Kommutative Algebra [version 2020-07-29 ed.]

Table of contents :
Exakte Sequenzen
Exakte Sequenzen vergleichen und konstruieren
Lokalisierung von Ringe
Lokalisierung von Moduln
Noethersche Ringe
Der Hilbertsche Nullstellensatz
Der Satz von Cayley-Hamilton
Ganzheit
Der Noethersche Normalisierungssatz
Radikale
Der Nullstellensatz
Das Spektrum eines Rings
Die Zariski-Topologie
Irreduzible Komponenten
Primärzerlegung
Assoziierte Primideale
Primäre Moduln
Existenz
Eindeutigkeit
Moduln endlicher Länge
Artinsche Moduln
Der Satz von Jordan-Hölder
Artinsche Primärzerlegung
Dimension
Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Mengen
Ganze Erweiterungen
Der Transzendenzgrad
Höhe
Regularität
Filtrationen
Das Artin-Reessche Lemma
Poincarésche Reihe
Die Dimension von lokalen noetherschen Ringen
Reguläre Ringe
Das Tensorprodukt
Moduln
Ringe
Gerichtete Limiten
Mengen
Moduln
Endliche Präsentierbarkeit
Flachheit
Elementare Homologische Algebra
Kettenkomplexe und Homologie
Projektive Auflösungen
Tor

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Kommutative Algebra

Denis-Charles Cisinski Universität Regensburg

. Juli 

Inhaltsverzeichnis

 Exakte Sequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Exakte Sequenzen vergleichen und konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Lokalisierung von Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Lokalisierung von Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Der Hilbertsche Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Der Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Ganzheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Der Noethersche Normalisierungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Der Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Das Spektrum eines Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Die Zariski-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Irreduzible Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Primärzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Assoziierte Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Primäre Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Moduln endlicher Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Artinsche Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Der Satz von Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Artinsche Primärzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



i

ii

Kommutative Algebra . Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Ganze Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Der Transzendenzgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Filtrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Das Artin-Reessche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Poincarésche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Die Dimension von lokalen noetherschen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. Reguläre Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Das Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Gerichtete Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Endliche Präsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Flachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Elementare Homologische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Kettenkomplexe und Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Projektive Auflösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Kapitel 

Exakte Sequenzen

Sei R ein Ring mit Eins (nicht notwendig kommutativ). Sind M und N zwei R-Moduln, so bezeichnen wir HomR (M, N) den R-Modul von R-lineare Abbildungen von M nach N. . (Kern). Sei f : M −→ N eine R-lineare Abbildung. Es ist ker(f ) = {x ∈ M | f (x) = } ein Untermodul. Es gilt f ist injektiv ⇔ ker(f ) = {} . Außerdem gilt die folgende universelle Eigenschaft, wobei i : ker(f ) −→ M die Inklusionsabbildung ist: zu jeder R-lineare Abbildung v : V −→ M mit f ◦ v =  (also mit f (v(x)) =  für alle x ∈ V) gibt es genau eine R-lineare Abbildung u : V −→ ker(f ) mit i ◦ u = v. V u

ker(f )

v i

M

f

N

. (Quotient). Sei M ein R-Modul und sei N ⊂ M ein Untermodul. Es ist M/N die Menge von Restklassen modulo V. Ist x ∈ M so schreiben wir x¯ = x + N für seine Restklasse. Es gibt genau eine Struktur von R-Modul auf M/N, so dass die kanonische Projektion p : M −→ M/N x 7−→ x¯ ein R-Modulnhomomorphismus ist. Die universelle Eigenschaft des Quotients ist: zu jeder Rlineare Abbildung v : M −→ V mit v(x) =  für alle x ∈ N gibt es genau eine R-lineare Abbildung ¯ = v(x) für alle x ∈ M. u : M/N −→ V mit u(x) N

M

p

M/N

u

v

V . (Kokern). Sei f : M −→ N eine R-lineare Abbildung. Dann gibt es den Kokern coker(f ) = N/im(f ) 



Kommutative Algebra

von f , und es kommt mit der kanonischen Projektion p : N −→ coker(f ) . Dann ist die folgende universelle Eigenschaft erfüllt: zu jede R-lineare Abbildung v : N −→ V gibt es genau eine R-lineare Abbildung u : coker(f ) −→ V mit u ◦ p = v. f

M

p

N

coker(f )

u

v

V (Folgt einfach aus der universellen Eigenschaft des Quotients.) Definition . (Exakte Sequenze). Ein Diagram von R-Moduln der Form M

f

N

g

P

ist eine exakte Sequenz, wenn die zwei folgenden Eigenschaften gelten: . es ist g(f (x)) =  für alle x ∈ M; . ist y ∈ N mit g(x) = , so existiert ein x ∈ M mit f (x) = y. Äquivalent gilt ker(g) = im(f ) . Im Allgemeinen, sei n ≥ , ist ein Diagramm von R-Moduln der Form M

f

M

f

f

M

···

fn

Mn

eine exakte Sequenz, wenn ker(fi ) = im(fi− ) für jedes i mit  ≤ i ≤ n gilt. Eine exakte Sequenz links ist eine exakte Sequenz der Form M

{}

f

N

g

P.

Eine exakte Sequenz recht ist eine exakte Sequenz der Form M

f

N

g

P

{} .

Eine kurze exakte Sequenz is eine exakte Sequenz der Form {}

M

f

N

g

P

{} .

Beispiel .. Eine R-lineare Abbildung f : M −→ N ist genau dann injektiv, wenn das Diagramm {} eine exakte Sequenz ist.

M

f

N

Kapitel . Exakte Sequenzen



Beispiel .. Ein Diagramm von R-Moduln f

M

{}

N

g

P.

ist eine links exakte Sequenz genau dann, wenn die folgenden Eigenschaften gelten: (i) die Abbildung f ist injektiv; (ii) es ist g ◦ f = ; (iii) die induzierte Abbildung M −→ ker(g) ist ein Isomorphismus. Äquivalent: (i’) für jedes x ∈ M gilt g(f (x)) = ; (ii’) für jedes y ∈ N mit g(y) =  gibt es genau ein x ∈ M mit f (x) = y. Beispiel .. Eine R-lineare Abbildung f : M −→ N ist genau dann surjektiv, wenn das Diagramm M

f

N

{}

eine exakte Sequenz ist. Beispiel .. Ist f : M −→ N ein Homomorphismus von R-Moduln, so erhalten wir eine kanonische exakte Sequenz: {}

ker(f )

M

f

N

coker(f )

{} .

Also ist f ein Isomorphismus genau dann, wenn {}

M

f

N

{}

eine exakte Sequenz ist. .. Für zwei R-Moduln M und N ist HomR (M, N) der Modul von R-linearen Abbildungen M −→ N. Ist f : M0 −→ M eine R-lineare Abbildung, so ist die Abbildung f ∗ : HomR (M, N) −→ HomR (M0 , N) u 7−→ u ◦ f R-linear. Analog, für eine R-lineare Abbildung g : N −→ N 0 ist die Abbildung g∗ : HomR (M, N) −→ HomR (M, N 0 ) u 7−→ g ◦ u R-linear.



Kommutative Algebra

Hilfsatz .. Ein Morphismus von R-Moduln f : M −→ N ist genau dann injektiv, wenn für alle R-Moduln V die Abbildung f∗ : HomR (V, M) −→ HomR (V, N) injektiv ist. Beweis. Für V = R ist HomR (V, M)  M durch u 7−→ u(). Ist f∗ injektiv für V = R, so ist die Abbildung f injektiv, denn sie isomorph zu f∗ : HomR (R, M) −→ HomR (R, M) ist. Umgekehrt, ist f injektiv und sei V ein beliebiger R-Modul, so ist die induzierte Abbildung f∗ : HomR (V, M) 7−→ HomR (V, N) injektiv denn: ist u : V −→ M R-linear mit f ◦ u = , dann ist f (u(x)) =  für alle x ∈ V; da f injektiv ist folgt es, dass u(x) =  für jedes Element x von V gilt. Also ist u = . Satz .. Sei f

M

{}

g

N

P.

eine exakte Sequenz links. Zu jeder R-lineare Abbildung v : V −→ N mit g ◦ v =  gibt es genau eine R-lineare Abbildung u : V −→ M mit f ◦ u = v. V u

M

v f

g

N

P

Beweis. Sei i : ker(g) −→ N die Inklusionsabbildung. Da g ◦ f =  gilt gibt es genau eine R-lineare Abbildung q : M −→ ker(g) mit i ◦ q = f . Die Abbildung q ist surjektiv denn ker(g) = im(f ) gilt. Da f injektiv ist folgt es, dass q bijektiv ist. Die universelle Eigenschaft des Kerns heißt, dass es genau eine R-lineare Abbildung w : V −→ ker(g) mit i ◦ w = v. V w

ker(g)

v i

N

g

Sei u = q− ◦ w : V −→ M. Es ist für jedes x ∈ V f ◦u = i ◦q◦u = i ◦ q ◦ q− ◦ w = i ◦w =v Die Eindeutigkeit von u folgt aus Lemma ..

P

Kapitel . Exakte Sequenzen



Korollar .. Ein Diagramm von R-Moduln der Form {}

M

f

N

g

P

ist genau dann eine exakte Sequenz links, wenn für alle R-Moduln V, {}

HomR (V, M)

f∗

g∗

HomR (V, N)

HomR (V, P)

eine exakte Sequenz links ist. Beweis. Sei {}

M

f

N

g

P

eine exakte Sequenzen links und sei V ein R-Modul. Es folgt aus Satz ., dass die Sequenz {}

HomR (V, M)

f∗

g∗

HomR (V, N)

HomR (V, P)

exakt links ist. Umgekehrt, ist die Sequenz {}

HomR (V, M)

f∗

g∗

HomR (V, N)

HomR (V, P)

für alle V exakt links, dann mit V = R erhalten wir bis auf Isomorphie eine exakte Sequenz links {}

M

f

N

g

P,

was zu beweisen wäre. Hilfsatz .. Ein Morphismus von R-Moduln f : M −→ N ist genau dann surjektiv, wenn für alle R-Moduln V die Abbildung f ∗ : HomR (N, V) −→ HomR (M, V) injektiv ist. Beweis. Sei f surjektiv und sei u : N −→ V eine R-lineare Abbildung mit u ◦ f = . Dann, für jedes Element y ∈ N gilt u(y) =  denn es existiert ein Element x ∈ M mit f (x) = y, so dass u(y) = u(f (x)) =  gilt. Umgekehrt, sei f ∗ injektiv für alle R-Moduln V. Wir werden zeigen, dass im(f ) = N gilt. Sei p : N −→ coker(f ) = N/im(f ) die kanonische Projektion. Es ist p ◦ f = . Also ist f ∗ (p) = . Da f ∗ injektiv für V = coker(f ) ist folgt es, dass p =  gilt. Das heißt, dass im(f ) = N ist.



Kommutative Algebra

Satz .. Sei M

f

g

N

P

{}

eine exakte Sequenz recht. Zu jeder R-lineare Abbildung v : N −→ V mit v ◦ f =  gibt es genau eine R-lineare Abbildung u : P −→ V mit u ◦ g = v. M

f

g

N

P

u

v

V Beweis. Sei v : N −→ V eine R-lineare Abbildung mit v◦f = . Nach dem universellen Eigenschaft des Quotients gibt es genau eine R-lineare Abbildung w : coker(f ) −→ V mit w ◦ p = v, wobei p : N −→ coker(f ) die kanonische Projektion ist. f

M

p

N

coker(f )

w

v

V Analog gibt es genau eine R-lineare Abbildung q : coker(f ) −→ P mit q ◦ p = g. Die Abbildung q ist surjektiv denn g surjektiv ist, und sie ist auch injektiv da ker(g) = im(f ) = ker(p) und ker(q) = ker(g)/im(f ) = im(f )/im(f ) = {} . Sei u = w ◦ q− : P −→ V. Dann gilt: u ◦ g = w ◦ q− ◦ q ◦ p = w◦p = v. Die Eindeutigkeit von u folgt aus der Surjektivität von g nach Lemma .. Korollar .. Ein Diagramm von R-Moduln der Form M

f

N

g

P

{}

ist genau dann eine exakte Sequenz recht, wenn für alle R-Moduln V, {}

HomR (P, V)

g∗

HomR (N, V)

f∗

eine exakte Sequenz links ist. Beweis. Ist M

f

N

g

P

{}

HomR (M, V)

Kapitel . Exakte Sequenzen



eine exakte Sequenze recht, dann ist {}

g∗

HomR (P, V)

HomR (N, V)

f∗

HomR (V, M)

eine exakte Sequenze links für alle V, nach Satz .. Umgekehrt, haben wir exakte Sequenzen für alle V wie oben, so ist insbesondere g surjektiv, nach Lemma .. Es ist auch g ◦ f =  da g ◦ f = idP ◦ g ◦ f = f ∗ (g ∗ (idP ) =  gilt. Insbesondere ist im(f ) ⊂ ker(g). Sei p : N −→ coker(f ) die kanonische Projektion. Nach der universellen Eigenschaft des Quotients gibt es genau eine R-lineare Abbildung q : coker(f ) −→ P mit q ◦ p = g. Es gibt eine exakte Sequenz links {}

HomR (P, coker(f ))

g∗

HomR (N, coker(f ))

f∗

HomR (coker(f ), M)

und f ∗ (p) = p ◦ f = . Daher gibt es genau eine R-lineare Abbildung q0 : P −→ coker(f ) mit q0 ◦ g = p. Es ist q0 ◦ q die Identität da q0 ◦ q ◦ p = p gilt, nach der universellen Eigenschaft des Quotients. Analog ist q ◦ q0 die Identität. Das heißt, dass q bijektiv ist. Daher ist im(f ) = ker(p) = ker(g). Aufgabe .. Sei M

f

a

P

N b◦f = g ◦a

b g

Q

ein kommutatives Quadrat von R-Moduln. . Angenommen gibt es eine exakte Sequenz links M

{}

ϕ

N⊕P

ψ

Q

wobei ϕ(x) = (f (x), a(x)) und ψ(y, z) = b(y) − g(z). Zeigen Sie, dass die Abbildung f bzw. a einen Isomorphismus ker(a)  ker(b) bzw. ker(f )  ker(g) induziert. . Angenommen Angenommen gibt es eine exakte Sequenz links M

ϕ

ψ

N⊕P

Q

{}

wobei ϕ und ψ wie oben definiert sind. Zeigen Sie, dass die Abbildung g bzw. b einen Isomorphismus coker(a)  coker(b) bzw. coker(f )  coker(g) induziert. . Angenommen ist f surjektiv und a induziert einen Isomorphismus ker(f )  ker(g). Zeigen Sie, dass {} eine exakte Sequenz links ist.

M

ϕ

N⊕P

ψ

Q



Kommutative Algebra . Angenommen ist g injektiv und b induziert einen Isomorphismus coker(f )  coker(g). Zeigen Sie, dass ϕ

M

N⊕P

ψ

Q

{}

eine exakte Sequenz recht ist. . Sei M ein R-Modul und seien P ⊂ N ⊂ M Untermoduln. Erklären Sie warum aus Frage . folgt es, dass der noethersche Isomorphismus M/N  (M/P)/(N/P) gilt. Zeigen Sie, dass es eine kurze exakte Sequenz der Form {}

N

N/P ⊕ M

M/P

{}

gibt. Aufgabe .. Sei {}

f

M

N

g

P

{} .

ein Diagramm von R-Moduln. Zeigen Sie, dass die Folgenden Aussagen äquivalent sind. . Dieses Diagramm ist eine kurze exakte Sequenz und es gibt ein R-Modulnhomomorphismus s : P −→ N mit g ◦ s = idP . . Dieses Diagramm ist eine kurze exakte Sequenz und es gibt ein R-Modulnhomomorphismus r : N −→ M mit r ◦ f = idM . '

. Es gibt einen Isomorphismus von R-Moduln ϕ : M ⊕ P −→ N, so dass f bzw. g die Komposition von ϕ mit der kanonischen Inklusionsabbildung M ⊂ M ⊕ P bzw. die Komposition von der kanonischen Projektion auf P mit ϕ ist. . Für jeden R-Modul V ist {}

HomR (P, V)

g∗

HomR (N, V)

f∗

HomR (V, M)

{}

HomR (V, P)

{}

eine kurze exakte Sequenz. . Für jeden R-Modul V ist {}

HomR (V, M)

eine kurze exakte Sequenz.

f∗

HomR (V, N)

g∗

Kapitel 

Exakte Sequenzen vergleichen und konstruieren

Satz . (Fünferlemma). Wir erhalten ein kommutatives Diagramm von R-Moduln der Form {}

M

f

m

M0 {}

N

{} g

n f0

N0

U

p

q

v

u g0

V

{}

U0

p0

{}

W w

V0

q0

W0

{}

wobei jede Zeile und jede Reihe exakt ist (also ist jede Zeile exakt mit m surjektiv, w injektiv, und beide n und v bijektiv). Dann ist u ein Isomorphismus.

Beweis. Zu Injektivität –. Sei x ∈ U mit u(x) = . Also ist p0 (u(x)) = v(p(x)) =  mit v bijektiv. Daher es folgt, dass p(x) =  gilt. Also gibt es ein Element y ∈ N mit g(y) = x, denn ker(p) = im(g). Es ist  = u(x) = u(g(y)) = g 0 (n(y))

und

ker(g 0 ) = im(f 0 ) .

Daher gibt es z 0 ∈ M0 mit f 0 (z 0 ) = n(y). Es gibt z ∈ M mit z 0 = m(z) denn m surjektiv ist. Also erhalten wir n(f (z)) = f 0 (m(z)) = f 0 (z 0 ) = n(y) . Aus der Injektivität von n folgt es, dass f (z) = y ist. Daher gilt x = g(y) = g(f (z)) = . Zu Surjektivität –. Sei x0 ∈ U0 . Wir schreiben a0 = p0 (x0 ) und a = v − (a0 ), so dass p0 (x0 ) = a0 = v(a) 



Kommutative Algebra

gilt. Es ist q(a) =  denn w(q(a)) = q0 (v(a)) = q0 (p0 (x0 )) =  gilt, mit w injektiv. Daher gibt es x ∈ U mit p(x ) = a. Wir erhalten p0 (x0 − u(x )) = p0 (x0 ) − p0 (u(x )) = p0 (x0 ) − v(p(x )) = p0 (x0 ) − v(a) =  . Das zeigt, dass es ein y 0 ∈ N 0 mit g 0 (y 0 ) = x0 − u(x ) existiert. Sei y = n− (y 0 ). Wir betrachten x = x + g(y). Dann gilt: u(x) = u(x ) + u(g(y)) = u(x ) + g 0 (n(y)) = u(x ) + g 0 (y 0 ) = u(x ) + x0 − u(x ) = x0 . Also ist u surjektiv. Korollar .. Sei f

M

{}

p

M0

{}

g

N q

f0

P r

N0

g0

P0

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln wobei jede Zeile eine exakte Sequenz links ist. Wir nehmen an, dass beide q und r Isomorphismen sind. Dann ist p ein Isomorphismus. Beweis. Man betrachtet das Diagramm {}

f

M

{}

p

{}

g

q f0

M0

{}

N N0

P r

g0

P0

und anwendet das Fünflemma (.). Korollar .. Sei M

f

p

M0

N

g

q f0

N0

P

{}

P0

{}

r g0

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln wobei jede Zeile eine exakte Sequenz recht ist. Wir nehmen an, dass beide p und q Isomorphismen sind. Dann ist r ein Isomorphismus.

Kapitel . Exakte Sequenzen vergleichen und konstruieren



Beweis. Man betrachtet das Diagramm f

M p

g

N q

f0

M0

P

{}

{}

P0

{}

{}

P

{}

P0

{}

r g0

N0

und anwendet das Fünflemma (.). Korollar .. Sei f

M

{}

p

q f0

M0

{}

g

N

r g0

N0

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln wobei jede Zeile eine kurze exakte Sequenz ist. Wir nehmen an, dass beide p und r Isomorphismen sind. Dann ist q ein Isomorphismus. Beweis. Man betrachtet das Diagramm f

M

{}

p

q f0

M0

{}

g

N

P

{}

P0

{}

P

{}

P0

{}

r g0

N0

und anwendet das Fünflemma (.). Satz . (Schlangenlemma). Sei f

M

{}

p

q f0

M0

{}

g

N

r g0

N0

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln wobei die zwei Zeilen kurze exakte Sequenzen sind. Dann gibt es eine kanonische exakte Sequenz der folgenden Form f¯

ker(p)

{}

ker(q)

g¯

ker(r)

∂

coker(p)

f¯0

coker(q)

g¯ 0

coker(r)

{}

wobei f¯ bzw. g¯ bzw. f¯0 bzw. g¯ 0 die Abbildung induziert von f bzw. g bzw. f 0 bzw. g 0 . Die Abbildung ∂ heißt den Verbindungshomomorphismus. Beweis. Erste Teil –. Nun werden wir zeigen, dass es eine kanonische exakte Sequenz links {}

ker(p)

f¯

ker(q)

g¯

ker(r)



Kommutative Algebra

gibt. Die Abbildung f¯ bzw. g¯ ist die Einschränkung von f bzw. von g. Insbesondere ist f¯ injektiv da f diese Eigenschaft hat. Die Gleichung f¯ ◦ g¯ =  ist klar auch. ¯ Sei y ∈ ker(q) mit g(y) = . Dann ist y ∈ N mit g(y) = . Daher gibt es ein Element x ∈ M mit f (x) = y. Es ist x ∈ ker(p) denn f 0 (p(x)) = q(f (x)) = q(y) =  gilt und f 0 injektiv ist. Zweite Teil –. Jetzt werden wir beweisen, dass coker(p)

f¯0

coker(q)

g¯ 0

coker(r)

{}

eine exakte Sequenz recht ist. Die Abbildung f¯0 sendet die Restklasse einem Element x0 von M0 zur Restklasse von f 0 (x0 ). Das ist wohldefiniert und es bestimmt f 0 da f (im(p)) ⊂ im(q), nach der universellen Eigenschaft des Quotients. Analog sendet die Abbildung g¯ 0 die Restklasse einem Element y 0 von N 0 zur Restklasse von g 0 (y 0 ). Insbesondere ist g¯ 0 surjektive da g 0 diese Eigenschaft hat. Die Gleichung f¯0 ◦ g¯ 0 =  ist klar. Sei y 0 ∈ N 0 mit g 0 (y 0 ) ∈ im(r) (das heißt die Restklasse von y 0 modulo im(q) liegt in ker(g¯ 0 )). Wir suchen ein Element x0 ∈ M0 mit f 0 (x0 ) − y 0 ∈ im(q). Sei z ∈ P mit r(z) = g 0 (y 0 ). Da g surjektive ist gibt es y ∈ N mit g(y) = z. Es ist g 0 (y 0 − q(y)) = g 0 (y 0 ) − g 0 (q(y)) = g 0 (y 0 ) − r(g(y)) = g 0 (y 0 ) − r(z) = g 0 (y 0 ) − g 0 (y 0 ) = . Daher gibt es x0 ∈ M0 mit f 0 (x0 ) = y 0 − q(y). Also gilt f 0 (x0 ) − y 0 = q(−y) ∈ im(q). Dritte Teil –. Konstruktion von ∂ : ker(r) −→ coker(p). Sei z ∈ P mit r(z) = . Wir wählen yz ∈ N mit g(yz ) = z. Es ist q(yz ) ∈ im(f 0 ) = ker(g 0 ) denn g 0 (q(yz )) = r(g(yz )) = r(z) =  gilt. Wir wählen xz0 ∈ M0 mit f 0 (xz0 ) = q(yz ) und definieren ∂(z) als die Restklasse von xz0 modulo im(p). Wir sagen, dass ∂(z) nicht von Auswahlen abhängt denn: Seien, für i ∈ {, }, yi ∈ N mit

Kapitel . Exakte Sequenzen vergleichen und konstruieren



g(yi ) = z und seien xi0 ∈ M0 mit f 0 (xi0 ) = q(yi ), so gilt x0 − x0 ∈ im(p). Wir beweisen es wie folgt. Es ist y − y ∈ im(f ) = ker(g) denn g(y − y ) = z − z = . Daher gibt es x ∈ M mit f (x) = y − y . Also gilt f 0 (x0 − x0 ) = f 0 (x0 ) − f 0 (x0 ) = q(y ) − q(y ) = q(y − y ) = q(f (x)) = f 0 (p(x)) . Da f 0 injektiv ist folgt es, dass x0 − x0 = p(x) ∈ im(p) gilt. Die Abbildung ∂ ist jetzt wohldefiniert. Sie ist R-linear denn: • Für dede zi ∈ ker(r) mit i = ,  haben wir g(yz + yz ) = z + z

und

f 0 (xz0  + xz0  ) = q(yz + yz ) .

• Für z ∈ ker(r) und λ ∈ R haben wir g(λ · yz ) = g(λ · z)

und

f 0 (λ · xz0 ) = q(λ · yz ) .

Vierte Teil –. Wir werden endlich zeigen, dass das Diagramm ker(q)

g¯

ker(r)

∂

coker(p)

f¯0

coker(q)

eine exakte Sequenz ist. Für y ∈ N mit q(y) =  ist ∂(g(y)) die Restklasse von x0 mit f 0 (x0 ) = q(y) = . Daher ist x0 =  da f 0 injektiv ist. Also ist ∂ ◦ g¯ = . Sei z ∈ ker(r) mit ∂(z) = . Dann ist z = g(yz ) mit q(yz ) = f 0 (xz0 ) =  und xz0 ∈ im(p). Sei x ∈ M mit p(x) = xz0 . Es ist q(yz ) = f 0 (p(x)) = q(f (x)) . Dann ist y = yz − f (x) ∈ ker(q) und g(y) = g(yz ) − g(f (x)) = z −  = z . ¯ Also ist z ∈ im(g). Sei z ∈ ker(r). Nach Definition ist f¯0 (∂(z)) die Restklasse von q(yz ) modulo im(q). Daher gilt ∂◦f¯0 = . Sei x0 ∈ M0 mit f 0 (x0 ) ∈ im(q). Wir wählen y ∈ N mit q(y) = f 0 (x0 ). Es ist r(g(y)) = g 0 (q(y)) = g 0 (f 0 (x)) =  .  Es folgt insbesondere aus dies, dass, um die Abbildung ∂ zu definieren, der Auswahlaxiom nicht nötig ist. (OptionAufgabe)



Kommutative Algebra

Daher ist g(y) ∈ ker(r) und, nach Konstruktion, ist ∂(g(y)) die Restklasse von x0 modulo im(p). Satz . (Schlangenlemma, Variante). Sei f

M p

P

q f0

M0

{}

g

N N0

{}

r g0

P0

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln wobei die zwei Zeilen kurze exakte Sequenzen sind. Dann gibt es eine kanonische exakte Sequenz der folgenden Form f¯

ker(p)

g¯

ker(q)

ker(r)

∂ f¯0

coker(p)

g¯ 0

coker(q)

coker(r)

wobei f¯ bzw. g¯ bzw. f¯0 bzw. g¯ 0 die Abbildung indutiert von f bzw. g bzw. f 0 bzw. g 0 . Beweis. Dies folgt genauso wie in Satz ., wobei nicht benötigt wird, dass f injektiv und g 0 surjektiv ist. Aufgabe . (Neunerlemma). Sei {}

{}

M

{} f

p

{}

g

q

M0

f0

p0

{}

N

{}

N0

g0

q0

M00

f 00

{}

N 00

P

{}

P0

{}

r

r0 g 00

{}

P00

{}

{}

Ein kommutatives Diagramm von R-Moduln. Wir nehmen an, dass die Reihen ebenso wie die mittel Zeile kurze exakte Sequenzen sind. Mit dem Schlangenlemma zeigen Sie, dass die erste Zeile genau eine kurze exakte Sequenz ist, wenn die dritte Zeile eine kurze exakte Sequenz ist. Aufgabe .. Sei M

f

p

M0

N

g

q f0

N0

P r

g0

P0

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln wobei beide Zeilen exakt Sequenzen sind. Wir nehmen an, dass beide p und g surjektiv sind. Seien y 0 ∈ N 0 und z ∈ P mit r(z) = g 0 (y 0 ). Zeigen Sie, dass es ein Element y ∈ N mit q(y) = y 0 und g(y) = z gibt.

Kapitel 

Lokalisierung von Ringe

Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Definition .. Eine Teimenge S ⊂ A heißt multiplikativ (oder multiplikativ abgeschlossen), wenn  ∈ S und wenn mit a und b in S auch a · b in S liegt. Beispiel .. Für jedes f ∈ A ist die Menge n

o f n n ∈ N

multiplikativ. Beispiel .. Sei p ⊂ A ein Ideal. Nach Definition ist die Menge Sp = A−p genau dann multiplikativ, wenn p ein Primideal ist. Beispiel .. Ist A ein Integritätsring, so ist A − {} multiplikativ (da A − {} ein Primideal ist). Beispiel .. Die Menge A ist multiplikativ. Beispiel .. Die Menge {a ∈ A | a invertierbar} ist multiplikativ. Beispiel .. Ist ϕ : A −→ B ein Ringhomomorphismus (mit B kommutativ) und ist T ⊂ B multiplikativ, so ist ϕ− (T) = {a ∈ A | ϕ(a) ∈ T} eine multiplikative Teilmenge von A. .. Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge. Wir betrachten die Relation ∼ auf A × S: (a, s) ∼ (a0 , s0 )

⇔

es existiert ein t ∈ S mit t · s0 · a = t · s · a0 .

Es ist ∼ eine Äquivalenzrelation (Aufgabe). Die Äquivalenzklasse von (a, s) bezüglich ∼ ist geschrieben as . Die Menge (A × S)/ ∼ von Äquivalenzklassen wird mit S− A oder mit A[S− ] bezeichnet. ` : A −→ S− A a 7−→ `(a) =

a 

die kanonische Projektion. Satz .. Es gibt genau eine Struktur von Ring auf S− A mit dass die kanonische Abbildung von A nach

S− A

a s

=

a 

·

 s

für alle a ∈ A und s ∈ S, so

ein Ringhomomorphismus ist. Außerdem gelten die

folgende Eigenschaften: 



Kommutative Algebra

(i)

a s

+ bt =

(ii)

a s

· bt =

t·a+s·b s·t

a·b s·t

für alle a, b ∈ A und s, t ∈ S;

für alle a, b ∈ A und s, t ∈ S;

(iii) für jedes s ∈ S ist

s 

invertierbar mit

 − s 

= s .

Zuletzt gilt die folgende universelle Eigenschaft. Zu jedem Ringhomomorphismus ϕ : A −→ B mit ϕ(s) invertierbar in B für alle s ∈ S gibt es genau einen Ringhomomorphismus ψ : S− A −→ B mit   ψ a = ϕ(a) für alle a ∈ A. ϕ

A

B

ψ `

S− A Beweis als Aufgabe. Definition .. Der Ring S− A oben heißt die Lokalisierung von A nach S. Beispiel .. Ist p ⊂ A ein Primideal, so setze Ap = Sp− A die Lokalisierung am p. Beispiel .. Ist A ein Integritätsring und S = A − {}, so ist K = (A − {})− A der Quotientkörper von A (also der Körper von Brüche in A). Beispiel .. Falls  ∈ S erhalten wir S− A  {} da  = `() = Notiz .. Die kanonische Abbildung a 7−→

a 

 

invertierbar in S− A ist.

ist nicht immer injektiv.

Satz .. Die kanonische Abbildung A −→ S− A ist genau dann injektiv, wenn S keine Nullteiler enthält. Korollar .. Ist A ein Integritäts ring, so ist die kanonische Abbildung A −→ S− A injektiv. Beweis von Satz .. Sei a ∈ A mit

a 

null=  . Dann gibt es s ∈ S mit s · a = s ·  · a = s ·  ·  = . Falls

s kein Nullteiler ist soll a =  werden. Umgekehrt, ist s ∈ S ein Nullteiler, so existiert a ∈ A nicht null mit s · a = . Also ist

a 

=  mit a , .

Satz . (Funktorialität der Lokalisierung). Sei ϕ : A −→ B ein Ringhomomorphismus und seien S ⊂ A und T ⊂ B multiplikative Teilmengen mit ϕ(S) ⊂ T. Dann existiert genau ein Ringhomomor   ϕ(a)  phismus ψ : S− A −→ T− B mit ψ a =  für alle a ∈ A. A S− A

ϕ

ψ

B T− B

Beweis. Wir anwenden die universelle Eigenschaft von Satz . zum Ringhomomorphismus A −→ T− B definiert durch a 7−→

ϕ(a)  .

Kapitel . Lokalisierung von Ringe



Aufgabe .. Sei f ∈ A. Zeigen Sie, dass A[f − ]  A[X]/(f · X − ) gilt, wobei A[f − ] = S− A mit S die multiplikative Teilmenge von Beispiel ., und (f · X − ) das Hauptideal erzeugt vom Polynom f · X − . Satz .. Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge und sei ` : A −→ S− A die kanonische Abbildung. . Sei P ⊂ S− A ein Primideal. Es ist p = ` − (P) ein Primideal mit S ∩ p = ∅. . Seien P,Q ⊂ S− A zwei Primideale. Dann ist P ⊂ Q genau dann, wenn ` − (P) ⊂ ` − (Q) gilt. . Sei p ⊂ A ein Primideal mit p∩S = ∅. Dann gibt es genau ein Primideal P ⊂ S− A mit p = ` − (P). Tatsächlich ist P=

o n a a ∈ p, s ∈ S . s

Beweis. Zu  –. Es ist p prim denn: im allgemeiner ist das Urbild von einem Primideal durch einem beliebigen Ringhomomorphismus ein Primideal. Kein invertierbares Element von S− A liegt in P da P , S− A. Insbesondere gilt für alle s ∈ S `(s) =

s < P. 

Das heißt genau, dass S ∩ p = ∅ ist. Zu  –. Die Richtung P ⊂ Q ⇒ ` − (P) ⊂ ` − (Q) ist einfach. Umgekehrt, sei ` − (P) ⊂ ` − (Q) und seien a ∈ A und s ∈ S mit Also gilt s · a ∈

` − (P).

Da

` − (P)

prim ist, das heißt, dass a ∈

S ∩ ` − (P) = ∅ ist. Daher ist a ∈ ` − (P) ⊂ ` − (Q). Äquivalent ist

` − (P) a 

a s

∈ P. Dann ist

oder s ∈

∈ Q und daher

` − (P) a s

=

 s

s·a 

∈ P.

gilt. Aber

· a ∈ Q gilt.

Zu  –. Es ist genug zu zeigen, dass P=

n a o a ∈ p, s ∈ S s

ein Primideal mit ` − (P) = p ist (die Eindeutigkeit folgt aus der . Aussage). Es ist einfach P ein Ideal. Keine Einheit von S− A ist in P denn: ist  =

 

∈ P, so ist  ∈ p und das ist eine

Widerspruch. Ist a b · ∈P s t mit a, b ∈ A und s, t ∈ S, so gilt a · b ∈ p. Also gilt a ∈ p oder b ∈ b und daher

a s

∈ P oder

b t

∈ P.

Aufgabe .. Seien p ⊂ q ⊂ A Primideale. Zeigen Sie dass Ap isomorph zur Lokalisierung von n o Aq am Primideal pAq = as a ∈ p, s < q ist. Aufgabe .. Sei p ⊂ A ein Primideal. Zeigen Sie, dass das Quotient Ap /pAp das Quotientkörper vom Integritätsring A/p ist.



Kommutative Algebra

Definition .. Ein Ring R ist lokal, wenn er genau ein maximales Ideal enthält. Beispiel .. Jeder Körper K ist lokal da {} das eindeutige maximale Ideal ist. Satz .. Sei p ⊂ A ein Primideal. Dann ist der Ring Ap , die Lokalisierung am p (.), ein lokaler Ring. Das maximale Ideal von Ap ist pAp =

n a o a ∈ p, s < p . s

Beweis. Es ist pAp ein Primideal von Ap nach der . Aussage von Satz .. Nach Satz . gibt es eine Bijektion zwischen die Menge von Primideale Q ⊂ Ap und die Menge von Primideale q ⊂ A mit q ∩ (A − p) = ∅. Wir bemerken, dass q ∩ (A − p) = ∅

q ⊂ p.

⇔

Nach der . Aussage von . ist pAp das größte Element der Menge aller Primideale von Ap bezüglich die Inklusion. Da jedes maximale Ideal prim ist, ist pAp das eindeutige maximale Ideal von Ap . Satz .. Sei R ein kommutativer Ring. Jedes Ideal a

R ist in ein maximales Ideal enthält.

Beweis. Sei E die Menge von Ideale I mit a ⊂ I, Es ist E , ∅ da a ∈ E. Sei M eine total geordnete nicht-leere Teilmenge von E. Sei I = ∪M = {x ∈ R | es gibt b ∈ M mit x ∈ b} . Man prüft einfach, dass I ein Ideal ist und es ist klar, dass a ⊂ I gilt. Aus dem zornschen Lemma folgt es, dass E ein maximales Element bezüglich die Inklusion hat. Korollar .. Sei R ein kommutativer Ring. Für jedes Element x sind die folgende Aussagen Äquivalent. (i) Es ist x < R× (also ist x keine Einheit in R). (ii) Es gibt ein maximales Ideal m in R mit (x) ⊂ m. (iii) Es gibt ein maximales Ideal m in R mit x ∈ m. Beweis. Die Äquivalenz (ii)⇔(iii) ist einfach. Es ist x < R×

⇔

(x)

R.

Aus Satz . folgt dann, dass (i)⇔(ii) gilt. Satz .. Seien R ein kommutativer Ring und m ⊂ R ein maximales Ideal. Die folgende Aussagen sind äquivalent:

Kapitel . Lokalisierung von Ringe



(i) Der ring R ist lokal. (ii) Für alle x ∈ R ist x ∈ m oder x ∈ R× . Beweis. Aus Korollar . folgt (i)⇒(ii). Umgekehrt, gilt Aussage (ii) und sei p ein Primideal, so ist x < R× für jedes x ∈ p. Daher ist p ⊂ m. Das heißt, dass m das eindeutige maximale Ideal ist. Notiz .. Ist R ein lokaler Ring, so ist R − R× das maximale Ideal. Aufgabe . (Funktionskeime). Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit (z.B. X ⊂ Rn geoffnet) und sei x ∈ X. Für jede offene Umgebung U ⊂ X von x ist C ∞ (U) der Ring von differenzierbare Funk∞ tionen auf X. Wir betrachten die Quotientmenge CX,x von paare der Form (U, f ) mit U ⊂ X eine

offene Umgebung von x, und f ∈ C ∞ (U), bezüglich die folgende Äquivalenzrelation: (U, f ) ∼ (V, g)

⇔

es gibt eine offene Umgebung x ∈ W ⊂ U ∩ V mit f|W = g|W .

∞ Ein Element von CX,x heißt Funktionskeim am x. Ist f : U −→ R eine glatte Funktion definiert

auf einer Umgebung von x, so bezeichnen wir fx den entsprechende Funktionskeim. Es gibt ge∞ nau eine Struktur von Ring auf CX,x , so dass für jede Umgebung U die Abbildung f 7−→ fx ein ∞ Ringhomomorphismus von C ∞ (U) nach CX,x ist. Es gibt auch ein wohldefinierter Ringhomo-

morphismus ∞ CX,x −→ R

fx 7−→ f (x) . Dieser Ringhomomorphismus ist einfach surjektiv (betrachtend konstante Funktionnen). Daher ist ∞ m = {fx ∈ CX,x | f (x) = }

ein maximales Ideal. . Sei x ∈ U ⊂ X eine offene Umgebung und sei f ∈ C ∞ (U) mit f (x) , . Zeigen Sie, dass es eine offene Umgebung x ∈ V ⊂ U mit durch x 7−→

 f (x)

 f|V

∈ C ∞ (V) gibt (wobei die Funktion

für x ∈ V).

∞ . Zeigen Sie, dass der Ring CX,x lokal ist.

