Fondamenti Di Controlli Automatici, 1P [2 ed.] 8838660999
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- Paolo Bolzern
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Paolo Bolzern Riccardo Scattolini N ico l a Sch i avoni
Fondamenti di controlli automatici Se co n da e dizion e
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Al/errore
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Problemi e sistemi di controllo
...,.,, Slslt!madicontrollo !n;inl!llochi!JSO.
bo I!: miSU1;&bilc e la variabile di controllo, in anelloapettOo chiuso, ne dipende, si usa~ che~ ~ o r e effettua ~~pnuazione del dlsm~. ~ com-
generaradal~_sia~dipei,dea,bwecechedalla~IXlltIOll.alll. da 11n'altta~~!!e misunlbilJ,del piocoso, a sua volta infl=zata dalla variabile di connollo (Figura 1..5). Per esempio. nell'ambitO dell"industtia chimica le varl!lbili controllate sono spesso le concem:nizioni.dei prodOtti. che sono mlsunbili solo con apparecchiarure complesu- e costose. Si usa perciò dl'ettuare un contrOilo in uello chiuso retteazi.onando temperattm:. che si possono misurare in maniera piil. sem.plìcè cd economica. e pommo con st! infomiazioni utili pc:J" il
conuollodelleconcentrazi.Oni. Siosservi.cbeèpiuttostonlt'Sl'eventualitàchc tutte le compoomti del disturbo siano dfenhameote misUiale. Analogamente, non si considera qui l'ipotesi di misurabililidei parametri. inqoamo di solito
irrealistica. Flgur,,1.5
Slstamad!contrQl!oln 1nellodl!u1o(onvarlabili contn:>llataemlsurata
...... Una situazione tipica di controllo in rerroazione con compensaziooe si ha qumdo la variabile di contIOlloè costituita dalla somma di due addendi; uno di essi dipende salo dal dism.tbo od è generato da un compensatorl! (pertantO è in anello aperto);l'aitto.piuttostochedipendereseparatamentedalstgnalediiiferimnro e dalla variabile controllata, è una funzio~ à:ll'errore {1.21 che viene generata da llll conrrollom inrerxoazione. Come momat0 nellt Figura.1.6, l'interocontrollOie ! dunque costltui10 da due elementidiri:golatione e due nodi sommatori. Tutte.via, con lieve sbuso di linguaggio, il termine contt'Ollore sarà spesso riferito alsolocompenwon:oalsolocontrolloreinrettoaziOI1e,.dandoperSCOlltatale. plHElllZ8dcinodi!ilDIDIIlatOri.
7
8 C&pitolo1 Agurau 51rtenad1rontrollo sulJ'91TOreton comjJel'ISBllone. di~+
Emn
Esernpi01., (Sc,gwlodogliBiem.pil.2cl.8)Rwinareinmellaapenoil---dilXlllll'llllo dellalleJllllClaltlldii,nedifi.cio&igamça.-pan,lapoltallld'ariadaJdcbllrflincgniillwdedi 1empoinfumioacddbtempmJnradelidemtaedevenlUabnmitodi.qmlla_,..(compcnllZiaoe). Neil"arclbdlideverit'erireallppOmlllelpD1eli9.llpmmettlcidisturbi-misutalci prusleoiJ:illDIIUIIDllellecheessillÌa:40tlt;tipulailoro'-'lllorloaadamealiD0miDlli. Sodw:anlB i
l ~ queste ipotesi. DOII.~ verificate, efio~'tÌ deleonbOllo 11110 tan:bJil!lO
ragahlmi. Lo51eNalllslemadico®Ollo,nallzmofu.llllellochiuso,fadjpendmlo.ponatad':m:ia111che dalla rempeo1m1. conrrcllat8. Il conlroll.;cita(disturbo). Quesnua>duJ..
corrono allora
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agiranno,uduem0loriequindisuduevalvole(a11natori),cosidadel'l0ll:runareloportatediingresso deidueliqnidi
Problemi e sistemi di controllo
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Trasdnttare
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••I
C.n,o
dootrilli 10, m corrispondenza di ogni tema costituita da un istante iniziale tg, una funzione di .mgresso u (t), t .è'. to, e una condizione ini:ziale x (to) = x"'. La fun:zi.one x (r), t .è'. to, si dice movimento dello staio del sistema. L'Equazione (2.4) pmnetre invece di determinare l'evoluzione dell'uscila y (t) per t :::: to, m conispondenzadella funzione di ingresso u (t) e dell'andamento dello statox (t) pe. r .è'. to. La funzione y (t),t::: lo, vasottoilnomedimovimenrodeU-usciro.. fsemplo2.4 (Segr,i1odegùEsempi2.2e2.3}Persemphdell'interai:ioneconilcircuitodieocitaziooo.d.ispostosullo statore.Seque,rultimocirculioèalimentatodaunateosiol!Cditccit:a:i:ionecostaore.;lpuòntenere che la forza elettromotrice sia p,-oponiona!e alla veloci~ di rotazioae w_. ovvero , _; = kw. k > Oè un·opporrnna costane... D"altra port,; in ,....,,,,adi perdite OJJ.Ugetichl:loel moti:m:, lacowia gen,,rata risolta Cm = ki. Questa coppia motrice, insieme alla coppia resistenle C, doqna al corico mecca.llicocaWeveatual.ecoppiadiatt.ritoC,,cbcsia.,swoerli.propWOoaloalla":loci!lt(ovvero Ca =hw.doveh ~ OèJlcod'ficlen.tedialttito),souorcspon,abilidellarotaiioncdetl·a1b«o motOll;. di momento di inenia J. renle
dove
Uti\izz:ando k convenaioni di seg,;,,o mostrnte nella Figura 2.6. la ''pffle eletrrica.. Ml motor~ quindide.scrittadall~eqmrzioni i;(1)-e1(1)
=
~
Ri{r)+Li(r)
e1(t) ""kw(t) mentrela''partemeccanica••èaiorldisparidiièorientatoversol'alto.
Per chiudere, si osservi che il concetto di uscita di equilibrio si può estendere anche al dr.ardo di tempo (2.30), ove si conclude che risulta
Nel caso dell'Esempio 2.10 il concetto di equilibrio implica che la den~i1!l. di materiale lungo il nastro ("stato·• del sistema) sia costante nel tempo. Ragionando in termini. Ultuitivi, si può poi comprendere come essa risulti identica in ogni punto del nastro e coerente con le portate afferente ed efferente, costanti e uguali tra loro.
Sistemi dinamici a tempo continuo 41
2.6 Stabilità In questo paragrafo si introduce la nozione di stabilitll, proposta alla fine del XIX secolo dal matematico russo A.M. Liapull.OY, che considera le com:eguenze sul movimento di un sistema di un'incert=a sul valore iniziale del suo stato, nell'i-potesi che gli ingressi siano fissi e noti. In particolare. essa sostanzialmente rid.ù.ede che ~piccole" perturbazioni dello stato iniziale rispetto a un valore di riferimento provochino solo "piccole" perturbazioni del nw.inlento dello stato, eventualmente destinate ad annullarsi su tempi lungbi La stabilità risulta proprietà di grande interesse, perché lo stato itllziale di un sistema di solito non è né noto, né misurabile. Inoltre, può accadere clw sul sistema intervengano perturbazioni di breve durata, anche se di intensità elevata, e quando ciò accade è molto difficile studiare il componamcnto del sistema durante l'azione delle pc:rturbazioni stesse, mentre è relativamente facile farlo a partire dall'istante in cui esse scompaiono se si sanno trattare incertezze sullo stato, che, in quell'istante, sitrà ignoto. Per quanto affermato, è chiaro che la ti:asfonnazione d'uscita del sistema non svolge alcwt ruolo in questo contesto e quindi non sarà considerata, bmlrre, la trattazione che segue è riferita ai soli sistemi stazionari di equazione di staro {2.26) conistanteinizialeto=O
2.6.1 Stabilità dell'equilibrio Per un sistema dinar,rico inwriante nel tempo_ si considerino un ingresso costante ii, t 2: O,euncorrispondente stato di equilibrio.i:. dcnonominale. Si consideri auche un movimento dello stato x (t), detto penurbaro. generato a partire ancora da ii., ma da uno stato ioici.a\e -Xo (in generale dh·erso da i), Si può allora dare la seguente definizione.
u (t)
=
Definizione 2.1 Uno stato di equilibrio X si dice srabile se, per ogni & > O, esiste li > O tale che per t\llti gli stati iniz.lali xo che soddisfano la relazione
risulti
llx(t)-ill .:'.::t: pertuttiit 2: O. figura2.14 Equilibrlo$1:abll~. -Eqrnlibcionorninale
42 Cap]tolo2
La proprietà di su,.bilità dell'equilibrio richiede quindi clle il movimento perturbato rimanga "vicino" all'equilibrio nominale, come illustrato ~ Figura 2.14 per un sistema di ordine 2. Pill prec:isame11te, scelta ubitrariamente piccola la massima distanza accettabile in un quzlunque istante di tempo tra il movi=to perttnb!UO e l'equilibrio nomina.le, quest'ultimo è stahilc se la condizione su tale dis1anza ~ rispettata, pur di pmi.dere k, Bta10 udzia1c del movbncilto perturbato sufficientemente prossimo all'equilibrio nominale. Se cib oon accade l'equilibdo sì dice instabile come specifu:ato qui di aeguito e illustrato nella Figura2.15.
Definìzìcne 2,2 Uno stato di equilibrio .i si dice instabile se non~ stabile.
■
Flgural.15 Equillbriolnstablle.
-Equilibric>ll0flliDale
L'instabilità di uno stato di equilibrio implica percib che esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello stato iniziale che provocano l'allontanamento dello statodclsistemadall'cquilibriostesso. La proprieti di S!abilità pub essere raffona1a richiedendo ancb~ che il rnovinwnlo perturbato tenda ali' equilibrio nominale per t ➔ oo. CiO è specificato dalla seguente definizione di stabilità asintotica, che cos.tituisee la proprietà di maggi=
im:portam:a,C1.1ncetrualeenellapratica(Figura2.16). figura2.16 Equlllb~oislntotlCllmente stabile.
Sistemi dinamici a tempo continuo 43
Oefinìzìone 2-3 U110 stato di equilibrio iC si dice asimotìcamerite stabile se, perognis > O, esiste~> O tale che per tutti gli stati inizialixo che soddisfano la relazione
llxo -Xli :'e S ri3ulti llx(t)-XII
:s s
pertuttiir,! O,einoltre ~Jlx(r)-i'II =0
Esempio 2, 17
(Seguito degli Esempi 2.2.2.3è2.l2) Comegiàdetto,peru (l) = U a.Jr equilibrio si deduce che il movimento pertu,batorelatiH.l allo stato
•i hai= U. Dalrequazionedi .s!ato (2.5) Jni-.Jalex(O}=xo~
.T(l)-i
= .-•!RC (xo - i )
equindi,si:sidelòiderad,erisulti
fx(l)-il::;:e bostapremkreS=e.vistocheper12::0
Lusta1 O. l"unico statodiequihbriodellacentrifugaèi'=h.Pt0rdoten:ru.tlarelepropdetàdi•tabilitàdigues1ostato diequihbrio.iuvecodiswdioreilmo,.imento(2..24), (2.25),C Otalechcpertntti. gli statiin.izialixo çhe soddisfano la ·
relazione
U.xa-ioW :SII rlsuld
llx(t)-i(tlll::ss pertuttiit~O.einoltre ,~W.:c(t)-Z(t)U=O
:~:!
as!ototic,i,ment,~Cr-•>, •.• ,e'•(l-•J}rDBU (t)dr 1
y1 1r,
(3.36)
= cr;;' fo' diag{e'1Cr-•>,e"'i(l-•1, ••• ,r-(l-•lJTDBM(t)dr+Du(t) (3.37)
ovvia la generalizzazione al casoiD cui A non sia diagonalizzabile, besw. mila sua furma di Jordan Ai. met1ttt, è
EsempioU (Segui1'-y))l ;,"sill.(111.1)
Y;{i)
= ""iiif. (1+-;rtia(Cdl-y))
60 capitofo3 Soinveces1'F•~conk .. 0.ail0ia.rinllis1""0elli.rlca'la
3.3 Equilibrio Si vogliano ora 8Daliz1.ere le caratteristiche del sistmna (3.1), (3.2) per quanto rl.,auarda le condizioni di equilibrio. Assumendo costante e pari a ii l'ingresso del sistmia, sullabasc:deirlsultatidelPara&rafo2.55ipuÌlaffemJ.are:1=~
(3A(l)
(3.-11)
Questeesp=ioTiirappresenttmodunq"aivaloridiequihbrioilll"'tmamentcdellaoorrento di armataraedena velocilàdiro!UiO!l~
Quando invecedet (A)
= O. l'Equazione (3.38) può ammettere infinite soluzìoni o
anche non ammetterne alcuna. aoche in dipendenza dal valore di U, a seconda che il vettore BU sia era quelli generabili moltiplicando a destra A per un opportllllo vettore X oppure r:o. Vi sono allora infiniti stati di equilibrio, oppure nessuno, e la
nozione di guadagno sratico perde comunque senso. Esempio3.9
.i:rrl = [~ ~],:(l)+[!!]u(t) ym= [56}:r(t) Seii.italecheii.1 ,f-?ii1.non,·isonosratidiequ.ilibrioperché.i:;!,-O. Seioveceii1
alloravisonoinfiniristalieusciaadieqoihbnodescrittida
= -:,:i:.
3.4 Stabilità Per un sistema lineare stazionario la determinazione delle proprietà di stabiliià sì può effetruare in modo semplice, perché esse di fatto sono relative all'intero sistema e dipendono dal solo movimento libero. Per di piiì anche il calcolo del movimento libero può essere evirato. Infatti, è possibile dare condizioni necessarie e sufficienti di stabilità asintotica e condizioni solo sufficienti di instabilità riferite esclusivamente agli autovalori del sistema. In terrnini di soli autovalori noa si possono quindi individuare le caratteristiche di stabilità proprio in tutti i casì, ma i risultati disponibili sono comunque 11tilissimi, sopratrutto in vista del fatto che la proprietà di stabilità asintotica è quella di gr11.11 lunga più inr.cressante nelle applicaiio!l.\. Nel seguito del paragrafo si vedrà anche come perfino il calcolo degli autovalori sìa sostituibile con procedure più semplici.
62
Capitolo3
3.4.1
Stabilità del sistema
Si supponga di voler sru'diare la stabilità del movimento X (t) prodotto nel sistema line11n: di equazione di stato (3.1) dai.i (r), t ~ O, ei (O)= i 1: inparticolareque~to movimento può essere anche uno stato dJ. equilibrio. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti (feorema 3.1) con 1/ (t) = u" (1) = il (t), xQ io, = Xo+Bxo,a = -1 e{J l,si trovacheladifferenza&x(t) =x(t)-i (t) tra movimento perturbato e movimento nominale è retta dall'equazione
x;
=
=
8.i(r)=AOx(t)
8x{0)=8X-O
(3.42)
Pertanto, per le Definizioni 2.4-2.6 (o 2.1-2.3 se ci si riferisce a un equilibrio}, il movimento .i è stabile se. per ogni e > O, esiste O > O tale che per tutti i 8xo per
cui
IIOxoll.:'élì
(3.43)
risulti (3.44)
Il movimento (o l'eouilibrio) X è instabile se ciò non accade, ed è invece asintoticamente stabile se, Oltre a essere stabrle, venlka pure la condizione
,~IIOX(r)ll=D
(3.45)
Si osservi subito che nella rifonnulazione appena data delle Definizioni 2.4-2.6 (o 2.1-2.3) concernenti la stabilità, i non appare più in modo esplicito, o in altri terminil'analisidcliastabilitàdiunqualunquemovfmentoi,einparticol&re anche di un qualunque stato di equilibrio, porta comunque allo studio delle soluzioni dell'Equazione (3.--1-2) ai variare dello stato iniziale come specificato dalla condizione (3.43). Si può quindi enunciare il seguente fondamentale risultato
Teorema 3.2 Un movimento (o u□o stato di equilibrio) di un sistema lineare stazionario è stabile, asimoàcamente stabile o instabile se e solo se tutti i movimenti (o gli stati di equilibrio) del sistema sono rispettivamente stabili, asintoticamente stabili o instabili. ■ Comeconseguenzadiquestoteorema.perisistemiconsfderatihasensoparlare di stabilità, swbilitàasinroticaoinstabilitàdelsistema.invecechedisingoli movimenti (o stati di equilibrio), intendendo con questo il sussistere delle proprietà di stabilità, stabilici. .t5intotica o instabilità di umi i movimenti (o- gli stati di equilibrio) del sistema stesso secondo le Definizioni2.4-2.6(o2.1-2.3).
3.4.2 Stabilità e movimento libero Al di là dei simboli utilizzati,Je soluz.iooidell'Equazione (3.42)non sono altro che i movimenti liberi dello srato del sistema di eqmrrione di stato (3.1). La stabilità allora sussiste quando, fissata arbitrariamente unan=massimae porqu.esti movimenti,. la condizione (3.44) è verificata almeno per stati iniziali dì norma abbastanza piccola, come specificato dalla condizioue (3.43). Pero, visto che, moltiplicando per un qualunque coefficiente lo stato iniziale, il movìmento libero rimane moltiplicato per lo stesso coefficiente, ciò che conta è esclusivamente che il movimento libero sia limitato, cioè non vada ;lll'infinito, per tutti i t ~ O e per tutti. gli stati iniziali. In questo caso, e solo in questo caso,infani,purdi prendere O abbastanza piccolo, la condizione (3.44) è veri:lìC11ta. Se questo non accade ìnvece il sistema è irutabile. Infine, perché il sistema sia asintoticamente
Si!itemi lineari e stazionari a tempo continuo
Stabile la condizione (3.45) impooe che. sempre per linearità, tutti i movimenti liberi si annullino asintoticamente; essi devono anche essere liruitati, ma, vista la strottu...-a dei modi costituenti il monmemo hbero (Paragrafo 3.2.5), quest'nlti.ma condizione è implicata da quella concernente l'azzeramento asintotico. Quanto qui osservato costituisce la dimostraZione del seguente imjXlrtantissimo risultaro.
Un sistema linea::e stazionario è stabile se e sol.o se tutti i roo,;,imenti liberi dello stato sono li.mill!.ti; è asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato tendono a zero per r --+ o::i; è instabile se e solo se almeno un movimento libero dello smto non è 11mìtato ■
Teorema 3.:1
Le proprietà di stabilità dipendono dunque esclusivamente dalle caratteristiche della matrice della dinamica A. Inolire. per i sistemi che qui si stanno considerando la proprietà di stabilità 11Sintorica implica quella di siabil.i.tà globale di tutti i movimenti, perché, indipendentemente dal valore delia norma di fao, sotto l'ipotesi di asintotica stabilità tutti i mo,'1.n:J.enti liberi t.endono a zero e quindi tu.ni i movimenti perlurbau tendono al filO\'imento nominale, qualunque esso sia Esempio 3,10
(Seguito ~gli EsMl])i 12-,'.A • 2.!7) Dall EqllllZ1one (1..7) si ricavo cll< i}l)lOv:i-
mento lfbemddlo stoto è
che, qualu:lque siax (O),~ limitato per,~ O~ ;i annulla per,-+ oc. Il Teorema 33 ronfmnacosi
irisultotiottenu1inell'Esempio2.17.
Si prenda ancora in esame il ritardo di tempo {2.30). Poiché guesto sistema non è descritto dalle Equazioni (3.l) e t3.2J. in senso sn:etto non sono applicabili a esso né le De fini rioni 2.4--2.6, né i Teoremi 3.2 e 3.3. Sì è già affermato però nel Paragrafo 2.4 cb.e esso è lineare, e perrnnto gli si possono applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e i concetti di movimento libero e forzato. Generalizzando i risultati dell'Esempio 2.10 e sulla base dei commenti a esso successivi. si può concludere che il movimenlù libero dello stato del ritardo è limitalo per t :> O e nullo per t ~ r qual.ungut: sia la condizione iniziale, in quanto è chiaro cb.e la densità di materiale sul na:,7:ro trasportatore per t ~ z non dipende dalla densità irùziale. Perciò, assumendo di poter applicare comunque il Teorema 3.3, si può ben dire che il ritardo di tempo (2.30) è a;;intoticamenti:: stabile, sia pure in un senso allargato.
3.4.3 Stabilità e autovalori L'analisi del movimento libero condoni nel para..,o-rafo precedente ha mostra!Oche esso è costituito da una combinazione lineare
Il sistema lineare~ srn.iionario (3.J). (3.2) è asintoticamente stabile se e solo se tutti i suoi autovilorihanno panerea!enegariva. Il
Teorema 3.4
Alla luce di questo teorema si usa dire che i punti del piano complesso con pane reale negativa costìtuiscono la regione di asimotiw smbilità. Aualogamente, è facile pervenire alla condizione sufiicie11te di instabilità riportata qui di se,,"llito.
