Fondamenti di Meccanica Strutturale

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GRAZIANO CURTI FRANCESCA CURA

FONDAMENTI DI

MECCANICA STRUTTURALE Lezioni ed esercizi

CLVT

POLITECNICO DI TORINO

SISTÈMA KBUOTKABO

*1 àiiittt dì elaborazione, di traduzione o l'adattamento

' anche parziale m qualsiast forma, di memorizzazione anche digitale, su supporti di guateiasi tipo, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con aualfliasi mozza (compresi i microfilm e le copie ftrtostatìchs) eono riservati per tutti i Paesi.

Fotocopie per uso personale (cioè privato ed individuale) nei limiti del 1S% di ciascun volume

JuTaooordo S.I.A.E. - S.N.S. e C.N.A. Confartlgianato,

Prefazione

C.A.S.A.. Conibommorcio del 18 Dicembre 20O0, dietro

paramento del compenso previsto in tale accordo, conformemente alla legge n. 633 del 23.04.1941. Per riproduzioni ad uso non personale l'Editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine

del presente volume. Le richieste per tale tipo di «riproduzione vanno inoltrate esclusivamente all'indirizzo dell'Editore.

La messa a punto di un libro è un'operazione complessa ed articolata, che necessita di studi, progettualità grafica, nonché di numerosi controlli di

testo, immagine, stili grafici e di stampa. È

praticamente impossibile pubblicare un libro scevro da

errori. La C.L.U.T. ringrazia sin d'ora i lettori che vorranno segnalare all'indirizzo dell'Editore eventuali errori riscontrati nella lettura del libro.

Come si desume dal titolo, l'oggetto del corso cui si riferiscono le lezioni e gli esercizi di questo libro, riguarda i concetti di base che disciplinano la meccanica dei corpi rigidi, con particolare riferimento alle equazioni che ne governano l'equilibrio statico, e le relazioni fondamentali che definiscono e legano fra loro le tensioni e le deformazioni in un corpo elasticamente deformabile, con particolare riferimento al corpo monodimensionale o solido di De Saint Venant.

Vengono inoltre poste in relazione le tensioni suddette con la capacità di resistenza dei materiali sia nel caso di sollecitazioni statiche sia di sollecitazioni variabili nei tempo.

Nell'esporre i concetti di base e nella presentazione degli esercizi si e utilizzato un approccio fisico, più tradizionale (cioè meno matematico e anche a volte meno rigoroso), ritenendolo più adatto a stimolare Tinterpretazione fisica sia del problema sia dei risultati, onde contribuire a

formare nel lettore un senso concreto delle cose, tipico della cultura e della mentalità dell'ingegnere.

Come sempre più spesso accade nel mondo di oggi, la stesura di queste pagine è stata effettuata in tempi ristretti e in modi necessariamente

affrettati.

1 Ne consegue che, nonostante tutta la nostra buona volontà di autori, le

pagine di questo libro risulteranno inevitabilmente ricche di errori e

imprecisioni, a volte anche non solo formali: gli autori confidano che il

sopra menzionato ''approccio fisico" sia così efficace da contribuire validamente a minimizzare i danni che ne derivano, consentendo al lettore Classe UOEX = clut.dB © 2006 C.L.U.T. Editrice Proprietà letteraria riservata Stampato in Italia da STAMPATRE - Torino Copyright C.L.U.T. • Torino - 200Q

Edizioni C.L.U.T. - Ttorino

Coreo Duca degli Abruzzi, 24 -10129 Torino Tei. 011.5647980 - Fax 0U.54S192 o-mail: [email protected] - www.dut.it

di smascherare i difetti che la frettolosità ha disseminato nel testo.

Gli autori desiderano ringraziare il collega Prof. Giovanni Roccati per l'aiuto fornito nel rintracciare esempi applicativi di particolare interesse nel campo delle macchine.

Torino, 14 novembre 2006

Indice

Parte I

Lezioni

1 Equilibrio dei corpi rigidi 1.1 Sistemi di corpi rigidi 1.2 Coordinate di un sistema

li

1 1 1

1.3

Coordinate libere e coordinate vincolate 1.4 Coordinate e gradi di libertà 1.5 Gradi di libertà di sistemi complessi

3 5 6

1.6 Coordinate e vincoli 1.7 Vincoli e reazioni vincolari

9 10

1.8 Moto di un sistema

**

1.9 Equilibrio statico e dinamico 1.10 Equilibrio statico di un sistema 1.10.1 Equilibrio di un sistema labile

14 15

Equilibrio di un sistema isostatico

20

1.10.3

Equilibrio di un sistema iperstatico

20

1.11 Equilibrio dinamico di un sistema labile

23

1.12 Condizioni di equilibrio reali e teoriche

24

1.13 Condizioni di simmetria 1.14 Risultante di forze parallele

•

1.15 Esempi di calcolo delle reazioni vincolari

2

15

1.10.2

Geometria delle aree

vn

25 26

28

2 3

2.2

33

4.10.1 Flessione e linea elastica

124

2.1.1 Definizioni

33

4.10.2 Taglio

,.v

129

2.1.2 Esempio di calcolo del momento statico

38

4.10.3 Torsione

T

131

2.1.3 Teorema di trasposizione dei momenti statici

39

Baricentri e momenti statici

2.1.4 Momento statico di figure composte

41

Momenti d'inerzia di una superfìcie

43

2.2.1 Momento d'inerzia rispetto ad un asse

43

2.2.2 Momento d'inerzia polare

45

2.2.3 Momento d'inerzia centrifugo (o misto)

48

2.2.4 Esempi di calcolo dei momenti d'inerzia

di figure geometriche semplici

.