Aufgabe .. Sei x ∈ R. Zeigen Sie, dass die folgende Aussagen äquivalent sind. (i) Für alle y ∈ R ist  + x · y invertierbar. (ii) Für jedes maximal Ideal m ⊂ R gilt x ∈ m.

 f|V

ist definiert

Kapitel 

Lokalisierung von Moduln

Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. .. Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge. Für jeder A-Modul M betrachten wir die Äquivalenzrelation ∼ auf M × S definiert durch: (x, s) ∼ (x0 , s0 )

es existiert ein t ∈ S mit t · s0 · x = t · s · x0 .

⇔

Die Äquivalenzklasse von (x, s) bezüglich ∼ ist geschrieben xs . Die Menge (M × S)/ ∼ von Äquivalenzklassen wird mit S− M oder mit M[S− ] bezeichnet. Satz .. Es gibt genau eine Struktur von S− A-Modul auf S− M mit der folgenden Eigenschaften: y t

(i)

x s

+

(ii)

a s

· xt =

=

t·x+s·y s·t

a·x s·t

für alle x, y ∈ M und s, t ∈ S;

für alle a ∈ A, x ∈ M, und s, t ∈ S.

Insbesondere ist die Abbildung x 7−→

x 

eine A-lineare Abbildung von M nach S− M. Zuletzt gilt die

folgende universelle Eigenschaft. Zu jedem A-lineare Abbildung ϕ : M −→ N nach einem S− A-Modul   gibt es genau eine S− A-lineare Abbildung ψ : S− M −→ N mit ψ x = ϕ(x) für alle x ∈ M. M

ϕ

N

ψ

S− M Beweis als Aufgabe. Definition .. Der S− A-Modul heißt die Lokalisierung von M nach S. Beispiel .. Sei f ∈ A und sei S = {f n | n ∈ N}. Dann bezeichnen wir M[f − ] = S− M. Aufgabe .. Beschreiben Sie M[f − ] (bis auf Isomorphie) explizit als geeignetes Quotient der L Summe M(N) = N M. Notiz .. Sind M und N zwei S− A-Moduln, so ist jede A-linear Abbildung f : M −→ N eine S− A-lineare Abbildung: für alle a ∈ A, s ∈ S, x ∈ M gilt a  a · f (x) = f ·x s s 



Kommutative Algebra

da die Abbildung y 7−→

s 

· y bijektiv ist und

a   s a  s a  s a a · · f (x) = · f (x) = f ·x = f · ·x = ·f ·x  s    s  s gilt. Also ist HomA (M, N) = HomS− A (M, N) . Aber, nach Definition gilt HomA (M, N)  HomS− A (S− M, N) . Daher gilt HomS− A (M, N)  HomS− A (S− M, N) . Das heißt, dass zu jeder S− A-linear Abbildung f : M −→ N gibt es genau eine S− A-linear Ab bildung g : S− M −→ N mit g x ) = f (x) für alle x ∈ M. Es folgt aus dies, dass die Abbildung x 7−→

x 

an Isomorphismus von S− A-Moduln M  S− M ist (beide haben die gleiche universelle

Eigenschaft). Insbesondere, für alle A-Moduln M gilt S− (S− M)  S− M . Korollar .. Sei f : M −→ N eine A-lineare Abbildung. Es gibt eine genau eine S− A-lineare Abbildung S− f : S− M −→ S− N, die

x 

zu

f (x) 

für jedes x ∈ M sendet. f

M S− A

S− f

N S− N

Satz .. Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge. Ist {}

f

M

N

g

P

{}

eine kurze exacte Sequenz von A-Moduln, so ist {}

S− M

S− f

S− N

S− g

S− P

{}

eine kurze exacte Sequenz von S− A-Moduln. Beweis. Wir zeigen erst, dass S− f injektiv ist. Sei x ∈ M und sei s ∈ S mit x f (x) = (S− f ) = . s s Dann gibt es t ∈ S mit  = t · s · f (x) = f (t · s · x) .

Kapitel . Lokalisierung von Moduln



Da f injektiv ist folgt es, dass t · s · x =  ist. Also gilt

x s

=  in S− M.

Es ist nun genug zu zeigen, dass das Diagramm S− M

S− f

S− N

S− g

S− P

{}

eine kurze exakte Sequenz recht ist (als A-Modul oder als S− A-Modul, es ist egal). Nach Korollar . ist es äquivalent zu zeigen, dass, für jeden S− A-Modul V, das Diagramm (..)

{}

HomS− A (S− P, V)

(S− g)∗

HomS− A (S− N, V)

(S− f )∗

HomS− A (S− M, V)

eine exakte Sequenz links ist. Aber, die universelle Eigenschaft der Lokalisierung von Moduln bedeutet, dass für jeden A-Modul U, die kanonische Abbildung U −→ S− U einen Isomorphismus HomS− A (S− U, V)  HomA (U, V) für alle S− A-Moduln V induziert. Also ist das Diagramm (..) ein Teildiagramm von {} (..)

HomS− A (S− P, V)

(S− g)∗

HomS− A (S− N, V)

o

{}

(S− f )∗

HomS− A (S− M, V)

o g∗

HomA (P, V)

o

HomA (N, V)

f∗

HomA (M, V) .

Schließlich, nach Korollar . ist die zweite Zeile des letzteres eine exakte Sequenz links. Korollar .. Sei S ⊂ A eine Multiplikative Teilmenge. Ist M

f

N

g

P

eine exakte Sequenz von A-Moduln, so ist S− M

S− f

S− N

S− g

S− P

eine exakte Sequenz. Beweis als Aufgabe. Definition .. Sei M ein A-Modul. Zu jedem Primideal p ⊂ A erhalten wir ein Ap -Modul Mp = (A − p)− M Satz .. Sei M ein A-Modul. Dann sind die folgende Aussagen äquivalent: (i) M = {}. (ii) Mp = {} für jedes Primideal p ⊂ A. (iii) Mp = {} für jedes maximale Ideal p ⊂ A.



Kommutative Algebra

Beweis. Klar gilt (i)⇒(ii)⇒(iii). Es ist dann genug zu zeigen, dass (iii)⇒(i) gilt. Sei x ∈ M. Der Annulator von x Ann(x) = {a ∈ A | a · x = } ist offenbar ein Ideal von A. Für jedes maximale Ideal p ⊂ A, wegen Mp = {} existiert ein a < p mit a · x = , also a ∈ Ann(x). Aber ist x , , so ist Ann(x) , A. Nach Satz . existiert ein maximales Ideal p mit Ann(x) ⊂ p – Widerspruch. Korollar .. Sei f : M −→ N eine A-lineare Abbildung. Es ist f ein Isomorphismus genau dann, wenn für jedes Primideal p, die induzierte Ap -lineare Abbildung fp : Mp −→ Np bijektiv ist. Beweis. Wir haben die kanonische exakte Sequenz {}

ker(f )

M

f

N

coker(f )

{} .

Für jedes p, erhalten wir nach Korollar . exakte Sequenzen der Form {}

ker(f )p

Mp

fp

Np

coker(f )p

{}

und wegen fp ist bijektiv gilt: ker(f )p = {}

und

coker(f )p = {} .

ker(f ) = {}

und

coker(f ) = {} .

Nach Satz . gilt:

Also ist f bijektiv. Aufgabe .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei p ⊂ A ein Primideal mit Mp = {}. Zeigen Sie, dass es ein Element f ∈ A − p mit M[f − ] = {} existiert. Zeigen Sie, dass Mq = {} für alle Primideale q ⊂ A mit f < q ist. .. Sei I ⊂ A ein Ideal und sei M ein A-Modul. Wir definieren IM = { a · x | a ∈ I x ∈ M } . Es ist ein Untermodul von M, und das Quotient M/IM ist kanonisch ein A/I-Modul. Satz . (Krull-Nakayama-Lemma). Sei I ⊂ A ein Ideal, welches in allen maximalen Idealen von A enthalten ist. Sei M ein A-Modul mit Untermodul N ⊂ M, so dass M/N endlich erzeugt ist. Gilt M = IM + N, so ist schon M = N.

Kapitel . Lokalisierung von Moduln



Beweis. Sei n ∈ N minimal bezüglich die Eigenschaft, dass x , . . . , xn ∈ M existiert und die Restklassen x¯ , . . . , x¯n ein Erzeugendensystem von P = M/N bilden. Angenommen n > . Wegen M = IM + N gilt IP = P. Also existiert a ∈ I und y ∈ P mit x¯n = a · y . Es gibt b , . . . , bn ∈ A mit y=

n X

bi · x¯i .

i=

Wir definieren ai = a · bi ∈ I und erhalten x¯n =

n X

ai · x¯i .

i=

Es folgt ( − an ) · x¯n =

n− X

ai · x¯i .

i=

Es ist −an < m für jedes maximale Ideal m ⊂ A da an ∈ I ⊂ m und  < m gilt. Daher ist (−an ) = A (nach Satz .). Also ist  − an eine Einheit von A. Durch Multiplikation mit ( − an )− folgt, dass M schon von x¯ . . . , x¯n− erzeugt wird – Widerspruch. Aslo ist n =  und P = {}. Äquivalent ist M = N. Korollar .. Sei A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m und M ein endlich erzeugter A-Modul. Sind x , . . . , xn ∈ M Elemente, deren Restklassen x¯ , . . . , x¯n den Modul M/mM erzeugen, so wird M von x , . . . , xn erzeugt. Beweis. Anwendung von Satz . mit I = m und N ⊂ M der von x , . . . , xn erzeugte Untermodul.

Aufgabe .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei p ⊂ A ein Primideal. Sei κ(p) = Ap /pAp und sei V(p) = Mp /(pAp )Mp . . Zeigen Sie, dass κ(p) ein Körper und V(p) ein endlich erzeugter κ(p)-Vektorraum sind. . Sei n = dim V(p) (als κ(p)-Vektorraum). Zeigen Sie, dass Mp von n Elemente erzeugt ist. . Sei n = dim V(p). Zeigen Sie, dass es ein Element f ∈ A − p gibt, so dass M[f − ] von n Elemente als A[f − ]-Modul erzeugt wird. Aufgabe .. Sei I ⊂ A ein Ideal. Seien M ein endlich erzeugter A-Modul, und N ⊂ M ein Untermodul. Wir nehmen an, dass IM + N = M gilt. (i) Zeigen Sie, dass S =  + I = { + a | a ∈ I} ein Multiplikative Teilmenge von A ist.



Kommutative Algebra

(ii) Zeigen Sie, dass S− M endlich erzeugt als S− A-Modul ist. (iii) Zeigen Sie, dass das Ideal S− I ⊂ S− A in allen maximalen Idealen von S− A enthalten ist. Hinweis: zeigen Sie, dass für jedes a ∈ S− I die Summe  + a invertierbar in S− A ist. (iv) Zeigen Sie, dass S− N = S− M gilt. (v) Zeigen Sie, dass es ein Element a ∈ I mit ( + a)M ⊂ N gibt. Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei f : M −→ M ein surjektiver Endomorphismus. Dann ist f bijektiv. Beweis. Es ist M ein A[X]-Modul durch p · x = p(f )(x) = an · f n (x) + · · · + a · x wobei p(X) = an · Xn + · · · + a mit a , . . . , an ∈ A. Außerdem gilt im(f ) = IM wobei I = (X) ⊂ A[X] das Hauptideal erzeugt von X ist. Da f surjektiv ist erhalten wir M = IM. Nach Aufgabe . (mit N = {}) existiert ein p ∈ (X) mit x+p·x =  für alle x ∈ M. Also ist p = X·q mit q ∈ A[X]. Sei g : M −→ M die A-lineare Abbildung definiert durch g(x) = q · x. Für jedes x ∈ M ist  = x + p · x = x + g(f (x)) = x + f (g(x)) . Das heißt, dass f invertierbar mit Umkehrabbildung f − = −g ist. Aufgabe .. Seien f , g : M −→ M zwei Endomorphismen einem endlich erzeugten A-Modul. Sei I ⊂ A ein Ideal im Durchschnitt aller maximalen Ideale. Wir nehmen an, dass f surjektiv und im(g) ⊂ IM ist. Zeigen Sie, dass die Abbildung h = f + g : M −→ M bijektiv ist.

Kapitel 

Noethersche Ringe

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Definition .. Der Ring R heißt noethersch (nach Emmy Noether), wenn jedes Ideal a ⊂ R endlich erzeugt ist. Satz .. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) R ist noethersch. (ii) Jede aufsteigende Kette a ⊂ a ⊂ . . . ⊂ an ⊂ . . . von Idealen wird stationär (das heißt es existiert N ∈ N mit an = a N für alle n ≥ N). (iii) Jede nichtleere Menge I von Idealen von R besitzt ein maximales Element (bezüglich die Inklusion). Beweis. Zu (i)⇒(ii). Sei a =

S

n≥ an .

Es ist ein Ideal (da endlich viele Elemente von a liegen in

einem an für n groß genug). Ist a erzeugt von a , . . . , ak , so gibt es ein N ∈ N mit a , . . . , ak ∈ a N . Für n ≥ N erhalten wir a ⊂ a N ⊂ an ⊂ a . Daher gilt a = a N = an . Zu (ii)⇒(iii). Angenommen hat I kein maximales Element. So existiert eine aufsteigende Kette a ( a ( . . . ⊂ an ( . . . Zu (iii)⇒(i). Sei a ein Ideal von R und I die Menge aller in a enthalten endlich erzeugten Ideale. Wegen {} ∈ I ist I nichtleer. Sei b ein maximales Element von I. Es ist nach Definition b ⊂ a. Umgekehrt, ist a ∈ a, so ist b0 = R · a + b endlich erzeugt mit b ⊂ b0 ⊂ a. Wegen der Maximalität von b folgt b = b0 . Insbesondere ist a ∈ b. Also ist a = b ∈ I. Beispiel .. Körper sind noethersch. Beispiel .. Hauptidealringe sind noethersch. Insbesondere ist Z noethersch. Satz . (Hilbertscher Basissatz). Ist R noethersch, so ist auch R[X] noethersch. 



Kommutative Algebra

Beweis. Angenommen ist a ⊂ R[X] ein nicht endlich erzeugtes Ideal. Wir definieren eine aufsteigende Kette a ( a ( . . . ⊂ an ( . . . ( a und eine Folge von Polynome p , p , . . . , pn+ , . . . induktiv über n wie folgt. Für n =  betrachten wir a = {}. Ist n ≥  und haben wir schon das Ideal an ( a, so betrachten wir dn+ = min{ deg(p) | p ∈ a − an } ∈ N> . Dann wählen wir pn+ ∈ a − an mit deg(pn+ ) = dn+ . Wir definieren an+ = an + R[X] · pn+ = (p , p , . . . , pn+ ) . Für n > , sei cn ∈ R der Leitkoeffizient von pn . Also ist qn = pn − cn · Xdn ∈ R[X] ,

deg(qn ) < dn .

Sei bn = (c , . . . , cn ) ⊂ R . Es ist cn+ < bn denn: wäre cn+ =

n X

λi · ci

mit λi ∈ R,

i=

so läge das Polynom f =

n X

λi · Xdn+ −di · pi

i=

=

n X

λi · Xdn+ −di · (qi + ci · Xdi )

i=

=q+

n X

λi · Xdn+ −di · ci · Xdi

mit deg(q) < dn+

i=

= q + cn+ · Xdn+ in an ; daher würde pn+ − f = qn+ − q ∈ a − an

mit deg(pn+ − f ) < dn+

im Widerspruch zur Wahl von pn+ . Schließlich erhalten wir eine aufsteigende Kette von Idealen b ( b ( . . . ⊂ bn ( . . . ⊂ R . Das heißt, dass R nicht noethersch ist. Korollar .. Ist R noethersch, so ist R[X , . . . , Xn ] noethersch für alle n ≥ .

Kapitel . Noethersche Ringe



Beweis. Induktiv über n durch R[X , . . . , Xn ]  R[X , . . . , Xn− ][Xn ] für n > . Definition .. Ein R-Modul M ist noethersch, wenn jeder Untermodul von M endlich erzeugt ist. Notiz .. Jeder noethersche R-Modul ist endlich erzeugt da er ein Untermodul selbst ist. Aufgabe .. Sei M ein R-Modul. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (i) M ist noethersch. (ii) Jede aufsteigende Kette M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mn ⊂ . . . von Untermoduln von M wird stationär. (iii) Jede nichtleere Menge I von Untermoduln von M besitzt ein maximales Element. Aufgabe .. Sei {} −→ M −→ N −→ P −→ {} eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln mit M und P endlich erzeugt. Zeigen Sie, dass N endlich erzeugt ist. Satz .. Wir betrachten eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln der Form: {} −→ M −→ N −→ P −→ {} . Der Modul N ist genau dann noethersch, wenn beide M und P noethersch sind. Beweis. Angenommen ist N noethersch. Jeder Untermodul von M ist ein Untermodul von N (bis auf Isomorphie) und daher endlich erzeugt ist. Ist Q ⊂ P ein Untermodul, sei V das Urbild von Q in N. Die surjektive Abbildung von N nach P induziert eine surjektive Abbildung von V nach Q. Da V endlich erzeugt ist so folgt, dass Q endlich erzeugt ist. Umgekehrt, seien M und P noethersch. Wir betrachten eine beliebige Untermodul V ⊂ N. Dann ist M ∩ V endlich erzeugt. Die kanonische Abbildung V/M ∩ V −→ P ist injektiv. Also ist V/M ∩ V endlich erzeugt da er isomorph zu einem Untermodul des noethersches Modul P ist. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz {} −→ V ∩ M −→ V −→ V/V ∩ M −→ {} mit beide V ∩ M und V/V ∩ M endlich erzeugt. Daher ist V endlich erzeugt. Satz .. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Der Ring R ist noethersch. (ii) Jeder endlich erzeugte R-Modul ist noethersch.



Kommutative Algebra

Beweis. Die Richtung (ii)⇒(i) ist einfach. Angenommen ist R noethersch. Für jede n ≥  ist Rn noethersch denn: es ist war für n ≤  nach Definition, und für n > , es folgt aus der exakten Sequenzen der Form {} −→ Rn− −→ Rn −→ R −→ {} , nach Satz .. Sei M ein endlich erzeugter R-Modul. Die Wahl einem Erzeugendensystem induziert eine exakte Sequenz der Form {} −→ K −→ Rn −→ M −→ {} . Da Rn noethersch ist, so ist M noethersch, nach Satz .. Aufgabe .. Sei S ⊂ R eine multiplikative Teilmenge, und sei M ein R-Modul. (i) Sei V ⊂ S− M ein Untermodul. Zeigen Sie, dass es ein Untermodul N ⊂ M mit S− N = V gibt. (ii) Wir nehmen an, dass M endlich erzeugt ist. Zeigen Sie, dass der S− R-Modul S− M endlich erzeugt ist. (iii) Angenommen ist R noethersch. Zeigen Sie, dass S− R noethersch ist. Aufgabe .. Sei R noethersch, sei n ∈ N, und sei a ⊂ R[X , . . . , Xn ] ein Ideal. Zeigen Sie, dass der Ring R[X , . . . , Xn ]/a noethersch ist. Aufgabe .. Sei R ein kommutativer Ring mit multiplikativer Teilmenge S ⊂ R, und sei N sein R-Modul. (i) Zeigen Sie, dass, für jeden R-Modul M, die Abbildung f 7−→ S− f eine S− R-lineare Abbildung αM,N : S− HomR (M, N) −→ HomS− R (S− M, S− N) induziert. (ii) Sei Q −→ P −→ M −→ {} eine exakte Sequenz recht von R-Moduln. Angenommen sind αP,N und αQ,N bijektiv. Zeigen Sie, dass αM,N bijektiv ist. (iii) Zeigen Sie, dass αM,N für jeden endlich erzeugte freie R-Modul M bijektiv ist. (iv) Angenommen ist R noethersch und M ein endlich erzeugter R-Modul. Zeigen Sie, dass es eine exakte Sequenz recht der Form Q −→ P −→ M −→ {} mit beide P und Q endlich erzeugt und frei gibt. Zeigen Sie, dass αM,N bijektiv ist. (v) Geben Sie einen Beispiel von R-Modul M, so dass αM,N nich bijektiv ist.

Kapitel . Noethersche Ringe



Aufgabe .. Sei K ein Körper und sei K(X, Y) der Quotientkörper von K[X, Y]. Wir betrachten der Unterring R ⊂ K(X, Y) erzeugt von K und von der Menge ( ) X X X X, Y,  ,  , . . . , n , . . . . Y Y Y Zeigen Sie, dass R kein noetherscher Ring ist.

Kapitel 

Der Hilbertsche Nullstellensatz

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sind f . . . , fm ∈ K[X , . . . , Xn ] (m, n ∈ N), so begründet der Hilbertsche Nullstellensatz eine genaue Korrespondenz zwischen die Menge aller maximalen Ideale des Quotientsring K[X , . . . , Xn ]/(f , . . . , fm ) und die Punkte von n n \

o o n fi =  = (x , . . . , xn ) ∈ Kn fi (x , . . . , xn ) =  für alle  ≤ i ≤ m .

i=

Für den Beweis brauchen wir viele Vorbereitung.

.

Der Satz von Cayley-Hamilton

Es ist A ein kommutativer Ring mit eins. Definition .. Sei n ∈ N. Sei U = (ai,j )i,j ein (n × n)-Matrix mit Koeffizienten in A. Wir definieren das Determinant von U als det(U) =

X

ε(σ)

σ∈Sn

n Y

ai,σ(i)

i=

(wobei Sn die Gruppe von Permutationen auf {, . . . , n} und ε(σ) das Signum der Permutation σ ist). Notiz .. Es gibt eine kanonische Bijektion {(n × m)-Matrix mit Koeffizienten in A}  {Lineare Abbildungen Am −→ An } . Durch diese Korrespondenz ist das Produkt von Matrizen assoziiert zur Komposition von linearen Abbildungen. Satz .. Die folgenden Eigenschaften gelten. (i) Seien U und V zwei (n × n)-Matrizen mit Koeffizienten in A. Dann gilt det(U · V) = det(U) · det(V) . (ii) Sei U eine (n×n)-Matrix mit Koeffizienten in A. Dann gilt det(U T ) = det(U) wobei U T = (aj,i )i,j die transponierte Matrix zu U ist. 



Kommutative Algebra

Beweis. Ist A ein Körper, so ist es wohlbekannt. Ist A ein Integritätsring, sei K = (A − {})− A der Quotientkörper. Da die Menge von (n × n)-Matrizen mit Koeffizienten in A eine Teilmenge der Menge von (n × n)-Matrizen mit Koeffizienten in K gelten dann Aussäge (i) in (ii). Sei nun A ein beliebiger Ring. Sei B = Z[Yi,j , Zi,j |  ≤ i, j ≤ n] das Polynomring mit Koeffizienten in Z mit ·n Variablen. Falls U = (ai,j )i,j und V = (bi,j )i,j zwei (n × n)-Matrizen mit Koeffizienten in A sind, so gibt es genau ein Ringhomomorphismus ϕ : B −→ A mit ϕ(Yi,j ) = ai,j und ϕ(Zi,j ) = bi,j für alle i, j. Es ist B ein Integritätsring. Daher, mit der (n × n)Matrizen mit Koeffizienten in B definierte durch M = (Yi,j )i,j und N = (Zi,j )i,j erhalten wir det(M · N) = det(M) · det(N)

und

det(M T ) = det(M) .

Außerdem gelten die folgenden Relationen (nachrechnen): ϕ(det(M)) = det(U) ϕ(det(N)) = det(V) ϕ(det(M · N)) = det(U · V) ϕ(det(M T )) = det(U T ) . Daher gilt det(U · V) = det(U) · det(V) und det(U T ) = det(U). Satz . (Cayley-Hamilton). Sei U = (ai,j )i,j eine (n × n)-Matrix mit Koeffizienten in A. Sei χU = det(X · In − U) ∈ A[X] das charakteristische Polynom von U. Es ist χU = Xn − Tr(U) · Xn− + · · · + det(U) wobei Tr(U) =

Pn

i= ai,i

die Spur von U ist. Insbesondere ist χA ein normiertes Polynom. Außerdem gilt

χU (U) = . Beweis. Ist A ein Körper, so ist es wohlbekannt. Ist A ein Integritätsring, so ist es ein Unterring seines Quotientkörper, und daher ist es bekannt auch. Sei A ein beliebiger Ring. Wir betrachten der Polynomring mit Koeffizienten in Z und mit n Variablen B = Z[Yi,j |  ≤ i, j ≤ n] . Sei ϕ : B −→ A der Ringhomomorphismus bestimmt durch ϕ(Yi,j ) = ai,j für alle i, j. Es ist M = (Yi,j )i,j eine (n × n)-Matrix mit Koeffizienten im Integritätsring B. Daher gilt χM = Xn − Tr(M) · Xn− + · · · + det(M)

Kapitel . Der Hilbertsche Nullstellensatz



und χM (M) = . Wir bezeichnen noch ϕ : B[X] −→ A[X] der Ringhomomorphismus induziert von ϕ : B −→ A. Es gilt: ϕ(det(X · In − M)) = det(X · In − U) ϕ(det(M)) = det(U) ϕ(Tr(M)) = Tr(U) ϕ(χM ) = χU . Daher ist χU = Xn − Tr(U) · Xn− + · · · + det(U) und χU (U) = . Korollar .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei f : M −→ M ein Endomorphismus. Es existiert ein normiertes Polynom p ∈ A[X] mit p(f ) = . Beweis. Sei v , . . . , vn ein Erzeugendensystem von M. Sei e , . . . , en die Standardbasis von An . Es gibt genau eine lineare Abbildung u : An −→ M mit u(ei ) = vi für alle i. Diese Abbildung ist surjektiv. Insbesondere, für jedes i ∈ {, . . . , n} gibt es Elemente wi ∈ An mit u(wi ) = f (vi ). Sei g : An −→ An die A-lineare Abbildung bestimmt durch g(ei ) = wi . Wir erhalten ein kommutatives Diagramm An

g

u

M

An u

f

M

Die Abbildung g ist die Multiplikation mit einer (n×n)-Matrix U. Sei p = χU das charakteristische Polynom von U. Es ist p normiert mit p(g) =  (Cayley-Hamilton). Also ist p(g)(y) =  für alle y ∈ An . Sei x ∈ M. Es gibt y ∈ An mit u(y) = x. Daher erhalten wir: p(f )(x) = p(f )(u(y)) = u(p(g)(y)) = u() =  . Also gilt p(f ) = .

.

Ganzheit

Sei ϕ : A −→ B ein Ringhomomorphismus, mit A und B kommutativ. Sind a ∈ A und b ∈ B, so schreiben wir a · b = b · a = ϕ(a) · b. Jedes Elemente x in B bestimmt genau ein A-Algebrenhomomorphismus ψ : A[X] −→ B mit ψ(X) = x. Explizit ist ψ(p) = p(x) für jedes p ∈ A[X]. Das Bild von ψ wird der Unterring A[x] erzeugt von A und x in B ernennt. Es ist A[x] = {λ · xn + · · · + λn− · x + λn ∈ B | n ∈ N , λ , . . . , λn ∈ A} .  Wir sagen auch, dass B eine A-Algebra ist.



Kommutative Algebra

Sind x , . . . , xn endlich viele Elemente von B (mit n > ), so bezeichnen wir A[x , . . . , xn ] = A[x , . . . , xn− ][xn ] . Definition .. Der Ringhomomorphismus wird als endlich bezeichnet, wenn B endlich erzeugt als A-Modul ist. Definition .. Ein Element x ∈ B ist ganz über A (oder ganz-algebraisch über A), wenn es ein normiertes Polynom p ∈ A[X] p(X) = Xn + a · Xn− + · · · + an− · X + an ,

a , . . . , an ∈ A,

mit p(x) =  in B gibt. Sind alle Elemente von B ganz über A, so sagen wir, dass B ganz über A ist, oder, dass der Ringhomomorphismus ϕ : A −→ B ganz ist. Satz .. Sei x ∈ B. Die folgende Aussagen sind äquivalent. (i) Das Element x ist ganz über A. (ii) Der Unterring A[x] erzeugt von A und x in B ist endlich erzeugt als A-Modul. (iii) Es gibt ein Unterring C von B, der A und x enthält und, der endlich erzeugt als A-Modul ist. Beweis. Zu (i)⇒(ii). Seien a , . . . , an ∈ A und p(X) = Xn + a · Xn− + · · · + an− · X + an mit p(x) = . Da p normiertes ist, zu jedem Polynom f ∈ A[X] gibt es (q, r) ∈ A[X] mit deg(r) < deg(p) und f = p · q + r (Aufgabe). Dass heißt, dass die Menge {, x, . . . , xn− } ein Erzeugendensystem von A[x] als A-Modul ist. Zu (ii)⇒(iii). Einfach. Zu (iii)⇒(i). Sei C ⊂ B ein Unterring mit A ⊂ C und x ∈ C. Sei f : C −→ C die Abbildung definiert durch f (y) = x · y. Sie ist A-linear. Ist C endlich erzeugt als A-Modul, nach dem Korollar des Satzes von Cayley-Hamilton (.), so existiert ein normiertes Polynom p ∈ A[X] mit p(f ) = . Aber p(f )(y) = p(x) · y für alle y ∈ C. Also ist p(x) = . Korollar .. Ist ϕ : A −→ B endlich, so ist B ganz über A. Beispiel .. Seien a , . . . , an ∈ A und p(X) = Xn +a · Xn− +· · ·+an− · X +an ∈ A[X]. Die kanonische Abbildung A −→ A[X]/(p) ist ein endlicher Ringhomomorphismus denn A[X]/(p) = A[x] mit x die Resklasse von X modulo (p) und p(x) =  ist. Satz .. Sind ϕ : A −→ B und ψ : B −→ C endliche Ringhomomorphismen, so ist ψ ◦ ϕ : A −→ C endlich.

Kapitel . Der Hilbertsche Nullstellensatz



Beweis. Sei {v , . . . , vm } ein Erzeugendensystem von B als A-Modul und sei {w , . . . , wn } ein Erzeugendensystem von C als B-Modul. Dann ist {vi · wj |  ≤ i ≤ m ,  ≤ j ≤ n} ein Erzeugendensystem von C als A-Modul (nachrechnen). Korollar .. Ist B = A[x , . . . , xn ] mit x , . . . , xn endlich viele ganze Elemente über A, so ist ϕ : A −→ B endlich. Insbesondere sind alle Elemente von B ganz über A. Beweis. Wir beweisen induktiv über n. Ist n = , so ist A[x ] endlich über A. Ist n > , so sind A −→ A[x , . . . , xn− ] und A[x , . . . , xn− ] −→ B endlich. Daher ist A −→ B endlich, nach Satz ..

Korollar .. Die Menge von ganzen Elementen über A ist ein Unterring von B. Beweis. Seien x, y ∈ B ganz über A. Dann ist die induzierte Abbildung A −→ A[x, y] ein ganzer Ringhomomorphismus. Daher sind alle Elemente von A[x, y], insbesondere x + y und x · y, ganz über A. Korollar .. Sind ϕ : A −→ B und ψ : B −→ C ganze Ringhomomorphismen, so ist ψ ◦ ϕ : A −→ C ganz. Beweis. Sei y ∈ C. Da y ganz über B ist gibt es Elemente x , . . . , xn ∈ B mit y n + x · y n− + · · · + xn− · y + xn =  . Also ist y ganz über A[x , . . . , xn ]. Äquivalent ist der Ringhomomorphismus A[x , . . . , xn ] −→ A[x , . . . , xn ][y] endlich, nach Satz .. Da A −→ A[x , . . . , xn ] endlich ist (Korollar .), so folgt, dass A −→ A[x , . . . , xn ][y] endlich ist, nach Satz .. Daher ist y ganz über A, nach Satz .. Satz .. Es sei B ein Integritätsring und A ⊂ B ein Unterring mit B ganz über A. Es ist B ein Körper genau dann, wenn A ein Körper ist. Beweis. Angenommen ist B ein Körper. Sie x ∈ A mit x , . Es ist y = x− ∈ B ganz über A. Also existiert Elemente a , . . . , an ∈ A mit y n + a · y n− + · · · + an− · y + an = x−n + a · x−n+ + · · · + an− · x− + an =  . Daher gilt !  + x · a + · · · + an− · x

n−

+ an · x

n−

! n

=x · x

−n

+ a · x

−n+

+ · · · + an− · x

−

+ an =  .



Kommutative Algebra

Das heißt, dass x invertierbar in A mit x− = −(a + · · · + an− · xn− + an · xn− ) ist. Umgekehrt, sei A ein Körper und sei y ∈ B mit y , . Ist y ∈ A, so ist y − ∈ A ⊂ B. Angenommen ist y < A. Es gibt Elemente a , . . . , an ∈ A mit y n + a · y n− + · · · + an− · y + an =  . Es ist n >  da y < A. Es ist möglich zu wählen an , : sonst, da B ein Integritätring ist, gilt y n− + a · y n− + · · · + an− =  ! n− − a · y n− − · · · − a und so weiter. Dann ist y invertierbar in B mit y − = a− · −y  n− . n Aufgabe .. Sei R ein kommutativer Ring. Seien ϕi : R −→ Ri ,  ≤ i ≤ n, ganze Ringhomomorphismen (mit jeder Ri kommutativ). Zeigen Sie, dass der induzierte kanonische RinghomomorQ phismus ϕ : R −→ ni= Ri ganz ist. Aufgabe .. Sei G eine endliche Gruppe und sei ein kommutativer Ring A. Wir betrachten eine Operation von G auf dem Ring A: G × A −→ A (g, x) 7−→ g · x . Also operiert G auf der Menge A so, dass für jedes g ∈ G die Abbildung x 7−→ g · x ein Ringhomomorphismus ist. Zeigen Sie, dass AG = {x ∈ A | g · x = x für alle g ∈ G} ein Unterring von A ist. Zeigen Sie, dass A ganz über AG ist. Aufgabe .. Sei A ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K. Zeigen Sie, dass R ganz abgeschlossen in K ist; das heißt jedes über A ganze Element von K gehört zu A.

.

Der Noethersche Normalisierungssatz

Definition .. Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Sei B eine A-Algebra. Eine endliche Familie von Elementen x , . . . , xn ∈ B bildet ein algebraisch unabhängiges System über A, wenn der induzierte A-Algebrenhomomorphismus A[X , . . . , Xn ] −→ B ,

Xi 7−→ xi

injektiv ist. Definition .. Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Eine A-Algebra von endlichem Typ ist eine A-Algebra B, so dass es endlich viele Elemente x , . . . , xn ∈ B mit A[x , . . . , xn ] = B existiert.

Kapitel . Der Hilbertsche Nullstellensatz



Notiz .. Sei B eine A-Algebra und seien x , . . . , xn ∈ B. Diese Elemente bilden ein erzeugendes System von B als A-Algebra (also A[x , . . . , xn ] = B) genau dann, wenn der induzierte AAlgebrenhomomorphismus ϕ : A[X , . . . , Xn ] −→ B ,

Xi 7−→ xi

surjektiv ist. In diesem Fall, ist I = ker(ϕ), so erhalten wir einen A-Algebrenisomorphismus A[X , . . . , Xn ]/I  B. Umgekehrt ist jede A-Algera isomorph zu einem Quotient von A[X , . . . , Xn ] von endlichen Typ. Hilfsatz . (Nagata). Sei K ein Körper und n ∈ N> . Sei F ∈ A = K[X , . . . , Xn ] nicht konstant. Es m

existiert natürlische Zahlen m , . . . , mn ∈ N, so dass, bezeichnend Yi = Xi − X i für  < i ≤ n, der Ring A ganz über den Unterring B = K[F, Y , . . . , Yn ] ist. m

Beweis. Seien m , . . . , mn ∈ N beliebig. Wir bezeichnen Yi = Xi − X i für  < i ≤ n und definieren B = K[F, Y , . . . , Yn ]. Sei P ∈ B[T] definiert durch P(T) = F(T, Y + Tm , . . . , Yn + Tmn ) − F . Es ist einfach B[X ] = A und m

m

P(X ) = F(X , Y + X  , . . . , Yn + X n ) − F(X , X , . . . , Xn ) = F − F =  . Daher, nach Korollar ., ist es genug zu zeigen, dass der höchste Koeffizient von P in K (daher in B invertierbar) ist. Es ist F(X , . . . , Xn ) eine Summe der Form X

F(X , . . . , Xn ) =

α

α

cα · X   · . . . · X n n

α=(α ,...,αn )

mit jede α = (α , . . . , αn ) ∈ Nn und cα ∈ K. Es gibt d ∈ N, so dass cα =  für d
 αi

· mi . Wir erhalten

cα · (Td(α) + Rα (T))

α

wobei jedes Rα (T) ∈ B[T] ein Polynom mit deg(Rα ) < d(α) ist. Wir nehmen jetzt mi = (d + )i− für  < i ≤ n. Also ist d(α) , d(β) für α , β (Aufgabe). Daher gibt es ein α so, dass cα der höchste Koeffizient von P ist.



Kommutative Algebra

Satz . (Noetherscher Normalisierungssatz). Sei K ein Körper. Sei A eine K-Algebra der endlichen Typ. Wir nehmen an, dass A ein Integritätsring ist. Dann existiert m ∈ N und ein algebraisch unabhängiges System x , . . . , xm ∈ A über K mit A endlich (insbesondere ganz) über K[x , . . . , xm ]. Beweis. Sei o n n = min r ∈ N es gibt a , . . . , ar ∈ A mit K[a , . . . , ar ] = A . Wir beweisen induktiv über n. Ist n = , so ist A = K, und es gibt nichts zu tun. Sei n > . Wir wählen a , . . . , an ∈ A mit A = K[a , . . . , an ]. Sei ϕ : K[X , . . . , Xn ] −→ A P 7−→ P(a , . . . , an ) der induzierte surjektive Ringhomomorphismus. Ist ϕ injektiv, so ist a , . . . , an selbst ein algebraisch unabhängiges System über K. Sonst ist p = ker(ϕ) ein Primideal da A ein Integritätsring ist. Insbesondere gibt es ein nicht-konstantes Polynom F ∈ p. Wir anwenden dann das Lemma von Nagata (.) und finden ein Unterring B ⊂ C = K[X , . . . , Xn ] mit F ∈ B so, dass C endlich über B ist. Daher ist B0 = B/p ∩ B

C/p  A

eine endliche Erweiterung von Ringen. Sei yi die Restklasse von Yi in B0 . Da B = K[F, Y , . . . , Yn ] gilt B0 = K[y , . . . , yn ]. Nach Induktionsvoraussetzung existiert m ∈ N und ein algebraisch unabhängiges System x , . . . , xm ∈ B0 über K mit B0 endlich über K[x , . . . , xm ]. Nach Satz . ist A endlich über K[x , . . . , xm ]. Aufgabe . (Generischer Noetherscher Normalisierungssatz). Sei R ein Integritätsring. (i) Sei F ∈ A = R[X , . . . , Xn ] nicht konstant. Zeigen Sie, dass es Zahlen m , . . . , mn ∈ N und f ∈ R m

existiert, so dass, bezeichnend Yi = Xi − X i für  < i ≤ n, der Ring A[f − ] ganz über den Unterring B = R[f − ][F, Y , . . . , Yn ] ist. (ii) Sei A eine R-Algebra der endlichen Typ. Wir nehmen an, dass A ein Integritätsring ist. Zeigen Sie, dass es m ∈ N, f ∈ R, und ein algebraisch unabhängiges System x , . . . , xm ∈ A über K, mit A[f − ] endlich (insbesondere ganz) über R[f − ][x , . . . , xm ] existiert.

.

Radikale

Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins.

Kapitel . Der Hilbertsche Nullstellensatz



Definition .. Ist a ⊂ R, so bezeichnen wir sein Radikal o n √ a = x ∈ R es gibt n ∈ N mit xn ∈ a . Das Nilradikal von R ist

p ().

