Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie [1. Aufl.] 978-3-662-59481-0;978-3-662-59482-7

Table of contents :
Front Matter ....Pages i-xiii
Grundlagen (Jürgen Böhm)....Pages 1-50
Kommutative Ringe und Moduln (Jürgen Böhm)....Pages 51-220
Garben und geringte Räume (Jürgen Böhm)....Pages 221-255
Affine Schemata (Jürgen Böhm)....Pages 257-262
Schemata I (Jürgen Böhm)....Pages 263-403
Schemata II (Jürgen Böhm)....Pages 405-525
Back Matter ....Pages 527-537

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Jürgen Böhm

Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie

Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie

Jürgen Böhm

Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie

Jürgen Böhm www.juergenboehm.net

ISBN 978-3-662-59481-0 ISBN 978-3-662-59482-7  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-59482-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Iris Ruhmann Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Vorwort μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπί γεωμετρίαν — Euklid zu Ptolemaios I. Soter1 Nach dem bekannten Diktum des Euklid gibt es zur Geometrie keinen K¨ onigsweg, und auch dieses Buch kann den H¨ ohenunterschied“, den der Leser ” beim Erlernen der algebraischen Geometrie zu u ¨berwinden hat, nicht verkleinern. Aber es kann, und soll, eine gut ausgeschilderte und in einfachen, wenn auch vielen Schritten gangbare Route aufzeigen, auf der sich letztlich der anfangs so ferne Gipfel erreichen l¨ asst. Am Ende wird der Leser in der Lage sein, fortgeschrittenere Lehrb¨ ucher zu Themen wie ´etaler Kohomologie [17], Abelsche Variet¨ aten [19], Modulschemata [14], Schnitttheorie [8], arithmetischer algebraischer Geometrie [3] und auch einen Teil der aktuellen Forschungsliteratur selbst¨ andig zu lesen und zu verstehen. Das vorliegende Buch ist im dogmatischen“ Stil geschrieben, eine Benutzbar” keit als Nachschlagewerk und zum Repetieren soll m¨ oglich sein. Die Darstellung ist weitgehend in sich abgeschlossen, die Notwendigkeit externer Referenzen wurde auf ein Mindestmaß beschr¨ ankt. ¨ Das Buch enth¨ alt keine direkten Ubungsaufgaben, aber in vielen Beispielen ¨ und S¨ atzen sind L¨ osungen zu Ubungsaufgaben in Hartshornes Algebraic Geometry zu finden. Weiterhin stehen eine ganze Reihe von Aussagen ohne Beweis, ¨ viele davon wird der Leser problemlos als Ubung selbst beweisen k¨ onnen. ¨ Uberhaupt sei dem Leser, der dieses Buch als Lehrbuch nutzen will, geraten, bei vielen S¨ atzen erst den Beweis selbst¨ andig zu versuchen und dann das Resultat der eigenen Bem¨ uhungen mit der Darstellung im Text zu vergleichen. Als Vorkenntnis gen¨ ugt das Wissen aus einer einsemestrigen Algebravorlesung, in der Gruppentheorie, K¨ orpertheorie einschließlich Galoistheorie sowie Determinanten, Resultanten und elementare Ergebnisse u ¨ber Polynomringe behandelt werden. Ebenfalls notwendig ist eine gewisse Vertrautheit mit Begriffen der allgemeinen mengentheoretischen Topologie.

1

[7, S. 68]

vi

Vorwort

Quellen Der vorliegende Text stellt das Ergebnis des Selbststudiums des Autors in einigen klassischen Lehrb¨ uchern zur algebraischen Geometrie und kommutativen Algebra dar, insbesondere in Robin Hartshornes Algebraic Geometry [13]. Weiterhin sehr wichtig beim Schreiben dieses Buches waren nat¨ urlich auch ¨ Grothendiecks EGA I [12], das sehr hilfreiche, in deutscher Ubersetzung erh¨ altliche Einf¨ uhrungswerk von Schafarewitsch [20] und Mumfords rotes ” Buch“ [18]. Auf dem Gebiet der kommutativen Algebra werden die Klassiker von Atiyah und Macdonald [1], Serre [21], Matsumura [16] sowie das neuere und umfangreiche Werk von Eisenbud [5] herangezogen. Grundlegende Tatsachen der Algebra stammen aus Langs Algebra [15]. F¨ ur Kategorientheorie und homologische Algebra sei, soweit nicht oben schon teilweise mitenthalten, auf Grothendiecks Tohoku-Arbeit [10] und auf das Buch von Bucur und Deleanu [2] verwiesen. Bei der Behandlung der Spektralsequenzen hat sich der Autor an Godement [9] orientiert. N¨ utzlich f¨ ur eine weitere Perspektive waren auch das Buch von Milne u ¨ber ´etale Kohomologie [17] und die a ltere Kurzdarstellung von Dieudonn´ e [4], deren ¨ pr¨ agnanten und genauen Stil der Autor als vorbildhaft empfand. Danksagung Der Autor dankt seinen Eltern, Otto B¨ ohm und Hermine B¨ ohm, deren Unterst¨ utzung es ihm erm¨ oglichte, seinen wissenschaftlichen Interessen in der Mathematik sowie in den Bereichen Computer und Elektronik nachzugehen und nicht zuletzt auch dieses Buch zu verfassen. Ein weiterer Dank geht an Dr. Fritz Schwarz vom Fraunhofer Institut SCAI. Durch ihn hat der Autor das Leben und Denken eines forschenden Mathematikers kennengelernt, und, im Zuge einer Arbeit aus dem Bereich Computeralgebra, auch begonnen, die konkrete Berechnung einer algebraischen Invariante als die Kr¨ onung und letztendliche Erf¨ ullung abstrakter Begriffsbildung anzusehen. Schließlich sei noch dem Springer-Verlag, namentlich Iris Ruhmann und Dr. Andreas R¨ udinger, f¨ ur die Entscheidung, dieses Buch in sein Programm aufzunehmen, und Janina Krieger und Stella Schmoll f¨ ur die freundliche Zusammenarbeit im Zuge der endg¨ ultigen Fertigstellung des Manuskripts gedankt. R¨ uckmeldungen

Der Autor freut sich u uckmeldungen an ¨ber R¨

[email protected] mit allgemeinen Kommentaren zu dem Buch und mit Meldungen u ¨ber gefundene Fehler und problematische Stellen. Eine Seite mit Errata wird gegebenenfalls auch im Internet verf¨ ugbar sein.

Wilhermsdorf, Juni 2019

J¨ urgen B¨ ohm

Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Equalizer und Koequalizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Nat¨ urliche Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Das Yoneda-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Adjungierte Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Produkte, Summen, Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abelsche Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Additive Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Abelsche Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Schlangenlemma und 5-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Lokal abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Irreduzible Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Noethersche topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homologische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Komplexe und Homologieobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Injektive und projektive Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Derivierte Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Universelle δ-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Cartan-Eilenberg-Aufl¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Quasi-Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Azyklische Aufl¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.8 Komposition von Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.9 Spektralsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 4 5 6 8 8 9 13 13 14 19 20 20 23 24 24 25 26 26 28 28 32 35 37 38 40 42

Kommutative Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ringe, Moduln, Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Nilradikal und Jacobson-Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Grundlegende S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites von Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Direkte Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 52 52 53 56 60 61 63 63

1 1.1

1.2

1.3

1.4

2 2.1

2.2

viii

2.3 2.4

2.5

2.6 2.7

2.8 2.9

2.10 2.11 2.12 2.13

2.14 2.15

2.16

Inhaltsverzeichnis

2.2.2 Inverser Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noethersche Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtrierte und gradierte Ringe und Moduln I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Filtrierte Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Gradierte Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primspektrum und Zariski-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Spektrum eines Ringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Homogenes Primspektrum von gradierten Ringen . . . . . . . . . . Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Faktorialit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensorprodukt und Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Fasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.9.4 Außeres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.5 Symmetrisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prim¨ arzerlegung und assoziierte Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Injektive Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektive Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ext und Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1 Grundlegende Funktoren von A-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.2 Projektive Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.3 Abgeleitete Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.4 Ext und Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.5 Die Ext-Paarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flache Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtrierte und gradierte Ringe und Moduln II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.1 Lokalisierungen und Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.2 Topologie gefilterter Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.3 Vervollst¨ andigung gefilterter Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.4 a-adische Filtrierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.5 Grundtheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.6 Idealtheorie der Komplettierungen noetherscher a-adisch filtrierter Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.7 Vollst¨ andige Ringe und Henselsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . Artinsche Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16.2 Moduln endlicher L¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16.3 Herbrandquotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 66 67 67 68 69 69 73 75 77 77 77 78 79 79 84 90 91 92 92 99 101 102 102 103 103 103 105 107 110 110 113 113 114 116 120 122 123 123 125 128

Inhaltsverzeichnis

2.17

2.18 2.19 2.20 2.21

2.22

2.23 2.24

2.25

2.26

2.27

2.28 2.29

Algebraische K¨ orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.2 Normen und Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.3 Klassen von K¨ orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.4 Algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.5 Separabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.6 Normale Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.7 Duale Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.8 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transzendente K¨ orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21.1 Bewertungen und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21.2 Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21.3 Diskrete Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Affine Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22.2 Hilbertscher Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22.3 Ganzer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Generic-Freeness-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokale noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.24.1 Hilbertpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.24.2 a-Filtrierungen noetherscher lokaler Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.1 Grundlegende Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.2 Katenarische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.3 Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.4 Lokale noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.5 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.6 Affine Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.7 Dimension von Hilbertmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25.8 Dimensionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homologische Begriffe in der Ring- und Modultheorie . . . . . . . . . . . . 2.26.1 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.26.2 Der Koszul-Komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.26.3 Homologische Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohen-Macaulaysche Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27.1 Depth und regul¨ are Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27.2 Cohen-Macaulay-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regul¨ are Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

129 129 130 131 133 135 138 139 141 142 151 157 158 158 164 166 167 167 168 169 171 172 172 174 177 177 177 178 178 180 181 183 184 186 186 187 189 195 195 203 208 213

x

Inhaltsverzeichnis

2.29.1 2.29.2 2.29.3 2.29.4

Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition und Kriterien f¨ ur regul¨ are lokale Ringe . . . . . . . . . . Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jacobische Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213 214 216 217

Garben und geringte R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Pr¨ agarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Garbenfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Welke Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Die Funktoren j! und i! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geringte R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ringgarben und Modulgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Geringte R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Modulgarben auf geringten R¨ aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Offene Teilr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Verklebungen von Garben auf topologischen R¨ aumen . . . . . . 3.2.6 Verklebungen von Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221 221 221 227 234 238 239 244 244 249 251 252 253 255

4 4.1 4.2 4.3

Affine Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Garben auf Spec (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .............................. Der geringte Raum (Spec (A), A) Modulgarben auf affinen Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 257 258 260

5 5.1

Schemata I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Offene Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Offene Teilmengen und Affinit¨ atskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundkonstruktionen mit Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Funktorielle Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Das schematheoretische Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Fasern von Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abgeschlossene Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Klassen von Schemamorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Immersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Quasikompakte Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Morphismen vom endlichen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Affine Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Endliche Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Diagonale Δ und Graph Γf eines Morphismus . . . . . . . . . . . . .

263 263 263 264 264 265 267 268 268 269 271 273 277 277 280 280 282 283 284

3 3.1

3.2

5.2

5.3 5.4

Inhaltsverzeichnis

5.5

5.6

5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

Separierte und eigentliche Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Permanenzprinzipien von Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Morphismen von Bewertungsringen in beliebige Schemata . . 5.5.4 Bewertungstheoretische Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Definition, Summe, Tensorprodukt, Limes . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Verhalten unter Garbenfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Vektorb¨ undel und Linienb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Tensorprodukte und Filtrierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.5 Ausdehnung von koh¨ arenten Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schematheoretisches Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruierbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektive Limites von Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektive Schemata I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 Das Schema proj (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.2 Die von gradierten Moduln induzierten quasikoh¨ arenten Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.3 Modulgarben auf projektiven Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ......................... 5.11.4 Die Funktoren Γ∗ (X, F) und M 5.11.5 Abgeschlossene Unterschemata von proj (S) . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.6 Ein Endlichkeitssatz f¨ ur koh¨ arente Garben . . . . . . . . . . . . . . . . Variet¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3 Der Satz von Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektive Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.1 Morphismen nach Pn A .................................. 5.13.2 Veronese-Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.3 Segre-Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.4 Definition und Eigenschaften projektiver Morphismen . . . . . . Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.1 Weil-Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.2 Cartier-Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.3 Linienb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.4 Korrespondenz zwischen Div X, CaCl X und Pic X . . . . . . . . 5.14.5 Globale Schnitte von OX (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektive Schemata II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.1 Ample und sehr ample Linienb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.2 Projektive Kegel von quasikoh¨ arenten Algebren . . . . . . . . . . . 5.15.3 Projektive B¨ undel P(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

285 285 286 287 289 294 294 298 300 304 306 308 311 314 316 320 320 322 323 325 327 330 332 332 333 335 338 338 343 345 349 351 351 360 361 363 368 370 370 372 375

xii

5.16

5.17 5.18 6 6.1

6.2 6.3 6.4

6.5 6.6

6.7 6.8 6.9

6.10

Inhaltsverzeichnis

5.15.4 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.5 Aufblasungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.6 Projektive Variet¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m 5.15.7 Morphismen von Pn k nach Pk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.8 Projektion von einem linearen Teilraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Differentialgarbe ΩX|Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 5.16.2 Regul¨ are Untervariet¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bertini-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vollst¨ andige Durchschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

377 378 384 387 388 389 389 394 398 400

Schemata II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie des Schnittfunktors Γ(X, −) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Definition als derivierter Funktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Azyklische Garben und grundlegende S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Grothendiecks Verschwindungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie auf abgeschlossenem Tr¨ ager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Der Cech-Komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Hauptsatz der Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Das cup-Produkt in der Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Cech-Kohomologie f¨ ur Pr¨ agarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5 Anwendungen der Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Infinitesimale Erweiterungen von Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A ....................... 6.6.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Die Grundtheoreme zur Kohomologie der projektiven R¨ aume 6.6.3 Kohomologische Charakterisierung ampler Garben . . . . . . . . . 6.6.4 Ample Garben unter f ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5 Hilbertpolynome koh¨ arenter Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H¨ ohere direkte Bilder, Kohomologie von f∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Funktoren Exti und Exti von Modulgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . Flache Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 Relative Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.3 Kriterien f¨ ur Flachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.4 Erg¨ anzende S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Glatte Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.1 Variet¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.2 Allgemeine Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

405 405 405 408 409 411 413 419 428 428 429 432 433 436 442 447 447 447 450 452 455 456 459 463 463 464 467 468 471 471 476

Inhaltsverzeichnis

xiii

6.11 6.12 6.13 6.14

490 492 493 495 495 497 498 498 499 505 507 510 514 514 522

6.15

6.16 6.17

Gruppenvariet¨ aten und das Theorem von Kleiman . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie und Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flachheit und Hilbertpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14.1 Allgemeine Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14.2 Algebraische Familien von Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serre-Dualit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15.1 Dualit¨ at f¨ u r Pn k........................................ 6.15.2 Dualit¨ at f¨ ur projektive Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15.3 Explizite Berechnung von Kohomologiegruppen . . . . . . . . . . . 6.15.4 Bottsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halbstetigkeitss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

1 Grundlagen

¨ Ubersicht 1.1 1.2 1.3 1.4

Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abelsche Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homologische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

Kategorien

1.1.1

Allgemeines

1 13 20 26

Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse von Objekten Obj C sowie f¨ ur jeweils zwei Objekte X, Y aus C einer Menge HomC (X, Y )

(1.1)

von Homomorphismen oder Morphismen zwischen X und Y . Es folge aus HomC (X, Y ) ∩ HomC (X  , Y  ) = ∅, dass X = X  und Y = Y  ist. Jedes solche HomC (X, X) enth¨ alt ein ausgezeichnetes Element idX ∈ HomC (X, X), die Identit¨ at auf X. Ist f ∈ HomC (X, Y ), so stellen wir dies graphisch in der Form X

f

/Y

dar und schreiben auch einfach f : X → Y . F¨ ur HomC (X, X) schreiben wir auch EndC (X), die Endomorphismen von X. Sind X, Y , Z drei Objekte aus C, so existiert eine Abbildung ◦ : HomC (Y, Z) × HomC (X, Y ) → HomC (X, Z),

(f, g) → f ◦ g .

Dies ist die Komposition oder Verkn¨ upfung von f und g.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 J. Böhm, Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59482-7_1

(1.2)

2

1 Grundlagen

Ist f ∈ HomC (Y, Z) und g ∈ HomC (X, Y ) und h ∈ HomC (X, Z) mit h = f ◦g, so stellen wir dies graphisch etwa in der Form

/Y

g

X

(1.3) f

 Z

h

dar. F¨ ur vier Objekte X, Y , Z, T aus C und f ∈ HomC (Z, T ), g ∈ HomC (Y, Z) h ∈ HomC (X, Y ) ist (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) . (1.4) Es kommutiert also h

X

/Y

(1.5) f ◦g

g

g◦h

 Z

f

 /T.

Weiterhin ist f¨ ur alle f : X → Y idY ◦ f = f ,

(1.6)

f ◦ idX = f .

(1.7)

Beispiel 1.1.1 Eine der wichtigsten Kategorien ist die Kategorie der Mengen Sets, mit den Mengen als Objekten und den Mengenabbildungen f : X → Y als Morphismen HomSets (X, Y ). Definition 1.1.1 Es seien f : Y → Z und g1 , g2 : X → Y Morphismen in der Kategorie C. Folgt aus f ◦ g1 = f ◦ g2 immer g1 = g2 , so heißt f Monomorphismus in C.  Definition 1.1.2 Es seien f : X → Y und g1 , g2 : Y → Z Morphismen in der Kategorie C. Folgt aus g1 ◦ f = g2 ◦ f immer g1 = g2 , so heißt f Epimorphismus in C.  Es sei f : X → Y ein Morphismus in C. Ist g : Y → X gegeben mit g ◦ f = idX , so heißt g linksinvers zu f . Ist ein h : Y → X gegeben mit f ◦ h = idY , so heißt h rechtsinvers zu f . Hat f : X → Y ein Rechtsinverses g ◦ f = idX und ein Linksinverses f ◦ h = idY , so ist f ein Isomorphismus von X nach Y , und es ist g = h. Die Menge dieser Isomorphismen ist IsomC (X, Y ) ⊆ HomC (X, Y ). Weiter schreiben wir IsomC (X, X) = AutC (X) ⊆ EndC (X). Die Menge (AutC (X), ◦) ist eine Gruppe.

1.1 Kategorien

3

Bemerkung 1.1.1 Hat f ein Linksinverses bzw. ein Rechtsinverses, so ist f ein Monomorphismus bzw. ein Epimorphismus. Ein Isomorphismus ist also sowohl ein Monomorphismus als auch ein Epimorphismus. Die Umkehrung dieser Aussage ist nicht notwendig zutreffend. Definition 1.1.3 Es sei X ein Objekt einer Kategorie C und U  (X) das System aller Monomorphismen u : U → X. Wir schreiben f¨ ur u : U → X, u : U  → X aus U  (X), dass u  u , wenn ein v : U → U  mit u v = u existiert.  Dual dazu definieren wir: Definition 1.1.4 Es sei X ein Objekt einer Kategorie C und Q (X) das System aller Epimorphismen p : X → Q. Wir schreiben f¨ ur p : X → Q, p : X → Q aus Q (X), dass p  p, wenn ein    v : Q → Q mit p = v  p existiert.  Proposition 1.1.1 Ist f¨ ur u : U → X, u : U  → X ∈ U  (X) sowohl u  u als auch u  u, so existiert ein Isomorphismus v : U → U  . Wir nennen u und u dann ¨ aquivalent. ¨ Ein System von eindeutigen Repr¨ asentanten aus den Aquivalenzklassen ist das System der Unterobjekte von X. Wir nennen es U (X). Dual dazu gilt: Proposition 1.1.2 Ist f¨ ur p : X → Q, p : X → Q ∈ Q (X) sowohl p  p als auch p  p, so existiert ein Isomorphismus v  : Q → Q . Wir nennen p und p dann a ¨quivalent. ¨ Ein System von eindeutigen Repr¨ asentanten aus den Aquivalenzklassen ist das System der Quotientenobjekte von X. Wir nennen es Q(X). Es sei C eine Kategorie, so k¨ onnen wir eine Kategorie Co wie folgt definieren: o Obj C = Obj C und HomCo (X, Y ) = HomC (Y, X). Es ist dann HomCo (Y, Z) × HomCo (X, Y ) = = HomC (Z, Y ) × HomC (Y, X) → HomC (Z, X) = HomCo (X, Z)

(1.8)

die passende Definition der Komposition in Co . Wir nennen Co auch die duale Kategorie zu C oder auch die Kategorie mit umgedrehten Pfeilen. Definition 1.1.5 Es sei C eine Kategorie und X ein Objekt von C. Enth¨ alt f¨ ur alle Y aus Obj C

4

1 Grundlagen

1. HomC (Y, X) genau ein Element, so heißt X Endobjekt in C. 2. HomC (X, Y ) genau ein Element, so heißt X Anfangsobjekt in C.  Ein Anfangsobjekt bzw. ein Endobjekt ist eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus festgelegt.

1.1.2

Equalizer und Koequalizer

Definition 1.1.6 (Equalizer) Es seien f, g : X → Y zwei Morphismen in einer Kategorie C. Dann ist ein Monomorphismus u : K → X ein Equalizer von f, g, wenn i) f ◦ u = g ◦ u, ii) jede Abbildung h : N → X mit f ◦ h = g ◦ h eindeutig durch u faktorisiert, also genau eine Abbildung v : N → K existiert mit u ◦ v = h. Wir schreiben ker(f, g) f¨ ur eine solche Abbildung u bzw. f¨ ur das Objekt K mit der implizit mitgedachten Abbildung u.  Definition 1.1.7 (Koequalizer) Es seien f, g : X → Y zwei Morphismen in einer Kategorie C. Dann ist ein Epimorphismus p : Y → C ein Koequalizer von f, g, wenn i) p ◦ f = p ◦ g, ii) jede Abbildung h : Y → N mit h ◦ f = h ◦ g eindeutig durch p faktorisiert, also genau eine Abbildung v : C → N existiert mit v ◦ p = h. Wir schreiben coker(f, g) f¨ ur eine solche Abbildung p bzw. f¨ ur das Objekt C mit der implizit mitgedachten Abbildung p.  Proposition 1.1.3 Die Kategorie der Mengen Sets hat Equalizer. Beweis. Es seien f, g : X → Y zwei Mengenabbildungen. Dann ist ker(f, g) = {x ∈ X | f (x) = g(x)}. 

1.1 Kategorien

1.1.3

5

Funktoren

Es seien C und D zwei Kategorien. Es gebe eine Zuordnung F : X → F (X) , F : f ∈ HomC (X, Y ) → F (f ) ∈ HomD (F (X), F (Y )) ,

(1.9) (1.10)

wobei X, Y aus Obj C sind und F (X), F (Y ) aus Obj D. F¨ ur g : X → Y und f : Y → Z aus C sei die Beziehung F (f ◦ g) = F (f ) ◦ F (g)

(1.11)

erf¨ ullt. Weiter sei f¨ ur jedes X aus Obj C F (idX ) = idF (X) .

(1.12)

Definition 1.1.8 Mit den vorigen Bezeichnungen ist F : C → D ein kovarianter Funktor von C nach D.  Gilt statt der Beziehung (1.10) die Beziehung F : X → F (X) , F : f ∈ HomC (X, Y ) → F (f ) ∈ HomD (F (Y ), F (X)) ,

(1.13) (1.14)

und ist entsprechend f¨ ur g : X → Y und f : Y → Z aus C F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f ) ,

(1.15)

so definieren wir analog: Definition 1.1.9 Mit den vorigen Bezeichnungen ist F : C → D ein kontravarianter Funktor von C nach D.  Es seien C, D, E drei Kategorien und G : C → D sowie F : D → E zwei Funktoren. Dann ist F ◦ G : C → D die Komposition der Funktoren F und G. Sie ist definiert durch F ◦ G : X → F (G(X)) ,

(1.16)

F ◦ G : f ∈ HomC (X, Y ) → F (G(f )) ∈ HomE (F (G(X)), F (G(Y ))) , (1.17) falls F und G kovariant sind. Bei anderen Varianzen ist (1.17) entsprechend abzu¨ andern.

6

1 Grundlagen

Wir schreiben auch bildlich: C

F

F ◦G

/D

(1.18)

G

 E

Bemerkung 1.1.2 Es gibt einen kanonischen kontravarianten Funktor opp : C → Co . Es gilt: F : C → D ist ein kontravarianter Funktor, genau dann, wenn ein kovarianter Funktor F o : Co → D existiert, f¨ ur den F o ◦ opp = F ist. Bemerkung 1.1.3 Im Folgenden werden wir viele Aussagen nur noch f¨ ur kovariante Funktoren treffen, sie gelten aber mit entsprechenden Ab¨ anderungen, meistens auch f¨ ur kontravariante Funktoren. Falls nicht, so wird ein entsprechender Hinweis angebracht. Definition 1.1.10 Es sei F : C → D ein Funktor. Dann heißt F treu bzw. voll bzw. volltreu, falls die Abbildungen F : f ∈ HomC (X, Y ) → F (f ) ∈ HomD (F (X), F (Y )) f¨ ur alle X, Y aus Obj C injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind. 

1.1.4

Nat¨ urliche Transformationen

Es seien F, G : C → D zwei kovariante Funktoren. Es existiere ein System von Abbildungen φX : F (X) → G(X) (1.19) f¨ ur jedes X aus Obj C. Weiter existiere f¨ ur jedes f : X → Y aus C ein kommutatives Diagramm F (X)

φX

/ G(X)

φY

 / G(Y )

F (f )

 F (Y )

(1.20)

G(f )

Definition 1.1.11 In der vorigen Situation nennen wir φ : F → G eine nat¨ urliche Transformation von F nach G oder einen Morphismus von Funktoren. 

1.1 Kategorien

7

Mit einer gewissen Vorsicht wegen grundlagentheoretischer Probleme, die sich daraus ergeben, dass die Objekte Obj C einer Kategorie nicht immer eine Menge, sondern auch eine Klasse sein k¨ onnen, ist es m¨ oglich zu definieren: Definition 1.1.12 Es sei Hom(C, D) die Kategorie der Funktoren F : C → D.



Es ist dann Hom(F, G) in dieser Kategorie die Menge der nat¨ urlichen Transformationen von F nach G, also der Systeme φX : F (X) → G(X) von oben. Offensichtlich existiert f¨ ur drei Funktoren F , G, H und nat¨ urliche Transformationen φX : F (X) → G(X) sowie ψX : G(X) → H(X) immer die Komposition (ψ ◦ φ)X = ψX ◦ φX : F (X) → H(X). Sie ist in der Tat eine nat¨ urliche Transformation. Auch die Identit¨ at (idF )X = idF (X) : F (X) → F (X) existiert und hat die verlangten Eigenschaften. Es ist also sinnvoll davon zu sprechen, dass f¨ ur zwei Funktoren F, G : C → D ∼ ein nat¨ urlicher Isomorphismus φ : F → G in Hom(C, D) existiert. Definition 1.1.13 In diesem Fall schreiben wir F (X) = G(X) f¨ ur alle X aus Obj C und sagen, auch F und G seien kanonisch isomorph.  Es seien nun F, G : C → D zwei Funktoren und φX : F (X) → G(X) eine nat¨ urliche Transformation mit dem Diagramm (1.20). Ist dann H : D → E ein weiterer Funktor, so vermittelt ψX = H(φX ) : H(F (X)) → H(G(X)) eine nat¨ urliche Transformation zwischen H ◦ F und H ◦ G, denn es ist ja nach Anwendung von H auf das Diagramm (1.20): H(F (X)) H(F (f ))



H(F (Y ))

/ H(G(X))

H(φX )

(1.21)

H(G(f ))

 / H(G(Y ))

H(φY )

Es ergibt sich daraus auch Bemerkung 1.1.4 Sind F, G nat¨ urlich isomorph, F (X) = G(X), so sind auch H ◦ F und H ◦ G nat¨ urlich isomorph, H(F (X)) = H(G(X)), f¨ ur alle X aus Obj C. Sei nun wieder eine nat¨ urliche Transformation φX : F (X) → G(X) zwischen Funktoren F, G : C → D gegeben. Weiter sei jetzt H : B → C ein Funktor. Dann ist ψZ = φH(Z) : F (H(Z)) → G(H(Z)) f¨ ur alle Z aus Obj B eine nat¨ urliche Transformation von F ◦ H nach G ◦ H. Wieder folgt: Bemerkung 1.1.5 Sind F, G nat¨ urlich isomorph, F (X) = G(X), so sind auch F ◦ H und G ◦ H nat¨ urlich isomorph, F (H(Z)) = G(H(Z)), f¨ ur alle Z aus Obj B.

8

1.1.5

1 Grundlagen

Das Yoneda-Lemma

Es sei C eine Kategorie und Co die zugeh¨ orige duale Kategorie. Dann gibt es einen Funktor h : C → Hom(Co , Sets),

h : X → hX : (T → Hom(T, X)) .

(1.22)

Definition 1.1.14 Der oben definierte Funktor X → hX heißt Yoneda-Abbildung von C nach Hom(Co , Sets).  Lemma 1.1.1 (Yoneda) Die Yoneda-Abbildung F induziert eine volltreue Einbettung von Kategorien h : C → Hom(Co , Sets) .

1.1.6

Adjungierte Funktoren

Definition 1.1.15 Es seien F : C → D und G : D → C zwei Funktoren, und es gebe einen nat¨ urlichen Isomorphismus HomD (F (X), Y ) = HomC (X, G(Y ))

(1.23)

f¨ ur alle Objekte X aus C und Y aus D. Dann sind F und G adjungierte Funktoren, F ist linksadjungiert zu G, und G ist rechtsadjungiert zu F .  Definition 1.1.16 Es sei F : C → D ein Funktor. Dann heißt F essentiell surjektiv, falls f¨ ur jedes Objekt Y von D ein Objekt X von C existiert, f¨ ur das F (X) ∼  = Y gilt. Definition 1.1.17 Es seien C und D zwei Kategorien und F : C → D sowie G : D → C zwei Funktoren mit nat¨ urlichen Isomorphismen idC ∼ = G ◦ F,

F ◦G∼ = idD .

¨ Dann heißen C und D ¨ aquivalent, und die Funktoren F , G sind Aquivalenzen von Kategorien.  Proposition 1.1.4 Es seien F : C → D und G : D → C zwei Funktoren, wobei F linksadjungiert zu G ist. Dann ist ¨ aquivalent:

1.1 Kategorien

9

¨ a) F und G definieren eine Aquivalenz von Kategorien. b) F und G sind volltreu. Proposition 1.1.5 Es sei F : C → D ein Funktor. Dann ist ¨ aquivalent: ¨ a) F induziert eine Aquivalenz von Kategorien mit einem geeigneten G : D → C. b) F ist volltreu und essentiell surjektiv.

1.1.7

Produkte, Summen, Limites

Definition 1.1.18 Eine Indexkategorie u ¨ber einer Menge I ist eine Kategorie, deren Objekte die Elemente von I sind.  Definition 1.1.19 Eine Indexkategorie I erf¨ ullt (F1) Wenn f¨ ur jedes Paar von Morphismen, φ ∈ HomI (i, j) und ψ ∈ HomI (i, k) zwei Morphismen α ∈ HomI (j, l) und β ∈ HomI (k, l) existieren mit α◦φ = β ◦ ψ. (1.24) Aj φ

α

 @l

i ψ



β

k

(F2) Wenn f¨ ur jedes Paar von Morphismen, φ, ψ ∈ HomI (i, j) ein Morphismus γ ∈ HomI (j, k) existiert mit γ ◦ φ = γ ◦ ψ. φ

i ψ

/ /j

γ

/k

(F3) Wenn f¨ ur zwei i, k ∈ Obj I Objekte j1 , . . . , jn ∈ Obj I existieren, so dass i → j 1 ← j 2 → j 3 ← · · · → jn ← k ein System von Morphismen in I ist. 

10

1 Grundlagen

Definition 1.1.20 Sind f¨ ur eine Indexkategorie I die Bedingungen (F1) und (F2) erf¨ ullt, so heißt sie pseudofiltriert. Ist (F3) erf¨ ullt, so heißt sie zusammenh¨ angend. Eine pseudofiltrierte und zusammenh¨ angende Indexkategorie heißt filtriert. Eine Indexkategorie I heißt kofiltriert, wenn I o filtriert ist.  Definition 1.1.21 Es gelte f¨ ur eine Indexkategorie I: i) HomI (i, j) ist entweder leer oder besteht nur aus einem Element. ii) Es existiert f¨ ur i, j ∈ Obj I immer ein k ∈ Obj I, so dass i → k ← j Morphismen in I sind. 

Dann heißt I gerichtete Menge.

Definition 1.1.22 Sind f¨ ur eine Indexkategorie I alle HomI (i, j) = ∅ f¨ ur i = j, und besteht HomI (i, i) nur aus idi , so ist I die triviale Indexkategorie.  Wir k¨ onnen also eine Familie (Ai )i∈I von Objekten einer Kategorie C als Funktor in Hom(I, C) auffassen, wobei in Hom(I, C) das I f¨ ur die triviale Indexkategorie u ¨ber I steht. Definition 1.1.23 Ein Objekt F aus Hom(I, C) heiße von I indiziertes System in C. Wir schreiben auch manchmal (Fi )i∈I f¨ ur ein solches System. Ist I eine gerichtete Menge, so heißt F auch direktes System.  Bemerkung 1.1.6 Wir schreiben f¨ ur HomHom(I,C) ((Fi ), (Gi )) auch abk¨ urzend Homind ((Fi ), (Gi )), wenn sich Hom(I, C) aus dem Kontext ergibt. Definition 1.1.24 Es sei C eine Kategorie und X ein Objekt aus C. Weiter sei I eine Indexkategorie. Dann gibt es eine funktorielle Zuordnung c : C → Hom(I, C),

X → (cX : i → X)

(1.25)

mit der Abbildung der Morphismen als cX (φ) = idX f¨ ur alle φ ∈ HomI (i, j). Das Objekt cX ist das konstante, von X erzeugte, von I indizierte System.  Definition 1.1.25 Es sei C eine Kategorie und I eine Indexkategorie. Es gebe einen Funktor lim : −→I Hom(I, C) → C, der die Adjunktionsbeziehung HomC (lim Fi , X) = Homind ((Fi ), cX ) −→ I

(1.26)

1.1 Kategorien

11

funktoriell erf¨ ullt. Dann heißt lim Fi der direkte Limes von (Fi )i∈I . −→I



Definition 1.1.26 Es sei C eine Kategorie und I eine Indexkategorie. Es gebe einen Funktor lim : ←−I Hom(I, C) → C, der die Adjunktionsbeziehung HomC (X, lim Fi ) = Homind (cX , (Fi )) ←−

(1.27)

I

funktoriell erf¨ ullt. Dann heißt lim Fi der inverse Limes von (Fi )i∈I . ←−I



Definition 1.1.27 Es sei C eine Kategorie und I eine triviale Indexkategorie. Dann schreiben wir auch  Fi (1.28) lim Fi = −→ I i∈I  lim Fi = Fi (1.29) ←− I

und nennen Fi .

 i∈I

i∈I

Fi die direkte Summe und

 i∈I

Fi das direkte Produkt der 

Bemerkung 1.1.7 Setzt man in (1.26) bzw. in (1.27) das Objekt X gleich lim Fi bzw. gleich −→I lim Fi , so entstehen Abbildungen ←−I ji : Fi → lim Fi , −→

(1.30)

I

pi : lim Fi → Fi . ←−

(1.31)

I

Die Zuordnungen Hom(

 I

Hom(X,

Fi , X) →  I



Hom(Fi , X),

h →

i∈I

Fi ) →





h ◦ ji

i∈I

Hom(X, Fi ),

i∈I

h →



pi ◦ h

i∈I

sind eine andere Formulierung der oben stehenden Adjunktionsbeziehungen (1.26) und (1.27) f¨ ur direkte Summen und Produkte. Es sei I die Indexkategorie mit drei Objekten, die graphisch als i1O i3 repr¨ asentiert sei.

/ i2

12

1 Grundlagen

Definition 1.1.28 Der direkte Limes u uhrte Kategorie heißt Fasersumme, ge¨ber die eben eingef¨ schrieben als lim Fi = Fi1 ⊕Fi3 Fi2 , −→ I

wobei die Abbildungen Fi3 → Fi1 , Fi2 implizit mitgedacht sind.



Es sei I die Indexkategorie mit drei Objekten, die graphisch als i1

 i3 o

i2

repr¨ asentiert sei. Definition 1.1.29 Der inverse Limes u uhrte Kategorie heißt Faserprodukt, ge¨ber die eben eingef¨ schrieben als lim Fi = Fi1 ×Fi3 Fi2 , ←− I

wobei die Abbildungen Fi1 , Fi2 → Fi3 implizit mitgedacht sind. Die kanonischen Abbildungen p1 , p2 : Fi1 ×Fi3 Fi2 → Fi1 , Fi2 werden kanonische Projektionen genannt.  Proposition 1.1.6 Es sei C eine Kategorie mit Koequalizern und direkten Summen. Dann existieren in C beliebige direkte Limites lim Fi . −→I Beweis. Betrachte die Sequenz 

w

φik ∈HomI (i,k) i,k∈Obj I

Fφik w

/



/ i∈I

Fi

p

/ coker(w, w )

mit Fφik = Fi . Sind jφik und ji die kanonischen Abbildungen in   i∈I Fi , so sei w ◦ jφik = ji und w ◦ jφik = jk ◦ F (φik ). Man rechnet leicht nach, dass coker(w, w ) = lim Fi ist. −→i∈I

 φik

Fφik und 

Dual dazu gilt:

Proposition 1.1.7 Es sei C eine Kategorie mit Equalizern und direkten Produkten. Dann existieren in C beliebige inverse Limites lim Fi . ←−I Beweis. Betrachte die Sequenz ker(w, w )

i

/

i∈I

Fi

/ w /

w

φik ∈HomI (i,k) i,k∈Obj I

Fφik

mit Fφik = Fk . Sind pφik und pi die kanonischen Abbildungen von   i∈I Fi , so sei pφik ◦ w = pk und pφik ◦ w = F (φik ) ◦ pi .  Man rechnet leicht nach, dass ker(w, w ) = lim Fi ist. ←−i∈I

 φik

Fφik und 

1.2 Abelsche Kategorien

13

Korollar 1.1.1 In Sets existiert f¨ ur r : E → G und s : F → G das Faserprodukt E ×G F . Beweis. Benutzt man die Definition des Equalizers und vereinfacht etwas, so entsteht die Beziehung E ×G F = {(e, f ) | e ∈ E, f ∈ F, r(e) = s(f )} ⊆ E × F . Die kanonischen Projektionen sind die von E × F induzierten.

1.2

Abelsche Kategorien

1.2.1

Additive Kategorien



Definition 1.2.1 Eine additive Kategorie A ist eine Kategorie, in der i) Hom(A, B) eine abelsche Gruppe f¨ ur alle A, B aus Obj A ist. ii) die Abbildung ◦ : HomA (Y, Z) × HomA (X, Y ) → HomA (X, Z) eine Z-Bilinearform ist. iii) f¨ ur je zwei Objekte X, Y die direkte Summe X ⊕Y und das direkte Produkt X × Y existieren. iv) ein Nullobjekt A mit idA = 0 existiert.  Bemerkung 1.2.1 Es gen¨ ugt zu verlangen, dass X ⊕ Y oder X × Y existiert, beide Objekte sind f¨ ur eine additive Kategorie kanonisch isomorph. Ein Nullobjekt A kann auch durch HomA (A, A) = 0 oder HomA (A, X) = 0 f¨ ur alle X aus A gekennzeichnet werden. Es ist eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus. Ein Funktor F : A → B additiver Kategorien soll, wenn nicht anders gesagt, immer Gruppenhomomorphismen f ∈ HomA (X, Y ) → F (f ) ∈ HomB (F (X), F (Y )) induzieren. Definition 1.2.2 (Kern) Es sei f : X → Y ein Morphismus in einer additiven Kategorie. Wenn der Equalizer u : K → X mit u = ker(f, 0Hom(X,Y ) ) existiert, so nennen wir ihn Kern von f . Wir schreiben ker f f¨ ur eine solche Abbildung u bzw. f¨ ur das Objekt K mit der implizit mitgedachten Abbildung u. 

14

1 Grundlagen

Definition 1.2.3 (Kokern) Es sei f : X → Y ein Morphismus in einer additiven Kategorie. Wenn der Koequalizer p : Y → C mit p = coker(f, 0Hom(X,Y ) ) existiert, so nennen wir ihn Kokern von f . Wir schreiben coker f f¨ ur eine solche Abbildung p bzw. f¨ ur das Objekt C mit der implizit mitgedachten Abbildung p.  Bemerkung 1.2.2 Den Kokern des Kerns von f : X → Y nennen wir auch Kobild (coim f ), den Kern des Kokerns auch Bild (im f ). Wir haben also das Diagramm mit einem eindeutig bestimmten Morphismus h, ker f p

u

"

f

X p



# coim f

u h

coker f , ;

(1.32)

/Y
0. Dann heißt (T i ) ausl¨ oschbarer δ-Funktor.  Definition 1.4.14 Es gelte Folgendes: Jeder Funktormorphismus φ0 : T 0 → T 0 in einen anderen δ-Funktor setzt sich zu einem Morphismus φi : T i → T i von δ-Funktoren fort.

1.4 Homologische Algebra

33 

Dann heißt (T i ) universeller δ-Funktor. Proposition 1.4.2 Ein ausl¨ oschbarer δ-Funktor (T i ) ist ein universeller δ-Funktor. Beweis. Es sei zun¨ achst einfach in 0→M →I→Q→0

(∗)

der Morphismus M → I eine Ausl¨ oschung bez¨ uglich T i . Dann existiert ein Diagramm: 0

/ T 0 (M )

0

/ T (M ) 0

/ T 0 (I)





/ T (I) 0

/ T 0 (Q) 

/ T 1 (M )

γ

/ T (M )

β

/ T (Q) 0

α

1



0

θ

/ T 1 (I)

(1.49)

 / T 1 (I)

Die Abbildung θ wird durch Aufsuchen eines Urbildes unter α und Vorw¨ artsschieben dieses Urbilds mit γ ◦β definiert. Sie ist f¨ ur eine feste Ausl¨ oschung (∗) zun¨ achst einmal wohldefiniert. Aus dem folgenden Diagramm 0

/ M O

/ I O

/ Q O

/0

0

/M

/I

/Q

/0

(1.50)

entsteht:

/ T 0 (Q ) 9

T 0 (I  )

:

/ T 0 (Q)

T 0 (I)



/ / T 1 (M  ) 9 / / T 1 (M )

 / T 0 (Q ) 9

T 0 (I  )

:



 / T 0 (Q)

T 0 (I)

(1.51)

 / T 1 (M  ) 9  / T 1 (M )

Setzt man zun¨ achst M = M  aber nicht mehr notwendig I = I  , so liest man aus dem rechten W¨ urfel des großen Diagramms ab, dass die Abbildung θ : T 1 (M ) → T 1 (M ) von oben nicht vom gew¨ ahlten I in 0 → M → I abh¨ angt. Beginnt man nun mit zwei v¨ ollig beliebigen Ausl¨ oschungen 0 → M → I → Q → 0 und 0 → M → I  → Q → 0, so gibt es immer ein Diagramm 0

/M

/ I

/ Q

/0

0

 /M O

 / I ⊕ I O

 / Q O

/0

0

/M

/I

/Q

/ 0,

(1.52)

34

1 Grundlagen

so dass, unter Verwendung des schon Bewiesenen, die Abbildungen θM , wie sie von der oberen und der unteren Ausl¨ oschung herstammen, mit der Abbildung u oschung herstammt. ¨bereinstimmen, die von der mittleren Ausl¨ In einem zweiten Schritt ist nicht mehr notwendig M = M  , und man liest aus dem großen Diagramm ab, dass im Fall des Bestehens eines Diagramms (1.50) die Abbildungen θM : T 1 (M ) → T 1 (M ) und θM  : T 1 (M  ) → T 1 (M  ) sich funktoriell f¨ ur M → M  verhalten, also das Diagramm T 1 (M )

/ T 1 (M  )



 / T 1 (M  )

T 1 (M )

(1.53)

kommutiert. Es bleibt jetzt noch nachzuweisen, dass dies f¨ ur ein beliebiges u : M → M  keine Einschr¨ ankung bedeutet. Dazu betrachte man das Diagramm 0

/ M ⊕ M O β

/P O

/0

/Q

/0

(1.54)

id

/M

0

/I O

α

γ

/I

mit dem Monomorphismus β = idM ⊕ u, einer dann gew¨ ahlten Ausl¨ oschung 0 → α M ⊕ M − → I und der Festsetzung γ = α ◦ β. Mit ihr kommutiert T 1 (M )

/ T 1 (M ⊕ M  )

=

/ T 1 (M ) ⊕ T 1 (M  )



 / T 1 (M ⊕ M  )

=

 / T 1 (M ) ⊕ T 1 (M  )

T 1 (M )

(1.55)

und damit auch (1.53) f¨ ur das frei gew¨ ahlte u : M → M  . Schließlich ist noch zu zeigen, dass f¨ ur jede exakte Sequenz 0 → M  → M → M  → 0 auch das Diagramm / T 1 (M  ) (1.56) T 0 (M  ) 0





θM 

/ T (M  )



1

T (M ) kommutiert. Man bilde dazu ein Diagramm 0

/ M O

/I O

/Q O

/0

/M

/ M 

/ 0,

(1.57)

id

0

/ M

indem man mit einer Ausl¨ oschung 0 → M → I startet und das Diagramm dann sukzessive konstruiert.

1.4 Homologische Algebra

35

Es entsteht dann wieder ein W¨ urfel T 0 (Q)

9

id

/ / T 1 (M  ) 8

(1.58)

/ T 1 (M  )

T 0 (M  )



T 0 (Q)

9

id



 / T 1 (M  ) , 8



/ T 1 (M  )

T 0 (M  )

aus dem man abliest, dass (1.56) wirklich kommutiert. Damit ist der Funktor φ0 : T 0 → T 0 funktoriell zu einem Morphismus φ1 : T 1 → 1 ¨ T fortgesetzt worden. Indem man die obigen Uberlegungen induktiv mit T 1 anstelle 0 2 2 2 von T durchl¨ auft, konstruiert man φ : T → T und so letztlich alle φi : T i → T i . 

1.4.5

Cartan-Eilenberg-Au߬ osungen

Lemma 1.4.5 Es sei 0 → A → A → A → 0 eine exakte Sequenz in einer abelschen Kategorie A mit gen¨ ugend Injektiven. Weiter seien 0 → A → I • und 0 → A → I • zwei gegebene injektive Aufl¨ osungen. Dann existiert eine injektive Aufl¨ osung 0 → A → I • , so dass das Diagramm 0

/ I • O

/ I• O

/ I • O

/0

0

/ A O

/A O

/ A O

/0

0

0

0 p

kommutiert. Es ist dabei I = I

p

⊕I

p

.

Beweis. Folgt durch geeignete sukzessive Anwendung von Lemma 1.4.3.



Es sei A → A → · · · → A → · · · ein nicht notwendig exakter Komplex mit Elementen einer abelschen Kategorie A. Diese besitze genug Injektive. Wir zerlegen dann (A• ) in kurze exakte Sequenzen 0

1

i

0 → Z p → Ap → B p+1 → 0

(1.59)

0 → Bp → Z p → H p → 0 .

(1.60)

und Gesucht ist nun ein System von injektiven Aufl¨ osungen 0 → Z p → I p,•

0 → Ap → J p,•

0 → B p → K p,•

0 → H p → Lp,• ,

36

1 Grundlagen

so dass die exakten Diagramme 0

/ I p,• O

/ J p,• O

/ K p+1,• O

/0

0

/ Zp O

/ Ap O

/ B p+1 O

/0

0

0

0

und 0

/ K p,• O

/ I p,• O

/ Lp,• O

/0

0

/ Bp O

/ Zp O

/ Hp O

/0

0

0

0

kommutieren. Wir konstruieren diese induktiv: Es seien I i,• , J i,• , Li,• f¨ ur i  p − 1 und i,• K f¨ ur i  p schon konstruiert. Wir wenden das Lemma 1.4.5 auf (1.60) an und konstruieren 0 → H p → Lp,• und in der Mitte 0 → Z p → I p,• . Mit der so gewonnenen Aufl¨ osung von Z p gehen wir in (1.59) und konstruieren gem¨ aß p+1 p+1,• p p,• dem Lemma 1.4.5 0 → B → K und 0 → A → J . Damit ist der Induktionsschritt von p − 1 nach p vollzogen. Nennt man hpI die p-te Kohomologie bez¨ uglich der Derivation in Richtung der ersten Komponente des Doppelkomplexes J •,• , so ist also 0 → hp (A• ) → hpI (J •,• ) eine injektive Aufl¨ osung von hp (A• ). Definition 1.4.15 Es sei A• ein Komplex mit einer Aufl¨ osung 0 → A• → J •,• , wie sie oben •,• konstruiert wurde. Dann heißt J eine Cartan-Eilenberg-Aufl¨ osung von A• .  Lemma 1.4.6 Es sei F : A → B ein linksexakter Funktor von abelschen Kategorien A, B. Weiter sei 0 → A• → J •,• eine Cartan-Eilenberg-Aufl¨ osung in A. Dann ist hpI (F (J •,• )) = F (hpI (J •,• )) . (1.61) Beweis. Die Sequenzen 0 → I p,q → J p,q → K p+1,q → 0 und 0 → K p,q → I p,q → Lp,q → 0 sind split-exakt und bleiben deshalb exakt unter Anwendung von F (−). 

1.4 Homologische Algebra

1.4.6

37

Quasi-Isomorphismen

Definition 1.4.16 Eine Abbildung von Komplexen f : I • → J • mit hp (f ) : hp (I • ) → hp (J • ) , s¨ amtlich Isomorphismen, heißt Quasi-Isomorphismus von I • nach J • .



Proposition 1.4.3 Es sei M • ein Komplex mit Elementen in einer abelschen Kategorie A mit genug Injektiven. Dann existiert ein Komplex J • aus injektiven Elementen in A sowie eine injektive Abbildung f : M • → J • , die ein Quasi-Isomorphismus ist. Beweis. Es sei 0 →Z i → M i → B i+1 → 0 0 →B i → Z i → H i → 0 die Zerlegung in kurze exakte Sequenzen von M • und 0 →Li → J i → Qi+1 → 0 0 →Qi → Li → H i → 0 ussen die Qi , Li , J i induktiv konstruieren. die entsprechende Zerlegung von J • . Wir m¨ Es seien bereits die Diagramme 0

0

/ Zi

/ Mi





/ Li

α

β

/ Ji

/ B i+1 

/0

γ

/ Qi+1

/0

bis zu einem festen i konstruiert und außerdem Z i → Li , M i → J i und B i+1 → Qi+1 injektiv. Wir bilden das Diagramm 0

0

/ B i+1

/ Z i+1

/ H i+1







/ Qi+1

/ Li+1

/0

=

/ H i+1

/0

mit der Fasersumme Li+1 = Qi+1 ⊕B i+1 Z i+1 . Die Kommutativit¨ at und die Exaktheit der Zeilen zeigt eine Diagrammjagd. Außerdem ist Z i+1 → Li+1 injektiv nach dem Schlangenlemma.

38

1 Grundlagen

Es folgt wieder ein Diagramm vom Typ des Anfangsdiagramms:

/ Z i+1

0



/ M i+1

θ

/ Li+1

0

α



/ B i+2

β

/ J i+1



/0

γ

/ Qi+2

/0

Wir bilden dazu eine Injektion X i+1 = Li+1 ⊕Z i+1 M i+1 → J i+1 und erzeugen daraus das obenstehende Diagramm. Die Abbildung M i+1 → Li+1 ⊕Z i+1 M i+1 ist injektiv, weil Z i+1 → Li+1 injektiv ist. Damit ist auch M i+1 → J i+1 injektiv. ψ → coker β nachNach dem Schlangenlemma muss noch die Injektivit¨ at von coker θ − i+2 i+2 gewiesen werden, um die Injektivit¨ at von γ : B →Q zu zeigen. α

β

ι

ι

Man schreibe Li+1 −→ X i+1 − → J i+1 und M i+1 −→ X i+1 − → J i+1 . Der Kern von ψ i+1 wird dann von den li+1 ∈ L erzeugt, f¨ ur die α(li+1 ) = β(mi+1 ) mit mi+1 ∈ M i+1 ist. Also ια (li+1 ) = ιβ  (mi+1 ) und weil ι injektiv auch α (li+1 ) = β  (mi+1 ). Es ist also α (li+1 ) − β  (mi+1 ) = 0 in X i+1 . Daraus folgt aber nach der Definition der Fasersumme X i+1 , dass li+1 = θ(zi+1 ) mit zi+1 ∈ Z i+1 . Also ist das Bild von li+1 in coker θ gleich Null. Damit ist der Induktionsschritt geschafft. Setzt man dies nun induktiv fort, ergibt sich eine injektive Abbildung f : M • → J • , die nach Konstruktion ein Quasi-Isomorphismus ist. 

1.4.7

Azyklische Au߬ osungen

F¨ ur einen kovarianten, rechtsexakten Funktor G0 = G : A → B k¨ onnen wir, wie oben in dualer Form beschrieben, mittels einer projektiven Aufl¨ osung P• → M → 0 die derivierten Funktoren Gi (M ) = hi (G(P• )) berechnen. Diese Berechnung kann aber auch mit einer Aufl¨ osung durch azyklische Objekte erfolgen, also durch einen Komplex L• → M → 0, in dem Gi (Lj ) = 0 f¨ ur alle j und alle i > 0 gilt. Genaueren Aufschluss gibt die folgende Proposition: Proposition 1.4.4 Es sei (Gi ) ein δ-Funktor u ¨ber dem kovarianten, rechtsexakten Funktor G0 = G : A → B. Weiter sei M aus A und Ls+1

/ Ls

/ ···

/ L1

/ L0

/M

/0

(1.62)

eine Aufl¨ osung von M mit Objekten Lp aus A. F¨ ur diese gelte: Gi (Lp ) = 0 mit i = 0, . . . , s und p = 0, . . . , s. Dann ist Gp (M ) = hp (G(L• )) f¨ ur p = 0, . . . , s.

(1.63)

1.4 Homologische Algebra

39

Beweis. Zerlege (Li ) in kurze exakte Sequenzen 0 → Qp+2 →Lp+1 → Qp+1 → 0 0 → Qp+1 →Lp → Qp → 0 0 → Qp →Lp−1 → Qp−1 → 0 ... 0 → Qi+1 →Li → Qi → 0 ... 0 → Q1 →L0 → Q0 → 0 mit Q0 = M . Wendet man darauf G an, so ergibt sich: G(Qp+2 ) −→G(Lp+1 ) −→ G(Qp+1 ) −→ 0 αp

βp

G(Qp+1 ) −−→G(Lp ) −→ G(Qp ) −→ 0 αp−1

G(Qp ) −−−→G(Lp−1 ) −→ G(Qp−1 ) −→ 0

(1.64)

... G(Qi+1 ) −→G(Li ) −→ G(Qi ) −→ 0

(1.65)

... G(Q1 ) −→G(L0 ) −→ G(Q0 ) −→ 0 Nun ist hp (G(L• )) = ker(G(Lp ) → G(Lp−1 ))/ im(G(Lp+1 ) → G(LP )) , und das ist gleich ker((G(Lp )/ im αp ) → G(Lp−1 )) , also auch gleich ker(G(Qp ) → G(Lp−1 )) . Damit kommt die aus (1.64) gewonnene Sequenz G1 (Lp−1 )

/ G1 (Qp−1 )

/ G(Qp )

/ G(Lp−1 )

/ G(Qp−1 )

/0

(1.66)

ins Spiel. Sie beweist, da G1 (Lp−1 ) = 0, dass hp (G(L• )) = ker(G(Qp ) → G(Lp−1 )) = G1 (Qp−1 ) . Nun folgt aus der aus (1.65) gewonnenen Sequenz 0 = Gp−i (Li )

/ Gp−i (Qi )

/ Gp−i−1 (Qi+1 )

/ Gp−i−1 (Li ) = 0

(1.67)

f¨ ur i = p − 2, . . . , 0 und p  2. Schließt man induktiv zur¨ uck, so folgt G1 (Qp−1 ) = G2 (Qp−2 ) = · · · = Gp (Q0 ) und damit f¨ ur p = 0, . . . , s hp (G(L• )) = Gp (Q0 ) = Gp (M ) .

(1.68) 

40

1 Grundlagen

Bemerkung 1.4.4 Mit den u onnen wir die obige Proposition auch auf den ¨blichen Dualisierungen k¨ Fall eines kovarianten linksexakten Funktors F 0 = F u ¨bertragen. Dort tritt dann an die Stelle einer injektiven Aufl¨ osung 0 → M → I• und F i (M ) = hi (F (I • )) eine Aufl¨ osung 0 → M → L• mit F i (Lj ) = 0 f¨ ur i > 0. Es ist dann ebenso F i (M ) = hi (F (L• )). Selbstverst¨ andlich kann dies auch mit entsprechenden feineren Einschr¨ ankungen an die Indizes, wie in der vorigen Proposition, formuliert werden. Ebenso k¨ onnen auch die noch nicht erw¨ ahnten der vier m¨ oglichen Kombinationen von Exaktheits- und Varianztyp des Funktors F 0 abgehandelt werden.

1.4.8

Komposition von Funktoren

Proposition 1.4.5 Es seien F : B → C und G : A → B zwei kovariante linksexakte Funktoren. Dann gibt es eine nat¨ urliche Abbildung: Rp (F G)(A) → F Rp G(A)

(1.69)

Beweis. Es sei 0 → A → I • eine injektive Aufl¨ osung. Wir konstruieren eine Abbildung hp (F G(I • )) → F hp (G(I • )). Es seien ˜ p+1 → 0 0 → Z˜ p → G(I p ) → B und

˜ ˜ p+1 → 0 ˜ p → F G(I p ) → B 0 → Z˜

die Zerlegungen in kurze exakte Sequenzen. Unter Anwendung von F auf 0 → Z˜ p → G(I p ) → G(I p+1 ) folgt

/ F (Z˜ p ) O

0

/ F G(I p ) O

/ F G(I p+1 ) O

=

/ Z˜˜ p

0

/ F G(I p )

=

/ F G(I p+1 ) ,

∼ = ˜p − also ein Isomorphismus α : Z˜ → F (Z˜ p ). Mit dem Diagramm

0

/ F (Z˜ p ) O α

0

/ Z˜˜ p

/ F G(I p ) O =

/ F G(I p )

/ F (B˜ p+1 ) O γ

/ B˜˜ p+1

/0

1.4 Homologische Algebra

41

konstruiert man daraus die Abbildung γ. ˜ p → Z˜ p → hp (G(I • )) → 0 ein Schließlich liefert die Anwendung von F auf 0 → B Diagramm

/ F (B˜ p ) O

0

0

/ F (Z˜ p ) O

γ

α

/ B˜˜ p

/ Z˜˜ p

/ F hp (G(I • )) O θ

/ hp (F G(I • ))

/0

und in diesem Diagramm die Abbildung θ. Sie ist unsere gesuchte Abbildung. Die Kommutativit¨ at der linken H¨ alfte des Diagramms mit α und γ folgt aus dem Diagramm:

/ F (B˜ p ) O

F G(I p−1 )

O

=

F G(I p−1 )

φ

/ F (Z˜ p ) O

γ

α

/ B˜˜ p

/ Z˜˜ p

ψ

* / F G(I p ) O =

/ F G(I p ) 4

In ihm kommutieren das linke und das rechte Quadrat, sowie das Rechteck des gesamten Diagramms. Mit einer Diagrammjagd unter Benutzung der Surjektivit¨ at von φ und der Injektivit¨ at von ψ beweist man die Kommutativit¨ at des mittleren Quadrats. 

Proposition 1.4.6 Es seien F : B → C und G : A → B zwei kovariante linksexakte Funktoren, und es sei G(I) ein F -azyklisches Objekt in B f¨ ur alle injektiven Objekte I von A. Dann gibt es eine nat¨ urliche Abbildung: (Rp F )(G(A)) → Rp (F G)(A)

(1.70)

Beweis. Es sei 0 → A → I • eine injektive Aufl¨ osung und (∗)

0

/ G(I • ) O

0

/ J• O

/ Q• O

/ G(A) O

/ G(A) O

/0

0

0

α

/0

eine exakte Sequenz mit α : G(I • ) → J • ein Quasi-Isomorphismus in einen Komplex injektiver Moduln. Da G(I p ) und J p beide F -azyklisch sind, gilt dies auch f¨ ur Qp . Durch Abwickeln der langen exakten Kohomologiesequenz von (∗) und durch die

42

1 Grundlagen

Beziehung hp (G(I • )) = hp (J • ) ergibt sich hp (Q• ) = 0, das heißt, die Sequenz Q• ist eine exakte Folge F -azyklischer Elemente. Wendet man F auf (∗) an, so ergibt sich: 0

/ F (G(I • )) O

/ F (J • ) O

/ F (Q• ) O

0

/ F (G(A)) O

/ F (G(A)) O

/0

0

0

/0

Die Surjektivit¨ at der Komplexe folgt dabei aus (R1 F )(G(I p )) = 0. Es gilt p • h (F (Q )) = (Rp F )(0) = 0, also (∗∗)

Rp (F G)(A) = hp (F (G(I • ))) = hp (F (J • )) .

W¨ ahle nun eine injektive Aufl¨ osung 0 → G(A) → K • und einen assoziierten Morphismus von Komplexen: / J• KO • O

/ G(A)

G(A) •

•

Er induziert eine Abbildung F (K ) → F (J ) u ¨ber F G(A), also einen Morphismus: (Rp F )(G(A)) = hp (F (K • )) → hp (F (J • )) = Rp (F G)(A) Dieser ist unsere gesuchte Abbildung.

1.4.9



Spektralsequenzen

Es sei A ein gefiltertes Objekt einer abelschen Kategorie A, es existiere also ein System von Unterobjekten (F p A)p∈Z mit A = · · · = F −i A = · · · = F −1 A = F 0 A ⊇ F 1 A ⊇ F 2 A ⊇ · · · ⊇ F p A ⊇ · · · Weiterhin sei d : A → A eine Derivation, also d2 = d ◦ d = 0, so dass d die Filtrierung respektiert. Es gelte also: d(F p A) ⊆ F p A Definition 1.4.17 Es sei Zrp , Brp gleich Zrp = {x ∈ F p A | d x ∈ F p+r A} Brp = dZrp−r . 

1.4 Homologische Algebra

43

Dann ist p p+1 p−r+1 p+1 Br−1 + Zr−1 = dZr−1 + Zr−1 ⊆ Zrp

sowie p B0p ⊆ B1p ⊆ · · · ⊆ Brp ⊆ Br+1 ⊆ ··· p Z0p ⊇ Z1p ⊇ · · · ⊇ Zrp ⊇ Zr+1 ⊇ ···

Definition 1.4.18 Es sei Erp gleich p p+1 p−r+1 p+1 Erp = Zrp /(Br−1 + Zr−1 ) = Zrp /(dZr−1 + Zr−1 ).

 Definition 1.4.19 Es sei dpr : Erp → Erp+r definiert durch p p+1 p+r p+r+1 dpr (x + Br−1 + Zr−1 ) = d x + Br−1 + Zr−1 .

 Bemerkung 1.4.5 Es ist d(Zrp ) ⊆ Zrp+r p p+1 p−r+1 p+1 p+r p+r+1 p+1 p+r+1 d(Br−1 + Zr−1 ) = d(dZr−1 + Zr−1 ) ⊆ Br−1 + Zr−1 = dZr−1 + Zr−1

und damit dpr : Erp → Erp+r wohldefiniert. Proposition 1.4.7 Es ist p p+1 p−r+1 p+1 ker dpr = (Zr+1 + Zr−1 )/(dZr−1 + Zr−1 ). Beweis. Wir halten fest, dass p−r+1 p+1 Erp = Zrp /(dZr−1 + Zr−1 )

Erp+r

p+1 p+r+1 = Zrp+r /(dZr−1 + Zr−1 ).

p+1 p+r+1 und z ∈ Zr−1 , Es sei x ∈ Zrp mit dpr (x) = 0, also d x = y + z mit y = d y  ∈ dZr−1 p+r+1 p   also d(x − y ) ∈ Zr−1 , also x − y ∈ Zr+1 . Es ist also mit der kanonischen Inklusion p φ : Zr+1 ⊆ Zrp

  ¯ φ p p−r+1 p+1 ker dpr = im Zr+1 − → Zrp /(dZr−1 + Zr−1 ) = p p+1 p−r+1 p+1 + Zr−1 )/(dZr−1 + Zr−1 ). = (Zr+1



44

1 Grundlagen

Proposition 1.4.8 Es ist p+1 p−r+1 p+1 im dp−r = (dZrp−r + Zr−1 )/(dZr−1 + Zr−1 ). r Beweis. Wir halten fest, dass p−r+1 p+1 Erp = Zrp /(dZr−1 + Zr−1 )

Erp−r

p−2r+1 p−r+1 = Zrp−r /(dZr−1 + Zr−1 ).

Also ist d

p−r+1 p+1 + Zr−1 )) = = im(Zrp−r − → Zrp /(dZr−1 im dp−r r p−r+1 p+1 p−r+1 p+1 + Zr−1 )= + Zr−1 )/(dZr−1 = (dZrp−r + dZr−1 p−r+1 p+1 p+1 )/(dZr−1 + Zr−1 ). (dZrp−r + Zr−1



Proposition 1.4.9 Es ist p p (ker dpr / im dp−r ) = Zr+1 /(dZrp−r + Zrp+1 ) = Er+1 . r Beweis. Wir halten fest, dass p p+1 p−r+1 p+1 ker dpr = (Zr+1 + Zr−1 )/(dZr−1 + Zr−1 ) p+1 p−r+1 p+1 ) im dp−r )/(dZr−1 + Zr−1 = (dZrp−r + Zr−1 r p p /(dZrp−r + Zrp+1 ) . Er+1 = Zr+1

Insgesamt also p p+1 p+1 ker dpr / im dp−r = (Zr+1 + Zr−1 )/(dZrp−r + Zr−1 )= r p p /(dZrp−r + Zrp+1 ) = Er+1 . = Zr+1 p p+1 Denn es ist ja f¨ ur X = Zr+1 und Y = dZrp−r sowie B = Zr−1 wegen Y ⊆ X auch

(X + B)/(Y + B) = (X + Y + B)/(Y + B) = X/(X ∩ (Y + B)) = X/(Y + B ∩ X) p p+1 mit X ∩ B = Zr+1 ∩ Zr−1 = Zrp+1 .



p−r+1 p+1 Wir haben also die Beziehungen Erp = Zrp /(dZr−1 + Zr−1 ), die wir jetzt als ˜rp Erp = Zrp /B

schreiben. Nach unserer anf¨ anglichen Annahme F 0 A = F −1 A = · · · = F −i A = p+1 p 0 ˜ ˜p ⊆ B ˜rp . · · · = A ist dann Br = dZp + Zr−1 f¨ ur r  0 und damit B r+1 p p p p ˜ ˜ Es ist also Zr+1 ⊆ Zr und B ¨ber r+1 ⊆ Br , so dass u 0

˜rp /B O

/ Zrp O

/ Erp O

/0

0

˜p /B r+1

p / Zr+1

p / Er+1

/0

1.4 Homologische Algebra

45

p f¨ ur r > p ein System von Abbildungen γr+1,r : Er+1 → Erp entsteht. p+1 p p ˜∞ Gleichzeitig k¨ onnen wir Z∞ = r>p Zrp und B = dZp0 + r>p Zr−1 = 0 p+1 p p p p ˜ ˜ dZp + Z∞ bilden. Wegen Z∞ ⊆ Zr und B∞ ⊆ Br gibt es Abbildungen p p p p ˜∞ ψ r : E∞ → Erp mit E∞ = Z∞ /B , so dass

ψr p E∞ ψr+1

p ; EO r

γr+1,r

# p Er+1

kommutiert. Insgesamt haben wir damit eine Abbildung γr+1,r

p p φp∞ : E∞ → lim(· · · ← Erp ←−−−− Er+1 ← ···). ←− r

Definition 1.4.20 p Wenn diese φp∞ : E∞ → lim E p f¨ ur alle p ein Isomorphismus sind, so sagen ←−r>p r p p wir: Die Spektralsequenz Er konvergiert gegen E∞ oder p . Erp ⇒ E∞

 p noch einmal genauer verstehen: Dazu filtrieren wir die Wir wollen dieses E∞ Homologie H(A) = (ker d)/(im d) durch die Bilder

F p H(A) = im (((ker d) ∩ F p A) → ((ker d)/(im d))) = = {x ∈ F p A | dx = 0}/{dx | x ∈ A, dx ∈ F p A} . Bemerkung 1.4.6 Wir haben hier zuletzt eine Darstellung mit Elementen gegeben, was f¨ ur die Kategorie A = Ab auch immer m¨ oglich ist. Im allgemeinen Fall m¨ usste man eine a ahlen, worauf wir hier verzichten. ¨quivalente, aber kompliziertere Notation w¨ Damit ist F p H(A)/F p+1 H(A) nichts anderes als F p H(A)/F p+1 H(A) =

 = {x ∈ F p A | dx = 0}/ {dx | x ∈ A, dx ∈ F p A} + {x ∈ F p+1 A | dx = 0} . p p p+1 ˜∞ und B = dZp0 + Z∞ ist so Mit den oben eingef¨ uhrten Z∞ p p p ˜∞ /B = E∞ . F p H(A)/F p+1 H(A) = Z∞

Wir halten also fest:

46

1 Grundlagen

Proposition 1.4.10 p Der Grenzwert“ E∞ der Spektralsequenz (Erp ) ist das p-te Objekt der Gradie” rung gr(H(A)), die zu der oben beschriebenen Filtrierung F p H(A) von H(A) geh¨ ort. Bemerkung 1.4.7 In der Praxis“ kommt auch der Fall vor, dass die Filtrierung die Form ” A = F −∞ A ⊇ · · · ⊇ F −i A ⊇ F −i+1 A ⊇ · · · ⊇ F 0 A = 0 hat. p−r+1 p+1 ˜rp und mit ebengleich Auch dann ist Erp = Zrp /(dZr−1 + Zr−1 ) = Zrp /B p p p p+r p definierten dr : Er → Er ist auch Er+1 = ker(dr )/ im(dp−r ). Allerdings sind r die relevanten p immer kleiner oder gleich Null. p p p Nun wird aber Zr+1 ⊆ Zrp f¨ ur r  −p station¨ ar gleich Z∞ = Z−p , und man p p ˜r ⊆ B ˜ hat B f¨ u r r > −(p + 1). Also existieren f¨ u r r > −(p + 1) Surjektionen r+1 p γr,r+1 : Erp → Er+1 , ψr p p p p ˜∞ ˜∞ die mit den Surjektionen Erp −−→ E∞ = Z∞ /B vertr¨ aglich sind, wobei B =  p−r+1 p+1 p p ˜r ⊆ B ˜∞ ist. ( r 0 dZr−1 ) + Z∞ und damit auch B Jetzt hat man also Morphismen p , φp∞ : lim Erp → E∞ −→ r

die automatisch Isomorphismen sind, und man sagt, die Spektralsequenz konp p oder Erp ⇒ E∞ . vergiert gegen E∞

Gradierte und filtrierte Objekte Es sei nun A zus¨ atzlich zu seiner Filtrierung (F p A)p∈Z auch noch gradiert, also  n A = n∈Z A . Wir nehmen dabei An = 0 f¨ ur n < 0 an, und nat¨ urlich soll die Gradierung mit der Filtrierung kompatibel sein, also  p  p n F pA = (F A ∩ An ) = F A . n

n

Weiter sei die Derivation d : An → An+1 eine Abbildung vom Grad +1. Wir definieren dann Zrpq und Brpq sowie Erpq durch Zrpq = Zrp ∩ Ap+q = Zrp ∩ An Brpq = Brp ∩ Ap+q = Brp ∩ An

 pq p+1,q−1 Erpq = Zrpq / Br−1 + Zr−1 mit n = p + q.

1.4 Homologische Algebra

47

pq Speziell Br−1 ist dabei gleich pq p−r+1 p−r+1,q+r−2 Br−1 = dZr−1 ∩ Ap+q = dZr−1 .

¨ Wir haben bei diesen Uberlegungen immer folgendes gradiertes (F p An ) vor i,j Augen: Es sei (E )i,j0 ein Doppelkomplex mit Derivationen dI : E i,j → E i+1,j dII : E i,j → E i,j+1 , f¨ ur die dI dI = dII dII = dI dII + dII dI = 0 gelte. Es ist dann (dI + dII )(dI + dII ) = 0. Man setzt nun    F p An = E p ,q , p p p +q  =n

 so dass auch F p A = n0 F p An wird. Die Filtrierung F p A = F p E •,• nennen wir die kanonische vertikale Filtrierung von E •,• . Wir wollen einsehen, dass f¨ ur A = E •,• mit der vertikalen Filtrierung die zugeh¨ orige Spektralsequenz immer konvergiert. Wir setzen daher noch pq p Z∞ = Z∞ ∩ An pq p ˜∞ ˜∞ =B ∩ An B pq pq ˜ pq E∞ = Z∞ /B∞

wieder mit p + q = n. Es ergibt sich nun unmittelbar aus einer Vergegenw¨ artigung der geometrischen Darstellung der obigen Situation (siehe Abbildung 1.1), dass f¨ ur A = E •,• pq pq Zrpq = Zr+1 = · · · = Z∞ f¨ ur r  q pq = · · · f¨ ur r  p Brpq = Br+1 pq p+1,q−1 pq ˜∞ + Zr−1 = Brpq + Zrp+1,q−1 = · · · = B f¨ ur r − 1  p, q Br−1

gilt. Also ist pq p+1,q−1 pq ˜ pq pq Erpq = Zrpq /(Br−1 + Zr−1 ) = Z∞ / B ∞ = E∞ pq f¨ ur alle r  0. Damit konvergiert die Spektralsequenz Erpq gegen E∞ , und man hat f¨ ur den Grenzwert pq (gr hp+q (tot E •,• ))p = F p hp+q (tot E •,• )/F p+1 hp+q (tot E •,• ) = E∞ ,

wobei man die Filtrierung von hp+q (tot E •,• ) wie im vorigen Abschnitt beschrieben vorzunehmen hat.

48

1 Grundlagen pq Br−1

0,0

Zrpq

p

p-r+1

p+1,q−1 Zr−1

p+1

p+r

Abb. 1.1 Die Punkte auf den Diagonalen repr¨ asentieren A9 , A10 , A11 . Ihre Abschnitte pq p+1,q−1 , Zrpq , Zr−1 f¨ ur p = 6, ab den schraffierten Vertikalen korrespondieren mit Br−1 q = 3, 4, 5 und r = 4.

Durch eine genaue Betrachtung der hier eingef¨ uhrten Zrpq und Brpq k¨ onnen wir pq pq pq •,• die Terme E1 und E2 der Spektralsequenz Er f¨ ur A = E folgendermaßen beschreiben: •,• I E1

= HII (E •,• )

•,• I E2

= HI HII (E •,• )

Dabei ist HII (−) die Kohomologie bez¨ uglich dII , also die vertikale Kohomolo” gie“, und HI (−) ist die Kohomologie bez¨ uglich der von dI auf I E1•,• induzierten Derivation. Es ist nun von großer Bedeutung, dass wir A = E •,• auch gem¨ aß    F q An = E p ,q q  q p +q  =n

1.4 Homologische Algebra

49

h¨ atten filtrieren k¨ onnen. Dies wird die horizontale Filtrierung von E •,• genannt. ¨ Alle Uberlegungen von oben k¨ onnen dann entsprechend adaptiert werden, und man erh¨ alt f¨ ur die Terme E1•,• und E2•,• : •,• II E1

= HI (E •,• )

•,• II E2

= HII HI (E •,• )

Beide Spektralsequenzen konvergieren gegen tot E •,• , nur sind jeweils die Grenzobjekte unterschiedlich filtriert. In der Praxis“ kommt sehr oft der Fall vor, dass die Spektralsequenzen entarten“, ” ” also in E2•,• f¨ ur ein gegebenes n nur E2n0 = 0 oder E20n = 0 ist. Es ist dann automatisch n •,• n0 n •,• 0n h (tot E ) = E2 oder h (tot E ) = E2 . Trifft dies f¨ ur die horizontale und die vertikale Spektralsequenz zu, so hat man eine Gleichung pq p q  = hn (tot E •,• ) I E2 =II E2 mit n = p + q = p + q  und p oder q gleich Null bzw. p oder q  gleich Null. Aus einer Spektralsequenz lassen sich zahlreiche Informationen entnehmen, eine p+q davon sind die Randhomomorphismen. Es sei E2pq ⇒ E∞ eine konvergente Spektralsequenz. Dann existieren Abbildungen p0 p p = F p E∞  E∞ E2p0  E∞ q E∞

F

0

q q E∞ /F 1 E∞

=

0q E∞



E20q

,

(1.71) (1.72)

wie man direkt aus der Spektralsequenz und den Start- und Zielpunkten der Abbilpq p+r,q−r+1 ersieht. dungen dpq r : Er → E r

Die Grothendieck-Spektralsequenz Proposition 1.4.11 Es sei Folgendes erf¨ ullt: i) F : B → C und G : A → B sind kovariante linksexakte Funktoren von abelschen Kategorien. ii) Die Kategorien A und B besitzen genug Injektive. iii) G(I) ist F -azyklisch f¨ ur jedes injektive I aus A. Dann existiert f¨ ur die derivierten Funktoren von F und G und jedes Objekt A aus A eine Spektralsequenz

 E2pq = (Rp F )(Rq G)(A) ⇒ Rp+q (F ◦ G) (A) . Beweis. W¨ ahle eine injektive Aufl¨ osung 0 → A → I • und eine Cartan-Eilenberg• •,• Aufl¨ osung 0 → G(I ) → J , so dass 0 → G(I q ) → J •,q eine injektive Aufl¨ osung von G(I q ) ist. Wir stellen uns also G(I • ) als senkrechte Spalte links neben dem Gitter J •,• vor. Betrachte dann den Doppelkomplex E •,• = F (J •,• ).

50

1 Grundlagen

F¨ ur ihn gilt mit der waagrechten Filtrierung (entlang p), dass  0 f¨ ur p > 0 pq •,• pq p q )) = (R F )(G(I )) = II E1 = (HI (E ur p = 0 . F (G(I q )) f¨ Da G(I q ) ein F -azyklisches Objekt ist, verschwinden alle Eintr¨ age mit p > 0, und in der Spalte ganz links steht F (G(I • )). Also ist  0 f¨ ur p > 0 pq •,• pq = II E2 = HII (II E1 ) q ur p = 0 . h (F (G(I • ))) = Rq (F ◦ G)(A) f¨ Da die Spektralsequenz

pq II E2

entartet, ist also

pq II E2

⇒ Rp+q (F ◦ G)(A).

Berechnen wir nun mit der senkrechten Filtrierung I E1pq = HII (E •,• )pq , so entsteht in der q-ten Zeile die Anwendung von F (−) auf eine injektive Aufl¨ osung von 0 → hq (G(I • )) = (Rq G)(A) → HII (F (J •,• ))•,q = F (HII (J •,• ))•,q . Dies folgt nach Lemma 1.4.6. Bildet man dann die waagrechte Kohomologie, so entsteht pq I E2

= HI (I E1•,• )pq = (Rp F )(Rq G)(A) .

Da aber nun insgesamt pq II E2

p q ⇒ Rp+q (F ◦ G)(A) ⇐ I E pq 2 = (R F )(R G)(A) ,

ist somit die Spektralsequenz der Proposition konstruiert.



Definition 1.4.21 Die obige Spektralsequenz heißt Grothendieck-Spektralsequenz.



Wir erhalten mit dieser Spektralsequenz bequem als Nebenergebnis, was wir im vorigen Unterabschnitt nur langwierig beweisen konnten: Korollar 1.4.2 Mit den Bedingungen der vorigen Proposition liest man die Randhomomorphismen (Rp F )(GA) → Rp (F G)(A) , q

q

R (F G)(A) → F (R G)(A) ab.

(1.73) (1.74)

2 Kommutative Ringe und Moduln

¨ Ubersicht 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29

Ringe, Moduln, Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites von Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noethersche Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtrierte und gradierte Ringe und Moduln I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primspektrum und Zariski-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensorprodukt und Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prim¨ arzerlegung und assoziierte Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Injektive Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektive Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ext und Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flache Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtrierte und gradierte Ringe und Moduln II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Artinsche Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische K¨ orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transzendente K¨ orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Affine Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Generic-Freeness-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokale noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homologische Begriffe in der Ring- und Modultheorie . . . . . . . . . . . . Cohen-Macaulaysche Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regul¨ are Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 J. Böhm, Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59482-7_2

52 63 66 67 69 75 77 78 79 92 99 101 102 107 110 123 129 142 151 157 158 167 171 172 177 186 195 208 213

52

2 Kommutative Ringe und Moduln

2.1

Ringe, Moduln, Ideale

2.1.1

Ringe

Definition 2.1.1 Ein Ring A ist eine Menge mit zwei Abbildungen + : A × A → A und · : A × A → A , so dass A bez¨ uglich + eine abelsche Gruppe und bez¨ uglich · assoziativ ist, also a · (b · c) = (a · b) · c gilt. Außerdem gelten die Distributivgesetze: a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a Gibt es ein 1 ∈ A mit 1 · a = a f¨ ur alle a ∈ A, so heißt A Ring mit 1. Ist · kommutativ, also a · b = b · a, so heißt A kommutativer Ring.  Definition 2.1.2 Ein Ringhomomorphismus φ : A → B ist eine Abbildung von Ringen mit φ(a + a ) = φ(a) + φ(a ) , φ(a · a ) = φ(a) · φ(a ) .  Proposition 2.1.1 Die Ringe und die Ringhomomorphismen bilden eine Kategorie Rng. Definition 2.1.3 Die kommutativen Ringe mit Eins bilden eine Unterkategorie von Rng. F¨ ur einen Morphismus φ : A → B in dieser Kategorie verlangen wir φ(1A ) = 1B .  Im Rest des Buches seien alle Ringe, wenn nicht ausdr¨ ucklich anderes gesagt ist, kommutativ mit Eins. Definition 2.1.4 Es sei A ⊆ B eine Inklusion zweier Ringe. Dann heißt A Unterring von B und B Ringerweiterung von A.  Gelegentlich wird B auch bei Vorliegen eines beliebigen Ringhomomorphismus φ : A → B als Ringerweiterung von A bezeichnet. Definition 2.1.5 Ist φ : A → B ein Ringhomomorphismus, so heißt B auch A-Algebra.