63
64 Capitolo 3 Teorema 3.5 Il sistema lineare e stazionario (3.1), (3.2) è instabile se almeno u.,o dei suoi autovalori ba parte reale positiva. ■ Confrontando le condizioni espresse dai teoremi precedeoti, si conclude che l 'tmico caso indecidibile dalla sola analisi degli autovalori si verifica quando il sistema possi()(!e autovalori con parte reale nulla insieme ad altri eventuali con parte reale negativa. In questo cs,;o, cscll!sa la stabiliti!.asintotica, ~i potrebbe avere sia la stabilità sia l'instabilità. Quest'ultima si ha se e solo se, tra gli autovalori con parte reale nulla, ce n'è almeno uno cui corrisponda almeno un mini blocco diJordan di dimenaioni maggiori di 1, perché in questo caso, e wlo in questo caso, nel movimento libero dello stato compare un modo del tipo 1* oppure rl' sin (w;t + con k > O, illimitato per t ➔ oo. Si noti che questi termini sono sicuramente asse!l!Ì quando non v:ì sono autovalori multipli sull'asse immaginario: in questo caso allora la condizione sufficient.e del Teorema 3.5 diventa anche necessaria, c il sistema risulta stabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa o nulla.
,pJ
Esemplo3.11
(SeguitodegliEsempi2.2-2A2.17e3.IO) □ Teorema3.4con,enttdiconfenna.re
irnmediatamc:ntc!ac-onclusionegiàraggiuntacheilcircui10dettricoèasintoticamentes!abile;il suouoicoautoval.ore -1/RCèillfattlrealeenegativo.
Esempio 3.12 (Segnitc dell'Esempio 3.5} Gli autos-.Jori /3.25) del si,terna hanno parte =le negativa quando li I) positivo. cio/, l'aurito ~ effe~i~amente presente. ù, quo
t
Visto poi che det(A) 'F O, perché un sistema asintoticamente stabile non può avere 111tovalmi nulli, Jo stato e l'uscita di i,quilibrlo conseguenti a un qual.unque ingresso u (t) iisonolllllci(sivedailPatag:rafo3,3), A essi tendono i movimentìscneratidau (t) i sca (t). qualunque sia lo stato inizùùe.
=
=
70 Capitolo3
• Infine, UD sistemaasintoticamentestabilegode anche dellap;oprletàdistabilit/J esuma (o itabilita BIBO, dall'inglese Bounded•lnput:•Bounded-Outpui), cloà produce un movimento fonato ddl'uscita limitato ln oonispmdenza di ogni [ngressolimitato.RicotdandoleEquazioni(3.3),(3.4),taleproprietàsidimo-strafacil.mcme se A èdiagonalizzabilc sfruttando la (3.37). Ladim.ortrmone si estendealcasodimatricinoodiago.oB.liQ:abilielapi:oprietà vale andleperil ritanio di tempo (2.30). Viceversa, si pur, anche wrifìcare che,. sotto blande ipotesi, i sistemi. stabili esternamente sono anche asliltoticamc:ote abili. Si veda a questoprnposltoi!Teoreroa3.17.
3.5 Llnearlzzazione e stabilità dell'equilibrio di sistemi non lineari Come anticipato a!Para,grafo 2.3, sf Jll05traora come i risultati presentati. nei paragrafi prece.deatipossanoesseresfrottati Bncheper lo studi.o di sistemi non lineariestazlonari. Siconsideripcrciòuns!stem.anonlineare,ingeneraleMJMO, invariante nel tempO e Jmprio, descritto da i(t) =/V:(t),11(t))
(3.54)
y(t) =t(z(t),u(t))
(355)
soggettoall'ingtessocostaDteu(r) =ii. S1facciapoiriferlmentoaunsuosta-todiequilibrloi eallaoonipmdeiteuscitadiequilibrio 5'. detti nominali, che ~oddisfanoleiden1itl
Os:/(i,ii)
(3.56)
ji=g(i,ii)
(3.57)
3.5.1 Unearluazione Il procedimenlo della Uneariw1:Jone consiste nel descrivm: il comportamento di UD ristema non lineate attorno all'eqnihlmo nominale mediante wi particolare sistema lineare. Qamt'ultimo sistema costituisce solo on' approssimmone del si· s1emaotiginarlo, ma~ estremamente utile per affrontare molti problemi speclfici, pen:héacssosonoapplicsbiliipotentimetodidianslisiesintesidisponibiliperi sistemilineari.. Se si introducono le varuwoni. ÒII (r), 8z (r) e 8y (t) delle variabili di ingresso. statoeusçit:arispeaoaU,.X ej,nonchedellostato iniziale.6.;c., ancora rispetto
a.i:.cioèsesipone u(t)=ii+liu(t) x(r)=i'+3z(r) y(t)=Y+liy(t) .t".-,=i+ò:t.-,
lt equazioni (3.54), (355) diventano .i+ax(t)"" f(i+8.t(t),.ii+8u(t))
(3.58)
j+8y(t)=g(i+&.t(t),U+811(t))
(3.59)
Sistemi lineari e stazionari a tempo continuo con la CO!ldizione initiale
X+Ox(lo)=X+Ox,0
(3.60)
Supponendo poi che le funziool f e g siano sufficientemente regolari, esse possono essere sviluppate in serie di Taylor rispetto a x e u in x = X e u = ù. Sostituendo questo sviluppo, arrestato ai termini del primo ordine, nelle (3.58), {3.59) e ricordando che X non dipende dal tempo, si ottiene fì_"r(t)
_ y + 5y (/)
=f
{i, ii)+
af ~:·u) L,.i,u=ii h- (!) + af ~: u) 1.r~i.K=ii f,u (t)
_ _
Og(x,u)I
dg
(x.u)I
= g (x, u) + -,,~ x-i.•=• 8x (t) + -,,~ '"''-'-u=~ 8u (r)
Da quesie ultime equazioni e dalle (3.56), (3.57), (3.60) si ha infine
8.f {I) Sy (t)
= AOx (t) + BOu (1) = Céx (t) + Dou (t)
8x (lo)= éx,,,
(3.61) (3.62)
dove A
B
= af ~:• u) lx~t.u=ii = aJ(x,u)I au
(3.63) (3.64)
.~ .•~~
(3.65)
D= 3g(x,u)'.
(3.66)
'" L.,...
Si è cosl ricavato un sistema lineare e stazionario che in senso stretto lega le variazioni prime delle variabili in gioco e che si chiama siste=i lineari=to. Esso t utilizzabile per descrivere in maniera approssimata il comportamento del sistema (3.5-1-), (3.55) attorno al particolare equilibrio considerato nel caso in cui le variazioni delle funzioni di ingresso e dello stato iniziale Ou (t) e Jx"'. nonché le variazioni lix (t) e 8y (r) da esse provocate, siano sufficientemente piccole in
Esempio3.18 (Segu1tQdall"EsJ•(2.3S-)oonodescrittidalleEquazioni(3.61)-{3.66)con
-k/~li]
IJ=[t/:/2]
C"'[Mgl
O]
D"'O
(3.67)
Invece,psta10i:aggiungibile se è possibile, con llll'opportuna scelta dell'ingresso, trasferirvi dall'ongine lo stato del sistema in un tempo finito arbitrario. Si osservi che la trasformazione d'uscita(3.92)nongiocainrealtàalcunruolocirc11.lap.r:oprictàdiraggiung;ibilità. Quest'ultima dipende esclusivamente dall'Equazione (3.91), cosicch~ a volte essa viencattribuitaaddìrinuraallacoppia(A,B). Per accertare se un dato sistema gode della proprietà di completa raggiungibilità si può applicare il successivo Teorema 3.11 che fu nferimento alla cosiddetta matrice di raggiungibilità, de:finiracome
Teorema 3.11
Il sistema (3.91), (3.92) è completamente Ill&-l>ÌllllgÌbile, ovvero la coppia (A, B) è completamente raggiungibile, se e solo se il rll.llgO della matrice diraggiungibilitàèparian,cioè (3.93)
Se il sistema ha un solo ingresso, cioè m = 1, la lil.11.tricc M, è quadrata e la condizionenecessariaesufficieute(3.93)èequivalemeadet(M,) ~O. Nelca5o in cui un.sistema non sia completamente raggiungibile. si può isolare lasua''parte"dotatadellaproprietàdiraggiungibilità,cosìcomespecificatonel tooremasegucntedoven, p(M,).
=
Teorema 3.12 Mediante un opportuno, non unico, cambio di van.abili di stato X(t) =T,-x(r)
l'equazione di stato (3.91) può essere posta nella forma
i
(t)
""'AX(t) +Bu(tJ
(3.94)
don À
= [ A.
~b] O A,
iJ = [ p ([ B.
!•]
,,L E Rn,~a,
Ha E Rn,xm
,4-aBa À!Èa · · - A:·-' B.]}= n,
(3.95)
(3.96) (3.97)
Per costruire la :matrice T, si sele7ionino innanzi tu.no l1r coloIJJle linearmeute indipendenti in M,. Ognuna di tali colonne rappresenta uno s:.ato raggiungìbile ed esse,nelcomplesso,descrivonoglistatiraggiungibili.nelsensocbe sono raggiungibili tutti e soliglistll.tiottembilicombinandolinearmenrequestecolonne. Esse, eventualmente moltiplicate per costanti non nulle, vengono post.e in r,- 1 dove precedono altre n - n, coloune arbitrarie, ma tali che risulti &1 (r,- 1) t, O. La procedura ha sempre buon esito in virtù della (3.97).
78 Capitolo3 Fi~ura 3.15
Pane,ogglunglMeeparte nonrag91ung,blle.
Pane=n,gginngibile Equazioue(3.99J
Sesipartizionailvettoreicome
l'Equazione (3.94), grazie alle Equazloni {3.95), (3.96), sì può scrivere nella funru;_
Ì..
(t)
ib (t)
= A,.ia (t) + ÀabXb (rj --t- B u (t)
(3.98)
= Àbi\(t)
(3.99)
0
La struttura di questeequazìoni mostra con c!uarez:zache tutti i movimenti forami O, t > O,in quantou non influisce nédirettamente,nétramite i 4 sulladerivatadiibe, d'altra parte, un'opportunasceltadiuconsenr.eperla (3.97) di far asSlllllere un qualunque valore al vettore i 0 a un istante di tempo finito. Si dirà pertanto che l'Equazione (3.98) costituisce la_pmte raggÌU/1.gibile del sistema (3.91), (3.92) e l'Equazione (3.99) la pane ncn raggiungibile. La producono.Xb(t)
=
Figura 3.15 illustra si.nmticamente la stn.ittura delle equazìoni. La matrice À è trlffl!golare a blocclri e perdò i suoi aur.ovalori sono quelli dei blocchi sulla diagonale Àa e Àh: si usa dire che gli autovalori di. A. sono quelli della parteraggmngibilee gli autovalori di quelli della parte non raggiungibile.
1h
Esempio3.23
(SeguitodeU'Esempìo3.20)PerleEqm,zioni(370),(3.71)risulta
M,:e[BAB]=[I/RC
1/RC
Q=tamatriceha,:letermmaQ!.eouUo,laqualco••confenna,perilTeorem•3.ll.1aooncomple1• n12~ung,bilitidelsUtemadÌii3mico.PersepararelaparteraggìungibMdaqru,Jl•nonraggiwigibilc SipuDscegL,ere 1~- 1
= [:
-2.1]
(3.100)
lacuiprimacolou.nacoinc,deco,;,11naqu>l.unque l. Anche questo risultato può essere facilmente iuterpretato in termini di proprietà della ttasfonnata di Laplace.
4.3.4 Costanti di tempo Per la loro definfaio.ne (4.27), le costanti di tempo coincidono c,, p O, cioè del modulodellaparrerealedeipoli. Se la coppia di poli ha rnoltephcitil. v1 ;,. \, l'usci1a.ècos11tuita da una combinazione lineare di termini analoghi al precedente moltiplicati per ti, j =
0,1, ... , v, - l.
98 Capltolo4
4.4 Risposta allo scalino A partire dalla conoscew.a della funzione dì trasferimento, saranno ora esaminate in dettaglio le caratteristiche della risposta allo scalino di sistemi SISO asintoticamente stabili. Studiare il movimento dell'uscita in risposta a uno scalino è imPor• tante, perché permette di capire come si comporta il sistema nel passaggio da una condizione di equilibrio a un'alu-a a seguito di un'improvvisa commutazione del valore dell'ingresso. Ci si concentrerà in particolare sui sistemi del primo e secondo online, con l'obiettivo di stabifue una relazione diretta tra i parrunetri della funzione di trasferimento e le principali caratteristiche della risposta allo scalino. Come si vedrà, tale analisi risulta valida, Jn certa misura, anche nello studio di sistemi di ordine superiore al secondo. Inoltre, i risultati di questo paragrafo possono essere milmente impiegati per risolvere un problema di tipo diverso, cioè quello di dedurre una funzione di trasferimento approssimante del primo o del secondo oroine a partire dalla risposta sperimentale di un sistema soggetto a un ingresso a scalino. Lo scalino d'ingresso sarà assunto di ampi=a unitaria, in quanto, per linearità, la risposta a uno scalino di ampiezza ii si ricava da quella allo scalino unitario moltiplicandola per ii. Prima di intraprendere lo studio delle risposte è opportuno fare alcune coosìdera.zioni di validità generale.
4.4.1 Valore iniziale e finale Nel caso di sistemi asintoticamente stabili, il calcolo deJ valore di regime Jo,; (o ji) della variabile di uscita è già stato effettuato nei Paragrafi 4.3.1 e 4.31 per mezzo del teorema del valore finale, gìungendo alla conclusione che Yro è nullo in presenza di eventuali azioni derivative (g < 0), altrimenti è pari al guadagnoµ. Analogamente, per cn sistema descrit!O da1lafunzioue di trasferimento razionalo
G(s)=f1ms"'+/Jm 1s"'- 1 + ... +/Jo 1Xns"+a,-1s"-1 + ... +o
dove m ~ n, il valore inizi'.l.le della risposta allo scalino può essere detenninato mediante il teorema del valore inìziale, che fomi~ce
Ricordando le regole di trasformazione de!la derivata di nna funzione, il teorema può anche essere applicato per dedurre il valore iniziale delle derivate sucressive dell'uscira nell'istante inizi.ile. Per esempio, se m < n, y(O) = Oe risulta j(O)
= ,1!.1! s(sY(s) = lims' ~➔""
y(O))
=
fJms"'+/Jm 1s'"- 1 + ... +/Jo l a,.s"+a,,_ 1," 1 +- .. +uas
""I; ..-I!!.,
m T2
(4.34)
è data da
y(t) = µ. (1 _ __!!:__e...,fr, + __!2__e-- T2 >- 0), il sistema è tanto più veloce quanto più le costanti di tempo T1 e 1j oono piccole. però Ta,, T, e T, sono funzioni non semplici di T1 e T2 Si può inoltre verificare che la risposta non presenta alcuna sovraelongazione. A titolo dì esempio, la risposta del sistema in un caso particolare è riportata nella Figura 4.-4. Dall'espressiooe (4.35) è anche possibile verificare che se T1 Ti, l'esponenziale più "lenta", con costante di t.empo T1, domina la forma della risposta e, per t non troppo piccolo (t ::::::'. (4..;.. 5)Tz),risulta
»
y(t) ::::::'.µ,(1-e- T2 > O, p~ valutare convenientemente l'andamento nel tempo deìl'uscita in funzione della posizione relativa dello zero rispetto ai poli è opportuno distinguerei casi seguenti.
I caso: r < O. Come mostrato nella.Figura 4.5, dove sono riportati gli andamenti di y per T1 e T2 fissate e per diversi valori dir, la risposta presenta una sottoelongazione iniziale o, come spesso si dice, una risposta inversa. che è tanto più pronunci aia quanto più lo rero -1/r sì avvicina all'origine del piano complesso.
II caso: r> T 1 > Tz. La risposta presema una sovraelongazione tanto più marcata quanto più l o = negativo è vicino all'origine del piano complesso rispetto alla posizione dei poli. NellaFigura4.6 sono riportati gli andamenti di y per valori Jì.ssari di Ti e Ti e al variare dir. Anche nel caso di sistemi di ordine più elevato la presenza di una sovraelongazìone (ma non di un andamemo oscillante!) nella risposta allo scalino è indice della presenza ili uno zero reale negativo di modulo minore di quello dei poli,
lll caso: T :::: T1 » T,. Dalla (4.39) con semplici calcoli si può verificare che l'andamento dell'uscita può essere così approssimato y(t):::::µ,(1-e-t/T,)
t~O
(4.40)
e il sistema può essere considerato "di fatto" del primo ordine. Tuttavia. come mostrato nella Figura 4.7, la risposta è lievemente diversa da quella daia dalla
Funzione di trasferimento 103 figur.4.7
Risportaalloscalinodel
~~!~~~~~i-~r~=I, andamentodella(4-40)oon T2=0.05 -ilit T2. I.a presenza dello zero tende a velocizzare la risposta rispetto al caso r = O. Uu esempio di ciò è riportato nella Figura 4.8 dove, assumendo Ti = 2, Tz = 1, sono po,;te a confronto le risposte pe:r -r = O e
-r= 1.5. l'igura4.8
RLSposta•llo,calinodel SÒi,riC il legame, ,uppo~2slaspolllla1nikdelblocco G:z{~). &arciZioSA Dimottrue.nlllm2Ddalerap~di.11a.1o,dicgli,wlovll,;,ri.delsistema. di FlgUn 5.7 JODO la .tillllione degli anl0'Yllori. del dae IIOlbl6islGml. Que,110 risultalo confmna cbe.anehe~noat1ovalcemnaliiledillllscll:Od.slellll.11011.aJIPlr81l11ipDlidellal"unziou,odi lnm:rinu,orocomple!slvlper~lfettodiu:aaCIUICl:llazione.ilsislmmmDI.DBcomunqueio5wnlea causaditak1111ovalore. R;peicrepoil"e.oerclzjonelcasodelllllll!IIIOSlioncinparalldodifl:uraS.8. Eswcizlo5.S Oxil'ire!lmentoallosclu:maaRtl;IIUioneneplivadiFiguniS.91icllcolinoi.poli irlanellochiusoçoo
cslverifichichelalttnlaZIOJleCtJD.3elllftÌDqtl!SIOCISOdi~liznrellllsilk=Dl&iostabl1e.
EMnuio5..6 COll.rifmme:n10alll'l1,;:hBl!laare~nq:mi.V11dif'"i;un,S.!>.ri,;alcoilnoipoli inllMilocbJUSllCOJI
5d,eml a blocchi esiveri!klli.cileinq_11es1oca.soiisis1emarem,azionafoè1Jlsral,ileanch••eid11erottosis1emi,;he Io compongono sono asimoticame:rue stabili Eserciz!o 5-7 Calcolare le: ftm,foni di rrasfenmento Ira gli ingressi w ed e l"u,ci\a y p;,; il iistcntaretroa?ionalo diFiguraS.16. Sìnotichesoloncllafimrir•odÌMlt ■• •PP•••llmen. ti •to • Il ,;.1. . ,.cnpkoli,o •o• l "' ,o-c,-..te •rJiu■Jl'ltl■ ■ii .,..,1.--1• 011•....t.ilo.
r:1■11eilr:lo 1.11 li ri.-■i• l'Euapi• ,.6. -•--•• '"" n o-.:i.LIW'l.t di,..._ Si ~lollli oìtt, =•è l'Mo;,-..1-. ,_,_........Wl•••- 011,r,. .o.
129
Risposta in frequenza
6.1 Introduzione L'analisineldominiodellafiflquenzadeisistemidinamicilineariestazionaricosti.tuisce uno degli strumenti più pottnti, versatili cd espressi.v.i per lo stndio di alcune loro importanti proprietà, a incegrazione delle tecnidle nel dominio del. tcmpodcscrittcnelCapitolo3. L'analisiinfrequemadiunsistttnasibasaio prima istanza sullo studio del suo compartamentD quando esso viene sollecilato da un ingmso di tipo sinusoidale, ma, grazie al principio di sovrapposizione degl.leffetti,pubessereesresaaclassidisegnalibcnpiflampie.Sipottann0infatti.prendeceinconside:alzi.onet'llttequelkfimzionipercuièpossibileeffemwe una scomposizione armonica, che pcm1Ctte di npprcsentarc il segnale come una com.binuionc lineaie di un wnncro finito o infinito di cmnpoaen!i sinusoidali. Ricadono in questa famiglia le funziooi periodiche svilu.pPabili in serie di Fourier e
lefun:ziooidotatedittasfonnatadiFcmier. lnparticolarel'attem:ioncsaràrholtaaiseguentiargomentl:
• il calcolodellarispostaauningresso sinll!loidale e l'enunciazione del tr.orema foodementalc della risposta in frequmza; • l'estensione al cuo di ingressi esprimi.bili come combinazioni lineari di sinusoidi; • l'intmduz:ionedelfondamentaleconcettodirispostaiDfrequenzadiunsistema edcisuoilegamiconlafunzionedil:rtiferim=nto;
• alcuni cenni sul problema dellari!e"1-11Zione sperimemale della risposta in tre-
""'"'
lostudiodelledM:nemppresenlUionigranchedellarisp0$tainfrequenza; •laclassificazionedeisistemidinamici.inldazione!lllclorocararuristi.clJlldi azione filtrante, oon una breve diSta in ~~~uenzanell'E,emp;o
-'" -'"
armonichedell'ingn,ssoapulsa:tionivicine allapulsaiionenatllralewn = Jf7R =!assodata ai poli. Questooffetto,legatoo!fenomeoodeUari,-on"11:;a,è:dovutoallapresonzadiuncoci'ìklen1e d1 attrito h relalivamenteb'-'!so, che induce un debole "'IlOrzarncrtto (~ h/2./FM'"' 0.l)epuò essere appreuaro anehe oaserv:mdo l'andamento lemporale dell 'usc~a y, mo,1ra.10 nella Figma 6.4, iocui~evidenteUJlafortecomponentesiDusoidalec"'>periodoprossimoa2'r.
