Complemente de geometrie sintetică

Table of contents :
Complemente de geometrie sintetica - N. Mihaileanu (1965)
Complemente de geometrie sintetica - N. Mihaileanu (1965)
10
20

Citation preview

PROF. 'uNIV. N. N. MIHÂILEANU

Complemente d·e geometrie sinteti.câ

EDITURA DÎDACTICÂ $1 PEPAGOGICÂ BUCURE$TI - 1965

!J.effJ!e_nJi: . lect� uniu. D. FLONDOR p;oJ. ·1.: OLIV0TT9 Copma: MIRONESCU TUD_OR

14

COMPLBMnNTB DB- GEOMETRIB SINTBTICA

de cealalta parte a laturii A'B', este necesara §Î o simetrie în · rapôrt eu latura A'B'. Deci doua figuri egal,e · pot sa· fie suprapuse printr-o deplasare, eventual # o simetrie în raport cu o d-reapta. Figurile / §Î f' sînt presupuse egale, în sensu! ca distan� ·dintre punc­ tele omoloage estè aceea§i. Trebuie sij clistingem însa doua m_oduri de a fi egale doua figuri. Daca este necesara �� o simetrie în raport eu o dreapta� ca sa le aducem una peste alta - astfel încît sa coïncida punctele omoloage -, spunem ·ca figurile sînt invers egale. Toate transforma.rite .care pastreaza egalitatea (directa sau inversa} figurilor formeaza evident un grup, prin chiar conditia geom�trica pusa .. Spunem ca acest grup este grupul metric. Grupul metric este format din translapi, rotatii §i simetrii. De§i primele se redue t�t la simetrii, nu putem sa spunem ca grupul metnc este format (numai) din simetrü, fiindca. simetriile singure nu formeaza � grup. Din grupul metric se desprinde un subgmp, format numai din translapi §Ï · rotatii : grupul deplasarilor. Doua fi guri direct egale pot sa fie supra: . · p�e totdea�na printr-o deplasare. 5 .. Aplieapi.. a) 0 bariera de cale ferata are atîrnat printr-un tant în mijlocul ei un felinar. Ce curba descrle felinarul cînd ridicam bariera ?..., Fie O punctul de sprijin al barierei, A mijlocul ei §Î F felinarul, redus la un punct. Punctul A descrie un arc a, al unui cerc de centru 0, far AF ra.mine me!E�Ù. verticala §Î de lungime constanta. D�ci felinarul F descrie translatatul arcului a, aclica' un arc egal §Î paralel, al unui cere de centru 0', unde 0' este situat sub 0, pe verticala, la o distanta, .egala eu lungimea firului de suspensie al felinarului. b) Fié M un punct în planul triunghiului echilateral ABC. Rotind figura în jurul yîrfului. C, de 60 ° (fig. 5), vîrfu1 B ajunge în A, iar M într-un nou punct M'. Laturile triunghiului AMM'. sînt

AM, MM'

= MC,

AM'

= "BM.

·.

Deci: cu distanJele MA, MB, MC ale unui punct M la vîrfurüe um1,i� triunghi eckilateral, putem sa formam un triungki (teorema Pompei). c) Pe laturile unui paralelogram ABCD construim în exterior; triun­ ghiurile echilaterale AMB, BPC, CND, DQA. Patrulaterul . MPNQ este un paralelogram concentric celui dat. În adevar, paralelogramul ABCD este simetric în raport eu centrul 0, AB §Î CD.· sînt laturi simetrice ; punctele M §i N obpnute prin con,

COMPLEM� DE GEOMETRIE SINTETICA

16

D

C�ig. 6.

tn cele doua triunghiuri ABC, EAI objinute unul deplasare se corespund punctele

A B C DM ... E A IBJ ... deci � segmentele CD §Ï BI sînt. egale �i perpendiculare etc. /

B. OMOTETIE

1. Omotetia de centru dat. aJ Omotetia este o transfor­ mare determinata de un punct 0, numit centru de omotetie, §i•de un numar real k, numit modul de omotetie .. Omoteticul unui punct arbitrar M este punctul M', situat pe dreapta OM astfel ca

OM'·= kOM. _(1), . . Cînd k > 0, M' este· situat de aceea�i parte eu M, .§Î cîiJ.d k < 0, de cealalta parte a punctului M, fata de cèntrul O. Cele doua poziµi sînt sime­ trice în raport eu 0, deci putem sa_ studiem omotetia numai pentrù k > 0, Fie N �i N' o alta pereche de puncte omotetice, adica ON'= kON. Triunghiurile OM'N', OMN au unghiul O co�un �i faturile adiacente­ propoqionale. Ele sînt deci asemenea în raportul k; atunci (2)

M'N' = kMN.

