 8 } . „Eine Menge Geld“ hat nichts mit dem mathematischen Mengenbegriff zu tun, da nicht klar ist, was die Elemente dieser Menge sind. In diesem Beispiel wird „eine Menge“ gleichbedeutend für „viel“ gebraucht.




Hinter einem senkrechten Strich in einer Mengenklammer können einschränkende Bedingungen festgelegt werden. Statt eines senkrechten Strichs steht oft auch ein Doppelpunkt. Beispiele: A = {x ∈ N | 4 ≤ x < 7} = {4; 5; 6} Die Menge A enthält alle natürlichen Zahlen (Definition von N und weiterer Mengen siehe Abschnitt 1.1.2), die kleiner als 7 und größer oder gleich 4 sind. Die erste Darstellung von A heißt beschreibende Form, die zweite und dritte Darstellung ist die aufzählende Form.

2

1 Grundlagen der Mathematik

{

}

B = x ∈ N | x 2 − 1 = 0 = { 1} Die Menge B enthält nur das Element ‘1’, obwohl ‘–1’ auch eine Lösung der Gleichung x2 – 1 = 0 ist. Da x eine natürliche Zahl sein soll, bleibt nur die eine Lösung. G = { x | x = 2 ⋅ n; n ∈ N } Die Menge G stellt alle (positiven) geraden Zahlen dar. H=

{}

Die Menge H enthält kein Element. Die Menge der Schnittpunkte zweier paralleler Geraden ist die leere Menge. Die leere Menge enthält kein Element, auch nicht die Null. Deshalb gilt:




{ } ≠ {0 }

Die leere Menge ist eine Menge, die kein Element enthält. Sie wird mit mit ∅ gekennzeichnet.

{ } oder

Es seien E und F zwei Mengen. E ist Teilmenge von F (geschrieben E ⊆ F), wenn jedes Element x ∈ E auch Element von F ist. E ist echte Teilmenge von F (geschrieben E ⊂ F), wenn jedes Element x ∈ E auch Element von F ist und wenn E ungleich F ist.1 Ist E Teilmenge von F, so heißt F Obermenge von E. Zwei Mengen E und F sind gleich, wenn sie aus denselben Elementen bestehen, d. h., wenn E ⊆ F und F ⊆ E gilt. Beispiele: {–3; –2; –1} ⊂ {–3; –2; –1; 0; 1}. Es gilt aber auch {–3; –2; –1} ⊆ {–3; –2; –1; 0; 1}. {0} ⊂ {–3; –2; –1; 0},

{ x ∈ N | 4 ≤ x < 7 }⊂ { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Im Folgenden werden einige spezielle Mengen aufgeführt:

1 Auch üblich ist die Bezeichnung nach DIN 5473: ⊂ für Teilmenge und ⊂ für echte Teilmenge. ≠




1.1 Mengen

3

1.1.2 Spezielle Mengen 1

Die natürlichen Zahlen: N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}.

Nach DIN 5473 ist die Null eine natürliche Zahl. Ohne Null heißt die Menge: N* = {1; 2; 3; 4 ... }. Oft wird die Menge N auch mit IN, also mit einem N und einem senkrechten Strich bezeichnet. Wir wollen uns in diesem Buch aber auf N festlegen. Entsprechendes gilt in der Schreibweise auch für die folgenden Mengen. Die ganzen Zahlen:

Z = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}.

⎧a Die rationalen Zahlen: Q = ⎨ ⎩b

⎫ a ∈ Z; b ∈ N \ {0}⎬ . ⎭

In der Menge der rationalen Zahlen sind also alle Zahlen enthalten, die sich als Bruch darstellen lassen, das sind alle nach dem Komma abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen, vgl. Abschnitt 1.3 Teil (d). Beispiele: 3 ∈ Q; 2,785∈Q; aber auch 2∈Q. Jedoch: 7

2 ∉Q.




Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen sind jeweils abzählbar unendliche2 Zahlenmengen. Die irrationalen Zahlen: I Die Menge der irrationalen Zahlen enthält alle Dezimalzahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die aber nicht periodisch sind, z.B. 2 ∈ I; π ∈ I. 3 Die reellen Zahlen:

R=Q∪I.

4

Sie erhalten also die reellen Zahlen, wenn Sie die Mengen der rationalen und die der irrationalen Zahlen vereinigen. Alle Zahlenmengen, die wir vor den reellen 1 Diese Bezeichnungen werden in diesem Buch verwendet. Es sind jedoch auch die folgenden Bezeichnungen üblich: N = {1; 2; 3; 4 ... } und N0 = {0; 1; 2; 3; 4 ... }. 2 Man spricht von abzählbar unendlich vielen Objekten, wenn man sie mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. durchnummerieren kann, wobei die Nummerierung kein Ende nimmt. 3 Bei Kreisen ist der Quotient von Umfang und Durchmesser konstant. Er ist bei allen Kreisen gleich π = 3,14159265... . 4 Die Vereinigung zweier Mengen ( ∪ ) wird in Abschnitt 1.1.3 genauer beschrieben.

4

1 Grundlagen der Mathematik

Zahlen beschrieben haben, sind in den reellen Zahlen enthalten. Es gilt: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R und I ⊂ R. Die reellen Zahlen können Sie sich auch auf einer Zahlengeraden verdeutlichen. Jede reelle Zahl wird durch einen Punkt auf der Zahlengeraden dargestellt.

──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼────→ -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

Zahlengeraden Der Nullpunkt teilt die Zahlengerade in positive und negative reelle Zahlen ein. Positive Zahlen liegen rechts (Schreibweise: x > 0), negative Zahlen links (Schreibweise: x < 0) vom Nullpunkt. Eine reelle Zahl a ist kleiner als eine andere reelle Zahl b (Schreibweise: a < b), wenn a auf der Zahlengeraden links von b liegt. In gleicher Weise sind die Relationen größer als, größer gleich und kleiner gleich definiert. Eine reelle Zahl a heißt nichtpositiv, wenn a ≤ 0 gilt. Eine reelle Zahl heißt nichtnegativ, wenn a ≥ 0 gilt. Ordnungsrelation < ≤ > ≥ Beispiele: 70 5≥0

Die komplexen Zahlen: C = {z | z = a + i ⋅ b; a , b ∈ R} .




Die Menge der komplexen Zahlen werden nicht alle unserer Leser im Rahmen Ihrer Schulzeit kennen gelernt haben. Diese Zahlenmenge wird im Kapitel 5 genauer behandelt. In der technischen Literatur wird für die imaginäre Einheit i meist das Zeichen j verwendet.

1.1 Mengen

5

Bemerkung: Wird das Symbol einer Zahlenmenge rechts oben mit dem Index ‘+’ bzw. ‘–‘ versehen, werden hiermit die positiven bzw. negativen Zahlen dieser Menge definiert. Z.B. definiert R+ die positiven reellen Zahlen. Mit R 0+ bzw. R 0− bezeichnen wir die nichtnegativen bzw. die nichtpositiven reellen Zahlen. Spezielle Mengen reeller Zahlen sind die Intervalle:

[ a; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} heißt abgeschlossenes Intervall. 1 [ a; b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} heißt rechtsseitig halboffenes Intervall. ( a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} heißt linksseitig halboffenes Intervall. ( a; b) = {x ∈ R | a < x < b} heißt offenes Intervall. Bemerkung: Die Intervalle unterscheiden sich in der Zugehörigkeit der Randpunkte a bzw. b. Bei einem abgeschlossenen Intervall sind die linke und die rechte Grenze enthalten, während bei einem offenen Intervall die Grenzen nicht enthalten sind. Beispiele: (5; 8] = {x ∈ R | 5 < x ≤ 8} = ]5; 8] 5 ∉ (5; 8), aber 5 ∈ [5; 8).




Betrachten Sie das Intervall von einer Zahl a bis ins Unendliche, so wird dieses Intervall dargestellt durch: [a; ∞) = {x ∈ R | x ≥ a} . Dies gilt auch für den „umgekehrten“ Fall: (– ∞; a] = {x ∈ R | x ≤ a} . Die Symbole ∞ (gesprochen: „unendlich“) und – ∞ (gesprochen „minus unendlich“) sind keine reellen Zahlen. Deshalb sind bei diesen Symbolen runde Klammern zu setzen. Beispiele: (5; ∞) = {x ∈ R | x > 5} ,

( −∞; ∞) = R , ( 2,5; 4,5 ] = {x ∈ R | 2,5 < x ≤ 4,5} .

1 Statt des Zeichens "(" wird auch das Zeichen "]" bzw. statt ")" das Zeichen "[" verwendet, z.B. (a; b) = ]a; b[ .




6

1 Grundlagen der Mathematik

1.1.3 Mengen-Operatoren Die Elemente der Mengen E und F sind Elemente einer Grundmenge G. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist wie folgt definiert: E ∪ F = { x | x ∈ E oder x ∈ F} In der Vereinigung der Mengen E und F sind also alle Elemente der Menge E und der Menge F enthalten. Beispiele: {1; 5; 7; 8} ∪ {1; 3; 7; 10} = {1; 3; 5; 7; 8; 10} {x ∈ Z | − 2 ≤ x ≤ 5} ∪ {x ∈ Z | 3 ≤ x < 10} = {x ∈ Z | − 2 ≤ x < 10}




Die Schnittmenge zweier Mengen ist wie folgt definiert: E ∩ F = {x | x ∈ E und x ∈ F} In der Schnittmenge der Mengen E und F sind also alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge E, als auch in der Menge F, enthalten sind. Beispiele: {2; 9; 15; 20} ∩ {2; 6; 15; 25} = {2; 15} {x ∈ Z | − 4 ≤ x ≤ 8} ∩ {x ∈ Z | 5 < x < 15} = {x ∈ Z | 5 < x ≤ 8}

{2; 3; 4; 5} ∩ {6; 7; 8} = { }




Die Differenzmenge (E ohne F) ist wie folgt definiert: E \ F = {x | x ∈ E und x ∉ F}

Beispiele: {1; 2; 5; 7} \ {1; 5; 8} = {2; 7} {x ∈ Z | − 4 ≤ x ≤ 10} \ {x ∈ Z | 2 < x ≤ 15} = {x ∈ Z | − 4 ≤ x ≤ 2}




1.1 Mengen

7

Das (kartesische) Produkt (E kreuz F), auch Kreuzprodukt genannt, zweier Mengen ist wie folgt definiert: E × F = {( x, y) | x ∈ E und x ∈ F}

Das Produkt ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) von Elementen x∈E und y ∈F, deren „vorderer Teil“ also aus E und deren „zweiter Teil“ aus F ist. Beispiele: − E = {1; 2}, F ={2; 3; 4}. Dann E × F = { (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4) }. Es gilt (1, 2) ∈ E × F, aber (2, 1) ∉ E × F. − Sei E = F = R. R × R, bezeichnet mit R2, ist die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen, also R2 ={ (x, y) | x∈R und y∈R }. Geometrisch ist dies die Menge aller Punkte der Ebene. R3 = R × R × R ist der dreidimensionale Raum.

1442443

Es ist R n = R × R ×... × R für n = 1, 2, 3 ... . n − mal




− Im Allgemeinen gilt für E ≠ F: E × F ≠ F × E.

Eine anschauliche Darstellung der Mengenoperationen sieht so aus, dass eine Ansammlung von Punkten durch einen Umriss zur jeweiligen Menge zusammengefasst wird (bezeichnet als Venn-Diagramm1).

E

F

k1

k2

schraffierte Fläche: E \ F

E k1

Es sei E die Menge aller Punkte innerhalb der Kurve k1 und F die Menge aller Punkte innerhalb der Kurve k2. Dann ist die Menge E ∩ F die schraffierte Fläche.

schraffierte Fläche: E ∪ F

F

E k2

1 John Venn (1834 - 1923), englischer Philosoph.

k1

F k2

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1 Grundlagen der Mathematik

Beispiel: Von den 40 Studierenden geben 9 an, regelmäßig Eishockey zu spielen, 25 spielen Fußball, während 11 eine andere oder keine Sportart betreiben. Wie viele der 40 Studierenden spielen sowohl Eishockey als auch Fußball? Die Grundmenge G besteht aus 40 Studierenden: | G | = 40. Es gibt 40 – 11 = 29 Studierende, die Eishockey oder Fußball spielen. Da darunter 9 sind, die Eishockey betreiben, wir schreiben dafür kurz | E | = 9, sind es 20 Studierende, die nur Fußball spielen. Da 25 Studierende Fußball spielen, gibt es 5 Studierende, die Fußball und Eishockey spielen und genau 9 – 5 = 4, die „nur“ Eishockey spielen.

4

5

20

E

F

11




G

Für Mengen gelten zahlreiche Gesetze, wie beispielsweise die Kommutativgesetze:

E∩F=F∩E

und

E ∪ F = F ∪ E,

die Assoziativgesetze:

E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G und E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G,

die Distributivgesetze:

E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ ( E ∪ G) und E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ ( E ∩ G).

Mit Hilfe der Venn-Diagramme können Sie sich von der Richtigkeit dieser Gesetze überzeugen. Ferner gilt: E ∪ ∅ = E und E ∪ E = E, E ∩ ∅ = ∅ und E ∩ E = E, E ∪ (E ∩ F) = E und E ∩ (E ∪ F) = E. Aufgabe 1

1.1 Mengen

9

Exkurs: Werden nur Teilmengen einer festen, vorab definierten Menge G betrachtet, ist das Komplement bzw. die Komplementärmenge (bezüglich der Menge G) einer Menge F diejenige Menge, die alle Elemente aus G enthält, die nicht Element von F sind. Die Komplementärmenge wird mit F bezeichnet. G heißt Grundmenge. Es gelten die Gesetze von de Morgan1:

E∩F = E∪ F

und E ∪ F = E ∩ F .

Beispiel: Sei G = {1; 2; 3; 4; 5}, F = {1; 2; 3}. Dann gilt F ={4; 5}, da die Komplementär
menge von F alle Elemente von G enthält, die nicht in F sind. Die Differenzmenge E \ F unterscheidet sich von der Komplementärmenge F = G \ F, da bei der Differenzbildung E \ F die Menge F nicht Teilmenge von E zu sein braucht. Zwei Mengen E und F heißen disjunkt oder fremd, wenn sie keine Elemente gemeinsam haben, d.h., wenn E ∩ F = { } . Beispiel: Die Mengen {1; 2; 5; 7} und {3; 6; 8} sind disjunkt.




Eine Relation H ist eine Teilmenge des Produkts E × F zweier Mengen. Bemerkung: Eine Relation ist also eine Menge geordneter Paare von gewissen Elementen x∈E und einem oder mehreren Elementen y∈F, d. h., gewissen Elementen von E werden ein Element oder auch mehrere Elemente von F zugeordnet. Wenn jeweils nur ein Element aus F zugeordnet wird, heißt die Zuordnung Funktion. Beispiel: E = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, F = {a; b; c; d; e; f}. Eine Relation H ist beispielsweise: 2 wird zugeordnet a und b; 3 wird b zugeordnet; 4 wird a, b und c zugeordnet;. 5 wird f zugeordnet.
Also: H = { (2, a); (2, b); (3, b); (4, a); (4; b); (4, c); (5, f) } ⊂ E × F . 1 Augustus de Morgan (1806 - 1871), englischer Mathematiker

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1 Grundlagen der Mathematik

1.2 Aussagen, Aussageformen, Quantoren Eine Aussage beschreibt in Worten oder in Zeichen einen Sachverhalt. Sie ist entweder wahr oder falsch. Eine dritte Möglichkeit wird ausgeschlossen. Beispiele: a) 3 + 5 = 8 b) 5 ist eine natürliche Zahl. c) 3 + 5 = 4 + 2

d) 4 ist eine ungerade natürliche Zahl. e) −5 ∈ N f) Kapitel 1 dieses Buches befasst sich mit der Integralrechnung.

a) und b) sind wahre Aussagen. Die Aussagen c), d), e) und f) sind falsch. Es gibt keine Aussage, die zugleich wahr und falsch ist. g) Es schneit. h) Die Stadt Frankfurt am Main i) 3 + 5 Satz g) stellt keine Aussage in dem hier definierten Sinne dar. Da weder Ort und Zeit angegeben sind, kann nicht entschieden werden, ob der Sachverhalt richtig oder falsch ist. h) und i) sind ebenfalls keine Aussagen. 3 + 5 wird als Ausdruck oder Term bezeichnet.




Eine Aussageform ist ein Gebilde, das eine Variable enthält und durch Ersetzen (Belegen) der Variablen durch geeignete Begriffe zu einer Aussage wird. Beispiel: x + 10 = 15 ist eine Aussageform. Nur für x = 5 entsteht eine wahre Aussage: 5 + 10 = 15.




Sind A und B zwei Aussageformen. Dann schreibt man

⇒

A B (gesprochen: "aus A folgt B"), wenn bei jeder Belegung der Variablen in der Aussageform A, die zu einer wahren Aussage führt, auch B eine wahre Aussage ist. A ⇔ B (gesprochen: "A ist äquivalent zu B", "A genau dann, wenn B"), wenn A B und B A.

⇒

⇒

1.2 Aussagen, Aussageformen, Quantoren

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Beispiele: a) x > 0 und x∈Z x ∈N b) Es gilt sogar: x > 0 und x∈Z ⇔ x ∈N. c) x > 5 x > 0 d) Aber: x > 0 x > 5 ist nicht richtig.




⇒

⇒

⇒

Aufgabe 2 Exkurs: In der Mathematik gibt es so genannte Quantoren. Es wird zwischen All- und Existenzquantoren unterschieden. Allquantoren werden wie folgt benutzt: ∀ A ( x)

x ∈M

Diese mathematische Formel bedeutet: Für alle x aus der Menge M gilt die Aussage A(x). Statt des Zeichens ∀ kann auch das Zeichen ∧ verwendet werden. Beispiel: ∀ x2 ≥ 0 x ∈R

d.h., für alle reellen Zahlen gilt, dass deren Quadrat größer oder gleich Null ist.




Existenzquantoren werden analog benutzt: ∃ A ( x)

x ∈M

Dieser Ausdruck bedeutet: Es existiert ein x aus der Menge M, für welches die Aussage A(x) gilt. Statt des Zeichens ∃ wird oft auch das Zeichen ∨ verwendet. Beispiele: ∃ x −1 = 5 x ∈N

Mit Hilfe von Quantoren kann auch die folgende Aussage dargestellt werden: Es existiert eine natürliche Zahl a, so dass für alle reellen Zahlen der Ausdruck x2 + 4 ≥ a ist: ∃ ∀ x2 + 4 ≥ a a ∈N x∈R

Aufgabe 2A




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1 Grundlagen der Mathematik

1.3 Additions- und Multiplikationsgesetze Generell gilt beim Rechnen die Regel „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“, d.h. erst wird multipliziert bzw. dividiert, dann addiert bzw. subtrahiert:




Beispiele: 8 · 4 + 5 = 37; 5 + 8 · 4 = 37.

Bei einer anderen Reihenfolge sind Klammern zu setzen. Klammern müssen immer paarweise auftreten. Beispiele: 8 · (4 + 5) = 8 · 9 = 72; 4 · (2 + 3 · {5 – 2}) = 4 · (2 + 9) = 44.




Folgende Gesetze zur Addition und Multiplikation reeller Zahlen sind wichtig: Kommutativgesetz: a + b = b + a bzw. a ⋅ b = b ⋅ a gilt für alle a, b ∈ R. Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) bzw. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) gilt für alle a, b, c ∈ R. Distributivgesetz: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c gilt für alle a, b, c ∈ R. Beim Auflösen einer Klammer mit einem Minuszeichen vor der Klammer werden aus Plus-Zeichen Minus-Zeichen und umgekehrt: a – (b+c) = a – b – c. Beispiele: 8 – (4 + 5) = 8 – 4 – 5 = –1; 18 – (4 – 5 + 2) = 18 – 4 + 5 – 2 = 17.




Bei der Multiplikation und Addition existieren neutrale Elemente. Verknüpfen Sie eine Zahl mit dem neutralen Element, ändert sich die Zahl nicht. Das neutrale Element bei der Addition ist die Zahl ‘0’ und bei der Multiplikation die Zahl ‘1’: a + 0 = a für alle a ∈ R

bzw. a ⋅ 1 = a

für alle a ∈ R.

Außerdem gibt es zu jeder reellen Zahl ein inverses Element, sowohl bei der Addition, als auch bei der Multiplikation. (Ausnahme bei der Multiplikation: Zur Null gibt es kein inverses Element.) Verknüpfen Sie ein Element mit dessen Inversem, erhalten Sie das neutrale Element. Es gilt also: a + ( −a ) = 0 für alle a ∈ R

bzw. a ⋅ a −1 = 1 für alle a ∈ R \ {0}.

Sie können zu jeder reellen Zahl die entsprechende negative Zahl addieren und erhalten das neutrale Element. Z. B. gilt 5 + (–5) = 0 und 0 ist, wie oben gezeigt, das neutrale Element der Addition. Die inverse Zahl bei der Multiplikation ist jeweils der Kehrwert der entsprechenden Zahl: 1 5 ⋅ 5–1 = 5 ⋅ = 1. ‘1’ ist das neutrale Element der Multiplikation. 5 Es folgen allgemeine Bemerkungen zum Rechnen mit Zahlen und Variablen:

1.3 Additions- und Multiplikationsgesetze

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(a) Bei der Multiplikation zweier reeller Zahlen gilt: (+a) ⋅ (+b) = +ab;

(–a) ⋅ (+b) = –ab;

(+a) ⋅ (–b) = –ab;

(–a) ⋅ (–b) = +ab.

Analoges gilt für die Division reeller Zahlen. Zu erwähnen ist, dass –a nicht negativ sein muss. Beispiel: Für a = –5 ergibt sich –a = –(–5) = 5, also eine positive Zahl. Beispiele: 5 ⋅ (–4) = –20;

−3 3 = ; −5 5

3 3 =− . −5 5




(b) Zwei Brüche können nur addiert (bzw. subtrahiert) werden, wenn sie den gleichen Nenner besitzen. Im anderen Fall, müssen die Brüche so erweitert werden, dass sie den gleichen Nenner bekommen. Erweitern heißt, den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Danach werden die Zähler addiert (bzw. subtrahiert) und der Nenner bleibt unverändert. Beispiele: 1 1 1⋅ 2 1 2 1 3 + = + = + = ; – 4 8 4⋅2 8 8 8 8 –

1 5 1⋅ 3 5 ⋅ 2 3 10 3 − 10 7 − = − = − = =− 6 9 6 ⋅ 3 9 ⋅ 2 18 18 18 18

3 11 21 55 76 6 6 12 + = + = =2 ≠ 2⋅ = . 5 7 35 35 35 35 35 35 Das Ergebnis des letzten Beispiels ist eine gemischte Zahl (ganze Zahl und Bruch). Um diese gemischte Zahl aus dem Bruch zu erhalten, ist zu prüfen, wie oft der Nenner bei einer Division in den Zähler passt. Diese Zahl wird dann vor den Bruch geschrieben und der Rest, der sich bei dieser Division ergibt, wird in den Zähler geschrieben. Wollen Sie diese gemischte Zahl wieder in einen reinen Bruch umwandeln, multiplizieren Sie die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner 6 2 ⋅ 35 + 6 76 = = . und zählen das Ergebnis zum Zähler hinzu: 2 35 35 35

– Aus dem Arabischen stammt folgende Geschichte: Ein Kaufmann hat in seinem Testament verfügt, dass der älteste Sohn die Hälfte, der zweitälteste ein Drittel und der jüngste Sohn ein Neuntel seiner Kamele erhalten soll. Nach dem Tod des Kaufmanns wollten die Söhne die Kamele ihres Vaters aufteilen. Er hatte 17 Kamele. Aber wie sollten sie aufteilen, ohne ein Kamel zu teilen? Deshalb wurde ein Experte, ein alter weiser Araber, herangezogen. Da Weisheit und Reichtum selten zusammen auftreten, hatte dieser nur ein Kamel. Nach kurzem Nachdenken nahm der Weise sein einziges Kamel und gab es den Söhnen, so dass sie insgesamt 18 Kamele hatten. Die Söhne hatten nichts dagegen einzuwenden, da jeder von ihnen sicherlich nun mehr erhalten würde. Von den 18 Kamelen bekam der älteste Sohn 9, der zweitälteste 6 und der jüngste Sohn 2 Kamele. Genau ein Kamel blieb übrig, das der weise Araber zurück erhielt.

14

1 Grundlagen der Mathematik 1 1 1 17 + + = . Sie ist also kleiner als 2 3 9 18 1; ein Achtzehntel fehlt. Es muss also genau ein Kamel hinzugefügt werden, damit die Summe 1 ist und die Division aufgeht.

Die Summe der verteilten Anteile beträgt




(c) Bei der Multiplikation zweier Brüche werden jeweils Zähler und Nenner beider Brüche multipliziert. Bei der Division zweier Brüche wird bei dem Bruch im Nenner der Kehrwert gebildet (Zähler und Nenner werden vertauscht). Danach wird der Bruch im Zähler mit dem Kehrwert des Nenner-Bruchs wie oben beschrieben multipliziert: Beispiele: –

5 2 10 ⋅ = ; 3 9 27

5 ⎛ 2⎞ 10 ⋅⎜− ⎟ = − ; 3 ⎝ 9⎠ 27

5 3 5 8 40 : = ⋅ = ; 7 8 7 3 21

5 8 10 4

=

5 4 20 1 ⋅ = = . 8 10 80 4

– Teilen Sie 50 durch ½ und zählen Sie 10 dazu! Die Antwort 35 ist verkehrt. Die Lösung ist nämlich 110.




(d) Die bisher behandelten Brüche heißen gemeine Brüche. Durch Ausdividieren lassen sie sich in Dezimalbrüche (auch Dezimalzahlen oder Kommazahlen genannt) umwandeln. Umgekehrt kann jede endliche oder periodische Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt werden. Beispiele (Ein Strich über den Ziffern bedeutet, dass die Ziffern unendlich oft wiederholt werden müssen.) : 1 25 1 1 2 5 125 1 – 0,1 = ; 0,25 = = ; 0,125 = + + = = ; 10 100 4 10 100 1000 1000 8 1 1 47 137 215 43 3 – 0, 1 = ; 0, 3 = ; 0, 47 = ; 0,1234 = 2,15 = = =2 . 9 3 99 1110 100 20 20 Die Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs erfolgt folgendermaßen: x = 0, 47 . Mit 100 multipliziert ergibt: 100x = 47, 47 . Ziehen Sie von dieser 47 Gleichung die erste Gleichung ab, erhalten Sie 99x = 47. Also x = . Analog: 99 1233 137 x = 0,1234 1000x = 123,4234 999x = 123,3 x = = . 9990 1110 1 1 234 999 + 234 1233 137 Oder: 0,1234 = + = = = .
10 10 999 9990 9990 1110 Aufgabe 3

1.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

15

1.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 1.4.1 Potenz- und Wurzelgesetze an = a · a · ... · a heißt n-te Potenz von a, wobei a∈R, n∈N. (n Faktoren) Die eindeutig bestimmte positive Lösung x der Gleichung xn = a für a ≥ 0, n∈N, 1

heißt n-te Wurzel aus a. Schreibweise: x = n a oder x = a n . Ist n gleich 2, wird bei der Wurzel n weggelassen:

a.

Bei dem Ausdruck an wird a als Basis (Grundzahl) und n als Exponent (Hochzahl) bezeichnet. Bei

n

a heißt a Radikand und n Wurzelexponent.

Beispiele: – – –

54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 ; 10 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 ; 5012 = 5,012 ⋅ 10 3 = 50,12 ⋅ 10 2 . 16 = 2 16 = 4. Das Ergebnis ist 4 und nicht ±4.

− 9 ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, denn a2 = –9 besitzt keine reelle Lösung.

– Für ungerade Wurzelexponenten n sind auch negative Radikanden zulässig. Beispiel:

3

− 8 = − 3 8 = −2.

– 678.120.000.000 = 6,7812 ⋅ 1011 = 678,12 Milliarden1 ist eine Zahl mit 12 Stellen. Manche Taschenrechner stellen größere Zahlen in exponentieller Form dar. Die obige zwölfstellige Zahl wird dann auf dem Display mit 6,7812 11 angezeigt. In Programmiersprachen wird auch die Bezeichnung 6.7812E11 für die Exponentialschreibweise verwendet. – Wenn Sie ein DIN-A4-Blatt in der Mitte falten, bleibt das Verhältnis von Länge zu Breite erhalten.2 Damit diese Eigenschaft erfüllt ist, muss gelten: Seitenlänge =

2 · Seitenbreite. (Beweis siehe Lösung Aufgabe 14A III)




1 Im Amerikanischen, Russischen und Französischen wird 109 Billion genannt. Bei uns wird mit Billion 1012 bezeichnet. 2 Das DIN-Format ist das einzige Papierformat der Welt, bei dem das so ist. Die praktischen Vorteile liegen auf der Hand, beispielsweise beim Fotokopierer, bei dem Sie ganz einfach Verdopplungen und Halbierungen des Abbildungsmaßstabes herstellen können.

16

1 Grundlagen der Mathematik

Es gelten folgende Rechenregeln für Potenzen (m, n ∈N, a, b ∈R): (0) (1)

0n = 0 (n≠0); a0 = 1 (a≠0) 1 = a−n (a≠0) an

(2)

am ⋅ an = am+n

(3)

(a )

(4)

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn bzw.

n m

1

an = a n− m m a

bzw.

(a≠0)

= a n⋅m ⎛ a⎞ ⎜ ⎟ ⎝ b⎠

n

=

an

bn

(b≠0)

Es gelten folgende Rechenregeln für Wurzeln (m, n ∈N; a, b ∈R; a≥0, b≥0): (5)

m n

(6)

m

a

= an

m

a ⋅m b = m a⋅b

Beispiele: Zu (0): Zu (1): Zu (2):

50 = 1; 05 = 0 1 1 = 0,001; 4 −1 = = 0,25 103 41 45 45 ⋅ 43 = 45+3 = 48 = 65536; = 4 5− 3 = 4 2 = 16 3 4 10−3 =

a 7 ⋅ a 4 a 11 a4 ⋅ a 2 a6 8 ; = = a = = a 6 − ( −3) = a 6 + 3 = a 9 a3 a3 a −3 a −3

Zu (3):

(54 ) 3 = 54 ⋅ 3 = 512 ; (24 ) −3 = 24⋅( −3) = 2 −12 2

⎛

1⎞2

⎝

⎠

343 3 = ⎜ (343) 3 ⎟

Zu (4):

= 7 2 = 49

125 = (4 ⋅ 3 )5 = 45 ⋅ 35

Zu (3), (4):

(a

Zu (5):

4 12

Zu (6):

(a ≠ 0)

3

a

⋅ b7

)

2

= a 6 ⋅ b14

= a 12 4 = a 3 ;

4

a = a1 4 ;

3

12 ⋅ 3 = 12 ⋅ 3 = 36 = 6.

1 Bei gewissen Betrachtungen ist es zweckmäßig, zu definieren: 00 = 1.

1

a = a6 = 6 a

(a > 0)




1.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

17

Bemerkungen: – Im Falle von a > 0 und b > 0 gelten die Potenzregeln sogar für beliebige reelle Exponenten m und n. 1 (0) a 0 – (1) leitet sich direkt von (2) ab, denn n = n = a 0 − n = a − n . a a – Beachten Sie, dass im Allgemeinen (a+b)n ≠ an + bn ist (siehe binomische Formeln in Kapitel 1.6). Ebenso ist a 2 + b 2 ≠ a 2 + b 2 . Die obigen Aussagen (4) und (6) gelten also nur für die Multiplikation und die Division. 1

2

4

2

– Die Umrechnung: − a = (− a ) 2 = ( −a ) 4 = 4 ( −a ) 2 = a 2 = a 4 = a ist für a ≠ 0 falsch, da die Potenzgesetze bei rationalem Exponenten nur für eine positive Basis uneingeschränkt gültig sind. Es kann jedoch nur a oder -a positiv sein. -

Es gilt für a∈R nicht a 2 = a, denn nach der Definition ist die Wurzel aus einer Zahl immer derjenige positive Wert, der potenziert die ursprüngliche Zahl ergibt. Es gilt daher ⎧ a für a ≥ 0 a2 = ⎨ = ⏐a⏐ z.B. ( −5) 2 = 5 . a für a − < 0 ⎩ wobei ⏐a⏐der Betrag der Zahl a ist, vgl. Beispiel zum Betrag auf S. 48.

– Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Potenz- und Wurzelrechnung ist die Zinsrechnung, vgl. Beispiel am Ende von Kapitel 2.5. Aufgabe 3A Mit Variablen kann wie folgt gerechnet werden: 8(2a – 3b) – 4(a – 7b) = 16a – 24b – 4a + 28b = 12a + 4b (2a2 + 5b3)(4a3 – 3b5) = 8a5 – 6a2b5 + 20a3b3 – 15b8 2a3(–5)b7(–1)a2(–2)b5 = –20a5b12 2a2b – 5ab + 7ab2 – 10a2b + 5 +b2 + 8ab = 3ab – 8a2b + 7ab2 + 5 + b2 5a 2 b 3 8x 7 y5 4abx 2 y 4 ; ⋅ = 3 2 x5 y 15ab 2

5a 2 b 3 8x 7 y 5 5a 2 b 3 ⋅ 15ab 2 75a 3 b 5 = : = 2 x 5 y 15ab 2 2 x 5 y ⋅ 8x 7 y 5 16x 12 y 6

Dabei ist zu beachten, dass das Multiplikationszeichen oft weggelassen wird: 8(a + b) = 8 · (a + b);

4ab = 4 · a · b.

18

1 Grundlagen der Mathematik

Gemeinsame Faktoren können ausgeklammert werden. Beispiele: 2x2 – 5x = x (2x – 5) 4x – 2x2 = 2x (2 – x) 5a4 – 20a7 + 35a10 = 5a4(1 – 4a3 + 7a6) 2a2b – 6ab2 = 2ab(a – 3b) Es gilt jedoch nicht:

1 1 1 = + . a+b a b




Aufgabe 4

1.4.2 Logarithmengesetze

Gilt für a > 0, b > 0 und a ≠ 1 die Gleichung ax = b, heißt der Exponent x auch „Logarithmus des Numerus b zur Basis a“, geschrieben: x = loga b . In der Praxis werden am häufigsten Logarithmen zur Basis 10 und Logarithmen zur Basis e verwendet. e ist die Abkürzung für die Euler´sche Zahl e = 2,7182818284... Statt loge wird kurz ln und statt log10 kurz lg geschrieben. Der Logarithmus zur Basis 10 wird auch Zehnerlogarithmus (oder dekadischer Logarithmus), der Logarithmus zur Basis e auch natürlicher Logarithmus (oder Logarithmus naturalis) genannt. Der Zehnerlogarithmus wird in vielen Programmsystemen oder auf dem Taschenrechner mit LOG bezeichnet. Beispiele: - log5125 = 3. Der Logarithmus von 125 zur Basis 5 ist 3, denn 53 ergibt 125. - lg 100 = log10100 = 2, denn 102 ergibt 100. - Mit einem Taschenrechner erhalten Sie für ln(2) den Wert 0,693147. - Mit einem Taschenrechner erhalten Sie für lg(2) den Wert 0,301030.