Satz .. Es ist das Nilradikal der Durschnitt aller Primideale. Insbesondere ist das Nilradikal ein Ideal. Beweis. Es gilt nach Definition o n p () = x ∈ R es gibt n ∈ N mit xn =  . Also, ist x ∈ R nilpotent (das heißt mit xn =  für n groß genug), so ist xn ∈ p für alle Primideale p ⊂ R. Daher gilt x ∈ p für alle Primideale p (induktiv über n). Umgekehrt, sei x ∈ R, das nicht nilpotent ist. Wir werden zeigen, das es ein Primideal p ⊂ R mit x < p gibt. Sei ( ) y − a = y ∈ R =  in R[x ] .  Es ist ein Ideal von R. Außerden gilt x nilpotent ⇔ a =  (nach konstruktion von R[x− ]). Also ist R[x− ] , {}. Daher existiert ein maximales Ideal m ⊂ R[x− ]. Es ist dann (

) y p = y ∈ R ∈ m  ein Primideal von R mit n o p ∩ xn | n ∈ N = ∅ (erste Aussage von Satz .). Also gilt x < p. Korollar .. Sei a ⊂ R ein Ideal. Es ist

√ a der Durschnitt aller Primideale von R, die a enthalten.

Insbesondere ist das Radikal einem Ideal ein Ideal. Beweis. Sei π : R −→ R/a die kanonische Abbildung. Sie induziert eine Bijektion n

o n o Primideale von R/a −→ Primideale von R, die a enthalten q 7−→ π− (q)

p √ und π− ( ()) = a. Wegen das Nilradikal von R/a der Durschnitt aller Primideale von R/a ist gilt dann dieses Korollar. Beispiel .. Ist R ein Integritätsring, so ist sein Nilradikal null.



Kommutative Algebra

Beispiel .. Sei K ein Körper und sei R = K[ε] = K[X]/(X ) mit ε die Restklasse von X modulo (X ). Dann ist (ε) , () das Nilradikal von R denn R nur ein Primideal hat, tatsächlich (ε). Definition .. Das Jacobsonsche Radikal von R ist der Durschnitt aller maximalen Ideale. Notiz .. Sei R ⊂ R das Jacobsonsche Radikal von R und sei x ∈ R. Es ist x ∈ R genau dann, wenn  + x · y für alle y ∈ R invertierbar ist (Aufgabe .). Außerdem gilt p () ⊂ R . Notiz .. Ist R lokal, so ist sein Jacobsonsches Ideal genau sein maximales Ideal. Insbesondere, ist R ein lokaler Integritätsring, der kein Körper ist (zum Beipiel R = Ap mit A ein Hauptideal ring und p , () ein Primideal), so gilt p () = () , R . Aufgabe .. Seien a, b ⊂ R Ideale. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften. √ (i) a ⊂ a (ii)

p√ √ a= a

(iii)

√ √ √ √ ab = a ∩ b = a ∩ b

(iv)

√ a = () ⇔ a = ()

(v)

q √ √ √ a+b = a+ b

√ √ (vi) Ist p ⊂ R prim, so gilt pn = p für alle n ∈ N> . Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring mit  , . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (i) A enthält genau ein Primideal. (ii) Jedes Element von A ist invertierbar oder nilpotent. p (iii) das Quotient A/ () ist ein Körper.

.

Der Nullstellensatz

Satz . (Hilbertscher Nullstellensatz). Sei K ein Körper und sei A eine K-Algebra von endlichem Typ. Für jedes maximale Ideal m ⊂ A ist die induzierte Körpererweiterung K ⊂ A/m endlich.

Kapitel . Der Hilbertsche Nullstellensatz



Beweis. Sei L = A/m. Es ist noch eine K-Algebra von endlichem Typ. Es ist auch ein Integritätsring, tatsächlich ein Körper. Nach dem Noetherschen Normalisierungssatz (.) existiert n ∈ N und ein algebraisch unabhängiges System x . . . , xn ∈ L mit L endlich über K[x , . . . , xn ]. Vom Satz . folgt, dass das Polynomring K[x , . . . , xn ] ein Körper ist. Also ist n =  und L ist endlich über K = K[x , . . . , xn ]. Korollar .. Sei K ein Körper und sei A eine K-Algebra von endlichem Typ. Das Nilradikal von A und das Jacobsonsche Radikal von A sind gleich. Beweis. Es ist genug zu zeigen, dass jedes Element vom Jacobsonschen Radikal nilpotent ist. Äquivalent, können wir beweisen, dass für jedes f ∈ A nichtnilpotent es ein maximales Ideal m ⊂ A mit f < m existiert. Sei f ∈ A kein nilpotentes Element. Dann ist der Ring A[f − ] nicht trivial. Sei m ein maximales Ideal von A[f − ]. Es ist ( ) a p = a ∈ A ∈ m  ein Primideal von A mit n o p ∩ f n | n ∈ N = ∅. Es ist jetzt genug zu zeigen, dass p maximal ist. Aber der K-Algebra A[f − ] ist von endlichem Typ: der Polynomring A[X] ist vom endlich Typ über K[X] und daher über K, und A[f − ]  A[X]/(X · f − ) . Nach dem Nullstellensatz (.) ist F = A[f − ]/m eine endliche Körpererweiterung von K. Aber E = A/p ist dann ein Zwischenring von E/K. Also ist E ein Untervektorraum von F und daher ist er endlich erzeugt über K. Vom Satz . folgt, dass das E ein Körper ist. Äquivalent ist p maximal. Korollar .. Sei K ein Körper und sei A eine K-Algebra von endlichem Typ. Ist a ⊂ A ein Ideal, so ist das Radikal von a der Durschnitt aller maximalen Ideale von A, die a enthalten. Beweis. Sei π : A −→ A/a die kanonische Abbildung. Sie induziert eine Bijektion n

o n o maximalen Ideale von A/a −→ maximalen Ideale von A, die a enthalten q 7−→ π− (q)

p √ und π− ( ()) = a. Wegen, nach Korollar ., das Nilradikal von A/a der Durschnitt aller maximalen Ideale von R/a ist gilt dann dieses Korollar. Korollar .. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei n ∈ N. Die Regel n o a = (a , . . . , an ) 7−→ ma = p ∈ K[X , . . . , Xn ] p(a , . . . , an ) = 



Kommutative Algebra

bestimmt eine Bijektion n o Kn  maximalen Ideale von K[X , . . . , Xn ] . Beweis. Für jede a ∈ Kn ist ma der Kern der surjektiven Abbildung K[X , . . . , Xn ] −→ K definiert durch p 7−→ p(a). Daher gilt K[X , . . . , Xn ]/ma  K und ma ist ein maximales Ideal. Sind a, b ∈ k n mit ma = mb , so ist Xi − ai ∈ mb für alle i und daher gilt bi − ai =  für alle i. Also gilt a = b. Sei m ⊂ K[X , . . . , Xn ] ein maximales Ideal. Dann ist L = K[X , . . . , Xn ]/m eine endliche Körpererweiterung von K, nach dem Nullstellensatz (.). Da K algebraisch abgeschlossen ist folgt K = L. Für jede i ∈ {, . . . , n} erhalten wir eine Restklasse ai ∈ K von Xi modulo m. Sei a = (a , . . . , an ). Dieses Element bezeichnet ein maximales Ideal ma . Es ist ma = (X − a , . . . , Xn − an ) . Wegen Xi − ai ∈ m gilt erhalten wir die Inklusion ma ⊂ m. Die induzierte K-lineare Abbildung K = K[X , . . . , Xn ]/ma −→ K[X , . . . , Xn ]/m = K ist dann bijektiv. Also gilt ma = m. Notiz .. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei n ∈ N. Ist I ⊂ K[X , . . . , Xn ] ein Ideal. Da K[X , . . . , Xn ] noethersch ist gibt es eine endliche Familie von Polynome f , . . . , fm ∈ K[X , . . . , Xn ] mit I = (f , . . . , fm ) . Dann bezeichnen wir V(I) =

n n \

o n o fi =  = (a , . . . , an ) ∈ Kn fi (a , . . . , an ) =  für alle  ≤ i ≤ m .

i=

Es ist auch n o V(I) = a ∈ Kn | I ⊂ ma . Von Korollar . folgt n o V(I)  maximalen Ideale von K[X , . . . , Xn ], die I enthalten n o  maximalen Ideale von K[X , . . . , Xn ]/(f , . . . , fm ) . Es folgt dann von Korollar ., dass \ √ I= ma . a∈V(I)

Kapitel . Der Hilbertsche Nullstellensatz



Aufgabe .. Sei K ein Körper und sei f : A −→ B ein K-Algebrenhomomorphismus zwischen zwei kommutative K-Algebren von endlichem Typ. Angenommen ist m ⊂ B ein maximales Ideal. Zeigen Sie, dass f − (m) ein maximales Ideal ist. Aufgabe .. Geben Sie ein Beispiel von Ringhomomorphismus f : A −→ B zusammen mit einem maximale Ideal m ⊂ B, so dass f − (m) kein maximales Ideal ist.

Kapitel 

Das Spektrum eines Rings

.

Die Zariski-Topologie

Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Definition .. Das Spektrum von A ist die Menge aller Primideale von A. Man bezeichnet es Spec(A). Sei a ⊂ A ein Ideal. Es ist n o V(a) = p ∈ Spec(A) a ⊂ p . Satz .. Die folgenden Eigenschaften gelten. (i) V(()) = Spec(A); (ii) V(()) = ∅; P T P (iii) Ist (ai )i∈I eine Familie von Ideale in A, so gilt V( i∈I ai ) = i∈I V(ai ), wobei i∈I ai das Ideal erzeugt von ∪i∈Iai ist; T S (iv) Ist (ai )i∈I eine endliche Familie von Ideale in A, so gilt V( i∈I ai ) = i∈I V(ai ); Aufgabe .. Beweisen Sie den Satz . Definition .. Die Mengen der Form U = Spec(A) − V(a) mit a ⊂ A Ideal sind die geöffneten Mengen einer Topologie auf dem Spektrum von A, die Zariski-Topologie. Satz .. Sei f : A −→ B ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringe. Dann ist die induzierte Abbildung f ∗ : Spec(B) −→ Spec(A) q 7−→ f − (q) stetig. Beweis. Sei a ⊂ A ein Ideal. Sei b ⊂ B das Ideal erzeugt von f (a) in B. Dann gilt n o q ∈ Spec(B) a ⊂ f − (q) = V(b) . 



Kommutative Algebra

Das heißt, dass das Urbild einer abgeschlossenen Teilmenge von Spec(A) abgeschlossen in Spec(B) ist. Satz .. Sei A ein kommutativer Ring. Dann ist Spec(A) kompakt. Beweis. Sei (Ui )i∈I eine geöffnete Überdeckung von Spec(A). Zu jedem i ∈ I gibt es ein Ideal ai ⊂ A mit Spec(A) − Ui = V(ai ). Es ist

X ! \ V ai = V(ai ) = ∅ . i∈I

Das heißt, dass (eine Potenz von)  in

i∈I

P

liegt. Daher existiert endlich viele Elemente i , . . . , in ∈ P I und, für jedes k,  ≤ k ≤ n, ein Element fk ∈ aik so, dass  = nk= fk gilt. Daher ist i∈I ai

V(()) = V(ai + · · · + ain ) = V(ai ) ∩ · · · ∩ V(ain ) = ∅ . Also ist Spec(A) die endliche Vereinigung Ui ∪ · · · ∪ Uin . Definition .. Ein topologischer Raum X ist noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Mengen stationär wird: ist . . . ⊂ Zn+ ⊂ Zn ⊂ . . . ⊂ Z ⊂ Z ⊂ X eine Kette von abgeschlossener Mengen, so gibt es N ∈ N mit Zn = ZN für alle n ≥ N. Aufgabe .. Sei X ein noetherscher topologischer Raum. Zeigen Sie, dass jede nichtleere Familie von abgeschlossenen Mengen ein minimales Element bezüglich Inklusion hat. Satz .. Das Spektrum einem noetherschen Ring ist noethersch. Beweis. Sei A ein noetherscher Ring und sei . . . ⊂ Zn+ ⊂ Zn ⊂ . . . ⊂ Z ⊂ Z ⊂ Spec(A) eine Kette von abgeschlossener Mengen. Für jede n ∈ N gibt es ein Ideal an ⊂ A mit √ Zn = V(an ) = V( an ) . Wegen Zn+ ⊂ Zn gilt

\ \ √ √ p = an+ . an = p⊂ p∈Zn

p∈Zn+

Wir erhalten eine aufsteigende Kette von Ideale √ √ √ √ a ⊂ a ⊂ . . . ⊂ an ⊂ an+ ⊂ . . . Da der Ring A noethersch ist gibt es N ∈ N mit alle n ≥ N.

√ √ an = a N für alle n ≥ N. Also gilt Zn = ZN für

Kapitel . Das Spektrum eines Rings



Bemerkung .. Es gibt Ringe mit noetherschem Spektrum, die nicht noethersch sind. Tatsächlich gibt es Ringe mit endlichem Spektrum, die nicht noethersch sind. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring. Zeigen Sie die folgenden Aussagen. a) Sei p ∈ Spec(A). Die Menge {p} ist genau dann abgeschlossen, wenn p ein maximales Ideal ist. b) Für alle p ∈ Spec(A) gilt {p} = V(p) (wobei Z die abgeschlossene Hülle von Z bezeichnet). c) Für alle p,q ∈ Spec(A) gilt q ∈ {p} ⇔ p ⊂ q . d) Für alle p,q ∈ Spec(A) mit p , q existiert eine geöffnete Menge U in Spec(A) mit p ∈ U und q < U, oder mit q ∈ U und p < U.

.

Irreduzible Komponenten

Definition .. Sei X ein topologischer Raum. Man sagt, dass X reduzibel ist, wenn es abgeschlossenen Mengen Y ( X und Z ( X mit X = Y ∪ Z gibt. Sonst sagen wir, dass X irreduzibel ist. Satz .. Sei X ein topologischer Raum. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent. (i) Der Raum X ist irreduzibel. (ii) Jede nichtleere geöffnete Menge ist dicht. (iii) Zwei nichtleeren geöffneten Teilmengen treffen einander. Beweis. Die Äquivalenz (i)⇔(iii) gilt nach Definition. Angenommen gilt Eigenschaft (ii). Das heißt, dass die abgeschlossene Hülle einer nichtleeren geöffnete Menge immer den ganze Raum ist. Äquivalent, für ∅ , U ⊂ Z ⊂ X mit U geöffnet und Z abgeschlossen gilt Z = X. Seien Y, Z ⊂ X abgeschlossen mit X = Y ∪ Z. Ist Y , X, so ist U = X − Y , ∅ mit U ⊂ Z. Daher gilt Z = X. Das zeigt, dass X irreduzibel ist. Umgekehrt, sei X irreduzibel, und sei U ⊂ X geöffnet und nichtleer. Ist Z ⊂ X abgeschlossen mit U ⊂ Z, so gilt X = Y ∪ Z, wobei Y = X − U. Da X irreduzibel ist gilt Y = X oder Z = X. Also ist Z = X denn U , ∅. Satz .. Sei X ein topologischer Raum. (a) Ist Z ⊂ X irreduzibel, so ist die abgeschlossene Hülle von Z irreduzibel. (b) Seien U, V ⊂ X irreduzibel und geöffnet, mit U ∩ V , ∅. Dann ist U ∪ V irreduzibel.



Kommutative Algebra

(c) Sei f : X −→ Y eine stetige Abbildung. Ist Z ⊂ X irreduzibel, so ist f (Z) irreduzibel. Beweis. Zu (a). Wir werden die Bestimmung (ii) von Satz . benützen. Sei Z ⊂ X irreduzibel mit abgeschlossener Hülle Z. Sei U ⊂ Z eine nichtleere Menge geöffnet in Z. Also ist U ∩ Z geöffnet in Z. Es ist U ∩ Z nicht leer: sonst wäre Z ⊂ X − U und daher Z ⊂ X − U, im Widerspruch mit U nicht leer in Z. Da Z irreduzibel ist folgt dann, dass U ∩ Z dicht in Z ist. Daher ist U ∩ Z dicht in Z auch. Es folgt, dass U dicht in Z ist. Zu (b). Wir werden die Bestimmung (iii) von Satz . benützen. Seien Wi ⊂ U ∪ V nichtleer und geöffnet, i = , . Angenommen ist Wi ∩ U , ∅ bzw. Wi ∩ V , ∅. Dann sind Wi und U ∩ V nichtleeren geöffneten Mengen von U bzw. von V. Da U bzw. V irreduzibel ist folgt dann, dass Wi ∩ U ∩ V , ∅ für i = ,  ist. Von der Irreduzibilität von U folgt dann, dass W ∩ W ∩ U ∩ V , ∅ gilt. Insbesondere ist U ∩ V nicht leer. Zu (c). Sei Z ⊂ X irreduzibel. Seien U und V geöffnet und nicht leer in f (Z). Dann sind f − (U)∩ Z und f − (V) ∩ Z geöffnet in Z und nicht leer. Daher ist der Durchschnit f − (U ∩ V) ∩ Z = f − (U) ∩ f − (V) ∩ Z nicht leer. Insbesondere ist U ∩ V nicht leer. Nach Satz . folgt, dass f (Z) irreduzibel ist. p Satz .. Sei A ein kommutativer Ring mit Eins mit Nilradikal N = (). Der Raum X = Spec(A) ist genau dann irreduzibel, wenn das Quotient A/N ein Integritätsring ist. Beweis. Sei π : A −→ A/N die kanonische Abbildung. Die induzierte Abbildung π∗ : Spec(A/N)) −→ Spec(A) ist einfach ein Homöomorphismus. Also ist ohne Einschränkung N = (). Angenommen ist A ein Integritätsring. Sei X = Y ∪ Z eine abgeschlossene Überdeckung. Es gibt Ideale a, b ⊂ A mit Y = V(a) und Z = V(b). Daher gilt a ∩ b = (). Also, für jede f ∈ a und g ∈ b gilt f · g = . Da A ein Integritätsring ist folgt f =  oder g = . Das heißt, dass a = () oder b = () gilt. Äquivalent ist Y leer oder Z leer. Das zeigt, dass X irreduzibel ist. Sei schließlich X irreduzibel. Seien f , g ∈ A mit f · g = . Also, für jedes Primideal p ⊂ A gilt f · g ∈ p, so dass (f ) ⊂ p oder (g) ⊂ p gilt. Äquivalent p gilt V((f )) ∪ V((g)) = X. Da X irreduzibel ist V((f )) = X oder V((g)) = X. Das heißt, dass (f ) = () p oder (g) = () ist (da N = () angenommen ist). Also ist f =  oder g = . Definition .. Sei X ein noetherscher topologische Raum. Eine irreduzible Komponente von X ist ein irreduzible abgeschlossene Menge, die maximal bezüglich Inklusion ist. Satz .. Sei X ein noetherscher topologischer Raum. (i) Es gibt endlich viele irreduziblen Komponenten.

Kapitel . Das Spektrum eines Rings



(ii) Seien X , . . . , Xn die irreduziblen Komponenten von X. Dann gilt X = X ∪ · · · ∪ Xn . (iii) Jede irreduzible abgeschlossene Menge ist in einer irreduziblen Komponenten enthält. Beweis. Wir werden erst zeigen, dass jede abgeschlossene Menge Y ⊂ X eine Vereinigung von irreduziblen abgeschlossenen Mengen. Sei F die Familie von abgeschlossenen Mengen, die keine Vereinigung von irreduziblen abgeschlossenen Mengen sind. Angenommen ist F nicht leer. Dann bekommen F ein minimales Element Y (da X noethersch ist). Insbesondere ist eine solche Y nicht irreduzibel: es gibt Y , Y ( Y abgeschlossene mit Y = Y ∪Y . Da Y und Y kein Elemente von F sind (aus der Minimalität von Y) folgt, dass beide Y und Y Vereinigungen von irreduziblen abgeschlossenen Mengen sind. Daher so ist Y = Y ∪ Y – Widerspruch. Insbesondere gibt es irreduziblen abgeschlossenen Mengen X , . . . , Xn mit Xi 1 Xj für i , j, so dass gilt. Ist Y ⊂ X irreduzibel und abgeschlossen, so ist Y = (X ∩ Y) ∪ · · · ∪ (Xn ∩ Y) . Da Y irreduzible ist gibt es i mit Xi ∩ Y = Y. Also gilt Y ⊂ Xi . Ist Y eine irreduzible Komponente, so gilt tatsächlich Y = Xi . Umgekehrt, für  ≤ i ≤ n ist Xi eine irreduzible Komponente: ist Xi ⊂ Y mit Y irreduzibel und abgeschlossen, so gilt Y ⊂ Xj für ein j und daher Xi = Y = Xj . Die zweite Teil des Beweis oben zeigt: Satz .. Sei X ein noetherscher topologischer Raum und seien X , . . . , Xn irreduziblen abgeschlossenen Mengen mit mit folgender Eigenschaften: (i) Es gilt Xi 1 Xj für i , j. (ii) Es ist X = X ∪ · · · ∪ Xn . Dann ist {X , . . . , Xn } die Menge von irreduziblen Komponenten. Satz .. Sei A ein noetherscher Ring. Ein abgeschlossene Menge Z ⊂ Spec(A) ist irreduzibel genau dann, wenn es p ⊂ A prim mit Z = V(p) gibt. Beweis. Ist p ∈ Spec(A), so ist {p} irreduzibel. Daher ist seine abgeschlossene Hülle {p} = V(p) irreduzibel, nach Aussage (a) von Satz .. Umgekehrt, sei Z abgeschlossen und irreduzibel. √ Dann gibt es ein Ideal I mit Z = V(I). Sei p = I das Radikal von I. So gilt Z = V(p)  Spec(A/p) . Es ist p/I das Nilradikal von A/I. Da Z irreduzibel ist, folgt von Satz ., dass A/p ein Integritätsring ist. Also ist p ein Primideal.



Kommutative Algebra

Notiz .. Also gibt es eine genaue Korrespondenz zwischen minimale Primideale und irreduzible Komponenten. Korollar .. Sei A ein noetherscher Ring. Dann enthält A endlich viele minimale Primideale. Sind p , . . . ,pn die minimale Primideale, so gilt p () = p ∩ · · · ∩ pn . Korollar .. Sei A ein noetherscher Ring und seien p , . . . ,pn Primideale mit folgenden Eigenschaften: (i) Es gilt

p () = p ∩ · · · ∩ pn .

(ii) Es ist pj 1 pi für i , j. Dann ist {p , . . . ,pn } die Menge aller minimalen Primidealen. Aufgabe . (Noethersche Induktion). Sei X ein noetherscher topologischer Raum. Angenommen ist zu jeder abgeschlossenen Teilmenge Z ⊂ X eine Aussage P(Z) mit folgenden Eigenschaften gegeben: (i) P(∅) gilt. (ii) Ist P(Y) wahr für jede Y ( Z, so gilt P(Z). Zeigen Sie, dass P(Z) für jede abgeschlossene Menge Z ⊂ X gilt.

Kapitel 

Primärzerlegung

.

Assoziierte Primideale

Sei A ein kommutativer noetherscher Ring und sei M ein A-Modul. Definition .. Ein Primideal p ⊂ A ist assoziiert an M falls es der Annulator eines Elements von M ist: es gibt x ∈ M mit n o p = Ann(x) = a ∈ A a · x =  . Man bezeichnet Ass(M) die Menge von assoziierten Primidealen an M. Notiz .. Seien x ∈ M und p ∈ Spec(A) mit p = Ann(x). Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz der Form {} −→ p −→ A −→ A · x −→ {} . Äquivalent ist A/p  A · x ⊂ M . Also ist ein Primideal p assoziiert an M genau dann, wenn es ein Untermodul von M isomorph zu A/p gibt. Insbesondere gilt Ass({}) = ∅. Satz .. Sei p ⊂ A ein Primideal. Dann gilt Ass(A/p) = {p}. Beweis. Es ist p ∈ Ass(A/p) da p der Annulator von  ∈ A/p ist. Sei a ∈ A mit a¯ ,  in A/p. Also ist ¯ gilt, so ist a · b ∈ p und daher gilt b ∈ p. a < p. Ist b ∈ A, so dass b¯ ∈ Ann(a) Satz .. Sei p ⊂ A ein Ideal, das maximal bei Annulatoren von nicht-nullen Elementen in M ist. Dann ist p ein Primideal. Beweis. Seien a, b ∈ A mit a · b ∈ p. Wir wählen x ∈ M − {} mit p = Ann(x). Dann gilt a · b · x = . Ist b < p, so ist b · x ,  und a ∈ Ann(b · x). Aber es ist Ann(x) ⊂ Ann(b · x) denn von y · x =  folgt y · b · x = . Wegen der Maximalität von p erhalten wir a ∈ Ann(b · x) = Ann(x) = p . Gleichweise, ist a < p, so gilt b ∈ p. 



Kommutative Algebra

Korollar .. Jeder nicht-nulle A-Modul bekommt mindestens ein assoziiertes Primideal. Beweis. Sei M , {} ein A-Modul. Sei I die Menge von Idealen der Form Ann(x) mit x ∈ M − {}. Es ist nicht leer da M nicht null ist. Da A noethersch ist existiert ein maximales Element p in I (Aussage (iii) von Satz .). Nach Satz . ist p ein Primideal. Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Es existiert eine endliche aufsteigende kette von Untermoduln der Form {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mk = M so, dass jedes Quotient Mi /Mi− isomorph zu einem A-Modul der Form A/pi mit pi prim ist. Beweis. Sei I die Menge aller Untermoduln N ⊂ M wofür es eine endliche aufsteigende kette von Untermoduln der Form {} = N ⊂ N ⊂ . . . ⊂ Nr = N existiert so, dass jedes Quotient Nj /Nj− isomorph zu einem A-Modul der Form A/qj mit qj prim ist. Es ist , ∅ wegen {} ∈ I ist. Sei N ∈ I mit N , M. Wir wählen eine Kette von Untermoduln wie oben. Wir werden zeigen, dass es N 0 ∈ I mit N ( N 0 gibt. Es ist M/N , {}. Daher existiert ein assoziiertes Primideal qr+ an M/N, nach Korollar .. Sei x ∈ M mit Restklasse x¯ modulo N so, ¯ = qr+ gilt. Sei N 0 = N + x · A. Dann gilt dass Ann(x) N 0 /N = A · x¯  A/qr+ . Definierend Nj0 = Nj für  ≤ j ≤ r bekommen wir 0 {} = N0 ⊂ N0 ⊂ . . . ⊂ Nr0 = N ⊂ Nr+ = N0 0 so, dass jedes Quotient Nj0 /Nj− isomorph zu einem A-Modul der Form A/qj mit qj prim ist. Also

ist N 0 ∈ I. Da A noethersch ist existiert ein maximales Element in I. Aber nach der Erklärung oben soll ein solches maximales Element gleich zu M werden. Satz .. Sei {}

M0

f

M

g

M00

{}

ein kurze exakte Sequenz von A-Moduln. Dann gilt Ass(M0 ) ⊂ Ass(M) ⊂ Ass(M0 ) ∪ Ass(M00 ) . Beweis. Die Inklusion Ass(M0 ) ⊂ Ass(M) ist einfach. Wir werden nur die zweite Inklusion beweisen. Sei p ⊂ A ein Primideal assoziiert an M. Es ist der Annulator eines Elements x ∈ M. Ist (A · x) ∩ im(f ) = {}, so ist die Einschränkung von g auf A · x injektiv, und daher ist p = Ann(x) = Ann(g(x)) ∈ Ass(M00 ). Sei jetzt (A · x) ∩ im(f ) , {}. Dann gibt es x0 ∈ M0 und a ∈ A

Kapitel . Primärzerlegung



mit a · x = f (x0 ) , . Nach der Injektivität von f gilt Ann(x0 ) = Ann(f (x0 )) = Ann(a · x). Aber ein Element b ∈ A ist genau dann in b ∈ Ann(a · x), wenn a · b ∈ Ann(x) = p gilt. Da a < p gilt dann Ann(f (x0 )) = Ann(x) = p. Also ist p ∈ Ass(M0 ). Korollar .. Sei M ein A-Modul zusammen mit einer endliche aufsteigende kette von Untermoduln der Form {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mk = M . Dann gilt Ass(M) ⊂

k [

Ass(Mi /Mi− ) .

i=

Beweis. Wir beweisen induktiv über k. Ist k ≤  ist es einfach. Sei k > . Nach Induktionsvoraussetzung gilt Ass(Mk− ) ⊂

k− [

Ass(Mi /Mi− ) .

i=

Und nach Satz . ist Ass(M) ⊂ Ass(Mk− ) ∪ Ass(M/Mk− ). Korollar .. Ist M ein endlich erzeugter A-Modul, so ist die Menge Ass(M) endlich. Beweis. Wir wählen eine endliche aufsteigende kette von Untermoduln der Form {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mk = M so, dass jedes Quotient Mi /Mi− isomorph zu einem A-Modul der Form A/pi mit pi prim ist (das existiert nach Satz .). Aus Satz . und Korollar . folgt dann Ass(M) ⊂

k [

Ass(Mi /Mi− ) = {p , . . . ,pr } .

i=

Insbesondere ist Ass(M) endlich. Satz .. Sei M ein A-Modul und sei S ⊂ A eine multiplikative Menge. Ein Primideal p ⊂ A ist genau dann an S− M assoziiert, wenn p ∩ S = ∅ und p an M assoziiert ist. Beweis. Wir beobachten erst, dass für jedes x ∈ M gilt für alle a ∈ A a·

x = 

⇔

es gibt s ∈ S mit s · a · x = .

Äquivalent ist ! [ x Ann = Ann(s · x) .  s∈S

Sei S ∩ p = ∅ und sei p an M assoziiert. Dann gibt es x ∈ M mit Ann(x) = p. Da kein Element von S in p ist gilt für alle a ∈ A und alle s ∈ S a·s·x = 

⇒

a·s ∈p

⇒

a ∈ p oder s ∈ p

⇒

a∈p

⇒

a · x = .



Kommutative Algebra

Also ist Ann(x) = Ann(s · x) für alle s ∈ S. Daher gilt Ann(x) = Ann

! x . 

Das heißt, dass p an S− M assoziiert ist.   Umgekehrt, angenommen ist p an S− M assoziiert. Sei x ∈ M mit p = Ann x . Es ist S ∩ p = ∅ da sonst würde

x 

= . Da A noethersch ist existiert a , . . . , an ∈ A mit p = (a , . . . , an ). Für  ≤ i ≤ n

existiert si ∈ S mit si · ai · x =  in M. Sei s = s · · · sn . Es ist s · ai · x =  für alle i und daher s · a · x =  für alle a ∈ p. Also gilt p ⊂ Ann(s · x) ⊂

[

Ann(s · x) = Ann

s∈S

! x = p. 

Daher ist p = Ann(s · x) an M assoziiert. Hilfsatz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei a ∈ A. Wir betrachten M[a− ] = S− M mit S = {ai | i ∈ N}. Der A-Modul M[a− ] ist genau dann null, wenn es eine natürliche Zahl n ∈ N mit an · x =  für alle x ∈ M gibt. Beweis. Existiert eine solche n so ist

x 

=  in M[a− ] für alle x ∈ M nach Definition. Umgekehrt,

sei M[a− ] = {}. Wir wählen ein Erzeugendensystem v , . . . , vr von M als A-Modul. Für jedes i existiert ni ∈ N mit ani · vi = , da

vi 

=  gilt. Sei n = n · · · nr . Dann gilt an · x =  für alle x ∈ M

denn: es gibt für jedes x ∈ M Elemente a , . . . , ar ∈ A mit x = a · v + · · · + ar · vr und n · vi =  für alle i gilt. Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei a ∈ A. Wir betrachten die Skalarmultiplikation λa : M −→ M ,

x 7−→ a · x.

(i) Die Abbildung λa ist genau dann injektiv, wenn a < p für alle p ∈ Ass(M). (ii) Die Abbildung λa ist genau dann nilpotent, wenn a ∈ p für alle p ∈ Ass(M). Beweis. Zu (i). Ist a ∈ p für ein p ∈ Ass(M), so gilt a ∈ p = Ann(x) für x ∈ M mit x , , und daher ist x ∈ ker(λa ) , {}. Umgekehrt, sei λa nicht injektiv. Dann existiert ein Primideal p assoziiert an ker(λa ), nach Korollar .. Aber es ist einfach a ∈ Ann(x) für alle ∈ ker(λa ). Daher gilt a ∈ p ∈ Ass(ker(λa )) ⊂ Ass(M) (nach Satz .). Zu (ii). Sei λa nilpotent. Also gibt es n ∈ N> mit der n mal Selbstkomposition λna = λan = . Also gilt an ∈ Ann(x) für alle x ∈ M. Insbesondere ist an ∈ p für alle p ∈ Ass(M). Umgekehrt, angenommen ist a ∈ p für alle p ∈ Ass(M). Wir möchten zeigen, dass λa nilpotent ist. Nach Hilfsatz . ist es genug zu beweisen, dass M[a− ] = {} gilt. Äquivalent, dass Ass(M[a− ]) = ∅ (als A-Modul)

Kapitel . Primärzerlegung



  gilt, nach Korollar .. Sei p ∈ Ass(M[a− ]). Es gibt x ∈ M und n ∈ N mit p = Ann axn . Äquivalent   ist p = Ann x . Es gibt keine potenz von a in p da x ,  und y 7−→ a · y injektiv auf M[a− ] ist. Außerdem gilt einfach p = Ann

x 

=

[

Ann(ai · x) .

i∈N

Aber es ist die Familie {Ann(ai · x)}i≥ eine aufsteigende Kette von Idealen im noetherschen Ring A. Daher gibt es i ∈ N mit p = Ann(ai · x), und p ∈ Ass(M). Aber nach voraussetzung gilt dann a ∈ p, im klare Widerspruch zu a < p. Aufgabe .. Sei A ein faktorieller Ring und sei a ∈ A. Wir betrachten eine Primfaktorzerlegung n

n

a = u · p  · · · pr r mit u ∈ A× und p , . . . , pr irreduziblen Elemente. Zeigen Sie, dass Ass(A/(a)) = {(p ), . . . , (pr )} gilt (mit A/(a) als A-Modul). Bestimmen Sie das Nilradikal von A/(a). Definition .. Der Träger von M ist die Menge Supp(M) aller Primidealen p mit Mp , {}. Satz .. Ein Primideal p genau dann gehört zum Träger von M, wenn es x ∈ M mit Ann(x) ⊂ p gibt. Beweis. Es ist Mp nicht null genau dann, wenn es x ∈ M mit

x 

,  in Mp gibt. Äquivalent gibt es

x ∈ M mit s · x ,  für alle s < p. Korollar .. Es ist Ass(M) ⊂ Supp(M). Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul mit Erzeugendensystem v , . . . , vr . Es ist Supp(M) die Vereinigung von aller V(Ann(vi )), für  ≤ i ≤ r. Insbesondere ist Supp(M) abgeschlossen in Spec(A). Beweis. Sei p ∈ V(Ann(vi ) für ein i ∈ {, . . . , r}. Also gilt Ann(vi ) ⊂ p. Daher gilt s·vi ,  für jedes s < p Insbesondere ist

vi 

,  in Mp und daher ist Mp , {}. Umgekehrt, sei p ∈ Supp(M). Angenommen

ist p < V(Ann(vi )) für alle i. Also existiert für jedes i ein Element ai < p mit ai ·vi = . Sei a = a · · · ar . Dann gilt a · x =  für alle x ∈ M. Aber es ist a < p da sonsts wäre ai ∈ p für mindestens ein i. Das heißt, dass Mp = {} gilt, im Widerspruch zu p ∈ Supp(M). Satz .. Sei {} −→ M0 −→ M −→ M00 −→ {} eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. Dann gilt Supp(M) = Supp(M0 ) ∪ Supp(M00 ) . Beweis. Für jedes Primideal p von A gibt es eine kurze exakte Sequenz {} −→ Mp0 −→ Mp −→ Mp00 −→ {} . Daher ist Mp nicht null genau dann wenn Mp0 oder Mp00 nicht null ist.



Kommutative Algebra

.. Wir bezeichnen Ann(M) den Annulator von M, das heißt den Kern dem Ringhomomorphismus A −→ HomA (M, M) , o Also ist Ann(M) = a ∈ A | a · x =  für alle x ∈ M .

a 7−→ λa .

n

Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann gilt p

Ann(M) =

\

\

p=

p∈Supp(M)

p.

p∈Ass(M)

Beweis. Sei a ∈ A. Es ist λa genau dann nilpotent, wenn es n ∈ N mit an ∈ Ann(M) gibt. Also gilt die Gleichung p

\

Ann(M) =

p

p∈Ass(M)

nach Aussage (ii) von Satz .. Daher folgt aus Korollar . die Inklusion \ p∈Supp(M)

Sei a ∈

p⊂

\

p p = Ann(M) .

p∈Ass(M)

p Ann(M). Dann gibt es n ∈ N mit an · x =  für alle x ∈ M. Also ist M[a− ] = {}. Insbeson-

dere ist Mp = {} für jedes Primideal p mit a < p, da Mp eine weitere Lokalisierung von M[a− ] ist. Sei p ∈ Supp(M). Da Mp nicht null ist gilt dann a ∈ p. Korollar .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann gilt V(Ann(M)) = Supp(M) =

[

V(p) .

p∈Ass(M)

Beweis. Es ist p ∈ Supp(M) genau dann, wenn V(p) = {p} ⊂ Supp(M) ist. Daher gilt p  Ann(M) ! \ =V p

V(Ann(M)) = V

p∈Supp(M)

=

[

V(p)

p∈Supp(M)

= Supp(M) ! p  T S Schließlich gilt V Ann(M) = V p∈Ass(M) p = p∈Ass(M) V(p). Korollar .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann sind die Mengen der Form V(p), mit p die minimalen assoziierten Primideale an M, die irreduziblen Komponenten in Supp(M). Beweis. Dies folgt direkt aus Korollar . und aus Satz ..

Kapitel . Primärzerlegung



Aufgabe .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (a) Die Menge Ass(M) hat genau ein Element. (b) Für jedes a ∈ A ist die Abbildung x 7−→ a · x nilpotent oder injektiv auf M.

. Primäre Moduln Es ist A ein kommutativer noethersche Ring. Definition .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei p ⊂ A ein Primideal. Ein Untermodul N ⊂ M ist p-primär, wenn Ass(M/N) genau des Elements p besteht. Ein Untermodul N ⊂ M ist primär, wenn Ass(M/N) genau ein Element hat. Satz .. Sei q ⊂ A ein Ideal. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Das Ideal q is primär. (ii) Die Nullteilern des Quotients A/q sind die nilpotenten Elemente. (iii) Für alle x, y ∈ A, ist x · y ∈ q mit x < q, so existiert n ∈ N mit y n ∈ q. (iv) Es ist das einzige assoziierte Primideal an A/q das Radikal von q. Beweis. Die Äquivalenz (i)⇔(ii) folgt aus Aufgabe .. Die Äquivalenz (ii)⇔(iii) ist einfach. Aus √ Aussage (iii) folgt, dass q prim ist. Daher gilt die Äquivalenz (i)⇔(iv). Beispiel .. Sei A faktoriell und sei p ∈ A irreduzibel. Das Ideal q = (pn ) ist (p)-primär für n > . Aufgabe .. Sei m ⊂ A ein maximales Ideal. Zeigen Sie, dass ein Ideal q ⊂ A genau dann mprimär ist, wenn es n ∈ N mit mn ⊂ q ⊂ m existiert. Aufgabe .. Sei K ein Körper und sei A = K[X, Y, Z]/(X · Y − Z ). Man bezeichnet x bzw. y bzw. z die Restklasse von X bzw. Y bzw. Z. (i) Zeigen Sie, dass p = (x, z) ein Primideal ist. (ii) Zeigen Sie, dass die Restklasse von y in A/p einen Nullteiler aber kein nilpotentes Element ist. Finden Sie explizit ein Ideal q ⊂ A mit p ( q ( p. (iii) Bestimmen Sie die assoziierten Primideale von A/p .