48

2.2.5 Momenti principali d'inerzia

50

2.2.6 Teorema di trasposizione dei momenti d'inerzia

56

2.3

Corpo tridimensionale - Volume

57

2.4

Esempi di calcolo di baricentri e momenti statici

58

Equilibrio dei corpi deformabili

63

3.1

II corpo deformabile. Equilibrio interno

63

3.2

II corpo sottile. Solido di De Saint Venant

66

3.3

Diagrammi di sforzo. Casi semplici

71

3.4

3.3.1 L'asta tirata o compressa

71

3.3.2 La mensola incastrata

73

3.3.3 La trave appoggiata

79

Esempi di calcolo dei diagrammi di sforzo

Tensioni e deformazioni nel solido di De Saint Venant

82 89

4.1

Premessa

89

4.2

Trazione

90

4.3

Prova di trazione

4.4

Flessione

97 102

4.4.1 Esempi di calcolo

108

Equazione differenziale della linea elastica

108

4.6

Relazione fra momento flettente e taglio

112

4.7

Tensioni dovute allo sforzo di taglio

113

4.8

Torsione in una trave a sezione circolare

119

4.9

Torsione in una trave a sezione rettangolare

122

4.5

4.10 Esempi di calcolo delle tensioni

vm

124

5

Teoremi sul lavoro di deformazione

133

5.1

Premessa

133

5.2

Teorema di Clapeyron

134

5.3

Lavoro compiuto dalle forze interne - Energia elastica

137

5.4

Esempio di calcolo

139

5.5

Principio di sovrapposizione degli effetti

140

5.6

Lavoro mutuo o indiretto - Teorema di Betti

141

6 Stato di tensione in un punto 6.1

149

Stato di tensione in un corpo

149

6.2 Tensioni principali 6.3 Cerchi di Mohr 6.3.1 Analisi dello stato di tensione piana

I55 l66 166

6.3.2 Costruzione dei cerchi di Mohr

167

6.3.3 Osservazioni sui cerchi di Mohr Relazioni tensioni - deformazioni

168 176

6.4

6.5 Tensione equivalente 6.5.1 Tensione normale massima 6.5.2 Tensione tangenziale massima

•

I78 l80 181

6.5.3 Deformazione unitaria massima

1S1

6.5.4

182

Energia di distorsione massima

6.5.5 Curva limite m} b) sistema isostatico (n=m)

moto stazionario, si hanno forze costanti nel tempo che possono essere

fc) sistema iperstatico (njìjsc1 -agiscono nei punti interni di un corpo.

-Jjj£$fef ?orze di superficie si distinguono in forze distribuite, se agiscono su tutti

|Vf!lP^ntì di un'area non infinitesima della superficie, e forze concentrate, se Ks$Ì^®cono idealmente in un punto soltanto di detta superficie. p

#$tì^realtà non esistono forze concentrate in un punto, essendo sempre l'area sii cui la forza si ripartisce una grandezza finita. In pratica si usa parlare di fqrzc concentrate quando detta area è sufficientemente piccola, cioè in definitiva tale da far ritenere insignificante, ai fini del risultato finale, lo spostare idealmente la forza applicata dall'uno all'altro punto

dell'area suddetta.

Le forze di volume sono, in generale, sempre forze distribuite.

semplice, cioè il punto che si muove lungo una traiettoria assegnata. scorre su una pista assegnata.

Se si assume un asse x di riferimento parallelo alla pista lungo la quale

corre il carrello, la condizione di equilibrio 'statico del carrello stesso

normalmente si individua nel fatto che le forze applicate al parallelamente all'asse

carrello

x siano tali da opporsi l'una all'altra in modo

perfettamente equilibrato, dando cosi luogo a un'azione risultante nulla.

Con riferimento alla Fig. 1.8 e al verso in essa indicato per le due forze jFJ e F2, si dice che il carrello è in equilibrio (statico) se vale la relazione:

Più' generalmente, attribuendo un segno anche alle forze, ad esempio segno positivo se esse hanno verso orientato come l'asse x (sarà perciò

F2F2t), ma anche

Perciò, in generale, in un sistema con n coordinate e / gradi di libertà (con

componente

verticale secondo y{Fiy,F2jr).

ìn)

incognite

costituite

dalle

reazioni

vincolari.

Sono possibili infinite

Figura 1.12

Carrello

arbitrariamente

soluzioni del problema

il valore

di

poiché, assegnando

m-n reazioni vincolari, le equazioni di

equilìbrio consentiranno di determinare le rimanenti n reazioni vincolari incognite:

a

ogni

assegnazione arbitraria corrisponderà una

rispettiva

soluzione.

1.10.2 Equilibrio di un sistema Isostatìco

(Nelle condizioni di equilibrio isostatico, il sistema è soggetto ad un numero di vincoli m esattamente pari al numero di coordinate n del sistema stesso, cioè al suo massimo numero possibile di gradi di libertà E' possibile, come si è visto, associare a ciascuna coordinata del sistema un corrispondente possibile spostamento (o movimento) dello stesso e

Si consideri, a titolo di esempio, il caso della Fig. 1.13. n sistema è costituito da un solo elemento, una trave, le cui coordinate e spostamenti teoricamente possibili sono le due traslazioni secondo gli assi cartesiani x

e yc la rotazione angolare 6. Si ha, perciò,

n=3, come avviene per ogni corpo che si muove di moto

piano.

La trave risulta incastrata nel suo estremo A ove essa è soggetta a tre

quindi, anche una rispettiva reazione vincolare che a questo spostamento

possibili reazioni vincolari RAo, RAv e M

E' anche possibile scrivere un'equazione di equilibrio fra le forze (incluse le reazioni vincolari) che agiscono sul sistema per ciascuna coordinata o

ricevendo così una quarta reazione vincolare R^.

si oppone.

movimento possibile del sistema stesso.

Se n-mfl sistema è in condizioni isostatiche (cioè non si muove) essendo

soggetto a un numero di vincoli (e quindi anche di reazioni vincolari) esattamente uguale al numero dei suoi possibili movimenti (o coordinate)

Eperciò possibile scrivere altrettante equazioni di equilibrio quante sono ^^sipni vincola^ e, quindi, ottenere un sistema di equazioni che

Essa, inoltre, è supportata da un carrello scorrevole all'altra estremità B In totale si hanno perciò m=4 reazioni vincolari, una in più' rispetto alle coordinate n(=3).

Scrivendo ora le tre equazioni di equilibrio fra le forze nelle tre direzioni di spostamento definite dalle tre coordinate, si ha:

Rao-0

consente la determinazione univoca delle reazioni vincolari stesse

Si conosce così perfettamente l'insieme delle forze che agisce su ciascun

elemento del sistema e lo sollecita.