1.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

19

Es gelten folgende Gesetze (a, b, c > 0, a ≠ 1; d ∈ R) (0) (1)

log a (a ) = 1; log a (1) = 0 log a ( b ⋅ c) = log a ( b) + loga (c)

(2)

loga ⎜

(3)

loga b d = d ⋅ loga ( b)

(4)

log b (c) =

⎛ b⎞ ⎟ ⎝ c⎠

= log a ( b) − log a (c)

( )

Beispiele: Zu (0):

log a (c) log a ( b)

(2a)

⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ c⎠

loga ⎜

= − loga (c)

(b ≠ 1)

log7(7) = 1; ln 1 = 0

Zu (1), (0): log10(50) = log10(10 ⋅ 5) = log10(10) + log10(5) = 1 + log10(5) ⎛ c⋅d⎞ ⎟ = log a ( c ⋅ d ) − log a ( e ⋅ f ) = log a (c) + log a ( d ) − log a ⎜ ⎝ e⋅f ⎠ Zu (2), (1):

(log a (e) + log a ( f )) = log a (c) + log a (d ) − log a (e) − log a ( f )

10 ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⋅ 50 ⎠ ⎛

log 10 ⎜

Zu (3):

= log 10 10 − log10 2 − log 10 50

log10(25) = 5 ⋅ log10(2) = 1,50515

Zu (3), (0): loga(ad) = d ⋅ loga(a) = d ⋅ 1 = d




Bemerkungen: − Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. loga(0) und loga(−2) sind nicht definiert. − Da sich häufig auf dem Taschenrechner nur die beiden oben erwähnten speziellen Logarithmen befinden, müssen Sie Formel (4) anwenden. Beispiel: log a (40) log5 (40) = , wobei a dann die Zahl 10 oder die Zahl e ist. Für a = 10 log a (5) ergibt sich: log5 (40) =

log10 (40) 1,60206 = = 2 ,292 . log10 (5) 0,69897

− Soll z.B. die Gleichung 2x = 4 nach x aufgelöst werden, können Sie x noch erraten. In diesem Fall wäre x = 2, denn 22 = 4. Soll aber die Gleichung 5x = 15 nach x aufgelöst werden, können Sie x nicht direkt erraten. Die Gleichung kann nach x aufgelöst werden, falls Sie die Logarithmenrechnung verwenden. Mehr dazu finden Sie in Abschnitt 2.6. Aufgabe 5

20

1 Grundlagen der Mathematik

1.5 Folgen, Summen und Produkte 1.5.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Zahlenfolge (oft nur kurz Folge genannt) ist eine Anordnung von Zahlen a1 , a2 , a3 , a4 , ... in einer bestimmten Reihenfolge.1 Die einzelnen Zahlen heißen Glieder der Folge. Ist die Anzahl der Glieder einer Folge endlich, heißt die Folge eine endliche Folge, andernfalls eine unendliche Folge. Für eine Folge gibt es viele Schreibweisen z.B.: {ak}k∈N *. Das erste Folgenglied kann auch mit a0 bezeichnet werden. ak "läuft" dann von k = 0, 1, 2, ... Beispiele: 2, 4, 7, 11, 16, 22 ist eine endliche Folge mit a1 = 2; a2 = 4; ... ; a6 = 22. 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ... ist eine unendliche Folge. Das Bildungsgesetz können Sie leicht erkennen: Um zum nächsten Folgenglied zu gelangen, addieren Sie erst 2, dann 3, dann 4 usw. zum vorherigen Folgenglied, d.h. 2 + 2 = 4; 4 + 3 = 7; 7 + 4 = 11; 11 + 5 = 16; 16 + 6 = 22 usw. 1
ak = , k∈N*. Dies ist das Bildungsgesetz für die Folge 1, ½, ... k Sei a1 , a2 , a3 , a4 , ... eine Zahlenfolge. Dann heißt s1 = a1 s 2 = a1 + a 2 ... s n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n =

...

n

∑a

k =1

k

,

n∈ N*,

die Folge der Teilsummen. Statt Teilsummen wird meist die Bezeichnung Reihe verwendet. Das Zeichen Σ dient als Summenzeichen. Oberhalb des Summenzeichens wird der Index des letzten Summanden, unterhalb des Summenzeichens der des ersten Summanden angegeben. Gesprochen wird dies: Summe von k = 1 bis n über ak. k heißt auch Laufindex oder auch Summationsindex.

1 Die mathematisch korrekte Definition: Eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Teilmenge von N* ist, heißt Folge.

1.5 Folgen, Summen und Produkte

21

Beispiel: Es sei a k = 3 k ; k ∈N. Dann gilt: s n = 31 + 32 + 33 + ... + 3n = ergibt sich: s5 = 31 + 32 + 33 + 3 4 + 35 =

5

∑3

k

k =1

n

∑3

k

. Für n = 5

k =1

= 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363 .




Hinweise: – Wenn die Folge bei k = 0 beginnt, muss natürlich für die Reihe auch die Summe von k = 0 beginnend ermittelt werden. – Ob Sie den Summationsindex mit k oder mit einem anderen Buchstaben – wie beispielsweise m oder n – bezeichnen, ist für die Summe gleichgültig. Beispiele: 5

∑

4

∑k

3k = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364,

k =2

k= 0 5

2

= 2 2 + 32 + 4 2 = 29 ,

∑ 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 ,

k=1 5

5

∑m = ∑k 4

m= 2

k =2

4

3

==

∑ ( k + 2)

k =0

4

= 2 4 + 34 + 4 4 + 54 = 978.




Exkurs Wenn keine Summen, sondern Produkte gebildet werden, gilt das Entsprechende: 31 ⋅ 3 2 ⋅ 33 ⋅ 3 4 ⋅ 35 =

5

∏ 3k

k =1

= 315 = 14 348 907 .

5

∏ 3 k wird gesprochen: Produkt von k gleich 1 bis 5 über 3k.

k=1

10

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ .... 9 ⋅ 10 = ∏ k = 3628800 . k =1

Für das Produkt der ersten zehn natürlichen Zahlen gibt es eine Abkürzung, nämlich 10! (gesprochen: Zehn Fakultät). Allgemein bedeutet n! das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen, also gilt: n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ .... ⋅ ( n − 1) ⋅ n 0! = 1.

für n∈N* und

22

1 Grundlagen der Mathematik

1.5.2 Arithmetische und geometrische Folgen Hauptsächlich zwei Arten von Folgen spielen in der Praxis eine große Rolle: Eine Folge heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz von zwei aufeinander folgender Glieder immer gleich groß ist. Eine Folge heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder immer gleich groß ist. Beispiele: − 4, 2, 0, −2, −4, −6, ... ist eine arithmetische Folge, da die Differenz d = a k +1 − a k für k = 1, 2, 3... konstant gleich −2 ist. − 3, 9, 27, 81, 243 ... ist eine geometrische Folge mit dem Quotienten q = 3. Das Bildungsgesetz ist ak = 3k, k = 1, 2, 3, .... .

a k +1 = ak

− 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... ist weder eine arithmetische, noch eine geometrische Folge. − 100, 105, 110,25 , 115,7625 , ... also ak = 100 · 1,05k-1, k =1, 2, 3 ... ist eine
geometrische Folge mit q = 1,05.

Für arithmetische Folgen gilt: a n = a 1 + ( n − 1) d n = 2, 3, 4,... , a 1 , d ∈ R, wobei a 1 das erste Folgenglied und d die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder ist. Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge beträgt: n n sn = ( a1 + a n ) = [ 2 a1 + ( n − 1) d] n = 1, 2, 3, ... 2 2 Für geometrische Folgen gilt: a n = a 1 q n −1

n = 1, 2, 3, ...

, a1, q ∈R.,

wobei a 1 das erste Folgenglied und q der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder ist. Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge beträgt: sn = a1

qn −1 , wobei q ≠ 1 . q −1

1.5 Folgen, Summen und Produkte

23

Auf die Beweise der obigen Formeln wird verzichtet. Es wird nur eine Anekdote erwähnt, die dem Mathematiker Gauß1 zugeschrieben wird: Als der kleine Gauß in der Schule war und die Addition lernte, wollte der Lehrer die Schüler beschäftigen und gab ihnen die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 60 zusammenzuzählen. Der Lehrer nahm an, dass die Schüler jetzt längere Zeit rechnen würden. Der kleine Gauß hatte aber schnell die Lösung gefunden: 1830. Wie kam er so schnell auf die Lösung? Bezeichnen Sie die Lösung mit x, so ist x = 1 + 2 + 3 + ... + 58 + 59 + 60. Schreiben Sie die Summe rückwärts: x = 60 + 59 + 58 + ... + 3 + 2 + 1. Addieren Sie beide Gleichungen, folgt 2x = 61 + 61 + 61 + ... + 61 + 61 + 61 = 60 · 61. Damit ist x die Hälfte 60 ⋅ (1 + 60) = 1830. x = 30 · 61 = 2 n Dass allgemein sn = (a 1 + a n ) für die Summe gilt, ist sicherlich jetzt verständlich. 2 Beispiele: − Das Bildungsgesetz der arithmetischen Folge 4, 2, 0, −2, −4, −6, ... ist: a n = 4 + (n−1)· (−2) = 6 − 2n, wobei d = −2 ist. Die Summe der ersten zehn 10 Folgenglieder beträgt: s10 = [ 2 ⋅ 4 + (10 − 1) ⋅ (−2)] = −50. 2 − Das Bildungsgesetz der geometrische Folge 1, 3, 9, 27, 81, ... ist: a n = 1 ⋅ 3n −1 = 3n −1 , wobei q = 3 ist.

Die Summe der ersten sechs Folgenglieder beträgt: s 6 =

36 − 1 = 364 . 3−1




Aufgabe 6 1.5.3 Grenzwert Betrachten Sie die Folge {ak}k∈N *. mit a k = 1 − k1 , also 0, 21 , 23 , 43 , 45 ,... . Die Glieder dieser Folge werden mit zunehmendem Index k immer größer und unterscheiden sich immer weniger von 1. Man sagt dann, die Folgenglieder „gehen gegen 1“. Die Zahl 1 wird als Grenzwert der Folge bezeichnet: lim a k = lim (1 − k1 ) = 1.

k →∞

k →∞

(gelesen: Limes von ak für k gegen unendlich).

Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. 1 Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855), Mathematiker, Astronom und Physiker; einer der größten mathematischen Forscher.

24

1 Grundlagen der Mathematik

Beispiele: – lim k1 = 0. k →∞

– –

lim (2 + 1k ) = 2

k →∞

lim ( −1) k gibt es nicht, d.h., die Folge mit ak = (-1)k ist divergent.

k →∞




Von Zenon1 stammt die Geschichte des Wettlaufs zwischen Achilles und der Schildkröte: „Der schnelle Läufer Achilles kann eine Schildkröte niemals einholen, wenn die Schildkröte mit einem Vorsprung startet. Denn wenn Achilles die Stelle erreicht hat, von der aus die Schildkröte gestartet ist, ist die Schildkröte weiter; zwar nur ein kleines Stück, aber weiter. Hat Achilles diese Stelle erreicht, ist die Schildkröte wiederum ein Stück weiter. Somit kann Achilles die Schildkröte niemals erreichen. Da indessen der Augenschein zeige, dass Achilles die Schildkröte überhole, müsse der Augenschein trügen." Angenommen, die Schildkröte habe 30 Meter Vorsprung und bewege sich zehnmal langsamer als Achilles. Wenn Achilles 30 Meter hinter sich hat, ist die Schildkröte 3 Meter vor ihm. Hat er diese 3 Meter auch hinter sich, hat die Schildkröte einen Vorsprung von 0,3 Metern usw. Achilles läuft also S = 30 + 3 + 0,3 + 0,03 + ... Schritte, bis er die Schildkröte erreicht. Dies ist eine geometrische Reihe mit a1 = 30 1 . Die Summe, die Sie mit dem nachfolgenden Satz berechnen können, und q = 10 beträgt S =

30

1−

reicht.

1 10

=

300 = 33 13 . Nach 33 13 Metern hat Achilles die Schildkröte er9

Bei einer geometrischen Reihe gilt für die Summe: S = lim s n = n →∞

∞

∑a q

k =0

1

Beispiel: 1 1 1 1 1- + − + − + ... = 2 4 8 16

k

=

a1 , wenn q < 1 . 1− q

1 1−

⎛ ⎜− ⎝

1⎞ ⎟ 2⎠

=

2 , da a = 1 und q = − 0,5 ist. 3

Aufgabe 6A

1 Zenon von Elea (um 495 - um 430 v. Chr.), griechischer Mathematiker und Philosoph.




1.6 Binomische Formeln

25

1.6 Binomische Formeln Es gilt: (1)

(a + b)2

=

a2 + 2ab + b2

(2)

(a – b)2

=

a2 – 2ab + b2

(3)

(a + b)(a – b)

=

a2 – b2

Beispiele: (x + 3)2 = x2 + 2⋅3⋅x + 32 = x2 + 6x + 9; (x – 2y)2 = x2 – 2⋅x⋅(2y) + (2y)2 = x2 – 4xy + 4y2 ;




(x3 + 5y2)(x3 – 5y2) = (x3)2 – (5y2)2 = x6 – 25y4.

Mit Hilfe des Pascal’schen Dreiecks1 lässt sich die binomische Formel auf beliebige Potenzen übertragen: Das Pascal’sche Dreieck:

Spaltennummer 0 á 1 á 2 1 á . 1 1 . 1 2 1 . 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 ................. 7 1

á

k

1 ................................. 1

. .

Zeile 0 1 2 3 4 5 6 7 n

1 Blaise Pascal, französischer Mathematiker und Physiker (1623 - 1662), der sich aber auch mit Fragen der Philosophie und Theologie beschäftigte. Das Pascalsche Dreieck war zwar schon 1400 n. Chr. in China bekannt, mehrere Regelmäßigkeiten in diesem Dreieck wurden im 17. Jahrhundert von Pascal erkannt.

26

1 Grundlagen der Mathematik

Wie zu sehen ist, befinden sich am Rand des Pascal’schen Dreiecks nur Einsen. Die Elemente innerhalb des Dreiecks ergeben sich durch Addition der beiden Elemente links und rechts über dem entsprechenden Element. Die Zahlen im Dreieck heißen Binomialkoeffizienten. Jede Zeile des Pascal’schen Dreiecks enthält nun die Faktoren für die binomische Formel zu einer entsprechenden Potenz. Hierbei enthält die erste Zeile die Faktoren für die Potenz Null (n = 0), die zweite Zeile enthält die Faktoren für die Potenz Eins (n = 1) usw. Die Faktoren für die Potenz Zwei (n = 2) sind ‘1 2 1’. Es gilt nun für (a + b)n ; n ∈ N: n = 0: (a + b)0 = 1 n = 1: (a + b)1 = 1⋅a + 1⋅b = a + b n = 2: (a + b)2 = 1⋅a2 + 2⋅a⋅b + 1⋅b2 = a2 + 2ab + b2 n = 3: (a + b)3 = 1⋅a3 + 3⋅a2⋅b + 3⋅a⋅b2 + 1⋅b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 n = 4: (a + b)4 = 1⋅a4 + 4⋅a3⋅b + 6⋅a2⋅b2 + 4⋅a⋅b3 + 1⋅b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Die binomische Formel beginnt jeweils mit der größten Potenz, die auf die erste Variable (a) angewendet wird. Danach nimmt jeweils der Exponent um eins ab und der Exponent für die zweite Variable (b) nimmt um eins zu. Steht zwischen beiden Variablen ein Minuszeichen, wechselt das Vorzeichen jeweils, wobei mit dem positiven Vorzeichen begonnen wird. Beispiele: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (2x – 3y2)3 = 1⋅(2x)3 – 3⋅(2x)2⋅(3y2) + 3⋅(2x)⋅(3y2)2 – 1⋅(3y2)3 = 8x3 – 36x2y2 + 54xy4 – 27y6 3

8 ⋅ 5 + 16 ⋅ 3 8 ⋅ 5 − 16 = 3 (8 ⋅ 5 + 16) ⋅ (8 ⋅ 5 − 16 ) = 3 (8 ⋅ 5 )2 − 162 = 3 64 = 4

23 5− 2

=

23

5+ 2

5− 2 5+ 2

=

23(5 + 2) = 5+ 2 . 25 − 2




Aufgabe 7

Exkurs: Die Zahlen im Pascal´schen Dreieck können auch direkt ermittelt werden. Nummerieren wir die Zeilen mit 0, 1, 2, 3 usw., die Zahlen in den Zeilen mit 0, 1, 2 usw. und bezeichnen mit

⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k⎠

(gesprochen n über k) die k-te Zahl in der n-ten Zeile. Bei-

1.6 Binomische Formeln

spielsweise ist

⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

27

die Zahl 15; nämlich die Zahl in der Zeile 6 und Spalte 2. Zu

beachten ist dabei, dass die Zählung jeweils von Null beginnt. Es kann gezeigt werden: Für den Binomialkoeffizienten gilt: n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) n! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( k − 1) ⋅ k k !( n − k )!

⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k⎠

=

⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

= 1 für alle n∈ N.

für k, n ∈ N und 0 < k ≤ n.

Beispiele: ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

= 1;

= 21;

⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠




= 21.

Mit dem Pascal´schen Dreieck können Sie sich leicht verdeutlichen, dass gilt: ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k⎠

=

⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+⎜

⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n − k⎠

und

⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k − 1⎠

⎛ n⎞ ⎟ ⎝ k⎠

+⎜

=

⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠

.

Beispiele: ⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

=

⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

;

Es gilt: (a + b) n =

n

∑

⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k⎠ k =0

Aufgabe 7A

⎛ 7⎞ ⎟ ⎝ 3⎠

=

a n−k b k

⎛ 8⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

.

für alle a, b ∈ R\{0} und n ∈ N.




28

1 Grundlagen der Mathematik

1.7 Trigonometrie s2

S

90°

α s1

Bringen Sie einen Strahl von seiner Anfangslage s1 durch Drehung um S in die Endlage s2, heißen die überstrichene Fläche das Innere, s1 und s2 die Schenkel und S der Scheitel des Winkels α. Erfolgt die Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, heißt der Drehsinn und der Winkel positiv; andernfalls sind Drehsinn und Winkel negativ. Ein Winkel kann in Grad gemessen werden, indem ein rechter Winkel, den zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden bilden, gleich 90° gesetzt wird. Der Winkel kann auch in Bogenmaß angeben werden. Ein im Bogenmaß angegebener Winkel entspricht der Länge des zugehörigen Kreisbogenausschnitts am Kreis mit dem Radius 1 (Einheitskreis). Es gilt 360° =$ 2π (= Umfang des Einheitskreises), womit Sie mit einfacher Dreisatzrechnung den Winkel α in das entsprechende Bogenmaß b umrechnen können: α=

180° ⋅b π

bzw. b =

π ⋅α 180°

Um zu erkennen, dass ein Winkel im Bogenmaß gemeint ist, wird manchmal auch hinter die Zahl noch rad (Radiant) geschrieben. Beispiele: 3π sind 135°. 40° sind im Bogenmaß 0,698 rad. 1° = 0,0174653 rad. 4 180° = π rad. Meist wird die Angabe rad weggelassen: 180° = π.




Die Unterteilung des Gradmaßes erfolgt analog zur Uhrzeit in (Winkel-)Minuten und (Winkel-)Sekunden: 1° = 60’ (60 Minuten) und 1’ = 60’’ (60 Sekunden). Beispiel: Der Winkel 57° 12’ 5’’ ist (57 + 12 + 5 )o = 57,20139° oder in Bogenmaß 0,99835 60 3600




Aufgabe 7B

1.7 Trigonometrie

29 Die trigonometrischen Definitionen und Eigenschaften können am Kreis mit dem Radius r = 1 veranschaulicht werden:

Zunächst soll das rechtwinklige Dreieck innerhalb des Kreises betrachtet werden: Zu jedem Winkel α kann an dem Dreieck sin(α) und cos(α) abgelesen werden. Die Dreiecksseite gegenüber dem rechten Winkel (die Hypotenuse) hat hierbei immer die Länge r = 1. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten, wobei die an dem Winkel α anliegende Seite Ankathete und die andere Gegenkathete genannt wird. Der Kosinus des Winkels α entspricht dann der Länge der Ankathete und der Sinus entspricht der Länge der Gegenkathete. Wird die Hypotenuse verlängert und parallel zur Gegenkathete eine Tangente an den Einheitskreis gelegt, kann an dieser der Tangens des Winkels α bestimmt werden, denn der Tangens entspricht der Länge der Tangentenstrecke vom Punkt (1, 0) bis zum Schnittpunkt der Tangente mit der verlängerten Hypotenuse. Mit dem Strahlensatz1 lässt sich zeigen, dass der Tangens dem Quotient aus der Gegenkathete und Ankathete und somit dem Quotienten aus dem Sinus und dem Kosinus entspricht: sin(α ) tan(α ) = = tan(α ) cos(α ) 1 Der Kotangens (cot) ist im Bild auf der vorigen Zeichnung nicht eingezeichnet. Er ist der Kehrwert des Tangens. 1 Die Strahlensätze geben Aussagen über Streckenlängen, die beim Schnitt von Geraden mit Parallelen entstehen, z.B.

SP1 SQ1

=

SP2 SQ 2

=

P1P2 Q1Q2

Q2 g2 Q1 g1 P2 S

P1

.

30

1 Grundlagen der Mathematik

Werte der Winkelfunktionen: x

sin x

cos x

tan x

cot x

0°

0

1

0

nicht definiert

30°

1 2

1 3 3

3

1 2 2 1 3 2

1 3 2 1 2 2 1 2

1

1

3

1 3 3

1

0

nicht definiert

0

45° 60° 90°

Wenden Sie am Einheitskreis den Satz des Pythagoras1 an, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten ist (also in einem Dreieck mit c als Hypotenuse gilt: c2 = a2 + b2), ergibt sich ein interessanter Zusammenhang zwischen dem Sinus und dem Kosinus, denn es gilt für alle α: (sin(α))2 + (cos(α))2 = 12 = 1

sin2α + cos2α = 1.

bzw.

Kommen wir nun zur Berechnung von Seiten und Winkeln an einem Dreieck mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck gelten die folgenden Zusammenhänge: Gegenkathete Hypotenuse Ankathete cos(α ) = Hypotenuse

Gegenkathete Ankathete Ankathete cot(α ) = Gegenkathete

sin(α ) =

tan(α) =

α

c b β

90°

a

In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt somit: Die Hypotenuse, sie liegt gegenüber dem rechten Winkel, ist die Seite c. In Bezug auf α ist b die Ankathete und a die Gegenkathete. In Bezug auf β ist a die Ankathete und b die Gegenkathete, also gilt:

1 Pythagoras von Samos (etwa 580 v. Chr. - 500 v. Chr.), griechischer Philosoph

1.7 Trigonometrie sin(α ) =

a ; c

31

cos(α ) =

b b a ; tan(α ) = ; sin(β) = ; c b c

cos(β) =

a ; c

tan(β) =

b . a

Beispiele: γ = 90°; a = 2 cm; b = 4 cm; α = ? a 2cm tan(α ) = = = 0,5 α = 26,565°. b 4cm

⇒

γ = 90°; α = 50°; c = 3 cm; a = ? a sin(α) = a = c sin(α) = sin(50°) ⋅ 3cm = 2,298cm . c

⇒

γ = 90°; α = 20°; b = 5 cm; c = ? b 5cm cos( α) = cos( 20°) = c c

⇒

⇒

c=

5cm = 5,321cm . cos(20° )




Wie bereits erwähnt, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras. Falls γ = 90° ist, gilt also c2 = a2 + b2, womit bei zwei bekannten Seiten die unbekannte dritte Seite berechnet werden kann: c = a2 + b2

b = c2 − a 2

a = c2 − b2

Außerdem ist in jedem Dreieck die Winkelsumme gleich 180°: α + β + γ = 180°. Kommen wir nun zu den Zusammenhängen in Dreiecken, in denen kein rechter Winkel vorhanden ist. Hier können der Sinussatz oder der Kosinussatz verwendet werden. α

c b γ

β

a

Der Sinussatz besagt, dass sich eine Seite in Relation zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels genauso verhält, wie eine andere Seite zum Sinus deren gegenüberliegenden Winkels: a b c = = . sin(α ) sin( β ) sin(γ )

32

1 Grundlagen der Mathematik

Beispiel: Gegeben sind: α = 50°; β = 35°; a = 5cm. Wie groß ist b? a b a 5cm . Also b = sin(35° ) ⋅ = 3,744 cm . = b = sin(β) sin(50° ) sin(α) sin(β) sin(α)

⇒




Mit dem Kosinussatz kann, falls zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, die Länge der gegenüberliegenden Seite berechnet werden: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos(α ) b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ )

Falls die Seiten a und b und der Winkel γ gegeben sind, kann die Seite c berechnet werden, denn es gilt: c2 = a 2 + b2 − 2ab cos( γ )

|

c = a 2 + b2 − 2ab cos( γ )

Sind alle drei Seiten eines Dreiecks bekannt, kann jeder Winkel berechnet werden. Beispiel für γ: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos( γ )

⇒ cos( γ) = c

2

− a 2 − b2 − 2ab

Falls c = 5cm, a = 7cm und b = 4cm gilt: cos( γ ) =

(5cm) 2 − (7cm ) 2 − (4cm) 2 5 = − 2 ⋅ 7cm ⋅ 4cm 7

Aufgaben 8 und 8A

⇒ γ = 44,415° .




2 Gleichungen und Ungleichungen 2.1 Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung ax + b = 0 hat die Lösung

x= −

mit a ≠ 0

b . a

Verschiedene Arten von Gleichungen lassen sich auf lineare Gleichungen zurückführen. Beispiel: Gegeben sei die folgende Gleichung: 5x + 4 = 3x – 6. Die Lösung dieser Gleichung wird nicht verändert, wenn auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert (jedoch nicht mit Null) oder dividiert (jedoch nicht durch Null) wird. Diese Umformungen heißen Äquivalenz-Umformungen. Sie ändern die Lösungsmenge der Gleichung nicht. Diese Erkenntnis können Sie sich zunutze machen, um die Gleichung zu lösen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 4, so dass diese auf der linken Seite der Gleichung verschwindet: 5x + 4 = 3x – 6 | –4 Es ergibt sich die Gleichung: 5x = 3x – 10

| –3x

von der wir auf beiden Seiten 3x subtrahieren. Es folgt: 2x = –10 Durch Division beider Seiten der Gleichung mit der Zahl 2 erhalten Sie die Lösung: x = –5 Somit ergibt sich die Lösungsmenge: L = {–5}. Weitere Beispiele (unter Verwendung der reellen Zahlen als Grundmenge): 8x – 20 8x –4x x

= 12x + 20 = 12x + 40 = 40 = –10 .

| +20 | –12x | : (–4) Lösungsmenge: L = {–10}.




34

2 Gleichungen und Ungleichungen

5x – 10 = 5(x –2) | +10 5x = 5x | –5x 0 = 0. Diese Gleichung hat unendliche viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist also die Menge der reellen Zahlen: L = R. 8x – 5 = 8x + 10 | –8x –5 = 10. Die Gleichung hat keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: L = {}. 5x – 8 5x –2x x

= 7x –8 | +8 = 7x | –7x =0 | : (–2) = 0. Lösungsmenge: L = {0}.




Textaufgaben: – Wie viel wiegt ein Stein, wenn sein Gewicht 4 Pfund plus die Hälfte seines Gewichts ist? x = 4 + ½ x. Also x – ½ x = 4 und somit x = 8. – In einer Schule sind 126 mehr Jungen als Mädchen. Die Mädchen machen einen Anteil von 35% aus. Wie viele Mädchen und Jungen insgesamt gibt es an der Schule? Sei x die gesuchte Zahl. Dann gilt 0,35x + (0,35x + 126) = x. 126 = 420. Also x = 0,3 – Eine Ware kostet mit Mehrwertsteuer (MwSt.) 2499 Euro bei 19% MwSt. Wie hoch ist der Nettopreis? Es gilt:

Bruttopreis = Nettopreis + MwSt. = Nettopreis + Nettopreis · 19% = Nettopreis · 1,19. Bruttopreis 2499 Euro = = 2100 Euro. Also Nettopreis = 1,19 1,19 Oder mit Dreisatzrechnung: 2499 Euro x Also x =

=$ 119% =$ 100%. 2499 Euro ⋅ 100% 2499 Euro = = 2100 Euro. 119% 1,19

– Bis 1997 flossen 50,5% des Mehrwertsteuer-Aufkommens an den Bund und 49,5% an die Länder. 1999 erhielt der Bund zunächst einmal 5,63 % des Mehr-

2.1 Lineare Gleichungen

35

wertsteuer-Aufkommens vorab gutgeschrieben. Von dem verbleibenden Aufkommen erhielten dann die Kommunen 2,2%. Der „Rest“ ging zu 50,5% an den Bund und zu 49,5% an die Länder. Welche Anteile am gesamten Mehrwertsteuer-Aufkommen erhielten Bund, Länder und Kommunen? Der Bund erhielt: 5,65% + (100% − 5,65%) · 97,8% · 50,5% = 0,0565 + (1 −0,0565) · 0,978 · 0,505 = 0,522485 = 52,2485%. Die Länder bekamen: (100% −5,65%) · 97,8% · 49,5% = (1 − 0,0565) · 0,978 · 0,495 = 0,456758 = 45,6758%. Die Kommunen erhielten: (100% − 5,65%) · 2,2% = (1 − 0,0565) · 0,022 = 0,020757 = 2,0757%. Ist x das gesamte Mehrwertsteuer-Aufkommen, dann erhielten die Kommunen 2,0757% von x, also 0,020757 · x. – Welche Zeit benötigt ein mit einer konstanten Geschwindigkeit von v0= 50 km/h fahrendes und 5 m langes Auto, um einen mit einer konstanten Geschwindigkeit von v1= 26 km/h fahrenden Traktor mit zwei Hängern von insgesamt 15m Länge zu überholen? Welche Strecke hat dabei das Auto zurückgelegt? Vor dem Überholen:

ƒƒ

ƒƒƒƒƒƒ

Nach dem Überholen:

ƒƒƒƒƒƒ

ƒƒ

Auto Traktor

Der Traktor fährt beim Überholen in der Zeit t die Strecke v1t. Das Auto legt in dieser Zeit eine Strecke von v0t zurück und muss zum Überholen 20 m (= 15m + 5m) weiter als der Traktor gefahren sein, also v0t =v1t + 20 m. Wird nach t aufgelöst und dann v0 und v1 eingesetzt, ergibt sich: 20m 20m ⋅ 3600s t= = = 3s. (50 − 26) km / h 24000m 50000m ⋅ 3s = 41,67 m . Die Strecke beträgt 3600s Die Strecke sollte in der Praxis natürlich größer sein, da zusätzlich ein Sicherheitsabstand eingehalten werden muss.




Aufgabe 8B

36

2 Gleichungen und Ungleichungen

2.2 Bruchgleichungen Es wird von einer Bruchgleichung gesprochen, wenn die Variable x mindestens einmal in einem Nenner auftritt. Eine Bruchgleichung lösen Sie, indem Sie beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren. Bei Brüchen müssen diejenigen x-Werte aus dem Definitionsbereich (D) ausgenommen werden, bei denen der Nenner gleich Null werden würde. Sonst würde durch Null geteilt werden, was nicht zulässig ist. Wichtig zu wissen ist auch, dass ein Bruch, dessen Nenner von Null verschieden ist, genau dann gleich Null ist, wenn der Zähler Null ist. Beispiele: – Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung

⇒

4 = 2 , wobei x ∈D = R \ {0} sein x

4 4 x = = 2 . Somit ergibt sich die Lösungsmenge, die nach dem =2 x 2 Definitionsbereich zulässig ist: L = {2}.

darf.

– Im nächsten Beispiel muss der Definitionsbereich wie folgt festgelegt werden: D = R \ {–1; 2}. 1 2 |⋅(x + 1)(x – 2) = x+1 x−2 x – 2 = 2(x + 1) x – 2 = 2x + 2 | +2–2x –x = 4 | ⋅(–1) x = –4 ∈D, also L = {–4}. –

x+4 = 0 , wobei D = R \ {2}. Multiplizieren beider Seiten mit (x – 2) ergibt: x−2 x+4 ( x − 2) = 0 · (x – 2). Also x−2 x+4 = 0. Damit ist L = {–4}.

– Ein Schwimmbad hat ein Wasserbecken mit zwei Zuflüssen A und B, durch die es in 24 Minuten vollständig gefüllt werden kann. Ist nur der Zufluss A geöffnet, dauert es 60 Minuten. Wie lange dauert es, wenn nur Zufluss B geöffnet ist? Sei x die Zeit in Minuten, die gebraucht wird, um das Becken nur durch Zufluss B zu füllen. Dann ist in einer Minute das Becken zu 1x gefüllt. A füllt das Becken 1 . In 24 Minuten wird das Becken durch beide Zuflüsse in einer Minute zu 60 1 + 1 ) = 1 . Aufgelöst nach x ergibt sich x = 40. gefüllt, d.h.: 24( 60 x

2.2 Bruchgleichungen –

37

x 2 = , wobei D = R \ {–1; 2}. Das Multiplizieren beider Seiten mit x +1 x − 2 (x + 1)(x – 2) ergibt: x(x–2) = 2(x+1), also x2 – 2x = 2x + 1 oder x2 – 4x – 1 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung. Wie eine solche Gleichung gelöst wird, finden Sie in Abschnitt 2.4.




Am Anfang dieses Kapitels wurde schon erwähnt, dass die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert wird, wenn die beiden Seiten der Gleichung mit einer reellen Zahl multipliziert bzw. durch eine reelle Zahl geteilt werden; mit einer Ausnahme: Mit Null darf nicht multipliziert und durch Null darf nicht dividiert werden. Dazu ein Beispiel: Aufgabe: Gesucht ist die Lösungsmenge folgender Gleichung: x + 10 2 x − 28 −3= . x−6 27 − x

Lösung: Umformungen dieser Gleichung ergeben: (1) (2) (3) (4)

x + 10 − 3( x − 6) 2 x − 28 = x−6 27 − x −2 x + 28 = x−6 2 x − 28 = 6−x 1 = 6− x

2 x − 28 27 − x 2 x − 28 27 − x 1 27 − x

(5)

6 – x = 27 – x

(6)

6 = 27

Widerspruch, also L = {}.

