Ebene Geometrie 9783486763928, 9783486763911

Table of contents :
Vorwort.
Verzeichnis der Symbole, Abkürzungen und Bezeichnungen
Inhaltsübersicht.
Druckfehlerberichtigung
Vorübungen und Betrachtungen
Definitionen und Bezeichnungen planimetrischer Figuren und deren Linien.
Strecken und Linien der Kreise, deren Winkel und Bogen
Parallelen.
Das Dreieck
Die Proportion
Die Funktionen
Ähnlichkeit bei Dreiecken
Projektion und verknüpfte Lehrsätze
Auskreise, Ausradien, Auszentra zum Dreieck
Antiparallelen
Zentralperspektive.
Merkwürdige Punkte im Dreieck.
Sehnenvierecke.
Vielecke im Allgemeinen
Die Kegelschnitte
Maxima und Minima. Isoperimetrische Figuren
Symmetrie
Wechselbeweise.
Strahlenbüschel, Dreipunktslinien, Transversalen
Anharmonischer Schnitt
Pol und Polare.
Radikalachsen und Radikalkreise
Das vollständige Vierseit
Logarithmen und andere Tafeln
Alphabetisches Namen- und Sachverzeichnis
Konstruktionen.

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EBENE GEOMETRIE VON

ALBERT GMINDER

MIT 771 ABBILDUNGEN UND ZAHLREICHEN DURCHGEFÜHRTEN BERECHNUNGSBEISPIELEN

MÜNCHEN UND BERLIN

1932

KOMMT S S I O N S - V E R L A G V O N R. O L D E N B O U R G

Alle R e c h t e , einschließlich des Ü b e r s e t z u n g s r e c h t e s , v o r b e h a l t e n Copyright 1931 b y R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d Berlin D r u c k von R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d Berlin

Z u m A n d e n k e n a n m e i n e n lieben G r o ß v a t e r JOACHIM

BRÜBACH

und an meinen angebeteten Lehrer THEODOR

HERZOG

Vorwort. Der Kreis mit seinen Punkten, seinen Linien und seinen Winkeln bildet die Grundlage, auf der sich das ganze Gebäude der elementaren Planimetrie erhebt. Der rechte Winkel und mit ihm die Senkrechte, der Spitzwinkel und der Stumpfwinkel bestimmen sich als Zentriwinkel des Kreises. Jedes Dreieck ist ein Sehnendreieck und ihm gehören sein Umkreis, sein Inkreis und seine Auskreise (Ankreise) an. Vielecke von mehr als drei Seiten lösen sich in Dreiecke mit deren zugehörigen Eigenheiten auf, und manche Vielecke können einen Umkreis oder einen Inkreis oder beide haben. Bei regelmäßigen Vielecken kommt man wieder auf den vereinzelten Inkreis und Umkreis zurück. Wie das Quadrat Inhaltseinheit ist, ist das Dreieck Formeinheit bei geradlinigen Figuren. Ebenwinkligkeit macht Dreiecke ähnlich, aber in zusammengesetzten Figuren (in Dreicke auflösbar) fordert Ähnlichkeit ein Verhältnis der entsprechenden Dreiecksseiten als Bindestück zwischen zusammensetzenden Einheiten. Der Kreis, entweder allein oder in Verbindung mit Beziehungskreisen, wie Schnitt- oder Berührungskreisen, führt zur Symmetrie. Der Kongruenzsymmetrie unterliegt der Begriff der Kreisbewegung. Bei der Achsensymmetrie versteht sich eine Kreisbewegung im Raum auf einer Ebene, welche senkrecht zur Achse steht, und ist gewöhnlich eine Halbkreisdrehung der halben Figur zur Deckung (Umklappen). Bei der Zentralsymmetrie oder der zyklischen Symmetrie, bei der konzentrischen oder konzyklischen Symmetrie und bei der Polarsymmetrie wird die Kreisdrehung um einen fixierten Punkt in derselben Ebene vollzogen um zur Deckung zu gelangen. Der Parallelismus fußt auf der Möglichkeit von kongruenten Kreisbogeninterzepten. Bei genauer Betrachtung liegt vielleicht auch hierin der Parallelismus zweier Linien in der doppelt rechtwinkligen Kreisdrehung einer Linie, erst um einen Punkt in der anderen, dann um einen Punkt in der bewegten Linie. Der Bewegungsbegriff wurde von jeher in der Planimetrie angewandt, jedoch in der Geometrie der Alten nur in ungeregelter und gesetzloser Form für die Kongruenzdeckung und bei Konstruktionen. In neueren Zeiten wurde der Bewegungsbegriff erweitert um Örter, Parallel Verschiebung, Gliederungen usw. mit einzuschließen.

—

V i -

lm Euklid wird jede Figur als ein fertiges Ganzes besprochen. Seine Geometrie ist statisch. Neuerdings will die Geometrie die Vorstellung der Veränderlichkeit unter bestimmten Bewegungen mitbehandeln und legt besonderen Nachdruck auf Funktionen; in Anwendung und Ausführung ist man aber immer noch sehr behutsam. Unsere Lehrbücher bleiben wenig abgeänderte Euklide. Kein wissenschaftliches Fach ist so zärtlich gehandhabt worden und in einem kristallisierten Zustand über 2000 Jahre beharrlich gelassen worden. Zum Lobe Euklids mag es dahingestellt sein, daß der größte Teil seines Werkes die Probe der Ewigkeit bestehen wird. Wie schön entfaltet sich alles, wenn es einmal so weit ist! Aber der Anfang ist ein wenig zerstreut und holperig. Es ist daher nicht ohne Zagen, daß man sich erkühnt, mit dem Freunde Goethes Vaters sich an den alten Hausgott heranzuwagen und so den Unmut seiner Verehrer auf sich zu ziehen. In den meisten Lehrbüchern fängt man systematische Planimetrie mit den Scheitelwinkeln an, weil diese die Gelegenheit bieten, einen einfachen, überzeugenden, direkten Beweis vor Augen zu führen; der Kehrsatz dazu, obwohl in Übungen angenommen, wird nie bewiesen oder angeführt. Dann läßt man abrissig Winkel zur Seite und schreitet zur Kongruenz der Dreiecke vor, welche Werkzeug zu weiteren Untersuchungen liefern soll. Aber der direkte Fortschritt ist auf die Lehrsätze von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel und einer Seite und deren anliegenden Winkeln beschränkt, wo dann als Hilfssatz d e r über die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks eingeschaltet wird. Der Schüler hat keine Kenntnis, wo nicht empirisch, wie der Winkel an der Spitze in diesem Beweis zu halbieren ist und muß also annehmen, daß es möglich ist. Dies ist allerdings zugeblich, wenn die wirkliche Halbierung zur Zeit unmöglich ist; aber es kommt wie eine plumpe Notwendigkeit. Mit dem darauffolgenden Kongruenzsatz über Dreiecke, die in drei Seiten übereinstimmen, welchem Beweis der vorhergehende Satz seine Stelle verdankt, wird nun eine Öffnung für die Möglichkeit von Dreieckskonstruktionen gemacht. Die Kongruenz wird in Einzelfällen behandelt und wird selten zum Schluß geführt, um den Satz über zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite einzuschließen, mit\Ausnahme des Einzelfalles beim Rechtdreieck oder bei Besprechungen im Text. Die nächste Unterbrechung findet bei den Parallelen statt, wo zu Winkeln zurückgekehrt wird. Ein Kongruenzsatz der Rechtdreiecke oder der Lehrsatz, daß der Außenwinkel eines Dreiecks größer als einer der nichtanliegenden Innenwinkel ist, dient als Eindringskeil. Braucht man den letzteren Satz, dann schließt man den Gegenstand mit dem Satz, daß der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der nichtanliegenden Innenwinkel ist. Nach einer Anzahl von ganz folgerichtigen Lehrsätzen findet eine

— VII — Rückkehr z u m gleichschenkligen Dreieck s t a t t und diesmal wieder als Hilfssatz u m einen Einzelfall zur Kongruenz rechtwinkliger Dreiecke zu beweisen. I m zweiten Buch ist wieder, eine Rückkehr zu Winkeln. Sehnen und andere Kreisstrecken sind d a frisches Material. Wird der ptolemäische S a t z benutzt u m Parallelismus bei gleichen inneren Wechselwinkeln zu beweisen, dann wird der indirekte Beweis früh eingeführt. Außerdem befinden sich in den meisten Lehrbüchern noch zwei weitere indirekte Beweise für Sätze i m ersten und zweiten Buch, und zwar a u s d e m Grunde, daß ein direkter Beweis zur Zeit des Auftretens der Sätze völlig unmöglich ist. Obwohl obige Analyse nicht buchstäblich auf jedes Lehrbuch paßt, so ist sie doch typisch für alle. D a s gesteckte Ziel beim Schreiben des vorliegenden Werkes war ein besserer A n f a n g für ein geordnetes und systematisches Fortschreiten, so daß jeder L e h r s a t z und jede Konstruktion aus den unmittelbaren Vorhersätzen fließt und auf das unmittelbar Folgende führt, und so etwaige unvermeidliche Unterbrechungen des Lehrganges auf ein Minim u m zu reduzieren. Der Plan will folgende Forderungen zu befriedigen suchen: 1. die geometrische Konstruktion jeder Figur wie sie v o r k o m m t nach bewiesenen Tatsachen ohne Anahmen oder empirische Erfahrungen, 2. die Verbannung von Hilfslehrsätzen als

Brücken,

3. die Verbannung des indirekten Beweises als Krücke. (Kein Zusammenfallen mit einer Annahme, kein Reductio ad A b s u r d u m , keine Ausschlußmethode.) Der indirekte Beweis läßt sich rechtfertigen, wenn er aus pädagogischen Gründen vor einem verwickelten aber möglichen Beweis den Vorzug verdient; es ziemt ihm auch Anerkennung, wenn, unabhängig v o m L e h r g a n g , kein anderer Ausweg möglich ist. K o m m t aber der indirekte Beweis ausschließlich als N o t a u s b a u in einem L e h r g a n g vor, d a n n ist er ein Geständnis der Schwäche. Zufolge der ersten vier Sätze, wie sie in diesem Lehrgang niedergelegt sind, können die folgenden Konstruktionen geometrisch gemacht und bewiesen werden: 1. 2. 3. 4. 5.

einen Winkel gleich einem gegebenen Winkel zu konstruieren, eine Strecke zu halbieren, einen Winkel zu halbieren, in einem Punkt einer Linie die Senkrechte zu errichten, von einem P u n k t aus das L o t auf eine Linie zu fällen.

Kurz, die fünf Hauptkonstruktionen der Planimetrie stellen v o m Anfang an zur Verfügung. In manchen Lehrbüchern sind diese alle

— VIII — zusammen erst am Ende des zweiten Buches gegeben. Der fünfte Lehrsatz lautet: Drei Punkte nicht auf einer Geraden bestimmen einen Kreis. Jetzt kommen Scheitelwinkel und Winkel, deren Schenkel senkrecht stehen (S. 90/91), an die Reihe mit ihren Sätzen und Kehrsätzen. Mit deren Hilfe werden alle anderen Winkel im Kreise und bei den Parallelen bewiesen, mit Einschluß der Winkelsumme und dem Außenwinkel bei Dreiecken. Diese Beweisführungen sind alle elementar und einfach gehalten und ohne Verwendung von Parallelen oder Dreiecken. Alsdann werden Sehnen mit ihren Zentriabständen und Tangenten behandelt. Von den ersteren werden sofort die Erklärungen der Funktionsstrecken, der Sinusstrecke und der Kosinusstrecke und deren Zusammenhang mit Bogen und Winkeln abgeleitet. Diese Auseinandersetzungen auf S. 106 ermöglichen sofortige Verwendung in Beweisführungen und in der Lösung von Übungen in den ersten 156 Seiten. Die Kongruenz der Dreiecke findet in diesen Seiten keine Anwendung, wofern die beiden Funktionsstrecken nicht als implizite Elemente kongruenter Rechtdreiecke angesehen werden. Es wird manchen Lehrer erstaunen, wie viele Übungen man mit diesen einfachen Werkzeugen lösen kann. Der Begriff der Funktionsstrecken und die Anwendung von Funktionen war eher ein Ausschuß als ein Vorhaben. Obwohl Kongruenz und Ähnlichkeit früh ausgesprochen und oberflächlich in Schaltsätzen als Übungen bewiesen, werden diese nicht im Lehrgang zur Beweisführung als Werkzeuge benutzt und sollten in den Übungen verpönt werden, um zum Anschauen und Denken in Funktionsstrecken und in Funktionen zu nötigen. Kommt man nun zur Ähnlichkeit und Kongruenz der Dreiecke (S. 188), so kann man über alle Fälle ohne Unterbrechung disponieren. Vielleicht ist die eingeschaltete Darstellung der Dreieckskongruenz auf S. 156/157 so befriedigend wie die künstlicheren Beweise in ihren angewiesenen Stellen im Lehrgang. Das Wort „bestimmen" ist dem Autor so original wie den anderen Fachgenossen. Obwohl das Erzeugen von neuen Ausdrücken dem Ehrgeiz des Schreibers fernlag, kamen ihm doch solche Ausdrücke wie ebenseitig, ebenwinklig und verhältnisseitig als Bedürfnisgefühl. Deren Anwendung ist beispielsweise in folgenden Lehrsätzen dargelegt: Ebenwinklige Dreiecke sind ähnlich, verhältnisseitige Dreiecke sind ähnlich, Dreiecke mit einem verhältnisseitigen Winkel sind ähnlich, Dreiecke mit einem ebenseitigen Winkel sind kongruent, ebenseitige Dreiecke sind kongruent. Jede Konstruktion, die bewiesen worden ist, gilt danach als Postulat. Urpostulate und Axiome sind auf ein paar Grundsatzformen reduziert.

