Lecții complementare de geometrie

Table of contents :
COPERTA
PREFAŢA
CUPRINS
COMPLETĂRI DIRECTE
TRANSFORMĂRI
BIBLIOGRAFIE

Citation preview

LECTII • COMPL EJMFJNTARE N. N.

Mihăileanu

__

DE

_ GEOMETRIE

PREFAŢA

Scriind această carte, mă gîndesc în primul rînd la elevii de liceu, harnici şi cu uşurinţă în înţelegerea matematicii, din ce în ce mai numeroşi şi mai înzestraţi, aşa cum o dovedesc an de an, concursurile şcolare de specialitate. Aceşti elevi au nevoie de cunoştinţe mai bogate decît acelea pe care le întîlnesc în manuale, deci au nevoie de unele lecţii complementare. Prezenta lucrare se referă la geometrie. Geometria este uneori pe nedrept depreciată în învăţămîntul nostru. Jn realitate geometria are practic numeroase aplicaţii în tehnică şi teoretic este la baza cursurilor ulterioare de geometrie superioară, iar în matematicile moderne este tot mai mult utilizată metoda sintetică pregătită de raţionamentele teoremelor de geometrie; foarte importantă pentru învăţămînt este şi valoarea educativă intrinsecă a raţionamentu­ lui geometric. Efectiv, problemele de geometrie continuă să fie cele mai dificile probe ale concursurilor, de la etapa locală pînă la olimpiadele internaţionale.

Rezolvarea problemelor de geometrie cere tehnicitate şi sagacitate. Sagacitatea este proprie tinereţii, vîrsta avîntului de inventivitate. Ea trebuie să ai bă însă, pentru o corectă mobilitate, o bază solidă-le cunoştinţe. Cîteva principii teoretice noi îi permit elevului bun, candidat la concursuri matematice, să-şi lărgească foarte mult gama problemelor accesibile, rămînînd în cadrul elementar, şi să-şi formeze un orizont mai adecvat de înţelegere, în care fiecărei probleme, să i se dea soluţia ei, optimă. Jn acest spirit au fost redactate aceste lecţii, urmărind mai ales sporirea tehnicităţii în rezolvarea problemelor. Lucrarea conţine multe aplicaţii, dar spre deosebire de ei culegere de probleme am urmărit să o exemplificăm numai atît cit este necesar să se fixeze metodele şi teoremele importante. Aplicaţiile sînt uneori reluate ca exemplificări ale unor metode mai avansate. Cartea poate să fie parcursă în întregime de un absolvent al anului I II de liceu şi parţial în anii inferiori. Lucrarea este formată din trei părţi. Jn prima parte sînt date unele dezvoltări a căror urmărire nu necesită o tehnică specială faţă de aceea dată de programa şcolară. Capitolul cel mai amplu al lucrării 3

intitulat „cîleva teoreme clasice relativ la dreaptă şi cerc" deşi îşi are locul la începutul lucrării, referindu-se la materia din primul an de liceu, poate să fie omis la o primă lectură. Partea a doua este cea mai importantă a lucrării, pentru ridicarea nivelului de înţelegere a geometriei elementare. 1n ultima parte sini date scurte referinţe istorice. Scriind această carte, repet, am urmărit să pun la dispoziţia elevilor interesaţi unele cunoştinţe complementare mai importante de geometrie elementară, pe care cu greutate ei pol să le desprindă din diverse tratate. Sper ca această lucrare să contribuie la întărirea interesului pentru geometrie, cu o frumoasă tradiţie în ţara noastră. Autoru)

Prima parte COMPLETĂRI

DIRECTE

PRINCIPII SIMPLE

La nivelul geometriei predată în şcoală, fără adaos de cunoştinţe noi, dar privind mai adînc anumite principii, putem să simplificăm unele demonstraţii sau să obţinem rezultate noi. Analogia. Intrebuinţarea cuvîntului „analogie" presupun recunoaşte­ rea unei situaţii de figură, care numai formal diferă de alta. l n acest caz, fără să repetăm demonstraţia, adaptăm rezultatul în a doua împrejurare, găsind astfel dintr-o proprietate o alta, ceea ce constituie o veritabilă metodă de cercetare, care este în plus, foarte comodă. Exemple. a) În triunghiul dreptunghic ABC fie D proiecţia v!rfului A pe ipotenuza BC; avem relaţia (E u:c Ii d, sec. 3 l.e.n)

AB•=BC· BD.

în mod analog avem

şi relaţia

AC 2 =BC· CD. După ce am demonstrat prima relaţie, a doua rezultă din cauza structurii triunghiului care se i;oartă ln acelaşi fel faţă de cele două catete. Dacă am vrea să repetăm demonstraţia, n-am schimba declt literele B şi C Intre ele, fără o judecată efectiv nouă. Deci "analogia" nu implică o repetare a raţionamentului ci recunoaşterea inutilităţii acestui proces. Nu întrebuinţăm cuv!ntul „analog" din comoditatea de a nu repeta demonstraţia ci fiindcă recunoaştem că pentru celălalt vlrf avem aceeaşi situaţie de figură, ca şi pentru primul.

b) Fie AD o

!nălţime

a triunghiului oarecare ABC; din

relaţia simetrică

de forma

AD=AB sin B=c sin B,

intrucit !nălţimea AD nu favorizează o repetarea raţionamentului şi

latură

a unghiului A mai mult decit pe alta,

fără

AD=b sin C.

De asemenea, din

relaţia

care

rezultă

b

C

sin B

sin C

--=--, 5

obţinem

deoarece triunghiul are o structură egal îndreptăţită faţă de toate laturile, deducem putem să continuăm şirul de rapoarte cu

fără

demon-

straţie, că

a sin A Este inadmisibil ca ln triunghiul oarecare să avem o situaţie specială Intre două laturi numai. c) După ce am demonstrat că mijloacele laturilor unui patrulater ABCD formează un paralelogram, rezultă analog că şi mijloacele diagonalelor şi a două laturi opuse formează un paralelogram. Demonstraţia iniţială a fost elaborată pe o poziţie arbitrară a punctelor A, B, C, D deci este valabilă şi pentru patrulaterele ABCD, ADBC.

Roluri simetrice. Dacă două figuri au o situaţie simetrică una faţă de alta, elementele omoloage în cele două figuri sînt simetrice şi orice proprietate referitor la cele două figuri rămîne valabilă cînd schimbăm rolul lor. Noţiunea de simetrie este întrebuinţată aici în sens mai larg, decît simetria faţă de un punct sau faţă de o dreaptă. Aici ne referim la simetria unei relaţii. Exemple. a) Pe laturile unui paralelogram ABCD construim exterior triunghiuri direct asemenea ABA', BCB', CDC', DAD'. Patrulaterul A' B'C' D' este un paralelogram. În adevăr, laturile AB, CD slnt simetrice în raport cu centrul O al paralelogramului. Construcţii analoage efectuate în figuri simetrice conduc Ia elemente simetrice. Deci punctele A', C' slnt simetrice în raport cu O; analog B', D' sînt simetrice ln raport cu O, deci figura A' B'C' D' cu diagonalele înjumătăţite este un paralelogram. Raţionamentul utilizat scoate în evidenţă că nu este necesar ca toate triunghiurile să fie asemenea sau toate construite în exterior. Trebuie să avem ABA'-CDC', BCB'-ADD' şi ln fiecare pereche, triunghiurile să fie sau exterioare sau interioare amlndouă. b) Fie B', C' proiecţiile vîrfurilor B, C ale triunghiului ABC pe laturile opuse. Perpendiculara din A pe dreapta B'C' trece prin centrul cercului circumscris triunghiului. (N a gel, 1860). În adevăr, patrulaterul BCB'C' cu unghiurile din B', C' drepte este inscriptibil (fig. 1). Rezultă că ~AB'C'= ~ABC deci triunghiurile ABC, AB'C' slnt asemenea. Fie H intersecţia !nălţimilor; AH este diametru în cercul circumscris triunghiului AB'C'. Deci perpendiculara din A pe dreapta BC trece prin centrul cercului AB'C'; rolul triunghiurilor asemenea ARC, AB'C' fiind simetric, are loc şi proprietatea din enunţ. c) Perpendicularele pe laturile unui triunghi duse prin centrele cercurilor exînscrise respectiv sînt concurente.

în adevăr, fie ABC un triunghi, ale cărui bisectoare slnt concurente ln I. Perpendicularele în vlrfuri pe bisectoare slnt bisectoarele exterioare, care formează triunghiul / 1 / 2 / 3 astfel că J, este situat pe AI etc. Deci I,A, 12 B, l 3 C slnt

!nălţimi

ln triunghiul 1 1 1 213 • Rezultă că I, şi BC joacă rolul vlrfului A şi dreptei B'C' din figura precedentă. Astfel, fără altă demonstraţie, perpendicularele din I„ I., / 3 pe BC, CA, AB slnt concurente ln centrul cercului circumscris triunghiului 1 11 2 13 •

A

Metode trigonometrice. Trebuie să rezolproblemele pe calea cea mai simplă, adică plecînd de la nivelul actual al cunoş-

văm

Figura 1

6

tinţelor să expunem demonstraţia prin cit mai puţine silogisme. Soluţiile obţinute prin construcţii artificiale sau cele chinuite prin raţionamente lungi şi greoaie rezultate din ambiţia de a folosi numai egalitatea şi a.semănarea triunghiurilor sînt nenaturale. nu sesizează esenţa problemei.

Ele

Este posibil uneori să rezolvăm simplu pe cale trigonometrică, probleme de geometrie.

H

F

B

4

Figura 2

Exemple. a) Considerăm trei pătrate egale ABCD, BCEF, FEGH. Dreptele AE, DH formează

un unghi de 45°.

În adevăr, notlnd cu cc., ţ3 unghiurile EAH, DHA şi cu 0 unghiul dreptelor AE, DH observăm

că 0=cc.+ţ3

(fig. 2). Avem tg cc.=__!__, tg 2

ţ3 =

__!___ Atunci 3

tg 0=tg (cc.+/3) =

mai

tg cc.+ tg /3 1-tg cc. tg ţ3

1.

Problema admite şi unele soluţii ingenioase mai elementare. Dar naturală, este preferabilă.

soluţia trigonometrică

b) lntr-un patrulater inscriptibil, produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor opuse (P to I e ro eu, sec. 2).