Die obige Rechnung ist aber falsch. Wo liegt der Fehler? Die Lösungsmenge ist nicht die leere Menge, denn die Umrechnung von Gleichung (3) in Gleichung (4) ist falsch. Aus der Gleichung (3) folgt x = 14. Der Fehler entsteht durch Division durch Null: Aus Gleichung (3) erhalten Sie durch Division mit 2x–28 Gleichung (4). Dies ist nicht erlaubt, wenn 2x–28 = 0 ist. Die Lösungsmenge L = {14}.




Aufgabe 9

38

2 Gleichungen und Ungleichungen

2.3 Wurzelgleichungen Eine Wurzelgleichung ist in der Mathematik nicht einheitlich definiert. Wir wollen von einer Wurzelgleichung sprechen, wenn die Unbekannte x im Radikanden einer Quadratwurzel auftritt. Eine direkte Auflösung ist nur in einfachen Fällen möglich. Ziel ist es dabei, die Wurzel, nachdem sie allein auf einer Seite der Gleichung steht, durch Quadrieren zu beseitigen. Über die Existenz und Anzahl von Lösungen lassen sich keine allgemein gültigen Aussagen treffen. Beispiele: − Die Gleichung 4 + 3 x + 1 = 16 soll gelöst werden. Dazu versuchen wir zunächst die Wurzel auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Durch einfache Umformungen erhalten Sie x + 1 = 4 . Da die Wurzel 4 sein soll, muss x + 1 = 16, also x = 15 sein. Probe: 4 + 3 15 + 1 = 4 + 3 16 = 16 . Also L = {15}. − Wir wollen nun die folgende Gleichung lösen: x + 5 − x + 1 = 2 x . Zunächst wird die Gleichung quadriert

und umgeformt, so dass die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert wird: ( x + 5)( x + 1) = − x + 3 . Die Gleichung wird ein zweites Mal quadriert, ausmultipliziert und nach x aufgelöst:

x + 5 − 2 ( x + 5)( x + 1) + x + 1 = 4 x

( x + 5)( x + 1) = (3 − x) 2

x 2 + 6x + 5 = x 2 − 6x + 9 12 x = 4 1 x= . 3 Probe: Setzen Sie die Lösung in die Ausgangsgleichung ein, erhalten Sie 16 − 4 = 4 − 2 = 2 = 2 1 . Somit ist ein Drittel eine Lösung. L = 1 . 3 3 3 3 3 3

{}




Da sich im Allgemeinen beim Quadrieren von Wurzelgleichungen die Lösungsmenge ändert, gehört das Quadrieren einer Gleichung nicht zu den äquivalenten Umformungen. Die Probe ist deswegen unbedingt nötig. Aufgabe 10

2.4 Quadratische Gleichungen

39

2.4 Quadratische Gleichungen Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Gleichung:

2x2 – 8x – 10 = 0.

Durch 2 geteilt ergibt sich x2 – 4x – 5 = 0. Dies kann folgendermaßen umgeformt werden: = 5 x2 – 4x x2 – 4x + 4 = 5 + 4 = 9. Die linke Seite kann durch Anwendung der binomischen Formel als (x-2)2 dargestellt werden. 2 = 9. Das Wurzelziehen ergibt (x–2) x−2 = ± 9. x = 2± 9 . Damit ergeben sich die beiden Lösungen x1 = 2 + 9 = 5 und x2 = 2 – 9 = –1.
Statt für jede Aufgabe die Lösung extra herzuleiten, können Sie auch folgende fertige Formel verwenden: Die Lösungen der Gleichung x2 + px + q = 0 , p, q ∈ R, sind p =− ± 2

x1/2

⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

(p-q-Formel)

−q

Diese Formel lässt sich durch eine quadratische Ergänzung herleiten: x2 + px + q = 0

| –q

x2 + px = –q

|+

x2 + px + ⎛ ⎜x + ⎝

x+

⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

2

p⎞ ⎟ = –q + 2⎠

p = ± 2

⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

= –q + ⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2

−q 2

2

⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

| Anwendung der binomischen Formel | |–

p 2

p ⎛ p⎞ ± ⎜ ⎟ −q ⎝ 2⎠ 2 Wie zu sehen ist, können zwei Nullstellen, eine Nullstelle oder keine reelle Null-

x=–

40

2 Gleichungen und Ungleichungen

stelle existieren, jeweils, wenn der Radikand

⎛ p⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

– q größer, gleich oder kleiner

Null ist. Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Gleichung 2x2 – 8x – 10 = 0. Um die p-q-Formel anwenden zu können, wird durch 2 geteilt: x2 – 4x – 5 = 0. Also gilt: p = –4 und q = –5. Dann ergibt sich: 2

2

−4 p ⎛ p⎞ ⎛ − 4⎞ 2 ± ⎜ ⎟ −q = − ± ⎜ ⎟ − ( −5) = 2 ± 2 + 5 = 2 ± 9 . ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 Somit sind x1 = 5 und x2 = –1 die Lösungen dieser quadratischen Gleichung. x1 / 2 = −




Tip: Zum Überprüfen, ob die Lösungen einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 korrekt ermittelt wurden, ist das Folgende nützlich (Satz von Vieta1): Die Summe der beiden Lösungen muss gleich –p, das Produkt der beiden Lösungen gleich q sein. Beispiel (Fortsetzung von oben): Die Summe von 5 und –1 ist 4, also gleich –p. Das Produkt von 5 und –1 ist –5, also gleich q.




Die p-q-Formel setzt voraus, dass der Koeffizient vor dem Term x2 immer eine 1 ist. Ist dies nicht der Fall, kann entweder die Gleichung durch diesen Koeffizienten geteilt werden (und anschließend die p-q-Formel verwendet werden) oder es kann die Abc-Formel angewandt werden: Die Lösungen der Gleichung ax2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0, sind x 1/ 2 =

1

− b ± b 2 − 4ac . 2a

(Abc-Formel)

François Viète (oder latinisiert Vieta), 1540 - 1603, französischer Rechtsanwalt und Mathematiker

2.5 Gleichungen 3. und höheren Grades

41

Beispiele: Die Lösung der Gleichung 2x2 – 8x – 10 = 0 ist: x 1/ 2 =

− ( −8) ± ( −8) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −10)

2⋅2 Also x1 = 5 und x2 = –1.

=

8 ± 144 = 2 ± 3. 4

Die Lösung der Gleichung ¼ x2 – x + 5 = 0 ist: x 1/ 2 =

− ( −1) ± ( −1) 2 − 4 ⋅ 41 ⋅ 5 2 ⋅ 14

=

1± − 4 1 2

.

Es gibt keine reellen Lösungen, da die Wurzel aus einer negativen Zahl eine imaginäre Zahl ergibt, vgl. Kapitel 5.1.




Aufgabe 11

2.5 Gleichungen 3. und höheren Grades 2.5 Gleichungen dritten und höheren Grades Eine Gleichung dritten Grades (auch kubische Gleichung) lautet in Normalform x3 + ax2 + bx + c = 0 Sie kann maximal drei Nullstellen besitzen. Ist c = 0, kann x ausgeklammert werden: x (x2 + ax + b) = 0. Damit ergibt sich die erste Nullstelle: x1 = 0, denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Der Rest ist dann nur noch ein Polynom zweiten Grades, dessen Nullstellen Sie wie oben beschrieben berechnen können. Dann erhalten Sie die restlichen Nullstellen x2 und x3. Ist a = 0 und b = 0, ergibt sich eine (reelle) Nullstelle x1 =

3

−c .

Sind a oder b von Null verschieden und ist auch c von Null verschieden, lassen sich die Lösungen nicht so einfach ermitteln.

42

2 Gleichungen und Ungleichungen

Exkurs: Es gibt zur Berechnung der Lösungen die Cardanosche Formeln1: Die Lösungen der Gleichung x3 + ax2 + bx + c = 0 sind a a u+v u−v ± 3 x 1 = − + u + v , x 2,3 = − − i , wobei 3 3 2 2 p=

3

2

q 3b − a 2 2a 3 ab ⎛ p⎞ ⎛ q⎞ , q = c+ − , D = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , u = 3 − + D und ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ 2 3 27 3

v=3−

q − D . 2

Auf diese Formeln soll aber nicht näher eingegangen werden, da sie beim Studium selten angewandt werden müssen. Außerdem werden mit dieser Formel auch reelle Lösungen durch komplexe Ausdrücke dargestellt. Zur Berechnung ist dann die Kenntnis der komplexen Zahlen und deren Rechenregeln erforderlich. Ende Exkurs

Falls Sie schon eine Lösung kennen, können Sie die Polynomdivision anwenden, um die restlichen Nullstellen zu bestimmen. Die Polynomdivision bedient sich der folgenden Eigenschaft von Polynomen: Sind x1, x2 und x3 Nullstellen der Gleichung, so kann die linke Seite der Gleichung in Linearfaktoren x – xi zerlegt werden: x3 + ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2) (x – x3) Wir stellen nun die Polynomdivision an einem Beispiel vor: x3 + x2 – 10x + 8 = 0 Hier kann die erste Lösung durch Probieren bestimmt werden: x1 = 1 ist eine Lösung. Nun kann mit der Polynomdivision begonnen werden, wobei die Funktion durch x – x1, also durch x – 1, zu teilen ist. Die Polynomdivision wird wie eine gewöhnliche Division durchgeführt: 1 Geronimo Cardano (1501 - 1576), Arzt, Naturphilosoph und Mathematiker. Er veröffentlichte dieses Verfahren. Die Formeln sollen von Niccolò Tartaglia (1499 oder 1500 - 1557) stammen.

2.5 Gleichungen 3. und höheren Grades

43

(x3 + x2 – 10x + 8) : (x – 1) = x2 + 2x – 8 x3 – x 2 x passt in x3 x2-mal. Dann wird x2 mit (x – 1) 2x2 – 10x 2 multipliziert und das Ergebnis wird 2x – 2x – 8x + 8 hierhin geschrieben. Anschließend wird die 2. Zeile von der 1. Zeile abgezogen usw. – 8x + 8 0 Nun können die restlichen Nullstellen (aus der Gleichung x2 + 2x – 8 = 0) mit Hilfe der p-q-Formel bestimmt werden: Es ergeben sich x2 = 2 und x3 = –4. Wir können dann das Polynom in die folgenden Linearfaktoren zerlegen: x3 + x2 – 10x + 8 = (x – 1) (x – 2) (x + 4).


Aufgabe 12 Gleichungen beliebigen Grades Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Gleichung n-ten Grades anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0 mit a0, a1, a2, ... , an–1, an ∈ R, an ≠ 0 , n∈N, unter Berücksichtigung der Vielfachheiten genau n Lösungen besitzt. Diese Lösungen können reelle oder komplexe Zahlen (vgl. Kapitel 5) sein. Als wir in den vorangegangenen Abschnitten davon gesprochen haben, dass z.B. eine quadratische Gleichung keine Lösung besitzt, bezog sich diese Aussage auf reelle Lösungen. Bis zu n = 4 gibt es allgemeine Lösungsschemata. Für Gleichungen ab n = 5 gibt es keine allgemeinen Formeln, die die Lösungen mit Hilfe von algebraischen Operationen (vier Grundrechenarten und Wurzelziehen) ausdrücken. Falls es möglich ist, jeweils eine Lösung zu erraten, kann hier auch die Polynomdivision nochmals angewandt werden, um den Grad der Gleichung zu reduzieren.

44

2 Gleichungen und Ungleichungen

Ansonsten müssen die Lösungen mit Iterationsverfahren (z. B. Newton-Verfahren1 oder Sekantenverfahren) ermittelt werden, die hier aber nicht beschrieben werden. Bezeichnen wir die Lösungen der Gleichung n-ten Grades mit x1 , x2 , x3 , ..., xn, so gilt anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = an · (x – x1) · (x – x2) · ... · (x – xn). Diese Formel wird Zerlegung in Linearfaktoren genannt. Beispiel: 4x3 + 4x2 – 40x + 32 = 4 (x3 + x2 – 10x + 8 ) = 4 (x – 1)(x – 2)(x + 4).




Für die spezielle Gleichung n-ten Grades axn = b (wobei b/a nicht negativ und a unb gleich Null) ergibt sich die Lösung: x = n . a Beispiel: Eine Sammlerin kauft eine Münzsammlung für 100.000 Euro. Sie hofft, die Sammlung in 20 Jahren für 200.000 Euro weiterverkaufen zu können. Wie hoch ist die Verzinsung ihres Kapitaleinsatzes? Gegeben ist heute eine Zahlung K0 = 100.000 Euro (also zum Zeitpunkt n = 0), die einen Wert von Kn = 200.000 Euro zum Zeitpunkt n = 20 hat. Es ist somit der Zinssatz i gesucht, mit dem das Kapital K0 aufzuzinsen ist, um nach n Jahren das Endkapital Kn zu erhalten. Aus der Finanzmathematik ist bekannt, dass gilt: Kn = K0 (1+i)n. K Durch Auflösen der Gleichung nach i, erhalten Sie i = n n − 1 . K0 200000 − 1 = 0,03526. 100000 Die Sammlerin erzielt also eine Verzinsung des eingesetzten Kapitals von 3,526%.

Für das Beispiel ergibt sich i = 20




2.6 Exponential- und Logarithmusgl. Aufgabe 12A

1 Isaac Newton (1643 - 1727), englischer Physiker und Mathematiker

2.6 Exponential- und Logarithmusgl.

45

2.6 Exponential- und Logarithmusgleichungen Gleichungen mit einem Exponentialausdruck, d.h., bei denen die Unbekannte im Exponenten steht, heißen Exponentialgleichungen. Beispiele: − 3x = x +7. − 4x = 5x + 10 + 3x.




Nicht alle Exponentialgleichungen sind analytisch lösbar. Manche sind jedoch lösbar, wenn Sie beide Seiten logarithmieren. Dabei muss sichergestellt sein, dass beide Seiten der Gleichung größer als Null sind. Beispiele: − 5x = 15.

Logarithmieren beider Seiten ergibt

x

log5(5 )

= log5(15).

x ⋅ log5(5)

= log5(15)

x⋅1

= log5(15)

und somit:

x = log5(15). Da aber der Logarithmus zur Basis 5 in der Regel nicht auf einem Taschenrechner zur Verfügung steht, ist Umrechnungsformel (4) aus Abschnitt 1.4.2 zu verwenden. Einfacher ist es jedoch zur Lösung einer Exponentialgleichung, eine andere Basis beim Logarithmieren zu benutzen. Wenn Taschenrechner eine Taste für die Logarithmusfunktion besitzen, ist dies für die Basis 10 oder die Basis e. Wählen Sie den Zehnerlogarithmus, gilt für die obige Exponentialgleichung: log10(5x)

= log10(15)

x ⋅ log10(5) = log10(15). Also log 10 (15) x= = 1,683. log10 (5) 1 = ex ⇔ ln(1) = ln (ex) ⇔ 0 = x ⋅ ln(e) ⇔ 0 = x. ln(20) ln(20) ⇔ x= − 1 = 3,322. − 2x+1 = 20 ⇔ (x + 1) ⋅ ln(2) = ln(20) ⇔ x + 1 = ln( 2) ln(2) – Peter Geier möchte gern Millionär werden. Er hat 100.000 Euro geerbt und kann den Betrag zu 6% anlegen. In wie viel Jahren ist er Euro-Millionär? −

Es gilt:

Kn = K0 (1+i)n. 1.000.000 = 100.000 1,06n

46

2 Gleichungen und Ungleichungen 10 = 1,06n log(10) = log(1,06n) log(10) = n log(1,06) n = log(10)/log(1,06) = 39,517. Also nach fast 40 Jahren ist er Millionär. (Bei 8% Zinsen ist er schon nach knapp 30 Jahren Millionär.)




Kommen wir jetzt zu den Logarithmusgleichungen. Wie bei den Exponentialgleichungen können zwar auch nicht alle Logarithmengleichungen nach x direkt aufgelöst werden, im Folgenden sind einige spezielle Beispiele angegeben, bei den durch Exponentiation eine Lösung gefunden werden kann. Bei Logarithmusgleichungen ist genau auf den Definitionsbereich zu achten, da die Exponentiation den Definitionsbereich vergrößert Beispiele: – log2(x2 −1)

= 5.

Damit der Logarithmus (im reellen) existiert, muss x2 −1 > 0 sein. Also x2 > 1, d.h. x∈D = R \ [−1; 1]. ... Durch Exponentiation mit 2 ergibt sich:

x2 − 1

= 25

x2

= 33

x

= ± 5,744563. x2 > 1 ist für beide Lösungen erfüllt.

– log3(x+1)

= log3(2x+5).

x+1

= 2x + 5

x

= −4.

Damit der Logarithmus (im reellen) existiert, muss x+1 > 0 und 2x+5 > 0 gelten, d.h. D = (−1; ∞) ∩ ( − 25 ; ∞) = (−1; ∞). ... Durch Exponentiation mit 3 ergibt sich:

Da aber −4 ∉ D, ist die Lösungsmenge die leere Menge. – Die größte Ende des Jahres 2006 bekannte Primzahl ist 232582657 – 1. Wie viele Stellen hat diese Zahl? Eine Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch 1 oder durch sich selbst ohne Rest teilen lässt. 232582657 – 1 = (10lg 2)32582657– 1 = 10lg 2 · 32582657 – 1 = 109808357,095 – 1. Die Zahl 109808357,095 hat 9808358 Stellen, also auch die Zahl 109808357,095 – 1 (Hätte sie eine Stelle weniger, wären alle Ziffern lauter Neuner. Und die Zahl
wäre dann keine Primzahl.) Aufgabe 13

2.7 Ungleichungen mit einer Variablen

47

2.7 Ungleichungen mit einer Variablen Beim Lösen von Ungleichungen wird ähnlich vorgegangen wie beim Lösen von Gleichungen. Hier ist nur zu beachten, dass bei einer Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl (dies gilt nicht beim Addieren bzw. Subtrahieren) das Größer-/Kleinerzeichen gedreht werden muss. Beispiele: − 2x > –10 | :2 x > –5 Lösungsmenge : L = (–5; ∞) oder L = {x ∈ R | x > –5}. −

5x – 2 > 10x +13 | +2 5x > 10x + 15 | –10x –5x > 15 | :(–5) x < –3 Lösungsmenge : L = (–∞; –3).

−

–2x+1 ≥5 | –1 –2x ≥4 | :(–2) x ≤ –2 Lösungsmenge : L = (–∞; –2].

− Welche Zahl ist größer: 2 oder Wir nehmen an, dass 3

2 ≥

2

3

3

3?

3 ist. Dann werden beide Seiten mit 6 po-

tenziert: 2 ≥ 3 . Dies ist aber falsch. Also:

2
−2. Fall 2: x+2 < 0, also x < −2. Fall 3: x+2 = 0, also x = −2.

Dann gilt: 1 < 1 (x+2). Nach x aufgelöst ergibt sich x > −1. Da außerdem noch x > −2 gelten muss, folgt im Fall 1: x > −1. Dann gilt: 1 > 1 (x+2). Daraus folgt x < −1. Da schon x < −2 gelten muss, ist die Lösung im Fall 2: x < −2 . Für x = −2 ist der Bruch nicht definiert.

Insgesamt ist die obige Gleichung erfüllt, wenn x < −2 oder x > −1 ist, also ist die Lösungsmenge: L = (–∞; –2) ∪ (–1; ∞) = R \ [–2; –1].

48

2 Gleichungen und Ungleichungen

− Gesucht sind alle reellen Lösungen der Ungleichung ⏐x+2⏐ > 1, wobei der ⎧ x für x ≥ 0 Betrag einer Zahl x folgendermaßen definiert ist: ⏐x⏐ = ⎨ . ⎩− x für x < 0 Die Betragsfunktion f(x) =⏐x⏐ hat folgende graphische Darstellung: 10

8

6

4

2

-10

-5

5

10

Da wegen der Betragszeichen ⏐x+2⏐ > 1 nicht direkt nach x aufgelöst werden kann, müssen erst die Betragszeichen eliminiert werden. Dazu ist eine Fallunterscheidung notwendig. Fall 1: x+2 ≥ 0, also x ≥ −2. Dann gilt: x + 2 = x + 2 > 1 ⇔ x > −1. Fall 2: x+2 < 0, also x < −2.

Dann gilt: x + 2 = −( x + 2) > 1 ⇔

−3 > x.

Insgesamt ist für x < −3 oder x > −1 die Ungleichung erfüllt: L = R \ [–3; –1]. 1 < 1. x+2 Um diese Ungleichung aufzulösen, muss zuerst das Betragszeichen aufgelöst werden. Dabei ist eine Fallunterscheidung zu treffen, je nachdem, ob x + 2 positiv oder negativ ist:

− Gesucht sind alle reellen Lösungen der Ungleichung:

Fall 1: x+2 > 0, also x > −2. 1 1 Dann gilt: < 1 ⇔ 1 < 1 (x+2). −1. Da außerdem noch x > −2 gelten muss, folgt im Fall 1: x > −1.

2.7 Ungleichungen mit einer Variablen

49

Fall 2: x+2 < 0, also x < −2. 1 1 Dann gilt: < 1 ⇔ 1 < 1 (−x−2) ⇔ x < −3. −1 ist. Also ist die Lösungsmenge: L = (–∞; –3) ∪ (–1; ∞) = R \ [–3; –1].




Aufgabe 14 Beachten Sie: – Ein Produkt mit zwei Faktoren ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist. – Ein Produkt mit zwei Faktoren ist genau dann größer Null, wenn entweder beide Faktoren größer oder beide Faktoren kleiner Null sind. – Ein Produkt mit zwei Faktoren ist genau dann kleiner Null, wenn ein Faktor größer Null und der andere Faktor kleiner Null ist. Beispiele: – (x+8) (x–7) = 0 genau dann, wenn x+8 = 0 oder x–7 = 0, d.h., wenn x = –8 oder x = 7 ist. Also L = {–8; 7}. – (x+8) (x–7) > 0 genau dann, wenn (x+8 > 0 und x–7 > 0) oder (x+8 < 0 und x–7 < 0) , d.h. (x > –8 und x > 7) oder (x < –8 und x < 7), d.h. x > 7 oder x < –8. Also L = (7; ∞) ∪ (–∞; –8) = R \ [–8; 7]. – (x+8) (x–7) < 0 genau dann, wenn (x+8 > 0 und x–7 < 0) oder (x+8 < 0 und x–7 > 0), d.h. (x > –8 und x < 7) oder (x < –8 und x > 7) (letzteres geht nicht), d.h. –8 < x < 7. Also L = (–8; 7).




50

2 Gleichungen und Ungleichungen

2.8 Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten hat die Form a1x + b1y a2x + b2y

= c1 = c2

Dabei sind a1, a2, b1, b2 beliebige, aber feste reelle Zahlen. Sie heißen Koeffizienten des linearen Gleichungssystems. Auch die Zahlen c1 und c2 sind beliebige, aber feste reelle Zahlen. Jedes Zahlenpaar (x, y), das beide Gleichungen erfüllt, heißt Lösung des Gleichungssystems oder einfach Lösung der Gleichungen. Bei der Lösungsmenge von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können drei Fälle auftreten: 1. Es gibt keine Lösungen, d. h., die beiden Gleichungen widersprechen sich. 2. Es gibt genau eine Lösung. 3. Es gibt unendlich viele Lösungen. Es gibt grundsätzlich drei Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Gleichsetzungsverfahren Beide Gleichungen werden nach einer Variablen aufgelöst und die für sie erhaltenen Ausdrücke werden einander gleichgesetzt. Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst. Das Ergebnis wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Additionsverfahren Durch Multiplikation jeder Gleichung mit einer geeigneten Zahl können Sie erreichen, dass die absoluten Beträge der Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen gleich sind. Durch Addition bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen wird diese Variable dann eliminiert. Beispiel: I) 2x + 3y = –8 II) x – 2y = 10 Gleichsetzungsverfahren: Aus der ersten Gleichung erhalten Sie: x = ½ (– 8 – 3y). Die zweite Gleichung ergibt x = 10 + 2y. Gleichsetzen ergibt ½ (– 8 – 3y) = 10 + 2y. Also y = – 4. Eingesetzt in Gleichung I) oder II), wir wählen Gleichung II): x = 10 + 2y ergibt x = 2.

2.8 Lineare Gleichungssysteme

51

Einsetzungsverfahren: Aus der zweiten Gleichung ergibt sich x = 10 + 2y. Setzen Sie dies in die erste Gleichung ein, erhalten Sie 20 + 4y + 3y = – 8, also y = – 4. Damit ergibt sich über Gleichung II) x = 10+ 2y = 10 + 2(– 4) = 2. Additionsverfahren: Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und Multiplikation der zweiten Gleichung mit 3 ergibt: 4x + 6y = –16 und 3x – 6y = 30. Die Addition der beiden Gleichungen ergibt 7x = 14. Also x = 2. Setzen Sie diesen
Wert in die erste Gleichung ein, ergibt dies für y den Wert – 4. Beispiele: – Auf einem Bauernhof gibt es Kaninchen und Hühnern. Die Tiere haben insgesamt 37 Köpfe und 98 Füße. Wie viele Kaninchen und wie viele Hühner sind auf dem Bauernhof? Sei x die Zahl der Kaninchen und y die Zahl der Hühner, dann gilt: x + y = 37 und 4x + 2y = 98. Als Lösung ergibt sich x = 12 und y = 25. – Zwei Körper bewegen sich auf dem 516 m langen Umfang eines Kreises in derselben Richtung und begegnen sich alle 43 Sekunden. Der eine Körper bewegt sich viermal schneller als der andere Körper. Wie groß ist die Geschwindigkeit des langsameren Körpers? Sei x die Geschwindigkeit des langsameren und y die des schnelleren Körpers. Dann gilt 4x = y. Die Differenzgeschwindigkeit ist y – x. Die Formel „Weg = Zeit mal Geschwindigkeit“ liefert 516 m = (y – x) · 43s, da von einer Begegnung zur nächsten der schnellere Körper eine Runde, also 516 m, mehr zurückgelegt hat als der langsamere Körper. Setzen Sie in die zweite Gleichung für y den 516 m = 4 ms . Ausdruck 4x ein, erhalten Sie 516 m = 3x · 43s. Das heißt x = 3 ⋅ 43 s




Die folgenden Beispiele betrachten Fälle, bei denen sich nicht genau eine Lösung ergibt. Wie oben schon erwähnt wurde, gibt es dann entweder überhaupt keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Beispiele: – I) 2x + 3y = 4 II) 6x + 9y = 12. Lösen Sie die erste Gleichung nach x auf und setzen Sie das Ergebnis in die zweite Gleichung ein, erhalten Sie 12 = 12. Wenn die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung ist (im Beispiel erhalten Sie die zweite Gleichung, indem Sie die erste mit 3 multiplizieren), dann liegt praktisch nur eine Gleichung vor, d.h., für die Lösung kann eine unbekannte Variable beliebig gewählt werden, beispielsweise y = t und t∈R. Im Beispiel gilt somit für die Lö-

52

2 Gleichungen und Ungleichungen sungsmenge des Gleichungssystems L = { (x, y) | y = t ∈ R und x = ½(4 – 3t) }, wobei x aus der Gleichung 2x + 3y = 4, also 2x + 3t = 4 bzw. 2x = 4 – 3t ermittelt wurde.

– I) 2x + 3y = 4 II) 6x + 9y = 8. Lösen Sie die erste Gleichung nach x auf und setzen das Ergebnis in die zweite Gleichung ein, erhalten Sie: 6 ( ½ (4 – 3y) ) + 9y = 8. Also 12 – 9y + 9y = 8. Damit folgt 12 = 8, also ein Widerspruch, d.h., es gibt keine Lösungen dieses Gleichungssystems: Die Lösungsmenge ist leer.




Aufgabe 14A Exkurs Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten hat die Form a11x + a12y + a13z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a31x + a32y + a33z = b3 Jedes Zahlentripel (x,y,z), das die Gleichungen erfüllt, heißt Lösung des Gleichungssystems. Ein allgemeines Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme ist der GaußAlgorithmus. Er wird an dieser Stelle nur für drei Gleichungen mit drei Unbekannten behandelt. Er kann aber auf beliebig viele lineare Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten angewandt werden. Das Ziel des Gauß-Algorithmus ist es, das Gleichungssystem durch äquivalente Umformungen auf die Dreiecksgestalt: I II III

a´11x + a´12y + a´13z = b´1 a´22y + a´23z = b´2 a´33z = b´3

zu bringen. Äquivalente Umformungen sind Umformungen, die die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht ändern. Dazu zählen: 1. die Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl c ungleich 0, 2. die Addition einer Zeile zu einer anderen, 3. das Vertauschen zweier Zeilen. Anschließend können die Lösungen „rückwärts“ einfach errechnet werden: Aus der Gleichung III ergibt sich z. Wird dies in Gleichung II eingesetzt, ergibt sich y. Werden nun z und y in I eingesetzt, erhalten Sie x.

2.8 Lineare Gleichungssysteme

53

Beispiel: I II III

2x 4x –x

+ 3y + 4y – 2y

+ 4z – 3z + 5z

= 4 = –21 = 20

I II´ = II – 2·I III´ = III+ 21 ⋅ I

2x

+ 3y – 2y − 12 y

+ 4z – 11z + 7z

= 4 = –29 = 22

I 2x II´ III´´ = III’ – 14 ⋅ II'

+ 3y – 2y

– 4z – 11z 39 z 4

= 10 = –29 = 117 4

Aus III´´ folgt: z = 3. Aus II´ ergibt sich –2 y – 33 = –29, also y = –2. Aus I folgt 2x = 4 – 3y – 4z = 4 + 6 – 12 = – 2, also x = –1.




Aufgabe 14B

Seien aij , bi für i = 1,2,...,m; j=1, 2, ..., n reelle Zahlen. Dann heißt das System der m Gleichungen a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 .... am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen und n Unbekannten (Variablen) xj und den Koeffizienten aij, den rechten Seiten bi . Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, falls b1 = b2 = ... = bm = 0, andernfalls heißt es inhomogen.

Beispiel: I 2x1 + 3x2 – 4x3 = 10 II 4x1 + 5x2 – 3x3 = 3 Dies sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Dieses Gleichungssystem ist in
homogen. Was bereits für lineare Gleichungssysteme mit n = 2 Unbekannten erwähnt wurde, gilt auch allgemein für n > 2 Unbekannte: Lineare Gleichungssysteme können genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder auch keine Lösung besitzen.

3 Funktionen 3.1 Definition einer Funktion A und B seien zwei nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem x aus A genau ein y = f(x) aus B zuordnet, heißt Funktion oder Abbildung von A in B. Für Funktionen wird die Schreibweise: f:A→B x f(x)

#

verwendet. Es wird A als Definitionsbereich (Df ) und B als Zielbereich bezeichnet. Die Menge Wf = {y ∈ B | y = f ( x ); x ∈ A} heißt Wertebereich oder Wertemenge.1 x wird als unabhängige Variable (Veränderliche) und y als abhängige Variable (Veränderliche) bezeichnet. Zu jedem x aus dem Definitionsbereich darf es jeweils nur ein y aus dem Zielbereich geben. Es können aber zu einem y-Wert mehrere x-Werte existieren.

f Ë

x

A

Ë

f(x)

Wf

B

Unter Verwendung der Begriffe der Mengenlehre wird die Funktion f als die Menge aller geordneten Paare (x, y) mit x∈A und y = f(x) definiert, also f = { (x, y) | x∈A und y = f(x) }. Ordnen Sie den Wertepaaren Punkte in einem Koordinatensystem zu und stellen die Funktion graphisch dar, entsteht das Bild, das Schaubild oder der Graph der Funktion. Der Graph einer Funktion kann, wenn A und B Teilmengen von R sind, in ein

1 Die Bezeichnung ist in der Literatur nicht einheitlich. Manchmal wird als Zielmenge auch die Wertemenge bezeichnet.

3.1 Definition einer Funktion

55

rechtwinkliges Koordinatensystem1 eingezeichnet werden, bei dem zwei Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen: Die x-Achse (Abszissenachse), auf der die x-Werte dargestellt werden, verläuft üblicherweise waagrecht, die y-Achse (Ordinatenachse), auf der die y-Werte dargestellt werden, verläuft senkrecht zur xAchse. Der Schnittpunkt der beiden Achsen wird als Nullpunkt oder Koordinatenursprung bezeichnet. Durch die beiden Koordinatenachsen wird die Ebene in vier Gebiete, genannt Quadranten, geteilt. Der erste Quadrant ist das Gebiet rechts oben, der zweite das Gebiet links oben, der dritte links unten und der vierte Quadrant das Gebiet rechts unten. y

II. Quadrant

I. Quadrant

x III. Quadrant

IV. Quadrant

Beispiel: Die Funktion f : R → R mit f(x) = x2 ordnet jedem x-Wert dessen Quadrat zu: x x2. Es gilt: A = B = R. Der Definitionsbereich ist R und der Wertebereich ist + R0 , da das Quadrat jeder reellen Zahl größer oder gleich Null ist. Somit könnte auch geschrieben werden: f : R → R0+ mit f(x) = x2 .

#

Eine Funktionstafel oder Wertetabelle ist eine Tabelle, in die die Wertepaare (x, f(x)) eingetragen sind. Eine Wertetabelle für dieses Beispiel könnte folgendermaßen aussehen: x f(x)

-4 16

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

1 Auch kartesisches Koordinatensystem genannt, nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes, lat. Cartesius (1596 - 1650)

56

3 Funktionen

Graph der Funktion: y 16 14 12 10 8 6 4 2 x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Zu jedem x ∈ Df existiert nur ein y ∈ Wf. Zu einem y ∈ Wf existieren aber bei dieser Funktion zwei x-Werte (außer für y = 0). Um z.B. die x-Werte zum Funktionswert f(x) = 4 zu finden, ist folgendermaßen vorzugehen: f(x) = 4 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 4 = ±2 . Also gilt: f(2) = 4 und f(–2) = 4. Der Graph der Funktion g : R+ → R mit g(x) = x2 wäre nur der rechte Ast der obigen Kurve.




(a) Eine Funktion f heißt streng monoton steigend auf einem Intervall I ⊆ Df , falls gilt: x1 < x2

⇒ f(x ) < f(x ), für alle x , x 1

2

1

2

∈ I.