— IX — In seiner ursprünglichen Fassung folgte in diesem Lehrgang der Lehrsatz als Schluß an die Untersuchung und den Beweis. Diese Darlegungsform wurde jedoch für die übliche vertauscht. Das Ziehen von besonderen Linien oder Strecken für die Beweisführung ist dem Beweisgang selbst enthoben und vorangestellt worden. Also die folgende Beweisform : 1. Anführung des Lehrsatzes, i a) gegeben, 2. die Figur
größer respektiv als. kleiner als; < r kleiner respektiv als. c) L o t e o d e r

_L

Senkrechte.

i 1 Lot, L o t e ; rechte (n).

senkrecht,

Senk-

d) P a r a l l e l i s m u s u n d A n t i parallelismus. i e jht» parallel, Parallele, Parallelen, r parallel respektiv zu. a| a:|e ;'n antiparallel, Antiparallele(n). e) L i n i e n , W i n k e l , F i g u r e n . Lx L2 Ln Linie, Linie eins, Linie zwei, Linien. ¿_ ¿ i Winkel, Winkels. ~ T Bogen, Bogens. gleiche Bogen. T respektiv gleiche Bogen.

L

A A A Dreieck, Dreiecke, Dreiecken. R t . A Rechtdreieck (rechtwinkliges A)ej IS Parallelogramm (e). • oder El Rechteck. O ® ® Kreis, Kreises, Kreise. © ® © Inkreis, Umkreis, Auskreis. daher, darum. n Halbkreis und gestreckter Winkel. 2 n Kreislinie und voller Winkel. 71 rechter Winkel.

n —

1 Kreismaß oder 60°. Winkel von —

— 4

»

»

— 8

anl. =

anliegend.

»

»

45°.

Abkürzungen, A U S Q > Ausr., Ausz. = Aus Kreis, Ausradius, Auszentrum. Außen(e) = Außenkreise, cos, csc, cot = Kosinus, Kosekante, Kotangente. Def. = Definition, entspr. = entsprechend. Folges. = Folgesatz, gestr. /_ — gestreckter Winkel. Hyp. = Hypotenuse. In. O , Inr., Inz. = Inkreis, Inradius, Inzentrum. Kehrs. = Kehrsatz, kompl. = komplementär. Konstr. = Konstruktion.

XIII — korr. = korrespondierend. Proj. = Projektion. Pkt., Pkte. = Punkt, Punkte Quadr. = Quadrat. rt. = rechter Winkel. reg. = regelmäßig. sec = Sekante. sin = Sinus. Seg. = Segment. Sekt. = Sektor. suppl. = supplementär. tan = Tangente.

Bezeichnungen. A' AL-

LI

Bei P u n k t e n : • A" • A'" usw. A2 • AZ usw. Bei f r e i e n oder Linien. • L2 • Z-3 usw. S2- S3 Sekanten.

TX-T2

- T3

unbegrenzten

Tangenten.

B e i D r e i e c k e n siehe S. 46.

Inhaltsübersicht. Seite

Vorwort

V

V o r ü b u n g e n und B e t r a c h t u n g e n Planimetrische Berechnungsformeln Algebraische Produkte Projektion und Sätze Die Heronsformel und Algorismus Körperliche Berechnungsformeln D e f i n i t i o n e n und B e z e i c h n u n g e n p l a n i m e t r i s c h e r deren Linien Dreiecke Vierecke Vielecke Kreis Symmetrie im Kreis. Quadranten Tangenz Winkel Reziprok und Reziprozität Axiome und Postulate.

1—43 1—32 5 27 30 32—43 Figuren

S t r e c k e n und L i n i e n der K r e i s e , deren W i n k e l und Bogen Symmetrie bei Schnittkreisen Zentriwinkel Die fünf Hauptkonstruktionen Scheitelwinkel und rechtschenklige Winkel Die anderen Kreiswinkel Kreissehnen Funktionsstrecken Unendlich groß und unendlich klein

und 44—70 44 50 53 57 59 62 64 70 71

. . . .

73 73 75 84—87 89 94 103 106 115

Parallelen Winkel bei drei Linien Antiparallelen Liniennetze Das Dreieck E i n h e i t l i c h e Form- und Größenbeschränkung. Die P r o p o r t i o n

117 125 129 131 Kongruenz

.

144 156 169

DieFunktionen

175

Ä h n l i c h k e i t bei D r e i e c k e n und K o n g r u e n z Korrespondierende Strecken in ähnlichen Dreiecken Harmonische Teilung

188 212 217

— XV — Seite

P r o j e k t i o n und v e r k n ü p f t e Lehrsätze Der P y t h a g o r a s

224 225

Die Imaginären

227

Euklidischer Pythagoras

229

Pappus

230

Der Projektionssatz

238

Der Apollonius-Projektionssatz

239

Der Projektionssatz rein geometrisch

241

Der Heronsatz (modern)

244

»

)>

(geometrisch)

Auskreise, Ausradien, Auszentra

245 zum Dreieck

Dreipunktlinien

250 251

In- und Auskreisformeln Antiparallelen

254—256 260

Lehrsätze mit Antiparallelen bewiesen

266

Stetige Teilung oder der Goldene Schnitt

275

Zentralperspektive

283

Gliederungen und Storchschnabel Inversion

288 291

Merkwürdige

P u n k t e im D r e i e c k

Der Feuerbachkreis

294 298

Sehnenvierecke

309

Ptolemäische Sätze

309

Antiparallelgliederungen

314

V i e l e c k e im a l l g e m e i n e n Ähnlichkeitszentrum

329 331

Regelmäßige Vielecke

336

ji-Berechnung

359 und 366

Kegelschnitte

369

Die Ellipse

369

Orthogonalprojektion der Kegelschnitte

372

M a x i m a und M i n i m a .

Isoperimetrische Figuren

Symmetrie

378 387

Achsensymmetrie

387

Zyklische S y m m e t r i e

392

Konzentrische

Symmetrie

Polarsymmetrie Wechselbeweise

402

Variation

406

S.trahlenbüschel,

Dreipunktlinien, Transversalen

Satz des Menelaus i)

»

394 398

Carnot

417 419 421

»

»

Pascal

422

•>

»

Ceva

423

XYI — Seite

Anharmonischer

Schnitt

Satz des Desargues

427 434

»

»

Pascal (wiederholt)

435

»

»

Brianchon

436

Das Dualitätsprinzip

438

PolundPolare

440

Reziproke Polarvielecke

447

Involution

453

Radikalachsen

und R a d i k a l k r e i s e

Das vollständige V i e r s e i t

455 468

Trigonometrisches: Funktionen »

175 von 30°, 60°, 45°

Der Sinussatz

178 und 184 188

»

Kosinussatz

239

»

Tangentensatz

258

Graphische Darstellung aller Funktionen bei Spitzwinkeln

215

Funktionen von 18° und 72°

278

Stumpfwinkelfunktionen Funktionen halber W i n k e l »

der Summe und Differenz zweier W i n k e l

»

kleiner W i n k e l

280 317 und 323 315, 316, 323 319, 320

Dreieckswinkel von den drei Seiten

239, 257, 258, 326

Dreiecksinhalt

254, 255, 256, 326

Tafeln N a m e n - und

. 477—480 Sachregister.

Druck fehlerberichtigung. Sollte stehen

Wo

Seite Zeile

A n s t a t t oder Erklärung

angeschnittenen.

15

31

ausgeschnittenen

15

36

H

P .

(P)

(P).

letzte Zeile

33 65

2

80

in 3 unter Winkelbez. Schenkellängen

Scheitellängen,

Folgesätze, 1.

des

eines gleichschenkligen

Scheitelwinkels

eines gleichschenkligen. auch A' S' =

82

Zu beweisen, 2.

92

B e w e i s I I , Begriind. 5. Streichen.

95

I I I b.

N'A

A ' N ' =

N ' A ' ,

Strecken.

Sekantenwinkel, Winkel von ist verdreht im Buch. einer Tangente und einer Sekante, Tangentenwinkel von Scheiteltangenten

115

12

118

6

132 139

4

145

5

154

4,58 m

4 • 58

Beweis, 5.

B B ' \ \ A A '

B B ' W Ä A ' .

Beweis, 1.

L

Beweis, 5.

/_

Beweis, 1.

=

6

157

8 1

O

^ R

R

von unten

/!.

Z ^ + Ä 4.

R4

=

0 ' B '

0'B.

N A ' .

anliegenden gleichen Winkeln anliegenden Winkeln. 1

n

T

+

L

Bekräftigung unten

M .

¿ 0 , =

,

+

3

N ' A '

Übung 6.

155

172

Unendlich groß usw.

T

A

B

a

-

~2

-

a c b

y A C B .

1

Z _ A B X .

Y

c ±

c

d

T = f d

a

c

b

a

c

über Sinus u. Kosinus n = r n cos O

198

Folgesatz 8.

200

Übung 13.

ähnlich

kongruent.

von unten

A M '

A

207 248

255 259

4 2

von unten

Beweis, 3. Beweis, 10.

~

(bv

c)'

: M ' N ' : N ' B

Fabc 2 (8) (7) (6) (21) = = (2 4 ) (3 3 ) (72) O

X

B

X

tan

B X Oy

r

X ,

1 —

( A

—

d

« » = '•„cosO.

178

A b v c

±

c =F a

B )

A b v c

M

=

:

„

(bvc)'.

N ' ( N ' )

,

O

X

_

B X

B

X

~

O X , '

tan

Y

:

N ' B .

(8) (7) (6) (21

(A

+

l

R).

261

Anstatt oder Erklärung

Sollte stehen

Wo

Seite Zeile

die ||n.

die a||n

10 Unter Mitte der Seite

276 292

Kehrsatz, Postulat 4.

Ziehe AA'

293

Abb. 519, Fig. 2.

R bei P zu streichen

293

2

302

5

Postulat 3.

PQ=

und

AA"

mit b,

PS

Ziehe AA'

in

PQ = ST

mit b.

Mediane eines

Mediane, eines.

304

Konstruktion, 6.

Ziehe die J? GD -GE • GF

Ziehe

307

Begründung, 6.

/_ im

L auf. ABG • BCH.

339

ABQ-BCR

4 Konstruktion, 5.

342

~ 2

348

Schritt 7.

349

I I . — 1., unten I I . — 2., unten

AA".

(/5 — l ) , und für R = 1 i _ ist O P = y 5—1)

i

GD-GE-GF

und für R= 1 1 ist OP = (/5 — l ) .

Abszissen X.

Abszissen x

( ± . \x (

f

-

n .

\xx

x1l >

(

>

i

Xll

-

i

h

-

IV. — 3 .

ziehe ( M z j )

ziehe ( M - Z , ) .

von unten

auch |! zu

auch _L zu.

378

Beweis, 1.

(CP),

379

Beweis, 3.