2.1 Ringe, Moduln, Ideale

2.1.2

53

Moduln

Definition 2.1.6 Eine Menge M heißt A-Modul f¨ ur einen kommutativen Ring A, wenn i) M eine (additive) abelsche Gruppe ist, ii) es einen Ringhomomorphismus A → EndZ (M ) gibt. Anders gesagt: F¨ ur alle a, a ∈ A, m ∈ M ist a · m definiert, und es gilt: a · (m + m ) = a · m + a · m (a + a ) · m = a · m + a · m a · (a · m) = (a · a ) · m  Definition 2.1.7 Ein Morphismus von f : M → N von A-Moduln ist eine Abbildung f mit f (m + m ) = f (m) + f (m ) f (a m) = a f (m). Man nennt eine solche Abbildung auch A-linear oder einen A-Homomorphismus.  Bezeichnet man die Menge der A-Morphismen f : M → N wie u ¨blich mit HomA (M, N ), so gilt: Proposition 2.1.2 Die Menge HomA (M, N ) ist ein A-Modul mit (f + g)(m) = f (m) + g(m) (a f )(m) = a (f (m)) f¨ ur f, g ∈ HomA (M, N ) und a ∈ A. Definition 2.1.8 Eine Teilmenge N ⊆ M eines A-Moduls M heißt Untermodul, wenn N abgeschlossen ist unter i) der Addition in M eingeschr¨ ankt auf N , ii) der Multiplikation A × M → M eingeschr¨ ankt auf N . 

54

2 Kommutative Ringe und Moduln

Proposition 2.1.3 Es sei M ein A-Modul und (Mi )i∈I eine Familie von Untermoduln Mi ⊆ M . Dann sind Mi = {mi1 + · · · + mis | miν ∈ Miν } (2.1) i∈I

Mi

(2.2)

i∈I

Untermoduln von M . Sie heißen Summe der Moduln Mi und Schnitt der Moduln Mi . Im Falle, dass I in voriger Proposition endlich ist, schreiben wir auch M1 + · · · +  Mr f¨ ur ri=1 Mi und entsprechend M1 ∩ · · · ∩ Mr f¨ ur ri=1 Mi . Lemma 2.1.1 Es sei f : M → N ein Modulhomomorphismus. Dann ist ker f = {m ∈ M | f (m) = 0} ein Untermodul von M , der Kern von f und im f = {n ∈ N | n = f (m)} = f (M ) ein Untermodul von N , das Bild von f . Definition 2.1.9 Es sei N ⊆ M ein Untermodul. Dann existiert ein Modul M/N zusammen mit einem surjektiven Modulhomomorphismus M → M/N . Der Modul M/N heißt Quotientenmodul oder auch Faktormodul.  Es ist n¨ amlich M/N = {m + N | m ∈ M } mit der Addition (m + N ) + (m + N ) = m + m + N und der Operation von A durch a · (m + N ) = a · m + N . Der Morphismus M → M/N ist durch m → m + N gegeben.



Proposition 2.1.4 (Noetherscher Isomorphiesatz) Es gibt exakte Sequenzen 0 → N/P → M/P → M/N → 0

(2.3)

f¨ ur A-Moduln M ⊇ N ⊇ P sowie 0 → N ∩ P → N → (N + P )/P → 0

(2.4)

2.1 Ringe, Moduln, Ideale

55

f¨ ur A-Moduln N, P ⊆ M . Man hat also Isomorphismen M/N ∼ = (M/P )/(N/P ) ,

(2.5)

N + P/P ∼ = N/(N ∩ P ) .

(2.6)

Definition 2.1.10 F¨ ur einen Modulhomomorphismus f : M → N definiere man coker f = N/ im f , 

den Kokern von f . Es gilt dann mit dem so eingef¨ uhrten ker f und coker f : Proposition 2.1.5 Die Kategorie der A-Moduln ist eine abelsche Kategorie. Sie heiße A-Mod.

Insbesondere existieren f¨ ur eine Familie (Mi )i∈I von A-Moduln auch Summe und Produkt: Proposition 2.1.6 Es ist 

def

Mi = {(si )i∈I | si ∈ Mi }

i∈I



def

Mi = {(si )i∈I | si ∈ Mi , si = 0 f¨ ur alle i bis auf endlich viele} ,

i∈I

wobei Addition und Multiplikation mit a ∈ A komponentenweise erkl¨ art werden. Die zugeh¨ origen kanonischen Abbildungen sind:  Mi → Mj , pj ((si )i ) = sj pj : i

ιj : Mj →



Mi ,

ιj (m) = (si )i mit sj = m und sk = 0 f¨ ur k = j

i

Lemma 2.1.2 Ein Ring A ist ein A-Modul unter der kanonischen A-Operation a·x = a x, wobei links die Operation von A auf sich selbst als Modul und rechts die Multiplikation in A steht. Lemma 2.1.3 Es sei M ein A-Modul. Die Abbildung φa : M → M mit φa (x) = ax ist ein Modulhomomorphismus von M nach M . Sie heißt Homothetie (von M ).

56

2 Kommutative Ringe und Moduln

Definition 2.1.11 Es sei φa : M → M eine Homothetie. Ist φa injektiv, so heißt a Nichtnullteiler von M . Ist φa nicht injektiv, so heißt a Nullteiler von M . Ist M = A, so spricht man einfach vom Nichtnullteiler bzw. Nullteiler (von A).  Definition 2.1.12 Es sei A ein kommutativer Ring. Ist jede Homothetie φa : A → A mit a = 0 injektiv, so heißt A Integrit¨ atsring.  Definition 2.1.13 Es sei A ein kommutativer Ring. Ist eine Homothetie φa : A → A surjektiv, so heißt a Einheit von A. Die Menge aller Einheiten werde mit A∗ bezeichnet. 

2.1.3

Ideale

Definition 2.1.14 Eine Teilmenge a ⊂ A eines kommutativen Ringes A, die i) unter Multiplikation mit A abgeschlossen ist, ii) mit dieser Multiplikation zu einem A-Modul wird, 

heißt A-Ideal. Proposition 2.1.7 Es sei φ : A → B ein Ringhomomorphismus. Dann ist ker φ = {a ∈ A | φ(a) = 0} ein Ideal von A, der Kern von φ.

Proposition 2.1.8 Es sei a ⊆ A ein Ideal eines Ringes A. Dann existiert ein Ring A/a und ein kanonischer surjektiver Ringhomomorphismus A → A/a. Beweis. Es sei A/a zun¨ achst der nach Obigem wohlerkl¨ arte A-Modul mit der zugeh¨ origen kanonischen Surjektion φ : A → A/a, also φ(a) = a + a. Man rechnet mit der Formel aa − a1 a1 = (a − a1 )a + a1 (a − a1 ) leicht nach, dass die Multiplikation (a + a) · (a + a) = (a a ) + a wohlerkl¨ art ist und A/a zu einem kommutativen Ring mit Eins macht. Ebenso offensichtlich ist φ ein surjektiver Ringhomomorphismus. 

Der Ring A/a heißt auch Quotientenring.

2.1 Ringe, Moduln, Ideale

57

Definition 2.1.15 Es sei A ein Ring und p ein Ideal von A. Es sei A/p ein Integrit¨ atsring. Dann heißt p Primideal von A oder kurz prim.



Lemma 2.1.4 Es sei p ein Ideal eines Ringes A. Dann ist p genau dann prim, wenn fg∈ /p

f¨ ur

f, g ∈ /p

f¨ ur alle f, g ∈ A gilt. Man sagt auch: Die Menge S = A − p ist multiplikativ abgeschlossen. Definition 2.1.16 Es sei A ein kommutativer Ring, ai eine Familie von A-Idealen und a, b A-Ideale sowie E ⊆ A eine beliebige Teilmenge. Dann sind ai = {ai1 + · · · + aik | aiν ∈ aiν }

ai = {a | a ∈ ai f¨ ur alle i} ab = {a1 b1 + · · · + ak bk | aν ∈ a, bν ∈ b} √ a = {a | an ∈ a, n geeignet} (a : b) = {a | a b ⊆ a} (E) = {a1 e1 + · · · + ar er | aν ∈ A, eν ∈ E} =

a

a⊇E a⊆A Ideal

Ideale von A. Sie heißen: Summe der ai , Schnitt der ai , Produkt von a und b, Radikal von a, Idealquotient von a mit (bzw. durch) b sowie das von E erzeugte Ideal von A.  Definition 2.1.17 Es sei M ein A-Modul und a ⊆ A ein Ideal. Dann ist a M = {a1 m1 + · · · + ak mk | aν ∈ a, mν ∈ M } ein Untermodul aM ⊆ M .

(2.7) 

In Erweiterung der Definition des Idealquotienten definieren wir: Definition 2.1.18 Es sei M ein A-Modul und N1 , N2 ⊆ M Untermoduln. Dann ist (N1 : N2 )A = (N1 : N2 ) = {a ∈ A | a N2 ⊆ N1 }

(2.8)

ein Ideal von A, der Modulquotient von N1 mit (bzw. durch) N2 . Ist x ∈ M , so sei (N1 : x) = (N1 : A x) und entsprechend (x : N2 ) = (A x : N2 ). 

58

2 Kommutative Ringe und Moduln

Ein wichtiger Spezialfall ist: Definition 2.1.19 Es sei M ein A-Modul. Dann ist AnnA M = {a ∈ A | a M = 0} = (0 : M )A ein Ideal von A. Es ist der Annulator bzw. Annihilator von M .

(2.9) 

Proposition 2.1.9 Es gilt f¨ ur Ideale a, b, c ⊆ A und A-Moduln M, N ⊆ P : ab ⊂ a ∩ b a (b c) = (a b) c a (b + c) = a b + a c a (b ∩ c) ⊆ a b ∩ a c a ∩ (b + c) ⊇ a ∩ b + a ∩ c a ∩ (b c) ⊇ (a ∩ b) (a ∩ c)  √ √ a= a √ √ √ √ a ∩ b = ab = a ∩ b  √ √ √ a+ b= a+b a(bM ) = (ab)M 

(a + a )M = aM + a M a(M + N ) = aM + aN,

M, N ⊆ P

Definition 2.1.20 Es sei φ : A → B ein Homomorphismus kommutativer Ringe, a ein A-Ideal und b ein B-Ideal. Dann heiße ae = aB = φ(a) B = {φ(a1 ) b1 + · · · + φ(ak ) bk | aν ∈ a, bν ∈ B} , bc = φ−1 (b) die Extension von a und die Kontraktion von b. Sie sind Ideale von B beziehungsweise von A. 

2.1 Ringe, Moduln, Ideale

59

Proposition 2.1.10 Es gilt (a ∩ a )e ⊆ ae ∩ ae (a a )e = ae ae , (a + a )e = ae + ae , (b ∩ b )c = bc ∩ bc (b b )c ⊇ bc bc (b + b )c ⊇ bc + bc aec ⊇ a bce ⊆ b aece = ae bcec = bc f¨ ur Ideale a, a ⊆ A, b, b ⊆ B und φ : A → B. Proposition 2.1.11 Ist φ : A → A/a f¨ ur ein Ideal a ⊆ A der kanonische Homomorphismus, so entsprechen sich die Ideale a ⊇ a und die Ideale von A/a unter a → a /a = φ(a ). Definition 2.1.21 Ein Ideal m ⊆ A heißt maximal, wenn kein Ideal a mit m  a  A existiert.  Proposition 2.1.12 Ein maximales Ideal m ⊆ A ist ein Primideal. Proposition 2.1.13 Jeder Ring A hat mindestens ein maximales Ideal. Beweis. Die Menge I der Ideale  a  A ist induktiv geordnet: Ist aλ eine total geordnete Teilmenge, so ist auch λ aλ ein Ideal und in I. Also existiert nach dem Zornschen Lemma ein maximales Element m in I. 

Definition 2.1.22 Ein Ring (A, m) mit nur einem maximalen Ideal m heißt lokaler Ring.



60

2.1.4

2 Kommutative Ringe und Moduln

Nilradikal und Jacobson-Radikal

Definition 2.1.23  Es sei A ein kommutativer Ring. Dann ist NA = (0) das Ideal der nilpotenten Elemente von A bzw. das Nilradikal von A.  Es gilt: Proposition 2.1.14 F¨ ur einen kommutativen Ring A ist NA =

p.

p⊆A p prim

Beweis. Es sei f ∈ NA , also f n = 0. Dann ist f n ∈ p f¨ ur jedes p ⊆ A. Also auch f ∈ p f¨ ur jedes p. Sei umgekehrt f ∈ / NA , also f n = 0 f¨ ur jedes n  0. Dann konstruieren wir ein p ⊆ A, prim, mit f ∈ / p. Betrachte die Menge M der Ideale a ⊆ A mit {f n | n  0} ∩ a = ∅. Diese Menge ist nicht leer, da (0) in ihr liegt. Außerdem ist sie induktiv geordnet, da f¨ ur jede  totalgeordnete Teilmenge (aλ ) von M die Vereinigung λ aλ ebenfalls in M liegt. Also hat nach dem Zornschen Lemma M ein maximales Element p. Dieses ist prim: Es seien g, h ∈ / p. Dann ist f n ∈ (p, g) und f m ∈ (p, h), also f m+n ∈ (p, gh). W¨ are gh ∈ p, so l¨ age p nicht in M . Also ist p prim. 

Bemerkung 2.1.1 Da NA  A ein echtes Ideal von A ist (1 ∈ / NA ), ist damit auch noch einmal gezeigt, dass jeder Ring A Primideale besitzt. Definition 2.1.24 Es sei A ein kommutativer Ring. Dann ist RadA =

m

m⊆A m maximal

das Jacobson-Radikal von A.



Proposition 2.1.15 Es ist ¨ aquivalent: x ∈ RadA und 1 + ax ∈ A∗ f¨ ur alle a ∈ A. Beweis. Es sei x ∈ RadA , also a x ∈ RadA f¨ ur alle a, also 1 + a x ∈ / m f¨ ur alle m ⊆ A, maximal. Also ist (1 + ax) = (1), also 1 + ax ∈ A∗ . R¨ uckw¨ arts schließt man aus 1 + a x ∈ / m f¨ ur alle m und alle a ∈ A, dass a x ∈ m f¨ ur alle m und alle a. W¨ are n¨ amlich a x ∈ / m, so h¨ atte man b a x = 1 + z mit b ∈ A und z ∈ m, also 1−bax ∈ m im Widerspruch zur Annahme. Damit ist der R¨ uckw¨ artsschluss komplett. 

2.1 Ringe, Moduln, Ideale

2.1.5

61

Grundlegende S¨ atze

Proposition 2.1.16 (Chinesischer Restsatz) Es sei A ein kommutativer Ring und a1 , . . . , ar Ideale von A mit ai + aj = (1) f¨ ur alle 1  i < j  r. Dann ist exakt a1 · · · ar = a1 ∩ . . . ∩ ar → A → A/a1 × · · · × A/ar → 0 .

(2.10)

Beweis. Aus ai + aj = 1 folgt durch Multiplikation ai + a1 · · · a i · · · ar = 1. Es gibt also ai ∈ ai und bi ∈ a1 · · · a i · · · ar mit ai + bi = 1. Damit ist bi = 1 − ai ≡ 1 (ai ) und bi ≡ 0 (aj ) f¨ ur j = i. Ist (z1 + a1 , . . . , zr + ar ) in (2.10) rechts vorgegeben, so ist dies das Bild von z = z1 b1 + · · · + zr br aus A.

r r Weiterhin gilt 1 = i=1 (ai + bi ) = a + i=1 ci mit a ∈ a1 · · · ar und ci =  bi j =i aj ∈ a1 · · · a i · · · ar . Multipliziert mit z ∈ a1 ∩. . .∩ar ergibt sich z ∈ a1 · · · ar . 

Proposition 2.1.17 Es sei p ein Primideal eines Ringes A, und a1 , . . . , ar , beliebige Ideale von A. Weiter sei p ⊇ a1 · · · · · ar Dann ist p ⊇ ai f¨ ur wenigstens ein i. Beweis. Wir nehmen / p f¨ ur  dasGegenteilder Folgerung an: Es gebe xi ∈ ai mit xi ∈ jedes i. Dann ist xi ∈ ai aber xi ∈ / p. Widerspruch. 

Proposition 2.1.18 (Prime-avoidance-lemma) Es sei a ein Ideal eines Ringes A und b1 , b2 , p3 , . . . , pr Ideale desselben Rings. Die Ideale pi seien Primideale. Weiter sei a ⊆ b1 ∪ b2 ∪ p 3 ∪ . . . ∪ p r . ur wenigstens ein i. Dann ist a ⊆ pi oder a ⊆ bi f¨ Beweis. Im Falle r = 2 ist a ⊆ b1 ∪ b2 . W¨ are a ⊆ bi f¨ ur i = 1, 2, so existierten xi ∈ a, xi ∈ bi und x1 ∈ / b2 sowie x2 ∈ / b1 . Dann w¨ are x1 + x2 ∈ a aber x1 + x2 ∈ / bi . W¨ are n¨ amlich beispielsweise x1 + x2 = z ∈ b1 , so x2 = z − x1 ∈ b1 im Widerspruch zur Annahme. Induktiv sei der Satz bis r − 1 schon gezeigt. Es sei nun a ⊆ b1 ∪ b2 ∪ . . . ∪ pr−1 , denn anderenfalls w¨ are der Satz per Induktion schon gezeigt. W¨ ahle dann ein Element xr ∈ a mit xr ∈ / bi , x r ∈ / pj f¨ ur j < r. Es ist notwendig xr ∈ pr . W¨ are nun pr ⊇ a ∩ b1 ∩ b2 ∩ . . . ∩ pr−1 , so w¨ are auch pr ⊇ bi oder pr ⊇ pj f¨ ur ein j = 3, . . . , r − 1 oder pr ⊇ a. Im letzteren Fall w¨ are der Satz gezeigt, in den anderen F¨ allen w¨ are pj oder bi u ussig in der Zerlegung und der Satz per Induktion richtig. ¨berfl¨ Also kann man annehmen, dass ein Element wr ∈ a ∩ b1 ∩ b2 ∩ . . . ∩ pr−1 existiert, f¨ ur das wr ∈ / pr ist. Betrachte nun das Element zr = xr + wr ∈ a. W¨ are zr ∈ pr , so auch wr = zr − xr ∈ pr im Widerspruch zu Annahme. W¨ are zr ∈ b1 , so auch xr = zr −wr ∈ b1 ebenfalls im Widerspruch zu Annahme. Ebenso zeigt man zr ∈ / b2 und zr ∈ / pj f¨ ur j = 3, . . . , r − 1. Ein solches Element zr ∈ a widerspricht also der Annahme a ⊆ b1 ∪ . . . ∪ pr . Damit ist der Satz durch Widerspruch bewiesen. 

62

2 Kommutative Ringe und Moduln

Proposition 2.1.19 Es sei A ein kommutativer Ring und M = A x1 + · · · + A xn ein endlich erzeugter A-Modul. Weiter sei φ ∈ EndA (M ) mit φ(xi ) =

n

aij xj .

(2.11)

j=1

Dann existiert ein Polynom χ(aij , T ) ∈ Z[aij , T ] mit χ(aij , T ) = T n + ψ1 (aij ) T n−1 + · · · + ψn (aij )

(2.12)

χ(aij , φ) = 0 ∈ EndA (M ) .

(2.13)

und Beweis. Man bilde die Matrix ⎛ φ − a11 −a12 ⎜ −a φ − a22 21 ⎜ A=⎜ .. .. ⎜ ⎝ . . −an1 −an2

··· ··· .. .

−a1n −a2n .. . · · · φ − ann

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

eine n × n-Matrix mit Eintr¨ agen aus EndA (M ). Es ist ⎛ ⎞ x1 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎟ A·⎜ ⎜ .. ⎟ = 0 . ⎝ . ⎠ xn

(2.14)

(2.15)

Bildet man die adjungierte Matrix Aad von A, so gilt Aad A = (det A) E = χ(aij , φ) E mit einem Polynom χ(aij , φ), das die Eigenschaften des oben genannten χ besitzt. Multipliziert man also Aad von links an (2.15), so ergibt sich χ(aij , φ) xi = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , n, also auch χ(aij , φ) = 0 in EndA (M ).



Korollar 2.1.1 Es sei wieder M = A x1 +· · ·+A xn ein endlich erzeugter A-Modul und φ(M ) ⊆ aM f¨ ur ein Ideal a ⊆ A. Dann gibt es a1 , . . . , an ∈ a mit φn + a1 φn−1 + · · · + an−1 φ + an ∈ AnnA (M ) ⊂ EndA (M ) . Lemma 2.1.5 (Nakayama-Lemma) Es sei M ein endlich erzeugter A-Modul und a ⊆ RadA ⊆ A ein Ideal im Jacobson-Radikal von A. Weiter sei M = aM . Dann ist M = 0.

2.2 Limites von Moduln

63

Beweis. Da 1 · M ⊆ aM , gilt nach dem vorigen Korollar (1 + a)M = 0 f¨ ur ein geeignetes a ∈ RadA . Dann ist aber (1 + a) ∈ A∗ und damit M = 0. 

Korollar 2.1.2 Es seien N ⊆ M zwei A-Moduln und M/N endlich erzeugter A-Modul. Weiter sei M = N + aM f¨ ur ein a ⊆ RadA . Dann ist M = N . Beweis. Betrachte a(M/N ) = (aM + N )/N = (M/N ).

2.2



Limites von Moduln

In der Kategorie A-Mod der A-Moduln existieren beliebige Summen und Produkte, also auch beliebige direkte und inverse Limites.

2.2.1

Direkte Limites

F¨ ur gerichtete Mengen als Indexkategorien l¨ asst sich der direkte Limes von AModuln besonders einfach beschreiben und auch seine Exaktheit nachweisen: Proposition 2.2.1 Es sei I eine gerichtete Menge und (Mi , φij ) ein direktes System von A-Moduln u ¨ber I. Dann ist  lim Mi = ( Mi )/ ∼ −→ i

i

mit mi ∼ mj , wenn es ein k ∈ I gibt mit φik (mi ) = φjk (mj ). Proposition 2.2.2 β α → (Mi , φij ) − → (Mi , φ Es sei 0 → (Mi , φij ) − ij ) → 0 eine exakte Sequenz direkter Systeme von A-Moduln. Dann ist auch 0 → lim Mi → lim Mi → lim Mi → 0 −→ −→ −→ i

i

i

exakt. Beweis. Nur die Linksexaktheit ist zu zeigen: Es sei α(mi ) = 0. Dann existiert ein Morphismus i → j mit φij (α(mi )) = 0. Es ist aber φij (α(mi )) = α(φij (mi )) = 0, also, weil α injektiv ist, auch φij (mi ) = 0, also mi = 0 in lim Mi .  −→i

64

2 Kommutative Ringe und Moduln

2.2.2

Inverser Limes

Definition 2.2.1 Es sei (An , ψn1 n2 : An1 → An2 ) ein inverses System von R-Moduln.  Es sei M = M ((An )) ⊆ n1 n2 An1 n2 mit An1 n2 = An1 der Modul aller (an1 n2 )n1 n2 mit an1 n2 ∈ An1 , die die Bedingung an1 n2 − an1 n3 + ψn2 n1 (an2 n3 ) = 0

(2.16)

erf¨ ullen. Weiter sei P = P ((An )) Untermodul von M , der aus allen (an1 n2 )n1 n2 besteht mit an1 n2 ∈ An1 , f¨ ur die an1 n2 = an1 − ψn2 n1 (an2 )

(2.17)

mit einem System (an )n und an ∈ An ist.  Anders gesagt, P ((An )) = φ( n An ) mit  An → M ((An )), φ((an ))n1 n2 = an1 − ψn2 n1 (an2 ) . φ: n

Dann ist def

lim1 An = M/P ←−

(2.18)

n



der erste abgeleitete inverse Limes.

Proposition 2.2.3 Die Zuordnung (An ) →  lim1 An ist ein Funktor von der abelschen Kategorie ←−n der inversen Systeme von R-Moduln in die Kategorie der R-Moduln. Beweis. Es sei eine Abbildung g : (An ) → (Bn ) von inversen Systemen gegeben. Man muss im Wesentlichen nur u ufen, dass f¨ ur ein System an1 n2 , das (2.16) erf¨ ullt, ¨berpr¨ auch gn1 (an1 n2 ) = bn1 n2 diese Gleichung erf¨ ullt und dass außerdem P ((An )) nach P ((Bn )) abgebildet wird. 

Proposition 2.2.4 Es sei (An , ψn2 n1 ) ein inverses System von R-Moduln. Dann ist die Sequenz  φ 0 → lim An → An − → M ((An )) → lim1 An → 0 (2.19) ←− ←− n

n

n

exakt. Proposition 2.2.5 Es sei 0 → (An ) → (Bn ) → (Cn ) → 0

(2.20)

eine exakte Sequenz von inversen Systemen von R-Moduln. Dann ist δ

→ lim1 An → lim1 Bn → lim1 Cn 0 → lim An → lim Bn → lim Cn − ← − ← − ← − ← − ← − ← − n n n n n n exakt.

(2.21)

2.2 Limites von Moduln

65

Beweis. Betrachte das Diagramm 0O

0O

0O

lim1n An ←− O

/ lim1 Bn ←−nO

/ lim1 Cn ←−nO

0

/ M ((An )) O

/ M ((Bn )) O

/ M ((Cn )) O

0

/ n An O

/ n Bn O

/ n Cn O

lim An ←−nO

/ lim Bn ←−nO

/ lim Cn ←−nO

0

0

0

(2.22)

/0

und wende das Schlangenlemma an. Die Abbildung δ ist wie folgt definiert: F¨ ur ein System (cn ) zu lim Cn w¨ ahle man ←−n Urbilder (bn ) und setze an1 n2 = bn1 −ψn2 n1 (bn2 ). Man rechnet nach, dass an1 n2 ∈ An1 ist und die Aussage von (2.16) erf¨ ullt ist. Es ist dann δ((cn )) = (an1 n2 ) + P ((An )) mit P ((An )) wie in Definition 2.2.1. Man rechnet weiter nach, dass eine andere Wahl der (bn ) zu einer Ab¨ anderung der (an1 n2 ) um ein Element aus P ((An )) f¨ uhrt. 

Proposition 2.2.6 Es sei (An , ψn1 n2 ) ein inverses System von R-Moduln mit ψn1 ,n2 surjektiv. Dann ist lim1 An = 0. ←− n

Definition 2.2.2 Es sei (An , ψn1 n2 ) ein inverses System von R-Moduln. Es sei ψn2 n1 (An2 ) = ψn3 n1 (An3 ) f¨ ur alle n2 , n3  N (n1 ). Dann sagt man, (An ) erf¨ ulle die Mittag-Leffler-Bedingung (ML).  Proposition 2.2.7 Es sei (An , ψn1 n2 ) ein inverses System, das die Mittag-Leffler-Bedingung erf¨ ullt. Dann ist lim1 An = 0. ←− n

Beweis. Es sei an1 n2 ein System mit an1 n2 − an1 n3 + ψn2 n1 (an2 n3 ) = 0. Nenne Qn = ψln (Al ) mit l  N (n) und N (n) aus der Definition der Mittag-LefflerBedingung. Es ist dann ψn2 n1 (Qn2 ) = Qn1 . Es gibt also eine wohldefinierte Abbildung ψ¯n2 n1 : An2 /Qn2 → An1 /Qn1 . Betrachte das System a ¯n1 n2 = an1 n2 +Qn1 . Dann erf¨ ullt a ¯n1 n2 auch die Bedingung a ¯ n1 n2 − a ¯n1 n3 + ψ¯n2 n1 (¯ an2 n3 ) = 0 ∈ An1 n2 /Qn1 . Es sei nun a ¯n = a ¯nl mit l  N (n). Das im Einzelnen gew¨ ahlte l ist dabei unerheblich.

66

2 Kommutative Ringe und Moduln

Dann gilt, dass a ¯ n1 n2 = a ¯n1 − ψ¯n2 n1 (¯ an2 ) ist. W¨ ahlt man jetzt an mit an + Qn = a ¯n , so ist an1 n2 = an1 n2 − (an1 − ψn2 n1 (an2 )) ∈ Qn1 . Desweiteren erf¨ ullt an1 n2 die Gleichung an1 n2 − an1 n3 + ψn2 n1 (an2 n3 ) = 0. Es  ist also an1 n2 ein System in M ((Qn )). Da ψn2 n1 : Qn2 → Qn1 surjektiv ist, gibt es nach Proposition 2.2.6 an mit an1 n2 = an1 − ψn2 n1 (an2 ).  Also ist an1 n2 = an1 − ψn2 n1 (an2 ) + an1 − ψn2 n1 (an2 ), also mit a n = an + an   einfach an1 n2 = an1 − ψn2 n1 (an2 ). Damit ist aber lim1 An = 0 ausgedr¨ uckt.  ←−n

2.3

Noethersche Ringe und Moduln

Proposition 2.3.1 F¨ ur einen A-Modul M ist ¨ aquivalent: a) Jede aufsteigende Kette M0 ⊆ M1 ⊆ · · · ⊆ Mn ⊆ · · · von Untermoduln Mi ⊆ M wird schließlich station¨ ar, also Mi = Mi+1 f¨ ur alle i  i0 . b) Jede Familie von Untermoduln (Mi )i von M besitzt wenigstens ein maximales Element. c) Jeder Untermodul M  ⊆ M ist ein endlich erzeugter A-Modul. Beweis. Es sei a) erf¨ ullt. Dann w¨ ahle man nacheinander Miν aus der Familie (Mi ), so dass Miν+1 ⊇ Miν . Irgendwann wird die so erzeugte Folge station¨ ar, und ein maximales Element von (Mi )i ist gefunden. Es sei b) erf¨ ullt. Betrachte die Menge der endlich erzeugten Untermoduln M  ⊆  M . Sie enth¨ alt nach b) ein maximales Element M  = (m1 , . . . , mr ) ⊆ M  . Existiert jetzt noch m ∈ M  und m ∈ / M  , so w¨ are M   (m, m1 , . . . , mr ) ⊆ M  im  Widerspruch zur Maximalit¨ at von M .  Es sei c) erf¨ ullt. Die Vereinigung M = n Mn aus a) ist nach c) gleich (m1 , . . . , mr ) mit mν ∈ Mnν . Sei n gr¨ oßer als das maximale nν , so ist M ⊆ Mn und nat¨ urlich auch Mn ⊆ M , also M = Mn . Also ist Mi = Mj f¨ ur i, j gr¨ oßer als das maximale nν . 

Definition 2.3.1 Ein Modul heißt noethersch, wenn er die Bedingungen der vorigen Proposition erf¨ ullt. Ein Ring A, der als Modul u ¨ber sich selbst noethersch ist, heißt noetherscher Ring.  Proposition 2.3.2 Es sei 0 → M  → M → M  → 0 eine exakte Sequenz von A-Moduln. Dann gilt: 1. Ist M noethersch, so auch M  und M  . 2. Sind M  und M  noethersch, so ist es auch M .

2.4 Filtrierte und gradierte Ringe und Moduln I

67

Beweis. Es sei M  , M  noethersch und (Mn ) eine aufsteigende Folge von Untermoduln in M . Betrachte das Diagramm: 0

/ Mn ∩ M 

/ Mn

/ Mn + M  /M 

/0

0

 / Mn+1 ∩ M 

 / Mn+1

 / Mn+1 + M  /M 

/0

Ist bei den ¨ außeren senkrechten Pfeilen Isomorphie eingekehrt, so auch bei dem mittleren. Die Behauptungen in 1. sind trivial. 

2.4

Filtrierte und gradierte Ringe und Moduln I

2.4.1

Filtrierte Moduln

Definition 2.4.1 Ein Ring A heißt gefiltert oder filtriert, wenn es eine Familie von Idealen (Ai )i∈Z gibt, f¨ ur die gilt: A0 = A, An+1 ⊂ An , Ap · Aq ⊂ Ap+q Ein gefilterter Modul M ist ein Modul u ¨ber einem gefilterten Ring A mit einer Familie von Untermoduln (Mi )i∈Z , f¨ ur die gilt: M0 = M, Mn+1 ⊂ Mn , Ap · Mq ⊂ Mp+q  Ein Morphismus u : M → N gefilterter Moduln muss die Bedingung u(Mn ) ⊂ Nn erf¨ ullen. F¨ ur einen Untermodul P ⊂ M eines gefilterten Moduls M ist mit der Filtrierung Pn = P ∩ Mn die kanonische Abbildung i : P ⊂ M ein Morphismus. Das Gleiche gilt f¨ ur Quotientenmoduln M/P mit der Filtrierung (Mn + P )/P . Die Kategorie FA der gefilterten A-Moduln ist additiv, und f¨ ur u : M → N ist ker(u) und coker(u) definiert, indem man den entsprechenden Untermodul bzw. Quotientenmodul mit der oben beschriebenen Filtrierung ausstattet. Wie u ¨blich definiert man coim(u) := coker(ker(u) → M ) und im(u) := ker(N → coker(u)) . Es gibt dann eine kanonische exakte Sequenz: Θ

0 → ker(u) → M → coim(u) −→ im(u) → N → coker(u) → 0 ,

68

2 Kommutative Ringe und Moduln

wobei Θ bijektiv ist. Wenn Θ u ¨berdies ein Isomorphismus gefilterter Moduln ist, so heißt u strikt. Dies entspricht der Bedingung u(M ) ∩ Nn = u(Mn ).

2.4.2

Gradierte Moduln

Definition 2.4.2 Ein Ring A heißt gradiert oder Z-gradiert, wenn er eine Zerlegung A=



An

n∈Z

gestattet, mit Ap · Aq ⊂ Ap+q . Ein Modul M u ¨ber dem gradierten Ring A heißt gradiert, wenn er eine Zerlegung  M= Mn n∈Z

gestattet, mit Ap · Mq ⊂ Mp+q .



Definition 2.4.3 Es sei M ein gradierter A-Modul. Dann ist M (d) mit M (d)k = Md+k die d-fache Vertwistung (oder Verschiebung) von M . Der Modul M (d) ist offensichtlich auch ein Z-gradierter A-Modul.



Einem gefilterten Modul M u ¨ber einem gefilterten Ring A kann auf kanonische Art ein gradierter Modul  gr(M ) = Mn /Mn+1 n

zugeordnet werden, der u ¨ber dem gradierten Ring  gr(A) = An /An+1 n

definiert ist. Die Multiplikation gr(A)p × gr(M )q → gr(M )p+q wird dabei durch Ap × Mq → Mp+q aus der Filtrierung induziert. Ein Morphismus u : M → N gefilterter Moduln induziert einen Morphismus gr(u) : gr(M ) → gr(N ) mit u

gr(M )n = Mn /Mn+1 − → Nn /Nn+1 = gr(N )n (man benutze u(Mn ) ⊂ Nn ).

2.5 Primspektrum und Zariski-Topologie

2.5

Primspektrum und Zariski-Topologie

2.5.1

Spektrum eines Ringes

69

Definition 2.5.1 Es sei A ein kommutativer Ring. Dann sei Spec (A) = {p | p ⊆ A, p Primideal} V (E) = {p ∈ Spec (A) | p ⊇ E} D(f ) = Spec (A) − V ((f )) = {p ∈ Spec (A) | f ∈ / p}

p f¨ ur Y ⊆ Spec (A) , I(Y ) = p∈Y

wobei E ⊆ A eine beliebige Teilmenge von A und f ∈ A ein beliebiges Element ist.  Lemma 2.5.1 Es sei E1 ⊆ E2 ⊆ A und Y1 ⊆ Y2 ⊆ Spec (A). Dann ist V (E1 ) ⊇ V (E2 ) I(Y1 ) ⊇ I(Y2 ) . Lemma 2.5.2 Es ist V (E) = V ((E))

 V ( Ei ) ⊇ V (Ei )

 V (Ei ) V ( Ei ) =

V( ai ) = V (ai ) i

V (a ∩ b) = V (ab) = V (a) ∪ V (b) 

I( Yi ) = I(Yi )

 I( Yi ) ⊇ I(Yi ) D(f g) = D(f ) ∩ D(g) . Proposition 2.5.1 Die Menge Spec (A) ist ein topologischer Raum, das Spektrum von A. Dabei sind die abgeschlossenen Mengen von Spec (A) die V (E). Dies folgt aus den Gleichungen des vorangehenden Lemmas. Definition 2.5.2 Die so definierte Topologie auf Spec (A) heißt Zariski-Topologie.



70

2 Kommutative Ringe und Moduln

Proposition 2.5.2 Es seien Y, Y1 , Y2 ⊆ Spec (A) und Yi abgeschlossen sowie a ⊆ A ein Ideal. Dann ist  I(Y1 ∩ Y2 ) = I(Y1 ) + I(Y2 ) V (I(Y )) = Y¯ √ I(V (a)) = a ,

wobei Y¯ der topologische Abschluss von Y ist. Lemma 2.5.3 Es sei A ein Ring. Dann ist V (a) = ∅ ⇔ a = (1), D(f ) = ∅ ⇔ f k = 0, f¨ ur ein k > 0 geeignet. Proposition 2.5.3 Es sei X = Spec (A). Dann ist die Menge der D(f ) mit f ∈ A eine Basis der Topologie von X. Beweis. Es sei U ⊆ X offen, also X − U = V (a) und p ∈ U ∈ / V (a). Also ist p ⊇ a, das heißt, es gibt f ∈ a ∈ / p. F¨ ur dieses f ist p ∈ D(f ) ⊆ U . 

Proposition 2.5.4  Es sei (fi ∈ A) eine Familie von Elementen eines Ringes A. Dann ist i D(fi ) ⊇ D(f ) genau dann, wenn es ai1 , . . . , air ∈ A gibt, f¨ ur die ai1 f i1 + · · · + a ir f ir = f k , ist. Insbesondere ist dann schon

 ν=1,...,r

k > 0,

D(fiν ) ⊇ D(f ).

  Beweis. Es ist i D(fi ) ⊇ D(f ) ⇔ i V (fi ) ⊆ V (f ) ⇔ V ((fi )) ⊆ V (f ) ⇔ f ∈  ¨ (fi ). Um die letzte Aquivalenz einzusehen, beachte man, dass die vorletzte Inklusion  bedeutet: (fi ) ⊆ p ⇒ f ∈ p, also f ∈ p⊇(fi ) p f¨ ur alle Primideale p ⊆ A. 

Korollar 2.5.1 Der topologische Raum X = Spec (A) mit der Zariski-Topologie ist quasikompakt. ¨ ¨ Beweis. Man w¨ ahle eine der Uberdeckung (Ui ) von X untergeordnete Uberdeckung D(fij ) ⊆ Ui . 

2.5 Primspektrum und Zariski-Topologie

71

Lemma 2.5.4 Es gelten die Beziehungen Y1 ⊆ Y2 ⇒ I(Y1 ) ⊇ I(Y2 ) a ⊆ b ⇒ V (a) ⊇ V (b) . Daraus folgt, dass a → V (a) und Y → I(Y ) inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen den abgeschlossenen Mengen Y und den Radikalidealen a sind. Lemma 2.5.5 Es sei A ein kommutativer Ring. Dann entsprechen sich unter p → V (p) I(Y ) ← Y die Primideale p von A und die irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen Y von Spec (A). Korollar 2.5.2 F¨ ur X = Spec (A) ist die Dimension dim X gleich dem Supremum sup n u ¨ber alle n, f¨ ur die eine echt aufsteigende Kette von Primidealen p 0 ⊂ · · · ⊂ pn existiert. Definition 2.5.3 Die Dimension dim X = dim Spec (A) wird auch einfach als dim A geschrieben und heißt Krulldimension von A.  Definition 2.5.4 Es sei a ⊆ A ein Ideal im Ring A. Dann heißt ht a = htA a = codim(V (a), Spec (A)) die H¨ ohe von a in A.



Bemerkung 2.5.1 Ist a = p ein Primideal, so ist ht p also gleich dem Supremum der L¨ ange r von Primidealketten A ⊃ p = p0  · · ·  pr . Ist a ⊆ A ein beliebiges Ideal, so ist ht a = inf p⊇a ht p. Proposition 2.5.5 Es sei φ : A → B ein Ringhomomorphismus. Dann ist die Abbildung φ∗ = Spec (φ) : Spec (B) → Spec (A), eine stetige Abbildung topologischer R¨ aume.

q → p = φ−1 (q)

72

2 Kommutative Ringe und Moduln

Insbesondere gilt: φ∗−1 (V (a)) = V (aB), φ∗−1 (D(a)) = D(φ(a)) Theorem 2.5.1 Die Zuordnung A → Spec (A),

(φ : A → B) → (φ∗ : Spec (B) → Spec (A))

ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie Rng der Ringe in die Kategorie Top der topologischen R¨ aume. Proposition 2.5.6 Es sei A ein kommutativer Ring, a ⊆ A ein Ideal. Die Abbildung p∗ : Spec (A/a) → Spec (A), die der kanonischen Surjektion p : A → A/a entspricht, ist ein Hom¨ oomorphismus auf das Bild V (a). Insbesondere gilt ¯ bec = b, bce = ¯ b f¨ ur alle Ideale b ⊇ a von A bzw. ¯ b von A/a unter der Abbildung A → A/a. Lemma 2.5.6 Es sei A ein Ring, a, b Ideale von A. Dann ist (V (a) − V (b))¯ ⊆ V ((a : b)). Ist a =

√

a und A noethersch, so gilt sogar Gleichheit.

√ Beweis. F¨ ur die Gleichheit im Fall a = a und A noethersch  beachte, dass dann a = q1 ∩ · · · ∩ qr mit Primidealen qi ⊆ A ist. Also ist (a : b) = ri=1 (qi : b). Weiterhin ist aber f¨ ur ein Primideal q ⊆ A der Quotient (q : b) entweder gleich q f¨ ur q ⊇ b oder gleich (1) f¨ ur q ⊇ b. Also ist V ((q : b)) = (V (q) − V (b))¯. Zusammen mit der ¯1 ∪ C ¯2 angewandt auf V ((a : b)) = r V ((qi : b)) ergibt Beziehung (C1 ∪ C2 )¯ = C i=1 sich der Beweis. 

Proposition 2.5.7 Ist A ein noetherscher Ring, so ist Spec (A) mit der oben eingef¨ uhrten ZariskiTopologie ein noetherscher topologischer Raum. Bemerkung 2.5.2 Insbesondere hat A nur endlich viele minimale Primideale p1 , . . . , pr . Diese entsprechen den irreduziblen Yi in der topologischen Zerlegung Spec (A) = Y1 ∪ · · · ∪ Yr .

2.5 Primspektrum und Zariski-Topologie

2.5.2

73

Homogenes Primspektrum von gradierten Ringen

Analog zu Spec (A) f¨ ur beliebige Ringe A definiert man f¨ ur S = gradierter Ring, einen topologischen Raum proj (S):

 d0

Sd ,

Definition 2.5.5 Ein Ideal a ⊆ S heißt homogen, wenn, ¨ aquivalent,  a) a = d a ∩ Sd , b) a ist von homogenen Elementen von S erzeugt. Ein homogenes Element von S ist dabei einfach ein s ∈ Sd .  Das homogene Ideal S+ = d>0 Sd heißt vernachl¨ assigbares Ideal oder irrelevantes Ideal.  Lemma 2.5.7 Es sei S ein gradierter Ring und p ⊆ S ein homogenes Ideal. Dann ist p genau dann prim, wenn f¨ ur alle f, g ∈ S − p, homogen, auch f g ∈ S − p folgt. Definition 2.5.6 Es sei proj (S) = {p | p homogen, prim, p ⊇ S+ } V+ (a) = {p ∈ proj (S) | p ⊇ a} / p} D+ (f ) = proj (S) − V+ ((f )) = {p ∈ proj (S) | f ∈

I(Y ) = p f¨ ur Y ⊆ proj (S) , p∈Y

wobei a homogenes Ideal mit a  S+ und f ∈ Sd homogenes Element ist. Die abgeschlossenen Mengen von proj (S) seien die V+ (a). Die Menge proj (S) ist das homogene Primspektrum von S.  Definition 2.5.7 Es sei a ⊆ S ein beliebiges Ideal. Dann sei das homogene Ideal von S ahom = ({f ∈ a | f ∈ Sd }) die Homogenisierung von a. Es ist ahom ⊆ a.



Lemma 2.5.8 Es sei S gradiert und p ⊆ S prim. Dann ist phom ein homogenes Primideal von S mit phom ⊆ p.

74

2 Kommutative Ringe und Moduln

Lemma 2.5.9 Es ist f¨ ur homogene Ideale ai , a, b und f, g ∈ S, homogen: V+ (



ai ) =

V+ (ai )

i

V+ (a ∩ b) = V+ (ab) = V+ (a) ∪ V+ (b) V+ (I(Y )) = Y¯ mit Y¯ dem topologischen Abschluss von Y √ I(V+ (a)) = a D+ (f g) = D+ (f ) ∩ D+ (g) √ Beweis. Nur I(V+ (a)) = a ist nichttrivial. Man beachte hier, dass f¨ ur beliebiges p ∈ Spec (S) mit p ⊇ a gilt: p ⊇ phom ⊇ a und phom ∈ proj (S). 

Lemma 2.5.10 Es gelten die Beziehungen: Y1 ⊆ Y2 ⇒ I(Y1 ) ⊇ I(Y2 ) a ⊆ b ⇒ V+ (a) ⊇ V+ (b) Daraus folgt, dass a → V+ (a) und Y → I(Y ) inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen den abgeschlossenen Mengen Y ⊆ proj (S) und den homogenen Radikalidealen a ⊆ S sind. Lemma 2.5.11 Es sei S ein gradierter Ring. Dann entsprechen sich unter p → V+ (p) I(Y ) ← Y die homogenen Primideale p ∈ proj (S) und die irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen Y von proj (S). Proposition 2.5.8 Die Abbildung V+ (a) ⊆ proj (S) → proj (S/a),

b → b/a

ist ein Hom¨ oomorphismus, wenn man links die induzierte Topologie einf¨ uhrt. Lemma 2.5.12 F¨ ur einen gradierten Ring S und X = proj (S) sind die D+ (f ) mit f ∈ Sd und d > 0 eine Basis der Topologie von X. Lemma 2.5.13 Es sei S ein gradierter Ring und fi , f ∈ S homogene Elemente. Weiter sei  i D+ (fi ) ⊇ D+ (f ).

2.6 Polynomringe

75

Dann existieren endlich viele homogene aν ∈ S mit f p = a 1 f i1 + · · · + a r f ir f¨ ur ein geeignetes p > 0.  Beweis. Es ist V√ + (fi ) = V+ (a) ⊆ V+ (f ), mit a = ((fi )i ), also nach Anwendung von I(−) auch f ∈ a. 

Korollar 2.5.3 F¨ ur einen gradierten Ring S sind die D+ (f ) mit f ∈ Sd quasikompakt.

2.6

Polynomringe

Definition 2.6.1 F¨ ur eine Menge E und einen Ring A sei M = {m ∈ Z(E) | m(E) ⊆ N0 } und A[E] = A(M ) .   Sei f = m∈M am m und g = n∈M bn n. Erkl¨ art man ⎛ f ·g =



am · bn (m + n) =

m∈M n∈M

⎞

⎜ ⎟ ⎜ am bn ⎟ ⎝ ⎠ d,

d∈M

m∈M n∈M m+n=d

so wird A[E] eine A-Algebra, der Polynomring u ¨ber E mit Koeffizienten in A.  Die Menge M heißt die Menge der Monome von A[E], die am sind die Koeffizienten. Ein m ∈ M wird gew¨ ohnlich als Produkt  m(e) e e∈E

geschrieben.  Ist m ∈ M ein Monom, so heißt die Summe e∈E m(e) = deg m der Grad oder Totalgrad von m. Die Zahl m(e) ist der Grad von m in e, geschrieben dege m.  Ist f = m∈M am m, so ist deg f das Maximum der deg m unter allen m mit am = 0. Analog ist dann auch dege f als Maximum von dege m u ¨ber die m mit am = 0 definiert.  Ein Polynom f = ur alle m heißt homogen m∈M am m mit deg m = d f¨ vom Grad d. Die homogenen Polynome vom Grad d sind ein A-Untermodul von A[E], wir schreiben ihn A[E]d . Es gilt:

76

2 Kommutative Ringe und Moduln

Proposition 2.6.1  Es ist A[E] = d0 A[E]d . Mit dieser Zerlegung ist A[E] ein gradierter Ring, und es ist A[E]0 = A. Es ist also insbesondere f g ∈ A[E]d+e f¨ ur f ∈ A[E]d und g ∈ A[E]e . Proposition 2.6.2 Es sei A ein kommutativer Ring und E eine beliebige Menge. Dann gilt HomA−Alg (A[E], B) = HomSets (E, V (B)) ,

(2.23)

wobei V der Vergissfunktor von der Kategorie der A-Algebren in die Kategorie der Mengen ist. Wir k¨ onnen A[E] also als freie A-Algebra u ¨ber der Menge E ansehen. F¨ ur das Folgende f¨ uhren wir einige Hilfsbegriffe ein: Es sei A[x] der Polynomring in einer Unbestimmten x, und es sei f ∈ A[x] mit f = an xn + ai xi = an x n + r . i

 T

f

5.5 Separierte und eigentliche Morphismen

289

mit U = Spec (K) und T = Spec (R). F¨ ur diese gilt: Ist t1 das Nullideal von R und t0 das maximale Ideal, so ist f (t1 ) = x1 sowie f (t0 ) = x0 . Beweis. Man setze Z = {x1 }¯ mit der abgeschlossenen reduzierten Unterschemastruktur und w¨ ahle K = OZ,x1 = K(Z), den Funktionenk¨ orper. In ihm ist OZ,x0 ⊆ K ein lokaler Ring, der von einem Bewertungsring (R, mR ) dominiert wird. Der Ring R hat die gesuchten Eigenschaften. 

Lemma 5.5.4 Es sei X ein Schema, und es kommutiere U h2

/ ? ?X ,

(5.24)

j

 T

h1

wobei T = Spec (R) und U = Spec (K) mit K = Q(R), wie oben, ist. Ist dann h1 (t0 ) = h2 (t0 ), so ist h1 = h2 . Beweis. Folgt aus Diagramm (5.17), weil α durch OZ,x1 → K und die Wahl von x0 ∈ {x1 }¯ festgelegt ist. 

5.5.4

Bewertungstheoretische Kriterien

Wir ben¨ otigen das folgende Lemma: Lemma 5.5.5 Es sei f : X → Y eine quasikompakte Schemaabbildung, und es sei f (X) abgeschlossen unter Spezialisierung. Dann ist f (X) sogar abgeschlossen. Beweis. Zun¨ achst kann man f : X → Y durch fred : Xred → Yred ersetzen, da sich die topologische Situation dadurch nicht ¨ andert. Damit existiert f (X)¯ → Y , der schematheoretische Abschluss von f (X) in Y . (Hier brauchen wir einen Vorgriff auf Abschnitt 5.7, Proposition 5.7.1. Dieser ist aber unsch¨ adlich.) Man ersetzt damit weiter Y = f (X)¯ und erh¨ alt insgesamt die Zusatzbedingungen: X, Y reduziert, f (X) dicht in Y . Zu zeigen ist dann f (X) = Y . Es sei nun y0 ein beliebiger Punkt in Y . Wir w¨ ahlen eine Umgebung V = Spec (A) von y0 , so dass das Primideal p0 dem Punkt y0 entspricht. Nun existiert kraft eines allgemeinen Satzes u ¨ber kommutative Ringe unter dem Primideal p0 ein minimales Primideal p1 ⊆ p0 . Wir zeigen, dass dieses im Bild f (X) liegt. −1 ¨ Uberdecke dazu vielen affinen Ui = Spec (Bi ) und  ersetze   U = f (V ) mit endlich   U durch U = i Ui sowie f durch f  = i f |Ui . Dann ist U  = Spec i Bi = Spec (B  ) und f  gegeben durch einen Ringhomomorphismus A → B  . Dieser ist injektiv, da f (U ) = f  (U  ) dicht in V liegt und die Schemata reduziert sind. Also ist auch Ap1 = κ(p1 ) → Bp 1 injektiv. Das bedeutet aber p1 ∈ f  (U  ) = f (U ), wie verlangt. 

290

5 Schemata I

Wir studieren jetzt folgende Situation: Es sei f : X → Y ein Morphismus noetherscher Schemata und das folgende Diagramm gegeben:

/X >

U h

 T

 /Y

(5.25)

f

Dabei ist T = Spec (A) das Spektrum eines Bewertungsrings. U = Spec (K) das Spektrum seines Quotientenk¨ orpers. Gefragt ist nach der Vielfachheit der M¨ oglichkeiten, eine Abbildung h zu finden, die obiges Diagramm kommutativ erg¨ anzt. Proposition 5.5.5 Es sei f : X → Y ein Morphismus noetherscher Schemata. Dann ist ¨ aquivalent: a) Es gibt f¨ ur jedes m¨ ogliche kommutative Diagramm (5.25) h¨ ochstens einen Pfeil h, der das Diagramm kommutativ bel¨ asst. b) F¨ ur Δ : X → X ×Y X ist Δ(X) abgeschlossen. c) f ist separiert. ¨ Beweis. Die Aquivalenz von b) und c) folgt aus der Tatsache, dass Δ eine Immersion ist und damit eine abgeschlossene Immersion, wenn Δ(X) abgeschlossen. Es sei also jetzt a) erf¨ ullt. Es sei w1 ∈ Δ(X) und w1 w0 mit einem w0 ∈ X ×Y X. Wir betrachten ein Diagramm U h

/ X ×Y X :



(5.26)

 /Y,

T

in dem T = Spec (R) das Spektrum eines geeigneten Bewertungsrings und U = Spec (K) das Spektrum seines Quotientenk¨ orpers ist. Der Punkt t1 sei das Nullideal von R, der Punkt t0 sein maximales Ideal. Alles sei so gew¨ ahlt, dass h(t1 ) = w1 und h(t0 ) = w0 ist. Wegen a) ist dann p1 h = p2 h (jedes pi ◦ h ergibt eine Diagonale in (5.25)), also h = Δ p1 h, wie man leicht nachrechnet. Also ist auch w0 = h(t0 ) in Δ(X) enthalten. Nach Lemma 5.5.5 ist damit Δ(X) abgeschlossen, denn Δ : X → X ×Y X ist quasikompakt, weil X, Y noethersch sind. Umgekehrt, sei a) nicht erf¨ ullt und in einem geeigneten Diagramm U h2 j



T

>/ X >  /Y

h1

(5.27)

5.5 Separierte und eigentliche Morphismen

291

der Morphismus h1 von h2 verschieden. Wir betrachten h = h1 ×Y h2 : T → X ×Y X. Es ist h(t1 ) ∈ Δ(X), da h1 j = h2 j ist. Andererseits ist h1 (t0 ) = h2 (t0 ), da sonst nach Lemma 5.5.4 auch h1 = h2 w¨ are. Also ist h(t0 ) ∈ / Δ(X). Wegen h(t1 ) h(t0 ) ist Δ(X) dann nicht abgeschlossen. 

Proposition 5.5.6 Es sei f : X → Y ein Morphismus noetherscher Schemata. Der Morphismus f sei vom endlichen Typ. Dann ist ¨ aquivalent: a) Es gibt f¨ ur jedes m¨ ogliche kommutative Diagramm (5.25) genau einen Pfeil h, der das Diagramm kommutativ bel¨ asst. b) f ist eigentlich. Beweis. Die Existenz maximal eines Pfeiles h ist ¨ aquivalent zur Separiertheit. Wir m¨ ussen also nur zeigen, dass die Existenz mindestens eines Pfeiles ¨ aquivalent zur universellen Abgeschlossenheit von f : X → Y ist. Es sei also f : X → Y universell abgeschlossen. Betrachte das Diagramm: g

U h

j

/ X ×Y T ;







f

/X





f

/Y

/T

T

(5.28)

Man w¨ ahle w1 = g  (u1 ) ∈ X ×Y T mit Z = {w1 }¯ und f  (w1 ) = t1 . Dann ist f  (Z) abgeschlossen, also t0 = f  (w0 ) mit einem w0 ∈ Z, also w1 w0 . Aus dem Diagramm OT,t1 o

K

O

⊇

g 

OZ,w1 o

OT,t0



⊇

(5.29)

f 

OZ,w0

ergibt sich, dass OZ,w0 den Bewertungsring OT,t0 in K dominiert. Also ist er diesem gleich und induziert die Abbildung h im obigen Diagramm gem¨ aß der Korrespondenz aus Lemma 5.5.3. Damit folgt sofort die Existenz des h = p1 ◦ h durch Projektion auf X. Umgekehrt, sei f  : X  = X ×Y Y  → Y  eine Basiserweiterung von f und f erf¨ ulle die Annahme u ¨ber die Existenz genau eines Pfeiles h im Diagramm (5.25). Dann existiert im Diagramm

/ X >

U j

h



T

g



f

/ Y

(5.30)

292

5 Schemata I

ein Pfeil h f¨ ur jede Wahl von U und T . Es seien nun y1 y0 zwei Punkte in Y   mit y1 ∈ f (X  ). Es sei, was immer m¨ oglich ist, T so gew¨ ahlt, dass g(t1 ) = y1 und g(t0 ) = y0 ist. Dann beweist die Existenz von h, dass auch y0 = f  (h(t0 )) in f  (X  ) liegt. Mithin ist f  (X  ) abgeschlossen, denn f  ist als Basiserweiterung des quasikompakten Morphismus f auch quasikompakt, und wir k¨ onnen das oben schon benutzte Lemma 5.5.5 heranziehen. 

Proposition 5.5.7 Es gilt: 1. Offene und abgeschlossene Immersionen sind (quasi-)separiert. 2. (Komposition): Es seien f : X → Y und g : Y → Z (quasi-)separiert. Dann ist auch g ◦ f : X → Z (quasi-)separiert. 3. (Basiswechsel): Es sei f : X → Y (quasi-)separiert. Weiter sei g : Y  → Y ein beliebiger Schemamorphismus und f  : X  = X ×Y Y  → Y  die Basiserweiterung von f . Dann ist auch f  (quasi-)separiert. ¨ 4. Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und (Vi ) eine offene Uberdeckung −1 von Y . Die Morphismen fVi : f (Vi ) → Vi seien alle (quasi-)separiert. Dann ist auch f (quasi-)separiert. Proposition 5.5.8 Es gilt: 1. Abgeschlossene Immersionen sind eigentlich. 2. (Komposition): Es seien f : X → Y und g : Y → Z eigentlich. Dann ist auch g ◦ f : X → Z eigentlich. 3. (Basiswechsel): Es sei f : X → Y eigentlich. Weiter sei g : Y  → Y ein beliebiger Schemamorphismus und f  : X  = X ×Y Y  → Y  die Basiserweiterung von f . Dann ist auch f  eigentlich. ¨ 4. Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und (Vi ) eine offene Uberdeckung von Y . Die Morphismen fVi : f −1 (Vi ) → Vi seien alle eigentlich. Dann ist auch f eigentlich. Zum Schluss, noch ein paar n¨ utzliche S¨ atze: Proposition 5.5.9 Es seien X, Y zwei S-Schemata. Es sei X reduziert und Y /S separiert. Weiter seien f, g : X → Y zwei S-Abbildungen und f |U = g|U f¨ ur eine in X dichte, offene Teilmenge U ⊆ X. Dann ist sogar f = g. Proposition 5.5.10 Es sei X/S separiert und S = Spec (A) affin. Weiter seien U, V ⊆ X zwei affine, offene Teilmengen. Dann ist auch U ∩ V ⊆ X eine affine, offene Teilmenge.

5.5 Separierte und eigentliche Morphismen

293

Proposition 5.5.11 Es sei f : X → Y ein Morphismus von S-Schemata X/S und Y /S u ¨ber einem noetherschen Schema S. Es seien X/S und Y /S separiert und vom endlichen Typ u ¨ber S. Weiter sei Z → X ein abgeschlossenes Unterschema und Z/S eigentlich. Dann ist f (Z) ⊆ Y abgeschlossen. Nennt man f (Z) das schematheoretische Bild von Z → X → Y in Y , so ist u ¨berdies f (Z)/S eigentlich. Beweis. Wir machen hier einen kleinen Vorgriff auf die Theorie quasikoh¨ arenter Garben und des schematheoretischen Bildes. Dieser ist aber unsch¨ adlich. Betrachte das Diagramm: Z _

surj. eigtl.

h

/ f (Z) _

i1 cl.imm.

g eigtl.



i2 cl.imm.

f

X

(5.31)

sep p sep

 /Y

q sep

  } S

Es werde f (Z) als V (I) konstruiert mit 0 → I → OY → (f ◦ i1 )∗ OZ . Da f ◦ i1 separiert und quasikompakt bzw. weil Z noethersch, ist (f ◦ i1 )∗ OZ quasikoh¨ arenter OY -Modul. Also existiert f (Z) in der angegebenen Form. Weiter ist aufgrund der Eigenschaften des schematheoretischen Bildes und weil Z noethersch ist, auch h : Z → f (Z) eine dichte Abbildung. Weiter ist h eigentlich, weil g eigentlich und q ◦i2 separiert. Also ist h abgeschlossen und weil dicht sogar surjektiv, also insbesondere auch f (Z) abgeschlossen in Y . Weiter ist q ◦ i2 separiert und vom endlichen Typ u ¨ber S, denn sowohl q als auch i2 sind separiert bzw. vom endlichen Typ. Es bleibt also nur nachzuweisen, dass q ◦ i2 auch universell abgeschlossen ist. Wir bilden vom vorigen Diagramm ein Faserprodukt − ×S S  . Unter ihm behalten die jeweiligen Abbildungen ihre oben benannten Eigenschaften: Z  _

surj. eigtl.

h

i1 cl.imm.

g eigtl.



X p sep

  }  S

/ f (Z) _ i2 cl.imm.

f sep

q sep

 / Y

(5.32)

294

5 Schemata I

Eine abgeschlossene Menge A ⊆ f (Z) ist Bild einer solchen aus Z  , n¨ amlich A = h (A ) mit A = h−1 (A). Also ist (q  ◦ i2 )(A) = q  (i2 (h(A ))) = g  (A ) abgeschlossen in S  . Damit ist q  ◦ i2 als abgeschlossene Abbildung nachgewiesen. Da S  beliebig war, ist dann auch sogar q ◦ i2 universell abgeschlossen — also eigentlich. 

5.6

Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

5.6.1

Definition, Summe, Tensorprodukt, Limes

Definition 5.6.1 Es sei X ein Schema und F ein OX -Modul. Weiter sei  F|U ∼ =M

(5.33)

f¨ ur jede offene, affine Teilmenge U = Spec (A) ⊆ X und einen zugeh¨ origen A-Modul M . Dann heißt F quasikoh¨ arenter OX -Modul auf X. Ist u ¨berdies M endlich erzeugter A-Modul, so heißt F koh¨ arenter OX -Modul auf X.  Bemerkung 5.6.1 Wir werden bei der Verwendung koh¨ arenter OX -Moduln meist annehmen, dass X noethersch ist, da sonst die hier gegebene Definition nicht mit der allgemeineren, wie sie zum Beispiel in EGA [12] zu finden ist, u ¨bereinstimmt. Lemma 5.6.1 Es sei X ein Schema, f ∈ OX (X) und F ein OX -Modul. Es existiere eine ¨ endliche, offene, affine Uberdeckung (Ui ) von X und f¨ ur jedes Uij = Ui ∩ Uj ¨ eine endliche, offene, affine Uberdeckung (Uijk ) mit den Eigenschaften i f¨ i) F|Ui ∼ ur einen Ai -Modul Mi mit Ui = Spec (Ai ), =M  ii) F|Uijk ∼ ur einen Aijk -Modul Mijk mit Uijk = Spec (Aijk ). =M ijk f¨ Dann gilt: 1. Sei s ∈ F(X) mit s|Xf = 0, so ist f n s = 0 f¨ ur ein geeignetes n. 2. Sei s ∈ F(Xf ), so existiert ein t ∈ F(X), so dass f n s = t|Xf f¨ ur ein geeignetes n ist. In der Konsequenz ist also F(Xf ) = F(X)f . Beweis. Wie in Lemma 5.1.5.



5.6 Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

295

Proposition 5.6.1 ¨ Es sei X ein Schema, F ein OX -Modul und (Ui ) eine offene affine Uberdeckung i f¨ ur einen Ai -Modul Mi . von X. Weiter sei Ui = Spec (Ai ) und F|U = M i

Dann ist F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Beweis. Gilt die Voraussetzung der obigen Proposition, so gilt sie auch f¨ ur jedes U ⊆ X offen und F|U , denn man kann durch Hinzunahme von (Ai )a , (Mi )a annehmen, dass die (Ui ) eine Basis der Topologie von X bilden. Man kann sich also auf X = Spec (A) affin beschr¨ anken. Dann kann man u ¨berdies die (Ui ) alle als D(ai ) w¨ ahlen. Es sind dann die Voraussetzungen von Lemma 5.6.1  Da dies f¨ erf¨ ullt, und es ist F = F(X). ur alle U ⊆ X offen, affin gilt, ist F quasi

koh¨ arent.

Proposition 5.6.2 Ist in der vorigen Proposition X noethersch und jeder Modul Mi endlich erzeugt als Ai -Modul, so ist F koh¨ arent. Korollar 5.6.1 Es sei X = Spec (A) ein affines Schema und F ein OX -Modul. Dann ist F genau dann quasikoh¨ arent, wenn die kanonische Abbildung F(X)a → F(D(a))  f¨ ur alle a ∈ A ein Isomorphismus ist. Es ist dann F = F(X). Korollar 5.6.2  ein quasikoh¨ Es sei M ein A-Modul. Dann ist M arenter OX -Modul auf X = Spec (A). Proposition 5.6.3 Es sei f : F → G ein Morphismus quasikoh¨ arenter OX -Moduln. Dann sind auch ker f , coker f , im f , coim f quasikoh¨ arente OX -Moduln. Ist X noethersch, so gilt dies auch f¨ ur koh¨ arente OX -Moduln. Proposition 5.6.4 Es sei X ein affines Schema und 0 → F → F → F → 0 eine exakte Sequenz von OX -Moduln. Die Garbe F sei quasikoh¨ arent. Dann ist / F(X) / F (X) /0 / F (X) 0 exakt. ¨ Beweis. Es sei t ∈ F (X) vorgegeben. Dann existiert eine endliche Uberdeckung (Ui ) mit Ui = D(fi ) von X = Spec (A) und si ∈ F(X) mit φ(si ) = t|Ui . Dabei sei φ : F → F die Abbildung aus obiger Sequenz. Es ist dann (si − sj )|Uij = sij Bild eines Elements wij ∈ F (Uij ). F¨ ur die wij gilt dann wij +wjk = wik auf dem gemeinsamen Bereich Uijk . K¨ onnen wir nun wi ∈ F (Ui ) finden, f¨ ur die wij = wi − wj auf Uij gilt, so verklebt das System (si − wi ) zu einem s ∈ F(X), dessen Bild φ(s) gleich t ist.

296

5 Schemata I

 mit einem A-Modul M , so k¨ Ist nun F = M onnen die wij als werden, f¨ ur die fk mij + fi mjk = fj mik

mij fi fj

dargestellt (5.34)

fini

ersetzt werden. gilt. Dazu muss eventuell fi durch Im Einzelnen u ¨berlegt man wie folgt: Ausgehend von Gleichungen (fi fj fk )N (fk mij + fi mjk − fj mik ) = 0 ersetzt man mij /(fi fj ) durch mij (fi fj )N /(fi fj )N +1 = mij /(fi fj )N +1 . F¨ ur diese ist dann (fkN +1 mij + fiN +1 mjk − fjN +1 mik ) = (fi fj fk )N (fk mij + fi mjk − fj mik ) = 0. Ersetzt man jetzt fi durch fi = fiN +1 , so wird mij /(fi fj )N +1 zu mij /(fi fj ), und man erh¨ alt in den mij und fi die Beziehung (5.34). Nun u ¨berdecken die D(fi ) ganz X, es gibt also xi mit  (5.35) xi fi = 1.

xr mir und behaupten, dass fj mi − fi mj = mij ist. Damit Wir setzen nun mi = mi w¨ aren die fi die oben gesuchten wi . Es ist nun aber  f j mi − f i mj = xr (fj mir − fi mjr ) . r

Der Ausdruck in Klammern rechts kann wegen (5.34) zu fr mij umgeformt werden. Wegen (5.35) folgt dann fj mi − fi mj = mij , wie verlangt. 

Proposition 5.6.5 Es sei X ein Schema und 0 → F → F → F → 0 eine exakte Sequenz von OX -Moduln. Dann gilt: Sind zwei dieser OX -Moduln quasikoh¨ arent, dann ist es auch der dritte. Ist X noethersch, so gilt dies auch f¨ ur koh¨ arente OX -Moduln. Proposition 5.6.6 arente OX -Moduln Es sei X ein Schema, und es seien F, G, Fi zwei quasikoh¨ sowie eine Familie von quasikoh¨ arenten OX -Moduln. Dann sind auch   F ⊗OX G, Fi , Fi , falls I endlich ist, i∈I

i∈I

quasikoh¨ arente OX -Moduln. Die Aussage gilt auch f¨ ur koh¨ arente anstelle quasikoh¨ arenter OX -Moduln, vorausgesetzt I ist stets endlich. Bemerkung 5.6.2 Aus Obigem folgt, dass auch lim Fi und lim Fi f¨ ur entsprechende direkte −→i ←−i oder endliche inverse Systeme (Fi , hij ) von quasikoh¨ arenten OX -Moduln quasikoh¨ arent sind.

5.6 Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

297

Proposition 5.6.7 Es sei X ein Schema. Dann gilt: Die quasikoh¨ arenten OX -Moduln bilden eine abelsche Kategorie. Diese heiße Qco(X). Ist X noethersch, so bilden auch die koh¨ arenten OX -Moduln eine abelsche Kategorie, Coh(X). Proposition 5.6.8  ein quasikoh¨ Es sei X = Spec (A) und F = M arenter OX -Modul. Es sei m ∈ M ein globaler Schnitt. Dann ist supp(m) = V (Ann m) . Ist u ¨berdies A noethersch und M endlich erzeugt, so ist supp F = supp M = V (Ann M ) . Korollar 5.6.3 Es sei X ein noethersches Schema und F ein koh¨ arenter OX -Modul. Dann ist supp F abgeschlossen in X. Eine wichtige Kategorie von OX -Moduln sind die lokal freien OX -Moduln. Definition 5.6.2 Es sei X ein lokal geringter Raum und F ein OX -Modul. Dann heißt F lokal frei genau dann, wenn es f¨ ur jedes x ∈ X ein Ux ⊆ X, offen, gibt, auf dem Ix F|Ux ∼ | ) gilt.  (O = X Ux Die M¨ achtigkeit von Ix heißt dann der Rang von F bei x. Definition 5.6.3 Es sei E ein OX -Modul auf einem Schema X und (si ∈ E(X)) ein System globaler Schnitte. Dann heißen die (si ) Erzeugende von E, wenn 

p(s

)

OX −−−i→ E → 0

i

exakt ist.  ai si |U f¨ ur ai ∈ OX (U ) und U ⊆ X offen. Dabei sei (p(si ) )U ((ai )) =  Im Folgenden schreiben wir in obiger Situation einfach OX → E → 0.



Lemma 5.6.2 Es sei X ein noethersches Schema und E ein koh¨ arenter OX -Modul. Weiter sei E von globalen Schnitten erzeugt. Dann gen¨ ugen endlich viele Schnitte, um E zu erzeugen.

298

5 Schemata I

Beweis. Es sei P ∈ X ein abgeschlossener Punkt. Dann ist EP ein endlich erzeugter OX,P -Modul, und endlich  viele globale Schnitte s1,P , . . . , snP ,P gen¨ ugen, um EP zu nP erzeugen. In der Sequenz O → E → Q → 0 ist dann Q = 0. Da Q koh¨ arent, X P i=1 ist Q|UP = 0 f¨ ur eine geeignete offene Umgebung UP von P . Weil X noethersch ist, u ¨berdecken endlich viele UP1 , . . . , UPr das Schema X. Damit sind die endlich vielen si,Pj Erzeuger von E. 

Definition 5.6.4 Es sei X ein noethersches Schema und F ein koh¨ arenter OX -Modul. Dann ist μx (F) = dimk(x) F ⊗OX k(x) die lokale Dimension von F bei x f¨ ur ein x ∈ X.



Lemma 5.6.3 Es sei X ein noethersches Schema und F ein koh¨ arenter OX -Modul. Dann ist x → μx (F) eine oberhalbstetige Funktion X → Z. Bemerkung 5.6.3 Es ist also {x ∈ X | μx (F)  n} eine abgeschlossene Teilmenge von X. Oder anders gesagt: Ist x ∈ X mit μx (F) = n, so existiert eine offene Umgebung x ∈ U ⊆ X mit μx (F)  n f¨ ur alle x ∈ U . Lemma 5.6.4 Ist X noethersch und reduziert, F koh¨ arent und μx (F) konstant, so ist F lokal frei.

5.6.2

Verhalten unter Garbenfunktoren

Proposition 5.6.9 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und F ein (quasi-)koh¨ arenter OY Modul. Ist F koh¨ arent, so seien X und Y noethersch. Dann ist f ∗ F ein (quasi-)koh¨ arenter OX -Modul. Beweis. W¨ ahle U = Spec (B) ⊆ X, offen, V = Spec (A) ⊆ Y , offen, mit f (U ) ⊆ V . Nenne fU = f |U . Dann ist (f ∗ F)|U = (fU∗ (F|V )). Ist nun φ : A → B die zu fU geh¨ orige  f¨ ur einen A-Modul M , so ist fU∗ (F|V ) = (B ⊗A M ).  Ringabbildung und F|V = M

Proposition 5.6.10 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und F ein lokal freier OY -Modul. Dann ist f ∗ F ein lokal freier OX -Modul vom selben Rang wie F. Beweis. Es sei fU : U → V wie im vorigen Beweis und F|V ein freier OV -Modul. Man hat also M = AI , und es ist B⊗A M = B I ein freier B-Modul, also f ∗ F|U = (B⊗A M ) ein freier OU -Modul. 

5.6 Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

299

Proposition 5.6.11 Es sei f : X → Y eine Schemaabbildung und entweder f quasi-kompakt und (quasi-)separiert oder X noethersch. Weiter sei F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann ist f∗ F ein quasikoh¨ arenter OY -Modul. Beweis. Ersetzt man Y durch ein offenes affines Unterschema Y  , die Abbildung f durch fY  und F durch F|f −1 (Y  ) , so kann man ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit Y als affin annehmen. Aufgrund der Annahmen u ¨ber f oder X gibt es dann eine exakte Sequenz 0

/ f∗ F

α

/  (f |Ui )∗ F|Ui i

β

/

ijk

(f |Uijk )∗ F|Uijk ,

(5.36)

¨ wobei (Ui )i eine endliche offene affine Uberdeckung von X und (Uijk )k eine endliche ¨ offene affine Uberdeckung von Ui ∩ Uj darstellt. Die Abbildung α ist durch  s ∈ F(f −1 V ) → (si ) ∈ F(f −1 V ∩ Ui ), si = s|(f −1 V ∩Ui ) i

gegeben, die Abbildung β ist (si ∈ F(f −1 V ∩ Ui )) → (sijk = si |f −1 V ∩Uijk − sj |f −1 V ∩Uijk ∈ F(f −1 V ∩ Uijk )) und bildet die (si ) auf (0)ijk ab, die sich zu einem s verkleben lassen, dessen Bild unter α sie sind. Da die beiden rechts stehenden Garben in (5.36) quasikoh¨ arent sind, ist es auch f∗ F als ihr Kern. 

Proposition 5.6.12 Es sei f : X → Y ein affiner Schemamorphismus und 0 → F → F → F → 0 eine exakte Sequenz quasikoh¨ arenter OX -Moduln. Dann ist 0 → f∗ F → f∗ F → f∗ F → 0 eine exakte Sequenz quasikoh¨ arenter OY -Moduln. Proposition 5.6.13 (Projektionssatz) Es sei f : X → Y ein Morphismus geringter R¨ aume und F ein OX -Modul sowie E ein lokal freier OY -Modul. Dann gilt:   f∗ F ⊗OX f ∗ E = f∗ F ⊗OY E Beweis. Die Abbildung f ∗ f∗ F → F induziert eine Abbildung f ∗ f∗ F ⊗OX f ∗ E → F ⊗OX f ∗ E. Nun ist f ∗ f∗ F ⊗OX f ∗ E = f ∗ (f∗ F ⊗OY E). Also ist die obige Abbildung gleich f ∗ (f∗ F ⊗OY E) → F ⊗OX f ∗ E.

300

5 Schemata I

Damit hat man die assoziierte Abbildung f∗ F ⊗OY E → f∗ (F ⊗OX f ∗ E). Um die Isomorphie nachzuweisen, gen¨ ugt es, sich auf f : X → Y zu beschr¨ anken, wo E∼ ur ist die Abbildung offensichtlich isomorph. = OIY ist. Daf¨ 

Lemma 5.6.5 Es sei i : Y → X eine abgeschlossene Immersion. Weiter sei F ein quasikoh¨ arenter OY -Modul und L ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann gilt: i∗ (F ⊗OY i∗ L) = i∗ F ⊗OX L (5.37)

5.6.3

Vektorb¨ undel und Linienb¨ undel

Definition 5.6.5 Ein Linienb¨ undel L auf einem Schema X ist ein lokal freier koh¨ arenter OX Modul vom Rang 1. Wir nennen L auch eine invertierbare Garbe.  Bemerkung 5.6.4 Das heißt, f¨ ur jedes x ∈ X gibt es eine affine Umgebung U = Spec (A) mit ˜ x ∈ U und L|U ∼ = A. Definition 5.6.6 Es sei L ein Linienb¨ undel auf einem Schema X. Weiter sei s ∈ L(X) ein Schnitt. Dann sei Xs = {x ∈ X | sx ∈ / mx Lx }.  Proposition 5.6.14 Die Menge Xs ist offen in X. Lemma 5.6.6 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus. Weiter sei L ein Linienb¨ undel auf Y und s ∈ L(Y ) ein Schnitt. Es ist dann f ∗ (s) ∈ (f ∗ L)(X) ein Schnitt im Linienb¨ undel f ∗ L, und es gilt f −1 (Ys ) = Xf ∗ (s) . Beweis. Man w¨ ahle U = Spec (B) ⊆ X, V = Spec (A) ⊆ Y , f (U ) ⊆ V , mit L|V trivial. Dann ist s|V unter der Wahl eines Isomorphismus L|V ∼ = OV durch a ∈ A gegeben. Ist φ : A → B der durch f induzierte Ringhomomorphismus, so ist f ∗ (s) = φ(a) mit einem Isomorphismus (f ∗ L)|U ∼ = OU , der sich durch Anwendung von f ∗ auf den ∼ Isomorphismus L|V = OV ergibt. Es ist also f −1 (D(a)) ∩ U = D(φ(a)) = Uf ∗ s . Die Wahl eines anderen Isomorphismus L ∼ atte a mit a ∈ A∗ multipliziert = OV h¨ und am Ergebnis nichts ge¨ andert. 

5.6 Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

301

Lemma 5.6.7 Es sei E ein koh¨ arenter OX -Modul auf einem noetherschen Schema X. Dann ist aquivalent: ¨ a) E ist lokal frei. b) Alle Halme Ex sind freie OX,x -Moduln. Proposition 5.6.15 Es seien E und F zwei lokal freie OX -Moduln. Dann sind auch E ⊕ F,

E ⊗OX F,

Hom(E, F)

lokal freie OX -Moduln. Insbesondere ist E∨ = Hom(E, OX ) lokal frei. Der Modul E∨ heißt der zu E duale Modul. Ist E ein lokal freier OX -Modul, so sprechen wir auch von einem Vektorb¨ undel. Im eigentlichen Sinn wollen wir aber unter einem Vektorb¨ undel ein Schema A(E) u ¨ber X verstehen, das wie folgt konstruiert wird: Es sei zun¨ achst S eine OX -Algebrengarbe. Definition 5.6.7 Eine OX -Algebrengarbe ist eine Ringgarbe, die mit einem Morphismus von Ringgarben OX → S ausgestattet ist.  Eine OX -Algebrengarbe ist also immer auch ein OX -Modul. Ist sie als OX Modul (quasi-)koh¨ arent, so nennen wir sie (quasi-)koh¨ arente Algebrengarbe. ¨ Uber einem U ⊆ X, offen und affin, betrachte den Ringhomomorphismus OX (U ) → S(U ). Er induziert einen Schemamorphismus: πU : Spec (S(U )) → U Wegen der Beziehung S(Uf ) = S(U )f f¨ ur alle f ∈ OX (U ) folgt −1 −1 πU (Uf ) = πU (Uf ) , f

im Sinne einer kanonischen Gleichheit. Wie schon fr¨ uher immer bei Verklebungsargumenten benutzt, kann man also die einzelnen Spec (S(U )) zu einem Schema u ¨ber X verkleben.