1.10.3 Equilibrio di un sistema iperstatico

Mancando componenti di forza esterna orizzontale si ottiene che la reazione vincolare RAo in A è anch'essa nulla.

22

J -

Equilibrio dei corpi rigidi

1.11 - Equilibrio dinamico di un sistema labile

Le rimanenti due equazioni contengono tre reazioni incognite (R

,R

M) e non sono, quindi, sufficienti a determinarne univocamente iWalo're

e

Daltronde, poiché il problema è reale e concreto, è evidente che per una data trave e per una data forza Fla soluzione del problema è univoca- essa però, dipende ora non solo dalla forza Fé dagli aspetti geometrici del'

problema (lunghezza L, distanza d). ma anche dalle caratteristiche di deformabihtà della trave.

E' evidente, ad esempio, l'importanza che può assumere il fatto che il tratto terminale della trave prossimo alla sua estremità Bsia più' o meno

rigido rispetto alla rimanente parte (Fig. l 14»

Se, infatti, questo tratto ha rigidezza molto ridotta, la forza reattiva

vincolare in B risulterà corrispondentemente ridotta: al limite, se il tratto terminale tende ad assumere rigidezza trascurabile rispetto all'altra parte

sottiT tr'ttO tCrmÌnaIe ™* tenderà Arisela sotti* o TnS1 da una CaS° fune,^ èUn evidente che laC°StÌtUÌt0 reazionedaR^

parallelamente ad annullarsi.

Dovendo

per l'equilibrio, essere

RAv +/?,„ = F> quanto

iu>

Figura 1.14

Sistema iperstatico

1.11 Equilibrio dinamico di un sistema labile Se n>m il sistema possiede n-m gradi di libertà secondo i quali esso è libero di muoversi.

E' possibile scrivere, quindi, n-m relazioni che legano fra loro le forze agenti sul sistema (incluse le forze d'inerzia se il sistema non è in

In definitiva, nel caso di sistemi instatici la soluzione non può

del 2tZ CT "f alW ""• ^^ caratteris^hc di deformabili de sistemi stessi. Occorre, cioè, far riferimento necessariamente allequ,l.bno dei sistemi deformabili e alle specifiche caratteristiche che

da questa deformabilità derivano.

equilibrio stazionario,.

Queste relazioni, nel caso di equilibrio dinamico non stazionario, sono sotto forma di equazioni differenziali che possono venire integrate giungendo cosi a esprimere, in funzione anche delle condizioni iniziali del

moto, le varie coordinate che corrispondono ai rispettivi gradi di libertà del sistema, in funzione del tempo t

Le equazioni così ottenute forniscono le equazioni del moto del sistema. Conoscendo, pertanto, l'evolversi temporale del sistema, cioè la configurazione da esso assunta nei vari istanti successivi, è possibile istante per istante stabilire le condizioni di equilibrio dinamico

del sistema,

cioè le forze di tutti i tipi, incluse quelle d'inerzia, che agiscono sui vari

elementi del sistema stesso.

Istante per istante è possibile, allora, scomponendo idealmente il sistema Figura 1.13 Sistema iperstatico

nei suoi vari elementi componenti, scrivere l'equilibrio dinamico di

ciascun

elemento

e

determinare

cosi

corrispondenti ai rispettivi vincoli introdotti.

le

m

reazioni

vincolali

24

J -

§ 1.13 - Condizioni di simmetria

Equilibrio dei corpi rìgidi

25

Sono così note, anche in questo caso, tutte le forze che sollecitano ogni

elemento ed è, quindi, possibile risalire da queste forze alle tensioni e alle deformazioni che esse generano in ciascun elemento: in questo caso trattandosi di equilibrio dinamico, le condizioni cambiano da istante a

istante e, di conseguenza, cambiano parallelamente da istante a istante

le forze e, quindi, le tensioni e le deformazioni negli elementi.

condizioni reali ~ ipostatiche

1.12 Condizioni di equilibrio reali e teoriche

teoriche: iperstatiche (n«3 m=4J

(Si hanno sistemi con false condizioni di vincolo quando le condizioni reali

Figura 1.16c

di equilibrio del sistema non corrispondono al bilancio teorico fra

coordinate e vincoli.

a) Sistemi realmente isostatici ma con condizioni teoriche di equilibrio ipostatico oppure iperstatico;

e) Sistemi realmente iperstatici ma con condizioni teoriche di equilibrio isostatico.

K

I

l condizioni reali - iperstatiche

condizioni reali: isostatiche

teoriche: ipostatiche (n»3 m-2)

rj\

teoriche: isostatiche [n*3 m=3)

condizioni reali = isostatiche teoriche: iperstatiche {n-3 m=

Figura 1.1 Sa

Figura 1.17

Figura 1.15b

b) Sistemi realmente ipostatici ma con condizioni teoriche di equilibri

1.13 Condizioni di simmetria

isostatico oppure iperstatico;

A volte il problema presenta condizioni geometriche e di carico che

soddisfano a particolari condizioni di simmetria che possono semplificarne

ì condizioni reali: ipostatiche teoriche: isostatiche {n-m~3)

la risoluzione.

Tipico esempio di questa soluzione è il caso di sistemi di per sé iperstatici ma che, per particolari condizioni di simmetria, si possono ricondurre a

condizioni reali - ipostatiche teoriche: isostatiche (n=m=)

Figura 1.16b

condizioni reali isostatiche (Fig. 1.18).

26

1 -

§ 1.14 - Risultante di forze parallele

Equilibrio dei corpi rigidi

27

i-t Il corpo è anche in equilibrio alla rotazione rispetto a un qualsiasi punto O (Fig. 1.19b), per cui sarà:

essendo xA la distanza di RA dal punto O e xà le distanze analoghe delle forze F} rispettivamente. Si ottiene perciò la relazione: Per simmetria

"e «* 0

Per simmetria

nA " aj»

Per simmetria

^a = Mg

R

— P

x,=

Mancando le forze orizzontali esterne si ha: Perciò eliminando dal bilancio da un lato le

A^

ixb*

iic*

tre reazioni orizzontali

0 e,

che consente di determinare la posizione del punto A di equilibrio.

dall'altro, la reazione "e che è nota ("e » 0), il sistema diventa isostatico

Si può concludere che l'azione risultante dell'insieme di forze parallele F.

e, quindi, risolvibile.