=
Risportainirequenza 139
6.4 Complementi I risultati appena visti sulla risposta in frequenza possono essere estesi in vane direZloni.Sipossonoperesempioapplicareglistessiragionam.entialcasodella risposta a un ingresso esponenziale. Inoltre è possibile trarre qualche conclusione anche nel caso in cui il sistema in e:sarne non sia asintoti.camenre stabile.
6.4.1 Risposta esponenziale Si voglia calcolare il movimento del sistema (6.1), (6.2) in risposta a un ingresso esponell2.ialedeltipo u(t)=UeJ.J t~O supponendo cheJ.. non coincida con alcun autovalore dì A e, per il rnomeoto, che
ilsistemasiaas:intoticamentcstabile. Con considerazioni simili a quelle del Paragrafo 6.2.1, non è difficile dimostrare che vale il risultato seguente Teorema 6.4 Se si applica a nn sistema lineare asintoticamente stabile con funzìoneditrasferimentoG(s)l'ingressoesponenzìale
u(t)=UeJ.r l"uscitaatransitorioesauriroassumel'andamento (6.16)
indìpendcntementedallostatoinizìale. Naruralmerne, la proprietà appena enUI1ciata è davvero significativa solo quando !"andamento asinrotico (6.16) non cooverge a zero, cioè quando la costante).. il pos1tivao11ulla, oppurequandolavelocitàcon cui é' tende azero il inferiore a quella con cui si esaurisce il transitano dovuto ai poli del sistema. Per essere più precisi,il risultato perUll generico valore di À andrebbe enunciato affermando cbe per I ---->- oo la differenza tra l'uscita y(z) e lafum-Jone 5ì(r) tende a zero per qualunquestatoinìzjale. Il Teorema 6.4 consente di illustrare una fondamentale proprietà degli zeri di un sistema dinamico. A questo proposito si ricordi che si chiama zero di un sistt:ma S150 un valore complesso s cbe rende nulla la funzione di trasferimento G(s) (Paragrafo 4.22). Alla luce di quanto appena visto, applicando l'ingresso u(r) U.!-' con>..coincidentecon uno zero del sistema, l'uscita tende asintoticam.enteadannullarsiperqualsiasi valore dello stato iniziale. Questa importante proprietà degli :zeri viene di solito chiamata proprietà bloccante. Conop]Jortune precisazioni, cbc però esulano dagli scopi della presente trattazi.one, essa potrebbe essere estesa anche al caso dei sistemi multivariabili.
=
6.4.2 li caso di sistemi instablll Quando il sistema in esame non è asintoticamente stabile, i risultati dci paragrafi precedenti non sono più validi. Per esempio, se si applica un ingresso sinusoidale a un sistema instabile non il più vem in generale elle l'uscita tenda a una sinusoick, visto che il tennine y1(r) nella fommla (6.4) del movimento forz.ato non converge necessariamente azero. Ciononostante si può dimostrll!"e che, con un'opportuna
140 Capitolo 6 ,celtadellostatoiniriale,ilterrniney1(1)puòessereesartame.utecontrobilanciato daD.acomponE:I1teli~de!movimen10. Perdiscu1erepiùindettagliolaquestione,siconsiderida.pprimailcasodella risposta esponen1.iale del sistema (6.l), (6.2), rimuovendo l'ipotesi di asintotica mbiiita. Ci si pub chiedere se, alimeIJtando il sistema con l'ingresso (6.17) esmeunvalorcdix(O)talecheilmovimentodellos1atosiaanch'essoespon"nziilot+argG(jw0)J
t:::. O
Teorema 6.6 Si supponga che il sistema (6.1), (6.2) con fuwjone di trasferimenro G(s) ITOil abbia autovalori in ±jnWQ (con n intero) e si applichi a esso rinçesso
- - - - - - - - - - - - - - - - ~ • ~ i s p = ~ = " = i n f r e q u e n u i 141 AlloraesisteunostatoinizialeJ.(O)percuil'uscitaèperiodicaevale
Teorema 6.7 Si supponga che il sistema (6.1), (6.2) con funzione di trasfe-
rimento G(s) non abbia autovalori sull'asse immaginario e si applichi a esso l'ingresso u(t)
=~
J_~ U(jw)ei""'dw
Allora esiste uno stato mitiale x(O) pe.rcui l'uscita
t ::::_ O
e dotata di trasformata
di
Fol.lrierevllle
6.5 Identificazione sperimentale della risposta
in frequenza Poichélarispostainfrequenzacostituisceunarappresen1azioncoompletaeparticolanneme utile di un sislema dinamico, einteressante porsi il problema della suadeterrni.nazion.eaparriredallarilevazi0nediwisuresperimentali. Irisultatidiscussinei precedenti paragrafi suggeriscono tecnichediideatificaz:ione della
risposta lii frequenza ampiamente diffuse nelle applica:tiOlli pratiche. Se ci si limita a consìderue sistemi fisici con una variabile di ingresso e una variabile di uscita e si ritiene che essi siano, almeno in prima approssimaZlonc, de-
scrivibili amaverso un sisrema lineare, stazionario e asìntoticamente stabile, sulla base del Teorema. 6. l e dei commenti che lo seguono, il valore della risposta in frequenza in"' = può essere detcnoiaato attraverso il seguente esperimento. A partire da una condiiioru, di equilibrio, si sollecita il sistema con un ingresso sinusoidale u(t) = Usin(wol} e si attende il t.elllJXl necessario perché il sistema sipossaconsiderarearegime. Quindi si mi;uranol'ampiezzae!afasedcl.lasinusoide di uscita. Il modulo della risposta in frequenza in w wo risulta pari al
"'°
=
rapportocraleampiez:zedellasinusoidediuscitaediquelladiìngi:esso,mentrela sua fase è pari alla differenza ira le loro fasi Ripetendo questa operaziQne apph caodofunzionidiingressooondiversepulsazioni,siottengonocoslivaloridella
nspostainfrequenzapertuttiivaloridipulsllZionediinreresse.Daqui.senecessario, oou tc:cuiche di imeipolaziouc si può determinare un'espressione analitica dellarispostainfrequenza.equindidellafunzioneditrasferimento. L'i~nti.ficazioue sperimmtale della risposta W.frequenza può essere compiuta più velocemente se si utilinano segnali di ingresso più ''ricchi" di annoni.che e si fa riforimento ai Teoremi 6.2 o 6.3. Impiegando segnali di questo tipo si possono dererminarein un singolo esperimento più valori dellarisposta in frequenza. Per far ciò occorre solamente separare le armoniche che compongono il segnale di uscita (mediante un calcolo numerico dello spettro o attraverso l'uso di opportuni Jil!J:i)erapportlrrleaquellepresentìnell'ingresso.
142
Capitolo 6
6.6 Diagrammi.cartesiani o di Sode Per i sistemi SISO, i diagrammi cartesiani, o diagrammi dì Bode, sono probabilmente la fonna più usata per rappresentare graficamente la risposta in frequenza G(j(J)) !ISSociata alla funzione di trasferimento G(s). Essi sono costituiti da una coppia di curve che rappresentano in funzione della pulsaz:ìone"' il modulo e la fase cli G(jw). Le due curve sonll dette diagramma di Bode del mcdulo e diagramma di Bode della fase. Nei tracciamento dei diagrammi è comodo utilizzare una scala logaritmica ìn base dieci per l'ascissa, dove è riportata la pulsazione w, evenwalmente normalizzata rispetto a un valore di riferimento. Così facendo, ladìstanza tra i due punti che rappreseatano le due generiche pulsaziooì w1 e Wz > w1 è proporz:ì.ona-
le, secondo un oppommo fattore cli scala, al rapporto IJ),;;./w1 , cioè alla differenza tra i logaritmi di wi e ru1, anzicM alla diiferellZa lll2 - w,, come accadrebbe ìn una scala lineare. Quindi, considerate quattro pulsazioni à>J., W:?., ù!J, a,4 tali che a, 1 /wi = "'3/w4,ladistanzatraipunticherappresentanoru3ew4èuguak a quella tra i punti che rappresentauo w1 ewz. In particolare, si_çhiamadecade un intervallo tra due pulsazioni che sono tra loro in un rapporto pari a dicci Da quanto sopra specificato segue che la pulsazione nulla non compare al finìto sull'asse. Nel tracciamento dei diagrammi. cartesiilllI è convenientell.'lSUIIlere che la funzione G(s) sia assegnata nella forma fanorizzata (4.26), cjuì riportata per comodità G(s)= µH(l+ r,-s)TT 1 0 +2ç;s/an1 +s2Ja!;) ss TT,(1 + T;s) fl(l + 21;/l/CtJ.; +s2/~1) a cui corrisponde la risposta in frequenza
6.6.1 Diagramma del modulo Nel diagramma del modulo l'asse delle ordinate riporta ìn scala lineare il valore del modulo della risposta in frequenza espresso in decibel, o in dB. Convenzì.onal:mente, il valoreindec:ibel di una quanti!àpositivax èdatoda20logx, dove il logaritmo è in base dieci. Pertl!nto IGUa,)ldB =20log!G(J(l))I e valori positivi, negativi e nulli di iGUoo)ldB conispondono a valori di IG(joo)I maggiori, minori e pari a uno. Per le scelte efferrnate il modulo in dB della (6.18) è IG(jw)ldB
= 201oglµl-20glogljrul + L;20logll + jwr;l + +L,20Iog) +2it;;w/rx,. -w2/a~1
1- L;20logll + jruTd+
-Ì:)0logjl+2jç;w/w.1 -w2/w~;i
(6.19)
e quindi il tracciamento del diagramma può esserecompiutoconsìderando dapprima separatamente i termini cbe compaiono nella (6.19) e :mcceSl!ivamente sommando i relativi contributi. fuoltre, osservando che per un Gt?alunque numero complesso s -1- O risulta 11/sldB = - lsldB, ì C()ntributi al diagramma di Bode
Rispostainfrequenza 143 dei modulo dei fattori dJ G(jw) corrispondentì agli zeri dì G(s) si ricavano immediatamente con Wl semplice cambio di segno a partire dai contnÒUti deì poli. Per un'analisi completa è sufficient.e quindi considerare il modulo della òsposta infreqlle!lZaassociataaitermlni (6.20) (6.21) I
Gh)
= l+Ts
Gd(s)
= 1+1~s/l,)n+s2/~
(6.22) I
(6.23)
Nel seguito si mostreranno le principali caranerlsticbe del diagramma di Bode
delmodul.orelativoallefunrioni(6.20)-(6.23)eperlestessesimtrodurrannode1 diagrammi approssimati, detti diagrammi asimvlici.. Questi ultimi sono dJ. semplicissìmo tracciamento e il loro impiego ooDSente nelh maggioranza dei casi di determinare, senzal'ausiliodisrrumentiillcalcoloei:pesSo con un accettabile livello di approssimazione, un andamento qualitativo del diagramma esatto associato a fuDZioni G(s) di struttura anche molto complessa.. In ogni caso è possibile valutarel'errorechesicommettenell'approssunazioneequindi,senecessario, apPortareleoppommecorrezioni. Diagramma del modulo di Gd(Jw) Dalla definizione (6.20) nsulta
IG0 (jw)]dB=20loglJLI acuiconispondeungraficocostiruitodaunarettaparallelaall'assedellewcon ordinat.apositiva,negativaonullaasecondacheillllOO.ulodiµsiamaggìoredì uno, minore di uno o unitario Diagramma del modulo di Gb(jw) In questo caso, dalla (6.21) segue che IGc(j,:,,)ldB ""201og
1-kl = -20logw
(6.24)
Ilòlagramroaèunarena,inq•Jantosialascaladelleascissesialadipendenza da w sono di tipo logantmico. È allora sufficienre conoscere il diagramma in due punti per poterlo trocciare compleramen.te; a quest-o riguardo si osservi che IGo(jl)lda = O e IGb(JlO)iòll = -20. Convenzionalmente si usa indicare come unitarialapendenzadi20dB/decadeesiusadirecheiarettabapendenza-l o che"perde"20dB/decade Più in generale, il diagramma di Bode del modulo associato a G(s) l/$~ è una retta di ordinata O inw = i. e con peruienza -g, che ''perde" quindi 20gdB/decade per g > O (azioni integral!) e "guadagna." 20 lgl dB/decade per g < O (azioni derivative)- Il diagramma relativo ai casi g = ±1 e g = ±2 è riporlatonellaFigura6.5.
=
La rispoota in frequenza associar.a alla
Diagramma del modulo di Gc(Jw)
(6.22)bacomemodulo
Il+JwT : I
iGc(jw)l/wn),"-'»w,
dB-
Qò suggerisce di rappresentare ìn modo approssimato la curva con il diagramma asintotico costituito per w :.,: 1,Jn dalla semi.retta di pendenza e ordinata nulle, e pe, w > wn dalla semiretta di pendenza -2 e ordinata nulla per w Questo diagramma asìntotico coìncide quindi con quello relativo a una coppia di poli reali in s = -w. ed è tangente a quello eifettivo per w --+ Oe w --+ co. Il diagramma asintotico è anch'esso riportato nella Fi.gura6.8. L'errore Ed(w) che si commene sostituendo il diagramma asintotico a quello esatto è riportato nella Figura 6.10; esso può assumere valori anche molto elevali per a, :::: Wn e bassi valori di smorzamento.
="-'•·
Risposta in frequenza
Anche in questo caso i diagrammi esru:to e asin1otico associati a G{s) = 1 + 2~s/w" + s 2/w~ si possono ottenere come immagine speculare rispetto all'asse delle pulsazioni di quelli associati a Gd(s). In particolare, se la coppia di zeri considerata è puramente immaginaria, cioè ç = O, il tliagmmma tende a -co, coerentemente con il fatto che la funzione ha una coppia di zeri in s ±jwn e quindi per /j) Wn il suo modulo è uguale a zero
=
=
Traeciamento del diagramma asintotico del modulo n diagramma asintotico di una quaìsiasi risposta in frequenza si ottiene sommando come specificaro nell'Equazione {6.19) i diagrammi associati ai singoli fattori della (6.18). Si comprende però facilmente che questo diagramma, che è costituito da una speziata i cui vari tratti hanno pendenza intera, può essere tracciato direttamente senza ricavare prima i diagrammi degli addendi. Infatti, a pulsazioni.minori di LUttii 1ermini 1/ lr,I, 1/ 11;1, rg(l + jwr:;) + + L;arg(l +2jt,w/«n;-(:,/ja~,)- L1 arg(l+ jwT;)+ -L;arg(l+2jt;w/wn;-if/~,)
(6.31)
e quindi, anche in questo caso, il tracciamento del diagramma può essere effet" tuatoconsiderando dapprima separatamente i termini che compaiono ndla (6.31) e successivamente sommando i sìngoli contributi. Per questo motivo nel seguito verranno analizzati i diagrammi della fase associati alle funzioni di rra.sferimento elementari definite nelle (6.20)-(6.23); per alcuni di essi verrà inoltre introdotto nn corrispondente diagramma asintotico. La convenziooe che si adotterà per il calcolo dell'argomento dci s.ingoli contributi della (6.31) è quella di assegnare il valore di minimo modulo tra tutti i possibili, che comporta di considerare valori in modulo non superiori a 180". Naturalmeo.te il valore argGLJw) risultante dalla somma.dei singoli conrributi della (6.31) potrà invece avere modulo maggiore di 180°. DiagrammadeDa fase di Ga(jw)
In base alla definizione (6.20) si ha
O" , µ,>O axgG~Uw}=arg/1-= ( -1so•, µ O nella Figura 6.12, mentre per T < O è speculare rispetto all'asse delle pulsai:ìoni.. La fase è negativa se il polo s "" -1/T è negativo, mentre è positiva se il polo è positivo; nel primo caso il polo "ritarda", nel secondo "anticipa". RisultaìnoltreargG 0 (J/T) = ±45°
Si noti poi che -ru:g(l)=O°,
argGcUù.>)~
1
.
-arg(JwT)=
w«l/lTI
J-90",T>O)
l+90', T I( !TI dallasemirettaorizz.ontalcdiordinata -90°, se T > O, o +90°, se T w,,dallasemirettaorlzzontalcdiordinaia-l80°se ç,:: Oe+ISO°seç < O. Siosse:Mcheildiagtamma.asi.ntoticocoincidequiadi con quello relativo a uoacoppia di poli puramente immaglnariin:r ±J@n ed
=
~taogenteaqudloesattopf:fM ➔ Oe(J)-+ oo; tuttavia,pecvalorldiwdiversi da 5ferimento O(,)=
l:T,
{6_;17)
o~
in cuiµ. ,T > O. ndiagmnm,diBodedelmodulodi G\•)/µ,ènportat.o nel!aFigura6.6, mentre 1! cO!Tll'pondmtedfa= deUafa.se è moSII'llto nella Figura.6.12.. Da questi diagnmm.i. ~e,identeche airaumentarediwdazeroaII"inJlnito,ilmoduloeiafasede!larisposta in frequeaza. associata decrescono monotonie.mente da/La (h daOO a -90" riapettivameme. Si •uppm,ga om di wmentarmo dell'origine stessa. Seguendo laproceduragrafica.dicosti.-uzimiee considwmdo il luogo dei punti defini.10 nella Figtua 6.2la,. ll diagramma polare che Bi detennint per co Ocompie tm quarto di cm:onfenmza di raggio bui.nito e fasechepassadaO'a-90",inanalog:iaconl'interpretazionefomicanell'eseropio.
=
RgllfllG.21
~Tt:ci::.trcato
d!agrammapolan:,.
. +.+ ,' ,,
.,
'
.,
,.
Rispostalnfrequenza
Coerentemente con quanlO dea:o e per ragioni che saranno megho chiarite nel segnico, e opportuno ridefinire il diagramma polare, quando G(s) possiede poli sull'asse immaginario, come l'immagine amaverso G(s) dei pmui del semiasse immaginario positivo (esclusi i poli di G(s)), dei punti ui•, /J E [O, ,r/2) e E infinitesimo, ses = OèunpolodiG(s), edeipuntijW+ee,i•,e E (-n/2,,r/2) es infinitesimo, sejiìi è un polo di G(s). Inqu~stomodo, medameu.tog_ualii..tivodeldlagrammapot,n,deDafumigp G(,J);,: l:Ts"-TI
µ ► 0, T>O
(li.41)
èriportalouclla.Fiz=.624esiottieneo1serwndoeheillll azionefì.lttantc. Nclsegnitodelparagrafosarannoillllllttaledneimponaoticlusi
difiltri,facendorlferimentoesclusivanwnteasistemiasintolicamcntestabili.