C20 > C3Q > Cl P

350 374

2


ABCa

>

C 2 0 > C 3 0 > Cx P. ABC,

ab =

ABCt> Auf

D'E'

ABC3=

ABC,.

D'E.

V c' und a' c.

a'b'

/_s ab =

a'b'. a'c'.

¿_ ac = a!c

/_s ac =

Beweis, 7.

A abc^

A abc =

Lösung, 2.

-^r = m oder u = m x2 2

~

= m oder x — mx2.

Postulat, 2.

des

O

(BB).

Beweis. 4.

409

(CP,)C,A.

CSA

(abc)'

x

(T)O(PB)

x2

(abc)'.

die CA in B.

die CA in B'

420

3

von unten

Verhältnisse in 1, Fig. 2, oben Verhältnisse in 1. oben.

449

9

von unten

Descartes

Desargues.

458

Beweis, 4.

Glieder links in 1 und 3

Glieder links in 1. und 2.

459

Postulate, 1.

P , Tx und P x TT! . . . S. 233

PXT

3

Analyse, 3.

(NO—NO')

(O — NO')

4

Analyse, 3.

=

460

468 6/7 9

(r-\-r')

(NO+NO') (r — r')

+

und PXT'.. {r +

. S.457. (NO+NO').

r'y

Durchmesser • Ox • 0 2 • Oa

Durchmesser 01-0%-

Sl L '

S\~ S2 - s3.

D*

03.

Vorübungen und Betrachtungen. Planimetrische Berechnungsformeln. 1. Falte ein Stück Papier zu scharfer Kante. Dies kann nun als Lineal zum Ziehen gerader Linien und auch zum Messen von Strecken dienen. Wie kann man durch dieses einfache Mittel eine Strecke halbieren ? 2. Falte ein zweites Stück Papier zu scharfer Kante, und falte es in einem bequemen Punkt dieser Kante entlang, bis die umgeklappte Kante auf den anderen Teil der Kante zu/ sammenfällt. Dies bildet nun einen / rechten Winkel und kann zum Ziehen A 5 ° von Senkrechten verwendet werden. Abb. 1. A b b . 2. Besitzt der Schüler ein Reißdreieck, deren es zwei Sorten gibt, die als 45°-Dreieck und 30°-Dreieck unterschieden werden, dann kann er dasselbe in diesen Übungen zum Ziehen von Senkrechten benutzen. Einmal aus dem rechten Winkel aufgeklappt, erscheinen uns die Falten des Papieres nun etwa wie in der Beifigur, wo der Winkel AOC ein rechter ist, wie auch der Winkel BOC, und . . c ihre Summe ist der gestreckte Winkel AOB. Daher ist ein rechter Winkel die Hälfte eines gestreckten (geraden) Winkels und OC ist ein Lot oder eine Senkrechte auf A B. In dem rechten A ^ B Winkel AOC werden OA und OC die Schenkel Abb. 3. und der Punkt 0, in dem sie sich treffen, der Scheitel des Winkels genannt. Alle Winkel, die mit drei Buchstaben bezeichnet sind, werden mit dem Buchstaben am Scheitel in der Mitte geschrieben und gelesen, wie Winkel AOC = Winkel BOC. F r a g e : Wann ist eine Linie senkrecht zu einer anderen Linie? Auf dem Reißbrett verwendet man als Zeichneninstrumente weiter die Reißschiene, den Zirkel, und zum Messen von Winkeln den Winkelmesser. Jeder Schüler in der Geometrie sollte ein kleines Lineal, ein kleines Reißdreieck, einen Zirkel und einen Winkelmesser oder Transporteur besitzen. Alle nötigen Figuren sollten akkurat und, wo möglich, in den richtigen Proportionen gezeichnet werden. G m in d e r , Geometrie.

1

—

2

—

Ziehe eine gerade Linie AB und deute irgendeinen Punkt auf derselben als 0 an. Mit dem improvisierten rechten Winkel oder mit dem Reißdreieck ziehe eine Senkrechte zu A B in A ß ° dem Punkt 0 . Wie viele solcher Senkrechten lassen Abb - 4 sich, auf einer Seite von AB in 0 ziehen? Warum? Daher schließen wir: I n e i n e m P u n k t e i n e r L i n i e k a n n n u r ein L o t e r r i c h t e t werden. •c

Ziehe eine zweite Linie AB und mache einen Punkt C außerhalb der Linie. Lege das Reißdreieck ,a oder den Papierwinkel mit einer Kante längs A B an, aber so, daß die andere Kante durch C geht und zeichne A b b . 5. die Senkrechte zu A B . Wie viele solcher Senkrechten lassen sich von C auf AB ziehen? Schlußfolgerung: V o n e i n e m ä u ß e r e n P u n k t k a n n nur ein L o t auf eine geg e b e n e L i n i e g e z o g e n werden. Von zwei bequemen Punkten C und E in einer A Linie AB ziehe die Senkrechten CD und EF. Ziehe c E jS_P GH und KL beide senkrecht zu CD. Wie sind GH F F und KL zu EF? Mit einem Papierstreifen oder mit dem Zirkel messe CE • GH • KL. Wie verhalten sich Abb. 6. diese drei Strecken der Länge nach ? Schlußfolgerung: Zwei L o t e auf d i e s e l b e G e r a d e sind d u r c h a u s g l e i c h weit v o n e i n a n d e r e n t f e r n t und sind p a r a l l e l . Wird ein Quadrat ein Zentimeter lang und ein Zentimeter breit gezeichnet, so stellt es ein Quadratzentimeter oder 1 cm 2 dar. Wenn ein zweites Quadratzentimeter dem ersten zugezeichnet wird, wie in der Figur, dann bildet diese Summe ein Rechteck von 2 cm 2 ; ein drittes dazu in derselben Weise bildet ein Rechteck von 3 cm 2 ; ein viertes ergibt ein Rechteck von 4 cm 2 . Wird nun ein zweites Rechteck 4 cm lang und 1 cm breit dem vorhergehenden zugefügt, wie in der Figur, und dann noch ein drittes, so entsteht ein Rechteck 4 cm lang und 3 cm breit, welches im ganzen 12 cm 2 enthält. Abb. 7. Die verschiedenen Figuren von 1 cm 2 bis zum Rechteck 12 cm 2 stellen Flächeninhalte vor, die sich wie folgend formulieren lassen:

•

Der Inhalt eines Quadrates 1 (cm) bei 1 (cm) = (1) (1) [1 cm 2 ] = 1 cm 2 » » » Rechtecks 2 (cm) bei 1 (cm) = (2) (1) [1 cm 2 ] = 2 cm 2 » » » »> 3 (cm) bei 1 (cm) = (3) (1) [1 cm 2 ] = 3 cm 2

— -

3

—

Der Inhalt eines Rechtecks 4 (cm) bei 1 (cm) = (4) (1) [1 cm 2 ] = 4 cm 2 » » » » 4 (cm) bei 2 (cm) = (4) (2) [1 cm 2 ] = 8 cm 2 » » » » 4 (cm) bei 3 (cm) = (4) (3) [1 cm 2 ] = 12 cm 2 Verallgemeinert,' stellt (b) die Zahl der linearen Einheiten (cm, m, km usw.) in der Länge vor, und (h) die Zahl der linearen Einheiten in der Breite, dann h a t m a n : Der I n h a l t eines R e c h t e c k s von b (linearen Einheiten) b e i h ( l i n e a r e n E i n h e i t e n ) = (b) (h) (1 Q u a d r a t e i n h e i t ) oder bh Quadrateinheiten. Zuweilen betrachtet man eine geometrische Figur als auf einer gewissen Linie oder Fläche ruhend. Das Rechteck AB CD ruht mit seiner Seite A B auf der Linie L. Die Seite, mit D der ein Rechteck als aufruhend angesehen wird, i ic gleichviel ob auf einer gezogenen Linie oder nur gedachten Linie als Unterlage, heißt seine B a s i s L — ^ ^— oder Grundlinie. Diese Linie als Strecke wurde Abb 8 oben durch Zahlen 1, 2, 3, 4 und b gekennzeichnet; von dieser Strecke aus scheint sich die Fläche des Rechtecks längs den Linien AD oder BC zu erheben. Diese zwei Linien, oder besser Strecken, nennt man die H ö h e des Rechtecks. Die Höhen der Rechtecke oben wurden angedeutet durch 1, 2, 3 und h. In der Umgangssprache sagt m a n : Der I n h a l t eines R e c h t e c k s ist gleich dem P r o d u k t aus Basis u n d H ö h e , oder L ä n g e u n d B r e i t e , oder noch einfacher ist Basis mal Höhe oder Länge mal Breite. In Formelf o r m : F = bh. Werden zwei Faktoren wie b und h miteinander multipliziert, so macht es (Facit) bh. Dies erklärt den Gebrauch des F für Inhalt, weil Inhalt ein Produkt vorstellt. Die Zahlen 1, 2, 3, 4 und die Buchstaben b und h, den Worten Zentimeter in den obigen Messungen vorgeschrieben, heißen die M a ß k o e f f i z i e n t e n . Was man wirklich multiplizierte, waren die linearen Maßkoeffizienten der Länge, der Breite, der Basis, der Höhe und gelangte so zu den Koeffizienten des Quadratmaßes. Mit dieser Verständigung kann man die obige Ausdrucksweise ihrer Kürze wegen annehmen. In der Gleichung F = bh kann man F als Satzgegenstand oder als S u b j e k t bezeichnen. Die Gleichung läßt sich in zwei Weisen transformieren, je nachdem man (b) oder (h) das Subjekt macht. F Denn ist F = bh: dann ist b h = F (warum ?) und b =

(warum ;');

und wieder, ist F = bh oder bh = F, dann ist h= ^. Da nun in einem Quadrat die Höhe (h) gleich der Basis (b) ist, so ist die Formel für den Inhalt eines Quadrates F = wovon /; = | F ist. i *

—

4

—

Übungen. 1. Was ist der Umfang eines Quadrates, dessen Seitenlänge gleich (b) ist; dessen Inhalt gleich (b) ist? 2. Was ist der Umfang eines Rechtecks, dessen Seiten je (b) und (h) Einheiten messen ? Schreibe dies mit Faktoren in Klammern. 3. Vergleiche die Inhalte eines Quadrates und eines Rechtecks, beide mit einem Umfang von 120 cm, wenn das Rechteck 2-, 3- oder 4mal so lang ist als breit. 4. Vergleiche die Inhalte in (3), wenn der Umfang (p) cm anstatt 120 cm ist. Welches von beiden hat stets den größeren Inhalt ? 5. Vergleiche die Umfange eines Quadrates und eines Rechtecks, beide mit einem Inhalt von 256 cm, wenn das Rechteck 2-, 3- oder 4 mal so lang als breit ist. 6. Vergleiche die Umfange eines Quadrats und eines Rechtecks, beide von (m2) cm 2 , wenn das Rechteck 2-, 3- oder 4mal so lang als breit ist. Welches hat stets den kleinsten Umfang ? 7.

___

Ein Garten 96 m bei 56 m ist mit einem 75 cm breiten Pfad umgürtet. Was ist der Inhalt des Pfades ? Ein Garten (b) m bei (h) m ist mit einem (n) m Abb. 9. breiten Pfad umgürtet. Was ist der Inhalt des Pfades? Resultat: 2n (b -f- h -f- 2n) m 2 . Setze die Werte von b, h und n (Übung 7) in die Formel ein und vergleiche mit dem Resultat in (7).

9. Ist der Pfad in Übung 7 innerhalb des Gartens angelegt, was ist dann der Inhalt des Pfades ? 10. Ist der Pfad in Übung 8 innerhalb des Gartens angelegt, was ist dann der Inhalt des Pfades ? Resultat: 2n (b h — 2 n ) m2. Setze nun die Werte in (9) in diese Formel ein und vergleiche das Resultat mit dem in (9).

—

5

—

Algebraische 4 5X X

15

X

X

Produkte. a b|

y

X

y

3

2

X

y

A b b . 10.

1. Stellt F den Inhalt vor, zeige nach obigen Figuren, daß (2x) a) F = Ax = (2x) b) JF = 5 x + 1 5 = 5 (» + 3) c) F = ax-\- ay = a (x -f2

d )

F — a x - \ - a y - \ - a z

F

e)

F

y)

=

a(x-\-y-\-z)

—

ax-\-bx-\-ay~\-by

=

(a-\-b)

=

a x - \ - a y

=

( x + y )

=

(x-\J

r

(a

oder

y)

b x - \ - b y +

=

b).