Kommutative Algebra

Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei p ⊂ A ein Primideal. Ist (Mi )i∈I eine nichtleere T endliche Familie von p-primären Moduln, so ist der Durchschnitt N = i∈I Mi p-primär. Beweis. Es gibt eine injektive A-lineare Abbildung M/N

L i∈I

M/Mi , die die Restklasse

von x ∈ M modulo N zu (xi )i∈I sendet, wobei xi die Restklasse von x modulo Mi ist. Aus Satz . und Korollar . folgt dann, dass Ass(M/N) ⊂

[

Ass(M/Mi ) = {p}

i∈I

gilt. Außerdem ist M/N , {} da M/Mi ein nichttriviales Quotient von M/N für jedes i ∈ I , ∅ ist. Nach Korollar . folgt Ass(M/N) = {p}. Definition .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und seien p , . . . ,pr die an M assoziierten Primideale. Eine Primärzerlegung von M ist eine Familie von Untermoduln M , . . . , Mr mit folgenden Eigenschaften: (a) Der Untermodul ist pi -primär für jedes i ∈ {, . . . , r}. (b) Es gilt

.

Tr

i= Mi

= {}.

Existenz

Es sei A ein noetherscher kommutative Ring Satz .. Jeder endlich erzeugte A-Modul besitzt eine Primärzerlegung. Beweis. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Seien p , . . . ,pr die an M assoziierten Primideale. Für i ∈ {, . . . , r} betrachten wir die Menge Ci aller Untermoduln N ⊂ M mit pi < Ass(N). Es ist Ci , ∅ da {} ∈ Ci . Daher besitzt Ci ein maximaler Untermodul Mi . Es ist Mi , M da pi ∈ Ass(M) gilt. Also ist M/Mi nicht null. Nach Korollar . ist Ass(M/Mi ) nicht leer. Sei q ein an M/Mi assoziiertes Primideal. Es gibt x ∈ M/Mi mit Ann(x) = q. Sei N das Urbild von A · x durch der kanonischen Projektion M −→ M/Mi . Es gilt Mi ( N mit N/Mi  A·x  A/q. Daher, nach Sätze . und ., ist Ass(N) ⊂ Ass(Mi ) ∪ {q}. Aus der Maximalität von Mi in Ci gilt dann q = pi . Nach Satz . ist Ass

r \

! Mi ⊂

i=

Daher gilt

Tr

i= Mi

r \

Ass(Mi ) = ∅ .

i=

= {}, nach Korollar ..

Korollar .. Sei a ⊂ A ein Ideal und seien p , . . . ,pr die an A/a assoziierten Primideale. Zu jedem i ∈ {, . . . , r} gibt es ein pi -primäres Ideal qi , so dass a = q ∩ · · · ∩ qr gilt.

Kapitel . Primärzerlegung

.



Eindeutigkeit

Satz .. Sei M ein endlich erzeugender A-Modul. Angenommen gibt es Primideale p , . . . ,pr , und für jedes Index i, einen pi -primäre Untermodul Mi ⊂ M, mit folgenden Eigenschaften: (i) es gilt

Tr

i= Mi

= {};

(ii) es ist pi , pj für i , j; (iii) Ist r > , so gilt für jedes Index j \

Mi , {} .

i∈{,...,r}−{j}

Dann sind die Ideale p , . . . ,pr die an M assoziierten Primideale: Ass(M) = {p , . . . ,pr }. Beweis. Aussage (i) heißt, dass die kanonische Abbildung M −→ M/M ⊕ · · · ⊕ M/Mr injektiv ist. Nach Satz . und Korollar . folgt Ass(M) ⊂ {p , . . . ,pr }. Ist r = , so ist M = {} und es gibt nichts zu sagen. Für r =  ist M = {} und M = M/M . Angenommen jetzt ist r > . Aus Aussage (iii) folgt, dass, für jedes Index j, die kanonische Abbildung M

ϕj : M −→

M/Mi

i∈{,...,r}−{j}

nicht injektv ist. Die Kanonische Projektion M −→ M/Mj induziert nach (i) eine injektive Abbildung \

Mi = ker(ϕj ) −→ M/Mj .

i∈{,...,r}−{j}

Daher gilt ∅ , Ass(ker(ϕj )) ⊂ Ass(M/Mj ) = {pj } . Also gilt {pj } = Ass(ker(ϕj )) ⊂ Ass(M) . Insbesondere ist pj ∈ Ass(M). Korollar .. Sei a ( A ein Ideal. Sei qi eine endliche Familie pi -primären Idealen mit folgenden Eigenschaften: (i) a =

T

i qi ;

(ii) die Primideale pi sind paarweise verschieden; (iii) ist r > , so gilt für jedes Index j a,

\

qi .

i,j

Dann sind die Ideale pi die an A/a assoziierten Primideale,



Kommutative Algebra

Aufgabe .. Sei A ein reduzierter Ring (das heißt, dass

p

() = () gilt). Zeigen Sie, dass jedes

an A assoziiertes Primideal minimal in Ass(A) ist. Aufgabe .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Zeigen Sie, dass Ass(A/Ann(M)) ⊂ Ass(M) gilt. Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei M , . . . , Mr eine Primärzerlegung von M. Ist pi an M/Mi assoziiert und minimal in Ass(M), so ist Mi der Kern von der kanonischen Abbildung M −→ Mpi . Beweis. Wir betrachten das folgende kommutative Diagramm (konstruiert durch kanonischen Abbildungen), indem die Zeilen kurze exakte Sequenzen sind (nach Satz .). {}

Mi

M

M/Mi

{}

{}

(Mi )pi

Mpi

(M/Mi )pi

{}

Nach dem Schlangenlemma (.) ist es genug die zwei folgende Aussagen zu zeigen: (a) Es ist (Mi )pi = {}. (b) Die Abbildung M/Mi −→ (M/Mi )pi ist injektiv. Zu (a). Es gibt eine injektive A-lineare Abbildung von Mi nach

L

j,i M/Mj

(wie im Beweis von

Satz .). Daher gilt Ass(Mi ) ⊂

[

Ass(M/Mj ) = {pj | j , i } .

j,i

Nach Satz . sind die an (Mi )pi assoziierten Primideale genau die Primideale der Form pj mit j , i und pj ⊂ pi . Aus der Minimalität von pi in Ass(M) folgt dann Ass((Mi )pi ) = ∅. Nach Korollar . gilt dann (Mi )pi = {}. Zu (b). Sei N der Kern der Abbildung M/Mi −→ (M/Mi )pi . Ist N nicht null, so gilt nach Korollar . ∅ , Ass(N) ⊂ Ass(M/Mi ) = {pi } . Also ist Ass(N) = {pi }. Insbesondere existiert ein Element x ∈ N mit pi = Ann(x). Aber da gibt es s < pi mit s · x = , im Widerspruch zu Ann(x) ⊂ pi .

x 

=

Kapitel 

Moduln endlicher Länge

.

Artinsche Moduln

Sei R ein Ring mit Eins. Definition .. Ein R-Modul ist artinsch, wenn jede absteigende Kette von Untermoduln . . . ⊂ Mn+ ⊂ Mn ⊂ . . . ⊂ M ⊂ M stationär wird. Satz .. Sei {}

M0

f

M

g

M00

{}

eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Der R-Modul M ist genau dann artinsch, wenn beide M0 und M00 artinsch sind. Beweis. Angenommen ist M artinsch. Sei (M0n )n∈N eine absteigende Kette von Untermoduln von M0 . Es ist (f (M0n ))n∈N eine absteigende Kette von Untermoduln von M. Daher ist sie stationär. Da f injektiv folgt, dass die Kette (M0n )n∈N stationär ist. Sei (M00n )n∈N eine absteigende Kette von Untermoduln von M00 . Die Kette (g − (M00n ))n∈N ist dann stationär. Es ist g(g − (M00n ))n∈N für alle n da g surjektiv ist. Also ist (M00n )n∈N stationär. Seien M0 und M00 artinsch, und sei (Mn )n∈N eine absteigende Kette von Untermoduln von M. Dann ist die Kette (f − (Mn ))n∈N stationär. Gleichweise ist (g(Mn ))n∈N stationär. Aus der induzierten kurzen Sequenzen {}

M0n

Mn

g

M00n

{}

deduzieren wir durch Korollar . dann, dass die Kette (Mn )n∈N stationär ist. Definition .. Sei R kommutativ. Der Ring R ist artinsch, wenn R als R-Modul artinsch ist. Korollar .. Ein kommutativer Ring R ist genau dann artinsch, wenn jeder endlich erzeugte R-Modul artinsch ist. Satz .. Sei R ein kommutativer Integritätsring. Ist R artinsch, so ist R ein Körper. 



Kommutative Algebra

Beweis. Sei x ∈ R mit x , . Die Ideale der Form (xn ) bilden eine absteigende Kette von Ideale. Ist R artinsch, so gibt es n ∈ N mit (xn+ ) = (xn ). Also existiert y ∈ R mit xn = xn+ · y. Da xn ,  gilt und R ein Integritätsring ist folgt  = x · y. Korollar .. Sei R ein kommutativer artinsche Ringe. Dann sind alle Primideale von R maximal. Beweis. Sei p ⊂ R ein Primideal. Dann ist der Ring R/p artinsch (da er als R-Modul artinsch ist). Daher ist R/p ein Körper.

.

Der Satz von Jordan-Hölder

Sei R ein Ring mit Eins. Definition .. Ein R-Modul M ist einfach, wenn M , {} und für jeden Untermodul N ( M N = {} gilt. Beispiel .. Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum V ist genau dann einfach, wenn dimK (V) =  gilt. Notiz .. Sei f : M −→ N eine R-lineare Abbildung mit M und N einfach. Dann sind die folgende Aussagen äquivalent: (a) f ist injektiv; (b) f ist surjektiv; (c) f ist bijektiv; (d) f ist nicht null. Definition .. Sei M ein R-Modul. Eine Kompositionsreihe von M ist eine endliche Kette von Untermoduln der Form {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr = M mit jedes Quotient Mi /Mi− einfach. Die Moduln Mi /Mi− heißen Subquotienten oder Kompositionsfaktoren. Der assoziiertee graduierte Modul zur Kompositionsreihe ist gr(M) =

r M

Mi /Mi− .

i=

Die Länge `(M) des Moduls M ist die minimale Länge r einer Kompositionsreihe von M wie oben (es ist `(M) = ∞ falls keine Kompositionsreihe von M existiert). Falls `(M) < ∞ sagen wir, dass M ein Modul endlicher Länge ist. Satz . (Satz von Jordan-Hölder). Sei M ein R-Modul.

Kapitel . Moduln endlicher Länge



(i) Es ist M ein Modul endlicher Länge genau dann, wenn M noethersch und artinsch ist. (ii) Ist M ein Modul endlicher Länge, so ist der assoziiertee graduierte Modul gr(M) bis auf Isomorphie wohldefiniert (also bis auf Isomorphie hängt gr(M) nicht von der Wahl einer Kompositionsreihe ab). Beweis. Zu (i). Sei M ein endlicher Länge Modul. Jeder einfache Modul ist klar noethersch und artinsch. Daher nach Sätze . und . folgt, dass M noethersch und artinsch ist. Umgekehrt, sei M noethersch und artinsch. Sei I die Menge aller Untermoduln endlicher Länge in M. Es ist I nicht leere da {} endlicher Länge ist. Daher besitzt I ein maximales Element N. Angenommen ist N , M. Dann ist M/N noethersch und artinsch. Sei J die Menge aller nicht-nullen Untermoduln von M/N. Es ist J nicht leer da M/N selbst nicht null ist. Da M/N artinsch ist existiert ein minimales Element S von J. Also ist S einfach. Sei N 0 das Urbild von S durch der Projektion M −→ M/N. Es ist N 0 /N = S. Ist {} = N ⊂ N ⊂ . . . ⊂ Nr = N eine Kompositionsreihe von N, so ist dann {} = N ⊂ N ⊂ . . . ⊂ Nr ⊂ N 0 eine Kompositionsreihe von N 0 , im Widerspruch zur Maximalität von N. Daher gilt M = N. Zu (ii). Wir beweisen induktiv über die Länge von M. Ist `(M) = , so ist M null. Ist `(M) = , so ist M selbst einfach. Daher für jede Kompositionsreihe {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr = M ist die Inklusion M ⊂ M eine Gleichung (da beide M und M einfach sind), so dass Mi = M für alle i >  gilt. Insbesondere ist dann gr(M) = M. Sei `(M) > . Wir betrachten Kompositionsreihen {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr = M

bzw.

{} = M0 ⊂ M0 ⊂ . . . ⊂ M0r 0 = M

mit assoziierten graduierten Moduln gr(M) bzw. gr0 (M). Sei j ∈ {, . . . , r 0 } das kleinste Index mit M ⊂ M0j aber M 1 M0j− . Dann ist die Einschränkung der Projektion Mj −→ Mj /Mj− auf M nicht null und daher bijektiv: M  Mj /Mj− . Aber dann ist M0j = M0j− ⊕ M (nach Aufgabe .). Wir bezeichnen M00i = M0i− ⊕ M für  < i ≤ j und M00i = M0i für j < i ≤ r 0 . Wir bekommen dann eine neue Kompositionsreihe {} = M00 ⊂ M00 ⊂ . . . ⊂ M00r 0 = M



Kommutative Algebra

mit M = M00 . Wir betrachten das Quotient M/M . Dann erhalten wir zwei Kompositionsreihen von M/M {} = M /M ⊂ . . . ⊂ Mr /M = M/M

und

{} = M00 /M ⊂ . . . ⊂ M00r 0 /M = M/M .

Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann r = r 0 (tatsächlich r −  = r 0 − ) und M

Mi /Mi− 

i>

M

(Mi /M )/(Mi− /M ) 

M M (M00i /M )/(M00i− /M )  M0i /M0i− .

i>

i,j

i,j

Also bekommen wir gr(M) = M ⊕

M

Mi /Mi−  Mj /Mj− ⊕

i>

M

M0i /M0i− = gr0 (M) ,

i,j

was zu beweisen war. Korollar .. Sei M ein Modul endlich Länge. Ist {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr = M eine Kompositionsreihe von M, so gilt `(M) = r. Satz .. Sei {}

M0

f

M

g

M00

{}

eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Dann gilt `(M) = `(M0 ) + `(M00 ). Beweis. Falls einer der Moduln nicht endlich Länge gilt ist M kein Modul endlich Länge, nach Sätze . und .. Dann gilt `(M) = `(M0 ) + `(M00 ) durch ∞ = ∞ + `(M00 ) oder ∞ = `(M0 ) + ∞. Angenommen sind M, M0 und M00 Moduln endlich Länge. Wir betrachten eine Kompositionsreihe {} = M0 ⊂ M0 ⊂ . . . ⊂ M0r 0 = M0 und eine Kompositionsreihe {} = M00 ⊂ M00 ⊂ . . . ⊂ M00r 00 = M00 . Dann bekommen wir eine Kompositionsreihe von M {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr+r 0 = M definiert durch: Mi = M0i für  ≤ i ≤ r 0 und Mi = g − (M00i ) für r 0 < i ≤ r 0 + r 00 . Nach Korollar . gilt dann `(M) = r 0 + r 00 = `(M0 ) + `(M00 ). Aufgabe .. Sei A ein Hauptideal Ring. (i) Sei p ∈ A irreduzibel und sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass A/(pn ) endlich Länge mit `(A/(pn ) = n ist. (ii) Angenommen ist A kein Körper. Sei V ein endlich erzeugter A-Modul. Zeigen Sie, dass V endlich Länge ist genau dann, wenn Ann(V) , {} gilt. Angenommen ist jetzt V endlich Länge. Zeigen Sie, dass jedes an V assoziiertes Primideal maximal ist.

Kapitel . Moduln endlicher Länge



(iii) Es sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit A = K[X]. Sei V ein endlich dimensional K-Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus f : V −→ V betrachtet als A-Modul. Zeigen Sie, dass dimK (V) = `(V) und dass Ass(V) bis auf der Identifizierung von Korollar . { maximale Ideale von A}  K das Spektrum von f ist.

.

Artinsche Primärzerlegung

Es ist A ein noetherscher kommutativer Ring. Hilfsatz .. Ein A-Modul M ist genau dann einfach, wenn A/m  M für ein maximales Ideal m ⊂ A gilt. Beweis. Sei m ⊂ A ein maximales Ideal. Dann ist K = A/m ein Körper. Wir beobachten, dass jedes Untermodul von K ein Ideal von K ist. Also ist K einfach als A-Modul. Sei umgekehrt M einfach. Da M nicht null ist existiert x ,  in M. Also gilt A · x = M da M einfach ist. Also gilt A/Ann(x)  A · x = M . Es ist dann K = A/Ann(x) ein nichttrivialer Ring mit der Eigenschaft, dass jedes Ideal a ( K null ist. Also ist das Ideal Ann(x) maximal. Satz .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (a) Der Modul ist endlich Länge. (b) Jedes an M assoziiertes Primideal ist maximal. (c) Jedes Primideal p ∈ Supp(M) ist maximal. Beweis. Zu (a)⇒(b). Sei M endlich Länge, so bekommt M mindestens eine Kompositionsreihe {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr = M. Nach Korollar . gilt dann Ass(M) ⊂

k [

Ass(Mi /Mi− ) .

i=

Nach Hilfsatz oben ist jedes Quotient Mi /Mi− der Form A/mi mit mi ⊂ A maximal, und nach Satz . erhalten wir: Ass(M) ⊂ { m , . . . , mr } . Zu (b)⇒(c). Ist m ⊂ A ein Maximales Ideal, so gilt V(m) = {m}. Sind alle Elemente von Ass(M) maximal, so gilt dann nach Korollar . Ass(M) = Supp(M). Insbesondere ist jedes Element von



Kommutative Algebra

Supp(M) maximal. Zu (c)⇒(a). Nach Satz . existiert eine endliche aufsteigende kette von Untermoduln der Form {} = M ⊂ M ⊂ . . . ⊂ Mr = M mit Mi /Mi−  A/pi und pi ⊂ A prim für jedes i. Insbesondere gilt nach Satz . pi ∈ Supp(Mi ) ⊂ Supp(M) . Nach Hilfsatz oben ist Mi /Mi− einfach für alle i. Daher ist die Kette oben eine Kompositionsreihe von M. Korollar .. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Der Ring A ist artinsch. (ii) Jedes Primideal von A ist maximal. (iii) Der Raum Spec(A) ist diskret. (iv) Der Raum Spec(A) ist endlich und diskret. Beweis. Es ist Spec(A) = Supp(A). Daher volg die Äquivalenz (i)⇔(ii) von Satz .. Die Äquivalenz (ii)⇔(iii) folgt von Aufgabe . a). Ist Spec(A) discret, so folgt nach Korollar . Ass(A) = Spec(A). Daher ist Spec(A) endlich, nach Korollar .. Aufgabe .. Geben Sie einen Beispiel einem noetherschen kommutativen Ring mit endlichem aber nicht diskretem Spektrum. Korollar .. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul und sei p ∈ Spec(A). Es ist der Ap -Modul Mp nichttrivial und endlich Länge genau dann, wenn p ein minimales Element von Ass(M) ist. Beweis. Nach Satz . ist Ass(Mp ) = {q ∈ Ass(M) | q ∩ (A − p) = ∅ } Daher ist genau dann p ein minimales an M assoziiertes Primideal, wenn Ass(Mp ) = {p} gilt. Außerdem ist AssA (Mp )  AssAp (Mp ), nach Sätze . und .. Schließlich, da der Ring Ap lokal ist, ist ein endlich erzeugter Ap -Modul N endlich Länge genau dann, wenn pAp das einzige an N assoziiertes Primideal ist, nach Satz .. Hilfsatz .. Sei R ein kommutativer Ring und seien p,q zwei Primideale, so dass pn ⊂ q gilt (mit n ∈ N> ). So ist p ⊂ q.

Kapitel . Moduln endlicher Länge Beweis. Es ist einfach



√ √ p = pn = p da p prim ist. Nach Korollar . enthält ein Primideal das

Ideal pn genau dann, wenn es sein Radikal p enthält. Hilfsatz .. Sei f : M −→ M ein Endomorphismus einem A-Modul endlich Länge. Ist f injektiv, so ist f bijektiv. Beweis. Sei f injektiv. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz {}

M

f

M

coker(f )

{}

und damit `(M) = `(M) + `(coker(f )), nach Satz .. Also ist `(coker(f )) = . Das heißt, dass coker(f ) selbst null ist. Satz .. Sei M ein endlich Länge A-Modul. (i) Es gibt für jedes p ∈ Ass(M) genau einen p-primär Untermodul M(p). Außerdem gilt \

M(p) = {} .

p∈Ass(M)

(ii) Es existiert n ∈ N so, dass M(p) = pn M für jedes p ∈ Ass(M) gilt. (iii) Für jedes p ∈ Ass(M) ist die kanonische Abbildung M −→ Mp surjektiv. Also gibt es eine kanonische kurze exakte Sequenz {} −→ M(p) −→ M −→ Mp −→ {} . (iv) Der kanonische Homomorphismus M −→

M

M/M(p)

p∈Ass(M)

ist bijektiv. Beweis. Zu (i). Ist der topologischer Raum Ass(M) diskret, so ist jedes Element von Ass(M) minimal. Daher aus Sätze . und . folgt Aussage (i). Zu (ii) und (iii). Sei p ∈ Ass(M). Dann gilt Ass(M/M(p)) = {p}. Für jedes a ∈ p existiert n ∈ N mit an · x =  für alle x ∈ M/M(p), nach Satz .. Da p endlich erzeugt ist, gibt es np ∈ N so, dass anp · x =  für alle a ∈ p und alle x ∈ M/M(p) gilt. Da Ass(M) endlich ist (Korollar .) existiert dann n ∈ N mit pn M ⊂ M(p) für alle p ∈ Ass(M). Ist q ∈ Ass(M/pn M) so gilt pn ⊂ q, somit p ⊂ q, nach Lemma .. Da p maximal ist gilt dann Ass(M/pn M) = {p} .



Kommutative Algebra

Wir betrachten das kommutative Diagramm π

M

M/pn M f0

f

Mp

πp

(M/pn M)p

wobei f und f 0 die kanonische Abbildungen definiert durch x 7−→

x 

sind. Für jedes a < p ist die

Abbildung x 7−→ a · x injektiv auf dem Quotient M/pn M, nach Satz .. Nach Hilsatz . ist die Multiplikation durch a < p bijektiv auf M/pn M. Das heißt, dass die Abbildung f 0 oben bijektiv ist. Die exakte Sequenz links {}

f

M(p)

M

M(p)p

Mp

Mp

induziert die exakte Sequenz links {}

Mp

Mp

somit M(p)p = {}. Aus pn M ⊂ M(p) folgt (pn M)p = {}. Die kurze exakte Sequenz pn M

{}

π

M

M/pn M

{}

induziert die kurze exakte Sequenz {}

{}

πp

Mp

(M/pn M)p

{} .

Das heißt, dass die Abbildung πp oben einen Isomorphismus ist. Insbesondere gilt pn M = ker(π) = ker(f ) = M(p) und die Abbildung f ist surjektiv. Zu (iv). Falls Ass(M) genau ein Element p hat, so gilt M(p) = {} und damit M  Mp nach Aussage (iii). Angenommen ist Ass(M) = {p , . . . ,pr } mit r >  und pi , pj für i , j. Wir wählen n ∈ N so, dass M(pi ) = pin M für alle i ist. Sei qi = pin . Für i , j gilt pi + pj = () denn: ist p ⊂ A prim mit pε ⊂ p für ε = i, j, so gilt pi = p = pj , da pε maximal ist, im Widerspruch zu i , j. Äquivalent gilt V(qi ) ∩ V(qj ) = V(pi ) ∩ V(pj ) = ∅ für alle j , i. Sei i ∈ {, . . . , r}. Es ist qi +

\

qj = ()

j,i

denn \ ! \ ! [ V(qi ) ∩ V(qj ) = ∅ . V qi + qj = V(qi ) ∩ V qj = j,i

j,i

j,i

Existiert dann ein Element ei ∈ A mit ei ∈ qj für alle j , i und ei − ∈ qi . Die kanonische Abbildung p : M −→

M p∈Ass(M)

M/M(p) =

r M i=

M/qi M

Kapitel . Moduln endlicher Länge



ist injektiv, nach Aussage (i). Sei (xi )≤i≤r ∈

M

M.

{,...,r}

Wir betrachten x=

r X

ei · xi .

i=

Es ist x ≡ ei · xi

mod. qi M

xi ≡ e i · xi

mod. qi M

da ej ∈ qi für j , i und

für alle i da ei −  ∈ qi ist. Das heißt, dass p surjektiv ist. Korollar .. Jeder noetherscher und artinscher kommutativer Ring ist isomorph zu einem endlichen Produkt lokalen artinschen Ringe. Beweis. Sei A ein noetherscher und artinscher kommutativer Ring. Es ist A 

Q

p∈Ass(A) Ap .

Aufgabe .. Sei K ein Körper und sei A eine K-Algebra vom endlichen Typ. Zeigen Sie, dass A genau dann artinsch ist, wenn A ganz über K ist. Hinweis. Benützen Sie den Korollar . und den Nullstellensatz. Aufgabe .. Sei A ein noetherscher kommutativer Ring und sei f : A −→ B eine kommutative A-Algebra vom endlichen Typ. . Wir nehmen an, dass A lokal mit maximalen Ideal m ⊂ A ist. Zeigen Sie, dass B genau dann ganz über A ist, wenn B/mB = (A/m) ⊗A B ein artinscher Ring ist. . Wir nehmen an, dass B endlich über A ist. Zeigen Sie, dass für jedes q ∈ Spec(B) das Urbild f − (q) ein diskreter Unterraum von Spec(A) ist. . Wir nehmen an, dass B ganz über A ist. Zeigen Sie, dass B endlich über A ist genau dann, wenn für jedes q ∈ Spec(B) das Urbild f − (q) ein diskreter Unterraum von Spec(A) ist.

Kapitel 

Dimension

.

Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Mengen

Definition .. Sei X ein topologischer Raum und sei ` ∈ N. Eine Kette von irreduziblen abgeschlossenen Mengen der Länge ` ist eine echt aufsteigende Reihe X ( . . . ( X` von irreduziblen abgeschlossenen Mengen in X. Definition .. Sei X ein topologischer Raum. Die Krull-Dimension von X ist das Supremum der Längen aller Ketten von von irreduziblen abgeschlossenen Mengen in X. Wir bezeichnen dim(X) die Krull-Dimension von X. Definition .. Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Die Krull-Dimension oder einfach die Dimension des Ringes A ist die Krull-Dimension des Raums Spec(A). Wir bezeichnen dim(A) die Dimension von A. Der Ring A ist endlich dimensional falls dim(A) < +∞ gilt. Notiz .. Die Dimension eines Ringes A ist das Supremum aller echt absteigenden Reihen von Primideale der Form p` ( . . . ( p in A. Es ist −∞ das Maximum einer leeren Menge in N. Also gilt     falls A = {}, −∞      dim(A) =  max { ` | p` ( . . . ( p } ∈ N falls A endlich dimensional mit A , {} ist,        +∞ sonst. Beispiel .. Sei A ein noetherscher kommutativer Ring indem  , . Es ist dim(A) =  genau dann, wenn A artinsch ist: es ist eine Auslegung von Korollar . da dim(A) =  genau dann gilt, wenn alle Primideale von A maximal sind. Insbesondere ist dim(K) =  für alle Körpern K. Beispiel .. Es ist dim(A) =  für alle Hauptidealringe A. Beispiel .. Sei n ∈ N und sei K ein Körper. Dann gilt dim(K[X , . . . , Xn ]) ≥ n da () ( (X ) ( (X , X ) ( . . . ( (X , . . . , Xn ) 



Kommutative Algebra

eine echt absteigende Reihe von Primideale ist. Wir wissen schon, dass dim(K[X]) =  gilt (Beispiel .). Später werden wir zeigen, dass dim(K[X , . . . , Xn ]) = n für alle n gilt. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring. Zeigen Sie, dass dim(A[X]) ≥ dim(A) +  gilt. Der folgenden Satz ist einfach. Satz .. Sei X ein topologischer Raum und sei Z ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge. Ist X endlich dimensional, so ist Z endlich dimensional, und es gilt dim(X) ≥ dim(Z). Korollar .. Sei A ein kommutativer Ring und sei a ⊂ A ein Ideal. Ist A endlich dimensional, so ist A/a endlich dimensional, und es gilt dim(A/a) ≤ dim(A).

.

Ganze Erweiterungen

Hilfsatz .. Sei i : A −→ B ein ganzer Ringhomomorphismus. Wir nehmen an, dass A lokal mit maximal Ideal p ist und, dass  ,  in B gilt. Die Menge {q ∈ Spec(B) | p = i − (q) } ist genau die Menge aller maximalen Ideale in B. Insbesondere ist dieser Raum nicht leer und -dimensional. Beweis. Sei q ⊂ B ein Primideal. Dann ist A/i − (q) −→ B/q ein ganzer Homomorphismus. Damit ist i − (q) genau dann maximal wenn q maximal ist, nach Satz .. Da A lokal ist folgt dann, dass i − (q) genau dann maximal ist, wenn i − (q) = p gilt. Sei F die Menge aller maximalen Ideale in B. Es ist F nicht leer, nach Satz .. Da {p} abgeschlossen in Spec(A) ist, so folgt, dass F abgeschlossen in Spec(B) ist. Insbesondere existiert ein Ideal b ⊂ B mit F = V(b). Es ist dann dim(F) = dim(Spec(B/b)). Da jedes Primideal von B/b maximal ist, folgt dim(Spec(B/b)) = . Satz .. Sei i : A −→ B ein ganzer Ringhomomorphismus. Die induzierte stetige Abbildung i ∗ : Spec(B) −→ Spec(A) hat die folgenden Eigenschaften. (i) Ist i injektiv, so ist i ∗ surjektiv. (ii) Ist i injektiv, so sind die Fasern von i ∗ von Dimension Null; also ist {q ∈ Spec(B) | p = i − (q) } von Dimension Null für jedes Primideal p ⊂ A.

Beweis. Zu (i). Sei p ⊂ A ein Primideal. Es induziert ein kommutatives Diagramm von Ringe A (..)

i

a

Ap

B b

ip

Bp

Kapitel . Dimension



wobei a and b definiert durch x 7−→

x 

sind. Daher erhalten wir das folgende kommutative Dia-

gramm von topologischen Räumen. Spec(A) (..)

i∗

Spec(B)

a∗

Spec(Ap )

b∗ ip∗

Spec(Bp )

Der Ringhomomorphimus ist noch ganz und injektiv. Sei P ⊂ Ap das maximal Ideal, so dass a− (P) = p ist. Ist Q ⊂ Bp ein Primideal mit ip− (Q) = P, so gilt p = i − (q), wobei q = b− (Q), da das Diagramm von topologischen Räumen oben kommutiert. Wir werden Zeigen, dass die Abbildung Q 7−→ b− (Q) eine Bijektion (..)

{Q ∈ Spec(Bp ) | P = ip− (Q) } −→ {q ∈ Spec(B) | p = i − (q) }

ist. Wir beobachten, dass Bp die Lokalisierung von B nach S = i(A − p) ist. Nach Satz . ist die Abbildung b∗ injektiv. Außerdem ist ein Primideal q ⊂ B der Form b∗ (Q) genau dann, wenn i − (q) ⊂ p gilt (äquivalent S ∩ q = ∅ gilt). Die Bijektivität von (..) ist dann klar. Aussage (i) folgt dann von Hilfsatz .. Zu (ii). Sei p ∈ Spec(A). Wir betrachten das Diagramm (..), das die Bijektion (..) induziert. Wir zeigen jetzt, dass dim({q ∈ Spec(B) | p = i − (q) }) =  gilt. Sei Z ( . . . ( Z` eine Kette von irreduziblen abgeschlossenen Mengen in {q ∈ Spec(B) | p = i − (q) }. Für jedes Index j betrachten wir das Urbild Wj von Zj durch der Bijektion (..). Sei Qj ∈ Wj und sei qj = b− (Qj ). Dann ist die abgeschlossene Hülle von {qj } irreduzibel und abgeschlossen. Daher gilt Wj = V(Qj ) ∩ {Q ∈ Spec(Bp ) | P = ip− (Q) }  V(qj ) ∩ {q ∈ Spec(B) | p = i − (q) } = Zj für jedes j, da die Bijektion (..) vereinbar mit Inklusionen von Primideale ist, nach Satz .. Alle Elemente von Wj sind maximale Ideale, nach Hilfsatz .. Daher gilt {Qj } = V(Qj ) ∩ {Q ∈ Spec(Bp ) | P = ip− (Q) } und damit, durch der Bijektion (..), {qj } = V(qj ) ∩ {q ∈ Spec(B) | p = i − (q) } . Also gilt Zj = {qj } für jedes j, somit ` = . Korollar .. Sei i : A −→ B ein ganzer Ringhomomorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung i ∗ : Spec(B) −→ Spec(A) abgeschlossen; genauer, für jedes Ideal b ⊂ B gilt i ∗ (V(b)) = V(a), wobei a = i − (b) ist. Beweis. Der Homomorphismus induziert einen Homomorphismus j : A/a −→ B/b, der ganz und injektiv ist. Nach Aussage (i) von Satz . ist die induzierte Abbildung ∗ i|V(b) : V(b)  Spec(B/b)

j∗

Spec(A/a)  V(a)



Kommutative Algebra

surjektiv. Daher gilt V(a) = i ∗ (V(b)). Hilfsatz .. Sei i : A −→ B ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus. Wir betrachten eine echt aufsteigende Reihe von Primideale p ( . . . ( pr in A. Dann existiert eine echt aufsteigende Reihe von Primideale q ( . . . ( qr in B mit pj = i − (qj ) für alle j. Beweis. Wir beweisen induktiv über r. Für r =  ist es genau Aussage (i) von Satz .. Angenommen ist r > . Dann existiert eine echt aufsteigende Reihe von Primideale q ( . . . ( qr− in B mit pj = i − (qj ) für alle j < r. Korollar . mit b = qr− zeigt, dass es ein Primideal qr ⊂ B mit qr− ⊂ qr und pr = i − (qr ) gibt. Es ist qr− , qr denn sonst würde pr− = pr gelten. Satz .. Sei B ein kommutativer Ring und sei A ⊂ B ein Unterring. Angenommen ist B ganz über A. Der Ring A ist genau dann endlich dimensional, wenn der Ring B endlich dimensional ist. Außerdem gilt dim(A) = dim(B). Beweis. Sei q ⊂ B ein Primideal. Es ist das Bild der irreduziblen abgeschlossenen Menge V(q) in Spec(A) der irreduziblen abgeschlossenen Menge V(p), wobei p = i − (q) ist. Außerdem, sind q0 ( q zwei Primideale in B und sind p = i − (q) und p0 = i − (q0 ), so gilt p0 ( p: angenommen p0 = p, aus der echte Inklusion q0 ( q folgt dim({q ∈ Spec(B) | p = i − (q) }) ≥ , im Widerspurch zu Aussage (ii) von Satz .. Daher, ist A endlich dimensional, so ist B endlich dimensional mit dim(B) ≤ dim(A). Umgekehrt, nach Hilfsatz ., ist B endlich dimensional, so ist A endlich dimensional und dim(A) ≤ dim(B). Satz .. Sei K ein Körper und sei A eine K-Algebra vom endlichen Typ. Sei n ∈ N so, dass es existiert x , . . . , xn ∈ A mit K[x , . . . , xn ] = A. Dann ist dim(A) ≤ n. Beweis. Wir beweisen induktiv über n. Ist n = , so ist A = {} oder K = A und es gibt nichts zu tun. Sei n >  und sei ϕ : B = K[X , . . . , Xn ] −→ A eine surjektiver K-Algebrenhomomorphismus. Sei p ( . . . ( pr eine echt aufsteigende Reihe von Primideale in A. Wir betrachten qj = ϕ− (pj ) für jedes j. Es ist dann q ( . . . ( qr eine echt aufsteigende Reihe von Primideale in B. Insbesondere existiert ein F ∈ q nicht konstant. Nach dem Lemma von Nagata (.) existiert Y , . . . , Yn ∈ B mit B ganz über C = K[F, Y , . . . , Yn ]. Also ist die K-Algebra B/q  A/p ganz über B0 = C/C ∩ q . Es ist B0 = K[y , . . . , yn ] mit yi die Restklasse von Yi . Nach Induktionsvoraussetzung gilt dim(B0 ) ≤ n − . Nach Satz . gilt dann dim(A/p ) ≤ n − . Da {} ( p /p ( . . . ( pr /p eine echt aufsteigende Reihe von Primideale in A/p ist folgt r −  ≤ n − . Daher gilt r ≤ n. Korollar .. Sei K ein Körper. Dann gilt dim(K[X , . . . , Xn ]) = n für alle n ∈ N.

Kapitel . Dimension



Beweis. Es ist dim(K[X , . . . , Xn ]) ≥ n nach Beispiel .. Nach Satz . gilt die Vergleichung dim(K[X , . . . , Xn ]) ≤ n. Korollar .. Jede Algebra dem endlichen Typ über einen Körper ist endlich dimensional.

.

Der Transzendenzgrad

.. Sei A ein noetherscher kommutativer Ring. Seien p , . . . ,pn die minimalen Primideale von A. Dann gilt dim(A) = max dim(A/pi ) . ≤i≤n

Um die Dimension von A zu bestimmen ist es dann genug die Dimension von Integritätsringe zu verstehen. Wir werden es tun im Fall von Algebren dem endlichen Typ über einen Körper. Definition .. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Eine Transzendenzbasis von L über K ist eine Teilmenge B ⊂ L mit folgenden Eigenschaften: (a) jede endliche Teilmenge I ⊂ B bildet ein algebraisch unabhängiges System über K (Definition .); (b) L ist algebraisch über den Unterkörper K(B) erzeugt von K ∪ B. Aufgabe .. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und sei B ⊂ L so, dass jede endliche Teilmenge von B ein algebraisch unabhängiges System über K bildet. Zeigen Sie: ein Element x ∈ L − B ist genau dann transzendent (also nicht algebraisch) über K(B), wenn jede endliche Teilmenge von B ∪ {x} ein algebraisch unabhängiges System über K ist. Hilfsatz .. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Sei B ⊂ L endlich mit L = K(B) und sei E ⊂ B. Sei F ⊂ B maximal mit der Eigenschaft, dass F ein algebraisch unabhängiges System über K mit E ⊂ F ist. Dann ist F eine Transzendenzbasis über K. Beweis. Sei x ∈ B mit x < K(F). Nach der maximalität von F und der Aufgabe oben ist x algebraisch über K(F). Da L = K(B) folgt dann, dass L algebraisch über K(F) ist. Satz .. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Angenommen gibt es endlich viele Element x , . . . , xr in L mit L = K(x , . . . , xr ). Dann besitzt L mindestens eine endliche Transzendenzbasis über K. Außerdem haben zwei Transzendenzbasen von L über K gleiche Mächtigkeiten. Beweis. Jedes maximale algebraisch unabhängige System B ⊂ {x , . . . , xr } bildet eine Transzendenzbasis von L über K. Seien B und B0 zwei Transzendenzbasen von L über K, mit B endlich. Sei N die Mächtigkeit von B und sei M die Mächtigkeit von B ∩ B0 . Wir werden induktiv über n = N − M beweisen. Ist n = , so gilt B ⊂ B0 und damit gilt B = B0 . Angenommen ist n > . Sei



Kommutative Algebra

b ∈ B0 − B. Dann ist B ∪ {b} keine Transzendenzbasis von L über K. Sei B ⊂ B ∪ {b} maximal mit der Eigenschaft (B ∩ B0 ) ∪ {b} ⊂ B ( B ∪ {b} . Daher ist B eine Transzendenzbasis von L über K. Sei N die Mächtigkeit von B . Dann ist N − M < n. Daher, nach der Induktionsvoraussetzung ist B0 endlich mit Mächtigkeit N ≤ N. Da B und B0 symmetrische Rollen haben gilt N ≤ N . Definition .. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Falls L eine endliche Transzendenzbasis B von L über K besitzt sagen wir, dass L vom endlichen Typ über K (als Körpererweiterung) ist. Wir bezeichnen dann degTrK (L) den Transzendenzgrad von L über K, also die Mächtigkeit von B. Satz .. Sei K ein Körper und sei A eine integre K-Algebra dem endlichen Typ. Dann ist den Quotientenkörper K(A). Dann ist die Körpererweiterung K ⊂ K(A) vom endlichen Typ und dim(A) = degTrK (K(A)) . Beweis. Nach dem Noetherschen Normalisierungssatz gibt es ein algebraisch unabhängiges System x , . . . , xn ∈ A über K mit A ganz über K[x , . . . , xn ]. Nach Satz . und Korollar . ist dim(A) = n. Sei S = K[x , . . . , xn ] − {}. Dann ist S− A = K(A), da S− A ganz über den Körper K(x , . . . , xn ) = S− K[x , . . . , xn ] und damit ein Körper selbst ist (Satz .). Also ist K(A) algebraisch über K(x , . . . , xn ). Das zeigt, dass n = degTrK (A)) gilt. Korollar .. Sei K ein Körper und sei A = K[X , . . . , Xn ]/(F) mit F ∈ K[X , . . . , Xn ] nicht konstant. Dann gilt dim(A) = n − . Beweis. Sei p ( . . . ( p` eine Kette von Primideale in K[X , . . . , Xn ] mit (F) ⊂ p . Dann erhalten wir eine Kette von Primideale () = p ( p ( . . . ( p` der Lange `. Also ist ` ≤ n. Das Zeigt, dass dim(A) ≤ n −  ist. Wir zeigen dim(A) ≥ n −  induktiv über n. Es ist dim(A) das Maximum von aller dim(K[X , . . . , Xn ]/(P)) wobei P jedes Primfaktor von F ist. Ohne Einschränkung ist F irreduzibel. Falls n = , so ist A ein Körper, nach dem Nullstellensatz. Insbesondere gilt dim(A) =  =  − . Sei n > . Ist F ∈ K[X , . . . , Xn− ], so gilt A = A0 [Xn ] mit A0 = K[X , . . . , Xn− ]/(F). Aus der Induktionsvoraussetzung gilt dim(A0 ) = n − . Es ist dim A0 [Xn ] ≥ dim(A0 ) + . Damit gilt dim(A) ≥ n − . Falls F < K[X , . . . , Xn− ] ist die Komposition K[X , . . . , Xn− ] ⊂ K[X , . . . , Xn ] −→ A injektiv. Es ist A ein Integritätsring da F irreduzibel ist, und degTrK (K(A)) ≥ n −  gilt. Aus Satz . folgt dim(A) ≥ n − .