è data da una forza risultante FK che, per l'equilibrio, dovrà essere uguale

in modulo, ma contraria in verso, alla reazione RA, cosicché, sostituendo

1.14 Risultante di forze parallele

alle forze Ft la loro risultante FRi l'azione esercitata dall'insieme di forze F, o dalla loro risultante Fn si equivale ai fini dell'equilibrio dell'asta (Fig.

Suppongo di applicare ad un'asta

(in generale a un qualsiasi corpo rìgido)

un insieme di forze Ft {i = 1+N) parallele fra loro (Fig. 1.19a). Appoggiando l'asta contro un vincolo puntiforme A, se questo è troppo spostato verso

sinistra l'asta tenderà a ruotare intorno ad A in senso orario. Se, invece, il punto di reazione è troppo spostato a destra , l'asta ruoterà ancora attorno ad A, ma in verso antiorario.

1*

II

11

111

Esiste, quindi, un punto intermedio rispetto al quale l'asta non ruoterà né

in verso orario né in verso antiorario, ma starà in equilibrio. Significa allora che l'appoggio A sviluppa una reazione RA in grado di equilibrare l'azione risultante delle forze F{, Per l'equilibrio alla traslazione dei corpi rigidi deve allora essere:

Figura 1.19a

Asta appoggiata (schema)

28

1 -

Equilibrio dei corpi rigidi

§ 1.15 - Esempi di calcolo delle reazioni vincolari

29

UÌlI Ih Figura 1.19b Asta appoggiata (reazione vincolare)

Miniili* Figura 1.19c Asta appoggiata (risultante delle forze parallele)

Risoluzione:

Jt,,

Equilibrio alla traslazione orizzontale:

F1+F2+Rc

Equilibrio alla traslazione verticale:

RÀ+RB = 0

Equilibrio alla rotazione attorno al punto

1.15 Esempi di calcolo delle reazioni vincoiarì Esempio 1

Calcolare le reazioni vincolari del sistema illustrato in figura (d^O lm dB~lm, F,°80N, F2=120N).

Risultati: Rc=200N

Esempio 2

Calcolare le reazioni vincolari del sistema illustrato in figura (L-lm, d,=0.2m, d7=0.8m, Ft-F2

30C

1 -

Equilìbrio dei corpi rigidi

ti

1.15 - Esempi di calcolo delle reazioni vincolati

f Risoluzione:

L

U '■ Equilìbrio alla traslazione orizzontale:

lisa

ih

Risoluzione:

R=0

Equilibrio alla traslazione verticale:

RÀ + RB - Fì - F2 = 0

Equilibrio alla rotazione attorno al punto A:

Ft- dì+F2-d2- RB- L

Equilibrio alla traslazione orizzontale:

i

RAO + RBq ~ 0

Equilibrio alla traslazione verticale:

RAy —RBy+F =

Equilibrio alla rotazione attorno al punto A

RBV • / — F L = 0

FL

'"

Rav -

Risultati:

Equilibrio alla traslazionc orizzontale:

Esemplo 3

Calcolare le reazioni vincolali del (L=1.8m, l=lm, h-0.5m, F-300N).

31

sistema rappresentato in figura

^Equilibrio alla traslazione verticale:

Equilibrio alla rotazione attorno al punto C

Rco — R^ ~ ^ R^ — RBV = 0

— RBV • / + RBO

1 -

Equilibrio dei corpi rìgidi

F-L

Risultati

; RAV =240N; RBo = -RAo = RCo =1080N

Capitolo 2 Geometria delle aree 2.1 Baricentri e momenti statici 2.1.1

Definizioni

Supponiamo di considerare un corpo piano dì area A costituito da un

materiale avente densità costante p per unità di superficie ([p]=Kg / m ) (Fig. 2.1).

Consideriamo un'areola elementare

dA e ^calcoliamone, la forza peso

elementare dP: dP

La risultante P delle forze elementari dP è data dalla somma vettoriale ^delle dP.

risultante P è diretta verticalmente come ogni dP e ha modulo pari risultante scalare (= somma algebrica) delle forze elementari dR

2 — Non

sappiamo,

però,

in

§ 2.1 - Baricentri e momenti statici

Geometrìa delle aree questo

modo,dove

possiamo

35

considerare

concentrata la risultante delle forze peso. La posizione della risultante P

può essere individuata calcolando il momento delle forze elementari

y-—

s

rispetto ad un asse parallelo a P

dP

passante per un punto M qualunque

(FigVZJ2) è scrivendo che esso deve eguagliare il moménto dato dalla risultante P rispetto allo stesso punto M: ,

L'espressione sopra riportata rappresenta il momento delle forze statiche

o, più' precisamente, delle forze peso, rispetto alla retta passante per il punto M . Esso è, a meno del prodotto costante

p-g, determinato dalla

grandezza:

che dipende unicamente dalle caratteristiche della superficie A e che

Figura 2.2 Corpo piano di area A (risultante delle forze peso)

prende il nome di. momento statico della stessa rispetto all'asse verticale passante per M.

V

La distanza fra la risultante P e Tasse passante per il punto Af vale:

gpjxdA ,-

±_

)alle precedenti considerazioni si deduce che, se il momento statico S

|plla sezione viene calcolato rispetto alla verticale alla quale appartiene la sultante, essendo a=0, deve quindi anche essere: S=0

si ruota la superficie di Fig. 2.2 in modo che la risultante P prima Figura 2.1 Corpo piano di area A

Scolata,

considerata

solidale

alla

superficie,

assuma

una

nuova

2 -

36

37

§ 2.1 - Baricentri e momenti statici

Geometria delle aree

posizione P' ruotata e se si ripetono le considerazioni precedenti, si

Supponiamo di aver individuato G come intersezione della risultante P

troverà la nuova posizione che la risultante P delle forze peso elementari

relativa a due direzioni ortogonali fràTloro e si assuma il riferimento

assume rispetto alla nuova disposizione della superficie (Fig. 2.3).

cartesiano x, y avente origine in G e individuato dalle direzioni suddette (Fig. 2.4).