6.8.1 Altri passa-basso P3rticolare impatanza rivestono quei sistemi che lasciano passme inalterate, o al pill. amplificate di un valore costant.e, unicamente le annoniche del 5efP1ale di iop:,sso con pulsazione infcriole o uguak; a un d&to -ralore iii, e che eliminano lc mmoniche COII pulsazione maggiore di iii. Qucsd sistemi vengono chiamatiftltri
Risposta infrequenza
159
figuro6.25 Diagrarr.madiBotledel motluiodiunfiltroideale ediunflltro~le
passa-basso
ideali passa-basso; il diagramma di Bode del modulo a essi associato è costante sino a W e vale -oadB per w >&>(Figura 625), me:otre il corrispondente diagramma della fase è nullo, almeno fino a W. Larealiuazione di un filtro ideale passa-basso è di fatto impossibile e quindi è interessante definire i filtri reali passa-basso come quei sistemi caratteriuati da una risposta in frequenza G(jw) con modulo circa costante a bassa freqt1enza e descrescente per w > W. In particolare, si usa definire come filtro passa--basso llil sistema la cui risposta in frequenza soddisfa le relazioni
Co= illustrato dalla Figura 6.25, il diagramma di Bode del modulo di un filtro reale passa-basso è quindi compreso nell'Lnte,.-vallo [-3 dB, 3 dB] attorno al valore !G{jO)i per w :':: W, mentre assume valori inferiori a IG(jO)idll - 3 dB per w > W. L'jntervallo di pulsazioni [O, W] viene chiamato banda passante del filtro e iii è restremo superiore della banda passante. La banda passante quindi rappresenta un indice della capacità del sistema di attenuare armoniche di pulsazione elevata e di far passare, con limitata variazione del modulo, le armoniche di pulsazione minore o uguale a ii.,. Si noti inoltre che nella defirrizione fornita tramite la (6.42) lo sfasamento ìntrodotto da G(s) non ha alcun ruolo. mentre in realtà il contributo di fase del filtro può essere significativo e di nonna non va trascurato. Infine è ovvio osservare cbe la(6.42) implica che G(s) sia.di. tipo zero, cioè non contenga azioni deri,11tive o i.ntegrali. In tal caso G(JO) coincide con il guadagnoµ. Esempio 6.11
U11 silltemadd primo ordin• con funziono dt ttasferim.c:nto
G(f)=
l-:Ts
µ>0,T,-0
((i.43)
pubc=interpra:tatocomeunfiltropas:a-bos,o(si"edalaFigur:a6.6). Dallallguraò ruxhaimm,di>.to veri.ficare dela ba.ndapestolngre;soèJ1revalentementeconcontrato-• bassa freqr.,enzau, màcooticne componenti armoniche significative flno a pul.sllioni intorno a w = 4 (si ~eda la figura 6.3). Quando I, il si,temalasciaJ>aSsare la maggior pMte deUe componenti del segnale eia fonna dd!'u,citanon differiscernol1odallafonnadell'i.mpulsorettan~larein 1ngresso. Se invece T = 10 o addìrittu"' 50, il fillrO ha !llla banda molto più slr"lta e le distoruoniel'atterniazione:chesubisceilsejnalesonomolto_piùa=ntuate
r"
r=
Filtri di Butterworth Nel campo dell'elaborazione dei segnali, sono numerose le applicazioni che richiedono l'uso di filtri passa-basso per depurare un segnale dalle componenti ad alta frequenza. Un tipico esempio riguarda i cosiddetti filtri anti-aliasing, di cui si parlerà nel Capitolo 17, dedicato all'analisi dei sistemi di controllo digitale. Rimandando il lettore a lesti specialistici per maggiori dettagli ;ui criteri di progetto di tali filtri, ci si limìta qui a parlare deijillri di Brmerworth, con funzione di trasferimento
Rispo51:a Infrequenza
161
Tabell•6.t
?ol,~o~; di Btrtterworth.
Ordinen {.,'+Il (s'2+1.414s'+l} (s 12 +s'+l)(s'+l)
(s'2 +0.765s' + l)(sf.! + 1.848/ +1)
doveìl polinomio Bn(s) è univocamente definito una volta fissato l'ordine n del filtro e la banda passante [O. 0] desiderata. In partiwlare. definendo la variabile complessa normalizzata s' = s/W, ì polinomi Bn(s), per n = 1, 2. 3. 4. si ricavano dalla Tabella 6.1. Come si può verificare, il filtro di Butterworth di ordine 11 è caratteriz.zato da una collocazione equispazìata degli n poli lungo la semicirconferenza di raggìo W centrata nell'origine e appartenente al semipiano
sinistro.
I corrispondenti diagrammi di Bode di modulo e fase sono riportati, nelle pt:Jsazioni normaliu:ate w/W, nella figura 6.27. Si osservi che l'azione filtrante è 1anto più vicina a quella di nn filtro ideale, almeno per quanto rlguania il modulo, quanto più è elevato n. Per!!Jlprofondùnenti ~ulle propri.età dei filtri di Butterwonh e sullo studio di altri filtri passa-basso, si rimanda ai testi spedalizzati
6.8.2 Filtri passa-alto Analogamente a quanto fatto per i filtri passa-basso è possibile definire i filtri ideali passa-olto come q_uei sistemi che lasciano passare inalterate, o al più am-
pWkatedi una quantità costante, unicamente le armoniche del seg11ale di in,,o-resso con pulsazione maggiore o uguale a W, e che eliminano le annoni che con pulsazione minore di&. Il loro diagramma di Bode del modulo è costante per w :! W e
vale -oo dB per w < & (Figura 6.28), mentre il co1rispondcnte diagramma della faieènullo,almenoperw~ W. Si definiocono poì filtri reali passa-alto quei sistemi carattenzzatl da una rispostainftequenzaGUw)ilcnimodulosoddisfaleseguen.tirelazioni
I
iii;;}I 72 'w-uscita, o interna di un sistema dinamico a tempO discrct0. Le considerazioni fattr. al Paragrafo 2.2.4. cil'C8 la scelta dena nanna e del nnme:ro dclle variabili di stato, ai applicano ugualmente ai sistemi che si stallllO tratte.ndoqui.Ancllefnquestocaroessepossonoesserespossoselezionatecrunc quelle quantità che determinano gli accm:nuli all'interno dei sistemi, rendendo così conto dellasroria passata. La scelta, COlllll!lqllt, non è mai unica e a volte, per una maggiore comodità nell'analisi, pub essere oppoctuno defilJirc Io stato m
campo complesso invece che reale.
7.2.2 Esempi Si mostrano, qui di seguito, alcuni esempi di sistemi dinsmici a tempo discreto.
-
Esemplo7.1 Sivcgtiadeactiverel'e-roiUZÌOIKlemporak.m1sepermac,dd.guadagnogdi ,m'uieod~chevaudeuncertobenecbeeua~~in1JJ8Dlitiq~O. Sekindb.fl pnericomes11esldenotaOD11s:!:_Olascortatll"irdzladelmese.unlOlllplkelllllllldocome:n11:di
d ovev ~0rappffl$8Dlllaquaatitàv«IQ1laudmese. S(pllÒ~chequoal'ullimadipmda dalpm:zop:!:_Osea.mdolatelazione
~(i)=a!h-/JlfJplk) do\lllae~sonodi>opmmelrinoonepl:ivid!edescri•'OIIOl·~111dclo:msume1oririspfflo alp19UO;lev=l:lted.oècantmgonc1111aqm,taimlipendemedalpre,;,;oe111'1lnchedimi:i:misce all'awnenim,delpr=;•prezzoe0$lllllle.lcdll0"'°"'11D11fimi.oni.ddpcriodooonsiderui(ti puòpe,:,sorecheae{Jdlpeodagodallaamgiunmraiuzio-
ngdclJ1111!10lUdi}Rdalori. Jnauc:madipmle.(l:1Ck.J,. OJipredatorilendooonatunlmeclrea dillliaoireperIIIID,CIIIIZl.dinutrimealo,-.,allapteSl!DZl.dipttda(.,:J(.t} >O)ocmispoaw:ua
,;on(rlblltoclietend=afllr11111101111leipredatori..~IJle:llihannoadispasizlo.noplà11011am:& nutnthe..A8"'1meJ>doebclavmabilediintm=seùacos:rituitadal111llllmOdi~sipxrl )l(k)""X2Ck.)
oueucodocoslunaMmldiOldillen=-2Esempio7.3 Moldalp;itmi!llllelllalicisiposat00de!aì,.=cC1111Bmte:midiollllic:l.•mfflpO discreto. Pcrcaempi.o.slcomidaiilseguoateeladcallg~diltima. Sl~theiCMe
Vllriabilia(k)eP(l}.riaoottakJJopn:,pxzkmaliaecondo11ncoellkieatcp.,c:i~
PCi)-µa(kJ e,ianumadlpOO:r6ssereadad:ilrlollvalntr,dia.Perdta:rmiimep.CM~aJll8llle..W.ipolD. sipU{lpem&Rdiimponcun!IÌllgl)lllvalorellOJlnulloada.lllt5lll'&RlilC"8M:Rd=ciittodalfo:n,JIIZiooi j,,(.t +1)
= jj.Q;) +1Ja(i:){f!.fl:1-;,.1k)a(t))
(7.12}
dove f,.(k) rt.wesentl la stima Adiµdiopoaibih:al m:mpol: • ilparametmq ~p.,aliwi.Laquatità /f (k) - fi,(l-)a (k) IllpJlUellla I ' ~ clie"' 00111:moue d plS60 .l ne1i""PfirOSllrnlre p. COJ1 j,(/c)elalogieadl:lf'algoritmocomistlloc:ll'B&Sioromeaojll:passolastlmadip.Uldipcndcnza.di ta1cqwunità:pecoseaipio,11Cl"e:norelpositivoconarpomhv-µ.èsonostimatopercldCIIIIYima
-
auw,ntare[,..L'I.Dlienledellerelazioni(7.ll),(1.12)pubmmUltmptm!OCIUDellllslllamadilllmicoinclliaedaconicui.saino!e"3riabihdiiog,ei;so•fAl"use:ita(Fi8'111l7,l).Prwsammte.
Figur.17.1 Stllnirlo;orslw dlunl)al'ametro.
,_r.:SLr1 .
~
slottiew:ilsis1e111a,dil!l'diiw1!.,I, x(Jc+ l) - x(k.){l-1J11f(.t)) +/J.11Ni•~1-1J"1 (k)112(k) )l(k}=x(I:)
Sistemi dinamici a tempo discreto
7 .2.3 Classificazione I sistemi dinamici descritti dalle Equazioni (7.1). [7.2}possono essere classificati in vari modi sulla base delle proprietà delle funzioni f e g Sistemi monovariabill e multivarlabili (SISO e MTh-!O) Si dice m,:movaria• bile (o SISO) un sistema dotato di una sola variabile di ingresso e di una sola variabile di uscita, cioè un sistema per cui m = p = 1: in caso contrario esso si dice mulrivariabile (o MIMO). I sistemi degli Esempi 7 .I e 7.3 sono multi variabili. perché hanno rispettivamente Ire e due ingressi: invece quello dcli 'Esempio 7.2 è monovariabile. perché ha un ingresso e UIL'uscita.
Sistemi propri, strettamente propri e non dinamici Se la funzione g non dipende dall'ingresso, cioè se la trasformazione d"uscita (7.2) si puo scrivere nella fo= y(k)=g(x(k).k)
allora il sistema si dice srrettameme proprio, o anche puramente dinamko. perché !"uscita dipende dall'ingresso non direttamente, ma solo auraveno lo stato Viceversa, in generale il sislema si dice proprio. I sistemi degli Esempi 7.1-7 .3 sono strettamente propri, tranne quello descritlD dalle Equazioni (7.7)-(7.9). che è proprio. Si osservi pure che un caso particolare di. sistema proprio è quello di sistema no11 dinamico, o statica, per descrivere il cui comporramento non è necessario introdurre alcuna variabile di stato. Il legame ingresso--u;;ci1.11.è perramo istantaneo e descritto dalla sola equazione y(k)=g(11(k),k)
Sistemi invarianti e varianti nel tempo Sì parla di sis1ema irwariante nel tempo, o anche stazionaria, nel caso in cui le funzioni f e r non dipendano esplicitamente dal tempo. cioèriaulli.
x(k+I) y (k)
=
f(x(k).u(kJI
= g (x (k), u (k))
mentre, se anche una sola delle funzioni f e g di.pende e;plicitameme tla1 tempo, il sistema si dice variante nel tempo. I sistemi degli Esempi 7.2 e 7.3 sono stazionari, m.:ntre quelli dell"Esempio 7.1 sono varianti nel rempo, a meno che i pa.rruneni /3. f.iì e ç siano indipendenti dak. La risposta di un sistema sm.zionario a una qualunque sotlecitarione, costituita da uno stato iniziale e da una funzione di i.ngr:esw. n.on dipende da!nstante di. :!l'Piicazione della sollecitazione stessa. In altre parole, la stessa solkdiaz:ione inviata in due istanti diversi k 1 e k2 al .medesimo sistema produce due risposte che differiscono solo per una traslazione temporale pari alla differenza tra k1 e k1. Pertant(I, nello studio di questi sistemi, è posstbile as,umere qualunque valore del tempo come istante iniziale: la sceltapit't adottata nell"ambiro della teoria dei sistemi e del controllo, e quindi anche in questo tes10, è ko ::,,- O.
171
172 Capitolo 7 Sistemi lineari e noo lineari Quando le funzioni f e g sono lineari in x e u, cioè quando x (k + 1) e•y (k) sono combinazioni lineari delle varie c:omponenti dei vettori x (k) e u (k), allora il sistema(7.1), r.2) sipuòscriverenellaforma .-.: (k
+ 1) = A {k)x (k)---, B (k) u (k)
(7.13)
= C (k)x (k) + D (k) u (k)
{7.14)
y (kl
dove Jc matrici A E Rnxn, B E R"x"', C E Rpxn e D E RP"'"' sono in generale funzioni del tempo. In questo caso il sistema dinamico si dice lineare; altrimenti si parla di sistema nM lineare. La matrice A viene detta matrice della dimimica; i suoi elementi, com.e pure quelli delle matrici Be C, assumono valori complessi nei casi in cui lo stato sia definito in campo complesso. Tra i sistemi degli Esempi 7.1-73, l'unico lineare è quello descritto dalle Equazioni (7.7). r.8), (7.10) (a pano di trascunrre i vincoli sul segno delle variabili di ingresso e di stato); esso i;iuò essere des0,esisre/5 > Otalcchepertuttiglistatiinizialixochesoddisfanola reJ11.Zione
risulti pertuttiik~O.einoltre
kl!!! 11.r(k)-ill =0
174 Capitolo7 La proprietà di stabilità dell'equilibrio richiede quindi che il movimento perturbato rimanga ~vicino" aD.'eguilibrio nominale. Più precisamente, scelta arbitrarifilllente piccola la massima distanza accettabile in un qualunque istaute di tempO tra il movimento perturbato e l'equilibrio nominale, quest'ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur di prendere Io stato iniziale del movimento perturbato :mfficientemente prossimo all'equilibrio nominale. Se ciò non accade l'equilibrio :.i dice instabile. L'instabilità di WlO stato di equilibri.o implica perciò che esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello stato iniziale che provocano l'allootamunento dello scato del sistema dall'equilibrio stesso. Infine, la proprietà di stabilità può e:ssere rafforzata nella proprietà di stabiliti.i. asintotica, richiedendo anche che il movimento perturbato tenda all'equilibrio nominale per k ➔
oo.
È possibile che uno itato di equilibrio asintoticamente stabile sia anche globalmente stabile; cioè può accadere che la Deiìnizione 7.3 sia apPlicabile con qualunque valore di 8 o, se si preferisce, che i movimenti perturbati generati da un qualunque stato iniziale, "vicino" all'equilibrio nominale o "lontano" da esso, convergano tutti all'equilibrio nominale stesso. Questo però non è certo il caso generale. Infatti, il sistema potrebbe fll!Sere dotato di più stati di equilibrio con differenti proprietà. ili stabilità. Per ognuno di quelli asintoticamente stabili esisterà poi un insieme di stati iniziali, che si dicono costituire la regione di atrrazione dello stato di eqnilibrio, che generano movimenti pertw:bati convergenti asintoticamente a esso. L'apPlicariooe diretta delle Definizioni 7.1-7.3 per accertare le proprietà di stabilità di un sistema. è quasi sempre u.n.a via impraticabile, perché richiede il calcolo dei movimenti pcrtUrl,ati. La detenninazione, o anche solo la stima. delle regioni di attrazione é poi ancora meno semplice. Fortunatamente, per classi imponanti di sistemi dinamici esistono metodi generali di analisi che saranno introdotti nel seguito.
7.3.2 Stabilita del movimento Le consideraziooi sulla stabilità dell'equilibrio appena svolte, e in particolare la proprietà di stabilità asintotica, possono essere generalizzate sostituendo all'equilibrio nominale di riferimento un generico movimento nominale. In proposito, qui ci si limita a mostrare la nuova, più generale, forma presa dalle Definizioni 7.1-7.3. Per un sistema dinamico invariante nel tempo si considerino un ingresso U (k), k ::_ O, unostatoinizialeioeil movimento dello stato.i (k),detto nominale, da essi prodotto. Si consideri.anche on secondo movimento dello stato x (k), detto perturbato, generato a partire ancora da ii (k ), ma da un nuovo stato .iniziale xa (in generale diverso dai0). Si f)(mono allma dare le seguenti definizioni.
Definiz!one 7.4 Un movimento i (k) si dice stabile se, per ogni e> O, esiste S > O tale che per tutti gli stati fuiz.iali xo che soddisfano la relazione
llxo-Xoll ::cJ risulti.
llx(k)-.i(k)ll ::ce pertuttiik,::O.
Definizione 7,5
Un movimento i (k) si dice instabile se non è stabile.
Sistemi dinamici a tempo discreto 175
Definizione 7.6 Un movimento i (k) si dice asimoticamente stabile se, per ogni e > O, esiste ~ > O tale che per tutti gli stati iniziali xo che soddisfano la relazione
llxo-ioll S~
risulti llx(k)-i(k)l!se pertuttiik ::!: O,einoltn: t ~ !lx(k)--i (k)II
=O
7.4 Movimento ed equilibrio dei sistemi lineari e stazionari a si soffermerà ora, per alcuni paragrafi, sui sistemi a tempo discreto lineari e invarianti nel tempo, per i quali molte delle nozioni io.trodotte in precedenza possono essere ulteriormente elaborate, cosi da renderle più specifiche e di facile utilizzazione. Si consideri perciò il sistema dinamico descritto da
x(k+ I)= Ax(k)+Bu(k)
(7.17)
= Cx(k)+Du(k)
(7.18)
y(k)
doveu E R'",x E R" ey E RP,mentrelematridA, B, Ce D sonoreali,costanti e dì dimensioni opporttme.
7.4.1 Calcolo del movimento
E fucile verificare per semplice sostituzione che
il movimento dello stato oonispondente all'ingresso u (k), defutlto per k :è: ko, e allo stato iniziale x (4) X'-{)
=
è dato da H
x(k)
= Ak-1:oxko + LA"-;- 1Bu (i)
(7.19)
i..Jo)
n corrisponderne movimentO dell'uscita è H
y(k)
= CAk-koxko+CLAH- 1 Bu(i) +-Du (k)
(7.20)
i--ko
Dalle Equazioni (7.19), (J 20) si possono trarre importanti indicazioni sulle carat-
teristiche dei movimenti dei sistemi corrìspondenti. 7.4.2 Movimento libero e movimento forzato Nei movimenti (7.19}, (J.20) dello stato e dell'uscit.!I. delsistema.(7.17), (7.18) si può individuare un contributo dipendente solo dallo stato iniziale e uno dipendente solo dall'ingresso, dai quali il movimento complessivo si ottiene per semplice
176
Capitolo 7 Il contributo al rnovimentr dello stato e dell'uscita funzione solo dello srato iniziale, cioè quello dle si avrebbe se, a pari stato iniziale, l'ingresso fosse nullo, si chiama movimento libero, ed è dato da
(7.21) (7.22) mentre il contributo funzione solo dell'ingresso, cioè quello che si avrebbe se, a pari ingresso. lo stato iniriale fosse nullo, si chiama mo1•;menlr, fon.aro, ed è dato da x1(k)
= LAk-i-1Bu(i)
{723)
i=li,
,_,
YJ(k) =CLAh- 1 Bu(i)+D11(k)
(7.24)
;~ko
7.4.3 Principio di sovrapposizione degli effetti Per il sistema (7.17). {7.18), si suppcmga che in corrisponde=a dell'ingresso u' e dello Stato initia1e .xk, si ottengano i movimenti dello stato e dell'uscita x' e y', mentre in corrispondenza dell'ingresso u" e dello stato iniziale x_;;, si ottengan? i mo vi.menti dcl.to stfil-0 e dell'uscita .xn e y". Allora, sono soddisfane le relaziorn H
x' (k)
= Ak-t,:,xk, + ~Ak-i- 1Bu'(i)
k::: k,i
x" (k)
= At-lc.xkr, + I;Ak--i-tBu" (i}
y'" (k)
= CAt-1ux; + C ~ A>-i-l Bu" (i)+ Dr/" (k)
,_, k :::_ko
;=lo
H
0
S_i consideri ora uo~ terr.a situazione in cui l'i?-gres~
k 2: ko
u"" e lo statD iniziale x;; ·
51aoo ambedue costituiti dalla stessa combinaZlone lineare degli ingressi e degh stati iniziali già considerati., cioè si assuma che esistano due scalari qualunque e, efJtaliche
u"' (k)
= ml (k) + fJu" (k)
(7.25) (7.26)
Per so,tiruzione si può verificare che anche i movimenti dello stato e dell'uscita :,'" e y"' prodotti dalla coppia (7.25), (7.26) sono dati dalla medesima combinazione: infatti i movimenti
x"' (k)
= cd (k) + f3x" (k)
k :::_ ko
y'" (k)
=ay' (k) + {Jy" (k)
k .è:. ko
Sistemi dinamici a tempo discreto 177 soddisfano identicamente k EquaziOIJi (1.19), (1.20). Quanto visto sopra costi.ruiscc la dimo.strazione de.l seguente rlsul.tato.