Gilt statt f(x1) < f(x2) nur f(x1) ≤ f(x2), heißt die Funktion f auf dem Intervall I monoton steigend. (b) Eine Funktion f heißt streng monoton fallend auf einem Intervall I ⊆ Df , falls gilt: x1 < x2

⇒ f(x ) > f(x ), für alle x , x 1

2

1

2

∈ I.

Analog heißt die Funktion f auf dem Intervall I monoton fallend, falls statt f(x1) > f(x2) nur f(x1) ≥ f(x2) gilt. Beispiel: Die Funktion f : R → R mit f(x) = x2 ist streng monoton fallend auf (–∞; 0] und auch streng monoton steigend auf [0; ∞).

3.1 Definition einer Funktion

57

Exkurs: Beispiele von Funktionen mit zwei Veränderlichen: – Für die Größe eines Kindes gibt es eine Faustformel1, mit der Sie schon vor der Geburt die Größe eines Babys errechnen können. Sie addieren dazu die Größen der Mutter und des Vaters und teilen die Summe durch 2; dann fügen Sie 6,5 Zentimeter hinzu (für Jungen) oder ziehen 6,5 Zentimeter ab (für Mädchen). Das ergibt für die Größe eines Mädchens die Formel f : R+ × R+ → R f(x1,x2) =

1 2

(mit R+ × R+ werden alle Wertepaare bezeichnet, vgl. Abschnitt 1.1.3) x1 Größe der Mutter, x2 Größe des Vaters in cm.

(x1+x2) – 6,5

– Die Faustregel „Körpergröße minus 100 gleich Normalgewicht“ ist nicht mehr ausreichend. Zu wissenschaftlichen Zwecken wird oft der Body-Mass-Index (BMI) verwendet, der folgendermaßen definiert wird: BMI =

Körpergewicht in kg ( Körpergröße in Metern) 2

82 kg

.

kg

. (1,86m) m2 Es heißt, ein BMI unter 20 ist Untergewicht, ein BMI von 20 bis 25 sei Normalgewicht, bei 25 bis 30 liege leichtes Übergewicht vor. Bei 30 bis 40 wird von Adipositas (lat., Fettleibigkeit), bei über 40 von extremer Adipositas gesprochen.2 Beispiel:

2

= 23,7

– Das Kälte-Empfinden hängt nicht nur von der Temperatur ab, sondern auch von der Windstärke. Entscheidend sei die Temperatur durch Wind-Abkühlung (temperatur wind chill), abgekürzt: Twc. Forscher haben für diese gefühlte Temperatur eine Formel errechnet: Twc : R × R+ → R Twc (t, v) = 33 + ( t − 33) ⋅ (0,478 + 0,237 ⋅ v − 0,0124 ⋅ v) wobei t die Temperatur in Grad Celsius und v die Windgeschwindigkeit in km/h ist.




Im Folgenden werden wir nur reellwertige Funktionen betrachten, bei denen der Definitionsbereich und auch der Zielbereich ganz R bzw. eine Teilmenge von R ist. 1 Zuverlässigere Voraussagen lassen die Wachstumskurven zu, in die die Kinderärzte bei den VorsorgeTerminen die Maße der Kinder eintragen. 2 Für Kinder, Jugendliche und ältere Leute gelten diese Richtwerte nicht. Nach anderen Quellen liegt Übergewicht bei Frauen erst bei einem BMI-Wert von über 27 vor, bei Männern von über 28. Der wünschenswerte BMI steigt mit dem Alter.

58

3 Funktionen

3.2 Verschiedene Funktionstypen 3.2.1 Geraden Geraden sind die graphischen Darstellungen der einfachsten Funktionstypen: f : R → R mit f(x) = m ⋅ x + b ; wobei m, b ∈ R. Hierbei stellt b den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt (0, b) mit der y-Achse dar. m ist die Steigung der Geraden, da für jede Vergrößerung des x-Wertes um ‘1’ y = mx+b der y-Wert um m ansteigt bzw. fällt.

y

Bei m = 0 ist der Graph der Funktion eine Gerade, die parallel zur xAchse verläuft.

m 1 b

x

Beispiele:

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 3x + 2, x∈R.

8

Die Steigung beträgt 3, der y-Achsenabschnitt 2. Links ist der Graph der Funktion f zu sehen.

6

4

Der Graph der Funktion g(x) = 3x + 10 wäre im Vergleich zur Funktion f um 8 Einheiten nach oben verschoben.

2

-2

-1

1

-2

-4

2

Der Graph der Funktion h(x) = 5x + 2 geht auch wie die Funktion f durch den gleichen Punkt auf der y-Achse, hat aber die Steigung 5.

– Für zu versteuernde Jahreseinkommen x zwischen 52.152 € und 250.000 € wird die Einkommensteuer f(x) in Deutschland ab 2007 nach folgender Formel be-

3.2 Verschiedene Funktionstypen

59

rechnet: f(x) = 0,42x – 7914 für x mit 52.152 € ≤ x ≤ 250.000 €. Da für andere zu versteuernde Einkommen andere Berechnungsformeln gelten (teilweise sind dies quadratische Terme), ist die Einkommensteuer-Funktion nur teilweise linear, mathematisch ausgedrückt: stückweise linear. – Eine Autovermietung bietet zwei Wahlmöglichkeiten an. Tarif 1: Grundgebühr 50,00 Euro; Kilometerpreis 0,45 Euro. Tarif 2: Grundgebühr 70,00 Euro; Kilometerpreis 0,35 Euro. Wenn x die gefahrenen Kilometer sind, gilt für den Gesamtpreis bei Tarif 1: f1(x) = 50 + 0,45x und bei Tarif 2: f2(x) = 70 + 0,35x. Ab welcher Kilometerzahl ist der Tarif 2 günstiger, d.h., für welche x gilt f1(x) > f2(x)? Lösung: 50 + 0,45x > 70 + 0,35x ⇔ x > 200.




Eine Gerade ist durch die Angabe von zwei Punkten eindeutig definiert, d.h., durch zwei (verschiedene) Punkte können Sie genau eine Gerade legen. Beispiel: Wir wollen nun die Funktionsvorschrift für die Gerade bestimmen, die durch die Punkte P = (1, 5) und Q = (2, 8) geht. Es gilt somit: f(1) = m ⋅ 1 + b = 5

und

f(2) = m ⋅ 2 + b = 8.

Es ergibt sich also ein lineares Gleichungssystem für die Parameter m und b der linearen Funktion f(x) = m ⋅ x + b: (1) (2)

m⋅1+b=5 m⋅2+b=8

Subtrahieren Sie (1) von (2), so ergibt sich m = 3. Nun können Sie m in (1) einsetzen, um b zu erhalten: 3 ⋅ 1 + b = 5 b=2
Also ergibt sich die Gerade: f(x) = 3x + 2.

⇒

Sind zwei Punkte P = (x1, y1) und Q = (x2, y2) bzw. ein Punkt P = (x1, y1) und die Steigung m gegeben, so kann die Geradengleichung auch mit der Punkt-Punktbzw. mit der Punkt-Steigungs-Form bestimmt werden, denn es gilt: (I) Die Punkt-Punkt-Form: y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) . x 2 − x1

(II) Die Punkt-Steigungs-Form: y − y1 = m( x − x1 ) . Die Steigung einer Geraden ergibt sich aus: m =

y 2 − y1 . x 2 − x1

60

3 Funktionen

Beispiel: Wir berechnen nochmals die im obigen Beispiel gesuchte Gerade mit der PunktPunkt-Form. Wegen (1, 5) = (x1, y1) und (2, 8) = (x2, y2) folgt: 8−5 y −5 = ( x − 1) ⇔ y − 5 = 3( x − 1) ⇔ y = 3x + 2 . 2 −1 Also gilt: y = 3x + 2 bzw. f(x) = 3x + 2. Wir bestimmen nun den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse, die so genannte Nullstelle (oder auch Wurzel genannt), indem wir die Funktionsgleichung gleich Null setzen und nach x auflösen. f(x) = 3x + 2 = 0 x = − 23

⇒

Deshalb hat die Funktion f an der Stelle x = − 23 eine Nullstelle.




Aufgabe 15 3.2.2 Polynome (ganzrationale Funktionen) Die Funktion pn mit pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0 mit a0, a1, a2, ... , an–1, an ∈R, an≠0, n∈N0, ist für alle x∈R definiert und heißt Polynom vom Grad n (oder auch ganzrationale Funktion n-ten Grades). Wir betrachten nun einige Polynome genauer: Polynome 0-ten Grades: p0(x) = a0 Das Polynom vom 0-ten Grad hat an jeder Stelle x den gleichen Funktionswert (a0). Der Graph eines Polynoms 0-ten Grades stellt eine Parallele zur x-Achse dar. Falls a0 = 0 gilt, ist der Graph identisch mit der x-Achse. Beispiel: Die Funktion f mit f(x) = 2, x∈R, ist ein Polynom 0-ten Grades, welches an jeder Stelle x den Funktionswert 2 hat.




Polynome ersten Grades: p1(x) = a1x + a0 , a1 ≠ 0 Polynome ersten Grades sind Geraden, welche im vorher gehenden Abschnitt genauer behandelt wurden.

3.2 Verschiedene Funktionstypen

61

Polynome zweiten Grades: p2(x) = a2x2 + a1x + a0 , a2 ≠ 0 Der Graph eines Polynoms zweiten Grades ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben geöffnet, falls a2 > 0, siehe Bild A. Für a2 < 0 ist sie nach unten geöffnet, siehe Bild B.

Bild A

Bild B Gilt a2 = 1 und a1 = a0 = 0, so liegt die folgende Funktion vor: f1(x) = x2. Das Bild dieser Funktion wird als Normalparabel bezeichnet. Das Schaubild ist bei (1) in der neben stehenden Abbildung zu sehen.

x2+3 (3)

(2)

(1)

x2 3

-4

Falls a2 = 1 und a1 und a0 beliebige Werte aufweisen, handelt es sich um die verschobene Normalparabel. Das Bild der Funktion f2 mit f2(x)= x2 + 3 ist die um 3 Einheiten nach oben verschobene Parabel und bei (2) angegeben.

0

Die Abbildung der Funktion f3 mit f3(x) = (x + 4)2 + 3 ist nochmals um 4 Einheiten nach links verschoben, siehe (3). Falls |a2| ≠ 1 (d.h. falls der Betrag von a2 ungleich '1' ist), ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt oder gestaucht. Der tiefste bzw. höchste Punkt einer Parabel wird Scheitelpunkt genannt. Dieser Punkt kann mit Hilfe der Differentialrechnung (vgl. Kapitel 4) oder mit quadratischer Ergänzung ermittelt werden.

62

3 Funktionen

Beispiele: – Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x2 – 8 = 2 (x2 – 4). Wie sieht der Graph der Funktion aus? Es ist also a2 = 2, a1 = 0 und a0 = – 8. Da a2 > 0, ist die Parabel nach oben geöffnet. Um den Graphen der Funktion zeichnen zu können, sollten die Nullstellen berechnet werden. Also 2x2 – 8 = 0. Daraus folgt x = ± 4 = ±2 . Somit hat die Funktion die beiden Nullstellen x1 = 2 und x2 = –2. Wegen f(x) = 2 (x2 – 4), können Sie sofort erkennen, dass bei x = 0 der kleinste Funktionswert liegt. Der Scheitelpunkt ist somit: S = (xS, yS) = (0, –8). Es ergibt sich folgendes Schaubild: Eine um den Faktor 2 gestreckte Normalparabel, die 8 Einheiten nach unten verschoben ist. 10 7.5 5 2.5

-3

-2

-1

1

2

3

-2.5 -5 -7.5

– Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x2 – 8x – 10. Die Skizze dieser Funktion erhalten Sie leicht, wenn Sie die Funktion umformen: f(x) = 2x2 – 8x – 10 = 2 (x2 – 4x – 5) = 2 (x2 – 4x + 4 – 4 – 5) = 2 ((x2 – 4x + 4) – 9) = 2 [ (x – 2)2 – 9] = 2 (x – 2)2 – 18. Die letzte bzw. die vorletzte Darstellung der Funktion heißt Scheitelform der Parabel1, die allgemein folgendermaßen dargestellt wird: f(x) = a2 (x−xS)2 + yS. Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt S leicht abgelesen werden: S = (xS, yS). Für das Beispiel gilt also S = (2, –18). xS ist der negative Wert der Zahl in der Klammer und yS der Summand nach dem Quadratterm. Um die Funktion zu zeichnen, gehen Sie folgendermaßen vor:

1 Sie erhalten die Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Sie zählen das Quadrat der Hälfte des −4 2 = 4 , und ziehen diese Zahl anschließend wieder ab. Koeffizienten bei x dazu, im Beispiel 2

( )

3.2 Verschiedene Funktionstypen

63 Sie verschieben die Normalparabel zunächst um zwei Einheiten nach rechts. Anschließend strecken Sie diese Parabel mit dem Faktor 2. Zum Schluss verschieben Sie diese Kurve noch um 18 Einheiten nach unten.

20 15 10 5 -2

2

-5 -10 -15 -20

4

6

[

]

– f(x) = −¼ x2 −5x +3 = − 14 x 2 + 20x − 12 = ⎡

= − 41 ⎢ x 2 + 20x + ( ⎣

[

]

20 2 20 ⎤ ) − ( ) 2 − 12⎥ = − 14 (x + 10) 2 − 112 . 2 2 ⎦

Der Scheitelpunkt ist S = (−10, − 14 ( −112) ) = (−10, 28). Die Funktion ist streng monoton steigend für x ≤ −10 und streng monoton fallend für x ≥ −10. Außerdem folgt: f(x) ≤ 28 für alle x∈R, da die Funktion nach unten geöffnet ist und somit S den „höchsten Punkt“ darstellt.




Aufgabe 15A Polynome dritten Grades: p3(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 , a3 ≠ 0 Polynome dritten Grades werden auch kubische Funktionen genannt. Ein Polynom dritten Grades kann maximal 3 Nullstellen besitzen, vgl. Kapitel 2.5. Beispiel:

f(x) = x3 + x2 – 10x + 8

40

20

-5

-4

-3

-2

-1

1 -20

-40

Aufgabe 16

2

3

64

3 Funktionen

3.2.3 Trigonometrische Funktionen Die trigonometrischen Funktionen sowie alle Hyperbelfunktionen, die Exponentialfunktionen und die Logarithmusfunktionen gehören zu den transzendenten Funktionen. Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind auf der Menge der reellen Zahlen definiert. Sie sind 2π-periodische Funktionen, d.h. es gilt f(x) = f(x+2π) für alle x∈ R. Die Sinusfunktion: f(x) = sin(x); f : R → [–1; 1]. Die Sinusfunktion besitzt auf dem Intervall [0; 2π] die Nullstellen x1 = 0, x2 = π und x3 = 2π. Auf ganz R ergeben sich die folgenden Nullstellen: {x ∈ R | x = k⋅π mit k ∈ Z} = {...; –2π; –π; 0; π; 2π,...}. Es gilt: f(x) = –f(–x) für alle x ∈ R. Somit ist der Graph der Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung, vgl. Kap. 3.4 1

−π/2

π/2

π

3/2π

2π

5/2π

-1

Die Kosinusfunktion: f(x) = cos(x); f : R → [–1; 1]. Die Kosinusfunktion besitzt auf dem Intervall [0; 2π] die Nullstellen x1 = π/2 und x2 = 3/2π. Auf ganz R ergeben sich die folgenden Nullstellen: {x ∈ R | x = π/2 + k⋅π mit k ∈ Z} = {...; –3/2π; –π/2; π/2; 3/2π; ...}. Es gilt: f(x) = f(–x) für alle x ∈ R. Somit ist der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse, vgl. Kapitel 3.4.

3.2 Verschiedene Funktionstypen

65

1

−π/2

π/2

π

3/2π

2π

5/2π

-1

Die Tangensfunktion: f(x) = tan(x); f : R\{x ∈ R | x = π/2 + k⋅π mit k ∈ Z} → R Die Tangensfunktion ergibt sich als Quotient aus der Sinus- und der Kosinusfunktion (tan(x) = sin(x)/cos(x)). Die Tangensfunktion besitzt Polstellen (siehe gebrochenrationale Funktionen) an den Nullstellen der Funktion im Nenner, d.h. an den Nullstellen der Kosinusfunktion. Wir betrachten die Tangensfunktion zunächst nur auf dem Intervall I = (–π/2; π/2), wo sie die Nullstelle x1 = 0 besitzt. Wird die Tangensfunktion auf R\{x ∈ R | x = π/2 + k⋅π mit k ∈ Z} (die Nullstellen der Kosinusfunktion müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden) definiert, ergibt sich die Menge der Nullstellen: {x ∈ R | x = k⋅π mit k ∈ Z} = {...; –2π; –π; 0; π; 2π; ...}.

1

−3/2π

−π

−π/2

π/2

π

3/2π

-1

Die Kotangensfunktion: f(x) = cot(x); f : R\{x ∈ R | x = k⋅π mit k ∈ Z} → R

66

3 Funktionen

1

−3/2π

−π

−π/2

π/2

π

3/2π

-1

Aufgabe 17

3.2.4 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion ist wie folgt definiert: f(x) = ax;

f : R → R+ = (0; ∞);

a > 0.

Wir betrachten nun die bekannteste Exponentialfunktion, welche die Basis a = e hat (e ist die Euler'sche Zahl1, e = 2,718281828459...). Diese bildet die reellen Zahlen R auf die positiven reellen Zahlen R+ ab. Die Exponentialfunktion f(x) = ex hat wie die allgemeine Exponentialfunktion f(x) = ax die Eigenschaft, dass sie die y-Achse an der Stelle y = 1 schneidet, da f(0) = a0 = 1 (vgl. Potenzgesetze). Außerdem hat sie keine Nullstellen. 7

ex

6 5 4 3 2 1

-2

-1

1

2

1 Leonhard Euler (1707 - 1783) war Professor für Physik bzw. Mathematik an der Petersburger und der Berliner Akademie der Wissenschaft.

3.2 Verschiedene Funktionstypen

67

Beispiel: Eine Bakterienkultur, die exponentiell wächst, enthält am Anfang (zum Zeitpunkt t = 0) 10 Bakterien und nach 5 Minuten (t = 5) 300 Bakterien. Die Wachstumsfunktion f sei wie folgt definiert: f(t) = a⋅ek⋅t, t ≥ 0. (a) Wie viele Bakterien enthält diese Kultur nach 15 Minuten? (b) Erstellen Sie ein Schaubild der Funktion für t ∈[0;7] (mit Wertetabelle)? zu (a): (1) f(0) = a⋅ek⋅0 = 10 (2) f(5) = a⋅ek⋅5 = 300 Aus (1) folgt a⋅e0 = 10, und damit a⋅1 = 10, also a = 10. a in (2) eingesetzt ergibt: 10⋅ek⋅5 = 300 | :10 ek⋅5 = 30 | ln( ) ln(ek⋅5) = ln(30) 5⋅k = ln(30) | :5 ln(30) = 0,68024. k= 5 Somit ergibt sich in unserem Beispiel die Wachstumsfunktion: f(t) = 10⋅e0,68024⋅t. Gesucht ist die Anzahl der Bakterien nach 15 Minuten, also f(15): f(15) = 10⋅e0,68024⋅15 = 270000. zu (b): t 0 f(t) 10

1 19,74

2 38,98

3 76,96

4 151,95

5 300

6 592,31

7 1169,42

Anzahl der Bakterien 1000

in Abhängigkeit der Zeit

800 600 400 200

1

2

3

4

5

6

7

Minuten

In vielen Schulbüchern ist auch der Ansatz f(t) = a· bt für die Wachstumsfunktion zu finden. Dieser Ansatz ist gleichwertig mit dem obigen Ansatz; Sie brauchen nur b = ek zu setzen. Die Lösungsfunktion ist dann f(t) = a · (ek)t = 10· (1,97435)t.




68

3 Funktionen

Die allgemeine Logarithmusfunktion ist wie folgt definiert: f(x) = loga(x); f : (0; ∞) → R; a > 0. Die allgemeine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion, denn es gilt loga(ax) = x, vgl. auch Abschnitt 1.4.1. Aus diesem Grund ist auch der Wertebereich der Exponentialfunktion identisch mit dem Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. Zeichnerisch erhalten Sie die Umkehrfunktion, wenn Sie die Exponentialfunktion an der Geraden y = x spiegeln (siehe Schaubilder der Exponential- bzw. Logarithmusfunktion). Die Logarithmusfunktion hat die Eigenschaft, dass sie an der Stelle x = 1 den Funktionswert 0 besitzt (f(1) = 0). Der natürliche Logarithmus, f(x) = ln(x), ist die bekannteste Logarithmusfunktion (diese hat die Basis a = e = 2,7182...). Die Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x) und der Zehnerlogarithmusfunktion lg(x) (gestrichelt dargestellt) sind in dem folgenden Schaubild zu sehen:

1 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Aufgabe 18

2

3

4

3.2 Verschiedene Funktionstypen

69

3.2.5 Gebrochenrationale Funktionen Eine rationale Funktion ergibt sich aus dem Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen, d.h., sie besteht aus dem Quotienten zweier Polynome: a n x n + a n − 1x n − 1 +...+ a 2 x 2 + a 1x + a 0 , an ≠ 0, bm ≠ 0, b m x m + b m −1x m −1 +...+ b 2 x 2 + b 1x + b 0 mit a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm ∈ R. f ( x) =

Wie zu sehen ist, steht im Zähler ein Polynom von beliebigem Grad n und im Nenner ein Polynom von beliebigem Grad m. Eine rationale Funktion kann Definitionslücken besitzen. Diese sind die Nullstellen des Nennerpolynoms. Es gilt also Df = R \ {x ∈ R | bmxm + bm–1xm–1 + ... + b2x2 + b1x + b0 = 0}. Gebrochenrationale Funktionen sind alle Funktionen, die rational, aber nicht ganzrational sind. Gilt m > n heißen sie echt gebrochenrationale Funktionen, andernfalls unecht gebrochenrationale Funktionen. Beispiele: y 30 20 10 x -3

-2

-1

1

2

3

-10

Das neben stehende Schaubild der Funktion f mit 1 f ( x) = , Df = R \ {0}, x ist eine Hyperbel. Das Schaubild der Funktion 1 f ( x) = , Df = R \ {4}, x−4 wäre um 4 Einheiten nach rechts verschoben.

-20 -30

f ( x) =

x3 − 2 x 2 + 5 2

; Df = R \ {x ∈ R | x2 – 4x – 5 = 0} = R \ {5;–1}.

x − 4x − 5 x−7 f ( x) = 2 ; Df = R, da der Nenner (x2+5) keine reellen Nullstellen hat. x +5




Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen: Um die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen, muss das Zählerpolynom gleich Null gesetzt werden:

70

f ( x) =

3 Funktionen u( x ) =0 v( x )

⇒ u( x ) = 0

Haben Sie eine Nullstelle xZ des Zählerpolynoms u gefunden, so ist diese eine (wahre) Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion f, falls das Nennerpolynom an dieser Stelle von Null verschieden ist (man sagt auch, falls das Nennerpolynom an dieser Stelle nicht verschwindet). Es muss also gelten: v(xZ) ≠ 0. Beispiel:

x2 − 4

⇒

= 0 x 2 − 4 = 0 . Somit ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x3 + 7x − 4 x2 = –2 des Zählerpolynoms u(x). Weiterhin gilt: v(x1) = v(2) = 23 + 7⋅ 2 – 4 = 8 + 14 – 4 = 18 ≠ 0 v(x2) = v(–2) = (–2)3 + 7⋅ (–2) – 4 = –8 + (–14) – 4 = –26 ≠ 0

f ( x) =

Also sind x1 = 2 und x2 = –2 auch Nullstellen von f.




Ist eine Nullstelle xN des Zählerpolynoms mit der des Nennerpolynoms identisch, so kann die Funktion an dieser Stelle eventuell stetig ergänzt werden. Hierbei wird das Zähler- und das Nennerpolynom mit Hilfe der Polynomdivision durch (x – xN) dividiert, womit sich ein neues Zähler- und Nennerpolynom ergibt. Hat das neue Nennerpolynom keine Nullstelle an der Stelle xN, so hat die resultierende gebrochenrationale Funktion, wir bezeichnen sie mit g, an dieser Stelle keine Definitionslücke mehr. Durch Einsetzen kann der Funktionswert g(xN) bestimmt werden. An den übrigen Stellen besitzt diese Funktion g aber die gleichen Funktionswerte wie die Ausgangsfunktion f. Beispiel: x−2 f ( x) = 2 ; Df = R \{2; –2}. x −4 Das Zähler- und das Nennerpolynom von f hat an der Stelle x = 2 eine Nullstelle. x−2 1 = , kann f an der Stelle x = 2 stetig ergänzt Wegen f ( x) = ( x − 2)( x + 2) x + 2 1 werden: f(2) = . 4 Mit Hilfe der binomischen Formel konnte das Nennerpolynom, ohne Verwendung der Polynomdivision, in seine Linearfaktoren zerlegt werden. Danach wurde die Funktion f im Zähler und im Nenner durch (x – 2) geteilt. Diese neue Funktion,

3.2 Verschiedene Funktionstypen

71

1 , ist nun auch bei x = 2 definiert: Dg = R \ {–2}. x+2 Anschließend kann der Funktionswert an der Stelle x = 2 bestimmt werden: 1 1 g(2) = = .
2+2 4

nennen wir sie g mit g(x) =

Polstellen von gebrochenrationalen Funktionen: Um die Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen, muss das Nennerpolynom gleich Null gesetzt werden: v( x) = 0

Haben Sie eine Nullstelle xP des Nennerpolynoms v gefunden, so ist diese dann eine Polstelle der gebrochenrationalen Funktion f, falls das Zählerpolynom an dieser Stelle von Null verschieden ist. Es muss also gelten: u(xP) ≠ 0. Beispiel:

1 . x−1 Wir setzen den Nenner v(x) gleich Null. Daraus folgt xP = 1. Setzen Sie diese Nullstelle in das Zählerpolynom, erhalten Sie u(xP) = u(1) = 1. Also ist xP = 1 eine Polstelle von f. f ( x) =

Wie im folgenden Schaubild der Funktion f zu sehen ist, strebt der Funktionswert an der Polstelle gegen –∞ bzw. +∞: 40

20

-0.5

0.5

1

1.5

2

-20

-40

Aufgabe 19




72

3 Funktionen

Asymptoten von gebrochenrationalen Funktion: Eine Asymptote (Grenzfunktion) einer Funktion f ist eine Funktion, an die sich die Funktionswerte von f für große oder kleine x-Werte (d.h. für x → ∞ oder x → –∞) annähern. Bei der Bestimmung der Asymptote a(x) einer gebrochenrationalen Funktion f ( x) =

a n x n + a n − 1x n − 1 +...+ a 2 x 2 + a 1x + a 0 b m x m + b m −1x m −1 +...+ b 2 x 2 + b 1x + b 0

wird zwischen drei Fällen unterschieden: Fall 1: Der Grad des Nennerpolynoms ist größer als der Grad des Zählerpolynoms, d.h. m > n (echt gebrochenrationale Funktion). Dann ist die Asymptote die x-Achse. Es ergibt sich also die Asymptote a(x) = 0. Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = da lim f ( x) = lim f ( x) = 0 . x →∞

x , x ∈ R. Die Asymptote ist: a(x) = 0, x2 + 4

x →−∞

0.2 0.1

-10

-5

5

10

-0.1 -0.2

Fall 2: Der Grad des Nennerpolynoms ist gleich dem Grad des Zählerpolynoms, d.h. m = n, dann ergibt sich die Asymptote aus dem Quotienten der Faktoren vor den größten Potenzen von x des Zähler- und des Nennerpolynoms. Es ergibt sich die Asymptote a a(x) = n . bm

3.2 Verschiedene Funktionstypen

73

Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = Asymptote ergibt sich: a(x) =

2 . 5

2 x 2 − 5x + 1 5x 2 − 10

,x∈R\

{

}

2 ; − 2 . Für die

4

2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4




Fall 3: Der Grad des Nennerpolynoms ist kleiner als der Grad des Zählerpolynoms, d. h., m < n. Hier muss zunächst mit Hilfe der Polynomdivision das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom geteilt werden. Dann ergibt sich ein Polynom vom Grade n−m und ein Rest, durch den nicht mehr dividiert werden kann, da der Exponent der größten x-Potenz des Rests kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Das Polynom vom Grade n-m ist hierbei die Asymptote a(x). Es gilt also: f ( x) =

a n x n + a n −1 x n −1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = a ( x) + R(x). b m x m + b m−1 x m−1 +...+ b 2 x 2 + b 1 x + b 0

Beispiel: 2 x 2 − 5x + 1 , x ∈ R\{3}. Der Grad des Zähx−3 lerpolynoms ist 2, der Grad des Nennerpolynoms 1. Um die Asymptote zu finden, ist die Polynomdivision durchzuführen:

Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) =

(2x2 – 5x + 1) : (x – 3) = 2x + 1 2x2 – 6x x x– 3 4 = Rest

74

3 Funktionen

Somit gilt R(x) = f ( x) =

4 und x−3

4 2 x 2 − 5x + 1 . = 2x + 1 + x−3 x−3

4 für große oder für kleine x gegen Null, so dass sich x−3 die Funktionswerte f(x) immer mehr den Werten der Funktion 2x + 1 annähern. Die Gleichung der Asymptote lautet deshalb a(x) = 2x + 1.

Wie zu erkennen ist, strebt

40

20

-2

2

4

6

8

-20


Aufgabe 20

3.2 Verschiedene Funktionstypen

75

3.2.6 Weitere Funktionstypen Als weitere Funktionstypen stellen wir noch die Wurzelfunktionen und die hyperbolischen Funktionen vor. Beide Funktionstypen wie auch die Exponentialfunktionen, die trigonometrischen und die logarithmischen Funktionen gehören zu den nicht rationalen Funktionen, den so genannten irrationalen Funktionen. Da bei den reellen Zahlen die Wurzeln nur für positive Radikanden definiert sind, muss bei Wurzelfunktionen der Definitionsbereich dementsprechend eingeschränkt werden. Beispiele: 3

f(x) = x ; f : [0; ∞) → [0; ∞)

2.5 2 1.5 1 0.5

2

4

6

8

10

1

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

2

3

4

f(x) = − x 2 + 2 ; f : R → (–∞; – 2 ] . Da x2 + 2 > 0 für alle x∈R gilt, ist der Definitionsbereich ganz R.

76

3 Funktionen 4

f(x) = x 3 + 8 ; f : [–2; ∞) → [0; ∞)

3

2

1

-2

-1

1

2

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ist abhängig von der Fadenlänge (und der Erdbeschleunigung). Es gilt für die Schwingungsdauer T in Sekunden die Formel T( l ) = 2 π

l , g

wobei l die Fadenlänge in Metern und g die Erdbeschleunigung (g = 9,81ms–2) ist. Dies ist eine Funktionsgleichung einer Wurzelfunktion. Bei einer Fadenlänge von einem Meter ergibt sich eine Schwingungsdauer von 2,006 Sekunden.




Exkurs: Von den hyperbolischen Funktionen stellen wir die beiden Funktionen sinh (Sinushyperbolicus) und cosh (Kosinushyperbolicus) vor, die wie folgt definiert sind: ex − e− x ; 2 sinh : R → R

sinh(x) =

20 10

-4

-3

-2

-1

1 -10 -20

2

3

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle.

3.2 Verschiedene Funktionstypen

77

ex + e−x ; 2 cosh : R → [1; ∞)

cosh(x) =

25 20

Die Funktion hat keine Nullstelle.

15 10 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Bemerkungen: −

Es gilt für alle x ∈ R: (cosh(x))2 – (sinh(x))2 = 1 bzw. einfacher geschrieben: cosh2(x) – sinh2(x) = 1.

−

Der Tangenshyperbolicus tanh(x) ergibt sich analog zum Tangens aus dem Quotienten sinh(x) durch cosh(x): tanh(x) =

sinh( x) . cosh( x) 1

0.5

-2

-1

1 -0.5

2

Der Tangenshyperbolicus ist im Gegensatz zum Tangens auf ganz R definiert:

-1

−

Der Kotangenshyperbolicus coth(x) ergibt sich analog zum Kotangens aus dem Quotienten cosh(x) durch sinh(x): cosh( x ) , x∈R\{0} . coth(x) = sinh(x ) Aufgabe 21

78

3 Funktionen

3.3 Stetigkeit Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 ∈ Df stetig, wenn lim f ( x) = f ( x 0 ).

x → x0

Ist die Funktion f an jeder Stelle x0 eines Intervalls I stetig, heißt die Funktion auf dem Intervall I stetig. Bei Stetigkeit an der Stelle x0 muss der Grenzwert existieren und gleich dem Funktionswert an der Stelle x0 sein. Die Definition der Stetigkeit wirkt auf den ersten Blick etwas abstrakt. Sie besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x0 stetig ist, falls, wenn x nahe bei x0 liegt, auch f(x) nahe bei f(x0) liegt. Geringe Änderungen der xWerte haben dann auch nur geringe Änderungen der Funktionswerte zur Folge. Dies ist z.B. bei einer Sprungstelle nicht der Fall. Anschaulich bedeutet die Stetigkeit einer Funktion auf dem Intervall I, dass das Schaubild der Funktion für alle x0 ∈ I ohne Sprünge und Lücken (also „ohne abzusetzen“) gezeichnet werden kann. Beispiel: 8

6

4

2

0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

Gegeben sei die Funktion f : R → R mit ⎧ 3 für x < 2 . f(x) = ⎨ 2 ⎩ x für x ≥ 2 Diese Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht stetig, denn an dieser Stelle springt der Funktionswert von 3 auf 4. Wie zu sehen ist, ist an der Unstetigkeitsstelle x = 2 der linksseitige Grenzwert vom rechtsseitigen Grenzwert verschieden.

Hinweise: − Alle Polynome sind auf I = R stetig. − Bei einem "Knick" im Graphen der Funktion ist die Funktion trotzdem stetig. Z. B. ist die Betragsfunktion f mit f(x) = ⏐x⏐ an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Aufgabe 22

3.4 Symmetrie und Grenzwertverhalten

79

3.4 Symmetrie und Grenzwertverhalten Bei der Symmetrie einer Funktion sind oft zwei Arten von Symmetrien von besonderem Interesse. Die eine Art ist die Achsensymmetrie zur y-Achse und die andere ist die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung (0, 0). Hierbei gilt: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, falls gilt: f(x) = f(–x) für alle x ∈ Df . Eine Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung (0, 0) (punktsymmetrisch zum Ursprung), falls gilt: f(x) = –f(–x) für alle x ∈ Df . Beispiele: – Ein Polynom, welches nur gerade Potenzen in x aufweist, ist achsensymmetrisch zur y-Achse: z.B. f(x) = 4x4 – 5x2 + 7. Hier gilt: f(–x) = 4(–x)4 – 5(–x)2 + 7 = 4x4 – 5x2 + 7 = f(x) für alle x ∈ R. – Ein Polynom, welches nur ungerade Potenzen in x aufweist (a0=0), ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung: z.B. f(x) = x5 –2x3 + 4x. Hier gilt: –f(–x) = –((–x)5 – 2(–x)3 + 4(–x)) = –(–x5 + 2x3 – 4x) = x5 –2x3 + 4x = f(x) für alle x ∈ R. – Die Funktion f : R → R mit f(x) = cos(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(−x) = cos(−x) = cos(x) = f(x)

für alle x ∈ R.