2. Wird ein Quadrat auf einer Linie, welche (a + b) Einheiten mißt, errichtet, dann ist a'

ab

ob

bz

F

(a 2

=

+

ab

+ =

ab (a

b 2)

+ +

b)

=

{a

+

(a 2

+

l a b

b 2)

+

b).

Das Symbol = steht für identisch.

a + b

A b b . 11.

Dies ist also eine Bestätigung der wohlbekannten algebraischen Formel 3. In gleicher Weise ist (10 + 2) 2 = (10)2 + 2 (10) (2) + (2) 2 : (10)2 = 100 2 (10) (2) = 40 (2) 2 = 4 144

-25

4. Wiederum in dem Quadrat ist F = (25)2 = (20 + 5) 2 = (20) 2 +2(20)(5) + 5 2 .

-

Wird nun das untere Rechteck (20) (5) dem anderen Rechteck (20) (5), wie in der zweiten Figur, angesetzt, so wird die so abgeänderte Figur gleich der ersten bleiben und aus dem Rechteck (30) (20) und dem Quadrat (5)2 bestehen, also Inhalt = 625. Nun kann man a 2 -f- 2ab b in die Faktorenform a (a~\~2b) -)- b bringen. In obigem Beispiel ist nun a = 20 und b = 5, woher A b b . 12.

2

a{a-\-

ist.

2b)

+

b2

=

2 0

[ 2 0

In gleicher Weise ist

+

2

(5)]

2

+

(5)

2

=

2 0

(30)

+

2 5

=

6 2 5

(35) 2 = 30 [30 + 2 (5)] + 5 2 = (30) (40) + 25 = 1225 (45) 2 = 40 [40 + 2 (5)] + 5 2 = (40) (50) + 25 = 2025 (95) 2 = 90 [90 + 2 (5)] + 5 2 = (90) (100) + 25 = 9025. Das Quadrieren von Zahlen, deren Einerzahl (5) ist, kann also leicht nach folgendem Algorismus im Kopfe ausgeführt werden: (15) 2 1 5

2 t 5 2 25

(25) 2

(35) 2

(75) 2

(125) 2

2 5

3 5 43 5

7 5 8-? 5

12! 5 13 12 5

12 25

56 25

32 5 6 25

156 ! 25

Man multipliziert also die Zehner für sich mit einem Zehner mehr im Multiplikator und multipliziert dann die Einer für sich. Dezimalzahlen, die auf 5 endigen, können in gleicher Weise multipliziert werden, indem man für die Dezimalstellen zuletzt Rechnung trägt. 4,5 4,5

1,0 5 1,0 5

.005:5 •005|5

20,25

1,10125

.000030 25

Außer dem Quadrieren kann man auch Rechnungen folgender Art ausführen: .0001 5 .005 5 .000315 3 50 .001 5 5 500 .12250

.0000002 25

30,2500

Quadriert man 3 Vz in üblicher Weise, so hat man 12 V41

Setzt man für a — 3 und für b =

in

a (a + 2b) + b2 = 3 3 ( 3 + 1) + -

(3) (4) +

j =

12

4-

Hieraus ist es klar, daß beim Quadrieren von Zahlen, die auf y 2 endigen, das (2b) in der Formel [a (a -(- 2b) + ö 2 ] einen weiteren Einer ausmacht. Daher das Quadrieren solcher Zahlen nach obigem Algorismus: (2V 2 ) 2

(5V 2 ) 2

4

(8 V*

—

7

-

1

Die Q u a d r a t w u r z e l n v o n Zahlen, die auf 25 oder y- endigen, lassen 1 sich leicht i m Kopf ausziehen, i n d e m m a n die 25 oder das - a b t r e n n t 4 u n d die übrige Zahl in zwei F a k t o r e n zerlegt, die u m einen E i n e r differieren. Bei der Q u a d r a t w u r z e l aus 2025 z. B. zerlegt m a n 20 in die F a k t o r e n (5) (4) u n d n i m m t n u n den kleineren F a k t o r als Z e h n e r m i t der | 25 = 5; also ist ]/2Ö25 = 45. N a c h demselben V e r f a h r e n ist i 1 )/20 4 = 4 2 E s wird a n g e n o m m e n , d a ß das Ausziehen der Q u a d r a t w u r z e l n a c h der F o r m e l ] ' a 2 + 2ab -(- b2 = )/a 2 -f- ( 2 a b) b = a -j- b d e m Schüler geläufig i s t ; a u c h sollte m a n das W u r z e l a u s z i e h e n d u r c h Zerlegen in Faktoren kennen; nämlich: ] 1296 = ? l 2 2 Zerlegen in F a k t o r e 2 1296 D a h e r ]/l296 = | ( 2 ) (;! ') = (2 ) (3 ) = = (4) (9) = 36. 2 "648 2

324

2

162 u n d / 4 4 1 = y W W * ) = (3) (7) = 21.

3

81

3

27

3

9

Übungen. 1. Q u a d r i e r e m ü n d l i c h : 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115, 125, 2,5, .35, .015, 12,5, .75. • 2. Q u a d r i e r e m ü n d l i c h : I i / , , 2 H , 3Vi, 4V,, 5V>, 6 ^ , , 7V,, 8V 2 , 9 1 /,, 10 y 2 , 11V 2 , 12 Vi. 3. Q u a d r a t w u r z e l m ü n d l i c h : 2025, 20,25, .2025; 1225, 12,25, .1225; 225, 2,25, .0225; 625, 3025, 4225, 5625, 7225, 9025, 11025, 13225, 15625; 6,25, 30,25, 42,25, 56,25, 72,25, 90,25, 110,25, 132,25, 156,25; .0625, .3025, .4225, .5625, .7225, .9025, 1,1025, 1,3225, 1,5625. 4. Q u a d r a t w u r z e l n m ü n d l i c h : 1 2 i j , 2 0 ' . , , 3 0 V h 42Vj, 56 1 ,, 72i „ 90i/ 4 , 110 V,, 132 V,, 156 V,. 5. Q u a d r a t w u r z e l n in (3) oben m i t F a k t o r e n und nach der |a2+ 2ab + b2 = • b) b = a + b.

Formel

Die F o r m e l (a -f- b)2 = a2 -I- lab 4 - b2 ist a u c h v o r t e i l h a f t a n w e n d b a r im Q u a d r i e r e n von Zahlen, die Zahlen sehr n a h e liegen, welche sich leicht quadrieren lassen, z. B . :

—

8

—

(1003) 2 = (1000) 2 + 2 (1000) (3) + (3) 2 = 1000000 + 6000 + 9 = 1006009 1006000

+ 9

1006009. Da aber solche Zahlen nur vereinzelt vorkommen, so ist ihre besondere Berücksichtigung zweifelhaft, obwohl sie vorübergehend eine gute Übung bieten. Quadriere mündlich: 1001, 1002, 10004, 1005, 101, 102, 103, 104, 105, 71, 61, 81, 91, 52, 92, 201, 202, 203, 205, 301, 302, 303, 304, 305. Ein Rechteck mit einer Basis von ( a b) linearen Einern und einer Höhe von (a -(- c) linearen Einern enthält a2 ab ac -f- bc Quadrateiner, das algebraische Produkt von (a -\-b) {a-\- c). Wird der Faktor aus den ersten drei Gliedern dieses Produktes entfernt, so ergibt sich a (a b + c) bc = a [a-f- (b-f- c)] + b c. Werden nun b und c so gewählt, daß ihre Summe gleich 10 ist, wie in der Beifigur, wo a = 10, b=6, c = 4 ist, dann ist (16) (14) = (10 + 6) (10 + 4) Abb. 13. = 10 [10 + (6 + 4)] + (6) (4) = 10 (20) + 24 = 224. Dies wird in der Figur bestätigt, wo a 2 = 100, ein Rechteck (ab) — 60, ein Rechteck (ac) = 40 und ein Rechteck bc = 24 oder 100 + 60 + 40 + 24 = 224. Gleicherweise ist (88) (82) = 80 [80 + (8 + 2)] + (8) (2) = 80 (90) + 16 = 7216. Daher kann man zwei Zahlen mit gleichem Zehner, deren Einersumme gleich zehn ist, sehr leicht im Kopf nach dem folgenden Algorismus multiplizieren: (17) (13) 1 7 2 t 3 2 21

(29) (21) 2 9 3 2 1 6 09

(33) (37) 3 3 43 7 12 21

(48) (42) 41 8 54 2 2 0 ! 16

(56) (54) 5 6 65 4 30 24

(69) (61) 6 9 76 1 42 09

(128) (122) 12 8 13*2 2 156 16

Übungen. 1. Multipliziere mündlich: (104) (106), (109) (101), (108) (102), (107) (103), (204) (206), (203) (207), (202) (208), (209) (201), (18) (12), (19) (11), (28) (22), (27) (23), (39) (31), (38) (32), (36) (34), (47) (43) usw. 2. Welche zwei Faktoren, deren Zehner identisch und deren Einersumme gleich Zehn ist, führen zu den Produkten: 209 216 221 224 225 4225 625 624 621 616 609 5609 1209 1221 1216 1224 1225 7209 2025 2016 2024 2009 2021 9009 3009 3024 3021 3016 3025 3. Welche Zahlen in der letzten Übung sind

4224 5616 7216 9016

4221 5621 7221 9021

Quadrate ?

4216 5624 7224 9024

4209 5625 7225 9025

—

9

—

Die algebraische Formel (a — b)2 = a2— 2 a b b 2 läßt sich am besten geometrisch verbildlichen, wenn man (a — b)2 = a2 -+- b 2 — 2 a b schreibt. Demnach gäbe es ein großes Quadrat (a 2 ), an welches in einer Ecke das Quadrat (b2) angefügt ist und von der Figur als Ganzes die zwei *— a — Rechtecke (ab) abgezogen werden, so daß das Quadrat -b(a — b)2 übrig bleibt. In der Beifigur ist die Formel (a — b)2 = a2 — 2ab-\-b2 b in der Form (a — b)2 — a2 — ab — b (a — b) dargestellt. Diese Form ist abgeleitet von: (a-bf (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 ^ a2 — ab — ab b2 2 = a — ab — b (a — b).

_(a-b;

et

*

Abb.

15.

Die Formel (a — b)2 = a2 — 2 a b b 2 kann bei Quadrierung von Zahlen angebracht werden, wenn solche Zahlen nur um ein Kleines weniger sind als Zahlen, die sich leicht quadrieren lassen. Also z. B. (997) 2 = (1000 — 3) 2 = (1000) 2 — 2 (1000) (3) + (3) 2 = = 1000000 — 6000 + 9 = 994009 994000 Die Formel (a

+ 9

994009 b) (a — b) = a2 — b2 ist in der Beifigur dargelegt:

Das Rechteck (I + II + I I I ) = (a + b) (a — b). Das Rechteck

III'

=

III.

Also ist das Rechteck (I — — j 11 —|— I I I ) = dem Quadrat (I + II +

III' +

IV) — dem Quadrat IV.

Oder das Rechteck (a -|- b) (a — b) = a2 — b2.

b

I '

I

av i i i i m i ,l,b . i

b) , = (a-b) +b + b

Entwickle die Formel für den Inhalt eines Trapezes in F, b, b' und h, gib die Yertauschungsformen und drücke jede der Formelformen in Worten aus. Berechne die Inhalte von Paralleltrapezen, in denen b —73 13 ! 79,5 110,75 40,75 Einheiten sind, 44,25 » » ¿>' = 37 12 . 70,5 79,25 170 » » h = 55 50 | 75 j 95

für b' und für h. Drücke diese 8. Löse die Gleichung F — -•-in Worten aus. 9. Ermittle (h) durch die Formel in jedem der angedeuteten Paralleltrapeze: F = 312,5 j 112,5 | 1225 2025 , Einheiten. b = 14 ! 7,8 ! 33 40,75 » b' = 11 | 7,2 | 37 ' 49,25 » 10. Aus folgenden Trapezzahlen ist (b) durch die Formel zu berechnen: F = 612,5 2112,5 2812,5 3025 2025 Einheiten. h = 35 65 75 110 90 » b'= 20 35 38 • 30 ; 23 » Die Beifigur ist ein Vierseit oder Viereck, in welchem keine zwei Seiten parallel sind. Die Diagonale (d) teilt das Vierseit in zwei ungleiche & mnd und pod, deren Höhen (h) und (h') der Diagonale senkrecht stehen. Also : dh F & mnd 2~ dh' •> t ifOll

Abb. ¿4.

