Geometrie analitică proiectivă și diferențială [3 ed.]

Table of contents :
20220105
20220105_001
20220105_002
20220105_003
20220105_004
20220105_005
20220105_006
20220105_007
20220105_008
20220105_009
20220105_010

Citation preview

Acad. prof. GHEORGHE VRANCEANU

GEOMETRIE ANALITICA PROIECTIVA. SI DIFERENTIAU

EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA BUCURESTl-1962

GRUPUL PROIECTIV PE DREAPTA

39

Ecuatiile (27) �i (27') ne arata ea proiectivitatile intre forme de prima speta se exprima - in coordonate omogene - prin transformari liniare �i intregi. Invers, fiind date doua perechi de variabile x1, x2 ; x'1, x'2, legate de relatii de forma

= a11X1 + ll12X2, P� = �1X1 + �2X2, px{

}

(28)

unde a11, a12, a21, a22 stnt ni�te constante, iar determinantul (28')

este diferit de zero, putem interpreta relatiile (28) ea fiind ecuatiile unei proiectivitati tntre doua forme de prima speta, ale caror elemente stnt res­ pectiv determinate de coordonatele ornogene X1, x2 �i x'1, x'2 • Daca trecem de la coordonate omogene la coordonate neomogene punind X

=1, X1

X1

,

X1

=-, , X2

din ecuatiile (28) rezulta

x'

=

aux + llis + llss

a21X

(29)

ecuatie care ne da o proiectivitate tntre doua forme de prima speta ale carei elemente sint determinate respectiv de coordonatele x �i x'. § 8. Grupul proiectiv pe dreapta

Mai multe transformari formeaza un grup, daca contin printre ele trans­ formarea identica, daca orice transformare are o inversa ce apartine mul­ timii de transformari date �i daca produsul a doua transformari este tot o transformare din multimea data. Este u�or de vazut ea aceste proprietati sint realizate pentru transformarile (28) sau echivalentele lor (29), daca tinem seama de interpretarea lor geometrica ea proiectivitati intre doua forme de prima speta distincte sau suprapuse. Analitic, se vede ea (29) - de exemplu se obtine transformarea identica daca punem

�i orice transformare (29) are o inversii, adica o putem rezolva in raport cu x, deoarece determinantul (28') este presupus diferit de zero.

203

ECUATIILE DREPT£1. ECUATIA PLANULUI

axe. Daca planul nu intiln�te axa z, insa intiln�te axa y, partea pozitiva a planului este aceea care priv�te spre partea pozitiva a axei y �i in sfir�it daca planul este paralel cu planul Oyz, partea pozitiva a planului este aceea care priv�te spre partea pozitiva a axei x. § 2. Ecuatiile dreptei. Ecuatia planului Dreapta care trece prin doua puncte. Fiind date doua puncte P1, P2 ale caror coordonate in raport cu un sistern de axe stnt respectiv x1,. y1, z1 ; x2, y2, z2, sa cautam conditiile pe care trebuie sa le satisfaca coordonatele unui punct P(x, y, z) pentru a se gasi pe dreapta P 1P2• Pentni aceasta, putem schimba rationamentul adoptat in cap. II, § 3 proiecttnd terna de puncte Pi, P2 , P pe axele de coordonate. Vom obtine formule analoge formule­ lor din acel capitol, cu diferenta ea vom avea tn acest caz un raport tn plus datorit coordonatei z. Deci, coordonatele x, Y,. z ale punctului P situat pe dreapta determinata de P1 (x1, Yi, z1) �i P2 (x2 , y2, z2) vor satisface conditHle X - Xi X2 - X1

=

Y - Yi Ya - Y1

=

Z - Zi

•

(2)

Z2 - Z1

-Aceste conditii, exprimind egalitatea a trei rapoarte, reprezinta doua ecuati independente, care se obtin scriind de exemplu ea primul �i al doilea raport stnt respectiv egale cu al treilea. Introductnd �i in acest caz coordonata bariPiP = r, dec1• centnca • " r, punm " d --=PP2 X Z Zi y - Yi i = ,, -= ,, -. = ,, -Y2 - Y Z2 Z -:-

-X

�- X

-

se pot obtine coordonatele ·punctului P al dreptei P1 P2 sub forma para­ metrica

.

x=

�+� l

+r

'

y=

�+� I

+r

z=

'

�+� I

+r

+

•

(3)

Cind r parcurge toate valorile reale de la - oo la oo , punctul P descrie dreapta inceptnd din P2 �i revenind: Pentru r = 1, punctul P se gas�te tn mijlocul segmentului P 1P2, care are coordonatele X

iar pentru r

=

Xi

+ Xz 2

'

y

=

Yi

+ Ya 2

'

z

=

Zi

+ 2

Z2

=-

1, punctul P se gase�te la infinit. Daca in formulele (3) punem r = : ,. obtinem coordonatele dreptei

sub forma (4)

FORMULE TRrGONOMETRICE IN PLANUL' HIPERBOLIC

Putem deci scrie

sinCcos A cos B=

eh2 .!:.... eh � eh ..!!..

=

R

R

R

601

- eh �(eh2 .!!.. + eh2 R R b c a sh-sh- shR R R

!!..) eh � eh !!.. R M R R +

(2l ')

unde M este dat de formula (19). Permutind circular A, B, C �i aduntnd, se obtin primii termeni din membrul al doilea al formulei (21). Puntnd ot=eh �+eh ..!!..+ eh E... R R R a

b

·

a

c

b

c

�=eh-eh-+eh-eh-+ eh -chR R R R R R y

(21 ")

c a b = ch-chch-

R

R

R

�i tintnd seama de formula (20), care ne da 2 2 sin A sin B sin C= MSsh..!!...sh .!!...sh�= M (2y- « + � + l), R R R sh � sh .!_sh � R R R rezulta formula 2 2+oty-ot�+r-2 �+ I) V2y-cx + 2�+I. sin�=(ot 1 R sh -!:.sh !!_sh ..E... R R R

Tintnd seama sh ; sh

ea

!

avem

sh ;

=

V(

eh' ; - I

(22)

J (eh' ! - I ) (eh' ; - 1]

rezulta ea putem exprima �i numitorul formulei (22) cu ajutotul canti­ tatilor ot, �, y. Formula (22) ne da astfel aria S a triunghiului in functie de cosinusurile hiperbolice ale laturilor. In sftr�it, ea o ultima aplicatie sa consideram cazul unui .triunghi echilateral, deci pentru care avem A = B = C �i a= b== c. In acest caz, formula (18) ne da cos·A

=

eh2 !!...-eh.!!..

R sh2�

R