Kapitel . Dimension

.



Höhe

Es ist A ein kommutativer Ring. Definition .. Die Höhe einem Primideal p ⊂ A ist die Dimension von der Lokalisierung dim(Ap ). Man bezeichnet ht(p) = dim(Ap ). Notiz .. Nach Satz . ist die Höhe von p das Maximum aller ` ∈ N so, dass es eine echt absteigende Reihe von Primideale der Form p` ( . . . ( p = p gibt. Es ist dim(A/p) + ht(p) ≤ dim(A) . Wir werden die Möglichkeit zu einer Gleichung untersuchen. Beispiel .. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei F ⊂ K die Vereinigung von einer Gerade ` und einem Punkt p < `. Sei A = K[X, Y]/I, wobei I ⊂ K[X, Y] das Ideal von Polynome f mit f (x, y) =  für alle (x, y) ∈ F ist. Dann gilt dim(A) = . Trotzdem ist das maximale Ideal p = mp /I minimal. Damit gilt ht(p) = . Da dim(A/p) = dim(K[X, Y]/mp ) = dim(K) =  gilt  = dim(A/p) + ht(p) < dim(A) = . Hilfsatz .. Angenommen ist A faktoriell. Ein Primideal p ⊂ A ist der Höhe  genau dann, wenn es ein irreduzibles Element a ∈ A mit (a) = p gibt. Beweis. Sei ht(p) = . Es existiert a ∈ p irreduzibel. Da () ( (a) ⊂ p eine Kette von Primideale ist folgt (a) = p. Umgekehrt, sei a ∈ A irreduzibel. Sei q , () ein Primideal enthaltet in (a). Es existiert b ∈ q irreduzibel. Da b ∈ (a) ist a ein Teiler von b. Damit gibt es eine Einheit u ∈ A× mit b = u · a. Daher ist (b) = q = (a). Das zeigt, dass ht((a)) =  gilt. Hilfsatz .. Sei A faktoriell und sei A ⊂ B eine ganze Erweiterung mit B ein Integritätsring. Seien a und b teilerfremde Elemente von A und sei c ∈ B so, dass a ein Teiler von b · c in B ist. Dann existiert n ∈ N> so, dass a ein Teiler von cn ist. Beweis. Sei K der Quotientenkörper von A. Wir beobachten, dass A ganz abgeschlossen in K ist (Aufgabe .): für jedes x ∈ K, existiert p ∈ A[X] normiertet mit p(x) = , so gilt x ∈ A. Das Element c ist algebraisch über K da es ganz über A ist. Sei p das minimale Polynom von c über K: es ist p ∈ K[X] normiertet mit p(c) =  und K[X]/(p)  K[c] = K(c) durch f 7−→ f (c). Wir werden erst zeigen, dass p ∈ A[X] gilt. Sei K(c) ⊂ L eine Zerfällungskörper von p. Wir betrachten der Unterring A0 von L erzeugt von A und die Nullstellen von p. Da c



Kommutative Algebra

ganz über A gibt es ein normiertes Polynom q ∈ A[X] mit q(c) = . Für jedes σ ∈ Gal(L, K) ist q(σ(c)) = σ(q(c)) = . Also ist jede Nullstelle von p ganz über A. Daher ist der Ring A0 ganz über A (Korollar .). Aber p ∈ A0 [X] als Produkt Y

p=

(X − α) .

α∈A0 , p(α)=

Insbesondere ist jedes Koeffizient von p in K und ganz über A. Damit gilt p ∈ A[X]. Sei p = Xn + a · Xn− + · · · + an− · X + an mit jedes ai ∈ A. Nach Voraussetzung ist jetzt a ein Teiler von b · c. Sei d ∈ B mit a · d = b · c und sei q = Xn + b · Xn− + · · · + bn− · X + bn mit bi =

 i b a

· ai . Dann gilt !n− !n b b b n− q(d) = d + · a · d + ··· + · an− · d + · an a a a !n !n− !n− !n b·c b b b·c b·c b = + · a · + ··· + · an− · · an + a a a a a a !n b · p(c) = a n

= . Außerdem gilt K(d) = K(c) und daher [K(d) : K] = deg(q). Somit ist q das minimale Polynom von d über K. Aber d ∈ B ist ganz über A. Wie oben folgt, dass q ∈ A[X] ist. Also gilt bi ∈ A mit ai ·bi = bi ·ai für jedes i ∈ {, . . . , n}. Insbesondere ist a ein Teiler von bi ·ai in A für jedes i ∈ {, . . . , n}. Da a und b teilerfremd sind folgt, dass a ein Teiler von jedes ai in A ist. Schließlich , aus p(c) = cn + a · cn− + · · · + an− · c + an =  folgt dann, dass a ein Teiler von cn in B ist. Satz .. Sei K ein Körper und A eine integre K-Algebra vom endlichen Typ. Für alle p ∈ A gilt dim(A/p) + ht(p) = dim(A) . Beweis. Wir beweisen induktiv über n = ht(p). Ist n = , so gilt p = () und alles ist klar. Sei n = . Nach dem Noetherschen Normalisierungssatz existiert algebraisch unabhängiges System x . . . , xr ∈ A über K mit A ganz über B = K[x , . . . , xr ]. Es ist dim(A) = r und B ∩ p , () da dim(B/B ∩ p) = dim(A/p) < dim(A) = dim(B) = r .

Kapitel . Dimension



Wir werden zeigen, dass ht(B ∩ p) =  gilt. Sei f ∈ B irreduzibel mit f ∈ p. Es ist q = (f ) ⊂ p ein Primideal von B der Höhe , nach Hilfsatz .. Nach Korollar . gilt dann dim(B/q) = r −  . Sei a das Ideal von A erzeugt von q (also von f ). Es ist ht(p/a) =  da () ( a und ht(p) =  gilt. Es ist dann p/a ein minimales Ideal von A/a. Insbesondere ist p ein an A/a assoziiertes Primideal. Nach Satz . ist der p-primäre Untermodul I in der Primärzerlegung von A/a genau der Kern von der kanonischen Abbildung: A/a −→ (A/a)p . Also gibt es ein Ideal r ⊂ A, das a enthält, so dass r/a = I ist. Da Ass(A/r) = {p} gilt, existiert m ∈ N mit xm ∈ r für alle x ∈ p (Anwendung von Satz . mit M = A/r). Wir werden zeigen, dass B ∩ r ⊂ q = (f ) gilt. Sei b ∈ B ∩ r. Dann gibt es s < p mit s · b ∈ a. Also ist f ein Teiler von b in A denn: wäre f kein Teiler von b, nach Hilfsatz ., so würde f ein Teiler von einer Potenz von s, und somit würde p eine Potenz von s enthalten, im Widerspruch zu s < p. Schließlich können wir jetzt zeigen, dass B ∩ p = q gilt. Sei b ∈ B ∩ p. Dann ist bm ∈ B ∩ r. Da q prim ist, so folgt b ∈ q. Es ist jetzt B/q ⊂ A/p eine ganze Erweiterung und somit gilt dim(A/p) = dim(B/q) = r −  = dim(A) −  . Ist n > , so können wir eine echt aufsteigende Reihe von Primideale der Form {} = p ( p ( . . . ( pn = p wählen. Es ist p/p ein Primideal der Höhe n− in A/p . Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann dim(A/p) + n −  = dim(A/p ) . Es ist jetzt genug zu zeigen, dass dim(A/p ) +  = dim(A) gilt. Aber ht(p ) =  gilt, sodass dies aus dem Fall n =  folgt. Aufgabe .. Sei K ein Körper und sei A eine integre K-Algebra vom endlichen Typ. Ist a ⊂ A ein Ideal, so bezeichnen wir ht(a) = min ht(p) . p∈V(a)

Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung gilt: dim(A/a) + ht(a) = dim(A) .

Kapitel 

Regularität

.

Filtrationen

Sei A ein kommutativer Ring und M ein A-Modul. Definition .. Eine Folge von Untermoduln der Form · · · ⊂ Mn+ ⊂ Mn ⊂ · · · ⊂ M ⊂ M = M heißt eine Filtration von M. Sei a ein Ideal von A. Die Filtration (Mn )n∈N heißt eine a-Filtration, falls die Inklusion aMn ⊂ Mn+ gilt für alle n. Eine a-Filtration heißt a-stabil, falls aMn = Mn+ für n groß genug. Beispiel .. Es ist (a n M)n∈N eine a-stabile a-Filtration von M. Notiz .. Je Filtration von M definiert eine Topologie auf M: eine Teilmenge U ⊂ M is geöffnet, falls für jedes x ∈ U gibt es n ∈ N mit y ∈ U für alle y ∈ M so, dass x − y ∈ Mn gilt. Definition .. Sei a ein Ideal von A. Die a-adische Topologie auf M ist die Topologie induziert aus der Filtration (a n M)n∈N . Notiz .. Beide Addition und Multiplikation sind stetige Abbildungen von A × A nach A bezüglich der a-adische Topologie (und die a-adische Topologie auf A × A ist die Produkt-Topologie induziert aus der a-adische Topologie auf A). Ist (Mn )n∈N eine a-Filtration von M, so sind die Addition M×M −→ M und die Skalar-Multiplikation A × M −→ M stetig (mit der a-adische Topologie auf A). Hilfsatz .. Sei (Mn )n∈N eine Filtration von M. (i) Die abgeschlossene Hülle von {} in M ist der Durchschnitt aller Untermoduln Mn . (ii) Es ist M Hausdorffsch genau dann, wenn {} =

\ n≥

gilt. 

Mn



Kommutative Algebra

Beweis. Zu (i). Für jedes x ∈ M, gilt genau dann x ∈ {}, wenn jede Umgebung von x das Element  enthält. Insbesondere ist {} enthält im Durchschnitt aller Untermoduln der Form Mn . Sei x ∈ Mn für alle n ∈ N. Sei U eine Umgebung von x. Dann gibt es n ∈ N mit y ∈ U falls y − x ∈ Mn gilt. Insbesondere ist  ∈ U denn  − x ∈ Mn gilt. Zu (ii). Ist M Hausdorffsch, so ist {x} abgeschlossen für alle x ∈ M. Insbesondere gilt {} = T n≥ Mn , nach Aussage (i). Umgekehrt, sei {} der Durchschnitt aller Mn , und seien x, y ∈ M mit x , y. Dann existiert n ≥  mit x − y < Mn . Also ist (x + Mn ) ∩ (y + Mn ) = ∅, mit x + Mn bzw. y + Mn eine Umgebung von x bzw. von y. Hilfsatz .. Die Topologie induzierte von einer a-stabilen Filtration ist die a-adische Topologie. Beweis. Sei (Mn )n∈N eine a-stabile a-Filtration von M. Es gibt m ∈ N mit aMn = Mn+ für n ≥ m. Es ist genug zu zeigen, dass Mm+n ⊂ a n M ⊂ Mn für alle n ≥  gilt. Wir beweisen induktiv über n. Die zweite Inklusion gilt nach Definiton von a-Filtration. Für n =  ist Mm ⊂ M. Sei n > . Es ist Mm+n− ⊂ a n− M nach Induktionsvoraussetzung. Daher gilt Mm+n = aMm+n− ⊂ a n M. Definition .. Sei (Mn )n∈N eine Filtration von M. Eine Cauchy-Folge (xn )n≥ ist eine Folge von Elementen in M so, dass für jede Umgebung U von  in M es n ∈ N mit xn −xm ∈ U falls m, n ≥ n existiert. Wir bezeichnen C(M) die Menge von Cauchy-Folgen und C (M) die Menge von Folgen (xn )n≥ mit limn−→+∞ xn = . Beide C(M) und C (M) sind Untermoduln von dem Produkt MN . Die Alineare Abbildung b = C(M)/C (M) , p : M −→ M die x ∈ M zu der Restklasse der konstanten Folge (x)n≥ sendet heißt die kanonische Projektion. Der A-Modul heißt die Vervollständigung von M. Sei a ⊂ A ein Ideal. Die a-adische Vervollständigung von M ist Vervollständigung bezüglich der a-adische Filtration (a n M)n∈N . b hängt nur von der Topologie auf M ab. Nicht von der Filtration. Notiz .. Die Konstruktion M b n = p(Mn ). Das Urbild von M b n in C(M) ist die Menge von Aufgabe .. Für jede n ∈ N sei M Cauchy-Folgen (xi )i≥ so, dass es n ∈ N mit xi ∈ Mn für alle i ≥ n gilt. Zeigen Sie, dass die b n )n≥ eine Topologie auf M b mit folgenden Eigenschaften induziert: Filtration (M b ist stetig mit Kern (a) Die kanonische Abbildung p : M −→ M ker(p) =

\ n≥

b (b) Jede Cauchy-Folge ist konvergent in M.

Mn .

Kapitel . Regularität



b is Hausdorffsch. (c) Der Raum M Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften gelten: . Es ist M Hausdorffsch genau dann, wenn die Abbildung p injektiv ist. . Alle Cauchy-Folgen sind konvergent in M genau dann, wenn p surjektiv ist. Beispiel .. Sei p ∈ Z prim. Die p-adische Vervollständigung von Z ist die (p)-adische Vervollständigung. Man bezeichnet sie Zp . Die Elemente von Zp heißen die p-adischen Zahlen. Aufgabe .. Zeigen Sie, dass Zp ein lokaler Hauptidealring ist. Definition .. Ein Inverses System von A-Moduln M• ist ein Diagramm der Form ···

fn+

Mn+

fn

Mn

···

f

f

M

M

wobei Mn ein A-Modul und fn eine A-lineare Abbildung ist. Ein Morphismus von inversen Systemen ϕ• : M• −→ N• ist eine Familie von A-linearen Abbildungen ϕn : Mn −→ Nn , n ≥ , so, dass jedes Quadrat ϕn+

Mn+

Nn+

ϕn

Mn

Nn

kommutiert. Definition .. Sei M• ein inverses System von A-Moduln. Eine Folge (xn )n≥ von Elemente xn ∈ Mn ist kohärent falls fn (xn+ ) = xn für jedes n ≥ . Man bezeichnet lim Mn ⊂ ←n−−

Y

Mn

n≥

den Untermoduln von kohärenten Elementen im Produkt aller Mn . Wir betrachten lim Mn als n ←−− Q topologischer Modul bezüglich die Topologie induziert aus der Produkt-Topologie auf n≥ Mn , mit der diskreten Topologie auf jedem Mn . Notiz .. Es gibt eine exakte Sequenz links der Form {}

lim Mn ←−−n

i

Q

n≥ Mn

idM −V

wobei i die Inklusionsabbildung ist, mit V die Verschiebung: V((xn )n≥ ) = (fn (xn+ ))n≥ .

Q

n≥ Mn



Kommutative Algebra

Satz .. Sei M•

{}

ϕ•

ψ•

N•

P•

{}

eine kurze exakte Sequenz von inversen Systemen; das heißt, dass ϕ• und ψ• Morphismen von inversen Systemen sind, sodass Mn

{}

ϕn

ψn

Nn

Pn

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln für jede n ≥  ist. Angenommen ist Mn+ −→ Mn surjektiv für alle n ≥ . Dann gibt es eine kanonische exakte Sequenz der Form: lim Mn ←−−n

{}

lim Nn ←−−n

lim Pn ←−−n

{} .

Beweis. Wir betrachten den folgende Morphismus von exakten Sequenzen. Q

{}

Q

n≥ Mn

n≥ ϕn

Q n≥ Nn

idN −V

idM −V

{}

n≥ Mn

n≥ ϕn

Q

n≥ Pn

{}

idP −V

Q

Q

n≥ ψn

Q

Q

Q

n≥ Nn

n≥ ψn

Q

n≥ Pn

{}

Nach dem Schlangenlemma und nach Notiz . ist es genug zu zeigen, dass die Abbildung idM − V :

Y

Mn −→

n≥

Y

Mn

n≥

surjektiv ist. Sei x = (xn )n≥ eine Folge mit xn ∈ Mn für alle n. Wir definieren yn ∈ Mn induktiv über n. Sei y = . Wir wählen für jede n ≥  ein Element yn+ ∈ Mn+ mit fn (yn+ ) = yn − xn . Dann gilt y − V(y) = x mit y = (yn )n≥ . Satz .. Sei (Mn )n∈N eine Filtration von M. Sie induziert ein inverses System ···

pn+

M/Mn+

pn

M/Mn

···

p

M/M

f

M/M = {}

wobei pn die Restklasse von x modulo Mn+ zu seiner Restklasse modulo Mn sendet. Es gibt dann ein kanonischer Isomorphismus topologischer Moduln b  lim M/Mn . M ←n−− Beweis. Sei n ≥ . Die kanonische Projektion M −→ M/Mn ist stetig bezüglich die diskrete Topologie auf M/Mn . Jede Cauchy-Folge in M/Mn ist stationär. Daher gilt \n = C(M/Mn )/C (M/Mn ) . M/Mn  M/M Somit induziert die Projektion M −→ M/Mn eine stetige surjektive lineare Abbildung b −→ M/Mn , qn : M  Ein Isomorphismus von Moduln, der ein Homöomorphismus auch ist.

Kapitel . Regularität



die die Restklasse einer Cauchy-Folge (xi )i≥ zu der Restklasse von xi für i groß genug sendet. Wir definieren b −→ lim M/Mn q:M ←n−− durch q(x) = (qn (x))n≥ . Wir werden zeigen, dass q ein Isomorphismus topologischer Moduln ist. Sei (xi )i≥ eine Folge in M so, dass xi+ − xi ∈ Mi für alle i gilt. Dann ist (xi )i≥ eine Cauchy-Folge und q(x) ist die Folge von Restklassen von xi modulo Mi . Also ist q surjektiv. Zur injektivität b die Gleichung beobachten wir erst, dass die Abbildung p : M −→ M b n ) = Mn p− (M induziert. Also induziert p eine injektive lineare Abbildung b M bn . M/Mn −→ M/ Die letzte Abbildung ist surjektiv auch, denn: ist (xi )i≥ eine Cauchy-Folge, so ist xi − xj ∈ Mn für i, j groß genug; also ist die Restklasse von (xi )i≥ gleich die Restklasse von xi für i groß genug. Damit gilt b M bn . lim M/Mn  lim M/ ←n−− ←n−− b Hausdorffsch ist folgt, dass die kanonische Abbildung Da die Topologie auf M b −→ lim M/Mn  lim M/ b M bn M ←−− ←−− n

n

injektiv ist, nach Hilfsatz .. Da q vereinbar mit Filtrationen ist folgt, dass q ein Homöomorphismus ist. Korollar .. Sei a ⊂ A ein Ideal und sei {}

M

ϕ

N

ψ

P

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. Angenommen ist die a-Filtration (ϕ− (a n N))n∈N a-stabil. Dann gibt es eine kanonische kurze exakte Sequenz von a-adischen Vervollständigungen: {}

b M

b ϕ

b N

b ψ

b P

{} .

Beweis. Für jede n ∈ N gibt es eine kanonische kurte exakte Sequenz {}

M/ϕ− (a n N)

N/a n N

P/a n P

{}

Nach Satz . bekommen wir eine kurze exakte Sequenz der folgenden Form. {}

lim M/ϕ− (a n N) ←−−n

lim N/a n N ←−−n

lim P/a n P ←−−n

{}

Nach Satz . ist es jetzt genug zu zeigen, dass lim M/ϕ− (a n N) die a-adische Vervollständi←−−n gung von M ist. Dies folgt direkt aus Hilfsatz . und Notiz ..



Kommutative Algebra

Aufgabe .. Sei R ein kommutativer Ring. Wir definieren den Ring R[[X]] von Potenzreihen in der Variabel X mit Koeffizienten in R wie folgt. Ein element von R[[X]] ist eine Folge f = (an )n≥ in R bezeichnet f =

X

an · X n .

n≥

Sind f =

P

n≥ an

·

Xn

und g =

P

n≥ bn

·

Xn

zwei Potenzreihen, so ist die Summe f + g definiert

komponentenweise f +g =

X (an + bn ) · Xn n≥

und das Produkt f ·g =

X

cn · X n

n≥

durch cn =

X

für alle n ≥ .

ap · bq

p+q=n

(i) Zeigen Sie, dass R[[X]] die (X)-adische Vervollständigung von R[X] ist. (ii) Sei a ⊂ R[[X]] ein Ideal. Für f =

P

n≥ an · X

n

∈ a betrachten wir:

a) Die kleinste natürliche Zahl o(f ) = n ∈ N mit an , . b) Das Element c(f ) = an ∈ R wobei n = o(f ). Zeigen Sie, dass an = {c(f ) | f ∈ a , o(f ) = n} ∪ {} für jede n ein Ideal von R ist. (iii) Angenommen ist R noethersch. Das Ziel ist zu zeigen, dass R[[X]] noethersch ist. Sei a ⊂ R[[X]] ein Ideal. Zeigen Sie, dass es eine n ∈ N mit an = an für alle n ≥ n gibt. Seien g , . . . , gr ∈ R[[X]] so, dass für jede k ≤ n , es Ek ⊂ {g , . . . , gr } mit ak erzeugt von E gibt. Wir betrachten b = (g , . . . , gn ). a) Zeigen Sie, dass für jedes f ∈ a es g ∈ b mit o(f ) = o(g) und c(f ) = c(g) gibt. b) Sei f ∈ a. Konstruieren Sie Folgen (fn )n≥ in a und (gn )n≥ in b mit f = f so, dass P fn+ = fn − gn für alle n gilt. Zeigen Sie, dass n≥ gn in R[[X]] konvergent ist. Zeigen P Sie, dass f = n≥ gn gilt und, dass f ein Element von b ist. (iv) Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass K[[X]] ein lokaler Ring mit maximalem Ideal (X) ist.

Kapitel . Regularität

.



Das Artin-Reessche Lemma

Definition .. Ein gewichteter Ring ist ein kommutativer Ring A zusammen mit Untergruppen An ⊂ A (bezüglich Addition) für jede n ∈ N mit folgenden Eigenschaften: (i) Es ist A =

L

n≥ An .

(ii) Für a ∈ Am und b ∈ An gilt a · b ∈ Am+n . Beispiel .. Sei R ein kommutativer Ring. Dann ist A = R[X , . . . , Xk ] gewichtet mit An der P n n freie R-Modul erzeugt von Elementen der Form X · · · Xk k so, dass ki= ni = n gilt. Definition .. Sei A =

L

n An

ein gewichteter Ring. Ein gewichteter A-Modul ist ein A-Modul

M zusammen mit Untergruppen Mn ⊂ M (bezüglich Addition) für jede n ∈ N mit folgenden Eigenschaften: (i) Es ist M =

L

n≥ Mn .

(ii) Für a ∈ Am und x ∈ Mn gilt a · x ∈ Mm+n . Satz .. Ein gewichteter Ring A ist genau dann noethersch, wenn die zwei folgenden Eigenschaften erfüllt sind: (i) Der Ring A ist noethersch. (ii) Der Ring A ist eine A -Algebra von endlichem Typ. Beweis. Ist A eine A -Algebra von endlichem Typ und ist A noethersch, so ist A noethersch, nach dem Hilbertschen Basissatz (.) (und Aufgabe .). Umgekehrt, angenommen ist A noethersch. L Dann ist A = A/a mit a = n> An . Daher ist A noethersch (als A-Modul und dann als Ring). Außerdem ist a erzeugt von endlich vielen Elementen x , . . . , xr als A-modul. Ohne Einschränkung ist xi ∈ Ani für ni ∈ N. Sei x ∈ An mit n > . Dann gibt es ai ∈ An−ni so, dass x=

r X

ai · xi

i=

gilt. Induktiv über n beobachten wir, dass x ∈ A [x , . . . , xr ] gilt. Daher folgt A = A [x , . . . , xr ] und A ist eine A -Algebra endlichem Typ. Definition .. Sei a ⊂ A ein Ideal von einem kommutativen Ring. Dann heißt der gewichtete Ring A∗ =

M n≥

der Reessche Ring von A bezüglich a.

an



Kommutative Algebra

Notiz .. Ist a endlich erzeugt, so ist A∗ eine A-Algebra von endlichem Typ; genauer, bilden x , . . . , xr ∈ a eine erzeugende Familie, so gilt A∗ = A[x , . . . , xr ]. Außerdem gilt a  = A. Daher ist A noethersch genau dann, wenn A∗ noethersch ist, nach Satz .. Satz .. Sei A noethersch und a ⊂ A ein Ideal. Man betrachtet eine a-Filtration (Mn )n∈N von einem L endlich erzeugten A-Modul M. Das induziert ein A∗ -Modul M∗ = n≥ Mn durch die Skalarmultiplikation a m × Mn −→ Mm+n ,

(a, x) 7−→ a · x .

Der A∗ -Modul M∗ ist genau dann endlich erzeugt, wenn die a-Filtration (Mn )n∈N a-stabil ist. Beweis. Angenommen ist die a-Filtration a-stabil. Dann existiert n ∈ N mit Mn = a n−n Mn für alle n ≥ n . Es folgt, dass M∗ erzeugt von N = M ⊕ · · · ⊕ Mn als A∗ -Modul ist. Da N endlich erzeugt als A-Modul ist folgt dann, dass M∗ endlich erzeugt als A∗ -Modul ist. Umgekehrt, sei M∗ endlich erzeugt. Da A∗ noethersch ist folgt, dass M∗ noethersch ist. Wir betrachten die A∗ -Untermoduln Sn ⊂ M∗ erzeugt von M ⊕ · · · ⊕ Mn für jede n ∈ N. Es gibt dann n ∈ N mit Sn+ = Sn für alle n ≥ n . Insbesondere gilt Mn+ = Sn+ ∩ Mn+ = Sn ∩ Mn+ ⊂ aMn . Damit gilt Mn+ = aMn für n ≥ n . Satz . (Lemma von Artin-Rees). Sei A ein kommutativer noetherscher Ring und sei a ⊂ A ein Ideal. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Für jeden Untermodul N ⊂ M ist die induzierte aFiltration (N ∩ a n M)n∈N a-stabil. Beweis. Es ist N ∗ =

L

n≥ N ∩ a

nM

ein A∗ -Untermodul von M∗ =

L

n≥ a

n M.

Nach Satz . ist

M∗ endlich erzeugt über den noethersche Ring A∗ . Daher ist N ∗ noethersch als A∗ -Modul. Nach einer neuen Anwendung von Satz . ist dann die a-Filtration (N ∩ a n M)n∈N a-stabil. Korollar .. Sei a ⊂ A ein Ideal von einem Noetherschen Ring und sei {}

ϕ

M

N

ψ

P

{}

eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten A-Moduln. Dann gibt es eine kanonische kurze exakte Sequenz von a-adischen Vervollständigungen: {}

b M

b ϕ

b N

b ψ

b P

{} .

Beweis. Folgt von Korollar . und von dem Artin-Reesschen Lemma.

Kapitel . Regularität



Korollar . (Krull). Sei A ein Noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m ⊂ A. Für jeden endlich erzeugte A-Modul M gilt \

mn M = {} .

n≥

Beweis. Sei N = mit

mn N

T

n≥ m

n M. Es ist m n M∩N

= N eine m-stabile m-Filtration. Daher existiert n ∈ N

= N für alle n ≥ n . Also gilt mN + {} = N mit N endlich erzeugt. Nach dem Krull-

Nakayama-Lemma (.) gilt dann N = {}. Aufgabe . (Krullscher Satz). Sei a ein Ideal in einem noetherschen kommutativen Ring A. b Zeigen Sie, dass der Sei M ein endlich erzeugter A-Modul mit a-adische Vervollständigung M. b genau aus den x ∈ M mit Ann(x) ∩ ( + a) , ∅ besteht. Kern der kanonischen Abbildung M −→ M Hinweis. Benützen Sie Aufgaben . und . zusammen mit dem Lemma von Artin-Rees. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer noetherscher Ring und a ⊂ A ein Ideal. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. (i) Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. a) Für jedes maximale Ideal m ⊃ a gilt Mm = {}. b) Es ist aM = M. (ii) Zeigen Sie, das die folgende Gleichung gilt ! \ \ n a M= ker M −→ Mm , n>

m⊃a

wobei jede Abbildung M −→ Mm die kanonische Abbildung ist. Hinweis. Benützen Sie (i) zusammen mit Krullschem Satz (Aufgabe .). b die a-adische Vervollständigung von M. Zeigen Sie: (iii) Sei M b = {} M

⇔

Supp(M) ∩ V(a) = ∅ .

Aufgabe .. Sei A ein noetherscher Ring mit einem Ideal a ⊂ A. Sei f : A −→ b A die kanonische Abbildung nach der a-adischen Vervollständigung von A. Seien x , . . . , xr ∈ A mit a = (x , . . . , xr ). Sei ϕ : A[X , . . . , Xr ] −→ A die Abbildung definiert durch ϕ(p) = p(x , . . . , xr ). Wir definieren   A[[X , . . . , Xr ]] induktiv über r durch A[[X , . . . , Xr ]] = A[[X , . . . , Xr− ]] [[Xr ]] (Aufgabe .). (i) Zeigen Sie, dass A[[X , . . . , Xr ]] die (X , . . . , Xr )-adische Vervollständigung von A[X , . . . , Xr ] ist. Zeigen Sie, dass es genau eine stetige Ringhomomorphismus ψ : A[[X , . . . , Xr ]] −→ b A gibt so, dass das folgendes Quadrat kommutiert. A[X , . . . , Xr ]

A[[X , . . . , Xr ]] ψ

φ

A

f

b A



Kommutative Algebra

(ii) Zeigen Sie, dass ψ surjektiv ist. (iii) Zeigen Sie, dass b A noethersch ist.

.

Poincarésche Reihe

.. Es ist A =

L

n≥ An

ein gewichteter Ring mit folgenden Eigenschaften:

(i) Der Ring A ist noethersch und artinsch. (ii) Es gibt endlich viele Elemente x , . . . , xd ∈ A mit A = A [x , . . . , xd ]. Insbesondere ist A eine A -Algebra von endlichem Typ, und daher ein noethercher Ring. Sei M =

L

n≥ Mn

ein endlich erzeugter gewichteter A-Modul. Dann ist Mn ein endlich erzeugter

A -Modul für jede n. Insbesondere ist Mn ein Modul endlicher Länge für jede n. Definition .. Sei M ein endlich erzeugter gewichteter A-Modul. Die Poincarésche Reihe von M ist χ(M) =

X

`(Mn ) · t n ∈ Z[[t]] .

n≥o

Definition .. Seien M und N zwei gewichteten A-Moduln. Ein gewichtete A-lineare Abbildung f : M −→ N ist eine A-lineare Abbildung so, dass f (x) ∈ Ni für jede x ∈ Mi gilt. Eine kurze exakte Sequenz bzw. exakte Sequenz rechts bzw. exakte Sequenz links von gewichteten A-Moduln ist eine kurze exakte Sequenz bzw. exakte Sequenz rechts bzw. exakte Sequenz links von A-Moduln, wobei jede Abbildung eine gewichtete A-lineare Abbildung zwischen gewichteten A-Moduln ist. Satz .. Es sei {}

M0

M

M00

{}

eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten gewichteten A-Moduln. Dann gilt χ(M) = χ(M0 ) + χ(M00 ) . Beweis. Für jede n ∈ N ist eine kurze exakte Sequenz von endlichen Länge A -Moduln {}

M0n

Mn

M00n

{}

somit gilt `(Mn ) = `(M0n ) + `(M00n ), nach Satz .. Satz . (Hilbert-Serre). Sei M ein endlich erzeugter gewichteter A-Modul. Es gibt P ∈ Z[t] mit χ(M) = (wobei d aus Aussage (ii) in . kommt).

P(t) ( − t)d

Kapitel . Regularität



Beweis. Wir beweisen induktiv über d. Sei d = . Dann ist A = A und M =

L

n≥ Mn

ist endlich

erzeugt als A -Modul. Also existiert n ≥  mit Mn = {} für n ≥ n . Damit gilt `(Mn ) =  für n ≥ n und χ(M) ∈ Z[t]. Sei d > . Man betrachtet den gewichtete A-Modul M[−] =

M

Mn−

n≥

mit M− = {}. Es ist χ(M[−]) = t · χ(M) . Sei ϕ : M[−] −→ M die gewichtete A-lineare Abbildung definiert durch ϕ(y) = x · y. Das induziert eine exakte Sequenz der Form K

{}

ϕ

M[−]

M

Q

{}

oder äquivalent zwei kurze exakte Sequenzen von endlich erzeugten gewichteten A-Moduln {}

K

M[−]

im(ϕ)

{}

{}

im(ϕ)

M

Q

{}

und damit, nach Satz . (zwei mal):   χ(Q) − χ(K) = χ(M) − χ(im(ϕ)) − χ(M[−]) − χ(im(ϕ)) = χ(M) − χ(M[−]) = ( − t) · χ(M) . Sei A0 = A/(x ). Dies ist ein gewichteter Ring mit A0 = A ⊕

M

An /(x · An− )

und

A0 = A [x¯ , . . . , x¯d ] ,

n≥

wobei x¯i die Restklasse von xi für jedes i >  ist. Außerdem sind K und Q Moduln über A0 . Daher, nach Induktionsvoraussetzung existieren F, G ∈ Z[t] mit χ(K) = Mit P(t) = G(t) − F(t) erhalten wir

F(t) ( − t)d− P(t) (−t)d−

und χ(Q) =

G(t) . ( − t)d−

= ( − t) · χ(M).

Hilfsatz .. Für eine Abbildung ϕ : Z −→ Z definieren wir ∆(ϕ) : Z −→ Z durch ∆(ϕ)(n) = ϕ(n + ) − ϕ(n). Sei f : Z −→ Z eine Abbildung. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent. (i) Es ist f eine Polynomfunktion (das heißt es gibt P ∈ Q[t] mit f (n) = P(n) für alle n ∈ Z). (ii) Es ist ∆(f ) eine Polynomfunktion.



Kommutative Algebra

(iii) Es gibt r ∈ N mit ∆r (f ) = ∆ ◦ · · · ◦ ∆(f ) = . | {z } r mal

Beweis. Zu (i)⇒(ii). Sei P ∈ Q[t] mit f (n) = P(n) für alle n ∈ Z. Dann gilt Q(t) = P(t + ) − P(t) ∈ Q[t] mit ∆(f )(n) = Q(n) für alle n ∈ Z. Zu (ii)⇒(iii). Sei P ∈ Q[t]. Es ist ∆(P) = P(t + ) − P(t) ∈ Q[t] mit Grad < deg(P). Also gilt ∆r (P) =  für r ∈ N groß genug. Zu (iii)⇒(i). Angenommen ist f nicht null (sonst würde es nichts zu tun). Sei d ∈ N maximal mit ∆d (f ) , . Wir beweisen induktiv über d, dass f eine Polynomfunktion vom Grad d ist. Ist d = , so ist ∆(f ) =  somit f konstant und nicht null ist. Sei d > . Dann gibt es Q ∈ Q[t] vom Grad d −  mit ∆(f ) = Q(t), nach Induktionsvoraussetzung. Also gibt es a , . . . , ad− ∈ Q mit f (n + ) − f (n) = a + a · n + · · · + ad− · nd− für alle n ∈ Z. Ist P ∈ Q[t] des Grades d, so gilt die Taylor-Formel: P(t + ) − P(t) =

d X P(i) (t) i=

i!

.

Es gibt ein solches P mit ∆(P) = Q (nachrechnen). Also gilt ∆(f − P)(n) = ∆(f )(n) − ∆(P)(n) =  für alle n ∈ Z. Dass heißt, dass f − P eine konstante Funktion ist. Daher ist f = (f − P) + P eine Polynomfunktion vom Grad d. Hilfsatz .. Sei f : N −→ N eine Abbildung. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent. (i) Es gibt n ∈ N und ein Polynom P ∈ Q[t] mit f (n) = P(n) für alle n ≥ n . (ii) Es gibt n ∈ N und ein Polynom P ∈ Q[t] mit f (n + ) − f (n) = P(n) für alle n ≥ n . (iii) Es gibt r, n ∈ N mit ∆r (f )(n) =  für alle n ≥ n . Beweis. Zu (i)⇒(ii). Seien n ∈ N und P ∈ Q[t] mit f (n) = P(n) für n ≥ n . Es gibt r ≥  mit ∆r (P) = . Somit gilt ∆r (f ) = ∆r (P)(n) =  für n ≥ n . Zu (ii)⇒(iii). Ist P ein Polynom, so ist ∆r (P) =  für r groß genug. Zu (iii)⇒(i). Seien r, n ∈ N mit ∆r (f )(n) =  für alle n ≥ n . Sei d maximal mit ∆d (f )(n) ,  mindestens für ein n ≥ n . Ist d ≤ , so ist f konstant nach n . Sei d > . Dann gibt es Q ∈ Q[t] und n ∈ N mit Q(n) = ∆(f )(n) für n ≥ n . Wir wählen P ∈ Q[t] mit ∆(P) = Q. Dann ist f − P konstant nach n .