Teorema 7.1 Consideratoilsistm:111.~(1.17),(l.IB)conisamteininale ko, siano X e y' i movimenti delki 1Jtatoedell'llsdtagene,ratidall'ingresso u' e dallo stata imzialc xlo, e r'e y• i movimenti dello stalO e dell'uscita. gener,m dall'ingresso11"edallostat0inizialex~.Allora.perognicoppiadiscalariaep, imosiuientidellostatox"'edell'uscitay"'pei::arldall'jngresso
edallosmtoinitialc
x"'{k)=ax'(k)+flx"(.t)
y"'(k)=ay'(i:)+h"(k)
ciDe stati iniziali e ingressi, sempllcemeDte come somma pesata dei singoli effetti prcr•ocati dalle cause suddette. In realti, si poo dimostrare clle questo risultato valeindipendentementedall'ipotesidisWionmù:tàdel sistema cui lo si applica, mentre è leglllO in mmiera indissolubile all'ipotesi di linearità, tanto che la classe dei sistemi lineari potrebbe essere definita come costilllita da tutti e soli quei sistemi periqualièpossibilep~ di effetto di. una variabile {stato iniziale o ing;resso)suun'altra(statoouscita).
7A.4 Rappresentazioni equivalenti Si consideri on una matrice costante T e R""" oon singollll'C cambio d1 i-ariabili. si definisca un nuovo vettore di stato .i come
.i(k)=Tx(k)
e.. mediante un (1.27)
Allora.persemplicesostituzìone,siottiene
= À.i(k) +Bu(k)
(1.28)
y{k)=ti(k)+ÒU(k)
(7.29)
;'è(k+ l)
Questo sistem.adinamko ètquivaLmte a quello descritto dalle equazioni (1.17), (i.18). nel senso che, per un ingresso u(k), k ?" ko. e due stati :iniziali xq ei1:;legatidallaccmdiziooe¾
= T.xq,imovimentidellostatodei.sistemi
(7.17).(7.18)e(7.28),(7.29)sonceffettivamentelegatidallardmonc(7.'l:T),
178 Capitolo 7
cioè X (k) = Tx (k), k > kD, e i movimentidell'uscitasoooidentici. Lo stessorisulr.ato vale per le singole-componenti libere e forzate. Pertanto le due quadmple di matrici (A, B, C, D) e (A, B, è, b) sono semplicemente due maniere differenti di descrivere una medesima realtà. Se è neces8ariO, la malrice T e il vettore di stato .i possono anclte essere deiìniti in campo complesso senza che ciò crei .alcun pa..--ticolare problema., a parte la sicura perdita di significato fisico da parte delle nuove variabili di stato. Si noti in particolare che le matrici A e À sono simili e, di conseguenza, i loro !llltovalori sono identici. Come si mostrerà tra breve utilizzando i risultati dell'AppeDdice A, questi ultimi contribuiscono in maniera cosl notevole a determinare le caratteristiche dei movimenti dei sistemi (7.17), (7.18), o (7.28), (7.29), che vengono spesso chiamati addirlttw:aautovaWri del sistema.
7.4.5 Autovalori e modi Le formule (7.21), (7.22) permettono di calcolare il movimento libero del sistema (7.17). (7.18}. Nel caso in cui il suo ordine sia 11 1, e quindi A = a è scalare, X1 e J1 dipendono dalla ben nota funzione a". Per studiare il movimento libero nel caso generalen 'F 1 bisogna invece analiii:are in profondità la strultura della potenza di matrice A;, utilizzando i risultati del Paragrafo A.4. Conviene trattare separaramenre i casi in cui A è diagonalinabileoppureno, riferendosi per semplicitàalcasoko=O.
=
Matrice dl'Ua dinamica diagonalizmbile In molti casi, come per esempio tutte le volte che gli autovalori Z;, i = 1, 2, ... , n, sono tra loro distinti, è possibile scegliere la rnanice T = Tv in modo che la matrice della dinamica Aassuma la forma diagoMle AD, cioè rimlti
A= AD= diag{z1, z2, ...,z,,J Quando ciò accade il movimento libero de11o stato del sistema (7.28), (7.29) risulta semplicemente
In corrispondenza, per la (1.27). i movimenti likri dello stato e dell'uscita del sistema (7.17). (7.18} souo
Essi pertanto sono combinazioni lineari, con coefficienti dipendenti dagli elementi dixo, T0 e C, di ternùni I,, i = 1,2, ... ,n, che sono detti m(Jdi. È molto importante notare che le coppie,liotmm:
a(~r
+12(~)2 +6(~)+1 -o l(l +~ + 12(1 +s)2(l - s) + 6(1 +s) (I -s) 2 + (1 -,)~ :-0 i3+9.r2+:m+27=D Dall'ulwtiaeqaaziou,p«"ilc:rileriodiRooth(!èolema3.7), siba.lacoafermada!UtQ!Jenidici dlllpolinamloC7.4S}lamnomodl:aollllllOlfldi l;infaailo.llbella!liRoollbriSll!ta
'z, '27 ""
ettmlsliemeatià:lla.p,imacoloima10110pr,siti~i.
CriteriodiJory Perisistemidisc:ret:i.~tonoanchedellecondiz:ionlneces-, sme e sufficienti di stabilità asintotica. di ti.po dimto, che cioè non richiedono la preventiva.riformulazione del problema in quello dell'analisi di st:abilllà d1 un sistema a tempo continuo. Perintroduxre la più comune tra queste, occorre per prima cosa delìnire laOOlliddctta ttJbel/a dlJury, costruitaapartiredaicocflicientidel polillOOli.o caratteristico. Essa possieden + 1 righe eh&. una struttl1Ia triangolare, perclre in ogni riga il nwnero di elementi diminuisce di uno:
9'o 9'1 "'2 · h1 h2 h3 · · h,,...1 hv l1 l2 l3 • • lv-l
IPR-1 IPR
188 Capitolo 7
La prima riga contiene i coefficienti del polinomio caratteristico ordinati secondo potenze decrescenti di z;.ognuna delle righe successive si costruisce sulla base degli elementi della riga precedente. Avendo indicato con h1 gli elementi di una generica riga, di v elementi. e con l; gli elementi della riga successiva, di JJ - 1 elementi,siha
Se risulta h1 ""O, la (7.49) non è applicabile e allora si dirà, per convenzione, che la tabella di Ju1y 0011 è beudefinita. Si può ora enwiciare la seguente condizione necessaria e sufficiente di asintotica stabilità, di cui qui non si fornirà la dimostrazione, che costituisce una delle possibili variantidelcriteriodilury Teorema 7.11 llsistema{7.I7), (7.18) è asintoticamente stabile se e solo se la tabella di Jury relativa al mo polinomio caralteristico è ben definita e tutti gli elementi della sua prima colonna hanno lo stesso segno ■ Si uoti, quindi, che la costruzione del!' intera tabella può anche non essere necessaria, e inoltre la divisione per hi del determinante nell'Equazione (7.49) non è indispensabileper]avaliditàdel trorema. Esempio 7.9 Utilina.ndo i Teorerni7.lj...7.!0non sipeò trarre o.lcUI13condusion• circa la cotlocazion< nel pianocornpt""'° de!teradici delpolinomio
L>tnbeU,dil.lI)'C01rispooden1ee
8 c,,:6.87
6 S.25
2 3 0.25
::;e6.86 ::::5.06 ::;eJ.13 Pananto. n,lr, ler.tdiddi I' hanno modnlominoredL
t, e infatti esso si puO scriver~ netta fornut
!l'(:l "'S(z+0.92) (~ - 0.085 + ;0.63) fr + 0.085 + J0.63)
7.5.5 Stabilità e parametri incerti Le tecniche del paragrafo precedente consentono anche di trattare un polinomio cru:atteristico affetto da parametri incerti per determinare la regfone di asintotica stabiliti:/ ne/l'insieme dei parametri, co~-tituita dai valori dei parametri che fanno sì che il sistema conispondente sia asintoticamente stabile. In sostanza, si tratta di imporre che sia soddisfatto un opporruno insieme di disequazioni, che costituiscono condizioni neces$arie e sufficienti di stabilità asintotica. Quando si adotta il metodo della trasformazione bilineare. è possibile che i calcoli, seppllre concettuamente banali, diventino complicati anche per piccoli valori di n e con pochi parametri liberi. Può essere allora pm comodo riferirsi al criterio di Jury.
Sistemi dinamici a tempo discreto 189
Esempia7.10 S,abbiaunmtemadotatodelpolioomiocarattomlico
'{J[:i:)=:2+:+/l LatabelladiJurycornspoodemeè
l-/l 2
a(I-/l)
~[(1+.B)l-,.-2] l'fflanto,,lristemaèasintot,camentestabi!eperrum:leco9Ptediva!ruic,.;Jchesoodi.sfanole dJseqaB2ioni
tl>-a--1 ,
/!>a-I
/l·d
o,inaltritennia.i,pertunetecoppiecu,com,[>00donopundn,t1aregioneincclor~chierodella FigUia7.6.
Valelapenadiosservarecheperisistemiatempodiscretononesisteunrisulrato comparabile quanto a poteni.a e semplicità con il criterio di Kharitonov, valido per isistemiatempocontinuo(Paragrafo3.4.S)
7.5.6 Proprietà dei sistemi asintoticamente stabili I sistemi asin1oticamente stabili sono quelli di maggiore interesse per le applkazioni. In genere, non è accettabile che esistano movimenti liberi illimitati, né che ve ne siano di limitati. rna non asintoticamente nulli. Tra l'ahro. la $1:.abilitl non
asintoticaècontraddislintadacondi.iionimoltocrit1che,quali la presenza di autovalori sulla circonferenza unitaria centrata nell'origine, circa le quali raramente pllÒ esserci ceri:ezza quando si ha a che fare con modelli, necessariamente approssimati, diuoade1ermfuatarealtà. Perdiprù, la proprietà di stabilità asintotica compona alcune conseguenze verament,; notevoli sui sistemi che ne godono • lnnanzinmo, in un sistema asintoticamente stabile, il movimento che si ha per k ➔ rx; è indipendente dallo stato iniziale. perché il movimento asintotico coincide con quello forzato. visto che il movimento libero tende ad annullru:si. • Inoltre,larisp-0staall'impulso, siadeJJostarosiadell'nscita, tendeasmtoticamente a zero, perché essa, come si è osservato al Paragrafo 7.4.6, per k > O coincideconunmo\lÌmentolibcroritardarodiunpasso.
190
Caplto!o7 • Analogamente, !a risposta a un qualunque ingresso di durata. limitata ne! tempo tendeazeroinmodoaSmtotioo.Infatt.i,dettiÌé!'istanteincuil'ingressodivenr.a definitivamente nullo e X il corrispondente valore dello stato, i movimenti de! sisternanegliistantiditemposuccessivisonoquelliliberigene.ratidai;siba
cioè x(k)
= At-fx
k>
y(k)
= CAk-k_x
k>Ìé
k
• Visto che det(l -A) ?" O, perche un sistema asintoticamente stabile non pub avereautovaloriinz =1,!oslatoe!'uscitadiequ.ilibrioconse,_,"llentiaunqua!unque ingressou (k) = U sono unici (si veda Il Paragrafo 7.4.7). A essi tendouo i movimenti generati da" (k) = ii sca• (k), quall:mque sia lo stato iniziale. • Infine, un sistema asintoticamente stabile gode anche della proprietà di sto.bi[i;à esterna (o stabilità BfBO), cioè produce un movimento forzato dell'uscita limitato in conispondenza di ogni ingresso limitato. Viceversa, si può anche veri:ficare che. sotto blande ipotesi, i sistemi stabili estanamente sono anche asintoticamente stabili. Si veda a questo proposito il Teorema 7 20.
7.6 Linearizzazione e stabilità dell'equilibrio di sistemi non lineari Come anticipato al Para_,"e11ta
:r{k+IJ= (1-11éi?).x(l:)+1''1ii2+1! O esercita sull'inpiSO del sistema un·azioo.e mtegralesempliceseg I, o multipla seg > 1.
=
EsempiD8.1 {Seguilodell'Esempio{7.1)). Siipotiz.z:içhe,nelmodello(7.7), (7.8).(7.l □)cbt: descrlwl'~tm,potale~prez&odiuapmdotlo,i•pua,neb:i/J,ye/Jsianooommli.e uruma:ooilqllCnliwlo:a/J=0.S,y=0.5,IJ=2.Lemldrici.ccmspoDden11scmo
A=[-~~], B= [~ -,z1 o~], C=[O l], D=[O OO]
Anal!si ln frequenw dei sistemi a tempo dimeto Applkandoladefiniziooe(S.7),lafum:ionediirasferimeatori.sllltameè
G(a)=[G1(.:) G2(il G3(z)] Gi(~)={t-05)2
G,(i)=t--015:2
G3(t)=~~5~\~5~~
IlsisrernaèdunqueOSllltoticamentestabilecouum1eoppiadi,utoYa\oricoincidenti int = 0.5. che :ono anche poli delle funzioni di tra,ferimento tra ogni siugolo ingNMo e J'CIScita. Il vator l. Dall'analisi delle Figure 8.3 e 8.4 si può concludere quanto segue; • se P2 > Pi e Z1 < P2, la risposta del sistema è tanto più veloce quanto più anmenta i.:1; • per i.:1 > p2, sì manifesta una sovraelongazione tanto più pronunciata quanto più lo zero è vicino al punto 1; • quando z 1 > I, l'uscita presenta una sottoelongaziooe tanto più: marcata quanto pìù lo zero è vicino al punto 1 Infine, si può verificare che la presenza dì uno ze:o z- 1 < Onon altera significativamente la risposta del si$temarispetto al caso in cui z 1 = O, indìpendentemente dal fatto che lo zero sia interno o esterno alla circonferenza di raggio unitario centraia nell'origine del piano complesso
Analisi in frequenza dei sistemi a tempo discreto Sistemi con poli complessi coniugati L'espressione della risposta allo scalino del sistema con :funzione di trasferimento (8.26) èda m. Quindi,larispostaalloscalinodi.nn ,istema FIR., cosl: OOJilll la sua risposta all'impulso, si esaurisce in tempo finito e l'uscitasi assesta sul valere del guadagnoµ.= G(l) E"..oP, dopounnmnero dipassipariall'mdinen.
=
8.3.6 Poli dominanti Data la funzione di trasferimento G(i:) di IIll ,isa=na SISO asintotieamentf: sta• bile, nell'ipolm che eventuali ooppie dipoli e ze.ciprossime tra loro nel piano complesso siano statr, preventivamente eanci,]latc. i poli dominanti sono i poli (reali o complessi) con modulo minore di I, ma "decisamente" maggiore del modulo degli altri poli dfll sislEma. Essi pertanto SODO i poli di G(l) più vicini alla cb:conferenzadirnggiollllitari.oecentratalllill'originedelplanoeomplesso,oome
perescmpiomostratoDtilla.F"igura8.6. f!gur..S.& EsempidlpoUdorninantl: •)polodominantereale: b)polldominanti complHSiconiugati.
La risposta allo scalino di un sistema con poli dominanti è simile a quella di un sistema approssimante che possiede questi poli. un guadagno pari a quello del sistema di partenza e il numero dipoli o zeri nell'origine necessario per far 11 che ilgradorelati.vo,cioèladiffcrenza.tral'ordioendeldenominatoreequellnmdel numeratore, sia uguale a que.Ilo del sistema di paiteBZa. Per quanto discusso in precedenza.,questi.po]iozerinell'orlginesononeccswiperimpom;cbelliano uguali i 'llml.pl di lateo7.a del sist:ma originario e dell'applOflsimantc, cioè che siano nulli iprlmin -m valoridellarispostaallosealinodeidue sistemi. EsempioB.2
IlJillemacDat'wiziQlU:ditrUferim,,uto G(~
0.86l{t-O.S) (t +O.I){! -0.3)(il- l.9co..(4S"J~ + 0.9025)
hauoacoppiil.dipolidomisuntìct1,npic.ssiCOlliugatldimcdulo0.95.llcollÌSpOlldf.llllmodello app,oesimaloà G.(l)= tiz1-1.9co!::.)t+0.902S) LelUpOS1eallosca!inodeisisfemi(8.30)e(831)$llleldpcrtatc~Ilafip,ra8.7.
(S.3!)
Analisi In frequenza del sistemi a tempo discreto 215
-
Agural.7
Ri,sp;stadelsl-(8.30) ediilmcxleHo
approssi!Tlilrrte(U1).
- dd.0
00.
(832)
ricordandole (8.28),(8.29).lafunzioneditrasfcrimentoG(:Jpubcsserescrltta nella tonna.approssimata
che oomspondc alla fwwonc di trasferlmcnto di un sistema FIR. Si rico.nl.l. on che, per Ja (7.39), se h1 (k) è il k-csimo valore de1l& risposta allo scalino dd s.istema,ilvalOJCdellarispostaall'impulsog1 (k)è g1 (k)
= h,(k) -
h1 (k- I)
,
le 2:. O
(8.34)
Inbaseaquesteconsiderazioni., sipuòquindieoncluderecheJadeti:rminazione del.modello approssimato di tipoFIR(8.33)apaxtircdallacOD05CCJlZlldellarisposta allo saùino è immediata sfruttando la (8.34). La funzione di ttBSfml!lcnto
approssimata G,,.(z) coslottenuia deve esseie moltiplica.taperunacostant.e in modo che risulti G(l) G.{l), coslcheilguadagnodellllOdellosiangualcaquel\o
=
del.!dstema,nonostantel'approssimazioneintrodottadall'Equazionc(8.32). Si noti che l'ordine Mdell'.llCN.Wloapprossi.manlepOOesscreelevato, cei::tamenteWperiole a qoello del sistema di parlen7,IL Penamo, l"im=sse per la proceduraoescrlttarullcdencllapo9sibililàdirlcavarefacilmentcunmodelloa~ prossimatodellasoJaconoscenzadellarispostaalloscalinodelsisrema. Alconttado., il metodo non deve essere in alcun caso iDtetpretaft, come una tecnica di
r.idnzi.oncdcll"mdine,
216
Capitolo 8
EsempJoS.3
Iprimjvaloridefurispostaalioscalinode\sisl:ema (8.35)
G(,:)= t~·~5
sonoril)OrtarinellaTubolla8.2;da qUiniziale.
(8A9)
Analisi in frequenza dei sistemi a tempo discreto Qcindi, un ingresso periodico genera un'uscita penodìca, con lo ste5SO periodo dell'ingresso, il cui spettro {Yn} è legato allo spettro {Unl dell'ingresso attraverso la relazione (8.49), dove 0o = 27r/N è la pulsazione fondamentale. In altre parolc.lan-esimaarmonicapresentenell'ingressosubisceun'!!Ill.plificazionepari al fattore IG(ei"~0 e uno sfasamento angolare pan ad arg G(ef.ao). Perla proprietà.di "simo:mtria"(8.--1-7)eperlasuaperiodicità,laconoscenzadellarisposta infrequenzaG(ei 9 )consentedunquedicalcolarel'usdtaperiodìca(asintotica) a.ssociataaungenericoingressodiperiodoN. In particolare. un'armonica di pulsazione 0 > Opuò essere presente nel movimento periodico dell'uscita solo se è presente nelringresso, cioè se i9 neo, per qualche n intero. e se Un "F O. D'altra parte, se G(z) ha una coppia di zeri z = ec::.i0, allora tale armonica viene "bloccata,. dal sistema.
)1
=
8.6.4 Segnali dotati di trasfonnata di Fourler SiconsideriorailcasodiunlngressoudotatoditrasformatadiFourierU(el0 ) = F'[u(k)] (si vedl! il Paragrafo C.5). E ben noto che la trasformata di Fourier costituhceunarappresemazioneinfrequenzadelsegnale,nelsensochesipuò scrivere (8.50)
e quindi la funzione u è scomposta in un'infinità nO!l numerabile di armoniche, conpulsazionichecopronorinterointerva1lo[-,r.n],ognunamoltiplicataperil coefficienteU(ei"). La presenza nell'Equazione (8.50) dell'illtegrale, al posto della sommatoria checomparenella(8.48).nonrnodificacoocettualmentel'analisisvoltar:elcaso precedente. Jnvirtùdcllaproprietàdilinearitàdell'operazionedJ.integraiione, sipuòinfatti.farericorsoancoraalprincipÌl.ldisovrapposiziouedeglieffettiper giungereallaconclusioueriponatanelseguentetcorema. Teorema 8.5 Se si applica a un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di trasferimento G(z) l'ingresso (8.50), au:ansitorio esauriw }'uscita siassestasull"andarnento
f(eÌ~)
= G(ei0)U(el~)
(8.51)
ind1pendentementedallostato.iniziale. Ancheapropositodiquestorisultatosipossonofarecommenti.analogbiaquelli
che seguono il Teorema 8.-+. In particolare, il movimento a~in(Otico dell'uscita nor:contieneannonichechenonsianopresentinelsegnalediingresso,.maalcune
diques1epos1onorisultarecompletamentecancellatedalsistemaseessopossiede zendimodulounìiario. Particolarmente in1eressanteèil caso di sistemi al.J.mentati da un ingresso nullo prima dell'istante k O (come discusso nel Paragrafo C.5.3 un segnale di questo Upo è anche dotato della trasformata Zeta). In questo caso la componente forzata dell'uscita è 8I1Ch'essa nulla per k < O e coincide con il movimento asintotico J per k?: 0, dato che l'elfetto di un arbitrario stato iniziale x(ko) è nullo in
=
221
222
Capitolo 8 ogni istante finito quando~ ➔ -oo, in virrll. dell'asintotica stabilità del sistema. Quindi la (8-51) rappre~nta la trasformata di Fourier della componente forzata dell'uscita, cioè quella che si ottiene partendo dallo stato iniziale x(O) = O Tutto cìò consente di dare una nuova interpretazione alla risposta in fiequenza G(e.1 9 ). Per sistemi asintoticamente stabili, la formula (8.51) mette in lu= che G(ei 8) rappresenta il rapporto tra gli spettri dell'uscita asintotica e dell'ingresso per tutti ì valori di 8 per cui non sìa nullo lo spettro dell'ingresso U(eH). Se l'ingresso è nullo prima dell'istantek = O, allora G(ei8) rapp=nta il lapPOrto b:a gli spettri dell'uscita e dell'ingresso a partire da stato iniziale nullo.