302

5 Schemata I

Definition 5.6.8 Aus einer quasikoh¨ arenten OX -Algebra S kann man mit obiger Konstruktion ein Schema π : Spec (S) → X konstruieren. Das Schema Spec (S) heißt Spektrum der Algebrengarbe S oder auch (affiner) Kegel u  ¨ber S. Korollar 5.6.4 Die Abbildung π : Spec (S) → X ist ein affiner Schemamorphismus. Das Schema Spec (S) ist durch eine universelle Eigenschaft gekennzeichnet. Es ist n¨ amlich f¨ ur alle Schemata f : Y → X: HomX (Y, Spec (S)) = HomOX −Algebr (S, f∗ OY ) Kraft f  : OX → f∗ OY ist f∗ OY eine OX -Algebra, und rechts sind Morphismen in der Kategorie der OX -Algebren gemeint. Lemma 5.6.8 Ist π : Spec (S) → X, so ist π∗ OSpec(S) = S. Korollar 5.6.5 F¨ ur zwei quasikoh¨ arente OX -Algebrengarben S, T gilt: HomX (Spec (T), Spec (S)) = HomOX −Algebr (S, T) Es sei nun f : X → Y ein affiner Schemamorphismus, definiert durch X = Spec (S) und S = f∗ OX . Dann ist F → f∗ F ein Funktor von der Kategorie Qco(X) der quasikoh¨ arenten OX -Moduln in die Kategorie S − Mod der SModuln, die zugleich u arente OY -Moduln sind. ¨ber OY → f∗ OX quasikoh¨  von S − Mod in Es gibt dann weiterhin einen umkehrenden Funktor G → G die Kategorie Qco(X), so dass folgende Beziehung besteht: Proposition 5.6.16 Es sei G ein S-Modul und F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann gilt:  F) = HomS−Mod (G, f∗ F) HomQco(X) (G,

(5.38)

 f¨ Beweis. Es ist lokal X = Spec (B) und Y = Spec (A) und F = N ur einen B-Modul  ur einen A-Modul M , der aber zugleich B-Modul ist und seine N sowie G = A M f¨ A-Modul-Struktur u alt. Man kann dann M als BA -Modul auffas¨ber A → B erh¨   ist dann B sen, und M M mit M als B-Modul. Letztlich steht lokal die Gleichung HomB−Mod (M, N ) = HomBA −Mod (M, NA ), bei der offensichtlich beide Seiten identisch sind. Geht man von φ : A → B zu Aa → Bφ(a) u orige ¨ber, so lokalisiert sich der dazugeh¨  ¨ ur eine affine Uberdeckung funktorielle Isomorphismus. Man kann also die G|Spec(Bi ) f¨  als OX -Modul.  Spec (Ai → Bi ) von X und Y miteinander verkleben und erh¨ alt G

5.6 Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

303

Man hat also auch kanonische Abbildungen: α :(f∗ F) → F ,

(5.39)

 β :G → f∗ G

(5.40)

Proposition 5.6.17  definieren eine Aquivalenz ¨ Die Funktoren F → f∗ F und G → G von Kategorien zwischen Qco(X) und S − Mod, und die Abbildungen α und β sind Isomorphismen. Es sei nun E ein lokal freier OX -Modul. Dann bildet man die symmetrische OX -Algebra S(E). Diese ist definiert durch S(E)(U ) = S(E(U )) auf allen offenen, affinen U ⊆ X. Wegen S(E)(Uf ) = (S(E)(U ))f ist das wohldefiniert. Lemma 5.6.9 Ist E quasikoh¨ arent, so auch S(E). Definiere nun: Definition 5.6.9 Es sei E ein lokal freier, quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann ist A(E) = Spec (S(E)) das Vektorb¨ undel zu E u ¨ber X.

(5.41) 

Korollar 5.6.6 Ist π : A(E) → X ein Vektorb¨ undel, so ist π∗ OA(E) = S(E). Proposition 5.6.18 Es ist f¨ ur ein U ⊆ X offen: HomX (U, A(E)) = HomU (U, A(E)U ) = = HomOU −Algebr (S(E)|U , OU ) = = HomOU −Mod (E|U , OU ) = (E|U )∨ , (5.42) wobei A(E)U = π −1 (U ), wo π : A(E) → X die kanonische Projektion ist. Definition 5.6.10 n F¨ ur ein Schema X sei An X definiert als A(OX ) im Sinne der obigen Konstruktion. n Das Schema AX ist der (n-dimensionale) affine Raum u  ¨ber X. Bemerkung 5.6.5 n n Wir h¨ atten auch An Z = Spec (Z[T1 , . . . , Tn ]) und AX = AZ ×Z X definieren k¨ onnen.

304

5 Schemata I

5.6.4

Tensorprodukte und Filtrierungen

Definition 5.6.11 Es sei F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul auf einem Schema X. Dann bezeichne F ∗m ein bestimmtes m-faches Produkt von F, n¨ amlich entweder F m oder F ∧m .  Proposition 5.6.19 Es sei 0 → F → F → F → 0

(5.43)

eine exakte Sequenz von lokal freien OX -Moduln auf einem Schema X. Dann existiert eine Filtrierung F∗m = S 0 F∗m ⊇ S 1 F∗m ⊇ · · · ⊇ S m F∗m ⊇ S m+1 F∗m = 0

(5.44)

mit der Eigenschaft S j F/S j+1 F = F∗j ⊗OX F∗(m−j) .

(5.45)

Beweis. Es sei lokal auf U = Spec (A) die Sequenz (5.43) dargestellt durch freie A-Moduln p 0 → F → F − → F  → 0 . (5.46) Es existieren dann Splittungen dieser Sequenz, festgelegt durch θ : F  → F als 0 → F  → F  ⊕θ F  → F  → 0. Eine solche Splittung hat einen Isomorphismus F ∗m = (F  ⊕ F  )∗m = F ∗m ⊕ F ∗(m−1) ⊗A F ∗1 ⊕ · · · · · · ⊕ F ∗s ⊗A F ∗(m−s) ⊕ · · · ⊕ F ∗m

(5.47)

zur Folge. Wir definieren jetzt lokal (S j F∗m )|U = F ∗m ⊕ F ∗(m−1) ⊗A F ∗1 ⊕ · · · ⊕ F ∗j ⊗A F ∗(m−j) . Es ist dann

∗j ∗(m−j) (S j F∗m )|U /(S j+1 F∗m )|U ∼ = F ⊗A F

(5.48) (5.49)

mit einem Isomorphismus, der scheinbar von der Splittung θ abh¨ angt. Eine alternative Splittung θ bildet wegen p θ = idF  das Element w in (z, w) ∈ F  ⊕ F  auf (Aw, w) und damit das Paar (z, w) auf (z + A w, w) ab.

Dabei geht jedes (S j F∗m )|U in sich u qi , ¨ber, denn es besteht aus Elementen i deren Summanden qi = w1i ∗ w2i ∗ · · · ∗ wm mindestens j Faktoren aus F  enthalten. Ein Faktor wiν  , der vorher in F  lag, kann nun durch ein alternatives Splitting in wiν  → (w ˜iν ) + (w ˜iν ) ∈ F  ⊕ F  u ¨ber. ¨bergehen. Offensichtlich geht so S j in sich u ∗j ∗(m−j) Die Komponente F ⊗A F geht mit der Identit¨ at in sich, plus einem Anteil in (S j+1 F∗m )|U u ¨ber. Damit ist bewiesen, dass die Komponenten (S j F∗m )|U und der Isomorphismus (5.49) wohldefiniert sind. Man hat also global ∗j ∗(m−j) . (S j F∗m )/(S j+1 F∗m ) ∼ = F ⊗OX F



5.6 Quasikoh¨ arente und koh¨ arente Modulgarben

305

Proposition 5.6.20 Es sei 0 → F → F → F → 0 wie in der vorigen Proposition. Die R¨ ange der Vektorb¨ undel seien jeweils m , m, m . Es ist dann  m m m     (5.50) F= F ⊗OX F . Beweis. Man hat die Sequenzen j 

0 → S j+1 F∧m → S j F∧m →



m−j

F ⊗

F → 0 .

Nur f¨ ur j = m ist der Ausdruck rechts von 0 verschieden. Also ist 

F

∧m

=S F 0

∧m

=

m 



F ⊗

 m 

F .

(5.51) 

Proposition 5.6.21 Es sei 0 → L → F → G → 0 eine exakte Sequenz von Vektorb¨ undeln. Es sei L ein Linienb¨ undel. Dann existieren exakte Sequenzen: 0→L⊗

d−1 

G→

d 

F→

d 

G→0

(5.52)

Beweis. Es existieren exakte Sequenzen: 0 → S j+1 F∧d → S j F∧d → ∧j L ⊗ ∧d−j G → 0 Nur f¨ ur j = 0 und j = 1 sind die Ausdr¨ ucke links von 0 verschieden. Also ist S ν F∧d = 0 f¨ ur ν > 1. Betrachtet man die Sequenzen f¨ ur j = 0 und j = 1 und setzt f¨ ur S ν F∧d ein, so ergibt sich die Behauptung. 

Proposition 5.6.22 Es sei 0 → G → F → L → 0 eine exakte Sequenz von Vektorb¨ undeln. Es sei L ein Linienb¨ undel. Dann existieren exakte Sequenzen: 0→

d 

G→

d 

F →L⊗

d−1 

G→0

(5.53)

Proposition 5.6.23 Es sei E = L1 ⊕ · · · ⊕ Ld eine Summe von Linienb¨ undeln. Dann ist d 

E = L1 ⊗ · · · ⊗ Ld .

(5.54)

Beweis. Man hat die exakte Sequenz 0 → L1 → E → E → 0 mit E = L2 ⊕ · · · ⊕ Ld . Aus der Gleichung (5.51) folgt direkt: d 

E = L1 ⊗

Induktiv u ¨ber d ergibt sich die Behauptung.

d−1 

E 

306

5 Schemata I

Proposition 5.6.24 Es sei E = L1 ⊕ · · · ⊕ Lm eine Summe von Linienb¨ undeln. Dann ist d 



E=

d 

(Li1 ⊕ · · · ⊕ Lid ) .

(5.55)

1i1 Y,

h g

 Z

i

wo f = i g = i g  ist, ein h existiert, mit dem obiges Diagramm kommutiert. Die Abbildung h ist dann eine abgeschlossene Immersion, und Z heißt schematheoretisches Bild von X unter f .  Proposition 5.7.1 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus, und entweder sei i) f∗ OX ein quasikoh¨ arenter OY -Modul oder ii) X reduziert. g

i

Dann existiert ein schematheoretisches Bild Z mit X − →Z− → Y und f = i g. Weiterhin gilt: 1. Ist X reduziert, so ist Z identisch mit f (X), dem topologischen Abschluss von f (X) in Y ausgestattet mit der reduzierten induzierten Schemastruktur. 2. Ist X noethersch und f∗ OX quasikoh¨ arenter OY -Modul, so ist g : X → Z dicht. Beweis. Es sei zun¨ achst f∗ OX quasikoh¨ arenter OY -Modul. Dann ist in der Sequenz f

0 → I → OY −→ f∗ OX die Idealgarbe I auch quasikoh¨ arent, definiert also ein abgeschlossenes Unterschema Z ⊆ Y . Wegen OY → OY /I → f∗ OX und damit OY,y → OY,y /Iy → (f∗ OX )y → OX,x g i kann f durch Z = V (I) mit OZ = OY /I faktorisiert werden: X − →Z− →Y. Man sieht dies auch am Diagramm

/ OX (f −1 (V ))

OY (V )



OY /I(V )

φ

 / OX (f −1 (V ))

φλ

&



OX (Uλ ) ,

(5.57)

5.7 Schematheoretisches Bild

309

¨ wo V = Spec (A) und (Uλ = Spec (Bλ )) eine affine offene Uberdeckung von f −1 (V ) ∗ ist. Die φλ : Uλ → V ∩ Z verkleben und definieren die Abbildung g. (Man muss ¨ noch u ufen, dass beim Ubergang von V nach Vf mit f ∈ A alles funktoriell ¨berpr¨ zusammenpasst.) Die Aussage 2. leiten wir wie folgt her: Es ist OY /I → f∗ OX . Weiter ist OY /I = i∗ OZ . Also i∗ OZ → (i ◦ g)∗ OX = i∗ g∗ OX . Man kann i∗ hier weglassen, weil i eine abgeschlossene Immersion ist (betrachte die Halme). Also OZ → g∗ OX . Da X nach Annahme noethersch ist, folgt: g : X → Z ist eine dichte Abbildung. Sei nun g i X −→ Z  − →Y eine zweite Faktorisierung von f wie aus der Definition, so hat man 0 → I → OY → i∗ OZ  und wegen OZ  → g∗ OX auch i∗ OZ  → i∗ g∗ OX = f∗ OX . Es entsteht das Diagramm 0



IO

/ I

0

/ OY

/ i∗ OZ 

/0

f

# 

f∗ OX und damit eine Injektion I ⊆ I, die zu Z = V (I) → V (I ) = Z  Anlass gibt. Nun betrachten wir den Fall X reduziert. Wir w¨ ahlen eine offene Teilmenge V ⊆ Y mit V = Spec (A) und betrachten f nur auf f : f −1 V → V . Es sei dann (Ui )i eine ¨ Uberdeckung von f −1 V und zugleich eine affine Basis der Topologie, Ui = Spec (Bi ). Es m¨ ogen nun Sequenzen 0 → ai → A → Bi bestehen, so dass f (Ui ) = V (ai ) wird. Nun ist aber     f (f −1 V ) ¯ = ( f (Ui ))¯ = ( V (ai ))¯ und weiter (



!

V (ai ))¯ =

Es ist dann also Z = V (



V (a) =

!

V (a) = V (

!

a⊆ai

V (a)⊇V (ai )

ai ), offensichtlich reduziert, da ai = g

i

ai ) .

√

ai , und mit einer

kanonischen Faktorisierung X − →Z− → Y mit  f = i g ausgestattet. Diese ist auf Ui n¨ amlich durch A → A/( ai ) → Bi gegeben. Die Kompatibilit¨ at besteht, da es sich bei den Ui um eine Basis der Topologie von f −1 V handelte. Man hat dann nur f¨ ur Bi → Bj aus Uj ⊆ Ui das Diagramm / A/( ak ) / Bi A k



=

A

=

 / A/(k ak )

 / Bj

310

5 Schemata I

 zu betrachten und ai , aj ⊇ k ak zu beachten. Es bleibt noch ¨berlegen, dass man die aus den Sequenzen 0 → ai → A → Bi und  zu u 0 → A → A/ ai → Bi gewonnenen Teilfaktorisierungen von f u ¨ber verschiedenen V miteinander verkleben kann. Dazu muss man beide Sequenzen an einem  s ∈ A lokalisieren, also mit −⊗A As tensorieren. Es bleibt dann nachzuweisen, dass (ai )s =  ( ai )s ist.  li +k Sei daf¨ ur a/sk ∈ (ai )s , also a/sk = ai /ski , also sli +ki a = s ai . Umsomehr ist li +ki dann (sa) ∈ ai . Da alle ai Radikalideale sind, folgt sa ∈ ai . Die umgekehrte Inklusion ist trivial. Ist jetzt ein zweites Z  = V (a ) aus der Definition 5.7.1 gegeben, so folgt aus dem Diagramm A/ai

=

0

/ ai

"

/A

/ Bi ,
n, dass Vd (B, A) = Vd (B/aB, A/a), und der Beweis kann per noetherscher Induktion (oder Induktion u uhrt werden.  ¨ber dim A) weitergef¨

Definition 5.10.1 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus. Dann sei ⎫ ⎧ ⎨ mit y = f (x) existiert Z ⊆ Xy , irreduzible Komponente,⎬ 1. Xh = x ∈ X | . ⎭ ⎩ mit x ∈ Z, dim Z  h 2. Yh = {y ∈ Y | dim Xy  h}.  Der folgende Satz beschreibt die Halbstetigkeit der Faserdimension. Proposition 5.10.2 Es sei f : X → Y ein dominanter Morphismus vom endlichen Typ integrer noetherscher Schemata, Y sei u ¨berdies universell katenarisch. Dann gilt: 1. Die Mengen Xh sind abgeschlossen in X. 2. Die Yh sind konstruierbar. 3. Es sei f : X → Y eigentlich. Dann sind die Yh abgeschlossen. Beweis. Im Fall 1. ist Xh = X f¨ ur h  n mit n aus Proposition 5.10.1. Weiter existiert ein V ⊆ Y , offen, so dass f¨ ur U = f −1 (V ) immer Xy = Uy mit dim Xy = n f¨ ur alle y ∈ V . Es ist U dicht in X, und man hat Xh ⊆ X − U = X  , also Xh = Xh , f¨ ur h > n . Man zerlege X  = X1 ∪· · ·∪Xr in irreduzible Komponenten und betrachte fi : Xi → f (Xi ) = Zi mit dem schematheoretischen Bild Zi ⊆ Y . Es ist dann f¨ ur h > n immer Xh = (X1 )h ∪ · · · ∪ (Xr )h . Enth¨ alt n¨ amlich f¨ ur x ∈ X   die Faser Xf (x) = Xf (x) eine irreduzible Komponente x ∈ Z ⊆ Xf (x) mit dim Z  h, so liegt diese, wegen Z ⊆ X1 ∪ · · · ∪ Xr , schon in einem Xj . Nach noetherscher Induktion sind die (Xi )h abgeschlossen in Xi , also in X. Damit ist auch Xh abgeschlossen in X. F¨ ur 2. und 3. beachte f (Xh ) = Yh . 

320

5 Schemata I

5.11

Projektive Schemata I

5.11.1

Das Schema proj (S)

Definition 5.11.1  Es sei S = d Sd ein gradierter Ring und M ein gradierter S-Modul. Dann gibt  auf proj (S), definiert durch es eine Garbe M ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

( ( ( ( ( ( ( ( (U ) = s( M ( ⎪ ⎪ ( ⎪ ⎪ ( ⎪ ⎪ ( ⎪ ⎪ ( ⎪ ⎪ ⎩ ((

s:U →

)

p∈U M(p) mit s(p) ∈ M(p)

so dass f¨ ur alle p ∈ U existieren 1) eine offene Menge W (p) mit p ∈ W (p) ⊂ U und 2) m ∈ Md , f ∈ Sd mit f ∈ / q f¨ ur alle q ∈ W (p) mit s(q) = m ∈ M(q) f¨ ur alle q ∈ W (p) f

f¨ ur alle U ⊆ proj (S) offen.

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 

Lemma 5.11.1 Es gelten folgende kanonische Isomorphismen (D+ (f )) ∼ M = M(f ) p ∼ M = M(p) f¨ ur f ∈ S+ homogen und p ∈ proj (S). (D+ (f )) sei lokal auf Beweis. Wir beweisen die erste Aussage: Der Schnitt s ∈ M endlich vielen D+ (fi ) durch xi /fipi gegeben. Wir ersetzen fi durch fipi und erhalten lokale Darstellungen xi /fi . ¨ Durch Ubergang zu xi fiei /fiei +1 = xi /fi mit geeigneten ei  0 k¨ onnen wir anneh men, dass alle xi , fi homogen vom gleichen Grad sind. Es seien jetzt also xi /fi mit xi , fi ∈ Sd die lokalen Darstellungen von s. Da f¨ ur alle p ∈ D+ (fi fj ) das Bild von xi /fi und das von xj /fj in M(p) u ¨bereinstimmen, ist sogar xi /fi = xj /fj in M(fi fj ) , also (fi fj )n (fj xi − fi xj ) = 0 f¨ ur ein geeignetes n  0. Also fin fjn+1 xi = fin+1 fjn xj . Setzt man xi = xi fin und fi = fin+1 , so ist xi /fi = xi /fi und fj xi = fi xj . Also mit erneuter Umbenennung: f j xi = f i xj mit xi , fi ∈ Sd homogen vom gleichen Grad f¨ ur alle i. Nun u ¨berdecken die D+ (fi ) das Gebiet D+ (f ). Damit gilt f p = b1 f 1 + · · · + br f r mit homogenen bi ∈ S vom gleichen Grad.

5.11 Projektive Schemata I

321

Setze nun x = x 1 b1 + · · · + x r br . Dann ist fj x =

r 

f j x i bi =

i=1

r 

f i xj bi = xj (

i=1

r 

f i bi ) = f p xj .

i=1

Also x/f p = xj /fj . Damit verkleben unsere lokalen Darstellungen xi /fi zu einer globalen x/f p , und die Behauptung ist gezeigt. Die zweite Aussage ist elementar klar. 

Stattet man nun den topologischen Raum X = proj (S) mit der Ringgarbe OX = S aus, so wird X zu einem Schema: Proposition 5.11.1  ist ein Schema. Er kann n¨ Der lokal geringte Raum (proj (S), S) amlich mit den affinen Schemata    D (f ) ) ∼ (D+ (f ), S| = (Spec S(f ) , S(f ) ) + u ¨berdeckt werden.   Beweisidee. Die Abbildung ψ der Mengen D+ (f ) → Spec S(f ) ist durch ψ(p) = (p Sf ) ∩ S(f ) gegeben. Man muss zeigen, dass diese Abbildung bijektiv, stetig und abgeschlossen ist. Die Umkehrabbildung wird durch " # φ(p) = s ∈ Sd | sk /f l ∈ p gegeben. Es entsprechen sich dann D+ (f g) ←→ D(g k /f l ) f¨ ur g ∈ Sd und k, l geeignet. Die Gleichheit der Garben folgt aus OX (D+ (f g)) = S(f g) = (S(f ) ) gk = OSpec(S fl

(f )

k l ) (D(g /f )) .

Man beachte auch den Isomorphismus der Halme: S(p) = (S(f ) )ψ(p) ,

x/s → ((xsl )/f d )/(sl+1 /f d ) 

Definition 5.11.2 Ein Schema X = proj (S) heißt projektives Schema.



322

5 Schemata I

Proposition 5.11.2 Es seien S, T zwei gradierte Ringe, ϕ : S → T eine homogene Ringabbildung. Dann induziert ϕ eine Abbildung von Schemata fϕ : U −→ proj (S) , wobei U = proj (T ) − V(ϕ(S+ )) ist. Die Abbildung, fϕ (q) = ϕ−1 (q), kann auch durch Verklebung von     D+ (ϕ(s)) = Spec T(ϕ(s)) −→ Spec S(s) = D+ (s) gegeben werden. Es ist dann fϕ−1 (D+ (s)) = D+ (ϕ(s)) .

Definition 5.11.3 Es sei S = A[t0 , . . . , tr ] der gradierte Polynomring u ¨ber A mit der kanonischen Gradierung. Dann ist PrA = proj (A[t0 , . . . , tr ]) der r-dimensionale projektive Raum u ¨ber A.



Definition 5.11.4 F¨ ur ein beliebiges Schema X ist der r-dimensionale projektive Raum u ¨ber X gleich PrX = PrZ ×Z X .  Definition 5.11.5 Allgemein heißt ein S-Schema X projektives Schema, wenn es eine abgeschlossene Immersion i : X −→ PrS von S-Schemata gibt.

5.11.2



Die von gradierten Moduln induzierten quasikoh¨ arenten Garben

Es sei im Folgenden M ein gradierter S-Modul u ¨ber dem gradierten Ring S und X = proj (S).

5.11 Projektive Schemata I

323

Lemma 5.11.2 |D (f ) ∼  Es ist M =M (f ) , wobei M(f ) als S(f ) -Modul aufzufassen und  in dieser + Kategorie zu bilden ist. Beweisidee. Man benutze M(f g) = (M(f ) )gk /f l und ψ(D+ (f g)) = D(g k /f l ) ⊂   Spec S(f ) , wobei ψ der oben eingef¨ uhrte Hom¨ oomorphismus ψ : D+ (f ) → Spec S(f ) ist. 

Korollar 5.11.1  ist eine quasikoh¨ Der OX -Modul M arente OX -Modulgarbe.  Beweis. Er wird ja auf einem D+ (f ) durch M (f ) gegeben.



Definition 5.11.6 F¨ ur X = proj (S) definiert man die OX -Moduln  OX (n) = S(n) f¨ ur alle n ∈ Z. Sie heißen Vertwistungen von OX .



Lemma 5.11.3 F¨ ur X = proj (S) mit S = S0 [S1 ] sind die OX (n) Linienb¨ undel auf X. Beweis. Es ist OX (n)|D+ (f ) = (f n S(f ) ) f¨ ur alle f ∈ S1 .



Definition 5.11.7 Die Vertwistungsgarbe OPrX (n) ist als p∗1 OPrZ (n) definiert.



5.11.3

Modulgarben auf projektiven Schemata

Definition 5.11.8 Es sei F ein OX -Modul und X = proj (S) ein projektives Schema. Dann sei F(n) = F ⊗OX OX (n) .  Proposition 5.11.3 Es sei S = S0 [S1 ] ein gradierter Ring und M , N zwei gradierte S-Moduln. Dann ist auf X = proj (S): ⊕N ∼ M = (M ⊕ N )  ⊗ N ∼ M = (M ⊗S N ) S (n) ∼ M = (M (n))

324

5 Schemata I

(D+ (f )) = M(f ) und N  (D+ (f )) = N(f ) auch Beweis. F¨ ur ein f ∈ S1 ist wegen M  )(D+ (f )) = M  (D+ (f )) = (D+ (f )) ⊗O (D (f )) N  ⊗O N (M X + X = M(f ) ⊗S(f ) N(f ) = (M ⊗S N )(f ) = (M ⊗S N )(D+ (f ))

(5.61)

und ebenso ⊕N  )(D+ (f )) = M (D+ (f )) ⊕ N  (D+ (f )) = M(f ) ⊕ N(f ) = (M = (M ⊕ N )(f ) = (M ⊕ N )(D+ (f ))

(5.62)

und zuletzt mit Heranziehung des schon u ¨ber das Tensorprodukt Gezeigten: (n))(D+ (f )) = (M  ⊗O OX (n))(D+ (f )) = (M X  = (M ⊗S S(n))(f ) = M (n)(f ) = M (n)(D+ (f ))

(5.63)

Es seien nun f, g, h ∈ S1 . Dann existiert f¨ ur jeden gradierten S-Modul M ein kanonischer Isomorphismus: θf,g : (M(f ) ) g → (M(g) ) f f

g

Lokalisiert man nochmal an h, so entsteht (θf,g )h : (M(f ) ) g h → (M(g) ) f h . f2

g2

Auf D+ (f gh) gilt die Verklebbarkeitsbedingung (θf,h )g = (θg,h )f ◦ (θf,g )h .

(5.64)

Wendet man diese θf,g usw. auf die rechten und linken Seiten der obigen Isomorphismen an, so verkleben diese Isomorphismen wegen (5.64) u ¨ber der Vereinigung aller D+ (f ). Diese u ¨berdecken aber wegen S = S0 [S1 ] das ganze Schema proj (S), womit unsere Behauptung gezeigt ist. 

Korollar 5.11.2 Es sei S, M , N wie in der vorigen Proposition und p ∈ proj (S). Dann ist (M ⊗S N )(p) = M(p) ⊗S(p) N(p) , (M ⊕ N )(p) = M(p) ⊕ N(p)

(5.65) (5.66)

und f¨ ur jedes f ∈ Sd (M ⊗S N )(f ) = M(f ) ⊗S(f ) N(f ) , (M ⊕ N )(f ) = M(f ) ⊕ N(f ) .

(5.67) (5.68)

Beweis. Wir hatten dies schon fr¨ uher gezeigt, der Beweis hier ist unabh¨ angig: Er folgt p = M(p) aus voriger Proposition unter Beachtung der kanonischen Isomorphismen M (D+ (f )) = M(f ) bzw. N p = N(p) und N  (D+ (f )) = N(f ) . und M 

5.11 Projektive Schemata I

325

Korollar 5.11.3 Es gilt f¨ ur X = proj (S), dass OX (m) ⊗OX OX (n) = OX (m + n) . Proposition 5.11.4 Es sei ϕ : S → T ein Homomorphismus gradierter Ringe mit S = S0 [S1 ] und T = T0 [T1 ]. Weiter sei fϕ die zugeh¨ orige Abbildung fϕ : U = Uϕ ⊆ proj (T ) → proj (S). Schließlich sei M ein gradierter S-Modul sowie N ein gradierter T -Modul. Dann ist ˜ |U ) = (S N ) ∼ , f ∗ (N ˜ = (T ⊗S M )∼ |U . f ∗M

(5.69) (5.70)

Beweis. F¨ ur (5.69) ist ˜ |U )(D+ (s)) = N ˜ |U (D+ (ϕ(s))) = N(ϕ(s)) = (f∗ N = (S N )(s) = (S N )∼ (D+ (s)) Gleichung (5.70): Es sei fs = f |f −1 (D+ (s)) = f |D+ (ϕ(s)) . Dann ist ˜ )(D+ (ϕ(s))) = (fs∗ M ˜ |D (s) )(D+ (ϕ(s))) . (f ∗ M + Damit k¨ onnen wir    uns aber  auf  den Fall eines Morphismus affiner Schemata  fs : Spec T(φ(s)) → Spec S(s) und einer Modulgarbe (M(s) )∼ auf Spec S(s) zur¨ uckziehen und Proposition 4.3.4 anwenden: fs∗ (M(s) )∼ = (M(s) ⊗S(s) T(ϕ(s)) )∼ = ((M ⊗S T )(ϕ(s)) )∼ 

5.11.4

 Die Funktoren Γ∗ (X, F) und M

Definition 5.11.9 Es sei F ein OX -Modul auf dem projektiven Schema X = proj (S). Dann ist Γ∗ (X, F) =



Γ(X, F(n)) .

n∈Z

 Proposition 5.11.5 Es sei X und F wie oben. Dann gilt: 1. Der gradierte Z-Modul S  = Γ∗ (X, OX ) ist in kanonischer Weise ein gradierter Ring.

326

5 Schemata I

2. Der gradierte Z-Modul Γ∗ (X, F) ist in kanonischer Weise ein S  -Modul. Es sei im Folgenden immer S = S0 [S1 ], also S von homogenen Elementen vom Grad 1 erzeugt. Proposition 5.11.6 Es sei X = proj (S) und M ein gradierter S-Modul. Dann gibt es eine kanonische, nat¨ urliche Abbildung: α ) M −→ Γ∗ (X, M

(d)) durch ein Beweis. Es sei S = S0 [f1 , . . . , fr ]. Dann ist ein Schnitt s ∈ Γ(X, M (d)) = M (d)(f ) ), die auf D+ (fi fj ) System kompatibler Schnitte (si ∈ Γ(D+ (fi ), M i u ¨bereinstimmen, gegeben. Dies ist aber nichts anderes als ein System (mi /fip ) mit deg(mi ) = p + d und (fi fj )N (fjp mi − fip mj ) = 0. Ein m ∈ Md gibt nun Anlass zu einem solchen System durch (mi /1 = m/1). Dies definiert die Abbildung m → α(m). 

Proposition 5.11.7 Es sei X = proj (S) und F ein OX -Modul. Dann gibt es eine kanonische, nat¨ urliche Abbildung: β

Γ∗ (X, F) −→ F Beweis. Wir k¨ urzen ab M = Γ∗ (X, F). F¨ ur f ∈ S1 sei U = D+ (f ) und θd,f : OX (d)|U = OU (d) → OX |U = OU durch S(d)(f ) → S(f ) mit a/f k → a/f k+d gegeben. Ist nun s ∈ Γ(X, F ⊗OX OX (d)), so schr¨ ankt man ein s → s|U ∈ Γ(U, F|U ⊗OU OU (d)) und bildet ab s|U → (idF|U ⊗ θd,f )U (s|U ) ∈ F(U ) = (F|U ⊗OU OU )(U ). Auf diese Weise entsteht eine Abbildung βf : M(f ) → F(U ) aus ˜ |U , F|U ). HomS(f ) (M(f ) , F|U (U )) = HomOU ((M(f ) )˜, F|U ) = HomOU (M Die einzelnen Abbildungen βf , βg f¨ ur verschiedene f, g ∈ S1 verkleben auf D+ (f g) ˜ → F. und ergeben so die Abbildung β : M 

Proposition 5.11.8 Es sei X = proj (S) und S = A[x0 , . . . , xr ] der Polynomring u ¨ber A. Dann ist die Abbildung α S −→ Γ∗ (X, OX ) ein Isomorphismus.

5.11 Projektive Schemata I

327

Beweis. Ein Schnitt s ∈ Γ(X, OX (d)) wird durch (hi /xpi )i=0,...,r repr¨ asentiert, wobei die hi ∈ Sp+d sind. Die Kompatibilit¨ atsbedingungen (xi xj )N (xpj hi − xpi hj ) = 0 ver¨ einfachen sich zu xpj hi = xpi hj , da S ein Integrit¨ atsring ist. Uberdies ist S faktoriell, und so gilt hi = xpi hi und hj = xpj hj , da xpi und xpj relativ prim sind. Also ist hi = hj = h ∈ Sd , und es ist s = α(h). 

Im folgenden Lemma sei X ein Schema, das mit endlich vielen affinen offenen Mengen (Ui ) u ur die ihrerseits wieder Uij = Ui ∩ Uj mit endlich ¨berdeckbar ist, f¨ vielen offenen affinen Mengen Uijk u ¨berdeckbar ist. Lemma 5.11.4 Es sei L ein Linienb¨ undel auf X und F eine quasikoh¨ arente Garbe. Weiter seien orige offene Menge. Dann f ∈ L(X) ein globaler Schnitt und U = Xf die zugeh¨ gilt: 1. Gilt f¨ ur s ∈ F(X), dass s|U = 0 ist, also s auf U verschwindet, so existiert ein n  0 mit s ⊗ f n = 0 als Element von Γ(X, F ⊗OX Ln ). 2. Es gibt f¨ ur jedes s ∈ F(U ) ein t ∈ Γ(X, F ⊗OX Ln ) mit t|U = s ⊗OU (f |U )n f¨ ur ein geeignetes n  0. Beweis. Man ersetze Ui = Spec (Ai ) durch ein System Uiα = Spec ((Ai )fiα ), so dass L|Uiα trivial wird. Gleichzeitig ersetze man Uijk durch die affinen Uiαjβk = Uijk ∩ Uiα ∩ Ujβ = Spec (Aijk )fiα fjβ . Der weitere Beweis folgt dann dem Muster von Lemma 5.1.5. 

Proposition 5.11.9 Es sei X = proj (S) und S = S0 [S1 ] sowie S1 ein endlich erzeugter S0 -Modul. Weiter sei F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann ist die oben eingef¨ uhrte Abbildung β

Γ∗ (X, F) −→ F ein Isomorphismus. Beweis. Ist S = S[f1 , . . . , fr ] mit fi ∈ S1 , so sind mit Ui = D+ (fi ) = Xfi die Voraussetzungen des vorigen Lemmas erf¨ ullt. Es ist dann f¨ ur jedes f ∈ S1 wegen D+ (f ) = Xf und mit L = OX (1) immer F(D+ (f )) = Γ∗ (X, F)(f ) , also F = (Γ∗ (X, F)). 

5.11.5

Abgeschlossene Unterschemata von proj (S)

Proposition 5.11.10 Es sei ϕ : S → T ein surjektiver Morphismus gradierter Ringe. Dann ist die Abbildung fϕ eine abgeschlossene Immersion: fϕ : proj (T ) → proj (S) Also erzeugt jedes homogene Ideal I ⊆ S eine abgeschlossene Immersion verm¨ oge S → S/I.

328

5 Schemata I

Proposition 5.11.11 Es sei I ⊆ S ein homogenes Ideal eines gradierten Ringes. Dann definiert I = IY die Idealgarbe eines abgeschlossenen Unterschemas Y (I) ⊆ proj (S) von proj (S). Bemerkung 5.11.1 Das Schema Y in der vorigen Proposition ist das schematheoretische Bild von fϕ : proj (S/I) → proj (S), wobei ϕ : S → S/I ist. Definition 5.11.10 Es sei I ⊆ S ein homogenes Ideal von S = A[x0 , . . . , xn ]. Dann ist



Isat =

i

(I : xri )

r



die Saturierung von I. Ein Ideal I mit I = Isat heißt saturiert. Man betrachte f¨ ur das Folgende die Sequenz 0 → IY → OX → i∗ OY → 0 f¨ ur ein abgeschlossenes Unterschema i : Y → X, mit X = Pn A. Es folgt dann unter Anwendung von Γ∗ (X, −): 0

/ Γ∗ (X, IY )

/ Γ∗ (X, OX )

0

 / IY O

 / OX O

=

=

=

0

/ I

=

/ S

/ Γ∗ (X, i∗ OY )

(5.71)

β

 / i∗ OY O

/0

=

/ S/I

/ 0,

wobei I = Γ∗ (X, IY ) und S = A[x0 , . . . , xn ] ist. Es ist damit gezeigt, dass jede Idealgarbe IY ⊆ OX gleich I˜ mit I = Γ∗ (X, IY ) ⊆ S ist und dass Y = proj (S/I) gilt. Lemma 5.11.5 Es sei I ein homogenes Ideal von S = A[x0 , . . . , xn ] und X = Pn A = proj (S). Dann ist  = Isat . Γ∗ (X, I) Proposition 5.11.12 Sei Y ⊆ X = Pn A ein abgeschlossenes Unterschema. Dann ist Γ∗ (X, IY ) = I(Y ) ein homogenes Ideal von S = A[x0 , . . . , xn ]. Es gilt: )). 1. Das Unterschema Y ist gleich V (I(Y 2. Das Ideal I(Y ) ist saturiert.

5.11 Projektive Schemata I

329

Proposition 5.11.13 Es sei S = A[x0 , . . . , xn ]. Dann entsprechen sich unter  I → Y (I) = V (I)

Y → Γ∗ (X, IY ) = I(Y ),

die abgeschlossenen Unterschemata Y ⊆ X = proj (S) und die saturierten Ideale I ⊆ S. Beweis(idee). Die obigen Aussagen beruhen letztlich nur darauf, dass f¨ ur homogene ˜ ist, wenn I(x ) = J(x ) (bzw. I(x ) ⊆ Ideale I, J ⊆ S genau dann I˜ = J˜ (bzw. I˜ ⊆ J) i i i J(xi ) ) f¨ ur i = 0, . . . , n gilt. 

Das folgende Lemma ist oft n¨ utzlich: Lemma 5.11.6 i Es sei Y → X → Pn A eine Kette von abgeschlossenen Unterschemata. Dann ist i∗ OY ⊗OX OX (n) = i∗ i∗ (OX (n)) , ∗

(5.72)

∗

i (OX )(n) = OY (n) = i (OX (n)) .

(5.73)

Es sei φ : S → T ein Morphismus homogener Ringe und X = proj (T ), Y = proj (S). Weiter sei U ⊆ X der Definitionsbereich von proj (φ) = φ∗ gegeben durch U = X − V (φS+ ). Es sei nun durch ein homogenes Ideal I ⊆ S ein abgeschlossenes Unterschema V (I) ⊆ Y definiert. Man betrachte das Diagramm:

/U

V (I) ×Y U

 V (I)

 /Y

(5.74) φ

∗

Dann wird das abgeschlossene Unterschema V (I) ×Y U durch das Ideal J = I T gegeben. Beweis. Betrachte von Y die offene affine Teilmenge D+ (f ) f¨ ur f ∈ S, homogen, und durchlaufe von dort das Diagramm r¨ uckw¨ arts. Es entsteht in der Ringsicht: S(f ) /IS(f ) ⊗S(f ) T(φf )

T(φf ) /IT(φf ) o

O

T(φf ) o

O

IT(φf )

O

φ

S(f ) /IS(f ) o

S(f ) o

I(f ) 

330

5.11.6

5 Schemata I

Ein Endlichkeitssatz f¨ ur koh¨ arente Garben

Definition 5.11.11 Eine Garbe F auf einem topologischen Raum X heißt von globalen Schnitten si ∈ Γ(X, F) erzeugt, wenn die six den Halm Fx f¨ ur jedes x ∈ X erzeugen. Ist (X, OX ) ein lokal geringter Raum, so sollen die six den Halm Fx als OX,x Modul erzeugen.  Bemerkung 5.11.2 ·si Da jeder Schnitt si ∈ F(X) einem Morphismus OX −−→ F entspricht, ist dies gleichbedeutend mit der Existenz einer Surjektion  OX → F → 0 i

von OX -Moduln. Proposition 5.11.14 (Serres Endlichkeitssatz) Es sei X = proj (S) und S = S0 [S1 ] sowie S1 endlich erzeugter S0 -Modul und S0 noethersch. Weiter sei F ein koh¨ arenter OX -Modul. Dann existiert eine exakte Sequenz  /F / 0, i OX (−ni ) das heißt, es gibt endlich viele Schnitte si ∈ F(ni )(X), die durch f ∈ OX (−ni ) → f si ∈ F obige Abbildung verwirklichen. Anders gesagt: Es gibt eine Vertwistung F(n) mit n  0, die von endlich vielen globalen Schnitten tj ∈ Γ(X, F(n)) erzeugt ist. Beweisidee. Man betrachte die Ui = D+ (xi ) f¨ ur eine endliche S0 -Basis (xi ) von S1 . Auf jedem Ui ist der Modul Γ∗ (X, F)(xi ) endlich erzeugt als OX (Ui )-Modul. Es seien tji die Z¨ ahler aus F(nji )(X) dieser Erzeuger. Alle tji zusammengenommen sind gerade die si des obigen Satzes. 

Lemma 5.11.7 Es sei S = S0 [x0 , . . . , xn ] ein gradierter Integrit¨ atsring mit xi ∈ S1 und X = proj (S). Es sei f ∈ Γ(X, OX (d)) und d  0. Dann ist f ganz u uglich der kanonischen Einbettung S → ¨ber S bez¨  Γ∗ (X, OX ) = d0 Γ(X, OX (d)) = S  ⊆ Qhom (S) = S(0) . Es ist also S  ganz u ¨ber S in Qhom (S). Beweis. Das Element f wird durch kompatible f = fi /xki dargestellt, und es gilt daher f xki ∈ Sk+d Man u ur alle p  k (n + 1) ist, oder ¨berlegt sich leicht, dass damit f Sp ⊆ Sp+d f¨ anders gesagt: f SN ⊆ SN , f¨ ur N  k (n + 1) ,  wobei SN = lN Sl ist. Nun ist aber SN endlich erzeugter S-Modul (n¨ amlich u ¨ber dem endlich erzeugten S0 -Modul SN ) und daher f ganz u  ¨ber S.

5.11 Projektive Schemata I

331

Proposition 5.11.15 Es sei X = proj (S) und S = S0 [S1 ] sowie S1 = S0 x0 + · · · + S0 xn . Es sei A = S0 eine affine k-Algebra. Es ist also X ein abgeschlossenes Unterschema von Pn A. Weiter sei F ein koh¨ arenter OX -Modul. Dann gilt: Γ(X, F) ist ein endlich erzeugter A-Modul.  f¨ Beweis. Man u achst, dass F = M ur einen endlich erzeugten S¨berlegt sich zun¨ Modul M : ˜ = F. Da F koh¨ Da F = Γ∗ (X, F)˜, existiert ein S-Modul N mit N arent, ist jedes N(xi ) von endlich vielen nij /xpi erzeugt. Der von allen (nij ) endlich erzeugte S-Untermodul M ⊆ N ist wegen M(xi ) = N(xi ) der gesuchte Modul. Anschließend betrachte man die kanonische Filtrierung (0) = M0 ⊆ M1 ⊆ · · · ⊆ Mr = M

(5.75)

mit Mi /Mi−1 = (S/pi )(di ). Aus der Filtrierung ergeben sich exakte Sequenzen: i−1 ) → Γ(X, M i ) → Γ(X, S/pi (di )) 0 → Γ(X, M Es gen¨ ugt also, die Behauptung des Satzes f¨ ur M = (S/p)(d) und damit sogar f¨ ur M = S(d) und S Integrit¨ atsring zu zeigen, denn es ist ja Γ(proj (S), (S/p)(d)) = Γ(proj (S/p), (S/p)(d)) . Nun kann ein s ∈ Γ(X, S(d)) dargestellt werden durch si ∈ Γ(Ui , S(d)), deren Bilder in Γ(Uij , S(d)) u ¨bereinstimmen. Oder, anders gesagt, s wird repr¨ asentiert durch si /xki ∈ S(d)(xi ) mit si ∈ Sk+d , deren Bilder in S(d)(xi xj ) u onnen diese Elemente alle als Ele¨bereinstimmen. Wir k¨ mente eines einzigen Rings, n¨ amlich von Qhom (S), auffassen, der aus den Quotienten f /s mit f, s ∈ S und s homogen besteht. Da die Multiplikation mit xl , die s auf xl s abbildet, offensichtlich injektiv ist, besteht eine Injektion Γ(X, S(d)) → Γ(X, S(d + 1)) . Es gen¨ ugt also, die Behauptung f¨ ur ein irgendwie gew¨ ahltes großes d  0 zu zeigen. Nach dem vorigen Lemma geh¨ ort aber jedes solche s dem ganzen Abschluss von S in Qhom (S) an. Weiter ist aber der ganze Abschluss S  von S in Q(S) ein endlich erzeugter SModul. Der S-Untermodul S  = Qhom (S) ∩ S  ⊆ S  ist also auch endlich erzeugter S-Modul. Also werden die homogenen Komponenten Sd endlich erzeugte A-Moduln sein. Da s ∈ Sd , haben wir gezeigt Γ(X, S(d)) ⊆ Sd mit Sd endlich erzeugter A-Modul. Damit ist der Satz im Spezialfall, und nach der anf¨ anglichen Reduktion, auch im Allgemeinen bewiesen. 

332

5 Schemata I

Definition 5.11.12 Es sei X ein Schema. Dann heißt X normal in x ∈ X, falls OX,x ein normaler Ring ist. Das Schema X heißt normal, falls es f¨ ur jedes x ∈ X normal in x ist.  Definition 5.11.13 Ein Schema X = proj (S) zu einem gradierten Ring S heißt projektiv normal, wenn S Integrit¨ atsring und in Q(S) ganz abgeschlossen ist.  Korollar 5.11.4 Es erf¨ ulle S die Bedingungen der vorigen Proposition, und es sei X = proj (S) u ¨berdies projektiv normal. Dann gilt Γ(X, OX (d)) = Sd f¨ ur alle d  0. Beweis. Nach Lemma 5.11.7 ist der Ring S  = Qhom (S) ⊆ Q(S). Also ist S  = S.

5.12

Variet¨ aten

5.12.1

Allgemeines

 d0

Γ(X, OX (d)) ganz u ¨ber S in 

Definition 5.12.1 Ein Schema X/k, von endlichem Typ u orper k heiße algebraisches ¨ber einem K¨ Schema.  Definition 5.12.2 Eine Variet¨ at X u orper k ist ein integres Schema mit einer Abbil¨ber einem K¨ dung X → Spec (k), die i) separiert, ii) von endlichem Typ ist. Eine Variet¨ at X ist also ein reduziertes, irreduzibles und u ¨ber k separiertes algebraisches Schema.  Definition 5.12.3 Eine verallgemeinerte projektive Variet¨ at X ist ein projektives, reduziertes Schema u ber einem K¨ o rper k, also ein reduziertes abgeschlossenes Unterschema ¨ n i : X → Pk . Ist X sogar integer, so heißt X projektive Variet¨ at. Ist U ⊆ X ein offenes Unterschema einer projektiven Variet¨ at, so heißt U quasiprojektive Variet¨ at. 

5.12 Variet¨ aten

333

Bemerkung 5.12.1 Eine Variet¨ at soll im ganzen folgenden Text, wenn nichts anderes ausdr¨ ucklich gesagt wird, u orper k definiert sein. ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ Das folgende Rigidity Lemma“ ist n¨ utzlich in der Untersuchung abelscher ” Variet¨ aten. Lemma 5.12.1 Seien X, Y Variet¨ aten u orper k. ¨ber k, mit X eigentlich u ¨ber einem K¨ Es sei f : X × Y → A1k ein Morphismus mit f (X × y0 ) = f (x0 × Y ) = 0 f¨ ur abgeschlossene Punkte x0 ∈ X und y0 ∈ Y . Dann ist f (X × Y ) = 0. Proposition 5.12.1 (Rigidity Lemma) Es seien X, Y , Z Variet¨ aten u orper k. ¨ber k, mit X eigentlich u ¨ber einem K¨ Weiter sei f :X ×Y →Z ein Morphismus mit f (X × y0 ) = f (x0 × Y ) = z0 f¨ ur abgeschlossene Punkte x0 ∈ X, y0 ∈ Y und z0 ∈ Z. Beweis. W¨ ahle eine offene affine Umgebung W ⊆ Z mit z0 ∈ W . Dann ist f −1 (W ) = U eine offene Untervariet¨ at von X × Y , die X × y0 und x0 × Y enth¨ alt. Das abgeschlossene Komplement von U sei A ⊆ X × Y . Nun ist p : X × Y → Y eigentlich und damit p(A) abgeschlossen in Y mit y0 ∈ / p(A). W¨ ahle eine offene Umgebung V  ⊆ Y mit V  ∩ p(A) = ∅ und y0 ∈ V  . Dann ist f (X × V  ) ⊆ W , und f¨ ur die Abbildung f  : X × V  → W mit f  = f |X×V  ist f  (X × y0 ) = f  (x0 × V  ) = z0 . Da  W ⊆ An ur ein geeignetes An k f¨ k , folgt nach dem vorigen Lemma, dass f (X × V ) = z0 . Da X × V  dicht in X × Y ist, gilt sogar f (X × Y ) = z0 . 

5.12.2

Kegel

Es sei X ⊆ An k ein abgeschlossenes Unterschema. Es ist also X = Spec (A/I) mit A = k[x1 , . . . , xn ] und I ⊆ A, einem Ideal von A. Dann existiert ein abge¯ ⊆ Pn schlossenes Unterschema X k in einem Diagramm X

 ¯ X

i

/ An k j

 / Pn k

(5.76)

334

5 Schemata I

n n mit proj (S) = Pn k und S = k[y0 , . . . , yn ]. Dabei wird j : AK → D+ (y0 ) ⊆ Pk durch den Isomorphismus A → S(y0 ) mit xi → yi /y0 definiert. ¯ auch als schematheoretisches Bild von j(i(X)) in Pn Es kann X k aufgefasst werden.

Definition 5.12.4 ¯ ⊆ Pn Das Unterschema X k ist der projektive Abschluss des affinen algebraischen n Schemas X ⊆ Ak .  Wir erinnern zun¨ achst, dass f dehom (x1 , . . . , xn ) = f (1, x1 , . . . , xn ) f¨ ur ein f (y0 , . . . , yn ) ∈ S und f hom = y0d f (y1 /y0 , . . . , yn /y0 ) f¨ ur ein f (x1 , . . . , xn ) ∈ A mit deg f = d ist.

¯ in Pn Das homogene Ideal I  ⊆ k[y0 , . . . , yn ] = S, das X ullt k definiert, erf¨ folgende ¨ aquivalente Bedingungen: Proposition 5.12.2 Es gilt mit den vorangehenden Bezeichnungen: a) Man betrachte I als Teil von S(y0 ) und definiere I  = I ec bez¨ uglich A = S(y0 ) ⊆ Sy0 ⊇ S. b) Es sei I  = {f ∈ Sd | f dehom ∈ I}. Dies ist schon ein Ideal in S. c) Es sei I  = ({f hom | f ∈ I})S . Beweis. Es ist festzuhalten, dass f → f dehom als Abbildung S → A ein surjektiver Homomorphismus ist. Daher ist die Menge in b) rechts schon ein Ideal. hom Man beachte weiterhin y0e (f dehom ) = f f¨ ur alle homogenen f ∈ S mit einem dehom hom geeigneten e  0, sowie (f ) = f f¨ ur alle f ∈ A. Daraus folgt die Gleichheit von I  in b) und c). ¯ das schematheoretische Bild von j(i(X)) in Pn F¨ ur die Aussage, dass X k ist, betrachte man die Sequenzen S(yi ) → S(yi y0 ) → Ayi /y0 → (A/I)yi /y0 ,

(5.77)

wobei A als k[y1 /y0 , . . . , yn /y0 ] aufgefasst wurde. Es sei g/yid mit g ∈ Sd im Kern Ji der Abbildung S(yi ) → (A/I)yi /y0 . Dann ist wegen g g yd g = d 0d = d d yi y0 yi y0



yi y0

−d (5.78)

auch g/y0d ∈ Iyi /y0 , wobei man g/y0d als Element von A auffasst. Es ist also (yi /y0 )p (g/y0d ) = h ∈ I oder auch (yip g)dehom = xpi g dehom ∈ I. Schreibt man g/yid = g yip /yid+p ,

5.12 Variet¨ aten

335

 . so besteht der Kern Ji aus h/yid mit hdehom ∈ I. Damit ist dieser Kern gleich I(y i) Da der Kern Ji auf S(yi ) das schematheoretische Bild definiert, ist die Behauptung gezeigt. 

Es sei nun X ⊆ Pn k ein abgeschlossenes Unterschema, definiert durch ein homogenes Ideal I ⊆ k[x0 , . . . , xn ] = S. Dann sei C(X) ⊆ An+1 das affine k Unterschema von Spec (S), das durch I ⊆ S definiert ist. Definition 5.12.5 Wir nennen C(X) den affinen Kegel u ¨ber dem projektiven algebraischen Schema X.  Schließlich definieren wir noch f¨ ur ein X ⊆ Pn ¨ber X, k den projektiven Kegel u n+1 P (X) = C(X) ⊆ Pk . Er hat die Eigenschaft: Proposition 5.12.3 n+1 Es sei die Hyperebene H ⊆ Pn+1 durch C(Pn definiert. Dann ist k ) ∪ H = Pk k ∼ H ∩ P (X) = X. Beweis. Es sei I = I(X) ⊆ k[x0 , . . . , xn ] = S das Ideal von X. Dann besteht das Ideal J von P (X) in S  = k[x0 , . . . , xn , z] mit proj (S  ) = Pn+1 aus fd +z 1 fd−1 +· · ·+z d f0 = k hom in Jd , wobei fe ∈ Ie ist. Die Hyperebene H ist V (z), und es gilt (fd + · · · + f0 ) S  /(z, J) = S/I. Damit ist die behauptete Isomorphie gezeigt. 

5.12.3

Der Satz von Bezout

Es sei Y ⊆ X = Pn k ein projektives Schema u orper k. ¨ber einem K¨ Dann ist Y = proj (S), wobei R = k[X0 , . . . , Xn ] ein gradierter Polynomring u ¨ber k und S = R/I = k[X0 , . . . , Xn ]/I = k[x0 , . . . , xn ] mit einem homogenen Ideal I ⊆ R ist. Weiterhin ist S ein Hilbertring. Es existiert also ein Hilbertpolynom PS (n) mit der Eigenschaft PS (d) = l(Sd ), f¨ ur d  0 , ur die L¨ ange von Sd , also f¨ ur l(Sd ) = dimk (Sd ) steht. wo l(Sd ) f¨ Genauer gesagt ist       m m m PS (m) = ar + ar−1 + · · · + a1 + a0 r r−1 1 mit ai ∈ Z, und es gilt:

(5.79)

336

5 Schemata I

Proposition 5.12.4 F¨ ur die Dimension der projektiven Variet¨ at X = proj (S) gilt: dim(proj (S)) = deg PS = r ur Beweis. Es ist dim proj (S) = maxi dim S(xi ) . Weiter ist dim S(xi ) = dim Sxi − 1 f¨ xi ∈ / I. Es ist dann n¨ amlich Sxi ∼ ] und x nicht algebraisch u ber S ¨ = S(xi ) [xi , x−1 i (xi ) i in K(S). Also ist dim proj (S) = dim S − 1. Nun benutze man Proposition 2.25.8. 

Definition 5.12.6 Es sei S = R/I wie oben. Dann sei deg proj (S) = deg S = ar , mit ar aus (5.79), der Grad von proj (S).  Bemerkung 5.12.2 Ist PS (m) = cr mr + cr−1 mr−1 + · · · + c0 das Polynom PS (m) in expliziter Darstellung, so ist deg proj (S) = r! cr . Dass dies eine sinnvolle Definition ist, zeigen die folgenden Propositionen: Proposition 5.12.5   Es ist f¨ ur R = k[X0 , . . . , Xn ] wie oben PR (m) = m+n . Insbesondere ist n deg proj (R) = 1. Proposition 5.12.6 Es sei S = R/I wie oben mit I ⊆ R prim, und es sei weiter f ∈ R − I homogen vom Grad d und I  = (I, f ). Dann ist   deg proj R/I  = d deg proj (R/I). (5.80) ·f

Beweis. Betrachtet man die exakte Sequenz 0 → S(−d) −→ S → R/I  → 0, so folgt PS (m) − PS (m − d) = PR/I  (m).

ν Es sei nun PS (m) = 1/s! as ms + s−1 ν=0 aν m und also as = deg proj (S). Es ist dann PR/I  (m) = PS (m) − PS (m − d) = = 1/s! as (ms − (m − d)s ) +

s−1 

aν (mν − (m − d)ν ) .

ν=0

Man erkennt sofort, dass dann 1/(s − 1)! as d ms−1 der f¨ uhrende Term von PR/I  ist. Also ist wegen dim proj (R/I  ) = dim proj (S) − 1 = s − 1   deg proj R/I  = d deg proj (S) . 

Korollar 5.12.1 Es sei f ∈ R = k[X0 , . . . , Xn ] homogen mit deg f = d > 0. Dann ist deg proj (R/(f )) = d .

5.12 Variet¨ aten

337

Definition 5.12.7 Es sei S = R/I wie oben, also Y = V (I) ⊆ Pn k ein abgeschlossenes Unterschema von Pn . Es sei Y = Y ∪ · · · ∪ Y die Zerlegung in irreduzible Komponenten, die 1 r k den minimalen homogenen Primidealen p1 , . . . , pr u ¨ber I entspricht. Es sei dann i(Yj ; Y ) = i(pj ; I) = len(R/I)pj (5.81) 

die Vielfachheit von Yj in Y .

Bemerkung 5.12.3 Es gilt auch lenR (R/I)p = lenR(p) (R/I)(p) . Man sieht dies durch Aufschreiben der u ¨blichen Filtrierung (0) = M 0 ⊆ M 1 ⊆ · · · ⊆ M r = R/I mit 0 → M i−1 → M i → (R/pi )(di ) → 0 und wahlweisem Anwenden von (−)(p) und (−)p . Es ist ((R/pi )(di ))(p) und ((R/pi )(di ))p immer gleichzeitig entweder 0 oder R(p) – bzw. Rp -isomorph zu dem K¨ orper (R/p)(p) bzw. (R/p)p . Sei n¨ amlich L = (R/p)(d)(p) , so gilt f¨ ur d > 0, dass L = zd (R/p)(p) mit einem zd ∈ Rd und zd ∈ / p, das immer existieren muss, da sonst R+ ⊆ p. Ist d < 0, so −1 ist L = zd (R/p)(p) . Proposition 5.12.7 Es sei S = R/I mit Y = V (I) und Y = Y1 ∪· · ·∪Yr eine Zerlegung in irreduzible Komponenten entsprechend den minimalen homogenen Primidealen p1 , . . . , pr ⊇ I. Daraus seien Y1 , . . . , Yr diejenigen Komponenten mit dim Yi = dim Y und p1 , . . . , pr die ihnen entsprechenden Primideale. Dann gilt: 

deg Y =

r

i(Yj ; Y ) deg Yj

(5.82)

j=1

Beweis. Man betrachte eine u ¨bliche Filtrierung von R/I mit gradierten R-Moduln (∗)

0 → Mj−1 → Mj → R/pj (dj ) → 0.

Unter den Primidealen (pj )j=1..s befinden sich also alle homogenen Primideale aus Ass R/I, also auch die oben eingef¨ uhrten Primideale (pi )i=1..r u ¨ber I. Sei p = pi ein solches, so erkennt man durch Tensorieren der Sequenzen (∗) mit Rp , dass pj = p genauso oft vorkommt, wie i(Yi ; Y ) = len(R/I)p angibt. Denn es ist ja (R/pj (dj ))p entweder 0, falls pj = p, oder ein Modul der L¨ ange 1, isomorph zu k(p), falls pj = p. Bezeichnet man nun mit Pj (m) = PR/pj (m), so gilt also wegen (∗), dass  PR/I (m) = Pj (m + dj ) j

ist. Dabei tragen zum f¨ uhrenden Koeffizienten von PR/I nur diejenigen Pj etwas bei, die von einem pj u ullt. Die u ¨brigen ¨ber I stammen, das dim V (pj ) = dim Y erf¨ sind entweder eingebettete Prim¨ arkomponenten oder haben als minimale Primideale kleinere Dimension als Y , also kleineren Grad des Hilbertpolynoms Pj .

338

5 Schemata I

Nun ist 

 

Pj (m) = 1/tj ! deg(R/pj ) mtj + O(mtj −1 )

mit dim proj R/pj = tj . Also ist der f¨ uhrende Koeffizient (1/t!) deg Y von PR/I gleich ⎞ ⎞ ⎛  ⎛  r r   1/t! ⎝ i(pj ; I) deg R/pj ⎠ = 1/t! ⎝ i(Yj ; Y ) deg Yj ⎠ , j=1

j=1

wobei t = maxj tj = dim proj (R/I) ist. Es ist also schließlich 

deg Y =

r 

i(Yj ; Y ) deg Yj .

j=1



Definition 5.12.8 Es sei S = R/I wie oben und f ∈ R homogen. Es sei I  ⊆ R das Ideal I  = (I, f ). Weiter sei p ⊆ R ein minimales homogenes Primideal u ¨ber I  , das einer irreduziblen Komponente Z von Y = V (I, f ) entspricht. Dann heiße i(I, (f ); p) = i(Z; Y ) = len(R/I  )p = len(R/I ⊗R R/f )p def

die Schnittmultiplizit¨ at von I und (f ) bei p.

(5.83) 

Das folgende Theorem ist der ber¨ uhmte Satz von Bezout. Proposition 5.12.8 (Satz von Bezout) orper k und Es sei R = k[X0 , . . . , Xn ] ein gradierter Polynomring u ¨ber einem K¨ S = R/I mit I ⊆ R, prim und homogen. Weiter sei f ∈ R − I homogen mit deg f = d und es sei I  = (I, f ). Die pi mit i = 1, . . . , r seien die minimalen homogenen Primideale u ¨ber I  . Dann gilt: d · deg proj (S) =

r

deg proj (R/pi ) · i(I, (f ); pi )

(5.84)

i=1

Beweis. Folgt aus Proposition 5.12.7 und Proposition 5.12.6, da alle minimalen pi mit i = 1, . . . , r die gleiche Dimension dim V (pi ) = dim proj (S) − 1 haben. 

5.13

Projektive Morphismen

5.13.1

Morphismen nach PnA

Proposition 5.13.1 Es sei A ein kommutativer Ring und X ein A-Schema. Dann entsprechen sich

5.13 Projektive Morphismen

339

a) A-Morphismen f

X g

/ Pn A

  Spec (A) ,

b) Linienb¨ undel L auf X mit n + 1-Tupeln von Schnitten (s0 , . . . , sn ) ∈ L(X)n+1 , die L erzeugen, modulo der kanonischen Isomorphismen von (L, s0 , . . . , sn ) → (L , s0 , . . . , sn ) , bei denen ein Isomorphismus φ : L → L auch die Abbildung φ(sν ) = sν bewirkt. Anders gesagt also exakte Sequenzen n+1 g ∗ On+1 →L→0 Spec(A) = OX

modulo der nat¨ urlichen Isomorphie solcher Sequenzen (bei der On+1 fest X bleibt). Die Zuordnung ist:   f → (L, (si )) = f ∗ (OPnA (1)), (f ∗ (ti )) und (s0 , . . . , sn ) ∈ L(X)n+1 → f = (s0 : . . . : sn ), ur alle V = Spec (B) ⊆ Xsi , L|V trivial wobei (s0 : . . . : sn ) bedeute, dass f¨ f |V = Spec (φB,i ) φB,i :A[tμi ] → B, tμi → sμ /si ist. Dabei seien t0 , . . . , tn die kanonischen Schnitte in OPnA (1). Die tμi bezeichnen wie u ¨blich die affinen Koordinaten tμ /ti in D+ (ti ). Schließlich sind sμ , si die Bilder der sμ |V , si |V unter einem irgendwie festgelegten Isomorphismus L|V ∼ = OV . Bemerkung 5.13.1 Man beachte, dass bei gegebenem f die Beziehung Xsi = f −1 (D+ (ti )) mit den der Abbildung f zugeordneten si gilt (wegen Lemma 5.6.6). Weiterhin ist Spec (A[tμi ]) = D+ (ti ) ⊆ Pn A.

340

5 Schemata I

Beweis. Wir starten ausgehend von einem Linienb¨ undel L und Schnitten sμ : Man muss sich hier u ¨berlegen, dass die zuletzt definierte Abbildung f : X → Pn A wirklich wohldefiniert ist. 1. Zun¨ achst einmal ist die Wahl der Isomorphie L|V ∼ = OV nicht entscheidend. Eine andere Wahl entspricht der Multiplikation der sμ , si ∈ B mit einer Einheit b ∈ B ∗ . Offensichtlich ber¨ uhrt das die Abbildung φ : A[tμi ] → B nicht. 2. Weiterhin kommutiert f¨ ur alle f ∈ B das Dreieck φB,i

;B

A[tμi ] φB ,i f

# 

Bf

so dass die einzelnen Abbildungen fV wirklich miteinander verkleben, solange sie in dasselbe D+ (ti ) abbilden. 3. Es bleibt noch, die Kompatibilit¨ at von φB,i mit φB,j nachzuweisen. F¨ ur ein V = Spec (B) ⊆ X mit V ⊆ Xsi und V ⊆ Xsj ergeben sich n¨ amlich zwei Ringhomomorphismen: A[tμi ] = OPnA (D+ (ti )) → OX (Xsi ) → B,

A[tνj ] = OPnA (D+ (tj )) → OX (Xsj ) → B

Man u at des Diagramms: ¨berzeugt sich nun von der Kommutativit¨ A[tμi ]

/ A[tμi ]tji φi

$

ψij

A[tνj ]

 / A[tνj ]tij

:B

φj

Dort ist ψij ein Isomorphismus mit ψij (tμi ) = tμj /tij und ψij (1/tji ) = tij . Die Abbildung φi bildet ab: tμi → sμ /si , 1/tji → si /sj . Die Abbildung φj bildet ab: tνj → sν /sj und 1/tij → sj /si . 4. Die Abbildung f ist u ¨berall definiert: Die Xsi u ¨berdecken ganz X, weil die si das Linienb¨ undel L erzeugen. 5. Als n¨ achstes ist noch nachzuweisen, dass f ∗ OPnA (1) = L ist und f ∗ (ti ) = si ∈ L(X) ist. Wir gehen wieder zu der lokalen Abbildung A[tμi ] → B zur¨ uck. Dann ist ∗  n n OP (1)|D (t ) = ti A[tμi ], also wird f OP (1)|Spec(B) von dem Modul ti A[tμi ]⊗A[t ] B A

+

i

μi

A

erzeugt. Dieser ist isomorph zu B unter den Abbildungen ti ⊗A[tμi ] b → si b , b →

ti ⊗A[tμi ] b/si

(5.85) .

(5.86)

f ∗ OPnA (1)|Spec(B) ∼ = L|Spec(B)

(5.87)

Damit ist lokal ein Isomorphismus

5.13 Projektive Morphismen

341

konstruiert. Eine andere Trivialisierung von L u ache einem B¨ber Spec (B) entspr¨ linearen Isomorphismus B → B mit 1 → s ∈ B ∗ . Damit w¨ urde abgebildet sμ → sμ s und si → si s . Es bliebe dann, wie oben schon bemerkt, sμ /si gleich, und auch der konstruierte Isomorphismus (5.87) bliebe unver¨ andert. Dies sieht man im Einzelnen an den Diagrammen (A = A[tμi ]):

/ s si b O

ti ⊗O A b

·s

/

ti ⊗A b

si b

bsO 

/ ti ⊗A bs /(s si ) O

(5.88)

·s

b

/ ti ⊗A b/si

Die Schnitte f ∗ (tμ ) auf Spec (B) sind durch tμ = ti · tμi → si · sμ /si = sμ gegeben, also mit den sμ wie gefordert identisch. Geht man zu einer anderen Trivialisierung u ¨ber, multipliziert also sμ zu sμ s , so ist si s · (sμ s )/(si s ) = sμ s also wieder f ∗ (tμ ) = sμ auf Spec (B). Wir betrachten jetzt die umgekehrte Schlussrichtung und zeigen, dass man ausgehend von f : X → Pn undel f ∗ OPnA (1) und den Schnitten f ∗ (ti ) A aus dem Linienb¨ wieder die Abbildung f erh¨ alt. Lokal sei wieder f gegeben durch A = A[tμi ] → B mit tμi → sμi . Dann ist f ∗ OPnA (1)|V = L|V mit V = Spec (B) gegeben durch (∗)

ti A  ⊗ A B ∼ =B.

F¨ ur die Schnitte tμ |Spec(A ) ist f ∗ (tμ ) = sμ mit sμ ∈ B unter dem Isomorphismus (∗) von oben. Das Element si ist dabei aus B ∗ , da nach Annahme f (V ) ⊆ D+ (ti ), also V ⊆ D(f ∗ (ti )) ist. Aus der Beziehung tμ = tμi ti f¨ ur Spec (A ) und OPnA (1)|Spec(A ) ergibt sich sμ = sμi si . Nun ist die aus L und f ∗ (ti ) abgeleitete Abbildung A[tμi ] → B gleich tμi → sμi =  sμ /si also identisch mit der Abbildung f vom Anfang. 

Bemerkung 5.13.2 Wir h¨ atten die Zuordnung (s0 , . . . , sn ) → f = (s0 : . . . : sn ) auch k¨ urzer definieren k¨ onnen: Auf Xsi ist der Quotient“ sμ /si ∈ OX (Xsi ) ” wohldefiniert, wie man durch Wahl lokaler Repr¨ asentanten erkennen kann. Also gibt es Ringhomomorphismen A[tμi ] → OX (Xsi ) mit tμi → sμ /si , die auf kanonische Weise Schemamorphismen fi : Xsi → D+ (ti ) induzieren. Nun muss man sich noch vergewissern, dass fi und fj auf Xsi ∩ Xsj u ¨bereinstimmen. Proposition 5.13.2 Es sei f : X → Pn A ein Morphismus von A-Schemata, festgelegt wie oben durch (s0 , . . . , sn ) ∈ L(X)n+1 . Dann ist ¨ aquivalent:

342

5 Schemata I

a) f ist eine abgeschlossene Immersion. b) Es gilt: i) Alle Xsi sind affin. ii) Die Abbildungen A[tμi ] → OX (Xsi ) sind surjektiv. c) Es gilt: ¨ von X. i) Eine Auswahl Xsiα ist eine affine, offene Uberdeckung ii) Die Abbildungen A[tμiα ] → OX (Xsiα ) sind surjektiv. Beweis(idee). Die Abbildung f : X → Pn A ist genau dann eine abgeschlossene Im¨ mersion, wenn es eine Uberdeckung D+ (tiα ) von Pn A gibt, so dass f |Xsiα : Xsiα → D+ (tiα ) jeweils eine abgeschlossene Immersion ist. 

Definition 5.13.1 Es sei X ein S-Schema und L ein Linienb¨ undel auf X. Wenn eine Immersion i : X → Pn von S-Schemata existiert, mit der L∼ = i∗ OPnS (1) gilt, so nennt man S L sehr ampel.  Bemerkung 5.13.3 Die Abbildung i : X → Pn S in der vorigen Definition ist also eine Komposition   i = j ◦ i , wo i eine abgeschlossene und j eine offene Immersion ist. Da wir nun die Abbildungen (X → Pn onnen wir auch eine A )/A verstehen, k¨ Beschreibung der Punkte n Pn k (l) = HomSpec(k) (Spec (l), Pk )

mit Werten in einer K¨ orpererweiterung l/k geben: Proposition 5.13.3 Es entspricht Pn k (l) den Systemen (s0 : . . . : sn ) ∈ ln+1 mit wenigstens einem si = 0 modulo Multiplikationen mit s ∈ l∗ durch die (s0 : . . . : sn ) in (ss0 : . . . : ssn ) u ¨bergeht. Beweis. Ein Linienb¨ undel auf Spec (l) ist immer gleich ˜ l.



5.13 Projektive Morphismen

5.13.2

343

Veronese-Einbettung

 Es sei S = k0 Sk ein gradierter Ring und X = proj (S). Dann ist auch  S (d) = k0 Sd k ein gradierter Ring, und es gilt: Lemma 5.13.1 Es sei S, S (d) wie oben und f ∈ Sdk . Dann ist die Abbildung (d)

φf : S(f ) → S(f ) ,

a/f → a/f

f¨ ur jedes f wie oben ein Isomorphismus. Lemma 5.13.2 Es sei S, S (d) wie oben und f, g ∈ Skd . Dann kommutiert (d)

S(f )

φf



(d) φf g S(f g)

O

(d)

S(g)

φg

/ S(f )  / S(f g) O / S(g) .

Also gilt: Proposition 5.13.4

   (d) Die einzelnen Spec (φf ) : Spec S(f ) → Spec S(f ) verkleben zu einem Iso

morphismus i : proj (S) → proj S (d) . Beweis. Man beachte, dass die D+ (f ) mit f ∈ Skd ganz proj (S) u ¨berdecken.



F¨ ur diesen Isomorphismus i gilt die folgende Proposition: Proposition 5.13.5

 Es sei X = proj (S) mit S = S0 [S1 ] und X (d) = proj S (d) sowie i : X → X (d) der obige Isomorphismus. Dann gilt: i∗ OX (d) (1) = OX (d) ¨ Wir k¨ onnen obige Uberlegungen auch anders formulieren: Es sei X ein projektives A-Schema u ¨ber einem Ring A. Dann ist X mit einer sehr amplen Garbe OX (1) ausgestattet, und diese besitzt ein System x0 , . . . , xn von u ¨berall erzeugenden Schnitten, die eine Immersion i : X → Pn A vermitteln.

344

5 Schemata I

Bilden wir nun die Garbe OX (d), so ist diese mit einem erzeugenden System von Schnitten xk0 0 xk1 1 · · · · · xknn , k0 + . . . + kn = d   d+n ausgestattet. Dessen M¨ achtigkeit ist 1 + Nn,d = d+n = n . d ¨ Wir haben also gem¨ aß den Uberlegungen des vorigen Abschnitts einen korrespondierenden Morphismus N

(d)

vX : X → PA n,d . Definition 5.13.2 N (d) Die Abbildung vX : X → PA n,d heißt Veronese-Abbildung oder VeroneseEinbettung.  F¨ ur sie gilt: Lemma 5.13.3 Nn,d Die Abbildung v = v (d) : Pn = PN A → PA A ist eine abgeschlossene Immersion. Beweis. Es sei Pn A = proj (A[x0 , . . . , xn ]) = proj (T )   PN = proj (S) n , . . .] A = proj A[. . . , uxe0 ···xe n

und

0

mit e0 + · · · + en = d. Definiere eine Abbildung φ : S → T (d) durch φ : uxe0 ···xenn → xe00 · · · xenn . 0

  Dann ist v = proj (φ) : proj (T ) = proj T (d) → proj (S) und Iv(Pn ) = I mit ∼

I = ker φ. Dies folgt aus der Surjektivit¨ at von φ und dem Isomorphismus S/I → T (d) . 

Lemma 5.13.4 Es seien die Bezeichnungen wie im vorigen Lemma und Y = V (J) mit J ⊆ T . (d)

Dann ist v(Y ) = V ((J (d) , I)), wobei Jk ist.

(d) = φ−1 k (Jdk ) mit obigem φ : S → T

Proposition 5.13.6 N Die Abbildung v (d) : X → PA n,d ist f¨ ur projektive A-Schemata X eine abgeschlossene Immersion. (d)

N

n,d eine abgeschlossene Immersion, und man hat eine Beweis. Es ist vPn : Pn A → PA A

Faktorisierung X → Pn A →

N PAn,d

in abgeschlossene Immersionen.



5.13 Projektive Morphismen

5.13.3

345

Segre-Einbettung

Die allgemeine Segre-Einbettung Die Segre-Einbettung liefert den Nachweis, dass das Faserprodukt zweier projektiver Variet¨ aten u orper k wieder eine projektive Variet¨ at u ¨ber einem K¨ ¨ber k ist. Es ist aber sogar eine Verallgemeinerung m¨ oglich, nach der dies auch f¨ ur projektive Schemata u uhrt dazu folgende Konstruktion ¨ber einem Ring A gilt. Man f¨ durch: Definition 5.13.3 Seien S, T gradierte Ringe mit R0 = S0 = A. Dann kann man den gradierten Ring S × T bilden, indem man (S × T )d = Sd ⊗A Rd 

setzt. Es ist dann (S × T )(f ⊗g) ∼ = S(f ) ⊗A T(g)

mit (s ⊗ t)/(f ⊗ g)k → s/f k ⊗ t/g k

(5.89)

f¨ ur alle (f, g) ∈ Sd × Td mit d  1. Es gilt deshalb, dass proj (S × T ) ∼ = proj (S) ×A proj (T ) ,

(5.90)

wobei der Isomorphismus durch Verkleben der Abbildungen (5.89) erhalten wird. Die Kompatibilit¨ at bei Verklebung zeigt das Diagramm: (S × T )(f ⊗g)

 (S × T )(f f  ⊗gg ) O (S × T )(f  ⊗g )

∼ =

∼ =

∼ =

/ S(f ) ⊗A T(g)

(5.91)

 / S(f f  ) ⊗A T(gg ) O / S(f  ) ⊗A T(g )

Die kanonischen Abbildungen p1 : proj (S × T ) → proj (S),

p2 : proj (S × T ) → proj (T )

werden durch Verkleben von S(f ) → (S × T )(f ⊗g) = S(f ) ⊗A T(g) x/f r → (x ⊗ g r )/(f ⊗ g)r = x/f r ⊗ 1

(5.92)

346

5 Schemata I

und T(g) → (S × T )(f ⊗g) = S(f ) ⊗A T(g) y/g r → (f r ⊗ y)/(f ⊗ g)r = 1 ⊗ y/g r

(5.93)

f¨ ur alle Paare (f, g) ∈ Sd × Td erhalten. Die D+ (f ⊗ g) u ¨berdecken proj (S × T ) wirklich, da die f ⊗ g das Ideal (S × T )+ erzeugen. Aufgrund der universellen Eigenschaft des Faserprodukts p1 , p2 : X ×Z Y → X, Y p−1 1 (U ) = U ×Z Y p−1 2 (V ) = X ×Z V und des Isomorphismus in (5.90) folgt: Lemma 5.13.5 Es ist in den Bezeichnungen von oben p−1 1 (D+ (f )) =



D+ (f r ⊗ g) ,

(5.94)

D+ (f ⊗ g r ) .

(5.95)

r∈N g∈Te

p−1 2 (D+ (g)) =



r∈N f ∈Sd

Denn jedes S(f ) ⊗A T(g) = S(f r ) ⊗A T(gs ) = (S × T )(f r ⊗gs ) f¨ ur r deg f = s deg g.



Weiterhin gilt deswegen auch −1 p−1 1 (D+ (f )) ∩ p2 (D+ (g)) = D+ (f ⊗ g)

(5.96)

f¨ ur f aus Sd und g aus Td . Lemma 5.13.6 Setzt man X = proj (S) und Y = proj (T ) sowie Z = proj (S × T ) = X ×A Y , so ist p∗1 OX (1) ⊗ p∗2 OY (1) ∼ = OZ (1) . Beweis. Dies folgt aus den Gleichungen (5.92) und (5.93), die p1 und p2 lokal auf Z beschreiben, sowie der Beziehung (p∗1 OX (1) ⊗OZ p∗2 OY (1))|D+ (f ⊗g) = (S(1)(f ) ⊗S(f ) (S × T )(f ⊗g) ) ⊗(S×T )(f ⊗g) ((S × T )(f ⊗g) ⊗T(g) T (1)(g) ) = S(1)(f ) ⊗S(f ) S(f ) ⊗A T(g) ⊗ T (1)(g) = S(1)(f ) ⊗A T (1)(g) = (S × T )(1)(f ⊗g) . 

5.13 Projektive Morphismen

347

Die klassische Segre-Abbildung Die obige Konstruktion ist f¨ ur Polynomringe S = k[x0 , . . . , xm ] und T = k[y0 , . . . , yn ], also X = Pm und Y = Pn k k , identisch mit der Segre-Einbettung von " ! =Z. X ×k Y → proj k[(uij ) 0im ] = Pmn+m+n k 0jn

Diese wird klassisch gegeben durch die Abbildung φ : (x0 : . . . : xm ) × (y0 : . . . : yn ) → (u00 : . . . : uij : . . . : umn )

mit uij = xi yj

(5.97)

von den abgeschlossenen Punkten von X ×k Y in die abgeschlossenen Punkte von Z. Man sieht sofort, dass das Bild von φ in der Verschwindungsmenge des Ideals I = ({uij ukl − uil ukj | i < k und j < l}) liegt, das nichts anderes zum Ausdruck bringt, als dass die Matrix (uij ) einen Rang  1 hat. Mit dieser Rangbedingung rekonstruiert man die (x0 : . . . : xm ) und die (y0 : . . . : yn ) wieder aus den uij , zeigt also, dass im(φ) = V (I) und dass φ injektiv ist, und gewinnt so eine Kette von Abbildungen: n ¯ ∼ ¯ → Pmn+m+n (k) ¯ (Pm → V(I)(k) k ×k Pk ) (k) − k

Es handelt sich auch wirklich um regul¨ are Abbildungen, denn es gilt: Proposition 5.13.7 Die Segre-Abbildung φ ist gegeben durch die Verklebung von Abbildungen fpq : D+ (xp ) ×Spec(k) D+ (yq ) → D+ (upq ) , die auf Ringebene durch Ringhomomorphismen ψpq mit der Gestalt ψpq : k[uij ](upq ) → k[xi ](xp ) ⊗k k[yj ](yq )

uij /upq → xi /xp ⊗k yj /yq

(5.98)

gegeben sind. Bemerkung 5.13.4 Die Abbildungen (5.98) sind, wie man leicht sieht, alle surjektiv, womit ebenfalls gezeigt ist, dass die klassische“ Segre-Abbildung eine abgeschlossene Immersion ” mn+m+n n Pm definiert. k ×k Pk → Pk Der Kern der Abbildung in (5.98) ist u alt n¨ amlich ¨brigens gleich I(upq ) . Er enth¨ zun¨ achst einmal I(upq ) . Weiterhin l¨ asst sich jedes f ∈ k[uij ](upq ) modulo I(upq ) als f1 = f (upi /upq , ujq /upq ) schreiben, indem man die Relationen urs /upq = ups /upq urq /upq

348

5 Schemata I

aus I(upq ) benutzt. Das Bild von f1 ist aber f (yi /yq , xj /xp ), und das ist gleich 0 nur, wenn f = 0. Also ist I(upq ) = ker ψpq . Es sei nun mit ψ(uij ) = xi ⊗ yj das Ideal ψ

P = ker(k[uij ] − → k[xi ] ⊗k k[yj ]) . Es ist ein Primideal, da k[xi ] ⊗k k[yj ] ein Integrit¨ atsring ist. Man hat I ⊆ P sowie P(upq ) = I(upq ) .