Adica : într-o omotetie raportul distanJe/,or este constant.

18

=

COMPLBMENTB DB GEOMETRIB SINTBTICA

C'.' Dreptele AA', BB' � deci C1 cauza laturilo� · paralele re�ulU �i ·

în 0 �: din CC' sî�t ·astfel·concurente · ,,

OA' OB'· . OC' =-=-

OA

OB

oc ,

deci triunghiurile ABC, A'B�C' sînt · omotetice.· În figuri oin.otetice, construé?ile a.naloge duc la elemente omotetice. De èxemplu, în doua triunghiuri omotetice ABC_, A'B'C', mijloacele 1?,turilor AB §Î A'B' sînt ,pun.cte. omotetice, medianele din A � A' sînt drepté omotetice, cercurile circuinscrise. triunghiurilor sînt omo�etice etc. 2. Gi;upul �emaniirilor. a) Cînd centrul O este fix � mo­ dulul k variabil avem o familie de omotetii. Fie 0i omotetia ·de modul k 1,. 02 omotetia de modul k 2• 0moteticul punctului M _în omotetia 01 este punctul Mi , astfel ca . 0M1

;__

k 10M.

Omoteticul lui M1 în omotetia 02 este punctul M', astfel ca

0M' = k 2 0M1 = k 1k 2 0M. Deci t.ransformarea produs '0102 care duc� de la M la M' este o omotetie de acela§i centru 0, de modül k1k 2 • Unei omotetii O de modul k îi corespunde omotetia 0- 1 de, modul 1 : k, inversa omotetiei date. Deci mulJimea omotetiilor de acela�i centru Jormeaza un · grup. Într-o omotetie data (0 fix,· k constant) ·avèm un punct invariant centrul O - �i figuri invariante, dreptele .ce trec prin centrul O. InvarianW unei omotet�i sînt unghiurile, raportul (k) al segmentelor, raportul (k2) al ariilor. ' În adevar, fie ABC, A'B'C' doua triunghiuri omotetièe� deci as�menea. Raportul ariilor a doua poligoane asemenea. este patratul râ.portului a doua laturi omoloage. Am va.zut ca printr-o omotetie o figùra se· transforma într-o figura asemenea, cu dreptele omoloage paralele,. §i raportul segmentelor omo­ loage este modulul k de omotetie ; rezulta ca figura omotetica a unui cerc este· un alt cerc eu centrul omoteticul · centrului cercului dat §Ï raza · · de k ori raza cercului dat. b) Sa. compunem acum doua omotetii de ce�tre diferite 01, 02 (fig. 8). Consideram figura/ locul punctelor _M. În omotetia de centra Oi, modul k; obtinem figura /1 ; o noua omotetie · de centru 02 , modul k 2 ne duce

· 33 .

' Ja:r OM • OM' este puterea ce�trului O fata de un cerc c arbitrar dus prin. punctele M, M' �i dupa observaµ� precedenta rezulta ca. cercurile o· §Î c sînt ortogonale. Deci, âaca M # M' sînt doua puncte inverse faJii. de cercul o, orice cerc care t-rece prin aceste puncte este ortogonal cercului o.

Considera.m doua. cercutl. Qrt9gonaie .o _ � c ; o secanta · arbitrara dusi prin centruf O al cercului o tai� cercul o dupa diametrul A !J � - pe c în punctele M, M'. Relatia ,, . OM · OM' =0A2

exprima di punctele A, B, M, M' forµieaza o diviziune armonica. Deci, daca doua cercuri sînt ortogonale, orice diametru al un'l:'i cerc este:

taiat armonic de al doilea. c) Cerçetam daca doua cercuri date admit un cerc ortogonal comun. Fie c1c2 cercurile date ;;i M punctul cautat, centrul unui cerc c de raza r, ortogonal cercurilor c1 §Î c2 (fig. 23). Atunci puterea lui M la cercurile c1 sau c9 este r2, deci aceea§i. Pe de alta parte, M trebuie sa fie exterior ambelor cercuri. Deci locul geometric al centrelor cercurilor ortogonale la doua cercurî date este axa lor radicala; din care trebuie sa èxcludem eventual

-poqiunea coardei comune. Rezulta, de asemenea, ca, daca centrul radical a trei cercuri este exte­ rior cercurilor, cele trei cercuri admit un cerc ortogonal comun eu centrul în centrul lor radical. d) Fie o- un èerc de raza r �i A, B doua puncte ale lui (fig. 24). Tan­ gentele în A, B se taie în C. Cercul c, de centru C, care trece prj.n A � B este ort.ogonal cercului o. Sa efectuam o inversiune de cerc fondamental o - inversiunea are centrul O �- modulul, raza r a cercului. Inversul cercului c este tot .un cerc, c', care trece de asemenea prin A �i B ,,_ fiindca punc­ tele cercului fondamental sînt fixe. Deoarece unghiurile se pistreaza în inversiune, cercul c', care trece prin A, B, este de asemen�a ortogonal

Fig. 23. 3 - Complemente de geometrie sintetici

Fig 2�.