Fie_A, B, C, D patru puncte ale unui cerc, ln

această

ordine. Trebuie

să arătăm că

AB · CD+AD · BC=AC · BD. Prin construcţii auxiliare rezolvăm problema numai prin este mai natural să procedăm astfel.

consideraţii

de

asemănare.

Dar

Notăm cu cc.,/3,y unghiurile opuse arcelor BC, AB, CD. într-un cerc de rază r, Intre coarda-I

şi unghiul opus 0 avem relaţia 1=2r sin 0.

-

Înlocuim tn relaţia precedentă şi simplificăm cu factorul 2r; obţinem identitatea trigo7o':. metrică

sin Avem ln

ţ3

sin y+sin cc. sin(cc.+/3+y)=sin(cc.+/3) sin(tX+y).

adevăr

2 sin~ sin y=cos(ţ3-y)-cos(ţ3+y), 2 sin°'

sin(tX+ţ3+y)=cos(ţ3+y)-cos(2

2 sin(tX+/3) formule cu care identitatea este c) Putem

să exprimăm

Într-un cerc de

rază

tX+/3+y),

sin(tX+y)=cos(ţ3-y)-cos(2

tX+/3+y),

verificată.

elementele unui poligon regulat sub

r înscriem un poligon regulat. Fie n

Ia centru, ln latura, an apotema

formă trigonometrică.

numărul laturilor, IX= 27t unghiul n

şi

sn aria. Avem evident

(1)

7

7t

(2)

a.=rcos-, n

. 2:n s.= -1 r• sin-, 2 n

(3)

De aici rezultă simplu, formulele pentru pătrat, exagonul regulat, :triunghiul echilateral. obţinem

Unind vtrfurile poligonului regulat de n laturi din p tn p (p nefiind divizor al lui n) un poligon regulat stelat, a cărui latură este dată evident, de

p1t • n

p

(4)

ln=2r sin -

Numărul poligoanelor stelate este numărul numerelor prime cu n şi mai mici ca .!!... • 2

Cu formulele stabilite putem

să demonstrăm

simplu unele

relaţii

metrice.

Aplic a ţii. 1. Raza cercului este diferenţa dintre laturile decagoanelor regulate convex stelat înscrise în cerc şi totodată şi media lor geometrică.

şi

Pentru decagonul regulat, n=10, avem un decagon regulat stelat pentru p=3. Avem de demonstrat relaţiile (5)

sau, cu formulele (1), (4) .

31t

.

1t

37t

1

sm - - s m - = - • 10 10 2

7t

4sin-sin-=1. 10 10

În adevăr, sin 54°-sin 18°=2 sin 18° cos 36°,

sin 54° sin 18°=sin 18° cos 36°

şi

sin 18° cos 18° cos 36° sin 18° cos 36°= - - - - - - - - - cos 18° cu care

enunţul

sin 36° cos 36°

sin 72°

2 cos 18°

4 cos 18°

este verificat.

Din relaţiile (5) exprimăm pe 110 şi -lio~in funcţie de r, ca rădăcini ale ecuaţiei

x•+rx-r•=O,

(6)

deci r

l,0=- ( 2

(7)

Avem din (2)

a r ,k 110=- ( y5 +1).

,1-

y5-1),

2

şi

(8)

7t

a,=rcos5

=T

• 31t 1 a sm- =-110 10 2

de unde, prin formula I'

-

+a'=r•

4

8

= -r4

-

('/5+1) V '

1

=4

obţinem şi

latura pentagonului regulat

(9)

2. Intre raza cercului circumscris unui pentagon regulai, apotema lui regulat stelat avem relaţia

1

şi

apotema pentagonului

2

1

---=-·

(10)

r

în

adevăr, relaţia (10) conduce Ia identitatea trigonometrică

21t . 7t sec - =2+sec-,

(11) adevărată,

5

5

deoarece 7t 31t cos-+ cos27t 1t 5 5 sec - - s e c - = - - - - - - =2. 5 5 1t 21t cos-cos 5 5

3, lntr-un eplagon regulat ABCD. . . avem relaţia

1

Relaţia

este

1

echivalentă

cu 1t 27t 37t cosec - =cosec - +cosec - , 7 7 7

(13)

în

1

-=-+-· AB AC AD

(12)

adevăr

. 21t . 3r. . 57! 1t 1t • 3.. . 27t . 3r. 1t sm - + sm - =2 sm-cos- =2cos-sm- =sm - sm-cosec-• 7 7 14 14 7 7 7 7 7

Metode art'olare. Putem să demonstrăm unele moduri diferite, egalităţile şi rapoartele de arii.

relaţii

metrice, exprimînd în

Exemple. a) 1. Suma distanţelor unui punci la laturile unui triunghi echilateral este constantă Fie ABC triunghiul echilateral, M un punct interior şi A', B', C' proiecţiile lui pc laturi. Avem relaţia areolară (1)

(BMC)+(CMA)+(AMB)=(ABC)

dar 1 , (BMC)= -1 MA,

1 (ABC)= -1 h

2 l fiind latura triunghiului echilateral

(2)

şi

2 h

înălţimea. Rezultă

1v!A'+MB'+MC'=h.

Clnd punctul M este exterior, unele distanţe trebuie scăzute. Relaţia este valabilă şi pentru tetraedrul regulat. 2. Reluăm relaţia (1) în cazul triunghiului oarecare. Avem

9

(BMC) sin MBC sin MCB --= BC' --------(ABC)

BC' sin ABC sin ACB

2 sin BMC

2 sin BAC

rezultă

E

(3)

în particular,

sin MBC sin MCB , sin BCM

sin A ------=1, sin B sin C

dacă M = O, centrul cercului circumscris,

i;:BOC=2A,

i:: OBC= i:: OCB=90°-A.

Obţinem

(4) Dacă

sin 2A+sin 2B+sin 2C=4 sin A sin B sin C. M=H, ortocentrul triunghiului, ~BHC=180°-A,

Rezultă

~HCB=90°-B.

din (3)

.:E ctg B ct~ C=1,

(5) echivalentă

~HBC=90°-C,

cu tg A +tg B+tg C=tg A tg B tg C.

(6)

Pentru M = I, centrul cercului lnscris, A

B

(7) Obţinem

~BIC=90+-•

2

2 Obţinem

A

~ICB=-,

~IEC=-,

2

din (3) sin A +sin B+sin C=4 cos~ cos~ cos .!!__, 2 2 2 astfel ln mod unitar, interpretarea

geometrică

a unor

relaţii

b) Bisectoarea unghiului A a unui triunghi are lungimea

2bc A 1= - - c o s - , b+c 2

(8) notaţiile

fiind cele uzuale. Fie D piciorul bisectoarei.

Considerăm relaţia

dintre arii

(ABD)+(ADC)=(ABC) sau 1

.A

- c I sm 2 2

+ -21

.A

b I sm -

2

= -1 2

b c sin A,

de unde rezultă relaţia (8). Pentru bisectoarea exterioară AD'=l' avem (AD'C)-(AD' B)=~--\.BC), b l' sin ( 90° + : ) - c l' cos : = b c sin A,

10

cunoscute.

deci 2bc . A l' =-sm-, b-c 2

(9)

în particular, dacă unghiul A al triunghiului ABC ar(120° atunci 1

1

vs

1

-=-+-· 1 b

(10)

1

1

C

b

--=--l'

C

c) 1. Fie M un punct în planul unul triunghi ABC şi A', B', C' BM, CM cu laturile opuse. Avem relaţia (V an Au b e 1)

AM

dreptelor AM,

AC'

= -B'C+ · MA' C'B

(11) adevăl'.

în

AB'

intersecţiile

avem

relaţiile

areolare

AB'

(ABM)

B'C

(BCM)

AC' (ACM) --=---, C'B (BCM)

--=---,

AM (ABM) (ACM) (ABM)+(ACM) --=---=---= ------MA' (BA'M) (CA'M) (BCM)

cu care

relaţia

(11) este

verificată.

2. Dacă B', C' slnt mijloacele laturilor, M=G avem relaţia AG=2 GA'.

regăsim

proprietatea

că

pentru centrul de greutate

Dac(M este:centrul cercului înscris I, atunci AB' --=-, C

B'C

AC'

b

C'B

a

--=-

a

deci Al b+c -=--!>1, IA' a

(12) adică

I este mai aproape pe bisectoare de A' declt de A.

3. Revenim la cazul general. Pe

aceeaşi figură

avem

MA'

(BMC)

.4.A'

(BAC)

şi

--=--deci

dacă

M este un punct interior unui triunghi ABC şi A', B', C' relaţia (Gerg o n ne, sec. 19)

CM____crr laturile opuse, avem

MA' MB' MC' -+-+-=1. AA' · BB' CC'

(13) Rezultă şi

(14)

~+ MB+~= 2. AA'

4.

Dacă

BB'

CC'

M este centrul I al cercului înscris IA'

r

AA'

h1

11

intersecţiile

dreptelor AM, BM,

hu h„ h 3 fiind

lnălţimile

triunghiului.

Relaţia

(13) devine

2-+2-+2-=2-!

(15)

h1

h,

r

h8

Clnd punctul M este exterior, relaţia (13) trebuie modificată, luind unele rapoarte cu semn schimbat. De exemplu, dacii M este situat în regiunea formatd de latura BC şi prelungirile laturilor AB, AC avem MA' MB' MC' --+-+-=L AA' BB' CC'

(16)

De exemplu, cind M ~este în centrul / 1 al cercului exlnscris triunghiului ABC avem

I 1 A'

r,

---, AA'- h,

I 1 B'

r1

BB'

h1

--=-

deci (17)

Adunlnd

relaţia

(10) cu analoagele ei

obţinem

(18)

:Metode statice, Fie doi vectori paralelCix, [3, de mărimi ix, respectiv ~. apliîn punctele A, B. Putem să înlocuim efectul lor printr-un vector unic, de

caţi

mărime~ +"/3: aplicat într-un punct C de pe dreapta AB astfel ca CA CB

= 1-_. (X

Cînd vectorii au acelaşi sens, punctul C este interior segmentului AB iar cînd au sensuri contrare, este exterior. Dacă avem mai mulţi vectori paraleli ~. ~. y, . . . aplicaţi în punctele A, B, C, . . . putem să compunem vectorii~.~ apoi rezultanta lor cu etc., sau în altă ordine. Compunînd în moduri diferite un sistem de vectori paraleli, punctul lor de aplicaţie nu se schimbă. Acest simplu principiu static este sursa unor proprietăţi geometrice.

y

Exemple. a) 1.