Generalisierung der klassischen Segre-Abbildung L¨ asst man die k[xi ] und k[yj ] in (5.98) statt Polynomringen nur integre gradierte affine Algebren sein, so bleibt die Surjektivit¨ at erhalten, man erh¨ alt f¨ ur m n projektive Variet¨ aten X ⊂ Pk und Y ⊂ Pk eine abgeschlossene Immersion X ×k Y → Pmn+m+n , die auf den abgeschlossenen Punkten durch (5.97) gegek ben ist. Die Generalisierung dieser Konstruktion gelingt f¨ ur S und T gradiert wie oben mit der Zusatzbedingung, dass S und T endlich erzeugt von S1 und T1 sind. Definition 5.13.4 Ein gradierter Ring R heiße endlich erzeugt von R1 , wenn R0 = A, und R1 ein endlich erzeugter A-Modul sowie R = A[R1 ] ist.  Bemerkung 5.13.5 Dies ist ¨ aquivalent zu der Bedingung, dass eine abgeschlossene Immersion i : proj (R) → PrA existiert, wobei r als die Anzahl der Erzeuger von R1 u ¨ber A gew¨ ahlt werden kann. Lemma 5.13.7 Es sei nun S = A[x0 , . . . , xm ] mit xi ∈ S1 und T = A[y0 , . . . , yn ] mit yj ∈ T1 . Dann ist R = S × T = A[xi ⊗ yj ], mit i = 0, . . . , m, j = 0, . . . , n. ¨ Dies erfordert eine kleine Uberlegung, man muss zeigen, dass alle xd00 xd11 · · · xdmm ⊗

  dn · · · yn mit di = di = d gleich einem geeigneten (xi ⊗ yj )dij mit dij = d sind. Das geht induktiv durch Ausklammern“ geeigneter xi ⊗ yj .  ”

d d y0 0 y 1 1

Also existiert eine Surjektion gradierter Ringe A[uij ] → R

mit

uij → xi ⊗ yj ,

i = 0, . . . , m

j = 0, . . . , n ,

und dementsprechend gibt es eine abgeschlossene Immersion i : X ×A Y → Pmn+m+n A mit X = proj (S), Y = proj (T ) und proj (A[uij ]) = Pmn+m+n . A Diese abgeschlossene Immersion stimmt f¨ ur gradierte affine Algebren S und T u ¨ber A = k mit der klassischen Segre-Einbettung u ¨berein. Weiterhin gilt:

5.13 Projektive Morphismen

349

Lemma 5.13.8 mn+m+n Ist, mit den obigen Bezeichnungen, i : X ×A Y → PA , die SegreEinbettung, so gilt: i∗ OPmn+m+n (1) = OX×A Y (1) = p∗1 OX (1) ⊗OX×A Y p∗2 OY (1) A

Es gilt n¨ amlich mit der Surjektion A[uij ] → A[xi ⊗ yj ] die Beziehung A[uij ](1) ⊗A[uij ] A[xi ⊗ yj ] = A[xi ⊗ yj ](1). Die zweite Gleichheit ist Lemma 5.13.6. 

Anders gesagt: Lemma 5.13.9 Es seien die A-Morphismen i) X → Pm A durch OX (1) mit den Schnitten (si ∈ OX (1)(X)) und ii) Y → Pn A durch OY (1) mit den Schnitten (tj ∈ OY (1)(Y )) gegeben. Dann wird die Segre-Einbettung i : X ×A Y → Pmn+m+n durch das Linienb¨ undel p∗1 OX (1) ⊗OX×A Y p∗2 OY (1) mit den Schnitten p∗1 (si ) ⊗ p∗2 (tj ) gegeben.

5.13.4

Definition und Eigenschaften projektiver Morphismen

Definition 5.13.5 Es sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. Er faktorisiere als

X

.

=

i f

PrY

 /Y

p

mit einer abgeschlossenen Immersion i. Dann heißt f projektiver Morphismus.  Proposition 5.13.8 Es gilt: 1. Abgeschlossene Immersionen sind projektiv. 2. (Komposition): Es seien f : X → Y und g : Y → Z projektiv. Dann ist auch g ◦ f : X → Z projektiv. 3. (Basiswechsel): Es sei f : X → Y projektiv. Weiter sei g : Y  → Y ein beliebiger Schemamorphismus und f  : X  = X ×Y Y  → Y  die Basiserweiterung von f . Dann ist auch f  projektiv.

350

5 Schemata I

Um 2. einzusehen, betrachte folgendes kommutative Diagramm:

X

>

. f

Pn Y

.

=

α

m Pn Z × Z PZ

Pn Pm Z



β

/ Pmn+m+n . Z




0. Die Weil-Divisoren von Pn k = proj (S) sind also von der Form D=



n i Yi

i

mit Yi = V (Fi ), wobei Fi ∈ k[X0 , . . . , Xn ] prim und homogen vom Grad di . Definition 5.14.9  Wir definieren deg D = ni di als den Grad von D.



Lemma 5.14.2 Es sei X = Pn k und f ∈ K(X) eine rationale Funktion sowie div(f ) = D der zugeordnete Hauptdivisor. Dann ist deg div(f ) = 0. Beweis. Es ist f = mit F, G homogenen  F/G  mj Formen in k[X0 , . . . , Xn ] vom gleichen ni Grad. Sind F = F und G = die so ist D = i i j Gj



Primfaktorzerlegungen,

n V (F ) − m V (G ). Offensichtlich ist n deg F − m deg G = 0.  i i j j i i j j i

Proposition 5.14.2  Es sei k ein K¨ orper und Pn k der projektive Raum. Weiter sei D = i ni Yi ein Weil-Divisor auf Pn mit d = deg D. k Dann gilt: 1. Es ist D ∼ dH, wobei H = V (X0 ) der Hyperebenenprimdivisor ist. 2. Die Abbildung Z → Cl Pn k mit 1 → H induziert einen Isomorphismus Cl Pn k = Z.

(5.101)

 Beweis. 1. Es sei Yi = V (Fi ). Weiter sei G = Fini mit deg G = d = deg D. Dann d n ist (G/X0 ) eine rationale Funktion auf Pk . F¨ ur diese gilt div(G/X0d ) = D − dH. Also ist D ∼ dH. 2. Da deg div(f ) = 0 f¨ ur alle rationalen Funktionen f ∈ K(Pn k ), ist die Abbildung Z → Cl Pn mit d →  dH injektiv. Nach 1. ist sie auch surjektiv.  k

354

5 Schemata I

Exakte Sequenzen f¨ ur U ⊆ X Lemma 5.14.3 Es sei X ein (∗)-Schema, Y ⊆ X eine abgeschlossene echte Teilmenge, U = X −Y. 1. Dann existieren Abbildungen β

Div X −→ Div U → 0

(5.102)

und β

Cl X − → Cl U → 0 .

(5.103)

Dabei ist β  die Abbildung von Div X nach Div U , die jeden nicht in Y enthaltenen Primdivisor Z  auf Z  ∩ U und die u ¨brigen auf 0 abbildet. Also β( n i Zi ) = ni (Zi ∩ U ) i, Zi ∩U =∅

i

Die Abbildung β ist eine split-Surjektion. 2. Ist codim(Y, X) > 1, so sind β und β  Isomorphismen. 3. Wenn Y = Z ein Primdivisor ist, so sind β

α

0 → Z · Z −→ Div X −→ Div(X − Z) → 0

(5.104)

und β

α

Z·Z − → Cl X −→ Cl(X − Z) → 0

(5.105)

exakte Sequenzen. Beweis. 1) Die Abbildung Z  → Z  ∩ U von Div X − {Z  |Z  ⊆ Y } nach Div U ist wohldefiniert. Offenbar ist Z  ∩ U irreduzibel und abgeschlossen in U , es ist aber auch htU (Z  ∩ U ) = 1, da eine in U irreduzible Teilmenge ZU ⊆ U eine in X irreduzible Teilmenge ZU− , mit ZU− ∩ U = ZU , induziert. Aus diesem Grund induziert ein Primdivisor Z  ⊆ U von Div U auch einen Primdivisor Z − ⊆ X, der sein topologischer Abschluss ist. F¨ ur diesen gilt Z − ∩ U = Z  .  Also ist β : Div X → Div U surjektiv. Da K(U )

O

OU,x

∼

/ K(X) O

∼

/ OX,x

f¨ ur x ∈ U , wird ein Hauptdivisor von Div X auf einen Hauptdivisor von Div U abgebildet. Es ist also β wohldefiniert und surjektiv, weil β  es ist. Die Splittung entsteht f¨ ur Z ∈ Div U durch Z → Z¯ ∈ Div X. 2) Wegen codim(Y, X) > 1 kann kein Primdivisor Z ∈ Div X Teil von Y sein. Also Z ∩ U = ∅ f¨ ur alle Primdivisoren Z ⊆ X.

5.14 Divisoren

355

Die Umkehrabbildung von β  wird durch ZU ⊆ U −→ ZU− induziert. Es ist also Div X ∼ = Div U . Da K(U ) = K(X), entsprechen sich auch die jeweiligen Hauptdivisoren. 3) Ein Primdivisor Z  mit Z  ∩ (X − Z) = ∅, also mit Z  ⊆ Z, muss mit Z identisch sein. Also besteht der Kern von β  aus den nZ ∈ Div X mit n ∈ Z. 

Weil-Divisorenklassen Cl X und Cl AnX sowie Cl PnX Lemma 5.14.4 Es sei A ein integrer, noetherscher Ring, regul¨ ar in Kodimension 1 mit Quotientenk¨ orper K. Es seien also alle Ap diskrete Bewertungsringe f¨ ur ht p = 1. 1. Dann ist auch A[X] integer, noethersch und regul¨ ar in Kodimension 1. 2. Ein Primideal p ⊆ A[X] mit ht p = 1 ist dabei von einer der folgenden Formen: 1. Es ist p ∩ A = p mit einem Primideal p ⊆ A der H¨ ohe 1 in A. In diesem  Fall ist p = p[X] = pA[X]. 2. Es ist p ∩ A = (0). Dann liegt p in der Faser A[X] ⊗A K = K[X] und wird dort durch p K[X] = (p(X)) mit einem Primelement p(X) des Hauptidealrings K[X] beschrieben. Beweis. 2.2.: Es sei p ∩ A = (0). Die Faser K ⊗A A[X] ist eindimensional und die Aussage 2. damit offensichtlich. 2.1.: Es sei nun p ∩ A = p = (0). Dann muss ht p = 1 sein, da die Zuordnung p → p[X] sonst Primideale in A[X] zwischen (0) und p[X] liefern w¨ urde. Da p[X] ⊆ p prim ist, muss es dann sogar gleich p sein, da sonst wiederum ht p = 1 verletzt w¨ are. 1.: Es bleibt, die Aussagen u at in Kodimension 1 zu zeigen: Wir ¨ber Regularit¨ m¨ ussen zeigen, dass jeweils A[X]p ein diskreter Bewertungsring ist. Wir bemerken zun¨ achst allgemein, dass der lokale Ring A[X]p[X] isomorph zu (Ap [X])p Ap [X] ist. Im Fall 2.2. ist A[X]p = K[X]p K[X] = K[X](p(X)) offenkundig ein diskreter Bewertungsring. Um die Bewertung auf K(A[X]) direkt anzugeben, sei f (X)/g(X) mit f (X), g(X) ∈ A[X] ein beliebiges Element aus K(A[X]). Man kann dann f (X)/g(X) = p(X)m r(X)/s(X) schreiben, wobei m ∈ Z und r(X), s(X) ∈ K[X] zu p(X) teilerfremd sind. Es ist dann vp (f (X)/g(X)) = m. Im Fall 2.1. gilt wegen A[X]p[X] isomorph zu (Ap [X])p Ap [X] : Ist π ∈ A ein Element, das pAp erzeugt, so kann jedes f (X)/g(X) ∈ A[X]p[X] als π m r(X)/s(X) geschrieben werden. Dabei ist m  0 eindeutig bestimmt und r(x), s(X) ∈ A[X] ∈ / p[X]. Man betrachte f¨ ur diese Aussage einfach die Schreibweise

ei π ai /si X i f (X) = i f   j j g(X) j π aj /sj X

356

5 Schemata I

mit ai , si , aj , sj ∈ A − p und ziehe dort ein geeignetes π m heraus und tilge die Nenner durch Multiplikation mit den si , sj . Also kann jedes f (X)/g(X) aus K(A[X]) als π m r(X)/s(X) mit m ∈ Z und r(X), s(X) ∈ A[x] − p[X] geschrieben werden. Dabei ist m eindeutig, und die Zuordnung vp[X] (f (X)/g(X)) = m eine diskrete Bewertung auf K(A[X]). 

Bemerkung 5.14.3 In den Bezeichnungen des vorigen Lemmas nennen wir p vom Typ 1. vertikal und jene vom Typ 2. horizontal u ¨ber Spec (A). Lemma 5.14.5 Es seien die Bezeichnungen wie in den vorigen beiden Lemmata. Es sei X = Spec (A) und X ×Z A1Z = Spec (A[X]). Weiter sei D= n i pi ein Divisor in Div X und D =



ni pi [X]

durch Hochhebung der pi zugeordnete Divisor in Div(X ×Z A1Z ). Dann ist D = (a/s) mit a, s ∈ A genau dann, wenn D = (f (X)/g(X)) mit f (X), g(X) ∈ A[X]. Beweis. Es sei D = (f (X)/g(X)). Da D nur vertikale Divisoren enth¨ alt, muss deg f (X) = deg g(X) = 0 sein. Also f (X)/g(X) = a/s. Umgekehrt sei D = divA (a/s). Dann ist vp (a/s) = vp[X] (a/s) und vp(x) (a/s) = 0 f¨ ur p(x) ∈ K[X] irreduzibel. Also D = divA[X] (a/s). 

F¨ ur die injektive Abbildung θA : Div(A) → Div(A[X]) ni pi [X] ni pi → gilt also −1 (Divh (A[X]) ∩ θA (Div(A))) = Divh (A). θA

Damit definiert sie auch eine injektive Abbildung:  θA : Cl(A) → Cl(A[X])

Jeder horizontale Primdivisor p in A[X] definiert genau ein monisches, irreduzibles p(X) ∈ K[X] mit vp (f ) = vp(x) (f ) f¨ ur alle f ∈ K(A[X]). Ist jetzt D = mi pi eine Summe horizontaler Primdivisoren in Div A[X] mit zugeordneten irreduziblen pi (X) ∈ K[X], so ist  divA[X] ( pi (X)mi ) = D + R , i

5.14 Divisoren

357

wobei R aus vertikalen Primdivisoren in Div A[X] besteht. Es ist also Div(A[X]) = Divh (A[X]) + θA (Div A).  surjektiv und injektiv, also ein Isomorphismus. Damit ist θA

Proposition 5.14.3 Es sei X ein (∗)-Schema. Dann ist auch A1 ×Z X = A1X ein (∗)-Schema, und es ist Cl A1X = Cl X. Beweis. Man betrachtet Diagramme der Form Div A1X

O

θX

Div X

/ Div A1U O θU

/ Div U

f¨ ur offene, affine U ⊆ X. Wir k¨ urzen außerdem ab: X  = A1X und U  = A1U .   1.a.(Injektivit¨ at): Ist nun θX (D) = (fX  )X  ein Hauptdivisor in X , so ist   θX (D)|U  = θU (D|U ) = (fX  )U  . Damit ist aber nach dem obigen affinen Fall fX    nicht nur in K(X ), sondern bereits in K(X), und man hat (D|U ) = (fX  )U . Da dies  f¨ ur jedes U ⊆ X affin gilt, ist D = (fX  )X auch ein Hauptdivisor in X. 1.b. (Wohldefiniertheit): Ist umgekehrt D = (fX )X und D = θX (D), so ist D |U  = θU ((fX )U ) und nach Obigem damit D |U  = (fX )U  , indem fX ∈ K(X) als Element von K(X  ) aufgefasst wird. Also ist D = (fX )X  , ein Hauptdivisor. 2. (Surjektivit¨ at): Die Unterscheidung in horizontale und vertikale Divisoren l¨ asst sich auch auf Div X  u ¨bertragen. Alle vertikalen Divisoren liegen dann im Bild θX (Div X). Ist hingegen Z  ∈ Div X  ein horizontaler Primdivisor, so ist p(Z  ) ∩ U = ∅, mit p : A1X → X der kanonischen Projektion, f¨ ur jedes offene, affine U ⊆ X. Es ist dann Z  |U  = θU (D) + (fU  )U  nach den vorigen lokalen Betrachtungen, denn Z  |U  bleibt lokal u ¨ber U ein horizontaler Divisor. Weiterhin ist aber (beachte ((fU  )X  )|U  = (fU  )U  (fU  )X  = (fU  )U  + θX (D1 ) mit einem Divisor D1 ∈ Div X, der nur Primdivisoren aus X − U umfasst. Zusammen ergibt sich, dass bis auf Hauptdivisoren in Div X  der Divisor Z  im Bild von θX liegt. Also liegt jeder Divisor von Div X  bis auf Hauptdivisoren im Bild von θX . Damit ist die Isomorphie  θX : Cl X → Cl(A1X ) nachgewiesen.



Korollar 5.14.1 Es sei X ein (∗)-Schema. Dann ist auch An ×Z X = An X ein (∗)-Schema, und es ist Cl An = Cl X. X Proposition 5.14.4 Es sei X ein (∗)-Schema. Dann ist auch Pn ×Z X = Pn X ein (∗)-Schema, und es ist Cl Pn = Cl X × Z. X

358

5 Schemata I

¨ Beweis. Uber U = Spec (A) ⊆ X ist Pn U = proj (A[x0 , . . . , xn ]), und V (x0 ) = HU definiert einen Primdivisor in Pn . Zusammen ergibt das einen Primdivisor H ⊆ Pn U X mit n n H ∩ PU = HU . Es ist dann auch PX − H = An X , wie man wieder durch Globalisierung der Situationen u ¨ber U erkennt. Man hat also eine Sequenz β

ψ

Z− → Cl Pn → Cl An X − X → 0

(5.106)

mit ψ(d) = dH. Die Abbildung ψ ist injektiv: Der Primdivisor H liegt n¨ amlich in der Faser des generischen Punktes ξ von X unter der kanonischen Projektion p : Pn are X → X. W¨ n −1 nun dH = (f )PnX mit f ∈ K(Pn ) ein Hauptdivisor in P , so w¨ a re dH ∩ p (ξ) auch X X ein Hauptdivisor in Pn K(X) . Dies zieht aber d = 0 nach sich. Wir konstruieren jetzt ein Splitting von (5.106), also eine Abbildung Cl An X → Cl Pn X . Betrachte dazu θ

ι

X Div X −− → Div An → Div Pn X − X ,

wobei die Abbildung ι durch den topologischen Abschluss ι : Z → Z¯ gegeben ist. Ist D = (f )X ∈ Divh X mit f ∈ K(X), so ist sowohl θX (D) = (f )AnX als auch n ι(θX (D)) = (f )PnX , indem f als Element von K(Pn X ) = K(AX ) aufgefasst wird. n Man hat also eine Abbildung φ : Cl X → Cl PX , die sich in ein Diagramm Cl X

φ

 θX

/ Cl PnX $



β

Cl An X

  −1 n einbettet. Da θX ein Isomorphismus ist, ist φ injektiv und φ◦(θX ) : Cl An X → Cl PX n n eine Splittung der obigen Sequenz (5.106). Damit ist Cl PX = Cl AX ×Z = Cl X ×Z. 

Untervariet¨ aten von Pnk Sei X ⊆ Pn at des n-dimensionalen projektiven Raumes u ¨ber k eine Untervariet¨ einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k. Es sei X regul¨ ar in Kodimension 1, also X ein (∗)-Schema. Dann l¨ asst sich f¨ ur jeden Primdivisor H ∈ Div Pn k , H = V (f ) mit X  H ein Schnittdivisor H.X = n i Yi  definieren, wo Yi = H ∩ X die Zerlegung in irreduzible Komponenten ist. Dabei wendet man entweder den Bezoutschen Satz an und setzt ni := i(X, H; Yi ) gleich der Schnittmultiplizit¨ at von H und X entlang Yi , oder man betrachtet d auf den standard-affinen offenen Ui ⊆ n k die Funktion f /xi , d = deg f und schr¨ ankt diese rationale Funktion auf eine rationale Funktion f˜ auf Ui ∩ X, also auf X ein und bildet dann von dieser rationalen Funktion den Hauptdivisor (f˜) in Div(X ∩ Ui ).

5.14 Divisoren

359

¨ Beide Vorgehensweisen stimmen u die ¨berein. Dies erfordert eine Uberlegung, sich durch die Gleichung lenSq S/(p, f )q = lenS(q) S/(p, f )(q) = = v(q) ((f + p)/xdi ; (S/p)(q) ) = = vq(xi ) (((f + p)/xdi )/(1/1); ((S/p)(xi ) )q(xi ) ) ausdr¨ ucken l¨ asst. Wenn man deg(



ni Yi ) :=



(5.107)

ni deg Yi

setzt, wo deg Yi der u at als Untervariet¨ at ¨bliche Grad einer projektiven Variet¨ von Pn ist, so folgt k deg(H.X) = (deg H)(deg X) , wie man aus dem Bezoutschen Satz deg H deg X =



i(X, H; Yi ) deg Yi

folgert. Dies bleibt auch bei linearer Erweiterung der obigen Konstruktion von einem Primdivisor H zu einer Summe von Primdivisoren D richtig, man hat dann also deg D deg X = deg(D.X). Da man jeden Primdivisor H ∈ Div Pn k durch einen linear a quivalenten H ersetzen kann, der X nicht enth¨ a lt, und ein Hauptdivisor ¨ 1 n (f ) = H ∈ Div Pk , der X nicht enth¨ alt, durch Einschr¨ anken von f auf X einen Hauptdivisor auf X ergibt, der gleich dem Schnittdivisor ist, gibt es eine wohldefinierte Abbildung / Cl X Cl Pn k ∼ =

 Z

·d

 / Z,

wo die senkrechten Pfeile durch die jeweilige deg-Abbildung gegeben sind. (Dass die Abbildung Cl X → Z wohldefiniert ist, sieht man daraus, dass es f¨ ur jeden Hauptdivisor (f ), f ∈ K(X) eine rationale Funktion g ∈ K(Pn k) gibt, die auf X eingeschr¨ ankt f ergibt. Es ist dann (g).X = (f ) und daher deg(f ) = deg(g) deg X = 0.)

360

5.14.2

5 Schemata I

Cartier-Divisoren

Es sei X ein beliebiges Schema. Wir definieren eine Pr¨ agarbe KoX auf der Unterkategorie von Ouv(X), die aus den Spec (A) ⊆ X und den Inklusionen Spec (Af ) ⊆ Spec (A) besteht, durch folgende Festsetzung −1 KoX (Spec (A)) = SQ,A A = Q(A) def

f¨ ur Spec (A) ⊆ X und SQ,A das multiplikativ abgeschlossene System der Nichtnullteiler von A. Um die Abbildung Q(A) → Q(Af ) zu definieren, stellen wir fest, dass f¨ ur ·s jedes s ∈ SQ,A auch s/1 ∈ SQ,Af . Zum Beweis bilde man aus 0 → A −→ A ·s/1

durch Lokalisierung 0 → Af −−−→ Af . Damit k¨ onnen wir eine wohldefinierte Abbildung Q(A) → Q(Af ), (a/s) → (a/1)/(s/1) (5.108) konstruieren, f¨ ur die

/ Q(Af )

Q(A)

z $ Q(Af g ) kommutiert. Definition 5.14.10 Die zu der Pr¨ agarbe KoX assoziierte Garbe sei KX , die Garbe der meromorphen Funktionen auf X. K∗X ist die (multiplikative) Garbe der (multiplikativ) invertierbaren Elemente der Ringgarbe KX . Entsprechend ist O∗X f¨ ur die Ringgarbe OX definiert.  Wir betrachten nun die exakte Sequenz 1 → O∗X → K∗X → D → 1 . Ein D ∈ Γ(X, D) wird gegeben durch ein System (Ui , fi )i∈I , wobei fi ∈ K∗X (Ui ) und fi |Uij /fj |Uij ∈ O∗X (Uij ) f¨ ur Uij = Ui ∩ Uj . Bemerkung 5.14.4 Das Element D repr¨ asentiert durch (Ui , fi ) ist das Nullelement von Γ(X, D), wenn fi ∈ OX (Ui )∗ f¨ ur alle i ist. (Und nicht etwa, wenn alle fi = 1 sind.) Definition 5.14.11 Ein D ∈ Γ(X, D) heißt Cartier-Divisor von X. Das Bild von Γ(X, K∗X ) in Γ(X, D) ist die Untergruppe der Cartier-Hauptdivisoren.

5.14 Divisoren

361

F¨ ur die Cartier-Divisoren auf X schreiben wir auch CaDiv X, f¨ ur die Cartierh Hauptdivisoren auch CaDiv X. Die Quotientengruppe def

CaCl X = CaDiv X/ CaDivh X ist die Gruppe der Cartier-(Divisoren-)Klassen.  Definition 5.14.12 Zwei Cartier-Divisoren D, D heißen linear ¨ aquivalent, wenn D − D = (f ) ein Hauptdivisor ist. Man schreibt dann D ∼ D .  Bemerkung 5.14.5 ¨ Sind D und D durch (fi ) und (fi ) auf einer gemeinsamen Uberdeckung (Ui ) −1 ∗ gegeben, so bedeutet dies, dass ein f ∈ K (X) existiert, so dass fi fi f |Ui ∈ OUi (Ui )∗ ist. Beachte die Anwendung der vorigen Anmerkung. Definition 5.14.13 Ein Cartier-Divisor D = (Ui , fi ) mit fi ∈ K∗X (Ui ) ∩ OX (Ui ) heißt effektiver Cartier-Divisor. Wir schreiben auch D  0.  Bemerkung 5.14.6 Dies ist a ¨quivalent zu der Forderung, dass D = (Ui , fi ) mit Ui = Spec (Ai ) und fi Nichtnullteiler in Ai . Es sei D = (Ui , fi ) ein Cartier-Divisor auf X und (V, f ) ein Paar aus V ⊆ X, offen, und f ∈ K∗X (V ). Dann heißt (V, f ) vertr¨ aglich mit D, falls f¨ ur alle Vi = −1 ∗ V ∩ Ui die rationale Funktion fi |Vi f |Vi in OX (Vi ) liegt. Definition 5.14.14 Es sei D = (Ui , fi ) ein Cartier-Divisor auf einem Schema X. Dann ist supp D ⊆ X, der Support von D, so definiert: Ein x ∈ X ist genau dann in X − supp D, wenn ein (V, f ), vertr¨ aglich mit D und mit x ∈ V existiert, so dass f ∈ O∗X,x gilt. 

5.14.3

Linienb¨ undel

Ein Linienb¨ undel L auf einem Schema X ist ein lokal freier koh¨ arenter OX Modul vom Rang 1. Das heißt, f¨ ur jedes x ∈ X gibt es eine affine Umgebung ˜ U = Spec (A) mit x ∈ U und L|U ∼ = A. Proposition 5.14.5 Die Menge L(X) der Linienb¨ undel auf X bildet eine Gruppe unter (L1 , L2 ) → L1 ⊗ L2 , neutrales Element ist OX und L−1 = Hom(L, OX ).

362

5 Schemata I

Proposition 5.14.6 ∼ Die Linienb¨ undel L, f¨ ur die ein Isomorphismus OX → L existiert, bilden eine Untergruppe Ltriv (X) ⊆ L(X). Bemerkung 5.14.7 Dies sind genau die Linienb¨ undel, f¨ ur die ein nirgends verschwindender Schnitt s ∈ L(X) existiert, f¨ ur den also niemals sx ∈ mx Lx f¨ ur ein x ∈ X ist. Definition 5.14.15 Die Quotientengruppe bezeichnet man als Pic X = L(X)/Ltriv (X) , 

die Picardgruppe von X.

¨ Ist ein Linienb¨ undel L gegeben, so kann man eine affine, offene, Uberdeckung ∼ Ui und Isomorphismen φi : OUi → L|Ui finden. Sie heißt auch trivialisierende ¨ Uberdeckung. Die Abbildung (φ−1 j )|Uij ◦ (φi )|Uij : OUij → OUij definiert dann einen Isomorphismus von OUij als OUij -Modul. Sie wird also durch ein αij ∈ OUij (Uij )∗ repr¨ asentiert. Diese αij erf¨ ullen die Kozykelbedingung (αij )|Uijk · (αjk )|Uijk = (αik )|Uijk . Durchl¨ auft man die obigen Schl¨ usse r¨ uckw¨ arts, so erkennt man, wie sich durch entsprechende Verklebung aus einem System (αij ), das die Kozykelbedingung erf¨ ullt, ein Linienb¨ undel L gewinnen l¨ asst. ¨ Aus der Sicht einer trivialisierenden Uberdeckung (Ui ) wie oben gilt dann: Ein Schnitt s ∈ L(U ) wird also durch si ∈ OX (U ∩ Ui ) gegeben, f¨ ur die si |Uij ∩U αij = sj |Uij ∩U ist. Existiert nun ein nirgends verschwindender globaler Schnitt L(X), so wird er repr¨ asentiert durch si ∈ OUi (Ui )∗ mit si |Uij αij = sj |Uij . Es gilt also: Proposition 5.14.7 Ein Linienb¨ undel L, das durch den Kozyklus (αij ∈ OX (Uij )∗ ) repr¨ asentiert wird, ist also genau dann trivial, wenn αij = s−1 i |Uij sj |Uij mit geeigneten si ∈ OX (Ui )∗ .

5.14 Divisoren

363

F¨ ur die Darstellung eines Linienb¨ undels L durch seinen Kozyklus (αij ) gelten folgende Beziehungen: Proposition 5.14.8 Es seien L1 , (αij ) und L2 , (βij ) zwei Linienb¨ undel mit ihren Kozyklen zur selben ¨ Uberdeckung. Dann ist (L1 ⊗OX L2 , (αij βij )) und −1 (Hom(L1 , OX ), (αij ))

die Beschreibung der B¨ undel links durch die rechts stehenden Kozyklen. Proposition 5.14.9 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus. Dann ist f ∗ : Pic Y → Pic X,

L → f ∗ L

(5.109)

ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Beweis. Es ist f ∗ L ein lokal freies Vektorb¨ undel vom selben Rang wie L, also auch ein Linienb¨ undel. Weiterhin ist f ∗ L ∼ ur L ∼ = f ∗ L f¨ = L und f ∗ (L⊗OY L ) = f ∗ L⊗OX f ∗ L  f¨ ur L, L Linienb¨ undel auf Y . 

5.14.4

Korrespondenz zwischen Div X, CaCl X und Pic X

Von CaDiv X nach Div X Sei X ein (∗)-Schema. Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus α : CaDiv X → Div X ,

(5.110)

 der einem Cartier-Divisor (Ui , fi ) den Weil-Divisor D = nZ Z zuordnet, wo nZ := vZ (fi ) f¨ ur ein beliebiges i ∈ I mit Z ∩ Ui = ∅. Die Wohldefiniertheit folgt aus fi−1 fj ∈ OUij (Uij )∗ . Ist (Ui , fi ) ein effektiver Cartier-Divisor, so ist der zugeordnete Weil-Divisor D ebenfalls effektiv. Die Umkehrung gilt, wenn X ein normales Schema, also zum Beispiel ein lokal faktorielles Schema, ist. Die Abbildung (5.110) induziert eine Abbildung α : CaCl X → Cl X . Ein Hauptdivisor (X, f ) als Cartier-Divisor mit f ∈ K(X) geht n¨ amlich in den Hauptdivisor divX (f ) als Weil-Divisor u  ¨ber.

364

5 Schemata I

Proposition 5.14.10 Wenn das Schema X lokal faktoriell ist (alle OX,x UFD), so hat die Abbildung α eine Umkehrung und ist ein Isomorphismus.

Beweis. Wir zeigen zun¨ achst, dass f¨ ur jeden Weil-Divisor D = ni Zi ein Cartier   Divisor D = (Ui , fi ) existiert mit α (D ) = D. Betrachte f¨ ur jedes x ∈ X, mit dim OX,x > 0, den Ring OX,x und die Zi mit x ∈ Zi . Sie induzieren Primideale px,i der H¨ ohe 1 in OX,x . Da OX,x faktoriell, sind alle Primideale derH¨ ohe 1 prinzipal. Es gibt also ein fx,i ∈ OX,x , so dass (fx,i ) = px,i . ni Setze nun gx = i fx,i mit den ni aus D. W¨ ahle dann eine offene affine Umgebung Ux von x, so dass Ux ∩ Zj = ∅ f¨ ur alle Zj mit x ∈ / Zj . Außerdem sei Ux ∩ Z = ∅ f¨ ur alle Primdivisoren Z mit vZ (gx ) = 0 und x ∈ / Z. Es ist damit garantiert, dass Ux ∩ D = divUx (gx ). Der Schnitt Uxx = Ux ∩ Ux ist affin, weil X separiert, und es ist divUxx (gx (gx )−1 ) = 0. Da Uxx ein affines, normales Schema ist, bedeutet das gx (gx )−1 ∈ OUxx (Uxx )∗ . Also ist D = (Ux , gx ) ein Cartier-Divisor mit α (D ) = D. Es bleibt die Injektivit¨ at von α : Es sei D = (Ui , fi ) ein Cartier-Divisor mit Ui offen, affin, was keine Einschr¨ ankung bedeutet. Ist α (D ) = 0, so ist divUi (fi ) = 0, ∗ also fi ∈ OUi (Ui ) , weil Ui ein normales, affines Schema ist. Also ist D der NullCartier-Divisor, und α ist injektiv. 

Bemerkung 5.14.8 Unter α entsprechen sich mit den Annahmen der vorigen Proposition die Cartier- und Weil-Hauptdivisoren, so dass die Abbildung α von oben zum Isomorphismus wird.

Von CaCl X nach Pic X Auf jedem Schema gibt es eine Abbildung CaDiv X → L(X)

(5.111)

D → OX (D) , undel OX (D) ⊆ KX die einem Cartier-Divisor D = (Ui , fi ) das Unterlinienb¨ −1 zuordnet, f¨ ur das OX (D)|Ui ∼ · f ist, also die Verklebungsfunktionen O = Ui i αij = fi−1 fj ∈ (OUij (Uij ))∗ sind. F¨ ur die Aussage u ¨ber αij betrachte man das Diagramm: OX

fi−1

/ OX fi−1 r $

·αij



OX

(5.112)

: KX

, / OX fj−1

fj−1



5.14 Divisoren

365

Bemerkung 5.14.9 ¨ Die Verheftungsfunktion auf dem B¨ undel OX (D) beim Ubergang von Ui zu Uj ist also αij mit fi αij = fj . Damit ist αij dieselbe Verheftungsfunktion, die beim ¨ Ubergang von (Ui , fi ) nach (Uj , fj ) im Cartier-Divisor D Anwendung findet. Dies erkl¨ art die Wahl von fi−1 OUi bei der Konstruktion von OX (D). Sowohl der Cartier-Divisor als auch das Linienb¨ undel OX (D) entsprechen derselben Klasse in H 1 (X, O∗X ). Bemerkung 5.14.10 Statt OX (D) schreibt man auch L(D). Proposition 5.14.11 Es gilt f¨ ur Divisoren D, D1 , D2 aus CaDiv X: OX (D1 + D2 ) = OX (D1 ) ⊗OX OX (D2 ) , OX (−D) = OX (D)

−1

(5.113) (5.114)

Weiter ist OX (D) ∼ = OX genau dann, wenn D = (f ) mit f ∈ K(X). Die Abbildung (5.111) induziert also einen injektiven Homomorphismus der Klassen β CaCl X − → Pic X . (5.115) F¨ ur ein integres Schema X ist β surjektiv. Wir zeigen zun¨ achst das Lemma: Lemma 5.14.6 Es sei X ein integres Schema und L ein Linienb¨ undel auf X. Dann existiert eine Einbettung von OX -Moduln: L → KX Die Garbe KX ist welk, und die Einschr¨ ankungen KX (X) → KX (U ) sind f¨ ur alle U ⊆ X, offen, Isomorphismen. Man schreibt auch KX (X) = K(X). Beweis. Man w¨ ahle ein festes U ⊆ X, offen, u ¨ber dem L trivialisierbar ist, und ∼ einen Isomorphismus fU : L|U → OU . Zusammen mit der kanonischen Einbettung OU ⊆ K|U hat man eine Injektion g : L|U → K|U von OU -Moduln. F¨ ur ein beliebiges V ⊆ X, offen, existiert dann die Injektion ρV

g

∼

iV : L(V ) −−U−∩V −→ L(U ∩ V ) −−U−∩V −→ KX (U ∩ V ) → KX (V ) . Zusammen bilden diese Injektionen iV eine Injektion i : L → KX von OX -Moduln. 

¨ Die folgende Proposition beschreibt den Ubergang von L nach D und zur¨ uck nach L(D) = L: Proposition 5.14.12 Sei nun l : L ⊆ KX ein in die rationale Funktionengarbe eingebettetes B¨ undel.

366

5 Schemata I

∼ ¨ Weiter sei (Ui ) eine Uberdeckung von X und φi : OUi → L|Ui ein System von Trivialisierungen. Anders gesagt, gegeben sei ein System si ∈ L(Ui ) von u ¨ber Ui erzeugenden Schnitten, OUi si = L|Ui . Dann bildet D = (Ui , fi−1 ) mit fi = lUi ◦ φi (1Ui ) = lUi (si ) einen Divisor D ∈ CaDiv X, f¨ ur den OX (D) = L als Linienb¨ undel auf X ist.

¨ Beweis. Uber Ui wird L in K als OUi · fi gegeben. Dies ist aber genau die Darstellung von OX (D) = L u ¨ber Ui , denn D = (Ui , fi−1 ). Man beachte, dass, f¨ ur X integer, fi ∈ KX (Ui ) − {0} = KX (Ui )∗ = K(X)∗ . 

Bemerkung 5.14.11 ¨ Beim Ubergang von L zu D entstehen unabh¨ angig von den getroffenen Auswahlen immer gleiche Divisoren. Dies sieht man mittels gemeinsamer Verfeinerungen ¨ von Uberdeckungen und der Bemerkung, dass (fi ) und (fi ai ) mit ai ∈ OX (Ui )∗ denselben Divisor definieren. Jetzt betrachten wir den Weg von D = (Ui , fi ) nach L(D) und zur¨ uck nach  D . Wir zeigen D ∼ D : 

Proposition 5.14.13 atsschema X. Das Es sei D = (Ui , fi ) ein Cartier-Divisor auf einem Integrit¨ B¨ undel OX (D) ⊆ KX sei gem¨ aß Lemma 5.14.6 eingebettet. Weiter sei D der gem¨ aß Proposition 5.14.12 zu OX (D) ⊆ KX konstruierte Divisor. Dann ist D ∼ D. Beweis. Als U aus dem Beweis von Lemma 5.14.6 w¨ ahlen wir ein Ui0 . Dies bedeutet keine Einschr¨ ankung, denn sei das U aus Lemma 5.14.6 mit OX (D)|U trivial irgendwie vorgegeben, so k¨ onnen wir es durch U  = U ∩ Ui mit einem beliebigen Ui ersetzen und dann (U  , (fi )|U  ) als (Ui0 , fi0 ) in das System D = (Ui , fi ) hinzunehmen. Wir haben dann als Grundlage der Einbettung in K(X) die Abbildung ∼

OX (D)|Ui0 → OUi0 ⊆ K(X) mit ai0 fi−1 → ai0 h mit h ∈ OUi0 (Ui0 )∗ , um die Willk¨ ur in der Wahl der Trivialisierung 0 in Lemma 5.14.6 auszudr¨ ucken. Damit wird das Element ai fi−1 als Schnitt von OX (D)(Ui ) auf ai fi−1 fi0 h als Element von K(X) abgebildet, denn es ist ja ai fi−1 = (ai fi−1 fi0 )fi−1 . 0 ∼ Also ist das Bild von 1Ui unter der Trivialisierung OUi → OUi fi−1 = OX (D)|Ui gleich 1Ui → fi−1 fi0 h . h−1 ). Also ist der Divisor D auf (Ui ) gegeben durch (Ui , (fi−1 fi0 h)−1 ) = (Ui , fi fi−1 0 Damit ist D = D − (fi0 h) ∼ D. 

Bemerkung 5.14.12 Dass hier nur D ∼ D und nicht D = D gilt, hat seine Ursache darin, dass ¨ wir die kanonische Einbettung L(D) ⊆ KX beim Ubergang von L(D) nach D

5.14 Divisoren

367

vergessen haben und eine beliebige Einbettung, wie sie uns die Anwendung von Lemma 5.14.6 liefert, angenommen haben. H¨ atten wir die Abbildung D → (L(D) ⊆ KX ) → D

(5.116)

betrachtet, so w¨ are D = D .

Beweis. Denn es w¨ are ja f¨ ur D = (Ui , fi ) dann L(D) = (OUi fi−1 ⊆ K(X)) und  damit D = (Ui , ai fi ) mit ai ∈ OX (Ui )∗ , also D = D . 

Wie schon oben gezeigt, ist dann auch (L ⊆ KX ) → D → (L(D) ⊆ KX )

(5.117)

mit (L ⊆ KX ) = (L(D) ⊆ KX ). Beispiel 5.14.1 Betrachte X = Pn ucke Ui . Dann k = proj (k[X0 , . . . , Xn ]) und seine affinen Teilst¨ gibt es einen Weil-Divisor H0 = X − U0 , einen Cartier-Divisor (Ui , X0 /Xi ) und das Linienb¨ undel OX (1). Dieses kann dabei als das in K(X) eingebettete B¨ undel (OUi · Xi /X0 ) aufgefasst werden. Die Isomorphieklassen dieser drei Objekte entsprechen sich unter den vorangehenden Isomorphismen. Sie erzeugen jeweils die Gruppe Cl X = CaCl X = Pic X = Z. Es sei Y ⊆ X ein lokal prinzipales abgeschlossenes Unterschema. Das heißt, es sei IY ⊆ OX eine lokal freie Garbe vom Rang 1, also ein Linienb¨ undel, und Y ∩ Ui = V (fi ) f¨ ur den Cartier-Divisor Y = (fi , Ui ) mit fi ∈ OUi (Ui ), kein Nullteiler. Proposition 5.14.14 Dann ist die exakte Sequenz 0 → IY → OX → i∗ OY → 0

(5.118)

0 → OX (−Y ) → OX → i∗ OY → 0 ,

(5.119)

IY ∼ = OX (−Y ) .

(5.120)

identisch mit

und es ist Beweis. Lokal auf Ui ist IY ⊆ OX gleich OUi fi ⊆ OUi . Weiterhin ist OX (−Y ) das Linienb¨ undel, das zu dem Cartier-Divisor (fi−1 , Ui ) geh¨ ort. Dieses ist aber gerade (OUi fi ), also IY . 

368

5.14.5

5 Schemata I

Globale Schnitte von OX (D)

Proposition 5.14.15 Es sei X ein Schema, D ein Cartier-Divisor auf X, gegeben durch (fi , Ui ) mit fi ∈ K∗ (Ui ), wie oben beschrieben. Weiter sei OX (D) das zugeh¨ orige B¨ undel aus Pic X, beschrieben durch −1 (OUi fi ). Dann entsprechen sich die globalen Schnitte s ∈ Γ(X, OX (D)) bis auf Multiplikation mit Elementen aus Γ(X, O∗X ), die effektiven Cartier-Divisoren D = (fi , Ui ) (fi ∈ OUi (Ui )) mit D ∼ D. Dabei wird einem Schnitt s ∈ Γ(X, OX (D)) folgender Divisor D zugeordnet: ¨ Man w¨ ahle eine Uberdeckung Ui von X, so dass OX (D)|Ui trivial ist, sowie Trivialisierungen ψi : OX (D)|Ui → OUi . Dann ist D = (ψi (s|Ui ), Ui ). Man kann nachrechnen (gemeinsame Verfeinerung!), dass dies unabh¨ angig ¨ von der gew¨ ahlten Uberdeckung und den Trivialisierungen ist. ¨ Benutzt man zweckm¨ aßigerweise die in der Proposition gew¨ ahlte Uberdeckung, so wird s gegeben durch ai fi−1 mit ai ∈ OUi (Ui ), f¨ ur die f = ai fi−1 = aj fj−1 gilt. Der zugeordnete effektive Divisor D ist dann (ai , Ui ). Man hat also (f ) + D = D  0 . Ist umgekehrt f¨ ur f ∈ K∗X (X) durch (f fi ) = (hi ) mit hi ∈ OX (Ui ) ein effektiver Cartier-Divisor D ∼ D gegeben, so wird der zugeh¨ orige Schnitt s lokal durch (f fi )(fi−1 ) = hi fi−1 beschrieben. Bez¨ uglich der Einbettung L(D) ⊆ K ist der Schnitt dann f ∈ KX (X). Korollar 5.14.2 Ist in der Situation der vorigen Proposition X sogar Integrit¨ atsschema mit Funktionenk¨ orper K(X), so ist Γ(X, OX (D)) = {f ∈ K(X)∗ | (f ) + D  0} .

(5.121)

Definition 5.14.16 Es sei X ein Schema und L = L(D) ein Linienb¨ undel. Dann heißt ein Untervektorraum W ⊆ V = Γ(X, L) Linearsystem (von Divisoren) auf X. Ist W = V , so ist W ein volles Linearsystem.  Definition 5.14.17 Es sei V = Γ(X, L(D)) ein Linearsystem auf einem Schema X. Dann heißt P ∈ X Basispunkt von V , wenn f¨ ur jedes s ∈ V die Beziehung sP ∈ mP LP gilt. Dabei ist mP ⊆ OX,P das maximale Ideal. 

5.14 Divisoren

369

Bemerkung 5.14.13 Ist D ∼ D der effektive Divisor, der dem Schnitt s ∈ Γ(X, L(D)) entspricht, so ist P genau dann Basispunkt von s, wenn P ∈ supp D gilt. Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und L = L(D) ein Linienb¨ undel auf undel auf X. Die kanonische Abbildung Y . Dann ist f ∗ L ein Linienb¨ f  : Γ(Y, L) → Γ(X, f ∗ L)

(5.122)

bildet ein Linearsystem W ⊆ Γ(Y, L) auf das Linearsystem f  (W ) ⊆ Γ(X, f ∗ L) ab. Es sei Y → X eine abgeschlossene Immersion projektiver Variet¨ aten und D auf X ein Cartier-Divisor mit Y ⊆ supp D. Definition 5.14.18 F¨ ur Y → X und D wie oben sei der Schnitt von D und Y als Divisor auf Y mit der Bezeichnung D.Y eingef¨ uhrt.  Seine Konstruktion ist wie folgt: Lokal auf U = Spec (A) ⊆ X ist der Divisor D repr¨ asentiert durch rU mit rU = a/s ∈ Q(A). Die Untervariet¨ at U ∩Y sei repr¨ asentiert durch Spec (A/p) mit einem Primideal p ⊆ A. Da Y ⊆ supp D, gilt am generischen Punkt p ∈ / supp D von Y , dass a/s ∈ (Ap )∗ . Es ist also a/s = a /s in Ap mit a , s ∈ / p. Sind a , s die Bilder von a , s in Q(A/p) = K(Y ), so kann man D.Y ∩ U durch  rU ∩Y = a /s definieren.

Bemerkung 5.14.14 Ist D effektiv, so ist auch D.Y effektiv. Mit dieser Definition k¨ onnen wir formulieren: Proposition 5.14.16 Es sei i : Y → X eine abgeschlossene Immersion projektiver Variet¨ aten. Weiter sei L(D) ein Linienb¨ undel auf X und W ⊆ Γ(X, L(D)) ein Linearsystem. F¨ ur s ∈ W mit zugeordnetem effektiven Divisor Ds ∼ D ist entweder das Bild i (s) = 0, dann ist Y ⊆ supp Ds , oder der Schnitt Ds .Y ∈ CaDiv Y ist der effektive Divisor, der i (s) = 0 zugeordnet ist. Beispiel 5.14.2 Es sei i : Y ⊆ Pn k = X eine abgeschlossene Immersion und L(D) = OX (1). Dann ist W = Γ(X, OX (1)) das System der Hyperebenen H in X, und f¨ ur einen Schnitt s ∈ W , der einer Hyperebene Hs entspricht, entspricht der Schnitt i (s) dem effektiven Divisor Hs .Y in Y , falls Y ⊆ Hs . Dabei ist supp(Hs .Y ) = Hs ∩Y . Ist hingegen Y ⊆ Hs , so ist i (s) = 0 in Γ(Y, OY (1)) und umgekehrt.

370

5 Schemata I

5.15

Projektive Schemata II

5.15.1

Ample und sehr ample Linienb¨ undel

Definition 5.15.1 Es sei X ein noethersches Schema. Dann heißt ein Linienb¨ undel L auf X ampel, wenn f¨ ur jede koh¨ arente Garbe F auf X ein n0 > 0 existiert, so dass f¨ ur alle ⊗n n  n0 die Garbe F ⊗OX L von globalen Schnitten erzeugt ist.  Proposition 5.15.1 Es sei X ein projektives noethersches Schema u ¨ber einem noetherschen Ring A. Dann ist eine bez¨ uglich der Immersion i : X → Pn A sehr ample Garbe L auch ampel. Beweis. F¨ ur eine abgeschlossene Immersion i folgt dies aus dem Satz von Serre (Proposition 5.11.14). j

i

Da alle Schemata noethersch sind, kann man i als X − → X − → Pn A schreiben, mit einer offenen Immersion j und einer abgeschlossenen Immersion i . Weiter sei F ein koh¨ arenter OX -Modul. Nach dem koh¨ arenten Ausdehnungssatz gibt es einen koh¨ arenten OX  -Modul F mit F |X = F. F¨ ur ihn ist nach der Eingangsbemerkung F (n) f¨ ur alle n  n0 von globalen Schnitten erzeugt. Also ist auch F(n) = F (n)|X von globalen Schnitten erzeugt f¨ ur n  n0 . Das heißt aber nichts anderes, als dass i∗ OPnA (1) = L eine ample Garbe ist. 

Proposition 5.15.2 Es sei X ein noethersches Schema und L ein Linienb¨ undel auf X. Dann ist aquivalent: ¨ a) L ist ampel. b) L⊗n ist ampel f¨ ur alle n > 0. c) L⊗n ist ampel f¨ ur ein n > 0. Theorem 5.15.1 Es sei X ein Schema vom endlichen Typ u ¨ber einem noetherschen Ring A. Dann ist ein Linienb¨ undel L auf X genau dann ampel, wenn eine geeignete Potenz L⊗m sehr ampel bez¨ uglich einer Immersion i : X → Pn A ist. Beweis. Proposition 5.15.1 erledigt eine Richtung des Beweises. Es bleibt nur zu zeigen, dass aus L ampel auch L⊗m sehr ampel folgt. Es sei daf¨ ur jetzt L ampel. Zun¨ achst bilden wir eine geeignete Potenz L⊗m , um L ” erzeugt von globalen Schnitten“ voraussetzen zu k¨ onnen. F¨ u r P abgeschlossener Punkt von X w¨ ahle eine offene affine Umgebung UP =  Spec B (P ) mit einer endlich erzeugten A-Algebra B (P ) . Betrachte 0 → I(X−UP )∪P → IX−UP → OX .

5.15 Projektive Schemata II

371

Tensorieren mit LmP , so dass alle Garben von globalen Schnitten erzeugt (vgSe) sind, erh¨ alt die Exaktheit 0 → I(X−UP )∪P ⊗ LmP → IX−UP ⊗ LmP → LmP . W¨ ahle einen globalen Schnitt f (P ) ∈ LmP (X), der in der mittleren, aber nicht in der (P ) (P ) anf¨ anglichen Garbe enthalten ist. F¨ ur ihn ist fP ∈ / mP Lm = Xf (P ) . P . Setze V     (P ) (P ) (P ) (P ) = Spec Bb(P ) = Spec C mit einem Element b ∈ B (P ) . Also Dann ist V (P )

ist auch C (P ) = A[T1P , . . . , TjP ] eine endlich erzeugte A-Algebra. ¨ von X. Diese seien (V (Pi ) )i = Es gen¨ ugen nun endlich viele V (P ) zur Uberdeckung (Pi ) (Pi ) (Vi )i . Ihre C seien Ci = A[Tij ], und f heiße fi sowie mPi = mi .  m/mi Nenne nun m = mi und ersetze fi durch fi ∈ Lm . Dann bleibt wegen m Xfi = Xf d auch Vi gleich, und alle fi sind nun in L . i

m/m

i Ersetze wieder L durch Lm und fi durch fi ∈ L. n Dann gilt f¨ ur Tij ∈ OX (Xfi ), dass Tij ⊗ fi ij = sij |Xfi mit sij ∈ Lnij (X). W¨ ahle ein n > nij , so kann f¨ ur alle i, j statt nij auch n verwendet werden. Es ist also fin ⊗ Tij = sij |Vi mit sij ∈ Ln (X). Benutze nun Ln und die fin sowie die sij als globale Schnitte, um einen Morphismus h : X → PN A = proj (A[Sij , Fi ]) zu definieren. F¨ ur ihn ist h−1 (D+ (Fin )) = Xfin . Da die Xfin das Schema X u ¨berdecken, ist h u ¨berall definiert. Weiter wird Rl = A[Sij , Fi ](Fl ) auf A[sij /fln , fin /fln ] ⊆ Cl abgebildet. Da sij /fin = Tij auf Vl , ist sogar Rl → Cl surjektiv. Also definiert h eine abgeschlossene Immersion in die offene Teilmenge D+ (Fl ) ⊆ PN A. Damit ist h eine Immersion und Ln = h∗ OPN (1) eine sehr ample Garbe.  A

Proposition 5.15.3 Es sei X ein noethersches Schema, und L, M seien zwei Linienb¨ undel auf X. Dann gilt: 1. Es sei L ampel und M von globalen Schnitten erzeugt. Dann ist auch L ⊗OX M ampel. 2. Es sei L ampel und M beliebig. Dann ist M ⊗OX L⊗n ampel f¨ ur gen¨ ugend großes n. 3. Wenn L und M beide ampel sind, so ist es auch L ⊗OX M. Wenn X außerdem vom endlichen Typ u ¨ber einem noetherschen Ring A ist, so gilt: 4. Wenn L sehr ampel und M von globalen Schnitten erzeugt ist, so ist L ⊗OX M sehr ampel. 5. Wenn L ampel ist, so gibt es ein n0 > 0, so dass L⊗n sehr ampel f¨ ur alle n  n0 ist.

372

5 Schemata I

5.15.2

Projektive Kegel von quasikoh¨ arenten Algebren

Es gelte im Folgenden (†)

Es sei X ein noethersches Schema, S ein quasikoh¨ arenter OX -Modul  S= Sd d0

und eine gradierte OX -Algebra. Es sei S0 ∼ = OX ein Isomorphismus und S1 ein koh¨ arenter OX -Modul sowie S lokal erzeugt von S1 als OX -Algebra. Unter diesen Voraussetzungen k¨ onnen wir das Schema Proj (S)/X definieren. Definition 5.15.2 Es sei def

Proj (S)|U = proj (S(U ))

(5.123)

f¨ ur U ⊆ X affin. Es gibt dann kanonische Abbildungen πU : Proj (S)|U → U

(5.124)

und kanonische Isomorphismen −1 −1 πU (Uf ) ∼ = Proj (S(Uf )) = πUf (Uf )

f¨ ur alle f ∈ OX (U ). Also lassen sich die Schemata (5.123) zusammen mit den Morphismen (5.124) zu einem Schema Proj (S) mit einer Abbildung π : Proj (S) → X verkleben. Dieses Schema P = Proj (S) tr¨ agt eine kanonische OP (1)-Garbe, die lokal durch S(U )(1)˜ gegeben ist. Wir nennen Proj (S) auch den projektiven Kegel u  ¨ber S. Lemma 5.15.1 Es sei S = R[x0 , . . . , xn ] ein gradierter Ring und L ∼ = R ein R-Modul. Definiere dann  S∗L= Sd ⊗ L⊗d . d0 ∼

angigen Isomorphismus Identifiziert man α : R → L, so hat man einen von α abh¨ ϕα : S → S = S ∗ R ∼ = S ∗ L, der einen Isomorphismus fα : proj (S ∗ L) → proj (S) induziert. Es gilt dann: Der Isomorphismus fα h¨ angt nicht von der gew¨ ahlten Identifizierung α ab. ¨ Uberdies ist die Konstruktion funktoriell unter Lokalisierung R → Rr , das Rr R heißt, nennen wir ϕα = ϕR α , so ist ϕα = (ϕα )r .

5.15 Projektive Schemata II

373

∼

Beweis. Es seien α, β : R → L zwei Isomorphismen, festgelegt durch α(1) = x und β(1) = y. Es ist dann y = a x mit a ∈ R∗ . Das Dreieck ϕα / S∗L S ϕβ

" 

θ

S∗L definiert eine Abbildung θ. Es ist f¨ ur s ∈ Sd das Bild ϕα (s) = s ⊗ x⊗d und ϕβ (s) = ⊗d ⊗d d s ⊗ y = s ⊗ (ax) = a ϕα (s). Die Abbildung θ ist also f¨ ur s ∈ Sd durch θ(s ⊗ l⊗d ) = ad (s ⊗ l⊗d ) festgelegt. Nennen wir der K¨ urze halber T = S ∗ L, so ist θ : T → T auf der Komponente Td gleich θ(t) = ad t f¨ u r t ∈ Td . Damit ist aber f¨ ur jedes f ∈ T1 die Abbildung θf : T(f ) → T(f ) gleich der Identit¨ at, denn es ist ja θf (t/f d ) = (ad t)/(af )d = t/f f¨ u r t ∈ Td . Also ist θ∗ : proj (T ) → proj (T ) gleich der Identit¨ at, und wir haben fα = ϕ∗α = ∗ ϕβ = fβ , wie behauptet. Die Funktorialit¨ at unter R → Rr ist offensichtlich. 

Proposition 5.15.4 Es seien X, S wie in (†), es sei L eine invertierbare Garbe auf X sowie S =



Sd ⊗ Ld = S ∗ L .

d0

Dann erf¨ ullt S auch (†), und es gibt einen nat¨ urlichen Isomorphismus   φ : Proj S = P → Proj (S) = P mit πP ◦ φ = πP und

φ∗ OP (1) ⊗OP πP∗ L ∼ = OP (1) .

(5.125)

Beweis. Die Wohldefiniertheit von φ und dass φ ein Isomorphismus ist, folgt aus dem vorangegangenen Lemma: Wegen der Funktorialit¨ at unter R → Rr verkleben die einzelnen, dort konstruierten Morphismen fα u ¨ber X miteinander und ergeben die Abbildung φ.  wo Man betrachte nun (5.125) lokal u ¨ber U = Spec (R) ⊆ X. Es sei S = S, S = R[x0 , . . . , xn ] ein gradierter R-Modul ist, und das Linienb¨ undel L sei auf U trivial und durch den R-Modul L ∼ asentiert. = R repr¨ Dann ist auf S(f ) f¨ ur ein f ∈ S1 die Abbildung von der linken Seite auf die rechte Seite von (5.125): S(1)(f ) ⊗S(f ) (S ∗ L)(f ⊗1) ⊗(S∗L)(f ⊗1) (S ∗ L)(f ⊗1) ⊗R L = ∼

= S(1)(f ) ⊗S(f ) (S ∗ L)(f ⊗1) ⊗R L → (S ∗ L)(1)(f ⊗1) Dies ist offensichtlich ein nat¨ urlicher Isomorphismus.

Proposition 5.15.5 Es seien X, S wie in (†) und π : Proj (S) = P → X. Dann gilt: 1. Die Abbildung π ist eigentlich.



374

5 Schemata I

2. Wenn X eine ample Garbe L besitzt, dann ist π projektiv, und OP (1) ⊗OP π ∗ Ld ist eine sehr ample invertierbare Garbe auf P u ur ein geeignetes d > 0. ¨ber X f¨ Beweis. Die Behauptung 1. ist offensichtlich, denn u ¨ber U = Spec (A) ⊆ X, offen, ist Proj (S) ∩ π −1 (U ) = proj (S) mit einer A-Algebra S = A[x0 , . . . , xn ]/I, wobei A[x0 , . . . , xn ] der Polynomring u ¨ber A ist.     Wir beweisen nun 2.: Man betrachte Proj S ∗ L⊗d . Es ist dann S ∗ L⊗d 1 = S1 ⊗OX L⊗d .   W¨ ahlt man d also gen¨ ugend groß, so ist S ∗ L⊗d 1 von globalen Schnitten u ¨ber X   arent und X noethersch ist, gen¨ ugen daf¨ ur endlich viele erzeugt. Da S ∗ L⊗d 1 koh¨ Schnitte. Das heißt also, es gibt einen surjektiven Garbenhomomorphismus   +1 ON → S ∗ L⊗d → 0 , X 1

und, da die Garbe rechts die Garbe S ∗ L⊗d als OX -Algebra erzeugt, auch einen surjektiven Algebrenhomomorphismus OX [T0 , . . . , TN ] → S ∗ L⊗d → 0 .  Wendet  man  Proj an, so entspricht dies Neiner abgeschlossenen Immersion i : ⊗d Proj S ∗ L → Proj (OX [T0 , . . . , TN ]) = PX .  Benutzt man   die Bezeichnungen der vorigen Proposition und nennt P das Schema Proj S ∗ L⊗d sowie P das Schema Proj (S), so ist i∗ OPN (1) = OP (1). X Man nenne nun ψ die Umkehrabbildung von φ aus voriger Proposition, sie defi niert einen Isomorphismus ψ : P → P . Zusammen ergibt sich eine abgeschlossene ∼ Immersion i = i ◦ ψ : P → P → PN X . Es ist dann

  i∗ OPN (1) = ψ ∗ OP (1) = ψ ∗ φ∗ OP (1) ⊗OP πP∗ L⊗d = OP (1) ⊗OP πP∗ L⊗d . X



Proposition 5.15.6 Es sei wie oben S = S0 ⊕ S1 ⊕ · · · eine gradierte OX -Algebrengarbe auf einem Schema X. Weiter bezeichne S[z] die gradierte Algebrengarbe mit S[z]d = S0 z d ⊕ S1 z d−1 ⊕ · · · ⊕ Sd z 0 .

(5.126)

Proj (S[z])(z) ∼ = Spec (S) ,

(5.127)

Dann gilt und Spec (S) ist dicht in Proj (S[z]). Weiterhin ist V (z) ⊆ Proj (S[z]), die Hyperebene im Unendlichen, isomorph zu Proj (S).

5.15 Projektive Schemata II

5.15.3

375

Projektive B¨ undel P(E)

F¨ ur die folgende Definition sei zun¨ achst an den Begriff des symmetrischen Produkts S • (E) eines lokal freien A-Moduls E erinnert. Da f¨ ur f ∈ A auch S • (E)f ∼ asst sich die = S • (Ef ) kanonisch isomorph ist, l¨ • Definition von S (E) verm¨ oge • S • (E)|U ∼ = S (E(U ))

ur eine lokal freie OX -Garbe E fortsetzen. zu einer Definition von S • (E) f¨ Definition 5.15.3 Es sei X ein noethersches Schema, E ein lokal freier koh¨ arenter OX -Modul. Dann sei  d P(E) = Proj (S) mit S = S(E) = S (E) . d0

Wir nennen P(E) das projektive B¨ undel u ¨ber E.



Notiz 5.15.1 Wenn E|U frei ist, dann gilt E ∼ und deshalb P(E)|U ∼ = On+1 = Pn U. U Proposition 5.15.7 Es seien X, E, S, P(E) wie in der Definition 5.15.3 Dann gilt: 1. Es existiert ein Isomorphismus von gradierten OX -Algebren:  π∗ OP(E) (l) wenn rang(E)  2 S∼ = l∈Z

Insbesondere gilt: ur l < 0. 1. π∗ OP (l) = 0 f¨ 2. π∗ OP = OX . 3. π∗ OP (1) = E. 2. Es gibt einen nat¨ urlichen surjektiven Morphismus: π ∗ E → OP(E) (1) Beweis. Alle diese Aussagen sind lokal in der Basis X und k¨ onnen daher auf den Fall X = Spec (A) und E = An+1 sowie Proj (S) = proj (A[t0 , . . . , tn ]) zur¨ uckgef¨ uhrt werden. 

Proposition 5.15.8 Es sei f : E → F ein surjektiver Morphismus von lokal freien OX -Moduln. Dann ist f  : P(F) → P(E) eine abgeschlossene Immersion von X-Schemata.

376

5 Schemata I

Proposition 5.15.9 g Es seien X, E, P(E) wie oben. Weiter sei Y → X ein zweites Schema. Dann entspricht ein Morphismus f

/ P(E)

f

Y g



X

|

π

einer invertierbaren Garbe L auf Y und einer surjektiven Abbildung g∗ E  L → 0 . Beweis. Setze n¨ amlich L = f ∗ OP(E) (1) und konstruiere die Abbildung g ∗ E  L direkt aus den Definitionen f¨ ur den Spezialfall X = Spec (A), Y = Spec (B). 

Beispiel 5.15.1 Es sei E ein Vektorb¨ undel auf X und f ∈ E(X) ein globaler Schnitt. Dann hat man die Abbildungen π ∗ E → OP(E) (1) und E(X) → π ∗ E(P(E)). Zusammen definieren sie einen globalen Schnitt aus OP(E) (1)(P(E)), den wir auch mit f bezeichnen wollen. Man hat dann eine wohldefinierte offene Teilmenge P(E)f ⊆ P(E). Im Folgenden sei X projektiv, eingebettet u ¨ber OX (1). Es ist dann bei geeig netem n  0 und f¨ ur di  0 f¨ ur ein Vektorb¨ undel E stets i OX (di ) → E(n) → 0 nach dem Serreschen Vertwistungssatz. Da auch Om X → OX (d) → 0 surjektiv geN +1 funden werden kann, gibt es ein N mit OX → E(n) → 0 surjektiv, wenn man n groß genug w¨ ahlt. Desweiteren ist P(E(n)) ∼ = P(E) nach Proposition 5.15.4. Vergleicht man affine und projektive B¨ undel, so gilt die Beziehung A(E) ∼ = Spec (S(E)) ∼ = P(E ⊕ OX )f , wobei f der Schnitt 0 ⊕ 1 von F = E ⊕ OX u ¨ber X ist. +1 Da nun, wie bemerkt, ON → F(n) → 0 und P(F(n)) = P(F), folgt: X N P(F) ∼ = P(F(n)) → PX ,

wobei die Abbildung rechts eine abgeschlossene Immersion ist. Das B¨ undel A(E) ∼ = P(F)f ist damit als quasiprojektive Mannigfaltigkeit nachgewiesen und gleichzeitig explizit als Einbettung konstruiert. Proposition 5.15.10 Es sei X ein regul¨ ares noethersches Schema und π : P(E) → X ein projektives B¨ undel zu einem Vektorb¨ undel E u oßer als 1). ¨ber X (der Rang von E sei gr¨ Dann ist α : Pic X × Z → Pic P(E) mit α(L, n) = π ∗ L ⊗ OP (n) eine Bijektion.

5.15 Projektive Schemata II

377

Beweis. Es sei π ∗ L ⊗ OP (n) = OP . Anwenden von π∗ und die Projektionsformel ergeben OX = π∗ OP = L ⊗ π∗ OP (n). Da π∗ OP (n) = S n (E), ist n = 0 und L ∼ = OX . Damit ist die Injektivit¨ at von α gezeigt. ¨ ¨ Die Surjektivit¨ at gilt wegen folgender Uberlegung: Uberdecke X mit Ui , so dass E auf Ui trivial ist. Es ist dann Pi = P(E) ×X Ui ∼ = Ui × Pn , also Pic(Pi ) = Pic Ui × Z. Ist nun M ∈ Pic P(E), so ist lokal M|Pi ∼ = π ∗ (Li ) ⊗ OPi (ni ). Dabei ist Li ∈ Pic Ui und π : Pi → Ui die kanonische Abbildung. Da X integres Schema, ist Ui ∩ Uj nichtleer und deshalb auch ni = nj = n. Setzt man M = M ⊗ OP (−n), so ist M |Pi = π ∗ Li . Also, wieder nach der Projektionsformel π∗ (M ) = L mit einem Linienb¨ undel L, f¨ ur das L|Ui = Li ist. Also ist π ∗ L ⊗ OP (n) = M und die Surjektivit¨ at von α gezeigt. 

Korollar 5.15.1 Es sei X ein regul¨ ares noethersches Schema, und E, E seien zwei Vektorb¨ undel auf X. Dann ist ¨ aquivalent: a) Es ist P(E) ∼ = P(E ). undel L ∈ Pic X. b) Es ist E ∼ = E ⊗OX L mit einem Linienb¨

5.15.4

Kegel

In Abschnitt 5.12.2 hatten wir drei Arten von projektiven Abschl¨ ussen bzw. Kegeln f¨ ur Schemata u uhrt: ¨ber Spec (k) eingef¨ n ¯ 1. f¨ u r X ⊆ An k den Abschluss X ⊆ Pk , n+1 , 2. f¨ u r X ⊆ Pn k den affinen Kegel C(X) ⊆ Ak n+1 und eine Hyper3. f¨ u r X ⊆ Pn k den projektiven Kegel P (X) = C(X) ⊆ Pk n+1 ∼ fl¨ ache H ⊆ Pk mit H ∩ P (X) = X.

Wir definieren jetzt analoge Bildungen f¨ ur ein beliebiges (noethersches) Basisschema T anstelle von Spec (k) und entsprechenden Verallgemeinerungen von n An k bzw. Pk . Bemerkung 5.15.1 Man beachte, dass hier f¨ ur eine gradierte Algebrengarbe S• die Algebrengarbe • S [z] durch (S• [z])d = Sd ⊕ z Sd−1 ⊕ · · · ⊕ z d S0 definiert ist. Definition 5.15.4 Es sei X ⊆ Spec (S• ). Dabei ist S• eine gradierte OT -Algebrengarbe. Dann ist ¯ das schematheoretische Bild von X     X → Spec S• → Proj S• [z] . Im Spezialfall S• = S(E) mit einem OT -Vektorb¨ undel E ist S• [z] = S(E ⊕ OT ). 

378

5 Schemata I

Definition 5.15.5 Es ist X = Proj (S• /I) ⊆ Proj (S• ) und   C(X) = Spec S• /I .  Definition 5.15.6 Es ist X = Proj (S• /I) ⊆ Proj (S• ). Dann ist       P (X) = C(X) = Proj (S• /I)[z] = Proj S• [z]/I[z] ⊆ Proj S• [z] und H = V (zS• [z]). Es ist dann auch H ∩ P (X) ∼ = X. Im Spezialfall S• = S(E) ist X = Proj (S(E)/I) und P (X) = Proj (S(E ⊕ OT )/IS(E ⊕ OT )) und H = V (0 ⊕ 1) mit 0, 1, den kanonischen Schnitten von E und OT .

5.15.5



Aufblasungen

Definition 5.15.7 Es sei X ein noethersches Schema, I eine koh¨ arente Idealgarbe und S=



Id ,

I0 = OX .

d0

Dann erf¨ ullen X und S die Bedingung (†) des vorigen Abschnitts. Man nennt ˜ = BlZ X := Proj (S) X die Aufblasung von X entlang I (im Englischen Blow-Up) bzw. die Aufblasung von X entlang dem Unterschema Z = V (I) von X.  Definition 5.15.8 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und I ⊆ OY eine Idealgarbe. Dann ist auch f −1 I ⊆ f −1 OY eine Idealgarbe (f¨ ur die Ringgarbe f −1 OY ). Es gibt eine ψ

nat¨ urliche Abbildung von Ringgarben f −1 OY → OX . Man definiert I = ψ(f −1 I) = f −1 I · OX = I · OX . def

def

def



5.15 Projektive Schemata II

379

Notiz 5.15.2 Im Diagramm

/ OX
0, so h¨ atte die gemeinsame Nullstelle der s0 , . . . , sm h¨ ochstens Kodimension m+1  n in Pn abe es mindestens einen Punkt P ∈ Pn k , also g¨ k, −1 wo alle si (P ) = 0 sind. Damit w¨ are P ∈ / f (Pm k ). Es muss also d = 0 und die Abbildung konstant sein. 

388

5.15.8

5 Schemata I

Projektion von einem linearen Teilraum

Es sei nun X = Pn orper k und L ⊆ X k mit einem algebraisch abgeschlossenen K¨ ein linearer Teilraum der Dimension k  0. Weiter sei E ⊆ X ein zweiter linearer Teilraum mit Dimension n − k − 1, also E ∼ = Pn−k−1 , und es sei E ∩ L = ∅. Dann definieren wir eine Abbildung p : X − L → E ⊆ X folgendermaßen: F¨ ur einen Punkt Q ∈ X bilde den von L und Q erzeugten kleinsten linearen Teilraum, abgek¨ urzt LQ. Er hat Dimension k + 1, wenn Q ∈ / L, und schnei det E daher in einer Untervariet¨ at Q der Dimension 0. Da es sich um lineare Unterr¨ aume handelt, ist Q ein eindeutig bestimmter Punkt Q ∈ E ⊆ X. Definition 5.15.11 Die oben definierte Abbildung p : X − L → E ⊆ X mit p(Q) = Q ∈ E heißt Projektion von L (nach E = Pn−k−1 ). Wir fassen sie als Abbildung p : X − L → X auf, deren Bild in E liegt.  Ist in Koordinaten Q = (x0 : . . . : xn ), so ist Q = (W0 (x) : . . . : Wn (x)) mit linearen homogenen Polynomen Wν (x) = Wν (x0 , . . . , xn ). Beweis. Man erkennt dies etwa mit der Cramerschen Regel. Es seien v0 , . . . , vk linear unabh¨ angige Erzeuger von L jetzt aufgefasst als linearer Unterraum L von n+1 k mit Dimension k + 1. Weiter sei w0 , . . . , wn−k−1 ein entsprechendes System des Unterraums E  von kn+1 mit Dimension n − k. Es sei Q = (x0 , . . . , xn ) ∈ kn+1 . Die Beziehung λ0 v0 + · · · + λk vk + μ0 w0 + · · · + μn−k−1 wn−k−1 = Q legt λi und μj eindeutig fest. Es ist dann Q = μ0 w0 + · · · + μn−k−1 wn−k−1 . Der Faktor μj ist aber ein lineares Polynom in x0 , . . . , xn , wie man aus der Beziehung μj =

det(v0 , . . . , vk , w0 , . . . , wj−1 , Q, wj+1 , . . . , wn−k−1 ) det(v0 , . . . , vk , w0 , . . . , wn−k−1 )

sofort ersieht. Als abstrakte Abbildung X − L → Pkn−k−1 wird p durch Q → (μ0 (Q), . . . , μn−k−1 (Q)) mit den obigen μj gegeben.



5.16 Die Differentialgarbe ΩX|Y

389

5.16

Die Differentialgarbe ΩX|Y

5.16.1

Definition und grundlegende Eigenschaften

Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus. Dann l¨ asst sich eine quasikoh¨ arente OX -Garbe ΩX|Y durch Zusammenkleben lokal definierter Differentialgarben herstellen. Definition 5.16.1 F¨ ur einen Schemamorphismus f : X → Y seien U, V offene affine Teilmengen mit f /Y XO O U

/V

fU

und U = Spec (B) sowie V = Spec (A). Dann sei ΩX|Y ein quasikoh¨ arenter OX -Modul, f¨ ur den (ΩX|Y )|U = (ΩB|A ) mit der durch fU induzierten Abbildung A → B ist. Die Garbe ΩX|Y heißt Garbe der (K¨ ahler-)Differentiale von X relativ zu Y oder einfach Differentialgarbe.  Bemerkung 5.16.1 Dass ΩX|Y wohldefiniert ist, u ¨berlegt man sich, indem man das Verhalten von ΩB|A unter Abbildungen A → Aa und B → Bb betrachtet. Die folgenden Propositionen folgen aus entsprechenden Aussagen f¨ ur affine Schemata, auf die sich der Beweis durch lokale Betrachtungen immer reduzieren l¨ asst. Proposition 5.16.1 f g Es seien X → Y → Z drei Schemata mit Morphismen f und g. Dann besteht folgende Sequenz: f ∗ ΩY |Z → ΩX|Z → ΩX|Y → 0 Proposition 5.16.2 Es sei X

g

X

f

! ~ f

!

Y

}

g

Y

390

5 Schemata I

ein kartesisches Quadrat von Schemata. Dann ist die Komposition der kanonischen Abbildungen g ∗ ΩX|Y → ΩX  |Y → ΩX  |Y 

(5.133)

ein Isomorphismus. Proposition 5.16.3 Es seien X, Y zwei S-Schemata und X ×S Y das Faserprodukt mit den kanonischen Abbildungen p1 , p2 . Dann ist ΩX×S Y |S = p∗1 ΩX|S ⊕ p∗2 ΩY |S . Proposition 5.16.4 f Es seien X → Z zwei Schemata und i : Y → X ein abgeschlossenes Unterschema von X, das durch die Idealgarbe J ⊂ OX beschrieben wird. Dann besteht folgende Sequenz: J/J2 → ΩX|Z ⊗OX OY → ΩY |Z → 0 Dabei stehe ΩX|Z ⊗OX OY f¨ ur i∗ ΩX|Z . Proposition 5.16.5 (Euler-Sequenz) Es sei A ein kommutativer Ring und X = Pn ¨ber A. Dann A der projektive Raum u existiert folgende exakte Sequenz: 0 → ΩX|A → OX (−1)n+1 → OX → 0

(5.134)

Beweis. Wir definieren die Abbildungen u uck von X getrennt. ¨ber jedem affinen Teilst¨ Es sei etwa D+ (x0 ) = U0 ⊂ X. Dann ist ΩX|A |U0 = R d(x1 /x0 ) + · · · + R d(xn /x0 ) , wobei R = A[x1 /x0 , . . . , xn /x0 ] ist. Ein Element von ΩX|A (U0 ) hat also die Form n 

ai d(xi /x0 ) =

i=1

n 

ai

i=1

dxi x0 − xi dx0 . x20

Der rechte Ausdruck ist dabei rein formal aus dem linken durch Anwendung der Differentiationsregeln gebildet. Er ist, weiter umgeformt, gleich n  i=1

 xi 1 1 dxi − ai dx0 . x0 x0 x0 i=1 n

ai

Identifiziert man formal OX (−1)n+1 ∼ =

n  j=0

OX (−1) dxj ,

(5.135)

5.16 Die Differentialgarbe ΩX|Y

391

so liefert (5.135) eine Injektion von ΩX|A (U0 ) in OX (−1)n+1 (U0 ). Damit ist die linke Abbildung in (5.134) bekannt. Man rechnet auch leicht nach, dass die Definitionen auf den u ucken der Ui = D+ (xi ) u ¨berlappenden St¨ ¨bereinstimmen. Die rechte Abbildung in (5.134) wird auf U0 durch (b0 /x0 , b1 /x0 , . . . , bn /x0 ) → b0 +

n 

bi

i=1

xi x0

¨ gegeben, wobei bi aus R ist. Man pr¨ uft auch hier leicht die Ubereinstimmung auf  u ¨berlappenden Ui nach und ebenso die Exaktheit von (5.134).

Proposition 5.16.6 Es sei X = Pn A wie in der vorigen Proposition. Die Sequenz aus dieser Proposition sei abgek¨ urzt 0 → ΩX|A → E → OX → 0. Dann existiert eine exakte Sequenz: 0→

d 

ΩX|A →

d 

E→

d−1 

ΩX|A → 0

(5.136)

Beweis. Die Behauptung folgt aus der Gleichung (5.53), angewandt auf die Sequenz aus der vorigen Proposition. 

Beispiel 5.16.1 Es sei X = An k , also X = Spec (A) mit A = k[x1 , . . . , xn ]. Weiter sei Y = Spec (A/I) mit einem Ideal I = (f1 , . . . , fr ) ⊆ A. Dann ist ΩX|k ∼ = A dx1 ⊕ · · · ⊕ A dxn ,

(5.137)

ΩX|k ⊗OX OY ∼ = A/I dx1 ⊕ · · · ⊕ A/Idxn ,

(5.138)

ΩY |k ∼ = (A/I dx1 ⊕ · · · ⊕ A/Idxn )/ (((

∂fi ∂fi + I)dx1 + · · · + ( + I)dxn )i ) , ∂x1 ∂xn (5.139)

wobei links immer die dem Modul rechts entsprechende Garbe steht. Die Abbildung I/I 2 → ΩX|k ⊗OX OY wird auf Modulebene gegeben durch f + I 2 → (

∂f ∂f + I)dx1 + · · · + ( + I)dxn . ∂x1 ∂xn

Beispiel 5.16.2 In Erweiterung des vorigen Beispiels betrachten wir f : Y → X mit X = Spec (k[x1 , . . . , xn ]/I) = Spec (A/I),

I = (f1 , . . . , fr )

Y = Spec (k[y1 , . . . , ym ]/J) = Spec (B/J),

J = (g1 , . . . , gs ).

und

392

5 Schemata I

Die Abbildung f sei gegeben durch xi + I → hi (y1 , . . . , ym ) + J. Dann wird die Sequenz f ∗ ΩX|k → ΩY |k → ΩY |X → 0 auf Modulebene gegeben durch α

((A/I dx1 + · · · + A/I dxn ))/P ⊗A/I B/J − → (B/J dy1 + · · · + B/J dym )/Q → M → 0 . (5.140) Dabei wird A/I gem¨ aß der durch f induzierten Abbildung A/I → B/J abgebildet und dxi → (∂hi /∂y1 + J) dy1 + · · · + (∂hi /∂ym + J) dym . F¨ ur die Untermoduln P und Q gilt: P = ((

∂fi + I)dxj )i ), ( ∂xj j

Q = ((

∂gi ( + J)dyj )i ) ∂yj j

Man rechnet zun¨ achst nach, dass das Bild von

dxi nicht vom benutzten hi mod J abh¨ angt, indem man hi durch hi + hi mit hi = bl gl ersetzt und erkennt, dass  j

∂hi /∂yj dyj =

 ∂bl  ∂gl gl dyj + bl dyj ∂yj ∂yj j,l

j,l

im Bildmodul 0 ist.



Weiterhin wird ein Element j ∂fi /∂xj dxj aus P auf j,k ∂fi /∂xj ∂hj /∂yk dyk

abgebildet. Dies ist aber k ∂fi (h1 , . . . , hm ))/∂yk dyk . Da J  fi (h1 , . . . , hm ) =

b g , wird auch dieses Element im Bildmodul zu 0. l l l

Beispiel 5.16.3 n Es sei X eine projektive k-Variet¨ at mit i : X → Pn k und Pk = proj (S) mit  mit einem asentation von ΩX|k als M S = k[x0 , . . . , xn ]. Wir wollen eine Pr¨ S-Modul M finden. Wir beginnen mit 0 → ΩPn |k → OPn (−1)n+1 → OPn → 0 und wenden i∗ an: 0 → i∗ ΩPn |k → OX (−1)n+1 → OX → 0

(5.141)

Die Sequenz 0 → IX → OPn → OX → 0 sei auf Modulebene durch 0 → I → S → S/I → 0 - = OX . mit einem saturierten Ideal I von S wiedergegeben, also S/I ∗  Es ist dann also ΩPn |k ⊗ OX = i ΩPn |k = N mit α

→ S/I , 0 → N → (S/I)(−1)n+1 −

(5.142)

  auf (5.142) xi fi ist. Man sieht dies, indem man X → X wobei α((fi )) = anwendet, mit (5.141) vergleicht und das 5-Lemma anwendet.