Kapitel . Regularität Hilfsatz .. Sei g(t) =

 P

n≥ an · t

n

∈ Z[[t]] und d ∈ N so, dass ( − t)d · f (t) ∈ Z[t] gilt. Dann gibt es

n ∈ N so, dass die Abbildung n 7−→ an eine Polynomfunktion des Grades ≤ d −  in der Variabel n ≥ n ist. Beweis. Wir beweisen induktiv über d. Ist d = , so ist g ein Polynom und an =  für n groß genug. Sei d > . Wir bezeichnen a(n) = an für n ≥  und a(−) = . Es ist ( − t) · g(t) = −

X

∆(a)(n) · t n .

n≥

Also gilt ( − t)d− ·

X

∆(a)(n) · t n ∈ Z[t] .

n≥

Nach Induktionsvoraussetzung ist ∆(a) eine Polynomfunktion nach einer n ∈ N. Nach Hilfsatz . ist dann n 7−→ an eine Polynomfunktion nach einer n ∈ N. Korollar .. Sei M ein endlich erzeugter gewichteter A-Modul. Es gibt n ∈ N so, dass die Abbildung n 7−→ `(Mn ) eine Polynomfunktion des Grades ≤ d −  in der Variabel n ≥ n ist. Beweis. Nach dem Satz von Hilbert-Serre gilt ( − t)d · χ(M) ∈ Z[t]. Dieses Korollar folgt dann aus Hilfsatz .. Aufgabe .. Sei A ein gewichteter Ring mit A noethersch und artinsch. Angenommen gibt es xi ∈ Ari für  ≤ i ≤ d so, dass A = A [x , . . . , xd ] gilt. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Zeigen Sie, dass χ(M) ·

d Y

( − t ri ) ∈ Z[t]

i=

gilt. Satz .. Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Sei q ⊂ A ein m-primäres Ideal, und sei d Mindestanzahl so, dass es ein Erzeugendensystem von q der Form x , . . . , xd gibt. Sei M ein endlich erzeigt A-Modul. (i) Es existiert n ∈ N so, dass n 7−→ `(M/qn M) eine Polynomfunktion des Grades ≤ d in der Variabel n ≥ n ist. (ii) Der Grad dieser Polynomfunktion hängt nicht von q ab. Beweis. Zu (i). Man betrachtet den gewichtete Ring grq (A) =

M

qn /qn+ .

n≥

Sei x , . . . , xd ein Erzeugendensystem von q mit Restklassen x¯ , . . . , x¯d modulo q . Dann gilt grq (A) = (A/q)[x¯ , . . . , x¯d ] .



Kommutative Algebra

Zum A-Modul M is assoziiert den gewichtete grq (A)-Modul grq (M) =

M

qn M/qn+ M .

n≥

Der Ring A/q ist noethersch und artinsch (nach Aufgabe . und Korollar .). Aus dem Korollar . ist die Abbildung n 7−→ `(qn M/qn+ M) polynomial für n groß genug, vom Grad ≤ d − . Sei f (n) = `(M/qn M). Es gibt kanonischen exakten Sequenzen der Form {} −→ qn M/qn+ M −→ M/qn+ M −→ M/qn M −→ {} und somit, nach Satz ., Gleichungen ∆(f )(n) = f (n + ) − f (n) = `(qn M/qn+ M) . Nach Hilfsatz . existiert dann n ∈ N so, dass f eine Polynomfunktion vom Grad ≤ d für n ≥ n ist. Zu (ii). Es gibt r ∈ N mit mr ⊂ q ⊂ m (Aufgabe .). Daher gilt mrn M ⊂ qn M ⊂ mn M für alle n ≥ . Wir erhalten surjektiven A-linearen Abbildungen M/mrn M −→ M/qn M −→ M/mn M und somit, nach Satz ., Vergleichungen `(M/mrn M) ≥ `(M/qn M) ≥ `(M/mn M) . Seien P, Q ∈ Q[t] mit `(M/mn M) = P(n) und `(M/qn M) = Q(n) für n groß genug. Dann gelten die Vergleichungen P(rn) ≥ Q(n) ≥ P(n) für n groß genug. Daher gilt deg(P(rt)) ≥ deg(Q(t)) ≥ deg(P(t)) . Da deg(P(rt)) = deg(P(t)) folgt deg(Q(t)) = deg(P(t)). Definition .. Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Sei q ⊂ A ein mprimäres Ideal. Für jeden endlich erzeugte A-Modul M definieren das charakteristische Polynom von q über M (also ernannt als das Hilbertsche Polynom von q über M) ist das Polynom Pq (M) bestimmt durch Pq (M)(n) = `(M/qn M) für n >> . Für M = A heißt einfacher Pq (A) das charakteristische Polynom von q, oder das Hilbertsche Polynom von q.

Kapitel . Regularität



Satz .. Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Sei δ(A) ∈ N minimal so, dass mindestens ein m-primäre Ideal erzeugt von δ(A) Elemente ist. Für alle m-primären Ideale q ⊂ A gilt deg(Pq (A)) = deg(Pm (A)) ≤ δ(A) . Beweis. Da deg(Pq (A)) nicht von q hängt ab (Aussage (ii) von Satz .), ohne Einschränkung ist q erzeugt von δ(A) Elemente. Aus Aussage (i) von Satz . gilt dann δ(A) ≤ deg(Pq (A)).

.

Die Dimension von lokalen noetherschen Ringen

Satz . (Dimensionssatz). Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Dann ist A endlich dimensional. Außerdem sind die drei folgenden Zahlen gleich. (i) Die Dimension dim(A). (ii) Die Mindestanzahl δ(A) so, dass es ein von δ(A) Elemente erzeugtes m-primäres Ideal gibt. (iii) Der Grad d(A) vom Hilbertschen Polynom Pm (A). Hilfsatz .. Sei x ∈ m kein Nullteiler. Dann gilt d(A/(x)) ≤ d(A) − . Beweis. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz f

{} −→ A −→ A −→ A/(x) −→ {} wobei f definiert durch f (a) = x · a ist. Sei In = f − (mn ) für jede n ≥ . Also ist In das Ideal von Elemente a ∈ A mit x · a ∈ mn . Insbesondere gilt mn ⊂ In . Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz für jede n der From: {} −→ A/In −→ A/mn −→ A/(x, mn ) −→ {} . Daher ist A/In von endlicher Lange, und die Abbildung n 7−→ `(A/In ) ist polynomial für n groß genug: es gibt Q ∈ Q[t] mit Q(n) = `(A/In ) für n groß genug. Außerdem ist (In )n∈N eine m-stabile m-Filtration, nach dem Lemma von Artin-Rees: es gibt n ∈ N mit In = mn−n In für alle n ≥ n ; also gilt mn ⊂ In ⊂ mn−n für alle n ≥ n , somit Pm (A)(n) ≥ Q(n) ≥ Pm (A)(n − n ) für alle n groß genug. Es folgt, dass deg(Q) = d(A) und, dass Pm (A) und Q gleichen Leitkoeffizienten haben. Es ist außerdem `(A/(x, mn )) = `(A/mn ) − `(A/In )



Kommutative Algebra

für alle n ≥ , und daher P(x,m) (A/(x)) = Pm (A) − Q . Es folgt dann, dass d(A/(x)) ≤ d(A) −  gilt. Hilfsatz .. Sei R ein kommutativer Ring und sei a ⊂ R ein Ideal. Sind p , . . . ,pr Primideale mit S a ⊂ ri= pi , so existiert i mit a ⊂ pi . Beweis. Wir beweisen induktiv über r. Ist r = , so gibt es nichts zu beweisen. Sei r > . Angenommen ist a 1 pi für alle i. Es ist dann für jedes j ∈ {, . . . , r} a1

[

pi

i,j

denn sonst, nach Induktionsvoraussetzung, würde a ⊂ pi für ein i , j gelten. Für jedes j existiert S xj ∈ aj mit xj < i,j pi . Aber dann gilt xj ∈ pj für alle j. Sei y = x + x · · · xr ∈ a. Es gibt i mit y ∈ pi . Ist i = , so ist x · · · xr ∈ p . Dann existiert j ,  mit xj ∈ p , im Widerspruch zu xj < p für j , . Also ist i , . Aber dann gilt x = y − x · · · xr ∈ pi , auch im Widerspruch zu x < pi für  , i. Beweis von Satz .. Wir werden d(A) ≤ δ(A) ≤ dim(A) ≤ d(A). beweisen. • Zu dim(A) ≤ d(A). Wir beweisen diese Vergleichung induktiv über d(A). Sei d(A) = . Dann ist die Abbildung n 7−→ `(A/mn ) konstant für n groß genug. Aus der exakten Sequenz {} −→ mn /mn+k −→ A/mn+k −→ A/mn −→ {} folgt `(A/mn+k ) = `(mn /mn+k ) + `(A/mn ) für alle n, k ≥ . Das zeigt, dass, für n groß genug, `(mn /mn+k ) =  für alle k ≥  gilt. Äquivalent ist mn+k = mn . Das heißt, dass für n groß genug mn =

\

mk

k≥

gilt. Nach Korollar . ist dann mn = {} für n groß genug. Also ist das Nullideal m-primär und A ist artinsch, somit von Dimension Null. Sei d(A) > . Sei jetzt eine Kette von Primideale p ( . . . ( p` in A. Sei x ∈ p − p . Die Restklasse x¯ von x in B = A/p ist kein Nullteiler (nicht null in einem Integritätsring). Sei n das maximale Ideal von B. Dann ist die kanonische Abbildung A/mn −→ B/n n surjektiv für alle n. Damit ist `(B/n n ) ≤ `(A/mn ) .

Kapitel . Regularität



Es folgt Pn (B)(n) ≤ Pm (A)(n) für n groß genug und somit d(B) ≤ d(A). Nach Lemma . gilt ¯ ≤ d(B)− ≤ d(A)−. Daher, nach Induktionsvoraussetzung ist B/(x) ¯ endlich dimensional d(B/(x)) ¯ ≤ d(B/(x)). ¯ Es ist mit dim(B/(x)) ¯ ( . . . ( p` /(x) ¯ p /(x) ¯ Daher gilt ` −  ≤ d(B/(x)) ¯ ≤ d(A) − . Äquivalent ist ` ≤ d(A). eine Kette von Primideale in B/(x). Das heißt, dass A endlich dimensional mit dim(A) ≤ d(A) ist. • Zu δ(A) ≤ dim(A). Wir beweisen induktiv über dim(A). Ist dim(A) = , so ist A artinsch und das Nullideal ist m-primär. Insbesondere gilt δ(A) = . Sei jetzt dim(A) > . Wir werden induktiv über i ∈ {, . . . , dim(A)} ein Ideal ai ⊂ A konstruieren so, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt werden: (a) Das Ideal ai ist erzeugt von i Elemente. (b) Für alle Primideale p mit ai ⊂ p gilt die Vergleichung ht(p) ≥ i. Für i =  betrachten wir a = (). Sei  < i ≤ dim(A). Sei E die Menge aller Primideale p mit ai− ⊂ p und ht(p) = i − . Es ist E ⊂ Ass(A/ai− ) und daher ist E endlich. Es ist für jedes p ∈ E ht(p) = i −  < dim(A) = ht(m) . Insbesondere gilt p ( m für ein solches p. Es ist m,

[

p

p∈E

da sonst, nach Lemma ., existierte ein p ∈ E mit m ⊂ p, und somit m = p, im Widerspruch zu ht(p) = i −  < dim(A) = ht(m). Daher gibt es x ∈ m mit x < p für alle p ∈ E. Wir definieren ai = (x) +ai− . Da ai− erzeugt von i −  Elemente ist folgt Eigenschaft (a) oben. Sei p ein Primideal mit ai ⊂ p. Da ai− ⊂ p folgt ht(p) ≥ i − . Es ist ht(p) > i −  da sonst würde x kein Element von p sein. Somit Eigenschaft (b). Falls n = dim(A) ist, dann ist der Ring A/an lokal und artinsch: es gibt genau ein Primideal p der Höhe n = dim(A), tatsächlich m selbst, so dass Spec(A/an ) = {m/an } gilt. Äquivalent ist dann das Ideal an m-primär. Daher gilt δ(A) ≤ n = dim(A). • Zu d(A) ≤ δ(A). Folgt aus Satz .. Korollar .. Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m, und k = A/m. Dann gilt dim(A) ≤ dimk (m/m ) . Beweis. Der k-Modul m/m ist endlich erzeugt, da er noethersch ist. Seien x , . . . , xd ∈ m so, dass die Restklassen x¯ , . . . , x¯d modulo m eine Basis von m/m bilden. Nach dem Lemma von KrullNakayama (tatsächlich nach Korollar .) ist x , . . . , xd ein Erzeugendensystem von m. Daher ist dim(A) ≤ d, nach Satz ..



Kommutative Algebra

Korollar .. Sei A ein noetherscher kommutativer Ring. Seien x , . . . , xr ∈ A und sei p minimal in Ass(A/(x , . . . , xr )). Dann gilt ht(p) ≤ r. Beweis. Es ist (x , . . . , xr ) ⊂ p und (x , . . . , xr )p =

 x 

,...,

xr  ⊂ pAp . 

Außerdem ist p minimal in Ass(Ap /(x , . . . , xr )p ). Dass heißt, dass das Ideal (x , . . . , xr )p pAp -primär ist. Also gilt r ≥ dim(Ap ) = ht(p). Aufgabe .. Sei A ein noetherscher Ring mit einem maximale Ideal m. Sei f : A −→ b A die kanonische Abbildung nach der m-adischen Vervollständigung von A. Es ist b A ein noetherscher Ring (Aufgabe .). Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften: b (die m-adische Vervollständigung von m ) Der Ring b A ist lokal mit maximalem Ideal m b. Zeigen Sie, dass es y ∈ b b mit x · y =  − z gibt; Beselbst). Hinweis. Sei x < m A und z ∈ m stimmen Sie ein explizites Inverse von  − z. ) Zeigen Sie, dass b A kanonisch isomorph zu der (mAm )-adischen Vervollständigung von Am ist. b ) Angenommen ist jetzt A lokal. Zeigen Sie, dass Pm (A) = Pm b (A) ist. Zeigen Sie, dass die Gleichung dim(A) = dim(b A) gilt. Satz . (Krullscher Hauptidealsatz). Sei A ein noetherscher lokaler Ring und sei x ∈ A kein Nullteiler oder eine Einheit. (i) Für jedes p ∈ Ass(A/(x)) minimal gilt ht(p) = . (ii) Es ist dim(A/(x)) = dim(A) − . Beweis. Zu (i). Nach dem Korollar oben folgt ht(p) ≤  für jedes p ∈ Ass(A/(x)) minimal. Angenommen gibt es p ∈ Ass(A/(x)) minimal mit ht(p) = . Dann ist Ap artinsch mit Hauptideal (x)p , Ap , da x ∈ p gilt. Da eine Potenz von pAp null ist, folgt es, dass

x 

nilpotent in Ap ist: es

existiert n >  und s < p mit s · xn = , im Widerspruch zu x kein Nullteiler zu sein. Zu (ii). Es ist dim(A/(x)) ≤ dim(A) −  nach Hilfsatz . und Satz .. Da x keine Einheit ist, existieren m/(x)-primären Idealen in A/(x). Seien x , . . . , xr ∈ A so, dass die zugehörigen Restklassen x¯ , . . . , x¯r in A/(x) ein m/(x)-primäres Ideal erzeugen. Dann ist a = (x, x , . . . , xr ) ein m-primäres Ideal und somit gilt r +  ≥ δ(A) = dim(A). Es ist möglich r = δ(A/(x)) zu wählen. Daher ist dim(A/(x)) = δ(A/(x)) ≥ dim(A) − . Korollar .. Sei A ein noetherscher integrer lokaler Ring mit maximalen Ideal m. Für alle x ∈ m − {} gilt dim(A/(x)) = dim(A) − .

Kapitel . Regularität



Beweis. Es ist x ,  kein Nullteiler da A ein Integritätsring ist. Es ist x ∈ m keine Einheit. Wir anwenden dann den Krullsche Hauptidealsatz. Satz .. Sei K ein Körper und A eine integre K-Algebra von endlichem Typ. Sei f ∈ A − {} keine Einheit. Dann gilt dim(A/(f )) = dim(A) −  . Beweis. Sei E ⊂ Ass(A/(f )) die endliche Menge aller minimalen zu A/(f ) assoziierten Primidealen. Es ist dim(A/(f )) = min { dim(A/p) | p ∈ E} . Sei p ∈ E mit dim(A/p ) = dim(A/(f )) = n . Wir wählen eine Kette von Primidealen der Form p ( . . . ( pn . Dann gilt (A/(f ))q  Apn /(x) wobei x =

f 

∈ Apn und q = pn /(f ). Da q maximal ist folgt: n = dim(A/(f )) = dim((A/(f ))q ) = dim(Apn /(x)) = dim(Apn ) −  ,

nach Korollar .. Somit erhalten wir dim(A) = dim(A/pn ) + dim(Apn ) =  + n +  = dim(A/(f )) +  , nach Satz .. Satz .. Sei A ein noetherscher kommutativer Ring und p ⊂ A ein Primideal. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent. (i) Es gibt x , . . . , xr ∈ A so, dass p minimal in der Menge aller Primideale q ⊃ a = (x , . . . , xr ) ist. (ii) Es ist ht(p) ≤ r. Beweis. Aussage (i) heißt, dass das Ideal a = (x , . . . , xr ) p-primär ist, mit p minimal in Ass(A/a). Sei b ⊂ A ein Ideal enthält in p. Dann gilt nach Satz .: es ist p ∈ Ass(A/b) minimal ⇔ es ist pAp ∈ Ass(Ap /bp ) minimal ⇔ es ist pAp ∈ Ass(Ap /bp ) ⇔ das Ideal bp ist pAp -primär.



Kommutative Algebra

Außerdem, ist a = (x , . . . , xr ), so gilt ap =

x





 , . . . , xr . Falls ap pAp -primär ist erhalten dann wir

ht(p) = δ(Ap ) ≤ r. Umgekert, sei ht(p) ≤ r. Dann existiert ein pAp -primäres Ideal b erzeugt von ≤ r   Elemente. Seien x , . . . , xr ∈ A mit b = x , . . . , xr . Dann ist b = ap wobei a = (x , . . . , xr ) ist. Daher ist p an A/a assoziiert und minimal in Ass(A/a). Aufgabe .. Sei A ein noetherscher kommutativer Ring und seien x , . . . , xr ∈ A. Sei p ⊂ A ein Primideal minimal in der Menge aller Primideale q ⊃ a = (x , . . . , xr ) Sei  ≤ s ≤ r. Wir betrachten B = A/(x , . . . , xs ) und q = p/(x , . . . , xs ). Angenommen ist ht(p) = r. Zeigen Sie, dass ht(q) = r − s gilt. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring mit folgenden Eigenschaften: (i) Für jedes x ∈ A − {} gibt es nur endlich viele maximale Ideale m mit x ∈ m. (ii) Für jedes maximale Ideal m ist der Ring Am noethersch. Zeigen Sie, dass A noethersch ist. Hinweis. Sei () , a ( A ein Ideal. Zeigen Sie, dass es endlich viele maximale Ideale m , . . . , mr mit a ⊂ m gibt. Wählen Sie x ∈ a und seien mr+ , . . . , mr+s die maximalen Ideale mit x ∈ mr+i und mr+i , mj für alle  ≤ i ≤ s und  ≤ j ≤ r. Für  ≤ j ≤ s gibt es yj ∈ a mit yj < mr+j . Zeigen Sie, das es Elemente x , . . . , xn ∈ a gibt so, dass

xn x  ,...,  ,

für  ≤ i ≤ r,

das Ideal ami erzeugt. Sei b ⊂ A das Ideal erzeugt von x , . . . , xn , y , . . . , ys . Zeigen Sie, dass bm = am für jedes maximale Ideal m gibt. Zeigen Sie, dass b = a. Aufgabe .. Unseres Ziel ist ein unendlich dimensionaler noetherscher Ring zu konstruieren (es ist ein Beispiel von Nagata). Sei k ein Körper. Für jede Menge X bezeichnen wir die freie kAlgebra k[X] erzeugt von X. Also ist k[X] der Ring von Polynomen in der Variablen Xi , i ∈ X, mit Koeffizienten in k. Für jede k-Algebra A und jede Abbildung f : X −→ A gibt es genau eine kAlgebrenhomomorphismus ϕ : k[X] −→ A mit ϕ(Xi ) = f (i) für alle i ∈ X. Ist p ∈ k[X] ein Polynom in der Variablen Xi , . . . , Xir , so ist ϕ(p) = p(f (i ), . . . , f (ir )). Es ist k[X] die Vereinigung aller k[Y] mit Y ⊂ X endlich. (i) Zeigen Sie, dass k[X] ein Integritätsring ist. (ii) Zeigen Sie, dass, falls X unendlich ist, der Ring k[X] nicht noethersch ist. Angenommen ist jetzt X =

S

mit jede Xi endlich und nicht leer, mit Xi ∩ Xj = ∅ für i , j.

i∈N Xi

Sei A = k[X]. Für jede i ∈ N definieren wir pi als das Ideal erzeugt von {Xa | a ∈ Xi }. (iii) Zeigen Sie, dass A/pi  K[Yi ] gilt, wobei Yi =

S

j,i Xj

ist. Zeigen Sie, dass pi ∩ k[Yi ] = {}

gilt. (iv) Sei p ∈ A − {}. Zeigen Sie, dass die Menge aller i ≥  mit p ∈ pi endlich ist. (v) Sei S das Komplement von

S

i≥ pi .

Zeigen Sie, dass S multiplikativ ist.

Kapitel . Regularität



(vi) Sei a ⊂ A ein Ideal mit a ∩ S = ∅ und a , (). Zeigen Sie, dass es ein i ≥  mit a ⊂ pi gibt. Hinweis. Benützen Sie (iv) zusammen mit Lemma .. (vii) Sei ki der Quotientenkörper von k[Yi ]. Zeigen Sie, dass Api isomorph zu einer Lokalisierung von ki [Xi ] ist. Zeigen Sie dann, dass Api noethersch ist. (viii) Zeigen Sie, dass der Ring S− A noethersch ist. Hinweis. Benützen Sie Aufgabe .. (ix) Zeigen Sie, dass ht(pi ) genau die Mächtigkeit von Xi ist. Angenommen ist die Abbildung n 7−→ |Xn | echt aufsteigend. Zeigen Sie, dass der noethersche Ring S− A unendlich dimensional ist.

.

Reguläre Ringe

Satz .. Seien A ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d, mit maximalem Ideal m, und k = A/m. Dann sind äquivalent: (i) Die gewichtete k-Algebren grm (A) =

L

n≥ m

n /m n+

und k[X , . . . , Xd ] sind isomorph.

(ii) Es ist dimk (m/m ) = d. (iii) Es existiert x , . . . , xd ∈ A mit m = (x , . . . , xd ). Beweis. Zu (i)⇒(ii). Sei f : grm (A) −→ k[X , . . . , Xd ] ein bijektiver Morphismus von gewichteten Ringen. Die Einschränkung von f über m/m induziert einen Isomorphismus von k-Vektorräumen m/m  k · X ⊕ · · · ⊕ k · Xd  k d . Insbesondere gilt dimk (m/m ) = dimk (k d ) = d . Zu (ii)⇒(iii). Folgt direkt aus Korollar .. Zu (iii)⇒(i). Wir beweisen induktiv über d. Sei d = . Dann gilt m = {}, somit grm (A) = k (der Polynom Ring mit  Variablen). Angenommen ist d > . Seien x , . . . , xd ∈ A mit m = (x , . . . , xd ). Für jedes i ist x¯i die Restklasse von xi modulo m . Wir bekommen einen surjektive Morphismus von gewichteten k-Algebren ϕ : B = k[X , . . . , Xd ] −→ grm (A) definiert durch ϕ(p) = p(x¯ , . . . , x¯d ). Sei a = ker(ϕ). Es ist ein gewichtetes Ideal a=

M n≥

an ⊂ (X , . . . , Xd ) .



Kommutative Algebra

Angenommen ist a nicht null. Dann existieren j >  und f ∈ aj mit f , . Das induziert eine kurze exakte Sequenz von gewichteten B-Moduln der Form {} −→ B[−j] −→ B −→ B/(f ) −→ {} wobei B[−j] =

M

Bn−j

n≥

(mit B` = {} für ` < ). Seien P, Q ∈ Q[t] mit P(n) = `(Bn ) und Q(n) = `((B/(f ))n ) für n groß genug. Es ist deg(P) ≤ d − , nach Korollar ., und P(t) − P(t − j) = Q(t) somit deg(Q) ≤ d − . Der Morphismus α induziert ein surjektiver gewichteter Morphismus B/(f ) −→ grm (A) . Daher gilt `(mn /mn+ ) ≤ `((B/(f ))n ) für alle n ≥ . Es folgt ∆(Pm (A))(n) ≤ Q(n) für n groß genug, und damit deg(∆(Pm (A))) ≤ deg(Q) ≤ d −  , im Widerspruch zu deg(∆(Pm (A))) = d − . Daher gilt ker(ϕ) = a = (). Definition .. Ein lokaler Ring A ist regulär, wenn sein maximales Ideal erzeugt von dim(A) Elemente ist. Ein noetherscher kommutativer Ring A ist regulär, wenn für jedes maximale Ideal m ⊂ A der lokale Ring Am regulär ist. Aufgabe .. Sei A ein regulärer lokaler Ring der Dimension d mit maximalem Ideal m. Seien dazu f , . . . , fi ∈ m deren Restklassen modulo m linear unabhängig über den Körper A/m sind. Dann gilt i ≤ d. Außerdem, ist i < d, so existieren Elemente fi+ , . . . , fd so, dass f , . . . , fd das Ideal m erzeugt. Satz . (Regularität als analytische Eigenschaft). Sei A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m, und sei b A die m-adische Vervollständigung von A. Dann ist A regulär genau dann, wenn b A regulär ist. b/ m b . Dieser Satz folgt aus der Äquivalenz zwischen Aussagen (ii) und (iii) Beweis. Es ist m/m  m von Satz ..

Kapitel . Regularität



Satz .. Jeder reguläre noethersche lokale Ring ist ein Integritätsring. Beweis. Sei A ein regulärer lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Dann ist grm (A) ein Integritätsring da er bis auf Isomorphie ein Polynomring ist. Seien x, y ∈ A nicht null. Da der Durschnitt aller Potenzen von m null ist existiert i ∈ N bzw. j ∈ N mit x ∈ mi − mi+ bzw. y ∈ mj − mj+ . Sei x¯ bzw. y¯ die Restklasse von x in mi modulo mi+ bzw. von y in mj modulo mj+ . Dann sind x¯ und y¯ nicht null im Integritätsring grm (A) und daher ist x¯ · y¯ , . Also ist x · y < mi+j+ . Insbesondere gilt x · y , . Aufgabe .. Zeigen Sie die folgenden Aussagen. (a) Der triviale Ring {} ist regulär aber kein Integritätsring. (b) Seien A und B zwei nicht triviale noethersche Ringe. Sind A und B regulär, so ist A × B regulär aber kein Integritätsring. Satz .. Sei A ein regulärer lokaler Ring der Dimension d mit maximalem Ideal m. Seien dazu f , . . . , fi ∈ m deren Restklassen modulo m linear unabhängig über den Körper A/m sind. Dann ist der lokale Ring A/(f , . . . , fi ) regulär der Dimension d − i. Beweis. Wir beweisen induktiv über d − i. Ist d = i, so ist A/(f , . . . , fd ) = A/m ein Körper und daher ist regulär der Dimension  = d − i. Sei d − i > . Ist i = , so ist A/(f , . . . , fi ) = A regulär der Dimension d = d − i. Ohne Einschränkung gilt  < i < d. Es ist dann dim(A/(f )) = d − , nach Korollar .. Wir wählen g , . . . , gd ∈ m so, dass die Restklassen von f und von aller gi in m modulo m eine Basis vom dem A/m-Vektorraum m/m bilden (das existiert nach Aussage (ii) von Satz .). Nach dem Krull-Nakayama-Lemma (Korollar .) erzeugten f , g , . . . gd das Ideal m. Daher ist das maximale Ideal von A/(f ) erzeugt von der Restklassen von g , . . . gd . Das zeigt, dass A/(f ) regulär ist, nach Satz .. Sei i > . Wir bezeichnen dann f¯j die Restklassen von fj modulo (f ), für  ≤ j ≤ i. Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann, dass A/(f , . . . , fi )  (A/(f ))/(f¯ , . . . , f¯i ) ein regulärer lokaler Ring der Dimension (d − ) − (i − ) = d − i ist. Hilfsatz .. Sei A ein regulärer lokaler Ring. Sei p ⊂ A ein Primideal. Dann ist Ap regulär. Beweis. Wir beweisen Induktiv über d = dim(A). Ohne Einschränkung ist p nicht null (da ein Körper regulär der Dimension  ist). Sei a ∈ p − {} und sei B = A/(a). Dann ist B ein regulärer lokaler Ring der Dimension d − , nach Satz .. Daher ist Bp = Ap /( a ) regulär, nach Induktionsvoraussetzung. Es ist Ap ein Integritätsring. Daher ist Krullschen Hauptidealsatz gilt dann dim(Ap ) = dim(Bp ) +  .

a 

kein Nullteiler in Ap . Nach dem



Kommutative Algebra

Sei n = dim(Ap ). Nach Satz . gibt es dann Elemente a , . . . , an in A mit Restklassen a¯ , . . . , a¯n a¯ a¯n  , . . . ,  das maximale Ideal von Bp erzeugt. Da das maximale Ideal von Bp modulo ( a ) vom maximalen Ideal von Ap ist, erzeugt dann a , . . . , an das maximale

modulo (a) so, dass das Quotient

Ideal in Ap . Nach Satz . folgt, dass Ap regulär ist. Satz .. Sei A ein regulärer noetherscher Ring und sei S ⊂ A eine multiplikative Menge. Dann ist die Lokalisierung B = S− A regulär. Beweis. Sei P ein maximales Ideal in B, und sei p das Urbild von P in A. Es ist dann p ein Primideal und Ap  BP . Sei m ⊃ p ein maximales Ideal. Dann ist Ap isomorph zu (Am )pm . Es folgt dann aus dem Lemma oben, das BP regulär ist. Aufgabe . (Jacobisches Kriterium). Sei K ein Körper und sei a = (a , . . . , an ) ∈ Kn . ma = {P ∈ K[X , . . . , Xn ] | P(a) = } . Für P ∈ K[X , . . . , Xn ] bezeichnen wir da (P) die Restklasse von P − P(a) modulo ma . Das bestimmt eine K-lineare Abbildung da : K[X , . . . , Xn ] −→ ma /ma . (i) Zeigen Sie, dass da (P · Q) = da (P) · Q(a) + P(a) · da (Q) für alle P, Q ∈ K[X , . . . , Xn ] gilt. (ii) Für  ≤ i ≤ n und P ∈ K[X , . . . , Xn ] bezeichnen Wir die partielle Ableitung von P an der Variabel Xi als

∂P : ∂Xi

ist P = Q + Q · Xi + · · · + Qd · Xdi mit jedes Qj ein Polynom in der

Variablen Xj , j , i, und mit d > , so ist

∂P ∂Xi

= Q + · · · + d · Qd · Xid− . Es ist

∂P ∂Xi

=  falls P ein

Polynom in der Variablen Xj , j , i, ist. Zeigen Sie, dass für jedes P ∈ K[X , . . . , Xn ] da (P) =

n X ∂P (a) · da Xi ∂Xi i=

gilt. (iii) Seien P , . . . , Pm ∈ K[X , . . . , Xn ]. Angenommen ist die m × n-Matrix J=

 ∂Pi ∂Xj

(a)

 i,j

vom Rang m. Zeigen Sie, dass der lokale Ring (K[X , . . . , Xn ]/(P , . . . , Pm ))ma regulär der Dimension n − m ist. Aufgabe . (Algebraische Version des Satzes von der impliziten Funktion). Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei A eine K-Algebra endlichem Typ. Für jedes maximale Ideal m ⊂ A bezeichnen wir b Am die (mAm )-adische Vervollständigung von Am . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

Kapitel . Regularität (i) Der Ring A ist regulär. (ii) Für jedes maximale Ideal m ⊂ A gibt es d ∈ N mit K[[X , . . . , Xd ]]  b Am als K-Algebren.



Kapitel 

Das Tensorprodukt

.

Moduln

.. Sei A ein kommutativer Ring und seien M und N zwei A-Moduln. Wir erinnern an, dass das Tensorprodukt M ⊗A N bestimmt durch die folgende Eigenschaft ist: (i) Er ist mit einer A-bilineare Abbildung ⊗ : M × N −→ M ⊗A N (x, y) 7−→ x ⊗ y (ii) Für jede A-bilineare Abbildung b : M × N −→ V gibt es genau eine A-bilineare Abbildung f : M ⊗A N −→ V so, dass f (x ⊗ y) = b(x, y) für alle x ∈ M und y ∈ N gibt. M×N ⊗

b f

V

M ⊗A N Die kanonische Bijektion Abb(M × N, V)  Abb(M, Abb(N, V)) induziert einen A-lineare Isomorphismus BilA (M, N; V)  HomA (M, HomA (N, V)) wobei BilA (M, N; V) ⊂ Abb(M × N, V) die Teilmenge von A-bilinearen Abbildungen ist. Also gilt: HomA (M ⊗A N, V)  HomA (M, HomA (N, V)) . Beispiel .. Die Skalarmultiplikation induziert einen Homomorphismus A ⊗A M −→ M, der bijektiv ist.  Eine Konstruktion von M ⊗ N ist: M ⊗ N = A(M×N) /R mit R der Untermodul erzeugt von aller Elemente der Form A A

a · i(x, y) + b · i(x0 , y 0 ) − i(a · x + x0 , y + b · y 0 ) für a, b ∈ A, x, x0 ∈ M und y, y 0 ∈ N, wobei i : M × N −→ A(M×N) die kanonische Inklusionsabbildung ist.





Kommutative Algebra

Beispiel .. Seien f : U −→ M und g : V −→ N zwei A-linearen Abbildungen. Die Abbildung (x, y) 7−→ f (x) ⊗ g(y) ist bilinear und bestimmt dann genau eine A-lineare Abbildung f ⊗ g : U ⊗A V −→ M ⊗ N durch (f ⊗ g)(x ⊗ y) = f (x) ⊗ g(y) für alle x ∈ U und y ∈ V. Beispiel .. Es gibt genau ein Isomorphismus τ : M ⊗A N  N ⊗A M mit τ(x ⊗ y) = y ⊗ x für alle x ∈ M und y ∈ N. Außerdem ist τ  = τ ◦ τ die Identität von M ⊗A N. Beispiel .. Seien M, N, P drei A-Moduln. Es gibt genau einen Isomorphismus '

a : M ⊗A (N ⊗A P) −→ (M ⊗A N) ⊗A P mit a(x ⊗ (y ⊗ z)) = (x ⊗ y) ⊗ z für x ∈ M, y ∈ N und z ∈ P. Beispiel .. Seien X und Y zwei Mengen. Dann gilt: A(X) ⊗A A(Y)  A(X×Y) . Satz .. Sei V ein A-Modul und sei f

M

g

N

P

{}

eine exakte Sequenz recht von A-Moduln. Dann ist V ⊗A M

idV ⊗f

V ⊗A N

idV ⊗g

V ⊗A P

{}

eine exakte Sequenz recht. Beweis. Sei W ein beliebiger A-Modul. Es ist g∗

HomA (P, W)

{}

HomA (N, W)

f∗

HomA (M, W)

eine exakte Sequenz links. Daher ist die erste Zeile des Diagramms darunter {}

HomA (V, HomA (P, W))

g∗

HomA (V, HomA (N, W))

o

{}

f∗

o

HomA (V ⊗A P, W)

(idV ⊗g)∗

o

HomA (V ⊗A N, W)

(idV ⊗f )∗

exakt links auch. Das zeigt, das die zweite Zeile exakt links ist. Also ist V ⊗A M

idV ⊗f

V ⊗A N

idV ⊗g

HomA (V, HomA (M, W))

V ⊗A P

eine exakte Sequenz recht. Korollar .. Sei a ⊂ A ein Ideal. Für jeden A-Modul M gilt:

{}

HomA (V ⊗A M, W)

Kapitel . Das Tensorprodukt



(a) Das Bild der Abbildung a ⊗A M −→ M, definiert durch a ⊗ x 7−→ a · x für a ∈ a und x ∈ M, ist aM. (b) Es gilt (A/a) ⊗A M = M/aM. Beweis. Aussage (a) ist einfach. Es folgt, dass die Zeilen des Diagramms a ⊗A M

A ⊗A M

(A/a) ⊗A M

{}

M/aM

{}

o

{}

M

aM

exakte Sequenzen sind. Aus Aussage (a) und dem Schlangen Lemma ist dann die Abbildung (A/a) ⊗A M −→ M/aM bijektiv. .. Sei M , . . . , Mn und N A-Moduln. Eine Abbildung f : M × · · · × Mn −→ N ist n-linear über A Q falls, für jedes i ∈ {, . . . , n} und jede Familie (xj )j,i in j,i Mj , die Abbildung xi 7−→ f (x , . . . , xi , . . . , xn ) A-linear ist. Das Tensorprodukt aller Mi ist ein A-Modul M  ⊗A · · · ⊗A M n zusammen mit eine nlineare Abbildung M × · · · × Mn −→ M ⊗A · · · ⊗A Mn (x , . . . , xn ) 7−→ x ⊗ · · · ⊗ xn so, dass, für alle n-lineare Abbildung f : M × · · · × Mn −→ N, es eine lineare Abbildung ϕ : M ⊗A · · · ⊗A Mn −→ N mit ϕ(x ⊗· · ·⊗xn ) = f (x , . . . , xn ) für alle (x , . . . , xn ) ∈ M ×· · ·×Mn gibt. Der A-Modul M ⊗A · · ·⊗A Mn ist definiert als Quotient von A(M ×···×Mn ) modulo den Untermodul erzeugt von Elementen der Form i(x , . . . , yj , . . . , xn ) + a · i(x , . . . , xj , . . . , xn ) − i(x , . . . , a · xj + yj , . . . , xn ) mit  ≤ j ≤ n, yj ∈ Mj , (x , . . . , xn ) ∈ M × · · · × Mn , a ∈ A, und i : M × · · · × Mn −→ A(M ×···×Mn ) die kanonische Inklusion. Satz .. Seien M, N und P drei A-Moduln. Dann gibt es kanonische Isomorphismen (M ⊗A N) ⊗A P  M ⊗A N ⊗A P  M ⊗A (N ⊗A P) .



Kommutative Algebra

Beweis. Sei V ein A-Modul. Wir bezeichnen TriA (M, N, P; V) die Menge von -linearen Abbildungen von M × N × P nach V. Es ist dann: HomA (M ⊗A N ⊗A P, V)  TriA (M, N, P; V)  HomA (M, BilA (N, P; V)  HomA (M, HomA (N ⊗A P, V))  HomA (M ⊗A (N ⊗A P)), V) . Für V = M ⊗A N ⊗A P induziert die Identität von V einen Homomorphismus f : M ⊗A (N ⊗A P)) −→ M ⊗A N ⊗A P . Für V = M ⊗A (N ⊗A P) induziert die Identität von V einen Homomorphismus g : M ⊗A N ⊗A P −→ M ⊗A (N ⊗A P) . Man beobachtet dann, dass die Elemente der Form x⊗y ⊗z

bzw.

x ⊗ (y ⊗ z)

mit x ∈ M, y ∈ N und z ∈ P, ein Erzeugendensystem von M ⊗A N ⊗A P bzw. von M ⊗A N ⊗A P bilden. Nach Definition gilt f (x ⊗ (y ⊗ z)) = x ⊗ y ⊗ z

und

g(x ⊗ y ⊗ z) = x ⊗ (y ⊗ z) .

Es ist dann einfach aus Linearität f ◦ g die Identität von M ⊗A N ⊗A P und g ◦ f die Identität von M ⊗A (N ⊗A P). Analog beweisen wir, dass M ⊗A N ⊗A P und (M ⊗A N) ⊗A P isomorph sind.

.

Ringe

.. Sei f : A −→ B ein Ringhomomorphismus zwischen kommutative Ringe. Ist M ein AModul, so ist B ⊗A M ein B-Modul durch die Skalarmultiplikation B × B ⊗A M −→ B ⊗A M definiert durch a · (b ⊗ x) = (a · b) ⊗ x für alle a, b ∈ B und x ∈ M. Also als die Komposition ⊗

µ⊗M

B × (B ⊗A ⊗M) −→ B ⊗A (B ⊗A M)  (B ⊗A B) ⊗A M −→ B ⊗A M wobei µ : B ⊗A B −→ B die A-lineare Abbildung definiert durch µ(a ⊗ b) = a · b ist. Satz .. Seien M ein A-Modul und N ein B-Modul. Dann gibt es einen kanonische Isomorphismus HomB (B ⊗A M, N)  HomA (M, N) , wobei rechts ist N durch die Skalarmultiplikation a · x = f (a) · x für a ∈ A und x ∈ N als A-Modul betrachtet.