Beim Grenzwertverhalten einer Funktion f wird untersucht, wie sich die Funktion bei sehr großen (x → ∞) oder sehr kleinen x-Werten (x → –∞) verhält, d.h., es ist zu berechnen: lim f ( x ) und lim f ( x) .

x →∞

x →−∞

Bei Polynomen f vom Grad n mit

80

3 Funktionen

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 gilt: (a) Ist n gerade und an > 0, so gilt: lim f ( x) = ∞ bzw. x →∞

lim f ( x) = ∞ .

x →−∞

(b) Ist n gerade und an < 0, so gilt: lim f ( x) = −∞ bzw. x →∞

(c) Ist n ungerade und an > 0, so gilt: lim f ( x) = ∞ bzw. x →∞

(d) Ist n ungerade und an < 0, so gilt: lim f ( x) = −∞ bzw. x →∞

lim f ( x) = −∞ .

x →−∞

lim f ( x) = −∞ .

x → −∞

lim f ( x) = ∞ .

x →−∞

Beispiele: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = –5x4 + x3 – 7, x∈R. Es gilt: n = 4 ist gerade und an = –5 < 0, also folgt: lim f ( x) = −∞ bzw.

x →∞

lim f ( x) = −∞ .

x →−∞

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 5x3 + x – 7, x∈R. Es gilt: n = 3 ist gerade und an = 5 > 0, also folgt: lim f ( x) = ∞ bzw.

x →∞




lim f ( x) = −∞ .

x →−∞

Aufgabe 23 Exkurs: Bei gebrochenrationalen Funktionen ist die Asymptote jeweils ein Polynom. Für das Grenzwertverhalten genügt dann die Untersuchung der Asymptote. Beispiele:

x

. Asymptote a(x) = 0, vgl. Abschnitt 3.2.5 über Asymptoten gebrox +1 chen rationale Funktionen. Also lim f ( x) = 0 .

– f(x) =

2

x →∞

– f(x) =

2

− 2x − 4 x + 7 3x 2 + 5

. Asymptote a(x) = − 23 . lim f ( x) = − 23 . x →∞




4 Differential- und Integralrechnung 1 4.1 Differentialrechnung Wie wir im Kapitel über Geraden gesehen haben, hat die Funktion f mit f(x) = m⋅x + b an jeder Stelle x = x0 die Steigung m. Eine konstante Steigung ist aber nicht bei allen Funktionen der Fall. Die Normalparabel f(x) = x2 hat z.B. an der Stelle x = 1 eine andere Steigung als an der Stelle x = 2. Hier ist die Steigung von x abhängig; die Steigung kann als Funktion von x dargestellt werden. Jedoch ist die Steigung nicht so leicht wie bei einer Geraden abzulesen. Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun eine Funktion f ' bestimmen, deren Funktionswert f '(x0) die Steigung der Funktionen f an einer beliebigen Stelle x = x0 angibt. Die Funktion f ' wird als Ableitung der Funktion f bezeichnet. 4.1.1 Differentialquotient Bei der Bestimmung der Steigung einer Geraden haben wir gesehen, dass diese berechnet werden kann, indem der Zuwachs in y-Richtung (y1 – y0) ins Verhältnis zum Zuwachs in x-Richtung (x1– x0) gesetzt wird. Dies können wir nun ausnutzen, um eine Näherung für die Steigung an der Stelle x = x0 einer beliebigen Funktion f zu bekommen. Wir gehen hierzu von der Stelle x0 eine kleine Schrittweite h nach rechts zu x0 + h. In y-Richtung steigt oder fällt dann die Funktion von dem Wert f(x0) auf den Wert f(x0 + h). Im Beispiel auf der nächsten Seite steigt die Funktion: Vom Punkt P zum Punkt Q. Wir erhalten dann den folgenden Quotienten (genannt Differenzenquotient) als Näherung für die Steigung der Funktion f an der Stelle x = x0: f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = . ( x 0 + h) − x 0 h

Der Wert, der sich aus dem obigen Quotienten ergibt, ist die Sekantensteigung. Die Sekante schneidet den Graphen der Funktion f in den Punkten P = (x0 , f(x0)) und Q = (x0+h, f(x0 + h)).

1 Als Erfinder (Begründer) der Differential- und Integralrechnung gelten der Philosoph, Mathematiker und Naturforscher Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) oder der englische Physiker und Mathematiker Isaac Newton (1643 - 1727). Damals gab es einen erbitterten Streit über das Urheberrecht. Heute wird beiden die Erfindung zugeschrieben. Fest scheint zu stehen, dass das Integralzeichen ∫ von Leibniz eingeführt wurde.

82

4 Differential- und Integralrechnung

f(xo+h)

Q Sekante f(x) Tangente

tan α = f ' ( x0 )

α

f(xo)

P

xo

xo+h

x

Wenn wir nun die Schrittweite h gegen Null gehen lassen, wird die Näherung für die Steigung an der Stelle x = x0 immer besser. Führen wir den Grenzübergang von h → 0 durch, erhalten wir im Grenzfall die Steigung f '(x0) der Funktion f an der Stelle x = x0 (dies ist dann auch die Steigung der Tangente an der Stelle x = x0), falls diese existiert: f '( x 0 ) = lim

h→ 0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) . h

Der obige Grenzwert heißt Differentialquotient. Der Wert wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet. Als Beispiel werden wir im Folgenden die Ableitungen einiger Funktionen berechnen. Es werden sich dann bestimmte Gesetzmäßigkeiten ergeben, so dass Sie nicht bei jeder Funktion die Ableitung auf diese nicht ganz einfache Art bestimmen müssen. Beispiele: Es soll die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x2 an der Stelle x = x0 bestimmt werden: f ( x0 + h) − f ( x0 ) ( x + h) 2 − x20 = lim 0 f '( x0 ) = lim h h h→0 h→ 0 x2 + 2 x0 h + h2 − x20 2 x h + h2 = lim 0 = lim 0 = lim ( 2 x0 + h) = 2 x0 . h h h→ 0 h→ 0 h→0

4.1 Differentialrechnung

83

Die Funktion f mit f(x) = x2 hat also die Ableitung f '(x) = 2x. Nun können wir die Steigung der Funktion an der Stelle x = 1 bestimmen: f '(1) = 2⋅1 = 2. Wir wollen jetzt die Ableitung einer anderen Funktion f bestimmen, nämlich von f(x) = x3: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ( x 0 + h) 3 − x 30 = lim f '( x0 ) = lim h h h→ 0 h→ 0 x30 + 3x20 h + 3x0 h 2 + h 3 − x 30 3x2 h + 3x0 h2 + h 3 = lim 0 h h h→0 h→ 0

= lim

(

)

= lim 3x20 + 3x0 h + h2 = 3x20 . h→0

Die Funktion f mit f(x) = x3 hat also die Ableitung f '(x) = 3x2. Die Steigung der Funktion beispielsweise an der Stelle x = 2 ist: f '(2) = 3⋅ 22 = 12.

f(x) = x3

20

t(x)

15

Tangente 10

5

1.5

2

2.5

x

Im Folgenden wollen wir die Gleichung der Tangente t an der Stelle x = 2 der obigen Funktion f bestimmen. Die oben berechnete Steigung ist auch zugleich die Steigung m der Tangente t(x) = m ⋅ x + b an der Stelle x = 2. Also ist m = 12. Wir bestimmen nun noch den unbekannten Parameter b der Tangentengleichung: Die Tangente berührt die Funktion f an dem Punkt (2, f(2)) = (2, 8) und muss somit an dieser Stelle den gleichen Funktionswert besitzen. Es gilt also: t(2) = 12 ⋅ 2 + b = 8

⇒ b = –16.

Es ergibt sich an der Stelle x = 2 die Gleichung der Tangente: t(x) = 12x –16.




84

4 Differential- und Integralrechnung

Bei der Ableitung der Funktionen f mit f(x) = xn (n∈N) ergibt sich eine Gesetzmäßigkeit. Wir haben gesehen, dass f(x) = x2 die Ableitung f '(x) = 2x und f(x) = x3 die Ableitung f '(x) = 3x2 besitzt. Es gilt: f(x) = xn; f '(x) = n ⋅ xn–1. Diese Erkenntnis lässt sich verallgemeinern:

⇒ f '(x) = a ⋅ xa–1

f(x) = xa

Beispiele: f(x) = x5 (also a = 5) f(x) = x = x1/2 f(x) =

1 = x−3 x3

für a ∈R \ {0}.

⇒ f '(x) = 5 ⋅ x

5–1

⇒ f '(x) = 1/2 ⋅ x ⇒ f '(x) = –3 ⋅ x

1/2–1

= 5 ⋅ x4 .

= 1/2 ⋅ x–1/2 =

1

2⋅ x 3 –3–1 = –3 ⋅ x–4 = − . x4

.




Weiterhin ist zu beachten: (1) Konstante Faktoren werden bei der Ableitung einer Funktion nicht verändert. Beispiel: f(x) = 3 ⋅ x7

⇒ f '(x) = 3 ⋅ 7 ⋅ x

7–1




= 21⋅ x6 .

(2) Die Ableitung von f(x) = x ergibt f '(x) = 1. Die Ableitung der konstanten Funktion f(x) = c (c ∈ R) ergibt f '(x) = 0. Beispiele: f(x) = 5x

⇒ f '(x) = 5 ⋅ 1 = 5.

g(x) = –3

⇒ g'(x) = 0.




(3) Besteht eine Funktion aus mehreren Summanden, werden diese unabhängig voneinander einzeln abgeleitet. Beispiel: f(x) = x4 + 2x3 – 5x2

⇒ f '(x) = 4x

3




+ 6x2 – 10x.

(4) Die zweite Ableitung f ''(x) ist die Ableitung der ersten Ableitung f '(x). Analog wird die dritte Ableitung f '''(x) gebildet. Als Symbol wird ab der vierten Ableitung eine "4" in Klammern - anstelle von vier Strichen - verwendet: f(4)(x). Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 3x4 + x3 – 2x2 +3x + 2. Dann gilt f '(x) = 12x3 + 3x2 – 4x + 3 f ''(x) = 36x2 + 6x – 4 f '''(x) = 72x + 6 (4) (5) f (x) = 72 f (x) = 0.

⇒

⇒

⇒

⇒




4.1 Differentialrechnung

85

Einige Funktionen und ihre Ableitungen: Funktion Potenz- und Wurzelfunktionen

f(x) x x2 xp x

Trigonometrische Funktionen

sin(x) cos(x) tan(x) cot(x)

Hyperbelfunktionen

sinh(x) cosh(x) tanh(x) coth(x)

Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen

ex ax ln(x) loga(x)

f '(x)

p ⋅ xp–1

1 2x (p ∈ R \ {0}) 1 2⋅ x cos(x) –sin(x) 1

cos2 ( x) 1 − 2 sin ( x) cosh(x) sinh(x) 1 cosh 2 ( x) 1 − sinh 2 ( x) ex ln(a) ⋅ ax (a ∈ R+) 1 x

arcsin(x)

1 (a ∈ R+ \ {1}) x ⋅ ln( a ) 1

Arkus- bzw. Areafunktionen

arctan(x)

1− x 2 1

(Auswahl)

arsinh(x)

1+ x 2 1

arcosh(x)

x2 + 1 1 x2 − 1

Aufgabe 24

86

4 Differential- und Integralrechnung

4.1.2 Produkt- und Quotientenregel Mit Hilfe der Produktregel kann das Produkt aus zwei Funktionen u und v abgeleitet werden: f(x) = u(x) ⋅ v(x)

⇒

f '(x) = u'(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x).

Beispiel: f(x) = x2 ⋅ sin(x) . Wir bezeichnen den einen Faktor als u(x) und den anderen Faktor als v(x), womit u'(x) = 2x gilt: u(x) = x2 v(x) = sin(x) v'(x) = cos(x).

⇒

⇒

Also ergibt sich die Ableitung: f '(x) = u'(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x) = 2x ⋅ sin(x) + x2 ⋅ cos(x).




Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x3 ⋅ ln(x). Wir bezeichnen den einen Faktor als u(x) und den anderen Faktor als v(x), womit u'(x) = 3x2 v(x) = ln(x) v'(x) = 1/x. gilt: u(x) = x3

⇒

⇒

Also ergibt sich die Ableitung: f '(x) = u'(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x) = 3x2 ⋅ ln(x) + x3 ⋅ 1/x = x2 (3ln(x) + 1) .




Mit Hilfe der Quotientenregel kann der Quotient aus zwei Funktionen u und v abgeleitet werden: f(x) =

u( x) v( x)

⇒

f '(x) =

u' ( x) ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ v' ( x) ( v( x)) 2

( v(x) ≠ 0 ).

Mit der Quotientenregel können nun auch gebrochenrationale Funktionen abgeleitet werden. Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =

x2 − 1 x3 − 4 x

, x ∈ R \ {–2; 0; 2}.

4.1 Differentialrechnung

87

Wir bezeichnen den Zähler mit u(x) und den Nenner mit v(x), womit gilt: u(x) = x2 – 1 u'(x) = 2x v(x) = x3 – 4x v'(x) = 3x2 – 4.

⇒ ⇒

f '(x) =

=

u' ( x) ⋅ v( x) − u( x) ⋅ v' ( x) 2 x( x3 − 4 x) − ( x 2 − 1)(3x 2 − 4) = ( v( x)) 2 ( x 3 − 4 x) 2 2 x4 − 8x2 − (3x4 − 4 x2 − 3x2 + 4)

− x 4 − x2 − 4 . x − 8x 4 + 16x 2

=

x6 − 2 ⋅ 4 x ⋅ x 3 + ( 4 x) 2

6

Das Quadrat im Nenner muss nicht unbedingt ausmultipliziert werden. Das Ausmultiplizieren ist nicht sinnvoll, wenn die zweite, dritte oder höhere Ableitung gebildet werden soll, denn in diesen Fällen kann Zähler und Nenner mit v(x) gekürzt werden.




Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =

1

. x − 4x Wir bezeichnen den Zähler mit u(x) und den Nenner mit v(x), womit gilt: u'(x) = 0 . v(x) = x3 – 4x v'(x) = 3x2 – 4 . u(x) = 1 Somit ergibt sich die Ableitung: 3

⇒

f '(x) =

⇒

u' ( x) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ' ( x ) ( v( x)) 2

=

− (3x 2 − 4) ( x 3 − 4x) 2

=

4 − 3x 2 ( x 3 − 4 x) 2

1

.

Für die zweite Ableitung ist dann die Kettenregel für die Ableitung des Nenners nützlich (siehe nächsten Abschnitt). Es gilt: f ''(x) = =

− 6x ( x 3 − 4x) 2 − (4 − 3x 2 ) 2 ( x 3 − 4x)(3x 2 − 4) ( x 3 − 4x) 4 − 6x ( x3 − 4 x) − (4 − 3x2 ) 2 (3x 2 − 4) ( x3 − 4 x) 3

=

4 (3x4 − 6x2 + 8) ( x 3 − 4 x) 3

.




Aufgabe 25

1 Die Ableitung kann auch mit der Umformung

1

= (x3−4x)−1 und der Kettenregel x − 4x (vgl. Abschnitt 4.1.3) ermittelt werden: f '(x) = −(x3−4x)−2 (3x2−4). f(x) =

3

88

4 Differential- und Integralrechnung

4.1.3 Kettenregel Die Kettenregel wird zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion f verwendet, falls die Funktion aus zusammengesetzten (verketteten) Funktionen gebildet ist: Sei f(x) = f(u) und u eine Funktion von x. Zur Berechnung von f ' (also von der Ableitung von f nach x) wird zuerst die Funktion f nach u abgeleitet (so, als wäre die Funktion u die Variable x) und dann mit der Ableitung von u nach der Variablen x multipliziert. Man spricht hierbei vom Produkt aus äußerer und innerer Ableitung. Es gilt: df df du = ⋅ . dx du dx

Beispiele: –

f ( x ) = x 2 − 1 . Hier gilt: f(x) = u mit u = x2 – 1. df du 1 1 Es ergibt sich: = und = 2 x . Also: = du dx 2⋅ u 2⋅ x2 −1 df du x 1 . f '(x) = ⋅ = ⋅ 2x = du dx 2 ⋅ x 2 − 1 x2 − 1

– f(x) = sin(5x – 1). Hier gilt: f(x) = sin(u) mit u = 5x – 1. df du ⋅ =cos(5x – 1) · 5 = 5cos(5x-1). Also: f '(x) = du dx – f(x) = ln(x4+2x+2). Hier ist f(x) = ln(u) mit u = x4+2x+2. df du 1 du 1 Also: f '(x) = ⋅ = ⋅ = ⋅ ( 4 x 3 + 2) . du dx u dx x 4 + 2 x + 2 –

f ( x) = sin( x 2 + 1) . Hier gilt: f(x) = sin u mit u = x 2 + 1 . df du 1 x = cos(u) = cos( x 2 + 1) und . = ⋅ 2x = du dx 2 ⋅ x 2 + 1 x2 +1

Also: f '(x) =

Aufgabe 26

df du x ⋅ cos( x 2 + 1) ⋅ . = du dx x2 +1




4.1 Differentialrechnung

89

4.1.4 Bestimmung lokaler Extrema Außer den Nullstellen gibt es bei Funktionen noch weitere interessante Stellen. Diese sind u.a. Stellen, an denen die Funktion f eine waagrechte Tangente besitzt. An diesen Stellen ist die Steigung gleich Null. Sie erhalten diese Stellen durch Nullsetzen der ersten Ableitung, da f '(x) die Steigung an der Stelle x wiedergibt. Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2 – 8x + 2. Dann gilt f '(x) = 2x – 8. 2x – 8 = 0 x = 4. Die Funktion f besitzt somit an der Stelle xE = 4 eine waagrechte Tangente.

⇒




Jetzt wollen wir untersuchen, wann eine Funktion einen kleinsten bzw. größten Funktionswert, bezogen auf die unmittelbare Umgebung, annimmt. Ein solches Extremum heißt lokales Minimum bzw. lokales Maximum. Statt lokales Extremum wird oft auch die Bezeichnung relatives Extremum verwendet. Eine Funktion kann mehrere lokale Maxima und mehrere lokale Minima besitzen. Beispielsweise hat die Sinusfunktion (vgl. Seite 64) unendlich viele lokale Maxima und unendlich viele lokale Minima. Lokale Extrema können mit Hilfe von Ableitungen berechnet werden. Die Stelle, an der die erste Ableitung Null beträgt, ist ein lokales Extremum, falls die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist. Sie können mit Hilfe der zweiten Ableitung unterscheiden, ob es sich um ein lokales Minimum oder um ein lokales Maximum handelt, denn es gilt: f '(xE) = 0 und f ''(xE) < 0, so liegt an der Stelle x = xE ein lokales Maximum vor. f '(xE) = 0 und f ''(xE) > 0, so liegt an der Stelle x = xE ein lokales Minimum vor. Wenn aber nun f '(xE) = 0 und f ''(xE) = 0 ist, wird die Sache schwieriger. Dann benötigen Sie noch weitere Ableitungen: Ist f '''(xE) ≠ 0, so liegt an der Stelle x = xE kein Extremum, sondern ein Wendepunkt vor, vgl. Abschnitt 4.1.5. Dieser Wendepunkt wird Sattelpunkt genannt, da an dieser Stelle der Graph der Funktion eine waagrechte Tangente hat. Ist aber die dritte Ableitung an der Stelle xE ebenfalls gleich Null und f(4)(xE) = 0, f(5)(xE) = 0, ..., f(n–1)(xE) = 0 und f(n)(xE) ≠ 0, wobei n gerade ist, so liegt ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) vor. Dies ist natürlich nur bei Spezialfällen zu berücksichtigen. In den meisten Fällen werden zur Berechnung lokaler Extrema nur die erste und die zweite Ableitung benötigt.

90

4 Differential- und Integralrechnung

Beispiel (Fortsetzung von oben): 2 0 1

2

3

4

5

6

7

-2 -4

8

Gegeben ist die obige Funktion f mit f(x) = x2 – 8x + 2. Dann gilt: f ''(x) = 2, womit f ''(xE) = f ''(4) = 2 > 0.

-6

Daher liegt an der Stelle x = 4 bzw. an dem Punkt (4, f(4)) = (4, –14) ein lokales Minimum vor.

-8 -10 -12 -14




Beispiel: Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion f mit f(x) = x3 – 27x, x∈R. Es gilt nun: f '(x) = 3x2 – 27, f ''(x) = 6x. Setzen Sie die erste Ableitung gleich Null, erhalten Sie 3xE2 – 27 = 0. Daraus folgt xE1 = 3 und xE2 = –3. Wegen f ''(xE1) = f ''(3) = 18 > 0 und f ''(xE2) = f ''(–3) = –18 < 0, liegt an der Stelle xE1 = 3 ein lokales Minimum und an der Stelle xE2 = –3 ein lokales Maximum vor. 60 40 20 -6

-4

-2

2

4

6

-20 -40 -60




4.1 Differentialrechnung

91

Beispiel, bei dem neben der zweiten noch weitere Ableitungen gebraucht werden: f(x) = 1/30 ⋅ x6, f '(x) = 1/5 ⋅ x5 = 0 ⇔ x = 0. Somit liegt an der Stelle xE = 0 eine Nullstelle der ersten Ableitung vor. Nun setzen wir diese in die zweite Ableitung ein: f ''(x) = x4 , also f ''(0) = 0. Wie zu sehen ist, ist der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle xE ebenfalls Null, deshalb prüfen wir weiter: f '''(x) = 4x3, also f '''(xE) = f '''(0) = 0; f(4)(x) = 12x2, also f(4)(xE) = f(4)(0) = 0; f(5)(x) = 24x, also f(5)(xE) = f(5)(0) = 0; f(6)(x) = 24, also f(6)(xE) = f(6)(0) = 24 ≠ 0. Also ist die sechste Ableitung an der Stelle xE = 0 ungleich Null und n = 6 ist gerade. Deshalb liegt an dieser Stelle ein lokales Extremum vor. Da f(6)(0) = 24 > 0 handelt es sich hierbei um ein lokales Minimum.

0.001

0.0005

-1

-0.5

Aufgabe 27

0.5

1




92

4 Differential- und Integralrechnung

4.1.5 Bestimmung von Wendepunkten In einem Wendepunkt ändert sich die Art der Kurvenkrümmung: Die Kurve geht von einer Links- in eine Rechtskurve über oder umgekehrt. Ist die Steigung der Kurve im Wendepunkt Null, heißt der Wendepunkt auch Sattelpunkt. Als Wendetangente wird die Tangente im Wendepunkt bezeichnet. Bei der Bestimmung von Wendepunkten wird ähnlich wie bei der Bestimmung lokaler Extrema vorgegangen, nur dass hier die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt werden. Sei nun xW eine Nullstelle der zweiten Ableitung, es gelte also f ''(xW) = 0. Bestimmen Sie nun die dritte Ableitung f ''' und den Funktionswert f '''(xW) der dritten Ableitung an der Stelle xW. Gilt f ''(xW) = 0 und f '''(xW) ≠ 0, dann liegt an der Stelle xW ein Wendepunkt vor. Falls f ''(xW) = 0 und f '''(xW) = 0 ist und f(4)(xW) = 0, f(5)(xW) = 0, ..., f(n–1)(xW) = 0 und f(n)(xW) ≠ 0 (und n ist ungerade), liegt ein Wendepunkt vor. Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x3 – 6x2 + x – 2, x∈R. Dann gilt: f '(x) = 3x2 – 12x +1,

f ''(x) = 6x – 12,

⇒

f '''(x) = 6.

f ''(xW) = 0 6xW – 12 = 0, also xW = 2. Da f '''(xW) = f '''(2) = 6 ≠ 0, liegt an der Stelle xW = 2 ein Wendepunkt vor: W = (2, –16). Der Graph der Funktion geht von einer Rechtskurve in eine Linkskurve über. 40 20

-4

-2

2

4

6

8

-20 -40 -60


Aufgabe 28

4.2 Monotonie

93

4.2 Monotonie In Kapitel 3.1 wurde definiert, wann eine Funktion monoton steigend bzw. monoton fallend ist. Mit Hilfe der Ableitung ist die Monotonie einfach nachzuweisen. Ist eine Funktion f auf dem Intervall I = [a; b] stetig und auf dem Intervall (a; b) differenzierbar, dann gilt (a) Gilt f '(x) > 0 für alle x ∈ (a; b), so ist f auf dem Intervall I streng monoton steigend. f '(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a; b) gilt genau dann, wenn f auf dem Intervall I monoton steigend ist. (b) Gilt f '(x) < 0 für alle x ∈ (a; b), so ist f auf I streng monoton fallend. f '(x) ≤ 0 für alle x ∈ (a; b) gilt genau dann, wenn f auf dem Intervall I monoton fallend ist.

Beispiel: Auf welchen Intervallen ist die Funktion f mit f(x) = –2x2 + 8x + 1, x∈R, streng monoton fallend bzw. streng monoton steigend? Da f ein Polynom ist, ist f stetig und differenzierbar auf R. f '(x) = –4x + 8 > 0 | –8 –4x > –8 | : (–4) x 0. f streng monoton steigend

⇒

Gegenbeispiel: f(x) = x3 ist streng monoton steigend, aber f '(0) = 0. 2 1.5 1 0.5

-2

-1

1 -0.5 -1 -1.5 -2

Aufgabe 29

2

4.3 Bijektivität und Umkehrbarkeit

95

4.3 Bijektivität und Umkehrbarkeit Eine Funktion f(x) heißt injektiv (oder eineindeutig) auf dem Intervall I ⊆ Df, falls für alle a, b ∈ I gilt: a≠b

⇒ f(a) ≠ f(b).

Ist also eine Funktion auf dem Intervall I injektiv, hat diese Funktion an zwei verschiedenen Stellen a und b immer auch zwei verschiedene Funktionswerte f(a) und f(b). Beispiel: Die Funktion f mit f(x) = x2 ist auf dem Intervall I = R nicht injektiv, denn f(–2) = (–2)2 = 4 = f(2). Schränken Sie jedoch das Intervall I auf die positiven reellen Zahlen ein (I = R+), so ist die Funktion f injektiv.




Eine auf dem Intervall I streng monoton steigende oder eine streng monoton fallende Funktion ist auf diesem Intervall injektiv. Eine Funktion f heißt surjektiv, falls es für jedes y aus dem Zielbereich (mindestens) ein x aus dem Definitionsbereich gibt, derart dass: f ( x) = y .

Im Allgemeinen kann durch Einschränkung des Zielbereichs auf den Wertebereich die Surjektivität erreicht werden. Beispiel: Die Funktion f : R– → R+ mit f(x) = −x ist surjektiv, denn es existiert zu jedem y ∈ R+ ein x ∈ R– mit f(x) = y, da y = −x y2 = – x x = –y2.

⇒

⇒

Die Funktion g : R+ → R– mit g(x) = –x2 ist somit die Umkehrfunktion der Funktion f mit f(x) = −x . Zum Funktionswert y = 2 gehört der Wert x = – 22 = –4, denn es gilt: f(–4) = − ( −4) = 4 = 2 .




96

4 Differential- und Integralrechnung

Die Umkehrfunktion einer Funktion f wird mit f –1 bezeichnet. Ist eine Funktion injektiv und surjektiv, wird sie als bijektiv bezeichnet. Eine Funktion f besitzt nur dann eine Umkehrfunktion f –1, falls die Funktion f bijektiv ist. Die Umkehrfunktion bildet dann den Wertebereich der Funktion f auf den Definitionsbereich ab: f –1 : Wf → Df . Beispiel: Die Funktion f : R+ → R+ mit f(x) = x2 ist bijektiv. Die Umkehrfunktion erhalten Sie, falls Sie die Gleichung y = x2 nach x auflösen. Also: f –1(x) =

x ; f –1 : R+ → R+.

4

3

Funktion

y=x

2

Umkehrfunktion 1

1

2

3

4




Die Umkehrfunktion kann durch Spiegelung der Funktion f an der Geraden y = x graphisch konstruiert werden. Aufgabe 30

4.4 Kurvendiskussion am Beispiel

97

4.4 Kurvendiskussion am Beispiel Es soll nun an einem Beispiel eine Kurvendiskussion durchgeführt werden. Im Rahmen der Kurvendiskussion werden die folgenden Eigenschaften einer Funktion untersucht: 1) Nullstellen 2) Grenzwertverhalten ( lim f ( x) und lim f ( x) ) x →∞ x →−∞ 3) Symmetrie 4) Extremwerte 5) Wendepunkte 6) Schaubild Bei gebrochenrationalen Funktionen sind zusätzlich Polstellen und Asymptoten von Interesse (eventuell muss auch der Definitionsbereich festgelegt werden). Außerdem wird oft bei Kurvendiskussionen zusätzlich die Monotonie untersucht. Beispiel: Wir führen nun eine Kurvendiskussion an der Funktion f mit f(x) = x4 – 8x2, x∈R, durch: 1) Nullstellen: Es empfiehlt sich bei der Funktionsgleichung x2 auszuklammern: f(x) = x4 – 8x2 = x2(x2 – 8). Somit ergibt sich die Nullstellen x1/2 = 0 und x3/4 = ± 8 . 2) Grenzwertverhalten:

(

)

lim f ( x) = lim x 4 − 8x2 = ∞ , x→∞ x→∞

(

)

lim f ( x) = lim x 4 − 8x2 = ∞ . x→−∞ x→−∞

3) Symmetrie: Die Funktion f ist symmetrisch zur y-Achse, denn sie besitzt nur gerade x-Potenzen: f(–x) = (–x)4 – 8(–x)2 = x4 – 8x2 = f(x). Hinweis: Die Graphen aller Polynome und auch aller ganzrationalen Funktionen, die nur gerade x-Potenzen aufweisen, sind symmetrisch zur y-Achse.

98

4 Differential- und Integralrechnung

4) Extremwerte: f '(x) = 4x3 - 16x = x(4x2 – 16) = 0 f ''(x) = 12x2 – 16

⇒x

E1

= 0, xE2 = 2, xE3 = –2.

f ''(xE1) = f ''(0) = –16 < 0, somit liegt an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum vor. f ''(xE2) = f ''(2) = 32 > 0, somit liegt an der Stelle x = 2 ein lokales Minimum vor. f ''(xE3) = f ''(–2) = 32 > 0, somit liegt an der Stelle x = –2 ein lokales Minimum vor. Also gilt: E1 = (0, f(0)) = (0, 0); E2 = (2, f(2)) = (2, –16); E3 = (–2, f(–2)) = (–2, –16). 5) Wendepunkte:

⇒

f ''(x) = 12x2 – 16 = 0 xW1 = 4 / 3 , xW2 = – 4 / 3 . f '''(x) = 24x f '''(xW1) = f '''( 4 / 3 ) = 24 ⋅ 4 / 3 ≠ 0. Damit liegt an der Stelle xW1 = 4 / 3 ein Wendepunkt vor. f '''(xW2) = f '''(– 4 / 3 ) = –24 ⋅ 4 / 3 ≠ 0. Damit liegt an der Stelle xW2 = – 4 / 3 ein Wendepunkt vor. Also:

W1 = ( 4 / 3 , f( 4 / 3 ) ) = ( 4 / 3 , –80/9 ); W2 = (– 4 / 3 , f(– 4 / 3 ) ) = (– 4 / 3 , –80/9 ).

6) Schaubild:

5

-3

-2

-1

1

2

3

-5 -10 -15

Aufgabe 31




4.5 Integration

99

4.5 Integration 4.5.1 Herleitung der Integration Wir wollen nun zunächst die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse in einem Intervall I = [a; b] bestimmen. Hierzu berechnen wir zunächst eine Näherung für diese Fläche, indem wir eine Summe von Flächen von Rechtecken ermitteln: y f(x0) f(x2)

f

a a+h a+2h x0 x1 x2

b xn

x

Dazu zerlegen wir das Intervall I = [a; b] in n gleich breite Teile (äquidistante Einb−a . teilung). Für die Breite der Rechtecke gilt: h = n Die Abgrenzungen der Teilstücke bezeichnen wir mit x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, ... , xn = b = x0 + n⋅h. Die i-te Abgrenzung ergibt sich aus: x i = x 0 + i ⋅ h = x 0 + i ⋅

b−a n

mit 0 ≤ i ≤ n.