5.16 Die Differentialgarbe ΩX|Y

393

Als n¨ achstes gilt: d

IX /I2X − → ΩPn |k ⊗ OX → ΩX|k → 0 Wendet man auf die Sequenz d

I/I 2 − →N →M →0  an, so erkennt man wieder mit dem 5-Lemma und Vergleich den Funktor X → X  = ΩX|k . Die Abbildung d : I/I 2 → N wird mit der vorigen Sequenz, dass M ∂f 2 dabei durch d(f + I ) = ( ∂xi + I)i nach (S/I)(−1)n+1 induziert. Dass d durch  ∂f N faktorisiert, folgt aus xi ∂xi = s f f¨ ur ein homogenes Polynom f aus S vom Grad s. Man rechnet auch leicht nach, dass d auf Garbenebene die korrespondierende Abbild → ΩPn |k ⊗ OX → OX (−1)n+1 induziert. Es gen¨ ugt f¨ ur eine Betrachtung dung IX /I2X − u ¨ber D+ (xα ) die Gleichung d(

 ∂f 1 f s )= dxi − f s+1 dxα s s xα ∂x x i xα α i

und die Bemerkung, dass f

s xs+1 α

in (S/I)(−1)(xα ) zu Null wird, da f ∈ I ist.

Ist also I = (f1 , . . . , fm ) mit fj ∈ S, homogen, so ist M = N/(d(f1 + I 2 ), . . . , d(fm + I 2 )).  gefunden. Damit ist die gesuchte Pr¨ asentation ΩX|k = M Proposition 5.16.7 Es sei X/k ein Schema vom endlichen Typ u orper k und dim W  n ¨ber einem K¨ f¨ ur jede irreduzible Komponente W ⊆ X. Dann ist dimk(x) ΩX|k ⊗OX k(x)  n f¨ ur jedes x ∈ X. Beweis. Es sei j : W → X eine irreduzible Komponente mit reduzierter induzierter Schemastruktur und mit x ∈ W . Weiter sei i : {x} → W und i = j ◦ i. Dann ist (∗)

i∗ ΩX|k = ΩX|k ⊗OX k(x) = j ∗ ΩX|k ⊗OW k(x) → ΩW |k ⊗OW k(x) → 0

surjektiv. Es ist dim W  n und deshalb dimK(W ) (ΩW |k ⊗OW K(W ) = ΩK(W )|k )  n , denn K(W ) = F (w1 , . . . , wr ) mit F rein-transzendent u ¨ber k vom Grad dim W und wi algebraisch u ¨ber F . Es ist aber weiterhin ΩW |k eine koh¨ arente Garbe auf W , und nach dem Satz u ¨ber die Halbstetigkeit der lokalen Dimension ist damit auch dimk(x) (ΩW |k ⊗OW k(x))  n. Wegen (∗) folgt dimk(x) ΩX|k ⊗OX k(x)  n. 

394

5.16.2

5 Schemata I

Regul¨ are Untervariet¨ aten

Definition 5.16.2 Ein Schema X heißt regul¨ ar bzw. nichtsingul¨ ar in x ∈ X, wenn OX,x ein regul¨ arer lokaler Ring ist. Ein Schema X heißt nichtsingul¨ ar oder auch regul¨ ar, falls es in allen x ∈ X regul¨ ar ist.  Theorem 5.16.1 Es sei X ein separiertes, irreduzibles Schema vom endlichen Typ u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k. Dann ist X genau dann regul¨ ar und eine Variet¨ at, also reduziert, falls ΩX|k ein lokal freier OX -Modul vom Rang n = dim X ist. Beweis. Es sei ΩX|k lokal frei vom Rang n. Dann ist f¨ ur jeden abgeschlossenen Punkt x ∈ X und mit lokalem Ring (OX,x , m) auch ΩX|k ⊗OX k(x) = m/m2 vom Rang n als k(x)-Vektorraum. Damit ist OX,x ein regul¨ arer lokaler Ring. Da dies auch f¨ ur alle seine Lokalisierungen gilt, ist X ein regul¨ ares Schema. Insbesondere ist OX,x dann auch ein Integrit¨ atsring, mithin X reduziert und irreduzibel, also eine Variet¨ at. Umgekehrt, sei X eine regul¨ are Variet¨ at. Nenne (B, m) den Ring OX,x f¨ ur einen abgeschlossenen Punkt x ∈ X. Dann ist ΩX|k ⊗ k(x) = ΩB|k ⊗B kB = m/m2 . Da B regul¨ ar, ist m/m2 ein kB Vektorraum vom Rang n. Weiterhin gilt f¨ ur die Funktionenk¨ orper K(X) = Q(B), dass K(X) separable Erweiterung von L = k(T1 , . . . , Tn ) ist. Also ist ΩB|k ⊗B Q(B) = ΩQ(B)|k = = Q(B) ⊗L ΩL|k = Q(B) ⊗L (L dT1 + · · · L dTn ) = Q(B)n . (5.143) Nun ist allgemein f¨ ur einen lokalen noetherschen Integrit¨ atsring B jeder B-Modul M mit rangkB M ⊗B kB = rangQ(B) M ⊗B Q(B) = n ein freier B-Modul vom Rang n. Also auch ΩB|k . Mithin ist ΩX|k ein lokal freier OX -Modul vom Rang n. 

Proposition 5.16.8 Es sei X/k eine Variet¨ at u orper k. ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ Dann existiert eine nichtleere, offene und regul¨ are Untervariet¨ at U ⊆ X. Beweis. Es ist ΩX|k eine koh¨ arente Garbe und f¨ ur den generischen Punkt ξ von X ist ΩX|k ⊗OX k(ξ) = ΩK(X)|k mit dem Funktionenk¨ orper K(X) von X. Da k algebraisch abgeschlossen, ist dieser Funktionenk¨ orper eine separable Erweiterung eines reintranszendenten K¨ orpers L = k(u1 , . . . , un ) mit n = dim X. Also ist dimK(X) ΩK(X)|k = n und damit dimk(ξ) ΩX|k ⊗OX k(ξ) = n. Da die lokale Dimension einer koh¨ arenten Garbe eine oberhalbstetige Funktion auf X ist, gibt es ein U ⊆ X, offen, mit ξ ∈ U , so dass dimk(x) ΩX|k ⊗OX k(x) = n f¨ ur alle x ∈ U ist. Damit ist ΩU |k lokal frei vom Rang n = dim U und nach vorigem Theorem U/k eine regul¨ are Variet¨ at. 

5.16 Die Differentialgarbe ΩX|Y

395

Vor dem Beweis des folgenden Theorems ist es g¨ unstig, ein kleines Hilfslemma abzutrennen: Lemma 5.16.1 Es sei (A, m) ein regul¨ arer lokaler Ring der Dimension n und f1 , . . . , fr ∈ m−m2 2 deren Bild in m/m ein r-dimensionaler k = A/m-Vektorraum ist. Dann ist I = (f1 , . . . , fr ) ein Primideal von A, und es ist dim A/I = n − r sowie ht I = r. Beweis. Es sei m/m2 = (gj + m2 , fi + m2 ) mit j = 1, . . . , n − r und i = 1, . . . , r. Dann ist (g1 , . . . , gn−r , f1 , . . . , fr ) eine regul¨ are A-Folge in m. Insbesondere ist f1 , . . . , fr eine regul¨ are Teilfolge und damit dim A/I = dim A/((fi )) = depth A/((fi )) = n − r. Da m/I = (g1 + I, . . . , gn−r + I) von n − r Elementen erzeugt, ist auch A/I regul¨ ar und damit ein Integrit¨ atsring. Folglich ist I ein Primideal und hat die H¨ ohe r. 

Theorem 5.16.2 Es sei X eine nichtsingul¨ are Variet¨ at u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k, Y ⊂ X ein irreduzibles abgeschlossenes Unterschema, definiert durch die Idealgarbe J ⊂ OX . Dann ist ¨ aquivalent: a) Y ist nichtsingul¨ ar. b) Es gilt: i) ΩY |k ist lokal freie Garbe (auf Y ). ii) Die Folge 0 → J/J2 → ΩX|k ⊗OX OY → ΩY |k → 0 ist exakt. Es gilt dann jeweils noch, dass J lokal von r = codim(Y, X) Elementen erzeugt wird und J/J2 eine lokal freie Garbe (auf Y ) vom Rang r ist. Beweis. Wir betrachten in einer offenen Teilmenge Spec (A) ⊆ X von X die Sequenz (∗)

0 → I/I 2 → ΩA|k ⊗A B → ΩB|k → 0

mit B = A/I. Zun¨ achst sei diese Sequenz exakt und ΩB|k lokal frei, also flach und projektiv. Tensorieren mit k(x) = A/m f¨ ur ein x ∈ Y , abgeschlossen, liefert dann die exakte Sequenz 0 → I/mI → m/m2 → m/(m2 + I) → 0. Der Vektorraum in der Mitte hat Dimension n, der links hat mindestens Dimension r = codim(Y, X), denn die Urbilder seiner Erzeuger in I erzeugen be 2 reits I (Nakayama-Lemma). Also ist dim m/(m + I)  n − r. Damit ist aber  2 dim m/(m + I) = n − r und Y in x regul¨ ar. Es sei nun umgekehrt Y nichtsingul¨ ar. Wir setzen nun A in (∗) gleich einem OX,x f¨ ur einen abgeschlossenen Punkt x = m ∈ Y . Es ist dann ΩB|k frei vom Rang n − r und I ⊆ m ein Primideal. In der exakten Sequenz von Vektorr¨ aumen 0 → (I + m2 )/m2 → m/m2 → m/(m2 + I) → 0 sind die Dimensionen r, n und n − r. Es gibt also r Elemente f1 , . . . , fr ∈ I, die als fi + m2 den Vektorraum I + m2 /m2 erzeugen.

396

5 Schemata I

Es sei I  = (f1 , . . . , fr ). Dann ist nach Lemma 5.16.1 das Ideal I  ⊆ I ein Primideal der H¨ ohe r, also I = I  . Damit ist dimk (I/mI)  r gezeigt, also sogar dimk (I/mI) = r. W¨ are n¨ amlich dimk (I/mI) < r, so w¨ are I von weniger als r Elementen erzeugt und k¨ onnte nicht H¨ ohe r aufweisen. Da I/I 2 ⊗A k(x) = I/mI, ist damit die Exaktheit der Sequenz (∗) gezeigt. Man betrachte hierf¨ ur die exakten Sequenzen 0 → P → I/I 2 → Q → 0 0 → Q → ΩA|k ⊗A B → ΩB|k → 0 und beachte dabei, dass ΩA|k ein freier A-Modul sowie ΩB|k ein freier B-Modul ist, so dass auch Q ein freier B-Modul ist. Tensorieren mit − ⊗B k(x) ist deshalb exakt, und aus Dimensionsgr¨ unden ist P ⊗B k(x) = 0, also P = 0 (Nakayama-Lemma). Damit ist die Garbenfolge im Theorem lokalisiert an jedem x ∈ Y , abgeschlossen, exakt, also u  ¨berhaupt exakt.

Die oben auftretende Garbe J/J2 bekommt einen besonderen Namen: Definition 5.16.3 Es sei i : Y → X eine abgeschlossene Immersion, und es definiere 0 → J → OX → i∗ OY → 0 eine Idealgarbe J. Dann heißt der OY -Modul J/J2 die Konormalengarbe von Y in Bezug auf die Einbettung in X, und die Garbe HomOY (J/J2 , OY ) = (J/J2 )∨ = NY |X heißt entsprechend Normalengarbe oder Normalb¨ undel, wenn J/J2 lokal frei in Y ist.  Das folgende Theorem greift den Begriff der Aufblasung von Untervariet¨ aten aus Abschnitt 5.15.5 wieder auf. Theorem 5.16.3 Sei X eine nichtsingul¨ are Variet¨ at u are abge¨ber k und Y ⊆ X eine nichtsingul¨ schlossene Untervariet¨ at mit Idealgarbe I. ˜ → X die Aufblasung von X entlang I, und es sei Y  ⊆ X ˜ das Es sei π : X  −1 Unterschema, das durch die inverse Bildgarbe I = f I · OX˜ definiert ist. Dann gilt: ˜ ist auch nichtsingul¨ 1. Die Variet¨ at X ar. 2. Y  zusammen mit der induzierten Projektion π : Y  → Y ist isomorph zum projektiven Raumb¨ undel P(I/I2 ) u ¨ber der (lokal freien) Garbe I/I2 auf Y . 3. Unter dem Isomorphismus in 2. gibt es eine isomorphe Entsprechung: NY  |X˜ ∼ = OP(I/I2 ) (−1)

5.16 Die Differentialgarbe ΩX|Y

397

Beweis. Wir beweisen zun¨ achst 2. F¨ ur eine offene Teilmenge U ⊆ X sei U = Spec(A) und I|U = I mit einem Ideal I = (f1 , . . . , fr ) ⊆ A. Dann ist π −1 (U ) =  2 proj A ⊕ I ⊕ I ⊕ · · · . Weiterhin ist das Ideal I , das Y  ∩ π −1 (U ) definiert, durch I ⊕ I 2 ⊕ I 3 ⊕ · · · gegeben. Also ist     Y  ∩ π −1 (U ) = proj A/I ⊕ I/I 2 ⊕ I 2 /I 3 ⊕ · · · = proj S  . Die Abbildung φ : A/I[t1 , . . . , tr ] → A/I ⊕ I/I 2 ⊕ · · · mit ti → fi +I 2 ist aber ein Isomorphismus von A/I-Moduln. Man erkennt dies, indem man die Lokalisierungen an allen maximalen Idealen I ⊆ m ⊆ A betrachtet und aus der Regularit¨ at von Am und den Eigenschaften von regul¨ aren Folgen und CohenMacaulay-Moduln erschließt, dass f1 , . . . , fr eine regul¨ are Folge in Am bilden. Damit ist φm ein Isomorphismus f¨ ur alle m maximal in A u ¨ber I und damit φ u ¨berhaupt ein Isomorphismus. Damit ist 2. gezeigt. 2 Um 3. zu zeigen, bemerken wir, dass I /I auf π −1 (U ) durch I/I 2 ⊕ I 2 /I 3 ⊕ · · ·  dargestellt wird. Dies ist aber als S -Modul identisch mit S  (1). Da S  (1) die Garbe OY  (1) = OP(I/I2 ) (1) darstellt, folgt 3. durch Invertierung der Garben. Zuletzt ist 1. einfach zu zeigen. Wir erkennen aus 2. dass Y  nichtsingul¨ ar von der Dimension n − r + r − 1 = n − 1 ist. Nach der universellen Eigenschaft wird Y  lokal als effektiver Divisor gegeben. F¨ ur einen abgeschlossenen Punkt P ∈ Y  ist also OY  ,P = OX,P /(f ), wobei (f ) rechts durch Y  , das durch P hindurchgeht, induziert  wird. Links steht ein regul¨ arer lokaler Ring der Dimension n − 1. Damit ist m/(f ) von n − 1 Elementen erzeugt und folglich m von n Elementen. Damit ist auch OX,P  ein regul¨ arer lokaler Ring. Außerhalb von Y  ist sowieso OX,P = OX,π(P ) regul¨ ar.  

˜ aus Pic X berechnen. Wir wollen nun in obiger Situation Pic X ˜ Es sei wie im vorigen Theorem X die Aufblasung einer nichtsingul¨ aren Variet¨ at X an dem Ideal I eines nichtsingul¨ aren Unterschemas Y = V (I). ˜ → X, also der exzeptionelle Es sei Y  wie oben das Urbild von Y unter π : X Divisor, und es gelte außerdem codim(Y, X)  2. Dann existiert eine Abbildung ˜, γ : Z → Pic X ˜ aufzufasdie durch 1 → [Y  ] gegeben ist. Dabei ist Y  als Primdivisor in Div X ∼   ˜ ˜ ˜ sen, und [Y ] ist das Bild von Y unter Div X → Cl X → Pic X. Es gilt [Y  ] = OX˜ (−1) , (5.144) denn man hat ja die Sequenzen 0 → IY  → OX˜ → OY  → 0 und 0 → OX˜ (1) → ˜ prinzipale Unterschema Y  die OX˜ → OY  → 0. Also gilt f¨ ur das lokal in X  Beziehung OX˜ (−Y ) = IY  = OX˜ (1) und damit OX˜ (Y  ) = OX˜ (−1). Die Abbildung ˜ Pic X → Pic X ist L → π ∗ L.

398

5 Schemata I

Proposition 5.16.9 Die oben genannten Abbildungen definieren einen Isomorphismus: ˜ α : Pic X × Z → Pic X

(5.145)

Beweis. Man hat eine exakte Sequenz: ˜ → Pic(X ˜ − Y ) → 0 → Pic X Z− γ

˜ −Y ∼ In dieser ist γ(1) = [Y  ] = OX (−1). Weiter ist X = X − Y und Pic(X − Y ) = Pic X, da codim(Y, X)  2. Also ist γ ˜ → Pic X → 0 Z− → Pic X

(5.146)

exakt, und es bleibt, die Injektivit¨ at von γ nachzuweisen und eine Splittung anzugeben. ˜ → Z. Dazu wird L aus Pic X ˜ Wir definieren daf¨ ur als eine Splittung deg : Pic X ˜ die Injektion. Es ist auf i∗ L ∈ Pic Y  abgebildet. Dabei ist i : Y  → X (∗)

Pic Y  = Pic P(I/I2 ) = Z × Pic Y

mit der Festsetzung (−1, 0) ∼ = OY  (1). Durch Projektion mit deg : Pic Y  → Z in (∗) ergibt sich ein Homomorphismus ˜ → Z als deg L = deg i∗ L. deg : Pic X Nun ist i∗ OX˜ (n) = OY  (n) also deg OX˜ (n) = −n. Damit ist deg γ(d) = deg OX˜ (−d) = deg OY  (−d) = d, also in der Tat deg eine Splittung. ˜ mit L → π ∗ L liefert eine Splittung auf der anderen Die Abbildung Pic X → Pic X Seite. 

5.17

Bertini-Theorem

Lemma 5.17.1 Es sei (A, m) ein regul¨ arer lokaler Ring. Weiter sei f ∈ m. Dann ist ¨ aquivalent: a) Es ist f ∈ / m2 . b) Der Ring A/f A ist auch regul¨ ar. Lemma 5.17.2 Es sei X = Pn are Unk = proj (k[T0 , . . . , Tn ]) und Y ⊆ X eine nichtsingul¨ tervariet¨ at mit dim Y = r. Weiter sei x ∈ Y ein abgeschlossener Punkt und ¯) = OY,x . x ∈ D+ (T0 ) und (B, n) = OX,x sowie (B/p, n Es sei nun F ∈ OX (1)(X) eine Hyperebenengleichung mit F (x) = 0, also f ∈ n, wobei f = F/T0 das Bild von F in B ist. Weiter sei f¯ = f + p ∈ B/p. Dann ist ¨ aquivalent: a) V (F ) umfasst Tx Y . ¯2 wird von allen (¯ b) f¯ + n n/¯ n2 ) annulliert.

5.17 Bertini-Theorem

399

¯2 . c) f¯ ∈ n d ) f ∈ p + n2 . e) Mit p + n2 = (gj + n2 )j=1,...,n−r folgt f + n2 = λj ∈ k.

n−r j=1

λj gj + n2 mit beliebigen

f ) B/(p, f ) ist kein regul¨ arer Ring. Die Bedingung e) zeigt also, dass die F , die Tx Y umfassen, einen n − r dimensionalen Vektorraum, also einen n − r − 1-dimensionalen projektiven Raum aufspannen. 

Proposition 5.17.1 (Bertini-Theorem) Es sei X ⊆ Pn are projektive Variet¨ at mit dim X = r u ¨ber k, k eine nichtsingul¨ einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper. Weiter sei n ∼ n ∗ H = {H ⊆ Pn k | H Hyperebene im Pk } = (Pk )

der duale projektive Raum der Hyperebenen im Pn k. Die Menge U ⊆ H sei U = {H ∈ H | H ∩ X ist eine regul¨ are Untervariet¨ at von Pn k} . Dabei ist H ∩ X das Unterschema von Pn k , das durch IX + IH definiert ist. Dann gilt: U ist eine in H ∼ dichte, offene Teilmenge. = Pn k Beweis. Es gen¨ ugt nachzuweisen, dass alle abgeschlossenen Punkte von H ∩X regul¨ ar sind, so dass wir im Folgenden eine rein variet¨ atentheoretische Analyse durchf¨ uhren und uns auf abgeschlossene Punkte beschr¨ anken k¨ onnen. Wir f¨ uhren die projektive Untervariet¨ at Γ ⊆ X ×k H, die aus den (x, H) mit x ∈ H besteht, ein. Betrachtet man die Projektion Γ → X, so besteht die Faser u ¨ber jedem x ∈ X aus dem irreduziblen n − 1-dimensionalen Teilraum Hx der Hyperebenen aus H, die x enthalten. Also ist Γ eine irreduzible Variet¨ at der Dimension n − 1 + r, wobei r = dim X. Weiter ist aber nun f¨ ur jedes x ∈ X der Teilraum Sx aller H ∈ Hx , die zu X in x tangential sind (oder X ganz umfassen), also den r-dimensionalen Tangentialraum Tx X enthalten, eine irreduzible n − 1 − r dimensionale Variet¨ at. Also bildet die Gesamtheit aller Sx eine irreduzible n−1−r+r = n−1-dimensionale Untervariet¨ at S von Γ. Da IX /I2X lokal frei vom Rang n − r ist, gibt es auf einem geeigneten U ⊆ Pn k homogene Formen G1 , . . . , Gn−r mit linear unabh¨ angigen dGi |p f¨ ur p ∈ X ∩ U , abgeschlossen, und X ∩ U = V (G1 , . . . , Gn−r ). Die Variet¨ at S ist dann u ¨ber U durch die Bedingungen rang(dG1 |p , . . . , dGn−r |p , H0 )  n − r und Gj (p) = 0 gegeben, wo H0 ∈ kn+1 mit H0 (p) = 0 ist. Projiziert man S auf H, so entsteht, da die Abbildung Γ → H projektiv ist, eine abgeschlossene echte Untervariet¨ at als Bild. Deren Komplement ist die in der Proposition genannte dichte Menge U . Der Zusammenhang zwischen Regularit¨ at von H ∩X in x und der Definition der Sx ist durch die vorigen Lemmata gegeben. 

400

5.18

5 Schemata I

Vollst¨ andige Durchschnitte

Definition 5.18.1 Es sei X ein Schema. Dann heißt X Cohen-Macaulaysch in x ∈ X, falls OX,x ein Cohen-Macaulay-Ring ist. Das Schema X heißt Cohen-Macaulaysch, falls es f¨ ur jedes x ∈ X CohenMacaulaysch in x ist.  Definition 5.18.2 Es sei Y ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema einer nichtsingul¨ aren Variet¨ at X. Dann heißt Y lokal vollst¨ andiger Durchschnitt, falls IY,y f¨ ur alle y ∈ Y von r = codimy (Y, X) Elementen erzeugt wird.  Proposition 5.18.1 Es sei Y ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema einer nichtsingul¨ aren Variet¨ at X u andiger Durchschnitt. Dann gilt: ¨ber k. Das Schema Y sei lokal vollst¨ 1. Das Schema Y ist Cohen-Macaulaysch. 2. Das Schema Y ist normal genau dann, wenn es regul¨ ar in Kodimension 1 ist, also alle OY,y regul¨ ar sind, f¨ ur die dim OY,y = 1 ist. Beweis. Der Ring A = OX,x ist regul¨ ar und daher C.M., und IY,x = (f1 , . . . , fr ) mit r = codimx (Y, X) wird von einer Folge der L¨ ange r erzeugt. Also ist nach dem Macaulayschen Ungemischtheitssatz auch OY,x = A/(f1 , . . . , fr ) ein C.M. Ring. Es ist also depth OY,y = dim OY,y f¨ ur alle y ∈ Y . Nach Serres Kriterium f¨ ur Normalit¨ at ist damit (S2 ) f¨ ur OY,y erf¨ ullt. Also ist der Ring OY,y normal, wenn er regul¨ ar in Kodimension 1 ist (Kriterium (R1 )). 

Lemma 5.18.1 Es sei X = Pn k und H ⊆ X ein abgeschlossenes, lokal prinzipales Unterschema. Dann ist H = V (f ) und IH = IH mit IH = f S und S = k[x0 , . . . , xn ] sowie f ∈ S, homogen. Es sei im Folgenden X = Pn k und Y ⊆ X ein abgeschlossenes Unterschema mit codim(Y, X) = r und Idealgarbe IY = I f¨ ur das Ideal I ⊆ S = k[x0 , . . . , xn ] mit I = I(Y ). Definition 5.18.3 Dann heißt Y idealtheoretischer Schnitt von lokal prinzipalen Hi also Y = H1 ∩ · · · ∩ Hr , falls IY = IH1 + · · · + IHr mit IHi , der Idealgarbe eines lokal prinzipalen Hi ⊆ X.



5.18 Vollst¨ andige Durchschnitte

401

Definition 5.18.4 Ist in den Bezeichnungen von oben I(Y ) = (f1 , . . . , fr ) mit fi ∈ S, homogen, so heißt Y global vollst¨ andiger Durchschnitt.  Proposition 5.18.2 Mit den Bezeichnungen von oben ist ¨ aquivalent: a) Das Schema Y ist idealtheoretischer Durchschnitt von lokal prinzipalen Hi , also IY = IH1 + · · · + IHr . b) Das Schema Y ist global vollst¨ andiger Durchschnitt. Es ist also I(Y ) = (f1 , . . . , fr ) ,  wobei IHi = (f i S). Beweis. Die Richtung b) nach a) ist klar. Es sei umgekehrt Y idealtheoretisch vollst¨ andiger Durchschnitt und V (fi ) = Hi nach Lemma 5.18.1. Weiter sei J = (f1 , . . . , fr ). Dann ist J = I = IY . Daraus folgt insbesondere I(f ) = J(f ) und I(p) = J(p) f¨ ur alle f ∈ S, homogen, und p ∈ proj (S). Es ist nun codimS I = codimS J = r. Weil J aus r Elementen besteht, hat auch keine Komponente von Y eine Kodimension gr¨ oßer als r (Krullscher Hauptidealsatz). Da S(xi ) Cohen-Macaulay-Ring ist, folgt nach dem Macaulayschen Ungemischtheitssatz, dass Ass(S/I) (xi ) und Ass(S/J) (xi ) nur minimale Elemente aufweisen.   Seien nun I = Qi ∩ Q+ und J = Qj ∩ Q+ mit Prim¨ aridealen Qi resp. Qj , deren √ √  Primideale Qi resp. Qj mit den Primidealen aus Ass S/I resp. Ass S/J außer dem irrelevanten Primideal identisch sind. Dann sind wegen voriger Bemerkung diese beiden Mengen von Primidealen gleich und bestehen aus den Primidealen der irreduziblen Komponenten von Y = V (IY ) =  = V (J).  V (I) Die Ideale Q+ und Q+ sind entweder gleich S, oder sie sind zum irrelevanten Primideal (x0 , . . . , xn ) assoziiert. Man kann nun den Macaulayschen Ungemischtheitssatz direkt auf S und J = (f1 , . . . , fr ) anwenden, indem man beachtet, dass dim S/J = n − r + 1 = dim S − r ist. Es folgt, dass jedenfalls schon einmal Q+ = S ¨ ist, also nicht auftritt. Geometrisch bedeutet dies nat¨ urlich den Ubergang von Y ⊆ Pn k zum Kegel C(Y ) ⊆ An+1 und die Untersuchung des lokalen Rings an seiner Spitze k 0 ∈ Akn+1 . Da alle anderen assoziierten Primideale minimal sind, ist Qi das eindeutig bestimmte Ideal von S, f¨ ur das (Qi )(pi ) = Qi (pi ) ist. Dabei ist Qi (pi ) das eindeutige √ Prim¨ arideal u u r pi = Q i . ¨ber I(pi ) in S(pi ) f¨ Nun ist aber I(pi ) = J(pi ) und pi auch zu J assoziiert. Also ist Qi gleich einem eindeutigen Qj(i) . Schließt man so f¨ ur alle Qi und dann r¨ uckw¨ arts f¨ ur alle Qj , so  erkennt man, dass die Menge der Qi mit der der Qj identisch ist. Also ist auch I = J ∩ Q+ . Da I maximal unter den I  mit IY = I ist, folgt Q+ ⊇ J und I = J. 

Lemma 5.18.2 Es sei Y ⊆ Pn andiger Durchk ein abgeschlossenes Unterschema und global vollst¨ schnitt.

402

5 Schemata I

Es sei also I(Y ) = (f1 , . . . , fr ) und r = codim(Y, Pn k ). Weiter sei dim Y  1 und Y normal. Dann ist Y projektiv normal. Beweis. Es sei S = k[x0 , . . . , xn ] der Koordinatenring von Pn k und C(Y ) ⊆ Spec (S) = An+1 , der affine Kegel u ¨ber Y . k Dann ist S  = S/I(Y ) Cohen-Macaulaysch und C(Y ) lokal vollst¨ andiger Durchschnitt, also auch jedes Sq mit q ⊆ S  , prim, Cohen-Macaulaysch.  Weiterhin ist jedes S(x normales Schema, da Y = proj (S  ) normal. Damit ist auch i) −1    Sxi = S(xi ) [xi , xi ] = S(xi ) [T, T −1 ] normal, denn f¨ ur einen normalen Ring A ist auch A[T ] normal. Um dies einzusehen, k¨ onnen wir vom allgemeinen Fall A = A1 ×· · ·×As auf den Fall A integer reduzieren, indem wir jeden Faktor einzeln betrachten: Es ist dann A ganzabgeschlossen in K = Q(A) und damit auch A[T ] ⊆ K[T ] ganzabgeschlossen. Weiter ist K[T ] ⊆ K(T ) ganzabgeschlossen und somit A[T ] ganzabgeschlossen in K(T ) = Q(A[T ]). Es sei nun Sq ein lokaler Ring f¨ ur C(Y ). Ist xi ∈ / q, so ist Sq = (Sx i )qSx ein i normaler Ring, da Sx i einer ist. Also ist Sq normal und damit regul¨ ar, f¨ ur htS  q  1,  denn ein Ideal q, das alle xi enth¨ alt, muss ja gleich n = S+ sein. Es ist aber htS  n > 1, da dim C(Y ) > 1. Damit ist S  ein normaler Ring nach dem Serreschen Kriterium. Also ist auch Sn ein Integrit¨ atsring. Somit ist auch S  Integrit¨ atsring, denn jedes minimale Primideal von S  ist homogen und daher ein minimales Primideal von Sn . 

Lemma 5.18.3 n Es sei Y ⊆ Pn k ein projektiv normales Unterschema. Weiter sei Pk = proj (S) mit S = k[x0 , . . . , xn ]. Dann ist die Abbildung Sd → Γ(Y, OY (d)) → 0 surjektiv f¨ ur alle d  0. Insbesondere ist Γ(Y, OY ) = k, also Y zusammenh¨ angend. Beweis. Es ist Y = proj (T ) = proj (S/I). Nach Korollar 5.11.4 ist Td = Γ(Y, OY (d)) und damit Sd → Td = (S/I)d → 0 surjektiv. 

Lemma 5.18.4 Es sei X = Pn k , und d1 , . . . , dr > 0 seien ganze Zahlen mit r < n. Dann existieren nichtsingul¨ are Hyperfl¨ achen Zi = V (fi ) ⊆ X mit fi ∈ Sdi , so dass Y = Z1 ∩ · · · ∩ Zr eine nichtsingul¨ are, irreduzible, r-kodimensionale Variet¨ at Y ⊆ X ist. Insbesondere ist IY = I mit I = (f1 , . . . , fr ), also Y ein global vollst¨ andiger Durchschnitt der Zi . Beweis. Setze Y0 = X. Der Beweis sei f¨ ur i−1 schon erbracht. Bette das so konstruierNn,d N i = P te Y  = Yi−1 mit der Veronese-Abbildung vom Grad di , die mit v : Pn k → P k N bezeichnet sei, in Pk ein. −1 Es sei H eine Hyperebene in PN (H) eine irreduzible Hyperk . Dann ist ZH = v n fl¨ ache in Pk vom Grad di .

5.18 Vollst¨ andige Durchschnitte

403

Da v eine abgeschlossene Immersion ist, gilt die folgende Kette von Isomorphismen im Sinne idealtheoretischer Schnitte:   ZH ∩ Y  ∼ = v(ZH ∩ Y ) = v(ZH ) ∩ v(Y ) =   = v(v −1 (H)) ∩ v(Y  ) = H ∩ v(Pn k ) ∩ v(Y ) = H ∩ v(Y )

Außerdem ist v(Y  ) ∼ ar und die Abbildung H → ZH = Y  irreduzibel und nichtsingul¨ injektiv. Der generischen Hyperfl¨ ache H entspricht erstens ein nichtsingul¨ ares ZH . Weiter ist zweitens f¨ ur eine generische Hyperfl¨ ache H auch H ∩ v(Y  ) nichtsingul¨ ar nach dem Satz von Bertini. Außerdem ist H ∩ v(Y  ) auch zusammenh¨ angend nach den beiden vorigen Lemmata, wenn dim Y  = dim v(Y  ) > 1. W¨ ahle eine Hyperfl¨ ache Hi , die beide Bedingungen erf¨ ullt. Dann ist Yi = ZHi ∩ Y  ∼ = v(Y  ) ∩ Hi und Zi = ZHi = V (fi ). 

6 Schemata II

¨ Ubersicht 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17

Kohomologie des Schnittfunktors Γ(X, −) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie auf abgeschlossenem Tr¨ ager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Infinitesimale Erweiterungen von Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A ....................... H¨ ohere direkte Bilder, Kohomologie von f∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Funktoren Exti und Exti von Modulgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . Flache Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Glatte Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppenvariet¨ aten und das Theorem von Kleiman . . . . . . . . . . . . . . . Kohomologie und Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flachheit und Hilbertpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serre-Dualit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halbstetigkeitss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1

Kohomologie des Schnittfunktors Γ(X, −)

6.1.1

Definition als derivierter Funktor

405 413 419 428 442 447 456 459 463 471 490 492 493 495 498 510 514

Lemma 6.1.1 Es sei (X, OX ) ein geringter Raum und F ein OX -Modul. Dann existiert ein in den OX -Moduln injektiver Modul I und eine Injektion 0 → F → I. Beweis. Man nehme den OX -Modul der diskontinuierlichen Schnitte: $ Fx = ix∗ i∗x F x

x

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 J. Böhm, Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59482-7_6

406

6 Schemata II

F¨ ur jedes Fx w¨ ahle man eine Einbettung Fx → Ix in einen festen, injektiven OX,x Modul. Dann ist $ $ 0 → F → Fx → Ix = I x

x

eine Injektion der gew¨ unschten Art. Es ist n¨ amlich Hom(G, I) = Hom(G,

$

Ix ) = Hom(G,

x

ix∗ Ix ) = x

Hom(i∗x G, Ix ) =

= x

Hom(Gx , Ix )

(6.1)

x

und damit f¨ ur 0 → G → G, exakt, auch Hom(G, I) → Hom(G , I) → 0 exakt.



Die Kategorie der OX -Moduln hat also gen¨ ugend injektive Objekte. Es sei nun F eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum X. Dieser tr¨ agt die konstante Ringgarbe Z, und F ist ein Z-Modul. Also existiert nach vorigem Lemma eine Einbettung 0→F→I in einen injektiven Z-Modul, also in ein injektives Objekt in der Kategorie der abelschen Garben. Nun ist der Funktor F → Γ(X, F) von den abelschen Garben in die abelschen Gruppen, wie wir von fr¨ uher wissen, linksexakt. Mit dem Wissen, dass die abelschen Garben genug Injektive haben, k¨ onnen wir definieren: H i (X, F) = Ri Γ(X, F)

(6.2)

Wir nennen H i (X, F) die i-te Kohomologiegruppe von F auf X. Sind wir in der Lage, eine injektive Aufl¨ osung 0 → F → I• direkt angeben zu k¨ onnen, so k¨ onnen wir also H i (X, F) als H i (X, F) = hi (Γ(X, I• )) berechnen. Lemma 6.1.2 Ein injektiver OX -Modul I ist welk. Beweis. Es gibt f¨ ur jedes j : U → X, offen, die exakte Sequenz 0 → j! j ∗ OX → OX . Damit ist Hom(OX , I) → Hom(j! j ∗ OX , I) → 0 exakt. Es ist aber Hom(OX , I) = I(X) und Hom(j! j ∗ OX , I) = Hom(j ∗ OX , j ∗ I) = I(U ). 

Lemma 6.1.3 Es sei I eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum X.

6.1 Kohomologie des Schnittfunktors Γ(X, −)

407

Dann ist I genau dann injektiv, wenn f¨ ur alle U ⊆ X, offen, im Diagramm

/R

0

/ ZU  I

φ

(6.3)

ψ

bei gegebener Abbildung φ eine erg¨ anzende Abbildung ψ existiert. Beweis. F¨ ur die einzig interessante Richtung ist zu zeigen:

/G

/ G

0

 

φ

ψ

I

Ist nun G eine echte Untergarbe von G, so gibt es ein s ∈ G(U ), das nicht in G (U ) liegt. Betrachte nun das Diagramm 0

/ G O

/ G/G
0. F¨ ur F welk ist H p (X, F) = 0 f¨ Beweis. Man bette F in eine exakte Sequenz 0 → F → I → Q → 0 mit einer injektiven und daher welken Garbe I ein. Es ist dann auch Q welk. Wir haben H 0 (X, I)  H 0 (X, Q) → H 1 (X, F) → H 1 (X, I) = 0 . ur jedes welke F gezeigt. Dann Also ist H 1 (X, F) = 0. Es sei nun schon H p (X, F) = 0 f¨ ist 0 = H p (X, Q) → H p+1 (X, F) → H p+1 (X, I) = 0. Also auch H p+1 (X, F) = 0. 

Lemma 6.1.5 Es sei X ein noetherscher topologischer Raum und (Gi , hij ) ein direktes System welker abelscher Garben. Dann ist auch lim Gi welk. −→i

6.1 Kohomologie des Schnittfunktors Γ(X, −)

409

Beweis. Es ist (lim Gi )(U ) = lim (Gi (U )), weil X noethersch ist. Weiterhin ist ein −→i −→i Limes von Surjektionen eine Surjektion. 

Proposition 6.1.1 Es sei X ein noetherscher topologischer Raum und (Fi , hij )i∈I ein direktes System abelscher Garben. Dann gilt H p (X, lim Fi ) = lim H p (X, Fi ) −→ −→ i

(6.6)

i

f¨ ur alle p  0. Beweis. Betrachte die abelsche Kategorie der direkten Systeme abelscher Garben u ¨ber der Indexmenge I. Dann sind die Funktoren von dieser Kategorie nach Ab in der Gleichung oben f¨ ur p = 0 identisch. Es sei nun 0 → (Fi ) → (Fi ) → (Fi ) → 0 eine exakte Sequenz direkter Systeme. Dann gibt diese Sequenz sowohl mit dem linken wie mit dem rechten Funktor in (6.6) Anlass zu einer langen exakten Kohomologiesequenz, denn lim ist ein exakter −→i Funktor. Es sind also beide Funktoren δ-Funktoren. Es bleibt noch zu zeigen, dass beide Funktoren ausl¨ oschbar sind. Dazu gen¨ ugt es, ein direktes System (Fi ) mit 0 → (Fi ) → (Gi ) in ein direktes System (Gi ) einzubetten, f¨ ur das H p (X, lim Gi ) = 0 und lim H p (X, Gi ) = 0 ist. −→i −→i W¨ ahle dazu die funktorielle Einbettung 0 → Fi → Gi , wobei Gi f¨ ur die welke Garbe der diskontinuierlichen Schnitte von Fi stehe. 

Lemma 6.1.6 Sei i : Y ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes X. Dann ist H p (Y, F) = H p (X, i∗ F) , (6.7) wobei F ∈ Ab(Y ) eine Garbe abelscher Gruppen auf Y ist. Beweis. Es sei 0 → F → J• eine welke Aufl¨ osung von F. Dann ist 0 → i∗ F → i∗ J• eine ebenfalls welke Aufl¨ osung von i∗ F. Es ist n¨ amlich i∗ ein exakter Funktor, und es ist i∗ G welk f¨ ur G welk. Nun ist Γ(X, i∗ J• ) = Γ(Y, J• ) , (6.8) womit (6.7) bewiesen ist, indem man in (6.8) die Kohomologiegruppen berechnet. 

6.1.3

Grothendiecks Verschwindungssatz

Das folgende Theorem von Grothendieck setzt der Existenz nichtverschwindender Kohomologie eine obere Grenze“: ” Theorem 6.1.1 Es sei X ein noetherscher topologischer Raum und dim X = n. Dann ist H i (X, F) = 0 f¨ ur alle abelschen Garben F auf X und alle i > n.

410

6 Schemata II

Beweis. 1) Man benutze die kurze exakte Sequenz f¨ ur U ⊆ X, offen, und Y = X −U : 0 → j! j ∗ F → F → i ∗ i ∗ F → 0

(6.9)

und reduziere auf X irreduzibel durch Induktion u ¨ber die Anzahl der irreduziblen Komponenten. 2) Man f¨ uhre die Untergarben FU,s ⊆ F ein, die von s ∈ F(U ) erzeugt werden, also in eine Sequenz 0 → R → ZU → FU,s → 0 passen. Geeignete Summen FU1 ,s1 + · · · + FUr ,sr ⊆ F k¨ urze man mit Fλ ab. Die Fλ bilden dann ein induktives System mit lim Fλ = F . −→

(6.10)

λ

Entspricht n¨ amlich Fλ = FU1 ,s1 + · · · + FUm ,sm und Fλ = FU1 ,s1 + · · · + FUn ,sn , 



so ist ein λ  λ, λ gegeben durch die totale Summe Fλ = FU1 ,s1 + · · · + FUm ,sm + FU1 ,s1 + · · · + FUn ,sn . ur i > n nachzuweisen. Es gen¨ ugt also, H i (X, Fλ ) = 0 f¨ 3) Sei also Fλ = FU1 ,s1 + · · · + FUm ,sm , so existiert nat¨ urlich eine Filtration (0) = F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ Fm = Fλ aus Fi = FU1 ,s1 + · · · + FUi ,si mit den Teilquotienten Gi 0 → Fi−1 → Fi → Gi → 0 und, und dies ist entscheidend, Sequenzen 0 → R → Z Ui → G i → 0 ,

(6.11)

denn es gibt nat¨ urlich Surjektionen FUi ,si → Gi . Also gen¨ ugt es, H i (X, R) = 0 und H i (X, ZU ) = 0 f¨ ur i > n nachzuweisen. 4) Man benutze die Sequenz 0 → ZU → Z → ZY → 0 ur i > 0, weil Z welk auf und erschließe induktiv u ¨ber dim X und aus H i (X, Z) = 0 f¨ X, mit · · · → H n (X, ZY ) → H n+1 (X, ZU ) → H n+1 (X, Z) → · · · , dass H i (X, ZU ) = 0 f¨ ur i > n. 5) Damit gen¨ ugt es, in (6.11) noch H i (X, R) = 0 f¨ ur i > n nachzuweisen. Wegen 0 → R → ZU → Z kann man hier 0 → R → Z → E → 0 annehmen. Nun gibt es unter allen R(U ) f¨ ur U ⊆ X eines mit maximalem R(U ) = mZ. Damit ist dann auch R(U  ) = mZ f¨ ur U  ⊆ U .

6.1 Kohomologie des Schnittfunktors Γ(X, −)

411

Es sei nun R = mZ als konstante, also auf X welke Garbe. Dann existiert die Sequenz 0 → R → R → Z → 0. ur i > n−1. Also wie u Es ist dann supp Z  X, also H i (X, Z) = 0 f¨ ¨blich H i (X, R) = 0 f¨ ur alle i > n. Mit diesem Schritt ist der Beweis erbracht. 6) Es bleibt noch der Fall dim X = 0. Es gibt dann kein nichtleeres U  X, offen, also ist F → F(X) = Fx mit x ∈ X ein exakter Funktor. 

Bemerkung 6.1.1 Es sei F eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum X. Dann heißt F endlich erzeugt, falls eine Surjektion abelscher Garben  (6.12) ZWi → F → 0 i

existiert, wobei die Wi ⊆ X offene Mengen in X sind.

6.1.4

Beispiele

Beispiel 6.1.1 Es sei X = P1k und KX die Garbe der meromorphen Funktionen auf X. Dann ist die Sequenz 0 → OX → KX → KX /OX → 0 (6.13) eine welke Aufl¨ osung von OX . Es ist n¨ amlich   KX /OX = ix∗ i∗x (KX /OX ) = ix∗ (KX,x /OX,x ) x∈X

(6.14)

x∈X

mit einem offenkundigen Missbrauch der Bezeichnungen bei der zweiten Identit¨ at. ¨ Uberdies bleibt die Sequenz (6.13) unter Γ(X, −) exakt, so dass H 1 (X, OX ) = 0

(6.15)

folgt. Beispiel 6.1.2 Es sei X ein noetherscher topologischer Raum, U ⊆ X, offen, und 0 → R → ZU eine exakte Sequenz abelscher Garben. Dann ist R eine endlich erzeugte abelsche Garbe auf X. Beweis. Man kann ohne Weiteres U = X annehmen. Zun¨ achst sei X irreduzibel. Dann ist jedes V ⊆ X, offen, auch zusammenh¨ angend. Es ist also R(V ) ⊆ Z(V ) = Z als Z-Modul und damit R(V ) = nV Z mit nV ∈ Z. Die Zuordnung V → nV ist eine Abbildung vom Verband der offenen Teilmengen von X nach Z.

412

6 Schemata II

F¨ ur W ⊆ V ist R(V ) ⊆ R(W ), und es gilt die Beziehung aV W nW = nV , also nW | nV . Es ist also nV | nX f¨ ur alle V ⊆ X, offen, und damit die Anzahl der m¨ oglichen nV endlich. Man betrachte weiterhin f¨ urein festes n = nV die Menge der W ⊆ X, offen, mit nW = n. Es sei dann W  = nW =n W . Es ist dann zun¨ achst einmal nW | nW  . ur das Andererseits lassen sich die einzelnen (nW , W ) zu einem (nW , W  ) verkleben, f¨ b nW  = nW , also nW  | nW gilt. Zusammen also n = nW  . Es seien jetzt n1 , . . . , nr die Teiler von nX , die im Verband von V ⊆ X, offen, auftreten. Weiter seien die W1 , . . . , Wr die nach der Vorschrift im vorigen Absatz konstruierten maximalen offenen Teilmengen von X. Es ist dann offensichtlich  ZWi → R → 0 , (6.16) wobei 1Wi auf ni |Wi abgebildet wird, eine Surjektion, die R als endlich erzeugt nachweist. Im allgemeinen Fall sei X = Y1 ∪· · ·∪Yr eine Zerlegung in irreduzible Komponenten, Y = Yr und U = X − Y . Man hat dann die exakte Sequenz 0 → RU → R → RY → 0 mit RU = j! j ∗ R und RY = i∗ i∗ R. Aufgrund der Irreduzibilit¨ at von Y und kraft Induktion kann man RU und RY als endlich erzeugt annehmen. Betrachte nun das Diagramm: 0

/  Z Vk

/  ZVk ⊕  ZWij

/0

(6.17)

  ZWi

φ

0

/  ZWij





/ RU

/R

p

ψ



/ RY



/0



0

0

Darin ist ψ durch 1Wi → si ∈ RY (Wi ) definiert. Da R → RY → 0 surjektiv, gibt es ¨ tij ∈ R(Wij ) f¨ ur eine endliche Uberdeckung Wij von Wi , so dass p(tij ) = si |Wij ist. Die Abbildung ZWij → R ist dann durch 1Wij → tij ∈ R(Wij ) definiert. Mit einer Anwendung des Schlangenlemmas ist damit die Behauptung bewiesen. 

Beispiel 6.1.3 Es sei Iα ein induktives System injektiver abelscher Garben auf einem noetherschen topologischen Raum X. Dann ist auch I = lim Iα eine injektive abelsche Garbe auf X. −→α Beweis. Wir m¨ ussen nur zeigen, dass in einem Diagramm 0

/R

/ ZU φ

" 

ψ

lim Iα , −→α in dem die Abbildung φ vorgegeben ist, auch die Abbildung ψ existiert.

(6.18)

6.2 Kohomologie auf abgeschlossenem Tr¨ ager

413

Nun ist R endlich erzeugt, so dass die Abbildung φ : R → lim Iα in Wirklichkeit −→α schon durch ein Iα0 faktorisiert. Damit ergibt sich aus obigem Diagramm 0

/R

/ ZU φ

(6.19)

# 

ψ0

Iα0



i0

lim Iα −→α 

die Existenz der Abbildung ψ0 und damit auch von ψ = i0 ψ0 .

Beispiel 6.1.4 Es sei S 1 der Einheitskreis mit der gew¨ ohnlichen Topologie und Z die konstante Z-wertige Garbe auf S 1 . Dann ist H 1 (S 1 , Z) = Z. Ist hingegen R die Garbe der auf S 1 stetigen Funktionen, so ist H 1 (S 1 , R) = 0.

6.2

Kohomologie auf abgeschlossenem Tr¨ ager

Es sei im Folgenden immer X ein topologischer Raum, Y ⊆ X abgeschlossen und U = X − Y ⊆ X offen. Wir definieren zun¨ achst: Definition 6.2.1 Es sei F eine abelsche Garbe auf X. Dann sei f¨ ur V ⊆ X, offen, ΓY (V, F) = Γ(V, HY (F)) = ker(F(V ) → F(V ∩ U )) die Schnitte von F mit Tr¨ ager in Y .

(6.20) 

Proposition 6.2.1 Es sei 0 → F → F → F → 0 eine exakte Sequenz abelscher Garben auf X. Dann ist 0 → ΓY (V, F ) → ΓY (V, F) → ΓY (V, F ) (6.21) exakt. Es ist also F → ΓY (V, F) ein linksexakter Funktor auf AbSh(X). Wir k¨ onnen also die rechtsabgeleiteten Funktoren von ΓY (V, −) bilden:

414

6 Schemata II

Definition 6.2.2 Die rechtsabgeleiteten Funktoren von ΓY (V, F) existieren und seien mit HYi (V, F) bezeichnet. Es sind die Kohomologiegruppen mit abgeschlossenem Tr¨ ager.  Ist F welk, so ist die Sequenz (6.21) auch rechtsexakt: Proposition 6.2.2 Es sei 0 → F → F → F → 0 eine exakte Sequenz abelscher Garben auf X und F welk. Dann ist 0 → ΓY (V, F ) → ΓY (V, F) → ΓY (V, F ) → 0

(6.22)

exakt. Beweis. Betrachte das Diagramm: (6.23)

0

0

0

0

 / ΓY (V, F )

 / Γ(V, F )

 / Γ(V ∩ U, F )

0

 / ΓY (V, F)

 / Γ(V, F)

 / Γ(V ∩ U, F)

0

 / ΓY (V, F )

 / Γ(V, F )

 / Γ(V ∩ U, F )



/0



0

0

Eine Diagrammjagd zeigt ΓY (V, F) → ΓY (V, F ) → 0.



Damit k¨ onnen wir erschließen: Proposition 6.2.3 Es sei F eine welke, abelsche Garbe auf X. Dann ist HYi (X, F) = 0 f¨ ur alle i > 0, ganz. Beweis. W¨ ahle eine exakte Sequenz 0 → F → I → Q → 0 mit einer injektiven Garbe I. Dann ist I welk und damit auch Q welk. Betrachte nun die lange exakte Kohomologiesequenz · · · → ΓY (X, I)  ΓY (X, Q) → HY1 (X, F) → HY1 (X, I) = 0 → · · · , (6.24) aus der HY1 (X, F) = 0 sofort folgt. Damit ist dann auch HY1 (X, Q) = 0, denn an der Wahl von F war nichts Spezielles. Im n¨ achsten Schritt ···

→

HY1 (X, Q)

→

HY2 (X, F)

→

HY2 (X, I)

=

0

→

···

(X, F) = 0. folgt dann Induktiv weiter fortschreitend ergibt sich die Behauptung der Proposition. HY2

(6.25) 

6.2 Kohomologie auf abgeschlossenem Tr¨ ager

415

Lemma 6.2.1 Es sei F eine welke, abelsche Garbe auf X. Dann ist exakt 0 → HY (F) → F →U F → 0,

(6.26)

wobei U F = j∗ j ∗ F sei. Ebenso ist Γ(X, −) von obiger Sequenz 0 → ΓY (X, F) → Γ(X, F) → Γ(U, F) → 0

(6.27)

H 1 (X, HY (F)) = 0 .

(6.28)

exakt, und es ist Beweis. In (6.27) ist nur die Surjektivit¨ at rechts fraglich. Sie folgt sofort, da F welk ist. Die Aussage in (6.28) folgt aus der Surjektivit¨ at links in (6.27), der langen exakten Kohomologiesequenz f¨ ur (6.26) und H 1 (X, F) = 0. 

Proposition 6.2.4 Es sei F eine abelsche Garbe auf X. Dann gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz: 0 → ΓY (X, F) → Γ(X, F) → Γ(U, F) → → HY1 (X, F) → H 1 (X, F) → H 1 (U, F) → → HY2 (X, F) → · · ·

(6.29)

Beweis. Betrachte das Diagramm 0

/ HY (G• ) O

/ G• O

/ U G• O

0

/ HY (F) O

/F O

/ UF O

0

0

0

/ 0,

(6.30)

•

wobei G eine welke Aufl¨ osung von F ist. Nun wende Γ(X, −) an und beachte die zeilenweise Exaktheit nach vorigem Lemma. Weiterhin steht in der Spalte links 0 → ΓY (F) → ΓY (G• ). Da HYi (X, Gp ) = 0, also die Gp azyklisch f¨ ur ΓY (X, −) sind, folgt HYi (X, F) = hi (ΓY (X, G• )). In der mittleren Spalte steht 0 → Γ(X, F) → Γ(X, G• ). Dieser Komplex berechnet H i (X, F), da die Gp auf X welk sind. In der rechten Spalte steht 0 → Γ(U, F) → Γ(U, G• ). Dieser Komplex berechnet i H (U, F), da die Gp auf U welk sind. Die behauptete lange exakte Kohomologiesequenz ist also nichts anderes als diejenige des im Diagramm dargestellten Komplexes nach Anwendung von Γ(X, −). 

Proposition 6.2.5 (Excision) Es sei V ⊆ X offen mit Y ⊆ V ⊆ X. Weiter sei F eine abelsche Garbe auf X. Dann ist HYi (X, F) = HYi (V, F|V ) (6.31) f¨ ur alle i = 0, 1, . . .

416

6 Schemata II

Beweis. Es ist ΓY (X, −) = ΓY (V, −) ◦ (F → jV∗ F). Weiterhin ist Hom(jV ! G, F) = Hom(G, jV∗ F). Damit ist F|V = jV∗ F rechtsadjungiert zum exakten Funktor jV ! und bildet injektive auf injektive Objekte ab. Also ist nach einem allgemeinen Satz der homologischen Algebra Ri ΓY (X, −) = Ri ΓY (V, −) ◦ (F → jV∗ F), also HYi (X, F) = HYi (V, jV∗ F). 

Proposition 6.2.6 (Mayer-Vietoris) Es seien Y1 , Y2 ⊆ X zwei abgeschlossene Teilmengen von X und F eine abelsche Garbe auf X. Dann existiert eine lange exakte Kohomologiesequenz: 0 → ΓY1 ∩Y2 (X, F) → ΓY1 (X, F) ⊕ ΓY2 (X, F) → ΓY1 ∪Y2 (X, F) → → HY11 ∩Y2 (X, F) → HY11 (X, F) ⊕ HY12 (X, F) → HY11 ∪Y2 (X, F) → → HY21 ∩Y2 (X, F) → · · ·

(6.32)

Diese Sequenz heißt auch Mayer-Vietoris-Sequenz. Beweis. Es gibt offensichtlich eine exakte Sequenz 0 → HY1 ∩Y2 (F) → HY1 (F) ⊕ HY2 (F) → HY1 ∪Y2 (F) , uckt werden kann. die symbolisch durch t → (t, −t) und (s1 , s2 ) → s1 + s2 ausgedr¨ Ist F welk, so ist die Sequenz auch rechts surjektiv, sogar auf den Schnitten. Man erkennt dies aus dem Diagramm: 0

0

0

 / HY1 ∩Y2 (F)(U )

 / HY1 (F)(U ) ⊕ HY2 (F)(U )

0

 / F(U )

0

 / F(U − Y1 ∩ Y2 ) 

0

0

 / HY1 ∪Y2 (F)(U )

/0

 / F(U ) ⊕ F(U )

 / F(U )

/0

 / F(U − Y1 ) ⊕ F(U − Y2 )

 / F(U − Y1 ∪ Y2 )

/0



0

p



0

(6.33) Die Surjektivit¨ at von p ist zu zeigen, alle anderen Beziehungen folgen aus der Welkheit von F und den Definitionen. Das Schlangenlemma gibt den Beweis. Man w¨ ahle nun eine welke Aufl¨ osung 0 → F → G• und betrachte 0 → HY1 ∩Y2 (G• ) → HY1 (G• ) ⊕ HY2 (G• ) → HY1 ∪Y2 (G• ) → 0 . Hierauf wende man Γ(X, −) an und beachte H 1 (X, HY1 ∩Y2 (Gp )) = 0 (oder die oben gezeigte Exaktheit der Schnitte). Es ist also exakt 0 → ΓY1 ∩Y2 (X, G• ) → ΓY1 (X, G• ) ⊕ ΓY2 (X, G• ) → ΓY1 ∪Y2 (X, G• ) → 0 .

(6.34)

6.2 Kohomologie auf abgeschlossenem Tr¨ ager

417

Nun ist hi (ΓY1 ∩Y2 (X, G• )) = HYi 1 ∩Y2 (X, F) sowie hi (ΓYj (X, G• )) = HYi j (X, F) und hi (ΓY1 ∪Y2 (X, G• )) = HYi 1 ∪Y2 (X, F). Zusammen mit der langen exakten Sequenz aus der Abwicklung“ des Komplexes ” (6.34) ergibt sich die Behauptung. 

Es sei im folgenden Beispiel f¨ ur einen abgeschlossenen Punkt P ∈ X die Menge XP = {Q ∈ X | P ∈ {Q}¯}, also die Menge aller Q aus X, die sich zu P spezialisieren. Beispiel 6.2.1 Es sei jP : XP → X die Inklusionsabbildung in einen Zariski-Raum X. Versieht man XP mit der induzierten Topologie, so ist HPi (X, F) = HPi (XP , jP∗ F)

(6.35)

f¨ ur eine abelsche Garbe F auf X. Beweis. Betrachte f¨ ur alle U  P , offen, die Diagramme 0

0



 / ΓP (XP , jP∗ F)



 / Γ(XP , jP∗ F)



 / Γ(XP − P, jP∗ F|XP −P )

ΓP (X, F) Γ(U, F) Γ(U − P, F)

und bilde den Limes lim uber diese Diagramme: −→P ∈U ¨ 0

0



 / ΓP (XP , jP∗ F)

ΓP (X, F)

0

 / lim Γ(U, F) −→

α

0

 / lim Γ(U − P, F) −→

β

 / Γ(XP , jP∗ F)

/0

 / Γ(XP − P, jP∗ F|XP −P )

Die Isomorphie α folgt aus Γ(XP , jP∗ F) = FP . Die Injektivit¨ at von β u ¨berlegt man sich leicht: Ein Element s von links, das rechts Null wird, gibt Anlass zu einer ¨ Uberdeckung von XP − P mit Ui ⊆ U , f¨ ur die s|Ui = 0 ist. Es ist also nat¨ urlich isomorph: ΓP (X, F) = ΓP (XP , jP∗ F)

(6.36)

Wir zeigen, dass links und rechts ausl¨ oschbare δ-Funktoren stehen. Links ist dies klar, denn die Einbettung 0 → F → G in eine injektive und damit welke Garbe G liefert die gew¨ unschte Ausl¨ oschung Ri ΓP (X, G) = HPi (X, G) = 0.

418

6 Schemata II

¨ Rechts ist eine detailliertere Uberlegung n¨ otig: Man bettet ein 0 → F → I, wobei I die u ¨bliche injektive Garbe diskontinuierlicher Schnitte ist. Es ist dann jP∗ I(U ∩ XP ) gegeben durch ein endliches System von Schnitten sα ∈ I(Uα ), 

so dass (Uα ∩ XP ) = U ∩ XP und die sα ein kompatibles System von tz ∈ jP∗ Iz = Iz f¨ ur die z ∈ U ∩ XP induzieren. Wir zeigen nun, dass bereits ein einziges Uα daf¨ ur ausreicht. Kraft Induktion gen¨ ugt es daf¨ ur anzunehmen, dass das System (Uα ) aus zwei offenen Mengen U1 = X − Y1 und U2 = X −Y2 besteht. Wir nehmen an, dass Yi alle irreduziblen Komponenten von X enth¨ alt, die XP nicht treffen. In diesem Fall ist U12 = U1 ∩ U2 = ∅ ¨ aquivalent mit U12 ∩ XP = ∅. Wir nehmen nat¨ urlich an, dass U12 nichtleer ist, da sonst U = U1 ∪ U2 als einziges Uα gew¨ ahlt werden k¨ onnte. Die jeweiligen Schnitte auf U1 , U2 seien s1 und s2 . Es gibt dann eine offene Menge V12 ⊆ U12 = U1 ∩ U2 , auf der s1 und s2 u ur die U12 ∩ XP = ¨bereinstimmen und f¨ V12 ∩ XP ist. Das lokal abgeschlossene Komplement U12 − V12 sei U12 ∩ Y12 mit einer abgeschlossenen Menge Y12 . Zerlegt man Y12 in irreduzible abgeschlossene Komponenten Y12i , so kann Y12i entweder P nicht enthalten oder muss ein Teil von Y1 oder Y2 sein. Andernfalls w¨ are ξ12i , der generische Punkt von Y12i , in U12 ∩ XP enthalten, also in V12 ∩ XP . Nun liegt aber ξ12i ⊆ Y12i ⊆ Y12 gerade wegen dieser Inklusion nicht in V12 = U12 − Y12 . Nennt man nun A12 die Vereinigung aller Y12i , die P nicht enthalten, so kann man die Einschr¨ ankungen U1 = U1 − A12 und U2 = U2 − A12 definieren. Sie haben die Eigenschaft U1 ∩ U2 = V12 , und damit verkleben s1 |U1 und s2 |U2 zu einem s auf U1 ∪ U2 . Es ist also t ∈ jP∗ I(U ∩ XP ) schon induziert durch einen Schnitt s ∈ I(U  ) mit U ∩ XP = U  ∩ XP . Ist I welk, so kann man s zu einem Schnitt s ∈ I(X) ausdehnen. Dieser induziert dann eine Ausdehnung von t zu t aus jP∗ I(XP ). Also ist f¨ ur I welk, auch jP∗ I welk. Da F → jP∗ F ein exakter Funktor ist, folgt schließlich Ri (ΓP (XP , jP∗ I)) = (Ri ΓP )(XP , jP∗ I) = HPi (XP , jP∗ I) = 0 . Also ist auch die rechte Seite von (6.36) ein in F ausl¨ oschbarer δ-Funktor und damit HPi (X, F) = HPi (XP , jP∗ P) f¨ ur alle i.



Bemerkung 6.2.1 Die Menge XP ist abgeschlossen unter Generisierung, aber auch auf einem Zariski-Raum im Allgemeinen nicht offen. Andernfalls w¨ are ihr Komplement immer abgeschlossen, was aber schon f¨ ur X = A1k , mit k unendlich, zu einem Widerspruch f¨ uhrt. Das Komplement von XP ist ungleich X und enth¨ alt unendlich viele abgeschlossene Punkte. Damit kann es nicht abgeschlossen sein.

6.3 Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata

6.3

419

Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata

Definition 6.3.1 Es sei A ein kommutativer Ring, a ⊆ A ein Ideal und M ein A-Modul. Dann sei Γa (M ) = {m ∈ M | an m = 0 f¨ ur n geeignet } .

(6.37) 

Lemma 6.3.1 ¨ sei Es sei A und a sowie M und Γa (M ) wie in der vorigen Definition. Uberdies a endlich erzeugt. Dann ist Γa (M ) = {m ∈ M | supp m ⊆ V (a)} . (6.38) Beweis. Ist an m = 0, so ist an ur p ⊇ a die Gleichheit ap = 1 p m/1 = 0 in Mp . Da f¨ gilt, folgt f¨ ur diese Primideale p auch m/1 = 0 in Mp . Also supp m ⊆ V (a). F¨ ur die umgekehrte Richtung betrachte die exakte Sequenz ·m

0 → b → A −−→ A mit b = AnnA (m) und ihre Lokalisierungen: ·m

0 → bp → Ap −−→ Ap Wegen supp m ⊆ V (a) ist m/1 = 0 in Mp f¨ ur p ⊇ a. Also ur diese p auch bp = 1. √ ist√f¨ und damit p ⊇ b. Also ist V (b) ⊆ V (a) und damit a ⊆ a ⊆ b. Ist a endlich erzeugt, folgt an ⊆ b, also an m = 0. 

Lemma 6.3.2 Es sei A ein noetherscher Ring, a ⊆ A ein Ideal und I ein injektiver A-Modul. Dann ist auch Γa (I) ein injektiver A-Modul. Beweis. Es ist zu zeigen, dass sich in jedem Diagramm 0

/A

/b φ α

! 

(6.39)

ψ

Γa (I)



i

I

gebildet aus einem Ideal b von A und einer Abbildung φ eine passende Abbildung ψ finden l¨ asst. Zun¨ achst ist jedenfalls an α(b) = 0 f¨ ur alle gen¨ ugend großen n. Anders gesagt, i φ(an b) = 0, also φ(an b) = an φ(b) = 0.

420

6 Schemata II

Nun ist f¨ ur alle gen¨ ugend großen n und ein festes k auch b ∩ an+k ⊆ an b . Es findet sich also auch ein n, so dass φ(b ∩ an+k ) = 0 ist. Damit kann man φ als Komposition b → b/(b ∩ an+k ) → Γa (I) auffassen. Die dabei auftretende Abbildung χ : (b/(b ∩ an+k ) → I kann man in ein Diagramm /b /A 0 (6.40)

0

 / b/(b ∩ an+k )

 / A/an+k ψ

χ



Γa (I)

&/  I

i

einbetten. Da ψ  von A/an+k ausgeht, hat ψ  (A/an+k ) einen Tr¨ ager, der Teil von V (a) ist. Damit faktorisiert ψ  als ψ 

i

A/an+k −−→ Γa (I) − →I, ψ 

und die gesuchte Abbildung ψ ist die Komposition A → A/an+k −−→ Γa (I).



Lemma 6.3.3 Es sei A ein noetherscher Ring und I ein injektiver A-Modul. Dann sind die Abbildungen I → If f¨ ur alle f ∈ A surjektiv. Beweis. Betrachte die beiden exakten Sequenzen von A-Moduln: 0 → Γ(f ) (I) → I → Z → 0 , 0 → Z → If → Q → 0

(6.41) (6.42)

Da Γ(f ) (I) injektiv ist, ist die erste Sequenz split und damit I = Γ(f ) (I)⊕Z. Damit ist Z ein injektiver A-Modul, und somit ist auch die zweite Sequenz als A-Modul-Sequenz split. Also If = Z ⊕ Q. Man u ur t ∈ Q = If /I stets f n t = 0 f¨ ur ¨berlegt sich leicht, dass f¨ n geeignet gilt. Aus dem Diagramm

0

0

0

0

 /Q

 / If



·f n

/Q



(6.43)

·f n

/ If

entnimmt man, dass dann sogar t = 0 gelten muss. Also ist Q = 0 und If = Z.

6.3 Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata

421

Damit ist die Sequenz von A-Moduln 0 → Γ(f ) (I) → I → If → 0

(6.44) 

exakt.

Lemma 6.3.4 Es sei A ein noetherscher Ring und I ein injektiver A-Modul. Dann ist f¨ ur X = Spec (A) der OX -Modul I eine welke Garbe.   ) ist surjektiv f¨ Beweis. Zu zeigen ist I(X) → I(U ur alle U ⊆ X, offen. F¨ ur U = D(f ) entspricht das dem vorigen Lemma.  ) lokal gegeben durch xp /fp mit Generell sei U = D(f1 ) ∪ · · · ∪ D(fn ) und s ∈ I(U fq xp = fp xq . Finde nach vorigem Lemma ein y ∈ I mit f1 y − x1 = 0 (eventuell muss man dazu noch xi /fi = xi fiN /fiN +1 = xi /fi schreiben). Betrachte dann y − xp /fp f¨ ur p = 2, . . . , n. Es ist f1 (y − xp /fp ) = f1 y − f1 xp /fp = f1 y − fp x1 /fp = f1 y − x1 /1 = 0 in Ifp .   ) f¨ ur U  = D(f2 ) ∪ · · · ∪ D(fn ). Also ist y − s |U  ∈ Γ(f1 ) I(U Nach Induktion gibt es ein w ∈ Γ(f1 ) I mit w|U  = y|U  − s |U  , also w = y − xp /fp auf D(fp ). Betrachte nun z = y − w. Es ist z/1 − x1 /f1 = y/1 − x1 /f1 = 0 auf D(f1 ), denn w/1 = 0 in D(f1 ), da w ∈ Γ(f1 ) I. Weiterhin ist z/1 − xp /fp = y/1 − w/1 − xp /fp = y/1 − (y/1 − xp /fp ) − xp /fp = 0 in D(fp ). Also ist z|U = s und I ist welk.



Lemma 6.3.5 Es sei A ein noetherscher Ring und X = Spec (A). Der A-Modul I sei als AModul injektiv. Dann ist I ein welker, quasikoh¨ arenter, in Qco(X) injektiver OX -Modul. • , I)  = Hom(M • , I). Beweis. Es ist Hom(M



Lemma 6.3.6 Es sei A, X wie oben und F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann gibt es eine Injektion 0→F→I in einen welken, quasikoh¨ arenten, in Qco(X) injektiven OX -Modul I. Beweis. Man betrachte n¨ amlich eine injektive Einbettung 0 → F(X) → I von F(X)  in den A-Moduln. Es ist dann I = I. 

422

6 Schemata II

Lemma 6.3.7 Es sei X ein noethersches Schema und F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann gibt es stets einen welken, in Qco(X) injektiven, quasikoh¨ arenten OX -Modul I mit 0 → F → I. (6.45) Beweis. Man konstruiert I wie folgt: ¨ 1. Man w¨ ahle eine endliche Uberdeckung (Ui ) von X mit noetherschen, affinen Schemata. 2. Man finde f¨ ur jedes i die im vorigen Lemma genannte injektive Einbettung ∗ jU F → Ii . i

3. Es gibt dann eine injektive Einbettung von quasikoh¨ arenten OX -Moduln: ∗ j Ui ∗ j U F → i

0 → F → i

jUi ∗ Ii i

Man beachte, dass jUi ∗ linksexakt sowie jUi ∗ Ii welk und quasikoh¨ arent ist. Es ist somit I= jUi ∗ Ii . i

Aus

∗ G, Ii ) Hom(jU i

jUi ∗ Ii ) =

Hom(G, i

i

folgen dann die Aussagen u ¨ber I.



Proposition 6.3.1 Es sei X ein noethersches Schema. Dann ist ¨ aquivalent: a) X = Spec (A) ist affin. b) H i (X, F) = 0 f¨ ur alle quasikoh¨ arenten F auf X und i > 0. c) H 1 (X, I) = 0 f¨ ur alle koh¨ arenten Idealgarben I auf X. Beweis. Wir zeigen, dass a) aus c) folgt. F¨ ur U ⊆ X, offen, affin und P ∈ U maximal betrachte die exakte Sequenz 0 → IY ∪P → IY → k(P ) → 0 , wobei Y = X − U ist. Anwendung von Γ(X, −) liefert 0 → IY ∪P (X) → IY (X) → k(P ) → 0 . Es existiert also ein fP ∈ IY (X) mit fP (P ) = 0. Damit ist XfP ein affines Schema UP ⊆ X mit P  ∈ UP . Da X noethersch ist, gibt es endlich viele f1 , . . . , fr mit fi = fPi , so dass UPi = X ist. K¨ onnen wir zeigen, dass (1) = (fi ) ⊆ OX (X) ist, so w¨ are der Beweis, dass X affin ist, erbracht. Betrachte die exakte Sequenz 0 → K → OrX → OX → 0 ,

6.3 Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata

423

wobei die Abbildung OrX → OX symbolisch durch (a1 , . . . , ar ) → a1 f1 + · · · + ar fr gegeben onnen wir zeigen, dass f¨ ur jedes K ⊆ OrX immer H 1 (X, K) = 0, so w¨ are

ist. K¨ 1= ai fi und der Beweis beendet. Es sei E das Bild von K in Or−1 unter der Projektion OrX → Or−1 → 0. Man hat X X ein Diagramm: 0

0

/ OX O

/ OrX O

/ Or−1 X O

/0

? /L

? /K

? /E

/0

Kraft Induktion ist zun¨ achst H (X, E) = 0. Andererseits ist L ⊆ OX , also ein Ideal und damit H 1 (X, L) = 0. Also auch H 1 (X, K) = 0, und alles ist gezeigt.  1

Lemma 6.3.8 Es sei X ein noethersches Schema und I ⊆ OX ein Ideal mit I2 = 0. Weiter sei V (I) = (X, OX /I) = (X  , OX  ). Dann ist X genau dann affin, wenn X  es ist. Beweis. Da X  → X eine abgeschlossene Immersion ist, ist es nur n¨ otig nachzuweisen, dass aus der Affinit¨ at von X  auch die von X folgt. Sei J ⊆ OX ein Ideal. Betrachte die Folge 0 → IJ → J → J/IJ → 0 . Die Garben an den R¨ andern verschwinden unter Multiplikation mit I, sind also OX /I = OX  -Moduln. Also hat man als Ausschnitt aus der langen exakten Kohomologiesequenz: 0 = H 1 (X  , IJ) → H 1 (X, J) → H 1 (X  , J/IJ) = 0 Damit ist nach dem kohomologischen Kriterium auch X affin.



Korollar 6.3.1 Es sei X ein noethersches Schema. Dann ist X genau dann affin, wenn Xred affin ist. Beweis. Es sei N = NX . Betrachte die Filtrierung N ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ · · · ⊇ Nr = (0) und wende das Lemma f¨ ur jede Stufe in der Filtrierung an. 

Proposition 6.3.2 Es sei X ein noethersches reduziertes Schema mit X = X1 ∪ · · · ∪ Xr , der Zerlegung in irreduzible Komponenten. Dann ist X genau dann affin, wenn alle Xi es sind. Beweis. Statte jedes Xa mit der reduzierten induzierten Unterschemastruktur aus. Es ist dann ia : Xa → X eine abgeschlossene Immersion. Damit ist jedes Xa affin, wenn X es ist. Umgekehrt sei jedes Xi affin. Weiter sei J ⊆ OX eine Idealgarbe und i : X1 → X sowie i : X2 ∪ · · · ∪ Xr → X die abgeschlossenen Immersionen. Dann ist exakt 0 → K → J → i∗ i∗ J → 0 . Es ist supp K ⊆ X1 also K = i∗ i∗ K. Anwenden von H 0 (X, −) liefert den Ausschnitt der langen exakte Sequenz H 1 (X1 , K) → H 1 (X, J) → H 1 (X2 ∪ · · · ∪ Xr , i∗ J) .

424

6 Schemata II

Die Terme links und rechts verschwinden kraft Induktion, also auch der mittlere. Damit ist auch X affin. 

Proposition 6.3.3 Es sei A ein noetherscher Ring und 0 → M  → M → M  → 0 eine exakte Sequenz von A-Moduln. Weiter sei a ⊆ A ein Ideal von A. Dann ist auch 0 → Γa M  → Γa M → Γa M 

(6.46)

eine exakte Sequenz. Beweis. Es sei a = (f1 , . . . , fn ). Dann ist die Sequenz 0 → Γa M → M → exakt und funktoriell in M . Aus /  i M fi / i Mf /0 / i Mf 0 i i

O

O

O

0

/ M O

/M O

/ M  O

0

/ Γa M  O

/ Γa M O

/ Γa M  O

0

0

0

 i

M fi

(6.47)

/0



folgt die behauptete Linksexaktheit.

Also ist M → Γa M ein linksexakter Funktor von der Kategorie der A-Moduln in sich. Definition 6.3.2 Wir nennen (Γia M )i0 oder (Hai (M ))i0 die i-ten derivierten Funktoren von M → Γa (M ).  Er wird also berechnet durch eine injektive Aufl¨ osung 0 → M → I • und die Beziehung: Γia M = hi (Γa (I • )) Proposition 6.3.4 Es sei A ein noetherscher Ring und M ein A-Modul. Weiter sei a ⊆ A ein Ideal und X = Spec (A) sowie Y = V (a) und U = X − Y . Dann ist ) = Γia M . HYi (X, M (6.48) Außerdem gilt: Γa Γia M = Γia M

(6.49)

Beweis. Es sei a = (f1 , . . . , fn ). Zun¨ achst ist ) = ker(M (X) → M (U )) = ker(M → HY0 (X, M

M f i ) = Γa M . i

6.3 Kohomologie auf noetherschen affinen Schemata

425

Die Funktoren stimmen also f¨ ur i = 0 u ur jede ¨berein. Außerdem handelt es sich f¨ Sequenz 0 → M  → M → M  → 0 offensichtlich um δ-Funktoren. Weiterhin ist eine injektive Einbettung 0 → M → I auch eine Ausl¨ oschung beider Funktoren. Links, weil I ein welker OX -Modul ist, und rechts, weil Γa M u osungen ¨ber injektive Aufl¨ berechnet wird, also Γia I = 0 f¨ ur i > 0 ist. F¨ ur die erg¨ anzende Bemerkung gen¨ ugt es, die Formel Γia M = hi (Γa (I • )) herani zuziehen, nach der Γa M = coker(im di−1 → ker di ) ist. Ist nun f : P → Q eine Abbildung zweier Moduln, f¨ ur die Γa P = P und Γa Q = Q gilt, so gilt diese Beziehung auch f¨ ur ker f , im f und coker f , wie man leicht nachrechnet. Man beachte nur Γa P = P , wenn f¨ ur alle x ∈ P ein n existiert, f¨ ur das an x = 0 ist. 

Proposition 6.3.5 Es sei A ein noetherscher Ring und M ein A-Modul sowie a ⊆ A ein Ideal. Dann gilt: 1. Aus deptha M  1 folgt, dass Γa M = 0 ist. Ist M endlich erzeugt, so gilt auch die Umkehrung. 2. Es ist ¨ aquivalent f¨ ur M endlich erzeugt: a) Es ist deptha M  n. ur i < n. b) Es ist Γia M = 0 f¨ ·x

Beweis. 1. Es sei x ∈ a mit 0 → M −→ M injektiv. Ist dann an m = 0 f¨ ur ein m ∈ M , so ist auch xn m = 0, also m = 0. Also Γa M = 0. Umgekehrt sei M  endlich erzeugt und Γa M = 0. Best¨ unde a nur aus Nullteilern von M , so w¨ are a ⊆ p∈Ass M p, also auch a ⊆ p f¨ ur ein p ∈ Ass M . Damit existiert ein m ∈ M mit Ann(m) = p, also m = 0 und a m = 0, also Γa M = 0 im Widerspruch zur Annahme. ¨ 2. Der Satz ist f¨ ur n = 1 eben bewiesen. Es sei also n > 1 und die Aquivalenz f¨ ur n − 1 schon gezeigt. Man w¨ ahle ein x ∈ a mit einer exakten Sequenz: ·x

0 → M −→ M → M  → 0 Es ist dann deptha M  = deptha M − 1. Aus der zugeh¨ origen langen exakten Kohomologiesequenz f¨ ur Γa (−) entnehmen wir das St¨ uck ·x

Γi−1 M → Γi−1 M  → Γia M −→ Γia M . a a

(6.50)

Ist nun Γi−1 M = 0 = Γia M , so ist auch Γi−1 M  = 0. Weiterhin folgt aus Γi−1 M  = 0, a a a ·x dass 0 → Γia M −→ Γia M ist. Nach dem oben Bewiesenen besteht aber Γia M aus Elementen m, f¨ ur die an m = 0 ist. Also auch xn m = 0 und damit m = 0, also i Γa M = 0. Durch diese Betrachtungen und Einsetzen passender i folgt durch Induktion die Behauptung. 

Proposition 6.3.6 Es sei X ein noethersches Schema und P ∈ X ein abgeschlossener Punkt mit OX,P = OP . Dann ist ¨ aquivalent:

426

6 Schemata II

i) Es ist depthmP OP  2. ii) F¨ ur jedes U  P , offen, ist die Abbildung OX (U ) → OX (U − P ) surjektiv. Beweis. Man betrachte die exakte Sequenz: 0 → HP0 (U, OX ) → H 0 (U, OX ) → H 0 (U − P, OX ) → HP1 (U, OX ) → H 1 (U, OX ) (6.51) Da H 0 (U, OX ) → H 0 (U − P, OX ) injektiv ist, ist jedenfalls HP0 (U, OX ) = 0. Es ist f¨ ur ein V = Spec (A) offen in U mit P ∈ V auch i i HPi (U, OX ) = HPi (V, OX ) = HPi (V, OV ) = Hm (A) = Hm (AmP ) . P P

Ist also depthmP OP  2, so ist HP1 (U, OX ) = 0 und H 0 (U, OX ) → H 0 (U −P, OX ) → 0 surjektiv. Gilt umgekehrt auch die Surjektivit¨ at in (6.51) f¨ ur alle U , so auch f¨ ur U = V = Spec (A). Es ist dann H 1 (U, OX ) = H 1 (V, OV ) = 0, und aus H 0 (V, OX ) → H 0 (V − P, OX ) → 0 folgt HP1 (V, OX ) = 0. Es ist aber, wie oben schon hingeschrieben, 1 HP1 (V, OX ) = Hm (OP ). Also ist nach der vorangehenden Proposition und wegen P 0 HmP (OP ) = 0 nach der Eingangs¨ uberlegung auch depthmP OP  2. 