34

l Fig. 25.

X-�

=

cercului. o, adica are centrul tot C. Atunci c' c. Deci, într-o transformare prin inversiune, cercurile orlogonale · cercului fundamental sînt invariante. Mai precis, daca M este un punct al cercului c, 'inversul lui M' este situat pe acela� cerc. Rezulta ca într-o inversiune - avem un p���[fix O ez�i™;�ato�l;zfigt� invariante: a) cercul de inversiune - invariat punct eu punct; b) drep­ tele d�e· prin centt;ul O; c) cercurile ortogonalë cercului de inversiune.

1

3. Fascicul de cercuri. a) Consideram un cerc c de centru

C, raza r � o dreapta a (fig. 25). Cercetam daca exista un cerc a carui axa r�dicala fata de cercul c sa fie dreapta a. Centrul cercului cautat trebuie sa fie situat pe perpendiculara b à.in C pe dreapta a, deoarece axa radicala

este· perpendiculara pe linia ,.centrelor. Fie x un punct arbitrar luat pe dreapta b, centrul cercului cautat, §Î x raza lui. Punctele axei radicale au puteri egale fata de cele doua cercuri. Sa �uam, de exemplu, punctul 0 de intersecpe al dreptelor a, b §Î fie p puterea punctului O în raport eu cercul c; notam cti d distanta CO ; avem de considerat trei ·cazuri. b) Daca d > r, atunci p2 = d2 - ,.2 §i

-

(5)

= p9 * * O?{. > p. Consideram

OXZ - x2

deci x exista da� cercul o de centru O §i raza p. Acest cerc este ortogonal cercului c, fiindca puterea centrului O la cercitl C este raza p a cercului o. Cercul O taie dreapta' b Îll doua puncte L,. L'.. Cînd punctul }{ este luat exterior segmentului LL'; ox > p � X exista .. Avem deci o infinitate de cercuri care raspûnd problemei, adica au aceealji ax8: radicala a. 'roate cercurile care au aceea� axa radicala formeaza prin definipe un Jascicul de cercuri. Axa radicale. comuna este axa :fàs�culultiî -� linia centrelor este baza fasciculului. În cazul considerat, în _care axa este exterioara tuturor cercurilor, spunem ca fasciculul este de genul întîi

87

GEOMETRIE PLANA

Fig. 71.

Fig. 70.

Deci punctele Brocard sînt situate pe cercul de diametru OK (cercul · Brocard). . Sa efectuam o inversiune de centru A ; latura BC devine un cerc eu centrul pe înalµmea din A., far B, C devin intersecµile B', C' ale acestui cerc eu laturile AB, AC. Triungliiurile ABC, AB'C' sînt invers asemenea; dreptele care trec prin A � au acela;;i rol în cele doua triunghiuri se supra­ pun printr-o simetrie în jurul bisectoarei, adica sînt izogonale. De exemplu, dreapta care wie�te vîrful A_ eu �jlocul laturii B'C' este simediana din A. Consideram cercurile BA, CA care se retaie în S (fig. 70). Dreapta : AS taie latura BC în U � cercul circumscris în V. În inversiunea considérat�, cercurile BA, CA devin paralelele din B', C' la AC, AB èare se taie în S'; inversùl punctului S. Inversele punctelor' U, V •SÎnt U' - pe cercul AB'C' _, -�i V' - pe B'C'. Figura AB'S'C' fiind un paralelogram, dreapta AS' este mediana în triunghiul AB'C' §Ï simediana în triunghiul ÀBC. Transformam prin inversiune relatia V'A = V'S'. Avem �- -:_ k2 AU

__v_s_ AV- AS

sau SA= SV.. .Deci cercurile adjuncte tangente în vîrful A la laturile 4B, AC se taie ·1n mijlocul coardei determinate de simediana din A pe cercul circumscris. Consideram cercurile AB, AC care se taie în punctul M (fig. 71 ).. Dreapta AM taie 18:tura BC în N � cercul circumscris în P. Scriem puterea punctului N fata de cele trei cercuri N!32

= NM

· NA = NC2,

_

215

MBTODB A 2

. - = l - 2. Slll . - 2 -B + ,Sln .. A • B · • + Slll - stn - Slll 2 -� 2 . 2 2· 2

(73)

sin2 -

(74)

ctg -

(75)

ctg - ctg -

•

A

b. C

C

"'

+ ctg B-2 · + ctg·-.-2 =. ctg A-2 ctg -2B ctg -2 C

2

A

B

2

2

d) Punem

A'

C

+ ctg B-2 ctg -C2 + ctg. -C2

A

ctg -

2

=

= 1 +. cosec -A-2 cosec -B2 cosec -C2

= � +y+ A,

B'

= B - �,

C'

= C - y.