— 14 — Übungen. 1. Entwickle die Formeln für den Inhalt (F) eines Vierseit nach obigen Bezeichnungen und schreibe mit Klammern das Resultat in drei Formen nach dem Yertauschungsgesetz. 2. Drücke die Formelformen in Übung (1) in Worten aus. 3. Aus einer der Formeln in Übung (1) suche (d) in Werten von A, h' h' • F und drücke beide in und F und dann (h) in Werten von Worten aus. 32 41 105 45 4. Gegeben: d = 25 zu finden 54 h = 10 15 23 23 das F der Vierseite. 22 41 13 16 h' = 15 5. Finde das ausgelassene Streckenelement im Vierseit, wo: F = 225 5625 2112,5 1245,5 4512,5 d = 15 65 53 h = 17 39 37 52 36 20 43 h' — —

Die Inhalte aller anderen Flächenfiguren in der Planimetrie, regelmäßig oder unregelmäßig, werden durch Teilung der Figuren in Dreiecke erhalten, deren Inhaltssumme den Inhalt des A b b . 25. Ganzen ergibt. Die erste Beifigur führt eine so geteilte Figur vor Augen. Die zweite Figur zeigt ein V i e l e c k in Dreiecke und Paxalleltrapeze zerlegt, wovon die letzteren sich auf Dreiecke zurückführen lassen. Schon früh in der Jugend lernt man, daß mit einer Zirkelöffnung gleich dem Radius die Kreislinie in sechs gleiche Teile geteilt werden kann. Wie viele Grade im vollen Kreis ? Wie viele Grade in jedem Teilbogen ? Werden die Teilpunkte nacheinander mit Sehnen verbunden, wie in der Beifigur, dann entsteht ein r e g e l m ä ß i g e s V i e l e c k von sechs Seiten oder ein r e g e l m ä ß i g e s S e c h s e c k . Geometrisch sagt man: Der R a d i u s k a n n s e c h s m a l a l s S e h n e auf der K r e i s l i n i e a b g e t r a g e n werden. Ziehe auf Pappe zwei Kreise mit gleichem Radius, so von ungefähr 6 cm, und beschreibe in denselben wie oben zwei regelmäßige Sechsecke, von welchen alsdann eines auszuschneiden ist. Lege das ausgeschnittene Sechseck auf das unausgeschnittene, so daß ein Paar der gleichen Seiten zusammenfallen. Was läßt sich nun über die anderen Seiten sagen ? Was bezugs der Eckwinkel, sind sie gleich oder ungleich ? Messe die

— 15 — Eckwinkel mit dem Transporteur oder Winkelmesser. Wie viele Grade in jedem Winkel? Sind die Sechsecke k o n g r u e n t oder nicht? In beiden Sechsecken ziehe nun Radien nach allen Ecken, wie 0A • OB-OC usw. Mit dem Transporteur messe die Winkel um das Zentrum. Wie viele Grade in jedem dieser Winkel ? Hätte man das voraussehen können und warum ? Im Kreis heißen solche Winkel Z e n t r i w i n k e l . Wir haben hier also einen Fall von gleichen Bogen mit gleichen Sehnen und gleichen Zentriwinkeln in demselben oder in gleichen Kreisen. Wie viele Grade in dem Winkel COF ? Ist COF eine g e b r o c h e n e oder eine g e r a d e Linie und warum? Was für Linien sind EB und DA ? Wie nennt man solche Linien im Kreis? (Durchmesser.) Zerschneide das eine Sechseck nun den Radien entlang in sechs Dreiecke. Lege eines dieser Dreiecke mit einer Seite auf eines der Dreiecke im ungeschnittenen Sechseck. Drehe es, bis eine andere Seite des Dreiecks auf dieselbe Seite des ungeschnittenen Sechsecks fällt. Drehe es noch einmal und wiederhole den Deckversuch. Wird dasselbe mit den anderen Dreiecken stattfinden auf denselben oder auf anderen Dreiecken des ungeschnittenen Sechsecks? Sind die Dreiecke g l e i c h s e i t i g ? g l e i c h w i n k l i g ? k o n g r u e n t ? Wie viele Grade mißt jeder Winkel in den Dreiecken und wie viele Grade beträgt die Winkelsumme in irgendeinem der Dreiecke ? Solche Dreiecke nennt man g l e i c h s e i t i g e Dreiecke und auch g l e i c h w i n k l i g e Dreiecke. Da v o n 0 bis A so weit ist als v o n 0 bis B und a l s o 0 A =OB — AB ist, so ist auch von A bis 0 so weit als von B bis 0 = AB. Kann der Schüler nun ein gleichseitiges Dreieck von ungefähr 4 cm Seitenlänge zeichnen, ohne den Kreis wie oben, sondern nur mit dem Lineal und mit kurzen Zirkelbogen ? Beschreibe das Verfahren. Wird das Dreieck gleichwinklig sein ? Wie viele Grade in jedem Winkel, wie viele in der Winkelsumme ? In einem der angeschnittenen Dreiecke wie abc ziehe mit Hilfe des Reißdreiecks die Höhe auf c und bezeichne sie A3 (A-drei); auch die Höhe h2 auf b und die Höhe hx auf a. Tue dasselbe bei einem zweiten der Dreiecke. Schneiden sich die Höhen immer in einem Punkte P oder nicht ? Drücke in Worten aus, ' c was die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks stets tun. Abb. 27. „ T , , , ah, bh9 x 1. F (Inhalt des A) = - £ =

=

ch«

2. Da a = b = c ist, kann man sie für einander vertauschen, und dann ist , , , a h1 _ a h2 _ a hz _ 2 ~Y '2

—

16

—

3. Dividiert man durch mit (a)

hx _ h2 __ h3 2

~

2 '

2

4. Multipliziert man durch mit (2), dann ist

h1 = h2 = hs. Wie sind daher die drei Höhen verhältnismäßig ? Drücke dies in Worten aus: Im gleichseitigen Dreieck sind usw. Zeichne auf Schreibpapier ein 6 cm gleichseitiges Dreieck (so groß wie eines der Sechseckdreiecke, welche ausgeschnitten wurden). Ziehe eine Höhe (k 2 ) und schneide das Dreieck aus. Nun falte es, bis eine Hälfte von b auf die andere Hälfte fällt, wobei (c) auf (a) fallen wird. Beim Entfalten, was bemerkt man in bezug der Falte und (h2) ? Das Umklappen halbierte offenbar die Seite (b). Halbierte das Umklappen auch den Winkel Abb. 28. zwischen a und c, d. h. den Winkel ac, welcher Winkel an der Spitze heißt ? Drücke in Worten aus: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks tut was zur Basis, tut was zum Winkel an der Spitze (der Basis gegenüber) und teilt das Dreieck in was für kongruente Dreiecke ? Nun aus dem Rechtdreieck in Abb. 2 oben haben wir nach dem Pythagoras:

h22

+

4

= a2

und da in der Figur (a) = (b) ist b2

Ä22

= b2

und nun nach Transponierung A,2 =

b2 U2_ ^ 4 I

s

4ö2 — ¿ 2 \ 4

3 b2

Zieht man nun die Quadratwurzel aus auf beiden Seiten, dann ist

Und F =

> = ( - i ) - T ^

otiOT

T ^

oder

T ^

Fülle nun die Lücken aus in: Der Inhalt eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich einem Viertel mit multipliziert. Da alle Seiten des regelmäßigen Sechsecks gleich dem Radius (R) des Umkreises sind, so kann (R) eine Seite dessen sechs gleichseitigen

— 17 — 2^ Dreiecke vorstellen und die Höhe dann durch-^-j/3 ausgedrückt werden. Nun ist der Inhalt des Sechsecks gleich der Inhaltssumme seiner sechs Dreiecke oder 3 R2 / „ 3 R'1 [/"3" 1 3. , = 3 o F ^ — ~ö , 2 , In dem regelmäßigen Sechseck sind hiermit die Sehneriwerte mit bl - b2 - b3- bi usw. bezeichnet (lies b sub 1 oder b eins, b zwei usw.) Diese können als Basen der Dreiecke der Reihe nach angesehen werden. Ziehe in den Dreiecken die Höhen und bezeichne sie entsprechend mit rly r 2 , ra usw. V des A / / = Dann ist der Inhalt des & I = -2 ' ~~ 2 usw., oder, da die Dreiecke alle kongruent sind und = r2 = r3 ist, so können alle Höhen als einfach r geschrieben werden. Also ist: A b b . 29.

oder

'

_ V 2

F

=

, V 2

, +

b, r V 2 > i

\ + lh + h + h + bb +

i

k r o

, i

bRr n

b,)r

Es ist aber (b1 b2 b3 bt b5 b6) der U m f a n g des Sechsecks. Setzt man nun (p) für den Umfang, so reduziert sich die Form der Gleichung auf 1 , . / r\ , (r). F= Pr = (P r) = P Da rj, = r 2 = r 3 usw. ist, kann mit einem Radius = r1 ein Kreis dem Sechseck einbeschrieben werden, der durch die Fußpunkte sämtlicher (r) geht. Dieser Kreis heißt der I n k r e i s des regelmäßigen Vielecks zur Unterscheidung von dem oben gegebenen U m k r e i s . Deren Radien werden bezüglich der I n r a d i u s und der U m r a d i u s benannt. Also hat man: Der I n h a l t e i n e s r e g e l m ä ß i g e n S e c h s e c k s i s t g l e i c h dem h a l b e n P r o d u k t s e i n e s U m f a n g s m i t dem I n r a d i u s . Da in dem Sechseck b1 = b2 = b3 . . . = R ist, ist (p) der Umfang = 6 R oder

) = 3 R; da weiter r =

^ ]'3 ist, so hat man nach Ein-

setzen dieser Werte in obige Gleichung b = (3 Ii) ij m i n d e r .

Geometrie.

| 3 )^ /

: 2

} 3 wie oben.

—

18

—

Schneidet man nun das noch ungeschnittene regelmäßige Sechseck längs des Durchmessers F C entzwei und trennt dann die Kreisabschnitte oder Segmente FA und CD vom Sechseck ab, so kann man die zwei Stücke längs FA auf DC wie in Fig. 2 zusammenfügen, wo 0 4 für FA und DC resultiert. In Fig. 2 wie viele Grade in der Summe von Z" OAD + DAO' + 0' AB und warum? Was für ein Winkel ist

OAB daher? Was für eine Linie? Was für eine Linie ist FB daher? l_EDO = ODA = DAO' = wie viele Grade und ihre Summe oder der Winkel EDO' ist was für ein Winkel ? was für eine Linie ? Also ist EC was für eine Linie ? Hat der Schüler nach früheren Besprechungen im Buch ein Mittel an der Hand, um zu beweisen, daß EC und FB parallel sind ? Sind die Linien gleichweit voneinander entfernt ? Im A EFO und im A OED ziehe die Höhen OP und EQ. Wie sind diese verhältnismäßig ? Wie sind die Linien EF und DO zueinander daher ? In den A DOA und AO'D ziehe die Höhen AQ und DR. Wie sind diese verhältnismäßig? Wie sind 0 ' A und DO zueinander? In derselben Weise verhält sich CB zu 0' A. Es sind daher alle die schrägen Linien einander parallel, und die Figur BCEF ist was für ein Vierseit ? Parallelen können sich nie in Verlängerungen treffen, denn im Entferntesten besteht immer noch der gleiche Abstand. Macht man aus Holz ein in Dreiecke zerschnittenes regelmäßiges Sechseck ABCDEF, in welchem die Punkte A • B-D-E mit Scharnieren oder Bändern versehen sind, so kann man f\ Z—-9r—-j dasselbe in zwei Teile zerlegen, von denen der eine FABC in Fig. 2, sich aufc

AAA/

A

e

J" A

e

8

F/\/\/\/

nc

>

: 264

175 280

4. Aus einer der obigen Gleichungen ermittle: I. (a) in Werten von (h) und (b). II. (b) in Werten von (h) und (a). I I I . (a) in Werten von F und (b). Resultat II 6 = 2 f(a + h)\a — h)

»

— 23 — Bemerkungen: I. Die folgende Form ist vorteilhaft bei ganzzahligen wie in den Beispielen, welche folgen: (4)(F)(F)

,

+1 •

Wurzeln

(bjjb)

(b) (b) 4 1 weil alle Multiplikation erspart werden kann bis nach allem möglichen Heben. I I . Das Lösen von Übungen für (b) aus Werten von (F) und (a) führt zu Gleichungen, in denen das Quadrat ergänzt werden muß, und sind hier ausgelassen.