Considerăm

I rei puncte A, B, C

şi

trei vectori egali,

aplicaţi

în ace.~te punctr..

Prin vectori egali, îne/elegem vectori paraleli, de acelaşi sens şi aceeaşi mdrime. Fie (X aceşti vectori, aplicaţi ln A. ln B şi ln C. Compunlnd vectorii din B şi C obţinem un vector 2(X plasat ln mijlocul A, al laturii BC.

Rămîn vectorii;'ctin A şi 2;:din Ai- Rezultanta este 3:'aplicată ln punctul G, interior segmentului AA, astfel ca AG=2GA,. Punctul de aplicaţie al rezultantei nu depinde de ordinea compunerii vectorilor. Obţinem pe această cale proprietatea că medianele unui triunghi sini concurente într-un punct G care le lmparte în raportul 2. G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Aceast1\ teoremă este datorită lui Ar hi m ed e (sec. 3 l.e.n.).

12

2. Considerăm tn spaţiu patru puncte A, B, C, D şi patru vectori egali cu ex, aplicaţi tn aceste puncte. Putem să-i compunem ln mai multe moduri. Dacă com,iderăm

vectorii

aplicaţi

ln vlrfurile A, B, C, rezultanta lor, 3ex este

plasată

ln

centrul de greutate, fie G„ al triunghiului ABC; o compunem cu vectorul ex din punctul D. Rezultanta va fi situată lntr-un punct G pe dreapta AG 1 astfel ca

Deci medianele unui tetraedru sini concurente într-un punct G care le lmparte în raportul 3. Spunem că punctul G este centrul de greutate al tetraedrului. Concurenţa medianelor unui tetraedm a fost scoasă tn evidenţă de da Vinci (sec. 15). Dar putem să compunem vectorii şi astfel. Vectorii plasaţi în punctele A, Bau o rezultantă 2ex aplicată tn mijlocul M al segmentului AB; vectorii rămaşi au o rezultantă 2ex aplicată în mijlocul N al lui CD. Rămln doi vectori „gali, plasaţi tn punctele M şi N iar rezultanta lor este aplicată în mijlocul segmentului MN, care trebuie să coincidă evident, cu punctul G, obţinut din compunerea precedentă a vectorilor. Numim bimediane ale tetraedrului, dreptele care unesc mijloacele muchilor opuse. Deci bimedianele unui tetraedru sini concurente în centrul lui de greutate, care le înjumătăţeşte (C o m man din o, 1565). 3. Dacă punctele A, B, C, D sînt situate lntr-un plan, proprietăţile precedente rămln valabile pentru patrulaterul ABCD. Dar ln acest caz, punctul G nu este centrul de greutate al patrulaterului. Ca să obţinem centrul de greutate al plăcii omogene ABCD ducem diagonala BD. Am descompus placa ln două triunghiuri. Fie E mijlocul diagonalei BD şi J, J puncte care divid medianele AE, CE în raportul 2, mai aproape de E. Dacă punctele A şi C sint situate de o parte şi de alta a diagonalei BD, centrul de greutate al patrulaterului ABCD este situat pe segmentul IJ pe care îl împarte în raportul ariilor triunghiurilor AED, ACD care este egal cu AO; OC, O fiind intersecţia diagonalelor. Acest punct este diferit ln general, de mijlocul comun al segmentelor care unesc mijloacele laturilor. în cazul tetraedrului, punctul G este efectiv centrul de greutate al solidului omogen ABCD. în adevăr, ca să deter.minăm centrul de greutate al tetraedului li desfacem ln flşii subţiri prin paralele Ia baza ABC; fie A' B'C' o secţiune paralelă şi G~ centrul de greutate al triunghiului A'B'C'. Centrul G de greutate al tetraedrului va aparţine mulţimii punctelor G~; dar tetraedrele ABCD, A'B'CD" slnt asemenea cu toate punctele lor omoloagesituate pe drepte concurente în D; rezultă că punctul G~ este situat pe mediana DG1 a tetraedrului iar dreapta DG~ şi analoagele trec prin centrul de greutate G al tetraedrului. Punctul obţinut compunlnd vectorii egali aplicaţi ln n puncte date este centrul distanţelor medii al sistemului de puncte. Rezultă că pentru n=2, n=3 centrul distanţelor medii coincide cu centrul de greutate al fiJurii. Pentru n=4, dacă punctele slnt situate ln spaţiu, cele două centre considerate coincid. Dacă punctele slnt în plan, centrul de greutate şi centrul distanţelor medii slnt !n general, diferite. în acest sens, un tetraedru este o figură mai simplă declt un patrulater plan.

4. Putem

să

continu,rm acest

raţionament.

De exemplu fie dale cinci puncte arbitrare (!n acelaşi pian sau ln spaţiu). Cele zece drepte care unesc mijlocul unei laturi cu centrul de greutate al triunghiului vîrfurilor rămase sini concurente in centrul distanţelor medii O al pentagonului, care le împarte în raportul 3: 2.

Cele cinci drepte care unesc un vîrf cu centrul distanţelor medii ale celorlalte pairu virfurt sini concurente ln acelaşi punci O, care divide fiecare segment în raportul 4. b) Considerăm punctele A„ B„ C1 care divid laturile unul triunghi ABC ln acelaşi raport şi sens. Triunghiurile ABC, A 1 B 1 C 1 au acelaşi centru de greutate (Papus, sec. 3).

13

Fie triunghiul ABC

şi

Ai, B„ C1 puncte plasate pe laturi astfel ca IA1B B1C C,A --=--=--·

Notăm

cu k valoarea

comună

-

a acestor rapoarte.

acelaşi

~

în virfurile triunghiului vectorii IX şi vectorii (3 astfel ca IX sens, iar mărimile lor să stea ln raportul k, (3=koc.

Aplicăm

-

-

Vectorii 1X+f3 ghiului.

plasaţi

în A, B, C au punctul de

aplicaţie

şi

(3

să

fie paraleli, de

ln centrul de greutate G al triun-

Compunem acum:sistemul de vectori conform schemei alăturate. 1

A B

IX

C

iA,

2

r

-

Vectorii~ şi

3

în A,; analog, considerăm vectorii; din C .şi

(3

de

aplicaţie

ln B,

de aplica ţie ln C,.

(X

B,

JJ plasaţi ln:B şi C!dau rezultanta -;_+13 aplicată

(X

şi

vectorii

Obţinem

rămaşi

o

IX

şi

f3 din A, cu punctul

f3 din A

nouă distribuţie

a

şi

B cu punctu,

aceloraşi

vectorii

c,

anume vectorii egali 1X+f3 al triunghiului A,B,C,.

plasaţi

ln A„ B„ C, care au deci rezultanta ln centrul de greutate

Punctele A„ B,, C, pot să fie evident şi exterioare laturilor; atunci vom lua vectorii IX şi (3 de sens contrar. c) Fie M un punct în planul triunghiului ABC şi A„ B„ C, intersecţiile dreptelor AM, BM CM cu laturile BC, CA, AB; A„ B„ C, intersecţiile aceloraşi drepte cu B,C„ C,A,, A 1 B 1 etc. Centrele de greutate nle triunghiurilor ABC, A 1 B 1C1 , A,B,C., . .. tind către M.

y

să

În adevăr, fie-;, f3, trei vectori plasaţi ln vîrfurile A, B, Ca căror rezultantă fie plasată ln M (fig. 3). Atunci

p=;+~+y

C,A (3 --=-· În A,, B„

c, slnt plasaţi vectorii l3+Y , r+~ , ~+13 a căror rezultantă peste aplicată tot 2 2 2

in M, deoarece acest sistem de vectori este echivalent cu sistemul de vectori (IX, (3, y) plasaţi in A, B, C. Considerăm vectorii din B,, C,; rezultanta va fi plasată 1ntr-un punct A, situat pe B,C„ dar astfel incit compunînd vectorul din A, cu cel rămas din A, să obţinem rezultanta aplicată ln M, deci A, este intersecţia dreptelor B,C,, AM şi evident A,B, 1X+f3 --=--·

Vom compune

insă

vectorii

y+~

din B,

2

ln!A, şi analog cu ceilalţi vectori. în punctele

şi ~+f3

din C1 ; rezultanta lor este evident tot

2

A,, B„ C, slnt aplicaţi acum vectorii

2y+~+/3 4

14

A

/ J

-----1 A

B

B

Figura 3 cu

aceeaşi rezultantă

p

aplicată

Figura 4 ln M. Analog

obţinem

un triunghi A,B0 C 0 pentru care

A,B,

2y+oc+f3

A 1C2

2f3+y+oc

--= etc. Avem A,B f3-y 1---=--, A,C p

A,B, y-f3 1---=--,

A 2 C1

oc+y

A 3B 1

f3-y

1---=----,··· AC 2f3+oc+y 3

1

numărătorii

slnt constanţi ln modul, iar numitorii cresc mereu, deci rapoartele tind către 1, adică punctele A„ A„ A., . . . tind să devină mijloacele laturilor pe care stnt situate. Triunghiurile se string ln punctul M dar astfel Incit centrul lor de greutate să tindă către M.