Pentru � = y = 90 °, deci

A'= 180 ° - A , .B' =. . 90 ° - B, C' = 90 ° - C

sîntem în cazÙl triunghiului BHC §i obJinem : (76)

sin A � cos B

(17)

- cos A

(18)

2A cos . '

+ cos C. = 4"sin

+ sin B + sin C =

1

° cos (45 ° - �) cos ('45 -

7)

= 1 + 4 cos% si� (45 ° - �} sin (45 ° - �}·

+ sin B + sin C = 1 + 2 cos A sin B sin C - tg A + ctg B + ctg C : --tg A ctg B ctg C --: tg A ctg·B + �tg B ctg C - tg A ctg C =

(79) '(80)

2

2

.

1

.

' = 1 - sec A cosec B cosec C

.Pentru I"' f.l

v1 · =

= B-2'

-C2'

A' = 90 °

deci

+. �2 ,

B'

= �2 '

C' = E.

2

1

·

sîntem în- cazul_ triunghiului BIC §i obiinem : . _A

• B·

+ sin -2

(81)

COS �

(82)

• A - sin

(83)

· 2

·

A

sin2 2

• C · A B . C 0 +· S1ll - = .4 COS (45 + -) COS - COS -4 4 2 4

B C i . 0 À· . B • C 2 + cos 2 + c�s. 2 = + 4 sin (45 + 4 1 sin 4 sin 4

+ cos

2

B

2

B C + cos -c2 =· ·1 + 2 sin A cos cos 2 2. 2

..

280

COMPLEMENTS DB GEOMETRIE SINTETicA

III. l\letode A. Construqii grafice. (Constructii de expresii, Construcpi de figuri, Probleme de extremum) . . . . . . . . . . B. Locuri geometrice (Relatii metrice; Figuri mobile, Probleme spatiale, Transforma.ri, Intersectia eu o dreapta, ÎllfB§U• ratoare, Figuri _ce depind de mai multi parametri, Ex­ presii constante Elemente fixe) . . . . . • . . . . . C. Rela/ii metrice . • • • • . . • . . . , . . . . . . . D. Rela/ii trigonometrice (Triunghiul de referinta, Triunghiuii de transformare, Relatü între. unghiuri) . . . . . • . E. Metode areolare (Figuri echivalente, Demonstratii areo­ lare, Momente, Coordonate baricentrice). . . . . . : . F. Metode vectoriale (Proèedee statice, Notatie prescurtata, Produs scalar) . . . . . . . . • . . . . . . . . · . . · G. GeneraliziJ,ri • . . • . . . . . • . . . . . • • • • • H. Rolul spa/iului • . • . • . • . . . . . . . . . . . . I. A xiomaticd (Punerea problemei, Istoric, Sistèm axioma:tic -admis)' . . . . . . . . . . . . . . . . · : . . . . J. GeonieJrie elementara dintr-un punct de vedere mai tnaU (Necesitatea unui punct de, vedere mai înalt, Consideratii afine, Consideratïi proiective, Considerarea elementelor . . . . . . imaginare, Consideratii analitice)

180 190 201 209 216 221 231 238 240 249

IV. Aplicat.ü. pr1:1ctice Aplicatii în matematici, Aplicatii îµ �tüntele experi­ mentale, Aplicatü în t�hnicA, · Aplicat ü în teoria mecanismelor) . . . . . . . . . . . . ·. . . . . . . . .

249

V. lstoric A. Dezvoltarea geometriei sintetice (Primele încep_p.turi, Epoca de înflorire, Epigonii, Evul mediu, Rena�erea, Secolul al XVII-lea, Contributii ulterioare, Aspecte recente) B. Geometria sintetica tn /ara noastra (Învatamînt, Maliuale, Contributfi originale) . . . . . . . . . . . . . . . .

263 �7U

Redactor responsabil: Pantelimon Eugenia " Tehnoredactor: Erb!rescu Elisabeta Dat la cules: 23. 06. 65. Bun d� tipar: 14. 09. 65. Apllrut: 1965. Tira/: 4000+1$0 ½ p1nzi1.. Hlrtle: tip li a 63 glm', 16/10X 100. Coll edltorlale: 16,111. Coll de tlpar: 11,50. A: 8321. C.Z. pentru blblloteclle mari: 513.3(075.3}; C. Z. pentru blblloteclle miel: 51. (ntreprinderea Poligraficii • Çluj Str, Brassai nr. 5-7 Comanda nr. 4855/1965.

,,

-··

�

1