Wollen Sie nun die gesuchte Fläche annähern, so können Sie dies auf zwei Arten mit n Rechtecken der Breite h tun: (a) Es werden die Rechtecke so definiert, dass der größte Funktionswert im jeweiligen Teilintervall [xi−1;xi], i =1,..., n, als Höhe des Rechtecks angesehen wird. In der obigen Graphik wird der größte Funktionswert immer am linken Rand des Teilintervalls erreicht, da die Funktion monoton fallend ist. f(x0) ist die Höhe des ersten Rechtecks, f(x1) die Höhe des zweiten und f(xn–1) die Höhe des n–ten Rechtecks, vgl. obiges Schaubild. (b) Es werden die Rechtecke so definiert, dass jeweils der kleinste Funktionswert im Teilintervall als Höhe des Rechtecks angesehen wird. In der obigen Graphik ist

100

4 Differential- und Integralrechnung

dies immer am rechten Rand des Teilintervalls. f(x1) ist dann die Höhe des ersten Rechtecks, f(x2) die des zweiten und f(xn) die Höhe des letzten Rechtecks. Summieren Sie die Flächen der Rechtecke unter (a) oder unter (b), erhalten Sie jeweils eine Näherung für die gesuchte Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Intervall I. Hierbei wird im Fall (b) die wahre Fläche unter-, im Fall (a) überschätzt. Da die eine Summe die wahre Fläche unter- und die andere diese überschätzt, wird in diesem Zusammenhang von der Untersumme SU und der Obersumme SO gesprochen. Existiert die gesuchte Fläche, müssen die beiden Summen bei immer kleiner werdenden h (bzw. immer größer werdenden n) gegen die gesuchte (tatsächliche) Fläche konvergieren. Der Grenzwert, falls er existiert, heißt bestimmtes Integral von a bis b über f(x), geschrieben: b ∫ a

f ( x)dx .

a heißt untere Integrationsgrenze, b obere Grenze. f(x) ist der Integrand, x die Integrationsvariable. Beispiel: Es soll eine Näherung für die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f mit f(x) = x2 und der x-Achse in dem Intervall I = [1; 4] = [a; b] = [x0; xn] bestimmt werden. Wenn das Intervall I beispielsweise in n = 6 gleich große Teile zerlegt wird, ergibt sich für die Breite h eines Teilintervalls: b− a 4 −1 = = 0,5 . h= n 6 Die Ränder der Rechtecke ergeben sich durch: xi = x0 + i ⋅ h = 1 + i⋅0,5; 0 ≤ i ≤ 6. Also: x0 = 1 + 0⋅0,5 = 1; x1 = 1 + 1⋅0,5 = 1,5; ... ; x6 = 1 + 6⋅0,5 = 4. 20

15

10

5

1

2

3

4

4.5 Integration

101

Es ergibt sich die Untersumme: SU

= = = = =

h ⋅ f(x0) + h ⋅ f(x1) + ... + h ⋅ f(x5) h ⋅ (f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) 0,5⋅(f(1) + f(1,5) + f(2) + f(2,5) + f(3) + f(3,5)) 0,5 ⋅ (1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 + 12,25) 17,375

und die Obersumme: SO

= = = = =

h ⋅ f(x1) + h ⋅ f(x2) + ... + h ⋅ f(x6) h ⋅ (f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) + f(x6)) 0,5⋅(f(1,5) + f(2) + f(2,5) + f(3) + f(3,5) + f(4)) 0,5 ⋅ (2,25 + 4 + 6,25 + 9 + 12,25 + 16) 24,875

20

15

10

5

1

2

3

4




Statt die Fläche über Ober- und Untersummen zu bestimmen und dann die Anzahl der Teilintervalle zu vergrößern, kann unter bestimmten Voraussetzungen das bestimmte Integral einer Funktion f mit Hilfe einer Stammfunktion F einfacher berechnet werden: b

∫

b

f ( x)dx = [ F(x)] a = F(b) – F(a).

a

Zur Berechnung des Integrals muss nun nur noch geklärt werden, wann es eine solche Funktion F gibt und wie sie berechnet werden kann. Die Differenz von F(b) und F(a) ergibt dann das Integral. Eine solche Funktion F, genannt Stammfunktion, kann über folgende Beziehung ermittelt werden:

102

4 Differential- und Integralrechnung

Eine Stammfunktion F besitzt folgende Eigenschaft: F '(x) = f(x). Die Ableitung einer Stammfunktion F ist die Funktion f selbst, womit Sie die Stammfunktion über die Umkehrung der Differentiation erhalten. Beispiel (Fortsetzung von oben):

Eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x 2 ist die Funktion die Funktion F 1 mit F(x) = x 3 , was Sie durch eine Probe verifizieren können. 3 Deshalb gilt:

4

2 ∫ x dx = 1

4 ⎡1 3⎤ x ⎢ ⎥ ⎣3 ⎦1

=

1 3 1 3 63 4 − 1 = = 21 . 3 3 3

Wie zu sehen ist, liegt dieser Wert zwischen der zuvor berechneten Unter– und Obersumme.




Die Menge aller Stammfunktionen wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und als ∫ f ( x)dx = F(x) + C geschrieben. C steht für eine beliebige reelle Zahl. Da eine Stammfunktion F die Eigenschaft F '(x) = f(x) für alle x ∈ Df besitzt, ist diese bis auf die Konstante C bestimmt, da die Konstante beim Ableiten der Stammfunktion verschwindet. Es gibt somit nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele. Beispiele: Für das unbestimmte Integral der Funktion f mit f(x) = x2 gilt: ∫

1 f ( x)dx = ⋅ x 3 + C wobei C ∈ R. 3

Wir wollen das unbestimmte Integral der Funktion f mit f(x) = 4x3 – 6x2 – 5 bestimmen: ∫

(4 x

3

1 1 − 6x2 − 5 dx = 4 x 4 − 6 x 3 − 5x + C = x4 − 2 x3 − 5x + C . 4 3

)

Wie zu sehen ist, wird bei einer Summe jeder Summand einzeln integriert (wie bei der Differentiation).

4.5 Integration

103

Mit einer zusätzlichen Angabe zur Stammfunktion, kann auch die Konstante C berechnet werden. Ist z.B. die Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 4x3 – 6x2 – 5 gesucht, die an der Stelle x = 1 den Funktionswert 4 hat, d.h., F(1) = 4, so gilt: F(1) = 14 − 2 ⋅ 13 − 5 ⋅ 1 + C = 4 . Also 1 – 2 – 5 + C = 4 und somit C = 10. Es ergibt sich die Stammfunktion F mit F(x) = x 4 − 2 x 3 − 5x + 10 .




Tabelle mit Funktionen und ihren Stammfunktionen: Funktion

Potenz- und Wurzelfunktionen

Hyperbelfunktionen

Exponentialfunktionen

Logarithmusfunktionen

Aufgaben 32 und 33

f(x) dx = F(x) + C

f(x)

F(x)

a x

ax (a∈R) 1 2 x 2 ln(|x|)

1/x xa x

Trigonometrische Funktionen

∫

sin(x) cos(x) tan(x)

1 a+1 x (a∈R\{–1}) a +1 2 3/ 2 x 3 –cos(x) sin(x) − ln cos( x)

cot (x)

ln sin( x)

sinh(x) cosh(x) tanh(x) coth(x) ex

cosh(x) sinh(x) ln(|cosh(x)|) ln(|sinh(x)|) ex

ax ln(x) loga(x)

ax ln(a )

( a∈R+\{1} )

x ln(x) − x x ln( x) − x ( a∈R+\{1} ) ln(a )

104

4 Differential- und Integralrechnung

4.5.2 Bestimmung von Flächen mit Hilfe der Integration Es soll die Fläche bestimmt werden, die der Graph der Funktion f mit der x–Achse einschließt. Hierzu müssen zunächst die Nullstellen x1, x2, ..., xn (wir gehen davon aus, dass die Nullstellen x1, x2, ..., xn zuvor nach ihrer Größe sortiert wurden) der Funktion f bestimmt werden. Danach werden die Flächen zwischen jeweils zwei aufeinander folgenden Nullstelle xi und xi+1 bestimmt. Da sich, falls die Funktion zwischen zwei Nullstellen unterhalb der x-Achse verläuft, negative Flächen ergeben, müssen die Beträge der Flächen addiert werden, um die Gesamtfläche zu erhalten. Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 – 9x, x∈R. Es soll die Fläche berechnet werden, die der Graph dieser Funktion mit der x-Achse einschließt. Dazu werden zunächst die Nullstellen ermittelt: f(x) = 0 ⇔ x3 – 9x = x(x2 – 9) = 0 ⇔ x = 0 oder x2 – 9 = 0 ⇔ x = 0 oder x = ±3 . Somit ergeben sich folgende Nullstellen (nach ihrer Größe sortiert): x1 = –3, x2 = 0 und x3 = 3. 10

A1

-3

-2

5

-1

1 -5

2

3

A2

-10

x2

0

x1

−3

0

9 9 9 ⎤ 1 ⎡1 ⎛1 ⎞ A1 = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x 3 − 9 x)dx = ⎢ x 4 − x 2 ⎥ = 04 − 02 − ⎜ ( −3) 4 − ( −3) 2 ⎟ ⎝4 ⎠ 2 2 2 ⎦−3 4 ⎣4

=

81 = 20,25 (Flächeneinheiten FE). 4 x3

3

x2

0

3

9 ⎤ 1 9 9 ⎞ ⎡1 ⎛1 A 2 = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x 3 − 9x)dx = ⎢ x 4 − x 2 ⎥ = 34 − 32 − ⎜ 04 − 02 ⎟ ⎝4 2 ⎦0 4 2 2 ⎠ ⎣4

4.5 Integration

=

105

81 81 81 − = − = 20,25 (FE). 4 2 4

Es ergibt sich die gesamte Fläche, die die Kurve der Funktion f mit der x-Achse einschließt: AG = A1 + A2 = 20,25 FE + 20,25 FE = 40,5 FE. Hinweis: Da die Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, brauchen Sie nur A1 oder A2 auszurechnen, denn es gilt: AG = 2 A1 = 2 A2.




Aufgabe 34 Bei der Bestimmung von Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f und dem Graphen der Funktion g, müssen zuerst die Schnittpunkte der Graphen der beiden Funktionen bestimmt werden. Diese erhalten Sie durch Gleichsetzen beider Funktionswerte: f(x) = g(x). Seien x1, x2, ..., xn die Schnittpunkte der Kurven der Funktionen f und g (hierbei sollen die Schnittpunkte x1, x2, ..., xn nach ihrer Größe sortiert sein). Danach ist die Vorgehensweise die gleiche, wie bei der Bestimmung der Fläche, die die Kurve einer Funktion mit der x-Achse einschließt, nur dass jeweils über die Differenz der beiden Funktionswerte f(x) und g(x) zwischen jeweils zwei aufeinander folgenden Schnittpunkten xi und xi+1 integriert werden muss. Anschließend sind die Beträge der Flächen zu addieren, um die Gesamtfläche zu erhalten. Beispiel: Es soll die eingeschlossene Fläche zwischen den Kurven der Funktionen f und g mit f(x) = x3 – 4x2 –3x und g(x) = 2x ermittelt werden. Dazu sind zunächst alle Schnittpunkte der beiden Kurven zu bestimmen. g(x)

10 5 A1 -1

1

2

3

4

-5 -10

A2

-15 f(x)

5

106

4 Differential- und Integralrechnung ⇔ x3 – 4x2 –3x = 2x ⇔ x3 – 4x2 –5x = 0 ⇔ x(x2 – 4x –5) = 0 ⇔ x = 0 oder x2 – 4x –5 = 0. Mit der p-q-Formel erhalten Sie die Lösungen –1 und 5.

f(x) = g(x)

Alle Schnittpunkte (aufsteigend sortiert) sind somit: x1 = –1, x2 = 0, x3 = 5. A1 =

=

=

x2

∫ (f ( x ) − g ( x ))dx

x1

⎡1 4 ⎢ x ⎣4

=

0

∫ (x

3

0

− 4x 2 − 3x − 2x )dx =

∫ (x

−1

3

− 4 x 2 − 5x)dx

−1

0

−

4 3 5 2⎤ x − x ⎥ 3 2 ⎦ −1

1 4 4 3 5 2 ⎛1 4 5 ⎞ 0 − 0 − 0 − ⎜ (−1)4 − (−1)3 − (−1)2 ⎟ 3 2 3 2 4 ⎝4 ⎠

16 30 ⎞ ⎛1 4 5⎞ ⎛ 3 ⎛ 11 ⎞ = − ⎜ + − ⎟ = − ⎜ + − ⎟ = − ⎜ − ⎟ = 0,916 (FE). ⎝4 3 2⎠ ⎝ 12 12 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠

A2 =

x3

5

5

x2

0

0

3 2 3 2 ∫ (f ( x ) − g ( x ))dx = ∫ ( x − 4 x − 3x − 2 x )dx = ∫ ( x − 4 x − 5x )dx 5

=

⎡1 4 ⎢ x ⎣4

=

1 4 4 3 5 2 ⎛1 4 4 3 5 2⎞ 5 − 5 − 5 −⎜ 0 − 0 − 0 ⎟ 3 2 3 2 ⎠ 4 ⎝4

=

625 500 125 875 − − = − = 72,916 (FE). 4 3 2 12

−

4 3 5 2⎤ x − x ⎥ 3 2 ⎦0

Es ergibt sich somit für die gesamte Fläche, die die beiden Kurven der Funktionen f und g einschließt: AG = A1 + A2 = 0,916 FE + 72,916 FE = 73,83 FE.

Aufgabe 35




4.5 Integration

107

4.5.3 Produktintegration Produktintegration (partielle Integration, Produktregel der Integralrechnung): ∫

( u( x) ⋅ v' ( x)) dx = u( x) ⋅ v( x) − ∫ ( u' ( x) ⋅ v( x)) dx

b

b

a

a

bzw.

b ∫ ( u ( x ) ⋅ v' ( x) ) dx = [ u( x) ⋅ v ( x) ] a − ∫ ( u ' ( x ) ⋅ v( x ) ) dx .

Beispiel: Berechnet werden soll:

∫

( x ⋅ sin( x)) dx .

Wir müssen nun die Funktionen u(x) und v’(x) so definieren, dass der Ausdruck ∫

( u' ( x) ⋅ v( x)) dx

einfach zu bestimmen ist. Wir definieren:

u(x) = x und v’(x) = sin(x), womit folgt: u’(x) = 1 und v(x) = –cos(x). Nun gilt: ∫

( x ⋅ sin( x))dx

= x ⋅ ( − cos( x)) − ∫ (1 ⋅ ( − cos( x))) dx = − x ⋅ cos( x) + ∫ cos( x) dx = − x ⋅ cos( x) + sin( x) + C.

Soll nun das bestimmte Integral

π

∫

0

π ∫

0

( x ⋅ sin( x))dx

( x ⋅ sin( x))dx = [ − x ⋅ cos( x) + sin( x )] π0

berechnet werden, gilt:

= −π ⋅ cos(π ) + sin(π ) − ( − 0 ⋅ cos( 0) + sin( 0) )

= − π ⋅ ( −1) + 0 − ( −0 ⋅ (1) + 0) = π .

In manchen Fällen muss auch zweimal die Produktregel angewendet werden, beispielsweise um das folgende Integral zu lösen: ∫

(x

2

)

⋅ sin( x) dx .

Aufgabe 36




108

4 Differential- und Integralrechnung

4.5.4 Volumenberechnung bei Rotationsparaboloiden

Für das Volumen einer auf dem Intervall [a; b] um die x-Achse rotierenden Funktion f gilt die folgende Formel: b

2

V = π ⋅ ∫ ( f ( x)) dx . a

Beispiel: Die Kurve der Funktion f mit f(x) = 1 − x 2 ( f : [–1; 1] → [0; 1] ) stellt einen Halbkreis um den Koordinatenursprung oberhalb der x-Achse mit dem Radius r = 1 dar. Wenn dieser Halbkreis um die x-Achse rotiert, ergibt sich eine Kugel mit dem Radius 1. Wir wollen nun das Volumen dieser Kugel mit der obigen Formel berechnen.

1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

Da wir wissen, dass der Halbkreis bei x = –1 und x = 1 die x-Achse schneidet, haben wir sofort a = –1 und b = 1. Wenn diese Punkt nicht anschaulich ersichtlich sind, müssen sie erst durch Ermittlung der Nullstellen der Funktion f berechnet werden. Es gilt: f(x) =

1 − x2 = 0 ⇔

1 – x2 = 0.

Somit ergeben sich die Nullstellen x1 = 1 und x2 = –1.

4.5 Integration

109

Für das Volumen der Kugel gilt: 1

V=

π ⋅ ∫ ⎛⎜ ⎝

1− x

−1

2⎞

2

⎟ ⎠

1

1

1 ⎤ ⎡ dx = π ⋅ ∫ 1 − x2 dx = π ⋅ ⎢ x − x3 ⎥ 3 ⎦ −1 ⎣

(

)

−1

⎛ 1 1 ⎛ ⎞⎞ = π ⋅ ⎜ 1 − 13 − ⎜ ( −1) − ( −1) 3⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ 3 3

=

4 3 π (VE =Volumen-Einheiten, z.B. cm ) 3

1 0.5

0

-0.5

-1 1

0.5

0

-0.5

-1 -1

Aufgabe 37

-0.5

0

0.5

1




5 Komplexe Zahlen 5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen Beispiel: Die Gleichung x2 + 1 = 0 hat in R keine Lösung, denn x2 + 1 = 0 | –1 x2 = –1 x1/2 = ± − 1 und die Wurzel aus einer negativen Zahl hat keine reelle Lösung. Um die quadratische Gleichung dennoch lösen zu können, ist eine Erweiterung des Zahlenbereichs durch Einführung so genannter imaginärer Zahlen vorzunehmen. Der Ausdruck − 1 wird als eine imaginäre Einheit angesehen und mit i bezeichnet: − 1 = i . 1 Es gilt: i2 = –1. Im oberen Beispiel ergeben sich die Lösung x1/2 = ±i , also x1 = i und x2 = –i.




Das Produkt der imaginären Einheit i mit einer reellen Zahl b, also i b, wird als imaginäre Zahl bezeichnet. Addieren wir zu einer imaginären Zahl i b eine reelle Zahl a, erhalten wir eine komplexe Zahl z = a + i b, wobei a als Realteil und b als Imaginärteil bezeichnet wird. Die Menge

{

}

C = a + i ⋅ b | a , b ∈ R ; i = −1

ist die Menge aller komplexen Zahlen. Zwei komplexe Zahlen heißen gleich, wenn sie im Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Während Sie eine reelle Zahl auf der Zahlengeraden (vgl. S. 4) veranschaulichen können, benötigen Sie zur Darstellung einer komplexen Zahl eine Ebene, wobei der Realteil auf der x-Achse (Achse Re) und der Imaginärteil auf der y-Achse (Achse Im) abgetragen wird: 1 In der technischen Literatur wird statt i der Buchstabe j verwendet. Die Definition von i über den Ausdruck nützlich und ausreichend.

− 1 ist zwar formal nicht korrekt, aber für praktische Zwecke

5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen

111

Im(z) z = a + ib b

Re(z) a

Beispiele: − Die Lösungen der Gleichung x2 + 9 = 0 sind die imaginären Zahlen 3i und –3i. − 4 + 2i ist eine komplexe Zahl. 4 ist der Realteil, 2 der Imaginärteil dieser Zahl. Im(z) z = 4 + 2i 2

Re(z) 4

− Betrachten wir die Lösung der Gleichung x2 – 4x + 20 = 0. Es ergibt sich mit der p-q-Formel: x1/2 = 2 ± 4 − 20 = 2 ± − 16 = 2 ± ( −1) ⋅ 16 = 2 ± 16 ⋅ ( −1) = 2 ± 4i Die eine komplexe Lösung lautet also x1 = 2 + 4i und die andere x2 = 2 – 4i. Wie zu sehen ist, treten komplexe Lösungen (bei der Suche nach Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten) immer paarweise auf. Die zweite Lösung ist dann jeweils die zur ersten Lösung konjugiert komplexe Zahl.




Ist z = a + ib eine komplexe Zahl, so heißt z = a – ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.

112

5 Komplexe Zahlen

Beispiele: − Ist z = 1 + 2i, so lautet die zu z konjugiert komplexe Zahl z = 1 – 2i. Die Zahl 1 ist der Realteil und die Zahl 2 der Imaginärteil von z. Die Zahl 1 ist der Realteil und die Zahl – 2 der Imaginärteil von z . − Ist z = 4 – 8i, so lautet die zu z konjugiert komplexe Zahl z = 4 + 8i. 4 ist der Realteil und –8 der Imaginärteil von z.




Rechnen mit komplexen Zahlen: (a) Addition / Subtraktion: Seien z1 = a + ib und z2 = c + id zwei komplexe Zahlen, so gilt: z1 + z2 = a + ib + c + id = a + c + i(b + d). Diese Summe hat somit den Realteil a + c und den Imaginärteil b + d. Beispiele: z1 = –4 + 8i; z2 = 10 – 12i. Dann gilt: z1 + z2 = –4 + 8i + 10 – 12i = 6 – 4i. z1 = 8 + 3i; z2 = 5 – 4i. Dann gilt: z1 – z2 = 8 + 3i – (5 – 4i) = 8 + 3i – 5 + 4i = 3 + 7i.




(b) Multiplikation: Seien z1 = a + ib und z2 = c + id zwei komplexe Zahlen, so gilt z1 ⋅ z2 = (a + ib) ⋅ (c + id) = ac + iad + ibc + i2bd. Wegen i2 =

(

−1

)

2

= −1 folgt:

z1 ⋅ z2 = ac + iad + ibc – bd = ac – bd + i(ad + bc). Somit hat das Produkt aus beiden komplexen Zahlen den Realteil ac – bd und den Imaginärteil ad + bc. Beispiele: z1 = –1 + 2i; z2 = 2 – 3i. Dann gilt z1 ⋅ z2 = (–1 + 2i) ⋅ (2 – 3i) = –2 + 3i + 4i – 6i2 = –2 + 7i – (–6) = 4 + 7i. z1 = 5 – 4i; z2 = 2 – i. Dann gilt z1 ⋅ z2 = (5 – 4i) ⋅ (2 – i) = 10 – 5i – 8i + 4i2 = 10 – 13i – 4 = 6 – 13i. i2 = –1, also i ⋅ i = –1. Daraus folgt: –i = 1/i. i3 = i ⋅ i2 = i ⋅ (–1) = –i ;

5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen i4 = i2 ⋅ i2 = (–1)⋅(–1) = 1.

113




Multiplizieren Sie eine komplexe Zahl z = a + ib mit deren konjugiert komplexen Zahl z = a – ib, ist das resultierende Produkt immer eine reelle Zahl: z ⋅ z = (a + ib) ⋅ (a – ib) = a2 – iab + iab – i2b2 = a2 + b2. Beispiel: z1 = 2 + 3i; z2 = 2 – 3i. Dann gilt: z1 ⋅ z2 = (2 + 3i) ⋅ (2 – 3i) = 4 – 3i + 3i – 9i2 = 4 + 9 = 13.




(c) Division: Seien z1 = a + ib und z2 = c + id ≠ 0 zwei komplexe Zahlen. Berechnet werden soll: z1 a + ib = . z2 c + id Durch Erweitern des Bruches mit dem konjugiert komplexen Nenner z2 wird der Nenner reell: z1 ( a + ib) ⋅ ( c − id ) ac + bd + i ( bc − ad ) = = . z2 ( c + id ) ⋅ ( c − id ) c2 + d 2

Beispiel: z1 = 2 + i; z2 = –1 + i. Dann gilt: z1 2+i ( 2 + i) ⋅ ( − 1 − i) = − 2 − 2i − i − i2 = − 1 − 3i = −0,5 − 1,5 i . = = z2 − 1 + i ( − 1 + i ) ⋅ ( − 1 − i ) 1+1 2 Aufgabe 38




114

5 Komplexe Zahlen

5.2 Polarkoordinaten Im(z)

Wie zu erkennen ist, kann eine komplexe Zahl

z = a + ib b

z = a + ib ≠ 0 auch eindeutig durch ihre Länge r (d.h. ihren Betrag | z | ) und ihren Winkel (ihr Argument) ϕ beschrieben werden.

r

ϕ Re(z) a

Betrag und Argument berechnen sich wie folgt:

r = |z| =

a 2 + b2 ; ϕ =

⎧ ⎛ b⎞ ⎟ ⎪arctan⎜ ⎝ a⎠ ⎪ ⎪90° ⎪ ⎛ b⎞ ⎟ ⎨180°+ arctan ⎜ ⎝ a⎠ ⎪ ⎪270° ⎪ ⎛ b⎞ ⎪360°+ arctan ⎜ ⎟ ⎝ a⎠ ⎩

falls a > 0, b ≥ 0 falls a = 0, b > 0 falls a < 0 falls a = 0, b < 0 falls a > 0, b < 0

Als Winkel ergeben sich Werte zwischen 0° und 360°. 1 Beispiel: Es sei z = 3 + 4i. Dann gilt: |z| = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 und ⎛ 4⎞ ϕ = arctan ⎜ ⎟ = 5313 , °, da a = 3 > 0 und b = 4 > 0. ⎝ 3⎠




1 Einige Taschenrechner liefern für das Argument einer komplexen Zahl Werte zwischen −180° und 180°. Beispielsweise entspricht 300° dem Winkel 300° − 360° = −60°.

5.2 Polarkoordinaten

115

Die Darstellung einer komplexen Zahl durch den Betrag und das Argument, genannt Darstellung in Polarkoordinaten, bringt Vorteile bei der Multiplikation komplexer Zahlen. Es gilt: z = a + ib = r⋅(cos(ϕ) + i⋅sin(ϕ)) mit r = |z|. Beispiel: z = 2 + 2i soll in Polarkoordinaten dargestellt werden. Hierzu müssen zuerst der Betrag und das Argument berechnet werden: ⎛ 2⎞ |z| = 2 2 + 22 = 4 + 4 = 8 und ϕ = arctan⎜ ⎟ = 45 °. Es ergibt sich: ⎝ 2⎠ z=




8 ⋅(cos(45°) + i⋅sin(45°)).

Die Multiplikation, Potenzierung und Division stellen sich in Polarkoordinaten einfach dar: Ist z1 = r1⋅(cos(ϕ1) + i⋅sin(ϕ1)) und z2 = r2⋅(cos(ϕ2) + i⋅sin(ϕ2)), gilt: z1⋅z2 = r1⋅r2⋅(cos(ϕ1 + ϕ2) + i⋅sin(ϕ1 + ϕ2)), z1/z2 = r1/r2⋅(cos(ϕ1 – ϕ2) + i⋅sin(ϕ1 – ϕ2))

(z2 ≠ 0).

Mit z = r⋅(cos(ϕ) + i⋅sin(ϕ)) gilt: zn = rn⋅(cos(n⋅ϕ) + i⋅sin(n⋅ϕ)), n ∈N .

Beispiele: Sei z1 = 8⋅(cos(30°) + i⋅sin(30°)) und z2 = 2⋅(cos(10°) + i⋅sin(10°)). Dann gilt: z1⋅z2 = 8⋅2⋅(cos(30° + 10°) + i⋅sin(30° + 10°)) = 16⋅(cos(40°) + i⋅sin(40°)), z1/z2 = 8/2⋅(cos(30° – 10°) + i⋅sin(30° – 10°)) = 4⋅(cos(20°) + i⋅sin(20°)). Sei z = 3⋅(cos(15°) + i⋅sin(15°)), dann gilt z3 = 33⋅(cos(3⋅15°) + i⋅sin(3⋅15°)) = 27⋅(cos(45°) + i⋅sin(45°)).

Aufgabe 39




6 Vektorrechnung In diesem Kapitel werden nur einige Aspekte der Vektorrechnung kurz angerissen.

6.1 Vektoren Im Rahmen der Kurvendiskussion haben wir mit Wertepaaren Punkte in der zweidimensionalen reellen Ebene (R2) eindeutig festgelegt. In der zweidimensionalen reellen Ebene werden ebenso Vektoren durch die Angabe von zwei Werten x1 und x2 (reellen Zahlen) definiert, die in der Regel in einer Klammer untereinander geschrieben werden: ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎝ x2 ⎠

r

x=⎜

mit x1, x2 ∈ R.

r

Es gilt: x ∈ R2.

Wie zu sehen ist, wird ein Vektor mit einem kleinen Buchstaben und einem Pfeil darüber dargestellt. Vektoren sind eindeutig durch ihre Länge und ihre Richtung definiert. Ein Vektor, der parallel verschoben wird und seine Länge behält, wird dadurch nicht verändert. Bestimmen wir den Vektor, der vom Punkt A = (1, 5) zum Punkt B = (2, 8) zeigt, so gilt: ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛ 1⎞ r x = AB = OA − OB = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟, ⎝ 8 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 8 − 5⎠ ⎝ 3⎠ wobei OA der Vektor vom Ursprung (Nullpunkt) zum Punkt A ist, der auch Ortsvektor von A genannt wird. Wie zu sehen ist, wird jeweils die erste und die zweite Koordinate der Punkte subtrahiert. Wollen Sie die Länge eines Vektors verdoppeln, muss jede Komponente mit 2 multipliziert werden, denn es gilt: r

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎝ x2 ⎠

r⋅x = r⋅⎜

⎛ r ⋅ x1 ⎞ ⎟ ⎝ r ⋅ x2 ⎠

=⎜

r

mit r ∈ R und x ∈ R2.

Die Zahl r wird hierbei als Skalar bezeichnet. Beispiel: ⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ 3⎠

2 ⋅⎜

⎛ 2 ⋅ 1⎞ ⎟ ⎝ 2 ⋅ 3⎠

=⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 6⎠

=⎜

.




6.2 Rechnen mit Vektoren

117

Vektoren gibt es nun nicht nur in der zweidimensionalen reellen Ebene R2, sondern auch in jedem beliebigen n-dimensionalen Raum Rn (n∈ N*):

Rn =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝xn⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 , x 2 ,..., x n ∈ R ⎬ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

6.2 Rechnen mit Vektoren Mit Vektoren sind auch bestimmte Rechenoperationen möglich. Zwei Vektoren r r x, y ∈R n werden addiert, indem jede Komponente der Vektoren addiert wird:

r

r

x+y =

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠

⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜. ⎟ +⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ yn⎠

=

⎛ x1 + y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn + yn ⎠

.

Die Addition von Vektoren ist kommutativ, d.h., Sie können bei der Addition die beiden Vektoren vertauschen und das Ergebnis ist das Gleiche. Beispiel: ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 5⎞ ⎛ − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ =⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2⎠

⎜ ⎝

4

⎟ ⎠

⎜ ⎝

2

⎟ ⎠




.

Bei der Multiplikation von Vektoren gibt es zwei Möglichkeiten. Neben dem Skalarprodukt existiert noch das Kreuzprodukt, welches hier nicht behandelt wird. r r

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren x, y ∈R n ist wie folgt definiert:

118

6 Vektorrechnung

r r

x⋅y =

⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x2 ⎟ ⎜y2 ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝xn ⎠ ⎝yn ⎠

= x 1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n .

Wie zu sehen ist, ergibt das Skalarprodukt aus zwei Vektoren eine reelle Zahl. Das Skalarprodukt ist wie die Addition von Vektoren kommutativ. Beispiel: ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⋅ ⎜ − 2⎟ = 1 ⋅ ( −4 ) + 3 ⋅ ( −2) + ( −2 ) ⋅ 4 = −4 − 6 − 8 = −18 ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ − 2⎠ ⎝

⎟

4⎠

⎛ − 4⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ − 2⎠




= −18 .

Das Skalarprodukt hat die folgende Eigenschaft: Das Skalarprodukt zwischen zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren ist genau dann gleich Null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Man sagt dann, die Vektoren sind orthogonal zueinander: r r

r r

x ⋅ y = 0 ⇔ ∠(x , y) = 90° .

Beispiel: ⎛ −1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = −4 + 4 = 0 . Also sind die beiden Vektoren ⎜ ⎟ und ⎜ ⎟ orthogonal zu⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2⎠ einander.




Aufgabe 40

6.3 Winkel zwischen Vektoren

119 r

r

Mit dem Skalarprodukt kann außerdem die Länge x eines Vektors x ∈R n bestimmt werden:

r

r r

x = x⋅x =

⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜x ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠

= x1x1 + x 2 x 2 +...+ x n x n = x12 + x 22 + ... + x 2n .

r

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Der zu x gehörige Einheitsvektor r x ist r . x Beispiel: ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2⎠

=

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2⎠

= 12 + 2 2 + ( −2) 2 = 3 ;

⎛ 1 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜− 2⎟ ⎝ 3⎠

ist ein Einheitsvektor.

Aufgabe 41

6.3 Winkel zwischen Vektoren r r

Für den Winkel ϕ zwischen zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren x, y ∈R n r r

x⋅y cos(ϕ) = r r x⋅y

gilt:

r

y ϕ

r

x

(0° ≤ ϕ ≤ 180°).




120

6 Vektorrechnung

Beispiel: r

Es seien x =

⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠

r r

x⋅y cos(ϕ) = r r = x⋅y

3

=

6 ⋅ 14

r

und y =

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠

⋅

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

= 0,3273

gegeben. Dann gilt:

=

1⋅ 3 + 2 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ 2 12 + 2 2 + ( −1) 2 ⋅ 32 + 12 + 2 2

⇒ ϕ = 70,89° .




Aufgabe 42

6.4 Geraden in Parameterform Wie wir bereits im Kapitel über Geraden beschrieben haben, kann durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade gelegt werden. Wir bestimmen zunächst eine Parameterform einer Geraden im R2 anhand eines Beispiels: Durch die zwei Punkte A = (2, 1) und B = (3, 3) soll eine Gerade gelegt werden. Bei der Bestimmung der Geradengleichung in Parameterform wird zunächst einer der beiden Punkte (ob A oder B ist egal) als "Aufpunkt" festgelegt. Wählen wir A als v Aufpunkt und bezeichnen mit a den Vektor vom Ursprung zum Aufpunkt, so gilt: r

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 1⎠

a = OA = ⎜

.

v Zusätzlich wird der sogenannte Richtungsvektor v berechnet, welcher von einem der beiden Punkte zum Anderen zeigt und sich somit aus der Differenz der beiden Ortsvektoren der Punkte A und B ergibt. Wir berechnen den Richtungsvektor mit r

⎛ 3⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟−⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠

v = AB = OB − OA = ⎜⎜

Daraus ergibt sich die Gleichung der Geraden in Parameterform aus:

6.4 Geraden in Parameterform r

r

⎛2⎞ ⎛1⎞ ⎟ + t ⋅⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝1⎠ ⎝ ⎠

g : a + t ⋅ v = ⎜⎜

121

mit t ∈ R.

g

4 B r

2 A

r

v

a 1

2

3

4

-2

Wenn nun ein Wert für den Parameter t eingesetzt wird, erhalten Sie einen Punkt auf der Geraden. Wie zu sehen ist, wird dabei der Richtungsvektor jeweils um den Faktor t verlängert oder verkürzt. Somit erhalten Sie, falls für t alle möglichen Zahlen (natürlich reelle) eingesetzt werden, die gesamte Gerade. Wir wollen nun einen Punkt auf der Geraden g berechnen, indem wir in unserem Beispiel für t = 2 einsetzen, d. h., der Richtungsvektor wird um den Faktor 2 gestreckt: ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ 2⎠

+ 2⋅⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 1⎠

=⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 4⎠

+⎜

⎛ 4⎞ ⎟ ⎝ 5⎠

=⎜

.

Wir können auch prüfen, ob z.B. der Punkt C = (1, -1) auf der Geraden g liegt. Dazu stellen wir folgende Gleichung (mit Vektoren) auf: ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠

? ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

=

⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

.