Rolul spaţiului. Utilizăm spaţiul ambiant fie prin interpretări spaţiale date figurilor plane, fie prin secţionări ale figurilor spaţiale, fie prin reprezentări plane ale figurilor din spaţiu etc. 1n aceste moduri putem să dăm demonstraţii simple pentru unele probleme de geometrie plană. Exemple. a). 1. Considerăm un paralelogram ABCD; ducem dreptele paralele şi egale AA', BB', CC', DD'; patrulaterul A' B'C' D' este un paralelogram egal cu cel dat. Figura este desenul unui paralelipiped (fig. 4). Deoarece există această figură spaţială, cu toate feţele paralelograme, şi desenul ei, executat conform principiilor uzuale, conduce la paralelograme. 2. Considerăm dreptele concurente 1, 2, 3 şi A un punct situat pe dreapta 1; paralela din A la dreapta 2 taie pe 3 în B; analog obţinem punctele C, D, E, ... Conturul obţinut se închide. Desenul 1ste executat ln figura 5. Observăm că în fond este un caz particular al figurii 4, corespunzător unui desen al paralelipipedului, clnd ochiul observatorului este plasat de diagonala A'C. 3. Desenul convenţional al unui paralelipiped (ln particular al unui cub) pe un plan are următorul principiu. Luăm punctele A, B, B', C' la lntlmplare (fig. 4). Efectuăm apoi următoarele construcţii libere: AA' li BB', B'A' li AB, BC li B'C', c'c li B'B, AD li li B'C', CD li AB, DD' li BB', C' D' 11 CD. Cu aceasta desenul s-a închis Unirea punctelor A', D' este o conFigura 5

15

K

o-+--,t.--~--------~'b'f

Figura 6

strucţie forţată. Dar deoarece am reprezentat un paralelipiped conform normelor uzuale, rezultă de la sine că A' D' li B'C'. Am precizat că desenul este convenţional. Corect, dreptele paralele din spaţiu trebuie desena te ca drepte concurente în plan. Avem cite patru drepte paralele care dau drepte concurente respectiv în construcţie. Astfel AB, A' B', DC, D'C' devin drepte concurente într-un punct I; AA', BB', CC', DD' devin concurente ln J; AD, BC, A'D', B'C' în K. Construcţia precedentă urmează corect următoarea schemă, ca şi cum am proiecta toată figura ln plan, dintr-un punct exterior. Fie I, J, K trei puncte suport şi punctele arbitrare date: A la întlmplare, B pe dreapta AI, B' pe BJ, C' pe B' K (fig. 6). Efectuăm apoi următoarele construcţii libere: JA n IB'=A', BK n C'J=C, AK n Cl=D, DJn C'l=D'. Trăsătură forţată A'D'. Deoarece schema este traducerea desenului exact al unei figuri spaţiale efective, rezultă că dreapta A' D' trece prin K. Am obţinut astfel o proprietate a unei figuri plane. Ea este demonstrată prin chiar procedeul reprezentării. 4. Considerăm trei cercuri egale, concurente într-un punct O, care se taie cîte două, a doua oară în punctele A, B, C. Cercul care trece prin punctele A, B, C este egal cu cercurile date. (Teorema Ţiţei Ca, 1908). Fie şi 0 1 , O„ 0 3 centrele cercurilor (fig. 7). Unim Intre ele, punctele considerate. Figura este desenul parţial al unui cub, în care toate segmentele din reprezentare sînt egale. Fie O' vlrful opus lui O, care există, garantat de principiile desenului convenţional al figurii din spaţiu; avem atunci

O'A=O' B=O'C=00 1 = ...

Figura 7 coperirea în b)

matematică,

Considerăm

plane astfel

că

deci O' este centrul cercului ABC, egal cu cercurile celelalte. (Soluţie dată de G. P 6 I y a, Destrad. Edit. Ştiinţifică Bucureşti, 1971, p. 241 ş.u.).

n puncte în

spaţiu;

cu ele

formăm

2 n(n-1) a Cn= - - - drepte, Cn 2

fiecare punct este situat pe n-1 drepte

• ş1

2

= n(n-l)(n-2) 6

(n-l)(n-2)

pe C,,_ 1 == - - - - - plane; pe fie2

care dreaptă sînt situate două puncte şi prin fiecare dreaptă trec cite n-2 plane, în fiecarce plan slnt situate trei puncte şi trei drepte. Numim configuraţie o figură ln care prin fiecare punct trece acelaşi număr de drepte, acelaşi număr de plane etc.

16

Obţinem

schema

următoare

a

configuraţiei.

n

n-1

2

c2n

3

3

Să secţionăm configuraţia spaţială

n-2

cu un plan; fiecare

c!

dreaptă

va avea ca

urmă

un punct

c!

şi fiecare _pian, o dreaptă. Avem deci puncte şi drepte; prin fiecare punct vor trece atltea drepte, cite plane trec 1n figura originară printr-o dreaptă; fiecare dreaptă conţine at1tea puncte cite plane trec iniţial, printr-o dreaptă. Obţinem configuraţia plană decupată din cea spaţială, scăz1nd toate dimensiunile cu o unitate, deci omiţ1nd prima linie şi prima coloană ln schema de ordin superior. Obţinem schema configuraţiei plane

sd

c"n

n-2

3

c!

Deci existd în plan configuraţii formate din n-2 drepte şi pe fiecare dreaptd sd fie

treacă

Astfel, pentru n=3

obţinem

c! puncte şi c! drepte astfel ca prin fiecar_e punct conţinute

trei puncte colineare,

cite trei puncte. secţiunea plană

(St aud t, 1847).

a unui triunghi 1n spa-

ţiu.

Pentru n=4 avem schema 6

2

3

4

D

care corespunde unui patrulater complet, adică unui patrulater ABCD completat cu intersecţiile laturilor opuse E şi F. Patnilaterul complet este secţiunea plană a unui tetraedru (fig. 8), c) 1. Să reprezentăm punctele spaţiului prin cercuri orientate ln plan, astfel lnclt centrul cercului să fie proiecţia punctului 1n plan iar cota punctului, adică distanţa lui la plan să fie raza cercului. Fie 1t un plan şi A un punct ln spaţiu, O proiecţia lui A 1n plan (fig. 9). Punctului A 1i corespunde cercul c din planul 7t cu centrul 1n O şi raza OA, orientat 1n sens direct pentru puncte din semispaţiul superior şi 1n sens invers pentru puncte din celălalt semiplan. Numim ciclu un cerc orientat. Deci unui punct A ii corespunde un ciclu şi reciproc. Am obţinut o reprezentare a spaţiului pe_ plan, care este o transformare datorită lui L a g u e r r e (1880). Dacă punctul A este situat 1n planul 7t corespunzătorul lui este punctul însuşi. 2-

Lecţii

complementare de geometrie.

17

Figura 8

~A

Figura 9

Considerăm două

puncte A, A' cărora le cocercuri c, c'. Fie d dreapta AA' şi S intersecţia ei cu planul 7'; punctul S este situat şi pe dreapta centrelor 00', proiecţia dreptei d; avem

respund

două

SO AO r -=--=-

SO'

A'O'

r'

r şi r' fiind razele cercurilor. Deci punctul S este centrul de asemănare al celor două cercuri, centru exterior ctnd A, A' stnt de aceeaşi parte a planului şi centru interior, clnd slnt situate de o parte şi de alta. Rezultă că unui punct M arbitrar, pe dreapta d li corespunde un cerc, admiţlnd acelaşi centru de asemănare cu c, c', deci tangent aceloraşi drepte duse prin S. Evident că dacă dreapta este situată ln planul 7' se transformă ln ea lnsăşi. 2. Considerăm trei puncte A„ A„ A, ln spaţiu, cărora le corespund trei cercuri c„ c„ c3 de centre O„ O„ 0 3 1n planul 7' şi oentre de asemănare Figura 10 S„ S„ Sa, (fig. 10). Punctele S„ S„ S, slnt urmele tn planul 7' ale dreptelor A 2 A„ A,A„ A,A, deci colineare pe dreapta de intersecţie a planelor A,A,A 3 şi 7', Obţinem enunţul: centrele exterioare de asemănare a trei cercuri sînt colineare (Teorema d'A 1 e mb e r t, 1805). Dacă punctele A,, A„ A, stnt de aceeaşi parte a planului 7' slntem ln cazul enunţului. Dacă punctul A, este de cealaltă parte, S 1 este centru exterior iar S„ S 3 interioare. Deci fiind date trei cercuri, un centru exterior de

r·-:-vc-.--

-

Geometria H ( orizontal)

.-

~

asemănare şi două

centre interioare sînt colineare.

descriptivă, a) Considerăm două şi planul V (vertical) (fig. 11 ).

I II

o N

Dl

Figura 11

plane perpendiculare; planul

Un punct A se proiectează pe planul H în punctul a şi pe planul V în a'. Planul Aaa' taie în a" intersecţia Ox a planelor H şi V (linia de pămînt). Dreptele aa", a'a" sînt perpendiculare pe Ox. Printr-o rabatere (rotaţie de unghi drept a planului vetical superior V pe planul orizontal posterior H', obţinem epura punctului A, adică un desen schematic în care în planul HH', reprezentăm linia Ox şi punctele a, proiecţia orizontală şi a', proiecţia verticală, ale punctului A, situate pe o perpendiculară pe Ox (linie de ordine). Am obţinut o reprezentare a punctelor spaţiului pe un plan, datorită lui M o n g e (1798). Invers, din citirea epurei ne dăm seama despre poziţia în spaţiu a punctului A 18

Q' T (fig. 12). De exemplu, punctul B, cu ambele I c· I b, b' sub linia de pămînt, este siII tuat în diedrul IV format de orizontalul I d" 1 anterior H şi verticalul inferior V'. Punctul b" I a' \ I )(. I C,C" C, cu proiecţia orizontală pe linia de pămînt I I I I I o şi cea verticală deasupra ei, este situat în I I tb' I I planul vertical superior V. Punctul (d,d') cu *d,d' 1 I a I proiecţiile confundate sub linia de pămînt I corespund unui punct situat în bisectorul *b diedrului II. Figura 12 b) Dreapta D este determinată de urmele ei A, B adică intersecţiile cu planul V orizontal, respectiv vertical (fig. 13). Punctul A se proiectează în A =a şi în a' pe linia Ox, B iar punctul B se proiectează în b pe Ox şi în B =b'. Dreptele ab =d, a' b' =d' sînt proiecţiile dreptei D pe plane. În epură, dreapta D este determinată de H cele două proiecţii d, d' (fig. 14). Un punct M al dreptei D are proiecţiile situate pe proiecţiile de acelaşi nume al dreptei. a~-------~ Verificăm simplu în epură, concurenţa a Figura 13 două drepte, deoarece în acest caz intersecţiil('proiecţiilor orizontale d, e ale dreptei şi ale proiecţiilor verticale d', e' trebuie să_ fie situate pe aceeaşi linie de ordine (fig. 15). c) Planul P'(XP este -determinat de urma orizontală (XP şi de urma verticală (XP' (fig. 16). Proiecţiile dreptei (XP sînt (XP şi Ox, ale dreptei (XP' sînt Ox şi (XP'. X !n epură reprezentăm planul prin pereche a_ de drepte._ (XP,_ (X~.Qig;..,.!2):i O d,!!!E,!! AB situată în plan are urma ei orizontală a a=A pe · urma orizontală (XP a planului şi Figura 14 urma verticală b' pe urma (XP'. d) Să aflăm intersecţia planului P'aP cu dreapta (d,d') (fig. 18). Considerăm dreapta situată în planul dat cu urma orizontală d; este dreapta d, e'. Fie m' intersecţia d', e' şi m intersecţia dreptei d cu [linia de ordine dusă prin În~ Punctul căutat este (m,lm'), În adevăr el este situat pe dreapta (d, d'), dar şi pe dreapta (d, e'), deci în planul P'(XP. Intersecţia d, d' a"două plane P'(XP, Q'~Q rezultă imediat din~~~~dÎţia~de a avea urma orizontală simultan pe urmele: orizontale ale planelor şi analog pim'tru_urma:verticală (fig. 19). Proiectăm i~tersecţia a a~ dreptelor P, Qlîn a' p°;linia de pămînt şi intersecţia b' a dreptelor P', Q' în b.' Intersecţia planelor este dreapta d=ab, d'=a'b'.