8.7 Complementi I risultati appena introdotti. sulla risposta in frequenza possono essere estesi in varie direzioni. Per esempìo, si possono applicare gli stessi ragionamenti al caso della risposta a un ingresso che, per analogia con il caso a tempo continuo, sarà detto di tipo "esponenziale", ed è possibile tra.De qualche conclusione anche quando il sìstema in esame non è asintoticamente stabile
8.7 .1 Risposta esponenzlale Sì voglia calcolare il movimento di un sistemaSISO, asintoticamente stabile e con funzione di trasferimento G(z), Jn risposta a un ingiesso del tipo
u(k),:,=U)._k
k:':0
(8,52)
supponendo che"- non coincida con alcun polo del sistema. Con considemzioni analoghe a quelle del Paragrafo 8 6, Sl può dimoscrare che valeilrisul[atoseguente
Teorema 8.6
Se si applica a un sistema lineare asìntoticamente stabile con funzione di trasferin:ento G(l) l'ingresso u(k)=U"-t l'uscita a tnmsiwrio esatlrito assume l'andamento Y(k)=G(ì,.)U). 1
(8.53)
ìndiptilldentemente dallo stato iniziale.
Il risultato precedente oomente di illus!rarc una fondamentale proprietà degli_ zeri di un sistema dì.namico. lnfani, alla luce di quanto appena visto, applicando l'ingresso (8.52) con À coincident.e con uno zero del si.sterna, l'uscita tende asintoticamente ad annulla.rsi per guahìasi valore dello stato ioì.zìale, Questa imp..,---rtante proprietà degli zeri ~iene di solito chìamaraproprietà blocconre.
8.7.2 Il caso di sistemi instabili Quando il sistema non è asintoticamente stabile, i risultati. dei paragrafi precedenti. non sono più validi. Per esempio, se si llf)plica un ingrosso sinusoidale a un sìstema instabile non è più vero ingenerale che l'uscita tende a una sinusoide, visto che
il termine Yt(k) nella formula (8.44) del movimento forzato non converge a zero, Ciononostant.e si può dùnostrare che, con un'opportuna scelta dello stato iniziale,
Anali5.i in frequenza dei sistemi a tempo discreto
il termine y1(k) può essere esattamente controbilanciato dalla componente libera di un particolare movimento. Per discutere più in dettaglio la questione, ci si può chìedere se, alimenta.11do con l'ingresso (8.52) il sistema (8.1), (8.2), supposto noa asintoticamente stabile. esiste un valore di ;t{O) tale che il movimento dello italo sia del tipo x(k) = x(O)Àk. Usando l'Equazione(& 1} deve essere
x(Q),\.tsilta
Md"" l+pef,i
= 180".cioe jo(,..I"')) =(t -p)/U+pinq-G(~Ì"J•-180°.dacui
=
G(,,I") (p-1)/(p+ !). Quempuott>sil)Qllebbericavueditfflamentevalutmdo G(-1). Il diagnmmo.polan,eompkuivoassocildoalla(S.5?)6ripo[lllt0ullaF,gun8.Uperdiversiwlori portadifficoltà.inquantorisulta
]aceJ~il= ~ : p c o s f J
argG(ei8J=-arg(cosf,\a~di.aleualpar.mie-
:.=-.esmplol'"""'S•·pullossmdifl!eolton.eqoiadillloJowlmcpubesseienoievolmmle
Per tutte le ragioai elencate è imp;IItante garantire la proprietà di stabilità non soltaruoincondizioninominali,maancbcafrontedì crmidlmodellcovariazioni dei pawnetri del sistema, ckx In OOlldizloni pr:~e. Se li rletce ad assicurareciò,sidicecheilsiS(emlJ."eUOIZÌonll'IJplecdellaproprietàdìsrab/1Uu robusra.Naturalmente,poichéèirrealisticorichiederelaproprletàdlstabilitàper
ognipossibileperturllazione,ènecessarloavereunastima. -1.lihaN =OeilSÌSllBllaretroazì-~u~ stabile.Sep.=-1,llwrotl!dlNIIOll&bm.de&itoeillis1"lll.a~DOll~aslnlolic:a:m:eie
dilllmgum:IR:IICltlilcasi.
.wilc;in.pmlìcolm:,ilpalctinanelloclrìuaaU=O. Sep.< -1,rrihaN= -leilmtema mroaziamlo~instabik..
C-4: µ0.5.
=
=
Figur89.17 DiagrammadiNyquin deJla(9.13).
=
Sl$1:eml di controllo a tempo continuo: stabilità ?45 Slstemlconritardoditempo llcriterlodi.Nyquistèstùointrodottoconrlferlmentoalcasoincuilafunziooeditzasfei:imentod'ao=lloL ll..èllllllDlicmaeme"81rll&. Si'1110H!:cnvalut&teJ.asahililidel mtema.lffl!IIZionata !lelcuoincuil.(,)=e-" p.j,,p, > O, al ,-ariaredi r. Deon:ispondenlC~polareèrt,on,,.10mllafipra9.IS (pel"chia=sl ~ fmiriferintmto al di~polarelnzicbta.qnellod:iNycpist),.dowilpnn10AcorrispoDdeallaprimR1Dlmezio""•"'=dim,dddiagrm,macmil~realaneplivo_ JnmKal.crilllriodiNyqmst, po:!chEP=O,la!llbili.llaslmodcaddris!!:IDll.fflrOaÌODIIOIÌhasollantose.rimltaxA > -1, dove.eomodiCQllsaeta,xAèi'ascùsadiA. Pcrdcrmninamil'valoffc6.xA adollealmoinia,. sezioniccnillC!lliule!Wei,ega!Ml~acesmiopidimiaarmenteQ!utuel'msimlede!.valod lllk,t 0.1.2 .... percuiorgL(j....)= -911°-111,1:dSOflr -180"-.l:360". Si~va
=
=
=
= (.f.1:+l)x/2t. ~siball.(J41,1:)I • 2µ:r:/{,41:+I),r elnpvlicclare li:A=-'lp.r/ir.P«db,all'amnmitareditildiap.mmadi.Nyquislcampleiasmuoorarioom
"'k
11umerodigiri1emprecrescemelll!Onloa-l,n:ndmdocosl.ilsisrema:iettoaziona.10inslabile.Jn panic:olare:.lambilillasi'nlOticaailta~pcrr < xf21'Figura9,.18
Diagramma polare di
L!l)•r"µ/._ll.>0.
9.6 Stabilità In condizioni perturbate Nello studio della stabilità di un sistema IeUOIZi.onato si è fillom immaginato di couoscereconesaneu.alafunzioneditrasferimentod'anelloL(s). Applicando ilcrileri.odiNyqutst,oc)I "' I.ovvero (1 +w:\::·: "'.4. s, r.c,vaco,i "'" ec l.2Jeconisponden1emente argL(jw 0 ) cc -3a,,:tmlOJcl Cc -153°.11 ,narginedif~ustezza (918)
Lacondiziom:{9.18),oltreaesserediutilitàinfasedianalisiunavoltanoteR(s) e una stima dell'incertezza massima y(a.,), può rappresentare uno strumento effi-
cace nella definizione delle specifiche che deve possedere il sistema di conti:ollo. In particolare, definendo la funzioue S(s) "" (1 + L(s))- 1 (che nel capitolo successìvosaràchiamatajimzìonedisensim,iuì),la(9.l8)mostrache, pergarantirela stabilità asintotica del sistema perturbato per tutte le perturbazioni che soddisfano 1.i.(9.17),ènecessarioesufficientecherisulti IS(jw)I < IR(jw~I y(w)
Vw
e quindi che il roodulo della risposta in frequenza della funzione di sensitività S (s) sia ''p1ccolo" dove l'iucertezza y(w) è ~grande". Più in generale, per avere stabilità robusta con ampi margini dt incertezza è necessario progettare il regolatore R(s)inmododarenderepiccolalaquantità
Sì noti tra l'altro cbe SM coincide con l'inverso del margine di stabilità venoriale è.., defini1Dne1Paragmfo9.6.l. Infatti nsulta
La(9.18)può essere ulteriormente elaborata conrifenmento alla funzione F(s) "" L(s)(l
+ L(s))-1 , che nel seguito veITTI. chiamataftmzione di sensirtvit/l: comple-
mentare. Dividendo entrambi i tennini della disuguagkanza per IR(jw)G(;w)I, la condizione (9.18) può essere riscriua nella fonna
~pettoaincertezzeditipoaddittvo. Quantoalmargme di faseq;,., si osservi dalla Figura. 9.23 che, quando ,p.,_ > O',risulta {9.27) Infatti. ll primo membro della dISuguaglianza rappresenta la disranza Ira il punto Ce il punto -1, mentre il secondo membro è pari alla lunghezza deU'arco dì cisoonferen1a di raggio unitario che unisce gli stessi due pWlti. Utilizzando ancora ledefiruzionidi FMeSµ,encordanOOche ILUw,), = 1, dalla(9.27)siothene {9.28)
(9.29) Anche in questo caso si può notare come valori del margine di fase prossimi a 0° implichlnova1oriclevaùsìadiF/JsiadiSMLere\azioni{9.25),(9.26), (9.28).(9.29)possono essere impiegate anche per de1erminare valori di FM e SM in grado di garantire prefissati margini di guadagno e di fase. Per esempio, quando FM 2, 1a (9.25) e la (928) assicurano che k., ~ \.5 e 'Pm > 28", Quando Su'°' 2, la (9.26) e la (9.29) assicurano che km2::2erp,.>28°.
=
258
Capitolo 9
9.8 Conclusion! Nel presente capitolo si è mosll'alo che un sistema di controllo in anello chiuso può, sotto opportune ipotesi. essere rappresentato come un si;;tema retroazionato in cui compaiono solo sottosistemi lineari e stazionari. Tra i requisiti di un sistema di controllo ci s[ è in particolare concentrati sull'importante proprietà di stabilità asintotica che, a causa della retroazione, non può essere accertata direttamente dall'esiiIIle dei poli dei vari sottosistemi Sono stati quindi illustrati i principali metodi disponibili, che traggouo tutti origine dal fondamenta.le criterio di Nyquìst, per valutare le proprietà di stabilità di un sistema di controllo a ~ dalla funzione di trasferimento d'anello, sia quando questa è perfenamente nota (cioè in contlirioni nominali), sia quando è affettll. da incertezza (stabilità robusta)
Esercizi Esercizio 9,1 Anrav= il crireriQ di Nyquist li dimostri che uu sist=a retroazmnato n~gatr11amente CQn furu:ione d'anello L(,) ""/J.Js2, /J. >- Ol!Qn è a.sirm,ticamente stabile. Si aealì.mediantei!cakolodirettt,dcileradicidell'oquationecanuteris~ca. Eserdlfo 9.2 Mimata nell'Esemf>I010.5.
.•
...
-
'"~ y:..... •. · . - 0.&
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0.6·. 0.4 02 OO
-Appros>lmata
• ..•
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, S
·,·IO
L5
~
· 25
273
274 Capitolo 10 In pa.."licolare. assume-ndow~ "'t>Jc::, 0.9 e~:::: f,,,1100::, 0.14siricavanoiseguenti valori dei parametri c=tterisrld tempo di assestaaeam al 99% 70 1 :::: 36.5 + 0.2 = 36.ì; periodo delle oscillazioni Tp :::: 7.05; m.,.,;m,i sc,,.,.longcione percemuole S%:::: 54. Per un utiletaffrontc>con !aris[)OS!aesarta,ios;,,rvilaFlgura!O.IO.
10.4 Analisi della funzione di sensitività La fi.l.!IZ.Ìone di sensitività S (s), definita nella (1 O.I), può anche essere scritta CQme (10.22}
S(s)= l+~(s) e, come si è visto al Paragrafo 10.2, mppresenrn conu:mporaneamente:
a) la fu.nz;ione di tra_~feriroeuto tra il disturbo de l'uscita y; b) la:fun.zjonedi trasferimento tra il riferimemo w e l'errore e; e} lafunziooedi trasferimento. cambiata di segno, tra il dislUJ:bod e l'errore e.
Una situazione ideale per le prestazioni del sistema di coutrollo sarebbe quella in. cui fosse S(s) O, poiché risulterebbe milio l'effetto sull'errore degli ingressi w e d. D'altra pane, la forma stessa della (10.22) rivela che questo obiettivo è irrealizzabile e inoltre, come già osservato al Paragrafo 10.2, il fatto che L(s) sìa strettamente propria fa sì che comuuque S(s) ..... l per s - oo. Un requisito più realistico è invece quello di chiedere che la risposta in frequenza SU fil) abbia modulo sufficientemente piccolo nella banda di pulsazioni dove si presume che lo spettro dei segnali Il! ed presenti componenti significa!ive. L'analisi che segue mostrerà come sia possibile inferire le principali caraneristiche di S(s), e in particolare le sue proprietà fihranti, a partire dalla funzione d'anello L(s),
=
10.4.1 Anal!si statica Se si assume che la funzìone di trasferimento d'anello L(s) abbia la generica fonna dell'Equazione (10.8), dalla (1022) si ricava 1
sg
limS(s}=lim-= ,-o ,-ost+µ.
~,g=O l+µ O g,O ,
1
1
(10.23)
, g O, la funzione S(s) oomìeneun'azione derivativa; • quando g = O eµ= -1, la funzione S(~) contiene W1'azione imegrale; • in tutti gli altri casi, il limite calcolato nella (10.23) mppnsenta il guadagno statico J.'JddB
il diagramma del mcJ è TJruLfunzionemonotona decrescerne ensu\taarJlLi(i"') = -120° pero.,::: 0.03, questa.pul.suione,.,,_ppreseata il massimo valorndellapulsazionecrilicaoLtombilecoo.u1fopJ)OrtllnascdtadiJJ,8 afrontediunmarginedi fa,e'I'"'?.: 60". Nonèdwiquop:,ssibilerisoh-areilprobleOladiprogettosenzaintrodwnnella funzionod'ane!lounopportuno,nlicipodifase. PrendeudospuntodairisultatidelprecedameProgcttoA,!puòcoodurrennrentatiwdotando ilregolaroredinnozen,checancclliilpolo'letrto"delsistema.,ioèquelloconcostanteditempo
10.Siipotiuiallora
R(s)=l-'R0:10•)
=
csi considerino, diagr-ammi d!Bodeassociali.a L2(;) R(,)G(,)/JJ,[1. anch'essi mostrati nella Figura 11.7. Poiché risulta axg:l;_Ua,) = -11tl 0 pero,,:,: 0.09. razione anticipativadelreg,.,1atore permette di aumentarehpulsaziooo crili.ca a pariti di marpn, difa.e.maèancoralnsuffidentepe:r ,..,icurareilrispcttodellespocifiche Sioonsideriallorailregol.atort R(s)-
µnfl:1;~>;;.;.5,J
ottenuto do) precedenteintroduccmlo un altro =dt" canceUa il polo di G(s) in s _= -0.1 e UD poloaggiuntivoìnaltafrequemap"I"ri!pottarail,ii>colodireohzzat>ilità. ÈimmMiatovcrillcare che,scegliendoµR=0.025,•iortienew,:::.024e,;,,,,:::53'.eilprogettoèpertantocompletato Confrontolralreg0Jatoriprogettatl J quattro regolatori progettoti ai punti A, B, e • D ri,pectano tutti le specil\che origin>rie, m~ gcneranocomportame11ti divecsi del sistema retmazionato Nella figura 11.B sono confrontati i rispettivi Figura11.8
Dlegrammidl8od&dei ,ego1ato,lprogettati n•Jl'Evatiinlltafrequm17a.
Leri5postca11110ICllliDode"lrlfmmentuwdeiquat1ro!listemid100r:uolklSODOripo,ratBneDa Pigun.ll.9,Dlflll!lelal'i..,,all.10-•confmmoioorrispoodmUmlamenli.dol.\avmab,~dl COQC{Ollo•.Appm,mdeotec:amel'l\\1.JDCnlDdeU•Yelocitldirisp,.,staru:li;asodelresolatoulClia ottenntoal~dlw:i.amaggioni~de!J.a.variabiledlcomrolbC$inocichelacarwC
llCalabl.di11D.fii:l!lnlo'}.Glialtrltren,aolamrioffronopre1taiionimoUosil:nili11aloro,..:Yse iln:golatureD,dol&1Ddllll2io1111:~òl'lm!coapnntiremoreDD11oaaamitmioesauri!D,e olln:tlmoinmanicnrobut&rispettoaiDcertezzcrnd~diG(1)(si,·«bilPangrafol0.4.I).
Bcoo::hllidiva;airegolatml818icudMvalori,aiaJggill.perill!WplCdibse.sipQADn0prevederediffeNulica.rmedsbcbl:dirobosti:zzanelermfloatidiritardi1011moddlim,li.Ineft'etd.nsi
vuoleCOll!lerv.çlaBUbilill.ils!stillm.dicomrolloCpKltoDcran:unriwdc>inierlorea
1:c=~fro:,:,0.16 Flgura11.10 IU"!"ffllldallaYllriebltelD"
controllouauoonlloo ~lriferimentowperi !lstem!dicontrollo prc,gi!l:tatinell"Esempio 11.2.lv.ilorldellawrvaC
vannomattlpllc;tttperll fatloralo-'.
mentre incon-il_pondenzadoili allrlrqol.atorisi otteDgato iJeg\l(llli•-alori. =llopìll'1evlli:
,:A,:,4.42 ,
>g::::3.90 ,
!!):::C-438
Psr-quanto~laro1"istazzan.iconfmntidiincettcz:K$UlguadapodiG!r).iqu,,t1JOvalori
delmqinedigmtlagaosono:
A;,.,t::::15.67,k,.s::::I0.99,
k,,,c::12.55.
t,.p::7.99
SisnppoDgapoiclmils:iSIMDalOtlOcontrollop!QIIJ!lliinrcalt.l.madimmica'"1-Cilktoria.lSSOclata amiacoppiaclipoliwopuisazicnemtw:,il.e..,,. =2ellDIX2mllelll0f ~0.l.dicD:inonsilllilnUUl con111infasediprogetto. ~facllevmifiwecheil111g01a!oreCproduçeDll3lcasountlstmno instahile. loollre,Opffl"lllldoDOlla.F,gun,. ll.ll lerillpOSll:allollCalioodi::irimaDenntJCi:istemi
300 Capitolo 11 Figura 11.11 Rispwtadell'uscita}·au.so 5calinodelri1Qnme&ow lncondizionip-erturbate perisirt.,;n]dirontrollo progettati nell'E>emplo11.2.
dicontrollo.sinotacheilregolatorechen,enorisenredellapresenza.deipoliaggitmdvièquello indicato con D, che In tutti è qoelloche gar.otiscemodulo della funzione d'anello più baslriferimento"•in pre,enzadiun,.?:4"'; e) l;,,~4.
Sideslclm,.nplonadappm!JI.Ja.po$1Ìbilltàdilllilizzan,11J1.zegola.1Uedelprlmoontinc.esau:iinandoinJCflllitoall:msclllziaii.pit,complicate.Jnognicuosi~1i:rogeaoultimato.dlvalllllle kpresrazioaidelqol.-iaremunl.dlartemtaziwcdeidiaturboJMIDavmiabilftdic011trdloedl
robmtezz:arlspeUo1iDcerlcz:reSDllapuimioB,enaturale41odel.polieomplNllio:olliuplidiG(i). Rgun11.14
Sirtemaciamtrollo dall'Esempio11.5.
i
o
1-50 ,. ;,.1,,.;,
J-100
•. ,.;,+····
I·· ' •Hl'!. ·H
.Sdunon,;lasuau,dtaèaff•n•d!tldl$tllrbonilcuispcttroCOil>.e
0.1~Rl.:s0.05
ll+~(j"')l .:S0.05 • we[0-01.0.5] Lapruna!Illpone,Ivincolol1tRI 2: lOOsulguadagwdelregobtore.mentrelas,conda,osservandocbeiynJorldipu!sa:.:ionemtcrcs.satisonocomunqueiolerioriawe e dunque Il+ L(;,,,)I e,, IL(Jw)l.puòesoeroapprossima.tadallarehzione
]L(jw)l2:20.