(Si assuma una direzione arbitraria e una retta

r ad essa parallela.

Calcoliamo il momento statico della superficie rispetto alla retta r. Sarà:

= jddA dove la distanza d vale:

Figura 2.3 Corpo piano di area A (ruotato rispetto alla posizione precedente)

L'intersezione di P con P ' individua un punto G, denominato baricentroL rispetto al quale il momento statico della sezione calcolato con riferimento

ad entrambe le direzioni individuate da P e da P ' risulta nullo. Si dimostrerà nel seguito che qualunque sia la rotazione imposta alla superficie

e,

quindi,

la sua disposizione,

il punto

G è lo

stesso

e

rappresenta, quindi, un punto caratteristico della superficie A, rispetto al

Figura 2.4 Momento statico di una superficie

quale o, meglio, rispetto ad una qualunque retta passante per il quale, il momento statico della superficie A è sempre nullo.

l

Il baricentro è, infatti, quel punto tale che rispetto a tutte le rette passanti per esso il momento statico è nullo.

à = dG + ad = àG + x • cos a - y • sen a

2 -

38

§2.1 -^Baricentri e momenti statici

Geometria delle aree

39

bh2

S=\ddA=[dcdA+jxcosadA-jysenadA A

A

A

A

I momenti statici rispetto agli assi baricentrici jxdA e \ydA sono A

A

nulli per cui si ha:

!

/ 2.1.3

Teorema di trasposizione dei momenti statici

5i conosce il momento statico 5, rispetto all'asse X, (Fig. 2.7) e si vuole Calcolare il momento statico rispetto all'asse x2 (parallelo a x,) spostato di una quantità d.

Ne consegue che la risultante delle forze peso P passa per G indipendentemente dal valore deU'angolo OC, cioè indipendentemente dalla direzione di r. Per questo motivo il baricentro di una superficie prende

\.

anche il nome di centro ài gravita del corpo piano.

Le coordinate del baricentro sono espresse dalle relazioni seguenti:

Jx dA

s-v- ^"

'■dA _

A

Se il corpo o superficie possiede un asse di simmetria, o anche di antisimmetria, essendo per definizione il momento statico della superficie rispetto a questo asse pari a zero, si conclude che l'asse stesso è un asse baricentrico, cioè passa per C.

Se la superficie possiede due assi di simmetria (Fig. 2.5) è allora individuato immediatamente il suo baricentro G essendo esso l'intersezione dei due assi.

2.1.2

Esempio di calcolo del momento statico

Si vuole calcolare il momento statico di un triangolo rettangolo rispetto all'asse spassante per la base del triangolo stesso (Fig. 2.6).

Figura 2.5 Sezione con due assi di simmetria

S2 =

41

§ 2.1 - Baricentri e momenti statici

"2

■■

Figura 2.6 Sezione triangolare

statico

52 rispetto all'asse * parafo a * e spostato ddla

d di x. da x, ■

2i3S3rè jcn-u

Se l'asse x, è baricentrico allora, essendo St =0, si ha. S2=Adc

essendo de la distanza dell'asse X2 dal baricentro.

Pertanto il momento statico di una qualsiasi area rispetto ad una retta qualsiasi è dato, in generale, dal prodotto dell'area per la distanza del suo

Figura 2.7 Teorema di trasposizione dei momenti statici

2.1.4 \ Momento statico di figure composte Per la definizione di momento statico come integrale (cioè sommatoria di termini infinitesimi) di una grandezza esteso a un campo di definizione, il

momento statico di una figura che è somma di più' aree è pari alla somma dei momenti statici delle singole aree.

^el caso, ad esempio, del momento statico di una superficie a forma di 1 (Fig. 2.9) rispetto alla retta r passante" per il lato di base della superficie s, può scrivere:

baricentro dalla retta.

Nel caso di un cerchio, ad esempio, di raggio r e distante d da una retta assegnata (Fig. 2.8), il momento statico è pari a:

S = nr2 d

.ssendo 4 e A2 le due aree componenti relative al braccio verticale e, rispettivamente, orizzontale della T. ; quanto detto in precedenza sarà:

2 -

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

Geometria delle aree

43

H+h

2.2 Momenti d'inerzia di una superficie^ /2.2.1

I

Momento d'inerzia rispetto ad un asse

Oltre al momento statico, per le superfici in generale si individua anche un'altra grandezza caratteristica definita dall'espressione:

che prende il nome di momento d'inerzia della superficie A rispetto alla

retta y (ortogonale^alla direzione jd disposta in_una Pos*?ion? assegnata

(FÌgT2?T0)?' Figura 2.8 Calcolo del momento statico di un cerchio rispetto ad una retta

~

Analogamente si può definire

""" il momento d'inerzia

della

superficie A

Vnspetto alla retta xl(ortogonale alla direzione y) disposta in una posizione assegnata (Fig. 2.11):

/ = f y2dA Si può, inoltre, definire il momento d'inerzia della superficie A rispetto alla retta a disposta in una posizione qualsiasi (Fig. 2.12):

=jd2dA

Figura 2.9 Momento statico di una figura composta

Per lo stesso principio si può dimostrare che nel caso precedente il momento statico S della

F è ottenibile come differenza fra il momento

statico del rettangolo maggiore di lati H, Bc quello del rettangolo minore di lati (B-b), h, cioè:

2 -

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

Geometria delle aree

45

y

lP>'

i

,''.■".:;' ,■ '■ .■■li.11, jpi-'ì' / ^iM ■:• ■.."■: :;^

Figura 2.10 Momento d'inerzia della superficie A rispetto ad una retta y

Figura 2.12 Momento d'inerzia della superficie A rispetto ad una retta a qualsiasi (g.2.2

iflonjfintpdMnerziapolare \

/Nel caso del momento d'inerzia si fa uso anche (nella "Meccanica" e nella '«Scienza delle Costruzioni") deljnojnentojiWrzia polare calcolato non

rispcSoad\uraSclò-féttaJ|-mil rispetto ad un polo (o punto) P (Fig. 2.13) con l'espressione:

'/>,■:■

;'^''.' r-*' in questo caso /, rappresenta, a meno della costante p (caratteristica del materiale), la grandezza, cioè la resistenza inerziale che si oppone

Figura 2.11

Momento d'inerzia della superficie A rispetto ad una retta x

in

condizioni dinamiche (cioè di rotazione libera in questo caso), all'azione di una coppia esterna applicata tendente a porre in rotazione la superficie attorno al polo suddetto.