proiecţii

2•

i

19

:>î< II

e'

o

I I I

X

d

/mk::::: e

Figura 15

Figura 16

X

oe

o

o

O(

X

p

Figura 17

Figura 18 p'

oe

/3

o

o

X

p Figura 19

Figura 20

e) Exemple. 1. Să determinăm proiecţia unui punct pe un plan. Fie P'rxP planul şi m, m' punctul, date 1n epură (fig. 20). Vom duce lntli perpendiculara din punctul dat pe plan, adică pe două drepte din plan, de exemplu chiar dreptele (P, Ox), (Ox, P'). Prima dreaptă fiind în planul orizontal, după teorema proiecţiei unghiului drept, proiecţia unghiului este de asemenea unghi drept; ducem deci prin in perpendiculara d pe rxP; analog

20

a perpendicularei din punct pe plan este perpendiculara din m' pe urma rx.P'. Rămlne să aflăm acum intersecţia unei drepte cu un plan. 2. Consideraţiile de geometrie descriptivă ne permit să rezolvăm simplu, unele probleme de geometrie

proiecţia verticală

sintetică

plană.

De exemplu, considerăm trei drepte concurente X P, P' şi Ox (fig. 18) şi un punct m; o secantă mobilă dusă prin m taie dreptele P şi Ox în a şi b; perpendicularele în a şi b pe Ox taie dreptele Ox şi P', respeclio, în a', b'. Dreapta a'b' trece printr-un punct (ix. C în adevăr, acest punct m' este urma verticală Figura 21 a punctului M din plan, care se proiectează orizontal ln m. 3. Considerăm trei puncte A, B, C şi un plan 1t. Intersecţiile dreptelor AT!, BC, CA cu planul 7t slnt evident colineare. Considerăm ca plan 1t al doilea plan bisector şi să reprezentăm proprietatea 1n epură. Punctele A, B, C au proiecţiile a, a'; b, b'; c, c' (fig. 21). Punctul ln care dreapta AB se cu al doilea plan bisector este (m, m') situat pe dreapta ab, a' b' cu proiecţiile confundate etc. Obţinem o formă particularizată a teoremei D e s a r g u e s: dacă două triunghiuri abc, a'b'c' au oîr(urile situate pe drepte paralele, laturile lor opuse se taie în puncte colineare. lntllneşte

De aici, printr-o

proiecţie

pe alt plan,

obţinem enunţul

general al teoremei:

dacă două

tri-

unghiuri au oîr(urile situate pe drepte concurente, laturile lor omoloage se taie în puncte colineare.

Determinarea gradului unei curbe. Prin gradul unei curbe plane înţelegem punctelor de intersecţie cu o dreaptă arbitrară. Uneori putem să determinăm direct gradul unei curbe pornind de Ia definiţia însăşi. numărul

Exemple. a)

rile în M, N.

în

Considerăm două

Mulţimea

adevăr,

mobilă dusă

prin O taie cercu-

punctul O aparţine mulţimii considerate clnd secanta mobilă devine tangentă

ln O.Deci-pe orice Avem astfel o

cercuri tangente în O. O secantă

mijloacelor segmentelor MN este un cerc tangent în punciul O cercurilor date.

secantă mobilă dusă

curbă

prin O avem

două

puncte ale

mulţimii,

O şi P (fig. 22).

de gradul al doilea.

în cazul de faţă, aceasta este o indicaţie vagă. Ştim însă pe această cale că nu avem cum ln geometria elementară şcolară_cunoaştem numai dreapta şi cercul, este verosimil ca linia căutată să fie un cerc. în adevăr, diametrul comun taie cercurile date in afară de O, ln A respectiv B; fie mijlocul segmentului AB; atunci PC li MA n NB; __dar MA, NB '.stnt perpendiculare pe secantă, deci CP .L OP; ln consecinţă punctul P descrie cercul de diametru OC.

o

dreaptă; şi

c;

b) FieA, B, C, D palrupuncte ln plan. punctelor M pentru care avem relaţia areolară

Mulţimea

(MAB)+(MCD)=k' (constant} este o

O

dreaptă.

~ A

Figura 22

21

C

8

în la

adevăr fie 8 o paralelă la AB, la distanţa ot; ei

distanţa ~

astfel Incit, conform

relaţiei

li corespunde o paralelă 8' la CD,

precedente

AB • ot+CD, ~=2k 2 • al o

Dreptele 8, 8' se taie în punctul M. Deci pe fiecare dreaptă mobilă 8 avem un punct M Curba, intersectată de orice dreaptă paralelă cu AB într-un singur punct, este deci

mulţimii. dreaptă.

c) Presupunem curba c ca mulţime a punctelor de intersecţie a razelor a două fascicole care trec prin punctul A respectiv B, astfel ca unei raze a duse prin A să-i corespundă, pe baza unei construcţii geometrice, m raze b duse prin B şi unei raze b să-i corespundă n raze a. Spunem că avem o corespondentă (m, n) Intre razele fascicolelor. Pe o dreaptă dată d, o rază a determină un punct M şi o rază b, un punct N. Dacă notăm cu x, y abscisele punctelor M, N faţă de o origine arbitrară pe dreaptă, legătura dintre x, y este algebrică, adică reductibilă la anularea unui polinom, astfel ca unui x să-i corespundă m valori y şi unui y, n valori x; ecuaţia este deci de gradul m+n. Punctele curbei situate pe dreapta d corespund punctelor M şi N confundate pe dreaptă, deci pentru x=y. Avem deci m+n puncte ale curbei pe dreapta d. Deci mulţimea punctelor comune a razelor omoloage în două fascicole (m, n) este o curbă de gradul m+n. Ca aplicaţie, considerăm punctele A, A' situate pe dreptele d, d' şi razele mobile a, a' care se rotesc uniform, cu aceeaşi viteză în jurul punctelor A, A' plecînd din poziţiile d, respectiv d'. Intersecţia razelor a, a' descrie o curbă de gradul al doilea. în adevăr, avem prin enunţ 0=0', deci o corespondenţă (1, 1). Dacă însă punem condiţia 0'=20, unei raze a li corespunde o rază a' dar unei raze a', deci lui 0' dat, li corespund două raze a, pentru care

0' . (0' 7t 0 = - Şl 0 = - + - · 2 2 2 Avem o adică o

corespondenţă curbă

(1, 2) deci ln acest caz, curba de de gradul al treilea.

intersecţie

a razelor omoloage este o cubică,

a;,. Orientarea elementelor, ln unele probleme de geometrie, întrebuinţînd segmente, unghiuri sau arii orientate putem să scriem unele relaţii metrice sub o formă mai simetrică.

Exemple. a) (1)

Dacă

A, B, C, D sînt patru puncte pe o

dreaptă

avem

relaţia

AB • CD+BC · AD+CA • BD=O.

în adevăr, dacă luăm o origine arbitrară, O, pe dreaptă şi notăm cu a, b, c, d abscisele OA, OB, OC OD cu semnul lor, atunci relaţia (1) devine identitatea algebrică evidentă (b-a)(d-c)+(c-b)(d-a)+(a-c)(d- b)=O. Relaţia (1) poartă numele lui Eu 1 e r deoarece el a dat, în 1747, o relaţie Intre cele şase segmente determinate de patru puncte pe o dreaptă, a cărei formă depinde de aşezarea punctelor. Forma simetrică (1) a fost dată de C ha s 1 e s (1852). b) Dacă Ai, A„ A 3 , A 4 sînt patru puncte oarecare în plan, avem relaţiile între unghiuri şi între arii orientate

(2)

i:: A 1 A 4 A,+ i:: A 2 A 4 A 3 + i:: AoA,A 1 =0 (mod. 21t);

(3)

(A,A,A 3 )+(A 2 A 3 A,)+(A 3 A,A,)+(A,A,A 2 )=0,

22

Unghiurile orientate, de acelaşi vîrf sînt unghiurifo care au semnul + clnd prima latură peste a doua într-un sens, de exemplu direct şi semnul - în sens contrar. Ariile orientate au semnul + sau - după cum vîrfurile sînt parcurse într-un sens sau altul. De exemplu semnul +, dacă vlrfurile sînt parcurse în sens direct, adică aria este lăsată în stlnga ctnd parcurgem conturul. c) Puterea unui punct M faţă de un cerc o, de centru O şi de rază r este se

roteşte

(4)

unde d= OM,

dacă

punctul M este exterior

şi

este

p=r'-d'

pentru punctele interioare. Deoarece puterea este produsul segmentelor MA B stnt intersecţiile cu cercul ale unei secante mobile duse prin M