"'E{0.01.0..5]
(11,7)
Ilprog:etto static.o"' conclude qumdi ponendo R1 (,) = -100/s, e ricordando dJ.e nel progetto dioam1cosi dovràbmtre contodellacondizione (ll.7).chesi traduc~nelncltiede:,;e che il di.agramrna
dlBodedelnrodulodclla.flII1Z!Olled'anellosia,upcciorea26dRnell'intervallowE[0.0J.0.S].
--·
Sintesi del sistemi di controllo a tempo continuo 307
Delltmioalai11(S)comcappe!11visto.lat=;iQneflaaollll(ll.6)~ L(S)
s(l +
103:(~~1)0 +n)~(,-J =
L'(S)
(:!~:)
NeJ.pr O, T > O, a > 1. In questo caso i diagrammi di B_ode hanno l'aspetto mostrato nella Figura 11.27 e mettono in luce che un regolatore di questo tipo può contribuire ad aumentare il modulo della funzione d'anello a bassa frequenza, al prezzo di introdurre llllO sfasamento negativo che raggiunge il su.o minimo in
.0=1/(T.,lii).
=
L'impiego di rete ritardatrice è indicato tu.ne le volte che si intende migliorare la precisione statica o garantire una maggiore attenuazione delfe comf¾lurall.i7
DiagrammidlBlldop >;;,ca, i>= 11 1~2 ""0.25, come si vededalloFl~-a!2.4edalla(l16) Figura 12.4 Luogodelleradi O. comesisarebbeoochepotuto inferire dall'applicazione de1Corollario9.4, viO.ls)
S.iDOliÙlnl:nZitllDOCheilmquisl10Cli,mari0suJ~difase(.... =:40")pufl-~ oomcW1'1inc:otonllomiornmt:D10mlnimodei.po!iinl!lellochiuso.Inpriml~ ~equlvai-amipcaef =: OA{si •"cdalalùnnu!a(tO.tS}J. IDoltre,poichclapubuiooe,ç;,:itica ~è uu'a.pprolSmllll1a&UajllllsazioDenalmllede:ipdì dofrunallL l'c,igc,,z&di~"'c
sìlrawceue!ridlimenodlaipDlidominanlisiaaoallallJIISS:imodislaDZap0mlltdall'orip,e. Con qusstepmuease.,proc,:dondob.parallctoainquantosvottout!'Bsompio 11.3,AIUll!miuo
dapprima!i:pest,rgjDDiçbepull~llllre,oia«np,uplnio:ualcR(,) "'Jl.,R, 0. La.costa111aditrufedmentodelkfimzxmed'llllllllo~p=-02µ.,..,odmquc~ilanfico .f, i = I, ... , n gli autovalori che si vogliono assegnare {eventualmente complessi, ma in tal caso coniugati a coppie) c si costruisca il polinomio caratt.erL~tico desiderato
,•r,, (,-,:)(,-;.;) .. (,-,:) ~
~
= s" + /Jn_,s•-l + ... + {3 s + /Jo 1
(13.6)
Per fare in modo che F abbia gli autovalori desiderati, basta porre k;=0';-{3 1
ì=O, .. ,n-1
e la matrice guadagno che risolve il problema è (13.7)
339
340 Capitolo 13
13.3.2 Sistema non In forma canonica 0
Si passi ora.a oonsiderare la situazione piO. generale in cui il sistema (13. l) sia sì completamente ragginngi'bile, ma non sia nellafurma canonica diraggiunsibiliti (13.4).Int:alcaso.pri-potel'çplica;regliargomcntiprecedenti.ènoccssariaUDB. trasfocmazioru:preliminarc di variabili che ponga Il sistema in forma canonica. In linea dì principio, occom cioè dctcnnilim una matrice T tale che. operando la
trasformazioneÀ:a TAr1.B = TB.lacoppia(A,.B)sìanella.foxm.acanonica diraagiungibilità.cioèrl$ulti
Si noti che taletrasfonnazioneesiste ~ sotto l'ipotesi.di completaraggiUD.gibilità. Procedendo in questo modo siarrivaadimostnaeche la matrice guadagno che useg:oaaibit:rariameotegli autovalori in anello cbinso è data da (13.8)
"""' èlamatrirediraggrungillilitàdelsìstemaoriginario.
Mr = [B ,i§ .. A~-1 B] è la matrice di i:agghmgillilità del sistema in fornia canonica, e
k=[ao-/Jo
a:1-/J1
. .,
a,._1-,8,._i)
I panmelli /J, preseutifn quest'wtìma fommla sono ì coefficienti del polinomio c~ticodesidera!o(13.6).L'.iuversionedimatric:echeapparenellaformula (13.8) è sempre possUiik visto che. grazie all'ipotesi di completa raggiungibilità, IamatriccM, èDObSÙ!,gOlare. Si noti infine che icalcolinonrichiedonola cost:nmoneeeplici:taddli.matriceditrasfonnazioneT. Esemplo13.2 Sif=llllinellaFigural4.8. Èe,ide1necheeooloscbemad1 dcsatural'.lone,iconseguonodtJ!epresr.azioniche.rntemullidi~ov,:aeiolJ.gationedt,ILtri,ipostaallo ;çoili,o,sonoda.considerarsip,ertlnomlgliorid!quelleforrutedalsistemadicontrolloinas,enzadi
Lin'analistrigorosadellecaratteristichedistabilitàedelleprestazionideglische.midelle Figurel4.[l e 14.Bnonèpraticabilecon le nozioni sin qui introdotte per la presenza degli elementi non lineari. Inoltre, mentre per la stabilità è possibt!e condurre un'analisi con strumenti più sofisticati (del tipo di quelli presentati nel Paragrafo 16.3), la valutazione teorica delle prestazioni dei dive.Ni schemi di desarurazioneèunprol>lernadiarduasoluzione.
362 Capitolo 14 Figura14.,14
Andamentodlwey nell'Esemi,lo14.6ottenuto
conloschemadi d,:::.-tur_azione,,enu regolatorenondesan.irato
14.3.3 Inserimento "morbido" della regolazione automatica Come discusso nel Paragrafo 9,2, il progetto di un regolatore descritto dalla funzione di trasferimento R(s) è nella maggior parte dei casi effettuato assumendo che il sistema di controllo operi nell'intorno di wi pimro cli funzionamento nominale, In molte applicazioni industriali, dunnte la fase di aV1Osi haiu:g(KpGUw~))"" -:rr e allora dalle (14.18), {14.19) si ottiene
cioè
= tan(lf),.)
(14.20)
Kr =i.rcos(rp,,,)
(14.21)
w~Tn - w':Tt
Regolatori PIO 369
Le (14.20), (14.21), insieme ancora alla (14.17), dcfiDiscono univocamente i pa-
rnmtrldelPID cercato. Comegilosservato,questOprocedimenloperl'asscgorunentodelmarginedi fase fa si che la pulsazione critica di RnDUw)GUt») coincida con '4,, vakn cheiaalcuni.ca.sipuòrisnltareinadegua.to..
---
Es&mpkl 14.10 (SfllWIO dcgli&empi 14.8.14.9)Affticaoda laftlokdillralln.(14.17). (14.20).(14.21)111aimna(l4.13)pc:rillJ,POffll9'., -4.5".aiottimeKp -S.66.Tr =2.79. To .Q.69"1. hnpias;andouaPID,:elliacongucaci:valmide.ipanmetr:lecoaN""tO.dsub q,,..::,.39" • ...,,:.t.&el.,==:s..69;hridutlon,edelllll(8Wdi.fueèuvviameadcdovulllalpoloin
Sll!llplllmnrifi::rlmcnmalsistema(l4.13),..ellaFigun.14.22&0a11~ledlpaS10allo Klliaodel &lm:mlJ81romODatiDBi~çui inculilregolmnPID.CODN Ul.èsiateeizzato ~onlerqoledellant,ella.l4.l(IC3$G).UBegmndoilmarginadlguadapok,,,=9(Il: l'asintoto della.curva (si veda la Figura 14.27) è data da
S1
= µ.iir +
f"
µiie-ciao■ 1>(ti•c••
1'1111rto4!...,·-•••!•4:l,). Esercizio 14.6
SiCOll.lideu lo schemadln'ali.naziouadssono approssimatomediantelerelazioniseguenti q,,.
••=
= n°f+15°
km=09f+!.5
(14.26)
(14.27)
Siverificlnperdi>enivalo□ diTerilgradodiappros.wnmonedelle(l4..26)e{14.27).
Esercizio14.8 Da.tounslste:i:n.adescrittQdallaf\lrnloaodi""sferimento(l4.22)conµ,Te, posil,\li,sisÙltetii;:iunregolatorePicl:tegarantiscau~m~.edlfascmaggioreougwdeaundato
valorea.loricinoaltoriglnede]pianocomplesso(si,·edaalrjzuardo il Para_grolb 4.4.4). Infatti ,;on C(r) dato dalla (15.8), , i può verificare che gli zeri dclia funzione di n-,.sforimeruotraw e y sono in,= -1.0S.s = -16.8.s = -22.84,mentro i poli oono in s =-1.12., =-14.8e, = -2-t oltre:Um,polidi C(s) ins= -100. È opportuno anche segoalare che moloo .spe.sso è suffideme 11tiliz.are un oompens•oore è(s) distrutturamollosemplicep,,!"=erewnettoll"IÌilJ,oramentodelleprestazioni. Ncll'o,•,rnpio considerato è faoile verificare eh.!, se si impiega il compensa1ore statico C(s) µç. risullà
=
Y(s)
l+(l+µç), W(s) (1+,(l +o.osd-)o+s)
(JS.9)
384 Capltolo 15 flslUR1S.S
Rlspostaallos;callnocon t\O)=>Q.tc,)datod.,l!fi (15.8)et).1ellipoPJJ,C=:1p:gpoàtodcl~passHkn_Iaparticalore,larisposta:llloacalluoumtariollelsislemaa:,;ap,ç=D:ZS.aoo:b'a111fwmtalllnellaFigun,.l:S.S.evldl!ll2la
kmìglioa~oDiaueaibiliC011111111aea,plice~ditipostalic:o. Unawru:nto dd ,?Joadlµ.cd'aitnlpartege,,eren,t,b•oclla~dilnllfamnentodalsistema(lS$1)unozero afreqacnzanettamentepiòba8$8risplllloaipolic~IBIDenlil=Unarlsp,;,sra.alloscalino,;on 11111.emibilc~
A conclusione del paragrafo, è opportuno osservare che il compensatore ideale (15.7) è indipendente dal regoluore in RtroUione R{s) utilizzato ed è quello che nattn:almente wmbbe progettato se lo schema di controllo fosse soltanto in anello aperto. Quando iuveee llOJI. si utilizza Il compensato~ Ideale, la scelta di C(s) dipende anche dal regolatore R{s) ntilizza:to, come mostrato nell'esempio
precedentcmlatiYamentealladetmmìnazicnedi1Lc.
15.2.3 Schemi di controllo a due gradi di libertà Gli schemi di controllo riportati nelle Figure 15.1 e 15.4 vengono commementc detti a due gradi di libertà,in quantosonocemttcrlzzatidalfatto chclafun.tione di uasferimentotrailsegoaledl.riferimento wela variabile.di controllo.w non coincide con qnella. {cambiata di segno) tra l'uscita -, e "• come invece .avviene nclloschemaclassiconelqualel'azionedelcontrolloxeèbasatasuil'c.i:rore. Uno scbema.generalcdiCODtrolloadueg:radidilibertàè rlportatoneDaFigura.15.6. I regolatori R 1(.r) e R,:(.!) possono essere progetta.ti separatamente per tener conto didiverseesigem.c,qualilarobustezza,larlsposts.alriferimento. l'at1enuazlone
~':'.:~aintrclloadua gradidlll~
Sdiemi di controllo avanzati 385 dei disturbi Siosserv.ialrlguardocheloscbemadiFigural4.3bddPanlgrafo 14.3.1, impiegato nella realizzazione dei regolatori PIDper la limitazione dell'azione derivativa, può essere interprelato come un altro esempio di scilema a due gradidilibertà Ilprogettodcgliscltemidiconlrolloa.due.gradidilibertà,benchi'idinotcvole. intelesse.perlasoluzioncdi Miiadproblemi, nonsaritulteriermcntesviluppato. nel seguito. Il lcaore intmssato è rimandato alla letttntun specializzata..
15.2.4 Compensazione dei disturbi mlsurabill Siconsìderiilsistemasottocontrollodescrlttoda. Y(s)
=G{s)U(s) + H(,s)D(s)
Quando il dmuroo d è misurabile, è possibile 1llilizwe 11l1 regolatore in anello apcrto,confunzionedit:rasferlmen10M(s)cingressod, peragiredircttamenre sulla.varlabile.dicontrolloiie.annullareoriduncl'cffettodid sullavariabileoontrollatay. Per semplicità.nel segui.lo siipotizzm.cllc M(s) includa anche l'eventuale. dinamica del trasduttore del disturbo. Lo schema di controllo co:rrispondente è riportato nella. Figma 15.7, dove è p:te11ente. ancbe ilregolalore inreo:oazionc R(s),comesempreimpiegatoperfarfronleapossil!illincertcucocva:ituabne.nte pergarantirclastabilitàdell'inleroslslema..~llcompensatomM(s)operain anelloapettD,ilrequisitochecssonecessariamentedc)'epossedereèqucllodella stabilitàasintolica,oltrcaqudloovviodcllarcalizzabilità. Flg,.115.7 5chemad1i;ontrollo co~comp,.nsazione d'eld'lswrbo.
determinare la foona cm, alroeno idealJnenm, deve avete M(s) si noti che ne.lloschemadiFigura15.7risulta
Per
Y(s)
=
"t~~:)~:)(.r)
D(s)
Pt.rtanto.perannuUarcl'effemidcldistwbosnll'nscitaèae.cessarioporre M(s) ""-H(s)Gtrr'
(15.10)
La(IS.10) nonpubesseiesoddisfattaquandoH(s)G(s>-1 non è propria o quando G(s)haunrltardoditempoozerlapa:rm~positiva. Tuttavia.spesso è possibile. rc~ùcompensawrcinmodoche.larlspoatainfrcquCJmlassociataaM(s) sia simile, o uguale, a que.]Jaassociataa-H(s)G(rr1 perle pulsazioniincuid haunconte:DUtOmnonìcosignificativo. SepercscmpiodèunscgnaJcsinusoidale dipulsu.icmc iJ sadsuf:licieuteimpiegaxeuncompensatoR M{s)talc che (15.11)
386 capltolo15 per annullare e.sintoticameu.1"1'effe11odid suy. Ioparticotare,.pc:rii, =Osi può farericorsoalcompeow:otestatico
(15.12) Tuttavia, o.e! caso dì disturbi a scalia.o l'impiego del compensatore (15.12) non garantiscelarciczionen:ibusm{sivedaUParag!vo 10.6.I), cheinveceègarancita daunasceltaopporllllladelregolaroreinrettoazione. Esl!mpio15.3 Pa-lafumiooedi~G(,)dmcriuadùla(l5.4)cH")"' 1.siCOD.sid"1'illtep.f,100! inmmazi11t1aRI,,) = IO. Ilmlemll.Rttoaziawur:lsukana:ha~,. ~51Q & M,:.::::
8.4.
Poicbélafulmooad'anelloDOOpouiedelkmaazione~l'onme ■mlllliilorio
es,.urltodovato111Ddi5111lbocostameCuintol:icamelllc11fll)It>SSl!Il3Il!'i[0,20]ri!iiili.i
eehepertautol'effe!todcldislurbodsull'uscitadelsi,temavengaseosibilmen!«attenuaro.Aquo sto riguardo si,icordacbeU1rasformatadi Fourierdtldistllfboè D(jw) =0.2[(1/jw)+,,- irnp{"')l ~ l'Esempio B.24). il cui contenuto armonico è prevale(l!e=te concentrato nell'imo.mo di
.:'."'t"-
Quesreco~ni$OOdescrittoda!
100 G(s)= (l-0.h){l+0.2s)
-5000
= (s-10)(,+5)
siV(lS.16)..
E,.rc1Zio15.6 Coni:ffi:rinionlUallodmiadicomn,Ilaincuc:atadiF!gura.15.15,sivalllti Tapp0l!Ullitàdilllilb:i:1n1perl'anellui:alslno1mregolatoleconazioDeluregrale(sirlçoroiaole (15.23},(IS..24}),
ESerdZio1S.7
Si«.nlid k1sonoduc'lClllariassegnali. Inaltritermini,nd.piam(t,f)il grafiC(J della funzione ,p è comprelD rralcrette, pas&anti perl'crigine. di coeffi.. cicnti.angolar:ik1 ekz, comcillUSlratoncllaFigma 16.6peralcuniCU:puticolarmente significativi. Si pub allora dare la seguente definizione.
Definizione 16.1 IlsistemacanonicodiEquazio:ne{l6.6)sidicea.wll4flm,mh! Jtobiu nd lltlOn {k1,k:il selostalodieqoilibrlo q =O! g1obalmm1!e stabil5 qualunquesialafunzi.oneip:nellacluse ~[k1,k:zl. ■ Si ooserv.i come, .in questa defiuizionc, sia peifcttamem. spccifìeata !KIW la parte lineare del sistema consideralo, mentre per la funzione rp à ipotizzi solo la sua apputmienza a una classe opportuna. Pertanto la pwprictà di stabilità assoluta. in unsetr:oreriS!Iltarobustarispenoavariazionidiv;,all'i.ntcmodellaclasae1tcasa.
D'ahra parre è chiaro che la proprietà cli stabiliti assolwa è legata in modo indissolubile a un settore di rlferimenw; se qucsll) non viene specificato essa.rlmauc privadisignificato. Perlo stw:liodella stabilitilas50lutano.nsooodispooibili condizioni necessarie e sufficienti.. Vengono allora. preseutatc qui di seguito una semplice oondizi.one solo necessaria e poi una efficace condwone solo sufficient.e, strettal:m:ntc lcptc . . loro.
Sistemi di controllo non lineari
411
16.3.2 Una condizione necessaria Condizioni necessarie di stabilità assolut.a in un dato settore [k:, k:!] si possouo ottenere imponendo la stabilità globale dello st.am nullo per una clas>e di funzioni cp più ristretta di ,;J,>[k1,k2]. Conviene in particolare riferirsi alle funrioni
lineari perché, cosi facendo, il sist.ema non lineare originario si riduce al sistema lineare di Figura 16.7, per il quale la stabilità globale dello staro di equilibrio corrisponde alla stabilità asintotica dell'intero sistfilD.l (si veda!!o i Paragrafi 3.4.l e 3.4.2). Quest'ultima può essere accertata tramite la condizione necessaria e sufficiente espressa dal Corollario 9.L Per enunciare questa condizione in una forma comoda per il seguito della trattazione, è opportuno prima introdurre la nozione di segmenw p[k1,k2] come l'insieme dei numeri reali-1/k con k1 :::, k ::, k2, e k ;6 O se del caso. Si osservi che se k1 = O oppure ki = O allora ciò che è stato chiamato "segmento" p[k 1, k2] è inrealtàunasewiretta, mentre se k 1 < De k2 > Oesso è costituito da due semirette. Fl9ura16.7
Sirtem_a lin@re usat? per
~~,:~a di stabilità
Teorema
16.1 Condizione necessaria perché il sis1ema canonico di Equa.rione (16.6) sia assolutamente stabile nel settore [k1. ki] è elle il numero di giri percorsi in senso antiorario dal diagramma di Nyquist di. r{s) attorno al segmento p [k:, k2] sia ben definito e risulti uguale al numero di poli di f(s) a parte reale roaggiorediz.ero. ■
Si osservi che, quando k1 ~ O :!:: k2, tra i sistemi in mello chiuso descritti dallo schema di Figura 16.4 vi è anche quello costituito dal solo sistema r(s) in anello aperto, che corrisponde al caso in cui k = O. Quind'., in questa particolare situazione, la stabilità asintotica di f(s) è condizione necessaria pe;i: la stabilità assoluta.
16.3.3 Una condizione sufficiente La condizione del Teorema I 6.1 è anche sufficiente pcr la stabilità asirnotica dello stato 7/ = Oqualunque sia la funzione niasualineorlzzoziooe t(,)=08(1)
e ,:agiorumdo. pere.otnpioconil criterio di Nyqui~t, sul sistema lineare di funzione di trasferimento d'anello
Peraccenar,,poilastabilitàglooolodellostatodiequil!brio,sipuòinmmzirnttonot=chelafunzione'l'appartìene;>llaclasse [O.li], Pertant, se!liriesceadlrnostrarecbeilsi,t"1Illlcanonico con r(s) dato dall'Equazione (16..23} I, ass&utarnome stabile in tale sortoie. allora lo stato nullo èglobalmentestahileperdefiniz;one,qualunquesialafunaionenonlineari,ncllaclas,e,P[O.li]< quindi anche per gueni di Equazione (16.24). Quindi, in queito caso, non solo ,i dimostra quanto desidorato. mail, pìù si conclude ohe la stabifuà globale è una proprietà robn,ta rispetto a incertea,
.....,.,,.12 !ltl'HOl•~o•l'n•• ,. iilquuiono(ll,;U)
415
416
Capitolo 15
FJgura16.13
condizionidlstabi11tà as.olcitaperilsi,Tuma · canon!codol/'Esempio 16.3.
sullafunzione1>:111fatti,quafonquo,nawriozionech-,lalascjneU..[0,8lnonfavenlre amancarelastabilitàglobaledellostatodiequilibrio. Nullasipuòdirese,iovece.oonsiriestea dirnoslrafelastabilitl.assoluia. Siveda,aguostoproposit0.laFigwx 16.13 llèlla quale sono con,.~. dorati i casi! =2.5 e/i"' Sporp =)'=I e, per seWplicità. è riportato ildiagram.madi r (jw)
eÉ
Relèconl>leresi (Figural6.J5.-)
E>t
~[f-m'-,~]
E>E figura16..15
Z:«,I; .