Proposition 6.3.7 (Deligne) Es sei A ein noetherscher Ring, a ⊆ A ein Ideal und M ein A-Modul. Weiter sei U = X − V (a). Dann ist isomorph: ) = lim HomA (an , M ) = L H 0 (U, M −→

(6.52)

n

Beweis. Es sei ψn : an → M ein Repr¨ asentant eines Elements der rechten Seite. ) wie folgt zu: W¨ Man ordnet ψ = ψn einen Schnitt s ∈ H 0 (U, M ahle f ∈ an . Dann sei s|D(f ) = sf = ψ(f )/f ∈ Mf . Da ψ(gf ) = gψ(f ) = f ψ(g) f¨ ur f, g ∈ an , ist auch ψ(f )/f = ψ(g)/g = ψ(gf )/(gf ) auf D(gf ). Damit verkleben die einzelnen sf zu (U ), denn es ist ja  D(fi ) = U , wenn an = (f1 , . . . , fr ) (weil einem Schnitt s ∈ M i n p  a ⇔ p  a ⇔ fi ∈ / p f¨ ur ein fi ∈ an ). Man rechnet nach, dass f¨ ur ein kommutatives Dreieck anO an+1

ψn

/M
p(M  ) und ap Γa (M  ) = 0 = ap γ  (s)  f¨ ur p > p(M ). Aus obigem Diagramm liest man dann ab, dass f¨ ur p > p(M  ), p(M  ) und f¨ ur 2p       (U ) und s ∈ M  (U ) sein f ∈ a auch f s = ms = ms = f s ist. Dabei ist s ∈ M  (U ).  (U ) → M Bild unter der Injektion M  ur Man hat also ein System von Abbildungen ψ (s,M ,p) (f ) = f s ∈ M  ⊆ M f¨  (U ) und f ∈ ap mit p > p(M  ). M  ⊆ M endlich erzeugt, s ∈ M   Jedes System von Abbildungen (ψ (s,M ,p) )p>p(M  ) erzeugt also ein Bild ψ¯(s,M ) in  (s,M  ,p ) (s,M ) L. Ist ψ eine zweite Abbildung, so stimmt nach Obigem das Bild ψ¯ mit  ψ¯(s,M ) u ¨berein. Wir nennen dieses Element von L jetzt einfach ψ (s) . Man rechnet nun nach, dass ψ (s1 ) + ψ (s2 ) = ψ (s1 +s2 ) , indem man Repr¨ asentanten (si ,Mi ,pi ) ψ w¨ ahlt und f¨ ur p > p(M1 ), p(M2 ), p(M1 + M2 ) den Vergleich beider Seiten durchf¨ uhrt, was auf f s1 + f s2 = f (s1 + s2 ) hinausl¨ auft. Ebenso gilt wegen f (as) = a(f s) auch ψ (as) = a ψ (s) . Damit ist s → ψ (s) eine wohldefinierte Abbildung von links nach rechts in (6.52). Man muss nun noch zeigen, dass ψ (s(φ)) = φ f¨ ur ein φ ∈ L ist und auch die Umkehrung s(ψ (t) ) = t gilt. 

Das folgende Beispiel zeigt, dass f¨ ur einen nichtnoetherschen Ring A und einen injektiven A-Modul I sowie a ∈ A die Abbildungen I → Ia nicht mehr surjektiv sein m¨ ussen. Beispiel 6.3.1 Es sei A = k[x0 , x1 , x2 , . . .] ein Polynomring mit den Relationen xn ur 0 xn = 0 f¨ n > 0. Weiter sei 0 → A → I exakt mit I, injektiver A-Modul. Dann ist I → Ix0 nicht surjektiv. Beweis. Wir beweisen dies durch Widerspruch. Es ist zun¨ achst 0 → Ax0 → Ix0 , also 1/x0 ∈ Ix0 . Im Falle der Surjektivit¨ at gibt es ein z ∈ I mit z/1 = 1/x0 in Ix0 . Dies ist gleichbedeutend mit n−1 xn 0 z = x0

428

6 Schemata II

n−1 xn = xn xn = 0 f¨ ur ein geeignetes n > 0. Also ist dann xn−1 0 xn z = 0. Nun ist aber x0 0 in A. Man erkennt dies, indem man den Ring R = k[t]/(tn ) heranzieht und eine Abbildung A → R konstruiert. Bei dieser wird abgebildet x0 → t, x1 → tn−1 , x2 → tn−2 , . . . , xn → 1 sowie xi → 0 f¨ ur i > n. Offensichtlich sind die Relationen xi0 xi = 0 f¨ ur i > 0 erf¨ ullt, wenn man die xj entsprechend substituiert. Nun wird aber xn−1 xn auf tn−1 = 0 abgebildet, ist also ungleich 0 in A.  0

6.4

Cech-Kohomologie

6.4.1

Der Cech-Komplex

¨ Es sei X ein Schema und U = (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung sowie F eine abelsche Garbe auf X. Die Menge I sei auf eine feste Weise wohlgeordnet. Es sei Ui0 ...ip = Ui0 ∩ · · · ∩ Uip . Definition 6.4.1 Der Komplex mit Werten in Ab 

C p (U, F) =

Γ(Ui0 ...ip , F)

i0 n. Da F beliebig war, kann man, indem man Q an die Stelle von F setzt, induktiv weiter auf H p+1 (X, Q) = H p+2 (X, Q ) mit einem koh¨ arenten Q schließen. Es gibt p p+j also Qj , koh¨ arent, so dass H (X, F) = H (X, Qj ) ist. Da aber H s (X, P) = 0 f¨ ur alle s > dim X und alle abelschen Garben P auf X (Satz von Grothendieck), ist auch H p (X, F) = 0 f¨ ur p > n. Nennt man cd (X) die u arente ¨ber lokal freie koh¨ Garben definierte Dimension, so folgt also aus cd (X) = n auch cd(X)  n, also cd(X)  cd (X). Andererseits ist nat¨ urlich cd (X)  cd(X), also cd(X) = cd (X). 

Proposition 6.4.8 Es sei X ein noethersches separiertes Schema und (Ui ) eine affine offene ¨ Uberdeckung von X mit r + 1 Teilmengen. Dann ist cd(X)  r. Beweis. Es sei F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann ist das p-te Element im Cech Komplex C p ((Ui ), F) = i0 r. Umsomehr ist dann H p (X, F) = H 

Proposition 6.4.9 Es seien X, Y ⊆ Pn k zwei reduzierte, abgeschlossene Unterschemata und k ein K¨ orper. Es sei dim X = r. Dann gibt es r + 1 Hyperfl¨ achen H1 , . . . , Hr+1 ⊆ Pn k mit Hi ⊇ Y , so dass X −Y =

r+1 

(X − Hi ).

i=1

Das Schema X − Hi ⊆ Pn k − Hi ist dabei affin. Beweis. Im Fall r = 0 sei X = {P1 , . . . , Ps , Q1 , . . . , Qt } mit Pi ∈ / Y und Qj ∈ Y . Betrachte die Sequenz: 0 → IY ∪P1 ∪···∪Ps → IY → k(P1 ) × · · · × k(Ps ) → 0 Der Schnitt Γ(Pn ur eine gen¨ ugend hohe Vertwistung k , (−)(d)) wird auf dieser Sequenz f¨ d exakt. Also existiert ein h ∈ IY (d), so dass Pi ∈ / V (h) f¨ ur alle i und V (h) ⊇ Y . Setze H1 = V (h), und der Beweis f¨ ur r = 0 ist erbracht. Es sei nun r > 0 und der Satz f¨ ur dim X < r schon gezeigt. Weiter sei X = X1 ∪ · · · ∪ Xm die Zerlegung in irreduzible Komponenten. OBdA ist Xi ⊆ Y f¨ ur jedes Xi . W¨ ahle so in jedem Xi − Y einen Punkt Qi , der auch in keinem Xj mit j = i liegt. Betrachte die exakte Sequenz 0 → IY ∪Q1 ∪···∪Qm → IY → k(Q1 ) × · · · × k(Qm ) → 0 , bei der wieder ein Schnitt Γ(Pn ur eine gen¨ ugend hohe Vertwistung d exakt k , (−)(d)) f¨ wird. Es gibt also einen Schnitt h aus der mittleren Idealgarbe mit V (h) ⊇ Y und h(Qi ) = 0 f¨ ur alle Qi . Setze X  = V (h) ∩ X. Dann ist dim X   r − 1, und deshalb, kraft Induktion, kann X  − Y mit r Hyperfl¨ achenkomplementen D(w1 ), . . . , D(wr ) ⊆ Pn ¨berdeckt werden, k u f¨ ur die V (wi ) ⊇ Y ist. Es ist X ∩ D(wi ) ⊆ X − Y affin, da X → Pn k eine abgeschlossene Immersion ist. Nimmt man noch D(h) zu den D(wi ) hinzu, so hat man eine vollst¨ andige offene ¨ und affine Uberdeckung von X − Y mit r + 1 Teilmengen D(wi ) ∩ X und D(h) ∩ X. 

442

6 Schemata II

Korollar 6.4.2 Es sei X ⊆ Pn at mit dim X = r. Dann l¨ asst sich X k eine quasiprojektive Variet¨ mit r + 1 offenen affinen Teilen U1 , . . . , Ur+1 ⊆ X u ¨berdecken. Es folgt daher cd(X)  r = dim X . (6.89) Proposition 6.4.10 Es sei Y ⊆ X = Pn andiger Durchschnitt mit k ein mengentheoretisch vollst¨ codim Y = r. Dann ist cd(X − Y )  r − 1. Beweis. Es gibt abgeschlossene Hyperfl¨ achen H1 , . . . , Hr ⊆ Pn k mit Hj = V (hj ) und mit Y = H1 ∩ · · · ∩ Hr als Mengen. Also ist X − Y = (X − H1 ) ∪ · · · ∪ (X − Hr ). Also wird X − Y von den r offenen affinen Mengen D(hj ) = X − Hj u ¨berdeckt, und es ist nach der vorvorigen Proposition cd(X − Y )  r − 1. 

6.5

Infinitesimale Erweiterungen von Schemata

Definition 6.5.1 Es sei X ein Schema und F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Weiter sei i : X → X  eine abgeschlossene Immersion und 0 → I → OX  → i∗ OX → 0 die zugeh¨ orige exakte Sequenz. Es sei I2 = 0, also auch I ein OX  /I-Modul, also ein OX -Modul. Es sei auch I ∼ = F als OX -Modul.  Dann heißt i : X → X eine infinitesimale Erweiterung von X mit F.  Bemerkung 6.5.1 Die Abbildung i : X → X  ist ein topologischer Hom¨ oomorphismus. Mit den Bezeichnungen der Definition sei OX  = OX ⊕ F, und auf OX ⊕ F sei eine OX -Algebra-Struktur verm¨ oge der Multiplikation (b1 , m1 ) · (b2 , m2 ) → (b1 b2 , b1 m2 + b2 m1 )

(6.90)

eingef¨ uhrt. Definition 6.5.2  Es sei X, F wie oben. Dann ist X(F) = Spec (OX ⊕ F) die triviale infinitesimale  falls F sich von selbst Erweiterung von X mit F. Wir schreiben auch einfach X, versteht.  wird durch die Projektion OX ⊕ F → OX gegeben. Die Immersion i : X → X  Eine Projektion p : X → X entsteht aus der kanonischen Abbildung OX → OX ⊕ F. 

6.5 Infinitesimale Erweiterungen von Schemata

443

F¨ ur regul¨ are, affine Variet¨ aten sind alle infinitesimalen Erweiterungen trivial: Proposition 6.5.1 Es sei X eine regul¨ are, affine k-Variet¨ at und i : X → X  eine infinitesimale  Erweiterung von X mit F. Dann existiert ein Isomorphismus φ : X  → X(F) und ein Diagramm:  /X >

φ

X ` i

X

Proposition 6.5.2  wie oben. Weiter sei X ein A-Schema f¨ Es sei X, F und X ur einen Ring A. Dann entsprechen sich eineindeutig  →X  mit φ ◦ i = i, i) die Morphismen φ : X ii) die A-linearen Derivationen d(φ) : OX → F, iii) die Elemente δ(φ) ∈ HomOX (ΩX|A , F). Außerdem entspricht die Komposition der Morphismen φ1 ◦ φ2 der Addition d1 (φ1 ) + d2 (φ2 ).  mit einem B-Modul M . F¨ Beweis. Lokal ist X = Spec (B) und F = M ur die Abbil dung φ : B ⊕ M → B ⊕ M gilt das Diagramm: 0



M

z

$ / B⊕M

φ

B⊕M

$

B

z



0 Also ist φ ((b, m)) = (b, m + δ(b)). Es ist φ ((b1 , m1 ) · (b2 , m2 )) = φ ((b1 b2 , b1 m2 + b2 m1 )) = = (b1 b2 , b1 m2 + b2 m1 + δ(b1 b2 )) = = (b1 , m1 + δ(b1 )) · (b2 , m2 + δ(b2 )) = = (b1 b2 , b1 m2 + b2 m1 + b1 δ(b2 ) + b2 δ(b1 )) . (6.91) Also ist δ(b1 b2 ) = b1 δ(b2 ) + b2 δ(b1 ), und δ ist die zu φ eineindeutig assoziierte Derivation δ : B → M . Man u ¨berlegt sich, dass sich diese Definition durch Verkleben globalisieren l¨ asst. 

444

6 Schemata II

Bemerkung 6.5.2 Ist ΩX|A in der vorigen Proposition ein lokal freier OX -Modul, so ist auch ∨ HomOX (ΩX|A , F) = HomOX (OX , Ω∨ X|A ⊗OX F) = (ΩX|A ⊗OX F)(X) . (6.92)

Es sei nun X im Folgenden immer eine regul¨ are k-Variet¨ at und i : X → X  eine infinitesimale Erweiterung von X mit F. Dann gilt: Proposition 6.5.3 Es entsprechen sich Isomorphieklassen infinitesimaler Erweiterungen i : X → X  mit F von einer regul¨ aren Variet¨ at X u ¨ber k und Elemente von 1 ∨ H (X, ΩX|k ⊗OX F). ¨ Beweis. W¨ ahle eine affine offene Uberdeckung (Xλ ) von X, und die zugeh¨ orige offene ¨ affine Uberdeckung Xλ von X  mit i(Xλ ) = Xλ (i(Xλ ) ist nach Chevalleys Theorem λ die triviale Erweiterung affin, weil i : Xλ → i(Xλ ) surjektiv und endlich ist). Es sei X von Xλ mit F|Xλ . λ ein Trivialisierungsmorphismus, der nach Proposition 6.5.1 Lokal sei φλ : Xλ → X λ eine alternative Trivialisierung. immer existieren muss. Weiter sei ψλ : Xλ → X Dann existiert ein Diagramm (in dem die oberste und unterste Zeile identisch sind) Xλ o

O

j

 Xλμ

O

λ o X O

j 

λμ X

ψλμ

O

λ o X



j 

φλ

Xλ o

λμ X



j

j

μλ /X O

j 

φλμ

μλ /X

j 

φλ

 Xλμ

=

/ Xμ O

(6.93)

ψμ

 wμ

 wλ

wλ

 / Xμλ O

 ψμ

 ψλ

ψλ

=

μ /X O



wμ

φμ

 / Xμλ

j

μ /X



φμ

/ Xμ

mit ψλ ◦ wλ = φλ und ψμ ◦ wμ = φμ . Die Verklebungsmorphismen φλμ entsprechen Schnitten δλμ ∈ (ΩX|k ⊗ F)(Xλμ ). Also einem Schnitt aus C 1 ((Xλ ), Ω∨ X|k ⊗ F), dessen  Bild in C 2 ((Xλ ), Ω∨ ⊗ F) gleich Null ist, da φ = φ ◦ φ auf X μτ λτ λμ λμτ ist. X|k Sind δ(wλ ) und δ(wμ ) sowie δ(φλμ ) und δ(ψλμ ) die den Abbildungen in Klammern entsprechenden Schnitte in M(Xλ ) und M(Xμ ) sowie M(Xλμ ) und M(Xλμ ) mit M = Ω∨ X|k ⊗ F, so liest man aus dem Zentrum des Diagramms die Beziehung δ(φλμ ) = −δ(wμ )|Xλμ + δ(ψλμ ) + δ(wλ )|Xλμ

(6.94)

ab. Es ist also δ(φλμ ) − δ(ψλμ ) = δ(wλ ) − δ(wμ ) im Bild von d : C ((Xλ ), M) → ¨ C 1 ((Xλ ), M). Der Ubergang zu einer anderen Trivialisierung von X  bedeutet also die 1 Addition eines Randes in C ((Xλ ), M). Außerdem ist die durch Verklebung entlang φλμ gewonnene infinitesimale Erweiterung X  (φ) isomorph zu der Ausgangserweiterung X  . Also entsprechen sich die Isomorphieklassen von Erweiterungen X  u ¨ber X mit F und die Elemente 0

0

ˇ 1 ((Xλ ), M) = H 1 (X, M) = H 1 (X, Ω∨ H X|k ⊗ F) . 

6.5 Infinitesimale Erweiterungen von Schemata

445

Proposition 6.5.4 Es sei (X  , OX  ) ein lokal geringter Raum und I eine OX  -Idealgarbe mit I2 = 0. Weiter sei (X, OX ) der lokal geringte Raum (X  , OX  /I). Dann existiert eine exakte Sequenz von abelschen Garben auf X  : 0 → I → O∗X  → O∗X → 0

(6.95)

Dabei ist die Abbildung links durch a ∈ I(U ) → 1+a ∈ O∗X  (U ) und die Abbildung rechts durch f ∈ O∗X  (U ) → f + I(U ) ∈ O∗X (U ) gegeben. Aus dieser Sequenz folgt durch Anwenden von Γ(X  , −) die lange exakte Sequenz: · · · → H 1 (X, I) → Pic X  → Pic X → H 2 (X, I) → · · · (6.96) Beweis. Es sei i : X → X  die kanonische Inklusion geringter R¨ aume. Auf den assoziierten topologischen R¨ aumen ist i die Identit¨ at. Die Kategorien Ab(X) und Ab(X  ) sind a ¨quivalent unter F → i∗ F und F → i∗ F. Also ist H i (X, F) = H i (X  , F) f¨ ur eine Garbe aus Ab(X) bzw. Ab(X  ). Insbesondere ist H i (X, I) = H i (X  , I) und H i (X, O∗X ) = H i (X  , O∗X ). 

Beispiel 6.5.1 Es sei X = P2k = proj (k[x0 , x1 , x2 ]) und (Ui ) f¨ ur i = 0, 1, 2 die kanonische ˇ 1 ((Ui ), ΩX|k ), ¨ Uberdeckung. Dann existiert ein Element ϑ ∈ H 1 (X, ΩX|k ) = H n¨ amlich ϑij =

xi d xj

!

xj xi

" ∈ Γ(Uij , ΩX|k ) .

Beweis. Es ist symbolisch     xj dxj xi dxj xi xj dxi ϑij = = d − dxi 2 = − . xj xi xj xi xi xj xi

(6.97)

(6.98) 

Also ϑij + ϑjk = ϑik .

Nun ist ∨ ΩX|k ∼ = ΩX|k ⊗ ω

 mit ω = 2 ΩX|k .  Also definiert ϑ ∈ H 1 (X, Ω∨ X|k ⊗ ω) eine infinitesimale Erweiterung X von X mit ω. Also besteht eine exakte Sequenz 0 → ω → O∗X  → O∗X → 0

(6.99)

und damit eine lange exakte Sequenz in der Kohomologie H 1 (X, ω) → Pic X  → Pic X − → H 2 (X, ω) . α

Es ist (wie wir sp¨ ater sehen werden) H 1 (X, ω) = 0 und H 2 (X, ω) = 2 H (X, OX (−3)) = k. Weiterhin ist f¨ ur char k = 0 auch die Abbildung α injektiv. Damit ist in diesem Fall Pic X  = 0 und insbesondere auch X  nicht projektiv.

446

6 Schemata II

Es bleibt die Injektivit¨ at von α nachzuweisen: ˜ij → U ˜ji nach obiger Bezeichnungsweise Beweis. Die Verklebungsdaten φij : U werden durch φij (f ⊕ ψ) = f ⊕ δ(f ) + ψ = f ⊕ ϑji ∧ df + ψ (6.100) mit f ∈ OX (Uij ) und ψ ∈ ω(Uij ) gegeben. Nun ist OX (1) ein Erzeuger von Pic X und durch den Kozykel

xi xj

∈ O∗X (Uij )

2

gegeben. Diesen wollen wir gem¨ aß α auf H (X, ω) abbilden. Wir nehmen dazu den Ausschnitt aus den Cech-Komplexen der obigen kurzen exakten Garbensequenz:

/ ω(U012 ) O

0

 / O∗X  (U012 ) O

i

d1

/

0



/

ω(Uij )



/ O∗X (U012 ) O

d1  O∗X  (Uij )

p

/



/0

(6.101)

d1

O∗X (Uij )

/0

Die mittlere Spalte kann nach Einf¨ uhrung entsprechender Trivialisierungen auch geschrieben werden als ˜012 ) O∗U˜012 (U

O

(6.102)

d1

˜12 ) × O∗˜ (U ˜02 ) × O∗˜ (U ˜01 ) . O∗U˜12 (U U02 U01 Ist (x1 /x2 ), (x0 /x2 ), (x0 /x1 ) das Urbild unter p des Kozykels (xi /xj , Uij ), so kann sein Bild unter d1 f¨ ur die zwei letzten Komponenten einfach durch Einschr¨ ankung gegeben werden. Denn es ist ja U012 ⊆ U01 , U02 ⊆ U0 , so dass keine Verklebungsabbildung ins Spiel gebracht werden muss. Anders bei U12 ⊆ U1 . Hier ben¨ otigt man die Verklebung ˜10 → U ˜01 , um O∗˜ (U ˜12 ) auf O∗˜ (U ˜012 ) abzubilden. Das Bild ist dann φ10 : U U12 U012   x1 x1 x0 x1 x0 . (6.103) → ⊕ ϑ01 ∧ d x2 x0 x2 x0 x2 Nun ist ϑ01 = x0 /x1 d(x1 /x0 ) und  ϑ01 ∧ d

x 1 x0 x0 x2



& %     x1 x0 x 0 x1 = ϑ01 ∧ d = +d x0 x2 x2 x0     x0 x1 x0 x1 = ∧d = d x1 x0 x0 x2  2     x0 x2 x1 =− ∧d . (6.104) d x2 x0 x0

Insgesamt ist x1 x0 x0 x2 x0 d ( , , )= x2 x2 x1 x0 x1 1



2     x0 x1 x2 d ∧d = x2 x0 x0        x0 x0 x1 x2 = 1⊕− d ∧d . (6.105) x1 x2 x0 x0

x1 ⊕− x2



ˇ 2 ((Ui ), ω) durch die nichtverschwindende Form Also wird der Kozykel α(OX (1)) in H       x1 x2 x0 x0 d ∧d (6.106) Γ(U012 , ω) = − x1 x2 x0 x0

6.6 Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A

447

repr¨ asentiert. Nun ist α(OX (m)) = m α(OX (1)) und deshalb α injektiv in char k = 0.

6.6

Kohomologie der projektiven R¨ aume PnA

6.6.1

Vorbemerkung



Ist i : X → PrA eine abgeschlossene Immersion, so ist H i (X, F) = H i (PrA , i∗ F). Da f¨ ur F (quasi-)koh¨ arent, i∗ F (quasi-)koh¨ arent auf PrA ist, kann man die Berechnung von Kohomologien von (quasi-)koh¨ arenten Garben u ¨ber X auf solche u uckf¨ uhren. ¨ber PrA zur¨ Da f¨ ur koh¨ arente Garben F immer Sequenzen  0→K→ OPrA (di ) → F → 0 i

existieren, ist die Kenntnis von H i (PrA , OPrA (d)) = 0 f¨ ur alle i, d ein wichtiger Grundstein.

6.6.2

Die Grundtheoreme zur Kohomologie der projektiven R¨ aume

Theorem 6.6.1 Es sei A ein noetherscher Ring, X = PrA also X = proj (S) mit S = A[x0 , . . . , xr ]. Dann gilt:  1. S → Γ∗ (OX ) = n∈Z H 0 (X, OX (n)) ist ein Isomorphismus von S-Moduln. 2. H i (X, OX (n)) = 0 f¨ ur 0 < i < r und alle n ∈ Z. 3. H r (X, OX (−r − 1)) ∼ = A. 4. H 0 (X, OX (n)) × H r (X, OX (−n − r − 1)) → H r (X, OX (−r − 1)) ist eine nichtausgeartete Paarung freier A-Moduln. Beweis. Die Richtigkeit von 1. hatten wir schon fr¨ uher gezeigt.  Wir zeigen zun¨ achst 3. und 4. f¨ ur beliebige r. Dazu f¨ uhren wir M = d∈Z OX (d) ein und erkennen, dass gilt: C r ((D+ (xi )), M) = Sx0 ···xr C r−1 ((D+ (xi )), M) =

Sx0 ···xν ···xr ν

448

6 Schemata II

Indem man die Monome in S gleich durch (x0 · · · xr )p bzw. (x0 · · · x 'ν · · · xr )q dividiert, kann man auch direkt schreiben:  Sx0 ···xr = (6.107) A x 0 e 0 · · · x r er , Sx0 ···xν ···xr =

e0 ,...,er



A x0 e0 · · · xeνν · · · xr er

(6.108)

e0 ,...,er eν 0

 Es ist dann nat¨ urlich (Sx0 ···xr )d = e0 +···+er =d A x0 e0 · · · xr er und entsprechend f¨ ur (Sx0 ···xν ···xr )d . Es gibt offensichtliche Injektionen iν : Sx0 ···xν ···xr → Sx0 ···xr , die in den rechten Seiten von (6.107)und (6.108) einfach Inklusionen sind. Aus diesen formt sich die Abbildung dr−1 : Sx0 ···xν ···xr → Sx0 ···xr . Wir erkennen nun leicht, dass ein Monom xe00 · · · xerr von Sx0 ···xr genau dann im Bild von dr−1 liegt, wenn  wenigstens ein eν  0 ist. Nennt man Q = Q /dr−1 Q den Quotienten Sx0 ···xr /dr−1 ( ν Sx0 ···xν ···xr ), so ist offensichtlich Qd = 0 f¨ ur d > −r − 1 , Q−r−1 = Q−d−r−1 =

A x−1 0

· · · x−1 r



+d

r−1

0 A x−1−e 0

(6.109) 

Q , r · · · x−1−e r

(6.110) +d

r−1



Q .

(6.111)

e0 +···+er =d eν 0

ˇ r ((D+ (xi )), Md ) = H ˇ r ((D+ (xi )), OX (d)) = H r (X, OX (d)) ist, ist Da Qd gleich H damit 3. und auch 4. gezeigt. Die Paarung H 0 (X, OX (d)) × H r (X, OX (−d − r − 1)) → H r (X, OX (−r − 1)) ist durch r 0 · · · x−1−e + dr−1 Q ) → (a xf00 · · · xfrr , a x−1−e r 0

a a xf00 −1−e0 · · · xfrr −1−er + dr−1 Q = −1 r−1  = a a δef00 · · · δefrr x−1 Q 0 · · · xr + d

(6.112)

gegeben. Wir nehmen jetzt an, dass 1., 3. und 4. bereits f¨ ur alle r und 2. f¨ ur r − 1 bewiesen ist.   0 Nenne M = d0 OX (d). Dann ist H (X, S) = S und d∈Z OX (d) und S = i 0 H (X, M) ein H (X, S)-Modul, also ein S-Modul. Betrachte die kurzen exakten Sequenzen: ·x

r 0 → M(−1) −−→ M → M → 0

Man beachte, dass H i (X, M ) = H i (X  , M ) f¨ ur X  = Pr−1 ist. Denn es ist ja M = A ∗  i ur die abgeschlossene Immersion i : V (xr ) → X. Desweiteren ist M = ∗ i M f¨ p  p    ur p = 1, . . . , r− d∈Z OX (d). Also ist nach Induktion H (X, M ) = H (X , M ) = 0 f¨ 2. Also sind die Abbildungen ·x

r φp : H p (X, M(−1)) −−→ H p (X, M)

f¨ ur p = 2, . . . , r − 1 immer Injektionen.

6.6 Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A

449

Aus der exakten Sequenz 0 → H 0 (X, M(−1)) = S(−1) → H 0 (X, M) = S → → H 0 (X, M ) = H 0 (X  , M ) = S/xr S(−1) → 0

(6.113)

entnimmt man aus der langen exakten Kohomologiesequenz f¨ ur p = 0, 1, dass auch ·x

r φ1 : H 1 (X, M(−1)) −−→ H 1 (X, M)

eine Injektion ist. Nun ist aber weiterhin ˇ H p (X, M) = H(U, M) = hp (C • (U, M)) ¨ f¨ ur die Uberdeckung U = (D+ (xj ))j=0,...,r . Also ist auch ˇ M)xr = hp (C • (U, M)xr ) = H p (X, M)xr = H(U, ˇ p (U ∩ D+ (xr ), M) = H p (D+ (xr ), M) . = hp (C • (U ∩ D+ (xr ), M)) = H ¨ Man beachte f¨ ur den Ubergang in die zweite Zeile die Identit¨ aten:  Γ(Ui0 ···ip , M) = S(xi0 ···xip ) (d) = Sxi0 ···xip d

(Sxi0 ···xip )xr = Sxr xi0 ···xr xip Nun ist aber H p (D+ (xr ), M) = 0, weil D+ (xr ) affin. Also ist f¨ ur m ∈ H p (X, M) auch N −1 N −1 −1 xN m = 0. Also x (x m) = 0, also φ (x m) = 0, also xN m = 0. Induktiv r p r r r r p also m = 0. Damit ist also H (X, M) = 0 und damit 2. f¨ ur die Dimension r gezeigt. 

Bemerkung 6.6.1 Man beachte, dass H r (X, OX (−r − 1)) = H r (X, ωX|A ) = H 0 (X, OX ) = A nach der (sp¨ ater noch einzuf¨ uhrenden) Dualit¨ atstheorie ist. Theorem 6.6.2 Es sei X ein projektives Schema u ¨ber dem noetherschen Ring A und OX (1) ein sehr amples Linienb¨ undel auf X u arente Garbe auf ¨ber A. Weiter sei F eine koh¨ X. Dann ist 1. H i (X, F) ein endlich erzeugter A-Modul, f¨ ur alle i  0, 2. H i (X, F(n)) = 0 f¨ ur alle n  n0 und alle i > 0 f¨ ur ein festes n0 (das von F abh¨ angt). Beweis. Man benutzt zun¨ achst die Immersion i : X → PrA und die Beziehung H i (X, F ⊗OX OX (n)) = H i (PrA , i∗ F ⊗OPr OPrA (n)) , A

um ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit X =

PrA

anzunehmen.

450

6 Schemata II

Dann betrachtet man eine Sequenz 0 → E → E → F → 0  mit E = i OX (di ). Es ist dann zun¨ achst H r (X, E(n)) → H r (X, F(n)) → 0 immer surjektiv. Der Ar Modul H (X, E(n)) ist nach vorigem Theorem endlich erzeugt und f¨ ur n > n0 immer gleich Null. Damit ist der Satz f¨ ur i = r gezeigt. Als n¨ achstes betrachten wir f¨ ur 0  i < r die Sequenz H i (X, E(n)) → H i (X, F(n)) → H i+1 (X, E (n)) → H i+1 (X, E(n))

(6.114)

und nehmen an, dass f¨ ur i + 1 und gr¨ oßer das Theorem schon gelte. Dann ist H i (X, F(n)) ein endlich erzeugter A-Modul, da er zwischen zwei solchen steht. Ist i > 0, so steht links eine Null und f¨ ur alle n > n0 ist H i+1 (X, E (n)) = 0 nach Induktionsannahme. Damit ist das Theorem f¨ ur den Index i gezeigt. Induktiv absteigend ist es f¨ ur alle in Frage kommenden i richtig. 

6.6.3

Kohomologische Charakterisierung ampler Garben

F¨ ur das folgende Theorem brauchen wir als Vorbereitung: Lemma 6.6.1 Es sei X ein noethersches Schema und F ein koh¨ arenter OX -Modul. Weiter sei F1 ⊆ F 2 ⊆ · · · ⊆ Fk ⊆ · · · ⊆ F eine aufsteigende Kette von OX -Untermoduln. Dann wird diese Kette irgendwann station¨ ar, also Fk = Fk0 f¨ ur alle k  k0 . Dies ist ¨ aquivalent zu: Ist (Fλ ) eine Familie von OX -Untermoduln von F, so enth¨ alt diese Familie ein maximales Element. Lemma 6.6.2 g f Es sei X ein Schema und 0 → F − → F − → F → 0 eine exakte Sequenz von OX -Moduln. Weiter sei auch 0 → H 0 (X, F ) → H 0 (X, F) → H 0 (X, F ) → 0 exakt. Ist dann F und F von globalen Schnitten erzeugt, so auch F. Beweis. Es sei w1 , . . . , wm ∈ F (X) und die entsprechende Garbenabbildung m n (tj )j (wi )i   −−→ i=1 OX −−−→ F → 0 surjektiv. Ebenso sei t1 , . . . , tn ∈ F (X) und j=1 OX − F → 0 die entsprechende Surjektion. Weiter sei ui = f (wi ) ∈ F(X) und g(sj ) = tj  n (ui )i ,(sj )j mit sj ∈ F(X). Dann ist auch m −−−−−−→ F → 0 surjektiv. Man i=1 OX ⊕ j=1 OX −  sieht dies direkt durch Betrachtung der Halme 0 → FP → FP → FP → 0.

Theorem 6.6.3 Es sei A ein noetherscher Ring, X eigentlich u ¨ber Spec (A). Es sei L ein Linienb¨ undel auf X. Dann ist ¨ aquivalent:

6.6 Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A

451

a) L ist ampel. b) F¨ ur jede koh¨ arente Garbe F auf X gibt es ein n0 ∈ Z, so dass H i (X, F ⊗ Ln ) = 0 f¨ ur alle n  n0 und i > 0. Beweis. Ist L ampel, so ist Ln sehr ampel, weil X eigentlich u ¨ber einem noetherschen  Ring A. Also ist H i (X, F ⊗ Lnn ) = 0 f¨ ur n  n0 (i, F) Damit ist auch H i (X, F ⊗  ur nd  nd0 . Also ist H i (X, F ⊗ Lm ) = 0 f¨ ur Ld ⊗ Lnnd ) = 0 mit d = 0, . . . , n − 1 f¨  m > max(nnd0 ) + n. Umgekehrt sei b) richtig. Wir m¨ ussen zeigen, dass f¨ ur jedes F, koh¨ arent, alle F⊗Lm , f¨ ur m  m0 , von globalen Schnitten erzeugt (vgSe) sind. Wir zeigen als Erstes, dass Ln f¨ ur ein geeignetes n vgSe ist. Betrachte dazu f¨ ur alle P ∈ X, abgeschlossen, die Sequenz: 0 → IP → OX → k(P ) → 0 Tensorieren mit LnP und Anwenden von H 0 (X, −) liefert, wenn H 1 (X, IP ⊗LnP ) = 0 ist: 0 → H 0 (X, IP ⊗ Lnp ) → H 0 (X, Lnp ) → H 0 (X, k(P ) ⊗ Lnp ) = k(P ) → 0 Ist tP ∈ H 0 (X, k(P ) ⊗ Lnp ) = k(P ) = 1, so sei fP sein Urbild in H 0 (X, LnP ). Dann ist XfP = UP eine offene Menge in X. Endlich viele davon (UP ¨berdecken i) u X, und es ist Xf d = XfP = UP mit fpd ∈ LnP d (X). Nennt man m = nPi , so sind P

m/nPi

f Pi

∈ Lm (X), und die X

m/nP

fP

i

u ¨berdecken X. Also ist Lm von den globalen

i

m/nP

Schnitten fPi i erzeugt. Wir ersetzen jetzt L durch Lm , nehmen also an, dass L vgSe ist. Es sei nun F ein beliebiger koh¨ arenter OX -Modul. Wir betrachten die Menge aller  Untermoduln F ⊆ F, mit F ⊗ Lm ist vgSe f¨ ur ein geeignetes m = m0 und damit   auch f¨ ur alle m > m0 . Diese Menge ist nicht leer, da die Nullgarbe in ihr enthalten ist. Sie enth¨ alt somit nach dem vorangehenden Lemma ein maximales Element F . Wir zeigen, dass dieses gleich F sein muss. Andernfalls existierte eine Sequenz: 0 → F → F → G → 0 Es sei GP = 0. Dann hat man aus 0 → IP → OX → k(P ) → 0 die Sequenz 0 → IP G → G → G ⊗ k(P ) → 0 , wobei IP G = im(IP ⊗ G → G) ist. Tensorieren mit Ld unter Annahme von H 1 (X, IP G ⊗ Ld ) = 0 liefert wieder 0 → H 0 (X, IP G ⊗ Ld ) → H 0 (X, G ⊗ Ld ) → → H 0 (X, G ⊗ k(P ) ⊗ Ld ) = k(P ) ⊗ G = k(P )m → 0 . (6.115) ·s

Also gibt es ein sP ∈ H 0 (X, G ⊗ Ld ) mit (sP )P = 0. Wir nennen h : OX −−P→ G ⊗ Ld und G = im h ⊆ G ⊗ Ld . Die Garbe G ist nach Konstruktion vgSe. Weiter sei G = G ⊗ L−d ⊆ G.

452

6 Schemata II

Wir definieren dann durch die exakten Sequenzen 0

/ F

/ F

/ G

/0

0

 / F

 /F

 /G

/0

(6.116)

die Garbe F als Pushout von OX -Moduln. Es sei nun F ⊗ Le vgSe.  Dann entsteht durch Tensorieren mit e  e + d, so dass auch H 1 (X, F ⊗ Le ) = 0, die Sequenz:    (6.117) 0 → F ⊗ Le → F ⊗ Le → G ⊗ Le → 0 In ihr stehen links und rechts Garben, die vgSe sind, und sie bleibt nach Anwendung  von H 0 (X, −) exakt. Also ist, nach vorigem Lemma, auch F ⊗ Le vgSe. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass F die gr¨ oßte Untergarbe dieser Art sei. Also ist in der Tat F ⊗ Lp vgSe f¨ ur ein p = p0 und damit auch f¨ ur alle p  p0 . Gehen wir wieder zum anf¨ anglichen L, vor der Ersetzung, zur¨ uck, so bedeutet dies die Aussage, dass f¨ ur jedes koh¨ arente F auch F ⊗ Lmd vgSe ist mit d  d0 . Daraus ¨ folgt aber nach einer fr¨ uheren Uberlegung schon, dass L ampel ist. 

6.6.4

Ample Garben unter f ∗

Es seien im Folgenden X, Y noethersche eigentliche Schemata u ¨ber einem noetherschen Ring A. Proposition 6.6.1 Es sei i : Y → X eine abgeschlossene Immersion und L eine ample invertierbare Garbe auf X. Dann ist auch i∗ L ampel auf Y . Beweis. Aus L ampel folgt Lm sehr ampel f¨ ur ein m > 0. Es sei f : X → PN A die ∗ assoziierte (abgeschlossene) Immersion mit f OPN (1) = Lm . Dann ist i∗ Lm zu der A Immersion f ◦ i assoziiert, also sehr ampel. Damit ist dann auch i∗ L ampel auf Y . 

Proposition 6.6.2 Es sei X ein Schema wie oben und N eine nilpotente Idealgarbe mit N2 = 0. Weiter sei i : X  = V (N) → X das zugeh¨ orige abgeschlossene Unterschema. Es sei nun L eine invertierbare Garbe auf X. Dann ist L ampel auf X genau dann, wenn i∗ L = L ⊗OX OX  ampel auf X  ist. Beweis. Es sei i∗ L ampel auf X  , und es sei F eine koh¨ arente Garbe auf X. Betrachte die Sequenz koh¨ arenter Garben, 0 → N F → F → F/N F → 0

(6.118)

und ihre Tensorierung mit L : m

0 → N F ⊗ Lm → F ⊗ Lm → F/N F ⊗ Lm → 0 Nun sind NF und F/NF beides OX /N-Moduln, also H p (X, N F ⊗ Lm ) = H p (X  , N F ⊗ i∗ Lm ) = 0

(6.119)

6.6 Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A

453

f¨ ur m  0 und p > 0. Ebenso ist H p (X, F/N F ⊗ Lm ) = H p (X  , F/N F ⊗ i∗ Lm ) = 0 . Also ist auch H p (X, F ⊗ Lm ) = 0 f¨ ur m  0 und p > 0. Mithin ist L ampel auf X. Die umgekehrte Implikation folgt aus voriger Proposition. 

Korollar 6.6.1 Es sei X ein Schema wie oben und L eine invertierbare Garbe auf X. Weiter sei i : Xred → X das zugeh¨ orige reduzierte Schema. Dann ist L genau dann ampel auf X, wenn i∗ L ampel auf Xred ist. Beweis. Es sei N die nilpotente Idealgarbe, die Xred definiert. Betrachte die Filtrierung N ⊇ N2 ⊇ · · · ⊇ Nr = 0 und die Unterschemata Xi = V (Ni ). Dann ist Xi ⊆ Xi+1 eine abgeschlossene Immersion, die durch M = Ni /Ni+1 definiert wird. Nun ist aber M2 = 0, also erf¨ ullt die Immersion Xi ⊆ Xi+1 die Bedingungen der vorangehenden Proposition, und wir k¨ onnen aus i∗ L ampel auf Xred = X1 auf L ampel auf Xr = X schließen. 

Proposition 6.6.3 Es sei X ein Schema wie oben und zus¨ atzlich reduziert. Weiter sei X = X1 ∪· · ·∪ Xr die Zerlegung in irreduzible Komponenten. Die Abbildungen iα : Xα → X seien die zugeh¨ origen abgeschlossenen Immersionen. Es sei nun L eine invertierbare Garbe auf X. Dann ist L genau dann ampel auf X, wenn alle i∗α L ampel auf Xα sind. Beweis. Es seien alle i∗α L ampel. Wir zeigen, dass dann auch L ampel ist. Es sei F eine koh¨ arente Garbe auf X. Weiter seien i1 : X1 → X und i : X2 ∪ · · · ∪ Xr → X die kanonischen abgeschlossenen Immersionen. Dann existiert eine exakte Sequenz koh¨ arenter Garben auf X: 0 → F  → F → i ∗ i∗ F → 0

(6.120)

Die Garbe F hat ihren Tr¨ ager auf X1 , die Garbe F = i∗ i∗ F hat einen Tr¨ ager in X2 ∪ · · · ∪ Xr . Es ist also H p (X, F ⊗ Lm ) = H p (X1 , F ⊗ i∗1 Lm ) = 0 f¨ ur m  0 und p > 0. Ebenso ist H p (X, F ⊗ Lm ) = H p (X2 ∪ · · · ∪ Xr , F ⊗ i∗ Lm ) = 0 f¨ ur m  0 und p > 0. Dabei haben wir kraft Induktion angenommen, dass aus i∗ν L = i∗ν i∗ L ampel f¨ ur ν = 2, . . . , r auch i∗ L ampel auf X2 ∪ · · · ∪ Xr folgt. Also ist auch H p (X, F ⊗ Lm ) = 0 f¨ ur m  0 und p > 0, wie man aus der Sequenz 0 → F ⊗ Lm → F ⊗ Lm → F ⊗ Lm → 0 abliest. Also ist L ampel.

(6.121) 

Proposition 6.6.4 Es sei f : X → Y ein endlicher surjektiver Morphismus von Schemata X, Y wie oben. Weiter sei L eine invertierbare Garbe auf Y . Dann ist L genau dann ampel auf Y , wenn f ∗ L ampel auf X ist.

454

6 Schemata II

Beweis. Betrachte zun¨ achst das cartesische Quadrat Xred = Xred ×Y Yred



(6.122)

= fred

Xred i





X

Yred , f



Y



ι

in dem fred ein endlicher und surjektiver Morphismus ist. ∗ Es gelten die Implikationen: L ampel. ⇔ Lred = ι∗ L ampel. ⇔ fred ι∗ L ampel, denn wir nehmen an, dass f¨ ur X, Y reduziert der Satz schon gezeigt ist. ⇔ i∗ f ∗ L ampel. ⇔ f ∗ L ampel. Es seien also X, Y reduziert und Y = Y1 ∪· · ·∪Yr die Zerlegung in irreduzible Komponenten sowie ij : Yj → Y die kanonische Immersion. Weiter sei Xj = X ×Y Yj und ij : Xj → X die kanonische Immersion. Dann ist fj : Xj → Yj als Basiserweiterung  ebenfalls endlich und surjektiv und X = Xj . Ist nun L auf Y ampel, so auch L|Yj auf Yj . Wenn der Satz f¨ ur Y integer schon bewiesen ist, so ist dann (f ∗ L)|Xj = fj∗ (L|Yj ) ampel auf Xj . Nun ist aber jede irreduzible Komponente X  von X Teil eines Xj , denn f (X  ) ⊆ j (f (X  ) ∩ Yj ), und f (X  ) ist irreduzibel. Also ist f ∗ L|X  ampel auf X  f¨ ur jede irreduzible Komponente X  von X und damit f ∗ L ampel auf X. Ist umgekehrt f ∗ L ampel auf X, so ist auch f ∗ L|Xj ampel auf Xj . Das ist aber gleich fj∗ (L|Yj ). Wenn der Satz wieder f¨ ur Y integer schon gilt, so folgt also L|Yj ampel auf Yj . Damit ist dann aber auch L ampel auf Y . Es sei also nun Y integer und X = X1 ∪ · · · ∪ Xr die Zerlegung in irreduzible Komponenten mit ij : Xj → X der kanonischen Immersion. Dann ist f (Xj ) = Yj mit Yj reduziert und irreduzibel, also integer mit Immersion ij : Yj → Y . Weiter sei fj : Xj → Yj mit f ◦ ij = ij ◦ fj . Da ij ◦ fj = f ◦ ij endlich und ij separiert, ist auch fj endlich und nach Konstruktion surjektiv.  Da Y irreduzibel und Y = Yj , kann oBdA angenommen werden, dass f (X1 ) = Y ist, also auch i1 = idY . Dann gelten die Implikationen L ampel auf Y ⇒ i∗ ur alle j. ⇒ j L ampel auf Yj f¨ fj∗ i∗ ur X, Y integer bereits j L ampel auf Xj , denn wir nehmen an, dass der Satz f¨ bewiesen ist. ⇒ i∗j f ∗ L ampel auf Xj f¨ ur alle j ⇒ f ∗ L ampel auf X. ⇒ i∗1 f ∗ L ampel ∗ ∗ ∗ auf X1 . ⇒ f1 i1 L = f1 L ampel auf X1 ⇒ L ampel auf Y , denn wir nehmen an, dass der Satz f¨ ur X, Y integer bereits bewiesen ist. Es seien also jetzt X, Y integre Schemata. Zun¨ achst sei L auf Y ampel. Weiter sei G eine koh¨ arente Garbe auf X. Dann ist H p (X, G ⊗ f ∗ Lm ) = H p (Y, f∗ (G ⊗ f ∗ Lm )) = H p (Y, f∗ G ⊗ Lm ) .

(6.123)

Die erste Gleichheit gilt nach Proposition 6.4.4, die zweite nach der Projektionsformel. Da L ampel und f∗ G koh¨ arent auf Y , verschwindet der letzte Ausdruck f¨ ur m  0 und p > 0, also auch der erste. Damit ist f ∗ L als ampel auf X nachgewiesen. Es sei nun umgekehrt f ∗ L auf X ampel, und es ist zu zeigen, dass auch L auf Y ampel ist. Es sei daf¨ ur F eine koh¨ arente Garbe auf Y .

6.6 Kohomologie der projektiven R¨ aume Pn A

455

Da X, Y integer und f endlich und surjektiv, existiert eine koh¨ arente Garbe G auf X sowie ein Morphismus β : f∗ G → Fr , der ein Isomorphismus am generischen Punkt von Y ist. Man hat also eine exakte Sequenz: 0 → P1 → f∗ G → Fr → P2 → 0

(6.124)

Dabei ist Yi = supp Pi wegen der Isomorphie von β am generischen Punkt ein echtes abgeschlossenes Unterschema von Y . Wir tensorieren jetzt die Sequenz mit Lm : 0 → P1 ⊗ Lm → f∗ G ⊗ Lm → Fr ⊗ Lm → P2 ⊗ Lm → 0

(6.125)

Kraft noetherscher Induktion und wegen fi : Xi = X ×Y Yi → Yi endlich, surjektiv sowie (f ∗ L)|Xi = fi∗ (L|Yi ) ampel k¨ onnen wir annehmen, dass L|Yi eine ample Garbe ist. Also ist jedenfalls H p (Y, Pi ⊗ Lm ) = H p (Yi , Pi ⊗ (L|Yi )m ) = 0

(6.126)

f¨ ur m  0 und p > 0. Außerdem ist H p (Y, f∗ G ⊗ Lm ) = H p (Y, f∗ (G ⊗ f ∗ Lm )) = H p (X, G ⊗ f ∗ Lm ) = 0

(6.127)

f¨ ur m  0 und p > 0, da f ∗ L nach Annahme ampel ist. ¨ Mit der u u ¨blichen Uberlegung ¨ber lange exakte Kohomologiesequenzen ergibt sich p aus (6.125), dass H (Y, Fr ⊗ Lm ) = 0, also H p (Y, F ⊗ Lm ) = 0 f¨ ur m  0 und p > 0, also L ampel. 

6.6.5

Hilbertpolynome koh¨ arenter Garben

Es sei F eine koh¨ arente Garbe auf einem projektiven Schema X ⊆ Pn ¨ber k u einem K¨ orper k. Definition 6.6.1 Es ist χ(X, F) =



(−1)i dimk H i (X, F)

(6.128)

i

die Euler-Charakteristik von F.



Proposition 6.6.5 F¨ ur eine exakte Sequenz 0 → F → F → F → 0 von koh¨ arenten Garben auf einem projektiven Schema X/k gilt: χ(X, F) = χ(X, F ) + χ(X, F ) Proposition 6.6.6 ur alle m  0. Es ist χ(X, F(m)) = H 0 (X, F(m)) f¨ Wir definieren:

(6.129)

456

6 Schemata II

Definition 6.6.2 Es gelte die Bezeichnung PF (m) = χ(X, F(m)).



Man nennt PF (m) das Hilbertpolynom von F aufgrund folgender Eigenschaft: Proposition 6.6.7 Es ist f¨ ur alle m  0     m m PF (m) = ad + ad−1 + · · · + a0 d d−1

(6.130)

mit ai ∈ Z und d = dim supp F. Beweis. Es sei X ⊆ Pn ur dim Z = 0 ist k = proj (k[x0 , . . . , xn ]) und Z = supp F. F¨ offensichtlich PF (m) konstant. Man nehme nun oBdA an, dass V (x0 )  Z, und betrachte die exakte Sequenz ·x

0 0 → H → F(−1) −−→ F→G→0

und ihre Tensorierungen mit OX (m): ·x

0 0 → H(m) → F(m − 1) −−→ F(m) → G(m) → 0

Aus der Additivit¨ at der Euler-Charakteristik folgt die Beziehung: PF (m) − PF (m − 1) = PG (m) − PH (m)

(6.131)

Nun gilt supp H, supp G ⊆ V (x0 ), so dass mit dem u ¨blichen Argument und noetherscher Induktion oder Induktion u ¨ber dim supp F jedenfalls die polynomielle Natur von PF (m) und die Ganzzahligkeit der ai gesichert ist. 

6.7

H¨ ohere direkte Bilder, Kohomologie von f∗

Gegeben sei ein Morphismus f : X → Y geringter R¨ aume. Dann gilt f¨ ur den Funktor f∗ : Ab(X) → Ab(Y ) beziehungsweise f∗ : Mod(X) → Mod(Y ) (in beiden Kategorien, wenn f ∗ geeignet definiert ist): Hom(f ∗ G, F) = Hom(G, f∗ F) Der Funktor f∗ ist also linksexakt, weil rechtsadjungiert. Definition 6.7.1 Die rechtsabgeleiteten Funktoren Rp f∗ des Funktors f∗ : Ab(X) → Ab(Y ) existieren. F¨ ur ein F aus Ab(X) heißen die Rp f∗ F h¨ ohere direkte Bildgarben von F. 

6.7 H¨ ohere direkte Bilder, Kohomologie von f∗

457

Proposition 6.7.1 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und F aus Ab(X). Dann ist Rp f∗ F die zu der Pr¨ agarbe F∗p F∗p : V → H p (f −1 (V ), F|f −1 V ) assoziierte Garbe.   Beweis. Sowohl F → (Rp f∗ F)p als auch F → (F∗p )+ p sind δ-Funktoren, die f¨ ur p=0u oschung ¨bereinstimmen. Mit F → I und I injektiv in Ab(X) existiert eine Ausl¨ f¨ ur beide Funktoren (beachte j ∗ I injektiv f¨ ur j : U ⊆ X, offen). 

Korollar 6.7.1 Es sei f wie oben und F in Ab(X) welk. Dann ist Rp f∗ F = 0 f¨ ur alle p > 0. Korollar 6.7.2 Es sei f : X → Y wie oben und fV = f |f −1 (V ) : f −1 (V ) → V f¨ ur ein V ⊆ Y offen. Dann ist (Rp f∗ F)|V = Rp fV ∗ (F|f −1 V ) . Es gilt: Lemma 6.7.1 Es sei 0 → F → I• eine welke Aufl¨ osung von F in Ab(X). Dann ist Rp f∗ F = hp (f∗ I• ) . Daraus folgt: Proposition 6.7.2 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus und F ein OX -Modul. Dann ist Rp f∗ F der p-te derivierte Funktor von f∗ : Mod(X) → Mod(Y ). Beweis. Jeder OX -Modul F besitzt in der Kategorie Mod(X) eine injektive Aufl¨ osung 0 → F → I• . Jedes I, injektiv in Mod(X), ist welk in Ab(X) (wegen ∗ j! j OX ⊆ OX ). 

Proposition 6.7.3 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus, X noethersch und F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann gilt f¨ ur V ⊆ Y affin: Rp f∗ F|V = H p (f −1 V, F|f −1 V )

(6.132)

Dabei wird rechts die nat¨ urliche OV (V )-Modul-Struktur von H p (f −1 V, F|f −1 V ) zur Bildung der zu diesem Modul assoziierten, quasikoh¨ arenten OV -Garbe benutzt.

458

6 Schemata II

Beweis. Links und rechts stehen δ-Funktoren in F von Qco(X) nach Mod(Y ), die f¨ ur p = 0 u arent. Eine Injektion 0 → F → I ¨bereinstimmen, denn f∗ F ist quasikoh¨ in eine in Qco(X) injektive und in Ab(X) welke Garbe liefert eine Ausl¨ oschung f¨ ur beide Funktoren. 

Korollar 6.7.3 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus, X noethersch und F ein quasikoh¨ arenter OX -Modul. Dann ist auch Rp f∗ F ein quasikoh¨ arenter OY -Modul. Proposition 6.7.4 Es sei f : X → Y ein Morphismus separierter noetherscher Schemata. Weiter sei F eine quasikoh¨ arente Garbe auf X, U = (Ui ) eine offene, affine • ¨ Uberdeckung von X und C (U, F) die Cech-Aufl¨ osung von F. Dann gilt f¨ ur jedes p  0: Rp f∗ F = hp (f∗ C• (U, F)) (6.133)

Beweis. Es sei j : V ⊆ Y eine affine offene Teilmenge von Y . Dann ist hp (f∗ C• (U, F))(V ) = hp (f∗ C• (U, F))|V (V ) = jV i0 ...ip ∗ F|Ui

= hp (fV ∗

0 ...ip

∩f −1 V

)(V ) =

i0 0 verschwinden. 

Es sei X ein Schema und F, G zwei OX -Moduln. Ist G injektiv, so ist, wie oben bemerkt, Hom(F, G) welk. Der Funktor G → Hom(F, G) bildet also injektive Objekte in solche ab, die f¨ ur H p (X, −) azyklisch sind. Daraus folgt: Proposition 6.8.7 Es gibt mit den obigen Bezeichnungen eine Spektralsequenz: H p (X, Extq (F, G)) ⇒ Extp+q (F, G)

(6.137)

Beweis. Es ist die Grothendieck-Spektralsequenz f¨ ur die Komposition von Funktoren Γ(X, HomOX (F, G)) = HomOX (F, G). 

Proposition 6.8.8 Es sei X ein projektives Schema u ¨ber einem noetherschen Ring A, OX (1) eine sehr ample Garbe und F, G koh¨ arente Garben auf X. Dann gibt es eine ganze Zahl n0 > 0, abh¨ angig von F und G, so dass f¨ ur jedes n  n0 gilt: i Exti (F, G(n)) ∼ = Γ(X, Ext (F, G(n)))

Proposition 6.8.9 Es sei X ein noethersches Schema, und F, G seien koh¨ arente OX -Moduln. Dann ist auch ExtiX (F, G) ein koh¨ arenter OX -Modul. Beweis. Durch Einschr¨ ankung auf U ⊆ X, offen, affin k¨ onnen wir X affin annehmen. n Es existiert dann eine Folge Om X → OX → F → 0. Anwenden von HomX (−, G) ergibt m 0 → HomX (F, G) → HomX (On X , G) → HomX (OX , G) .

arent. Damit ist HomX (F, G) = ker(Gn → Gm ) offensichtlich koh¨ Man w¨ ahle dann weiterhin eine exakte Sequenz 0 → F → Om X → F → 0 und entnehme aus der assoziierten langen exakten Sequenz zu HomX (−, G) einmal  1 HomX (Om X , G) → HomX (F , G) → ExtX (F, G) → 0

und dann i  i+1 i+1 m 0 = ExtiX (Om X , G) → ExtX (F , G) → ExtX (F, G) → ExtX (OX , G) = 0 .

Aus ersterer Sequenz folgt Ext1X (F, G) koh¨ arent f¨ ur alle koh¨ arenten F, G, und mit der letzteren Sequenz u agt sich dies auf alle i > 1.  ¨bertr¨

6.9 Flache Morphismen

6.9

Flache Morphismen

6.9.1

Allgemeines

463

Definition 6.9.1 Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. Dann heißt ein OX -Modul F auf X flach u ¨ber Y bei x, wenn Fx mit der Ringabbildung OY,y → OX,x ein flacher OY,y -Modul f¨ ur y = f (x) wird. Ist F flach f¨ ur alle x ∈ X, so heißt F flach u  ¨ber Y . Definition 6.9.2 Ein Morphismus von Schemata f : X → Y heißt flach genau dann, wenn OX ein flacher OX -Modul u  ¨ber Y ist. Proposition 6.9.1 F¨ ur f : X → Y und einen quasikoh¨ arenten OX -Modul F ist ¨ aquivalent: a) F(U ) ist ein flacher OY (V )-Modul f¨ ur alle affinen U , V mit f (U ) ⊆ V . b) F ist flach bei x f¨ ur alle x ∈ X. Flache Morphismen erf¨ ullen die drei u ¨blichen Eigenschaften: Proposition 6.9.2 F¨ ur f : X → Y flach, g : Y → Z flach und h : Y  → Y beliebig gilt: 1. Eine offene Immersion ist flach. 2. (Transitivit¨ at) g ◦ f : X −→ Z ist flach. 3. (Basiswechsel) f  : X ×Y Y  −→ Y  ist flach. Proposition 6.9.3 Eine flache Abbildung f : X → Y , vom endlichen Typ mit Y noethersch, ist offen, also f (U ) ⊆ Y , offen, f¨ ur jedes U ⊆ X, offen. Beweis. Die Abbildung lokaler Ringe OY,y → OX,x mit y = f (x) ist treuflach, und daher ist f (U ) abgeschlossen unter Generisierung. Gleichzeitig ist f (U ) konstruierbar in Y . Also f (U ) offen in Y . 

464

6.9.2

6 Schemata II

Relative Dimension

Proposition 6.9.4 Es sei f : X → Y ein flacher Morphismus vom endlichen Typ, und X, Y seien noethersche Schemata. Dann gilt f¨ ur beliebige x ∈ X und y = f (x): dimx Xy = dimx X − dimy Y

(6.138)

Dabei stehe f¨ ur ein Schema T und t ∈ T die Bezeichnung dimt T f¨ ur dim OT,t . Beweis. W¨ ahle V = Spec (A)  y und U = Spec (B)  x mit f (U ) ⊆ V . Es sei q = qx das Primideal von x in B und p = py das Primideal von y in A. Nenne r = dim Bq /pBq = dimx Xy und s = dim Ap = dimy Y . Dann induziert f : U → V einen flachen Morphismus φ : A → B, der also auch die Going-Down-Eigenschaft besitzt. Nach Lemma 2.25.11 ist dann dimx X = dim Bq = r + s = dimx Xy + dimy Y . 

Die folgende Proposition kann als ein Lokal-Global-Prinzip“ f¨ ur die Relativ” dimension einer flachen Abbildung angesehen werden: Proposition 6.9.5 Es sei f : X → Y ein flacher Morphismus algebraischer Schemata. Weiterhin sei Y irreduzibel. Dann ist ¨ aquivalent: a) Jede irreduzible Komponente X  ⊆ X hat dim X  = dim Y + n. b) F¨ ur jedes y = f (x) ∈ Y , abgeschlossen oder nicht abgeschlossen, gilt: dim Z = n f¨ ur jede irreduzible Komponente Z von Xy . Beweis. Es sei b) richtig: W¨ ahle dann ein abgeschlossenes x ∈ X  , das in keiner anderen irreduziblen Komponente von X liegt. Es ist dann auch f (x) = y abgeschlossen in Y . Es folgt dim X  = dimx X = dimy Y + dimx Xy = dim Y + dim Xy = dim Y + n, denn es ist ja x maximal auch in Xy , also dimx Xy = dim Xy . Umgekehrt sei a) richtig und y ∈ Y vorgegeben. Die irreduzible Komponente Z ⊆ Xy enth¨ alt ein in ihr maximales x mit f (x) = y, das in keiner anderen irreduziblen Komponente von Xy liegen soll. Es ist dim Z = dimx Z = dimx Xy = dimx X − dimy Y. Weiter seien S = {y}¯ und T = {x}¯ die Abschl¨ usse in Y und X. Es ist k(x) algebraisch u ¨ber k(y), da x maximal in dem algebraischen k(y)-Schema Xy ist. Also folgt dim S = dim T . Es ist dim Y = dimy Y + dim S , und man hat

dim X  = dimx X + dim T

6.9 Flache Morphismen

465

f¨ ur ein X  ⊆ X, irreduzible Komponente. Schließlich gilt dim X  = dim Y + n nach Voraussetzung. Nimmt man alle diese Gleichungen zusammen, so folgt dim Z = dim X  − dim Y = n. 

Der Begriff der Relativdimension“ wird f¨ ur Morphismen algebraischer Sche” mata folgendermaßen gefasst: Definition 6.9.3 Es sei f : X → Y ein Morphismus algebraischer Schemata. Es gelte f¨ ur al −1 le Variet¨ aten V ⊆ Y und jede irreduzible Komponente V ⊆ f (V ), dass dim V  = dim V + n. Dann sagt man, f habe relative Dimension n.  F¨ ur beliebige Schemaabbildungen definieren wir: Definition 6.9.4 Es sei f : X → Y ein beliebiger Schemamorphismus. Es seien alle Fasern Xy f¨ ur y = f (x) equidimensional mit Dimension n. Dann sagt man, f habe faserweise relative Dimension n.  Proposition 6.9.6 Es sei f : X → Y ein flacher Morphismus algebraischer Schemata und Y irreduzibel. Dann ist ¨ aquivalent: a) f hat Relativdimension n. b) f hat faserweise Relativdimension n. Beweis. Dies folgt aus Proposition 6.9.5 und aus der folgenden Proposition.



Proposition 6.9.7 Es sei f : X → Y ein flacher Morphismus algebraischer Schemata. Weiterhin sei Y irreduzibel, und es gelte f¨ ur jede irreduzible Komponente X  ⊆ X, dass dim X  = dim Y + n ist. Dann hat f die relative Dimension n. ¨ Uberdies gilt f¨ ur jedes cartesische Quadrat X ×Y Y  X

(6.139) f

  f



Y

dass auch f  relative Dimension n hat.



g

Y,

466

6 Schemata II

Beweis. Es sei V ⊆ Y eine irreduzible Teilvariet¨ at und V  eine irreduzible Kompo−1  nente von f (V ). Weiter sei x maximal in V und in keiner anderen irreduziblen Komponente von f −1 (V ) enthalten. Es sei y = f (x), maximal in Y und in V . Dann ist dimx V  = dimx (f −1 (V )) = dimx (f −1 (V ))y +dimy V . Nun ist f −1 (V )y = Xy und dimy V = dim V , also dimx V  = dimx Xy + dim V . Nach Proposition 6.9.5 ist dimx Xy = n, also dim V  = dimx V  = n + dim V , was zu beweisen war. Um die zweite Behauptung zu beweisen, m¨ ussen wir zeigen, dass f¨ ur eine irreduzible Variet¨ at V ⊆ Y  jede irreduzible Komponente V  ⊆ f −1 (V ) die Dimension dim V + n hat. Dazu ersetzen wir zun¨ achst Y  durch V selbst und betrachten die Beziehung (∗)

Xy ×k(y) k(y  ) = Xy  ,

wobei X  = X ×Y Y  und y = g(y  ) mit y  ∈ Y  sei. Nach Voraussetzung ist X equidimensional mit dim X = dim Y + n. Damit hat nach Proposition 6.9.5 jede irreduzible Komponente von Xy die Dimension n. Nach dem folgenden Lemma angewandt auf (∗) hat dann auch jede irreduzible Komponente von Xy  die Dimension n. Wieder nach Proposition 6.9.5, und weil sowohl f  flach als auch Y  irreduzibel ist, folgt dann, dass X  equidimensional mit der Dimension dim Y + n ist. Also ist f  : X  → Y  von relativer Dimension n. 

Lemma 6.9.1 Es sei X/k ein algebraisches Schema u orper k und k /k eine ¨ber dem K¨ K¨ orpererweiterung. Ist X equidimensional mit dim X = n, so ist auch X  = X ×k k equidimensional mit dim X  = n. Beweis. Die Abbildung q : X  → X ist als Basiserweiterung von k /k treuflach. Es sei Z  ⊆ X  eine irreduzible Komponente. W¨ ahle eine offene, affine, Teilmenge U  ⊆ Z  . Der generische Punkt ηZ  ∈ U  , Z  wird auf ein minimales Element ηZ ∈ X abgebildet, denn q ist als flache Abbildung vom endlichen Typ offen. Es ist damit Z = {ηZ }¯ = q(Z  )¯ eine irreduzible Komponente von X mit dim Z = n nach Voraussetzung. Das Bild U = q(U  ) ⊆ X ist offen, und man w¨ ahle ein V ⊆ U , offen, affin und dicht in Z. Es ist dann dim V = dim Z = n. Nach Lemma 2.25.8 ist dann auch dim q −1 (V ) = dim(V ⊗k k ) = n. Da q −1 (V ) dicht in Z  , ist dim Z  = n. Also ist X  equidimensional mit dim X  = n. 

Das folgende Lemma ist in Situationen n¨ utzlich, wo man die relative Dimension betrachten will, aber Y nicht irreduzibel ist: Lemma 6.9.2 Es sei f : X → Y eine flache Abbildung noetherscher Schemata. Weiter sei X = X1 ∪ · · · ∪ Xr die Zerlegung in irreduzible Komponenten sowie Y  ⊆ Y eine irreduzible Komponente. Dann ist f −1 (Y ) = X ×Y Y  = Xi1 ∪ · · · ∪ Xis mit den irreduziblen Komponenten Xiν f¨ ur die f (Xiν ) ⊆ Y  gilt.

6.9 Flache Morphismen

467

Beweis. Es sei η der generische Punkt von Y  . Ist f (x) ∈ Y  , so ist η f (x) eine Spezialisierung. Da f flach ist, also die Going-Down-Eigenschaft hat, gibt es eine Generisierung x mit x x und f (x ) = η. Eine weitere Generisierung zum generischen Punkt ξ x einer irreduziblen Komponente X  ⊆ X ist m¨ oglich, es ist dann f (ξ) = η, also f (X  ) ⊆ Y  und x ∈ X  . 

Lemma 6.9.3 Es sei φ : A → B ein flacher Homomorphismus noetherscher Ringe. Weiter sei A reduziert und jede Faser B ⊗A k(p) f¨ ur ein Primideal p ⊆ A reduziert. Dann ist auch B reduziert. Beweis. Es seien p1 , . . . , pr die minimalen Primideale von A. Es ist dann Api = k(pi ). Weil A reduziert ist, folgt r

0→A→

Api . i=1

 / pi , so folgt a ∈ pi also wegen i pi = (0) Ist n¨ amlich f¨ ur alle i immer si a = 0 mit si ∈ auch a = 0.  Tensorieren mit B liefert 0 → B → i B ⊗A k(pi ). Ist nun bn = 0, so ist das Bild  von b in i B ⊗A k(pi ) gleich Null, da die Fasern reduziert sind. Damit ist b = 0 und B reduziert. 

Es ergibt sich daraus Proposition 6.9.8 Es sei f : X → Y ein flacher Morphismus noetherscher Schemata. Weiter sei Y reduziert und jede Faser f −1 (y) = Xy = X ×Y k(y) reduziert. Dann ist auch X reduziert.

6.9.3

Kriterien f¨ ur Flachheit

Definition 6.9.5 Ein Punkt x eines Schemas X heißt assoziierter Punkt von X, wenn Ass OX,x = {mx } ist, also mx nur aus Nullteilern besteht.  Proposition 6.9.9 Es sei Y ein integres, regul¨ ares, 1-dimensionales Schema und f : X → Y eine Schemaabbildung mit X noethersch. Dann ist f genau dann flach, wenn jeder assoziierte Punkt x von X auf den generischen Punkt η von Y abgebildet wird. Beweis. Es sei B = OX,x und A = OY,y mit y = f (x). Ist y = η, so ist A = K(Y ) ein K¨ orper und B damit flach u ¨ber A. Wir zeigen zuerst das Hinreichen der Bedingung: Ist y ein Punkt der H¨ ohe 1, so ist A ein diskreter Bewertungsring. Es sei mA = (a). Wir m¨ ussen nur nachweisen, dass a kein Nullteiler in B ist. W¨ are a ein Nullteiler, so g¨ abe es ein Primideal q ⊆ B aus Ass B mit a ∈ q. Da Ass Bq = {qBq }, ist q ein assoziierter Punkt von X und m¨ usste auf η abgebildet werden. Also q ∩ A = (0) im Widerspruch zu a ∈ q ∩ A.

468

6 Schemata II

F¨ ur die Notwendigkeit, sei B/A flach: Dann ist a kein Nullteiler in B, und damit gilt f¨ ur jedes assoziierte Primideal q ⊆ B auch a ∈ / q ∩ A. Also q ∩ A = (0). 

Bemerkung 6.9.1 Im Spezialfall, dass X reduziert ist, entsprechen seine assoziierten Punkte gerade den generischen Punkten seiner irreduziblen Komponenten. Die Bedingung ist dann a ¨quivalent damit, dass jede irreduzible Komponente  X von X das Schema Y dominiert. Beweis. In einem Ring A besteht jedes assoziierte Primideal aus lauter Nullteilern. Ist A reduziert, so liegt ein Nullteiler schon in einem minimalen Primideal von A. 

6.9.4

Erg¨ anzende S¨ atze

Proposition 6.9.10 (Local criterion of flatness) Es sei (A, mA ) → (B, mB ) ein lokaler Morphismus lokaler noetherscher Ringe. Weiter sei M ein endlich erzeugter B-Modul. Dann ist ¨ aquivalent: a) Der Modul M ist A-flach. b) Es ist TorA 1 (M, k(A)) = 0, wobei k(A) = A/mA sei. Proposition 6.9.11 Es sei B eine noethersche A-Algebra, A ein noetherscher Ring und b ∈ B. Weiter sei M ein endlich erzeugter B-Modul, der A-flach ist. Dann gilt: Ist b kein Nullteiler in M ⊗A k(n ∩ A) f¨ ur alle maximalen Ideale n ⊆ B, so ist auch M/bM ein A-flacher A-Modul. Beweis. Aufgrund der Voraussetzung k¨ onnen wir nacheinander ersetzen: M = Mn , B = Bn und A = Ap f¨ ur n ∩ A = p. Es sei also A → B ein lokaler Homomorphismus lokaler Ringe und b ∈ B kein Nullteiler in M ⊗A k(A). M ist ein flacher A-Modul. Betrachte dann die Sequenz: A 0 = TorA 1 (M, k(A)) → Tor1 (M/bM, k(A)) → ·b

→ M ⊗A k(A) → M ⊗A k(A) → M/bM ⊗A k(A) → 0 . Da also TorA 1 (M/bM, k(A)) = 0, folgt, dass M/bM ein A-flacher Modul ist. Generell folgt also, (M/bM )n ist Ap -flach und damit auch A-flach f¨ ur alle n ⊆ B maximal. Also ist M/bM auch A-flach. 

Proposition 6.9.12 Es sei B = A[T1 , . . . , Tn ] ein Polynomring und I = (P1 , . . . , Pr ) mit r  n ein Ideal von B. Weiter sei J(I) das von den Determinanten der Hauptminoren der Matrix " ! ∂Pi M= ∂Tj i=1,...,r j=1,...,n

6.9 Flache Morphismen

469

erzeugte Ideal in B. Gilt dann f¨ ur die Summe der Ideale: J(I) + I = B, so ist B/I flach u ¨ber A. Beweis. Man betrachte nun nacheinander die maximalen Ideale n ⊆ B und setze n ∩ A = p. Es sei k = k(p) = Ap /pAp . Sind alle (B/I)n flach u ur n ⊇ I, ¨ber Ap , so ist B/I flach u ¨ber A. Da (B/I)n = 0 f¨ gen¨ ugt es, die n ⊇ I zu betrachten. ¯ eines Elements f ∈ B gemeint. Dabei Mit f¯ sei im Folgenden das Bild in Bn ⊗A k ¯ sei der algebraische Abschluss von ist n ⊆ B ein maximales Ideal u ¨ber p und I. Mit k k bezeichnet. Wir halten fest, dass die Bedingung J(I) + I = B impliziert, dass die Matrix M mod n vollen Rang hat. Es gen¨ ugt nun, nach der vorigen Proposition, zu zeigen, dass f¨ ur alle i das Bild des Polynoms P¯i kein Nullteiler in (Bn ⊗A k)/(P¯1 , . . . , P¯i−1 ) ist. Das ist ¨ aquivalent zu: P¯i ¯ P¯1 , . . . , P¯i−1 ). ist kein Nullteiler in (Bn ⊗A k)/( ¯ = k[T ¯ 1 , . . . , Tn ]n ab. ¨ Alle Uberlegungen spielen sich also in C = Bn ⊗A k Da f¨ ur jedes in Frage kommende i die Matrix   ∂(P¯1 , . . . , P¯i−1 )/∂(T1 , . . . , Tn ) ¯ P¯1 , . . . , P¯i−1 ) regul¨ modulo n vollen Rang hat, ist (Bn ⊗A k)/( arer lokaler Ring, also ein Integrit¨ atsring. Weiterhin ist deswegen auch (∗) codimn (P¯1 , . . . , P¯i ) = i. Damit ist P¯i nicht im Ideal (P¯1 , . . . , P¯i−1 ) von C enthalten, und da C/(P¯1 , . . . , P¯i−1 ) ein Integrit¨ atsring ist, ist damit P¯i auch kein Nullteiler in C/(P¯1 , . . . , P¯i−1 ). 

Proposition 6.9.13 Es sei A → B ein lokaler Homomorphismus lokaler noetherscher Ringe. Weiter sei M ein endlich erzeugter B-Modul und a ∈ A weder Einheit noch Nullteiler. Dann ist ¨ aquivalent: a) M ist flacher A-Modul. b) Es gilt: i) a ist kein Nullteiler f¨ ur M . ii) M/aM ist ein flacher A/aA-Modul. ·a

Beweis. Wir schreiben A = A/aA. Es ist dann exakt (∗) 0 → A −→ A → A → 0. ·a Ist M u ¨ber A flach, so ist auch 0 → M −→ M → M/aM → 0 exakt. Also ist a kein Nullteiler f¨ ur M . Es gibt nun eine Spektralsequenz: 

A   A TorA p (Torq (M, A ), k(A )) ⇒ Torp+q (M, k(A))  Da rechts alle TorA ur i > 0 und links alle TorA ur q > 0 q (M, A ) = 0 f¨ i (M, k(A)) = 0 f¨ A   ur alle p > 0. Also ist M ⊗A A = M/aM ein sind, folgt Torp (M ⊗A A , k(A )) = 0 f¨ A -flacher Modul. Umgekehrt m¨ ogen die Annahmen aus b) gelten. Tensoriert man (∗) mit − ⊗A M ,  A   ur alle q > 0. Weiterhin ist TorA ur so folgt Torq (M, A ) = 0 f¨ p (M ⊗A A , k(A )) = 0 f¨ A alle p > 0. Also ist nach obiger Spektralsequenz Tori (M, k(A)) = 0 f¨ ur alle i > 0. Also ist M flacher A-Modul. 

470

6 Schemata II

Theorem 6.9.1 (Miracle Flatness) Es sei φ : (A, mA ) → (B, mB ) ein lokaler Homomorphismus noetherscher lokaler Ringe. Weiter sei A regul¨ ar und B ein Cohen-Macaulay-Ring. Gilt dann dim B = dim A + dim B ⊗A kA ,

(6.140)

so ist B via φ eine flache A-Algebra. Beweis. Wir f¨ uhren eine Induktion u ur dim A = 0 ist A = kA , ¨ber dim A durch. F¨ ein K¨ orper und der Satz trivial erf¨ ullt. Sei nun A mit dim A = n > 0 gegeben und der Satz f¨ ur dim A < n schon gezeigt. Die minimalen Primideale von B seien p1 , . . . , pr . Dann ist dim B/pi = dim B, da B als lokaler Cohen-Macaulay-Ring auch equidimensional ist. W¨ are nun mA B ⊆ pi , so w¨ are dim B/mA B = dim B und damit dim A = 0. Also ist mA ⊆ m2A ∪ φ−1 (p1 ) ∪ · · · ∪ φ−1 (pr ). Es gibt also ein x ∈ mA − m2A mit φ(x) ∈ / pi , also φ(x) kein Nullteiler in B. Außerdem ist A/xA ein regul¨ arer Ring mit dim A/xA = n − 1 und B/xB wieder ein CohenMacaulay-Ring mit dim B/xB = dim B − 1. Weiter ist B/xB ⊗A/x kA/x = B ⊗A kA , also sind auch die Dimensionen gleich. Damit ist nach Induktionsannahme B/xB als flacher A/x-Modul nachgewiesen. Wir haben nun die exakten Sequenzen: ·x

0 → A −→ A → A/xA → 0 , ·x

0 → B −→ B → B/xB → 0

(6.141) (6.142)

Tensorieren der ersten Sequenz mit − ⊗A B liefert die lange exakte Sequenz: A · · · → TorA 2 (A, B) → Tor2 (A/x, B) → A A → TorA 1 (A, B) → Tor1 (A, B) → Tor1 (A/x, B) → ·x

→ B −→ B → B/xB → 0

(6.143)

Aus ihr lesen wir TorA ur p > 0 ab. p (A/x, B) = 0 f¨ Nun benutzen wir die Spektralsequenz f¨ ur R → S und einen R-Modul M sowie einen S-Modul N , die durch R R TorS q (Torp (S, M ), N ) ⇒ Torp+q (M, N )

beschrieben wird. Wir w¨ ahlen R → S als A → A/x und M = B sowie N = kA . Es entsteht A (TorA TorA/x q p (A/x, B), kA ) ⇒ Torp+q (B, kA ) .

(6.144)

ur p > 0 gesehen. Es steht also links nur die Oben haben wir TorA p (A/x, B) = 0 f¨ A/x Spalte p = 0 mit Torq (B/xB, kA ). A/x Wie oben gezeigt, ist B/xB ein flacher A/x-Modul, und so ist Torq (B/xB, kA ) = A 0 f¨ ur q > 0. Damit ist dann auch Tori (B, kA ) = 0 f¨ ur i > 0 und, nach dem lokalen Flachheitskriterium, auch B ein flacher A-Modul. 

6.10 Glatte Morphismen

471

6.10

Glatte Morphismen

6.10.1

Variet¨ aten

Wir betrachten zun¨ achst nur Schemata X/k vom endlichen Typ u ¨ber einem K¨ orper k. Definition 6.10.1 Ein Morphismus f : X → Y von Schemata vom endlichen Typ u ¨ber k ist glatt mit Relativdimension n, wenn i) f flach ist, ii) f¨ ur irreduzible Komponenten X  ⊆ X und Y  ⊆ Y mit f (X  ) ⊆ Y  stets gilt: dim X  = dim Y  + n , iii) f¨ ur jeden Punkt x ∈ X (abgeschlossen oder nicht) gilt: dimk(x) (ΩX|Y ⊗ k(x)) = n  Bemerkung 6.10.1 n F¨ ur jedes Y ist An Y und PY glatt mit Relativdimension n. Lemma 6.10.1 Es sei f : X → k eine Abbildung vom endlichen Typ mit einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k. Dann ist ¨ aquivalent: a) f ist glatt mit Relativdimension n. b) X ist regul¨ are Vereinigung regul¨ arer Variet¨ aten Xi u ¨ber k mit dim Xi = n. Bemerkung 6.10.2 Wir mussten in b) eine etwas umst¨ andliche Formulierung w¨ ahlen, weil f nicht als separiert angenommen wurde. W¨ are f separiert, k¨ onnten wir eine disjunkte ” Vereinigung regul¨ arer Variet¨ aten“ schreiben. Proposition 6.10.1 Es gilt: 1. Offene Immersionen sind glatt mit Relativdimension 0. 2. Basiswechsel: Wenn f : X → Y glatt mit Relativdimension n und g : Y  → Y beliebig, so ist f  : X ×Y Y  → Y  auch glatt mit Relativdimension n.