şi

MB, unde A

şi

p=MA·MB

putem să spunem că p>O pentru un punct exterior, clnd MA, MB au acelaşi sens şi p M' A' +M' B' +M' C' =MA +MB +MC

minimul sumei distanţelor la vîrfuri. am construi triunghiuri echilaterale interior am obţine proprietăţi analoage. Punctul M devine un punct M' exterior şi laturile vor fi văzute din el sub unghiurile 60°, 60°, 120°. M' este al doilea centru izogon. În consideraţiile precedente am presupus că nici un unghi al triunghiului nu este egal sau mai mare ca 120°. Într-un astfel de caz, unele proprietăţi trebuie formulate altfel. Dacă punctele A, B, C sînt colineare de asemenea proprietăţile rămîn adevărate cu excepţia ultimei care nu are sens şi proprietate de centru izogon trebuie reformulată. deci M

realizează

Dacă

b) Teorema Torricelli admite următoarea generalizare naturală. Fie A' B'C' un triunghi dat; construim în exterior, pe laturile unui triunghi ABC, triunghiurile BCI, GAJ, ABK asemenea cu triunghiul A' B'C' astfel ca în jurul vîrfului A să fie situate unghiurile egale cu A' etc. Cercurile circumscrise acestor triunghiuri auxiliare trec prin acela~i punct M. Laturile triunghiului ABC sini văzute din M sub unghiuri suplimentare unghiurilor triunghiului A'B'C'. Centrele U, V, W ale cercurilor circumscrise triunghiuri/or construite pe laturi formează un triunghi asemenea cu A' B'C'. Dreptele Al, BJ, CK sînt concurente în punctul l',!. Segmentele Al, BJ, CK sini invers proporţionale cu laturile triunghiului A' B'C'. Demonstraţia este o adaptare analoagă a figurii 47. Pentru ultima proprietate, din triunghiurile asemenea ACJ, ABK avem AC:Al{=AJ:AB iar i".BAJ=A+A'= i".CAK deci

şi

triunghiurile ABJ, CAK stnt asemenea;

BJ

AB

A'B'

CK

AK

A'C'

rezultă

--=--=--~

Centre izodinamil'e. a) Fie AD, AD' bisectoarele unghiului A în triunghiul ABC. Numim cercul descris pe segmentul DD' ca diametru, cercul A pol o ni u relativ la vîrful A. Locul geometric al punctelor M din planul triunghiului ABC pentru care (l)]'l

MB

AB

MC

AC

--=-

este cercul Apoloniu al laturii BC. în adevăr, conform însuşirii picioarelor bisectoarelor de a împărţi 1atura opusă în segmente proporţionale cu laturile adiacente, bisectoarele unghiului BMC trec prin punctele D şi D'; pe de altă parte, bisectoarele MD, MD' sînt perpendiculare, deci punctul M este situat pe cercul de diametru DD'. 50

Fie A 1 egalităţile

intersecţia

tangentei în A la cercul circumscris cu latura BC. Avem de unghiuri

~ j:=_A 1 AD = 1'.'. A 1 AB

+ 1'.'. BAD =~ACD + 1'.'. CAD= i'.'.ADA I 1

adică

A 1 A =A 1 D; cum triunghiul DAD' este dreptunghic, A 1 este mijlocul ipotenuzei şi în consecinţă, centrul cercului A poloniu este situat pe tangenta AAl' Deci cercurile Apoloniu sînt ortogonale cercului circumscris. Fie M un punct situat pe cercul Apoloniu relativ la latura BC şi A 1 B 1 C1 triunghiul lui podar. Avem relaţiile 1

A 1 B 1 =-CM·AB, 2R

dar în baza relaţiei (1) rezultă A 1 B 1 =A 1 C1 şi reciproc, condiţia ca A 1 B 1 =A 1 C1 atrage relaţia (1 ). Deci triunghiurile podare ale punctelor cercului Apoloniu sini isoscele. b) Considerăm şi cercurile Apoloniu corespunzătoare celorlalte laturi. Fie W, W' punctele comune cercurilor Apoloniu ale laturilor AB, AC; avem WA BA WB CB --=-· --=wc BC WA CA rezultă

WB

AB

--=-

wc AC cercului Apoloniu al laturii BC.

adică

W aparţine şi Deci cerc:.-irile Apoloniu ale unui triunghi fac parte dintr-un fascicol. Punctele suport W, W' satisfac relaţ.iilor (2)

WA · BC=WB · CA =WC· AB.

Spunem că W, W' sînt centrele izodinamice ale triunghiului. Distantele centrelor izodinamice la vîrfurile triunghiului sînt invers proporJionale cu laturile opuse. c) Centrele Au Bu C, ale cercurilor Apoloniu slnt situate pe dreapta Lemoine. Deci dreapta WW' este perpendiculară pe dreapta Lemoine. Ce1cul circumscris fiind ortogonal tuturor cercurilor Apoloniu are centrul pe axa lor radicală WW' şi puterea lui O faţă de aceste cercuri este pătratul razei cercului circumscris o; deci WW' este un diametru al cercului circumscris şi OW• OW'=R'.

(3) Ţinlnd rezultă că

seama că pentru orice punct al unui cerc Apoloniu triunghiul podar este isoscel triunghiurile podare ale centrelor izodinamice sini echilaterale.

Avem şi proprietatea: dacă M este un punct în planul triunghiului ABC, A,B,C, triunghiul lui podar şi A', B', C' intersecţiile dreptelor AM, BM, CM cu cercul circumscris, triunghiul A' B'C' este asemenea cu A 1 B 1C1 • În adevăr

~B'A'A=

~

deci

~B'A'C'=~B,A,C, etc. Spunem

4•

B'BA= ~1\IBC,= ~MA,Cu ~C'A'A= ~MA,B,

că

A' B'C' este

proiecţia

triunghiului ABC, din M, pe cercul circumscris.

51

Deci proiec/iile triunghiului ABC din centrele izodinamice pe cercul circumscris sini echilaterale (N eu b erg, 1886), Fie W un centru izodinamic al triunghiului ABC. Spunem că ABCW este un patrupunct izodinamic. Într-un patrupunct izodinamic oricare punct este centru izodinamic al triunghiului formal de celeia/le vîrfuri (N eu b erg, 1886).

A

C

B

ţiei

Aceasta (2).

rezultă

simplu din simetria rela-

Figura 48

Simedianele. a) Considerăm două ceviene izogonale ale triunghiurilor ABC şi M 1 , M 2 două puncte pe ele (fig. 48). Proiectăm punctul M 1 în A 1 , Bi, C1 pe laturi. Avem relaţiile unghiulare

* C1 B 1M 1 =90°- *AB 1 C1

*M2AB1 = *M 1AC 1 = adică

AM 2 este perpendiculară pe B 1C1, Deci fie M 1 un punct în planul unui triunghi ABC. Laturile triunghiului podar al punctului M 1 sînt perpendiculare pe cevienele punciului ii:ogonal M 2 • Proiectăm şi punctul M 2 pe laturi, în A 2 , B 2 , C 2 • Din perechile de triunghiuri asemenea AM 1 C1, AM 2B 2 şi A2\1 1B 1 , AM 2C 2 avem AB, _ M,B, _AM,_ AC,_ M 2C2 AC,

M,C,

AM,

AB,

M,B,

deci (1)

AB 2 • AB 1 =AC 2 • AC1

(2)

M 2 B 2 • M 1 B 1 =M 2 C2 • M 1 C1 •

Din relaţia (1) rezultă că pur.ctele B 1 , B 2 , C1 , C2 sini conciclice; centrul cercului este la intersecţia mediatoarelor segmentelor B 1 B 2 , C1 C 2 adică în mijlocul O al segmentului M 1M 2 • Dacă M 1 , M 2 sînt puncte inverse, relaţiile precedente sînt valabile analog, în raport cu toate laturile. Deci triunghiurile podare a două puncte inverse Mi, M 2 sînt înscrise în acelaşi cerc cu centrul în mijlocul segmentului M 1M 2 • ln particular, ortocentrul şi centrul cercului circumscris unui triunghi fiind puncte inverse, regăsim proprietatea cercului celor nouă puncte. Fie şi A', B', C', A", B", C" picioarele cevienelor punctelor M 1 , M 2 pe latui. Avem relaţiile

A'B

--=

aria (AM 1 B)

Prin

înmulţire, ţinînd

AB

M 1C 1

-·--·--, AC - M,B,

(A'C

seama de

(3)

relaţia

A"B A"C

(2)

A'B A'"B AB' --·--=-A'C A"C AC'

(Rela/ia St ei n e r, 1828).

52

AB M 1C 2 ·--• AC. M,B 1 •

--= rezultă

b) Numim simediane, izogonalele medianelor. Din definiţie şi din proprecedente rezultă simplu mai multe proprietăţi ale acestor drepte. Simediana unui vîrf este mulţimea mijloacelor antiparalelelor la latura opusă -~l reciproc. In adevăr, printr-o simetrie în raport cu bisectoarea unghiului A, antiparalela devine o paralelă. Mulţimea mijloacelor paralelelor este mediana din A. Prin simetrie în raport cu bisectoarea, mediana devine simediană. Rezultă din demonstraţie că proprietatea este reciprocă. Distanţele punctelor simedianei vîrf11lui A la laturile unghiului sini propor.ţionale cu aceste laturi şi reciproc. În adevăr, fie M 1 un punct pe simediană; prin sin~ctrie în raport cu bisectoarea îi corespunde un punct M 2 pe mediana unghiului A astfel încît, conform relaţiei (2) să avem irrietăţile

(4)

M 1B 1

M,C,

AC

p..

--=--=\J

deoarece pentru punctele medianei,

M 2 C2 • AB =2 aria (M 2AB) = C

=2 aria (M 2AC) =M2B2 · .4C. Rezultă din demonstraţie că proprietatea este reciprocă. Dttcă A' este piciorul simedianei pe latura BC avem relaţia

(5)

A'B

AB'

A'C

AC'

c'

8 Figura 49

-=-,

(G re b e, 1847). 1n adevăr, aplicăm relaţia Steiner (3), ţinînd seama că A" este mijlocul laturii BC. Antiparalelele duse printr-un punct al simedianei unui vîrf la laturile adiacente sînt egale şi reciproc. 1n adevăr, fie M 1 un punct situat pe simediana unghiului A (fig. 49). Ducînd antiparalela B'C' la BC avem M1B' =M 1 C'. Ducem şi antiparalelele M 1 U,1'! 1 V la laturile AB, AC. Ele sînt simetricele segmentelor M 1 B', M 1 C' în raport cu M 1 Bi, M 1 C1 deci sînt egale. Dacă construim pătrate pe laturile unui triunghi, laturile lor exterioare se taie pe simediane (G re b e, 1847). Fie IX intersecţia paralelelor la AC, AB duse la distanţele AC, AB. Distanţele punctului IX la laturile AC, AB sînt evident chiar AC, AB deci satisfac relaţiei (5). 53

Figura 50

Tangentele cercului circumscris unui triunghi ABC în vîrfurile B, C se taie pe simediana din A. în adevăr. fie X intersecţia tangentelor în B, C la cercul ABC (fig. 50). Ducem paralela din X la tangenta în vîrful A, care taie pe AB, AC în D, E.