Es ergeben sich nun daraus zwei Gleichungen mit der Unbekannten t: I) 1 = 2 + t II) −1 = 1 + 2t

122

6 Vektorrechnung

Nun muss mit einer der beiden Gleichungen (wir wählen die Gleichung I) t berechnet werden. Das Ergebnis wird dann in die andere Gleichung (in unserem Fall die Gleichung II) eingesetzt. Falls die Lösung der einen Gleichung auch die andere Gleichung löst, liegt der entsprechende Punkt auf der Geraden. Im anderen Fall liegt dieser Punkt nicht auf der Geraden. Aus I folgt: t = −1. Setzen wir dies in Gleichung II ein, ergibt sich: −1 = 1 − 2 bzw. −1 = −1 Somit ist t = −1 eine Lösung beider Gleichungen, womit der Punkt C = (1, −1) auf der Geraden liegt. Bei Geraden in Parameterform ist zu beachten, dass eine Gerade nicht nur eine, sondern unendlich viele Parameterdarstellungen hat. Wir hätten auch in unserem Beispiel den Punkt B als Aufpunkt wählen können oder irgend einen Punkt, der auf der Geraden liegt (wie z. B. den oben angegebenen Punkt C). Genauso gut kann auch der Richtungsvektor gestreckt (oder gestaucht) werden, womit sich ein neuer Richtungsvektor ergibt, der zur gleichen Geraden gehört. Weiterhin ist zu bemerken: -

Wird eine Gerade in Parameterform (wie oben beschrieben) berechnet, erhalten Sie für t∈ [0; 1] den Geradenteil, der zwischen den Punkten A und B verläuft. Setzen Sie t = 0 ein, erhalten Sie den Punkt A. Setzen Sie t = 1 ein, so erhalten Sie den Punkt B. Wollen Sie zu einer gegebenen Gerade g eine parallele Gerade g' bestimmen, die durch einen Punkt Q geht, wählen Sie Q als Aufpunkt der Geraden g' und verwenden den Richtungsvektor von g.

Wir wollen die Berechnung von Geradengleichungen in Parameterform nochmals für beliebige Punkte A und B im allgemeinen n-dimensionalen Raum Rn (n∈N, n > 2) angeben: Sind zwei Punkte A und B gegeben, dann kann die Gerade g in Parameterform wie folgt dargestellt werden: r

r

g : OA + t ⋅ AB = OA + t ⋅ (OB − OA) = a + t ⋅ v mit t ∈ R. r

a ∈ Rn ist der Ortsvektor von A und r v ∈ Rn der Richtungsvektor.

Aufgabe 43

7 Übungsaufgaben 7 Übungsaufgaben

Aufgabe 1: I) Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar. a) { x | x ist eine natürlich Zahl kleiner als 10 und größer 4 } b) { x | x ist eine ungerade Zahl, die kleiner als 7 ist } c) { x | x ist eine ganze Zahl, die kleiner als 5 und größer als 4 ist } II) Wie lautet die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge? a) {5; 8; 9} ∩ {9; 20; 31; 40} b) {–3; 10; 25; 30} ∩ {10; 11; 15; 25; 40} c) {5; 8; 9; 20; 30; 50} ∪ {1; 2; 5; 7; 8; 9; 10} d) {–5; –2; 0; 1; 7} ∪ {1; 2; 3; 4} e) {x ∈ Z | x ≥ 10} ∩ {x ∈ Z | –5 < x < 14} f) {x ∈ Z | x > –2} ∩ {x ∈ Z | x < 5} g) {x ∈ Z | 10 ≤ x ≤ 15} ∪ {x ∈ Z | 8 < x < 12} h) {x ∈ R | x ≥ 10} ∪ {x ∈ R | –7 < x < 14} i) Z ∩ N III) Stellen Sie die folgenden Mengen in Intervallschreibweise dar. a) { x | x reell und x ungleich 4 } b) R \ {−1; 0; 1} c) { x∈R | 4 < x ≤ 15 } IV) Von 320 Schülerinnen haben 250 zu Hause ein eigenes Radiogerät, 130 einen eigenen Fernseher, während 40 weder einen eigenen Fernseher noch ein eigenes Radio besitzen. Wie viele Schülerinnen haben einen eigenen Fernseher und ein eigenes Radio? Aufgabe 2: I) Welche der folgenden Ausdrücke sind Aussagen? a) 6 > 8 b) 6x+7 = 12 c) 8 II) Welche Aussagen sind wahr? a) N ⊂ Z b) N ⊂ R c) {1; 2; 3} ⊂ {–1; 2; 3} d) {5; 7; 9} ⊂ {–1; 5; 7; 9; 10} e) {x ∈ Z | 10 ≤ x ≤ 15} ⊂ {x ∈ Z | 5 < x < 30} f) {x ∈ Z | 10 ≤ x ≤ 15} ⊂ R g) {x ∈ Z | 5 ≤ x ≤ 15} ⊂ {x ∈ Z | 2 < x < 15} h) x∈ R und x < 7 x∈ R und x < 9 i) x∈ R und x < 9 x∈ R und x < 7

fl fl

Aufgabe 2A: Drücken Sie die folgenden Aussagen mit Quantoren aus: a) Zu jeder natürlichen Zahl n existiert eine reelle Zahl x, so dass die Wurzel aus der natürlichen Zahl n gleich der reellen Zahl x ist. b) Zu jeder natürliche Zahl n existiert eine reelle Zahl x, so dass der dritte Teil von n gleich x ist.

124

7 Übungsaufgaben

c) Zu jeder natürlichen Zahl n existiert eine natürliche Zahl m, so dass n < m ist. d) Zu je zwei natürlichen Zahlen n und m existiert eine rationale Zahl q, so dass der Quotient aus den beiden natürlichen n und m die rationale Zahl q ergibt. Aufgabe 3: I) Berechnen Sie die folgenden Quotienten, Produkte, Summen und Differenzen: a) –5 ⋅ (–2) b) 3 ⋅ (–7) c) –10 : (–5) d) 10 : (–2) e) 0,25 ⋅ (–4) ⋅ (–7) f) –4 + (–10) g) 2 ⋅ (15 – 30) h) (–10 – 5) ⋅ (–2) i) –5 – (–6 – 2) II) Aufgaben zur Bruchrechnung: d) c) a) b) 5 6 1 2 11 2 1 ⎛ 6 1⎞ ⋅ + + ⋅⎜ − ⎟ 2 3 20 3 3 2 3 ⎝ 20 5⎠ 2− 2 3 4 ⎛ 10 ⎞ 1 − 25 1 ⎛ 5 ⎞ + − ⋅⎜− ⎟ 0 4 − ⋅ − + , ⎜ ⎟ 7 9 5 ⎝ 8⎠ ⎠ 5 ⎝ 8 3 1 − 1 1 4 ⎛ 5⎞ 2 − 1 2 ⎛ 1 1⎞ :⎜ ⎟ − :⎜ − ⎟ 8 10 9 ⎝ 3⎠ 4 2 3 ⎝ 3 5⎠ 5 −3 − 1 − ( − + 4) 3 15 ⎛2 ⎞ ⎛ 1 3⎞ − ⋅ 0,15 2 0 2 , − ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 6 4− 2 ⎝5 ⎠ ⎝ 3 5⎠ III) Wandeln Sie die folgenden Dezimalzahlen in einen Bruch um: d) 0,4 e) 0, 5 f) 0,241 a) 0,15 b) 10,25 c) 0, 157 g) 0,157

h) 0, 65

i) 0,225

j) 1,15

Aufgabe 3A: I) Schreiben Sie mit Zehnerpotenzen (Beispiel: 123 = 1,23 · 102) a) 153 b) 123456 c) 0,01 d) 0,00185 e) 0,110 II) Berechnen Sie: a) 16

1

b) 25 2

1

3

− 64

3 − 3 12 ) 2

c)

c) 125 3

d)

III) Berechnen Sie (exakt): a)

3

12

b) ( 4

e)

3

3 2 −1

64

− 18

d)

3

18

12

4

3

36

Aufgabe 4: I) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 2a + 3b – 5a + 2b b) x – 5y – 10x + 3y c) 2(2x – y) – (5x – 4y) d) –(5x – 4y) – 4(10x – y) + (2x – y) e) –20(1/4x – 2/5y) – (–5x + y) f) –2ab + 4ab – 20a – 5ab + 5a g) 2x(3y – 5z) – 2y(–5x – 2z) h) a(5b – 2) – 3a(–4b – 10) II) Klammern Sie so viel wie möglich aus: a) 5x – 20y b) 5a – 20b + 40d e) 5ab2 – 20ab + 30a2b d) 5x2 – 10x

c) –2a – 10b – 20c

7 Übungsaufgaben

125

III) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Potenzgesetze: a) a3a4 d) –b5b–1(–4)b9

b) x7x–3 e) a4b3a7b2 a8 h) 3 a

g) x3y–5x2y2 4x7 2x3

j)

c) 4a52a7 f) –2x3(–2)y5(–1)x7y2 x8 i) − 2 x

k)

8x 9 y 7 2 xy 3

l)

3a 5b −8 2a 10 b 3 9a 15b −5 36a − 8 b −10

m)

4a 4 b10 c −5 2 a 8 b − 5c − 6

n)

15a 3 b 9 c8 3a 5b11

o)

p)

9a15 b −5 18ab 7

q)

( x − y)5 ( x − y) 3

r) 2(ab) 7 − a 7 b 7

(

)

t) ( a − 2 b)

⎛ a3 ⎞ ⎜ ⎟ 6 ⎝b ⎠

2

s) a 3 b 2 v)

8

w)

−5

⎛ a2 b− 2 ⎞ ⎜ ⎟ 6 ⎝ 2c ⎠

u)

3 2 ⎛ 2a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ 2⎠

x)

⎛ a 5b 8 ⎞ ⎜ ⎟ −3 ⎝ b ⎠

−5

3

⎛ 5a − 2 b5 ⎞ ⎜ ⎟ 2 5 ⎝ 8b c ⎠

y)

6

IV) Schreiben Sie mit Wurzelzeichen: a) x1/5 b) y2/3 c) a1/8 d) (ab)2/5 e) x0,25 f) a0,1 V) Fassen Sie die folgenden Ausdrücke zusammen und wenden Sie die Potenzgesetze an: a) a3b2 + a7b½ b) a2a + bbb3 c) xy3xyx7 –2xy6(–5)x 2x5 25y8 36a 5 8b 7 x3 y9 d) 5 ⋅ e) f) ⋅ ⋅ 5y 6 4x − 2 y x 4b5 9a10 g)

x3 x3 : y5 y10

h)

2x10 4 x 2 : 3y − 5 9 y8

i)

8 x −5 7 x − 3 : 3y 2 5y

j)

⎛ a2 ⎜ 5 ⎝b

+

a ⎞ a7 ⎟: b −3 ⎠ b−5

Aufgabe 5: I) Wenden Sie die Logarithmengesetze an und vereinfachen Sie, wenn möglich: a) ln(a2)

b) ln(a⋅x)

f) ln⎜⎛ b a 3 ⎟⎞ g) ln(x–5y3z2) ⎝

⎛ a3 ⎞ ⎟ 5 ⎝b ⎠

k) ln⎜

⎠

⎛5

l) ln⎜⎜

a⎞

⎟ 8 ⎟ ⎝ b ⎠

e) ln(a) – ln

h) ln(e2) – ln(e) i) ln(e4 e–2)

j) ln⎜

⎛ a −4 ⎞ ⎟ −8 ⎝b ⎠

– ln(5) m) ln⎜

II) Vereinfachen Sie ohne Taschenrechner a) lg(106)

b) log 2 ( 64)

( a)

c) ln(a–2)+ln(a) d) ln(a2b2)

( )

c) log 7 49 3

a⎞ ⎟ ⎝ b⎠ ⎛

+ ln(b)

a5b 7 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎟ o) ln⎜ ⎟ 3 −9 ⎝ b 7 c8 ⎠ ⎝c d ⎠ ⎛

ln(a) n) ln⎜

d) log6 (18+18)

e) ln( e )

III) Berechnen Sie mit Hilfe von ln(2) = 0,693147 den Wert von ln(0,25).

126

7 Übungsaufgaben

Aufgabe 6: I) Wie lautet das Bildungsgesetz der jeweiligen Folgen? a) 1, 4, 9, 16, 25, ... b) 4, 8, 12, 16, 20, ... c) 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, ... d) 1/2, 1/4 ,1/6, 1/8, ... e) 1, -2, 4, -8, 16, ... Welche der Folgen sind arithmetische Folgen, welche sind geometrische Folgen? II) Stellen Sie die folgenden Summen bzw. Produkte mit dem Summen- bzw. Produktzeichen dar: c) ½ + ¼ + 1/6 + 1/8 a) 2 + 4 + 6 + 8+10 b) 20 + 21 + 22 + 23 d) 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 e) 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 f) 5⋅10⋅15⋅20 III) Oma Meier schenkt ihrem Enkel Florian jede Woche einen kleinen Geldbetrag. In der ersten Woche sind es 5 Cent, in der zweiten Woche 10 Cent, in der dritten dann 20 Cent. Jede Woche verdoppelt Oma Meier den Betrag. Nach welcher Woche hat Enkel Florian 51,15 Euro zusammen? IV) Wie viele Glieder der Folge 14, 18, 22, 26, ... ergeben die Summe 144? V) Herr Steinreich zahlt auf das Sparbuch seines Sohnes Genius 200 Euro ein. Er will jedes Jahr weiter Geld einzahlen, und zwar genau das Doppelte des Betrags, den er im Vorjahr eingezahlt hat. Wie viele Jahre muss Herr Steinreich noch einzahlen, damit er insgesamt eine Million Euro eingezahlt hat? (Berechnung ohne Zinsen) VI) Sissa Ibn Dahir, der angebliche Erfinder des Schachspiels, durfte vom indischen König Schiram eine Belohnung für sich selbst wählen. Er bat um die Summe der Weizenkörner, die sich ergibt, wenn für das erste Feld des Schachbretts 1 Korn, für das zweite 2 Körner, für das dritte 4 Körner usw. gerechnet wird. Wie viele Weizenkörner ergaben sich insgesamt bei den 64 Feldern? VII) Dass Textaufgaben manchmal gar nicht so kompliziert zu lösen sind, wie sie erscheinen, wird an folgender Aufgabe und deren Lösung deutlich: Ein Jäger kehrt mit seinem Hund nach Hause zurück. Als beide noch 500 m vom Haus entfernt sind, läuft der Hund voraus, kehrt am Haus wieder um und läuft zurück zu seinem Herrn. Dann läuft er wieder heim usw. Welchen Gesamtweg legt der Hund zurück, wenn er die dreifache Geschwindigkeit seines Herrn hat? Aufgabe 6A: I) Berechnen Sie 5 3 k →∞ k

a) lim

c) lim ( −2) k

k +1 k →∞ k

b) lim

II) Berechnen Sie die Summe

4 3

−

k →∞ 8 + 16 − 32 m... 9 27 81

d) lim (− 12 ) k k →∞

.

Aufgabe 7: I) Aufgaben zur binomischen Formel mit der Potenz n = 2: a) (2x + y)2 d)

( 23 x − 12 y)

2

b) (3x – 2y)2

c) (5v + 3w)2

e) (–2a – 7b)2

f) (2a2b + 5c3)2

g) (ab2 – 5ab)2 h) (2x – y)(2x + y) j) (ab – 4cd)(ab + 4cd) k) (–5x + y)(–5x – y)

i) (5a – 7b)(5a + 7b) l) (x – 3y)(x + 3y) – (2x – 4y)2

7 Übungsaufgaben

127

II) Aufgaben zur binomischen Formel mit der Potenz n > 2: c) (3x – 5y)3 d) (a + b)5 a) (2x + y)3 b) (2x + 3y)3 III) Erweitern Sie die folgenden Brüche derart, dass die Wurzel im Nenner verschwindet: 1 1 4 b b) c) d) a) 8 2 −1 5+2 a+ b Aufgabe 7A: Berechnen Sie a)

⎛ 70⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

b)

⎛ 8⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

c)

⎛ 8⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

d)

⎛ 8⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

e)

Aufgabe 7B: Folgende Winkel sind in Grad bzw. Bogenmaß anzugeben: a) 10° b) 270° c) 80,25° d) 80° 6’ 36’’ e) π6 f) 1,25

⎛ 14⎞ ⎛ 14⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 10⎠ ⎝ 11⎠

f)

⎛ 10⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 7⎠

3!

g) 1

Aufgabe 8: I) Berechnen Sie mit der Formel des Pythagoras die fehlenden Seiten (γ = 90°): a) a = 3cm; b = 4cm b) c = 8cm; b = 4cm c) c = 5cm; a = 2,8cm d) a = 6cm; b = 7,8cm e) b = 4,9cm; c = 9cm II) Berechnen Sie die übrigen Seiten und Winkel in den folgenden rechtwinkligen Dreiecken: a) a = 5cm; b = 3cm; γ = 90° b) c = 8,5cm; b = 3,9cm; γ = 90° c) c = 8,5cm; α = 30°; γ = 90° d) a = 8cm; b = 3,5cm; α = 90° e) c = 5cm; a = 10cm; α = 90° f) c = 4,8cm; γ = 42°; β = 90° III) Berechnen Sie mit dem Sinussatz die übrigen Teile des Dreiecks: a) α = 20°; γ = 60°; a = 5cm b) γ = 40°; a = 5cm; c = 6,5cm c) β = 70°; a = 4cm; b = 9cm d) γ = 75°; b = 2,5cm; c = 8cm IV) Berechnen Sie mit dem Kosinussatz die übrigen Teile des Dreiecks: a) γ = 70°; a = 4cm; b = 2,5cm b) β = 56°; a = 2,5cm; c = 4cm c) a = 4cm; b = 5,6cm; c = 7cm d) β = 70°; a = 4,5cm; c = 6,3cm Aufgabe 8A: I) Ein elf Meter hoher Baum wird vom Sturm geknickt. Die Spitze des abgebrochenen Teils berührt drei Meter vom Stamm des Baums entfernt die Erde. In welcher Höhe wurde der Baum geknickt? II) Gegenüber einem Hotel wird ein Parkplatz angelegt, der die Form eines rechtwinkligen Dreiecks besitzt (vgl. Abb. auf der nächsten Seite). Der Parkplatz hat an der Seite des Hotels eine Länge von 50 m und an der Hauptstraße eine Länge von 90 m. a) Welche Länge hat der Parkplatz an der Querstraße? b) Welchen Flächeninhalt hat der Parkplatz?

128

7 Übungsaufgaben Hauptstraße Hotel

Parkplatz Querstraße

Aufgabe 8B: I) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) 5x – 5 = 30 b) –5x + 10 = 10x – 5 c) 2x + 5 = 25 + 4x d) 2(x – 4) = –2(x – 20) e) –(4x – 2) = –4(2x + 10) f) x + 2 – (2x + 4) = 10 – (3x + 8) g) 5x – 2(3x + 4) = 3x – (x – 12) h) 5x – 4 = 5x + 8 i) 9x +27 = 3 (3x+9) (Grundmenge R) II) Wie viel wiegt ein Stein, wenn sein Gewicht 6 Pfund plus die Hälfte von seinem Gewicht ist? III) Ein Landwirt kam auf den Markt mit einigen Melonen. Er verkaufte die Hälfte seiner Melonen und noch eine halbe Melone dazu. Zum Marktschluss hatte er noch vier ganze Melonen. Mit wie vielen Melonen kam er auf den Markt? IV) Wie viel Liter 76%igen Alkohol sind mit 265 Liter 41%igem Alkohol zu mischen, um 51%igen Alkohol zu erhalten? V) Der Preis einer Ware wurde um 10% gesenkt und beträgt jetzt 1,17 Euro. a) Wie viel kostete die Ware vorher? b) Um wie viel Prozent hätte die Ware gesenkt werden müssen, damit sie dann genau einen Euro gekostet hätte? VI) 4 Arbeiter erstellen in 4 Stunden eine 4 Meter lange Mauer. Wie lang ist die Mauer, die 8 Arbeiter in 8 Stunden erstellen? Aufgabe 9: I) Bestimmen Sie die Lösungsmenge und legen Sie den Definitionsbereich fest: 2 1 x+4 2 1 d) e) = 1 c) = −2 = =0 a) 1x = 2 b) x−4 x+1 x+1 x−2 x +1 II) Eine Motorradfahrerin ist gezwungen an einer Tankstelle zu tanken, die keine Mischsäule hat. Der Tank des Motorrads fasst noch 13 Liter, das Mischungsverhältnis (Öl : Benzin) muss 1 : 25 sein. Wie viel Liter Benzin und wie viel Liter Öl muss sie tanken, um den Tank vollständig zu füllen? Aufgabe 10: Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Wurzelgleichungen: a)

2x + 1 = 4

b) 2 x − 3 = x + 5

c)

x −1 −5 = 7 .

7 Übungsaufgaben

129

Aufgabe 11: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichungen: a) x2 – 8x – 9 = 0 b) –x2 + 2x – 1 = 0 c) x2 – 4x = - 10 2 2 e) x = 0,5x + 2 f) 2x2 – 4x – 16 = 0 d) x – 3x = 0 Aufgabe 12: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden kubischen Gleichungen: a) x3 + 8 = 0 b) x3 – 9x = 0 c) 4x3 – 8x = 0 3 2 3 2 e) x – x – 10x – 8 = 0 f) 2x3 – 2x2 – 34x = 30 d) x – 2x – x + 2 = 0 Raten Sie bei d) bis f) eine Lösung und wenden Sie dann die Polynomdivision an. Aufgabe 12A: I) Die Wohnbevölkerung einer Stadt ist in den letzten zehn Jahren von 104.000 auf 124.000 Einwohner gestiegen. a) Wie hoch war das durchschnittliche prozentuale Wachstum pro Jahr? b) Wie hoch wird die Einwohnerzahl in zehn Jahren sein, wenn ein gleichbleibendes Bevölkerungswachstum unterstellt wird? II) Der Besitzer eines Tante-Emma-Ladens hat mit einem Jahresumsatz von 500.000 Euro einen regionalen Marktanteil nur 2%. Durch Werbemaßnahmen und viel Engagement rechnet er für die nächsten fünf Jahre mit einer jährlichen Steigerung des eigenen Umsatzes um 10%. Wie hoch ist der Marktanteil des Tante-Emma-Ladens, wenn a) der Gesamtumsatz in der Region über die betreffenden fünf Jahre konstant bleibt? b) der Gesamtabsatz jährlich um 2% schrumpft? Aufgabe 13: I) Lösen Sie die folgenden Gleichungen: b) 4 = 2e3x c) 1 = ln(2x + 1) d) 5 = 3x e) 2 = 40,1x a) 1 = ex 2x f) 10 = 5 g) 5 = 2ln(1 + x) h) 4 = e5x ⋅ e2x+1 II) Wie viele Stellen hat die jeweilige Zahl a) 105 b) 1012 – 1 c) 237 ? Aufgabe 14: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen nach x auf: a) 2x – 4 < 10 b) 3x – 12 > 6x + 21 c) –4 (x + 10) > –2 (x + 8) d) 3x – 5 (x – 3) > – (–5x – 10) e) –4x – (–3x + 5) ≥ 8x – 7 1 1 −2 g) h) –7} i) N III) a) (−∞; 4) ∪ (4; ∞) b) (−∞;−1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (0; ∞) IV) 100 Schülerinnen

c) (4; 15]

Lösung Aufgabe 2: I) a) Aussage b) keine Aussage, sondern Aussageform c) keine Aussage II) a) wahr b) wahr c) falsch d) wahr e) wahr f) wahr g) falsch h) wahr i) falsch Lösung Aufgabe 2A: a) ∀

∃

n ∈N x∈R

n=x

n =x n ∈N x∈R 3

b) ∀

Lösung Aufgabe 3: I) a) 10 b) –21 c) 2 II) a) 1 13 21 1 40 1 11 − = −5 2 2 3 III) a) 20 239 f) 990

∃

d) –5

c) ∀

∃ n < m d) ∀

f) –14

b) 1 2 1 4 15

1 = −0,025 40 41 1 b) = 10 4 4 157 g) 1000

n , m∈N q ∈Q

n ∈N m∈N

e) 7

−

c) h)

Lösung Aufgabe 3A: I) a) 1,53 · 102 b) 1,23456 · 105 c) 10–2 II) a) 4 b) 5 c) 5 d) –4 e) 4 III) a) 6 b) 12 c) 3 d) 6

157 999

65 99

∃

g) –30

h) 30

c) 1 30 9 = 0,045 200 −5 4 − = −0,053 75 2 d) 5 223 i) 990

n =q m

i) 3 d) 4 4 4 e)

5 9

j)

23 20

d) 1,85 · 10–3 e) 1,1· 10–1

8 Lösungen

137

Lösung Aufgabe 4: I) a) –3a + 5b b) –9x – 2y c) –x + 2y d) –43x + 7y e) 7y f) –3ab – 15a g) 16xy – 10xz + 4yz h) 17ab + 28a II) a) 5(x – 4y) b) 5(a – 4b + 8d) c) –2(a + 5b + 10c) d) 5x(x – 2) e) 5ab(b – 4 + 6a) III) a) a7 b) x4 c) 8a12 d) 4b13 e) a11b5 f) –4x10y7 g) x5y–3 h) a5 i) x10 j) 2x4 k) 4x8y4 l) 3/2 a–5 b–11 m) 2a–4 b15 c n) 5 a–2 b–2 c8 o) ¼ a23 b5 p) ½ a14 b–12 r) a7b7 s) a 24 b16 t) a10b–5

q) (x – y)2

w) 2 5 a −10 b 10 c 30

IV) a)

5

x

b)

3

x) a15b33

y2

c)

8

a

u) 2a 3 b −1

v) a 6 b −12

y) 56 8 −6 a −12 b18 c −30 = (0,625) 6 a −12 b18 c −30

d)

5

(ab) 2

e) x1/ 4 = 4 x

f) a1/ 10 = 10 a

d) x2y4 V) a) Keine Zusammenfassung möglich b) a3 + b5 c) x9y4 +10x2y6 3 40 –2 –1 e) 5/2x7y2 f) 8a–5b2 g) y5 h) x8y13 i) x y j) a–5b–10 + a–6b–2 2 21 Lösung Aufgabe 5: I) a) 2⋅ln(a) b) ln(a) + ln(x) c) –ln(a) d) 2⋅ln(a) + 2⋅ln(b)

(

)

e) ln(a1/2) = ½⋅ln(a) f) ln b ⋅ a 3/ 2 = ln(b) + 3/2⋅ln(a) g) –5⋅ln(x) + 3⋅ln(y) + 2⋅ln(z) h) 1 i) 2 j) ln(a) k) ln(a3) – ln(b5) = 3⋅ln(a) – 5⋅ln(b) l) ½ ⋅ln(a) – 8⋅ln(b) m) (–4⋅ln(a) + 8⋅ln(b) ) ln(a) n) 5⋅ln(a) + 7⋅ln(b) –3⋅ln(c) + 9⋅ln(d) o) ln(10) – 7⋅ln(b) – 8⋅ln(c) II) a) 6 b) 6 c) 6 d) 2 e) ½ III) ln(0,25) = –1,386294 Lösung Aufgabe 6: I) a) ak = k2 , k = 1, 2, 3, ... b) ak = 4k, k = 1, 2, 3, ... ; arithm. Folge 1 c) ak = 5 − k, k = 1, 2, 3, ... ; arithm. Folge d) ak = , k = 1, 2, 3, ... 2k e) ak = (−2)k, k = 0, 1, 2, ...; geom. Folge II) a)

5

∑

2k

k =1

b)

∑ 3

k= 0

2k

c)

∑ 4

1 2 k k=1

d)

∑ 6

1

2 k= 3 k

e)

6

∏ k =1

k

f)

4

∏ 5k k =1

III) 10 Wochen IV) 6 V) Nachdem Herr Steinreich 200 Euro gezahlt hat, muss er noch 12 weitere Male einzahlen, um über eine Million Euro eingezahlt zu haben. VI) 264 – 1 = 1,84 · 1019 VII) Die Antwort ist einfach: 3 mal 500 m, also 1,5 km. Lösung Aufgabe 6A: I) a) 0 b) 1 c) existiert nicht

d) 0

II)

4 5

138

8 Lösungen

Lösung Aufgabe 7: b) 9x2 – 12xy + 4y2 c) 25v2 + 30vw + 9w2 I) a) 4x2 + 4xy + y2 2 2 2 2 d) 4/9x – 2/3xy + 1/4y e) 4a + 28ab + 49b f) 4a4b2 + 20a2bc3 + 25c6 g) a2b4 – 10a2b3 + 25a2b2 h) 4x2 – y2 i) 25a2 – 49b2 j) a2b2 – 16c2d2 k) 25x2 – y2 l) x2 – 9y2 – (4x2 – 16xy + 16y2) = –3x2 + 16xy – 25y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 II) a) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 3 2 2 c) 27x – 135x y + 225xy – 125y3 d) a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 b( a − b ) 8 III) a) b) 2 + 1 c) 4 5 − 8 d) 8 a2 − b Lösung Aufgabe 7A: a) 70 b) 56 c) 56

d) 1 e)

⎛ 15⎞ ⎛ 15⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 11⎠ ⎝ 4 ⎠

= 1365 f ) 720

Lösung Aufgabe 7B: a) 0,175 b) 4,712 c) 80° 15’ = 1,401 d) 80,11°=1,398 e) 30° f) 71,620° = 71° 37’ 11’’ g) 57,296° = 57° 17’ 45’’ Lösung Aufgabe 8: I) a) c = 5cm b) a = 6,928cm c) b = 4,142cm d) c = 9,840cm e) a = 7,549cm II) a) α = 59,04°; β = 30,96°; c = 5,83cm b) α = 62,69°; β = 27,31°; a = 7,55cm c) β = 60°; a = 4,25cm; b = 7,36cm d) β = 25,94°; γ = 64,06°; c = 7,19cm e) β = 60°; γ = 30°; b = 8,66cm f) α = 48°; a = 5,33cm; b = 7,17cm III) a) β = 100°; b = 14,40cm; c = 12,66cm b) α = 29,63°; β = 110,37°; b = 9,48cm c) α = 24,69°; γ = 85,31°; c = 9,55cm d) α = 87,43°; β = 17,57°; a = 8,27cm IV) a) α = 73,24°; β = 36,76°; c = 3,93cm b) α = 38,54°; γ = 85,46°; b = 3,33cm c) α = 34,82°; β = 53,08°; γ = 92,10° d) α = 41,61°; γ = 68,39°; b = 6,37cm Lösung Aufgabe 8A: m = 5,091 m I) 56 11

II)

a) 102,96 m b) 2250 m2

Lösung Aufgabe 8B: I) a) {7} b) {1} c) {–10} d) {12} e) {–10,5} f) {2} II) 12 Pfund III) 9 Melonen V) 1,30 Euro; 23,07692% VI) 16 m

g) {–20/3}

h) {} i) R IV) 106 Liter

Lösung Aufgabe 9: I) a) D= R \ {0}; L = {0,5} b) D = R \ {4}; L = {5} c) D = R \ {–1}; L = {–2} d) D = R \ {–1; 2}; L = {5} e) D = R \ {–1}; L = { } II) 0,5 l Öl und 12,5l Benzin Lösung Aufgabe 10: a) {7,5} b) {17/3} c) {145}

8 Lösungen

139

Lösung Aufgabe 11: a) {–1; 9} b) {1} c) {}

d) {0; 3}

Lösung Aufgabe 12: a) {–2} b) {–3; 0; 3} c) {– 2 ; 0;

e) {–1,186; 1,686}

f) {–2; 4}

2 } d) {–1; 1; 2} e) {–2; –1; 4} f) {–3; –1; 5}

Lösung Aufgabe 12A: I) a) 1,774% b) ungefähr 73923 Einwohner

II) a) 3,221% b) 3,563%

Lösung Aufgabe 13: I) a) 0 b) ln(2)/3 = 0,231 c) (e – 1)/2 = 0,859 d) ln(5)/ln(3) = 1,465 e) 5 f) ln(10)/(2⋅ln(5)) = 0,715 g) e5/2 – 1 = 11,182 h) (ln(4) – 1)/7 = 0,055 II) a) 6 Stellen b) 12 Stellen c) 12 Stellen Lösung Aufgabe 14: a) x < 7 b) x < –11 c) x < –12 d) x < 5/7 = 0,71429 e) x ≤ 2/9 = 0,2 f) x > –12,5 g) D = R \ {–4}; x > –3,8 oder x < –4 h) D = R \ {2; –1}; x < –1 oder 1,4 ≤ x < 2 Lösung Aufgabe 14A: I) a) x = 1; y = 2 b) x = 1; y = 1 c) x = –10; y = 3 d) keine Lösung II) Milch: 0,90 Euro; Bleistift: 0,40 Euro III) 20 Euro, 24 Euro. IV) L = x · B; nach dem Falten: B = x· L/2. Also x = 2 . V) Vera hat 5 €, Marion hat 7 €.. Lösung Aufgabe 14B: a) x = –0,75; y = 0,5; z =1,25

b) x = 1; y = 1,5; z = 3 c) x = 5; y = 6; z = 7

Lösung Aufgabe 15: 7.5 2x+1 5 2.5 -4

-2

2 -2.5 -5

II) a) 0,75 b) 4 c) 5 d) x = 0,8 III) a) y = 2x + 3 b) y = –3x – 7 c) y = 1,2x + 5,6 d) y = –x + 2 IV) a) fA(x) = 1000 + 0,1x; 4 fB(x) = 2000 + 0,08x b) Bei Umsatz unter 50000 Euro.

Lösung Aufgabe 15A: I) a) {–2; 2} b) {– 2 ; 2 } = {1,414; –1,414} c) {–2,472; 6,472} II) a) (5, −22) b) (3/2, ½) c) (5/4, −7/4) d) (−15/2, 79/4) III) Intervall (−9; 1)

140

8 Lösungen

Lösung Aufgabe 16: a) L ={–2} b) L = {0; 2}

c) L = {–2,5; 1; 1,5}

d) L = {–3; 2; 4}

Lösung Aufgabe 17: I) a) f(x1) = 0, f(x2) = 1, f(x3) = 0, f(x4) = –1, f(x5) = 0 b) f(x1) = 1, f(x2) = 0, f(x3) = –1, f(x4) = 0, f(x5) = 1 c) f(x1) = 0, f(x2) existiert nicht, f(x3) = 0, f(x4) existiert nicht , f(x5) = 0 II) a) x = π/2 b) x = 0 Lösung Aufgabe 18: I) a) f(t) = et⋅ln(0,5)/100 ≈ e–t⋅0,00693147. b) 100⋅ln(0,1)/ln(0,5) = 332,19 c) t 0 50 100 150 200 250 300 350 400 f(t) 1 0,707 0,500 0,354 0,250 0,177 0,125 0,088 0,063 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0

II) a) c)

50

100

150

200

250

300

350

400

f(t) = 1/3⋅et⋅ln(30)/5 b) 9000 Bakterien. f(t) = 1/3⋅et⋅ln(30)/5 = 1000 ⇔ t = 5⋅ln(3000)/ln(30) =11,770.