472

6 Schemata II

3. Komposition: Wenn f : X → Y glatt mit Relativdimension n und g : Y → Z glatt mit Relativdimension m, so ist g ◦f : X → Z glatt mit Relativdimension m + n. 4. Produkt: Wenn X und Y glatt u ¨ber Z sind, mit Relativdimensionen m und n, so ist X ×Z Y glatt u ¨ber Z mit Relativdimension m + n. Beweis. 1. Ist trivial. 2. Wir wissen bereits, dass sich die Flachheit auf f  u agt. Es sei Y1 ⊆ Y  eine ¨bertr¨  irreduzible Komponente. Dann liegt g(Y1 ) ⊆ Y1 in einer irreduziblen Komponente Y1 ⊆ Y . Im cartesischen Diagramm mit X1 = X ×Y Y1 besteht nach Lemma 6.9.2 X1 aus den irreduziblen Komponenten Xi von X mit f (Xi ) ⊆ Y1 : X1 X1

~

f1

Y1 f1

!

Y1

~

Also hat f1 Relativdimension n, und es u agt sich die Relativdimension n von f1 ¨bertr¨ auf f1 nach Proposition 6.9.7. Es ist mit x ∈ X  und x = g  (x ), seinem Bild unter g  : X  = X ×Y Y  → X, ΩX  |Y  ⊗OX  k(x ) = g ∗ ΩX|Y ⊗OX  k(x ) = i∗ g ∗ ΩX|Y =

= i∗ ΩX|Y ⊗k(x) k(x ) = (ΩX|Y ⊗OX k(x)) ⊗k(x) k(x ) ,

wobei i : {x} → X und i : {x } → X  die kanonischen Inklusionen sind. Also hat ΩX  |Y  lokal Rang gleich n, wenn das f¨ ur ΩX|Y gilt. 3. Dass g ◦ f flach ist, wissen wir schon. Es sei nun X1 ⊆ X eine irreduzible Komponente und g(f (X1 )) ⊆ Z1 mit einer irreduziblen Komponente Z1 ⊆ Z. Dann ist nach Lemma 6.9.2 auch g −1 (Z1 ) = Yi1 ∪· · ·∪Yismit den irreduziblen Komponenten Yiν von Y , f¨ ur die g(Yiν ) ⊆ Z1 ist. Da f (X1 ) ⊆ ν Yiν , ist wegen f (X1 ) irreduzibel auch f (X1 ) ⊆ Y1 = Yiν0 . Also ist f (X1 ) ⊆ Y1 und g(Y1 ) ⊆ Z1 , und man hat dim X1 − dim Z1 = dim X1 − dim Y1 + dim Y1 − dim Z1 = n + m. Aus der Sequenz f ∗ ΩY |Z → ΩX|Z → ΩX|Y → 0 entsteht f¨ ur i : {x} → X: i∗ f ∗ ΩY |Z → i∗ ΩX|Z → i∗ ΩX|Y → 0 , eine Sequenz von k(x)-Vektorr¨ aumen. Links ist die Dimension m, rechts n und damit dimk(x) ΩX|Z ⊗OX k(x)  m + n. Nun ist aber f¨ ur z = gf (x) und i : {x} → Xz sowie i = pi mit p : Xz → X, der kanonischen Abbildung, auch i∗ ΩXz |k(z) = i∗ ΩX|Z . Es ist nun dim W = m + n f¨ ur jede irreduzible Komponente W ⊆ Xz nach Proposition 6.9.5, und deshalb ist nach Proposition 5.16.7 auch dimk(x) i∗ ΩXz |k(z) = dimk(x) ΩXz |k(z) ⊗OXz k(x)  m + n . Also auch dimk(x) (i∗ ΩX|Z = ΩXz |k(z) ⊗OXz k(x))  m + n und damit zusammen mit der vorigen Ungleichung dimk(x) ΩX|Z ⊗OX k(x) = m + n. 4. Folgt aus 2. und 3. 

6.10 Glatte Morphismen

473

Theorem 6.10.1 Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata vom endlichen Typ u ¨ber k. Dann ist f genau dann glatt mit Relativdimension n, wenn gilt: i) f ist flach, ii) Xy¯ := X ×Y k(y)− ist equidimensional mit dim Xy¯ = n und regul¨ ar f¨ ur jeden Punkt y ∈ Y . Dabei stehe k(y)¯ f¨ ur den algebraischen Abschluss von k(y). Beweis. Es sei f glatt mit Relativdimension n. Dann ist f nach Definition flach, und es ist auch Xy¯ als Basiserweiterung mit − ×Y k(y)¯ glatt mit Relativdimension n. Also zerf¨ allt Xy¯ in eine regul¨ are Vereinigung von regul¨ aren Variet¨ aten der Dimension n. Umgekehrt sei f : X → Y flach und Xy¯ erf¨ ulle die Bedingungen des Theorems. Dann ist auch Xy equidimensional mit Dimension n. Es sei X  eine irreduzible Komponente von X und Y  eine solche von Y mit f (X  ) ⊆ Y  , jeweils aufgefasst als abgeschlossenes Unterschema von X bzw. Y . Ist f  : X  = X ×Y Y  → Y  , so ist f  auch flach mit der Bedingung Xy equidimensional der Dimension n. Also ist X  equidimensional mit dim X  = dim Y  + n, nach Proposition 6.9.5. Nach Lemma 6.9.2 besteht X  aus den irreduziblen Komponenten Xν von X mit f (Xν ) ⊆ Y  . Unter diesen ist auch X  , so dass dim X  = dim Y  + n ist. Somit ist die Bedingung ii) f¨ ur f als glatter Morphismus der Relativdimension n erf¨ ullt. Es sei j : Xy¯ → Xy und i : Xy → X. Weiter sei x ∈ X mit f (x) = y und x ∈ Xy¯ mit j(x ) = x sowie i : {x } → Xy¯ . Dann gilt: (ΩX|Y ⊗OX k(x)) ⊗k(x) k(x ) = = i∗ (j ∗ i∗ ΩX|Y ) = i∗ ΩXy¯ |k(y)¯ = ΩXy¯ |k(y)¯ ⊗OXy¯ k(x ) Der k(x )-Vektorraum rechts hat Dimension n, denn ΩXy¯ |k(y)¯ ist ein lokal freier OXy¯ Modul vom Rang n. Also ist auch dimk(x) ΩX|Y ⊗OX k(x) = n. 

Proposition 6.10.2 Sei f : X → Y ein Morphismus nichtsingul¨ arer Variet¨ aten u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k. Sei n = dim X − dim Y . Dann ist ¨ aquivalent: a) f ist glatt mit Relativdimension n. b) ΩX|Y ist lokal frei mit Rang n auf X. c) F¨ ur jeden abgeschlossenen Punkt x ∈ X ist die Abbildung der Tangentialr¨ aume Tx f : (mx /m2x )∨ → (my /m2y )∨ surjektiv.

474

6 Schemata II

ur alle x ∈ X. Da X ein Beweis. a) ⇒ b): Es ist dimk(x) ΩX|Y ⊗OX k(x) = n f¨ Integrit¨ atsschema ist und ΩX|Y koh¨ arent, folgt dann automatisch ΩX|Y lokal frei. b) ⇒ c): Man hat die Sequenz f ∗ ΩY |k → ΩX|k → ΩX|Y → 0. Tensorieren mit k(x) f¨ ur ein abgeschlossenes x ∈ X ergibt mit y = f (x) die exakte Folge ΩY |k ⊗OY k(y) → ΩX|k ⊗OX k(x) → ΩX|Y ⊗OX k(x) → 0 mit k = k(x) = k(y). Da X und Y regul¨ are Variet¨ aten sind, lassen sich der linke und mittlere Term umschreiben. Es ist dann: (∗)

my /m2y → mx /m2x → ΩX|Y ⊗OX k(x) → 0

Der mittlere Term hat dimk = dim X = dim Y + n, der linke hat dimk = dim Y . Da rechts ein Term mit dimk = n steht, muss die Sequenz links injektiv sein. Dualisieren mit Homk (−, k) ergibt c). c) ⇒ a) Es sei B = OX,x und A = OY,y f¨ ur y = f (x) und x abgeschlossen. Es seien a1 , . . . , ar ∈ A mit r = dim Y die Erzeuger von my /m2y . Es sind dann die Bilder b1 , . . . , br ∈ B Teil eines Erzeugendensystems von mx /m2x . Als solche sind sie eine regul¨ are Folge in B. Also ist bi kein Nullteiler f¨ ur B/(b1 , . . . , bi−1 )B oder, anders gesagt, ai ist kein Nullteiler f¨ ur B/(a1 , . . . , ai−1 )B. Nun ist aber B/(a1 , . . . , ar )B ein flacher A/(a1 , . . . , ar ) = k-Modul. Mit Proposition 6.9.13 schließt man r¨ uckw¨ arts von ar , ar−1 , . . . , a1 , dass auch B ein flacher A-Modul ist. Also ist f : X → Y eine flache Abbildung. Damit ist auch f (X) offen in Y und deshalb f (X) dicht in Y . Mit der Sequenz (∗), links jetzt injektiv, folgt dimk(x) ΩX|Y ⊗OX k(x) = dim X − dim Y = n f¨ ur alle x ∈ X abgeschlossen. Nun ist ΩX|Y koh¨ arent und ηY = f (ηX ), mit den generischen Punkten von Y und X. Also kann man schreiben: ΩX|Y ⊗OX K(X) = ΩXK(Y ) |K(Y ) ⊗OXK(Y ) K(X) = ΩK(X)|K(Y ) Es ist aber dimK(X) ΩK(X)|K(Y )  n, da n = tr. degK(Y ) K(X). Also folgt nach dem Halbstetigkeitssatz f¨ ur die lokale Faserdimension, dass ΩX|Y ein lokal freier OX -Modul ist. Also ist auch dimk(x) ΩX|Y ⊗OX k(x) = n f¨ ur alle x ∈ X. 

Lemma 6.10.2 Sei f : X → Y ein dominanter Morphismus integrer Schemata vom endlichen Typ u orper k mit char k = 0. Dann ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ existiert eine nichtleere offene Teilmenge U ⊆ X, so dass f : U → Y glatt ist. Beweis. Nach Proposition 5.16.8 kann man zun¨ achst X und Y durch offene, dichte, Teilmengen ersetzen, die regul¨ are k-Variet¨ aten sind. Da f (ηX ) = ηY f¨ ur die generischen Punkte von X und Y , k¨ onnen wir wieder schreiben: ΩX|Y ⊗OX K(X) = ΩK(X)|K(Y ) Es ist aber K(X) = K(Y )(w1 , . . . , wn )(α) mit w1 , . . . , wn transzendent u ¨ber K(Y ) und α separabel algebraisch u ¨ber K(Y )(w1 , . . . , wn ), weil char k = 0. Also ist dimK(X) ΩK(X)|K(Y ) = tr. degK(Y ) K(X) = n = dim X − dim Y . Es gibt deshalb wegen der Halbstetigkeit der lokalen Dimension f¨ ur koh¨ arente Garben ein U ⊆ X offen, so dass dimk(x) ΩX|Y ⊗OX k(x) = n f¨ ur alle x ∈ U ist. Dies ist nach Proposition 6.10.2 b) das gesuchte U . 

6.10 Glatte Morphismen

475

Proposition 6.10.3 Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata vom endlichen Typ u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k mit char k = 0. F¨ ur ein beliebiges r sei Xr = {abgeschlossene Punkte x ∈ X| rang Tx f  r} . Dann ist dim f (Xr )  r . Beweis. Es sei Xr der topologische Abschluss von Xr in X ausgestattet mit der reduzierten induzierten Unterschemastruktur. Man w¨ ahle eine irreduzible Komponente X  ⊆ Xr von Xr und betrachte das integre schematheoretische Bild f (X  ) = Y  mit der dominanten, von f induzierten Abbildung f  : X  → Y  . Nach vorigem Lemma gibt es ein U ⊆ X  , so dass die Einschr¨ ankung f  : U → Y  glatt ist. Man hat nun f¨ ur ein abgeschlossenes x ∈ U ∩ Xr und y = f (x) = f  (x) ein Diagramm von Tangentialr¨ aumen: Tx U



Tx f 

Ty Y



/ Tx X 

Tx f

/ Ty Y

Die waagrechten Abbildungen sind injektiv, f¨ ur die senkrechte Abbildung rechts ist dimk im(Tx f )  r, und die senkrechte Abbildung links ist surjektiv, weil f  |U glatt. Also ist dimk Ty Y   r und damit auch dimy Y   r. Da Y  eine Variet¨ at ist, folgt dim Y   r. Insgesamt ist also f¨ ur das schematheoretische Bild f (Xr ) auch dim f (Xr )  r und damit dann dim f (Xr )  r. 

Korollar 6.10.1 Sei f : X → Y ein Morphismus von Variet¨ aten u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k mit char k = 0, und X sei nichtsingul¨ ar. Dann gibt es eine nichtleere, offene Teilmenge V ⊆ Y , so dass f : f −1 V → V glatt ist. Beweis. Ist f (X) nicht dicht in Y , so w¨ ahle V ⊆ Y mit V ∩ f (X) = ∅. Es sei also f dominant. Es gibt ein V ⊆ Y , offen und dicht, mit V nichtsingul¨ are ¨ Variet¨ at. Wir k¨ onnen also durch Ubergang zu f −1 V → V die Variet¨ at Y als nichtsingul¨ ar annehmen. Es sei jetzt m = dim Y und Xm−1 die Menge der abgeschlossenen Punkte wie in der vorigen Proposition. Es ist dann dim (f (Xm−1 ))¯ < m. Also kann man ein V ⊆ Y , offen und dicht, mit V ∩ (f (Xm−1 ))¯ = ∅ finden. Es hat dann also f¨ ur jedes abgeschlossene x ∈ f −1 (V ) die Abbildung Tx f den Rang m und ist mithin surjektiv. Nach Proposition 6.10.2 ist f : f −1 (V ) → V damit glatt. 

476

6.10.2

6 Schemata II

Allgemeine Schemata

In diesem Abschnitt seien alle Ringe und Schemata, u ucklich ¨ber die nicht ausdr¨ anders bestimmt wurde, noethersch. Definition 6.10.2 Es sei R = A[T1 , . . . , Tr ] und I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R ein Ideal. Ein Ring B = R/I zusammen mit dem Ideal I heißt dann ringtheoretisch glatt u ur das Ideal Jm (I) ⊆ R, das ¨ber A mit Relativdimension n = r − m, falls f¨ von den m × m-Minoren der Jacobimatrix J(I) =

∂(P1 , . . . , Pm ) ∈ Rm×r ∂(T1 , . . . , Tr )

erzeugt wird, die Beziehung Jm (I) + I = R 

gilt.

Bemerkung 6.10.3 Wir h¨ atten auch ¨ aquivalent verlangen k¨ onnen, dass das Bild von Jm (I) in B gleich B ist. Definition 6.10.3 Ist in den Bezeichnungen der vorigen Definition schon f¨ ur den Hauptminor h jm (I) = det

∂(P1 , . . . , Pm ) ∂(T1 , . . . , Tm )

h die Beziehung jm (I)R + I = R erf¨ ullt, so heißt B standard glatt u ¨ber A.



Bemerkung 6.10.4 h h Wir h¨ atten auch ¨ aquivalent fordern k¨ onnen, dass das Bild jm (I) von jm (I) in B eine Einheit in B ist. Proposition 6.10.4 Es sei B = A[T1 , . . . , Tr ]/I = R/I mit I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R ringtheoretisch (standard) glatt u ¨ber A. Weiter sei A → C ein Ringhomomorphismus und R = R ⊗A C sowie B  = B ⊗A C. Dann ist auch B  = B ⊗A C = C[T1 , . . . , Tr ]/(P1 , . . . , Pm ) = R /IR ringtheoretisch (standard) glatt u ¨ber C.

6.10 Glatte Morphismen

477

Proposition 6.10.5 Es sei B = A[T1 , . . . , Tr ]/I = R/I mit I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R ringtheoretisch (standard) glatt u ¨ber A. Weiter sei b0 ∈ B das Bild von c0 ∈ R. Dann ist Bb0 = B[z]/(z b0 − 1) = A[T1 , . . . , Tr , z]/(P1 , . . . , Pr , z c0 − 1) auch ringtheoretisch (standard) glatt u ¨ber A. Beweis. Dass A → B ringtheoretisch glatt ist, ist klar. F¨ ur standard glatt“ ist die ” Variablenreihenfolge T1 , . . . , Tm , z, Tm+1 , . . . , Tr in R[z] heranzuziehen. 

Proposition 6.10.6 Es seien A → B = R/I und B → C = S/J standard glatt mit Relativdimensionen d und e. Dann ist auch A → C standard glatt mit Relativdimension d + e. Beweis. Es sei B = A[U1 , . . . , Ur ]/(P1 , . . . , Pm ) = R/I und C = B[W1 , . . . , Ws ]/(Q1 , . . . , Qn ) = S/J.  Mit T = A[U1 , . . . , Ur , W1 , . . . , Ws ] und K = (P1 , . . . , Pm , Q1 , . . . , Qn ) ist C = T /K.  Dabei sei Qi ein Urbild von Qi in T unter der kanonischen Abbildung T → S und Pi entsprechend das Bild von Pi unter R → T . Dass C = T /K standard glatt u ¨ber A mit Relativdimension r + s − (m + n) ist, erkennt man aus der Matrix: ⎛ ∂P  ⎞ ∂P1 1 . . . ∂Um 0 ... 0 ∂U1 ⎜ . .. ⎟ .. .. ⎜ . ⎟ ⎜ . . ⎟ . . ⎜ ∂P  ⎟  ⎜ m . . . ∂Pm 0 ... 0 ⎟ ⎜ ∂U1 ⎟ ∂Um ⎜ ∂Q    ⎟ , ⎜ 1 . . . ∂Q1 ∂Q1 . . . ∂Q1 ⎟ ∂Um ∂W1 ∂Wn ⎟ ⎜ ∂U1 ⎜ . .. ⎟ .. .. ⎜ . ⎟ . ⎠ . . ⎝ . ∂Qn ∂Qn ∂Qn ∂Qn . . . ∂Um ∂W1 . . . ∂Wn ∂U1

deren Determinante in T /K eine Einheit ist, weil dies f¨ ur ihre beiden Haupt∂Qi ∂Pi h diagonalbl¨ ocke ( ∂Uj )ij und ( ∂Wj )ij auch einzeln gilt. Genauer ist jm+n (K) =

h h h jm (I) jnh (J) , wobei jm (I) das Bild von jm (I) ∈ R unter R → B = R/I → C = S/J = T /K ist und die anderen gestrichenen Gr¨ oßen f¨ ur ihre jeweiligen offenkundigen Bilder in T /K stehen. Sie sind dort s¨ amtlich Einheiten. Benutzt man also in T eine Variablenanordnung, die mit U1 , . . . , Um , W1 , . . . , Wn beginnt, so ist T /K standard glatt u  ¨ber A.

Proposition 6.10.7 Es sei B = A[T1 , . . . , Tr ]/I = R/I mit I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R ringtheoretisch standard glatt u ¨ber A. Dann ist ΩB|A = B dTm+1 + · · · + B dTm+(r−m) ein freier B-Modul vom Rang r − m = n, der Relativdimension von B/A.

478

6 Schemata II

Beweis. Es sei J(I) die Matrix ⎛ ∂P

dT1 . . . ⎜ . .. J(I) = ⎜ ⎝ ∂Pm dT1 . . . ∂T1 1

∂T1

∂P1 dTr ∂Tr

.. .

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

∂Pm dTr ∂Tr

Dann gilt ΩB|A = (B dT1 + · · · + B dTr )/(J(I)) , wobei der Quotient mit dem B-Modul zu bilden ist, der von den Zeilensummen von J(I) erzeugt wird. Nun ist b = det(

∂Pi ) i=1,...,m = det M ∂Tj j=1,...,m

eine Einheit in B. Multipliziert man J(I) von links mit Mad , so entsteht ⎞ ⎛ 0 b1,m+1 dTm+1 . . . b1,r dTr b dT1 . . . ⎟ ⎜ . .. .. .. ⎟. J(I) = ⎜ . . . ⎠ ⎝ .. 0 . . . b dTm bm,m+1 dTm+1 . . . bm,r dTr Es gilt dann aber offensichtlich ΩB|A = (B dT1 + · · · + B dTr )/(J(I) ) = B dTm+1 + · · · + B dTm+(r−m) , also die Behauptung.



Proposition 6.10.8 Es sei B = A[T1 , . . . , Tr ]/I = R/I mit I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R ringtheoretisch glatt u ¨ber A. Dann ist B flach u ¨ber A mit faserweiser Relativdimension r − m. Beweis. Die Aussage u ur die Rela¨ber die Flachheit folgt nach Proposition 6.9.12. F¨ tivdimension betrachte man f¨ ur p ⊆ A, prim, die Basiserweiterungen mit A → k(p) und A → k(p)− , wobei k(p)− der algebraische Abschluss ist. − Diese sind ringtheoretisch glatt u ¨ber k(p) bzw. k(p) mit Relativdimension r − m. Also handelt es sich um disjunkte Vereinigungen affiner Variet¨ aten der Dimension r − m. 

Definition 6.10.4 Ein Schemamorphismus f : X → Y noetherscher Schemata heißt glatt in x ∈ X mit Relativdimension n, wenn Folgendes gilt: - Es gibt offene Umgebungen U = Spec (B) ⊆ X und V = Spec (A) ⊆ Y von x und y = f (x) mit f (U ) ⊆ V , - so dass f¨ ur die induzierte Abbildung A → B der Ring B ringtheoretisch glatt mit Relativdimension n u ¨ber A ist.  Bemerkung 6.10.5 Wir h¨ atten ¨ aquivalent sogar fordern k¨ onnen, dass A → B standard glatt ist.

6.10 Glatte Morphismen

479

Definition 6.10.5 Ist f : X → Y glatt mit Relativdimension 0 in x ∈ X, so heißt f ´etale in x.  Definition 6.10.6 Ist f¨ ur f : X → Y die Abbildung f : X → Y glatt (bzw. ´etale) in x f¨ ur alle x ∈ X, so heißt f glatt (bzw. ´etale).  Proposition 6.10.9 Offene Immersionen sind ´etale. Proposition 6.10.10 Es seien f : X → Y und g : Y → Z glatte Schemamorphismen mit Relativdimension m und n und h : Y  → Y ein weiterer Schemamorphismus. Dann gilt: 1. Die Basiserweiterung f  : X ×Y Y  → Y  ist glatt mit Relativdimension m. 2. Die Komposition g ◦ f ist glatt mit Relativdimension m + n. Definition 6.10.7 Ein kontravarianter Funktor F : Sch/Y → Set heißt formal glatt (bzw. formal unverzweigt bzw. formal ´etale), wenn - f¨ ur jedes affine Y -Schema Z und jedes Unterschema Z0 ⊂ Z definiert durch ein nilpotentes Ideal J, - die Abbildung F (Z) → F (Z0 ) surjektiv (bzw. injektiv bzw. bijektiv) ist.  Bemerkung 6.10.6 Ein formal ´etaler Funktor ist also auch formal glatt. Definition 6.10.8 Ein Schema X u ¨ber Y heißt formal glatt (formal unverzweigt, formal ´etale), falls der Funktor hX (T ) = HomY (T, X) in Sch/Y formal glatt (unverzweigt, ´etale) ist.  Bemerkung 6.10.7 Das bedeutet: F¨ ur jedes Diagramm

/X >

Z0 h

 Z

 /Y

(6.145)

f

mit Z und Z0 wie in Definition 6.10.7 existiert mindestens ein (bzw. h¨ ochstens ein bzw. genau ein) h, so dass das Diagramm einschließlich h kommutiert.

480

6 Schemata II

Bemerkung 6.10.8 Man kann sich in Definition 6.10.7 auch auf Z0 = V (J) mit J2 = 0 beschr¨ anken, indem man eine Kette Z0 = Z0,0 ⊆ Z0,1 ⊆ Z0,2 ⊆ · · · ⊆ Z0,r = Z von abgeschlossenen Unterschemata Z0,i betrachtet, so dass Z0,i in Z0,i+1 durch eine Idealgarbe J0,i mit J20,i = 0 gegeben ist. Bemerkung 6.10.9 Ist f¨ ur einen Ringhomomorphismus φ : A → B die assoziierte Schemaabbildung (formal) glatt (unverzweigt, ´etale), so nennen wir φ ebenfalls (formal) glatt (unverzweigt, ´etale). Proposition 6.10.11 F¨ ur Schemaabbildungen f : X → Y und g : Y → Z mit f und g formal glatt (bzw. unverzweigt, ´etale) sowie der Basiserweiterung f  : X ×Y Y  → Y  mit einer beliebigen Abbildung h : Y  → Y gilt: 1. f  ist formal glatt (bzw. unverzweigt, ´etale). 2. g ◦ f ist formal glatt (bzw. unverzweigt, ´etale). Proposition 6.10.12 Sei f : X → Y ein Morphismus noetherscher Schemata vom endlichen Typ. Dann ist ¨ aquivalent: a) f ist formal glatt und vom endlichen Typ mit faserweiser Relativdimension n. b) F¨ ur jedes x ∈ X existiert eine offene Umgebung U von x und V von y = f (x), so dass f |U faktorisiert in U → V  → V → Y , wobei U → V  ´etale ist und V ∼ = An V. c) f ist glatt mit Relativdimension n. d ) f ist flach, und f¨ ur jeden algebraisch abgeschlossenen geometrischen Punkt y¯ von Y ist die Faser Xy¯ → y¯ glatt mit dim Xy¯ = n. e) f ist flach, und f¨ ur jeden algebraisch abgeschlossenen geometrischen Punkt y¯ von Y ist Xy¯ regul¨ ar mit dim Xy¯ = n. f ) f ist flach mit faserweiser Relativdimension n, und ΩX|Y ist lokal frei vom Rang n. Wir beginnen mit d) nach c): Beweis. Beginne dazu mit der Auswahl eines x0 ∈ X und setze y0 = f (x0 ). Der Punkt x0 sei oBdA maximal in X. W¨ ahle dann eine affine Umgebung V0 = Spec (A) von y0 , und eine offene Umgebung U0 = Spec (B) von x0 mit B = A[t1 , . . . , tr ]/(Pν )ν=1,...,s .

6.10 Glatte Morphismen

481

Man beachte, dass man u achst nichts weiß. Nun ist das Bild x ¯0 ¨ber s und r zun¨ ¯ = ¯0 die Form B von x0 in Xy¯0 ein regul¨ arer Punkt, und Xy¯0 hat lokal um x k(y0 )− [t1 , . . . , tr ]/(P¯ν )ν=1,...,s . ¯1 ,...,P ¯s ) P Es gibt also einen m × m-Minor von ∂( , dessen Determinante modulo mx¯0 ∂(t1 ,...,tr ) nicht verschwindet, und mit einem m, f¨ ur das r − m = n = dim Xy¯0 gilt. Wir numerieren die Pi und ti so, dass die Determinante dieses Minors genau das 1 ,...,Pm ) Bild von Δ = det ∂(P ist. ∂(t1 ,...,tm ) Wir betrachten jetzt die Ringe

und

B  = BΔ = A[t1 , . . . , tr , z]/(Pν , z Δ − 1)ν=1,...,s

(6.146)

B  = A[t1 , . . . , tr , z]/(Pν , z Δ − 1)ν=1,...,m ,

(6.147)



wobei B , was entscheidend ist, im oben definierten Sinn ringtheoretisch (standard) glatt ist, denn wir haben mit zΔ − 1 das Nichtverschwinden des m × m-Minors Δ erzwungen. Es gibt f¨ ur diese Ringe offensichtlich eine Surjektion B  → B  , also eine abgeschlossene Immersion Spec (B  ) → Spec (B  ). Da B  ringtheoretisch glatt u ¨ber A ist, ist es auch flach u ¨ber A. Außerdem ist  B = BΔ als Lokalisierung ebenfalls flach u ¨ber A. Es ist dann f¨ ur unser x0 und y0 = f (x0 ) von oben B  ⊗A k(y0 )− → B  ⊗A k(y0 )− → 0 .

(6.148)

Dabei verschwinden beide Tensorprodukte nicht: Denn u ¨ber y0 liegt x0 ∈ Spec (B  )  sowie sein Bild in Spec (B ) unter der durch die kanonische Abbildung B  → B  induzierten Abbildung der Spektren. Also ist B  ⊗A k(y0 )− sowie B  ⊗A k(y0 )− ungleich 0. Nun ist aber B  ⊗A k(y0 )− aufgrund der Jacobi-Bedingungen, die sich durch das Nichtverschwinden von Δ ausdr¨ ucken, eine disjunkte Vereinigung endlich vieler glatter Variet¨ aten W1 ∪ . . . ∪ W l der Dimension n. Wir nehmen oBdA an, dass x0 in W1 liegt, und w¨ ahlen ein g ∈ A[t1 , . . . , tr , z] so, dass    x0 ∈ Spec Bg ⊗A k(y0 )− ⊆ W1 und

  x0 ∈ Spec Bg

gilt. Die Faser Bg ⊗A k(y0 )− ist ebenfalls glatt, nichtleer, und von der Dimension n sowie durch eine abgeschlossene Immersion in Bg ⊗A k(y0 )− eingebettet. Also ist sie mit dieser Variet¨ at identisch, und f¨ ur J aus 0

/J

gilt: J ⊗A k(y0 ) = 0

/ Bg

/ Bg

/0

(6.149)

f¨ ur y0 = f  (x0 ) = f (x0 )

Betrachte nun f¨ ur y = y0 die Sequenz: 0

/ py Apy

/ Apy

/ k(y)

/0

482

6 Schemata II

Tensorieren mit ⊗A J liefert: 0

/ py ⊗A Jpy

/ Jpy

/0

/0

Also ist Jpy = py Jpy . Dies folgt aber auch direkt aus J ⊗A k(y0 ) = 0. Es folgt f¨ u r x = x0 u ¨ber y = y0 : Jpx = (Jpy )px = (py Jpy )px = (py )px Jpx ⊂ px Jpx Nach dem Lemma von Nakayama ist also Jpx = 0 f¨ u r x = x0 . Da J endlich erzeugt ist, kann man ein h ∈ Bg und sogar in B  finden, f¨ ur das: Jh = 0 Es ist dann auch

  0 → Bgh → Bgh →0

ein Isomorphismus von Ringen.    Indem wir V ⊆ Y gleich Spec (A) und U ⊆ X gleich Spec Bgh setzen, haben wir  mit Bgh einen ringtheoretisch standard glatten Ring u ¨ber A gefunden, und es gilt f (U ) ⊆ V . Also ist f in jedem abgeschlossenen Punkt x0 ∈ X glatt. Damit ist f aber sogar in jedem Punkt x ∈ X glatt, denn man w¨ ahle einfach ein abgeschlossenes x0 mit x x0 und beachte, dass x ∈ U = U (x0 )  x0 mit dem oben konstruierten U . 

¨ Als n¨ achstes zeigen wir die Aquivalenz von c) und b): Beweis. Wegen c) gibt es lokal um x ∈ X ein U ⊆ X und ein V ⊆ Y mit f (U ) ⊆ V , so dass V = Spec (A) und U = Spec (B) mit B = R/I ringtheoretisch standard glatt u ¨ber A ist. Es ist also B = A[T1 , . . . , Tm+n ]/I = R/I h (I) einer Einheit in B. mit I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R und jm Man setze nun C = A[Tm+1 , . . . , Tm+n ] und D = C[T1 , . . . , Tm ] = R sowie J = I ⊆ D. Dann ist Spec (C) = An ¨ber A , und D/J = R/I = B ist standard glatt u C mit Relativdimension 0, also ´etale. Man hat also die gew¨ unschte Zerlegung in einen ´etalen Morphismus, gefolgt von einer affinen Projektion U → V  → V mit V  = Spec (C) = An A. ¨ Durchl¨ auft man die obigen einfachen Uberlegungen r¨ uckw¨ arts, erkennt man direkt ¨ die Aquivalenz von b) und c). 

Der Schritt von e) nach d): ¯ ¯ = k(y)-Schema Es sei das k Xy¯ = X  regul¨ ar. Es existiert dann lokal f¨ ur ein abgeschlossenes x ∈ X  eine Sequenz: (∗)

0 → I/I 2 → ΩA|k¯ ⊗A B → ΩB|k¯ → 0 ,

¯ 1 , . . . , ur ] ein Polynomring und B = A/I mit einem Ideal I ⊆ A ist, so wobei A = k[u dass U = Spec (B) ⊆ X  eine offene, affine Umgebung von x ist. In der Sequenz (∗) ist I/I 2 lokal frei vom Rang m = r − n. Aus der Exaktheit der ¨ Sequenz folgt nach fr¨ uheren Uberlegungen, dass man nach Tensorierung mit − ⊗B Bb f¨ ur ein b ∈ B, das bei x nicht verschwindet, I = (P1 , . . . , Pm ) annehmen kann.

6.10 Glatte Morphismen

483

Dabei ist der Rang der Jacobimatrix (

∂Pi )i=1,...,m ∂uj j=1,...,r

bei x gleich m. OBdA verschwindet der Minor Δ = det(

∂Pi ) i=1,...,m ∂uj j=1,...,m

¯ standard glatte bei x nicht. Der Ring BbΔ induziert dann eine ringtheoretisch u ¨ber k Umgebung von x in X  . 

Der Schritt von d) nach e): ¯ mit Relativdimension n ist, zieht unmittelbar ¯ = k(y) Dass X  = Xy¯ glatt u ¨ber k nach sich, dass ΩX  |k¯ ein lokal freier OX  -Modul vom Rang n ist. Damit ist X  aber regul¨ ar. 

Der Schritt von f) nach e): Beweis. Die Flachheit der Abbildung f wird per Annahme u ¨bertragen. Lokal sei ¯ der algebraische f (Spec (B)) ⊆ Spec (A) und k = k(y) f¨ ur ein y ∈ Spec (A) und k Abschluss. Man hat das cartesische Diagramm: ¯ B⊗k B

 



(6.150)

A

¯ k



¯ auch ΩB  |k¯ = ΩB|A ⊗B B  . Man kann Spec (B) immer so Also ist mit B  = B ⊗A k klein w¨ ahlen, dass ΩB|A = B n , also ΩB  |k¯ = B n . Damit gilt f¨ ur Xy¯ global, ΩXy¯ |k(y) ¯ ist lokal frei vom Rang n = dim Xy ¯ . Folglich ist ¯ Xy¯ eine regul¨ are Vereinigung regul¨ arer Variet¨ aten u ¨ber k(y). 

Der Schritt von b) nach f):  Beweis. Es sei U → An V = V → V die lokale Faktorisierung und V = Spec (A) sowie U = Spec (B) mit B = A[T1 , . . . , Tm+n ]/I = R/I und I = (P1 , . . . , Pm ) ⊆ R. Man kann annehmen, dass B ringtheoretisch standard glatt u ¨ber A mit Relativdimension n ist, indem man benutzt, dass U ´etale u ¨ber V  ist. Es ist dann also sowohl f  : U → V mit f  = f |U flach u ¨ber A faserweise mit Relativdimension n als auch

ΩB|A = B dTm+1 + · · · + B dTm+n ein freier B-Modul vom Rang n. Indem man X mit U wie oben u ¨berdeckt, sieht man, dass f auch allgemein faserweise von Relativdimension n ist, also jede Faser Xy equidimensional mit Dimension n. 

Jetzt, der Schritt von b) nach a): g

Wir betrachten zun¨ achst den lokalen Fall, in dem f als X − → An Y → Y faktorisiert und Y und X affine Schemata sind.

484

6 Schemata II

Wir studieren also Diagramme der Form R/I o

CO

O

(6.151)

h

~

Ro

A,

wobei R ein beliebiger Ring und I ⊆ R ein Ideal mit I 2 = 0 ist. Existiert jedesmal ein solches h, so ist C u ¨ber A formal glatt. Ist h u ¨berdies eindeutig, so ist C u ¨ber A formal ´etale. Im Spezialfall C = A[T1 , . . . , Tm ] ergibt sich aus R/I o

O

A[T1 , . . . , Tm ]

O

o ri + O I

Ro

A

ri

Ti

(6.152)

|

sofort, dass A[T1 , . . . , Tm ] u ¨ber A formal glatt ist. Der n¨ achste zu betrachtende Fall ist C = A[T1 , . . . , Tm ]/(P1 , . . . , Pm ) mit Pi ∈ B = A[T1 , . . . , Tm ]. Weiterhin soll f¨ ur Δ = det(

∂Pi ) = det J ∂Tj

die Beziehung 1 = Q Δ + Q 1 P1 + · · · Q m Pm mit geeigneten Q, Qi ∈ B gelten. Es ist dabei nat¨ urlich Δ = det J ∈ B. Der Morphismus C → R/I werde gegeben durch Ti → ri + I mit der Nebenbedingung Pν (r1 + I, . . . , rm + I) = 0 + I, also Pν (r1 , . . . , rm ) ∈ I. Eine Liftung C → R ist eindeutig bestimmt durch die Auswahl von hi ∈ I, so dass Ti → ri + hi . Dabei muss lediglich Pν (r1 + h1 , . . . , rm + hm ) = 0 erf¨ ullt bleiben. Wir rechnen aus: Pν (r1 + h1 , . . . , rm + hm ) = Pν (r1 , . . . , rm ) +

∂Pν (r1 , . . . , rm ) hj ∂Tj

H¨ ohere Potenzen in den hj verschwinden wegen I 2 = 0. Es ergibt sich die Beziehung: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ P1 (r) h1 ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ = −J|r · ⎜ . ⎟ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ Pm (r) hm

(6.153)

(6.154)

Multiplikation mit Jad liefert: ⎞ ⎞ ⎛ h1 P1 (r) ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ Δ(r) ⎜ ⎝ .. ⎠ = −Jad |r · ⎝ .. ⎠ Pm (r) hm ⎛

(6.155)

Multiplikation mit dem Q von oben liefert: (1 − Q1 P1 − · · · − Qm Pm )|r (hi )i = −Q|r Jad |r (Pj (r))j

(6.156)

6.10 Glatte Morphismen

485

Nun ist aber Pν (r)hi = 0, da Pν (r) schon selbst in I liegt. Es bleibt (hi )i = −Q(r) Jad |r (Pj (r))j .

(6.157)

Damit ist eine durch die hi gegebene Liftung als existent und eindeutig nachgewiesen. Wir wollen also nun den globalen Fall betrachten. Es erf¨ ulle f : X → Y die Annahme b), das heißt, f faktorisiere lokal als

U

/Y O

f

XO

/ AnV

g

(6.158)

/V

p

mit g standard-´etale wie oben und p der kanonischen Projektion. ¨ Wir w¨ ahlen nun eine offene Uberdeckung von X mit Ui , f¨ ur die Ui → An Vi → Vi eine entsprechende Faktorisierung darstellt und Ui ebenso wie Vi affine Schemata sind. Indem wir das Diagramm X do

s

f



h

Y o

t

Spec (R/I)

(6.159)



Spec (R)

¨ zugrunde legen, w¨ ahlen wir eine endliche Uberdeckung D(fα ) von Spec (R), so dass s(D(fα + I)) ⊆ Ui(α) und t(D(fα )) ⊆ Vi(α) wird. Es ist dann Uα = Ui(α) ×Vi(α) D(fα ) → An Vi(α) ×Vi(α) D(fα ) → D(fα ) ebenso eine Faktorisierung in eine (standard-)´etale Abbildung und eine affine Erweiterung. Wir k¨ onnen also Vα = Spec (Rfα ) setzen und α Uα = Spec (Rα [sα 1 , . . . , sm+n ]/Jα ) = Spec (Bα /Jα ) = Spec (Cα )

schreiben, wo Jα = (Pνα (sα ur das Ideal Δα μ ))ν=1,...,m ist und f¨ m der Determinanten der α α m × m-Minoren von (∂Pν /∂sμ ) die Beziehung Δα m + Jα = Bα gilt. Die Wahl eines f¨ ur alle α gleichen mα = m ist ebenfalls eine Konsequenz der Endlichkeit unserer ¨ Uberdeckung.

486

6 Schemata II

¨ Definiert man Uαβ = (Uα )fβ → (Vα )fβ , so gibt es kanonische Ubergangsabbildungen Fαβ : Uαβ → Uβα , die von dem Diagramm Uα o

(Uα )fβ

x

X ×Y Spec (R)

Fαβ

f

Uβ o



(Uβ )fα

herr¨ uhren. α Dabei wird Fβα beschrieben durch polynomielle Funktionen (sα 1 , . . . , sn+m ) = Fαβ (sβ1 , . . . , sβn+m ), f¨ ur die gilt: Fαβ∗ ((Jα )fβ ) ⊆ (Jβ )fα

(∗)

Man erkennt dies aus dem Diagramm:

/ Rβα [sβν ]

Rαβ [sα ν]



∗ Fβα

(Rα [sα ν ]/Jα )fβ

 / (Rβ [sβν ]/Jβ )fα

Bemerkung 6.10.10 Es ist Fαβ ∈ (Rαβ [sβ1 , . . . , sβn+m ])n+m . Wir k¨ onnen jetzt hα f¨ ur jedes α konstruieren, so dass Uα fo



Spec ((R/I)fα )

sα

hα

Vα o

tα

(6.160)



Spec (Rfα )

i i kommutiert. Die Abbildung hα wird also durch ein System (rα )i mit rα ∈ Rfα = Rα beschrieben. Wir wollen die hα so bestimmen, dass f¨ ur α, β und f¨ ur Fαβ : Uαβ → Uβα auch Fαβ ◦ hα = hβ auf Spec (Rαβ ) ist. Da die einzelnen hα von einzelnen Uα (Spec ((R/I)α )) herstammen, die miteinander verkleben, ergibt sich f¨ ur α, β erst einmal die Relation in Rαβ : i i + yαβ )i , Fαβ (rβi ) = (rα i ∈ Ifα f β . wobei yαβ Es gilt nun Fαβ (Fβγ (siγ )) = Fαγ (siγ ) + Tαβγ (siγ ), wobei Tαβγ aus (Jγ )fα fβ stammt. ugen, gilt exakt: Da die (rγi ) alle den Relationen aus Jγ gen¨

Fαβ (Fβγ (rγi )) = Fαγ (rγi )

(6.161)

Rechnen wir dies aus, so folgt i  i Fαβ (rβi + yβγ ) = Fαβ (rβi ) + Fαβ (rβi ) yβγ = i i  i i i + yαβ + Fαβ (rβi ) yβγ = Fαγ (rγi ) = rα + yαγ . (6.162) = rα

6.10 Glatte Morphismen

487

i Es ergibt sich so f¨ ur yαβ : i  i i yαβ + Fαβ (rβi ) yβγ − yαγ =0

Wir wollen nun jedes

i (rα )

durch ein

i (rα

+

xiα )

mit

xiα

(6.163)

∈ Ifα ersetzen, so dass

i Fαβ (rβi + xiβ ) = rα + xiα

wird. Rechnen wir das aus, so entsteht  i  i (rβi ) xiβ = rα + yαβ + Fαβ (rβi ) xiβ = rα + xiα . Fαβ (rβi ) + Fαβ

(6.164)

Damit muss f¨ ur die xiα gelten:  yαβ = −Fαβ (rβi ) xiβ + xiα

(6.165)

Nun interpretieren wir (6.163) als δ(yαβ ) = 0 und (6.165) als δ(xα ) = (yαβ ) mit einem kohomologischen δ-Operator. Wir haben damit ein Problem von der Art einer Cech-Kohomologie auf einer ¨ Uberdeckung D(fα ) von Spec (R) vorliegen. ¨ Es ist also, weil D(fμ ) eine Uberdeckung von Spec (R) ist:  zμ f μ = 1 μ

Setze dann xiα =



i zμ fμ yαμ .

(6.166)

μ

Es ist  xiα − Fαβ (rβi ) xiβ =



   i i i  i zμ fμ yαμ − Fαβ (rβi )yβμ = zμ fμ yαβ = yαβ ,

μ

(6.167)

μ

womit wir den Kozykel (6.163) aufgel¨ ost haben. Bemerkung: Damit das in (6.166) ausgerechnete xiα wirklich in Ifα liegt, muss i i i yαμ = y˜αμ /(fα fμ ) mit y˜αμ ∈ I sein. Dies l¨ asst sich jedoch, wie u ¨blich bei dieser Art ¨ von Betrachtungen, durch Ubergang zu gemeinsamen großen Nennern (fα fμ )N und anschließendem Ersetzen von fαN → fα immer erreichen, da es sich nur um endlich viele vorkommende Br¨ uche handelt. 

Zuletzt, der Schritt von a) nach e): Beweis. Es sei f : X → Y formal glatt. W¨ ahle ein V = Spec (R) ⊆ Y , offen und affin, und ein U = Spec (B) ⊆ X, offen und affin mit f (U ) ⊆ V . Man kann annehmen, dass B = A/J mit einem Polynomring A = R[u1 , . . . , ur ] und einem Ideal J ⊆ A. Nun ist f −1 (V ) → V als Basiserweiterung formal glatt, und auch die offene Immersion U ⊆ f −1 (V ) ist formal glatt. Also ist f  : U → V mit f  = f |U formal glatt. Betrachte nun die Diagramme: A/J k o

O

z

A/J k+1 o

φk

A/J

O

φk+1

R

488

6 Schemata II

Die Abbildung φ1 ist idA/J , die anderen Abbildungen werden aus der formalen Glattheit induktiv konstruiert. ˆ wobei Aˆ die Komplettierung Zusammen hat man eine Abbildung φ : A/J → A, k (A, J )ˆ ist. Diese Abbildung ist u ¨berdies ein Schnitt der kanonischen Projektion Aˆ → A/J. Also ist A/J als A-Modul ein direkter Summand von Aˆ = A/J ⊕ M . Andererseits ist Aˆ ein flacher A-Modul und A ein flacher R-Modul, also Aˆ ein flacher R-Modul. Damit ist aber auch A/J als direkter Summand ein flacher R-Modul und somit die Flachheit von f nachgewiesen. Es bleibt zu zeigen, dass Xy¯ f¨ ur jeden geometrischen Punkt y¯ → Y ein regul¨ ares algebraisches Schema ist. Jedenfalls ist Xy¯ → y¯ als Basiserweiterung von f auch formal glatt. Es sei wieder lokal U = Spec (B) ⊆ Xy¯ , offen, affin, mit B = A/J und dem Polynomring A = k[u1 , . . . , ur ], wobei k = k(¯ y ) = k(y)− ist. Wir betrachten nun die Sequenz J/J 2 → ΩA|k ⊗A B → ΩB|k → 0 und wollen zeigen, dass sie links injektiv ist und aus lokal freien Garben besteht. Anwenden von HomB (−, B  ) mit q ⊆ B, einem Ideal, und B  = B/q ergibt links die Abbildung 0 ← HomB (J/J 2 , B  ) ← DerA|k (A, B  ) . Sie ist surjektiv, da wegen der formalen Glattheit, wie oben gesehen, eine splitφ p → A/J 2 − → A/J existiert. Ein Element h ∈ HomB (J/J 2 , B  ) ist Injektion A/J − dann Bild der Derivation δh (a) = h((a + J 2 ) − (φp(a + J 2 ))) . Also ist f¨ ur alle q ⊆ B und B  = B/q die Sequenz (∗)

0 → HomB (ΩB|k , B  ) → HomB (ΩA|k ⊗A B, B  ) → HomB (J/J 2 , B  ) → 0

exakt. Damit ist auch

Ext1B (ΩB|k , B  ) = 0

insbesondere f¨ ur alle q ⊆ B, prim. Nach einem Grundtheorem u ¨ber Projektivdimensionen impliziert dies, dass ΩB|k projektiver, also lokal freier B-Modul ist. Es ist dann also auch ExtνB (ΩB|k , B  ) = 0 f¨ ur alle ν > 0 und damit, wieder nach der Sequenz (∗), auch Ext1 (J/J 2 , B  ) = 0 f¨ ur alle B  . Damit ist auch J/J 2 ein lokal freier B-Modul. Indem wir nun in (∗) einfach B  = B setzen und benutzen, dass alle Terme lokal freie B-Moduln sind, ergibt sich die Exaktheit von 0 → J/J 2 → ΩA|k ⊗A B → ΩB|k → 0 und die Tatsache, dass sie nur aus lokal freien B-Moduln besteht. Also ist U/k eine regul¨ are affine Variet¨ at und damit auch Xy¯ eine regul¨ are Vereinigung regul¨ arer kVariet¨ aten. 

Bemerkung 6.10.11 Es sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata vom endlichen Typ u ¨ber einem K¨ orper k. Dann ist f glatt nach der obigen allgemeineren Definition 6.10.4 genau dann, wenn er nach Definition 6.10.1 glatt ist. Beweis. Die Bedingung e) in voriger Proposition ist ¨ aquivalent zu den Voraussetzungen in Theorem 6.10.1. 

6.10 Glatte Morphismen

489

Proposition 6.10.13 Es sei A → B → C eine Kette von Ringhomomorphismen und B → C glatt, so ist die assoziierte Sequenz von Differentialmoduln 0 → ΩB|A ⊗B C → ΩC|A → ΩC|B → 0

(6.168)

insbesondere links injektiv und damit exakt. Beweis. Es liegt links Injektivit¨ at vor, wenn HomC (ΩC|A , M ) → HomC (ΩB|A ⊗B C, M ) → 0 f¨ ur alle C-Moduln M surjektiv ist. Wir formen dies mit HomC (ΩB|A ⊗B C, M ) = HomB (ΩB|A , HomC (C, M )) = HomB (ΩB|A ,B M ) in eine Sequenz von Derivationen um: DerA (C, M ) → DerA (B, M ) → 0 Wir m¨ ussen also nur zeigen, dass eine Derivation δ : B → M mit δ(A) = 0 zu einer ¯ Derivation δ¯ : C → M mit δ(A) = 0 fortgesetzt werden kann, also mit φ : B → C die ¯ Beziehung δ ◦ φ = δ gilt. Es gilt allgemein f¨ ur einen R-Modul M und f¨ ur eine infinitesimale Erweiterung R = R ⊕ M ε, dass die Splittungen s : R → R und die Derivationen δ : R → M einander unter der Zuordung s(r) = (r, δ(r)) entsprechen. Wir betrachten jetzt f¨ ur den obigen Modul M die infinitesimale Erweiterung C  = C ⊕ M ε und das Diagramm C _ o π

hδ



C o

B

hδ¯



id

(6.169)

φ

C,

wo hδ (b) = (φ(b), δ(b)) ist. Da φ : B → C glatt und C  → C eine infinitesimale Erweiterung ist, existiert ein Ringhomomorphismus hδ¯, der obiges Diagramm kommutieren l¨ asst. Er hat die ¯ Form hδ¯(c) = (c, δ(c)), und die Derivation δ¯ ist die oben gesuchte Fortsetzung von δ : B → M nach C. 

Korollar 6.10.2 Es sei g : Y → Z ein Schemamorphismus und f : X → Y ein glatter Schemamorphismus. Dann ist die Sequenz 0 → f ∗ ΩY |Z → ΩX|Z → ΩX|Y → 0 exakt. Beweis. W¨ ahle W ⊆ Z sowie V ⊆ Y und U ⊆ X, affine und offene Mengen mit f (U ) ⊆ V und g(V ) ⊆ W und benutze ΩX|Y |U = ΩU |V sowie ΩX|Z |U = ΩU |W und (f ∗ ΩY |Z )|U = f ∗ ΩV |W mit f  : U → V und f  = f |U . 

490

6.11

6 Schemata II

Gruppenvariet¨ aten und das Theorem von Kleiman

Definition 6.11.1 Es sei G eine Variet¨ at u orper k. ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ Weiter existieren Morphismen μ : G × G → G und ρ : G → G, so dass G(k) unter μ zu einer Gruppe wird, f¨ ur die ρ die Bildung des inversen Elements bedeutet. Dann heißt G Gruppenvariet¨ at u  ¨ber k. Definition 6.11.2 Es sei G eine Gruppenvariet¨ at u at. Weiter sei ein ¨ber k und X eine k-Variet¨ Morphismus θ : G × X → X gegeben, der einen Gruppenhomomorphismus G(k) → Aut X induziert. Dann sagt man, G operiert auf X verm¨ oge θ.  Definition 6.11.3 Es operiere eine Gruppenvariet¨ at u at X so, dass die Gruppe ¨ber k auf einer Variet¨ G(k) transitiv auf der Menge X(k) operiert. Dann heißt X homogener Raum (f¨ ur G).  Beispiel 6.11.1 Die Variet¨ a t X = Pn ur die Gruppenvariet¨ at G = k ist ein homogener Raum f¨ PGLk (n). Lemma 6.11.1 Es sei G eine Gruppenvariet¨ at u ¨ber k, algebraisch abgeschlossen mit char k = 0. Weiter sei X ein homogener Raum f¨ ur G mit θ : G × X → X. Dann gilt: Die Abbildung θx : G → X mit θ(g) = θ(g, x) f¨ ur ein abgeschlossenes x ∈ X ist glatt. Beweis. Es gibt jedenfalls ein g ∈ G, f¨ ur das θx eine surjektive Abbildung der Tangentialr¨ aume Tg G → Tgx X induziert. Betrachte nun das Diagramm: Go

hg −1 ·

G

θ(−,x)





X o

θ(−,x)

θ(hg −1 ,−)

X

Die waagrechten Abbildungen sind Isomorphismen, die linke senkrechte Abbildung bildet h auf hx ab, die rechte senkrechte Abbildung g auf gx. Also ist auch Th G → Thx X surjektiv. 

6.11 Gruppenvariet¨ aten und das Theorem von Kleiman

491

Theorem 6.11.1 (Kleiman) Es sei X ein homogener Raum f¨ ur die Gruppenvariet¨ at G u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k mit char k = 0. Weiter seien f : Y → X und g : Z → X Morphismen von nichtsingul¨ aren Variet¨ aten Y, Z nach X. F¨ ur jedes σ in G(k) sei Y σ die Variet¨ at Y mit der Abbildung σ ◦ f nach X. Dann existiert eine nichtleere offene Teilmenge V ⊆ G, so dass f¨ ur jedes σ σ ∈ V (k) das Schema Y ×X Z nichtsingul¨ ar und entweder leer oder von der Dimension dim (Y σ ×X Z) = dim Y + dim Z − dim X (6.170) ist. Beweis. Es sei dim X = n, dim Y = r, dim Z = s und dim G = e. Nach vorigem Lemma sind alle θ(−, x) : G → X glatte Abbildungen, also mit surjektiver Abbildung der Tangentialr¨ aume. Umsomehr ist dann auch f¨ ur p : G×Y → X mit p(σ, y) = σf (y) die Abbildung der Tangentialr¨ aume surjektiv und damit, da G × Y und X regul¨ are Variet¨ aten sind, auch p glatt. Wir betrachten die Inzidenzvariet¨ at π

G × Y × Z ⊇ Γ = {(σ, y, z) | σf (y) = g(z)} − →G zusammen mit ihrer Projektion π auf G. Sie liegt in dem Diagramm (G × Y ) ×X Z = Γ p





(G × Y )

Z,

p



X



g

so dass p glatt und damit, weil Z/k glatt, auch Γ/k glatt ist. Die Abbildung p und daher auch die Abbildung p hat Relativdimension e + r − n. Also ist dim Γ = r+s+e−n. Ist nun r+s−n < 0, so bedeutet dies dim Γ < dim G, und das Komplement des Bildes π(Γ) ⊆ G enth¨ alt eine offene dichte Teilmenge V ⊆ G, so dass π −1 (σ) = ∅ f¨ ur alle σ ∈ V . Nun ist die Faser π −1 (σ) = Y σ ×X Z, so dass hier der Fall vorliegt, in dem Y σ ×X Z leer ist. Ist stattdessen aber r + s − n  0, so ist dim π −1 (σ)  dim Γ − dim G = r + s + e − n − e = r + s − n. Nun kann π(Γ) nicht dicht in G sein, also eine offene, nichtleere Teilmenge V ⊆ G existieren, f¨ ur die π −1 (V ) = ∅ ist. In diesem Fall ist dann immer Y σ ×X Z = ∅ f¨ ur σ ∈V. Andernfalls k¨ onnen wir eine offene dichte Teilmenge V ⊆ G finden, so dass π : π −1 (V ) → V eine glatte Abbildung ist. F¨ ur ein σ ∈ V ist dann π −1 (σ) eine Vereinigung regul¨ arer Untervariet¨ aten von Γ mit der Dimension dim Γ − dim G = r + s − n. Damit ist der zweite Teil der Folgerung und die Beziehung (6.170) im obigen Theorem nachgewiesen. 

492

6 Schemata II

6.12

Kohomologie und Basiswechsel

Proposition 6.12.1 Es sei f : X → Y ein separierter Morphismus vom endlichen Typ noetherscher Schemata. Es sei F aus Qco(X) und u : Y  → Y ein weiterer Schemamorphismus. Dann sei X g

v

X





f



Y



Y

u

das zugeh¨ orige cartesische Quadrat, also X  = X ×Y Y  . Es existiert dann stets ein nat¨ urlicher Morphismus: u ∗ R i f ∗ F → R i g∗ v ∗ F

(6.171)

Dieser ist ein Isomorphismus, wenn u flach ist. Beweis. Wir geben zun¨ achst einen Beweis f¨ ur (6.171) mit nat¨ urlichen Morphismen von Funktoren: Rp f∗ F → Rp f∗ v∗ v ∗ F → Rp (f∗ v∗ )v ∗ F → Rp (u∗ g∗ )v ∗ F → u∗ (Rp g∗ )v ∗ F Dabei folgen die zweite und die letzte Abbildung aus den Beziehungen Rp (F )GA → Rp (F G)A und Rp (F G)A → F (Rp G)A f¨ ur kovariante, linksexakte Funktoren F , G, bei denen G injektive in F -azyklische Objekte abbildet. Die Abbildungen sind dann die Kantenhomomorphismen der Spektralsequenz (Rp F )(Rq G) ⇒ Rp+q (F ◦ G) f¨ ur (p, 0) und (0, p). ˇ Der zweite Beweis bedient sich der Cech-Kohomologie: Man kann sich auf Y = ¨ Spec (A) und Y  = Spec (B) affin beschr¨ anken. F¨ ur X w¨ ahlt man eine Uberdeckung U = (Ui ) mit affinen Teilmengen. Es ist dann auch Ui0 ...ip = Ui0 ∩ · · · ∩ Uip affin (f separiert!), und der Cech-Komplex C • (F, Ui0 ...ip ) = C • (Mi0 ...ip , Ui0 ...ip ) berechnet H i (X, F) = Ri f∗ F. Also ist hi (C • (F, Ui0 ...ip )) ⊗A B = u∗ Ri f∗ (F) . Weiterhin ist Ri g∗ v ∗ F = H i (X  , F ⊗A B). Dieser Ausdruck wird aber von dem CechKomplex C • (Mi0 ...ip ⊗A B, Ui0 ...ip ×A B) berechnet. Die kanonische Abbildung hi (C • (Mi0 ...ip )) ⊗A B → hi (C • (Mi0 ...ip ⊗A B)) entspricht dann der Abbildung (6.171). Ist nun u flach, so ist B ein flacher A-Modul und die vorige Abbildung ein Isomorphismus. 

6.13 Flachheit und Hilbertpolynom

493

Proposition 6.12.2 Es sei f : X → Y ein separierter Morphismus vom endlichen Typ noetherscher Schemata und Y = Spec (A) affin. Es sei F quasikoh¨ arenter OX -Modul und u : k(y) → Y f¨ ur ein y ∈ Y die kanonische Abbildung. Dann sei: Xy

f

p

X

 k(y)  f



Y



u

Es ist dann H i (X, F ⊗ k(y)) = H i (Xy , Fy ).

(6.172)

Dabei steht k(y) f¨ ur f ∗ k(y), wobei k(y) als A-Modul aufgefasst wird. Mit Fy ∗ ist p F gemeint.

  Beweis. Es sei (Ui0 ...ip ) = (Spec Bi0 ...ip ) ein System offener Mengen einer Cech¨ Uberdeckung von X. Das zugeh¨ orige Element im Cech-Komplex C p (U, F ⊗ k(y)) sei Ui0 ...ip → Mi0 ...ip ⊗A k(y) , wobei nat¨ urlich Mi0 ...ip = F(Ui0 ...ip ) ist. Dieser Cech-Komplex berechnet H i (X, F ⊗ k(y)). Entsprechend wird der Cech-Komplex C p (p∗ U, p∗ F) durch p−1 (Ui0 ...ip ) → Mi0 ...ip ⊗Bi0 ...ip Bi0 ...ip ⊗A k(y) = Mi0 ...ip ⊗A k(y) gegeben. Dieser Cech-Komplex berechnet H i (Xy , p∗ F) und ist offenkundig zu dem vorigen isomorph. 

6.13

Flachheit und Hilbertpolynom

Theorem 6.13.1 Es sei f : X → Y ein projektiver Schemamorphismus und Y ein noethersches Integrit¨ atsschema. Weiter sei F eine koh¨ arente Garbe auf X. Dann ist ¨ aquivalent: a) F ist u ¨ber Y flach. b) f∗ F(m) ist ein lokal freier OY -Modul mit endlichem Rang f¨ ur m  0. c) F¨ ur jedes y ∈ Y ist das Hilbertpolynom PF⊗OY k(y) gleich PF = P f¨ ur ein beliebiges, aber festes numerisches Polynom P . Beweis. Es kann oBdA angenommen werden, dass X = Pn Y ist. Dazu gehe man n¨ amlich bei der Immersion i : X → Pn ¨ber. Alle drei Aussagen bleiben Y von F zu i∗ F u davon unber¨ uhrt:

494

6 Schemata II

die Aussage a) wegen i∗ FP = FP f¨ ur P ∈ X oder = 0 f¨ ur P ∈ / X, die Aussage b) wegen f∗ i∗ F = f∗ F mit dem Morphismus f  : Pn ur den Y → Y , f¨ f  ◦ i = f gilt, die Aussage c) wegen H 0 (Xy , F ⊗ k(y)(m)) = H 0 (Pn Y ×Y k(y), i∗ F ⊗ k(y)(m)). Indem wir die flachen Basiserweiterungen Spec (OY,y ) → Y f¨ ur alle y ∈ Y betrachten, k¨ onnen wir zudem annehmen, dass Y = Spec (A) mit einem noetherschen, lokalen Integrit¨ atsring A ist. ¨ Wir beweisen als Erstes die Aquivalenz von a) und b): Ist F flach u ¨ber A, so besteht ¨ der Cech-Komplex C • (U, F(m)) = C • f¨ ur die kanonische Uberdeckung U = (D+ (xi )) von X = proj (A[x0 , . . . , xn ]) aus flachen, also freien A-Moduln. Es ist hp (C • ) = H p (X, F(m)) = 0 f¨ ur m  0 und p > 0. Also ist der augmentierte Komplex 0 → H 0 (X, F(m)) → C • exakt. Da f¨ ur 0 → M  → M → M  → 0 aus M, M  flach“ auch M  flach“ folgt, ” ” schließt man r¨ uckw¨ arts von oben her in diesem Komplex auf die A-Flachheit von 0 0 H (X, F(m)) = (f∗ F(m))(Y ). Außerdem ist H (X, F(m)) als Kohomologie einer koh¨ arenten Garbe u urlich ein endlich erzeugter ¨ber einem projektiven A-Schema nat¨ A-Modul. Ist umgekehrt H 0 (X, F(m)) flach f¨ ur alle m  0, so ist auch  0 M= H (X, F(d)) dd0

ein A-flacher Modul f¨ ur ein geeignetes d0  0. Es ist dann F(D+ (xi )) = M(xi ) ebenso A-flach und damit auch F flach u ¨ber Y . ¨ Wir beweisen jetzt die Aquivalenz von b) und c): α Man betrachte dazu die Sequenz Al − → A → A/p → 0 f¨ ur ein beliebiges Primideal p von A. Dabei sei die Abbildung α : Al → A aus den Erzeugern (a1 , . . . , al ) = p gebildet. Aus dieser Sequenz entsteht durch Tensorieren mit F(m) die exakte Sequenz idF(m) ⊗α

F(m)l −−−−−−→ F(m) → F(m) ⊗A A/p → 0 und daraus die exakte Sequenz von Homologiegruppen: H 0 (X, Fl (m)) → H 0 (X, F(m)) → H 0 (X, F ⊗A (A/p)(m)) → H 1 (X, (im idF ⊗ α)(m))

W¨ ahlt man m > Np mit einem Np , das von F und p abh¨ angt, so ist H 1 (X, (im idF ⊗ α)(m)) = 0. Tensoriert man dann noch weiter mit k(p), so ergibt sich f¨ ur m > Np der Isomorphismus ∼

H 0 (X, F(m)) ⊗A k(p) → H 0 (X, F ⊗A (A/p)(m)) ⊗A/p k(p). Da A/p → k(p) eine flache Ringerweiterung ist, hat man schließlich: H 0 (X, F ⊗A (A/p)(m)) ⊗A/p k(p) = H 0 (X, F ⊗A k(p)(m)), also

∼

H 0 (X, F(m)) ⊗A k(p) → H 0 (X, F ⊗A k(p)(m))

(6.173)

6.14 Algebraische Familien

495

F¨ ur endlich viele Primideale pi kann man daher ein N = N(pi ) w¨ ahlen, so dass f¨ ur alle m > N und f¨ ur alle ausgew¨ ahlten pi gilt: dimk(pi ) H 0 (X, F(m)) ⊗A k(pi ) = rm,pi = PF⊗A k(pi ) (m)

(6.174)

Es ist ja der Ausdruck links f¨ ur m  0 wegen (6.173) nichts anderes als PF⊗A k(pi ) (m) f¨ ur alle betrachteten pi . W¨ ahle nun als zu betrachtende pi das maximale Ideal mA und das minimale Ideal (0) von A. Ist dann rm,mA = rm,(0) , weil PF⊗A k(p) = P f¨ ur alle p ⊆ A, prim, so ist H 0 (X, F(m)) ein freier A-Modul, da seine R¨ ange bei mA und bei (0) gleich sind. Ist umgekehrt H 0 (X, F(m)) ein flacher, also freier A-Modul f¨ ur alle m  0, so sind die R¨ ange dimk(pi ) H 0 (X, F(m)) ⊗A k(pi ) = r = PF⊗A k(pi ) (m) f¨ ur alle pi ⊆ A aus einem endlichen System und f¨ ur m > N gleich. Man w¨ ahlt jetzt als solche Systeme immer das Ideal (0) ⊆ A und ein beliebiges Primideal p ⊆ A, um zu erkennen, dass PF⊗A K(A) = PF⊗A k(p) ist. ¨ Damit ist die Aquivalenz von b) und c) gezeigt. 

6.14

Algebraische Familien

6.14.1

Allgemeine Familien

Definition 6.14.1 Es sei f : X → T eine surjektive Abbildung von Variet¨ aten u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k. Es gelte f¨ ur jeden abgeschlossenen Punkt t ∈ T : i) Das Schema Xt = f −1 (t) ist irreduzibel, und es ist dim f −1 (t) = dim X − dim T. ii) Es sei ζt ∈ f −1 (t) ⊆ X der generische Punkt von f −1 (t) in X. Dann ist f  (mt ) = mζt ⊆ OX,ζt , wobei (OT,t , mt ) der lokale Ring von t ∈ T ist. Wir nennen X(t) die Faser Xt = f −1 (t) mit der reduzierten induzierten Unterschemastruktur. Es ist dann X(t) eine algebraische Familie von Variet¨ aten, parametrisiert durch T .  Bemerkung 6.14.1 Die Bedingung ii) verlangt, dass jede Faser nur mit Multiplizit¨ at 1 in Erscheinung tritt. Sie ist ¨ aquivalent zu: OXt ,ηt ist ein reduzierter Ring, also Xt reduziert am generischen Punkt ηt .

496

6 Schemata II

Man erkennt das durch eine lokale Betrachtung: W¨ ahlt man V = Spec (A) mit t ∈ V und U = Spec (B) mit f (U ) ⊆ V und x ∈ U f¨ ur ein x mit f (x) = t, so ist f (U ) dicht in V und dim U = dim X sowie dim V = dim T . Auf U, V ist die Abbildung f also gegeben durch eine Injektion φ : A → B von affinen integren k-Algebren. Weiter ist mt ⊆ A das maximale Ideal, das t entspricht, und es ist Xt ∩ U = Spec (B/mt B). Es sei nun qt ⊆ B das minimale Primideal u ¨ber mt B. Damit ist OX,ζt = Bqt , OXt ,ηt = (B/mt )qt .

(6.175) (6.176)

Bedingung ii) sagt dann aus: Es kann dann durchaus mt B  qt sein, aber es gilt mt Bqt = qt Bqt . Dies ist offensichtlich a ¨quivalent zu (B/mt )qt = (B/qt )qt , also zu OXt ,ηt reduziert. 

Beispiel 6.14.1 Es sei X ⊆ A4k mit den Koordinaten x, y, z, a gegeben durch das Ideal I = (a2 (x + 1) − z 2 , ax (x + 1) − yz, xz − ay, y 2 − x2 (x + 1)) .

(6.177)

Weiter sei T = A1k mit der Koordinate a, und es sei f : X → T gegeben durch Einschr¨ ankung der Abbildung (x, y, z, a) → a von A4k nach A1k . Dann ist f : X → T eine algebraische Familie. Beweis. Es sei A = Q[a] und B = R/I mit R = Q[a, x, y, z] und I = (f1 , f2 , f3 , f4 ) ⊆ R mit dem I von oben, das man mittels Prim¨ arzerlegung als prim nachweist. Man rechnet ΩX|T explizit als M = ((R da + R dx + R dy + R dz)/ im J) ⊗R B aus, wobei J=

∂(f1 , . . . , f4 , a) ∂(a, x, y, z)

f¨ ur die Jacobimatrix steht. Ist B  = Ba und A = Aa , so rechnet man ebenso direkt mit einem Computeralgebrasystem pdB  (M ⊗B B  ) = 0 aus. Es ist also Ma projektiver B  -Modul, dessen Rang man als rang(Ma ) = 1 bestimmt. Weiterhin ist die Abbildung Spec (B  ) → Spec (A ) surjektiv, also flach. Damit ist  B /A glatt, und alle Fasern u are Variet¨ aten der Dimension 1, ¨ber a = 0 sind regul¨ erf¨ ullen also die Bedingungen (i) und (ii) f¨ ur algebraische Familien. F¨ ur die Faser bei a = 0 u uft man dann direkt (mit einem Computeralgebra¨berpr¨ system), dass die Bedingungen (i) und (ii) an die Faser erf¨ ullt sind. (Die Faser hat eine eingebettete Prim¨ arkomponente der Dimension 0). 

Beispiel 6.14.2 Es sei X = Spec (k[x, y, t]/I) und I = (ty − x2 ) sowie f : X → T mit T = Spec (k[t]). Dann ist f : X → T keine algebraische Familie, da die Be  dingung ii) f¨ ur t = 0 nicht erf¨ ullt ist: Es ist X0 = Spec k[x, y, t]/(ty − x2 , t) =   Spec k[x, y]/(x2 ) . Die Faser X0 tritt also mit Multiplizit¨ at 2 auf.

6.14 Algebraische Familien

6.14.2

497

Algebraische Familien von Divisoren

Es sei X ein Schema vom endlichen Typ u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k und T eine nichtsingul¨ are Kurve u ¨ber k, also eine eindimensionale, nichtsingul¨ are Variet¨ at u ¨ber k. Die Projektion q : X ×k T → T ist dann eine flache Abbildung mit den Fasern (X ×k T )t , die wir einfach Xt nennen. Es ist dann nat¨ urlich Xt ∼ ur alle = X f¨ abgeschlossenen Punkte t ∈ T . Wir wollen jetzt den Begriff algebraische Familie von Divisoren u ¨ber T definieren. Eine solche Familie ist ein effektiver Cartier-Divisor D auf X ×k T , der eine Zusatzbedingung erf¨ ullt, die wir im Folgenden beschreiben: Es sei zun¨ achst P ∈ Xt ein beliebiger abgeschlossener Punkt in X × T . Dann existiert eine offene, affine Umgebung U ⊆ X × T mit P ∈ U , auf der D durch ein Element f ∈ Γ(U, OX×T ) beschrieben wird, das ein Nichtnullteiler in Γ(U, OX×T ) ist. Es sei nun m¨ oglich, U so zu w¨ ahlen, dass das Bild f¯ von f in Γ(U ∩ Xt , OXt ) ebenfalls ein Nichtnullteiler ist. Definition 6.14.2 Ist diese Bedingung f¨ ur alle P ∈ Xt erf¨ ullt, so nenne man den durch die f¯ auf Xt definierten Divisor Dt und sage, Dt ist u ¨ber t definiert. Ist nun Dt u ur alle t ∈ T definiert so nennen wir D bzw. die Dt eine ¨ber t f¨ algebraische Familie von Divisoren u  ¨ber T . Proposition 6.14.1 Es sei in den Bezeichnungen von oben D ein effektiver Cartier-Divisor auf X × T. Dann ist ¨ aquivalent: a) D definiert eine algebraische Familie von Divisoren u ¨ber T . b) D aufgefasst als Unterschema D ⊆ X × T ist bez¨ uglich der Einschr¨ ankung von q : X × T → T auf D u ¨ber T flach. Beweis. Es sei U ⊆ X × T wie oben, offen, affin mit U = Spec (B) und q(U ) ⊆ V mit V ⊆ T offen, affin und V = Spec (A). Weiter sei P ∈ U ∩ Xt wie oben, also q(P ) = t mit einem abgeschlossenen Punkt t ∈ T . Es sei nun f ∈ B mit f Nichtnullteiler in B der Repr¨ asentant von D u ¨ber U . Weiter sei m ⊆ A das zu t geh¨ orige Ideal. Es ist Am ein diskreter Bewertungsring, also mAm = (a)m . Es geh¨ ort dann zu Xt ∩ U der Ring B  = (B/aB)m . Da B u ¨ber A ·a ·a flach ist, folgt aus 0 → Am −→ Am auch 0 → Bm −→ Bm . Die Bedingung, dass f in B  einen Nichtnullteiler induziert, ist also ¨ aquivalent zu a, f ist eine regul¨ are Folge in Bm . Dies ist wiederum ¨ aquivalent zu a, f ist eine regul¨ are Folge in allen Bn mit n ⊆ B maximal und n ∩ A = m, also in den n ∈ maxspec (Bm ). Ein solches n kann f enthalten oder nicht. Ist f ∈ / n, dann ist f¯ eine Einheit in (B/aB)n , also a, f trivialerweise eine regul¨ are Folge.

498

6 Schemata II

Es ist also die Definiertheit von Dt auf U ¨ aquivalent zu a, f ist eine regul¨ are Folge in Bn f¨ ur alle n ⊇ (mB, f ). Da Bn ein lokaler Ring ist, ist a, f regul¨ ar ¨ aquivalent zu f, a regul¨ ar. Da f selbst kein Nullteiler in Bn ist, ist dies also ¨ aquivalent zu 0 → ·a (B/f B)n −→ (B/f B)n . Dies ist aber ¨ aquivalent zu (B/f B)n flach u ¨ber Am , also, indem man alle n u aquivalent zu B/f B flach u ¨ber (m, f ) heranzieht, ¨ ¨ber A. Das ist aber genau die Aussage, dass D als Unterschema flach u  ¨ber T ist.

6.15

Serre-Dualit¨ at

6.15.1

Dualit¨ at f¨ ur Pnk

Proposition 6.15.1 Es sei X = Pn orper k. Es sei ΩX|k die ¨ber einem K¨ k der projektive Raum u kanonische Differentialgarbe und ωX =

n 

ΩX|k ∼ = OX (−n − 1)

die dualisierende Garbe. Weiter sei F eine koh¨ arente Garbe auf X. Dann gilt: 1. Die Paarung t : HomOX (F, ωX ) × H n (X, F) → H n (X, ωX ) = k ist nicht ausgeartet und induziert einen Isomorphismus ∼

θ0 : HomOX (F, ωX ) → H n (X, F) .

(6.178)

2. Der Isomorphismus aus (6.178) verl¨ angert sich zu einer Familie von Isomorphismen ∼ θi : Exti (F, ωX ) → H n−i (X, F) (6.179) f¨ ur i = 1, . . . , n. Dabei stehe M  f¨ ur den k-dualen Modul Homk (M, k). Beweis. Wir zeigen zun¨ achst (6.178). Dazu betten wir F in eine Sequenz E → E → F → 0 (6.180)   OX (−di ). ein. In dieser ist E = OX (−di ) und E = Wir zeigen die Richtigkeit von (6.178) f¨ ur F = OX (d). Also: HomOX (OX (d), ωX ) = HomOX (OX , OX (−n − 1 − d)) = H 0 (X, OX (−n − 1 − d)). Andererseits ist nach einem der Grunds¨ atze f¨ ur die Kohomologie projektiver R¨ aume H n (X, OX (d)) = H 0 (X, OX (−n − 1 − d)) und M  = M . Damit ist die Dualit¨ at f¨ ur OX (d) und somit auch f¨ ur E und E nachgewiesen.

6.15 Serre-Dualit¨ at

499

Das Diagramm HomOX (E , ωX ) o



HomOX (E, ωX ) o

∼ =

H (X, E ) o n



∼ =

H (X, E) o

 

n

HomOX (F, ωX ) o





(6.181)

θ

H (X, F) o n

0

0

zeigt die gew¨ unschte Isomorphie θ0 . Um jetzt (6.179) zu zeigen, erkennen wir, dass F → Exti (F, ωX ) und F → H n−i (X, F) beides δ-Funktoren auf der abelschen Kategorie der koh¨ arenten OX Moduln sind. Sie stimmen nach dem eben Gezeigten in i = 0 u ¨berein, sind dann linksexakt und kontravariant. Beide δ-Funktoren sind ausl¨ oschbar. Man w¨ ahle n¨ amlich eine Surjektion E → F → 0  mit E = OX (−di ) und di  0. Es ist dann H n−i (X, OX (−d)) = 0 f¨ ur alle i > 0 und ExtiOX (OX (−d), ωX ) = ExtiOX (OX , OX (−n − 1 + d)) = H i (X, OX (−n − 1 + d)) = 0 f¨ ur alle i > 0. F¨ ur i = n gilt dies wegen H n (X, OX (−n − 1 + d)) = H 0 (X, OX (−d)) = 0 f¨ ur d  0. Also handelt es sich um universelle δ-Funktoren, die somit kanonisch isomorph sind. 

6.15.2

Dualit¨ at f¨ ur projektive Schemata

Definition 6.15.1 Es sei X/k ein projektives Schema der Dimension n. Es existiere ein OX -Modul o ωX mit den Eigenschaften: o 1. Es gibt einen Morphismus t : H n (X, ωX ) → k.

2. Die Paarung o o HomOX (F, ωX ) × H n (X, F) → H n (X, ωX )→k

(6.182)

ist nicht ausgeartet. o Dann heißt ωX eine dualisierende Garbe f¨ ur X und t eine Spurabbildung.



Bemerkung 6.15.1 Eine dualisierende Garbe ist durch diese universelle Eigenschaft eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus definiert. o  Ist ωX eine zweite dualisierende Garbe, so ist o  o ∼ o   HomOX (ωX , ωX ) = H n (X, ωX )

und o o  ∼ o  HomOX (ωX , ωX ) = H n (X, ωX ) .

500

6 Schemata II

o   o  Die Spurabbildungen t ∈ H n (X, ωX ) und t ∈ H n (X, ωX ) induzieren so ein o  o o o  Paar von Isomorphismen aus HomOX (ωX , ωX ) und HomOX (ωX , ωX ).

Es sei im Folgenden immer X/k ein projektives Schema der Dimension n mit N einer Einbettung i : X → PN k . Die Kodimension von X in P = Pk sei r, also n = N − r. Wir setzen nun o ωX = ExtrOP (i∗ OX , ωP ) und wollen zeigen, dass es sich dabei um eine dualisierende Garbe auf X handelt. Wir ben¨ otigen zwei Lemmata: Lemma 6.15.1 (Lemma A) Es ist ExtjOP (i∗ OX , ωP ) = 0 f¨ ur j < r. Beweis. Es ist H 0 (P, ExtjOP (i∗ OX , ωP )(d)) = ExtjOP (i∗ OX , ωP (d)) = = ExtjOP (i∗ OX (−d), ωP ) = H N −j (P, i∗ OX (−d)) = H N −j (X, OX (−d)) f¨ ur alle d  d0 . Die letzte Kohomologie verschwindet f¨ ur j < r, denn dim X = N − r. Nun w¨ ahle man d so, dass auch noch ExtjOP (i∗ OX , ωP )(d) von globalen Schnitten erzeugt ist. 

Lemma 6.15.2 (Lemma B) Es gibt einen kanonischen Isomorphismus: o HomOX (F, ωX ) = HomOX (F, ExtrP (i∗ OX , ωP )) = ExtrP (i∗ F, ωP )

(6.183)

Beweis. W¨ ahle eine injektive Aufl¨ osung 0 → ωP → J• von ωP als OP -Modul. Dann ist ExtjOP (i∗ OX , ωP ) = hj (HomOP (i∗ OX , J• )) = = hj (HomOX (OX , i! J• )) = hj (i! J) = Rj i! ωP . (6.184) alt er Da der Funktor i! (−) rechtsadjungiert zum exakten Funktor i∗ (−) ist, erh¨ injektive Objekte. Wir haben daher eine Grothendieck-Spektralsequenz ExtpOX (F, Rq i! ωP ) ⇒ Extp+q (i∗ F, ωP ) P aus der Verkettung der Funktoren F (−) = HomOX (F, −) und G(−) = i! (−) zu F ◦ G(−) = HomOX (F, i! (−)) = HomP (i∗ F, −) angewandt auf ωP . Nach Lemma A ist Rq i! ωP = 0 f¨ ur q = 0, . . . , r − 1. Damit liest man aus den Eintr¨ agen der Spektralsequenz mit p + q = r die Beziehung HomOX (F, Rr i! ωP ) = ExtrP (i∗ F, ωP ) direkt ab.