5. Nach den abgeleiteten Formeln suche die fehlenden Werte: h = b =

14

(inverse Formeln) in Übung (3)

20

F

25

a =

—

b =

36

96

= 432

432 48

Wenn mit dem Radius als Sehne die Kreislinie in sechs (6) gleiche Bogen geteilt wird und Radien nach den Teilpunkten gezogen werden, dann werden sechs S e k t o r e n gebildet. Die Sehnen zwischen den Teilpunkten teilen jeden Sektor in zwei Teile, von denen eines ein Dreieck, das andere ein K r e i s a b s c h n i t t ( S e g m e n t ) ist. Ein Sektor ist also ein Teil eines Kreises von was gebildet ? Ein Kreisabschnitt was ? Die sechs Sektoren lassen sich nach Figur 1 zusammenfügen, und diese stellt den Inhalt eines Kreises dar. Diese Figur besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit Zutat der sechs Kreisabschnitte. Die Linie L ist durch eine Ecke des Parallelogramms der Basis senkrecht gezogen. Der /_q (Winkel q) zwischen der Senkrechten!/ und der nächsten schrägen 1 Seite 0 A wird-^von 60° oder 30° messen. Wird der Kreis mit einem Sehnenzwölfeck in zwölf Sektoren geschnitten, so können diese auch nach Fig. 2 zusammengefügt werden, und wiederum den Kreisinhalt darstellen. Die zwölf gleichschenkligen Dreiecke bilden ein Parallelogramm, was sich wie bei Fig. 1 beweisen läßt. Der Inhalt des Parallelo-

.,,. Abb

— 24 — gramms in Fig. 2 ist gleich dem Inhalt des Zwölfecks, zu dem die Formel F = {—j r gehört.

Der Winkel (q) zwischen der Senkrechten L

und der schrägen Linie AO ist nun 15°, und AO ist ersichtlich der Höhe des Parallelogramms näher an Länge. Die Bogen der Kreisabschnitte haben sich näher an die Sehnenstrecken herangeschmiegt, und der Kreisinhalt ist entschieden dem Inhalt des Parallelogramms näher gekommen. Verfährt m a n mit einem gleich großen Kreis und seinem Sehnen24-Eck wie oben, so ergibt sich Fig. 3. Inhaltssumme der 24 Dreiecke ist wieder der Inhalt des 24-Ecks. Die Dreiecke in Fig. 3 bilden wieder ein Parallelogramm, was sich wie bei Fig. 1 beweisen läßt. Es hält also die Inhaltsformel F = {~Jr.

Der /Lq wird nun 1V2 Grade

betragen und die Strecke OA hat sich an Länge noch näher an die Höhe des Parallelogramms gemacht. Die Bogenketten haben sich ziemlich nahe an die Geraden der Basen herangewagt. Bei dem 48-Eck, aus dem 24-Eck wie das 12-Eck aus dem 6-Eck konstruiert und wie die anderen zusammengefügt, wird der Lq nur 3 % Grade messen, so daß die Seite AO näher an die Höhe des Parallelogramms herangerückt ist und sich noch weniger von der Höhe an Länge unterscheidet. Auch die Bogenketten, wenn gezeichnet, werden noch entschiedeneres Anschmiegen an die Geraden zutage legen. Dieses Verfahren kann man verfolgen mit regelmäßigen Sehnenvielecken von 96 • 192 • 384 • 768 Seiten, wobei im letzteren Falle der Winkel q weniger als 1 / i ° messen wird, der Radius OA nun praktisch senkrecht stehen wird und sich von der Parallelogrammhöhe um weniger 1 . als deren Länge unterscheiden, während die Bogenketten sich praktisch zu geraden Linien gestreckt haben. Für praktisches Berechnen der Kreislinie oder des Kreisinhaltes dienen uns die Annäherungsmaße des regelmäßigen 768-Ecks oder eines Vielecks, das zwischen 720 und 800 Seiten hat, von denen jede Sehnenseite einen Bogen von weniger als unterspannt. Obwohl der Schüler imstande ist, alle Figuren, die soweit vorkamen, zu konstruieren und die verschiedenen /.1M X V 0>j "1 X0' 1 Mittellot der Sehne A A ' ist. Zu b e w e i s e n : 1. Daß irgendein Punkt 0' in MM' oder dessen VerAbb. 113. längerung als L der Mittelpunkt eines Kreises ist, in dem A A ' eine Sehne ist. 2. Bogen und Winkel AN = NA' auch A'N' = N'A'. P o s t u l a t . Ziehe 0 ' A und O'A'. Beweis.

1. Klappe die Figur um L um, bis A' 1. Post, und auf A fällt. I 2. Also fällt O'A'

auf O'A.

3. . • . O'A' = O'A = Radien des @ 0'.

\ 2. Zwischen 2 P u n k t e n usw. \ 3. Von ihrer Deckung (2) von demselben P u n k t 0 ' aus.

4. . ' . A u c h /_AN 5. . ' . Auch AN

= NA'. = NA'.

4. Ihre Schenkel fallen zusammen. 5. In Qt(n) sind Sehnen rez.

ä

• e, ZentriZ. ' ---••

Sonderfolgesätze. 1. Bei Schnittkreisen ist die gemeinsame Zentrisekante das Mittellot der gemeinsamen Sehne. 2. D a s M i t t e l l o t einer S t r e c k e ist der O r t f ü r alle P u n k t e gleichweit v o n d e n S t r e c k e n e n d e n .

— 83 — 3. Das Mittellot einer Sehne geht durch das Kreiszentrum. 4. Zwei Punkte je gleichweit von den Enden einer Strecke bestimmen ihr Mittellot. O r t I I : Der Ort für einen Punkt gleichweit von zwei Punkten ist das Mittellot für die Strecke zwischen den zwei Punkten. Definitionen. 1. Gleichlange Strecken von einem Punkt in einer Symmetrieachse aus heißen Symmetrieradien. 2. Die Hälften halbierter Winkel sind Symmetriewinkel in bezug auf die Halbierende. Die folgenden Aufrisse veranschaulichen die drei charakteristischen Schnittkreisstellungen mit gemeinschaftlicher Sehne.

In Fig. 1 sind die Kreiszentra auf entgegengesetzten Seiten der gemeinsamen Sehne. In Fig. 2 liegt ein Kreiszentrum auf der gemeinsamen Sehne, die nun Durchmesser des kleineren Kreises ist. In Fig. 3 liegen die Kreiszentra auf derselben Seite der gemeinsamen Sehne. Die Vierecke OAO'A' in Fig. 1 und 3 heißen D r a c h e n . Der Drache in Fig. 1 ist die gewöhnlichste Form. Der Drache in Fig. 3 hat einen einspringenden ¿_AO'A' und wird auch Pfeilspitze genannt. Die Strecken AA' und 00' heißen Diagonalen in den drei Figuren. Übungen. 1. 2. 3. 4.

Definiere einen Drachen, seine Diagonalen, seine Symmetrieachse. Beweise, daß die Diagonalen eines Drachen einander senkrecht sind. Welche Strecke wird von der Symmetrieachse halbiert Was bildet jede Drachendiagonale mit einem Paar gleicher Seiten '.' Beweise. 5. Halbiert eine Vierecksdiagonale einen Winkel zwischen gleichen Seiten, so ist die Figur ein Drache. Beweise. 6. Halbiert eine Vierecksdiagonale zwei gegenüberliegende Winkel, so ist die Figur ein Drache. Beweise. 7. Die Diagonalen eines Rhombus oder eines Quadrates sind einander senkrecht und halbieren deren Winkel. Beweise. (i®

— 84 — 8. Was ist der Ort für das Zentrum eines Kreises, der durch zwei Punkte geht ? 9. Eine Gerade, welche eine Sehne und deren Bogen halbiert, steht senkrecht auf der Sehne. Beweise. 10. Haben zwei gleichschenklige Dreiecke dieselbe Basis, so ist die Yerbindungsstrecke ihrer Scheitel das Mittellot der Basis. C

11. a B Es sei A B ein Gummistrang zwischen zwei festen Punkten A und B gespannt, C eine Perle, in dessen Mittelpunkt befestigt. Hält man den Punkt C über oder unter der Linie AB in gleichmäßiger Spannung fest und läßt ihn dann los, was wird der Punkt C beschreiben ? Was wird die verhältnismäßige Länge von CA und CB für jeden Punkt C sein ? Was läßt sich über die Winkel sagen ? Die fünf Hauptkonstruktionen. Aufgabe. E i n e S t r e c k e zu h a l b i e r e n o d e r auf e i n e S t r e c k e d a s M i t t e l l o t zu f ä l l e n ? G e g e b e n : Die Strecke AA'. V e r l a n g t : AA' zu halbieren. Konstruktion. 1. Von A und von A' aus als Zentra beschreibe Kreisbogen mit einem bequemen Radius länger als die Hälfte von A A', welche Bogen sich inO undO' schneiden. 2. Ziehe 00', das Mittellot von AA'. Also ist P der Schnittpunkt des Lotes 00' mit der Strecke AA', der gesuchte Mittelpunkt der Strecke. Beweis. 1. O und O' sind resp. gleichweit von j 1. Konstruktion. A und A'. ! 2. . • . ist 00'

das j » von AA'.

\ 2. Folgesatz des vorhergehenden Satzes.

B e m e r k u n g . 00' ist die Zentrisekante aller Kreise, welche AA' als gemeinschaftliche Sehne haben. F r a g e . Wie verfährt man, um einen Kreisbogen zu halbieren ? x^---*

Aufgabe.

Einen Winkel zu halbieren.

G e g e b e n : Der

o

"^Oyi/ Abb. ii6.

V e r l a n g t : /I XOY

/_XOY. zu halbieren.

Konstruktion.

1. Von O aus mit einem bequemen Radius beschreibe einen. Kreisbogen, der die Schenkel des Winkels resp. in A und A' schneidet.

2. V o n A und A' aus mit einem bequemen Radius größer als die beschreibe Kreisbogen, die sich in 0' schneiden. Hälfte von AA' 3. Ziehe 0 0 ' . 4. Dann ist ¿ 0 , = 0 2 . Beweis. 1. 0 und O' sind resp. gleich weit A und A ' . 2. Also ist 00' 3.

von

das J p von Sehne A A ' .

. Z.01 = 0 2 .

1.

Konstruktion.

2. Vorhergehender 3. Das

Satz.

tu einer Sehne ist der Ort usw.

oder deren Verlängerung ist der Ort für die B e m e r k u n g . . 00' Zentra aller Kreise, welche A A ' als gemeinschaftliche Sehne haben. Aufgabe.

I n e i n e m P u n k t e i n e r L i n i e d a s L o t zu e r r i c h t e n .

G e g e b e n : Der P u n k t P in der Linie L . Verlangt:

Das L o t zu L

in P

zu errichten.

Konstruktion. 1. Mache PA'

=

(Radien des ® P ( P A ) .

PA

2. V o n A und A' aus mit bequemem Radius länger als P A beschreibe Kreisbogen, die sich in 0 schneiden. 3. Ziehe O P suchte L o t .

L

A)

oder ihre Verlängerung als das ge-

Abb. 117

Beweis. 1. O und P sind j e gleichweit von A und A' und sind die Z e n t r a von Kreisen, in denen AA' gemeinsch. Sehne ist. 2. Also ist OP 3. . ' . ist OP AA'.

In

Konstruktion.

2. Folgesatz

j ? A A ' . _L L der Verlängerung von

Lehrsatz. möglich.

1.

einem

Punkt

4 zum vorherg.

Lehrsatz.

3. Durch 2 P u n k t e usw.

einer

Linie

ist

nur

ein

Lot

Denn PO • P0X • P02 • • • • POn ist die Zentrisekante aller Kreise, die A A ' , einen Teil von L , als gemeinschaftliche Sehne h a b e n ; oder auch PO ist die einzige Linie, in welcher P und ein anderer P u n k t 0 je gleichweit von und A' in der Linie L entfernt sind, und zwei P u n k t e bestimmen eine Linie. Aufgabe. Von einem Punkt aus das L o t auf eine Linie zu fällen. (Zweite Konstruktion.) Gegeben:

Die L i n i e

Verlangt:

Von () aus das L o t

L

und der

Punkt auf L

zu

0. fällen.