Lösung Aufgabe 19: I) a) keine Nullstelle b) 4 c) keine Nullstelle d) –2; 8 II) a) 1 b) –2 c) –5 d) –2; 0 e) 74 f) –1; 0; 1 Lösung Aufgabe 20: a) a(x) = 0 b) a(x) = 0 c) a(x) = 2x – 2 d) a(x) = 4 f) a(x) = x2 – 4x – 6 g) a(x) = 8/3 h) a(x) = 5x – 9 Lösung Aufgabe 21: a) Df =(−∞; 5], Wf = [0, ∞) b) Df = [3; ∞), Wf = (−∞; 0] c) Df = R, Wf = [1; ∞) d) Df = [−3; 3], Wf = [−3; 0]

e) 0; 4

e) a(x) = ¼

f) –6; 6

8 Lösungen

141

Lösung Aufgabe 22: a) f ist an x = 0 nicht stetig. f ist für alle x ∈ R \ {0} stetig. b) f ist auf R stetig. c) f ist an den Stellen x = –2 und x = 2 nicht definiert und somit auch nicht stetig; f ist an x ∈ R \ {–2; 2} stetig. Lösung Aufgabe 23: I) a) Achsensymmetrisch zur y-Achse c) Achsensymmetrisch zur y-Achse e) Achsensymmetrisch zur y-Achse II) a) lim f ( x) = ∞ ; lim f ( x) = ∞ x →∞

x →−∞

c) lim f ( x) = ∞ ; x →∞

lim f ( x) = –∞

x →−∞

e) lim f ( x) = – ∞ ; lim f ( x) = ∞ x →∞

x →−∞

b) Punktsymmetrisch zum Ursprung d) Punktsymmetrisch zum Ursprung b) lim f ( x) = –∞ ; lim f ( x) = – ∞ x →∞

x →−∞

d) lim f ( x) = –∞ ; lim f ( x) = ∞ x →∞

f) lim f ( x) = 0 ; x →∞

x →−∞

lim f ( x) = 0

x →−∞

Lösung Aufgabe 24: I) a) f '(x) = 2x – 2; f ''(x) = 2 b) f '(x) = 2; f ''(x) = 0 c) f '(x) = 8x – 6; f ''(x) = 8 d) f '(x) = –x + 0,2; f ''(x) = –1 e) f '(x) = 8x3 –6x + 1; f ''(x) = 24x2 – 6 f) f '(x) = 2x5 – 10x4 + 16x3 – 30x2 + 2x –5; f ''(x) = 10x4 – 40x3 + 48x2 – 60x + 2 g) f '(x) = 2⋅cos(x); f ''(x) = –2⋅sin(x) 5 5 h) f '(x) = = 5 / 2 ⋅ x −1/ 2 ; f ' ' ( x) = −5 / 4 ⋅ x − 3/2 = − 2⋅ x 4 ⋅ x 3/2 i) f '(x) = 2⋅ex + 1/3⋅x–2/3; f ''(x) = 2⋅ex – 2/9⋅x–5/3 j) f '(x) = ln(2)⋅2x + 1,3⋅x0,3; f ''(x) = (ln(2))2⋅2x + 0,39⋅x–0,7 2 2 = 2⋅x–1; f ''(x) = − 2 = –2⋅x–2 k) f '(x) = x x II) a) 2 = tan α; α =63,43° b) Schnittpunkt: (9, 18); α = 21,8° Lösung Aufgabe 25: a) f '(x) = 3x2 +2x–4 b) f '(x) = 5x4−16x3 +3x2 c) f '(x) = 5x4−20x3−3x2+8x−20 d) f '(x) = 2x⋅sin(x) + x2⋅cos(x) e) f '(x) = 6x2⋅cos(x) –2x3⋅sin(x) 2 f) f '(x) = 5(2x –3)⋅cos(x) – 5(x –3x + 1)⋅sin(x) g) f '(x) = (x3 + 7x2 + 8x +1)⋅ex −5 −1 x2 + 2 x − 2 h) f '( x) = i) f '( x ) = j) f '( x ) = ( x + 1) 2 (2 x − 5) 2 ( x + 1) 2 k) f '( x) =

2 x2 − 26x + 18 ( x 2 − 2 x + 4) 2

l) f '( x) =

Lösung Aufgabe 26: a) f '(x) = 2⋅cos(2x – 4) c) f '(x) = 2(4x3 – 3)⋅cos(x4 – 3x + 1)

x 2 + 16x − 4 ( x 2 + 4) 2

b) f '(x) = –(2x – 5)⋅sin(x2 – 5x + 1) d) f '(x) = 2⋅e2x+4

142

e) f '(x) =

8 Lösungen x −1 2

x − 2x + 1

f) f '(x) = −

sin( x) 2 ⋅ cos( x)

g) f '(x) = 3(2x + 1)(x2 + x – 4)2

Lösung Aufgabe 27: a) f '(x) = 2x – 4; lokales Minimum: E = (2, –2) b) f '(x) = 3x2 – 24x; lokales Maximum: E1 = (0, 2), lokales Minimum: E2 = (8,–254) c) f '(x) = –4x3 – 9x2; lokales Maximum: E = (–2,25, 8,543) d) f '(x) = 3x2 ; weder lokale Minima noch Maxima; nur einen Wendepunkt e) f '(x) = 3x2 – 24x – 15; lokales Maximum: E1 = (–0,583, 2,468), lokales Minimum: E2 = (8,583, –382,468) Lösung Aufgabe 28: I) a) f '(x) = 2x; f ''(x) = 2; keine Wendepunkte b) f '(x) = 3x2 – 8x –5; f ''(x) = 6x – 8; f '''(x) = 6; Wendepunkt: W = (1,333, –10,407) c) f '(x) = x3 – 12x – 5; f ''(x) = 3x2 – 12; f '''(x) = 6x: Wendepunkte: W1 = (–2, –9), W2 = (2, –29) d) f '(x) = –8x3 + 24x2 + 192x + 1; f ''(x) = –24x2 + 48x + 192; f '''(x) = –48x+48; Wendepunkte: W1 = (–2, 283), W2 = (4, 1537) e) f '(x) = 3x2 – 4; f ''(x) = 6x; f '''(x) = 6; Wendepunkt: W = (0, 5) II) Wendepunkt W = (1, –1); t(x) = –3x+2 III) f(x) = x3 – 3x2 Lösung Aufgabe 29: a) f '(x) = –4 < 0 für alle x ∈ R, somit ist f auf I = R streng monoton fallend. b) f '(x) = –6x + 9. Also f '(x) > 0 für x ∈ (–∞; 1,5) = I1 und f '(x) < 0 für x ∈ (1,5; ∞) = I2, somit ist f auf I1 streng monoton steigend und auf I2 streng monoton fallend. c) f '(x) = 2x – 5; f '(x) > 0 für x ∈ (2,5; ∞) = I1 und f '(x) < 0 für x ∈ (–∞; 2,5) = I2. Daher ist f auf I1 streng monoton steigend und auf I2 streng monoton fallend. Lösung Aufgabe 30: a) f ist bijektiv für Df = R, Wf = R ; f –1: R → R mit f –1(x) = 1/2⋅x – 2 b) f ist bijektiv für Df = R und Wf = R ; f–1: R → R mit f–1(x) = 3 x + 2 c) f ist bijektiv für Df = [–1; ∞) und Wf = [0; ∞); f –1: [0; ∞) → [–1; ∞) mit f –1(x) = x2 – 1 d) f mit f(x) = 2x2 ist bijektiv für: (1) Df = [0; ∞) und Wf = [–8; ∞); f –1(x) = 1 / 2 ⋅ x + 4 ; f –1: [–8; ∞) → [0; ∞) (2) Df = (–∞; 0] und Wf = [–8; ∞); f –1(x) = − 1 / 2 ⋅ x + 4 ; f –1: [–8; ∞) →(–∞; 0]

8 Lösungen

143

Lösung Aufgabe 31: a) f(x) = 13 x3 – 2x2 – 5x; f '(x) = x2 – 4x – 5; f ''(x) = 2x – 4; f '''(x) = 2

1) Nullstellen: L = {–1,899; 0; 7,899} 2) Grenzwertverhalten: lim f ( x) = ∞ , lim f ( x) = –∞. x→∞ x→−∞ 3) f ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur yAchse. 4) Lokales Maximum: E1 = (–1, 2,667). Lokales Minimum: E2 = (5, –33,333) 5) Wendepunkte: W = (2, –15,333) 6) 10 -4

-2

2

4

6

8

-10 -20 -30 -40 -50

b) f(x) = x4 – 25x2; f '(x) = 4x3 – 50x; f ''(x) = 12x2 – 50; f '''(x) = 24x 1) Nullstellen: L = {–5; 0; 5} 2) Grenzwertverhalten: lim f ( x) = ∞ lim f ( x) = ∞ x→∞ x→−∞ 3) f ist achsensymmetrisch zur y-Achse. 4) Lokales Maximum: E1 = (0, 0); lokale Minima: E2 = (–3,536, –156,25), E3 = (3,536, –156,25) 5) Wendepunkte: W1 = (–2,041, –86,806), W1 = (2,041, –86,806) 6) 200

100

-6

-4

-2

2 -100

4

6

144

8 Lösungen

− 18 2x 2 − x 2x 2 + 4x − 1 6 ; f ' ( x) = ; f ' ' ( x) = ; f ' ' ' ( x) = 2 3 x +1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 4 Df = R \ {–1} Nullstellen: L = {0; 0,5} Grenzwertverhalten: lim f ( x) = ∞ ; lim f ( x) = – ∞ x→∞ x→−∞ f ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur yAchse. Lokales Maximum: E1 = (–2,225, –9,899); lokales Minimum: E2=(0,225, –0,101). Wendepunkte existieren keine. Polstelle: x = –1 Asymptote: a(x) = 2x – 3

c) f ( x) = 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

40

20

-4

-2

2

4

-20

-40

Lösung Aufgabe 32: a) F(x) = 1/3⋅x3 + x2 + 5x –7/3 b) F(x) = 3/2⋅x4 – 4/3⋅x3 + x2 + x + 11/6 5 4 3 c) F(x) = –8/5⋅x –1/2⋅x + 1/3⋅x – x2 + x + 173/30 d) F(x) = 1/4⋅x4 – 4/3⋅x3 + 1/2⋅x2 + 5x – 5/12 Lösung Aufgabe 33: a) 2 b) –16 c) 10,5 d) 369

e) 494/3 = 164, 6 f) 1436/15 = 95,73

Lösung Aufgabe 34: a) 36 FE b) 36 FE c) 64/3 FE

d) 148/3 FE

Lösung Aufgabe 35: a) 256/3 FE = 85, 3 FE b) 256/3 FE = 85, 3 FE d) 1/32 FE = 0,03125 FE Lösung Aufgabe 36: a) e x ( x − 1) + C b) –2

c) –2 π

c) 81/2 FE = 40,5 FE

8 Lösungen

145

Lösung Aufgabe 37: a) 648/5⋅π VE = 407,150 VE b) 12⋅π VE = 37,699 VE c) 15⋅π VE = 47,124 VE Lösung Aufgabe 38: I) a) L = {–5i; 5i} b) L = {–2i; 2i} c) L = {–2–3i; –2+3i} d) L = {1–3i; 1+3i} II) a) 8 + 6i b) –3 – i c) 1 + 2i d) 16–4i e) 14+5i f) – 20i g) 5+12i h) –8 + 20i i) –10 j) i k) 3 – 2i l) 0,8 – 0,4i Lösung Aufgabe 39: a) 5(cos(53,13°) + i⋅sin(53,13°)) c) 2,83(cos(135°) + i⋅sin(135°)) e) 8,94(cos(333,43°) + i⋅sin(333,43°)) Lösung Aufgabe 40: I) a) 9 b) 17 c) 0 d) –10 e) –12 Lösung Aufgabe 41: a) 5 ≈ 2,236 b) 5

c)

Lösung Aufgabe 42: a) 26,57° b) 40,60°

c) 108,43°

b) 7,21(cos(56,31°) + i⋅sin(56,31°)) d) 5(cos(216,87°) + i⋅sin(216,87°))

II) a) Nein b) Ja c) Ja d) Ja e) Nein

26 ≈ 5,099

d)

29 ≈ 5,385

d) 24,09°

e)

30 ≈ 5,477

e) 64,20°

Lösung Aufgabe 43: a) Eine mögliche Parameterform von g : rameterform der gleichen Geraden: g : b) Nein

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠

3⎞ ⎟ mit t ∈ R. Eine andere Pa⎝ − 7⎠ ⎛

+ t⋅⎜

⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ − 6⎠

⎛

3

⎞ ⎟ ⎝ − 7⎠

+ t ⋅⎜

mit t ∈ R.

9 Test 9.1 Testaufgaben Welche der folgenden fünf Antwortvorgaben ist korrekt? Es ist jeweils genau eine Antwort richtig. Aufgabe T1: Wie lautet die Schnittmenge von {x ∈ N | x ≤ 5} ∩ {x ∈ N | x > 4} ? a) {}

b) {4}

Aufgabe T2: Das Ergebnis von a) 3/2

c) {4; 5}

−2 − 5

b) 4/3

5 − 13

d) 5

e) {5}

d) –3/2

e) 1

= c) –7,3

Aufgabe T3: Vereinfachen Sie den Ausdruck –2(3x – 5) – 5(x + 2y) a) 3 + 4x

b) 3 + 3x + 2y c) – 5 + x – 10y d) 4 + 3x + y e) 10 – 11x – 10y

Aufgabe T4: 2 −4 =

a) 16

b) −16

c)

1 16

d) −

1 16

e) anderes Ergebnis

Aufgabe T5: Der Ausdruck a2(ab)4 kann vereinfacht werden zu a) a3b4

b) 3a4b

c) a8b4

b) 2x2y2

c)

d) a6b4

e) a9b4

d) 2x−2y5

e) anderes Ergebnis

Aufgabe T6: 3x 3 3x : = 4 y 7 8y 5 a)

2x 2 y

2

3x 2 y

2

Aufgabe T7: ln(3x–4) = a) ln(3) + xln(–4) e) anderes Ergebnis

b) ln(3) – 4ln(x)

c) ln(3) – x4

d) 3–4 – 4ln(x)

9.1 Testaufgaben

147

Aufgabe T8: ln(e−3x) = a) −3ex

b) −3x

1 3x

c)

d) 3x

e) anderes Ergebnis

Aufgabe T9: Die Lösung der Gleichung 10 = 102x – 1 ergibt: a) x = 0

b) x = 2

Aufgabe T10: Der Ausdruck

(

1 2

a − 13 b 2

a 2 ab 2 b 4 + + 4 3 9 2 2 a 2ab b4 − + d) 4 3 9

c) x = ln(10) – 1 d) x = 2ln(10)/ln(1)

)

2

ergibt mit der binomischen Formel:

b)

a)

e) x = 1

a 2 ab b 4 − + 4 3 9

c)

a 2 ab 2 b 4 − + 4 3 9

e) a2 - 2ab + b2

Aufgabe T11: Wie groß ist x, wenn log10(x) = −3 ist? a) x = 1000

b) x = 1/3

c) x = 1/100

Aufgabe T12: Der Winkel 270° hat im Bogenmaß den Wert a) 5π/2 b) 2π c) 3π/2

d) x = 1/10000 e) anderes Ergebnis

d) π

e) anderes Ergebnis

Aufgabe T13: α

Links sind die Bezeichnungen in einem allgemeinen Dreieck angegeben.

b

In einem Dreieck mit b = 3 cm, a = 5 cm und α = 90° hat die Seite c die Länge:

c

γ

β

a) c = 5 cm

a b) c = 3 cm

c) c = 1 cm

d) c = 4 cm

e) c = 4,5 cm

Aufgabe T14: Für welches x gilt: sin(x) = cos(x) ? a) π/4

b) π/2

c) π

d) 3π/2

e) 2π

148

9 Test

Aufgabe T15: Die Lösung der Gleichungen –2(x - 7) = 4 – 2(5 - x) ergibt a) x = 4

b) x = –5

Aufgabe T16: Die Lösung der Gleichung a) x = 2

b) x = 4

c) x = 5

d) x = –2/3

e) x = –2

d) x = 10

e) x = −10

1 definiert? x c) x < 0 d) x > 0

e) x ≠ 1

3 5 = ergibt x−4 x c) x = 8

Aufgabe T17: Für welche der folgenden x-Werte ist a) x > – 1

b) x < 1

1−

Aufgabe T18: Die Lösungsmenge der Gleichung –2x2 – 4x = 2x – 8 lautet a) {}

b) {1}

c) {1; 2}

d) {4; 1}

e) {–4; 1}

Aufgabe T19: Eine Fahrerin soll mit einem PKW auf einer Autobahn eine Strecke von 100 km zurücklegen. Sie fährt zunächst eine halbe Stunde mit einer Geschwindigkeit von 110 km/h, bis sie einen Anruf per Funktelefon erhält, dass sie in 20 Minuten einen wichtigen Termin am Ende der Strecke hat. Wie schnell müsste sie nun mindestens fahren, um rechtzeitig anzukommen? a) 200 km/h

b) 165 km/h

c) 135 km/h

d) 125 km/h

e) 55 km/h

Aufgabe T20: Die Lösung der Ungleichung –2x + 4 < 8 ergibt a) x < 2

b) x > 2

c) x < –2

d) x > –2

e) x = –2

Aufgabe T21: Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A = (0, 2) und B = (1, 4) geht? a) –2x – 1

b) 2x – 2

c) –2x – 2

d) 2x + 2

e) 2x

Aufgabe T22: Die nach oben geöffnete Parabel mit der Gleichung y = ax2 + b hat ihren Scheitelpunkt in (0, 3). Dann gilt: a) b = 6 b) b = 3 c) b = 0 d) b = –3 e) Ergebnis für Parameter b kann aus angegebenen Daten nicht errechnet werden.

9.1 Testaufgaben

149

Aufgabe T23: Eine Lösung der Gleichung 2x3 + 4x2 – 2 = 0 lautet a) x = 0 b) x = –4 c) x = –1 e) Es existiert keine Lösung in R.

d) x = 1

Aufgabe T24: x2 − 4 ? x−2 c) x = 2 und x = –2 d) x = –2

Welche Nullstelle(n) hat die Funktion f ( x) = a) keine

b) x = 2

Aufgabe T25: Die Gleichung der Asymptote der Funktion f ( x) =

e) x = –0,5

3x 2 − 6x

lautet 6x 2 − 10x + 1 b) a(x) = 6x – 10 c) a(x) = ½ d) a(x) = – ½ e) a(x) = 2

a) a(x) = 0

Aufgabe T26: Der größtmögliche (reellwertige) Definitionsbereich der Funktion f mit f ( x) = 2 x − 4 ist c) [4;∞) d) (–∞;2) e) [2; ∞) a) R b) R+ Aufgabe T27: lim ( − 1 x 3 − 10x 2 − x + 1) = x→ −∞ 4 a) –1/4

b) 1

c) ∞

d) –∞

e) 0

Aufgabe T28: Ist die Funktion, deren Graph im folgenden Schaubild zu sehen ist, auf dem Intervall I = [–4; 4] stetig? 4

3

2

1

-4

a) Ja

-2

b) Nein

2

4

c) Die Funktion ist auf I weder stetig noch unstetig.

150

9 Test

Aufgabe T29: Für die Ableitung der Funktion f mit f ( x) = a) f '( x ) = − b) f '( x ) =

1 x

c) f '( x ) = −

2

2 x2

, x ≠ 0, gilt

x2 4

x3 2 d) f ' ( x) = 2 + x x e) f '(x) = 2

Aufgabe T30: Die Funktion f : R → R mit f(x) = x3 – 5 hat an der Stelle x = 0 a) b) c) d) e)

eine Nullstelle eine Unstetigkeitsstelle ein lokales Maximum ein lokales Minimum einen Wendepunkt

Aufgabe T31: 2

∫

x 3 dx =

−2

a) 0

b) –1/3

c) 0,5

d) –2

e) 3

Aufgabe T32: Zwischen der Kurve der Funktion f mit f(x) = –x2 + 1 und der x-Achse wird eine Fläche eingeschlossen mit a) 3/4 FE

b) 2/3 FE

c) 0 FE

d) 1 FE

e) 4/3 FE

Aufgabe T33: Der Graph einer Stammfunktion F der Funktion f : R → R mit f(x) = 6x2 geht durch den Punkt (1, 1). Für die Stammfunktion gilt a) b) c) d) e)

F(x) = 2x3 + x – 2 F(x) = 2x3 – 1 F(x) = 3x3 – 2 F(x) = 12x – 11 F(x) = x6

9.1 Testaufgaben

151

Aufgabe T34: Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung x2 + 9 = 0 (Definitionsbereich ist C)? a) { }

b) {–3; 3}

c) {–i; i}

d) {–3i; 3i}

e) {3i}

Aufgabe T35: Die komplexe Zahl z = 3 – i hat die Länge a)

8

b) 9

c) 10

d) 10

e) anderes Ergebnis

Aufgabe T36: Wie stellt sich die komplexe Zahl z = 1 + i in Polarkoordinaten dar? a) cos 45° + i sin 45° b) 2(cos 90° + i sin 90°) c) 2 (cos 90° + i sin 90°) d) 2 (cos 45° + i sin 45°) e) 2 (cos 45° – i sin 45°) Aufgabe T37: ⎛ − 6⎞ Der Vektor ⎜ ⎟ hat die Länge ⎝ 8 ⎠ a) 5

b) 10

c) 2

d) –10

e) 8

Aufgabe T38: r

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren x = a) 0°

b) 10,30°

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

c) 15,45°

r

und y = d) 20,60°

⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

beträgt: e) 45°

Aufgabe T39: r

Das Skalarprodukt zwischen x = a) −22

b) −6

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ − 2⎠

c) 0

r

und y =

⎛ − 6⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠

beträgt:

d) 6

e) 22

Aufgabe T40: r

Die Vektoren x = a) a = −2

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ − 2⎠

b) a = −½

r

und y =

⎛ a⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

c) a = 0

stehen senkrecht, wenn d) a = ½

e) a = 2

152

9 Test

Aufgabe T41: Die Gerade durch die Punkte A = (0, 2) und B = (2, 2) hat folgende Parameterdarstellung: a) g :

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

⎛ 0⎞ ⎟ ⎝ 2⎠

mit t ∈ R

b) g :

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 1⎠

mit t ∈ R

c) g :

⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 0⎠

mit t ∈ R

d) g :

⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 2⎠

mit t ∈ R

e) g :

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

+ t ⋅⎜

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 0⎠

mit t ∈ R

Aufgabe T42: ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden g :

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

+ t ⋅⎜

mit t ∈ R.

a) P = (1, 2) b) P = (2, 3) c) P = (0, 1) d) P = (0, 2) e) P = (4, 5) Aufgabe T43: Welche der folgenden zwei Geraden verlaufen senkrecht zueinander? a) g1 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

mit t ∈ R; g2 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

b) g1 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

c) g1 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

⎛ 0⎞ ⎟ ⎝ 2⎠

mit t ∈ R; g2 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

d) g1 :

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠

+ t ⋅⎜

e) g1 :

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠

+ t ⋅⎜

⎛

1⎞

⎛

1

⎟ ⎝ − 1⎠

⎞ ⎟ ⎝ − 2⎠

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

mit t ∈ R

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

mit t ∈ R

mit t ∈ R; g2 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

mit t ∈ R; g2 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+ t ⋅⎜

mit t ∈ R; g2 :

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

mit t ∈ R

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

mit t ∈ R

⎛1⎞ ⎟ ⎝1⎠

+ t ⋅⎜

mit t ∈ R

9.2 Lösungen zum Test

153

9.2 Lösungen zum Test Aufgabe T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T19 T20 T21 T22

Lösung e d e c d a b b e c e c d a c d c e c d d b

Anhang B: Griechisches Alphabet

Aufgabe T23 T24 T25 T26 T27 T28 T29 T30 T31 T32 T33 T34 T35 T36 T37 T38 T39 T40 T41 T42 T43

Lösung c d c e c a c e a e b d c d b b a e c d c

Anhang Anhang A: Potenzen und Einheiten Bei der Darstellung sehr großer und sehr kleiner Zahlen werden häufig Zehnerpotenzen benutzt. Für einige der Zehnerpotenzen gibt es spezielle Namen, wenn sie im Zusammenhang mit Maßen gebraucht werden: Wert

Name

101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zetta Yotta

Abkürzung (Vorsatzzeichen) da h k M G T P E Z Y

Wert

Name

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Dezi Centi Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yokto

Abkürzung (Vorsatzzeichen) d c m μ n p f a z y

Die Abkürzung (d.h. das Vorsatzzeichen) wird ohne Zwischenraum vor das Einheitenzeichen gesetzt. Beispiele: Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca. 3 ⋅ 10 8

m s

= 3 ⋅ 10 5

km s

= 300000 km . s

10 hl (10 Hektoliter) sind 10 · 102 l = 1000 l. Wichtig zu bemerken ist, dass der Exponent auch für das Vorsatzzeichen gilt: 1dm3 = 1 (dm)3 = 1 (10-1m) 3 = 10-3 m3.




Noch einige andere Bezeichnungen: Ein Quadratmeter (1m2 ) ist die Fläche eines Quadrats von der Seitenlänge 1 m. Ein Ar (1 a) sind 100 m2. Ein Hektar (1 ha) sind 10000 m2 = 104 m2. Ein Kubikmeter ist das Volumen eines Würfels von der Kantenlänge 1m. Tausend Liter (1000 l oder auch 1000 L) sind ein Kubikmeter. Eine Tonne (1 t) sind tausend Kilogramm (1000 kg). Gebräuchlich ist die Bezeichnung 1 Zentner (1 Ztr.) für 50 kg. 100 kg werden in Deutschland auch als Doppelzentner bezeichnet

Anhang B: Griechisches Alphabet

155

1 engl. Zoll sind 25,3995 mm. 1 1 1 1 3 1 5 3 7 1 Engl. 32 16 8 4 8 2 8 4 8 Zoll mm 0,794 1,587 3,175 6,350 9,525 12,700 15,875 19,050 22,225 25,400

Beispiele: 5 ha = 5 · 10000m2 = 50000 m2 1 l = 1dm3 = 10-3 m3 500 kg = 0,5 t 10 Zoll = 25,3995 cm.




Anhang B: Griechisches Alphabet Α

α

Alpha

Ι

ι

Iota

Ρ

ρ

Rho

Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ

β γ δ ε ζ η ϑ

Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta

Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π

κ λ μ ν ξ ο π

Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi

Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

σ τ υ ϕ χ ψ ω

Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

Anhang C: Römisches Zahlensystem Die Römer verwendeten zum Darstellen der Zahlen die Zeichen: I, V, X, L, C, D und M. Für die Schreibweise der Zahlen sind folgende Regeln zu beachten: – Wenn Zeichen nebeneinander stehen, von denen das rechte Zeichen einen kleineren oder den gleichen Wert als das linke Zeichen hat, werden die Werte der Zeichen addiert. – Wenn Zeichen nebeneinander stehen, von denen das rechte Zeichen einen größeren Wert als das linke Zeichen hat, wird der Wert des linken Zeichens vom Wert des rechten Zeichens subtrahiert. – Es dürfen höchstens drei gleiche Zeichen hintereinander stehen.

156

Anhang D: Runden von Dezimalbrüchen

Römisches I Zahlzeichen Wert im De- 1 zimalsystem

V

X

L

C

D

M

5

10

50

100

500

1000

Beispiele: VIII 8

IX 9

MCM 1900

MCMLXXVII 1977




Anhang D: Runden

Die arabischen Ziffern 0, 1, 2, 3 ... 8 und 9 sind keine Erfindung der Araber. Ursprünglich stammen sie aus Indien; von dort kamen sie dann mit den Arabern über Nordafrika nach Europa. Der eigentliche Vorteil gegenüber den römischen Zahlen sind nicht die Symbole 1, 2 ... , sondern dass diese Symbole je nach Standort etwas anderes bedeuten: Die 4 in 14 steht für 4, aber die 4 in 24567 steht für 4 mal 1000, denn 24567 = 2 · 10000 + 4 · 1000 + 5 · 100 + 6 · 10 + 7.

Anhang D: Runden von Dezimalbrüchen Beim Runden von Dezimalbrüchen wird abgerundet, wenn die erste wegzulassende Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist. Ist die erste wegzulassende Ziffer eine 5, 6 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet. Beim Abrunden auf n Dezimalstellen werden alle folgenden Dezimalen weggelassen. Beim Aufrunden auf n Dezimalen werden die folgenden Dezimalen weggelassen und die verbleibende Zahl um eine Einheit der n-ten Dezimalen erhöht. Diese Rundungsregeln sind auch bei der Umrechnung von Euro in Deutsche Mark zu verwenden. Beispiele: Es soll jeweils auf drei Stellen hinter dem Komma gerundet werden. 3,141592... wird gerundet auf 3,142. 2,718281... wird gerundet zu 2,718.




Register

Register Register

A

D

Abc-Formel 40 Ableitung 82 Absolutbetrag siehe Betrag Abszisse 55 Achilles und die Schildkröte 24 Achsensymmetrie 79 Addition 12 Additionsverfahren zur Lösung von Gleichungen 51 Allquantor 11 Ankathete 29 Äquivalenz-Umformungen 33 Ar 154 Argument einer komplexen Zahl 114 Assoziativgesetz 8, 12 Asymptote 72 Atto 154 Aufgaben 126, 146 Aussage 10 Aussageform 10

De Morgan´sche Gesetze 9 Definitionsbereich 54 Deka 154 Dezi 154 Dezimalbruch 14 Differentialquotient 82 Differentialrechnung 81 Differenzmenge 6 Distributivgesetz 8, 10 divergent 24 Dreisatz 34

B Basis 15, 18 Betrag einer komplexen Zahl 114 Betrag einer reellen Zahl 17, 48 Bijektivität 96 Bildungsgesetz einer Folge 20 Binomialkoeffizient 26 Binomische Formel 25 Bogenmaß 28 Bruch 3, 13 Bruchgleichung 36 C C 4 Cardanosche Formeln 42 Centi 156

E e 66 Einheitsvektor 119 Einsetzungsverfahren 51 Element 1 inverses 12 neutrales 12 Euler´sche Zahl 66 Euro 156 Existenzquantor 11 Exponent 15 Exponentialfunktion 66 Exponentialgleichung 45 Extremum 89 F Fakultät 21 Femto 156 Folge 20 arithmetische 22 geometrische 22 Folgenglied 20 Fundamentalsatz der Algebra 43 Funktion 54 achsensymmetrisch 79 bijektive 96

158 Funktion (Fortsetzung) ganzrationale 60 gebrochen rationale 69 hyperbolische 76 injektive 95 rationale 69 stetige 78 surjektive 95 symmetrische 79 Funktionstafel 55 G Gauß 23 Gauß-Algorithmus 52 Gegenkathete 29 Gerade 58, 120 Giga 154 Gleichsetzungsverfahren 50 Gleichung 2. Grades 39 3. Grades 41 Bruchgleichung 36 kubische 41 lineare 33 quadratische 39 Wurzelgleichung 38 Grad 28 Grenzwert 23 Griechisches Alphabet 155 H ha 154 Halbkreis 108 Hektar 154 Hekto 154 Hypotenuse 29 I i 4, 110 I 3 Imaginärteil 110 Injektivität 95

Register Integral 99 bestimmtes 100 unbestimmtes 102 Integration 99 partielle 107 Intervall 5 J j 4 K Kathete 29 Kettenregel 88 Kilo 154 Klammerregeln 12 Kommutativgesetz 8 Komplementärmenge 9 Konvergenz 24 Koordinatenursprung 55 Kosinus 30, 64 Kosinushyperbolicus 76 Kosinussatz 32 Kotangens 30, 65 Kotangenshyperbolicus 77 Kreuzprodukt 7 Kurvendiskussion 97 L l 154 Laufindex 20 Limes 23 Linearfaktoren 42, 44 Liter 156 Logarithmengleichungen 46 Logarithmus 18, 68 Lösungen 136, 153 Testaufgaben 153 Übungsaufgaben 136 Lücke 69

Register M Mächtigkeit 1 Maximum 89 Mega 154 Menge 1 disjunkt 9 fremd 9 leere 2 Mikro 154 Milli 154 Minimum 89 Monotonie 56, 93 Multiplikation 12 N N 3 N0 3 N* 3 Nano 154 Normalparabe l 61 Nullpunkt 55 Nullstelle 39, 60, 69 Numerus 18 O Obermenge 2 Ordinate 55 orthogonal 118 Ortsvektor 116 P π 3 Parabel 61 Parameterform 120 Pascal´sches Dreieck 25 Peta 154 Piko 154 Polarkoordinaten 114 Polynomdivision 73 Potenzgesetze 15 p-q-Formel 39

159 Primzahl 46 Produkt 7 Produktregel Differentiation 86 Integration 107 Produktzeichen 21 Punkt-Punkt-Form einer Geraden 59 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden 59 Punktsymmetrie 79 Pythagoras 30 Q Q 3 Quadrant 55 Quantor 11 Quotientenrege l 86 R R 3 R+ 5 Rn 7 Radiant 28 Radikand 15 Realteil 110 Reihe 20 Relation 9 Rotationsparaboloid 108 Runden 156 S Sattelpunkt 89 Scheitelform der Parabel 62 Schnittmenge 6 Sekante 81 Sekantensteigung 81 Sigma ( Σ ) 20 Sinus 30, 64 Sinushyperbolicus 76 Sinussatz 31 Skalar 116 Skalarprodukt 117

160

Register

Steigung 58 Stetigkeit 78 Strahlensatz 29 Summationsindex 20 Summenzeichen 20 Surjektivität 95 Symmetrie einer Funktion 79

Wertetabelle 55 Winkel 28 Wurzel 15 Wurzelfunktion 75 Wurzelgleichung 38

T

Yokto 154 Yotta 154

t 154 Tangens 30, 65 Tangenshyperbolicus 77 Tangente 82, 83, 89 Teilmenge 2 Teilsumme 20 Tera 154 Term 10 Tonne 154 Trigonometrie 28 U Übungsaufgaben 123, 146 Ungleichungen 47 V Variable 10 abhängige 54 unabhängige 54 Vektorrechnung 116 Venn-Diagramm 7 Veränderliche 54 Vieta´scher Satz 40 Volumen 108 Vorsatzzeichen 154 W Wendepunkt 92 Wendetangente 92 Wertebereich 54

Y

Z Z 3 Zahlen ganze 3 imaginäre 110 irrationale 3 komplexe 4, 110 natürliche 3 rationale 3 reelle 3 Zahlenfolge 20 Zahlengerade 4 Zahlensystem arabisches 155 römisches 155 Zehnerlogarithmus 18 Zepto 154 Zerlegung in Linearfaktoren 42, 44 Zetta 154 Zielbereich 54 Ziffern, römische 155 Zoll 155