Avem

relaţiile

unghiulare

-i: BDX = -i: TAB= -i: DBX deci XD =XB; analog XE =XC; dar XB =XC deci XD =X E; adică X este mijlocul antiparalelei DE, deci este situat pe simediană. Fie S intersecţia dreptei AX cu cercul circumscris şi S 1, S 2 proiecţiile lui S pe AC, AB. Deoarece -i: SB S 2 = -i: SC S1 triunghiurile dreptunghice SB S2 , SC Sr sînt asemenea. Rezultă SB

SS,

AB

SC

SS 1

AC

-=--=adică

S este situat pe cercul Apoloniu al laturii BC. Deci cercurile Apoloniu taie cercul circumscris după simediane. c) Simedianele unui triunghi sînt concurente. In adevăr ele sînt izogonalele medianelor şi izogonalele cevienelor concurente sînt ceviene concureate. Punctul de concurenţă, notat de L e m o i n e cu K îi poartă numele; dar el a fost considerat anterior de L h u i l i e r, în 1809 şi de alţii. Punctul K este numit şi centrul simedian. Ca punct comun al simedianelor rezultă pentru punctul Lemoine proprietăţile următoare.

Antiparalelele duse prin punctul Lemoine la laturi sînf egale şi au mijlocul lor comun în acest punct (L e m o i n e, 1873). Distanţele punctului Lemoine la laturi sînt proporfionale cu aceste laturi

(6)

X

y

Z

a

b

C

-=-=-·

Dacă pe laturile unui triunghi construim pătrate (toate în exterior sau toate în interior), laturile pătratelor opuse laturilor triunghiului formează un triunghi omologic triunghiului dat, cu centrul de omologie în centrul simedian. Tangentele în vîrfurile unui triunghi la cercul circumscris formează un triunghi omologic, cu centrul de omologie în centrul simedian. Axa de omologie este dreapta Lemoine. Deci dreapta Lemoine este polara trilineară a punctului Lemoine.

d) Deoarece antiparalelele duse prin centrul simedian K sînt egale şi au mijloacele în K deoarece picioarele antiparalelelor egale slnt conciclice rezultă că antiparalelele duse prin punciul Lemoine taie laturile triunghiului în şase puncte situate pe un cerc cu centrul în acest punct (L em o i n e, 1873). Fie B,C„ C,A„ A,B 2 aceste antiparalele, punctele Ai, A, fiind situate pe latura BC etc. Figura A,A„B 2 C 1 este un dreptunghi de centru K. Dar locul geometric al centrelor dreptunghiurilor înscrise într-un triunghi cu o latură paralelă cu BC este o dreaptă care trece mijlocul laturii BC şi prin mijlocul înălţimii din vîrful A. Deci dreptele care unesc mijloacele laturilor şi mijloacele înălţimilor unui triunghi sini concurente în punctul Lemoine. Concurenţa a fost scoasă în evidenţă de S c h I ii m i Ic h, 1860. Paralelele duse prin centrul simedian la laturile triunghiului taie laturile în şase puncte conci• elice (L e m o i n e, 1873). şi

54

Fie B'C", C' A", A' B" aceste paralele. Figura AB" KG' este un paralelogram. Atunci mijlocul ~ al segmentului B"C' aparţine simedianei AK; deci B"C' este antiparalelă ca şi C"A' -etc.; rezultă i:AC'B"=i:ACB=i:BC"A' deci în trapezul A'B"C'C", C'B"=C"A' etc. şi antiparalelele egale au capetele situate pe un cerc. e) Considerăm identitatea Lagrange

(a'+ b2 +c')(x 2 + y•+z')= (ax+ by+cz)'+ (ay-bx)' +(bz-cy)"+(cx-az)•. Conform

relaţiei

(6)

rezultă

pentru centrul simedian

(a'+ b'+c')(x'+ y• +z')= (ax+ by+cz)•. Dar ax este dublul ariei BKC iar ax+by+cz=2S S fiind aria triunghiului. Deci

4S'

(7)

x•+y•+z'=

a'+b'+c•

Rezultă

din identitatea Lagrange că expresia x•+y'+z• este minimă pentru punctul K. în partea a doua, peste prima paranteză, constantă, se adaugă termeni pozitivi, care anulează pentru K. Deci centrul simedian este punctul pentru care suma pătratelor distanţelor la laturile triunghiului este minimă (G re b e, 1847). Folosind relaţiile (6) şi (7) rezultă şi În se

adevăr

x k= a

(8)

Fie şi

şi

y

z

b

c

= -=-

x' +y'+z' 2S = ax+by+cz -----= ---a'+b'+c'

A,B,C, triunghiul podar al lui K. Triunghiurile KB,C„ ABC au unghiurile din A

K suplimentare. Raportul ariilor lor este raportul produselor laturilor adiacente unghiuriloi:

suplimentare (KB,C,)

l{B,, KG

{! z

(ABC)

AB, AC

b c

----=----::::a-•- =k' adică

ariile ţ.i{B,C,), (KC,A,), (KA,B,) sînt egale. Deci punctul Lemoine este centrul de greutate al triunghiului

Laturile triunghiului podar al punctului Lemoine sini în adevăr

său

podar. cu mediande,

proporţionale

B,Ci=Y'+z'+2yz cos A=k'(b'+c•+2bc cos A)=4k 2m•.

Patrulaterul complet. a) Considerăm patrulaterul format de laturile unui triunghi ABC şi transversala A 1 B 1 C1 • Ducem şi înălţimile AA', BB', CC' ale triunghiului, concurente în ortocentrul H. Avem relaţiile HA· HA' =HB · HB' =HC · HC'

deci H are aceeaşi putere faţă de cercurile descrise pe AA 1 , BBi, CC1 ca diametri. De aceeaşi proprietate se bucură evident şi ortocentrele triunghiurilor AB 1 Ci, BC 1A 1 , CA 1 B 1 • Rezultă că cercurile (AA 1 ), (BB 1 ), (CC 1 ) au o axă radicală comună. Deci cercurile descrise pe diagonalele unui patrulater complet ca diametri fac parte dintr-un fascicol (Gauss, 1810). 55

Centrele cercurilor unui fascicol fiind colineare, rezultă că mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sînt situate pe o dreaptă, pe care o numim dreapta Gauss a patrulaterului. De asemenea ortocentrele fiind situate pe axa radicală comună, rezultă că ortocentrele celor patru triunghiuri formate de patru drepte sînt colineare pe o dreaptă perpendiculară pe dreapta Gauss (St ei ne r, 1828). b) Fie Ai, Bi, Ci trei puncte arbitrare situate pe laturile unui triunghi ABC (fig. 51). Cercurile BAiCi, CAiBi se retaie în punctul M. Din patrulaterele inscriptibile formate, rezultă -t:.MCiB= -t:.MAiC= -t:.MBiA deci şi punctele A, Bi, M, Ci sînt conciclice. Dacă Ai, Bi, Ci sini trei puncte arbitrare pe laturile unui triunghi ABC, cercurile ABiCi, BAiCi, CAiBi au un punct comun. Ai, Bi, Ci sînt proiecţiile punctului comun, M, pe laturi, sub acelaşi unghi şi sens q,. c) In particular, dacă A 1 tinde către B, Bi tinde către C şi Ci tinde către A, cercul ABiC 1 devine un cerc care trece prin C şi este tangent în A la AB etc. numim acest cerc, cerc adjunct şi îl notăm CA. Avem enunţul: cercurile CA, AB, BC au un punct comun !1; analog, cercurile BA, GB, AC au un punct comun Q' (C re 11 e, 1816). Spunem că punctele Q şi Q' sînt punctele Brocard ale triunghiului, deoarece B r o c a r d a studiat în detaliu figura corespunzătoare. Considerăm în triunghiul ABC, cercurile adjuncte CA, AH, BC, concurente în punctul Q (fig. 52). Primul cerc trece prin vîrful C şi este tangent în A laturii AB, al doilea trece prin A şi este tangent în B la BC iar ultimul trece prin B şi este tangent laturii AC. Rezultă (1)

-t:. QAB = -t:. QBC = -t:. QCA =w.

Spunem că w este unghiJLl Brocard al triunghiului. Din triunghiurile A QB, A QC avem BD.

C

sin w

sin B

--==--, AD.

sin(B-w)

b sin B

BD.

sin w

c sin A

--==---=--

Figura 52

Figura 51

56

de unde ctg w-ctg B

= sinsinB A sinC

=ctg A+ctg C deci (2) ctg eu =ctg A +ctg B +ctg C. Analog avem pentru al doilea punct il', .ţ

Q'AC =

.ţ

O.'CB =

.ţ

0.'AC =w

deci punctele Brocard sînt izogo-

nule. d) Dacă punctele A 1, Bi, C1 sînt colineare, proprietatea b) Figura 53 care are loc pentru trei din cele patru cercuri posibile, va avea loc pentru toate, deoarece structura figurii este simetrică. Deci cercurile circumscrise celor patru triunghiuri formate de patru drepte au un punct comun (St e i ne r, 1827). Teorema poartă numele lui Mi q u e I. Punctul comun este numit punciul Miquel al patrulaterului.

Centrele cercurilor circumscrise celor patru triunghiuri formate de patru drepte sini situate pe un cerc care trece prin punctul Miquel al patrulaterului. 1n adevăr, fie triunghiul ABC, secanta A 1B 1C1. O, Oi, 0 2, 0 3 centrele cercurilor ABC, AB 1C1 P~c., şi M punctul Miquel (fig. 53). Dreapta 001 este

perpendiculară

pe coarda

.ţ(00 1 , Aceeaşi relaţie

comună

1

01M)= -

are loc

2

şi

AM a cercurilor deci

.ţA0 1 M

=

.ţAB 1 M =q>.