Come è noto dalla fisica, la forza Fche occorre per produrre in una massa

; m l'accelerazione a è pari a: F-mq

>\

2 -

46

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

Geometria delle aree

47

il che corrisponde ad affermare che per produrre l'accelerazione suddetta occorre vincere una forza d'inerzia pari a:

Se si suppone di porre in rotazione una superficie piana A attorno ad un

asse ortogonale ad essa (Fig. 2.14) punto P' distante

r

con accelerazione angolare

tf, nel

dall'asse si ha una componente di accelerazione

tangenziale pari a:

aT =r-9 La massa elementare dm nell'intorno di P' darà perciò luogo ad una forza d'inerzia tangenziale elementare pari a: Figura 2.13

dFt = -r0 ■ dm

Momento d'inerzia polare della superficie A

Se la superfìcie ha densità p la massa elementare sarà pari a:

dm = p-dA II

momento

risultante

delle

forze

d'inerzia

corrispondenti

all'intera

superficie di area A sarà perciò pari a:

M, = -j(rtip dA)r = -Ópjr2 - dA II momento risultante delle forze d'inerzia è perciò proporzionale, a meno

della densità p e per una data accelerazione angolare ì), al termine: figura 2.14 Superficie piana A in rotazione attorno ad un asse ortogonale ad essa

IP =

che

costituisce

il

momento

polare

della

superficie

rispetto

all'asse

suddetto: esso prende appunto il nome di momento polare d'inerzia della

superficie rispetto al polo individuato dall'asse di rotazione-

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

2.2.3

=/, / 2 essendo /P =./, + ly = 2

Momento d'inerzia centrifugo (o misto)

jcRa =nDA ""4 64

Oltre ai momenti d'inerzia precedentemente descritti, si usa anche

° ttodurrc njno^toji'iner^^ntrifugo (o misto) definito dalla seguente relazione:

i •* - «-

1 2.2.4

Esempi di calcolo dei momenti d'inerzia di figure geometriche semplici

h

1

1-

f ^.

a) Momenti d'inerzia del rettangolo

Svogliono calcolare i momenti d'inerzia di un rettangolo d. base b e

altezza h (Fig. 2.15) rispetto ad un asse x (passante per la base inferiore del rettangolo) e rispetto agli assi baricentrici xQ e y0.

*r ,

.

Figura 2.15 Momenti d"inerzia di un rettangolo

bh*

[T

b) Momenti d'inerzia del cerchio

Si vogliono calcolare i momenti d'inerzia polare 1P (rispetto al centro U) e diametrale Id di un cerchio (Fig. 2.16) di diametro D (e raggio R). Figura 2.16 Momenti d'inerzia di un cerchio

49

2 -

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

Geometria dette aree

51

2.2.5 Momenti principali d'inerzia

Si consideri la superficie di Fig. 2.17 e si calcoli il momento d'inerzia

da

. /

=0

=

Massimo o minimo

polare IP rispetto al centro O degli assi coordinati x, y. \Esplicitando la relazione si trova:

_ (jx - \y ). senla - 21ty ■ cos 2a = 0 Poiché il valore della distanza radiale del punto generico dal centro degli

=> tan2a= -2

assi coordinati O può essere espresso tramite il teorema di Pitagora come radice della somma dei quadrati delle coordinate del punto stesso, con una semplice sostituzione si trova:

v x ~

y

Gli assi rispetto ai quali il momento d'inerzia risulta minimo o massimo sono dunque ortogonali per la natura della funzione tangente e vengono

indicati come assi principali d'inerzia; gli angoli che li individuano rispetto ad un sistema cartesiano qualunque sono:

a, =iaictaii -2y--2

Considerando la retta generica a ruotata deU'angolo a rispetto all'asse x (Fìgr2.17), si può^scrivcre:

d -ycosa-xsina

Tramite l'espressione precedente si può mettere in relazione il niomento d'inerzia rispetto alla generica direzione a con i momenti

. I valori dei momenti d'inerzia relativi agli assi principali sono:

d'inerzia relativi ai due assi coordinati x e y.

Ja = \d2-dA=\ {ycosa-x sena) dA Ia = Ix-cos2 a + Iy ■ sen2 a-2JV sena■ cosa

!; Essendo:

1 valori di a per cui il momento d'inerzia lo è massimo o minimo (Fig. 2.18) possono essere ricavati imponendo che la derivata di questo rispetto i può scrivere:

ad a sia nulla:

€jl = _(/x _ / ). Sen2a - 27V • cos 2xx dee

/ = Lllz. + J* ly cos 2a, - /„ sen 2a, "'2

2

2 -

52

53

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

Geometria delle aree

Dimpstriamo che il momento d'inerzia centrifugo lab (Fig. 2.19) è nullo

Poiché:

gTTassi aeb sono principali (o centrali) d'inerzia: /xy = —

j

-tan2a,1

/a=/,cos2a +/rsen2a -27^-sena

si ottiene:

cosa

I^ = Jb = JtscD2a +Iycos2a +2/J0,sena -cosa I

al

*£

2

2

La relazione trovata può essere riscritta come:

r =L±L oì

Poiché

dove

d = ycosa-xsena

e

d, = ysena+xcosa

+

2 2

2-cos2a,

a2 = a, + ni 2

/„,=■

/x-H/y

2

Ix~ly

+2-cos2(a,

2

2-cos2a,

Si ricavano infine le seguenti formule:

/ol~/a2"2-cos2al / =̣iJ^L + ̣i^!Lcos2a, 2

2

2

2

=-(/„, - la2)

sen2a,

Figura 2.17 Momenti principali d'inerzia

55

§ 2.2 - Momenti d'inerzia di una superficie

= Iv cos 2a +

Jx -I

Per a e b principali (a = a,;^ = a, + /2) si ha:

Iab =-

0

a,

Kll

il lavoro esterno

corrispondente sarà:

I termini misti Ll7 e L2, rappresentano il Lavoro mutuo o indiretto delle due^forze.