6.15 Serre-Dualit¨ at

501

Es gilt nun f¨ ur unser obiges i : X → PN k = P: o HomOX (F, ωX ) = ExtrOP (i∗ F, ωP ) = H N −r (P, i∗ F) = H n (X, F)

(6.185)

Damit ist der Grundisomorphismus o θ0 : HomOX (F, ωX ) → H n (X, F)

(6.186)

gezeigt. o  o o o Weiterhin ist H n (X, ωX ) = HomOX (ωX , ωX ). Das Element idωX ∈ o n o o HomOX (ωX , ωX ) definiert also ein Element aus H (X, ωX ) → k, n¨ amlich die Spurabbildung o t : H n (X, ωX ) → k. Dass diese wirklich eine nichtausgeartete Paarung t

o o HomOX (F, ωX ) × H n (X, F) → H n (X, ωX )− →k

erzeugt, ist noch einzusehen. Man betrachte dazu das Diagramm: o Hom(F, ωX ) × H n (X, F)

o / H n (X, ωX )

0 θF ×idH n (X,F)

 H n (X, F) × H n (X, F)

 /k

(6.187)

0 θω o (idω o ) X X

Es kommutiert wegen der funktoriellen Identit¨ at . /

0 n 0 o (idω o ) ◦ H (X, ϕF ) h = o (idω o ) H n (X, ϕF ) θω h= θω X X X X 0 0 0 o )(idω o )) h = θ (idω o ◦ ϕ ) h = θ (ϕ ) h , (6.188) θF (Hom(ϕF , idωX F F F F X X o die man f¨ ur ϕF ∈ HomOX (F, ωX ) und h ∈ H n (X, F) im Diagramm

o o , ωX ) Hom(ωX

0 θω o

X

o  / H n (X, ωX )

Hom(ϕF ,idωo )

 o Hom(F, ωX )

X

0 θF

(6.189)

H n (X,ϕF )

 / H n (X, F)

abliest. Um das folgende Theorem zu beweisen, brauchen wir noch zwei Lemmata: Lemma 6.15.3 Es sei (A, m) ein noetherscher regul¨ arer lokaler Ring mit dim A = n. Weiter sei M ein endlich erzeugter A-Modul mit ExtjA (M, A) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , n. Dann ist M ein projektiver, also freier A-Modul.

502

6 Schemata II

Beweis. Wir zeigen ExtjA (M, N ) = 0 f¨ ur alle endlich erzeugten A-Moduln N durch Induktion u ¨ber pdA N . Es sei pdA N = i und 0 → Ni → Ni−1 → · · · → N0 → N → 0 eine projektive Aufl¨ osung von N . Weiter sei (∗)

0 → N  → N0 → N → 0

der Anfang der Aufl¨ osung und damit auch pdA N  = i − 1. Der projektive Modul N0 ist frei, also ist stets ExtjA (M, N0 ) = 0 nach Voraussetzung f¨ ur alle j  1. Aus (∗)  entnehmen wir daher ExtjA (M, N ) = Extj+1 (M, N ) f¨ u r alle j  1 und f¨ uhren damit A den Induktionsschluss u ¨ber pdA N . Also ist insbesondere auch ExtjA (M, A/p) = 0 f¨ ur alle Primideale p ⊆ A und alle j  1. Nach einem fr¨ uheren Satz ist dann M projektiv. 

Lemma 6.15.4 Es sei (A, m) ein noetherscher regul¨ arer lokaler Ring mit dim A = n. Weiter sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann ist ¨ aquivalent: a) F¨ ur die Projektivdimension von M gilt: pdA M = d. b) Es ist ExtjA (M, A) = 0 f¨ ur j > d und ExtdA (M, A) = 0. Beweis. Der Satz ist f¨ ur pdA M = 0 nach vorigem Lemma richtig. Wir zeigen ihn durch Induktion u ¨ber pdA M . Es sei jetzt 0 → Mi → Mi−1 → · · · → M0 → M → 0 eine minimale projektive Aufl¨ osung von M und (∗)

0 → M  → M0 → M → 0

ihr Anfang. Es ist dann insbesondere pdA M  = pdA M − 1. Da M0 ein freier A-Modul ist, entnehmen wir aus (∗) die Beziehungen ExtjA (M  , A) = Extj+1 A (M, A) ¨ f¨ ur alle j  1. Damit ist die behauptete Aquivalenz des Lemmas durch Induktion gezeigt. 

Theorem 6.15.1 Es sei X ein projektives Schema mit i : X → PN wie oben eingef¨ uhrt. Dann gilt: 1. F¨ ur jeden koh¨ arenten OX -Modul F gibt es kanonische Abbildungen o θi : ExtiOX (F, ωX ) → H n−i (X, F)

mit i = 1, . . . , n als Fortsetzungen von θ0 . 2. Es ist ¨ aquivalent:

6.15 Serre-Dualit¨ at

503

a) X ist ein equidimensionales Cohen-Macaulayschema der Dimension n = N − r. b) F¨ ur jedes Vektorb¨ undel, also jeden lokal freien koh¨ arenten OX -Modul, F auf X ist H i (X, F(−q)) = 0 (6.190) f¨ ur i = 0, . . . , n − 1 und q  0. ur i = 1, . . . , n sind Isomorphismen. c) Die Abbildungen θi f¨ o Beweis. Die Funktoren F → ExtiOX (F, ωX ) und F → H n−i (X, F) sind δ-Funktoren auf der Kategorie der koh¨ arenten OX -Moduln, die f¨ ur i = 0 mit θ0 isomorph und beide linksexakt und kontravariant sind. i o oschbar, wobei E = Der Funktor ExtOX (F, ωX ) ist durch E → F → 0 ausl¨ OX (−di ) ist. Man hat ja o o o ExtiOX (OX (−di ), ωX ) = ExtiOX (OX , ωX (di )) = H i (X, ωX (di )) .

(6.191)

o W¨ ahlt man di  0, so werden alle H i (X, ωX (di )) = 0 f¨ ur i > 0, und mithin ist auch o ExtiOX (E, ωX ) = 0. Dass man in der Ausl¨ oschungssequenz die di beliebig groß w¨ ahlen kann, ist klar. Also ist der Ext-Funktor universell, und die behaupteten Abbildungen existieren. Gilt nun die Aussage c), sind also die θi alle Isomorphismen, so sind f¨ ur ein Vektorb¨ undel F alle o H i (X, F(−q)) = Extn−i OX (F(−q), ωX ) = ∨ o n−i o = Extn−i (X, F∨ ⊗ ωX (q)) . (6.192) OX (OX , F ⊗ ωX (q)) = H o (q)) = 0 f¨ ur i < n und q  0, weil gen¨ ugend hohe Es ist aber dann H n−i (X, F∨ ⊗ ωX Vertwistungen koh¨ arenter Garben verschwindende Kohomologie haben. Also folgt b) aus c).  Gilt umgekehrt b), so ist f¨ ur alle E = OX (−di ) mit dem E aus der Ausl¨ oschungssequenz oben: H n−i (X, E) = 0 f¨ ur i > 0, wenn alle di  0 sind. Also ist F → H n−i (X, F) ausl¨ oschbar, damit universell, und alle θi sind Isomorphismen. ¨ Wir haben also jetzt die Aquivalenz von b) und c) gezeigt. ¨ Es bleibt die Aquivalenz von a) und b): Es ist ¨ aquivalent H p (X, F(−d)) = 0 mit

H p (PN , i∗ F(−d)) = 0 −p f¨ ur p = 0, . . . , n − 1. Letzteres ist ¨ aquivalent zu ExtN ur p = OP (i∗ F(−d), ωP ) = 0 f¨ q 0, . . . , n − 1, also ExtOP (i∗ F(−d), ωP ) = 0 f¨ ur q = r + 1, . . . , N . Nun ist f¨ ur gen¨ ugend große d  0

ExtqOP (i∗ F(−d), ωP ) = ExtqOP (i∗ F, ωP (d)) = Γ(PN , ExtqOP (i∗ F, ωP (d))) ,

(6.193)

und die Garbe ExtqOP (i∗ F, ωP (d)) ist f¨ ur alle gen¨ ugend großen d  0 von globalen Schnitten erzeugt. Also ist ExtqOP (i∗ F(−d), ωP ) = 0 f¨ ur alle gen¨ ugend großen d ur alle gen¨ ugend großen d  0. aquivalent mit ExtqOP (i∗ F, ωP (d)) = 0 f¨ ¨ Nun ist aber ExtqOP (E, G)x = ExtqOP,x (Ex , Gx ) .

504

6 Schemata II

Also ist b) ¨ aquivalent zu (∗)

ExtqOP,x (i∗ Fx , (ωP (d))x ) = 0

f¨ ur alle q = r + 1, . . . , N und d  0. Es sei nun f¨ ur x ∈ X, abgeschlossener Punkt, immer A = OP,x und A/a = OX,x sowie M = i∗ Fx . Dann ist b) wegen (∗) und Lemma 6.15.4 ¨ aquivalent zu pdA M  r, also zu depthA M  N − r = n. Andererseits ist M ein freier A/a-Modul, so dass depthA M  n ¨ aquivalent zu depthA/a A/a  n ist. Wegen n  dim A/a  depthA/a A/a  n ist dies sogar aquivalent mit X ist n-equidimensionales Cohen-Macaulayschema“. ¨ ” 

Theorem 6.15.2 Es sei X ⊆ PN andiger k ein r-kodimensionales Unterschema und lokal vollst¨ Durchschnitt. Es sei n = N −r = dim X und X = V (I). Dann gilt die Gleichheit o ∼ ωX = ωP|k ⊗

r 

(I/I2 )∨ .

(6.194)

Beweis. F¨ ur einen abgeschlossenen Punkt x ∈ X ist OX,x = OP,x /(f1 , . . . , fr ). Da OP,x C.M. Ring, ist f1 , . . . , fr ∈ OP,x eine regul¨ are Folge in OP,x , und OX,x ist auch ein C.M. Ring mit dim OX,x = N − r = n. o Also ist X ein equidimensionales C.M.-Schema, und man hat ωX = ExtrOP (OX , ωP ). Da der Koszul-Komplex K• (fi , OP,x ) exakt ist und aus noetherschen Moduln besteht, ist er auch in einer geeigneten affinen Umgebung U  x von x exakt. Es sei also U = Spec (A) und X ∩ U = V (I) mit I = (f1 , . . . , fr ) und f1 , . . . , fr eine regul¨ are Folge f¨ ur A. Der Koszul-Komplex K• (f1 , . . . , fr ) → A/I → 0 ist also eine projektive Aufl¨ osung von A/I, und es ist I/I 2 ein lokal freier A/I-Modul vom Rang r. Es ist dann ExtrOP (OX , ωP )|U = (hr (HomA (K• (f1 , . . . , fr ), A)) ⊗A L),  = ωP |U ist. wobei L Nun ist hr (HomA (K• (f1 , . . . , fr ), A)) = A/(f1 , . . . , fr ) = A/I. ahlt man statt

W¨ f1 , . . . , fr eine regul¨ are Folge g1 , . . . , gr ∈ I als Basis mit fi = aji gj , so hat man einen Morphismus von Koszul-Komplexen: K• (fi )



ϕ•

/ A/I

/0

(6.195)

=

K• (gi )

 / A/I

/0

  Ist K1 (f1 , . . . , f

r ) = Ae1 + · · · + Aer und K1 (g1 , . . . , gr ) = Ae1 + · · · + Aer , so wird j  ϕ1 durch ei → ai ej gebildet. Entsprechend ist ϕr : Kr (f ) → Kr (g) gegeben durch

ϕr =

r 

ϕ1 = det(aji ) .

( Andererseits transformiert sich r I/I 2 mit det(aji + I), wenn man von I = (g1 , . . . , gr ) zu I = (f1 , . . . , fr ) u ¨bergeht, denn es ist (f1 + I 2 ) ∧ · · · ∧ (fr + I 2 ) = det(aji + I)(g1 + I 2 ) ∧ · · · ∧ (gr + I 2 ) .

6.15 Serre-Dualit¨ at

505

( ¨ Also transformiert sich HomA/I ( r I/I 2 , A/I) mit det(aji + I) beim Ubergang von I = (f1 , . . . , fr ) nach I = (g1 , . . . , gr ). Dies ist dieselbe Varianz, wie oben bei ϕr beobachtet. Es ist also r     2 r ExtOP (OX , ωP )|U = HomA/I I/I , A/I ⊗A L , also global ExtrOP (OX , ωP ) =

r  (I/I2 )∨ ⊗ ωP .



Korollar 6.15.1 Es sei X eine regul¨ are projektive Variet¨ at mit dim X = n u ¨ber einem algebraisch n o abgeschlossenen K¨ orper k. Dann ist ωX = ωX = ΩX|k . Beweis. Es ist X = V (I) ⊆ PN andiger Durchschnitt und erf¨ k ein lokal vollst¨ ( (ullt daher die Bedingungen des vorigen Theorems. Weiterhin ist N −n I/I2 ⊗OX n ΩX|k = (N ΩPnk |k = ωPN .  k

6.15.3

Explizite Berechnung von Kohomologiegruppen

Den elementaren Dualit¨ atssatz 6.15.1, in dem (6.178) auch f¨ ur einen beliebigen noetherschen Ring k = A gilt, kann man nutzen, um H i (X, F) f¨ u r X = Pn A , mit A noetherscher Ring, und i = 0, . . . , n f¨ ur eine koh¨ arente Garbe F auf X zu berechnen. Man geht dazu wie folgt vor: Man findet einen endlich erzeugten S-Modul M f¨ ur S = A[x0 , . . . , xn ], f¨ ur  = F gilt. Man bestimmt eine freie Aufl¨ den M osung von M mit m  n: F m+1 → F m → · · · → F 1 → F 0 → M → 0  Jedes F i ist dabei von der Form S(−dij ), wobei die dij > 0 gew¨ ahlt werden k¨ onnen. Aus der langen exakten Kohomologiesequenz 0 → H 0 (X, F ) → H 0 (X, F) → H 0 (X, F ) → → H 1 (X, F ) → · · · → → H n (X, F ) → H n (X, F) → H n (X, F ) → 0

(6.196)

liest man ab, dass f¨ ur koh¨ arente Garben F auf X der Funktor F → H n (X, F) kovariant und rechtsexakt ist. Sein i-ter derivierter Funktor ist H n−i (X, F) mit H i (X, F) = 0 f¨ ur i < 0. Er ist ausl¨ oschbar, da einerseits H n−i (X, E) = 0  f¨ ur i > 0 und E = j OX (−dj ) mit dj > 0. Andererseits existiert stets eine Surjektion E → F → 0 f¨ ur ein geeignetes solches E.

506

6 Schemata II

Insbesondere sind die Garben F p auch azyklisch f¨ ur H n−i (X, F). Also gilt H n−i (X, F) = hi (H n (X, F • )) = = hi (HomO (F • , OX (−n − 1)) ) = hi (HomS (F • , S(−n − 1))0 ) X

(6.197)

ur HomA (M, A) f¨ ur einen A-Modul M . Die f¨ ur i = 0, . . . , n. Dabei stehe M  f¨  zweite Gleichheit folgt aus M = M f¨ ur freie A-Moduln, wie es die H n (X, F p ) sind, und aus der allgemeinen Dualit¨ at f¨ u r Pn A. Notiz 6.15.1 Der Modul HomS (M, N ) ist f¨ ur gradierte S-Moduln M , N selbst Z-gradiert. Mit HomS (M, N )0 ist seine Komponente vom Grad 0 gemeint. F¨ ur diese Komponente gilt, wie im Folgenden immer benutzt: HomOX (OX (k), OX (l)) = HomOX (OX , OX (l − k)) = = Γ(X, OX (l − k)) = Sl−k = HomS (S(k), S(l))0 Die HomS (F i , S(−n − 1))0 sind freie A-Moduln von endlichem Rang, denn es ist ja   HomS (S(−dij ), S(−n − 1))0 ∼ = S(−n − 1)dij = Sdij −n−1 . Die Abbildungen zwischen diesen Moduln gehen auf explizit bestimmbare Weise  aus den Abbildungen F i → F i−1 hervor. Es sei n¨ amlich F i = k S(−dik ) und  F i−1 = j S(−di−1,j ). Es gelte  k

/  S(−di−1,j ) j

S(−dik )

 S(−dik )

·pjk

 / S(−di−1,j )

mit Polynomen pjk vom Grad deg(pjk ) = −di−1,j + di,k . Man hat dann weiter HomS (

 k

HomS (S,

S(−dik ), S(−n − 1))0 o  k

HomS (

 S(dik − n − 1))0 o

 Sdik −n−1 o

 j

Hom(S,

S(−di−1,j ), S(−n − 1))0



·pjk

und schließlich die Dualisierung dazu: pjk

Sd ik −n−1 −−→ Sdi−1,j −n−1

j

 S(di−1,j − n − 1))0

 Sdi−1,j −n−1

6.15 Serre-Dualit¨ at

6.15.4

507

Bottsche Formel

Lemma 6.15.5 Es sei X ein Schema und E ein lokal freier OX -Modul vom Rang n. Dann ist p n−p n    E⊗ E= E oder auch f¨ u r E∨ :

p 

E∨ =

n−p 

E⊗

n 

(6.198)

E∨

(6.199)

Lemma 6.15.6 orper A. Es sei X = PrA der projektive Raum u ¨ber einem K¨ Dann ist r−q H q (X, ΩpX|A (k)) ∼ (X, Ωr−p =H X|A (−k)) .

(6.200)

Beweis. Es ist p r  H q (X, ΩpX|A (k)) = Extr−q OX (ΩX|A (k), ΩX|A ) =  ∨  p = Extr−q (−k) ⊗ ΩrX|A ) = H r−q (X, Ωr−p OX (OX , ΩX|A X|A (−k)) , (6.201)

wobei die letzte Gleichheit aus dem vorigen Lemma f¨ ur E = ΩX|A und n = r folgt. 

Proposition 6.15.2 (Bottsche Formel) Es sei X = PrA der projektive Raum u orper A. Weiter sei ΩpX|A = ¨ber einem K¨ p ΩX|A . Dann existieren exakte Sequenzen: ⊕(r+1) 0 → ΩpX|A (p) → OX p → Ωp−1 X|A (p) → 0 ,

(6.202)

und es ist 1. H q (X, ΩpX|A (k)) = A f¨ ur 0  q = p  r und k = 0, 2. H 0 (X, ΩpX|A (k)) = Ah0pk f¨ ur k > p und h0pk =

k+r−pk−1

3. H r (X, ΩpX|A (k)) = Ahrpk f¨ ur k < p − r mit hrpk =

k

p

,

−k+p−k−1 −k

r−p

,

4. H q (X, ΩpX|A (k)) = 0 sonst. Beweis. Man betrachte die exakte Sequenz (5.136) 0 → ΩpX|A →

p 

E → Ωp−1 X|A → 0

( ⊕ r+1 mit E = OX (−1)⊕(r+1) . Es ist dann p E = OX (−p) ( p ) , und durch Vertwisten mit OX (p) entsteht die Sequenz (6.202).

508

6 Schemata II

Wir beginnen jetzt, diese Sequenzen auszuwerten mit p = r + 1, also ΩrX|A (r + 1) = OX oder ΩrX|A (k) = OX (k − r − 1). Es ist dann H

r



(X, ΩrX|A (k))

= H (X, OX (k − r − 1)) = r

−k + r r



 =

−k + r −k

 = hrrk ,

wie oben angegeben f¨ ur k < r−r = 0. F¨ ur k > 0 ist H r (X, ΩrX|A (k)) = H r (X, OX (k− r − 1)) = 0, wie behauptet, und schließlich ist auch H r (X, ΩrX|A ) = H r (X, OX (−r − 1)) = A. Weiterhin ist     k−r−1+r k−1 0 r 0 H (X, ΩX|A (k)) = H (X, OX (k − r − 1)) = = = h0rk , r r wie oben angegeben f¨ ur k > r. F¨ ur k  r ist H 0 (X, ΩrX|A (k)) = H 0 (X, OX (k − r − 1)) = 0. Damit ist der Satz f¨ ur p = r und alle ganzen q, k gezeigt. Als n¨ achstes nehmen wir uns p = r − 1 vor und benutzen die Sequenz: 0 → ΩrX|A (k + r) → OX (k)⊕r+1 → Ωr−1 X|A (k + r) → 0 Es ergibt sich als Teil der zugeh¨ origen langen exakten Kohomologiesequenz: r r r r+1 0 → H r−1 (X, Ωr−1 ) X|A (k + r)) → H (X, ΩX|A (k + r)) → H (X, OX (k)

Ist nun k + r  0, also k  −r, so ist H r (X, OX (k)) = 0, man hat also f¨ ur k  0 den Isomorphismus  A f¨ ur k = 0 , r−1 r−1 r r H (X, ΩX|A (k)) = H (X, ΩX|A (k)) = 0 f¨ ur k > 0 . Mit den Sequenzen ⊕ r+1 0 → ΩjX|A (k) → OX (k − j) ( j ) → Ωj−1 X|A (k) → 0

erhalten wir f¨ ur j = r − 1, r − 2, . . . , 2 H

j−1

j−1 (X, ΩX|A (k))

=H

j

(X, ΩjX|A (k))

 =

A 0

f¨ ur k = 0 , f¨ ur k > 0 ,

(6.203)

da die Kohomologien der mittleren Terme im durchlaufenen Bereich der j verschwinden. Insbesondere ist  A f¨ ur k = 0 , 1 1 H (X, ΩX|A (k)) = 0 f¨ ur k > 0 . Nun ist aber wegen der Serre-Dualit¨ at in der Form des vorigen Lemmas auch r−1 (X, Ωr−1 H 1 (X, Ω1X|A (k)) ∼ =H X|A (−k)) .

6.15 Serre-Dualit¨ at

509

So finden wir schließlich H r−1 (X, Ωr−1 ur k < 0 und damit zusammengefasst X|A (k)) = 0 f¨  H

r−1

(X, Ωr−1 X|A (k))

=

A 0

f¨ ur k = 0 , sonst.

Nach der obigen Gleichung (6.203) f¨ ur j = r − 1, r − 2, . . . , 2 und jetzt f¨ ur beliebige k ergibt sich daraus  A f¨ ur k = 0, j j H (X, ΩX|A (k)) = 0 sonst f¨ ur j = 1, . . . , r − 1. Nun betrachten wir wieder die Sequenz 0 → ΩpX|A (k) → E → Ωp−1 X|A (k) → 0 ur j = 1, . . . , r − 1. So ergibt sich mit H j (X, E) = 0 f¨ j p H j−1 (X, Ωp−1 X|A (k)) = H (X, ΩX|A (k))

(6.204)

f¨ ur j = 2, . . . , p − 1. F¨ ur p = r steht rechts immer die Null, und es ist damit H j (X, Ωr−1 X|A (k)) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , r − 2. Es sei nun H j (X, ΩpX|A (k)) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , p − 1 und f¨ ur ein p > 2 schon gezeigt. Mit demselben Schluss und (6.204) folgt dann H j (X, Ωp−1 X|A (k)) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , p − 2. r−1 j Wegen H j (X, ΩpX|A (k)) = H r−j (X, Ωr−p X|A (−k)) erhalten wir aus H (X, ΩX|A (k)) = j 1 0 f¨ ur j = 1, . . . , r − 2 und alle k auch H (X, ΩX|A (k)) = 0 f¨ ur j = 2, . . . , r − 1 und alle k. Ebenso entsteht aus H j (X, Ωr−2 ur j = 1, . . . , r − 3 und alle k die BezieX|A (k)) = 0 f¨ j 2 hung H (X, ΩX|A (k)) = 0 f¨ ur j = 3, . . . , r − 1 und alle k. Wir k¨ onnen dies induktiv immer fortsetzen, und es ergibt sich damit f¨ ur j = 1, . . . , r − 1:  A f¨ ur p = j und k = 0 , j p H (X, ΩX|A (k)) = (6.205) 0 f¨ ur p = j und k beliebig Es bleibt noch, H 0 (X, ΩpX|A (k)) und H r (X, ΩpX|A (k)) f¨ ur beliebige p, k zu ermitteln. Wir beginnen mit ⊕ r+1 0 → ΩpX|A (k) → OX (k − p) ( p ) → Ωp−1 X|A (k) → 0

und entnehmen der langen exakten Kohomologiesequenz: (∗)

⊕ r+1 0 → H 0 (X, ΩpX|A (k)) → H 0 (X, OX (k − p) ( p ) ) → 1 p → H 0 (X, Ωp−1 X|A (k)) → H (X, ΩX|A (k))

(6.206)

Wir nehmen p  1 an und setzen voraus, dass die Formeln im Satz f¨ ur p − 1 bereits bewiesen sind. Zun¨ achst ist dann (∗∗)

H 1 (X, ΩpX|A (k)) = 0

510

6 Schemata II

f¨ ur p > 1. Im Fall k < p ist H 0 (X, ΩpX|A (k)) = 0 f¨ ur alle p, weil H 0 (X, OX (k −p)) = 0. Ist p  1 und k = p, so ist (∗∗) ebenfalls erf¨ ullt, und aus der Gleichheit der R¨ ange des zweiten und dritten Terms in (∗)      r+1 p+r−p+1 p−1 = p p p−1 folgt sofort H 0 (X, ΩpX|A (p)) = 0. Es bleiben also jetzt nur die F¨ alle k > p und p  1. Da (∗∗) hier immer gilt, ist lediglich die Identit¨ at          r+1 k−p+r k+r−p+1 k−1 k+r−p k−1 − = p r k p−1 k p nachzuweisen. at. Die F¨ alle H r (X, ΩpX|A (k)) folgen dann mit der Serre-Dualit¨

6.16



Formale Funktionen f

Sei X → Y eine Schemaabbildung, y ∈ Y ein Punkt und F ∈ Qco(X) eine quasikoh¨ arente Garbe. Betrachte dann folgendes kartesische Diagramm Xo

vn

Xn

f

 Y o



pn

(6.207)

fn

OY,y /mn y

f¨ ur jedes n ∈ N. Es existiert dann eine kanonische Abbildung γ n : p∗n Ri f ∗ F Ri f∗ F ⊗ OY,y /mn y

γn

/ Ri fn ∗ vn∗ F ∗ H i (Xn , vn F)

H i (Xn , Fn )

(6.208)

6.16 Formale Funktionen

511

Man kann zwei Diagramme (6.207) zu einem W¨ urfel vn+1

o

?X

Xn+1 ?

(6.209)

ψ

=

fn+1

Xo

vn

Xn fn

 o ?Y

pn+1

 OY,y /mn+1 y ?

=

 Y o

φ



pn

OY,y /mn y

verbinden und erh¨ alt durch Anwendung von φ∗ auf (6.208) f¨ ur γ n+1 ∗ / φ∗ Ri f n+1∗ vn+1 F

φ∗ p∗n+1 Ri f ∗ F

(6.210)

 ∗ ∗ / Ri fn ∗ ψ ∗ vn+1 F = R i f n ∗ vn F,

p∗n Ri f ∗ F

wobei Basiswechsel mit φ und die Relationen aus (6.209) benutzt wurden. Wegen (6.210) k¨ onnen wir in (6.208) zum inversen Limes u ¨bergehen und erhalten eine wohldefinierte Abbildung 

/ lim H i (Xn , Fn ) , ←−n

γ

(Ri f ∗ F)y = lim (Ri f ∗ F ⊗ OY,y /mn y) ←−n

(6.211)

in der links die Komplettierung des OY,y -Moduls (Ri f ∗ F)y steht. Theorem 6.16.1 (Formale Funktionen) Es sei f : X → Y eine projektive Abbildung noetherscher Schemata. Weiter sei F ein koh¨ arenter OX -Modul. Dann ist die Abbildung γ von oben ein Isomorphismus. Beweis. Zun¨ achst k¨ onnen wir Y durch eine offene Umgebung Y  = Spec (A) von y ∈ Y , sowie X durch f −1 (Spec (A)) = X  und f durch f  = f |X  ersetzen. Wir nennen dieses neue Tripel von Objekten wieder Y , X, f . Weiterhin betrachten wir dann die flache Basiswechsel-Situation: X ×Y OY,y f

p1

X





OY,y f



q

Y



512

6 Schemata II

Sie erlaubt es uns, Y durch den lokalen Ring Spec (OY,y ) sowie X durch X ×Y OY,y , f durch f  und F durch F = p∗1 F = F ⊗ OY,y zu ersetzen. Dabei wird offensichtlich Ri f∗ Fy = q ∗ (Ri f∗ F) = Ri f∗ F = (Ri f∗ F )y , und i H (Xn , Fn ) bleibt auch unver¨ andert, weil die Faktorisierung OY,y /mn y → OY,y → OY (Y ) die Identit¨ at H i (Xn , Fn ) = H i (Xn , Fn ) induziert. n p Man erkennt dies auch direkt auf dem Cech-Komplex   C (U, F ⊗ Amy /my Amy ), der ¨ zu einer affinen Uberdeckung Ui0 ...ip = Spec Bi0 ...ip von X geh¨ ort. Dort kann man den Repr¨ asentanten Mi0 ...ip ⊗A Amy /mn y Amy von F ⊗ Amy /mn y Amy (Ui0 ...ip ) auch als Mi0 ...ip ⊗A Amy ⊗Amy Amy /mn y Amy schreiben. Schließlich existiert, weil f projektiv ist, ein Dreieck:

/ PrA

i

X f





f

Spec (A) Wir ersetzen nun X durch PrA und f durch f  sowie F durch i∗ F. Nun ist Ri f ∗ F = Ri f∗ i∗ F = Ri f∗ F . Man kann dies zum Beispiel aus Ri f∗ F = H i (X, F) sowie Ri f∗ i∗ F = H i (PrA , i∗ F) und H i (X, F) = H i (PrA , i∗ F) folgern. Damit ist gezeigt, dass die linke Seite von (6.211) unver¨ andert bleibt. F¨ ur die rechte Seite geht H i (X ×Y A/mn , F ⊗ A/mn ) in H i (PrA ×Y A/mn , i∗ F ⊗ A/mn ) u ¨ber. Dies ist aber gleich H i (PrA ×Y A/mn , i∗ (F ⊗ A/mn )) mit der aus i abgeleiteten Immersion i : Xn → PrA ×Y A/mn . Man erkennt dies zum Beispiel aus einem Vergleich der Cech-Komplexe, die diese Kohomologien berechnen. Nun ist aber H i (PrA ×Y A/mn , i∗ (F ⊗ A/mn )) = H i (Xn , F ⊗ A/mn ), womit gezeigt ist, dass auch die rechte Seite von (6.211) unver¨ andert bleibt. Wir zeigen nun die Behauptung durch absteigende Induktion nach dem Index i. F¨ ur i > dim X ist sie sicherlich richtig, da dann beide Seiten zu 0 werden. Sei also die Behauptung f¨ ur alle koh¨ arenten Garben und f¨ ur i + 1, i + 2, . . . bereits gezeigt. Wir betrachten nun die kurze exakte Sequenz 0→K→E→F→0

6.16 Formale Funktionen

513

und die aus ihr entspringenden exakten Sequenzen Kn → En → Fn → 0 sowie 0 → Tn → Kn → Sn → 0 und wo E =



0 → Sn → E n → F n → 0 , OX (−ni ) ist. Es entsteht dann ein Diagramm

Ri f∗ Ky



/ Ri f∗ Ey

/ Ri f∗ Fy

/ Ri+1 f∗ Ky

αi

H (Xn , Kn )n i



β1

H i (Xn , Sn )n

∼ =

 / H i (Xn , En )n

γ

i

 / H i (Xn , Fn )n

H

i+1



/ Ri+1 f∗ Ey

∼ =

(Xn , Kn )n

 / H i+1 (Xn , Sn )n β2

∼ =

 / H i+1 (Xn , En )n ,

wobei abk¨ urzend H i (Xn , Fn )n f¨ ur lim H i (Xn , Fn )n geschrieben wurde. ←−n Zun¨ achst sei festgehalten, dass β1 und β2 Isomorphismen sind, der Beweis hierf¨ ur wird am Ende nachgetragen. Die obere Zeile in diesem Diagramm ist exakt, weil Komplettierung von endlich erzeugten Moduln u ¨ber einem noetherschen Ring eine exakte Operation ist. Die untere Zeile ist exakt, weil lim eine exakte Operation ist, da in den inversen ←−n Systemen nur Artinmoduln stehen und deshalb die Mittag-Leffler-Bedingung erf¨ ullt ist. Der Isomorphismus bei E ergibt sich aus der Tatsache, dass oben und unten freie A-Moduln vom selben Rang den Operationen M → My bzw. M → lim M ⊗A A/mn ←−n unterworfen werden. i i Nun schließt man zun¨ achst ohne Wissen um α , dass γ immer surjektiv ist. Damit ist auch αi immer surjektiv, und nach dem subtilen 5-Lemma ist γ i ein Isomorphismus. Es bleibt noch zu zeigen, dass β1 , β2 Isomorphismen sind. Dies folgt aus lim H p (Xn , Tn ) = 0 ←− n

f¨ ur alle p  0. Um dies zu schlussfolgern, m¨ ussen wir nur zeigen, dass f¨ ur jedes n  0 ein m(n) > n existiert, so dass die Abbildung Tm → Tn f¨ ur alle m > m(n) die Nullabbildung ist. Da X noethersch ist, gen¨ ugt es, dies auf einer offenen, affinen Teilmenge U = Spec (B) ⊆ X zu zeigen. Auf dieser seien K, E, Tn durch die noetherschen B-Moduln K, E, Tn repr¨ asentiert. Es sei m = my das maximale Ideal in A und b = mB. Es ist dann 0 → Tn → K/bn K → E/bn E, also Tn = (K ∩ bn E + bn K)/(bn K). Das Bild Tmn = im(Tm → Tn ) ist f¨ ur m > n gleich (K ∩ bm E + bn K)/bn K. Nach dem m Artin-Rees-Lemma ist K ∩ b E ⊆ bn K f¨ ur jedes m > m(n) und damit f¨ ur solche m immer Tmn = 0. 

Bemerkung 6.16.1 Das Theorem bleibt auch f¨ ur f eigentlich richtig.

514

6 Schemata II

6.17

Halbstetigkeitss¨ atze

6.17.1

Allgemeines

Definition 6.17.1 Sei A ein noetherscher Ring, Y = Spec (A), f : X → Y ein projektiver Morphismus und F eine koh¨ arente Garbe auf X, flach u ur ¨ber Y . Dann definiere f¨ jeden A-Modul M : T i (M ) = H i (X, F ⊗A M ) f¨ ur alle i  0.



Proposition 6.17.1 Jedes T i ist ein additiver, kovarianter Funktor von A-Moduln nach A-Moduln, der in der Mitte exakt ist. Die Familie (T i )i0 ist ein δ-Funktor. Proposition 6.17.2 Mit den Annahmen von oben existiert ein Komplex L• von endlich erzeugten, freien A-Moduln, der nach oben beschr¨ ankt ist (d.h. Ln = 0 f¨ ur n  0), so dass i • T i (M ) ∼ = h (L ⊗A M )

f¨ ur alle A-Moduln M , alle i  0. Der Isomorphismus ist ein Isomorphismus von δ-Funktoren. Beim Beweis wird zun¨ achst der Cech-Komplex C • = C • (U, F) herangezogen und aus Γ(Uio ,...,ip , F ⊗A M ) = Γ(Ui0 ,...,ip , F) ⊗A M auf C • (U, F ⊗A M ) = C • ⊗A M und damit auf T i (M ) = hi (C • ⊗A M ) geschlossen. Schließlich wendet man die folgenden beiden Lemmata an: Lemma 6.17.1 Sei A ein noetherscher Ring, C • ein nach oben beschr¨ ankter Komplex von AModuln, so dass f¨ ur jedes i der Modul hi (C • ) ein endlich erzeugter A-Modul ist. Dann existiert ein Morphismus von Komplexen g : L• → C • mit einem nach oben beschr¨ ankten Komplex L• von endlich erzeugten freien A-Moduln, so dass die induzierte Abbildung hi (L• ) → hi (C • ) ein Isomorphismus f¨ ur alle i ist.

6.17 Halbstetigkeitss¨ atze

515

Beweis. Es sei wie u ¨blich di : C i → C i+1 sowie Z i = ker di und B i = im di−1 . i i Es ist dann H = Z /B i ein endlich erzeugter A-Modul. Analog seien Z i und B i f¨ ur Li definiert. Wir nehmen an, dass f¨ ur j > i bereits Lj gefunden seien, so dass j j f¨ ur j > i + 1 die Gleichheit Z /B = H j gilt, und außerdem f¨ ur alle j > i auch g j (Z j )/(g j (Z j ) ∩ B j ) = H j erf¨ ullt ist. Diese Reihe von Lj wollen wir jetzt um ein freies Li erg¨ anzen, so dass die obigen Aussagen f¨ ur die verl¨ angerte Reihe weiter gelten. Wir w¨ ahlen dazu einen endlich erzeugten freien A-Modul X i und eine surjektive Abbildung: k : X i → (Z i+1 ) ∩ (g i+1 )

−1

(g i+1 (Z i+1 ) ∩ B i+1 ) = = {z  ∈ Z i+1 | g i+1 (z  ) ∈ B i+1 }

Die Abbildung g i+1 ◦ k geht dann nach B i+1 und kann somit nach C i geliftet werden. Damit ist eine Abbildung ai : X i → C i gefunden, f¨ ur die gilt: g i+1 ◦ k = di ◦ ai Als n¨ achstes nehmen wir noch einen endlich erzeugten freien A-Modul Y i mit einer Abbildung bi : Y i → Z i , so dass bi (Y i ) + B i = Z i ist. Dies ist wegen H i endlich erzeugt m¨ oglich. Als Abbildung l : Y i → Li+1 w¨ ahlen wir die Nullabbildung. Es ist dann Li = X i ⊕ Y i und k ⊕ l : X i ⊕ Y i → Li+1 die Abbildung di . Als Abbildung g i fungiert ai ⊕ bi . Zusammen gilt dann: g i+1 ◦ di = di ◦ g i Damit ist die Kette induktiv nach unten fortgesetzt. Das folgende Diagramm illustriert die Konstruktion:

516

6 Schemata II

bp (Y p ) + B p = Z p di+1

C i+1

0 Z

ki+1

i+1

B i+1

bi+1 g i+1

Y i+1 ⊕ X i+1

ai+1 di di

Ci 0

k = ki

Zi Bi

bi g

i

Y i ⊕ Xi

di ◦ ai = g i+1 ◦ ki

ai ki (X i ) = {z  ∈ Z i+1 | g i+1 (z  ) ∈ B i+1 }



Lemma 6.17.2 Es sei C • → L• ein Morphismus von nach oben beschr¨ ankten Komplexen i i und alle C , L flache A-Moduln. Weiter seien die induzierten Abbildungen hi (C • ) → hi (L• ) allesamt Isomorphismen. Dann ist f¨ ur jeden A-Modul M die aus C • ⊗A M → L• ⊗A M entspringende Abbildung ∼ hi (C • ⊗A M ) → hi (L• ⊗A M ) f¨ ur jedes i ein Isomorphismus. Beweis. F¨ ur einen freien Modul M = Ar ist dies klar. Es sei nun M = N  in eine Sequenz 0 → N  → N → N  → 0, mit N frei und endlich erzeugt, eingebettet und der Isomorphismus ab i + 1 aufw¨ arts schon bewiesen. Es ist nun exakt: 0

/ C • ⊗A N 

/ C • ⊗A N

/ C • ⊗A N 

/0

0

 / L• ⊗A N 

 / L• ⊗ A N

 / L• ⊗A N 

/0

6.17 Halbstetigkeitss¨ atze

517

Es folgt der Morphismus langer exakter Sequenzen: hi (C • ⊗A N  )



α

hi (L• ⊗A N  )

/ hi (C • ⊗A N ) = ∼ / hi (L• ⊗A N )

/ hi (C • ⊗A N  ) β / hi (L• ⊗A N  )

/ hi+1 (C • ⊗A N  ) = ∼ / hi+1 (L• ⊗A N  )

/ hi+1 (C • ⊗A N ) = ∼ / hi+1 (L• ⊗A N )

Die schon bekannten senkrechten Isomorphismen sind eingezeichnet. Aus ihnen erschließt man die Surjektivit¨ at von β. Da M = N  beliebig war, ist auch α surjektiv. Damit ist dann β auch injektiv. Es bleibt noch zu erg¨ anzen, dass jeder Modul M = lim Mi mit endlich erzeugten −→i Mi ist. Nun ist aber hp (lim Mi ⊗A C • ) = lim hp (Mi ⊗A C • ) −→ −→ und analog

hp (lim Mi ⊗A L• ) = lim hp (Mi ⊗A L• ) . −→ −→ Damit ist das Lemma f¨ ur allgemeine M gezeigt.



F¨ ur das Folgende f¨ uhren wir die Moduln W i (L• ) = coker(di−1 : Li−1 → Li )

(6.212)

W i (L• ⊗A M ) = W i (L• ) ⊗A M ,

(6.213)

ein. F¨ ur diese ist

und man hat die Sequenzen: 0 → T i (M ) → W i ⊗A M → Li+1 ⊗A M → W i+1 ⊗A M → 0

(6.214)

Proposition 6.17.3 Die folgenden Aussagen sind ¨ aquivalent: a) T i ist linksexakt. b) W i = W i (L• ) ist ein projektiver A-Modul. c) Es gibt einen endlich erzeugten A-Modul Q, so dass T i (M ) = HomA (Q, M ) f¨ ur alle M . Weiterhin ist Q in c) eindeutig bestimmt. Beweis. Man betrachte f¨ ur M  → M das Diagramm: 0

(6.215)

0

/ T i (M  )

/ W i ⊗A M 

 / Li+1 ⊗A M 

/ W i+1 ⊗A M 

/0

0

 / T i (M )

 / W i ⊗A M

 / Li+1 ⊗A M

 / W i+1 ⊗A M

/0

518

6 Schemata II

¨ Es zeigt die Aquivalenz von a) und b). Die Implikation c) nach a) ist klar, weil der Hom-Funktor in beiden Argumenten linksexakt ist. Umgekehrt, sei a), also b) gegeben, so ist (∗) Li+1ˆ → W iˆ → Q → 0 (6.216) eine exakte Sequenz, die einen Modul Q definiert. Dabei sei V ˆ = HomA (V, A). Man wende nun HomA (−, N ) auf (∗) an und erhalte 0 → HomA (Q, N ) → HomA (W iˆ, N ) → HomA (Li+1ˆ, N ). F¨ ur einen projektiven Modul V ist aber HomA (V ˆ, N ) = V ⊗A N und damit c) gezeigt. 

Proposition 6.17.4 F¨ ur jedes M gibt es eine nat¨ urliche Abbildung: ϕ : T i (A) ⊗ M → T i (M ) F¨ ur diese sind die folgenden Bedingungen ¨ aquivalent: a) T i ist rechtsexakt. b) ϕ ist surjektiv f¨ ur alle M . c) ϕ ist ein Isomorphismus f¨ ur alle M . Beweis. Es ist M = HomA (A, M ), und ein θ ∈ HomA (A, M ) induziert ein T i (θ) ∈ HomA (T i (A), T i (M )). Damit hat man eine A-lineare Abbildung M → HomA (T i (A), T i (M )) , also eine Abbildung ϕ : M ⊗A T i (A) → T i (M ). F¨ ur diese Abbildung gilt, dass lim (Mα ⊗A T i (A)) −→α



/ lim (T i (Mα )) −→ α

∼ =

(lim Mα ) ⊗A T i (A) −→α



∼ =

/ T i (lim Mα ) −→ α

kommutiert und die vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind. In b) und c) kann man sich also auf endlich erzeugte M beschr¨ anken. Man betrachte nun f¨ ur 0 → M  → M → M  → 0, exakt, das Diagramm:

/ T i (M ) O

T i (M  )

O

α

T (A) ⊗ M i

β 

/ T i (A) ⊗ M

/ T i (M  ) O

/X O

/0 O

/0

/0

γ

/ T i (A) ⊗ M 

In ihm sei M  endlich erzeugt und M frei und endlich erzeugt. Die Abbildung β ist dann immer ein Isomorphismus. Ist a) richtig, so ist X = 0 und γ surjektiv. Also gilt b).

6.17 Halbstetigkeitss¨ atze

519

Gilt b), so ist γ surjektiv und damit X = 0. Weiterhin ist auch α surjektiv und deshalb γ injektiv und bijektiv. Also gilt c). Gilt schließlich c), so ist f¨ ur eine Surjektion M → M  → 0 die Abbildung T i (M ) → i  i T (M ) identisch mit T (A) ⊗A M → T i (A) ⊗A M  → 0, die offenbar surjektiv ist. Also ist T i rechtsexakt. 

Korollar 6.17.1 Die folgenden Tatsachen sind ¨ aquivalent: a) T i ist exakt. b) T i ist rechtsexakt, und T i (A) ist ein projektiver A-Modul. F¨ ur jedes y ∈ Y sei Tyi die Einschr¨ ankung des Funktors M → T i (M ) auf Ap -Moduln, wobei p ⊂ A das dem Punkt y korrespondierende Primideal ist. Dann bedeute T i ist (links-/rechts-)exakt bei y“, dass Tyi (links-/rechts-)exakt ” ist. Man beachte, dass f¨ ur einen Ap -Modul M gilt: Tyi (M ) = hi (L•p ⊗Ap M ) T i ist genau dann (links-/rechts-)exakt, wenn alle Tyi es sind. Wegen der Kommutativit¨ at von Kohomologie und flachem Basiswechsel ist Tyi identisch mit dem Funktor T i bezogen auf die Abbildung f  : X  → Y  und die Garbe v ∗ F (v : X  → X), wobei f  und v durch den flachen Basiswechsel Y  = Spec (OY,y ) → Y entstehen. Daher gelten die Propositionen 6.17.3, 6.17.4 und das Korollar 6.17.1 auch f¨ ur die Tyi . Proposition 6.17.5 Wenn T i exakt (resp. rechtsexakt, resp. linksexakt) f¨ ur ein y0 ∈ Y ist, so gilt dies auch f¨ ur alle y aus einer geeigneten offenen Umgebung U von y0 . Theorem 6.17.1 Sei f : X → Y ein projektiver Morphismus noetherscher Schemata und F eine koh¨ arente Garbe auf X, flach u ur jedes i  0 die Funktion ¨ber Y . Dann ist f¨ hi (y, F) = dimk(y) H i (Xy , Fy ) oberhalbstetig auf Y . Beweis. Es sei L• der Komplex mit hi (L• ⊗A k(y)) = H i (Xy , Fy ) = T i (k(y)). Die 4-Term-Sequenz 0 → hi (L• ⊗A k(y)) → W i ⊗A k(y) → Li+1 ⊗A k(y) → W i+1 ⊗A k(y) → 0 (6.217) ist exakt. Die dimk(y) W i ⊗A k(y) und dimk(y) W i+1 ⊗A k(y) sind oberhalbstetig mit y, der Ausdruck dimk(y) Li+1 ⊗A k(y) ist lokal konstant mit y. 

520

6 Schemata II

Korollar 6.17.2 Mit den Bezeichnungen des vorangegangenen Satzes sei zus¨ atzlich Y integral und f¨ ur ein i die Funktion hi (y, F) konstant auf Y . Dann ist Ri f∗ (F) lokal frei auf Y , und f¨ ur jedes y ist die nat¨ urliche Abbildung Ri f∗ (F) ⊗ k(y) → H i (Xy , Fy ) ein Isomorphismus. Proposition 6.17.6 Es sei f¨ ur irgendwelche i, y die Abbildung ϕ : T i (A) ⊗ k(y) → T i (k(y)) surjektiv. Dann ist T i rechtsexakt bei y. Beweis. Wir nehmen Y = Spec (A) mit einem lokalen Ring A und y dem maximalen Ideal m = my an. Wir zeigen zun¨ achst, dass f¨ ur einen Artinmodul M die Abbildung (∗)

ϕ : T i (A) ⊗A M → T i (M )

surjektiv ist. Es sei 0 → M  → M → M  → 0 eine exakte Folge von Artinmoduln, so dass M  und M  kleinere L¨ ange als M haben. Aus dem Diagramm T i (A) ⊗ M 

/ T i (A) ⊗ M

/ T i (A) ⊗ M 



 / T i (M )

 / T i (M  ) ,

T i (M  )

/0

in dem die a ¨ußeren vertikalen Pfeile kraft Induktion surjektiv sind, entnimmt man die Surjektivit¨ at auch des mittleren vertikalen Pfeils. Also ist (∗) surjektiv f¨ ur alle A-Artinmoduln. Insbesondere ist f¨ ur einen endlich erzeugten A-Modul M ϕn : T i (A) ⊗ (M ⊗ A/mn ) → T i (M ⊗ A/mn ) → 0 surjektiv. Da links und damit in ker ϕn nur Artinmoduln stehen, ist f¨ ur lim die ←−n Mittag-Leffler-Bedingung erf¨ ullt, und die Surjektivit¨ at u bertr¨ a gt sich auf den inversen ¨ Limes: (T i (A) ⊗ M )ˆ → lim T i (M ⊗ A/mn ) = T i (M )ˆ ←− n

Dabei gilt die Gleichung rechts aufgrund des Satzes u ur ¨ber formale Funktionen f¨ F ⊗ M als Garbe auf X. ˆ = N ⊗A Aˆ und Aˆ ein treuflacher A-Modul ist, ist damit auch (∗) f¨ Da aber N ur jeden endlich erzeugten A-Modul M surjektiv. Wir hatten bereits gesehen, dass daraus T i rechtsexakt“ folgt. Weil wir am Anfang ” Y durch den lokalen Ring OY,y ersetzt hatten, bedeutet dies, wie behauptet, die i Rechtsexaktheit des urspr¨ unglichen T bei y. 

6.17 Halbstetigkeitss¨ atze

521

Proposition 6.17.7 Es sei f : X → Y ein projektiver Morphismus noetherscher Schemata und F eine koh¨ arente Garbe auf X, flach u ¨ber Y . Dann gilt: 1. Wenn die nat¨ urliche Abbildung ϕi (y) : Ri f∗ (F) ⊗ k(y) → H i (Xy , Fy ) surjektiv ist, dann ist sie ein Isomorphismus, und dasselbe ist richtig f¨ ur alle y  in einer geeigneten Umgebung von y. 2. Angenommen ϕi (y) sei surjektiv. Dann ist ¨ aquivalent: a) ϕi−1 (y) ist auch surjektiv. b) Ri f∗ (F) ist lokal frei in einer Umgebung von y. Beweis. Aussage 1.: Nach voriger Proposition ist dann T i rechtsexakt bei y und damit T i (A) ⊗A M → T i (M ) ein Isomorphismus f¨ ur alle M . Aussage 2.: Aus ϕi surjektiv folgt, dass T i rechtsexakt ist. Also sind f¨ ur M  → M im Diagramm Tyi (A) ⊗A M 

/ Tyi (A) ⊗A M



 / Tyi (M )

Tyi (M  )

(6.218)

die vertikalen Abbildungen Isomorphismen. Im Falle b) ist Tyi (A) projektiv und damit Tyi auch linksexakt. Damit ist Tyi−1 rechtsexakt, und es ist ϕi−1 ein Isomorphismus, also a). Liest man diese Implikation r¨ uckw¨ arts, so ergibt sich, dass Tyi (A) flach, also hier auch projektiv, ist. 

522

6 Schemata II

A. Es ist f : X → Y eigentlich oder projektiv. F koh¨ arent auf X, flach u ankung der Allgemeinheit Y = Spec (A), affin. ¨ber Y . Ohne Beschr¨ B. Es sei T i (M ) = H i (X, F ⊗A M ). Es folgt aus 0 → M  → M → M  → 0 exakt: 0 → F ⊗A M  → F ⊗A M → F ⊗A M  → 0

(6.219)

ist exakt. C. Es ist exakt · · · → T i−1 (M  ) → T i (M  ) → T i (M ) → T i (M  ) → T i+1 (M  ) → · · · (6.220)

D. Es gibt einen Komplex L• aus flachen, endlich erzeugten A-Moduln mit: hi (L• ⊗A M ) = T i (M ) = H i (X, F ⊗A M ) L

i−1

i

i

→L →W →0

p

p

0 → H (X, F) → W → L

p+1

→W

(6.221) (6.222)

p+1

→0

(6.223)

0 → H p (Xy , Fy ) → W p ⊗A k(y) → → Lp+1 ⊗A k(y) → W p+1 ⊗A k(y) → 0

(6.224)

0 → T p (M ) → W p ⊗A M → → Lp+1 ⊗A M → W p+1 ⊗A M → 0

(6.225)

Abb. 6.1 Formelsammlung Halbstetigkeitss¨ atze I

6.17.2

Anwendungen

Proposition 6.17.8 Es sei f : X → Y ein flacher, projektiver Schemamorphismus und Y integral und vom endlichen Typ u ¨ber k. Weiter sei Xy integral f¨ ur alle y ∈ Y und E ein Linienb¨ undel auf X mit Ey ∼ ur alle y ∈ Y . = OXy f¨ Dann ist E = f ∗ L f¨ ur das Linienb¨ undel L = f∗ E auf Y .

6.17 Halbstetigkeitss¨ atze

523

E. Man definiert Tyi durch den flachen Basiswechsel Spec (OY,y ) → Y bzw. durch Tyi (My ) = hi (L•y ⊗Ay My ) (mit My beliebiger OY,y -Modul). F. Es ist ¨ aquivalent:

G. Es ist ¨ aquivalent:

a) T i linksexakt.

a) T i rechtsexakt.

b) W i lokal frei.

b) T i (A) ⊗ M → T i (M ) Isomorphismus f¨ ur alle M .

c) T i (M ) = HomA (Qi , M ) f¨ ur einen eindeutigen, endlich erzeugten A-Modul Qi .

c) T i (A) ⊗ M → T i (M ) surjektiv f¨ ur alle M .

d) T i−1 rechtsexakt.

d) T i+1 linksexakt.

e) Tyi linksexakt f¨ ur alle y ∈ Y .

e) Tyi rechtsexakt f¨ ur alle y ∈ Y .

H. Es ist H i (X, F ⊗ k(y)) = H i (Xy , Fy ). I. Es ist ¨ aquivalent: a) T i (A) ⊗A k(y) → T i (k(y)) surjektiv f¨ ur ein y aus Y . b) Tyi ist rechtsexakt bei y. Abb. 6.2 Formelsammlung Halbstetigkeitss¨ atze II

Beweis. Es sei Y = Spec (A) ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit. Nach den Voraussetzungen ist h0 (Xy , Ey ) = 1 f¨ ur alle y ∈ Y , also W 0 und W 1 und damit auch T 0 (A) = H 0 (X, E) projektiv. Also ist f∗ E = H 0 (X, E)˜ ein lokal freier Modul. Da W 1 projektiv ist, ist T 1 linksexakt und T 0 rechtsexakt und somit T 0 (A) ⊗A k(y) = T 0 (k(y)). Im folgenden Diagramm (6.226) {x} a

Xy



p

X



k(y) f

∼

q

 

Y



i

bedeutet dies i∗ f∗ E → q∗ p∗ E = k(y). Die letzte Gleichheit folgt aus p∗ E = OXy und weist f∗ E als Linienb¨ undel aus.

524

6 Schemata II ∼

Man hat also jetzt q ∗ i∗ f∗ E → q ∗ q∗ p∗ E. Da p∗ E = OXy , folgt q ∗ q∗ p∗ E = p∗ E. ∼ ∼ Zusammen mit f p = i q folgt daher p∗ f ∗ f∗ E → p∗ E und daher auch a∗ p∗ f ∗ f∗ E → ∗ ∗ a p E. Also ist die kanonische Abbildung f ∗ f∗ E → E nach dem Lemma von Nakayama ein Isomorphismus. 

Korollar 6.17.3 Es sei f : X → Y wie in der vorigen Proposition, und L, M seien zwei Linienb¨ undel auf X mit Ly ∼ ur alle y ∈ Y . = My f¨ Dann ist L = M ⊗OX f ∗ E mit einem Linienb¨ undel E auf Y . Proposition 6.17.9 Es sei X ein integres, projektives Schema u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper k. Es gelte H 1 (X, OX ) = 0. Weiter sei T ein zusammenh¨ angendes Schema vom endlichen Typ u ¨ber k. Dann gilt: 1. Ist L ein Linienb¨ undel auf X ×k T , so sind die Lt auf X × {t} f¨ ur alle t ∈ T , abgeschlossener Punkt, zueinander isomorph. 2. Es ist Pic(X ×k T ) = Pic X × Pic T . Beweis. Zun¨ achst 1.: Es seien p : X × T → X und q : X × T → T die kanonischen Projektionen. Die Abbildung q ist dann projektiv und flach, so dass L auch flach u ¨ber T ist. Bez¨ uglich q und lokal freien Garben auf X × T sind also die Voraussetzungen der Halbstetigkeitss¨ atze erf¨ ullt. Wir wollen zeigen, dass f¨ ur ein festes t die Menge der t , f¨ ur die Lt und Lt isomorph sind, eine offene Menge bilden. Da T zusammenh¨ angend ist, sind dann alle Lt zueinander isomorph. Man w¨ ahle ein festes t und setze L0 = p∗ Lt . Als n¨ achstes bilde man M = L ⊗ L−1 0 . 1 Es ist Mt = OXt = OX . Wegen H (X, OX ) = 0 ist dann auch H 1 (X × T, M ⊗ k(t)) = T 1 (k(t)) = 0. Dabei wird T 1 (k(t)) im Sinne des Abschnitts u ¨ber die Halbstetigkeitss¨ atze verwendet. Insbesondere ist deshalb auch T 1 (A) ⊗ k(t) → T 1 (k(t)) → 0 exakt und damit dann auch T 1 rechtsexakt bei t. Also gilt Tt1 (A) ⊗ k(t) = 0 und deshalb nach dem Lemma von Nakayama Tt1 (A) = 0. Dabei ist Spec (A) eine kleine offene, affine Umgebung von t. W¨ ahlt man Spec (A) klein genug, so ist T 1 (A) = 0. Es sei A im Folgenden so gew¨ ahlt. Man betrachte nun die Vierersequenz 0 → Tt1 (A) → Wt1 → L2t → Wt2 → 0. Da Tt1 rechtsexakt ist, ist Tt2 linksexakt und damit Wt2 lokal frei. Da Tt1 (A) = 0, ist dann auch Wt1 lokal frei. Nun ziehe man die Sequenz 0 → Tt0 (A) → Wt0 → L1t → Wt1 → 0 heran. Da wegen Wt0 = L0t auch Wt0 lokal frei ist, gilt dies auch f¨ ur Tt0 (A). Es ist also f¨ ur U = Spec (A) gen¨ ugend klein um t und f : X × U → U immer f∗ M|X×U ein freier OU -Modul. Damit k¨ onnen wir auch festhalten: q∗ M ist ein lokal freier OT -Modul.

6.17 Halbstetigkeitss¨ atze

525

Betrachte f¨ ur das Folgende das Diagramm Xt

(6.227)

g

h





X ×U f



U



{t} ,

k

wobei f = q|X×U sei. Weiter sei f∗ M = OU . Dann existiert ein Schnitt s ∈ M(X × U ), der dem Schnitt 1 ∈ OU (U ) entspricht. Der Schnitt s verschwindet nicht auf X × t, und seine Verschwindungsmenge V (s) als Schnitt von M|X×U ist abgeschlossen in X × U . Da f eine abgeschlossene Abbildung ist, ist t ∈ / f (V (s)), und es gibt daher eine offene Umgebung t ∈ V ⊆ U , so dass s auf X × V nicht verschwindet. F¨ ur diese t ∈ V ist damit M|X×t isomorph zu OXt = OX . 2. Betrachte die Abbildung θ : Pic X × Pic T → Pic(X ×k T )

(L, M) → p∗ L ⊗ q ∗ M .

Es sei nun E ein Linienb¨ undel auf X × T und Et = L mit einem Linienb¨ undel L auf X. Es sei N = E ⊗ (p∗ L)∨ , so dass Nt = OX f¨ ur alle abgeschlossenen t ∈ T ist. Nach 1. ist q∗ N ein Linienb¨ undel auf T , und man hat einen Morphismus q ∗ q∗ N → N, der ∗ sich wegen (q q∗ N)t = OX = (N)t f¨ ur alle abgeschlossenen t ∈ T mit dem NakayamaLemma wie in Proposition 6.17.8 als Isomorphismus herausstellt. Also gilt mit M = q∗ N die Beziehung E ⊗ (p∗ L)∨ = q ∗ M oder E = p∗ L ⊗ q ∗ M. Damit ist θ surjektiv. Ist umgekehrt OX×T ∼ = E = p∗ L ⊗ q ∗ M, so ist Et ∼ =L∼ = OX , und L ist trivial in ∗ Pic X. Es ist also E ∼ q M, und mit dem Projektionssatz gilt q∗ E ∼ = = M ⊗ q∗ (OX×T ), also M ∼  = OT trivial in Pic T . Damit ist θ auch injektiv, also bijektiv.

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Index Symbole k-wertiger Punkt eines Schemas, 265 5-Lemma, 20 A abgeschlossene Immersion von Schemata, 277 abgeschlossene Menge, 20 abgeschlossener Tr¨ ager Kohomologie mit, 413 Abschluss algebraischer, 133 ¨ Aquivalenz von Kategorien, 260 affines Schema Kohomologie auf noetherschem, 419 Algebra, 52 affine, 167 algebraisch unabh¨ angig, 151 Algebrengarbe, 246, 301 amples Linienb¨ undel, 370 Anfangsobjekt, 4 Annihilator, siehe Annulator Annulator eines Moduls, 58 Artin-Rees-Lemma, 115 artinsch, 123 Aufblasung, 378 birationaler Morphismus als, 383 erh¨ alt Nichtsingularit¨ at, 396 universelle Eigenschaft der, 380 Aufl¨ osung injektive, 28 Ausdehnung von koh¨ arenten Garben, 306 Auslander-Buchsbaum Satz von, 213, 216 azyklisches Objekt, 38 B Basis duale, 139 Basissatz Hilbertscher, 76 Basiswechsel Kohomologie unter, 492 Bertini-Theorem, 399 Bewertung, 165 auf Q, 161 eines K¨ orpers, 159 Bewertungsgruppe, 165

Bewertungsring, 165 diskreter, 166 bewertungstheoretisches Kriterium f¨ ur Eigentlichkeit, 291 f¨ ur Separiertheit, 290 Bezout Satz von, 338 Bild bei Modulgarben, 245 eines Modulhomomorphismus, 54 eines Pr¨ agarbenmorphismus, 224 schematheoretisches, 308 Blow-Up, 378 B¨ undel projektives, 375 C Cartier-Divisor, 361 Cartier-Divisoren Gruppe der, 361 Cartier-Divisorklassen Gruppe der, 361 Cartier-Hauptdivisor, 361 Cech-Kohomologie als δ-Funktor, 430 Cech-Kohomologiegruppe, 429 cup-Produkt in der, 432 f¨ ur h¨ oheres direktes Bild, 458 ¨ gute Uberdeckung in der, 429 Hauptsatz der, 431 Cech-Kohomologiegruppe, 429 Cech-Komplex, 428 Charakteristik p, 78 Null, 78 Cohen-Macaulaysch, 203 Cohen-Macaulaysches Schema, 400 cup-Produkt in der Cech-Kohomologie, 432 D Depth, 197 Derivation, 208 Diagrammjagd, 20 Differentialgarbe bei einem Produkt von Schemata, 390 Differentialgarbe ΩX|Y , 389 Differentialmodul, 208 exakte Sequenz, 209, 210 Dimension bei grm A, 184

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 J. Böhm, Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59482-7

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bei affinen Algebren, 182 bei ganzen Ringerweiterungen, 178 bei noetherschen lokalen Ringen, 179 bei Polynomringen, 180 bei Potenzreihenringen, 184 eines topologischen Raumes, 25 homologische von Moduln, 189 Dimensionsformeln, 184 Dimensionstheorie von Schemamorphismen vom endlichen Typ, 316 direkte Bildgarbe h¨ ohere, 456 direkte Summe von abelschen Garben, 231 von abelschen Pr¨ agarben, 225 von Modulgarben durch gradierte Moduln induziert, 323 direkter Limes erh¨ alt welke Garben, 408 kommutiert mit Garbenkohomologie auf noetherschen R¨ aumen, 409 von abelschen Garben, 231 von abelschen Pr¨ agarben, 226 von injektiven Garben ist injektive Garbe, 412 direktes Bild h¨ oheres, 456 von Garben, 234 von Modulgarben, 248 von Pr¨ agarben, 234 direktes Produkt von abelschen Garben, 231 von abelschen Pr¨ agarben, 225 diskontinuierliche Schnitte, 405 diskreter Bewertungsring, 166 Distributivgesetz, 52 Divisor Weil-Divisor, 351 Divisoren Korrespondenz CaCl X mit Pic X, 364 Korrespondenz CaDiv X mit Div X, 363 Weil-Divisoren Gruppe der, 351 Divisorenklassengruppe Cl X, 352 dominant, 266 Dominierung von lokalen Ringen, 165 dualisierende Garbe, 499 universelle Eigenschaft, 500 Durchschnitt global vollst¨ andiger, 401 idealtheoretischer von lokal prinzipalen Unterschemata, 400

Index

lokal vollst¨ andiger, 400 E Einheit eines Rings, 56 Endlichkeit der Kohomologiegruppen bei projektivem Schema, 449 der Schnitte einer koh¨ arenten Modulgarbe auf einem projektiven Schema, 331 Endobjekt, 4 in der Kategorie der Schemata, 265 Epimorphismus, 2 Erhaltung von Koh¨ arenz unter inversem Bild, 298 von lokaler Freiheit unter inversem Bild, 298 von Quasikoh¨ arenz unter direktem Bild, 299 unter inversem Bild, 298 ´ etaler Morphismus, 479 Euler-Charakteristik einer koh¨ arenten Garbe, 455 exakte Sequenz kurze, 15 von Differentialgarben, 389, 390 von Pr¨ agarben, 225 Excision, 415 Ext-Funktor, 103 von Garben, 459 Ext-Paarung, 106 F Faktorisierung einer Immersion, 277 Faktormodul, siehe Quotientenmodul Faser eines Schemamorphismus, 271 Faserprodukt von Schemata, 269 Existenz, 269 Filtrierung a-adische, 114 von lokalen noetherschen Ringen, 174 essentiell a-adische, 114 flach, 107 Morphismus von Schemata, 463 Flachheit der Komplettierung, 116 Folge regul¨ are, 195 formal ´ etaler Funktor, 479 Morphismus, 479

Index

formal glatter Funktor, 479 Morphismus, 479 formal unverzweigter Funktor, 479 Morphismus, 479 formale Funktionen Satz u ¨ber, 511 Funktionenk¨ orper eines Punktes, 265 Funktor Γ∗ (X, −), 325 Ext von Garben, 459 Hom von Garben, 459 δ-Funktor, 32 exakter, 15 formal ´ etaler, 479 glatter, 479 unverzweigter, 479 kontravarianter, 5 kovarianter, 5 linksexakter, 15 mittelexakter, 15 rechtsabgeleiteter, 29 Funktorialit¨ at des direkten Bildes, 235 G Galoisgruppe, 141 ganz, 143 Garbe, 227 abelsche, 229 Kohomologiegruppe, 406 der diskontinuierlichen Schnitte, 405 der meromorphen Funktionen, 360 dualisierende, 499 Hom-Garbe, 247 invertierbare, 300 konstante, 234 von globalen Schnitten erzeugte, 297 welke, 238 zu einem Modul assoziierte, 257 Garbenkohomologie Grothendieckscher Verschwindungssatz, 409 verschwindet f¨ ur i > dim X, 409 Garbenkozyklus, 227 aufl¨ osbarer, 227 Garbifizierung, 228 Generic-Freeness-Lemma, 171 generischer Punkt, 265 bei Schemata, 265 gen¨ ugend injektive abelsche Garben, 406 Modulgarben, 406 quasikoh¨ arente Modulgarben, 422

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geringter Raum, 249 glatter Morphismus, 471, 478 Globaldimension, 189 Going-Down, 150 Going-Up, 146 Grad eines Polynoms, 75 Graph-Morphismus, 285 Grothendieck-Spektralsequenz, 49 Grothendiecks Verschwindungssatz f¨ ur Garbenkohomologie, 409 H Halbstetigkeit der lokalen Dimension, 298 Halbstetigkeitss¨ atze, 514 Anwendungen, 522 Formelsammlung, 522 Fundamentallemma u ¨ber Komplexe, 514 Halm einer Garbe, 228 einer Pr¨ agarbe, 223 von Ext(F, G), 461 Halme des inversen Bildes, 236 Hauptdivisoren Gruppe der, 352 Hauptidealring, 77 Hauptsatz der Cech-Kohomologie, 431 Henselsches Lemma, 123 Herbrandquotient, 128 Hilbertmodul, 172 Hilbertpolynom, 335 einer koh¨ arenten Garbe, 456 zu einem Hilbertmodul, 174 Hilbertring, 172, 335 Hilbertscher Nullstellensatz, 169 H¨ ohe eines Ideals, 71 h¨ ohere direkte Bildgarbe, 456 h¨ oheres direktes Bild einer quasikoh¨ arenten Garbe, 457 mit Cech-Komplex berechnen, 458 Hom-Garbe, 247 Homogenisierung eines Ideals, 73 Homologieobjekte eines Komplexes, 27 Homomorphismen, 1 gradierter Moduln, 110 Homothetie, 55 homotopie¨ aquivalent, 27 I Ideal, 56 Extension eines Ideals, 58

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gebrochenes, 157 homogenes, 73 invertierbares, 158 Kontraktion eines Ideals, 58 prim¨ ares, 97 Produkt, 57 Quotient, 57 Radikal, 57 Summe, 57 Idealgarbe quasikoh¨ arente, 273 Idealquotient, 57 Immersion Faktorisierung einer, 277 von Schemata, 277 Injektivdimension, 189 injektives Objekt, 28 integral, 266 Integrit¨ atsring, 56 Integrit¨ atsschema, 266 inverser Limes von abelschen Garben, 231 von abelschen Pr¨ agarben, 226 von Moduln, 64 inverses Bild von Garben, 236 von Modulgarben, 248 von Pr¨ agarben, 235 irreduzible Menge, 24 isomorph kanonisch, 7 Isomorphiesatz noetherscher, 55 Isomorphismus, 2 J Jacobisches Kriterium f¨ ur regul¨ are lokale Ringe, 219 Jacobson-Radikal, 60 Jacobson-Ring, 168 Jordan-H¨ older Satz von, 125 K Kategorie, 1 abelsche, 14 additive, 13 der abelschen Garben, 229 der abelschen Pr¨ agarben, 224 der Funktoren, 7 der Garben, 228 der geringten R¨ aume, 250 der lokal geringten R¨ aume, 250 der Modulgarben, 245 der offenen Mengen, 221 der Pr¨ agarben, 222

Index

der quasikoh¨ arenten Modulgarben, 297 der Ringe, 52 der topologischen R¨ aume, 22 duale, 3 katenarisch, 177 Kegel projektiver, 372 Kern bei Modulgarben, 245 eines Modulhomomorphismus, 54 eines Pr¨ agarbenmorphismus, 224 von koh¨ arenten Modulgarben, 295 von quasikoh¨ arenten Modulgarben, 295 Kodimension eines topologischen Raumes, 25 Koeffizientenk¨ orper, 217 orper, 78 K¨ K¨ orpererweiterung, 151 algebraische, 151 endliche, 129 galoissche, 141 normale, 139 separable, 135 Transzendenzgrad einer, 152 koh¨ arent, 294 koh¨ arente Garbe Halbstetigkeit der lokalen Dimension, 298 Kohomologie auf noetherschem affinen Schema, 419 Basiswechsel und, 492 bei abgeschlossenen Immersionen, 409 des projektiven Raums Pn k , 447 mit abgeschlossenem Tr¨ ager Excision, 415 Mayer-Vietoris-Sequenz, 416 verschwindet bei gen¨ ugend hoher Vertwistung, 449 Kohomologiegruppe mit abgeschlossenem Tr¨ ager, 414 von abelschen Garben, 406 Kohomologiegruppen explizite Berechnung von, 505 Kokern bei abelschen Garben, 229 bei Modulgarben, 245 eines Modulhomomorphismus, 55 eines Pr¨ agarbenmorphismus, 224 von koh¨ arenten Modulgarben, 295 von quasikoh¨ arenten Modulgarben, 295 Komplettierung, siehe Vervollst¨ andigung Komplex, 26 Abbildung von Komplexen, 26 absteigender, 26 aufsteigender, 26 Cech-Komplex, 428

Index

exakter, 26 Komplexe Kategorie der, 26 konstruierbare Mengen, 311 Theorem von Chevalley, 313 Koszul-Komplex, 188 Kozykelbedingung, 253 Kriterium bewertungstheoretisches f¨ ur Eigentlichkeit, 291 f¨ ur Separiertheit, 290 f¨ ur abgeschlossene Immersion durch Linienb¨ undel in projektiven Raum, 384 in einen projektiven Raum, 342 f¨ ur Abgeschlossenheit von f (X), 289 f¨ ur affines Schema, 268 kohomologisches, 422 f¨ ur ample Garben kohomologisches, 450 f¨ ur Exaktheit bei Garben, 232 f¨ ur flache koh¨ arente Garben Konstanz des Hilbertpolynoms, 493 f¨ ur Flachheit, 107 eines Schemamorphismus, 467 Jacobisches, 468 lokales, 468 f¨ ur glatten Morphismus, 480 f¨ ur injektive abelsche Garben, 406 f¨ ur nichtsingul¨ are Untervariet¨ at einer nichtsingul¨ aren Variet¨ at, 395 f¨ ur quasikoh¨ arente Modulgarben, 294 f¨ ur regul¨ are Folge, 198, 200 f¨ ur regul¨ are lokale Ringe, 219 f¨ ur Treuflachheit, 109 u at und Dimension ¨ber Irreduzibilit¨ einer projektiven Variet¨ at, 386 Krullscher Hauptidealsatz, 180 L lange exakte Homologiesequenz, 27 Leitkoeffizient eines Polynoms, 76 Leitmonom eines Polynoms, 76 linear ¨ aquivalent Cartier-Divisoren, 361 Weil-Divisoren, 352 linear disjunkt, 153 Linienb¨ undel, 300, 361 OX (n), 323 ample Grundregeln u ¨ber, 371 amples, 370 sehr amples, 342 Vertwistungen, 323

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linksexakt, 15 linksinvers, 2 Local criterion of flatness, 468 lokal abgeschlossen, 23 lokal auf der Basis, 278 lokal geringter Raum, 250 Lokal-Global-Aussagen, 88 Lokalisierung, 84 grundlegende Isomorphismen, 87 homogene, 111 Lying-Over, 145 M Mayer-Vietoris-Sequenz, 416 Mittag-Leffler-Bedingung, 65 mittelexakt, 15 Modul, 53 Annulator eines, 58 artinscher, 123 Cohen-Macaulayscher, 203 filtrierter, 67 flacher, 107 gradierter, 68 injektiver, 99 koprim¨ arer, 95 prim¨ arer, 95 projektiver, 101 Support eines, 89 treuflacher, 109 Modulgarbe, 245 auf proj (S), 320 auf affinen Schemata, 260 Ausdehnung einer koh¨ arenten, 306 koh¨ arente, 294 lokal freie, 297 quasikoh¨ arente, 294 zu einem homogenen Modul assoziierte, 320 Modulhomomorphismus, 53 Monom, 75 Monomorphismus, 2 Morphismen, 1 Klasse P von, 286 Morphismus dominanter, 266 geringter R¨ aume, 249 Graph eines, 285 in einen projektiven Raum, 339 Korrespondenz mit Schnitten von Linienb¨ undeln, 339 lokal geringter R¨ aume, 250 von einem Bewertungsring in ein Schema, 287 von Modulgarben, 245 von Moduln, 53 von Pr¨ agarben, 222 von projektiven Schemata

534

induziert durch Ringhomomorphismus, 322 von Ringen, 52 von Schemata, 263 ´ etaler, 479 abgeschlossene Immersion, 277 affiner, 282 eigentlicher, 286 endlicher, 283 flacher, 463 formal ´ etaler, 479 formal glatter, 479 formal unverzweigter, 479 glatter, 471, 478 Immersion, 277 lokal vom endlichen Typ, 281 lokal von endlicher Pr¨ asentation, 281 offene Immersion, 277 projektiver, 349 quasikompakter, 280 quasiseparierter, 285 Segre-Einbettung, 345 separierter, 285 Veronese-Abbildung, 344 vom endlichen Typ, 281 multiplikativ abgeschlossen, 57, 84 Multiplizit¨ at von Schnitten von Schemata, 338 N Nagatas H¨ ohenformel, 186 Nichtnullteiler, 56 nichtsingul¨ are Untervariet¨ at einer nichtsingul¨ aren Variet¨ at, 395 Nilradikal, 60 noetherscher Modul, 66 Ring, 66 topologischer Raum, 25 Noetherscher Normalisierungssatz, 167 Norm auf einem Vektorraum, 163 bei K¨ orpererweiterungen, 130 normales Schema, 332 Normalisierungssatz Noetherscher, 167 Normen aquivalente, 163 ¨ nullhomotop, 27 Nullstellensatz, 169 Nullteiler, 56 O offene Immersion von Schemata, 277

Index

offene Menge, 20 offener Teilraum, 252 offenes Unterschema, 264 P Parametersystem, 199 Picardgruppe, 362 Polynom homogenes, 75 separables, 135 Polynomring, 75 Potenzmenge, 21 Pr¨ agarbe, 221 abelsche, 224 konstante, 223 mengenwertige, 222 Schnittfunktor einer, 222 welke, 238 Pr¨ agarben Morphismen von, 222 Prim¨ arkomponente eingebettete, 96 Prim¨ arzerlegung eines Ideals, 97 eines Moduls, 96 Prime-avoidance-lemma, 61 Primideal, 57 assoziiertes, 92 Primidealketten, 182 einbettbare, 182 Primk¨ orper, 79 Primspektrum, 69 homogenes, siehe proj Produkt alternierendes, 91 symmetrisches, 92 von Moduln, 55 proj, 73 Proj einer gradierten Algebrengarbe, 372 Projektionssatz, 299 projektiv normales Schema, 332 Projektivdimension, 189 projektiver Limes von Schemata, 314 projektiver Raum Kohomologie, 447 projektives B¨ undel, 375 projektives Objekt, 28 projektives Schema, 342 Punkt eines Schemas regul¨ arer, 394 generischer, 265 Q quasikoh¨ arent, 273, 294

Index

quasikompakt Raum, 24 Quotientenmodul, 54 Quotientenring, 56 R Radikal von Idealen, 57 Randhomomorphismen, 49 Raum geringter, 249 lokal geringter, 250 topologischer, 20 rechtsexakt, 15 rechtsinvers, 2 Reduktum, 76 reduzierte induzierte Unterschemastruktur, 275 Rees-Algebra, 379 Restriktionsabbildung einer Garbe, 221 Restsatz chinesischer, 61 Ring, 52 gradierter, 68 Jacobson-Ring, 168 katenarischer, 177 kommutativer, 52 mit Eins, 52 regul¨ arer, 214 universell katenarischer, 177 Ringerweiterung, 52 ganze, 143 Ringgarbe, 244 Ringhomomorphismus, 52 S Satz von Auslander-Buchsbaum, 213, 216 Satz von Bezout, 338 Schema, 263 proj (S) als, 321 affines, 258 Cohen-Macaulaysches, 400 integres, 266 lokal noethersches, 266 nichtsingul¨ ares, 394 noethersches, 266 normales, 332 projektiv normales, 332 projektives, 322, 342 regul¨ ares, 394 Schemamorphismus ´ etaler, 479 abgeschlossene Immersion, 277 affiner, 282 eigentlicher, 286 endlicher, 283

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Faser eines, 271 flacher, 463 formal ´ etaler, 479 formal glatter, 479 formal unverzweigter, 479 glatter, 471, 478 Immersion, 277 lokal vom endlichen Typ, 281 lokal von endlicher Pr¨ asentation, 281 offene Immersion, 277 projektiver, 349 ist eigentlich, 350 quasikompakter, 280 quasiseparierter, 285 Segre-Einbettung, 345 separierter, 285 Veronese-Abbildung, 344 vom endlichen Typ, 281 von einem Bewertungsring, 287 Schemata Faserprodukt von, 269 schematheoretisches Bild, 308 Schlangenlemma, 19 Schnitt mit abgeschlossenem Tr¨ ager, 413 von Garben, 231 Schnittfunktor, 222 Linksexaktheit, 406 Schnittmultiplizit¨ at, 338 Segre-Abbildung Generalisierung der klassischen, 348 klassische, 347 Segre-Einbettung, 345 sehr ampel, 342 separabel, 135 separabel erzeugt, 152 separiert, 285 Sequenz split-exakt, 16 Serre-Dualit¨ at auf equidimensionalem Cohen-Macaulay-Schema, 503 auf projektivem Raum, 498 Serres Endlichkeitssatz, 330 Spektralsequenz Grothendieck-Spektralsequenz, 49 Spektrum, siehe Primspektrum einer Algebrengarbe, 302 Spur bei K¨ orpererweiterungen, 130 Spurabbildung f¨ ur dualisierende Garbe, 499 stetig, 21 Strukturgarbe, 249 Summe von Moduln, 55 Support einer Garbe, 226

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eines Moduls, 89 eines Schnittes, 226 Surjektivit¨ at eines Morphismus abelscher Garben, 234 T Tangentialkegel, 214 Teilraum offener, 252 Tensorprodukt gradierter Moduln, 110 grundlegende Isomorphismen, 82 Isomorphismen bei Modulgarben, 247 mit mehreren Faktoren, 81 Rechtsexaktheit des, 83 von Modulgarben, 246 durch gradierte Moduln induziert, 323 Filtrierung eines, 304 Halme eines, 248 von Moduln, 79 Theorem von Chevalley, 313 Tiefe, 197 Topologie, 20 Basis einer, 21 diskrete, 21 gefilterter Moduln, 113 induzierte, 254 triviale, 21 Tor-Funktor, 103 Transformation nat¨ urliche, 6 Transzendenzbasis, 152 separierende, 152 Transzendenzgrad, 152 treu, 6 treuflach, 109 U ¨ Uberdeckung ¨ Cech-Uberdeckung, 428 Ungemischtheitssatz, 205 universell abgeschlossen, 286

Index

universell katenarisch, 177 Untermodul, 53 Unterring, 52 Unterschema abgeschlossenes, 274 von proj (S), 327 offenes, 264 affines, 264 Unterschemastruktur reduzierte induzierte, 275 V Variet¨ at, 332 projektive, 332 quasiprojektive, 332 Verheftungsabbildungen topologische, 253 von Garben, 253 Verklebung von Garben, 253 von Morphismen, 255 Veronese-Abbildung, 344 Vervollst¨ andigung eines noetherschen Rings, 119 gefilterter Moduln, 113 voll, 6 volltreu, 6 W Weil-Divisor, 351 welke Garbe, 238 azyklisch f¨ ur Cech-Kohomologie, 430 azyklisch f¨ ur Garbenkohomologie, 408 azyklisch f¨ ur h¨ oheres direktes Bild, 457 azyklisch f¨ ur Kohomologie mit abgeschlossenem Tr¨ ager, 414 Y Yoneda-Lemma, 8 Z Zariski-Raum, 311, 417 Zariski-Topologie, 69

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