_J
~~~;:;~;: ~~n,!~~~~.:'n
nell.l T~bella 16. 1: .,J r.,1e >enza1ste,.,,:, b)saturaz1one,c)zona
~~';_~n~ ~~~:~"'" i.ter.,.,
- - - - ;I - , '
i±=F _;I
e)reléconist.,resì
420 Capitolo 16
16.4.3 Metodo della funzione descrittiva Si assuma che sia oompatibile con il sistema canonico di Figura 16.4 un movimento periodico di pulsazione w > O, o di periodo T 2ir /w;inpartkolare, la variabile ~ abbia valor medio nullo e possieda lo sviluppo in serie di Fourier
=
~ (t)
= ~ JS.lcos(11wt + argS.)
Ipotizzando che la funzione di trasferimento r(s) non abbia alcun polo con parte reale nulla, per H Teorema 6.6 lo sviluppo in serie del corrispondente movimento periodico dell'uscira x è
x (t)
=tjf(jnw) S,,jcos(nwt +argfUriw) +argS.)
Seinquestaequazionerisulta
allora si può ritenere che X (r) sia approssimativamente costituita solo dalla prima armonica. L'Equazione (16.32) si dice ipotesi dell'azione fi/rmnte ed è alla base dd metodo della funzione descrittiva per l'accertamento dell'esistenza e dei parametri delle osc-:i.Ilazioni pemranenti in un sistema canonico. Essa non è verificabile in modo diretto sui dati del problema (f(s) e N), ma dipende anche dalla sua soluzione (8,,, n L 2, ...). Solo quando, asswn.endo senz'altro soddisfatta la condizione (16.32), si sarà giunti a determinare le caratteristiche cbe le oscillazioni dovrebbero possedere, si potrà discutere la plausibilità di ciò che si è ipotizzato. E proprio di "plausibilità" si deve parlare, perché la condizione di "molto minore'' contenuta nell'Equazione (16.32) fa comunque sì che l'ipotesi dell'atione filtrante sia definita in modo sfumato. Tutto cii':, rende euristico il metodo che si sta rra1r;,ndo, nel senso che esso non è rigorosamente fondato su un piano formale. Vale la pena di ribadire che ]a condizione (16.32) non significa ipotizzare che il movimento periooìco di~ sia di tipo puramente sinusoidale, cosa che avrebbe molto poco senso (se, per esempio, N è un relè, t(t) è un'onda quadra non certo appros:ili:nabile con una sinusoide). Invece, almeno se la risposta in frequenza (jw) della parte lineare èdi tipo passa-basso, è realistico supporrecbe X (I) sia approssimativamente sinusoidale. A ogni modo, il soddisfacimento dell'Equazione (16.32} dipende dalle caratteristiche di~ (t) e di f(s) in maniera congiunta. Portando al limite ipotesi dell'azione filtrante, supponendo cioè
=
r
r
f(jnw)Sn=O
n=2,3, ..
siha e di conseguenza
s(t)
= -x (r)= lf Uw) Edcos(wt +argr(jw)+mgE,+ir)
(1633)
Siccome l'origine dell'asse dei tempi si può fissare i.n maniera del nrtto arbitraria, senu. ledere la generalità si può pensare cli sceglierla in modo che arg 81 sia tale che valga la relazione
argr(jw)+argE 1 +rr=0
(16.34)
Sistemi di controllo non lineari e quindi in definitiva& abbialafonna e(t)
= Ecos(wz)
E> O
(1635)
Pertanto,1'1potesid.ell'azioncfiltrantellllplicacheilsegnaleperiodicoall'ingresso del blocco non lineare sia una pura sinu.,oide, cosicché N si può descrivere mediante la sua funzione descritùva D, almeno al fine di calcolan: la prima armonica
Operogni,,,finito.mentteRe (11.(E)) :5 Op«ogni E.:': f. perl'Equ,.. rione(l6.40).l'equa=D$ps:eudocaratteristica11onm,menesolu,,onilnveceil!;istè!Ilaèc"fl"Ce disost0nerev1foscillmoneasintoticamcntestalnle,comesipu~dimostrarerisolvendoleequazioni chenegovemanoilfuru:ionamentoapamredaunaroodizioneinizialequa.luoqm,.. LaF1gural623 riportauna.runulcionerelolwaal caso E= :E:= l.µ 2e ,- I Sipuòossernuechel"errorenolqualein)IS3 l!"Uii>)IS1
-~/i
tJ(lnti) 2 +ir 2 (ln.o./+9ir2
=3
(ln6~~9,r2 >
=
:;:-g- ~
Ilvalorericavatocorri,pondoallimitedln. 1 perµ-,.+oo,mentresipnòaocheverifican,chein ognicaO1:oodocuileconclusiomraggiU11toCOnil:w::tododillafunzlonedcscritowsìd,voootl[CIJereaffidahil1soloseilrapponotrale ,mpi=edttlapiùsigm6cativaarmonicatrascw.tta(,u)labuodell"ipotesidell'azionefiltrante)e dellafonda,nentale~almasstrnoO.OS+O 1.
16.4.6 Taratura automatica di un PID Il metodo della funzione de.scrittiva può essere utilizzato per tarare un controllore PID medìante la tecrrlca dì Zìegler e Nichols in anelJ.o chiuso descritta al Para ..
grafo 14Al. Per rendersi conto di come ciò sia possibile, si consideri lo schema ablocclndiFigural624;in esso G(s) è la funzione di trasferimento del sistema sotto controllo, che si assume non abbia poli con parte reale nulla, e R (s) è la :funzìone dJ. trasferimento de] PID; illOltre N è un relè senza ìsteresi con funzione descrittiva D(E) 48/:rr:E (Tabella 16.1). Nello schema compare anche
=
427
428
capitolo 16
r
un commutatore che permette di chiudere anello su N (posizione a) oppure su R (s) (posizione p). La posizione a consento; di det.emtlnare i parametri necessari per !a taratura, cioè il guadagno critico Kf' e il periodo f de!l'oscil!azione che si ottenebbe utilizzando il controllore proporzionale Kp = f{p; la posizione fJ couisponde al normale funzionamento in !Uto~co. Con il c:ornrnuwore in posizione a e w O, asswnendo che il diagramma polare della risposta in frequenza G(jru) aro:aversi il semiasse reale negativo tagliando!o dal bassover.;o l'alto, il metodo della funzione descrittiva indica la presenza di un'oscillazione pen:naneme asintoticamente stabile, perché il luogo dci punti critici occupa tnno il semiasse reale negativo (Flgl.lra 16.25). Se la coppia (È, W) corrisponde al punto di intersezione, si ha
=
e(t)~ Ecos(Wr)
-*
Sotto !'ipotcsidell'az.ìone filtrante, tale coppia deve risolvere l'equazione pscu.do-
caratreristica e quindi
G(jW)
= A(i) =
Si supponga ora di mandare il sistema in oscillazione e rilevare in modo sperimentale i valori di E e&, magaritramiteunamisurade!periodo f. È immediato rendersi conto del fatto che i! periodo dell'oscillazione generata dal te!è è proprio quello dell'oscillazione {"lineare") richiesta dal metodo di taratura, che si può avere so!o perargG(jw) = -18Q'>; allora risulta -
-
2rr
T=T=-g; In altri termini il punto A di Figura 14.18 coincide conilpun10 A di Figura 16.25. Inoltre, ricordando che il guadagno critico coincide con il margine di guadagno di. G($),siricava -
1
4:§:
Kp=IG(jW))=-;;t figura16.25 oID.
Sistemi di controllo non lineari Una volta noti KP ef, la Tabella 14.t fornisce i valori dei parametri del controllore e, assegnati questi ultimiaR (s), si può porre il co=i:natore nella posizione /J. La tecnica di rilevamento dei parametri qui descritta risulta preferibile a quel!a originaria del Paragrafo 14.4.1 perché, pur continuando a richiedere che si instauri un'oscillazione, non impone- di portare al limite di stabiliti il processo retroazionato in maniera lineare, com'è invece necessario secondo l'esperimento proposto da Ziegler e Nichols, con il rischio che si giunga arldiriltll.Ia a una situazione di instabilità. Oltretutto, un'accorta scelta de! parametro S permette di lintltare a piacimento !'ampiezza dell'oscillazione, mentre essa è praticamente impredicibile in ambito lineare. Il metodo proposto prevede che il diagramma polare di G {jlt!) attraversi il semiasse reale negativo, così com,; dd resto l'approccio cli Ziegler e Nichols. Se ciò non accade, !a tecnica illustrata può essere ancora impiegata pur di utilizzare un relè con isteresi. Per tale estensione si rimanda a!la leneratura spocializzata. In chiusura, conviene notare che esistono in commercio mo!te apparecchiature, dette PlD ad aurosinto7t.ia, che, proprio secondo lo schema di pòrn:ipio di Figura 16.24, sono in grado di procedere in maniera autonoma alla tararma dei parametri di un PID.
16.5 Conclusìoni In questo capitolo sono stati trauali i problemi principali inerenti i sistemi di conlrollo che contengono un singolo elemelllo non lineare da caratteristica. Essi consistono ne! verific:are lastabilitàglobale dell'oql.lllibrio in condizionidiincertez.za circa !a non linearità e ne!l'acrertru:e l'esistenza di oscillazioni permanenti. Si è fatto riferimento alle tecniche di studio più tradizionali. che, ollre all'analisi, consentono la sintesi per tentativi, in analogia con quamo accade per le tecniche classichede!controllodeisistemilineari Molteplici sono le estensioni dispom"bi!i delle questioni e dei metodi trattari Solo a titolo di esempio, si citano la possibilità di affrontare il problema della stabilità globale di un movimento non costante con tecniche interpretabili come derivazioni de! criterio del cerchio, e quella di studiare le oscillazioni permanenti in sistemi con ingressi non nulli mediante una modifica del metodo della funzione descrittiva che tiene conto di un valore medio delle oscillazioni diverso da zero.
Esercizi Es0. Last:aladellepu~zionle normaHzzataesul diagramma dal modulo
e
Regolatori· -0JW08'CO dimaloEA
-dlgiwea
,iportato
IR*(e;"'r)jTtfKp.
-digite.!oTU
vaJ(>R:diL~los,~rver,,bbe!IIlamiglioreade,enzatnidiagramrni,comeesempliftcatoneJJaFig.ura 17.27, rcloòv•al regolatore ffil)con T = 0.2T1• I ~ -i•li agli altri dMrqiolatori (EA)e(EJ)mm>ononponatipoichémquestocasononpreselltcrei>berodifferenzesigwficative riipettoag_uellidO.La,c;ila dellepul.azion!e normali,:zatae,ul dlagrammadalmoduloE! riportato IR'(.J·0 '1IT1/Kp.
454 Capitolo 17 aatatopmpllltllru,U~ll.Jiln,golll!natempoOOlllinllO R(s)~ : : : : ;
~BH:ieutallpalsaz:ioneerilie1.11:1r::::o.22.cilmo;rginoditase,..~64°.Silllicbetale~ dl91màlil~saperiomalv1knrichi.$0nc:llelpllCi6chs(,p,,,=40"Jedunqao-
lnec,1ssuforivedi!l:eilpn,,ae11IIUl!iruqpo:tt,,IO ~strettan,.entc,leptoalla,peci!icidodiq,,msll;,car.iup.0,einpmlieolamalfanodleilsislcma!IDIID controlloJ10D~ashslmeulominimoeilrqol1110rB~llQIR!IBBnlieipatrice.hl.quesrocuo,leP1""" nazlonidelnpatJoff:Eiappaioa.oJegae,:matslnlt:rioli,anche1111llquellocheaollecilainmisma minOR:kvmlbilediCOlllloDo.
RGgOJaton ~aoalo:gico -B
-ru
17.8 Problemi realizzativi Tra le varie questioaì connesse allarea\izazione pratica di un regolatore digitale. et si limita ad accennare a un paio di problemi che nascono in presenza di regolatori contenenti un'.a.iione integrale
17.8.1 Quantizzazione Fenomeni di quantizzazione doniti alle codifica dlgitale del segnale errore posso-no dar luogo a comportamenti inaspettati del sistema di controllo. Si consideri, per esempio, la discretiuazione di un regolatore ad azione pw-amenle integrale, R(s) = K 1 /s, effettl!ata mediante il metodo El
R'(z)=
~~;
La corrispondente legge di controUo nd doro.inio del tempo è 11"(k)=u"(k-l)+K1Te'(k)
(1750)
Si suppooga ora che l'errore e~ si assesti su un valore costante non nullo e" < e/K1 T, dove e rappresenta il livello di quantizzazione impiegato nella codifica digitale. La legge di controllo (17.50) fornisce, allora, un valore costante di u•, poìché il termiue a secoodo membro contenente l'errore è inferiore allo zero-macchina e. Pertanto. l'errar,: rimane polari=to al valore f", senza annullarsi asintoticamente, come illvece ci si aspetterebOOper la presenza dell'azione integrale. È interessante notare che il valore di soglia e/ K1T è inversamente proporzionale al periodo di campionamento T, e quindi l'inconveniente di cui si è parlato risulta tanto più critico quanto minore è T. A tale circostanz.a si è già accennato nel Para.grafo 172.
17.8.2 Desaturazione dell'azione integrale Anche nel caso dei regolatori digitali, la presenza combinata di un' azioue integrale e di una samrazione sulla variabile di controllo, dovuta per esempio a vincoli
456 Capitolo 17 figura17.30 Regolatore con satuca,lonQ,uJ!avarlilbilè djcontrollo
sull'attuatore, può provocare il fenomeno di carica iHJegra{e, o wind-up, dìscusso nel Paragrafo 14.3-Zcon riferimento a s.istenù di controllo a tempo continuo. P!e--cisamente, si consìderi il regolatore con saturazione indicato nella Figura 17.30, doveR~(z)= Q(t)/P(z)e m•(k)
= sat(u•(k)) =
l
-u/11 , u~(k) < -u.ld
u*(k), ju•(k)I ::': uM UM
,
u•(k) > UM
=
Si ipotizripoi che R*(z) contenga un integratore discreto, sia dDeP{l) O. Si indichi ìnoltre con n il grado del polìnomio P{z) e s1 supponga unitario il coefficiente del termine digrado n. Come sl 1: visto nel Paragrafo 14.32, il fenomeno del wind-up consiste in una crescita anomala dello stat:o dell'integratcR, che durante la fase di satm:azione perde coerenza con l' eifettiva variabile di o;mtrollo m~. Ciò provoca una scarsa prontezza. a ritDmare nella zona di funzionamento lineare non appena si verifica un cambio dr segno dell'errore, coo conseguente degrado delle prestazioni Figura17.3I Schernadides.atura2ione
Per ovvìare a questo inconveniente. si può ricom:re allo schema di desatmazione rappresentato nella Figura 17.31, in cui f(z) è un polinomio di grado n çoo tutte le radici in modulo minori di uno e con il coefficiente di grado n pari a Imo. Una scelta tipica consiste nel pmre I'(z) "" z". La logica di funzionamento di questo schema è del rutto analoga a quella dello schema di Figura 14.13. Infatti,. finché lu*(k)I rimane al di sotto della soglia di saturazione uM, il legame trae• em* è
descritto dalla funzione dì trasferimento M*(z) _ Q(z) _ _ I _ _ _ Q(z) _ R" E*(z) -
f(llot1 •1 • -i ci. li 1111:mo
~••-i
.. ..,..,..,_,,wt••~•u•dic•,io-•toT=0.1.,iìa Oeleipot.esi del Teorema 18.I sono soddisfatte, G*(z) è anch'esBa di tipo g. Inoltre, posto
siha {18.26}
come negli Esempi 18.3 e 18.4.
18.2,7 Esempio riassuntivo Il prossimo esempio evidenzia come le caratteristiche di G"(::) cambino in funzione del periodo di campionamento T adottato. Esemplo18.5
Perilsisternadescrittoda
'
G(J)= (s+l)'.!
=
si determini G'(t) .nilizzando i periodi di campionamelltO Ta leTb=O.l. Mediante uno dei procedimenlÌ\/isti,èpossibilcricavarelefunzioniditrasf,rim,nro
~:t
a:M=
0
a;r~) =
o.~7~-;~~
perTa=le
·::~~_;6
p,:,rTo=O.J,chcsiprestanoadalcuneinteressan!icoosiderazinni • PoicMil gradnrelat:ivodiG(a) è2, il8.\CCW10
zet specifica sul tempo di assta\bu'.nenlO. \l!la pos. O si consideri la = f (r-r)ottenutatraslandoinavantilafunzione:f (/) .. supposta nullapertempinegativi,diuntempopariar.Sitrova
funzionef (1)
Esempio B,3 Si considori la funnono /(r) = a,oa(I - r1) + /J ,ca (1-, 2) rip O e/J < O. Perloprnprietld!lineari!àotrasbazioue aeldoinimodelt~mposiha
FiguraB,4
Funzionedell'CsempioB.l
512 Appendice B Traslazione nel dominio della variabile oomplessa Per un qualunque si consideri la funzid'ne (I) ea' f (t). La sua trasformata è
J =
e,
E
e
cuicorrisporukii=R! può interpretare come operatore di derivazione.
Segnali a tempo continuo 513
Esempio B.6 Trasformab dello ,Ulnsoide Oltre ehulsaz.ioo,:,
EsempioB.17 Siaora
lafuniionèperiodica.rappreseruat:aoellaFigunB.10,con
7=15 ,
:•........... ·.:.......
4
2 "
.....
....,.
" · .... ,
,...;,
i
.. ;
. . . . . . . . .!. . .
I
OO
...... : ....... :"
5
\~
'"'"'
;
... ,
:. .• •. · · · · · ·
...
.
.. ,
...
•.. : .....
! ' ,. .• •. . · · · . · · ·
;·-----·: .. , , . :
I;
~
~
30
Segnali a tempo continuo 525 Leduecomponenlidelsegnalenecoslitni=oloqwntaelasestaamionìca.Pertanro.d.Ua(B.30) risllltaFo=3epoi F,o"'I , F,:6"'2 dacui.p 1
(B.38)
Le Equazioni (B.36)-(B.38) e.spcimono lafennulo diantitrasjonnazions infomu:J rrigoncmetrfr:a, che lii pub ~ scrivere in modo pm compatto come
I (t)=; L+oo IF(jer>)Jcos())df4
(13.39)
La focma trigonomerriça di Equazkmi {B.36),{B.38}, o (B.33), (B.39). mDSlnl quindi come i segnali ~rmabili. cM Fowiu siano scompom.'bili in una .lnfi. lii.ti non numeramle di componenti cosiaosoidali, dette armoniche. Si osservi che anche i &egil.ali di durata. limltata vengono visti. come somme di cOl/,lllUSOidi
cbeinwcehannodurata.illimìtal:a. In~l'ill~nella.(B.39)comell hmite di una SOillDlldaria, siplRI din cber11DDOnicadipnlsazione (I) ha un ''pe-
so~ in f (t) pari a IF{jta)]dtJ>/;r e'Ol'.llfase pari ad arg F Uro). LapuktzriOM minima di un segnaleèguellacmispondmreall'cstrcmoinferiom f4 1 di w per cuiF(j) 'f'O:Iapubmj..-iddtt1=-~"'ll'
(843)
528
Appendice B
EHmpfo B.2ll
"""""
~laùll.'lmpùoffltmacolareSi~l'impulso'lll:llllla,,II/
/(I)--{~:-~·
do
ech.elatra O, ha ascissa di convergenza li =a, mentre nell'EsempioB.19 si èaffeanato che la trasformala di Fourier non esiste. Infatti è chiaro che
Segnaliatempocontlnuo 531 lllhallllll.l Segnalieoon1spondentl tr.lsfc,m,atedìFouriar.
f(t) imp(t)
211:-ilnp(t:tatiche.15.235.Z64.274.280.478 prewa,ping.458
principio -diseparaziooo.346
-disovrappomioncdeglieffettl.SJ.
"'
probkmidicon:trofu,2
modo.54,178 movimento.49.175
proc,sso,2
-asintolicamentestabi!e.46.175 -deU'uscita,30. 169
-dinamico.294
-deilostato.30,168
progeno -stati