Il[_Tieor«na^ di Betri o di regproqtójdice che il lavoro mutuo o indiretto che compie un sistema di forze A) già applicato ad un corpo elastico durante

l'applicazione di un sistema di forze B) è uguale al lavoro indiretto che

Se ora si aggiunge il carico P1 dal principio di sovrapposizione degli effetti si sa che la freccia /, incrementerà del valore f2 raggiungendo il valore finale/=/,+/2In questa seconda fase il carico P2 effettuerà il lavoro:

compirebbe il sistema B) se fosse già applicato allo stesso corpo elastico durante l'applicazione del sistema A).

Per comprendere interamente il significato e le implicazioni relative a questo teorema ed al fatto che esso è in generale non valido per l'energia

di deformazione, è utile effettuare alcune considerazioni su di un altro sistema semplice.

Si consideri ora una trave, vincolata isostaticamente con un carrello ed una cerniera, che viene caricata con due forze concentrate R ed fi

Contemporaneamente il carico /», essendo già applicato e costante, effettuerà il Lavoro mutuo o misto |Fig. 5.8):

applicate

spostamento (/2) prodotto da un'altra forza ( P7). Il lavoro complessivo sarà quindi:

Ripetendo il ragionamento prima applicando, però, P2 e poi j> si ha (Fig 5.9):

Di conseguenza si ha:

nei

punti

1

e

2

della

trave

(Fig.

5.10);

indicati con fi ed Sa, rispettivamente freccia nei punti 1 e 2 appartenenti alla trave.

11 Lavoro mutuo, quindi, è il lavoro che una forza (f>) effettua per lo

rispettivamente

l'applicazione delle forze produrrà degli spostamenti, che possono essere

5 -

§5.6- Lavoro mutuo o indiretto - Teorema di Beiti

Teoremi sul lavoro di deformazione

145

Lll" = Vi F2f22 + Flfl2

in quanto la forza Fi resta costante durante l'applicazione della forza F2 e lavora lungo lo spostamento fu (spostamento nel punto 1 prodotto da P2). Il lavoro totale associato alla modalità di carico in esame è allora pari a: L ' - Li" + Lji" = Vi Fifn+ Vi F2f22 + Fifi2

L'espressione cosi determinata contiene il contributo del lavoro mutuo del primo sistema di forze (Fi) che lavora lungo gli spostamenti prodotti dal h

secondo sistema di forze (f«):

Jx + h

Figura 5.9 Lavoro mutuo P2f{ Ragionando in maniera analoga a quanto fatto in precedenza si ottengono i lavori di deformazione relativi alle due fasi di carico: L,

Ln' =

+ F2f2

con un lavoro totale pari a:

Figura 5.10 Deformata elastica della trave caricata con le forze F,. F2

L " = Li" + Ln"

U situazione deformata così individuata può essere ottenuta secondo due diversi modi di operare: applicando prima la forza F, in 1 e

successivamente la forza F2 in 2 (lasciando applicata F,); applicando prima

Va FifM +

^L'espressione cosi determinata contiene il contributo del lavoro mutuo del

secondo sistema di forze (F2) che lavora lungo gli spostamenti prodotti dal primo sistema di forze (f2i):

la forza F, in 2 e successivamente la forza F, in 1 (lasciando applicata F3). Operando nel primo modo si avrà allora la seguente evoluzione del problema.

.

..

Tenendo conto che l'applicazione di ogni forza avviene con continuità fra il valore nullo ed il valore finale F., il lavoro corrispondente al primo processo di carico vale [teorema di Clapeyron):

Poiché in entrambi i modi di operare si ottiene come risultato la medesima configurazione deformata finale (uguale a quella che si ottiene applicando contemporaneamente le due forze), è logico pensare che i due

lavori di deformazione, necessari per ottenere tali configurazioni, siano uguali:

mentre nel secondo processo di carico il lavoro è:

L ' = L

5 -

146

§ 5.6 - Lavoro mutuo o indiretto - Teorema di Betti

Teoremi sul lavoro di deformatone

147

I termini ascosi introdotti, i, ,pl,2 per il caso in esame, rappresentano i

te Fifn+ fc Fafca + Fifa - % F2f22+ V5. Fifu + Fafai

coefficienti di Maxweìl della matrice di deftìfmabilità del sistema, U cui significato è espresso dal seguente sistema:

L'uguaglianza implica che: Fifa

fi = fu + fa - anFi + ai2F2 fc = f2i + fa = a2iFi + a22F2

condizione che esprime l'uguaglianza dei lavori mutui di deformazione. L12 = L a»

*

Anche in questo caso i risultati ottenuti hanno validità generale; considerando l'uguaglianza dei lavori mutui ed estendendo l'applicazione ad un qualsiasi numero di forze generalizzate F«* (forze, momenti flettenti, momenti torcenti, ...) suddivise in due sistemi di forze 1 e 2 ed applicate ad un corpo qualsiasi, si può generalizzare il teorema di Beiti nel modo seguente:

la cui forma matriciale è:

Si è dimostrato (vedi applicazione del teorema di Betti, aia » aai) che la matrice di deformabilità è simmetrica.

in cui fe è il generico spostamento generalizzato (spostamento, rotazione,

...) scelto in modo tale che le forze di un sistema lavorino sugli spostamenti prodotti dall'altro sistema.

Poiché, però, pr le forze e per gli spostamenti generalizzati vale, nell' ambito della teoria elastica lineare, il principio di sovrapposizione, si possono scrivere gli spostamenti come prodotto della forza generalizzata

per lo spostamento che si ottiene in corrispondenza ad una forza applicata

-±- — t . Figura 5.11

Applicazione delle forze nell'ordine FrF2 e relative configurazioni deformate

unitaria, ovvero:

fa = ai2F2

avendo fa il significato di spostamento del punto 2 prodotto

f21 - agiFi

avendo fai il significato di spostamento del punto 1 prodotto

dalla forza Ft dalla forza F2.