Kapitel . Das Tensorprodukt



Beweis. Wir definieren eine Abbildung u : HomB (B ⊗A M, N) −→ HomA (M, N) durch u(f )(x) = f ( ⊗ x) für f : B⊗A M −→ N B-linear und x ∈ M. Es gibt übrigens eine Abbildung v : HomA (M, N) −→ HomB (B ⊗A M, N) definiert durch v(g)(b ⊗ x) = b · g(x) für g : M −→ N A-linear mit b ∈ B und x ∈ M. Beide Abbildungen u und v sind einfach B-linear. Außerdem ist u ◦ v einfach die Identität. Insbesondere ist u surjektiv. Es ist dann genug zu zeigen, dass u injektiv ist. Sei f : B ⊗A M −→ N B-linear mit u(f ) = . Um zu beweisen, dass f =  gilt ist es genug zu zeigen, dass f (b ⊗ x) =  für alle b ∈ B und x ∈ M ist. Da f (b ⊗ x) = b · f ( ⊗ x), nach B-Linearität, es ist tatsächlich genug zu zeigen, dass f ( ⊗ x) =  für jedes x ∈ M gilt. Aber dies ist genau die Nullheit von u(f ). Korollar .. Ist S ⊂ A eine Multiplikative Menge, so gilt S− M  (S− A) ⊗A M für alle A-Modul M. Beweis. Nach dem Satz oben haben S− M und (S− A)⊗A M gleiche Universelle Eigenschaften. .. Seien f : A −→ B und g : A −→ C zwei Ringhomomorphismen zwischen kommutative Ringe. Es ist dann B ⊗A C ein kommutativer Ring mit der Multiplikation (B ⊗A C) × (B ⊗A C) −→ (B ⊗A C) ⊗A (B ⊗A C)  (B ⊗A B) ⊗A (C ⊗A C) −→ B ⊗A C induziert aus der Multiplikationen B⊗A B −→ B und C ⊗A C −→ C. Also ist die Multiplikation auf B ⊗A C bestimmt durch (b ⊗ c) · (b0 ⊗ c0 ) = (b · b0 ) ⊗ (c · c0 ) für alle b.b0 ∈ B und c, c0 ∈ C. Wir erhalten ein kommutativer Quadrat von Ringe: g

A

C v

f

B

u

B ⊗A C

wobei u(b) = b ⊗  und v(c) =  ⊗ c für alle b ∈ B und c ∈ C. Dieses Quadrat is kokartesisch in der Kategorie von Ringe. Also gilt die folgende Aussage. Satz .. Seien β : B −→ D und γ : C −→ D Ringhomomorphismen, mit D kommutativ, so, dass γ ◦ g = β ◦ f gilt. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ : B ⊗A C −→ D mit der Gleichung



Kommutative Algebra

ϕ(b ⊗ c) = β(b) · γ(c) für alle b ∈ B und c ∈ C. g

A

C v

f

B

u

γ

B ⊗A C ϕ β

D

Beweis. Die Abbildung ψ : B × C −→ D definiert durch ψ(b, c) = β(b) · γ(c) für b ∈ B und c ∈ C ist A-bilinear. Daher gibt es genau eine Abbildung ϕ : B ⊗A C −→ D mit ϕ(b ⊗ c) = β(b) · γ(c) für alle b ∈ B und c ∈ C. Es ist dann genug zu zeigen, dass ϕ einen Ringhomomorphismus ist (nachrechnen). Korollar .. Sei f : A −→ B ein Ringhomomorphismus zwischen kommutative Ringe. Für alle n ≥  gilt B ⊗A A[X , . . . , Xn ]  B[X , . . . , Xn ] als B-Algebren. Aufgabe .. Sei f : A −→ B ein Ringhomomorphismus zwischen kommutative Ringe und sei m ⊂ A ein maximales Ideal mit k = A/m. Zeigen Sie: es gibt einen kanonische Homöomorphismus {q ∈ Spec(B) | f − (q) = m }  Spec(k ⊗A B) . .. Ein kartesisches Quadrat von Mengen ist ein kommutatives Quadrat der Form a

X0

X

f0

f ◦a = b◦f 0

f b

Y0

Y

so, dass die Abbildung X0 −→ Y0 ×Y X = {(y 0 , x) ∈ Y0 × X | b(y 0 ) = f (x)} definiert durch x0 7−→ (f 0 (x0 ), a(x0 )) bijektiv ist. Wir beobachten, dass, für jede Menge M, das induzierte Quadrat Abb(M, X0 )

a∗

f∗0

Abb(M, Y0 ) kartesisch ist (einfach nachrechnen).

Abb(M, X) f∗

b∗

Abb(M, Y)

Kapitel . Das Tensorprodukt



Satz .. Ein kommutatives Quadrat von Mengen X0

a

X

f0

f

Y0

b

Y

ist genau dann kartesisch, wenn für jedes y 0 ∈ Y0 , die Einschränkung von a eine Bijektion (f 0 )− (y 0 )  f − (b(y 0 )) induziert. Beweis. Sei ϕ : X0 −→ Y0 ×Y X = {(y 0 , x) ∈ Y0 × X | b(y 0 ) = f (x)} die kanonische Abbildung wie oben. Sei p : Y0 ×Y X −→ Y0 die Projektion definiert durch p(y 0 , x) = y 0 . Es ist p ◦ ϕ = f 0 und daher induziert ϕ eine Abbildung ϕy 0 : (f 0 )− (y 0 ) −→ p− (y 0 ) . Außerdem induziert die Projektion (y 0 , x) 7−→ x eine Bijektion p− (y 0 )  f − (b(y 0 )) . Ist ϕ eine Bijektion, so ist die Abbildung ϕy 0 für jedes y 0 bijektiv. Umgekehrt, gilt (f 0 )− (y 0 )  f − (b(y 0 )) für alle y 0 , so ist ϕy 0 bijektiv für alle y 0 . Da a

(f 0 )− (y 0 ) = X0

und

y 0 ∈Y0

a

p− (y 0 ) = Y0 ×Y X

y 0 ∈Y0

gelten folgt, dass ϕ bijektiv ist. Korollar .. Jedes kommutatives Quadrat von Mengen X0

a

f0

Y0

X f

b

Y

indem f und f 0 bijektiv sind ist kartesisch. Beweis. Für jedes y 0 ∈ Y0 ist die Abbildung (f 0 )− (y 0 ) −→ f − (b(y 0 )) bijektiv, da sie eine Abbildung zwischen Mengen, die genau ein Element haben. Korollar .. Sei

X0

a

f0

Y0

X f

b

Y

ein kommutatives Quadrat von Mengen. Ist f bijektiv bzw. injektiv bzw. surjektiv, so ist f 0 bijektiv bzw. injektiv bzw. surjektiv.



Kommutative Algebra

Beweis. Für jedes y 0 ∈ Y0 gilt (f 0 )− (y 0 )  f − (b(y 0 )). Also, ist f bijektiv bzw. injektiv bzw. surjektiv, so ist (f 0 )− (y 0 ) ein Menge mit genau ein Element bzw. eine Menge mit höchstens einem Element bzw. eine nicht leere Menge. Das heißt, dass f 0 bijektiv bzw. injektiv bzw. surjektiv ist. Satz .. Seien

a0

X00 f 00

X0

a

X

f0 b0

Y00

Y0

f b

Y

zwei kommutative Quadrate. Angenommen ist das Quadrat a

X0

X

f0

f

Y0

b

Y

X00

a0

X0

kartesisch. Es ist dann das Quadrat f 00

f0

Y00

b0

X00

a◦a0

Y0

genau dann kartesisch, wenn das Quadrat X

f 00

f

Y00

b◦b0

Y

kartesisch ist. Beweis. Sei y 00 ∈ Y00 . Wir bezeichnen y 0 = b0 (y 0 ) und y = b(y 0 ), Es ist (f 0 )− (y 0 )  f − (y) und ein kanonisches kommutatives Dreieck: (f 00 )− (y 00 )

(f 0 )− (y 0 ) 

f − (y)

.

Daher gilt (f 00 )− (y 00 )  (f 0 )− (y 0 ) genau dann, wenn (f 00 )− (y 00 )  f − (y) gilt. Dieser Satz folgt dann aus Satz .. Satz .. Sei A

g

f

B

C k

h

D

ein kommutatives Quadrat von kommutativen Ringen. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Der Ringhomomorphismus ϕ : B ⊗A C −→ D bestimmt durch ϕ(b ⊗ c) = h(b) · k(c) für b ∈ B und c ∈ C ist bijektiv.

Kapitel . Das Tensorprodukt



(ii) Für jeden kommutative Ring R ist das Quadrat k∗

HomRing (D, R)

HomRing (C, R) g∗

h∗ f∗

HomRing (B, R)

HomRing (A, R)

kartesisch, wobei HomRing (S, R) die Menge von Ringhomomorphismen von S nach R ist. Beweis. Es ist das Faserprodukt HomRing (B, R) ×HomRing (A,R) HomRing (C, R) genau die Menge von kommutativen Quadraten der Form da unter. A

g

γ

f

B

C

β

R

Also, nach Satz . gibt es eine kanonische Bijektion HomRing (B ⊗A C, R)  HomRing (B, R) ×HomRing (A,R) HomRing (C, R) . Daher ist die Abbildung ϕ∗ : HomRing (D, R) −→ HomRing (B ⊗A C, R) genau dann für alle R bijektiv, wenn das Quadrat HomRing (D, R)

k∗

HomRing (C, R) g∗

h∗

HomRing (B, R)

f∗

HomRing (A, R)

für alle R kartesich ist. Insbesondere folgt (ii) von (i). Angenommen gilt (ii). Für R = D ist die Identität von D der eindeutige Ringhomomormorphismus a : D −→ D mit a ◦ h = h und a ◦ k = k. Für R = B ⊗A C gibt es genau einen Ringhomomorphismus ψ : D −→ B ⊗A C mit ψ(h(b)) = b ⊗  und ψ(k(c)) =  ⊗ c für alle b ∈ B und c ∈ C. Für a = ϕ ◦ ψ gilt a ◦ h = h und a ◦ k = k. Damit ist ϕ ◦ ψ die Identität von D. Gleichweise ist ψ ◦ ϕ die Identität von B ⊗A C. Satz .. Seien f : A −→ B, f 0 : B −→ B00 und g : A −→ C Ringhomomorphismen zwischen kommutative Ringe. Es ist dann einen B0 -Algebrenisomorphismus B0 ⊗A C  B0 ⊗B (B ⊗A C) .



Kommutative Algebra

Beweis. Sei R ein kommutativer Ring. Dann erhalten wir zwei kartesische Quadrate da unter. HomRing (B0 ⊗B (B ⊗A C), R)

HomRing (B ⊗A C, R)

HomRing (C, R)

HomRing (B0 , R)

HomRing (B, R)

HomRing (A, R)

Nach Satz . ist das Quadrat HomRing (B0 ⊗B (B ⊗A C), R)

HomRing (C, R)

HomRing (B0 , R)

HomRing (A, R)

für alle R kartesisch. Es folgt dann von Satz ., dass die kanonische Abbildung B0 ⊗A C −→ B0 ⊗B (B ⊗A C) bijektiv ist. Satz .. Seien f : A −→ B und f 0 : B −→ B00 Ringhomomorphismen zwischen kommutative Ringe. Es gibt einen kanonische B0 -lineare Isomorphismus B0 ⊗B (B ⊗A M)  B0 ⊗A M . Beweis. Die B-lineare Abbildung f 0 ⊗ idM : B ⊗A M −→ B0 ⊗A M induziert nach Satz . eine kanonische B0 -lineare Abbildung aM : B0 ⊗B (B ⊗A M) −→ B0 ⊗A M . Sei V ein B0 -Modul. Dann gilt: HomB (B0 ⊗A M, V)  HomA (M, V)  HomB (B ⊗A M, V)  HomB0 (B0 ⊗B (B ⊗A M), V) . Also ist die Abbildung a∗M : HomB (B ⊗A M, V) −→ HomB0 (B0 ⊗B (B ⊗A M), V) für alle V bijektiv. Nach Korollar . und Korollar . ist dann aM eine Bijektion. Notiz .. Man kann Satz . von Satz . beweisen: ist C eine A-Algebra, so ist der B0 lineare Isomorphismus B0 ⊗B (B⊗A C)  B0 ⊗A C Satz . vereinbar mit der Multiplikation (nachrechenen).

Kapitel . Das Tensorprodukt



Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring und seien a, b ⊂ A zwei Ideale. Konstruieren Sie einen Isomorphismus von A-Algebren A/(a + b)  (A/a) ⊗A (A/b) . Aufgabe .. Sei A ein kommutativer lokaler Ring und seien M und N zwei endlich erzeugte A-Moduln mit M ⊗A N = {}. Zeigen Sie, dass M = {} oder N = {} gilt. Hinweis. Sei k = A/m mit m das maximale Ideal. Zeigen Sie, dass (k ⊗A M) ⊗k (k ⊗A N) = {} gilt.

Kapitel 

Gerichtete Limiten

.

Mengen

Definition .. Eine gerichtete Menge ist eine nicht leere teilweise geordnete Menge I so, dass für jede i, j ∈ I es ein k ∈ I mit i ≤ k und j ≤ k gibt. Ein gerichtetes System von Mengen M• ist eine Familie (Mi )i∈I von Mengen zusammen mit eine Familie von strukturellen Abbildungen ui,j : Mi −→ Mj für i ≤ j in I so, dass die folgenden Eigenschaften gelten: (i) Es ist ui,i die Identität von Mi für jedes i ∈ I. (ii) Es ist Mi

ui,j

Mj uj,k

ui,k

ui,k = uj,k ◦ ui,j

Mk für alle i ≤ j ≤ k in I. Der gerichtete Limes (oder auch der Kolimites) von M• ist die Menge lim Mi definiert wie folgt: −−→i es ist a ! lim Mi = Mi / ∼ −−→ i∈I

i∈I

wobei ∼ die Äquivalenzrelation bestimmt durch x ∼ y ⇔ es gibt k ≥ i, j mit ui,k (x) = uj,k (y) für x ∈ Mi und y ∈ Mj . Satz .. Sei M• ein gerichtetes System von Mengen. Sei fi : Mi −→ N eine Familie von Abbildungen indexiert durch I so, dass Mi

ui,j

fi

Mj fj

fj ◦ ui,j = fi

N für alle i ≤ j in I gilt. Dann gibt es genau eine Abbildung f : lim Mi −→ N so, dass f (x) = fi (xi ) für −−→i∈I alle i ∈ I und xi ∈ Mi , mit x die Äquivalenzklasse von xi . 



Kommutative Algebra

Beweis. Einfach. Beispiel .. Sei X eine Menge. Sei I die Menge von nicht-leeren endlichen Teilmengen von X, partiell geordnet durch Inklusion. Dann ist I eine gerichtete Menge. Es gibt ein gerichtetes System M• definiert durch Mi = i für jede i ∈ I. Die Inklusionen Mi ⊂ X induziert eine Bijektion lim Mi  X . −−→ i∈I

Das heißt nur, dass X die Vereinigung seiner nicht-leeren endlichen Teilmengen ist! Beispiel .. Sei M eine Menge und sei I eine gerichtete Menge. Man betrachtet das gerichtete System von Mengen M• definiert durch Mi = M für alle i ∈ I und ui,j = idM für alle i ≤ j in I. Dann induziert die Identität von M eine kanonische Bijektion lim M  M . −−→ i∈I

Definition .. Sei I ein gerichtete Menge. Ein Morphismus von gerichteten Systemen von Mengen f : M• −→ N• ist eine Familie von Abbildungen fi : Mi −→ Ni für alle i ∈ I so, dass das Quadrat Mi

fi

ui,j

Mj

Ni vi,j

fj

Nj

kommutiert (wobei vi,j die strukturelle Abbildungen von (Ni )i∈I bezeichnen). Satz .. Sei I eine gerichtete Menge. Man betrachtet ein kommutatives Quadrat von Systemen von Mengen indexiert durch I. M•

f

a

P•

N• b

g

Q•

so, dass jedes Quadrat Mi

fi

ai

Pi

Ni bi

gi

Qi

kartesisch ist. Dann ist das induzierte Quadrat lim Mi −−→i∈I

lim Ni −−→i∈I b

lim Pi −−→i∈I kartesisch.

lim Qi −−→i∈I

Kapitel . Gerichtete Limiten



Beweis. Sei ϕ : lim Mi −→ lim Pi ×lim Qi lim Ni −−→ −−→ −→i∈I −−→ i∈I

i∈I

i∈I

die induzierte Abbildung: ist x die Äuivalenzklasse von xi ∈ Mi , so ist ϕ(x) = (t, y) mit t bzw. t die Äquivalenzklasse von ai (xi ) bzw. y die Äquivalenzklasse von fi (xi ). Wir werden zeigen, dass ϕ bijektiv ist. Zu Surjektivität. Sei (t, y) in lim Pi ×lim Qi lim Ni . Es gibt i ∈ I mit t die Äquivalenzklasse −−→i∈I −→i∈I −−→i∈I von ti ∈ Pi . Es gibt j ∈ I mit y die Äquivalenzklasse von yj ∈ Pj . Wir wählen k ≥ i, j. Dann ist t bzw. y die Äquivalenzklasse von dem Bild von ti bzw. von yj durch die Strukturelle Abbildung Pi −→ Pk bzw. Nj −→ Nk . Ohne Einschränkung gilt dann i = j. Es ist gi (ti ) äquivalent zu bi (yi ). Wir wählen k ≥ i mit der Bilde von gi (ti ) und bi (yi ) gleichen in Qk . Durch Einsetzen von ti bzw. yi durch seinem Bild durch strukturellen Abbildungen, ohne Einschränkung gilt gi (ti ) = bi (yi ). Da Mi  Pi ×Qi Ni gibt es ein xi ∈ Mi mit ai (xi ) = ti und fi (xi ) = yi . Sei x die Äquivalenzklasse von xi . Dann gilt ϕ(x) = (t, y). Zu Injektivität. Seien i, j ∈ I und xi ∈ Mi , xj0 ∈ Mj mit Äquivalenzklassen x und x0 so, dass ϕ(x) = ϕ(x0 ). Wir wählen k ≥ i, j. Dann ist x bzw. x0 die Äquivalenzklasse von ui,k (xi ) bzw. von uj,k (xj0 ). Ohne Einschränkung ist dann i = j. Es ist gi (ai (xi )) = bi (fi (xi )) äquivalent zu gi (ai (xi0 )) = bi (fi (xi0 )). Es gibt k ≥ i so, dass, durch Ersetzen von i durch k, und durch Ersetzen xi bzw, xi0 durch ui,k (xi ) bzw. ui,k (xi ), die Gleichung gi (ai (xi )) = gi (ai (xi0 )) gilt. Analog, ohne Einschränkung gelten fi (xi ) = fi (xi0 ) und ai (xi ) = ai (xi0 ). Da Mi  Pi ×Qi Ni gilt folgt dann xi = xi0 . Also ist x = x0 . Korollar .. Sei I eine gerichtete Menge und sei f : M• −→ N• ein Morphismus von gerichteten Systemen indexiert durch I. Ist die Abbildung fi : Mi −→ Ni für alle i ∈ I injektiv, so ist die Induzierte Abbildung lim Mi −→ lim Ni −−→ −−→ i∈I

i∈I

injektiv. Beweis. Eine Abbildung g : X −→ Y ist genau dann injektiv, wenn das Quadrat X

idX

g

idX

X

X

g

Y

kartesisch ist (nachrechnen). Also ist Mi

idMi

idMi

Mi

Mi fi

fi

Ni



Kommutative Algebra

kartesisch für alle i ∈ I. Nach Satz . erhalten wir ein kartesisches Quadrat lim Mi −−→i∈I

id

lim Mi −−→i∈I

id

lim Mi −−→i∈I

lim Ni −−→i∈I

somit lim Mi −→ lim Ni injektiv ist. −−→i∈I −−→i∈I Korollar .. Sei I eine gerichtete Menge und sei M• ein gerichtetes System von Mengen. Angenommen sind die strukturelle Abbildungen fi,j : Mi −→ Mj injektiv. Dann ist für jedes i ∈ I die kanonische Abbildung Mi −→ lim Mi , die ein Element xi ∈ Mi zu seiner Äquivalenzklasse sendet injektiv. −−→i∈I Beweis. Sei i ∈ I. Man betrachtet J = {j ∈ I | j ≥ i}. Es ist die kanonische Abbildung lim Mj −→ lim Mi −−→ −−→ i∈I

j∈J

bijektiv. Sei Nj = Mi für alle j ∈ J. Es ist Mi = Nj −→ Mj injektiv für alle j ∈ J. Daher folgt aus Korollar ., dass die kanonische Abbildung Mi −→ lim Mi injektiv ist. −−→i∈I Korollar .. Sei I eine gerichtete Menge und sei M• und N• zwei gerichtete Systeme von Mengen. Dann gilt !

!

lim(Mi × Ni )  lim Mi × lim Ni . −−→ −−→ −−→ i∈I

i∈I

i∈I

Beweis. Sei e eine Menge mit genau ein Element. Sind X und Y Mengen, so gilt: X ×e Y = X × Y. Sei Q• das gerichtete System definiert durch Qi = e für alle i ∈ I. Dann gilt lim Qi  e . −−→ i∈I

Dieses Korollar ist dann eine besonderes Fall von Satz ..

.

Moduln

Es ist A ein Ring. Definition .. Sei I eine gerichtete Menge. Ein gerichtetes System von Moduln M• ist ein gerichtetes System von Mengen, sodass folgendes gilt. (i) Für jedes i ∈ I ist Mi ein A-Modul. (ii) Für alle i ≤ j in I ist die stukturelle Abbildund ui,j : Mi −→ Mj A-linear. Satz .. Es gibt genau eine Struktur von A-Modul über M = lim Mi so, dass die kanonische −−→i∈I Abbildung Mi −→ M für jedes i ∈ I A-linear ist.

Kapitel . Gerichtete Limiten



Beweis. Die Additionsabbildungen Mi × Mi −→ Mi (xi , yi ) 7−→ xi + yi induzierten eine Abbildung M × M  lim(Mi × Mi ) −→ lim Mi = M −−→ −−→ i∈I

i∈I

(x, y) 7−→ x + y . Es ist einfach M eine abelsche Gruppe. Analog induzierten die Skalarmultiplikationsabbildungen A × Mi −→ Mi (a, xi ) 7−→ a · xi eine Abbildung A × M  lim(A × Mi ) −→ lim Mi = M −−→ −−→ i∈I

i∈I

(a, x) 7−→ a · x . Es ist dann M ein A-Modul. Satz .. Sei M• ein gerichtetes System von A-Moduln indexiert durch einer gerichteten Menge I. Sei fi : Mi −→ N eine Familie von A-linearen Abbildungen indexiert durch I so, dass Mi

ui,j

Mj fj ◦ ui,j = fi

fj

fi

N für alle i ≤ j in I gilt. Dann gibt es genau eine A-lineare Abbildung f : lim Mi −→ N so, dass −−→i∈I f (x) = fi (xi ) für alle i ∈ I und xi ∈ Mi , mit x die Äquivalenzklasse von xi . Beweis. Folgt direkt aus Sätze . und .. Aufgabe .. Sei I eine Menge und sei (Mi )i∈I eine Familie von A-Moduln. Sei J die Menge von L endlichen Teilmengen von I. Zu jedes E ∈ J ist die dirkete e∈E Me assoziiert. Zeigen Sie, dass M E 7−→ Me e∈E

ein gerichtetes System von A-Moduln indexiert durch J ist. Zeigen Sie, dass M M lim Me  Mi −−→ E∈J e∈E

gilt.

i∈I



Kommutative Algebra

Aufgabe .. Sei A kommutativ und sei f ∈ A. Wir betrachten ein A-Modul M. (a) Sei I = N> gewöhnlich geordnet. Für i ≤ j definieren wir dann ui,j : M −→ M für die Abbildung x 7−→ f j−i · x . Zeigen Sie, dass M• ein gerichtetes System von A-Moduln ist, wobei Mi = M für alle i ∈ I, mit der strukturellen Abbildungen ui,j wie oben. (b) Zeigen Sie, dass lim Mi  M[f − ] −−→ i∈I

gilt. Satz .. Sei I ein gerichtete Menge und seien f : M• −→ N• und g : N• −→ P• zwei Morphismen von gerichteten Systemen von A-Moduln so, dass jedes Diagramm Mi

{}

fi

gi

Ni

Pi

{}

eine kurze exakte Sequenz ist. Dann gibt es eine kanonische kurze exakte Sequenz lim Mi −−→i∈I

{}

lim Ni −−→i∈I

lim Pi −−→i∈I

{} .

Beweis. Da jedes Quadrat Mi

fi

Ni gi

{}

Pi

kartesisch ist das Quadrat lim Mi −−→i∈I

lim Ni −−→i∈I

{}

lim Pi −−→i∈I

kartesisch. Also haben wir eine exakte Sequenz links {}

lim Mi −−→i∈I

lim Ni −−→i∈I

lim Pi . −−→i∈I

Es ist dann genug zu zeigen, dass die Abbildung lim Ni −→ lim Pi surjektiv. Aber sie sen−−→i∈I −−→i∈I det die Äquivalenzklasse eines Elements xi ∈ Ni zu der Äquivalenzklasse von gi (xi ). Da jede gi surjektiv ist folgt dann die gewünschte Surjektivität. Satz .. Sei M• ein gerichtetes System von A-Moduln und sei V ein A-Modul. Dann gilt lim(V ⊗A Mi )  V ⊗A (lim Mi ) . −−→ −−→ i∈I

i∈I

Kapitel . Gerichtete Limiten



Beweis. Die kanonische Abbildungen Mi −→ lim Mi induzierten Abbildungen V ⊗A Mi −→ −−→i∈I V ⊗A lim Mi und daher eine A-lineare Abbildung −−→i∈I ψ : lim(V ⊗A Mi )  V ⊗A (lim Mi ) . −−→ −−→ i∈I

i∈I

Es gibt ein gerichtetes System von bilinearen Abbildungen V × Mi −→ V ⊗A Mi und daher eine bilineare Abbildung f : V × lim Mi  lim(V × Mi ) −→ lim(V ⊗A Mi ) −−→ −−→ −−→ i∈I

i∈I

i∈I

nach Beispiel . und Korollar .. Daher gibt es genau eine lineare Abbildung ϕ : V ⊗A lim Mi −→ lim(V ⊗A Mi ) −−→ −−→ i∈I

i∈I

mit ϕ(v ⊗ x) = f (v, x). Es ist klar ψ(f (v, x)) = v ⊗ x, sodass ψ ◦ ϕ die Identität ist. Insbesondere ist ϕ injektiv. Jedes Element y von lim (V ⊗A Mi ) ist die Äquivalenzklasse einem Element xi −−→i∈I von V ⊗A Mi für ein i ∈ I. Ist x das Bild von xi durch die kanonische Abbildung V ⊗A Mi −→ V ⊗A lim Mi , so ist ϕ(x) = y. Also ist ϕ surjektiv. −−→i∈I

.

Endliche Präsentierbarkeit

Sei A ein kommutativer Ring. Definition .. Ein A-Modul M heißt endlich präsentierbar falls es eine exakte Sequenz rechts der Form Am −→ An −→ M −→ {} mit m, n ∈ N existiert. Notiz .. Jeder endlich präsentierbar A-Modul ist endlich erzeugt. Falls A- noethersch ist, jeder endlich erzeugte A-Modul ist endlich präsentierbar. Aber ist A kein noetherscher Ring, so existiert ein Ideal a ⊂ A, das nicht endlich erzeugt ist, sodass das Quotient A/a endlich erzeugt aber nicht endlich präsentierbar ist. Satz .. Sei M ein endlich präsentierbarer A-Modul und sei M = M0 ⊕ M00 eine Zerlegung. Dann ist M0 endlich präsentierbar. Beweis. Wir wählen eine exakte Sequenz recht Am

f

An

q

M

{}



Kommutative Algebra

Sei P = q− (M00 ) und sei q00 : P −→ M00 die Einschränkung auf P. Es ist ker(q00 ) = ker(q) = im(f ) endlich erzeugt. Aus der kurzen exakten Sequenzen {}

{} q00

{}

ker(q00 )

P

{}

im(f )

An

q

An /P

∼

{}

M00

{}

M

{}

M0 {}

folgt, dass es eine kurze exakte Sequenz der Form {} −→ P −→ An −→ M0 −→ {} mit P endlich erzeugt gibt. Satz .. Sei B −→ A einen Ringhomomorphismus und sei N ein endlich präsentierbarer B-Modul. Dann ist A ⊗B N ein endlich präsentierbarer A-Modul. Beweis. Sei Bm −→ Bn −→ N −→ {} eine exakte Sequenz rechts. Dann ist A ⊗B Bm −→ A ⊗B Bn −→ A ⊗B N −→ {} eine exakte Sequenz rechts mit A ⊗B Bi  Ai für alle i ∈ N. Satz .. Sei M ein A-Modul. Es existiert eine gerichtete Menge I und ein gerichtetes System von endlich präsentierbaren A-Moduln M• indexiert durch I mit lim Mi  M . −−→ i∈I

Beweis. Sei I die Menge von Paaren (B, N) mit B ⊂ A ein Unterring von endlichem Typ über Z und N ⊂ M ein B-Untermodul. Die Menge I ist partiell geordnet durch (B, N) ≤ (B0 , N 0 )

⇔

B ⊂ B0 und N ⊂ N 0 .

Es ist die Menge gerichtet: für (B, N) und (B0 , N 0 ) in I erhalten wir der Unterring B00 erzeugt von B∪B0 in A und der B00 -Untermodul von M erzeugt von N∪N 0 . Die Z-Algebra B00 ist von endlichem Typ denn: ist B = Z[x , . . . , xm ] und B0 = Z[y , . . . , yn ], so ist B00 = Z[x , . . . , xm , y , . . . , yn ]; analog sit

Kapitel . Gerichtete Limiten



S bzw. S0 ein erzeugenden System von N bzw. von N 0 als B-Modul bzw. B0 -Modul, so ist S ∪ S0 ein erzeugenden System von N 00 als B00 -Modul. Also gilt (B00 , N 00 ) ∈ I mit (B, N) ≤ (B00 , N 00 ) und (B0 , N 0 ) ≤ (B00 , N 00 ). Die Menge I ist nicht leer da (Z, {}) ∈ I gilt. Für i = (B, N) ∈ I definieren wir Mi = A ⊗B N. Die B-lineare Inklusion N ⊂ M induziert eine A-lineare Abbildung fi : Mi −→ M. Das bestimmt eine A-lineare Abbildung ϕ : lim Mi −→ M . −−→ i∈I

Für jedes i = (B, N) ∈ I ist B ein noetherscher Ring (nach dem Hilbertschen Basissatz) und daher ist N endlich präsentierbar als B-Modul. Nach Satz . ist dann Mi endlich präsentierbar als A-Modul. Es ist jetzt genug zu zeigen, dass ϕ bijektiv ist. Zu Surjektivität. Sei x ∈ M. Es ist dann i = (Z, Z · x) ∈ I und x ist klar im Bild von der kanonischen Abbildung Mi −→ M. Damit folgt die Surjektivität von ϕ. Zu Injektivität. Sei (B, N) ∈ I und sei y ∈ Mi mit nullen Bild in M. Es gibt a , . . . , an ∈ A und x . . . , xn ∈ N mit y=

n X

a i ⊗ xi .

i=

Sei B0 der Unterring erzeugt von B und a , . . . , an und sei N 0 der B0 -Untermodul von M erzeugt von N ∪ {x . . . , xn }. Es ist dann

n X

ai · xi =  ∈ N 0 ⊂ M .

i=

Das kommutatives Diagramm

zeigt, dass

Pn

i= ai ⊗xi

A ⊗B N

A ⊗B0 N 0

B0 ⊗B N

B0 ⊗B0 N 0

M ∼

N0

=  in B0 ⊗B0 N 0 und damit in A⊗B0 N 0 gilt. Es folgt, dass die Äquivalenzklasse

von y null in lim Mi ist. −−→i∈I Notiz .. Falls A noethersch ist der Beweis vom Satz oben einfacher: jeder A-Modul M ist die gerichtete Vereinigung seiner endlich erzeugten Untermoduln. Und da A noethersch ist, ist jeder endlich erzeugte Modul endlich präsentierbar. Satz .. Sei M ein A-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind Äquivalent. (i) Der A-Modul M ist endlich präsentierbar. (ii) Für jede gerichtete Menge und jedes gerichtete System N• von A-Moduln ist die kanonische Alineare Abbildung '

lim HomA (M, Ni ) −→ HomA (M, lim Ni ) −−→ −−→ i∈I

bijektiv.

i∈I



Kommutative Algebra

Beweis. Zu (i)⇒(ii). Sei N• ein gerichtetes System von A-Moduln. Sei C die Klasse aller AModuln V so, dass die kanonische A-lineare Abbildung '

lim HomA (V, Ni ) −→ HomA (V, lim Ni ) −−→ −−→ i∈I

i∈I

bijektiv ist. Da HomA (A, N)  N gilt ist A in C . Da gerichtete Kolimiten vereinbar mit endlichen Produkten sind (Korollar .) er halten wir induktiv über n: lim HomA (An , Ni )  lim HomA (A, Ni )n −−→ −−→ i∈I

i∈I

 (lim HomA (A, Ni ))n −−→ i∈I

 HomA (A, lim Ni )n −−→ i∈I

 HomA (An , lim Ni ) . −−→ i∈I

Also ist An in C für alle n ≥ . Sei jetzt W −→ V −→ U −→ {} ein exakte Sequenz rechts mit V und W in C . Die erste Zeile des Diagramms darunter ist exakt links nach Satz .. {}

lim HomA (U, Ni ) −−→i∈I

lim HomA (V, Ni ) −−→i∈I

lim HomA (W, Ni ) −−→i∈I

o

{}

HomA (U, lim Ni ) −−→i∈I

o

HomA (V, lim Ni ) −−→i∈I

HomA (W, lim Ni ) −−→i∈I

Es folgt, dass U in C ist. Sei schließlich Am −→ An −→ M −→ {} eine exakte Sequenz rechts. Da Am und An in C sind folgt, dass M in C ist. Zu (ii)⇒(i). Angenommen gilt (ii). Nach Satz . existiert ein gerichtetes System von endlich präsentierbaren A-Moduln M• mit lim Mi  M . −−→ i∈I

Da lim HomA (M, Mi )  HomA (M, lim Mi ) −−→ −−→ i∈I

i∈I

gibt es ein Element i ∈ I und eine A-lineare Abbildung u : M −→ Mi so, dass die Komposition von u mit der kanonischen Abbildung Mi −→ lim Mi  M die Identität von M ist. Also ist −−→i∈I Mi  M ⊕ M0 . Da Mi endlich präsentierbar ist, so folgt, dass M endlich präsentierbar ist, nach Satz ..

Kapitel . Gerichtete Limiten



Aufgabe .. Sei M ein A-Modul. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften Äquivalent sind. (i) Der A-Modul M ist endlich erzeugt. (ii) Für jede gerichtete Menge und jedes gerichtete System N• von A-Moduln ist die kanonische A-lineare Abbildung lim HomA (M, Ni )−→HomA (M, lim Ni ) −−→ −−→ i∈I

i∈I

injektiv. Aufgabe .. Sei M

f

N

g

P

{}

eine exakte Sequenz rechts von A-Moduln, mit M und N endlich präsentierbar. Zeigen Sie, dass P endlich präsentierbar ist. Hinweis. Benützen Sie Eigenschaft (ii) von Satz ..

Kapitel 

Flachheit

Sei A ein kommutativer Ring. Definition .. Ein A-Modul V ist flach, falls, für jede kurze exakte Sequenz von A-Moduln M

{}

f

N

g

P

{}

ist V ⊗A M

{}

idV ⊗f

idV ⊗g

V ⊗A N

V ⊗A P

{}

eine kurze exakte Sequenz. Eine A-Algebra B ist flach, falls B flach als A-Modul ist. Man sagt auch, dass der Ringhomomorphismus flach ist. Beispiel .. Ist K ein Körper, so ist jeder K-Modul flach. Beispiel .. Sei X eine Menge. Dann ist A(X) , der freie A-Modul erzeugt von X, flach: ist M

{}

f

N

g

P

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln, so ist {}

A(X) ⊗A M

A(X) ⊗A N

o

{}

L

XM

A(X) ⊗A P

o

L

XN

{}

o

L

XP

{}

exakt. Beispiel .. Sei S ⊂ A eine Multiplikative Menge. Dann ist S− A flach über A: es ist Satz . zusammen mit Korollar .. Aufgabe .. Zeigen Sie, dass der Polynomring A[X] flach über A ist. Satz .. Seien V und W zwei flachen A-Moduln. Dann ist V ⊗A W flach. Beweis. Einfach. Satz .. Seien B eine kommutative flache A-Algebra. Ist V ein flacher B-Modul, so ist V flach als A-Modul. 



Kommutative Algebra

Beweis. Sei {}

M

N

P

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. Dann ist die erste Reihe des Diagramms darunter {}

V ⊗A M

V ⊗A N

o

{}

V ⊗A P

o

V ⊗B (B ⊗A M)

{}

o

V ⊗B (B ⊗A N)

V ⊗B (B ⊗A P)

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. Da die zweite Reihe isomorph zu der ersten, nach Satz ., ist sie eine exakte Sequenz. Korollar .. Seien B eine kommutative flache A-Algbra und C eine kommutative flache B-Algebra. Dann ist C eine flache A-Algebra. Satz .. Seien B und C zwei kommutativen A-Algebren. Ist B flach über A, so ist das Tensorprodukt B ⊗A C flach über C. Beweis. Sei {}

M

N

P

{}

eine kurze exakte Sequenz von C-Moduln. Es ist dann {}

(B ⊗A C) ⊗C M

(B ⊗A C) ⊗C N

o

{}

(B ⊗A C) ⊗C P

o

B ⊗A M

{}

o

B ⊗A N

B ⊗A P

{}

einen Isomorphismus von kurzen exakten Sequenzen. Satz .. Sei V ein A-Modul. Dann sind äquivalent: (i) Der A-Modul ist flach. (ii) Für jede injektive A-lineare Abbildung f : M −→ N ist die Abbildung idV ⊗f : V⊗A M −→ V⊗A N injektiv. (ii’) Für jede injektive A-lineare Abbildung f : M −→ N mit N endlich erzeugt ist die Abbildung idV ⊗ f : V ⊗A M −→ V ⊗A N injektiv. (ii”) Für jede injektive A-lineare Abbildung f : M −→ N mit N endlich präsentierbar ist die Abbildung idV ⊗ f : V ⊗A M −→ V ⊗A N injektiv. (iii) für jede kurze exakte Sequenz von A-Moduln {}

M

f

N

g

P

{}

Kapitel . Flachheit



mit N endlich präsentierbar ist V ⊗A M

{}

idV ⊗f

V ⊗A N

idV ⊗g

V ⊗A P

{}

eine kurze exakte Sequenz. Beweis. Nach Satz . gilt (i)⇔(ii) und analog (ii”)⇔(iii). Es ist klar (ii)⇒(ii’)⇒(ii”). Daher ist es genug zu zeigen, dass (ii”)⇒(ii) gilt. Sei f : M −→ N eine injektive A-lineare Abildung. Nach Satz . existiert eine gerichtete Menge I und ein gerichtetes System von endlich präsentierbaren A-Moduln N• indexiert durch I mit lim Ni  N . −−→ i∈I

Für jedes i ∈ I induziert die kanonische A-lineare Abbildung `i : Ni −→ N eine A-lineare Abbildung ui : Mi −→ M, wobei Mi = M ×N Ni und ui (x, yi ) = x für alle x ∈ M und yi ∈ Ni mit f (x) = `i (yi ) gilt. Die induzierte Abbildung lim Mi −→ M −−→ i∈I

ist bijektiv, nach Satz .. Das heißt, dass die Abbildung f ein gerichteter Limes von der injektiven Abbildungen fi : Mi −→ Ni definiert durch fi (x, yi ) = yi ist. Nach Satz . ist dann die Abbildung idV ⊗ f : V ⊗A M −→ V ⊗A N ein gerichteter Limes von der Abbildungen idV ⊗ fi : V ⊗A Mi −→ V ⊗A Ni . Gilt (iii’), so ist idV ⊗ f injektiv, nach Korollar .. Hilfsatz .. Sei A ein noetherscher Ring und a ⊂ A ein Ideal. Sei b A die a-adische Vervollständigung b so ist von A. Ist M ein endlich erzeugter A-Modul mit a-adische Vervollständigung M, b b. A ⊗A M  M Beweis. Wir wählen eine exakte Sequenz rechts der Form Am

f

An

g

M

{} .