în cazurile analoage-

.ţ (001, 0 1 M)=.ţ(00 2 , 0 2 M)=.ţ(OOa,

OaM)=qi.

e) Proprietatea figurii 53, conform căreia A„ B„ C, slnt proiecţiile pur.ctului M sub unghiul cp pe laturi, c!nd A„ B,, C, s!nt colineare deci punctul M situat pe cercul ABC devine o teoremă Simson generalizată, de unghi 'P· Proiecţiile unui punct al cercului circumscris unui triunghi sub sînt colineare. în cazul figurii 53

acelaşi

unghi

şi

sens pe laturi

i: (MA,, BC)=,:. (MB„ CA)= i: (MC„ AB)= :+b~+cy+ ... +li, -------. c>:+~+Y+, .. +A .

Considerăm o placă omogenă grea, de forma unui poligon ABC ... L. Descompunem poligonul în triunghiuri, prin diagonale care pleacă din vîrful A. Fie G1 centrul de greutate al triunghi ului ABC, G2 centrul de greutate al triunghiului ACD etc. Forţele gravitaţionale care acţionează placa ABCD ... se reduc la forţele aplicate în punctele G1 , G2 • • • proporţionale cu ariile triunghiurilor respective. Deci centrul de greutate al plăcii este centrul distanţelor ponderate ale punctelor G1 , G2, ••• , avînd ca ponderi ariile respective; dacă 9i, 9 2 , • • • sînt distanţele acestor puncte la o dreaptă arbitrară d, atunci distanţa 9 a centrului de greutate al plăcii la dreapta d este dată de

(2)

9=

g 1 (ABC)+g 2 (ACD)+ ... -"--'--------'-----'--"--'----

!

(ABC ... ) J

Considerăm un triunghi ABC şi fie D un punct pe prelungirea laturii AC. Notăm cu G, G1 , G2 centrele de greutate ale triunghiurilor (ABC), (ABD), (BCD) şi cu 9, 91 , 9 2 distanţele lor la o dreaptă arbitrară. Avem după consideraţiile precedente

deci (3)

9=

g,(ABD)- g,(BCD) (ABC) •

b) Considerăm o linie poligonală ABCD ... L, care se unei drepte exterioare d. Aria generată de latura AB de lungime a, este

roteşte

în jurul

(AB) =21ta0(, O( fiind distanţa de Ia mijlocul laturii A B la axa d. Analog pentru celeia lte laturi; deci, conform cu (1 ),

(ABC . .. ) =2n(a0( +b~ +cy + ... ) =2nlm, l fiind lungimea liniei şi m cu A aria, avem formula (4)

distanţa

centrului de greutate al liniei la

A =21tlm.

98

axă.

N otînd

Deci aria generală de o linie plană, care se roteşte în jurul unei axe exterioare din planul ei este egală cu produsul dintre lungimea liniei şi drumul descris de centrul de greutate al liniei. c) În triunghiul ABC de arie S fie D piciorul înălţimii din A, G centrul de greutate şi GG' =g distanţa lui la BC. Volumul V obţinut prin rotaţia triunghiului ABC în jurul laturii BC este V =2_ 1tAD 2 • BC =~ 1tS · AD =21tS · GG' =2rcSg. 3

3

Să rotim triunghiul în jurul unei drepte d care trece prin vîrful B, fără să taie triunghiul. Fie D intersecţia dreptei AC cu axa d, de asemenea G, G1 , G2 centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, ABD, BCD şi g, 91 , 9 2 distanţele lor la dreapta d; triunghiurile A BD, BCD sînt în situaţia anterioară, deci, conform formulei (3), avem

V(ABC) =V(ABD)-V(ACD) =2rc[(ABD)9 1 -(BCD)g 2 ] =2rc(ABC)g = =21tSg. Dacă dreapta d exterioară triun~iului nu trece prin nici un vîrf, prelungim latura AB pînă taie pe d în D şi descompunem volumul căutat în diferenţa volumelor generate de triunghiurile ADC, BDC care sînt în situaţia anterioară. Formula se menţine din nou. În cazul unui poligon arbitrar ABC . .. pe care îl rotim în jurul unei axe exterioare, îl descompunem în prealabil prin diagonale în triunghiuri cu un vîrf comun în A şi procedăm analog. Obţinem, după (2)

V =21t[(ABC)g 1 +(ACD)g 2 Pentru o linie simplă scrise, avem de asemenea

închisă,

(5)

+ ... ] =2rc(ABC ... )g.

considerînd-o ca

limită

de poligoane în-

V =21tSg.

Volumul suprafeţei generale de o linie închisă plană care se roteşte în jurul unei axe exterioare din planul ei este egal cu produsul dintre aria domeniului şi lungimea drumului descris de centrul de greutate al ariei.

Formulele (4), (5) sînt datorate lui Papus (sec. 3). Ele au fost reconsiderate de G u I d i n (sec. 17) şi poartă numele de teoremele Papus-Guldin! e) Exemple. 1. Considerăm un triunghi echilateral ABC care se roteşte în jurul unei drepte exterioare duse prin A, care formează unghiul 0 cu latura AB. Ne propunem să calculăm aria şi volumul solidului obţinut, în funcţie de latura a a triunghiului şi unghiul 0. În acest caz centrul de greutate al liniei ABC şi al ariei ABC este acelaşi, anume punctul a G situat la distanţa 3 de vîrful A iar AG formează cu axa unghiul (0+30°). Ordonata punctului

V

G este

u

o= V3 sin (0+30°). Avem deci _ /-

7t

A=2r. a' V 3 sin (fl+30°), V= -

2

7•

99

a' sin(0+30°).

Valorile maxime sînt atinse pentru 0=60°, clnd AG devine verticală. 2, Considerăm acum un cerc de rază ral cărui centru este la distanţa a>r de o dreaptă d; suprafaţa obţinută prin rotaţie este numită tor. Pentru aria şi volumul torului avem formulele

3. Formulele (4), (5) ne permit uneori să determinăm centrul de greutate al unei figuri lungimea (sau aria) şi aria (sau volumul) obţinute prin rotaţie. De exemplu, considerăm un semicerc de rază r, pe care îl rotim ln jurul unui diametru. În formula (4) avem A=4..:r 2, l=rrr deci 2r

dacă cunoaştem

(6)

m=-• 7t

În formula (5) avem V=±.rrr', S = 3

2

deci

2

4

(7)

şi

~ r;r

r

g=-3 7t

Deci centrele de greutate ale semicercului de raii r şi al ariei domeniului formal de semicerc diametrul corespunzător sini date de formulele (6) şi (7).

Elicea circulară. a) Elicea circulară este curba obţinută prin mişcarea unui mobil supus în acelaşi timp unei rotaţii în jurul unei axe şi a unei deplasări paralelă cu axa, de mărime proporţională cu unghiul de rotaţie. Fie a, axa şi 1t un plan perpendicular pe ea, O intersecţia lor (fig. g1). Un punct A din planul 1t se roteşte în jurul axei a de un unghi 0, pînă în poziţia N; fie NM un segment paralel cu a, de mărime (1)

Z=kfJ

k fiind o constantă şi 0 măsura în radiani a unghiului. Atunci punctul M descrie elicea. Elicea este situată pe un cilindru circular drept. În adevăr, proiecţia N a punctului M în planul 1t descrie un cerc c de centru O şi de rază r=OA. Cînd punctul N s-a rotit de unghiul 2rr deci se întoarce în A, punctul M ajunge în poziţia A 1 pe generatoarea AA 1 la distanţa, conform formulei (1),

(2) a

A

' ......... .... _

h =2k1t.

Această distanţă constantă este pasul elicei. Arcul AMA 1 măsurat pe elice este o spiră. Din punctul A 1 mişcarea punctului se repetă. Deci elicea este ormată dintr-o infinitate de spire egale. b) Cînd desfăşurăm cilindrul pe un plan, relaţia (1) rămîne valabilă. Fie r lungimea arcului AN al cercului c, deci s =r6. Atunci în triunghiul plan ANM rezultat,

r

NM k -= AN r

Figura 91

= constant

deci punctul 1U descrie o

100

dreaptă.

1n des{ăşurarea cilindrului pe plan, eticele devin drepte. Reciproc, cînd încovoiem o bandă de hîrtie şi formăm un cilindru, dreptele planului devin elicele cilindrului. Prin desfăşurarea elicei pe plan unghiurile şi distanţele se conservă. Astfel, în figura plană, unghiul AMN este constant. Pe cilindru obţinem unghiul format de generatoarea MN şi de tangenta elicei în M. Deci elicea taie generatoarele cilindrului sub un unghi constant. De asemenea, în figura plană, AM este ipotenuza triunghiului dreptunghic de catete AN =r0, N M =k0. Pe cilindru Ai\1 devine arcul cr al elicei, deci arcul elicei este a=vr2+k2. (3) ln particular, lungimea unei spire este (4) Elicea a fost studiată prima oară de A p o I o ni u (sec. 3 î.e.n.). Formula celor trei nivele. a) Considerăm un solid cu două baze paralele, de arii A, B şi înălţime h; dacă cunoaştem şi aria C a secţiunii mijlocii putem să calculăm volumul solidului prin formula aproximativă (1)

V - .!:__ (A +B +4C), 6

pe care o numim formula celor trei nivele. Putem să dăm o justificare simplă acestei formule prin

consideraţii

analiză.

b) Pentru

funcţia

de gradul al doilea

f(x) =ocx 2 +~x +y avem evident

a-1-b) =f(a) +f(b) +2q>(a, b) 4f( ~

(2) unde (3)

q>(a,b) =ocab

Considerăm

acum aria A a domeniului determinat de parabola y =OCX 2 +~x +r,

(4) axa Ox

+~ -a+b +y. 2

şi

ordonatele ce corespund valorilor x =a, x =b. Avem b

A=

i

b3 -a 3

y dx=oc-3

b -a' +~-+,(b-a) = 2 2

a

= b-a ff(a) +f(b) +q>(a,

b)].

3

Eliminînd din (2) pe qi(a, b)

obţinem

b

(5)

~ f(x) dx =

b:"[r;:. P 0Q'. Pe de altă parte OP' =OP, OQ' =OQ. Atunci triunghiurile OPQ, OP'Q' sînt egale. Deci P'Q' =PQ. Rotaţia păstreau1 distanţele. Fie R, R' alte două puncte corespunzătoare în M rotaţie. Triunghiurile PQR, P'Q'R' au toate laturile egale deci şi unghiurile omoloage egale. Rezultă că a' rntaţia p O reprezintă o elipsă cu axele paralele cu axele de coordonate. Pentru ab