—

86

—

Konstruktion. 1. Von 0 aus mit einem bequemen Radius OA, lang genug, um L in zwei Punkten A und A' zu schneiden, beschreibe einen Kreisbogen. 2. Von A und A' aus mit einem bequemen Radius 1 A b b . 118.

länger als^-(j4^4') beschreibe Kreisbogen, die sich in

0 ' schneiden. 3. Ziehe 0 P, einen Teil von 00',

das verlangte Lot.

Beweis. 1. O und 0' sind je gleichweit von und A'.

2. Daher ist 00' 3. . i s t

AA'.

A

V*AA'.

1. Konstruktion. 2. Folgesatz 4 zu vorherg. Lehrsatz.

O _L L der Verlängerung von

3. Zwei P u n k t e bestimmen eine Linie.

B e m e r k u n g . AA' ist gemeinschaftliche Sehne in 0 0 und 0 ' , und 00' ist deren Zentristrecke. Übungen. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck von: 1. Der Basis und der Höhe. 2. Der Höhe und einem Schenkel. 3. Dem Scheitelwinkel und der Höhe. 4. Dem Umfang und der Höhe. Analysis. Es sei ABC das verlangte A, EF der Umfang. Die Höhe CD steht auf der Mitte von EF. Die Dreiecke AEC und BFC sind gleichschenklig. Lehrsatz. D r e i n i c h t k o l l i n e a r e P u n k t e b e s t i m m e n e i n e n K r e i s . G e g e b e n : Die drei Punkte At • A2 • A3, die nicht in einer Geraden liegen. Zu b e w e i s e n : Daß ein Kreis durch A1-A2-A3 gezogen werden kann. P o s t u l a t e : 1. Ziehe A1A2 und A2A3 als Sehnen in dem gesuchten Kreis. 2. Ziehe XX' und YY' resp. die _L m ZU A-,Ao und A2A3. 3. Bezeichne den Punkt (XX') (YY') mit 0. 4. Beschreibe den G 0(0 A) ^ 0(0 A^) = 0(0 Az).

— 87 — Beweis. 1. A1A2 und A2A3 müssen Sehnen in dem gesuchten G sein.

1. Denn der O soll durch A1 • A2 • A3 gehen.

2. XX' und Y Y' einem P u n k t 0 .

1. Die J51 aller Sehnen eines (s) gehen durch das Zentrum.

3. 0A1

schneiden

= CM, und 0A2

=

sich

in

3. Alle P u n k t e auf dem j » sind gleichweit von den Enden usw.

0A3.

4. . ' . sind OA1 = OA2 = OA3 = Radien eines ( 7 ) 0 durch Ax • A2 • A3.

4. Gl.Ax. zu 3.

B e m e r k u n g e n . 1. Indem m a n drei P u n k t e auf einer Kreislinie wählt, kann m a n das Zentrum finden. 2. Örter können Punkte, Linien, Flächen oder Körper sein. In der Planimetrie sind sie meistens Geraden, und P u n k t e erfolgen als Schnittpunkte von Geraden oder Kreisbogen. In dem Vorhergehenden sind X X ' und YY' zwei Örter, und ihr Schnittpunkt bestimmte den P u n k t 0 . Wenn man ein Dreieck aus drei gegebenen Seitenlängen a • b • c konstruiert, so setzt m a n erst eine Seite, z . B . _c (=AB) fest. Der Ort für b ist dann eine Kreisfläche um A als Zentrum, und das bewegende Ende von b_ ist der Ort für einen P u n k t , dessen Abstand von A = b als Radius ist. Der Ort für a ist eine Kreisfläche um B als Zentrum, und das bewegende Ende von a gibt als Ort eine Kreislinie um B mit dem Radius = a. Der Schnittpunkt dieser Örter liefert den P u n k t C. Folgesatz 1. A l l e D r e i e c k e k ö n n e n m i t e i n e m K r e i s u m s c h r i e b e n w e r d e n . ( W a r u m ? W a s sind die Seiten in dem zu beschreibenden Kreis ? Wie findet m a n das Zentrum dieses Kreises ?) Folgesatz 2. D i e M i t t e l l o t e d e r S e i t e n e i n e s D r e i e c k s s c h n e i d e n sich in d e m U m z e n t r u m . B e m e r k u n g . Dieses U m z e n t r u m heißt der erste merkwürdige P u n k t im Dreieck. Verwirkliche durch eine Konstruktion. Folgesatz 3. K r e i s b o g e n , d i e i n d r e i P u n k t e n s t i m m e n , sind Teile k o n g r u e n t e r Kreise.

überein-

Übungen. 1. Die Sekante S schneidet zwei konzentrische Kreise. Beweise, daß die Abschnitte auf S zwischen den Kreisen gleich groß sind. Anleitung: Ziehe den Radius ±S. 2. P u n k t e außerhalb des Mittellots einer Strecke sind einem Ende der Strecke näher als dem andern. Wie sind AD und DB ! Wie ('/> l'll im Vergleich mit

( ' B

USW. ?

Abb. 1:22

—

88

—

3. Konstruiere drei verschiedene Dreiecke. Halbiere in jedem die Winkel. Verlängere die Halbierenden, so daß sie sich je zwei und zwei in einem Punkt schneiden. Welche Folgerung auf diese Untersuchungen ? Von diesen Schnittpunkten ziehe Lote auf die Seiten. Messe mit dem Zirkel die verschiedenen Lote zum Vergleich ihrer Längen. Was könnte dem Dreieck einbeschrieben werden ? Tue dies. Dieser Schnittpunkt ist der zweite merkwürdige Punkt im Dreieck. 4. Konstruiere ein A A B C und verlängere die Seiten AB und AC, so daß die Außenwinkel B1 und Cx gebildet werden. Halbiere diese Außen ¿_. Die Halbierenden der /_BX und C-, werden sich in einem Punkt 0 schneiden. Halbiere nun den Z.A. Das Resultat wird zeigen, daß die drei Halbierenden sich in dem Punkt 0 schneiden. Dies ist der dritte merkwürdige Punkt im Dreieck. 5. Konstruiere ein Spitzdreieck, ein Rechtdreieck und ein Stumpfdreieck. Ziehe in jedem die drei möglichen Höhen und verlängere dieselben, wo nötig, zum Schnittpunkt von je zwei und zwei. Was ist das Resultat der Untersuchungen über diese Schnittpunkte in jedem Dreieck ? Dies ist der vierte merkwürdige Punkt im Dreieck. 6. Konstruiere drei Dreiecke, wie in der vorhergehenden Übung, aber diesmal auf Pappe. Verbinde in jedem Dreieck die Scheitel mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten. Diese S t r e c k e n h e i ß e n die M e d i a n e n d e s D r e i e c k s . Welchen Schluß zieht man in bezug auf die Medianenschnittpunkte ? Messe mit dem Zirkel das kürzere Ende jeder Mediane vom Schnittpunkt aus und vergleiche durch Zirkelablegung desselben auf dem entsprechenden längeren Abschnitt das respektive Verhältnis. Drücke den Schluß in Worten aus. Dieser Schnittpunkt ist der fünfte merkwürdige Punkt im Dreieck. Nun schneide die drei Dreiecke aus und unterstütze sie in dem Medianenschnittpunkt auf der Spitze einer Nadel. Werden die Dreiecke schief niederhängen oder sich waagrecht halten ? Dieser Punkt heißt der S c h w e r p u n k t im Dreieck. 7. Was läßt sich über die Seitenmittellote, die Höhen, die Winkelhalbierenden und die Medianen bei gleichseitigen Dreiecken sagen ? Was über die Inzentra, die Umzentra ? Was für Kreise sind die Inkreise und der Umkreis in bezug aufeinander ? Mache eine vollkommene Konstruktion. Was sind die Dreieckseiten im Umkreis ? Wie weit vom Umzentrum ist jede Seite verhältnismäßig? Wie viele Punkte hat jede Seite mit dem Inkreis gemein ? Die Seiten sind also Tangenten an den Inkreis.

— 89 — 8. Konstruiere ein Dreieck von einer Seite, einem anliegenden Winkel und dem Radius des Umkreises. 9. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck von seiner Basis und dem Radius des Umkreises. 10. Konstruiere einen Kreis, dessen Zentrum in einer gegebenen Linie liegt und der zugleich durch zwei gegebene Punkte geht. 11. Konstruiere ein Dreieck, von dessen Scheitelwinkel, der Halbierenden des letzteren und der Höhe zur Basis. Anleitung: Konstruiere ein Rechtdreieck von der Höhe und der Winkelhalbierenden usw. 12. In einem gegebenen Punkt einer Kreislinie die Tangente zu ziehen. Anleitung: Verlängere den Radius nach diesem Punkt um seine eigene Länge und errichte das Mittellot auf dieser Doppelstrecke. Scheitelwinkel und rechtschenklige Winkel. Untersuchungen. Auf zwei Stückchen Papier, von welchen eines Glaspapier, beschreibe mit demselben Radius Kreise. Falte jeden Kreis in Viertel (rechte Z.) durch 0 und 0\ deren Mittelpunkte. Bezeichne die 11 Durchmesser in dem einen mit MM' und NN', in dem andern mit A A' und BB'. Nun denke man den durchsichtigen Kreis zur Deckung auf den anderen in irgendeiner Lage, wie in der Figur. Warum sind die Kreise kongruent ? Nun ist: NB ^ MA,

da jeder komplementär zum AN in demselben Kreis ist.

M'A' GÄ MA, da jeder supplementär zum AM' ist. Auch ist N'B' ^

NB.

Warum ? Wie sind NB • M'A' und N B' unter sich und warum? Wie verhalten sich die LNB • M' A' und N'B' zu MA und warum ? Wie verhalten sich die LNB-M'A' und N'B' zueinander und warum ? Hätten wir den Urkreis 0 mit seinen " Durchmessern MM' und NN' als gegeben angenommen und, mit gleich groß gedachten Sehnen als Radien, die tr NB = M'A' = N'B' = MA gemacht und dann die Radien 0A • 0B • 0A'• OB' gezogen, wie wären die Zentri/ dieser Bogen und warum? Weiter: MA + AN = MN »» . • . .-LY — NB = AB

i» ( ?)

Warum ? und warum ?

LA B '" ( ?) Wie sind daher OB und OA zueinander ?

— 90 — N~B' - f B'M = N'M SL (?) und warum? und LB'A SL(?)

B' M + M A = B' A ^•(?)

und warum ? Die Linie BOB'

ist was ?

MA + AM' = MM' & ( ?) und warum ? . •. AM' + WA' = ÄA'

(?) und warum ?

. •. /_A A' sl (">) und warum ? Die Linie AOA' ist was ? Bemerkung. Die B o g e n und Z e n t r i w i n k e l sind oben k l a r b e s t i m m t , wenn sie den U h r z e i g e r n e n t g e g e n a b g e l e s e n werden. Wie verhalten sich die folgenden Winkelpaare: ¿_NB und MA • M'A' und NB-N'B' und M'A'-N'B' und MA? Deren Schenkel sind Js und die erfolgten rechten ¿_ können als in d e r s e l b e n R i c h t u n g e r z e u g t gedacht werden. Man kann sie g l e i c h g e r i c h t e t e r e c h t s c h e n k l i g e W i n k e l p a a r e nennen. Wie verhalten sich die folgenden Winkelpaare: /_ MA und B'N • NB und AM' • M'A' und BN' • N'B' und A'M ? Deren Schenkel sind gegenseitig J l , und die erfolgten rechten ¿_ können als in e n t g e g e n g e s e t z t e r R i c h t u n g e r z e u g t gedacht werden. Man kann sie e n t g e g e n g e r i c h t e t e r e c h t s c h e n k l i g e W i n k e l p a a r e nennen. Wie verhalten sich die L MA und M'A' ? Wie die ¿.NB und N'B' ? Dergleichen Winkel heißen S c h e i t e l w i n k e l . Wie sind die folgenden Scheitelwinkelpaare: ABM' und B'M • A'N' und AN • MB und M'B' • AM' und A'M usw. ? Definitionen. W e c h s e l s c h e i t e l w i n k e l oder einfach S c h e i t e l wink e'l sind die gegenüberliegenden Winkelpaare zweier sich schneidenden Geraden. Rechtschenklige Winkel sind solche, deren Schenkel je einander senkrecht stehen. Die künstlichen Beweise für die Schlüsse in obigen Untersuchungen erfolgen nun. Lehrsatz.