Sie induziert zwei kurzen exakten Sequenzen {}

K

Am

Q

{}

{}

K

An

M

{} .

und

mit K = ker(f ) und Q = im(f ). Daher haben wir zwei exakten Sequenzen {}

b K

b Am

b Q

{}



Kommutative Algebra

und b An

b K

{}

b M

{}

nach Korollar .. Äquivalent ist fˆ

b Am

b An

gˆ

b M

{}

exakt rechts. Schließlich erhalten ein kommutatives Diagramm der Form b A ⊗A Am

id⊗f

b A ⊗A An

o

b Am

id⊗g

b A ⊗A M

{}

b M

{}

o fˆ

b An

gˆ

b und nach Korollar . gilt dann b A ⊗A M  M. Satz .. Sei A ein noetherscher Ring und a ⊂ A ein Ideal. Die a-adische Vervollständigung b A ist flach über A. Beweis. Folgt von Hilfsatz ., Korollar . und Satz .. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring und sei M• ein gerichtetes System von flachen A-Moduln. Zeigen Sie, dass lim Mi flach ist. −−→i∈I Aufgabe .. Sei A ein Hauptidealring. (a) Sei a ∈ A keine Einheit. Zeigen Sie, dass A/(a) nicht flach über A ist. Hinweis. Betrachten Sie die injektive A-lineare Abbildung x 7−→ a · x. (b) Sei V ein endlich erzeugter A-Modul. Zeigen Sie, dass V genau dann flach ist, wenn V  An für eine n ∈ N gilt. (c) Sei V ein A-Modul. Angenommen ist V ohne Torsion: das heißt, dass a · x ,  für alle a ,  in A und x ,  in V gilt. Zeigen Sie, dass V eine gerichteter Limes von flachen endlich erzeugten A-Modul ist. Zeigen Sie dann, dass V flach ist.

Kapitel 

Elementare Homologische Algebra

Sei R ein Ring und sei f

M

{}

g

N

P

{}

eine Kurze exakte Sequenz von R-Modul. Ist V ein beliebiger R-Modul, so sind {}

HomR (P, V)

{}

HomR (V, M)

g∗

HomR (N, V)

f∗

HomR (V, M)

{}

HomR (V, P)

{}

und f∗

HomR (V, N)

g∗

keine exakte Sequenzen im allgemeiner. Analog, ist R kommutativ, so ist {}

V ⊗A M

idV ⊗f

V ⊗A N

idV ⊗g

V ⊗A P

{}

keine exakte Sequenz im allgemeiner. Die Nicht-Exaktheit wird dabei durch die Homologie gemessen.

.

Kettenkomplexe und Homologie

Definition .. Ein Kettenkomplex von R-Moduln, oder ein R-Kettenkomplex ist ein paar C = (C∗ , d∗ ), wobei (a) C∗ = (Cn )n∈Z eine Familie von R-Moduln (den sogenannten Kettenmoduln) (b) (dn : Cn −→ Cn− )n∈Z eine Familie von R-linearen Abbildungen (den Randoperatoren oder Differentialen) mit dn− ◦ dn =  für alle n ∈ Z ist.

···

Cn+

dn+

Cn

dn

Sei n ∈ Z. • Die Elemente von Cn heißen n-Ketten. 

Cn−

dn−

Cn−

···



Kommutative Algebra

• Die Elemente von Zn (C) = ker(dn ) heißen n-Zykel • Die Elemente von Bn (C) = im(dn+ ) heißen n-Ränder. Es ist Bn (C) ⊂ Zn (C) (da dn− ◦ dn = ). Die n-the Homologie von C ist der R-Modul Hn (C) = Zn (C)/Bn (C) . Beispiel .. Sei f : M −→ N eine R-lineare Abbildung. Wir definieren C = M, C = N, Ci = {} für i < {, } und d = f . Es ist dann     ker(f ) falls n = ,       Hn (C) =  coker(f ) falls n = ,        {} sonst. Definition .. Seien C = (C∗ , d∗ ) und C0 = (C0∗ , d∗0 ) zwei R-Kettenkomplexe. Ein R-Kettenabbildung f : C −→ C0 ist eine Familie von R-linearen Abbildungen fn : Cn −→ C0n indexiert durch n ∈ Z so, dass Cn

fn

dn0

dn

Cn−

C0n

fn−

dn0 ◦ fn = fn− ◦ dn

C0n−

für alle n ∈ Z gilt. Notiz . (Homologie als Funktor). Sei f : C −→ C0 eine R-Kettenabbildung. Die Abbildung fn sendet Zn (C) bzw. Bn (C) in Zn (C0 ) bzw. Bn (C0 ). Es gibt dann genau eine R-lineare Abbildung Hn (f ) : Hn (C) −→ Hn (C0 ) ¯ = fn (x) für jedes n-Zykel x gilt. Ist f die Identität von Cn für alle n, so für alle n, so dass Hn (f )(x) ist Hn (f ) die Identität von Hn (C) für alle n. Diese Konstruktion ist vereinbar mit Komposition: ist g : C0 −→ C00 noch eine R-Kettenabbildung, so gilt Hn (g) ◦ Hn (f ) = Hn (g ◦ f ) für alle n. Definition .. Seien f , g : C −→ C0 zwei R-Kettenabbildungen. Eine Kettenhomotopie von f nach g ist eine Familie von R-linearen Abbildungen der Form hn : Cn −→ C0n+ , n ∈ Z so, dass 0 fn − gn = dn+ ◦ hn + hn− ◦ dn

für alle n ∈ Z gilt. Dei R-Kettenabbildung f und g sind Kettenhomotop, wenn es eine Kettenhomotopie von f nach g gibt. Man schreibt dann f 'R g.

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



Notiz .. Es ist 'R eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller R-Kettenabbildungen von C nach C0 . Genauer, sei HomR (C, C0 ) die Menge von R-Kettenabbildungen von C nach C0 . Es ist ein Q Untermodul von n∈Z HomR (Cn , C0n ). Sei N(C, C0 ) der Untermodul von R-Kettenabbildungen ϕ mit ϕ 'R . Dann sind f und g Kettenhomotop genau dann, wenn f −g ∈ N(C, C0 ). Wir bezeichnen [C, C0 ] = HomR (C, C0 )/N(C, C0 ) der R-Modul von R-Kettenabbildungen modulo Kettenhomotopie. Die Komposition einer RKettenabbildung mit einer R-Kettenabbildung, die Kettenhomotop zu Null ist Kettenhomotop zu Null ist. Daher gibt es eine wohldefinierte R-bilineare Abbildung [C, C0 ] × [C0 , C00 ] −→ [C, C00 ] von Komposition von R-Kettenhomotopieäaquivalenzklassen von R-Kettenabbildungen. Definition .. Eine R-Kettenabbildung f : C −→ C0 ist eine Kettenhomotopieäquivalenz, wenn es eine R-Kettenabbildung g : C0 −→ C mit g ◦ f 'R idC und f ◦ g 'R idC0 gibt. In diesem Fall nennen wir C und C0 Kettenhomotopieäquivalent und schreiben C 'R C0 . Satz .. Seien f , g : C −→ C0 zwei R-Kettenabbildungen. Sind f und g kettenhomotop, so gilt Hn (f ) = Hn (g) : Hn (C) −→ Hn (C0 ) für alle n ∈ Z. Beweis. Sei x ∈ Zn (C). Dann gilt: 0 fn (x) − gn (x) = dn+ (hn (x)) + hn− (dn (x)) 0 dn+ (hn (x)) ∈ Bn (C0 ) .

¯ = Hn (g)(x). ¯ Also gilt Hn (f )(x) Korollar .. Sei f : C −→ C0 eine Kettenhomotopieäquivalenz. Dann ist die R-lineare Abbildung Hn (f ) : Hn (C) −→ Hn (C0 ) für jede n ∈ Z bijektiv. Korollar .. Aus C 'R C0 folgt Hn (C)  Hn (C0 ) für alle n. Definition .. Ein Quasi-Isomorphismus ist eine R-Kettenabbildung f : C −→ C0 , so dass Hn (f ) : Hn (C) −→ Hn (C0 ) für alle n ein Isomorphismus ist. Zum Beispiel ist jede Kettenhomotopieäquivalenz ein Quasi-Isomorphismus.



Kommutative Algebra

Notiz .. Sei C ein Kettenkomplex und n ∈ Z. Es gibt eine R-lineare Abbildung δn+ : Cn+ /Bn+ (C) −→ Zn (C) induziert von der Abbildung dn+ : Cn+ −→ Zn (C). Da Zn+ (C) = ker(dn+ ) ist ker(δn+ ) = Zn+ (C)/Bn+ (C) = Hn+ (C) . Es ist auch im(δn+ ) = Bn (C) und daher gilt coker(δn+ ) = Hn (C) . Satz . (lange exakte Homologiesequenz). Sei f

C

{}

g

D

E

{}

eine kurze exakte Sequenz von R-Kettenkomplexen (d.h. die entsprechenden Sequenzen in jedem Grad sind exakt). Dann gibt es eine lange exakte Sequenz der Form ···

∂n+

Hn (f )

Hn (C)

Hn (D)

Hn (g)

∂n

Hn (E)

Hn− (C)

Hn− (f )

···

Die Abbildung ∂n heißt der Verbindungshomomorphismus. Diese lange exakte Sequenz ist natürlich: ist f

C

{}

E

v

u f0

C0

{}

g

D

{}

w g0

D0

E0

{}

ein kommutatives Diagramm von R-Kettenkomplexen mit exakten Zeilen, so ist das zugehörige Leiterdiagramm ···

∂n+

···

∂0n+

Hn (C)

Hn (f )

Hn (D)

Hn (u)

Hn

Hn (g)

Hn (v)

Hn (f 0 ) (C0 )

Hn

∂n

Hn (E)

Hn− (C)

Hn (w)

Hn (g 0 ) (D0 )

Hn

(E0 )

Hn− (f )

···

Hn− (u) ∂n

Hn− (C0 )

Hn− (f 0 )

···

kommutativ mit exakten Zeilen. Beweis. Aus dem Diagramm {}

fn+

Cn+ dn+

{}

gn+

En+

dn+ fn

Cn

Dn+ Dn

{}

dn+ gn

En

{}

und dem Schlangenlemma folgt für alle n eine exakte Sequenz der Form: {}

Zn+ (C)

Cn+ /Bn+ (C)

Zn+ (f )

f¯

Zn+ (D)

Dn+ /Bn+ (D)

Zn+ (g)

g¯

Zn+ (E)

En+ /Bn+ (E)

{}

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



Daher gibt es ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen: f¯

Cn+ /Bn+ (C) δn+

En+ /Bn+ (E)

δn+ Zn (f )

Zn (C)

{}

g¯

Dn+ /Bn+ (D)

{}

δn+ Zn (g)

Zn (D)

Zn (E)

Aus einer zweiten Anwendung des Schlangenlemmas erhalten wir die lange exakte Sequenz.

.

Projektive Auflösungen

Definition .. Ein R-Modul heißt projektiv, wenn er die folgende Liftungseigenschaft besitzt: für jede surjektive R-lineare Abbildung f : M −→ N und jede R-lineare Abbildung v : P −→ N gibt es eine R-lineare Abbildung u : P −→ M mit f ◦ u = v. Äquivalent: für jede surjektive R-lineare Abbildung f : M −→ N ist die zugehörige Abbildung f∗ : HomR (P, M) −→ HomR (P, N) surjektiv. Beispiel .. Sei P ein R-Modul. Besitzt P eine Basis (ei )i∈I , so ist P projektiv: ist f : M −→ N eine surjektive Abbildung und v : P −→ N eine R-lineare Abbildung, so wählen wir für jedes i ∈ I ein Element xi ∈ M; es gibt dann genau eine R-lineare Abbildung u : P −→ M definiert bestimmt durch u(ei ) = xi für alle i ∈ I, und es gilt f ◦ u = v. Insbesondere ist R(X) für jede Menge X projektiv. Beispiel .. Sei A ein kommutativer Integritätsring und sei a ( A ein Ideal mit {} , a. Dann ist A/a nicht projektiv als A-Modul: sei A −→ A/a die kanonische Projektion und sei v : A/a −→ A/a die Identität; wäre eine A-lineare Abbildung u : A/a −→ A, mit x das Bild durch u von der Restklasse von  hätten wir a.x = a · u(f ()) = u(f (a)) =  für alle a ∈ a, im Widerspruch zur Integrität von A. Satz .. Sei P ein R-Modul. Dann sind äquivalent: (i) Der R-Modul P ist projektiv. (ii) Der R-Modul ist ein direkter Summand in einem freien R-Modul: es gibt Menge X und einen R-Modul Q mit A(X)  P ⊕ Q. (iii) Für jede kurze exakte Sequenz von R-Moduln {}

M0

f

M

g

M00

{}

ist das zugehörige Diagramm {}

HomR (P, M0 )

f∗

HomR (P, M)

g∗

HomR (P, M00 )

{}



Kommutative Algebra eine kurze exakte Sequenz.

Beweis. Folgt direkt aus Aufgabe .. Korollar .. Jeder projektive R-Modul ist flach. Beweis. Sei P ein projektiver R-Modul. Sei X eine Menge und sei Q ein R-Modul mit A(X)  P ⊕ Q . Sei f : M −→ N eine injektive R-lineare Abbildung. Wir werden zeigen, dass die Abbildung idP ⊗ f : P ⊗R M −→ P ⊗R N injektiv ist. Für V = A(X) ist die Abbildung idV ⊗ f : V ⊗R M −→ V ⊗R N injektiv. Aber es ist V ⊗R W  (P ⊗R W) ⊕ (Q ⊗R W) für alle R-Moduln W. Ist x ∈ P ⊗R M mit (idP ⊗ f )(x) = , so gilt (idP ⊗ f )(x) = (idP ⊗ f )(x) + (idQ ⊗ f )() = (idV ⊗ f )(x + ) =  . Daher gilt x +  =  in V ⊗R M  (P ⊗R M) ⊕ (Q ⊗R M), somit x = . Aufgabe .. Zeigen Sie, dass Q flach aber kein projektiver Z-Modul ist. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring und sei B eine A-Algebra. Zeigen Sie, dass für jeden projektive A-Modul P das B-Modul B ⊗A P projektiv ist. Aufgabe .. Sei A ein lokaler kommutativer Ring mit maximalem Ideal m. Sei P ein projektiver endlich erzeugter A-Modul. Seien e , . . . , en ∈ P Elemente deren Restklassen modulo mP eine Basis von P/mP als A/m-Vektorraum bilden. Zeigen Sie, dass e , . . . , en eine Basis von P als A-Modul bilden. Hinweis. Benützen Sie zweimal das Krull-Nakayama-Lemma (.). Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring und sei P ein endlich präsentierbarer A-Modul. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (i) Der A-Modul P ist projektiv. (ii) Für jedes Primideal q ⊂ A der Aq -Modul Pq ist projektiv. (iii) Für jedes maximale Ideal m ⊂ A der Am -Modul Pm ist projektiv. (iv) Für jedes maximale Ideal m ⊂ A gibt es n ∈ Z mit Pm  (Am )n .

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



(v) Für jedes Primideal p ⊂ A gibt es f < p und n ∈ Z mit P[f − ]  A[f − ]n . Hinweis. Zu (v)⇒(i), benützen Sie Aufgabe . und Satz .. Definition .. Sei M ein R-Modul. Eine projektive Auflösung von M ist ein Paar (P, ε), wobei: • P = (P∗ , d∗ ) ein R-Kettenkomplex ist, • für jedes n < , Pn = {} gilt, • für jedes n ∈ Z, der R-Modul Pn projektiv ist, • ε : P −→ M eine R-lineare Abbildung ist, • Hn (P) = {} für jedes n >  und ε einen Isomorphismus H (P)  M induziert. Notiz .. Sei M ein R-Modul. Wir schreiben auch M für den R-Kettenkomplex definiert durch Mn = {} für alle n ,  und M = M. Sei C = (C∗ , d∗ ) ein R-Kettenkomplex mit Cn = {} für n < . Ein R-Kettenabbildung ε : C −→ M ist dann einfach eine R-lineare Abbildung ε : C −→ M. Es ist ε : C −→ M genau dann ein Quasi-Isomorphismus, wenn die folgende Eigenschaften gelten: • Hn (C) = {} für n , ; • ε : C −→ M ist surjektiv; • Der Kern von ε : C −→ M ist das Bild von d : C −→ C . Satz .. Jeder R-Modul bekommt eine projektive Auflösung. Beweis. Sei M ein R-Modul. Wir definieren Pn (M) = {} für n <  und P (M) =

L

MR

= R(M)

und εM : P (M) −→ M die R-lineare Abbildung bestimmt durch ε(i(x)) = x für alle x ∈ M, wobei i : M −→ R(M) die kanonische Abbildung ist. Wir definieren d =  : P (M) −→ P− (M). Ist n >  mit di : Pi (M) −→ Pi− (M) schon definiert für i < n, so definieren wir Pn (M) = P (ker(dn− )) und dn : Pn (M) −→ Pn− (M) durch dn (x) = εker(dn− ) (x). Es ist P(M) = (P∗ (M), d∗ ) ein R-Kettenkomplex und (P(M), εM ) eine Auflösung von M. Notiz .. Der Beweis oben zeigt besser: es gibt eine funktorielle Auflösung. Ist f : M −→ N eine R-lineare Abbildung, so gibt es eine R-Kettenabbildung P(f ) : P(M) −→ P(N) mit εN ◦ P(f ) = f ◦ εM P(M)

εM

f

P(f )

P(N)

M

εN

N



Kommutative Algebra

Es gibt tatsächlich eine R-lineare Abbildung P (f ) : P (M) −→ P (N) definiert durch P (f )(i(x)) = i(f (x)) für alle x ∈ M, und dann definieren wir Pn (f ) induktiv über n. Aufgabe .. Sei A ein noetherscher Ring und sei M ein endlich erzeugter Ring. Zeigen Sie, dass es eine projektive Auflösung (P, ε) von M gibt, sodass Pn projektiv und endlich erzeugt für jedes n ist. Satz . (Fundamentalsatz der homologischen Algebra). Sei f : M −→ N eine R-lineare Abbildung. Sei C = (C∗ , d∗ ) ein R-Kettenkomplex mit Cn = {} für n < , und sei η : C −→ N ein Quasi-Isomorphismus. Ist (P, ε) eine projektive Auflösung von M, so gibt es eine R-Kettenabbildung ϕ : P −→ C mit η ◦ ϕ = f ◦ ε. ε

P

M

ϕ

f η

C

N

Außerdem, ist ψ : P −→ C eine zweite R-Kettenabbildung mit η ◦ ψ = f ◦ ε, so sind ϕ und ψ kettenhomotop. Beweis. Existenz. Wir konstruieren R-lineare Abbildungen ϕn : Pn −→ Cn induktiv. Es ist ϕn =  für n < . Da η : C −→ N surjektiv ist, und da P projektiv ist, existiert eine R-lineare Abbildung ϕ : P −→ C mit

ε

P

M f

ϕ η

C

N

kommutativ. Angenommen ist jetzt n >  und gibt es ϕi : Pi −→ Ci für alle i < n, so dass di

Pi

Pi−

ϕi

ϕi− di

Ci

Ci−

¯ n− : Zn− (P) −→ Zn− (C). Da die kommutiert. Dann induziert ϕn− eine R-lineare Abbildung ϕ Abbildung dn : Cn −→ Zn (C) surjektiv ist und da Pn projektiv ist, existiert eine R-lineare Abbildung ϕn : Pn −→ Cn mit Pn

dn

Zn− (P) ¯ n− ϕ

ϕn

Cn

Pn−

dn

ϕn−

Zn (C)

Cn−

kommutativ. Eindeutigkeit (bis auf Kettenhomotopie). Sei ψ : P −→ C eine zweite R-Kettenabbildung mit η ◦ ψ = f ◦ ε. Es ist dann das Quadrat P

ε



ϕ−ψ

C

M

η

N

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



kommutativ. Ohne Einschränkung ist dann f =  und ϕ = . Induktiv werden wir R-lineare Abbildungen hn : Pn −→ Cn+ mit ψn = dn+ ◦ hn + hn− ◦ dn für alle n konstruieren. Es ist hn =  für alle n < . Es ist im(ψ) ⊂ ker(η) und d : C −→ ker(η) surjektiv. Da P projektiv ist gibt es eine R-lineare Abbildung h : P −→ C mit ψ (x) = d (h (x)) +  = d (h (x)) + h− (d (x)) für alle x ∈ P . Sei n > . Es ist x 7−→ ψn (x) − hn− (dn (x)) eine R-lineare Abbildung von Pn nach Zn (C) da dn (ψn (x) − hn− (dn (x))) = ψn− (dn (x)) − (ψn− (dn (x)) − hn− (dn− (dn (x)))) = hn− (o) =  gilt. Da dn+ : Cn+ −→ Zn (C) surjektiv ist gibt es eine R-lineare Abbildung hn : Pn −→ Cn+ mit dn+ (hn (x)) = ψn (x) − hn− (dn (x)) für alle x ∈ Pn . Korollar . (Eindeutigkeit projektiver Auflösungen). Sei M ein R-Modul. Dann gibt es bis auf R-Kettenhomotopieäquivalenz genau eine projektive Auflösung von M. Beweis. Nach Satz . ist es genug die Eindeutigkeit bis auf R-Kettenhomotopieäquivalenz zu zeigen. Seien (P, ε) und (Q, η) zwei projektive Auflösungen von M. Es gibt dann nach Satz . zwei R-Kettenabbildungen ϕ : P −→ Q und ψ : Q −→ P mit η ◦ ϕ = idM und ε ◦ ψ = idM . Aus ε ◦ (ψ ◦ ϕ) = ε = ε ◦ idM erhalten wir die Existenz einer Kettenhomotopie von ψ ◦ ϕ nach idM . Gleichweise sind ϕ ◦ ψ und idM Kettenhomotop. Satz . (Hufeisenlemma). Sei {}

M0

f

M

g

M00

{}

eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Angenommen ist (P0 , ε0 ) bzw. (P00 , ε00 ) eine projektive Auflösung von M0 bzw. von M00 . Dann gibt es eine projektive Auflösung (P, ε) von M und ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Form {}

P0

f˜

ε0

{} mit exakten Zeilen.

M0

P

g˜

M

{}

ε00

ε f

P00

g

M00

{}



Kommutative Algebra

Beweis. Wir definieren Pn = Pn0 ⊕ Pn00 für alle n ∈ Z. Die Abbildung f˜n ist die Inklusion von Pn0 in Pn und die Abbildung g˜n : Pn −→ Pn00 die Projektion. Da g surjektiv ist und P00 projektiv ist existiert eine R-lineare Abbildung u : P00 −→ M mit g ◦ u = ε00 . Wir definieren ε : P −→ M durch ε(x0 + x00 ) = f (ε0 (x0 )) + u(x00 ) für alle x0 ∈ P0 und x00 ∈ P00 . Es ist f˜

P0

{}

ε0

g˜

P00

M

{}

ε00

ε f

M0

{}

P

g

M00

{}

ein kommutatives Diagramm von R-Moduln mit exakten Zeilen. Da die Abbildungen ε,ε0 und ε00 surjektiv sind folgt aus dem Schlangenlemmma, dass {}

ker(ε0 )

f˜

ker(ε)

g˜

ker(ε00 )

{}

eine kurze exakte Sequenz ist. Insbesondere gibt es eine R-lineare Abbildung δ : P00 −→ ker(ε) mit g˜ (δ (x00 )) = d00 (x00 ) für alle x00 ∈ P00 . Wir definieren eine R-lineare Abbildung d : P −→ P durch d (x0 + x00 ) = f˜ (d0 (x0 )) + δ (x00 ). Es ist dann {}

P0 d0

{}

ker(ε0 )

f˜

P

g˜

ker(ε)

{}

d00

d f˜

P00

g˜

ker(ε00 )

{}

ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen, indem d0 und d00 surjektiv sind. Daher ist ker(ε) = im(d ). Sei Z (P) = ker(d ). Nach dem Schlangenlemma ist {}

Z (P0 )

f˜

Z (P)

g˜

Z (P00 )

{}

eine kurze exakte Sequenz. Für n >  definieren wir induktiv über n Randoperatoren dn : Pn −→ Pn− wie folgt. Angenommen ist schon dn− : Pn− −→ Pn− wohldefiniert, sodass, mit Zn− (P) = ker(dn− : Pn− −→ Pn− ), {}

Zn− (P0 )

f˜n−

Zn− (P)

g˜n−

Zn− (P00 )

{}

eine kurze exakte Sequenz ist. Es gibt dann eine R-lineare Abbildung δn : Pn00 −→ Zn− (P) mit g˜n− (δn (x00 )) = dn00 (x00 ) für alle x00 ∈ Pn00 gilt. Wir definieren die R-lineare Abbildung dn : Pn −→ Pn− durch dn (x0 + x00 ) = f˜n− (dn0 (x0 )) + δn (x00 ). Es ist dann {}

Pn0

f˜n

dn0

{}

Zn− (P0 )

Pn

g˜n

Zn− (P)

{}

dn00

dn f˜n−

Pn00

g˜n−

Zn− (P00 )

{}

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen, indem dn0 und dn00 surjektiv sind. Daher ist dn : Pn −→ Zn− (P) surjektiv und, mit Zn (P) = ker(dn ), ist das zugehörige Diagramm {}

Zn (P0 )

f˜n

Zn (P)

g˜n

Zn (P00 )

{}

eine kurze exakte Sequenz.

.

Tor

Sei A ein kommutativer Ring. Ist C = (C∗ , d∗ ) ein Kettenkomplex und ist V ein A-Modul, so definieren wir den Kettenkomplex C⊗A V durch (C⊗A V)n = Cn ⊗A V für alle n ∈ Z mit Randoperatoren dn ⊗ idV : Cn ⊗A V −→ Cn− ⊗A V. Hilfsatz .. Seien f , g : C −→ C0 zwei Kettenabbildungen. Sind f und g Kettenhomotop, so sind f ⊗ idV und g ⊗ idV Kettenhomotop. Beweis. Sei (hn : Cn −→ C0n+ )n∈Z eine Kettenhomotopie von f nach g. Also gilt 0 fn − gn = dn+ ◦ hn + hn− ◦ dn

für alle n. Daher ist fn ⊗ idV − gn ⊗ idV = (fn − gn ) ⊗ idV 0 = (dn+ ◦ hn + hn− ◦ dn ) ⊗ idV 0 = (dn+ ◦ hn ) ⊗ idV + (hn− ◦ dn ) ⊗ idV 0 = (dn+ ⊗ idV ) ◦ (hn ⊗ idV ) + (hn− ⊗ idV ) ◦ (dn ⊗ idV ) .

Das heißt, dass (hn ⊗ idV )n∈Z eine Kettenhomotopie von f ⊗ idV nach g ⊗ idV ist. Hilfsatz .. Sei f : C −→ C0 eine A-Kettenabbildung. Ist f eine Kettenhomotopieäquivalenz, so ist f ⊗ idV : C ⊗A V −→ C0 ⊗A V für alle A-Moduln V. Beweis. Folgt direkt aus Hilfsatz .. Definition . (Ableitung des Tensorproduktfunktors). Sei N ein A-Modul. Für jeden A-Modul M wählt man die projektive Auflösung vom Beweis von Satz .: εM : P(M) −→ M . Für jede natürliche Zahl n definieren wir TornA (M, N) durch TornA (M, N) = Hn (P(M) ⊗A N) .



Kommutative Algebra

Satz .. Seien (P, ε) und (Q, η) projektive Auflösungen von M. Ist f : P −→ Q eine A-Kettenabbildung mit η ◦ f = ε, dann ist die induzierte Abbildung Hn (f ⊗ idN ) : Hn (P ⊗A N) −→ Hn (Q ⊗A N) für alle n und N bijektiv. Außerdem, sind f , g : P −→ Q zwei A-Kettenabbildungen mit η ◦ f = ε und η ◦ g = ε, so gilt Hn (f ⊗ idN ) = Hn (g ⊗ idN ) für alle n und N. Insbesondere, ist f : P −→ P eine A-Kettenabbildung mit ε ◦ f = ε, so gilt Hn (f ⊗ idN ) = idHn (P⊗A N) für alle n und N. Beweis. Sei f : P −→ Q eine A-Kettenabbildung mit η ◦ f = ε. Nach Satz . gibt es eine AKettenabbildung f 0 : Q −→ P mit ε ◦ f 0 = η. Es ist dann f 0 ◦ f kettenhomotop zu der Identität von P, und, gleichweise, f ◦ f 0 kettenhomotop zu der Identität von Q. Also ist f eine Kettenhomotopieäquivalenz. Aus Hilfsatz . und Korollar . ist dann Hn (f ⊗ idN ) für alle N und n ein Isomorphismus. Korollar .. Sei (P, ε) eine projektive Auflösung von M. Dann gilt TornA (M, N)  Hn (P ⊗A N) für jede N und n. Notiz .. Es ist N 7−→ TornA (M, N) für jedes n ein Funktor: jede A-lineare Abbildung f : N −→ N 0 eine A-lineare Abbildung f∗ = TornA (f , N) : TornA (M, N) −→ TornA (M, N 0 induziert, mit (idN )∗ = idTornA (M,N)

und

(g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ .

Für jede n ∈ N und jeden A-Modul ist M 7−→ TornA (M, N) ein Funktor auch, da die kanonische projektive Auflösung (P(M), εM ) funktoriell ist. Diese funktorialität ist vereinbar mit dem Isomorphismus von Korollar .: sei f : M −→ M0 eine A-lineare Abbildung, und sei (P, ε) bzw. (P0 , ε0 ) eine projektive Auflösung von M bzw. von M0 . Wir wählen eine Kettenabbildung ϕ : P −→ P0 mit ε0 ◦ ϕ = f ◦ ε. Dann ist, nach dem Fundamentalsatz der homologischen Algebra (.) und Lemma . das Diagramm TornA (M, N)

∼

TornA (f ,N)

TornA (M0 , N)

Hn (P ⊗A N) Hn (ϕ⊗idN )

∼

Hn (P0 ⊗A N)

kommutativ, wobei die Isomorphismen aus Satz . kommen.

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



Satz .. Für jeden A-Modul gilt: TorA (M, N)  M ⊗A N. Beweis. Die exakte Sequenz rechts d

P (M)

εM

P (M)

M

{}

die exakte Sequenz rechts P (M) ⊗A N

d ⊗idN

P (M) ⊗A N

εM ⊗idN

M ⊗A N

{}

induziert. Satz .. Sei M ein A-Modul. Jede kurze exakte Sequenz von A-Moduln N0

{}

f

g

N

N 00

{}

natürlich induziert eine lange exakte Sequenz der Form A (M, N 0 ) Torn+

···

A (M, N) Torn+

A (M, N 00 ) Torn+

∂n+

TornA (M, N 0 )

TorA (M, N 00 )

······ ∂ idM ⊗f

M ⊗A N 0

idM ⊗g

M ⊗A N

M ⊗A N 00

{} .

Beweis. Sei (P, ε) eine projektive Auflösung. Es ist P ⊗A N 0

{}

idP ⊗f

idP ⊗g

P ⊗A N

P ⊗A N 00

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Kettenkomplexen. Wir anwenden dann Satz . und erhalten die zugehörige lange exakte Homologiesequenz. Satz .. Sei N ein A-Modul. Jede kurze exakte Sequenz von A-Moduln {}

M0

f

M

g

M00

{}

natürlich induziert eine lange exakte Sequenz der Form ···

A (M0 , N) Torn+

A (M, N) Torn+

A (M00 , N) Torn+

∂n+

TornA (M0 , N)

TorA (M00 , N)

······ ∂

M 0 ⊗A N

f ⊗idN

M ⊗A N

g⊗idN

M00 ⊗A N

{} .



Kommutative Algebra

Beweis. Nach Satz . gibt es ein kommutatives Diagramm P0

{}

f˜

P

ε0

M0

{}

g˜

P00

ε f

M

{}

ε00 g

M00

{}

mit exakten Zeilen, wobei (P, ε) bzw. (P0 , ε0 ) bzw. (P00 , ε00 ) eine projektive Auflösung ist. Es ist dann, für jede n ∈ Z, Pn = Pn0 ⊕ Pn00 , sodass P0 ⊗A N

{}

P00 ⊗A N

P ⊗A N

{}

eine exakte Sequenz von Kettenkomplexen ist. Nach Satz . gibt Satz . die gewünschte lange exakte Sequenz. Aufgabe .. Sei M ein A- Modul. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (i) Der Modul M ist flach. (ii) Für jeden A-Kettencomplex C und alle n ∈ Z gilt natürlich Hn (C ⊗A M)  Hn (C) ⊗A M. (iii) Für jeden Quasi-Isomorphismus f : C −→ D ist f ⊗ idM : C ⊗A M −→ D ⊗A M ein QuasiIsomorphismus. Satz .. Sei N ein flacher A-Modul. Dann gilt TornA (M, N) = {} für alle M und n > . Beweis. Sei M ein A-Modul und sei (P, ε) eine projektive Auflösung von M. Da N flach ist folgt, dass ε ⊗ idN : P ⊗A N −→ M ⊗A N einen Quasi-Isomorphismus ist. Also gilt TornA (M, N) = {} für n > . Korollar .. Sei K

{}

f

P

g

N

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln mit P projektiv. Dann gilt A Torn+ (M, N)  TornA (M, K)

für alle n >  und es gibt eine kanonische exakte Sequenz der Form {}

TorA (M, N)

∂

M ⊗A K

M ⊗A P

M ⊗A N

{} .

Beweis. Es ist P flach nach Korollar .. Wir anwenden dann Sätze . und .. Satz .. Sei {}

K

f

P

g

M

{}

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln mit P projektiv. Dann gilt A Torn+ (M, N)  TornA (K, N)

für alle n >  und es gibt eine kanonische exakte Sequenz der Form {}

TorA (M, N)

∂

K ⊗A N

P ⊗A N

M ⊗A N

{} .

Beweis. Es ist P selbst eine projektive Auflösung von P. Also ist TornA (P, N) = Hn (P ⊗A N) =  für n > . Man anwendet dann Satz .. Korollar .. Es ist TornA (M, N)  TornA (N, M) für alle A-Moduln M und N und für alle n ∈ N. Beweis. Wir beweisen Induktiv über n ≥ . Für n =  haben wir einfach M ⊗A N  N ⊗A M . Für n ≥ , für zwei A-Moduln M und N wählen wir eine kurze exakte Sequenz der Form K

{}

f

P

g

M

{}

mit P projektiv (z.B. P = A(M) ). Vom Diagramm mit exakten Zeilen darunter {}

TorA (N, M)

∂

TorA (M, N)

∂

N ⊗A K o

{}

K ⊗A N

N ⊗A P

N ⊗A M

o

P ⊗A N

{}

o

M ⊗A N

{}

folgt dann TorA (M, N)  TorA (N, M). Sei n > . Es ist dann A A TornA (M, N)  Torn− (K, N)  Torn− (N, K)  TornA (N, M)

nach Induktionsvoraussetzung. Korollar .. Seien M und N A-Moduln. Für jede projektive Auflösung (Q, η) von N gilt TornA (M, N)  Hn (M ⊗A Q) für alle n ≥ . Satz .. Sei M ein A-Modul. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Der A-Modul M ist flach. (ii) TornA (M, N) = {} für alle A-Moduln N und für alle n >  gilt. (iii) Es ist Tor (M, N) = {} für alle A-Moduln N.



Kommutative Algebra

Beweis. Sei M mit TornA (M, N) = {} für alle n >  und für alle N. Von Satz . folgt, dann, dass M flach ist. Umgekehrt, ist M flach, so gilt TornA (M, N)  TornA (N, M) = {} für n > . Aufgabe .. Zeigen Sie, dass folgendes gilt:      Z/Z falls i = , , Z Tori (Z/Z, Z/Z)      {} sonst. Aufgabe .. Sei f

M0

{}

M

g

M00

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln mit M00 flach. Zeigen Sie, dass, für jeden A-Modul N, {}

M 0 ⊗A N

f ⊗idN

M ⊗A N

g⊗idN

M00 ⊗A N

{}

eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln ist. Aufgabe .. Sei I eine gerichtete Menge und sei M• ein gerichtetes System von A-Moduln indexiert durch I. Sei N ein A-Modul. Zeigen Sie, dass für alle n ≥  lim TornA (Mi , N)  TornA (M, N) −−→ i∈I

gilt. Zeigen Sie, dass ein A-Modul M genau dann flach ist, wenn TorA (M, N) = {} für jeden endlich präsentierbare A-Modul N gilt. Aufgabe .. Sei A ein Hauptidealring. (i) Für dedes a ∈ A, zeigen Sie, dass es eine projektive Auflösung (P, ε) von A/(a) gibt, so dass Pn = {} für alle n < {, } gilt. (ii) Zeigen Sie, dass TornA (M, A/(a)) = {} für alle A-Moduln für n >  gilt. (iii) Zeigen Sie, dass TorA (M, A/(a)) = {x ∈ M | a · x = } ist. (iv) Zeigen Sie, dass TornA (M, N ⊕ N 0 )  TornA (M, N) ⊕ TornA (N 0 , M) für alle A-Moduln M, N und N 0 gilt. (v) Sei M ein A-Modul. Zeigen Sie, dass TornA (M, N) = {} für alle n >  und für jeden A-Modul N gilt. Zeigen Sie, dass M genau dann flach ist, wenn TorA (M, A/(a)) = {} für jedes a ∈ A gilt.

Kapitel . Elementare Homologische Algebra



(vi) Zeigen Sie, dass ein A-Modul M genau dann flach ist, wenn M ohne Torsion ist (das heißt, wenn a · x ,  für alle a ,  in A und alle x ,  in M ist). Aufgabe .. Sei f : A −→ B ein Homomorphismus von kommutativen Ringen, mit B flach über A. Zeigen Sie, dass für alle A-Moduln M und N B ⊗A TornA (M, N)  TornB (B ⊗A M, B ⊗A N) für jedes n ≥  gilt. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring und sei M ein A-Modul. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (a) Der A-Modul M ist flach. (b) Für jedes Primideal p ist der Ap -Modul Mp flach. (b’) Für jedes Primideal p ist der A-Modul Mp flach. (c) Für jedes maximale Ideal m ist der Am -Modul Mm flach. (c’) Für jedes maximale Ideal m ist der A-Modul Mm flach. Aufgabe .. Sei A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m und k = A/m. (a) Sei f : M −→ N eine A-lineare Abbildung mit N flach. Angenommen sind beide N und ker(f ) endlich erzeugt. Zeigen Sie, dass f genau dann bijektiv ist, wenn f einen Isomorphismus von k-Vektorräumen k ⊗A M  k ⊗A N induziert. (b) Sei M ein flacher endlich präsentierbarer A-Modul. Zeigen Sie, dass M projektiv ist. Aufgabe .. Sei A ein kommutativer Ring und sei M ein endlich präsentierbarer A-Modul. Zeigen Sie, dass M genau dann projektiv ist, wenn er flach ist.