Di conseguenza, per il teorema di Betti: Fifa = F2f2i

Figura 5.12 Applicazione delie forze nell'ordine FrF, e relative configurazioni deformate

Capitolo 6 Stato di tensione in un punto 6.1 Stato di tensione in un corpo Consideriamo

un

distribuite

o

concentrate!'),

eventualmente vincolato, ma non necessariamente

corpo

elastico,

sottoposto

a

forze

in

equilibrio statico. Presi un punto arbitrario Q appartenente al volume del corpo e un'areola

dA di normale

«, possiamo dire che la forza che

attraversa la superficie dA è rappresentabile con un vettore di direzione a

priori non nota che chiameremo dF. In realtà

dF è la risultante di

infinite forze elementari agenti su dA.

Esse sono a noi ignote, ma possiamo ragionare cosi: la variazione delle

forze sulT areola è continua per un principio di natura fisica che gli

antichi sintetizzavano con la frase "natura non facit saltus", quindi, se dA

è

sufficientemente

piccola*,

possiamo

considerare

praticamente equiversi e paralleli nell'intera areola

tutti

i

vettori

dA. Essi avranno

inoltre lo stesso modulo, essendo riferiti tutti a porzioni unitarie della

superficie dA. Chiameremo il vettore P

lega il vettore tensione con la forza

vettore tensione. La relazione che

dF e l'area dA è P -dF /dA, come

dovrebbe apparire chiaro pensando al ragionamento esposto prima (Fig. 6.1).

150

6

-

Stato di tensione in un punto

Le dimensioni del vettore

151

§ 6.1 - Stato di tensione in un corpo

P sono quelle di una forza divisa per una

tensione normale tende a comprimere o tirare il materiale dell'area dA,

superficie e per questa sua natura fisica esso dipende sia dallo stato di

meutre_quella tangenziale tende a fare scorrere la superficie

tensione

appartiene dA rispetto a quelle ad essa parallele.

nel

punto

rappresentata da

Q,

sia

dall'orientazione

della

superficie

dA

n . In altri termini, considerando una diversa superficie

alla quale

Adottiamo ora una terna di assi cartesiani xyz centrata in Q (Fig. 6.2).

dA' con normale diversa «' sempre centrata in Q, il vettore di tensione

P' sarà, in generale, diverso da P. Per determinare completamente lo stato di tensione del punto in esame dovremo, dunque, conoscere tutti i vettori

P

che si ottengono in

corrispondenza di ogni valore della normale n uscente da Q. Questo vuole

direjche ci servirebbero infinite informazioni, essendo, appunto, infinite

le direzioni possibili di un vettore che esce da un punto. Cerchiamo! quindi, di analizzare il vettore P con lo scopo di trovare un modo per

definire lo stato di tensione in Q con un numero finito (e magari anche piccolo) di informazioni.

Figura 6.2

Componenti dello stato di tensione

E1 possibile are coincidere la normale

fi, ad esempio, con l'asse x e

chiamare Gx il modulo della proiezione del vettore sulla normale scelta, e T Figura 6.1 Stato di tensione in un punto

del vettore f sugli assi y e z. Facendo lo stesso con gli altri due assi /otteniamo nove componenti nelle tre direzioni coordinate che possiamo sintetizzare nella seguente tabella:

Si è soliti scomporre il vettore P in due componenti, una, detta tensione-. normale y^

Componenti di tensione

e xy rispettivamente - è facilmente esprimibile in funzione di quella di

T Le componenti dello stato di tensione rappresentano le componenti del \ e ox-JEer,

allora, "si sgonfia" diventando, nel caso bidimensionale, un'ellisse che ospita, però, la punta del vettore delle tensioni al variare dell'orientazione della normale, in tutta la sua area e

convenzione, in generale, vale la diseguaglianza o>>òb>ò&.

non solo sul contorno, in modo analogo a quanto avveniva per l'ellissoide

Questo tipo di problema matematico è anche chiamato problema agli

nel caso più generale a tre dimensioni.

autovalorì ed autovettori, ed è noto dai corsi di algebra lineare in cui sono

stati trattati con più estensione i problemi dell'ortogonalità degli autovettori (coincidenti in questo caso alle direzioni principali di tensione).

Un approccio grafico alla risoluzione mediante le tensioni principali è

Questo concetto può essere spiegato pensando ad una piastra piana caricata nel proprio piano (Fig. 6.6), in modo tale cioè che le superfici

superiore ed inferiore della stessa risultino scariche; in questo caso la direzione z è principale e la corrispondente tensione lungo z è nulla.

quello del cosiddetto ellissoide delle tensioni (Fig. 6.5).

Si supponga poi di conoscere le due tensioni principali in un certo punto O

L'ellissoide delle tensioni è caratterizzato dall'avere il centro nel punto Q

scelto arbitrariamente.

del quale si vuole ottenere la tensione e come semiassi L_vettqri o\nt relativi alle tre tensioni principali..

Per spiegare analiticamente la (ostruzione grafica dell'ellissoide delle tensioni ricaviamo la seguente espressione sostituendo le relazioni (6.2) nella (6.4):

Possiamo ancora utilizzare la relazione geometrica dell'ellissoide per

descrivere lo stato di tensione, ma si ha p,»0 in quanto lungo tale direzione la piastra non è caricata (

Pz/ A = (o\ -

, - a)- x),]=0

(6.6)

Risolvendo l'equazionejieirincognita a è immediato osservare che una

delle soluzioni è, come ovvjoio"= O£^0,__mentre le^altte due soluzioni sono date dalla relazione:

Le precedenti relazioni geometriche rappresentano le medesime espressioni analitiche che erano state determinate per le tensioni principali (equazione (6.7), soluzione analitica del problema piano).

6

168

-

169

6 6.3 - Cerchi di Mohr

Stato di tensione in un punto

U terzo lato perpendicolare ad una normale arbitraria n, inclinata di un angolo a rispetto alla direzione principale 1. Si vuole determinare lo stato di tensione del punto P lungo sulla faccia AB

(identificata dalla normale rt ), ovvero i valori del vettore tensione