S c h e i t e l w i n k e l sind gleich groß. G e g e b e n : Die Geraden L und L', die sich in 0 schneiden. Zu b e w e i s e n : Daß ¿_01 = Os und 02 = Oi ist.

P o s t u l a t : Mit bequemem Radius beschreibe den O 0 ( 0 A ) , der L und L' je in zwei Punkten schneidet. A b b . 12,"

— 91 — Beweis,

1. MM' = AA' = M'M = A'A JE ji. 2. . ' . L0X + 0 2 = 0 2 + 03 und Z 0 2 + 03 = 0 3 + 0 4 m j t .

1. W a r u m ? 2. Supplementär Z -

3. 0 2 = 0 2 und 0 3 = 0 3 .

3. Je dieselben Z (Identitäten). 4. Abziehen von Gleichheiten in 3 von Gleichheiten in 2.

4. . ' . Z O i = 0 3 und 0 2 = 0 4 .

Kehrsatz. K ö n n e n z w e i g l e i c h g r o ß e Z e n t r i w i n k e l m i t i h r e n f e s t e n S c h e n k e l n in einer G e r a d e n als g l e i c h g e r i c h t e t e r z e u g t g e d a c h t w e r d e n , d a n n b i l d e n die a n d e r e n S c h e n k e l a u c h eine G e r a d e , u n d die W i n k e l sind S c h e i t e l w i n k e l . G e g e b e n : In Fig. 2 ¿_01 — Oa in der durch Pfeile angedeuteten Richtung von den festen Schenkeln OM und OM' aus, welche letzteren die Gerade MM' bilden. Z u b e w e i s e n : Daß OA und OA', eine Gerade AOA' bilden.

die resp. bewegten Schenkel,

Beneis.

1. ZOj + OjAjr.

1. SupplementärZmesser.

m 2. Z 0 2 + 0 3 ^.7r.

2. 0 3 für seinen gleich großen Ox gesetzt.

3. Also 4. . • . AA'

3. Summe von Z 0 2 und 0 3 in (2).

AAA'Mti. oder L eine Gerade.

M M ' der Durch

4. W a r u m ?

Lehrsatz. G l e i c h g e r i c h t e t e r e c h t s c h e n k l i g e W i n k e l s i n d g l e i c h ; e n t g e g e n g e s e t z t g e r i c h t e t e s u p p l e m e n t ä r (Abb. 126). G e g e b e n : 1. Die Geraden L und L', die sich in 0 schneiden und daher zwei spitze und zwei stumpfe Scheitel Z bilden. 2. Die Geraden P und P' j: zu L und L', die sich in 0' schneiden und daher zwei Paare gleicher Scheitel ¿_ bilden. Zu b e w e i s e n : 1. Daß die Spitz z. 0 = den Spitz Z» 0 ' , die Stumpf z ö = den Stumpf Z « 0 ' sind; daß daher von den ScheitelZ« um 0 und 0 ' je die Stumpf z um einen Wirbel supplementär sind zu den Spitz Z» in dem anderen Winkel. 2. Daß die gleichgerichteten z oben gleich sind, die entgegengesetzt gerichteten supplementär. P o s t u l a t e : 1. Mit einem bequemen Radius beschreibe die @ 0 ( 6 M ) und 0 ' {OA), welche die Schenkel des Z * 0 in M • A • M' A' und die des Z s 0' in A" • B • N' • B' schneiden. 2. Ziehe XOX' _OM und daher l_L. .'!. Ziehe BOB' l_OA und daher J_L'.

—

92

—

FiS- 3. Abb. 126.

Beweis. I. 1. Postulat. — Warum . • .NO'N' = NON'.

1. Bringe den O 0' zur Deckung mit dem O 0 , so daß Durchmesser NO'N' — NON zusammenfallen. 2. Dann fallen die Durchmesser BO'B' — BOB auch zusammen.

die @ = ?

2. In einem Punkt einer Linie nur ein Warum = ? II.

3. Der ¿AN

Z MA + AN

™ y

und der

NB^.^r2 4. . ' . Die Z MA -f AN = AN + 5. oder der Z MA = NB.

3. W a r u m ?

+

NB.

4. Gl.Ax. zu 3. 5. Add.Ax. zu 4.

6. Also die Scheitel £ (MA = M'A'\ = den Scheitel (NB = N'B') und die Scheitel ¿_ (AM' = A'M) = den Scheitel ¿ n (BN' = B'N).

Strecken von --1A.

6. Warum ?

III. 7. a) In Fig. 1 für die /_MA = NB 7. a) Durch die Pfeile in positiver Richtung. sind die Rechten M N und A B gleichgerichtet erzeugbar. b) Für die /_N' B' = MA sind die b) Durch die Pfeile in negativer RichRechten N'M und B'A auch tung. gleichgerichtet erzeugbar usw. 8. Die Pfeile entgegengesetzt gerichtet. 8. In Fig. 2, wo Z MA + BN'm, n, sind die Rechten AB und N'M entgegengesetzt erzeugbar; so in Fig. 3, wo ¿_MA -J- B'N fiji.

A b b . 127.

Z und daher dem Also sind und

Gegebenen

gleichzeitig

Bemerkung. Ein Winkel, dessen Schenkel b e z ü g l i c h _L sind den S c h e n k e l n eines r e c h t e n Z s , ist s e l b s t ein r e c h t e r gleich u n d s u p p l e m e n t ä r .

¿Lab = bc = cd = da /_ab + bc = ab -j- cd — ab -j- da = /;c 4 - da

1,1

.t.

— 93 — K e h r s a t z I. H a b e n g l e i c h g r o ß e Z e n t r i winkel g l e i c h g e r i c h t e t e r z e u g b a r ein P a a r Schenkel senkrecht, so i s t d a s andere Schenkelpaar auch senkrecht. G e g e b e n : Die ¿N B = MA, erzeugbar, ein P a a r S c h e n k e l ON Zu b e w e i s e n :

D a ß OB

±OA

gleichgerichtet _L OM.

El-— \

r

JM

^

\

a

Ä \ "

-T5

ist. N'

Beweis. 1. Die ¿_ MA + 2. Die / AN 3. Dalier OB

4-

AN

A b b . 128.

1. Gegeben. 2. ¿_N B für seinen gleich großen MA eingesetzt.

NBM~-

¿ i S l -

3. Part.Ax. zu 2.

\ OA.

4. Die Schenkel eines rechten ¿ $ .

K e h r s a t z II. S i n d Z e n t r i w i n k e l s u p p l e m e n t ä r u n d h a b e n ein P a a r S c h e n k e l s e n k r e c h t , so i s t d a s a n d e r e Schenkelpaar auch senkrecht. 0.V

Gegeben: _L OM.

In obiger F i g u r , die /_ MA

Z u b e w e i s e n : OB Postulat:

BN'

,n-

tc und

Schenkel

]_OA.

V e r l ä n g e r e N'O

bis TV. Beweis.

1. Die ¿BN'

-f iV B ^ n.

2. Aber die ¿.BN'

+

1. Supplementäre Neben,/•

MA^kn.

2. Gegeben. 3. Beide dem ¿BN'

3. Daher die ¿_.NB — MA. k. Aber die ¿NB gerichtet. 5.

und MA sind gleich

ist OB _L OA.

supplementär.

4. Nach I oben. 5. Nach I oben.

Mit a n d e r e n G e g e b e n e n in obiger F i g u r beweise ähnlich. Sind die W i n k e l u m v e r s c h i e d e n e P u n k t e , wie z. B . 0 und 0 ' i m vorhergehenden Lehrsatz, beschreibe kongruente K r e i s e u m ihre S c h e i t e l . B r i n g e die K r e i s e zur D e c k u n g m i t einem der W i n k e l s c h e n k e l ; dann fallen die anderen S c h e n k e l der W i n k e l um 0 z u s a m m e n usw. Übungen. 1. H a l b i e r t eine Linie einen W i n k e l , so m a c h t das L o t dieser L i n i e durch den S c h e i t e l gezogen gleiche W i n k e l m i t den S c h e n k e l n des W'inkels. 2. Die Halbierenden zweier s u p p l e m e n t ä r e r Nebenwinkel stehen senkr e c h t aufeinander.

— 94 — 3. Sind Halbierende zweier Nebenwinkel einander senkrecht, so sind die Nebenwinkel supplementär. 4. Die Halbierende eines zweier Scheitelwinkel halbiert den anderen. 5. Die Halbierenden zweier Scheitelwinkel bilden eine Gerade. 6. Schneiden sich zwei Linien, so stehen die Halbierenden der gepaarten Scheitelwinkel einander senkrecht. 7. Gegeben die Punkte A und B auf derselben Seite der Linie L. Auf L einen Punkt X zu finden, so daß XA -f- XB ein Minimum sein wird. Was für Z sind L-4X1 und X3 und warum ? X2 und X3 und warum ? X1 und X2 ? Dies stellt die Bahn eines Lichtstrahls Abb - 129 vor, der von einem Spiegel L reflektiert wird. Der Ausfallswinkel ist dem Einfallswinkel gleich. 8. Gegeben die Punkte A und B auf entgegengesetzten L_p Seiten der Linie L. Auf L einen Punkt X zu finden, so daß Z X1 = X2 ist. 9. Ist abc ein Recht A • a _L b und h _L c; wie sind Lah und b c verhältnismäßig und warum ? Wie verhalten sich die /_ac und bh und warum? 10. In dieser Figur sind B'A = AB und daher die /_B'A und A B wie verhältnismäßig ? Wie verhalten sich OA und B B ' zueinander? BC-DE-B'C' sind JE OM. DF- B'G sind .X BC und DE. Wie verhalten sich die z _ D B F und AOM zueinander ? Wie verhalten sich die /iB'DG und AOM zuAbb. 132. einander ? Wie verhalten sich die Z F B D ODE GDB' zueinander? Andere Kreiswinkel. Soweit sind die einzigen Kreiswinkel, die berücksichtigt wurden, die Zentriwinkel, d. h. Winkel, die von Radien gebildet werden, und, was praktisch dasselbe ist, Scheitelwinkel von zwei Durchmessern gebildet. Die Maße anderer Kreiswinkel von Sehnen, von Sekanten und von Tangenten gebildet werden nun vorgenommen. Diese werden in drei Gruppen besprochen, je nachdem die Scheitel: I. Auf dem U m k r e i s l i e g e n : a) Peripheriewinkel, Winkel mit Sehnenschenkeln. b) Sehnetangentenwinkel, Winkel mit einer Tangente und der Berührungssehne.

— 95 — II. I n n e r h a l b d e s U m k r e i s e s l i e g e n : Kreuzsehnenwinkel, Winkel von sich schneidenden Sehnen. III. A u ß e r h a l b d e s U m k r e i s e s l i e g e n : a) Sekantenwinkel, Winkel von zwei Sekanten. b) Sekantetangentenwinkel, Winkel von einer Tangente, Tangentenwinkel von Scheiteltangenten und einer Sekante. Lehrsatz 1 ). P e r i p h e r i e w i n k e l Bogen gemessen.

werden

von

ihrem

halben

G e g e b e n : Der O 0 mit dem Peripheriewinkel C. 1 Zu b e w e i s e n : ¿.C m. AB. P o s t u l a t : Ziehe OP und OQ J AC und

BC.

Beweis.

1. Z 0 1 =

LC.

6. U n d

1

AC -

YBC

=

-2AB.

m

2. Z . O i - . P Q -

PQ=

3.

PC — QC.

7. Also

= 1-ir

4. D a h e r /_ O 5. N u n ist

x

j

- ß —

\hc. BC.

AC — BC = AB.

L C

AB.

Begründung dem Schüler lassen.

über-

F o l g e s a t z 1. Peripheriewinkel im Halbkreis sind rechte Winkel (warum); die

/_R=R'

2

P ' o l g e s a t z 2. Peripheriewinkel im selben Kreisabschnitt sind gleich groß; die /_A=A' = A" und die /